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Lecture Notes in Mathematics
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorb...
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Lecture Notes in Mathematics
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdruckliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus aufphotomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder aufandere Art zu vervielfaltigen. © by Springer-Verlag OHG/Berlin . Gottingen Heidelberg 1964. Library of Congress Catalog Card Number 64—24569. Printed in Germany. Titel NR. 7321 Druck Beltz, Weinheim
Lecture Notes in Mathematics
John Wermer Professor an der Brown University Providence R.I.
Seminar über Funktionen -Algebren Eidg. Technische Hochschule, Zurich Forschungsinstitut für Mathematik
Winter-Semester 1963/64
Springer-Verlag• Berlin Goftingen Heidelberg •
Vorvort:
Alle Hinweise auf Originalarbeiten, auf weiche wir Bezug nehmen, sind im letzten Paragraphen, §
9, zu
finden.
Herr Professor Alfred Huber war so freundlich, das Deutsch dieser Seminar—Berichte zu verbessern, und der Verfasser inöchte ibm
dafür
herzlich danken.
Der Verfasser ist Fellow der Alfred P. Sloan Foundation.
Anmerkung:
Statt
des nachstehenden Schriftzeichens für
das
Doppel—S im Wort Ma(3e vervenden vir die folgende Schreibweise: Masse.
§ 1.
Einführung.
Wir werden einige allgemeine Sätze über Dirichletsche Algebren beveisen und
diese
Sätze dann auf Probleme der komplexen
Approximation in der Ebene anvenden.
Wir betrachten einen kompakten Hausdorffschen Raum X und
auf
X eine Menge A von stetigen komplexvertigen Funktionen, die
folgenden Bedingungen genügt: (1) A 1st em
Algebra uberC , dem Körper der komplexen Zahien.
(2) A ist abgeschlossen in Bezug auf die gleicbmässige Konvergenz auf X.
(3) A enthält die Konstanten und
sepai-iert
die Punkte von X.
(ii) Für jedes stetige reelie U auf X und jedes
hEA Man
aufX.
sodass
nennt
Definition 1:
existiert
dann A eine Dirichletsche Algebra auf X.
c(x)
1st die Menge slier komplexvertigen stetigen
Funktionen auf X.
Definition 2:
c(x)*
ist
die Menge aller komplexwertigeri Baireschen
Masse auf X.
E C(X)*
Definition 3:
Sf,AA = 0,
ist also em linearer Raum. Falls sei "orthogonal zu A". Definition
(A)
(
alle I in A}. AL, sagen wir
1.2
Falls AE1Yt(A), sagen vir, auf A". Für x
A
X, bezeichnexi wir mit
sei
"multiplikativ 1 ifl x.
die Punktmasse
Natürlich gilt:
Wenn f E A, ist auch exp(f)€ A.
Lemma 1:
Die Reihe konvergiert gleichmässig
exp(f)
Beweis:
=
auf X, und nach (1), (2), (3) gilt dann exp(f)EA.
Definition 5:
g =
exp(f).
A
Beweis:
=
)fl =
=
Im folgenden werden wir die Beziehungen zwischen multi— plikativen und
orthogonalen
Massen untersuchen.
und
Wir benierken, dass aus
Denn, für
folgt:
gEA
r(A)
=0
gilt:
fgrA= Wir wollen noch eine Bemerkung machen. Für
ist die
Abbildung m:
offensichtlich Es sd
em
f-*Jf)s
Homomorphismus der Algebra A auf(
umgekehrt in dxi solcher Homoniorphismus. Dann
eixideutig bestixnmtes
(*)
,
m(f) =
mit alle fEA.
-2—
gibt
,
und es em
m
0.
1.3
Bevels:
Man kann zeigen (was bel unseren Anvendungen evident sein
vird), dass (m(r)(
Also 1st m
gilt
und
xeX
mit
Non 1. Nach dent Hahn—Banachsehen Satz und
von F. Riesz gibt es daher \
nach (*),
=
0, alle fEA,
und daher nach (le),
eindeutig best imint.
(*)
f,x, folgt
,\€öT((A).
Falls alle
für welehes
das die totale Variation 1 hat. Da auch 1 =
und daher
f
Lf(x)(.
lineares Funktional auf dem Teilraum A des Banach—
em
sehen Raumes c(x)
einem Satz
max
und für beide (*) gilt, 1st dann
0, 0. Also 1st A durci (*) JRe I (A1-A2)
daher =
2.1
§ 2.
