Heinz Unbeliauen Regelungstechnik I
Aus dem Programm Automatisierungstechnik
SpeicherprogrammierbareSteuerungen
von W. Braun Mechatronik
herausgegeben von B. Heinrich Kaspers/Kufner Messen Steuern Regein
herausgegeben von B. Heinrich Messtechnik
von R. Parthier Regelungstechnik fiir Ingenieure
von M. Renter und S. Zacher Regelungstechnik II
Zustandsregelungen, digitale und nichtlineare Regelsysteme von H. Unbehauen Automatisieren mit SPS
Theorie und Praxis von G. Wellenreuther und D. Zastrow Automatisieren mit SPS
Ubersicht und Ubungsaufgaben von G. Wellenreuther und D. Zastrow Ubungsbuch Regelungstechnik
von S. Zacher
vieweg
Heinz Unbehauen
Regelungstechnik I Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher Regelsysteme, Fuzzy-Regelsysteme
14., verbesserte und aktualisierte Auflage Mit 205 Abbildungen und 25 Tabellen
Studium Technik
31 vieweg
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaiUierte bibliografische Daten sind im Internet iiber
abrufbar
1. Auflage 1982 2., durchgesehene Auflage 1984 3., durchgesehene Auflage 1985 4., durchgesehene Auflage 1986 5., durchgesehene Auflage 1987 6., durchgesehene Auflage 1989 7., iiberarbeitete und erweiterte Auflage 1992 8.,iiberarbeitete Auflage 1994 9., durchgesehene Auflage 1997 10., voUstandig iiberarbeitete Auflage Oktober 2000 11., durchgesehene Auflage Oktober 2001 12., durchgesehene Auflage Oktober 2002 13., verbesserte Auflage April 2005 14., verbesserte und aktualisierte Auflage Februar 2007 AUe Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Reinhard Dapper Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere ftir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Finspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0230-9
Vorwort zur 10. Auflage In den letzten fast zwanzig Jahren seit dem Erscheinen der ersten Auflage der „Regelungstechnik I" hat sich dieses Buch als begleitender Text zu vielen einfiihrenden Vorlesungen in dieses Fachgebiet an zahlreichen Hochschulen gut eingefiihrt und bewahrt, was nicht zuletzt die bisher erschienenen neun Auflagen beweisen. Viele Fachkollegen und Studenten haben sich anerkennend iiber die zweckmafiige Stoffauswahl geaufiert, so dass ich darin bestarkt wurde, den Inhalt der vorliegenden 10. Auflage nicht wesentlich zu kiirzen. Vielmehr wurde auf vielfache Anregung ein weiteres Kapitel iiber Grundlagen der Fuzzy-Regelung erganzend einbezogen. So prasentiert sich die neue „Regelungstechnik I" als eine griindlich iiberarbeitete und erweiterte Fassung des bewahrten StofFes, der im Rahmen der vorliegenden 10. Auflage unter Verwendung des Textverarbeitungssystems WI^ neu gestaltet wurde. Dabei bestand die Gefahr, dass sich durch die Neugestaltung des Satzes neue Schreibfehler einschleichen. Doch hoffe ich, dass dem Leser mit dieser 10. Auflage eine ansprechende und weitgehend fehlerfreie Darstellung zur Verfiigung gestellt wird. Obwohl die „Regelungstechnik I" bereits zahlreiche Rechenbeispiele enthalt, bestand die urspriingliche Absicht, bei der Herausgabe einer neuen Auflage dieselbe in einem Anhang durch eine umfangreiche Aufgabensammlung mit detaillierten Losungen zu erweitern. Ich habe mich aber vom Verlag iiberzeugen lassen, dass bei dem Volumen dieser Aufgabensammlung ein getrennter kleinerer Zusatzband „Aufgaben zur Regelungstechnik I" zweckmafiiger ist, der dann erstmals 1992 erschien. Die Regelungstechnik stellt heute ein Grundlagenfach fiir die meisten Ingenieurwissenschaften dar. Wahrend friiher das Prinzip der Regelung in den einzelnen ingenieurwissenschaftlichen Fachern anhand spezieller Anwendungsbeispiele oder geratetechnischer Funktionen abgeleitet und erlautert wurde, hat sich heute weitgehend die Behandlung der Regelungstechnik als methodische Wissenschaft durchgesetzt, die unabhangig vom Anwendungsgebiet ist. Die Methodik besteht i.a. darin, Regelsysteme aus unterschiedlichen Anwendungsbereichen in einheitlicher Weise darzustellen, zu analysieren und zu entwerfen, wobei aber auf die jeweilige physikalisch-technische Interpretation nicht verzichtet werden kann. Im vorliegenden Buch, dem ersten Band eines dreiteiligen Werkes, werden die wichtigsten Methoden der bewahrten klassischen Regelungstechnik systematisch dargestellt. Die Behandlung beschrankt sich in dieser einfiihrenden Darstellung auf lineare kontinuierliche Regelsysteme, entsprechend einer einfiihrenden Vorlesung in die Regelungstechnik. Dabei wendet sich das Buch an Studenten der Ingenieurwissenschaften und Ingenieure der industriellen Praxis, die sich fiir regelungstechnische Methoden zur Losung praktischer Probleme interessieren. Es ist zum Gebrauch neben Vorlesungen auch zum Selbststudium vorgesehen. Fiir die Darstellung weiterfiihrender Methoden, z.B. zur Behandlung von nichtlinearen Regelsystemen, von Abtastregelsystemen und fiir die Darstellung und die Synthase von Regelsystemen im Zustandsraum muss auf den Band „ Regelungstechnik 11" verwiesen werden. Im Band „Regelungstechnik III" werden statistische Verfahren zur Analyse von Regelsystemen sowie der Entwurf adaptiver und optimaler Regelsysteme behandelt. Es gibt zwar zahlreiche einfiihrende Biicher iiber Methoden der Regelungstechnik, den-
VI
noch versucht das vorliegende Buch, eine Liicke zu schliefien. Wahrend in vielen einfiihrenden regelungstechnischen Werken ein grof5es Gewicht auf die klassischen Verfahren zur Stabilitatsanalyse gelegt wird, kommen meist die Syntheseverfahren zum Entwurf von Regelsystemen zu kurz. Daher war es mein Ziel, Synthese- und Analyseverfahren mindestens gleichgewichtig darzustellen. Dabei entstand ein umfassendes Kapitel iiber die wichtigsten bewahrten Syntheseverfahren zum klassischen Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme. Aufierdem enthalt das Buch ein ausfiihrliches Kapitel iiber deterministische Verfahren zur experimentellen Analyse von Regelkreisgliedern, die besonders fiir die praktische Anwendung von Bedeutung sein diirften. Nach einer Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik, die im Kapitel 1 anschaulich anhand verschiedener Beispiele durchgefiihrt wird, werden im Kapitel 2 die wesentlichen Eigenschaften von Regelsystemen vom systemtheoretischen Standpunkt aus dargestellt. Im Kapitel 3 werden die wichtigsten Beschreibungsformen fiir lineare kontinuierliche Systeme im Zeitbereich eingefiihrt. Die allgemeine Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich schliefit sich im Kapitel 4 an. Nachdem damit die notwendigen Grundlagen zur Behandlung von linearen kontinuierlichen Regelsystemen geschaffen sind, konnen nun im Kapitel 5 das dynamische und stationare Verhalten von Regelkreisen sowie die gebrauchlichen linearen Reglertypen besprochen werden. Eine der bedeutendsten Problemstellungen fiir den Regelungstechniker stellt die im Kapitel 6 behandelte Stabilitatsanalyse dar. Die wichtigsten Stabilitatsbegriffe werden definiert und algebraische sowie grafische Stabilitatskriterien eingefiihrt. Als Ubergang zu den Syntheseverfahren, aber gleichermaiJen fiir die Stabilitatsanalyse von Bedeutung, wird im Kapitel 7 das Wurzelortskurvenverfahren dargestellt. Im sehr umfangreichen Kapitel 8 wird eingehend die Problemstellung beim Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme mit klassischen Verfahren behandelt. Dabei werden neben den Giitemai^en die wichtigsten Syntheseverfahren im Zeit- und Prequenzbereich vorgestellt. Welter wird auch auf den Reglerentwurf fiir Fiihrungs- und Storverhalten eingegangen und schlieiSlich wird gezeigt, wie durch Verwendung vermaschter Regelsysteme eine Verbesserung des Regelverhaltens erzielt werden kann. Kapitel 9 enthalt eine Reihe bewahrter deterministischer Verfahren zur experimentellen Identifikation von Regelsystemen. Hier wird auch auf die Methoden zur Transformation der Identifikationsergebnisse zwischen Zeitund Prequenzbereich eingegangen. Das abschlieiiende Kapitel 10, das die Grundlagen der Fuzzy-Regelung enthalt, wurde neu aufgenommen. Damit soil dieser in den letzten Jahren aufkommende neue Zweig der Regelungstechnik auch in der regelungstechnischen Grundausbildung gebiihrend beriicksichtigt werden, zumal je nach der speziellen regelungstechnischen Problemstellung sich diese eventuell einfacher mit einem Fuzzy-Regler losen lasst. Bei der Darstellung des Stoffes wurde weitgehend versucht, die wesentlichen Zwischenschritte deutlich zu machen und alle Ergebnisse sorgfaltig zu begriinden, so dass der Leser stets die einzelnen Gedanken selbstandig nachvoUziehen kann. Piir das Verstandnis des Stoffes geniigen die Kenntnisse iiber Analysis, Differentialgleichungen, lineare Algebra sowie einige Grundkenntnisse der Funktionentheorie und Mengenlehre, wie sie gewohnlich die mathematischen Grundvorlesungen fiir Ingenieure vermitteln. Zum weiteren Verstandnis des Stoffes wurden zahlreiche Rechenbeispiele in den Text eingeschlossen. Beziiglich weiterer Rechenbeispiele sei auf den Zusatzband „Aufgaben zur Regelungstechnik I" verwiesen. Bei den verwendeten Symbolen und Benennungen konnte nicht vollstandig die Norm DIN 19226 verwendet werden, da diese nicht mit der international
vu (iblichen Darstellungsweise ubereinstimmt. Dieses Buch entstand aus einer einfiihrenden Vorlesung in die Grundlagen der Regelungstechnik, die ich seit 1976 fiir Studenten der Elektrotechnik an der Ruhr-Universitat Bochum halte. Meine ehemaligen und jetzigen Studenten und Mitarbeiter sowie viele kritische Leser haben mir wahrend der letzten Jahre zahlreiche Anregungen fiir die Uberarbeitung der fruheren Auflagen unterbreitet. Ihnen alien mochte ich fiir die konstruktiven Hinweise und Verbesserungsvorschlage danken. Mein besonderer Dank gilt vor allem meinen beiden Mitarbeiterinnen, Frau Daniela Trompeter fiir das Schreiben des Manuskriptes und Frau Andrea Marschall fiir das Erstellen der Bilder und Tabellen. Beide haben mit groiSer Geduld und Sorgfalt ganz wesentlich zur auiSeren Neugestaltung dieser vollig iiberarbeiteten und erweiterten 10. Auflage dieses Buches beigetragen. Meinem wissenschaftlichen Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing. Torsten Knohl, danke ich fiir die tatkraftige Unterstiitzung in der Endphase der textlichen Neugestaltung. Dem Vieweg-Verlag sei fiir die gute Zusammenarbeit und das bereitwillige Eingehen auf meine Wiinsche gedankt. Abschliefiend danke ich auch meiner Frau, nicht nur fiir das griindliche Korrekturlesen des neu geschriebenen Textes, sondern vor allem fiir das Verstandnis, das sie mir bei der Arbeit an diesem Buch entgegenbrachte. Hinweise und konstruktive Kritik zur weiteren Verbesserung des Buches werde ich auch von den zukiinftigen Lesern gerne entgegennehmen.
Bochum, Juli 2000
H. Unbehauen
Vorwort zur 13. Auflage Die sehr positive Resonanz und grofie Nachfrage, die die grtindlich neu gestaltete und erweiterte 10. Auflage sowie die durchgesehenen 11. und 12. Auflagen der „Regelungstechnik r'bei Studenten und Fachkollegen fanden, erforderten eine weitere Neuauflage. In der vorliegenden 13. Auflage habe ich verschiedene Anregungen meiner Leser aufgenommen und eine Anzahl kleiner Anderungen, Erweiterungen und Verbesserungen durchgefiihrt. Dem 5fter geauBerten Wunsch einer Kurzeinfiihrung in die Programmsysteme MATLAB und Simulink konnte ich jedoch nicht nachkommen, da dies den Rahmen dieses Buches wesentlich iiberschreiten wiirde und auch nur wenige der hier behandelten Rechenbeispiele besser damit beherrscht werden konnten. Diesbeziiglich sei vielmehr auf die bereits existierende umfangreiche Spezialliteratur wie z.B. [MAT05], [SIM05], [Bod98], [Tew02] u.a. verwiesen.
