Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited ...
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Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg
1 John Wermer Professor an der Brown University Providence R.I.
Seminar 0ber Funktionen-Algebren Eidg. Technische Hochschule, Z0rich Forschungsinstitut fur Mathematik
Winter-Semester 1963/64
1964
Springer-Verlag
9Berlin 9GSttingen. Heidelberg
Alle Rechte, insbesondere das der 121bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrt~ckliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus aufphotomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielf~iltigen, 9 by Springer-Verlag OHG/Berlin 9G6ttingen 9Heidelberg 1964. Library of Congress Catalog Card Number 64-24569. Printed in Germany. Titel NR. 7321 Druck : Beltz, Weinheim
Vorwort:
Alle Hinweise auf Originalarbeiten,
auf welche wir Bezug
nehmen, sind im letzten Paragraphen, w 9, zu finden.
Herr Professor Alfred Huber war so freundlich, das Deutsch dieser Seminar-Berichte zu verbessern, und der Verfasser m6chte ihm daf~r herzlich danken.
Der Verfasser ist Fellow der Alfred P. Sloan Foundation.
Anmerkung: Statt des nachstehenden Schriftzeichens f~r das Doppel-S im Wort M a G e Schreibweise: Masse.
verwenden wir die folgende
w i.
EinfGhrung.
Wir werden einige allgemeine S~tze ~ber Diricbletsche Algebren beweisen und diese S~tze dean auf Probleme der komplexen Approximation in der Ebene anwenden. Wir betrachten einen kompakten Hausdorffschen Raum X und auf X eine Menge A yon stetigen komplexwertigen Funktionen, die folgenden Bedingungen gen~gt: (1) A i s t ein Algebra ~ b e r ~
, dem KSrper der komplexen Zahlen.
(2) A i s t abgeschlossen in Bezug auf die gleichm~ssige Konvergenz auf X. (3) A enth~it die Konstanten und separiert die Punkte yon X. (~) F~r jedes stetige reelle U auf X und jedes ~ , 0 h~ A
so dass %U-Re h ~ . e
existiert
auf X.
Man nennt dann A eine Dirichletsche Algebra auf X. Definition i:
C(X) ist die Menge aller komplexwertigen stetigen
Funktionen auf X. Definition 2:
C(X) mist die Menge aller komplexwertigen Baireschen
Masse auf X. Definition 3: A/" = { ~
C(X)* I ~f/4A = O. alle f in A I.
A j" ist also ein linearer Raum. Falls ~A ~ A"L, sagen wir ~ i sei "orthogonal zu A". Definition 4 : ~ ( A ) = ~
~_ C(X)*I ~ /
O, ~
= l~
1.2 Falls ~ ~ ( A ) , sagen wir, ~ sei "multiplikativ auf A". F~r x ~ X, bezeichnen wir mit ~ die Punktmasse 1 in x. X
NatGrlich gilt: A x ~ ~(A). Lemm~ I:
Wenn f ~ A, ist auch exp(f)EA.
Beweis: exp(f) =
~
fn. Die Reihe konvergiert gleichm~ssig
n=o
auf X, und nach (1), (2), (3) gilt damn exp(f)~A. Definition 5:
g~A.
A6~A),
L~,m, 2: Es sei f E A, g = exp(f). F ~ r ~ A ) .Ln ~%.f ~
Beweis: ~g(~)
=~0__~%. n~
g i l t Ag(~)_-exp(~(A)). = o~.(#f~)n =
e~p(~ % )). Im folgenden werden wir die Beziehungen zwischen multiplikativen und orthogonalen Massen untersuchen.
wir b~erken, aass aus ) ~ 3~(A), r6A und f(A) = 0 folgt: f ~ E A ~-. Denn, f~r g~A gilt:
gf~-
A"
fA--g(%)"
A)-o.
Wir wollen noch eine Bemerkung machen. F~r ~ Abbildung
m: f - - > J f ~
,
~(A)
ist die
fGA,
offensichtlich ein Homomorphismus der Algebra A auf ~ , und m ~ 0. Es sei umgekehrt m ein solcher Homomorphismus. Dann ~ibt es ein
eindeutig best~tes A ~ ~(A)mit (*)
re(f) -- ~ f ~
, alle f~A.
-2-
1.3
Beweis:
Man kann zeigen (was bei unseren Anwendungen evident sein
wird), dass
x~
X
Also ist m ein lineares Funktional auf dem Teilraum A des Banachschen Raumes C(X) mit Norm i. Nach dem Hahn-Banachschen Satz und einem Satz yon F. Riesz gibt es daher X ~ C(X)w f~r welches (*) gilt und alas die totale Variation 1 hat. Da auch 1 = I X , ~>jO,
und daher nach ('), ~
~(A).
a l l e f ~ A , und daher nach ( h ) , ~ 1 - ~
eindeutig bestimmt.
-3-
folgt
= O. Also ist ~
dutch (*}
2.1 w 2. Lebesguesche Zerlegung yon Massen aus A j~.
