Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios

Jens Daum Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios

GABLER RESEARCH

Jens Daum

Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios

RESEARCH

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Dissertation Universität Mannheim, 2009

1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Ute Wrasmann | Stefanie Loyal Gabler Verlag st eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2504-6

Vorwort Das Vorwort bietet die M¨oglichkeit, sich f¨ ur die erhaltene Unterst¨ utzung zu bedanken. Diese Gelegenheit will ich gerne und ausgiebig nutzen. Bei der Erstellung der vorliegenden Arbeit w¨ahrend meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl f¨ ur Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Finanzierung der Universit¨at Mannheim haben mich Viele in fachlicher und auch moralischer Hinsicht unterst¨ utzt. Besonders bedanke ich mich bei meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr. Dr. h.c. Wolfgang B¨ uhler f¨ ur seine umfassende Betreuung und Begleitung des Dissertationsprojektes. Ohne seinen Antrieb, seine fachlichen Hinweise, seinen Rat und seine Geduld w¨are die Anfertigung der vorliegenden Arbeit nur schwerlich m¨oglich gewesen. Herrn Prof. Dr. Holger ¨ Daske danke ich f¨ ur die Ubernahme des Korreferats. In guter Erinnerung werde ich den freundschaftlichen Umgang zwischen den Kolleginnen und Kollegen am Lehrstuhl f¨ ur Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Finanzierung behalten. F¨ ur die Hilfe und Anregungen und die sch¨one gemeinsame Zeit bedanke ich mich bei Herrn Martin Birn, Herrn Dr. Christoph Engel, Herrn Dr. Sebastian Herzog, Herrn Dr. Christoph Heumann, Herrn Prof. Dr. Olaf Korn, Herrn Prof. Dr. Christian Koziol, Herrn Dr. Stephan Pabst, Herrn Dr. Raphael Paschke, Herrn Dr. Marcel Prokopczuk, Herrn Dr. Peter Sauerbier, Frau Dr. Antje Schirm, Herrn Volker Sygusch, Herrn Dr. Tim Thabe, Frau Prof. Dr. Monika Trapp, Frau Prof. Dr. Marliese Uhrig-Homburg und Herrn Volker Vonhoff. F¨ ur die EDV-technische Unterst¨ utzung gilt mein Dank Herrn Peter L¨ ulsdorf und f¨ ur den reibungslosen Ablauf in Verwaltungsangelegenheiten Frau Marion Baierlein. Das Verst¨andnis und die Unterst¨ utzung der gesamten Familie ist bei solch einem Vorhaben unabdingbar. Meinen lieben Eltern Karola und Wolfgang m¨ochte ich recht herzlich danken, dass sie meine Ausbildung in dieser Form erm¨oglicht haben. Sie haben mich vorbehaltlos in meinen Pl¨anen best¨arkt und mir großes Vertrauen entgegengebracht. Die Geduld meiner lieben Frau Txeche wurde w¨ahrend der Erstellung der Dissertation einige Male strapaziert. F¨ ur ihr Verst¨andnis und ihre Unterst¨ utzung bin ich unendlich dankbar. Jens Wolfgang Daum

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

1

2 Die Performanceanalyse im Umfeld der Verm¨ ogensverwaltung

5

2.1

Der Prozess der Verm¨ogensverwaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Die Performanceanalyse und ihre Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3

6

2.2.1

Die Portfoliodekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2

Die Performancemessung

2.2.3

Die Performanceattribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Die Attributionsanalyse und ihre Ausgestaltung . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1

Einperiodige, additive Attributionsanalyse nach Brinson, Hood und Beebower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2

Multiplikative Attribution und die Anwendbarkeit auf mehrperiodige Analysezeitr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.3

Spezielle Attributionsverfahren f¨ ur Anleihenportfolios . . . . . . . . 34

2.4

Bestimmung eines Benchmarks und M¨oglichkeiten der Risikoadjustierung . 36

2.5

Zweistufiges, multiplikatives Attributionsverfahren f¨ ur Anleiheportfolios . . 39

3 Die Modellierung des Kreditrisikos

43

3.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2

Der Modellrahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1

Modellrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2

Modellgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3

Der Modellrahmen nach Duffie/Singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4

Die Faktor- und Prozessstruktur

3.5

Risikoadjustierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.1

Risikopr¨amien in Intensit¨atsmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.2

Die erwartete Rendite im genutzten Modellrahmen . . . . . . . . . 58

3.5.3

Jensen’s Alpha und risikoadjustierte Attribution

4 Parametersch¨ atzung des Modelles

. . . . . . . . . . 61 65

INHALTSVERZEICHNIS

VIII 4.1

¨ Grunds¨atzliche Uberlegungen zum Aufbau der Sch¨atzung . . . . . . . . . . 65

4.2

Die Datengrundlage

4.3

Das Verfahren nach Nelson/Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4

Ergebnisse und Analyse der Nelson/Siegel-Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . 74

4.5

Der Kalman-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.1

Der Algorithmus in seiner Grundform

4.5.2

Die Sch¨atzung der Parameter mit Maximum-Likelihood . . . . . . . 87

4.5.3

. . . . . . . . . . . . . . . . 81

Die Besonderheiten des Kalman-Filter bei Verwendung des CIRModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.4 4.6

Anmerkungen zur Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ergebnisse der Kalman-Filter-Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.6.1

Ergebnisse der Voruntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6.2

Ergebnisse des gesamten Modelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Die Performanceanalyse

115

5.1

Die Datengrundlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2

Die Renditebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.1

Die angewandte Renditemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2.2

Ergebnisse des Renditevergleichs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3

¨ Aktive, risikoadjustierte Uberschussrendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4

Ergebnisse der Performanceanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4.1

Portfoliodekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4.2

Performancemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.3

Klassische, Benchmarkabh¨angige Attributionsanalyse ohne Risikoadjustierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.4 5.5

Benchmarkabh¨angige Attributionsanalyse mit Risikoadjustierung . . 136

Vergleich risikoadjustierte Performanceanalyse und Alpha . . . . . . . . . . 141

6 Zusammenfassung und Ausblick

143

A Literatur¨ uberblick

145

INHALTSVERZEICHNIS

IX

B Attributionsanalyse

149

B.1 Multiplikatives Attributionsverfahren - Herleitung der Gl¨attungsfaktoren . 149 B.2 Multiplikatives Attributionsverfahren - Weitere Verfahren

. . . . . . . . . 150

C Geschlossene Bewertungsformel f¨ ur Anleihen im CIR-Modell

155

D Herleitung Vasicek

157

E Risikopr¨ amie im Portfoliokontext

159

F Faktorrealisationen Bund Zwei-Faktor-Modell

163

Literaturverzeichnis

165

Tabellenverzeichnis 1

Attribution nach Brinson et.al.(1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

Ausgangsdaten Attribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Ergebnisse Attribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4

Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung auf unterster Stufe . . . . . . . . 40

5

Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung auf erster Stufe . . . . . . . . . . 41

6

Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung in Matrixform . . . . . . . . . . . 42

7

¨ Ubersicht Iboxx - Ratingklassen und Sektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8

Datensatz zur Nelson/Siegel-Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9

Durchschnittliche Anzahl der Anleihen pro Jahr . . . . . . . . . . . . . . . 71

10

Preisabweichungen der Nelson/Siegel-Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . 74

11

Starke und schwache Reklassifizierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12

Spreadver¨anderungen der Ratingklassen

13

Dickey-Fuller-Tests-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

14

Ergebnisse der KF-Sch¨atzung der Zwei-Faktormodelle . . . . . . . . . . . . 91

15

Mittlerer standardisierter Vorhersagefehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

16

KF-Sch¨atzung: Halbwertszeiten der ZF-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . 93

17

Korrelationen der Faktoren im Zwei-Faktor-Fall I . . . . . . . . . . . . . . 98

18

Ergebnisse der unrestringierten KF-Sch¨atzung der Mehr-Faktormodelle . . 99

19

Ergebnisse der restringierten KF-Sch¨atzung der Mehr-Faktormodelle . . . . 100

20

Mittlerer standardisierter Vorhersagefehler (unrestringiert) . . . . . . . . . 101

21

Mittlerer standardisierter Vorhersagefehler (restringiert) . . . . . . . . . . . 101

22

Korrelationen der Faktoren des Spreads im MF-Fall . . . . . . . . . . . . . 105

23

Statistiken der Preisabweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

24

¨ Ubersicht der Eckdaten der Fonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

25

Ratingverteilung der Fonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

26

Rangfolge auf Basis der erzielten Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

27

Rangfolge auf Basis des Verh¨altnisses von Rendite zu Volatilit¨at . . . . . . 125

28

Rendite und Volatilit¨aten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

TABELLENVERZEICHNIS

XII 29

Alpha Fonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

30

Alpha Beitrag nach Anlageklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

31

Alpha Fonds 157 nach Anlageklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

32

Anteile an der Risikoadjustierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

33

Aktive Managementbeitr¨age der Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

34

Aktive Managementbeitr¨age der Portfolios pro Jahr . . . . . . . . . . . . . 134

35

Aktive Managementbeitr¨age Portfolios nach Klassen . . . . . . . . . . . . . 136

36

Risikoadjustierte Rendite und Volatilit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

37

Risikoadjustierte Aktive Managementbeitr¨age der Portfolios . . . . . . . . 138

38

Risikoadjustierte Aktive Managementbeitr¨age der Portfolios pro Jahr . . . 139

39

Aktive adjustierte Managementbeitr¨age Portfolios nach Klassen . . . . . . 140

40

Rangfolge Renditebetrachtung risikoadjustiert . . . . . . . . . . . . . . . . 141

41

Vergleich Alpha zu AR adjustiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

42

Ergebnisse Attribution Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Abbildungsverzeichnis 1

Prozesskomponenten der Verm¨ogensverwaltung . . . . . . . . . . . . . . .

6

2

Prozess des Portfoliomanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3

Attribution nach Brinson et.al.(1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4

Darstellung der Interaktionskomponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5

Anleihenattribution nach Campisi (2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6

Beispiel: Zerlegung eines Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7

ZSK Bund 3D Ansicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8

ZSK Bund Verschiedene Laufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9

ZSK Verschiedene Laufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10

Spread Verschiedene Laufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11

Kalman-Filter Ablaufdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12

Faktorladungen Klasse Bund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13

Faktorladungen Klasse A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

14

Faktor1 vs. Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

15

Faktor2 vs. Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

16

Faktorentwicklung im Zeitablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

17

Faktorladungen der Mehr-Faktor-Modelle des Spreads . . . . . . . . . . . . 103

18

Faktorentwicklung unrestringiert im Zeitablauf . . . . . . . . . . . . . . . . 104

19

Faktorentwicklung restringiert im Zeitablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

20

Termpremium Bund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

21

MinMax Termpremium Bund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

22

CreditPremium AAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

23

CreditPremium A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

24

CreditPremium BBB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

25

Durchschnittliche Restlaufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

26

W¨ochentliche Renditen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

27

W¨ochentliche Renditen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

28

W¨ochentliche Renditen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

XIV 29

ABBILDUNGSVERZEICHNIS Entwicklung IBOXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1

Einleitung

Die Performanceanalyse von Portfolios ist aus theoretischer sowie praktischer Sicht bedeutsam. So betr¨agt das Ende 2006 verwaltete Fondsvolumen 683 Milliarden Euro1 oder 15,1% des gesamten Geldverm¨ogen privater Haushalte.2 Die Messung und Beurteilung der erzielten Ergebnisse dieser Fonds ist f¨ ur eine fundierte Allokationsentscheidung unabdingbar. Im Rahmen der Ergebnismessung schl¨agt sich die Performance zun¨achst in der Wertentwicklung des verwalteten Verm¨ogens nieder. Bei einer Wertung der erzielten Leistung muss jedoch auch das Risiko ber¨ ucksichtigt werden, das mit der gew¨ahlten Portfoliozusammensetzung verbunden ist. W¨ahrend es bei der Berechnung der Rendite ermittelt als Verm¨ogensver¨anderung innerhalb der Evaluationsperiode bezogen auf das Anfangsverm¨ogen wenig Kontroversen gibt, ist das korrekte Risikomaß sowohl in wissenschaftlichen Abhandlungen als auch im praktischen Portfoliomanagement umstritten. Als Risikodefinitionen kommen u.a. das Totalrisko, das nicht weiter diversifizierbare Risiko, Shortfall-Maße oder Ausfallrisiken in Betracht. Ist die Performance mit den Charakteristika realisierte Rendite und Risiko ad¨aquat definiert3 , gilt es, die erfolgreichen Verm¨ogensverwalter gemessen an einer dauerhaft u ¨berdurchschnittlichen Performance zu identifizieren. Aus wissenschaftlicher Sicht ist die Frage einer best¨andig u ¨ber dem Marktdurchschnitt liegenden, risikoadjustierten Rendite eng mit der Informationseffizienz der Kapitalm¨arkte verbunden. Wenn Portfoliomanager auf Dauer eine h¨ohere Performance als der Marktdurchschnitt erzielen k¨onnen, bedeutet dies, dass die M¨arkte nicht informationseffizient sind oder die Portfoliomanager u ¨ber private Informationen verf¨ ugen. Liegen sie auf Dauer unter dem Durchschnitt, so stellt dies den Nutzen der professionellen Verm¨ogensverwaltung in Frage. Wie Sharpe in seinem Artikel u ¨ber die Arithmetik des aktiven Portfoliomanagements zeigt4 , liegt die Wahrheit in der Mitte. ¨ Uber die Gesamtheit der aktiven Investoren gesehen, entpuppt sich das Portfoliomanagement als Nullsummenspiel. Paradoxerweise setzt die Existenz der u ¨berdurchschnittlichen Investoren die Existenz der unterdurchschnittlichen voraus.5 Die Abhandlungen zur Performanceanalyse und zur Beurteilung eines Portfoliomanagers 1

Laut Ver¨offentlichung des Bundesverbandes f¨ ur Investment und Asset Management (BVI) wurden Ende des Jahres 2006 mehr als 683 Milliarden Euro in Wertpapierpublikumsfonds verwaltet. Dazu kommen nochmal mehr als 669 Milliarden Euro in Spezialfonds. Im Jahre 2008 betrug das verwaltete Verm¨ogen der deutschen Investmentbranche mehr als 1,2 Billionen Euro.

2

Vgl. IDW (2008), S.64.

3

Unter einer ad¨aquaten Definition der Performance wird eine solche verstanden, die es den Interessengruppen und Adressaten der Analyse erlaubt, fundierte Entscheidungen im Rahmen ihrer Renditeund Risikovorstellungen zu treffen.

4

Vgl. Sharpe (1991).

5

Sharpe trennt in seinem Artikel f¨ ur einen abgegrenzten Markt die Investoren in aktive und passive ein. Die passiven Investoren erzielen per Definition die durchschnittliche Marktrendite.

J. Daum, Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios, DOI 10.1007/978-3-8349-8885-0_1, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 201

1 EINLEITUNG

2

im Allgemeinen sind zahlreich.6 Eingeschr¨ankt auf den Bereich der Anleihenportfolios ergibt sich ein anderes Bild. Da die theoretisch fundierte Beurteilung von Anleiheportfolios unter Verwendung von Performancemaßen, die auf dem Capital Asset Pricing Model (CAPM)7 beruhen, aufgrund ihres von Aktien verschiedenen Kursverhalten problematisch ist, existieren relativ wenige Untersuchungen zur Evaluation von Anleihenportfolios. ¨ Uberraschend ist dies, da die Rentenfonds in Deutschland zum Ende des Jahres 2008 einen Anteil von knapp 25% am gesamten Volumen der Wertpapierpublikumsfonds haben.8 Bis zur Mitte der neunziger Jahre machten die Rentenfonds gar weit mehr als 50% am verwalteten Verm¨ogen in Publikumsfonds aus. Wie Ferson et.al. (2006) anmerken, werden die Modelle aus dem Fixed-Income-Bereich u ¨berwiegend zur Bewertung von Anleihen und derivativen Finanzinstrumenten nicht aber zur Performancemessung von Anleiheportfolios eingesetzt. Im Aktienbereich dagegen ist die Entwicklung seit den grundlegenden Arbeiten von Markowitz dadurch gepr¨agt, eine Verbindung zwischen der erwarteten Rendite und dem damit verbundenen Risiko herzustellen, was es erlaubt, auf einfache Weise risikoadjustierte Performancemaße zu konstruieren. Ex-post spielt das zur Ertragserzielung eingegangene Risiko f¨ ur den Investor keine Rolle mehr, jedoch ist die Performanceanalyse dennoch mehr als eine reine Renditemessung. Neben der Dekomposition des Portfolios nach verschiedenen Ordnungskriterien zum Zwecke einer detaillierteren Auswertung, identifiziert die Attributionsanalyse die maßgeblichen Erfolgsquellen und liefert somit Anhaltspunkte f¨ ur die Persistenz der Performance. G¨angige Verfahren stellen zur Analyse der Performance eines Portfolios dieses einem ad¨aquaten Alternativportfolio (Benchmark) gegen¨ uber, welches annahmegem¨aß das gleiche Risikoniveau besitzt. Durch diese relative Beurteilung wird die explizite Einbeziehung und Definition eines Risikobegriffes vermieden, was zu einer unvollst¨andigen Analyse f¨ uhren kann. Ein modelltheoretisch fundierter Zusammenhang wie der des CAPM zwischen Rendite und Risiko ist notwendig, um eine ex-ante faire Verg¨ utung f¨ ur das eingegangene Risiko, die risikoadjustierte Rendite, zu bestimmen. Eine solche Relation erm¨oglicht die angemessene Einbeziehung des Risikos in die Methodik der Attributionsanalyse. Diese Tatsache, der in den Urspr¨ ungen der Attribution9 noch Rechnung getragen wurde, wurde im Lau6

Die Performanceanalyse bezieht sich im Weiteren auf das Management von Wertpapieren und Portfolios aus Wertpapieren im engeren Sinne. Andere Aspekte der Performancemessung und -analyse bez¨ uglich Prozessperformance, Mitarbeiterperformance etc. sind nicht Gegenstand der vorliegenden Arbeit.

7

Vgl. Sharpe (1964), Lintner (1965) sowie Mossin (1966). Erlaubt sei die aus Fama/French (2004) u ¨bernommene Bemerkung, dass alle asset pricing Modelle auch capital asset pricing Modelle sind. Das Akronym CAPM ist jedoch in aller Regel und auch in der vorliegenden Arbeit f¨ ur das von den genannten drei Autoren entwickelte Modell reserviert.

8

Hinzu kommen noch die Geldmarktfonds mit einem Marktanteil von mehr als 12% und die gemischten Fonds mit nochmals mehr als 10% Anteil am gesamten verwalteten Fondsvolumen der Publikumsfonds.

9

Vgl. Fama (1972).

1 EINLEITUNG

3

fe der Zeit durch die implizite Transformation des Risikos auf das Benchmarkportfolio verdr¨angt. Die Dekomposition oder die Bestimmung eines ad¨aquaten Alternativportfolios impliziert ¨ regelm¨aßig die Kenntnis der Portfoliozusammensetzung. Uber diesen f¨ ur Verm¨ogensverwalter sensiblen Bereich werden im Gegensatz zur erzielten Rendite selten Daten ver¨offentlicht.10 Die Geheimhaltung bezieht sich auch auf die von den Investmentgesellschaften verwendeten Methoden zur Performanceattribution, die basierend auf einer Zerlegung des Portfolios die erzielten Ertr¨age den Performancetreibern zuordnet.11 In Verbindung mit der Vielschichtigkeit und Individualit¨at des Verm¨ogensverwaltungsprozesses existieren daher keine standardisierten L¨osungen und nur wenige Ver¨offentlichungen insbesondere f¨ ur den Bereich der Attributionsanalyse. Der Beitrag der vorliegenden Studie kann an drei Fragestellungen festgemacht werden. 1. Wie k¨onnen Modelle zur Bewertung von ausfallbehafteten Anleihen zur Risikoadjustierung der Performance von Rentenportfolios verwendet werden? 2. Wie kann die Risikoadjustierung entlang eines Modelles zur Bewertung von riskanten Anleihen mit einem Performancemaß und einer Attributionsanalyse verkn¨ upft werden? 3. Wie kann die Kenntnis der Portfoliogewichte f¨ ur eine in sich geschlossene Performanceattribution genutzt werden? Die vorliegende Arbeit ist unseres Wissens die erste empirische Arbeit, die eine einheitliche Antwort auf die ersten beiden Fragen liefert, d.h. die eine theoriegest¨ utzte risikoadjustierte Perfomanceanalyse von Anleiheportfolios in Verbindung mit einer Attributionsanalyse entwickelt und anwendet. Die Risikoadjustierung fußt auf No-Arbitrage-Modellen. Elementar f¨ ur ihre Durchf¨ uhrung ist die Verwendung detaillierter Informationen u ¨ber die Portfoliozusammensetzung und die Umschichtungen. Als Datengrundlage verf¨ ugen wir u ¨ber die Entwicklung von 11 Fonds. Die einzige uns bekannte, im Ansatz vergleichbare Arbeit ist die von Ferson et.al. (2006). Jedoch beschr¨anken sich Ferson et.al. (2006) auf Staatsanleihen und verf¨ ugen nicht u ¨ber die detaillierte Portfoliozusammensetzung. Gerade letzteres ist eine zentrale Voraussetzung um das einem Portfolio inh¨arente Risiko entlang eines No-Arbitrage-Modells explizit zu messen. Zur Beantwortung und Kl¨arung der Fragestellungen wird in Kapitel 2 die Performanceanalyse in den Prozess der Verm¨ogensverwaltung und des Portfoliomanagement eingeordnet. 10

Nach dem InvG §121ff. sind die Kapitalanlagegesellschaften nur im halbj¨ ahrlichen Rhythmus verpflichtet, eine Fondsaufstellung u offentlichen. ¨ber die aktuelle Gewichtung zu ver¨

11

Bei externen Anbietern von Performanceanalysen wie der Deutschen PerformancemessungsGesellschaft handelt es sich bei den verwendeten Methoden gar um propriet¨ ares Firmen-Know-How.

4

1 EINLEITUNG

Die einzelnen Komponenten werden benannt und gegeneinander abgegrenzt, wobei insbesondere auf die Attributionskomponente eingegangen wird. Die grunds¨atzlichen Verfahren zur Attributionsanalyse und deren Schwierigkeiten werden ausf¨ uhrlich beschrieben und ein Schema zur konsistenten Zerlegung u ¨ber mehrere Perioden hinweg entwickelt. Das Kapitel 3 stellt den Modellrahmen f¨ ur ausfallbehaftete Anleihen nach Duffie/Singleton dar und verkn¨ upft die klassische Performanceanalyse mit einer geeigneten Risikoadjustierung. Dazu widmen wir uns insbesondere den im Modell enthaltenen Risikopr¨amien. Die ber¨ ucksichtigten Risikopr¨amien erlauben die Bestimmung der geforderten risikoadjustierten Rendite, welche als Vergleichsgr¨oße der erzielten Rendite gegen¨ ubergestellt werden kann. Der empirische Teil beginnt in Kapitel 4. Auf Basis der in Kapitel 3 gelegten Grundlagen werden mit Hilfe des Kalman-Filters die Parameter der Zins- und Spreadprozesse in Form von Quadratwurzelprozessen gesch¨atzt. Eine vorgeschaltete Zinsstrukturkurvensch¨atzung erlaubt weitergehende Auswertungen zur Motivation der angedachten Attributionskomponenten, zur Zins- und Spreadentwicklung im Analysezeitraum und die Anwendung der linearen Version des Kalman-Filters. Die zur Sch¨atzung verwendeten Daten werden ebenfalls in Kapitel 4 dargestellt. Das Kapitel 5 setzt sich mit den zur Verf¨ ugung stehenden ¨ Portfolios auseinander. Ubersichtlich werden die auf den in den vorhergehenden Kapiteln gelegten Grundlagen ermittelten Ergebnisse einander gegen¨ ubergestellt und ausgewertet. Kapitel 6 beschließt die Arbeit mit einem Fazit und einem Ausblick.

2

Die Performanceanalyse im Umfeld der Vermo ¨gensverwaltung

Im Februar 2005 hat das Board of Governors des CFA Institute die Aktualisierung der Global Investment Performance Standards (GIPS) verabschiedet12 . Die Rechtfertigung f¨ ur eine derartige Standardisierung leitet das International Performance Council 13 (IPC) aus der Globalisierung der Verm¨ogensverwaltung, gef¨ordert durch die Deregulierung an nationalen M¨arkten, und aus dem exponentiellen Wachstum der verwalteten Verm¨ogenswerte14 ab. Als Folge der Standardisierung soll sich ein internationales angeglichenes Umfeld f¨ ur die gesamte Branche ergeben, von welchem beide Seiten (Anleger und Verm¨ogensverwalter) profitieren. Die GIPS verstehen sich als ethische Standards zur Pr¨asentation von Investmentergebnissen, um eine faire und vollst¨andige Darstellung der Performance15 einer Anlage zu gew¨ahrleisten. Dazu schr¨anken sie die individuelle Freiheit bei der Anwendung verschiedener Bewertungs- und Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Anlageergebnisse ein und geben Richtlinien f¨ ur die Pr¨asentation derselben sowie f¨ ur die Aufbereitung der zugrunde liegenden Daten vor. Trotz allem bleibt die Darstellung der Ergebnisse der Performanceanalyse nur ein Baustein im komplexen Asset Management Prozess.16 Als integraler Bestandteil desselben dient die Performanceanalyse einerseits der Messung und Kontrolle des Anlageerfolges, andererseits stellt sie die Basis f¨ ur organisatorische und personalpolitische Entscheidungen dar.17 Im vorliegenden Kapitel erfolgt die Einordnung der Performanceanalyse in den Prozess des Asset Managements und die Darstellung ihrer Bestandteile. Hervorzuheben ist dabei die Performanceattribution als Grundlage f¨ ur die Generierung entscheidungsre12

Vgl. CFA (2005). In Deutschland werden die von der Deutschen Vereinigung f¨ ur Finanzanalyse und Asset Management (DVFA) herausgegebenen Performance Presentation Standards (PPS) durch die GIPS abgel¨ost.

13

Zum Investment Performance www.cfainstitute.org.

14

Laut einer Ver¨offentlichung des Investment Company Institute (ICI (2007)) stiegen die verwalteten Verm¨ogen in den Vereinigten Staaten von Amerika von 4.489.700 Mio. USD Ende des Jahres 1997 auf 10.413.620 Mio. USD zum Ende des Jahres 2006. In Deutschland betrug das Fondsverm¨ ogen zum Ende des Jahres 2006 1.454.800 Mio Euro. Dies entspricht einer Verdreifachung seit dem Jahre 1996. Vgl. BVI (2007).

15

Es liegt die klassische Sicht des Performancebegriffes mit den Dimensionen Rendite und Risiko zu Grunde. Somit beinhaltet der Begriff Performanceanalyse sowohl eine Analyse der erzielten Rendite als auch eine Analyse bzw. eine Einbeziehung des eingegangenen Risikos.

16

Die Erkenntnis, dass die Aktivit¨ aten rund um das Management von Investments als vielschichtiger Prozess zu betrachten sind, findet sich in der Literatur u.a. bei Maginn/Tuttle (1990), Fischer (2001) oder Kleeberg/Rehkugler (2002). Der folgende erste Abschnitt vertieft diesen Gedanken.

17

Vgl. Wittrock (1995), S. 11.

Council

siehe

die

Statuten

des

J. Daum, Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios, DOI 10.1007/978-3-8349-8885-0_2, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 201

CFA

Institutes

unter

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

6

Abbildung 1: Prozesskomponenten der Verm¨ ogensverwaltung. levanter Informationen. Die M¨oglichkeiten, eine Risikoadjustierung zu integrieren, werden ebenfalls er¨ortert. Das Kapitel schließt mit der Darstellung eines Attributionsverfahrens.

2.1

Der Prozess der Verm¨ ogensverwaltung

In der englischsprachigen Literatur werden f¨ ur den Prozess der Verm¨ogensverwaltung unter anderem die Begriffe investment process, investment decision process, portfolio management process und asset management process verwendet. Eine exakte Abgrenzung gestaltet sich schwierig, da je nach Quelle eine eigenst¨andige Interpretation der Begriffe verwendet wird. Unternimmt man einen Versuch, so l¨asst sich der investment process vom portfolio management process trennen, wobei bei letzterem der Portfoliokontext explizit mitber¨ ucksichtigt wird.18 Der Begriff des asset management process ist in aller Regel der am weitesten gefasste. Er steht als Oberbegriff f¨ ur den investment process und den portfolio management process. In der weiteren Abhandlung wird der Begriff des Verm¨ogensverwaltungsprozesses (asset management process) verwendet, um die Gesamtheit aller Aktivit¨aten rund um das Management von Portfolien zu beschreiben. Fischer (2001) spricht hier vom Produktionsprozeß der Verm¨ogensverwaltung. Die Abbildung 1 zeigt die wichtigsten Komponenten und deren Interdependenzen in der 18

Vgl. Maginn/Tuttle (1990) , S. 1-2: In fact, portfolio theory has broadened the concept of investment ” management to that of portfolio management.“

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

7

Verm¨ogensverwaltung auf.19 In der Praxis werden durchaus nicht alle Komponenten von einer Kapitalanlagegesellschaft oder von einem Verm¨ogensverwalter wahrgenommen, sondern k¨onnen auf mehrere rechtlich selbst¨andige, organisatorische Einheiten verteilt sein.20 Je nach Gr¨oße des Verm¨ogensverwalters k¨onnen in der Abbildung separat dargestellte Komponenten zusammengelegt sein bzw. komplett entfallen. Stellt man speziell auf die Managementaktivit¨aten rund um das Investment ab, wird vom Portfolio-Management Prozess gesprochen. In der Abbildung bringt die gestrichelte Umrandung diese Abgrenzung zum Ausdruck. Eine umfassende Definition f¨ ur den Portfoliomanagementprozess findet sich in Kleeberg/Rehkugler (2002): Portfoliomanagement ist ” damit weit mehr als ein einfacher und einmaliger Akt der Asset Allocation, also der Auswahl und Kombination von Anlageformen zur Maximierung des Anlegernutzens. Vielmehr ist das Portfoliomanagement als ein komplexer, kontinuierlicher, systematischer Prozess zu verstehen, der alle mit der Kapitalanlageentscheidung verbundenen Teilaufgaben und Fragestellungen umfasst, f¨ ur deren Bew¨altigung beileibe keine festgef¨ ugten und einheitlichen theoretischen und empirisch fundierten Modelle verf¨ ugbar sind.“ 21 Der Prozess umfasst die Schritte Planung, Realisierung sowie Kontrolle und R¨ uckkopplung mit dem Ziel einen optimalen Trade-off zwischen Rendite und Risiko unter den gegebenen Nebenbedingungen zu erreichen.22 Die an Dichtl (2001) angelehnte Abbildung 223 stellt die einzelnen Phasen des Portfoliomanagementprozesses in ihrer Abfolge dar. Die Planung umfasst die implizite oder explizite Ermittlung der Ziele, Pr¨aferenzen, Risikoneigung und Restriktionen des Anlegers und darauf aufbauend die Formulierung eines Anlagekonzeptes. Unterst¨ utzt wird die Erstellung des Anlagekonzeptes durch Finanzanalysen auf volkswirtschaftlicher, branchenspezifischer und unternehmensindividueller Ebene. Die Verm¨ogensverwaltungsanalyse ist optional. Sie erfolgt immer dann, wenn das Portfoliomanagement extern vorgenommen werden soll und es somit einer Evaluation der in Betracht gezogenen Verm¨ogensverwaltungsgesellschaften bzw. Verm¨ogensverwalter u ¨ber die Performanceanalyse hinaus bedarf. Die grundlegenden Entscheidungen die in diesem Prozesschritt getroffen werden, spiegeln die gew¨ unschte Positionierung des Anlegers bez¨ uglich einzelner Asset- und Risikoklassen 19

Die Abbildung ist an Fischer (2001), S.3 angelehnt.

20

F¨ ur deutschem Recht unterliegenden Kapitalanlagegesellschaften (KAGs) regelt das Investmentgesetz (InvG), welche Aufgaben intern erf¨ ullt werden k¨ onnen/m¨ ussen und welche extern, an kooperierende Gesellschaften vergeben werden k¨ onnen/m¨ ussen. Zur Legaldefinition einer KAG, eines Investmentfonds sowie des Anwendungsbereiches des Gesetzes vgl. InvG §1-2.

21

Vgl. Rehkugler (2002), S. 3.

22

Eine besondere Betonung des Risikomanagementaspektes findet sich in der Aussage, dass es in erster Linie auf die Beherrschung der relevanten Risiken und erst in zweiter Linie auf die Generierung von zus¨atzlichem, d.h. u ur das eingegangene Risiko erwarteten, Return ankommt. Vgl. ¨ber dem f¨ Spaulding (2003), S. 54.

23

Vgl. Dichtl (2001), S. 16.

8

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

Abbildung 2: Prozess des Portfoliomanagement. wider und pr¨agen in Verbindung mit weiteren Anlagerestriktionen die Wahl eines Benchmarks24 bzw. eines Vergleichmaßstabes zur sp¨ateren Kontrolle des Anlageerfolges. Auf der Grundlage des Anlagekonzeptes wird im Rahmen der Portfoliobildung die Strategie bestm¨oglich implementiert und im Zeitablauf entsprechend angepasst.25 Dies f¨ uhrt je nach Anlagestil zu mehr oder weniger h¨aufigen Portfoliorevisionen bzw. Portfolioumschichtungen. Aufgrund der Bedeutung der verschiedenen Anlagestile bzw. Investmentstile f¨ ur die Beurteilung der Performance, ist ein kurzer Exkurs angebracht. Die Ans¨atze zur Erreichung des Anlageerfolges unter den zu beachtenden Restriktionen im Management von Portfolien reichen von den hier weiter ausgef¨ uhrten, quantitativen Ans¨atzen bis zu den eher traditionellen Methoden der Finanzanalyse.26 Die quantitativen Ans¨atze 24

Die Thematik der ad¨ aquaten Wahl eines Benchmarks und der angenommenen Risiko¨ aquivalenz zum eigentlichen Portfolio wird in Abschnitt 2.4 aufgegriffen. Ohne diesem Abschnitt vorzugreifen, wird unter einem Benchmark ein zu dem zu evaluierenden Portfolio als zul¨ assig angesehenes Alternativportfolio verstanden. Vgl. dazu Paape (2001), S. 9.

25

Die bestm¨ogliche Umsetzung schliesst die Effizienz des eigentlichen Wertpapierhandels mit den Parametern Transaktionskosten und Transaktionkursen ein, welche ggf. einen großen Einfluss auf den Anlageerfolg haben kann. Gehen die Erwartungen an den Wertpapierhandel u ¨ber eine effiziente Orderausf¨ uhrung hinaus und wird ein eigenst¨ andiger Performancebeitrag erwartet, so sind Vereinbarungen u ¨ber einzugehende Risiken zu treffen. In der vorliegenden Arbeit wird auf den Handel als eigenst¨andige Einheit nicht weiter eingegangen.

26

Die quantitativen Ans¨ atze basieren auf der modernen Portfoliotheorie und bedienen sich theoretischer Bewertungsmodelle. Zu den traditionellen Methoden z¨ ahlen auf fundamental ¨ okonomischen Analysen basierende Methoden wie beispielsweise Value- und Growth-Investmentstile. Vgl. dazu Fischer (2001), S.4-7. Zur Identifikation dieser Investmentstile vgl. die viel beachtete Arbeit von Sharpe (1992).

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

9

werden in aller Regel in ein aktives und ein passives Management unterteilt. Letzteres baut auf der Hypothese auf, dass Finanzm¨arkte informationseffizient sind, und somit alle verf¨ ugbaren, preisbeeinflussenden Informationen sofort in den Preisen der gehandelten Instrumente reflektiert werden.27 Konsequenterweise m¨ undet der Versuch, den Markt zu schlagen, nur in h¨oheren Informationsbeschaffungs- und Transaktionskosten ohne Aussicht auf eine Erh¨ohung der Rendite. Generell f¨ uhrt dies zu Index-Replizierungs- oder IndexTracking-28 Strategien bei gleichzeitiger Minimierung der Transaktionskosten. Zus¨atzlich fallen unter den passiven Managementansatz auch die Strategien der Portfolio Insurance29 , da auch hier kein aktiver Versuch unternommen wird, den Vergleichsmaßstab bzw. den Markt zu u ¨bertreffen. Insgesamt sind die passiven Strategien dadurch gekennzeichnet, dass sie den Markt nach- bzw. abbilden, ohne seine zuk¨ unftige Entwicklung zum Zwecke eines Mehrertrages vorauszusagen. Empirische Beobachtungen von Kapitalm¨arkten zeigen, dass die Informationseffizienz nicht immer gegeben ist bzw. die Kapitalm¨arkte nur hinsichtlich o¨ffentlich bekannter Informationen30 effizient sind. Die Preise ben¨otigen in aller Regel einige Zeit, bis sie neue Informationen vollst¨andig reflektieren.31 Somit versuchen die aktiven Managementans¨atze private Informationen zur Ertragssteigerung zu nutzen. Die dazu notwendige Informationsbeschaffung32 sowie die notwendigen Transaktionen verursachen ein mehr an Kosten in Relation zu passiven Managementans¨atzen, und werden nur dann unternommen, falls sich die Informationsbeschaffung netto in h¨oheren Renditen niederschl¨agt. Auch von finanzmarkttheoretischer Seite wird der Wert aktiver Informationsverarbeitung anerkannt. Die Effizienz der Kapitalm¨arkte ist eine Folge des Bem¨ uhens von Marktteilnehmern den (vermeintlichen) Informationsvorteil auszun¨ utzen. Von alleine stellt sich die Informati-

27

Zur Informationseffizienz von Kapitalm¨ arkten und deren unterschiedliche Auspr¨ agung vgl. Fama (1970). Gelegentlich wird die Effizienz von M¨ arkten auch unterteilt in operationale Effizienz, Informationseffizienz und Bewertungseffizienz. Vgl. dazu Garz et.al. (2004), S. 79ff und zu einer ¨ ahnlichen Unterteilung Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 85ff.

28

Index-Tracking stellt den Versuch dar, einen vorgegebene Benchmark mit m¨ oglichst wenigen Wertpapieren nachzubilden, ohne einen vorgegebenen Trackingerror zu u ¨berschreiten. Der Trackingerror ist definiert als die Standardabweichung der Differenz aus Portfolio- und Benchmarkrendite. Vgl. zur Definition des Passive Investing auch Lo (2007).

29

Unter Portfolio Insurance wird die Absicherung des Portfolios dergestalt verstanden, dass gegen Verzicht auf einen Teil der Rendite das Absinken des Portfoliowertes unter ein festgelegtes Niveau vermieden wird.

30

Die privaten Informationen sind im Gegensatz zu den ¨ offentlichen Informationen noch nicht in den Preisen reflektiert.

31

Die Ans¨atze des Behavioral Finance stellen aufgrund empirischer Beobachtungen von extremen Ereignissen wie z.B. das Platzen der Kursblase“ des neuen Marktes in Deutschland die Informations” verarbeitung der M¨arkte, wie es die Theorie der rationalen Erwartungen impliziert, in Frage. Vgl. zu einer kurzen Diskussion dieses Ansatzes Garz et.al. (2004), S. 127ff.

32

Hier kommen die erw¨ ahnten Bewertungsmodelle zum Einsatz, um sogenannte Fehlbewertungen“ zu ” erkennen.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

10

onseffizienz in den M¨arkten nicht ein.33 Somit ist es selbst unter o¨konomischen Gleichgewichts¨ uberlegungen m¨oglich, mit Hilfe von zus¨atzlichen Informationen, welche Kosten bei der Beschaffung nach sich ziehen, h¨ohere Bruttorenditen als der Durchschnitt zu verdienen.34 In der Nettobetrachtung ist es jedoch mit aktivem Management nicht m¨oglich, dauerhaft h¨ohere adjustierte Renditen zu erwirtschaften, ohne die Gleichgewichtsbeziehungen zu verletzen. Insgesamt zeigt Sharpe (1991), dass die Performance der aktiven und passiven Investoren ein Nullsummenspiel ist. Sharpe trennt in seinem Artikel f¨ ur einen abgegrenzten Markt die Investoren in aktive und passive ein. Die passiven Investoren erzielen per Definition die durchschnittliche Marktrendite. Nur die H¨alfte der aktiven Investoren kann im Durchschnitt erfolgreich sein. Somit kommt der Kontrolle der Zielerreichung in der dritten und letzten Phase des Portfoliomanagementprozesses im Rahmen der Performanceanalyse eine große Bedeutung zu. Da der Anlagehorizont in einer Vielzahl der F¨alle mehr als eine Periode umfasst, ist die Performanceanalyse eng mit der Phase der Portfoliorevision u ¨ber die R¨ uckkopplung verzahnt und beeinflusst direkt die Umsetzung des Anlagekonzeptes.35

2.2

Die Performanceanalyse und ihre Komponenten

Die Ausgestaltung und der Umfang der im vorangegangen Abschnitt dargestellten Prozessschritte verbleiben bei dem jeweiligen Portfoliomanager bzw. der jeweiligen Verm¨ogensverwaltungsgesellschaft und orientieren sich - soweit vorhanden - an nationalen oder internationalen Standards bzw. der vorherrschenden Gesetzgebung. Zu konstatieren ist jedoch, dass ein Portfoliomanager gew¨ohnlich nicht daran gemessen wird, wie er den Ablauf des Verm¨ogensverwaltungsprozesses gestaltet, sondern welchen Anlageerfolg er generiert.36 An dieser sowohl f¨ ur interne als auch externe Adressaten interessanten Stelle kn¨ upft die Performanceanalyse an. Als wichtigste Ziele werden regelm¨aßig die folgenden 33

Vgl. Grossman/Stiglitz (1980).

34

Jensen (1978) definiert denn auch die Markteffizienz dergestalt, dass es auf bez¨ uglich einer Informa¨ tionsmenge effizienten M¨ arkten nicht m¨ oglich ist, eine Uberrendite zu erzielen, sofern man auf Basis ¨ dieser Informationsmenge handelt. Unter Uberrendite wird die risikoadjustierte Rendite abz¨ uglich aller Kosten verstanden. Im Gegensatz zur Informationseffizienz nach Fama, welche direkt auf die Preise der Instrumente zielt, steht in der Definition nach Jensen die Performanceerzielung im Vordergrund.

35

Darstellungen zum organisatorischen Aufbau bzw. Ablauf des Portfoliomanagementprozesses finden sich u.a. auch in Pieper (2002). Explizit als Kreislauf dargestellt wird der Investmentprozess u.a. in Lord (1997) und Wittrock (1995).

36

Aus aufsichtsrechtlicher Sicht wird man diesen Standpunkt nat¨ urlich nicht vertreten, da z.B. in §16 InvG Richtlinien f¨ ur den organisatorischen Aufbau vorgegeben werden. Zudem ist es denkbar, bei der Auswahl einer Verm¨ogensverwaltung, neben der reinen Performanceanalyse basierend auf erzielten Ergebnissen, auch die Gestaltung des Prozess hinsichtlich Aufbau und Ablauf sowie die Qualifikation des eingesetzten Personals zu evaluieren. Eine derartige qualitative Beurteilung kann durchaus zur Wertung und Interpretation der quantitativen Analyse beitragen.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

11

drei genannt.37 • Messung, Analyse und Kontrolle • Entwicklung von anreizkompatiblen Entlohnungsstrukturen • Hilfe bei der Informationssuche und Formulierung der Anlagepolitik als auch Basis organisatorischer und personalpolitischer Entscheidung Ziel der Performanceanalyse ist es, neben der reinen Messung der Performance, welche eine Aussage u usse¨ber den grunds¨atzlichen Erfolg oder Misserfolg erlaubt, eine Aufschl¨ lung des Ergebnisses (Dekomposition) und eine Identifikation der maßgeblichen Faktoren (Attribution). Die Attribution unterscheidet sich von der Portfoliodekomposition durch eine Fokussierung auf Einflussfaktoren, welche im Portfoliomanagementprozess der Entscheidungsgewalt des Managers unterliegen.38 Je nachdem auf welche Datengrundlage zur Erf¨ ullung des Informationszweckes zur¨ uckgegriffen werden kann, unterscheidet man nach interner oder externer Performanceanalyse.39 Gelegentlich wird diese Unterscheidung auch an den Adressaten der Analyse festgemacht, ob diese interner Natur (z.B. Controlling, Portfoliomanagement) oder externer Natur (z.B. Kunden, potentielle Investoren) sind.40 Wie die erprobten Methoden zeigen, besteht der entscheidende Unterschied, ob die Struktur des Portfolios bekannt ist und damit verwendet werden kann oder nicht. Die Messung des Erfolges der im Rahmen der Portfoliodekomposition festgelegten Bereiche und die Attribution zu ihren Einflussfaktoren verk¨orpert den ex post Charakter der Performanceanalyse. Da die Attribution einen Einblick in die zu Grunde liegenden Performancetreiber er¨offnet, kann sie aber auch ex ante41 zur Umsetzung und Revision des Anlagekonzeptes dienen.42 Wichtiger als die einmalige Evaluation der Performance ist es oft, die Best¨andigkeit derselben festzustellen.43 Zur Trennung zwischen Gl¨ uck und K¨onnen eines Portfoliomanagers 37

Vgl. B¨ uhler (1994), S. 15 ff., Wittrock (1995), S. 11 und Zimmermann (1992), Abschnitt 7.

38

Eine derartige, dreistufige Definition der Performanceanalyse findet sich u.a. bei Paape (2001), Kapitel 2 und Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 491ff.

39

Vgl. Obeid (2003), S. 163.

40

Wittrock (1995), S. 14f.

41

Vgl. die oben erw¨ahnte Prozessdefinition aus Kleeberg/Rehkugler (2002).

42

Zur Integration der Performanceanalyse als Steuerungsinstrument in den Prozess des Portfoliomanagements vgl. Wolfert (2003).

43

Zu den Fragen der Best¨ andigkeit der Performance (performance persistence) existieren viele Studien. In aller Regel ist die Frage eng mit der Informationseffizienz von M¨ arkten verbunden und hebt nicht auf die Ursachen der Performance wie die Attributionsanalyse ab, sondern darauf, ob es grunds¨ atzlich ¨ ¨ unter der Annahme effizienter M¨ arkte m¨ oglich ist, eine Uberperformance zu erzielen. Eine Ubersicht dazu liefern Amenc/Le Sourd (2003), S. 17f.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

12

bedarf es mehr als einer Beobachtung, da die erzielten Renditen Auspr¨agungen einer Zufallsvariablen sind.44 Ein kleines Beispiel kann dies erl¨autern: Nimmt man an, dass ein ¨ normaler“ Portfoliomanager mit 50% Wahrscheinlichkeit eine Uberperformance erzielt, ” ¨ dann betr¨agt die Wahrscheinlichkeit einer Uberperformance desselben Manager in neun von zehn aufeinanderfolgenden Jahren ca. 0,01%. Diese geringe Wahrscheinlichkeit erlaubt den Schluss, dass dieser Manager u ¨ber dem Durchschnitt liegende F¨ahigkeiten besitzt. Neben der mehrmaligen Performancemessung u ¨ber einen statistisch signifikanten Zeitraum leistet gerade die Attribution einen entscheidenden Beitrag. Sie beantwortet die ¨ Frage, ob eine u immer dieselben ¨ber mehrere Jahre hinweg auftretende Uberperformance Ursachen hat, oder ob sie durch jeweils verschiedene Performancetreiber verursacht ist. Zur Differenzierung von Gl¨ uck und K¨onnen kann auch die oben erw¨ahnte qualitative Performanceanalyse einen Beitrag leisten. Demonstriert ein Portfoliomanager eine disziplinierte Umsetzung eines plausiblen Managementansatzes, spricht einiges f¨ ur eine Wiederholung seiner Performance. Trotz der Sinnhaftigkeit und Notwendigkeit zus¨atzliche Kriterien heranzuziehen, stehen in der vorliegenden Arbeit die quantitativen Analysen im Vordergrund. Ein kurzer, historischer Literatur¨ uberblick u ¨ber die Entwicklung der Performanceanalyse versehen mit den wichtigsten Schlagworten ist im Anhang A zusammengestellt. 2.2.1

Die Portfoliodekomposition

Die Portfoliodekomposition als erster Schritt ist insofern unabdingbar, als sie es erlaubt, die Vergleichbarkeit der Anlageergebnisse nicht nur auf Gesamtperformanceebene herzustellen. Der Detaillierungsgrad der Auswertungen sowie der m¨oglichen Aussagen bez¨ uglich der Performancetreiber wird durch die Portfoliodekomposition festgelegt. Wie bei der Darstellung ausgew¨ahlter Attributionsverfahren noch deutlich wird, sind die abgeleiteten Aussagen immer abh¨angig von der jeweils gew¨ahlten Zerlegung. Eine alternative Zerlegung bzw. eine aggregierte Betrachtung auf u uhrt unter Umst¨anden zu ¨bergeordneten Stufen f¨ anderen Schl¨ ussen aus den Attributionskomponenten. Die Portfoliodekomposition identifiziert Einflussfaktoren auf das Ergebnis des Anleihenportfolios. Die Auswirkungen auf das Ergebnis des Portfolios liegen jedoch nicht notwendigerweise im Entscheidungsbereich des Managers. So ist es denkbar, dass eine Allokation bez¨ uglich verschiedener W¨ahrungsr¨aume durch die Anlagebedingungen bzw. Vereinbarungen mit dem Investor fest vorgegeben ist, und somit der Manager nicht an g¨ unstigen W¨ahrungsentwicklungen partizipieren bzw. ung¨ unstige W¨ahrungsentwicklungen abwenden kann.45 Damit ist die Portfoliodekomposition nicht geeignet, Managerf¨ahigkeiten zu 44

Vgl. Grinblatt (1986), S. 9f.

45

An dieser Stelle wird von Absicherungsgesch¨ aften etc. abstrahiert.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

13

beurteilen. Die nachgelagerte Performanceattribution definiert dies gerade als eines ihrer Ziele und stellt auf die Faktoren ab, auf deren Auswirkungen der Portfoliomanager durch seine Entscheidungen reagieren kann. Grunds¨atzlich l¨asst sich ein Portfolio entlang inhaltlicher oder organisatorischer Ordnungskriterien zerlegen. Entscheidend f¨ ur eine strukturierte Zerlegung sind die Eindeutig¨ keit, die Vollst¨andigkeit, die Nachvollziehbarkeit und die Ubersichtlichkeit der Zuordnung. Festzuhalten ist, dass jedwede Unterteilung sehr individuell von der Verwaltungs- und Organisationsstruktur des zu analysierenden Portfolios abh¨angt.46 Denkbare inhaltliche Kriterien zur Unterteilung sind in folgender, nicht abschließender Aufz¨ahlung aufgef¨ uhrt. • Assetklassen (Aktien, Renten, Geldmarktpapiere) • Regionen bzw. L¨ander • W¨ahrung • Branchen • Firmengr¨oße • Rating W¨ahrend die inhaltlichen Kriterien in erster Linie eine Aussenwirkung (an externe Adressaten) entfalten, zielen die organisatorischen Kriterien auf das interne Controlling ab, da strenger nach Verantwortlichkeiten zerlegt wird. Unabh¨angig davon, ob eine inhaltliche oder organisatorische Dekomposition gew¨ahlt wird, m¨ ussen Daten zur Performancemessung und -attribution der jeweiligen Zerlegungseinheit verf¨ ugbar sein.47 2.2.2

Die Performancemessung

Die Performancemessung muss zwei Aufgaben bew¨altigen.48 Erstens muss sie in konsistenter Weise den Anlageerfolg bestimmen.49 Diese scheinbar triviale Aufgabe bekommt 46

Vgl. dazu Paape (2001), Kapitel 2.

47

Ausgehend von Standardanalysen, welche auf den Bestands- und Umsatzdaten der Portfolien operieren, ben¨otigen weitergehende Auswertungen zum Beispiel f¨ ur die Bewertung von Absicherungsgesch¨aften zus¨atzliche Informationen. Einerseits m¨ ussen diese Informationen vorliegen und andererseits sinnvoll mit den zugrundeliegenden Instrumenten verkn¨ upft werden.

48

Je nach Anlagezielsetzung beziehen Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003) die Liquidit¨ at als dritten Aspekt mit ein. Bei Wertpapierportfolios kann allerdings davon ausgegangen werden, dass sie z.B. im Gegensatz zu Anlagen in Immobilien, relativ liquide sind und daher die Liquidit¨ at bei der Performanceanalyse eine untergeordnete Rolle spielt bzw. nicht ber¨ ucksichtig wird. Vgl. ebenda, S. 1f.

49

Dazu passend definiert Paape (2001) die Performance eines Investmentportfolios als die f¨ ur dieses Portfolio f¨ ur eine festgelegte Periode, nach bestimmten Richtlinien ermittelte Gesamt-rendite. Allerdings hebt Paape (2001) damit nur auf einen Aspekt der Performance ab.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

14

eine andere Dimension hinsichtlich Exaktheit der Renditeermittlung, Zeitpunkt der Datenerhebung, Datenvolumen als auch Rechenkapazit¨at, wenn man exogene Mittelbewegungen50 u ¨ber mehrere Perioden hinweg miteinbezieht, welche teilweise vom Management zu verantworten sind. Die Basis jeglicher mehrperiodiger Renditebestimmung stellt der einperiodige Verm¨ogensvergleich dar.

51

Sind innerperiodig keine Mittelzu- und ab߬ usse

erfolgt, dann ergibt sich die (diskret ermittelte) Periodenrendite Rt der Periode t unter Verwendung der Anfangs- und Endverm¨ogen It bzw. It+1 zu

Rt =

It+1 − It It+1 = − 1. It It

(1)

F¨ ur einen mehrperiodigen Zeitraum wird die zugeh¨orige Rendite mit Hilfe der zeitgewichteten Methode ermittelt, sofern die Mittelverschiebungen nicht durch den Verm¨ogensverwalter zu verantworten sind, was regelm¨aßig bei Publikumsfonds der Fall ist.52 Hierbei erfolgt eine Berechnung der Rendite zu jedem Zeitpunkt einer Mittelbewegung mit anschließender multiplikativer Verkn¨ upfung. Dies setzt die Bewertung des Portfolios zu jedem Zeitpunkt einer Mittelbewegung voraus. Sollte dies nicht m¨oglich sein, kommen N¨aherungsverfahren wie die modifizierte Dietz-Methode53 zum Einsatz, welche auch von den GIPS empfohlen wird.54 Den zweiten Aspekt der Performance stellt das zum Erreichen des Anlageerfolges eingegangene Risiko dar.55 Im Allgemeinen gilt, dass ex ante eine h¨ohere Rendite nur dann erwartet werden kann, wenn auch ein h¨oheres Risiko eingegangen wird. Eine erste Form ¨ der Einbeziehung des Risikos besteht darin, die Performance als Uberschuss der erziel50

Der Begriff der Mittelbewegung beinhaltet nicht nur Zu- und Abfl¨ usse durch Anleger, sondern umfasst auch Aussch¨ uttungen, Dividendenzufl¨ usse etc. bis hin zu Umschichtungen innerhalb der verschiedenen Assetklassen oder Sektoren des Portfolio.

51

Dar¨ uberhinausgehende Herangehensweisen und Konventionen zur Berechnung der Rendite innerhalb einer praktischen Anwendung werden in Kapitel 5 diskutiert. Hier steht das Begriffspaar Rendite und Risiko als sich einander bedingende Aspekte der Performance im Vordergrund.

52

Alternativ dazu existiert die Methode des internen Zinssatzes im Englischen auch als money-weightedrate-of-return bezeichnet. Bei der Berechnung des internen Zinssatzes gehen die exogenen Mittelbewegungen in entscheidender Form in die Bestimmungsgleichung ein, wohingegen bei der zeitgewichteten Methode von den Mittelbewegungen abstrahiert wird.

53

Die modifizierte Dietz-Methode berechnet die Rendite als Quotient aus dem Nettowertzuwachs zum durchschnittlich eingesetzten Kapital innerhalb der jeweiligen Berechnungsmethode. Fischer (2001) spricht daher auch von der Interpretation als Durchschnittsverzinsung und nicht als zeitgewichtete Rendite, welche durch das Verfahren angen¨ ahert werden soll.

54

¨ Weitere detaillierte Ubersichten zum Komplex der Renditeberechnung finden sich u.a. in Wittrock (1995), Bacon (2004), Colin (2005).

55

Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 2. Dort wird die Performance als risikoadjustierte Rendite definiert. Dazu passend fordert das European Investment Performance Committee in seinem Fragebogen zur Attributionsanalyse eine Zerlegung der Performance in die Komponenten Rendite und Risiko. Vgl. ebenfalls dazu Zimmermann (1991), S. 164.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

15

ten Anlagerendite u ¨ber eine vergleichbare, ad¨aquate Benchmarkrendite zu definieren. Der Benchmark gibt das Risikoniveau vor und der Renditevergleich geschieht unter der Fiktion der Risiko¨aquivalenz des zu evaluierenden Portfolios. Neben dieser summarischen Ber¨ ucksichtigung des Risikos kann das Risiko durch eines der g¨angigen Maße wie die Standardabweichung oder Varianz56 in die Berechnung einbezogen werden. Eine weitere, wichtige M¨oglichkeit der Ber¨ ucksichtigung des Risikos basiert auf kapitalmarkttheoretischen Modellen. Mit dem in den Modellen hergestellten systematischen Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko kann eine risikoadjustierte Rendite bestimmt werden bzw. die erwartete Rendite u ¨ber das Risiko normalisiert werden. Wichtige Modelle, auf welchen auch die Mehrzahl der risikoadjustierten Performancemaße fußen, sind das Capital Asset Pricing Model (CAPM) und die Arbitrage Pricing Theory 58

(APT).

57

59

Die bekanntesten Performancemaße , die auf dem CAPM beruhen, sind die

Sharpe-Ratio60 , die Treynor-Ratio61 und das Jensen-Alpha.62 Das CAPM baut auf der Portfoliotheorie nach Markowitz (1959) auf, und erweitert sie um die Frage, welches das relevante Risikomaß f¨ ur einzelne Instrumente im Rahmen eines vollst¨andig diversifizierten Portfolios ist. Auf dieser Grundlage versucht es zu erkl¨aren, wie ¨ risikobehaftete Anlagem¨oglichkeiten am Kapitalmarkt bewertet werden. Uber das Modell der Wertpapiermarktlinie stellt das CAPM eine positive, lineare Abh¨angigkeit der zu er˜ i ) eines gehandelten Instruments von nur einer Risikoeinflussgr¨oße wartenden Rendite E(R her.   ˜ M ) − Rf E(R ˜i; R ˜ ˜M ) = Cov(R E(Ri ) = Rf + 2 σM   ˜ M ) − Rf βi = Rf + E(R

(2)

˜ M ) des Marktportfolios M und Der Unterschied zwischen der erwarteten Rendite E(R

56

Je nach Verteilung der realisierten Renditen sind andere Konzepte wie Shortfallmaße geeigneter als die Varianz.

57

Vgl. Ross (1976).

58

¨ Ubersichtlich und ausf¨ uhrlich dargestellt sind die Modelle inklusive der genannten sowie weiterer Performancemaße u.a. in Haugen (2001), Copeland/Weston/Shastri (2004) und Sharpe et.al (1999). Daher wird auf eine detaillierte Herleitung im Rahmen der vorliegenden Arbeit verzichtet.

59

Zu einer ausf¨ uhrlichen Darstellung weiterer Performancemaße vgl. u.a. Wittrock (1995), Fischer (2001), Obeid (2003) und Bacon (2004).

60

Vgl. Sharpe (1966).

61

Vgl. Treynor (1965).

62

Vgl. Jensen (1968).

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

16

dem risikolosen Zinsatz Rf beziffert die Risikopr¨amie63 . Der Koeffizient βi , bestimmt als Quotient aus dem Risikobeitrag des Wertpapieres zum Marktportfolio und der Varianz des Marktportfolios, bezieht sich ausschließlich auf das nicht weiter reduzierbare Risiko im Portfoliozusammenhang, das sogenannte systematische Risiko. Nur dieses wird am Markt verg¨ utet. Das Risiko des Marktportfolios M selbst wird auf 1 normiert, d.h. βM = 1. Somit ˜ i ) eines Instruments i als die risikolose Rendite Rf ergibt sich die erwartete Rendite E(R zuz¨ uglich des Produktes aus Risikopr¨amie und Risikobeitrag.64 Zur Anwendbarkeit bei empirischen Untersuchungen wird das Modell in seine ex-post Form u uhrt, so dass anstatt der nicht-beobachtbaren Erwartungswerte, die messba¨berf¨ ren Realisationen der Rendite der Instrumente bzw. Portfolien sowie des Marktportfolios verwendet werden k¨onnen. Unter der Voraussetzung, dass das CAPM in jeder Periode gilt65 und das β - Risiko eines Wertpapieres bzw. einer Aktie zeitunabh¨angig ist, ergibt sich aus (2) die o¨konometrische Spezifizierung f¨ ur N Aktien und T Perioden als66   ˜ it − Rf t = R ˜ M t − Rf t βi + ε˜it , R

i = 1, ..., N und t = 1, ..., T.

(3)

˜ M t unterstellt. Hierbei werden die Residuen ε˜it als unkorreliert mit R ¨ Ausgehend von (2) ist die nach Jensen gemessene erwartete Uberrendite

˜ i ) − Rf − βi · (Ep (R ˜ M ) − Rf ), αi = Ep (R

(4)

wobei der Erwartungswert bez¨ uglich der privaten Information des Portfoliomanagers und nicht wie in (2) bez¨ uglich der o¨ffentlichen Information zu bilden ist. Empirisch wird αi u ¨ber die lineare Regression67 63

Genauer: Der Unterschied beziffert die Risikopr¨ amie pro Einheit an β-Risiko.

64

Bei dem Instrument i kann es sich sowohl um ein einzelnes Wertpapier handeln als auch um ein Portfolio. Die aufgef¨ uhrten Beziehungen sind in beiden F¨ allen g¨ ultig. Formal gilt f¨ ur die erwartete Rendite eines Portfolios P und dessen Beta, falls wi , i = 1, ..., N , die Gewichte der Instrumente im Portfolio bezeichnen: N N ˜ i ) und βP =  wi · βi . ˜ P ) =  wi · E(R E(R

65

Zur Erweiterung des CAPM, mit Hilfe des Marktmodelles als deskriptivem Modell, auf mehrere Perioden sowie der dazu getroffenen Annahmen und Voraussetzungen vgl. Jensen (1968) und Jensen (1969). Das empirische Marktmodell, auch Sharpe’s Single-Index Modell genannt, trifft keine Annahmen u ¨ber Gleichgewichtsbeziehungen, den Markt oder die Anleger. Es stellt lediglich eine lineare Beziehung zwischen der Rendite eines Index und eines Instrumentes her.

66

Das Subskript t bezeichnet den beliebig gew¨ ahlten Zeitraum. Die zuf¨ alligen Abweichungen sind mit it ] = 0. ˜it bezeichnet und es gilt: E[˜

67

Wie bei einer Regression u ¨blich, werden die Regressionsparameter dergestalt bestimmt, dass die Varianz des St¨orterms minimal und sein Erwartungswert gleich null ist.

i=1

i=1

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

ˆ it − R ˆ f t = βˆi · (R ˆM t − R ˆ f t ) + ηˆit α ˆi = R

17

(5)

ˆ it , R ˆ M t und R ˆ f t die in den Perioden beobachteten Renditen gesch¨atzt. Hierbei bezeichnen R und α ˆ i , βˆi die gesch¨atzten Regressionsparameter. Zusammengefasst dr¨ uckt der Parameter βi die Sensitivit¨at der Portfoliorendite bez¨ uglich ¨ ¨ Anderungen der Uberrendite des Referenzportfolios aus. Das Jensen-Alpha quantifiziert ¨ den Teil der Uberrendite des Portfolios, der durchschnittlich u ¨ber die dem Risiko angemessene Verg¨ utung hinaus erzielt wurde. ¨ Eine Weiterentwicklung hat die dargestellte Methodik durch die Messung der Uberperformance mit Hilfe des bedingten Alpha erfahren.68 Dabei werden sich a¨ndernde Umweltzust¨ande innerhalb der Evaluationsperiode mitber¨ ucksichtigt. Es ist davon auszugehen, dass ein Portfoliomanager auf Ver¨anderungen des Anlageumfeldes und somit der Risikopr¨amien mit Anpassungen im Portfolio reagiert. Konsequenterweise wird die Variation der Risikopr¨amien sowie die entsprechende Positionierung des Portfolios in Bezug auf diese im auf den Umweltzustand bedingten Performance-Maß explizit ber¨ ucksichtigt. Empirisch wird mit Hilfe von Dummy-Variablen auf die Zinsstruktur, Kreditspreads und Aktienmarktvolatilit¨at in oben dargestellter Regression konditioniert.69 Aus der fundamentalen Problematik der Nicht-Identifizierbarkeit des Marktportfolios70 heraus entwickelte Ross (1976) die APT. Die APT ben¨otigt als Fundierung keine strengen Annahmen u ¨ber Nutzenfunktionen. Allerdings sind wie im CAPM homogene Erwartungen der Marktteilnehmer eine Voraussetzung zur Ableitbarkeit der Gleichgewichtsbeziehung. Zentraler Ausgangspunkt der APT ist die Annahme, dass die Renditen einzelner Wertpapiere Ri durch ein Mehrfaktormodell mit den Faktoren Fj beschrieben werden k¨onnen.71 Die Koeffizienten bij beschreiben die Sensitivit¨aten der Wertpapiere bez¨ uglich der Faktoren und werden auch als Faktorladungen tituliert. Der Achsenabschnitt des Faktormodelles wird u ¨ber ai erfasst.

