Suhteellisuusteoria

1

JOHDATUSTA SUHTEELLISUUS- JA KENTTÄTEORIAAN

Kai Peiponen Fysiikan ja Matematiikan laitos Joensuun yliopisto 2007

1

2

Esipuhe Tämä moniste on muovautunut vuosien saatossa kun olen luennoinut Joensuun yliopistossa suhteellisuus- ja kenttäteoriaa 1970-luvulta lähtien. Opetuksen aikana monistetta täydennetään kuvin ja esimerkein. Monisteessa käydään lävitse erikoisen suhteellisuusteorian keskeisimmät asiat. Kenttäteoriaosassa tarkastellaan pelkästään sähkömagneettisen kentän suhteellisuusteoriaa käyttäen hyväksi kovariannssin käsitettä, joka on tärkeä yleisessä suhteellisuusteoriassa. Joensuun Yliopiston Fysiikan ja Matematiikan laitoksella fysiikan opetus- ja tutkimus on profiloitunut moderniin optiikaan ja fotoniikkaan. Suhteellisuusteorian syntyyn on vaikuttanut voimakkaasti valon ominaisuudet. Suhteellisuusteoriassa on mahdollista tarkastella valo-opin piiriin liittyviä

eri ilmiöitä. Tällä hetkellä tieteessä kuuma

kysymys on ns. ”hidas ja nopea valo.” Valoon liittyvien ilmiöiden tutkiminen jatkuu voimakkaana tulevina vuosina ja suhteellisuusteoriaa tarvitaan usein avuksi. Mainittakoon esimekkinä vaikkapa kiihtyvyysanturi, joka perustuu Sagnac-ilmiön soveltamiseen. Joensuussa 12. huhtikuuta 2007 Kai Peiponen

2

3

I Klassista suhteellisuusmekaniikkaa 1. Klassisen mekaniikan suhteellisuusperiaate Liikkuvaan kappaleeseen on kiinnitetty koordinaatisto K’. Kappaletta tarkastetaan levossa

olevasta

(laboratorio)

koordinaatiosta

K.

Klassisen

mekaniikan

suhteellisuusperiaaten mukaan toistensa suhteen tasaisessa liikkeessä olevat koordinaatistot ovat mekaniikan kannalta saman arvoisia.

Klassinen mekaniikka: On olemassa absoluuttinen levossa oleva koordinaatisto. Tämän koordinaatiston suhteen tasaisesti liikkuvat vertailusysteemit ovat mekaniikan kannalta täysin saman arvoisia. Sellaisia koordinaatistoja kutsutaan inertiaalikoordinaatistoiksi (Newtonin I laki voimassa).

Ei voida valita jotakin koordinaatistoa abs. koordinaatiston asemaan! 2. Galilei –muunnos Klassisessa mekaniikassa siirtyminen inertiaalijärjestelmästä toiseen tapahtuu Galileimuunnoksen avulla. Olkoot K ja K’ kaksi inertiaalijärjestelmää ja K’ :n nopeus K:ssa on v. Tehdään oletus, että liike tapahtuu pitkin x-akselia. Ja x ⎢⎢x ’, y ⎢⎢y’ ja z ⎢⎢z’.

⎧ x' = x − vt , v = vakio ⎪ y' = y ⎪⎪ ⎨z' = z ⎪t ' = t ⎪ ⎪⎩

(1)

Galilei-muunnokseen liittyi oma ”talonpoikaisjärki” eli aika on universaalinen se on siis sama kaikkialla paikasta riippumatta. Einstein korjasi käsitystämme ajan luonteesta hylkäämällä sen universaalisuuden. Massapisteen nopeus K:ssa:

3

4

u=

dx dt

(2)

Ja K’:ssa

u '=

dx ' ⎛ dx ' ⎞ ⎜= ⎟ dt ⎝ dt ' ⎠

(3)

eli dx ' dx = −v =u−v dt dt

(4)

Kiihtyvyys on siis sama molemmissa järjestelmissä. Klassisessa fysiikassa on olettamus, että pituus, aika ja massa ovat riippumattomia suhteellisesta liikkeestä. Edelleen klassisen mekaniikan mukaan nopeudella ei ole ylärajaa. Viimeksi mainitusta

seuraa

muun

muassa,

että

informaatiota

voitaisiin

siirtää

maailmankaikkeuden rajoille ajassa t = 0s! II Lorentz-muunnos 1.Einsteinin postulaatit

Maxwellin teoria sähkömagneettisen aallon etenemistä toi mukanaan käsitteen aallon nopeus tyhjiössä. Kyseinen nopeus on sama riippumatta valölähteen omasta nopeudesta. Kuten nykyisin hyvin tiedämme valon nopeus riippuu pelkästään materiaalista, jossa valo etenee eli

kyseinen nopeus saadaan jakamalla valon

tyhjiönopeus väliaineen taitekertoimella. Tyhjiö referenssisysteeminä oli outo 1900luvun alkupuolella. Johtuen pitkälti tuon ajan mekaanisesta maailmankuvasta oletettiin, että maailmankaikkeuden täyttää ”maailman eetteri”, joka on läpinäkyvää ja sen tiheys on nolla. Michelson oli kehittänyt tarkan optisen interferometrin, jonka avulla pystyttiin mittaamaan pieniä optisen matkan eroja, jotka kaksi sädettä kokevat kulkiessaan kahta eri tietä havaintopisteeseen. Michelson ja Morley halusivat selvittää maailman eetterin olemassaolon ja tekivät kuuluisan kokeensa, jonka tavoitteena oli osoittaa, että valon nopeus on erilainen maailman eetterin ”myötävirtaan ” kuin

4

5

”vastavirtaan.” Oli luonnollista olettaa, että Maapallon liike avaruudessa johtaisi tällaiseen liikeeseen maailman eetterin suhteen. Kokeen perusteella saatiin tulos, että valon nopeus on aina sama! Michelson-Morleyn kokeen selittämiseksi

Einstein

(Annalen der Physik (1905)) esitti kaksi peruspostulaattia

1.

Valon tyhjiönopeuden invarianssi (c)

2.

Suhteellisuusperiaate Fysiikan lait ovat samoja kaikissa inertiaalijärjestelmissä.

Jälkimäinen postulaatti on klassisen suhteellisuusteorian periaatteen laajennus, jossa muutkin kuin mekaniikan lait oletetaan invarianteiksi eli muuttumattomiksi toistensa suhteen liikkuvien vertailusysteemien transformaatiossa. Kun rajoitutaan inertiaalisysteemien (eivät koe kiihtyvyyttä toistensa suhteen) välisiin muunnoksiin on kyse suppeammasta suhteellisuus teoriasta.

Einsteinin postulaatteihin liittyvät olettamukset avaruuden homogeenisuudesta ja isotrooppisuudesta. Ajan ja paikan homogeenisuudella ymmärretään sitä, että eri

pisteet avaruudessa ovat samanarvoisia. Toisin sanoen mitattaessa kahden tapahtuman ajan ja paikan eroa mittaus ei saa riippua siitä missä ja milloin tapahtumat rekisteröidään vertailusysteemeissä. Isotrooppisuudella tarkoitetaan sitä, että sauvan tai kellon ominaisuudet eivät riipu siitä, miten ne ovat orientoituneet tyhjässä tilassa. Vaatimalla

fysiikan

lakien

invarianssi

myös

toistensa

suhteen

kiihtyvien

koordinaatistojen välisissä muutoksissa päädytään yleiseen suhteellisuusteoriaan.

2. Valon nopeuden invarianssi

5

6

Ajatellaan koetta, jossa lähetetään valosignaali ajanhetkellä t1. Valo kohtaa peilin hetkellä t2 ja saapuu detektorille ajanhetkellä t3. Kausaalisuus:

Syy – seuraus periaate t1< t2 < t3. Einstein postuloi kaikissa tapauksissa

t2 =

t1 + t3 . 2

(5)

Eli sähkömagneettinen signaalin tyhjiönopeus on jokaisen vertailusysteemin suhteen sama vakio c liiketilasta riippumatta. Valon ottama aika kullakin matkaosuudella on

(t2- t3)/2 ja lähetys-heijastus tapahtumien välimatka siten c(t2- t3)/2. Periaate ristiriidassa Galilei-muunnosten nopeuksien yhteenlaskusäännön kanssa! Jos postulaatti

pitää

paikkansa

niin

transformaatioyhtälöitä

muutettava!

Kun

koordinaatistosysteemit inertiaalisysteemejä päädytään Lorentz –muunnoksiin.

3.Lorentz-muunnos

Einsteinin idea oli, että jos trkastellaan kahden inertiaalijärjestelmän K ja K’ suhteellista liikettä niin t≠t’ ! Seuraavaksi 1. peruspostulaatin avulla johdetaan inertiaalikoordinaatistojen K ja K’ välille muunnosyhtälöt. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että koordinaatistojen origot yhtyvät kun t = t’ = 0, ja että K’:n liike K:n suhteen tapahtuu yhteisen x- ja x’akselin suunnassa. Tämän olettamuksen nojalla molemmissa koordinaatistoissa tapahtumalla on samat y- ja z- koordinaatit. Jos tapahtuma K:ssa on pisteessä (x, y ,z, t) niin K’:ssa se vastaavasti on pisteessä (x’,

y’, z’, t’). On luonnollista olettaa, että ⎧ x ' = x ' ( x, t ) . ⎨ ⎩t ' = t ' ( x, t )

(6)

6

7

Jos piste liikkuu tasaisella nopeudella K:ssa niin K’:n tasaisesta nopeudesta K:n suhteen seuraa pisteen tasainen liike myös K’:ssa. Edelleen koska koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t ' = 0 niin muunnosyhtälöt (6) ovat lineaarisia. Voidaan siis kirjoittaa

x' = αx + βt t ' = γx + δt , missä α, β,

(7) γ ja δ ovat vakioita. Määrätään seuraavaksi kertoimet käyttäen

seuraavia ehtoja. 1.

K’:n nopeus K:n suhteen on v •

Jos piste levossa K’:ssa niin sen nopeus K:n suhteen on v

•

Jos piste levossa K:ssa niin sen nopeus K’:n suhteen on –v

c on invariantti K:ssa ja K’:ssa

2.