In diesem Abschnitt betrachten wir eine Dirichletsche Algebra A auf einem Raum X. Wir s e t z e n ~
=~(A)
und fixieren
Es sei Seine Menge in X der Form S = U Kn, Kn abgen=l schlossen, K .CC K und A ( S ) n n+l '
= O.
(i)
Ign~ -~ ~ auf X, s3.1e n.
(ii)
gn "~ i
(iii)
gn--~ 0 Gberall auf S.
Beweis:
f:~.- d~.
Da A (Kn) = O, kSnnen wir ein stetiges reelles un
SO
w~hlen, dass (5)
U n < O auf X,
(6)
u ( -n auf
K
n
(7)
n
> n
Wegen (4) existiert f ~ A, dessen Realteil folgende n
Bedingungen erfiillt:
Re f n ~ U n <
O, auf X,
O> Ro
> L n
2.2 Da fn + i C n ~ A und Re(fn + iCn ) = Re fn fGr eine b e l i e b i g e r e e l l e Konst~ate c , k6nnen wir ohne Verlust der /Lllgen
meinheit annehmen, dass auch
~Im fn~
r
=
O.
Wir setzen ,,,% gn = exp(fn ). Nach Lemmas i und 2 ist gn6A
/~
u.d gnr A ) = ~P( rn( A ))- D~.n roz~:
I gnl ~ L
(9)
auf X, und
Daher 0 ~,gn-l~2~
= ~gn,2~
+ ~i A
- 2 Re~gn~
Also g n - ~ 1 in tier L2(~ )-Norm, und somit e x i s t i e r t eine Teilfolge
gn~
mit
gn~'~
i f.[i d~ "-
Endlich
sei x ~ S .
"
Dann
ist x
in K
f~ir ein n
no X6Kn. n>/no . Nach (5) und (6) gilt dann. f~r n>/ no : gn(X)l <
o
und so
eUn(X) < e-n
und somit gn(X)---~ 0. F~r die Folge Definition 6: und ~
~ gnp~ ist jetzt alles bewiesen.
F~r 2L&6 C(X)* bezeichne ~
den singul~ren Teil yon ~
-5-
den absolut s t e t i g e n
in Bezug auf ~
.
2.3
ist also die Lebesguesche Zerlegung von/L~. Satz I:
Falls % ~ e
A-t', ist auch ~
in AA', und deshalb
t
auch ~ ~ ~ A~. Beweis:
!
Da%A~
Menge S in X mit
in Bezug auf ~
singulKr ist, gibt es eine
~(S) = O, so dass /~l~
auf X-S identisch
verschwindet. Wir k6nnen annehmen, dass S = ~)Kn, Kn abgeschlossen I
und Kn ~-" Kn+l. Nach Lemma B
exis~iert nun {gn~in A
so, dass
(i), (ii), (iii) erf~llt sind. Es sei f in A. Dann gilt:
(n)
fgn-'> f;f.~rdA ,
(12)
fgn - ~ 0 Gberall auf S,
(13)
Ifgn~ ( K auf X, alle n, K eine Konstante. Nach dam Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt nun:
Da fgn~ A
und O t ~
A/" folgt:
0
Also % i , ~
A/-. w.-.b.w.
Korollar l: Falls~A ~ A -t, x @ X, da~n i~t /~ ({x~)
-6-
= O.
Beweis: Wir zerlegen~.~
nach Definition 6 mit
und erhalten:
wo k eine Konstante ist und ~ ! = O. Nach Satz i gilt dann: k ~ x ~ A A'. Also ~x ( {x~ )
- 51 kA x Also ~
=~
-
o.
, und somit~( x ) = O. X
Korollar 2: Es s e i e n A i A 2
zwei Masse i n ~ .
Entweder sind
A i'~2 absolut steti~ in Bezus auf einander, oder A i,~ 2 sind sinp~l~r in Bezu~ aufeinander. Beweis: Wir nehmen an, dass sie nicht singular sind. Wegen der Symmetrie genGgt es zu zeigen, dass A 2 absolut stetig ist in Bezug auf A l" Auf jeden Fall gilt fGr ~ = A 2 :
!
und~l
# O. Da A 2 >
O, ist ~ i ~ i
o. ~ A X ~
o
i Wir betrachten f ~ A mit f( 2) = O.
(l~)
f A 2 --f ~ A 1
+
!
f,Ct~l"
Nun gilt f A 2 ~ A~-, und (14) ist die Lebesguesche Zerlegung yon f A 2 in Bezug auf A i" Nach Satz i folgt, dass A J" . Es sei jetzt g ~ A. Dann gilt
i
-7-
2.5
= O, oder, mit c = f ~ L
g - g ( 2 ) ) A~/~
# O: 1
1 _
o.
Da (15) fiir jedes g~A g i l t , und d a ~ L
- c~2 reell
1 ist, folgt aus (h), d a s s ~ A
1 - c A 2 = O. Also ~ 2
und somit ist ~ 2 absolut stetig in Bezug auf ~ i"
I
=~]3[,k 1' w.z.b.w.