˜ i = ai + R

k

bij F˜j + ˜i

(6)

j=1 68

Vgl. Chen/Knez (1996) und Ferson/Schadt (1996).

69

Vgl. bez¨ uglich eines Beispiels Ferson/Qian (2004), S. 7f. Speziell f¨ ur Anleihen vgl. Ferson et.al. (2006).

70

Viele Studien zweifeln die Effizienz (im μ-σ-Sinne) der als Markt-Proxies herangezogenen Indizes an, was diese als Benchmarks im Rahmen des CAPM disqualifiziert. Andererseits ist die Erkenntnis, dass die entsprechenden Indizes nicht effizient sind, nicht weiter u aufig nach ¨berraschend, da diese h¨ Marktkapitalisierung, Bonit¨ at etc. und nicht unter Effizienzgesichtspunkten gebildet werden.

71

Die Zeit wird u ¨ber t, die Anzahl der Wertpapiere u ¨ber i = 1...N und die Anzahl der Faktoren u ¨ber j = 1...K indiziert.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

18

Als Faktoren kommen in der Tradition von Chen et.al. (1986) und Fama/French (1993) einzelne Wertpapiere bzw. daraus gebildete Portfolien sowie fundamentale makro¨okonomische Gr¨oßen in Frage.72 Unter den Annahmen der APT Theorie ergibt sich eine lineare Beziehung zwischen der erwarteten Rendite eines Wertpapieres i und dessen Faktorladungen:

E(Ri ) = γ0 +

k

γj bij .

(7)

j=1

Wenn ein risikoloses Instrument mit dem Zinssatz Rf existiert, ergibt sich γ0 zu Rf .73 Die Gr¨oßen γi erlauben die Interpretation als Marktpreise der Faktorrisiken j. In Sonderf¨allen k¨onnen Sie als Faktorportfolien dargestellt werden. Aufgrund der Flexibilit¨at der APT kommen drei Anwendungsbereiche in Frage. Im Rahmen der Asset Allocation wird der Zusammenhang zwischen der Faktorstruktur und der μ-σ-Effizienz genutzt. In einem K-Faktor-Modell erlauben K Wertpapiere die Konstruktion eines effizienten Portfolios.74 Ist K im Vergleich zur Gesamtzahl der gehandelten Wertpapiere N hinreichend klein, so er¨offnet sich bei G¨ ultigkeit der APT-Beziehung eine einfache Konstruktionsm¨oglichkeit f¨ ur effiziente Portfolien. Bei einer fehlerhaften Faktorstruktur wird das konstruierte Portfolio nat¨ urlich nicht μ-σ-effizient sein. Als Asset Pricing-Modell erlaubt die APT auch die Bestimmung von Kapitalkosten, wie es aus dem CAPM bekannt ist.75 Ein grunds¨atzliches Problem der APT ist, geeignete Faktoren auszuw¨ahlen, da unterschiedliche Faktorstrukturen zu unterschiedlichen Ergebnissen f¨ uhren. Dieses Identifikationsproblem gilt sowohl f¨ ur die Art der Faktoren als auch deren Anzahl. In der Tradition von Jensen (1968) l¨asst sich die APT auch zur Evaluation von Portfoliomanagern einsetzen. Beispiele hierzu finden sich in Lehmann/Modest (1987), Elton et.al. (1996), Busse (1999) sowie Pastor/Stambaugh (2002). Cuthbertson/Nitsche (2004) beschreiben zwei M¨oglichkeiten der Sch¨atzung eines APT Modells bei bekannten Faktoren. In dem ersten, zweistufigen Verfahren werden die Sensitivit¨aten bij aus einer Regressi72

Werden Portfolien gebildet, um die Wirkung makro¨ okonomischer Faktoren in Renditever¨ anderungen dieser Portfolien zu u ¨bertragen, wird von mimicking portfolios gesprochen.

73

Im Weiteren ist vorausgesetzt, dass der riskoloser Zinssatz bzw. eine risikolose Anlage existiert.

74

Voraussetzung dazu ist, dass die Faktoren mit gehandelten Wertpapieren bzw. Portfolien ebensolcher identifiziert werden k¨ onnen und von der exakten Arbitrage Pricing Beziehung ausgegangen wird. Die exakte APT-Beziehung ist auch in Gleichung (7) unterstellt. Zu einer Analyse der G¨ ultigkeit der exakten APT-Beziehung vgl. Grinblatt/Titman (1985).

75

Zur wacc-Bestimmung und dem Zusammenhang zum CAPM vgl. u.a. Brealey et.al (2004). Zur Anwendung der APT zur Bestimmung von Kapitalkosten vgl. Elton et.al. (1994).

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

19

ˆ it der einzelnen Wertpapiere auf die Faktoren ermittelt. Als on der Zeitreihenrenditen R ur die Faktorsensitivit¨aten eines jeden Wertpapiers.76 Resultat ergeben sich Sch¨atzer ˆbij f¨ Im zweiten Schritt werden im Querschnitt die Renditen der einzelnen Wertpapiere auf ihre Sensitivit¨aten bez¨ uglich der Faktoren regressiert, um die γj zu sch¨atzen. Schließlich l¨asst sich γ0 aus dem risikolosen Zinssatz ermitteln. In dem einstufigen Verfahren werden sowohl die Sensitivit¨aten als auch die Faktorrisiken simultan bestimmt.77 ¨ Aufgrund der Schwierigkeiten der empirischen Uberpr¨ ufbarkeit des CAPM und der APT78 , entwickelte sich ein weiterer Zweig von Performancemaßen, die gewichtsbasierten Maße. Diese Entwicklung ist eng mit den Arbeiten von Grinblatt und Titman verbunden79 und setzt die Kenntnis u ¨ber die Struktur des Portfolios im Zeitablaufvoraus. Grinblatt/Titman (1993) trennen die Investoren in die Masse der uninformierten und wenige informierte Anleger. Die uninformierten Investoren werden, da die erwarteten Renditen u ur sie konstant sind, ein in Bezug auf ¨offentliche Information effizientes ¨ber die Zeit f¨ Portfolio mit zeitunabh¨angiger Struktur halten. Die Anleger, welche u ¨ber private Informationen80 bez¨ uglich der erwarteten Renditen verf¨ ugen, werden dagegen im Zeitablauf sich ¨andernde Portfolien halten, um ihren Informationsvorsprung umzusetzen. Sie werden diejenigen Instrumente u ¨bergewichten, bei denen sie aufgrund der privaten Informationen eine h¨ohere Rendite erwarten. Die Performance sollte sich folglich grunds¨atzlich in einer ¨ positiven Kovarianz aus zuk¨ unftigen Renditen und Anderungen der Portfoliogewichte der informierten Investoren niederschlagen. Zwar k¨onnen die Kovarianzen einzelner Instrumente negativ sein, falls aus Hedging¨ uberlegungen eine Verringerung der Portfoliogewichte geboten ist. Grinblatt/Titman (1993) zeigen jedoch, dass die Summe der Kovarianzen s¨amtlicher Instrumente des Portfolios f¨ ur einen informierten Investor positiv ist.81 Typisch f¨ ur die gewichtsbasierten Performancemaße im Vergleich zu den renditebasierten Performancemaßen ist es, dass eine exogen vorgegebene Benchmark nicht ben¨otigt wird.82

76

Nat¨ urlich erhalten wir auch ein ai f¨ ur jedes Wertpapier.

77

Vgl. Cuthbertson/Nitsche (2004), S. 65f.

78

Vgl. dazu Roll (1978) und Jensen (1978).

79

Erw¨ahnenswert ist, dass schon in Cornell (1979) die grunds¨ atzliche Idee eines solchen Event Measure beschrieben wurde. Zu den zu treffenden Annahmen speziell im Hinblick auf das CAPM und die gleichgewichtstheoretische Fundierung, von welcher man sich l¨ osen m¨ ochte, vgl. Wittrock (1995), S. 63ff.

80

Im Gegensatz zu den ¨ offentlichen Informationen, welche allen Investoren zur Verf¨ ugung stehen, stehen die privaten Informationen nur wenigen zur Verf¨ ugung.

81

Eine Voraussetzung daf¨ ur ist, dass die Investoren konstanter oder abnehmender absoluter Risikoaversion unterliegen.

82

Zu Weiterentwicklungen der gewichtsbasierten Performancemaße siehe u.a. Ferson/Khang (2002).

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

20 2.2.3

Die Performanceattribution

Die Attributionsanalyse selbst erlaubt aufbauend auf der Dekomposition und der Performancemessung eine differenzierte Untersuchung der zur Verf¨ ugung stehenden Entscheidungsparameter auf den Anlageerfolg und eine allgemeine Identifikation von St¨arken und Schw¨achen.83 Damit leistet sie einen Beitrag der u ¨ber die reine Erfolgskontrolle im Rahmen der Performancemessung hinausgeht. Durch eine Wertung der gewonnenen Ergebnisse, wird zwischen den Faktoren differenziert, die auf die Managementleistung einen Einfluss haben. Entscheidend f¨ ur die Art der Beurteilung und die Attribution der Leistung ist die Betrachtungsebene bzw. Zerlegungstiefe des Portfolios. Die Attributionsanalyse generiert entscheidungsrelevante Informationen, welche eine fundierte R¨ uckkopplung im Prozess des Portfoliomanagements erlauben, so dass die Methodik notwendigerweise durch die Gestaltung des gesamten Prozesses gepr¨agt wird. Trotz der recht langen Tradition der Performanceanalyse existieren f¨ ur die Attribution keine von einem Gremium verabschiedeten Standards. Das European Investment Performance Committee (EIPC) hat einen Fragenkatalog84 ver¨offentlicht, welcher einige Richtlinien f¨ ur den Aufbau einer Attributionsanalyse geben soll. Jedoch herrscht zur Zeit die Meinung vor, dass in diesem Bereich noch Entwicklungsarbeit zu leisten ist und eine fr¨ uhzeitige Standardisierung den Entwicklungsprozess hemmen w¨ urde.85 Zumal sich eine Standardisierung insofern schwierig gestaltet, als eine Adaption der Attribution an den individuellen Prozess des Portfoliomanagement eine Vielzahl an unterschiedlichen Varianten mit sich bringt. Denn die G¨ ute der Attributionsanalyse bemisst sich nach dem Grad der Adaption an den Managementprozess sowie der Erf¨ ullung der Bed¨ urfnisse der Anwender bzw. Adressaten.86 Ihren Ursprung hat die klassische Attributionsanalyse in der Arbeit von Fama (1972). Angelehnt an die Praxis des aktiven Portfoliomanagement, wonach sich Portfoliomanager gerne als market-timer oder stock-picker bezeichnen87 , zerlegt Fama (1972) erstmals die Performance in einen Teil, welcher auf die Timing-F¨ahigkeit also auf die Vorhersage von generellen Marktbewegungen, und einen Teil, welcher auf die Selektions-F¨ahigkeit eines Managers, also die F¨ahigkeit in Relation zu ihrem Risiko g¨ unstige Wertpapiere auszuw¨ahlen, zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Die Begriffe Markttiming und Wertpapierselektion werden h¨aufig auch dergestalt erl¨autert, dass sich Markttiming auf die superiore Auswahl einzel83

Vgl. Buhl et.al. (2003), S. 165.

84

Vgl. EIPC (2004).

85

Vgl. Bacon (2004). Gleichzeitig gibt es jedoch Bestrebungen innerhalb des IPC eine Standardisierung voranzutreiben. Vgl. dazu Spaulding (2003).

86

Vgl. Fischer (2001), S. 106.

87

Vgl. Admati et.al. (1986), S. 715.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

21

ner Asset-Klassen oder Marktsegmente im Sinne einer Top-Down-Strategie bezieht. Die Wertpapierselektion hingegen bezieht sich auf die superiore Auswahl einzelner Wertpapiere im Sinne einer Bottom-Up-Strategie. Beide Strategien k¨onnen unabh¨angig voneinander verfolgt werden und tragen zum Anlageerfolg bei.88 Im Vorgriff auf Abschnitt 2.4 soll hier schon festgehalten werden, dass das Ergebnis einer Attributionsanalyse von dem gew¨ahlten Risikobegriff abh¨angt, da eine superiore Auswahl in Relation zu einem vorher definierten Risikobegriff gemessen wird. Eine Einschr¨ankung erf¨ahrt die einleuchtende und in der Praxis gebr¨auchliche Unterscheidung in Timing- und Selektionsf¨ahigkeit. Wie oben angef¨ uhrt, beruht der Nutzen des aktiven Managements auf privaten Informationen, so dass beide F¨ahigkeiten Ausfluss dieser superioren Informationen sind. Konzeptionell muss es sich um jeweils unterschiedliche Informationssignale handeln, da es wenig einleuchtend ist, dass ein Informationssignal unterschiedliche rationale Handlungsweisen in Bezug auf Timing und Selektion nach sich zieht. Auf theoretischer Ebene schlagen Admati et.al. (1986) zur Unterscheidung der Informationssignale einen Portfolio-Ansatz und einen Faktor-Ansatz vor. Im Rahmen des Portfolio-Ansatzes wird die Existenz von N + 1 handelbaren Instrumenten angenommen. Aus diesen werden L sogenannte Timing-Portfolios gebildet. Ein TimingSignal beschr¨ankt sich auf die zuk¨ unftige Entwicklung der L Timing-Portfolios oder einer Untermenge davon und enth¨alt keine Information bez¨ uglich der u ¨brigen Instrumente. Die Reaktion auf das Timing-Signal ist somit begrenzter Natur, indem sie lediglich in einer Umschichtung innerhalb der Timing-Portfolios besteht.89 Ein Selektions-Signal enth¨alt Informationen u ¨ber die Entwicklung der N + 1 individuellen Instrumente aber nicht u ¨ber die L Timing-Portfolios. Im Gegensatz zur reinen Verschiebung von Anteilen zwischen den Timingportfolios umfasst die m¨ogliche Reaktion auf die Selektions-Information Transaktionen in allen Instrumenten. Im Rahmen des Faktor-Ansatzes90 werden Timing-Signale als Information u ¨ber die einzelnen Faktoren definiert, welche den Erfolg aller Instrumente gleichzeitig beeinflussen. Die Selektions-Informationen betreffen nur noch den idiosynkratischen Teil der Instrumente im Modell. Der Portfolio-Ansatz von Admati et.al. (1986) ist konform mit der oben gegebenen, gebr¨auchlichen Definition von Fama (1972) und bildet die Grundlage f¨ ur viele empirische Untersuchungen.91 Jedoch ist es schwierig, eine ¨okonomische Intuition f¨ ur die unterschiedlichen Informationssignale zu entwickeln. Die Timing-Portfolios sind ja gerade aus den 88

Vgl. Obeid (2003), S. 175f.

89

Eine vern¨ unftige Unterscheidung ist dies nat¨ urlich nur, wenn L deutlich kleiner als N ist.

90

Man stelle sich etwa ein Single- oder Multi-Indexmodell vor. Vgl. dazu u.a. Sharpe et.al (1999).

91

Auch die vorliegende Untersuchung st¨ utzt sich im Rahmen der Attributionsanalyse im Sinne von Brinson et.al. (1986) auf diese Interpretation.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

22

N + 1 handelbaren Instrumenten aufgebaut, so dass eine Information u ¨ber die Rendite eines solchen Portfolios schwerlich getrennt von den darin enthaltenen Instrumenten interpretiert werden kann. Die Vorz¨ uge des Faktor-Ansatze liegen in der intuitiven Trennung der unterschiedlichen Informationssignale. Jedoch zieht er erhebliche o¨konometrische Probleme nach sich. Uns ist zur Zeit keine Studie bekannt, welche auf der Grundlage des Faktor-Ansatzes Timingund Selektions-F¨ahigkeiten schl¨ ussig best¨atigt hat.

2.3

Die Attributionsanalyse und ihre Ausgestaltung

An die Verfahren der Attributionsanalyse werden zahlreiche Anforderungen gestellt. Die eher allgemein gehaltenen, qualitativen92 Merkmale lassen sich unter folgenden Schlagw¨ortern zusammenfassen. • Interpretierbarkeit: Die Ergebnisse sollen den Erwartungen entsprechen und nicht durch die Methodik verzerrt oder umgekehrt werden. D.h. in einfach nachpr¨ ufbaren F¨allen sind die Ergebnisse plausibel. • Transparenz: Die Methodik der Zerlegung soll leicht u ufbar sein. ¨berpr¨ • Robustheit: Die Methodik soll sinnvolle Ergebnisse unter verschiedensten Szenarien wie steigenden oder fallenden M¨arkten liefern.

Die speziellen, quantitativen Anforderungen sind eng mit der angewandten Rechenmethodik verbunden. 93 Diese wird regelm¨aßig durch die folgenden Begriffspaare gekennzeichnet: • zweistufig vs. mehrstufig • additiv vs. multiplikativ • einperiodig vs. mehrperiodig • Anleihen vs. Aktien Die Vorschl¨age zur Standardisierung der Attribution sowie zahlreiche Ver¨offentlichungen fordern zumindest eine Zerlegung der Performance in einen Timing-Anteil, einen Selektions-Anteil und einen W¨ahrungsanteil auf Gesamtportfolioebene sowie auf einer 92

Vgl. Menchero (2004),S.78.

93

Die quantitativen Anforderungen werden in Abschnitt 2.3.2 erl¨ autert.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

23

Zerlegungsstufe94 .95 Diese am h¨aufigsten vorkommende Variante wird als zweistufige Zerlegung bezeichnet. Im Gegensatz dazu erfordert eine mehrstufige, hierachische Zerlegung die Bestimmung eines Timing-Anteils auf jeder Stufe, sowie eines Selektions-Anteils auf unterster Zerlegungsstufe.96 Da der Schwerpunkt der Arbeit auf der Verkn¨ upfung der Attributionsanalyse mit der Theorie der Bewertung riskanter Anleihen liegt, unterbleibt eine explizite Einbeziehung der W¨ahrungskomponente.97 Den Ausgangspunkt jeder Zerlegung bildet die aktive Rendite, auch als die Differenzrendite zwischen Portfolio und zugeh¨origem Benchmark bzw. ad¨aquater Vergleichsrendite bezeichnet.98 Der Terminus Differenzrendite impliziert eine Festlegung auf eine additive Methodik, da folgender Zusammenhang unterstellt wird. a RP = RB + RA

(8)

RP bezeichnet die Portfoliorendite, RB die Benchmarkrendite, RA die aktive Rendite. Das Superskript a steht f¨ ur die arithmetische ermittelte aktive Rendite sowie das Superskript g im weiteren f¨ ur die geometrisch ermittelte aktive Rendite.99 Bei Gegen¨ uberstellungen von arithmetischen und geometrischen Verfahren ist der Begriff der aktiven Rendite exakter. Ausgangspunkt der Zerlegung im geometrischen Falle bildet der Zusammenhang

g RP = (1 + RB ) · (1 + RA ) − 1.

(9)

Ein Vergleich der beiden Ans¨atze zeigt, dass die additive Zerlegung dem klassischen Renditeverst¨andnis entspricht. Ein kleines Beispiel verdeutlicht dies.100 Annahmegem¨aß w¨achst das Portfolio von einem Verm¨ogen IP,t in t von 100 Euro auf ein Verm¨ogen IP,t+1 von 107 Euro. In der gleichen Zeit w¨achst das Benchmarkverm¨ogen IB,t von 100 Euro auf 105 94

Beispiele f¨ ur Zerlegungseinheiten sind in Abschnitt 2.2.1 angegeben.

95

Eine Einschr¨ankung wird gemacht, sofern f¨ ur Anleihenportfolios explizit ein anderes Verfahren vorgeschlagen wird.

96

Dies ist konsistent mit der Definition der Selektionsf¨ ahigkeit im Sinne des Portfolio-Ansatzes von Admati et.al. (1986). Maurer (1996), S.162ff beschreibt eine dreistufige Zerlegung in Assetklassen und Branchen. Obeid (2003) stellt auf S. 200ff allgemein die Rechenvorschriften einer dreistufigen additiven Zerlegung dar.

97

¨ Wie schon im Uberblick erw¨ ahnt, setzen sich u.a. (1994), Ankrim/Hensel (1994), Allen (1991), Bain (1996) und Paape (2001) mit W¨ ahrungsattributionsmodellen auseinander.

98

Im Englischen stehen daf¨ ur die Begriffe active return, differential return oder excess return.

99

Die Begriffe additiv und arithmetisch sowie multiplikativ und geometrisch werden jeweils synonym verwendet.

100

Vgl. Spaulding (2003), S.106f.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

24

Euro. Die aktive additive Rendite ermittelt mit Hilfe des Verm¨ogensvergleiches betr¨agt

a RA = RP − RB =

107 − 105 = 2%. 100

(10)

Dies entspricht dem klassischen Verst¨andnis einer Rendite als Wertzuwachs bezogen auf das Anfangsverm¨ogen. Es werden somit die Gr¨oßen in zwei unterschiedlichen Zeitpunkten verglichen. Die multiplikativ ermittelte aktive Rendite ergibt sich als

g RA =

1, 07 107 − 105 (1 + RP ) −1= −1= = 1, 9%. (1 + RB ) 1, 05 105

(11)

Dies stellt einen Vergleich des Verm¨ogenszuwachses zum Endverm¨ogen des Benchmarks dar, mithin einen Vergleich von Verm¨ogen im gleichen Zeitpunkt. Strenggenommen erf¨ ullt der Quotient nicht die u ¨bliche Definition einer Rendite.101 Daher sprechen Buhl et.al. (2003) auch vom aktiven Managementbeitrag anstelle einer aktiven Rendite im multiplikativen Fall. Das F¨ ur und Wider zwischen additiven und multiplikativen Verfahren ist in aller Regel eng mit der Frage verkn¨ upft, ob die Attributionsanalyse einmalig erfolgt oder u ¨ber einen l¨angeren Zeitraum mit der Maßgabe einer konsistenten Verkn¨ upfung der Perioden.102 Notwendig wird eine Verkn¨ upfbarkeit u ¨ber die Perioden hinweg, sobald die Berichtsperiode von der Messperiode abweicht. Bei einer monatlichen Erhebung der Daten mit anschließender Performancemessung und einer viertelj¨ahrlichen Berichtsperiode, ist es erforderlich, dass die monatlichen Ergebnisse konsistent zu einem Quartalsergebnis verkn¨ upft werden k¨onnen. Die folgenden Abschnitte beleuchten die einzelnen Verfahren genauer und arbeiten die Schwierigkeiten der beiden Ans¨atze an einem umfassenden Beispiel heraus. Das letzte Begriffspaar kennzeichnet die unterschiedlichen Entwicklungen der Attributionsanalyse von Aktien auf der einen und Anleihen auf der anderen Seite. In der Praxis der Verm¨ogensverwaltung ist es umstritten, ob der gleiche Ansatz f¨ ur beide Assetklassen sinnvoll ist. Viele Firmen, welche Softwarel¨osungen zur Attributionsanalyse anbieten, vertreten diese Meinung.103 Demgegen¨ uber steht die Ansicht, dass gerade die Wertpapierselektion im Anleihenbereich wenig Aussagekraft besitzt, da Anleihen im Gegensatz zu Aktien homogener bez¨ uglich gemeinsamer Risikotreiber sind und nur wenig idiosynkratisches Risiko beinhalten. Inwieweit aus unserer Sicht die Anwendbarkeit der klassischen 101

Vgl. B¨ uhler/Uhrig-Homburg (2000), S.298ff.

102

Nat¨ urlich l¨asst sich die Diskussion auch an der Zerlegung in mehrere Komponenten innerhalb einer Periode festmachen.

103

Vgl. Spaulding (2003), S. 53ff.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

25

Komponenten f¨ ur Anleihen gegeben ist, diskutieren wir in Abschnitt 2.3.3.

2.3.1

Einperiodige, additive Attributionsanalyse nach Brinson, Hood und Beebower

Durch die Adaption der Attribution an den Prozess des Portfoliomanagements existiert eine Vielzahl an unterschiedlichen Verfahren. Die u ¨berwiegende Anzahl der Varianten l¨asst sich auf die Methodik von Brinson et.al. (1986) zur¨ uckf¨ uhren. Zum besseren Verst¨andnis der vorgestellten Weiterentwicklungen wird dieses grundlegende Verfahren ausf¨ uhrlich beschrieben. Die Darstellung orientiert sich an Brinson et.al. (1986), obwohl die Systematik zum ersten Mal in Brinson/Fachler (1985) erschien. Begrifflich unterscheiden Brinson et.al. (1986) die Komponenten investment policy, market timing und security selection. Unter der Anlagepolitik (investment policy) wird die langfristige, strategische Positionierung des Investors bez¨ uglich der zur Verf¨ ugung stehenden Anlage- und Risikoklassen verstanden, welche durch ein geeignet gew¨ahltes Benchmarkportfolio repr¨asentiert wird. Die Anlageergebnisse des Benchmarks werden mit den tats¨achlich erzielten Portfolioergebnissen verglichen. Im Zuge des aktiven Managements wird bewusst von der vorgegebenen langfristigen Benchmarkstrategie abgewichen. Auf Ebene der Zerlegungseinheiten wird die Gewichtung im Vergleich zur Benchmark ge¨andert, was dem Timing (market timing) zugerechnet wird.104 Innerhalb einer Zerlegungseinheit werden durch superiore105 Auswahl von Wertpapieren Selektions-Ertr¨age (security selection) erzielt. Nachdem im Rahmen der Portfoliodekomposition die Zerlegungstiefe und damit N disjunkte Zerlegungseinheiten i = 1...N festgelegt worden sind, werden neben dem Portfolio und der Benchmark zwei sogenannte Zwischenportfolios definiert. In der folgenden Aufstellung ist das Benchmarkportfolio mit I“, das aktive Portfolio mit IV“, das Ti” ” mingportfolio als Zwischenportfolio mit II“ und schließlich das Selektionsportfolio als ” Zwischenportfolio mit III“. Auch wenn die Zwischenportfolios der Rechenmethodik die” nen, handelt es sich nicht um rein virtuelle Gebilde, sondern es besteht die M¨oglichkeit, sie am Markt nachzubilden. Wenn RP,i bzw. RB,i die Rendite der Zerlegungseinheit i des Portfolios P bzw. der Benchmark B und wP,i bzw. wB,i das Gewicht der Zerlegungseinheit i am Portfolio bzw. an der Benchmark bezeichnen, so ergeben sich die Renditen f¨ ur die N  vier maßgebenden Portfolios folgendermaßen. Es gilt jeweils wP,i > 0, wP,i = 1 und i=1 104

F¨ ur den Begriff des Timing findet sich in einigen Ver¨ offentlichungen auch der Begriff Allokation bzw. Allokationseffekt. Um die Allokation im Sinne des Timings von der langfristigen, strategischen Asset Allokation, welche die Anlegerpr¨ aferenzen und die Risikoneigung des Investors widerpiegelt, zu trennen, scheint es in diesen F¨ allen angebrachter von aktiver Allokation zu sprechen.

105

Wie zuvor wird unter superiorer Auswahl die Auswahl eines Wertpapieres mit h¨ oherer ex post Rendite bei gleichem ex ante Risikoniveau verstanden.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

26 (VI) Portfolio Return N  wP,i ∗ RP,i

(II) Anlagepolitik + Timing Return N  wP,i ∗ RB,i

i=1

i=1

(III) Anlagepolitik + Selektions-Return N  wB,i ∗ RP,i i=1

(I) Anlagepolitik Return N  wB,i ∗ RB,i i=1

Abbildung 3: Attributionskomponenten nach Brinson et.al.(1986)

wB,i > 0,

N 

wB,i = 1.

i=1

Rendite des Benchmarkportfolio: RB

I. II.

Rendite des Timingportfolio:

III. IV.

Rendite des Selektionsportfolio: Rendite des aktiven Portfolio:

RT im RSel RP

= = = =

N  i=1 N  i=1 N  i=1 N 

wB,i RB,i wP,i RB,i wB,i RP,i wP,i RP,i

i=1

Die zu erkl¨arende aktive Rendite ergibt sich als Differenz aus der Portfoliorendite (IV) und der Benchmarkrendite (I). Ausgehend von der Benchmarkrendite wird f¨ ur das TimingPortfolio (II) die Gewichtung variiert. Die Differenz (II) - (I) isoliert somit exakt den ¨ Effekt des Timings, d.h. der Unter- oder Ubergewichtung (in Relation zum Benchmark) der Zerlegungseinheiten zur Ergebnisverbesserung oder Risikoreduzierung. Ein positiver Timingeffekt kommt immer dann zustande, falls im Portfolio Zerlegungseinheiten u ¨bergewichtet werden, bei denen der Benchmark eine positive Rendite erzielt bzw. die Zerlegungseinheiten untergewichtet werden, bei denen der Benchmark eine negative Rendite realisiert hat. Eine Verfeinerung dieses Verfahrens wird weiter unten dargestellt, da in der hier vorgestellten Variante die ausgewiesene Timingf¨ahigkeit im Falle, dass z.B. alle RBi positiv sind, unzureichend ist. Analog ist das Selektions-Portfolio (III) konstruiert, indem ausgehend von der Benchmark der Renditeunterschied betrachtet wird. Aus der Differenz (III) - (I) ergibt sich exakt der Effekt, der auf die Selektionsf¨ahigkeit zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Nur eine superiore Auswahl an Wertpapieren im Vergleich zur Benchmark erm¨oglicht eine h¨ohere Rendite der Zerlegungseinheit bei gleichzeitig unver¨anderter Gewichtung.106 Entsprechend negativ f¨allt der Selektionseffekt aus, falls die Rendite einer Zerlegungseinheit im Portfolio geringer ist als 106

Implizit wird die Annahme getroffen, dass nur Wertpapiere ausgew¨ ahlt werden, die einer Zerlegungseinheit zugeordnet werden k¨ onnen.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

27

R Rp

Selektion

IK

Rb

T i m i n g

wb

wp

w

Abbildung 4: Darstellung der Interaktionskomponente. Die Abbildung veranschaulicht das Zustandekommen des Interaktions- bzw. Kreuzproduktterms (IK). die der Zerlegungseinheit im Benchmark. Da diese beiden Komponenten in der Summe nicht die aktive Rendite ergeben, entsteht ein Restterm, Interaktionsterm oder auch Kreuzprodukt genannt107 , in H¨ohe von (IV) - (III) - (II) + (I). Eine ¨okonomische Interpretation dieses Terms gestaltet sich problematisch, da das Kreuzprodukt sowohl von der Timingkomponente als auch der Selektionskomponente abh¨angt. Ebenso kann der Interaktionsterm nicht separat als Wertentwicklung eines Zwischenportfolios wie die Komponenten Timing und Selektion messbar gemacht werden. Die Abbildung 4 veranschaulicht graphisch das Zustandekommen des Interaktionsterms.108 In Formeln zusammengefasst ergibt sich Tabelle 1.

Timing Selektion

II - I III - I

Kreuzprodukt IV - III - II + I Gesamt

IV - I

N  i=1 N  i=1 N  i=1 N  i=1

(wP,i − wB,i ) ∗ RB,i (RP,i − RB,i ) ∗ wB,i (wP,i − wB,i ) ∗ (RP,i − RB,i ) wP,i ∗ RP,i −

N 

wB,i ∗ RB,i

i=1

Tabelle 1: Attributionskomponenten nach Brinson et.al. (1986)

107

Im Original wird der Term als cross product bezeichnet. Die Bezeichnung ergibt sich aus der BerechN  nung als (wP,i − wB,i ) ∗ (RP,i − RB,i ).

108

Vgl. Wolfert (2003), S. 178ff. zu einem Versuch den Interaktionsterm einer eigenst¨ andigen Interpretation zug¨anglich zu machen.

i=1

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

28

Der Timing-Effekt erfasst nur den absoluten Timing-Erfolg u ¨ber alle Zerlegungseinheiten hinweg. Wenn der Portfolio-Manager eine Zerlegungseinheit u ¨bergewichtet, welche eine im Vergleich zur durchschnittlichen Benchmarkrendite schlechtere aber positive Rendite aufweist, wird ihm eine Timingf¨ahigkeit zugesprochen. Jedoch sollte der Manager gerade diejenigen Klassen u ¨bergewichten, die u ¨berdurchschnittlich abschneiden. Aus diesem Grund wird h¨aufig eine einfache Erweiterung der obigen Systematik durchgef¨ uhrt, die den relativen Timing-Beitrag isoliert. Die Formel zum Timing wird um die Benchmarkrendite ¨ RB erg¨anzt, so dass ein positiver Beitrag nur noch bei einer Ubergewichtung einer Zerlegungseinheit mit u ur eine ¨berdurchschnittlicher Rendite auftritt. Entsprechendes gilt f¨ 109 Untergewichtung. Relatives Timing:

N 

(wP,i − wB,i ) ∗ (RB,i − RB ) =

i=1

N 

(wP,i − wB,i ) ∗ RB,i

i=1

Zur Vermeidung des Interaktionstermes wird gelegentlich vorgeschlagen, den Selektionsbeitrag mit Hilfe des Portfoliogewichtes wP,i statt des Benchmarkgewichtes wB,i zu bestimmen. Modifizierte Selektion:

N 

(RP,i − RB,i ) ∗ wP,i

i=1

Es entf¨allt der Interaktionsterm auf Kosten einer Verzerrung des Selektionsausweises und der Durchbrechung der Logik vom Benchmark ausgehende Abweichungen zu messen. Ist der Interaktionsterm negativ (positiv), so wird der Selektionsbeitrag untersch¨atzt (¨ ubersch¨atzt). F¨ ur die Interpretation der Ergebnisse ist es schlussendlich wichtig zu wissen, wie diese ermittelt werden. Die Aussagekraft der Ergebnisse, h¨angt nicht davon ab, ob ein Interaktionsterm bei der Aggregation auftritt oder auf die u ¨brigen Gr¨oßen verteilt wird, sondern wie diese Tatsache Eingang in die Interpretation findet. 2.3.2

Multiplikative Attribution und die Anwendbarkeit auf mehrperiodige Analysezeitr¨ aume

Neben den weiter oben dargestellten, qualitativen Anforderungen an die Rechenmethodik der Attribution sind die quantitativen Anforderungen eng mit der mehrperiodigen Verkn¨ upfung der Ergebnisse verbunden. Um die Beurteilung der im weiteren vorgestellten Verfahren zu objektivieren und deren Angemessenheit zu pr¨ ufen, werden folgende quantitativen Anforderungen an eine Rechenmethodik gestellt.110 • Intraperiodige Resttermfreiheit: Die Zerlegung sollte keine Restterme produzieren, bzw. notwendigerweise auftretende Restterme in sinnvoller Weise auf die einzelnen 109

Die Erg¨anzung des Timing-Beitrages hat auch Einfluss auf den Interaktionsterm, welcher sich fortan N  (wP,i − wB,i ) ∗ (RP,i − RB,i + RB ) ergibt. als

110

Vgl. Menchero (2005), S.61f.

i=1

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

29

Komponenten verteilen, ohne Scheineffekte111 auszuweisen. • Interperiodige Resttermfreiheit: Die aktive Rendite sowie ihre Komponenten sollten auf jeder Ebene ohne Interaktionsterme multiperiodig verkn¨ upfbar sein. • Kommutativit¨at: Die Ergebnisse der multiperiodigen Verkn¨ upfung sollten nicht von der Reihenfolge der angefallenen Periodenrenditen abh¨angen. • Konsistenz: Die einzelnen Effekte sollen konsistent u ¨ber die Perioden hinweg gemessen und verteilt werden.112 Diese Anforderung zielt im arithmetischen Falle auf eine gleichm¨aßige Verteilung der intertemporalen Interaktionsterme auf die Perioden und Komponenten ab. Im geometrischen Fall bezieht sich dies auf die intraperiodigen Interaktionsterme.

F¨ ur einen T Perioden umfassenden Zeitraum gilt:

RP T =

T

(1 + RP t ) − 1;

RBT =

t=1

T

(1 + RBt ) − 1

(12)

t=1

Im Falle der arithmetischen Zerlegung l¨asst sich die aktive Rendite nicht ohne Restterm verkn¨ upfen, da in aller Regel gilt:

RP T − RBT =

T

(1 + RP t − RBt ) − 1

(13)

t=1

Der Unterschied zwischen der Zerlegung auf Ebene der Gesamtperiode und der Verkn¨ upfung der Zerlegung der einzelnen Perioden wird in Anlehnung an den Restterm aus dem Brinson et.al.-Modell auch intertemporaler Interaktionsterm genannt. Um einen non Null verschiedenen Interaktionsterm zu vermeiden, wurden mehrere Verfahren entwickelt. Allen Verfahren ist gemein, dass sie den intertemporalen Interaktionsterm auf die einzelnen Komponenten bzw. Perioden verteilen. Eine u ¨bersichtliche Darstellung der unterschiedlichen Algorithmen findet sich in Menchero (2004) sowie in Spaulding (2003). Im Falle der multiplikativen Zerlegung entsteht bei der Verkn¨ upfung u ¨ber die Perioden hinweg kein Rest. 111

Unter Scheineffekten wird der Ausweis einer Komponente verstanden, welche nur aus Resttermen aufgrund einer intratemporalen oder intertemporalen Verkn¨ upfung bestehen.

112

Die Konsistenz erfordert beispielsweise, dass eine Komponente unabh¨ angig von dem Zeitpunkt ihres Auftretens immer der gleichen Anpassung unterzogen wird.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

30

(1 + RP t ) 1 + RP T = 1 + RBT (1 + RBt ) t=1 T

(14)

Bei der Zerlegung der Periodenrenditen in die Komponenten Timing und Selektion und deren Verkn¨ upfung u ¨ber den gesamten Zeitraum ergeben sich dieselben Probleme. Im arithmetischen Fall entstehen intertemporale Interaktionsterme, im geometrischen Fall nicht. Allerdings entstehen unabh¨angig von der Art der intertemporalen Verkn¨ upfung bei der geometrischen Verkn¨ upfung innerhalb der Periode Restterme. Die Schwierigkeiten der Attributionsanalyse resultieren aus der Tatsache, dass innerhalb einer Periode aus den diskreten Gewichten und Renditen der Zerlegungseinheiten des Portfolios und der Bench¨ mark die Gesamtrendite additiv ermittelt wird. Uber die Totalperiode werden die additiv ermittelten Renditen jedoch multiplikativ verkn¨ upft. Dies gilt sowohl f¨ ur die Ergebnisse auf Komponentenebene (Selektions- oder Timingbeitrag der Periode) als auch f¨ ur den Beitrag der jeweiligen Zerlegungseinheit je Periode. Somit sei vorausgeschickt, dass die Wahl einer Attributionsmethodik letztendlich von der Pr¨aferenz des Adressaten und des Einsatzzweckes abh¨angt, da beide Verfahren nicht v¨ollig resttermfrei sind.113 Das hier vorgestellte Verfahren orientiert sich an der optimierten, geometrischen Methode nach Menchero.114 Angelehnt an das Konzept von Brinson et.al wird die Vorgehensweise auf das multiplikative Schema u ¨bertragen.115 Der Selektionseffekt Sit einer Zerlegungseinheit i in Periode t ergibt sich dann in multiplikativer Form unter Verwendung des Benchmarkgewichtes wBit und der beiden Periodenrenditen RBit und RP it zu

1 + Sit =

1 + wP it RP it . 1 + wP it RBt

(15)

Ein positiver Selektionseffekt tritt genau dann auf, wenn die Rendite RP it der Zerlegungseinheit i des Portfolios in Periode t gr¨oßer ist als die Rendite RBt des (gesamten) Benchmarks in Periode t.116

113

Auf einen zus¨atzlichen Vorteil der multiplikativen Verkn¨ upfung bei Portfolien in mehreren W¨ ahrungen wird hier nicht eingegangen. Der Renditebeitrag im geometrischen Fall ist unabh¨ angig von der gew¨ahlten Berichtsw¨ ahrung bzw. Basisw¨ ahrung. Im arithmetischen Fall k¨ onnen je nach gew¨ ahlter Berichtsw¨ahrung Unterschiede auftreten. Vgl. B¨ uhler (1994), S.25.

114

Vgl. dazu Menchero (2005), S.63ff. Das Verfahren wird dort als Weiterentwicklung der Pure Geometric Method beschrieben und mit Optimized Geometric Method bezeichnet.

115

¨ Konzeptionell wird das Verfahren von Brinson et.al um die Verteilung des Resttermes und die Ubertragung auf die multiplikative Verkn¨ upfung erweitert. Im Grundmodell von Brinson et.al wird keine Verteilung des Resttermes auf die einzelnen Komponenten vorgenommen.

116

Es wird von Leerverk¨ aufen, d.h. negativen Gewichten abgesehen.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

31

Die Timingkomponente Ait wird in Analogie zu dem relativen Markttiming im arithmetischen Fall definiert als

1 + Ait =

1 + (wP it − wBit )RBit . 1 + (wP it − wBit )RBt

(16)

Der Timingeffekt wird genau dann positiv sein, wenn der Manager eine Klasse mit u ¨berdurchnittlicher Rendite (¨ uber Benchmarkrendite) u ur eine Klasse ¨bergewichtet und daf¨ mit unterdurchschnittlicher Rendite untergewichtet. Die in Analogie zum additiven Fall auf eine multiplikative Verkn¨ upfung u ¨bertragene Definition117 der Selektions - und Timingeffektes f¨ uhrt nicht zwingend zu einem Restterm der H¨ohe null, da in der Regel das u ¨ber alle Zerlegungseinheiten gebildete Produkte der Selektions- und Timingbeitr¨age (1+RP t ) nicht mit den multiplikativen aktiven Managementbeitrag (1+R u ¨bereinstimmt, d.h. in Bt ) der Regel ist

N

1 + RP t (1 + Sit )(1 + Ait ) = . 1 + RBt i=1

(17)

Die Verteilung des Resttermes wird mit Hilfe zweier Faktoren ΓSit und ΓA it in der Weise vorgenommen, dass eine residuenfreie Aggregation innerhalb der Periode entsteht. Die optimierten Selektions- und Timingeffekte ergeben sich aus den oben definierten (reinen) Komponenten zu:

1 + Sitopt = (1 + Sit )ΓSit

(18)

A 1 + Aopt it = (1 + Ait )Γit .

(19)

Maßgebend f¨ ur die Wahl der funktionalen Form der in den Formeln (20) und (21) angegebenen Anpassungsfaktoren ist, die oben angegebenen Timing- und Selektionseffekte m¨oglichst wenig zu ver¨andern.

ΓSit = (1 + δSi )ln(1+Sit )

117

Menchero (2005) bezeichnet dies als Pure Geometric Method.

(20)

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

32

ln(1+Ait ) ΓA it = (1 + δAi )

(21)

D.h. die Anpassungsfaktoren sollten m¨oglichst nahe bei eins liegen und kleine Beitr¨age nicht u ¨berproportional verzerren. Ist der Selektionsbeitrag Sit gleich null, so folgt aus (20), dass ΓSit gleich eins ist, und somit auch keine Anpassung erfolgt. Somit ist gew¨ahrleistet, dass durch die Verteilung der Restterme keine Beitr¨age entstehen, welche im nicht optimierten Fall auch nicht vorhanden sind. Durch Optimierung der im Anhang B aufgef¨ uhrten Zielfunktion, welche die funktionale S Form der ΓA uckit und Γit sowie die Nebenbedingung einer resttermfreien Aggregation ber¨

sichtigt, ergeben sich die Anpassungsfaktoren zu ΓSit = exp[Qt ln2 (1 + Sit )]

(22)

2 ΓA it = exp[Qt ln (1 + Ait )].

(23)

und

Qt wird bestimmt als ln(1 + RP t ) − ln(1 + RBt ) − Qt =

N  i=1

ln2 (1 + Sit0 ) +

N 

i=1 N 

ln[(1 + Sit0 )(1 + A0it )] .

(24)

ln2 (1 + A0it )

i=1

Anhand eines Beispiels wird das multiplikative Verfahren dem additiven Verfahren mit relativem Markttiming nach Brinson et.al. gegen¨ ubergestellt. Die Daten, insbesondere die Gewichte und Renditen des Portfolios bzw. des Benchmarks u ¨ber die drei Perioden sind in Tabelle 2 dargestellt.118 Es wird von einem Portfoliomanager ausgegangen, der in Anleihen verschiedener Ratingklassen investiert. In Ratingklasse 1 betreibt er aktive Wertpapierselektion und bel¨asst die Gewichtung u ¨ber die drei Perioden unver¨andert. Hierbei ist er in den Perioden 2 und 3 erfolgreich, in Periode 1 hingegen nicht. Die Selektionsbeitr¨age in der ersten und dritten Periode gleichen sich exakt aus, d.h. allein der positive Selektionsbeitrag aus Periode zwei sollte maßgebend sein f¨ ur das Gesamtergebnis. In den u ¨brigen beiden Ratingklassen setzt der Portfoliomanager auf Markttiming, indem er die Klassen jeweils unter- bzw. u ¨bergewichtet. Seine Timingf¨ahigkeit f¨allt in den ersten beiden Perioden positiv, in der letzten negativ aus. Die erzielte aktive Rendite nach drei

118

Das Beispiel ist in leicht abgewandelter Form Menchero (2005) entnommen.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

Periode/Ratingklasse Periode 1 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 1 Periode 2 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 2 Periode 3 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 3 Gesamt (¨ uber alle Perioden)

33 Gewichte Portfolio Benchmark WP it WBit

Rendite Portfolio Benchmark RP it RBit

20% 50% 30% 100%

20% 20% 60% 100%

0,00% 4,00% -4,00% 0,80%

10,00% 4,00% -4,00% 0,40%

20% 40% 40% 100%

20% 30% 50% 100%

6,00% 14,00% 12,00% 11,60%

5,00% 14,00% 12,00% 11,20%

20% 50% 30% 100%

20% 30% 50% 100%

10,00% 16,00% 24,00% 17,20% 31,84%

0,00% 16,00% 24,00% 16,80% 30,40%

Tabelle 2: Ausgangsdaten der Attributionsanalyse. Die Tabelle zeigt die Ausgangsdaten der jeweiligen Periode f¨ ur die Attributionsanalyse. Perioden betr¨agt im additiven Fall 144 Basispunkte119 und im multiplikativen Fall 110,5 Basispunkte120 . Tabelle 3 zeigt die ermittelten Komponenten in den jeweiligen Perioden sowie verkn¨ upft zur Totalperiode. Das multiplikative Verfahren zeigt als Managementbeitrag exakt die 110,5 BP. Das arithmetische Verfahren hingegen weist je nachdem ob zuerst u ¨ber die Timing- bzw. Selektionsbeitr¨age, die Beitr¨age in den Ratingklassen oder u ¨ber die Periodenperformance die Ergebnisse der Gesamtperiode ermittelt werden, eine Performance von 112,3 BP, 122,8 BP oder 120,5 BP aus. Somit ergibt sich ein Fehlbetrag zwischen 21 BP und 32 BP zu dem ermittelten Beitrag von 144 BP. Erwartungsgem¨aß tritt ein Selektionsbeitrag nur in der ersten Ratingklasse auf, dessen Gr¨oßenordnung von dem Ergebnis der zweiten Periode maßgeblich bestimmt wird. Allerdings gleichen sich im additiven Fall die Selektionsbeitr¨age der ersten und die dritten Periode nicht vollst¨andig aus, sondern f¨ uhren zu einer Verringerung des Selektionsbeitrages um 4 BP.121 Bemerkenswert im additiven Fall ist der intertemporale Interaktionsterm u ¨ber die Gesamtperiode hinweg, obwohl sich in jeder Periode in der Summe kein Restterm ergibt, da sich die Interaktionsterme der jeweiligen Klassen ausgleichen. Verkn¨ upft man jedoch die Ergebnisse auf Ratingklassenebene und nicht auf Ebene der Timing- und Selektionsbeitr¨age122 zum Gesamtergebnis, so tritt ein intertemporaler Interaktionsterm (Scheineffekt) in H¨ohe von 8,6 Basispunkten auf. Ein Vergleich der additiven mit der multiplikativen Attribution zeigt auf Ebene der Perioden, dass die Timing- und Selektionsbeitr¨age (z.B. Selektion in Periode 1, Ratingklasse 119

(0,3184 - 0,3040)*10000 = 144

120

( 1+0,3184 1+0,304 − 1) ∗ 10000 = 110, 5.

121

((1 + 0, 02) ∗ (1 + (−0, 02)) − 1) ∗ 10000 = −4.

122

Der Interaktionsterm geh¨ ort auch zu den Beitr¨ agen dieser Ebene.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

34 Periode/Ratingklasse Periode 1 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 1 Periode 2 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 2 Periode 3 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 3 Gesamte Periode Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt (Klassen) Gesamt (Perioden)

Selektion -2,000% 0,000% 0,000% -2,000%

Timing 0,000% 1,080% 1,320% 2,400%

Arithmetisch Interaktion 0,000% 0,120% -0,120% 0,000%

Gesamt -2,000% 1,200% 1,200% 0,400%

Selektion -1,965% 0,000% 0,000% -1,965%

Geometrisch Timing 0,000% 1,077% 1,320% 2,411%

Gesamt -1,965% 1,077% 1,320% 0,398%

0,200% 0,000% 0,000% 0,200%

0,000% 0,280% -0,080% 0,200%

0,000% 1,120% -1,120% 0,000%

0,200% 1,400% -1,200% 0,400%

0,187% 0,000% 0,000% 0,187%

0,000% 0,255% -0,083% 0,172%

0,187% 0,255% -0,083% 0,360%

2,000% 0,000% 0,000% 2,000%

0,000% -0,160% -1,440% -1,600%

0,000% 3,360% -3,360% 0,000%

2,000% 3,200% -4,800% 0,400%

2,011% 0,000% 0,000% 2,011%

0,000% -0,155% -1,484% -1,636%

2,011% -0,155% -1,484% 0,342%

0,160% 0,000% 0,000% 0,160% 0,160%

0,000% 1,201% -0,219% 0,982% 0,963%

0,000% 4,643% -4,557% 0,086% 0,000%

0,160% 5,844% -4,776% 1,228% 1,123%/1,205%

0,194% 0,000% 0,000% 0,194% 0,194%

0,000% 1,179% -0,266% 0,909% 0,909%

0,194% 1,179% -0,266% 1,105% 1,105%

Tabelle 3: Gegen¨ uberstellung der Attributionsergebnisse. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der arithmetischen sowie der geometrischen Attributionsanalysen auf Basis der Daten aus Tabelle 2.

1: 200 BP zu 197 BP, oder Timing in Periode 1, Ratingklasse 2: 108 BP zu 108 BP) sich gr¨oßenordnungm¨aßig entsprechen. Innerhalb der Periode unterscheiden sich die Gesamtbeitr¨age der einzelnen Klassen erheblich, insbesondere fallen die schon erw¨ahnten betr¨achtlichen Interaktionsterme im additiven Fall auf. Diese entstehen aufgrund der relativen Bestimmung des Timings. In der Gesamtbetrachtung u ¨ber alle Perioden hinweg ergibt sich im multiplikativen Fall ein Selektionsbeitrag von 19 BP, was fast exakt dem Beitrag aus Periode 2 entspricht. Der reine multiplikative Effekt betr¨agt knapp 20 BP, so dass aufgrund der Verteilung des Resttermes ein Unterschied von 1 BP entsteht.123 Das Verfahren zeigt, dass die gegl¨atteten Werte innerhalb der Perioden im multiplikativen Verfahren sehr nah an den additiven und damit intuitiv zu pr¨ ufenden Werten liegen und ein Ausweis von teilweise erheblichen Interaktionstermen unterbleibt.124 Nach der Gl¨attung erf¨ ullt das multiplikative Verfahren die oben aufgestellten, quantitativen Anforderungen. Sowohl auf der Ebene der Timing- und Selektionskomponenten als auch auf Ratingklassenebene lassen sich die Ergebnisse zum Gesamtergebnis verkn¨ upfen (vollst¨andige Verkn¨ upfbarkeit und Resttermfreiheit). Ebenfalls werden die Ergebnisse konsistent innerhalb der Periode gegl¨attet. Die Kommutativit¨at gilt f¨ ur das multiplikative Verfahren ohnehin.125 2.3.3

Spezielle Attributionsverfahren f¨ ur Anleihenportfolios

Die Ausgangssituation einer Attributionsanalyse f¨ ur Anleihen ist die gleiche wie f¨ ur Aktien. Im Vordergrund stehen die Fragen nach dem geschaffenen Mehrwert, den Ursachen und der Kontinuit¨at der Ergebnisse. W¨ahrend sich die klassischen Performancemaße und Attributionsverfahren traditionell mit Aktienportfolios besch¨aftigen, werden sie dennoch 123

Der gesamte Managementbeitrag im multiplikativen Fall ohne Verteilung des Resttermes betr¨ agt ca. 113 BP, d.h. insgesamt sind 3 BP zu verteilen.

124

Da einmal eine Gl¨attung innerhalb der Periode unternommen wird, beim anderen aber eine Gl¨ attung u ankt vergleichbar. Jedoch ¨ber die Perioden unterbleibt, sind die beiden Verfahren nicht uneingeschr¨ dient das Beispiel vorrangig der Illustration der verschiedenen Effekte.

125

Im Anhang werden noch zwei weitere Verfahren dargestellt und an dem gegebenen Beispiel u uft. ¨berpr¨ Vgl. Anhang B.2.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

35

auf Anleihenportfolios angewandt.126 Einschr¨ankungen erfahren die Performancemaße, welche auf dem CAPM fußen. Deren Anwendbarkeit auf Anleihen wird mit Blick auf die Besonderheiten, wie begrenzte Laufzeit und fester R¨ uckzahlungsbetrag127 regelm¨aßig verneint.128 Insgesamt besch¨aftigen sich jedoch wenige Ver¨offentlichungen mit expliziten Attributionsverfahren f¨ ur Anleihen. Dies kann daran liegen, dass ein besonderes Verfahren nicht f¨ ur n¨otig oder dass der Bereich der Anleihenportfolios als weniger wichtig erachtet werden. Letzteres l¨asst sich mit Blick auf die investierten Volumina praktisch ausschliessen.129 Verfechter eines gesonderten Ansatzes zur Attributionsanalyse f¨ ur Rentenportfolios argumentieren, dass der Managementansatz f¨ ur Anleihen sich grunds¨atzlich von dem f¨ ur Aktienportfolios unterscheidet.130 Aufgrund weniger dominierender Performancetreiber und zu ber¨ ucksichtigender Risiken wird vor allem bestritten, dass es im Anleihenmarkt m¨oglich bzw. sinnvoll ist, Anleihen-Selektion zu betreiben.131 Die wesentliche Abh¨angigkeit der Rendite von Anleihen von der allgemeinen Zinsentwicklung l¨asst keinen Raum f¨ ur bond-picking. Als sinnvolle Methodik wird die Zerlegung der Gesamtrendite entlang der Ver¨anderungen der Zinsstrukturkurve respektive Spreadstrukturkurve132 vertreten. Abbildung 5 zeigt beispielhaft die Zerlegungseinheiten einer Attributionsanalyse nach Campisi (2000) auf. Grunds¨atzlich unterscheidet Campisi (2000) nach dem Kuponertrag und dem Ertrag, welcher sich aus Kurs¨anderungen ergibt. Verantwortlich f¨ ur die Kurs¨anderungen k¨onnen ¨ Anderungen in der Form und Lage der risikolosen Zinsstrukturkurve sein. Dieser Teil orientiert sich an den risikolosen Staatsanleihen des entsprechenden W¨ahrungsraumes. Zus¨atzlich kann es Ver¨anderungen des Ausfallrisikos einer Anleihenklasse geben, was sich in Ver¨anderungen der riskanten Zinsstrukturkurve, d.h. der Spreadstrukturkurve, niederschl¨agt. Der Rest wird als Selektionsertrag bezeichnet, da im genannten Zerlegungsrahmen dieser Rest auf superiore (oder inferiore) Auswahl der Anleihen zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Lord (1997) schl¨agt ein a¨hnliches Vorgehen vor, verfeinert aber die Zerlegung noch zus¨atzlich, ¨ indem er z.B. die Anderung der Zinsstrukturkurve auf Niveau¨anderungen, Steigungs¨ande126

In Brinson et.al. (1986) z.B. wird das vorgeschlagene Attributionsverfahren auch auf die Assetklasse der Anleihen angewandt. Fong et.al. (1983), Kuberek (1995) sowie Kielkopf (1995) propagieren ebenfalls Attributionssysteme f¨ ur Anleihen, welche die Komponenten Timing und Selektion beinhalten.

127

Von ewigen Anleihen (consol bonds) wird hier abgesehen. Ebenso existieren nat¨ urlich Anleihen, bei denen der R¨ uckzahlungsbetrag zu Laufzeitbeginn noch nicht bekannt ist. Von diesen wird ebenfalls abstrahiert.

128

Eine Anwendung der CAPM-basierten Performancemaße wird in Theissen/Greifzu (1998) vorgeschlagen. Die Autoren gehen auch auf die Annahmen und Voraussetzungen ein, welche erf¨ ullt sein m¨ ussen, um die Anwendung zu rechtfertigen.

129

Betrachtet man die Statistik des Bundesverbandes Investment und Asset Management e.V. (BVI), so sind die Fondsverm¨ ogen der Rentenfonds fast u oher als die ¨ber den gesamten Zeitraum deutlich h¨ in Aktienfonds investierten Verm¨ ogen. Erst seit dem Jahr 1999 waren die in Aktienfonds investierten Verm¨ogen h¨oher. Ende 2005 betrug das Fondsverm¨ ogen der Publikumsfonds in Aktien 179,7 Milliarden Euro und das Fondsverm¨ ogen in Renten 173,9 Milliarden Euro. F¨ ur die USA sind traditionell die Fondsverm¨ogen in Aktien h¨ oher. Dort betragen laut des monthly mutual fund report der Federal Reserve Bank of Boston mit Stand Februar 2006 die Fondsverm¨ ogen in Aktien ca. 5 Billionen US-Dollar und die in Renten ca. 2 Billionen US-Dollar.

130

Vgl. Spaulding (2003), S.53f oder Lord (1997), S.45f.

131

Vgl. z.B. Campisi (2000), S.15.

132

Zur Definition der Begriffe wird auf Kapitel 3 bzw. Kapitel 4 verwiesen.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

36 Gesamter Ertrag

Kupon-

Kurs-

Ertrag

Ertrag

Ertrag aus Änderung risikoloser ZSK

Ertrag aus Änderung riskanter ZSK

SelektionsErtrag (Rest)

Abbildung 5: Anleihenattribution nach Campisi (2000). Die Abbildung stellt schematisch das Attributionsverfahren nach Campisi (2000) f¨ ur Anleihen dar. Das K¨ urzel ZSK steht f¨ ur Zinsstrukturkurve.

rungen und Drehungen zur¨ uckf¨ uhrt. Diese Vorgehensweisen implizieren, dass das Management auf der ersten Stufe Ratingklassen-, Laufzeit- und damit eng verbunden Durationsentscheidungen trifft. Auf der zweiten Stufe erfolgt dann die Anleihenauswahl unter der Maßgabe, die zuvor festgelegten Eckdaten einzuhalten. Ausschlaggebend f¨ ur die Beurteilung der Angemessenheit eines Verfahrens ist, ob es die Entscheidungen des Portfoliomanagement widerspiegelt. Die Tatsache, dass Portfoliomanager f¨ ur den Bereich des Managements von Anleihen auf v¨ollig unterschiedliche Methoden, Tools und Daten als f¨ ur das Management von Aktienportfolios zur¨ uckgreifen, ist unstrittig. Die getroffenen Entscheidungen und Konsequenzen differieren jedoch nicht. Entspricht die Positionierung auf der Zinsstrukturkurve und die Ver¨anderung der Duration des Portfolios nicht den Timing-Entscheidungen im Aktienbereich? Kuberek (1995) und andere vertreten exakt diese Sichtweise. Eine solche Vorgehensweise erm¨oglicht einen Vergleich der Timing- und Selektionsf¨ahigkeiten u ¨ber Assetklassen hinweg, was gerade bei gemischten Portfolios sinnvoll ist.

2.4

Bestimmung eines Benchmarks und M¨ oglichkeiten der Risikoadjustierung

Die Bedeutung des Benchmarks f¨ ur die Operationalisierung der Anlegerziele wurde schon bei der Prozessbeschreibung des Portfoliomanagements erw¨ahnt. W¨ahrend traditionelle Maße sich auf breite Marktindizes als Benchmark st¨ utzen133 , besteht in der Praxis eine klare Tendenz zu speziellen, maßgeschneiderten Indizes, die auf den Managementansatz bzw. -stil der Verm¨ogensverwalter abgestimmt sind.134 Die Bedeutung eines ad¨aquaten Benchmarks im Rahmen der Attributionsanalyse ist nicht zu untersch¨atzen. Legt man einen Benchmark als Vergleichsmaßstab fest, welcher nicht zu dem gew¨ahlten Manage133

Die Motivation f¨ ur die Nutzung breiter Marktindizes leitet sich aus dem CAPM ab.

134

Die Deutsche Performancemessungs-Gesellschaft f¨ ur Wertpapierportfolios mbH (DPG) bietet z.B. diese Dienstleistung an.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

37

mentansatz passt, ist eine Fehlbeurteilung der Leistung sehr wahrscheinlich. Im Kern sollte ein Benchmark eine echte Anlagealternative darstellen, an der die Leistung des Portfoliomanagers sinnvoll gemessen werden kann.135 Der Benchmark transformiert gleichsam die Zielsetzungen und Vorgaben des Investors in ein am Markt realisierbares Portfolio, das als Messlatte f¨ ur die Managementaktivit¨aten des Verm¨ogensverwalters dient.136 Um die Bestimmung eines Benchmark zu objektivieren, formuliert Sharpe (1992 vier Anforderungen, welche durch Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003) um eine weitere erg¨anzt werden.137 • Reale Anlagealternative: Als elementare Anforderung sollte ein Benchmark bzw. die ihn konstituierenden Wertpapiere grunds¨atzlich durch den Portfoliomanager zu erwerben sein. • Kosteng¨ unstige Anlagealternative: Die Replizierung des Benchmarks sollte kosteng¨ unstig durch den Portfoliomanager durchf¨ uhrbar sein. Dieser Punkt betrifft beispielsweise die H¨ohe der Transaktionskosten, wenn die regelm¨aßig erfolgenden ¨ Anderungen der Gewichtungen in Marktindizes nachvollzogen werden sollen.138 • Effiziente Anlagealternative: Als vern¨ unftiger Maßstab f¨ ur die Leistungen des Verm¨ogensverwalters darf der Benchmark risikoadjustiert nicht leicht zu u ¨bertreffen sein. Gerade breite Marktindizes werden nicht unter Effizienzgesichtspunkten konstruiert, sondern nach Marktkapitalisierung, B¨orsenumsatz etc.139 • Gleiche Restriktionen: Eng verbunden mit dem ersten Punkt, sollte sowohl f¨ ur den Benchmark als auch f¨ ur das Portfolio die gleichen rechtlichen wie praktischen Restriktionen gelten. In §60 des InvG werden beispielsweise H¨ochstgrenzen f¨ ur Wertpapiere einzelner Aussteller genannt, welche durch den Portfoliomanager nicht u ¨berschritten werden d¨ urfen. Prinzipiell sollten diese Vorgaben auch f¨ ur den Benchmark gelten, um die Vergleichbarkeit zu erhalten.140 • Ex-ante Festlegung : Um ein g¨ ultiger Maßstab f¨ ur die Leistung des Portfoliomanagers zu sein, muss der Benchmark vorab definiert werden. Dies schließt nat¨ urlich 135

Diese Sichtweise entspricht der u assiges Alternativport¨blichen Definition eines Benchmarks als zul¨ folio. Theoretisch ist es auch denkbar, eine Benchmark in absoluter H¨ ohe z.B. als zu u ¨bertreffende Rendite vorzugeben bzw. eine Benchmark als die Summe aller Restriktionen und Ziele des Investors zu verstehen. W¨ahrend erstere M¨ oglichkeit einer Operationalisierung zug¨ anglich ist, muss letztere M¨oglichkeit in messbare Gr¨ oßen transformiert werden, um einer quantitativen Auswertung zu gen¨ ugen.

136

Vgl. Garz et.al. (2004), S. 324f.

137

Vgl. Sharpe (1992), S. 16 und Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 62.

138

Maurer (1996) bezeichnet diese als passive Transaktionskosten, die nur der Indexreplizierung dienen. Im Gegensatz dazu bezeichnet er als aktive Transaktionskosten, diejenigen Kosten, welche durch bewusste Abweichungen von der Benchmark entstehen. Vgl. Maurer (1996), S.140f.

