Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza
Cap´ıtulo 8
Series num´ ericas 8.1.
Definici´ on y primeras propiedades
Informalmente, una serie es “una suma de infinitos sumandos” (ver antecedentes hist´ oricos y comentarios en [Apostol1, cap. 10] y en [Dura´n, p´ag. 184 y siguientes]). Tales sumas se usan impl´ıcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales “ilimitados” de los n´ umeros reales: 7 as´ı, la igualdad = 2, 333 . . . significa 3 7 3 3 3 =2+ + + + ..., 3 10 100 1000 3 suma con “infinitos sumandos” de la forma n , n ∈ N. En general, consideraremos una sucesi´ on 10 P∞ cualquiera (an ) y “su suma” n=1 an . ¿Qu´e sentido habr´a que darle a tal suma? La respuesta se m X P impone de modo natural: ∞ a “tiene que ser” l´ ım an . n=1 n m→∞
n=1
Analizando el proceso anterior, se trata, pues, de formar mediante la “sucesi´on de sumandos” (an ) una nueva sucesi´on “de sumas” (sm ) dada por sm = a1 + a2 + · · · + am , m ∈ N, y determinar el l´ımite (si existe) de esta u ´ltima sucesi´on. Esquem´aticamente: lugar t´ermino suma
1 a1 a1
2 a2 a1 + a2
3 a3 a1 + a2 + a3
4 a4 a1 + a2 + a3 + a4
... ... ...
n an a1 + · · · + an
... ... ...
→?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesi´ on, ¿qu´e novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto de partida: tomando como “dato” la sucesi´on de sumandos (an ), nos planteamos determinar propiedades de la sucesi´on de sumas (sn ) bas´andonos en propiedades de los t´erminos an . Pasemos a formalizar estas ideas.
8.1.1.
Series: t´ erminos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes
P Definici´ on 8.1.1. Una serie ∞ n=1 an es un par ordenado de sucesiones ((an ), (sn )) relacionadas por la condici´ on de que para cada n ∈ N es sn = a1 + a2 + · · · + an . El t´ermino n-´esimo de la primera sucesi´ on, an , recibe el nombre de t´ ermino n-´ esimo de la serie ; el t´ermino n-´esimo de la segunda sucesi´ on, sn , recibe el nombre de suma parcial n-´ esima de la serie . 139
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
140
P Diremos que la serie ∞ un n=1 an es convergente, divergente a +∞ o −∞, u oscilante seg´ sea convergente, P divergente a +∞ o −∞, u oscilante la sucesi´ on de sus sumas parciales. Si una serie ∞ ımite de la sucesi´ on n=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al l´ de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ (resp., −∞), se dice que su suma es +∞ (resp., −∞). Con un abuso de notaci´ on que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo s´ımbolo que la serie. P Nota. A veces es c´omodo considerar series de la forma ∞ umero entero: n=m an , donde m es un n´ las sumas parciales ser´an entonces s1 = am , s2 = am + am+1 ,. . . , sn = am P+ · · · + am+n−1 , . . . Se utiliza tambi´en la notaci´onPam + am+1 + · · · + an + · · · en vez de ∞ n=m an y, cuando no da lugar a confusi´on, se abrevia en an . P Ejemplo (series geom´ etricas). Una serie ∞ etrica si existe un r ∈ R n=1 an es una serie geom´ tal que para todo n ∈ N es a = r · a (o a /a = r si a = 6 0); de otro modo, si es de la forma n+1 n n+1 n 1 P∞ n esima, se tendr´a n=0 a r . Si sn es su suma parcial n-´ ( n si r 6= 1 a 1−r n−1 1−r . sn = a + a r + · · · + a r = an si r = 1 Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue: a) si |r| < 1, la serie
∞ X
arn es convergente y la suma es
n=0
a ; 1−r
b) si r > 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0); c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´an acotadas; d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞. Ejemplo (serie arm´ onica). Se denomina as´ı la serie ∞ X 1 . n
n=1
Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-´esima, denotada habitualmente por Hn , cumple Z n+1 n n Z X 1 X k+1 dx dx Hn = ≥ = = log(n + 1), k x x k 1 k=1
k=1
luego la serie arm´onica diverge a +∞ a pesar de que l´ım n
1 = 0. n
El “car´acter” de una serie no cambia si se prescinde de un n´ umero finito de sumandos (aunque esto pueda afectar al valor de la suma). Dicho de forma m´as precisa, P Proposici´ on 8.1.2. Dada una serie ∞ n=1 an y un entero m > 1, se tiene: P∞ P∞ a) n=1 an converge si y solo si converge n=m an . Si convergen, entonces ∞ X
an =
n=1
m−1 X n=1
an +
∞ X
an .
n=m
b)
P∞
diverge a +∞ si y solo si
P∞
diverge a +∞.
c)
P∞
diverge a −∞ si y solo si
P∞
diverge a −∞.
n=1 an
n=1 an
n=m an
n=m an
´ Y PRIMERAS PROPIEDADES 8.1. DEFINICION d)
P∞
n=1 an
es oscilante si y solo si
P∞
n=m an
141
es oscilante.