Bochum, Februar 2005
H. Unbehauen
Vorwort zur 14. Auflage Wie die zahlreichen Buchbesprechungen der FachkoUegen ergeben, wird die „Regelungstechnik I" inzwischen als ein „Klassiker" des Fachgebietes sehr geschatzt. Aufgrund der erfreulich grofien Nachfrage war eine Neuauflage erforderlich. In der vorliegenden 14. Auflage wurden einige kleinere Korrekturen und die Aktualisierung des Literaturverzeichnisses durchgefiihrt. Inbesondere den studentischen Lesern wiinsche ich viel Erfolg beim Einstieg in unser faszinierendes Fachgebiet.
Bochum, Dezember 2006
H. Unbehauen
IX
Inhalt Inhaltsiibersicht zu Band II und Band III 1
xvii
Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
1
1.1
Einordnung der Regelungstechnik
1
1.2
Systembeschreibung mittels Blockschaltbild
2
1.3
Steuerung und Regelung
5
1.4
Prinzipielle Funktionsweise einer Regelung
7
1.5
Die Grundstruktur von Regelkreisen
11
1.6
Einige typische Beispiele fiir Regelungen
13
1.7
1.6.1
Spannungsregelung
13
1.6.2
Kursregelung
14
1.6.3
Fiillstandsregelung
15
1.6.4
Regelung eines Warmetauschers
15
Historischer Hintergrund
16
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
21
2.1
Mathematische Modelle
21
2.2
Dynamisches und statisches Verhalten von Systemen
22
2.3
Systemeigenschaften
23
2.3.1
Lineare und nichtlineare Systeme
23
2.3.2
Systeme mit konzentrierten oder verteilten Parametern
28
2.3.3
Zeitvariante und zeitinvariante Systeme
29
2.3.4
Systeme mit kontinuierlicher oder diskreter Arbeitsweise
29
2.3.5
Systeme mit deterministischen oder stochastischen Variablen
2.3.6
Kausale und nichtkausale Systeme
31
2.3.7
Stabile und instabile Systeme
31
2.3.8
Eingrofien- undMehrgrofiensysteme
31
...
30
X 3
Inhalt Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
33
3.1
33
3.2
3.3
Beschreibung mittels Differentialgleichungen 3.1.1
Elektrische Systeme
33
3.1.2
Mechanische Systeme
35
3.1.3
Thermische Systeme
37
Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale
42
3.2.1
Die Ubergangsfunktion (Sprungantwort)
42
3.2.2
Die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)
43
3.2.3
Das Faltungsintegral (Duhamelsches Integral)
45
Zustandsraumdarstellung
47
3.3.1
Zustandsraumdarstellung fiir Eingrofiensysteme
47
3.3.2
Zustandsraumdarstellung fiir Mehrgrofiensysteme
49
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
51
4.1
4.2
4.3
Die Laplace-Transformation
51
4.1.1
Definition und Konvergenzbereich
51
4.1.2
Die Korrespondenztafel fiir die Laplace-Transformation
53
4.1.3
Haupteigenschaften der Laplace-Transformation
55
4.1.4
Die inverse Laplace-Transformation
60
4.1.5
Die Losung von linearen Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation 64
4.1.6
Laplace-Transformation der Impulsfunktion S{t)
Die Ubertragungsfunktion
69 71
4.2.1
Definition und Herleitung
71
4.2.2
Pole und NuUstellen der Ubertragungsfunktion
72
4.2.3
Das Rechnen mit Ubertragungsfunktionen
73
4.2.4
Herleitung von G{s) aus der Zustandsraumdarstellung
76
4.2.5
Die Ubertragungsfunktion bei Systemen mit verteilten Parametern
78
4.2.6
Die Ubertragungsmatrix
80
4.2.7
Die komplexe G-Ebene
80
Die Frequenzgangdarstellung
83
4.3.1
Definition
83
XI
4.3.2
Ortskurvendarstellung des Prequenzganges
85
4.3.3
Darstellung des Prequenzganges durch Frequenzkennlinien (BodeDiagramm)
86
Die Zusammenstellung der wichtigsten Ubertragungsglieder . . . .
89
4.3.4.1
Das proportional wirkende Ubertragungsglied (P-Glied) .
89
4.3.4.2
Das integrierende Ubertragungsglied (I-Glied)
90
4.3.4.3
Das differenzierende Ubertragungsglied (D-Glied)
4.3.4.4
Das Verzogerungsglied 1. Ordnung
91
4.3.4.5
Das proportional-differenzierend wirkende Ubertragungsglied (PD-Glied)
95
4.3.4.6
Das Vorhalteglied (DTi-Glied)
95
4.3.4.7
Das Verzogerungsglied 2. Ordnung (PTj-Glied und PT2SGlied)
98
4.3.4
Weitere Ubertragungsglieder
106
4.3.4.9
Bandbreite eines Ubertragungsgliedes
106 . . . 110
Systeme mit minimalem und nichtminimalem Phasenverhalten . . I l l
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
117
5.1
Dynamisches Verhalten des Regelkreises
117
5.2
Stationares Verhalten des Regelkreises
119
5.3
6
90
4.3.4.8
4.3.4.10 Beispiel fiir die Konstruktion des Bode-Diagramms 4.3.5
....
5.2.1
Ubertragungsfunktion Go{s) mit verzogertem P-Verhalten
121
5.2.2
Ubertragungsfunktion Go{s) mit verzogertem I-Verhalten
122
5.2.3
Ubertragungsfunktion Go(s) mit verzogertem l2-Verhalten
122
Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
124
5.3.1
Das Ubertragungsverhalten
124
5.3.2
Vor- und Nachteile der verschiedenen Reglertypen
127
5.3.3
Technische Realisierung von linearen kontinuierlichen Reglern . . . 130 5.3.3.1
Das Prinzip der Riickkopplung
130
5.3.3.2
Elektrische Regler
132
5.3.3.3
Pneumatische Regler
135
Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
139
6.1
139
Definition der Stabilitat und Stabilitatsbedingungen
xii
Inhalt 6.2
Algebraische Stabilitatskriterien 6.2.1
Beiwertebedingungen
141
6.2.2
Das Hurwitz-Kriterium
144
6.2.3
Das Routh-Kriterium
147
6.3
Das Kriterium von Cremer-Leonhard-Michailow
149
6.4
Das Nyquist-Kriterium
152
6.4.1
6.4.2
Das Nyquist-Kriterium in der Ortskurven-Darstellung
153
6.4.1.1
Anwendungsbeispiele zum Nyquist-Kriterium
157
6.4.1.2
Anwendung auf Systeme mit Totzeit
157
6.4.1.3
Vereinfachte Formen des Nyquist-Kriteriums
162
Das Nyquist-Kriterium in der Prequenzkennlinien-Darstellung . . . 163
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
8
141
169
7.1
Der Grundgedanke des Verfahrens
169
7.2
Allgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven
172
7.3
Anwendung der Regeln zur Konstruktion der Wurzelortskurven . . . . 181
Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
185
8.1
Problemstellung
185
8.2
Entwurf im Zeitbereich
188
8.2.1
8.2.2
Giitemafie im Zeitbereich
188
8.2.1.1
Der dynamische Ubergangsfehler
188
8.2.1.2
Integralkriterien
189
8.2.1.3 Berechnung der quadratischen Regelflache Ermittlung optimaler Einstellwerte eines Reglers nach dem Kriterium der minimalen quadratischen Regelflache 8.2.2.1 8.2.2.2
8.2.3
190 193
Beispiel einer Optimierungsaufgabe nach dem quadratischen Glitekriterium
194
Parameteroptimierung von Standardreglertypen fiir PTn-Regelstrecken
198
Empirisches Vorgehen
206
8.2.3.1
Empirische Einstellregeln nach Ziegler und Nichols . . . . 206
8.2.3.2
Empirischer Entwurf durch Simulation
208
xin 8.3
Entwurf im Prequenzbereich . 8.3.1
Kenndaten im Prequenzbereich 8.3.1.1
8.3.1.2
8.3.2
8.3.3
8.3.4
8.4
8.5
210 210
Kenndaten des geschlossenen Regelkreises im Prequenzbereich und deren Zusammenhang mit den Giitemafien im Zeitbereich
210
Kenndaten des offenen Regelkreises und ihr Zusammenhang mit den Giitemafien des geschlossenen Regelkreises im Zeitbereich
216
Reglersynthese nach dem Prequenzkennlinien-Verfahren
220
8.3.2.1
Der Grundgedanke
220
8.3.2.2
Phasenkorrekturglieder
222
8.3.2.3
Anwendung des Prequenzkennlinien-Verfahrens
228
Das Nichols-Diagramm
232
8.3.3.1
Das Hall-Diagramm
232
8.3.3.2
Das Amplituden-Phasendiagramm (Nichols-Diagramm) . 233
8.3.3.3
Anwendung des Nichols-Diagramms
235
Reglerentwurf mit dem Wurzelortskurvenverfahren
239
8.3.4.1
Der Grundgedanke
239
8.3.4.2
Beispiele fiir den Reglerentwurf mit Hilfe des Wurzelortskurvenverfahrens
239
Analytische Entwurfsverfahren
244
8.4.1
Vorgabe des Verhaltens des geschlossenen Regelkreises
245
8.4.2
Das Verfahren nach Truxal-Guillemin
246
8.4.3
Ein algebraisches Entwurfsverfahren
256
8.4.3.1
Der Grundgedanke
256
8.4.3.2
Beriicksichtigung der NuUstellen des geschlossenen Regelkreises
257
8.4.3.3
Losung der Synthesegleichungen
260
8.4.3.4
Anwendung des Verfahrens
261
Reglerentwurf fiir Piihrungs- und Storungsverhalten
266
8.5.1
Struktur des Regelkreises
266
8.5.2
Der Reglerentwurf
267
8.5.2.1
Reglerentwurf fiir Storungen am Eingang der Regelstrecke 268
8.5.2.2
Reglerentwurf fiir Storungen am Ausgang der Regelstrecke 270
xiv
Inhalt 8.5.3
Entwurf des Vorfilters 8.5.3.1 8.5.3.2
8.5.4
8.6
Entwurf des Vorfilters fiir Storungen am Eingang der Regelstrecke
273
Entwurf des Vorfilters fiir Storungen am Ausgang der Regelstrecke
275
Anwendung des Verfahrens
276
8.5.4.1
Storungen am Eingang der Regelstrecke
277
8.5.4.2
Storungen am Ausgang der Regelstrecke
278
Verbesserung des Regelverhaltens durch Entwurf vermaschter Regelsysteme
9
273
281
8.6.1
Problemstellung
281
8.6.2
St6rgr6i3enaufschaltung
281
8.6.2.1
Storgrofienaufschaltung auf den Regler
282
8.6.2.2
Storgrofienaufschaltung auf die Stellgrofie
283
8.6.3
Regelsysteme mit Hilfsregelgrofie
285
8.6.4
Kaskadenregelung
286
8.6.5
Regelsysteme mit Hilfsstellgrofie
289
Identifikation von Regelkreisgliedern mittels deterministischer Signale 291 9.1
Theoretische und experimentelle Identifikation
291
9.2
Formulierung der Aufgabe der experimentellen Identifikation
292
9.3
Systemidentifikation im Zeitbereich
296
9.3.1
9.3.2
9.4
Bestimmung der Ubergangsfunktion aus Messwerten
296
9.3.1.1
Rechteckimpuls als Eingangssignal
296
9.3.1.2
Rampenfunktion als Eingangssignal
296
9.3.1.3
Beliebiges deterministisches Eingangssignal
297
Verfahren zur Identifikation anhand der Ubergangsfunktion oder Gewichtsfunktion
299
9.3.2.1
Wendetangenten- und Zeitprozentkennwerte-Verfahren . . 299
9.3.2.2
Weitere Verfahren
Systemidentifikation im Prequenzbereich
310 311
9.4.1
Identifikation mit dem Prequenzkennlinien-Verfahren
312
9.4.2
Identifikation durch Approximation eines vorgegebenen Frequenzganges
313
XV
9.5
Numerische Transformationsmethoden zwischen Zeit- und Prequenzbereich
317
9.5.1
Grundlegende theoretische Zusammenhange
317
9.5.2
Berechnung des Prequenzganges aus der Sprungantwort
321
9.5.3
Erweiterung des Verfahrens zur Berechnung des Prequenzganges fiir nichtsprungformige Testsignale 323 Berechnung der Ubergangsfunktion aus dem Prequenzgang . . . . 327
9.5.4
10 Grundlagen der Fuzzy-Regelung
329
10.1
Einfiihrung
329
10.2
Einige wichtige Grundlagen der Puzzy-Logik
331
10.2.1 Puzzy-Menge und Zugehorigkeitsfunktion