139

Die Effizienz l¨asst sich beispielsweise durch Regressionsanalysen mit weiteren Indizes u ufen. ¨berpr¨

140

Obeid (2003) nennt als zus¨ atzliche Restriktionen die Liquidit¨ at in kleinen Marktsegmenten und den Zwang eine negative, aktive Position einzugehen, falls ein Instrument ein sehr großes Gewicht in der Benchmark hat und aus Diversifikationsgr¨ unden im Portfolio nicht in gleicher H¨ ohe gehalten werden kann. Vgl. Obeid (2003), S. 94f.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

38

¨ keine nachtr¨aglichen Anderungen und Anpassungen des Benchmarks aus, wenn diese bei der Beurteilung ber¨ ucksichtigt werden. An diesem Punkt scheitern oft die in der Praxis beliebten, vornehmlich zu Marketingzwecken verwendeten Peer-GroupVergleiche141 , da deren Zusammensetzung in aller Regel nicht von vorneherein bekannt ist. Ein unter diesen Gesichtspunkten konstruierter Benchmark gibt die grunds¨atzliche Anlagestrategie vor und dient als individuelle Messlatte f¨ ur die Erfolgskontrolle. Jedoch darf angezweifelt werden, dass er auch die in vielen Studien unterstellte Risiko¨aquivalenz zu einem aktiv verwalteten Portfolio erf¨ ullt. Durch ein aktives Portfoliomanagement wird bewusst von den langfristigen Vorgaben repr¨asentiert durch den Benchmark abgewichen, um entweder das Risiko zu senken oder zus¨atzlichen Ertrag zu generieren. In beiden F¨allen ist eine Risiko¨aquivalenz nicht bzw. nur in Ausnahmef¨allen gegeben und damit eine vollst¨andige Erfassung des Risikos des aktiv verwalteten Portfolios durch Relativierung auf den Benchmark nicht sichergestellt. Die korrekte Einbeziehung des Risikos in die Performanceanalyse im allgemeinen sowie in die Attributionsanalyse im besonderen ist ungleich umstrittener als die richtige Ermittlung der Rendite.142 Geeignet f¨ ur die Performanceanalyse sind grunds¨atzlich die quantitativen Risikodefinitionen.143 Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf der Grundlage der m¨oglichen Renditeerwartungen und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten das Risiko ermit¨ teln.144 Eine Ubersicht u ¨ber die in der Performancemessung u ¨blichen Risikomaße findet sich u.a. in Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 8ff und in Wittrock (1995), S. 26ff. Ein auf dieser Grundlage ausgew¨ahltes Risikomaß kann der Portfoliodekomposition folgend auf den einzelnen Zerlegungsstufen absolut oder relativ zum Benchmark berechnet und analog einer Renditeattribution als Risikoattribution ausgewiesen werden.145 Alternativ wird die Konzeption der risikoadjustierten Rendite aufgegriffen. Dazu bedarf es wie bei den dargestellten APT- bzw. CAPM-Maßen eines Bewertungsmodelles, um eine Beziehung zwischen der erwarteten Rendite und dem Risiko herzustellen. Mit Hilfe des Bewertungsmodelles ist es m¨oglich, sowohl die Portfoliorendite als auch die Benchmarkrendite in ihrer risikoadjustierten Form zu bestimmen und eine Attributionsanalyse im klassischen Sinne durchzuf¨ uhren. 146 In Kapitel drei werden das entsprechende Bewertungsmodell f¨ ur Anleihen vorgestellt und die damit erfassten Risikopr¨amien quantifiziert. Ein beliebter Einwand gegen¨ uber risikoadjustierten Renditen ist, dass Anleger nur daran 141

Unter Peer-Group-Vergleichen wird die relative Beurteilung des Portfolios zu denen von Mitbewerben verstanden. Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 67f.

142

Im Rahmen der Performancemessung in Abschnitt 2.2.2 wurde schon auf die Notwendigkeit der Einbeziehung sowie auf die M¨ oglichkeiten der Ber¨ ucksichtigung des Risikos mit Hilfe von auf dem CAPM basierenden Performancemaßen eingegangen.

143

Die qualitativen Definition wie eine Ratingeinstufung k¨ onnen z.B. u ¨ber ein Mapping in Ausfallwahrscheinlichkeiten operabel gemacht werden. In aller Regel eignen sie sich jedoch nicht f¨ ur den Einsatz in der Performanceanalyse.

144

Vgl. Wittrock (1995), S. 22f. Zur Bewertung des so ermittelten Risikos ist die Einbeziehung der Pr¨aferenzen des Investors unabdingbar. Dazu kann auf die Theorie des Risikonutzens zur¨ uckgegriffen werden.

145

Vgl. Wolfert (2003), S. 174ff.

146

Als risikoadjustiertes Performancemaß in der Tradition der CAPM-Maße reicht es aus, die Portfoliorendite entsprechend zu adjustieren.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

39

interessiert seien, ob sie Geld verdient haben oder nicht.147 In der ex-post Perspektive sollte deshalb das eingegangene Risiko keine Rolle mehr spielen. F¨ ur die reine Renditemessung mag man das akzeptieren, im Rahmen einer Performanceanalyse als Grundlage zuk¨ unftige Anlageentscheidungen wird jedoch gerade die Entstehung der erzielten Rendite beleuchtet und dabei kann auf eine Einbeziehung des Risikos nicht verzichtet werden.

2.5

Zweistufiges, multiplikatives Attributionsverfahren fu ¨r Anleiheportfolios

Die Grundprobleme einer Zerlegung des Anlageerfolges in die Komponenten Timing und Selektion wurden in den vorhergehenden Abschnitten diskutiert. Eine gew¨ahlte Zerlegungshierarchie wird maßgeblich durch den Ansatz des Portfoliomanagements bestimmt. Bei der angestrebten theoretischen Fundierung der Performanceanalyse von Anleiheportfolios spiegeln sich die Entscheidungsm¨oglichkeiten des Managements idealerweise in den Dimensionen des Bewertungsmodelles sowie in der Attributionshierarchie wider. Bei der in Kapitel drei dargestellten Form des Kreditrisikomodelles kommt eine Zerlegung nach der Risikoeinsch¨atzung sowie der Laufzeitstruktur in Frage. Konkret bedeutet dies eine Zerlegung nach Ratingklassen als Substitut der Ausfallwahrscheinlichkeit148 und nach Restlaufzeiten. Die Festlegung auf eine derartige Zerlegung stellt von der Attributionsmethodik her keine Einschr¨ankung dar, da das Verfahren auf weitere Zerlegungsstufen u ¨bertragbar ist. Die Einschr¨ankungen bez¨ uglich der Entscheidungsparameter k¨onnen durch eine Erweiterung des Bewertungsmodells aufgehoben werden.149 In der Auswahl der Kriterien Ratingklasse und Restlaufzeit kommt die Positionierung des Verm¨ogensverwalters gegen¨ uber den bei Anleihen maßgebenden Ausfall- und Zins¨anderungsrisiken150 zum Ausdruck. Mit Hilfe einer Zerlegung lassen sich dann folgende, beispielhafte Fragen beantworten:151 1. Welchen Beitrag (Timing) lieferte die Gewichtung der einzelnen Ratingklassen bzw. Restlaufzeitklassen (relativ zur Benchmark) zur aktiven Rendite? 2. War die Investition (Timing/Selektion) in eine bestimmte Ratingklasse erfolgreich? 3. War die Wahl (Timing) der Laufzeitstruktur ertragbringend? 4. Hatte die Auswahl (Selektion) der Einzeltitel einen Einfluss auf die aktive Rendite?

147

Gerne genannt in diesem Zusammenhang wird das Zitat von William John Mikus von Mikus Capital Management. People cannot eat risk-adjusted return. Investors just care whether they made money ” or not.“

148

Bei einigen Ratinggesellschaften geht auch die Ausfallh¨ ohe in das Rating ein.

149

Das verwendete Modell ist in der Lage weitere, wenn auch nicht beliebige Faktoren wie z.B. eine Liquidit¨atskomponente abzubilden. Vgl. dazu Kapitel 3.

150

Je nach Anlagehorizont des Investors ist es m¨ oglich sich gegen Zins¨ anderungsrisiken durch die Auswahl eines Portfolios entsprechender Duration zu immunisieren. Da jedoch in der vorliegenden Arbeit eine relative auf die Fonds bezogene Performancemessung im Vordergrund steht, im Gegensatz zu einer absoluten auf den Nutzen des Investors bezogenen Performancemessung, wird von einer expliziten Einbeziehung etwaiger Entnahmepr¨ aferenzen bzw. individueller Anlagehorizonte abgesehen.

151

Vgl. Fischer (2001), S. 106.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

40

A Ratingkl.

P_Gewicht: 60% B_Gewicht: 50% P_Rendite: -1,67% B_Rendite: -1,00%

A1 Laufzeit

P_Gewicht: 40% B_Gewicht: 25% P_Rendite: -4% B_Rendite: -4%

A2 P_Gewicht: 20% B_Gewicht:25% P_Rendite: 3% B_Rendite: 2%

B

P_Gewicht: 40% B_Gewicht: 50% P_Rendite: 5,25% B_Rendite: 4,50%

B1

B2

P_Gewicht: 10% B_Gewicht: 25% P_Rendite: 6% B_Rendite: 3%

P_Gewicht: 30% B_Gewicht: 25% P_Rendite: 5% B_Rendite: 6%

Abbildung 6: Beispiel: Zerlegung eines Portfolios. Die Abbildung stellt eine Zerlegung eines hypothetischen Rentenportfolios nach Ratingklassen und Restlaufzeitklassen dar. Die Werte f¨ ur das Portfolio sind mit einem f¨ uhrenden P bezeichnet und die Werte der Benchmark entsprechend mit B. Um die Abh¨angigkeit dieser Fragen von der gew¨ahlten Zerlegungsstufe zu demonstrieren, wird auf der Grundlage des Beispiels aus Abbildung 6 eine Attributionsanalyse durchgef¨ uhrt. Die Anlagem¨oglichkeiten bestehen aus der Auswahl zweier Restlaufzeitklassen 1 und 2 sowie zweier Ratingklassen, welche mit A und B bezeichnet sind. Man stelle sich etwa die Ratingklassen AAA und AA unter der Klasse A vor, sowie die Ratingklassen A und BBB unter der Klasse B.152 Die Restlaufzeitklasse 1 k¨onnte alle Anleihen unter f¨ unf Jahren Restlaufzeit beinhalten sowie die Klasse 2 alle Anleihen u unf Jahren. ¨ber f¨ Auf der ersten Stufe wird nach der Ratingklasse differenziert. F¨ ur das Portfolio wird eine ¨ Ubergewichtung in Klasse A und demzufolge eine Untergewichtung in Klasse B um zehn Prozentpunkte gegen¨ uber dem Benchmark unterstellt. Der Benchmark ist zu gleichen Teilen in den Klassen investiert. Auf der zweiten Stufe wird nach den Restlaufzeitklassen unterteilt, wobei die Gewichte in Bezug auf das insgesamt angelegte Volumen angegeben sind. Wird die in Abschnitt 2.3.2 vorgestellte multiplikative Zerlegung auf unterster Stufe angewendet, so ergeben sich die in Tabelle 4 dargestellten Ergebnisse f¨ ur die Komponenten Timing und Selektion. Komponente/ Selektion Klasse A1 0,000% A2 0,200% B1 0,300% B2 -0,294% Gesamt 0,205%

Timing

Gesamt

-0,854% -0,854% -0,013% 0,187% -0,188% 0,112% 0,213% -0,082% -0,842% -0,639%

Tabelle 4: Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung auf unterster Stufe

152

Die angegebene Notation f¨ ur die Ratingklassen folgt der von Standard&Poor’s.

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

41

Die aktive Rendite betr¨agt153

Ra =

1 + RP 1 + 0, 011 − 1 = −0, 639%. −1= 1 + RB 1 + 0, 0175

(25)

¨ Wie die Ubersicht zeigt kommt die negative aktive Rendite vor allem durch unvorteilhaftes Timing zu Stande. Die Selektion ist außer in der Klasse B2 nicht negativ. Diese Ergebnisse entsprechen der intuitiven Auswertung der Ausgangsdaten. In der Klasse A1 erzielte das Portfolio eine negative Rendite von -4%, ebenso wie der Benchmark. Folglich bewies der Portfoliomanager in diesem Bereich keine Selektionsf¨ahigkeiten. In den Klassen A2 und B1 gelang es dem Portfolioverwalter durch geeignete, abweichende Titelauswahl den Benchmark zu schlagen, was zu einem positiven Ausweis des Selektionsergebnisses f¨ uhrt. F¨ ur die Klasse B2 gelang dies nicht. Die negativen Timingkomponenten ergeben sich f¨ ur die Klasse A1 aus dem Grund, dass der Portfoliomanager einen Bereich u ¨bergewichtet hat, dessen Rendite unter der durchschnittlichen Benchmarkrendite liegt. F¨ ur die Klassen A2 und B1 gilt, dass diese untergewichtet wurden, obwohl sie eine Rendite u ¨ber dem Durchschnitt des Benchmark erzielt haben. Ein positiver Timingeffekt wird nur in der letzten Klasse ausgewiesen, da dort ein Bereich u ¨bergewichtet wurde, dessen Rendite u ¨ber der durchschnittlichen Benchmarkrendite liegt. Werden die Ausgangsdaten zun¨achst auf der Ebene der Ratingklassen aggregiert, ohne die Informationen der zweiten Stufe zu ber¨ ucksichtigen, und dann die Selektions- und Timingf¨ahigkeit ermittelt, ergeben sich die folgenden Ergebnisse. Komponente/ Selektion Timing Gesamt Klasse 1 -0,395% -0,271% -0,665% 2 0,299% -0,272% 0,026% Gesamt -0,097% -0,542% -0,639% Tabelle 5: Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung auf erster Stufe

Ein Vergleich mit der letzten Zeile von Tabelle 4 zeigt, dass nun eine insgesamt negative Selektionsf¨ahigkeit ausgewiesen wird. Dies gilt auch f¨ ur die Selektionsf¨ahigkeit in der Ratingklasse A allein, obwohl bei der tiefergehenden Analyse in Tabelle 4 eine positive bzw. nicht-negative Selektionsf¨ahigkeit f¨ ur die zwei Restlaufzeitklassen des Ratingsegments A bescheinigt wurde. Ausl¨oser daf¨ ur ist die starke Gewichtung der Ratingklasse A im Laufzeitsegment 1, in welchem eine negative Rendite erzielt wurde. Dies f¨ uhrt in der Aggregation der Segmente zu einer gegen¨ uber dem Benchmark schlechteren Rendite und somit zu einer per Definition inferioren Auswahl der Anleihen innerhalb des Portfolios. Da die Gesamtperformance sich nicht ¨andert, wird die Timingf¨ahigkeit etwas g¨ unstiger, aber immer noch negativ beurteilt. Der Vergleich der Abbildung 6 und der Tabelle 5 zeigt, dass die Reihenfolge der Aggregationsschritte einen Einfluss auf das Vorzeichen und die H¨ohe der ermittelten Selektions- und 153

Die Portfoliorendite bzw. die Benchmarkrendite ergeben sich zu RP = 0, 6 · −0, 0167 + 0, 4 · 0, 0525 = 0, 011 und RB = 0, 5 · −0, 01 + 0, 5 · 0, 045 = 0, 0175

42

2 DIE PERFORMANCEANALYSE

Timingf¨ahigkeit besitzen k¨onnen. Um diesen Effekt zu vermeiden, werden im Weiteren eine Analyse auf der untersten Ebene vorgenommen und die Ergebnisse stufenneutral“ in ” Matrixform dargestellt. Hierbei werden unabh¨angig von der sp¨ater gew¨ unschten Auswertungstiefe das Portfolio und der Benchmark soweit als m¨oglich zerlegt.154 In unserem Beispiel entscheidet der Portfoliomanager entlang der zwei Dimensionen Laufzeit und Ratingklasse, so dass die in Tabelle 4 dargestellte Zerlegung die feinste ist. Ausgehend von dieser feinsten Zerlegung wird auf die gew¨ unschte Auswertungsstufe aggregiert. Wird anhand weiterer Kriterien entschieden, so reicht die Matrixdarstellung nicht aus und es m¨ ussen zus¨atzliche Dimensionen zur Zerlegung herangezogen werden. Diese im Weiteren angewandte Vorgehensweise ist f¨ ur obiges Beispiel in Tabelle 6 zusammengefasst. Die Ergebnisse in den einzelnen Matrixelementen stimmen mit denen in Tabelle 4 u ¨berein. A B 1 T: -0,854% T: -0,013% T: S: 0,000% S: 0,200% S: 2 T: -0,188% T: 0,213% T: S: 0,300% S: -0,294% S: Gesamt T: -1,040% T: 0,200% T: S: 0,300% S: -0,095% S: Managementbeitrag

Gesamt -0,866% 0,200% 0,025% 0,005% -0,842% 0,205% -0,639%

Tabelle 6: Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung in Matrixform

Die oben angesprochene Aggregation auf Ebene der Ratingklassen offenbart nun ein korrektes Bild. Die Selektionseffekte sind f¨ ur beide Ratingklassen positiv und betragen 0,2% bzw. 0,005%. Und wie schon festgestellt resultiert der negative Gesamtbeitrag des aktiven Managements in H¨ohe von -0,639% aus einem negativen Timingbeitrag von -0,842% und einem positiven Selektionsbeitrag von 0,205%. Der negative Timingbeitrag ist haupts¨achlich auf das negative Timing in H¨ohe von -0,866% aus Ratingklasse 1 zur¨ uckzuf¨ uhren. Zusammenfassend lassen sich anhand dieses Schemas die Beitr¨age der Selektions- und Gewichtungsentscheidungen innerhalb der einzelnen Rating- und Laufzeitklassen bestimmen und die eingangs gestellten Fragen beantworten.

154

Die Tiefe der Zerlegung orientiert sich idealerweise am Entscheidungsrahmen des Portfoliomanagements.

3

Die Modellierung des Kreditrisikos

Um zu verstehen, welchen Wert der Markt den einer Anleihe inh¨arenten Risiken im Zeitablauf beimisst, ben¨otigt man einen Modellrahmen, um die erwartete Rendite in einen risikolosen und einen risikoabh¨angigen Teil zu zerlegen. Die erwartete Rendite ist gerade die in Kapitel zwei eingef¨ uhrte risikoadjustierte Rendite, welche bei einer Anlage in Anleihen der jeweiligen Ratingklasse das eingegangene Risiko fair verg¨ utet. Kapitel drei stellt somit die theoretische Verkn¨ upfung der klassischen Performanceanalyse mit einer geeigneten Risikoadjustierung u ¨ber die Bewertung von ausfallbehafteten Anleihen her. Als zentraler Abschnitt der theoretischen Abhandlung werden die verschiedenen Modellierungsans¨atze skizziert und der Modellrahmen von Duffie/Singleton (1997, 1999) sowie der Mechanismus der Risikoadjustierung als Driftunterschied zwischen realem und risikoneutralem Maß ausf¨ uhrlich beschrieben. Zus¨atzlich werden die gew¨ahlte Faktorstruktur motiviert und die Grundlagen f¨ ur die Parametersch¨atzung in Kapitel vier gelegt.

3.1

Grundlagen

Fabozzi/Fong (1985) nennen sechs Risiken, welche einen Einfluss auf die Preis- und Renditebestimmung bei Anleihen haben. Die wichtigsten sind das Zins¨anderungsrisiko, das Liquidit¨atsrisiko und das Bonit¨ats¨anderungsrisiko bzw. Ausfallrisiko.155 Dar¨ uberhinaus k¨onnen nat¨ urlich anleihenspezifische Merkmale wie besondere Besteuerung, zus¨atzliche K¨ undigungsrechte oder sonstige Merkmale mit Optionscharakter einen erheblichen Einfluß auf die Preis- und Renditebestimmung haben. In der vorliegenden Untersuchung werden zur Ausschaltung dieser zus¨atzlichen Einflussfaktoren nur Anleihen betrachtet, welche keines dieser individuellen Merkmale aufweisen und somit einer homogenen Gruppierung nach Ratingklassen und Restlaufzeiten zug¨anglich sind. Wenn im folgenden zwischen risikolosen Anleihen bzw. risikoloser Zinsstruktur156 und riskanten Anleihen bzw. der riskanten Zinstruktur unterschieden wird, so bezieht sich das Risiko ausschließlich auf das Bonit¨ats¨anderungsrisiko und das Ausfallrisiko sogenannter Plain-Vanilla“-Anleihen. ” Synonym wird der Begriff Kreditrisiko verwendet, welcher beide Komponenten umfasst.157 Ebenso schließen im weiteren die Adjektive ausfallbehaftet bzw. ausfallgef¨ahrdet das Risiko einer Bonit¨ats¨anderung mit ein. Korrekterweise m¨ usste man die risikolosen Anleihen - in aller Regel repr¨asentiert durch Staatsanleihen des jeweiligen W¨ahrungsraumes - im Vergleich zu den riskanten Anleihen als ohne Ausfall- bzw. Bonit¨ats¨anderungsrisiko behaftet beschreiben, da die u ¨brigen Risiken insbesondere das Zins¨anderungsrisiko auch auf die sogenannten risikolosen Anleihen einwirken. 155

Zus¨atzlich erw¨ahnen Fabozzi/Fong (1985) das Wiederanlagerisiko, das Inflationsrisiko sowie das Risiko einer m¨oglichen fr¨ uhzeitigen K¨ undigung durch den Emittenten.

156

Die Zinsstruktur beschreibt den Zusammenhang zwischen der Restlaufzeit und dem (Kassa-)Zinssatz von Nullkuponanleihen. Im Falle von ausfallrisikofreien Anleihen wird im folgenden von der risikolosen Zinsstruktur gesprochen. Die Spread-Strukturkurve ergibt sich als Differenz der Kassazinss¨ atze von risikobehafteten Anleihen und risikolosen Anleihen.

157

Albrecht (2000) definiert Kreditrisiko als die Risiken, welche zu einer Wert¨ anderung einer Finanz¨ ¨ position aufgrund einer Anderung der Kreditqualit¨ at f¨ uhren. Die Anderung der Kreditqualit¨ at wird typischerweise als Bonit¨ ats¨ anderung bezeichnet und umfasst als Extremfall den Ausfall der Finanzposition.

J. Daum, Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios, DOI 10.1007/978-3-8349-8885-0_3, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 201

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

44

Gew¨ohnlich wird der Spread, bestimmt als die Differenz aus den Ablaufrenditen158 (YTM) einer ausfallfreien und einer ausfallbehafteten Nullkuponanleihe159 mit gleicher Restlaufzeit als Maß des Risikos der riskanten Anleihe herangezogen. Er wird auch in vielen Untersuchungen direkt als Kreditspread160 bezeichnet. Jedoch wird aus der Aufz¨ahlung der m¨oglichen Risiken deutlich, dass zumindest das Liquidit¨atsrisiko zus¨atzlichen Einfluss auf den Spread hat. Aus der Tatsache, dass das Liquidit¨atsrisiko sowohl bei risikolosen als auch riskanten Anleihen renditebestimmend ist, folgt nicht notwendigerweise, dass es auf beide gleich wirkt. In der Realit¨at finden sich unter Umst¨anden weitere Faktoren, welche einen signifikanten Erkl¨arungsgehalt f¨ ur den Spread haben. Nichtsdestotrotz werden s¨amtliche Einflussfaktoren unter einem einzigen Prozess, dem Kreditrisikoprozess, subsumiert, auch wenn das weiter unten vorgestellte Modell nach Duffie/Singleton (1997, 1999) prinzipiell um zus¨atzliche Faktoren wie die Liquidit¨at erweitert werden kann. Somit wird unterstellt, dass ein positiver Kreditspread allein aufgrund der Tatsache existiert, dass es ein Ausfallrisiko gibt und im Falle eines Ausfalles der Anleihek¨aufer nur einen Teil des Nennbetrages161 zur¨ uckerh¨alt. Unter dieser Annahme ist die Anwendbarkeit der u ¨berwiegenden Anzahl der Modelle zur Bewertung von ausfallbehafteten Anleihen gew¨ahrleistet.

3.2

Der Modellrahmen

Die Strukturierung des Bereiches der Kreditrisikomodelle und die daran anschließende ¨ Auswahl eines geeigneten Modelles erfordern einen Uberblick u ugung ste¨ber die zur Verf¨ henden Varianten und die jeweils gew¨ahlte Pr¨azisierung der Einflussgr¨oßen. Dazu bedarf es der Spezifikation eines Prozesses f¨ ur die Wertentwicklung der ausfallgef¨ahrdeten Finanzposition und der Festlegung auf ein Risikomaß mit anschließender Risikoevaluation.162

158

Die englische Bezeichnung lautet yield to maturity.

159

Gelegentlich wird auch die Renditedifferenz von Kuponanleihen zur Definition des Spreads herangezogen. Zu beachten ist dabei, dass man dann unter Umst¨ anden Anleihen unterschiedlicher Duration vergleicht und Arbitrageargumente nicht notwendigerweise bei Kuponanleihen greifen. Siehe hierzu Elton et.al. (2001), S. 251f.

160

Vgl. u.a. Collin-Dufresne et.al. (2001).

161

Strenggenommen impliziert diese Formulierung die Annahme eines bestimmten Referenzwertes (Nennwert,recovery of face value), an dem die Einbringlichkeitsquote (recovery rate) festgemacht wird. Hier steht jedoch nur der Umstand im Vordergrund, dass der Investor bei Ausfall einen Teil des investierten Kapitals verliert. Die unterschiedlichen Referenzwerte werden weiter unten erl¨ autert.

162

Vgl. Albrecht (2000), S. 1f.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS 3.2.1

45

Modellrichtungen

In der Literatur sind im Wesentlichen zwei Ans¨atze zur Modellierung von ausfallbehafteten Anleihen vorherrschend163 : Firmenwertmodelle164 und Reduktionsmodelle165 . Mit dem Merton-Modell166 ist der (zeitlich) erste Vertreter der Modellierung von ausfallbehafteten Anleihen genannt. Dieses und darauf aufbauende Firmenwertmodelle bewerten das Fremdkapital als Derivat auf die Verm¨ogenswerte des Unternehmens und erlauben somit die Anwendung der Optionspreistheorie. Der Marktwert der Schulden (im Merton-Modell repr¨asentiert durch eine Nullkuponanleihe als einzige Verbindlichkeit) wird in einen risikolosen Part und eine Shortposition in einer europ¨aischen Putoption auf die Verm¨ogenswerte des Unternehmens mit einem Aus¨ ubungspreis in H¨ohe des Nominalwertes der Verbindlichkeiten zerlegt. Das Kreditrisiko bzw. der Ausfall resultiert aus der Tatsache, dass die Verm¨ogenswerte des Unternehmens, in aller Regel modelliert als Diffusionsprozess, eine festgelegte Schranke unterschreiten k¨onnen und somit die R¨ uckzahlung der Verbindlichkeiten im F¨alligkeitszeitpunkt nicht mehr gesichert ist. Das Merton-Modell wurde in verschiedene Richtungen weiterentwickelt. Wichtige Erg¨anzungen sind die Modellierung des Ausfalls w¨ahrend der Laufzeit der Nullkuponanleihe (Black/Cox (1976)), die Endogenisierung der Ausfallschranke (Leland (1994)) und die Ber¨ ucksichtigung einer stochastischen Zinsstruktur (Longstaff/Schwartz (1995)). Die Reduktionsmodelle bedienen sich keines direkten o¨konomischen Ansatzes zur Erkl¨arung des Kreditrisikos innerhalb des Modelles, sondern setzen die M¨oglichkeit eines unvorhergesehenen Ausfalls voraus. Mit Hilfe eines exogenen Z¨ahlprozesses167 mit (m¨oglicherweise stochastischer) Intensit¨at wird der Ausfall als Zufallsvariable modelliert und tritt in der Regel als erster Sprung des gew¨ahlten Prozesses auf. Prominentes Exempel f¨ ur solch einen Prozess ist der Poisson-Prozess. Die fehlende ¨okonomische Interpretierbarkeit gleichen die Modelle dadurch aus, dass zur Bewertung von ausfallbehafteten Anleihen das risikolose Instrumentarium168 genutzt werden kann, die oft nicht gegebene Beobachtbarkeit der Verm¨ogenswerte nicht notwendig ist und eine realistischere Modellierung der Kreditspreads bei kurzen Laufzeiten des Fremdkapitals m¨oglich ist.169

163

¨ Ubersichtsartikel zur Modellierung sind u.a. Lando (1998b), Duffie (2005) und Uhrig-Homburg (2002).

164

Firmenwertmodelle werden auch als Strukturmodelle bezeichnet, da der Ausfall - im u ¨bertragenen Sinne - eine Funktion der Bilanzstruktur des Unternehmens ist.

165

¨ Der Begriff wurde von Duffie/Singleton (1999a) eingef¨ uhrt und stellt die Ubersetzung der englischen Bezeichnung reduced form model dar.

166

Vgl. Merton (1974).

167

Ein Z¨ahlprozess N (t) ist ein in der Zeit t monoton-steigender, ganzzahliger Prozess mit N (0) = 0.

168

Lediglich der zur Diskontierung verwendete Momentanzinssatz wird um die Ausfallkomponente erg¨anzt. Unter dem risikolosen Instrumentarium werden die wohlerprobten Ans¨ atze zur Bewertung risikoloser Anleihen verstanden. Vgl. Uhrig-Homburg (2002), S.52.

169

Die Firmenwertmodelle sind ebenfalls in der Lage, realistische Kreditspreads f¨ ur kurze Laufzeiten zu generieren, allerdings bedarf es dazu zus¨ atzlicher Annahmen (Duffie/Lando (2001)) bzw. unrealistischer Parameter.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

46 3.2.2

Modellgr¨ oßen

Losgel¨ost von der grunds¨atzlichen Modellausrichtung m¨ ussen drei Einfl¨ usse auf den Wert einer ausfallgef¨ahrdeten Anleihe sowie deren Korrelation untereinander im Rahmen der Bewertung adressiert werden.170 1. Zins¨anderung 2. Zeitpunkt des Ausfalls 3. H¨ohe des Ausfalls Zuerst werden die grunds¨atzlichen Modellierungsannahmen dargestellt. Der Informations¨ fluss und damit die Unsicherheit in der Okonomie wird u ¨ber einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (Ft ), P ) modelliert. Dabei  bezeichnet Ω die Menge aller Zust¨ande und P das reale Wahrscheinlichkeitsmaß. F = σ( t≥0 Ft ) ist eine σ- Algebra, d.h. eine Menge von Ereignissen, denen das Wahrscheinlichkeitsmaß in konsistenter Weise eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Die Filtration (Ft ), welche die u ullt, modelliert ¨blichen Bedingungen171 erf¨ den eigentlichen Informationsfluss. Der Handel der Wertpapiere erfolgt kontinuierlich an einem friktionslosen Kapitalmarkt. In diesem Markt werden risikolose und ausfallrisikobehaftete Nullkuponanleihen aller F¨alligkeiten T > 0 gehandelt. Eine besondere Bedeutung besitzt hier die risikolose rollierende Geldmarktanlage zu dem Momentanzinssatz r(t) pro anno. Wird im Zeitpunkt t = 0 eine Einheit angelegt und diese einschließlich der Zinsertr¨age rollierend bis zum Zeitpunkt t wiederangelegt, dann ergibt sich der Bestand M (0, t) dieses Sparbuches“ bei ” stetiger Verzinsung zu ⎛ M (0, t) = exp ⎝

t

⎞ r(u)du⎠ .

(26)

0

M (0, t) wird im Weiteren die Rolle eines Numeraires in folgendem Sinne spielen: Wird die zuk¨ unftige Zahlung einer Nullkuponanleihe mit M (0, t) diskontiert und ein zu P ¨aquivalentes Maß Q existiert, unter dem dieser diskontierte Prozess ein Martingal ist, dann liegt in dem betrachteten Wertpapiermarkt Arbitragefreiheit vor. Insbesondere existiert eine risikolose Form der Geldmarktanlage M (0, t), so dass beliebige Wertpapierpreisprozesse abgezinst mit eben dieser Geldmarktanlage unter einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsmaß Q, dem zu dem Maß P ¨aquivalenten Martingalmaß, Martingale sind. Die Existenz von Q garantiert die Arbitragefreiheit.172 170

Die Darstellung folgt den Ausf¨ uhrungen von Uhrig-Homburg (2002).

171

Vgl. Duffie (2005), S. 2781.

172

Zu den technischen Details siehe Harrison/Kreps (1979), Harrison/Pliska (1981) oder auch Artzner/Delbaen (1989). Zu der Wahl des Numeraires und des zugeh¨ origen ¨ aquivalenten Martingalmaßes siehe auch Artzner (1998).

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

47

W¨ahrend bei den risikolosen Nullkuponanleihen der R¨ uckzahlungsbetrag von einer Geldeinheit bei F¨alligkeit mit Sicherheit geleistet wird, ist dieser bei den riskanten Anleihen daran gekn¨ upft, dass kein wie auch immer geartetes Ausfallereignis stattgefunden hat.173 Tritt ein Ausfallereignis im Zeitpunkt τ , (τ ≤ T ), ein, so resultiert aus der Anleihe eine Zahlung in H¨ohe eines Bruchteils ϕ(τ ) eines noch n¨aher zu spezifizierenden Referenzwertes (RT ). ϕ(τ ) kann vom Zeitpunkt des Ausfalls abh¨angen. Der Preis P (t, T ) einer risikolosen Nullkuponanleihe im Zeitpunkt t, welche bei F¨alligkeit T eine Einheit Geld mit Sicherheit bezahlt, l¨asst sich darstellen als:

P (t, T ) =

EtQ

⎧ ⎤⎫ ⎡ T  ⎬ ⎨ exp ⎣− r(u)du⎦ . ⎭ ⎩

(27)

t

EtQ bezeichnet den Erwartungswert bedingt zu den im Zeitpunkt t vorhandenen Informationen unter dem risikoneutralen Maß Q. F¨ ur den Preis V (t, T ) einer riskanten Nullkuponanleihe im Zeitpunkt t ist zus¨atzlich die Spezifikation der Ausfallh¨ohe sowie des Ausfallzeitpunktes n¨otig. Unter der Voraussetzung, dass bis t noch kein Ausfall stattgefunden hat, gilt ⎛

RT

Rτ

⎞

⎜ ⎟ V (t, T ) = EtQ ⎝e t  1{τ >T } + e t  ϕ(τ )RT (τ ) 1{τ ≤T } ⎠ .          −

r(s)ds

Zinsrisiko Zeitpunkt

−

r(s)ds

Zinsrisiko

V olumen

(28)

Zeitpunkt

Dabei bezeichnet τ den Zeitpunkt des zuf¨alligen Ausfalls, ϕ(τ ) den Anteil des Referenzwertes RT (τ ), welcher bei einem Ausfall in τ an Stelle des Nominalwertes bezahlt wird. 1{τ >T } bezeichnet eine Indikatorfunktion, welche den Wert eins annimmt, falls die Anleihe nicht ausf¨allt. Analog nimmt 1{τ T } dann den Wert eins an, falls w¨ahrend der Laufzeit der Anleihe ein Ausfall stattfindet. Die Ans¨atze zur Bewertung von ausfallgef¨ahrdeten Kapitalanspr¨ uchen unterscheiden sich in der Modellierung der Komponenten in Gleichung (28).174 F¨ ur die Abzinsungskomponente finden sich u ¨berwiegend Mean-Reverting-Prozesse des Vasicek- und Cox- IngersollRoss-Typs (im Weiteren CIR)175 oder die vereinfachende Annahme eines konstanten, nicht zuf¨alligen Momentanzinssatzes r¯. Die Wahl des Referenzwertes RT (τ ) f¨allt bei den Strukturmodellen h¨aufig auf den Firmenwert (recovery-of-firm value). Alternativen sind der Nominalwert der Verbindlichkeit (recovery-of-face value), der Wert eines vergleichbaren risikolosen Bonds (recovery-of-treasury value) oder der Wert der Anleihe direkt vor dem Ausfall (recovery-of-market value).

173

Es besteht die M¨oglichkeit, verschiedenste Ausfallereignisse, aus welchen eine teilweise R¨ uckzahlung der vertraglich vereinbarten Zahlungen resultiert, im vorliegenden Modellrahmen zu erfassen. Insbesondere lassen sich auch die Ausfalldefinitionen aus Basel II einbinden.

174

¨ Eine tabellarische Ubersicht dazu liefert Uhrig-Homburg (2002) auf den Seiten 34, 44 und 46.

175

Vgl. zu den genannten Prozesstypen die Arbeiten von Vasicek (1977) und Cox et.al. (1985).

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

48

Den Hauptunterschied zwischen Firmenwertmodellen und Reduktionsmodellen stellt die Modellierung des Ausfallzeitpunktes in Gestalt der Indikatorfunktion dar. Wie oben erw¨ahnt modellieren Firmenwertmodelle in aller Regel den Zeitpunkt als erstes Unterschreiten einer festgelegten Schranke durch den exogenen Firmenwertprozess. Da in den meisten Modellen der Firmenwert als Diffusionsprozess beschrieben wird, wird der Ausfallzeitpunkt lokal vorhersehbar. Die Reduktionsmodelle modellieren den Ausfallzeitpunkt als exogene Zufallsvariable mit Hilfe eines Z¨ahlprozesses und f¨ uhren deshalb immer zu einer positiven Ausfallintensit¨at. Da in der vorliegenden Arbeit die Bewertung einer Vielzahl von Anleihen innerhalb vorgegebener Gruppierungen, in erster Linie innerhalb einer Ratingklasse, von Bedeutung ist, bieten sich Reduktionsmodelle an, da f¨ ur die jeweilige Ratingklasse ein gemeinsamer Ausfallprozess176 angenommen werden kann und somit auf die Simulation individueller Firmenwertprozesse verzichtet wird. Zus¨atzlich macht man sich die (nicht zu untersch¨atzenden) analytischen Vorteile der Reduktionsmodelle im Hinblick auf die Zustandsraummodellierung in Kapitel 4 zu Nutze.

3.3

Der Modellrahmen nach Duffie/Singleton

Der in der vorliegenden Arbeit genutzte theoretische Rahmen f¨ ur ausfallbehaftete Anleihen, der eine Spezialisierung der in Abschnitt 3.2.2 dargestellten allgemeinen Modellstruktur darstellt, ist den Arbeiten von Duffie/Singleton aus den Jahren 1997 und 1999 entlehnt. Zus¨atzlich fließen Ergebnisse aus Lando (1998a, 1998b) in die Darstellung mit ein. Unter den oben genannten Modellannahmen und Bezeichnungen ergibt sich der Preis P (t, T ) einer risikolosen Nullkuponanleihe (bzw. die zugeh¨orige Rendite R(t, T )) im Zeitpunkt t mit F¨alligkeit in T, T > t, als Erwartungswert des mit M(t,T) diskontierten R¨ uckzahlungsbetrages von einer Geldeinheit unter dem risikoneutralen Maß Q.

1 P (t, T ) = EtQ { M (t,T } = EtQ {exp[− )

T r(u)du]}

(29)

t

) R(t, T ) = − lnPT (t,T −t

(30)

Diese beiden Gleichungen charakterisieren die risikolose Zinsstruktur im vorliegenden Modell. Es muss noch der stochastische Prozess f¨ ur den Momentanzinssatz r(t) festgelegt werden, damit das Modell f¨ ur die risikolose Zinsstruktur bestehend aus dem Geldmarktkonto, dem ¨aquivalenten Martingalmaß sowie dem Prozess f¨ ur r(t) vollst¨andig ist. Dies erfolgt in Abschnitt 3.4. Hervorzuheben ist, dass das risikolose Geldmarktkonto als einziges Wertpapier exogen gegeben ist und alle u ¨brigen Anleihen Derivate sind. Zur Charakterisierung der riskanten Zinsstruktur sind die Ausfallkomponenten in Gleichung (28) zu spezifizieren. Hierzu wird wie f¨ ur Reduktionsmodelle typisch, die Ausfallzeit τ als Zeitpunkt des ersten Sprunges eines Z¨ahlprozesses N (t) mit Intensit¨at h(t) model176

Genau genommen, wird eine gemeinsame Ausfallintensit¨ at mit unterschiedlichen Ausfallzeitpunkten angenommen.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

49

liert, d.h.

τ = inf {t ∈ R+ |N (t) > 0}.

(31)

Als Z¨ahlprozess wird ein Poisson-Prozess mit stochastischer Intensit¨at h(t), auch CoxProzess genannt, verwendet. Aufgrund seiner Konstruktion177 besitzt der Prozess folgende Eigenschaften: ur den n¨achsten infi• E Q [dN (t)|(Ft )] = h(t)dt, d.h. die Ausfallwahrscheinlichkeit f¨ nitesimalen Zeitschritt dt ist proportional zu dt. Anzumerken ist, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit unter dem Maß Q in aller Regel nicht der tats¨achlichen Ausfallwahrscheinlichkeit unter dem Maß P entspricht. • Der kompensierte Prozess M (t) := N (t) −

!t

h(u)du ist ein lokales Martingal. Diese

0

Eigenschaft erlaubt es, bei der Bewertung von Anleihen u ¨ber iterative Erwartungswertbildung, den Z¨ahlprozess N (t) durch seine Intensit¨at h(t) zu ersetzen. • Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Spr¨ unge zum gleichen Zeitpunkt stattfinden ist von kleinerer Ordnung als dt. !T ¨ • Die unbedingte Uberlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich zu E Q [exp(− h(u)du)]. 0

Die M¨oglichkeit mehrerer Spr¨ unge des Z¨ahlprozesses wird dadurch verhindert, dass die Intensit¨at nach dem ersten Sprung auf Null gesetzt wird.178 Lando (1998a) zeigt, dass sich im gew¨ahlten Modellrahmen die Komponenten in Gleichung (28) einzeln bewerten lassen. Der Ausdruck " RT # −

EtQ e

r(s)ds

t

,

1{τ >T }

(32)

d.h. die Auszahlung in H¨ohe von einer Geldeinheit, falls kein Ausfall w¨ahrend der Laufzeit des Bondes stattgefunden hat, l¨asst sich u uhren in ¨berf¨ " RT # −

EtQ e

t

(r(s)+h(s))ds

.

(33)

Die abgezinste Zahlung in H¨ohe eines Bruchteiles eines Referenzwertes RT (τ ) l¨asst sich in analoger Weise mit Hilfe der Intensit¨at h(t) dargestellen. Es ergibt sich somit insgesamt f¨ ur die ausfallgef¨ahrdete Anleihe 177

Vgl. Sch¨onbucher (2003), Kapitel 5.

178

¨ F¨ ur eine Modellierung mehrerer Ausf¨ alle eines Schuldner und deren Aquivalenz zum Modellrahmen von Duffie/Singleton (1999a) siehe Sch¨ onbucher (1998) bzw. Sch¨ onbucher (2003).

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

50 ⎛ V (t, T ) =

EtQ

−

⎝e

RT t

(r(s)+h(s))ds

T ϕ(s)RT (s) · h(s) · e

+

−

Rs t

⎞ r(u)+h(u)du

ds⎠ .

(34)

t

Duffie/Singleton spezialisieren diesen Modellrahmen weiter, indem sie f¨ ur den Referenzwert bei Ausfall den Wert der Nullkuponanleihe unmittelbar vor dem Ausfall (recoveryof-market value, im Weiteren als RMV-Annahme abgek¨ urzt) w¨ahlen. Diese Konvention findet sich zum Beispiel bei OTC-Derivaten, bei denen das ISDA-Abkommen179 regelt, dass der Anspruch des Gl¨aubigers bei Ausfall der Gegenpartei dem Marktwert (sofern positiv) eines ¨aquivalenten, nicht-ausgefallenen Derivats entspricht.180 Als Konsequenz der RMV-Annahme findet sich der Marktwert der Nullkuponanleihe auf beiden Seiten der Gleichung (34). Zur L¨osung181 bedarf es eines iterativen Vorgehens und der Verwendung eines alternativen Prozesses U (t, T ), welcher vor einem m¨oglichen Ausfall identisch zu V (∼) ist und bei einem Ausfall den Sprung von V (∼) nicht nachvollzieht.182 Dadurch vereinfacht sich die Darstellung zu " V (t, T ) =

EtQ

−

e

RT t

# r(s)+(1−ϕ(s))h(s)ds

.

(35)

D.h. der Wert einer noch nicht ausgefallenen riskanten Nullkuponaleihe l¨asst sich analog einer risikolosen Nullkuponanleihe und mit dem gleichen Instrumentarium bewerten. Einzig die Diskontierungsrate wird angepasst, so dass sie den risikolosen Momentanzinssatz r(t), die Einbringlichkeitsquote ϕ(t) und die Ausfallintensit¨at h(t) ber¨ ucksichtigt und damit auch die Wahrscheinlichkeit, den Zeitpunkt sowie die H¨ohe des Ausfalls. Die Darstellung (35) erlaubt im Vergleich mit Repr¨asentation (29) risikofreier Nullkuponanleihen die intuitiv u unftige Zahlung einer ausfallgef¨ahr¨berzeugende Interpretation, dass die zuk¨ deten Nullkuponanleihe mit dem ausfallrisikofreien Zinssatz r(t) zuz¨ uglich eines positiven Spreads s(t) abzuzinsen sind. Der Spread setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: 1. Der Verlustquote 1 − ϕ(t) bei einem Ausfall 2. Der Wahrscheinlichkeit“ h(t)dt eines Ausfalls ” Lando (1998b) liefert eine heuristische Erkl¨arung f¨ ur dieses Ergebnis.183 Es wird eine fiktive Anleihe betrachtet, die beim Eintritt des Ausfalls dem Gl¨aubiger anstelle des vereinbarten Bruchteils ϕ(t) eine fiktive Lotterie, welche mit Wahrscheinlichkeit (1 − ϕ(t)) sicher den vollen Marktwert des ausgefallenen Anspruches oder mit Wahrscheinlichkeit ϕ(t) 179

Vgl. Homepage der International Swaps and Derivatives Association: www.isda.org.

180

F¨ ur Anleihen verletzt diese Annahme allerdings bestehende Regelungen der Insolvenzordnung.

181

Zur Darstellung der ben¨ otigten technischen Voraussetzungen der Herleitung dieses Ergebnisses siehe Duffie/Singleton (1999a), S.694-696.

182

Diese im Englischen auch No-Jump-Bedingung genannte Annahme hat f¨ ur die Risikoadjustierung Bedeutung. Zu den damit verbundenen Konsequenzen wird in Abschnitt 3.5 Stellung genommen.

183

Vgl. Lando (1998b), S. 388. Eine zeitdiskrete Motivation mit Hilfe eines Binomialbaum liefern Duffie/Singleton (2003),S. 130-135.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

51

nichts ausbezahlt, anbietet. Unter dem risikoneutralen Martingalmaß w¨are der Gl¨aubiger bez¨ uglich der ihm angebotenen Wahl indifferent. Anders ausgedr¨ uckt haben die urspr¨ ungliche Anleihe und die fiktive Anleihe inklusive der Lotterie den gleichen Preis. Die fiktive Konstruktion entspricht jedoch einer ausfallbehafteten Anleihe, welche im Falle des Ausfalls keine R¨ uckzahlung generiert, und deren Ausfallintensit¨at (1 − ϕ(t))h(t) betr¨agt. Damit lassen sich obige Ergebnisse f¨ ur den Fall ohne Einbringlichkeitsquote auf den neuen Ausfallprozess mit ausged¨ unnter“ Ausfallintensit¨at anwenden. ” Mit Hilfe dieses Ergebnisses l¨asst sich nun die riskante Zinsstruktur charakterisieren. " RT # −

V (t, T ) = EtQ e

r(s)+(1−ϕ(s))h(s)ds

t

.

(36)

lnV (t, T ) . (37) T −t Hier erfolgt die Erwartungswertbildung unter dem risikoneutralen Maß u ¨ber die Entwicklung des riskanten Momentanzinssatzes rris (t) = r(t) + (1 − ϕ(t))h(t). Rris (t, T ) = −

Die Differenz der risikolosen und der riskanten Ablaufrendite bezeichnet den Ausfallspread Sris (t, T ). Analog ist der Momentanspread sris (t) definiert. Sris (t, T ) = Rris (t, T ) − R(t, T ) = −

1 (ln(V (t, T )) − ln(P (t, T )) T −t

sris (t) = rris (t) − r(t) = (1 − ϕ(t))h(t)

(38) (39)

Aus der Darstellung des Momentanspreads als Produkt aus Verlustrate und Ausfallintensit¨at wird deutlich, dass die Identifikation dieser beiden Komponenten allein aus den Preisen ausfallbehafteter Anleihen nicht m¨oglich ist. Der komponentenweise Aufbau der Diskontierungsrate als Summe des risikolosen Momentanzinssatzes und des Momentanspreads erlaubt eine einfache Erweiterungen um zus¨atzliche Einflussfaktoren. F¨ uhren Liquidit¨atsunterschiede zu einem zus¨atzlichen Momentanspread l(t) der Anleihe unter dem risikoneutralen Maß, so kann die Diskontierungsrate entsprechend angepasst werden. rris (t) = r(t) + (1 − ϕ(t))h(t) + l(t)

(40)

Das Problem der Identifizierbarkeit der Komponenten wird durch Hinzunahme zus¨atzlicher Einflussfaktoren weiter erschwert.

3.4

Die Faktor- und Prozessstruktur

Das Modell wird nun durch die Spezifizierung einer Faktordarstellung f¨ ur den risikolosen Momentanzinssatz r(t) und den Momentanspread s(t) weiter pr¨azisiert. Aus Gr¨ unden der empirischen Umsetzbarkeit wird hierbei eine lineare Faktorstruktur aus der Klasse der

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

52 affinen Modelle unterstellt.184

Ferner wird ber¨ ucksichtigt, dass im Rahmen der Performanceanalyse eine Zerlegung nach Ausfallrisiken erfolgen soll. Im Grunde folgt aus diesem Ziel, dass eine Sch¨atzung der Parameter f¨ ur die Risikoadjustierung pro Anleihe bzw. pro Emittent erfolgen muss, wenn man davon ausgeht, dass nur die Anleihen eines Emittenten ein homogenes Kreditrisiko besitzen.185 Dieses Vorgehen scheitert jedoch empirisch an mangelnder Datenverf¨ ugbarkeit. Eine Aggregation der Anleihen zu m¨oglichst homogenen Gruppen ist unumg¨anglich. Denkbar und durchf¨ uhrbar ist eine Aggregation nach Ratingklassen als klassischem Substitut f¨ ur die Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. f¨ ur das Kreditrisiko. Weitere Aggregationskategorien sollten sich an der Portfoliodekomposition orientieren und besitzen idealerweise eine Entsprechung im theoretischen Kontext des Bewertungsmodells.186 Deckungsgleich mit anderen Studien und insbesondere mit der Arbeit von Geyer et.al. (2004) unterstellen wir bei der Bestimmung der Diskontierungsrate die Unabh¨angigkeit der zugrundeliegenden Faktorprozesse und modellieren die Diskontierungsrate als Summe latenter Faktoren fi (t) unter Ausnutzung der Tatsache, dass unter der RMV-Annahme sowohl die Ausfallh¨ohe als auch die Ausfallintensit¨at nicht getrennt modelliert werden m¨ ussen. F¨ ur den risikolosen Momentanzinssatz gilt damit r(t) =

K

αi · fi (t).

(41)

i=1

Analog ergibt sich der Momentanspread f¨ ur jede hinsichtlich des Ausfallrisikos homogene Gruppierung gr von Anleihen sris,gr (t) =

M

αgr,i · fi (t).

(42)

i=1

Es ist zu beachten, dass M > K sein muss, da der Momentanspread bzw. die mittlere instantane Verlustrate im Vergleich zur risikolosen Shortrate von zus¨atzlichen Faktoren beeinflusst wird. Die Faktoren fi (t) werden durch einen Diffusionsprozess der Form dfi (t) = a(fi (t), t)dt + b(fi (t), t)dWi (t)

(43)

getrieben, deren Drift a(fi (t), t) sowie deren Varianzterm b2 (fi (t), t) affine Funktionen der Faktoren sind. dWi (t) bezeichnet die Momentan¨anderung von auf (Ω, F, (Ft ), Q) definierten Wienerprozessen Wi (t). ur i ≤ K von null verschieden sind, Ferner ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Parameter αgr,i f¨ wenn der Momentanspread auch von der H¨ohe des Momentanzinssatzes r(t) abh¨angt. 184

Vgl. dazu Dai/Singleton (2000). Affine Modelle sind dadurch gekennzeichnet, dass die Rendite einer Nullkuponanleihe, ihre Dynamik unter dem physischen Maß sowie ihre Dynamik unter dem Martingalmaß affine Funktionen der zugrundeliegenden Zustandsvariablen sind.

185

Unterschiedliche Besicherung und Senorit¨ at k¨ onnen zu Risikodifferenzierung f¨ uhren.

186

Prinzipell k¨onnen die Anleihen beliebig nach empirischen Gesichtspunkten aggregiert werden. Man denke nur an die h¨aufig vorgenommene Einteilung in Financials and Non-Financials, die in aller Regel im theoretischen Modell keine Fundierung hat. Vgl. dazu Diaz/Skinner (2001), S. 1f. Eine fehlende theoretische Fundierung (d.h. eine rein empirisch begr¨ undete Einteilung) erschwert nat¨ urlich die Interpretation der erzielten Ergebnisse gemessen an den Modellerwartungen.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

53

Die Wahl der Gewichte αi bzw. αgr,i definiert die Abh¨angigkeitsstruktur zwischen den Faktoren und erlaubt die Abbildung sowohl idiosynkratischer187 als auch systematischer Faktoren. Letztere beeinflussen s¨amtliche Gruppierungen gleichzeitig und k¨onnen ggf. mit individuellen Faktorgewichten versehen werden. Anzumerken bleibt, dass durch die gew¨ahlte Spezifikation jede Anleihe einer homogen gew¨ahlten Gruppierung unter derselben gruppenspezifischen Zinsstrukturkurve bewertet wird. In der Klasse der affinen Zinsstrukturmodelle ergibt sich die folgende Darstellung f¨ ur den Preis einer ausfallbehafteten Anleihe188 $ N % N

Vgr (t, T ) = Agr,i (T )exp − [Bgr,i (T )fi (t)] . (44) i=1

i=1

Unterstellt man weiterhin die Unabh¨angigkeit des Momentanzinssatzes r(t) und des Momentanspreads sris,gr (t), d.h. die beiden Gr¨oßen werden nicht von den gleichen Faktoren beeinflusst, so erlaubt dies eine multiplikative Darstellung der Preise ausfallgef¨ahrdeter Nullkuponanleihen aus einem risikolosen und einem risikobehafteten Teil:189 $ M % M

Vgr (t, T ) = P (t, T ) · Agr,i (αgr,i , T )exp − [Bgr,i (αgr,i , T )αgr,i fi (t)] . (45) i=1

i=1

In dem vorgegebenen Rahmen der affinen Zinsstrukturmodelle sowie der additiven Faktordarstellung, welcher im Hinblick auf mathematische und ¨okonometrische Handhabbarkeit gew¨ahlt wurde, gilt es, die einzelnen Komponenten so festzulegen, dass m¨oglichst viele empirische Tatbest¨ande abgebildet werden. F¨ ur die weitere Spezifizierung der Faktorprozesse aus Gleichung (43) wird auf empirische Ergebnisse, wie sie in der Literatur190 berichtet werden, zur¨ uckgegriffen. Zun¨achst sind risikolose Nominalzinss¨atze und Spreads nicht negativ. Damit wird von vorneherein die Verwendung eines Gauss’schen Zins- und Spreadprozesses auf theoretischer Ebene ausgeschlossen.191 Es liegt somit nahe einen Prozess vom Typ CIR192 zu verwenden. Dieser Prozesstyp bringt die gew¨ unschte Eigenschaft nicht negativer Faktorrealisationen mit und bildet auch die am Markt beobachtbare Heteroskedaszit¨at von Zinss¨atzen mit kurzer Restlaufzeit193 nach. Zus¨atzlich l¨asst sich ein CIR-Prozess im Rahmen der angestrebten 187

Die Charakterisierung als idiosynkratisch bezeichnet die Tatsache, dass nur die jeweilige Gruppierung davon beeinflusst wird. Vgl. dazu Abschnitt 3.5.1.

188

Zur Definition von Agr,i (T ) und Bgr,i (T ) vergleiche Anhang C.

189

F¨ ur die Unabh¨angigkeit des Momentanzinssatzes und des Spreads ist die Unabh¨ angigkeit der Wiener Prozesse Wi (t), welche die Dynamik der Faktoren bestimmen, maßgeblich.

190

Vgl. dazu u.a. Duffee (1999).

191

Inwiefern empirisch f¨ ur den Spread ein Gauss’scher Prozess sinnvoll ist, h¨ angt von den zugrundeliegenden Daten ab. Es mag durchaus m¨ oglich und sinnvoll sein, aufgrund von Liquidit¨ atsunterschieden einen negativen Spread zu beobachten bzw. aufgrund der vorteilhafteren Eigenschaften f¨ ur die empirische Sch¨atzung einen solchen Prozesstyp zu verwenden. Aus theoretischer Sicht besteht nat¨ urlich die Gefahr, negative Zinss¨ atze oder Spreads und damit Ausfallintensit¨ aten zu erhalten.

192

Vgl. Cox et.al. (1985).

193

In einem Gauss’schen Prozess wie dem Vasicek-Prozess (Vgl. Vasicek (1977)) ist der instantane Zinssatz normalverteilt und homoskedastisch.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

54

Sch¨atzmethodik zufriedenstellend verwenden. Als zweites weisen Kreditspreadver¨anderungen eine negative Korrelation zur risikolosen Zinsstruktur auf.194 Diese Beobachtung stellt klare Anforderungen an das zu konstruierende Abh¨angigkeitsverh¨altnis der zugrundeliegenden Faktoren, da bei angenommener Unabh¨angigkeit der Faktoren, welche einem Quadratwurzelprozess folgen, eine negative Korrelation nicht ohne weiteres abgebildet werden kann. Restringiert man die Faktorgewichte auf den positiven Bereich der Zahlenskala, so gew¨ahrleistet man positive Spreadrea¨ lisationen, ist aber nicht in der Lage die erforderliche negative Korrelation zwischen Anderungen der risikolosen Zinsstruktur und den Spreadver¨anderungen zu generieren. Ohne Restriktionen an die Faktorgewichte ist es m¨oglich, u ¨ber negative Gewichte die erforderliche Korrelation zu erreichen, jedoch ohne eine positive Ausfallwahrscheinlichkeit zu garantieren. Schlussendlich ist es eine empirische Frage, inwieweit man die Faktorgewichte restringieren kann bzw. muss. Auch f¨ ur Unternehmen mit sehr guter Bonit¨at werden am kurzen Laufzeitende positive Kreditspreads beobachtet. Die Verwendung eines Reduktionsmodelles impliziert dies schon auf der Modellebene. Die Tatsache, dass f¨ ur solvente Firmen der Spread bei kurzen Restlaufzeiten eher durch alternative Faktoren wie eine unterschiedliche Liquidit¨at als durch das reine Kreditrisiko verursacht wird, ist insofern nicht relevant, als annahmegem¨aß s¨amtliche Einfl¨ usse unter dem Kreditrisikoprozess subsumiert werden. F¨ uhrt man auf Modellebene die M¨oglichkeit eines Liquidit¨atsspreads wie oben gezeigt explizit ein, so ist zu erwarten, dass dieser bei kurzen Restlaufzeiten einen großen Erkl¨arungsanteil besitzt. Grunds¨atzlich ist es w¨ unschenswert f¨ ur die verwendeten Faktoren eine ¨okonomische Interpretation zu finden. Jedoch zeigt die Untersuchung von Collin-Dufresne et.al. (2001), dass weder finanzwirtschaftliche noch (makro-)¨okonomische Gr¨oßen, welche theoretisch Spread¨anderungen begr¨ unden k¨onnen, große Erkl¨arungskraft besitzen. Dar¨ uberhinaus zeigen Collin-Dufresne et.al., dass ein systematischer, ¨okonomisch nicht identifizierbarer Faktor existiert, welcher die Spread¨anderungen besser erkl¨art als die gew¨ahlten, interpretierbaren Gr¨oßen. Als Konsequenz wird im weiteren von latenten Faktoren ausgegangen, die soweit m¨oglich mit ¨okonomischem Gehalt versehen werden. ur die risikolose Zinsstruktur den Arbeiten Bez¨ uglich der Anzahl der Faktoren folgen wir f¨ von Litterman/Scheinkman (1991) und Chen/Scott (1993), die in ihren jeweiligen Untersuchungen zeigen, dass der gr¨oßte Teil der Dynamik der risikolosen Zinsstruktur durch das Zinsniveau und die Steigung der Kurve195 erkl¨art werden. Somit wird K = 2 gesetzt, d.h. der risikolose Momentanzinssatz wird von zwei unabh¨angigen Faktoren getrieben.196 r(t) = α1 f1 (t) + α2 f2 (t)

(46)

194

Vgl. zu diesem empirischen Befund Duffee (1998).

195

Die Steigung der Zinsstrukturkurve wird regelm¨ aßig durch den Spread zwischen dem Kassazinssatz am kurzen Ende sowie am langen Ende der Restlauzeit gemessen. Litterman/Scheinkman (1991) f¨ uhren in ihrer Untersuchung noch einen dritten Faktor ein, welchen sie mit der Volatilit¨ at der Zinsstruktur identifizieren. Der Erkl¨ arungsgehalt des dritten Faktors ist jedoch im Vergleich zu den beiden anderen Faktoren gering. Vgl. Litterman/Scheinkman (1991), S. 58, Tabelle 2.

196

Die Darstellungen der Faktorladungen im risikolosen Fall in Abbildung 12 in Kapitel 4 zeigt, dass im vorliegenden Fall die beiden latenten Faktoren einer Interpretation als Niveau und Steigung durchaus zug¨anglich sind.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

55

Der Spread wird die Ergebnisse von Collin-Dufresne et.al. (2001) aufgreifend durch einen gemeinsamen, systematischen Faktor sowie einen idiosynkratischen Faktor je Gruppierung gr beschrieben. Zwar gilt grunds¨atzlich, dass mehr Faktoren it in sample zu einer besseren Erkl¨arung der beobachteten Zinsstrukturkurve f¨ uhren. F¨ ur Quadratwurzelprozesse ist dieser Zuwachs bei mehr als zwei Faktoren aufgrund der Restriktion auf positive Faktorrealisationen außerordentlich gering.197 Insoweit stellt die angestrebte Vorgehensweise von jeweils zwei Faktoren f¨ ur den risikolosen Zinssatz und den Spread einen guten Kompromiss zwischen den angef¨ uhrten Argumenten dar. Hinsichtlich der Anzahl der Ratingklassen und damit der Anzahl der zu modellierenden Spreads wird im Vorgriff auf die empirischen Resultate des Kapitel vier f¨ ur die weitere theoretische Notation davon ausgegangen, dass vier homogene Gruppen, eine f¨ ur die risikolosen Anleihen, sowie drei f¨ ur die - in der Notation von Standard & Poor - Ratingklassen AAA/AA198 , A und BBB gebildet werden. Zusammenfassend k¨onnen damit r(t) und die Momentanspreads sris,gr (t) mit Hilfe des Faktorenvektors F = (f1 (t), f2 (t), . . . , f6 (t)) in Matrixform in folgender Weise dargestellt werden. ⎡

⎤ ⎡ r(t) α1 α2 0 0 0 0 ⎢ sAAA (t) ⎥ ⎢ αAAA,1 αAAA,2 αAAA,3 αAAA,4 αAAA,5 αAAA,6 ⎢ ⎥=⎢ ⎣ sA (t) ⎦ ⎣ αA,1 αA,2 αA,3 αA,4 αA,5 αA,6 sBBB (t) αBBB,1 αBBB,2 αBBB,3 αBBB,4 αBBB,5 αBBB,6  

⎤ ⎥ ⎥ ·F ⎦

(47)



A

W¨ahlt man nun A folgendermaßen ⎡

⎤ α1 α2 0 0 0 0 ⎢ 0 0 α3 αAAA,4 ⎥ 0 0 ⎥, A=⎢ ⎣ 0 0 α3 ⎦ 0 αA,5 0 0 0 α3 0 0 αBBB,6 sind r(t) und sris,gr (t) unabh¨angig und der Spread wird jeweils von einem systematischen Faktor (hier f3 (t)) und einem klassenspezifischen Faktor mit fest vorgegebenen bzw. zu sch¨atzenden Faktorgewichten beeinflusst.

3.5

Risikoadjustierung

Nachdem die Prozess- und Faktorstruktur im letzten Abschnitt festgelegt wurde, kn¨ upfen die folgenden Ausf¨ uhrungen an die Beziehung zwischen dem eingegangenen Risiko und der erwarteten Rendite innerhalb des Modellrahmens an. Durch die Gruppierung der Anleihen zu Ratingklassen, von welchen man erwartet, dass sie homogen bez¨ uglich des eingegan197

Vgl. Geyer/Pichler (1999), S.18. Die Autoren stellen in Ihrer Untersuchung fest, dass die Restriktion auf positive Faktorrealisationen praktisch den Zugewinn an Erkl¨ arungskraft durch zus¨ atzliche Faktoren zunichte macht.

