Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität

Thomas Skill Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität

VIEWEG+TEUBNER RESEARCH

Thomas Skill

Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität Ein modellgetriebener Ansatz Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Harald Upmeier

VIEWEG+TEUBNER RESEARCH

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dissertation Universität Marburg, 2010, u.d.T.: Skill, Thomas: Toeplitz-Operatoren über beschränkten symmetrischen Gebieten und C*-Algebra-Dualität D4 Hochschulkennziffer 1180

1. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ute Wrasmann | Sabine Schöller Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1541-5

Geleitwort Die geometrische Quantisierung symplektischer Phasenr¨aume ist ein wichtiger Zweig der modernen Analysis. Sie hat Querverbindungen zur harmonischen Analysis (Darstellungstheorie von Lie-Gruppen), zur mathematischen Physik (semiklassische Approximation quantenmechanischer Systeme) und zur Operatorentheorie (Schr¨odinger-Operatoren). Das zentrale Konzept umfasst eine Familie von Hilbert-Zustandsr¨aumen mit Deformationsparameter ( Plancksche Konstante“) sowie eine entsprechende Familie von Hilbert-Raum” Operatoren, die zu einem gegebenen Symbol“ geh¨oren, das eine glatte Funktion auf ” dem zugrundeliegenden Phasenraum ist und als klassische Observable gedeutet wird. Das Standardbeispiel hierf¨ ur ist der quantenharmonische Oszillator.

Neben der u ¨blichen reellen“ Quantisierung, bei der die Symbolfunktionen auf dem Ko” tangentialb¨ undel eines Konfigurationsraums leben und der Hilbert-Raum aus Wellenfunktionen der Positionskoordinaten besteht, gibt es auch die komplexe“ Toeplitz-Quantisie” rung, bei der der Phasenraum eine komplexe Polarisierung als K¨ahler-Mannigfaltigkeit besitzt und dementsprechend die Zust¨ande durch holomorphe Funktionen gegeben sind. Die quantisierten Observablen erhalten hier eher den Charakter von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und leiten daher schon zur Quantenfeldtheorie (in unendlich vielen Variablen) u ¨ber.

Die Beziehung zur harmonischen Analysis ergibt sich neben den Schr¨odinger-Darstellungen der Heisenberg-Gruppe u ¨ber interne“ Symmetriegruppen, die im Gegensatz zur Heisen” berg-Gruppe nicht nilpotent sind, sondern meist als kompakte Matrixgruppen (etwa die unit¨are Gruppe) gew¨ahlt werden. Die Darstellungstheorie dieser kompakten Lie-Gruppen beruht auf der Cartan-Weyl-Theorie des h¨ochsten Gewichts und ist im Prinzip wohlbekannt.

In neuerer Zeit spielen aber auch nicht-kompakte halbeinfache Lie-Gruppen eine wichtige Rolle in der Quantisierungstheorie, und die hier kompliziertere Darstellungstheo-

rie kann im Zusammenhang mit Quantisierung neue Impulse erhalten - bekanntlich eine Hauptmotivation zur Entwicklung der geometrischen Quantisierung. Die vorliegende Arbeit besch¨aftigt sich mit dieser Situation, genauer mit der Quantisierung beschr¨ankter symmetrischer Gebiete in einer oder mehreren komplexen Variablen. Diese k¨onnen als Quotient G/K realisiert werden k¨onnen, wobei G eine halbeinfache Lie-Gruppe hermiteschen Typs ist und K deren maximal kompakte Untergruppe.

Aufgrund der komplexen Struktur dieser Gebiete werden zur Toeplitz-Quantisierung nach F. A. Berezin die sogenannten Toeplitz-Operatoren gew¨ahlt. Dabei sind die HilbertR¨aume gewichtete Bergman-R¨aume holomorpher Funktionen auf G/K, und aufgrund des hohen Symmetriegrads kann der Bergman-Kern explizit als Potenz eines Determinantenpolynoms dargestellt werden. Hierf¨ ur ist die von M. Koecher entwickelte Jordantheoretische Beschreibung symmetrischer Gebiete von zentraler Bedeutung.

Die Analyse der Berezin-Toeplitz-Operatoren auf den Bergman-R¨aumen kann nun in zweierlei Richtung erfolgen. Zum einen kann man Toeplitz-Operatoren in sogenannten Sternprodukten multiplizieren, dann erh¨alt man asymptotische Entwicklungen analog zu den Moyal-Produkten der semiklassischen Approximation. Alternativ ist aber auch die Struktur der von den Toeplitz-Operatoren erzeugten C ∗ -Algebra von hohem Interesse, da diese ein nicht-kommutatives“ Analogon der Geometrie des zugrundeliegenden symmetrischen ” Gebiets G/K einschließlich des Randes darstellt.

F¨ ur den Fall des Hardy-Raums auf dem Shilov-Rand S von G/K ist in [Upmeier 4] eine Strukturtheorie der Toeplitz-C ∗ -Algebra mit einer Klassifikation aller irreduziblen Darstellungen auf Rand-Facetten sowie den ersten Schritten f¨ ur eine Index- und eine K-Theorie entwickelt worden. Die Hauptschwierigkeit besteht in der Tatsache, dass der Rand von G/K nicht glatt ist, sondern eine Stratifizierung in G-Bahnen besitzt, welche sich in der Darstellungstheorie der Toeplitz-C ∗ -Algebra widerspiegelt. Andererseits tr¨agt der Shilov-Rand eine transitive Wirkung der kompakten Lie-Gruppe K, und die zugeh¨orige Darstellungstheorie sowie die Struktur der Gruppen-C ∗ -Algebra erlauben es als entscheidenden Schritt, die Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra als Kreuzprodukt einer Koaktion zu realisieren.

Versucht man nun wie in dieser Arbeit, eine entsprechende Strukturtheorie f¨ ur BergmanToeplitz-Operatoren zu entwickeln, so liegt es nahe, die nicht-kompakte Lie-Gruppe G als Symmetriegruppe in den Mittelpunkt zu stellen und die im Fall des Hardy-Raums erfolgvi

reiche Methodik auch auf G anzuwenden. Hier stellt sich etwas u ¨berraschend heraus, dass die im kompakten Fall relevanten Koaktionen nicht angewandt werden k¨onnen, sondern durch das duale Konzept der Gruppenaktionen zu ersetzen sind. Daher liegt es nahe, die nicht-kommutative Dualit¨at von Gruppen-C ∗ -Algebren in einem allgemeinen Rahmen zu entwickeln und den inneren Bezug der verschiedenen Konzepte deutlich zu machen, wobei als zentrales Ergebnis stets ein Bidualit¨ats-Satz (Katayama) steht. Die vorliegende Arbeit ist im 4. Kapitel genau diesem Projekt gewidmet.

Des Weiteren besteht bei der nicht-kompakten Gruppe G das Problem darin, eine f¨ ur eine stark stetige Gruppenaktion geeignete C ∗ -Algebra beschr¨ankter Funktionen auf G/K zu konstruieren, deren Darstellungen in den Toeplitz-Operatoren reflektiert werden. Diese Konstruktion gelingt mit Hilfe der Karpeleviˇc-Kompaktifizierung symmetrischer R¨aume, wobei die Rand-Facetten durch Limiten geod¨atischer Kurven beschrieben werden. Diese Idee k¨onnte auch als Ausgangspunkt f¨ ur weitergehende Untersuchungen im nichtsymmetrischen Fall dienen. Als Folge k¨onnen nun ein Bidualit¨ats-Satz vom KatayamaTyp sowie einige bekannte Resultate zum unit¨aren Dual halbeinfacher Lie-Gruppen benutzt werden, um analog zum Hardy-Raum-Fall die Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra in ein ur eine Aktion statt einer Koaktion. Diese UntersuC ∗ -Kreuzprodukt einzubetten, aber f¨ chungen in Kapitel 6 und 7 k¨onnen als Hauptergebnis der Arbeit bezeichnet werden.

Neben diesen spezifischen Forschungsthemen bietet die vorliegende Arbeit aber auch In¨ teressantes f¨ ur einen breiteren Leserkreis, insbesondere einen recht umfassenden Uberblick u ¨ber die bestehenden Quantisierungsmethoden. Dabei wird neben dem analytischen Zugang mittels C ∗ -Algebren und nicht-kommutativer Dualit¨at auch der mehr algebraische Zugang u ¨ber Hopf-Algebren und Quantengruppen (Kapitel 2 und 3) beschrieben, um die ¨ Ahnlichkeiten und charakteristischen Unterschiede deutlich zu machen. Schließlich gibt Kapitel 5 eine Einf¨ uhrung in die Geometrie symmetrischer Gebiete sowie ihre Jordantheoretische Beschreibung.

Insgesamt handelt es sich um einen aktuellen und zukunftsweisenden Beitrag zur geometrischen Quantisierung im Rahmen der komplexen Analysis.

Marburg, im Januar 2011

Harald Upmeier

vii

Vorwort Wenn ein Vorhaben erfolgreich beendet ist, geb¨ uhrt vielen Menschen, die dabei mitgeholfen haben, Anerkennung. Bedanken m¨ochte mich f¨ ur den Zuspruch meines Doktorvaters, Herrn Prof. Dr. Harald Upmeier, der nicht nur in fachlichen, sondern auch in privaten Gespr¨achen immer daf¨ ur gesorgt hat, dass ich meinen Geist anstrenge. Seine außergew¨ohnliche und positive Art hat mich stets ermutigt und best¨arkt, mein Vorhaben zum Ende zu bringen. Bedanken m¨ochte ich mich auch bei Herrn Prof. Dr. Markus Pflaum (University of Colo¨ rado at Boulder) f¨ ur die Ubernahme des Zweitgutachtens. Sein besonderer Einsatz zeigte sich nicht zuletzt darin, dass er den Weg nach Marburg f¨ ur die Disputation auf sich genommen hat. Frau Dipl.-Math. (FH) Regine Stefanie Martschiske danke ich f¨ ur die Unterst¨ utzung beim Setzen in Teχ. Frau Ingrid Furchner hat mit großer Sorgfalt Korrektur gelesen, wof¨ ur ich ihr dankbar bin. Dem Vieweg + Teubner Verlag gilt mein Dank f¨ ur die Aufnahme in die Edition Vieweg + Teubner Research. Insbesondere danke ich den Lektorinnen des Verlags, Frau Ute Wrasmann und Frau Sabine Sch¨oller. Nicht zuletzt geht mein Dank an meine Eltern Inge und Sigurd Skill sowie an meine Frau Anja Traum, die mich stets aufgebaut haben, wenn ich an mir gezweifelt habe. Meine Frau hat mir mit viel Verst¨andnis immer den R¨ ucken frei gehalten, mich motiviert fertig zu werden und mir geholfen, mein Vorhaben in den Fokus meiner vielf¨altigen Interessen zu stellen. Daher widme ich ihr diese Arbeit. Frankfurt, im Januar 2011

Thomas Skill

Symbolverzeichnis Aop

entgegengesetzte Algebra

Seite 12

Δ

Komultiplikation

Seite 17



Koeins

Seite 17

K[G]

Gruppenalgebra u ¨ber einem Ring R

Seite 21

K(G)

Algebra R-wertiger Funktionen

Seite 21

L(H)

Menge der beschr¨ankten Operatoren

Seite 68

C ∗ (G)

Gruppen-C ∗ -Algebra

Seite 71

A⊠G

Kreuzprodukt

Seite 73

M(A) ←   → A ⊗ B, A ⊗ B

Multiplier-Algebra

Seite 74

eingeschr¨ankte Multiplier-Algebren

Seite 74

Kac-Takesaki-Operator

Seite 78

V

◻,

V◻ , V

◇,

V◇

W ◻ , W◻ , W ◇ , W◇

Kac-Takesaki-Operator

Seite 78

f ◻ , f◻ , f ⧫ , f⧫

Bimultiplikationsoperatoren

Seite 78

A  C0 (G)

Kokreuzprodukt

Seite 84

Cρ∗ (G), Cλ∗ (G)

Rechts- bzw. Linksfaltungsalgebren

Seite 84

Z

komplexes Jordan-Tripelsystem

Seite 115

B(a, b)z

Bergman-Endomorphismus

Seite 117

Δ(z, ζ)

Jordan-Tripeldeterminante

Seite 117

PS

Szeg¨o-Projektion

Seite 121

Pν

Bergman-Projektion

Seite 122

L2 (K)L

L-linksinvariante Funktionen auf L2 (K)

Seite 134

j

isometrische Einbettung

Seite 135

Λ#

Polarkegel

Seite 141

⟨G⟩ν

Hilbert-Darstellungsraum

Seite 159

⟨K⟩ν

lowest K-type

Seite 160

⟨G⟩˜ν ̂0 (G) C

Rechts-G-invarianter Unterraum gleichm¨aßig dichte

C ∗ -Unteralgebra

von Cb (G) Seite 175

⊠l

Kreuzprodukt mit Linkstranslation

Seite 179

Seite 162

Inhaltsverzeichnis Geleitwort

v

Vorwort

ix

Symbolverzeichnis

xi

1 Einf¨ uhrung

1

I

7

Dualit¨ at im algebraischen und analytischen Kontext

2 Hopf-Algebren 2.1

9

Algebrastruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.1

Die Tensoralgebra T (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Die Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis von U(g) . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Bi- und Hopf-Algebrastruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Dualit¨at von Gruppenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.1

Die universelle einh¨ ullende Algebra von sl(2, C) . . . . . . . . . . . .

23

2.3.2

Die Funktionen-Algebra K(SL(2, C)) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.3

Das duale Paar (U(sl(2, C)), K(SL(2, C))) . . . . . . . . . . . . . . .

27

Dualit¨at von q-deformierten Gruppenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4

2.4.1

Die q-deformierte universelle einh¨ ullende Algebra von sl(2, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.2

Die q-deformierte Funktionenalgebra Kq (SL(2, C)) . . . . . . . . . .

32

2.4.3

Das duale Paar (Uq (sl(2, C)), Kq (SL(2, C))) . . . . . . . . . . . . . .

37

3 Die Quantendoppelkonstruktion 3.1

Quantendoppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2

Kreuzprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.1

Kreuzprodukt von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2.2

Kreuzprodukte von Bi- und Hopf-Algebren . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3

Kreuzprodukt der Gruppenalgebra K[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4

Kreuzprodukt und Quantendoppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4 Analytische Dualit¨ atstheorie

67

4.1

C ∗ - und W ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.2

Gruppen-C ∗ -Algebren und Kreuzprodukte von C ∗ -Algebren . . . . . . . . .

71

4.3

Multiplier-Algebren und Hopf-C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.4

Kac-Takesaki-Operatoren auf L2 (G) ⊗ L2 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.5

Aktionen und Koaktionen auf C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.6

Dualit¨atss¨atze f¨ ur Operatoralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.7

Katayama-Dualit¨at f¨ ur Aktionen bzw. Koaktionen auf C ∗ -Algebren . . . .

86

II Anwendung auf Toeplitz-Operatoren fu ¨r symmetrische Gebiete 5 Symmetrische Gebiete und Funktionenr¨ aume

xiv

39

111 113

5.1

Jordan-Algebra und Jordan-Tripelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2

Jordan-Tripelsysteme und beschr¨ankte symmetrische Gebiete . . . . . . . . 116

5.3

Hardy- und Bergman-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4

Hilbert-Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5

Diskrete Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.6

Analytische Fortsetzung der holomorphen diskreten Reihe . . . . . . . . . . 128

6 Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra T (S) 6.1

131

Die Szeg¨o-Projektion als Linksfaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1.1

K-Rechtsaktion auf dem Shilov-Rand S . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.2

Liftung der Aktion auf den Hilbert-Raum L2 (S) . . . . . . . . . . . 134

6.2

Hardy-Toeplitz-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3

Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra T (S) und ihre Realisierung als Kokreuzprodukt 148

7 Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra Tν (B)

159

7.1

Bergman-Projektion als Linksfaltungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.2

Bergman-Toeplitz-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3

Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra T (B) und ihre Realisierung als Kreuzprodukt171 7.3.1

̂0 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Die C ∗ -Algebra C

7.3.2

Die Aktion auf der C ∗ -Algebra Cρ∗ (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3.3

̂0 (G) . . . . . . . . . . 179 Das Kreuzprodukt und die Rechtsaktion auf C

A Dualit¨ at der Bialgebra Uq (sl(2, C))

189

Literaturverzeichnis

197

Abstract

207

xv

Kapitel 1 Einfu ¨ hrung Diese Arbeit ist ein Beitrag zur Quantisierung im Rahmen der nicht-kommutativen Dualit¨atstheorie von Gruppen und C ∗ -Algebren, d. h. der nicht-kommutativen“ Verallgemei” nerung der Pontryagin-Dualit¨at. Dieser Zugang ist besonders geeignet f¨ ur Systeme mit hohem Symmetriegrad, wie zum Beispiel Quantengruppen oder symmetrische R¨aume, weil die Eigenschaften zueinander dualer Strukturen genutzt werden k¨onnen, wobei die Symmetrie in der jeweiligen Struktur als Relation bzw. Gruppenoperation eingeht. Die beiden Hauptaufgaben der Arbeit sind daher 1. die umfassende Darstellung der Quantisierung mittels Dualit¨atstheorie sowohl im algebraischen Rahmen der Hopf-Algebren als auch im analytischen Kontext der Hopf-C ∗ -Algebren und 2. die Untersuchung der Situation komplex-symmetrischer Gebiete, in denen die Bergman-R¨aume als Hilbert-Zustandsr¨aume und die Toeplitz-Operatoren als quantisierte Observablen die entscheidenden Rollen spielen. Der Schwerpunkt der ersten Aufgabe liegt in der Herausarbeitung der jeweils spezifischen Methoden zur Dualit¨atstheorie, n¨amlich die Drinfel’d-Doppelkonstruktion im algebraischen Teil und die Anwendung der Katayama-Dualit¨at f¨ ur C ∗ -Algebren im analytischen Teil. Im letzteren Fall hat Upmeier bereits eine Strukturtheorie f¨ ur Toeplitz-C ∗ -Algebren auf dem Hardy-Raum entwickelt [Upmeier 1], [Upmeier 3], [Upmeier 4], bei der allerdings keine eigentliche Quantisierung vorliegt. Diese ergibt sich erst bei den (gewichteten) Bergman-R¨aumen. Als Hauptergebnis der Arbeit wird gezeigt, dass die Bergman-ToeplitzC ∗ -Algebra ebenfalls mittels C ∗ -Dualit¨at beschrieben werden kann. Interessanterweise tritt aber im Bergman-Fall das Kreuzprodukt von C ∗ -Algebren auf, w¨ahrend im HardyFall das Kokreuzprodukt die entscheidende Rolle spielt. Dieser Zusammenhang bleibt f¨ ur den allgemeinen Fall der diskreten Reihe g¨ ultig, auf den im Abschnitt 7.1 der Arbeit T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

eingegangen wird. In den darauf folgenden Abschnitten wird dann der spezielle Fall der gewichteten Bergman-R¨aume betrachtet und damit auch die Verbindung zur Quantisierung hergestellt.

Im algebraischen Teil werden Quantengruppen skizziert. Ihr Ursprung liegt in der QuantumInverse-Scattering-Methode, die durch L. D. Faddeev und der Leningrader Schule“ der ” mathematischen Physik entwickelt wurde und darauf abzielt, bestimmte integrierbare Quantensysteme zu l¨osen. Diese Methode basiert im Wesentlichen auf der Quantum YangBaxter Gleichung, deren L¨osung mit R bezeichnet wurde und den Namen R-Matrix erhalten hat. In den 1980er Jahren entdeckte man, dass L¨osungen konstruiert werden k¨onnen, indem man Darstellungen bestimmter Algebren verwendet, die Deformationen einh¨ ullender Algebren von halbeinfachen Lie-Algebren ¨ahneln.

Ein weiterer Weg, zu Quantengruppen zu gelangen, ist, Funktionenalgebren und ihre Deformation zu studieren. Mit dieser Philosophie st¨oßt man auch auf nat¨ urliche Weise auf Hopf-Algebren. Betrachten wir eine diskrete, topologische, Lie- oder algebraische Gruppe G, dann untersuchen wir die Algebra der stetigen, C ∞ oder Polynom-Funktionen von G in den zugrundeliegenden K¨orper K. Diese Denkweise hat Drinfel’d auf Quantengruppen erweitert, indem er klassische Koordinatenringe durch Deformation zu nicht-kommutativen und nicht-kokommutativen Hopf-Algebren quantisierte und ihre Darstellungstheorie untersuchte. Diese Hopf-Algebren bestehen aus nicht-kommutativen Funktionen auf einem nicht-existierenden Objekt, n¨amlich einer zu G geh¨orenden Quantengruppe“. Somit ist ” klar, dass Quantengruppen an sich nicht existieren, aber ihre Funktionenalgebren, die bequemlichkeitshalber selbst als Quantengruppen bezeichnet werden.

Go

/ U ∗ (g) ≅ C ∞ (G) o O

/ U(g) O

Gq o

 / U ∗ (g) ≅ C ∞ (G) o q q

 / Uq (g)

Im Diagramm nehmen wir nun G als Lie-Gruppe an, dann gibt es eine nicht-entartete duale Paarung zwischen den glatten Funktionen C ∞ (G) auf G und dem Dual U ∗ (g) der universell einh¨ ullenden Algebra U(g). Wir erhalten also C ∞ (G) ≅ U ∗ (g). Damit haben wir die obere Zeile der Beziehungen erkl¨art. Es ist zu unterstreichen, dass die Bedeutung der Quantengruppe Gq nicht als Quantisierung von G aufgefasst werden kann. Diese fehlende Korrespondenz stellt aber kein Problem dar, denn jede Fragestellung kann als eine von uckt werden. Cq∞ (G) ausgedr¨ 2

Eine M¨oglichkeit, eine Quantengruppe zu konstruieren, ist, sie aus der quantisierten universellen Einh¨ ullenden und deren Dual, einer quantisierten Funktionenalgebra, als Doppel zu erzeugen. Dieses Doppel ist eine quasi-triangul¨are Hopf-Algebra, womit im quantisierten Fall ihre Nicht-Kommutativit¨at und ihre Nicht-Kokommutativit¨at einhergeht. Diese ebenfalls auf Drinfel’d zur¨ uckgehende Idee bildet die algebraische Grundlage f¨ ur unseren analytischen Teil. Wir arbeiten beispielhaft die Dualit¨at der quantisierten universellen Einh¨ ullenden Uq (sl(2, C)) und der (quantisierten) Koordinatenfunktionenalgebren K(SLq (2, C)) explizit heraus. Die Einzelergebnisse der Berechnungen zur Dualit¨at werden im Anhang aufgef¨ uhrt. Anschließend er¨ortern wir detailliert die Doppelkonstruktion. Dabei verwenden wir im Abschnitt 3.2.2 eine neue Notation f¨ ur die Koassoziativit¨at, die die Einsteinsche Summenkonvention ber¨ ucksichtigt und die Rechenoperationen der Elemente im Tensorprodukt verdeutlicht. Auch die Schreibweise f¨ ur die Aktion im Abschnitt 3.2.1 ist neu und hilft, die Rechnungen u ¨bersichtlich zu gestalten. Diese beiden Arten der Notation sind sehr n¨ utzlich, um die Bedingungen f¨ ur vertr¨agliche Paare zu beweisen, die die Grundlage der Doppelkonstruktion bilden. urlicherweise In der Dualit¨atstheorie im analytischen Kontext der C ∗ -Algebren stehen nat¨ andere Methoden im Vordergrund. Um die nicht-kommutative Dualit¨at lokalkompakter Gruppen herauszuarbeiten, sind Hopf-C ∗ -Algebren und Aktionen bzw. Koaktionen auf ihnen erforderlich. Um die Einsabbildungen in der Hopf-C ∗ -Algebra u ¨berhaupt bilden zu k¨onnen, muss zun¨achst die C ∗ -Algebra als Ideal in eine unitale C ∗ -Algebra eingebettet werden. Diese unitale C ∗ -Algebra ist bis auf Isomorphismen eindeutig: es ist die MultplierAlgebra. Die Aktion einer Gruppe, aufgefasst als Algebraautomorphismus, kommt hinzu und f¨ uhrt zu einer gr¨oßeren C ∗ -Algebra, genauer einer Multiplier-Algebra: dem Kreuzprodukt. Dann ben¨otigen wir noch die Aktion auf der dualen Gruppe und kommen so zur Koaktion einer Gruppe auf einer C ∗ -Algebra. Damit sind wir vorbereitet, die nichtkommutative Dualit¨at zu untersuchen. Hierf¨ ur arbeiten wir den Dualit¨atssatz von Katayama aus, d. h. die Kreuzproduktdualit¨at von (reduzierten) Koaktionen und und die Kokreuzproduktdualit¨at von (reduzierten) Aktionen. Außerdem geben wir den Beweis explizit mit dem entsprechenden Kac-Takesaki-Operator, und damit ist die Darstellung f¨ ur Kreuz- und Kokreuzprodukt einheitlich. ´ Cartan eine vollst¨andiNun kommen wir zum zweiten Teil der Arbeit. Im Jahre 1935 gab E. ge Klassifikation Hermitescher symmetrischer R¨aume an. Er bewies, dass jeder Hermitesche symmetrische Raum ein Produkt irreduzibler Hermitescher symmetrischer R¨aume ist und es exakt vier Klassen und zwei Ausnahmef¨alle irreduzibler Hermitescher symmetrischer R¨aume gibt. Harish-Chandra bewies 1956, dass jede Hermitesche symmetrische Mannigfaltigkeit holomorph ¨aquivalent zu einem komplex symmetrischen beschr¨ankten Gebiet ist. M. Koecher zeigte 1969, dass Jordan-Algebren und Jordan-Tripelsysteme in 3

der komplexen Analysis angewandt werden k¨onnen, um insbesondere die beschr¨ankten symmetrischen Gebiete algebraisch zu beschreiben. Toeplitz-Operatoren und ToeplitzC ∗ -Algebren auf symmetrischen Gebieten sind mit der Jordan-algebraischen Struktur der zugrundeliegenden Gebiete u ¨ber die Szeg¨o-Projektion auf dem Hardy-Raum H 2 (S) und die Bergman-Projektion auf dem Bergman-Raum H 2 (B) eng verbunden. Nach einer Darstellung der wesentlichen Ergebnisse aus der Theorie der Jordan-Algebren und der Hilbert-R¨aume holomorpher Funktionen wird zun¨achst der Hardy-Raum-Fall f¨ ur die Toeplitz-C ∗ -Algebra T (S) mit S = K/L detailliert ausgef¨ uhrt. Zun¨achst wird im Abschnitt 6.1 gezeigt, dass die Szeg¨o-Projektion als Linksfaltungsoperator aufgefasst werden kann. Im anschließenden Abschnitt 6.2 verwenden wir diese Projektion zur Definition des Toeplitz-Operators. Dann zeigen wir in Abschnitt 6.3 die Realisierung der ToeplitzC ∗ -Algebra als Unteralgebra eines Kokreuzprodukts einer passenden (Hopf-C ∗ -Algebra-) Koaktion. Dabei verbessern wir Upmeiers Argument beim Beweis der C ∗ -Koaktion an der Stelle, an der die Dichtheit des algebraischen Tensorprodukts in der Fourier-Algebra verwendet wird (Proposition 6.3.5). Bei der Bergman-Raum-Theorie gibt es eine Reihe von Parallelen, aber auch Unterschiede zur Hardy-Raum-Theorie. Wir zeigen in Abschnitt 7.1, dass die Bergman-Projektion ein Linksfaltungsoperator ist, allerdings nicht auf der kompakten Gruppe K, sondern auf der nicht-kompakten Gruppe G. Dabei wird die holomorphe diskrete Reihe als Prototyp f¨ ur die gewichteten Bergman-R¨aume verwendet; hier sei betont, dass die Konstruktion auch f¨ ur die volle diskrete Reihe gilt. Anschließend konstruieren wir in Abschnitt 7.2 den Bergman-Toeplitz-Operator und realisieren die Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra als Unteralgebra eines Kreuzprodukts im Abschnitt 7.4. Um dieses Kreuzprodukt u ¨berhaupt definieren zu k¨onnen, ben¨otigen wir eine nicht offensichtliche Funktionenalgebra gleichm¨aßig stetiger Funktionen; diese entwickeln wir in den Abschnitten 7.3.1 und 7.3.2. Daf¨ ur wenden wir einige Ergebnisse der komplexen Analysis an. Bei der Realisierung als Kreuzprodukt werden neben der Katayama-Dualit¨at tiefe S¨atze der Topologie des unit¨aren Duals angewandt, mit deren Hilfe der Nachweis gelingt, dass die Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra eine Unteralgebra des Kreuzprodukts ist. Mit diesem Ergebnis k¨onnte im Prinzip die Darstellungstheorie des Bergman-Raum-Falls bestimmt werden, wie es im Hardy-Raum-Fall [Upmeier 3], [Upmeier 4] erfolgt ist, aber darauf werden wir nicht mehr eingehen. Nun ist noch die Frage offen, warum dies ein Beitrag zur Quantisiserung ist. Dazu erl¨autern wir zun¨achst kurz die Quantisierung. Quantisierung ist ein mathematisches Konzept daf¨ ur, etwas Stetiges“ auf eine diskrete ” Menge von Werten einzuschr¨anken. Das einfachste Beispiel ist eine Einschr¨ankung von R auf N. In der Physik bedeutet Quantisierung, aus einem klassischen System ((M, ω), {, }, Hklass. ) mit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω) 4

als Phasenraum, der Poisson-Klammer {, } auf der Observablenalgebra A = C ∞ (M) und der Hamilton-Funktion Hklass. (glatte reellwertige Funktion auf M) als klassischer Bewegungsgleichung, einen korrespondierenden Hilbert-Raum H zu konstruieren. Genauer heißt Quantisierung, eine bijektive Abbildung qh̵ ∶ A → A von der Menge der klassischen Observablen A in die Menge der Quantenobservablen A (Menge der selbstadjungierten Operatoren auf einem Hilbert-Raum H) zu definieren. ̵ (reduzierte Plancksche Konstante1 ) ab. Die Die Abbildung qh̵ h¨angt vom Parameter h Einschr¨ankung der Abbildung qh̵ auf den Unterraum der beschr¨ankten klassischen Observablen A0 ist ein Homomorphismus auf den Unterraum der beschr¨ankten Quantenobservablen A0 = A ∩ L(H), die die Eigenschaft 1 −1 q̵ (qh̵ (f1 )qh̵ (f2 ) + qh̵ (f2 )qh̵ (f1 )) = f1 f2 lim ̵ h→0 2 h und das (Bohrsche) Korrespondenzprinzip lim qh̵−1 ({qh̵ (f1 ), qh̵ (f2 )}h̵ ) = {f1 , f2 } ̵ h→0

f¨ ur alle f1 , f2 ∈ A0 erf¨ ullen. Der Isomorphismus zwischen der Lie-Algebra beschr¨ankter klassischer Observablen und der Lie-Algebra beschr¨ankter Quantenobservablen besteht aber nicht grunds¨atlich, sondern nur im Limes. ¨ Physikalisch bedeutet dies, dass stetige Zust¨ande und Uberg¨ ange durch ganz bestimmte (n¨amlich diskrete) ersetzt werden, d. h. zwischen diesen bestimmten Zust¨anden und ¨ ¨ Uberg¨ angen sind keine anderen erlaubt. Damit ist der Ubergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik beschrieben, in dem die stetigen klassischen Gr¨oßen durch diskrete Gr¨oßen der Quantenmechanik ersetzt werden. In der klassischen Mechanik hingegen werden die beobachtbaren physikalischen Bestimmungsgr¨oßen durch reelle, in den meisten F¨allen auch glatte Funktionen F (q, p) auf dem Phasenraum dargestellt. ̵ abh¨angen und F¨ ur die Untersuchung von C ∗ -Algebren, die vom Deformationsparameter h sich dem klassischen Limes ann¨ahern, gibt es zwei Untersuchungsrichtungen: Erstens, kann man den Kommutator zweier quantisierter Funktionen betrachten, der durch eine Korrektur der Poisson-Klammer auf der Mannigfaltigkeit gegen null geht (semiklassischer Limes). Zweitens, einen nicht-st¨orungstheoretischen Ansatz (s. [Borthwick/Lesniewski/Upmeier]) 1

Das Plancksche Wirkungsquantum h ist eine fundamentale Naturkonstante der Quantenphysik. Es

ist nach Max Planck (23. April 1858, Kiel - 4. Oktober 1947, G¨ottingen) benannt, einem deutschen ̵ = h das reduzierte Plancksche Physiker und Nobelpreistr¨ager f¨ ur Physik 1918. Man bezeichnet mit h 2π Wirkungsquantum.

5

zu w¨ahlen, in dem Toeplitz-Operatoren als Quantisierungsabbildungen genutzt werden2 . Die Idee, Toeplitz-Operatoren zur Quantisierung zu nutzen, ist in Berezin3 ([Berezin]) zu finden. Eine physikalische Interpretation ist hingegen spekulativ. Im zweiten Ansatz wird die transitive Aktion einer biholomorphen Gruppe verwendet, die in allen Hermiteschen symmetrischen R¨aumen vom nicht-kompakten Typ enthalten ist und diese R¨aume mit der Planckschen Konstante h verbindet. Ausgehend von komplexen Hermiteschen R¨aumen kompakten und nicht-kompakten Typs, die als beschr¨ankte symmetrische Gebiete S = K/L bzw. B = G/K ⊂ Cn realisiert sind, wird die Quantisierungsabbildung

A ∶ C ∞ (B) → L(H) f ↦ Af ,

realisiert durch (unbeschr¨ankte) Operatoren auf einem komplexen Hilbert-Raum H, die die Kovarianzbedingung Af ○g−1 = U (g)Af U (g −1 )

f¨ ur alle g ∈ G und irreduzible (projektive) Darstellungen U von G, die auf H wirken. Die Sichtweise, dass die holomorphe Reihe ein Prototyp f¨ ur Bergman-R¨aume ist, stellt die Verbindung von einem parameterabh¨angigen Maß zu einem symmetrischen Raum her. Dieser Parameter ergibt im Verh¨altnis zum Geschlecht des Gebiets die inverse Plancksche Konstante, also ν 1 = . p h

Somit sehen wir, dass jeder Toeplitz-Operator Tν zu einem gewichteten Bergman-Raum geh¨ort, wobei eben dieses ν eine Verbindung zur Planckschen Konstante hat.

2

Hier wird auf die (Berezin-)Toeplitz-Quantisierung als eine Form der Deformationsquantisierung Be-

zug genommen. Rieffel ([Rieffel], S. 91) sieht dies nicht als Deformationsquantiserung, weil nicht ein deformiertes Produkt gesucht wird, sondern die Quantisierung durch die Korrespondenz einer beschr¨ankten messbaren Funktion zum Toeplitz-Operator besteht, wenn das Maß eine Funktion der Planckschen Konstante ist. Daf¨ ur spricht, dass die Konstruktion des Toeplitz-Operators auf die (Ko-)Kreuzproduktbildung zur¨ uckzuf¨ uhren ist, und somit die zu erf¨ ullenden Bedingungen gleich sind. 3 Felix Alexandrovich Berezin (25. April 1931 in Moskau - 14. Juli 1980 im Kolyma-Gebiet) war ein russischer Mathematiker und theoretischer Physiker. Er begr¨ undete die sog. Supermathematik.

6

Teil I Dualit¨ at im algebraischen und analytischen Kontext Im ersten Teil werden detailliert die grundlegenden Konzepte der Dualit¨atstheorie (bspw. Quantendoppel) dargestellt, und zwar sowohl im algebraischen Rahmen der HopfAlgebren als auch im funktionalanalytischen Kontext der W ∗ - und C ∗ -Algebren. Das Ziel ist, die enge Beziehung zwischen dem algebraischen und dem funktionalanalytischen Zugang aufzuzeigen und f¨ ur Operatoralgebren eine einheitliche Beweisf¨ uhrung der Katayama-Dualit¨atss¨atze zu erreichen, d. h. simultan f¨ ur Aktionen und Koaktionen auf uhrung kann als relativ elementar und dennoch vollst¨andig C ∗ -Algebren. Diese Beweisf¨ bezeichnet werden und stellt gegen¨ uber den Originalarbeiten, in denen Aktionen und Koaktionen durchaus unterschiedlich behandelt werden, eine Pr¨azisierung und Vereinheitlichung dar. Im zweiten Teil werden die Katayama-S¨atze auf eine konkrete Quantisierungsmethode angewandt, wobei erstaunlicherweise sowohl Aktionen als auch Koaktionen eine wichtige Rolle spielen und die C ∗ -Dualit¨atstheorie benutzt wird.

Kapitel 2 Hopf-Algebren Der Begriff Hopf-Algebra ist aus Hopfs1 Besch¨aftigung mit der Kohomologie kompakter Lie-Gruppen und ihrer homogenen R¨aume entstanden (s. [Hopf], § 3, Randziffer 19, S. 37). Die dort noch verwendeten Restriktionen (wie die Existenz einer Graduierung), um die topologischen Anforderungen erf¨ ullen zu k¨onnen, konnten durch die Verwendung von Hopf-Algebren in anderen Gebieten immer mehr wegfallen. Chevalley erweiterte die LieTheorie auf algebraische Gruppen, aber dort ist die Beziehung zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren (im Falle der Charakteristik p ≠ 0) nicht g¨ ultig. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, f¨ uhrten Cartier, Manin, Grothendieck et al. Hopf-Algebren in der algebraischen Geometrie ein. Dort entsteht ihre doppelte Rolle: Zum einen sind die linksinvarianten Differentialoperatoren einer algebraischen Gruppe eine kokommutative Lie-Algebra, die mit der einh¨ ullenden Lie-Algebra der Charakteristik 0 koinzidiert. Zum anderen bilden die regul¨aren Funktionen einer affinen algebraischen Gruppe (mit gew¨ohnlicher Multiplikation) eine kommutative Hopf-Algebra. Diese beiden Situationen beschreiben ein generelles Ph¨anomen der Dualit¨at von Algebren. So besteht f¨ ur eine endliche Gruppe G, einen K¨orper K, die dazugeh¨orige Gruppenalgebra K[G] und die Algebra K(G) der K-wertigen Abbildungen von G die nat¨ urliche Dualit¨at der Vektorr¨aume durch ⟨ ∑ ag ⋅ g, f ⟩ = ∑ ag ⋅ f (g) g∈G

g∈G

f¨ ur ∑ ag ⋅ g ∈ K[G] und f ∈ K(G). Die beiden Betrachtungen im n¨achsten Beispiel stellen g∈G

die Verbindung zum zweiten Abschnitt dieser Arbeit her.

1

Heinz Hopf (19. November 1894 in Gr¨abschen bei Breslau - 03. Juni 1971 in Zollikon, Schweiz) war

deutsch-schweizerischer Mathematiker.

T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Beispiel 2.0.1.

1. F¨ ur eine lokalkompakte Gruppe G ist die Algebra L1 (G) der inte-

grierbaren Funktionen mit Faltungsprodukt dual zur Algebra L∞ (G) der beschr¨ankten messbaren Funktionen (mit punktweiser Multiplikation). 2. Ist G eine Lie-Gruppe, so ersetzt man im vorangegangenen Beispiel L1 (G) durch die Faltungsalgebra C0 (G) von Distributionen mit kompaktem Tr¨ager und L∞ (G) durch die Algebra C ∞ (G) der glatten Funktionen: Die Algebra C0 (G) ist dual zu C ∞ (G). Hier weisen wir darauf hin, dass jeweils mindestens eine der zueinander dualen Algebren eine graduierte Algebra2 u ¨ber einem kommutativen Ring ist. Dies ¨andert sich mit dem Auftreten von Quantengruppen3 .

2.1

Algebrastruktur

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra u ¨ber dem Ring R ist ein R-Modul A mit einer Verkn¨ upfungsabbildung ⋅∶A×A → A (x, y) ↦ xy f¨ ur alle x, y ∈ M , so dass f¨ ur alle x, y, z ∈ A und a ∈ R gilt: 1. x(y + z) = xy + xz, 2. (x + y)z = xz + yz, 3. (ax)y = a(xy) = x(ay). 2

Eine N-Graduierung Gr einer Algebra A ist eine Familie (Gr(A))n∈N von R-Untermoduln mit den

Eigenschaften, dass 1. die durch Einbettungen Grn (A) ↪ A induzierte kanonische Abbildung ∞

⊕ Grn (A) → A

n=0

ein R-Modulisomorphismus ist und 2. Grn (A) ⋅ Grm (A) ⊂ Grn+m (A) f¨ ur alle n, m ∈ N gilt. Eine R-Algebra zusammen mit einer N-Graduierung heißt (N−)graduierte Algebra. 3 Zu Quantengruppen sind zahlreiche B¨ ucher erschienen. Wir nennen hier [Chari/Pressley], [Klimyk/Schm¨ udgen] und [Majid 2].

10

auszugsweise

Fassen wir nun diese Verkn¨ upfung als eine Abbildung m ∶ A × A → A auf und schreiben sie um in die Abbildungsvorschrift: 1. m(x, y + z) = m(x, y) + m(x, z), 2. m(x + y, z) = m(x, y) + m(x, z), 3. m(ax, y) = a ⋅ m(x, y) = m(x, ay), so erkennen wir klarer, dass die Multiplikation eine bilineare Abbildung ist. Das Tensorprodukt von R-Moduln erm¨oglicht es, die bilineare Abbildung als lineare Abbildung (als Modulhomomorphismus) auszuf¨ uhren. Diese lineare Sichtweise erm¨oglicht zum einen, auf Erzeugern zu rechnen, weil lineare Abbildungen durch ihre Werte auf den Erzeugern eindeutig bestimmt sind, und zum anderen, Dualit¨at zu beschreiben, indem die Modulhomomorphismen kategorientheoretisch als Morphismen der Kategorie Modul verstanden werden und die duale Kategorie betrachtet wird. Daher definieren wir die Algebra mit Hilfe von R-Modulhomomorphismen. Definition 2.1.1. Es seien A ein R-Modul, m ∶ A ⊗ A → A und η ∶ R → A (R-Modul-) Homomorphismen. Dann heißt A eine unitale assoziative R-Algebra, wenn 1. die Multiplikation assoziativ ist, d. h. m ○ (m ⊗ idA ) = m ○ (idA ⊗ m), und 2. die Eigenschaft des Einselements gilt, d. h. m ○ (η ⊗ idA ) = m ○ (idA ⊗ η). Das bedeutet, dass folgende Diagramme kommutativ sind: m⊗idA

A ⊗ A ⊗ A → A ⊗ A   idA ⊗m m     m A⊗A → A idA ⊗η

η⊗idA

K ⊗ A → A ⊗ A ← A ⊗ K    ≃ m ≃       idA idA A → A ← A Ein Algebramorphismus f ∶ A → B, wobei (A, m, η) und (B, m, ˜ η˜) R-Algebren sind, ist ein Modulmorphismus, der folgende Bedingungen erf¨ ullt: 1. m ˜ ○ (f ⊗ f ) = f ○ m, das bedeutet als Diagramm: f ⊗f

A ⊗ A → B ⊗ B   m m˜     f A → B 11

2. η ○ f = η˜, als Diagramm geschrieben: R ~ ??? ?? ~~ ~ ??η˜ ~ ?? ~~η ~ ~ ?? ~ ? ~ ~ f /B A Definition 2.1.2. Gegeben sei eine Algebra A mit Multiplikation mA . Eine entgegengesetzte Algebra Aop ist eine Algebra mit demselben zugrundeliegenden Modul R, bei der aber die Multiplikation mAop durch mAop = mA ○ τA,A definiert ist, wobei τA,A die Vertauschungsabbildung der beiden Faktoren von A × A ist. Diese Definition bedeutet in anderen Worten: mAop (a, a′ ) = a′ a. Eine Algebra ist genau dann kommutativ, wenn f¨ ur die Multiplikation mAop = mA gilt. Im Weiteren wird die folgende Struktur eine Rolle spielen: Eine R-Lie-Algebra ist ein R-Modul L mit einem Modulmorphismus β ∶ L × L → L, so dass 1. β(x, x) = 0 und 2. β(β(x, y), z) + β(β(z, x), y) + β(β(y, z), x) = 0 (Jacobi-Identit¨at) erf¨ ullt sind. Dabei wird β als Lie-Klammer auf dem Modul L bezeichnet. Beispiel 2.1.3. F¨ ur jede R-Algebra A definiert der Kommutator [ x, y] = xy −yx auf dem darunterliegenden R-Modul von A eine Lie-Klammer. So wird die Algebra A zu einer Lie-Algebra, die wir mit AL bezeichnen. ˜ mit einem R-Modulmorphismus ˜ m, Liegen zwei Lie-Algebren (L, m, η, β), (L, ˜ η˜, β) ˜ (x), f (y)) ˜ f ∶ L → L vor, dann ist f ein Lie-Algebramorphismus, wenn f (β(x, y)) = β(f erf¨ ullt ist:

f ⊗f L ⊗ L → L˜ ⊗ L˜   β β˜     f L → L˜ Die universelle einh¨ ullende Algebra einer Lie-Algebra L ist die Konstruktion einer asso-

ziativen Algebra U(L), die L als Unterraum enth¨alt, auf dem der Kommutator (bzgl. des Algebraprodukts) die Lie-Klammer von L (die bilineare Abbildung [, ] ∶ L × L → L) ist. Dies bedeutet konkret, dass das urspr¨ ungliche Algebraprodukt eine Lie-Struktur erhalten muss. Der erste Schritt dazu ist, eine direkte Summe der zugrundeliegenden Moduln zu bilden. 12

2.1.1

Die Tensoralgebra T (L)

Wir beginnen mit dem Modul L, der der Lie-Algebra l zugrundeliegt, und definieren darauf n

die direkte Summe T (L) aller Moduln Ln , wobei Ln ∶= ⊗ L das n-te Tensorprodukt von j=1

L ist. Das bedeutet:

∞

∞

n

n=0

n=0

k=1

T (L) ∶= ⊕ Ln = ⊕ (⊗ L) , wobei wir den eindimensionalen Modul L0 = R setzen. Nun definieren wir auf den homogenen Elementen (Element aus Ln ) eine bilineare Multiplikation Lm × Ln → Lm+n als Einschr¨ankung des kanonischen Isomorphismus (des algebraischen Tensorprodukts) Lm ⊗ Ln → Lm+n . Mit dieser assoziativen Multiplikation wird T (L) eine unitale assoziative Algebra, die als Tensoralgebra bezeichnet wird. Man kann zeigen, dass T (L) folgende universelle Eigenschaft hat: Es sei i die Einbettung von L als L1 ⊆ T (L). Falls nun i0 ∶ L → U(l) ein Algebrahomomorphismus von L in eine unitale assoziative Algebra ist, dann gibt es einen eindeutigen Algebrahomomorphismus l ∶ T (L) → U (l) mit l(1) = 1, so dass folgendes Diagramm kommutiert: T (L) O i

L

l

i0

# / U(l).

Allerdings fehlt der Tensoralgebra die Lie-Struktur, d. h. der Kommutator des Tensorproduktes, der hier in L2 liegt, muss der bilinearen Abbildung in L entsprechen, also bspw. x1 ⊗ x2 − x2 ⊗ x1 = [x1 , x2 ], was allgemein bedeutet, dass in Ln ein Element der Form x1 ⊗ x2 . . . ⊗ xi ⊗ xi+1 ⊗ xi+2 ⊗ . . . ⊗ xn − x1 ⊗ x2 . . . ⊗ xi+1 ⊗ xi ⊗ xi+2 ⊗ . . . ⊗ xn mit x1 ⊗ x2 . . . ⊗ [xi , xi+1 ] ⊗ xi+2 . . . xn ∈ Ln−1 identifiziert werden kann. Dies gelingt dadurch, dass die Tensoralgebra T (L) durch das zweiseitige Ideal I = x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y] dividiert wird, wobei x, y ∈ L1 gilt. Der Quotient U(l) = T (L)/I 13

ist die universelle einh¨ ullende Algebra einer Lie-Algebra l. Um die universelle einh¨ ullende Algebra analytisch zu interpretieren, betrachten wir eine Algebra von Differentialoperatoren. Sei GR eine topologische Gruppe mit glatter Mannig˜ der ur X ∈ gR ist das linksinvariante Vektorfeld X faltigkeit und gR ihre Lie-Algebra. F¨ Endomorphismus der Menge C ∞ (GR ) der komplexwertigen glatten Funktionen auf GR , der durch ˜ (x) = d f (x exp(tX))∣t=0 Xf dt ˜ ist ein Beispiel f¨ gegeben ist. Der Operator X ur einen linksinvarianten Differentialoperator auf GR , der wie jeder Endomorphismus D auf C ∞ (GR ) mit den folgenden Eigenschaften definiert ist: 1. D kommutiert mit allen Linkstranslationen durch Elemente von GR . 2. F¨ ur jedes g ∈ GR gibt es eine Karte (φ, S) um g mit φ = (x1 , . . . , xn ) und Funktionen ak1 , . . . , akn ∈ C ∞ (S), so dass Df (x) = ∑ ak1 . . . akn (x)

∂ k1 +...+kn f (x) ∂xk11 . . . ∂xknn

f¨ ur alle x ∈ S und f ∈ C ∞ (GR ). Solche Operatoren bilden eine Unteralgebra D(GR ) ⊂ EndC (C ∞ (GR )) mit Einselement ([Knapp 1], S. 48). Eine n¨ utzliche Beschreibung der universellen einh¨ ullenden Algebra bietet folgender Satz von Laurent Schwartz ([Kirillov], S. 80): Theorem 1. Sei G eine Lie-Gruppe und g deren Lie-Algebra. Dann ist die Algebra U(g) isomorph 1. zur Algebra aller Differentialoperatoren auf G, die mit der Linkstranslation kommutieren, und 2. zur Algebra der Distributionen auf G mit kompaktem Tr¨ager in {e} unter Faltungsoperation, wobei e ∈ G das Einselement der Gruppe ist.

2.1.2

Die Poincar´ e-Birkhoff-Witt-Basis von U(g)

Bevor wir auf die Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis kommen, gehen wir auf die Graduierung der universellen einh¨ ullenden Algebra ein. Dazu betrachten wir zun¨achst die Symmetrisierung, die wir f¨ ur den Satz von Poincar´e, Birkhoff und Witt ben¨otigen. Hierzu sei Sn 14

die symmetrische Gruppe in n Buchstaben, d. h. die Permutationsgruppe von {1, . . . , n}. Die lineare Abbildung s ∶ x1 ⊗ x2 ⊗ . . . ⊗ xn ↦

1 ∑ xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n) n! σ∈Sn

erweitert den wohldefinierten Symmetrisierungs-Endomorphismus s ∶ T (g) → T (g) mit der Eigenschaft s2 = s. Das Bild Im(s) besteht aus den symmetrischen Tensoren und ist ein Vektorraumkomplement zum Ideal J , das durch ⟨x ⊗ y − y ⊗ x∣x, y ∈ g⟩ erzeugt wird. Diese symmetrische Algebra S(g) = T (g)/J identifizieren wir mit den symmetrischen Tensoren durch die Quotientenabbildung, so dass die Symmetrisierung als eine Projektion s ∶ T (g) → S(g) betrachtet werden kann. Der Schnitt τ ∶ S(g) → T (g) x1 . . . xn ↦ s(x1 ⊗ . . . ⊗ xn ) ist eine lineare Abbildung, aber kein Algebrahomomorphismus, weil das Produkt zweier symmetrischer Tensoren im Allgemeinen kein symmetrischer Tensor ist. Die universelle einh¨ ullende Algebra U(g) ist keine graduierte Algebra, aber wir k¨onnen sie als Vektorraum graduieren. Dazu betrachten wir die nat¨ urliche Graduierung von T (g): ∞

T (g) = ⊕ T k (g), k=0 k

wobei T k (g) = ⊗ g ist. Die Projektion von T (g) auf U(g) induziert keine Graduierung, l=0

weil die definierenden Relationen von U(g) bis auf den Fall [, ] = 0 nicht homogen sind. Andererseits erh¨alt die Symmetrisierung s ∶ T (g) → S(g) die Graduierung. Die zur Graduierung von T (g) geh¨orige Filtration ist k

T (k) (g) = ⊕ T j (g), j=0

so dass T (0) (g) ⊆ T (1) (g) ⊆ T (2) (g) ⊆ . . . und T (i) (g) ⊗ T (j) (g) ⊆ T (i+j) (g) uckgegangen wergilt. Durch Quotientenbildung kann auf T k (g) = T (k) (g)/T (k−1) (g) zur¨ den. 15

Ist nun U (k) (g) das Bild von T (k) (g) unter der Projektionsabbildung, dann haben wir die Relation U (k) (g) ⋅ U (l) (g) ⊆ U (k+l) (g), so dass die universelle einh¨ ullende Algebra U(g) eine im folgenden Sinne nat¨ urliche Filtration hat: F¨ ur jede Abbildung g → h erh¨alt das Diagramm g → h         U(g) → U(h) die Filtration. Um nun eine graduierte Algebra zu konstruieren, definieren wir U k (g) = U (k) (g)/U (k−1) (g) mit der wohldefinierten Multiplikation U k (g) ⊗ U l (g) → U k+l (g) [u] ⊗ [v] ↦ [uv], die eine assoziative Operation bildet. Diese bezeichnet man mit der zu U(g) geh¨orenden graduierten Algebra Gr(U(g)): ∞

Gr(U(g)) ∶= ⊕ U k (g). j=0

Um sp¨ater auf den Erzeugern einer universellen einh¨ ullenden Algebra rechnen zu k¨onnen, legen wir die Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis als ein Korollar aus dem folgenden Satz zugrunde: Theorem 2. (Satz von Poincar´ e-Birkhoff-Witt) Der Homomorphismus ω ∶ S → Gr ist ein Algebrenisomorphismus. Einen Beweis dazu findet man in [Humphrey] (Abschnitt 17.4, S. 93f). Betrachten wir eine Basis (Xi )i∈I einer Lie-Algebra g und nehmen außerdem an, dass diese Basis abz¨ahlbar ist und durch eine geeignete Indexmenge I ⊂ N bezeichnet wird. Dann folgt mit dem Satz von Poincar´e-Birkhoff-Witt, dass die Menge aller Monome der universellen einh¨ ullenden Algebra U(g) die Form Xi1 Xi2 ⋯Xik hat, wobei ik eine monoton wachsende Folge von k Elementen in I ist, d. h. i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ik−1 ≤ ik mit k nichtnegativen ganzen Zahlen ist eine Basis von U(g). Diese Basis wird als Poincar´ e-Birkhoff-Witt-Basis bezeichnet. 16

2.2

Bi- und Hopf-Algebrastruktur

Wie schon zu Beginn dargestellt wurde, ist die Definition der Algebra bereits so angelegt, dass wir diese kategorientheoretisch dualisieren k¨onnen, d. h. wir k¨onnen die duale Kategorie bilden, bei der die Objekte der Kategorien erhalten bleiben, aber die Quelle und das Ziel der Morphismen vertauscht sind. Dies bedeutet, dass sich die Pfeile der Diagramme in der voranstehenden Definition der Algebra umkehren. Definition 2.2.1. Es seien C ein R-Modul, Δ ∶ C → C ⊗ C und  ∶ C → R (R-Modul)Homomorphismen. Dann heißt C eine unitale assoziative R-Koalgebra, wenn 1. (Δ ⊗ idC ) ○ Δ = (idC ⊗ Δ) ○ Δ (Koassoziativit¨at) und 2. ( ⊗ idC ) ○ Δ = (idC ⊗ ) ○ Δ gilt. Das bedeutet, dass folgende Diagramme kommutativ sind: Δ

C → C ⊗ C   Δ Δ⊗idC     idC ⊗Δ C ⊗ C → C ⊗ C ⊗ C idC ⊗

⊗idC

R ⊗ C ← C ⊗ C → C ⊗ R # # # ≃ m ≃       idC idC C ← C → C Der R-Modul-Homomorphismus Δ wird als Komultiplikation4 und  als Koeins bezeichnet. Gilt zudem die Kommutativit¨at des Diagramms

Δ

R

? C ?? ?? ?? Δ ?? ?? ??  τ / R,

wobei τ (c ⊗ c′ ) = c′ ⊗ c, dann wird die Koalgebra als kokommutativ bezeichnet. Die entgegengesetzte Koalgebra ist eine Koalgebra mit der entgegengesetzten Komultiplikation Δop = τC,C ○ Δ. Die entgegengesetzte Koalgebra C cop = (C, Δop , ) ist selbst eine Koalgebra. 4

In diesem Zusammenhang wird auch der Begriff Koprodukt verwendet, der allerdings wegen seiner

Bedeutung in der Kategorientheorie missverst¨andlich ist. Er entspricht dem der Komultiplikation in der Kategorie der Moduln.

17

Definition 2.2.2. Sei (C, Δ, ) eine (R−)Koalgebra. Dann nennt man einen Unterraum I ein (zweiseitiges) Koideal, falls 1. Δ(I) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I und 2. (I) = 0. Falls die zweite Bedingung wegf¨allt und die erste durch Δ(I) ⊆ I ⊗ C (bzw. Δ(I) ⊆ C ⊗ I) ersetzt wird, heißt I ein Rechtskoideal (bzw. Linkskoideal).

Ein Koideal I muss weder ein Links- noch ein Rechtskoideal sein. Falls I ein Links- und ein Rechtskoideal ist, dann ist I eine Unterkoalgebra und kein Koideal (ausgenommen I = {0}), weil I ⊗C ∩C ⊗I =I ⊗I gilt. Damit ist aber erreicht, dass man I herausfaktorisieren kann und dann C/I eine Quotientenkoalgebra5 wird. Somit k¨onnen wir diese Erkenntnis nun auf U(L) = T (L)/I anwenden. Proposition 2.2.3. Jede universelle einh¨ ullende Algebra U(L) einer Lie-Algebra L ist eine R-Koalgebra. Die Komultiplikation ist definiert durch L → U(L) → U(L) ⊗ U(L) x

↦

x⊗1+1⊗x

und das Koeins-Element durch (1) = 1, (x) = 0 f¨ ur x ∈ L. Beweis: Es ist zu zeigen, dass I = x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y] in Δ(I) ⊂ I ⊗ U + U ⊗ I 5

Wenn I ein Koideal ist, dann wird Δ durch eine Abbildung Δ ∶ C/I → C ⊗ C/(I ⊗ C + C ⊗ I) = C/I ⊗ C/I

herausfaktorisiert. Genauso kann die Koeins  durch eine Abbildung  ∶ C/I → R herausfaktorisiert werden. Dann ist das Tripel (C/I, Δ, ) eine Koalgebra, die als Quotientenkoalgebra bezeichnet wird.

18

liegt. Dies sehen wir mit folgender Rechnung: Δ(I) = Δ(x ⊗ y) − Δ(y ⊗ x) − Δ([x, y]) = Δ(x) ⊗ Δ(y) − Δ(y) ⊗ Δ(x) − (Δ(xy) − Δ(yx)) = (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x) ⊗ (y ⊗ 1 + 1 ⊗ y) −(y ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ⊗ (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x) −((xy ⊗ 1 + 1 ⊗ xy) − (yx ⊗ 1 + 1 ⊗ yx)) = (x ⊗ 1) ⊗ (y ⊗ 1) + (x ⊗ 1) ⊗ (1 ⊗ y) +(1 ⊗ x) ⊗ (y ⊗ 1) + (1 ⊗ x) ⊗ (1 ⊗ y) −(y ⊗ 1) ⊗ (x ⊗ 1) − (y ⊗ 1) ⊗ (1 ⊗ x) −(1 ⊗ y) ⊗ (x ⊗ 1) − (1 ⊗ y) ⊗ (1 ⊗ x) −((xy ⊗ 1 + 1 ⊗ xy) − (yx ⊗ 1 + 1 ⊗ yx)) = xy ⊗ 1 + x ⊗ y + y ⊗ x + 1 ⊗ xy −yx ⊗ 1 − y ⊗ x − x ⊗ y − 1 ⊗ yx −((xy ⊗ 1 + 1 ⊗ xy) − (yx ⊗ 1 + 1 ⊗ yx)) = (xy − yx − [x, y]) ⊗ 1 + 1 ⊗ (yx − xy − [y, x]). Damit ist die Behauptung bewiesen.

◻

Proposition 2.2.4. Sei (L, [, ], η) eine Lie-Algebra und (L, Δ, ) eine L-Koalgebra. Dann sind Δ und  Lie-Algebrahomomorphismen. Beweis: Wir zeigen, dass Δ und  Lie-Algebramorphismen sind, indem wir zun¨achst Δ([x, y]) = [Δ(x), Δ(y)] und dann ([x, y]) = [(x), (y)] nachweisen. Δ([x, y]) = [x, y] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y] = (xy − yx) ⊗ 1 + 1 ⊗ (xy − yx) = xy ⊗ 1 − yx ⊗ 1 + 1 ⊗ xy − 1 ⊗ yx = xy ⊗ 1 − 1 ⊗ yx − (yx ⊗ 11 ⊗ xy − yx ⊗ 1) = Δ(xy) − Δ(yx) = [Δ(x), Δ(y)] Nun zeigen wir noch die zweite Behauptung: ([x, y]) = (xy − yx) = (x)(y) − (y)(x) = [(x), (y)]. ◻

19

Ist nun B ein R-Modul, der gleichzeitig mit einer Algebra- und einer Koalgebrastruktur ausgestattet ist, so entsteht bei Kompatibilit¨at der beiden Strukturen eine neue. Definition 2.2.5. Gegeben sei ein kommutativer Ring R. Eine Bialgebra ist ein RModul B mit einer Algebrastruktur (B, m, η) und einer Koalgebrastruktur (B, Δ, ), so dass folgende Diagramme kommutativ sind: 1. /B

m

B⊗B Δ⊗Δ

Δ



B⊗B⊗B⊗B

 / B⊗B

idB ⊗τ ⊗idB

/ B ⊗ B ⊗ B ⊗ B m⊗m

2. ⊗

B⊗B

/ R⊗R

η⊗η

≅

m



Δ



η

/R



B

/ B⊗B O

/B

3. ?       