Systeemissä K on voimassa K: u =

dx dt

Ja K’ :ssa dx +β dx' αdx + βdt K’: u ' = = = dt . dx dt ' γdx + δdt γ +δ dt

α

Viimeksi saatu lauseke johtaa nopeuksien yhteenlaskulausekkeeseen

αv + β => β = −αv; (δ ≠ γ ) γv + δ β hh=> − v = => β = −δv . Eli α =δ δ •

=>

0=

Yllä olevasta ehdosta 2 seuraa, että c=

αc + β α (c − v) = γc + δ γc + α Ö γc 2 + αc = αc − αv

7

8

Ö γ =−

αv

δ ≠ −γv => v ≠ c .

c2

Ö Näin saadaan muunnosyhtälöt

⎧ x ' = α ( x − vt ) ⎪ v ⎨ ' . ⎪⎩ t = α ( t − c 2 x )

(8)

Määritetään seuraavaksi kerroin α. Hetkellä t = t’ = 0

lähetetään valosignaali

(palloaalto) origosta. Valo etenee vakionopeudella c, joten se kulkee K:ssa matkan r = ct ajassa t.

r = x2 + y 2 + z 2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0. Myös K’:ssa valo etenee palloaaltona

x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 − c 2t ' 2 = 0

y = y ' ja z = z ' . ⎧ x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0 ⎪ Ö ⎨ 2 v 2 2 2 2 2 2 ⎪α ( x − vt ) + y + z − c α (t − 2 x) = 0 c ⎩ Ö

⇒ α 2 x2 − x2 − α 2

v2 2 x + α 2 v 2 t 2 − c 2α 2 t 2 + c 2 t 2 = 0 , 2 c

Muuttujat x ja t ovat riippumattomia. Ratkaisemalla saadaan => α 2 x 2 (1 −

v2 ) = x 2 ⇒ α = (±) 2 c

α 2 t 2 ( v 2 − c 2 ) = − c 2t 2 ⇒ α = ( ± )

1 1−

v2 c2

1 1−

v2 c2

8

9

Vain positiivinen arvo kuitenkin kelpaa, koska muuten ajan suunta vaihtuisi muunnoksissa. Saadaan lopulta Lorentz-muunnokset x − vt ⎧ ⎪ x' = 1− β 2 ⎪ ⎪ y' = y ⎪ v ⎨z' = z , β= ⎪ c v ⎪ t− 2 x ⎪t ' = c ⎪ 1 β2 − ⎩

(9)

Käänteismuutos saadaan korvaamalla v, -v:llä eli x'+vt ' ⎧ ⎪x = 1− β 2 ⎪ ⎪ y = y' ⎪ ⎨z = z' ⎪ v ⎪ t '+ 2 x ⎪t = c ⎪ 1− β 2 ⎩

.

(10)

Kun v < c, niin toisessa järjestelmässä saataisiin imaginaarinen aika- ja paikkakoordinaatti. Suhteellisuusteoria ei kiellä yli valon nopeuksia, jos ne eivät liity tiedon siirtämiseen paikasta toiseen.

4.Lorentz-muunnoksen geometrinen tulkinta Tarkastellaan karteesista koordinaatistoa (x,t) ja asetetaan tc=T

9

10

v ⎧ x − ( )tc ⎪ x − vtc / c c = x − βT = ⎪ x' = 1− β 2 1− β 2 1− β 2 ⎪ ⎨ vx ⎪ ct − c 2 ⎪ct ' = c ⇒ T ' = T − βx ⎪ 1− β 2 1− β 2 ⎩

.

(11)

Tulkitaan Lorentz-muunnokset tasossa (x,T). Origo säilyy invarianttina tapahtuu vain koordinaattiakselin kierto. Uusi x’-akseli saadaan asettamalla T’ = 0 ⇒ x’-akseliksi saadaan suora T =

α = arctan

vx , joka saadaan kiertämällä x-akselia origon ympäri kulman c

v verran vastapäivään jos v > 0, ja myötäpäivään jos v < 0. T’- akselilla x’ c

v = 0 ⇒ x = T . Siispä (x’ T’) – koordinaatisto on vinokulmainen ja akselit sijaitsevat c symmetrisesti suoran x= T suhteen.

Yksikköjana K:ssa (x1, T1) = (1,0)

1

K’:ssa x1’= T1’ = −

1− β 2

v/c 1− β

2

.

Vastaavasti jos (x1’, T1’) = (1,0) saadaan K:ssa riippuvuus v:stä. x1 ' 2 −c 2 t1 ' 2 = 1 ⇔ x1 ' 2 −T1 ' 2 = 1 .

(12)

Pisteen (x1’, T1’) ura on hyperbeli. Jos (x, T) = (0,1) ⇒ saadaan liittohyperbeli. Suhteellisuusteoriassa usein valitaan imaginaarinen aikakoordinaatti eli T =ˆ i c t , T’ =ˆ i c t’

tai T → iT ja T ' → iT ' . Tällöin avaruus on pseudo-euklidinen. Etuna

tällaiselle valinnalle on se, että pseudo-euklidisessa avaruudessa edellä käsitellyt suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

10

11

5. Samanaikaisuuden suhteellisuus Olkoon tapahtuman koordinaatit K:ssa (x1, t1) ja K’:ssa (x1’, t1’).Toisen tapahtuman vastaavat koordinaatit ovat (x2, t2) ja (x2’, t2’). Merkitään: Δx = x2 − x1 ja ajanmuunnosyhtälöstä saadaan silloin

Δt ' =

v Δx c2 . 1− β 2

Δt −

(13)

Jos eripaikkaiset tapahtumat, Δx ≠ 0, ovat samanaikaiset K:ssa eli Δt = 0 on niiden vΔx aikaväli K’ :ssa Δt ' = − ≠0 c2 1 − β 2 Eripaikkaisten tapahtumien samanaikaisuus on koordinaatiosta riippuva. 6. Pituuskontraktio Olkoon mittasauvan levossa K’:ssa x’-akselin suuntaisena. Sen pituus on l0 = x2’-x1’ =

ominaispituus = lepopituus. Koordinaatisto K’ liikkuu nopeudella v K:n suhteen. Jotta sauvan päiden pituuskoordinaatit voitaisiin lukea K:ssa on sen tapahduttava samanaikaisesti eli Δt = 0 (jos ulopuolisen tarkkailijan pitäisi mitata akvaariossa liikkuvan kalan pituus se olisi mahdotonta, sillä lukema pitäisi ottaa ”hauen leukaluusta” ja pyrstöstä. Hauki on ehtinyt edetä ensimmäisen mittauksen jälkeen). Systeemissä K mitataan l = x2-x1. Lorentz-muunnos ⇒ x2 '− x1 ' =

x2 − x1 − v(t2 − t1 )

(14)

1− β 2

Ù l0 =

l 1 − β2

eli l = l0 1 − β

(< lo)

Voidaan todeta: Liikkuvat kappaleet näyttävät liikkeensä suunnassa kutistuneilta. Vastaavasti liikkuva havaitsija näkee liikkeensä suunnassa olevat välimatkat lyhentyneinä. Kohtisuorissa suunnissa y ja z ei tapahdu konraktiota!

11

12

7. Aikadilataatio Määrätään kahden tapahtuman välinen aikaväli inertiaalikoordinaatissa K ja K’. K’ on

kummankin tapahtuman lepokoordinaatisto. Tapahtumat sattuvat samassa pisteessä x’ (mielivaltainen). Tapahtumien aikaväli on K’:ssa Δt0 = t2 '−t1 ' ja K:ssa t2 − t1 . Tapahtumat kirjataan K:ssa x’:n kohdalla tapahtumahetkellä. Tapahtumat eivät satu samassa pisteessä K:ssa sillä K’ liikkuu K:n suhteen nopeudella v. vx ' vx ' t 2 '+ 2 2 c ja t = c . t1 = 2 2 1− β 1− β 2 t1 '+

Aikaväli K:ssa on siten (tässä systeemissä tarvitaan 2 kelloa!)

Δt = t2 = t1 =

t2 '−t1 ' 1− β 2

=

Δt 0 1− β 2

> Δt 0

(15)

Kyseessä on dilalaatio eli ajan

”ajanleventymä”.Lepokoordinaatistossa mitatusta

ajasta t0 käytetään nimitystä ominaisaika. Kahden tapahtuman välinen ominaisaika voidaan mitata samalla kellolla. Sen sijaan aikavälin Δt mittaamiseen tarvitaan kaksi kelloa, koska tapahtumat ovat eripaikoissa K:ssa. Ominaisaikaa mittaava kello mittaa tapahtumien välillä lyhimmän aikaeron Δt0 Ajan dilataation kaava tulkitaan usein siten, että liikkuva kello käy hitaammin kuin levossa oleva. Sanonta on oikea, mutta on tiedettävä mitä tarkoitetaan liikkuvalla kellolla.Ajatellaan seuraavaa tilannetta: Kello A kulkee levossa olevan kellon B ohi, jolloin siis A käy hitaammin kuin B. Toisaalta A:n kannalta katsottuna B liikkuu, joten B kävisi A:ta hitaammin. Ristiriita! Ajan dilataatio olisikin näennäistä.Ristiriita johtuu siitä, että vertailu suoritetaan eri intervallien kesken.

12

13

Dilataatio on todennettu alkeishiukkasilla kuten μ-mesonit, jotka syntyvät ylimmissä ilmakerroksissa kosmisen säteilyn johdosta n.10 km korkeudessa. Mesonien nopeus

− 0.998c . Eliniäksi on mitattu t0, μ = 2,2 ∗10 −6 s, jossa ajassa ne hajoavat on vμ ~ neutriinoksi ja antineutriinoksi sekä positroniksi tai elektroniksi varauksesta riippuen. − 660m . Kuitenkin μ-mesoneja Ajassa 2,2*10-6 s ne ehtivät kulkea vain matkan vt0 ~ havaitaan

paljon

myös

maanpinnalla.

Mesonivuo

voidaan

selittää

joko

pituuskontraktion tai aikadilataation avulla. Maanpinnalla oleva havaitsija mittaa mesonien elinajaksi t =

t0 1− β 2

=ˆ 10500 m.Toisaalta mesonit ”näkevät” etäisyyden

~ 640m, l0 = 10km maahan lyhyempänä eli voidaan laskea l = l0 1 − β 2 − 8. Kelloparadoksi Ajatellaan sellaista tilannetta, että kahdella henkilöllä A ja B, jotka alussa ovat lähellä

toisiaan, on identtiset kellot. Silloin A:n kello mittaa aikaa t ja B:n aikaa t’. Henkilö A on paikallaan, mutta B liikkuu tasaisella nopeudella v pisteeseen P.

Aikadilataatio ⇒

Δ t' 1 − β

2

> Δ t'

Toisin sanoen B:n kello jää jälkeen A:n kellosta. Seuraavassa vaiheessa B pysähtyy avaruuden pisteessä P ja palaa kaverinsa A luokse nopeudella v. Tällä paluumatkalla B:n kello jää jälkeen A:n kellosta. Kaikki on siihen saakka hyvin, kun B toteaakin, ettei hän tehnyt matkaa vaan A teki matkan toiseen suuntaan B:n pysyessä paikallaan. Kun nyt lasketaan aikaero saadaan

Δt ' =

Δt 1− β 2

> Δt , joten A:n kello on jäänyt jälkeen. Ristiriita!