198

Die zusammengefasste Ratingklasse AAA/AA wird im Weiteren mit AAA bezeichnet.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

56

genen Risikos sind, dient die durchschnittliche Anleihe je Klasse als Benchmarkanleihe. Die erwartete Rendite dieser aus den gesch¨atzten Parametern der Ratingklassen konstruierten Anleihe, liefert die in Kapitel zwei geforderte risikoadjustierte Rendite. Neben der Wahl eines externen Benchmarks ist jedes Portfolio somit implizit mit einem Benchmark bez¨ uglich der Ratingeingruppierung versehen, sofern die angenommene Ratingkonsistenz gegeben ist. Die Konsistenz und Homogenit¨at der Ratingeinteilung werden in Kapitel vier aufgegriffen und ausf¨ uhrlich diskutiert. 3.5.1

Risikopr¨ amien in Intensit¨ atsmodellen

In der grundlegenden Arbeit von Vasicek (1977) wird f¨ ur nicht ausfallgef¨ahrdete Anlei¨ hen erstmals die Beziehung zwischen der momentanen Uberrendite u ¨ber den risikolosen Zinssatz in Abh¨angigkeit der Momentanvolatilit¨at der Anleihenrendite und dem soge¨ nannten Marktpreis des Risikos hergeleitet. Die Uberrendite ist gerade die Risikopr¨amie einer Anleihe, die am Markt erforderlich ist, um Arbitragem¨oglichkeiten auszuschließen. Es handelt sich dabei um die Driftanpassung des Faktor- bzw. der Faktorprozesse, um den zu Bewertungszwecken u ¨blichen Maßwechsel vom physischen zum risikoneutralen Maß zu vollziehen. Die Spezifikation der Dynamik des Momentanzinssatzes unter dem risikoneutralen Maß ist unerl¨asslich, da die Preise der Instrumente durch die Dynamik unter dem tats¨achlichen Maß noch nicht eindeutig bestimmt werden. Wird der risikolose Momentanzins nur durch einen Faktor beschrieben, so entspricht dessen Driftanpassung dem Marktpreis des Zinsrisikos in dem Modell (Term Premium). Diese Risikopr¨amie multipliziert mit der Duration einer Nullkuponanleihe ergibt die erwartete zus¨atzliche Rendite u ur ¨ber dem instantanen risikolosen Zinssatz als Kompensation f¨ das Zins¨anderungsrisiko. In einem Mehrfaktormodell ist diese direkte Interpretation nicht zul¨assig, jedoch gilt auch hier, dass die Risikopr¨amie den Beitrag des einzelnen Faktors ¨ zur erwarteten zus¨atzlichen Uberrendite widerspiegelt. Im gew¨ahlten Rahmen der affinen Zinsmodelle ergibt sich unter Verwendung der lokalen No-Arbitragebedingung die erwartete Momentanrendite einer risikolosen Anleihe somit als199

r(t) +



−λk fk (t)Bk (T ).

(48)

k=1,2

Hierbei ist λk der Marktpreis des k-ten Faktorrisikos und Bk (t) die relative Sensitivit¨at des ¨ Preises einer Nullkuponanleihe mit F¨alligkeit in T gegen¨ uber einer Anderung des Faktors k. Zu beachten ist, dass λk negativ ist, wodurch sich insgesamt ein Zuschlag zur aktuellen Momentanverzinsung r(t) ergibt. Da im Rahmen von Intensit¨atsmodellen ausfallgef¨ahrdete Anleihen analog dem Vorge¨ hen bei risikolosen Anleihen bewertet werden, sollte die Ubertragung dieses Konzeptes grunds¨atzlich mit den gleichen Methoden m¨oglich sein. Der Momentanspread bzw. die mittlere momentane Verlustrate werden wie gezeigt durch zus¨atzliche Faktoren beschrieben und deren Driftanpassung kann als Marktpreis des Kreditrisikos (Credit Premium) interpretiert werden. Wiederum sind beide Risikopr¨amien am Markt erforderlich, um Ar199

Eine formelhafte Herleitung folgt im n¨ achsten Abschnitt. Die risikolose Shortrate ist mit r(t), die Faktoren mit fk (t) sowie der Marktpreis des Risikos mit λ bezeichnet. Zur Definition von Bk (t) vergleiche Anhang C.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

57

bitragem¨oglichkeiten auszuschließen. Eine Einschr¨ankung erf¨ahrt der Analogieschluss. Um die gesamte Risikopr¨amie und damit ¨ die erforderliche Uberrendite f¨ ur eine einzelne ausfallgef¨ahrdete Anleihen zu bestimmen, ben¨otigt man Informationen u ¨ber die Ausfallwahrscheinlichkeit und die H¨ohe des Verlustes nach dem Ausfall unter dem tats¨achlichen Wahrscheinlichkeitsmaß. Im Modell von Duffie/Singleton h¨angt die Bewertung der Anleihen vor dem Ausfall von den genannten Gr¨oßen unter dem risikoneutralen Maß ab. Hierbei wurde implizit bei der Herleitung der Bewertungsgleichung angenommen, dass der Ersatzprozess U (∼)200 keinen Sprung beim tats¨achlichen Ausfall vollzieht. Dies bedeutet, dass das Ausfallrisiko einer einzelnen Anleihe ein idiosynkratisches, diversifizierbares Risiko darstellt. Yu (2002) und Jarrow et.al. (2005) zeigen, dass durch diese No-Jump“-Bedingung eine zus¨atzliche Risikopr¨amie f¨ ur ” den Verlust bei Ausfall unterschlagen wird. Besteht diese Diversifikationsm¨oglichkeit nicht, so ergibt sich die erwartete, momentane Rendite einer ausfallbehafteten Anleihe als

r(t) +



−λk fk (t)Bk (T ) + s(t) − s∗ (t).

(49)

k=1,2,3,gr

Neben  dem risikolosen Zinssatz r(t), sowie der Kompensation f¨ ur die Intensit¨ats¨anderun−λk fk (t)Bk (T ) bilden die letzten beiden Terme s(t) − s∗ (t) den Unterschied gen k=1,2,3,gr

der mittleren, momentanen Ausfallrate unter beiden Maßen ab. Diese Differenz stellt die Risikopr¨amie f¨ ur das eigentliche Ausfallereignis dar. Die Bezeichnung Credit Premium umfasst also zwei Risikopr¨amien und nicht nur eine, wie aus dem Analogieschluss ausgehend vom risikolosen Fall zu vermuten war. Falls es m¨oglich ist, das Ausfallrisiko bedingt auf die Entwicklung der Faktoren fi (t) zu diversifizieren, fallen die Ausfallintensit¨aten unter beiden Maßen zusammen.201 Unter der Diversifikationsannahme werden die Investoren nur f¨ ur die systematischen Risikopr¨amien der Intensit¨ats¨anderungen der Faktoren verg¨ utet und haben f¨ ur das nicht-systematische, da diversifizierbare Sprungrisiko bei Ausfall keinen Anspruch auf Verg¨ utung (am Markt).

r(t) +



−λk fk (t)Bk (T ).

(50)

k=1,2,3,gr

Falls eine Diversifikation grunds¨atzlich nicht m¨oglich ist, wird auch der eigentliche Ausfall ¨ am Markt verg¨ utet, d.h. neben der Risikopr¨amie f¨ ur die systematischen Anderungen der Faktorintensit¨aten spielt die Risikopr¨amie f¨ ur den eigentlichen Ausfall eine Rolle. Driessen (2005) zeigt, dass im Falle der Diversifikationsannahme das Modell die beobachtbaren, 200

Zur Erinnerung: Die Annahme des Prozesses U (∼) ist n¨ otig, um die iterative Auswertung der Formel (34) unter der RMV-Annahme zu erm¨ oglichen. Vgl. dazu Lando (1998b) S.386f.

201

Zu den technischen Voraussetzungen siehe Jarrow et.al. (2005). Driessen (2005) untersucht empirisch die Diversifikationsannahme. Die Intensit¨ ats¨ anderungen der Faktoren stellen den systematischen Teil der Risikopr¨amien dar. Dar¨ uberhinaus sind die idiosynkratischen Anteile der Risikopr¨ amien voneinander unabh¨angig bzw. unkorreliert und resultieren aus rein firmenspezifischen Gegebenheiten wie z.B. operationalen Risiken.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

58

d.h. physischen Ausfallraten deutlich u ¨bersch¨atzt und damit die erwartete Rendite deutlich untersch¨atzt. So wie die Diversifikationsannahme eine Untergrenze f¨ ur die erwartete Rendite einer ausfallbehafteten Anleihe darstellt ist es umgekehrt m¨oglich, eine Obergrenze f¨ ur die erwartete Rendite anzugeben. Die korrespondierende Annahme einer maximalen Ausfallpr¨amie geht von einer mittleren, momentanen Verlustrate unter dem physischen Maß s∗ (t) von Null aus, d.h. allein die mittlere, momentane Verlustrate unter dem risikoneutralen Maß s(t) bestimmt die Risikopr¨amie f¨ ur das eigentliche Ausfallereignis.

r(t) + s(t) +



−λk fk (t)Bk (T ).

(51)

k=1,2,3,gr

Beide Annahmen sind bei der Betrachtung einer Anlage in eine einzelne Anleihe nicht tragbar, sondern entfalten nur im Portfoliokontext ihre Wirkung. Einerseits ist es nur im Portfolio m¨oglich, die Differenz der Ausfallraten zu diversifizieren, andererseits ist die Annahme einer sehr geringen physischen Ausfallrate ebenfalls nur im Portfoliokontext zul¨assig, da ein Ausfall in aller Regel nicht das ganze Portfolio erfasst.202 In diesem Kontext reflektieren die mit den im empirischen Teil gesch¨atzten Ausfallintensit¨aten verbundenen Risikopr¨amien von homogenen Gruppierungen von Anleihen in der vorliegenden Studie sowohl den systematischen Part der Risikopr¨amie bestehend aus der Kompensation f¨ ur das Zins¨anderungsrisiko bzw. Spread¨anderungsrisiko als auch das Risiko des eigentlichen Ausfalls mittels einer Absch¨atzung des maximalen Pr¨amienaufschlags. Insofern sind auch die in den vorangegangenen Abschnitten als idiosynkratisch bezeichneten Faktoren in Wahrheit systematische, d.h. eine weitergehende Diversifikation ist nicht m¨oglich. Folglich wird f¨ ur die Intensit¨ats¨anderungen auch eine Risikopr¨amie am Markt erhoben. Idiosynkratisch sind sie nur in dem Sinne, dass sie jeweils nur eine einzelne homogene Gruppierung beeinflussen, d.h. gruppenspezifisch sind. Unter der Diversifikationsannahme bzw. unter der hier weiter verwendeten Annahme einer maximalen Ausfallpr¨amie gilt somit oben dargestellter Analogieschluss zur Ermittlung der erwarteten Momentanrendite, welcher bei einer Sch¨atzung der Ausfallintensit¨aten f¨ ur einzelne Anleihen bzw. einzelne Emittenten nicht notwendigerweise haltbar w¨are bzw. zus¨atzlicher Informationen bedarf.203 3.5.2

Die erwartete Rendite im genutzten Modellrahmen

Die Herleitung der erwarteten Rendite einer Nullkuponanleihe unter der Annahme einer maximalen Pr¨amie f¨ ur das eigentliche Ausfallereignis wird beispielhaft an einer Faktorstruktur gezeigt, bei welcher alle Faktorgewichte auf eins restringiert werden. Eine Ver202

Im Kreditrisikomanagement der Banken l¨ asst sich zeigen, dass Ausfallkorrelationen eine wichtige Rolle spielen und Klumpenrisiken f¨ ur die einzelne Bank bedrohlich sind. Trotzdem wird man selten beobachten, dass ein ganzes Kreditportfolio ausf¨ allt. Liu, Longstaff, and Mandell (2006) gehen f¨ ur den Korb der LIBOR-Banken von einer sehr geringen Ausfallwahrscheinlichkeit aus und erwarten ∗ aher an Null liegt als an s(t). daher, dass s (t) deutlich n¨

203

Um die Ausfallpr¨amie bzw. die Differenz aus den mittleren, momentanen Verlustraten unter beiden Maßen zu ermitteln, werden z.B. Anleihen unterschiedlicher Seniorit¨ at eines Emittenten oder direkte Informationen u at unter dem physischen Maß ben¨ otigt. Mit den vorliegenden ¨ber die Ausfallintensit¨ Daten und dem gew¨ ahltem Verfahren lassen sich nur die Intensit¨ aten unter dem risikoneutralen Maß ermitteln.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

59

allgemeinerung ist unter Inkaufnahme einer abstrakteren Darstellung jederzeit m¨oglich. Betrachtet wird der Fall, dass der risikolose Momentanzinssatz von zwei Faktoren und die Momentanspreads von einem gemeinsamen sowie einem gruppenspezifischen Faktor beeinflusst werden. Insgesamt umfasst das Modell somit bei drei Ratingklassen sechs Faktoren. r(t) = f1 (t) + f2 (t)

(52)

⎡ ⎤ f3 (t) 1 1 0 0 ⎢ f4 (t) =⎣ 1 0 1 0 ⎦·⎢ ⎣ f5 (t) 1 0 0 1 f6 (t) ⎡

sgr

⎤ ⎥ ⎥, ⎦

gr ∈ {AAA, A, BBB}

(53)

¨ Die zugeh¨origen Faktorprozesse bzw. deren Ubergangsverhalten werden unter dem physischen Maß P durch einen Quadratwurzelprozess204 beschrieben. Die Parameter bzw. Variablen unter dem physischen Maß P sind mit einem Asteriskus versehen. ( dfk (t) = κ∗k (θk∗ − fk (t)) dt + σk fk (t) dWk∗ (t), k = (1, . . . , 6) (54)       a∗k (fk )

bk (fk )

Mit Wk∗ werden unabh¨angige Standard-Wienerprozesse bezeichnet. Die Zustandsvariable fk (t) wird mit der Geschwindigkeit κ∗k zu dem langfristigen Niveau θk∗ gezogen. Diese mean reversion - Eigenschaft gleicht der eines Ornstein - Uhlenbeck - Prozesses, jedoch unterscheidet sich der Quadratwurzelprozess dadurch, dass der Varianzterm sowohl von einer Konstanten σk als auch der Wurzel der Zustandsvariable abh¨angt. Dieses Merkmal verhindert (bei Zinsprozessen unerw¨ unschte) negative Realisationen des Faktorprozesses.205 ¨ Beim Ubergang auf das risikoneutrale Maß Q zur Bewertung wird der Maßwechsel u ¨ber die Driftanpassung so gew¨ahlt, dass die affine Struktur der Prozesse erhalten bleibt. Mit der Driftanpassung in Form von dWk∗ (t) = dWk (t) − Λk dt erh¨alt man die Faktordynamik unter dem risikoneutralen Maß als dfk (t) = (a∗k (fk ) − Λk bk (fk , t))dt + bk (fk )dWk (t), Mit der Spezifikation206 Λk = λk ) dfk (t) = (κk − λk )

√

fk (t) σk

∀k.

(55)

f¨ ur die Driftanpassung ergibt sich ∀k

* ( θk κk − fk dt + σk fk (t)dWk (t). κk − λk

(56)

204

Diese Prozessklasse wurde durch Feller (1951) erstmals intensiv untersucht und erlangte vor allem durch die Arbeit von Cox et.al. (1985) Prominenz, so dass der Prozesstyp h¨ aufig auch als CIR-Prozess bezeichnet wird.

205

Erf¨ ullen die Parameter die Bedingung 2κk θk ≥ σk2 (auch als Feller-Bedingung bekannt, vgl. Feller ¨ (1951)) so kann der Prozess den Wert Null mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht erreichen. Ublicherweise erf¨ ullen Zinsprozesse diese Bedingung. Vgl. zum empirischen Befund Chan et.al. (1992), S.1218. ( Durch die gew¨ahlte Definition der Driftanpassung an Stelle von Λk = λk fk (t), u ¨bernimmt λk die Rolle von λ0 σk im Rahmen der alternativen Spezifikation. Auswirkung hat dies insbesondere auf den atzt wird. empirischen Teil, da λk anstatt des Produktes λ0 σk gesch¨

206

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

60

Unter dem risikoneutralen Maß beeinflusst der Marktpreis des Faktorrisikos λk sowohl das langfristige Niveau als auch die Geschwindigkeit der Ann¨aherung an dasselbe. F¨ ur die empirische Sch¨atzung wird bei unterstellter Risikoaversion der Investoren ein negatives λ ¨ erwartet, da die Investoren eine Pr¨amie f¨ ur die Ubernahme des Risikos der stochastischen ¨ Anderung der Faktorintensit¨at verlangen, d.h. die Rate der Ann¨aherung κk an das langfristige Mittel ist geringer und das langfristige Mittel θk selbst ist gr¨oßer als unter dem physischen Maß. Da der Preis einer Nullkuponanleihe ein Derivat auf die Faktoren ist, folgt mit Hilfe von Itˆ o’s Lemma207 :

dVgr (∼) = " ,# + δVgr (∼) 1 2 δ 2 Vgr (∼) δVgr (∼) dt + + σk fk (t) [κk (θk − fk (t))] δt δfk (t) 2 δfk (t)2 k=1,2,3,gr +



σk

(

fk (t)

k=1,2,3,gr

δVgr (∼) dWk (t) δfk (t)

(57)

Beziehungsweise in anderer Darstellung:

dVgr (∼) = " ,# 2 + δVgr (∼) 1 δVgr (∼) ∗ 2 δ Vgr (∼) + + bk (fk ) (ak (fk ) − Λk bk (fk )) dt δt δfk (t) 2 δfk (t)2 k=1,2,3,gr    +

k=1,2,3,gr

μVgr

bk (fk )

δVgr (∼) dWk (t) δfk (t)

(58) (59)

Aus Arbitrage¨ uberlegungen folgt, dass die erwartete Preis¨anderung μVgr unter dem risikoneutralen Maß der risikolosen Shortrate zuz¨ uglich des risikoneutralen mittleren momentanen Spreads entsprechen muss.208 μVgr = (r(t) + sgr (t))Vgr (∼)

(60)

μVgr = (f1 (t) + ... + fgr (t))Vgr (∼)

(61)

207

Mit gr ist der entsprechende gruppenspezifische Faktor bzw. die damit verbundene Gruppierung bezeichnet.

208

Eine Herleitung dieses Sachverhaltes mit Hilfe des Feynman-Kac-Theorems findet sich in Lando (1998b), S. 384f. Vgl. dazu auch die Argumentation in Abschnitt 3.5.1. Zum Feynman-Kac-Theorem vgl. u.a. Shreve (2004), S.268ff.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

61

Unter dem tats¨achlichen Maß P ergibt sich die erwartete Preis¨anderung gerade aus der Driftanpassung u ¨ber alle Faktoren hinweg.209 μVgr = μ∗Vgr −



Λk bk (fk , t)

k=1,2,3,gr

δVgr (∼) δfk (t)

(62)

Somit ergibt sich ein Maßstab f¨ ur die erwartete Preis¨anderung einer riskanten Nullkuponanleihe, welche instantan G¨ ultigkeit besitzt. μ∗Vgr − (f1 (t) + ... + fgr (t))Vgr (∼) δVgr (∼) Λk bk (fk , t) = Λk σVgr (fk , t) = δf (t) k=1,2,3,gr   k  k=1,2,3,gr

(63)

σVgr (fk ,t)

Unter der Verwendung der Spezifikation f¨ ur Λk sowie der Erkenntnis, dass im affinen (∼) ¨ Modellrahmen δVδfgrk (t) = −Bk (T )Vgr (∼) gilt210 , l¨asst sich die momentane Uberrendite darstellen als Risikopr¨amie: RP =

μ∗Vgr Vgr (∼)

−



fk (t) =

k=1,2,3,gr



−λk fk (t)Bk (T ).

(64)

k=1,2,3,gr

Die rechte Seite der Gleichung (64) setzt sich aus der Risikopr¨amie (Term Premia) f¨ ur das Zins¨anderungsrisiko (k = 1, 2) und der Kreditrisikopr¨amie (Credit Premia) (k = 3, gr) zusammen. Diese Aufschl¨age variieren im Zeitablauf durch die explizite Abh¨angigkeit von den Faktorrealisationen fk (t).211

3.5.3

Jensen’s Alpha und risikoadjustierte Attribution

Zur empirischen Umsetzbarkeit der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Beziehung f¨ ur die Zwecke der Performanceanalyse sind mehrere Annahmen zu treffen bzw. Sachverhalte zu u ufen. Einerseits ist zu kl¨aren, inwieweit sich die Portfoliosegmente als Summe von ¨berpr¨ Nullkuponanleihen darstellen lassen. Andererseits ist die Annahme zu treffen, dass der instantan g¨ ultige Zusammenhang durch Renditen auf t¨aglicher oder w¨ochentlicher Basis empirisch approximiert werden kann. Eine Aggregation auf Portfolioebene ist deshalb m¨oglich, da sich eine Kuponanleihe als Portfolio aus Nullkuponanleihen bewerten l¨asst und ein Portfoliosegment wiederum als Zusammenfassung der darin enthaltenen Kuponanleihen. Im Modellrahmen von Duffie/Singleton ist die Voraussetzung f¨ ur die Darstellung einer Kuponanleihe als Portfolio aus Nullkuponanleihen, dass die Ausfallh¨ohe sowie die Ausfallwahrscheinlichkeit unabh¨angig von dem Marktwert unmittelbar vor Eintritt des Ausfalls sind. Wird eine dieser 209

Wie im vorherigen Abschnitt diskutiert ist dazu eine Annahme bez¨ uglich der mittleren Ausfallrate unter dem physischen Maß im Portfoliokontext notwendig.

210

Zur Definition von Bk (T ) vgl. C.

211

Alternativ ergeben sich die Term Premia und die Credit Premia auch aus der Differenz der Modellparameter unter dem physischen und dem risikoneutralen Maß.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

62

Anforderungen verletzt, ergibt sich ein nicht-lineares Bewertungsproblem und eine Kuponanleihe l¨asst sich nicht als Summe von Diskontpapieren darstellen.212 Im vorliegenden Falle wird diese Anforderung nicht verletzt und eine Kuponanleihe V Kupon (∼) ergibt sich folglich als Summe der Produkte aus dem Cash Flow CF (Ti ) im Zeitpunkt Ti und zugeh¨origer Nullkuponanleihe. V Kupon (∼) =

N

CF (Ti )V (t, Ti )

(65)

i=1

Eine Gruppierung innerhalb des Portfolio wiederum ergibt sich als Summe der Kuponanleihen multipliziert mit den jeweils gehaltenen Nennwerten Ngr,j .

Pgr (fk , Ti ) =

j

Ngr,j



CFgr (Ti ) · Vgr (fk , Ti )

(66)

i

Die Risikopr¨amie RP des gesamten Portfoliosl¨asst sich analog zur Nullkuponanleihe darN ·CF (T )·V (f ,T ) stellen.213 Dabei bezeichnet xgr,i,j = gr,j gr PGi gr k i das Gewicht des Cash Flows der einzelnen Nullkuponleihe in Relation zum gesamten Portfolio PG .

RP =

gr

k

Λk · bk (fk ) ·

j

xgr,i,j · (−Bk (Ti )),

k = {1, 2, 3, gr}

(67)

i

Inwieweit eine instantan g¨ ultige Beziehung durch diskrete Daten mit w¨ochentlicher bzw. monatlicher Periodizit¨at approximiert werden k¨onnen, ist eine empirische Frage. Sich unweigerlich ergebende Verzerrungen k¨onnen nur im Rahmen der Interpretation der erzielten Ergebnisse ber¨ ucksichtigt werden. Die oben abgeleiteten, theoretisch fundierten Risikopr¨amien bilden die Grundlage f¨ ur eine risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios. Hierbei sind grunds¨atzlich zwei Vorgehensweisen m¨oglich.

1. Bei der ersten Vorgehensweise wird analog zum Jensen Alpha oder zur APT f¨ ur Aktien ein Alpha f¨ ur Anleiheportfolios in der folgenden Weise definiert:

212

Vgl. Duffie/Singleton (1999a), S.688. Ein Beispiel f¨ ur die Abh¨ angigkeit der Ausfallh¨ ohe von dem Marktwert direkt vor dem Ausfall ist bei Swap-Kontrakten mit unterschiedlichen Bonit¨ aten der jeweiligen Gegenparteien gegeben.

213

Einzelheiten sind im Anhang E angegeben.

3 DIE MODELLIERUNG DES KREDITRISIKOS

63

# " μ∗P α = − r(t) + sgr (t) · xgr − P (∼) gr  G     beobachtet

⎛

theoretisch

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ − ⎜ Λ · b (f ) · x · (−B (T )) k k k gr,i,j k i ⎟ ⎜ ⎝ gr k ⎠ j i    theoretisch

¨ Die Analogie zwischen der hier ermittelten risikoadjustierten Uberschussrendite und den in Gleichung (6) und Gleichung (7) gezeigten Beziehungen l¨asst sich unmittelbar herstellen, wenn man die Faktorladungen b mit den gewichteten Sensitivit¨aten xgr,i,j · 214 ¨ (−Bk (Ti )) sowie die erwartete Uberrendite γ mit den Marktpreisen des Risikos gewichtet mit der Sensitivit¨at zu den gew¨ahlten Faktoren Λk · bk (fk ) identifiziert. Wie in diesen Beziehungen stellt α die erzielte Momentanrendite relativ zu einem Portfolio mit gleichem Zins¨anderungs- und Kreditrisiko dar.

¨ 2. Bei der zweiten Vorgehensweise wird eine risikoadjustierte, momentane Uberschußrendite bedingt zu einer Portfoliozerlegung und einem Benchmark ermittelt. Dieser Zugang stellt somit eine Verallgemeinerung des in Abschnitt 2.3.2 dargestellten Attributionskonzeptes dar. F¨ ur die Zerlegungseinheit der dort beispielhaft pr¨asentierten Attributionsmatrix kann die risikoadjustierte, aktive Rendite in g a arithmetischer RA,adj oder geometrischer Form RA,adj erfolgen:

a RA,adj = RP,adj − RB,adj = (RP − RPP ) − (RB − RPB )

(68)

bzw.

g RA,adj =

1 + RP,adj 1 + (RP − RPP ) −1 −1= 1 + RB,adj 1 + (RB − RPB )

(69)

Bei der zweiten Vorgehensweise ist zu beachten, dass sowohl die Portfoliorendite als auch die Benchmarkrendite durch die Risikopr¨amien RPP bzw. RPB adjustiert werden. Damit verliert der Benchmark seine Funktion als absoluter Vergleichsmaßstab.

214

Zur genauen Interpretation vgl. Abschnitt 2.2.2.

4

Parametersch¨ atzung des Modelles

4.1

¨ Grunds¨ atzliche Uberlegungen zum Aufbau der Sch¨ atzung

Zur empirischen Umsetzung einer risikoadjustierten Attributionsanalyse mit realit¨atskonformen Werten ist es notwendig, die verwendeten Parameter aus Marktdaten zu sch¨atzen. Das Modell aus dem vorangegangenen Kapitel erfordert sowohl die Bestimmung der risikolosen Zinsstruktur als auch der Spreadstruktur je Ratingklasse. Pr¨aziser ausgedr¨ uckt, werden die Parameter der Quadratwurzelprozesse der latenten Faktoren inklusive der Marktpreise der Faktorrisiken gesch¨atzt, welche die Dynamik der Zins- und Spreadstruktur im Untersuchungszeitraum beschreiben. Die grunds¨atzliche Vorgehensweise hierzu ist in vielen anderen Studien erprobt.215 Im Detail m¨ ussen drei Sachverhalte entschieden werden.

1. Aus welchen Marktdaten werden die Parameter gesch¨atzt? 2. Welches Verfahren zur Bestimmung der Parameter findet Anwendung? 3. Erfolgt die Sch¨atzung direkt aus den Preisen der gehandelten Instrumente oder aus Zinsstrukturkurven, die m¨oglicherweise gegl¨attet werden m¨ ussen?

Die Entscheidung h¨angt von der Zielsetzung, den gew¨ unschten Auswertungen bzw. Zwischenergebnissen und der vorhandenen Datenbasis ab. In der vorliegenden Studie erfolgt die Sch¨atzung zweistufig, d.h. mit vorgeschaltetem Gl¨attungsverfahren, unter Anwendung der Kalman-Filter-Technik aus den Preisen von Kuponanleihen. Die Zusammensetzung der Spreads von riskanten Kuponanleihen u ¨ber risikolosen Anleihen wird in der Literatur216 kontrovers beurteilt. Je nach Studie wird best¨atigt, dass das Kreditrisiko den Hauptteil des Spreads erkl¨art (z.B. Longstaff et.al. (2005)), bzw. dieses verneint, und dem Liquidit¨atsrisiko sowie der Besteuerung ein großer Erkl¨arungsanteil zugeschrieben (z.B. Elton et.al. (2001) und Delianedis/Geske (2001)). Kommt es auf die Messung der reinen Kreditrisikokomponente an, bieten sich die Preise von Credit Default ¨ Swaps (CDS) an (Longstaff et.al. (2005)). Uber die letzten Jahre hinweg entwickelten sich 215

Aus Anleihedaten sch¨ atzen mit Hilfe des Kalman-Filter u.a. Chen/Scott (2003), Lund (1997), Duffee (1999) und Geyer et.al. (2004). Den Invertierungsansatz zur Sch¨ atzung der Parameter nutzen u.a. Chen/Scott (1993), Duan (1994), Pearson/Sun (1994) und D¨ ullmann (2002). Einen Ansatz auf Basis von Momentensch¨ atzern verfolgen u.a. Duffie et.al (2003). Auf Basis von Swapdaten (und Anleihedaten) in Verbindung mit dem Kalman-Filter sch¨ atzen u.a. Feldh¨ utter/Lando (2005). Den Invertierungsansatz in Verbindung mit Swapdaten findet sich u.a. in Liu, Longstaff, and Mandell (2006). Eine Sch¨atzung auf Basis von CDS-Daten f¨ uhren Longstaff et.al. (2005) durch.

216

Mit der Zusammensetzung der Spreads ausfallgef¨ ahrdeter Anleihen befassen sich neben vielen anderen Jones et.al. (1984), Longstaff/Schwartz (1995), Duffie/Singleton (1997), Duffee (1999), Elton et.al. (2001), Collin-Dufresne et.al. (2001), Delianedis/Geske (2001), Eom et.al. (2004), Huang/Huang (2003), Collin-Dufresne et.al. (2003), Liu, Longstaff, and Mandell (2006).

J. Daum, Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios, DOI 10.1007/978-3-8349-8885-0_4, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 201

66

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

die CDS zu einem sehr liquiden Marktsegment217 und die Tatsache, dass deren Pr¨amien unabh¨angig von der Zinsstruktur sind, erlaubt die direkte Analyse des Kreditrisikos im Gegensatz zur indirekten Analyse, bei der das Kreditrisiko in einer zinssensitiven Anleihe eingebettet ist.218 Es liegt deshalb nahe, CDS-Pr¨amien f¨ ur die Sch¨atzung der Kreditrisikopr¨amien zu verwenden. Dieser Zugang wird aus drei Gr¨ unden nicht gew¨ahlt: Erstens werden CDS nur f¨ ur wenige ausgew¨ahlte Laufzeiten mit einer Dominanz des f¨ unfj¨ahrigen Bereichs gehandelt. Zweitens ist f¨ ur die risikoadjustierte Performancemessung der gesamte Anleihespread und nicht nur die reine Kreditrisikokomponente von Interesse. Obwohl kein expliziter Ausweis der u ¨brigen Komponenten erfolgt und sie unter dem Begriff Kreditrisikospread subsumiert werden, sind sie dennoch in eine konsistente Attributionsanalyse miteinzubeziehen.219 Schließlich liegt f¨ ur Anleihespreads eine l¨angere Datenhistorie vor, da die CDS-M¨arkte sich erst ab 2001 entwickelten und zudem in der Anfangsphase nur eine geringe Liquidit¨at aufwiesen. Zur Parametersch¨atzung von CIR-Modellen mit latenten Faktoren kommen vorzugsweise verallgemeinerte Momentensch¨atzverfahren und Maximum-Likelihood-Verfahren zum Einsatz, da diese u.a. in der Lage sind, aus den beobachteten Preisen der Anleihen die Realisationen der latenten Faktoren zu extrahieren. Die Maximum-Likelihood-Verfahren untergliedern sich weiter in den Invertierungsansatz nach Pearson/Sun (1994)220 und einen Ansatz basierend auf der Technik des Kalman-Filters, vorgestellt in Kalman (1960). Diese Verfahren verwenden sowohl Querschnitss- als auch L¨angsschnittsdaten. Sie sind deshalb den reinen Cross-Section-Ans¨atzen wie z.B. Brown/Dybvig (1986) bzw. Brown/Schaefer (1994) als auch den reinen Time-Series-Ans¨atze wie z.B. Chan et.al. (1992) u ¨berlegen. Verfahren, welche nicht gleichzeitig Quer- und L¨angsschnittinformationen verwenden, erlauben keine angemessene Identifikation der Marktpreise der Faktorrisiken, die f¨ ur die verwendete Form der Risikoadjustierung essentiell sind und schneiden bei der Identifikation der Volatilit¨atsparameter schlechter ab. Alle Sch¨atzverfahren k¨onnen die Parameter der zeitkontinuierlichen Modelle nur auf Basis von diskreten Beobachtungen sch¨atzen. Damit stellt sich das Problem der Konsistenz und ¨ Erwartungstreue von Sch¨atzern. Ferner erlauben die Ubergangsdichten m¨oglicherweise 217

Die British Bankers’ Association prognostizierte in ihrer Erhebung aus den Jahren 2001 und 2002 f¨ ur das Jahr 2006 den Nominalbetrag aller ausstehenden Kreditderivate (Asset Swaps nicht mitgerechnet) auf ca. 8 Billionen US Dollar. In der neuesten Erhebung aus dem Jahre 2006 weist sie den Nominalbetrag aller ausstehenden Kreditderivate gar mit u ¨ber 20 Billionen US Dollar aus. Davon entfallen ziemlich genau ein Drittel auf single-name credit default swaps. Vgl. dazu BBA (2002) und BBA (2006).

218

In einem Working Paper der BIS (Zhu (2004)) kommt Zhu zu dem Ergebnis, dass auf l¨ angere Sicht keine Pricing-Unterschiede zwischen den beiden M¨ arkten zu beobachten sind, d.h. es gibt keine Arbitragem¨oglichkeiten. Auf kurze Sicht sind Unterschiede in der Bewertung des Kreditrisikos durchaus beobachtbar. In aller Regel reagiert der CDS-Markt schneller auf Ver¨ anderungen des Kreditrisikos bzw. eine ver¨anderte Einsch¨ atzung des Kreditrisikos.

219

Wie in Kapitel 3 gezeigt, erfolgt auf theoretischer Ebene keine Trennung der einzelnen Komponenten. Duffie/Singleton (1999a) zeigen, dass der theoretische Modellrahmen durchaus in der Lage ist, neben dem Kreditrisiko weitere Einflussgr¨ oßen auf den Spread wie Liquidit¨ at explizit zu modellieren. Zieht man eine Erweiterung des Modelles in Betracht, so ist dies ein erster Ansatzpunkt. Vor dem Hintergrund der SubPrime-Krise des Jahres 2007 r¨ uckte gerade die Liquidit¨ at als Treiber f¨ ur den Spread in den Blickpunkt des Geschehens, auch wenn im Rahmen der Krise u ¨berwiegend strukturierte Produkte betroffen sind.

220

Anzumerken ist, dass dieser Ansatz von Duan (1994) mitentwickelt wurde und von Chen/Scott (1993) ebenfalls implementiert wurde.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

67

keine geschlossene Darstellung. Die Momentensch¨atzverfahren beschr¨anken sich deshalb auf die ersten Momente der Verteilung. Die Schwierigkeit besteht darin, die Momente geeignet zu spezifizieren.221 Auch die Maximum-Likelihood-Verfahren in Gestalt von Quasi-Maximum-Likelihood-Sch¨atzungen (im weiteren QML-Sch¨atzungen) bedienen sich dieser Vereinfachung und verwenden die ersten beiden Momente der Verteilung. W¨ahrend im Gauss’schen Fall damit die komplette Information der Faktor¨ uberg¨ange enthalten ist, ist dies bei anderen Verteilungen nicht notwendigerweise der Fall und f¨ uhrt zu einer m¨oglicherweise fehlspezifizierten Likelihood-Funktion.222 Dem Problem der diskreten Beobachtungen begegnen die Maximum-Likelihood-Verfahren, indem sie f¨ ur alle oder einen Teil der Beobachtungen Messfehler zulassen. Neben der Tatsache, dass es sich um diskrete Beobachtungen eines kontinuierlichen Prozesses handelt, l¨asst sich die Notwendigkeit einer solchen Fehlerstruktur auch aufgrund unterschiedlicher Zeitpunkte der Kursfeststellung, des vorhandenen Bid-Ask-Spread und des vorangestellten Gl¨attungsverfahren rechtfertigen. Der Invertierungsansatz von Pearson/Sun (1994) erfordert die Festlegung auf eine bzw. mehrere exakt beobachtete Gr¨oßen, um durch Invertierung der Bondpreisformel die Faktorwerte zu extrahieren. Implizit stellt dies eine Identifikation der latenten Faktoren durch eine beobachtbare Gr¨oße dar. Collin-Dufresne et.al. (2001) zeigen jedoch, dass beobachtbare Faktoren u.a. nicht die Korrelationen der Kreditspread¨anderungen unter Firmen erkl¨aren k¨onnen. Chapman et.al. (1999) gehen der Frage nach, unter welchen Umst¨anden eine N¨aherung des Momentanzinssatzes durch einen Drei-Monats-Kassazinssatz gerechtfertigt ist und kommen zu dem Schluss, dass die N¨aherung Verzerrungen223 mit sich bringt. In aller Regel sind die Abweichungen vertretbar, h¨angen jedoch vom gew¨ahlten Proxy ab. Die Tatsache, dass im vorgestellten Modell der Momentanzinssatz und die Momentanspreads als Summe mehrerer Faktoren modelliert werden, erschwert ohnehin eine Identifikation der einzelnen Faktoren mit beobachtbaren Gr¨oßen bzw. deren Interpretation. Die Vorgehensweise im Rahmen des Invertierungsansatzes bringt es mit sich, die Sch¨atzung in zwei Schritten durchzuf¨ uhren sowie die Abh¨angigkeit der Ergebnisse von den gew¨ahlten Instrumenten. Im Gegensatz dazu erlaubt der Kalman-Filter die Modellierung von Meßfehlern f¨ ur alle Beobachtungszeitreihen und vermeidet die k¨ unstliche Identifikation der latenten Faktoren. Zus¨atzlich erfolgt die Sch¨atzung der Parameter sowie die Extraktion der latenten Faktoren in einem Schritt. In einer Vergleichsstudie zur G¨ ute der Maximum-Likelihood- wie auch der Momentensch¨atzverfahren kommt Zhou (2001) zu dem Schluß, dass erstere effizienter sind.224 Dies in Verbindung mit den reduzierten Verteilungsannahmen (ersten zwei Momente der Verteilung) und der konsistenteren Beobachtungsfehlerstruktur rechtfertigt die Verwendung des gew¨ahlten Verfahrens. 221

Einzelheiten zu den Momentensch¨ atzverfahren finden sich in Hansen (1982) und Gallant/Tauchen (1996).

222

Vgl. dazu Abschnitt 4.5.3.

223

Unter anderem liegt dies an den h¨ aufig weniger liquiden Preisen bei Anleihen mit kurzer Restlaufzeit sowie dass selbst bei sehr kurz laufenden Instrumenten Risikopr¨ amien zu beobachten sind.

224

Mittels einer Monte-Carlo-Studie untersucht Zhou (2001) ein zeitkontinuierliches Quadratwurzelmodell. Dabei schneiden die Maximum-Likelihood- und Quasi-Maximum-Likelihood-Verfahren hinsichtlich Effizienz und Parameteridentifizierung am besten ab. Jedoch sind die Ergebnisse der Momentansch¨atzverfahren abh¨ angig von den gew¨ ahlten Momenten, so dass das schlechtere Abschneiden unter den gew¨ahlten Annahmen zu interpretieren ist.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

68

Schließlich stellt sich die Frage, ob die Faktormodelle unmittelbar aus Anleihedaten gesch¨atzt werden sollen oder ob zun¨achst f¨ ur jede Ratingklasse Zinsstrukturkurven ermittelt und mit ihrer Hilfe die Faktorprozesse gesch¨atzt werden sollen. Die zweistufige Vorgehensweise besitzt den Vorteil, dass in jedem Zeitpunkt durch Gl¨attung f¨ ur alle Restlaufzeiten eine yield-to-maturity vorliegt. Dadurch sind keine Verzerrungen wegen fehlender Beobachtungen zu erwarten. Zus¨atzlich ist die Rendite einer Nullkuponanleihe im Gegensatz zur Rendite einer Kuponanleihe unabh¨angig vom Kupon und es werden zur Spreadbestimmung keine Anleihen mit unterschiedlicher Duration bzw. Konvexit¨at verglichen225 . Letztlich ist die Reduktion der Komplexit¨at der o¨konometrischen Sch¨atzung nicht zu vernachl¨assigen, da f¨ ur Nullkuponanleihen auf den linearen Fall des KalmanFilters zur¨ uckgegriffen werden kann.226 Die resultierende representative Zinsstruktur je Ratingklasse filtert ferner anleiheindividuelle Pricing-Fehler und Anomalien heraus. Diese Filterung ist f¨ ur die Performanceanalyse von Vorteil, da Interesse an einer durchschnittlichen Anleihe mit der gleichen Risikoeinsch¨atzung bzw. deren Entwicklung im Zeitablauf besteht, so dass der Informationsverlust durch Aggregation nicht ins Gewicht f¨allt. Als Nebenprodukt erlaubt die vorangestellte Gl¨attung zus¨atzliche Untersuchungen zur Zinsstruktur.

4.2

Die Datengrundlage

F¨ ur die Sch¨atzung der Zinsstrukturkurven und Faktorprozesse werden Daten der Anleihen verwendet, die im Iboxx-Euro-Overall-Indexes w¨ahrend des Zeitraums vom 31. Dezember 1998 bis zum 31. Dezember 2003 enthalten sind. Die Iboxx-Euro-Indizes werden von der International Index Company Limited (IIC) ver¨offentlicht. Die Indexfamilie umfasst auf Euro (oder auf im Euro aufgegangenen W¨ahrungen) lautende Anleihen mit einem Mindestrating im Investmentgrade-Bereich. Die Ratingeinstufung entspricht dem schlechtesten Rating einer der drei Ratingagenturen: Standard&Poor’s, Moody’s Investors Service oder Fitch Ratings. Die Untersuchung beschr¨ankt sich somit auf Anleihen der Ratingklasse BBB (nach der Klassifikation von Standard&Poor’s) oder besser. Neben dem Rating sind die Restlaufzeit, das ausstehende Volumen und die Anleiheart f¨ ur die Indexzugeh¨origkeit entscheidend. Berechnet wird der Index, f¨ ur welchen als Basisdatum der 31.12.1998 gew¨ahlt wurde, von der Deutschen B¨orse, welche als Datengrundlage die gestellten Preise von 10 großen Finanzinstitutionen heranzieht.227 Der Iboxx-Euro-Overall-Index gew¨ahrleistet somit eine breite Abdeckung des Anlageuniversum (auf Euro lautende Anleihen) verbunden mit liquiden Preisen. Der Iboxx umfasst f¨ ur den gew¨ahlten Zeitraum vom 31.12.1998 bis zum 31.12.2003 rund 1.900 Anleihen. Der Datensatz, welcher von der IIC im Rahmen der angebotenen FTP225

Studien, welche den Spread aus dem Unterschied von Kuponaleihen gleicher Restlaufzeit bestimmen, tun eben dies.

226

Die Rendite von Nullkuponanleihen ist affin in den Faktoren des verwendeten Zinsmodells. Bez¨ uglich der Einschr¨ankung dieser Aussage f¨ ur Quadratwurzelprozesse und der Konsequenzen wird auf Abschnitt 4.5.3 verwiesen.

227

F¨ ur detailliertere Angaben wird auf den Iboxx-EUR-Guide - zur Zeit Stand M¨ arz 2007 - verwiesen, welcher von der Deutschen B¨ orse auf Ihrer Homepage (http://deutsche-boerse.com) ver¨ offentlicht wird.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES Alle Ratings AAA Alle Sektoren 1899 756 ¨ 610 284 Offentlicher Sektor Finanzsektor 881 461 Nicht-Finanzsektor 408 11

69

AA 476 240 179 57

A BBB NR 418 196 53 29 5 52 201 39 1 188 152 0

¨ Iboxx - Ratingklassen und Sektoren. Die Tabelle zeigt den Tabelle 7: Ubersicht Iboxx-Euro-Overall-Index aufgegliedert nach drei Sektoren (¨offentlicher Sektor, Finanzsektor und Nicht-Finanzsektor) sowie den Ratingklassen nach der Standard&Poors’s Systematik. NR steht f¨ ur Anleihen ohne Ratingeinstufung. Die Anzahl der Anleihen wurde u ¨ber den gesamten betrachteten Zeitraum erhoben.

Zugangsm¨oglichkeit228 bezogen wurde, umfasst neben den Kursen die ISIN, den Kupon, die Laufzeit, das Rating, den Ausgabebetrag, den Emittenten und das Gewicht innerhalb des Index jeweils zum Monatsende. Erg¨anzt und u uft werden die Daten durch ¨berpr¨ ¨ zus¨atzliche Angaben aus dem Bloomberg-Informationssystem. Tabelle 7 gibt einen Uberblick u ¨ber die Aufteilung auf Ratingklassen und Sektoren. Aufgrund unter empirischen Gesichtspunkten durchgef¨ uhrter Datenbereinigungen verbleiben 1.668 Anleihen, welche zur Sch¨atzung der Parameter verwendet werden k¨onnen. Neben den als risikolos einzustufenden Anleihen der Bundesrepublik Deutschland sowie weiterer Staatsanleihen werden solche Anleihen entfernt, f¨ ur die kein Rating zur Verf¨ ugung steht, die spezielle Merkmale wie eingebettete Optionen enthalten, welche zu einer abweichenden Preisbestimmung f¨ uhren oder deren Preis von dem aus Bloomberg229 gelieferten Preis um mehr als zwei Prozentpunkte abweicht. Zus¨atzlich wurden Asset-Backed Bonds und Index-basierte Anleihen entfernt. Die risikolose Referenzzinsstruktur wird aus den Anleihen, Obligationen und Schatzanweisungen der Bundesrepublik Deutschland gesch¨atzt. Diese in Anbetracht der Abwesenheit einer anleihenemittierenden europ¨aischen Zentralregierung f¨ ur auf Euro lautende Anleihen u ¨bliche Vorgehensweise230 beeintr¨achtigt die Ergebnisse auch dann nicht, wenn die Emissionen der Bundesrepublik Deutschland als nicht vollst¨andig risikolos eingesch¨atzt werden oder in manchen Laufzeitb¨andern mit franz¨osischen und italienischen Staatsanleihen um die Benchmarkfunktion konkurrieren. Die Ratingagenturen stießen im betrachteten Zeitraum regelm¨aßig die Diskussion um eine Herabstufung der Bonit¨at an, welche durch die ¨ best¨andige Uberschreitung der Maastricht-Kriterien durch die Bundesrepublik Deutschland motiviert war.231 S¨amtliche Ergebnisse sind in solch einem Fall weiterhin g¨ ultig und als relativ zur gew¨ahlten Zinsstruktur zu interpretieren, d.h. der Spread enth¨alt m¨ogli228

Inzwischen ist dies nur noch gegen Entgelt m¨ oglich. Vgl. www.iboxx.com.

229

Es wird der Bloomberg Generic Price (BGN) verwendet, welcher als Durchschnitt von mindestens f¨ unf verschiedenen Datenlieferanten gebildet wird. Die exakte Gewichtung wird von Seiten Bloombergs nicht ver¨offentlicht.

230

Vgl. u.a. Geyer et.al. (2004) und Houweling et.al. (2001). Der wichtigste Grund f¨ ur Spreads zwischen ¨ Staatsanleihen des Euroraumes, die Anderung der Wechselkurse, ist weggefallen, so dass sich die Spreads insgesamt verringert haben.

231

Seit dem Jahre 2006 erf¨ ullt die Bundesrepublik Deutschland die Maastricht-Kriterien wieder und das Defizitverfahren seitens der Europ¨ aischen Union wurde im Jahre 2007 eingestellt. Insofern best¨ atigt dies die Wahl als risikolosen Benchmark.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

70

cherweise relative Risiko- und Liquidit¨atseffekte.232 Zu Gute kommt den Bundesanleihen aber nach wie vor, dass sie die liquidesten Anleihen in Euroland sind und sich zudem f¨ ur Laufzeiten mit zwei, f¨ unf und zehn Jahren u ur ¨ber Terminkontrakte absichern lassen. F¨ die Sch¨atzung werden Daten und Kurse der German Bond Data Base233 verwendet, da diese das Segment der Bundesanleihen, Bundesobligationen und Bundesschatzanweisung umf¨anglicher als die Iboxx-Index-Familie abdeckt. Insgesamt stehen somit 1.787 Anleihen zur Verf¨ ugung und die Sch¨atzung basiert auf 245.211 w¨ochentlichen Beobachtungen. Verwendet werden jeweils Kurse aus der Wochenmitte. Das Laufzeitspektrum umspannt den Zeitraum von drei Monaten bis zu 33 Jahren. Die meisten Anleihen liegen allerdings im Laufzeitband zwischen vier und sechs Jahren. ¨ Eine Ubersicht u ¨ber die zur Sch¨atzung verwendeten Anleihen und deren Merkmale gibt Tabelle 8. Bund AAA/AA Gesamtanzahl der Bonds 119 1.140 Anzahl der Beobachtungen 16.150 175.121 Mittlere Restlaufzeit 5,8 5,5 Minimale Restlaufzeit 0,25 0,25 Maximale Restlaufzeit 31,4 33 Mittlerer Kupon 5,2 4,94 Minimaler Kupon 0 0 Maximaler Kupon 9 12,5

A 352 38.170 6,1 0,25 30 5,3 2,5 9

BBB 176 15.970 5,3 0,25 30,1 5,94 3,75 11

¨ Tabelle 8: Datensatz zur Nelson/Siegel-Sch¨ atzung. Die Tabelle gibt eine Ubersicht u ugung stehenden Datensatz. Die Restlaufzeit ist in Jahren und der Kupon ¨ber den zur Verf¨ in Prozent angegeben.

Wie aus Tabelle 8 ersichtlich werden Zinsstrukturkurven f¨ ur Emissionen der Bundesrepublik Deutschland und die Hauptratingkategorien ermittelt, wobei die Kategorien AAA und AA zusammengelegt werden. Jede Einteilung impliziert die Annahme, dass die Anleihen je Gruppe homogen in Bezug auf das Zins¨anderungs- und Ausfallrisiko sind.234 Diese Hypothese findet sich in vielen Studien235 wieder. Diaz/Skinner (2001) zeigen in Ihrer Untersuchung, dass eine Einteilung in Hauptratingkategorien (im Gegensatz zu einer feineren Partitionierung in Subkategorien) keinen Nachteil bez¨ uglich der G¨ ute der Sch¨atzung mit sich bringt. Neuere Studien (Elton et.al. (2004) oder Perraudin/Taylor (2004)) kommen jedoch zu dem Schluss, dass eine Hinzunahme weiterer Anleihecharakteristika bei der Einteilung zu homogeneren Gruppen f¨ uhrt. Eine prinzipiell w¨ unschenswerte, weitergehende Klassifikation nach Subratingkategorien, Industriesektoren oder zumindest in Anleihen 232

Geyer et.al. (2004) erhalten in ihrer Untersuchung bei der alternativen Verwendung von franz¨ osischen Staatsanleihen als Referenz eine ¨ ahnliche Faktorstruktur wie bei einer Verwendung deutscher Staatsanleihen als Referenzzinsstruktur. Dies l¨ asst sich auf die beobachtbare, hohe Korrelation sowohl f¨ ur die absolute H¨ohe als auch f¨ ur die Zins¨ anderungen zur¨ uckf¨ uhren.

233

Vgl. B¨ uhler et.al. (1993)

234

Typische Spreads f¨ ur die Ratingklassen AAA und AA liegen deutlich n¨ aher beieinander als z.B. die Ratingklassen AA und BBB. In aller Regel steigen die Spreads exponentiell mit schlechter werdenden Ratingklassen an. Vgl. dazu Hu (2005).

235

Vgl. zu diesem Aspekt insbesondere Elton et.al. (2001), S. 1.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

71

aus dem Finanz- und Nicht-Finanzsektor scheitert sowohl an der Datenverf¨ ugbarkeit als auch an der anschliessenden Parametersch¨atzung. 1999 Bund 67,8 AAA/AA 493,5 A 40,5 BBB 6,2

2000 2001 2002 2003 65,0 61,2 59,1 57,9 607,6 666,7 745,8 854,2 99,5 163,8 227,7 303,0 23,0 47,6 93,0 143,5

Tabelle 9: Durchschnittliche Anzahl der Anleihen pro Jahr. Die Tabelle zeigt die Anzahl der Anleihen je Ratingklasse, die durchschnittlich in den einzelnen Jahren pro Auswertungstag zur Sch¨ atzung zur Verf¨ ugung stehen.

Tabelle 9 zeigt die pro Tag und Ratingkategorie in dem f¨ unfj¨ahrigen Untersuchungszeitraum zur Verf¨ ugung stehenden Anleihen. Die jeweilige Anzahl ist mit Ausnahme von einem Jahr und einer Ratingkategorie ausreichend f¨ ur eine Zinsstrukturkurvensch¨atzung. F¨ ur die Ratingkategorie BBB stehen f¨ ur das Jahr 1999 (2000) pro Auswertungstag nur durchschnittlich 6,2 (23,0) Anleihen zur Verf¨ ugung. Bei einer weiteren Unterteilung w¨are f¨ ur diese Klasse keine valide Sch¨atzung mehr m¨oglich. Ferner st¨oßt das in Abschnitt 4.5 vorgestellte Kalman-Filter-Verfahren zur Extraktion der latenten Faktoren bei mehr als 5 Faktoren schnell an rechentechnische236 Grenzen. Bei einer Faktorstruktur mit einem oder mehreren gemeinsamen Faktoren und jeweils einem Faktor je Klasse beschr¨ankt dies die Tiefe der Unterteilung. Schließlich zeigt auch eine getrennte Sch¨atzung der beiden Ratingklassen AAA und AA mit Hilfe eines auf Perraudin/Taylor (2004) basierenden Verfahrens f¨ ur den Datensatz, dass ca. die H¨alfte der Anleihen der Ratingklasse AAA durch die Zinsstruktur der Ratingklasse AA besser erkl¨art werden.

4.3

Das Verfahren nach Nelson/Siegel

Theoretisch ist die Zinsstrukturkuve f¨ ur jede Ratingklasse direkt am Markt f¨ ur Nullkuponanleihen zu beobachten. In der Praxis fehlt es an einer Abdeckung des Restlaufzeitenspektrums durch einzelne Emittenten bzw. durch mehrere Emittenten in der jeweiligen Ratingklasse. Selbst die Bundesrepublik Deutschland, welche im Jahre 1997 ein StripsProgramm237 aufgelegt hat, emittiert nicht gen¨ ugend Nullkuponanleihen, um aus diesen die komplette, risikolose Zinsstruktur zu bestimmen.238 Aus diesem Grund werden die Zins- und Spreadstruktur aus den Preisen von Kuponanleihen gesch¨atzt. Da die Zinsstruktur darin nur implizit enthalten ist, muss eine Vorgehensweise zur Extraktion von Zinsstrukturkurven aus Marktdaten gew¨ahlt werden239 : 236

Diese Einschr¨ankungen beziehen sich in erster Linie auf die große Anzahl an Parametern, die es zu sch¨atzen gilt. Bei einer zu großen Anzahl fallen Identifikationsprobleme und Stabilit¨ atsfragen der Optimierung stark ins Gewicht. In zweiter Linie beziehen sie sich auf die Dauer eines Optimierungslaufes.

237

Vgl. Deutsche Bundesbank (1997).

238

F¨ ur den amerikanischen Markt existiert eine Untersuchung, die eben dies versucht. Vgl. Sarig/Warga (1989a).

239

Vgl. Bliss (1997).

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

72

1. Eine Preisfunktion muss bestimmt werden, welche den Preis Pi (t, Ti ) der i-ten Anleihe240 im Zeitpunkt t mit F¨alligkeit Ti mit Hilfe von Diskontfaktoren δ(t, m) zu den versprochenen Kuponzahlungen Ci,m und dem R¨ uckzahlungsbetrag Ci,Ti , welche zu den Zeitpunkten m bzw. Ti anfallen, in Beziehung setzt. Mit δ(t, m) wird der Diskontfaktor von t bis m bezeichnet. Denkbar ist, das Preisfunktional zu erweitern, um Steuereffekte, Liquidit¨at etc. zu ber¨ ucksichtigen.241 2. Da es praktisch unm¨oglich ist, eine yield-to-maturity f¨ ur jede erdenkliche Restlaufzeit direkt zu ermitteln, muss eine funktionale Form f¨ ur die Diskontfaktoren respektive Kassa-Zinss¨atze festgelegt werden, deren Parameter es zu sch¨atzen gilt. 3. Die ¨okonometrische Methode zur Sch¨atzung der Parameter der funktionalen N¨aherung aus Schritt zwei unter Ber¨ ucksichtigung des Preisfunktionals ist festzulegen. Die Festlegungen in diesen drei Punkten beeinflussen die G¨ ute und Eigenschaften der Sch¨atzungen, wobei grunds¨atzlich zwischen der Flexibilit¨at und der Gl¨atte der Zinsstrukturkurve abgewogen wird. F¨ ur die vorliegende Studie wird das nicht-parametrische, nicht-lineare Verfahren242 nach Nelson/Siegel (1987)243 verwendet.244 Neben dem guten Abschneiden in mehreren Vergleichsstudien245 erlaubt das gew¨ahlte Verfahren bei wenigen Beobachtungen eine Sch¨atzung der Parameter und reagiert robust auf einzelne Ausreißer. Als grunds¨atzlicher Nachteil steht dem gegen¨ uber, dass keine Identifikation von Abnormalit¨aten aufgrund der geringeren Flexibilit¨at der gesch¨atzten Kurve m¨oglich ist. F¨ ur die Bestimmung einer durchschnittlichen Zinsstruktur bzw. Spread-Struktur je Ratingklasse spielt dies jedoch eine untergeordnete Rolle. Erw¨ahnenswert sind an dieser Stelle die Arbeiten von Houweling et.al. (2001) und Jankowitsch/Pichler (2002), die sich mit der gemeinsamen Sch¨atzung von Zinsstrukturkurven f¨ ur alle Ratingklassen besch¨aftigen, um glattere Spreadkurven zu erreichen. Den Vorteil einer glatteren Spreadkurve erkauft sich deren Prozedur durch einen Verlust an Genauigkeit bei der Preisbestimmung innerhalb der jeweiligen Ratingklassen. Da, wie unten gezeigt wird, die Standarabweichungen der Preisfehler f¨ ur die Klassen A und BBB schon erheblich sind, wird der getrennten Sch¨atzung f¨ ur jede Ratingklasse der Vorzug gegeben. Das Verfahren nach Nelson/Siegel bedient sich einer einfachen Preisfunktion, welche den Anleihenpreis Pi (t, Ti , β) dargestellt als Kurs Pik (t, Ti , β) plus St¨ uckzinsen SZi (t) folgen240

Es kann sich bei der Anleihe um eine risikolose Anleihe als auch um eine riskante Anleihe handeln. Die Bezeichnung Pi (t, Ti ) ist hier nicht einschr¨ ankend auf risikolose Anleihen gew¨ ahlt worden.

241

Vgl. dazu Elton et.al. (2004).

242

Zur Klassifizierung der Verfahren vgl. James/Webber (2000), S. 432 ff.

243

Die deutsche Bundesbank verwendet seit 1997 ein erweitertes Nelson/Siegel-Verfahren nach Svensson (1994) zur Bestimmung der Zinsstruktur. Vgl. Schich (1997).

244

Alternative Ans¨atze wie die Spline-basierten Ans¨ atze von McCulloch (1971,1975), Schaefer (1981) und Vasicek/Fong (1982) wurden nicht betrachtet, da f¨ ur das vorliegende Problem (durschnittliche Zinsstrukturkurve, teilweise gering besetzte Klassen) das gew¨ ahlte Verfahren geeigneter ist. Vgl. dazu Bliss (1997). Eine Erweiterung des gew¨ ahlten Verfahrens nach Svensson (1994) brachte keine entscheidende Ergebnisverbesserung.

245

Vgl. u.a. Bliss (1997) und Diaz/Skinner (2001).

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

73

dermaßen mit den Kuponzahlungen bzw. dem R¨ uckzahlungsbetrag in Beziehung setzt. Pik (t, Ti , β) + SZi (t) =

Ti

Ci,m δ(t, m, β)

(70)

m=1

Hierbei ist β ein Vektor aus vier Parametern β0 , β1 , β2 , τ1 durch die die Form der Zinsstrukturkurve bestimmt wird.246 Die Diskontfaktoren δ(t, m, β) leiten sich aus den KassaZinss¨atzen z(t, m, β) ab. δ(t, m, β) =

1 exp(z(t, m, β)m)

(71)

F¨ ur die funktionale Approximation der Kassa-Zinss¨atze wird eine exponentielle Darstellung gew¨ahlt. z(t, m, β) = β0 + β1

1 − exp(−m/τ1 ) m 1 − exp(−m/τ1 ) + β2 ( − exp(− )) m/τ1 m/τ1 τ1

(72)

Dieser funktionale Zusammenhang erm¨oglicht es, die u ¨blicherweise vorkommenden Formen (normal, invers, S-f¨ormig, bucklig) der Zinsstrukturkurve abzubilden. Die verwendeten Parameter β0 , β1 , β2 , τ1 lassen sich relativ gut interpretieren. Es gilt lim z(t, m, β) = m→∞

β0 und lim z(t, m, β) = β0 + β1 . Somit lassen sich β0 als langfristiger Zinssatz und β0 + β1 m→t als nicht-beobachtbarer Momentanzinssatz auffassen. Konsequenterweise beschreibt der Parameter −β1 die Steilheit der Kurve. Die Parameter β2 und τ1 beeinflussen den Verlauf der Kurve im mittleren Restlaufzeitspektrum. Dabei bestimmt β2 die Ausmaße des Buckels der Zinstrukturkurve und τ1 die Lage desselben entlang der Restlaufzeit. Durch die sparsame Parametrisierung der Interpolation relativ zur Zahl der Anleihen in jeder Ratingklasse ist obige Preisfunktion nicht in der Lage, alle Anleihepreise ohne Abweichung zu erkl¨aren. Der Parametervektor β wird unter Minimierung der quadrierten Abweichung zwischen dem beobachtetem Preis der Anleihe Pˆi (t, Ti , β) inklusive St¨ uckzinsen und dem theoretischen Modellpreis P¯i (t, Ti , β) als L¨osung eines nicht-linearen Optimierungsproblems bestimmt.247 min βt

n

(Pˆi (t, Ti , β) − P¯i (t, Ti , β))2

(73)

i=1

P¯i (t, Ti , β) =

Ti

¯ m, β) Ci,m δ(t,

(74)

m=1

Zur Bestimmung der Zinsstrukturkurven, wird diese Prozedur f¨ ur jeden Beobachtungszeitpunkt und f¨ ur jede Ratingklasse getrennt durchgef¨ uhrt. Um zus¨atzlich den Einfluss einzelner Ausreißer zu d¨ampfen, wird einem Verfahren von Schwartz (1998) folgend diejenige Anleihe aus dem Sample des Beobachtungszeitpunktes entfernt, deren Preisabweichung 246

Daher wird die Notation f¨ ur die theoretischen Preise der Anleihen, die Diskontfaktoren sowie die Kassazinss¨atze um den Vektor β erweitert.

247

Je nach Anwendungsgebiet kann es auch geboten sein, die Abweichungen der beobachteten Rendite von der theoretischen Rendite zu minimieren.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

74

einen vorgegebenen Wert248 am weitesten u ¨bersteigt. Daraufhin wird das Optimierungsverfahren solange wiederholt, bis alle Preisabweichungen dem Kriterium gen¨ ugen.