331
10.2.2 Operatoren fiir unscharfe Mengen
335
10.2.3 Linguistische Variablen und Werte
336
10.3
Regelbasierte Fuzzy-Systeme 10.3.1 Regelbasis
337
10.3.2 Fuzzifizierung
338
10.3.3 Fuzzy-Inferenzmaschine
339
10.3.3.1 Pramissenauswertung
339
10.3.3.2 Komposition
340
10.3.3.3 Regelaggregation
340
10.3.4 Defuzzifizierung
10.4
336
342
10.3.4.1 Schwerpunktmethode
342
10.3.4.2 Erweiterte Schwerpunktmethode
344
10.3.4.3 Singleton-Schwerpunktmethode
344
10.3.4.4 Maximummethode
345
Fuzzy-Systeme zur Regelung („fuzzy control") 10.4.1 Grundstruktur eines Fuzzy-Reglers
345 345
10.4.1.1 Signalaufbereitung im Eingang
346
10.4.1.2 Fuzzy-Block
346
10.4.1.3 Signalaufbereitung im Ausgang
347
10.4.2 Ubertragungsverhalten von Puzzy-Reglern 10.4.2.1 Kennliniendarstellung
347 347
Inhalt 10.4.2.2 Kennfelddarstellung
354
10.4.3 Beispiel einer Fuzzy-Regelung
355
10.4.3.1 Beschreibung der Regelstrecke
355
10.4.3.2 Fuzzy-Reglerentwurf
356
10.4.4 Fuzzy-Regler nach Takagi und Sugeno
358
Literatur
361
Sachverzeichnis
370
xvii
Inhaltsiibersicht zu
H.Unbehauen, Regelungstechnik II 1. Behandlung linearer kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum 2. Lineare zeitdiskrete Systeme (Digitale Regelung) 3. Nichtlineare Regelsysteme
H . U n b e h a u e n , Regelungstechnik III^ 1. Grundlagen der statistischen Behandlung von Regelsystemen 2. Statistische Bestimmung dynamischer Eigenschaften linearer Systeme 3. Systemidentifikation mittels Korrelationsanalyse 4. Systemidentifikation mittels Parameterschatzverfahren 5. Adaptive Regelsysteme 6. Entwurf optimaler Zustandsregler 7. Sonderformen des optimalen linearen Zustandsreglers fiir zeitinvariante Mehrgrofiensysteme
nicht mehr lieferbar
xviii
Inhalt
Liste der wichtigsten Notationen und Formelzeichen Skalare GroSen werden gewohnlich durch kleine kursive Buchstaben gekennzeichnet, z.B. a, t Oder f{t). Kleine fette kursive Buchstaben werden zur Darstellung von Spaltenvektoren, z.B. a oder f{i) und grofie fette kursive Buchstaben, z.B. A oder B{t), zur Darstellung von Matrizen verwendet. Ausnahmen von dieser Kegel bilden die Einheitsmatrix I und die Nullmatrix O sowie die in den Bild- oder Prequenzbereich transformierten GroBen: Die Laplace-Transformierte z.B. einer zeitabhangigen Funktion f{t) wird durch die kursive Grofischreibweise F{s) gekennzeichnet. Konsequenterweise werden dann auch vektorielle Gr5fien im Prequenzbereich durch kursive fette Grofibuchstaben charakterisiert, z.B. F{s), U{s) oder Y{s). Um nun im Prequenzbereich auch Matrizen von Vektoren zu unterscheiden, wird hierzu der kursive fette Grofibuchstabe noch zusatzlich unterstrichen, z.B. G(s). A
Menge mit Elementen o^
A{s)
Polynom in s
ai
Koeffizienten des Polynoms A[s) oder der Menge A
A{u))
Amplitudenverlauf des Prequenzgangs oder Amplitudengang
yidB(w)
Amplitudengang in Dezibel
^R) ^RdB
Amplitudenrand, Amplitudenreserve
A
Systemmatrix
B, b
Eingangs- oder Steuermatrix, Steuervektor
C, c^ D, d
Ausgangs- oder Beobachtungsmatrix, transponierter Beobachtungsvektor beim System mit einem Ausgang Durchgangsmatrix, skalarer Durchgang beim Eingrofiensystem
D
Dampfungsgrad
Di
Hurwitz-Determinanten
d
mechanische Dampfungskonstante
e(i), E{s)
Regelabweichung im Zeit- und Prequenzbereich
Cmax
maximale Uberschwingweite der Ubergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises
e*(i), E*{s)
Modellfehler (z.B. y{t) - y„{t))
600
bleibende Regelabweichung
/(*)) HT)
allgemeine Zeitfunktion
F{s)
Laplace-Transformierte von f{t)
g{t)
Gewichtsfunktion, Impulsantwort
g{k)
Vektor der Werte der Gewichtsfolge
G{s)
Ubertragungsfunktion (allgemein)
Gs{s)
Ubertragungsfunktion der Regelstrecke Ubertragungsfunktion des Reglers
Go{s)
Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises
Gv(s)
Ubertragungsfunktion eines Vorfilters
Gw(s)
Ubertragungsfunkton des geschlossenen Regelkreises fiir Fiihrungsverhalten
Gzis)
Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises fiir Storverhalten
GQoj)
Frequenzgang zu G[s)
hit) liu)
Ubergangsfunktion, Sprungantwort
li I
Giitemai3 fiir Integralkriterien Einheitsmatrix
J
imaginare Einheit j = - \ / ^
K
Verstarkungsfaktor
Ku
Verstarkungsfaktor des D-Gliedes
Ki
Verstarkungsfaktor des I-Gliedes
Kp
Verstarkungsfaktor des P-Gliedes
KK
Verstarkungsfaktor des Reglers, Reglerverstarkung
-^Rkrit
Stabilitatsrand fiir die kritische Reglerverstarkung
Ko Kw{s), Kz{s)
Verstarkungsfaktor des offenen Regelkreises (Ko = KB.KS) Gewiinschte Ubertragungsfunktion (Modellverhalten) des geschlossenen Regelkreises fiir Fiihrungs- und Storverhalten
m
KoefRzient fiir Polynomordnung, Anzahl der AusgangsgroBen bei MehrgroBensystemen, Masse bei mechanischen Systemen
Imaginarteil von G(jw)
M
Motor, auch MeBglied
n
Koeffizient fiir Polynomordnung, Anzahl der ZustandgroBen
N{s)
Nennerpolynom einer Ubertragungsfunktion
P{s), PQw)
Charakteristisches Polynom
p
Parametervektor
r
Anzahl der EingangsgroBen bei MehrgroBensystemen
fe (i)
Rechteckimpulsfunktion
R{LO)
Realteil von G(jw)
s
komplexe Variable s = CT + jw [s"-^]
$i
Wurzeln des zu s gehorenden Polynoms
sp„
Polstellen von Go{s)
SN/J,
NuUstellen von Go{s)
t
Zeitvariable [s]
ti
Zeitpunkte in aquidistanten Intervallen At
tm
Zeitprozentkennwerte
ian
Anregelzeit
te
Ausregelzeit auf e%
Inhalt imax T, Ti
Zeitpunkt ftir das Auftreten von emax Zeitkonstanten
Ta
Anstiegszeit
^a,50%
Anstiegszeit mit Tangente im Zeitpunkt iso
Tu
Verzugszeit
TD
Zeitkonstante des D-Gliedes
Ti
Zeitkonstante des I-Gliedes
TT , .
Stabilitatsrand
Tt
Totzeit
u
KoefEzient ftir Ordnung des Polynoms ^(s)
u{t), U{s)
Stellgrofie, Eingangsgrofie der Regelstrecke
u{t), U{s)
Stell- Oder Steuervektor
UB.{t), Unis)
Hilfsstellgrofie
un{t), Uii{s)
Reglerausgang auf Stellglied wirkend
u{t)
Approximation von u{t)
U{k)
Datenmatrix
w{t), W{s)
Fiihrungsgrofie, Sollwert
Xi{t), Xi{s)
«-te Zustandsgrofie
x{t), X{s)
Zustandsvektor
Xs,{t), Xa{s)
allgemeines Ausgangssignal
Xe(i), Xe{s)
allgemeines Eingangssignal
^a(i), Xe{t)
Maximalwerte der betreffenden Signale
a^a.sjSie.s
stationare Endwerte bei sprungformigem Xe{t)
Xg,, Xe
Ruhelagen der betreffenden Signale (stationarer Zustand)
x*{t)
Abweichung von der Ruhelage {x*{t) = x{t) — x)
y{t), Y{s)
RegelgroBe (Istwert), Ausgangsgrofie der Regelstrecke nach Messung
y{t), Y{s)
Ausgangsvektor, Beobachtungsvektor
2/s (t)
Ausgangsgrofie der Regelstrecke vor Messglied
y{t)
Approximation von y{t)
y{k)
Mefivektor
ynit), Y}i{s)
Hilfsregelgrofie
yuit) Yuis)
Modellausgangsgrofie
Z{s)
Zahlerpolynom einer Ubertragungsfunktion
Zi{t), Zi{s)
Storgrofien am Ausgang einer Regelstrecke
zl{t), Z\{s)
Storgrofien am Eingang einer Regelstrecke
a[s)^ P{s)
Zahler- und Nennerpolynom von Kyf{s)
7(s), a{s)
Zahler- und Nennerpolynome von Kz{s)
S{t)
Dirac-Stofi, Impulsfunktion
XXI
MA (a;)
Zugehorigkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge A
ait)
Sprungfunktion (Einheitssprung)
a
Abszisse der komplexen Variablen s, Integrationsvariable
T
Zeitvariable
Tv
Zeitpunkt
AT^
Zeitintervall r^+i — T„
f ip{u)
Phasenwinkel
A(p
Phasenanderung
'PK
Phasenrand
Ul
Prequenz
Wo
Eigenfrequenz des PT2S-Ubertragun-gsgliedes
CJb We
Bandbreite Eckfrequenz
Wr
Resonanzfrequenz
WD
Durchtrittsfrequenz
WS
Schnittfrequenz
Verlauf der Phasenwinkel des Frequenzganges, Phasengang
Mathematische Operatoren:
T[...]
allgemeiner Operator Laplace-Operator i? {f{t)} = F{s) Korrespondenz-Symbol F(s) •—o/(i)
*
Faltung /i [t) * /2 («) = Fi (5)^2 (s)
GradP(s)
Grad des Polynoms P(s)
/m Blockschaltbild bedeuten: S
Regelstrecke
R
Regler
St
Stellglied
M
Messglied
Bei der Fuzzy-Regelung bedeuten: p N
positiv negativ
NU, Z K
null (zero) klein
M
mittel
G PK usw.
grofi positiv klein
1
Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
1.1
Einordnung der Regelungstechnik
Wahrend die 2. Halfte des 20. Jahrhunderts haufig als das Zeitalter der Automatisierung bezeichnet wurde, wird die heutige technische Entwicklung durch die rasanten Entwicklungen der Informationstechnik gepragt, die ihrerseits getragen wird von den drei Saulen der • Kommunikationstechnik, • Automatisierungstechnik und • Technischen Informatik. Die Automatisierungstechnik ist gekennzeichnet durch selbsttatig arbeitende Maschinen und Gerate, die oftmals zu sehr komplexen, industriellen Prozessen und Systemen zusammengefasst sind. Die Grundlagen dieser automatisierten Prozesse oder der modernen Automatisierungstechnik bilden zu einem grofien Teil die Regelungs- und Steuerungstechnik sowie die Prozessdatenverarbeitung. Die in derartigen technischen Prozessen gewohnlich auf verschiedenen Ebenen ablaufenden Automatisierungsvorgange (Regeln, Steuern, Uberwachen, Protokollieren usw.) der verschiedenen Teilprozesse werden heute durch die libergeordnete Funktion der Leittechnik koordiniert. Obwohl Regelungs- und Steuerungstechnik in fast alien Bereichen der Technik auftreten, stellen sie aufgrund ihrer Denkweise eigenstandige Fachgebiete dar, die - wie spater gezeigt wird - auch untereinander trotz vieler Gemeinsamkeiten eine klare Unterscheidung aufweisen. Die Regelungstechnik ist ein sehr stark methodisch orientiertes Fachgebiet. Daher ist der Einsatz regelungstechnischer Methoden weitgehend unabhangig vom jeweiligen Anwendungsfall. Die dabei zu losenden Probleme sind stets sehr ahnlich; sie treten nicht nur bei technischen, sondern auch bei nichttechnischen dynamischen Systemen, z.B. biologischen, okonomischen und soziologischen Systemen auf. Der BegrifF des dynamischen Systems soil hierbei zunachst sehr global betrachtet werden, wobei die folgende Definition gewahlt wird: Ein dynamisches System stellt eine Funktionseinheit dar zur Verarbeitung und Ubertragung von Signalen (z.B. in Form von Energie, Material, Information, Kapital und anderen Grofien), wobei die Systemeingangsgrofien als Ursache und die Systemausgangsgrofien als deren zeitliche Auswirkung zueinander in Relation gebracht werden.