B?

η

R

1R

?? ?? ?? ?? ?? ? /R

Ist die Koalgebrastruktur kokommutativ, so nennt man auch die Bialgebra kokommutativ. Durch die Diagramme sieht man die vollkommene Dualit¨at von (B, m, η) und (B, Δ, ). Dadurch erkennt man die G¨ ultigkeit der folgenden Behauptung. Proposition 2.2.6. Es sei (B, m, η) eine Algebrastruktur und (B, Δ, ) eine Koalgebrastruktur auf dem R-Modul B. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: 1. B ist eine Bialgebra. 2. m, η sind Koalgebramorphismen. 3. Δ,  sind Algebramorphismen. Damit gen¨ ugt es k¨ unftig, entweder die zweite oder die dritte Aussage zu zeigen, um die Bialgebrastruktur nachzuweisen. 20

Beispiel 2.2.7. Man kann leicht zeigen, dass f¨ ur eine Bialgebra (B, m, η, Δ, ) sowohl B op = (B, mop , η, Δ, ) als auch B cop = (B, m, η, Δop , ) und auch B op,cop = (B, mop , η, Δop , ) Bialgebren sind. In den vorangegangenen Abschnitten haben wir gesehen, dass es korrespondierende RModulhomorphismen zur Algebrastruktur gibt (Komultiplikation und Koeins). Nun wollen wir das Inverse in einer Gruppe durch einen weiteren R-Modulmorphismus darstellen. Damit ergibt sich eine neue Struktur. Definition 2.2.8. H heißt eine Hopf-Algebra, wenn 1. (H, m, η, Δ, ) eine Bialgebra ist und

2. eine lineare Abbildung S ∶ H → H existiert, so dass m ○ (S ⊗ id) ○ Δ = η ○  = m ○ (id ⊗ S) ○ Δ gilt. Diese lineare Abbildung heißt der Antipode. Die zweite Bedingung sieht im Diagramm folgendermaßen aus: S⊗idH

/ H ⊗H / H ⊗H / H FF kk5 H idH ⊗S kkk FF kkk k FF k kk FF kkk kkk η  FFF kkk FF k k F" kkk kkk R Δ

m

Beispiel 2.2.9. Sei G eine endliche Gruppe. 1. Die Gruppenalgebra K[G] von G u ¨ber einem kommutativen Ring R ist ein freier R-Modul mit Basis G, ihre Algebrastruktur entsteht durch lineare Erweiterung der Multiplikation auf G. Die Hopf-Algebrastruktur auf K[G] erhalten wir durch lineare Erweiterung der Formeln η(1) = e, wobei e das neutrale Element von G ist, (g) = 1, Δ(g) = g ⊗ g und S(g) = g −1 . (Die Gruppenalgebra ist stets kokommutativ, aber nur dann kommutativ, wenn G kommutativ ist.) 2. Die Menge der R-wertigen Funktionen K(G) auf G wird ein R-Modul und eine Algebra durch Definition der punktweisen Operation. Die Hopf-Algebrastruktur erhalten wir durch Definition der Koeins (f ) = f (e) und S(f (g)) = f (g −1 ). Um die Komultiplikation zu definieren, ber¨ ucksichtigen wir, dass K(G × G) ≅ K(G) ⊗ K(G) ist. 21

Denn f¨ ur f1 , f2 ∈ K(G) gibt es einen Isomorphismus von K(G⊗G) → K(G)⊗K(G), indem wir f1 ⊗ f2 ∈ K(G) ⊗ K(G) durch (f1 ⊗ f2 )(g1 , g2 ) ∶= f1 (g1 )f2 (g2 ) identifizieren. Dann k¨onnen wir die Komultiplikation durch Δ(f )(g1 , g2 ) ∶= f (g1 g2 ) definieren. (Die Funktionenalgebra ist stets kommutativ, aber nur dann kokommutativ, wenn G kommutativ ist.) Definition 2.2.10. Ein Element a ≠ 0 einer Koalgebra (C, Δ, ) heißt gruppen¨ ahnlich6 , falls Δ(a) = a ⊗ a. Um die Antipodeneigenschaft nachzuweisen, bezeichnen wir die Multiplikation in der entgegengesetzten universellen einh¨ ullenden Algebra U op (g) mit ⋅ ∶ x ⋅ y = yx. Zudem wollen ur x, y ∈ g: wir festhalten, dass S ∶ g → U op (g) ein Lie-Algebramorphismus ist; denn es gilt f¨ S([x, y]) = −[y, x] = −xy + yx = x ⋅ y − y ⋅ x = [x, y]op . Daraus erh¨alt man wegen der Existenz der universellen einh¨ ullenden Algebra einen eindeutig bestimmten Algebrahomomorphismus S ∶ U(g) → U op (g), der eine Poincar´e-BirkhoffWitt-Basis auf eine Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis bis auf Vorzeichen abbildet. Die Abbildung S ist also insbesondere ein Isomorphismus. Somit muss nur noch die AntipodenEigenschaft nachgewiesen werden. Hierzu nehmen wir x ∈ g, f¨ ur das (m○(S ⊗id)○Δ)(x) = S(x)1+xS(1) = 0 = (η ○)(x) = xS(1)+S(x)1 = (m○(id⊗S)○Δ)(x) gilt. Alle Teilaspekte k¨onnen wir nun in folgendem Satz zusammenfassen: Proposition 2.2.11. Sei g eine endlichdimensionale Lie-Algebra und U(g) die universelle einh¨ ullende Algebra. Dann ist (U(g), m, η, Δ, , S) eine kokommutative Hopf-Algebra. Dabei ist η der Isomorphismus η ∶ K → U(g), m die u ¨bliche Multiplikation m ∶ U(g) ⊗ U(g) → U (g) und S der Antipode. Zudem ist die Komultiplikation Δ ∶ U(g) → U(g) ⊗ U(g) durch den Algebrahomomorphismus Δ ∶ g → U (g) ⊗ U (g) x ↦ x⊗1+1⊗x 6

Die Bezeichnung gruppen¨ ahnlich ist mit dem ersten Beispiel in 2.2.9. verbunden, denn die Menge

aller gruppen¨ ahnlichen Elemente bildet eine Gruppe mit der Multiplikation, die auf Gruppenalgebra K[G] definiert ist.

22

induziert und die Koeins durch  ∶ U(g) → K (x) = 0

f¨ ur alle x ∈ g

(1) = 1 definiert.

2.3

Dualit¨ at von Gruppenalgebren

Bevor wir zu den Quantengruppen kommen, betrachten wir zun¨achst die universelle einh¨ ullende Lie-Algebra U(sl(2, C)) der 2 × 2-Matrizen mit Spur 0, d. h. als Vektorraum haben wir

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎛ a b ⎞ ⎪ ⎪ ∈ GL(2, C)∣a + d = 0⎬ sl(2, C) = ⎨A = ⎪ ⎪ ⎝ c d ⎠ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ und als Lie-Klammer [A, B] = AB − BA.

2.3.1

Die universelle einhu ¨ llende Algebra von sl(2, C)

Als Vektorraumbasis von sl(2, C) w¨ahlen wir folgende Matrizen: X+ =

⎛ 0 1 ⎞ , ⎝ 0 0 ⎠

X− =

⎛ 0 0 ⎞ , ⎝ 1 0 ⎠

H=

⎛ 1 0 ⎞ , ⎝ 0 −1 ⎠

I=

⎛ 1 0 ⎞ , ⎝ 0 1 ⎠

weil diese Basiselemente unter einer endlichdimensionalen Darstellung mit dem Erzeugungsoperator (X+ ), dem Vernichtungsoperator (X− ) und dem Gewichtsvektor (H) korrespondieren. Die Relationen der universellen Einh¨ ullenden sind [X+ , X− ] = H,

[H, X+ ] = 2X+ ,

[H, X− ] = −2X− ,

womit die Lie-Algebra sl(2, C) im folgenden Sinne vollst¨andig beschrieben ist: Liegt eine Lie-Algebra l mit drei nichtverschwindenden Elementen u, v, w vor, f¨ ur die [u, w] = v,

[v, u] = 2u,

[v, w] = −2w

gilt, dann ist das Erzeugnis ⟨u, v, w⟩ eine Unter-Lie-Algebra von l, weil [l1 , l2 ] ∈ ⟨u, v, w⟩ f¨ ur alle l1 , l2 ∈ ⟨u, v, w⟩ gilt. Die lineare Abbildung ψ ∶ sl(2, C) → l X+ ↦ u X− ↦ v H ↦ w

23

ist ein Lie-Algebraisomorphismus, weil sie offensichtlich ein Vektorraumisomorphismus ist und ψ([A, B]) = [ψ(A), ψ(B)] f¨ ur die Elemente der Basis (also f¨ ur alle Elemente in sl(2, C)) gilt. Beispiel 2.3.1. Sei End(C[x, y]) die Algebra der Endomorphismen des unendlichdimensionalen Vektorraums der Polynome in zwei Variablen. Die partiellen Ableitungen f ↦ und f ↦

∂ ∂y f

∂ ∂x f

definieren Elemente aus End(C[x, y]). Die Multiplikation Mx ∶ f ↦ xf bildet

ebensfalls eine lineare Abbildung von C[x, y] in sich. Zun¨achst zeigen wir, dass die geordneten Monome B = {X+k X−l H m ∶ k, l, m ≥ 0} eine Basis von U(sl(2, C)) sind. Dies ist eine direkte Folge aus dem Satz von Poincar´e-Birkhoff-Witt. So ist bspw. X+ X− X+ H = X+ (X− X+ − X+ X− )H + X+2 X− H = X+ H 2 + X+2 (X− H − HX− ) + X+2 HX− = X+ H 2 − 2X+2 X− + X+2 HX− die Summe geordneter Monome. Es gilt f¨ ur die Komultiplikation: Δ(H) = H ⊗ 1 + 1 ⊗ H,

Δ(X+ ) = X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ ,

Δ(X− ) = X− ⊗ 1 + 1 ⊗ X− .

Nun weisen wir wieder die Relationen nach: Δ([X+ , X− ] − H) = Δ(X+ )Δ(X− ) − Δ(X− )Δ(X+ ) − Δ(H) = (X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ )(X− ⊗ 1 + 1 ⊗ X− ) −(X− ⊗ 1 + 1 ⊗ X− )(X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ ) − (H ⊗ 1 + 1 ⊗ H) = X+ X− ⊗ 1 + X+ ⊗ X− + X− ⊗ X+ + H ⊗ X+ X− −X− X+ ⊗ 1 − X− ⊗ X+ − X+ ⊗ X− − 1 ⊗ X− X+ − H ⊗ 1 − 1 ⊗ H = (X+ X− − X− X+ − H) ⊗ H + H ⊗ (X+ X− − X− X+ − H) = ([X+ , X− ] − H) ⊗ 1 + 1 ⊗ ([X+ , X− ] − H) Δ([H, X+ ] − 2X+ ) = Δ(H)Δ(X+ ) − Δ(X+ )Δ(H) − 2Δ(X+ ) = (H ⊗ 1 + 1 ⊗ H)(X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ ) −(X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ )(H ⊗ 1 + 1 ⊗ H) − 2(X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ ) = (HX+ ⊗ 1 + H ⊗ X+ + X+ ⊗ H + 1 ⊗ HX+ ) −(X+ H ⊗ 1 + X+ ⊗ H + H ⊗ X+ + 1 ⊗ X+ H) − 2(X+ ⊗ 1 + 1 ⊗ X+ ) = (HX+ − X+ H − 2X+ ) ⊗ 1 − 1 ⊗ (HX+ − X+ H − 2X+ ) = ([H, X+ ] − 2X+ ) ⊗ 1 + 1 ⊗ ([H, X+ ] − 2X+ ). 24

Der Fall Δ([H, X− ] − 2X− ) verl¨auft analog dem zuletzt behandelten. F¨ ur die Koeins gilt (X+ ) = 

⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ , = ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠

(H) = 

(X− ) = 

⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ , = ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠

(I) = 

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ . = ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ , = ⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠

Der Antipode ist bestimmt durch S(X) = −X f¨ ur alle X ∈ sl(2, C), d. h. S(X+ ) = S

⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞ , = ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ S(H) = S

2.3.2

S(X− ) = S

⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ , = ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ . = ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 −1 ⎠

Die Funktionen-Algebra K(SL(2, C))

Es sei G eine beliebige (Unter-)Gruppe der Gruppe M (n, C) und K(G) die Algebra der reell- bzw. komplexwertigen Funktionen auf G mit punktweiser algebraischer Operation. F¨ ur g = (aij ) ∈ G mit i, j = 1, . . . , n sei gij ∶ G → C g ↦ gij die (i, j)-te Koeffizientenfunktion auf G. Dazu sei K(G) die von den Funktionen gij und der Funktion 1 erzeugte Funktionenalgebra. Die Algebramultiplikation ist definiert durch die Matrixmultiplikation n

gij (ab) = ∑ gik (a)gki (b), k=1

so dass wir die Algebrastruktur beschrieben haben. F¨ ur die Koalgebrastruktur definieren wir f¨ ur die Komultiplikation n

Δgij (a) = ∑ gik (a) ⊗ gkj (a) k=1

und f¨ ur die Koeins (gij (a)) = δij mit i, j = 1, . . . , n und dem Kronecker-Symbol δij . Man kann leicht nachrechnen, dass Δ und  Algebrenhomomorphismen sind, also ist (K(G), m, 1, Δ, ) auch eine Bialgebra. F¨ ur die Hopf-Algebra ben¨otigen wir noch den Antipoden, den wir durch S(gij (a)) = gij (a−1 ) definieren. Somit haben wir K(G) als Hopf-Algebra beschrieben. 25

1. F¨ ur die Funktionenalgebra K(M (2, K)) betrachten wir die Gruppe

Beispiel 2.3.2.

M (2, K) und bezeichnen mit g=

⎛ a b ⎞ ∈ M (2, K) ⎝ c d ⎠

ein allgemeines Element. Dazu nehmen wir die u ur ¨bliche Matrizenmultiplikation. F¨ die Komultiplikation ergibt sich dann 2

Δ(f11 (g)) = ∑ fik (g) ⊗ fkj (g) = f11 (g) ⊗ f11 (g) + f12 (g) ⊗ f21 (g) = a ⊗ a + b ⊗ c, k=1 2

Δ(f12 (g)) = ∑ fik (g) ⊗ fki (g) = f11 (g) ⊗ f21 (g) + f12 (g) ⊗ f22 (g) = a ⊗ b + b ⊗ d, k=1 2

Δ(f21 (g)) = ∑ fik (g) ⊗ fkj (g) = f21 (g) ⊗ f11 (g) + f22 (g) ⊗ f21 (g) = c ⊗ a + d ⊗ c, k=1 2

Δ(f22 (g)) = ∑ fik (g) ⊗ fkj (g) = f21 (g) ⊗ f12 (g) + f22 (g) ⊗ f22 (g) = c ⊗ b + d ⊗ d. k=1

Die Koeins ergibt sich aus (f11 (g)) = (f22 (g)) = 1,

(f12 (g)) = (f21 (g)) = 0.

Die Hopf-Struktur der Gruppe M (2, K) erhalten wir durch Lokalisierung der Determinante, die durch Adjunktion ihrer Inversen erfolgt, d. h. die erzeugende Relation ist det−1 (g) ⋅ det(g) = 1. Somit ist Δ(det−1 (g)) = det−1 (g) ⊗ det−1 (g) ein gruppen¨ahnliches Element und (det−1 (g)) = Id. Der Antipode ist definiert durch S(fij (g)) = fij (g −1 ), d. h. S(f11 (g))

=

det−1 (g)d, S(f11 (g)) −1

=

− det−1 (g)b, S(f11 (g))

=

− det−1 (g)c,

−1

S(f11 (g)) = det (g)a und S(det(g)) = det (g).

2. Die Funktionenalgebra K(SL(2, C)) der Funktionen auf SL(2, C) ist der Quotient K(SL(2, C)) = K(M (2, C))/(det(g) − 1). Wir haben damit f¨ ur die Inverse der Determinante Δ(det(g) − 1) = (det(g) − 1) ⊗ 1 + det(g) ⊗ (det(g) − 1) und (det(g) − 1) = 0 und S(det(g) − 1) = − det−1 (g)(det(g) − 1). 26

2.3.3

Das duale Paar (U (sl(2, C)), K(SL(2, C)))

Wir beginnen den Abschnitt mit der Definition des dualen Paares nach Takeuchi ([Takeuchi]). Definition 2.3.3. Gegeben seien die Hopf-Algebren (U, m, η, Δ, , SU ) und (H, m, η, Δ, , SU ) und eine Bilinearform ⟨⋅, ⋅⟩ ∶ U × H → C. Die Bilinearform realisiert eine Dualit¨ at, wenn f¨ ur alle u, v ∈ U und x, y ∈ H gilt: 1. ⟨uv, x⟩ = ⟨u, xi ⟩⟨v, xi ⟩ = ⟨u ⊗ v, ΔH (x)⟩, 2. ⟨u, xy⟩ = ⟨ui , x⟩⟨ui , y⟩ = ⟨ΔU (u), x ⊗ y⟩, 3. H (x) = ⟨1U , x⟩ und U (u) = ⟨u, 1H ⟩ sowie 4. ⟨SU (u), x⟩ = ⟨u, SH (x)⟩. F¨ ur den Nachweis einer Dualit¨at verwenden wir folgende Proposition 2.3.4.

7

Seien (U, m, η, Δ, , SU ) und (H, m, η, Δ, , SU ) Hopf-Algebren und

eine Bilinearform ⟨⋅, ⋅⟩ ∶ U × H → C gegeben. Die Bilinearform realisiert genau dann eine Dualit¨at zwischen U und H, wenn die lineare Abbildung φ ∶ U → H ∗ und die lineare Abbildung ψ ∶ H → U ∗ Algebramorphismen sind. Ist zudem H endlichdimensional, dann realisiert die Bilinearform eine Dualit¨at genau dann, wenn φ ein Bialgebramorphismus ist. Wir skizzieren den Weg, um die Dualit¨at der universellen einh¨ ullenden Algebra U(sl(2, C)) zur Hopf-Algebra K(SL(2, C)) zu beweisen. Hierzu wird ein Algebrenmorphismus konstruiert, der M (2, C) (verstanden als Polynomalgebra K[a, b, c, d]) in die duale Algebra ur ben¨otigen wir eine Bilinearform auf U(sl(2, C)) × M (2, C) U ∗ (sl(2, C)) abbildet. Daf¨ definiert durch ⟨u, x⟩ = ψ(x)(u), die Ziffer 2 bis 4 aus Definition 2.3.3 erf¨ ullt. Die Konstruktion von ψ ist ¨aquivalent dazu, die vier paarweise kommutierenden Elemente A, B, C, D auf U ∗ (sl(2, C)) anzugeben. Wir nehmen ein Element u aus U(sl(2, C)) und setzen ρ(u) =

⎛ A(u) B(u) ⎞ , ⎝ C(u) D(u) ⎠

wobei ρ die zum H¨ochstgewichtsmodul V (1) korrespondierende Darstellung ρ(1) ist. Dies definiert vier lineare Formen auf U (sl(2, C)), somit vier Elemente A, B, C, D des dualen Raums U ∗ (sl(2, C)). Wegen der Kokommutativit¨at von U(sl(2, C)) und der Kommutativit¨at der dualen Algebra U ∗ (sl(2, C)) wird durch ψ(a) = A, 7

ψ(b) = B,

ψ(c) = C,

ψ(d) = D

S. [Kassel], Proposition V.7.2., S. 110

27

ein eindeutiger Algebrenmorphismus definiert. Nun m¨ ussen die obigen Bedingungen nachgewiesen werden. Bspw. bedeutet die erste Bedingung: ρ(u) =

⎛ A(u) B(u) ⎞ ⎛ ⟨u, a⟩ ⟨u, b⟩ ⎞ . = ⎝ C(u) D(u) ⎠ ⎝ ⟨u, c⟩ ⟨u, d⟩ ⎠

Wegen ρ(uv) = ρ(u)ρ(v) ist ⎛ ⟨uv, a⟩ ⟨uv, b⟩ ⎞ ⎛ ⟨u, a⟩ ⟨u, b⟩ ⎞ ⎛ ⟨v, a⟩ ⟨v, b⟩ ⎞ , = ⎝ ⟨uv, c⟩ ⟨uv, d⟩ ⎠ ⎝ ⟨u, c⟩ ⟨u, d⟩ ⎠ ⎝ ⟨v, c⟩ ⟨v, d⟩ ⎠ so dass nach Ausrechnen des Matrixprodukts die Bedingung erf¨ ullt ist. Kommen wir zur dritten Bedingung, die folgendermaßen lautet: ⎛ ⟨1, a⟩ ⟨1, b⟩ ⎞ ⎛ A(1) B(1) ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ (a) (b) ⎞ . = = = ⎝ ⟨1, c⟩ ⟨1, d⟩ ⎠ ⎝ C(1) D(1) ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ (c) (d) ⎠ F¨ ur den Antipoden betrachten wir bspw. den Erzeuger X+ und erhalten ⟨S(X+ ),

⎛ a b ⎞ ⟩ = ρ(S(X+ )) = −ρ(X) ⎝ c d ⎠ =

⎛ 0 −1 ⎞ ⎝ 0 0 ⎠

= ⟨X+ ,

⎛ d −b ⎞ ⟩ ⎝ −c a ⎠

= ⟨X+ ,

⎛ S(a) S(b) ⎞ ⟩. ⎝ S(c) S(d) ⎠

Somit haben wir die Realisierung einer Dualit¨at zwischen den Hopf-Algebren U(sl(2, C)) und K(SL(2, C)) angedeutet. N¨aheres dazu findet man in [Kassel], S. 112-115, und zum H¨ochstgewichtsmodul ebenso in [Kassel], S. 101-103.

2.4

Dualit¨ at von q-deformierten Gruppenalgebren

In der Einleitung wurde bereits festgehalten, dass zwischen Gruppe und (eigentlicher) Quantengruppe keine Quantisierungsvorschrift existiert, insbesondere weil die Quantengruppe nicht existiert. Eine Beschreibung der Quantisierung ist nur auf der Funktionenalgebra m¨oglich. Im Falle von Matrizengruppen hingegen gibt es M¨oglichkeiten der Beschreibung der Deformation sowohl f¨ ur die universelle einh¨ ullende Algebra wie auch f¨ ur die Funktionenalgebra. Zun¨achst ist unklar, warum bei einer Quantisierung etwas mit der Zahl q zusammenh¨angt, 28

da tats¨achlich eine Quantisierung vom Parameter h (Plancksche Konstante) abh¨angt. Die Deformation einer Hopf-Algebra ist in dieser Betrachtung isomorph zur Algebra der formalen Potenzreihenentwicklung in h. Zum Beispiel wird die universelle einh¨ ullende Algebra einer Lie-Algebra g mit Uh (g) bezeichnet. Diese Variante von Hopf-Algebren erfordert allerdings, dass die zu den Algebren geh¨orenden Tensorprodukte vollst¨andig in der h-adischen Topologie liegen. Diese Schwierigkeit kann umgangen werden, indem man eine Algebra u ¨ber dem K¨orper Q(q) rationaler Funktionen in der Variablen q definiert. Dieser rationale Gegenspieler, der dann als Uq (g) bezeichnet wird, steht dem formalen Objekt uber. Der Hauptvorteil dieser Betrachtung ist, dass q zu jeder transzendenUh (g) gegen¨ talen komplexen Zahl spezialisiert werden kann, w¨ahrend dies im vorherigen Fall nur f¨ ur h = 0 gilt. Einschr¨ankend nehmen wir q ≠ 0 und q 2 ≠ 1 an. Man kommt von der deformierten universellen einh¨ ullenden Algebra Uh (g) in die q-deformierte universelle einh¨ ullende Algebra Uq (g) durch q H = exp (− h4 H)[8 ].

2.4.1

Die q-deformierte universelle einhu ¨ llende Algebra von sl(2, K)

Als Erstes bilden wir die Matrizen 1

1

E = X+ K 2 =

⎛ 0 q2 ⎞ , ⎝ 0 0 ⎠

F = K − 2 X− = 1

⎛ 0 0 ⎞ , 1 ⎝ q− 2 0 ⎠

K ±1 = q ∓H =

⎛ q ∓1 0 ⎞ . ⎝ 0 q ∓1 ⎠

Diese vier Variablen erzeugen mit den Relationen9 KK −1 = K −1 K = 1 KEK

−1

−1

2

= q E,

KF K

[E, F ] =

K − K −1 q − q −1

−2

=q F

(2.1) (2.2)

und (2.3)

eine Algebra − die quantisierte universelle einh¨ ullende Algebra Uq (sl(2, C)). Man kann zeigen, dass die drei Matrizen E, F und K eine Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis von Uq (sl(2, C)) bilden; f¨ ur den Beweis verweisen wir auf [Kassel], Proposition VI.1.4, S. 123. Diese Tatsache wird als Begr¨ undung f¨ ur das Rechnen auf Erzeugern der Algebra Uq (sl(2, C)) ben¨otigt. Nun erg¨anzen wir die Algebra zu einer Koalgebra, indem wir die Strukturabbildungen Δ,  8

Die entstehenden Relationen h¨angen von der Definition von q ab, lassen sich aber ineinander

u uhren. ¨berf¨ 9 Diese Relationen h¨ angen von der Wahl der Zahl q ab, die durch die Cartan-Matrix bestimmt ist.

29

und S angeben: Δ(E) = Δ(X+ K 2 ) = Δ(X+ q − 2 ) = Δ(X+ )Δ(q − 2 ) H

1

H

= (X+ ⊗ q 2 + q − 2 ⊗ X+ )(q − 2 ⊗ q − 2 ) H

H

H

H

= X+ q − 2 ⊗ 1 + q − 2 ⊗ X + q 2 H

H

H

= E ⊗1+K ⊗E und Δ(F ) = Δ(K − 2 X− ) = Δ(q 2 )Δ(X− ) H

1

= (q

H 2

⊗ q )(X− ⊗ q 2 + q − 2 ⊗ X− ) H 2

H

H

H

H

= q 2 X− ⊗ q H + 1 ⊗ q 2 X− = F ⊗ K −1 + 1 ⊗ F. Allgemein gilt Lemma 2.4.1. Die Elemente von Uq (g) der Form q H = exp(∓ h4 H) sind gruppen¨ahnlich. Beweis: Man kann Δ(q H ) in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet: ∞ (− h )k h Δ(q H ) = Δ(exp(− H)) = ∑ 4 (H ⊗ 1 + 1 ⊗ H)k 4 k! k=0 ∞ k k (− h )k = ∑ ∑ ( ) 4 H l ⊗ H k−l k! k=0 l=0 l

(− h4 )l+m l H ⊗ Hm l!k! l=0 m=0 ∞

∞

= ∑∑

= qH ⊗ qH = K ⊗ K. ◻

Damit ist die Gruppen¨ahnlichkeit gezeigt. Die Koeins ist durch (E) = (F ) = 0 und (K) =

(K −1 )

= 1 definiert. F¨ ur den Antipoden

gilt S(E) = −K −1 E,

S(F ) = −F K,

S(K) = K −1 .

Nun zeigen wir, dass Δ,  und S Algebrenhomomorphismen sind, indem wir die Relationen f¨ ur die Strukturabbildungen auf den Erzeugern E, F, K zeigen. Dabei erweitern wir Δ zu einem Algebrahomomorphismus von der freien Algebra C⟨E, F, K, K −1 ⟩ in ur gen¨ ugt es zu zeigen, dass die Relationen 2.1, 2.2 und 2.3 Uq (sl(2, C)) ⊗Uq (sl(2, C)). Daf¨ erhalten bleiben. Wir f¨ uhren dies beispielhaft f¨ ur die Komultiplikation durch. Die Koeinsund die Antipodenabbildungen sind leicht nachzurechnen. 30

Δ(EF − F E −

K − K −1 Δ(K) − Δ(K −1 ) ) = Δ(E)Δ(F ) − Δ(F )Δ(E) − q − q −1 q − q −1 = (E ⊗ 1 + K ⊗ E)(F ⊗ K −1 + 1 ⊗ F ) −(F ⊗ K −1 + 1 ⊗ F )(E ⊗ 1 + K ⊗ E) 1 (K ⊗ K − K −1 ⊗ K −1 ) − q − q −1 = EF ⊗ K −1 + E ⊗ F + KF ⊗ EK −1 + K ⊗ EF −(F E ⊗ K −1 + F K ⊗ K −1 + E ⊗ F + K ⊗ F E) 1 (K ⊗ K − K −1 ⊗ K −1 ) − q − q −1 = (EF − F E) ⊗ K −1 + K ⊗ (EF − F E) 1 (K ⊗ K − K −1 ⊗ K −1 ) − q − q −1 +q −2 F K ⊗ EK −1 − q 2 F K ⊗ EK −1 = (EF − F E) ⊗ K −1 + K ⊗ (EF − F E) 1 (K ⊗ K − K −1 ⊗ K −1 ) − q − q −1 = (EF − F E) ⊗ K −1 + K ⊗ (EF − F E) 1 (K ⊗ K − K ⊗ K −1 + K ⊗ K −1 − K −1 ⊗ K −1 ) − q − q −1 = (EF − F E) ⊗ K −1 + K ⊗ (EF − F E) 1 (K ⊗ (K − K −1 ) + (K − K −1 ) ⊗ K −1 ) − q − q −1 1 = (EF − F E − (K − K −1 )) ⊗ K −1 q − q −1 1 +K ⊗ (EF − F E − (K − K −1 )) q − q −1

Δ(KE − q 2 EK) = Δ(KE) − q 2 Δ(EK) = Δ(K)Δ(E) − q 2 Δ(E)Δ(K) = (K ⊗ K)(E ⊗ 1 + K ⊗ E) − q 2 (E ⊗ 1 + K ⊗ E)(K ⊗ K) = KE ⊗ K + K 2 ⊗ KE − q 2 (EK ⊗ K + K 2 ⊗ EK) = (KE − q 2 EK) ⊗ K + K 2 ⊗ (KE − q 2 EK) Δ(KF − q −2 F K) = Δ(KF ) − q −2 Δ(F K) = Δ(K)Δ(F ) − q −2 Δ(F )Δ(K) = (K ⊗ K)(F ⊗ K −1 + 1 ⊗ F ) − q −2 (F ⊗ K −1 + 1 ⊗ F )(K ⊗ K) = KF ⊗ 1 + K ⊗ KF − q −2 (F K ⊗ 1 + K ⊗ F K) = (KF − q −2 F K) ⊗ 1 + K ⊗ (KF − q −2 F K) Damit sind die Relationen f¨ ur die Komultiplikation als Algebrahomomorphismus nachgewiesen.

31

2.4.2

Die q-deformierte Funktionenalgebra Kq (SL(2, C))

Zun¨achst soll die q-Deformation der Funktionenalgebra geometrisch gedeutet werden. Komplexe 2×2-Quantenmatrizen wirken als Lineartransformationen auf die Quantenebene C2q . Nehmen wir K(C2q ) als Algebra mit den Erzeugern x und y, die die Bedingung xy = qyx erf¨ ullen. Das bedeutet, die Quantenebene ist die Quotientenalgebra einer freien Algebra C⟨x, y⟩ mit einem zweiseitigen Ideal, das durch xy −qyx erzeugt wird. Berechnen wir dann die Links- bzw. Rechtstransformation durch ⎛ a ⊗ x + b ⊗ y ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ x ⎞ =∶ = , ⊗ ⎝ c ⊗ x + d ⊗ y ⎠ ⎝ y′ ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ y ⎠ (x, y) ⊗

⎛ a b ⎞ = (x ⊗ a + y ⊗ c, x ⊗ b + y ⊗ d) =∶ (x′′ , y ′′ ), ⎝ c d ⎠

dann sehen wir, dass aus den Relationen x′ y ′ = qy ′ x′ und x′′ y ′′ = qy ′′ x′′ die Elemente a, b, c, d die Relationen 2.4 und 2.5 erf¨ ullen. Die Hauptidee ist, eine Deformation von K(SL(2, C)) zu finden, die f¨ ur q = 1 gerade deren Relationen entspricht. Hier beginnen wir mit Kq (M (2, C)), deren Erzeugende a, b, c, d die folgenden Relationen ab = qba,

ac = qca,

bd = qdb,

cd = qdc,

bc = cb

(2.4)

und ad − da = (q − q −1 )bc

(2.5)

erf¨ ullen. Dabei benutzen wir die abk¨ urzende Schreibweise f¨ ur die Koordinatenfunktionen g11 (g) = a,

g12 (g) = b,

g21 (g) = c,

g22 (g) = a.

Diese Relationen kann man sich mit dem folgenden Diagramm merken. Dabei gibt die Richtung der ¨außeren Pfeile die Reihenfolge der Multiplikation an, die Pfeil¨ uberschrift den Faktor f¨ ur die umgekehrte Multiplikation. Im Diagramminneren sind Doppelpfeile nicht gekennzeichnet, weil kein q-Faktor hinzukommt. q /b @ >> >> >> q q >> >> >    /d c

a >^

q

Bemerkung 2.4.2. Die Relation 2.5 k¨onnen wir auch als ad−qbc = da−q −1 bc umschreiben. Dieses Element wird Quantendeterminante genannt, wir bezeichnen es mit detq . 32

Mit 2.4 und 2.5 kann man zeigen, dass Folgendes gilt: Proposition 2.4.3. Gegeben sei Kq (M (2, C)). Dann existiert die Komultiplikation Δ ∶ Kq (M (2, C)) → Kq (M (2, C)) ⊗ Kq (M (2, C)) mit Δ(a) = a ⊗ a + b ⊗ c,

Δ(b) = a ⊗ b + b ⊗ d

(2.6)

Δ(c) = c ⊗ a + d ⊗ c,

Δ(d) = c ⊗ b + d ⊗ d

(2.7)

(b) = (c) = 0,

(2.8)

und die Koeins  ∶ Kq (M (2, C)) → C mit (a) = (d) = 1,

so dass (Kq (M (2, C)), m, 1, Δ, ) eine nicht-kommutative und nicht-kokommutative Bialgebra ist. Zudem gilt f¨ ur die Quantendeterminante Δ(detq ) = detq ⊗ detq ,

(detq ) = 1.

Beweis: Die Algebra Kq (M (2, C)) ist der Quotient der freien Algebra C⟨a, b, c, d⟩ mit den Erzeugern a, b, c, d und des zweiseitigen Ideals, das durch diese Elemente mit den Relationen 2.4 und 2.5 erzeugt wird. Daher existieren Algebrahomomorphismen Δ ∶ C⟨a, b, c, d⟩ → C⟨a, b, c, d⟩ ⊗ C⟨a, b, c, d⟩ und  ∶ C⟨a, b, c, d⟩ → C, so dass 2.6, 2.7 und 2.8 gelten. Um zu zeigen, dass Δ und  Algebrahomomorphismen ugt es nachzuweisen, dass Δ und  die Relationen 2.4 und 2.5 von Kq (M (2, C)) sind, gen¨ erhalten. Wir f¨ uhren die Berechnungen nur f¨ ur die Komultiplikation Δ durch. Gezeigt werden muss im Einzelnen: Δ(ab − qba), Δ(ac − qca), Δ(ad − da − (q − q −1 )bc), Δ(bc − cb), Δ(bd − qdb), Δ(cd − qcd) f¨ ur Kq (SL(2; C)). Δ(ab − qba) = Δ(a)Δ(b) − qΔ(b)Δ(a) = (a ⊗ a + b ⊗ c)(a ⊗ b + b ⊗ d) − q(a ⊗ b + b ⊗ d)(a ⊗ a + b ⊗ c) = aa ⊗ ab + ab ⊗ ad + ba ⊗ cb + bb ⊗ cd − qaa ⊗ ba − qab ⊗ bc − qba ⊗ da −qbb ⊗ dc = aa ⊗ (ab − qba) + bb ⊗ (cd − qdc) + ab ⊗ (ad − qbc) + ba ⊗ (cb − qda) = aa ⊗ (ab − qba) + bb ⊗ (cd − qdc) + ab ⊗ (ad − qbc − da + q −1 cb) +ab ⊗ (da − q −1 cb) − qba ⊗ (da − q −1 cb) = aa ⊗ (ab − qba) + bb ⊗ (cd − qdc) + ab ⊗ (ad − qbc − da + q −1 cb) +(ab − qba) ⊗ (da − q −1 cb) 33

V¨ollig analog zeigt man die Relationen ac − qca, bd − qdb und cd − qdc: Δ(ac − qca) = Δ(a)Δ(c) − qΔ(c)Δ(a) = (a ⊗ a + b ⊗ c)(c ⊗ a + d ⊗ c) − q(c ⊗ a + d ⊗ c)(a ⊗ a + b ⊗ c) = ac ⊗ aa + ad ⊗ ac + bc ⊗ ca + bd ⊗ cc − qca ⊗ aa − qcb ⊗ ac − qda ⊗ ca −qdb ⊗ cc = (ac − qca) ⊗ aa + (bd − qdb) ⊗ cc + (ad − qbc) ⊗ ac + (bc − qda) ⊗ ca = (ac − qca) ⊗ aa + (bd − qdb) ⊗ cc + (ad − qbc + (da − q −1 bc) −(da − q −1 bc)) ⊗ ac + (bc − qda) ⊗ ca = (ac − qca) ⊗ aa + (bd − qdb) ⊗ cc + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ ac +(da − q −1 bc) ⊗ ac − q(da − q −1 bc) ⊗ ca = (ac − qca) ⊗ aa + (bd − qdb) ⊗ cc + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ ac (da − q−1bc) ⊗ (ac − qca) Δ(bd − qdb) = (a ⊗ b + b ⊗ d)(c ⊗ b + d ⊗ d) − q(c ⊗ b + d ⊗ d)(a ⊗ b + b ⊗ d) = ac ⊗ bb + ad ⊗ bd + bc ⊗ db + bd ⊗ dd − q(ca ⊗ bb + cb ⊗ bd + da ⊗ db +db ⊗ dd) = (ac − qca) ⊗ bb + (bd − qdb) ⊗ dd + (ad − qcb) ⊗ bd + (bc − qda) ⊗ db = (ac − qca) ⊗ bb + (bd − qdb) ⊗ dd + (ad − qbc + (da − q −1 bc) −(da − q −1 bc)) ⊗ bd + (bc − qda) ⊗ db = (ac − qca) ⊗ aa + (bd − qdb) ⊗ cc + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bd +(da − q −1 bc) ⊗ bd − q(da − q −1 ) ⊗ db = (ac − qca) ⊗ aa + (bd − qdb) ⊗ cc + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bd +(da − q −1 bc) ⊗ (bd − qdb) Δ(cd − qdc) = (c ⊗ a + d ⊗ c)(c ⊗ b + d ⊗ d) − q(c ⊗ b + d ⊗ d)(c ⊗ a + d ⊗ c) = cc ⊗ ab + cd ⊗ ad + dc ⊗ cb + dd ⊗ cd − q(cc ⊗ ba + cd ⊗ bc + dc ⊗ da +dd ⊗ dc) = cc ⊗ (ab − qba) + dd ⊗ (cd − qdc) + cd ⊗ (ad − qbc) + dc ⊗ (cb − qda) = cc ⊗ (ab − qba) + dd ⊗ (cd − qdc) + cd ⊗ (ad − qbc + da − q −1 bc − da + q −1 bc) +dc ⊗ (cb − qda) = cc ⊗ (ab − qba) + dd ⊗ (cd − qdc) + cd ⊗ (ad − da − (q − q −1 )bc) +cd ⊗ (da − q −1 bc) − dc ⊗ q(da − q −1 ) = cc ⊗ (ab − qba) + dd ⊗ (cd − qdc) + cd ⊗ (ad − da − (q − q −1 )bc) +(cd − qdc) ⊗ (da − q −1 bc) 34

Δ(bc − cb) = (a ⊗ b + b ⊗ d)(c ⊗ a + d ⊗ c) − (c ⊗ a + d ⊗ c)(a ⊗ b + b ⊗ d) = ac ⊗ ba + ad ⊗ bc + bc ⊗ da + bd ⊗ dc − ca ⊗ ab − cb ⊗ ad − da ⊗ cb −db ⊗ cd

¨ Wir betrachten der Ubersichtlichkeit halber zusammengeh¨orige Summanden der letzten Gleichung einzeln: ac ⊗ ba − ca ⊗ ab = ac ⊗ ba − ca ⊗ (ab − qba + qba) = (ac − qba) ⊗ ba − ca ⊗ (ab − qba)

bd ⊗ dc − db ⊗ cd = bd ⊗ dc − db ⊗ (cd − qdc + qdc) = (bd − qdc) ⊗ dc − db ⊗ (cd − qdc)

ad ⊗ bc + bc ⊗ da − cb ⊗ ad − da ⊗ cd = ad ⊗ bc + bc ⊗ da − (cb + bc − bc) ⊗ ad − da ⊗ (cb +bc − bc) = (ad + (−da − (q − q −1 )bc) − (−da − (q − q −1 )bc) ⊗ bc +da ⊗ (bc − cb) − da ⊗ bc + bc ⊗ da − (cb + bc − bc) ⊗ ad = (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bc + da ⊗ bc + (q − q −1 )bc ⊗ bc +da ⊗ (bc − cb) − da ⊗ bc + bc ⊗ da − (cb + bc − bc) ⊗ ad = (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bc + (q − q −1 )bc ⊗ bc +da ⊗ (bc − cb) + bc ⊗ da − (cb + bc − bc) ⊗ ad = (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bc + (q − q −1 )bc ⊗ bc +da ⊗ (bc − cb) + bc ⊗ da + (bc − cb) ⊗ ad − bc ⊗ ad = (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bc +da ⊗ (bc − cb) − bc ⊗ (ad − da − (q − q −1 )bc) Dies ergibt zusammengefasst: Δ(bc − cb) = (ac − qba) ⊗ ba − ca ⊗ (ab − qba) + (bd − qdc) ⊗ dc − db ⊗ (cd − qdc) +(ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ bc + da ⊗ (bc − cb) − bc ⊗ (ad − da − (q − q −1 )bc) 35

Nun zeigen wir die letzte Relation. Δ(ad − da − (q − q −1 )bc) = Δ(a)Δ(d) − Δ(d)Δ(a) − (q − q −1 )Δ(b)Δ(c) = (a ⊗ a + b ⊗ c)(c ⊗ b + d ⊗ d) − (c ⊗ b + d ⊗ d)(a ⊗ a + b ⊗ c) −(q − q −1 )(a ⊗ b + b ⊗ d)(c ⊗ a + d ⊗ c) = ac ⊗ ab + ad ⊗ ad + bc ⊗ cb + bd ⊗ cd −ca ⊗ ba − cb ⊗ bc − da ⊗ da − db ⊗ dc −(q − q −1 )(ac ⊗ ba + ad ⊗ bc + bc ⊗ da + bd ⊗ dc) Wir f¨ uhren die Berechnung wieder in einzelnen Schritten aus. ac ⊗ ab − ca ⊗ ba − (q − q −1 )ac ⊗ ba = ac ⊗ (ab − qba + qba) − ca ⊗ ba − (q − q −1 )ac ⊗ ba = ac ⊗ (ab − qba) + qac ⊗ ba − ca ⊗ ba − qac ⊗ ba +q −1 ac ⊗ ba = ac ⊗ (ab − qba) + (q −1 ac − ca) ⊗ ba = ac ⊗ (ab − qba) + q −1 (ac − qca) ⊗ ba bd ⊗ cd − db ⊗ dc − (q − q −1 )bd ⊗ dc = bd ⊗ (cd − qdc + qdc) − db ⊗ dc − (q − q −1 )bd ⊗ dc = bd ⊗ (cd − qdc) + qbd ⊗ dc − db ⊗ dc − qbd ⊗ dc +q −1 bd ⊗ dc = bd ⊗ (cd − qdc) + (q −1 bd − db) ⊗ dc = bd ⊗ (cd − qdc) + q −1 (bd − qdb) ⊗ dc bc ⊗ cb − cb ⊗ bc = bc ⊗ (cb + bc − bc) − (cb + bc − bc) ⊗ bc = (bc − cb) ⊗ bc − bc ⊗ bc − bc ⊗ (bc − cb) + bc ⊗ bc = (bc − cb) ⊗ bc − bc ⊗ (bc − cb) ad ⊗ ad − da ⊗ da − (q − q −1 )(ad ⊗ bc + bc ⊗ da) = = ad ⊗ ad − (da + (ad − (q − q −1 )bc) − (ad − (q − q −1 )bc)) ⊗ da −(q − q −1 )(ad ⊗ bc + bc ⊗ da) = ad ⊗ ad + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ da − ad ⊗ da +(q − q −1 )bc ⊗ da − (q − q −1 )ad ⊗ bc − (q − q −1 )bc ⊗ da = ad ⊗ (ad − da − (q − q −1 )bc) + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ da Zusammen ergibt sich: Δ(ad − da − (q − q −1 )bc) = ac ⊗ (ab − qba) + bd ⊗ (cd − qdc) + q −1 (ac − qca) ⊗ ba +q −1 (bd − qdb) ⊗ dc + (bc − cb) ⊗ bc − bc ⊗ (bc − cb) +ad ⊗ (ad − da − (q − q −1 )bc) + (ad − da − (q − q −1 )bc) ⊗ da. 36

◻

Die Ausf¨ uhrungen zur Koeins sind einfach nachzurechnen.

Bilden wir den Quotienten Kq (M (2, C))/(detq −1), erhalten wir die Bialgebra Kq (SL(2, C)), die wir durch den Antipoden S(a) = d,

S(b) = −qb,

S(c) = −q −1 b,

S(d) = a

ur die Quanzur Hopf-Algebra erg¨anzen k¨onnen. In der Hopf-Algebra Kq (SL(2, C)) gilt f¨ tendeterminante Δ(detq −1) = (detq −1) ⊗ detq +1 ⊗ (detq −1). Dies beweist man, indem man die Algebraantihomomorphismuseigenschaft durch das Antipodenaxiom auf den Erzeugern verifiziert.

2.4.3

Das duale Paar (Uq (sl(2, C)), Kq (SL(2, C)))

Wir rechnen nun die duale Paarung der universellen einh¨ ullenden Algebra (verstanden als Vektorfelder) Uq∗ (sl2 (2, C)) aus, indem wir den Homomorphismus Φ auf die Quantenebene Kq (SL(2; C)) angewenden; den dazu ben¨otigten unitalen ∗-Homomorphismus haben wir im Abschnitt 2.3.3 festgelegt. Hierzu m¨ ussen wir zun¨achst die Wirkung der Erzeuger der universellen Einh¨ ullenden auf die Erzeuger der Quantenebene ermitteln. Im ersten Schritt ist nachzuweisen, dass durch die Lokalisierung die Koalgebrastruktur erhalten bleibt. F¨ ur die universelle Einh¨ ullende haben wir das bereits im Abschnitt 2.3.3. getan und f¨ uhren es nun f¨ ur die Hopf-Algebra Kq (SL(2, C)) durch: Die Abbildung Uq (sl(2, C)) × Kq (SL(2, C)) → C definieren wir folgendermaßen 1

⟨E,

⎛ 0 q4 ⎞ ⎛ a b ⎞ , ⟩ = ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ c d ⎠

⟨F,

⎛ a b ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ , ⟩ = 1 ⎝ c d ⎠ ⎝ q− 4 0 ⎠

⟨K ± ,

⎛ q ∓1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⟩ = . ⎝ 0 q ±1 ⎠ ⎝ c d ⎠

Wir berechnen nun die Dualit¨at auf den Erzeugern der Algebra Uq (sl(2, C)) und den Prouhren hier eine dukten des Ideals der Kommutationsrelationen von Kq (SL(2, C)). Wir f¨ beispielhafte Rechnung durch und f¨ ullen eine Tabelle mit den Ergebnissen der Berechnungen der dualen Paarung aus. So ist zum Beispiel ⟨E∣a⟩ = 0 etc. Die u ¨brigen Berechnungen ergeben: 37

E

a

b

c

d

0

q2

0

0

− 12

0

0

q1

1

F

0

0

K

q −1

0

q

Im Weiteren sind die Produkte E i F j K l zu berechnen. Denn wir wissen, dass E, F, K eine Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis ist. Somit k¨onnen wir auf den Erzeugern rechnen. Allerdings gelingt uns dies nur, wenn wir sukzessiv die Produkte in der Algebra Uq (sl(2, C)) berechnen. Wir beginnen mit ⟨E 2 ∣a⟩ = ⟨E ⊗ E∣Δ(a)⟩ = ⟨E ⊗ E∣a ⊗ a + b ⊗ c⟩ = ⟨E∣a⟩⟨E∣a⟩ + ⟨E∣b⟩⟨E∣c⟩ 1

= 0 ⋅ 0 + q 2 ⋅ 0 = 0. Die folgende Tabelle gibt die Ergebnisse s¨amtlicher Berechnungen f¨ ur ⟨⋅⋅, a⟩ an. a

E

F

K

E

0

1

0

F

0

0

0

K

0

0

q −2

Alle weiteren Berechnungen findet man im Anhang. F¨ ur die Ergebnisse dort ist es leicht zu sehen, dass die Kommutationsrelationen erf¨ ullt sind. Somit ist gezeigt, dass ein eindeutiger Algebrenhomomorphismus ψ ∶ Kq (M (2, C)) → Uq∗ (sl(2, C)) mit ψ(a) = A,

ψ(b) = B,

ψ(c) = C,

ψ(d) = D

existiert. Der restliche Beweis verl¨auft wie im Abschnitt 2.3.3. Die Argumentation f¨ ur den H¨ochstgewichtsmodul V , der hier als Uq -Modul ben¨otigt wird, findet man in [Kassel], Abschnitt VI.3., S. 127ff.

38

Kapitel 3 Die Quantendoppelkonstruktion Die Quantendoppelkonstruktion geht auf Drinfel’d ([Drinfel’d], Abschnitt 13, S. 816f) zur¨ uck, und man findet diese Idee in der Literatur auch unter Drinfel’d-(Quanten-)Doppel. Durch sie wird eine Hopf-Algebra H mit einer quasi-triangul¨aren Hopf-Algebra D(H) verbunden. Wir zeigen hier die allgemeine Doppelkonstruktion auf, d. h. wir betrachten das Quantendoppel als eine Verallgemeinerung des klassischen Doppels in dem Sinne, dass die klassische Doppelkonstruktion gerade der Grenzwert f¨ ur q → 1 der Quantendoppelkonstruktion ist. Der einfachste Fall eines Quantendoppels D(G) einer Gruppenalgebra K[G] ist das Kreuzprodukt D(G) = K(G) ⋊ K[G] mit der Funktionenalgebra K(G). Genau diese Kreuzproduktbildung auf C ∗ -AlgebraEbene wird im zweiten Abschnitt behandelt. Die Eigenschaft einer quasi-triangul¨aren Hopf-Algebra wird durch die sog. R-Matrix bestimmt, die die Nicht-Kokommutativit¨at steuert.

3.1

Quantendoppel

Im ersten Kapitel haben wir eine Hopf-Algebra als kokommutativ bezeichnet, wenn mit der Transpositionsabbildung τ die Beziehung τ ○Δ = Δ′ gilt. Man kann nun Hopf-Algebren betrachten, die bis auf Konjugation mit einem Element R ∈ H ⊗ H kokommutativ sind. Dieses Element R wird universelle R-Matrix (oder auch quasi-triangul¨are Struktur) genannt. Definition 3.1.1. Es sei H eine Hopf-Algebra u ¨ber K mit Charakteristik 0 und R ∈ H ⊗H ein invertierbares Element. T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

1. Eine fast-kokommutative Hopf-Algebra ist ein Paar (H, R), so dass RΔ(h) = Δ′ (h)R f¨ ur alle h ∈ H, Δ die Komultiplikation und Δ′ = τ Δ die vertauschte Komultiplikation ist. 2. Eine fast-kokommutative Hopf-Algebra (H, R) wird Korand-Hopf-Algebra genannt, wenn folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: R21 R12 = 1,

( ⊗ ) = 1,

R (Δ ⊗ id)(R) = R23 (id ⊗ Δ)(R). 12

3. Eine quasi-triangul¨ are Hopf-Algebra ist eine fast-kokommutative Hopf-Algebra (H, R), wenn folgende Bedingungen gelten: (Δ ⊗ id)(R) = R13 R23 , (id ⊗ Δ)(R) = R13 R12 . 4. Eine triangul¨ are Hopf-Algebra ist eine quasi-triangul¨are Hopf-Algebra (H, R), f¨ ur die R12 R21 = 1 gilt. Hierbei bezeichnet R12 = rk ⊗sk ⊗1, R23 = 1⊗rk ⊗sk und R13 = rk ⊗1⊗sk , wobei R = rk ⊗sk . Bemerkung 3.1.2. Mathematisch bedeutet die Fast-Kokommutativit¨at, dass eine nichtkokommutative Hopf-Algebra vorliegt, bei der die Nicht-Kokommutativit¨at unter Kon” trolle“ der universellen R-Matrix ist. Diese universelle R-Matrix hat eine in der Physik und der Knotentheorie wichtige Eigenschaft. Denn es gilt Proposition 3.1.3. Sei (H, R) eine quasi-triangul¨are Hopf-Algebra, dann gilt in H ⊗H ⊗H R12 R13 R23 = R23 R13 R12 . Die Gleichung in dieser Proposition wird (Quanten-)Yang-Baxter-Gleichung genannt. Nun kann man zeigen, dass eine eindeutige quasi-triangul¨are Hopf-Algebra existiert, in die es Einbettungen von einer endlichdimensionalen Hopf-Algebra und deren entgegengesetzter Hopf-Algebra gibt. 40

Definition 3.1.4. ([Korogodski/Soibelman], Definition 2.2.2, S. 64) Sei H eine endlichdimensionale Hopf-Algebra u ¨ber einem K¨orper K mit Charakteristik 0 (damit tr¨agt der duale Raum A∗ die Hopf-Algebrastruktur). Ferner sei Ao eine Hopf-Algebra, die isomorph zur Algebra A∗ ist und deren Komultiplikation die entgegengesetzte Komultiplikation in A∗ ist. Eine quasi-triangul¨are Hopf-Algebra (D(A), R) heißt Doppel-Hopf-Algebra, falls 1. die Hopf-Algebraeinbettungen i1 ∶ A ↪ D(A) und i2 ∶ Ao ↪ D(A) existieren, 2. die durch die Multiplikation in D(A) gegebene lineare Abbildung A ⊗ Ao → D(A) bijektiv ist und 3. R das Bild des kanonischen Elements von A ⊗ Ao durch die Einbettung i1 ⊗ i2 ∶ A ⊗ Ao → D(A) ⊗ D(A) gegeben ist. F¨ ur das Quantendoppel skizzieren wir nur die Konstruktion. Zun¨achst ist die (formale) Quantisierung eine Hopf-Algebra U u ¨ber den formalen Potenzreihen C[[h]], die isomorph zur sog. co-Poisson-Hopf-Algebra formaler Potenzreihen als topologischem C[[h]]Modul ist, vollst¨andig in der h-adischen Topologie und der Quotient U /hU isomorph zur co-Poisson-Hopf-Algebra ist. Eine quantisierte Lie-Bialgebra g ist eine Quantisierung der dazugeh¨origen co-Poisson-Hopf-Algebra von g. Dann ist das Quantendoppel ¨ahnlich wie die Doppel-Hopf-Algebra definiert. Definition 3.1.5. Das Quantendoppel D(A) einer quantisierten universellen einh¨ ullenden Algebra A ist analog zu 3.1.4. definiert, wobei Ao durch A♯ ersetzt wird. A♯ ist eine Quantisierung der dualen Lie-Bialgebra g.

3.2

Kreuzprodukte

Zum Verst¨andnis des Quantendoppels gehen wir zun¨achst auf die Konstruktion von Kreuzprodukten bzw. verschr¨ankter Produkte (crossed products) bzw. halbdirekter Produkte (semidirect products) ein. Der Begriff des verschr¨ankten Produkts geht auf Emil Artin ([Artin], S. 79ff) zur¨ uck, der des halbdirekten Produkts auf Saunders Mac Lane ([Mac Lane], S. 105). Moss Sweedler verallgemeinerte die beiden Begriffe durch die Konstruktion des smash“-Produkts ([Sweedler], S. 153). ” 41

3.2.1

Kreuzprodukt von Gruppen

Dieser Abschnitt geht im Wesentlichen auf Takeuchi ([Takeuchi], Kap. 2, S. 849-851) zur¨ uck. Es sei G eine Gruppe, und H, K seien Untergruppen. Angenommen, jedes Element g ∈ G kann eindeutig durch ein Tupel (h, k) ∈ H × K ausgedr¨ uckt werden, das die Bedingung g = hk erf¨ ullt. Dann gibt es eine Abbildung K ×H → H ×K (k, h) ↦ (k h, k h ), die durch kh = k hk h f¨ ur alle k ∈ K und h ∈ H bestimmt ist. Sie heißt (doppeltes) Kreuzprodukt. Auf die Besonderheit dieser Notation wollen wir hinweisen, die sowohl von der Literatur abweicht als auch sehr einsichtig ist. Denn die Linksaktion ist durch k h und die Rechtsaktion durch k h dargestellt, das jeweils operierende Element steht also als Subskript auf der jeweils wirkenden Seite des Elements, auf das es wirkt. Ferner ist die Konstruktion des Tupels zu Fragen der Kommutativit¨at offensichtlich. Aus der Assoziativit¨at der Gruppenoperation folgt, dass f¨ ur k, k ′ ∈ K und h ∈ H wegen (kk ′ )h = k(k ′ h) folgt: (kk′ ) h

=

k (k′ h)

(3.1)

′

(3.2)

′

(kk )h = kk′ h k h . Denn wir haben einerseits (kk ′ )h = (kk′ ) h(kk ′ )h und andererseits k(k ′ h) = k(k′ h)k ′ h = k (k′ h)kk′ h k ′ h . Analog folgt f¨ ur k ∈ K und h, h′ ∈ H wegen k(hh′ ) = (kh)h′ k (hh

′

) = (k h)(kh h′ )

k (hh′ ) = (k h )h′ . Auf der einen Seite steht k(hh′ ) =

k (hh

′ )k

(hh′ )

(3.3) (3.4)

und auf der anderen Seite steht

(kh)h′ = (k h)k hh′ = (k h)(kh h′ )(k h )h′ . Mit einer ¨ahnlichen Argumentation folgt wegen der Existenz eines neutralen Elements in der Gruppe, dass f¨ ur 1h = h, h ∈ H folgt = h

(3.5)

1h = 1,

(3.6)

1h

42

denn 1h = (1 h)1h = 1. Analog ergibt sich f¨ ur k ∈ K wegen k = k1 k1 = k

(3.7)

= 1,

(3.8)

k1

denn k1 = (k 1)k 1 = k. Die Relationen 3.2 und 3.6 bedeuten, dass eine Gruppe K auf einer Menge H wirkt, also die Abbildung α ∶K ×H → H α(k, h) =

kh

eine Linksaktion der Gruppe K auf der Menge H ist. Die Relationen 3.5 und 3.7 stehen daf¨ ur, dass eine Gruppe H auf einer Menge K wirkt, d. h. die Abbildung β ∶K ×H → K β(k, h) = k h ist eine Rechtsaktion der Gruppe H auf der Menge K. Diese Gedanken fassen wir nun in die folgende Definition 3.2.1. Seien H und K Gruppen. Das Paar (H, K) bezeichnet man als vertr¨ agliches Paar, falls es die Linksaktion α ∶ K × H → H der Gruppe K auf die Menge H mit α(k, h) =k h und die Rechtsaktion β ∶ K × H → K der Gruppe H auf die Menge K ur alle h, h′ ∈ H und k, k ′ ∈ K gilt: mit β(k, h) = k h gibt, so dass f¨ (kk ′ )h = k k′ h k ′ h ′ k (hh ) =

′ k h kh h

(3.9) (3.10)

= 1

(3.11)

1h = 1.

(3.12)

k1

Bemerkung 3.2.2. Das vertr¨agliche Paar heißt im Englischen matched pair“ 1 . ” Theorem 3. Sei (X, Y ) ein vertr¨agliches Paar von Gruppen. Dann gibt es eine eindeutige Gruppenstruktur auf dem mengentheoretischen Produkt X × Y mit Einselement (1, 1), so dass (x, y)(x′ , y ′ ) = (x y x′ , y x′ y ′ ) f¨ ur alle x, x′ ∈ X und y, y ′ ∈ Y. 1

Historisch gesehen hat William M. Singer ([Singer], Definition 3.1., S. 8) im Jahre 1972 f¨ ur graduierte

Hopf-Algebren den Begriff matched pair“ eingef¨ uhrt, der 1982 von Mitsuhiro Takeuchi [Takeuchi] auf ” nichtgraduierte Hopf-Algebren u ¨bertragen wurde.