Kyseessä ei kuitenkaan ole ristiriita, sillä edestakaisella matkalla esiintyy kiihtyvyyksiä, eivätkä systeemit ole jatkuvasti inertiaalisysteemejä (liikkeen havaitsemiseen K’:ssa tarvitaan 1 kello ja K:ssa 2 kelloa). Kyseessä on yleisen suhteellisuusteorian piiriin liittyvä asia. Jos Einstein olisi ensiksi esittänyt yleisen

13

14

suhteellisuusteorian olisi vältetty suhteettoman suuren huomion saavuttanut kello- tai kaksosparadoksi kuten sitä joskus kutsutaan. 9. Erikoisen suhteellisuusteorian ”talonpoikaisjärki” Rajanopeus c:

Jos Newtonin maailman kuvan mukainen äärettömän suuri nopeus olisi mahdollista, jolla signaali voitaisiin siirtää paikasta toiseen, voitaisiin absoluuttisesti sanoa onko vai ei kaksi tapahtumaa samanaikaisia. Tuntuu kuitenkin epärealistiselta, että mitään fysikaalista tapahtumaa voitaisiin siirtää äärettömän suurella nopeudella. Sellaisessa fantasiassa tieto kulkisi koko maailman kaikkeuteen nolla ajassa! Oleellista on se, että

kokeet

(kokeellinen

fysiikka)

osoittavat

ajan

suhteellisuuden

eli

suhteellisuusteoriassa ei ole kyse mistään filosofistisesta idealismista. Suhteellisuusteorian tulos c = rajanopeus = valon tyhjiönopeus = vakio on fysiikan laki! Kyseistä rajanopeutta ei siis voi ylittää missään inertiaalijärjestelmässä eli sillä

on sama ominaisuus kaikissa inertiaalijärjestelmissä.

Absolutismi ja suhteellisuus:

Suhteellisuusteoriaa voitaisiin tietyin perustein kutsua myös absolutismin teoriaksi. Se tosiasia, että havintojen tekijät jotka ovat suhteellisessa liikkeessä toistensa suhteen mittavat erilaisia pituuksia ja aikavälejä eri tapahtumille, järkyttää klassista ajattelutapaa. Näin siitäkin huolimatta, että esimerkiksi klassisessa fysiikassa liikemäärän tai liike-energian mittauksissa saadaan erilaisia mittaustuloksia jos kahdella mittaajalla on suhteellista liikettä toistensa suhteen. Se mikä tuntuu ongelmalliselta, ainakin näennäisesti, on filosofistinen ajatus että abstraktioina pituus ja aika ovat absoluuttisia suureita. Tärkeätä on se, että suhteellisuusteoria yksinkertaisesti toteaa että mitattuun pituuteen tai aikajänteeseen kahden tapahtuman välillä vaikuttaa tapahtumien ja mittajan suhteellinen liike. Suhteellisuusteoria on mittausten teoria, ja liike vaikuttaa mittauksiin.

Talonpoikaisjärjen mukaan suhteellisen liikeen pitäisi vaikuttaa mittauksiin, joista klassisessa fysiikassa on paljon esimerkkejä kuten tähtien abberratio, Doppler ilmiö ääniaalloilla jne. Suhteellisuusteoriassa ei ole tarvetta puhua materiaalista ja sen ominaisuuksista, jotta voitaisiin havaita liikkeen aiheuttamia muutoksia pituudessa tai aikavälissä. Suhteellisuusteorian tulokset johtuvat itse mittausprosessista. Ilmiöt ovat

14

15

käänteisiä. Toisin sanoen, jos X:n kello näyttää Y:stä kulkevan hitaammin niin yhtälailla X:n mielestä Y:n kello kulkee hitaammin. Vastaavasti jos X:n metrin mitta näyttää Y:stä liikesuunnassa lyhyemmältä, niin vastaavasti Y:n metrin mitta näyttää X:stä lyhyemmältä liikesuunnassa. On olemassa myös absoluuttiset pituudet ja ajat. Mittasauvan leopopituus on absoluuttinen suure ja se on täsmälleen sama kaikille mittajille, joiden leopokoordinaatistossa sauva sijaitsee. Eli jos sauva viedään kuhunkin inertiaalijärjestelmään, joissa sauva on levossa, saadaan aina sama mittaustulos kyseisessä lepojärjestelmässä. Aivan vastaava pätee myös ajalle. Ominaisaika, jota voitaisiin kutsua ”paikallisajaksi” on

invariantti

suure.

inertiaalijärjestelmissä

kun

Kvartsikiteen

värähtelyt

värähdysmittaukset

ovat

tehdään

yhtä kunkin

pitkiä

eri

järjestelmän

lepokoordinaatistossa.

Pituuskontraktion todellisuus:

Onko pituuskontraktio todellista vaiko näennäistä? Yhtä lailla klassisessa fysiikassa voidaan kysyä onko taajuusmuutos Doppler-ilmiössä todellinen, valehtelevatko korvat? Luonnollisesti jos taajuutta mitataan missä tahansa lepojärjestelmässä niin saadaan aina sama tulos eli ominaistaajuus (= lepotaajuus). Yhtälailla pituus on invariantti. Kun äänilähde ja havaitsija ovat suhteellisessa liikkeessä toisiinsa nähden niin havaitsija toteaa taajuuseron. Yhtälailla liikkuvan sauvan pituus on kutistunut liikesuunnassa. Edellä mainittu Doppler-ilmiö ja pituuskontraktio ovat todellisia samassa mielessä kuin, että mittaukset ovat todellisia. Emme suinkaan väitä, että ominaistaajuus on muuttunut koska mittasimme taajuden muutoksen. Emme myöskään väitä, että pituudessa.

ominaispituus on muuttunut koska mittasimme kutistuman

Vaikutukset

ovat

pituuskontraktiossa (suhteellisen

näennäisiä

sekä

Doppler-ilmiössä

että

liikkeen aiheuttamia) samassa mielessä, että

ominaissuureet eivät ole muuttuneet. Kyse on mitä enimmässä määrin itse mittausprosessista. Koska pituuden mittauksessa on kyse vertailusta kahdesta pituudesta (paikallaan oleva sauva ja liikkuva sauva) niin Lorentz-kontraktiossa ei ole kyse yhden sauvan ominaisuudesta itsessään vaan sen sijaan relaatiosta kahden sellaisen sauvan välillä, jotka ovat suhteellisessa liikkeessä toistensa suhteen.

15

16

Aikamittaukset ja pituus:

Pohjimmiltaan aikamittaukset ovat primäärisiä ja avaruusmittaukset sekundäärisiä. Tämän tiedämme suhteellisuusteoriasta, sillä pituuden käsitteeseen liittyy olennaisesti samanaikaisuus (muistele uiva kala akvaariossa tapausta) mutta on vähemmän noteerattu, että sama tilanne on olemassa klassisessa fysiikassa. On oleellista muistaa, että klassisessa mekaanikassa mittana on kiinteä käsin kosketeltava laite eli sauva tai kelattava metrimitta. Toisin on kun mitataan suuria astronomisia etäisyyksiä. Silloin mittarina toimii valo itse ”tutkana” jonka nopeuden ja kulkuajan perusteella voimme arvioida etäisyyksiä. Pituusmittana puhutaankin valovuosista. Mielenkiintoista on, että saman typpistä etäisyysmittausta voidaan havaita luonnossa eli lepakot käyttävät ääniaaltoja etäisyysmittauksissa. Jos halutaan mitata hyvin pieniä etäisyyksiä eli atomiskaalassa

myös

silloin

sähkömagneettisia

aaltoja

käytetään

hyväksi.

Atomiteoriassa taajuudet ovat standardeja, joten aikastandardit ovat ensi sijaisia ja pituudet määrätään niiden avulla. Tunnetusti metrin standardi määrätään nykyisin juuri valon avulla.

10. Nopeuden muunnos Tarkastellaan seuraavaksi kappaleen liikettä, jonka hetkellinen nopeus K:ssa

on u = (u x , u y , u z ) ja K’:ssa u ' = (u x ' , u y ' , u z ' ) . Hyödyntämällä L-muunnoksia saadaan myös nopeuksille omat muunnosyhtälönsä, jotka pätevät inertiaalisysteemien välillä Differentioimalla saadaan dx' =

dx − vdt 1− β 2

, dy = dy ' , dz = dz ' ja

dt ' =

v dx c2 , 1− β 2

dt −

v = vakio.

⎧ ⎪ dx' dx − vdt u −v = x ⎪u x ' = dt ' = v vu dt − 2 dx 1 − 2x ⎪ c c ⎪ 2 ⎪ dy ' u y 1 − β ⎪ ⇒ ⎨u y ' = = vu dt ' ⎪ 1 − 2x c ⎪ ⎪ 2 ⎪u ' = dz ' = u z 1 − β vμ ⎪ z dt ' 1 − 2x ⎪⎩ c

.

16

(16)

17

Käänteiset muunnokset saadaan asettamalla

v → −v ja vaihtamalla pilkulliset

pilkuttomiin ja päinvastoin.

Ylivalonnopeus:

Jos v > c , niin

1 − β 2 on

imaginaarinen jolloin myös pituus- ja aikaintervallit

tulevat imaginaarisiksi. Ylinopeudella liikkuvia hiukkasia kutsutaan takyoneiksi (ei ole toistaiseksi tavattu!). Suhteellisuusteoriaan liitty paljon optiikkaa. Valon nopeudella on tietenkin keskeinen rooli mutta valon kulun kannalta väliaineessa on meidän myös huomioitava suhteellisuusteorian tuomat ”mausteet.” Eräs tällainen on Fresnelin ”jarruvastus” (Fresnel drag). Tarkastellaan asiaa modernin optiikan kannalta. Laboratoriossa (K) on putki, jossa virtaa vettä (K’) nopeudella vw laboratorion suhteen. Putkeen ohjataan lasersäde, mitä tapahtuu säteen etenemisnopeudelle? Paikallaan olevassa vedessä säteen nopeus tunetusti on c/n, missä n on veden taitekerroin. Nopeuden yhteenlaskusääntöä, eli tässä tapauksessa kaavakokoelman (16) ylintä yhtälöä soveltamalla, saadaan lasersäteen nopeudeksi approksimatiivisesti u ≅

1 c + vw (1 − 2 ) . n n

Aivan samalla tavalla voidaan käsitellä myös muita optiikan ilmiöitä relativistisesti. Mainittakkoon esimerkkinä Snellin taittumislain relativistinen muoto. Viime aikoina on herättänyt paljon mielenkiintoa valon hidastaminen ja jopa pysäyttäminen. On ehdotettu, että ns. vorteksi on analoginen mustalle aukolle ja että vorteksi voi pysäyttää valon kulun.

11. Valon aberraatio ja Doppler-ilmiö

Tarkastellaan tasoaaltorintamaa siten, että valonsäde on tasossa ( x ' , y ' ) ja muodostaa kulman θ '

x '− akselin suhteen. Tehdään seuraavaksi eräitä yhtälöiden johtoja.