2
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
Die Struktur dieses Systems reicht dabei vom einfachen EingroiSensystem mit nur einer Ein- und Ausgangsgrofie (z.B. Messfiihler, Verstarker usw.) ilber das komplexe Mehrgro]3ensystem mit mehreren Ein- und Ausgangsgroi3en (z.B. Destillationskolonne, Hochofen usw.) bis hin zum hierarchisch gegliederten Mehrstufensystem (z.B. Wirtschaftsprozefi), was durch die Blockstrukturen im Bild 1.1.1 symbolisch beschrieben wird. Das gemeinsame Merkmal der zuvor genannten Systeme ist, dass sich in ihnen eine zielgerichtete Beeinflussung und Informationsverarbeitung bzw. Regelungs- und Steuerungsvorgange abspielen, die N. Wiener veranlassten, hierfiir den (ibergeordneten Begriff der Kybernetik [Wie48] einzufiihren. Die Kybernetik versucht, die GesetzmaSigkeiten von Regelungs- und Steuerungsvorgangen sowie von Informationsprozessen in Natur, Technik und Gesellschaft zu erkennen (Analyse), um diese dann gezielt zur Synthese technischer, bzw. zur Verbesserung natiirlicher Systeme zu verwenden. Aus dieser Sicht ist die Regelungstechnik, die im weiteren eingehend behandelt werden soil, weniger den GerSte- als vielmehr den Systemwissenschaften zuzuordnen. Daher werden bei den weiteren Ausfiihrungen mehr die systemtheoretischen und nicht so sehr die geratetechnischen Grundlagen der Regelungstechnik herausgearbeitet.
1.2
Systembeschreibung mittels Blockschaltbild
Gemal3 der zuvor gewahlten Definition erfolgt in einem dynamischen System eine Verarbeitung und Ubertragung von Signalen. Derartige Systeme werden daher auch als Ubertragungsglieder oder Ubertragungssysteme bezeichnet. Ubertragungsglieder besitzen eine eindeutige Wirkungsrichtung, die durch die Pfeilrichtung der Ein- und Ausgangssignale angegeben wird. Jedem Ubertragungsglied wird mindestens ein Eingangssignal oder eine Eingangsgrofie Xe{t) zugefiihrt und mindestens ein Ausgangssignal oder eine Ausgangsgrofie Xi,{t) geht von einem Ubertragungsglied aus. Das Zusammenwirken der einzelnen Ubertragungsglieder wird gewohnlich durch ein Blockschaltbild beschrieben. Die Ubertragungsglieder werden dabei durch Kastchen dargestellt, die liber Signale miteinander verbunden sind. Ein Beispiel dafiir zeigt Bild 1.2.1. Bei dieser Darstellungsform gelten die in Tabelle 1.2.1 aufgeflihrten Symbole flir die Signalverknupfung. Es wird weiterhin angenommen, dass die Ausgangsgrofie eines Ubertragungsgliedes nur von der zugehorigen Eingangsgrofie, nicht aber von der Belastung durch die nachfolgende Schaltung abhangt. Ubertragungsglieder sind also riickwirkungsfrei. Es gibt nun mehrere M5glichkeiten, das Ubertragungsverhalten eines tjbertragungsgliedes im Blockschaltbild darzustellen. Bei linearen Systemen kann man • die zugehorige Differentialgleichung zwischen Eingangs- und Ausgangsgrofie, • den grafischen Verlauf der Ubergangsfunktion (Antwort des Systems auf eine sprungformige Eingangsgrofie) oder • die Ubertragungsfunktion oder den Frequenzgang (Kap. 4.2 und 4.3) in das zugehorige Kastchen gemafi Bild 1.2.2 eintragen.
1.2 Systembeschreibung mittels Blockschaltbild
Eingangsgrofie
Dynamisches System
u{t)
Ausgangsgrofie
M
® 2/1
i
^<-- G
-
•
^^^ ^«
V,.
-• 2/j,
oder
** •». ^
u{t) C Eingangsvektor
y{t) System Ausgangsvektor
© R
>H
S
DH
2 PLH
P< . . .
W
li Management y^
4. Stufe
H Koordination '
^
I
->.>• Optimierung
Optimierung
H
^
3. Stufe
Regelung u n d | Steuerung eines Teilprozesses
,. ^w
2. Stufe
I
Regelung und ^ Steuerung eines Teilprozesses
1. Stufe
P r o d u k t e Rohstoffe Bild 1.1.1. Symbolische Darstellung des Systembegriffs: (a) Eingrofiensystem, (b) Mehrgrofiensystem, (c) Mehrstufensystem
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik ^l — ^e^
^1
1
^2^
2
Xa,^
y = X2+Xs,^
+*9
L
^2
+
Bild 1.2.1. Beispiel fiir die Darstellung eines aus mehreren Ubertragungsgliedern bestehenden tibertragungssystems im Blockschaltbild Tabelle 1.2.1 Symbole fiir Signalverkniipfungen (Anmerkung: Das positive Vorzeichen am Summenpunkt kann audi weggelassen werden) Benennung
Mathemat. Operatoren
Symbol
Verzweigungspunkt
a;i = a;2 = 2;3
HD
Summenpunkt
• X3 = x i ± a;2
(-) ^2
Multiplikationsstelle
^1
xa = xi • a;2
^2 »•
1
/
^3
Bei nichtUnearen statischen Ubertragungsgliedern wird in einem leicht modifizierten Blocksymbol, einem fiinfeckigen Kastchen, meist entweder der Verlauf der statischen Kennlinie oder die spezielle nichtlineare Funktion in direkter oder symbolischer Form (z.B. M fiir die Multiplikation) dargestellt. Es sei ausdrucklich darauf hingewiesen, dass die hier benutzten Begriffe in den nachfolgenden Abschnitten noch ausfiihrlicher definiert werden. Neben der Darstellung im Blockschaltbild gibt es noch die Darstellung im Signalflussdiagramm. Im Signalflussdiagramm entsprechen Knoten den Signalen und Zweige dem tJbertragungsverhalten zwischen zwei Knoten. XQ
Xg^l -TX^ — ajg
•*•
a
G(^) = Y + T5
r
(b)
(c)
Bild 1.2.2. Einige Beschreibungsmoglichkeiten eines linearen Ubertragungsgliedes: (a) Differentialgleichung, (b) Ubergangsfunktion, (c) Ubertragungsfunktion (Grofien, die das System im Erequenzbereich bescitreiben, werden im folgenden durch grofie Buchstaben gekennzeichnet (vgl. Kap. 4.1).) Im Bild 1.2.3 sind fiir verschiedene Beispiele Signalflussdiagramm und Blockschaltbild gegeniibergestellt.
1.3 Steuerung und Regelung Y
G
U
(Knoten) (Zweig) W \
E
G,
U
o
9
^J
9
>
V
7 (Knoten) 1
U
G
W^^ E,
*•—o
-G,
Z o W
I
o
^
E a
G •J-
ly
If/
u
Bild 1.2.3. Korrespondierende Signalflussdiagramme und Blockschaltbilder
1.3
Steuerung und Regelung
Die Begriffe Steuerung und Regelung werden oftmals nicht geniigend streng auseinander gehalten. Daher soil der Unterschied zwischen einer Steuerung und einer Regelung nachfolgend am Beispiel einer Raumheizung gezeigt werden. Bei einer Steuerung der Raumtemperatur I?R gemaB Bild 1.3.1 wird die AuBentemperatur ?9A iiber einen Temperaturfiihler gemessen und einem Steuergerat zugefiihrt. Das Steuergerat verstellt bei einer Anderung der Aufientemperatur I?A (= Storgrofie z'2) iiber den Motor M und das Ventil V den Warmefluss Q gemafi seiner im Bild 1.3.2 dargestellten Steuerkennlinie Q = / ( ^ A ) - Die Steigung dieser Kennlinie kann am Steuergerat eingestellt werden. Wird die Raumtemperatur ??R Z.B. durch OfFnen eines Fensters (= StorgroBe z[) verandert, so hat das keine Auswirkung auf die Ventilstellung, da nur die Aufientemperatur den Warmefluss beeinflusst. Bei dieser Steuerung werden somit nicht die Auswirkungen aller StorgroBen beseitigt. 'iiniiiiniiniiniiniiniiinninmiimiiTmj:
Aufientemp.-Filhler
4^^ y=^R
^ /JiiiiiiMiiiininiiiniiiniiiiiiiimiiiiiiiiim, Steuergerat
t«
iKM)=|v
Bild 1.3.1. Gesteuerte Raumheizungsanlage
(Fenster offnen!)
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
Bild 1.3.2. Kennlinienfeld eines Heizungssteuergerates fiir drei verschiedene Einstellungen (1, 2,3) Im Falle der im Bild 1.3.3 dargestellten Regelung der Raumtemperatur wird die Raumtemperatur t?R gemessen und mit dem eingestellten Sollwert w (z.B. w — 20°C) verglichen. Weicht die Raumtemperatur von dem eingestellten Sollwert ab, so wird iiber einen Regler (R), der die Abweichung verarbeitet, der Warmefluss Q verandert. Samtliche Anderungen der Raumtemperatur I9R, Z.B. durch Offnen der Fenster oder durch Sonneneinstrahlung, werden vom Regler erfasst und moglichst beseitigt. iiiiniiiiiiiiiiniiiiiiiiiiniimiimi/miiiiiiiii/iiiminiiii/iuiii,
(Fenster offnen!)
Bild 1.3.3. Geregelte Raumheizungsanlage Zeichnet man die Blockschaltbilder der Raumtemperatursteuerung bzw. -regelung entsprechend den Bildern 1.3.4 und 1.3.5, so geht daraus der Unterschied zwischen einer Steuerung und einer Regelung unmittelbar hervor.
A
1
4
2
\ H
, '
+'9
L
— > •
Steuer- u gerat
^
3
Bild 1.3.4. Blockschaltbild der Heizungssteuerung
r
h". 1
1
1.4 Prinzipielle Funktionsweise einer Regelung Zimmer
M+
VO
e
>•
Regler
-
+
^
Bild 1.3.5. Blockschaltbild der Heizungsregelung Der Ablauf der Regelung wird dabei durch folgende Schritte charakterisiert: • Messung der Regelgrofie y (Istwert), • Bildung der Regelabweichung e = w — y (Vergleich der Regelgrofie y mit dem SoUwert w), • Verarbeitung der Regelabweichung derart, dass durch Verandern der Stellgrofie u die Regelabweichung vermindert oder beseitigt wird. Vergleicht man nun eine Steuerung und eine Regelung, so lassen sich folgende Unterschiede leicht feststellen: Die Regelung • stellt einen geschlossenen Wirkungsablauf (Regelkreis) dar; • kann wegen des geschlossenen Wirkungsprinzips St5rungen entgegenwirken (negative Riickkopplung); • kann instabil warden, d.h. die Regelgrofie klingt dann nicht mehr ab, sondern wachst (theoretisch) iiber alle Grenzen an. Die Steuerung • stellt einen offenen Wirkungsablauf (Steuerkette) dar; • kann nur den Storgrofien entgegenwirken, auf die sie ausgelegt wurde; andere Storeinflusse sind nicht zu beseitigen; • kann ~ sofern das zu steuernde Objekt selbst stabil ist - nicht instabil warden.
1.4
Prinzipielle Funktionsweise einer Regelung
Beim Einsatz einer Regelung sollte man gewohnlich zwei verschiedene Falla untarscheiden:
8
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik • Einerseits hat eine Regelung die Aufgabe, in einem Prozess Storeinfiiisse zu beseitigen. Bestimmte Gr613en eines Prozesses, die Regelgroi^en, sollen vorgegebene feste Sollwerte einhalten, ohne dass Storungen, die auf den Prozess einwirken, von nennenswertem Einfluss sind. Eine derartige Regelung wird als Festwertregelung oder Storgrofienregelung bezeichnet. • Andererseits miissen oftmals die Regelgrofien eines Prozesses den sich andernden Sollwerten moglichst gut nachgefiihrt werden. Diese Regelungsart wird Folgeregelung oder Nachlaufregelung genannt. Der sich andernde Sollwert wird auch als Fiihrungsgrofle bezeichnet.