Korollar 3: Es sei ~ A in C(X)* %& sj.r~ulKr in Bezug auf ~ , / '/ 2% ( ) Dann ist und J g/4 = 0 -fi~r - _ _alle ~_ A mit ~ A ~', also ~I/A = 0.~ % ~ O. Beweis:
Wir setzen c = ~ A ,
und
F~r f ~ A gilt dann:
f~--c~(A)
Satz i ist a l s o . i n
+ f~
A/'.
-8-
=
(~- f ( ~ ) ) ~
=o.
3.1
3. Die R =e Es seien A,X,A wie im letzten Paragraphen definiert. LP(A) bezeichne den mit dem Mass A konstruierten, bekannten Lebesgueschen Raum, versehen mit der Gblichen Metrik. Definition 7: HP(A)
ist die abgeschlossene HGIIe yon A in
Definition 8: ~ ( ~ ) ist die Menge wesentlich beschr~nkten Funktionen.
der
in H2(A ) liegenden
Die Elemente yon HP(~), le p ~ ,
sind also auf
X f.G.- d ~ definierte Funktionen, mit der Gblichen Identifikation. L2(~), mit dem Skalarprodukt
(f,g) --Sf A, ist Hilbertscher Raum. Wir setzen:
Lemma 4: L2 (A ) = H2 (A) ~) H~OO(A)' im Sinne der ortho6onalen Zerlegung eines Hilbertschen Raumes. Beweis: F~r f~A, g~A und ~ g ~
= O, gilt (f,~)=~fgA = O.
Dutch GrenzGbergang folgt die 0rthogonalitKt von H2(A) und H--~2o(~). Falls k~L2(A), k_~H2(A)~)H~oo(A), gilt ~f[A:
0, f~A, und
-9-
3.2
Daher ~Re f~
= O, ~lle f ~ A
und somit k = 0 wegen (4). Also ist L2(A) = H2(~)~H~oo(~). Lemma 5: Folge
Es sei h i_~nH~
~h~_~-1. Dann existiert eine
[hnl~r A, so dass
(i)
~hn~ ~__ i,
(ii)
hn- ~ h
Beweis:
all_~en, f.~.- d~.
Da h ~ H2(~), existiert { f n ~ A
mit~%fn - h~ 2 A " ~ O.
Wir dGrfen dann auch annehmen, dass f - ~ h f.~.- d~. Wit setzen n
E n ist abgeschlossen in X. Wir definieren
~1ogIfn(X)ll xeE
b (x)
=
n
0 Also b ~ 0 auf X, und b n
u
n
x ~ E n.
istl stetig auf X. Nach (h) gibt es
+ iv ~ A mit n
n
-b
! n - ~ ~ Un ~--~-bn auf X. I
Wir d~rfen annehmen, dass
~!
~
~= O. Wir setzen gn = exp(u n + iVn).
,J
Dann ist gn~ A, und
(~6)
"(gn ~)
(~7)
I ~nCx)l~ ,xpC-,og I%(x)l)
- exp
tJ un
-
lO
-
= I~,.,C~)1-1, ~" ~n,
3.3
Ausserdem gilt:
_•
(19)
I,?
=-
og
I
-~.
E. Wir behaupten:
(2o)
~o, ~o(x)lA - ~ g~
sei &
0 vorgegeben. Wir setzen
Da f --~ h f.G.- d A n Auf E - F gilt: n
0.
und
~hl~_l, folgt, dass A ( F n)-'~ O.
n
log[f~< log (1 + ~.).
F. Das erste Integral
~=_ log (i +~). F e r n e r
I'o-4 ~
§
~'~176
Also gilt (20). Ausserdem ist u ~___ 0 auf X, und somit
X UnX
~
~___O. Es folgt aus (19), dass
J Unl
---~0 und daher
A Wie im Beweis yon Lemma 3 folgt nun aus gn (~) ~ und (18), dass gn (x)"a2 1 f.~.-d A V Wir setzen hi)
- f n ~ gn v "
-
ii
-
f~r eine Teilfolge
1
[n#~.
3.4 Dann ist h v ~ A, hv-~h
f.G.-d~, und
~hp(x)~_~ I , alle
x~X, wegen (17) und (18). Damit ist alles bewiesen. Satz 2:
Es sei ~J4 ~ A "L, ~A absolut stetig in Bezug aufA
Dann existiert k~s
so, class ~
= kA
9
(und somit J k A
- 0)
Beweis: Nach dem Satz yon Radon-Nikodym existiert k in L~(~) mit ~ =
k~. Nun ist H*(A) ein abgeschlossener Teilraum yon ~ ( A ) "
Nach einem bekannten Satz yon Banach liegt daher k in HI(~) dann und nur dann, wenn jedes lineare Funktional auf L~(~), das auf H~(~) verschwindet, auch auf k verschwindet. Ein lineares Funktional auf L~(~) ist gegeben durch eine wesentlich beschr&nkte Funktion ~
auf X. Das Funktional verschwindet auf
H~(A)gerade
dann, wenn
besagt, dass (f,~) = 0 in L2(~) fiir alle f~A. Also
(21) steht ~ _
orthogonal auf
daraus ~
(~) in L2(~). Nach Lemma 4 folgt
~2o(~) , also ~
~
H2(~). Daher i s t ~ H @ @ ( ~ ) .