Demostraci´ on. Basta observar que para todo p > m es p X
an =
n=1
m−1 X
p X
an +
an ,
n=m
n=1
Pm−1 donde n=1 an es fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados conocidos para sucesiones.
8.1.2.
Linealidad de la convergencia de series
P∞ P∞ Proposici´ P∞ on 8.1.3. Sean n=1 an , n=1 bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la serie n=1 (αan + βbn ) es convergente y se tiene ∞ X
∞ X
(αan + βbn ) = α
n=1
an + β
∞ X
n=1
n=1
N X
N X
bn .
Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que N X
(αan + βbn ) = α
n=1
Corolario 8.1.4. Si es convergente.
P∞
n=1 an
Demostraci´ on. Si la serie
converge y
P∞
n=1 (an ∞ X n=1
an + β
n=1
P∞
n=1 bn
an .
n=1
no es convergente, entonces
P∞
n=1 (an
+ bn ) no
+ bn ) convergiera, entonces la serie bn =
∞ X
(an + bn ) + (−1)an
n=1
tambi´en converger´ıa, seg´ un la proposici´on anterior. P P P Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n ) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2n s´ı. Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como no convergente: exam´ınense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1.
8.1.3.
Series telesc´ opicas
Proposici´ on 8.1.5. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones de n´ umeros reales tales que para todo n ∈ N se cumple an = bn − bn+1 . P∞ Entonces la serie n=1 an (denominada serie telesc´opica) es convergente si y solo si la sucesi´ on (bn ) tiene l´ımite real, en cuyo caso tenemos ∞ X n=1
an = b1 − l´ım bn . n
Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie N X n=1
P∞
n=1 an
son
an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bN −1 − bN ) + (bN − bN +1 ) = b1 − bN +1 .
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
142 Ejemplo. Si an =
1 1 1 = − , entonces la suma parcial N -´esima es simplemente n(n + 1) n n+1
SN =
N X n=1
N
X 1 1 1 1 = − =1− , n(n + 1) n n+1 N +1 n=1
con lo que l´ım SN = 1. Es decir, la serie N
P∞
n=1 an
∞ X n=1
Ejemplo. Sea ahora an = log 1 + N X
an =
n=1
N X n=1
1 = 1. n(n + 1)
1 . La suma parcial de orden N es n
N
1 X log 1 + = log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1) n n=1
y tiende a +∞. Es decir, la serie
∞ X n=1
Nota. Toda serie
converge y su suma es 1:
P∞
n=1 an
log 1 +
1 diverge a +∞. n
se puede ver trivialmente como una serie telesc´opica: basta poner
b1 = 0,
bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an ) (n ∈ N),
lo que no a˜ nade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos obtenido s´olo es u ´til cuando la sucesi´on (bn ) es una sucesi´on conocida, cuyo comportamiento sabemos de antemano. Ejercicio. Escribi´endolas como series telesc´opicas, estudiar las siguientes series: a)
∞ X 1 n+2 n+2 (descomponer en fracciones simples). n 2 n(n + 1) n(n + 1)
n=1
b)
∞ X
3n sen3
n=1
c)
∞ X
2n−1 tg2
n=1
d)
∞ X n=1
8.1.4.
α a a (obs´ervese que sen α = 3 sen − 4 sen3 ). n 3 3 3
sen
a 2 tg(α/2) a tg n−1 (utilizar que tg α = ). n 2 2 1 − tg2 (α/2)
1 3 1 cos n (tener en cuenta que cos α sen β = [sen(α + β) − sen(α − β)]). n 2 2 2
Condici´ on necesaria para la convergencia de una serie. Condici´ on general de convergencia de Cauchy
Proposici´ on 8.1.6 (condici´ on necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie P∞ a converge, necesariamente n n=1 l´ım an = 0. n
´ 8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS
143
Demostraci´ on. Si (sN ) es la sucesi´on de las sumas parciales, es decir, sN =
N X
an ,
n=1
entonces ∃ l´ım sN ∈ R. N
Como aN = sN − sN −1 , se deduce que l´ım aN = l´ım sN − l´ım sN −1 = 0. N
N
N
Esta condici´on no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos de series no convergentes cuya sucesi´on de t´erminos tiende a 0; el m´as sencillo es quiz´a la serie arm´onica ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ··· + + ··· , n 2 3 n n=1
ya estudiada. Teorema 8.1.7 (condici´ on de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie P∞ n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N (ε) tal que para cualesquiera m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple m X ak < ε. k=n
Demostraci´ on. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesi´on (sn ) de sus sumas parciales, lo que equivale a que (sn ) sea de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0 exista un N = N (ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1 | < ε; pero sm − sn−1 =
m X k=1
ak −
n−1 X
ak =
k=1
m X
ak .
