*. 6corza 'ragoni (Ed.)
7oSologia Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, $ugust 6eStemEer ,
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10897-6 e-ISBN: 978-3-642-10898-3 DOI:10.1007/978-3-642-10898-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
3° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 26 agosto – 3 sett. 1955
TOPOLOGIA
K. Kuratowski:
Théorie de la dimension .................................................
1
G. Scorza – Dragoni:
Traslazioni piane generalizzate....................................... 17
E. Sperner:
1.
Generalizzazioni del teorema di Brouwer sul punto unito ......................................................... 41
2.
Il problema dei colori sulle superficie chiuse .......... 75
G. Darbo:
Grado topologico e punti uniti in trasformazioni plurivalenti ...................................................................... 93
M. Dolcher:
Alcuni risultati della geometria delle trasformazioni continue .................................................. 99
M. Vaccaro:
Sulle rappresentazioni localmente biunivoche delle varietà topologiche sopra i poliedri ....................... 105
Roma - Istituto Matematico dell’ Università
ROlllli-Istituto Matenul.;icc dell'U.liversitEt,1955
1
C. RuratoE'sld
- 1 -
T~ORIE DE LA DII.IENSION
I. Introduction. Espaves metriques. Definition de l'espace metrique: EspacG dont lequol uno fonc-
\X-Y!1
tion non-negative de deux variables
nommae distance, est
Ie terme primitif, assujetti aux axiomes suivants:
~x-Yl
(i)
=o}:: (x=y),
(iii)
\x-Y \ +
Exemple~
;![-Y\ \x-z \.
(ii) \
Iy-z \ ?:
d t espaces mcariquGs: 11 cspeca euclidien
an
dimen-
sions En; cube de Hilbert, clest-a.-dire lr~space H de suites infinies x:=(x 1 ,x2 ",,), o~J xn \~ 1
Ix-y \
L
= )"
-
"t
Oil
\IXn-yn ).
2n
Tous sous-~nsemble dl~iespace metrique est metrique. Notions fondamentales.
6 (A)
=
~am8tre
sup
dlun ensemble A:
lx-xl \ ou x,x' f
A.
Ensemble borne = ensemble dont le diametre est fini. Limite d'une suite de points diun espace matrique: (p = lim Pn) __ (lim \Pn-p\ =0). n= ([)
Espace compact
= espace
n=([)
dans lequel toute suite infinie de
points contient une suite partielle convergente (exemples: llintervalle 0
~
t
~ 1;
Espace complet
cube H de Hilbert).
= espace
dans lequel toute suite satisfaisant
a la condition de Cauchy est convergente (ane suite P1 112'" fait
a.
la condition de Cauchy, 10rsqu I a. tout
E >'
sati.§.
0 co rrespond
un k tel que pour n :::. k ou a \Pn-Pk\
x
I <: 3
r.
a ,t:, c I est-a.-dire
O.Ku.ratowaki
',ermljl'\!y.re de A = 1 I enijemble A de taus le" points p de la
$,:r.rme
p '" Hm ~ A (autrement dit; QUi a P € K lorsque I:i.=oo pn , ou III"'n Ii;: ~ule de centre p admet des points comm~s avec A).
t~u~e
Enaell).ble
X~ (~
~
,;j
ensemble!:. saUsfaisani
a.
Ie. condition
A. Etteemble ~ = complementaite d'un e~semble ferme ••sem~le qui, avec tout point, cont1ent une boule ayant ee
.o~n'
La
pour centre).
d'ense.blem fermes est
~ (l'union) dlun nombre find
'im Eii1$emble ferme. LEi :grodlli~ (1 I :j,.:p:b8rsectiQD.) d 'un nom'bIoe :Uni il'e.nlIelnb~es
ouver-i;s elilt un
~nsemble
ou"tert. Le produit ('Pun
mombre arbitraire d'ensemblEis fermes est
ferm~
at Ia somme &'en-
sembles ouverta est un ensemble ouvert. lnterieur et frontHre d!un enaemble A situe dans liespaee
x! lnt (A)
lam ~ (p,F)
=l
= x-I;[, in.f \ p-lti
= A·~.
Fr(A)
ou x €F (pour F =0 ,on pose
~ ("F}lI:'t).
lintoyage: [A est un entoilrage de ~~[ P" Int· (A)] (clesta...dire qu'il existe una boule. de centre- p oon:tenue dana A).
Ensembl.e~:
[A
est dense dans
1 eapaee I
E§pau se.i!arabie: eapaes qui con'Gient un
~!;
[(A=X>].
8ous~ensemble
dense
Qen@mbra~le (examples. esp~e euclidien. En, cuie de Hilbert Hj
tQut eRssmble fini. tout
B&~ense.ble diun
eSface me.trique se.-
l>are b)' e ) • Tout elllpace metrique separable contient une base, c'est-a.-dire 1l1le
suite R1 ,R 2 ,... d I ensembles ouverta tels qu' a tout point
:p at tout
E>
0 oorrespond Un k tel qu.e p is Rk et
Ensemble frontiere
= ensemble
J
(Rk )
< E.
dont Ie compleaentaire est
dense. Ensemble de pre~ere categorie
= sous-enaembio
dlun ensem-
ble F1+F 2+••• +F +.•• , au Fest frontiere et forme. 'l\ n The-Oreme de Baire: QaJ:lS. un espace oomplot tottt ensemble de·
4
- 3 -
premiere categorie est illl ensemble :i:'rontHro. Transformation continue: f est continue lorsque
~ .~::)(]~[~ ~lJ("f\, )=~(J()]. "1\._ Q:) '1'\..:;: V,)
Transformation homeOmorptle: la transformation fest illle homeomorphie lorsqu1elle cst continue, biunivoque et la trans formation inverse est conti,iue:
Propriete topologigue.o; propriete invariante relativement aux transformations homeomorphes. Theoreme d'Urysohn: tout EJspace me"trique separable 1) est homeomorphe
a un
soue-ensemble du cube H de Hilbert.
Espace fonctionnel
i"-:
eScJ[lce de toutes les tr[tnsformations
continues de I' espace X (sUPPOS(3 CO],lpact) on sous-ensembles de l' espace Y , la distance dans I' cspac€< formule:
!f-
Si Y est complet,
g[
=:
yx
6tant defini e par la
ou x E
sup !f(x)-g(x)!
Yl l'est
X.
egalement.
Bj. bliograpp,ie. Trai tes sur 1a
tlH~Ori(~
de la dir;,ension:
1. W. Hurewicz-H. Wa11mann, Dime,1sion Theory, :2rincetol1 1948. 2. K.IVIenger, Dimensionstileorie, Teubner, 1928,
3. P. Urysohn, Fund.l!lath. 7-8 (1925-26). 4. J.Favard,Espace et dirJ.ension, Paris (i:ichel) 1950.
1) Dans la suite tout espace sera suppose fll.etrique separable. La theorie de la dimension des espaces non separables est bien plus compliquee. Voir, par exemple, IJ:. Ka~etov. Cechoslov, mat. Zurn.
2(77).
5
C.Kuratowski
- 4 -
5. K.Kuratowski, Topologie vol.
r,§ §20-23,
§ 40,
et vol. II,
Warszaw.a, Monogr. lIat. 1952 (nouv. edition). 1)
Voir aussi pour les proprietes de la dimension liees a. la topologie algebrique. 6. P.Alexandroff, Dimensionstheorie, I\lath.AI"..n. 106 (1932).
II. Defini tion
d~J_a
ciimension. ProprHtes fOlldamelltales.
Definition (inductive) de dim X (dimension de et de 1
di~I
~!espace
X)
(dime,'lsion de X au point p):
°:
dim 0 ... - 1, (dimpX $ n) = a. tout
2°:
l >
0 correspond un ensemble
ouvert G tel que pEG,
3° dim X = P
(dim X <- n) -
00, S
d(G)
=dim -
p
X
etdimFr(G)~ n-1,
n quel que soi t p E
til n t existe 3,UC11n I.:! satisfaisant
X,
a 2°.
Historigue. L'idee de cette definition, qui remonte
H.Poincare (1912), a ete precisee par L,E.J.Brouwer en theorie de la dimension a eM cree
a ~
13. La
independamment par K.Menger
et P. Urysohn (vers 1922). Exemples. L I intervalle 0 ~ t ~ 1 a la dimension 1; de m~me 2
la circonference d'un cercle. On en conclut que le plan E a la dimension
~2i at ~
n~)
par induction - que dim En,
L'espace des nombres irrationals est de dimension O. 11 en est de
m~me
de l'ensemble C de
ble des nombres de t
~anto"~
t 12m
(c'est-a.-dire de l'ensem-
latfor~e
=3+
9 + •••
+ ~ + •••
ou
tm
=0
pu 2.
1) On y trouvera la majorite des notions et des theoremes consideres ici. 2) La demollitration de l' inegali te inverse: dim En:;, nest omise iCi, elle a ete presenten clans les conferences de
6
]lIf.
Sperner.
C.Ku:tJatowski
- 5 -
Remarque. La dimension est un'", pl"Opri8te topologique. Theoremes.1. 8i A CB, on pour pEA.
~
dim A ~dim B et dimp A ~ dimpB
== a tout E ~
2. (dimpE ~ n) G tel que
° correspond un ensemble ouvert
J (G)
et dim \":S'Fr(G)] 5: n-1. 3. Si Fk=Fk et dim Fk=n pour k=1,2, ••• , on a dim(F 1+F 2+••• )=n 4. Tout espace an dinensions con-Gient une base R1 ,R2 , ••• P {; G,
telle que dim Fr(R k )
~
n-1,
En particulier, tout espace de dimension
° contient une base
formee d 'ensembles ferme:l-l?Uverts,
5. Si dim X=n,
ou
on a X=A+B
dim A ~n-1 et dim B=O.
6. Si dim X=n, on a X'"Ao+" --tAn O"lt dim Aj"'0 pour j=O, ... ,no
7. Si X=A+B ou dim A=n-l et dim B-O, on a dim X
~
n.
8. Si X=A +•.• +Ah , ou dim A.=O pour j=O, ••• ,n, on a dimX o
J
~
n.
9. Tout espace de dimE;nsion 0 pst homeomorphe a un sous-ensemble de l'ensemble C de Cantor. III. Theoremes de reduction et de decomposi tioll.
Theoreme de reduction. Etant donnee une decomposition d 'un espace X de dimension n en une suite (firrie ou infinie) d'ensembles ouverts:
i1 existe une decomposition en ensembles ouverts: X = Ho
+
H1
+ ..•
1;e11e que 10
2° rents.
Hi
C.
Gi ,
H.•.•• H. =0 'Pout tout sys"teme de n+2 indices diffe~O In+1
En particulier," si n=(l, les ensembles F'i sont disjoints et fermes. A ce dernier
CdS
on peut
ram~mer
7
la demonstration du theore-
C. Ku:l1ato wski
- 6 -
me de reduction, en appliquant 10 th60reme II,6. En appliquant le theoreme de Borel-Lebesgue, on en deduit 1e theoreme sui vant : Theoreme de decomposition. X etant un espace compact de dimension n,
a tout t
7
0 corr6spord une decomposition de cet
espace en un nombre fini d'ensembles ouverts: X = Ho + ••• + Hm
tela que
5(H. ) <: £ ~
et que la condition 2 0 soit satisfaite.
Le theoreme restevrai en remplagant le teme "ouvert ll par "ferme". Corollaire. Atout systeme d'ensembles fermes F , ••• ,F tel que X= F +••. +F
o
m
et
a tout
£~
o
correspond un systeme
0
m
d 'ensembles ferm.es satisfaisant aux condi tiona 10 et 2 0 en remplacant Gi par l' ensemble des points p tels que ~ (p,F i) .:::. £.
Exemple. La figure ci-dessous represente une interpretation du theoreme de decomposition pour le carre (cas de decomposition en ensembles fermes).
IV. Representation parametricue d'un espace compact sur l' ensembl~C de Cantor. Une fonction fest dite d'ordre systeme de k points differents Theoreme.
X
etant
,m
~
k, s'il a'existe aucun
.. "xk tel que f(X 1 )= ••• =f(~). espCl.ce compact ct parfait (c I est-a.X1 '
dire ne contenant aucun point iso16; de dimension n, i l elltiste une transformation f de
~'ensemble
Plus encore: en designant par
8
C en X d'ordre
cp
~n+1.
le soua-ensemble de
C.Kuratowski
- 7 -
l'espace XC compose des fonctions f tel1es que f{C)=X, l'ensemble ~
des fonctions d'ordre
> n+1
est de premiere categorie dans
q:,. Idee de Is demonstra tio~.
f de
tp
pour lesquelles i l existe
%0,x1 ' ••• ,
U11
des fonctionJ
systeme de n+2 points
xn+1 tels que f{x o )=f(x1 )= ••• =f{xn+ 1) et
I l vient l' ensemble
'f\( I' ensemble
Soi t
'V = "V
Vk
1+ 1'"2+"'+ 'tk+'" On montre que est ferme et frontiEre (en s' appuyant sur le
tMoreme de decomposition, Cfr.Chap.III, corollaire). La
premi~e
partie du theoreme en resulte en appliquant
le theoreme de Baire et le theor~me de Hausdorff d'apree 1equel
CP 10. Exemple. SoH X l'intervalle 0
~x
~
1. La fonction f
(de Cantor-Lebesgue), qui fait correspondre au point t1
t =--3-- +
t2
g- + •.• (t i
= 0 ou 2)
de l'ensemble de Cantor le point f(t) =
~ (~+
t2 +••• )
de l'intervalle X1 est d'ordre 2.
4
En s'appuyant sur Ie theoreme precedent, on. prouve l'enonc' suivant: Theoreme de decomposition generalise. X etant un espaee compact de dimension n, Q, tout
C">
0 correspond une decomposition
de cet espace en un nombre fini d'ensembles fermee: X+F +•••-IF tels que
d (F . ) < E ~
et que dim (F .• : •• F. ) ~o
systeme de r+1 indices differents (ou r Theoreme reciproque.
~
~r
o
~n-r
n+1).
Si fest une transformation de
l'ensemble C, d'ordre n+.1, on a dim fCC) .::;; n.
9
m
pour tout
C.Kuratowski
- 8 -
V. Simplexes. Polytopes. Soit dans l'espace euclidien En un systeme de n+1 points po ,P1""'Pn • Le simplexe (ouvert) n p ,P1"'P c'est l'ensemble o des points p de la forme p =
( 1)
A0P0 + ... +
i\p, nn
ou
) +... +
1\.0
A n=1
et
:1..>0. :1.
Lea points P , ••• ,p sont nommes les sommets du simplexe o n · S=p ... p , les simplexes p. • .. p. - sont ses faees (k=O, 1, ... n). o n 10 1k Le simp1exe S est dit simple si ses sommets s@nt lin~aiEement independants. Les faces d'un simp1exe simple sdnt disjointea deux a deux.
En outre, Ie simplexe "ferme"
S est,
lEi somme de
toutes les faces de S. Pour qu'un point p appartienne a f~ut
S,
i1
et i1 suffit qu'il satisfasse aux conditions (1) ou lline-
gali te
Ai -:> 0 est remplacee par
Ai? O.
Par polytope nous entendons une somma finie de simplexes fermes • Transfommijtion )G. Soient X un espace metrique separable,
Go, ••• ,Gm un aysteme d1ensembles ouverts tels que X=Go+ ••• +Gm et p , •.• ,p un systeme de points de l'espace euclidien Er. On o m appelle transformation Xi correspondante aces system6il Ie. transformation suivante: ou
Done )G(x) est Ie point du simplexe ferme ~ coordonnees barycentriques si G. , ••• ,G. 10
1k
'A o (x), ••• , ,:t m(x).
o
est Ie systeme de tous les ensembles
contiennent x, on a
m
aux
Plus precisement:
~;., qui
(x) G Pi ••• p .• o 1k En appliquant Ie theoreme de decomposition du Chap. III et "lC>
10
C.kuratowski
- 9 -
~transfGrmation dans
~, on montre le theoreme suivant: ~h9ore~. SoH X un ensemble compact a n dimensions si tue l'espace euclidien Er. A tout E > 0 correspond une transfor-
mation continue f de X en un polytope P de dimension n telle que
I< £
\f(x)-x
3i, en particulier, r
a la
tope P
~
2n+1, on peut assujettir Ie
~oly
condition supplementaire, que les simplexes (ouverts)
qui le constituent soient disjoints deux
a deux.
Dans un ordre d I illees analogue ~ on ales theoremes suivan.s (d I Alexandroff) : L Pour qu'un.espace compact X soit de dimension ~n, i1
'£ > 0
faut et i l suffi t qu I a tout
ciOJrresponde une trasnforma-
tion continue de X en un polytope de dimension!S n, dont toutes les tranches (clest-a.-dire les ensembles f-i(y)) sont de diametre <.
S. ;:. L'inegaillite dim X
>
n est) dans le domaine des el/paces
compacts, un invariant des transformations c I est-a.-dire gu I i l existe un
S> 0
"a
petites tranches";
tel que, pour toute transfor-
mation continue f de X ayant les tranchos de diametre <£, on a dim f(X)
>
D.
T.1l.eoreme du plongement (de Menger-Nilbeling). Tout espace
X de dimension nest homeomorphe
a un
sous-ensemble du cube
. ) r 2n+1 ('a 2n+ 1 d'lmenSlons. Plus precisement, si r
~ 2n+i~
les transformations de X
qui ne sont pas des homeomorphies constHuent dans l' espace " (r r)x un ensemble de premiere categorie. La demonstration est basee sur Ie Lemme suivant. ~,~,
Soie:::tt A et B deux sOlis-ensembles disjoints et
fermes de l'espace X a. n dimensions. ou r
~
a tout £: > 0 'iJA!.)6('B! = 0
2n+1, et
telle que
A toute
fonction ft (rr)x,
correspond une transformation )c et
11
I
')C. -
f
I~ s .
- 10 -
Le nombre 2n+1 ne peut pas 3tre remplace par
Remarqueso un
C.Kuratowski
inferieur. En effet, le polytope somme des faces de
n~bre
dimensions #!. n du simplexe a 2n+2 dimensions n I est pas "topologiquement co~enu" dans le cube I2n. Le probleme de trouver les conditions dans les
I
k
a~
pour k
~
dimensions est topologiquement contenu dans le cube 2n, n! est pas resolu pour n '> 1 (11 a ete trai te
recemment par Wu
Wen-ts~r).
Dans Ie cas n=1. on a le theoreme
euivant: pour qujun polygone ne se 1aisse pas plonger, topologiquement dans Ie plan, i l faut. et i l suffit qu'il contienne topologiquement l'un des deux polygones ci-dessoua:
VI. Problemes de dimension concernant les soua-ensembles de l'espace euclidien. 1. Tous sous-ensemble ouvert non vide de En est de dimension n. 2. Tout sous-ensemble frontiere de En est de dimension <~
3. La fronti2.re d iun ensemble ouvert G tel que GtEn eat de dimension n-1. Plus genera1ement: 4. Theoreme de Mazurkiewicz. Soit R une region de En. Si dim
A~
n-2, tout couple de points de R-A se 1aisse unir par un
aous-continu de R-A. 5. Theoreme de Alexandroff. Soit F un aous-ensemble compact de En. Pour que F soit de dimension ~ r, i l faut et i l suffit
12
C.Kuratowski
- 11 -
qutaucun cycle de dimensionn-r-2 ne soit enlace avec F dans aucune boule a n dimensions~)
En particulier, un sous-ensemble 1-dimenaionnel ferme de E3 ne coupe l'espace localement entre aucun couple de pOints; i1 est cependant enlace localement avec un cycle a 1 dimension. F etant un sous-ensembl.e ferme 2-dimensionnel de ]3, il existe une boule R telle que l'ensemble R-F est non-connexe. Cependant, comme l'a demontre recemment X.S1tnikov 2 ), il existe un ensemble (non-ferme) ACR 3 a 2 dimensions et tel que, quel que soit la region R, tout couple de points de R-A se laisse unir par un soue-continue de R-A.
VII.
~rolongement
des fonctions
continues~
D'apres Ie theo,reme dE! Tietze, toute fonction continue a valeurfl reellee definie sur un emus-ensemble ferme d'un espaee metrique X se laisse etendre sur l'eepace X tout entier. En symbole: la condition f E ]l ou F=F eX, ilnplique I' existence dtune fonction f'JCE. EX telle que f c f! X et Y etant deux espaces metriques, nous ecrivons l ~ Y 1orsqu'a tout ensemble F=F C X et a toute fonction f~ ~ corr6spcnd une fonction £*6 yX telle que f C f; nous ecrivons X--tv y lorsqu'a ~ fonction f corr~spond un ensemble ouvert G contenent F et une fonction f4(e. yG telle que f C.
t:
8i la condition X --r:: Y a lieu pour tout espace metrique separable, Y est dit un retracte absolu; s'il en est ainsi de Is condition X ~ v y, Y est dit un retracte de vOisinage. 1)Cf. P. Alexandroff,
OPe
cit. p.166.
2) Voir Doklady Akad. Nauk 94 (1954), p. 1007.