Lebesguesche Zerlegung von Massen aus
In diesem Abschnitt betrachten vir eine Dirichletsche
und fixieren
Algebra A auf eineni Raum X. Wir
Es sei S eine Menge in X der Form S =
1+JIK ,
K
abge—
n1 schiossen,
Lemma 3:
u.nd
0.
in
A so, dass
auf X, alle n.
f.u.— dA.
(ii)
0 überall auf S.
(iii)
wählen,
(s)
Es existiert eine Folge
(j)
Bevels:
A
Da ,\(K) = 0, können vir em
stetiges reelles U
SO
dass
(5)
u(O auf X,
(6)
u<
—n auf K,
)
(T)
—
Wegen (1k) existiert rE
Bedingwigen
Re
erfüllt: f (u( 0, auf x,
0>fRe
mA>
—
A, dessen Realteil folgende
2.2
Da f
n
ic
+
und Re(f
+
n
Ic
n
= Re
)
f n
für eine
beliebige reelle Konstante c, können vir ohne Verlust der A].lge— ineinheit annebmen, dass auch
jim
(8)
f\
=
Wir setzen g
exp(f
=
=
Nach Lemmas 1 und 2 ist g EA
Dann folgt:
(
I
).
A
auf
X,
1.
Daher =
0
— 2 Re +
°.
) Also g
1 in der L2(,\ )—Norm, und
mitg
somit
existiert eine Teilfolge
f.u._dA.
Endlich sei xeS. Dann ist x in K
XGK,
Nach (5) und (6)
gilt
dann,
no
für em
n
o
und
so
für
u (x)
und somit
g
Für und
,U.6 c(x)* bezeichne
den singulären Teil von
—5—
den absolut stetigen
in Bezug auf
2.3
ist
also die Lebesguesche Zerlegung von,4.L.
Satz 1:
ist auch
Falls ,&A.. E
A singular Menge S in X mit
A(s)
=
und
in
ist, gibt es eine auf X—S identisch
so dass
verschwindet. Wir können annehmnen, dass S =
K
Nach Lemma 3 existiert nun 3g\in (iii) erf'üllt sind.
und (i), (ii),
deshaib
abgeschlossen
A so, dass
Es sei f in A. Dann gilt:
(11)
(12)
0 überall auf 5,
K auf X, alle n, K eine Konstante.
(13)
Nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt
Da
fgEA und
0 =
urn Jfg
Also
Korollar 1:
nun:
folgt:
,4A =
lirn ffg
+
lini
)4
=
w.z.b.w.
X, dann ist 14t({x\)
—6—
=
0.
2.14
Beveis:
Wir zerlegen
nach Definition 6
mit
A
und erhalten: ,L&
vo k eine Konstante ist und dann:
kA
paso
und somit,IA((4)
Korollar
A
2:
Nach Satz 1 gilt
=
o.
zwei Masse inlP2. Entweder sind
Es
absolut
= 0.
= o.
k =
Also
)
(
X
oder A1,A2
stetig in Bezug auf
singular
in Bezug aufeinander.
Beweis:
Wir nebmen an, dass sie nicht singular sind. Wegen der
Symmetrie genügt es zu zeigen, dass A
Bezug auf A
l•
2
absolut stetig ist in
Auf jeden Fall gilt für
=
A2.
A und,U\
0. Da
Wir betrachten
A2>
o,
0,
mitc'(,A2) =
(114)
=
Nun gilt fA
Zerlegung von fA2
0.
+
2e AL,
und (114) ist die Lebesguesche
Bezug aufA1. Nach Satz 1 folgt, dass
A1. Es sei jetzt
0.
A. Dann gilt
AL,
(g —
1
—T
—
und somit
2.5
= o, oder,
5(g
0:
mit c =
(is)
1st,
für jedes
aus (u),
und somlt 1st A2
und
absolut
= 0 für
,U€ AS, also Bewels:
—
Es sel /,J.
Korollar 3:
Für
gilt, urid da,jJ
in
0. Also A2
auf
A
w.z.b.w.
singular In Bezug auf A, A
=
0.
Dann
1st
o.
und
W1r setzen
fEA gilt
=
stetig in ISezug
alle =
2
reell
-
dann:
=0. Also
1/6
A1'.
Ferner 1st
Jet),>,'
=/t, da,Js( sIngular 1st. Nach
Satz 1 1st aiso,,U.in A1'.
—8—
3.1
§
3.