k=n
8.2.
Series de t´ erminos no negativos
8.2.1.
Convergencia de una serie de t´ erminos no negativos. Criterios de comparaci´ on
El estudio del car´acter de una serie se simplifica cuando ´esta es de t´erminos no negativos. P P∞ Proposici´ on 8.2.1. Sea ∞ n=1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces n=1 an converge si y solo si la sucesi´ on (sn ) de sus sumas parciales est´ a acotada superiormente. En caso contrario, la serie diverge a +∞. Demostraci´ on. Puesto que para cada n ∈ N es sn+1 − sn = an+1 ≥ 0, la sucesi´on (sn ) es mon´otona no decreciente. Luego o bien est´a acotada superiormente y converge, o bien no est´a acotada superiormente y diverge a +∞. Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a partir del car´acter de otra serie conocida.
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
144
P P∞ Teorema 8.2.2 (criterio de comparaci´ on).PSean ∞ y n0 ∈ N de n=1 bn dos seriesP n=1 an y ∞ ∞ modo que para nP≥ n0 es 0 ≤ anP≤ bn . Si b converge, tambi´ e n converge n=1 n n=1 an . En ∞ ∞ consecuencia, si n=1 an diverge, n=1 bn es asimismo divergente. P∞ P P∞ Demostraci´ on. Sabemos acter que ∞ n tiene n=1 n=1 an tiene el mismo car´ n=n0 an , y que Pque Pb∞ el mismo car´acterPque ∞ b . Denotando por (s ) la sucesi´ o n de sumas parciales de n n=n0 n n=n0 an ∞ y por (tn ) la de n=n0 bn , se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn , luego si (tn ) est´a acotada superiormente, (sn ) estar´a acotada superiormente. Y si (sn ) no est´a acotada superiormente, (tn ) tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora el teorema anterior. En los libros cl´asicos, el criterio anterior recibe el nombre P de criterio P de la mayorante y de ∞ la minorante, expres´andose la relaci´on descrita entre las series n=1 an y ∞ n=1 bn diciendo que la primera est´ a mayorada por la segunda y que ´esta est´a minorada por la primera. El criterio se enuncia entonces en la forma siguiente: si la serie mayorante es convergente, la minorante es convergente; si la minorante es divergente, la mayorante es divergente. La comparaci´on entre dos series suele hacerse en la pr´actica estudiando el cociente de sus t´erminos: P P∞ Corolario 8.2.3 (criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite). Sean ∞ n=1 an , n=1 bn series de t´erminos no negativos. Supongamos que existe l´ım n
an = ` ∈ [0, +∞]. bn
P∞
P a) Si ` < +∞ y la serie n=1 bn converge, entonces la serie ∞ en converge. n=1 an tambi´ P∞ P∞ b) Si 0 < ` y la serie n=1 bn diverge, entonces la serie n=1 an tambi´en diverge. P P∞ c) Si 0 < ` < +∞, entonces las dos series ∞ acter. n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´ Demostraci´ on. a) Sea C ∈ (`, +∞) (por ejemplo C = ` + 1). Entonces existe alg´ un n 0 P ∈ N tal que an /bn ≤ C para todo n ≥ n0 , es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0 . Si la serie P ∞ n=1 bn P∞ converge, entonces tambi´en la serie n=1 Cbn converge y, por el criterio anterior, la serie ∞ n=1 an converge. b) Sea C ∈ (0, `). Existe alg´ unP n0 ∈ N tal que an /bn ≥ C para todo n ≥ nP 0 , es decir, an ≥ Cbn ≥ 0 ∞ ∞ para todo n ≥ n0 . Si la serie b diverge, entonces tambi´ e n la serie n n=1 Cbn diverge y, por P∞ n=1 el criterio anterior, la serie n=1 an diverge. c) Basta aplicar a) y b). P∞ P∞ Corolario 8.2.4 (series de t´ erminos equivalentes). Sean a , n n=1 P∞ P∞ n=1 bn dos series de t´erminos no negativos. Supongamos que (an ) ∼ (bn ). Entonces n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´ acter. Por supuesto, en el resultado anterior las dos series pueden tener distinta suma. La comparaci´on con las series geom´etricas proporciona dos de los criterios m´as utilizados en la pr´actica, el criterio de la ra´ız y el criterio del cociente. Posteriormente veremos versiones m´ as generales de los mismos para series de t´erminos cualesquiera. P Proposici´ on 8.2.5 (criterio de Cauchy o de la ra´ız). Sea ∞ erminos no n=1 an una serie de t´ √ negativos tal que existe R = l´ım n an . n→∞ P∞ a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente. P b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∞ n=1 an es divergente. P∞ Proposici´ on 8.2.6 (criterio de D’Alembert o del cociente). Sea n=1 an una serie de an+1 t´erminos no negativos tal que existe R = l´ım . n→∞ an
´ 8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS a) Si R < 1, la serie
145
P∞
n=1 an
es convergente. P b) Si R > 1, entonces an → 6 0 y la serie ∞ n=1 an es divergente.
Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe. P Proposici´ on 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea ∞ erminos no negativos tal n=1 an una serie de t´ an+1 que exista R = l´ım n (1 − ). Entonces: n→∞ an P a) Si R > 1, la serie ∞ n=1 an es convergente. P b) Si R < 1, la serie ∞ n=1 an diverge a +∞. Demostraci´ on. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, p´ags. 101–102].
8.2.2.
Otros criterios. Convergencia de algunas series de t´ erminos no negativos
Proposici´ n 8.2.8 (criterio integral). Dada f P : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente, la integral Ro+∞ impropia 1 f es convergente si y solo si la serie ∞ as, existe siempre n=1 f (n) converge. Adem´ n X
C = l´ım n
Z
!
n
f (k) −
∈ [0, +∞)
f 1
k=1
y es n X
n
Z f (k) =
f + C + εn 1
k=1
con 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ım f (x). x→+∞
Demostraci´ on. Para cada n ∈ N, pongamos sn =
n X
Z f (k),
tn =
n
dn = sn − tn .
f, 1
k=1
Entonces dn =
n X
f (k) −
k=1
= f (n) +
n−1 X Z k+1 k=1
k
n−1 X Z k+1 k=1
f = f (n) +
n−1 X
Z f (k) −
k=1
k+1
f (x) dx
k
[f (k) − f (x)] dx ≥ 0.
k
Como Z
n+1
dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 = f (x) dx − f (n + 1) n Z n+1 = [f (x) − f (n + 1)] dx ≥ 0, n
se sigue que (dn ) es mon´otona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C = l´ım dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn ) y (tn ) ser´an simult´aneamente convergentes o divergentes. n R +∞ Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn ) equivale asimismo a la de la integral f , luego esta 1 P integral converge si y solo si converge la serie ∞ f (n). n=1
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
146
Por u ´ltimo, para obtener la relaci´on entre sn y tn , observemos que Z n+1 Z n+1 0 ≤ dn − dn+1 = f (x) dx − f (n + 1) ≤ f (n) dx − f (n + 1) = f (n) − f (n + 1). n
n
Reiterando, para cualquier n´ umero natural p, 0 ≤ dn − dn+1 ≤ f (n) − f (n + 1), 0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f (n + 1) − f (n + 2), ... 0 ≤ dn+p − dn+p+1 ≤ f (n + p) − f (n + p + 1). Al sumar las desigualdades resulta que 0 ≤ dn − dn+p+1 ≤ f (n) − f (n + p + 1). Pasando al l´ımite en p, y teniendo en cuenta que l´ım f (x) existe por ser f mon´otona no creciente, x→+∞
obtenemos 0 ≤ dn − C ≤ f (n) − l´ım f (x). x→+∞
Si hacemos εn = dn − C = sn − tn − C =
Pn
k=1 f (k)
−
Rn 1
f − C, hemos probado que
0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ım f (x), x→+∞
lo que completa la demostraci´on. Aplicaciones. 1.- La constante γ de Euler . Aplicando los resultados que acabamos de obtener a la funci´on f dada por f (x) = 1/x y teniendo en cuenta que Z n 1 dx = log n, 1 x podemos escribir la suma parcial n-´esima de la serie arm´onica como n X 1 Hn = = log n + γ + εn , k k=1
donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y n X 1 − log n γ = l´ım n k
! = 0, 5772156649 . . .