13
C.Kuratowski
- 12 -
Ainsi la droite E, l'intervalle I et - plus generalement l'eepace euclidien En et le cube In - sont aee retractes absolus. D'apres un theoreme de Borsuk, tout polytope est un retracte de voieinage; cependant un polytope peut ne pas @tre un retraote absolu; ainsi par exemple, en designant par Qn+1 1a boule x~ + x~ +••• + X!+1 ~ 1 et par Sn sa frontiere, 18 relation Qn+1 ~ ::in est en defaut (puisque 1a fonction f(p)=p pour p ~ Sn ne se laisse pas etendre sur Q 1 suns qu' elle qui tte :I'a sphere n+
Theoreme d'Alexandroff.
Les conditions dim X ~n et
I ~ S
eont equivalentes. n Ce theoreme donne lieu
a la
generalisation des nombreux
theoremes de la theorie de 1a dimension par 18 relation
1i 1).
l'intermed~aire
de
Ainsi, en particulier, on demontre que
(at.lee theoremes II, 3 et V, 1): 1. Fk;::FkVY,
Y etant un retracte de voisinage, les relatione
ou
k=1,2, ••• , impliquent (F 1+F Z+"')"C Y. 2. Y etant un rdtracte de voisinage, la relation X non-~Y
8st--- dane me domaine des espaces compacts des transformations
a petites
~
un invariant
tranches.
Cependant les problemes suivants restent ouverte: (A ex
(H
1:f
Y)::::;' (A
"t- Y)~ (Y
't y)
?
est un retracte absolu)?
(X 't Y et dim X=n):~ (In
't
Y) ?
1) Voir ma note de Colloquium lIiathemuticum 2{1951}, p.186 ...191.
14
c. Kurato ws.k:i
- 13 -
Ajoutons que Ie. condition In't' Y (ou I d6signe 1 'interval1e 0 ~ t ~ 1) caracterise les eapaces Y localement et integra-
lement connexes en toute dimension Lefschetz.
15
<: n
dans 1e sens d'Alexander-
TEASLAZIONI
PlANE
GENERALIZZATE
(Lezioni raccol te
da R. Conti)
Roma-lsti tuto 11atemr.tico dell'Universi ta, 1955
17
G.Scorza Dragoni
- 1 -
Ti~SLAZIONI
PIANE GENERALIZZATE
1. I'reliminari.
Ri teniarao noti i concetti di trasformazione topologiea, di curva sempliee,ch::'usa
0
aperta, di bicella, nonche Ie propxieta.
e1ementari conneS8e a questi concetti. In proposito si potra consultare ad es. i1 vol.I delle "Lezioni di Analisi" di F.Severi (Complementi al Cap. V).
e i1
L'ambiente in cui operiamo
piano (reale) euclideo.
Una traslazione, t, nel piano, in senso ordinario, gode delle seguenti proprieta: 1) t e un automeomorfismo del piano, cioe un omeomorflsmo del piano in se; 2) t(p);lP, qualunque sia i1 punta P, ossie t non ha gunti uniti;
3) t conserva
i1 senso
delle rotazioni, Queste tre proprieta.
~
earatterizzano tuttavia le trasla-
zioni piane ordinarie, e neppure la class6 degli automeomorgismi del piano topolog:Lcamente equivalenti 1) ad una traslazione piana ordinaria (8i vedano i suee. nn.8 e 12). Pertanto diremo che ogni Jrasformazione che goda delle proprieta. 1), 2), 3) e una traslazione piana generalizzata (abbreviato in
~.P.g.).
Noi esamineremo ap)unto le principali proprieta delle' t.p. g. 2. ID1 teorema
~~~wer
sUll'esistenza di punti uniti.
Sia G una bi.cella, t(G)=
r
la sua immagine in un omeomor-
1) Un autOllleomorfis!Jlo t del piano e topologieamente equivalente ad una traslazione ordinaria se
""t'"\ ()
,can "t' autoomeomorfiamo
conveniente, e una traslazione ordinaria.
19
G.Soorza Dragoni
- 2 -
fismo t. Brouwer [1] ~~..L..
ha provato i l Esi_sJI3 almmio un punto unito P 9 (Ci06 esiste almeno
un punta Po tale che t(Po)=P o) se 6 soddisfatta la condizione (B)
t(G) ~ G
Limiteremo qui la dimostrazione al caso in cui G sia un cerchio. Procediamo per assurdo (cfr.ad es. Hurewicz e Wallman, Dimension Thepry, p. 40) • Se per ogni P € G
eP I
t(p) possiamo proiettare P da t(p)
in un punta R del contorno g di G. Segue che G
e mutato
nel suo
contorno da una trasformazione continua, che lascia fermi i singoli punti del contorno. L'assurdo 6 raggiunto se proviamo il Teorema II. Non
esiston~
contorno~ le~~_i
trasformazioni continue di G nel suo
subordin1no su questo l(identita.
Data la natura della questione possiamo ora supporre G ridotto ad un triangolo di vertici A,B,e. Procediamo ancora per assurdo (cfr.
[2~, ~ 1) supponendo
l'esistenza di una trasformazione continua t di G nel contorno che subordini su questo l'identita. Effettuiamo una divisione di G in triangOli~K (k=1,2, ••• ,p2) per mezzo di paral1ele ai 1ati oondotte per i punti di una divisione in p parti uguali di ciascuno dei lati AB,BC,CA. Associamo ai vertici A,B.e i numeri 1,2,.3 ne11 l ordine e diciamo P,Q,R i punti di mezzo di AB,BC,CA rispettivamente. Sia V un vert ice di 1:'1( , di guisa che t (V) appartiene al contorno di ABC. Associamo a V i l nUJllero .......
.--
11 numero 2 se t(V)f; P B + B Q
,n
I-'
I-:
se t (V) € R A + A P, H
numero 3 se t(v)E Q C +
.J"-:
IJ
R.
Bastera oru provare, e 1m;, faremo nel n.3, che esiste almeno un
~k
cui 6 associata la terna, non ordinata, (1,2,3), perIag-
giungere l'assurdo.
20
a.Scorza Dragoni
- 3-
Infatti, se un tale triangolo, ~K' esiste, la sua immagine t( 1-1
P B
11 ) t-
dovra avere un vertice su g~ + ~P, uno su
K
t-1
I-
+ B Q ed uno su Q C + C R , quindi dovra avere un diametro
che non scende aldisotto di un certo d> O.
E cia contrasta col fatto che ess-.do t continua il diametro di ogni t ( 1i'",) si puo rendere arbi trariamente piccolo pur di supporre p abba stanza grande. Rasta dunque da provare l'esistenza del ~(associato alla terna (1,2,3).
3. 11 lemma di Sporner. L' esistenza di 1:;'1< Sperner"
[4]
e assicurata
dal cosi detto "lemma di
; nel cas~ unidimensionale
e una
proposizione ov-
via che ha il seguente enunciato: Lemma 1. Nato un
sew~ento
parti. si associ il numero
AB ed una sua qualungue divisione in al punto A. i1 numero 2 al punto
B (0 viceversa) ed uno dei due
nv~eri
1.2. a ciascun punto della
divisione. Allora il numero delle patti cui non ordinata, (1,2)
e dispari.
e associata
la coppia,
Vale a dire essiste rumeno una tale parle.
Hel caso bidimensionale, che
e quello
che a hoi serve,
il lemma di Sperner si enuncia: Lemma 2. Dato un triangolo kBC dividi~olo in triangoli ~1come (-si
e f~tto
nel n.2 e numeriamo i vertici V dei
~K
afisociando ad
Ail numero 1, a B il numero 2L a C il numero 3, ed associando a V i l numero 1
0
2 se V i= A.1h....1d..!!u.mero 2 se VEB-C.il numerc>
~ VG.. C-A. Ai vertici V interni al triangolo ABC associamo,
indlfferenUDente,uno dei ire numeri 1.2.3. Allora 11
n2~0
d,,,i
~K
cui
e dispari. li
e
e _associata
la terna (1,2,3)
Sia infatti mk i l nur;lGro dei lati appartenenti a 't'1( ai quaassociata la coppia (1,2). Sia poi g il numero dei ~ assoi(
21
G.Scorza Dragoni
- 4 -
ciati alla terna (1,2,1)
(1,2,2) ed
0
t quello dei
alla terna (1,2,3). Avromo I"~
2..1Yrt
':t
2,
\(
~
'L assoeiati It
O-r€·
Sia infine f i l nULlGrO dei 1ati avent! punt! interni ad ABC ed associati alla coppia (1,2) cd h il numero dei lati appartenenti ad AB ed associati alln st.:Jssa coppia (1,2). Avromo I'l
L 1
e quind!
f'rIV
I<
£=
Ma per il lcmma 1 h
= 2 1P t--fv, .
2 (f - g) + h
e dis pari
0-
tale sara
t.
4. Estensioni del teorema.di Brouwer. Del teorema di Brouwer oull'esistenza di punti uniti s1 conoscono nUL1erose estensioni in direzioni diverse: si cfr. as es.
[3]+~].
,Qfl '
[9J,
Q~J teoreIDa IIi [1~ , ed anche: (12J teorema I. Per la nostra trattazione dolla tooria delle t.p.g. ei oe-
B4] , (15J
corre di eonsideraro il caso in cui, ih luogo della
e soddisfatta
(B) t(G) ~G 180 pili debola condizionc t(G).G ammette almeno un punta interno O.
L I esistenza di almeno un punto lIDi to
e assicurata
sotto
certe ipotesi agGiuntive che ora illustreremo: le affermC!.zioni contonute in questa n,4 sono dimostrate in Sia g i l contorno di G,
[9J •
'a qnello di f' = t(G).
~Ol\li
~
FIG,. :l.
22
L4 f'"
G.Scorza Dragoni
- 5-
I punti P che si possono
eongi~gere
con 0 mediante una curva
aemplice aperta PO aenza incontrare g ne
r costi tuiscono una bi-
cella J, il contorno j della quale ha punti comuni con g. Prendendo per
0
gni punta !Ii j. g il :J.a.ssimo arco o.i g che
-Vi.' ...>~, •••
10 contiene si decompone j. g in una successione
di archi di g
(eventualmente fini ta).
Dei due archi ebe, con
fo.i;
"i
individu~ su
r
uno, che indichiamo
,costituisce insieme a oj", i l eontorno di una bicella L1
non contenente 'il punta 0 e si dimostra che
r
= t(G)=J+L 1+L 2+•••
Le ipotesi aggiwltive annuncamte prima sono quelle espresse da
v. ) o
(0 insieme vuoto).
t ( ..,). ). (L. OJ l-V
Vale aUora i l Teorema III.
(cfr.~} ,teor.IV). Se valgono le ipotesi (B1)~
(B 2 ) la t ammette almeno un punto unite che appartiene a J. Per la dimostrazione, che omettiamo, ci ai riconduce, introducendo opportune trasformazioni auailiarie di Li in v~ al caao del teorema I di Brouwer. Nel n.aeguente diremo come il teorema III permette di porre i j[ondamenti per ricostruire la teoria di Brouwer sulle "traiettorie"delle t.p.g. 5. Archi di traslazione e traietterie di'una t.p.g. Una curva semplice e aperta
la diremo un areo di trasla
~
zione in una data t. P.,g. t se l' immagine t (
A. )
(ehe e vvviamen-
te una eurva 'semplice e aperta) e i\ han..'1o in comune solo un punto, estremo per entrambe. Non essendoei punti uniti nella t, tale estremo sara l'immagine t (P) dell' al tro estremo P di areo di traslazione (di il1llua.gine e per t-n ( A ) (n=2,3, ••. ).
A. •
A )
23
Anche t -1 (
A)
e un
e 10 stesso sara per tn~). )
G•. Seor"a Dragoni
- 6 -
11 punta P si dira QFigine dell l areo di traslazione
A .
L'insieme Q eostituito da un area di traslazione A e . " ) , t 2 ( I,), A '\ ), •.• , vale a dagll arch~. t ( I\. •.. , t -1 ( "'" ), t -2 ("dire l' ins i eme
si dice una
trai~ttoria
della t.
Il primo teorema (Ii
Brol~
tel Teorema 1. (cfr. [2J ,teorema1;
sulle traiettorie
[3J
e il
seguen-
,~1,n.2; [4J .,teorema 4;
per la dimostrazione del Gesto ved. [~) , ~ 5). Le traiettorie della t sono eurve
.
~empliei
e aperte •
Diamo un cenna dir.;ostrativo per illustrare l'ufficio che
in questa dimastrazione si pua far assumere al teorema di Brouwer generalizzato del n.4 (teorema III). ProeediarnD per assurdo e limitiamoci al caso della Fig.2, nella qual e e supposto A t 2 ( A) ';'0, rinviando per 10 studio lIllilnuto di tutti i casi a
[91 ' ~ 5:
ttl')
eon
F1'1 • .2 Sia Q la prili1a intersezlone, a partire da t 2 (P) dl t 2 ( A. ; t (Q) dovra apf"lrtenere sia a t 3 (A ) che a t ( it );
sia inoltre a
1'31'00
di estremi P,Q.
24
AJ
G.Scorzo. Dragoni
- 7 -
r
Diciamo G la bicella di contorno g = s + t( ~ ) + r, dove t 2 (P}Q di t 2 (/I.),s l'arco Qt(p) di it , Se e 10. bieella di eontorno =t(g)=t(s)+t 2 ( A )+t(r),
e l'arco
r
'0
avremo Nel caso della Fig.2, nella quale si suppone ehe i punti di a - Q siano tutti all' esterno di
r = t(G)
sono
r,
si vede subi to ehe G e
nelle eondizioni del teorema III, rispetto alla
t. Dovrebbe pereio esistere almena un p=t(p), contro la proprieta 2) delle t,p.g. Se i punti di a - Q r'ossero interni a invece un punta 1mi to per la t
-1
r
si troverebbe
•
6. Esistenza degli archi di traslazi?ne contenenti un punto o.ssegnato. Considerazioni dello stesso tipo di quelle svolte nel n. precede (cfr.
[9J
Teorema 2. Se
A
,n,22) permettono di dimostrare i l
e una
c.urva semplic;c ..§...JllJ\!rta di
es~remi
P e
t(P) e se
It.. •t( It. ) CP +
i\. t ( A )oot (p),
~
t(P)+t 2 (P)
:'ti:-f&~ci che /I.
Vale a dire, ogni punyo P
e un
e origine
area di traslazione.
di quanti si vogliono
archi di traslo.zione; non solo, infatti vale il Teorema punto P
3.
(cfr. ~J ,teorcoa7;
e interno
a
9ua.Q~..L
[4J
,teorema
3; [5J
,pag.62) Ogni
si.J[Q;r,l:i,g}l.Q..._a..r.chi di traslazione.
Infatti, essendo p I t (p), un cerchio C ~ di cent.ro P e raggio ~ non ineontra t (C~ se
e abbastanza
t(~ se ~
tale che
C~
cr /
~
\
piccolo, incontm
grandc • .2er continui ta esiste un
e la bicella
~'--""""
(
e aiJbastanza
\A
f~
"
FIG.3
25
G.Scorza Dragoni
- 8 -
t(C~)
hanno in comune solo pinti dei contmrni. Sia A uno di ta-
li punti. (Fig.3). Una qualunque curva sempliee e aperta
A
estremi t- 1(A),A, passante per P e interna, salvo gli estremi,
a C~
di
e un
area di traslazione, a norma del teor.ama 2. Di qui e da;!. teorema 1 segue anche, subito, che: P ~ tn(P)
(n=o,± 1 ,±2' , ... )
7. Il teorema fondamentale di Brouwer sulle traiettorie. Vale i l seguente Teorema 4 (cfr. [2J ,teorema
6; [9]
,~6). La curva sem'Olice e aper-
ta c incontra la propria immagine t(c) se l'arco staccato
~~
I,yremi di c su una conveniente traiettoria della t contiene almeno un area di traslazione della t e costituisce
__qQn
insie~e
c una curva semplice e chiusa. Rinviamo a
[9J ' ~ 6 per la
come quella del teorema
1
e baseta,
dimostrazione, che
sull'impiego del teorema di
Bro~~
generalizzato (teorema III).
8. Equivalenza topologiea fra traiettorie e rette. a) il teorema seguente stabilisee che ogni traiet'Goria di una t.p.g.
~
topologicamente equivalente ad una retta; vale a
dire esiate una trasformazione topologica che muta una traiettoria in una retta. 8i dira anche ehe una traiettoria semplice aperta. Teorema
5 (efr. (2J
traiettoria " ed s
teorema 2;
e un
[1g ,n.3)
e una
linea
Se J? appartiene ad una
sottoarco (fini to)
d'
che
fit
P nell' interno, allora la d1stanza di P da 6' -s
.e
cont:i,,~.M
P,? si tiva,
Altrimenti detto: Deserivendo una traiettoria in uno dei due versi a part ire da un suo punto P qualunque non 61 si pua avvicinare indefinitamonte ,U.
La dimostrazione si PUQ dedurre in modo semplice daL
26
G.Seorza Dragoni
- 9 -
teorema 4 (cfr. ad es.
B~ ,nI3) ~oJ ,li.5) i l
b) Dal teorema 5 si deduce (Cir.
Teorema 6. (efr. ~J ,t("orema 7; [4J ;teorema 3). Qualungue sia -1 2 -2 11 punto P del..1!.iano la suce~_fLsione P,t(p),t (p), t (p},t (P}, •• diverge. I
.
P,t(p), t
punt~
-1
(p)" •• sono a
~ue
a due distinti (n.6),
pereio se la suecessione non fosse divergente ammetterebbe almeno un punta di aecumulazione A. Costruiamo) analogamente a quanta si
e fatto
nella
dimostr~
zione del teorema 3, un aerohio C di centro A, avente in comune con t(C) sol tanto punti del eontorno e sia t(R) uno di questi punti. In C esiste almeno un tn(P). La spezzata Rtn(P)At(R)
e un
area di traslazione i1 quale genera una traiettoria e:t'!e contiene tutte le immagini. di P nelle diverse potenze di t e ehe dIal trog de passa per A, loro punto di aecumulazione. Cio contro i l teorema 5.
f
14. 4-
c) segue subito dal teorema 6 il
f? ]
Teorem?-......1 (
1
teorema 3; &J ' teorema 10) .§.£ dei due insiemi
A. e un
areo di
traslazioneuia~euno
"'"
Q""
e illimitato. Ogni
= ••• +t
-2, -1 '\ (" )+t (1\);
Ossis,
tra~.£~toria
~plic~rte (=
e divisa
tia ogni suo punto in due semiU-
immagini topo1ogiche di seillirette)
be iilllimitate.
27
~
G.Scorza Dragoni
- 10 -
9. Un es.empio di t. p. g. Un esempio assai istruttivo di
e il
zione ordinaria.
t~p.g.
che
~
seguente, dovuto a Terasaka
e una
trasla-
fi}
Si consideri 1a trasformazione piana (x,y,x',y' coordinate cartesiane) definita da da
Xl Xl
=X+
yl
1,
=Y
se
=Y+
x + cos y, yl
Y ~ 1&
sen y
se
O~y~1t"
x + 1, y' = y se Y~ 0 Questa trasformazione gode delle pro prieta 1),2),3) con cui si da
Xl
definita una t.p.g.
o
"Y <1C'.
e una
Essa
no dei dues emipiani y
~
0, y
e
tras1azione ordinaria in ciascuma llQ.ll nella striscia
~ 1{,
Basta per questa osservare ad es. che preso un segmento 8 di estremi A su y=O, B su y= 1L • la suceess10ne A,tlA),t 2 (A), •••
a
-Q)
2
T
+00 sulla retta y=O, la successione E,t(i),t (B), ••• tende Bulla retta y =11:. Quindi tuttI? le tn(s) tagliano s.
tende a
Invece in una traslazione ordinaria t, se X
e un
qualunque
ineieme ilimitato) esiste in corrispondenza un n tale che tp(X).X=O per\p \ > n.
e
~
,AA..
F"I~.
5
e anzi caratteristica edt [2] ; [6J ).
Questa proprieta
delle traslazioni ordina-
rie (efr. ad Per altre considerazioni in quest'ordine di proprieta caratteristiche si vegga
[20] , [8J '
10. Gli insiemi
I ~'
I~
b91 .
._ Loro
proprieta.
Indicheremo con Ii Leon If] punti di accumulazione (a1
HILi
l'insieme costituito dai
to) della semi traiettoria 6"~ [~]
28
G.Scorza Dragoni
- 11 -
che non appartengano ad essa. Si ha I~ .6"'= \.6'=0, ma puo darsi addirittura che Ii,I f siano essi stessi vuoti. Cio accade ad es., nella t dell' esan.pio precedente, per l'insieme Ii della traiettoria generata dall'arco di traslazione (spezzata) OVU, se O:'(0,0),V~(O,\I;;/4),U::(1,0). Comunque vale il Teorema 8 (cfr. I . .J.."
-~-J.
[2J
,teorema
4;
cfr. anche
[10
,n.8) L'insieme
e vuoto. Infatti sia Q un punta di Ii' If" Qualunque sis ) 0 nel
cerchio C! di centro Q possiamo trovarc sempre punti di ~ punti di
Q~
e
distinti da Q. Congiungiamo uno dei primi,A, con
uno ae1 secondi,B; mediante un segmento
Cj
llsrco AB di bcontie-
ne almena un arco di traslazione e si puo fare in modo che esso abbia soltanto gli estremi su c. Quindi (teorema 4) e c.t(c)lo. D'altronde se b e sufficientemente piccolo i l cerchio Cf
e li-
bero nella t, doe non incontra la propria immagine, da cui l'assurdo.