Aaltoa, jonka amplitudi otetaan yksikön suuruiseksi kuvaa lauseke

17

18

⎡ x' cos θ '+ y ' sin θ ' ⎤ cos 2π ⎢ − v' t '⎥ ja nopeudelle pätee c = λ ' v ' . K-systeemissä λ' ⎣ ⎦ aaltorintamat ovat myös tasoja, sillä Lorentz-muunnos on lineaarinen joten taso muuttuu tasoksi. Silloin K:ssa tasoaalto on muotoa ⎧λ ' v ' = c ⎡ x cosθ + y sin θ ⎤ − vt ⎥ (*). Koska c on invariantti ⇒ ⎨ cos 2π ⎢ . λ ⎣ ⎦ ⎩λ v = c Sijoitetaan edellä olevaan yhtälöön Lorentz-muunnokset

x' =

x − vt 1− β 2

, y' = y

ja t ' =

t−

vx c2

,

1− β 2

jolloin saadaan ⎡ v ⎤⎤ ⎡ t − 2 x⎥ ⎥ ⎢ 1 ( x − vt ) ⎢ y sin θ ' c ⎦ ⎥. ⇒ cos 2π ⎢ ' − v' ⎣ cos θ '+ λ ⎢λ 1− β 2 1− β 2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

Sijoitetaan λ ' v ' = c ja järjestetään viimeksi saatu lauseke uudelleen ⎡ cosθ '+ β (β cosθ '+1)v' t ⎤ . sin θ ' ⇒ cos 2π ⎢ x+ y− ⎥ 2 λ' 1− β 2 ⎥⎦ ⎢⎣ λ ' 1 − β

(**)

Saatu lauseke edustaa tasoaaltoa K:ssa kuten pitääkin! Nyt on oltava (*) = (**) (molemmat esitykset x, y, z , t - koordinaatistossa!). ⇒ cosθ

λ sin θ

λ

= =

cosθ '+ β

(17)

λ' 1 − β 2 sin θ ' λ'

(18)

18

19

v=

v' (1 + β cosθ ' ) )

(19)

1− β 2

lisäksi λv = λ ' v' = c .

(20)

Jos λ ' v' ja θ ' tunnetaan ⇒ voidaan määrätä λ , v ja θ . Muodostetaan suhde (18)/(17) eli

tan θ

=

sin θ ' 1 − β 2 . cos θ ' − β

(21)

Näin saatu relativistinen valon aberraatiokaava kytkee toisiinsa kulmat θ ja θ’. Vastaavasti saadaan käänteismuunnos vaihtamalla v → −v ⇒ β → − β eli

tan θ ' =

sin θ 1 − β 2 . cos θ − β

(22)

Aberraatiokaavat ovat hyödyllisiä tähtitieteessä määrättäessä tähtien todellisia sijainteja. Relativistista Doppler-ilmiötä kuvaa (19), jonka käänteismuunnos on

v' =

v (1 − β cosθ )

1− β 2

.

(23)

Niinsanottu pitkittäinen Doppler-efekti tapahtuu kun kaavassa (19) θ '= 0 0 tai θ ' = 1800 . Kun kohde ja havaitsija liikkuvat toisiaan kohti on voimassa

19

20

v = v'

1+ β c+v = v' . 1− β c−v

(24)

Kun θ '= 180 0 kohde ja havaitsija loittonevat toisistaan ja pätee

v = v'

1− β c−v = v' . 1+ β c+v

(25)

Erkoispiirre on poikittainen Doppler-efekti, joka on puhtaasti relativistinen ja ei esiinny klassisessa fysiikassa eli tapaus θ '= 90 0 . Silloin on voimassa

v = v' / 1 − β 2 .

Pokittaisella

(26)

Doppler-efektillä

on

aikadilataatioon

perustuva

tulkinta.

Sähkömagneettisen säteilyn Doppler-ilmiöllä, joka siis perustuu suhteellisuusteoriaan, on monia käytännön sovelluksia kuten esimerkiksi laser- Doppler mittaustekniikka (lasertutkat ja virtausmittalaitteet) ja Maailman kaikkeuden laajenemisen arviointi. Jäkimmäisessä tapauksessa mitataan tähtien optisia spektrien ja tulkintaan niihin liityviä Doppler-siirtymiä. Jos tähti loittonee niin spketriviiva siirtyy kohti suurempia aallonpituuksia, jolloin puhutaan punasiirtymästä ja päinvastaisessa tapauksessa sinisiirtymästä. Edvin Hubble tulkitsi galaksien etäisyyksiä ja havaitsi, että kuta

kauempana galaksi on sitä suurempi loittonnemisnopeus. Hän esitti lain pakonopeudelle V V = Hr ,

(27)

missä r on etäisyys ja H = (50-100) km/ s / Mpc. Yleinen suhteellisuusteoria johtaa myös ns. gravitaatiopunasiirtymään. Nykytietämyksen mukaan Maailmankaikkeus laajenee. Tähtisumuilla on suuri V.

20

21

III Minkowskin avaruus 1. Neliulotteinen avaruus

Tietyn tapahtuman avaruus- ja aikakoordinaatit liittyvät kiinteästi toisiinsa. Kutakin tapahtumaa vastaa valitussa koordinaatistossa

K neljä lukua (x, y, z, ct) =

maailmanpiste. Siirryttäessä koordinaatistosta toiseen saa sama tapahtuma eri koordinaatit. Hiukkasen tai kappaleen liikerata vastaa avaruus-aikamaailmassa käyrä eli hiukkasen maailmanviiva. Maailmanviivoja kuvaillaan käyttäen Minkowskin avaruutta. Minkowskin avaruus on käyttökelpoinen työkalu koska se mahdollistaa

usein käsitteellisesti vaikeidenkin asioiden ymmärtämisen yksinkertaisten graafisten piirrosten avulla. Tavallisesti vaikeudet ilemenvät kun mukaan astuu aikakoordinaatti. Yksinkertaisimillaan Minkowskin avaruus on (x,t) –taso.

2. Viivaelementti

Suhteellisuusteoriassa keskeinen käsite on etäisyyksien mittaaminen. Normaalissa kolmiulotteisessa avaruudessa kahden pisteen välimatkan ymmärtäminen ei tavallisesti tuota ongelmia. Kun sallitaan neljäs ulottuvuus eli aika on kahden neliulotteisen avaruuden pisteen etäisyyden käsitteen ymmärtäminen yleensä hankalampaa. Tämän vuoksi käsittellään seuraavaksi etäisyyden käsitettä. Kun mitataan kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa kahden pisteen P1 ja P2 etäisyyttä se voidaan määrätä Pythagoraan teoreeman avulla kuten s 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .

(28)

Voimme kuvitella, että yhtälön (28) avaruuden kahden pisteen välillä on esimerkiksi tanko, jonka pituuden neliö s2 ei muutu vaikka tankoa siirrettään tai pyöritetään avaruudessa. Toisin sanoen s2 = vakio. Tällaista suuretta kutsutaan invariantiksi. Huomion arvoista on se, että pituuden neliö on invariantti koska x, y ja z ovat keskenään ortogonaalisia. Pituuden invarianssi pätee myös kun esimerkin tanko liikkuu tasaisella nopeudella ehdolla, että päätepisteiden koordinaatit mitataan samalla hetkellä. Matematiikassa käsitellään n-ulotteisia karteesisia koordinaatistoja ja etäisyyden käsite laajennetaan soveltamalla Pythagoraan teoreemaa. Niinpä on luonnollista vaatia etäisyyden invariattisuutta neliulotteisessa avaruudessa siten, että myös t on ortogonaalinen paikkakoordinaattien kanssa. Kyse on silloin etäisyyden 21

22

ksitteestä, jossa kahden eri tapahtumaa erottaa aika ja sijainti avaruudessa. Luonnossa esiintyy ajan translaatiosymmetria eli tiettyjen fysikaalisten prosessien kesto ei riipu siitä milloin ne alkoivat. Tämän perustella voimme kirjoittaa analogisena yhtälölle (28) seuraavan lausekkeen

τ 2 = (t 2 − t1 ) 2 ,

(29)

joka on siis invariantti. Aikasymmetriassa eli kun t1 = t2 ei tarvitse olla (x1, y1, z1) = (x2, y2, z2). ”Sama määrä jäätä samoissa olosuhteissa sulaa samassa ajassa Japanissa ja Suomessa.” Kun tarkastellaan erikseen (28) & (29) ei ole mitään mahdollisuutta kvantitatiivisesti määrätä kahden eriaikaisen tapahtuman absoluuttista eroa. Kaksi tapahtumaa voi olla täsmälleen samassa paikassa eli s2 = 0, mutta τ 2 ≠ 0 josakin järjestelmässä K mutta jossakin toisessa järjestelmässä K’ pätee s 2 ≠ 0

ja τ 2 ≠ 0 .

Huomaa, että paikka-avaruudessa voi ”kääntyä takaisin” mutta aika ei voi kääntyä takaisin historiaan. Seuraavaksi pohditaan etäisyyden käsitettä matemaattisin ja fysikaalisin käsittein. Ei ole kaukaa haettu, että etäisyys saadaan yhdistämällä (28) ja (29) sopivasti. Putaasti matemaattisesti määriteltynä etäisyyden neliön mitta (x, t)avaruudessa olisi s 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + (t 2 − t1 ) 2 . Fysikaalisesti tämä on kuitenkin kestämätön tilanne koska dimensiot eivät täsmää. Ne saadaan täsmäämään korvaamalla aikakoordinaatti koordinaatilla ct. Kahden tapahtuman ( x1 , y1 , z1 , ct ) ja ( x2 , y2 , z2 , ct2 )

välimatka

Δs

(paikallinen

etäisyys)

määritellään

Lorentz-

koordinaatiossa yhtälön Δs 2 = −( x1 − x 2 ) 2 − ( y1 − y 2 ) 2 − ( z1 − z 2 ) 2 + c 2 (t1 − t 2 ) 2

avulla, missä voi olla Δs 2

Erikoisesti valolla

(30)

> 0. <

Δs 2 = 0,

minkä vuoksi valon maailmanviivaa kutsutaan

nollaviivaksi. Fysiikassa tavallisesti tarvitaan differentiaalisia suureita näin myös

suhteellisuusteoriassa. Mikäli tapahtumien etäisyys on differentiaalinen on ds 2 = − dx 2 − dy 2 − dz 2 + c 2 dt 2 .