43

Beweis: Es sind die Gruppeneigenschaften nachzuweisen. 1. Um die Wohldefiniertheit zu zeigen, w¨ahlen wir zwei weitere Repr¨asentanten x˜ ∈ X, y˜ ∈ Y und sehen, dass (˜ x, y˜)(x′ , y ′ ) = (˜ x y˜x′ , y˜x′ y ′ ) ∈ X × Y. 2. Zum Nachweis der Assoziativit¨ at nutzen wir die Eigenschaften 3.2 und 3.3.

((x, y)(x′ , y ′ ))(˜ x, y˜)

(x y x′ , y x′ y ′ )(˜ x, y˜) = (x y x′ yx′ y′ x˜, (y x′ y ′ ) y˜)

=

x ˜

=

3.2 (x y x′ yx′ y′ x˜, y x′ (x, y)((x′ , y ′ )(˜ x, y˜))

=

y

y ′˜ y˜) ˜ x ′x

(x, y)(x′ y′ x˜, y ′x˜ y˜) = (x y (x′y′ x˜), y x′

˜ y′ x

y ′x˜ y˜)

=

3.3 (x y x′ yx′ y′ x˜, y x′ ′ x˜ y ′x˜ y˜) y

3. Jetzt zeigen wir die Existenz des Inversen. Zun¨achst w¨ahlen wir ein Element (x′ , y ′ ) ∈ X × Y , f¨ ur das (x, y)(x′ , y ′ ) = (1, 1) gilt. Rechnen wir das Produkt aus, so erhalten wir (x, y)(x′ , y ′ ) = (x y x′ , y x′ y ′ ) = (1, 1). !

Aus der ersten Komponente x y x′ = 1 und x′ =y−1 y x′ ergibt sich x′ =y−1 x−1 . Die zweite Komponente ergibt sich direkt aus: y ′ = (y x′ )−1 = (y y−1 x−1 )−1 . Nun rechnen wir noch (x′ , y ′ )(x, y) = (x′y′ x, y ′x y) = (y−1 x−1 (y

y −1

−1 x−1 )

x, (y −1 x−1 )x y) y −1

= (y−1 (x−1 x), 1) = (y−1 1, 1) = (1, 1) Hier ist nur anzumerken, dass f¨ ur die zweite Komponente die Forderung der Gleichung (y −1 x−1 )x y = 1 verwendet wird. y −1

◻ 44

3.2.2

Kreuzprodukte von Bi- und Hopf-Algebren

Diesem Abschnitt liegen vor allem ein Artikel von Majid ([Majid 1]) und Kassels Buch ([Kassel], Kapitel 9) zugrunde. In diesem Abschnitt entfaltet die bereits im letzten Abschnitt verwendete Notation ihre gr¨oßte Wirkung. Mit ihr wird klar, u ¨ber welche Elemente summiert wird und in welcher Algebra man sich schlussendlich befindet. Zuvor f¨ uhren wir folgende Konvention f¨ ur die Notation ein: Δ(x) = xi ⊗ xi , Dabei wird die Einsteinsche Summationskonvention verwendet. F¨ ur die Koassoziativit¨at gilt: (Δ ⊗ id) ○ Δ = (id ⊗ Δ) ○ Δ. Diese Bedingung bedeutet mit unserer Notation einerseits (Δ ⊗ id) ○ Δ(x) = (Δ ⊗ id)(xi ⊗ xi ) ′

= xii′ ⊗ xii ⊗ xi und andererseits ′

(id ⊗ Δ) ○ Δ(x) = xi ⊗ xii′ ⊗ xii . Gehen wir nun eine Stufe h¨oher, so erhalten wir f¨ ur die Koassoziativit¨at die Bedingungen (Δ ⊗ id ⊗ id) ○ Δ(2) = (id ⊗ Δ ⊗ id) ○ Δ(2) = (id ⊗ id ⊗ Δ) ○ Δ(2) , wobei Δ(2) = (Δ ⊗ id) ○ Δ = (id ⊗ Δ) ○ Δ gilt. Damit erh¨alt man ′

′′

′

(Δ ⊗ id ⊗ id)(xii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ′

′

′ ′′

′

′

′

′

′

(id ⊗ Δ ⊗ id)(xii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ ⊗ xiii′′ ⊗ xii i ⊗ xi (id ⊗ id ⊗ Δ)(xii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ ⊗ xii ⊗ xii′ ⊗ xii und ′

(Δ ⊗ id ⊗ id)(xi ⊗ xii′ ⊗ xii ) = xii′ ⊗ xii ⊗ xii′ ⊗ xii ′

′′

(id ⊗ Δ ⊗ id)(xi ⊗ xii′ ⊗ xii ) = xi ⊗ xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ′

′

′

′ ′′

(id ⊗ id ⊗ Δ)(xi ⊗ xii′ ⊗ xii ) = xi ⊗ xii′ ⊗ xiii′′ ⊗ xii i . In der n¨achsten Stufe bedeutet Koassoziativit¨at (Δ⊗id⊗id⊗id)○Δ(3) = (id⊗Δ⊗id⊗id)○Δ(3) = (id⊗id⊗Δ⊗id)○Δ(3) = (id⊗id⊗id⊗Δ)○Δ(3) , wobei Δ(3) = (Δ ⊗ id ⊗ id) ○ Δ(2) = (id ⊗ Δ ⊗ id) ○ Δ(2) = (id ⊗ id ⊗ Δ) ○ Δ(2) ist. ′′

′

(3)

′′

′′

′

′′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′

(Δ ⊗ id ⊗ id ⊗ id)(xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ i′′ i(3) ⊗ xiii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ′′ (3)

(id ⊗ Δ ⊗ id ⊗ id)(xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ i′′ ⊗ xiii′ i(3) ⊗ xiii′i

′

⊗ xii ⊗ xi

′ ′′

(id ⊗ id ⊗ Δ ⊗ id)(xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xiii′′ ⊗ xii i ⊗ xi (id ⊗ id ⊗ id ⊗ Δ)(xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ) = xii′ i′′ ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xii′ ⊗ xii

′

45

Wir d¨ urfen ′

xi = xii′ = xi,...i(n) , xi = xii = xi,...i

(n)

′

und xii = xii′ ,

setzen. Im Wesentlichen bedeutet Koassoziativit¨at, dass wir stets den Ausdruck ′

′

xi ⊗ xii . . . ⊗ xii ⊗ xi haben, weil in folgenden Ausdr¨ ucken gek¨ urzt werden kann: (n)

(n−1)

′′

′

xii′ ...i(n) ⊗ xiii′ ...i(n−1) ⊗ xiii′ ...i(n−2) ⊗ . . . ⊗ xiii′ ⊗ xii ⊗ xi ii′ i′′

ii′ ...i(n−2)

xi ⊗ xii′ ⊗ x ⊗ . . . ⊗ xi(n−1)

ii′ ...i(n−1)

⊗ xi(n)

′

(n)

⊗ xii ...i .

Um die Bedeutung der Koassoziativit¨at in der n-ten Komultiplikation zu verstehen, m¨ ussen wir erst aufschreiben, was wir unter n-ten Komultiplikation verstehen wollen. Es ist (idC ⊗k ⊗ Δk ⊗ idC ⊗n−k−1 ) ○ Δn−1 = (idC ⊗n−k−1 ⊗ Δk ⊗ idC ⊗n−k ) ○ Δn−1 f¨ ur alle k ≤ n − 1, k, n ∈ N. Wir m¨ ussen nun noch solche Regeln u ¨bertragen, bei denen mit und ohne Summierung zusammengefasst werden kann. Diese sind S(x)x = xS(x) = (x)x = 1 und S(xi )xi = (x)1, xi S(xi ) = (x)1 bzw. (xi )xi = x. F¨ ur diese Regeln ohne Summierung gilt:

Definition 3.2.3. Eine Darstellung einer Algebra A oder eine Linkswirkung einer Algebra A auf einen Vektorraum V ist ein Tupel (α, V ) mit einer linearen Abbildung α ∶A⊗V

→ V

(a ⊗ v) ↦ α(a ⊗ v) ≡ αa (v) ≡ a v, f¨ ur die gilt 1.

(a⋅A b) v

2.

1A v

= a (b v)

=v

f¨ ur alle a, b ∈ A,

v∈V.

Nat¨ urlich kann man diese Definition auch darstellungstheoretisch formulieren, also im Sinne der Darstellung als Zuordnung einer Abbildung: α ˜ ∶ A → End(V ) a ↦ α ˜ (a) 46

mit α ˜ (a) ∶ V

→ V

v ↦ α ˜ (a)(v) ∶= α(a ⊗ v) ≡ a v. Wir k¨onnen auch sagen, dass V ein A-Modul ist. Die unterschiedlichen Sprechweisen implizieren die verschiedenen Sichtweisen: Betrachtet man den Vektorraum (also die Struktur, auf die die Wirkung zielt), dann spricht man von V als Links-A-Modul. Interessiert man sich f¨ ur die wirkende Struktur, dann sagt man, dass A von links auf V wirke oder A eine Darstellung sei. Unser Ziel ist, die Wirkung einer Algebra auf Strukturen wie Algebren und Koalgebren zu beschreiben. Daf¨ ur ist bereits erforderlich, dass die wirkende Struktur eine Bi- oder Hopf-Algebra ist. Nun sind noch die Regeln mit Summierung zu nennen. Definition 3.2.4. Sei H eine Bi- oder Hopf-Algebra. Eine Algebra A ist eine Links-H-Modul-Algebra, falls 1. der der Algebra H zugrundeliegende Vektorraum A ein Links-H-Modul ist und 2. H auf A von links wirkt, d. h. h (ab)

= hi a hi b,

als kommutatives Diagramm: H⊗A⊗A

idH ⊗mA

/ H⊗A

α

/Ao

mA

A ⊗O A

ΔH ⊗idA ⊗idA

α⊗α



idH ⊗σ⊗idA

H⊗H⊗A⊗A

/ H ⊗ A ⊗ H ⊗ A,

sowie 3. h 1A = (h)1A gilt, als kommutatives Diagramm: H idH ⊗ηA



H ⊗idK

H⊗A

/ K ηA /6 A . mmm mmm mmm m m m α mmm

Also wirkt das Element h der Bialgebra H auf das Algebraprodukt, indem die Komultiplikation h aufspaltet und die aufgespaltenen Teile jeweils auf die Faktoren des Algebraprodukts wirken. Abschließend wird mit dem Algebraprodukt multipliziert. Die zweite Bedingung sorgt f¨ ur die Vertr¨aglichkeit mit dem Einselement der Algebra: h (a1A )

= hi a hi 1A = hi a(hi )1A = hi (hi ) a1A = h a. 47

Durch den Ansatz α(h ⊗ (ab)) = h (ab) = h a h b erkennt man, dass die Wirkung α nicht mehr linear w¨are. Somit ergibt sich die Forderung der zweiten Bedingung in der voranstehenden Definition durch die Linearit¨at der Wirkung. Ihre Erf¨ ullung wird durch die Komultiplikation erm¨oglicht. Definition 3.2.5. Sei H eine Bi- oder Hopf-Algebra. Eine Koalgebra C ist eine Links-HModul-Koalgebra, falls 1. der der Koalgebra C zugrundeliegende Vektorraum C ein Links-H-Modul ist und 2. H auf C von links wirkt, d. h. Δ( h c) = hi cj ⊗ hi cj , als Diagramm geschrieben: H⊗C ΔH ⊗ΔC

ΔC

/C

α

/ C ⊗C O α⊗α



idH ⊗σ⊗idC

H⊗H⊗C ⊗C

/ H⊗C ⊗H⊗C

sowie 3. ( h c) = (h)(c) gilt, als kommutatives Diagramm geschrieben: CO α

C

/ . x; K xx x x x x xx H ⊗C

H⊗C

Das bedeutet: Δ( h c) = Δ(h) Δ(c). Die Diagramme bedeuten, dass α ein Koalgebramorphismus ist. Nun k¨onnen wir vertr¨agliche Paare von Bi- oder Hopf-Algebren definieren. Definition 3.2.6. Ein Paar (A, H) von Bi- oder Hopf-Algebren nennt man (rechtslinks-)vertr¨ aglich, falls H eine Rechts-A-Modul-Koalgebra und A eine Links-H-ModulKoalgebra ist, so dass folgende Vertr¨aglichkeitsbedingungen erf¨ ullt sind: = ( hi aj ) ⋅A ( hi j b)

(3.13)

= A (h) ⋅A 1A

(3.14)

(gh)a = g h aj ⋅H h aj

(3.15)

1aH = H (a) ⋅H 1H

(3.16)

hi a ⊗ hi a = h aj ⊗ hi aj

(3.17)

h (ab)

a

h 1A

i

i

j

j

48

i

Theorem 4. Sei (A, H) ein vertr¨agliches Paar von Bialgebren. Dann existiert eine eindeutige Bialgebrastruktur auf dem Vektorraum A ⊗ H mit 1. der Multiplikation (a ⊗ h)(b ⊗ g) = a hi bj ⊗ hi bj g, 2. dem Einselement eA⊗H = (1 ⊗ 1), 3. der Komultiplikation Δ(a ⊗ h) = (ai ⊗ hj ) ⊗ (ai ⊗ hj ) und 4. der Koeins (a ⊗ h) = (a)(h) f¨ ur alle a, b ∈ A und g, h ∈ H. Die injektiven Abbildungen iH (h) = 1 ⊗ h und iA (a) = a ⊗ 1 sind Bialgebramorphismen von H bzw. A in A @ H. Insbesondere ist (a ⊗ h) = (a ⊗ 1)(1 ⊗ h) f¨ ur a ∈ A und h ∈ H. Falls die Bialgebren A und H einen Antipoden haben, der mit SA und SH bezeichnet wird, dann ist das doppelte Kreuzprodukt eine Hopf-Algebra mit dem Antipoden SA⊗H , der durch S(a ⊗ h) =

SA (ai ) SH (h

j

) ⊗ SA (ai )

SH (hj )

definiert ist. Beweis: Wir weisen die Bi- bzw. Hopf-Algebraeigenschaft nach, indem wir zeigen, dass die Multiplikations- und Einsabbildungen wohldefiniert sind und dass sie Koalgebrenmorphismen sind. 1. Die Assoziativit¨at zeigen wir durch folgende Schritte: Bei den ersten beiden Gleichheitszeichen haben wir die Multiplikation angewandt, dann die Vertr¨aglichkeitsbedingung bzgl. der Linksaktion 3.13. Beim anschließenden Schritt bedeutet das Umklammern von hk(b

g ic

j)

= (hkb )gicj g icj , dass wir die Eigenschaft des Koalgebramor-

phismus der Rechtsaktion ausnutzen. Im darauf Folgenden verwenden wir die Vertr¨aglichkeitsbedingung der Rechtsaktion, dann wiederum die KoalgebramorphismusEigenschaft der Linksaktion und abschließend zweimal die Multiplikationsregel. 49

(a ⊗ h)((b ⊗ g)(c ⊗ f )) = (a ⊗ h)(b gi cj ⊗ g icj f ) = a hk(bl gii′ cjj ′ ) ⊗ hkbl

gi i

= a hkk′bll′ hk′

g k bl′ ii′ l

j′ ′ cj

g icj f

cjj ′ ⊗ hkbl

gi i

g icj f

j′ ′ cj

((a ⊗ h)(b ⊗ g))(c ⊗ f ) = (a hk bl ⊗ hkbl g)(c ⊗ f ) ′

= a hkbl hk′

i cj ⊗ (hkk bll′ g )cj f

= a hkbl hk′

cj ⊗ hkk g ii f ′ bll cj cjj ′

g k bl′ i l g k bl′ i l

′

′

g i′ j ′ i

Die Gleichheit der beiden Seiten folgt aus der Koassoziativit¨at, denn durch deren Bedingung (Δ ⊗ Id) ○ Δ = (Id ⊗ Δ) ○ Δ ergibt sich f¨ ur die Koalgebraelemente, dass ⋅k = ⋅kk′

bzw. ⋅k = ⋅kk

′

′

und ⋅kk′ = ⋅kk .

2. Nun weisen wir nach, dass die Komultiplikation ein Algebrenhomomorphismus ist; ¨ dazu verwenden wir die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.17 (Ubergang von zweiter zu dritter Zeile). Δ(a ⊗ h)Δ(b ⊗ g) = ((am ⊗ hk ) ⊗ (am ⊗ hk )) ((bl ⊗ gi ) ⊗ (bl ⊗ g i )) = ((am ⊗ hk )(bl ⊗ gi )) ⊗ ((am ⊗ hk )(bl ⊗ g i )) = (am hkk′ bll′ ⊗

′

′

i hkk bl′ g i ) ⊗ (am hk′ bll′ ⊗hkk bll′ g ). k l DEE E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E FE E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E EG Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.17

Andererseits gilt Δ((a ⊗ h)(b ⊗ g)) = Δ(a hk bl ⊗ hkbl g) ′

′

i = (am hkk′ bll′ ⊗ hkk′ bl′ g i ) ⊗ (am hk′ bll ⊗ hkk bll′ g ). k

l

Wir sehen, dass der Unterschied in den Ausdr¨ ucken hkk′ bl′ und l

hkk

′

′

bll liegt. Durch die

Vertr¨aglichkeitsbedingung k¨onnen wir die Zerlegungsreihenfolge der Komultiplikation vertauschen, wenn die Rechts- in eine Linksaktion u uhrt wird bzw. umgekehrt ¨berf¨ (in Matrixdenkweise, die Transposition erfolgt durch Vertauschen der Aktionen). 3. Die Wohldefiniertheit des Einselements erhalten wir durch die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.16 und die bereits genannte Regel (xi )xi = xi (xi ) = 1 (1 ⊗ 1)(a ⊗ h) =1 am ⊗ 1am h = am ⊗ (am )h = am (am ) ⊗ h = a ⊗ h

50

bzw. durch die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.14 und die genannte Eigenschaft (a ⊗ h)(1 ⊗ 1) = a(hk 1) ⊗ hk1 1 = a(hk )1 ⊗ hk 1 = a ⊗ (hk )hk 1 = a ⊗ h.

4. Die Koeins-Abbildung ist ein Algebrenmorphismus. Denn es gilt wegen der Linearit¨at der Koeins: ((a ⊗ h)(b ⊗ g)) = (a ⊗ h)(b ⊗ g) = (a)(h)(b)(g).

Wenden wir das Produkt zun¨achst auf der linken Seite an, dann haben wir mit der Eigenschaften der Aktionen Koalgebramorphismen zu sein: (a hk bl ⊗ hkbl g) = (a)(hk bl )(hklb )(g) = (a)(g)((hk )(bl )(hk )(bl )) = (a)(g)((hk )(hk )(bl )(bl ) = (a)(g)(h)(b).

5. Um den Antipoden nachzuweisen, m¨ ussen wir zeigen, dass (a ⊗ h)S(a ⊗ h) = (a ⊗ h)(1 ⊗ 1) und S(a ⊗ h)(a ⊗ h) = (a ⊗ h)(1 ⊗ 1) gilt. ′

(ai ⊗ hm )S(ai ⊗ hm ) = (ai ⊗ hj )(SH (hmm′ ) SA (aii ) ⊗ SH (hm m′ )

SA (aii′ )

)

ii′ i′′

′ SA (a )) ⊗ = ai (hmm′ SH (hmm ′′ ) ′

m

m ′ ′′ S (hm′ )SA (ai′ ) mm′ m′′ )SA (aii i ) H i H (h ′ m′ ii m ′ S (h ′ ) ′ SA (a ′′ )) ⊗ h m SA (aii′ ) i m ′ SA (aii ) H SH (hmm ) mm ′′ m SH (h )

hm mS = ai (hmm′

′

′

ii m m ′ SA (a ′′ )) ⊗ (h = ai (hmm′ SH (hmm m SH (h ))SA (ai ) i ′′ ) m

′

ii ′ SA (a ′′ )) ⊗ ((hm )1) = ai (hmm′ SH (hmm SA (ai ) i ′′ )

wegen xi S(xi ) = (x)1

m

ii′ i′′

i ′ SA (a )) ⊗ (hm )(SA (a ))1 = ai (hmm′ SH (hmm ′′ ) m

= ai ((hm )1 SA (ai ) ⊗ 1) = (h)(ai SA (ai ) ⊗ 1) = (h)((ai )1 ⊗ 1) = (h)(a)(1 ⊗ 1) = (a ⊗ h)(1 ⊗ 1). 51

Andererseits haben wir: ′

i ′ SA (a ) ⊗ SH (hmm′ ) S(ai ⊗ hm )(ai ⊗ hm ) = (SH (hm i m )

SA (aii′ )aii′

)(ai ⊗ hm )

=

i′ ′ SA (a ) i S (hm′ ) SH (hm m ) H m

=

i hm SH (hmm′ ) (SA (aii′ )ai′ ) ⊗ SH (hmm′ m′′ ) SA (aii′ i′′ )aii′ hm SH (hmm′ ) ((aii′ )1) ⊗ SH (hmm′ m′′ ) SA (aii′ i′′ )aii′ hm SH (hmm′ ) (aii′ 1) ⊗ SH (hmm′ m′′ ) SA (aii′ i′′ )aii′ hm (SH (hmm′ )aii′ ) 1 ⊗ SH (hmm′ m′′ ) SA (aii′ i′′ )aii′ (SH (hmm′ )aii′ )1 ⊗ SH (hmm′ m′′ ) hm SA (aii′ i′′ )aii′ (SH (hmm′ ))(aii′ )1 ⊗ SH (hmm′ m′′ ) hm SA (aii′ i′′ )aii′ (hmm′ )(aii′ )1 ⊗ SH (hmm′ m′′ ) hm SA (aii′ i′′ )aii′ (hmm′ )(aii′ )1 ⊗ SH (hmm′ m′′ ) hm (aii′ ) (hmm′ )(aii′ )1 ⊗ SH (hmm′ m′′ ) hm 1

= = = = = = = =

′ SA (ai ) i

aii′ ⊗ SH (hmm′ m′′ )

SA (aii′ i′′ )aii′

hm

= (hmm′ )(aii′ )1 ⊗ (hmm′ )1 = (a)(hmm′ )1 ⊗ (hmm′ )1 = (a)(h)1 ⊗ 1 = (a ⊗ h)1 ⊗ 1. Wir haben beim dritten Gleichheitszeichen die Produktbildung angewandt, dann die Vertr¨aglichkeitsbedingung der Rechtsaktion 3.15. Anschließend wurden mehrfach die Eigenschaften des Antipoden angewandt, dass ai S(ai ) = (a)1 = S(ai )ai , (h(i) ) = h1 und die K-Linearit¨at im Tensorprodukt gelten. ◻

3.3

Kreuzprodukt der Gruppenalgebra K[G]

Zun¨achst wollen wir die Gruppenalgebra einf¨ uhren. Hierzu nehmen wir eine Gruppe G, die nicht notwendigerweise linear algebraisch sein muss. Der Vektorraum K[G] ist die Menge aller Funktionen f ∶ G → K, so dass der Tr¨ager von f , d. h. supp(f ) = {g ∈ G∣f (g) ≠ 0}, endlich ist. Dieser Vektorraum hat eine Basis, die aus Funktionen {δg ∣g ∈ G} mit ⎧ ⎪ ⎪ 1 falls x = g δg (x) = ⎨ ⎪ sonst ⎪ ⎩ 0 52

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

besteht. Ein Element aus K[G] kann als formale Summe eindeutig durch ∑ x(g)δg g∈G

ausgedr¨ uckt werden, wobei wir nur eine endliche Anzahl von Koeffizienten x(g) ≠ 0 haben. Die Elemente aus G identifizieren wir mit den Elementen δg in K[G] und definieren die Multiplikation als bilineare Erweiterung der Gruppenmultiplikation durch ( ∑ x(g)δg ) ( ∑ y(h)δh ) = ∑ x(g)y(h)δgh . g∈G

h∈G

g,h∈G

Im Folgenden u ¨bertragen wir einige Eigenschaften von Gruppenalgebren, wobei wir die Vertr¨aglichkeitsbedingungen ben¨otigen. Proposition 3.3.1. Es seien X, Y Gruppen, K[X], K[Y ] die dazugeh¨origen Gruppenalgebren. Sind die Gruppen vertr¨agliche Paare von Gruppen, dann sind die Gruppenalgebren vertr¨agliche Paare von Bialgebren. Beweis: Wir bezeichnen mit A, B, C Hopf-Algebren und mit X, Y, Z Gruppen. Es ist β

α

A←A⊗B →B ab

↦ a ⊗ b ↦ ab .

Ferner bezeichnen wir die Aktionen mit xx′ y = x′x y x′ y und x yy

′

=x y x y ′ . y

Nun sei A = K[X] und B = K[Y ] mit a bb

′

=ai bj ai j b′ b

und aa′ b = aa′ bj a′i bj . i

Es ist Δ(a) = ∑ αx x ⊗ x = ax ⊗ ax . x∈X

53

Wir w¨ahlen ax = αx x ∈ K[X] und ax = 1x ∈ K[X]. Analog dazu ist Δ(b) = by ⊗by = βy y⊗1y. Dann gilt f¨ ur die rechte Seite a bb

′

= ∑ ax ∑ by b′y′ x Y yy ′ =Y

x∈X y∈Y

∑ ax by b′y′ x yy ′

=

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ ax by b′y′ x y xy y ′ .

=

x∈X y,y ′ ∈Y

Jetzt berechnen wir die linke Seite: a i b j ai j b

′

b

=

∑

αx x βy y 1x1 y

x∈X Y ∈Y

∑ βy′ ′ y ′

y ′ ∈K[Y ]

∑ αx βy 11βy′ ′ x y xy y ′

=

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ αx βy βy′ ′ x y xy y ′ .

=

x∈X y,y ′ ∈Y

Damit ist die Bedingung 3.13 gezeigt. Nun zeigen wir die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.15: aa′ b =

∑ by ∑ ax ax′ X y X∈X y∈Y

= =

xx′ =X

∑ by ax ax′ xx′ y

x,x′ ∈X y∈Y

∑ b y a x a x′ x x ′ y x ′ y .

x,x′ ∈X y∈Y

Die andere Seite bedeutet: aa′ bj a′i bj = i

=

∑ αx x αx′ x′ βy y ∑ 1x′ 1y

x,x′ ∈X y∈Y

x′ ∈K[X] y∈K[Y ]

∑ αx x αx αx′ βy xx′ y x′ y .

x,x′ ∈X y∈Y

Die zweite Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.14 (=Spur) ergibt sich aus a 1e

= ∑ ax x 1e = ∑ ax 1x e x∈X

x∈X

= (a)1e sowie (a) = ∑ ax = ∑ ax (1e) x∈X

x∈X

und Bedingung 3.16 aus 1y = ∑ by 1ey = ∑ by 1ey = (b)1e. y∈Y

54

y∈y

Die letzte Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.17 sieht man folgendermaßen: Auf der einen Seite ist ai b ⊗ai bj = αx xβ y ⊗1x 1y y

j

= αx βy xy ⊗ 1x y = αx xy ⊗ βy x y und auf der anderen gilt: ai bj ⊗ai bj = 1x1y ⊗αx x βy y = 1xy ⊗ αx βy x y = αx xy ⊗ βy x y. ◻ Damit ist gezeigt, dass die Bedingungen f¨ ur das vertr¨agliche Paar der Bi- bzw. HopfAlgebra K[X] aus den Bedingungen des vertr¨aglichen Paares f¨ ur Gruppen folgen. Nun muss noch gezeigt werden, dass dieser Funktor ein Algebra- und Koalgebrahomomorphismus ist, der das Einselement und den Antipoden erh¨alt. Theorem 5. Es seien X, Y Gruppen, K[X], K[Y ] die dazugeh¨origen Gruppenalgebren und φ ∶ X → Y ein Gruppenhomomorphismus. Dann erh¨alt der kontravariante Funktor K[φ] ∶ K[X] → K[Y ] die Hopf-Algebrastruktur.

Beweis: Aus Kapitel 2 (Beispiel 2.2.9) ist bekannt, dass Gruppenalgebren die Struktur einer HopfAlgebra haben. Folglich ist zu zeigen, dass der kontrainvariante Funktor die Hopf-Algebra (K[X], m, η, Δ, , SX ) in die Hopf-Algebra (K[Y ], m′ , η ′ , Δ′ , ′ , SY ) abbildet: (m ○ (K[φ] ⊗ K[φ])) ( ∑ ax x ⊗ ∑ ay y) = m (K[φ] ( ∑ ax x) ⊗ K[φ] ( ∑ ax x)) x∈X

y∈X

x∈X

x∈X

= m ( ∑ ax φ(x) ⊗ ∑ ay φ(y)) x∈X

=

y∈X

∑ ax ay φ(x)φ(y) = ∑ ax ay φ(xy) x,y∈X

x,y∈X

= K[φ] ∑ ax ay xy x,y∈X

= (K[φ] ○ m) ( ∑ ax x ⊗ ∑ ay y) , x∈X

y∈X

55

(K[φ] ○ η) ( ∑ ax x) = K[φ] ( ∑ ax η(x)) = ∑ ax φ(η(x)) x∈X

x∈X

x∈X

= ∑ ax η(φ(x)) = η ∑ ax φ(x) x∈X

x∈X

= η (K[φ] ( ∑ ax x)) x∈X

= (η ○ K[φ]) ( ∑ ax .x) x∈X

F¨ ur den Koalgebrahomomorphismus m¨ ussen wir zeigen, dass ( ○ K[φ]) = (K[φ] ○ ) und (K[φ] ⊗ K[φ]) ○ Δ = (Δ ○ K[φ]). Also: (K[φ] ⊗ K[φ]) Δ ( ∑ ax x) = (K[φ] ⊗ K[φ]) ( ∑ ax x ⊗ x) x∈X

x∈X

= ∑ ax φ(x) ⊗ φ(x) x∈X

= Δ ( ∑ ax φ(x)) x∈X

= Δ (K[φ] ∑ ax x) , x∈X

 (K[φ] ( ∑ ax x)) =  ( ∑ ax φ(x)) = ∑ ax (φ(x)) x∈X

x∈X

x∈X

= ∑ ax φ((x)) = K[φ] ( ∑ ax (x)) x∈X

x∈X

= K[φ] ( ( ∑ ax x)) . x∈X

Abschließend zeigen wir, dass die Antipodenbedingungen gelten, also SY ○K[φ] = K[φ]○SX gilt. (SY ○ K[φ]) ( ∑ ax x) = SY ( ∑ ax φ(x)) = ∑ ax [φ(x)]−1 x∈X

x∈X

x∈X

= ∑ ax φ(x−1 ) = K[φ] ( ∑ ax x−1 ) x∈X

x∈X

= (K[φ] ○ SX ) ( ∑ ax x) . x∈X

◻ Theorem 6. Es seien X, Y Gruppen, dann ist das Tensorprodukt K[X] ⊗ K[Y ] der Gruppenalgebren isomorph zu deren doppeltem Kreuzprodukt. Hierbei sei x y = (x)y und xy = (y)x. Beweis: Zun¨achst weisen wir nach, dass durch das Kreuzprodukt ein vertr¨agliches Paar von Bialgebren definiert ist. Wir beginnen damit, Relation 3.13 nachzuweisen. Die linke Seite 56

ergibt x (yy

′

∑ ax by by′ x (yy ′ )

) =

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ ax by by′ (x)yy ′ .

=

x∈X y,y ′ ∈Y

F¨ ur die rechte Seite gilt: ∑ ax by by′ x∈X y,y ′ ∈Y

xi y j x i j y

′

∑ ax by by′ (xi )yj (xiyj )y ′

=

y

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ ax by by′ (xi )(xi )(yj )y j y ′

=

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ ax by by′ (x)yy ′ .

=

x∈X y,y ′ ∈Y

Die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.14 sehen wir durch = ∑ ax x 1e = ∑ ax 1 x e

x1

x∈X

x∈X

= ∑ ax x e x∈X

= ∑ ax (x)e. x∈X

Zum Nachweis der Bedingung 3.15 betrachten wir zun¨achst die linke Seite: (xx′ )

y

∑ ax ax′ by xx′y

=

x,x′ ∈X y∈Y

∑ ax ax′ by (y)xx′ ;

=

x,x′ ∈X y∈Y

anschließend wenden wir uns der anderen zu: ∑ ax ax′ by xx′ yj x′iyj =

x,x′ ∈X y∈Y

i

= =

∑ ax ax′ by (x′i y j )x(y j )x′i

x,x′ ∈X y∈Y

∑ ax ax′ by (x′i )x′i (yj )(y j )x

x,x′ ∈X y∈Y

∑ ax ax′ by (y)xx′ .

x,x′ ∈X y∈Y

Die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.16 ergibt sich wie folgt: 1y = ∑ by 1ey = ∑ by ey y∈Y

y∈Y

= ∑ by (y)e. y∈Y

57

Die letzte Bedingung 3.17 rechnen wir wieder durch Betrachtung der beiden Seiten aus: ∑ ax by xi yj ⊗xi y j = ∑ ax by (yj )xi ⊗ (xi )y j x∈X y∈Y

x∈X y∈Y

= ∑ ax by (xi )xi ⊗ (yj )y j x∈X y∈Y

= ∑ ax by x ⊗ y x∈X y∈Y

∑ ax by xiyj ⊗xi y j = ∑ ax by (y j )xi ⊗ (xi )yi

x∈X y∈Y

x∈X y∈Y

= ∑ ax by (xi )xi ⊗ (y j )yj x∈X y∈Y

= ∑ ax by x ⊗ y. x∈X y∈Y

Nun wird die Isomorphie zum Tensorprodukt nachgewiesen: (x ⊗ y)(x′ ⊗ y ′ ) = ( ∑ ax x ⊗ ∑ by y)( ∑ ax′ x′ ⊗ ∑ by′ y ′ ) x∈X

=

x,x′ ∈X

y ′ ∈Y

y,y ′ ∈Y

xyj x′i ⊗ yxj ′i = ∑ ax x ∑ ax′i byj x∈X

x′ ∈X

y∈Y

∑ ax ax′ xx′ ⊗ ∑ by by′ yy ′ ,

x′ ∈X i yj ∈Y

′ yj x i

⊗ ∑ ax′i byj yj x′i ∑ by′ y ′ y ′ ∈Y

x′i ∈X y j ∈Y

= ∑ ax x ∑ ax′i byj (yj )x′i ⊗ ∑ ax′i byj (x′i )yj ∑ by′ y ′ x∈X

x′ ∈X i yj ∈Y

y ′ ∈Y

x′i ∈X y j ∈Y

= ∑ ax x ∑ ax′i ax′i x′i (x′i ) ⊗ ∑ byj byj (yj )y j ∑ by′ y ′ x∈X

x′i ,x′i ∈X

yj ,y j ∈Y

′

= ∑ ax x ∑ ax′ x ⊗ ∑ by y ∑ by′ y x∈X

=

x′ ∈X

y∈Y

y ′ ∈Y

′

y ′ ∈Y

∑ ax ax′ xx′ ⊗ ∑ by by′ yy ′ .

x,x′ ∈X

y,y ′ ∈Y

◻ Proposition 3.3.2. Seien K[X], K[Y ] die Gruppenalgebren der Gruppen X, Y und (X, Y ) ein vertr¨agliches Paar von Gruppen. Dann ist (K[X], K[Y ]) mit der Linksaktion = axa−1

(3.18)

ax = (x)a

(3.19)

ax

und der Rechtsaktion

ein vertr¨agliches Paar von Bialgebren. 58

Bemerkung 3.3.3. Die Gruppenalgebra des doppelten Kreuzprodukts der Gruppen ist isomorph zum doppelten Kreuzprodukt der Gruppenalgebren: K[X @ Y ] ≅ K[X] @ K[Y ]. Beweis: Es sind die Bedingungen f¨ ur vertr¨agliche Paare nachzuweisen. Wir rechnen f¨ ur die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.13 zun¨achst die linke Seite, also x (yy

′

∑ ax by by′ x (yy ′ )

) =

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ ax by by′ xyy ′ x−1 ,

=

x∈X y,y ′ ∈Y

und anschließend die rechte Seite: ∑ ax by by′

xi y j x i j y

′

y

x∈X y,y ′ ∈Y

i ′ i −1 ∑ ax by by′ xi yj x−1 i xy j y (xy j )

=

x∈X y,y ′ ∈Y

j i ′ j i −1 ∑ ax by by′ xi yj x−1 i (y )x y ((y )x )

=

x∈X y,y ′ ∈Y

j i ′ j −1 i −1 ∑ ax by by′ xi yj x−1 i (y )x y ((y ) )(x ) .

=

x∈X y,y ′ ∈Y

Nun wenden wir an, dass (y j )((y j )−1 ) = (y j )(S(y j )) = (y j S(y j )) = ((y j )1) = (1) = 1, so dass ∑ ax by by′ x∈X y,y ′ ∈Y

xi y j x i j y

′

y

j i ′ i −1 ∑ ax by by′ xi yj x−1 i (y )x y (x )

=

x∈X y,y ′ ∈Y

j i ′ i −1 ∑ ax by by′ xi yj (y j )x−1 i (y )x y (x )

=

x∈X y,y ′ ∈Y

i ′ i −1 ∑ ax by by′ xi yx−1 i x y (x )

=

x∈X y,y ′ ∈Y

i i gilt. F¨ ur den letzten Faktor k¨onnen wir wegen x−1 i x = S(xi )x = (x)1 die Rechnung

folgendermaßen fortf¨ uhren: ∑ ax by by′ x∈X y,y ′ ∈Y

xi y j x i j y

′

i ′ i −1 ∑ ax by by′ xi yx−1 i x y (x )

=

y

x∈X y,y ′ ∈Y

∑ ax by by′ (x)xi yy ′ (xi )−1 .

=

x∈X y,y ′ ∈Y

Wegen der Gruppenvertr¨aglichkeitsbedingung 3.10 und der Linksaktion 3.18 folgt daraus ∑ ax b y b y ′ x∈X y,y ′ ∈Y

xi y j x i j y y

′

=

∑ ax by by′ xyy ′ x−1 . x∈X y,y ′ ∈Y

59

Damit ist die erste Bedingung gezeigt. Die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.14 ist leicht nachzurechnen: x1

= x1x−1 = xx−1 1 = xS(x)1 = (x)1.

Betrachten wir die beiden Seiten der dritten Bedingung 3.15, so erhalten wir (xx′ )

y

∑ ax ax′ by xx′y

=

x,x′ ∈X y∈Y

∑ ax ax′ by (y)xx′

=

x,x′ ∈X y∈Y

und ∑ ax ax′ by xx′ yj x′iyj =

x,x′ ∈X y∈Y

i

= =

∑ ax ax′ by (x′i y j )x(y j )x′i

x,x′ ∈X y∈Y

j ′ ∑ ax ax′ by (x′i yj x′−1 i )x(y )x

x,x′ ∈X y∈Y

∑ ax ax′ by (y)xx′ .

x,x′ ∈X y∈Y

Trivialerweise folgt aus der Rechtsaktion 3.19 die Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.16: 1y = (y)1. Die letzte Bedingung 3.17 sieht man wie folgt: ∑ ax by xi yj ⊗xi y j = ∑ ax by (yj )xi ⊗ xi y j (xi )−1 x∈X y∈Y

x∈X y∈Y

∑ ax by xiyj ⊗xi y j = ∑ ax by (y j )xi ⊗ xi yi x−1 i .

x∈X y∈Y

x∈X y∈Y

Damit ist die Vertr¨aglichkeit der Gruppenalgebren K[X] und K[Y ] f¨ ur vertr¨agliche Gruppen X, Y mit gegebener Links- bzw. Rechtsaktion gezeigt.

◻

Proposition 3.3.4. Seien X und Y Bialgebren. 1. Gilt xy = (y)x, dann ist X sowohl eine Modulalgebra wie auch eine Komodulalgebra. 2. Gilt x y = (x)y, dann ist Y sowohl eine Modulalgebra wie auch eine Komodulalgebra. Beweis: Hierf¨ ur sind die Bedingungen eines vertr¨aglichen Paares f¨ ur die jeweilige Aktion relevant. 60

1. Zun¨achst gelte ax = (x)a. Dann ist a xy

Dies

ist

die

=

ai xj a i j y

=

ai xai y.

x

=ai xj (xj )ai y =ai xj (xj )ai y

Modulalgebraeigenschaft.

Nun

zur

Komoduleigenschaft

Δ(x y) =xi y j ⊗xi y j , bei der wir den Isomorphismus des Produkts zum Tensorprodukt xy ↦ x ⊗ y beweisen: x Δ(y)

=

x (yj

⊗ y j ) =xi y jj ′ ⊗xi ′ y j

= =

j′ j xi y jj ′ ⊗ (yj )xi y j′ j xi y jj ′ (yj ) ⊗xi y

=

xi y j

y

j j

⊗xi y j

= Δ(x y). 2. F¨ ur den Fall x y = (x)y gehen wir analog vor. ◻

Bemerkung 3.3.5. Aus diesem Satz folgt unmittelbar, dass f¨ ur die Rechtsaktion und die Linksaktion das Tensorprodukt und das doppelte Kreuzprodukt isomorph sind. Ebenso verdeutlicht er die Verbindung zu einem Kreuzprodukt, denn hier liegt nur eine triviale Aktion vor.

3.4

Kreuzprodukt und Quantendoppel

Als Abschluss des algebraischen Teils stellen wir eine Konstruktion vor, die auf Drinfel’d ¨ zur¨ uckgeht. Allerdings wollen wir damit lediglich eine Hilfestellung zur Ubertragung auf die analytische Dualit¨atstheorie erreichen und verfolgen damit keine algebraische Vertiefung. Definition 3.4.1. Es sei (H, m, η, Δ, , S) eine Hopf-Algebra. Wir definieren durch ax

= a(i) xS(aa(i) )

f¨ ur a, x ∈ H die linksadjungierte Aktion (bzw. Darstellung) und durch xa = S(a(i) )xa(i) f¨ ur a, x ∈ H die rechtsadjungierte Aktion (bzw. Darstellung). 61

Nun kann man zeigen, dass die linksadjungierte Aktion eine Linksmodulalgebra auf der Bialgebra H und die rechtsadjungierte Aktion eine Rechtsmodulalgebra auf der Bialgebra H festlegt. Bevor wir zu den koadjungierten Aktionen von H u ¨bergehen, betrachten wir die folgenden vorbereitenden S¨atze. Wir wollen sie hier nicht beweisen, sondern nur im Theorem die Vertr¨aglichkeitsbedingungen 3.13 bis 3.17 zeigen, so dass die eingef¨ uhrte Notation deutlich wird. F¨ ur ausf¨ uhrliche Beweise verweisen wir auf [Kassel], Abschnitt IX.3. Lemma 3.4.2. Seien H eine Hopf-Algebra mit invertierbarem Antipoden S und A eine Algebra, die eine Links- (bzw. Rechts-)Modulalgebra u ¨ber H ist. Dazu statten wir den dualen Vektorraum A∗ mit einer Links- (bzw. Rechts-)Modulstruktur aus, die durch ⟨a, xf ⟩ = ⟨S −1 (x)a, f ⟩ [bzw. ⟨a, f x⟩ = ⟨aS −1 (x), f ⟩] f¨ ur alle a ∈ A, x ∈ H und f ∈ A∗ gegeben ist. Verbinden wir die Eigenschaft adjungierter Darstellungen, eine Links- (bzw. Rechts-) Modulalgebra auf einer Bialgebra zu bilden, mit diesem Lemma, dann ergibt sich unmittelbar folgende Aussage: Folgerung 3.4.3. Sei H = (H, m, η, Δ, , S, S −1 ) eine endlichdimensionale Hopf-Algebra mit invertierbarem Antipoden S. Dann existiert eine eindeutige Links- (bzw. Rechts-)HModul-Koalgebrastruktur auf dem Dual der entgegengesetzten Hopf-Algebra, d. h. auf (H op )∗ = (H ∗ , Δ∗ , ∗ , (mop )∗ , η ∗ , (S −1 )∗ , S ∗ ) wird diese Struktur durch ⟨a, x f ⟩ = ⟨S −1 (xi )axi , f ⟩ [bzw. ⟨a, f x ⟩ = ⟨xi aS −1 (xi ), f ⟩] f¨ ur alle a, x ∈ H und f ∈ H ∗ gegeben. Bemerkung 3.4.4. Die Aktion x f wird als links-koadjungierte Darstellung und die Aktion f x als rechts-koadjungierte Darstellung bezeichnet. Außerdem ben¨otigen wir die folgende Behauptung: Lemma 3.4.5. Sei H = (H, m, η, Δ, , S, S −1 ) eine endlichdimensionale Hopf-Algebra mit invertierbarem Antipoden S. Dann existiert eine eindeutige Rechts-(H op )∗ -ModulKoalgebrastruktur auf H, die durch f a = f (S −1 (aii′ )ai )ai f¨ ur a ∈ H und f ∈ H ∗ gegeben ist. 62

Nun k¨onnen wir den folgenden Satz zeigen: Theorem 7. Es sei (H, m, η, Δ, , S, S −1 ) eine endlichdimensionale Hopf-Algebra mit invertierbarem Antipoden. Ferner sei A = (H op )∗ = (H ∗ , Δ∗ , , (mop )∗ , η, (S −1 )∗ , S ∗ ) die entgegengesetzte Hopf-*-Algebra, die Linksaktion α ∶H⊗A → A α(a ⊗ f ) = a f

= f (S −1 (a(i) ?a(i) )

und die Rechtsaktion β ∶H⊗A → H β(a ⊗ f ) = f a

= f (S −1 (aii′ )ai )ai ,

wobei a ∈ H und f ∈ X. Dann ist das Paar (A, H) ein vertr¨agliches Paar. Dabei verwenden wir ? als stumme“ Variable. ” Beweis: Mit Folgerung 3.4.3. und Lemma 3.4.4. sehen wir, dass α und β jede Hopf-Algebra mit einer Modul-Koalgebrastruktur auf der jeweils anderen bilden. Daher m¨ ussen wir lediglich die Vertr¨aglichkeitsbedingungen nachweisen. 1. Zun¨achst zeigen wir Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.13: ⟨x, a f g⟩ = ⟨x, aif j aifk g⟩ =

ai f j (xk ) aif j g(x −1

k

)

i′

= fj (S (ai )xk aii′ ) f j (S −1 (aii′′′ )ai′ )aii′ g(xk ) ′

i

i ′

′

′

= fj (S −1 (aii′ )xk aii )f j (S −1 (aiii′′ )aii′ )aii′ g(xk ) ′ ′′

′

= fj (S −1 (aii′ )xk aii )f j (S −1 (aiii′′ )aii′ )g(S −1 (aii i )xk aiii′′ ) ′

′

′ ′′

′

= f (S −1 (aiii′′ )aii′ S −1 (aii′ )xk aii )g(S −1 (aii i )xk aiii′′ ) ′

′ ′′

′

= (aii′′ )f (S −1 (aii′ )xk aii )g(S −1 (aii i )xk aiii′′ ) ′

′ ′′

= f (S −1 (aii′ )xk aii )g(S −1 (aii i )xk .aii′′ ) Beim vierten Gleichheitszeichen verwenden wir die Eigenschaft, dass wegen f, g ∈ (H op )∗ die Funktion f als Faktor aus der Linksaktion herausgel¨ost werden ¨ kann. Der Ubergang zur siebenten Zeile verwendet die Zusammenfassung u ¨ber i′ , ′

also S −1 (aiii′′ )aii′ = (aii′′ ). 2. Die Bedingung 3.14 sehen wir durch a

= (S −1 (ai )?ai ) = ((a)1) = (a)

f¨ ur  ∈ (H op )∗ . 63

3. Bedingung 3.15 weisen wir folgendermaßen nach: ′

abf = f (S −1 (abkk )abk )abk ′

′

= f (S −1 (bjj )S −1 (aii )ai bj )ai bj ab

f j m

bj f m = afm (S −1 (bj′ )?b j

′

jj ′ )

j jj f m (S −1 (bjj j ′′ )bj ′ )b

′

′

′

′

i jj = fm (S −1 (bjj )S −1 (aii )ai bjj ′ )ai f m (S −1 (bjj j ′′ )bj ′ )b jj ′

j′

′

= f (S −1 (bj ′′ )bjj ′ S −1 (bj )S −1 (aii )ai bjj ′ )ai bjj j′

′

= (bjj ′ )f (S −1 (bj )S −1 (aii )ai bjj ′ )ai bjj j′

′

j′

′

′

′

′

= f (S −1 (bj )S −1 (aii )ai bjj ′ )ai jbj = f (S −1 (bj )S −1 (aii )ai bj )ai jbj . Beim

vierten

Gleichheitszeichen

fassen

′ j j urfen aufgrund S −1 (bjj j ′′ )bj ′ = (bj ′′ ). Wir d¨ j als (bj ′ ) auffassen und anschließend beim ′ menfassen, also (bjj ′ )bjj = bj .

wir

u ¨ber

j′

zusammen,

also

der Koassoziativit¨atsbedingungen (bjj ′′ ) Gleichheitszeichen wieder u ¨ber j ′ zusam-

4. Wir weisen die Bedingung 3.16 durch ηf = f (S −1 (η)η)η = f (η)η = (f )1 nach. 5. F¨ ur die letzte Vertr¨aglichkeitsbedingung 3.17 zeigen wir zun¨achst deren linke Seite: ′

′′

aifk ⊗ai f k = fk (S −1 (aii′ i′′ )aii′ )aii ⊗ f k (S −1 (aii′ )?aii ) i′

ii′

= ai ⊗ f (S −1 (aii′ )?a S −1 (aii′ i′′ )aii′ ) ′

= (ai )aii ⊗ f (S −1 (aii′ )?aii′ ) ′

= ai ⊗ f (S −1 (aii′ )?aii′ ). ′

In der zweiten Zeile fassen wir u ¨ber i′ zusammen und erhalten aii S −1 (aii′ i′′ ) = (ai ). Anschließend gehen wir u ¨ber i, d. h.

′ (ai )aii

=

′ ai .

Andererseits gilt ′ ′′ ′ ′ ai f k ⊗ai f k = f k (S −1 (aii i )aii )aii′ ⊗ fk (S −1 (aii )?aii′ ) ′ ′′

′

′

= aii′ ⊗ f (S −1 (aii i )aii S −1 (aii )?aii′ ) ′

′

= (aii )aii′ ⊗ f (S −1 (aii )?aii′ ) ′

′

= ai ⊗ f (S −1 (aii )?aii′ ). ′ ′′

′

′

′

′

Hier ziehen wir S −1 (aii i )aii zu (aii ) und dann (aii )aii′ zu ai . Damit ist gezeigt, dass (H, (H op )∗ ) ein vertr¨agliches Paar von Hopf-Algebren ist. ◻

64

Dieses vertr¨agliche Paar von Hopf-Algebren ist im Falle eines doppelten Kreuzproduktes eine Doppel-Hopf-Algebra. Sollte H op∗ zudem quasi-triangul¨ar sein, ist das doppelte Kreuzprodukt ein Quantendoppel. Zum Schluss dieses Abschnitts zeigen wir noch folgende Proposition 3.4.6. Sei H eine kokommutative endlichdimensionale Hopf-Algebra mit invertierbarem Antipoden. Dann ist die Doppel-Hopf-Algebra isomorph zum Kreuzprodukt von H mit H op∗ , wobei H auf H op∗ durch links-koadjungierter Darstellung aus Folgerung 3.4.3 operiert. Beweis: Wir zeigen, dass H op∗ auf H trivial operiert und die Multiplikation in der Doppel-HopfAlgebra mit der Multiplikation des Kreuzprodukts u ¨bereinstimmt. Wegen der Kokommutativit¨at von H ist die Vertr¨aglichkeitsbedingung ai ⊗

ai x

= ai ⊗

ai x

erf¨ ullt. Mit der Notation aus Lemma 3.4.4 sehen wir die triviale Aktion von (H op )∗ auf H folgendermaßen: f a = f (S −1 (aii′ )ai )ai = f (S −1 (aii′ )ai )ai = f (1)(ai )ai = (f )a. Damit ist gezeigt, dass (H op )∗ trivial auf H wirkt. Wir sehen leicht, dass (H op )∗ Modulalgebra u ¨ber H ist, weil a 1 = (a)1 und a (f g) = ( ai f )( ai g) gilt. Wir zeigen noch, dass die Multiplikation im Doppel D(H) mit der Multiplikation des Kreuzprodukts (x ⊗ a)(y ⊗ b) = x ai y ⊗ ai b koinzidiert. Wir haben f¨ ur a ∈ H und f ∈ H ∗ af

= f (S −1 (aii′ )?ai )ai = f (S −1 (aii′ )?ai )ai =

a i f ai

=

ai f a

i

Kokommutativit¨ at und Definition der koadjungierten Darstellung in Folgerung 3.4.3.

.

Kokommutativit¨ at

Die letzte Zeile entspricht der o. g. Multiplikation des Kreuzprodukts. Damit koinzidiert die Koalgebrastruktur in den beiden Konstruktionen.

◻

65

Kapitel 4 Analytische Dualit¨ atstheorie

In diesem funktionalanalytischen Teil nehmen wir statt einer Hopf-Algebra A eine W ∗ -Algebra und ersetzen die linearen Abbildungen in Hom(A) durch die beschr¨ankten Operatoren in L(H) auf dem Hilbert-Raum H. Wir ben¨otigen daf¨ ur nur die Topologisierung in einem C ∗ -Umfeld. Das Problem hier ist, dass das Tensorprodukt nicht eindeutig ist. Dies l¨osen wir, indem wir von einer endlich erzeugten dichten ∗ -Unteralgebra als Hopf∗ -Algebra

ausgehen. Im Wesentlichen werden zwei Wege beschritten. Zum einen arbeiten

wir mit der C ∗ -Algebra C0 (G) der komplexwertigen stetigen Funktionen, die im Unendur t ∈ G gegeben. Falls G lichen verschwinden. Die ∗-Struktur ist durch f ∗ (t) = f (t) f¨ nicht kompakt ist, ist die konstante Funktion 1 nicht vorhanden, aber kann approximiert werden. Um dies zu erreichen, erweitert man die C ∗ -Algebra zu einer Multiplier-Algebra durch punktweise wirkende Operatoren auf dem Hilbert-Raum L2 (G). Dies entspricht ungef¨ahr dem funktionenalgebraischen Zugang im ersten Abschnitt. Zum anderen wird auch mit der Gruppen-C ∗ -Algebra C ∗ (G), definiert als C ∗ -Vervollst¨andigung der komplexwertigen stetigen Funktionen auf G mit kompaktem Tr¨ager, gearbeitet. Hier ist die ∗-Struktur durch f ∗ (t) = ΔG (t)−1 f (t−1 ) gegeben, wobei ΔG die dazugeh¨orige modulare Funktion1 1 ist. Im Weiteren gehen wir von unimodularen lokalkompakten Gruppen aus, so dass die modulare Funktion 1 ist.

1

Bei der Integration auf lokalkompakten Gruppen st¨oßt man auf die Funktion ΔG ∶ G → (0, ∞), die

Auskunft u ¨ber die Links- bzw. Rechtsinvarianz des Integrals gibt. Sie heißt modulare Funktion ist. Im Weiteren gehen wir von unimodularen lokalkompakten Gruppen aus, so dass die modulare Funktion. Ist das Integral gleichzeitig links- und rechtsinvariant, heißt die Gruppe unimodular und es ist ΔG (t) ≡ 1.

T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

4.1

C ∗- und W ∗-Algebren

Wir beginnen mit der Definition der C ∗ - und W ∗ -Algebren und bauen die Grundlagen bis zu den Hopf-C ∗ -Algebren aus. Definition 4.1.1. Eine Banach-Algebra A ist eine Algebra u ¨ber dem K¨orper R oder C (reelle bzw. komplexe Banach-Algebra), die ein Banach-Raum unter einer submultiplikativen Norm ist, d. h. ∥xy∥ ≤ ∥x∥∥y∥ f¨ ur alle x, y ∈ A. Eine Involution auf einer Banach-Algebra A u ¨ber C ist ein konjugiert-linearer isometrischer Antiautomorphismus

∗

∶ A → A der Ordnung zwei, der u ¨blicherweise mit x ↦ x∗

notiert wird. Diese Abbildung erf¨ ullt folgende Bedingungen: 1. (x + y)∗ = x∗ + y ∗ 2. (xy)∗ = y ∗ x∗ ¯ ∗ 3. (λx)∗ = λx 4. (x∗ )∗ = x 5. ∥x∗ ∥ = ∥x∥ f¨ ur alle x, y ∈ A und λ ∈ R, C. Eine Banach-∗ -Algebra ist eine (komplexe) Banach-Algebra mit einer Involution. Eine C ∗ -Algebra ist eine Banach-∗ -Algebra A, die das C ∗ -Axiom ∥xx∗ ∥ = ∥x∥2 f¨ ur alle x ∈ A erf¨ ullt. Dies ist die Abstraktion der Eigenschaften adjungierter Operatoren in einem HilbertRaum H (s. [Kadison/Ringrose], Theorem 2.4.2, S. 101). Diese abstrakte algebraische Definition wird konkreter, wenn die Konsequenz des C ∗ -Axioms herausgehoben wird. Aus diesem folgt mit der GNS-Konstruktion (benannt nach Gelfand, Naimark und Segal), dass jede C ∗ -Algebra eine treue Darstellung als C ∗ -Algebra auf einem Hilbert-Raum H besitzt (Satz von Gelfand und Naimark, 1943, s. [Kadison/Ringrose], Theorem 4.5.6, S. 281, oder [Blackadar], Abschnitt II.6.4, S. 107ff). Somit kann eine C ∗ -Algebra als eine abgeschlossene ∗-Unteralgebra A der Menge der beschr¨ankten linearen Operatoren L(H) auf H aufgefasst werden. Daher geben wir noch die in diesem Sinne konkretere Definition: 68

Definition 4.1.2. Sei H ein Hilbert-Raum u ¨ber C und L(H) die Menge der beschr¨ankten Operatoren auf H. Eine abgeschlossene ∗-Unteralgebra A von L(H) heißt eine C ∗ -Algebra auf H. Beispiel 4.1.3. ist eine

ullt, 1. Jede selbstadjungierte Operatoralgebra, die das C ∗ -Axiom erf¨

C ∗ -Algebra.

2. Die einzige kommutative C ∗ -Algebra ist die Funktionenalgebra C0 (X) (Raum der komplexwertigen Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum X, die im Unendlichen verschwinden). In den bisherigen Kapiteln haben wir das algebraische Tensorprodukt verwendet, das wir als eine nat¨ urliche ∗ -Unteralgebra in L(H ⊗ K) einbetten ([Wegge-Olsen], Proposition T.4.3, S. 329). Diese Einbettung soll nun auf abstrakte (darstellende) C ∗ -Algebren verallgemeinert werden. Haben wir zwei C ∗ -Algebren A und B, dann bedeutet eine algebraische Darstellung dieses algebraischen Tensorprodukts A ⊗ B eine lineare, multiplikative und ∗ -erhaltende Abbildung von A ⊗ B → L(H) f¨ ur einen bestimmten Hilbert-Raum H. Die Frage nach der Stetigkeit dieser algebraischen Darstellung ist nur sinnvoll, wenn wir auf dem algebraischen Tensorprodukt A ⊗ B eine Norm haben. Die kleinste C ∗ -Algebra, die darstellungsunabh¨angig daraus entsteht, ist das spatiale Tensorprodukt, das eine Vervollst¨andigung des algebraischen Tensorprodukts bzgl. der spatialen C ∗ -Norm ist ([Wegge-Olsen], Proposition T.5.14, S. 338). Damit kann man zeigen, dass die spatiale C ∗ -Norm die einzige C ∗ -Norm auf dem verˆ Mn (C) ist, f¨ ur die gilt, dass vollst¨andigten algebraischen Tensorprodukt A⊗ ˆ Mn (C) ≃ Mn (A) ([Wegge-Olsen], Proposition T.5.20, S. 340). Weiterhin ist die VerA⊗ ˆ C0 (X) bzgl. der spatialen Norm isomorph zur C ∗ -Algebra C0 (X, A) vollst¨andigung von A⊗ der vom lokalkompakten Hausdorff-Raum X in eine C ∗ -Algebra A stetigen Funktionen, ˆ C0 (X) ≃ C0 (X, A) ([Wegge-Olsen], Propositidie im Unendlichen verschwinden, d. h. A⊗ ˆ stets das spatiale C ∗ -Tensorprodukt. Der Raum on T.5.21, S. 341). Ab jetzt bedeutet ⊗ L(H) tr¨agt neben der durch die Norm induzierten Topologie noch (wenigstens) zwei weitere Topologien: 1. die starke Operatortopologie (, d. h. punktweise Konvergenz von Operatoren,) und 2. die schwache Operatortopologie. Der Vorteil dieser Topologien gegen¨ uber der Normtopologie ist, dass Reihen orthogonaler Projektionen konvergieren, insbesondere in der schwachen Topologie sogar kompakt. John von Neumanns Bikommutantensatz besagt: 69

Theorem 8. F¨ ur jede nichtausgeartete ∗-Algebra A ⊆ L(H) sind ¨aquivalent:

1. A ist abgeschlossen bez¨ uglich der schwachen Operatortopologie. 2. A ist abgeschlossen bez¨ uglich der starken Operatortopologie. 3. A ist identisch mit ihrer Bikommutanten A′′ .