9
[2] ; EO]in.8)
Teorema (cfr. Infatti 0 I.
~
M'inilieme I:i,[I~ e chi1).50. e vuoto (e quindi chiuso) oppure un eventuale
punto di accumlilazione per Ii e di accumulQzione per puo appartenere a
~.l,
[21 ;
st
e non
(Teorema 5).
Teorema 10. (cfr. Go] ,no 8) L' insieme I~ non e nemmeno limitato.
[I~ se non
e vuoto
Sia per assurdo Ii limitato, non vuoto, e sia C un cerchio che
l~
contiene. Siano poi C' e CIt due cerchi distinti concentrici
aCe eontenenti C nell'interno, J la corona circolare individuata da C' e C".
c' Fla. 6"
29
G.Scorza Dragoni
- 12 -
Poiche C
racchi1~de 1.
1.
mentre (;'1/ non e limitata (teorema 7),
1a corona J contiene infiniti archi s1,s2, ••• di aventi ciascuno un estremo su C' ed
U..1'10
sil
CII.
6'~
disgiunti e
3u ciascuno di
questi archi si puo scegliere un punto interne e si ottiene cosl una successione 01 ,Q2""
di pUc'1ti distinti a due a due.
Se Q e uno dei punti di accumulazione dei Q1,Q2""
esso e in J,
quindi esterno a C. D'altronde esso non appartiene a 6 (teorema j
5) e quindi appartiene ad Ii'
Teorema 11. (cfr[2] ; ~9 ,n.8) L'insieme Ii [If} se e perfetto.
'" non e v1l,.oto
Sia infatti P un suo punto, cfun cerchio di centro P e raggio
~
arbitrario. Detti C' e cn due cerchi di centro P con-
tenuti in
C~
e distinti con ragionamento ana1ogo a quello ora
fatto si vede che nella corona cireolare individuata da Ct e C" cade almeno un punto di Ii' Aneora con 10 stesso tipo di ragionamento"
imperniato sul
teorema 5, 8i prova i1
[2J
Teorema 12. (eir. ;f~ ,n.8) Se Ii [IJ non e vuoto esso e un continuo, nel senso che esso non si puo scomporre nella somma di due insiemi chiusi entrambi non vuoti, privi di punti comuni e di cui uno (almeno)
lim~tat~.
11. Campi adiacenti ad una traiettoria. L'insieme I uno
0
=
Ii + If
piu campi (campo
e chiuso,
eppero divide i1 piano in
insieme aperto e eonnesso),
La traiettoria 6' non incontra I (teorema 5) quindi deve appartenere tutta ad uno solo di questi campi; sia esso F, 3i puo provare (efr. [2J ,pag. 46; ~ G' divide F in due a1tri campi '"
quali ~
e linea
QoJ
'--i ~
di frontiera.
30
,n.9) che la traiet~ per ciaacuno dei
2-
G.Scorza Dragoni
.- 13 -
.lL§.
Ciascuno dei due eampi ~ , ~ si dira un ca~po adiacen1. -i
6' •
Si vede anche (efr.00J ,n.9) che ogni punto R di pub congiungere con...2E:~t_p.2lnto_S di curva semplice e
L,.{o ...
aper~~R£?rtenente
6'
2:2. ) mediante_
di
tutta, salvo
.§.L
una
R,~ ~~ (~
~ ). ~
La definizione di campi adiaccnti ad una data traiettoria
si pub rend ere indipondente dagli insiemi Ii,I f mediante i1 seguente ~
Teorema 13 (cfr. [1 ~ ). Quei punti del piano che non appartengono ad una certa t.raiettoFia mediante una
curv~
~ _~che _possono
essere uni ti a
f)
semplice e anerta avente su G( sol tanto un
estremo, s1 distri buiscono nei due c_ampi adiacenti
Ii ' L.:l,
~a!!
rendolL 12. Campi di traslazione"
Abbiamo g1a introdotto la donominazione di linea (semilinea) semplice aperta per indieare l'immagine topologica, nel piano, di una retta (somiretta). Una linea (0 semilinea) somplice aperta pub chiusa nel piano se
.e +
e chiusa
nQQ
essere
la diremo propria.
Un insieme aperto del piano, la cui frontiera sia la somma t(.f,) di una linea semplico aporta
..e
propria e libera nel-
1.!Lt e della immagine t ( { ) lii quest a si dic e un campo di traslazione. Se C
e un
f+
campo di traslazione di frontiera t (t) anehe 2 l' insieme ehe ha per frontiera t )+ t (~ ) e un campo di traslazione e cosl pura gli insiemi aventi per frontiera t 2 ( ~ ... t 3(
t), eec.e t- 1 (..e)
d
+-L
Un campo di traslazione
,+
t-2(~) + t- 1 (.e) oee. 0
tutti quelli IItraslatill riempio-
no, insieme con Ie loro frontiere, una certa ragiona F; se questa coincide con l'intero piano allora la t valente ad una traslazione ore LYlaria,
31
e topologieamente
equi-
G.Scorza Dragoni
- 14 -
Non vale pcro il vicGvGrsa.
Si consideri infatti la tra-
slazione ordinaria t: x' = x + 1, y' = y
e si considerino i campi di traslazione generati dalla semi-iperbole y
(cha evidentemente Libera nella t). y
= 1/x,
e una
x>O
sem-ilinea ·semplice, aperta, ];lropria e
Tali campi riempiono solamente i1 semi];liano
>O.
13. Esistenza di campi di traslazione.
..
L' esistenza di campi di tras1az,ione in una assegnata t.;.·.• g.
e
assicurata dal seguente teorema di Brouwer
(2J .
Teorema 14. Data una t.p.g. t, ogni Eunto P del piano appartiena a quanti si vogliono campi di trasl[lzione della t. Questo teorema puo dedursi molto semplicemente dll seguen te Lemma. (cfr. [2~ ). Se /I.., traiettoria
Go ' s::.D
e un
a.rco di trasla~ione di, 11l1a cert!
uno dei due campi adiacenti a ~ , esiste
un punto R, interno a tQ che
e o~ine
di una semilinea semp1i-
ce e aperta g, propria e libera nella t, tutta contenuta in
Z.•.
La deduzione del tcorema di Brouwer da questo lemma si fa come segue,
Per i1 punto P si fa passare un arco di tras1azione Ilo cha contenga P ncll'interno (tcorema 3), si costruisce la corrispondente traiettoria
LeL. fJ "
~
e si considerano i due campi adiacenti
~ j e(Po)
t(g')
32
G.Scorza Dragoni
- 15 -
Su Aoosiste il punta R del
lo~na,
di una certa semi-
or~g~ne
linea g, propria, libera nella t; contenuta in esiste pure su
A un punta R' (sempro per
2:0 (salvo
R);
i l lemma) origine di
r J una certa somilinea gl propria, libera in t, contenuto in l- (1 D
(salvo R'). La curva g + area RR' di A..:) + g I
~
aperta
Se
t::
linea semplice
g +~, + gi non passa per P (come accade in Fig.7)
essa insieme alla t( t- 1 (
e una
, propria elibera.
t ) e frontiera
t )
(come in Fig.7) oppure insieme alla
di un campo di traslazione cui appartiene
P. Se ~ passa per P basta modificarla nell'intorno di P in modo da ottenere una nuova linea semplice aperta propria e libera, non contenente P e giungere ugualmente alla conclusione. Per la dimostrazione completa del
le~na,
alquanto delica-
ta, rinviamo al recente lavoro [20J (n. 3): qui ci limi tiamo ad un cenno schematico. Anzitutto occorre provare che data un arco ~ di trasla\)
zione (che ridurremo ad una spezzata) si pub effettuare una suddivisione K del piano in triangoli (una
su~divisione
simpli-
ciale) che abbia le seguenti proprieta: 1) P, origine di
e
It o
t(1') siano vertici di K; 2) ogni lato di K a giaccia per intero su
1\. 0
abbia su
X
al pili un estremo sol tanto, di guisa che
0
i1 cmmplesso dei lati e dei vertici di K subordini su
A una
divisione simpliciale k o; 3) ogni stella di K (stella
sud-
so~a
dei triango1i di K aventi un dato vertice) sia lib era nella t. Accettata l'esistenza di K ogni lata di K posto su
Ao (os-
aia ogni segmento di k o ) e lato di due triangoli di K, uno rivol to, rispetto a A dalla stossa banda di ~ , l'altro dalla I
~
stessa banda di ~ •
..
•
Consideriamo solo i primi, i quali si pos-
sonG ordinare percorrendo
A in
un certo ordine e trasportando
()
ai triangoli l'ordine in cui si incontrano i rispettivi lati di adiacenza.
33
G.Scorza Dragoni
- 16 -
I triangoli di K adiacenti a l\ e rivolti verso
£" sonG
almeno tre; il passe successivo consiste nel far vedere che almeno uno, AoBoC o , e eccezionale, ossia che almeno uno non incontra t ( "Ao ) ne t -1 ( ~ J ), e (quindi) e contenuto in + i\ v....
>-
~
Ammesso questo la spezzata PAo+AoCo+CoBo+Bo t(p) areo di traslazione ,
Ai '
e un
su cui K subordina una sUddivisione
k 1•
A part ire da Ai si puo operare sempre mediante la stessa suddivisione K del piano in modo da ottenere un nuovo triangolo eccezionale A1B1C1 , rivolto, rispetto a ~i' verso quel campo adiacente alIa traiettoria S;, generata da ~i che non contiene punti di AoBoCoi si ha cosl un nuovo arco di traslazione A~ e cosl di seguito. Si riconosee che i triangoli AoBoCo,A1B1C1,A2B2C2"" non sol tanto sonG liberi, ma ciascuno di essi non incontra nemmeno Ie immagini degli altri e quindi il complesso goli, dei loro lati e dei loro vertici
K~
e~
di questi tri8B
nella t.
Quindi si fa vedere che da K* si puo estrarre una successio ne di triangoli ABC ,A B C ,A B C , ••• tale che il mo mo m9 m, m1 m1 m2 m2 m2 primo abbia un lato comune con il secondo, il secondo col terzo e cosl via, e tale ebe ABC abbia almeno un lato, ad es. mo mo mo
Ao •
il baricentro di A B , U (p=O,1,2, ••• ) quelmo mo mo ~+1 10 del lato comune ad A B a e d A Bm- aIDv quello m m mp ffip+1 --p+1 y+11 m diA B a p p p ffipm m' 0 La ~emi~inea ~= U V + V U + U V + •.• ha l'orimo mo mo m1 m1 m1 ~ gine U interna a ed e contenuta, salvo U , in L. • Essa mo.. mo 0 e libera perche tale e i l complesse E*ed e semplice perche i U
A,
triangoli A privi di
B
a
P~i ~te~Ei
sono a duo a due distinti e a due a due comuni.
D'altronde gli AID- B a y mp mp
34
non possono stare tutti in una
G.Scorza Dragoni
- 17 -
regione limitata poiche appartengono tutti ad una stesse. suddivisione simpliciale K del piano, quindi {
e anche propria e
aOddiafa percio tutti i requisiti enunciati nel lemma.
14. L'ultimo teorema geometrieo di Poincare. E' nato come eeguente:~eorema (~
'ultimo teoreme. geometrico di Doincare" i l ) Sia f una trasformazione topologica di
una
corona circolare K, 9.i cqntorni C',C", £,i centro 0, le. quale: a) eia priva di punti unitt (p -I t(p)Jj b) muti in se ciascuna delle circonferenze C',C"; c) moti C' e
cn
in verei contrari.
Allora esiate in K almeno una curve. aemplice e chiuaa k circondante 0 tale che f(k) e interna a k oppure eaterna e. k. La dimoetrazione del teorema si puo coneeguire facendo ricorso ai risultati ed ai metodi della teoria delle t.p.g. Per 1 dettagli di una tale dimostrazione rinviamo ai lavori (22J ' [2~ limi tandoci qui a mostrare le. connessione can le. teoria delle t.p.g. gia osservata e utilizzata da v.Kerekjarto. Tale connessione appare evidente quanso si facciano le eeguenti cons1derazioni. La f(P) 8i traduce evidentemente in una trasformazione g(p) topologica, periodica d1 periodo 21t , d1 una
strisci~
del
tipo -oo':::x<+oo, O~y!f1 La g (p) si puo est end ere ai semipiani y > 1
ed y..::. 0
imponendole di conaervare le ordinate e di mutare punti dello steeso semipiano e con aseisse uguali in punti di guali ascisse. 8i ottiene in tal modo un automeomorfismo t del piano che e privo di punti uniti (per l'ipotesi a) del teorema) e cha ('* ) Jl.FOincare, Rend. del Cire.Mat.di Palermo, 33 (1912),
375-407;
35
- 18 -
G.Scorza Dragoni
conserva il senso delle rotazioni. La t
e percia
una t.P.g. e in virtu del teorama 14 di
Brouwer possiamo trovare quanti si vogliono oampi di traslazione. La teai del teorema di Poincare 8i traduce qui nell'affermazione che tra guesti campi na asiste almeno uno periodico ~x (di periodo 2 1t: ). La dimostrazione (notevolmente piu lunga e delicata) puo easer condotta seguendo l'idea fondamentale ehe governa quella del teorema di traalazione.
---...
~----
BIB L I 0 G R A F I A -
L. E. J. Brouwer, Math.Ann., 71 (1912), 97-115;
"
"
"
"
72 (1912), 37.. 54;
-
B.v.Kerekjart6,Acta Litterarum ae Sci.Regiae Univ.Hung.
-
Francisco Joseph., 4 (1928), 86-102; E.Sperner, Abhandlungen aus dem Math,Seminar d.Hamburg. Univ., 10 (1934), 1-47; oppure: Hamburger Math. Einzelschriften, Teubner, Leipzig (1933);
f!5] -
H. Terasaka, Jap. Jour. of Math., 7 (1930), 61-9;
f?] -
B.v. Kerekjart&, Acta Litter.ece., 6 (1934);226-234;
I1J" [i3]
~]
-
~U
-
riO] 62] -
r3] -
"""
6 (1934);235-242; " " "!1 n 7 (1934); 65.. 75; 76-84; G.Scorza Dragoni, Ann. di 14a.t., (4) 25 (1946), 43-65; S~Ghezzo, Rend.Seminario 14at.Univ. Padova, 16 (1947),1-15;
G.Trevisan, Rend. Acc. Naz.1ineei,(8) 3 (1947),199-203; M.Dolcher, Rend. Sam. Mat. Univ. Paro va, 17 (1948) ,97-101; M.Volpato, Ann.di 14at~,(4) 27 (1948), 101-105;
36
G.Scorza Dragoni
- 19 -
61 .. E~
..
E.Magene.!!, Rend.Sem.14at.Univ.Padova,18 (1949), 68-114; G.Trevisan, Giorn. d1 l1atem. di Battaglini, (4)79 (1949/50), 127-131;
~~
.. A.Toso, Rend.Sem.I.1at.Univ. Padova, 20 (1991), 224-231;
~7)
T.Homma, H.Terasaka, Osaka Math.Jour.,5 (1953), 233-266;
raJ
-
T.Homma, S.Kinoshita,
~9J
-
H.Tera8aka, Pree. Japan.
@~ ~1J
-
G.Scorza Dragoni, Ann. di Mat. (4) 39 (1955), 1-10;
"
" Ac~d.,
H
6 (1954), 135-143;
30 (1954), 80-4;
"
"
Sulla teoria della dimensione, Conferen-
"
n
Sulle traslazioni piane generalizzate, in corso di etampa aulle "Abhandlungen" di Amburgo;
"
Una dimoetrazione dell'ultimo teorema di Poincare, in coreo di etampa pre sao
•
za in corso di stampa au "Le l,latematiche" di Catania;
i Rendiconti Seminario Matematico Universi ta di Padova.
37
E. S PER N E R ===============;=
1. GENERALIZZAZIONI DEL TIDREMA Dr BROUWER
SVL PUNTO UNITO.
l.. IIi PROBLEMA DEI COLORI SULLE §UPERFICIE CHIUSE.
ROM! • Istituto Matematico dell'Universita
39
E. Sperner
I.
GENERALIZZAzrONI DEL 'tl}]gH.FJl!1~LDI BROUWER SUL PUNTO
UNITO.
~~_QAZI(])NI.
Nelle prime di queste conferenze mi propongo di esporre alcune estensioni del teorema di Brouwer sul punta unito, dedicando qualche cenno anche ad applicazioni alIa teoria delle equazioni differenziali ed a quella dei giochi. 1. Preliminari 1i topologia comblmatoria. Incominciamo col fissare la terminologia che useremo. Partiamo da un insieme finito 11 di elementi, che saranno detti "punti" o"vertici" e che verraIL.'1O designati coi simboli 1,2, ••• ,z. Inoltre fissiamo una volta per tutte, peraltro ad arbitrio, il numero naturale n. Ogni sottoinsieme S
Q
1Il, costituito da n+1 punti (di 11'1)
e una
a due a due distinti,
1'
n-cellula elementare
0,
semplice-
mente, una cellula: S = { io! i l , ... , in i~!M, ij"/ ir per ~ Se n~, Ie faccie d'una n-cellula elementare, S, son
rr .
Ie (n-1)-oellule elementari che 8i presentano come suoi sotto-
in}
insiemi; se S = \i o ' il'.'o~ denoteremo con sk la faccia che si ottiene da S sopprimendo il punta i k ,
l
sk= i o '··· ,ik _1 , ik"f-l p • • ,in} " D1iJ.e cellule 81 ed 8 2 son adiacenti, in simboli Sl~ S2' se hanno almeno una faccia in comune. Un complesso (sopra M) K = ( Sl,S2, ••• ,St)
e un
insieme, K, di n-cellule:
~el]uh~ S ed S', di Te, e si scrivera S",S',
(con Si G M). E due
K si diranno congiunte
0 .9.9~~E!te.nat.e
in
se esiste una catena (catena congiungente) di celIe Sl,S2 ••• ,Sk di K siffatte, da aversi
S~Si~,S2~
••• ~S~S'.
Se per ogni
coppia S ed S' di cellule del complesso K sussite la S,vS',
e ~~. K e reg~~a~ se
il complesso K stesso Il complesso
celIe appartengono a una
0
Ie faccie delle sue singole
due cellule di K al piu. Ed il ££g-
torno di un complesso regolare K
41
e costituito
da quelle faccie
- 2 -
~ 1.
E. Sperner
delle cellule di K che non appartengono a due cellule di K. Una cellula S coi vertici i ,il, ••• ,i s1 dice orientao n ~ ta (e la cellula orientata si denotera col simbolo S), se e
-
fissato un ordinamento
~
dei suoi vertici: 5 = -+ (i o ,il, ••• ,i ). Due cellule orientate ed adiacenti 5 = n., (i ,il, ••• ,i ) ed 5' = (k ,kl, ••• ,k ) son ugualmente orientao n... --t 0 n te, in simboli S.a! S', se' (ko'~"" ,kn ) e una permutazione pari rispetto alIa permutazione (i ,il, ••• ,i ) oppure se suso n sistono le uguaglianze i o= k0 , i l = ---:L ~, ••• , i n-2= kn-~,i n-l=kn~ i f k l' Due celle orientate e concatenate in K, ed t~, n
definitiv~
n-
son ugualmente
orienta~,
e si scrivera
"'i
~
sets',
se per una op-
portuna catena congiungente Sl,S2, ••• ,Sk risulta S1l51~52~ ~ S' • •.• ~s - k-
La relazione espressa dalla
S~S'
e riflessiva,
simmetri-
ca e transitiva. Essa pertanto 6i puo interpretare come una
rel~
zione di esuivalenza e conscnte di suddividere le. totalita delle celle orientate di K in classi di equivalenza e se K nesso, precisamente, com'e ovvio, in
~ 0 ~
e con-
classi di equi-
valenza. Nel primo caso il complesso K 8i chiama non orientebile e nel secondo orientabile. In altri termini: se i l complesso K
e orientabile,
le celIe orientate di K si distribuiscono in
due classi (entrambe non vuote), le celle di ciascuna classe essendo ugualmente orientate fra di lore e non essendolo rispetto a quelle dell'altra. Se il complesso K e orientabile, le due cellule orientate che si possono ottenere dalle singole cellule di K appartengono una ad una e l'altra
di
~11'altra
quelle due tali classi; e per fissare un orientamento di K basta designare una di quelle due classi come la classe positiva, denotando le sue cellule con un simbolo quale
111 = +1,
di gui-
sa che l'altra sara la classe negativa, ed avra le sue cellule denotate con un simbolo quille
111
= -1.
Definiamo adeBSO lUla suddivisione baricentrica,
42
K-,
del
- 3 -
~ i
E. Sperner
complesso K nel modo seguente. Le cellule di K siano in numero eli t, e siano predsamente le cellule
Sl;S2",,~St'
Hi amplii
M aggiungendogli t nuovi punti z+l, z+2, ••• ,z+t e si denoti con 1~" llinsieme ampliato. Indi a ogni singola cellula
S~
::: {io,i l , ... ,in) di K si facciano corrispondere le n+l cellule
(1)
S~r
(2)
t
=
i o , .. .,i)4-1'
formate con punti di ~l*.
M*)
n
z+~,
1
(rO,
]a+l'''' ,in
complesso K~
e il
1, ... ,n)
complesso (soprE
costituit® da tutte queste cellule Sv,:
t D S~,
K'if
Svl"" ,S"n
V~o
Allora: ~.
tale
Se i1 complesso K
e anehe
e regolare,
eonnesso cd orientabilc,
il eomplesso K~.