Ohne Verlust an Allgemeinheit dGrfen wir annehmen, dass ~---
I ist. Dann existiert nach Lemma 5 eine Folge~hn~ ~ A,~hn~| ,
und hn " ~ ~
f"G" - dt~ " Daher gilt
J n -0 ~ k A - )A E AJ'. mso ist ~r HI( % ). D~ ~k~ O. w.z.b.w.
- 12 -
~I~A
= 0, ist auch
4.1
w 4. Eine Formel f~r Masse in A/'.
ES seien A , X , ~ wie oben definiert. FOr I E bezeichnen wir mit HI(x) = [ k 6 H ~ ( ~ ) ~ f k ~ = 0 Definition 9: Ein Mass O"~ C(X)* heisst vollsts singuls w e n n ~ in Bezug auf jedes multiplikative Mass singul&r ist. Satz 3: Es sei ~
A S-. Dann existiert eine h6chstens abzKhl-
H~( A i), und ein vollst~Idi~,singtil~res~'~ A "L so, dass
i=l
wobei die Reihe in totaler Variation konvergiert.
A .~' ~'~
schreiben wir ~ X Ifalls E~ u n d ~ Beweis: F~r in Bezug auf einander absolut stetig sind, und wir schreiben ~ t wenn dies nicht zutrifft. Nach Korollar 2 zu Satz i ist ~ ~ X ' equivalentmit der Singularits yon i u n d A / in Bezug auf einander. Die Beziehung~ ist eine Aequivalenzrelation a u f ~ . Wit nennen die dazu geh6renden Aequivalenzklassen kurz "Klassen". Es sei nun P eine Klasse und ~ '~I ~ P" Dann gilt (siehe Definition 6): A
(22)
A= 6 A I f~r jedes 6 6
C(X)*.
9es auch absolut stet~g in Bezug auf A und ~ezug auf A i' da ~ singular ist in Bezug a u f A l ~ , ist es " ~ auch singular in Bezug a u r a . Daher gilt ~ i besondere (22).
-
=~
13
-
,
AI
, und so ins-
Es sei nun A die Menge aller Klassen P mit ~# 0 fSr ~ P. Wir betrachten Pl"'''Pk i n ~ und w~hlen ~ i~ F i. Wir setzen
k k Also
~l
"
"----
Da jedes Glied rechts auf ~ i singul~r ist, folgt, dass ~ ~l singuls ist. Aehnlich folgt, dass ~ auf ~2''''' singular ist. Also ist 9 FGr ~ von ~
mit U ~ U
auf ~i~----l~'=h i
auf
singular.
C(X)*, bezeichnen wit die totale Variation 9Falls ~1'~2
singular sind in Bezug auf
einander, folgt I ~ l +~ 2~~ =~I ~ l ~
Aber je zwei H A i
+~I ~ 2 ~" Nun ist
sind auch auf einander singular.
Daher ist
_.< und somit l
(23)
~
IL 11 II.
(23) gilt nun unabh~ngig yon k und yon der Wahl der Klassen P.1 inA . Es folgt, dassJ~, h6chstens abz~hlbar unendlich ist, und dass, falls ~ =
~Pil|
-
und ~i ~ Pi'
14
-
4.3 Daraus schliessen wir, dass
in totaler Variation i=l
i
konvergiert. Wir setzen
Da~
A"L, ist nach Satz i auch fur jedes i ~ i Also rol~ O- % A ~.
Es sei ~" ~ ~ Falls P ' ~ A ,
~oo5~ /~
:~
= 0 und jedes ~ i
Also ist ~
vollsts
mit P# = P g, und ~# ~ # . : o ; ~ ~. , A , ~
~
ist singuls auf ~ .
Also O-~#= 0.
singuls
Endlich. da jedes ~ i ~ ~ i
J_
und P" die Klasse der ~# angeh6rt.
gibt es ein ~
:~
in A
Aj ' , folgt nach Satz 2 class
= k i ~ i wo k i ~ Hl(~i)o Damit ist der Satz bewiesen~
-
15
-
5.1
w 5. Die Algebren P(X).
In diesem und den folgenden Paragraphen sei Y eine kompakte Menge in der z-Ebene und X der Rand yon Y. Wir nehmen ~n:
(24)
Das Komplement Y' yon Y ist zus-mmenh~ngend.
Dann gilt folgender Satz aus der Potentialtheorie:
Satz ~: ms
Jede auf X stetige reelle Funktion l&sst sich gleichauf X durch harmonische Pol[nome approximieren.