4.4

Ergebnisse und Analyse der Nelson/Siegel-Sch¨ atzung

¨ Die Analyse der Zinsstrukturkurvensch¨atzung erlaubt neben einem Uberblick u ¨ber deren G¨ ute auch einen Einblick in die zu Grunde liegende Dynamik. Weitergehende Auswertungen ergeben eine Indikation f¨ ur die Anwendbarkeit des gew¨ahlten Zinsmodelles sowie f¨ ur das Vorhandensein von m¨oglichen Selektionsertr¨agen im Rahmen einer Attributionsanalyse. Durchschn. Anzahl an Anleihen Durchschn. Anzahl an Aussreißern Mittl. abs. Preisabweichung (MADP) in BP Mittlere Preisabweichung in BP Maximale absolute Preisabweichung in BP Standardabweichung der MADP in BP

Bund AAA/AA A BBB 61,8 670,9 146,2 76,4 5,5 200,6 17,2 8,5 10,9 20,4 108,8 116,4 0,5 -0,1 -2,5 2,0 26,7 44,5 753,4 321,8 8,3 17,5 73,5 85,5

Tabelle 10: Preisabweichungen der Nelson/Siegel-Sch¨ atzung. Die Tabelle zeigt die durchschnittlich pro Auswertungstag in die Sch¨ atzung eingehenden Anleihen sowie die durchschnittliche Anzahl der nach dem Verfahren von Schwartz (1998) ermittelten Ausreisser. Zus¨ atzlich werden Angaben zu den mittleren Preisabweichungen gemacht. Die Angaben zur Preisabweichung sind in Basispunkten angegeben. Der Zeitraum umfasst die Jahre 1999 bis 2003 mit Ausnahme der Klasse BBB, f¨ ur welche der Zeitraum nur die Jahre 2000 bis 2003 umfasst. Aus Tabelle 10 wird ersichtlich, dass die Sch¨atzung der Ratingklassen AAA/AA und A auf deutlich mehr Anleihen pro Evaluationstag basieren als die der zwei anderen Klassen. F¨ ur die Sch¨atzung der risikolosen Zinsstrukturkurve kann trotzdem durchg¨angig auf ca. 60 Anleihen zur¨ uckgegriffen werden, wohingegen f¨ ur die Ratingklasse BBB im ersten Jahr nur durchschnittlich 6 Anleihen pro Tag und im letzten Jahr der Sch¨atzung mehr als 140 Anleihen pro Tag zur Verf¨ ugung stehen. Der Anstieg der Anleihenanzahl innerhalb der Ratingklassen verdeutlicht, dass im Zuge der Euro-Einf¨ uhrung die Bedeutung des Marktes f¨ ur riskante Unternehmensanleihen im Vergleich zu den Staatsanleihen stark zugenommen hat.249 Aus diesem Grund beziehen sich die Angaben f¨ ur die Ratingklasse BBB in Tabelle 10 nur auf die Jahre 2000 bis 2003, da die Ergebnisse f¨ ur das Jahr 1999 recht unzuverl¨assig sind und ein falsches Bild der Untersuchung zeichnen. Aus Vergleichbarkeitsgr¨ unden decken nachstehende Tabellen und Abbildungen deshalb nur den Zeitraum vom 01.01.2000 bis zum 31.12.2003 ab. Die angegebenen mittleren absoluten Preisabweichungen (MADP) lassen sich mit ¨ahnlichen Studien wie D¨ ullmann et.al. (2000) und Schirm (2004) vergleichen. Sie liegen erwar248

Zur Bestimmung des Wertes vgl. Schwartz (1998), S. 199. Alternative Filterstrategien wie ein Vielfaches der Standardabweichung der mittleren Abweichung sowie fest vorgegebene Preisabweichungen ergaben ¨ahnliche Ergebnisse. Allerdings war die Anzahl der Ausreißer in der Regel h¨ oher.

249

Vgl. Tabelle 9 in Abschnitt 4.2.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

75

tungsgem¨aß etwas niedriger, da f¨ ur alle Klassen ein Ausreißerverfahren verwendet wurde. Einzig die mittlere absolute Preisabweichung sowie die maximale absolute Abweichung f¨ ur die Ratingklasse A fallen aus dem Rahmen, was ebenfalls auf die schlechte Datenlage f¨ ur das Jahr 1999 zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Nimmt man das Jahr 1999 bei der Klasse A aus, so verringert sich die MADP auf 83,7 Basispunkte und die maximale absolute Abweichung auf 121,9 Basispunkte. Die Standardabweichung steigt - ebenfalls vergleichbar mit anderen Studien - mit den Ratingklassen an und ist f¨ ur die Klassen A und BBB erheblich. Die Zahl der Ausreißer ist bis auf die der Ratingklasse AAA/AA im erwarteten Rahmen. Die große Anzahl resultiert aus der Zusammenlegung der beiden Klassen und deutet auf eine inhomogenere Zusammensetzung der Kategorie AAA/AA im Vergleich zu den anderen Kategorien hin. Die Frage der homogenen Klassenbildung bzw. der Konsistenz der Ratingeinstufung und der Markteinsch¨atzung ist insofern von Interesse als das Rating gemeinhin als Informationsquelle bez¨ uglich des Kreditrisikos verstanden wird und auch in der vorliegenden Studie in diesem Sinne interpretiert wird. Altman (1989) stellt fest, dass die Renditen mit abnehmenden Rating im Durchschnitt zunehmen, was sich auch im verwendeten Datensatz widerspiegelt. F¨ ur die durchschnittliche Anleihe ist das Rating folglich konsistent mit dem Spread bzw. der Einsch¨atzung durch den Markt. F¨ ur einzelne Anleihen gilt dieser Zusammenhang nicht notwendigerweise. Wie in der Studie von Perraudin/Taylor (2004) werden die Anleihen danach klassifiziert, ob ihr Preis konsistent mit der Ratingeingruppierung ist. Dazu wird der beobachtete Preis mit den theoretischen Preisen verglichen, welche sich durch die Diskontfaktorstruktur der vier Ratingklassen ergeben. Liegt der beobachtete Preis n¨aher an dem theoretischen Preis, der sich bei einer Bewertung der Cash Flows der Anleihe durch die Diskontfaktoren der n¨achsth¨oheren bzw. n¨achstniedrigeren Ratingklasse ergibt, so liegt in der Nomenklatur von Perraudin/Taylor (2004) eine schwache Reklassifikation vor. Eine derartige Abweichung bedeutet noch keine Inkonsistenz der Ratingeinsch¨atzung. Liegt der Preis sogar unter bzw. u ¨ber dem Preis, der sich bei der Bewertung der Cash Flows mit den Diskontfaktoren der n¨achstschlechteren bzw. n¨achstbesseren Ratingklasse ergeben, so wird von einer starken Reklassifikation gesprochen. In diesem Fall ist das Rating inkonsistent mit der Markteinsch¨atzung.250

Starke Rekl. Schwache Rekl.

BU AAA/AA 3 102 11 239

A BBB 31 5 72 19

Tabelle 11: Starke und schwache Reklassifizierungen. Die Tabelle zeigt die Anzahl der durchschnittlichen Reklassifizierungen (gerundet) pro Auswertungstag im Sinne von Perraudin/Taylor (2004).

Nach Perraudin/Taylor (2004) l¨asst sich ein Teil der Abweichungen durch zus¨atzliche Anleihecharakteristika erkl¨aren und ein großer Teil der verbliebenen Reklassifikationen l¨ost sich nach Ablauf eines halben Jahres auf. Andere Untersuchungen erkl¨aren diesen Sachverhalt durch das sticky rating, d.h. der Markt reagiert auf Ver¨anderungen schneller durch Anpassung des Preises als die Ratingagenturen. Allerdings nehmen die Ratingagenturen f¨ ur sich nicht in Anspruch auf jede neue Information zu reagieren, sondern propagieren 250

Eine ¨ahnliche Herangehensweise ist ein durch den Spread impliziertes Rating zu vergeben und dieses mit dem Originalrating zu vergleichen. Entscheidend ist hier die Festlegung der Ober- und Untergrenzen des Spreads f¨ ur die Ratingklassen.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

76

Kassazinssatz

0.06

0.055

0.05

0.045

0.04

0.035

0.03

0.025 10 Jahre 0.02

8 Jahre 6 Jahre Restlaufzeit

0.015

3 Jahre 03.2000

03.2001

03.2002

03.2003

12.2003

Abbildung 7: ZSK Bund 3D Ansicht. Die Abbildung zeigt die risikolose Zinsstrukturkurve u ur Restlaufzeiten zwischen 1 und 10 Jahren. ¨ber den Betrachtungszeitraum f¨

ihre Ratingeinsch¨atzung als nachhaltig251 . Tabelle 11 zeigt die Anzahl an starken und schwachen Reklassifikationen. Zu Tabelle 11 ist anzumerken, dass die Anzahl der Reklassifikationen f¨ ur die mittleren Ratingklassen schon deswegen h¨oher ausfallen, da eine Reklassifikation in beide Richtungen m¨oglich ist. F¨ ur die Randklassen BU und BBB ist dies nat¨ urlich nur in eine Richtung m¨oglich. Betrachtet man die Ratingkonsistenz im Datensatz, so erscheint einzig die Anzahl der Reklassifikationen der Klasse AAA/AA zu hoch. Dies ist jedoch dem Umstand geschuldet, dass durch die Zusammenlegung der Bereich zwischen den Klassen BU und A nur noch durch eine Zinsstrukturkurve beschrieben wird und nicht mehr durch zwei in Verbindung mit der ohnehin hohen Anzahl an Ausreißern252 . Die Abbildungen 7 und 8 stellen die Entwicklung der Zinsstrukturkurve im risikolosen Segment f¨ ur die Jahre 2000 bis 2003 dar. Hieraus wird deutlich, dass das Zinsniveau einen negativen Trend aufweist. So verringert sich der Kassazinssatz f¨ ur eine 5-j¨ahrige Restlaufzeit von 4, 97% p.a. Anfang des Jahres 2000 auf 3, 54% p.a. Ende des Jahres 2003. Die Zinsstrukturkurve ist zu Beginn normal und flacht erkennbar ab. Im Zeitraum von September 2000 bis Januar 2001 ist sogar eine leicht inverse Zinsstruktur zu erkennen. In Abbildung 9 ist der zeitliche Verlauf der yield-to-maturity f¨ ur ausgew¨ahlte Restlaufzeiten f¨ ur alle vier Ratingsegmente dargestellt. Daraus wird deutlich, dass das f¨ ur Bundesanleihen festgestellte Verhalten auch f¨ ur die u ¨brigen Ratingklassen zutrifft, wenn auch

251

Im Englischen steht daf¨ ur der Begriff through-the-cycle im Gegensatz zu point-in-time.

252

Vgl. dazu Tabelle 10.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

77

Bund verschiedene Laufzeiten 5,80 5,40

K as sazi n ss atz %( )

5,00 4,60

RLZ 2 Jahre

4,20

RLZ 4 Jahre

3,80

RLZ 6 Jahre

3,40

RLZ 8 Jahre RLZ 10 Jahre

3,00 2,60 2,20 J ul. 03

Okt. 03

Apr. 03

J an. 03

J ul. 02

Okt. 02

Apr. 02

J an. 02

J ul. 01

Okt. 01

Apr. 01

J an. 01

J ul. 00

Okt. 00

Apr. 00

J an. 00

1,80

Abbildung 8: ZSK Bund Verschiedene Laufzeiten. Die Abbildung zeigt die risikolose Zinsstrukturkurve f¨ ur ausgew¨ ahlte Laufzeiten.

die Abflachung nicht so ausgepr¨agt ist.253 Aus Abbildung 9 ist auch zu erkennen, dass die Kurve der Klasse BBB im Zeitablauf eine h¨ohere Volatilit¨at aufweist. Besonders fallen die starken Schwankungen vor einer Ausweitungen des Spreads auf. Ab dem dritten Quartal des Jahres 2003 ist insgesamt u ¨ber alle Klassen ein ruhigerer Verlauf zu erkennen. Die deutlich umfangreichere Datenlage in Verbindung mit qualitativ besseren Kursdaten und die allgemein ruhige Marktlage erlauben Sch¨atzergebnisse von h¨oherer G¨ ute. In Abbildung 10 sind die Spreads u ¨ber der risikolosen Zinsstruktur dargestellt. Zu drei Zeitpunkten ist eine deutliche Spreadausweitung zu erkennen. Die erste Ausweitung der Spreads, vor allem zu beobachten bei der Ratingklasse BBB und f¨ ur kurze Restlaufzeiten, fand im letzten Quartal 2000 bzw. im ersten Quartal 2001 statt. Der h¨ohere Spread ist wohl auf die weltwirtschaftliche Erlahmung, welche insbesondere Telekommunikationsfirmen und Internetfirmen betraf, zur¨ uckzuf¨ uhren. Gerade Telekommunikationsfirmen sind in der Ratingklasse BBB u ¨berproportional vertreten. Zus¨atzlich tr¨agt das Absinken des risikolosen Zinsniveaus in Verbindung mit der empirisch gefundenen, negativen Korrelation von Spread¨anderungen und Zinsniveau¨anderungen zur Spreadausweitung bei.254 Eine weitere Ausweitung des Spreads fand im Nachgang des ¨ 11.09.2001255 statt. Diese Anderung l¨asst sich sowohl bei der Ratingklasse BBB als auch der Ratingklasse A feststellen. Die dritte Spreaderh¨ohung zeigt sich im Herbst 2002. Diese resultiert aus den Insolvenzen von MCI Worldcom, Global Crossing sowie weiterer Telekomfirmen im Laufe des Jahres 2002. Nachdem in der ersten Jahresh¨alfte 2002 die Entwicklung der Zinsstruktur eher ruhig verlief, sorgten die genannten Insolvenzen in der zweiten Jahresh¨alfte f¨ ur erhebliche Unruhe in diesem Ratingsegment, da z.B. MCI 253

Das u ¨berwiegend fallende Zinsniveau muss bei der Interpretation der Zeitreihenparameter der Zinsprozesse ber¨ ucksichtigt werden.

254

Zum empirischen Nachweis vgl. Duffee (1998).

255

An diesem Datum fand der Terrorangriff auf die T¨ urme des World Trade Centers statt.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

78

RL Z 4 Jahre

6,00

5,50

5,50

4,50 4,00

AAA/AA

A

BBB

Bund

AAA/AA

Jul. 03

Okt. 03

Okt. 03

Jan. 03

Jul. 02

A

Jan. 03

Okt. 02

Jul. 02

Apr. 02

Jan. 02

Okt. 01

Jul. 01

Apr. 01

Okt. 03

Jul. 03

Apr. 03

Jan. 03

Okt. 02

Jul. 02

Apr. 02

Jan. 02

3,00 Okt. 01

3,50 Jul. 01

4,00

2,50

Jan. 01

4,50

3,00 Apr. 01

Okt. 02

5,00

3,50

Jan. 01

Apr. 02

5,50

Okt. 00

4,00

Okt. 00

BBB

6,00

Jul. 00

4,50

Apr. 00

Kassazinssatz (%)

5,00

Jan. 00

5,50

Jul. 00

Apr. 03

6,50

6,00

Apr. 00

Kassazinssatz (%)

7,00

6,50

Jan. 00

A

RL Z 8 Jahre

7,00

Bund

AAA/AA

Jul. 03

Bund

Apr. 03

BBB

RL Z 6 Jahre

Jan. 02

Jan. 00

Jul. 03

Apr. 03

Okt. 03

Jul. 02 A

Jan. 03

Apr. 02

AAA/AA

Okt. 02

Jan. 02

Jul. 01

Bund

Okt. 01

Apr. 01

Jul. 00

Jan. 01

2,00 Okt. 00

2,50

1,50 Apr. 00

3,00

2,00

Jul. 01

3,50

2,50

Okt. 01

3,00

5,00

Apr. 01

3,50

Jan. 01

4,00

Jul. 00

4,50

Okt. 00

5,00

Apr. 00

Kassazinssatzz (%)

6,50

6,00

Jan. 00

Kassazinssatz (%)

RL Z 2 Jahre 6,50

BBB

RL Z 10 Jahre 7,00

Kassazinssatz (%)

6,50 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50

Bund

AAA/AA

Jul. 03

Apr. 03

Okt. 03

Jan. 03

Apr. 02

Jul. 02 A

Okt. 02

Jan. 02

Okt. 01

Jul. 01

Apr. 01

Jan. 01

Okt. 00

Jul. 00

Apr. 00

Jan. 00

3,00

BBB

Abbildung 9: ZSK: Verschiedene Laufzeiten. Die Abbildung zeigt die Zinsstrukturkurven der verschiedenen Ratingklassen f¨ ur ausgew¨ ahlte Laufzeiten. Worldcom in großem Umfang Anleihen emittiert hatte. Im Jahr 2003 tritt allgemein eine Beruhigung gemessen an der Volatilit¨at der Spreadver¨anderung ein und die Spreads engen sich wieder ein. In Tabelle 12 werden einige Statistiken f¨ ur die w¨ochentlichen Ver¨anderungen der Spreads der jeweiligen Ratingklassen entlang des Laufzeitenspektrums in Basispunkten aufgef¨ uhrt. Die Beobachtung, dass die Spreads der Ratingklasse BBB deutlich volatiler sind, wird ¨ durch die im Mittel h¨oheren absoluten Anderungen sowie deren h¨ohere Standardabweichung im Vergleich zu den anderen Ratingklassen best¨atigt. Dies steht im Einklang mit anderen Studien. Insgesamt werden die niedrigsten absoluten Spreadver¨anderungen in den mittleren Laufzeitbereichen von 4 und 6 Jahren festgestellt. Eine Ursache f¨ ur diese Beobachtung d¨ urfte darin zu finden sein, dass dort die meisten Anleihen f¨ ur eine Sch¨atzung zur Verf¨ ugung stehen. Die h¨oheren absoluten Abweichungen am kurzen Ende d¨ urften auf weniger liquide Anleihen in diesem Laufzeitbereich zur¨ uckzuf¨ uhren sein. Drei Gr¨ unde sprechen f¨ ur die relative Illiquidit¨at. Die mit der kurzen Restlaufzeit einhergehende geringe Duration macht die Preise der Anleihen insensitiv bez¨ uglich Zins¨anderungen. Zus¨atzlich wirken sich Transaktionskosten negativer auf die Rendite von Kurzl¨aufern aus als auf die Rendite von Anleihen mit l¨angerer Restlaufzeit. Investoren handeln daher weniger in diesem Anleihe-

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

79

B asispunkte p.a.

Spread2 JahreRL Z 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00

AAA/AA

Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

A

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

Apr. 00

Jan. 00

0,00

BBB

B asispunkte p.a.

Spread4 JahreRL Z 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 Jan. 03

Apr. 03

Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jul. 03

Okt. 03

Okt. 02

Jul. 02

A

Jan. 03

AAA/AA

Apr. 02

Jan. 02

Okt. 01

Jul. 01

Apr. 01

Jan. 01

Okt. 00

Jul. 00

Apr. 00

Jan. 00

0,00

BBB

B asispunkte p.a.

Spread6 JahreRL Z 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00

AAA/AA

A

Okt. 02

Jul. 02

Apr. 02

Jan. 02

Okt. 01

Jul. 01

Apr. 01

Jan. 01

Okt. 00

Jul. 00

Apr. 00

Jan. 00

0,00

BBB

Abbildung 10: Spread: Verschiedene Laufzeiten. Die Abbildung zeigt die Spreadstruktur der verschiedenen Ratingklassen f¨ ur ausgew¨ ahlte Laufzeiten.

segment und halten die Wertpapiere bis zur F¨alligkeit im Portfolio. Am langen Ende der Zinsstrukturkurve ist vor allem die geringe Anzahl an Anleihen ausschlaggebend f¨ ur die unsichereren Sch¨atzergebnisse. Neben der G¨ ute der Sch¨atzung und der Ver¨anderung der Zins- und Spreadstruktur im Zeitablauf ist die Anwendbarkeit affiner Modelle und der gew¨ahlten Faktorstruktur zur ¨ Modellierung der Spreadzeitreihen von Interesse. Uber den Augmented Dickey-Fuller-Test (ADF-Test) mit einem Absolutglied l¨asst sich kl¨aren, ob die Annahme zugrundeliegender station¨arer Prozesse erf¨ ullt ist. Der von Dickey-Fuller entwickelte Einheitswurzeltest testen die Nullhypothese einer Einheitswurzel gegen die Alternativhypothese eines Prozesses ohne Einheitswurzel. Im Vergleich zum urspr¨ unglichen Verfahren ber¨ ucksichtigt der ADF-Test verz¨ogerte Differenzen, um Verzerrungen des Testniveaus aufgrund von autokorrelierten St¨ortermen zu vermeiden. Die Anzahl der ber¨ ucksichtigten Verz¨ogerungen ergibt sich nach dem Bayesian Information Criterion (BIC). Im Allgemeinen gilt, dass die Nullhypothese bei Hinzunahme zus¨atzlicher Verz¨ogerungen auf einem h¨oheren Signifikanzniveau abgelehnt werden kann, die G¨ ute des Tests jedoch abnimmt. Tabelle 13 zeigt die Ergebnisse des Augmented-Dickey-Fuller-Tests auf der Niveau- und 1. Differenzenebene. Auf Niveauebene kann die Nullhypothese f¨ ur die Ratingklasse AAA/AA nur f¨ ur eine Restlaufzeit von zwei Jahren bei einem Konfidenzniveau von 1% verworfen werden. F¨ ur die restlichen Laufzeiten und Klassen kann die Stationarit¨at des Spreads nicht best¨atigt werden. Auf Ebene der ersten Differenzen kann die Hypothese einer Einheits-

80

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES AAA/AA Restlaufzeit 2 Jahre 4 Jahre 6 Jahre 8 Jahre 10 Jahre ¨ mittlere abs. Anderung 2,76 1,61 2,08 2,35 2,70 Standardabweichung 4,42 1,55 1,83 2,33 3,06 Maximum 28,20 10,01 10,49 13,43 21,47 A Restlaufzeit 2 Jahre 4 Jahre 6 Jahre 8 Jahre 10 Jahre ¨ mittlere abs. Anderung 5,19 3,26 2,94 2,67 3,74 Standardabweichung 5,91 3,25 3,08 2,57 3,94 Maximum 33,52 18,83 14,71 13,92 18,74 BBB Restlaufzeit 2 Jahre 4 Jahre 6 Jahre 8 Jahre 10 Jahre ¨ mittlere abs. Anderung 13,69 6,96 7,43 8,99 9,77 Standardabweichung 13,62 7,71 9,51 10,38 11,14 Maximum 66,92 49,79 49,21 51,94 60,98

Tabelle 12: Spreadver¨ anderungen der Ratingklassen in Basispunkten. Die Tabelle zeigt die mittlere absolute Spreadver¨ anderung von einem Evaluationstag zum n¨achsten (Zeitspanne 1 Woche) sowie deren Standardabweichung je Ratingklasse f¨ ur die gew¨ahlten Laufzeiten von 2, 4, 6, 8. 10 Jahren. Zus¨ atzlich wird die maximale absolute Ver¨anderung angegeben. Die Angaben erfolgen in Basispunkten. Der betrachtete Zeitraum umfasst die Jahre 2000 bis 2003.

wurzel f¨ ur alle Laufzeiten verworfen werden, was sich mit anderen Studien256 deckt. Unter Einbeziehung der Tatsache, dass sich zu Spreadausweitungen im Untersuchungszeitraum auch deutliche Phasen der Spreadeinengung gesellen und sich damit ein Mean-ReversionVerhalten andeutet, scheint die Beschreibung der Spreadzeitreihen durch das gew¨ahlte affine Modell gerechtfertigt. Die Untersuchung der Korrelationsstruktur zwischen den Ver¨anderungen des risikolosen Zinsniveau und den Spreadver¨anderungen macht wie in Duffee (1998) einen negativen Zusammenhang deutlich. Die Korrelationen bewegen sich f¨ ur die unterschiedlichen Restlaufzeiten im Bereich von -0,09 und -0,43. Wie dies in der gew¨ahlten Faktorstruktur ber¨ ucksichtigt werden kann, zeigt Abschnitt 3.4. Die Korrelation zwischen den Spreads auf Niveauebene ist zwischen den Klassen AAA/AA und A und zwischen A und BBB hoch und bewegt sich zwischen 0,56 und 0,91. Geringer f¨allt die Korrelation zwischen den Klassen AAA/AA und BBB aus und liegt im Mittel bei 0,32. Insgesamt l¨asst aber die vorhandene positive Korrelation auf einen gemeinsamen treibenden Faktor f¨ ur alle Ratingklassen schließen, so dass eine Modellierung mit einem marktweiten Faktor f¨ ur alle Spreadklassen wie in Kapitel drei vorgeschlagen angebracht ist. In den zwei folgenden Abschnitten werden das Verfahren zur Extraktion der latenten Faktoren beschrieben und dessen Ergebnisse dargestellt.

256

Vgl. D¨ ullmann (2002) und Pedrosa/Roll (1998).

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES Reslaufzeit Anzahl der Lags Spread AAA Anzahl der Lags 1. Diff AAA

2 Jahre 2 -4,34 2 -13,3

Reslaufzeit Anzahl der Lags Spread A Anzahl der Lags 1. Diff A

2 Jahre 1 -2,65 0 -20,64

Reslaufzeit Anzahl der Lags Spread BBB Anzahl der Lags 1. Diff BBB

2 Jahre 0 -1,59 0 -21,5

**

4 Jahre 0 -1,82 0 -17,8

**

4 Jahre 0 -1,9 0 -16,87

**

4 Jahre 1 -1,51 0 -19,22

**

**

6 Jahre 1 -1,03 0 -19,77

**

6 Jahre 0 -0,91 0 -16,62

**

6 Jahre 1 -1,86 2 -22,07

81

**

8 Jahre 1 -1,02 1 -13,54

**

8 Jahre 0 -0,54 0 -14,81

**

8 Jahre 0 -1,99 3 -7,57

**

10 Jahre 2 -0,79 1 -8,58

**

**

10 Jahre 0 -1,31 0 -17,36

**

**

10 Jahre 0 -2,47 3 -14,85

**

Tabelle 13: Dickey-Fuller-Tests-Statistik. Die Tabelle zeigt die Teststatistiken von Augmented-Dickey-Fuller-Tests mit Absolutglied. Aufgef¨ uhrt sind die Statistiken auf Niveau- und 1. Differenzenebene f¨ ur verschiedene Restlaufzeiten und f¨ ur die jeweiligen Ratingklassen. Zwei Sternchen Kennzeichnen die Signifikanz bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% und ein Sternchen von 5%.

4.5

Der Kalman-Filter

An die Ermittlung der Zins- und Spreadstruktur je Ratingklasse schließt auf der zweiten Stufe die Sch¨atzung der Parameter der CIR-Prozesse an. Das dazu verwendete Verfahren stammt urspr¨ unglich aus den Ingenieurswissenschaften257 und hat sich inzwischen in mehreren Studien zur Sch¨atzung von verschiedenen Zinsmodellen bew¨ahrt.258

4.5.1

Der Algorithmus in seiner Grundform

Der Kalman-Filter ist ein Algorithmus, der es erlaubt, sukzessive durch Hinzunahme der vorhandenen Beobachtungen YT = {y0 , y1 , . . . , yT } den Vektor der latenten Faktoren Ft f¨ ur jeden Zeitpunkt des Datensamples und die dazugeh¨origen Parameter der Faktorprozesse zu sch¨atzen. Die Beobachtungen yt sind die mit Hilfe des Nelson-Siegel Verfahrens gesch¨atzten Nullkuponrenditen f¨ ur ausgew¨ahlte Restlaufzeiten im Zeitpunkt t. Diese k¨onnen verrauscht, d.h. mit Messfehlern behaftet, sein. In der Grundform des KalmanFilters folgen die Faktorprozesse als auch die Messfehler einer Gauss’schen Verteilung und die Beobachtungen sind eine affine Funktion der latenten Faktoren. Unter diesen Voraussetzungen k¨onnen die Parameter der Faktorprozesse mit Hilfe der Maximum-Likelihood gesch¨atzt werden. Bei den hier relevanten CIR-Prozessen f¨ ur die Faktorentwicklung muss auf die Quasi-Maximum-Likelihood Sch¨atzung zur¨ uckgegriffen werden. Gegeben die Informationen bis zum Zeitpunkt t − 1 trifft der Algorithmus eine optimale 257

Vgl. Kalman (1960) und Kalman/Bucy (1961).

258

Die Verwendung des Kalman-Filters f¨ ur Probleme der Parametersch¨ atzung von affinen Zinsmodellen findet sich erstmalig bei Pennachi (1991). Speziell f¨ ur das CIR-Modell und der damit verbundenen Problematik sind Chen/Scott (2003), Lund (1997) und Duan/Simonato (1995) zu nennen.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

82

Vorhersage Ft|t−1 (a-priori Sch¨atzer) des Vektors Ft . Die Notation Ft|t−1 dr¨ uckt aus, dass die Sch¨atzung von Ft unter Verwendung aller Informationen Yt−1 = {y1 , y2 , . . . , yt−1 } bis zum Zeitpunkt t − 1 erfolgt. Mit Hilfe des Vektors Ft|t−1 wird dann eine Vorhersage yt|t−1 f¨ ur die n¨achste Beobachtung yt erstellt. Aufgrund des Vorhersagefehlers in Gestalt der Abweichung zwischen yt und yt|t−1 wird der a-priori Sch¨atzer in geeigneter Weise korrigiert. Der damit verbundene Informationsgewinn f¨ uhrt zu dem a-posteriori259 Sch¨atzer Ft|t .260 Der Algorithmus iteriert u ber alle Auswertungszeitpunkte und verarbeitet s¨amtliche zur ¨ Verf¨ ugung stehenden Informationen. Eine grundlegende Voraussetzungen zur Anwendung des Kalman-Filters ist, das Zinsstrukturkurvenmodell in eine Zustandsraum-Darstellung zu u uhren. Die ¨berf¨ Zustandsraum-Darstellung erlaubt es, ein dynamisches Modell mit Hilfe zweier Gleichun¨ gen, der Messgleichung und der Ubergangsgleichung, zu charakterisieren. Wie in Kapitel drei vorausgesetzt, folgen die unbeobachtbaren Faktoren - zusammengefasst im Vektor Ft - einem Quadratwurzelprozess. Diese Spezifikation f¨allt der Charakterisierung von Duffie/Kan (1996) folgend unter die Klasse der exponentiell affinen Zinsstrukturmodelle. Sie zeichnen sich unter anderem dadurch aus, dass die Rendite einer Nullkuponanleihe eine affine Funktion der Faktoren fi (t)261 ist. Somit l¨asst sich der Bondpreis V (fi (t), ψ, t, T )262 respektive die yield-to-maturity R(fi (t), ψ, t, T ) als Funktion der Faktoren fi (t), i = 1...I,, der Parameter ψ der CIR-Prozesse und der Restlaufzeit ϑ = T − t folgendermaßen darstellen.263

V (Ft , ψ, t, T ) =

I

i=1

Ai (ψ, T ) · exp(−

I

Bi (ψ, T )) · fi (t)

(75)

i=1

1 R(Ft , ψ, t, T ) = − ln(V (Ft , ψ, t, T )) ϑ

(76)

Geht man davon aus, dass sich die am Markt beobachtbaren Renditen der Anleihen aufgrund von Messfehlern modelltheoretisch nicht exakt erkl¨aren lassen, f¨ uhrt eine Erg¨anzung von Formel (76) zu der Messgleichung des Zustandsraum-Modelles.

1 R(Ft , ψ, t, T ) = − ln(V (Ft , ψ, t, T )) + t ϑ

(77)

Zieht man zur Sch¨atzung N verschiedene Restlaufzeiten heran, so kann die Messgleichung explizit durch folgende N-dimensionale Gleichung beschrieben werden:

259

Die Bezeichnung a-posteriori Sch¨ atzer bezieht sich auf die Verarbeitung der Beobachtung yt in t. Im Gegensatz dazu basiert der a-priori Sch¨ atzer in t nur auf den Beobachtungen bis einschließlich yt−1 .

260

Im Original werden die beiden Schritte als Prediction Step“und Updating Step“bezeichnet. ” ” Das Subskript i bezeichnet die einzelnen latenten Faktoren.

261 262

Die Bezeichnung f¨ ur den Anleihenpreis wurde im Vergleich zu Kapitel 3 dahingehend erweitert, dass die Abh¨angigkeit von den Faktoren und den Prozessparametern hier explizit aufgenommen wurde. ¨ Die Kennzeichnung der Ratingklasse unterbleibt aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit.

263

Zur Definition von Ai (ψ, T ) und Bi (ψ, T ) vergleiche Anhang C.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES ⎞ ⎛ − ϑ11 B1 (ψ, ϑ1 ) R(Ft , ψ, ϑ1 ) ⎟ ⎜ ⎜ .. .. ⎠=⎝ ⎝ . . 1 − ϑN B1 (ψ, ϑN ) R(Ft , ψ, ϑN )     ⎛

yt

(N x1)

: : : : : :

⎞⎛ 1 f1 (t) . . . − ϑ1 Bi (ψ, ϑ1 ) ⎟ ⎜ .. .. ... ⎠⎝ . . . . . − 1 Bi (ψ, ϑN ) fi (t) ϑN     Z (N xI)

⎞ ⎛ − ϑ11 ln A(ψ, ϑ1 ) εt,1 ⎟ ⎜ .. ⎜ .. +⎝ ⎠+⎝ . . − ϑ1N ln A(ψ, ϑN ) εt,N      ⎛

εt (N x1)

d (N x1)

yt YT Ft Z d t

83

⎞

⎞ ⎟ ⎠ 

Ft (Ix1)

(78)

⎟ ⎠. 

N × 1 Vektor der Renditebeobachtungen multivariate Zeitreihe der Renditebeobachtungen yt I × 1 Zustandsvektor N × I Matrix der parameterabh¨angigen Faktorsensitivit¨aten N × 1 Vektor der parameterabh¨angigen konstanten Renditeterme N × 1 Vektor aus seriell unkorrelierten St¨ortermen mit Erwartungswert null und Kovarianz-Matrix Ht , d.h. E(t ) = 0 und V ar(t ) = Ht .

Die Messgleichung stellt somit im Zeitpunkt t den Zusammenhang zwischen dem I-dimensionalen Zustandsvektor Ft und den N beobachteten Kassazinss¨atzen yt = {R(Ft , ψ, ϑ1 ) . . . R(Ft , ψ, ϑN )} mit Laufzeit ϑn (n = 1, . . . , N ) her. ¨ Ublicherweise, und so auch im vorliegenden Falle, sind die Faktoren nicht beobachtbar. Ih¨ ¨ re Auspr¨agungen und ihr Ubergangsverhalten wird durch eine lineare Ubergangsgleichung als Markov-Prozess erster Ordnung modelliert.

Ft = X · Ft−1 + c + ηt X c ηt

(79)

¨ : I × I Ubergangsmatrix : I × 1 Vektor : I × 1 Vektor aus seriell unkorrelierten St¨ortermen mit Erwartungswert null und Kovarianz-Matrix Qt , d.h. E(ηt ) = 0 und V ar(ηt ) = Qt .

Die Zustandsraum-Spezifikation wird vervollst¨andigt durch folgende Annahmen: 1. E(F0 ) = F0 V ar(F0 ) = P0  2a. E(t ηs ) = 0   2b. E(t F0 ) = 0 und E(ηt F0 ) = 0

∀t.

D.h. die Fehlerterme sind zu allen Zeitpunkten untereinander und auch mit dem Startvektor F0 mit dem Erwartungswert F0 und der Kovarianzmatrix P0 unkorreliert. Unter der Annahme, dass die unbekannten Systemmatrizen Z, d, Ht , X, c und Qt nicht stochastisch sind, ist das ganze System linear f¨ ur alle t und yt kann als eine Linearkombination s¨amtlicher Residuen t , ηt und des Zustandsvektors F0 im Zeitpunkt null dargestellt werden.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

84

Mit Hilfe dieser Grundform264 der Zustandsraum-Darstellung lassen sich die Iterationen aus Vorhersage- und Korrekturschritten darstellen. Zur Initialisierung des Kalman-Filter bedarf es der Festlegung von F0|0 und P0|0 . Dabei wird in der Regel F0|0 von F0 abweichen, da F0 nicht beobachtbar ist.265 ¨ Im Vorhersageschritt wird der Zustandsvektor als bedingter Erwartungswert aus der Ubergangsgleichung prognostiziert.266

Ft|t−1 ≡ E[Ft |Yt−1 ] = c + X · Ft−1|t−1

(80)

Die zugeh¨orige Kovarianz-Matrix von Ft|t−1 ergibt sich als ..  Ft − Ft|t−1 Ft − Ft|t−1 = / .0 / .0  = (XFt−1 + c + ηt ) − XFt−1|t−1 + c = E (XFt−1 + c + ηt ) − XFt−1|t−1 + c ..  = E XFt−1 − XFt−1|t−1 + ηt XFt−1 − XFt−1|t−1 + ηt = ..  = E XFt−1 − XFt−1|t−1 XFt−1 − XFt−1|t−1 + E [ηt ηt ] = ..  = XE Ft−1 − Ft−1|t−1 Ft−1 − Ft−1|t−1 X  + E [ηt ηt ] =

Pt|t−1 = E

-

= XPt−1|t−1 X  + Qt . (81) Die Gleichungen (80) und (81) bilden die Vorhersage-Gleichungen. Mit Hilfe der Prognose Ft|t−1 f¨ ur den Zustandsvektor Ft ist es m¨oglich, eine Sch¨atzung f¨ ur die n¨achste Beobachtung yt anzugeben.

yt|t−1 = ZFt|t−1 + d

(82)

Stellt man yt|t−1 aus (82) der n¨achsten Beobachtung gegen¨ uber, so liefert dies den Prognosefehler vt|t−1 . vt|t−1 = yt − yt|t−1 = = (ZFt + d + t ) − (ZFt|t−1 + d) = = Z(Ft − Ft|t−1 ) + t

(83)

264

Grundform bezeichnet den linearen Fall mit normalverteilten Beobachtungen und St¨ orgr¨ oßen.

265

Die G¨ ute bzw. Sicherheit mit der F0|0 angegeben werden kann, kommt in der Kovarianz P0|0 zum Ausdruck.

266

Vgl. zu den folgenden Ausf¨ uhrungen auch Kellerhals (2001), Kap. 2.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

85

Zu jedem Beobachtungszeitpunkt kann dieser Vorhersagefehler bestimmt werden. Sowohl der Vorhersagefehler als auch dessen Kovarianzmatrix Vt h¨angen von den zu bestimmenden Parametern ψ ab. Mit Hilfe des in Gleichung (89) angegebenen Sch¨atzers, welcher die beobachteten Renditen R(Ft , ψ, t, T ) am Besten267 erkl¨art, werden die Parameterwerte u ¨ber Maximierung der Likelihood-Funktion ermittelt.268 Die Kovarianzmatrix des Vorhersagefehlers, welche auch f¨ ur den folgenden Korrekturschritt ben¨otigt wird, lautet: - . .- . .  Z Ft − Ft|t−1 + εt Z Ft − Ft|t−1 + εt = ..  = ZE Ft − Ft−1|t−1 Ft − Ft−1|t−1 Z  + E [εt εt ] =

Vt = E

(84)

= ZPt|t−1 Z  + Ht Der Update-Schritt vollzieht schließlich die Korrektur von Ft|t−1 hin zu Ft|t als optimalem a-posteriori Sch¨atzer f¨ ur F t . 2 1 Ft|t = E [Ft |Yt ] = E Ft |Yt−1 , vt|t−1 = 2 1 2−1 1 vt|t−1 = = E [Ft |Yt−1 ] + Cov Ft , vt|t−1 V ar vt|t−1 = Ft|t−1 + Lt Vt−1 vt|t−1

(85)

Dabei bezeichnet Lt die Kovarianzmatrix zwischen Ft und dem Prognosefehler vt|t−1 und ergibt sich als Lt = Pt|t−1 Z  . Um den Korrektur-Schritt zu komplettieren, wird zuletzt die Kovarianzmatrix des Sch¨atzer des Zustandsvektors korrigiert. 2 1 Pt|t = V ar [Ft |Yt ] = V ar Ft |Yt−1 , vt|t−1 = 2 1 2−1 2 1 1 = V ar [Ft |Yt−1 ] − Cov Ft , vt|t−1 V ar vt|t−1 Cov Ft , vt|t−1 = = Pt|t−1 − Pt|t−1 Z  Vt−1 ZPt|t−1

(86)

Die Gleichungen (85) und (86) beschreiben somit den gesamten Korrektur-Schritt. Anzumerken ist, dass zu der Herleitung des letzten Schrittes eine Eigenschaft der gemeinsamen bedingten Verteilung von multivariat-normalen Zufallsvariablen genutzt wurde.269 Die Abbildung 11 fasst die einzelnen Schritte nochmals zusammen.

267

Verl¨asst man den Gauss’schen Fall durch die Nutzung eines CIR-Prozesses, so ist der Sch¨ atzer f¨ ur die F¨alle von negativen Faktorrealisationen nicht mehr linear und es k¨ onnen weitere nicht-lineare Sch¨atzer existieren, welche die beobachteten Renditen besser erkl¨ aren.

268

Eleganterweise fallen die Komponenten des Maximum-Likelihood-Sch¨ atzers im Rahmen der KalmanFilter-Rekursionen an und m¨ ussen nicht zus¨ atzlich berechnet werden.

269

Vgl. dazu Durbin/Koopman (2001), S.11ff und Gourieroux/Monfort (1997), S.580ff.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

86

Initialisierung von

P0|0

F0|0

Vorhersage-Schritt

Ft| t1 = c+ XFt 1| t1

Pt| t1 = XPt 1| t1 X '+ Q t Vorhersagefehler

Neue Beobachtung

yt

vt| t1 = Z ( Ft F |tt 1 ) + Vt = ZPt1|t 1Z '+ H

t

t

Korrektur-Schritt

Ft| t= Ft| t1 + Pt| t1Z 'Vt 1v|tt 1 Pt| t= Pt| t1 Pt| t1Z 'Vt 1ZPt|t 1

nein

t= T ?

Neue Auswertung der Likelihood-Funktion

ParameterWerte nein

Maximum

Ende

Abbildung 11: Kalman-Filter Ablaufdiagramm. Die Abbildung fasst angelehnt an Gourieroux/Monfort (1997) und Schwaar (1999) die einzelnen Schritte des Kalman Filters zusammen und stellt sie einem Ablaufdiagramm a ¨hnlich dar.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES 4.5.2

87

Die Sch¨ atzung der Parameter mit Maximum-Likelihood

Im Gegensatz zur klassischen Maximum-Likelihood Sch¨atzung sind die Beobachtungen im vorliegenden Fall nicht voneinander unabh¨angig. Anstelle der traditionellen Dichtefunktion wird folgende bedingte Dichtefunktion L(y; ψ) =

T

p(yt |Yt−1 )

(87)

t=1

verwendet, wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung der aktuellen Beobachtungen yt bedingt auf die vergangenen Beobachtungen Yt−1 betrachtet wird. Die Likelihood-Funktion dr¨ uckt die Wahrscheinlichkeit aus, dass die beobachteten Werte unter der Verwendung des aktuellen Parametervektors ψ eintreffen. In der Grundform des Kalman Filters sind sowohl die Fehlerterme als auch die Zustandsvektoren multivariat normalverteilt und somit ist auch die Verteilung der aktuellen Beobachtung bedingt auf die vergangenen Beobachtungen normalverteilt. Daher ergibt sich die logarithmierte Likelihoodfunktion als270 1 NT 1  −1 log(2π) − log|Vt | − v V vt . 2 2 t=1 2 t=1 t t T

logL(y; ψ) = −

T

(88)

Diese Form der Darstellung wird h¨aufig als Vorhersagefehlerzerlegung (im Englischen prediction error decomposition“) bezeichnet. Da der Kalman Filter in der Lage ist, die ” unbeobachtbaren Faktoren aus den Beobachtungen der Nullkuponrenditen zu extrahieren, wird zur Sch¨atzung der Parameter ψ die Likelihood-Funktion bei gegebenen Faktoren bez¨ uglich des Parametervektors maximiert.271 Ein Vorteil des Kalman-Filters ist, dass die Komponenten der Likelihood-Funktion im Rahmen der Iterationen berechnet werden und somit kein zus¨atzlicher Rechenaufwand entsteht. Im n¨achsten Abschnitt werden die zus¨atzlichen Annahmen und Schwierigkeiten aufgezeigt, welche bei Verwendung des CIR-Modells entstehen. F¨ ur den Fall der MaximumLikelihood-Sch¨atzung ist dies insbesondere die nicht mehr vorhandene Normalverteilung der Faktor¨ uberg¨ange und die M¨oglichkeit auftretender, negativer Faktorrealisationen. 4.5.3

Die Besonderheiten des Kalman-Filter bei Verwendung des CIR-Modells

Verl¨asst man den Rahmen der Gauss’schen Zustandsraummodelle bedarf der KalmanFilter Algorithmus einer Anpassung. Wichtige Abweichungen von der Grundform, bei denen der Kalman Filter mit Einschr¨ankungen noch anwendbar ist, sind: • Nicht-normalverteilte Faktor¨ uberg¨ange • Nicht-normalverteiltete t und ηt 270

Vgl. Harvey (1989), S. 126.

271

Der Vollst¨andigkeit halber sei angemerkt, dass der Parametervektor ψ um die Fehlerstruktur in Form der Kovarianzmatrix Ht erg¨ anzt wird. Die Dimension der Kovarianzmatrix h¨ angt wie gesehen von der Anzahl der ber¨ ucksichtigten Restlaufzeiten ab. Unterstellt man die Unabh¨ angigkeit der Fehler oßen mitgesch¨ atzt. untereinander, so werden die Diagonalelemente von Ht als weitere unbekannte Gr¨

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

88 • Nicht-lineare Systeme

• Abh¨angigkeit der Systemmatrizen von den latenten Faktoren • Korrelierte t und ηt . ¨ Im vorliegenden Fall des CIR-Modelles ergeben sich wichtige Anderungen gegen¨ uber dem Grundmodell. Der Maximum-Likelihood-Sch¨atzer im Grundmodell ist asymptotisch normalverteilt und effizient. Falls die bedingte Verteilung der Vorhersagefehler und der Faktor¨ uberg¨ange nicht normalverteilt ist, ist der Kalman-Filter dennoch der beste lineare Filter und wird unter der Annahme der Normalverteilung angewendet. Dies f¨ uhrt zur Quasi-Maximum-Likelihood-Sch¨atzung (QML-Sch¨atzung), deren Anwendung die exakte ¨ Modellierung der ersten beiden Momente der Ubergangsdichte voraussetzt. Die Modellierung der Momente kann im vorliegenden Falle exakt erfolgen, jedoch h¨angt die Varianz der ¨ Ubergangsdichte von dem unbeobachteten Faktorvektor Ft−1 ab.272 Da f¨ ur diesen nur eine Sch¨atzung Ft−1|t−2 bzw. Ft−1|t−1 vorliegt, kann das zweite Moment nicht exakt ermittelt werden. Duan/Simonato (1995), Lund (1997) und de Jong (2000) zeigen mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation jedoch, dass der Bias f¨ ur relevante Parametergr¨oßen zur Preisbestimmung gering ist und einer Anwendung der QML-Sch¨atzung nicht im Wege steht.273 Die zu maximierende Likelihoodfunktion ergibt sich analog zum Normalverteilungsfall bis auf die Konstante als 1  −1 1 log|Vt | − v V vt . 2 t=1 2 t=1 t t T

logL = −

T

(89)

F¨ ur den Zustandsvektor Ft im CIR-Fall sind nur positive Werte zul¨assig, was durch den linearen Korrekturschritt im Algorithmus nicht notwendigerweise gew¨ahrleistet ist. Im Modell von Duffie/Singleton (1999a) f¨ uhrt eine negative Faktorrealisation zu dem Ergebnis einer negativen Ausfallintensit¨at, was theoretisch ausgeschlossen sein muss. Relevant ist das Problem insbesondere bei der Spread-Modellierung, da diese in aller Regel ein deutlich niedrigeres Niveau als der risikolose Zinssatz besitzen. Zur Vermeidung von negativen Faktorrealisationen im Kalman-Filter k¨onnten die Beobachtungen, welche zu einer negativen Realisation f¨ uhren, unterdr¨ uckt werden. Ein Informationsverlust ist die Folge, welcher gleichzeitig die Maximierung der Likelihood-Funktion insoweit bestraft, als kein positiver Beitrag aus der Beobachtung resultiert. Durch das Entfernen von Beobachtungen sind jedoch die u ¨brigen Faktorprozesse ebenfalls betroffen. Es k¨onnen die negativen Realisationen auch null gesetzt werden. Dies beeinflusst die u ¨brigen, nicht-nullgesetzten Realisationen bei der Optimierung nicht, f¨ uhrt jedoch dazu, dass der Kalman Filter nur noch dann linear ist, falls Ft > 0 gilt.274 Wie im folgenden Abschnitt dargestellt wird in der vorliegenden Arbeit die Nullsetzung der negativen Realisationen gew¨ahlt. 272

Wie aus Cox et.al. (1985) bekannt ist folgt der CIR-Prozess einer χ2 Verteilung, bei der die ersten beiden Momente exakt angegeben werden k¨ onnen. Vgl. dazu Anhang C.

273

Es ist allerdings anzumerken, dass ein signifikanter Bias f¨ ur die Parameter, welche die Zeitreiheneigenschaften bestimmen, auftreten kann. Ebenfalls nehmen die Abweichungen bei steigender Anzahl der Faktoren zu. Vgl. zu Letzterem Brandt/He (2006), S. 18.

274

Vgl. Chen/Scott (2003), S. 7f.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES 4.5.4

89

Anmerkungen zur Implementierung

In Anbetracht des hohen Modellaufwandes wird der eigentlichen Sch¨atzung des Model¨ les eine Reihe von Voruntersuchungen vorangestellt, um einen Uberblick u ¨ber die angesprochenen empirischen und theoretischen Restriktionen zu erhalten. Die erste Voruntersuchung beschr¨ankt die Anzahl der Faktoren auf zwei, welche unabh¨angig voneinander f¨ ur jede Ratingklasse ermittelt werden. Diese Vorstufe dient neben der Verifizierung des Algorithmus in u ¨berschaubaren Szenarien vier Dingen. Erstens wird u ¨ber die Korrelation der Faktoren die sp¨atere Spezifikation mit einem gemeinsamen, sowie jeweils einem klassenspezifischen Faktor motiviert. Zweitens lassen sich die Faktoren u ¨ber die Faktorladungen275 einer ¨okonomischen Interpretation zug¨anglich machen und veranschaulichen. Drittens wird f¨ ur den Spread jeder Ratingklasse das Verhalten des Verfahrens bei Faktorrealisationen nahe null analysiert. Viertens wird die Notwendigkeit untersucht, die Faktorkoeffizienten zu restringieren bzw. diese als weitere Freiheitsgrade mitzusch¨atzen. Die Sch¨atzung des angestrebten Modelles mit sechs latenten Faktoren, davon vier f¨ ur den risikobehafteten Teil, schließt sich an die Voruntersuchung an. Unter der Verwendung von f¨ unf verschiedenen Laufzeiten wird die Sch¨atzung f¨ ur den risikolosen Zinssatz unabh¨angig von den die Spreads treibenden Faktoren durchgef¨ uhrt. Dies ergibt eine Maximierung u ur die Spreadstruktur. ¨ber 13 Unbekannte im risikolosen Teil und u ¨ber 31 Unbekannte f¨ Neben einer Sch¨atzung der Parameter ohne Nebenbedingungen wird in einer weiteren Sch¨atzung die Nebenbedingung eingef¨ uhrt, dass die Parameter, welche f¨ ur die Mean Reversion verantwortlich sind, im positiven Bereich verbleiben. Dies stellt sicher, dass die Prozesse keinem Random Walk folgen oder explodieren. Die hohe Anzahl an Unbekannten bei der Sch¨atzung der Spreadprozesse stellt spezielle Anforderungen an die Optimierungsroutinen. Verwendet wird das Mathematik-Paket und die Entwicklungsumgebung Matlab276 , welche es erlaubt, verschiedenste Optimierungsalgorithmen zur Maxima-Suche einzusetzen. Es kommen sowohl Gradienten-Verfahren als auch gradientenfreie Verfahren wie die Simplex-Such-Methode277 oder genetische Algorithmen278 zum Zuge. Die beiden Letzteren erweisen sich als robuster f¨ ur die gew¨ unschte Anwendung, da durch die notwendige Vermeidung von negativen Faktorrealisationen zwangsl¨aufig Diskontinuit¨aten entstehen. Beobachtet man die Folge der Maximum-Likelihood-Funktionswerte so zeigt es sich, dass die Funktion eine Vielzahl an lokalen Maxima besitzt, welche zu einem Identifikationsproblem f¨ uhren k¨onnen. Es ergeben sich typischerweise mehrere Parametervektoren f¨ ur die Preisbestimmung mit ¨ahnlicher Likelihood-Statistik. Um diesem Umstand gerecht zu werden und eine m¨oglichst robuste Sch¨atzung zu erhalten, wird die Sch¨atzung mit mehreren tausend verschiedenen Startparametern durchgef¨ uhrt, wobei die aussichtsreichsten Ergebnisse u ¨ber eine Rastersuche weiter verfeinert werden. Die einzelnen Durchl¨aufe der Sch¨atzung werden regelm¨aßig mit dem aktuellen Sch¨atz275

Der englische Ausdruck daf¨ ur lautet factor loadings. In der Abbildung 12 im folgenden Abschnitt sind die Faktorladungen f¨ ur die risikolosen Prozesse abgetragen. Die Definition f¨ ur die Faktorladung ∂R(∼) des Faktors i lautet: ∂fi (t) .

276

Matlab ist eine kommerzielle mathematische Software der Firma The MathWorks, Inc. zur L¨ osung diverser mathematischer Probleme und zur grafischen Darstellung der Ergebnisse.

277

Vgl. dazu Lagarias et.al. (1998).

278

Vgl. dazu Krishnakumar/Goldberg (1992).

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

90

wert f¨ ur das langfristigen Mittel θi als F0|0 279 initialisiert. Bei abweichender Initialisierung erweist sich das Verfahren als sehr robust, da nach sp¨atestens zehn Schritten u ¨bereinstimmende Faktorrealisationen extrahiert werden. Eine Verzerrung der Ergebnisse aufgrund einer ungeeigneten Initialisierung bzw. ein lange wirkender Einpendel-Effekt sind nicht gegeben.280 Die Analyse des Auftretens von negativen Faktorrealisationen ergibt, dass diese nur bei den Spreadprozessen auftreten, da diese vom Niveau deutlich geringer sind, als die die risikolose Shortrate treibenden Prozesse. Einem Vorschlag von Chen/Scott (2003) folgend, werden die negativen Realisationen durch null ersetzt. Dies hat keine Auswirkungen auf die u ur die Parameter als auch sonstige Faktorrealisatio¨brigen Sch¨atzungen (sowohl f¨ nen). Insgesamt ergibt diese Vorgehensweise im vorliegenden Fall bessere Ergebnisse als die andere M¨oglichkeit, Beobachtungen zu unterdr¨ ucken. Eine weitere Auswirkung der negativen Faktorrealisationen im Rahmen der Quasi-Maximum-Likelihoodsch¨atzung betrifft die H¨ohe der Standardfehler. White (1982) folgend werden die robusten Standardfehler u ¨ber den nachstehend angegebenen Sandwich-Sch¨atzer ermittelt.281 *) * + ) 2 + ) 2 *,−1 ) *,−1 ∂ ln Lt (y, ψ) ∂ ln Lt (y, ψ) ∂ ln Lt (y, ψ) ∂ ln Lt (y, ψ) E (90) E E ∂ψ∂ψ  ∂ψ ∂ψ ∂ψ∂ψ  Inwieweit die erforderlichen statistischen Voraussetzungen f¨ ur die Anwendung dieses Sch¨atzers f¨ ur die Bestimmung der Standardfehler im Rahmen einer Quasi-MaximumLikelihood-Sch¨atzung gegeben sind, ist umstritten.282 Im Einklang mit Chen/Scott (2003) werden die Standardfehler im Rahmen der Kalman-Filter-Rekursionen nach Formel (90) wie in Lund (1997) bzw. Harvey (1989) gezeigt berechnet. Die Standardfehler ergeben sich aus der Diagonale der angegebenen Matrix.

4.6

Ergebnisse der Kalman-Filter-Sch¨ atzung

Dem mehrstufigen Aufbau der Untersuchung folgend, werden zuerst die Ergebnisse der jeweils unabh¨angig f¨ ur s¨amtliche Klassen durchgef¨ uhrten Zwei-Faktor-Modellsch¨atzungen und im Anschluss daran die Ergebnisse der Mehr-Faktor-Sch¨atzung angegeben. Die dargestellten Ergebnisse basieren jeweils auf einer Sch¨atzung mit restringierten Faktorkoeffizienten in den Gleichungen (46) und (47). Zur Beurteilung, ob eine Restriktion der Faktorkoeffizienten erforderlich ist, wurden in einer Vorstufe der in den n¨achsten Abschnitten dargestellten Ergebnisse sowohl die individuellen Zwei-Faktor-Modelle als auch die Spreads u ¨ber dem risikolosen Momentanzinssatz mit jeweils zwei Faktoren ohne Re279

Wie zuvor schon angemerkt, ist F0 nicht beobachtbar, so dass der Kalman-Filter u ¨blicherweise mit ¨ ur F0 initialisiert wird. Uber dem langfristigen Mittel des jeweiligen Prozesses als Sch¨ atzung F0|0 f¨ die Kovarianz P0|0 kann die G¨ ute der initialisierung festgelegt werden. Ist man unsicher u ¨ber die Initialisierung des Faktors, w¨ ahlt man einen großen Wert f¨ ur P0|0 , so dass die erste Beobachtung mehr Gewicht im Rahmen der Iteration erh¨ alt.

280

Zum Problem der Initialisierung des Kalman-Filters, insbesondere bei bestehender Unsicherheit, vgl. Harvey (1989), S. 120ff.

281

Vgl. z.B. Greene (2001), S.490f.

282

Vgl. dazu eine recht ausf¨ uhrliche Diskussion in Greene (2001), S. 490f.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

κ1 θ1 σ1 λ1 κ2 θ2 σ2 λ2 σ(1 ) σ(2 ) σ(3 ) σ(4 ) σ(5 )

Bund 0,533120 (0,245580) 0,028958 (0,009210) 0,093957 (0,005171) -0,108230 (0,331310) 0,029328 (0,044999) 0,027007 (0,010198) 0,052267 (0,003177) -0,062526 (0,002478) 0,000545 0,000054 0,000063 0,000709 0,000836

AAA/AA 0,208030 (0,122620) 0,040916 (0,056027) 0,039858 (0,003727) -0,076724 (0,145530) 4,706500 (0,298450) 0,007255 (0,000133) 0,048982 (0,000744) -0,575340 (0,020115) 0,000820 0,003103 0,003283 0,003409 0,001140

A 0,175440 (0,084552) 0,037113 (0,054369) 0,045942 (0,003218) -0,075363 (0,117970) 3,440400 (0,038844) 0,014329 (0,000051) 0,061771 (0,000343) -0,843580 (0,002124) 0,002997 0,000424 0,002813 0,001087 0,001086

91 BBB 1,044200 (0,734240) 0,015662 (0,000623) 0,144239 (0,005353) -0,481620 0,567620 0,193040 (0,088075) 0,032671 (0,010866) 0,092393 (0,005127) -0,092287 (0,000024) 0,001939 0,000516 0,000537 0,004122 0,001198

Tabelle 14: Ergebnisse der KF-Sch¨ atzung der Zwei-Faktormodelle. Die Sch¨atzungen decken den Zeitraum der Jahre 2000 bis 2003 auf w¨ ochentlicher Basis (209 Evaluierungszeitpunkte) ab. In Klammern sind die Standardfehler - wie in Abschnitt 4.5 erl¨autert - der jeweiligen Parameter angegeben.

striktion der Faktorkoeffizienten individuell gesch¨atzt. In einer Vielzahl der F¨alle ergeben sich hierbei negative Intensit¨aten, sofern die Koeffizienten nicht auf den positiven Bereich eingeschr¨ankt werden. Selbst f¨ ur die Sch¨atzung der zum risikolosen Zinssatz geh¨orenden Faktoren, die sich auf einem deutlich h¨oheren Niveau - im Sinne eines Abstandes zur Null - bewegt als die Sch¨atzung der riskanten Parameter ergeben sich negative Ausfallintensit¨aten.283 Da diese theoretische Einschr¨ankung schwerer wiegt als eine m¨ogliche Abbildung negativer Korrelationen284 werden die Koeffizienten auf den positiven Bereich restringiert. Die plausibelsten Ergebnisse werden bei einer Normierung auf den Wert Eins erzielt, da so keine zus¨atzlich zu sch¨atzenden Parameter in der ohnehin umfangreichen Optimierung285 n¨otig sind.

283

Zur Klarstellung sei nochmals angemerkt, dass sowohl negative Faktorkoeffizienten als auch negative Faktorrealisationen zu negativen Ausfallintensit¨ aten f¨ uhren k¨ onnen. Letzteres ist daf¨ ur verantwortlich, dass der Kalman-Filter nicht mehr linear ist.

284

Vgl. dazu Abschnitt 3.4.

285

Durch die Vielzahl an zu sch¨ atzenden Parameter steigt die Gefahr, lokale Maxima zu finden, da verschiedene Parameterkonstellationen zu einer wertm¨ aßig ¨ ahnlichen Likelihood f¨ uhren.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

92 4.6.1

Ergebnisse der Voruntersuchungen

Die Ergebnisse der Parametersch¨atzung der Zwei-Faktormodelle sind in Tabelle (14) aufgef¨ uhrt. S¨amtlichen Sch¨atzungen liegen Daten im Wochenabstand zu Grunde. Angegeben werden die Parameterwerte als per annum Gr¨oßen. In Klammern sind die asymptotischen Standardfehler - wie in Abschnitt 4.5 erl¨autert - der jeweiligen Parameter angegeben. Zur Signifikanz286 der gesch¨atzten Parameter lassen sich keine eindeutigen Aussagen machen. Die langfristigen Mittelwerte θ sind bis auf das Niveau des ersten Faktors der Klassen AAA/AA und A signifikant. Die σ-Werte sind u ¨ber alle Klassen und Faktoren ebenfalls ¨ signifikant. Ahnliches gilt - mit Ausnahme des Mean Reversion Parameters der Klasse Bund - auch f¨ ur die κ- und λ- Werte der zweiten Faktoren. F¨ ur die Mean-ReversionGeschwindigkeit der jeweils ersten Faktoren ist dies unter beiden Maßen nicht der Fall. Die Standardfehler der κ und λ Parameter bewegen sich auf ¨ahnlichem Niveau (besonders ausgepr¨agt f¨ ur die jeweils ersten Faktoren, weniger ausgepr¨agt f¨ ur die jeweils zweiten Faktoren), was auf eine schwache, individuelle Identifizierbarkeit dieser Parameter hindeutet.287 Laufzeiten 2 4 Bund 9,94 -10,79 AAA/AA -20,64 6,63 A -33,72 -16,70 BBB 22,78 -8,27

6 8 10 -8,08 -6,11 -13,64 14,94 8,62 -19,06 9,80 11,31 -25,85 1,68 1,38 -3,58

Tabelle 15: Mittlerer standardisierter Vorhersagefehler.In der Tabelle sind die durchschnittlichen standardisierten Vorhersagefehler der individuellen Zwei-Faktor-Modelle f¨ ur die gew¨ ahlten St¨ utzstellen angegeben. Die Werte sind mit 100 multipliziert.

Die λ-Werte sind jeweils negativ, was im Einklang mit risikoadversen Investoren und entsprechenden positiven Pr¨amienaufschl¨agen (term and credit premia) steht.288 Ein solch eindeutiges Ergebnis ist unter den gegebenen Umst¨anden nicht unbedingt zu erwarten, da das Zinsniveau insgesamt im Beobachtungszeitraum fallend ist und auch kein kompletter Zinszyklus betrachtet wird, spricht jedoch f¨ ur das gew¨ahlte Verfahren. Die Standardabweichungen der Messfehler289 σ(i ) zeigen f¨ ur den risikolosen Part, f¨ ur die Klasse BBB sowie mit Einschr¨ankungen f¨ ur die Klasse A den erwarteten Verlauf. Sowohl am kurzen als auch am langen Ende steigt die Standardabweichung rapide an, 286

Im Sinne der absoluten H¨ ohe der Parameter in Relation zu ihren Standardfehlern.

287

Eine theoretische M¨ oglichkeit dies zu verbessern, sehen wir in einer Erweiterung des Modelles durch die Verwendung zus¨ atzlicher, insbesonders langlaufender St¨ utzstellen f¨ ur die Sch¨ atzung. Dies sollte sich auch positiv auf die Signifikanz der Parameter auswirken (Vgl. Geyer/Pichler (1999), S. 10). Problematisch erweisen sich hierbei die Datenlage f¨ ur Anleihen mit einer Restlaufzeit von 10 Jahren und mehr sowie der steil ansteigende Rechenaufwand.