Dimostrazione. La regolari ta. e la connassionc di Kl( sono banalL Per quello eha riguarda liorientabilita, basta dimostrare CIle da -of
~
S""
"}j.
S~'/
segue ~
S~ ~
-+ S Vi
e banale,
E, nel fat to, questa
se
V =~'
presenta questa eircostanza, possiamo
= (io,il···,in_l,a)
~
S~r
t~1
r
Allora, se
V :; V'
e if
I:::
a ~
f
= ir,l.
So non si
- si 9.
R.mlT'E'~:t~: ~
,
(iO,i1, ••• ,b,i n _1 ),
(a
T b).
i/",I' possiamo porre i n _1 ='3+ V , i
r : : b/
(i , ... ,i 2' b,a). Se" f-.yl deve esseif': aj eioe S~ ::: S'Il' o n--4 1 re z + ~ = a, z + ~I = b; di ehe risulta S"v = (i,l, o· _ , ... ,i n-1,8 ) -t e S0' (io,il, ... b',in _1 ) con a' b', In definitiva risul ta
f
43
- 4 -
~1
E. Sperner
....
Sv
~
st
S.)I, in ogni caso; q. c. d.
11 ragionamento svolto prova ino1tre che, se le cellule
(1) can
15~ I::: t:: ±i
porgono un orientamento di K, per ot-
tenere un orientamento di K It basta porre per 1e cellule (2):
\~~r-I~f
2. Dl ora in poi K sara un complcsso sopra M, regolare, conn08so cd orientabi10. La funzione ~(i) sia dofinita per ogni punta if M e faccia
°
i
corrispondere a1 vertice i un intero (i), con S ~ (i) ~ n. Utilizziamo ora questa "funzione dei vertici II Lf (i), per associare ad ogni cellula S di K un "peso", peS), nel modo che seguira•. ~
Fissata un1orientazione di K od ammesso che sia S
1-; I = [::-1= i
(i o ,i1 , ••• ,in) con
p(S)=O, so
[~
(i o )'
i [If
i
,poniamo
(i 1 ),···,
1 (in)]
p(s)=+f , se [
(i o )'
~ (11 ) " " , ~ (in~
p(S)=-~,
(i o )'
f
se
(i 1 ),···,
non e una permutazione di [O,l, ••• ,n] ,
e una prrmutazion.e pari di O,l, •••
,n] ,
'f (i n )1
e una perFutazione dispari di Lo,l, ••• ,n] ;
e poniamo quindi
Definiamo parimenti un peso pes) per ogni faccia s del contorno R di K nel
t
s('guen'"~ ;nodo ~
can = (i o ,i1 , ••• ,in) ed poniamo pes) = 0, se p(a~
=+f, so
pes)
=-[,
se
r~
(i1 ),· ..
/11
=c.
'f
(i 11_ )1
ff (i1 ) , ••• , ~ (in)] [1 (i1 )·· ••• \f (in)} 44
ammosso che sia s C S ( K, ed s
=
non
t
i 1 ,i 2 ,···
e una
,in~
,
;rrmutazione di ,
[1,2, .. ,n
e una
pormutazione pari di ' e.unapormutaziono dispari dl. 1 , 2 , ••• , n1 ;
~,2, ••• ,nl
- 5-
~
E. Sperna'
i
e poniamo poi anche (R) =
p
Dalla definizione segue senz altro pes) = pes) ,
f
nel caso particolare che sia (i o ) = O. Ebbene, noi dimostreremo ora J.l Teorema 1. Nelle ipotesi dichiarate, risulta p(K) = peR). Dimostreremo i1 teorema facendo ricorso alla suddivisione baricentrica K* di K. Poniamo ~ uguale a zero nei nuovi punti
f
z+i di K*, (z+i)~O. Secondo il lemma 1 la funzione p e definita anche per K~' e p~r il contorno di Allora dalla
R
R* K* .
* = R segue subito
peR) = p(R*) • Proviruuo ora che sussiste la
(5)
p (K) = p (l{ltJ
dimostrando cha risulta (6 )
11
~
p (S \l )
ed allo scopo, calcoliamo (1)
0
r.=O J.l valore
( Y=
P(S"V1ol J
1,2 •••• ,t);
di p per Ie due cellule
(2).
n valore p(s.;,.,..) pub essere diverse da zero, soltanto
se
f (i~)
assume tutti i valori 1,2, ••• , n
i valori 0,1, ••• ,n diversi da p(S~
r ) f 0, son
~
(if)
°
pereorrc
Ammesso ehe questa aecada e
"pes~nili dUe) casi: 11 numero
le a zero; i l numero
f
1'"
qUando~
e diverse
'P (:,.....)
e ugua-
q.a zero. Nel primo ca-
so, atteso cho (z+V) = risulta P(Si) = p(S~r)' mantre p(SV ~ ) e uguale a zero per ~ f ; sieche, in questo primo caso, la (6) e sOddisfatta. Nel secondo caso, e intanto p(Sy)=O,
r
inoltre esiste pracisamento un indice .\' r
. +~
per il quale risul-
r) f (ir' ); sicche nol easo attuale si trova
ti ~ (i
=
45
- 6 -
§ -1
E. Spomer
p(S~r )=-p(S ~fX) e di nuovo 1a (65. Se i valori di
pes
f
~~ )=0 per~
(iJ ), per ~
4
r
fe pore 8i trova
=0,1, ••• ,n son tutti diver-
si da un certo intero k] 0 (e k non superiore ad n), nella (6) son nuJ.li tanto p{S~ ) quanto gli addendi peS ~}J;)' E la (6)
e
soddisfatta in ogni caso. Adesso dimostriamo finalmonto cho risulta
Allo scopo considoriamo la cellula -+
S~JA =(io,···,i f
(8)
-i' z+V ,i~ +1'··"
e la sua faccia s = (io,···,i
r
in)
-1, i ~ 41'··· ,in)·
Se questa faccia appartieno non soltanto alla cellula
(8), ma anche alla cellula oM
s~'r
(9)
= (i o ,···,l
diversa dalla (8), risulta = -peS ~IY'
);
_1~z+~I,
t
sv~t&t
i,..
s~,~.o
+1""1 in)'
percie p(S'ip,)
e questi due valori si distruggono nella somma
2:
(10)
~
peS
~""
€ K"
) = p(KK).
I
Indi, per calcOlR.:if p (K*) tramite la (10), basta estendere la somma a primo membro della
(10) a quelle cellule
sv~
,
che hanno una faccia sul contorno R'II- d1 K¥ (e s1 noti che S Vf- puc avere al piu una faccia su quel: contorno) I attesa la ~ (z+
V ) ::
0 J sussiste la
0) qua :
pes)
Ma allora,
= pes YfA );
da cui la (7)? mediante una facile som.m8.zione. Il confronto delle (4), (5) e (7) porge senz1altro la dimostraziono del teorema. Come risul ta della
.dimost~·:.Jz:Lon(J
che nel caso che i1 contorno
p(K)
e vuoto.
= O. 46
11 toorema 1 vale anIn questo caso
e sempro
-7-
E~
§i
Spemer
Applicheremo il teorema 1 a speciali complessi dello spazio euclid eo n-dimensionale Rn , l.
Consideriamo, in primo luogo, una suddivisione simpliciale di una n-cellula elementare, S, di Rn. Diciamo KS il comple~ so delle cellule elemenatri
c~c
compaiono in questa suddivisio-
ne eM l'insieme di tutti i loro vertici. La numerazione dei
p~
ti di M sia scelta in tal modo, che 0,1, ••• ,n siano i vertici di S; e l'orientazione positiva di Rn sia quella individuata dalla permutazione (0,1, ••• ,n). Sia si
la faccia opposta al
; di guisa che s ~ (0, ••• ~ -t ~ ~ .vertice"1l s l'involucro convesso di s..J • La funzione I
~
-t', ... ,n) e sia ~
(i) goda della
"proprieta simpliciale", 0spressa dall'essere (11)
se i appartiene alla faccia Sy • Ebbene: Teorema,1. MeUe ipotesi poste risulta P(KS) = +1, oppure p(KS) = -t, secondo che l'orientazione assunta come positiva per
le cellule di KS tiva di Rn.
e subordinata
oppur non dall'orientazione posi-
La dimostrazione procede per induzione complcta rispetto al numero n. A norma del teoreilla 1 e della proprieta simpliciale, i1 peso del complesso KS
e uguale
al peso della suddivisio-
ne simpliziale subordinata su So da KS' Ed so' interpretata come (n-1) - cellula elementare, si ritrova nelle stasse condizioni di S, specie esoddisfatta la proprieta simpliciale per so'
Indi il procedimento riprende. E per completare la dimostrazione, basta oBservare che per n=l il teorema
e suscettibile
di una
verifiea materiale immediata. Indichiamo con RS i1 contOl'110 tli 1\5" Al]orA. p(RS) vale +1 0 -1, secondo che l'orientazione della faccia s o= (1 f 2, ••• ,n) coincide 0 non quello indotto su s da una cella positiva di o
47
- 8 -
~ i
E. Sperner
Il teorema assicura in particolare cho, nelle ipotesi poste, fra le quali specialmente importante prieta simpliciale" soddisfatta dalla
~
e quella
della "pro-
, i1 numoro di quei
±1 e stata sfruttata da E. S?ER-
simplessi parziali S. di Kg per i quali risulta p(S.) 1.
1.
==
certamente ) O. Questa circostanza e NER [22aJ (1) per dimostrare l'invarianza topologica dei concetti di dimensione e di insiome aperto e connesso. Consideriamo ora nello spazio euclideo Rq (q ~ n) un tal complesso n-dimensionale K: il contorno R di K sia costituita da un certo numero di complessi contorno RS ' RS , ••• , RS ' ciascuno dei quali rappresenta il contorno un2simpless~
di
n-dimensionale S
~
, comunque simplicalmonte suddiviso, quai
complessi contorno riuscendo inoltre a due a due disgiunti. Se per K 8 data di nuovo una "funzione dei vertici"
\f
(i), la
quale soddisfaccia alla "condizione simpliciale", goda ci08 della "propricta. simpliciale", rispetto ad ogni singolo RS
r'
allora, in conformita. dol tooroma 2, risulta in ogni caso p(R~
.,.~
)
= i1
per ogni
V •
Eppero, secondo il teorema 1, otto-
mamo
Io(rI.
(12)
p(K) ==
hi
P (R
8-/
) = II
-d
dove IT rapprGsenta i l num8ro dol simplessi contorno di peso +1 e (t quollo dei simplessi contorno di peso -1. Una condiziono sufficiente a cheun RS per osempio I cosl t si
abbia peso +1 oppure -1 si ottiene,
ordi~ano
i vortici di S ~ in una tal per-
V
mutazione i o ' i 1 , ••• , in' che ridulti ~ (iv )= y per = = 0, 1, ••• ,n (a norma della condizione simpliciale comnqiono di fatto tutti quei valori!); allora risulta p(RS"ll ) = +1 ovvero
-1, secondo che le fuccia (i 1 , i 2 , ••• , in) coi vertici ordinati cosl come sta scritto, hI". 0 non 1a. propria orientazione subor-
(1) I numeri fra parentesi quadra si riforiscono alla bibliografia che si trova alle fino dol d~ttiloscritto.
48
-9-
~ i
E. Sperner dinata da un simplesso Se i l numero m = dispari, allora
di K.
positiv~
n + ()' dei
e dispari
complessi contorno RS
anche 1l' - (j" e quindi
di K
e certa~ente
e di-
verso da zero p(K), in virtu della (12). Di qui segue in particol are il: Teorema 3. Se, ferme le ipotesi poste a proposlto della formula (12), il numero m dei complessi contorno
RS~
di K
e dispari,
in K esiste almeno un n-simplesso S' con p(st):;' O.
F.
La formula (12) ed il teorema 3 son stati dimostrati da BAGEMIHL
~
4]
per un m-plesso di Rn. Secon~o Bagemihl gll
m-plessl di R si definiscono come segue: sla 5. (1=1,2, ••• ,m) l. un n-simpl~sso chiuso di Rn ed 51 la totallta dei suoi punti In-
n
terni; sia inoltre 51 c:::.S, p.:r i=2'03••• ,m ed 8i Sk = ¢ per i -4= k, i> 1, k .,,1; allora 8 1 S. e un m-plesso (2~di Rn. .
l.
In conformita della deduzione'" p1-ecedente, la formula (12) ed il teorema 3 susslstono anche per altri inslemi di punti (complessi), per esempio sussistono anche per una superficie chiusa dello R3 , dalla quale siano stati tagliatl via un certo numero di triangoli.
(2) Cioe bisogna togliere da 8, tutti i punti interni di S2' tutti quelli interni di S3"'" tutti quelli interni dl. Sm'
49
- 10 -
~ 2.
Teoremi d'esistenza per punti uriiti.
3i indichino con 00' c 1 ' 02" •• ' c n punti dello spazio euclideo n-dimensionale Rn; e cogli stessi simboli si indichino i corrispondenti vettori coordinati. II simplesso S coi vertici c. va in-teso quale involucro convesso dell'insieme dei punti l.
oil epperb
S e un
sottoinsieme compatto di Rn; S indichera la
totalita dei punti interni ad
S ed
R=
S-
S il contorno del
simplesso. Noi consideriamo una trasformazione univoca e continua t di S in S, soddisfacente cioe alIa t(S)
CS.
Una tal trasfor-
mazione naturalmente pub esser sprovvista di punti uniti (3), ma essa gode di una proprieta molto affine a quella del possesso di punti uniti. Noi affermiamo precisamente ohe: Teorema 4. Per ogni E ') 0 dato, si pub trovare un tal punta x E: S, da aversi
It(x)-xJ < t.
(4).
Per la dimostrazione utilizziamo Ie coordinate baricentriche
~ i (x) p
i=O, 1~ ••• ,n, del punta corrente x di S, 1e quali
son definite mediante Ie relazioni: ( 13)
x=
tt
. L::-O
~
• L.
l.
).. =1. l.
1...:0
si ponga finalmente, per brevita, x'=t(x). Se l'affermazione del teorema non si realizzasse, esisterebbe un tal Eo da arersi
Ix~-xl ) t.
~
0,
per ogni x E: S. Ed allora esistereb-
0) Per esempio quells trasformazion.e. che muta tutti i punti di S in un medesimo punto di R
e prjvf',
tii
pllr."i;i
nni ti in S.
(4) Con Iy-xl = Ix-yl indichiamo la distanza euclidea dei punti x ed y di Rn; in conformita di cio, Ix-y/ nel caso unidimensionale .rastituisce i l modulo della differenza dei numeri reali x ed y.
50
.. 11 E. Sperner
42
So)O (indipendente da K). che per ogni x E: S. eaista almena un. indice k, 0 <. k < n (k d1pendendo da x), be anche un tal
per il quale risulti
t
f A~ (x)=
l,X
k(x)-
'Xk(x')l~
S(I • Attesa la
A~
ch~
(x')=1, si ha allora esiste anche =0 ( (t Un tal numero posi tivo fisso c) (precisamente () = vD In),
~~
'J
che per ogni x ( S esista almeno un indice i per il quale risulti
1 i (x) > Ai (x')+
S.
_
Noi definiremo ora per ogni x ( S una funzione univoca ~
(x), a valori interi, ne1 modo seguente:
1) se x (" S,
~
(x) sia uno (comunque acel to) de~i indici i
per i quaH vale la }...1 (x) 2) se
i (. a,
~•
A. (x')+ 1
~
;
~ _(x) aia uno degli indici i siffatti, cha in
ogni intorno di :x. eaistano punt1 xeS con
i
_ A norma della definiz10ne risul ta 0 ~ x~
(x) = i.
1
(x) ~ n per ogni
S. Ino1tre s1 riconosce che la nostra funzione soddisfa al-
la condizione simpliciale (11) del faccia di caso,
1. Infattl, se s~
S opposta al vertice c~ , per ogni i A~ (x)=o, eppero anche A~ (x) < ~
stanza vicino ad
i
*V
e quindi, a forz:ori,
di guiaa che a necessariamente
~
(x)
~ a
a la
a, in ogni
se x
~S
a abba-
A~ (x) < Ay (x' )+~ (5) •
Noi introduciamo ora una auddiviaione s1mpliciale ~ di
_
6; d ind1chi qui i l massimo di8l!letro dei simplessi parziali di
~.
~
La funzione
(x) porge, per il complesso
K~
testa costrui-
to, una funzione dei vertici la quale saddiafa alla condizione simplic1ale nel senso del
~ 1.
A norma del teorema 2 in
K~
(5) Di qui segue, in particolare, t.p (0 ~ )= ~ , poiche aussiate l!! c ~ s ~ per ogni 1 ~ I ; eppero a anche (x) ~ (c y ), come vuole 1a (11).
f
i
*
51
- 12 E. Spomer esiate guindi A.lmeno un simplesso n-dimensionale,
St
per i l
quale risulta p{s) f 0, vale a dire che nei suoi vertici la funzione ~ so s
assume tutti i valori O,1,2, ••• ,n. Un tal simple~
~K~ sara detto speciale.
d
d
Consideriamo ora una successiene KS1, KS2, •••• di suddivisioni
s~plicial1
da ogni KS
i
di S con lim d. :: O. Se nei estragghiaffio \''''''O<>~
un settosimplesso speciale si' nei otteniruno
una successione di sottosimplcssi speciali s1'
s2~
s3'0"
anch~
.i
cui diametri cenvergeno a zero. In S esiste allora un punta y d'accumulazione per gli si' di
b~isa
che in ogni interno di y
esistono infiniti si' cioe, a norma della definizione di simplesso speciale e di quella della funziene ~ In ogni
int~rn~
:
di y esiste per egni indice i, 0 ( i <. n,
almeno un punto x soa&lisfacente alla In ccnseguenza di
Ai (x)
1 i (x!)+ r .
~
proprieta e della "condizione
q~esta
simpliciale" il punto y non puo appartenere a1 contorno R di S! Eppero risulta yeS ed ha senso parlare del
PlL~to
y'::t{y).
Dalla continui ta della funzione t sogue poi
Ai (y)
~
za che non
A1 (yl)+ 0
e cempatibile n
?:
(14)
i=O
e con cio il teorema 4
per tutti gli 1=0,1 '0" 1n, circestancon la n
[
1·,
i=O
e dimostrato.
6e la trasfOrmR'7,jOrl!' nni'lL::c a
conl;i~l1a
t
aat~
in S si
pub prolungare su tutto S, allora mediante un ulteriore semplice passaggio 81 limite si ottiene immediatamente che la tra sformazione ampliata t{S) possiede almeno un punto unito in
S~(6)
In partioolare questa circostanzu sussiste per una tal t che sia assegnata in partenza in tutto S, riuscendovi
contin~a,
cioe sussiste il: Teorema 5.
Ogni trasformazione univoca e continua di un
52
simple~
-13E. Sperner
~2
so n-dimensionale S in s~ possl.cde almena un punto wi to. Questo e il teorema di
Br
0 U
we r
per i1 simplesso n-dimensionale (cfr.
[7] ).
sul punta unito
L. R:, J.
_.n
~ 0 U
weI'
La sua semplice doduzione dal teorema 2 e stata in-
dicata (in una forma un po' diversa) da K n a s
t
K U rat
[
0
w ski
e !II a z u r k i w i c z
e r,
141
Il
nostro precedente teorema 4 e in tanto piu generalc del teorema 5, in quanta esso vale anche per tali trasformazioni continue t(S) C S che non si lasoino prolungare in tutto S conservando l'univocita e la continuita. Il teorema di E l' 0 U weI' sul punta unite si laseia estendere faeilmento ad insicmi compatti e convossi di Rn c 6uona allora: Teorema 6.
una
trasformaziane univoca e,continua t di un sottoinsieme X, compatto e convesso, di Rn in se ( di guisa che t(K)
~X)
possiede sempre almeno un punto unito.
Infatti, si scolga un simplosso li, che conteuga K, cd un punto fiaso xo~ c K.
Allora ogni segmento del tipo (xa x) con i~R ( = contorno di S ) ai spezza in due sottosegmenti (xOX') . K ed (x'x)c:;, Scan K (\ (x'i) = x'.
Si ponga allora
t(x)=t(x') per ogni punto x dol segmcnto (x'X), in tal guisa t si trova prolungata in tutto S, restando univoca
0
continua.
La traeformaziono t(S)C K . S possiede, secondo i l tcorema 5, almeno un punta uni to in S, i1 qURl ,!)Uy"to '":Pl''''.rti pno anche per oostruzione (t(S)~ Recentemento
Kl) all'insieme
KI
F. Bag e m i h 1
(41
ha esteso il
(6) Allo scopo basta scegliere in corrispondrJDza di una suc-
c eaaione infinite sima t l' f 2' t 3 7 • • • • una._corrispondente successione x 1 ' x2 ' x~!"" di punti di S soddisfacenti alla \x!-x.\ < E .' !il.lora, data. la cOEtinuita della t, ogni punta a'a~cumu1at~Gne delle X. e unito per la t. l.