Die Räume
vie
Es seien A,X,A
A
bezeichne
im letzten Paragraphen definiert.
den mit dem Mass
konstruierten,
A
bekannten
Lebesgueschen Raum, versehen mit der üblichen Metrik.
ist die abgeschlossene Hülle von A in
Definition 7:
Definition 8:
(A)
H
ist
.
2
die Menge der in H (A) liegenden •
vesentlich beschränkten Funktionen.
sind also auf
Die Elemente von
X f,ü.— dA definierte Funktionen, mit der üblichen Identifikation. L2(A), mit dem Skalarprodukt
=
ist
Hilbertscher Raum. Wir setzen:
=
H2(A)
oJ, wobei
=
Lemma
A)
=
H2(A
im Sinne der orthogonalen
)
Zerlegung eines Hilbertschen Raumes.
Beveis:
Für
f€A,
=
uzid
0,
gilt
JfgA
Durch Grenzübergang folgt die Orthogonalität von H2(A)
und
0,
und
ff A
—9—
0.
=
0.
3.2
Daher
SRe
f
=
0,
f€A
und somit k = 0 vegen (14), Also 1st L2(A) =
Lemma
5:
sei h InH(A) mit
Es
Folge
A,
so
dass
(1)
allen,
(ii)
f,ü.—
Bevels:
Dann existiert elne
Da h€ H2( A), existiert
Wir dürfen dann auch annehmen, dass
A
f—p h
mitStf
0.
—
î.ü,— d),. Wir setzen
E
E
1st abgeschlossen In X. Wir def'inieren
fiog tf(x)\, xeE b (x) = n 0
Also U
+
0 auf X, und b
IvE.A
1st stetlg auf X. Nach (14)
n
-i.
4
u
- b
Wir dürfen annebmen, dass
(16)
es
mit
— b
Dann 1st
gibt
n
auf X.
Sv
0. Wir setzen g
und
A) = exp
JuX1ç,
(1T)
=
(18)
—
10 —
fr(x)r',
=
exp(u
+
iv).
3.3 Ausserdem gilt:
(19)
b
=-
-
(r(x)IA
=
--a.
En Wir behaupten:
(20)
Siog
Sei
0.
fr(x)I A
0 vorgegeben. Wir setzen
{XEX(
F
Da
und
d,\
Auf E
n
— F
n
I
0.
gilt:
log (ft< log 0
folgt, dass
r( A
1
(1 +
L ).
log
J'log
+
I
log (1 +t). Ferner
Das erste Integral
fiog
-
L
-
für
Also gilt (20). Ausserdem ist u
J'uX
Es
0 auf X, und. somit
folgt aus (l9),dass juA
und
daher
—p1. Wie im Beweis von Lemma 3 folgt nun aus und
(18),
f.ü.—d,\
dass g
Wir setzen h
f
•g
nL,
— 11 —
für
eine
Teilfolge
1
Dann ist
f.ü.—d,\, und
E A,
(18). Damit ist
xGX, wegen (17) und
Satz 2:
Dann
absolut
Es sei ,4A
existiert
so,
Beweis:
Nach dem
mit
k
ist
Nun
Satz
(
, ane
alles bewiesen.
stetig in Bezug aufj\
dass ,LA =
kA
(und soinit JkA
0).
existiert Ic in Lt(A)
von
abgeschlossener
H1(A) em
Teilrauzn von
Nach einem bekannten Satz von Banach ].iegt daher Ic in
dann und
nur
auf
darin, wenn jedes lineare Funktional auf
verschwindet, auch auf k verschwindet. Em
das ].ineares
Funktiona]. auf L1()t) ist gegeben durch eine wesentlich beschränkte auf X. Das Funktional verschwindet auf
Funktion
).gerade
dann, wenn
JrQA= 0, alle
(2].)
besagt, dass (f,q)) = in L2(A) für al].e fEA. Also steht (j.) orthogonal auf u2(A) in L2(A). Nach Lemma 14 folgt (2].)
C
also 4)
daraus
H2(A). Daher
Verlust an Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass ist. Dann existiert nach Lemma 5 eine f. ü. — d,S,,. Daher gilt Ohne
und h
Jkc9A da
kA
=,,JA.E
=
0.
•JkhA
=
=
Also ist
Da
w.z.b.w.
—
12
—
= 0, ist auch
14.1
fur
Eine Forme].
Masse in A
Es seien A,X,Ifl vie oben definiert. Für A
bezeichnen
mit
Definition win Ø in Satz 3:
=
fkA = ol
heisst vollständig singulAr,
Mass
Em
9:
£kGHIA'I
31?