(31) 22

23

Suuretta ds kutsutaan viivaelementiksi, ja sen neliö on invariantti Lorentzmuunnoksessa. Seuraavaksi selkeytetään nollaviivan käsitettä. Jos tarkastelemme valon etenemistä tyhjässä avaruudessa niin sille pätee kaksidimensionaalisen avaruuden tapauksessa dx/dt = c. Tästä yhtälöstä voi ratkaista dx 2 − c 2 dt 2 = 0 . Teemme valinnan ds 2 = −dx 2 + c 2 dt 2 .Yhtä hyvin voidaan valita ds 2 = dx 2 − c 2 dt 2 . Yhtälö (31) on vain yleistys 4-ulotteiseen avaruuteen.

3. Tapausparien invariantti luokittelu Invariantin välimatkan avulla luokitellaan tapahtumaparit seuraavasti:

Δs 2 > 0 eli Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 < c 2 Δt 2 ajanluonteinen tapahtumapari Δs 2 = 0 valonluonteinen tapahtumapari Δs 2 < 0 paikanluonteinen tapahtumapari Selvitetään seuraavaksi milloin on mahdollista siirtää informaatiota paikasta toiseen yllä olevissa tapauksissa.

Merkitään Δr = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 Δv < c tapahtumat voidaan yhdistää signaalilla Δt Δv Δt

=c

tapahtumat voidaan yhdistää vain valon tyhjiönopeudella etenevällä

signaalilla Δv Δt

> c tapahtumia ei voida yhdistää signaalilla.

Jos kaksi tapahtumaa ovat syy - ja seuraussuhteessa keskenään (kausaliteetti) välittää riippuvuuden jokin signaali. Paikanluonteisen tapahtumaparin tapauksessa toinen ei voi olla toisen syy. Tällöin tapahtumajärjestys riippuu valitusta koordinaatistosta. Ajan- ja valonluonteisilla tapahtumapareilla aikajärjestys on yksikäsitteinen. Tapahtumia tavallisesti havainnollistetaan Minkowskin avaruuden avulla.

23

24

4. Radiusvektori ja ominaisaika

Neliulotteisen koordinaatiston origosta mielivaltaiseen maailmanpisteeseen piirretty vektori on radiusvektori eli s = ( x, y, z, ct ) . Silloin s 2 = s • s = − x 2 − y 2 − z 2 + c 2t 2 . Differentiaalilauseke (ds) 2 = ds • ds = − dx 2 − dy 2 − dz 2 + c 2 dt 2 = viivaelementin neliö. Kappaleen ominaisaika on kappaleen mukana liikkuvan standardikellon mittaama aika. Esimerkiksi radioaktiivisten ydinten hajoaminen ja oma elimistömme mittaa ominaisaikaa.

Ominaisaikaintervalli

dt0

on

yksinkertaisessa

yhteydessä

viivaelementtiin. Yhteys havaitaan lausumalla invariantti viivaelementti kappaleen lepokoordinaatistossa, jossa

ds = c 2 dt02 − dx02 − dy02 − dz02 .

(32)

Kappaleen lepokoordinaatistossa dx0 = 0, dy0 = 0, dz0 = 0

⇒

dt0 = dτ =

ds c

(33)

eli

ds dτ = = c

c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 u2 = dt 1 − 2 , c c

(34)

missä u2 =

(dx 2 + dy 2 + dz 2 ) dt 2

Huomaa,

että

tässä

on nopeuden neliö käytetyssä inertiaalijärjestelmässä. nopeudella

tarkoitetaan

jonkin

olion

nopeutta

inertiaalijärjestelmässä ja sitä ei pidä sotkea kahden inertiaalijärjestelmän väliseen tasaiseen nopeuteen v, joka esiintyy Lorentz-muunnoksissa. Integroimalla saadaan ominaisajaksi

24

25

τ=

(T2 )

∫

1−

(T1 )

u2 dt . c2

(35)

Jokaisella havaitsijalla

oma maailmanviiva ja ominaisaika. Ominaisaika on

verrannollinen maailmanviivan pituuteen (kaava (33)).

IV Suhteellisuusteorian kovarianssi 1. Kovarianssikäsite

Einsteinin mukaan suhteellisuusperiaate tulee olla voimassa kaikilla fysiikan alueilla. Tähän mennessä on sovellettu suhteellisuusperiaatetta paikka- ja aikakoordinaateille. Muille

fysikaalisille

suureille

voimme

yrittää

saada

muunnosyhtälöt

eri

koordinaatistoiden välille käyttämällä ajan ja paikan Lorentz-muunnoksia hyväksi. Tämä on työläs tapa, mutta Einstein teki juuri niin alkuperäisessä työssään kun hän johti muunnosyhtälöitä sähkömagneettisille kentille ja osoittaessaan, että Maxwellin yhtälöt ovat sopusoinnussa suhteellisuusperiaatteen kanssa. Tehokkain keino suhteellisuusteorian laajentamisessa on kirjoittaa fysikaalisia lakeja muodossa, joista eksplisiittisesti ilmenee miten fysikaaliset suureet käyttäytyvät siirryttäessä inertiaalijärjestelmästä toiseen. Jos yhtälöllä on invariantti muoto inertiaalijärjestelmän vaihdossa, silloin koetulos joka perustuu kyseiseen yhtälöön ei voi antaa tulosta, joka riippuisi tietystä vertailujärjestelmästä. Yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa sellaisessa muodossa, että se on riippumaton inertiaalijärjestelmästä kutsutaan Lorentz-kovariantiksi. Kovarianssi tarkoittaa siis sitä, että fysiikan laki on sama

eri

koordinaatistoissa

koordinaatistomuunnoksessa).

(skalaari Fysiikan

lait

tai

invarianttisuure

ovat

kovariantteja

ei

muutu

paikka-

ja

aikatranslaatiossa, 3-dimensionaalisen paikka-avaruuden rotaatioissa ja Lorentzmuunnoksissa. Fysiikan lakien invarianssi avaruuden rotaatiossa vaatii, että skalaarisuureet a = b säilyvät kaikissa koordinaattisysteemeissä samoin vektorisuureet F = G , Fi = Gi

(komponenteille). Vektorin tapauksessa kovarianssivaatimus on

seuraava F = G → F ' = G ' mutta Fi ≠ Fi ' ja Gi ≠ Gi ' .

25

26

2.Vektorit ja tensorit Kovarianteilla suureilla

on

oma

merkitsemistapansa,

jota

noudatetaan

suhteellisuusteoriassa. Yleisessä suhteellisuusteoriassa kaikki lait esitettään käyttäen kovarianttia esitystä.

Määritellään seuraavaksi vektorit ja tensorit, jotka ovat

hyödyllisiä käsitteitä myös erikoisessa suhteellisuusteoriassa. Neljä fysikaalista K järjestelmän suuretta ( A1 , A2 , A3 , A4 ) , jotka muuttuvat kuten

i

Ai ' = b j Aj ,

(36)

missä b ij on Lorentz-muunnoksen välittävä matriisi ⎛γ ⎜ ⎜ 0 b ij = ⎜ 0 ⎜ ⎜ βγ ⎝

0 1 0 0

0 βγ ⎞ ⎟ 0 0 ⎟ , 1 0 ⎟ ⎟ 0 γ ⎟⎠

(37)

ja missä β = v / c ja γ = 1 / 1 − β 2 , muodostavat kovariantin Lorentz-vektorin. Vektorikomponentti

Ai’

edustaa

siis

järjestelmän

K’

vektorikomponettia.

Määritelmässä (36) on käytetty ns. Einsteinin summaussääntöä eli jos jokin indeksi esiintyy summatermissä kaksi kertaa, tässä tapauksessa j, niin summausmerkki

∑

jätetään merkitsemättä. Tämä sopimus sen takia, että voidaan rationalisoida

merkintöjä (vähemmän työtä kirjoitettavien merkkien suhteen!). Huomaa, että yhdelmä ( x, y, z, ct ) ei ole kovariantti esitys sen sijaan samaa asiaa ilmaiseva yhdelmä ( x1 , y 2 , x 3 , x 4 ) on kovariantti esitys. On syytä tähdentää, että yläindekseinä esiintyviä lukuja 1, 2, 3 ja 4 ei pidä sotkea potenssikäsitteeseen. Vastaavalla tavalla kuten edellä neljä suuretta, jotka muuttuvat kuten i

B 'i = a j B j

(38)

muodostavat kontravariantin Lorentz-vektorin. Määritelmässä (38) on matriisi a ij

26

27

⎛ γ ⎜ ⎜ 0 i aj = ⎜ 0 ⎜ ⎜ − βγ ⎝

0 − βγ ⎞ ⎟ 0 0 ⎟ . 1 0 ⎟ ⎟ 0 γ ⎟⎠

0 1 0 0

(39)

Kun koordinaatiston akselit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan on kovariantin ja kontravariantin vektorin tulkinta skaalaustekijää vaille sama. Ero ilmenee silloin kun koordinaatiston ortogonaalisuus puutuu. Jos kyse on neliulotteisen avaruuden koordinaateista niin todellisuudessa esimerkiksi (38) on muotoa 4

x' i = ∑ a ij x j ,

(40)

j =1

joka auki kirjoitettuna tarkoittaa seuraavaa matriisiyhtälöä

⎛ x'1 ⎞ ⎛ γ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ x' ⎟ ⎜ 0 ⎜ 3⎟=⎜ 0 ⎜ x' ⎟ ⎜ ⎜ x' 4 ⎟ ⎜ − βγ ⎝ ⎠ ⎝

0 0 − βκ ⎞⎛ x 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 1 0 0 ⎟⎜ x 2 ⎟ . 0 1 0 ⎟⎜ x 3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 γ ⎟⎠⎜⎝ x 4 ⎟⎠

(41)

Suorittamalla kertolaskut yhtälössä (41) saadaan kullekin komponetille oma lausekkeensa, ja tuloksena on aikaisemmin johdetut tutut Lorentz-muunnokset.

Yleiset kovariantit ja kontravariantit vektorit: Jos luovumme Lorentz-muunnoksen mukaisesta rajoitteesta niin voimme yleistää

vektorin käsitettä. Tällöin koordinaattielementti lasketaan kuten

dx'i = (

∂x'i )dx j , ∂x j

(41)

jossa siis on käytetty Einsteinin summaussopimusta. Kyse on jälleen matriisiyhtälöstä mutta koordinaateille ei aseteta ortogonaalisuuden rajoitusta. Vastaavasti saadaan

27

28

vektorikomponenteille määritelmät eli

Ai ' = (

∂x j ∂x'i

)A j

(42)

on yleinen kovariantti muunnos ja ∂x' i j B' = ( j ) B ∂x i

(43)

on yleinen kontravariantti muunnos.

Tensorit:

Vektorien

lisäksi

suhteellisuusteoriassa

hyödynnetään

myös

tensorikäsitettä.

Kuusitoista suuretta, jotka muuntuvat kuten 4

4

Tkl ' = bi b j Tij (= ∑∑ bi b j Tij ) . k

l

k

l

(44)

i =1 j =1

muodostavat 2. kertaluvun kovariantin Lorenz-tensorin. Sekatensori määritellään vastaavasti kuten l

k

j

T 'lk = a j bi Ti .