53
... 14 -
E. Spemer teorema di
Br
0
u we r
sul punto unito
~2
al~e tras~ormazioni
univoche e continue di un m-plesso (7). Anche questo teorema 8i puo dimostrare in maniera del tutto analoga. Nel ~ 1 abbia-
mo gia incontrata la definizione di m-plesso data da Bag e m i h 1. Prccisamente: se S1' S2, ••• 8m son simplessi n-dimensionaU dello Rn, con SiC ' 81 per i .., 1 e con 31 () Sk :: ¢ per i) k)1, l'insieme chiuso
m
U
3, -
81 che s1 ottiene da 8 1 i=2 sopprimendone tutti gli 8i (i=2,3, ••• ,m) e un m-plesso n-dimeneionale. So noi indichiamo di nuovo con R1=S.-S. il contorno 1.
1.
d1 Si' sussiste i1: Teorema 7. Se m e dispari, ogni trasformazione univoca e continua t di un m-plosso M=S,per 1a quale risulti t(Ri)c.,
m
U
i=2
ni
S. dello spazio euclideo Rn, 1.
per i=1,2, ••• ,m, possiede 81-
menD un punto unito. Per la dimostrazione 'incominciamo col supporre cha Ie fa£ ce di ogni simplesso S. (i") 1) siano parallele aUe facce del 1.
eimplesso S1> Dopo di cia, utilizziamo coor,dinate baricentriche in rapporto ad S1' cosi come esse son state introdotte mediante Ie (13) (c i siano adesso i vertici di 81 ), Noi procederemo per assurdo come nella dimostrazione del teorema 4. Se la trasformazione non avesse punti uniti in M, esisterebbe siffatto, da aversi
\t(x)-x\
~ [
0
un, 0> 0
per ogni x( M. La dimOA
straz;ione pro cede poi esattemente come ne1 teorema 4 fino alIa definizione della funzione
~
(x) per tutti gli x ( M soddisfa-
centi alle condizioni la indicate. Nel caso attuale 1a funzione ~
soddisfa alla conc1izjone simpliciale in virtu della
(7) Cfr. anche: G. F e i g 1
[101
54
,in particolare ~ 71
- 15 E. Sp
8i e dell'iJX)'tre-si suJ..parallelismo delle facce" Come in quel easo noi coneludiamo, svlla base del teorema
3 stav01ta, che in una suddivisione si.Ulpli.ciale K~ di lI'L (d==maseimo diametro dei sottosimplessi della suddivisione) esiate sempre almeno un sottosimplesso IIspeciale t1 , nel senso ~he nei suoi vertici 1a funzione Col sussidio di
lIne
\[) assume tutti i valori 0, 1. 2, ••• , n.
I
d.
successione KM~
pliciali, per le quali sia lim punto
y (i M,
di tali suJdivisioni sim-
d.= 0, otteniamo di
~-jr orJ'l.
ehe
e d'aeeumulazione
plessi speciali s~
d. KM~.
llUOYO
un.
per una successl.one di sim-
Gli stessi ragionamenti usati nella
dimostrazione del teorema 4, lIlostrano al10ra ehe per le coordinate baricentriche
Ai (y)
sietono le disuguaglianze cosa che, attesa la
~/
e
A. i (y.) 'l
).. (Y)
eli y e di -:1 ' = t(y), sus-
A., (yl)+
~
per i==Ot 1, •• ,n,
° e ~IIlPossibile ~ come s1 riconosee non t
appena si ricordino Ie (14). Ed ora lasciamo aadere llipctesi aggiuntiv3, cha le facce di ciaaeun simplesso S. (i )1) siano 1'ara11ele a guelle di '1.
8 1, Allora bastera definire per un lIl-plesso lI'L qualunque una tal trasformazione topologiea 1: dello Rn su di S6, che lI'L sia traai'ormato in un certo m-plesso iii
~
n
_it
It
U
= 13 1-
S. ~ per i l qU,5l.le
i~2
'1.
S:
sia di nuovo soddisfatta la condizlone a1 parall e1 ismo delle facoe, 1a Allora
trasformg,z'~en'le
portando ogni
8i
su
(i=1 ,2, ••• ,m).
t -1 (lI'L'It) = M, e 1a trasformazione ~8) l' t "C -1 muta
M11 in una porzione dt Rn in guisa ehe sona soddisfatte tutte
lG
------(8) Il prodotto '( t "( -1 deve esser &segui to da destra verso
linistra! Poieh6 a proposi.to dolla t si 6 supposto soltanto ch'essa fosse de:flnita su lI'L t anehe t "t' -·1 e 1: t 1:. -1 debbono, esser considerate sol tanto
55
611
l\!~,
i l che basta.
- 16 -
E. Sperner
~
2
ipotesi finora utilizzate. Pertanto ealate un Xli 40 1>1"" soddisfacente alla "( t ,,-1 (x 1I)=x~ da cui per t -1 (x")=x € M aegue appunto t (x}=x, di guisa che con x" M ai e trovato 11 punto uni to r1 !h'iesto. Noi passiamo ora ad un'a1tra estensione del teorema di
B r 0 u w e r sul punta unito, nella qua1e non sono soltanto ampliati gli insiemi di pll-1ti, ma son generalizzate anche Ie traeformazioni, nel senso che si considerano trasformazioni cha ad ogni punta associano come sua immagine un insieme di Punti. Una tal generalizzazione del teorama di B r 0 u w e r e stata uUlizzata per 1a prima volta da J. v. N e u man n nella sua teoria dei giuochi. Noi seguiamo qui la esposizione
[19]
di S. K a k uta n i (13) ad H. N i k aid Il teorema in questione e il seguente:
0
l 20b1
Tegrema 8. Se K e un insieme compatto e convesso dello spazio euclideo Rn e L (x) una trasformaziona superiormente semicontinua (9) che ad ogni x ( K associa, come immagine, un sottoinsieme chiuso e convesso
~ (x~
K, allora esiste almeno,un
punto Xo E:: K per i l quale suss:i
t (x),
nol
Siano a 1 , a 2 , ••• , Sz tutti i vertici di K~;
modo che segue:
(9) Una tal trasformazione T
si chiama notoriament c superiormente semi continua, se per ogni coppia di successioni convergenti x1'~' ••• ed Y1' Y2' ••• di punti, da y. C ~(x.) segue sempre lii. Y1 6 -r.: (1i.iYl xi). :L:L ;.
~•
.,o
I.~tc-
56
- 17 -
E. Sperner
f2
in ccrrisDondenze. !;J.d ognj. si scezlia.mo un b1 E t' (ai ), arbitrario ma fieso; dopo di che per ogni X ( si oonsideri un
S
sottosimplesso s = (ai's. , ••• , a1 ) il quale contenga Xl o
n
11
e sia ( 15)
e si pangs quindi (16 )
t(x) =
La trasformazione t(x) cosl definita e univoca a continua. Secondo il teorama 5 essa possiade almeno un punto unito x'=t(x'). Ed ora consideriamo una divisioni simpliciali di S con.lim dt = o. "\.... 4(10 struiamo nel modo indicato la trasformaziona univoca e continua ti(x), approssimante ~, e indichiamo con Xi il punta unito oorrispondentemente prescelto ( 17)
Noi possiamo supporre che la successione x1 ' x2 , ••• converga (verso un carto xo), poiche questo s1 pub sempre ottenere mediante un eventuale passaggio ad uns sottosuccesaione. Il punta x coal trovato goda dells proprieta richiesta: o xo E: 1: (x0 )! Par riconoacere questa circostanza, consideriamo un numero c/O assegnato ad arbitrio. Indichiamo con U£ l'intorno sferico, di raggio C , dell'~rigina. Poiche L (x) e superiormente aemico ntinua, esiste un tal intorno sfarico U
b
(di raggio ~ ) dell' origine, da aversi
57
- 18 -
E. Sperner
§2
(18)
s • Scegl.ia.mo allora un intorno Ud' '
per ogni x ~ xo+u
~ < mine
1-
IE),
con e quind! un indice i c061 grande da aversi
(19 )
Ed ora poniamo che
xi
prenda i1 posto di x nella (15) e suppo-
niamo in conformita ohe nella (15) ai ' a. , ••• ,a. d?
eo 1 vertioi del sottoslm1?lesso di Kg). daUa (19) e dalla
6< S12 segue
a. € l.y
3. 1
~ =0,1
0':)
l.Jl
~
L (a.
b.
C.
l.~
l.
v
siano ades-
contenente xi" Al10ra
x +U(
e quindi, attesa 1a b.
l.n
f •••
,n;
ed atteea Is (18),
\.., (xo)+U~
~ =0,1 , ••• n.
Di qui e dal1a (16), app1icata ad x=X1 e t=t i , segue poi
data 1a convessita de11'insieme
1C (xo ); ind! e anche
\, (x )+u , o t
in conformita della (17); e perb risulta pure (20)
in virtu della seconds delle (19) e della ~<'f • Poiche ~ era arbitrario e poiche llinsieme 't (x ) e chiuso, 1a (20) o
impliea la come volevasi.
58
- 19 E. Spemer
~ l
Ed ora passiamo daLlo spazio n-dimensionale ad uno apaz10 1ineare piu generale, Com'e noto per spazio lineare R s'intende uno spazio topologico (10), i cui e1emenU eostituiscono un gruppo sbeliano (scritto in forma additiva) col corpo del numeri reali (l come campo d'operatori in guisa, che per due . eJ..ementi Qualunque x y e. R per due numert reaIi 0(,...0 ~a qtialunque e per :1.1 nUDlero reale 1 sia eempre
(c{
~ )x ~
O(.(x+Y)= (11)
I( ( ~ x):::
~ (0( x)
t{ ~ 0( '1
( 01 + ~ )x= (:( x+
~x
1x = x. Inoltre ,queste due operazioni di addizione e 11101 tip1icazione debbon easel' continue, cioe 1a corrispondenza (x,y) --) x+y deve esser un'app1icazione continua di R XR in R e 1a
corrispondenza ( C{ ,x)
--t
II{.
x untapplicazione continua di
.Q
x R in R. Notoriamente dalle (21) ai deduoe per il nUDlero 0 per 1'origine 0 E: Repel' x£. R ed ct. E:. rt ,peral tro qualunque: (22)
En
Ox
= 0,
(- 4l)x = -( "" x)
Pertanto aYlche 1a
tra.~for!Ilazia:ne
.x
=
0( (-x).
~ ~
(-1)~
e continua,
e
quindi tal e e anche 1a Bott:r:azione o Se K,! C R son du.o .1113ieroi eli punti~ noi i1'l(licheremo come al solita con K+L l1insieme di tutti i punti X:'-y con x E K ad
(10)E prE'cisamonte qu1.lln T1-spaz~o nel 3ens~ di A,l e x a n d r 0 f f - Hop f "Topologle I" (J3erlln1935j, }Jag. 59. I auol. asslomi pelI' !!1linv01uero c.;hillSO" A di son 1 secondo Ie u r a t 0 W s k.i 1. seguenti: 1.) X '! A jj; 20) A=A, 3.) J=¢j 4.) per OB:ni siugolo punto x € R. I
x:;x
59
- 20 -
§2
E. Sperner
yE L, del pari indicheremo con \ K l'insieme di tutti i pun-
ti del tipo
~
A
("on x E: K,
essenda un nUlUero fisao di
peraltro qualunque. Se V e un intorno dc11'origine,
V =x+V x
Ax
o
e un intarno del punta x. Se V
0
e anche
0
e canvesao
(11)
9
tale
V =x+V < So sussiste 1a V =x+V =x-V ,V 8i dice simx a x 0 a x metrico rispetto ad x. L'intersezione V (-V) e simmetrica o 0 rispetto ad 0 qualunque sia V , essa e inaltre canvessa, se tale
e Yo'
n
o
Uno spazio lineare R e notoriamente regolare (12), in par-
ticolare ogni tal spazio R e uno spazio di Hausdorff (13). Ino1tre noi supporremo che R sia
1il10
spazio localmente convesso,
oioe che ogni intorne U del1'origine ne contenga (almeno) un o
altro V aha aia oonvaseo. Lo stesso accade allora anche per o
ogni altro punta x t£: R. Dopa queste premesse, noi dimostreremo 1a segucntc esten slone del teorema 4:
(11) Oio significando notoriamente che se x ed y son punti qualunque di V • appartengono a V anche tutti i punti 1\ x+(1- \ o)y, con O~ 1\ ~ 0 :J.
(12) Oioe: ogni int~rn~ U di un punto qualun~ue x eli R ne contiene (almena) un altro V con V CU. Ne1 fatto. basta dimostrare ohe oio accadexper unxinto~no U dell,origine. Attesa Ia 0+0 €.. U nonche 1a continui ta. deh 1addizione, esiste certamenteoun intorno V siffatto da aversi V +V C U ~ Per ogni x!: V si °puo poi deter)l'1j.'lAre, attea& 19 x-xgo E: V • un intorRo W sotldisfarente aHa W -W ~ V. Risnfta certamente W n V ~ ¢, perche e~a x 0 x 0 x ( V, Ivla allora per ogni y ( W V risul ta x-yc. V , o x 0 0 eppero (x-Y)+Y ~ V +V C U ; e in defini tiva x ( U , cioe
n
V CU o 0'
00
(13) "Spazi separati" secondo
0
B
60
0
0
u r b a k i
[6aJ
- 21 -
~l
E. Sperner Teorema 9. Sia K unsottoinsieme convesao e compatto (14)
del-
10 spazio R line are e localmente convesso e sia t(x) una traeformazione univoca e oontinua di K in sa; allors per ogni in-
Uo dell'origine esiate (almeno) un punta x~ K per il quale risulti t(x)-X€ vo' Tutti gli intorni oonsiderati nella dimostrazione seguente (15) debbon esser aperti, convessi e simmetrici; cosa poasito~o
bile appunto in virtu di quanta s'a detto. Prefissato l'intorno Udell' origine, scegliamo per ogni x € K un tal int~rn~ o
Vx ' che sia Vx e: x-rUo• Poiche gli insiemi Vx I) K costituiscono un sistema di intorni che ricopre K e poiche K e per ipotesi compatto, esiste un sottosistema, costituito da un numero finito di intorni V ,V, ... , V coi centri rispettivi in ao a 1 an ao ' a 1, ••• ,an , i1 quale ricopre K. COl1aideriamo l' involucro convesso K~ dei punti ai' i l quaIe a costituito da tutti i punti del tipo
'A.i 1 0 ,
(23)
Jt
Risul ta C K, perche K a convesso. Le (23) mostr,mo inoltre ohe K ~ a omeomorfo ad un. simpl esso n-
norma~_~~
Pertanto per ogni Va
i
sipuo costruire
una
funzio-
ne continua fi(x), a valori reali 1 definita per ogni x di K e eoddisfacente alIa condizioni
(14) "bicompatto" secondo la vecchia terminologia. (15) A fondamento della quale giace l'espesizione di II. N i k aid 0 [20 a] •
61
- 22 E. Spemer
fi(X)
== 0
o ~ fi (x)
per
x(V
per
x
~
~2
ai
si+Uo
in ogni a1tro caso (16).
~ 1
Poiche gli intorni V8 ,i=O,1, ••• ,n, ricoprono comp1etamente 1
K, risulta certamente
n
L
i=O
2B!'!!
f. (x) ) 0 per
x £,. K. Pertan-
1.
to la posizione n
r:
i=O
(25)
f. (x)a. 1.
1.
f(x) =
r: n
f. (x) 1.
i=O
definisce una funzione continua in K, 1a qual a trasdrma K in K'*• Se per un certo x (. K e per un certo indica i, 0 ~ i.f n, i l valor fi(x)
e diverso
da zoro, questo significa, secondo
Is (24), che x e a.+TJ 0, se si vuole, che x-a. € U • Di qui 1. 0 1. 0 a dalla convossita di TJ segue senz'altro che per ~ x € K o risuJ.ta:
(16) Per comodita del lettore ricordiamo qui la nota costru-
zione di ~1na siroil flUlzione' 1a norma1ita di R assicura che per ogni insieme aperto Wo.<= R e per ogni insieme
W,
C W0 si pub determinare (almeno) altro in_ un _ sieme aparto We R soddisfaeente alle W1ewe we Wo. Nel
ehiuso
I
nostro caso si pDrga W=a.+U o
1.
0
,W1=Va.
di un a1 tro insieme aperto W!- con
1.
e 8i determini quin-
W1
C Wi C -Wi c. Wo •
di cio ~i seolga un altro inaieme sperto W3/4 con W W1 C_ 3/4L. W3/ 4: : Wi e, del pari, un insieme aperto W1/ 4 con '(I1/-E- W1/ 4C W1/4C.Wo. Cosi proseguendo, per ogni munero razionale diadieo r=m/ 21. {m ed i interi non negativi;
~opo
62
- 23 E. Sperner n
2(26)
f1 (x)
(X-Bi
x - f(x) ::: 1=0 n
~
1=0
)
E.
Uo•
fi (x)
Consideriamo finalmente il prodotto ft(x)=f(t(x» di f(x) e della trasformazione t(x) data. La traaformazione ft traaforma in ogni caao K in K~ con continuita ed un1vocita; in particolare risulta ft(K)'t) c K~ lila Kjt e omeomorfo ad un simpleaao n-dimensionele; quindi possiamo applicare il teorema 5. Pertanto eaiste (~ meno un punto f E. K con (27) e la (28) x = t(x"') porge un punta di K per il quale, secondo 1a (27). r1sulta (28a) f(x) = x ~ se ai scr1ve la (26) per questo x e ai tiene conto della (28) e della (28a), s1 ottiene appunto t(x1t )_? e:. u • 0'
oci che l'affermazione del teorema 9 a dimostrata. Dal teorema 9 segue immediatamente la corrispondente generalizzazione del teorema 6; precisamente: Teorema 10. Sia K un sottoinsieme convesso e compatto dello spazio lineare e localmente convesso R e sia t(x) una trasformazione univoca e continua di K in sa. Allora esiate almeno un punto x di K con ~t(x). Infatti consideriamo Ip trasformazione g(x)=t(x)-x, del pari univoca e continua; questa a defini ta per ogni x E: K e 1 'im.magine K'=g{K) a anch1esss compstta. Pertanto X' a chiuso (16) m~ 2i) si ottiene un insieme aperto Wr • Indi si pongs f1. (x)::; = lim sup r per x('~ ed fi (x)=O per X~Wo. La fi (x)=1, quando XE w 1 ' x EWr a evidente di per sa. La continui ta di f(x) in. R si stabilisce facilmente. Cfr. Ale x and r 0 ff - Hop f "Topologie" I (Berlin, 1935), page 74. 63
- 24 -
9I.
E. Sperncr in R,
peroh~
R
e uno
dpazio di Hausdorff. Ora 11 teorema 9 af-
ferma appunto che
~i intormo U dell'origine 0 contiens puno ti di It1; p3:r";anto, di qui e dalla chi usura di K'1 segue senza
al tro
I
C K; i l ehe per la definizione stesss. di g(x} porge
0
aenz'altro i1 teorema 10., II teorema 10 A. T Y
0
[210J
h 0
n
0
f f
e stato [23a]
dimostrato per Is. prima volta da r
dopo che J. Soh a u d e r
10 aveVa stabi1ito per spazi metrici lineari. In si-
mil guisa st lJUQ trs.sportare i l teorema 8 ai sottoinsiemi convessi c compatti di uno spazio lineare localmente conveSBO, come ha mostrato K y d 0
Fan [9J
; si vegga anehe
H. N i k a i -
20a t c
1a spinta per 1'estenoione del teorema di Brouwer sul punto unito alIa trasformazioni plurivoche nel senso del teorema 8 fu fomita dalla teoria dei giuoohi di man n
(efro
[19J
J. v,
Ne
U -
). In questa venne usato i1 COSl detto
"teorema del minimo·-massimo ", il quale si lasoia ricondurre faci1mente al teorema 8. Nel condurre questa deduzione noi seg dremo l' esposi,zione di S.
ceremo
001
K a k uta n i
13
ed incomin-
diIilQstraro un lemma.