288

Der Marktpreis des Faktorrisikos ist als −λ und nicht als λ definiert, da δfgrk (t) = −Bk (T )Vgr (∼ ) (Vgl. dazu Abschnitt 3.5.2) gilt. Durch ein negatives λ sind somit positive Pr¨ amienaufschl¨ age garantiert. Nichtsdestotrotz kann der Marktpreis der Faktorrisiken f¨ ur kurze Zeitperioden negativ (d.h. λ > 0) sein. Dies ist gew¨ ohnlich dann der Fall, falls der Markt mit einem starken R¨ uckgang der Zinss¨atze rechnet. In diesem Sinne ist der Marktpreis des Faktorrisikos gar ein Indikator f¨ ur die ¨ zuk¨ unftigen Anderungen der Zinsstruktur.

289

Es handelt sich dabei um die Wurzel der Diagonalelemente der Matrix H aus Gleichung (78).

δV

(∼)

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

κ1 κ2

Bund AAA/AA 23,6 3,3 1,3 0,1

93

A BBB 3,9 3,6 0,2 0,7

Tabelle 16: Halbwertszeiten der Sch¨ atzungen der Zwei-Faktor-Modelle unter dem physischen Maß. Die Halbwertszeiten, die aus den Mean-Reversion-Parametern resultieren, sind in Jahren angegeben.

wohingegen sie im mittleren Bereich sehr gering ist und im risikolosen Falle sogar gegen null290 tendiert. Dies steht im Einklang zu dem vorangestellten Gl¨attungsverfahren (Zinsstrukturkurvensch¨atzung nach Nelson/Siegel (1987)), da dort sowohl am kurzen Ende als auch am langen Ende die volatileren Ergebnisse erzielt wurden, was sich wiederum in den Ergebnissen des Kalman-Filters widerspiegelt.291 Die Klasse AAA/AA f¨allt aus dem Rahmen, da dort die Standardabweichung der Messfehler im mittleren Laufzeitbereich am gr¨oßten und somit kein U-f¨ormiges Muster zu erkennen ist. Als Ursache sehen wir die Zusammenlegung der beiden Ratingklassen mit der damit verbundenen gr¨oßeren Inhomogenit¨at. Insgesamt bewegen sich die Standardabweichungen in zu anderen Studien292 vergleichbarem Rahmen und u ¨bersteigen 42 BP nicht. Im wichtigen risikolosen Bereich belaufen sich die Standardabweichungen nur auf 5,4 BP am kurzen Ende und 8,4 BP am langen Ende. Grunds¨atzlich resultiert der erwartete Rahmen f¨ ur die H¨ohe der Standardabweichung aus den im Modell abgebildeten Messfehlern sowie deren Ursachen.293 Insofern sind f¨ unf bis acht Basispunkte als Folge von Ungenauigkeiten bei der Zinsfeststellung, des Bid-Ask-Spreads bzw. der vorangestellten Gl¨attungsverfahren durchaus plausibel und stehen in keinem Gegensatz zu den erzielten Preisabweichungen der Klasse Bund, die weiter unten in Tabelle 23 angegeben sind.294 Neben den in Tabelle 23 angegebenen Preisabweichungen und den Standardabweichungen der Messfehler zeigt Tabelle 15 die durchschnittlichen standardisierten Vorhersagefehler v˜(t) der individuellen Zwei-Faktor-Modelle.295 vt|t−1 v˜(t) = ( diag(Vt )

(91)

Der Vorhersagefehler aus Gleichung (83) ergibt sich als die Differenz aus der tats¨achlichen Beobachtung yt sowie der Prognose yt|t−1 basierend auf den Informationen zum Zeitpunkt 290

Die Standarabweichung f¨ ur die Klasse Bund mit einer Restlaufzeit von zwei Jahren σ(2 ) betr¨ agt nur ungef¨ahr 0, 5BP .

291

Zu den Gr¨ unden siehe den entsprechenden Abschnitt 4.4.

292

Vgl. dazu u.a. Chen/Scott (2003) und Geyer/Pichler (1999).

293

Prinzipiell k¨onnen diese auch aus einer Fehlspezifikation des Modelles herr¨ uhren. Aus diesem Grund sind die Pr¨ ufungen zur Anwendbarkeit des Modelles keine reine Formsache. Vgl. dazu auch die Betrachtung der standardisierten Vorhersagefehler im Folgenden.

294

Die in Tabelle 23 angegebenen Preisabweichungen f¨ ur die u ¨brigen Klassen beziehen sich auf das endg¨ ultige Modell ohne zus¨ atzliche Nebenbedingung bez¨ uglich der Mean Reversion-Parameter.

295

Vgl. dazu insbesondere Geyer/Pichler (1999), S.14 ff., Harvey (1989), S.256 sowie Gleichung (83) aus Abschnitt 4.5.1.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

94

Faktor-Ladungen Bund 1,2 1 0,8 Faktor 1 Faktor 2

0,6 0,4 0,2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RLZ (Jahre)

Abbildung 12: Faktorladungen Klasse Bund. Die Abbildung stellt die Faktorladungen f¨ ur die beiden Faktoren der risikolosen Klasse dar.

t−1. Insofern gibt der standardisierte Vorhersagefehler Auskunft, inwieweit das Modell in der Lage ist, die Zinsentwicklung nachzubilden bzw. zu prognostizieren. Die Erwartung an den durchschnittlichen, standardisierten Vorhersagefehler ist, dass er einen Mittelwert von null hat und unabh¨angig von der Restlaufzeit ist. Ist dies nicht der Fall, ergeben sich durch ¨ das gew¨ahlte Modell systematische Verzerrungen hinsichtlich Uberoder Untersch¨atzung der Zinsentwicklung innerhalb der verschiedenen Laufzeitb¨ander. Die Ergebnisse zeigen, dass am langen Ende der betrachteten Restlaufzeiten das Niveau eher untersch¨atzt wird, wohingegen am kurzen Ende f¨ ur die risikolosen Klasse sowie die Klasse BBB das Niveau eher u ¨bersch¨atzt wird. Die Klassen AAA/AA sowie A zeichnen sich dadurch aus, dass in ¨ den mittleren Laufzeiten eine Ubersch¨ atzung vorliegt, an dem kurzen und langen Restlaufzeitende (wie erw¨ahnt) eine Untersch¨atzung. Die wichtige risikolose Klasse - als Unterbau des im n¨achsten Abschnitt vorgestellten Gesamtmodelles - wird bis auf das kurze Ende ¨ gleichm¨aßig, wenn auch gering, untersch¨atzt. Uber alle Laufzeiten gemittelt ergibt sich f¨ ur die Klasse Bund eine standardisierte Abweichung von −5, 74. Die Gr¨oßenordnung ist vergleichbar zu den in Geyer/Pichler (1999) angegebenen Werten. Interessanterweise zeigen Geyer/Pichler (1999), dass die standardisierten Vorhersagefehler bei einem Vergleich von Mehrfaktormodellen bei einem Zwei- und Drei-Faktor-Modell am niedrigsten sind, danach durch Hinzunahme weiterer Faktoren wieder ansteigen.296 Die Sch¨atzungen f¨ ur die Mean Reversion-Parameter κ unter dem physischen Maß sind bis auf die jeweils zweiten Faktoren der Klassen AAA/AA und A relativ gering. F¨ ur den zweiten Faktor der Klasse Bund ist der Mean Reversion-Parameter unter dem risikoneutralen Maß sogar negativ. Problematisch sind kleine und negative κ- bzw. (κ − λ)-Werte inso-

296

Dies k¨onnte ein Hinweis auf das Vorhandensein lokaler Maxima der Likelihood-Funktion sein, da mit zus¨atzlichen Faktoren die Anzahl der zu sch¨ atzenden Parameter stark zunimmt.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

95

Faktor-Ladungen A 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Faktor 1 Faktor 2

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RLZ (Jahre)

Abbildung 13: Faktorladungen Klasse A. Die Abbildung stellt die Faktorladungen f¨ ur die beiden Faktoren der risikobehafteten Klasse A dar. fern, als die zugeh¨origen Prozesse nicht mehr station¨ar sind.297 Im Falle des CIR-Prozesse bedeutet κ = 0, dass der Prozess sich wie ein Random Walk verh¨alt und der Wert null eine absorbierende Schranke darstellt. F¨ ur κ-Werte, f¨ ur die die Bedingung 2κθ < σ 2 gilt, ur stellt die Null eine reflektierende Schranke dar. Im vorliegenden Fall gilt gar 2κθ > σ 2 f¨ s¨amtliche Faktoren der Zwei-Faktor-Modelle, so dass die Null u ¨berhaupt nicht erreichbar ist. Ein alternatives und intuitiveres Maß f¨ ur die Mean Reversion ist die Halbwertszeit HL.298 Die Halbwertszeiten f¨ ur die verschiedenen Klassen sind in Tabelle 16 in Jahren angegeben. Aus den Halbwertszeiten der einzelnen Faktoren wird der Einfluss auf die unterschiedlichen Laufzeitspektren der Zinsstruktur deutlich. Die Faktoren mit geringer Halbwertszeit sind in erster Linie f¨ ur die Ver¨anderungen am kurzen Ende der Zinsstruktur verantwortlich. Ebenfalls weisen diese Faktoren eine h¨ohere Volatilit¨at σ auf, was ebenfalls daf¨ ur spricht, dass kurzfristige, volatilere Schocks ohne langfristige Auswirkungen u ¨ber diese Faktoren abgebildet werden. Da wie angesprochen s¨amtliche λ-Werte erwartungsgem¨aß ¨ negativ sind, versch¨arft sich die angesprochene Problematik beim Ubergang auf das risikoneutrale Maß. Im Vergleich zu der Studie von Geyer/Pichler (1999) erhalten wir dennoch insgesamt h¨ohere Werte f¨ ur die Mean-Reversion-Parameter, was nat¨ urlich auf die unterschiedliche Datengrundlage zur¨ uckzuf¨ uhren sein kann. Vieles spricht aber auch f¨ ur die Verwendung l¨angerer Restlaufzeiten als Ursache.299 Aufbauend auf den Halbwertszeiten und in Anlehnung an eine Hauptkomponentenanalyse 297

Geyer/Pichler (1999) f¨ uhren an, dass nichtstation¨ are Prozesse f¨ ur die Faktoren unter dem risikoneutralen Maß unproblematisch sind und lediglich eine buckelige Terminzinssatzvolatilit¨ atskurve implizieren. Dem ist zuzustimmen, solange keine Simulationen bzw. Prognosen auf Basis nichtstation¨ arer Prozesse gemacht bzw. getroffen werden.

298

Die Halbwertszeit HL (half life) ist definiert als HL =

299

Vgl. Chen/Scott (2003), S.12.

ln(2) κ .

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

96

Faktor1 vs. Level 6 5

Prozent

4 Faktor1 Level

3 2 1

Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Okt. 00

Jan. 01

Jul. 00

Apr. 00

Jan. 00

0

Zeit

Abbildung 14: Faktor1 vs. Level. Die Abbildung stellt den ersten Faktor der risikolosen Klasse dem risikolosen Kassazinssatzes f¨ ur 6 Jahre gegen¨ uber. lassen sich die Faktorladungen betrachten. Mathematisch ergeben sich die in Abbildung 12 bzw. 13 beispielhaft f¨ ur die Klassen Bund und A dargestellten Faktorladungen aus den Komponenten der Matrix Z aus Gleichung (78).300 Im Gegensatz zu einer Hauptkomponentenanalyse wie in Litterman/Scheinkman (1991) sind die Faktorladungen nicht rein datengetrieben, sondern h¨angen vom gew¨ahlten Zinsmodell ab.301 Die verwendete Methodik erlaubt die Extraktion der Faktoren unter gleichzeitiger Beachtung der Restriktionen des CIR-Modelles. Somit zeigen die Faktorladungen aufgetragen u ¨ber die Restlaufzeit, wie die Zinss¨atze aus dem Modell u ¨ber die Faktoren erkl¨art werden. Ein Schock im ersten Faktor betrifft das gesamte Restlaufzeitspektrum gleichm¨aßig, wohingegen ein Schock im zweiten Faktor in erster Linie die kurzen Laufzeiten betrifft und die l¨angeren nur geringf¨ ugig tangiert. Bemerkenswert ist, dass ein Schock im ersten Faktor der Klasse Bund die l¨angeren Restlaufzeiten sogar st¨arker beeinflusst als die k¨ urzeren. Im Falle der Klasse A beobachtet man einen leicht abfallenden Einfluss des ersten Faktors entlang des Restlaufzeitenspektrums.302 Der jeweils erste Faktor kann somit mit dem Niveau und der zweite Faktor mit der Steigung der Zinsstrukturkurve - im Einklang mit der erw¨ahnten Hauptkomponentenanalyse von Litterman/Scheinkman (1991) - identifiziert werden. Die Abbildungen 14 und 15 belegen teilweise die angesprochene Identifikation. Bei der Gegen¨ uberstellung des ersten Faktors und des Levels der Zinsstruktur - repr¨asentiert durch den risikolosen Kassazinssatz mit einer Restlaufzeit von 6 Jahren - wird dies f¨ ur den 300

¨ Alternativ: Faktorladung des Faktors i = ∂R(∼) ∂fi (t) . D.h. die Faktorladung ergibt sich als Anderung der ¨ Spotrate bei einer kleinen Anderung des jeweiligen Faktors.

301

Vgl. Geyer/Pichler (1999), S12.

302

Wie zu erwarten, ergibt sich bei einem Einfaktormodell das Bild des zweiten Faktors aus Abbildung (12). Das Einfaktormodell impliziert, dass sich die kurzfristigen Zinss¨ atze nur ver¨ andern k¨ onnen, wenn sich auch die langfristigen Zinss¨ atze ¨ andern.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

97

Faktor2 vs. Spread 3 2

Prozent

2 Spread Faktor2

1 1

Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

-1

Apr. 00

0

Zeit

Abbildung 15: Faktor2 vs. Spread. Die Abbildung stellt den zweiten Faktor der risikolosen Klasse dem Spread gegen¨ uber. Der Spread bestimmt sich aus der Differenz des risikolosen Kassazinssatzes f¨ ur 10 Jahre und f¨ ur 2 Jahre.

Zeitraum von Oktober 2000 bis zum Ende des Evaluationszeitraumes sehr deutlich. Im den ersten 9 Monaten ist der Zusammenhang nicht eindeutig. Die Abbildung 15 untermauert die oben genannte Identifikation nur f¨ ur die ersten zwei Jahre. In den letzten beiden Jahren ist vermutlich durch den im historisch Vergleich sehr niedrigen Level der Zusammenhang des zweiten Faktors der risikolosen Klasse sowie des Spreads - repr¨asentiert durch die Differenz des einj¨ahrigen und des zehnj¨ahrigen Kassazinssatzes - nicht im angesprochenen Maße erkennbar. Die Abbildung 16 zeigt die beiden Faktoren der risikolosen Klasse zusammen mit der sich daraus ergebenden Shortrate. Die Flexibilit¨at des Zwei-Faktor-Modelles l¨asst sich an Phasen erkennen, in denen der eine Faktor f¨allt, w¨ahrend der zweite Faktor ansteigt. Auf diese Weise werden die langfristigen von den kurzfristigen Zinss¨atzen entkoppelt und es k¨onnen deutlich flexiblere Zinsstrukturkurven als z.B. in einem Ein-Faktor-Modell abgebildet werden. Im Anhang F sind die Faktorrealisationen der w¨ochentlichen Sch¨atzung f¨ ur die risikolose Klasse angegeben. Hervorzuheben ist, dass die Realisationen f¨ ur alle Zeitpunkte unterhalb des langfristigen Mittelwertes (bzw. der Summe der langfristigen Mittelwerte der beiden Faktoren) liegen. Letzlich verantwortlich daf¨ ur ist, dass u ¨ber die Sch¨atzperiode hinweg ein fallendes Zinsniveau vorliegt und das Jahr 1999 bei der Sch¨atzung ber¨ ucksichtigt ist, f¨ ur die weitere Analyse aber aus oben genannten Gr¨ unden nicht verwendet wird. Die Korrelationen der Faktoren untereinander motiviert und best¨arkt die Modellierung eines gemeinsamen Faktors f¨ ur alle Klassen sowie jeweils eines idiosynkratischen Faktors im verwendeten Modell. Tabelle 17 zeigt, dass die Korrelation des ersten Faktors mindestens 0,78 (im Falle Bund zu BBB) und f¨ ur alle weiteren Kombinationen teils deutlich dar¨ uber liegt. F¨ ur die jeweils zweiten Faktoren zeigt die Tabelle ein v¨ollig anderes Bild. Die Faktoren sind sowohl positiv als auch negativ miteinander korreliert. Die Korrelationen reichen von -0,63 (BU2 zu AAA2 ) bis zu 0,54 (BU2 zu A1 ).

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

98

Faktorentwicklung Bund 6 5

Prozent

4 Faktor 1 Faktor 2 Shortrate

3 2 1

Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

Apr. 00

Jan. 00

0

Zeit

Abbildung 16: Faktorentwicklung im Zeitablauf. Die Abbildung stellt die Faktorentwicklung der Klasse Bund u ¨ber den Evaluationszeitraum dar. 4.6.2

Ergebnisse des gesamten Modelles

Die Ergebnisse des gesamten Modelles mit einem gemeinsamen und jeweils einem klassenspezifischen Faktor f¨ ur den Spread zus¨atzlich zum riskolosen Momentanzinssatz sind in den Tabellen 18 und 19 f¨ ur den Untersuchungszeitraum beginnend im Jahre 2000 bis zum Jahre 2003 aufgef¨ uhrt. Wie im vorherigen Abschnitt sind die Zeitangaben in Jahren und die sonstigen Gr¨oßen als per annum Werte angegeben. Die Sch¨atzung beruht auf Daten mit w¨ochentlicher Periodizit¨at. In Klammern sind zus¨atzlich die asymptotischen Standardfehler - wie in Abschnitt 4.5 erl¨autert - der jeweiligen Parameter angegeben. Die Sch¨atzung der Resultate in Tabelle 19 entstand unter der zus¨atzlichen Nebenbedingung eines positiven, von null verschiedenen Mean Reversion-Parameters κ unter dem physischen Maß. Im weiteren Verlauf der Darstellung wird die Sch¨atzung unter der geFaktoren BU 1 BU 1 1 BU 2 AAA 1 AAA 2 A1 A2 BBB 1 BBB 2

BU 2 AAA 1 AAA 2 A 1 A 2 BBB 2 BBB 2 0,16 0,93 0,34 0,90 -0,16 0,12 0,78 1 0,50 -0,63 0,54 -0,37 0,03 0,48 1 0,06 0,99 -0,30 0,12 0,85 1 0,02 0,27 0,15 -0,04 1 -0,33 0,17 0,86 0,41 -0,47 1 -0,30 1

Tabelle 17: Korrelationen der Faktoren im Zwei-Faktor-Fall I. In der Tabelle sind die Korrelationen beider Faktoren f¨ ur die individuellen Zwei-Faktor-Modelle angegeben. Der erste Faktor ist jeweils mit 1 “ gekennzeichnet, der zweite Faktor entsprechend mit 2 “. Der ” ” Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

κ∗ θ∗ σ λ κ

Risikolose Zinsstruktur Bund 1F Bund 2F 0,533120 0,029328 (0,245580) (0,044999) 0,028958 0,027007 (0,009210) (0,010198) 0,093957 0,052267 (0,005171) (0,003177) -0,108230 -0,062526 (0,331310) (0,002478) 0,424890 -0,033198

θ

99

Spread Common -0,201630 ((0,048663) 0,000247 (0,000439) 0,015430 (0,006964) -0,195100 (0,112930) -0,396730

AAA / AA 1,291100 (1,323900) 0,001227 (0,000147) 0,005147 (0,013601) -0,192540 (1,307300) 1,098560

A 1,304900 (0,697870) 0,006199 (0,001070) 0,010605 (0,004144) -0,091978 (0,007720) 1,212922

BBB 0,906680 (0,74319) 0,008714 (0,000216) 0,012401 (0,001156) -0,097002 (0,153990) 0,809678

0,036334

-0,023859

0,000126

0,001441

0,006669

0,009758

1,3

23,6

–

0,5

0,5

0,8

rn Maß 1,6 – Standardabweichung der Messfehler σ(1 ) σ(2 ) Bund 0,000545 0,000054 AAA/AA 0,005327 0,002054 A 0,002014 0,002323 BBB 0,002713 0,000610

–

0,6

0,6

0,9

σ(3 ) 0,000063 0,001967 0,000664 0,000814

σ(4 ) 0,000709 0,000606 0,000559 0,001691

σ(5 ) 0,000836 0,002092 0,001870 0,002343

Halbwertszeit phys. Maß

Tabelle 18: Ergebnisse der unrestringierten KF-Sch¨ atzung der Mehr-Faktormodelle. Die Sch¨ atzungen decken den Zeitraum der Jahre 2000 bis 2003 auf w¨ochentlicher Basis (209 Evaluierungszeitpunkte) ab. In Klammern sind die Standardfehler - wie in Abschnitt 4.5 erl¨autert der jeweiligen Parameter angegeben. Die Halbwertszeit ist in Jahren sowie die u ¨brigen Parameter auf j¨ ahrlicher Basis angegeben.

nannten Nebenbedingung als restringierte Sch¨atzung bezeichnet und die Sch¨atzung ohne weitere Nebenbedingungen entsprechend als unrestringiert. Die Parameter der risikolosen Zinsstruktur entsprechen denjenigen aus dem Zwei-Faktor-Modell. Im Vergleich der Ergebnisse der zwei Sch¨atzungen zeigt sich, dass im Falle der restringierten Sch¨atzung weniger Parameter statistisch signifikant gesch¨atzt werden. Bei beiden Sch¨atzungen werden f¨ ur den gemeinsamen Faktor sowie f¨ ur den klassenspezifischen der Klasse AAA/AA keine signifikanten Parameter ermittelt. Wohingegen im Falle der unrestringierten Sch¨atzung die spezifischen Parameter der Klassen A und BBB u ¨berwiegend signifikant sind. Dies gilt insbesondere f¨ ur die langfristigen Mittelwerte θ sowie die Varianzparameter σ. Im Vergleich zu den individuellen Zwei-Faktor-Sch¨atzungen aus dem vorangegangenen Abschnitt gilt es zu beachten, dass im Rahmen der Zwei-Faktor-Modelle das gesamte Niveau der Klassen gesch¨atzt wurde und im Rahmen der Mehr-Faktor-Modelle nur der Spread u ¨ber dem risikolosen Momentanzinssatz. Aufgrund des teilweise recht geringen Niveaus der Spreads sind in Relation die in Klammern angegebenen Standardfehler von der H¨ohe her nicht u ¨berraschend bzw. akzeptabel. Die Standardabweichungen der Messfehler σ(i ) zeigen im Modell ohne Nebenbedingung den erwarteten und im Zwei-Faktor-Fall ausf¨ uhrlich diskutierten U-f¨ormigen Verlauf. Lediglich die Standardabweichung f¨ ur die Klasse A erreicht bei vier Jahren ihren h¨ochsten Wert (23 BP) und zeigt somit einen leichten Buckel bei den k¨ urzeren bis mittleren Laufzeiten. F¨ ur die Klasse Bund geht die Standardabweichung f¨ ur die Laufzeiten von 4 Jahren

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

100

κ∗ θ∗ σ λ κ

Risikolose Zinsstruktur Bund 1F Bund 2F 0,533120 0,029328 (0,245580) (0,044999) 0,028958 0,027007 (0,009210) (0,010198) 0,093957 0,052267 (0,005171) (0,003177) -0,108230 -0,062526 (0,331310) (0,002478) 0,424890 -0,033198

θ

Spread Common 0,760750 (0,347870) 0,000000 (0,000000) 0,030028 (0,000938) -0,600230 (0,129960) 0,160520

AAA / AA 0,672630 (0,432390) 0,001247 (0,002104) 0,029311 (0,000095) -0,502300 (0,946280) 0,170330

A 1,07500 (1,607800) 0,004703 (0,002622) 0,022671 (0,000666) -0,518550 (0,985340) 0,556450

BBB 2,207000 (1,71990) 0,007894 (0,000642) 0,029119 (0,015942) -0,596640 (0,527190) 1,610360

0,036334

-0,023859

0,000000

0,004923

0,009085

0,010819

1,3

23,6

0,9

1,0

0,6

0,3

rn Maß 1,6 – Standardabweichung der Messfehler σ(1 ) σ(2 ) Bund 0,000545 0,000054 AAA/AA 0,001780 0,000298 A 0,002928 0,002391 BBB 0,002813 0,002147

–

4,1

1,2

0,4

σ(3 ) 0,000063 0,001337 0,002225 0,002410

σ(4 ) 0,000709 0,001595 0,001668 0,002659

σ(5 ) 0,000836 0,001981 0,001992 0,002096

Halbwertszeit phys. Maß

Tabelle 19: Ergebnisse der restringierten KF-Sch¨ atzung der Mehr-Faktormodelle. Die Sch¨ atzungen decken den Zeitraum der Jahre 2000 bis 2003 auf w¨ochentlicher Basis (209 Evaluierungszeitpunkte) ab. In Klammern sind die Standardfehler - wie in Abschnitt 4.5 erl¨autert der jeweiligen Parameter angegeben. Die Halbwertszeit ist in Jahren sowie die u ¨brigen Parameter auf j¨ ahrlicher Basis angegeben.

und 6 Jahren gegen Null. Im Modell mit Nebenbedingungen ergibt sich ein anderes Bild. Das Niveau der Messfehler liegt insgesamt h¨oher und zeigt einen eher glatteren bzw. weniger ausgepr¨agten U-f¨ormigen Verlauf. F¨ ur die Klassen A und BBB liegen die Standardabweichungen im unrestringierten Fall insgesamt gesehen niedriger und in Relation zu den Zwei-Faktor-Modellen auf ¨ahnlichem Niveau. F¨ ur die verbleibende Klasse AAA/AA liegen die Standardabweichungen der Messfehler im restringierten Fall niedriger und in den mittleren Laufzeitbereichen besser als im Zwei-Faktor-Fall. Bis auf die Ausnahmen der Klassen Bund (in beiden Sch¨atzungen) sowie der Klasse AAA/AA im restringierten Fall sind die Standardabweichungen der Messfehler am kurzen Ende h¨oher als am langen Restlaufzeitende, d.h. die Parameter beschreiben Anleihen mit mittlerer und l¨angerer Restlaufzeit pr¨aziser. Insgesamt gesehen ergeben sich von der H¨ohe her plausible Werte, welche auch mit anderen Studien im Einklang stehen.303 Die standardisierten Vorhersagefehler304 der beiden Sch¨atzungen sind in den Tabellen 20 und 21 dargestellt. In beiden F¨allen zeigt sich, dass am kurzen Ende die Entwicklung der Momentanspreads eher untersch¨atzt wird und am langen Restlaufzeitende eher u ¨bersch¨atzt wird. Eine Ausnahme bildet das kurze Ende der Klasse BBB im unrestringier303

Vgl. dazu Geyer/Pichler (1999) und Chen/Scott (2003).

304

Der Vorhersagefehler ergibt sich im Rahmen der Kalman-Filter-Sch¨ atzung als die Differenz aus der tats¨achlichen Beobachtung sowie der Prognose aus dem Vorhersageschritt. Zur Standardisierung siehe Gleichung (91).

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES Laufzeiten 2 Bund 9,94 AAA/AA -12,58 A -28,74 BBB 28,58

4 -10,79 -20,41 -10,78 -13,89

6 -8,08 -7,53 -22,50 -7,10

101 8 10 -6,11 -13,64 4,51 3,10 -21,04 3,51 7,11 39,13

Tabelle 20: Mittlerer standardisierter Vorhersagefehler (unrestringiert).In der Tabelle sind die durchschnittlichen standardisierten Vorhersagefehler des unrestringierten Mehr-FaktorModells f¨ ur die gew¨ ahlten St¨ utzstellen angegeben. Die Werte sind mit 100 multipliziert.

Laufzeiten 2 4 Bund 9,94 -10,79 AAA/AA -22,69 -38,64 A -14,59 -10,18 BBB -6,57 -17,24

6 8 10 -8,08 -6,11 -13,64 14,57 21,55 13,88 0,89 5,49 3,51 4,64 20,81 39,13

Tabelle 21: Mittlerer standardisierter Vorhersagefehler (restringiert).In der Tabelle sind die durchschnittlichen standardisierten Vorhersagefehler des restringierten Mehr-FaktorModells f¨ ur die gew¨ ahlten St¨ utzstellen angegeben. Die Werte sind mit 100 multipliziert.

ten Modell. Hier wird die Entwicklung des Momentanspreads u ¨bersch¨atzt. Die stabilsten Ergebnisse werden in den mittleren Laufzeitb¨andern erzielt, was wiederum mit der schon angef¨ uhrten Tatsache zu erkl¨aren ist, dass in diesem Restlaufzeitbereich die meisten Beobachtungen vorliegen. Das unrestringierte Modell erkl¨art die Klasse BBB insgesamt besser, wohingegen die anderen beiden Klassen durch das restringierte Modell (teilweise deutlich) besser erkl¨art werden. Dies dr¨ uckt sich ebenfalls im gesamten Durchschnitt f¨ ur die jeweiligen Klassen aus. F¨ ur die Klasse AAA/AA (A) betr¨agt er im restringierten Fall −2, 27 (−2, 97) und ist im unrestringierten Fall mehr als doppelt so groß −5, 74 (−16, 13)305 , d.h. die Zinsentwicklung wird insgesamt gesehen leicht untersch¨atzt. Die Werte f¨ ur die Risikopr¨amien λ sind bei beiden Sch¨atzungen wiederum jeweils negativ. Insofern gilt das im vorherigen Abschnitt Gesagte. Beachtlich ist, dass im Rahmen der Sch¨atzung mit zus¨atzlicher Nebenbedingung die Werte st¨arker negativ ausfallen und sich f¨ ur s¨amtliche Faktoren der Spreads auf ¨ahnlichem Niveau bewegen. Damit gehen st¨arkere Risikoaufschl¨age einher als im unrestringierten Fall. Gerade bei der unrestringierten Sch¨atzung sind speziell f¨ ur die Klassen A und BBB die Parameter f¨ ur die Risikopr¨amien sehr klein und in Relation dazu die angegebenen Standardfehler sehr hoch. Die langfristigen Mittelwerte θ zeigen den erwarteten Verlauf. In beiden Varianten steigen sie mit abnehmender Kreditqualit¨at an, was im Einklang mit der Erwartung eines zunehmenden Risikos und damit Spreads steht. Dies gilt f¨ ur beide Sch¨atzungen sowohl unter dem physischen als auch dem risikoneutralen Maß. F¨ ur eine aussagekr¨aftige Risikoadjustierung ist dies wichtig, da entlang des Ratings diskriminiert wird und ansteigende Risikoaufschl¨age mit abnehmender Kreditqualit¨at eine Voraussetzung sind. Vergleicht man die beiden Sch¨atzungen, so sind die Ergebnisse f¨ ur die Klasse AAA/AA praktisch deckungsgleich, f¨ ur die Klassen A und BBB ergeben sich im unrestringierten Fall h¨ohere Werte (ca. 62 BP respektive ca. 87 BP). Im Rahmen der unrestringierten Sch¨atzung steigen die 305

Die Aussage bezieht sich nat¨ urlich auf einen betragsm¨ aßigen Vergleich.

102

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

Varianzparameter σ mit abnehmender Kreditqualit¨at ebenfalls an. Dies deckt sich mit der volatileren Zinsstruktur der Klassen A und BBB, welche im Rahmen der Nelson-SiegelSch¨atzung schon beobachtbar waren. Im restringierten Fall liegen die Varianzparameter deutlich h¨oher und in allen drei Klassen auf ¨ahnlichem Niveau. Der niedrigste Wert ist in der Klasse A zu beobachten. Beachtlich ist, dass der langfristige Mittelwert des CommonFaktor im Modell mit der zus¨atzlichen Nebenbedingung praktisch null ist. Die Mean-Reversion-Parameter κ im unrestringierten Modell f¨ ur die spezifischen Faktoren liegen auf ¨ahnlichem Niveau (0.9 − 1.3) und zeigen im Vergleich zu den Parametern der risikolosen Faktoren eine ausgepr¨agtere Drift zum langfristigen Mittel hin. In Relation zu den jeweiligen Zwei-Faktor-Modellen liegen die Parameter zwischen den dort gesch¨atzten Mean-Reversion-Parametern. Dies entspricht den Erwartungen, da im ZweiFaktor-Modell die Variation der gesamten Zinsstruktur u ¨ber die beiden Faktoren erfolgt und im Mehr-Faktor-Modell rein die Spreadentwicklung u ¨ber dem risikolosen Part abgedeckt ist. Die daraus resultierende geringe Halbwertszeit bekr¨aftigt diese Argumentation und f¨ uhrt dazu, dass die spezifischen Faktoren insbesondere das Verhalten am kurzen Restlaufzeitende bestimmen. Trotz starker Ann¨aherungsrate κ ist die Entwicklung der Spreads306 recht volatil aufgrund der im Vergleich zu den langfristigen Mitteln recht hohen Volatilit¨atskoeffizienten σ. Im Falle des gemeinsamen Faktors f¨ uhrt das dazu, dass die Feller-Bedingung nicht mehr erf¨ ullt ist und somit bei der Faktorprozessentwicklung die Null keine reflektierende Schranke mehr darstellt. Die u ¨brigen, den Spread treibenden Faktoren erf¨ ullen die Feller-Bedingung.307 Der gemeinsame Faktor des Spreads zeigt sogar ein explosives Verhalten. Im betrachteten Zeitraum ist dies insofern ohne Folgen, als dass der gemeinsame Faktor sich lediglich zwischen 0 BP und 20 BP bewegt.308 Problematisch erweist sich ein mean-averting-Verhalten, sobald Zinsstrukturentwicklungen simuliert bzw. prognostiziert werden. Aufgrund dieses Verhaltens wurde das zweite Set an Parametern unter der Nebenbedingung einer positiven Mean-Reversion κ gesch¨atzt. W¨ahrend sich die spezifischen Parameter κ f¨ ur die Klassen AAA/AA und A verringerten, was sich auch in der gestiegenen Halbwertszeit ausdr¨ uckt, zeigt die Klasse BBB eine st¨arkere Drift zum langfristigen Mittel hin. Der gemeinsame Faktor zeigt wie beabsichtigt kein explosives Verhalten mehr, beeinflusst jedoch wie an der geringen Halbwertszeit zu erkennen ist, ebenfalls den kurzfristigen Laufzeitbereich. Anhand der Faktorladungen in der Abbildung 17 l¨asst sich das zu den Mean-ReversionParametern gesagte, nachvollziehen. Im unrestringierten Fall sieht man das explosive Verhalten des gemeinsamen Faktors an dem mit der Restlaufzeit zunehmenden Einfluss, welcher nicht abklingt. Die Ladungen der spezifischen Faktoren zeigen alle den gleichen, stark abnehmenden und somit nur den kurzfristigen Bereich beeinflussenden Verlauf. Im restringierten Fall in Abbildung (17) ergibt sich der erwartete Verlauf, wenngleich der Einfluss des gemeinsamen Faktors ebenfalls recht schnell abnimmt und somit nur das kurze Restlaufzeitspektrum betroffen ist. Andererseits entspricht dies f¨ ur die den Spread treibenden

306

Vgl. dazu die Abbildungen (18) bzw. (19).

307

Das Erf¨ ullen der Feller-Bedingung (Vgl. Feller (1951) bzw. Cox et.al. (1985), S.391) bedeutet nicht, dass im Rahmen der Kalman-Filter-Sch¨ atzung und der verbundenen Faktorextraktion keine negativen Realisationen auftreten k¨ onnen. Insofern ist das Erf¨ ullen ein Merkmal eines f¨ ur Prognosezwecke verwendbaren Zinsprozesses, ohne Gefahr zu laufen, negative Faktorrealisationen zu erhalten.

308

F¨ ur eine empirische Untersuchung ist ein solches Ergebnis durchaus legitim und im Sinne einer h¨ oheren Erkl¨arungsg¨ ute nicht unwahrscheinlich, dennoch stellt man an Zinsprozesse h¨ aufig die Forderung, dass sie station¨ar sind.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

103

Faktor-Ladungen Spread (unrestringiert) 4,5 4 3,5 3 gemeinsamer Faktor AAA/AA - Faktor A - Faktor BBB - Faktor

2,5 2 1,5 1 0,5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RLZ (Jahre)

Faktor-Ladungen Spread (restringiert) 1 0,9 0,8 0,7 gemeinsamer Faktor AAA/AA - Faktor A - Faktor BBB - Faktor

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RLZ (Jahre)

Abbildung 17: Faktorladungen der Mehr-Faktor-Modelle des Spreads. Die Abbildung zeigt die Faktorladungen der den Spread treibenden Faktoren im unrestringierten sowie im restringierten Fall.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

104

Faktorrealisationen 500 450 400 Basispunkte

350 Common AAA/AA A BBB

300 250 200 150 100 50 Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

Apr. 00

Jan. 00

0

Zeit

Abbildung 18: Faktorentwicklung unrestringiert im Zeitablauf. Die Abbildung stellt die unrestringierte Faktorentwicklung der Klassen AAA/AA, A, BBB sowie des gemeinsamen Faktors u ¨ber den Evaluationszeitraum dar. Faktoren den Erwartungen, da kurzfristige Schocks im speziellen auf den Spread wirken und das allgemeine Zinsniveau inklusive Schocks auf das gesamte Restlaufzeitspektrum u ¨ber die Entwicklung der die risikolose Zinsstruktur beschreibenden Faktoren abgebildet wird. Die u ¨ber die Diskussion der allgemeinen Zinsstrukturkurvensch¨atzung und der obigen Parameter gewonnenen Erkenntnisse zeigen sich in den Faktorverl¨aufen in den Abbildungen 18 und 19. Deutlich sind die Spreadausweitungen im Fr¨ uhjahr 2001, im Nachgang des 11. September 2001 sowie in der zweiten Jahresh¨alfte 2002 zu erkennen. Ebenfalls zu erkennen ist die geringe Trennsch¨arfe zu Beginn der Evaluationsperiode sowie das Zusammenlaufen der Spreads zum Ende der Evaluationsperiode hin. Im restringierten Modell ergeben sich deutlich h¨ohere Spreads insbesondere f¨ ur die Klassen A und BBB, bei welchen die Spreadausweitungen auch am deutlichsten akzentuiert sind. Die Klasse AAA/AA ist von den Spreadausweitungen fast nicht betroffen. Die Korrelationen der den Spread treibenden Faktoren sind in Tabelle 22 angegeben. Die Korrelationen des restringierten Modelles sind in Klammern angegeben. Der gemeinsame Faktor ist mit dem Faktor der Klasse AAA/AA relativ stark negativ korreliert. Mit den beiden u ¨brigen Faktoren ist praktisch keine Korrelation vorhanden. Die Korrelation des Faktors der Klasse AAA/AA mit den u ¨brigen beiden Klassen ist relativ hoch, insbesondere zur Klasse A (-0,33 bzw. 0,62). Betrachtet man zus¨atzlich noch die hohe Korrelation zwischen den Faktoren der Klassen A und BBB so spricht einiges daf¨ ur, dass noch ein weiterer gemeinsamer Faktor ben¨otigt wird, um dieses gemeinsame Verhalten zu erkl¨aren. Aus der Beobachtung der gleichf¨ormig verlaufenden Spreadausweitungen im Zeitablauf ist dieses Ergebnis f¨ ur die Korrelationen in ihrer H¨ohe nicht u ¨berraschend. Andererseits bringt durch das unterschiedliche Niveau der Faktorentwicklungen eine Hinzunahme eines weiteren gemeinsamen Faktor insofern keine Besserung, als der spezifische Faktor f¨ ur die Klasse A weiter absinkt und die Problematik von negativen Realisationen

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

105

Faktorrealisationen 700 600

Basispunkte

500 Common AAA/AA A BBB

400 300 200 100

Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

Apr. 00

Jan. 00

0

Zeit

Abbildung 19: Faktorentwicklung restringiert im Zeitablauf. Die Abbildung stellt die restringierte Faktorentwicklung der Klassen AAA/AA, A, BBB sowie des gemeinsamen Faktors u ¨ber den Evaluationszeitraum dar. Common AAA A BBB

Common 1

AAA A BBB -0,58 (-0,34) -0,02 (0,10) -0,20 (-0,11) 1 -0,33 (0,62) -0,28 (-0,17) 1 0,88 (0,43) 1

Tabelle 22: Korrelationen der Faktoren des Spreads im MF-Fall.In der Tabelle sind die Korrelationen der Faktoren des Spreads f¨ ur das Mahr-Faktor-Modell angegeben. In Klammern sind jeweils die Korrelationen der Faktoren f¨ ur das restringierte Modell angegeben.

im Rahmen der Kalman-Filter-Sch¨atzung versch¨arft. Die gew¨ahlte Vorgehensweise stellt einen vern¨ unftigen Kompromiss bei gegebenem Evaluationszeitraum und Datensatz dar. Neben der Untersuchung der jeweils gesch¨atzten Parameter sind die Preisabweichungen des Modelles zu den beobachteten Marktpreisen sowie die erzielten Risikopr¨amien ein Maß f¨ ur die G¨ ute der Sch¨atzung sowie der Verwendbarkeit zum Zwecke einer zwischen den Ratingklassen diskriminierenden Risikoadjustierung. Die Statistiken zu den Preisabweichungen sind in Tabelle 23 in Basispunkten angegeben, wobei die Ergebnisse des restringierten Modelles in Klammern erscheinen. Die beobachtbaren Marktpreise werden durch die im Rahmen des vorangestellten Gl¨attungsverfahrens erhaltenen Zinsstrukturkurven repr¨asentiert.309 Bez¨ uglich der mittleren absoluten Preisabweichung (MAD) zeigt sich das hinl¨anglich bekannte Bild eines mehr oder weniger stark ausgepr¨agten U-f¨ormigen Verlaufs. Die Tatsache, dass die Struktur des CIR-Modelles eine weniger flexible Zinsstrukturkurvenform als die Nelson/Siegel-Sch¨atzung erlaubt, tr¨agt zus¨atzlich zu den im Rahmen der Auswertung der Nelson/Siegel-Ergebnisse hinl¨anglich diskutierten Gr¨ unden 309

Durch das Voranstellen eines Gl¨ attungsverfahrens vor der eigentlichen Kalman-Filter-Sch¨ atzung erachten wir diese Vorgehensweise ad¨ aquat, um die G¨ ute der Sch¨ atzung zu beurteilen.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

106

Bund 2 4 6 8 10 AAA/AA 2 4 6 8 10 A 2 4 6 8 10 BBB 2 4 6 8 10

MAD

Mittelwert

Std-Abw.

Median

5,6 0,2 0,2 2,4 5,3

-2,2 0,1 -0,1 0,1 1,3

4,2 0,1 0,2 1,5 3,4

-2,1 0,1 -0,1 -0,3 0,4

8,5 (9,1) 5,0 (2,1) 3,4 (5,3) 4,4 (8,1) 5,2 (10,3)

6,8 (4,9) 4,7 (1,9) 2,0 (-2,3) 1,1 (-3,8) -0,2 (-2,9)

(6,3) (2,3) (3,9) (6,7) (7,6)

8,4 (4,9) 3,5 (0,9) 0,8 (-1,6) -0,6 (-0,5) -1,4 (1,4)

16,6 (20,7) 4,8 (5,6) 4,8 (10,6) 3,5 (13,8) 4,9 (15,1)

6,8 (5,4) 2,6 (2,5) 0,5 (-0,5) 0,2 (-1,4) -1,3 (-0,9)

12,2 (15,6) 3,7 (4,5) 4,3 (7,5) 3,6 (9,8) 3,8 (10,9)

4,6 (-1,7) 2,6 (2,6) -0,4 (-1,5) 0,0 (0,1) -1,1 (3,5)

19,9 4,2 6,1 11,2 14,5

-8,3 (2,8) 13,3 (13,1) -12,5 (-0,1) 0,9 (4,4) 3,2 (8,5) 0,4 (4,6) 0,6 (-0,8) 4,7 (10,1) 1,3 (2,3) -1,0 (-5,4) 7,9 (13,11) 0,8 (-3,0) -4,2 (-8,2) 10,9 (15,04) -2,1 (-7,1)

(15,6) (11,5) (13,6) (16,0) (17,9)

5,4 4,3 3,9 3,9 3,7

Tabelle 23: Statistiken der Preisabweichungen. Die mittlere, absolute Preisabweichung (MAD), der Mittelwert, die Standardabweichung der MAD sowie der Median der Preisabweichungen sind in Basispunkten angegeben. In Klammern sind die Ergebnisse der restringierten Sch¨ atzung ausgewiesen. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

zu dem U-f¨ormigen Verlauf bei. Die Abweichungen am kurzen Restlaufzeitende sind stets st¨arker als am langen Restlaufzeitende. Die Standardabweichungen, angegeben in der dritten Spalte der Tabelle 23 sind prinzipiell vergleichbar mit den Standardabweichungen der Messfehler aus den Tabellen 18 bzw. 19. Die Unterschiede resultieren aus einer unterschiedlichen Annahme bei der Bestimmung derselben. Die in Tabelle 23 angegebenen Standardabweichungen beziehen sich auf den in der gleichen Tabelle angegebenen, von Null verschiedenen Mittelwert. Die im Rahmen der Kalman-Filter-Sch¨atzung ermittelten Standardabweichungen gehen von einem Mittelwert von Null aus. Insofern ergeben sich auch bei der Betrachtung der Standardabweichungen der beobachteten Preisabweichungen geringere Werte als bei der Ermittlung im Rahmen der Kalman-Filter-Sch¨atzung. Im Vergleich der beiden Sch¨atzungen schneidet die unrestringierte Sch¨atzung u ¨berwiegend besser ab. Einzig die Klasse BBB wird am kurzen Restlaufzeitende besser durch die restringierte Sch¨atzung erkl¨art. Insgesamt gesehen, liegen die Preisabweichungen in einem akzeptablen Rahmen. Das eigentliche Ziel der Kalman-Filter-Sch¨atzung ist die Sch¨atzung der Parameter und die

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

107

Abbildung 20: Termpremium Bund Die Abbildung zeigt die Entwicklung der Term Premium der risikolosen Klasse f¨ ur Restlaufzeiten bis 10 Jahre. Alle Angaben sind in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Extraktion der latenten Faktoren, um zu eruieren, wie der Markt das Faktorrisiko (Credit und Term Premia) preist. Wie in Kapitel 3 gesehen, betrachtet man dazu die erwartete ¨ Rendite von Anleihen. Uber das gew¨ahlte Zinsmodell im Verbund mit den gesch¨atzten Faktoren ergeben sich die einzelnen Risikopr¨amien direkt aus der Differenz zwischen den physischen sowie den risikoneutralen Parametern.310 Der erwartete, instantane Return einer risikolosen Anleihe mit F¨alligkeit T ergibt sich unter der Verwendung des Lemma von Itˆo als311 rt + −λk fk (t)Bk (T ). (92) k=1,2

Der erwartete, instantane Return setzt  sich zusammen aus dem risikolosen Momentanzinssatz rt sowie der Term Premium −λk fk (t)Bk (T ) der Anleihe. Die Term Premium k=1,2

h¨angt von dem Marktpreis des Faktorrisikos λk , der Sensitivit¨at Bk (T ) der Anleihe zum jeweiligen Faktor und von dem Faktor selbst ab. Durch die explizite Abh¨angigkeit von ¨ den Faktoren variiert die Term Premium im Zeitablauf. Uber die Term Premium wird das ¨ Risiko einer Anderung des risikolosen Momentanzinssatzes bzw. der treibenden Faktoren und deren Auswirkungen auf die Bewertung der Anleihe kompensiert. F¨ ur eine riskante Anleihe ergibt sich der erwartete, instantane Return wie in Kapitel 3 310

Vgl. dazu Liu, Longstaff, and Mandell (2006), S.2352f. Die folgende Darstellung orientiert sich lose daran.

311

In der vorliegenden Untersuchung wird die Entwicklung der risikolosen Zinsstruktur durch zwei Faktoren beschrieben.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

108

Term Premia Min/Max 200 180 160 Basisipunkte

140 120

Maximale Termpremium Mittlere Termpremium Minimale Termpremium

100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Jahre

Abbildung 21: MinMax Termpremium Bund Die Abbildung zeigt die minimale, mittlere und maximale Auspr¨ agung der Term Premium der risikolosen Klasse u ¨ber den Betrachtungszeitraum. Alle Angaben sind in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

gezeigt als rt +



−λk fk (t)Bk (T ) + st − s∗t .

(93)

k=1,2,3,gr

Sowohl der risikolose Zinssatz rt als auch der Spread st werden durch jeweils zwei Faktoren beschrieben. F¨ ur den Spread gilt wie gezeigt, dass der Faktor f3 (t) als gemeinsamer Faktor auf s¨amtliche Spreadklassen wirkt und der jeweils zweite Faktor fgr (t) ein klassenspezifischer Faktor ist. Die Term Premium zusammen mit der Credit Premium  −λk fk (t)Bk (T ) kompensieren einen Investor f¨ ur Zins- sowie Spread¨anderungen k=1,2,3,gr

sowie deren Auswirkung auf die Bewertung der riskanten Anleihe. Auch die Credit Premium ¨andert sich u ¨ber die Abh¨angigkeit von den Faktoren im Zeitablauf. Bezogen auf die Differenz aus st − s∗t als Kompensation des eigentlichen Ausfallrisikos zeigen Liu, Longstaff, and Mandell (2006) eine Erweiterung des Modelles, indem sie als zus¨atzliche Komponenten eine Liquidit¨atsspread einbauen, sowie einen Rahmen f¨ ur die Ausfallpr¨amie , als Differenz zwischen den Ausfallintensit¨aten unter beiden Maßen, angeben. Letzteres gelingt insofern, als Auspr¨agungen f¨ ur die Ausfallintensit¨at unter dem physischen Maß angenommen werden, um Ober- bzw. Untergrenzen f¨ ur die Ausfallpr¨amie zu folgern, da eine explizite Sch¨atzung des Unterschieds z.B. Anleihen unterschiedlicher Seniorit¨at voraussetzt, welche f¨ ur viele Emittenten nicht vorhanden sind. F¨ ur die Absch¨atzung der Obergrenze gehen Liu, Longstaff, and Mandell (2006) von einer Ausfallintensit¨at unter dem physischen Maß von Null aus. F¨ ur die Untergrenze wird entsprechend eine physische Ausfallintensit¨at in H¨ohe der risikoneutralen angenommen, was der vollst¨andigen Diversifikationannahme entspricht. Unsere Vorgehensweise entspricht der dort vorgeschlagenen Verwendung der Obergrenze, d.h. die Auswertungen im Weiteren

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

109

geben eine Absch¨atzung der maximal m¨oglichen Risikopr¨amie. Begr¨ unden l¨asst sich dies durch die Tatsache, dass im Falle eines Ausfalles in der Regel nicht die Gesamtheit der Anleihen einer Ratingklasse ausfallen und somit die Ausfallintensit¨at unter dem nat¨ urlichen Maß n¨aher bei Null liegt als an der Ausfallintensit¨at unter dem risikoneutralen Maß. In den Abbildungen 20 und 21 sind die Entwicklung der term Premium f¨ ur die risikolose Klasse u ¨ber den Betrachtungszeitraum sowie die minimalen, mittleren und maximalen Auspr¨agungen abgetragen. Die mittlere term Premium erstreckt sich von ca. 24 BP bei einer kurzen Restlaufzeit bis zu ca. 121 BP bei einer Restlaufzeit von 10 Jahren. In der Spitze geht sie bis zu ca. 183 BP hinauf. Im gesamten Zeitraum f¨allt sie nie unter 5 BP. Auch wenn die durchschnittliche Term Premium moderat u ¨ber die Restlaufzeit ansteigt, so ist die Variation bei der Betrachtung einer speziellen Restlaufzeit nicht zu untersch¨atzen. F¨ ur die 5-j¨ahrige Restlaufzeit betr¨agt die durchschnittliche Kompensation f¨ ur die Variation des Momentanzinssatzes ca. 55 BP. Im Betrachtungszeitraum variiert diese jedoch zwischen ca. 26 BP und 81 BP und somit erheblich. In den Abbildungen 22, 23 und 24 sind die Credit Premia f¨ ur die entsprechenden Klassen abgebildet. Die jeweils obere Abbildung zeigt die Ergebnisse des unrestringierten Modells und die jeweils untere Abbildung die Ergebnisse des restringierten Modells. F¨ ur die Klasse AAA/AA ergeben sich bei der unrestringierten Sch¨atzung die insgesamt h¨oheren Risikoaufschl¨age, wenngleich die Auspr¨agungen und Variationen relativ synchron verlaufen. Die mittlere Credit Premium der Klasse AAA/AA im unrestringierten Fall bewegt sich zwischen 2 BP und 50 BP, wohingegen sie sich im unrestringierten Fall nur zwischen 6 BP und 28 BP bewegt. Damit ist der Aufschlag f¨ ur das Kreditrisiko der Klasse AAA/AA nur etwa ein Drittel respektive ein Sechstel der Term Premium. F¨ ur die Klassen A und BBB liegen im unrestringierten Fall die mittleren Aufschl¨age jeweils leicht h¨oher als die der Klasse AAA/AA, erreichen aber insbesondere bei den kurzen Restlaufzeiten schnell ein h¨oheres Niveau, d.h. die Kurven sind deutlich flacher. Im restringierten Fall ergeben sich ¨ deutlich h¨ohere maximale Risikoaufschl¨age f¨ ur die Ubernahme der Intensit¨ats¨anderungen bei den Klassen A und BBB. W¨ahrend die mittleren Credit Premia sich noch auf ¨ahnlichem Niveau bewegen, ergeben sich f¨ ur die maximal erreichbaren Aufschl¨age deutliche Differenzen. Die Aufschl¨age erreichen im unrestringierten Fall f¨ ur die Klasse BBB im 10 j¨ahrigen Restlaufzeitbereich knapp u ¨ber 250 BP, wohingegen im unrestringierten Fall nur maximal 161 BP erreicht werden. Wie bei der Term Premium so ist auch in Falle der Kompensation f¨ ur die Variation der Ausfallintensit¨aten die Volatilit¨at u ¨ber den Betrachtungszeitraum recht hoch. Am h¨ochsten f¨allt die Volatilit¨at f¨ ur die Klasse BBB und die zehnj¨ahrige Restlaufzeit aus. Insofern ist die Betrachtung der gesamten Kompensation f¨ ur die Faktorvariationen im Hinblick auf eine Risikoadjustierung von Bedeutung, da sie sich sich im Zeitablauf deutlich ver¨andert. Die Klasse BBB ist neben den hohen Risikoaufschl¨agen noch aus einem weiteren Grund interessant. W¨ahrend f¨ ur die anderen beiden Klassen die Credit Premia bei beiden Sch¨atzungen synchron, mit unterschiedlichen Ausschlag verlaufen, ist bei der Klasse BBB ein deutlicher Unterschied im Jahre 2002 zu erkennen. In der restringierten Sch¨atzung zeigt sich die Spreadausweitung im zweiten Halbjahr 2002 deutlich st¨arker als im unrestringierten Fall. Dies steht im Einklang mit weiter oben gemachten Beobachtungen, die zeigen, dass die durch die zus¨atzliche Nebenbedingung die Entwicklung der Spreadstruktur unterschiedlich akzentuiert wird. Abschließend l¨asst sich trotz kleiner Schw¨achen der angewandten Verfahren und damit auch der Ergebnisse konstatieren, dass f¨ ur einen Großteil des Beobachtungszeitraumes die

110

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

Abbildung 22: CreditPremium AAA Die Abbildung zeigt die Entwicklung der Credit Premium (unrestringierte Sch¨ atzung oben, restringierte Sch¨ atzung unten) der Ratingklasse AAA f¨ ur Restlaufzeiten bis 10 Jahre. Alle Angaben sind in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

Abbildung 23: CreditPremium A Die Abbildung zeigt die Entwicklung der Credit Premium (unrestringierte Sch¨ atzung oben, restringierte Sch¨ atzung unten) der Ratingklasse A f¨ ur Restlaufzeiten bis 10 Jahre. Alle Angaben sind in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

111

112

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

Abbildung 24: CreditPremium BBB Die Abbildung zeigt die Entwicklung der Credit Premium (unrestringierte Sch¨ atzung oben, restringierte Sch¨ atzung unten) der Ratingklasse BBB f¨ ur Restlaufzeiten bis 10 Jahre. Alle Angaben sind in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

¨ 4 PARAMETERSCHATZUNG DES MODELLES

113

Ergebnisse hinreichend zwischen den Ratingklassen diskriminieren und die Entwicklung der Zinsstruktur sowie die Bewertung der Anleihen im Zeitablauf ausreichend gut erkl¨aren. Im n¨achsten Kapitel werden die erzielten Ergebnisse im Rahmen einer Attributionsanalyse angewendet.

5

Die Performanceanalyse

Aufbauend auf den Ergebnissen der Parametersch¨atzungen in Kapitel 4 werden in den folgenden Abschnitten die dargestellten Verfahren zur Bestimmung des Alphas und zur Performanceanalyse bestehend aus Portfoliodekomposition, Performancemessung und Attribution inklusive der Risikoadjustierung an realen Portfolios angewandt. Eine Vorstudie zeigte, dass die Verwendung des Parametersets der restringierten als auch der unrestringierten Sch¨atzung aus Kapitel 4 keine materiellen Differenzen hinsichtlich des aktiven Managementbeitrages erbringen. Aus diesem Grund werden im Folgenden die Ergebnisse bei Verwendung des unrestringierten Parameter- und Faktorsets gezeigt, da innerhalb des Datensamples die Erkl¨arungskraft gr¨oßer ist. Nach der Beschreibung der Portfoliozusammensetzung sowie einem Exkurs zur Renditeermittlung beginnt die Untersuchung mit einem reinen Renditevergleich. Darauf aufbauend analysiert ein Performancevergleich auf Basis eines an die APT angelehnten Jensen Alphas zus¨atzlich die Risikokomponente. Die Betrachtung des Alphas u ¨ber den Untersuchungszeitraum sowie ausgew¨ahlte Subperioden desselben hinweg wird durch eine klassische Attributionsanalyse als Bestandteil einer ganzheitlichen Performanceanalyse erg¨anzt. Die Zerlegung in die Komponenten Timing und Selektion erfolgt sowohl auf Basis der erzielten (Brutto-)Renditen als auch auf Basis risikoadjustierter Renditen. Abschließend werden die erzielten Ergebnisse einander gegen¨ ubergestellt und soweit m¨oglich ineinander u ¨bergeleitet.

5.1

Die Datengrundlage

Als Datengrundlagen stehen der Iboxx - EUR - Overall (Total Return) - Index, welcher in Kapitel 4 ausf¨ uhrlich beschrieben wurde, sowie elf Rentenportfolios zur Verf¨ ugung. Die Portfoliodaten wurden uns von der DekaBank Deutsche Girozentrale sowie der DWS Investment GmbH zur Verf¨ ugung gestellt. Aufgrund der Sensibilit¨at der Daten haben wir die Portfolios leider nur f¨ ur relativ kurze, zur¨ uckliegende Zeitr¨aume und in anonymisierter Form im Zugriff.312 Korrespondierend mit dem Zeitraum der Untersuchung im letzten Kapitel liegen alle Fondsdaten bis auf die des Fonds 999 f¨ ur die Jahre 2000 bis einschließlich 2003 vor. Die Daten des letztgenannten umfassen die Jahre 2001 bis einschließlich 2003. Bei allen Fonds handelt es sich um reine Rentenfonds mit auf EURO (oder auf im EURO aufgegangenen W¨ahrungen) lautende Anleihen mit einem Mindestrating im Investmentgrade-Bereich. S¨amtliche Fonds sind thesaurierend. Die bereitgestellten Daten umfassen die R¨ ucknahmepreise, die Anzahl der umlaufenden Anteile sowie das Fondsverm¨ogen inklusive Zu- und Abfl¨ usse auf t¨aglicher Basis. Ebenfalls auf t¨aglicher Basis ist die Zusammensetzung der jeweiligen Fonds vorhanden. Die detaillierten Daten setzen sich aus der ISIN, dem Nominalwert, dem Kupon, dem Kurs und dem Einstandswert der einzelnen Anleihe zu jedem Handelstag im Beobachtungszeitraum zusammen. Es liegen keine Daten zu den einzelnen Transaktionen in Form von Ausf¨ uhrungspreisen und Spesen vor. Die Tabellen 24 und 25 zeigen grundlegende Eckdaten der einzelnen Fonds sowie die 312

Im Weiteren werden die Fonds mit willk¨ urlich vergebenen dreistelligen Codes bezeichnet.

J. Daum, Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios, DOI 10.1007/978-3-8349-8885-0_5, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 201

116

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE Fondsnummer Kennzahlen Gesamtzahl Bonds im Fond Max. Kupon ∅ Kupon Min. Kupon ∅ Laufzeit ∅ Umschichtungsh¨ aufigkeit pro Woche ∅ Umschichtungen in Mio EURO ∅ Kasse in % des Fondsverm¨ ogens ∅ Fondsverm¨ogen in Mio EURO Fondsnummer Kennzahlen Gesamtzahl Bonds im Fond Max. Kupon ∅ Kupon Min. Kupon ∅ Laufzeit ∅ Umschichtungsh¨ aufigkeit pro Woche ∅ Umschichtungen in Mio EURO ∅ Kasse in % des Fondsverm¨ ogens ∅ Fondsverm¨ogen in Mio EURO

157

265

382

388

454

57 6,875 5,010 3,000 5,8 0,72 2,4 11,1 67,8 591

53 7,900 4,610 0,000 5,5 0,35 2,5 3,7 100,8 712

142 8,250 5,439 2,234 1,3 1,14 4,1 9,4 115,8 713

98 6,750 4,759 2,500 5,6 1,22 2,6 5,3 67,9 761

59 5,750 4,152 2,136 5,6 0,41 0,4 11,5 15,3 811

999

77 7,000 5,090 2,750 4,2 0,69 13,7 8,2 403,5

82 6,250 4,787 2,750 5,8 0,73 2,3 6,3 69,1

81 7,500 4,781 2,750 5,8 0,63 1,2 6,2 34,5

73 8,500 4,467 1,900 2,0 0,41 3,2 19,0 77,8

46 6,250 5,130 3,750 8,3 0,57 1,9 1,4 51,9

592 11,875 5,327 0,000 11,5 9,8 70,8 2,6 703,8

¨ der Eckdaten der Fonds. Die Abbildung zeigt die Eckdaten der in Tabelle 24: Ubersicht die Untersuchung eingebundenen Fonds. Der minimale, durchschnittliche sowie der maximale Kupon sind in Prozent angegeben. Die Laufzeit ist in Jahren angegeben. Das Fondsverm¨ogen und das Umschichtungsvolumen in EURO. Die Durchschnitte sind u ¨ber alle Bestandsdaten am ¨ Mittwoch einer Woche oder als Anderungen von Mittwoch bis zum darauffolgenden Mittwoch gebildet. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

durchschnittliche Aufteilung der Fonds in die einzelnen Ratingklassen. Das durchschnittliche Fondsverm¨ogen reicht von 15,3 Mio Euro bis zu 703,8 Mio Euro, so dass sowohl sehr kleine Fonds als auch mittelgroße Rentenfonds zur Verf¨ ugung stehen.313 Selbiges zeigt sich auch an der Anzahl der insgesamt pro Fond enthaltenen Anleihen. Diese erstreckt sich von 46 im Zeitablauf gehaltenen Anleihen bis zu 592 Anleihen. Zu der Anzahl der gehaltenen Anleihen korrespondiert die Umschichtungsh¨aufigkeit314 gemessen an der pro Stichtag durchschnittlich umgeschichteten Anzahl an Anleihen. F¨ ur die gr¨oßeren Fonds liegt in der Regel die Umschichtungsh¨aufigkeit ebenfalls h¨oher. Zus¨atzlich ist das durchschnittlich pro Stichtag umgeschichtete Volumen angegeben, um einen Anhaltspunkt u ¨ber m¨ogliche Transaktionskosten zu haben. Da uns die Transaktionskurse und Geb¨ uhren bei Umschichtung nicht vorliegen, dient das umgeschichtete Volumen als Proxy zur Sch¨atzung derselben bzw. als Indiz f¨ ur den Ansatz von Transaktionskosten u ¨ber die allgemeinen Managementgeb¨ uhren hinaus. Bei der durchschnittlichen Restlaufzeit der Anleihen lassen sich die Fonds in drei Gruppen einteilen. Die Fonds 382 und 761 haben eine kurze durchschnittliche Laufzeit und lassen 313

Legt man die Ver¨offentlichung Entwicklung der Investmentfonds im Jahre 2004 des Bundesverbandes Investment und Asset Management e.V. zu Grunde, so liegt bei den Rentenfonds deutscher Provenienz das durchschnittliche Fondsverm¨ ogen bei ca. 171 Mio Euro. Vgl. BVI (2005), S.23.