Bezug auf jedes multiplikative Mass singulAr ist.
Fiann existiert
Es sej
eine höchstens abzähl—
von multiplikativen Massen, für jedes i em
bare Menge [Al und em
A.L SO,
vollstandi€
k. A1
+
k.
dass
c,
vobei die Reihe in totaler Variation konvergiert. Beveis:
Für
A
,Ac14 schreiben
falls A
vir
in Bezug auf einander absolut stetig sind, und vir schreiben
venn dies nicht zutrifft. Nach Korollar 2 zu Satz 1
A ist A in Bezug
equivalent mit der Singularitãt von A und A' auf einander.
ist
Die Beziehung
eine Aequivalenzrelation auf
Wir nennen die dazu gehbrenden Aequivalenzklassen kurz "Klassen".
,A1E P.
Es sei nun P eine Klasse und A
Dann
gilt
(siehe
Definition 6):
(22)
(3A=
(3=
Denn
bezug auf A ,
da
Bezug
IA1 für
ist
. Da
absolut stetig ist in
(3A + ('3A es auch absolut stetig in Bezug auf A , und
sIngular 1st aA,\ Daher .
jedes f3e c(x)*.
in Bezug auf A
=j,%,
besondere (22).
— 13
—
,
ist
GA
es auch singulAr in
und so ins—
Es sei nunJ\_
0 für
Menge aller Kiassen p mit
-
9=
singular
Da jedes Glied rechts auf A
A1 singular singular ist.
dass
Also ist
singular.
auf 5
C(X)*, bezeichnen vir die totale Variation
mit
Falls
•
einander, folgt 11f31
singular
2"
=
2"
+ 11
11
sind in Bezug auf Nun
ist
? Also gilt V,MI%
=
je zvei
Aber
sind auch auf einander singular. 1
Daher ist ,u.
=
(I ii..
+
und somit
i
(23) i=l (23) gilt nuzt
auf
auf A211..Ak
ist. Aehnlich folgt1 dass 5)
Für
von
und
P. Wir betrachten
EF. Wir setzen
váhlen
Also
die
unabhängig
von k und von der WahJ.
der
Kiassen
Es folgt, dassj\_ höchstens abzählbar unendlich ist,
und
und dass, falls =
i—l
— 114
—
E
]4.3
Daraus schliessen vir, dass
in totaler Variation
konvergiert. Wir setzen
T=,Lk Da,LA.€
A1,
Also folgt
At'.
(3' und
Es sel A*
j)
Falls P*€A, gibt es em = = 0 und jedes
Also 1st (1' vollständig
1st
mit
k.A
angehbrt
die Kiasse der A*
, und
=
= 0. Falls singular auf
,\*
ist 0.
Also
=
nach
Satz 2 dass
singular.
folgt
Endlich, da jedes =
in
1 auch für jedes I
1st nach
vo k.G 111(A.). Daznit i.
— 15
—
1st
der
bewiesen.
5.1
§
5. Die Algebren P(x).
In
diesem und den folgenden Paragraphen sei Y eine
kompakte Menge in der z—Ebene und X der Rand von Y. Wir nehinen an:
(214)
Das Komplexnent V von Y
ist
Dann gilt folgender Satz aus der Potentialtheorie:
Satz 14:
Jede auf X stetige reelle Funktion lässt sich gleich—
inãssig auf X durch harinonische Polynome approximieren.
Dabei verstehen wir unter eineni "harinonischen Polynoin" em
Polynom in x und y das eine harmonische Funktion ist, oder,
was auf dasselbe herauskonmit, den Realteil von eineni Polynom in z. Wir werden Satz 14
bier
nicht beweisen. Er wurde bewiesen in der
Arbeit "Ueber die Entwicklung einer harmonischen Funkt ion nach harmonischen Polynoinen", von J.L. Walsh, J. Reine Angew. Math. 159 (1928).
Definition 10:
P(X)
ist
die Menge aller stetigen koinplexvertigen
Funktionen auf X, die sich gleichniässig auf X durch Polynome in z approximieren lassen.
Offenbar genügt P(x) den Bedingungen (l),(2),(3). Nach Satz 4 genügt er auch (4), mid so ist P(x)
Dirichletsche
Algebra auf X. Eine auf X gleichinAssig konvergierende Folge von Polynomen konvergiert nach dern
Maxinrnmprinzip gleichmässig auf
ganz Y. Die Grenzfunktion ist somit in Y stetig und im Innern von Y analytisch.