Indichiamo con lfl, Rn spazi euclidei delle dimensloni m ed n, U, V insiemi compatti e OOhV88Si di punti, can U C Rm, VeRn,
U x V 10 spazio prodotto di U a V,
1 1 , LF insiemi ohiusi di punti, con Li C. U xV, i=1,2. Quindi (ofr. fig. 1 ) par ogni Yo fisso di V e per ogni Xo fisso di U definiamo rispettivamente un sottoinsieme U Yo di U ad un sottotnsieme V di V x
o
64
- 25 -
~2
E. Sperner
,
I
I
I
fig. 1 mediante Ie condizioni: (29 )
(30)
y E. Vx f:----t o
La qua1i esprimono che: un punta x
~
soltanto se (x'Yo) appartiene ad 1 1 ; a V
(xo,y) (. L 2 •
U appartiene ad U se e Yo un punto y~ V appartiene
se e sol tanto se (xoJ'Y) arpartiene ad L 2 ,
Xo
Allors sussiste il ser;uent() Lemma. Se tanto U
~
ogni
xo~
quanta V
~
sana, per ogni Y € V a per 0
U, insiemi chiusi, non vuoti a
n
con~essi
di punti, ri-
sulta L1 L2 =f-. ¢, Per 1a dimostrazione definiamo una trasformazione cha ad ogni punto z=(x,y) £. "J ::: U
Y
X
%
V •
x
65
V associa l'insieme
L
1: (z), ~z)=
- 26 -
E. Sperner
Per Ie ipotesi su U e V l'insieme 1: (z) e certamonte chiuso Y x del pari, non vuoto e convesso. Infine la trasformazione , (z) e sUPGr.iormento semicontinua, come segue subito dal fat to ehe gli imuemi Li son chiusi (17). Quindi, secondo i l teorema 8, esiste almena un punto z o;:(x0 ,y0 ) soddiaf'aeentG alla z0 € 1::' (z 0 ), cioe alla (x ,y ) € u x V , vale a dire alle x E. U ad o 0 Yo Xo 0 Yo Y E. V • Ora, da una parte 1a x E: U signifiea, secondo Is o Xo 0 Yo
(29), (x ,y ) E L1 e dall'altra 1a y a 0 0
~
V
Xo
significa, secondo
n
n
la (30), (xo'Yo) ~ L2 ; da cui Zo € L1 L2 e pert ant 0 L1 L2 ¢, como si voleva. Consideriamo ora una funzione f(x,y), UDivoca, a valori reali, defini ta per ogni x Eo U, y €.. V (u c If! eVe Rn sempre compatti e convassi) e continua nel prodotto U x V. Noi ci proponiamo di paragonare fra di lora i due numeri
~
min
max
YCV
x€U
f(x,y),
max
min
x£U
Y€.V
f(x,y).
e:
(17) Infatti; se ~t-=(xi'Yi) u x V, zi=(xi,yf) E: t (zi)' i=1,2, •••• e se lim (xi'Yi)=(x ,y ) e ~im (x!,Yi')=(xf,y'). a nori, 4>00 0 0 '" 7 OC' l. a 0 ma della (29) e della (30), dalJa (x!,y!) E U x V segue tan~ . l. l. Yi Xi la (xi,yi) E: L1 quanto la (xi €. L2" Di qui e dalla chi usura di L i , i=1,2, sogue, passando al limite: (x',y )!" L1 , (x ,yl) o 0 0 0 ~ L2; il che, a sua volta a sompro per la (29) e 18 (30), impli-
,yV
ea tanto 18 x' E: U quanto la y I ( V t e quindi la (x o', Yo') E o Yo 0 Xc u x V ::: 1:: (x ,y ); donde la conclusione. Yo Xo 0 0
66
- 27 -
E~ Sperner
~ 2
Attese le continuita di f(x,y) e la compattezza di U x V entrambi i valori (31) son effettivamente assunti da f(x,y) in U x V,
cosicche esistono due punti (xi,Yi)E U x V, i=1,2 , siffatti da aversi min max f(x,y) = max f(x'Y1)' y€.V x E U xGU
f(x 1 'Y1)
==
f(x 2 ,yZ)
- max
min :t:(x,y) = min f{X2 ,y), xE U y€ V YG:V
Di qui segue immediatamente
e quindi min max f(x,y) // max min f{x,y) yf V xG. u x E U yE. V
(32)
Sorge qui spontanea la domanda: sotto quali ulteriori condizioni per f(x,y), nella (32) vale il seguo di uguaglianza? Questo preeisamento si presenta nella ipotesi del seguente "teorema del minimo-massimo" dovuto a J. v. Teorema 11.
N e u man n
{efr.
(19 J ).
Siano U C. Rm e V L Rn inslemi convessi e compatti
di punti ed f(x,y) una funzione univoca a valori reali, definite per x E.. U cd y!.' V e continua in U x V. Se per ogni x E U ad o ogni numero roale ell'insieme di tutti i punti Y E: V con f(x ,y) ~
ol e eonvesso
o
al pari dall'insieme di tutti i pu.."1ti xc:. 11
per i. quali f(x,yo) >1 (3 ,con YoG. V e 13 numero reale entrambi comunque prefissati, allora risl;:l ta appunto (33)
min YfV
max f(x,y) = max min f(x,y). XE"U YE V U
Xe
Per dimostrare questo teoroma definiamo utilizzando Ie funzione f(x,y) dve certi insiemi di punti L.C: U x V, i=1,2, J. mediante Ie posizioni:
67
- 28 -
E. Sporner (xo'Yo) E L1 ~
f(x ,y ) = max o 0
(xo ,y0 )~ L2 ~
f{x ,y ) o 0
x~
U
=
min y € V
f{x,y 0 ), f(x ,y); 0
cioe L1 e costituito esattamente da tutti i punti (x ,y ) E U x V -
per i quali risul ti f{x ,y ) = max f(x,y o.
0
xE. ij
0
h
00
similmente per L2•
Ciaecun Li , i=1,2, e certamente chiuso. Vediamo ora cosa significhino Ie ipotesi del lemma per gli attuali insiemi Li • A norma delle (34), Ie condizioni (29) e (30) assumono adesso la seguente forma:
f(S
x € U ~ f(x,y ) = max Yo U
O!f
(36)
y E VXo ff.-?' f(xo'y)
8i riconlIDsce cha guesti insiomi IT Yo
=
min
,Yo)'
f(x o ' IYl ).
IVl~ V
\
sono chiusi e non vuoti
,V Xo
per ogni x o (. U ~ per ogni y o~ L V. Ida nelle ipotesi poste dal teorema 11 per f(x,y) essi Bono anche convessir Di qui e dal lemma si trae che L1
n L2
e diversa de. zerot cioe, a norma delle
(34), che osiste un tal punto (i ,y ) da aversi o 0 f(i
o
,y ) = 0
max f(x,y) = min f(i ~y).
x~U
0
y€V
0
Ma allora s1 ha immediatamente max f(x,y,,, max f{Xpy) '" mj:n f(ic'y.) ~ max min f(x,y,; XE:.U Y6V xeU yli. V e questa relazione confrontata con la (32) porga In (33). min
y€-V
xe.U
Fina1mente bisogna ancora ricordare chc i1 teorema del minimo-massimo puo casere dimostrato andhe sotto ipotesi piu generali. 8i vegga, per cecmpio,
(200J •
K.
Fan
19 a,b)
e H.
N i-
k aid 0 Indioheremo ora un altro csempio di app1icazione dei teorcmi sui punti uniti. Precisamante, ricondurremo la dimostrazio-
68
- 29 -
E. Sperncr
~l
ne dell'eaistenza delle soluzioni di un sistema generale di equozioni differenziali ordinarie al precedente teorema 10, aeguendo l'esposizione di T Y c h 0 n 0 f f [23a] • Allo scopo incominciamo col ricordare alcuni concetti. Siano a > 0 ad x due numeri reali fissi ed E_ l'int~val-
0
10 Xo -a ~x,< Xo +a della retta numerica reale. E consideriamo 10
apazio P delle funzioni reali continue nell'intcrvallo E. Allora ogni funzione reale y(x), definita per ogni x£ E ed ivi continua, €I un "punto" di P • Dofiniamo la distanza d(Y1'Y2) di due punti Y1'Y2 mediante la posizione
di guisa cho il noatro apazio
Prisulta
EP
ossere uno spazio metri-
co (in particolare sussiste In relazione triangolare d(Y1'Y2) e partanto anche uno spazio topologico. In conformi ta. di cio un f -intorno del punto YEP e costi tui to ~ d(Y1~Y3)+d(Y2Y3»
o
dalla totalita. degli Y f P soddisfacenti alIa d(yo'y) ~ [ • E nello spazio P la nozione di convergenza rositituisce quella di convcrgenza uniforme.
e:P
segue A1Y1+ \ 212 E P por ogni Poiche da Y1 ' Y2 coppia di numori reali 1\ 1 e A2' 10 spazio .p e line are , convaseo e lmcalmente convesso. Sis infine J un insieme (finito 0 infinito) di indicia Ad ogni oL, J are ociamo un esemplare Po( dello spazio .p teste definito. E consideriamo quindi il prodotto Dopologico (18)
Allora ancho questo apazio R e linoare 0 local monte convosso. L'elem.ento corrente r t R si pub anche presentare nella forma
69
.. 30 E. Spemer
§ 2.
(39)
P
Ie quale deve indicare che Ie "oomponenti II Y d! r son in corrispondenza biunivoca con gli clementi delllinsieme J. Mediante questi conoetti possiamo stud1are facilmente un sistema di equazioni differenziali ordinarie il quale oontenga tante equazioni e tanto funzioni incognite quanti sono gii clementi dell'insieme di indioi J. Pensiamo un tal sistema dato nella forma (40)
dy
t(
= frA.
dx
(x,
t" ) = :t
(0( E
01..
(x, ••• 'Y~ , ••• )
J,
f 0(, (x, ~ ) rappresenta. per ogni ct f J t una iunzione reele ed univoca, definita per ogni x ~ E e per ogni .". e: R
Qui
e continua in Ex R. La continuita di f~ nel punto (x, ~ ) significa, in conformita della topologia che vige in R: dato a piacere i1 ~umero positivo ~ ,incorrispondenz~ esistono un tal altro numero positiv~ ~ ed un insieme finito di indici
~ l' ~ 2'··"
••• ,y~, ••• )
~ n siUatti, che per ogni
~
= (x', •••
soddisfacente alle condizioni
(18) Un
sistema di intorn! atto a individuare Ie topologia del prodotto topolog1~ R 3i puc notoriamente definire come segue: Sia U IL un sottoinsieme aperto d1 Pol siffattoche U c(,. coincida con Fa(. per quasi tutti gli ot. di J, cio~ sUfatto che U eI.. sia una por~ione propria di Po( sol tanto per un gruppo fini to di 01.. E:. J, U 01.. essendo peral tro defini to per ogni a( E: J. Allora U = IT u ~ un intorno in R. E gli insj,emi apert! di R J dalle somma di U siffatt~, gli addendi potendo sono costituiti anche essere infini tie
"'f
70
- 31 -
§2
E. Spemer
,
(1=1,2 ••• ,n)
si abbia
\f r.( (x',
t"~
)-fO(. (x,
comunque siano scel te le Y'r.- per ~ • ". ,
r )\ < E ~ 1" ~ 2' •••
diverso do
~ n" Ne viene che se al posto d.e~le y ~ s1 pensano po-
ste delle funzioni continue in E della x, la.. iunzione composta
t" )
f ot. aha risul. ta dalla f II{ (x,
e una funzione continua del-
e equivalente
la x noll'intcrva110 E. Epporo i1 sistema (40) al sistema di equazioni integrali
(41)
+
f 0(
(x,
r
)dx,
nolle quali 10 c Q( rappresentano dei numeri reali arbi trariamente assognati, i ''valori iniziali" delle soluzioni ricercate.
(41) consideriamo finalmente 10
Accanto alla equazioni trnsformazione
x
y«*
(42)
=cc(
Sx
+
f at (x, "( )dx
( 0(
E.
J) ,
0
cha muta il punta
r
E R, oioe i l punto (39), nel punta
(43)
( La trasformazione
r
)j'.
..... ,
= 't.
, ...... ).
(-X- ) c081
defini to trasformo
10 spozio R in se, appunto perche 1e funzioni Y!
definite me-
diante 10 (42) son continuo in cgni punto d1 E, di guisa che *- appartiene ad R. Inoltre dalla continuita. delle funz10ni
r
f ~ (Xt "(' ) segue facilmento 1a continui ta. di ogni
r
~
't (
r ) per
R.
I1 confrontc delle (41) con 1£1 (42) s1 ossicura che 10 soluzioni del sistema
(41) son date proprio dai punti uniti d01-
71
- 32 E. Spomor
§2
la trasformazione (42). Eppero, in conformita del teorema 10, noi possiamo
enunciare~
circa l'esistenza di tali soluzioni,
i l seguente
Teorema 12. Ogni porzione compatta e convassa di R, la quale sia trasformnta in se clalla
t ,
contiene almeno un punto di
R, 11 quale soddisfa con le sue componenti
ai sistemi
(40) e
(41).
Sicche per garantire la risolubilita del nostro sistema, basta indicare un sottoinsieme di R dctato delle pro prieta rioordate nel teorema 12. La cosa e particolar.mente facile se le funzioni
f~
(x, ••• ,y~ , ••• ) sono limitate, cioe se in corri-
spondenza ad ogni 0( E:
J si puc determinare un tal numar 0
po si ti vo me(, da aversi
If
(44)
0(.
(x"o"y~,.oo)I·~
mot.
por ogni puntc (x, •• ,y ~ ,0") di E x R. Nel fatto, in queste 0
ipotesi, per costruire un sottoinsieme dl R quale quello desiderato si pub prooedere nel modo ohe segue. Nella spazio POl consideriamo la totalita
X~
delle fun-
zioni y(x) E PO( soddisfacenti alle due condizioni ly(x)-co(\
(45) per x,
~
ly(x')-y(x)1 ~ Xl
a.m ci.!
Ix.-x\
mot,
C E. Le funzioni di Xo(. son quindi equilimitate
B
posseggona rapporti increment ali equilimitati e l'insieme K
«. C P
e inol tro o-ompatto, perche a norma di un risul tato
[3J '
classico ( A r z 0 1 a H a u p t I A u ill ann I P a u c [12J p. 91, B a u r b a k i [6b] ) ogni sottoinsiemo infinito di Xc( contieno una sottosuccessione (unifor.memente) convorgente, il cui limite appartiono di nuovo a XO(' inoltro Xolpossiedo una base nUfD.orabile
72
( 19)
- 33 E. Sperner Finallllente
Ko(
e anche canvesso, perche le condizi. ani (45)
Bono soddisfatte per ogni
co~binazione
lineare del tipa
A y+ ;1\'y', se y ed y' appurtengano a Ko(e se ). e A'san numeri real1 e non negativi con una somma uguale ad 1; e ls cosa s1 riconosce facilmente. Con gli insiemi
K~
cosi defini ti per ogni c( E
J costru-
iamo in corr*spondenza della (38) il prodotto (46)
K
C R,
il quale risulta di nuovo cOlllpatto in conformita di,un teorema di
T y c h
l6a) ).
1
0 n 0 f f [23b (cfr. anche 13 0 u r b a k i InoJ.tre K e convesso, perChe tali sono tutti i Ko(.
Inoltre dalla (42) e dalle (44) si deduce immediatamente che
~(K) appartiene a K. Sicche l'insieme K soddisfa a tutte
le condizioni richieste dal teorema 12. Eppero: Teorellla 13,
Se 1e funzioni f~del sistema (40) e del sistema (41) soddisfano alle (44), quei sistellli posseggono almeno una eoluzione contenuta in K. Ricordiamo che Ie estensioni del teorema di B r 0 u w e r aU! punto unito si prestano a dimostrare teoremai di esistenza per Ie soluzioni di equazioni alle derivate parziali. Allo scopo 6i vegga per eselllpio J. S c h a u d 0 r [21J und J. L e -
l18]
ray e J. S c h a u d e r e J. L era y ~7]. 8i conoscono anche al tre applica zioni dol teorema sul punta (19) Per esempio, Ie funzioni continue in E, 1e quali subordinano funzioni lineari in opportune suddivisioni di E, operate ds un numero finito dipunti razionali,i coefficienti di quolle funzioni lineari essendo numeri razionali, forniscono appunto un insieme numcrabile, denso in K~.
73
- 34-
unito, per e8~pio in queetioni geometr1che; aB oi manoa 11 tempo per trattare snohe questi argomenti. (Ofr. alouni esempi nella bibliograf1a).
., ., .,
74
- 35 E. Sperner
II.
XL
PRQBL~D~I
COLORI SULLE SUPERFICIE CHIUSE.
Mentre il problema dei quattro colori sulla sfera (C a y 1 e y 1879) non ~ ancora risolto, questioni analoghe poste per superficie di genere superiore 8i son rivelate abbordabili ed anzi proprio negli ultimi tempi hanno condotto a riBlltatl particolarmente belli. 51 tratta precisamente della determinazione e del confronto di due numeri caratteristici, con 1a definizione dei quali inizieremo 1a nostra esposizione. Al10 scopo consideriamo una certa superficie F, chiusa (orientabile 0 non). Noi diremo ehe una suddivisj?ne di F in un numero finito di poligoni, topologici beninteso (1), costituisce un complesso di regioni su F. Due poligoni (regioni) di un tal complesso sonG contigui, se essi poseeggono un lato almeno in comune. Cio premesso, definiamo: 1. Il numero cromatico )(F) di F come i l piu piccolo numero naturale )( i1 qua1e goda della seguenta proprieta: 0 g n i comp1esso di regioni su F pub essere co10rato con )(co10ri in tal guisa, che due regioni contigue risul tino colorat e con color1 diversi, qualunque esse siano; 2, Il maeeimo numero V (II eli regioni contigue au F I come 11 massimo numero naturale siffatto, ehe su F esista un complesso di regioni, a due a due contigue, costituito esattamente da
V
V
regioni. Naturalmente risulta
X
V (F)
t(
stenza di (F), cioe 11 fat to che posta da P. J. H e a woo d [3V flaao per )( (F) 1a limitazione
75
X(F).
L'effettiva esi-
X (F) e finito, e stata t
i l quale giE. nel 1890
- 36 -
E. Sperner
dove N e 18 naratteristica di E u 1 e r 0 della superficie, la radice quadrata va presa positivamente e Ie parentesi quadre stanno a indicare che b1sogna prendere i l massimo intero non superiore a (7 + V49+24N)/2. LEl dimostrazione della d1suguagl1anza di Heawood 8i lascia condurre facilmente a termine (2) per N~ -1 (cfr. per esempio G. R i n gel [35a} ,pag.131), peraltro a tuttoggi manca per N=-2; dimostrare la (47) per la sfera sign.i.fi.cherebbe precisamente risolvere 11 problema dei quattro colori. Heawood ha espresso la congettura che nella (47) valgano sempre i segni di uguaglianza. E questo
e stato
effett1vamente
(1) 8i potrebbero considerare come regioni anche campi piu volte connessi t cosa che peraltro non altererebbe i1 valore dei numeri che saranno presto definiti nel testo. (2) La dimostr~zione della (47) e parti.colarmente facile per quello che ha tratto al numero (F). Indichi.no infatti rispettivamente c{o' ()( 1 ed 0{ 2 (= ~ ) 11 numero dei vertici, dei lati e delle regioni d1 un complesso mass1male d1 regioni, a due a due contigue, flU F. Allora susslstonole relazio.ni
0<:1
~ ( ~ /2),
3 Olo ~ 2
~1'
ehe sono ovvie, la prima perc.he due regioni qualunque hanno in comune al.Oleno Un lato, la seconda esprimendo sol tanto che ogni lato ha almeno due vertici e che in ogni vartice conco~ rono almeno tre lati. Da queste dieuguaglianze e dalla re18zione di Elllero,N=- o.! + 0(1- CX 2 ' ei deduce, eliminando Ie ex . 0 i"
'Y (V
-1) - 6
76
V,
6 N;
- 37 E. Sperner riconosciuto esatto, con una oola eccezione, in tutti i casi finora esauriti. Nel fatto i risultati attuali sono i seguenti: 1. Superficie non orientabili. Per tutte le superficie non
orientabili di genere q -:f-= 2 (posto sussiste l'uguaglianza
V. '
(48)
(3):
V (F) = Y , q
X.' [
~
7 +
1+
X(11)= -X q)
24. ].
invece nel caso eccezionale q=2, vale a dire nel caso della bottiglia di K 1 e i n, sUBsiste la
-.:) 2 =
X2 =
6;
(mentre
l'espressione ira parentesi quadre in (48) assume il valore 7). q ~
La dimostrazione della (48) per t u t t i i valori di 2 estate condotta a termine per la prima volta del tutto
recentemente (1954) da
G. R i n gel [ 35c] • Fino allora l'esattezza della (48) era stata provata sol tanto in alcuni casi singoli; e precisamente per q=1
da H. T i e t z e
per q=3,4,6
da I.N. K a g n
per q=5 per q=7; 8,9
da H.S.M. C
0
1 (33)
[ 36
~
1910 v
, 19 35 ~
x e t e r
1
' 1943, [ 28 da R.C. B 0 s e , 1939, e finalmente da R i n g e 1 [ 35a] nel 1952 per una certa classe di supcrficie non orientabili. I1 Caso eccezionale q=2
e stato (2)
(3)
0
l27)
riscontrato nel 1934 da Ph. F ran k l i n
[30J
e basta risolvere questa disequazione rispetto a V _~ per ottenere immedliatamente la disugtJ.aglianza (47) per )I (F). La dimostrazione della aisugu'3.g1.i..anza di H e a VI 0 0 d per y (F) e al trettanto elementare ma non altrettanto ' 1 agevole, e cade in difetto per la sfera (cfr. G.Ringel ~5aJ ' ~ 1). Nel confronto delle (47), (48) e (49) si tenga presente che per le Buperficie non orientabili di genere q e notoriamente N=q-2, mentre per quelle orientabili di genere p e N=2p-2.
77
- 38 -
E. Sperner 2.. Superncie
woo d
orientabil~.