k=1
es un n´ umero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funci´on Γ, definida tambi´en por ´el. Euler obtuvo sus diecis´eis primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calcul´o 3.566 cifras. No se sabe todav´ıa si es un n´ umero racional o irracional (ver [Le Lionnais, p´ag. 28]). 2.- La funci´ on ζ de Riemann . El criterio integral permite comprobar f´acilmente que la serie ∞ X 1 ns
n=1
converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol1, ejemplo 1, p´ag. 485]). La funci´on ∞ X 1 ζ : s ∈ (1, +∞) → ζ(s) = ∈ R, ns n=1
´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA
147
denominada funci´ on zeta de Riemann , tiene importantes aplicaciones (especialmente en teor´ıa de n´ umeros). Hay expresiones m´as o menos sencillas para ζ(2n), n ∈ N, pero no para otros valores. π2 π4 Se sabe por ejemplo que ζ(2) = , ζ(4) = . Hasta fechas recientes (R. Ap´ery, 1978) no se hab´ıa 6 90 podido probar siquiera que ζ(3) es irracional: ver [Le Lionnais, p´ag. 36]. 3.- Series logar´ıtmicas . Tambi´en mediante el criterio integral se prueba que la serie ∞ X n=2
1 n(log n)s
converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol1, p´ag. 486]). Por comparaci´on con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de convergencia. P Proposici´ on 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea ∞ erminos no negativos n=1 an una serie de t´ tal que para alg´ un α ∈ R existe el l´ımite l´ım nα an = ` ∈ [0, +∞].
n→∞
Entonces: P a) Si α > 1 y ` < +∞, la serie ∞ n=1 an converge. P∞ b) Si α ≤ 1 y ` > 0, la serie n=1 an diverge (a +∞). P Proposici´ on 8.2.10 (criterios logar´ıtmicos). Sea ∞ erminos no negativos n=1 an una serie de t´ − log an − log(n an ) tal que existe alguno de los dos l´ımites A = l´ım , B = l´ım . Entonces: n→∞ log n n→∞ log(log n) P a) Si A > 1, la serie ∞ n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞. P b) Si B > 1, la serie ∞ n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞.
8.3.
Series de t´ erminos cualesquiera
8.3.1.
Series alternadas: criterio de Leibniz
P Proposici´ on 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∞ n=1 xn una serie alternada, es decir, una serie n+1 a con a ≥ 0. Si (a ) es una sucesi´ tal que para cada n ∈ N esPxn = (−1)P on no creciente con n n n ∞ ∞ n+1 l´ımite 0, entonces la serie n=1 xn = n=1 (−1) an es convergente. Adem´ as, denotando con sn la suma parcial n-´esima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades 0 ≤ (−1)n (sn+2 − sn ) ≤ an+1 , n
0 ≤ (−1) (s − sn ) ≤ an+1 .
(8.1) (8.2)
Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesi´on no decreciente y las sumas de orden impar una sucesi´on no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que |an+1 |, de modo que si (an ) converge “r´apidamente” a 0 , obtenemos una buena aproximaci´ on de la suma mediante una suma parcial de “pocos” t´erminos. Demostraci´ on. Obs´ervese que dado k ∈ N, la diferencia −(s2k+1 − s2k−1 ) = a2k − a2k+1
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
148
es mayor o igual que 0 por ser (an ) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2 , que an´alogamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1 , lo que completa la prueba de (8.1) para todos los casos. Adem´as, hemos obtenido que (s2k ) es una sucesi´on no decreciente. Como s2k = a1 − [(a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k ] ≤ a1 , (s2k ) est´a acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su l´ımite. Puesto que s2k−1 = s2k + a2k y a2k → 0, resulta que l´ım s2k−1 = l´ım(s2k + a2k ) = l´ım s2k + l´ım a2k = s + 0 = s. k
k
k
k
Es decir: tanto la subsucesi´on de t´erminos pares como la de t´erminos impares de (sn ) son convergentes con l´ımite s. Esto permite afirmar que (sn ) es convergente con l´ımite s, es decir, que P+∞ x = s. n=1 n Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es +∞ X
s = x1 + · · · + xn +
+∞ X
xk = sn +
(−1)k+1 ak ,
k=n+1
k=n+1
se sigue que (−1)n (s − sn ) =
+∞ X
(−1)n+k+1 ak
k=n+1
= an+1 − an+2 + l´ım [(an+3 − an+4 ) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2 )] m
≥ an+1 − an+2 ≥ 0 y que (−1)n (s − sn ) =
+∞ X
(−1)n+k+1 ak
k=n+1
= an+1 − l´ım [(an+2 − an+3 ) + · · · + (an+2m − an+2m+1 )] m
≤ an+1 , lo que prueba (8.2). Ejemplo. La serie arm´ onica alternada ∞ X (−1)n−1 n=1
n
es convergente. Adem´as, su suma se calcula f´acilmente utilizando la constante de Euler. En efecto: para cada n ∈ N, sumando y restando t´erminos, se tiene 2n X (−1)k+1 k=1
k
=1−
1 1 1 1 1 + − + ··· + − 2 3 4 2n − 1 2n
1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ··· + + −2 + + ··· + 2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n = H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn .
´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA
149
Como sabemos ya que la serie arm´onica alternada es convergente, podemos escribir: +∞ X (−1)k+1 k=1
k
= l´ım m
m X (−1)k+1 k=1
Ejemplo. La serie
= l´ım
k
n
2n X (−1)k+1 k=1
k
= log 2.
∞ X (−1)n log n n=2
n
log x es convergente. En efecto, es f´acil comprobar que la funci´on f (x) = es decreciente en [3, +∞) x log n log n (por ejemplo, calculando f 0 ). Adem´as, ≥ 0 y → 0. De aqu´ı se deduce que la serie n n ∞ n X (−1) log n converge. n
n=3
8.3.2.
Series absolutamente convergentes
Definici´ on 8.3.2. Una serie es convergente.
P∞
n=1 an
se dice absolutamente convergente si la serie
P∞
n=1 |an |
El ejemplo m´as sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie arm´ onica alternada. Observaci´ on. Una serie obtenida mediante combinaci´on lineal de series absolutamente convergentes es absolutamente convergente (ver [Apostol1, p´ag. 496]). Definici´ on 8.3.3. Para un n´ umero real cualquiera x, escribamos x+ = m´ax{x, 0},
x− = m´ax{−x, 0}.
Es f´ acil comprobar que |x| = x+ + x− , x = x+ − x− , x+ ≥ 0, x− ≥ 0. Proposici´ on 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si P∞ P∞ |a | converge, entonces la serie a tambi´ en converge. Y en ese caso, n=1 n n=1 n ∞ ∞ X X an ≤ |an |. n=1
n=1
Demostraci´ on. Con la notaci´on anterior, 0 ≤ a+ n ≤ |an |,
0 ≤ a− n ≤ |an |,
P∞ − P∞ P + − + en luego las dos series ∞ n=1 an tambi´ n=1 an convergen. Como an = an − an , la serie n=1 an y converge. Adem´as, para cada n ∈ N n n X X a ≤ |ak |, k k=1
k=1
por la desigualdad triangular. Pasando al l´ımite (una vez que ya sabemos que las dos series convergen), ∞ ∞ X X ak ≤ |ak |. k=1
k=1
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
150
P P∞ Proposici´ on 8.3.5. (a) SiP una serie P∞ n=1 |an | diverge a +∞, n=1 an converge pero la serie ∞ + y − divergen a +∞. entonces las dos series ∞ a a n=1 n n=1 n P∞ (b) P Una serie Pn=1 an es absolutamente convergente si y solo si son convergentes las series ∞ ∞ + − n=1 an y n=1 an ; y entonces se tiene ∞ X
an =
n=1
∞ X n=1
a+ n −
∞ X
a− n.
n=1
− + − Demostraci´ on. a) Para cada n se tiene |an | = a+ n + an y an = an − an , luego
|an | = 2a+ n − an ,
|an | = 2a− n + an .
P∞ Como la serie aP ´ltimas igualdades se deduce que si alguna de las n converge, de estas dos u P∞ n=1 P∞ ∞ + − dos series n=1 an y n=1 an converge, entonces la serie n=1 |an | converge tambi´en. P∞ + ≤ |a | y 0 ≤ a− ≤ |a |. Luego si la serie b) Para cada n, 0 ≤ a n n n n n=1 |an | converge, las dos series P∞ + P∞ − en. Rec´ıprocamente, si estas dos series convergen, entonces n=1 anPy n=1 an convergen tambi´ − + − la serie ∞ |a | tambi´ e n converge, porque |an | = a+ n n + an . Y en ese caso, como an = an − an se n=1 deduce que ∞ ∞ ∞ X X X + an = an − a− n. n=1
8.3.3.
n=1
n=1
Criterios generales de Cauchy (de la ra´ız) y de D’Alembert (del cociente)
Los criterios ya vistos sobre convergencia de series de t´erminos no negativos se traducen de manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de t´erminos cualesquiera. As´ı: P∞ Proposici´ o n 8.3.6 (criterio de la ra´ ız o de Cauchy). Sea n=1 an una serie tal que existe p n R = l´ım |an |. Entonces: n→∞
a) Si R < 1, la serie
P∞
n=1 an
converge absolutamente. P b) Si R > 1, entonces an → 6 0 y la serie ∞ n=1 an no es convergente.