314

Die Umschichtungsh¨ aufigkeit wird bestimmt als die Anzahl der Anleihen, welche pro Stichtag umgeschichtet, d.h. verkauft oder gekauft werden. Als Umschichtung wird auch eine Erh¨ ohung bzw. eine Verminderung der jeweiligen Position gez¨ ahlt.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE Klassen Ratingaufteilung Fonds 157 Fonds 265 Fonds 382 Fonds 388 Fonds 454 Fonds 591 Fonds 712 Fonds 713 Fonds 761 Fonds 811 Fonds 999

Bund AAA/AA 50,40% 30,03% 0,00% 6,40% 19,53% 3,05% 11,30% 12,38% 5,11% 19,47% 0,23%

47,74% 69,97% 99,05% 88,95% 80,47% 96,95% 86,76% 85,37% 82,26% 74,44% 15,07%

117 A

BBB

1,86% 0,00% 0,95% 4,65% 0,00% 0,00% 1,94% 2,25% 12,63% 5,09% 42,60%

0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 42,10%

Tabelle 25: Ratingverteilung der Fonds. Die Abbildung zeigt die Ratingverteilung u¨ber die Klassen gemessen an der durchschnittlichen Anzahl der je Beobachtungszeitpunkt gehaltenen Anleihen. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ur den Fonds ¨ber die Jahre 2000 bis 2003. F¨ 999 umfasst der Zeitraum das Jahr 2000 nicht.

sich den geldmarktnahen Fonds315 zuordnen. Die Fonds 811 und 999 haben die l¨angste durchschnittliche Laufzeit mit 8,3 respektive 11,5 Jahren, w¨ahrend alle u ¨brigen Fonds die dritte Gruppe mit einer durchschnittlichen Restlaufzeit von vier bis sechs Jahren bilden. Die Abbildung 25 zeigt zus¨atzlich die Entwicklung der durchschnittlichen Restlaufzeit im Zeitablauf. Gebildet wurde ein nach dem Beitrag zum Fondsverm¨ogen gewichteter Durchschnitt der Restlaufzeiten zu jedem Beobachtungsstichtag. Die Restlaufzeiten steigen im Beobachtungszeitraum bei der u ¨berwiegenden Anzahl der Fonds leicht an. Der durchschnittliche Kupon liegt zwischen 4,1 % und 5,4 %, wobei sich die vorkommende Bandbreite von Nullkuponanleihen bis zu Anleihen mit einem Kupon von 11,875 % erstrecken. Der Vollst¨andigkeit halber ist in Tabelle 24 die durchschnittliche Kassenhaltung angegeben. Die Kassenhaltung wurde aus dem gegebenen Gesamtvolumen der Fonds abz¨ uglich der zum Marktkurs bewerteten, enthaltenen Anleihen sowie der aufgelaufenen Zinsanspr¨ uche ermittelt. Die Ratingverteilung in Tabelle 25 zeigt, dass die u ¨berwiegende Anzahl der Fonds in der Klasse AAA/AA sehr stark investiert sind. Wir schreiben dies der Tradition der Rentenfonds in Deutschland zu, u ¨berwiegend in Anleihen erstklassiger Bonit¨at bzw. in Staatsanleihen zu investieren. Zudem deckt sich dies mit dem in Kapitel 4 gewonnenen Bild, dass erst im Laufe der Zeit die Klassen A und BBB ausreichend besetzt waren, um darin umfangreich zu investieren. Fonds 999 ist der einzige, welcher in die Klasse BBB investiert ist. Interessant ist die Ratingverteilung f¨ ur die Bestimmung bzw. Wahl des Benchmarks im Hinblick auf die Einbeziehung der Klasse BBB.

315

Die DWS Investment GmbH z.B. definiert geldmarktnahe Fonds als solche, die ausschließlich in Wertpapiere mit kurzer Restlaufzeit investieren. F¨ ur Geldmarktfonds ist dies in der Regel eine Restlaufzeit bis zu einem Jahr. Bei den so genannten geldmarktnahen Fonds sind Anlagen in Wertpapiere mit einer Restlaufzeit bis zu drei Jahre Usus.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

118

Durchschn. Restlaufzeit 8,0 7,0

RLZ in Jahren

6,0 157 265 382 388 454

5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 Jul. 03

Okt. 03

Apr. 03

Jan. 03

Jul. 02

Okt. 02

Apr. 02

Jan. 02

Jul. 01

Okt. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

Apr. 00

Jan. 00

0,0

Zeitpunkte

Durchschn. Restlaufzeit 18,0 16,0

RLZ in Jahren

14,0 591 712 713 761 811 999

12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 Okt. 03

Jul. 03

Apr. 03

Jan. 03

Okt. 02

Jul. 02

Apr. 02

Jan. 02

Okt. 01

Jul. 01

Apr. 01

Jan. 01

Jul. 00

Okt. 00

Apr. 00

Jan. 00

0,0

Zeitpunkte

Abbildung 25: Durchschnittliche Restlaufzeiten. Die Abbildung zeigt die Entwicklung der durchschnittlichen Restlaufzeiten der Rentenportfolios. Alle Angaben sind in Jahren. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

5.2

119

Die Renditebestimmung

Die Darstellung bzw. Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 2.2.2 aufgreifend und dem eigentlichen Renditevergleich vorausgeschickt, werden die unterschiedlichen M¨oglichkeiten und Konventionen der Renditebestimmung bzw. -messung er¨ortert sowie das gew¨ahlte Vorgehen genau vorgestellt. 5.2.1

Die angewandte Renditemessung

W¨ahrend es in Abschnitt 2.2.2 vorrangig um das Begriffspaar Rendite und Risiko geht, stehen hier die empirischen Darstellungsformen sowie die einzelnen Komponenten, welche zur Rendite beitragen, im Vordergrund. Grunds¨atzlich ist bei der Ermittlung der Rendite eines Fonds f¨ ur einen gewissen Zeitraum festzulegen, • ob die Rendite als einfache Rendite oder unter einer stetigen Verzinsungsannahme ermittelt wird, • wie in der Woche erfolgte Zu- und Abfl¨ usse und • wie in der Woche erfolgte Kupon- und Tilgungszahlungen ber¨ ucksichtigt werden. Der Wert bzw. das Verm¨ogen If,t eines Fonds f im Zeitpunkt t ergibt sich als Summe der Kurse Ki,t zuz¨ uglich der St¨ uckzinsen SZi,t aller Anleihen i = 1, . . . , Nt des Fonds (bzw. eines Teilsegmentes des Fonds) und des Kassenbestandes KBt . Analog ist der Wert If,t+1 des Fonds im n¨achsten Zeitpunkt definiert. Hierzu sind im Kassenbestand KBt+1 Kupon- und Tilgungszahlungen abz¨ uglich erfolgter Zahlungen f¨ ur Anleihek¨aufe enthalten. Zu korrigieren ist dieser Fondswert um Zufl¨ usse (negativ) und Abfl¨ usse (positiv) durch die Ausgabe bzw. R¨ ucknahme von Anteilen im Zeitraum von t bis t + 1. Damit ergibt sich die einfache (diskrete) Rendite als Rt,f =

If,t+1 − If,t If,t+1 = −1= If,t If,t

Nt+1

=

i=1

[(Ki,t+1 + SZi,t+1 ) · xi,t+1 −

Nt (Ki,t + SZi,t ) · xi,t + i=1

+KBt+1 − KBt − Zufluesse + Abfluesse] ÷ If,t .

(94)

Hierbei bezeichnet xi,t die Anzahl der gehaltenen Anleihen des Typs i pro 100 Euro Nennwert zum Zeitpunkt t. Bei stetiger Verzinsung ergibt sich die Rendite 316 zu rt,f = ln(

If,t+1 ) = ln(If,t+1 ) − ln(If,t ). If,t

(95)

Die Wahl der Renditedefinition ist grunds¨atzlich vom vorliegenden Untersuchungsdesign abh¨angig.317 Vorrangig ist die Konsistenz mit der zugrunde liegenden Sch¨atzung bzw. dem 316

Dorfleitner (1999) f¨ uhrt als Synonyme f¨ ur die stetige Rendite auch die Begriffe Log-Rendite und continously compounded return auf.

317

Im Kern sind beide Definitionen eine Funktion des Quotienten aus End- und Anfangsverm¨ ogen. Vgl. Dorfleitner (1999), S.3.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

120

Modell. So ist im Falle des Black-Scholes-Formel zur Berechnung von Optionspreisen die Verwendung der stetigen Rendite aufgrund der Modellannahmen zwingend erforderlich. Andererseits ist im Portfoliokontext zur Attributionsanalyse die Verwendung der diskreten Rendite grunds¨atzlich geboten. Die diskrete Definition spiegelt das intuitive Verst¨andnis einer Rendite als relativer Zuwachs zwischen zwei Zeitpunkten wider und ist daher auch Grundlage der Attributionsanalyse nach Brinson et.al. (1986). Im Rahmen von Zeitreihenuntersuchungen ergeben sich bei der Sch¨atzung der Mittelwerte oder Varianzwerte auf Basis diskret ermittelter Renditen Schwierigkeiten, welche bei der Verwendung der stetigen Rendite aufgrund ihrer Additivit¨at u ¨ber die Zeit nicht auftreten. Wird die effektive diskrete Periodenrendite Rˆf eines Fonds f u ¨ber n Perioden finanzmathematisch korrekt ermittelt, so gilt die Beziehung ˆ f )n = (1 + R

n

(1 + Rt,f ),

(96)

3 4 n 4

ˆ Rf = 5 (1 + Rt,f ) − 1.

(97)

t=1

und damit

t=1

¯ f f¨ ˆ f ist jedoch kein geeigneter Sch¨atzer R ur den Erwartungswert E(Rf ) der diskreten R n  Rt,f gesch¨atzt. Damit gilt jedoch Renditezeitreihe. Dieser wird wie u ¨blich durch n1 t=1

regelm¨aßig nicht ¯ f )n = (1 + R

n

(1 + Rt,f ).

(98)

t=1

Bei der Interpretation der unterschiedlichen Renditedefinitionen stellt sich zus¨atzlich das Problem der Annualisierung der Periodenrenditen. Liegen die w¨ochentlichen Renditen zwischen einer diskreten Darstellung und einer stetigen Darstellung nur wenige Basispunkte auseinander, so ergeben sich nach einer Annualisierung der Zinss¨atze und deren Volatilit¨aten Abweichungen von ggf. mehreren Prozentpunkten. Insbesondere gilt dies auch f¨ ur die Bestimmung der Mittelwert- und Varianzsch¨atzer, da Ausreißer in den Wochenrenditen u ¨ber die Annualisierung exponentiell in die Sch¨atzer eingehen. Dies ist nicht Ausdruck ¨ der Uberlegenheit eines Konzeptes, sondern zeigt die Notwendigkeit einer exakten Definition bzw. ex ante Festlegung. Im vorliegenden Portfoliokontext bedeutet dies insbesondere auf Grundlage des Vorgehens in Brinson et.al. (1986) die Festlegung auf die diskrete Rendite zur Darstellung der Performancemessung. Der gew¨ahlte Untersuchungszeitraum, welcher sich vom 05.01.2000 bis zum 19.11.2003 erstreckt, wird in 203 Perioden unterteilt. Eine Periode erstreckt sich jeweils vom Mittwoch der aktuellen Woche bis zum Mittwoch der jeweils n¨achsten Woche. Eine Ausnahme bildet im Weiteren jeweils der Fonds 999, f¨ ur den nur 151 Wochenrenditen vorliegen. Liegt an einem Stichtag kein aktueller Kurs z.B. wegen eines Feiertages vor, so wird der Kurs am n¨achsten Werktag herangezogen. Da die Zu- und Verk¨aufe aufgrund

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

121

der t¨aglichen Periodizit¨at der Daten beobachtet werden k¨onnen318 , Ausf¨ uhrungskurse der Transaktionen inklusive eventuell anfallender Spesen jedoch nicht vorliegen, wird der jeweils erste bzw. letzte vorliegende Kurs als Ausf¨ uhrungskurs gewertet. Dies resultiert in einem gegen¨ uber dem ersten respektive letzen Kurs erfolgsneutralen Renditebeitrag der Portfolio¨anderung. Grunds¨atzlich werden Umschichtungen sowie geflossene Zinszahlungen in der jeweiligen Klasse / Sektor ber¨ ucksichtigt und schlagen sich nicht im Beitrag der Kassenhaltung nieder. Die St¨ uckzinsen fließen bei der Renditeberechnung taggenau ein.319 Die auf diese Weise ermittelten Renditen erfassen somit alle vom Investor zu tragenden Kosten320 mit Ausnahme des Ausgabeaufschlages.321 Die Gesamtrendite eines Fonds f ergibt sich somit zu Rfges =

203

(1 + Rt,f ) − 1.

(99)

t=1

Die durchschnittlichen Angaben zu Zinssatz und zur Volatilit¨at u ¨ber den Beobachtungszeitraum hinweg werden wie erw¨ahnt nicht finanzmathematisch korrekt, sondern folgendermaßen berechnet: ¯f = 1 R Rt,f 203 t=1 203

3 4 203 4 1 ¯ f )2 (Rt,f − R σf = 5 202 t=1

(100)

(101)

Falls im folgenden Angaben in annualisierter Form erfolgen, so gelten f¨ ur die annualiserte a , f¨ ur die annualisierte durchschnittliche diskrete Wochenrendiskrete Wochenrendite Rt,f ¯ a und f¨ dite R ur die annualisierte Standardabweichung der w¨ochentlichen Renditen σfa f die nachstehenden Annualisierungsformeln. Die Mittelwerte und Standardabweichungen werden zuerst auf Wochenrenditen gebildet und anschließend annualisiert.

a = (1 + Rt,f )52 − 1 Rt,f

¯ f )52 − 1 ¯ fa = (1 + R R √ σfa = σf 52

(102) (103) (104)

318

Lediglich Transaktionen, welche am gleichen Tag zu Zu- und Verk¨ aufen f¨ uhren, k¨ onnen nicht beobachtet werden. Aufgrund des l¨ angerfristigen Anlagecharakters der Fonds ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Intra-Day Transaktionen als relativ gering zu betrachten.

319

Die Zinsberechnungsmethode (day count convention) wurde f¨ ur die Anleihen aus Bloomberg extrahiert. Bei Nicht-Vorhandensein wird als Zinsberechnungsmethode actual/actual unterstellt.

320

Die Kosten umfassen grunds¨ atzlich die Managementgeb¨ uhr bzw. Verwaltungskosten, die Depotbankgeb¨ uhren als auch weitere Aufwendungen f¨ ur Berichterstattung, externe Pr¨ ufungen etc.

321

W¨ urde man diesen ebenfalls ber¨ ucksichtigen, so erh¨ alt man eine direkte Abh¨ angigkeit des Renditevergleichs vom gew¨ahlten Anlagehorizont. Vgl. dazu auch die weiter unten aufgef¨ uhrten Anmerkungen zum Anlagehorizont und damit einhergehend den Entnahmepr¨ aferenzen.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

122

Wöchentliche Renditen (382) 150,00

100,00

100,00

50,00

50,00

0,00 1

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

in BP

in BP

Wöchentliche Renditen (157) 150,00

0,00 1

-50,00

-50,00

-100,00

-100,00

-150,00

-150,00

Wöchentliche Renditen (388)

150,00

150,00

100,00

100,00

50,00

50,00

0,00 1

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

in BP

in BP

Wöchentliche Renditen (265)

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

0,00 1

-50,00

-50,00

-100,00

-100,00

-150,00

-150,00

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

Abbildung 26: W¨ ochentliche Renditen 1. Die Abbildung zeigt die Entwicklung der w¨ ochentlichen Renditen der Rentenportfolios 157, 265, 382 und 388 in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003. Im Falle, dass Angaben zu den erzielten Renditen, Volatilit¨aten oder Alphas in den einzelnen Jahren angegeben werden, so umfasst das erste Jahr (2000) die Beobachtungsstichtage vom 05.01.2000 bis zum 27.12.2000, das zweite Jahr (2001) die Stichtage vom 03.01.2001 bis zum 27.12.2001, das dritte Jahr (2002) die Stichtage vom 02.01.2002 bis zum 27.12.2002 und das vierte Jahr die Stichtage vom 02.01.2003 bis zum 19.11.2003. Die Formeln 99 bis 104 finden entsprechend Anwendung, falls nicht der gesamte Fonds sondern nur ein Segment bzw. eine Gruppierung gr des Fonds betrachtet wird. 5.2.2

Ergebnisse des Renditevergleichs

In den Abbildungen 26, 27 und 28 sind die w¨ochentlich ermittelten Renditen der einzelnen Rentenfonds angegeben. Wie zu erwarten sind die Renditen im Zeitablauf sehr volatil. Die Tabelle 28 zeigt die Wertsteigerungen der Fonds u ¨ber den gesamten Zeitraum, die durchschnittlich pro Woche erzielte Rendite sowie die Volatilit¨at sowohl f¨ ur den Gesamtzeitraum als auch f¨ ur die Jahre 2000 bis 2003 einzeln an. Zus¨atzlich sind die Werte annualisiert angegeben. Die aus den Abbildungen gewonnene Intuition wird auch hier best¨atigt. Bei der Darstellung der historischen Volatilit¨aten l¨asst sich deren Abh¨angigkeit von dem Beobachtungszeitraum sowie dem Renditeberechnungszeitraum konstatieren.322 Insofern stehen die in Tabelle 28 angegebenen Volatilit¨aten unter diesem Vorbehalt. Ebenso ist es ersichtlich, dass die Volatilit¨aten im Zeitablauf nicht konstant sondern heteroskedastisch sind. 322

Grunds¨atzlich ist davon auszugehen, dass bei l¨ angeren Beobachtungszeitr¨ aumen die Bedeutung des Renditeberechnungszeitraumes abnimmt.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE Wöchentliche Renditen (712) 150,00

100,00

100,00

50,00

50,00

1

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

in BP

in BP

Wöchentliche Renditen (454) 150,00

0,00

0,00 1

-50,00

-50,00

-100,00

-100,00

-150,00

-150,00

100,00

100,00

50,00

50,00

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

in BP

in BP

150,00

1

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

Wöchentliche Renditen (713)

Wöchentliche Renditen (591) 150,00

0,00

123

0,00 1

-50,00

-50,00

-100,00

-100,00

-150,00

-150,00

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

Abbildung 27: W¨ ochentliche Renditen 2. Die Abbildung zeigt die Entwicklung der w¨ ochentlichen Renditen der Rentenportfolios 454, 591, 712 und 713 in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003. Die (geldmarktnahen) Portfolios 382 und 761 mit geringer durchschnittlicher Restlaufzeit besitzen die geringste Renditevolatilit¨at. Diese nimmt mit zunehmender durchschnittlicher Restlaufzeit der Fonds zu. Die h¨ochsten Renditen wurden im Jahre 2002 (Jahr 3), die geringsten im Jahre 2003 (Jahr 4) erzielt. Zur¨ uckzuf¨ uhren ist dies wohl auf die in Kapitel 4 beschriebene Entwicklung des Zinsniveaus. Die Umlaufrendite inl¨andischer Inhaberschuldverschreibungen mit einer mittleren Restlaufzeit von vier bis f¨ unf Jahren323 sank zwischen M¨arz 2002 und Dezember 2002 von 4,9% auf 3,7%, w¨ahrend sie f¨ ur den Zeitraum von Dezember 2002 bis Dezember 2003 von 3,7% nur auf 3,6% sank und damit praktisch unver¨andert blieb. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes Anfang 2000 hatte die bezeichnete Umlaufrendite ein Niveau von 5,2%.324 Wird ein aktiver Managementansatz unterstellt bzw. ist bekannt, dass das Portfoliomanagement einen aktiven Ansatz verfolgt , so k¨onnte die Entwicklung der Umlaufrendite sich auch in der Entwicklung der durchschnittlichen Restlaufzeit der Rentenportfolios dargestellt in Abbildung 25 widerspiegeln. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes steigen bei fast allen Portfolios die durchschnittlichen Restlaufzeiten an. Eine Ausnahme bildet das 323

Vgl. dazu die statistischen Zeitreihen der deutschen Bundesbank, Zeitreihe WU0901.

324

Die Zins¨anderung zeitigt zwei Effekte. Einerseits sorgt sie f¨ ur Kurssteigerungen, welche hier als Performance ausgewiesen werden. Andererseits sinkt der Wiederanlagezins. Dies k¨ onnte f¨ ur einen Anleger mit gegebenen Entnahmepr¨ aferenzen bzw. Anlagehorizont dazu f¨ uhren, dass trotz positiver Performance der Endwert zum gew¨ unschten Entnahmezeitpunkt sinkt. Bei einer Betrachtung der absoluten Performance eines Portfolios kann dieser Betrachtungsweise gefolgt werden. Dies impliziert aber auch, dass die Performancemessung jeweils von den Entnahmepr¨ aferenzen eines Anlegers abh¨angig ist und damit entsprechende Renditevergleiche nicht grunds¨ atzlich valide sind. Geht es aber - wie in der vorliegenden Abhandlung - um die relative Performance, so ist ein Performancevergleich durchaus zul¨assig. Vgl. Theissen/Greifzu (1998) und Schwetzler/Darijtschuk (1999).

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

124

Wöchentliche Renditen (999) 150,00

100,00

100,00

50,00

50,00

0,00 1

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

in BP

in BP

Wöchentliche Renditen (761) 150,00

0,00 1

-50,00

-50,00

-100,00

-100,00

-150,00

-150,00

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

Wöchentliche Renditen (811) 150,00

100,00

in BP

50,00

0,00 1

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199

-50,00

-100,00

-150,00

Abbildung 28: W¨ ochentliche Renditen 3. Die Abbildung zeigt die Entwicklung der w¨ ochentlichen Renditen der Rentenportfolios 761, 811 und 999 in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003. Portfolio 999. Ab Mitte des Jahres 2002 fallen bei einigen Portfolios die mittleren Restlaufzeiten wieder etwas ab, liegen aber zum Ende des Beobachtungszeitraumes bei den meisten u ¨ber dem Ausgangsniveau. Die Untersuchung der Umschichtungen zeigt, dass nicht nur auslaufende Anleihen ersetzt wurden, sondern bewusst Umschichtungen zur Positionierung hinsichtlich der Laufzeit get¨atigt wurden. Somit kann die Ver¨anderung der durchschnittlichen Restlaufzeit der Portfolien als Zeichen eines aktiven Managementansatz interpretiert werden. Die Umschichtungen sollten sich im Timing-Beitrag im Rahmen der Attributionsanalyse niederschlagen. Die Tabellen 26 und 27 stellen die Rangfolge der Portfolios u ¨ber die Jahre nach ihrer im jeweiligen Zeitraum erzielten Rendite bzw. ihrer Performance gemessen als Rendite in Relation zur beobachteten Renditevolatilit¨at dar. Betrachtet man rein die erzielte Rendite steht der Fonds 811 mit einer durchschnittlichen Restlaufzeit von 8,3 Jahren auf Platz eins. Dieser profitiert von dem im Beobachtungszeitraum fallenden Zinsniveau. Selbstverst¨andlich erlaubt ein derartiger Renditevergleich keinen R¨ uckschluss auf die Leistung des Portfoliomanagements. Sobald man die Volatilit¨at miteinbezieht stehen die kurzlaufenden, geldmarktnahen Portfolios aufgrund ihrer sehr niedrigen Volatilit¨aten auf den ersten beiden Pl¨atzen. Die u ¨brigen Fonds erzielen kein derart positives Renditedifferential, dass sie die h¨ohere Volatilit¨at rechtfertigen k¨onnen.

5.3

¨ Aktive, risikoadjustierte Uberschussrendite

Nachdem im vorangehenden Abschnitt die Berechnungskonventionen der Rendite sowie ein Vergleich der Fonds auf Basis der so ermittelten Renditen behandelt wurde, wird in diesem Abschnitt in Anlehnung an die APT ein Alpha f¨ ur die einzelnen Fonds gesch¨atzt.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

125

Rangfolge Rendite Gesamt Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 FondsNr. 811 811 591 811 591 591 388 811 388 454 713 712 388 712 713 712 265 713 713 712 388 713 712 265 811 454 591 157 454 265 157 157 382 591 157 382 454 999 157 761 761 761 761 382 382 265 382 454 761 388 999 999 265 999 999 Tabelle 26: Rangfolge auf Basis der erzielten Renditen. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003. Rangfolge Rendite/Vola Gesamt Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 FondsNr. 761 761 761 761 761 382 382 382 382 382 591 591 591 157 591 157 454 999 591 454 712 388 713 454 713 713 265 712 388 712 454 712 388 712 157 388 157 157 713 265 811 713 454 265 388 265 811 811 811 811 999 999 265 999 999 Tabelle 27: Rangfolge auf Basis des Verh¨ altnisses von Rendite zu Volatilit¨ at. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Die Formel sowie die Bezeichnungen aus Kapitel drei aufgreifend l¨asst sich das Alpha folgendermaßen darstellen:

α =

" # μ∗P − r(t) + sgr (t) · xgr − P (∼) gr  G    

beobachtet

⎛

theoretisch

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ Λk · bk (fk ) · xgr,i,j · (−Bk (Ti ))⎟ ⎜ ⎟ ⎝ gr k ⎠ j i    theoretisch

Zur Berechnung des Alphas werden von den w¨ochentlich beobachteten Renditen der Port-

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

126

Rendite Gesamtperiode ∅ Rendite pro Woche Volatilit¨ at pro Woche ∅ pro Woche pa Volatilit¨ at pro Woche pa Rendite Jahr 1 Volatilit¨ at Rendite Jahr 1 ∅ pro Woche Jahr 1 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 1 Rendite Jahr 2 Volatilit¨ at Rendite Jahr 2 ∅ pro Woche Jahr 2 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 2 Rendite Jahr 3 Volatilit¨ at Rendite Jahr 3 ∅ pro Woche Jahr 3 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 3 Rendite Jahr 4 Volatilit¨ at Rendite Jahr 4 ∅ pro Woche Jahr 4 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 4

157 25,47% 0,11% 0,37% 6,02% 2,86% 7,11% 2,26% 0,13% 0,29% 5,48% 3,13% 0,10% 0,41% 8,32% 3,04% 0,15% 0,39% 2,96% 2,96% 0,06% 0,40%

265 17,31% 0,08% 0,67% 4,30% 5,00% 7,45% 2,32% 0,14% 0,30% -2,04% 7,78% -0,04% 1,10% 8,67% 3,53% 0,16% 0,45% 4,35% 3,76% 0,06% 0,50%

382 17,72% 0,08% 0,10% 4,27% 0,74% 4,46% 0,69% 0,08% 0,09% 5,34% 0,87% 0,10% 0,11% 4,28% 0,73% 0,08% 0,10% 2,89% 0,65% 0,05% 0,09%

388 27,11% 0,12% 0,40% 6,38% 3,10% 7,57% 2,31% 0,14% 0,30% 5,63% 3,06% 0,11% 0,40% 9,17% 3,44% 0,17% 0,44% 2,92% 3,49% 0,06% 0,47%

454 25,57% 0,11% 0,38% 6,05% 2,93% 6,63% 2,01% 0,12% 0,26% 4,98% 3,01% 0,09% 0,40% 8,60% 3,22% 0,16% 0,41% 3,81% 3,36% 0,07% 0,45%

Rendite Gesamtperiode ∅ Rendite pro Woche Volatilit¨ at pro Woche ∅ pro Woche pa Volatilit¨ at pro Woche pa Rendite Jahr 1 Volatilit¨ at Rendite Jahr 1 ∅ pro Woche Jahr 1 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 1 Rendite Jahr 2 Volatilit¨ at Rendite Jahr 2 ∅ pro Woche Jahr 2 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 2 Rendite Jahr 3 Volatilit¨ at Rendite Jahr 3 ∅ pro Woche Jahr 3 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 3 Rendite Jahr 4 Volatilit¨ at Rendite Jahr 4 ∅ pro Woche Jahr 4 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 4

712 27,59% 0,12% 0,40% 6,48% 3,10% 7,45% 2,33% 0,14% 0,30% 5,49% 2,97% 0,10% 0,39% 9,02% 3,55% 0,17% 0,45% 3,79% 3,48% 0,07% 0,46%

713 27,61% 0,12% 0,41% 6,49% 3,11% 7,42% 2,37% 0,14% 0,31% 5,61% 3,03% 0,11% 0,40% 8,92% 3,53% 0,16% 0,45% 3,80% 3,45% 0,07% 0,46%

761 17,18% 0,08% 0,07% 4,15% 0,54% 4,64% 0,55% 0,09% 0,07% 5,02% 0,70% 0,09% 0,09% 3,92% 0,46% 0,07% 0,06% 2,89% 0,33% 0,05% 0,04%

811 30,57% 0,13% 0,60% 7,17% 4,61% 9,60% 3,53% 0,18% 0,45% 5,72% 3,97% 0,11% 0,52% 9,65% 5,03% 0,18% 0,64% 3,49% 5,70% 0,07% 0,76%

999 4,97% 0,04% 0,78% 1,85% 5,75% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 5,11% 2,65% 0,10% 0,35% -1,65% 7,39% -0,03% 1,04% 2,24% 5,96% 0,04% 0,81%

591 28,42% 0,12% 0,36% 6,65% 2,80% 7,33% 2,09% 0,14% 0,27% 6,81% 2,95% 0,13% 0,38% 8,33% 3,05% 0,15% 0,39% 3,92% 3,06% 0,07% 0,41%

Tabelle 28: Rendite und Volatilit¨ aten. Die Renditen und Volatilit¨aten sind wie in Abschnitt 5.2.1 dargestellt berechnet. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

folios die theoretisch erwartete Rendite bestehend aus dem risikolosen Zinssatz, der Momentanpr¨amie f¨ ur das eigentliche Ausfallereignis sowie die Term und Credit Premia abgezogen. Sowohl die Term und Credit Premia als auch die Momentanpr¨amie sind von den Faktoren sowie der Zusammensetzung des Portfolios abh¨angig. Die Marktpreise der Faktorrisiken sind f¨ ur den gesamten Zeitraum konstant.325 Die annualisierten durchschnittlichen w¨ochentlichen Alphas und die annualiserten Standardabweichungen in Basispunkten der betrachteten Fonds sind in Tabelle 29 f¨ ur die Gesamtperiode und f¨ ur die einzelnen Jahre angegeben. Die hier nicht angegebenen Standardabweichungen f¨ ur die Teilperioden liegen gr¨oßenordnungsm¨aßig im Bereich der Standardabweichung f¨ ur den Gesamtzeitraum. Die Ermittlung der Mittelwerte und Standardabweichung erfolgt analog der Renditeberechnung in Abschnitt 5.2.1 zuerst auf Basis der w¨ochentlichen Basis mit anschließender Annualisierung. S¨amtliche Fonds mit Ausnahme des Fond 999 haben ein positives durchschnittliches Alpha im Gesamtzeitraum. In den ersten beiden Jahren sind die durchschnittlichen Alphas 325

¨ Uber die Kenntnis der latenten Faktoren lassen sich zeitabh¨ angige Marktpreise der Faktorrisiken bestimmen. Setzt man diese zur Bestimmung der Alphas ein, so ergeben sich bezogen auf den gesamten ¨ Evaluationszeitraum leichte Anderungen. Daher wird auf eine Pr¨ asentation der Ergebnisse an dieser Stelle verzichtet. Ist das Ziel allerdings f¨ ur kurzfristigere Performancemessungszeitr¨ aume Informationen zu generieren und Aussagen hinsichtlich der G¨ ute des Portfoliomanagements zu treffen, so ist die Verwendung dieser auf die kurzfristigen Preise der Faktorrisiken bedingten Lambdas geboten.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE alpha alpha alpha Fonds Gesamt Stabw 1. Jahr 157 184 270 118 265 19 479 131 382 62 71 -80 388 204 291 138 454 186 276 70 591 242 262 119 712 219 291 119 713 219 292 115 761 59 51 -52 811 255 429 270 999 -252 564 –

alpha alpha 2. Jahr 3. Jahr 80 414 -657 457 125 82 77 482 40 449 203 425 81 481 92 472 97 55 68 517 -47 -627

127 alpha 4. Jahr 119 158 128 108 188 218 193 194 143 156 -64

Tabelle 29: Alpha Fonds. In der Tabelle sind die durchschnittlichen Alpha der jeweiligen Fonds f¨ ur die Gesamtperiode und die dazugeh¨ orige Standardabweichung sowie die durchschnittlichen Alpha der Subperioden in Basispunkten p.a. angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Fonds 0-3 3-5 BU 1,3% 1,9% AAA 17,2% 5,7% A 0,3% 1,0% BBB 0,0% 0,0%

5-7 75,8% 10,7% 19,2% 34,8% 1,0% 1,0% 0,0% 0,0%

Tabelle 30: Alpha Beitrag nach Anlageklassen. In der Tabelle ist der prozentuale Anteil der jeweiligen Gruppierung am gesamten Alpha gemittelt u ¨ber s¨amtliche Fonds angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

geringer als in der zweiten H¨alfte des Betrachtungszeitraumes. Das st¨arkste Jahr ist das dritte Jahr, das schw¨achste wiederum das zweite Jahr. Abstrahiert man von den recht hohen Standardabweichung erzielen die Anleihefonds eine ausk¨ommliche Rendite f¨ ur das jeweils eingegangene Risiko. Gegeben dieses Ergebnis ist es dem Portfoliomanagement im Mittel jeweils gelungen, zus¨atzlichen Wert u ¨ber das ex-ante Risiko hinaus zu schaffen. Das ex-ante Risiko ist gegeben durch die aus dem Modell heraus ermittelten Risikopr¨amien.326 ¨ Uber den wohlgemerkt recht kurzen Betrachtungszeitraum hinweg l¨asst sich in Bezug auf die Persistenz die Aussage treffen, dass diese u ¨berwiegend gegeben ist. Die Fonds 265, 382 und 761 haben jeweils ein Jahr mit einem negativen Alpha, alle u ¨brigen (mit Ausnahme des Fonds 999) weisen durchgehend positive Alphas auf. In den Tabellen 30 und 31 sind u ur den Fonds ¨ber alle Fonds gemittelt bzw. explizit f¨ 157 (repr¨asentativ f¨ ur die anderen Fonds) die Beitr¨age der einzelnen Anlagekategorien ¨ zum gesamten durchschnittlichen Alpha in Prozent angegeben. Uber s¨amtliche Fonds hinweg dominiert sicherlich die Klasse AAA, welche am meisten zu den u ¨berwiegend 326

Es ist anzumerken, dass die in die Risikopr¨ amie eingehenden Parameter u ¨ber den selben Zeitraum wie der Evaluationszeitraum f¨ ur die Performancem ermittelt wurden. D.h. es findet sozusagen eine in-sample Performancemessung statt

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

128

Fonds 157 BU 157 AAA 157 A 157 BBB

0-3 7,6% 9,5% 0,0% 0,0%

3-5 5-7 710,6% 13,0% 2,5% 6,1% 18,6% 33,4% 0,0% 0,0% -1,3% 0,0% 0,0% 0,0%

Tabelle 31: Alpha Fonds 157 nach Anlageklassen. In der Tabelle ist der prozentuale Anteil der jeweiligen Gruppierung am gesamten Alpha des Fonds 157 angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

positiven durchschnittlichen Alphas der Fonds beitr¨agt. F¨ ur den Fonds 157 zeigt sich dies auch, jedoch erbringt dort die Klasse Bund in den mittleren Laufzeitb¨andern einen namhaften Beitrag. Auf Seiten der Laufzeitklassen dominieren die Klassen u unf Jahre ¨ber f¨ Restlaufzeit, welche von dem fallenden Zinsniveau im Beobachtungszeitraum profitieren. F¨ ur den Fonds 157 erbringt einzig die Klasse A am langen Ende einen negativen Beitrag u ¨ber den Beobachtungszeitraum hinweg. Allerdings ist dieser Fonds nur sehr gering in dieser Klasse investiert. Die Tabelle 32 widmet sich der Frage, welchen Anteil an der Risikoadjustierung die Komponenten Term Premium (TP), Credit Premium (CP) und die Risikopr¨amie f¨ ur den eigentlichen Ausfall (RP) besitzen. Wie zu erwarten, dominiert grunds¨atzlich die Term Premium. Die Credit Premium und die Ausfallrisikopr¨amie liegen in etwa gleichauf und betragen im Mittel zusammen mehr als 30%. Etwas aus dem Rahmen fallen die Fonds 382, 761 und 999, bei denen die Credit Premium einen sehr geringen Anteil besitzt. Im Falle des Fonds 999 liegt dies an den hohen Anteilen an den Ratingklassen A und BBB. F¨ ur die geldmarktnahen Fonds 382 und 761 f¨allt der Anteil der Term Premium geringer aus, da diese Fonds eine geringe mittlere Restlaufzeit besitzen und die Term Premium aus ihrer Definition heraus und wie in den Abbildungen 20 bzw. 21 aus Kapitel 4 ersichtlich am kurzen Laufzeitende relativ gering ist. F¨ ur die Ermittlung der Alphas ist kein externer Benchmark notwendig.327 Aus diesem Grund wurde auch in der bisherigen Betrachtung der im Weiteren f¨ ur die Attributionsanalyse genutzte Benchmark nicht ber¨ ucksichtigt. Wird der Benchmark als grunds¨atzlich passives Portfolio der Alpha-Ermittlung unterworfen, so ergibt sich dieses zu 238 BP bei einer Standardabweichung von 320 BP. Verglichen mit den untersuchten Anleiheportfolios liegt der Benchmark damit in der Spitzengruppe. Dieser Sachverhalt wird weiter unten beim Vergleich mit den Ergebnissen der risikoadjustierten Attributionsanalyse unter Verwendung des IBOXX-EUR-Overall(Total Return)-Index als Benchmark wieder aufgegriffen.

327

Diese Aussage beh¨alt ihre G¨ ultigkeit, auch wenn in der gesamten Untersuchung die Anleihen des IBOXX-EUR-Overall(Total Return)-Index als de facto Anlageuniversum gelten und damit die Parameter f¨ ur die Risikoadjustierung anhand dieser Anleihen gesch¨ atzt wurden.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

Fonds 157 265 382 388 454 591 712 713 761 811 999 Mittelwert Median

129

Anteile RP 14.1% 7.2% 29.4% 14.8% 10.4% 10.6% 11.5% 11.4% 27.1% 6.7% 61.4%

Risikopr¨amien TP CP 75.8% 10.1% 79.4% 13.4% 63.8% 6.8% 68.2% 17.0% 75.1% 14.5% 72.7% 16.7% 72.8% 15.7% 73.2% 15.4% 62.5% 10.4% 75.4% 17.9% 29.5% 9.1%

18.6% 11.5%

68.0% 72.8%

13.4% 14.5%

Tabelle 32: Anteile an der Risikoadjustierung. In der Tabelle ist der prozentuale Anteil des der Momentanpr¨ amie f¨ ur den eigentlichen Ausfall (RP), der Term Premium (TP) und der Credit Premium (CP) angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

5.4 5.4.1

Ergebnisse der Performanceanalyse Portfoliodekomposition

Die Portfoliodekomposition als erster Schritt im Rahmen einer Performanceanalyse wird entlang der Kriterien Rating und Restlaufzeit vorgenommen. Weitere inhaltliche oder organisatorische Ordnungskriterien werden nicht ber¨ ucksichtigt. Hier w¨aren grunds¨atzlich auch andere Zerlegungsm¨oglichkeiten wie Branche in Frage gekommen, soweit die Verantwortlichkeiten f¨ ur gewisse Sektoren bzw. Portfolioanteile bekannt sind. In der vorliegenden Untersuchung wird aus der Tatsache heraus, dass diese Informationen nicht vorliegen, davon abgesehen. Implizit setzt die gew¨ahlte Vorgehensweise voraus, dass der Portfoliomanager in diesem Fall auf die Ratingverteilung sowie auf die Restlaufzeitstruktur des Portfolios einen Einfluss hat. Im Einklang mit den empirischen Sch¨atzungen werden vier Ratingklassen328 Bund, AAA/AA, A sowie BBB ausgew¨ahlt. Als Laufzeitklassen wird eine gebr¨auchliche Einteilung in Anleihen mit einer Restlaufzeit bis zu einschließlich drei Jahren329 , von drei bis einschließlich f¨ unf Jahren, von f¨ unf bis einschließlich sieben Jahren und u ¨ber sieben Jahre vorgenommen.330 Diese Einteilung wurde gew¨ahlt, da in der vorliegenden Untersuchung viele Anleihen mit mittleren Restlaufzeiten von vier bis sechs Jahren vorhanden sind, so dass gew¨ahrleistet ist, dass in den wichtigen Segmenten hinreichend diskriminiert wird. Insgesamt ergeben sich 16 Gruppierungen f¨ ur die weitere Auswertung. 328

F¨ ur die Notwendigkeit der Zusammenlegung der Ratingklassen AAA und AA vergleiche den Abschnitt 4.2.

329

Analog der Definition bzw. Konvention eines geldmarktnahen Fonds.

330

H¨aufig finden sich auch Restlaufzeiteinteilungen in die Bereiche bis f¨ unf Jahre, u unf Jahre bis ¨ber f¨ zehn Jahre und als dritte Klasse alle Laufzeiten u ¨ber zehn Jahre.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

130

Im Rahmen der Ber¨ ucksichtigung einer Kassenhaltung stellt sich die Frage, inwieweit die Kassenhaltung eine strategische aktive ist. Kann dies bejaht werden, so wird die Kasse sinnvollerweise als eigene Klasse im Rahmen der Portfoliodekomposition aufgenommen. Dies stellt insofern eine Herausforderung dar, als dass im Benchmark in aller Regel kein eigenst¨andiger Beitrag aus einer Kassenhaltung zu erwarten bzw. vorgesehen ist, insbesondere falls es sich bei dem Benchmark um einen Index handelt. Steht es einem Rentenportfolio bzw. dessen Manager frei, den Grad der Investition zu bestimmen, d.h. eine nahezu vollst¨andige Investition in das Anlageuniversum ist nicht vorgeschrieben, so ist die bewusste Kassenhaltung Ausdruck des Markttiming. Eine Untergewichtung in einem ¨ Sektor relativ zum Benchmark zieht nicht automatisch eine Ubergewichtung in einem anderen Sektor nach sich. Dient die Kassenhaltung rein als Ausgleichsposten f¨ ur die notwendigen Ver¨anderungen innerhalb eines offenen Fonds mit Mittelzu- und -abfl¨ ussen, so ist es nicht notwendig, die Kassenhaltung als eigenst¨andige Klasse zu f¨ uhren. Es besteht die M¨oglichkeit die Ertr¨age den u ¨brigen Sektoren geeignet zuzurechnen oder zu vernachl¨assigen. Eine Auswertung u ¨ber die vorliegenden Rentenportfolios ergab, dass ca. in der H¨alfte aller Evaluationszeitpunkte die Kassenhaltung einen Beitrag von null bzw. weniger als einem Basispunkt erbracht hat. Aufgrund der Tatsache, dass in einer Vielzahl der F¨alle kein entscheidender Beitrag u ¨ber die Kassenhaltung erbracht wird, gehen wir nicht von einer strategisch aktiven Kassenhaltung aus und verteilen den geringen Beitrag der Kassenhaltung auf die u ¨brigen 16 Gruppierungen. Die Verteilung erfolgt analog zu der in Anhang B.2 dargestellten Methodik. 5.4.2

Performancemessung

F¨ ur die Performancemessung als zweitem Schritt im Rahmen der klassischen Performanceanalyse gilt bez¨ uglich der angewandten Verfahren das in den Abschnitten 2.2.2 und 5.2.1 Gesagte. Zudem sind die Ergebnisse der Performance- bzw. Renditemessung der Anleiheportfolios ausf¨ uhrlich im letztgenannten Abschnitt dargestellt. Neben diesen Ergebnissen ist die Entwicklung des verwendeten Benchmarks f¨ ur die Attributionsanalyse von Bedeutung. In der Abbildung (29) sind daher die Entwicklung des Iboxx-Euro-Overall-Index u ¨ber den Beobachtungszeitraum sowie die sich daraus ergebenden w¨ochentlichen Renditen abgebildet. Die bei den Portfolios beschriebene hohe Renditevolatilit¨at zeigt sich auch hier. Der Zuwachs des Index betr¨agt im Gesamtzeitraum 29,13%. Der sich ergebende durchschnittliche j¨ahrliche Zuwachs im Beobachtungszeitraum entspricht ca. 6,82% bei einer j¨ahrlichen, durchschnittlichen Volatilit¨at von 3,42%. Der einzige Fonds mit einer h¨oheren Rendite ist der Fonds 811, der die zweitl¨angste mittlere Restlaufzeit besitzt. Alle anderen aktiven Fonds erzielten eine geringere Rendite als der Index.331 5.4.3

Klassische, Benchmarkabh¨ angige Attributionsanalyse ohne Risikoadjustierung

¨ Uber den reinen Renditevergleich hinaus wird der vom Portfoliomanagement erzielte 331

Diese Feststellung ist eine grunds¨ atzliche Best¨ atigung, wenn auch kein Nachweis, dass der IboxxIndex eines der Kriterien an einen Benchmark im gegebenen Umfeld und Zeitraum erf¨ ullt. Er ist durch aktiv betreute Fonds nicht leicht zu u ¨bertreffen.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

131

IBOXX EUR Overall (TR) 140 130

in %

120 110

IBOXX EUR OVERALL (TR)

100 90

Mai. 03

Sep. 03

Jan. 03

Mai. 02

Sep. 02

Jan. 02

Mai. 01

Sep. 01

Jan. 01

Mai. 00

Sep. 00

Jan. 00

80

Zeit

IBOXX EUR Overall (TR) wöchentliche Renditen

90,00

Sep. 03

Mai. 03

Jan. 03

Sep. 02

Mai. 02

Jan. 02

Sep. 01

Mai. 01

Jan. 01

Sep. 00

Mai. 00

-10,00

Jan. 00

in BP

40,00 IBOXX EUR OVERALL (TR) wöchentliche Renditen

-60,00

-110,00 Zeit

Abbildung 29:

Entwicklung IBOXX. Die Abbildung zeigt die Entwicklung des Iboxx-EUR-Overall-(TR)-Index. Die Indexentwicklung ist in Prozent angegeben und die w¨ ochentlichen Renditen in Basispunkten. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

132

Mehrwert (bzw. Nachteil) mit Hilfe eines Benchmarks ermittelt. Dies erfolgt in einem ersten Schritt ohne eine zus¨atzliche Risikoadjustierung. Die Wahl eines Indexes als ad¨aquater Benchmark stellt ein grunds¨atzliches Problem jeglicher Performanceanalyse dar. Neben einer realen und kosteng¨ unstigen Anlagealternative steht die Effizienz des Benchmarks im Vordergrund. Im empirischen Kontext ist die grunds¨atzlich geforderte Ex-Ante Effizienz, d.h. dass bei gegebenem Risiko die erwartete Rendite gr¨oßer sein sollte als die anderer Kombinationsm¨oglichkeiten der zur Verf¨ ugung stehenden Anlagealternativen, durch eine lokale Ex-Post Effizienz zu ersetzen.332 Dies ist notwendig, da insbesondere das Marktportfolio aller riskanten Anlagem¨oglichkeiten nicht beobachtbar ist. Ebensowenig lassen sich die Erwartungen bez¨ uglich der Rendite- und Risikogr¨oßen fundiert ermitteln. Theissen/Greifzu (1998) beschreiben das Konzept der lokalen Ex-Post Effizienz333 dergestalt, dass die realisierte Rendite des gew¨ahlten Index im Mittel gr¨oßer sein sollte als die aller anderen Kombinationen riskanter Wertpapiere der gleichen Kategorie. Unter der Kategorie wird das Anlageuniversum der zu beurteilenden Fonds verstanden. Insbesondere breite Marktindizes verletzen h¨aufig diese Bedingung, da sie in aller Regel nicht unter Effizienzgesichtspunkten gebildet werden. Eine Besonderheit bei Rentenportfolios und Rentenindizes ist, dass sich deren Zusammensetzung hinsichtlich der durchschnittlichen Laufzeit, der Duration als auch der durchschnittlichen Kupons aufgrund der in der Regel begrenzten Laufzeit der Anleihen st¨andig ¨andert. Die Zeitabh¨angigkeit der durchschnittlichen Kupons beruht darauf, dass die Emissionsbedingungen sich am gegenw¨artigen Zinsumfeld orientieren. In Niedrigzinsphasen werden eher langlaufende Anleihen mit niedrigen Zinss¨atzen emittiert. Ein Rentenindex, der dieser Problematik nicht unterliegt, ist der REX334 , da er aus synthetischen Anleihen ermittelt wird. Den Vorteil der konstanten Laufzeit- sowie Zinsstruktur erkaufen sich die Indizes aus synthetischen Anleihen dadurch, dass der Index nicht als reale Anlagealternative zur Verf¨ ugung steht. Im Rahmen dieser Arbeit wird wie erw¨ahnt der Iboxx-EUR-Overall (Total Return) - Index als Benchmark gew¨ahlt. Von den in Abschnitt 2.4 geforderten Eigenschaften erf¨ ullt der Iboxx die Kriterien der realen, und kosteng¨ unstigen Anlagealternative im gleichen Anlageuniversum, d.h. unter den gleichen Restriktionen. Der Index wird f¨ ur die Untersuchung als Benchmark verwendet, da uns keine weitergehenden Informationen bez¨ uglich individueller, den Portfolios zugeordneter Benchmarks vorliegen. Als zu pr¨ ufendes Kriterium verbleibt dessen Ex-Post Effizienz. Es ist nachzupr¨ ufen, dass ein Index keine systematisch h¨ohere risikoadjustierte Rendite aufweisen sollte als ein anderer Index.335 Dazu wurden die ¨ Risikopr¨amien dreier in Frage kommender Rentenindizes, d.h. die Uberrendite u ¨ber den risikolosen Zinssatz gegeneinander regressiert, ein Verfahren ¨ahnlich der Bestimmung eines Jensen Alpha. Resultieren aus der Regression signifikant von Null verschiedene Alphas, so deutet dies auf die Ex-Post Ineffizienz eines der Indizes hin. In die Regressionsanalyse wurden der Iboxx-EUR-Overall-Index, der REX und der Merrill Lynch EMU Broad Market Index einbezogen. In keinem Fall kann die Hypothese eines Alphas von Null abge332

Vgl. dazu Theissen/Greifzu (1998), S.446.

333

Das Konzept der lokalen Effizienz geht auf Grinblatt/Titman (1987) zur¨ uck.

334

R ist ein gewichteter Durchschnittspreis aus synthetischen Anleihen mit konDer Rentenindex REX stanter Laufzeit. Er enth¨ alt 30 idealtypische Anleihen mit ganzzahligen Laufzeiten von ein bis zehn Jahren und jeweils drei Kupontypen mit 6%, 7,5% und 9%. Der Index wird von der Deutschen B¨ orse AG ermittelt und ver¨ offentlicht.

335

Vgl. Theissen/Greifzu (1998), S.447.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds

157 265 382 388 454 591 712 713 761 811 999

Gesamtzeitraum AR Timing Selektion -2.87% -1.88% -1.02% -9.19% -1.25% -8.04% -8.87% -2.42% -6.61% -1.60% 0.30% -1.89% -2.79% -0.54% -2.27% -0.59% -0.12% -0.47% -1.23% 0.25% -1.48% -1.22% 0.03% -1.25% -9.29% -2.38% -7.07% 1.08% 0.47% 0.61% -11.97% 2.72% -14.30%

133 Durchschnittlich pa AR Timing Selektion -0.74% -0.48% -0.26% -2.44% -0.32% -2.12% -2.35% -0.63% -1.74% -0.41% 0.08% -0.49% -0.72% -0.14% -0.59% -0.15% -0.03% -0.12% -0.32% 0.06% -0.38% -0.31% 0.01% -0.32% -2.47% -0.62% -1.86% 0.27% 0.12% 0.15% -4.29% 0.93% -5.17%

Tabelle 33: Aktive Managementbeitr¨ age der Portfolios. Der aktive Managementbeitrag sowie die Timing- und Selektionskomponenten sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

lehnt werden. Somit erf¨ ullt der vorliegende Iboxx-EUR-Overall-Index die grundlegenden geforderten Voraussetzungen an einen Benchmark.336 In den Tabellen 33 und 34 sind die aktiven Managementbeitr¨age - im Weiteren auch als aktive Rendite337 bezeichnet - der Portfolios u ¨ber den Gesamtzeitraum, durchschnittlich sowie f¨ ur die einzelnen Jahre angegeben. Geordnet nach der aktiven Rendite (AR) lassen sich drei Gruppen identifizieren. Die erste Gruppe mit einem positiven Renditedifferential zum Benchmark besteht nur aus dem Fonds 811. Die zweite Gruppe besteht aus den Portfolios 265, 382, 761 und 999. Diese weisen einen deutlich negativen Managementbeitrag auf. Bezogen auf die erhobenen Managementgeb¨ uhren ist die Rendite der Fonds der zweiten Gruppe nicht ausk¨ommlich. Die Managementgeb¨ uhren f¨ ur Rentenfonds lagen laut einer Untersuchung der FWW GmbH in den Jahren 2000 bis 2007 durchschnittlich zwischen 0,73% und 0,87% pa.338 Die dritte Gruppe, welche die restlichen Fonds umfasst, erbringt im Beobachtungszeitraum einen negativen j¨ahrlichen Managementbeitrag in etwa in H¨ohe dieser durchschnittlichen Managementgeb¨ uhren. Im Umkehrschluss heißt dies, dass ohne die Geb¨ uhren der Benchmark geschlagen wurde bzw. zumindest die Benchmarkrendite erreicht wurde. Die Timingkomponente ist f¨ ur die Fonds 388, 712, 713, 811 und 999 jeweils positiv. Dies l¨asst sich auf die oben beschriebene Ver¨anderung bez¨ uglich der Restlaufzeiten innerhalb der Fonds zur¨ uckf¨ uhren. Insofern wurde dem fallenden Zinsniveau in den Jahren 2000 bis 2004 Rechnung getragen und positive Timingbeitr¨age erwirtschaftet. Die u ¨brigen Fonds schafften es nicht, eine positive Timingkomponente zu erzielen. F¨ ur die beiden geldmarktnahen Fonds 382 und 761 ist jedoch das Ausbleiben von Timingertr¨agen in einem von einem sinkenden Zinsniveau gepr¨agten Umfeld aufgrund der Laufzeitrestriktionen nicht unbedingt u ¨berraschend. Absolut gesehen sind die Timingbeitr¨age mit Ausnahme des Fonds 336

Dies gilt nat¨ urlich dann ebenfalls f¨ ur die anderen beiden Indizes.

337

Die Ungenauigkeit in der Benennung wird zugunsten der popul¨ areren Bezeichnung in Kauf genommen.

338

Vgl. FWW (2008), S. 42.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

134

Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds

Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds

157 265 382 388 454 591 712 713 761 811 999

157 265 382 388 454 591 712 713 761 861 999

Jahr 1 AR Timing -1.15% -0.51% -0.84% -0.36% -3.57% -1.74% -0.73% 0.28% -1.59% -0.49% -0.94% -0.11% -0.83% -0.16% -0.86% -0.28% -3.41% -1.76% 1.12% 0.84%

Sel -0.64% -0.48% -1.87% -1.00% -1.10% -0.83% -0.67% -0.59% -1.68% 0.28%

Jahr 3 AR Timing -0.82% -0.40% -0.52% -0.16% -4.49% -0.58% -0.05% 0.00% -0.56% -0.07% -0.81% 0.07% -0.19% 0.12% -0.28% 0.06% -4.81% -0.33% 0.33% 0.19% -10.17% 0.66%

Sel -0.42% -0.36% -3.93% -0.05% -0.50% -0.88% -0.31% -0.34% -4.50% 0.14% -10.76%

Jahr 2 AR Timing -0.06% -0.49% -7.44% -0.36% -0.16% 0.19% 0.09% 0.21% -0.53% -0.31% 1.20% 0.12% -0.05% 0.09% 0.07% 0.06% -0.46% -0.18% 0.13% -0.42% -0.40% 0.45% Jahr 4 AR Timing -0.86% -0.48% -0.54% -0.38% -0.89% -0.31% -0.91% -0.18% -0.13% 0.33% -0.03% -0.20% -0.16% 0.21% -0.14% 0.19% -0.88% -0.13% -0.50% -0.13% -1.61% 1.59%

Sel 0.43% -7.11% -0.35% -0.12% -0.22% 1.08% -0.14% 0.01% -0.28% 0.56% -0.85% Sel -0.38% -0.16% -0.59% -0.73% -0.46% 0.17% -0.36% -0.34% -0.75% -0.37% -3.14%

Tabelle 34: Aktive Managementbeitr¨ age der Portfolios pro Jahr. Der aktive Managementbeitrag sowie die Timing- und Selektionskomponenten f¨ ur die einzelnen Jahre sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

157 durchgehend und teilweise deutlich kleiner als die Selektionsbeitr¨age. Das Portfolio 811 weist als einziges aktiv gef¨ uhrtes Portfolio einen positiven Selektionsbeitrag gemessen u ¨ber den Gesamtzeitraum auf. S¨amtliche anderen Portfolios haben in den einzelnen Jahren ggf. positive Selektionsbeitr¨age, jedoch nicht u ¨ber den Gesamtzeitraum. Dies ist insofern interessant, als die Untersuchung in Kapitel 4 zeigte, dass einige Anleihen einer starken Reklassifizierung unterliegen und somit Raum f¨ ur Selektionsbeitr¨age gegeben ist.339 F¨ ur die einzelnen Jahre zeigt sich, dass im Jahr 1 (2000) die Timing- und Selektionsbeitr¨age u ¨berwiegend negativ ausfallen. Trotz allem erzielt der Fonds 811 den st¨arksten Beitrag im Beobachtungszeitraum im Jahr 1. Das Jahr 2 (2001) ist hinsichtlich des aktiven Managementbeitrages das st¨arkste Jahr u ¨ber s¨amtliche Fonds hinweg, obwohl wie vorher gesehen in absoluten Werten im Jahr 3 (2002) die h¨ochsten Renditen erwirtschaftet werden. Jedoch entwickelte sich auch der Iboxx-Index im Jahre 2002 entsprechend positiv, so dass die relativen Beitr¨age schw¨acher als im Jahr 2001 ausfallen. Lediglich gemessen an den Timingbeitr¨agen war das Jahr 3 das erfolgreichste. Im vierten Jahr war die aktive Rendite wiederum u ¨berwiegend negativ. 339

Vgl. Tabelle 11 in Kapitel 4.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

135

Zusammenfassend ist festzustellen, dass s¨amtliche Fonds bez¨ uglich ihrer Selektionsbeitr¨age relativ schlecht abschneiden. Wir f¨ uhren dies u.a. auf die im Gegensatz zu Aktien unterschiedliche Herangehensweise an die Auswahl der Anleihen zur¨ uck. Obwohl es durchaus sinnvoll ist, auch im Rentenbereich ein Anleihen-Picking zu unterstellen und zu messen, kommt traditionell der Top-Down-Investmentstil in Gestalt eines Timing-basierten Ansatzes vor. Im Gegensatz dazu wird die Wertpapierselektion als Bottom-Up-Strategie interpretiert. Hinsichtlich der Timingbeitr¨age sind drei Fonds hervorzuheben (388, 712, 713), die in drei von vier Jahren einen positiven Timingbeitrag erreichten. Alle drei weisen eine durchschnittliche Umschichtungsh¨aufigkeit340 aus. Eine hohe Umschichtungsh¨aufigkeit f¨ uhrt nicht zwangsl¨aufig zu positiven Timingbeitr¨agen. In Tabelle 35 werden die aktiven Managementbeitr¨age sowie die Timing- und Selektionskomponenten f¨ ur die einzelnen Rating- und Laufzeitklassen ausgewiesen. Die erste Spalte zeigt die bereits in Tabelle 33 ausgewiesene aktive Rendite sowie deren Zerlegung u ¨ber den gesamten Zeitraum. Die weiteren Spalten fokussieren auf die Ergebnisse in den verschiedenen Ratingklassen bzw. Restlaufzeitklassen f¨ ur die Gesamtperiode im Gegensatz zur Betrachtung der Subperioden in Tabelle 34. F¨ ur die Diskussion der Ergebnisse werden die in Kapitel zwei aufgeworfenen Fragen nochmals zusammengestellt: 1. Welchen Beitrag (Timing) lieferte die Gewichtung in die einzelnen Ratingklassen bzw. Restlaufzeitklassen (relativ zur Benchmark) zur aktiven Rendite? 2. War die Investition (Timing/Selektion) in eine bestimmte Ratingklasse erfolgreich? 3. War die Wahl (Timing) der Laufzeitstruktur ertragbringend? 4. Hatte die Auswahl (Selektion) der Einzeltitel einen Einfluss auf die aktive Rendite? Die erste Frage nach den grunds¨atzlichen Managementbeitr¨agen bestehend aus den Komponenten Timing und Selektion wurde bereits bei der Diskussion der Tabelle 33 beantwortet. Die Antwort auf die zweite Frage zeigt Tabelle 35. Der Verzicht auf eine Investition aller Fonds mit Ausnahme des Fonds 911 in die Klasse BBB verursacht jeweils negative Timingbeitr¨age von mehr als einem Prozent. Selektionsbeitr¨age resultieren aus der Klasse BBB aus dem gleichen Grund ebenfalls nicht. Einzig der Fonds 999 weist in der Klasse BBB sowohl einen Timingbeitrag als auch einen Selektionsbeitrag auf, die beide positiv ausfallen. Grunds¨atzlich nehmen die Timingbeitr¨age mit schlechter werdendem Rating ab. W¨ahrend f¨ ur die Klasse Bund noch 9 Fonds einen positiven Timingbeitrag aufweisen, sind dies f¨ ur die Klasse AAA/AA nur noch 6 Fonds und f¨ ur die Klasse A nur noch 4 Fonds. Insgesamt u ¨berwiegen in den einzelnen Ratingklassen die Timingbeitr¨age die Selektionsbeitr¨age. Wie zuvor schreiben wir dies dem verbreiteten Top-Down-Investmentstil f¨ ur Rentenportfolios zu.341 Werden die Fonds hinsichtlich ihrer Positionierung im Laufzeitspektrum beurteilt, so schneiden diejenigen im gegebenen Umfeld eines sinkenden Zinsniveaus besser ab, welche in den l¨angeren Laufzeitb¨andern investiert sind. Die positiven Beitr¨age zur aktiven 340

Vgl. Tabelle 24.