A tutt'oggi la congettura di
nel caso delle superficie orientabili
e stata
H e astabilita
sol tanto per aleune classi di tali superficie (e non per tutte le superficie siffatte) da L. H e f f t e r G. R i n gel
[35b,e]
{!21
ficie orientabili di genere p /0 (posto adesso X(F)=
Xp) G. R i n gel
tr
(49 )
[35b]
F~;l
7+
(1890) e da
(1954). Peraltro per tutte Ie super-
..J (F)= Yp ,
he dimostrato let
2
f "Y p ~ Xp <"
2
[_7+_12_+_48 P
J
.,.j
(50)
Ringel chiama quest1ultima uguaglianza i1 "teorema dei colori". La (50) si deduce abbastanza facilmente dalla (49), mentre le dimostrazioni della (48) e della (49) richiedono difficili mezzi auailiari. A prima vista pUG sembrare strano che finora sulle superficie orientabili si sappia meno che su quelle non orientabili; la ragione di questo fat to verra csposta in seguitQ. Per avere un 1idea dei metodi con i quali G. R i n gel ha ottenuto i suoi ampi risultati, dimostreremo qui a titolo di eeempio l1eguaglianza (48) per q=2. Attesa la N=q-2=20, dalla disuguaglianza di 1a limitazione
H
0
Y22~
a woo d, eioe dalla (47), si ottiene 15. Si tratta portanto di dimostrare
che la superficie non mrientabile di genere
22
si laseie suddi-
videre in 15 regioni in guisa, che queste siano a due a due eontigue.
Ma per ottenere questa deeomposizione della superfieie
noi possiamo enche seguire un procedimento inverso e tent are di comporre Ie nostra superfieie a partire da 15 poligoni oppor-
tuni. Allo scopo, che poligoni dobbiamo scegliere? e come dob_iamo connetterli fra di loto? In conformita delle nostre intenzioni, eiaseuno di quei 15 poligoni dovra essere contiguo ai rimanenti 14, pertanto cia-
78
- 39 -
E. SpeI'neI' seuno di quei poligoni dovra possodere almeno 14 lati. Ebbene, cerchiamo di venirne a capo
I'ico~rendo
tati esattamente di 14 lati e 14
soltanto a poligoni do-
vertici~
Allora i nostri po-
ligoni dovranno avere in comune a due a duo
~~ sol~
un lato. Nel poliedro risultante il numoro 0(1 dei lati e quel10
C( 2
delle regioni assumono i soguenti valori
(51)
<.:I( =(
1
pertanto, se si indica con
0(
o
15 ) = 105· 2 '
i1 numoro dei vertici c si ri-
aorda la N=20 9 dalla formula di Eulero -
~
POI'
i poliedri
o +()( 1 -0( 2 =N
si deduco che nel caso attuale dove ossero (53)
Dl o
= 70.
I vertici dol poliedro risultante si presentano 1a e soltanto la dove, dopa Ie operazioni di attaccatura 1 concorrono a1 meno tre lati; pertanto risulta sempre 3 0(0
~
2 0(1. E se si
presenta qualche vertice nel qualo concorrono piu di tre lati, allora risul ta certamente 3 0( 0 <-. 2 DI. 1. Ma nel nostro caso, in virtu della (51)
0
della (53),
e proprio
30(0 = 2
suI. nostro poliedro in ogni vertice concorrono
~1;
oppero
~!'~:t..t~ente
tre
lati. Se ora si riesce a riunire 15 poligoni, con quattordici vertici
0
lati t ed a costruire mediante di essi una superficie
chiusa in tal gulsa, che sussistano le (51) e la (53), allora a norma della (52) per questa superficie risulta anche N=20; sichhe
0
11 oppure
e la superficie chiuea ed essa e quella non orientabile
essa
orientabile di genere di genere 22. Pertanto
se si riesce a condurre la costruzione in modo che la superficie risultante non sia orientabile, essa sara senz'altro la superficie ricercata.
79
- 40 E. 8perner Rimane da dimostrare che nel fatto
e possibi1e
riunire
15 poli~oni, con 14 vertici e 14 lati, in guisa da giungere ad una su.perficie chiusa, soddlsfa(lendo a tutte quelle altre condizioni. Allo scopo diamo, secondo· Ringel, un preciso procedimento di Saldature lei poligoni a due a due mediante 10 schema che segue: 1. 11
8 15
2. 12 3. 13 4. 14 5. 15 6. 7. 2 8. 3 9. 10.
11. 12. 13.
14. 15.
4
13 14 15 11 12 5 2 3
15 15 11 11 12 12 13 13 14 2 4 5 3 1 4 5 2 1 3 14
12
9
2
7
3 10
4
13 14
10
3 4
8
4 5
5
15 11
6
7 8
3 14 4 15 5 11
12
9 10 1 5 6 2 8 7 12 8 13 9 9 14 10 10 15 6
2 13 6 11 6 10 8 7 5 14 4 9 8 10 7 6 9 1- 15 5 8 2 11 7 9 ·6 10 6 8 10 2 7 9 3 12 10 9 6 8 7 4 13 3 5
4
6
7
2
6
9
3
7
15 11 12 13
2
5
6
2
7 8
9 10
8
7 14 12 3 13 4 14 5 1 15
11
8
3 9 4 10
9 13 10 11 10 14 6 12 6 15 7 13 8 11 14 7 8 12 5 15 15 2 13 1 11 3 14 2 12 4 15 3 13 5 11 4 12 5 14
Questo schema 815 va interpretato come segue: ai 15 poligoni sono associate biunivocamente 1 numeri 1,2,3, ••• ,15 e precisamente in tal guisa che allo i-esimo poligono corrisponda 1a i-esima riga, (cosa che viene espressa col numero i che 8i trova del tutto a sinistra). 1 numeri 14 numeri diversi da i che seguono nella riga i-es1ma stanno a indicare l'ordine con cui i rimanenti 14 poligoni si presentano come contigui a1 poligono i-esimo, qualora s1 percorra 11 contorno di questo in un certo verso. 11 fatto che in ogni riga compaia sempre una
80
- 41 -
E. Sperner permutazione
d~i
primi quindici numeri (qualora ei tenga conto
anche del numero a einistra), esprime precisamante 11 fatto che i poligoni risultano a due a due contigui 1ungo un 1ato e soltag
to un lato. Dal10 schema si puc dedurre comp1etamente i1 processo per la saldatura dei 15 pOligoni. Per convincersi di cio
suppon~_a
mo di aver disegnati i diversi poligoni. E fissato per i1
conto~
no di ciascuno di essi un verso di percorrenza, scriviamo accanto ai lati di ciascuno di essi il numero del po1igono contiguo, l'ordine ciclico con cui si succedermnno questi numeri dovendo naturalmente essere quello desunto dalla corrispondente riga dello schema. Nella figura 2 tutto questo e indicato dettagliatamente, a titolo di esempio per i poligoni 1, 2, 5 e 7. In conformita di cio, il lato del po1igono 1 con accanto la cifra 2 deve eesere identificato con quel lato del po1igono 2 che ha accanto a se la cifra 2, e precisamente in tal guisa che coincidano quei vertici (indicati nella figura 2 con I) nei quali concorrono i 1ati provvisti del numero 7 e che coincidano del pari quei vertici (indicati nella
figur~
2 con II) nei qua-
Ii concorrono i lati 9. SuI poliedro risu!tante,
nel punto I con-
corrono pertanto le regioni 1,2 e 7 e nel punta II concorrono 1e regioni 1,2 e 9. E si riconosce che in generale: La condizione che in ogni vertice del poliedro concorrano esattamentc tre lati (e
quind~
anche tre regioni)
e eoddisfatto
eol-
tanto se per ogni coppia di numeri i e k si presents la seguente circostanza: i lati che nel polj-gono
i.,,~esimo
hanno un vcrtioe
col lato k sono associati alle stesse cifre dei lati che nel poligono k-esimo hanno un vertice comune col lato :i.. Si_ veda in proposito la figura 3. Per il nostro schema tutto cio si traduce nella proprieta espressa dalla seguente: Regola R. Se nella riga i-esima si trove i .•...
a k b ' •• ~ •••.• ~~9
81
- 42 -
E. Sperner
Fig. 2
82
- 43 -
E. Spemer
po I; go 11. 0
(,
b
I<
1
t
.t,
rol;gon o
;'
b K
Fig. 3 allora nella riga k-Gsima si trova k.
0
• •• a i b •• "!!.. ov-vero
Si verifiea faeilmente cha questa regola e soddisfatta da ogni eoppia di righe del nostro schema S15' La rogola R garantisce anche che la congiunzione dei 15 poliedri si puo proseguire sino alIa fine senzq lacuna giungendo al poliedro desiderato (4) (ved. anche 3) • a]
[35
Ed ora, la suporficie chiusa che si ottiene
e oriontabi.le
o non? Per decidere su questa punto, partiamo da un'orientazione arbitrariamente fissata dol poligono 1,
per esempio quella
indicate nella figura 2 dalla freccia. Partendo da quost'orientazione del poligono 1, si ottiene come orientazione coerente per i l poligono 2 quella la indicata di nuovo con una freccia.
(1) Appunto conseguenza della regola R e per esempio anche la circostanza che nella figura 2 i lati del poligono 7 coi numeri 1 e 2 risultino consecuti.vi~ corn'e necessario per poter giustamente attaccaro il poligono 7 ai poligoni 1 e 2, pensati come gia uniti.
83
- 44 -
E. Sperner Se si confrontano ora Ie orientazioni ooerenti inq.otte sul poligol'lO 5 dalle precedenti orientazioni dei poligoni 1 e l, 81 r1conosce subito ehe esso sono opposte. Epperb la nostra suporficie ~ e orientabile (5). Pertanto 10 schema 3 15 rappresenta una decomposizione della Buperficie non orientabile di genere 22 in 15 regioni a due a due conti~. Attesa la (47), cio dimostra che
e Y22=15,
vale a dire la (48) e dimostrata per q=22. Questo risultato ci porge immediatamente dell'altro. Calcoliamo infatti l'espressiono che si trova fra parentesi quadre in (47) e (48), cioe l'espressione
=
(54)
7 +
J25 +24N , 2
e calcoliamola preeisamente per '1=26. 3i trova m26 = 16. Poi-
che naturalmonte risulta sempre mq <m q+ l' segue anche 15=m22 <. m23< m24 < ~5 < m26 = 16. 1'oiche d'altra parte anehe
per i l numero
y q risul ta ovviamente Yq
dare la (47), doe la ~ q ~ (mJ
< ~ q+ l '
basta rieor-
' per ottenere senz'altro:
Peraltro dal precedente schema 3 15 non si pub dedurre im26 non otteniamo almediatamente nulla di piu. Per i l numero
V
tro che la limitazione 15 ~ ~ 26 ~ 16. Per dimostrare l'esattezza della (48) anche per q=26, cioe per dimostrare appunto Is ;:; ~6=16, bisognerebbe
un analogo schema 3 16 , soddiefacente anch'esso alla regole R, ed ottenere con cib una deCOSh'1.1.1re
(5) Infatti, se si attaccano fra lore i poligoni 1, 2 e 5 in conformita del procedimento indicato, si ottiene un nastro di M ~ b ius I
84
- 45 E. Sperner composizione massimale della supcrficie non oricntabile di gcgere 26 in regioni a due a due contigue. So questa riesce, la validita dolla (48) si trova stabilita non soltanto per q==26? ma anche por q==27, 28, 29 meri
ill
q
0
30, perche m31
e il
primo dci nu-
non inforiore a 17.
Per trasformaro la deduzione delineate in una dimostrazione gonoralo dolla uguaglianza (48), si 10 quindi indotU a costruiro uno schoma Sm per quanti pili numeri m si puo, E prima di tutto, per quali valori di m si puo sperare cha la cosa possa riuscire? Una condiziono necessaria POl' m si lasoia trovaro subito. Infatti se un tal schema Sm soddisfa alla regola
R c se in ogni sua riga compare una pormutazione doi numeri 1, 2, ••• , m, osso rapprosonta di nuovo un poliodro,
qualc in ogni vortice concorrono n t
0
i1
e s a t tam e n tetra
poligoni mentro guesti poligoni hanno a due a due ill 0
pc~r
e sat t a -
un lato OOlliuno, lungo il quale ossi sono quindi oon-
tigui; di guisa che por i numeri I>( 0 1 \l( l' ';;( 2 doi vertici, doi lati
0
dolle regioni si trova di nuovo, in analogia col caso
precedonte: I::,( 2
==
m,
30(0
:=
20(1 == m(m-1),
°
r:Jo :: m(m-1 )/3 10 intero so e soltanto se m -: oppure m :: 1 (mod3) uno schema S si puo avera sol tanto l'er i numeri
Ma poiche
m
interi m ~ 2 (ood3). Ebbene
G.
R i n gel
l'esistenza di un tal
SCh13ID8
1;
rillsci to di fatto a ill mostrare
Sm' col darne un proceClimento ge-
nerale di costruzione, per ogni m *2
(moa3)~ con m~ ed
mf'l(6).
(6) Per 'fI);:o7 non clio uno schema S7 ahe non sia orientabile (rna soltanto uno orientabile 1 che rappresenta la superficie torica). Questa 10 1a ragione per i l easo eccczionale pre-sentato dalla bottislia di K 1 e i n e gia ricordato.
85
- 46 -
E. 6perner D'altronde per ogni tal numero m si pub ancge trovare un tal numero q, che per esso la quantita m data dalla (54) q
risulti uguale ad m. Infatti, se nella (54) ai sostituisce a primo membro m can m(si risolve rispetto a q, si trova q
q
che
e un
=
(m...3) (m-4) 6
numero interooo e soltanto se ml 2 (mod 3).
Pertanto, dall'esistenza di uno schema 6 per tutti gli m
f- 2
(mod 3) si deduce, cosl come si
e fatto
m
a proposi to di 6 15 che l'uguaglianza (48) sussiste per tutti quei numeri q, per i qualimq oade in un intervallo del tipo m< mq < m+1, con l'in~
tero m" 2 (mod3).
Dopo di cio resta ancora da di mostrare la
(48) anche per quei numeri q, per i quali [m~ 'iii. 2 (mod). Ebbene R i n gel e riuscito ad esaurire anche questa caso con l'aiuto di certi altri schemi. Per la definizione ed i dettagli, noi dobbiamo rimandare ai lavori di Ringel
1
~ 35
attesa
la mancanza di tempo. Dedichiamo ora, alla fine, qualche cenno anche alle superficie orientabilil Anche qui R i n gel
ha raggiunto i
risultati ahe abbiamo ricordati con l'aiuto di schem! opportuni. Ma poiche adesso la superficie rappresentata da un tal schema deve essere orientabile, la precedente regola R non
e piu
sufficiente, ma deve essere sostituita da un'altra piu preciaa. Nel fatto, una superficie, rappresentata da un tal schema, non si altera, ovviamente, se in una riga dello schema si lascia fermo il primo numero (il numero d'ordine della riga) e si scrivono tutti i rimanenti nell'ordine inverso. Peraltro qu.esta inversione di una riga puo anche essere interpretata come inversione dell'orientazione del poligono corrispondente. In conclusione, l'orientabilita della superficie rappresentata dallo schema si traduce nel fatto che mediante inversione di certe righe 8i puo
86
- 47 E. Sperner sempre ottenere che per ogni coppia di righe dello schema, cioe che per ogni coppia di numeri i e k sussista la seguente pili precisa: Regols R~.
Se nella riga i-esima si trova
nella riga k-esima si trova k •.••••.••.• b i a •••••••• ,
Infatti, dire che la regola R 'k e soddisfatta per una certa coppia di numeri, significa precisamente dire che i corrispondenti poligoni sono orientati coerentemente. Sicche tutto il poliedro sara. coerentemente orientato, se la regola R¥ sara. soddisfatta per ogni coppia di righe. Peraltro, nella costruzione degli schemi S difficile soddisfare alIa regola R-¥." Nel fatto
R i n gel
e riuscito
m
1
e molto
pili
che non alla regola R.
[35bJ
a costruire abbastan-
za schemi Sm' soddisfacenti alIa. condizione R'*, per dimostrare mediante essi Ie relazioni (49) e (50) e per determinare i1 numero
Yp
per nuove classi di superficie orientabilL 1/[a fino ad
oggi non si
e ancora
riusciti a costruire tutti ,gli schemi e;he
sarebbero necessari per dimostrare la congettura di o d
anche per tutte Ie superficie
"
0
87
~rientabili
H e a w 0-
di genere p/ O.
- 48 E. Sperner
BIB L lOG R A F I A I. 1.
2.
3.
ALEXANDER, J. W. ,
On transformations with invaria.nt pOints, Trans. of the Am. Math, Soc. 23 (1922), p.94.
ALEXANDROFF, P e
Topologie I, (Berlin) 1935
HOPF, H., ARZELA', C.,
4. BAGEMIHL, F.,
5.
BEGLE, E.G.,
6a, BOURBAKI, N., 6b. BOURBAKI, N.,
7.
BROUWER, L.E.J.,
8.
ELLENBERG, S., MONTGOMERY, D.,
9~.
9b.
FAN, K.,
FAN, K.,
Sulle serie di funzioni, Memorie della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, serie 5, tomo 8 (1899/1900) pp.131 - 186. An extension of Spernerrs lemma with applications to closed-set coverings and fixed points, Fund. Math, XL (1953), pp.3 - 12. A fixed point theorem, Annals of Math. 51 (1950), pp. 544 - 550. Elem. de Math., Livre III, Topologie Generale, Chap. I,ll, Paris 1951,. Elem, de Math., Livre III, Chap. X, Paris 1949. II Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten, n1athem. Annalen 71 (1912), pp. 97 - 115. Fixed point theorems for mnltivalued transformations. Amer, Journ. of Math. 68 (1946), 214 - 222
PP.
Fixed point and minimax theorem in locally convex linear f!paDes,Pro~.Nat. Acado Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 12'1 - 126. 1Iiinimax theorems, Nat. Bureau of Standarts Report, December 10 (1952).
88
- 49 E. Sporner
10. FEIGL, G.,
Fixpunkts~tze fftr spezielle n-dimensionale MannigfaJ.tigkei ten~ Matb~m, Annalen 98 (1928j pp.355 398 .•
11. HAMILTON, O.H.,
A fixed point theorem for upper semicontimlOus transformations of n-cells for which the images of points are non-acyclic continua, Duke Math9 Journal 14 (1947) Pp. 689 -. 693.
12. HAUPT, 0., AUMANN, G., PAUC, ell. ,
8.,
13. KAKUTANI,
14. KNASTER, B., KURATOWSKI, MAZURKIEWICZ,
G.,
s.,
15. KURATOWSKI, C.,
Differential - und Integralrecfu~ung, Band I, Berlin 1948, A generalisation of Brouwer's fixed point theorem, Duke Mllth. Journal 8 (1941) pp. 457 - 459. Ein Beweis des Fixpunktsatzes fftr n-dimensionale Simplexe, Fund. ~,1ath. "14 (1929) pp. 132 - 137. Topologie I, II, Warshau 1948,1950.
16a.LEFSCHETZ,
s. ,
On the fixed point formula, Annals of Math. 38 (1937), pp. 819 - 822.
16b.LEFSCHETZ,
s.,
Algebraic Topology] New York 1942.
16c.DEFSCHETZ, S. ,
Topics in Topology; Princeton 1942.
17. LERAY, J.,
1a theorie des points fixes et ses applioations en analyse~ Proc. of the intern. cor.gress of I>1athem. , Cambridge I\1ass. 'i950/ Vol. 2, pp. 202 - 208.
18. LERAY, J. t SCHAUTlER, J.,
Topologie et equations fonction les, Ann., de llEcole Norln .• Sup. 51 (1934)" ppo 4·5 - 78,
19a.NEm~NN,
J.v.,
19b.NEUMANN, J.v.,
Zur TheoTie d0l1 Gesel1sche.ftsspiele, Mathem .. Annalen 1.00 (1928) / pp. 295 - 320, II
Uber ein ~konomisches Gleichungssystem und eine Verai.lgemcinerung des Brouwers0hen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines mathem, Kolloqu. Wien, 8 (1937) pp. 73 - 83.
89
- 50 -
E. Sperner 19c.NEUMANN, J.v., MORGENSTERN, 0., 20a.NIKAIPO, H., 20b.NlKAIDO, H., 20c.NlKAIDO, H.,
21a.SCHAUDER, J., 21b.SCBAUDER,
J.,
21e.SCHAUDER, J. t 22a.SPERNER, E., 22b.SPERNER, E.,
23a.TYCHONOFF. A., 23b.TYCHONOFF, A.,
2~.
WALLACE, D.,
25io.WECKEN, F., 25b. WECKEN, F.,
of Games and Economi~ Behavior, Prinoeton 1944. Zum Beweia der Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes, Kodai math. Sem. Reports 5 (1953), pp. 13 - 16. Zusatz und Beriohtigung fdr meine Mitteilung zum Kodai math. Sem. Reports 6 (195~), pp. 11 - 12. On von Neumann's minimax theorem, Pac. Journ. of I,lath. 4 (1954), pp. 65 - 72. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr!tumen, Math. Zeitschr. 26 (1927), pp. 47 - 65. Bemerkungen zu meiner Arbeit "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr!tumen", Math. Zei ~hr. 26 (1927), Pp. 417 - 431. Der Fixpunktsatz in Funktionalr!umen, Stud. Math. 2 (1930), PP. 171 - 182. Neuer Beweis fdr die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes. Hamb. Abh e 6 (1928), pp. 265 - 2724 " die fixpunktfreien Abbildungen Uber der Ebehe, Hamb. Abh. 10 (1934), Pp. 1 - ~7. Ein Fixpunktsatz, Math. Annalen 111 (1935), pp. 767 - 776. 11 U1Ier topoloe;i.sche Erv:ei.terung von Rdumen, Math. Annalen 102 (1929), P. 544. A fixed point theorem for trees, Bull. Amera Math. Soc. 47 (1941), pp. 757 - 760. FixPunkJrassen. I, Math. Annalen 117 (1941), pp. 659 - 671. FiXPunk~a51sen. II, Homotopie-Invarianten der Fix:punktthBorie, Math. Annalen 118 (1941), pp. 216 - 234. ~heor~
90
.... 51 E. Sperner
250. WEOKEB, F., 26. MAGENES,
E.,
27.