Demostraci´ on. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que p n |an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, 0 ≤ |an | ≤ cn ,
n ≥ n0 .
P P∞ n Como 0
1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que n |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an | ≥ 1, n ≥ n0 . P∞ Entonces, an 6→ 0 y la serie n=1 an no es convergente. P Proposici´ on 8.3.7 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea ∞ n=1 an una serie tal que |an+1 | existe R = l´ım . Entonces: n→∞ |an | P a) Si R < 1, la serie ∞ n=1 an converge absolutamente. P b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∞ n=1 an no es convergente.
´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA
151
Demostraci´ on. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que |an+1 | |an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an+1 | ≤ c|an |,
n ≥ n0 .
De aqu´ı es f´acil deducir por inducci´on que 0 ≤ |an | ≤
|an0 | n c , cn0
n ≥ n0 .
P P∞ n Como 0
1. Entonces existir´a alg´ un n0 tal que tanto, |an+1 | ≥ |an |,
|an+1 | |an |
≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo
n ≥ n0 .
Entonces, la sucesi´on |an | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an 6→ 0 y la serie convergente.
8.3.4.
P∞
n=1 an
no es
Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet
El criterio de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente. Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta a˜ nadimos los m´ as conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante “f´ormula de sumaci´on por partes”. ∞ Lema 8.3.8 (f´ ormula de sumaci´ on parcial de Abel). Sean (an )∞ n=1 , (bn )n=1 dos sucesiones arbitrarias, y llamemos, para cada n, n X An = ak k=1
(suma parcial n-´esima de la serie n X
P∞
n=1 an )
Entonces
ak bk = An bn+1 +
k=1
n X
Ak (bk − bk+1 )
k=1
cualquiera que sea n ∈ N. Demostraci´ on. Ver [Apostol1, p´ag. 497]. Proposici´ on 8.3.9 (criterio de Abel).PSi (an )∞ on mon´ otona y acotada, y n=1 es una sucesi´ P∞ ∞ b es una serie convergente, la serie a b es convergente. n n n n=1 n=1 Demostraci´ on. Ver [Apostol1, p´ag. 498]. ∞ Proposici´ on mon´ otonaPque converge P∞on 8.3.10 (criterio de Dirichlet). Si (an )n=1 es una sucesi´ a 0, y n=1 bn es una serie cuya sucesi´ on de sumas parciales est´ a acotada, la serie ∞ n=1 an bn es convergente.
Demostraci´ on. Ver [Apostol1, p´ags. 497–498].
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
152
8.4.
Propiedad conmutativa para series
¿Qu´e sucede cuando en una serie “se cambia el orden de los sumandos”? Veremos que las u ´nicas series “inalterables” por tales cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues, las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos. P P∞ Definici´ on 8.4.1. Dada una serie ∞ on n=1 an , se dice que otra serie n=1 bn es una reordenaci´ suya si existe una aplicaci´ on biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N, bn = ar(n) . N´ otese que, rec´ıprocamente, igualmente una biyecci´ on.