Somit k¨onnen wir definieren: Definition 4.1.4. Eine W ∗ -Algebra (bzw. von Neumann-Algebra) ist eine nichtausgeartete ∗-Algebra A mit der Eigenschaft, dass sie ihrer Bikommutanten A′′ entspricht. Da jede von Neumann-Algebra eine C ∗ -Algebra ist, k¨onnen wir folgendermaßen umformulieren: Definition 4.1.5. Eine C ∗ -Algebra, die auf einem Hilbert-Raum H wirkt und bzgl. der schwachen Operatortopologie abgeschlossen ist, nennt man W ∗ -Algebra (bzw. von Neumann-Algebra). Bemerkungen 4.1.6.

1. Der Ausdruck C ∗ -Algebra steht zum ersten Mal bei Segal

1947 ([Segal]) f¨ ur bestimmte C ∗ -Algebren, seine allgemeine Verwendung hat er erst nach Dixmiers Publikation 1964 ([Dixmier]) gefunden. Der Buchstabe C steht m¨oglicherweise f¨ ur closed (engl. f¨ ur abgeschlossen) (s.[Doran]) oder soll andeuten, dass eine C ∗ -Algebra ein nicht-kommutatives Analogon von C(T) ist, wobei der ∗ an die Relevanz der Involution erinnert (s. [Pedersen], 1.1.14., S. 5). 2. Urspr¨ unglich wurden von Neumann-Algebren in den sehr wichtigen Arbeiten von Francis Joseph Murray und John von Neumann aus den Jahren 1936 bis 1943 als Rings of operators (engl. f¨ ur Operatorenringe) (s. [Murray/v. Neumann 1], [Murray/v. Neumann 2], [Murray/v. Neumann 3]) bezeichnet. 3. Kaplansky und andere haben in den fr¨ uhen 1950er Jahren begonnen, die zu C ∗ -Algebren isomorphen von Neumann-Algebren algebraisch zu charakterisieren. Eigentlich wurden nur diese von Neumann-Algebren W ∗ -Algebren genannt. Mittlerweile werden die Begriffe von Neumann-Algebren und W ∗ -Algebren synonym verwendet, dem schließen wir uns an. Der Buchstabe W bezieht sich auf die schwache Topologie (weak, engl. f¨ ur schwach). 70

4.2

Gruppen-C ∗-Algebren und Kreuzprodukte von C ∗Algebren

Es liegt uns eine (unimodulare) lokalkompakte Gruppe G mit linksinvariantem Haar-Maß dt vor. Der Vektorraum ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L1 (G) ∶= ⎨f ∶ G → C ∶ ∫ ∣f (t)∣dt < ∞⎬ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ G versehen mit der Faltung (f ⋆ g)(s) = ∫ f (t)g(t−1 )dt G

f¨ ur f, g ∈ L1 (G), der Involution f ∗ (t) = f (t−1 ) und der Norm ∥f ∥ = ∫ ∣f (t)∣dt, G

ist eine halbeinfache Banach-Algebra. Diese ist genau dann kommutativ, wenn G abelsch ist, und genau dann unital, wenn G diskret ist. Im Allgemeinen ist L1 (G) keine C ∗ -Algebra, aber wir k¨onnen sie dazu erweitern. Hierzu nehmen wir die linksregul¨are Darstellung (λt φ)(s) = f (t−1 s) mit φ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Sie ist treu, d. h. eine injektive Abbildung, und unit¨ar, also λ ∶ L1 (G) → L(L2 (G)) (λs φ)(t) = ∫ f (t)φ(t−1 s)dt. G

Damit ist λ(L1 (G)) eine ∗-Unteralgebra von L(L2 (G)). Der Abschluss von λ(L1 (G)) in der Norm von L(L2 (G)) wird als reduzierte Gruppen-C ∗ -Algebra Cr∗ (G) bezeichnet. Definition 4.2.1. Die Vervollst¨andigung von L1 (G) bzgl. der Norm ∥f ∥ = ∥λ(f )∥ heißt reduzierte Gruppen-C ∗ -Algebra Cr∗ (G) von G. Somit k¨onnen wir jeder lokalkompakten Gruppe eine C ∗ -Algebra zuordnen und die Eiuhrt man dies f¨ ur alle genschaften von G durch Untersuchungen von Cr∗ (G) ermitteln. F¨ Darstellungen von L1 (G) durch, dann kann man die C ∗ -Gruppenalgebra definieren. Definition 4.2.2. Gegeben sei eine lokalkompakte Gruppe G. Dann ist die universelle einh¨ ullende C ∗ -Algebra der Banach-∗-Algebra L1 (G) die (volle) Gruppen-C ∗ -Algebra C ∗ (G) von G, d. h. f¨ ur f ∈ L1 (G) wird definiert ∥f ∥C ∗ (G) ∶= {sup ∥π(f )∥ ∶ π ist Darstellung von L1 (G)}, 71

so dass C ∗ (G) die Vervollst¨andigung von (L1 (G), ∥f ∥C ∗ (G) ) bez¨ uglich dieser Norm ist. Nun streben wir an, diese Objekte in C ∗ -dynamischen Systemen zu betrachten. Definition 4.2.3.

1. Gegeben sind eine C ∗ -Algebra A, eine lokalkompakte Gruppe G

und ein Homomorphismus α ∶ G → Aut(A), der in der Topologie der punktweisen Konvergenz stetig ist. Dieses Tripel (A, G, α) bezeichnet man als C ∗ -dynamisches System.

2. Eine kovariante Darstellung eines C ∗ -dynamischen Systems (A, G, α) ist ein Paar von Darstellungen (π, U ) von A und G auf demselben Hilbert-Raum, so dass die Kovarianzrelation Ut π(a)Ut∗ = π(αt (a)) f¨ ur alle a ∈ A und t ∈ G gilt, wobei π nicht-entartet und U stark stetig ist. Bemerkungen 4.2.4.

1. Ein C ∗ -dynamisches System heißt auch kovariantes Sys-

tem. ¨ 2. Ubertr¨ agt man die Begriffe aus der Theorie der dynamischen Systeme auf C ∗ dynamische Systeme, so wird ersichtlich, dass die C ∗ -Algebra die Bedeutung des Phasenraums und die Aktion die einer Trajektorie (=Orbit) hat. 3. Eine stetige Abbildung in der Topologie der punktweisen Konvergenz (entspricht der starken Operatortopologie) wird auch stark stetig genannt. Beispiel 4.2.5.

1. Die kovarianten Darstellungen des (entarteten) dynamischen Sys-

tems (A, {e}, id) sind genau die Darstellungen von A. 2. Die kovarianten Darstellungen des (entarteten) dynamischen Systems (C, G, id) sind die unit¨aren Darstellungen von G. Zu jeder lokalkompakten Gruppe G gibt es das dynamische System (C, G, id), da die Identit¨at der einzige Algebraautomorphismus von C ist. 3. Wirkt G auf sich selbst durch Linkstranslation lt, ist (C0 (G), G, lt) das dazugeh¨orige dynamische System, ist M ∶ C0 (G) → L(L2 (G)) durch punktweise Multiplikation M (f )h(s) = f (s)h(s) gegeben und ist λ ∶ G → U (L2 (G)) die linksregul¨are Darstellung, dann ist (M, λ) eine kovariante Darstellung des dynamischen Systems (C0 (G), G, lt). 72

Um nun das volle Kreuzprodukt zu definieren, ben¨otigen wir eine Faltung und eine Involution auf der Menge der stetigen Abbildungen f ∶ G → A mit kompaktem Tr¨ager Cc (G, A). Wir definieren eine Faltung auf Cc (G, A) durch [f ⋆ g](t) = ∫ f (s)αs (g(s−1 t))ds G

und eine Involution durch f ∗ (t) = αt (f (t−1 )∗ ). Mit der Norm ∥f ∥1 = ∫G ∥f (t)∥dt wird Cc (G, A) eine normierte ∗-Algebra, in der die Faltung die Algebramultiplikation ist. Mit L1 (G, A) wird die Vervollst¨andigung dieser ∗Algebra bezeichnet. Die Elemente k¨onnen mit integrierbaren Funktionen von G nach A identifiziert werden, f¨ ur f ∈ L1 (G) und x ∈ A k¨onnen wir also t ↦ f (t)x mit dem Element f ⊗ x ∈ L1 (G, A) identifizieren, d. h. (x ⊗ f )(t) = xf (t). Falls nun (π, U ) eine kovariante Darstellung des dynamischen Systems (A, G, α) auf dem Hilbert-Raum H ist, dann gibt es eine nicht-entartete Darstellung π ⋊ U ∶ L1 (G, A) → L(H) (π ⋊ Us )(f ) = ∫ π(f (t))Us dt G

([Pedersen], Proposition 7.6.4., S. 255). Definition 4.2.6. Die Vervollst¨andigung von L1 (G, A) bzgl. der Norm ist das (volle) Kreuzprodukt von (A, G, α), das wir mit A ⊠α G bezeichnen. Mit der Definition einer linksregul¨aren Darstellung auf Kreuzprodukten gelingt eine Konstruktion, mit deren Hilfe mit Kreuzprodukten umgegangen werden kann. Denn die Schwierigkeit besteht darin, s¨amtliche kovariante Darstellungen herauszufinden. Hier nutzen wir dasselbe Vorgehen wie bei den reduzierten C ∗ -Gruppenalgebren. Wir definieren eine kovariante Darstellung (π, λ), indem wir eine Darstellung πα ∶ A → L2 (G, H) und λ ∶ G → L2 (G, H) durch ([πα (x)]φ)(t) = αt (x)(φ(t)) (λ(t)φ)(s) = φ(t−1 s) definieren. Dann ist (πα , λ) eine kovariante Darstellung von (A, G, α) ([Pedersen], Theorem 7.6.6., S. 257) und die Darstellung πα ⋊ λ ∶ L1 (G, A) → L(H) ist treu ([Pedersen], Theorem 7.7.5., S. 262). Wir definieren nun f¨ ur f ∈ L1 (G, A) ∥f ∥r = ∥[πα ⋊ λ](f )∥ ≤ ∥f ∥. 73

Definition 4.2.7. Das reduzierte Kreuzprodukt von (A, G, α) ist die Vervollst¨andiuglich der Norm ∥ ⋅ ∥r , es wird mit Cr∗ (A, G, α) oder A ⊠α,r G begung von L1 (G, A) bez¨ zeichnet. Beispiel 4.2.8. Ist A = C, dann ist das reduzierte Kreuzprodukt C ⊠id,r G gerade die reduzierte C ∗ -Gruppenalgebra Cr∗ (G). Analoges gilt f¨ ur die rechtsregul¨aren Darstellungen. Im Weiteren betrachten wir stets reduzierte Kreuzprodukte, die wir von nun an nur mit C ∗ (A, G, α) bezeichnen.

4.3

Multiplier-Algebren und Hopf-C ∗-Algebren

Das nachfolgende Definiendum ist das algebraische Analogon zur maximalen Kompaktifizierung des Spektrums einer C ∗ -Algebra A, so wie die Einbettung einer C ∗ -Algebra in eine unitale C ∗ -Algebra das (nicht-kommutative) algebraische Analogon zur Kompaktifizierung ist ([Pedersen], Abschnitt 3.12.6, S. 80; [Akemann/Pedersen/Tomiyama], S. 278). Die Fragestellung bei einer Multiplier-Algebra ist, wie eine C ∗ -Algebra A als (zweiseitiges) Ideal in eine unitale C ∗ -Algebra eingebettet werden kann. Definition 4.3.1. Es sei A eine volle C ∗ -Algebra von L(H). Die Multiplier-Algebra M(A) ∶= {x ∈ L(H) ∶ xA + Ax ⊂ A} ist eine unitale C ∗ -Algebra, die A als ein C ∗ -Ideal enth¨alt. Eine Verbindung zwischen den Kreuzprodukten und der Multiplier-Algebra gibt folgender Satz ([Pedersen], Theorem 7.6.6, S. 257): Theorem 9. F¨ ur jedes C ∗ -dynamische System (A, G, α) gibt es eine kovariante Darstellung (π, U ), so dass A ⊠α G ⊂ C ∗ ((π ⋊ U )(A ⊠α G)) ⊂ M (A ⊠α G) gilt. ˆ B) die Multiplier-Algebra der C ∗ -Algebra Definition 4.3.2. Es sei M (A⊗ ˆ A⊗B ⊂ L(H × K) mit spatialem Tensorprodukt. Folgende C ∗ -Unteralgebren werden eingeschr¨ ankte Multiplier-Algebren genannt: ←  ˆ B) + (idH ⊗ ˆ B)x ⊂ A⊗ ˆ B}, ˆ B) ∶ x(idH ⊗ A ⊗ B ∶= {x ∈ M (A⊗  → ˆ idK )x ⊂ A⊗ ˆ B}, ˆ B) ∶ x(A⊗ ˆ idK ) + (A⊗ A ⊗ B ∶= {x ∈ M (A⊗ wobei idH und idK die Identit¨atsoperatoren auf H und K sind. 74

Beispiel 4.3.3. F¨ ur einen lokalkompakten Raum S und eine C ∗ -Algebra A sei C0 (S, A) ∶= {F ∶ S → A ∶ F normstetig, ∥F ∥ verschwindet in ∞} mit punktweiser Multiplikation. Die Multiplier-Algebra M (C0 (S, A)) ist Cb (S, A) ∶= {F ∶ S → M (A) ∶ F strikt stetig, ∥F ∥ beschr¨ankt}. Gleich am Anfang weisen wir darauf hin, dass eine Hopf-C ∗ -Algebra keine Hopf-Algebra im allgemeinen Sinne ist, denn die Komultiplikation nimmt Werte in einer C ∗ -Unteralgebra ←  ˆ A) an (anstatt solche in A⊗ ˆ A). Ferner ist in einer A ⊗ A der Multiplier-Algebra M (A⊗ Bialgebra noch ein Koeinselement und in einer Hopf-Algebra ein Antipode erforderlich. Hierf¨ ur ist mehr Struktur erforderlich (Haagerup-Norm) ([Vaes/Van Daele], S. 349.) Zun¨achst legen wir die erforderliche Topologie fest. Definition 4.3.4. Es sei A eine C ∗ -Algebra, die nicht-entartet in L(H) dargestellt ist. Die strikte Topologie auf L(H) ist die schw¨achste Topologie, die die Abbildungen x ↦ xa und x ↦ ax f¨ ur alle x ∈ L(H) und a ∈ A stetig bzgl. ihrer Norm l¨asst. Das bedeutet, dass die lokalkonvexe Topologie durch die Halbnormen x ↦ ∥xa∥ bzw. x ↦ ∥ax∥ erzeugt wird. Die strikte Topologie auf der Multiplier-Algebra M(A) wird durch eine Familie von Halbnormen x ↦ ∥xa∥ + ∥bx∥ f¨ ur beliebige a, b ∈ A erzeugt.

Definition 4.3.5. Eine Hopf-C ∗ -Algebra ist eine C ∗ -Algebra (B, ΔB ) mit einem injektiven strikten Homomorphismus ←  Δ ∶ B → B ⊗ B, f¨ ur den das folgende Diagramm kommutativ ist: Δ ←  → B ⊗B B   Δ Δ⊗id   ˆ B   ˆ idB ⊗Δ ←  ˆ B⊗ ˆ B), B ⊗ B → M (B ⊗

ˆ idB bzw. idB ⊗ ˆ Δ die strikte Erweiwobei idB die Identit¨atsabbildung von B ist und Δ⊗ terung des Homomorphismus bedeutet. Diesen injektiven strikten Homomorphismus bezeichnet man als Komultiplikation. Ein nicht verschwindender C ∗ -Homomorphismus 75

 ∶ B → C heißt Koeins von (B, ΔB ), falls das Diagramm Δ /B HH HH HHidB HH ˆ B ⊗id Δ HH HH H#   ˆ idB ⊗ ←  / M (B)

B HH

B ⊗B

kommutiert. Ein involutiver C ∗ -Antiautomorphismus (=Antipode) ı ∶ B → B heißt Koinvolution von (B, ΔB ), falls das Diagramm Δ ←  B → B ⊗ B   ı○Δ ı⊗ı  ˆ   τ ←  ˆ B) B ⊗ B → M (B ⊗

kommutiert. 1. Die C ∗ -Algebra C0 (G) der stetigen komplexwertigen Funktionen

Beispiel 4.3.6.

auf einer lokalkompakten Gruppe G, die im Unendlichen verschwinden, ist eine ur f ∈ C0 (G) und Hopf-C ∗ -Algebra mit der Komultiplikation Δ(f )(s, t) = f (st) f¨ s, t ∈ G ([Vallin], Proposition 3.3, S. 145). F¨ ur die Koeins  betrachten wir ein linkes Haar-Maß und die Funktionen g1 , g2 , h ∈ Cc (G) auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Tr¨ager mit h(s) = ∫ g1 (st)g2 (t)dt. G

Dann ist (h) = h(1G ) und ı(h)(s) = h(s−1 ). ur eine lokalkompakte Grup2. Die spatiale (reduzierte) Gruppen-C ∗ -Algebra C ∗ (G) (f¨ pe

G)

ist

eine

kokommutative

Hopf-C ∗ -Algebra

mit

Komultiplikation

ur alle u ∈ L1 (G), dabei ist Δ(λu ) Δ(λu ) ∶= λ(Δ(u)) (Linksfaltung auf G × G) f¨ das Bildmaß von u(s)ds. Die Koeins existiert nur dann, wenn G eine mittelbare Gruppe ist (engl. amenable group) [Upmeier 4], Proposition 4.8.39, S. 306). 3. Die Algebrastruktur ist L1 (G), die zu ihr duale Koalgebrastrukur ist L∞ (G). 4. Zur Maßalgebra M (G) ist die Koalgebrastruktur C0 (G). ur eine kompakte Gruppe G ist die Koalgebra5. Zur Gruppenalgebrastruktur C ∗ (G) f¨ struktur die Fourier-Stieltjes-Algebra A(G). 76

4.4

Kac-Takesaki-Operatoren auf L2(G) ⊗ L2(G)

In den n¨achsten Abschnitten ben¨otigen wir Aussagen zur Integration u ¨ber Komultiplikationen regul¨arer Darstellungen. Wir geben diese f¨ ur die rechtsregul¨are Darstellung expli¨ zit an. Eine analoge Uberlegung f¨ uhrt zur Integration der Komultiplikation linksregul¨arer Darstellungen. Wir setzen hier unimodulare halbeinfache Lie-Gruppen voraus, so dass der Modul jeweils 1 ist. Auf der W ∗ -Algebra W ∗ (G) ist auf dem W ∗ -abgeschlossenem Tensorprodukt ⊗ die Komultiplikation formal durch Δ ∶ W ∗ (G) → W ∗ (G)⊗W ∗ (G) Δ(ρg ) = ρg ⊗ρg  → definiert. Wir schr¨anken dieses Tensorprodukt auf C ∗ (G) ⊗ C ∗ (G) der reduzierten C ∗ (G)-Algebra ein

 → ΔC ∗ ∶ C ∗ (G) → C ∗ (G) ⊗ C ∗ (G) ⊂ M (C ∗ (G × G)) ΔC ∗ (ρu ) = ρG×G ΔG u ,

wobei u ∈ L1 (G), ΔG ∶ G → G × G die Diagonalabbildung und ΔG (u) das Bildmaß von u(g)dg ist. Lemma 4.4.1. F¨ ur die Komultiplikation als Produktmaß des Dirac-Maßes ρG ager g mit Tr¨ {g} auf der reduzierten C ∗ -Algebra C ∗ (G) gilt G G ρG×G Δu = ∫ u(g)(ρg dg ⊗ ρg )dg, G

falls s = t = g f¨ ur s, t, g ∈ G, wobei u ∈ L1 (G). Beweis: G Es ist ΔG (ρg ) = ρg ⊗ ρg und ρG u = ∫ u(g)ρg dg. Damit ist G

G ΔG (ρu ) = ∫ u(g)ΔG (ρg )dg = ∫ u(g)(ρG g ⊗ ρg )dg. G

G

Daraus folgt: G×G ρG×G Δu (s, t) = ∫ ∫ Δ(u)(s, t)ρs,t dsdt G

G

G = ∫ ∫ Δ(u)(s, t)ρG s ⊗ ρt dsdt G

G

G = ∫ u(g)(ρG g ⊗ ρg )dg G

f¨ ur s = t = g.

◻

77

Außerdem verwenden wir gewisse unit¨are Operatoren auf Tensorprodukten – genauer G × G, die sogenannten Kac-Takesaki-Operatoren, die f¨ ur die Dualit¨atsbetrachtungen wesentlich sind und die folgendermaßen konstruiert werden: Auf einer lokalkompakten Gruppe G identifizieren wir L2 (G) ⊗ L2 (G) mit L2 (G × G). Darauf definieren wir die sogenannten Kac-Takesaki-Operatoren2 (auch: Fundamentaloperatoren). Wir ben¨otigen sp¨ater folgende Kac-Takesaki-Operatoren: V ◻ (φ ⊗ ψ)

= φ(s)ψ(s−1 t)

V◻ (φ ⊗ ψ)

= φ(s)ψ(ts−1 )

◇ (φ ⊗ ψ)

φ(st−1 )ψ(t)

V◇ (φ ⊗ ψ)

= φ(t−1 s)ψ(t)

V

=

W ◻ (φ ⊗ ψ) = φ(ts)ψ(t)

W◻ (φ ⊗ ψ) = φ(st)ψ(t)

W ◇ (φ ⊗ ψ)

W◇ (φ ⊗ ψ) = φ(s)ψ(st−1 ).

=

φ(s)ψ(t−1 s)

Unterteilen wir die Kac-Takesaki-Operatoren in Links-Kac-Takesaki-Operatoren, das sind die mit Operation im ersten Faktor wie W (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s ⊙ t)ψ(t), und Rechts-KacTakesaki-Operatoren,

bei

denen

die

Operation

im

zweiten

Faktor

ist,

wie

W (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(s ⊙ t) (dabei dr¨ uckt s ⊙ t die jeweilige Gruppenoperation aus), dann haben sie die Eigenschaft, dass sie zu bestimmten Bimultiplikationsoperatoren in folgender Verbindung stehen: Ad(V ◻ )(1G ⊗ f )

= f◻ (s, t) ∶= f (st)

Ad(V ◇ )(f ⊗ 1G )

= f ⧫ (s, t) ∶= f (st−1 )

Ad(V◻ )(1G ⊗ f )

= f ◻ (s, t) ∶= f (ts)

Ad(V◇ )(f ⊗ 1G )

= f⧫ (s, t) ∶= f (t−1 s)

Ad(W ◻ )(f

⊗ 1G ) =

f ◻ (s, t)

∶= f (ts)

Ad(W◻ )(f ⊗ 1G ) = f◻ (s, t) ∶= f (st)

Ad(W ◇ )(1

G

⊗ f ) = f⧫ (s, t) ∶= f (t−1 s)

Ad(W◇ )(1G ⊗ f ) = f ⧫ (s, t) ∶= f (st−1 ).

Weiterhin gilt f¨ ur diese Operatoren, dass V op = τ V ∗ τ, wobei τ die Vertauschungsabbildung auf L2 (G) ⊗ L2 (G) ist. Zun¨achst gilt:

2

V ◻ ∗ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(st)

W ◻ ∗ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(t−1 s)ψ(t)

V◻∗ (φ ⊗ ψ)(s, t)

W◻∗ (φ ⊗ ψ)(s, t)

= φ(s)ψ(ts)

= φ(st−1 )ψ(t)

V ◇ ∗ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(st)ψ(t)

W ◇ ∗ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(st−1 ) = W◇

V◇∗ (φ ⊗ ψ)(s, t)

W◇∗ (φ ⊗ ψ)(s, t)

= φ(ts)ψ(t)

= φ(s)ψ(t−1 s) = W ◇ .

Benannt von N. Tatsuuma nach Georgiy Isaakovitch Kac und Masamichi Takesaki, die unabh¨angig

voneinander die Relevanz des Operators f¨ ur die Dualit¨at erkannt haben. In einer Arbeit von W. Forrest Stinespring ([Stinespring]), die von Kac ins Russische u ¨bersetzt wurde, wurde der Operator bereits verwendet. In seiner Arbeit ([Kac 1], [Kac 2]) verallgemeinerte Kac die Dualit¨at. Nach ihm wurden auch die Kac-Algebren benannt (auf Vorschlag von Enock und Schwartz), die nicht mit den Kac-Moody-Algebren verwechselt werden d¨ urfen (benannt nach Victor G. Kac und Robert Vaughan Moody).

78

Damit erh¨alt man V ◻ op (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(ts)ψ(t)

W ◻ op (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(s−1 t)

V◻op (φ ⊗ ψ)(s, t)

W◻op (φ ⊗ ψ)(s, t)

= φ(st)ψ(t)

= φ(s)ψ(ts−1 )

V ◇ op (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(ts)

W ◇ op (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(ts−1 )ψ(t)

V◇op (φ ⊗ ψ)(s, t)

W◇op (φ ⊗ ψ)(s, t)

= φ(s)ψ(st)

= φ(s−1 t)ψ(t).

Bemerkung 4.4.2. Die Kac-Takesaki-Operatoren sind sogar multiplikative unit¨are Elemente, das sind unit¨are Elemente in L(H ⊗ H), f¨ ur die die Pentagonalgleichung V[12] V[13] V[23] = V[23] V[12] gilt, wobei H ein Hilbert-Raum ist und die Indizes [ij] angeben, auf welchem Faktor von L(H ⊗ H ⊗ H) sie wirken ([Baaj/Skandalis], Beispiel 1.2.2, S. 430, und [Timmermann], Beispiel 7.2.13, S. 166ff ).

4.5

Aktionen und Koaktionen auf C ∗-Algebren

Im dritten Kapitel wurden Aktion und Koaktion algebraisch als Modul der Algebra (Definition 3.2.4.) bzw. Komodul der Koalgebra (Definition 3.2.5) festgelegt. Im vorliegenden Kontext ben¨otigen wir aber ihre jeweilige Abbildung in L(H). Daher formulieren wir Aktion bzw. Koaktion nun so um, dass wir die korrespondierende Abbildung in L(H) betrachten. Im Speziellen sind es Abbildungen aus C0 (G) bzw. C ∗ (G). Zudem unterscheiden wir zwischen Rechts- und Linksaktion. Zudem werden in den folgenden Abschnitten Aktionen und Koaktionen, Multiplikation (Produkt) und Komultiplikation (Koprodukt) systematisch behandelt, wobei großer Wert auf eine koh¨arente Darstellung gelegt wird. Dies gilt besonders f¨ ur die Operatoren im Kreuz- bzw. Kokreuzprodukt, deren Notation in der Literatur nicht sehr deutlich ist. Aus diesem Grund f¨ uhren wir zwei Symbole ein: ◻-f¨ormige f¨ ur Aktionen und ◇-f¨ormige f¨ ur Koaktionen, die dann auch f¨ ur die entsprechenden Tensorprodukte und C ∗ -Gruppenalgebren systematisch verwendet werden, um eine h¨ohere Transparenz zu erreichen. Definition 4.5.1. Es sei (B, ΔB ) eine Hopf-C ∗ -Algebra und A eine C ∗ -Algebra. Ein injektiver strikter C ∗ -Homomorphismus ←  ˆ B) α ∶ A → A ⊗ B ⊂ M (A⊗ ist eine Aktion von (B, ΔB ) auf A, falls das Diagramm α ←  A → A⊗B   α α⊗id   ˆ B   ˆ B idA ⊗Δ ←  ˆ ˆ B) A ⊗ B → M (A⊗B ⊗ 79

kommutiert, wobei idA und idB die jeweiligen Identit¨atsabbildungen sind. Betrachten wir als Beispiel das C ∗ -dynamische System (A, Cr∗ (G), d), dann ist das reduzierte Kreuzprodukt A ⊠ Cr∗ (G) = C ∗ ((da)(idH ⊗ ρu ) ∶ a ∈ A, u ∈ L1 (G)). Beispiel 4.5.2. Es sei G eine lokalkompakte Gruppe mit kokommutativer Hopf-Algebra (C0 (G), ΔG ) und A eine C ∗ -Algebra. Die Abbildung ←  ˆ C0 (G)), α ∶ A → A ⊗ C0 (G) ⊂ M (A⊗ definiert durch αs (a) ∶= α(a)(s) f¨ ur a ∈ A und s ∈ G eine Aktion von (C0 (G), ΔG ) auf A. Ist A ⊂ L(H) eine volle ur einen Hilbert-Raum H, dann ist das dazugeh¨orige Kreuzprodukt definiert C ∗ -Algebra f¨ durch A ⊠α C ∗ (G) = C ∗ (α(a) ⋅ (idH ⊗ ρu ) ∣a ∈ A, u ∈ L1 (G)), wobei ρ ein Rechtsfaltungsoperator auf L2 (G) ist([Upmeier 4], Proposition 4.9.3, S. 311). Dieses Beispiel betrachten wir genauer, indem wir in Rechts- und Linksaktion differenzieren. Zun¨achst betrachten wir die Rechtsaktion  → a◻ ∶ A → A ⊗ C0 (G) a ↦ ai ⊗ f i mit a ∈ A und dem Multiplikationsoperator fi . Die Aktion a◻ entspricht der Schreibweise a◻ (t) = αt (a) = (ai ⊗ fi )(t) = ai fi (t) = t ⋉ a, also dem (stark stetigen) Gruppenhomomorphismus α von G in die (∗-)Automorphismengruppe Aut(A) (ausgestattet mit der Topologie der punktweisen Konvergenz). Es ist zu zeigen, dass folgendes Diagramm kommutiert:  → A ⊗ C0 (G)  ()◻ ⊗1G ,    → idH ⊗()◻  →  →  → A ⊗ C0 (G) → A ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G) A  ()◻  

()◻

→

hierbei ist idH die Identit¨atsabbildung des Hilbert-Raums H und 1G die Identit¨atsabbildung der Gruppe G. 80

Zun¨achst halten wir fest, dass f¨ ur die Auswertung in t  →  →  → (a◻ )◻⊗1G ∈ A ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G)

∈

G im Ausdruck

(a◻ )◻⊗1G (t) = (ai◻ ⊗ fi )(t) = ai◻ ⋅ fi (t)  → gilt, wobei wir beachten m¨ ussen, dass ai◻ ∈ A ⊗ C0 (G) und fi (t) ∈ C. Nun dr¨ ucken wir dies aufgrund der Homomorphieeigenschaft des ◻ f¨ ur den skalaren Operator fi (t) folgendermaßen aus: ai◻ ⋅ fi (t) = [ai ⋅ fi (t)]◻ . Den letzten Ausdruck k¨onnen wir als Aktion interpretieren, n¨amlich [ai ⋅ fi (t)]◻ = [t ⋉ a]◻ , denn es ist t ⋉ a ∈ A. Diese Notation bedeutet, dass das ausgewertete Element (hier: t) in  →  →  → der dritten Komponente des Ausdrucks A ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G) liegt. Nun zeigen wir, dass (a◻ )◻⊗1G = (a◻ )idH ⊗()◻ gilt. Zun¨achst betrachten wir die linke Seite: (a◻ )◻⊗1G (t)(s) = [t ⋉ a]◻ (s) = s ⋉ [t ⋉ a] = (st) ⋉ a = a◻ (st). Im n¨achsten Schritt m¨ ussen wir beachten, dass zun¨achst die dritte Komponente t und anschließend s ausgewertet wird. Dann wird ausgenutzt, dass f◻ ein Bimultiplikations → operator auf C0 (G) ⊗ C0 (G) ist, bei dem die Reihenfolge der Komponenten eingehalten ur die rechte Seite wird, also f◻ (s, t) = f (st) gilt. Somit erhalten wir f¨ (a◻ )idH ⊗()◻ (t)(s) = (ai ⊗ fi ◻ )(t)(s) = (a ⊗ fi ◻ )(s, t) = ai ⋅ fi ◻ (s, t) = ai ⋅ fi (st) = (st) ⋉ a = a◻ (st).

Nun betrachten wir die Linksaktion ←  a◻ ∶ A → A ⊗ C0 (G) a ↦ a i ⊗ fi 81

mit a ∈ A und dem Multiplikationsoperator fi . Die Aktion a◻ entspricht der Schreibweise a◻ (t) = αt−1 (a) = (ai ⊗ fi )(t) = ai fi (t) = t−1 ⋉ a, also dem (stark stetigen) Gruppenhomomorphismus α von G in die (∗-)Automorphismengruppe Aut(A) (ausgestattet mit der Topologie der punktweisen Konvergenz). Es ist zu zeigen, dass folgendes Diagramm kommutiert: ←  A ⊗ C0 (G)  ◻ () ⊗1G ,   ←  idH ⊗()◻ ←  ←  ←  A ⊗ C0 (G) → A ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G) A  ◻ ()  

()◻

→

hierbei ist idH die Identit¨atsabbildung des Hilbert-Raums H und 1G die Identit¨atsabbildung der Gruppe G. Zun¨achst halten wir fest, dass f¨ ur die Auswertung in t (a◻ )◻⊗1G

∈

G im Ausdruck

∈ A ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G) (a◻ )◻⊗1G (t) = (a◻i ⊗ fi )(t) = a◻i ⋅ fi (t)

gilt, wobei wir beachten m¨ ussen, dass a◻i ∈ A ⊗ C0 (G) und fi (t) ∈ C. Nun dr¨ ucken wir dies aufgrund der Homomorphieeigenschaft des ◻ f¨ ur den skalaren Operator fi (t) folgendermaßen aus: ◻

a◻i ⋅ fi (t) = [ai ⋅ fi (t)] . Den letzten Ausdruck k¨onnen wir als Aktion interpretieren, n¨amlich ◻

◻

[ai ⋅ fi (t)] = [t−1 ⋉ a] , denn es ist t−1 ⋉ a ∈ A. Diese Notation bedeutet, dass das ausgewertete Element (hier: t) ←  ←  ←  in der dritten Komponente des Ausdrucks A ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G) liegt. Nun zeigen wir, dass ◻

(a◻ )◻⊗1G = (a◻ )idH ⊗() gilt. Zun¨achst betrachten wir die linke Seite: ◻

(a◻ )◻⊗1G (t)(s) = [t−1 ⋉ a] (s) = s−1 ⋉ [t−1 ⋉ a] = (s−1 t−1 ) ⋉ a = (ts)−1 ⋉ a = a◻ (ts). Im n¨achsten Schritt m¨ ussen wir beachten, dass zun¨achst die dritte Komponente t und anschließend s ausgewertet wird. Dann wird ausgenutzt, dass f ◻ ein Bimultiplikations←  operator auf C0 (G) ⊗ C0 (G) ist, bei dem die Reihenfolge der Komponenten eingehalten 82

wird, also f ◻ (s, t) = f (ts) gilt. Somit erhalten wir f¨ ur die rechte Seite ◻

(a◻ )idH ⊗() (t)(s) = (ai ⊗ fi◻ )(t)(s) = (a ⊗ fi◻ )(s, t) = ai ⋅ fi◻ (s, t) = ai ⋅ fi (ts) = (ts)−1 ⋉ a = a◻ (ts). Nun kann man zeigen, dass f¨ ur jede lokalkompakte Gruppe G die C ∗ -Algebra Cr∗ (G) eine Hopf-C ∗ -Algebra ist ([I`orio], Theorem 3.9, [Upmeier 4], Proposition 4.8.39, S. 306). Somit k¨onnen wir die Koaktion auf die Hopf-C ∗ -Algebra Cr∗ (G) u ¨bertragen, d. h. die Koaktion ist durch

←  ˆ C ∗ (G)) δ ∶ A → A ⊗ C ∗ (G) ⊂ M (A⊗

beschrieben.

Das Konzept der Koaktion verallgemeinert einerseits Aktionen einer Gruppe und andererseits das Fell-B¨ undel3 auf einer Gruppe. ur eine lokalkompakte Gruppe Definition 4.5.3. Es sei C ∗ (G) eine Gruppen-C ∗ -Algebra f¨ G und A eine C ∗ -Algebra. Ein injektiver strikter C ∗ -Homomorphismus ←  ˆ C ∗ (G)) δ ∶ A → A ⊗ C ∗ (G) ⊂ M (A⊗ ist eine Koaktion von G auf A, falls das Diagramm ←  A ⊗ C ∗ (G)  δ⊗id  ˆ G  ˆ G idA ⊗δ ←  ∗ ∗ ˆ ˆ C ∗ (G)) A ⊗ C (G) → M (A⊗C (G)⊗ A  δ  

δ

→

kommutiert, wobei idA sowie 1G die jeweiligen Identit¨atsabbildungen sind und δG ∶ C ∗ (G) → C ∗ (G) ⊗ C ∗ (G) δG (β(s)) = β(s) ⊗ β(s) die Abbildung mit dem zu s ∈ G korrespondierenden Element β(s) ∈ C ∗ (G) ist. 3

Zu jedem Fell-B¨ undel F einer lokalkompakten Gruppe G kann eine Koaktion der reduzierten

∗

undels assoziiert werden. Hierbei wird das C ∗ -Modul der stetigen Schnitte des C -Algebra des Fell-B¨ B¨ undels betrachtet, wobei jeder Schnitt einen Faltungsoperator definiert, der mit der Multiplier-Algebra M (C ∗ (F )) des Fell-B¨ undels assoziiert ist. Dann gibt es eine eindeutige Koaktion δF (S. [Timmermann], 9.2.6, S. 262).

83

Bemerkung 4.5.4.

1. Die Bezeichnung C ∗ (G) soll auch die reduzierte Gruppen-C ∗ -

Algebra umfassen. Mit dem Pfeil u ¨ber dem Tensorzeichen der eingeschr¨ankten Multiplier-Algebra ist nur eine M¨oglichkeit gemeint, nat¨ urlich kann auch die andere eingeschr¨ankte Multiplier-Algebra auftreten. 2. Die Abbildung δG ist selbst eine Koaktion von G auf C ∗ (G). 3. Als technische Voraussetzung wird gefordert, dass δ injektiv ist. Dies wird an sp¨aterer Stelle wichtig, um jeweils zwei Aktionen (bzw. zwei Koaktionen) miteinander zu identifizieren. Das Kokreuzprodukt ist zum Kreuzprodukt in gewisser Hinsicht ¨aquivalent. Genauer: Die Adjunktion ist ein Isomorphismus ([Landstad/Philipps/Raeburn/Sutherland], Theorem 2.9, S. 760). ur einen bestimmten HilbertDefinition 4.5.5. Sei A ⊂ L(H) eine volle C ∗ -Unteralgebra f¨ Raum H. Dann ist das Kokreuzprodukt A δ C0 (G) auf dem dynamischen System (A, C0 (G), δ) definiert durch A δ C0 (G) ∶= {(δ(a))(idH ⊗ f ) ∶ a ∈ A, f ∈ C0 (G)}, wobei f der Linksmultiplikationsoperator auf L2 (G) ist. Wir differenzieren die Koaktionen ebenso wie die Aktionen. Zum einen betrachten wir ein  → Element a ∈ A und eine Rechtskoaktion ()◇ auf A ⊗ Cρ∗ (G) mit a◇ = ai ⊗ ρui , wobei ρu der Rechtsfaltungsoperator auf L2 (G) ist, so dass  → A ⊗ Cρ∗ (G)  ()◇ ⊗1G    → idH ⊗()⧫  → ∗  → ∗  → A ⊗ Cρ (G) → A ⊗ Cρ (G) ⊗ Cρ∗ (G) A  ()◇  

()◇

→

mit der Koaktion ()⧫ auf Cρ∗ (G) ∶= C ∗ (ρu ∶ u ∈ L1 (G)), wobei (ρu f )(s) ∶= ∫ ρt f (s)du(t), G

d. h. ρu⧫ = δG (ρu ). Analog dazu definieren wir zum anderen eine Linkskoaktion a◇ = ai ⊗ λui , wobei a ∈ A und λu der Linksfaltungsoperator auf L2 (G) ist, so dass ←  A ⊗ Cλ∗ (G)  ◇ () ⊗1G   ←  ⧫ idH ⊗() ←  ∗ ←  ∗ ←  A ⊗ Cλ (G) → A ⊗ C (G) ⊗ C ∗ (G) A  ◇ ()  

84

()◇

→

mit der Koaktion ()⧫ auf Cλ∗ (G) ∶= C ∗ (λu ∶ u ∈ L1 (G)), wobei (λu f )(s) ∶= ∫ λt f (s)du(t) G

gilt, also λ⧫u = δG (λu ).

4.6

Dualit¨ atss¨ atze fu ¨ r Operatoralgebren

Dualit¨at spielt in dieser Arbeit eine herausragende Rolle. Sie motiviert die Einf¨ uhrung der Hopf-Algebra, weil diese sich aus der Erweiterung der Pontryagin-Dualit¨at von lokalkompakten abelschen Gruppen auf nicht-abelsche Gruppen ergibt. Denn dazu wird der Dual der Gruppe als deren Funktionenalgebra charakterisiert, d. h. die Multiplikation auf der Gruppe f¨ uhrt zur Komultiplikation auf der Funktionenalgebra, also zur Koalgebra. Durch die Dualit¨at der Algebra und der Koalgebrastruktur ergibt sich die Hopf-Algebra. Genauer: Die Struktur des Duals der Gruppe wird durch die Gruppenalgebra festgelegt, die wiederum als Koordinatenalgebra des Duals der Gruppe aufgefasst wird. Die Pontryagin-Dualit¨at wird im folgenden Satz formuliert. Theorem 10. F¨ ur jede lokalkompakte abelsche Gruppe G ist die Charakter-Abbildung ̂ ̂ χ∶G →G g

↦

χ(x)

ein Isomorphismus der topologischen Gruppen. Die Dualit¨atstheorie zielt auf die Rekonstruktion einer Gruppe G aus einer Algebra von darstellenden Funktionen G → K oder Darstellungen. Dabei geht man schematisch immer wie folgt vor: Zun¨achst nimmt man die Menge aller Algebrahomomorphismen und bestimmt einen Auswertungshomomorphismus. Dann ermittelt man einen topologischen Isomorphismus von der Gruppe in die Menge der Auswertungshomomorphismen. Anschließend wird dieser Homomorphismus auf die stetigen Funktionen von G nach K erweitert. Die Takesaki-Dualit¨ at [Takesaki 1] besagt, dass f¨ ur eine Aktion α einer lokalkompakten abelschen Gruppe auf einer W ∗ -Algebra M die wiederholte Anwendung mit der dualen uhrt, wobei L(L2 (G)) die beschr¨ankten OpeAktion zur Isomorphie zu M ⊗L(L2 (G)) f¨ ratoren auf L2 (G) sind. Landstad [Landstad] und Nakagami [Nakagami] haben diese Dualit¨at auf nicht-abelsche Gruppen erweitert. Die beiden unterschiedlichen Zug¨ange wurden von van Heeswijck [van Heeswijck] in die Theorie von Kreuzprodukten u ¨bertragen. 85

Takai [Takai] hat wiederum f¨ ur eine Aktion α einer lokalkompakten abelschen Gruppe auf einer C ∗ -Algebra A gezeigt, dass die wiederholte Anwendung mit der dualen Aktion ˆ K(L2 (G)) f¨ uhrt, wobei K(L2 (G)) die kompakten Operatoren auf zur Isomorphie zu A⊗ ur eine abelsche Gruppe gezeigt, L2 (G) sind. Imai und Takai [Imai/Takai] haben dann f¨ dass jedes reduzierte Kreuzprodukt eine duale Koaktion tr¨agt, so dass das korrespondieˆ K(L2 (G)) ist. F¨ ur uns relevant hat Katayama rende Kokreuzprodukt isomorph zu A⊗ [Katayama] diese Dualit¨at auf nicht-abelsche Gruppen erweitert. Im Weiteren bezeichnen wir mit Katayama-Dualit¨at den Fall nicht-abelscher Gruppen sowohl f¨ ur Kreuz- wie f¨ ur Kokreuzprodukte. In der Dualit¨atstheorie f¨ ur Kreuzprodukte ist es hilfreich, sich folgende Beziehungen zu vergegenw¨artigen: Koaktionen sind dual zu Aktionen, Kokreuzprodukte sind dual zu Kreuzprodukten und Darstellungen von C0 (G) sind dual zu unit¨aren Darstellungen von G.

4.7

Katayama-Dualit¨ a t fu ¨ r Aktionen bzw. Koaktionen auf C ∗-Algebren

Als Vorbereitung der Dualit¨ats¨atze zeigen wir, dass zwischen den Begriffen der Aktion und der Koaktion ein enger Zusammenhang besteht. Zu jeder Koaktion geh¨ort eine duale Aktion und zu jeder Aktion geh¨ort eine duale Koaktion. Wir beginnen mit den dualen Aktionen auf dem Kreuzprodukt. Wieder unterteilen wir so wie im Abschnitt 4.5 und beginnen mit der dualen Rechtsaktion. F¨ ur diese m¨ ussen wir zeigen, dass folgendes Diagramm kommutiert: ()◻∗  → → A ⊠ Cρ∗ (G) ⊗ Cρ∗ (G) A ⊠ Cρ∗ (G)   ()◻∗ ()◻∗ ⊗1G      → id ⊗1 ⊗() H G ⧫  → ∗  → ∗  → ∗ ∗ A ⊠ Cρ (G) ⊗ Cρ (G) → A ⊠ Cρ (G) ⊗ Cρ (G) ⊗ Cρ∗ (G).

Dabei

ist

die

duale

Rechtsaktion

(entspricht

der

Rechtskoaktion

auf

der

C ∗ -Algebra A ⊠ Cρ∗ (G)) (a ⊠ ρu )◻∗ = Ad(idA ⊗ V◻ )(a ⊠ ρu ⊗ 1G ) auf dem Kreuzprodukt A ⊠ Cρ∗ (G) mit ρu⧫ ∶= ΔG (ρu ) und dem Kac-Takesaki-Operator V◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(ts−1 ) 86

mit φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G definiert. Zun¨achst schreiben wir Ad(idH ⊗ V◻ )(a ⊠ ρu ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V◻ ) [(a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ ρu ⊗ 1G )] = Ad(idH ⊗ V◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V◻ ) [idH ⊗ ρu ⊗ 1G ] . Bevor wir diese Rechnung fortsetzen k¨onnen, m¨ ussen wir die Faktoren einzeln bestimmen. Lemma 4.7.1. Ad(V◻ )(f ⊗ 1G ) = f ⊗ 1G . Beweis: V◻ (f ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)(s, t) = V◻ (f φ) ⊗ ψ)(s, t) = (f φ)(s)ψ(ts−1 ) = f (s)φ(s)ψ(ts−1 ) = (f ⊗ 1G )(s, t)V◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [(f ⊗ 1G )V◻ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Lemma 4.7.2. Ad(idH ⊗ V◻ )(a◻ ⊗ 1G ) = a◻ ⊗ 1G . Beweis: Ad(idH ⊗ V◻ )(a◻ ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V◻ )(ai ⊗ fi ⊗ 1G ) = ai ⊗ V◻ (fi ⊗ 1G ) = ai ⊗ f i ⊗ 1 G = a◻ ⊗ 1G . ◻ Lemma 4.7.3. Ad(V◻ )(ρg ⊗ 1G ) = ρg⧫ . Beweis: V◻ ((ρg ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ))(s, t) = V◻ ((ρg φ) ⊗ ψ)(s, t) = (ρg φ)(s)ψ(ts−1 ) = φ(sg)ψ(ts−1 ) = φ(sg)ψ(tg(sg)−1 ) = φ(sg)ψ(ts−1 ) = V◻ (φ ⊗ ψ)(sg, tg) = (ρg ⊗ ρg )V◻ (φ ⊗ ψ)(s, t). ◻ 87

Folgerung 4.7.4. AdV◻ (ρu ⊗ 1G ) = ρu⧫ . Beweis: Wir integrieren die Gleichung des vorhergehenden Lemmas. Da ρu = ∫ u(g)ρg dg G

und Ad ein stetig linearer Operator ist, erhalten wir ∫ u(g)Ad(V◻ )(ρg ⊗ 1G )dg = ∫ Ad(V◻ )(u(g)ρg ⊗ 1G )dg G

G

= Ad(V◻ ) ∫ [u(g)ρg ⊗ 1G ] dg G

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = Ad(V◻ ) ⎢⎢∫ u(g)ρg dg ⊗ 1G ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣G ⎦ = Ad(V◻ )(ρu ⊗ 1G ). ◻ Wir setzen nun das oben Begonnene fort und erhalten das Gew¨ unschte: Ad(idH ⊗ V◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V◻ ) [idH ⊗ ρu ⊗ 1G ] = (a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ V◻ (ρu ⊗ 1G )) = (a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ ρu⧫ ).

Somit sehen wir, dass das Diagramm kommutativ ist. F¨ ur die duale Linksaktion ∗

(a ⊠ λu )◻ = Ad(idA ⊗ V ◻ )(a ⊠ λu ⊗ 1G ) auf dem Kreuzprodukt A ⊠ Cλ∗ (G), λ⧫u ∶= ΔG (λu ) und den Kac-Takesaki-Operator V ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(s−1 t) mit φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G zeigen wir, dass folgendes Diagramm kommutativ ist: ∗

()◻ ←  A ⊠ Cλ∗ (G) → A ⊠ Cλ∗ (G) ⊗ Cλ∗ (G)   ∗ (a⊠λu )◻∗ ⊗1G ()◻     ←  idH ⊗1G ⊗()⧫ ←  ←  ←  A ⊠ Cλ∗ (G) ⊗ Cλ∗ (G) → A ⊠ Cλ∗ (G) ⊗ Cλ∗ (G) ⊗ Cλ∗ (G).

88

Diese duale Linksaktion entspricht der Koaktion auf der C ∗ -Algebra A ⊠ Cλ∗ (G). Zun¨achst schreiben wir Ad(idH ⊗ V ◻ )(a ⊠ λu ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V ◻ ) [(a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ λu ⊗ 1G )] = Ad(idH ⊗ V ◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V ◻ ) [idH ⊗ λu ⊗ 1G ] . Wieder m¨ ussen wir die einzelnen Faktoren einzeln bestimmen. Lemma 4.7.5. Ad(V ◻ )(f ⊗ 1G ) = f ⊗ 1G . Beweis: V ◻ (f ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)(s, t) = V ◻ ((f φ) ⊗ ψ)(s, t) = (f φ)(s)ψ(s−1 t) = f (s)φ(s)ψ(s−1 t) = (f ⊗ 1G )(s, t)V ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [(f ⊗ 1G )V ◻ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Lemma 4.7.6. Ad(idH ⊗ V ◻ )(a◻ ⊗ 1G ) = a◻ ⊗ 1G Beweis: Ad(idH ⊗ V ◻ )(a◻ ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V ◻ )(ai ⊗ fi ⊗ 1G ) = ai ⊗ V ◻ (fi ⊗ 1G ) = ai ⊗ fi ⊗ 1G = a◻ ⊗ 1G . ◻ Lemma 4.7.7. Ad(V ◻ )(λg ⊗ 1G ) = λ⧫g . Beweis: V ◻ ((λg ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ))(s, t) = V ◻ ((λg φ) ⊗ ψ)(s, t) = (λg φ)(s)ψ(s−1 t) = φ(g −1 s)ψ(s−1 t) = φ(g −1 s)ψ((g −1 s)−1 (g −1 t)) = φ(g −1 s)ψ(sgg −1 t) = V ◻ (φ ⊗ ψ)(g −1 s, g −1 t)(λg ⊗ λg )V ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t). ◻

89

Folgerung 4.7.8. AdV ◻ (λu ⊗ 1G ) = λ⧫u . Beweis: Wir integrieren die Gleichung des vorhergehenden Lemmas. Da ρu = ∫ u(g)λg dg G

und Ad ein stetig linearer Operator ist, erhalten wir ◻ ◻ ∫ u(g)Ad(V )(λg ⊗ 1G )dg = ∫ Ad(V )(u(g)λg ⊗ 1G )dg G

G

= Ad(V ◻ ) ∫ [u(g)λg ⊗ 1G ] dg G

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = Ad(V ◻ ) ⎢⎢∫ u(g)λg dg ⊗ 1G ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣G ⎦ = Ad(V ◻ )(λu ⊗ 1G ). ◻ Wir setzen nun das oben Begonnene fort und erhalten Ad(idH ⊗ V ◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V ◻ ) [idH ⊗ λu ⊗ 1G ] = (a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ V ◻ (λu ⊗ 1G )) = (a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ λ⧫u ),

woraus die Kommutativit¨at des Diagramms folgt. Wie in der Einleitung bereits dargestellt, gibt es genau diese Abfolge auch auf den dualen Kreuzprodukten. F¨ ur die duale Rechtskoaktion ◇∗ auf dem Kokreuzprodukt ist folgendes Diagramm kommutativ: ()◇∗  → → A  C0 (G) ⊗ C0 (G) A  C0 (G)   ()◇∗ ()◇∗ ⊗1G     ←  idA ⊗1G ⊗()⧫  → ←  ←  A  C0 (G) ⊗ C0 (G) → A  C0 (G) ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G).

Die duale Rechtskoaktion (entspricht der Rechtsaktion) ist definiert durch (a  f )◇∗ = Ad(idH ⊗ V◇ )(a  f ⊗ 1G ) auf dem Kokreuzprodukt A  C0 (G) mit dem Kac-Takesaki-Operator V◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(t−1 s)ψ(t) 90

und der Bimultiplikationsabbildung f⧫ (s, t) = f (t−1 s), wobei φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Nun betrachten wir ein Element a  f ∈ A  C0 (G) und eine Koaktion ◇ auf A, so dass wir in Tensorproduktschreibweise af = (a◇ ⊗1G )(idH ⊗f ) notieren, wobei f ein Multiplikationsoperator auf L2 (G) ist. Denn es ist a◇ (idH ⊗ f ) = (a◇ (idH ⊗ 1G ))(idH ⊗ f ) = (a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f ⊗ 1G ), da a◇ (idH ⊗ 1G ) ∈ A  C0 (G) und ebenso (idH ⊗ f ) ∈ A  C0 (G). Somit k¨onnen wir umformen: Ad(idH ⊗ V◇ )(a  f ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V◇ )(a◇ (idH ⊗ 1G ) ⊗ 1G )(idH ⊗ f ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V◇ ) [a◇ (idH ⊗ 1G ) ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V◇ ) [idH ⊗ f ⊗ 1G ] . Nun m¨ ussen wir die einzelnen Faktoren untersuchen. Lemma 4.7.9. V◇ (f ⊗ 1G )V◇∗ = f⧫ . Beweis: [V◇ (f ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = V◇ (f φ ⊗ ψ)(s, t) = (f φ)(t−1 s)ψ(t) = f (t−1 s)φ(t−1 s)ψ(t) = f⧫ (s, t)V◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [f⧫ V◇ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Lemma 4.7.10. Ad(V◇ )(ρg ⊗ 1G ) = ρg ⊗ 1G . Beweis:

V◇ (ρg ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)(s, t) = V◇ (ρg φ ⊗ ψ)(s, t) = ρg φ(t−1 s)ψ(t) = φ(t−1 sg)ψ(t) = V◇ (φ ⊗ ψ)(sg, t) = [(ρg ⊗ 1G )V◇ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ 91

Lemma 4.7.11. Ad(idH ⊗ V◇ )(a◇ ⊗ 1G ) = a◇ ⊗ 1G . Beweis: Es ist a◇ = ai ⊗ ρui , so dass Ad(idH ⊗ V◇ )(a◇ ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V◇ )(ai ⊗ ρui ⊗ 1G ) = ai ⊗ Ad(V◇ )(ρui ⊗ 1G ) = ai ⊗ ρui ⊗ 1G = a◇ ⊗ 1G . ◻ Wieder setzen wir das oben Begonnene fort und erhalten Ad(idH ⊗ V◇ ) [a◇ (idH ⊗ 1G ) ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V◇ ) [idH ⊗ f ⊗ 1G ] = (a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f⧫ ). Also ist das Diagramm kommutativ.

Wir zeigen, dass f¨ ur die duale Linkskoaktion ◇∗ auf dem Kokreuzprodukt folgendes Diagramm kommutativ ist: ∗

()◇ ←  → A  C0 (G) ⊗ C0 (G) A  C0 (G)  ∗  ∗ ()◇ ()◇ ⊗1G     ←  ⧫ idA ⊗1G ⊗() ←  ←  ←  A  C0 (G) ⊗ C0 (G) → A  C0 (G) ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G).

Die duale Linkskoaktion (entspricht der Linksaktion auf der C ∗ -Algebra A  C0 (G)) ist durch ∗

(a  f )◇ = Ad(idH ⊗ V ◇ )(a  f ⊗ 1G ) auf dem Kokreuzprodukt A  C0 (G) mit dem Kac-Takesaki-Operator V ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(st−1 )ψ(t) und dem Bimultiplikationsoperator f ⧫ (s, t) = f (st−1 ) definiert, wobei φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Nun betrachten wir ein Element a  f ∈ A  C0 (G) und eine Koaktion ◇ auf A, so dass wir in Tensorproduktschreibweise a  f = (a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f ) notieren, wobei f ein Multiplikationsoperator auf L2 (G) ist. Denn es ist a◇ (idH ⊗ f ) = (a◇ (idH ⊗ 1G ))(idH ⊗ f ) = (a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f ⊗ 1G ), 92

da a◇ (idH ⊗ 1G ) ∈ A  C0 (G) und ebenso (idH ⊗ f ) ∈ A  C0 (G). Somit k¨onnen wir umformen: Ad(idH ⊗ V ◇ )(a  f ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V ◇ )(a◇ (idH ⊗ 1G ) ⊗ 1G )(idH ⊗ f ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V ◇ ) [a◇ (idH ⊗ 1G ) ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V ◇ ) [idH ⊗ f ⊗ 1G ] . Nun m¨ ussen wir die einzelnen Faktoren untersuchen. Lemma 4.7.12. V ◇ (f ⊗ 1G )V ◇ ∗ = f ⧫ . Beweis: [V ◇ (f ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = V ◇ (f φ ⊗ ψ)(s, t) = (f φ)(st−1 )ψ(t) = f (st−1 )φ(st−1 )ψ(t) = f ⧫ (s, t)V ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [f ⧫ V ◇ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Lemma 4.7.13. Ad(V ◇ )(λg ⊗ 1G ) = λg ⊗ 1G . Beweis: V ◇ (λg ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)(s, t) = V ◇ (λg φ ⊗ ψ)(s, t) = λg φ(st−1 )ψ(t) = φ(g −1 st−1 )ψ(t) = V ◇ (φ ⊗ ψ)(g −1 s, t) = [(λg ⊗ 1G )V ◇ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Lemma 4.7.14. Ad(idH ⊗ V ◇ )(a◇ ⊗ 1G ) = a◇ ⊗ 1G . Beweis: Es ist a◇ = ai ⊗ λui , so dass Ad(idH ⊗ V ◇ )(a◇ ⊗ 1G ) = Ad(idH ⊗ V ◇ )(ai ⊗ λui ⊗ 1G ) = ai ⊗ Ad(V ◇ )(λui ⊗ 1G ) = ai ⊗ λui ⊗ 1G = a◇ ⊗ 1G . ◻ 93

Setzen wir nun die zuvor begonnene Rechnung fort, so erhalten wir Ad(idH ⊗ V ◇ ) [a◇ (idH ⊗ 1G ) ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ V ◇ ) [idH ⊗ f ⊗ 1G ] = (a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f ⧫ ) und somit die Kommutativit¨at des Diagramms. Nun k¨onnen wir das Hauptergebnis dieses Abschnitts formulieren. Wie bei vielen Dualit¨aten f¨ uhrt der Bidual zur Ausgangssituation zur¨ uck. Erwartungsgem¨aß ist dies der schwierigste Schritt. Erstaunlich ist, dass auch beim Bidual die Kac-Takesaki-Operatoren vorkommen. Theorem 11. C ∗ -Algebra.

1. Es sei ()◻ eine Linksaktion einer lokalkompakten Gruppe G auf einer Dann ist die C ∗ -Algebra A  C0 (G) ⊠ Cλ∗ (G) ≃ A ⊗ K(L2 (G)).