In beiden Fallen muss die Regelgrofie fortlaufend gemessen und mit ihrem Sollwert verglichen werden. Tritt zwischen Istwert und Sollwert der Regelgrofie eine Abweichung (Regelabweichung e) auf, so muss ein geeigneter Eingriff in der Weise erfolgen, dass diese Regelabweichung moglichst wieder verschwindet. Dieser Eingriff wird gewohnlich iiber das sogenannte Stellglied vorgenommen. Die Betatigung des Stellgliedes kann von Hand oder auch iiber ein automatisch arbeitendes Gerat, den Regler, erfolgen. Im ersten Fall spricht man von einer Handregelung, im zweiten von einer selbsttatigen Regelung. Als typisches Beispiel einer Handregelung sei das Lenken eines Kraftfahrzeuges, also die „Kursregelung" entlang der Strafie, genannt. Im weiteren sollen aber ausschliefihch Probleme der selbsttatigen Regelung behandelt werden. Anhand von zwei Beispielen werden die Begriffe Festwert- und Folgeregelung naher erlautert. Bild 1.4.1 zeigt als Beispiel einer Festwertregelung die Drehzahlregelung einer Dampfturbine. Die iiber ein Zahnrad gemessene Drehzahl, die hier die Regelgrofie y darstellt, wirkt auf ein Fliehkraftpendel, das iiber eine Muffe mit einem mechanischen Hebelarm verbunden ist, der am gegentiberliegenden Ende direkt das Dampfventil betatigt, Fliehkraftpendel und Hebelarm stellen den eigentlichen Regler dar, der in dieser Form gewohnlich als Fliehkraftregler bezeichnet wird. Um die Drehzahl des Turbogeneratorsatzes konstant zu halten, muss ein konstanter Dampfstrom der Turbine zugefiihrt werden. Treten nun aber Storungen auf, z.B. in Form von Anderungen des Dampfzustandes (zj), des Gegendruckes {z'2) oder Anderungen der Generatorbelastung durch unterschiedlichen Stromverbrauch {z'^), so wird die Drehzahl von dem gewiinschten Wert, dem Sollwert abweichen. Ist die Drehzahl n beispielsweise zu hoch, dann wird aufgrund der grofieren Fliehkraft die Muffe des Fliehkraftreglers nach oben gezogen, wodurch auf der Gegenseite des Hebelarmes das Ventil den Dampfstrom starker drosselt. Dadurch sinkt die Drehzahl; sie stellt sich nach kurzer Zeit wieder auf den Sollwert ein. Es ist leicht einzusehen, dass sich z.B. die Verschiebung des Auflagepunktes des Hebels im Fliehkraftregler wesentlich auf den Regelvorgang auswirkt. Wird dieses Hebellager sehr weit nach links geriickt, dann wirkt sich eine Verschiebung der Muffe des Fliehkraftregler nur schwach auf die Verstellung des Dampfventils aus, so dass bei auftretenden Storungen die Einhaltung der SoUdrehzahl nicht gewahrleistet werden kann. Wird andererseits das Hebellager weit nach rechts geriickt, dann wirken sich bereits kleine Anderungen der Drehzahl iiber den Fliehkraftregler sehr stark auf die Verstellung des Dampfventils aus. Zwar bewirkt eine geniigend grofie Verstellung des Dampfstromes eine rasche Annaherung des Drehzahlistwertes an den DrehzahlsoUwert, jedoch kann bei einem zu kraftigen Eingriff des Dampfventils der Istwert auch iiber das Ziel, also den Sollwert, hinausschief5en. Diese SoUwertiiberschreitung wird mit einer gewissen durch die Massentragheit des Turbogenerators bedingten Verzogerung iiber die standige Messung der Drehzahl und durch
1.4 Prinzipielle Funktionsweise einer Regelung Fliehkraft regler
Dampfventil
o
Felderregung
^2
Druck Temperatur
d
\
M^i
d
\
\ Rr
Kr,
(j) = const Turbine
Bild 1.4.1. Drehzahlregelung einer Dampfturbine Verstellung des Dampfventils wieder riickgangig gemacht {Riickkopplungsprinzip), jedoch kann es dabei passieren, dass der SoUwert nun in entgegengesetzter Richtung unterscliritten wird. Der Wert der Drehzahl als Regelgroi3e (Istwert) fiihrt somit Schwingungen um den gewiinschten Sollwert aus. Je nach Wahl der Lage des Hebellagers klingen diese bei den oben erwahnten Stdrungen auftretenden Schwingungen des Drehzahlistwertes mehr oder weniger sclinell ab. Bei ungiinstiger Wahl der Lage dieses Hebellagers konnen sich allerdings die Schwingungen auch derart aufschaukeln, dass eine Gefahrdung der gesamten Anlage auftritt. Dieser Fall wird Instabilitat der Regelung bezeichnet. Anhand dieses hier sehr vereinfacht betrachteten Beispiels lasst sich bereits eine der wichtigsten Problemstellungen der Regelungstechnik erkennen. Diese besteht darin, den Regler so zu entwerfen bzw. einzustellen, dass das Verhalten des gesamten Regelkreises (hier Turbogeneratorsatz einschliefilich Fliehkraftregler) mindestens stabil ist. Daneben soUte das Regelverhalten jedoch noch zusatzliche Forderungen erfiillen, z.B. die, dass bei der Ausregelung einer Storung die maximal auftretende Abweichung des Istwertes vom Sollwert der zu regelnden Grofie (Regelgrdfie) moghchst klein wird und/oder dass die Zeit fiir die Beseitigung einer Storung der Regelgrofie minimal zu halten ist. Diese zusatzlichen Forderungen werden gewohnlich in Form von Giitekriterien formuliert. Sofern ein Regelkreis diese Forderungen erfiillt, bezeichnet man ihn als optimal im Sinne des Jewells gewahlten Giitekriteriums. Somit gehoren die Stabilitdtsanalyse sowie der optimale Reglerentwurf zu den wichtigsten Problemstellungen der Regelungstechnik, die spater eingehend behandelt werden. Als Beispiel fiir eine Folgeregelung zeigt Bild 1.4.2 ein Winkeliibertragungssystem. Hierbei besteht die Regelungsaufgabe darin, ein durch einen Gleichstrommotor angetriebenes Potentiometer (hier das Folgepotentiometer) der Winkelstellung eines Fiihrungspotentiometers nachzufiihren. Ist der Stellwinkel (fi z.B. von Hand am Fiihrungspotentiometer als Sollwert vorgegeben, so soil der Winkel ip2 des Folgepotentiometers vom Motor M solange „nachgefiihrt" werden, bis die Abweichung zwischen (pi und ip2 hinreichend klein ist. Beide Potentiometer sind in einer Briickenschaltung angeordnet. Dabei stellt Ugp die konstante Speisespannung der Briicke dar, wahrend die beiden Potentiometer jeweils mit ihren beiden Teilwiderstanden die vier ohmschen Widerstande der Briickenschaltung bil-
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
10
K^
(Differenzverstarker) = Regler
Folgepotentiometer Bild 1.4.2. Folgeregelung mittels Gleichstrommotor den. Die Briickendiagonale wird durch die DifFerenzspannung Ud = u^p^ — u^p^ der beiden Potentiometerabgriffe gebildet. 1st u^ = 0, dann stimmen die beiden Winkelstellungen ifi und <^2 iiberein, und die Briicke ist abgeglichen. Es ist leicht einzusehen, dass bei jeder Anderung von (pi die zuvor abgeglichene Briickenschaltung verstimmt wird. Eine selbsttatige Anpassung der Briickenschaltung lasst sich nur damit durchfiihren, dass die DifTerenzspannung u^ iiber einen Differenzverstarker zur Ansteuerung der Ankerspannung WA eines Gleichstrommotors verwendet wird. Dieser Motor verstellt iiber ein Getriebe die Winkelstellung (^2 solange, bis die Differenzspannung u^ zu Null wird. Damit ist das Folgepotentiometer dem Fiihrungspotentiometer beziiglich der Winkelstellung nachgefiihrt. Besitzt der Differenzverstarker eine einstellbare Verstarkung K-R^, dann ist die Ankerspannung des Gleichstrommotors durch die Beziehung UK
=
K-HUA
gegeben. Andert sich beispielsweise die Fiihrungsgrofie w Regelgrofie y{t) = P2{t) den im Bild 1.4.3 dargestellten Verlauf der Regelgrofie y{t) hangt also stark von dem am Wert des Verstarkungsfaktors K^ ab (bei zweckmafiig Differenzverstarker selbst wirkt als Regler.
= <^i(i) sprungartig, so wird die Verlauf aufweisen. Der zeitliche Differenzverstarker eingestellten gewahltem Ugp = const). Der
^W = tp^
V = V>2
vi r /
/ R 3
/
^ % 3
^
Kr,
Bild 1.4.3. Verlauf der Regelgrofie y nach einer sprungformigen Veranderung der Fiihrungsgrofie w fiir vier unterschiedliclie Werte des Verstarkungsfaktors KK Das prinzipielle Verhalten der Regelgrofie y ist hierbei der im zuvor behandelten Beispiel dargestellten Drehzahlregelung eines Turbogeneratorsatzes sehr ahnlich. Der Reg-
1.5 Die Grundstruktur von Regelkreisen
11
lerverstarkung JCR entspricht dort ofiensichtlich das Verhaltnis der Hebelarme, das durch den Auflagepunkt jeweils gegeben ist. In beiden Fallen lasst sich zwar der SoUwert durch eine gro6e Verstarkung schnell erreichen, jedoch neigt der Schwingungsverlauf bei zu grofi gewahlter Verstarkung des Reglers zum Anwachsen der Schwingungsamplituden und somit zur Instabilitat des Regelvorganges.
1.5
Die Grundstruktur von Regelkreisen
Nachdem nun einige Beispiele einen ersten Einblick in die Funktionsweise von Regelungen gegeben haben, soil die Struktur, die all diesen Regelkreisen zugrunde liegt, naher untersucht werden. Ein Regelkreis besteht gemafi Bild 1.5.1 aus folgenden 4 Hauptbestandteilen: Regelstrecke, Messglied, Regler und Stellglied. Die Signale in einem Regelkreis werden hier in Anlehnung an die internationalen Bezeichnungen durch Buchstaben gekennzeichnet, die von der etwas veralteten DIN-Norm 19226 abweichen. Es bedeutet: y w e
die RegelgroSe (Istwert), die Fiihrungsgrofie (SoUwert), die Regelabweichung,
u z
V Storverhalten
/
""
.f
+'
.e
Regler i«R)
I
R
Stellglied St
die Stellgrofie und die St5rgr5fie.
U 1 —
*
•
Stellverhalten
+ tfe) + J| ^
Regelstre eke S
Me6glied M
y
Bild 1.5.1. Blockschaltbild eines Regelkreises Anhand dieses Blockschaltbildes ist zu erkennen, dass die Aufgabe der Regelung der Anlage oder eines Prozesses (Regelstrecke) darin besteht, die vom Messglied erfasste Regelgrofle y{t) unabhangig von aufieren Storungen z{t) entweder auf einem konstanten SoUwert w{t) = const zu halten (Festwertregelung) oder y{t) einem veranderlichen SoUwert wit) 7^ const {Fiihrungsgrofie) nachzufiihren (Folgeregelung). Diese Aufgabe wird durch ein Rechengerat, den Regler R, ausgefiihrt. Der Regler verarbeitet^ die Regelabweichung e{t) = w{t) — y(t), also die Differenz zwischen SoUwert u;(i) und Istwert y{t) der Regelgrofie, entsprechend seiner Funktionsweise (z.B. proportional, integrierend oder ' Die geratetechnische Realisierung des Reglers umfasst gewohnlich auch die Bildung der Regelabweichung
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
12
differenzierend) und erzeugt ein Signal WR(i), das iiber das Stellglied als Stellgrofle u{t) auf die Regelstrecke einwirkt und z.B. im Falle der Storgrofienregelung dem Storsignal z{t) entgegen wirkt. Durch diesen geschlossen Signalverlauf wird der Regelkreis gekennzeichnet, wobei die Reglerfunktion darin besteht, eine eingetretene Regelabweichung e{t) moglichst schnell zu beseitigen oder zumindest sehr klein zu halten. Auf diese hier dargestellte Grundstruktur lassen sich auch die im vorhergehenden Abschnitt behandelten beiden Beispiele zuruckfiihren. Allerdings muss darauf hingewiesen werden, dass aus Griinden der geratetechnischen Realisierung eine strenge Trennung der einzelnen vier regelungstechnischen Funktionen in entsprechenden Gerateeinheiten nicht immer moglich ist. So ist beispielsweise bei der Drehzahlregelung des Turbogeneratorsatzes eine geratetechnische Trennung zwischen Messglied und Regler nicht zweckmafiig. Das Fliehkraftpendel iibernimmt zwar die Aufgabe der Drehzahlmessung, und der damit verbundene Hebelarm kann als Regler interpretiert werden, der direkt auf das Dampfventil als Stellglied wirkt, jedoch stellt der damit beschriebene Fliehkraftregler insgesamt eine Gerateeinheit dar. Aus Bild 1.5.2 geht die Zuordnung zwischen den Gerateeinheiten und den regelungstechnischen Grundfunktionen fiir beide behandelten Beispiele deutlich hervor.