341

Da uns keine Informationen zu dem Anlageverhalten oder dem Investmentstil f¨ ur die einzelnen Portfolios vorliegen, ist es durchaus sachgerecht, entsprechende Selektionskomponenten auszuweisen. Andererseits wird im Falle eines Top-Down-Investmentstils der Portfoliomanager aller Voraussicht nach nicht an einem Selektionsbeitrag gemessen.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

136 Gesamt

Bund

AAA/AA

A

BBB

0-3

3-5

5-7

7 -

Fonds 157 AR Fonds 157 Timing Fonds 157 Selektion

-2,87% -1,88% -1,02%

-0,63% 0,05% -0,67%

-0,88% -0,68% -0,20%

-0,37% -0,22% -0,14%

-1,03% -1,03% 0,00%

-2,33% -1,17% -1,18%

-0,46% 0,20% -0,66%

0,71% 0,59% 0,12%

-0,79% -1,49% 0,72%

Fonds 265 AR Fonds 265 Timing Fonds 265 Selektion

-9,19% -1,25% -8,04%

-5,25% -1,32% -3,98%

-3,05% 1,23% -4,22%

0,02% 0,02% 0,00%

-1,16% -1,16% 0,00%

-2,64% -1,39% -1,27%

-4,13% -0,21% -3,93%

-1,30% -0,09% -1,21%

-1,42% 0,45% -1,86%

Fonds 382 AR Fonds 382 Timing Fonds 382 Selektion

-8,87% -2,42% -6,61%

0,08% 0,08% 0,00%

-7,71% -1,28% -6,51%

-0,21% -0,10% -0,10%

-1,13% -1,13% 0,00%

-8,84% -2,40% -6,61%

0,76% 0,76% 0,00%

-1,00% -1,00% 0,00%

0,22% 0,22% 0,00%

Fonds 388 AR Fonds 388 Timing Fonds 388 Selektion

-1,60% 0,30% -1,89%

0,42% 0,45% -0,02%

-1,61% 0,08% -1,69%

0,67% 0,86% -0,19%

-1,07% -1,07% 0,00%

-1,63% -0,36% -1,27%

-1,16% -0,34% -0,82%

0,57% 1,18% -0,61%

0,63% -0,17% 0,81%

Fonds 454 AR Fonds 454 Timing Fonds 454 Selektion

-2,79% -0,54% -2,27%

-0,69% 0,45% -1,14%

-1,08% 0,06% -1,14%

0,02% 0,02% 0,00%

-1,07% -1,07% 0,00%

-1,02% -0,38% -0,64%

-2,27% -1,55% -0,73%

1,13% 1,46% -0,32%

-0,63% -0,03% -0,60%

Fonds 591 AR Fonds 591 Timing Fonds 591 Selektion

-0,59% -0,12% -0,47%

-1,48% 0,11% -1,58%

2,04% 0,90% 1,13%

0,01% 0,01% 0,00%

-1,13% -1,13% 0,00%

-0,78% -0,47% -0,32%

-1,51% -0,96% -0,55%

0,64% -0,11% 0,75%

1,08% 1,43% -0,34%

Fonds 712 AR Fonds 712 Timing Fonds 712 Selektion

-1,23% 0,25% -1,48%

-0,01% 1,09% -1,08%

0,23% 0,53% -0,30%

-0,33% -0,22% -0,10%

-1,12% -1,12% 0,00%

-1,59% -0,52% -1,07%

-4,98% -1,14% -3,88%

1,55% 1,08% 0,46%

4,01% 0,85% 3,13%

Fonds 713 AR Fonds 713 Timing Fonds 713 Selektion

-1,22% 0,03% -1,25%

0,34% 0,53% -0,19%

-0,12% 0,86% -0,97%

-0,30% -0,21% -0,08%

-1,14% -1,14% 0,00%

-1,02% -0,10% -0,92%

-2,32% -1,00% -1,32%

0,37% 0,46% -0,09%

1,79% 0,69% 1,10%

Fonds 761 AR Fonds 761 Timing Fonds 761 Selektion

-9,29% -2,38% -7,07%

-1,22% 0,19% -1,41%

-6,24% -1,17% -5,13%

-0,94% -0,30% -0,65%

-1,12% -1,12% 0,00%

-1,14% 0,09% -1,23%

-7,62% -1,81% -5,91%

-1,00% -1,00% 0,00%

0,33% 0,33% 0,00%

Fonds 811 AR Fonds 811 Timing Fonds 811 Selektion

1,08% 0,47% 0,61%

0,50% 1,71% -1,19%

1,54% -0,14% 1,68%

0,10% -0,03% 0,13%

-1,06% -1,06% 0,00%

-0,99% -0,99% 0,00%

1,00% 1,15% -0,14%

-0,74% -0,82% 0,08%

1,83% 1,15% 0,67%

Fonds 999 AR Fonds 999 Timing Fonds 999 Selektion

-11,97% 2,72% -14,30%

-0,12% -0,33% 0,22%

-29,32% -1,17% -28,48%

12,15% -0,63% 12,85%

11,18% 4,94% 5,95%

150,04% -1,45% 153,71%

-19,69% 1,29% -20,71%

-23,68% 0,92% -24,37%

-42,56% 1,96% -43,67%

Tabelle 35: Aktive Managementbeitr¨ age Portfolios nach Klassen. Die aktive Rendite sowie die Timing- und Selektionskomponenten f¨ ur die jeweiligen Ordnungskriterien sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Rendite resultieren daher fast ausschließlich aus den beiden Laufzeitb¨andern von u ¨ber f¨ unf Jahren. Im Umkehrschluss resultieren die gewichtigsten negativen Timingbeitr¨age aus dem ersten Laufzeitband (0 - 3 Jahre). Die Auswertungen zeigen, dass die gestellten Fragen, solange sie in Einklang mit der gew¨ahlten Portfoliodekomposition stehen, gezielt beantwortet werden k¨onnen. Insofern stellt die vorgestellte Attributionsanalyse in Verbindung mit der gew¨ahlten, konsistenten Zerlegung ein geeignetes Instrument dar, Informationen zur Steuerung und Beurteilung eines aktiven Portfoliomanagement zu generieren. 5.4.4

Benchmarkabh¨ angige Attributionsanalyse mit Risikoadjustierung

Wird die in Kapitel drei vorgeschlagene Risikoadjustierung auf die Renditen der Portfolios und des Benchmarks angewandt, so liegen die Ergebnisse innerhalb der Erwartungen. An der grunds¨atzlichen Rangfolge der Portfolios ¨andert sich bis auf wenige Ausnahmen nichts, jedoch sind die Ver¨anderungen durch die Risikoadjustierung durchaus unterschiedlich. In Tabelle 36 sind die risikoadjustierten Renditen f¨ ur die Jahre 2000 bis zum Jahre 2003 sowie die sich daraus ergebenden durchschnittlichen Renditen und deren Volatilit¨aten angegeben. Die betragsm¨aßig gr¨oßten Adjustierungen treffen die Fonds 811 und 999 mit den l¨angsten Restlaufzeiten, die geringsten Adjustierungen zeigen sich bei den geldmarktnahen Fonds.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

137

Rendite Gesamtperiode Durchschnittlich pro Woche Volatilit¨ at pro Woche Durchschnittlich pro Woche pa Volatilit¨ at pro Woche pa Rendite Jahr 1 Volatilit¨ at Rendite Jahr 1 Durchschnittlich pro Woche Jahr 1 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 1 Rendite Jahr 2 Volatilit¨ at Rendite Jahr 2 Durchschnittlich pro Woche Jahr 2 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 2 Rendite Jahr 3 Volatilit¨ at Rendite Jahr 3 Durchschnittlich pro Woche Jahr 3 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 3 Rendite Jahr 4 Volatilit¨ at Rendite Jahr 4 Durchschnittlich pro Woche Jahr 4 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 4

157 20,96% 0,09% 0,37% 4,95% 2,83% 5,78% 2,23% 0,11% 0,29% 4,29% 3,10% 0,08% 0,41% 7,15% 3,01% 0,13% 0,39% 2,37% 2,95% 0,05% 0,40%

265 12,69% 0,06% 0,67% 3,23% 4,95% 5,88% 2,28% 0,11% 0,30% -3,22% 7,68% -0,06% 1,10% 7,64% 3,49% 0,14% 0,45% 2,90% 3,74% 0,06% 0,50%

382 15,54% 0,07% 0,10% 3,77% 0,74% 3,81% 0,68% 0,07% 0,09% 4,76% 0,86% 0,09% 0,11% 3,78% 0,72% 0,07% 0,10% 2,64% 0,65% 0,05% 0,09%

388 21,24% 0,10% 0,40% 5,10% 3,06% 5,94% 2,26% 0,11% 0,30% 4,08% 3,02% 0,08% 0,40% 7,87% 3,40% 0,15% 0,44% 2,33% 3,47% 0,04% 0,47%

454 20,35% 0,09% 0,38% 4,90% 2,89% 5,07% 1,98% 0,10% 0,26% 3,75% 2,97% 0,07% 0,40% 7,49% 3,19% 0,14% 0,41% 2,17% 3,34% 0,06% 0,45%

Rendite Gesamtperiode Durchschnittlich pro Woche Volatilit¨ at pro Woche Durchschnittlich pro Woche pa Volatilit¨ at pro Woche pa Rendite Jahr 1 Volatilit¨ at Rendite Jahr 1 Durchschnittlich pro Woche Jahr 1 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 1 Rendite Jahr 2 Volatilit¨ at Rendite Jahr 2 Durchschnittlich pro Woche Jahr 2 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 2 Rendite Jahr 3 Volatilit¨ at Rendite Jahr 3 Durchschnittlich pro Woche Jahr 3 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 3 Rendite Jahr 4 Volatilit¨ at Rendite Jahr 4 Durchschnittlich pro Woche Jahr 4 Volatilit¨ at pro Woche Jahr 4

712 21,95% 0,10% 0,40% 5,26% 3,06% 5,74% 2,29% 0,11% 0,30% 4,12% 2,93% 0,08% 0,39% 7,87% 3,51% 0,15% 0,45% 3,17% 3,46% 0,06% 0,46%

713 22,03% 0,10% 0,41% 5,28% 3,07% 5,74% 2,33% 0,11% 0,31% 4,26% 2,99% 0,08% 0,40% 7,78% 3,49% 0,14% 0,45% 3,18% 3,43% 0,06% 0,46%

761 14,64% 0,07% 0,07% 3,56% 0,53% 4,02% 0,54% 0,08% 0,07% 4,38% 0,70% 0,08% 0,09% 3,26% 0,45% 0,06% 0,06% 2,49% 0,33% 0,05% 0,04%

811 23,738% 0,11% 0,60% 5,63% 4,54% 7,26% 3,45% 0,13% 0,45% 4,01% 3,91% 0,08% 0,52% 8,23% 4,96% 0,15% 0,64% 2,84% 5,66% 0,05% 0,76%

999 -2,60% -0,01% 0,78% -0,74% 5,61% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,88% 2,56% 0,04% 0,35% -4,48% 7,18% -0,09% 1,04% 0,63% 5,88% 0,01% 0,81%

591 23,12% 0,10% 0,36% 5,51% 2,77% 5,73% 2,05% 0,11% 0,27% 5,37% 2,91% 0,10% 0,38% 7,25% 3,02% 0,13% 0,39% 3,52% 3,05% 0,07% 0,40%

Tabelle 36: Risikoadjustierte Rendite und Volatilit¨ aten. Die risikoadjustierten Renditen und Volatilit¨ aten sind wie in Abschnitt 5.2.1 bzw. 3.5.3 dargestellt berechnet. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Im R¨ uckgriff auf Tabelle 32 zeigt sich, dass die Term Premium bei der Risikoadjustierung die Credit Premium und die Pr¨amie f¨ ur den eigentlichen Ausfall im Mittel dominiert. Zieht man zus¨atzlich die Entwicklung der Credit Premium dargestellt in den Abbildungen 22, 23 und 24 in Betracht, so zeigt sich, dass zu Beginn und st¨arker ausgepr¨agt im Jahre 2003 die Spreads respektive die Credit Premium der riskanten Klassen derart gering ist, dass eine ausreichende Differenzierung nicht gegeben ist.342 Einerseits wird dadurch die Restlaufzeit u ¨ber die Term Premium zur kennzeichnenden Einflussgr¨oße, andererseits verblassen die Unterschiede hinsichtlich der Gewichtungen zwischen den Ratingklassen. Ersichtlich ist dieser Umstand an den betragsm¨aßig als auch prozentual geringeren Adjustierungen im Jahr 2003 (Jahr 4) verglichen mit den u ur die geldmarkt¨brigen Jahren. F¨ nahen Fonds kommt zum dominierenden Einfluss noch die mehrheitliche Investition in die Klassen Bund und AAA/AA, welche keine oder eine nur geringe Credit Premium besitzen. Weiterhin zeigt sich die dominante Rolle der Risikopr¨amie f¨ ur die Zins¨anderung an der betragsm¨aßigen Adjustierung der Renditen in den einzelnen Jahren f¨ ur die weiter oben vorgenommene Einteilung in drei Gruppen hinsichtlich der Restlaufzeit. F¨ ur die Gruppe der Portfolios mit einer kurzen Restlaufzeit ergibt der Vergleich der Tabellen 28 und 36 eine Adjustierung pro Jahr von in etwa 0,5 Prozentpunkte, f¨ ur die Gruppe mit 342

R¨ uckblickend trifft gerade f¨ ur das Jahr 2003 die Aussage zu, dass Risiko gemessen an unterschiedlichen Ratingklassen keinen Preis hatte bzw. keine Differenzierung hinsichtlich der unterschiedlichen Kreditrisiken in den Spreads ausgedr¨ uckt wurde.

138

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE Adjustiert Gesamtzeitraum hline AR Timing Sel Fonds 157 -1.80% -1.44% -0.36% Fonds 265 -8.22% -0.91% -7.38% Fonds 382 -5.89% -0.74% -5.19% Fonds 388 -1.25% 0.22% -1.46% Fonds 454 -1.97% -0.24% -1.74% Fonds 591 0.28% 0.21% 0.07% Fonds 712 -0.67% 0.35% -1.02% Fonds 713 -0.61% 0.18% -0.79% Fonds 761 -6.63% -0.76% -5.92% Fonds 811 0.50% -0.21% 0.71% Fonds 999 -15.54% 0.78% -16.19%

Durchschnittlich pa AR Timing Sel -0.46% -0.37% -0.09% -2.17% -0.23% -1.94% -1.54% -0.19% -1.36% -0.32% 0.06% -0.38% -0.51% -0.06% -0.45% 0.07% 0.05% 0.02% -0.17% 0.09% -0.26% -0.16% 0.05% -0.20% -1.74% -0.19% -1.55% 0.13% -0.05% 0.18% -5.65% 0.27% -5.90%

Tabelle 37: Risikoadjustierte Aktive Managementbeitr¨ age der Portfolios. Der risikoadjustierte aktive Managementbeitrag sowie die Timing- und Selektionskomponenten sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

einer mittleren Restlaufzeit von etwa einem Prozentpunkt und f¨ ur die letzte Gruppe zwischen 1,5 und 2 Prozentpunkten. Auf die Volatilit¨at hat die Risikoadjustierung praktisch keinen Einfluss. Insofern ist dies bei der Interpretation des Quotienten aus Rendite zu Volatilit¨at nach durchgef¨ uhrter Adjustierung im Vergleich zum nicht-adjustierten Fall zu ber¨ ucksichtigen. Beachtenswert sind noch die beiden Fonds mit langer Restlaufzeit. Der Fond 999 hat eine negative risikoadjustierte Rendite in H¨ohe von -2,60%, d.h. f¨ ur das eingegangene Risiko erwirtschaftet das Portfoliomanagement keine ausk¨ommliche Rendite. Die betragsm¨aßig hohe Adjustierung des Fonds 811 resultiert wie beschrieben aus dem dominanten Einfluss der Restlaufzeit als auch aus der Tatsache heraus, dass dies der einzige Fonds ist, der den Benchmark geschlagen hat. Geht man davon aus, dass die lokale Ex-Post Effizienz des Benchmarks gilt, so kann die h¨ohere Rendite nur u ¨ber ein h¨oheres Risiko erzielt werden. In den Tabellen 37, 38 und 39 sind die aktiven, risikoadjustierten Managementbeitr¨age f¨ ur den Gesamtzeitraum, im Durchschnitt u ur die einzelnen Jahre ¨ber den Gesamtzeitraum, f¨ und f¨ ur die beiden Ordnungskriterien jeweils in Prozent angegeben. Bei einem Vergleich der Tabellen 33 und 37 f¨allt zun¨achst auf, dass die Risikoadjustierung in der Mehrzahl der F¨alle zu h¨oheren, allerdings negativen aktiven Managementbeitr¨agen f¨ uhrt. Ausnahmen sind die Fonds 591, 811 und 999. Beim Fonds 591 wechselt das Vorzeichen (von -0,59% auf 0,28%) des aktiven Managementbeitrages durch die Risikoadjustierung, wohingegen die Fonds 811 und 999 durch die Risikoadjustierung schlechter in Bezug auf den aktiven Managementbeitrag abschneiden. Geordnet nach der durchschnittlichen aktiven risikoadjustierten Rendite (AR) lassen sich ebenfalls drei Gruppen bilden. Die erste Gruppe mit einem positiven Renditedifferential besteht aus den Fonds 591 und 811. Die zweite Gruppe, welche sich durch eine aktive Rendite in etwa in H¨ohe der Managementgeb¨ uhren auszeichnet, umfasst die Fonds 157, 388, 454, 712 und 713. Die dritte Gruppe mit einer teils deutlich u ¨ber den u ¨blichen Managementgeb¨ uhren liegenden negativen aktiven Rendite bilden die Fonds 265, 382, 761, 999. Im Vergleich zum aktiven Managementbeitrag ohne Risikoadjustierung ergeben sich f¨ ur den Fonds 591 eine deutliche Verbesserung und f¨ ur die zweite Gruppe eine leichte

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE Adjustiert Fonds 157 Fonds 265 Fonds 382 Fonds 388 Fonds 454 Fonds 591 Fonds 712 Fonds 713 Fonds 761 Fonds 811 Fonds 999 Adjustiert Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds Fonds

157 265 382 388 454 591 712 713 761 811 999

Jahr 1 AR Timing -0.66% -0.31% -0.57% -0.28% -2.49% -1.13% -0.52% 0.25% -1.32% -0.42% -0.71% -0.04% -0.71% -0.18% -0.71% -0.26% -2.29% -1.17% 0.70% 0.55% Jahr 3 AR -0.62% -0.18% -3.71% 0.03% -0.31% -0.53% 0.03% -0.05% -4.19% 0.31% -11.63%

Jahr 2 Sel AR Timing -0.35% 0.25% -0.38% -0.29% -7.22% -0.27% -1.38% 0.75% 0.70% -0.77% 0.05% 0.12% -0.91% -0.27% -0.23% -0.67% 1.29% 0.10% -0.52% 0.09% 0.13% -0.45% 0.22% 0.11% -1.14% 0.38% 0.31% 0.15% -0.05% -0.59% -2.06% -0.22% Jahr 4 Timing Sel AR Timing -0.31% -0.31% -0.77% -0.45% -0.05% -0.13% -0.33% -0.31% -0.20% -3.52% -0.50% -0.11% 0.03% 0.01% -0.82% -0.18% 0.04% -0.35% -0.08% 0.37% 0.18% -0.71% 0.24% -0.03% 0.17% -0.14% -0.09% 0.24% 0.10% -0.15% -0.07% 0.23% 0.06% -4.25% -0.63% 0.05% 0.03% 0.29% -0.46% -0.19% -0.17% -11.48% -2.41% 1.17%

139

Sel 0.63% -6.97% 0.04% -0.06% -0.04% 1.20% -0.04% 0.11% 0.07% 0.55% -1.84% Sel -0.33% -0.01% -0.40% -0.64% -0.45% 0.26% -0.33% -0.30% -0.68% -0.28% -3.55%

Tabelle 38: Risikoadjustierte Aktive Managementbeitr¨ age der Portfolios pro Jahr. Der risikoadjustierte aktive Managementbeitrag pro Jahr sowie die Timing- und Selektionskomponenten sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Verbesserung in der Performancebeurteilung. Die risikoadjustierte Timingkomponente ist f¨ ur sechs Fonds positiv, w¨ahrend die Fonds 157, 265, 382, 454 und 761 wie im nicht risikoadjustierten Fall keine positive Timingkomponente aufweisen. Werden die Ver¨anderungen der durchschnittlichen Timingkomponente betrachtet, so verschlechtern sich die Fonds 388, 811 und 999 wohingegen sich alle u ¨brigen Fonds ohne die geldmarktnahen zwischen 3 und 11 Basispunkten verbessern. Die geldmarktnahen Fonds verbessern sich sogar deutlich um 42 BP bzw. 44 BP. Letztere profitieren insbesondere von der deutlich h¨oheren Adjustierung des Benchmarks in Bezug auf die Laufzeitpositionierung (Term Premium) und nicht durch die Adjustierung des Benchmarks in Bezug auf seine st¨arkere Gewichtung in den Ratingklassen A und BBB. F¨ ur die Selektionskomponente im risikoadjustierten Fall ergibt sich ein ¨ahnliches Bild wie im nicht risikoadjustierten Fall. Durchgehend mit Ausnahme der Fonds 591 und 811 sind die risikoadjustierten Selektionskomponenten negativ. Die Ver¨anderungen sind allerdings bis auf den Fonds 999 jeweils zum positiven und betragen durchschnittlich ca. 17 BP. Beachtenswert sind die Vorzeichenwechsel bei den Fonds 591 f¨ ur die gesamte aktive Ren-

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

140 Gesamt

Bund

AAA/AA

A

BBB

0-3

3-5

5-7

7 -

Fonds 157 AR Fonds 157 Timing Fonds 157 Selektion

-1,80% -1,44% -0,36%

0,52% 0,46% 0,07%

-0,99% -0,80% -0,19%

-0,47% -0,23% -0,24%

-0,86% -0,86% 0,00%

-1,87% -1,23% -0,65%

0,03% 0,32% -0,30%

0,98% 0,76% 0,22%

-0,92% -1,28% 0,37%

Fonds 265 AR Fonds 265 Timing Fonds 265 Selektion

-8,22% -0,91% -7,38%

-4,15% -0,90% -3,28%

-3,38% 0,89% -4,23%

0,11% 0,11% 0,00%

-1,00% -1,00% 0,00%

-2,91% -1,87% -1,06%

-3,16% 0,22% -3,36%

-0,98% -0,10% -1,07%

-1,42% 0,66% -2,07%

Fonds 382 AR Fonds 382 Timing Fonds 382 Selektion

-5,89% -0,74% -5,19%

-0,09% -0,09% 0,00%

-4,80% 0,32% -5,10%

-0,11% -0,01% -0,10%

-0,95% -0,95% 0,00%

-6,42% -1,30% -5,19%

0,51% 0,51% 0,00%

-1,01% -1,01% 0,00%

1,07% 1,07% 0,00%

Fonds 388 AR Fonds 388 Timing Fonds 388 Selektion

-1,25% 0,22% -1,46%

0,29% 0,23% 0,06%

-1,00% 0,15% -1,14%

0,35% 0,74% -0,38%

-0,89% -0,89% 0,00%

-1,40% -0,59% -0,81%

-0,82% -0,30% -0,52%

0,59% 1,19% -0,59%

0,38% -0,08% 0,46%

Fonds 454 AR Fonds 454 Timing Fonds 454 Selektion

-1,97% -0,24% -1,74%

-0,64% 0,26% -0,90%

-0,56% 0,30% -0,85%

0,11% 0,11% 0,00%

-0,90% -0,90% 0,00%

-0,95% -0,66% -0,30%

-1,62% -1,33% -0,29%

1,28% 1,53% -0,25%

-0,67% 0,24% -0,91%

Fonds 591 AR Fonds 591 Timing Fonds 591 Selektion

0,28% 0,21% 0,07%

-1,36% 0,07% -1,43%

2,53% 1,01% 1,51%

0,10% 0,10% 0,00%

-0,96% -0,96% 0,00%

-0,69% -0,70% 0,00%

-0,89% -0,73% -0,16%

0,75% -0,05% 0,80%

1,13% 1,71% -0,57%

Fonds 712 AR Fonds 712 Timing Fonds 712 Selektion

-0,67% 0,35% -1,02%

-0,20% 0,79% -0,98%

0,76% 0,68% 0,08%

-0,27% -0,15% -0,12%

-0,95% -0,95% 0,00%

-1,47% -0,79% -0,68%

-4,46% -0,99% -3,51%

1,67% 1,14% 0,52%

3,77% 1,01% 2,74%

Fonds 713 AR Fonds 713 Timing Fonds 713 Selektion

-0,61% 0,18% -0,79%

0,16% 0,24% -0,09%

0,45% 1,05% -0,60%

-0,24% -0,14% -0,11%

-0,97% -0,97% 0,00%

-1,00% -0,43% -0,57%

-1,74% -0,81% -0,94%

0,46% 0,51% -0,05%

1,71% 0,93% 0,77%

Fonds 761 AR Fonds 761 Timing Fonds 761 Selektion

-6,63% -0,76% -5,92%

-0,81% 0,35% -1,16%

-4,12% 0,07% -4,19%

-0,88% -0,22% -0,66%

-0,95% -0,95% 0,00%

0,48% 0,79% -0,31%

-7,10% -1,56% -5,62%

-1,02% -1,02% 0,00%

1,05% 1,05% 0,00%

Fonds 811 AR Fonds 811 Timing Fonds 811 Selektion

0,50% -0,21% 0,71%

0,73% 1,45% -0,71%

0,63% -0,74% 1,38%

0,03% -0,02% 0,05%

-0,88% -0,88% 0,00%

-1,42% -1,42% 0,00%

0,79% 0,94% -0,15%

-0,74% -0,81% 0,08%

1,90% 1,11% 0,78%

Fonds 999 AR Fonds 999 Timing Fonds 999 Selektion

-15,54% 0,78% -16,19%

-0,20% -0,42% 0,22%

-29,09% -1,15% -28,26%

10,51% -1,23% 11,88%

8,00% 3,65% 4,20%

148,45% -2,09% 153,75%

-20,19% 0,83% -20,84%

-24,04% 0,57% -24,47%

-43,93% 1,50% -44,76%

Tabelle 39: Aktive adjustierte Managementbeitr¨ age Portfolios nach Klassen. Die aktive, adjustierte Rendite sowie die Timing- und Selektionskomponenten f¨ ur die jeweiligen Ordnungskriterien sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

dite und den Fonds 811 f¨ ur die Timingkomponente. Die Beurteilung der F¨ahigkeiten insbesondere die Einteilung in market timer und stock picker h¨angt entscheidend davon ab. Daran ankn¨ upfend f¨allt beim Vergleich der Tabellen 35 und 39 auf, dass es sehr wenige Vorzeichenwechsel sowohl f¨ ur die aktive Rendite als auch die Komponenten hervorgerufen durch die Risikoadjustierung gibt. Auf der Portfolioebene wechselt der Fonds 591 in allen Komponenten und somit auch im aktiven Managementbeitrag das Vorzeichen. Der einzige andere Vorzeichenwechsel auf Portfolioebene betrifft die Timingkomponente des Fonds 811. In den einzelnen Gruppierungen bzw. Segmenten sind die Vorzeichenwechsel u ¨berwiegend in den Ratingklassen Bund und AAA/AA sowie den kurzen Restlaufzeitklassen zu beobachten. Dies erkl¨art sich durch die deutlich st¨arkere Gewichtung der Anleihenportfolios in diesen Bereichen in Relation zum Benchmark. Grunds¨atzlich lassen sich im Falle des risikoadjustierten aktiven Managementbeitrages die gleichen Fragen wie im nicht-adjustierten Fall beantworten. Der Vorteil liegt - zumindest theoretisch - in der erreichten Risiko¨aquivalenz trotz eines durch den gew¨ahlten Managementansatz bewussten Abweichens von dem Benchmark. Die Rangfolge der Fonds in Bezug auf ihre risikoadjustierten Renditen ist in Tabelle (40) aufgef¨ uhrt. Im Vergleich zu den Renditen ohne Adjustierung haben u ¨ber den gesamten Zeitraum der Fonds 157 und der Fonds 454 die Pl¨atze getauscht. Der um einen Platz abgerutschte Fonds 454 erfuhr eine betragsm¨aßig h¨ohere Adjustierung aufgrund der st¨arkeren

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

Rangfolge Rendite

141

Gesamt Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 811 811 591 811 591 591 388 382 388 713 713 265 761 712 454 712 591 157 713 712 388 712 713 265 265 157 713 388 454 382 454 157 712 591 811 382 454 811 157 761 761 761 454 382 157 265 382 999 761 388 999 999 265 999 999

Tabelle 40: Rangfolge Renditebetrachtung risikoadjustiert. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Gewichtung im Segment AAA/AA im Gegensatz zum Fonds 157, welcher in der Klasse Bund st¨arker investiert war. In den einzelnen Jahren ergeben sich ebenfalls leichte Verschiebungen, die aufgrund der unterschiedlichen Positionierung hinsichtlich Ratingklasse und Laufzeit jeweils plausibel sind. Dramatische Ver¨anderungen gibt es keine. Hierzu ist das Spreadniveau im gesamten Zeitraum nicht ausgepr¨agt genug. Es l¨asst sich daraus der Schluss ziehen, dass die Beurteilung der relativen Vorteilhaftigkeit schon auf Basis der nicht risikoadjustierten Werte erfolgen kann. Jedoch lassen die nicht risikobereinigten Renditen keine Aussage u ¨ber die absolute Vorteilhaftigkeit zu, solange sie keinem ad¨aquaten Benchmark gegen¨ ubergestellt wurden. Fokussiert man auf die reine Performance der in der vorliegenden Arbeit betrachteten Fonds, so erzielt nur ein Fonds eine bessere Rendite als der zum Vergleich herangezogene passive Benchmark. Allerdings f¨ uhrt der passive Benchmark den Vorteil, keine Transaktionskosten zu haben, ins Feld. Wie gesehen, ist unter Ber¨ ucksichtigung der Transaktionskosten mehr als die H¨alfte der Fonds geeignet, die Rendite des gew¨ahlten Benchmarks zu schlagen bzw. zu erreichen. Der Benchmark kann durch einen Investor in aller Regel nicht kostenfrei erworben werden.

5.5

Vergleich risikoadjustierte Performanceanalyse und Alpha

Werden die Ergebnisse der letzten Abschnitte zusammengefasst und einander gegen¨ ubergestellt, so sind auf den ersten Blick die durchgehend positiven Alphas im Gesamtzeitraum u ¨berraschend. Bei der Attributionsanalyse im vorhergehenden Abschnitt zeigt sich ein exakt gegenteiliges Bild. Bis auf den Fonds 811 bzw. den Fonds 591 in der risikoadjustierten Betrachtung weisen alle Portfolios einen negativen aktiven Managementbeitrag auf. Die abgeleiteten Aussagen aus beiden Verfahren zur Beurteilung des Portfoliomanagement haben teilweise unterschiedliche Zielrichtungen. Die klassische Attributionsanalyse343 zielt auf die Ermittlung der Komponenten Timing und Selektion und das insbesondere innerhalb einer Periode. Die Bestimmung des Alpha hingegen trennt zwischen Gl¨ uck und K¨onnen aufgrund der Betrachtung eines l¨angeren Zeitraumes. Die Tatsache, dass erzielte 343

Die risikoadjustierte Version ist hier in die Argumentation mit eingeschlossen.

5 DIE PERFORMANCEANALYSE - EMPIRIE

142

∅ w¨ochentliche Alphas Gesamtperiode AR adjustiert ∅ w¨ochentliche Alphas

Iboxx 4,57

157 3,54

265 0,36

382 1,19

388 3,91

454 3,59

- -2,07%

-8,19%

-6,63%

-1,32%

-1,98%

- -1,80% -8,22% -5,89% -1,25% 591 712 713 761 811 4,65 4,21 4,21 1,13 4,91

-1,97% 999 -4,85

Gesamtperiode 0,16%

-0,73%

-0,73%

-6,74%

0,69%

-13,27%

AR adjustiert 0,28%

-0,67%

-0,61%

-6,63%

0,50%

-15,54%

Tabelle 41: Vergleich Alpha zu AR adjustiert. Die w¨ochentlichen mittleren Alphas sind in BP angegeben. Die AR adjustiert sowie die auf die Gesamtperiode bezogenen Alphas sind in Prozent angegeben. Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich u ¨ber die Jahre 2000 bis 2003.

Renditen Auspr¨agungen einer Zufallsvariablen sind, spricht gegen einen Renditevergleich auf Basis weniger Beobachtungen. Die klassische Attributionsanalyse untermauert diese Aussage durch die Ermittlung der Komponenten der Performance in den einzelnen Zeit¨ punkten, um Aussagen dar¨ uber zu treffen, inwieweit eine best¨andige Uberperformance auf die gleichen Ursachen bzw. auf die durch das Portfoliomanagement zu beeinflussenden Ursachen zur¨ uckgeht. Indem die Ergebnisse der Attributionsanalyse ebenfalls u ¨ber den Gesamtzeitraum konsistent verkn¨ upft werden k¨onnen, verbindet die vorliegende Arbeit beide Aussagen hinsichtlich der Best¨andigkeit in den einzelnen Komponenten. Das u uhrt daher, dass f¨ ur die ¨berraschende Ergebnis eines durchgehend positiven Alpha r¨ Alpha-Bestimmung implizit die ex-ante risikoadjustierte Rendite bestehend aus den vielfach genannten Risikopr¨amien als Benchmark dient. Im Vergleich dazu beinhaltet der exogene Benchmark in Gestalt des Iboxx-Indexes zus¨atzlich zu den genannten Risikopr¨amien ¨ die eigene Uberrendite u ¨ber die risikoadjustierte Rendite. Grunds¨atzlich ist dies nicht zu erwarten und ggf. einer unzureichenden Modellierung der Risikopr¨amien zuzuschreiben. ¨ Zum Ausdruck kommt diese Uberrendite in dem positiven Alpha des Benchmark in H¨ohe von 238 BP, womit der Benchmark in der Spitzengruppe der zu beurteilenden Fonds liegt. Betrachtet man die mittleren w¨ochentlichen Alphas der Anleihenportfolios sowie des Benchmarks und bezieht die Differenz der Portfolioalphas zum Benchmark auf den gesamten Zeitraum so ergeben sich die Ergebnisse in Tabelle 41. In der Tabelle sind die durchschnittlichen w¨ochentlichen Alphas (∅ w¨ochentliche Alphas) angegeben. Diese werden auf die Gesamtperiode hochgerechnet (Gesamtperiode). Zum Vergleich werden die bekannten risikoadjustierten aktiven Renditen hinzugenommen. Diese Gegen¨ uberstellung zeigt, dass sich die Ergebnisse der klassischen, risikoadjustierten Attributionsanalyse und die Ergebnisse aus der Bestimmung des Alpha ineinander u uche aufgel¨ost werden. ¨berleiten lassen und so die scheinbaren Widerspr¨

6

Zusammenfassung und Ausblick

Die vorliegende Arbeit stellt auf theoretischer Ebene eine Verkn¨ upfung zweier wohlbekannter und wohlerforschter Gebiete, die Bewertung von ausfallbehafteten Anleihen auf der einen Seite und die klassische Attributionsanalyse auf der anderen Seite, her. Die Bewertung ausfallbehafteter Anleihen geschieht entlang der so genannten Reduktionsmodelle. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich keines direkten ¨okonomischen Ansatzes zur Erkl¨arung des Kreditrisikos innerhalb des Modelles bedienen. Sie setzen die M¨oglichkeit eines unvorhergesehenen Ausfalles exogen voraus. Die Attributionsanalyse baut auf den Arbeiten von Fama (1972) und insbesondere von Brinson/Fachler (1985) auf. Merkmal dieser Arbeiten ist, dass sie die aktive Rendite in die Komponenten Timing und Selektion mit Hilfe eines risiko¨aquivalenten Benchmarks zerlegen. Eine Zerlegung die der Praxis des Portfoliomanagement folgt, da sich Portfoliomanager gerne als Market Timer bzw. Stock Picker bezeichnen. Im Rahmen der theoretischen Aufarbeitung wurde dieses Konzept erweitert bzw. angepasst, so dass auf Basis einer multiplikativen, aktiven Rendite bzw. eines aktiven Managementbeitrages eine konsistente Verkn¨ upfung unterschiedlicher Dekompositionen innerhalb einer Performancemessungsperiode als auch u ¨ber die Perioden hinweg m¨oglich ist. Konsequenterweise k¨onnen die Perioden f¨ ur die Performancemessung und die Zeitabst¨ande f¨ ur die Aufbereitung bzw. das Reporting derselben auseinanderfallen, ohne erkl¨arungsbed¨ urftige Interaktionsterme nach sich zu ziehen. Das Ergebnis ist eine risikoadjustierte Attributionsanalyse und Performancemessung. F¨ ur Erstere stellt die Form der Risikoadjustierung die Risiko¨aquivalenz von Portfolio und Benchmark her, f¨ ur Letztere erlaubt es die Beurteilung unter Ber¨ ucksichtigung des eingegangenen Risikos ohne die Notwendigkeit, einen Benchmark zu definieren bzw. auszuw¨ahlen. Die Verbindung zwischen der theoretischen Aufarbeitung und der praktischen Anwendung auf gegebene Portfolios stellt die Sch¨atzung des Marktpreises des Risikos f¨ ur das gew¨ahlte Faktormodell dar. Der Modellrahmen zur Bewertung von ausfallbehafteten Anleihen erlaubt einem, ein Verst¨andnis zu entwickeln, welchen Wert der Markt den einer Anleihe inh¨arenten Risiken im Zeitablauf beimisst. Als Nebenprodukt der empirischen Parametersch¨atzung erm¨oglichen die Ergebnisse einen tiefgehenden Einblick in die Zins- und Spreadstruktur im europ¨aischen Anleihenmarkt. Neben des Vorhandenseins mindestens eines gemeinsamen Faktors zur Erkl¨arung der Entwicklung der Zins- und Spreadstruktur ist eines der Hauptergebnisse, die Zerlegung der erwarteten Rendite in die Pr¨amien f¨ ur die Faktorintensit¨ats¨anderungen sowie die Pr¨amien f¨ ur den eigentlichen Ausfall. F¨ ur Letztere k¨onnen lediglich Ober- und Untergrenzen angegeben werden. Die Anwendung der risikoadjustierten Performancemessung und Attributionsanalyse auf gegebene Portfolios zeigt, dass entlang der vorgeschlagenen Ordnungskriterien, die eine Entsprechung im theoretische Modell haben, eine Reihe von Fragen hinsichtlich des Investmentstils beantwortet werden k¨onnen. M¨oglich wird dies in der vorliegenden Arbeit nur dadurch, dass die Zusammensetzung der real existierenden Portfolios bekannt ist. Typische Fragestellungen aufgrund der Kenntnis der Zusammensetzung des Portfolios sind die Positionierung in Bezug auf die Ratingklassen oder die Laufzeitb¨ander und insbesondere der Erfolg einer solchen aktiven Entscheidung. In dieser Hinsicht gibt die vorgeschlagene Risikoadjustierung den Adressaten ein Instrumentarium an die Hand, entscheidungsrelevante Informationen zur Beurteilung des Portfoliomanagements zu generieren. Aufgrund der Wichtigkeit von Anleihenportfolios gemessen am angelegten Volumen in Deutschland

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144

6 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK

mag dies ein wichtiger Beitrag der vorliegenden Arbeit sein. Dar¨ uber hinaus l¨asst sich der Beitrag der vorliegenden Arbeit zusammenfassend an der empirischen Aufarbeitung der Verbindung einer theoriegest¨ utzten risikoadjustierten Performanceanalyse von Anleiheportfolios mit einer Attributionsanalyse festmachen. Die Risikoadjustierung fußt auf No-Arbitrage-Modellen. Elementar f¨ ur ihre Durchf¨ uhrung ist die Verwendung detaillierter Informationen u ¨ber die Portfoliozusammensetzung und die Umschichtungen. Erweiterungen des Modells sollten wie im Laufe der Arbeit mehrfach erw¨ahnt am theoretischen Modell der Risikoadjustierung ansetzen und dieses einerseits um geeignete Ordnungskriterien bzw. Komponenten sowie andererseits die Anzahl der Faktoren zur Ermittlung des Marktpreises des Risikos erweitern. Letzteres erm¨oglicht bei geeigneter Parametrisierung und entsprechendem Datenmaterial eine genauere Bestimmung von Liquidit¨atskomponenten und der eigentlichen Ausfallpr¨amie im gesamten Kreditrisikospread. Dies gilt insbesondere f¨ ur die Ermittlung der Risikoadjustierung des Benchmarks, um Modellfehler in diesem Bereich zu minimieren bzw. auszuschließen. Solange die im Rahmen der Portfoliodekomposition gew¨ahlten Ordnungskriterien eine Entsprechung im theoretischen Modell haben, sind die abgeleiteten Schl¨ usse und Informationen relevant und geeignet zur Beurteilung eines aktiven Portfoliomanagements.

A

Literaturu ¨ berblick

Dieser Abschnitt listet die grundlegenden Arbeiten in der Historie der Performancemaße und der -attribution in Anlehnung an Paape (2001) auf.344 Die jeweils neu eingef¨ uhrten bzw. verwendeten Begriffe werden der Vollst¨andigkeit halber angegeben. Zur Definition wird auf die Originalliteratur verwiesen. Performancemaße - Die Anf¨ ange • 1965 Treynor: Treynor-Ratio • 1966 Sharpe: Sharpe-Ratio • 1968 Jensen: Jensen-Alpha Blickt man in die Historie, so finden sich die Anf¨ange der Performanceanalyse heutiger Auspr¨agung in den sechziger Jahren des letzten Jahrhunderts. Als Konsequenz aus der Entwicklung der modernen Portfoliotheorie und des CAPM lassen sich zum ersten Mal Aussagen zu der Beziehung zwischen erwarteter Rendite und Risiko auf Basis eines theoretischen Asset-Pricing-Modelles machen. Performancemaße - Die Weiterentwicklungen • 1979 Cornell: event study measure • 1987 Lehmann/Modest: multidimensional benchmark based on APT • 1989 Grinblatt/Titman : portfolio change measure • 1996 Chen/Knez : conditional alpha, stochastic discount factor • 1996 Ferson/Schadt : conditional alpha, stochastic discount factor • 2006 Ferson/Tyler/Kisgen : conditional alpha of government bonds • 2009 Moneda : weights-based approach Die Weiterentwicklungen der fr¨ uhen Performancemaße ist in erster Linie von den gewichtsbasierten Performancemaßen und der Dynamisierung derselben gepr¨agt, indem die ¨ Messung bedingt auf die Anderungen des Anlageumfeldes erfolgt. Variieren das Risiko oder die Risikopr¨amien im Zeitablauf, so werden diese Schwankungen im Rahmen der unbedingten Maße f¨alschlicherweise als Performancebeitrag interpretiert. Renditeorientierte Attributionskomponenten • 1972 Fama: selectivity, timing, risk • 1985 Brinson/Fachler: market selection, stock selection, cross product • 1986 Brinson/Hood/Beebower: market timing, stock selection, cross product 344

Nat¨ urlich kann solch eine Aufstellung niemals vollz¨ ahlig sein. Die Intention ist, einen zeitlichen ¨ Uberblick u ¨ber wichtige Entwicklungen zu geben.

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¨ A LITERATURUBERBLICK

146

• 1991 Hensel/Don Ezra/Ilkiw: market timing, security selection, interaction, activity • 1991 Brinson/Singer/Beebower: active asset allocation, security selection, cross product term Den Beginn der Attributionsanalysen stellt die Arbeit von Fama(1972) dar. Dort werden erstmals die Begriffe Selektion und Timing systematisch eingef¨ uhrt. Diese beiden Komponenten bilden bis heute die Eckpfeiler der meisten Attributionsmodelle. Die heute u ¨bliche, im weiteren als klassisch bezeichnete Systematik zur Bestimmung der Komponenten geht maßgeblich auf die Arbeiten von Brinson et.al.345 zur¨ uck. Risikoorientierte Attributionskomponenten • 1992 Ankrim: allocation adjustment, selection adjustment, interaction adjustment Fama (1972) ber¨ ucksichtigt explizit die Risikokomponente bei der Zerlegung. Die einfach handhabbaren Verfahren der klassischen Attributionsmodelle nach Brinson et.al., sowie deren Ableger, arbeiten alle mit der impliziten Risiko¨aquivalenz des Benchmarks. Daher existieren wenige Attributionsverfahren, welche eine explizite Risikoadjustierung vornehmen. Ankrim (1992) entwickelte eine Methode, die eine Risikoadjustierung analog des urspr¨ unglichen Ansatzes von Fama in die Methodik nach Brinson et.al. integriert. W¨ ahrung als Attributionskomponente • 1994 Ankrim/Hensel: forward premium effect, surprise effect • 1995 Singer/Karnorsky: currency allocation returns, currency hedge selection • 1996 Bain: policy, selection, relative return Als grundlegende Arbeit der W¨ahrungsattribution gilt die aufgef¨ uhrte Arbeit von Singer/Kanorsky. Bain (1996) besch¨aftigt sich erstmals mit einer multiplikativen Attributionsanalyse. Fixed-Income Attributionsmodelle • 1980 Dietz/Fogler/Hardy: yield to maturity effect(known income), interest rate effect, sector/quality effect(unknown income) • 1983 Fong/Pearson/Vasicek: external interest rate effect, management contribution, maturity management, sector management, selection • 1997 Khoury/Veilleux/Viau: components related to passage of time, yield curve movements, spread changes, security selection • 1997 Lord: income return, price return(calendar return, duration return, spread return) • 2000 Campisi: income return, price return (treasury effect, spread effect, selection effect) 345

Vgl. Brinson/Fachler (1985), Brinson et.al. (1986) und Brinson et.al. (1991)

B

Attributionsanalyse

B.1

Multiplikatives Attributionsverfahren - Herleitung der Gl¨ attungsfaktoren

Die Vorgabe f¨ ur die Ermittlung der Faktoren im optimierten geometrischen Ansatz nach Menchero ist, die Abweichungen zum reinen geometrischen Ansatz so gering wie m¨oglich zu halten.346 Damit keine Residuen auftreten, m¨ ussen die Komponenten G1 = Sitopt und G2 = Aopt folgende Bedingung erf¨ u llen: it 2

(1 + Gm ) =

m=1

(1 + RP t ) (1 + RBt )

(105)

Der Gl¨attungsfaktor, der den Zusammenhang zwischen den optimierten und reinen Komponenten (mit Superskript 0) herstellt, ergibt sich aus folgender Beziehung: 1 + Gm = (1 + G0m )Γm

(106)

Γm = (1 + δm )ln(1+Gm )

(107)

0

Die vorgeschlagene Form ber¨ ucksichtigt die Tatsache, dass bei einem reinen Attributionseffekt, der gegen null geht, der Gl¨attungsfaktor gegen eins konvergiert und somit kleine Attributionseffekte nicht unverh¨altnism¨aßig verzerrt werden. Setzt man Gleichung (106) in (105) ein und logarithmiert zur Basis e, so erh¨alt man

ln(1 + RP t ) − ln(1 + RBt ) − 



2

ln(1 + G0m ) =

m=1

ˆ H



2

ln(Γm )

(108)

m=1

Fasst man die Gleichungen (107) und (108) zusammen, so ergibt sich:

ˆ = H

2 m=1

ln(Γm ) =

2

ln(1 + G0m ) ln(1 + δm ).

(109)

m=1

Die gesuchte L¨osung ergibt sich als Minimum der Funktion fˆ =

2

ln2 (1 + δm )

m=1

346

Vgl. zur Herleitung Menchero (2005), Appendix A.

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(110)

B ATTRIBUTIONSANALYSE

150

unter der Nebenbedingung, dass Gleichung (109) gilt. Die L¨osung ergibt sich als

ˆ ln(1 + G0 ) H m . 2  2 ln (1 + G0m )

ln(1 + δm ) =

(111)

m=1

¨ Definiert man der Ubersichtlichkeit halber Q folgendermaßen,

Q=

ˆ H 2 

,

(112)

ln2 (1 + G0m )

m=1

so erh¨alt man durch Umformen

ln(1 + δm ) = Q ln(1 + G0m )

(113)

1 + δm = (1 + G0m )Q

(114)

Γm = (1 + G0m )Q ln(1+Gm ) = exp(Q ln2 (1 + G0m )) 0

(115)

das gew¨ unschte Ergebnis.

B.2

Multiplikatives Attributionsverfahren - Weitere Verfahren

Aufbauend auf dem Beispiel aus Abschnitt 2.3.2 werden f¨ ur weitere multiplikative Verfahren die Ergebnisse sowie deren Rechenmethodik angegeben. Die Methode nach Burnie, Knowles and Teder (BKT)347 Der Selektionsbeitrag ergibt sich als SitBKT =

wP it (RP it − RBit ) . 1 + RT imt

(116)

Der Z¨ahler gleicht dem additiven Selektionsbeitrag dem Modell nach Brinson et.al. RT imt entspricht der Rendite des Timingportfolios aus selbigem Modell und berechnet sich aus

347

Vgl. Burnie et.al. (1998)

B ATTRIBUTIONSANALYSE

151

den Portfoliogewichten und dem Benchmarkreturn der jeweiligen Zerlegungseinheit. RT imt =

N

wP it · RBit .

(117)

i=1

Aggregiert werden die Selektionsbeitr¨age der Zerlegungseinheiten additiv zum gesamten Selektionsbeitrag der Periode. 1 + StBKT = 1 +

N

SitBKT =

i=1

1 + RP t . 1 + RT imt

(118)

Der Timingeffekt wird analog bestimmt. = ABKT it

(wP it − wBit )(RBit − RBt ) . 1 + RBt

=1+ 1 + ABKT t

N

ABKT = it

i=1

1 + RT imt . 1 + RBt

(119)

(120)

Somit ergibt sich der Managementbeitrag zu )= (1 + StBKT )(1 + ABKT t

1 + RP t . 1 + RBt

(121)

Die exponentielle Methode nach Cari˜ no348 Der Selektionsbeitrag ergibt sich als 1 + SitExp = exp(kt wP it (RP it − RBit )).

(122)

Der Anpassungsfaktor kt ist definiert als kt =

ln(1 + RP t ) − ln(1 + RBt ) . RP t − RBt

(123)

Der aggregierte Selektionseffekt wir multiplikativ bestimmt. 1 + StExp = = exp(kt



N

(1 + SitExp ) i=1

wP it (RP it − RBit ))

i

= exp(kt (RP t − RT imt )).

348

Vgl. Cari˜ no (1999)

(124)

B ATTRIBUTIONSANALYSE

152 Der Timingeffekt wird analog ermittelt. = exp(kt (wP it − wBit )(RBit − RBt )). 1 + AExp it

= 1 + AExp t = exp(kt



(125)

N

(1 + AExp it ) i=1

(wP it − wBit )(RBit − RBt ))

i

= exp(kt (RT imt − RBt )).

(126)

Multiplikativ verkn¨ upft ergeben der Selektionseffekt und der Timingeffekt exakt den Managementbeitrag. (1 + StExp )(1 + AExp ) = exp(kt (RP t − RBt )) = t

1 + RP t . 1 + RBt

(127)

B ATTRIBUTIONSANALYSE

153

Die Ergebnisse f¨ ur die Methode nach BKT und Cari˜ no Periode/Ratingklasse Periode 1 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 1 Periode 2 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 2 Periode 3 Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt Periode 3 Gesamte Periode Ratingklasse 1 Ratingklasse 2 Ratingklasse 3 Gesamt (Klassen) Gesamt (Perioden)

Selektion -1,95% 0,00% 0,00% -1,95%

BKT Timing 0,00% 1,08% 1,31% 2,39%

Gesamt -1,95% 1,08% 1,31% 0,39%

Selektion -1,97% 0,00% 0,00% -1,97%

Carino Timing 0,00% 1,08% 1,32% 2,41%

Gesamt -1,97% 1,08% 1,32% 0,40%

0,18% 0,00% 0,00% 0,18%

0,00% 0,25% -0,07% 0,18%

0,18% 0,25% -0,07% 0,36%

0,18% 0,00% 0,00% 0,18%

0,00% 0,25% -0,07% 0,18%

0,18% 0,25% -0,07% 0,36%

1,74% 0,00% 0,00% 1,74%

0,00% -0,14% -1,23% -1,37%

1,74% -0,14% -1,23% 0,35%

1,72% 0,00% 0,00% 1,72%

0,00% -0,14% -1,22% -1,36%

1,72% -0,14% -1,22% 0,34%

-0,06% 0,00% 0,00% -0,06% -0,06%

0,00% 1,19% -0,01% 1,17% 1,17%

-0,06% 1,19% -0,01% 1,10% 1,10%

-0,10% 0,00% 0,00% -0,10% -0,10%

0,00% 1,20% 0,01% 1,20% 1,20%

-0,10% 1,20% 0,01% 1,10% 1,10%

Tabelle 42: Zus¨ atzliche Attributionsergebnisse. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der Methoden nach Burnie et.al. (1998) und Cari˜ no (1999).

C

Geschlossene Bewertungsformel fu ¨ r Anleihen im CIR-Modell

Nach Cox et.al. (1985) l¨asst sich der Wert einer Nullkuponanleihe (riskant als auch risikofrei), sofern die den Zinssatz treibenden Faktoren einem Quadratwurzelprozess folgen, folgendermaßen bestimmen:

V (Ft , ψ, t, T ) =

I

Ai (ψ, T ) · exp(−

i=1

I

Bi (ψ, T )) · fi (t)

i=1

mit ) Ai (ψ, T ) =

Bi (ψ, T ) =

γi =

2γi e(γi +κi +λi )(T −t)/2 (γi + κi + λi )(eγi (T −t) − 1) + 2γi

* 2κi2θi σ

i

2(eγi (T −t) − 1) (γi + κi + λi )(eγi (T −t) − 1) + 2γi

6 (κi + λi )2 + 2σi2

Die ersten beiden Momente des Prozesses lassen sich ebenfalls angeben: E(r(t)) = r(0)e−κt + θ(1 − e−κt )

V ar(r(t)) = r(0)

σ 2 −κt σ2 (e − e−2κt ) + θ (1 − e−κt )2 κ 2κ

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D

Herleitung Vasicek

Zur Herleitung der allgemeinen Zinsstrukturkurvenformel werden mehrere Annahmen getroffen. (A.1) Die Shortrate folgt einem kontinuierlichen Markovprozess. Dies bedeutet, dass die Shortrate durch folgende stochastische Differentialgleichung beschrieben wird. dr(t) = a(r, t)dt + b(r, t)dW (A.2) Der Preis der Nullkuponanleihe P(t,T) wird allein von der Entwicklung der Shortrate u ¨ber die Laufzeit des Bondes hinweg bestimmt. (A.3) Der Markt ist effizient und arbitragefrei. Insbesondere haben die Investoren homogene Erwartungen bez¨ uglich der Zinsentwicklung. Da der Bondpreis eine Funktion der Shortrate ist, folgt mit Hilfe von Itˆ o:

dP = P μ(t, T, r)dt + P σ(t, T, r)dW, mit μ(t, T, r) =

+ , 1 δP (∼) δP (∼) 1 δ 2 P (∼) +f + (r, t)2 P (∼) δt δr 2¯ δr2

σ(t, T, r) = −

δP (∼) 1 b(r, t) . P (∼) δr

Formt man ein Portfolio aus zwei Anleihen mit unterschiedlichen Laufzeiten T1 und T2 , dessen Gesamtwert Z = Z2 +Z1 entspricht, wobei Zi das jeweilige Gewicht der Anleihe am Gesamtportfolio beschreibt, so folgt der Wert Z der nachstehenden Differentialgleichung. Ein negatives Gewicht bedeutet dass die Anleihe emittiert bzw. eine Shortposition in der Anleihe eingegangen wird.

dZ = (Z2 μ(t, T2 , r) − Z1 μ(t, T1 , r))dt − (Z2 σ(t, T2 , r) − Z1 σ(t, T1 , r))dW Werden die Gewichte Z1 und Z2 proportional zu σ(t, T1 , r) bzw. σ(t, T2 , r) gew¨ahlt, so erh¨alt man

dZ = Z(μ(t, T2 , r)σ(t, T1 , r) − μ(t, T1 , r)σ(t, T2 , r))(σ(t, T1 , r) − σ(t, T2 , r))− 1dt.

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D HERLEITUNG VASICEK

158

Da dieses Portfolio risikolos ist(Die stochastischen Einfl¨ usse wurden durch die Wahl der Gewichte eliminiert.), muss es eine Rendite entsprechend der risikolosen Shortrate erzielen. Es folgt: μ(t, T1 , r) − r(t) μ(t, T2 , r) − r(t) = = λ(t, r). σ(t, T1 , r) σ(t, T2 , r)

¨ E RISIKOPRAMIE IM PORTFOLIOKONTEXT

160 "

δ 2 Pgr (∼) δPgr (∼) ∗ δPgr (∼) 1 + + bk (fk )2 dPgr (fk , Ti ) = ak δt δf (t) 2 δfk (t)2 k k δPgr (∼) dWk∗ (t) bk (fk ) + δf k (t) k

# dt

F¨ ur die Rendite gilt analog zur Herleitung beim Zerobond: μPgr = (r(t) + sgr (t)) · Pgr (fk , Ti )  (∼) μPgr = μ∗Pgr − Λk · bk (fk ) δPδfgrk (t) k

μ∗Pgr − (r(t) + sgr (t)) · Pgr (fk , Ti ) =

 k

(∼) Λk · bk (fk ) δPδfgrk (t)

μ∗Pgr − (r(t) + sgr (t)) · Pgr (fk , Ti ) = =



Λk · bk (fk ) ·

j

k



Ngr,j

μ∗Pgr −

gr





CFgr,i · (−Bk (Ti )) · Vgr (fk , Ti )

i

(r(t) + sgr (t)) · Pgr (fk , Ti ) =

gr

      1 2 = Λk · bk (fk ) · Ngr,j CFgr,i · (−Bk (Ti )) · Vgr (fk , Ti ) gr



j

k

i

 3

Zu 1 auf Euroebene:  ∗ μPgr = μ∗P gr

Zu 1 auf Prozentebene: μ∗P PG (fk ,Ti )

Zu 2 auf Euroebene:  (r(t) + sgr (t)) · Pgr (fk , Ti ) gr

Zu 2 auf Prozentebene:   (fk ,Ti ) (r(t) + sgr (t)) · PPgr = r(t) + sgr (t) · xgr G (fk ,Ti ) gr

gr

Zu 3 auf Euroebene:    Λk · bk (fk ) · Ngr,j CFgr,i · (−Bk (Ti )) · Vgr (fk , Ti ) gr

k

j

i



¨ E RISIKOPRAMIE IM PORTFOLIOKONTEXT Zu 3 auf Prozentebene:   Λk · bk (fk ) · xgr,i,j · (−Bk (Ti )) gr

k

j

i

161

E

Risikopr¨ amie im Portfoliokontext

¨ Vorab seien kurz die Abk¨ urzungen bzw. Indizes in einer tabellarischen Ubersicht aufgef¨ uhrt. gr - Gruppierung k - Laufvariable f¨ ur die Faktoren T - F¨alligkeit CF - Cash Flow i - Laufvariable f¨ ur die Cash Flows N - Nennwert der Anleihen j - Laufvariable f¨ ur die Nennwerte x - Gewicht Der Zerobond, abh¨angig von den Faktoren fk der jeweiligen Gruppierung gr, mit Restlaufzeit T wird mit Vgr (fk , T ) bezeichnet. Ein Kuponbond ergibt sich als Summe der Zerobonds als  VgrKupon (fk , Ti ) = CFgr,i · Vgr (fk , Ti ). i

Das Portfolio wiederum ergibt sich als Summe der Kuponbonds multipliziert mit den jeweils im Portfolio gehaltenen Nennwerten. F¨ ur die jeweilige Gruppierung gilt:   Pgr (fk , Ti ) = Ngr,j CFgr,i · Vgr (fk , Ti ). j

i

Das gesamte Portfolio ergibt sich schließlich als Summe u ¨ber die Gruppierungen gr.   Ngr,j CFgr,i · Vgr (fk , Ti ). PG (fk , Ti ) = gr

j

i

F¨ ur den Zerobond Vgr (fk , T ) als Faktorderivat gilt unter der Annahme orthogonaler Faktoren mit Hilfe des Lemma von Ito:  δVgr (∼)  δ2 Vgr (∼) dVgr (fk , T ) = δVgrδt(∼) dt + df + 12 (df )2 δfk δf 2 k

k

k

δVgr (∼) δVgr (∼) 1 δ 2 Vgr (∼) dt + df + (df )2 δt δf 2 k δfk2 k k # " 2 δVgr (∼) ∗ δVgr (∼) 1 2 δ Vgr (∼) dt + + bk (fk ) = ak δt δfk (t) 2 δfk (t)2 k δVgr (∼) + dWk∗ (t) bk (fk ) δf k (t) k

dVgr (fk , T ) =

F¨ ur das Portfolio bzw. die einzelne Gruppierung des Portfolio als Faktorderivat gilt analog:

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F

Faktorrealisationen Bund Zwei-Faktor-Modell Zeitpunkt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

Bund Faktor 1 178,7 168,8 158,7 176,4 194,2 221,2 204,3 224,6 224,3 233,0 257,8 257,9 259,6 257,8 273,8 273,5 287,1 306,7 317,3 349,8 347,7 386,5 364,1 384,1 387,9 388,4 374,2 386,1 399,6 422,1 425,9 426,1 450,7 451,3 432,2 442,9 417,6 392,7 396,7 395,7 401,3 397,4 410,0 413,4 410,0 394,4 413,5 409,9 409,7 394,2 375,0 361,9 347,6 357,7 359,4 352,2 346,3 359,4 365,2 367,5 355,6 359,7 359,2 340,4 328,9 314,6 330,3 323,7 338,1 345,1 325,7 290,7 281,7 270,2 245,3 268,5 250,5 253,5 258,1 249,1 250,3 253,3 247,8 246,9 234,2 230,2 230,5 227,8 157,3 124,3 121,3

Bund Faktor 2 178,3 183,8 191,6 185,3 177,0 175,8 184,7 165,3 168,3 161,8 146,8 139,1 142,5 128,0 128,7 136,4 134,2 141,6 135,7 138,2 128,3 104,2 99,7 97,6 101,8 106,9 109,4 111,5 111,9 94,6 91,7 91,4 91,2 91,2 103,5 90,4 102,0 107,7 105,4 102,0 93,6 95,5 96,8 91,1 97,6 95,9 84,9 79,2 58,6 67,4 64,2 68,5 60,3 65,3 67,5 74,0 68,3 61,6 62,7 66,9 62,2 60,5 55,1 54,4 57,1 67,3 73,2 79,3 82,0 88,0 83,6 104,4 112,3 115,2 114,0 111,9 108,7 103,2 115,6 112,1 107,8 103,7 99,7 99,7 96,4 99,6 96,6 106,6 111,7 120,3 122,1

Summe 357,0 352,6 350,3 361,6 371,2 397,0 389,0 389,8 392,6 394,8 404,6 397,0 402,1 385,8 402,4 409,9 421,2 448,3 453,0 488,0 476,1 490,7 463,7 481,8 489,8 495,3 483,6 497,6 511,5 516,7 517,6 517,5 542,0 542,5 535,7 533,3 519,6 500,4 502,1 497,6 494,9 492,9 506,8 504,5 507,6 490,3 498,4 489,1 468,3 461,6 439,2 430,4 407,9 423,0 426,9 426,2 414,6 421,0 427,9 434,3 417,8 420,1 414,2 394,8 386,0 381,9 403,6 403,0 420,0 433,1 409,3 395,1 394,0 385,5 359,3 380,4 359,2 356,8 373,8 361,1 358,0 357,1 347,5 346,5 330,6 329,8 327,1 334,4 269,1 244,6 243,4

Zeitpunkt 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197

Bund Faktor 1 193,0 207,8 212,4 201,7 210,1 204,0 203,6 200,8 209,1 215,4 223,7 219,9 211,1 207,0 206,5 203,5 213,7 235,6 229,5 233,9 229,4 221,4 225,0 220,2 207,4 205,6 201,1 190,2 183,2 169,9 188,8 206,6 196,3 174,3 183,6 168,2 159,7 138,9 130,2 143,1 123,2 116,0 111,5 110,4 114,0 117,2 119,4 104,8 92,9 96,6 92,7 80,5 80,8 84,8 94,3 94,2 77,3 74,0 60,0 58,9 69,9 87,2 69,6 60,2 54,4 71,6 67,4 57,3 53,8 50,1 59,7 61,8 53,3 40,9 53,0 43,2 39,3 33,1 39,4 41,8 46,0 71,1 72,6 74,3 77,1 81,2 63,4 60,4 52,4 49,6 56,7

J. Daum, Risikoadjustierte Performanceanalyse von Anleiheportfolios, DOI 10.1007/978-3-8349-8885-0, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

Bund Faktor 2 108,6 109,9 121,6 114,2 126,6 124,7 126,3 143,0 145,6 146,8 145,9 144,4 144,5 145,6 142,5 141,7 142,3 144,6 137,0 135,0 133,4 130,6 117,6 114,3 118,9 120,1 117,2 105,5 106,9 93,4 79,3 93,4 88,9 80,5 85,2 72,8 71,2 82,1 77,5 102,6 106,3 102,7 109,7 91,6 91,1 101,6 96,4 88,2 83,7 83,0 76,2 81,6 82,8 69,3 62,1 59,0 55,9 54,4 54,2 52,6 44,5 78,4 80,8 75,8 85,7 79,5 77,6 72,9 62,9 56,6 40,3 43,2 36,2 24,1 37,2 35,5 54,5 61,5 68,2 68,0 75,7 77,6 77,6 81,8 82,8 95,6 86,2 80,3 74,9 64,7 82,6

Summe 301,6 317,7 334,0 315,9 336,7 328,7 329,9 343,8 354,7 362,2 369,6 364,3 355,6 352,6 349,0 345,2 356,0 380,1 366,5 368,9 362,7 352,1 342,6 334,5 326,3 325,7 318,2 295,7 290,1 263,3 268,1 300,0 285,1 254,7 268,7 241,0 230,9 221,0 207,7 245,7 229,5 218,7 221,2 202,0 205,1 218,7 215,8 193,0 176,6 179,5 168,9 162,0 163,6 154,0 156,3 153,2 133,2 128,3 114,2 111,5 114,4 165,6 150,4 136,0 140,1 151,2 145,0 130,2 116,8 106,7 100,0 105,0 89,5 64,9 90,2 78,7 93,8 94,6 107,6 109,8 121,8 148,7 150,2 156,1 159,9 176,7 149,6 140,7 127,3 114,3 139,3

F FAKTORREALISATIONEN BUND ZWEI-FAKTOR-MODELL

164 Zeitpunkt 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106

Bund Faktor 1 121,9 132,7 139,4 145,8 130,6 114,2 128,2 172,9 174,7 178,6 171,1 168,9 165,2 153,7 179,3

Bund Faktor 2 108,6 108,9 104,8 94,9 85,8 79,1 97,4 102,0 105,0 106,5 108,7 116,1 124,7 135,4 124,7

Summe 230,5 241,6 244,2 240,7 216,4 193,4 225,6 274,9 279,7 285,1 279,8 285,0 289,9 289,1 304,0

Zeitpunkt 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 Maximum Summe θ1 + θ2

Bund Faktor 1 59,9 65,5 64,6 70,6 68,5 55,6 65,6 69,8 64,1 61,3 66,9 60,9

Bund Faktor 2 97,3 89,7 95,2 98,4 108,2 99,7 102,2 107,3 98,8 88,7 86,1 91,2

Summe 157,2 155,1 159,9 169,0 176,7 155,4 167,8 177,1 162,9 149,9 153,0 152,1 542,5 559,6

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