— 16 —
5.2
Für
steti.ge,
jedes
eine auf' Y Funktlon F mit F
f in P(x) existiert daher
im Innern von Y analytisehe
durch f'
F 1st of'fenbar
Es sei nun
a
auf X.
elndeutig bestimmt.
1st em
in Y. Die Abbildung:
. Nach der Bemerkung am Ende des
Homomorphismus von A auf' C
ersten Paragraphen existiert somit em
eindeutig bestinimtes
mit
"a F(a) =
(25)
Jr A a Wir setzen a =
Sei uingekehrt
in P(x) sein, vie man
vhrde (z —
multiplikativ J(z
0
Daher
leicht
Ware
dann
zeigen kann. Da A
1st, gIlt dann
a)A
—
1st
Nun
—
—
a),'\
=
gilt
P(a) =
(26)
für
.
jedes
Polynom P.
aus
Durch Grenzübergang erhält man
(27)
F(a) =
,
Also schllessen vir, dass
alle =
rEP(x).
A.
P(x) sind also genau die Masse
Satz 5:
Es sei
(26), dass
und
Die multipllkativen Masse fur mit a in Y.
sei
vollständig singular
(im Slnne von Definition 9) relativ zu P(x). Dann gilt:
— 17 —
3
0.
5.3
Zum
Beveis benötigen wir em
Lemma über
in der
Ebene.
Lemma 6:
Es
komplexes Mass in der Ebene mit kompaktem
em
Träger. Dann konvergiert das Integral
B(z) =
j
absolut
f.ü-. dxdy. Falls B(z) = 0
Beweis:
Es sei
dxdy, dann ist (3
die totale Variation von (3.
= o.
Wir wählen B so
= 0 ausserhaib
dass
' für
(f
dx'dy'
)
=lrR,
B. Daher:
fj'
Es folgt, dass
fü.— dxdy. Wir
I
J
nun an,
dass B(z) = 0
f,u— dxdy.
Es sei g eine beliebige glatte Furiktion in der Ebene
mit
kompaktein Träger. Wir nebmen K so gross, dass g0 in
K. Dann
gilt: K.
(29)
Betrachten wir näm.lich das von den Kreisen =
dz
begrenzte Gebiet G
Dann ist d
=
Stokes 'schen Satz:
— 18 —
und
darin
urid
daher
(
= K,
das Liff'erential nach clern
5.14
g...dZdz
da g auf
1'
= K verschvindet. Dureb Grenzübergang
Iz%
erhalten
gdz
(
(29).
Für
grosses K
da Bk) = 0
folgt
danu
dxdy.
=
Da g beliebig var, 1st
Bevels von Satz 5:
Wir vählen z
( I
<00.
nebmen
an, dass z &
J Lz_zoI Zuerst
= 0,
Für
0
0. w.z.b.v.
mit
Darin
existiert A1
existiert eine Folge
Polynomen die gegen g konvergiert mit
p(z)
0.
=
Dacj'C flx)
S
folgt
=0,allenundso (30)
C
=
— 19 —
c von
5.5
Nun ist in Bezug aus
vollständig
singular, also insbesondere singular
Das selbe gilt von
auf
Korollar 3 zu Satz 1, dass
• Nach (30) folgt
Z_Z =
0.
Falls z0 ØY, ist ebenfalls
=
0,
und zwar aus
folgendem Grund: die Funktion
s(1)=
ist
analytisch in Y', und
verschwindet
für
genügend
grosses
l.t:I,
denn dann gilt:
e P(x). z
=—
Also verschwindet S identisch in Y', insbesondere in z
0
(.eø
Wir haben also gezeigt, dass wo immer auch
=
Korollar:
abzählbar
Es
0. Nach Lemma 6
folgt
nun
0=
0.
sei,MEP(X)L. Dann existiert eine höchstens
unendliche Menge (zXEY, und für jedes
n,
nut
(31) Bevels:
,L.k
=Zk'A.
Die Behauptung folgt sofort aus den Sätzen 3 und
—
20 —
5.
,
6.i 6. Der
Satz von Mergelyan.