Bei einer Rechtsaktion ()◻ gilt: A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) ≃ A ⊗ K(L2 (G)). 2. Es sei ()◇ eine Linkskoaktion einer lokalkompakten Gruppe G auf einer C ∗ -Algebra. Dann ist die C ∗ -Algebra A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G) ≃ A ⊗ K(L2 (G)). Bei einer Rechtskoaktion ()◇ gilt: A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G) ≃ A ⊗ K(L2 (G)). Beweis: Wir geben jeweils den konkreten Isomorphismus an. 1. F¨ ur die biduale Rechtsaktion (a ⊠ ρu  f )(◻∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W◻ )(a ⊠ ρu  f ⊗ 1G ) auf dem Kokreuzprodukt A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G) ist das folgende Diagramm kommutativ: ()(◻∗ )∗  → → A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G) ⊗ C0 (G) A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G)   ()(◻∗ )∗ ()(◻∗ )∗ ⊗1G      → idH ⊗1G ⊗1G ⊗ ()◻  →  →  → A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G) ⊗ C0 (G) → A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G) ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G)

mit dem Kac-Takesaki-Operator W◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) ∶= φ(st)ψ(t) 94

und der Bimultiplikationsabbildung f◻ (s, t) = f (st), wobei φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Auch hier ist ρu⧫ = ΔG (ρu ) die Komultiplikation auf der Hopf-C ∗ -Algebra Cρ∗ (G). Wir beginnen mit den Umformungen eines Erzeugers von A ⊠ Cρ∗ (G)  C0 (G) in Tensorproduktschreibweise. a ⊠ ρu  f = (a ⊠ ρu )◻∗ (idH ⊗ 1G ⊗ f ) = (a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ ρu⧫ )(idH ⊗ 1G ⊗ f ) ∗ )∗

Nun wenden wir den C ∗ -Homomorphismus x(◻

= Ad(idH ⊗ W◻ )(x ⊗ 1G ) an. Im

ersten Schritt nutzen wir die Linearit¨at des Homomorphismus aus. [(a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ ρu⧫ )(idH ⊗ 1G ⊗ f )](◻∗ )∗ = (a◻ ⊗ 1G )(◻∗ )∗ (idH ⊗ ρu⧫ )(◻∗ )∗ (idH ⊗ 1G ⊗ f )(◻∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ W◻ ) [idH ⊗ ρu⧫ ] Ad(idH ⊗ W◻ ) [idH ⊗ 1G ⊗ f ] = [ai ⊗ Ad(W◻ ) [fi ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W◻ ) [ρu⧫ ]] [idH ⊗ Ad(W◻ ) [1G ⊗ f ]] Jeden einzelnen Faktor betrachten wir nun f¨ ur sich. Lemma 4.7.15. Ad(W◻ ) [f ⊗ 1G ] = f◻ . Beweis: Durch einfaches Anwenden des Kac-Takesaki-Operators erhalten wir Folgendes: [W◻ (f ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = W◻ (f φ ⊗ ψ)(s, t) = (f φ)(st)ψ(t) = f (st)φ(st)ψ(t) = f◻ (s, t)W◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [f◻ W◻ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻

95

Lemma 4.7.16. Ad(idH ⊗ W◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] = (a◻ )◻⊗1G . Beweis: Die Aktion ◻ auf ein Element a der C ∗ -Algebra A hat die Tensorproduktdarstelucksichtigung des vorhergehenden Lemmas f¨ ur lung a◻ = ai ⊗ fi . Also ist unter Ber¨ s¨amtliche Summen und Limiten des Tensorprodukts fi ⊗ 1G : Ad(idH ⊗ W◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] = Ad(idH ⊗ W◻ ) [ai ⊗ fi ⊗ 1G ] = ai ⊗ Ad(W◻ ) [fi ⊗ 1G ] = ai ⊗ fi ◻ . Nun k¨onnen wir ai ⊗ fi ◻ = (ai ⊗ fi )idH ⊗()◻ schreiben und wieder von der Tensorproduktdarstellung

der

Aktion

zur

Aktionsdarstellung

gehen,

d.

h.

(ai ⊗ fi )idH ⊗()◻ = (a◻ )idH ⊗()◻ . Zum Abschluss wird noch die Aktionseigenschaft (a◻ )idH ⊗()◻ = (a◻ )()◻ ⊗1G verwendet, so dass insgesamt gilt: Ad(idH ⊗ W◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] = (a◻ )()◻ ⊗1G . ◻ Es fehlt noch Lemma 4.7.17. Ad(W◻ ) [ρg⧫ ] = 1 ⊗ ρg . Beweis: Hier setzen wir die Definition ρg⧫ = ρg ⊗ ρg ein und erhalten [W◻ (ρg ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = W◻ (ρg φ ⊗ ρψ)(s, t) = ρg φ(ts)ρg ψ(t) = φ(g −1 ts)ψ(g −1 t) = φ((g −1 t)s)ψ(g −1 t) = [W◻ (φ ⊗ ψ)] (s, g −1 t) = [W◻ (1G ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻

Folgerung 4.7.18. Ad(W◻ )ρu⧫ = 1 ⊗ ρu . 96

Beweis: Diese Behauptung ergibt sich durch Integration der Gleichung des vorhergehenden ◻

Lemmas (s. Folgerung 4.7.8.).

Sodann k¨onnen wir das Begonnene fortsetzen, indem wir die gerade gewonnenen Ergebnisse einsetzen. [ai ⊗ Ad(W◻ ) [fi ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W◻ ) [ρu⧫ ]] [idH ⊗ Ad(W◻ ) [1G ⊗ f ]] = (a◻ )()◻ ⊗1G (idH ⊗ 1G ⊗ ρu ) (idH ⊗ 1G ⊗ f ) = (a◻ )()◻ ⊗1G (idH ⊗ 1G ⊗ ρu f ) = (a◻ )()◻ ⊗1G (idH◻ ⊗ ρu f ) = (a◻ )()◻ ⊗1G (idH ⊗ ρu f )()◻ ⊗1G = (a◻ (idH ⊗ ρu f ))()◻ ⊗1G . Hier wurde genutzt, dass auf das Einselement idH der C ∗ -Algebra A auch der Homomorphismus ◻ angewendet werden kann, was dann dem Einselement in der  → Multiplier-Algebra A ⊗ Cρ∗ (G) entspricht. Der letzte Schritt ist, die Injektivit¨at des C ∗ -Homomorphismus ◻ auszunutzen, durch den ()◻⊗1G mit ()◻ identifiziert werden kann. Der obere Teil des folgenden Diagramms zeigt, was wir bisher bewiesen haben. [a◻ (idH ⊗ ρu )]◻∗ (idH ⊗ 1G ⊗ f ) idH ⊗Ad(W◻ )



[a◻ (idH ⊗ ρu f )]()◻ ⊗1G

∈ ∈

O

[A ⊠ Cρ∗ (G)]  C0 (G) 

≈

⊗ L2 (G)) A ⊗ L(L2 (G) O ≈

◻⊗1G

∈

a◻ (idH ⊗ ρu f )

A ⊗ K(L2 (G))

Den unteren Isomorphismus zeigen wir nun, wobei die nicht-entartete Darstellung4 der Aktion die entscheidende Rolle spielt. Zun¨achst ist a◻ (idH ⊗ ρu ) = (ai ⊗ ρui )(idH ⊗ ρu ) = ai ⊗ ρui ρu . Wegen der nicht-entarteten Darstellung gilt f¨ ur den linearen Spann von a◻ (idH ⊗ρu ) ⟨a◻ (idH ⊗ ρu )⟩ ⊆ A ⊗ Cρ∗ (G). 4

F¨ ur eine nicht-entartete Darstellung w¨ahlen wir aus der F¨ ulle a¨quivalenter Beschreibungen, die in

[Katayama], Theorem 5, S. 146 vorliegt. Eine nicht-entartete Darstellung δ ist ¨aquivalent dazu, dass der lineare Spann ⟨δ(A)(idH ⊗ C ∗ (G)⟩ = A ⊗ C ∗ (G) ist.

97

Nun m¨ ussen wir zeigen, dass ein Element a ⊗ T ∈ A ⊗ K(L2 (G)) ein Bild eines Erzeuger von A ⊗ Cρ∗ (G) entspricht. Dazu sei ein kompakter Operator T = ρu f mit ur diesen Operator gilt: ρu ∈ Cρ∗ (G) und f ∈ C0 (G) gegeben. F¨ a ⊗ T = a ⊗ ρu f = (a ⊗ ρu )(idH ⊗ f ) = a◻ (idH ⊗ ρui )(idH ⊗ f ) = a◻ (idH ⊗ ρui f ) Mit ◻−1 folgt somit, dass [(idH ⊗ Ad(W◻ )) [a◻ (idH ⊗ ρu )]◻ (idH ⊗ 1G ⊗ f )]◻−1 ∈ A ⊗ K(L2 (G)).

Nun zeigen wir analog f¨ ur die biduale Linksaktion, dass folgendes Diagramm kommutativ ist. ∗ ∗

()(◻ ) ←  → A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G) ⊗ C0 (G) A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G)  ∗∗  ∗∗ ()(◻ ) ⊗1G ()(◻ )     ←  ◻ idA ⊗1G ⊗1G ⊗ () ←  ←  ←  A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G) ⊗ C0 (G) → A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G) ⊗ C0 (G) ⊗ C0 (G)

Die biduale Linksaktion (entspricht der dualen Koaktion) ist definiert durch ∗ )∗

(a ⊠ λu  f )(◻

= Ad(idH ⊗ W ◻ )(a ⊠ λu  f ⊗ 1G )

auf dem Kokreuzprodukt A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G) und mit dem Kac-Takesaki-Operator W ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(ts)ψ(t) und der Bimultiplikationsabbildung f ◻ (s, t) = f (ts), wobei φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Auch hier ist λ⧫u = ΔG (λu ) die Komultiplikation auf der Hopf-C ∗ -Algebra Cλ∗ (G). Zu zeigen ist, dass ∗ )∗

[(a ⊠ λu  f )(◻

(◻∗ )∗ ⊗1G

]

∗ )∗

= [(a ⊠ λu  f )(◻

idH ⊗1G ⊗1G ⊗()◻

]

.

Wir beginnen mit der Umformung eines Erzeugers von A ⊠ Cλ∗ (G)  C0 (G) in Tensorschreibweise: ∗

a ⊠ λu  f = (a ⊠ λu )◻ (idH ⊗ 1G ⊗ f ) = (a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ λ⧫u )(idH ⊗ 1G ⊗ f ). 98

Nun wenden wir den C ∗ -Homomorphismus (◻∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W ◻ ) an. Im ersten Schritt nutzen wir die Linearit¨at des Homomorphismus aus. (◻∗ )∗

[(a◻ ⊗ 1G )(idH ⊗ λ⧫u )(idH ⊗ 1G ⊗ f )]

∗ )∗

= (a◻ ⊗ 1G )(◻

∗ )∗

(idH ⊗ λ⧫u )(◻ ∗ )∗

(idH ⊗ 1G ⊗ f )(◻

= Ad(idH ⊗ W ◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ W ◻ ) [idH ⊗ λ⧫u ] Ad(idH ⊗ W ◻ ) [idH ⊗ 1G ⊗ f ] = [ai ⊗ Ad(W ◻ ) [fi ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W ◻ ) [λ⧫u ]] [idH ⊗ Ad(W ◻ ) [1G ⊗ f ]] . Die einzelnen Faktoren betrachten wir nun getrennt. Lemma 4.7.19. Ad(W ◻ ) [f ⊗ 1G ] = f ◻ . Beweis: Durch einfaches Anwenden des Kac-Takesaki-Operators erhalten wir Folgendes: [W ◻ (f ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = W ◻ (f φ ⊗ ψ)(s, t) = (f φ)(ts)ψ(t) = f (ts)φ(ts)ψ(t) = f ◻ (s, t)W ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [f ◻ W ◻ (φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Lemma 4.7.20. Ad(idH ⊗ W ◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] = (a◻ )◻⊗1G . Beweis: Die Aktion ◻ auf ein Element a der C ∗ -Algebra A hat die Tensorproduktdarstelucksichtigung des vorhergehenden Lemmas f¨ ur lung a◻ = ai ⊗ fi . Also ist unter Ber¨ s¨amtliche Summen und Limiten des Tensorprodukts fi ⊗ 1G : Ad(idH ⊗ W ◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] = Ad(idH ⊗ W ◻ ) [ai ⊗ fi ⊗ 1G ] = ai ⊗ Ad(W ◻ ) [fi ⊗ 1G ] = ai ⊗ fi◻ . ◻

Nun k¨onnen wir ai ⊗ fi◻ = (ai ⊗ fi )idH ⊗() schreiben und wieder von der Tensorproduktdarstellung

der

Aktion

zur

Aktionsdarstellung

gehen,

d.

h. 99

◻

◻

(ai ⊗ fi )idH ⊗() = (a◻ )idH ⊗() . Zum Abschluss wird noch die Aktionseigenschaft ◻

◻ ⊗1 G

(a◻ )idH ⊗() = (a◻ )()

verwendet, so dass insgesamt gilt: ◻ ⊗1

Ad(idH ⊗ W ◻ ) [a◻ ⊗ 1G ] = (a◻ )()

G

. ◻

Zum Schluss fehlt noch Lemma 4.7.21. Ad(W ◻ ) [λ⧫g ] = 1 ⊗ λg . Beweis: Hier setzen wir die Definition λ⧫g = λg ⊗ λg ein und erhalten W ◻ (λg ⊗ λg )(φ ⊗ ψ)(s, t) = W ◻ (λg φ ⊗ λg ψ)(s, t) = (λg φ)(ts)(λg ψ)(t) (1G ⊗ λg )W ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = W ◻ (φ ⊗ ψ)(s, g −1 t) = φ(g −1 ts)ψ(g −1 t) = λg φ(ts)λg ψ(t). ◻ Folgerung 4.7.22. Ad(W ◻ )λ⧫u = 1 ⊗ λu . Beweis: Diese Behauptung ergibt sich durch Integration der Gleichung des vorhergehenden ◻

Lemmas (s. Folgerung 4.7.8.).

Sodann k¨onnen wir das Begonnene fortsetzen, indem wir die gerade gewonnenen Ergebnisse einsetzen. [ai ⊗ Ad(W ◻ ) [fi ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W ◻ ) [λ⧫u ]] ◻ ⊗1 G

[idH ⊗ Ad(W ◻ ) [1 ⊗ f ]] = (a◻ )()

(idH ⊗ 1G ⊗ λu )

(idH ⊗ 1G ⊗ f ) ◻ ()◻ ⊗1G

(idH ⊗ 1G ⊗ λu f )

◻ ()◻ ⊗1G

(id◻H ⊗ λu f )

= (a ) = (a )

()◻ ⊗1G

= (a◻ )

◻ ⊗1 G

(idH ⊗ λu f )() ◻ ⊗1 G

= (a◻ (idH ⊗ λu f ))()

Hier wurde verwendet, dass auf das Einselement idH der C ∗ -Algebra A auch der Homomorphismus ◻ angewendet werden kann, was dann dem Einselement in der 100

←  Multiplier-Algebra A ⊗ Cλ∗ (G) entspricht. Der letzte Schritt ist, die Injektivit¨at des C ∗ -Homomorphismus ◻ auszunutzen, durch den ()◻⊗1G mit ()◻ identifiziert werden kann. Daraus ergibt sich, dass das Diagramm kommutativ ist. Der obere Teil des folgenden Diagramms zeigt, was wir bisher bewiesen haben. ◻∗

[a◻ (idH ⊗ λu )]

idH ⊗Ad(W ◻ )

(idH ⊗ 1G ⊗ f )



()◻ ⊗1

[a◻ (idH ⊗ λO u f )]

G

∈ ∈

[A ⊠ Cλ∗ (G)]  C0 (G) 

≈

⊗ L2 (G)) A ⊗ L(L2 (G) O ≈

◻⊗1G

a◻ (idH ⊗ λu f )

∈

A ⊗ K(L2 (G))

Den unteren Isomorphismus zeigen wir nun, wobei die nicht-entartete Darstellung der Aktion die entscheidende Rolle spielt. Zun¨achst ist a◻ (idH ⊗ λu ) = (ai ⊗ λui )(idH ⊗ λu ) = ai ⊗ λui λu . Wegen der nicht-entarteten Darstellung gilt f¨ ur den linearen Spann von a◻ (idH ⊗λu ) ⟨a◻ (idH ⊗ λu )⟩ ⊆ A ⊗ Cλ∗ (G). Nun m¨ ussen wir zeigen, dass ein Element a ⊗ T ∈ A ⊗ K(L2 (G)) ein Bild eines Erzeuger von A ⊗ Cλ∗ (G) entspricht. Dazu sei ein kompakter Operator T = λu f mit ur diesen Operator gilt: λu ∈ Cλ∗ (G) und f ∈ C0 (G) gegeben. F¨ a ⊗ T = a ⊗ λu f = (a ⊗ λu )(idH ⊗ f ) = a◻ (idH ⊗ λui )(idH ⊗ f ) = a◻ (idH ⊗ λui f ) Mit ◻−1 folgt somit, dass ◻−1

[(idH ⊗ Ad(W ◻ )) [a◻ (idH ⊗ λu )]◻ (idH ⊗ 1G ⊗ f )]

∈ A ⊗ K(L2 (G)).

2. F¨ ur den zweiten Teil des Satzes gehen wir genauso vor. F¨ ur die biduale Rechtskoaktion (entspricht der dualen Rechtsaktion) (a  f ⊠ ρu )(◻∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W◇ )(a  f ⊠ ρu ⊗ 1G ) auf dem Kreuzprodukt A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) ist das folgende Diagramm kommutativ: ()(◇∗ )∗  → A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) → A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) ⊗ Cρ∗ (G)   ()(◇∗ )∗ ⊗1G ()(◇∗ )∗      → idH ⊗1G ⊗1G ⊗()⧫  →  →  → A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) ⊗ Cρ∗ (G) → A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) ⊗ Cρ∗ (G) ⊗ Cρ∗ (G)

101

mit dem Kac-Takesaki-Operator W◇ (φ ⊗ ψ) = φ(s)ψ(st−1 ), wobei φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Außerdem ist f⧫ (s, t) = f (t−1 s) die Bimultiplikationsabbildung und ρu⧫ = ΔG (ρu ) die Komultiplikationsabbildung der Hopf-C ∗ Algebra Cρ∗ (G). Beginnen wir mit der Umformung des Erzeugers a  f ⊠ ρu von A  C0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) in Tensorproduktschreibweise: a  f ⊠ ρu = (a  f )◇∗ (idH ⊗ 1G ⊗ ρu ) = (a◇  1G )(idH ⊗ f⧫ )(idH ⊗ 1G ⊗ ρu ). Nun wenden wir den C ∗ -Homomorphismus (◇∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W◇ ) an. Im ersten Schritt nutzen wir die Linearit¨at des Homomorphismus aus. [(a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f⧫ )(idH ⊗ 1G ⊗ λ)](◇∗ )∗ = (a◇ ⊗ 1G )(◇∗ )∗ (idH ⊗ f⧫ )(◇∗ )∗ (idH ⊗ 1G ⊗ ρu )(◇∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W◇ ) [a◇ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ W◇ ) [idH ⊗ f⧫ ] Ad(idH ⊗ W◇ ) [idH ⊗ 1G ⊗ ρu ] = [ai ⊗ Ad(W◇ ) [ρui ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W◇ ) [f⧫ ]] [idH ⊗ Ad(W◇ ) [1G ⊗ ρu ]] Jeden einzelnen Faktor betrachten wir nun f¨ ur sich. Lemma 4.7.23. Ad(W◇ ) [ρu ⊗ 1G ] = ρu⧫ . Beweis: Durch einfaches Anwenden des Kac-Takesaki-Operators erhalten wir W◇ (ρg ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)(s, t) = W◇ (ρg φ ⊗ ψ)(s, t) = (ρg φ)(s)ψ(st−1 ) = φ(gs)ψ(sgg −1 t) = φ(gs)ψ(sg(t−1 g)−1 ) = W◇ (φ ⊗ ψ)(sg, tg) = W◇ ((ρg ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ))(s, t). ◻ 102

Folgerung 4.7.24. Ad(W◇ )ρu⧫ = 1 ⊗ ρu . Beweis: Diese Behauptung ergibt sich durch Integration der Gleichung des vorhergehenden ◻

Lemmas (s. Folgerung 4.7.8.). Lemma 4.7.25. [Ad(idH ⊗ W◇ ) [a◇ ⊗ 1G ]] = (a◇ )()◇ ⊗1G . Beweis:

Die Aktion ◇ auf ein Element a der C ∗ -Algebra A hat die Tensorproduktdarstelucksichtigung des vorhergehenden Lemmas f¨ ur lung a◇ = ai ⊗ ρui . Also ist unter Ber¨ s¨amtliche Summen und Limiten des Tensorprodukts ρui ⊗ 1G : Ad(idH ⊗ W◇ ) [a◇ ⊗ 1G ] = Ad(idH ⊗ W◻ ) [ai ⊗ ρui ⊗ 1G ] = ai ⊗ Ad(W◇ ) [ρui ⊗ 1G ] = ai ⊗ ρu⧫i . Nun k¨onnen wir ai ⊗ ρu⧫i = (ai ⊗ ρui )idH ⊗()⧫ schreiben und wieder zur Tensorproduktdarstellung

der

Koaktion

auf

die

Koaktionsdarstellung

gehen,

d.

h.

(ai ⊗ ρui )idH ⊗()⧫ = (a◇ )idH ⊗()⧫ . Zum Abschluss wird noch die Aktionseigenschaft (a◇ )idH ⊗()⧫ = (a◇ )()◇ ⊗1G verwendet, so dass insgesamt gilt Ad(idH ⊗ W◇ ) [a◇ ⊗ 1G ] = (a◇ )()◇ ⊗1G . ◻ Lemma 4.7.26. Ad(W◇ )f⧫ = 1G ⊗ f. Beweis: Hier setzen wir die Definition f⧫ (s, t) = f (t−1 s) ein und erhalten [W◇ f⧫ (φ ⊗ ψ)] (s, t) = f⧫ (s, st−1 )W◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = f⧫ (s, st−1 )φ(s)ψ(st−1 ) = f ((st−1 )−1 s)φ(s)ψ(st−1 ) = f (t)φ(s)ψ(st−1 ) = f (t)W◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [W◇ (1G ⊗ f )(φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ 103

Zum Schluss zeigen wir noch Lemma 4.7.27. Ad(idH ⊗ W◇ ) [1G ⊗ ρg ] = idH ⊗ 1G ⊗ λg . Beweis:

[W◇ (1G ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = W◇ (φ ⊗ ρg ψ)(s, t) = φ(s)(ρg ψ)(st−1 ) = φ(s)ψ(st−1 g) = φ(s)ψ(s(g −1 t)−1 ) = W◇ (φ ⊗ ψ)(s, g −1 t) = [W◇ (1G ⊗ λg )(φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻

Folgerung 4.7.28. Ad(idH ⊗ W◇ ) [1G ⊗ ρu ] = idH ⊗ 1G ⊗ λu . Beweis: Diese Behauptung ergibt sich durch Integration der Gleichung des vorhergehenden ◻

Lemmas (s. Folgerung 4.7.8.).

Sodann k¨onnen wir das Begonnene fortsetzen, indem wir die gerade gewonnenen Ergebnisse einsetzen. [ai ⊗ Ad(W◇ ) [ρui ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W◇ ) [f⧫ ]] [idH ⊗ Ad(W◇ ) [1 ⊗ ρu ]] = (a◇ )()◇ ⊗1G (idH ⊗ 1G ⊗ f ) (idH ⊗ 1G ⊗ λu ) = (a◇ )()◇ ⊗1G (idH ⊗ 1G ⊗ f λu ) = (a◇ )()◇ ⊗1G (idH ◻ ⊗ f λu ) = (a◇ )()◇ ⊗1G (idH ⊗ f λu )()◇ ⊗1G = (a◇ (idH ⊗ f λu ))()◇ ⊗1G Hier wurde verwendet, dass auf das Einselement idH der C ∗ -Algebra A auch der Homomorphismus ◇ angewendet werden kann, was dann dem Einselement in der  → Multiplier-Algebra A ⊗ C0 (G) entspricht. Der letzte Schritt ist, die Injektivit¨at des C ∗ -Homomorphismus ◇ auszunutzen, durch 104

den ()◇⊗1G mit ()◇ identifiziert werden kann. Also ist das Diagramm kommutativ. Der obere Teil des folgenden Diagramms zeigt, was wir bisher bewiesen haben. [a◇ (idH ⊗ f⧫ )]◇∗ (idH ⊗ 1G ⊗ ρu ) idH ⊗Ad(W◇ )



()◇ ⊗1G

[a◇ (idH ⊗ fO λu )]

∈

[A  C0 (G)] ⊠ Cρ∗ (G)

∈

A ⊗ L(L2 (G) ⊗ L2 (G))

≈

 O

≈

◇⊗1G

∈

a◇ (idH ⊗ f λu )

A ⊗ K(L2 (G))

Den unteren Isomorphismus zeigen wir nun, wobei die nicht-entartete Darstellung der Aktion die entscheidende Rolle spielt. Zun¨achst ist a◇ (idH ⊗ f ) = (ai ⊗ fi )(idH ⊗ f ) = ai ⊗ fi f. Wegen der nicht-entarteten Darstellung gilt f¨ ur den linearen Spann von a◇ (idH ⊗ f ) ⟨a◇ (idH ⊗ f )⟩ ⊆ A ⊗ C0 (G). Nun m¨ ussen wir zeigen, dass ein Element a ⊗ T ∈ A ⊗ K(L2 (G)) ein Bild eines Erzeuger von A ⊗ C0 (G) entspricht. Dazu sei ein kompakter Operator T = f λu mit ur diesen Operator gilt: λu ∈ Cλ∗ (G) und f ∈ C0 (G) gegeben. F¨ a ⊗ T = a ⊗ f λu = (a ⊗ f )(idH ⊗ λu ) = a◇ (idH ⊗ f )(idH ⊗ λu ) = a◇ (idH ⊗ f λui ). Mit ◇−1 folgt somit, dass [(idH ⊗ Ad(W◇ )) [a◇ (idH ⊗ f⧫ )]◇∗ (idH ⊗ 1G ⊗ λu )]◇−1 ∈ A ⊗ K(L2 (G)).

Nun zeigen wir noch die Kommutativit¨at des Diagramms f¨ ur die biduale Linkskoaktion (entspricht der dualen Linksaktion) ∗ )∗

(a  f ⊠ λu )(◻

= Ad(idH ⊗ W ◇ )(a  f ⊠ λu ⊗ 1G )

auf dem Kreuzprodukt A  C0 (G) ⊠ Cλ∗ (G) ∗ ∗

()(◇ ) ←  A  C0 (G) ⊠ Cλ∗ (G) → A  C0 (G) ⊠ Cλ∗ (G) ⊗ Cλ (G)  ∗∗  ∗∗ ()(◇ ) ⊗1G ()(◇ )     ←  ⧫ id ⊗1 ⊗1 ⊗() A G G ←  ←  ←  ∗ ∗ A  C0 (G) ⊠ Cλ (G) ⊗ Cλ (G) → A  C0 (G) ⊠ Cλ (G) ⊗ Cλ∗ (G) ⊗ Cλ∗ (G)

mit dem Kac-Takesaki-Operator W ◇ (φ ⊗ ψ) = φ(s)ψ(t−1 s), 105

wobei φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G. Außerdem ist f ⧫ = f (st−1 ) die Bimultiplikationsabbildung und λ⧫u = ΔG (λu ) die Komultiplikationsabbildung der Hopf-C ∗ -Algebra Cλ∗ (G). Beginnen wir mit der Umformung des Erzeugers af ⊠λu in Tensorproduktschreibweise: ∗

a  f ⊠ λu = (a  f )◇ (idH ⊗ 1G ⊗ λu ) = (a◻  1G )(idH ⊗ ()⧫ )(idH ⊗ 1G ⊗ λu ). Nun wenden wir den C ∗ -Homomorphismus (◇∗ )∗ = Ad(idH ⊗ W ◇ ) an. Im ersten Schritt nutzen wir die Linearit¨at des Homomorphismus aus. (◇∗ )∗

[(a◇ ⊗ 1G )(idH ⊗ f ⧫ )(idH ⊗ 1G ⊗ λ)]

∗ )∗

= (a◇ ⊗ 1G )(◇

∗ )∗

(idH ⊗ f ⧫ )(◇ ∗ )∗

(idH ⊗ 1G ⊗ λu )(◇

= Ad(idH ⊗ W ◇ ) [a◇ ⊗ 1G ] Ad(idH ⊗ W ◇ ) [idH ⊗ f ⧫ ] Ad(idH ⊗ W ◇ ) [idH ⊗ 1G ⊗ λu ] = [ai ⊗ Ad(W ◇ ) [λui ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W ◻ ) [f ⧫ ]] [idH ⊗ Ad(W ◇ ) [1G ⊗ λu ]] Die einzelnen Faktoren betrachten wir f¨ ur sich. Lemma 4.7.29. Ad(W ◇ ) [λu ⊗ 1G ] = λ⧫u . Beweis: Durch einfaches Anwenden des Kac-Takesaki-Operators erhalten wir Folgendes: [W ◇ (λg ⊗ 1G )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = W ◇ (λg φ ⊗ ψ)(s, t) = (λg φ)(s)ψ(t−1 s) = φ(g −1 s)ψ(t−1 s) = φ(g −1 s)ψ((g −1 t)−1 g −1 s) = W ◇ (φ ⊗ ψ)(g −1 s, g −1 t) = [W ◇ (λg ⊗ λg )(φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻

Folgerung 4.7.30. Ad(W ◇ )λ⧫u = 1G ⊗ λu . 106

Beweis: Diese Behauptung ergibt sich durch Integration der Gleichung des vorhergehenden ◻

Lemmas (s. Folgerung 4.7.8.).

Lemma 4.7.31. ◇ ⊗1

[Ad(idH ⊗ W ◇ ) [a◇ ⊗ 1G ]] = (a◇ )()

G

.

Beweis: Die Aktion ◇ auf ein Element a der C ∗ -Algebra A hat die Tensorproduktdarstelucksichtigung des vorhergehenden Lemmas f¨ ur lung a◇ = ai ⊗ λui . Also ist unter Ber¨ s¨amtliche Summen und Limiten des Tensorprodukts λui ⊗ 1G : Ad(idH ⊗ W ◇ ) [a◇ ⊗ 1G ] = Ad(idH ⊗ W ◻ ) [ai ⊗ λui ⊗ 1G ] = ai ⊗ Ad(W ◇ ) [λui ⊗ 1G ] = ai ⊗ λ⧫ui . Nun k¨onnen wir ai ⊗ λ⧫ui = (ai ⊗ λui )idH ⊗() schreiben und wieder von der Tensorpro⧫

duktdarstellung der Koaktion auf die Koaktionsdarstellung gehen, d. h. ⧫

⧫

(ai ⊗ λui )idH ⊗() = (a◇ )idH ⊗() . Zum Abschluss wird noch die Aktionseigenschaft ⧫ (a◇ )idH ⊗()

=

◇ (a◇ )() ⊗1G

verwendet, so dass insgesamt gilt ◇ ⊗1 G

Ad(idH ⊗ W ◇ ) [a◇ ⊗ 1G ] = (a◇ )()

. ◻

Lemma 4.7.32. Ad(W ◇ ) [f ⧫ ] = 1G ⊗ f. Beweis: Hier setzen wir die Definition f ⧫ (s, t) = f (st−1 ) ein und erhalten W ◇ (f ⧫ (φ ⊗ ψ))(s, t) = f ⧫ (s, t−1 s)W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = f (s(t−1 s)−1 )φ(s)ψ(t−1 s) = f (t)φ(t)ψ(t−1 s) = f (t)W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = [W ◇ (1G ⊗ f )(φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Zum Schluss zeigen wir noch 107

Lemma 4.7.33. Ad(idH ⊗ W ◇ ) [1G ⊗ λg ] = idH ⊗ 1G ⊗ ρg . Beweis:

[W ◇ (1G ⊗ λg )(φ ⊗ ψ)] (s, t) = W ◇ (φ ⊗ λg ψ)(s, t) = φ(s)λg ψ(t−1 s) = φ(s)ψ(g −1 t−1 s) = φ(s)ψ((tg)−1 s) = W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, tg) = [W ◇ (1G ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ)] (s, t). ◻ Folgerung 4.7.34. Ad(idH ⊗ W ◇ ) [1 ⊗ λu ] = idH ⊗ 1G ⊗ ρu . Beweis: Diese Behauptung ergibt sich durch Integration der Gleichung des vorhergehenden ◻

Lemmas (s. Folgerung 4.7.8.).

Sodann k¨onnen wir das oben Begonnene fortsetzen, indem wir die gerade gewonnenen Ergebnisse einsetzen: [ai ⊗ Ad(W ◇ [λui ⊗ 1G ]] [idH ⊗ Ad(W ◇ ) [f ⧫ ]] ◇ ⊗1 G

[idH ⊗ Ad(W ◇ ) [1 ⊗ λu ]] = (a◇ )()

(idH ⊗ 1G ⊗ f )

(idH ⊗ 1G ⊗ ρu ) ◇ ()◇ ⊗1G

(idH ⊗ 1G ⊗ f ρu )

◇ ()◇ ⊗1G

(id◻H ⊗ f ρu )

= (a ) = (a )

()◇ ⊗1G

= (a◇ )

◇ ⊗1 G

(idH ⊗ f ρu )() ◇ ⊗1 G

= (a◇ (idH ⊗ f ρu ))()

.

Hier wurde verwendet, dass auf das Einselement idH der C ∗ -Algebra A auch der Homomorphismus ◇ angewendet werden kann, was dann dem Einselement in der ←  Multiplier-Algebra A ⊗ C0 (G) entspricht. Der letzte Schritt ist, die Injektivit¨at des C ∗ -Homomorphismus ◇ auszunutzen, durch den ()◇⊗1G mit ()◇ identifiziert werden kann. Damit ist das Diagramm kommutativ. 108

Der obere Teil des folgenden Diagramms zeigt, was wir bisher bewiesen haben.

◇∗

[a◇ (idH ⊗ f ⧫ )] (idH ⊗ 1G ⊗ λu ) idH ⊗Ad(W ◇ )



()◇ ⊗1G

[a◇ (idH ⊗ ρO u f )]

∈

[A  C0 (G)] ⊠ Cλ∗ (G)

∈

A ⊗ L(L2 (G) ⊗ L2 (G)) O

≈

◇⊗1G

a◇ (id

H

≈



∈

⊗ ρu f )

A ⊗ K(L2 (G))

Den unteren Isomorphismus zeigen wir nun, wobei die nicht-entartete Darstellung der Aktion die entscheidende Rolle spielt. Zun¨achst ist

a◇ (idH ⊗ f ) = (ai ⊗ fi )(idH ⊗ fi f ) = ai ⊗ fi f.

Wegen der nicht-entarteten Darstellung gilt f¨ ur den linearen Spann von a◇ (idH ⊗ f )

⟨a◇ (idH ⊗ f )⟩ ⊆ A ⊗ C0 (G).

Nun m¨ ussen wir zeigen, dass ein Element a ⊗ T ∈ A ⊗ K(L2 (G)) ein Bild eines Erzeuger von A ⊗ C0 (G) entspricht. Dazu sei ein kompakter Operator T = f ρu mit ur diesen Operator gilt: ρu ∈ Cρ∗ (G) und f ∈ C0 (G) gegeben. F¨

a ⊗ T = a ⊗ f ρu = (a ⊗ f )(idH ⊗ ρu ) = a◇ (idH ⊗ f )(idH ⊗ ρu ) = a◇ (idH ⊗ f ρui ).

Mit ◇−1 folgt somit, dass

◇∗

◇−1

[(idH ⊗ Ad(W ◇ )) [a◇ (idH ⊗ f ⧫ )] (idH ⊗ 1G ⊗ ρu )]

Somit ist der Satz bewiesen.

∈ A ⊗ K(L2 (G)).

◻ 109

Teil II Anwendung auf Toeplitz-Operatoren fu ¨ r symmetrische Gebiete Nachdem wir den Teil u ¨ber algebraische und analytische Dualit¨at abgeschlossen haben, wenden wir die algebraischen und funktionalanalytischen Konzepte auf die ToeplitzQuantisierung beschr¨ankter symmetrischer Gebiete (in einer oder mehreren Variablen) an. Die Hilbert-Zustandsr¨aume sind dabei Hilbert-R¨aume holomorpher Funktionen, und zwar in der eigentlichen Quantisierung (mit Deformationsparameter): die gewichteten Bergman-R¨aume. Als wichtiger Grenzfall (ohne Deformationsparameter) tritt aber auch der Hardy-Raum auf dem Shilov-Rand des Gebiets auf. Wir entwickeln daher die Struktur der Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra und anschließend der Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra, die bisher in der Literatur nicht eingehend behandelt wurde. Als Grundlage f¨ ur diese Untersuchungen wird die Jordan-theoretische Beschreibung symmetrischer Gebiete erl¨autert, und es werden die wichtigsten Beispiele erl¨autert.

Kapitel 5 Symmetrische Gebiete und Funktionenr¨ aume 5.1

Jordan-Algebra und Jordan-Tripelsysteme

Jordan-Algebren1 sind algebraische Strukturen, die in einer gewissen Analogie zu Ringen stehen, sich von diesen aber in zwei wesentlichen Punkten unterscheiden. Erstens, die Verkn¨ upfung einer Jordan-Algebra gen¨ ugt nicht mehr dem Assoziativgesetz, sondern einer Abschw¨achung, der sog. Jordan-Identit¨at. Zweitens, Jordan-Algebren haben zus¨atzlich eine Vektorraumstruktur u upfung (der Jordan¨ber einem Grundk¨orper, die mit der Verkn¨ Algebra) vertr¨aglich ist. Definition 5.1.1. Ein reeller Vektorraum X ≅ Rd heißt reelle Jordan-Algebra genau dann, wenn auf X ein kommutatives, nicht-assoziatives Produkt ○∶X ×X → X (x, y) ↦ x ○ y = y ○ x 1

Diese Bezeichnung geht auf den theoretischen Physiker Pascual Jordan (18.10.1902, Hannover -

31.07.1980, Hamburg) zur¨ uck, einen Sch¨ uler Max Borns und maßgeblichen Autor zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik. Bemerkenswert ist, dass Jordan Abgeordneter des Deutschen Bundestages in der 3. Wahlperiode (15. Oktober 1957 - 15. Oktober 1961) war. Jordan ist von einem hyperkomplexen System mit einem Quasiprodukt a ○ b = λab + μba mit λ, μ ∈ R ausgegangen. F¨ ur λ = −μ erhalten wir eine Lie-Algebra. Der - auch f¨ ur Jordan - physikalisch bedeutungsvolle Fall λ = μ f¨ uhrt dann zur k-Zahl-Algebra“, das ist Jordans urspr¨ ungliche Bezeichnung in [Jordan 1]. In Jordans physikalisch ” motivierter Arbeit [Jordan 2] nennt er sie noch r-Zahl-Algebra. Vermutlich wollte er damit auf Diracs Quantenmechanik mit q-Zahlen anspielen, in der q-Zahlen hyperkomplexe Zahlen (bspw. Quaternionen) sind, indem er den alphabetisch nachfolgenden Buchstaben gew¨ahlt hat. Denn in der mathematischen Arbeit [Jordan 1] verwendet er k als Element eines allg. hyperkomplexen Zahlensystems. Bei Dirac steht q f¨ ur queer oder quantum.

T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

definiert ist, das die Jordan-Identit¨ at x2 ○ (x ○ y) = x ○ (x2 ○ y) erf¨ ullt. Gilt zus¨atzlich die Bedingung x2 + y 2 = 0 ⇒ x = y = 0, dann bezeichnet man die Jordan-Algebra als formal-reell oder euklidisch.

Bemerkung 5.1.2. Eine formal-reelle Jordan-Algebra hat ein strikt positives inneres Produkt, das mit dem inneren Produkt (u, v) der Komplexifizierung Z = X C vertr¨aglich ist. Nun stellt sich nat¨ urlich die Frage, warum man solche Algebren betrachtet. Die Motivation kommt aus der Quantenmechanik, in der man einen Zustandsraum E eines quantenmechanischen Systems betrachtet. Darauf bildet man einen reellen Vektorraum aller beschr¨ankten selbstadjungierten linearen Operatoren H(E), die als beschr¨ankte Observablen des Systems betrachtet werden. Jordan stellte fest, dass H(E) mit dem Antikommutatorprodukt

xy + yx 2 eine nicht-assoziative Algebra ist. Dieses Antikommutatorprodukt erh¨alt die Observablen x ○ y ∶=

und hat somit eine physikalische Bedeutung. Dieser Vektorraum H(E) ist eine JordanAlgebra. Ein weiterer Entwicklungsschritt wurde erforderlich, weil die in der Quantenmechanik erforderlichen Algebren im Allgemeinen unendlich dimensional sind. Daher hat man eine Strukturtheorie f¨ ur reelle Banach-Jordan-Algebren entwickelt. Definition 5.1.3. Eine reelle Jordan-Algebra X mit dem Produkt x ○ y und dem Einselement e heißt JB-Algebra, falls X eine Banach-Raum-Norm ∥ ⋅ ∥ tr¨agt und 1. ∥x ○ y∥ ≤ ∥x∥ ○ ∥y∥ und 2. ∥x2 + y 2 ∥ ≥ ∥x∥2 gilt. Definition 5.1.4. Eine abgeschlossene unitale Unteralgebra X von H(E) mit einem komplexen Hilbert-Raum E heißt JC-Algebra. Definition 5.1.5. Eine komplexe Jordan-Algebra Z mit Produkt z ○w, Einselement e und Involution z ↦ z ∗ heißt JB ∗ -Algebra, falls Z eine Banach-Raum-Norm ∥ ⋅ ∥ tr¨agt und 114

1. ∥z ○ w∥ ≤ ∥z∥ ○ ∥w∥ und 2. ∥{zz ∗ z}∥ = ∥z∥3 gilt, wobei mit {uv ∗ w} ∶= u ○ (v ∗ ○ w) − v ∗ ○ (w ○ u) + w ○ (u ○ v ∗ ) das Jordan-Tripelprodukt von u, v, w ∈ Z bezeichnet wird. Die Konzepte einer JB-Algebra und einer JB ∗ -Algebra sind im folgenden Sinne ¨aquivalent: Der selbstadjungierte Teil X ∶= {x ∈ Z∣x∗ = x} einer JB ∗ -Algebra Z ist eine JB-Algebra unter der eingeschr¨ankten Norm, wobei die Komplexifizierung Z =X ⊗C einer JB-Algebra eine JB ∗ -Algebra mit der eindeutigen erweiterten JB-Norm auf X ist. Da jede unitale C ∗ -Algebra Z eine JB ∗ -Algebra mit dem Antikommutatorprodukt ist, bezeichnet man jede abgeschlossene unitale Jordan-*-Unteralgebra einer C ∗ -Algebra als eine JC ∗ -Algebra. Jede JC ∗ -Algebra ist eine JB ∗ -Algebra. JC-Algebren korrespondieren mit JC ∗ -Algebren, wobei die formal-reellen Jordan-Algebren mit den halbeinfachen komplexen Jordan-Algebren korrespondieren ([Braun/Koecher], Satz 5.6., S. 331). Das Jordanuhrt zu einer allgemeineren algebraischen Struktur: Tripelprodukt einer JB ∗ -Algebra f¨ dem Jordan-Tripelsystem. Definition 5.1.6. Eine (komplexe) Jordan-Algebra Z mit einem trilinearen Produkt {⋅} ∶ Z × Z × Z → Z (u, v, w) ↦ {uv ∗ w}, wobei (u, w) komplex bilinear und konjugiert-linear in v ist, heißt Jordan-Tripelsystem, falls 1. {uv ∗ w} = {wv ∗ u} und 2. die Jordan-Tripelidentit¨at {{uv ∗ w}y ∗ x} + {{uv ∗ x}y ∗ w} − {uv ∗ {wy ∗ x}} = {w{vu∗ y}∗ x} erf¨ ullt ist. 115

5.2

Jordan-Tripelsysteme und beschr¨ ankte symmetrische Gebiete

Zun¨achst f¨ uhren wir holomorphe Funktionen ein. Eine (m¨oglicherweise) vektorwertige Funktion f ∶ B → Cm heißt holomorph, falls sie eine Potenzreihenentwicklung f (z) = ∑ cα z1α1 . . . znαn α∈Nd

mit den Koeffizienten cα ∈ Cd hat. Ordnen wir nach Monomen mit gleichem Grad, dann erhalten wir die Entwicklung f (z) = ∑ ∑ cα z1α1 . . . znαn = ∑ φm (z) m≥0 ∣α∣=m

m≥0

der m-homogenen Polynome. Nehmen wir nun den Raum Pm (Z, Cd ) aller m-homogenen ur alle λ ∈ C erf¨ ullen, dann ist der Raum Polynome φm ∶ Z → Cd , die φm (λz) = λm φm (z) f¨ P(Z, Cd ) = ∑ Pm (Z, Cd ) m≥0

aller Polynome dicht im Raum aller holomorphen Funktionen O(B, Cd ) unter kompakter Konvergenz. Im Folgenden betrachten wir Z = Cd mit der Norm ∥ ⋅ ∥. Wir betrachten B = {z ∈ Z ∶ ∥z∥ ≤ 1}. Sei GL(Z) die Gruppe der invertierbaren komplex-linearen Transformationen von Z und setze K = GL(B) ∶= {g ∈ GL(Z) ∶ g(B) = B}. Allgemeiner k¨onnen wir G = Aut(B) = {g ∶ B → B ∶ g biholomorph} als Gruppe biholomorpher Abbildungen g ∶ B → B setzen. Diese ist nach H. Cartan eine reelle Lie-Gruppe. Ferner ist K = {g ∈ G ∶ g(0) = 0} ⊂ G eine kompakte Untergruppe. Definition 5.2.1. Das Gebiet B heißt genau dann symmetrisch, wenn G transitiv auf B operiert, d. h. es existiert ein g ∈ Aut(B), so dass g(0) = z f¨ ur alle z ∈ B gilt. Dies ist ¨aquivalent zu B = G/K. Es besteht also folgender Zusammenhang zwischen beschr¨ankten symmetrischen Gebieten und Jordan-Tripelsystemen ([Upmeier 2], Theorem 2.18 und Korollar 2.19, S. 18): 116

Theorem 12. Sei B ein beschr¨anktes symmetrisches Gebiet. Dann existiert ein Jordanur die Cartan-Zerlegung gilt: Tripelprodukt Z × Z × Z, so dass f¨ p = {(v − {zv ∗ z}) k = {h(z)

∂ ∣v ∈ Z} , ∂z

∂ ∣h ∈ gl(Z), h{zv ∗ z} = {h(z)h∗ (v)h(z)}} . ∂z

Die erste Eigenschaft besagt, dass B infinitesimale Transvektionen hat, und die zweite stellt sicher, dass h eine Isometrie ist. Bemerkung 5.2.2. Das von uns ben¨otigte Ergebnis f¨ ur JC ∗ -Tripelsysteme ist in [Harris] gezeigt. Die Verbindung zwischen dem Gebiet und dem Jordan-Tripelsystem wird durch folgenden Operator geschaffen: Definition 5.2.3. Der Endomorphismus B(a, b)z = z − 2{ab∗ z} + {a{bz ∗ b}∗ a} heißt der zu (a, b) assoziierte Bergman2 -Endomorphismus3 . Man kann nun zeigen, dass der Bergman-Endomorphismus invertierbar ist, also B(z, ζ) ∈ GL(Z) ist. In diesem Falle schreiben wir z ζ ∶= B −1 (z, ζ)(z − {zζ ∗ z}) und bezeichnen dies als das Quasi-Inverse von z bez¨ uglich ζ. Dieses Quasi-Inverse hat eine eindeutige Darstellung zζ =

p(z, ζ) , Δ(z, ζ)

wobei Δ ∶ Z × Z → C ein sesquilineares Polynom ist, das Δ(0, 0) = 1 erf¨ ullt, und p(z, ζ) ein Z-wertiges sesquilineares Polynom ist, das keinen gemeinsamen Faktor mit Δ(z, ζ) hat. Definition 5.2.4. Das sesquilineare Polynom Δ(z, ζ) wird als Jordan-Tripeldeterminante bezeichnet. 2

Stefan Bergman (5. Mai 1896, Cz¸estochowa (Kongresspolen) - 6. Juni 1977, Palo Alto (Kalifornien)),

ein Sch¨ uler von Richard von Mises. Die Begriffe Bergman-Kern, Bergman-Metrik und Bergman-Raum gehen ebenfalls auf ihn zur¨ uck. 3 Der Bergman-Endomorphismus ist ohne diese Namensgebung definiert in [Koecher], II.1.3., S. 38 i. V. m. I.2.5., S. 16. Die Verbindung zum Bergman-Kern wird dann ab IV.6, S. 126ff deutlich. In [Loos 1], 2.11, S. 20 und [Loos 2], 2.9. ist die Bezeichnung Bergman-Endomorphismus nicht erw¨ahnt.

117

Denn der Bergman-Kern K ∶ B × B → C kann durch den Bergman-Endomorphismus als K(z, w) = det B(z, w)−1 ausgedr¨ uckt werden. Insbesondere stellt die Jordan-Tripeldeterminante dann u ¨ber den Bergman-Endomorphismus die Verbindung zum Bergman-Kern her, da K(z, w) = det B(z, w)−1 = Δ(z, w)−p f¨ ur alle z, w ∈ B, wobei p das Geschlecht des Gebiets ist. Insgesamt ist also die Beziehung zwischen Jordan-Tripelsystemen und beschr¨ankten symmetrischen Gebieten dargelegt. Wir unterteilen in symmetrische R¨aume vom kompakten und vom nicht-kompakten Typ. Dabei wird unterschieden, ob die Gebiete isomorph zu Quotienten kompakter Gruppen bzw. zu Quotienten nicht-kompakter Gruppen sind. Die R¨aume vom kompakten Typ bilden die Grundlage f¨ ur die Hardy-R¨aume, die vom nicht-kompakten Typ die f¨ ur BergmanR¨aume. Beispiel 5.2.5. Wir beginnen mit Beispielen f¨ ur R¨aume vom kompakten Typ. 1. Sei die reelle Jordan-Algebra X = Rn . Deren Komplexifizierung ist Z = X C = X ⊗ C = X ⊕ iX. Ferner sei K eine komplexe kompakte zusammenh¨angende Lie-Gruppe, die mit einem Automorphismus σ der Periode 2 ausgestattet ist. Die dazugeh¨orige Fixpunktuntergruppe ist Kσ = {s ∈ K∣σs = s}, die entsprechende Identit¨atskomponente ist Kσ0 . Nun sei L eine abgeschlossene Untergruppe von K, die (K σ )0 ⊂ L ⊂ K σ erf¨ ullt. Dann ist der Quotientenraum S ∶= K/L ein kompakter zusammenh¨angender Riemannscher symmetrischer Raum ([Helgason], Theorem 9.1., S. 326). Mit e ∶= {L} bezeichnen wir den Basispunkt von S. Wir betrachten nun den n-Torus K = Tn mit dem involutiven Automorphismus θ(s) ∶= s−1 . Dazu k¨onnen wir L = 1 annehmen. S = K = Tn = U (1) × . . . × U (1) ist ein kompakter symmetrischer Raum mit Basispunkt e = (1, . . . , 1). Im einfachsten Fall (n = 1) ist S = T = U (1), L = 1 und K = U (1) × U (1).

2. Sei X = Hr (C) der reelle Vektorraum der selbstadjungierten (r × r)-Matrizen mit Eintr¨agen in C, wobei C hier als reelle Divisionsalgebra aufgefasst wird. Mit dem 118

Anti-Kommutator-Produkt x ○ y =

xy+yx 2

wird der Vektorraum eine reelle Matrix-

Jordan-Algebra vom Rang r. Die (r × r)-Einheitsmatrix ist das Einselement der Algebra. Die Komplexifizierung Z = X ⊕ iX = X ⊗ C einer reellen Jordan-Algebra wird eine komplexe Jordan-∗-Algebra mit dem Produkt z ○ w und der Involution ur x, y ∈ X. Die Komplexifizierung erhalten wir im Falle z = x + iy ↦ z ∗ = x − iy, f¨ Z = Hr (C) ⊗ C = Cr×r durch die Abbildung x ⊕ iy ↦ x + iy f¨ ur alle x, y ∈ Hr (C). Hier ist K = {z ↦ uzv ∗ ∣u ∈ U (r, C), v ∈ U (r, C)} = U (r, C). Das Einselement in Z ist die (r × r)-Einheitsmatrix. Also ist L = {↦ uzut ∣u ∈ U (r, R)} = O(r) und somit gilt f¨ ur den Shilov4 -Rand S = U (r, C)/U (r, R). 3. Sei Hr (R) der reelle Vektorraum der selbstadjungierten (r × r)-Matrizen mit Eintr¨agen in R, wobei R hier als reelle Divisionsalgebra aufgefasst wird. Mit dem AntiKommutator-Produkt wird der Vektorraum eine Matrix-Jordan-Algebra vom Rang r. Die (r ×r)-Einheitsmatrix ist das Einselement der Algebra. Als Komplexifizierung haben wir mit z t = z Z = Hr (R) ⊗ C = {Cr×r ∶ z t = z} = Cr×r sym . Es ist K = {z ↦ uzut ∣u ∈ U (r, C)} = U (r, C) × U (r, C). Das Einselement in Z ist ur den die (r × r)-Einheitsmatrix. Also ist L = {↦ uzu∗ ∣u ∈ U (r, C)} und somit gilt f¨ Shilov-Rand S = (U (r, C) × U (r, C))/U (r, C) = U (r, C). Hier ist zu beachten, dass S keine Gruppe ist. Beispiel 5.2.6. Nun gehen wir zum nicht-kompakten Typ u ¨ber. Hier sei Z = Cp×q die komplexifizierte Jordan-Algebra der komplexen (p × q)-Matrizen. Die Einheitskugel B von Z bez¨ uglich der gew¨ohnlichen Operatornorm ist durch B = {z ∈ Cp×q ∣Ip − zz ∗ > 0} gegeben, wobei Ip die (p × p)-Einheitsmatrix ist. Die Blockmatrizen ⎧ ⎪ a ∗ a − c∗ c = I r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ a b ⎞ ∈ SL(p + q, C)∣ b∗ b − d∗ d = Iq SU (p, q; C) = ⎨ ⎪ ⎝ c d ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a∗ b = c∗ d ⎩ 4

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Georgii Evgen’evich Shilov, 1917-1975.

119

wirken transitiv B durch die Moebius-Transformation ⎛ a b ⎞ az + b (z) = cz + d ⎝ c d ⎠ f¨ ur alle z ∈ B. Daraus folgt, dass B eine symmetrische Einheitskugel (=komplexe Matrixkugel) der Gr¨oße p×q ist. Das assoziierte Jordan-Tripelprodukt auf Z ist das verallgemeinerte Anti-Kommutatorprodukt 1 {za∗ w} = (za∗ w + wa∗ z) 2 f¨ ur alle a, w, z ∈ Z. Folgende homogene R¨aume vom nicht-kompakten Typ k¨onnen durch B = G/K ⊂ Z beschrieben werden, wobei G eine halbeinfache Lie-Gruppe und K ⊂ G eine maximal kompakte Untergruppe von G ist. Insbesondere f¨allt K mit der Identit¨atskomponente der Automorphismengruppe Aut(B)0 zusammen. 1. Zun¨achst sei Z = C. Dann ist G = SU (1, 1; C) und K = T = S(U (1; C) × U (1; C)) = U (1; C) mit der Cayley-Transformation als Gruppenaktion. 2. Es sei p ≥ q und Z = Cp×q . Wir definieren das Gebiet Ω = {z ∈ Z∣spec(Iq − zz ∗ ) > 0} = {z ∈ Z∣Iq − zz ∗ ≫ 0}. Dieses Gebiet Ω identifizieren wir mit dem Quotienten G/K, wobei G = SU (p, q, C) und ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ a 0 ⎞ ∣a ∈ U (p, C), d ∈ U (q, C), det(a) det(d) = 1⎬ . K = S(U (p, C) × U (q, C)) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 0 d Die Gruppenaktion von G auf Ω definieren wir durch die Moebius-Transformation (f¨ ur Details s. [Knapp 2], Abschnitt VII.9, S. 499ff ). 3. Im Falle p = q = r haben wir Z = Cr×r sym mit G = SU (r, r; C) und K = S(U (r, C) × U (r, C)).

5.3

Hardy- und Bergman-R¨ aume

Zun¨achst sei Z ein irreduzibles5 Jordan-Tripelsystem vom Rang r mit charakteristischen + rb gegeben. Das GeMultiplizit¨aten a, b. Die Dimension ist dann durch n = r + a r(r−1) 2 schlecht eines Gebietes ist durch p = 2 + a(r − 1) + b definiert. Mit S bezeichnen wir den 5

Ein Jordan-Tripelsystem Z ist irreduzibel, wenn das dazugeh¨orige Gebiet irreduzibel ist. Ein irredu-

zibles Gebiet kann nicht als direktes Produkt niedriger dimensionaler symmetrischer Gebiete geschrieben werden.

120

Shilov-Rand des Gebietes B. Dann ist S = L/K, wobei L = {l ∈ K ∶ le = E}, wobei e der Basispunkt ist. Da die Gruppe K = GL(B) transitiv auf S operiert, existiert ein eindeutiges K-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß dz auf S. Somit k¨onnen wir den L2 -Raum L2 (S) ∶= L2 (S, dz) komplexer Funktionen mit innerem Produkt ⟨h, k⟩ ∶= ∫ h(z)k(z)dz S

und Translationsaktion von K auf

L2 (S) (λs h)(z) ∶= h(s−1 z).

definieren. Definition 5.3.1. Der Hardy-Raum6 H 2 (S) besteht aus allen holomorphen Funktionen h ∶ G → C mit der Hardy-Norm ∥h∥2 ∶= sup ∫ ∣h(rz)∣2 dz < ∞. r→1

S

Man kann zeigen, dass eine Einbettung H 2 (S) ⊂ L2 (S) als abgeschlossener Unterraum existiert, so dass lim ∫ ∣h(rz)∣2 dz = 0. r→1

S

Diese Einbettung ist invariant unter der Linkstranslation λs von K. Die orthogonale Projektion PS ∶ L2 (S) → H 2 (S) bezeichnet man als Szeg¨ o7 -Projektion. Es gilt folgende Beziehung zwischen dem HilbertRaum H 2 (S) und der Jordan-Theorie: Proposition 5.3.2. Der reproduzierende Szeg¨o-Kern des Hilbert-Raums H 2 (S) ist PS (z, w) = Δ(z, w)− r , n

wobei Δ die Jordan-Tripeldeterminante von Z ist. Kommen wir nun zu den Bergman-R¨aumen. Auch hier sei Z ein irreduzibles komplexes Jordan-Tripelsystem vom Rang r mit Dimension n = r + a r(r−1) + rb, dabei sind a und 2 b die charakteristischen Multiplizit¨aten. Außerdem ist wie oben p das Geschlecht des 6

Diese R¨ aume sind nach Godfrey Harold Hardy (7. Februar 1877, Cranleigh (England) - 1. Dezember

1947, Cambridge (England)) benannt. Er f¨ uhrte sie in The mean value of the modulus of an analytic function, Proc. London Math. Soc. 14 (1914), S. 269-277 ein. 7 G´abor Szeg¨ o (20. Januar 1895 in Kunhegyes in Ungarn - 7. August 1985 in Palo Alto), ungarischer Mathematiker.

121

Gebiets. Außerdem sei ⟨z∣w⟩ die zugrundeliegende hermitesche Struktur von Z. Zun¨achst betrachten wir den Einheitsball B. Dazu ben¨otigen wir noch ein Lebesgue-Maß dμν derart, dass dμν (B) = 1 gilt. Man kann durch Integration von 5.1 in Polarkoordinaten zeigen, dass 2 ν ∫ (1 − ∣z∣ ) dμν (z)

(5.1)

B

genau dann endlich ist, falls der reelle Parameter ν > −1 ist. Man definiert dann das gewichtete Lebesgue-Maß wie folgt: dμν (z) = cν (1 − ∣z∣2 )ν dμ(z), wobei cν =

Γ(ν+2) Γ(ν+1)

zur Normalisierung dient. Der gewichtete Bergman-Raum ist dann durch Hν2 (B) = L2ν (B) ∩ O(B)

mit L2ν (B) = L2 (B, dμν (z)) definiert. Der Bergman-Kern ist EB (z, w) = (1 − zw)−(ν+2) ν

und die unit¨are Darstellung ist π(gν ) = (Detg ′ (z)) 2 mit g ∈ Aut(B) und der JacobiDeterminante Detg ′ (z). Die Bergman-Projektion ist Pν (f )(z) = ∫ f (z)EB,ν (z, w)dμν (z) B

f (z) = ∫ dμν (z). (1 − zw)ν+2 B

Kommen wir nun zu einem beliebigen symmetrischen Gebiet B = G/K, womit G = Aut(B) gilt. Dann ist das unendliche Lebesgue-Maß dμ(z) = Δ(z, z)−p dV (z), das Aut(B) K-invariant l¨asst. Mit Hilfe der Integration in Polarkoordinaten sieht man, dass ur ν > p−1 erforderlich ist, um ein endliches invariantes Maß auf B zu erhalten. Δ(z, z)ν−p f¨ Dann gilt folgende Behauptung ([Upmeier 4], Lemma 2.9.18, S. 144). Lemma 5.3.3. Es sei ν > p − 1. Dann gilt: ΓΛ (ν − nr ) ν−p z = πn , ∫ Δ(z, z) dzd¯ ΓΛ (ν) B

wobei ΓΛ die Koecher-Gindikin-Γ-Funktion8 (in r Variablen) ist. Das bedeutet nichts anderes, als dass dμν (z) = 8

ΓΛ (ν) Δ(z, z)ν−p dzdz π n ΓΛ (ν − nr )

Die Koecher-Gindikin-Γ-Funktion eines symmetrischen Kegels Λ ist definiert durch n

ΓΛ (s) = ∫ exp(−tr(x))Δs (x)Δ(x)− r dx B

n

mit G-invariantem Maß Δ(x)− r dx auf B und s = (s1 , . . . xr ).