BOSE, R.C.,
28.
OOXETER, R.S.M.,
29.
DIRAC, G. A. ,
30.
FRANKLIN. Ph.,
31.
HEAWQOD, P.J.,
32.
HEFFTER,
33.
KAGNO, I.N. ,
34.
KONIG, D. ,
L.,
II
35a. RINGEL, G.,
Fixpunktklassen III, Mindestzablen von Fixpunkten, Math. Annalen 118 (1942), Pp. 544 - 577. ~oprieta topologiche di certi insiemi di;punti e teoremi di esisten, za di punti uniti in trasformazioni plurivalenti di una r-cella in se. Giornale di Matematiche di Battagll ni, s. IV., vol. 78 (1948/49) Pp. 168 - 181. On the construction of balanced incomplete block desi~s, Ann. of Eugenics 9 (1939), pp. 353 - 399. The map colouring of unorientable surfaces, Duke Math. J. 10 (1943) pp. 293 - 304. Map-colour theorems, C~ J. 14ath. 4 (1952) PP. 480 - 490. A six colour problem, J. Math. Massachusetts 13 (1934) Pp. 363 - 369. Map-colour-theorem, Quart. J. pure apple Math. 24 (1890) pp. 332 - 338. 11 Uber das Problem der Nachbargebiete, Math., Ann. 38 (1891) PP. 477 - 508. A note on the Heawood colour formula, J. Math. Massach. 14 (193,) pp. 228 - 231. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Leipzig, 1936, P. 196. ff. Farbensatz fdr nichtorientierbare FH!chen beliebigen Geschlechts, Journ. r.u. angew. Math. 190 (1952) pp. 128 - 147.
91
- 52 E. Sperner
35b. RINGEL, G.,
35c. RINGEL, G.,
36. TIETZE.
H.,
Farbensatz f~r orientierbare Fl!chen vom Geschleohte p 0, J. r. u. angew. Math. 193 (1954) PP. 11 - 38. Bestimmung der Maximalzahl der Naohbargebiete auf nichtorientierbaren Fl!chen, Math. Annalen 127 (1954) pp. 181 - 214. Einige Bemerkungen ~ber das Problem des Kartenf~rbenB auf einseitigen Fl~chen, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 19 (1910) pp. 67 - 68.
92
--..
GRADO TQPCLOGICO i: PUNTI UHIT:;: ~-------..
---~
n:
1RASFORliAZICJlH
HOMA-Istituto Matematico deE'lhiversita-HOlllA
93
-- ---
.~.
- 1 -
GRA.DO TO:FOLOGICO E
:Jurbo
:~U1~TI lIT.u:~lL.l!~ TR:,§l~QJll.iAZ]O:t£:r:.
pLURIVALENTI
-
Sia T una trasfol'mazione plurivalente defini ta in un sottoinsieme E del piano (reale euclidco)
G ~
,per 121 quale 8i presen
tino Ie seguenti circostanze: 1) Per ogni punto P 6. E, T (l:'~up: sottoinsieme compatto d_~.._ Eiano ~~ ~()_nnettente;. i l pt~l1.2-medesi.PlO; 2) T
e superiorme!1te~mico.!l:li.p2-:§l. e afsoe.:i,.r:lta_~l..®zigne
3) Ad ogni punta PEE n=.erici
0,
F-p( 11) (a valori
piu in gene~:'ilE~'..E!l:tsl1.~Yi 5ld un gr'9:P"p.9~eliano)
additiva sull~zioni 2J~i~ - !::!:.l?~E.i.~diJJE); ta"1 E'"._~oe.sJ.l~ si abbia FpC<; I v
)=F p ( 'L' )+F} ( 1:") 5lucmd.9~.::r.(~.~J2.Q.!-=
'0')
zioni chius.e.- 21nerte e dis;;-;i unte ~)...TJ]?.l;
49
$e A
e u~ sottoinsieme
ta da T(Po)(po€:E),
aperto di
~~ con 121 f,ontie~~~~1-
esiste un intorn0 G" di Po tale e]ls..R~ 0en:!:.
)
I' E;CfI E §.t21bbii:!J!'p(AAT(p»=Fp (A"T(P o »' o
e )ossibile
In queste ipotesi F) un "grado topologico
definirc per T (rispetto ad
relativo ad un cicIo di E (r;ingolarc,
lt
1-dimensionale; libere da punti u,liti), avente un ufiicio analoge al grado di Brouwer, iddntifieantesi een qu-est'ultirn.o so T
e univ21lente
(e Ciuindi continua) e se J!'p(T(P»=1 per ogni PeE.
Dieiamo Eo l'insieme dei l'nnti PGE, tali ehe pET(P). Con-. sideriamo u..>1 cicIo si:1g01are, 1-dimensionale di E-E e sia
,
r
r
= ~ mk 1. dove i r k sono 1-simpleslli singolLlri o.i vertiei I::: Pk 1 e Pk con rk=P k 1-P, 2 (Gli O-simplessi possono ic1enti, ,a c,"" ficarsi eoi pu..'lti). SUPPcl1iamo c'le sia possi bile as[l( ciare a eia..ll..
~
l..
seuno dei vertiei Pk,i una eateE21 1-dir.lec1sionale Ck,i il cui supperto non interseehi .la T-ilIlmagine dei simplessi •
r.J
contenen-
ti i1 punto Pk . e tule ehe Ck . =O-P, ., con 0 un PWlto apparte,1 ,1 tC,l _ nente alIa componente illillli tata d'i T( Un Distema di
CP--
catene come Ie
tCk,i~
r ).
si dire. sistema .§:.§..'.l..o_ciato al ciclo
95
r. e i l
- 2 .•
ciclo
r"
,r
l:'lormal e. Si dimostFa che ogni 1-cilo (1".
baricentriche normali.
J
Se
e un 1-ciclo di
C'" -T(r)
possiede suddivisioni
}~-Eo
(p '" E), i l suo supporto
,j
decompone T (p) in un numlll'O fini'to 0 i jjo:c;:,ioni chi us e""'l)(;:;:,te Noi po,:Temo
wp(o) , :=. I'r)v· Ff ("'"C;i ) dove
Vj rallprosenta l' oraine di
t
8.1 ciclo
TS
nn p1',YltO generico di
rclati vo
e ad una prefissata orientasione del piano G~
Dopo ..ai~che si definisco l'ordine topologico.Q ( sformazione T relativ~ 3.l cicIo normale
D(r)::: )'. K
Tn,
k'
(,Up k
r
~ della tra-
j"' llonendo
(VV
\J
0 '(
COIl.
Si giustificu tal", Jefinizione dimostn.ndo che non dipendo to 8.1 o,iclo
r;
r' )
Ee daIlE, ilccclt:i dl~l ciotum di cC),tene {Ck,i\ associar:ee da}10 f3UccesDivc sUdai-duicni baricentriei1e di
quest 'ultino fo.tto permette eU estendere in'wdo rca'c'.lralc
1a c.efir-iziono di ,(1 (
r)
nO. 0cnL 1-c:id.o
Si dimostra inol trc oho cicli di E-!~o
0
.0 (
r di
r ) e una
non veria 011 '1ariarc di
r
logi8. di E-Ec. In partio01ara ne segu.e fi( ·~o
I2 (
chc;
E-Eo'
i'unziono linoarl) doi in
1illEl
I' ) =
clasGl' eli omo-
0 tutte 10 '101-
,-,
1-"':"0 in E-Zo. Si ottengonc co Dl cd Gcri d:i esi sten:~a di punti
perche se
I~" in E e·O (
r
)1-0, doyc eSS8re
ff 0
in
~).ni ti,
E:-Eo ()
quino.i E o1-¢. In particolal'e si trovel C!10 nna trallformazione 8ol1tinQa
96
- 3 -
bivalede(1) di una 2-celJ.ain unito.
se
possiede selltpre qualche punto
Oio non accade in cenerale, come prova un esempio(2) ,
per trasfo r.mazioni continue tri valenti.
(1) Diciamo n-valfmte una trasfo,:'l.JElzion8 T quando
11
e i1
massi:no
numero eli ,ilUnti dell'insienw T(P) al vRrial'e di P in E. (2) cfr.: G.Darbo: Grado Topologico e teoromi di esistenzR di
PW1-
'(;i uniti per trasformazioni plul'ivcllc'uti eli bicelle, 0-cen(1.sem. ;.latem.Univ,Padova, (1950) XIX ]pagg.371-395.
97
MAR I 0 =========
DOL C HER ===~===~=====
ALCUNI RISULTATI DELLA GEOIdBTRH DELLE TRASFORMAZIONI CONTIlWB
Roma-Istituto Matematico dell'Universita-Roma
99
-
ALCUNI RISULTATI DELLA
1 -
Gl~OT.'l2:rl'RIJ'
DELLE TRASFOlli.:.AZIOlU
CONTINlJ~
(Contenuto dell'esposizione tenuta i l 31.VIII.1955 a Varenna)
Il risultato di cui qui si tratta s'inserisce in una ricerca, :piu generale, dei caratteri "geometrici" delle trasformazioni continue piane, ossia di quei caratteri che mentre assumono particolare rilievo nel caso a18ebrico-analitico, trovano come loro effettivo campo di validita quello, piu ampio, delle trasformazioni continue: si tratta cioe di caratteri di nat;ura topologiea. Eecone un esempio, connesso con la particolare questione di cui qui si tratta e formulato relativamente al caso pi1'1. semplice: lise una funzione razionale intera p(z) ha due zeri doppi, essa possiede almeno un ulterioro zero". dell ' enunciato a18ebrico,
8SS0
riposa sopra un fatto topologico
e ppiva
la cui formulaziono general8 non
e il
II problema studiato Sia
d'interesse.
seguonte.
C un dominio limitate di un piano E, , il cui contorno
complessivo se
I.!algrado l'estrema banalita
lr
consti di un numero finito di curve semplici chiu-
/(i(i=O,1, ••• r) a due a due disgiunto, che conviene ponsare
equiorientate rispetto a C.
C in un piano
Sia T una trasformazione continua di
c:' , Posto T(, "d )= 1'1
per ogni componente A' di
g -]'
co (04 "Ordine") di A' rispetto a
,
T( di)=
(}!
e indicando
,can n(A') l'indice topologi-
l' ,
dicesi "eccezionalEJ" un
punto p' di A' allorche l!insieme T(p") consta di un munGro N(p I) ~
In(A 1)(
di punti.
Dicasi "difetto" della T in un punta
eccezionale p' la differenza In(AI)1 -N(p'), difetto elella T in AI 1a somma elei difetti nEJi punti ecc()zionali esist<3nti in A'. Si
101
111. Dolchcr'
- 2 -
pone il problema di determinarc il
v~lor'e
massimo de1 __dif~tto
della T in AI (del quale gia a priori appare presumibile l'esie che rappresenta in pari tempo il massimo nuoero di
stenza~
punti eccezionali possibili in AI) in relazioneal nuoero jn(A'X , ai segni ed ai valori assoluti degllindici topologici di
A~
risnetto al+e singole curve-iminagini t i • Nel caso r=0 (0 cerchio), e stato provato che i l difetto della T in A' esservi
III
e al
massimo In(A')1 -1; dunque, che in A" possono
massimo In(A') \
-1
punti eccezionali(
(1]
!
[2] ).
Per il caso generale, non pare che il risultato sichiesto s1 presenti in forma espress1va, dipendendo i1 massimo in questi£ ne dalla dippos1zione dei valori assoluti degllindici topologici positivi e di quelli negativi.
Una maggiorazione, piuttosto gros-
golana salvo particolari ipotesi sui segni degl'indici, e data
Appare iavece interessante 10 studio del caso r=1 (corona quando gl'interi no' n 1 siano di segllo opposto (p.es., e senza restrizione, no:>O, n 1 <'0, no .., -n 1 ) in quanto 1a trattazione di tale cass mette in luce un fatto tOpOlogico collegato cir~olare)t
con 1e proprieta di "dirarnazione lt di una superficie. Il risultato acquisito in tale senso e che per ogni regione A' il difetto non pub superare n - 1 (n=no+n 1 ), rna pub effettivamente raggiungere tale valoree [4J Il risultato suona negli stessi termini di quello per il cerchio, rna non se ne pub oonsiderare un'estensione (ne 10 stesso numero n - 1 funge da massimo nel caso
I'
>1).
Per fissare 1e idee, consideriumo qui soltanto i l caso che sia n 1=-1 (no "7 1), ossia i l piil semplice nel. quale puo descriversi quanta interessa. Diciamo Co' 01 i domini ciroolari di contorni
0 '01' 0'
Estendasi in modo conUnuo la T, data su
102
IlL Doleher
.. 3 -
c (=
Co-01)'
a , in modo
a tutto
0
ehe la trasformazione estesa
T*sia biunivcca fra 01 e la sua imma~ine: satta qualche ipotesi, la cui restrittivita
e inessenziale,
il prolungamento puo far-
si.
'*
Allora, la T si trova nelle condizioni di applicabili ta del mensionato teorema,
relativo al cerchio; eppero il suo
dHetto, relativamente alIa regione A'''If eomponente di la quale aontiene A', .
e al
massimo n 0 ... 1.
[J -
'J~
A tale difetto nes-
sun contributo viene dall'essersi prolungata 1a T: dalla T alla T~l'indiee topologico
e aumentato
di 1 (= -n 1 ), ed anehe il
numero delle immagini inverse di eiascun punta di A'
e aumenta-
to di 1. Atteso dunque i l risultato menzionate, ne segue ehe: o la T~non puo raggiungere quel difetto ehe
e i1
massimo per
il suo valore dell'indice topologico, oppure almeno uno del punti eecezionali della T*e situate in
A'~--A'.
3i puo constatare
senza difficolta ehe per le trasformazioni conservanti l'indicatrice (le piu significative al riguardo) e da escludere la prima eventua1i1Ja. Se ne trae, cha almeno uno dei pWlti di diramazionc della T ha 18 sua immagine fUori diA'.
BIB L lOG R A F I A O.KUIlATOWSKI,Topologie
~
(Warszawa 1952).. In partic.,
55.
T.RAIlO, On continuous transforillatio~s._ in the. plane. Fund. Math. , t. XXVII (1 9 36 ) • H. HOPF, Zur Topologie der
von lvlannigfaltigkeiten. II: von AbbildWlgen.I:lath.Arin., 102 (1929), Pl'. 562-623. In particolaro, "Anhang II", Abbildu~~n
Kla~seninvariantGn
Ph 620-623.
M.DOIOK.;Rj
Ii)
Evaluation du maximum d 'exceptions a l'n-vocite de l'inverse
d'u~e t~~~sformation
103
plane continue
M.Dolcher
- 4 -
(in corso d1 pubblicazione in Fund.Math.). [2J Exceptions to n~coverings for continuous mappings of a plane region. (Amsterdam),1954,
Proc. internat. Congress of ~ol.
Math.1~954
II, p.95.
~J Geometria delle," trasforroazioni continue. Sul numero dell.e immagini invearse nelle trasformazioni di un domi.nio piano pluriconnesso.
[4)
ArL~.Univ.Ferrara,
Nuova se-
rie, Sez,VII, vol.4,pp.1-7 (1954-1955). Geometria delle trasformazioni continue. UH teorema sulle trasfor.mazioni di ~ corona circolare, Riv. di Mat em. Univ.Parma, vo1.5 (1954), pp.339-361.
104
VACCARO
==:.::=====
SULL~
RAPPRESENTAZIONI LOCAll.1ENTE BIUNIVOCHE
DELLE VARIETAl TQPOL0GICHE SOPRA I POLIEDRI
Roma-Isti tuto Ilatomatico dell I Universit a. , 1956
105
M.Vaccaro
- 1 -
SULLZ
RAPPR~!S;]i[TAZIONI
LOCAL11ENTE BIUNIVOCHE
DZWLE VARH':TA I TOPOLOGICIffi SOPRA I
POLIEDRI (Conferenza di. M. Vaccaro-Roma) Scopo di questa mia conferenza
e di
mettere in luce
alcune pro prieta interessanti delle rappresentazioni localmente biunivoche. Come tali intenderemo ogni rappresentazione (funzione continua) di uno spazio topologico X in uno spazio topo10gico
Y tale che di ogni punta x di X esista almeno un intorno che venga
rappr~sentato
biunivocamente sulla sua immagine. Come
esempio di rappresentazioni localmente biunivoche si possono dare le rappresentazioni iifferenziabili (cioe esprimibili con funzioni dotate di derivate parziali fino a un dato ordine continue e a matrice javobiana di range massimo) di una varieta differenziabile in un'altra. Intxoducendo delle opportune ipotesi di compattezza sia per 10 spazio X che per 10 spazio Y1 si dimostra che 1a funzione n(Q) (Q E Y), detta molteplicita della rappresentazione in
Q e uguale al numero dei punti prototipi (0 contro-immagine) di Q, assume un valore finito in ogni punta Q di Y ed
e anzi
1i-
mi tata superiormente in tutto 10 spazio Y. Essa inc:l tre per ogni Q di Y e tale che in aLmeno un intorno di Q non supera il val ore che ha in Q, cioe ha un
m~ssimo
relativo in ogni punto
di Y. Porteremo nel seguito
l~
n9stra attenzione sulle rappre-
sentazioni localmente biutlivoche di una vai'ieta topologica ~ n-dimensionale (spazio topo10gico localmente euclidea, connesso e compatto) in uno spazio topologico Y compatto, le quali siano tali che l'immagine di Vn in Y sia un poliedro curvo pn,
107
M.Vaccaro
2
oioa ammetta un frazionamento in un complesso finito ~ di celIe curve. Per ta1i rapprescntazioni si ha Ie. seguente proprieta: l1m1te:te a ciascuna delle celle di ~, di qualsiasi dimensione, esse si ridu{lono ad alt-l'ettarLti rivestimenti (multipli) ctlrcUrvo ~ induce nella rappre-
rispondenti; inoltre i l comples5
sentazione inversa un analogc frazionamento della varieta
yn
secondo un poliedro curvo, CCbme a noto i l gruppo di omologien-dimeneionale (mod. 2) della vaneta
r
non
e nullo;
vieeversa solo per.n=1 in genera-
le si puc dire ehe anche il poliedro p1 ha l'analogo gruppo non nullo. GiS. infatti per n=2 sj hanna esempi in oontrario, cioe
po~iedri immagini p2 i1 cui gruppo di omologie 2-dimenaionale (mod.2)
e nullo,
come ncll'esempio che dare adesso.
II poliedro immagine p2 .sia costruito (nello spazio Quelideo) come segue: si pI'enda un piano euclideo privato di tre uguali, alHneati. e ao ugual distanza, e sui tre bordi
di~chi
COSl.
ottenuti si considurino. sal date Ie due parti secondo vui
viene tagliata la superficie 1i un torD. da un piano per l&ases, badando che capitino da parti opposte rispetto al piano e ehe vengano saldste comp1essiv;;unente a tutti e iil'e i bordi suddettie In
mez~o
a oiascuno dei due manici cosi ottenuti si inserise!
no due rispettivi mezzi disehi in modo da impedire il passaggi 0
per 0 gnuno di as si. Si consideri ora il poliedro curvo cos1 ottenuto come
"verniciato ll da tutte Ie parti,
Lo straterello di vernice costi-
tuisce complessivamente una sola superficLe {connessa} del tipo sfera, ed anzi l'applieazione della vernice si PUQ considerare appunto una rappresentasione localmonte biunivoca di una sfera sul p01iedro curve 6uddetto, B' facile verificare infine
c~
i1 secondo gruppo di omologie (mod.2) di questa poliedro a nul-
108
H.Vaccaro
- 3 -
10, ed anzi, cosa cho zio euclidoo, in cui
e la
pili interessante, non divide 10 spa-
e immerso,
pur ossendo un immagine local-
mente biunivoca di una sfera. Se si aggiunge invece 1 'ipotosi di differenziabilita (0 gia basta l'asistenza di derivate prime continue) si puo
dimostr~
re cha anche i1 poliedro curvo pn ha l'n-simo gruppo di omologie (mod.2) non nullo: infatti per esempio
e non
nulla la cato-
na n-dimensionalo (mod.2) che si ottieno prendendo 10 n-eello di pn tali cho risultino dispari i numori ehe si ottongono dalle lore moltep1ieita dividendole per 1a potenza pili aLta di 2 per cui siano divisibili contomporaneamonte Ie moltoplicita di tutte le n-colle di pn. Se si considera infine il easo in cui pn e i~~erso in uno spazio euelideo En+1 (n+1)-dimensionale, per i l teorema di dualita di Alexander si puo dimostrare che 10 spazio ambiente En+1 rests sUddiviso da pn in almeno due parti. In al tre parole: sotto opportune ipotesi di regolarita si puo dimostrare ehe ogni rappresentazione differenziabile di una varieta differenziabile in uno spazio euclideo En+1 e tale ehe ~'immagine di Vn divide 10 spazio En+1 in cui e immersa, e eio nonostante 1a degene-
vn
razione (in grande) della rappresentazione. Questo fatto ritengo ehe sia la cosa pili notevole di quanto ho esposto.
109