Im Jahre 1951 gelaxig S.N. Mergelyan die voflständige Losung
des
folgenden Problenies:
Es sei Y eine kompakte Menge in der z.-Ebene mit
zusammenhàngenden Komplement Y'. Welche Funktionen auf Y lassen sich gleichmässig durch Polynome approximieren? Seine Antvort lautet:
Satz 6:
Jede auf Y stetige, auf dein Innern von Y ana].ytische1
Fux3ktion kann gleichinãssig auf Y durch Polynome approximiert verden.
Der Mergelyansche Bevels ist entha].ten in "Uniform
approximations to functions of a complex variable", Amer.Math.Soc. Transl. 101
In der Einleitung zu dieser Arbeit gibt
Mergelya.n einen Bericht über die historische Entvicklung, die
Satz
6
vorausgega.ngen 1st.
Wir vollen jetzt zeigen, vie man Korollar zu Satz 5
Bevels von Satz 6: Fu.nktionen auf dern
herleiten
Satz
6
aus dem
kann.
Wir bezeichnen mit A1 die Menge a].ler stetigen Rand X von Y, die sich so auf ganz
Y
fortsetzen
lassen, dass sie im Innern von Y ana].ytisch sind. A1 geniigt nun
(l),(2),(3),
und da P(x) At,auch (Ii). Also 1st A1 Dirichletsche
Algebra auf X. Wir behaupten A1 =
Es sd
dann em
a em
Punkt von Y. Die
Homomorphismus von A1 auf (
so vie früher für P(x), em
(32)
f(a)
=
JfAa'
, und so
E alle fEA1.
— 21 —
f —4
mit
exist
f(a)
ist
genau
6.2
Da P(x)
çA1,
folgt aus der Eindeutigkeit von A.
C
Ausserdem folgt, dass
dass.,.\
=
vobei letzteres
relativ zu A1 genommen 1st.
Es sei nun
Nach (31) gilt
Y,
Für jedes n ist
A
=
A
und
k
H1(A
).
Es folgt,
e
dass kA
Daher gilt P(x) = A1, vie behauptet. Falls nun
eine
Funktion F auf Y stetig und im Innern von Y analytisch 1st, so gehört die Randfunktion von F auf X zu A1, also zu P(x). exist iert eine Folge
Daher
von Polynomen die gegen F auf X
konvergiert. Wegen dern Maximumprinzip konvergiert F auf ganz Y. Damit ist Satz 6 bewiesen.
— 22 —
dann
gegen
7.1
7. Die
Kiassen für
In
p(x). haben wir die Zerlegung von T,31?
§
die Relation
in
Kiassen durch
beschrieben. Es seien jetzt Y,x,P(x) vie früher
definiert. Dann gilt:
Sei
Satz 7: em
, oder
x in x so dass p =
(2 des
Dann existiert entveder
P eine Kiasse in
es exist iert
Komponente
a
Innern von Y so dass P =
Für
eine
den Beveis benötigen vir einige allgemeine Eigen—
schaften von Dirichletschen Algebren, die wir jetzt zitieren, aber nicht beveisen werden.
Es sei X em
beliebiger kompakter Raum, A eine Dirichiet
Wir setzen
sche Algebra auf x, Es seien
A1,A2
Lemma 7:
Falls
es em
}(
<2
I(r
fi = max
gibt mit
, alle
(33)
1,
dann gilt
Lemma 8:
Dann existiert
(34)
aber i' #
H2(A) so dass:
= 1
Für 13€
(35)
P,
Es sei P eine Klasse in P?,
f.ü-.
P
vir
Die Abbildung;
bildet F eineindeutig auf
ab.
die Kreisscheibe:
—
23 —
7.2
Für jedes
(36)
existiert
so dass
analytisch in tz(<1,
f*(E((3)), alle
=
Wir gehen jetzt zurück
P.
(3
zum Spezialfall:
Wie vir gezeigt haben, 1st hier jedes
,\=
A
a
für
em
A =
P(x).
von der Form:
a E Y.
Es sei P eine Kiasse von
Element
die mehr a].s em
enthält. Wir setzen:
P=
(37)
Dann liegt P im für sich allein
aEX
A
=
a
P. Nach Lemma
E
E(A),
(38) 1st
schon
8 exist iert
dann
genügt. Wir setzen:
u2(A) veiches
E0
bildet
eine Kiasse.
wählen
Wir em
Innern von Y. Denn für
alle
somit eine Abbildung vonPauf (11<1; sic
1st em—
eindeutig nach (35).