(45)

Vektorien skalaaritulo:

Vektorien

skalaaritulo

on

tärkeä

käsite,

suhteellisuusteoriassa. Lorentz-vektoreille pätee ⎛ ∂x j ⎞ ⎛ ∂x'i ⎞ Ai ' B'i = ⎜⎜ i ⎟⎟ A j ⎜⎜ k ⎟⎟ B k ⎝ ∂x' ⎠ ⎝ ∂x ⎠

28

jota

hyödynnetään

usein

29

⎛ ∂x j ⎞⎛ ∂x'i ⎞ = ⎜⎜ i ⎟⎟⎜⎜ k ⎟⎟ Aj B k ∂x' ∂x ⎠ 1⎝442⎠⎝44 3

(46)

δ jk = Aj B j ,

joka on siis Lorentz-invariantti.

Tensorin jälki:

Lorentz-tensorin jälki määritellään kuten

k

k

k

j

T 'k = a j bi Ti = T j 123

j

(47)

δij

⇒ Tensorin jälki on siis myös invariantti Lorentz-muunnoksessa.

3. Metrinen perustensori

Fysikaalisten

tapahtuminen

monimutkaisempi

käsitteenä

etäisyys kuin

aika-avaruus pelkkä

etäisyys

koordinaatistossa

on

paikka-avaruudessa.

Matemaattisesti nämä kaksi käsitettä ovat kuitenkin läheisiä toisilleen. Tarkastellaan ensiksi etäisyyden käsitettä kahden eri paikka-avaruus koordinaatiston (x, y, z) ja (x1, x2, x3) välillä eli ⎧ x = x( x1 , x 2 , x 3 ) ⎪ 1 2 3 ⎨ y = y( x , x , x ) . ⎪ z = z ( x1 , x 2 , x 3 ) ⎩

(48)

Etäisyyselementin differenssin neliö on muotoa Δs 2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 .

(49)

Toisaalta matematiikasta tiedämme, että funktioden differensseille voidaan kirjoittaa lausekkeet

29

30

∂x ∂x ∂x Δx 1 + 2 Δx 2 + 3 Δx 3 1 ∂x ∂x ∂x y ∂y ∂ ∂y Δx 1 + 2 Δx 2 + 3 Δx 3 . 1 ∂x ∂x ∂x z ∂z ∂ ∂z Δx1 + 2 Δx 2 + 3 Δx 3 1 ∂x ∂x ∂x

⎧ ⎪Δx = ⎪⎪ ⎨Δy = ⎪ ⎪ Δz = ⎪⎩

(50)

Kun differenssit (50) sijoitetaan lausekkeeseen (49) saadaan ⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 ⎛ ∂z ⎞ 2 ⎤ 1 2 Δs = ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎥ Δx + ... ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎥⎦ ∂y ∂y ∂z ∂z ⎤ ⎡ ∂x ∂x + ... + 2⎢ 1 2 + 1 2 + 1 2 ⎥ Δx 1 Δx 2 + ... ∂x ∂x ∂x ∂x ⎦ ⎣ ∂x ∂x

( )

2

3

(51)

3

= ∑∑ g μν ( x 1 , x 2 , x 3 )Δx μ Δxν , μ =1 ν =1

missä

g μν =

∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z + μ ν + μ ν . μ ν ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

(52)

Kun sovelletaan Einsteinin summaussääntöä niin voidaan kirjoittaa Δs 2 = g μν Δx μ Δxν .

(53)

Kyseisen lausekkeen avulla saadaan kahden pisteen välinen etäisyys kun tunnetaan koordinaattien

differenssit.

Yhtälön

(53)

lauseke

on

invariantti

mutta

koordinaattidifferenssit eivät ole vaan ne riippuvat valitusta koordinaatistosta. Etäisyyden mitassa käytetty funktiota gμν kutsutaan metriseksi perustensoriksi,

g μν

⎛ g11 ⎜ = ⎜ g 21 ⎜g ⎝ 31

g12 g 22 g 32

g13 ⎞ ⎟ g 23 ⎟ . g 33 ⎟⎠

(54)

30

31

Tensorissa (54) on 6 riippumatonta termiä sillä, gμν = gνμ. Karteesisen koordinaatiston tapaus on yksinkertaisin ja sille pätee g11 = g22 = g33 = 1 ja gμν = 0 kun μ ≠ ν . Ylläolevan

lausekkeen

(53)

yleistys

neliulotteiseen

avaruuteen

tapahtuu

matemaattisesti seuraavalla tavalla 4

4

Δs 2 = g ij Δx i Δx j = ∑∑ g ij Δx i Δx j .

(55)

i =1 j =1

Karteesisen koordinaatiston tapauksessa x1 = x, x2 =y, x3 = z ja x4 = ct sekä g11 = g22 = g33 = -1, g44 = +1 ja gij = 0 kun i ≠ j . Siirryttäessä differenssistä differentiaalin käsitteeseen metriikka määritellään kuten ds 2 = gik dx i dx k

(56)

ja perustensori karteesisessa koordinaatistossa on siis ⎛ − 1000 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 100 ⎟ gik = ⎜ . 00 − 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 000 − 1 ⎟ ⎝ ⎠

(57)

Metrinen perustensori on tärkeä kun tarkastellaan viivaelementtiä. Myöhemmin nähdään, että sitä voidaan soveltaa suhteellisuusteoriassa myös muissa yhteyksissä. Yleisessä suhteellisuusteoriassa gik on koordinaattien funktio. Relaation Bi = g ij B j

(58)

avulla kukin kovarienttien komponenttien kontravarianttien tensorien komponenttiin. Selvästikin

31

Bi

joukon jäsen voidaan liitää

32

dx i dxi = ds 2 .

(59)

ja koska Ai = gik Ak B i = g ik Bk

(60)

niin skalaaritulolle saadaan AB = Ai B i = g ik Ak B i = − A1B1 − A2 B 2 − A3 B 3 + A4 B 4 .

(61)

V Relativistista dynamiikkaa 1. Nelinopeus ja nelikiihtyvyys

Erikoisessa suhteellisuusteoriassa kaikki fysiikan lait on esitettävä Lorentzmuunnosten suhteen invariantissa muodossa. Tämä on mahdollista jos teorian kehittelyssä

käytetään

vain

Lorentz-vektoreja

(tensoreja)

sekä

invariantteja

(skalaareja), joiden arvo ei riipu inertiaalijärjestelmästä. Dynamiikan esittämiseksi invariantissa muodossa on ensin määriteltävä nopeus ja kiihtyvyys niin, että ne täyttävät yllä olevan vaatimuksen. Klassinen nopeus u =dx/dt ei sovellu koska se ei ole koordinaatistosta riippumaton ( ei ole edes L-vektori). Järjestelmästä riippuva aika on korvattava invariantilla ominaisajalla, joka on siis verrannollinen

viivaelementtiin.

Koska

koordinaattidifferentiaalit

muodostavat

Lorentz-vektorin voidaan niitä myös hyödyntää nopeuden ja kiihtyvyyden määrittelyssä. Nelinopeus määritellään kuten

ui =

dx i dx i = g ii ui (tai u i = ), dτ ds

(62)

joka komponentteihin hajoitettuna tarkoittaa

32

33

dx1 = u = ds

dx

1

u2 = .

u3 =

2

u cdt 1 − 2 c

dx 2 = ds

dx 3 = ds

uy u2 cdt 1 − 2 c uz

u2 cdt 1 − 2 c

=

ux u2 c 1− 2 c

= −u1 ,

(63)

= −u 2 ,

(64)

= −u 3

(65)

ja

u4 =

dx 4 = ds

cdt 2

u c 1− 2 c

dt =

1 u2 1− 2 c

= u4 .

(66)

Huomaa, että ylläolevassa määritelmässä nelinopeus on dimensioton! Nelinopeuden skalaarituloksi itsensä kanssa saadaan karteesisessa järjestelmässä v2 c2 uu = u u i = u g ii u = 2 + = 1. c − v2 c2 − v2 i

i

i

(67)

Nelinopeuden suunta on maailmanviivan tangentin suunta. Yhtälöstä (67) voidaan päätellä, että nelinopeus on ajanluonteinen vektori. Nelikiihtyvyys määritellään kuten:

du i d 2 x i = 2 . a= ds ds

(68)

Muodostomalla nelikiihtyvyyden ja nelinopeuden skalaaritulo voidaan todeta, että

a u=

du 1 d (uu ) = 1 d (1) = 0 . u= ds 2 ds 2 ds

(69)

Toisin sanoen a ⊥ u.

33

34

Neli-impulssi

2.

Määritellään seuraavaksi neli-impulssi:

p i = m0 c 2

dx i = g ii pi , ds

(70)

missä mo on kappaleen massa sen ollessa levossa. Neli-impulssin komponentit ovat dx 1 p = m0 c = m0 c 2 ds 1

dx

2

=

p2 =

mo u y u2 1− 2 c

u2 cdt 1 − 2 c

m0 u x u2 1− 2 c

c = − p1 ,

(71)

c = − p2 ,

(72)

p 3 = − p3

(73)

ja

p 4 = m0c 2 = m0 c 2

=

dx 4 ds cdt

u2 cdt 1 − 2 c

m0 c 2 u2 1− 2 c

= E.

(74)

Neli-impulssin neljäs komponetti on siis energiasuure. Voimme ilmaista neliimpulssin liikemäärän sekä energian avulla käyttäen merkintää p = c p, E .

(

34

)

35

Skalaaritulon invarianttisuus ⇒ pp = p i pi = g ii p i p i 2

2

2

= −c 2 px − c 2 p y − c 2 pz + E 2 = vakio. 2

(

)

2

2

Kun u = 0 ⇒ vakio = E0 = m0c 2 ⇒ − c 2 p 2 + E 2 = m0 c 4 eli

2

p 2c 2 + m0 c 4 = E 2 .

Viimeksi

saatu

(75)

fundamentaaliyhtälö

on

tärkeä

esimerkiksi

hiukkasfysiikan

tutkimuksissa. 3. Relativistisen mekaniikan perusyhtälö Klassinen mekaniikassa dynamiikan perusyhtälö perustuu Newtonin toiseen lakiin.