Dabei verstehen wir unter einem "harmonischen Polynom" ein Polynom in x und y das eine harmonische Funktion ist, oder, was auf dasselbe herauskommt, den Realteil yon einem Polynom in z. Wir werden Satz 4 bier nicht beweisen. Er wurde bewiesen in der Arbeit "Ueber die Entwicklung einer harmonischen Funktion nach harmonischen Pol~nomen", yon J.L. Walsh, J. Reine Angew. Math.
159 (1928). Definition i0:
P(X) ist die Menge aller stetigen komplexwertigen
Funktionen auf X, die sich gleicbm~sig auf X durch Polynome in z approximieren lassen.
0ffenbar genGgt P(X) den Bedingungen (1),(2),(3). Nach Satz ~ genGgt er auch (~), und so ist P(X) Dirichletsche Algebra auf X. Eine auf X gleichmKssig konvergierende Folge yon Polynomen konvergiert nach dem Maximumprinzip gleichm~ssig auf ganz Y. Die Grenzfunktion ist somit in Y stetig und im Innern yon Y analytisch.
-
16
-
5.2
F~r jedes f in P(X) existiert daher eine auf Y stetige, im Innern yon Y analytische Funktion F mit F ~ f
auf X.
Fist offenbar durch f eindeutig bestimmt.
Es sei nun a in Y. Die Abbildung: f---~F(a) ist ein Homomorphismus yon A a u f ~
. Nach der Bemerkung am Ende des
ersten Paragraphen existiert somit ein eindeutig best~mmtes Aa
in~=~(P(X))
(25)
~(a)
Sei umgekehrt
mit
=fxf ~a" AE~.
Wir setzen a = ~z A
. W~re a ~ Y ,
dann
wiirde (z - a) -I in P(X) sein, wie man leicht zeigen kann. Da A multiplikativ ist, gilt dann
Daher ist a~ Y. Nun gilt
(26)
P(a) -- JP(z)
f~r jedes Polynom P.
Dutch Grenz~bergang erh~it man aus (26), dass
(27)
F(a) = J f ~
, alle f(P(X). Die multiplikativen Masse fGr
Also schliessen wir, dass A = A a .
P(X) sind also genau die Masse A a mit a in Y. Satz 5:
Es sei ( ~
P(X) ~" und (~- sei vollstgndig singulgr
(im Sinne yon Definition 9) relativ zu P(X). Dann ~ilt: ~ =
-
17
-
0.
5.3 Zum Beweis ben6tigen wir ein Lemma Gber Masse in der Ebene.
Lemma 6:
ES s e i ~ ~
ein komplexes Mass in der Ebene mit kompaktem
m
Tr~6er. Damn konver6iert das Integral
Tt;-~ absolut
f.G.- dxdy. Falls B(z) = 0
~owo~:, ~ o~ IBl
f(
,~7~,i~[i ~r
I t l l_ ~.
f.G.- dxdy, dann ist ~
= O.
d~o totale Variation v o n ~ . Wir w~hlen R so
--I,'-~i~
<2~ss{s Es folgt, class 3(1 ~I.!~I -~% z ~
<.~._ dxd,. Wir n:~,n
nun an, dass B(z) = 0 f,~o- dxdy.
Es sei g eine beliebige glatte Funktion in der Ebene mit kompaktem Tr~ger. Wir nehmen K so gross, dass g.~O in
Betrachten wir nRmlich das von den Kreisen ~z ~ = K, ~z - ~ i
= ~
begrenzte Gebiet G
gdz z-~" Dann ist d ( z - ~ )
= ~ ~ 7- .- ,
z-,~
Stokes'schen Satz:
-
18
-
, und darin das Differential und daher gilt nach dem
~!~d~dz?~ll'~-~ gaz de. g auf
Iz| = K verschwindet. Durch GrenzO.bergang ~.. ~
0
erhalten wir (29).
F~r grosses K folgt dann
Izl da B(z)
f.G.- dxdy.
= 0
Da g beliebig war, ist ~ =
Beveis yon Satz 5:
Wir ws
z
O. w.z.b.w.
mit
O
f Io"1
<0=.
tZ-=ol
Zuerst nehmen wir an, dass z~ ~
Y. Dann existiert ~ Z e ~ ~ .
,-o,~ Polynomen die gegen g konvergiert mit
( J- ' ~ ~. = o.
en(Zo) =
I Da < ~
P(X)
, folgt
= O, alle n und so
@
Z
-- Z 0
(30)
g.
, Z
--
=0.
Z 0
-
19
-
5.5 Nun ist ~y" vollst~ndig singul~r, also insbesondere singul~r o9Nach (30) folgt in Bezug auf A Z ~ Das selbe gilt yon Z--Z
"
I-aUS Korollar 3 zu Satz i, dass t _ Q_
O
= O.
2~o J
Falls z ~ Y ,
ist ebenfalls
O
--~Zo
=
Oj
und
zwar
aus
folgendem Grund: die Funktion
ist analytisch in Y' | und verschwindet fi~r gen~gend grosses
~
|
denn dann gilt:
E P(X). Also verschwindet S identisch in Y' t insbesondere in z O .