Die Funktion f(z) =
in
f* analytisch
Iz(
(
z gehört zu P(X). Nach (36)
1. so,
alle aEP.
dass a
auf
Daher 1st f" eine konforme Abbildung von
zusaenliàngend ist • Auch folgt, dass Abbildung von P auf (z ( ( 1 lief'ert, deun dass
P
enthAlt, I
z
hat
und
aurfi.
.
Daher existiert
—
—
P. Es folgt
konforme
=
seirl diejenige Komponente des A und bGfl. Für f€P(X) 1st nun
Funktion von I,,'
eine
P
Es
existiert
von Y, velche eine anaJ.ytische Folge, dass
Innern
zur
so dass:
7.3
alle vilrde
mit
(IfI(
1. (Sonst
Widerspruch erha.].ten, unter Vervendung der Tat—
man einen
sache, dass die Menge a].ler ana].ytischen Funktionen F in fl,
I
mit
eine normale Familie bildet.) Nach Lemma 7
Aa
dass
Also AbE
folgt,
Daher giitfL=
oder
oder
'= Besteht andrerseits die Klasse P aus einem einZigen Element, so
keine inneren Punkte von Y enthalten; denn, falls a und innere Punkte derselben Komponente sind, so gilt — vie gerade gezeigt vurde Also liegt Pin X. Da aber für jedes x X für sich eine Kiasse bildet, folgt P = für x E X. Damit ist Satz 7 bevies en. kann
b
—
Bemerkung:
Im folgenden Paragraphen verden vir zvei Eigenschaften
von 1100(1) benützen: 1) H(A) ist em aus der
Definition 8.
gilt
und
$rA1•fgA1.
(39)
Denn
2) Für
Ring. Das folgt direkt
A,
nach Lemma 5 existiert
d,\,
und
K,
Daher gilt =
lim
1
=
lim
—
25 —
vie behauptet.
f
alle n,K konstant.
—
dA
8.1
§ 8. Besehränkte analytisehe Funktionen.
die
Es haben y,x,p(x)
bisherige Bedeutung. Sei .12.
eine Komponente des Innern von Y, und
a0 €.fl.
Wir setzen A
sei'jr eine analytisehe Funktion auf (1 mit %'qj'(
Satz
8:
Dann
existiert em
tj) E
fl7. (a)
(ho)
so1 dass
H°°(A) at!E. L'P(
ane
Die Kiasse F, veiche A enthãlt, taUt nach Satz 7 zusenimen nit {A( a Wir nebmen nun EE 112(A) vie in letzten Paragraphen. Da IEO\ = 1. f.ü.-. dA ist E& H°°(A). ,
Es sei eine
die in (38)
Abbildung, die
definierte
konforme Abbildung von
C
auf
1. liefert.
Es existiert eine analytisehe Funktion G in nit
bekannten
Eigenschaften der in
exist iert
eine
Folge
in Izi C 1 analytisehen
(GI
Offenbar gilt
1.
von Polynomen, mit I
und
tzt
%(z)
n. Auch gilt
von
em
Q%(E )%(4
Ring.
Also
1, alle n,
=
lim
C
.1
Nach
.
Funktionen in
Q(E) G11(A) für vobei die Norm in
gp =
M konvergiert in der schwachen in Bezug ant Lt(A). Dabei ist IY-'II L
Für ftP(x),
j'ripA
%
%(
genommen ist. Daher existiert eine Teilfolge
die gegen em
Iz
afle z in
Nun ist
alle
nun
=
—
= 0,
gilt
Jim
Jtx'
26
—
Topologie.
=0.
8.2
und
in
dass
Es folgt,
somit
=
=
für
a
fQ(E)A a
existiert K€Lt(A) mit
Da
gilt
gilt
Wegen (39)
('ii)
H2(A),
L2(A). Daher
. Für
=
daher
JQ(E) A a Andrerseits ist folgt
urn
Aus (1i1)
=
somit (a) =
Da wir schon wissen, dass
.1 ,
und II
ist
unser Satz bewiesen.
Es sei
Korollar:
eine analytische Funktion auf
Dann existiert eine Folge
von
t
so, dass:
(ii) Beweis:
alle
P(z)
Wie gerade gezeigt wurde existiert
so dass incL:
=fipA. Nach Lemma 5 existiert eine Folge
Wir wählen
fü.— ciA, und daher für jedes j.) em Polynom
Y. Daher gilt
1+
.
mit
jedes Hi,, mit
Dann setzen wir
— 27 —
IHV_ h,,I
auf
Fl.,.