Storgrofien:
-^3
- Dampfzustand - Gegendruck - Stromverbrauch
. '.
i i /
hDampfstrom-^ w
„ e
+"?
Regler — >
I
liehkraf treg;ler (Het>el)
Fuhrungspotentiometer ^\
Storverhalten
^3
\ Storverhalten
^1
4
Stell- W Stellverglied halten + DampfRegelstrc ;cke ventil -Turbosatz
Differenzverstarker
Drehzahl
\
' • * •
Mefiglied
n= y
Drehzah 1messun; y ( Fliehkra ftpendeF
Gleichstrommotor + Folgepotentiometer Getriebe , ^ •
Sollwert- > ^«d "A StellRegel- ^ 2 = 2 / Mefi— » • Regler steller glied strecke glied \ = w Di fferenz\.nkersp annung s pannur ig
'"
+"?
® Bild 1.5.2. Zuordnung der geratetechnischen Punktion zur Grundstruktur des Regelkreises fiir die Beispiele (a) der Drehzahlregelung einer Dampfturbine gemaiS Bild 1.4.1 und (b) des Winkeliibertragungssystems gemal3 Bild 1.4.2
1.6 Einige typische Beispiele fiir Regelungen
13
Aufgrund der Schwierigkeiten, oft keine klare Trennung von Geratefunktion und regelungstechnischer Grundfunktion vornehmen zu konnen, ist es haufig zweckmai3ig, einen Regelkreis nur in zwei Blocke zu strukturieren. Dabei wird neben der Regelstrecke, die meist auch das Messglied enthalt, als weiterer Block nur noch die Regeleinrichtung unterschieden, wie es im Bild 1.5.3 dargestellt ist. Die Regeleinrichtung enthalt somit den eigentlichen Regler und gewohnlich auch das Stellglied. 1
z'\^
w
e i
Regeleinrichtung
z
Storverhalten
u \ ^ Stellverhalten
^"^
+ + 1
Regelstrecke
f
1
V
j
Bild 1.5.3. Vereinfachtes Blockschaltbild eine Regelkreises Aus den Bildern 1.5.1 und 1.5.3 ist ersichthch, dass der Vergleich von Sollwert w und Istwert y der RegelgrSfie zur Bildung der Regelabweichung e gerade durch die negative Rilckkopplung der Grofie y moglich wird. Nur aufgrund des negativen Vorzeichens an der Vergleichsstelle der beiden Signale kann somit die Regelabweichung e gebildet werden, die im Regler entsprechend seiner jeweiligen speziellen mathematischen Funktionsweise (z.B. proportional, integrierend oder differenzierend) zur Bildung der Stellgrofie u verarbeitet wird. Das Prinzip der negativen Rilckkopplung, kurz auch Riickkopplungsprinzip genannt, ist charakteristisch fiir jeden Regelkreis.
1.6
Einige typische Beispiele fiir Regelungen
Nachfolgend sollen einige typische Beispiele fiir Regelungen im Hinblick auf die im Abschnitt 1.5 eingefiihrte Regelkreisstruktur untersucht werden.
1.6.1
Spannungsregelung
Bild 1.6.1 zeigt das prinzipielle Verhalten der Spannungsregelung eines Gleichstromgenerators. Der Gleichstromgenerator G, der die Regelstrecke darstellt, wird hier von einem nicht gezeichneten Motor mit konstanter Drehzahl angetrieben. Als Regelgrofie y ist die Generatorspannung UQ konstant zu halten. Die Regelabweichung e gegeniiber der festen Spannung w (Sollwert) wird in einem Spannungsverstarker verarbeitet, der als Ausgangsgrofie die Erregerspannung UQ liefert. Dieser proportional arbeitende Spannungsverstarker wirkt als Regler. Als St5rgr6Be z ist die Zu- oder Abschaltung von Verbrauchern anzusehen, die hier durch ohmsche Widerstande KB gekennzeichnet sind. Wird der Generator z.B. belastet, so sinkt die Generatorspannung WQ- Daraufhin wird aufgrund der negativen
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
14
Riickkopplung derselben vom Regler die Erregerspannung Ue erhoht, wodurch wiederum die Generatorspannung steigt. Es handelt sich hierbei also um eine typische Festwertregelung.
e=w—y= ™ = «refl
z
»d
:
1+'"
lU =
Regler K^ Verstarkei 1
Ug
Regelstrecke Gleichstron1generator
' '+ 2/ = %
© Bild 1.6.1. Anlagenskizze der Spannungsregelung (a) und dazugehoriges Blockschaltbild (b)
1.6.2
Kursregelung
Bezogen auf ein festes Koordinatensystem (z.B. Himmelsrichtungen) wird bei der Kursregelung von SchifFen (oder Flugzeugen) der einzuhaltende Kurs als Sollwert w immer wieder neu festgelegt, (vgl. Bild 1.6.2). Abweichungen (e) des Schiffes (Regelstrecke) von dem vorgegebenen Kurswinkel (w) werden von einem Kreiselkompass gemessen und im Regler (R) verarbeitet. Der Regler bewirkt durch Veranderung des Ruderwinkels (Stellgrofie u), dass der tatsachliche Kurswinkel, also die RegelgroBe y, standig auf den Sollkurs nachgestellt wird. Die Kursregelung kann sowohl als Festwertregelung als auch als Folgeregelung aufgefasst werden. Bei einer festen Vorgabe des Kurssollwertes konnen Storungen durch Windeinfliisse oder Meeresstromungen auftreten. Diese Storungen des Kurswinkels miissen ausgeregelt werden. Andererseits muss beim Manovrieren der tatsachliche Kurswinkel einem eventuell sich standig andernden Sollwert nachgefiihrt werden. Selbstverstandlich ist die Arbeitsweise des Kursregelkreises in beiden Fallen dieselbe.
1.6 Einige typische Beispiele fiir Regelungen
15
Bild 1.6.2. Kursregelung eines Schiffes
1.6.3
Fullstandsregelung
Bei der im Bild 1.6.3 dargestellten Fullstandsregelung soil die Niveauhohe (Regelgrofie) unabhangig von Storungen {z') im Zu- und Abfluss konstant gehalten werden (Festwertregelung). Dabei stellt der Behalter die Regelstrecke dar. Als Messglied dient ein Schwimmer, dessen Stellung auf einen Hebelmechanismus einwirkt. Dieser gelagerte Rebel arbeitet als Regler, dessen Verstarkung durch das Verhaltnis der beiden Hebelarme gegeben ist. Der Reglerausgang WR, also der linke Hebelarm, wirkt iiber das Ventil (Stellglied) auf den Zufluss (Stellgrofie). Bei zu hohem Fiillstand wird der Zufluss gedrosselt. In dem Blockschaltbild sind bei den einzelnen Ubertragungsgliedern bereits die Ubergangsfunktionen (normierte Sprungantworten) als Symbole fiir das dynamische Verhalten eingetragen. Auf eine detaillierte Erklarung dieser Symbole wird erst spater eingegangen.
1.6.4
Regelung eines Warmetauschers
In dem im Bild 1.6.4 dargestellten Warmetauscher wird Sekundardampf durch Primardampf aufgeheizt. Dabei soUen unabhangig von Storungen {z[ und z'2) im Primar- und Sekundardampfstrom die Temperatur ^ und der Dampfstrom m sekundarseitig auf fest vorgegebenen Werten gehalten werden. Diese beiden Grofien stellen somit die Regelgrofien (j/i=i? und 2/2 =TO) dar. Die beiden Regelgrofien werden von den Reglern Ri und R2 getrennt geregelt. Nun besteht allerdings in der Regelstrecke eine Kopplung zwischen der Dampftemperatur 1? und dem Dampfstrom m. Wird beispielsweise eine Storung (^j), die auf den Sekundardampfstrom einwirkt, iiber den Regler R2 durch Veranderung der Verdichterdrehzahl ausgeregelt, dann wird - bei zunachst konstanter Beheizung durch den Primardampfstrom - die Dampftemperatur 1} sich ebenfalls andern. Dies stellt somit eine Storung fiir den Regelkreis 1 dar, die der Regler Ri durch Veranderung der Primardampfmenge zu beseitigen versucht. Die Anderung der Dampftemperatur ?9 wirkt sich schwach iiber die Beheizungsanderung auch wieder auf den Dampfstrom m aus. Die Kopplung oder Vermaschung beider Regelkreise geht anschaulich aus dem Blockschaltbild hervor. Der Warmetauscher besitzt also zwei Regelgrofien yi und 2/2 sowie
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
16
e=w—y
© P-Regler
AbBull ?»S<=°«1«="
£B
Stellglied
• Ventilhub
Zu£lui3 Kegelstrecke
y -»—•
Mefiglied
© Bild 1.6.3. Anlagenskizze einer Fiillstandsregelung (a) und zugehoriges Blockschaltbild (b) zwei Stellgrofien ui und U2- Ein derartiges System, das mehrere RegelgroBen besitzt, wird gewohnlich auch als Mehrgrofiensystem bezeichnet (seltener multivariables System). Im Gegensatz dazu weisen die in den vorangegangenen Abschnitten behandelten Beispiele nur eine Regelgrofie auf, weshalb man sie auch Eingrofiensysteme nennt. Die zuvor diskutierten Beispiele besitzen nur exemplarischen Charakter. Zahllose Beispiele aus nahezu alien Bereichen der Technik konnen hier genannt werden. Neben mechanischen und elektrischen Ausfiihrungen von Regelungen werden sehr haufig auch pneumatisch oder hydraulisch arbeitende Gerate oder auch Kombinationen davon, z.B. elektrohydraulische Einrichtungen, in der industriellen Praxis verwendet.
1.7
Historischer Hintergrund
Obwohl die erste nennenswerte technische Entwicklung im Bereich der Regelungstechnik die Erfindung des Drehzahlreglers durch J. Watt im Jahre 1788 darstellt, soUte jedoch vorweg festgestellt werden, dass das Regelungsprinzip grundsatzlich keine technische Erfindung, sondern eigentlich ein Naturphanomen ist. Das Regelungsprinzip, namlich einen Zustand auch bei Einwirkung auBerer Storungen selbsttatig aufrechtzuerhalten, ist in nahezu alien Lebenwesen wiederzufinden. Diese besitzen fiihlende und regulierende Organe, die jeder Storung der Lebensbedingungen entgegenwirken. So ermoglicht das Regelungsprinzip z.B. dem Menschen seine aufrechte Haltung; es halt seine Korpertemperatur
1.7 Historischer Hintergrund
17
Primar- ^.l Dampf |L ^ VentilX=(j^
Ri
•*
(>*
K)
(«l)
Em
Verdichter
i} = y^
EIZI
vn.
SekundarDampf
/ , / V m = yry
vrr.
(4) fM
^ ; Warmetauscher ••::
Mefistellen
Rn
•*
I
^
O^——
© Regelkreis 1 Z-
V^-
^X
Rn
Regler
r^
^A^
R.