/z~ir haben also gezei~, dass w~ ~er auch
= 0. Nach Lemma 6 folgt nun ~ =
j ~Io'I
"~'~.
O. w.z.b.w.
O
Korollar:
Es sei ~ #
P(X)~-. Dann existiert eine hSchstens
abz~blba~ unendliche Men~e ~'zn~~ Y, und f ~ i r ~edes n, kn ~ H1o(~z ) n mit
n=l Beweis:
n
Die Behauptung folgt sofort aus den S~tzen 3 und 5.
-
20
-
6.1 w 6. Der Satz yon Mergelyan.
Im Jahre 1951 gelaug S.N. Mergelyan die vollst~ndige L6sung des folgenden Problemes:
Es sei Y eine kompakte Menge in der z-Ebene mit zus-mmenh~ngenden Komplement Y'. Welche Funktionen auf Y lassen sich gleichm~ssig durch Polynome approximieren? Seine Antwort lautet:
Satz 6:
Jede auf Y stetige, auf dam Innern yon Y anal~tische,
Funktion kann ~leich~ssig auf Y durch Pol~nome approximiert werden.
Der Mergelyansche Beweis ist enthalten in "Uniform approximations to functions of a complex variable", Amer.Math.Soc. Transl. lO1 (195~). In der Einleitung zu dieser Arbeit gibt Mergelyan einen Bericht Gber die historische Entwicklung, die Satz 6 vorausgegangen ist.
Wir wollen jetzt zeigen, wie man Satz 6 aus dam Korollar zu Satz 5 herleiten kann.
Beweis yon Satz 6:
Wir bezeichnen mit A 1 die Menge aller stetigen
Funktionen auf dam Rand X yon Y, die sich so auf ganz Y fortsetzen lassen, dass sie im Innern yon Y analytisch sind. A 1 gen~gt nun (1),(2),(3), und da P ( X ) C A~,auch (~). Also ist A 1 Dirichletsche Algebra auf X. Wir behaupten A 1 = P(X).
Es sei a ein Punkt yon Y. Die Abbildung: f--~ fCa) ist dann ein Homomorphismus yon A 1 auf ~ so vie fr~her fiir P(X), ein
(32)
f(a) =
~f~la,
, und so existiert, genau
~ ia ~ ~ ( A
alle f e A 1.
-
21
-
I) mit
6.2 Da P(X)~.AI, folgt aus der Eindeutigkeit yon ~a' class.~ a d a s s Hl(~a).C
Ausserdem f o l g t , relativ
zu ~
~Io
i
H o ( ~ a ) , wobei letzteres
genommen i s t .
Es sei nun ~ P ( X )
n=l
n
zn
~ . Nach (31) gilt
n
n
Es folgt
n
Daher gilt P(X) = AI, wie behauptet. Falls nun eine F--~tion F auf Y stetig und im Innern yon Y analytisch ist, so gehSrt die Randf,,~ktion yon F auf X zu AI, also zu P(X). Daher existiert
eine
konvergiert.
Folge
~P~
yon Polynomen d i e gegen F a u f X
Wegen dem Maximumprinzip k o n v e r g i e r t dann P
F auf ganz Y. Damit ist Satz 6 bewiesen.
-
22
-
n
gegen
7.1 w 7. Die Klassen f~r P(X).
In w h haben wir die Zerlegung yon die Relation ~
in Klassen durch
beschrieben. Es seien jetzt Y,X,P(X) wie frGher
definiert. Dann gilt: Satz 7:
Sei P eine Klasse in ~A~(P(X)). Dann existiert entweder
ein x i_~nX so dass P = { ~ x ~
. oder es exist iert eine Komponente
des Innern yon Y so dass P =
a
I a~ t.
F~r den Beweis ben6tigen wir einige allgemeine Eigenschaften yon Dirichletschen Algebren, die wir jetzt zitieren, aber nicht beweisen werden. Es sei X ein beliebiger kompakter Raum, A eine Dirichletsche Algebra auf X, ~ - ~ ( A ) .
L ~ n m ~1 7 :
(~)
Falls es ein •
Wir setzen l~f~ = max
~f(x~ 9
< 2 gibt mit
I~(~) - ~(~)i -~~ , .
~
~A~t
It~l~ ~.
~u=P,
aber P # { ~ .
dann gilt Lemma 8:
Es sei P eine Klasse in ~ ,
Dann e x i s t i e r t E ~ H 2 ( ~ ) 0
FSr6q
(35)
so dass:
P setze~wir Eo(~) = S E o ~
9
Die Abbildun~: 6 - - ~ E O(~) bildet P e%neindeut ig auf
,~ie~ei.~heibe. I~A 9 1
- 23 -
a__b.