P∞
n=1 an
es una reordenaci´ on de
P∞
n=1 bn ,
pues la inversa r−1 es
Informalmente, una serie es una reordenaci´on de otra si tiene exactamente los mismos t´erminos, pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significar´a, as´ı, que tenga suma y que cualquier reordenaci´on suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las series convergentes con la propiedad conmutativa. Definici´ on 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente y si toda reordenaci´ on suya es asimismo convergente, y con la misma suma. Diremos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondicionalmente convergente, de modo que alguna reordenaci´ on suya o bien no es convergente o converge a una suma distinta. P P erminos no negativos y una reordenaci´ on suya ∞ Lema 8.4.3. Dada una serie ∞ n=1 bn , n=1 an de t´ se tiene: P P en ∞ a) si ∞ n=1 bn es convergente con suma s. n=1 an es convergente con suma s, tambi´ P P en ∞ b) si ∞ n=1 bn es divergente a +∞. n=1 an es divergente a +∞, tambi´ Demostraci´ on. a) Para cada n ∈ N definamos m(n) = m´ax{r(1), r(2), . . . , r(n)}. Denotando con tn la suma parcial n-´esima de
P∞
n=1 bn
ser´a entonces
tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s, P P bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∞ lo que prueba que ∞ n=1 an n=1P ∞ b , por el mismo motivo su suma ser´ a menor o igual que la suma de es una reordenaci´ o n de n=1 n P∞ b , lo que implica la igualdad entre ambas sumas. n=1 n P P on suya, tambi´en ıa convergente y entonces ∞ b) En caso contrario, ∞ n=1 an , reordenaci´ n=1 bn ser´ converger´ıa. Proposici´ on 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente. P∞ P∞ + Demostraci´ o n. Si la serie |a | converge, aplicamos el lema anterior a las series n n=1 n=1 an y P∞ − + − en convergen) y por u ´ltimo recordamos que an = an − an . n=1 an (que tambi´ El rec´ıproco tambi´en es cierto: m´as a´ un, una serie convergente que no converja absolutamente posee reordenaciones “que van a parar donde se desee”: convergentes con suma arbitrariamente prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un c´elebre teorema de Riemann.
´ ´ DE SERIES 8.5. APENDICE: SUMACION
153
Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, para cada ` ∈ [−∞, +∞] existe una reordenaci´ on suya con suma `; en general, dados `1 , `2 , . . . , `k , existe una reordenaci´ on cuya sucesi´ on de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen a `1 , `2 , . . . , `k . Demostraci´ on. [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.33, p´ag. 105], [Ortega, teorema 9.20, p´ag. 303]. Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo si es absolutamente convergente.
8.5.
Ap´ endice: sumaci´ on de series
Resumimos las ideas fundamentales sobre el c´alculo de las sumas de algunos tipos particulares de series.
Series telesc´ opicas Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1 , la serie la sucesi´on (bn ), y si este es el caso,
∞ X
∞ X
an converge si y solo si es convergente
n=1
an = b1 − l´ım bn . n
n=1
Series geom´ etricas Si a 6= 0, entonces la serie
∞ X
ar
n−1
converge si y solo si |r| < 1; si converge,
n=1
∞ X n=1
a rn−1 =
a . 1−r
Series aritm´ etico-geom´ etricas Si P es un polinomio no constante, la serie S a su suma, (1 − r)S = P (0) +
∞ X
∞ X
P (n) rn converge si y solo si |r| < 1. Llamando
n=0 n
[P (n) − P (n − 1)]r = P (0) +
n=1
∞ X
Q(n)rn , donde Q es un
n=1
polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geom´etrica.
Series hipergeom´ etricas Son de la forma suma
γa1 γ−α−β
∞ X
an con
n=1
αn + β an+1 = , α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β, con an αn + γ
Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’ Series del tipo
X P (n)
, donde P y Q son polinomios (el nombre no es est´andar). Cuando Q(n) convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando la suma parcial n-´esima, relacion´andola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las siguientes: • Serie arm´onica 1 1 1 Hn := 1 + + + · · · + = log n + γ + εn , donde γ es la constante de Euler y l´ımn εn = 0 2 3 n
´ CAP´ITULO 8. SERIES NUMERICAS
154
• Funci´ on ζ de Riemann ∞ X 1 ζ(s) := , s > 1 (funci´ on zeta de Riemann). En particular ns n=1
∞ X 1 π2 = , ζ(2) = n2 6
∞ X 1 π4 ζ(4) = = . n4 90
n=1
n=1
Reordenadas de la serie arm´ onica alternada En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en t´erminos de Hn , y deducir as´ı el comportamiento de la serie.
Series que se reducen a la exponencial Partiendo de que para todo x ∈ R es
∞ X xn n=0
X P (n) n!
n!
= ex , se pueden sumar series de la forma
xn , donde P es un polinomio de grado m, sin m´as que reescribir
P (n) = a0 n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1 n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1 n + am para coeficientes a0 , . . . , am adecuados, y observar que n(n − 1) · · · (n − k) 1 = , n! (n − k − 1)! si n > k.
Bibliograf´ıa [Apostol1]
Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Citado en la(s) p´agina(s) 139, 146, 147, 149, 151
[Dura´n]
Dur´ an, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´ alculo. Alianza, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´agina(s) 139
[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducci´ on al c´ alculo infinitesimal. Edici´on de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) p´agina(s) 145, 153 [Le Lionnais]
Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citado en la(s) p´agina(s) 146, 147
[Ortega]
Ortega, J. M.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico. Labor, Barcelona, 1995. Citado en la(s) p´agina(s) 153
155
Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]