122

ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf B ist, und wir definieren den Lebesgue-Raum wie folgt: L2ν (B) = L2 (B, dμν (z)), mit dem inneren Produkt ⟨f ∣g⟩ν = ∫ f (z)g(z)dμν (z). B

Der klassische Lebesgue-Raum ergibt sich f¨ ur ν = p. Damit kann der gewichtete BergmanRaum definiert werden. Definition 5.3.4. Es sei B der symmetrische Raum B = G/K, ν > p − 1 ein reeller Parameter. Dann heißt der abgeschlossene Unterraum Hν2 (B) = {f ∈ L2ν (B) ∩ O(B)} von L2ν (B) ist der gewichtete Bergman-Raum (oder ν-Bergman-Raum) auf B. Ebenso entspricht dieser Unterraum f¨ ur ν = p dem Standard-Bergman-Raum und ist K-invariant bzgl. der Translationsaktion (λs f )(z) = f (s−1 z) f¨ ur s ∈ K und z ∈ B. Nun k¨onnen wir den reproduzierenden Kern mit Hilfe der JordanTheorie beschreiben. Proposition 5.3.5. Sei B = G/K ein symmetrischer Raum und ν > p − 1 ein reeller Parameter. Dann hat der gewichtete Bergman-Raum Hν2 (B) den reproduzierenden (ν-)Kern Eν (z, w) = Δ(z, w)−ν = det B(z, w)− p , ν

wobei Δ(z, w) die Jordan-Tripeldeterminante von Z und B der Bergman-Operator ist. Es ist bekannt, dass der (Standard-)Bergman-Raum H 2 (B) mit dem gewichteten BergmanRaum f¨ ur ν = 2 identisch ist. Daher gilt f¨ ur den den Einheitskreis B: Proposition 5.3.6. Der Bergman-Raum H 2 (B) hat den reproduzierenden Bergman-Kern EB (z, w) = (1 − zw)−2 . F¨ ur den gewichteten Bergman-Raum Hν2 (B) gilt EB,ν (z, w) = (1 − zw)−ν . Damit sind die beiden grundlegenden Hilbert-R¨aume holomorpher Funktionen beschrieben, die wir in den folgenden Kapiteln ben¨otigen. 123

5.4

Hilbert-Darstellungen

Es sei G eine lokalkompakte (topologische) Gruppe und H ein separabler (komplexer) Hilbert-Raum. Eine lineare Darstellung π von G in H ist ein Homomorphismus von G in die Gruppe der beschr¨ankten linearen Operatoren L(H)(= GL(H)) in H. Der Raum L(H) tr¨agt die starke Operatortopologie. Eine Hilbert-Darstellung U von G ist eine stetige Darstellung von G auf einen Hilbert-Raum H. Sie heißt unit¨are Darstellung, falls alle Operatoren U (x) f¨ ur alle x ∈ G unit¨ar sind, d. h. sie ist ein Homomorphismus der Gruppe G in die unit¨are Gruppe von H, der stetig in der starken Operatortopologie (punktweise Konvergenz der Operatoren) ist, d.h. f¨ ur jedes ξ ∈ H ist die Abbildung g → π(g)ξ stetig in der stark stetigen Operatortopologie. Zwei Darstellungen U, V von G auf H1 , H2 sind unit¨ar ¨aquivalent, falls eine lineare surjektive Isometrie Q ∶ H1 → H2 derart besteht, dass QU (x) = V (x)Q f¨ ur alle x ∈ G. Insbesondere existiert auf dem Hilbert-Raum H ein G-invariantes hermitesches inneres Produkt. Die Funktionen g → φξ,η (g) = (π(g)ξ, η) auf G werden (Matrix-)Koeffizienten von π genannt. Die Dimension der Darstellung π heißt Hilbert-Dimension von H und wird mit dim π bezeichnet. Den Raum H nennt man Darstellungsraum zur (Darstellung) π und bezeichnet ihn mit Hπ . Sind die einzigen abgeschlossenen Unterr¨aume von Hπ ≠ 0 unter der Abbildung π der Nullraum 0 und H selbst, dann spricht man von einer irreduziblen Darstellung π. Segal ([Segal], Theorem 3) hat folgendes allgemeines Plancherel-Theorem bewiesen: Theorem 13. Gegeben sei eine lokalkompakte unimodulare Gruppe G vom Typ I[9 ] mit dem Haar-Maß dG . Dann existiert ein eindeutiges positives Maß μ auf dem unit¨aren ˆ so dass Dual10 G, 2 ∗ ∫ ∣f (x)∣ dG (x) = ∫ Spur(Uˆ (f )Uˆ (f ))dμ(Uˆ ) G

ˆ G

ˆ f¨ ur alle f ∈ L1 (G) ∩ L2 (G) und Punkte Uˆ in G. ˆ das zum gegebenen Haar-Maß von G geh¨ort. Das Maß μ heißt Plancherel-Maß von G, 9

Segal hat etwas allgemeiner eine postliminale unimodulare separable lokalkompakte Gruppe voraus-

gesetzt. Diese sind stets vom Typ I (s. [Dixmier], Theorem 5.5.22, S. 126). 10 Die Definition des unit¨aren Duals findet man wegen des inhaltlichen Zusammenhangs sp¨ater in Definition 7.3.14, S. 183.

124

5.5

Diskrete Reihe

Definition 5.5.1. Eine irreduzible stetige unit¨are Darstellung von G wird quadratintegrierbar genannt, falls ein ξ ∈ Hπ , ξ ≠ 0 existiert, so dass der Koeffizient L2 (G) ∋ s → (π(g)ξ; ξ) von π u ¨ber G quadratintegrierbar ist. Wenn eine Funktion φ ∶ G → L(H) auf einer unimodularen lokalkompakten Gruppe G quadratintegrierbar, stetig und positiv-definit ist, dann ist die Darstellung πφ in der linksregul¨aren Darstellung enthalten ([Dixmier], Lemma 14.1.1, S. 309). Ist eine Darstellung quadratintegrierbar und irreduzibel, sind alle Koeffizienten der Darstellung quadratintegrierbar. Theorem 14. Es sei σ eine quadratintegrierbare irreduzible Darstellung von G. F¨ ur zwei ur g ∈ G. Dann Elemente ξ, η aus dem Darstellungsraum Hσ ist φξ,η (g) = (π(g)ξ, η) f¨ existiert eine eindeutige Konstante dimσ mit 0 < dimσ < ∞, so dass 1. ∫ φξ,η (g)φξ,η (g)dg = 2. φξ,η ∗ φξ′ ,η′ =

(ξ,ξ ′ )(η,η ′ ) dimσ

(ξ,η ′ )φξ′ ,η dimσ

f¨ ur alle ξ, ξ ′ , η, η ′ ∈ Hσ . Insbesondere gilt f¨ ur eine zu σ assoziierte positiv-definite Funktion φ, die in e ∈ H ausgewertet 1 ist: 1. ∫ φξ,η (g)φξ,η (g)dg = 2. φ ∗ φ =

1 dimσ ,

φ dimσ .

Definition 5.5.2. Die Konstante dimσ heißt die formale Dimension von σ. Bemerkung 5.5.3. Die erste Beziehung aus der obigen Definition wird nach Issai Schur11 auch Schur-Orthogonalit¨ at genannt. Wir fassen die Definition aus [Harish-Chandra 1] (S. 88) zusammen: ̂ wird diskret12 genannt, falls jede Darstellung π ∈ ω Definition 5.5.4. Eine Klasse ω ∈ G ̂d quadratintegrierbar ist, und setzt die formale Dimension dimσ (ω) = dimσ (π). Mit G ̂ und nennt sie diskrete Reihe. bezeichnet man die Menge aller diskreten Klassen in G 11

Issai Schur (10. Januar 1875, Mahiljou - 10. Januar 1941, Tel Aviv), Sch¨ uler von Georg Frobenius,

Dissertation an der Universit¨at Berlin 1901. 12 Der Begriff der diskreten Klasse stammt nach Mackey ([Mackey], S. 120) aus dem Artikel von V. Bargmann Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group. The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 48, No. 3, (1947), S. 568-640.

125

Man nennt die Familie stetiger irreduzibler unit¨arer Darstellungen einer lokalkompakten Gruppe G eine diskrete Reihe, wenn diese ¨aquivalent zu den Unterdarstellungen der (linksbzw. rechts-)regul¨aren Darstellungen dieser Gruppe G ist. Ein Satz von Dixmier ([Dixmier], Prop. 14.3.2., S. 312) besagt: Theorem 15. Falls eine Koeffizientenfunktion eines irreduziblen unit¨aren HilbertDarstellungsraums V einer unimodularen topologischen Gruppe G quadratintegrierbar ist, ¨ dann sind es alle. Aquivalent dazu ist, dass V ⊂ L2 (G) mit der rechtsregul¨aren Darstellung von G auf L2 (G). Proposition 5.5.5. ([Dixmier], Proposition 18.8.5, S. 369) Uˆ ist quadratintegrierbar genau dann, wenn das Plancherel-Maß positiv ist. Dann ist insbesondere das PlancherelMaß gleich der formalen Dimension. Definition 5.5.6. Es sei A eine C ∗ -Algebra und π eine Darstellung von A. Man beˆ die schwach in π enthalten ist, als Tr¨ zeichnet die Menge S ∈ A, ager der Darstellung π. ˆ definieren: Nun k¨onnen wir eine abgeschlossene Untermenge von G ˆ red von G ist der Tr¨ager der linksregul¨aren Definition 5.5.7. Der reduzierte Dual G Darstellungen von G. Hier weisen wir nochmals darauf hin, dass wir nur mit unimodularen Gruppen arbeiten, so dass wir nicht zwischen links- und rechtsregul¨aren Darstellungen unterscheiden m¨ ussen. Wir betrachten die holomorphe diskrete Reihe f¨ ur den beschr¨ankten Fall. z auf B gilt, dass 1 ∈ Hν2 (B) genau dann Proposition 5.5.8. F¨ ur dμν (z) = (1 − ∣z∣2 )ν−2 dzd¯ quadratintegrierbar ist, wenn ν > 1 ist. Hier ist zu zeigen, dass ′ ν 2 ∫ ∣g (0)∣ dg) = ∫ ∣⟨1∣πν (g)1⟩∣ dg < ∞ B

B

f¨ ur g ∈ SU (1, 1) im beschr¨ankten symmetrischen Gebiet B = {∣z∣ < 1} gilt. Der BergmanRaum ist Hν2 (B) ∶= {f ∈ O(B)∣⟨f, f ⟩ν = cν ∫ ∣f (z)∣2 (1 − z z¯)ν−2 dV (z) < ∞}, B

wobei dV (z) das zweidimensionale Lebesgue-Maß ist. Im Bergman-Raum liegt die konstante Funktion 1, also C ⊂ Hν2 (B). Dann erhalten wir die nicht-konstante Darstellung [Uν (g −1 )1](z) = 1(g(z))(Det g ′ (z)) 2 = (Det g ′ (z)) 2 ν

126

ν

([Upmeier 4], S. 146; [Upmeier 5], S. 75), wobei Det die Jacobi-Determinante ist. F¨ ur die Koeffizientenfunktion G → C mit ξ, η ∈ Hν2 (B) gilt: φξ,η (g) = ⟨ξ, Uν (g)η⟩ν = ⟨Uν (g −1 )ξ, η⟩ν , dabei ist nach dem ersten Gleichheitszeichen die erste Komponente antiholomorph, nach dem zweiten Gleichheitszeichen die zweite. Lemma 5.5.9. Sei f ∈ O(B, C), d. h. f (z) = ∑ an z n . Dann gilt: a≤0

π f (0) = ⟨1, f ⟩ν . ν −1 Beweis: )(−z z¯)k Hierzu nutzen wir den binomischen Lehrsatz, indem wir zun¨achst (1−z z¯)ν−2 = ∑ (ν−2 k k≥0

)((−1)r2 )k = (1 − r2 ) verwenden. Zus¨atzlich f¨ und sp¨ater ∑ (ν−2 uhren wir eine Integration k k≥0

durch Polarkoordinaten durch. Außerdem gilt: 2π

2π

2π

∑ an ∫ exp(inθ)dθ = a0 ∫ exp(i0θ)dθ + ∑ an ∫ exp(inθ)dθ = 2πa0 .

n≥0

0

n≥1

0

0

Somit ergibt sich folgende Rechnung: ⟨1, f ⟩ν = ∫ (1 − z z¯)ν−2 1(z)f (z)dV (z) = ∫ (1 − z z¯)ν−2 f (z)dV (z) B

B

ν −2 )(−z z¯)k ∑ an z n dV (z) = ∫ ∑( k n≥0 k≥0 B

ν −2 )an ∫ z k+n z¯k dV (z) = ∑ ∑ (−1)k ( k k≥0 n≥0 B

1

2π

1

0 2π

ν −2 = ∑ ∑ (−1)k ( )an ∫ ∫ rk+n ei(k+n)θ rk e−ikθ dθrdr k k≥0 n≥0 0

ν −2 )an ∫ ∫ r2k+n eiθn dθrdr = ∑ ∑ (−1)k ( k k≥0 n≥0 0

0

2π

1

ν −2 = ∑ ∑ (−1)k ( )an ∫ r2k+n+1 dr ∫ eiθn dθ k k≥0 n≥0 0

0

1

ν −2 ) r2k+1 dr = 2πa0 ∑ (−1)k ( k ∫ k≥0 0

1

= πa0 ∫ 2r(1 − r2 )ν−2 dr = −πa0 [ 0

=

1

(1 − r2 )ν−1 a0 π ] = ν −1 ν −1 0

π f (0). ν −1 ◻ 127

Nun setzen wir die Einsfunktion in die Koeffizientenfunktion φξ,η ein, also φ1,1 (g) = ⟨Uν (g −1 )1, 1⟩ν (vorhergehendes Lemma) π = [Uν (g −1 )1](0) ν −1 π ν = Det g ′ (0) 2 ν −1 ν 2 s ss π 1 ss = π −ν = ) sss ( d 2 ν − 1 (cz + d) sssz=0 ν − 1 Also sind alle Koeffizienten nach Theorem 15 quadratintegrierbar.

5.6

Analytische Fortsetzung der holomorphen diskreten Reihe

Mit den nun gewonnenen Ergebnissen stellen wir die Beziehung der gewichteten BergmanR¨aume zur (skalaren) holomorphen diskreten Reihe her. Hierzu sei Z ein irreduzibles Jordan-Tripelsystem vom Rang r mit den charakteristischen Multiplizit¨aten a, b. Die Di+ rb gegeben, was zu mension ist durch n = r + a r(r−1) 2 n a = 1 + (r − 1) + b r 2 ¨aquivalent ist. Wir setzen als Parameter ν = nr . Das Geschlecht des Gebiets ist durch p = 2 + a(r − 1) + b definiert. Um den Zusammenhang zu verstehen, betrachten wir diese R¨aume als Vervollst¨andigungen des Raums der holomorphen Funktionen bez¨ uglich verschiedener innerer Produkte. Die relevanten Vervollst¨andigungen bezeichnen wir mit einem Parameter ν. Die dazu geh¨orenden Hilbert-R¨aume bilden die analytische Fortsetzung der (skalaren) holomorphen Reihe, die gerade der Familie der gewichteten Bergman-R¨aume entspricht. Der Hardy-Raum-Fall entspricht dem Parameter ν =

n r

und der Bergman-Raum-Fall ν = p − 1.

Alle diese R¨aume sind mit der projektiven Darstellung Uν (g −1 )h(z) versehen. Wallach bestimmte diejeinigen Parameter ν, f¨ ur die Darstellungen unit¨ar sind, durch eine Art analytischer Fortsetzung bzgl. ν der holomorphen diskreten Reihe. Die Idee beruht der Positivit¨at reproduzierender Kerne Δ(z, w)ν . Wallach-Mengen sind definiert als W (B) = {ν ∈ C∣(Δ(zi , zj )−ν )1≤i,j (r − 1)} , 2 2 128

die aus r diskreten Punkten Wd (B) = {0, a2 , . . . , (r − 1) a2 } und einem stetigen Teil Wc (B) = ( a2 (r − 1), ∞) besteht. Dabei ist r der Rang des Jordan-Tripelsystems, a ist die charakterische Multiplizit¨at. ullt, die Nun kann gezeigt werden, dass f¨ ur den Wert ν = nr , der a2 (r − 1) < ν ≤ p − 1 erf¨ Hilbert-Raum-Vervollst¨andigung isometrisch mit dem Hardy-Raum H 2 (S) koinzidiert, also H 2ν (B) = H 2 (S) gilt. r

¨ Ahnlich wie im Hardy-Raum-Fall (ν = nr ) und im Bergman-Raum-Fall (ν > p − 1) spieur Wallach-Parameter ν ∈ W (B) die Rolle von Zulen auch alle anderen R¨aume Hν f¨ standsr¨aumen, auf denen eine geeignete Toeplitz-C ∗ -Algebra operiert. Die dazugeh¨orige Strukturtheorie ist bislang nicht durchgef¨ uhrt worden, obwohl es sicher viele Parallelen zum bekannten Fall (Hardy- bzw. Bergman-Raum) gibt und die C ∗ -Dualit¨at ebenfalls eine große Rolle spielen wird. Allerdings wird es im Detail auch Unterschiede geben, wie z. B. die Wahl der geeigneten Gruppe.

129

Kapitel 6 Hardy-Toeplitz-C ∗-Algebra T (S) Die Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra T (S) ist eine C ∗ -Unteralgebra einer Koaktion der ̂∗ (K) f¨ ur eine kompakte Gruppe K. Dies kann auch so beC ∗ -Algebren C ∗ (K) und C λE schrieben werden, dass T (S) als Kokreuzprodukt passender Hopf-C ∗ -Algebren dargestellt ̂ 2 (K)) der kompakten Operatoren K(L2 (K)) ist. isomorph zu einer C ∗ -Unteralgebra K(L Bevor wir diese Koaktion beschreiben, stellen wir die Szeg¨o-Projektion als Linksfaltungŝ∗ (K) des Kooperator dar. Mit diesem Linksfaltungsoperator wird die C ∗ -Algebra C λE

kreuzprodukts erzeugt. Diese Ergebnisse von Upmeier ([Upmeier 3]) werden detailliert ausgef¨ uhrt, um die dualen“ Methoden f¨ ur den Bergman-Fall herauszustellen. Insbesonde” re wurde mit einem Dichtheitsargument der Beweis f¨ ur die Existenz des Kokreuzprodukts verbessert (Proposition 6.3.5).

6.1

Die Szeg¨ o-Projektion als Linksfaltung

Zun¨achst beschreiben wir die Rechtsaktion auf der Ebene von Gruppen, diese heben wir dann auf den Funktionenraum L2 (K). Danach konstruieren wir die Szeg¨o-Projektion.

6.1.1

K-Rechtsaktion auf dem Shilov-Rand S

Sei K eine zusammenh¨angende kompakte Lie-Gruppe. L ⊂ K sei eine abgeschlossene ullt, wobei Kσ ∶= {s ∈ K∣σs = s} die Untergruppe Untergruppe von K, die Kσo ⊂ L ⊂ Kσ erf¨ der Fixpunkte der involutiven Automorphismen (Automorphismen der Periode 2) und Kσo deren Einskomponente ist. Durch folgende Konstruktion wirkt K auf S: Die Aktion S × K → S, T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

ist definiert durch (tL, s) ↦ stL f¨ ur alle s, t ∈ K. Diese Aktion k¨onnen wir auch als Stabilisatoruntergruppe von K am Basispunkt e schreiben. Nun sei L eine abgeschlossene Untergruppe von K, die Kσo ⊂ L ⊂ Kσ erf¨ ullt. Dann wird der Faktorraum S ∶= L/K ein kompakter zusammenh¨angender Riemannscher symmetrischer Raum ([Helgason], Proposition 3.4., S. 209). Gehen wir nun zu den Komplexifizierungen der Gruppen K und Lu ¨ber, die wir mit K C respektive LC bezeichnen, dann ist auch LC eine abgeschlossene Untergruppe von K C . Somit k¨onnen wir die komplexe Faktormannigfaltigkeit S C ∶ LC /K C bilden, die in analoger Weise eine ebenfalls komplexifizierte Rechtstranslationsaktion von K C auf S C hat. Im Weiteren gehen wir von einem K-zirkul¨aren Gebiet ([Upmeier 4], Definition 1.6.4, S. 68) aus und lassen die Schreibweise der Komplexifizierung wegfallen.

ar genau dann, wenn G invariant Definition 6.1.1. Ein Gebiet G ⊂ S C heißt K-zirkul¨ unter der Translationsaktion von K ist, das bedeutet: z ∈ G,

s ∈ K ⇒ zs ∈ G.

Sei K eine kompakte Lie-Gruppe, weiter sei L ⊂ K eine abgeschlossene Untergruppe von ¨ K. Ublicherweise bezeichnet L/K ∶= {Lk ∶ ∀ k ∈ K} die Linksnebenklassen von L in K. Hingegen sind Rechtsnebenklassen definiert durch K/L ∶= {kL ∶ ∀ k ∈ K}. Wir nutzen L/K ∶= {Lk ∶ ∀ k ∈ K} als Schreibweise f¨ ur Linksnebenklassen. Beispiel 6.1.2. Wir w¨ahlen K = O(n, R) und L = O(n − 1, R). ⎛ O(n − 1, R) 0 ⎞ ⊂ K. Da die Gruppe O(n, R) transitiv auf Sn−1 operiert, der ⎝ 0 1 ⎠ Einheitsvektor en = (1, 0, . . . , 0) die Isotropiegruppe O(n − 1, R) hat und

Es ist L ⊂

O(n − 1, R) ⊂ O(n, R) ist, gilt: L/K = Sn−1 . Es gilt: Lk ↦ (1

132

0

...

⎛ k11 . . . k1n ⎜ 0) ⋅ ⎜ ⋮ ⋮ ⎜ ⎝ kn1 . . . knn

⎞ ⎟ ⎟ = (k11 ⎟ ⎠

...

k1n ).

Nun definieren wir die Rechtsaktion durch ρSk ∶ L/K × K → L/K = S (Lk ′ , k) ↦ L ⋅ (k ′ k). Dies heißt auf der Funktionenalgebra ρSk ∶ F(L/K) → F(L/K) (ρSk f )(Lk ′ ) ↦ f (Lk ′ k). Wir setzen zun¨achst μK = dk als Haar-Maß auf K. (Bei einer kompakten Lie-Gruppe ist es unimodular, also links- und rechtsinvariant.) Beispiel 6.1.3. Gegeben seien eine komplexwertige Funktion f ∶ L/K → C und eine Projektion π ∶ K → L/K: f π f˜ = π ⋉ f ∶ K → L/K → C,

d. h. π∗ f˜ ist kovarianter Pullback. Wir bezeichnen mit μ das Borel-Maß auf K. Dann ist μ ⋊ π ein positives Radon-Maß auf L/K; also ist die Projektion π ein kovarianter Push-Forward des Borel-Maßes μ (auf K) auf das Radon-Maß (auf L/K): π∗ μK = μ ⋊ π. Das Bildmaß der Projektion sei nun rechts-K-invariant. Dann gilt mit dem Satz von Fubini ∫ f d(μ ⋊ π) = ∫ (π ⋉ f )dμ. K

L/K

Wir zeigen, dass μ ⋊ π auf L/K rechts-K-invariant ist: (μ ⋊ π) ⋊ ρk = μ ⋊ π. ((μ ⋊ π) ⋊ ρ)f (Lk ′ ) = (μ ⋊ π)(ρSk f )(Lk ′ ) = (μ ⋊ π)f (Lk ′ k). Dies bedeutet integriert: ′ ′ S ′ ′ ∫ f (Lk k)d(μ ⋊ π ⋊ ρ)(Lk k) = ∫ (ρk f )(Lk )d(ρ(μ ⋊ π))(Lk ) L/K

L/K

= ∫ f (Lk ′ k)d(μ ⋊ π)(Lk ′ ) K

= ∫ (π ⋊ f )(k ′ )dμ(k ′ ). K

Somit ist die Rechts-K-Invarianz gezeigt. 133

6.1.2

Liftung der Aktion auf den Hilbert-Raum L2 (S)

ˆ von K, d. h. die Menge aller Aquivalenzklassen ¨ Nun betrachten wir den unit¨aren Dual K ˆ der irreduziblen stetigen unit¨aren Darstellungen von K. F¨ ur jedes α ∈ K w¨ahlen wir eine Darstellung α ∶ K → U (Hα ), wobei Hα ein komplexer Hilbert-Raum mit dem inneren Produkt ⟨, ⟩α und konjugiertlinear in der ersten Variable ist. Wegen der Kompaktheit von K ist die Dimension dα = dim Hα < ∞. Wir betrachten zwei Hilbert-R¨aume: den L2 -Raum L2μ (K) der komplexwertigen Funktionen mit dem inneren Produkt ⟨h∣k⟩K ∶= ∫ h(s)k(s)ds K

und dem Haar-Maß dμ und

L2μ⋊π (L/K),

f¨ ur den wir eine Einbettung und eine orthogonale

Projektion π ben¨otigen, so dass π

←

j ∶ L2 (S) ↪ L2 (K) f ↦ f ○ π = π ⋉ f = π∗f = F gilt. urlichen Projektion π ∶ K → L/K, Mit dem kontravarianten Pullback π ∗ entlang der nat¨ f¨ ur die π(e) = o ist, identifizieren wir L2 (S) mit dem abgeschlossenen Unterraum L2 (S) ≈ L2 (K)L ∶= {F ∈ L2 (K) ∶ F (lk) = F (k) ∀ l ∈ L} < L2 (K) der L-linksinvarianten Funktionen auf L2 (K). Dieser Unterraum ist invariant unter der Linkstranslationsaktion von K auf L2 (K), die durch (ls F )(t) = F (s−1 t) f¨ ur alle s, t ∈ K und F ∈ L2 (K) definiert ist. Ist nun ls integrierbar, d. h. ls ∈ L1 (K), dann k¨onnen wir den Faltungsoperator mit dem Symbol λs als beschr¨ankten Operator λs ∶ L2 (K) → L2 (K) (λs F )(t) ↦ ∫ F (s−1 t)u(s)ds K

f¨ ur alle F ∈

L2 (K)

und t ∈ K definieren. Mit diesem Faltungsoperator erzeugt man die

spatiale (oder reduzierte) Gruppen-C ∗ -Algebra C ∗ (K) = Cλ∗s (λs ∣ls ∈ L1 (K)), realisiert auf L2 (K).

134

Die Orthogonalprojektion PK ∶ L2 (K) → L2 (S) ist gegeben durch (PK F )(s) = (P F )(ek) = ∫ F (ls)dl L

f¨ ur l ∈ L, k ∈ K und F ∈

L2 (K).

Wir betrachten folgendes Diagramm: ρK k

L2 (K)

/ L2 (K) O iK

PK



ρK k

L2 (K)L

/

L2 (K)L O



j∗

j ρS k

L2 (S) 

/ L2 (S) O iS

PS ρS k

H 2 (S)

/

H 2 (S),

das mit unit¨aren Abbildungen j, j ∗ und ρSk gebildet wird, wobei j und j ∗ sowie die Projektionen PK bzw. PS und iK bzw. iS zueinander dual sind. Zun¨achst zeigen wir, dass j sowohl die Norm wie auch die Metrik erh¨alt. Lemma 6.1.4. Die Abbildung j ist eine isometrische Einbettung, d. h. f¨ ur jf = π ○ f ist: ⟨jf ∣jg⟩K = ⟨f ∣g⟩S , wobei f, g ∈ L2 (S) sind. Beweis: In K haben wir das innere Produkt ⟨jf ∣jg⟩K = ∫ (jf )(jg)dμ. K

Dann gilt mit dem Bildmaß μ ⋊ π = σ angewandt auf das Produkt f g ∶ ∫ (jf )(jg)dμ = ∫ (f ○ π)(g ○ π)dμ K

K

= ∫ (f g) ○ πdμ K

= ∫ f gd(μ ⋊ π) = ∫ f gdσ S

S

= ⟨f ∣g⟩S . ◻

135

Lemma 6.1.5. Sei j eine metrische Projektion von L2 (S) → L2 (K)L , ρK k eine Rechtsaktion auf K und ρSk eine Rechtsaktion auf S. Dann gilt jρSk = ρK k j. Beweis: Es sei f ∈ L2 (S), e ∈ L und k ∈ K. Dann gilt einerseits (jρSk )f (h) = jf (hk) = f (e(hk)) und andererseits K (ρK k j)f (h) = ρk f (eh) = f ((eh)k) = f (e(hk)).

◻ Folgerung 6.1.6. Unter der Abbildung j liegt L2 (S) als abgeschlossener Unterraum in L2 (K), d. h. jL2 (S) < L2 (K). Beweis: Wir wissen, dass L2 (S) vollst¨andig ist. Da j eine isometrische Einbettung ist, ist jL2 (S) ebenfalls vollst¨andig. Daraus folgt, dass jL2 (S) abgeschlossen in L2 (K) ist.

◻

Da jeder abgeschlossene Unterraum eines Hilbert-Raums das Bild einer stetigen Projektion ist, k¨onnen wir Folgendes formulieren: ur die gilt: Folgerung 6.1.7. Es existiert eine Projektion PK , f¨ PK ∶ L2 (K) n

PK iK

-

jL2 (S) ,

dabei ist iK die Inklusionsabbildung auf K. Diese Abbildung PK ist eine metrische Projektion, d. h. PK (s) = {k ∈ K ∶ ⟨k, s⟩ = ⟨K, s⟩}.

Beweis: ur alle k ∈ K Es ist jL2 (S) = {F ∈ L2 (K) ∶ links-L-invariant}, d. h. es gilt F (lk) = F (k) f¨ und l ∈ L. Daher ist jL2 (S) = L2 (K)L , also (PK F )(k) = ∫ F (lk)dl. L

◻ 136

Beispiel 6.1.8. Hier greifen wir Beispiel 6.1.2 auf. Es sei S = Sn−1 = O(n−1, R)/O(n, R). Dann ist PK ∶ L2 (O(n, R)) → L2 (O(n − 1, R))O(n,R) definiert durch PK F (k) = ∫

F (lk)dl.

O(n−1)

Lemma 6.1.9. Sei PK eine Projektion von L2 (K) → L2 (K)L und ρK k eine Rechtsaktion auf K, dann gilt: K P K ρK k = ρ k PK .

Beweis: Es sei F ∈ L2 (K), k, k ′ ∈ K und l ∈ L. Dann ist ′ K ′ ′ ′ (PK ρK k )F (k ) = PK ρk F (k ) = PK F (k k) = ∫ F (lk k)dl L ′ K ′ ′ K ′ ′ (ρK k PK )F (k ) = ρk (PK F )(k ) = (PK F )(k k) = ∫ ρk F (lk )dl = ∫ F (lk k)dl. L

L

◻ Lemma 6.1.10. Sei iK eine Inklusionsabbildung von

L2 (K)

→

L2 (K)L

und

ρK k

eine

Rechtsaktion auf K. Dann gilt: K i K ρK k = ρ k iK .

Beweis: Es sei f˜ ∈ L2 (K)L . Dann berechnen wir K ˜ ′ ′ ˜ ′ ˜ ˜ ′ (iK ρK k )f (ek ) = iK ρk f (ek ) = iK f (k k) = F (k k) = F (k) K ′ ′ ˜ ′ ˜ (ρK k iK )f (ek ) = ρk F (k ) = F (k k) = F (k).

◻ Lemma 6.1.11. Sei j ∗ eine Projektion von L2 (K)L → L2 (S), ρK k eine Rechtsaktion auf K und ρSk eine Rechtsaktion auf S. Dann gilt S ∗ j ∗ ρK k = ρk j .

Beweis: Es sei f˜ ∈ L2 (K)L . Eine kurze Rechnung ergibt: ∗˜ ′ ′ ˜ ′ (j ∗ ρK k )f (ek ) = j f ((ek )k) = f (k k)

(ρSk j ∗ )f˜(ek ′ ) = ρSk f (k ′ ) = f (k ′ k). ◻

137

Lemma 6.1.12. Sei iS eine Inklusionsabbildung von H 2 (S) → L2 (S) und ρSk eine Rechtsaktion auf S. Dann gilt iS ρSk = ρSk iS . Beweis:

(iS ρSk )φ(s) = iS φ(sk) = f (sk) (ρSk iS )φ(s) = ρSk f (s) = f (sk). ◻

Lemma 6.1.13. Sei PS eine Projektion von L2 (S) → H 2 (S) und ρSk eine Rechtsaktion auf S. Dann gilt: PS ρSk = ρSk PS , n

wobei PS die Szeg¨o-Projektion mit reproduzierendem Szeg¨o-Kern E(z, w) = Δ(z, w) r ist. Beweis: Es sei f ∈ L2 (S). Dann haben wir auf der linken Seite (PS ρSk )f (s) = PS (ρSk f )(s) = ∫ Δ(e − st∗ )− r (ρSk f )(t)dt n

S

= ∫ Δ(e − st∗ )− r f (tk)dt n

S

und auf der rechten Seite (ρSk PS )f (s) = ρSk (PS f (s)) = PS f (sk) = ∫ Δ(e − skt′∗ )− r f (t′ )dt′ n

S ∗ −n r

= ∫ Δ(e − st )

f (tk)dt.

S

f¨ ur kt′∗ = t∗ ⇒ t′ k −1 = t ⇒ t′ = tk.

◻ ¨ Analog kann man dies f¨ ur die holomorphe Fortsetzung zeigen, also den Ubergang von s ∈ S zu z ∈ B. Nun kommen wir zu den Hardy-R¨aumen H 2 (S) < L2 (S), die abgeschlossen in L2 (S) sind, mit der Einbettung iS und der Projektion PS H 2 (S) m

iS PS

-

L2 (S) .

Lemma 6.1.14. H 2 (S) ist rechts-K-invariant, d. h. ρSk H 2 (S) = H 2 (S). Beweis: Dies besagt, dass folgendes Diagramm kommutativ ist: ρS k

L2 (S) → L2 (S)   PS PS     ρS k

H 2 (S) → H 2 (S) 138

Es gilt: f holomorph ⇔ ρSk ○ f holomorph, ◻

weil ρk biholomorph ist. Nun haben wir gezeigt, dass j∗

PK

PS

L2 (K) → jL2 (S) → L2 (S) → H 2 (S) ist. Somit ergibt sich f¨ ur den Operator: T = iK ○ j ○ iS ○ PS ○ j ∗ ○ PK , hierbei k¨onnen wir iK = PK∗ setzen. Wegen des Diagramms gilt insbesondere: K T ρK k = ρk T.

Beweis: Wir verwenden nun schrittweise die oben aufgef¨ uhrten Lemmata und erhalten ∗ K T ρK = iK jiS PS j ∗ PK ρK k k = iK jiS PS j ρk PK

= iK jiS PS ρSk j ∗ PK = iK jiS ρSk PS j ∗ PK = iK jρSk iS PS j ∗ PK ∗ = iK ρK k jiS PS j PK ∗ = ρK k iK jiS PS j PK

= ρK k T. ◻ Zudem gilt folgender Satz von Serban Str˘atil˘a und L´aszl´o Zsid´o ([Str˘atil˘a 1], 18.4.(14), S. 261, mit [Str˘atil˘a 2], 10.4.(2), S. 251): Theorem 17. Sei G eine lokalkompakte unimodulare Gruppe, L2 (G) der Hilbert-Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf G, T ∈ L(L2 (G)) und λ der (Links-)Faltungsoperator. Falls T mit allen Rechtstranslationen ρG kommutiert, also ρG T = T ρG gilt, dann ist T ∈ Wλ∗ (G), wobei Wλ∗ (G) ∶= W ∗ ⟨λg ∶ g ∈ G⟩ ist. Die Elemente in Wλ∗ (G), d. h. die Operatoren, sind nur indirekt“ definiert, n¨amlich als ” ur g ∈ G. Im Allgemeinen kann man sie nicht als λu f¨ ur eine schwacher Limes von λg f¨ 139

integrierbare Funktion u auf G schreiben. Falls G eine Lie-Gruppe ist, kann man h¨aufig ur eine (nicht glatte) Distribution u auf G finden. Wir zeigen Darstellungen der Form λu f¨ nun f¨ ur den Operator T , dass er ein Linksfaltungsoperator ist. Eine Distribution E K existiert auf K derart, dass (T F )(k) = ∫ F (k ′−1 k)dE K (k ′ ) K

= ∫ (λk′ F )(k)dE K (k ′ ) K

f¨ ur F ∈

L2 (K), k

∈ K gilt. Mit Theorem 17 folgt, dass f¨ ur T = T = iK ○ j ○ iS ○ PS ○ j ∗ ○ PK

gilt: T ∈ Wλ∗ (K), also T ein Integraloperator ist, dessen Kern eine Distribution ist. Die folgende Proposition u uhrlichen Beweis (s. [Upmeier 4], Proposition 3.5.13., S 206). ¨bernehmen wir ohne ausf¨ Proposition 6.1.15. Es existiert eine L-biinvariante Distribution E auf K mit der Dichte bzgl. h mit dE(s) = Δ(e, es−1 )− r dh = Δ(es, e)− r dh, n

n

so dass ∫ E(e exp(a)s, e)h(s)ds ∫ h(s)dE(s) = lim a∈Λ K

K

f¨ ur alle Testfunktionen h ∈ C ∞ (K) gilt, wobei E der Szeg¨o-Kern ist. Bemerkung 6.1.16. Die Dichte dE(h) sieht regul¨ar aus, hat aber eine Singularit¨at f¨ ur h = 1, denn es ist Δ(e, e) = 0. Beweisskizze: Zun¨achst gilt f¨ ur jedes α ∈ Sˆ ∩ Λ# mit orthonormaler Basis Bα von Hα , dass die Reihe E(z, w) =

∑ dα Φα (z) ˆ # α∈S∩Λ

kompakt konvergiert, wobei Sˆ der unit¨are Dual von S = L/K und Λ# der Polarkegel1 ist. Dabei gehen die L-invarianten sph¨arischen Funktionen φα auf S, die zu jeder unit¨aren irreduziblen Darstellung α geh¨oren, hier wesentlich ein. Denn es wird dE(h) =

∑ dα ⋅ φα (s) ⋅ ds ˆ # α∈S∩Λ

gesetzt, wobei dα die Dimension von Hα ist.

◻

Die bisherigen Ergebnisse dieses Abschnitts fassen wir in folgendem Satz zusammen: 1

Der Polarkegel ist der Dualraum des konvexen Kegels, der zu einem K-zirkul¨aren Gebiet assoziiert

ist (siehe hierzu [Upmeier 4], S. 162f).

140

Theorem 18. Sei T ∈ Wλ∗ . Dann ist T ein Linksfaltungsoperator λE mit Szeg¨o-Kern E, d. h. T ≡ λE . Beweis: Sei F ∈ L2 (K) und k0 ∈ K. Wir setzen f¨ ur den Operator T die Abbildungen ein. Dabei k¨onnen wir f¨ ur die Szeg¨o-Projektion PS als Integral schreiben, weil wir nach dem Satz von Str˘atil˘a und Zsid´o wissen, dass eine linksinvariante Distribution existiert. Somit gilt: (T F )(k0 ) = (iK jiS PS j ∗ PK F )(k0 ) = (jiS PS j ∗ PK F )(k0 ) = (iS PS j ∗ PK F )(ek0 ) = (PS j ∗ PK F )(ek0 ) = ∫ Δ(ek0 , s)− r (j ∗ PK F )(s)ds. n

S

¨ Hier ben¨otigen wir folgende Uberlegung durch duale Paarung: − ∗ ∗ ∫ Δ(ek0 , s) r (j PK F )(s)ds = ⟨g∣j F ⟩S n

S

= ⟨jg∣F ⟩K = ∫ (jg)(k)F (k)dk K

= ∫ g(ek)F (k)dk. K

Somit k¨onnen wir nun das oben Begonnene fortf¨ uhren: − ∗ − ∗ ∫ Δ(ek0 , s) r (j PK F )(s)ds = ∫ Δ(ek0 , ek) r (j PK F )(k)dk n

S

n

K

= ∫ Δ(ek0 , ek)− r ∫ F (lk)dldk n

K

= ∫ ∫ Δ(ek0 , ek)− r dkF (lk)dl n

L

Fubini

L lk=h−1 k0

und Fubini

K

= ∫ ∫ Δ(ek0 , el−1 h−1 k0 )− r F (h−1 k0 )dhdl n

L

K

= ∫ ∫ Δ(e, el−1 h−1 )− r F (h−1 k0 )dhdl n

L

L-Invarianz

K

= ∫ Δ(e, eh−1 )− r F (h−1 k0 )dh n

K

= ∫ F (h−1 k0 )dE(h) K

= ∫ λh F (k0 )dE(h). K

Die letzte Zeile besagt nun, dass ein Linksfaltungsoperator λE zur Distribution E vorliegt. ◻ 141

Aus diesem Satz und der Definition des Operators T ergibt sich folgender Schluss: Folgerung 6.1.17. Sei λE der Linksfaltungsoperator mit Szeg¨o-Kern E. Dann ist λE = T die Szeg¨o-Projektion PS . Beweis: Aus dem vorherigen Theorem 18 wissen wir, dass λE = T gilt. Nun setzen wir wieder f¨ ur den Operator T die nacheinander auszuf¨ uhrenden Abbildungen ein und erhalten T = iK ○ jis ○ PS ○ j ∗ ○ PK = jis ○ PS ○ j ∗ ○ PK = j ○ PS ○ j ∗ ○ PK = j ○ PS ○ PS = j ○ PS . Dabei haben wir verwendet, dass iK ○ j = j, iS = PS∗ und wegen der Projektionseigenschaft PS = PS∗ = P 2 gilt. Die Abbildung j bildet in den linksinvarianten Unterraum L2 (K)L ab, so dass wegen der L-Invarianz des Faltungsoperators, d. h. j ∗ T = T , gilt: T = j ∗ jPS = PS . ◻ Beispiel 6.1.18. Betrachten wir das nun auf der Einheitskreislinie als einfachsten Fall. Dazu sei S = L/K mit S = T, K = T und L = 1. Es ist H 2 (T) < L2 (T). Wir betrachten nun das Haar-Maß auf T. Wegen z ∈ T betrachten wir genauer z = exp(it), t ∈ R. Es gilt: dz = i exp(it)dt = izdt, woraus dz = idt z folgt. Das bedeutet f¨ ur das normalisierte Haar-Maß: dμ(z) =

1 dw dt = , w ∈ B. 2π 2πi z

Somit ergibt das Haar-Integral 1 dw ∫ f (z)dμ(z) = 2πi ∫ f (w) z . T

142

T

Nun betrachten wir den Szeg¨o-Projektor und wenden das Cauchy-Integral an: 1 f (z) dz 2πi ∫ z − w

(PS f )(w) =

T

zf (z) = ∫ dμ(z) z−w T

f (z) dμ(z) z¯ = z −1 = ∫ 1 − wz T

f (z) = ∫ dμ(z) z = ws−1 = s−1 w 1 − w¯ z T

= ∫ T

f (ws−1 ) dμ(s) 1−s

dμ(s) = ∫ f (s−1 w) 1−s T

dμ(s) = ∫ (λs f )(w) 1−s T

= ∫ (λs f )(w)dE(s) T

f¨ ur w ∈ B, f ∈

L2 (T).

Das heißt f¨ ur die Einheitskreislinie, dass das Cauchy-Integral u ¨ber

T mit der Szeg¨o-Projektion von auf T quadratintegrierbaren Funktionen u ¨bereinstimmt. Man beachte die Singularit¨at f¨ ur s = 1. Beispiel 6.1.19. F¨ ur den Szeg¨o-Kern E(z, w) gilt, dass er die Szeg¨o-charakteristische ur das jeweilige Gebiet erf¨ ullen muss. Funktion Ee (z) f¨ 1. F¨ ur den Torus gilt nach [Upmeier 4], Proposition 2.10.66., S. 169: ES (u) = Ee (z) = E(z, e). Hier ist dann nur noch festzuhalten, dass E(z, w) = Δ(z, w)−1 , wobei Δ(z, w) die Jordan-Tripeldeterminante ist. Also ergibt sich: Ee (z) =

1 1−z

und somit f¨ ur die Projektion (PS f )(s) = ∫ f (s) S

1 ds. 1−s

2. Es ist s ∈ S = U (r) und u, v ∈ K = U (r) × U (r). Dann ist s = (u, v) ↦ u−1 v, 143

also es = u−1 v. Nach [Upmeier 4], Proposition 2.8.6., S. 126, ist E(z, w) = Δ(z, w)− r . n

ES (u) = Δ(e − u)−r EK (s) = Δ(e − es)−r . Also ist EK (u, v) = Δ(e − u−1 v). Die Dimension von Hr (C)⊗C ist r2 und der Rang r (s. [Upmeier 4], Beispiel 1.3.51, S. 23). Also haben wir E(z, w) = Δ(z, w)−r . 3. Die Dimension von Hr (R) ⊗ C ist

r(r+1) 2

und der Rang r (s. [Upmeier 4], Beispiel

1.3.51, S. 23). Also haben wir E(z, w) = Δ(z, w)−

6.2

r+1 2

.

Hardy-Toeplitz-Operatoren

Definition 6.2.1. F¨ ur eine beschr¨ankte Funktion φ ∈ L∞ (K) heißt der beschr¨ankte Operator Mφ ∶ L2 (K) → L2 (K) Mφ (f )(s) ↦ φ(s)f (s) f¨ ur alle f ∈ L2 (K) und s ∈ K der Multiplikationsoperator mit Symbol φ. Dieser Multiplikationsoperator mit dem Symbol φ kann mit einem injektiven C ∗ -Algebrahomomorphismus von L∞ (K) in die abelsche C ∗ -Algebra der beschr¨ankten Operatoren L(L2 (K)) identifiziert werden. Die Rechtstranslationsaktion von K auf L2 (K) induziert eine adjungierte Aktion von K auf L(L2 (K)), die Ad(ρs )f = ρs f ur alle s ∈ K erf¨ ullt. Insbesondere ist mit Multiplikationsoperator ρs f = f (ts) f¨ ρs f ∈ L∞ (K). Definition 6.2.2. F¨ ur eine beschr¨ankte Funktion φ ∈ L∞ (S) heißt der beschr¨ankte Operator Mφ ∶ L2 (S) → L2 (S) Mφ (f )(z) ↦ φ(z)f (z) f¨ ur alle f ∈ 144

L2 (S)

und z ∈ S der Multiplikationsoperator mit Symbol φ.

Dieser Multiplikationsoperator mit dem Symbol φ kann mit einem injektiven C ∗ -Algebrahomomorphismus von L∞ (S) in die abelsche C ∗ -Algebra der beschr¨ankten Operatoren L(L2 (S)) identifiziert werden. Die Rechtstranslationsaktion von K auf L2 (S) induziert eine adjungierte Aktion von K auf L(L2 (S)), die Ad(ρs )f = ρs f ur alle s ∈ K erf¨ ullt. Insbesondere ist mit Multiplikationsoperator ρs f = f (zs) f¨ ρs f ∈ L∞ (S). Nun betrachten wir den Hardy-Raum H 2 (S) u ¨ber dem K-zirkul¨aren Gebiet G mit der Szeg¨o-Projektion PS ∶ L2 (S) → H 2 (S). Definition 6.2.3. F¨ ur eine beschr¨ankte Funktion φ ∈ L∞ (S) definieren wir den beschr¨ankten Operator Tφ ∶ L2 (S) → H 2 (S) Tφ (f )(z) ↦ Pν (Mφ f )(z) f¨ ur alle f ∈ H 2 (S). Diesen Operator Tφ bezeichnet man als Hardy-Toeplitz-Operator mit Symbol φ. Nun ist das Produkt von Toeplitz-Operatoren schon kein Toeplitz-Operator mehr, aber das Produkt der Multiplikationsoperatoren auf der Gruppe bleibt ein Multiplikationsoperator. Genauer gilt f¨ ur f ∈ L∞ (S), dass Tf ein beschr¨ankter Operator auf L2 (S) ist, der 1. ∥Tf ∥ ≤ ∥f ∥∞ und 2. Tf∗ = Tf erf¨ ullt. Ist zudem noch f1 ∈ H 2 (S) ∩ L∞ (s), dann gilt: 1. Tf Tf1 = Tf f1 und 2. Tf1 Tf = Tf1 f . Daher betrachten wir die zusammengesetzte Abbildung.

L2 (K)

MK ˜

/ L2 (K) O

f

iK

PK



L2 (K)L

MfK

/ L2 (K)L O

j∗



L2 (S) 

j MfS

/ L2 (S) O iS

PS

H 2 (S)

TfS

/

H 2 (S). 145

Der Toeplitz-Operator auf S ist dann TfS = PS MfS iS = PS Mf PS . Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil iS = P ∗ (S) und f¨ ur Projektionsoperatoren PS∗ = PS gilt. Auch hier m¨ ussen die einzelnen Relationen untersucht werden: Lemma 6.2.4. Sei PK eine Projektion von L2 (K) → L2 (K)L , Mg˜K ein Multiplikationsoperator. Dann gilt PK Mg˜K = Mg˜K PK . Beweis: g (k)F (k)) = g˜PK F (k). Somit ergibt sich: Es sei F ∈ L2 (K). Wegen g˜ ∈ C(K) gilt PK (˜ g (k)F (k)) = g˜(k)PK F (k) (PK Mg˜K )F (k) = PK (˜ (Mg˜K PK )F (k) = Mg˜(PK F )(k) = g˜(k)PK F (k). ◻ Lemma 6.2.5. Sei j ∗ eine Projektion von L2 (K)L → L2 (S), Mg˜K ein Multiplikationsoperator und MgS ein Multiplikationsoperator, dann gilt: j ∗ Mg˜K = Mg˜S j ∗ . Beweis: Es sei f˜ ∈ L2 (K)L . Dann gilt: (j ∗ Mg˜K )f˜(ek) = j ∗ ((˜ g (k)f˜)(ek)) = g˜(k)f (k) (Mg˜K j ∗ )f˜(ek) = (Mg˜K f )(k) = g˜(k)f (k). ◻ Lemma 6.2.6. Sei PS eine Projektion von L2 (S) → H 2 (S), MfS ein Multiplikationsoperator. Dann gilt: PS MfS = MfS PS . Beweis: Es sei f ∈ L2 (S). Dann ergibt sich (PS MgS )f (k) = PS ((gf )(k)) = g(k)(PS f )(k) (MgS PS )f (k) = MgS (PS F )(k) = g(k)(PS f )(k). ◻

146

Lemma 6.2.7. Sei iK eine Inklusionsabbildung von L2 (K)L → L2 (K) und Mg˜K ein Multiplikationsoperator. Dann gilt: iK MgK = MgK ik . Beweis: Es sei f˜ ∈ L2 (K)L . Wir berechnen: (iK MgK )f˜(ek) = iK (g f˜)(ek) = g(k)iK f˜(ek) = g(k)F (k) (MgK iK )f˜(ek) = Mgk F (k) = g(k)F (k). ◻

Lemma 6.2.8. Sei j eine Projektion von L2 (K)L → L2 (S), Mg˜K ein Multiplikationsoperator und MgS ein Multiplikationsoperator. Dann gilt: jMg˜S = Mg˜K j. Beweis: Es sei f ∈ L2 (S). Mit einer kurzen Rechnung erhalten wir (jMgS )f (k) = j(MgS f )(k) = j(g(k)f (k)) = g(k)f (ek) (Mg˜K j)f (k) = Mg˜K f (ek) = g˜f (ek). ◻

Lemma 6.2.9. Sei iS eine Projektion von L2 (S) → H 2 (S), MfS ein Multiplikationsoperator und TfS = PS MfS iS der Toeplitz-Operator. Dann gilt: iS TgS = MgS iS . Beweis: Es sei φ ∈ H 2 (S). Dann ergibt sich: (iS TgS )φ(s) = iS (PS MgS is )φ(s) = iS (PS (g(s)φ(s))) = iS (g(s)PS φ(s)) = g(s)φ(s) (MgS iS )φ(s) = MgS φ(s) = g(s)φ(s). ◻ Nun f¨ uhren wir die Lemmata zu dem folgenden Satz zusammen und beachten, dass iK = PK∗ , iS = PS∗ und die Projektoreigenschaft P = P ∗ gelten. 147

Theorem 19. Der Toeplitz-Operator ist definiert als ∗ K ∗ TfS = PS j ∗ PK MfK ˜ iK jiS = PS j PK Mf˜ (iK jiS ) ∗ ∗ ∗ ∗ K ∗ = PS j ∗ PK MfK ˜ iS j iK = PS j PK Mf˜ PS j PK 2 K = PS2 MfK ˜ PS = PS Mf˜ PS .

6.3

Hardy-Toeplitz-C ∗-Algebra T (S) und ihre Realisierung als Kokreuzprodukt

In diesem Abschnitt nutzen wir die Katayama-Dualit¨at aus. Dazu konstruieren wir eî∗ (K), wobei f¨ ̂∗ (K) ⊂ ur diese Algebra gilt, dass C ∗ (K) ⊂ C ne Koaktion von K auf C λE λE Wλ∗ (K). Nachdem wir sichergestellt haben, dass das Kokreuzprodukt definierbar ist, zeigen wir, dass die Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra eine C ∗ -Unteralgebra von L(L2 (K)) ist. Zun¨achst gehen wir von der Gruppen-C ∗ -Algebra C ∗ (K) aus und betrachten diese als kokommutative Hopf-C ∗ -Algebra mit ihrer Komultiplikation ←  ΔK ∶ C ∗ (K) → C ∗ (K) ⊗ C ∗ (K), hier ist u ∈ L1 (K). Diesen C ∗ -Monomorphismus kann man durch Linkstranslationsoperatoren auf die W ∗ -Algebra erweitern ∗ ∗ ∗ Δext K ∶ W (K) → W (K)⊗W (K)

mit u ∈ M (K), dabei ist M (K) die Maßalgebra. Schr¨anken wir diesen erweiterten ̂∗ (K) ein, erhalten wir die C ∗ -Koaktion W ∗ -Monomorphismus auf C λE ΔK ∣Ĉ∗

λE

(K)

 ̂∗ (K) → C ̂∗ (K)← ∶C ⊗ C ∗ (K). λE λE

Nun kommt der Kac-Takesaki-Operator in der Katayama-Dualit¨at zum Zuge, mit dem gezeigt wird, dass / L(L2 (K)) O

Wλ∗ (K)⊗L∞ (K) O

⋃

̂∗ (K)⊗ ˆ C(K) C λ

⋃

/ K(L ̂ 2 (K)) O

O

⋃

ˆ C ∗ (K) C ∗ (K)⊗

148

/

⋃

K(L2 (K)).

Proposition 6.3.1. Es existiert ein W ∗ -Isomorphismus Ad(V ◻ ) ∶ W ∗ (K)  L∞ (K) → L(L2 (L)), der definiert ist durch Ad(V ◻ )(λ⧫u (idH ⊗ f )) = λu ⋅ f f¨ ur alle u ∈ M(K) und f ∈ L∞ (K). Beweis: Wir w¨ahlen den Kac-Takesaki-Operator V ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(s−1 t), der λ⧫g = V ◻ (λg ⊗ 1K )V ◻∗ f¨ ur alle λg ∈ W ∗ (K) und s, t ∈ K erf¨ ullt. Denn f¨ ur die ¨aquivalente Gleichung ΔK (λs )V ◻ = V ◻ (λs ⊗ 1K ) ist λ⧫g V ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = V ◻ (λg ⊗ λg )(φ ⊗ ψ)(s, t) = V ◻ (φ ⊗ ψ)(g −1 s, g −1 t) = φ(g −1 s)ψ(s−1 t) = λg φ(s)ψ(s−1 t) = V ◻ (λg ⊗ 1K )(φ ⊗ ψ)(s, t) f¨ ur alle s, t ∈ K. Damit erf¨ ullt ◻ die Kovarianzrelationen, so dass ein W ∗ -Isomorphismus ur s ∈ K und π(f ) = idH ⊗ f f¨ ur π ∶ L(L2 (K)) → W ∗ (K)  L∞ (K) mit π(λs ) = λs ⊗ λs f¨ ullt. Wie in den vorhergehenden Integrationen (s. Folgerung 4.7.8) sehen f ∈ L∞ (K) erf¨ ur alle u ∈ M (K). wir auch hier, dass π(λu ) = λ⧫u f¨

◻

Es fehlt noch der Nachweis, dass dies eine C ∗ -Unteralgebra ist. Dies beweisen wir, indem wir f¨ ur die triviale Aktion als Spezialfall der bidualen Linkskoaktion aus Theorem 11 den Isomorphismus zeigen. Proposition 6.3.2. Es existiert ein injektiver C ∗ -Homomorphismus ̂∗ (K)  C(K) → K(L2 (K)) ◻∶C λE auf dem Kokreuzprodukt, f¨ ur das ◻−1

[Ad(V ◻ )((λ⧫u (idH ⊗ f ))]

= λu ⋅ f

̂∗ (K) und f ∈ C(K) gilt. f¨ ur alle a ∈ C λE 149

Beweis: Hier wird der Beweis gef¨ uhrt wie in Theorem 11, Seite 88, indem man zeigt, dass f¨ ur die ̂∗ (K) und f ∈ C(K) gilt: triviale Aktion id◻ , λu ∈ C λE

Ad(idH ⊗ V ◻ )(id◻H (idH ⊗ f )) = (idH ⊗ λu )(idH ⊗ f )) = λu f. ◻ Dann ist der Toeplitz-Operator, wie wir gerade gesehen haben, definiert als TfS = PS MfK ˜ PS , wobei PS die im Abschnitt 7.2 vorgestellte Szeg¨o-Projektion auf dem Shilov-Rand ist. Die von den Toeplitz-Operatoren erzeugte C ∗ -Algebra definieren wir nun. Definition 6.3.3. Die Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra T (S) u ¨ber S ist definiert als unitale C ∗ -Algebra T (S) = C ∗ (TS (f ) ∶ f ∈ C(S)), die durch alle Hardy-Toeplitz-Operatoren TS (f ) mit stetigem Symbol f ∈ C(S) erzeugt wird. Die beiden folgenden Propositionen werden ben¨otigt, um zu begr¨ unden, dass das algeur lokalkompakte Gruppen G liegt. braische Produkt C ∞ (G) ⊙ C∞ (G) dicht in A(G × G) f¨ Proposition 6.3.4. ([Losert], S. 370) Sei G eine lokalkompakte Gruppe und A(G) die Fourier-Algebra2 . Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus Ψ ∶ A(G) ⊗pr A(G) → A(G × G), der nicht notwendigerweise normerhaltend ist. Dabei ist ⊗pr das projektive Tensorprodukt3 . F¨ ur diese Proposition wird [Takesaki 2], Ex. 1(a), S. 192, f¨ ur beschr¨ankte lineare Abbildungen von Banach-R¨aumen verwendet. F¨ ur uns ist wichtig, dass Ψ stets ein dichtes Bild hat, was wir im Folgenden zeigen. Proposition 6.3.5. Sei E ∶= Ψ[A(G) ⊗pr A(G)] ⊂ A(G × G) ein linearer Unterraum. Dann ist E dicht in A(G × G). 2 3

150

Wir weisen auf die Definition der Fourier-Algebra in [Eymard], Definition 3.5, S. 209 hin. Die Definition des projektiven Tensorprodukts findet man in [Takesaki 2], S. 189.