Tätä lakia ei voida soveltaa suhteellisuusteoriassa koska se ei ole invariantti inertiaalijärjestelmissä. Näin ollen joudumme määrittelemään nelivoiman käyttämällä neli-impulssin käsitettä hyväksi

dp i F = = g ii Fi . ds i

(

(76)

)

⎛ i d ⎞ m0u i ⎟ , m0 = lepomassa ⎜F = ds ⎝ ⎠ Komponenteille pätee silloin F1 =

d ( p x c) = ds

1

=

u2 1− 2 c F2 =

c dp x c 1−

u2 dt c2

dp x , dt

1 u2 1− 2 c

dp y , dt

(77)

35

36

dp z dt

1

F3 =

1−

2

u c2

(78)

ja F4 =

(

)

d (E ) = d mc 2 = ds ds

1 u2 1− 2 c

(

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 2 d ⎜ m0 c ⎟ , 2 ⎟ dt ⎜ u ⎟ ⎜ 1− ⎟ ⎜ c2 ⎠ ⎝

(79)

)

missä nopeus u = u(t) ja p 4 = mc 2 , missä m on liikemassa. Liikkuvalle kappaleelle saadaan siis suurempi voima kuin levossa olevalle! 4. Massan ja energian ekvivalenssi Muodostetaan seuraavaksi skalaaritulo F iui = g ij F iu j

= − F 1u1 − F 2u 2 − F 3u 3 + F 4u 4 Tiedetään ennestään, että au = 0. Silloin pätee

(80)

F 4 u 4 = F 1u1 + F 2 u 2 + F 3u 3 .

(81)

Purkamalla yhtälö (81) auki saadaan lauseke 4

F 6444 47 4444 8 ⎛ ⎞ 6 u4 4 8 ⎜ ⎟ 47 1 1 d ⎜ m0 c ⎟ ⎜ ⎟ . u2 u 2 dt ⎜ u2 ⎟ 1− 2 1− 2 ⎜ 1− 2 ⎟ c c c ⎠ ⎝ dp y uy dp ux 1 1 . = x + dt dt u2 u2 u2 u2 1− 2 c 1− 2 1− 2 c 1− 2 c c c c

+

dp z dt

1 1−

uz u2 u2 c 1 − c2 c2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 d ⎜ m0 c ⎟ ⇒ ⎜ = Fx u x + Fy u y + Fz u z 2 ⎟ dt u ⎜ 1− ⎟ ⎜ ⎟ c2 ⎠ ⎝

36

37

eli

(

)

dE d mc 2 = { F ⋅u = . dt dt teho

(82)

Integroinnin jälkeen ⇒ E = mc 2 + vakio . Valitaan vakio = 0. Vain energiaeroilla on merkitystä fysiikassa! Saimme siis Einsteinin energian ja massan yhteyttä kuvaavan lain E = mc = 2

m0 c 2 u2 1− 2 c

.

(83)

Viimeksi saadusta laista voidaan päätellä, että mikään massallinen kappale ei voi saavuttaa valonnopeutta. Jos annetaan ajatuksen lentää ja sallitaan jollekin massalle valonnopeus niin sen nopeuden saavuttamiseksi ja ylläpitämiseksi ei löytyisi tarvittavaa energiaa koko Maailmankaikkeudesta!

5. Massattomat hiukkaset Hiukkasen, jonka lepomassa m0 = 0, energia (75):n mukaan on

E = pc .

(84)

Tunnetusti tällaisia hiukkasia ovat fotonit. Nyt herää kysymys mitä laille (83) tapahtuu fotonin tapauksessa? Tämä selviää antamalla lepomassan lähestyä nollaa ja nopeuden u valon nopeutta. Sitä varten on syytä muodostaa raja-arvo

k=

lim mo → 0, u → c

mo u2 1− 2 c

.

(85)

Raja-arvo (85) on äärellinen koska valonnopeudella liikkuvia lepomassattomia energian kuljetusmekanismeja on havaittu esimerkiksi valo itse! Fotonin impulssille ja energialle voidaan siis kirjoittaa

37

38

⎧ p = kc . ⎨ 2 = E kc ⎩

(86)

Kerroin k saadaan selville Planckin kvanttilain mukaisesti eli hyödynnetään tietoa E = hν ,

(87)

missä h on Planckin vakio ja ν on fotonin taajuus. Yhtälöistä (86) & (87) seuraa silloin, että k=

hv . c2

(88)

VI Relativistista elektrodynamiikka Elektrodynamiikan

lait

kuten

Maxwellin

kaavat

ovat

sopusoinnussa

suhteellisuusteorian kanssa. Niitä ei tarvitse siis muuttaa. Ne voidaan lausua kovariantissa muodossa. 1. Sähkömagneettisen kentän Lorentz-muunnokset Johdetaan seuraavaksi Lorentz-muunnokset sähkömagneettiselle

kentälle

tarkastelemalla

levossa

tapausta,

jossa

sähkövaraukset

q

ja

Q

ovat

inertiaalijärjestelmässä K’. Kyseinen inertiaalijärjestelmä liikkuu tasaisella nopeudella v inertiaalijärjestelmän K positiivisen x- akselin suhteen. Sähkövaraus Q aiheuttaa sähkökentän Ε' , jonka ansiosta sähkövaraus q kokee voimavaikutuksen F ' = q Ε' .

(89)

Jos tilannetta tarkastellaan järjestelmässä K niin Q luo sähkökentän lisäksi myös magneettisen induktion Β , jolloin q:n kokema voima on

(

)

F = q Ε + vi × Β .

(90)

Tarkastellaan ensiksi impulssia, joka voidaan ilmaista matriisiyhtälön

38

39

⎛ p '1 ⎞ ⎛ γ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ p' ⎟ ⎜ 0 ⎜ 3⎟=⎜ 0 ⎜ p' ⎟ ⎜ ⎜ p ' 4 ⎟ ⎜ − βγ ⎝ ⎠ ⎝

0 0 − βγ ⎞⎛ p 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 1 0 0 ⎟⎜ p 2 ⎟ 0 1 0 ⎟⎜ p 3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 γ ⎟⎠⎜⎝ p 4 ⎟⎠

(91)

avulla. Yhtälöstä (91) voidaan ratkaista kullekin komponenteille omat lausekkeensa. Käyttämällä normaalia karteesisen koordinaatiston merkintöjä, saadaan yhtälöstä (91) ratkaistua seuraava voiman komponetille pätevä lauseke

Fx ' ' =

dp x ' ' dt = dt ' dt '

⎛ dp x v dE ⎞ − 2 ⎜ ⎟. v 2 ⎝ dt c dt ⎠ 1− 2 c 1

(92)

Toisaalta tiedetään, että ajalle pätee Lorentz-muunnos

t=

t '+vx' / c 2 v2 1− 2 c

.

(93)

Koska testivaraus q on levossa K’:ssa niin sille pätee dx’/dt’ = 0. Tämän johdosta voidaan kirjoittaa aikaderivaatalle

dt = dt '

1 v2 1− 2 c

.

(94)

Toisaalta on voimassa dp x ⎧ ⎪ Fx = dt ⎪⎪ dx . ⎨ v= dt ⎪ ⎪ dE = F v x ⎩⎪ dt

(95)

39

40

Sijoitetaan tiedot (94) ja (95) yhtälöön (92), jolloin saadaan Fx ' ' = Fx .

(96)

Edelleen

Fy ' ' =

dp y ' ' dt '

=

dt dp y dt = Fy , dt ' dt dt '

(97)

josta seuraa että

Fy ' ' =

Fy v2 1− 2 c

.

(98)

Aivan vastaavalla tavalla voidaan johtaa tulos

Fz ' ' =

Fz v2 1− 2 c

(99)

.

Soveltamalla yhtälöiden (89), (90), (96), (98) ja (99) tietoja saadaan lopulta sähkömagneettista kenttää koskevat Lorentz-muunnokset ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ε x' ' = Ε x Ε y − vΒ z ⎪ . ⎨Ε y ' ' = 2 v ⎪ 1− 2 ⎪ c ⎪ Ε z + vΒ y ⎪Ε z ' ' = ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩

(100)

40

41

Käänteismuunnokset saadaan, kuten tavallista, vaihtamalla yhtälöissä pilkulliset suureet pilkuttomiin ja päinvastoin sekä korvaamalla nopeus v nopeudella –v. Käsittely perustui yksinkertaiseen malliin. Monimutkaisemmissa tilanteissa saadaan toisentyyppisiä Lorentz-muunnoksia. Tällainen tilanne on esimerkiksi äsken käsitellyssä tapauksessa kun sallitaan varauksen Q liike inertiaalijärjestelmässä K’. Kuten yhtälöstä (100) nähdään niin sähkökentän yhteydessä esiintyy magneettinen induktio ja asia pätee myös päin vastoin. Suhteellinen liike vaikuttaa siihen mitä havaitaan.

Pelkästään

sähkö-

tai

magneettikentän

ilmeneminen

jossakin

inertiaalijärjestelmässä voi ilmetä kenttien samanaikaisena ilmenemisenä jossakin toisessa inertiaalijärjestelmässä. Tämän takia puhutaan sähkömagneettisesta kentästä.

2. Varattu hiukkanen sähkömagneettisessa kentässä: kovariantti käsittely 2. 1 Kontravariantti virtatiheys Hiukkaseen vaikuttava Lorentz-voima on nelivoima

dp i F = = g ii Fi . ds i

(101)

Määritellään seuraavaksi kontravariantti virtatiheys j i : dx i j = ρ0 , ds i

missä

(102)

ρ 0 = varaustiheys varatun hiukkasen lepokoordinaatistossa. Tässäkin

yhteydessä teemme aikaisemmasta tutut olettamukset inertiaalijärjestelmistä ja niiden keskinäisestä suhteellisesta liikkeestä. Sen seurauksena pituuden kontraktio tapahtuu vain yhdessä suunnassa. Varaustiheys on silloin

ρ=

ρ0 v2 1− 2 c

.

(103)

Sähkövaraus pysyy invarianttina suhteellisesta liikkeestä riippumatta! Virtatiheyden komponentit saadaan kuten

41

42

dx

j 1 = − j1 = ρ 0

c 1−

j 2 = − j2 = ρ

j 3 = − j3 = ρ

2

v dt c2

vy c

=ρ

vx , c

(104)

,

(105)

vz c

(106)

ja j 4 = j4 =

ρ 0 cdt 2

v c 1 − 2 dt c

=

ρ0 v2 1− 2 c

= ρ.

(107)

Huomaa, että kaikilla neljällä komponentilla on sama dimensio. Normaalisti sähköopissa yhtälöiden (104)- (106) tapauksessa nopeutta ei jaeta valonnopeudella! v Voimme merkitä nelisuuretta j kuten j = ( ρ , ρ ) . c 2. 2 Vektoripotentiaali ja vektoreiden ominaisuuksia

Palautetaan seuraavaksi mieliin sähköopista vektoripotentiaalin A käsite, jolle on voimassa

Β = ∇× A ∂A , Ε = −∇Φ − ∂t

(108)

missä Φ on skalaaripotentiaali. Vektorit Ε ja Β eivät ole luonteeltaan saamanlaisia. Tavanomaiset vektorit ovat polaarisia kuten sähkökenttä, nopeus, voima ym. Näiden vektoreiden skalaaritulot eivät muutu koordinaattien ortogonaalimuunnoksissa, translaatiossa, rotaatiossa ja peilauksessa. Kahden polaarisen vektorin ristitulolle yllä oleva ei kuitenkaan päde vaan ristitulo riippuu koordinaatiston kätisyydestä. Tällaisia vektoreita, kuten magneettikenttä, vääntömomentti ym. kutsutaan aksiaalisiksi. Vektoritulon

42

43

C = R×S

(109)

komponentit saadaan laskettua seuraavalla tavalla Cαβ = Rα S β − Rβ Sα = −C βα ,

(110)

missä α, β = 1, 2 ,3. Yhtälö (110) on tärkeä linkki ymmärrettäessä hieman myöhemmin

määriteltävää

sähkömagneettista

kentätensoria.