T.2 (36)
FGr ~edes f ~ A e x i s t i e r t f* anal~rtisch in
Wir gehen jetzt zur~ck zum Spezialfall: A Wie wir gezeigt haben, ist hier jedes ~ ~ ~
~= ~
a
Iz
I<
1,
= P(X).
yon der Form:
f~r ein a ~ Y. Es sei P eine Klasse von ~
die mehr als ein Element
enth~It. Wir setzen:
Dann liegt P im Innern yon Y. Denn fGr a E X bildet
schon
f~r sich allein eine Klasse. Wir
w~hlen ~ = ~
E
a
P" Nach L~,..a 8 e x i s t i e r t de;on
ein EO ~ H2(~), welches (3h),~35),(36) genGgt. Wir setzen: (38)
•
(a) = Eo(~ a ), alle a ~ P.
tzI
i s t somit eine Abbildung v o n ~ ' a u f
sie ist e i n -
eindeutig nach (35) 9 Die Funktion f ( z )
=
z
geh6rt zu
Daher ist fe eine konforme Abbildung yon
P(X). Nach (36) e x i s t i e r t
I-t < 1 ,~ ~ Es ~ol~,
dabs P zus---.enh&ngend ist. Auch folgt, dass Abbildung von~'auf Es s e i ~ l
Iz{ ~ 1 liefert,
denn * =
F~r f ~ P ( X ) i s t n u n ~ ( ~ )
~ o n
~
Ir
•
~ $l.
,o.
(f*)-l.
d i e j e n i g e Komponente des Innern yon Y, welche
~ ' e n t h ~ l t , und b ~ .
,on-
eine konforme
o,
eine a n a l y t f s c h e
II't!~-- I ~,, = ~o~.. ~=. or existiert K b < ~ so dass:
-
24
-
7.3
~ A~ ) - ~c,~)l -~ ~:~' ~
~<x)
~t 11~II ~ ~. (~on~,
0
w~rde man einen Widerspruch erhalten, unter Verwendung der Tat-
sache, dass die Menge a l l e r anal~rt;ischen Funktionen F in ~ , mit
IFl~ i
dass
eine normale Familie bildet.) Nach Lemma 7 folgt,
b~
. Also
a
~
b
P, oder b~.P. Daher gilt
= P,
O
oder
Besteht andrerseits die Klasse P aus einem einzigen Element, so kann ~ keine inneren Punkte yon Y enthalten; denn, falls a und b innere Punkte derselben Komponente sind, so gilt - wie gerade gezeigt wurde f~r jedes x ~
an
b" Also liegt P in X. Da aber
X f~r sich eine Klasse bildet, folgt P = ~ x ~
f~r x ~ X. Damit ist Satz 7 bewiesen.
Bemerkun~:
,on H " r ~
Im folgenden Paragraphen werden wir zwei Eigenschaften
) benatzen: l)
~'(A) ist ei~ Ring.
d~r D,~inition 8. 2) ~ = ~ . g e ~ ' C A )
D~s rol~ dir~kt
,rod A l ~ l
gilt
(39)
~
~ ~.~-- ~A. ~
1%1 -~ ~, l ~nl ~-~. ~ ,
Daher gilt
wie behaupt et.
-
25
-
~,~
~o~=.
8.1
w 8. Beschr~nkte analytische Funktionen.
Es haben Y,X,P(X) die bisherige Bedeutung. Sei eine Komponente des Innern yon Y, und aO ~ Wir setzen ~ = &
. O
Satz 8: Sei ~ eine anal~tische Funktion auf.~ mit % ~ Dann existiert ein ~ ~ H@~(A) mit I~,Jl ~ % SO, class
I ,~',1"
(40) Die Klasse P, welche k
u--onot
l
enthAlt, f~llt nach Satz 7
rn On o
letzten Paragraphen. Da ~Eo~ = i
w
f.~.-dA, ist EO ~
o
H@~(A )"
Es sei ~ die in (38) definierte Abbildung, die nun eine konforme Abbildung yon ~ auf ~z ~ 9 ~. liefert. Es existiert eine analytische D,n~tion G in ~z | < I mit ~ = G(~). Offenbar gilt ~G~ ~--.S. in Iz| < [. Nach bekannten Eigenschaften der in % z ~ < 1 analytischen Funktionen existiert eine Folge {Qn~ von Polynomen, mit IQn~_~ ~ in ~z~ ~ und Qn(Z) --~G(z), alle z in ~ z ~ 1 . Nun ist H ~ A) ein Ring. Also Qn(Eo) @ He~ fGr allen. Auch gilt ~[Qn(E0 )l~~ i , alle n, wobei die Norm in L~ genommen ist. Daher existiert eine Teilfolge g~ = Qnv(Eo) die gegen ein ~ & L@a(A) konvergiert in der schwachen Topologi~ yon Lc~(~) in Bezug auf LI( ~ ). Dabei ist I ~ ~# ~ I. F~r f~P(X),
r
- 0, gilt =0.
-
26
-
8.2
Es folE%, dass ~I"~2(I)in L2(X). Daher ~J~: II2(X), und somit ~ ~" H'(~). Wegen (39)gilt f~r a ~ L
Da ~ a'~1 , existiert Ka~L~(~) mit A a = KaX gil% daher
9 F~r
U - - ~
JnEo Andrerseits ist lim Qn(~(a)) = G(~(a)) =~(a). Aus (41) folEt somit
H~(A) und II~ I -~ I , ~t
Da wir schon wissen, dass ~ 6 unser Satz bewiesen.