Beweis: Nach Proposition 6.3.4. existiert ein stetiger Isomorphismus vom projektiven Tensorprodukt Ψ ∶ A(G) ⊗pr A(G) → A(G ⊗ G). Nun sei f ∈ A(G × G) eine beliebige, aber feste Funktion. Dann existiert ein g ∈ A(G) ⊗pr A(G) mit Ψ(g) = f. Die projektive Vervollst¨andigung des algebraischen Tensorprodukts A(G) ⊗ A(G) ⊂ A(G) ⊗pr A(G) ist dicht. Das bedeutet, dass f¨ ur eine endliche Menge Eα das α-Netz g = p − lim ∑ fiα ⊗ giα α i∈Eα

konvergiert. Wegen der Stetigkeit von Ψ gilt: f = Ψ(g) = Ψ(p − lim ∑ fiα ⊗ giα ) α i∈Eα

= p − lim(Ψ( ∑ fiα ⊗ giα )). α

i∈Eα

Da der Ausdruck fα = Ψ( ∑ fiα ⊗ giα ) in Ψ(A(G) ⊗ A(G)) liegt, konvergiert fα gegen f ∈ A(G × G).

i∈Eα

◻

Wir stellen noch ein Hilfsmittel bereit. Lemma 6.3.6. Es sei E eine Distribution, f ∈ C ∞ (K), u ∈ C ∞ (K) und λ eine regul¨are Darstellung. Dann gilt: lim ∑ λK ⊗ λK ΔK (λEf )(1 ⊗ λK u ) = n→∞ Eφn ψin . i i∈In

Beweis: Abgesehen davon, dass λE f = λE ⋊f gilt, ben¨otigen wir noch, dass im Falle der Konvergenz von Fi gegen F in A(K) auch λ g ⋊ Fi → λ g ⋊ F 151

gilt. lim ∑ λK ⊗ λK lim ∑ λK×K n Eφn ψin = n→∞ Eφn i i ⊗ψi

n→∞

i∈In

i∈In

= lim ∑ λK×K n (E⊗1)(φn i ⊗ψi ) n→∞ i∈In

n n = lim ∑ λK×K E⊗1 ⋊ (φi ⊗ ψi ) n→∞ i∈In

= λK×K E⊗1 ⋊ F = λK×K (E⊗1)F =

[Landstad/Philipps/Raeburn/Sutherland], S. 754

λK×K G

= ΔK (λEf )(1 ⊗ λK u ) ◻ Daraus ergibt sich unmittelbar die Folgerung 6.3.7. ∗ ̂∗ lim ∑ λK ⊗ λK Eφn ψin ∈ Cλ (K) ⊙ Cλ (K). i

n→∞

i∈In

Theorem 20. ([Upmeier 4], Theorem 4.10.21, S. 319) Die Einschr¨ankung des W ∗ -Monomorphismus der Gruppen-von Neumann-Algebra Wλ∗ (K) auf die Hardy-Multiplieralgebra ̂∗ (K) definiert eine C ∗ -Koaktion C λ  ̂∗ ̂∗ (K) → C ̂∗ (K)← ΔK ∶ C ⊗C λ λ λ (K) ̂∗ (K). von K auf C λ Beweis: ̂∗ (K) in die Es gen¨ ugt zu zeigen, dass die Einschr¨ankung des W ∗ -Monomorphismus auf C λ ←  ∗ ∗ ̂ Linksmultiplier-Algebra C (K) ⊗ C (K) geht, weil diese Einschr¨ankung als C ∗ -Koaktion λ

̂∗ (K). aufgefasst wird, also als Aktion von C ∗ (K) auf C λ Nun sei A(K) die Fourier-Algebra von K. Es ist bekannt, dass der Banach-Raum-Dual A(K)ˆ der Fourier-Algebra A(K) die W ∗ -Algebra W ∗ (K) ist, also W ∗ (K) = A(K)ˆ. Diese Dualit¨at kann durch die Bilinearform W ∗ (K) × A(K) → C (T, f ) ↦ ⟨T, f ⟩ ausgedr¨ uckt werden ([Eymard], Th´eor`eme 3.10, S. 210). Der Pr¨adual A(K)# operiert auf W ∗ (K), also ⟨T ⋊ f ; g⟩ = ⟨T ; f g⟩. 152

Dies setzen wir nun f¨ ur die passenden Algebren ein, also seien λE ∈ L(L2 (K) und u ∈ C ∞ (K) ⊂ L1 (K). Dann gilt: ⟨λE ⋊ g; f ⟩ = ⟨λE ; gf ⟩ = ∫ g(k)f (k)E(k)dk K

= ∫ f (k)(Eg)(k)dk K

= ⟨λEg ; f ⟩. ur g ∈ C ∞ (K), da C ∞ (K) dicht in A(K) Also ist λEg = λE ⋊g, so dass auch λE ⋊g ∈ Wλ∗ (K) f¨ liegt ([Eymard], Proposition 3.26, S. 219). Aus den vorhergehenden beiden Propositionen wissen wir, dass C ∞ (K) ⊙ C ∞ (K) dicht in A(K × K). Dann ist F (s, t) = f (s)u(s−1 t) ∈ C ∞ (K) ⊙ C ∞ (K) ⊂ A(K × K), und es sind s¨amtliche Limiten F (s, t) = lim ∑ Φni (t)Ψni (t) ∈ A(K × K) n→∞ i∈In

mit endlichem In und Ψni , Φni ∈ C ∞ (K) f¨ ur alle n und i ∈ In . Nach [Landstad/Philipps/Raeburn/Sutherland] (Abschnitt 2, S. 754) gibt es einen KacTakesaki-Operator (Kapitel 4.4) V ◻ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(s−1 t), so dass K K K ΔK (λK Ef )(i ⊗ λu ) = Δ(λE ⋊ f )(i ⊗ λu ) ◻∗ = V ◻ (i ⊗ λK u )V

= E(s)f (s)u(s−1 t) = E(s)F (s, t) = λK×K (s, t) G mit einer regul¨aren Darstellung G ∈ L1 (G × G), die in unserem Fall die Distribution E beinhaltet. Dann gilt mit dem Lemma 6.3.6 und der Folgerung 6.3.7 die Behauptung. ◻

Theorem 21. ([Upmeier 4], Theorem 4.10.38, S. 323) Die Hardy-Toeplitz-C ∗ -Algebra T (S) ist eine C ∗ -Unteralgebra von L(L2 (K)), die durch ̂∗ (K)  C(K))λE T (S) = λE (C λ als Kokreuzprodukt beschrieben ist. Die Behauptung des Theorems bedeutet, dass die Toeplitz-Operatorenalgebra eine sogenannte erbliche C ∗ -Unteralgebra ist, deren Inklusionen in die Multiplieralgebra  ̂∗ (K)  C(K))λE ↪ C ̂∗ (K)← ⊗ C(K) strikt sind. Mit den Inklusionen k¨onnen dann λE (C λ λ Hopf-C ∗ -Algebren definiert werden. 153

Beweis: ̂∗ (K)  C(K))λE . Zun¨achst zeigen wir, dass T (S) ⊆ λE (C λ Es sei E die Szeg¨o-Projektion, d. h. die orthogonale Projektion λE ∶ L2 (S) → H 2 (S). Ferner sei PK ∶ L2 (K) → L2 (S) die orthogonale Projektion auf den abgeschlossenen Unterraum aller links-L-invarianten Funktionen auf K. Es gibt f¨ ur jede Funktion f ∈ C(S) eine Funktion f˜(k) ∶= f (e ⋅ k) auf ur den K (e ist Basispunkt von S und k ∈ K, s. S. 105), so dass wir Mf = PK Mf˜PK f¨ korrespondierenden Multiplikationsoperator haben. Daraus ergibt sich: TS (f ) = λE Mf λE . ̂∗ (K)  C(K))λE ⊆ T (S). Dazu schreiben wir λE ausf¨ uhrlich: Nun sei umgekehrt λE (C λ ̂∗  C(K))iK jiS ⊆ T (S). PS j ∗ PK (C λ Mit dem Satz von Stone-Weierstraß ist sichergestellt, dass Summen und Limite abgeschlossen in T (S) sind. Wir definieren eine stetige Funktion F (k0 , k1 , . . . kn ) auf K n+1 mit Hilfe bestimmter uj ∈ C ∞ (K) und Fj ∈ C(K) . Diese Funktion ist durch folgende Trennung der Variablen charakterisiert: n

F (k0 , k1 , . . . kn ) = ∏ uj (kj−1 kj−1 )Fj (kj ). j=1

Diese Funktion F liegt in einem

C ∗ -Algebra-Tensorprodukt,

welches die Punkte auf K n+1

trennt und somit nach Stone-Weierstraß dicht in C(K n+1 ) liegt, so dass gilt: u1 (k0 k1−1 )F1 (k1 ) ⋅ . . . ⋅ un (kn−1 kn−1 )Fn (kn ) = f0 (ek0 )f1 (ek1 ) ⋅ . . . ⋅ fn (ekn ) mit f0 , . . . , fn ∈ C(S). Dies sehen wir, indem wir die unitale, punktetrennende Algebra durch die H¨ ulle F ∶= ⟨∑ f0α (ek0 )⋯ . . . fnα (ekn )∣f0 , . . . fn ∈ C(S)⟩ α

bilden. Es ist F ⊂ C(K n+1 ), so dass mit dem Satz von Stone-Weierstraß folgt, dass F dicht in C(S) liegt. Die Funktion F liegt im Abschluss der Algebra F , daher k¨onnen Produkte umgebildet werden, indem man die Variablen k0 k1−1 = h1 in u1 (k0 k1−1 )F1 (k1 )) umtransformiert. Es ist zu zeigen, dass f¨ ur festes n ∈ N gilt K K K MFK1 lEu MFK2 . . . lEu MFKn iK jiS = TfS0 . . . TfSn , PS j ∗ PK lEu n 1 2

154

d.h. K ⟨φ∣PS j ∗ PK lEu MFK1 iK jiS ψ⟩S = ⟨φ∣TfS0 TfS1 ψ⟩S 1

f¨ ur φ, ψ ∈ H 2 (S). Durch duale Paarung erhalten wir einerseits ⟨φ∣TfS0 TfS1 ψ⟩ = ⟨φ∣PS MfS0 PS PS MfS1 PS ψ⟩S = ⟨φ∣PS MfS0 PS MfS1 ψ⟩S

wegen PS2 =PS und PS ψ=ψ

= ⟨PS∗ φ∣MfS0 PS MfS1 ψ⟩S

wegen iS =PS∗

= ⟨φ∣MfS0 PS MfS1 ψ⟩S

Multiplikationsoperator anwenden

= ⟨φ∣f0 PS f1 ψS ⟩S = ∫ φ(s)f0 (s)PS (f1 ψ)(s)ds s = ek S

= ∫ φ(ek)f0 (ek)PS (f1 ψ)(ek)dk

linksinvariantes Haar-Maß

K

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )dk0 ∫ E(k0 k −1 )f1 (ek1 )ψ(ek1 )dk1 K

K

= ∫ φ(ek0 )dk0 ∫ (u1 E)(k0 k1−1 )F1 (k1 )ψ(ek1 )dk1 K

K

und andererseits K K MFK1 iK jiS ψ⟩S = ⟨PS∗ φ∣j ∗ PK lEu MFK1 iK jiS ψ⟩S ⟨φ∣PS j ∗ PK lEu 1 1 K = ⟨jiS φ∣PK lEu MFK1 iK jiS ψ⟩K 1 K = ⟨PK∗ jiS φ∣lEu MFK1 iK jiS ψ⟩K 1 K = ⟨iK jiS φ∣lEu MFK1 iK jiS ψ⟩K 1

̃ K F1 ψ⟩ ̃K = ⟨φ∣l Eu1 ̃ 0 )(lK F1 ψ)(k ̃ 0 )dk0 = ∫ φ(k Eu1 K

̃ −1 k0 )dk = ∫ φ(ek0 )dk0 ∫ (Eu1 )(k)(F1 ψ)(k K

K

= ∫ φ(ek0 )dk0 ∫ (Eu1 )(k)F1 (k −1 k0 )ψ(ek −1 k0 )dk K

K

= ∫ φ(ek0 )dk0 ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )F1 (k1 )ψ(ek1 )dk1 . K

K

Zum Verst¨andnis der Iteration berechnen wir noch das Produkt aus drei ToeplitzOperatoren. 155

Lemma 6.3.8. Es gilt (PS f )(ek0 ) = ∫ E(k0 k1−1 )f (ek1 )dk1 . K

Beweis: (PS f )(ek0 ) = ∫ E(k)f̃(k −1 k0 )dk K

= ∫ E(k)f (ek −1 k0 )dk setze k1 = k −1 k0 K

= ∫ E(k0 k1−1 )f (ek1 )dk1 . K

◻

Dann ergibt sich einerseits ⟨φ∣TfS0 TfS1 TfS2 ψ⟩S = ⟨φ∣PS MfS0 PS MfS1 PS MfS2 ψ⟩S = ⟨φ∣f0 PS f1 PS f2 ψ⟩S = ∫ φ(s)f0 (s)PS (f1 ⋅ PS (f2 ⋅ ψ))(s)ds S

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )PS (f1 ⋅ PS (f2 ⋅ ψ))(ek0 )dk0

linksinvariantes Haar-Maß

K

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )dk0 ∫ E(k0 k −1 )(f1 ⋅ PS (f2 ⋅ ψ))(ek1 )dk1 K

K

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )dk0 ∫ E(k0 k −1 )f1 (ek1 )PS (f2 ⋅ ψ)(ek1 )dk1 K

K

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )dk0 ∫ E(k0 k −1 )f1 (ek1 ) ∫ E(k1 k2−1 )(f2 ⋅ ψ)(ek2 ) K

K

K

dk0 dk1 dk2 = ∫ ∫ ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )E(k0 k1−1 )f1 (ek1 )E(k1 k2−1 )f2 (ek2 )ψ(ek2 ) K

K

K

dk0 dk1 dk2 = ∫ ∫ ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )f1 (ek1 )f2 (ek2 )E(k0 k1−1 )E(k1 k2−1 )ψ(ek2 ) K

K

K

dk0 dk1 dk2 = ∫ ∫ ∫ φ(ek0 )f0 (u1 E)(k0 k1−1 )F1 (k1 )(u2 E)(k1 k2−1 )F2 (k2 )ψ(ek2 ) K

K

K

dk0 dk1 dk2 156

und andererseits K K MFK1 lEu MFK2 iK jiS ψ⟩S ⟨φ∣PS j ∗ PK lEu 1 2

̃ K M K lK M K ψ⟩ ̃K = ⟨φ∣l Eu1 F1 Eu2 F2 ̃ ̃ 0 )(lK (F1 ⋅ lK F2 ⋅ ψ))(k = ∫ φ(k 0 )dk0 Eu1 Eu2 K

̃ ̃ 0 ) ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )(F1 ⋅ lEu (F2 ⋅ ψ))(k = ∫ φ(k 1 )dk0 dk1 2 K

K

̃ 1 )dk0 dk1 = ∫ φ(k0 )(ek0 ) ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )F1 (k1 )(lEu2 F2 ⋅ ψ)(k K

K

= ∫ φ(k0 )(ek0 ) ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )F1 (k1 ) ∫ (Eu2 )(k1 k2−1 )F2 (k2 )ψ(ek2 )dk0 dk1 dk2 K

K

K

= ∫ ∫ ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )(u1 E)(k0 k1−1 )F1 (k1 )(u2 E)(k1 k2−1 )F2 (k2 )ψ(ek2 )dk0 dk1 dk2 . K K K

Das bedeutet allgemein f¨ ur festes n ∈ N einerseits ⟨φ∣TfS0 TfS1 . . . TfSn ψ⟩S = ⟨φ∣PS MfS0 PS MfS1 . . . PS MfSn ψ⟩S = ⟨φ∣f0 PS f1 . . . Pn fn ψ⟩S = ∫ φ(s)f0 (s)PS (f1 ⋅ PS (f2 . . . PS fn ⋅ ψ))(s)ds S

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )PS (f1 ⋅ PS (f2 ⋅ . . . ⋅ PS fn ⋅ ψ))(ek0 )dk0 K

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )dk0 ∫ E(k0 k −1 )(f1 ⋅ PS (f2 ⋅ . . . ⋅ PS fn ⋅ ψ))(ek1 )dk1 ⋮

K

K

= ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )dk0 ∫ E(k0 k −1 )f1 (ek1 ) ∫ . . . K

K

K

. . . ∫ E(kn−1 kn−1 )(fn ⋅ ψ(ekn ))dk0 dk1 . . . dkn K

= ∫ . . . ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 )E(k0 k1−1 )f1 (ek1 ) . . . K

K

. . . E(kn−1 kn−1 )fn (ekn )ψ(ekn )dk0 dk1 . . . dkn = ∫ . . . ∫ φ(ek0 )f0 (ek0 ) . . . fn (ekn )E(k0 k1−1 ) . . . E(kn−1 kn−1 )ψ(ekn )dk0 dk1 . . . dkn K

K

= ∫ . . . ∫ φ(ek0 )(u1 E)(k0 k1−1 )F1 (k1 )(u2 E)(k1 k2−1 )F2 (k2 ) . . . K

K

. . . (un E(kn−1 kn−1 ))Fn (kn )ψ(ekn )dk0 dk1 . . . dkn 157

und andererseits K K MFK1 lEu MFK2 ⟨φ∣PS j ∗ PK lEu 1 2 K . . . lEu MFKn iK jiS ψ⟩S n

̃ K M K . . . lK M K ψ⟩ ̃K = ⟨φ∣l Eu1 F1 Eun Fn ̃ ̃ 0 )(lK (F1 ⋯lK F2 . . . lK Fn ⋯ψ))(k = ∫ φ(k 0 )dk0 Eu1 Eu2 Eun K

̃ ̃ 0 ) ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )(F1 ⋅ lEu (F2 . . . lEu Fn ⋅ ψ))(k = ∫ φ(k 1 )dk0 dk1 n 2 K

K

̃ 1 )dk0 dk1 = ∫ φ(k0 )(ek0 ) ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )F1 (k1 )(lEu2 F2 ⋅ ψ)(k ⋮

K

K

= ∫ φ(k0 )(ek0 ) ∫ (Eu1 )(k0 k1−1 )F1 (k1 ) ∫ . . . K

K

K

. . . ∫ (Eun )(kn1 kn−1 )Fn (kn )ψ(ek2 )dk0 dk1 . . . dkn K

= ∫ . . . ∫ φ(ek0 )(u1 E)(k0 k1−1 )F1 (k1 ) . . . K

K

. . . (un E)(kn−1 1kn−1 )Fn (kn )ψ(ek2 )dk0 dk1 . . . dkn . ̂∗ (K)C(K))λE in der Hardy-ToeplitzDamit ist gezeigt, dass das Kokreuzprodukt λE (C λ ̂∗ (K)C(K))λE Algebra T (S) liegt. Also haben wir insgesamt gezeigt, dass T (S) = λE (C λ

ist.

158

◻

Kapitel 7 Bergman-Toeplitz-C ∗-Algebra Tν (B) In diesem Kapitel betrachten wir eine Familie von Hilbert-R¨aumen analytischer Funktionen auf dem symmetrischen Raum B, der durch ein irreduzibles komplexes JordanTripelsystem Z ausgedr¨ uckt werden kann. Anstatt kompakter Gruppen werden nunmehr (unimodulare) lokalkompakte Gruppen und die zugrundeliegenden R¨aume studiert, insofern sind lokalkompakte Lie-Gruppen die geeigneten Objekte der Untersuchung. Diese sind: G = Aut(B), g = aut(b) halbeinfache Lie-Gruppen mit kompaktem Zentrum K.

7.1

Bergman-Projektion als Linksfaltungsoperator

Zun¨achst ist die Aufgabe, die wohldefinierte Bergman-Projektion als einen Faltungsoperator auf der Gruppe G auszudr¨ ucken. Wir beginnen mit den klassischen BergmanProjektionen, um die abstraktere Vorgehensweise auf G zu motivieren. Im Kapitel 5.3 haben wir die Bergman-R¨aume auf den Gebieten B und B kennengelernt und aus Kapitel 5.6 kennen wir den Zusammenhang zwischen skalarwertiger holomorpher Reihe und gewichteten Bergman-R¨aumen. Jetzt betrachten wir eine beliebige halbeinfache Lie-Gruppe G mit einer kompakten Untergruppe K. Die holomorphe diskrete Reihe fassen wir als Prototypen f¨ ur den gewichteten Bergman-Raum auf. Dazu bezeichnen wir den Hilbert-Darstellungsraum mit ⟨G⟩ν = O(G/K) ∩ L2ν (G/K). F¨ ur eine holomorphe diskrete Reihe sind die K-endlichen Vektoren Funktionen, die eingeschr¨ankt auf beschr¨ankte symmetrische Gebiete zu Polynomen werden. Betrachtet man die wohlbekannte Peter-Weyl-Zerlegung der K-finiten Vektoren, so erh¨alt man stets einen eindeutig bestimmten K-Typ vom kleinsten Gewicht (engl.: lowest K-type), der mit Multiplizit¨at 1 auftritt und den konstanten Polynomen entspricht. Dieser eindeutig bestimmte T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

lowest K-type ⟨K⟩ν existiert sogar in jeder Darstellung einer diskreten Reihen ⟨G⟩ν und hat immer endliche Dimension. Sei daher j ∶ ⟨K⟩ν → ⟨G⟩ν die K-invariante Einbettung und ⟨K⟩ν = C⟨ei ∶ 1 ≤ i ≤ dim⟨K⟩ν ⟩ eine Orthonormalbasis. Zun¨achst sei π eine unit¨are Darstellung π ∶ G → U (⟨G⟩ν ) g

↦ π(gν ),

die wir im Weiteren mit g ν ∶= π(gν ) bezeichnen. Im allgemeinen Fall der diskreten Reihe kann zu einer Abbildung einer Orthonormalbasis ei ∈ ⟨K⟩ν auf ein K-invariantes Orthonormalsystem j(ei ) ∈ ⟨G⟩ν verallgemeinert werden, d. h. j ∶ ⟨K⟩ν → ⟨G⟩ν , wobei diese Abbildungen keine Funktionen auf B mehr sein m¨ ussen. Im Diagramm verdeutlichen wir die Abbildung j

⟨K⟩ν → ⟨G⟩ν  ν E(g) g     j ⟨K⟩ν → ⟨G⟩ν und k¨onnen sehen, dass E(g) = j ∗ g ν j ∈ End(⟨K⟩ν ) ist. Die duale Abbildung wird durch jj ∗ gebildet, was wir im Diagramm verdeutlichen wollen ⟨K⟩ν l

j j∗

,

⟨G⟩ν jju ∗ .

Ferner sei ei ∈ ⟨K⟩ν eine Orthonormalbasis. Dann ist die Abbildung E(g) ∈ End(⟨K⟩ν ) in h¨oheren Dimensionen durch eine Matrix darstellbar als Eij (g) = ⟨ei ∣j ∗ πν (g)ej ⟩⟨K⟩ν = ⟨j(ei )∣πν (g)ej ⟩⟨G⟩ν , also ist die Koeffizientenfunktion Eij ∈ L2 (G) ⊗ End(⟨K⟩ν ), aber nicht in L1 (G). Wir betrachten nun jj ∗ =

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

160

j(ei ) ⊗ j ∗ (ei )

mit j(ei ) ∈ ⟨G⟩ν und dem letzten Ausdruck j ∗ (ei ) ∈ ⟨K⟩ν als Rang-1-Operator. Dann ist ⟨φ∣jj ∗ ψ⟩⟨G⟩ν = ⟨j ∗ φ∣j ∗ ψ⟩⟨K⟩ν dim⟨K⟩ν

∑ ⟨j ∗ φ∣ei ⟩⟨K⟩ν ⟨ei ∣j ∗ ψ⟩⟨K⟩ν

=

i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ ⟨φ∣j(ei )⟩⟨G⟩ν ⟨j(ei )∣ψ⟩⟨G⟩ν i=1

dim⟨K⟩ν

∑ ⟨φ∣[j(ei ) ⊗ (j ∗ (ei ))]ψ⟩⟨G⟩ν .

=

i=1

Außerdem definieren wir die Einbettung I durch I ∶ ⟨G⟩ν ↪ L2 (G) ⊗ ⟨K⟩ν =∶ L2 (G, ⟨K⟩ν ) ̃ φ(g) ↦ φ(g) ∶= j ∗ (g ν φ). Die unit¨are Aktion ist (g −ν φ)(z) = φ(g(z))g ′ (z) 2 . ν

G operiert irreduzibel auf ⟨G⟩ν : G ⋉ ⟨G⟩ν → ⟨G⟩ν . Die dazugeh¨orige duale Abbildung ist I ∗ ∶ L2 (G, ⟨K⟩ν ) → ⟨G⟩ν ˜ φ(g) ↦ j(g ν φ) = ((jj ∗ )g ν )(φ) = g ν (φ). Wir fassen diese Abbildung in einem Diagramm zusammen: ρg ⊗id⟨K⟩ν

L2 (G, ⟨K⟩ν ) o I∗



⟨G⟩ν o

L2 (G, O ⟨K⟩ν ) I

ρg ⊗id⟨K⟩ν

⟨G⟩ν ∋ φ.

Dann k¨onnen wir die Projektion P = II ∗ definieren: P ∶ L2 (G, ⟨K⟩ν ) → L2 (G, ⟨K⟩ν ).

Zun¨achst zeigen wir die folgende Behauptung. 161

Proposition 7.1.1. ν (φ). ̃ = g̃ ρg (φ)(y)

Beweis: ̃ ̃ (ρg φ)(y) = φ(yg) = j ∗ ((yg)ν φ) = j ∗ (y ν (g ν φ)) ν φ(y). = g̃

◻ Daraus ergibt sich sofort Folgerung 7.1.2. F¨ ur ̃ ∶ φ ∈ ⟨G⟩ν } ⊂ L2 (G, ⟨K⟩ν ) ⟨G⟩˜ν = {φ gilt, dass ⟨G⟩˜ν ein rechts-G-invarianter Unterraum ist. Ebenso folgt daraus mit dem Satz von Str˘atil˘a und Zsid´o (Theorem 17). Folgerung 7.1.3. Die Projektion P ∈ L2 (G, ⟨K⟩ν ) ist ein Linksfaltungsoperator in Wλ (G). Im Weiteren betrachten wir ̃ φ(g) ∶= j ∗ (g −ν (g)) mit g ν ∈ ⟨G⟩ν . Es ist E(g) ∶= j ∗ g ν j ∈ End(⟨K⟩ν ) dargestellt als Diagramm j∗

L2 (G, ⟨K⟩ν ) → ⟨G⟩ν   E(g) πν (g)     j L2 (G, ⟨K⟩ν ) ← ⟨G⟩ν Theorem 22. (Vektorwertige Version) Sei ei ∈ ⟨K⟩ν eine Orthonormalbasis und λE die Bergman-Projektion auf ⟨G⟩ν . Dann gilt: dim⟨K⟩ν ̃ ∗ −1 ν ∗ ν ∫ (j (gt ) j)j (t φ)dt = dim⟨G⟩ φ(g). ν G

¨ Bemerkung 7.1.4. Man beachte die Ahnlichkeit zur Schur-Orthogonalit¨at (Theorem 14). Außerdem ist die Dimension dim⟨G⟩ν im von Neumannschen Sinne zu verstehen. 162

Beweis: Es ist λE ∶ L2 (G) → ⟨G⟩˜ν ⊂ L2 (G) mit (λE f )(g) = ∫ E(s)f (s−1 g)ds. G

̃ Wir w¨ahlen φ(g) = j ∗ (g ν φ), dann ist (λE fφ )(g) = ∫ E(s)fφ (s−1 g)ds G

= ∫ E(s)j ∗ ((s−1 g)ν φ)ds G

= ∫ E(gt−1 )j ∗ (tν φ)dt G

= ∫ [j ∗ (gt−1 )ν j]j ∗ (tν φ)dt. G

Diesen Integranden berechnen wir mit der Schur-Orthogonalit¨at, wobei  ∈ ⟨K⟩ν ist. ⟨∣(j ∗ (gt−1 )ν j)(j ∗ (tν φ))⟩ = ⟨∣j ∗ (gt−1 )ν j(ei )⟩⟨j(ei )∣tν φ⟩ = ⟨(tg −1 )ν j∣j(ei )⟩⟨j(ei )∣tν φ⟩ = ⟨tν ((g −1 )ν j)∣j(ei )⟩⟨j(ei )∣tν φ⟩ Dies bedeutet integriert f¨ ur ⟨∣ ∫ (j ∗ (gt−1 )ν j)(j ∗ (tν φ))dt⟩ = ∫ ⟨j(ei )∣tν φ⟩⟨tν ((g −1 )ν j)∣j(ei )⟩dt. G

G

Mit der Schur-Orthogonalit¨at gilt: 1 ν ν −1 ν −ν ∫ ⟨j(ei )∣t φ⟩⟨t ((g ) j)∣j(ei )⟩dt = dim⟨G⟩ ⟨jei ∣jei ⟩⟨g j∣φ⟩ ν G

dim⟨K⟩ν ⟨j∣g ν φ⟩ dim⟨G⟩ν dim⟨K⟩ν = ⟨∣j ∗ g ν φ⟩ dim⟨G⟩ν dim⟨K⟩ν ̃ = ⟨∣φ(g)⟩. dim⟨G⟩ν =

◻

163

Im allgemeineren Fall gilt:

Theorem 23. (Matrix-Version) Die Abbildung

dim⟨G⟩ν λE ∶ L2 (G) → ⟨G⟩̃ν dim⟨K⟩ν ij ist eine Orthogonalprojektion in ⟨G⟩ν .

Beweis: ̃= φ ̃ ⋅ dim⟨K⟩ν ist. Wir m¨ ussen zeigen, dass λEij φ dim⟨G⟩ν

̃ ̃ (λEij φ)(s) = ∫ Eij (t)(λt φ)(s)dt G

̃ −1 s)dt = ∫ Eij (t)φ(t G

= ∫ Eij (t)j ∗ [πν (t−1 s)φ]dt G

= ∫ (j ∗ πν j)(t)j ∗ [(πν φ)(t−1 s)]dt G

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

∗ ∗ −1 ∫ (j πν )(t)j(ei )(j(ei )) (πν φ)(t s)dt G ∗ −1 ∫ (j πν )(t)j(ei )(j(ei )∣(πν φ)(t s))dt G ∗ −1 −1 ∫ (j πν )(t)j(ei )(j(ei )∣πν (t s)φ(t s))dt G ∗ −1 −1 ∫ (j πν )(t)j(ei )(j(ei )∣πν (t )πν (s)φ(t s))dt G ∗ −1 −1 ∫ (j πν )(t)j(ei )(j(ei )∣πν (t)πν (s)φ(t s))dt G ∗ −1 ∫ (j πν )(t)j(ei )(πν (t)jei ∣πν (s)φ(t s))dt. G

Die Auswertung des ersten Teils realisieren wir durch die duale Paarung mit einer Konstanten. 164

̃ ⟨∣λEij φ(s)⟩ =

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

=

dim⟨K⟩ν

∑ i=1

∗ −1 ∫ ⟨∣j πν (t)jei ⟩(πν (t)jei ∣πν (s)φ(t s))dt G

∫ (j∣πν (t)jei )(πν (t)jei ∣πν (s)φ)dt G

dim⟨K⟩ν

1 (j∣πν (s))(jei ∣jei )dt (wg. Schur-Orthogonalit¨at) dim⟨G⟩ν dim⟨K⟩ν = (j∣πν (s)φ) dim⟨G⟩ν dim⟨K⟩ν = (∣j ∗ πν (s)φ) dim⟨G⟩ν dim⟨K⟩ν ̃ = ⟨∣φ(s)⟩ (wg. reproduzierender Kerneigenschaft). dim⟨G⟩ν =

∑ i=1

Damit ist gezeigt, dass λEij φ˜ = φ˜ ist. Also ist λEij eine orthogonale Projektion.

◻

Die vorangegangenen Betrachtungen spezialisieren wir f¨ ur den klassischen Fall, dass ur den ⟨G⟩ν = Hν2 (B) ist. Dazu definieren wir zun¨achst die (isometrische) Abbildung f¨ eindimensionalen Fall j ∶ C ⋅ 1 = ⟨K⟩ν → ⟨G⟩ν c ⋅ 1 ↦ c ⋅ 1(z) = c ⋅ 1. ugt zur Einbettung. Dazu konstruieren wir Diese Abbildung von 1 ∈ ⟨K⟩ν auf 1 ∈ ⟨G⟩ν gen¨ die duale Abbildung j ∗ , also die duale Abbildung von ⟨G⟩ν → C ⋅ 1. j ∗ (φ) = 1(j ∗ φ) = ⟨1∣j ∗ (φ)⟩⟨K⟩ν = ⟨j(1)∣φ⟩⟨G⟩ν = ∫ j(1)(z)φ(z)dμν (z) G

= ∫ 1(z)φ(z)dμν (z)

[(j1)(z)=1(z)=1]

G

= ∫ φ(z)dμν (z). G

Die Einbettung I definieren wir durch I ∶ ⟨G⟩ν ↪ L2 (G) ⊗ ⟨K⟩ν =∶ L2 (G, ⟨K⟩ν ) ̃ φ(g) ↦ φ(g) ∶= j ∗ (g ν φ) ν ν ̃ mit der Linksaktion φ(g) = (g ⋉ φ)(o) = (det g ′ (o)) p φ(o.g) mit (det g ′ (o)) p ∈ ⟨K⟩ν = C

und φ(o.g) ∈ ⟨K⟩ν . Diese Abbildung ist eine isometrische Einbettung.

165

Lemma 7.1.5. Es sei φ ∈ ⟨G⟩ν . Dann gilt j ∗ φ = φ(0). Beweis: ur das Wir wissen, dass j ∗ φ = ⟨1∣φ⟩⟨G⟩ν gilt. Damit haben wir mit der Eigenschaft f¨ m-homogene Polynom φm j ∗ φ = ⟨1∣φ⟩⟨G⟩ν = ∑⟨1∣φm ⟩⟨G⟩ν m

= ⟨1∣φ0 ⟩⟨G⟩ν = φ(0)⟨1∣1⟩⟨G⟩ν = φ(0) ∫ 1dμν (z) G

= φ(0), wobei wir ber¨ ucksichtigen, dass wegen der Normalisierungseigenschaft f¨ ur μν gilt: ∫ 1dμν (z) = 1.

◻

G

Proposition 7.1.6. Es sei ν > p − 1, φ ∈ ⟨G⟩ν . Dann ist ν

g ↦ φ(g(0))[det g ′ (0)] p in L2 (G). Beweis: ̃ Wir betrachten die Einbettung φ(g) ∶= j ∗ (g −ν φ) = j ∗ (π −1 φ)(g −1 ), also ⟨G⟩ν → L2 (G, ⟨K⟩ν ) ̃ −1 ). φ(g) ↦ φ(g Hierf¨ ur gilt: ̃ −1 ) = j ∗ (g −ν φ) φ(g = ∫ (g −ν φ)(z)dμν (z) G

= ∫ φ(g(z))g ′ (z) 2 dμν (z) ν

G ν

= φ(g(0))[det g ′ (0)] p . 166

∈C

Wegen φ ∈ ⟨G⟩ν ist noch zu zeigen, dass 2ν

2 ′ ∫ ∣φ(g(0))∣ ∣ det g (0)∣ p dg < +∞. G

Nach einem Satz von Dixmier (siehe Abschnitt 5.5) gen¨ ugt es, in φ = 1 auszuwerten, so dass aus der G¨ ultigkeit von ∫ ∣ det g ′ (0)∣dg < +∞ die Quadratintegrierbarkeit folgt.

◻

G

Beispiel 7.1.7. Es sei ν > 1 und φ(z) = z n mit z ∈ B und n ≥ 0. Dann ist az + b n 1 ̃ −1 ) = ∫ (1 − ∣z∣2 )ν−2 ( z ) dzd¯ φ(g (cz + d)ν cz + d B

(az + b)n = ∫ (1 − ∣z∣2 )ν−2 dzd¯ z (cz + d)ν+1 B

̃⎛ a b ⎞ . = φ ⎝ c d ⎠ Die unit¨are projektive Darstellung ν

(g −ν φ)(z) = φ(g(z)) det(g ′ (z)) p ν

hat einen holomorphen Anteil φ(g(z)) und einen unit¨aren Anteil det(g ′ (z)) p . Da ∥(g −ν )φ∥ = ∥φ∥ gilt, gen¨ ugt es stets, f¨ ur ein φ den Nachweis zu f¨ uhren. Aus diesem Grunde f¨ uhrt man ihn mit der Einsfunktion φ = 1.

7.2

Bergman-Toeplitz-Operatoren

In diesem Abschnitt studieren wir Toeplitz-Operatoren, die auf die diskrete Reihe ⟨G⟩ν wirken. Wir schauen als Erstes die Toeplitz-Operatoren auf den gewichteten BergmanR¨aumen Hν2 (B) und H 2 (B) an. Dazu ben¨otigen wir den Multiplikationsoperator auf L2ν (B), den wir wie folgt definieren. Definition 7.2.1. F¨ ur eine beschr¨ankte Funktion φ ∈ L∞ (B) heißt der beschr¨ankte Operator Mφ ∶ L2ν (B) → L2ν (B) Mφ (f )(z) ↦ f (z)h(z) f¨ ur alle f ∈ L2ν (B) und z ∈ B der Multiplikationsoperator mit Symbol f φ. 167

Dieser Multiplikationsoperator mit dem Symbol φ kann mit einem injektiven C ∗ -Algebrahomomorphismus von L∞ (B) in die abelsche C ∗ -Algebra der beschr¨ankten Operatoren L(L2ν (B)) identifiziert werden. V¨ollig analog definieren wir den Multiplikationsoperator auf L2ν (B). Definition 7.2.2. F¨ ur eine beschr¨ankte Funktion φ ∈ L∞ (B) heißt der beschr¨ankte Operator Mφ ∶ L2ν (B) → L2ν (B) Mφ (f )(z) ↦ φ(z)f (z) f¨ ur alle f ∈ L2ν (B) und z ∈ B der Multiplikationsoperator mit Symbol φ. Gehen wir nun auf die jeweiligen gewichteten Bergman-R¨aume, so k¨onnen wir den ToeplitzOperator als Hintereinanderausf¨ uhrung der Bergman-Projektion und des Multiplikationsoperators definieren. Definition 7.2.3. F¨ ur eine beschr¨ankte Funktion φ ∈ L∞ (B) bzw. φ ∈ L∞ (B) definieren wir den beschr¨ankten Operator Tφ ∶ L2ν (B) → Hν2 (B) Tφ (f )(z) ↦ Pν (Mφ f )(z) bzw. Tφ ∶ L2ν (B) → Hν2 (B) Tφ (f )(z) ↦ Pν (Mφ f )(z) f¨ ur alle f ∈ Hν2 (B) bzw. f ∈ Hν2 (B). Diesen Operator Tφ bezeichnet man als BergmanToeplitz-Operator mit Symbol φ. Beispiel 7.2.4. Die Definition des Bergman-Toeplitz-Operators mit Symbol φ bedeutet in der Integraldarstellung, dass 1. f¨ ur H 2 (B) gilt: Tφ (f )(z) = ∫ EB (z, w)f (z)dμ(z) = ∫ B

B

φ(z)f (z) dμ(z), (1 − zw)2

2. f¨ ur Hν2 (B) gilt: Tφ (f )(z) = ∫ EB,ν (z, w)f (z)dμν (z) = ∫ B

168

B

φ(z)f (z) dμν (z), (1 − zw)ν

3. f¨ ur Hν2 (B) gilt: Tφ (f )(z) = ∫ EB,ν (z, w)f (z)dμν (z) = ∫ B

B

φ(z)f (z) ν

Δ(z, w) p

dμν (z).

In der folgenden Definition fassen wir den Toeplitz-Operator Tν (f ) als Element der Menge der Operatoren auf ⟨G⟩ν auf. Mit der Operation ˜ gehen wir zu Operatoren T˜ν (f ) ∈ Op(⟨G⟩˜ν ) u ¨ber. Wir haben dann folgendes Diagramm: ˜ o ⟨G⟩ O ν ˜

Tν (f )

˜

˜

⟨G⟩ν o

˜ ⟨G⟩ O ν

Tν (f )

⟨G⟩ν .

Da wir dann immer noch nicht den Toeplitz-Operator kennen, nutzen wir in Anlehnung an die Konstruktion im vorhergehenden Abschnitt die Verbindung mit der Einbettung in L2 (G, ⟨K⟩ν ), um einen Rechtsmultiplikationsoperator anwenden zu k¨onnen. Damit ergibt sich folgendes Bild: Mf ⊗1

f φ˜ ∈ L2 (G, ⟨K⟩ν ) o PE =λE



T˜ν (f )φO ∈ ⟨G⟩˜ν o

L2 (G, ⟨K⟩ ) ∋ φ˜ O ν I

T˜ν (f )

≈ Tν (f ) Tν (f )φ ∈ ⟨G⟩ν o

⟨G⟩˜νO ∋ φ˜ ≈

⟨G⟩ν ∋ φ.

Nun ist es m¨oglich, ein Definition des Bergman-Toeplitz-Operators anzugeben. Definition 7.2.5. Der Bergman-Toeplitz-Operator Tν (f ) auf ⟨G⟩ν ist u ¨ber T˜ν (f ) indirekt definiert als Tν (f )ˆ =T˜ν (f ) = λEij Mf λEij . uhren wir eine Symbolklasse ein, die Dabei ist das Symbol f ∈ L∞ (G) beliebig. Sp¨ater f¨ der Analysis zug¨anglich ist. Die Bergman-Toeplitz-Operatoren erzeugen eine C ∗ -Algebra. Definition 7.2.6. Die ν-Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra Tν (B) u ¨ber B (mit B ⊂ Z) ist definiert als unitale C ∗ -Algebra Tν (B) = C ∗ (Tν (f )∣f ∈ C(B)), die durch alle ν-Bergman-Toeplitz-Operatoren mit stetigem Symbol f ∈ C(B) erzeugt wird. 169

Wir pr¨ ufen, ob der Bergman-Toeplitz-Operator mit dem klassischen Toeplitz-Operator auf Hν2 (B) u ¨bereinstimmt. ̃ ̃ = ∫ E(gs−1 )f˜(s)φ(s)ds λE (f φ)(g) G

= ∫ (j ∗ πν j)(gs−1 )f˜(s)j ∗ (πν φ)(s)ds G

⎡ ⎤ ⎢ ⎛ ⎞⎥ = ⎢⎢(j ∗ πν ) ∫ (πν−1 jj ∗ πν φ)(s)f˜(s)ds ⎥⎥ (g) ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎣ ⎦ G ̃ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ = ⎢⎢∫ (πν−1 jj ∗ πν φ)(s)f (s)ds⎥⎥ [g] ⎥ ⎢ ⎦ ⎣G ˜ = Tν φ(g). In der dritten Zeile nutzen wir aus, dass der von g abh¨angige Ausdruck als Skalar vor das Integral gezogen werden kann.

ugt es, f¨ ur jedes ψ die Paarung ⟨ψ∣Tf (φ)⟩ Um zu zeigen, dass Tf (φ) = Tν (φf ) ist, gen¨ auszuwerten. Lemma 7.2.7. ̃ φ(s)⟩ ̃ ˜ (ψ∣Tf (φ))H 2 (B) = ∫ ⟨ψ(s)∣ C f (s)dg. G

Beweis:

(ψ∣Tf (φ))H 2 (B) = ∫ (ψ∣(πν j f˜φ)(s))⟨G⟩ν dg G

̃ = ∫ ⟨(j ∗ πν ψ)(s)∣φ(s)⟩ f˜(s)dg G

̃ φ(s)⟩dg. ̃ = ∫ ⟨ψ(s)∣ G

Wir nutzen nun aus, dass ν ̃ φ(g) = (j ∗ πν φ)(g) = (πν φ)(0) = (det g ′ (0)) p φ(0.g).

Im zweiten Gleichheitszeichen steckt die holomorphe diskrete Reihe (von rechts operierend). Es gilt: ν ̃ φ(g) = (det g ′ (0)) p φ(0.g).

170

Außerdem ist ν

ν

(det g ′ (z)) p K(zg, wg)(det g ′ (w)) p = K(z, w), weil ν

ν

(det g ′ (0)) p K(0.g, 0.g)(det g ′ (0)) p = K(0, 0) = 1 K(0.g, 0.g) = (det g ′ (0))− p (det g ′ (0))− p ν

ν

ν

ν

−1

= [(det g ′ (0)) p (det g ′ (0)) p ] . Weiter gilt: (ψ∣Tf (φ)) = ∫ ⟨ψ(g)∣φ(g)⟩fˇ(g)dg G ν

ν

= ∫ ((det g ′ (0)) p ψ ∗ (0.g)(det g ′ (0)) p )φ(0.g)f (0.g)dg G

= ∫ K −1 (0.g, 0.g)ψ ∗ (0.g)φ(0.g)f (0.g)dg G

= ∫ Δ−p (w, w)Δν (w, w)ψ(w)φ(w)f (w)dwdw¯ B

= ∫ Δν−p (w, w)ψ(w)φ(w)f (w)dwdw¯ B

= (ψ∣φf )Hν2 (B) = (ψ∣Pν (φf )). Beim

¨ Ubergang

K −1 (w, w)

von

der

dritten

zur

vierten

Daraus folgt: Tf (φ) = Pν (φf ).

7.3

Zeile

nutzen

wir

aus,

dass

= Δν (w, w) und Δ−ν (w, w)dwdw das G-invariante Maß ist. ◻

Bergman-Toeplitz-C ∗-Algebra T (B) und ihre Realisierung als Kreuzprodukt

̂0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) Nun wollen wir die Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra auf dem Kreuzprodukt C ∗ ∗ ̂ realisieren. Dazu beschreiben wir zun¨achst die C -Algebren C0 (G) und Cρ (G). Anschließend bilden wir das Kreuzprodukt und wenden darauf die Katayama-Dualit¨at an. Damit zeigen wir, dass die Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra eine C ∗ -Unteralgebra des Kreuzprô0 (G) ⊠ Cρ∗ (G) ⊗ End(⟨K⟩ν ) ist. dukts C 171

7.3.1

̂0 (G) Die C ∗ -Algebra C

Ein C-Vektorraum E kann durch ein lineares Erzeugendensystem E = C⟨bi ∶ i ∈ I⟩ mit bi ∈ E beschrieben werden, so dass b = ∑ λi bi i∈I

f¨ ur λi ∈ C gilt. Bei einer freien Algebra A mit Erzeugern aj ∈ A f¨ ur j ∈ I, die mit C[a1 , . . . , an ] bezeichnet werden, ist dies ¨aquivalent zum linearen Erzeugendensystem C⟨a1 ⋅ . . . ⋅ an ⟩ mit a = ∑ λ j a1 ⋅ . . . ⋅ a n . j∈I

Beispiel 7.3.1. Die Polynomalgebra A u ¨ber C in der Unbekannten z ist wie folgt definiert A = C[z] = C⟨z n ∶ n ≥ 0⟩. Nun gehen wir u ur eine Banach-Algebra E ben¨otigen ¨ber zu einer topologische Struktur. F¨ wir einen topologischen Raum mit einer Basis, den wir als lineare H¨ ulle des Erzeugendensystems auffassen k¨onnen, also E = C⟨bi ∶ i ∈ I⟩. Dieses lineare Erzeugnis ist dicht, d. h. f¨ ur ein Element b ∈ E gilt: (n)

b = lim ∑ λi bi n→∞ i∈I

(n)

mit λi

∈ C, so dass (n)

∥b − ∑ λi bi ∥ → 0 i∈I

gilt. Beispiel 7.3.2. Betrachten wir L2 (T) = C⟨θk ∶ k ∈ Z⟩ mit der linearen Basis θ = eit . Dann ist

n

(n)

f (θ) = ∑ λk θk = lim ∑ λk θk , n→∞ k∈Z

wobei

gilt. 172

⎧ ⎪ ⎪ λk (n) λk = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0

k=−n

∶ −n ≤ i ≤ n ∶ ∣k∣ > n

V¨ollig analog beschreiben wir C ∗ -Algebren, in denen dann stets der konjugierte Erzeuger hinzukommt. Beispiel 7.3.3. F¨ ur die C ∗ -Algebra C(T) = C[z, z ∗ ] gilt mit dem Satz von StoneWeierstraß: f (z) = lim ∑ λnk,l z k z l . n→∞ k,l≥0 k+l≤n

F¨ ur die weiteren Betrachtungen definieren wir C0 (G) als C ∗ -Algebra der komplexwertigen Funktionen auf G, die im Unendlichen verschwinden.1 In unserem konkreten Fall ist ̂0 (G) = C[λg f̃ ∶ g ∈ G, f ∈ C(B)], wobei B = G/K eine C ∗ -Konstruktion u C ¨ber Schnitte ̂0 (G) ur F ∈ C von beliebig vielen C ∗ -Algebren ist. Dann ist f¨ F (z) = lim ∑ n→∞

∑ λnf1 ...fk (λg1 f̃1 (z)) ⋅ . . . ⋅ (λgk f̃k (z))

g1 ,...,gk f1 ,...,fk

g1 ...gk

mit z ∈ B. Wir m¨ ussen hier noch beachten, dass (λg f̃)∗ = λg f̃∗ und die ∗ -Invarianz in ̂0 (G) = C(G), denn das Verschwinden in C(G) gilt. Es gilt offensichtlich, dass C0 (G) ⊂ C Null bedeutet, dass der Grenzwert hat den Wert 0. Da der Grenzwert einen beliebigen ̂0 (G) enthalten, insbesondere ein festen Wert annehmen kann, ist C0 (G) tats¨achlich in C

̂0 (G) ⊂ Cb (G) gilt. Denn stetige Funk̂0 (G). Ferner ist leicht zu sehen, dass C Ideal von C tionen f auf einem Kompaktum sind beschr¨ankt, also ist F beschr¨ankt. Es ist bekannt, dass Cb (G) eine C ∗ -Algebra ist. Jede abgeschlossene *-Unteralgebra einer C ∗ -Algebra ist wieder eine C ∗ -Algebra und der Schnitt beliebig vieler C ∗ -Algebren ist wieder eine C ∗ -Algebra. Genau genommen nutzen wir das stetige Feld von C ∗ -Algebren aus, in dem die Menge der Schnitte G → ∐g∈G C ∗ ({λg f̃}) eine C ∗ -Algebra ist ([Pedersen], Abschnitt 10.3f, S. 218f; [Blackadar], Abschnitt IV.1.6.1, S. 340 f). Der Algebra C0 (G) stehen die kompakten Operatoren K(L2 (G)) auf L2 (G) und Cb (G) die ̂0 (G) steht Multiplieralgebra dieser kompakten Operatoren gegen¨ uber. Unsere Algebra C als eine gewisse Vervollst¨andigung der kompakten Operatoren zwischen diesen beiden, aber wir k¨onnen sie durch das Kreuzprodukt beschreiben.

7.3.2

Die Aktion auf der C ∗ -Algebra Cρ∗ (G)

Es sei A eine C ∗ -Algebra und G eine lokalkompakte topologische Gruppe. Dann haben wir drei verschiedene M¨oglichkeiten, eine stetige Aktion der Gruppe G auf der C ∗ -Algebra A algebraisch aufzufassen: 1

Eine stetige Funktion f auf lokal kompaktem G verschwindet im Unendlichen, wenn f¨ ur jedes

 > 0 die Menge {s∣s ∈ G, ∣f (s)∣ ≥ } kompakt ist. F¨ ur eine nicht-kompakte Gruppe G ist C0 (G) eine Kompaktifizierung der Algebra der stetigen Funktionen auf G mit kompaktem Tr¨ager Cc (G), im kompakten Fall ist C0 (G) = Cc (G).

173

1. als Abbildung eines Gruppenhomomorphismus ◻ in die Automorphismengruppe der C ∗ -Algebra: ◻ ∶ G → Aut(A) g ↦ ◻g , ur g ∈ G sind, wobei ◻g die Automorphismen ◻(g) f¨ 2. als Aktion der Gruppe G auf der C ∗ -Algebra A: ◻∶G×A → A (g, a) ↦ ◻g (a), 3. als C ∗ -Homomorphismus der C ∗ -Algebra A in die C ∗ -Algebra A: ◻ ∶ A → A ⊗ C0 (G) = C0 (G, A) a ↦ ◻(a) = ∑ ai ⊗ fi , i

◻−1 g (a),

hierbei ist (◻(a))(g) =

d. h. zu jedem a ∈ A gibt es einen Homomorphismus

◻g . Wir beachten, dass A ∋ ◻−1 g (a) = (◻(a))(g) = ∑ ai ⊗ fi (g) = ∑ ai ⋅ fi (g) i

i

mit fi ∈ C0 (G), ai ∈ A, g ∈ G und dem Multiplikationsoperator gilt, wobei fi (g) ∈ C. Ziel des folgenden Abschnitts ist, ein passendes Kreuzprodukt zu definieren. Ein Kreuzprodukt ist eine C ∗ -Algebra, die durch Vervollst¨andigung von Cc (G, A) bzgl. der Norm entsteht, wobei Cc (G, A) der Darstellungsraum eines C ∗ -dynamischen Systems verm¨oge der kovarianten Darstellung ist. Wir wollen dieses Kreuzprodukt auf den C ∗ -Algebren definieren, die durch Linkstranslationen und Rechtsfaltungen entstehen. Daher muss zun¨achst u uft werden, ob die betrachteten Algebren C ∗ -Algebren sind. Dazu zeigen wir, dass ¨berpr¨ ̂0 (G) dicht in der C ∗ -Algebra Cb (G) liegt. Dann weisen wir nach, dass ◻s eine stark C stetige Abbildung ist. Anschließend definieren wir das reduzierte Kreuzprodukt. Also m¨ ussen wir nach der allgemeinen algebraischen Betrachtung f¨ ur unseren Fall spezialisieren. Dazu sei G = Aut(B), wobei B = G/K = K/G ⊂ Z. Ferner w¨ahlen wir ̂0 (G) = C ∗ (λg f˜ ∶ f˜ ∈ Cb (G), so dass f ∈ C(B), f˜(h) = f (0 ⋅ h)), wobei 0 ∈ B, A = C ̂0 (G)) und f¨ ur f ∈ C(B) sowie λg f̃(s) = f (g −1 s), und ◻ = λ. Also ist nun ◻ ∶ G → Aut(C ̂ alle F ∈ C0 (G) gilt ◻g F ∶= λg F. Dann ist (◻g F )(s) = (λg F )(s) = F (g −1 s). 174

Um zu zeigen, dass die Aktion ein injektiver strikter C ∗ -Homomorphismus ist, muss ̂0 (G) in Cb (G) liegt. zun¨achst sichergestellt sein, dass die Algebra C Proposition 7.3.4. Es sei G eine lokalkompakte Gruppe. Dann gilt: ̂0 (G) ⊂ Cb (G). C Beweis: Da wir stetige Funktionen auf der kompakten Menge G/K betrachten, folgt mit dem Extremwertsatz (oder Weierstraßschen Hauptlehrsatz), dass diese Funktionen beschr¨ankt sind, d.h. sup ∣f (z)∣ = sup ∣f (z)∣ = M < ∞ z∈B

z∈B

ur die Liftung f̃(g) = f (o ⋅ g): f¨ ur M ∈ R+ . Folglich gilt f¨ sup ∣f̃(g)∣ = sup ∣f (z)∣ = M. g∈G

z∈B

Wenden wir auf die Liftung eine Linkstranslation an, also λs f̃(g) = f̃(s−1 g), dann gilt: sup ∣λs f̃(g)∣ = sup ∣f̃(g)∣ = M. g∈G

g∈G

̂0 (G) Somit ist M = {λg f̃∣f ∈ C(B)} ⊂ Cb (G). Ferner ist Cb (G) eine C ∗ -Algebra, also ist C die kleinste durch λs f̃ erzeugte C ∗ -Algebra. Daher gilt: ̂0 (G) = C ∗ [λg f̃ ∶ g ∈ G, f ∈ C(B)] ⊂ Cb (G). C ◻ Theorem 24. Es sei G = Aut(B) eine lokalkompakte Gruppe. Dann ist mit ̂0 (G) = C ∗ (λs (f˜)∣f ∈ C(B)) ⊂ Cb (G) C ̂0 (G) gleichm¨aßig dicht in Cb (G). C Beweis: ̂0 (G) ⊂ Cb (G) ist. Cb (G) ist Aus der vorhergehenden Proposition wissen wir, dass C die Einpunkt-Kompaktifizierung C(βG) von C(G). Somit k¨onnen wir wegen Kompakt̂0 (G) heit von Cb (G) den Satz von Stone-Weierstraß2 anwenden, um zu zeigen, dass C gleichm¨aßig dicht in Cb (G) liegt. Dazu muss gezeigt werden, dass die Banach-Algebra ̂0 (G) ∗-invariant ist und Punkte von G trennt. C 2

Satz von Stone-Weierstraß: Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A eine C-Unteralgebra

von Cc (X), die die Punkte trennt und mit jedem f auch die konjugierte Funktion f enth¨alt. Gibt es zu jedem x ∈ X ein f ∈ A mit f (x) ≠ 0, so liegt A gleichm¨aßig dicht in Cc (X, C, ∥τ ∥∞ ). (siehe bspw. [Hewitt/Ross], S. 151, Fußnote 1d).

175

̂0 (G) ist ∗-invariant, weil 1. C λs (f̃)(g) = f (0 ⋅ s−1 g) = f (0 ⋅ s−1 g) f¨ ur g, s ∈ G, f̃ ∈ Cb (G) und f ∈ C(B). 2. Um die Punktetrennung zu zeigen, seien g1 , g2 ∈ G und z ∈ B(= G/K) gegeben. Wegen g1 ≠ g2 existiert ein z ∈ B mit g1 (z) ≠ g2 (z). Dann existiert ein s ∈ G mit ur z = s−1 (0), so dass s−1 g1 (0) ≠ s−1 g2 (0) in B gilt. Somit existiert ein f ∈ C(B), f¨ das f (0 ⋅ s−1 g1 ) ≠ f (0 ⋅ s−1 g2 ), also mit Zur¨ uckliftung (λs f˜)(g1 ) ≠ (λs f˜)(g2 ) gilt. ◻ ̂0 (G) ist eine C ∗ -Algebra. Folgerung 7.3.5. Die Algebra C Beweis: ̂0 (G) eine involutive Unteralgebra der C ∗ -Algebra Aus der Proposition wissen wir, dass C ̂0 (G) abgeschlossen Cb (G) ist. Mit dem vorhergehenden Satz haben wir gesehen, dass C ̂ auch eine C ∗ -Algebra. in Cb (G) liegt. Also ist C(G)

◻

Bekannt ist, dass f¨ ur einen Vektorraum E ⊂ A = C ∗ (E) und eine stetige Abbildung ur alle a0 ∈ E folgt, dass ◻ stetig f¨ ur alle a ∈ A ist. G → A mit g ↦ ◻g (a0 ) f¨ Klar ist dies auch f¨ ur die endlichen Produkte und Summen. Offen ist dies f¨ ur Limite. Dazu sei Alg(E) ⊂ A dicht in A = C ∗ (E). Dann gibt es a ∈ A, so dass ◻ stetig. Es ist leicht zu sehen, dass ◻ ein C ∗ -Homomorphismus ist. Lemma 7.3.6. Die Abbildung ◻ ist ein (injektiver) strikter C ∗ -Homomorphismus, d. h. ̂0 (G) ⊠ C0 (G) ̂0 (G) → C ◻∶C F ↦ (◻F )(g) = ◻−1 g F ̂0 (G) und g ∈ C0 (G). mit F ∈ C Beweis: ̂0 (G) und ◻ = ◻s F = λs F . Dann ist Es sei F ∈ C ◻s F (g) = λs (λt F )(g) = λt F (s−1 g) = F (t−1 (s−1 g)) = F ((st)−1 g) = (lst F )(g), 176

und f¨ ur die Erzeuger λt f̃ bedeutet dies: λs (λt f̃)(g) = λt f̃(s−1 g) = f̃(t−1 s−1 g) = f (0 ⋅ t−1 s−1 g) (λst f̃)(g) = f̃((st)−1 g) = f (0 ⋅ (st)−1 g) = f (0 ⋅ t−1 s−1 g). ◻ Nun weisen wir die Wohldefiniertheit der stark stetigen Aktion ◻ nach. Daf¨ ur m¨ ussen wir ̂0 (G) stark stetig ist. noch zeigen, dass ◻ f¨ ur alle Elemente in C ̂0 (G) eine C ∗ -Unteralgebra Theorem 25. Es sei G = Aut(B) eine lokalkompakte Gruppe, C ̂0 (G)) f¨ ur λs ∈ Aut(C ur g, s ∈ G von Cb (B). Dann ist f¨ ̂0 (G) → C ̂0 (G) λs ∶ G × C eine stark stetige Abbildung, d. h. es gilt: λs (f ) → λe (f ) = f in der Supremumsnorm f¨ ur s → e, wobei e ∈ G das Einselement der Gruppe ist. Beweis: Daher ist noch zu zeigen, dass f¨ ur alle (λs (f˜))(g) = a ∈ A gilt: ∥(λs (f˜))(g) − f (g)∥ → 0 f¨ ur s → e. Nun w¨ahlen wir auf einer linksinvarianten Metrik ein s ∈ G mit dB (s−1 (0), 0) ≤ δ. Dann gilt wegen dB (s−1 (g(0)), g(0)) = dB (s−1 (0), 0) und der uniformen Struktur der kompakten Konvergenz, dass ∣(λs (f˜))(g) − f˜(g)∣ = ∣f (0 ⋅ s−1 g) − f (0 ⋅ g)∣ ≤ , falls f˜ gleichm¨aßig stetig ist. Wir betrachten f ∈ C(B) mit g ∈ G: g G LLL / G/K = B ⊂ B

LLL LLL LLL f f˜ L% 

C

und wollen zeigen, dass dann f˜ ebenfalls stetig ist. Hierzu m¨ ussen wir zun¨achst zeigen, dass g eine beschr¨ankte Abbildung ist. Hierzu sei g ∶ B → B eine holomorphe Funktion. Dann gilt nach dem Satz von Schwarz-Pick: ∣g ′ (z)∣ ≤

1 − ∣g(z)∣2 . 1 − ∣z∣2 177

Wegen 0 ≤ ∣g(z)∣2 < 1 f¨ ur z ∈ B ist ∣g ′ (z)∣ ≤

1 − ∣g(z)∣2 1 ≤ . 1 − ∣z∣2 1 − ∣z∣2

Nun w¨ahlen wir ∣z∣2 ≤ 12 , denn z = s−1 (0), s ∈ G. Folglich ist ∣g ′ (z)∣ ≤ 2. Damit gilt nach der Mittelwertungleichung ∣g(z) − g(0)∣ ≤ ∣z∣ sup ∣g ′ (ζ)∣, ζ∈[0,z]

dass ∣g(z) − g(0)∣ ≤ 2∣z∣ ≤ δ f¨ ur s → e gew¨ahlt werden kann. Aufgrund der gleichm¨aßigen Stetigkeit von f , die sich aus der Stetigkeit auf Kompakta ergibt, folgt somit: ∣f (g(z)) − f (g(0))∣ ≤ . Nun k¨onnen wir wegen der kompakten Konvergenz schließen, dass auch f˜ gleichm¨aßig ◻

stetig auf G ist. ̂0 (G)) stark stetig ist. Nun zeigen wir, dass ◻ f¨ ur alle Elemente in Aut(C

̂0 (G)). Dann ist ◻g f¨ ̂0 (G) stark stetig. Proposition 7.3.7. Es sei ◻g ∈ Aut(C ur alle a ∈ C Beweis: ̂0 (G). Hierzu Zun¨achst beweisen wir die Wohldefiniertheit f¨ ur endliche Produkte auf C ̂ nehmen wir F1 , F2 ∈ C0 (G) und zeigen, dass ◻g (F1 F2 ) = ◻g (F1 ) ◻g (F2 ) (stark) stetig ist. Aufgrund der (stark) stetigen Abbildung ◻g gilt mit der (stark) stetigen ̂0 (G): Algebramultiplikation auf C ̂0 (G) → C ̂0 (G). ̂0 (G) × C G→C g ↦ ◻g (F1 , F2 ) ↦ ◻g (F1 ) ◻g (F2 ) = ◻g (F1 F2 ), wobei noch die Homomorphismuseigenschaft von ◻ ausgenutzt wird. Dies setzt man nun induktiv fort. Damit ist die Wohldefiniertheit f¨ ur die Algebrastruktur gezeigt, allerdings ̂0 (G) und g ∈ G. noch nicht f¨ ur ein gleichm¨aßig dichtes Algebraerzeugnis. Dazu sei F ∈ C

̂0 (G) stetig. Dann ist ◻g F ∈ C 178

̂0 (G), so dass ∥H − B∥ ≤  . Da x ↦ ◻g F stetig ist, F¨ ur  > 0 und s ∈ G existiert ein H ∈ C 3 existiert δ > 0, so dass f¨ ur alle dG (g, s) ≤ δ gilt:  ∥ ◻g F − ◻s F ∥ ≤ . 3 Dann ist ∥ ◻g F − ◻s F ∥ = ∥ ◻g (F − H) + ◻g (H) − ◻s (F − H) − ◻s (H)∥ = ∥(◻g (F − H) − ◻g (F − H)) + (◻g (H) − ◻s (H))∥ ≤ ∥ ◻g (F − H)∥ + ∥ ◻s (F − H)∥ + ∥ ◻g (H) − ◻g (H)∥    = ∥F − H∥ + ∥F − H∥ + ∥ ◻g (H) − ◻g (a)∥ = + + = . 3 3 3 ◻ Wenn wir ein Kreuzprodukt (eines C ∗ -dynamischen Systems) definieren wollen, ben¨otigen wir zun¨achst den Homomorphismus des dynamischen Systems, der bei Erweiterung auf Aut(M (A)) strikt stetig ist, wobei wir beachten m¨ ussen, dass dies dann kein C ∗ -dynamisches System mehr sein muss ([Blackadar], II.10.3.2, S. 200).