Yhtälön

(108)

komponentit saadaan seuraavien kovarienttien lausekkeiden avulla ∂Βαβ ∂Ε α = − ∂t . ∂x α ∂x β ∂Aβ ∂Aα − = Βαβ ∂x α ∂x β

∂Ε β

−

(111)

Vektori- ja skalaaripotentiaalit toteuttavat aaltoyhtälöt ∇ 2Φ −

1 ∂ 2Φ ρ =− 2 2 ε0 c ∂t

(112)

ja ▽2 A −

ρv 1 ∂2 A = −μ 0 j = − 2 , 2 2 c ∂t c ε0

missä μ 0 ε 0 =

(113)

1 . Pätee myös jatkuvuusehto c2

∇⋅ j +

∂ρ = 0. ∂t

(114)

2. 3 D’ Alembertin operaattori Määritellään seuraavaksi hyödyllinen matemaattinen työkalu eli D’Alembertin operaattori: ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + + − = . ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ (ct ) 2

(115)

Voimme nyt pukea yhtälöt (112) ja (113) toiseen muotoon eli

43

44

Φ=−

ρ ε0

(116)

ja

(cA ) = − ρv

cε 0

=−

j

ε0

.

(117)

2. 4 Kontravariantti vektoripotentiaali Määritellään kontravariantti vektoripotentiaali seuraavasti Φ i = (cA , Φ ) . pätee

Φi = −

ji

εo

.

Silloin

(118)

Komponentteihin purettuna (118) tarkoittaa, että Φ1 = −

j1

ε0

,

⎛ qv y Φ 2 = ⎜⎜ − ⎝ cε 0

Φ3 = −

(119)

⎞ j2 ⎟⎟ = − , ε 0 ⎠

(120)

j3

(121)

ε0

ja ⎛ ρ⎞ j4 Φ 4 = ⎜⎜ − ⎟⎟ = − . ε0 ⎝ ε0 ⎠

(122)

Jatkuvuusyhtälön kovarianttimuoto on ∂j i = 0. ∂x j

(123)

Kyseessä on sähkövirran ja varauksen säilyminen. On voimassa myös ns. Lorentzehto ∂Φ i = 0. ∂x i

(124)

44

45

3. Sähkömagneettinen kenttätensori ja Maxwellin yhtälöt Vektoritulo

Cαβ = Aα Bβ − Aβ Bα = −C βα

(125)

on 2. kertaluvun antisymmetrinen tensori ( Dαβ = Dβα on symmetrinen tensori). Määritellään kovariantti antisymmetrinen kenttätensori seuraavasti: Fij =

∂Φ j

missä

∂x

i

−

∂Φ i , ∂x j

(126)

Φ i = (− cA, Φ ) = g ii Φ i .

Kenttätensori

yhdistää

sekä

sähkö-

että

magneettikentän samaan suureeseen. Vastaavasti voidaan määritellään kontravariantti antisymmetrinen kenttätensori

F ij =

∂Φ j ∂Φ i − . ∂xi ∂x j

(127)

Katsotaan mitä yhtälö (126) tarkoittaa eli muodostetaan sen komponentit. Tällöin saadaan F11 =

∂Φ 1 ∂Φ 1 − =0 ∂x1 ∂x1

(128)

ja ∂Φ 2 ∂Φ1 − ∂x1 ∂x 2 ∂A c ∂Ax = −c y − ∂x ∂y F12 =

.

(129)

= −c(∇xA ) z = −cBz

Kun palautetaan mieliin (108) niin saadaan

45

46

∂Φ 4 ∂Φ1 − ∂x1 ∂x 4 ∂Φ − c∂Ax ∂Φ ∂Ax = − = + ∂x c∂t ∂x ∂t F14 =

(130)

v ⎡ ⎛ ∂A ⎞ ⎤ = − ⎢− ∇ x Φ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = − E x . ⎢⎣ ⎝ ∂t ⎠ x ⎥⎦

Siis j → i ↓ ⎛ 0 ⎜ ⎜ cB z Fij= ⎜ − cB y ⎜ ⎜ E ⎝ x

− cB z

cB y

0

− cB x

cB x Ey

0 Ez

− Ex ⎞ ⎟ − Ey ⎟ . − EZ ⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

(131)

Vastaava kontravarianttitensori on F ij = g in g jm Fnm ⎛ 0 ⎜ ⎜ cBz =⎜ − cBy ⎜ ⎜ −E x ⎝

− cBz

cBy

0

− cBx

cBx − Ey

0 − Ez

Ex ⎞ ⎟ Ey ⎟ . Ez ⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

(132)

Siirtyminen inertiaalikoordinaatistojen välillä tapahtuu kenttätensorin tapauksessa kuten Fkl ' = bik b lj Fij .

(133)

Koska kentät Ε ja Β voidaan kirjoittaa kovariantissa muodossa potentiaalin avulla on syytä olettaa, että myös Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa kovariantisti eli ∂F ji ji = . εo ∂x j

(134)

Tarkastellaan ensiksi tapaus i = 1 eli

46

47

∂F 11 ∂F 21 ∂F 31 ∂F 41 j1 + + + = ε0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4 ⇔ c

∂B z c∂B y ∂E x 1 ρv x = − − c∂t ε 0 c ∂y ∂z

⇔

(∇xB )

⇔

(∇xB )x

ρv ⎛ ∂E ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 x ⎝ ∂t ⎠ x c ε 0 ⎛ ∂E ⎞ − μ 0ε 0 ⎜⎜ ⎟⎟ = μ 0 j x . ⎝ ∂t ⎠ x

−

x

1 c2

(135)

Vastaavalla tavalla kun käydään läpi indeksit i = 1, 2, 3 saadaan Maxwellin yhtälö

∇ × Β − μ oε o

∂Ε = μo j . ∂t

(136)

Edelleen kun i = 4 saadaan ∂F 14 ∂F 24 ∂F 34 ∂F 44 j 4 + + + = ε0 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4 ∂x1 ∂E x ∂E y ∂E z j4 + 0 = + + ε0 ∂z ∂x ∂y

⇔

(137)

josta seuraa Maxwellin yhtälö ∇⋅Ε =

ρ . εo

(138)

Kaksi muuta Maxwellin yhtälöä saadaan kenttätensorin avulla kaavasta ∂Fij ∂x

k

+

∂F jk ∂x

i

+

∂Fki = 0. ∂x j

(139)

47

48

4. Varatun hiukkasen relativistinen liikeyhtälö Partikkelin jonka varaus on q, liikeyhtälö missä tahansa Lorentz-järjestelmässä on ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ d ⎢ m0 v ⎥ = q Ε +v ×Β , dt ⎢ v2 ⎥ ⎢ 1− 2 ⎥ c ⎦ ⎣

(

)

(140)

joka kovariantissa muodossa lausuttuna on mo c 2

du i = qu k F ik . ds

(141)

5. Lagrangen funktio Analyyttisessä mekaniikassa käytetään hyväksi Lagrangen funktion käsitettä. Se

liittyy läheisesti variaatiolaskentaan, jonka avulla voidaan ratkaista paitsi analyyttisen mekaniikan myös muita fysiikan ongelmia. Sovelletaan seuraavaksi Lagrangen funktion käsitettä suhteellisuusteoriassa. Jotta liikeyhtälöt voitaisiin kirjoittaa kanonisessa (selkeästi ilmaistava muoto) muodossa on tavanomaista valita Lagrangen funktio

siten,

että

invarianssiominaisuudet

korostuvat.

Olkoon

partikkelin

maailmanviiva x i = x i (s ) , missä s on ”partikkelin ominaisaika”. Tarkastellaan neliulotteista kovarianttia Lagrangen funktiota, L4, siten, että variaatio x1i

δ ∫ L4 ( x i , u i )ds = 0 .

(142)

xoi

Variaatio on otettu kahden kiinnitetyn maailmanpisteen x0i ja x1i väliltä. Invarianssi vaatii, että L4 on skalaari. Vapaalle partikkelille valitaan

L4 =

m0 c 2 i u ui , 2

(143)

48

49

missä ei ole eksplisiitisesti x i − riippuvuutta, sillä vapaalla partikkelilla kaikki maailmanviivat ovat yhdenveroisia. Skalaarista vuorovaikutusta kentän kanssa voidaan kuvata vektoripotentiaalin

( )

Φ i x i avulla. Eli asettamalla Lagrangen funktioksi

L4 =

mo c 2 i u u i + qu i Φ i . 2

(144)

⇒ Liikeyhtälöt eli ∂L4 d ⎛ ∂L4 − ⎜ ∂xi ds ⎜⎝ ∂u i

⎞ ⎟⎟ = 0 . ⎠

(145)

Sijoitetaan L4 lauseke (144) yhtälöön (145) saadaan yhtälön (141) tyyppinen lauseke eli yllä oleva teoria on johdonmukainen. Tässä yhteydessä voidaan mainita, että variaatiolaskenta johtaa myös ns.geodeettisen viivan käsitteeseen, joka on tärkeä yleisessä

suhteellisuusteoriassa.

Palautetaan

ensiksi

mieliin

viivaelementin

differentiaalin neliö, joka on ds 2 = g αβ dx α dx β .

(146)

Viivan pituus saadaan integroimalla

s=

λ2

∫

λ1

g αβ

dx α dx β dλ . dλ dλ

(147)

Geodeettisen viivan yhtälö saadaan soveltamalla differentiaaliyhtälöä (145) yhtälön (147) integrandiin.

6. Relativistinen Hamiltonin funktio

49

50

Myös Hamiltonin mekaniikka voidaan yleistää koskemaan neliulotteista avaruutta. Relativistinen kovariantti Hamiltonin funktio määritellään , H = H 4 , nelihamiltoniaani, siten, että ⎧ ∂H 4 dqi ⎪ ∂p i = ds ⎪ ⎨ i ⎪ ∂H 4 = − dpi , qi x (s ) , ⎪⎩ ∂q i ds

(

)

(148)

Yhtälössä (146) on kahdeksan yhtälöä. Nelihamiltoniaanille pätee

H 4 = p i ui − L4 ;

pi =

∂L4 . ∂ui

(149)

50