Korollar: Es sei ~ eine anal~%ische F~,nktionauf ~ mit i~i_~i 0~o ex~s~er~ e~ne ~o~o [~o~ yon ~o~nomen so! dass: (i)
(ii)
Pn (z) - e ~ ( z ) , ~ e
z ~fl
Beweis: Wie gerade gezeigt wurde existiert ~ so dass i n ~ :
H~(X
), I ~')~--~i.
'~(~) ---/~,k~ 9 Nach Lemma 5 existiert eine Folge ~ h ~ P ( X ) m i t
(h12{~ ~-. Z D
o n o nom .m t ~. 0~er ~ t
I~'~ ~- i § ~ .
-
0~n s~tzoo w~r ~, :C~"~)" " ~ "
27
-
"
8.3
Also ist P g und f~r z ~
auf Y, und somit a u f ~
ein Polynom mit gilt:
-
28
-
,
9.1
w 9. Literatur.
Dirichletsche Algebren wurden 1957 von A. Gleason definiert, und zwar in "Function Algebras", Seminars on Analytic Functfons,
Inst. for Adv. Study, Princeton, New Jersey. Dort
wurden auch die in w h definierten Klassen eingefGhrt.
Eine s
Definition wurde yon S. Bochner in
"Generalized conjugate and analytic functions without expansions", Proc.Nat.Acad.Sci. U.S.A., 45, No. 6 (1959) gegeben.
Die Darstellung von Homomorphismen durch multiplikative Masse wurde von R. Arens und I.M. Singer in "Function Values as boundary integrals", Proc.Amer.Math.Soc. 5 (1954) gegeben.
Satz i wurde fGr gewisse Dirichletsche Algebren, von H. Helson und D. Lowdenslager in "Prediction Theory and
Fourier
series in several variables", Acta Math. 99 (1958) bewiesen. Es war zum grossen Teil diese Arbeit, welche die sp~tere Entwicklung der Theorie der Dirichletschen Algebren angeregt hat.
Lemma 3 stammt yon F. Forelli, "Analytic Measures", Pac.Jour. of Math., Vol. 13, No. 2 (1963). Forelli hat dieses Lpmma angewendet, um einen neuen Beweis yon Satz 1 zu geben. Unsere Beweise von Lemma 3 und Satz 1 sind yon K. Hoffman angegebene Vereinfachungen des Beweises yon Forelli. Korollar 2 st~mmt imwesentlichen yon Gleason, loc.cit., und einer Bemerkung yon E. Bishop. Unser Beweis stAmmt - glaube ich - yon Forelli. Korollar 3 ist in Helson und Lowdenslager, loc.cit., enthalten.
Satz 2 steht in der Arbeit von K. Hoffman, "Analytic Functions and Logmodular Banach Algebras", Acta Math., Vol. 108 (1962). In dieser Arbeit ist eine ausfGhrliche Entwicklumg der
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29
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9.2
Theorie der Dirichletschen Algebren (in verallgemeinerter Form) zu finden. Le~ma 5 und der Beweis des Satzes 2 auf Grund yon Lemma 5 sind von K. 1{off~an und dem Verfasser gegeben worden (unpubliziert).
Satz 3 ist enthalten in "Measures Orthogonal to Dirichlet Algebras", Duke Math.Jour., Voi. 30, No. h, (1963), von I. Glicksberg und dem Verfasser.
Die Ideen in Paragraphen 5 und 6 gehen zurdck auf folgende Arbeiten von E. Bishop: "A minimal boundary for function algebras", Pacific J.Math. 9, No. 3 (1959), "The structure of certain measures", Duke Math.J. 25 (1958), und "Boundary measures of analytic differentials", Duke Math.J. 27 (1960). In der zuletzt genannten Arbeit findet man eine der Formel (31) Khnliche Beziehung.
Der hier gegebene Beweis des Satzes yon Mergelyan auf Grund der S~tze 3 und 5 ist im wesentlichen enthalten in der oben zitierten Arbeit von I. Glicksberg und dem Verfasser.
Formel (29) und Lemma 6 findet man in Bishop's Arbeit "A minimal boundary .... ". Formel (29) ist von Mergelyan bei dem Beweis seines Satzes verwendet worden.
L~mma 7 stammt von A. Gleason, loc.cit., und Lemma 8 wurde vom Verfasser in der Arbeit "Dirichlet Algebras", Duke Math.J. 27 (1960), bewiesen.
Das Korollar von Satz 8 ist ein Spezialfall eines yon L. Rubel und A. Shields st-mmenden Satzes. Siehe "Bounded approximation by polynomials", Bull~Amer.Math.Soc., Vol. 69, No. (1963). Satz 8 ist ~ n
K. Hoffman bewiesen worden (unpubliziert).
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30
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