Regelkreis 2
Regelstrecke
© Bild 1.6.4. MehrgroCenregelsystem eines Warmetauschers (a) und zugehoriges Blockschaltbild (b) konstant, ohne dass Hitze oder Kalte sie beeinflussen konnen. Dieses Regelungsprinzip ist aber auch bei zahlreichen anderen Vorgangen wiederzufinden, so z.B. beim Ablauf von okonomischen und soziologischen Vorgangen. Die Entwicklung der Regelungstechnik [May69], [R6r71] lasst sich gemafi Tabelle 1.7.1 in vier grofiere Perioden einteilen. Die erste Periode (I) beginnt mit der bereits erwahn-
18
1 Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
ten Erfindung des Fliehkraftreglers zur Drehzahlregelung von Dampfmaschinen durch J. Watt um 1788. Am Anfang dieser Zeitperiode stellte allerdings die Regelungstechnik noch eine Art Kunst dar. Die ersten analytischen Untersuchungen iiber das Zusammenwirken von Regler und Regelstrecke wurden erst 1868 von J. Maxwell in einer grundlegenden Arbeit [Max68] durchgefiihrt, der dadurch auch als Begriinder einer allgemeinen Regelungstheorie gilt. Die zweite Periode (II), die etwa kurz vor 1900 einsetzt, ist gekennzeichnet durch eine strenge mathematische Behandlung regelungstechnischer Vorgange in verschiedenen Anwendungsbereichen. Hier sind insbesondere die Arbeiten von A. Stodola [Sto93] und M. Tolle [Tol05] zu erwahnen, die die Regelung von Turbinen und Kolbenkraftmaschinen behandeln. Das von Tolle 1905 veroffentlichte Buch iiber „Regelung von Kraftmaschinen" darf als erstes systematisches regelungstechnisches Lehrbuch angesehen werden. In dieselbe Zeit fallt die Entwicklung der Stabilitatskriterien von E. Routh [Rou77] und A. Hurwitz [Hur95]. Etwa um das Jahr 1930 wurde die Regelungstechnik stark durch die elektrische Nachrichtentechnik befruchtet. Hier waren es vor allem K. Kiipfraiiller [Kiip28] (1928) mit der Behandlung von Stabilitatsproblemen riickgekoppelter Verstarker und H. Nyquist [Nyq32] (1932) mit der Einfiihrung neuartiger Stabilitatsbetrachtungen anhand der Prequenzgangortskurve, die der Regelungstechnik nachhaltige Impulse gaben. Etwa um 1940 darf der Anfang der dritten Periode (III) gerechnet werden. Wahrend dieser Zeit entstanden die grundlegenden Arbeiten von A. Leonhard [Leo40] und W. Oppelt [Opp39], die den Verdienst haben, dass die Regelungstechnik damals zu einer einheitlichen, systematisch geordneten und selbstandigen Ingenieurwissenschaft wurde. In diese Periode der „klassischen" Regelungstechnik fallt auch die erste geschlossene mathematische Behandlung der Dynamik selbsttatiger Reglungen [OS44], [Bod45]. Die weitere Entwicklung der Regelungstechnik erfolgte in den Nachkriegsjahren hauptsachlich auf den Gebieten der statistischen Regelverfahren [Wie49], Abtastregelsysteme [Tru55] sowie der Behandlung nichtlinearer Regelvorgange [Cos58] vorwiegend in den USA und der Sowjetunion. Die Technik der Regelgerate wurde weitgehend vereinheitlicht. Es entstanden die pneumatischen und elektronischen Geratekonzeptionen der PIDEinheitsregler [BM61]. Um 1960 kann der Beginn der vierten Periode (IV), oft auch als „moderne" Regelungstechnik bezeichnet, datiert werden. Sie ist gekennzeichnet durch den Einsatz elektronischer Rechenmaschinen zur Losung komplexer regelungstechnischer Problemstellungen, wie sie beispielsweise in der Raumfahrt auftreten. Im Zusammenhang mit der Verfiigbarkeit derartiger leistungsfahiger Rechenmaschinen ist auch die Einfiihrung optimaler Regel- und Steuerverfahren zu sehen, die etwa um 1956 in der Sowjetunion mit der Entwicklung des „Maximumprinzips" durch L. Pontrjagin [PBGM64] und etwa zur selben Zeit in den USA mit der „dynamischen Programmierung" durch R. Bellman [Bel57] einsetzte. Das Prinzip dieser modernen optimalen Regelverfahren erforderte als neue Beschreibungsform fiir Regelsysteme die Verwendung der Zustandsraumdarstellung [Kal61]. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass diese Beschreibungsform etwa achtzig Jahre zuvor in der theoretischen Mechanik bereits eingefiihrt wurde. Diese modernen regelungstechnischen Verfahren, die insbesondere fiir die Behandlung von Mehrgrofiensystemen geeignet sind, benotigen allerdings einen vergleichsweise hohen mathematischen und numerischen Aufwand. Viele technische Fortschritte speziell im Bereich der Raum- und Luftfahrttechnik waren erst durch Einfiihrung dieser Verfahren moglich.
1.7 Historischer Hintergrund
19
Etwa um 1960 fand der Digitalrechner als Prozessrechner Einsatz bei der direkten digitalen Regelung (Direct Digital Control DDC) in komplexen regelungstechnischen Prozessen, wie sie bei technischen Grofianlagen (Mehrgrofienregelsystemen) zur Prozessfiihrung erforderlich sind [Led60]. Diese sogenannten Prozessrechner ermoglichten die Verarbeitung der zahlreichen anfallenden Messwerte und iibernahmen dann die optimale Fiihrung des gesamten Prozesses. Dieser Rechnereinsatz beim Realzeitbetrieb geregelter technischer Prozesse erfuhr anfanglich manchen Riickschlag, doch Anfang der siebziger Jahre gehorte bei vielen komplexen Regelanlagen der Prozessrechner als Instrument zur Uberwachung, Protokollierung, Regelung und Steuerung technischer Prozesse bereits zur Standardausriistung. Obwohl schon zu dieser Zeit der Prozessrechner iibergeordnete Funktionen zur Koordination der zuvor erwahnten Teilaufgaben, auch als Leittechnik bezeichnet, iibernahm, war die Zentralisierung der Rechenleistung und Informationsverarbeitung in einem Gerat trotz verschiedener Sicherheitsschaltungen, wie z.B. „Back-Up"-Schaltung analoger Gerate oder parallel arbeitende Mehrfachrechnersysteme, unbefriedigend und stets mit Risiko behaftet. Die Entwicklung relativ preiswerter Mikroprozessoren etwa ab 1975 fiihrte schliefilich in den achtziger Jahren zur digitalen Geratetechnik und damit zu leistungsfahigen Prozessleitsystemen mit dezentraler verteilter Rechnerkapazitat. Diese dezentralen Prozessleitsysteme ersetzten ab 1985 weitgehend den zentralen Prozessrechner bei der Automatisierung technischer Prozesse. Leider waren die bis etwa 1998 neu in Betrieb genommen Prozessleitsysteme von ihrem Software-Aufbau weitgehend „geschlossene" Systeme, die dem Anwender aus sicherheitstechnischen Griinden kaum die Gelegenheit boten, andere als nur die normalerweise installierten klassischen PID-Regler programmtechnisch zu verwirklichen. Erst neuerdings, seit etwa 1998, sind leistungsfahige „offene" Leitsysteme verfiigbar, in deren Rahmen der Anwender iiber den PID-Regler hinaus auch anspruchsvoile Regler implementieren kann. Hier sind fiir die Zukunft dringende Erweiterungen, insbesondere mit dem Einsatz von nichtlinearen und intelligenten Regelverfahren, wie z.B. Fuzzy-Regler erforderlich. Obwohl bereits im Jahre 1965 von L. Zadeh [Zad65] vorgeschlagen, stiefi die FuzzyRegelung in den USA und Europa zunachst auf wenig Interesse. Etwa ab 1980 setzte jedoch zuerst in Japan und dadurch aufgeschreckt ab 1990 auch in den USA und Europa der erfolgreiche Einsatz dieses neuen Zweiges der Regelungstechnik ein. Zusammen mit dem zunehmenden Einsatz von kiinstlichen neuronalen Netzen fiir die Reglersysteme eroffnet sich mit diesen Werkzeugen die Realisierung „intelligenter" Regelsysteme zu Beginn des 21. Jahrhunderts, so dass sich hier der Meilenstein fiir eine neue fiinfte Entwicklungsphase der Regelungstechnik abzeichnet. Leider sind die Begriffe der „klassischen" und „modernen" Regelungstechnik etwas irrefiihrend. Die klassischen Methoden der Regelungstechnik umfassen weitgehend die Analyse- und Syntheseverfahren im Prequenzbereich, die heute im wesentlichen uneingeschrankt ihre voile Bedeutung haben. Die modernen Methoden gestatten hingegen die Behandlung von Regelsystemen auch im Zeitbereich. Je nach dem speziellen Anwendungsfall werden sowohl die einen als auch die anderen Verfahren mit gleicher Prioritat eingesetzt. Die intelligenten Regelverfahren stellen teils Alternativen zu den klassischen und modernen Verfahren dar, teils erganzen sie diese zu weitergehenden Eigenschaften, z.B. zur Entwicklung lernender oder adaptiver Regelverfahren. Die wichtigsten zuvor genannten Verfahren sollen in den nachfolgenden Kapiteln behandelt werden.
1 Einfuhrung in die Problemstellung der Regelungstechnik
20
Tabelle 1.7.1 Zeitliche Entwicklung in der Regelungstechnik Periode
Jahr
Name
Fortschritte in der Regelungstechnik
1788
J. Watt
1868
J. Maxwell J. Routh A. Stodola A. Hurwitz M. Tolle K. Kiipfmiiller A. Nyquist
Entwicklung des Drehzahlreglers, Anwendung in der Energieerzeugung, z.B. Dampfmaschinen, Windmiihlen; theoretische Analyse des Fliehkraftreglers
I
II
1877 1893 1895 1905 1928 1932 1940 1944
III
1945 1950 1955 1956
Anwendung von Differentialgleichungen zur Beschreibung von Regelvorgangen; Stabilitatsuntersuchungen; Regelung von Turbinen und Kolbenmaschinen; Stabilitatsanalyse; Riickkopplungsprinzip; Frequenzgangmethoden; Anwendungen: Energietechnik, Nachrichtentechnik, Waffentechnik, Luftfahrttechnik. Entwicklung der Regelungstechnik zu einer A. Leonhard selbstandigen Disziplin der IngenieurwissenW. Oppelt schaften; systematische mathemat. Darstellung; R. Oldenbourg Einfuhrung neuer Methoden im Frequenzbereich; und Laplace-Transformation; statistische Methoden der H. Sartorius Regelungstechnik; Abtastregelsysteme; nichtlineare H. Bode Regelvorgange; Entwicklung elektronischer und N. Wiener pneumatischer Einheitsregler; breite industrielle J. Truxal Anwendungen; Griindung der IFAC (International IFAC Federation of Automatic Control).