8.3
Also 1st P und für z urn
em
Polynom mlt
I
P
auf Y, uxid soniit
gilt:
P (z) = urn IIJz)
=
lirn
hjz) =
1.'
— 28 —
urn
autSl
,
9.1
9.
Literatur. Dirichletsche klgebren vurden 1957 von A. Gleason definiert, und zwar in "Function Algebras", Seminars on Analytic
Functions,
Inst. for Adv. Study, Princeton, New Jersey. Dort
wurden such die in §
14
definierten Kiassen eingeführt.
Eine ähnliche Definition wurde von S. Bochner in "Generalized conjugate and analytic
functions
without expansions",
Proc.Nat.Acad.Sci. U.S.A., 115, No. 6 (1959) gegeben.
Die Darstellung von Homomorphismen durch multiplikative Masse wurde von B. .Arens und I.M. Singer in "Function Values as
boundary integrals", Proc.Amer.Math.Soc. 5 (19514) gegeben.
Satz 1 vurde für gewisse Dirichletsche Algebren, von
H. Helson und D. Lowdenslager in "Prediction Theory and Fourier series in several variables", .Acta Math. 99
(1958) bewiesen. Es
war zum grossen Teil diese Arbeit, velche die spätere Entwicklung der Theorie der Dirichletschen Algebren angeregt hat.
Lemma 3 stammt von F. Forelli, "Analytic Measures", Pac.Jour. of Math., Vol. 13, No. 2 (1963). Forelli hat dieses Lemma angewendet, urn einen neuen Beweis von Satz 1 zu geben.
Unsere Beveise von Lemma 3 und Satz 1 sind von K. Hoffman ange— gebene Vereinfachungen des Beweises von Forelli. Korollar 2 stemmt im wesentlichen von Gleason, loc.cit., und einer Bemerkung von E. Bishop. Unser Beweis stainmt —
glaube ich — von Forelli.
Korollar 3 ist in Helson und Lowdenslager, loc.cit, enthalten.
Satz 2 steht in der Arbeit von K. Hoffman, "Analytic Functions (1962). In
and Logmodular Banach Algebras", .Acta Math., Vol. 108
dieser Arbeit 1st eine ausführliche
— 29 —
Entwicklung der
9.2
Theorie der Dirichletschen Algebren (in verailgemeinerter Form) zu finden. Lemma 5 und der Bevels des Satzes 2 auf Grund. von Lemma 5
sind von K. Hoffman und
Verfasser
dern
gegeben vorden
(unpubliziert).
Satz
3
ist
enthalten in "Measures Orthogonal to
Dirichlet Algebras", Duke Math.Jour., Vol. 30, No.
(1963),
von I. Glicksberg und dem Verfasser.
Die Ideen in Paragraphen 5 und
6
gehen zurück auf
folgende Arbeiten von E. Bishop: "A minimal boundary
for
function
algebras", Pacific J.Math. 9, No. 3 (1959), "The structure of
certain measures", Duke Math.J. 25 (1958), und of analytic
differentials",
genannten Arbeit findet man
"Boundary measures
Duke Math.J. 27 (1960). In der zuletzt
eine
der Formel (31) ähnliche Beziehung.
Der hier gegebene Bevels des Satzes von Mergelyan auf Grund der Sätze 3 iind 5
ist
im wesentlichen enthalten in der oben
zitierten Arbeit von I. Glicksberg und dem Verfasser.
Formel (29) mid Lenuna 6
....".
"A minimal boundary
findet
man
in
Bishop's Arbeit
Formel (29) 1st von Mergelyan bei dem
Bevels seines Satzes verwendet vorden.
Lemma 7 staznmt von A. Gleason, loc.cit., und Lemma 8
wurde vom Verfasser in der Arbeit "Dirichlet Algebras", Duke Math.J. 27 (1960), beviesen.
Das
Korollar
von Satz 8
ist
em
Spezialfall
eines von
L. Rubel und A. Shields stammenden Satzes. Siehe "Bounded
approximation by polynomials", Bull.Amer.Math.Soc., Vol. 69, No. (1963). Satz 8
ist
von K. Hoffman beviesen vorden (unpubliziert).
— 30 —
14
I
This series reports on ne
research
of
level The
informally and at a
- quikiy,
d
considered fo' pibücation includes
Research monographs
2. lectures on a new fietd or 3. Summer schools and T
of a new angle ma
hìId
oursesoopksotcentresearch.
it that are cu of pin; but still in d 'nand may atso be consàdered. is sometimes nxwe important than its form. wthkh may in sudi
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