7.3.3

̂0 (G) Das Kreuzprodukt und die Rechtsaktion auf C

Zun¨achst betrachten wir das Kreuzprodukt auf der Ebene der W ∗ -Algebren. Dazu sei W ∗ (G) die spatiale Gruppen-W ∗ -Algebra, die ein schwacher Abschluss von Cρ∗ (G) ist. Da die Aktion der Linkstranslation (λt f )(s) = f⧫ (s, t) = f (t−1 s) von G auf L∞ (G) schwach stetig ist, gibt es ein W ∗ -Kreuzprodukt L∞ (G) ⊠l Wρ∗ (G) ∶= W ∗ (f⧫ (1 ⊗ ρg )) mit f ∈ L∞ (G) und g ∈ G, das auf L2 (G × G) operiert. Mit der Katayama-Dualit¨at kann man zeigen, dass der beschr¨ankte Operator L(L2 (G × G)) durch die Operatoren der Form f ⋅ λg erzeugt wird, wobei f ∈ L∞ (G) und g ∈ G ist. Der unit¨are Kac-Takesaki-Operator ullt auf L2 (G × G) W ◇ φ(s, t) = φ(s, t−1 s) erf¨ W ◇ (1G ⊗ f )W ◇∗ = f⧫ W ◇ (1G ⊗ λg )W ◇∗ = (1 ⊗ ρg ), so dass auch ein W ∗ -Isomorphismus T → W ◇ (1G ⊗ T )W ◇∗ definiert ist, mit dem L(L2 (G)) → L∞ (G) ⊠l Wρ∗ (G) 179

gilt. Auf der C ∗ -Ebene betrachten wir die spatiale Gruppen-C ∗ -Algebra Cρ∗ (G), die durch die ̂0 (G) ⊂ Cb (G) Rechtsfaltungsoperatoren ρu mit u ∈ L1 (G) erzeugt wird. Dazu sei A = C eine reduzierte Gruppen-C ∗ -Algebra, φ ∈ L2 (G), ⧫ = λt die linksregul¨are Darstellung von G auf L2 (G) und MF die punktweise Multiplikation, die definiert ist durch ̂0 (G) → L(L2 (G)) Mf ∶ C f ↦ f φ, d. h. in der Multiplikationsdarstellung Mf ∶ A → L(L2 (G)) A ⋉M L2 (G) mit Mf φ(s) = f (s)φ(s). Des Weiteren haben wir die Linkstranslation (λt f )(s) = f (t−1 s), die die Kovarianz-Bedingung erf¨ ullt: Es sei s ∈ G und f ∈ A. Dann ist (λt f )(s) = f (t−1 s). Es ist zu zeigen, dass λt Mf λ−1 t = Mλ t f gilt. Beweis: −1 −1 (λt Mf λ−1 t φ)(s) = (Mf λt φ)(t s) −1 = f (t−1 s)(λ−1 t φ)(t s)

= (λt f )(s)φ(s) = Mλt f φ(s). ◻ Analog zum Fall der Gruppe G definieren wir einen unit¨aren Operator W ◇ . Diese Betrachtungen induzieren das reduzierte Kreuzprodukt mit der Darstellung ̂0 (G) ⊠l Cρ∗ (G) → L(L2 (G)) π∶C mit π[f⧫ (1G ⊠ ρu )] = Mf λu ̂0 (G)), wobei mit Cρ∗ (ρu ∣ρu (f ) ∶ u ∈ L1 (G), f ∈ C ρu (f ) = ∫ ρt (f )u(t)dt G

180

die rechtsregul¨are Darstellung ist. F¨ ur φ, ψ ∈ L2 (G) und s, t ∈ G gilt: f⧫ (1G ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ)(s, t) = f⧫ (s, t)(φ ⊗ ρg ψ)(s, t) = f (t−1 s)φ(s)(ρg ψ)(t) Integrieren wir dies, so erh¨alt man −1 −1 ∫ f (t s)φ(s)u(g)ψ(tg)dg = f (t s)φ(s) ∫ u(g)ψ(tg)dg. G

G

Wir zeigen nun noch den Spezialfall der trivialen Koaktion des Theorems 11, S. 94. Proposition 7.3.8. Der Operator W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) = φ(s)ψ(t−1 s) bildet idG ⊗ λu → idG ⊗ ρu ab. Beweis: Nach [Pedersen], Proposition 7.6.4., S. 255 ist die nicht-entartete C ∗ -Darstellung von ̂0 (G) ⊠l Cρ∗ (G) von der Art C (μ ⊗ π)(f λu ) = f⧫ π(ρu ) ̂0 (G) → L(L2 (G)) und ̂0 (G), u ∈ L1 (G). Die Darstellungen μ ∶ C f¨ ur alle f ∈ C ullen die Kovarianzrelation. Zu deren Nachweis ben¨otigen wir die π ∶ G → U (L2 (G)) erf¨ ̂0 (G) und u ∈ L1 (G) diese Bedingungen erf¨ ullen. unit¨aren Operatoren, die f¨ ur alle f ∈ C Diese unit¨aren Operatoren sind durch W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t) W ◇∗ (φ

⊗ ψ)(s, t) =

φ(s)ψ(st−1 )

=

φ(s)ψ(t−1 s) und

gegeben (s. Abschnitt 4.4. Kac-Takesaki-Operatoren, S.

77). Dann gilt f¨ ur die Translation einerseits (W ◇ (1G ⊗ f )(φ ⊗ ψ))(s, t) = W ◇ (φ ⊗ f ψ)(s, t) = φ(s)(f ψ)(t−1 s) = φ(s)f (t−1 s)ψ(t−1 s) = f (t−1 s)φ(s)ψ(t−1 s) = f⧫ (s, t)W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, t), ur die so dass Ad(W ◇ )(1G ⊗ f ) = W ◇ (1G ⊗ f )W ◇ ∗ = f⧫ gezeigt ist. Andererseits gilt f¨ Faltung (W ◇ (1G ⊗ λg )(φ ⊗ ψ))(s, t) = W ◇ (φ ⊗ λg ψ)(s, t) = φ(s)λg ψ(t−1 s) = φ(s)ψ(g −1 t−1 s) = φ(s)ψ((tg)−1 s) = W ◇ (φ ⊗ ψ)(s, tg) = W ◇ (φ ⊗ ρg ψ)(s, t) = W ◇ (1G ⊗ ρg )(φ ⊗ ψ)(s, t). 181

Nun zeigen wir, dass ein injektiver C ∗ -Isomorphismus ̂0 (G) ⊠l Cρ∗ (G) → K(L ̂ 2 (G)), C ̂ 2 (G)) ⊂ L(L2 (G)) gilt. vorliegt, wobei K(L2 (G)) ⊂ K(L

◻

Lemma 7.3.9. Es existiert ein C ∗ -Isomorphismus ̂0 (G) ⊠l Cρ∗ (G) → K(L2 (G)) ◇ ∶ Ad(W ◇ ) ∶ C auf dem Kreuzprodukt, f¨ ur das [Ad(W ◇ )(f⧫ (idH ⊗ ρu ))]◇−1 = f λu gilt. Beweis: Wegen Proposition 7.3.8 f¨ uhren wir den Beweis f¨ ur a◇ (idH ⊗ λu ) wie in Theorem 11, S. ̂∗ (G) und λu ∈ C ∗ (G) gilt: 94, indem man zeigt, dass f¨ ur die triviale Koaktion idH,◇ , f ∈ C 0

λ

Ad(idH ⊗ W ◇ )(idH,◇ (idH ⊗ λu )) = (idH ⊗ f )(idH ⊗ λu ) = f λu . ◻ Wir fassen dies zusammen: ∗ (G) L∞ (G)⊗W O

/ L(L2 (G), ⟨K⟩ν ) O

∪

∪

̂0 (G)⊗ ˆ Cρ∗ (G) C O

/ K(L ̂ 2 (G), ⟨K⟩ν ) O

∪

ˆ C ∗ (G) L1 (G)⊗

∪

/ K(L2 (G), ⟨K⟩ν ).

Zum Abschluss zeigen wir, dass die Toeplitz-Operatorenalgebra eine Unteralgebra des gerade konstruierten Kreuzprodukts ist. Dazu ben¨otigen wir einige Vorbereitungen. Zun¨achst f¨ uhren wir die wichtigsten Begriffe in der C ∗ -Algebra-Theorie, um dann die erforderlichen Definitionen f¨ ur die Gruppendarstellungen zu geben. Definition 7.3.10. Ein zweiseitiges Ideal einer Algebra A wird primitiv genannt, falls es der Kern einer nicht verschwindenden algebraisch irreduziblen Darstellung von A in einem Vektorraum ist. Dieses Ideal wird mit P rim(A) bezeichnet. 182

Falls nun A eine C ∗ -Algebra ist (von nun an ist dies so), dann weiß man, dass jede algebraisch irreduzible Darstellung einer (nicht-involutiven) Algebra A in einem komplexen Vektorraum algebraisch ¨aquivalent zu einer Darstellung der C ∗ -Algebra A in einem Hilbert-Raum ist ([Dixmier], 2.9.6. Korollar (i), S. 57) und jede topologisch irreduzible Darstellung einer C ∗ -Algebra algebraisch irreduzibel ist ([Dixmier], 2.8.4. Korollar, S. 53). Daher gilt Theorem 26. ([Dixmier], 2.9.7. Theorem (i), S. 57) Sei A eine C ∗ -Algebra. Dann sind die primitiven zweiseitigen Ideale von A die Kerne der nicht verschwindenden topologisch irreduziblen Darstellungen von A in einem Hilbert-Raum H. Nun k¨onnen wir folgende Topologie definieren: Definition 7.3.11. Es sei X eine Menge primitiver Ideale. Der H¨ ullen-Kern-Abschluss ist durch T = {ρ ∈ P rim(A)∣ ⋂ π ⊆ ρ} π∈T

definiert und erf¨ ullt die Kuratowski3 -Abschlussaxiome 1. T ⊆ T f¨ ur T ∈ P rim(A) (Extensionalit¨at) ur T ∈ P rim(A) (Idempotenz) 2. T = T f¨ ur T1 , T2 ∈ P rim(A) (Erhaltung der Vereinigung) 3. T1 ∪ T2 = T1 ∪ T2 f¨ 4. ∅ = ∅ (Erhaltung der leeren Menge). Diese Topologie heißt H¨ ullen-Kern-Topologie (oder Jacobson4 -Topologie). Bemerkung 7.3.12. Diese Topologie ist ein Analogon f¨ ur nicht-kommutative Ringe der Zariski-Topologie (f¨ ur kommutative Ringe). ˆ wobei A eine Algebra ist, die Menge der Klassen von nichtWir bezeichnen mit A, verschwindenden irreduziblen Darstellungen π von A ([Dixmier], 3.1.5., S. 70). Die Abbildung k ∶ π ↦ ker(π) ist eine kanonische surjektive Abbildung von k ∶ Aˆ → P rim(A). 3

Kazimierz Kuratowski (02. Februar 1896, Warschau - 18. Juni 1980, Warschau) war ein polnischer

Mathematiker und Logiker. 4 Nathan Jacobson (05. Oktober 1910, Warschau - 05. Dezember 1999, Hamden, Connecticut) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit Algebra besch¨aftigte. Sein Geburtsdatum wird aufgrund ¨ eines Ubersetzungsfehlers auf offiziellen Dokumenten stets mit 08. September 1910 angegeben.

183

ˆ die mit der UmDefinition 7.3.13. Das Spektrum einer Algebra A ist die Menge A, kehrabbildung der H¨ ullen-Kern-Topologie unter der kanonischen Abbildung Aˆ → P rim(A) ausgestattet ist ([Dixmier], 3.1.5. Definition, S. 71). Nun sei G eine lokalkompakte unimodulare Gruppe. Dann existiert eine kanonische Bijektion von nicht-entarteten Darstellungen in C ∗ (G), bezeichnet mit (C ∗ (G))ˆ, in die stetigen ˆ ([Dixmier], 18.1.1., S. 353, mit Proposiunit¨aren Darstellungen von G, bezeichnet mit G tion 2.7.4., S. 49, 13.3.5., S. 285, 13.9.3., S. 303), mit der auch die Topologie von (C ∗ (G))ˆ ˆu ˆ auf G ¨bertragen wird. Somit erhalten wir einen topologischen Raum G. ˆ der durch diese kanonische Bijektion entDefinition 7.3.14. Der topologische Raum G, steht, wird als unit¨ arer Dual der Gruppe G bezeichnet. ˆ ist die Menge der unit¨aren Aquivalenzklassen ¨ Mit anderen Worten, G topologisch irreduzibler unit¨arer Darstellungen, versehen mit der H¨ ullen-Kern-Topologie. Der topologische ˆ Raum G ist ein lokalkompakter Baire-Raum, der das zweite Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt ˆ kein Hausdorff-Raum. (denn die topologische Gruppe G erf¨ ullt dies). Im Allgemeinen ist G Bevor wir die f¨ ur uns wichtige Teilmenge des Duals definieren k¨onnen, ben¨otigen wir die folgende Eigenschaft von Darstellungen. Definition 7.3.15. Es sei A eine C ∗ -Algebra, π eine Darstellung von A und S eine ˆ S ⊂ A. ˆ Dann ist die Darstellung π in S Familie von Darstellungen von A, d. h. π ∈ A, schwach enthalten, falls ⋂ ker S ⊂ ker(π) S∈S

gilt. ¨ Die folgenden Aquivalenzen zu dieser Definition dienen dem tieferen Verst¨andnis. Theorem 27. Es sei A eine C ∗ -Algebra, π eine Darstellung von A und S eine Menge von Darstellungen von A. Dann sind die folgenden Bedingungen ¨aquivalent: 1. Die Darstellung π ist schwach in S enthalten. 2. Jede positive Form auf A, die mit π assoziiert wird, ist ein Schwach-∗-Grenzwert der Linearkombinationen aller mit S assoziierten positiven Formen. 3. Jeder Zustand von A, der mit π assoziiert wird, ist ein Schwach-∗-Grenzwert der Zust¨ande, die Summen der mit S assoziierten Zust¨ande sind. Wir ben¨otigen in sp¨ateren Beweisen folgendes Lemma: 184

ˆ bilden Lemma 7.3.16. ([Lipsman], Lemma 7.1, S. 413) Die Punkte des unit¨aren Duals G abgeschlossene Mengen. Zum Beweis verwendet Lipsman Lemma 1.11. in [Fell], S. 378 f¨ ur ∗ -Darstellungen T einer C ∗ -Algebra A. Lemma 7.3.17. Falls T ein vollst¨andig stetiges Element des Duals Aˆ ist, dann ist {T } abgeschlossen. ˆ ein kompakter Operator ist; denn jeder kompakLipsman zeigt, dass nun jeder Punkt in G te Operator auf einem Banach-Raum ist vollst¨andig stetig. Dabei ist das Hauptargument, ˆ Spurklassenoperatoren sind ([Harish-Chandra 2], dass Operatoren aus dem unit¨aren Dual G § 5, S. 241f). Denn Spurklassenoperatoren sind kompakt, und kompakte Operatoren bilden

in der gleichm¨aßigen Norm eine abgeschlossene Teilmenge in der Menge der beschr¨ankten Operatoren. Zwei weitere Ergebnisse ben¨otigen wir noch. Die erste Behauptung findet man in [Lipsman], Theorem 7.2, S. 413. Proposition 7.3.18. Die H¨ ullen-Kern-Topologie auf Gd ist die diskrete Topologie. Das letzte verwendete Resultat ist aus [Green], Lemma 3, S. 285. ˆ d in der relativen Topologie diskret Lemma 7.3.19. Wenn der Dual der diskreten Reihe G ˆ red stets offen . ist, dann sind die quadratintegrierbaren Punkte im reduzierten Dual G Somit sind wir in der Lage, das Hauptergebnis des Abschnitts zu zeigen. ̂0 (G) ⊠l (Cρ∗ (G) ⊗ End(⟨K⟩ν )), die Theorem 28. Tν (B) ist eine C ∗ -Unteralgebra von C auf L2 (G) ⊗ ⟨K⟩ν wirkt. Beweis: ̂∗ . Nun Sei f˜(g) = f (o.g) mit f ∈ C(B). Dann ist (λs f˜)(g) = f˜(s−1 g) = f (o.s−1 g) ∈ C 0 ̂0 (G), f¨ ur die betrachten wir die Rechtsaktion von G auf C ρg (λs f˜) = λs (ρg f˜) gilt, wobei ρg (f˜) ∈ C(B). Denn es ist ρg (λs f˜)(t) = (λs f˜)(tg) = f˜(s−1 tg). Dann ist ̂ und es gilt wegen der Projektionseigenschaft λ2 = λE : f˜λE ∈ K(G) ij

Eij

ij

̂ Tν (f˜) = λEij f˜λEij = λEij (f˜λEij )λEij ∈ λEij K(G)λ Eij . ugt es zu zeigen, dass λEij ∈ Cλ∗ (G) ⊗ End(⟨K⟩ν ). Es sei Da nun Tν (f˜) = λEij f˜λEij ist, gen¨ ⟨ei ⟩ν eine orthonormale Basis von ⟨K⟩ν . Dann ist der normalisierte Operator

dim⟨G⟩ν dim⟨K⟩ν E(g)

185

durch die Matrix der Koeffizientenfunktionen, die in L2 (G) liegen, aber i. A. nicht in L1 (G), definiert als dim⟨K⟩ν ⟨j(ei )∣λ(g)j(ej )⟩. dim⟨K⟩ν Durch die Schur-Orthogonalit¨at hat Eij die Fourier-Koeffizienten Eij (g) ∶=

(Eij )̂ν =

1 (j(ej ))(j ∗ (ei )) dim⟨K⟩ν

ˆ red . Uberdies ¨ ist (Eij )̂α = 0 f¨ ur alle α im reduzierals Rang-1-Operator auf ⟨G⟩ν mit ν ∈ G ˆ ten Dual Gred , dem Tr¨ager des Plancherel-Maßes, wie aus der expliziten Plancherel-Formel folgt. ˆ abgeschlossen in der H¨ Mit Lemma 7.3.16 folgt, dass jeder Punkt im Dual G ullen-KernTopologie ist, und durch Proposition 7.3.16. folgt, dass die Relativtopologie auf der Unˆ muss nicht ˆ d aller quadratintegrierbaren Darstellungen diskret ist, aber λ ∈ G termenge G ˆ sein, falls λ tats¨achlich eine integrierbare Darstellung ist. Mit Lemma 7.3.19 offen in G ˆ red ist. Dies impliziert, dass die Funktion folgt, dass {λ} offen im reduzierten Dual G ̂ ˆ α ↦ (Eij )α auf Gred stetig ist; denn ihre Werte sind kompakte Operatoren, so dass offene Mengen auf offene Mengen abgebildet werden. Also ergibt sich λEij ∈ Cλ∗ (G) f¨ ur alle i, j, so dass λEij ∈ Cλ∗ (G) ⊗ End(⟨K⟩ν ).

◻

Somit haben wir in diesem Abschnitt gezeigt, dass die Toeplitz-Operatoren auf B Linkŝ0 (G)⊠l Cρ∗ (G) sind. Wegen des letzten Satzes faltungsoperatoren auf dem Kreuzprodukt C ∗ ̂ ist die von diesen Operatoren erzeugte C -Algebra Tν (B) eine Unteralgebra von K(G). Theorem 28 kann f¨ ur die Randstruktur des beschr¨ankten symmetrischen Gebietes genutzt werden. Denn die C ∗ -Darstellungen des Kreuzprodukts gehen auf die C ∗ -Darstellungen der Toeplitz-Algebra u ¨ber. Hier bleibt zu untersuchen, unter welchen Bedingungen diese irreduzibel sind. Die Randstruktur des Gebietes wird durch die Gesamtheit der Facetten gleichen Typs gebildet. Jede Facette bildet selbst wieder ein beschr¨anktes symmetrisches ur jede Gebiet, daher kann wieder ein Bergman-Raum und eine Toeplitz-C ∗ -Algebra f¨ dieser Facetten definiert werden. Nicht-triviale Darstellungen k¨onnen nun durch die Zuordnung des Toeplitz-Operators mit dem Symbol F auf den Toeplitz-Operator F ∣c+B c (einer Einschr¨ankung auf eine Facette) erfolgen (s. [Upmeier 5], S. 350f). Schneidet man die Kerne der zu den Facetten Bj eines festen Typs j geh¨orenden Darstellungen, erh¨alt man ein Ideal Ij der Toeplitz-C ∗ -Algebra Tν (B). Die aufsteigende Kette 0 ◁ I0 = K(H 2 (B)) ◁ I1 ◁ . . . ◁ Ir−1 ◁ Ir = [T , T ] = Ir+1 bildet eine Kompositionsreihe der C ∗ -Algebra Tν (B), deren Quotienten Ij+1 /Ij = C(Sj ) ⊗ K(H 2 (B)) 186

sind, wobei Sj die kompakte Basis eines Faserb¨ undels der Gesamtheit einer Facette vom gleichen Typ ist. Auf dieser Eigenschaft kann eine Indextheorie f¨ ur Bergman-R¨aume entwickelt werden. F¨ ur den Hardy-Fall wurde dies in [Upmeier 4] durchgef¨ uhrt. Ebenso sollte mit der entwickelten Theorie eine Br¨ ucke zu Arbeiten der q-deformierten Gebiete von [Klimek/Lesniewski] und [Shklyarov/Zhang] geschlagen werden, da stets die konkreten Isomorphismen verwendet wurden. Denn im ersten Abschnitt haben wir gesehen, dass duale Eigenschaften durch die q-Deformation erhalten bleiben.

187

Anhang A Dualit¨ at der Bialgebra Uq (sl(2, C)) Wir f¨ uhren die Berechnungen aus Abschnitt 2.4.3 fort.

b

E

F

K

E

0

0

q2

F

0

K

q− 2 1

3

c

E

F

K

d

E

F

K

E

0

0

0

E

0

0

0

− 32

F

1

0

0

0

K

0

0

q2

0

0

F

0

0

0

0

K

0

q2

q

1

Die n¨achste Tabelle beinhaltet die Produkte ab der Hopf-Algebra Uq (sl(2, C)), damit erfolgen Berechnungen der Form ⟨E∣ab⟩ = ⟨Δ(E)∣a ⊗ b⟩ = ⟨E ⊗ 1 + K ⊗ E∣a ⊗ b⟩ = ⟨E∣a⟩⟨1∣b⟩ + ⟨K∣a⟩⟨E∣b⟩ = 0 ⋅ 0 + q −1 ⋅ q 1 = q −1 . Wir fassen alle Ergebnisse in den folgenden Tabellen zusammen:

E

a

b

c

d

F

a

b

c

d

K

a

b

c

d

a

0

q −1

0

0

a

0

0

q− 2

0

a

q −2

0

0

1

b

q2

0

0

q2

b

0

0

0

0

b

0

0

0

0

1 2

0

0

− 32

c

0

0

0

0

0

q− 2

0

d

1

0

0

q2

1

c

0

0

d

0

q2

3

1

0

0

c

q

0

0

d

0

1

q 1

Die n¨achsten Berechnungen sind Auswertungen der Dualit¨at auf jeweiligen Produkten der Hopf-Algebren, die u ussen, womit wir eine Kontrollrechnung haben. ¨bereinstimmen m¨ T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Beispielrechnungen sind: ⟨E 2 ∣ab⟩ = ⟨Δ(E)2 ∣a ⊗ b⟩ = ⟨(E ⊗ 1 + K ⊗ E)(E ⊗ 1 + K ⊗ E)∣a ⊗ b⟩ = ⟨EE ⊗ 1 + EK ⊗ E + KE ⊗ E + KK ⊗ EE∣a ⊗ b⟩ = ⟨EE ⊗ 1∣a ⊗ b⟩ + ⟨EK ⊗ E∣a ⊗ b⟩ + ⟨KE ⊗ E∣a ⊗ b⟩ + ⟨KK ⊗ EE∣a ⊗ b⟩ = ⟨EE∣a⟩⟨1∣b⟩ + ⟨EK∣a⟩⟨E∣b⟩ + ⟨KE∣a⟩⟨E∣b⟩ + ⟨KK∣a⟩⟨EE∣b⟩ = 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ q 2 + 0 ⋅ q 2 + q −2 ⋅ 0 = 0 1

1

und ⟨E 2 ∣ab⟩ = ⟨E ⊗ E∣Δ(ab)⟩ = ⟨E ⊗ E∣(a ⊗ a + b ⊗ c)(a ⊗ b + b ⊗ d)⟩ = ⟨E ⊗ E∣aa ⊗ ab + ab ⊗ ad + ba ⊗ cb + bb ⊗ cd⟩ = ⟨E ⊗ E∣aa ⊗ ab⟩ + ⟨E ⊗ E∣ab ⊗ ad⟩ + ⟨E ⊗ E∣ba ⊗ cb⟩ + ⟨E ⊗ E∣bb ⊗ cd⟩ = ⟨E∣aa⟩⟨E∣ab⟩ + ⟨E∣ab⟩⟨E∣ad⟩ + ⟨E∣ba⟩⟨E∣cb⟩ + ⟨E∣bb⟩⟨E∣cd⟩ = 0 ⋅ q − 2 + q − 2 ⋅ 0 + q 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0. 1

1

1

Δ(EE)

a

b

c

d

Δ(EF )

a

b

c

d

Δ(EK)

a

b

a

0

0

0

0

a

q 1 + q −1

0

0

q− 2

a

0

q− 2

0

0

b

0

q2 + 1

0

0

b

0

0

1

0

b

q2

0

0

q2

1

0

0

c

0

0

0

0

0

0

0

d

0

q2

0

0

1

c

1

1

d 5

c

0

0

0

0

c

0

d

0

0

0

0

d

q2

Δ(F E)

a

b

c

d

Δ(F F )

a

b

c

d

Δ(F K)

a

b

c

a

0

0

0

q− 2

a

0

0

0

0

a

0

0

q− 2

b

0

0

1

0

b

0

0

0

0

b

0

0

0

0

c

0

1

0

0

c

0

0

q −1 + 1

0

c

q− 2

0

0

q− 2

d

1 2

0

− 12

0

q

0

0

1

1

q +q

−1

1

d

0

0

0

0

d

7

3

0

d 5

q

0 3

Δ(KE)

a

b

c

d

Δ(KF )

a

b

c

d

Δ(KK)

a

b

c

d

a

0

q− 2

0

0

a

0

0

q− 2

0

a

q −4

0

0

1

b

q− 2

0

0

q2

b

0

0

0

0

b

0

0

0

0

c

0

0

0

0

c

q2

0

0

q2

c

0

0

0

0

d

0

q2

0

0

d

0

0

q2

0

d

1

0

0

q4

5

3

3

1

1

1

1

3

Nun sind noch die Produkte ⟨E 2 ∣ab⟩ = ⟨E ⊗ E∣Δ(ab)⟩, etc zu berechnen: aa

E

E

0

F

0

K 190

0

F q1

K

ab

E

F

K

0

0

− 12

E

0

0

0

0

0

0

F

0

0

q− 2

0

− 12

0

+ q −1

0

E

0

0

F

0

q −2

K

− 52

q

0

q

0

ac

K

E

F

q

K

ad

E

F

K

0

− 12

0

F q− 2

0

0

K

0

1

E 5

q 1

0

ba

E

F

K

E

0

0

q2

bb

E

E

q2 + 1

0

0

0 0

0

F

0

0

0

K

0

0

1

F K

bc

E

F K

E

0

1

0

0

F

1

0

0

0

K

0

0

0

bd

E

F

K

E

0

0

q2

F

0

0

0

K

q2

0

0 K

5

F

0

K

q− 2

ca

E

F

K

cb

E

F

K

cc

E

F

K

cd

E

F

E

0

0

0

E

0

1

0

E

0

0

0

E

0

0

0

F

0

0

q− 2

F

1

0

0

F

0

q −2 + 1

0

F

0

0

q− 2

K

0

1 2

0

1 2

da

E

F

0

1 2

0

E

F q2

0

0

F

K

0

1

K

q2

E

3

q

q

1

0

3

0

K

0

0

K

db

E

0

K

0

0

F

K

dc

E

F

0

0

q

7 2

E

0

0

0

0

F

0

0

0

K

0

q2

3

0

1

K

q

3

0

K

dd

E

F

K

0

0

E

0

0

0

0

q− 2 1

3

0

F q −1 + q 1

0

0

K

0

q4

0

Jetzt muss noch betrachtet werden, was geschieht, wenn Produkte mit E i , F j , K l f¨ ur ¨ i, j, l > 2 gebildet werden. Zun¨achst stellen wir die Ubersicht zu ⟨E ∗ ∗∣a ⊗ a⟩ usw. auf. Δ(aa) E

F

K

Δ(ab)

EE

0

0

0

EF

0

0

q −1 (q 1 + q −1 )

EK

(q 1

0

Δ(ac) E

+ q −1 )

E

EE

0

F q

0 1

EK

0

K

Δ(ad) E

F

0

0

0

EE

0

0

0

EF

0

q 2 (q −2 + 1)

0

EF

0

0

q− 2

0

1 2

0

0

0

EK

q

E

F

K

Δ(bb)

E

F

K

0

q − 2 (q 2 + 1)

0

EE

0

0

q 2 (q 2 + 1)

EF

0

0

0

EK

q2 + 1

0

0

0

0

EK

0

q2

1

0

1

Δ(bc) E

F

K

Δ(bd) E

F

K

EE

0

0

0

EE

0

0

0

EF

0

0

1

EF

0

0

0

0

q2

0

EK

0

0

q2

EK

0

0

− 12

q

0

EE

EF q − 2 (q 2 + 1)

0

0

1

Δ(ba)

1

K

+ q −1 )

K

EE EK

(q 1

EF q − 2 (q 1 + q −1 )

F 1

− 32

9

191

Δ(ca) E

F

K

Δ(cb) E

F

K

EE

0

0

EE

0

0

0

0

EF

0

0

1

0

EK

0

q2

0

0 q

− 12

(q 2

EF

0

EK

0

0

Δ(cc) E

F K

+ 1)

Δ(cd) E

F K

EE

0

0

0

EE

0

0

0

EF

0

0

0

EF

0

0

0

EK

0

0

0

EK

0

0

0

Δ(da) E

F

K

Δ(db)

EE

0

EF

0

0

0

0

q2

EK

0

q2

0

1

3

E

F

K

EE

0

0

0

EF

q 2 (q 2 + 1)

0

0

EK

0

0

q2

1

Δ(dc) E

F

K

Δ(dd) E

EE

0

0

0

EE

0

0

0

EF

0

0

0

EF

0

0

0

EK

0

0

0

EK

0

0

0

11

F K

Nun werden die Produkte ⟨F ∗ ∗∣a ⊗ a⟩ usw. untersucht. Δ(aa) E

F K

FE

0

0

0

FF

0

0

FK

0

0

Δ(ac) E FE

0

FF

0

FK

Δ(ab) E 0

0

0

0

FF

0

0

0

0

FK

0

0

0

F 1 2

q

K

Δ(ad)

E

F

K

0

FE

0

0

q− 2

0

0

FF

0

0

0

0

− 92

FK

− 32

0

0

(q −2

0

F K

FE

+ 1) q

q

Δ(ba) E

F

K

Δ(bb) E

FE

0

0

0

FE

0

0

0

FF

0

0

0

FF

0

0

0

FK

0

0

0

FK

0

0

0

Δ(bc)

192

E

F K

Δ(bd)

F K

E q

− 12

1

(q 1

F K + 1)

FE

0

0

1

FE

0

0

FF

0

0

0

FF

0

0

0

FK

q −2

0

0

FK

0

0

0

Δ(ca) E

F

K

Δ(cb)

E

F K

FE

0

q − 2 (q 2 + 1)

0

FE

0

0

1

FF

0

0

0

FF

0

0

0

FK

0

0

q− 2

FK

q −1

0

0

1

7

Δ(cc) E

F

K

Δ(cd)

E

F

K

FE

0

0

0

FE

0

q − 2 (q −1 + q 1 )

0

FF

0

0

q −2 (q −1 + 1)

FK Δ(da)

0

(q −2

+ 1)

F

K 1 2

E

3

FF q − 2 (q −2 + 1) 1

0

FK

0

Δ(db)

E

FE

0

0

q

FE

0

FF

0

0

0

FF

0

FK

q− 2

0

0

FK

q− 2

1

0

0

0

− 32

q

F q

1 2

(q 2

1

K + 1)

0

0

0

0

0

Δ(dc)

E

F

K

Δ(dd)

E

F

K

FE

0

q − 2 (q −2 + 1)

0

FE

0

0

q 2 (q −1 + q 1 )

FF

0

0

0

FK

(q −1 + q 1 )

0

0

1

1

FF q 2 (q −2 + 1)

0

0

FK

0

q− 2

0

1

Schließlich fehlen noch die Produkte ⟨K ∗ ∗∣a ⊗ a⟩ usw. Δ(aa) E

F

KE

q− 2 + q− 2 3

0

1

K

Δ(ab) E

F

K

Δ(ac) E

F

0

KE

0

q− 2

KE

0

0 − 52

0

5

0

q

KF

0

0

0

KF

0

0

0

KF

0

0

KK

0

0

q −3

KK

0

0

0

KK

0

q− 2

Δ(ad)

E

F

KE

0

− 12

0

KE

KF

q− 2

0

0

KF KK

q 1

KK

0

0

K

1

Δ(ba)

E

q

1

E

0

F

K

0

0

− 32

KE

0

0

0

0

0

KF

0

0

0

− 72

0

0

KK

0

0

0

q

Δ(bb)

K

q −2

F K

+1

Δ(bc) E

F

K

Δ(bd)

E

F

K

Δ(ca) E

F

K

KE

0

1

0

KE

0

0

q− 2

KE

0

0

0

KF

1

0

0

KF

0

0

0

KF

0

0

q2

KK

0

0

0

KK

q2

0

0

KK

0

q2

0

Δ(cb) E

F

K

Δ(cc) E

K

KE

0

1

0

KE

KF

1

0

0

KF

KK

0

0

0

KK

1

3

1

3

F

K

Δ(cd) E

F

0

0

0

KE

0

0

0

0

q2 + 1

0

KF

0

0

q2

0

0

0

KK

0

0

q2

1 5

193

Δ(da)

E

F

K

Δ(db)

E

F

K

KE

0

q2

0

KE

0

0

q2

KF

q

1 2

0

0

KF

0

0

KK

0

0

1

KK

q2

0

1

Δ(dd) E

F

K

KE

0

0

0

KF

0

q 1 + q −1

0

KK

0

0

q6

3

Δ(dc) E

F

K

KE

0

0

0

0

KF

0

0

0

0

KK

0

q2

7

7

0

Wir betrachten nur noch die geordneten Produkte E i F j K l auf ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, deren Auswertung ungleich null ist:

⟨EK, ab⟩ = q − 2 1

⟨EF F, ab⟩ =

q −1 (q 2 + q −2 )

⟨F K, ac⟩ = q

− 52

⟨EF, ad⟩ = q

− 12

⟨EF F, ac⟩ =

⟨EK, ba⟩ = q

1 2

⟨EF K, ad⟩ = q − 2

⟨EF, bc⟩ =

⟨EKK, ab⟩ = q − 2 1

1 2

q (q −2 + 1) 1

q − 2 (q 2 + 1) 1

⟨EEF, ba⟩ =

1 5 2

⟨EF K, bc⟩ =

1

⟨F K, ca⟩ = q − 2

⟨EF E, bd⟩ =

q − 2 (q 2 + 1)

⟨EF, cb⟩ =

⟨EK, bd⟩ = q

3

1

⟨EF F, ca⟩ =

q − 2 (q 2 + 1)

− 32

⟨EF K, cb⟩ =

1

1

⟨EF K, da⟩ = q 2

⟨EK, db⟩ = q

7 2

⟨EF E, db⟩ =

q 2 (q 2 + 1)

⟨F K, dc⟩ = q

− 12

⟨F F E, cd⟩ =

q − 2 (q 2 + 1)

⟨F F E, dc⟩ =

q 2 (q −2 + 1)

1

⟨F K, cd⟩ = q

1

1

⟨EF, da⟩ = q 2

1

1

1

Nun m¨ ussen noch die Produkte f¨ ur EEEF, EEF F, EF F F berechnet werden, die ggf. noch mit K l kombiniert werden: Δ(ab) E

F

K

Δ(ac) E

F

K

Δ(ad) E

F K

EEE

0

0

0

EEE

0

0

0

EEE

0

0

0

EEF

-

0

q − 2 (q 2 + 1)

EEF

-

0

0

EEF

-

0

0

EFF

-

0

0

EFF

-

0

q − 2 (q 2 + 1)

EFF

-

0

0

Δ(ba) E

F

K

0

0

EEE

194

0

EEF

-

0

EFF

-

0

3

q

− 12

(q 2 0

Δ(bc) E + 1)

3

F K

Δ(bd) E

F K

EEE

0

0

0

EEE

0

0

0

EEF

-

0

0

EEF

-

0

0

EFF

-

0

0

EFF

-

0

0

Δ(ca) E

F

K

F

K

EEE

0

0

0

EEE

0

0

0

EEE

0

0

0

EEF

-

0

0

EEF

-

0

0

EEF

-

0

0

EFF

-

0

q − 2 (q 2 + 1)

EFF

-

0

0

EFF

-

0

0

Δ(db) E

Δ(cd) E

5

F K

Δ(dc) E

F K

Δ(da) E

F K

EEE

0

0

0

EEE

0

0

0

EEF

-

0

0

EEF

-

0

0

EFF

-

0

0

EFF

-

0

0

F¨ ur die Produkte K l sieht man leicht, dass K auf Produkten ad und da nicht verschwindet, sondern ⟨K l , ad⟩ = ⟨K l , da⟩ = 1 gilt. Als Gesamtresultat k¨onnen wir festhalten, dass f¨ ur 1. ⟨K l , ad⟩ = ⟨K l , da⟩ = 1 2. ⟨F K l , ca⟩ = q 1 ⟨F K l , ac⟩ = q 2 −l 1

3. ⟨F K l , dc⟩ = q 1 ⟨F K l , cd⟩ = q − 2 1

1

4. ⟨EK l , ba⟩ = q 1 ⟨EK l , ab⟩ = q 2 5. ⟨EK l , db⟩ = q 1 ⟨EK l , bd⟩ = q 2 +l 3

6. ⟨EF K l , bc⟩ = ⟨EF K l , cb⟩ = 1 7. ⟨EF K l , da⟩ = q 2 ⟨EF K l , ad⟩ = q − 2 1

1

8. ⟨EF 2 K l , ca⟩ = q 1 ⟨EF 2 K l , ac⟩ = q − 2 −l (q 2 + 1) 1

9. ⟨E 2 F K l , ba⟩ = q 1 ⟨E 2 F K l , ab⟩ = (q 2 + 1) gilt.

195

Literaturverzeichnis [Akemann/Pedersen/Tomiyama] Charles L. Akemann, Gert K. Pedersen, Jun Tomiyama. Multipliers of C ∗ -Algebras. J. Funct. Analysis 13, 1973, 277-301. MR 57 #10431. [Artin] Emil Artin, Cecil J. Nesbitt, Robert M. Thrall. Rings with Minimum Condition. University of Michigan Publications in Mathematics, no. 1. University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich., 1944. MR 6,33e. [Baaj/Skandalis] Saad Baaj, Georges Skandalis. Unitaires multiplicatifs et dualit´e pour ´ Norm. Sup. (4) 26 (1993), no. 4, les produits crois´es de C ∗ -alg`ebres. Ann. Sci. Ecole 425-488. MR 94e:46127. [Berezin] Felix Alexandrovich Berezin. General concept of quantization. Comm. Math. Phys. 40 (1975), 153-174. MR 53 #15186. [Blackadar] Bruce Blackadar. Operator algebras. Theory of C ∗ -algebras and von Neumann algebras. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 122. Operator Algebras and Non-commutative Geometry, III. Springer-Verlag, Berlin, 2006. MR 2006k:46082. [Borthwick/Lesniewski/Upmeier] David Borthwick, Andrzej Lesniewski, Harald Upmeier. Nonperturbative deformation quantization of Cartan domains. J. Funct. Anal. 113 (1993), no. 1, 153 - 176. MR 94d:47065. [Braun/Koecher] Hel Braun, Max Koecher. Jordan-Algebren. Springer-Verlag, BerlinNew York, 1966. MR 34 #4310. [Chari/Pressley] Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. MR 95j:17010. [Dixmier] Jacques Dixmier. C ∗ -algebras. Translated from the French by Francis Jellett. North-Holland Mathematical Library, Vol. 15. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. MR 56 #16388. T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

[Doran] Robert S. Doran, Victor A. Belfi. Characterizations of C ∗ -algebras. The GelfandNaimark theorems. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 101. Marcel Dekker, Inc., New York, 1986. MR 87k:46115. [Drinfel’d] Vladimir Gershonovich Drinfel’d. Quantum Groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986), 798-820, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987. MR 89f: 17017. [Eymard] Pierre Eymard. L’alg`ebre de Fourier d’un groupe localement compact. Bull. Soc. Math. France 92 (1964), 181-236. MR 37 #4208. [Fell] J. M. G. Fell. The dual spaces of C ∗ -algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 94 (1960), 365-403. MR 26 # 4201. [Green] Philip Green. Square-integrable representations and the dual topology. J. Funct. Anal. 35 (1980), no. 3, 279-294. MR 82g:22005. [Harish-Chandra 1] Harish-Chandra. Discrete series for semisimple Lie groups. II. Acta Math. 116 (1966), 1-111. MR 36 #2745. [Harish-Chandra 2] Harish-Chandra. Representations of Semisimple Lie Groups. III. Trans. Amer. Math. Soc. 76 (1954), 234-253. MR 16,11e. [Harris] Lawrence A. Harris. Bounded symmetric homogeneous domains in infinite dimensional spaces. Proceedings on Infinite Dimensional Holomorphy (Internat. Conf., Univ. Kentucky, Lexington, Ky., 1973). Lecture Notes in Math., Vol. 364, Springer, Berlin, 1974. MR 53 #11106. [van Heeswijck] Lutgarde van Heeswijck. Duality in the theory of crossed products. Math. Scand. 44 (1979), 313-329. MR 83d:46082. [Helgason] Sigurdur Helgason. Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces. Korrigierter Reprint der Ausgabe von 1978. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. MR 2002b:53081. [Hewitt/Ross] Edwin Hewitt, Kenneth A. Ross. Abstract harmonic analysis. Vol. I. Structure of topological groups, integration theory, group representations. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 115. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1979.MR 81k:43001. ¨ [Hopf] Heinz Hopf. Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. MR 3,61b. 198

[Humphrey] James E. Humphrey. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. MR 81b:17007. [Imai/Takai] Sh¯o Imai, Hiroshi Takai. On a duality for C ∗ -crossed products by a locally compact group. J. Math. Soc. Japan 30 (1978), no. 3, 495-504. MR 81h:46090. [I`orio] Val´eria de Magalhaes I`orio. Hopf-C ∗ -Algebras and locally compact groups. Pac. J. Math. 87 (1980), 75-96. MR 82b:22007. [Jacobson] Nathan Jacobson. Lie and Jordan triple systems. Amer. J. Math. 71 (1949), 149-170. MR 10,426c. ¨ [Jordan 1] Pascual Jordan. Uber eine Klasse nichtassoziativer hyperkomplexer Algebren. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ottingen, MathematischPhysikalische Klasse (1932). G¨ottingen, 569-575. ¨ [Jordan 2] Pascual Jordan. Uber die Verallgemeinerungsm¨oglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1933), 209-217. [Kac 1] Georgiy Isaakovitch Kac. Ring groups and the duality principle. I. Transl. Moscow Math. Soc. 12 (1963), 291-339. [Kac 2] Georgiy Isaakovitch Kac. Ring groups and the duality principle. II. Transl. Moscow Math. Soc. 13 (1963), 94-126 [Kadison/Ringrose] Richard V. Kadison, John R. Ringrose. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol I. Elementary theory. Reprint of the 1983 original. Graduate Studies in Mathematics, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. MR 98f:46001a. [Kassel] Christian Kassel. Quantum Groups. Springer-Verlag, New York, 1995. MR 96e: 17041. [Katayama] Yoshikazu Katayama. Takesaki’s duality for a non-degenerate co-action. Math. Scand. 55 (1984), 141-151. MR 86b:46112. [Kirillov] A. A. Kirillov. Introduction to the theory of representations and noncommutative harmonic analysis. In: Representation theory and noncommutative harmonic analysis I, 1-156, Encyclopaedia Math. Sci., 22, Springer-Verlag, Berlin, 1994. MR 90a:22005. 199

[Klimyk/Schm¨ udgen] Anatoli Klimyk, Konrad Schm¨ udgen. Quantum groups and their representations. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, Berlin, 1997. MR 99f:17017. [Klimek/Lesniewski] S lawomir Klimek, Andrzej Lesniewski. A two-parameter quantum deformation of the unit disc. J. Funct. Anal. 115 (1993), no. 1, 1 - 23. MR 94e:46128. [Knapp 1] Anthony W. Knapp. Representation Theory of Semisimple Groups. Nachdruck des Originals 1986. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001. MR 2002k:22011. [Knapp 2] Anthony W. Knapp. Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkh¨auser Verlag, Boston, MA, 2002. MR 2003c:22001. [Koecher] Max Koecher. An Elementary Approach to Bounded Symmetric Domains. Rice University, Houston, Texas, 1969. MR 41 #5652. [Korogodski/Soibelman] Leonid I. Korogodski, Yan S. Soibelman. Algebras of Functions on Quantum Groups: Part I. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. MR 99a: 17022. [Landstad] Magnus B. Landstad. Duality for dual covariance algebras. Comm. Math. Phys. 52 (1977), 191-202. MR 56 #8750. [Landstad/Philipps/Raeburn/Sutherland] Magnus B. Landstad, J. Philipps; I. Raeburn; C. E. Sutherland. Representations of crossed products by coactions and principal bundles. Trans. Americ. Math. Soc. 299 (1987), 747-784. MR 88f:46127. [Lipsman] Ronald Leslie Lipsman. The dual topology for the principal and discrete series on semisimple groups. Trans. Amer. Math. Soc. 152 (1970), 399-417. MR 42 #4673. [Loos 1] Ottmar Loos. Jordan pairs. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 460. SpringerVerlag, Berlin-New York, 1975. MR 56 #3071. [Loos 2] Ottmar Loos. Bounded Symmetric Domains and Jordan Pairs. University of California, Irvine, 1977. [Losert] Viktor Losert. On tensor products of Fourier algebras. Arch. Math. (Basel) 43 (1984), no. 4, 370-372. MR 87c:43004. [Mackey] George W. Mackey. Unitary group representations in physics, probability, and number theory. Second edition. Addison-Wesley Publishing Company, Redwood City, CA, 1989. MR 90m: 22002. 200

[Mac Lane] Saunders Mac Lane. Homology. Reprint of the first edition. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967. MR 28 #122, MR 50 #2285, MR 96d: 18001. [Majid 1] Shahn

Majid.

Physics

for

Algebraists:

Non-commutative

and

Non-

cocommutative Hopf Algebras by a Bicrossproduct Construction. J. Algebra 130 (1990), 17-64. MR 91j: 16050. [Majid 2] Shahn Majid. Foundations of quantum group theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. MR 97g:17016. [Murray/v. Neumann 1] Francis Joseph Murray, John von Neumann. On rings of operators. Ann. of Math. (2) 37 (1936), 116-229. [Murray/v. Neumann 2] Francis Joseph Murray, John von Neumann. On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), 208-248. [Murray/v. Neumann 3] Francis Joseph Murray, John von Neumann. On rings of operators IV. Ann. of Math. (2) 44 (1943), 716-808. MR 5,101a. [Nakagami] Yoshiomi Nakagami. Dual Action on a von Neumann Algebra and Takesaki’s Duality for a Locally Compact Group. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 12 (1976/77), No. 3, 727-775. MR 56 #16393. [Pedersen] Gert K. Pedersen. C ∗ -algebras and their automorphism groups. London Mathematical Society Monographs, 14. Academic Press Inc., London, 1979. MR 81e:46037. [Rieffel] Marc A. Rieffel. Quantization and C ∗ -Algebras. Contemporary Mathematics, Volume 167, 1994. [Segal] I. E. Segal. Irreducible representations of operator algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 73-88. MR 8,520b. [Shklyarov/Zhang] Dmitry Shklyarov, Genkai Zhang. Berezin transform on the quantum unit ball. J. Math. Phys. 44 (2003), no. 9, 4344 - 4373. MR 2004i:33034. [Singer] William M. Singer. Extension Theory for Connected Hopf Algebras. J. Algebra 21 (1972), 1-16. MR 47 #8597. [Stinespring] W. Forrest Stinespring. Integration theorems for gages and duality for unimodular groups. Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 15-56. MR 21 #1547. [Str˘atil˘a 1] Serban Str˘atil˘a, L´aszl´o Zsid´o. Lectures on von Neumann Algebras. Revision of the 1975 original. Translated from the Romanian by Silviu Teleman. Editura Academiei, Bucharest; Abacus Press, Tunbridge Wells, 1979. MR 81j:46089. 201

[Str˘atil˘a 2] Serban Str˘atil˘a. Modular theory in Operator Algebras. Editura Academiei Republicii Socialiste Romˆania, Bucharest; Abacus Press, Tunbridge Wells, 1981. MR 85g:46072. [Sweedler] Moss E. Sweedler. Hopf Algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969. MR 40 #5705. [Takai] Hiroshi Takai. On a duality for crossed products of C ∗ -algebras. J. Functional Analysis 19 (1975), 25-39. MR 51 # 1413. [Takesaki 1] Masamichi Takesaki. Duality for crossed products and the structure of von Neumann algebras of type III. Acta Math. 131 (1973), 249-310. MR 55 #11068. [Takesaki 2] Masamichi Takesaki. Theory of operator algebras. I. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1979. MR 81e:46038. [Takeuchi] Mitsuhiro Takeuchi. Matched Pairs of Groups and Bismash Products of Hopf Algebras. Comm. Algebra 9 (1981), 841-882. MR 83f: 16013. [Timmermann] Thomas Timmermann. An Invitation to Quantum Groups and Duality. European Mathematical Society, Z¨ urich, 2008. MR 2009f:46079. [Upmeier 1] Harald Upmeier. Toeplitz C ∗ -algebras on bounded symmetric domains. Ann. Math. 119 (1984) no. 3, 549-576. MR 86a:47022. [Upmeier 2] Harald Upmeier. Jordan Algebras in Analysis, Operator Theory and Quantum Mechanics. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 1987. MR 88h:17032. [Upmeier 3] Harald Upmeier. Toeplitz C ∗ -algebras and noncommutative duality. J. Operator Theory 26 (1991), 407-432. MR 94h:47047. [Upmeier 4] Harald Upmeier. Toeplitz Operators and Index Theory in Several Complex Variables. Birkh¨auser Verlag, Basel, 1996. MR 97f:47022. [Upmeier 5] Harald Upmeier. Toeplitz Operator Algebras and Complex Analysis. in: M. A. Bastos, I. Gohberg, A. B. Lebre, F.-O. Speck. (eds.) Operator Algebras, Operator Theory and Applications. Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 181. Birkh¨auser Verlag, Basel, 2008. [Vallin] Jean-Michel Vallin. C ∗ -alg`ebres de Hopf et C ∗ -alg`ebres de Kac. Proc. London Math. Soc. 50 (1985), 131-174. MR 86f:46072. 202

[Vaes/Van Daele] Stefaan Vaes, Alfons Van Daele. Hopf-C ∗ -Algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 82 (2001), no. 2, 337-384. MR 2002f:46139. [Wegge-Olsen] Niels Erik Wegge-Olsen. K-theory and C ∗ -algebras: a friendly approach. Oxford University Press, Oxford, 1993. MR 95c:46116.

203

Index C ∗ -Algebra, 68

Tensor-, 13

C ∗ -Antiautomorphismus

universelle einh¨ ullende, 14

involutiver, 76 Cρ∗ (G), 180 ˆ 184 G, U(sl(2, C)), 23 ̂0 (G), 173 C

Algebramorphismus, 11 Antipode, 21 in Hopf-C ∗ -Algebra, 76 Banach-∗ -Algebra, 68 Banach-Algebra, 68

Aktion Hopf-C ∗ -Algebra, 79 Links-, 81, 84 Rechts-, 80

Bergman-Endomorphismus, 117 Bergman-Raum, 121 gewichteter, 123 Bimultiplikationsoperatoren, 78

links-koadjungierte, 62 linksadjungierte, 61

Darstellung

rechts-koadjungierte, 62

kovariante, 72

rechtsadjungierte, 61

links-koadjungierte, 62

Algebra, 10, 11 Bialgebra, 20 kokommutativ, 20

linksadjungierte, 61 quadratintegrierbare, 125 rechts-koadjungierte, 62

entgegengesetzte, 12

rechtsadjungierte, 61

Funktionen-, 21

Tr¨ager der, 126

graduierte, 10

diskrete Reihe, 125

Gruppen-, 21

Dual

Hopf-, 9, 21 Doppel-, 41 fast-kokommutative, 40

reduzierter, 126 unit¨arer, 184 Dualit¨at

Korand-, 40

Imai-Takai-, 86

quasi-triangul¨are, 40

Katayama-, 86

triangul¨are, 40

realisierte, 27

Koalgebra, 17 entgegengesetzte, 17

Takai-, 86 Takesaki-, 85

kokommutativ, 17 Quotienten-, 18 204

Erzeugungsoperator X+ , 23

T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Rechts-, 84

formale Dimension, 125 Fundamentaloperatoren, 78 Funktion

Koeins, 17 in Hopf-C ∗ -Algebra, 76

holomorphe, 116

Koideal, 18

Koecher-Gindikin-Γ-, 122

Koinvolution, 76 Kokreuzprodukt, 84

Gebiet symmetrisches, 116 Gewichtsvektor, 23 Gruppen-C ∗ -Algebra reduzierte Cr∗ (G), 71 volle C ∗ (G), 71 gruppen¨ahnlich, 22 H¨ ullen-Kern-Abschluss, 183 Hardy-Raum, 121

Komplexifizierung, 114 Komultiplikation, 17 in Hopf-C ∗ -Algebra, 75 Kovarianzrelation, 72 Kreuzprodukt, 80 doppeltes (f¨ ur Gruppen), 42 doppeltes (f¨ ur Hopf-Algebren), 49 reduziertes, 74 volles, 73

Hopf-C ∗ -Algebra, 75

Kuratowski-Abschlussaxiome, 183

Ideal

Lie-Algebra, 12

primitives, 182 Jacobi-Identit¨at, 12 JB-Algebra, 114 JC-Algebra, 114 Jordan-Algebra, 113 euklidische, 114

Lie-Klammer, 12 Multiplier-Algebra, 74 eingeschr¨ankte, 74 Operator Bergman-Toeplitz, 168 Hardy-Toeplitz, 145

formal-reelle, 114 reelle, 113 Jordan-Identit¨at, 114 Jordan-Tripeldeterminante, 117 Jordan-Tripelidentit¨at, 115 Jordan-Tripelprodukt, 115 Jordan-Tripelsystem, 115 irreduzibles, 120

Paar duales, 27 vertr¨agliches (von Bi-, Hopf-Algebren), 48 vertr¨agliches (von Gruppen), 43 Pentagonalgleichung, 79 Plancksche Konstante, 29 reduzierte, 5

Kac-Takesaki-Operatoren, 78

Planksche Konstante, 6

Links-, 78

Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis, 16

Rechts-, 78

Polarkegel, 140

Koaktion Hopf-C ∗ -Algebra, 83

Polynom m-homogenes, 116 205

Projektion metrische, 136 Szeg¨o-, 121 Quanten-Yang-Baxter-Gleichung, 40 Quantendeterminante, 32 Quantendoppel, 41 Quasi-Inverses, 117 Satz Katayama-Dualit¨ats-, 94 Satz von Dixmier, 126 Laurent Schwarz, 14 Poincar´e-Birkhoff-Witt, 16 Str˘atil˘a-Zsid´o, 139 Schur-Orthogonalit¨at, 125 Spektrum einer Algebra, 184 stetig stark, 72 symmetrischer Raum vom kompakten Typ, 118 vom nicht-kompakten Typ, 118 System C ∗ -dynamisches, 72 kovariantes, 72 Szeg¨o-Kern als Linksfaltungsoperator, 141 Topologie H¨ ullen-Kern-, 183 Jacobson-, 183 strikte, 75 Zariski-, 183 Typ vom kleinsten Gewicht, 159 unit¨ares Element multiplikatives, 79 universelle R-Matrix, 39 206

Vernichtungsoperator X− , 23 von Neumann-Algebra, 70 Wallach-Menge, 128

Abstract After the foundation of Hopf algebras is set, we look at the duality of groups and algebras of functions. Therefore we introduce the term of the dual pair and verify the examples (U (sl(2, C), K(SL(2, C)) and (Uq (sl(2, C), Kq (SL(2, C)).

The following chapter is dedicated to the cross products of groups and group algebras and is meant to lead to the quantum double of a Hopf algebra, which is isomorphic to the cross product of H and H ∗op with an action (Proposition 3.4.5.). In this model characteristics of the matched pairs are used. In the fourth chapter we explore functional analytical aspects, more precisely the Katayama duality of C ∗ -crossed and C ∗ -co-crossed products. This is basically the C ∗ -analogue of the previous algebraic structures. Crossed and co-crossed products form a dual pair in the sense of A ⊗ C0 (G), A ⊗ C ∗ (G)). At the beginning of the 2nd part, basic facts on bounded symmetric domains interpreted in Jordan theoretic terms and Hilbert spaces of holomorphic functions are explained. In the following the Hardy-Toeplitz -C ∗ -Algebra T (S) is shown to be a sub-algebra of the ̂∗ (K)  C(K)PS . Similary, the Bergman case is studied with C ∗ -co-crossed product PS C λ the result that the Bergman-Toeplitz-C ∗ -Algebra Tν (B) is a subalgebra of a C ∗ -crossed ̂0 (G). Both results product, constructed as an action of a certain algebra of functions C are useful in the study of C ∗ -representations. The thesis ends with an outlook of further developments in representation theory, index theory and q-deformation.

T. Skill, Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, DOI 10.1007/978-3-8348-8179-3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011