1956 1957
L. Pontrjagin R. Bellman
1960
DDC (Industrie)
1965 1972 1975 1980 1985 1995
L. Zadeh (Industrie) (Industrie) (Industrie) (Industrie) (Industrie)
1998
(Industrie)
IV
Entwicklung des Maximumprinzips und der dynamischen Programmierung zur Behandlung optimaler Regelvorgange; Einfiihrung der ZustandsraumDarstellung und der Stabihtatsbetrachtungen nach Ljapunow (bereits 1892 entwickelt); Einsatz elektronischer Rechenanlagen zur Analyse und Synthese von Mehrgrofienregelsystemen; Einsatz von Prozessrechnern zur direkten digitalen Regelung (DDC-Konzept zur Prozessfiihrung); Software-Entwicklung fiir Regelungsaufgaben; Anwendungen in nahezu alien Teilgebieten der Technik sowie auch bei nichttechnischen Problemen (z.B. Weltmodell nach Forrester [For71]); Puzzy-Regelung Einsatz von Mikrorechnern fiir Regelsysteme Einsatz von Leitsystemen Vordringen der digitalen Geratetechnik Breiter Einsatz von Fuzzy-Reglern in Japan Einsatz intelligenter Regelverfahren (Fuzzy-Regler, kiinstUch neuronale Netze, Expertensysteme) Offene Prozessleitsysteme
21
2
Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
2.1
Mathematische Modelle
Da die folgenden Uberlegungen nicht nur fiir Regelsysteme, sondern allgemein auch fiir andere dynamische Systeme giiltig sind, soil zunachst nur von Systemen gesprochen werden. Lasst sich das Verhalten eines Systems aufgrund physikalischer oder anderer Gesetzmafiigkeiten analytisch erfassen oder anhand von Messungen bestimmen und in eine mathematische Beschreibungsform bringen, so stellen die entsprechenden Gleichungen das mathematische Modell desselben dar. Mathematische Modelle werden z.B. gebildet durch Differentialgleichungen, algebraische oder logische Gleichungen. Die spezielle Form des mathematischen Modells hangt dabei im wesentlichen von den tatsachlichen Systemeigenschaften ab, deren wichtigste - im Bild 2.1 dargestellt [Unb73] - im Abschnitt 2.2 kurz beschrieben werden. -
Lineare Systeme
Nichtlineare Systeme
Systeme mit konzentrierten Parametern Systeme mit verteilten Parametern Zeitinvariante „ ^ Zeitvariante ^^^^^^^ Kontinuierliche „ , Zeitdiskrete ^J^^^^^ Deterministischeci , Stochastische Systeme Kausale „ i. Nichtkausale Systeme Stabile „ ^ Instabile Systeme Bild 2.1.1. Gesichtspunkte zur Beschreibung der Eigenschaften von Regelsystemen
Die FVage, wozu eigentlich solche mathematischen Modelle von einzelnen Regelkreisgliedern oder komplexeren Regelsystemen gebraucht werden, ist hier durchaus berechtigt. Im allgemeinen stellen derartige mathematische Systemmodelle die Ausgangsbasis fiir
22
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
die Analyse oder Synthese eines Regelsystems sowie auch fiir Simulationsstudien mit Hilfe von Simulationsprogrammen z.B. Matlab [MAT99]/Simulink [SIMOO] dar. Generell ermoglicht die Simulation eines Systems [Sch74] das Durchspielen verschiedenartiger Betriebsfalle und Situationen, die am realen Prozess nicht oder nur unter erheblichem Aufwand iiberpriift werden konnen, was gerade im Entwurfsstadium von grofier Bedeutung sein kann. Ura das tatsachliche Verhalten eines realen Systems in abstrahierter Form durch ein mathematisches Modell eventuell vereinfacht, aber doch geniigend genau zu beschreiben, miissen sowohl die Parameter als auch die Struktur des Modells ermittelt (identifiziert) werden. Diese Aufgabe der Systemidentifikation kann theoretisch oder experimentell gelost werden. Bei der theoretischen Identifikation eines Systems wird anhand der physikalischen und technischen Daten der Anlage oder des Prozesses das mathematische Modell gewonnen. Dabei geht man im wesentlichen von den Elementarvorgangen aus, durch die der technische Prozess beschrieben wird (vgl. 10.1). Anhand physikalischer Gesetzmafiigkeiten (z.B. Erhaltungssatze) werden dann diese Grundvorgange in Form von Bilanzgleichungen mathematisch formuliert. Sind die inneren und aufieren Bedingungen bekannt, dann kann das System rechnerisch identifiziert werden. In vielen Fallen konnen mit Hilfe einer experimentellen Identifikation sehr schnell wichtige Unterlagen liber das Verhalten eines Systems gewonnen werden, ohne dasselbe detaillierter zu kennen. Die experimentelle Systemidentifikation umfasst in einem ersten Teilvorgang die Messung der Systemeingangs- und Systemausgangsgrofien. Im zweiten Teilvorgang wird anhand der Auswertung der zeitlichen Verlaufe von Ein- und Ausgangsgr613en und unter Verwendung eventuell vorhandener a priori-Kenntnisse das mathematische Modell aufgestellt. Dies geschieht unter Einsatz teilweise komplizierter numerischer Verfahren.
2.2
Dynamisches und statisches Verhalten von Systemen
Man unterscheidet bei Systemen gewohnlich zwischen dem dynamischen und statischen Verhalten. Das dynamische Verhalten oder Zeitverhalten beschreibt den zeitlichen Verlauf der Systemausgangsgrofie Xs.{t) bei vorgegebener Systemeingangsgrofie X(i{t). Diese Verkniipfung zwischen der Ein- und Ausgangsgrofie lasst sich allgemein durch einen Operator T ausdriicken; d.h. zu jedem reellen x^{t) gehort ein reelles Xg,{t), so dass xS) = T[xe(i)]
(2.2.1)
gilt. Als Beispiel dafiir sei im Bild 2.2.1 die Antwort Xg,{t) eines Systems auf eine sprungformige Veranderung der Eingangsgrofie x^{t) betrachtet. In diesem Beispiel beschreibt Xa{t) den zeitlichen Ubergang von einem stationaren Anfangszustand zur Zeit ^ < 0 in einen stationaren Endzustand (theoretisch fiir t —^ oo) a:;a(oo). Variiert man nun - wie im Bild 2.2.2 dargestellt - die Sprunghohe Xe.s = const und tragt
2.3 Systemeigenschaften
23
x^)
^M
'c,s-
^cit) System 2^a(0
0
t^
2^a(oo) 0
Biid 2.2.1. Beispiel fur das dynamische Verhalten eines Systems
die sich einstellenden stationaren Werte der AusgangsgroBe a;a,s = a;a(oo) (iber Xe,s auf, so erhalt man die statische Kennlinie (2.2.2)
•^a,s — / \^e,s) J
die das statische Verhalten oder Beharrungsverhalten des Systems in einem gewissen Arbeitsbereich beschreibt. Gl. (2.2.2) gibt also den Zusammenhang der Signalwerte im Ruhezustand an. Bei der weiteren Verwendung der Gl. (2.2.2) soil allerdings der einfacheren Darstellung wegen auf die Schreibweise Xa,s = a;a und Xe,s = ^e iibergegangen werden, wobei Xa und x^ jeweils stationare Werte von Xa,{t) und Xe{t) darstellen. x^{t) 434 2
43210- fL
1+ 0
0
•
- ©
a,« = /(a^e.J
0 1 2 3 4 5 Xg^^
©
Bild 2.2.2. Beispiel fiir das dynamische (a) und statische (b) Verhalten eines Systems
2.3
Systemeigenschaften
2.3.1
Lineare und nichtlineare Systeme
Definition der Linearitat: Ein System heiCt genau dann linear, wenn unter Verwendung des in Gl. (2.2.1) eingefiihrten Operators das Superpositionsprinzip
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
24
Y^hx,,{t):=T
(2.3.1)
/ ^ kiX^- (t)
fiir eine beliebige Linearkombination von Eingangsgr6i3en Xe.{t), fiir i = 1,2,3,... ,n gilt; ki sind reelle Konstanten. Anschaulich beschreibt Gl. (2.3.1) folgenden Sachverhalt: Lasst man nacheinander auf den Eingang eines Systems n beliebige Eingangsgrofien Xe^{t) einwirken und bestimmt die Systemantworten Xi^^{t), so ergibt sich die Systemantwort auf die Summe der n Eingangsgrofien als Summe der n Systemantworten Xs.^{t). Gilt das Superpositionsprinzip nicht, so ist das System nichtlinear. Lineare kontinuierliche Systeme-^ konnen immer durch lineare Differentialgleichungen beschrieben warden. Als Beispiel sei eine gewohnliche lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung betrachtet: ^ a , ( £ ) —Xa(t) dti "' ' 1=0
= Y.^j{t)j-x,{t). ^ ^ "' 'dp
(2,3.2)
jj==o0
Wie man leicht sieht, gilt auch hier das Superpositionsprinzip entsprechend Gl. (2.3.1 Da heute fiir die Behandlung linearer Systeme eine weitgehend abgeschlossene Theorie ([Tho73]; [Unb98]) zur Verfiigung steht, ist man beim Auftreten von Nichthnearitaten i.a. bemiiht, eine Linearisierung durchzufiihren. Zwar sind die meisten in der Technik vorkommenden Probleme von nichtlinearer Natur, doch gelingt es in sehr vielen Fallen, durch einen linearisierten Ansatz das Systemverhalten hinreichend genau zu beschreiben. Die Durchfiihrung der Linearisierung hangt vom jeweiligen nichtlinearen Charakter des Systems ab. Daher wird im weiteren zwischen der Linearisierung einer statischen Kennlinie und der Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung unterschieden.
(a) Linearisierung einer statischen Kennlinie Wird die nichtlineare Kennlinie fiir das statische Verhalten eines Systems durch Xa = f{Xe)
(2.3.3)
beschrieben, so kann diese nichtlineare Gleichung im jeweils betrachteten Arbeitspunkt (xejiTa) in die Taylor-Reihe Xe, = f{Xe) +
\XQ
dXe
XA
XQ)
~r
1^ 2! dxl
— Xg
(Xe-Xe)' + ... Xa
(2.3.4)
Xp
entwickelt werden. Sind die Abweichungen {Xf^—Xo) um den Arbeitspunkt klein, so konnen die Terme mit den hoheren Ableitungen vernachlassigt werden, und aus Gl. (2.3.4) folgt X^ ^ X^ + J\
\XQ
XQ)
mit Xs. = f{xe)
und
d/ K =^ -— dXe
'- Definition kontinuierlicher Systeme s. Abschnitt 2.3.4
2.3 Systemeigenschaften
25
oder umgeformt Xa-X^f»K{Xe-Xe).
(2.3.5)
Dieselbe Vorgehensweise ist auch fiir eine Punktion mit zwei oder mehreren unabhangigen Variablen moghch. So gilt z.B. fiir XB. = f{Xei,Xe2)
(2.3.6)
die Taylor-Reihenentwicklung im Arbeitspunkt (Sa,5;e 1,^62)
__ dXe
Xej^Xei 2
df
[XQ^
XQ^)
+ . . . .
CfXe^
'^«2
Ki
K2
Bricht man die Reihenentwicklung nach den ersten Ableitungen ab und formt um, so erhalt man naherungsweise den linearen Zusammenhang Xa-Xs.^ Ki{Xe, - S e i ) + ^^'2(0:62 - ^62)-
(2.3.7)
(b) Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung Ein nichtlineares dynamisches System mit der Eingangsgr6l3e Xe{t) = u{t) und der AusgangsgroiJe Xs.{t) = x{t) werde beschrieben durch die nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung x{t) = f[x{t),u{t)], (2.3.8) die in der Umgebung einer Ruhelage {x,u) linearisiert werden soil. Eine Ruhelage a; zu einer konstanten Eingangsgr6l3e M ist dadurch gekennzeichnet, dass x{t) zeitlich konstant ist, d.h. es gilt x{t) — 0. Man erhalt zu einer gegebenen Eingangsgrofie u die Ruhelagen des Systems durch Losen der Gleichung 0 = f{x,u).
(2.3.9)
Bezeichnet man mit x*{t) die Abweichung der Variablen x{t) von der Ruhelage x, dann gilt x{t)=x + x*{t), (2.3.10a) und daraus folgt x{t)=x*{t).
(2.3.10b)
Ganz entsprechend ergibt sich fiir die zweite Variable u(t)=u + u*{t)
(2.3.11a)
u{t)=u*{t).
(2.3.11b)
und deren Ableitung Die Taylor-Reihenentwicklung von Gl. (2.3.8) um die Ruhelage (x,u) liefert nun
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
26
i(i) = f[x,u] + —
(u - u) + . . . , u=u x=x
X = X
u=u
und bei Vernachlassigung der Terme mit den hoheren Ableitungen und Beriicksichtigung der Gin. (2.3.9) bis (2.3.11b) erhalt man naherungsweise die Hneare Differentialgleichung x'{t)
KAx*it)+Bu*it)
(2.3.12)
mit A =
df{x,u) dx
dfix.u) du
und B = x=x
Ganz entsprechend kann auch bei nichtlinearen Vektordifferentialgleichungen x{t) = f[x{t),u{t)] mit x{t) = [xi{t)... x„{t)f
(2.3.13)
u{t)^[ui{t)...Ur{t)f
vorgegangen werden. Dabei stellen f{x,u),x{t) und u{t) Spaltenvektoren dar. Die Linearisierung liefert die lineare Vektordifferentialgleichung x*{t)KAx*{t)+Bu*{t),
(2.3.14)
wobei A und B als Jacobi-Matrizen die partiellen Ableitungen enthalten: -dfi{x,u) dxi
dfi{x,u)dXn (2.3.15)
dfn{x,u) dxi
dfn{x,u) dXn - x~x U=li
dfi{x,u) dui
dfiix,u)l dUr
B =
(2.3.16) dfnix,u) dui
dfnix,u) dUr
x=x
Beispiel 2.3.1 Gegeben sei die nichtlineare Differentialgleichung X = x{x — 1) +u = f{x,u). Es lasst sich leicht anhand der Beziehung a; = 0 bzw. f{x,u) = 0 feststellen, dass nur fiir w = u < 1/4 Ruhelagen existieren, und dass die gegebene nichtlineare Differentialgleichung zu jedem derartigen u zwei Ruhelagen besitzt. Beispielsweise ergeben sich fiir w = 0 als Losung der Gleichung a; = 0 = x{x — 1)
2.3 Systemeigenschaften
27
die beiden Werte af = 0
und
a; = 1.
Zuu = —2 gibt es ebenfalls zwei Ruhelagen, die sich aus
ergeben: X = —1
und
X = 2.
Fiir diese Ruhelagen gilt mit x = 'x und u = u, wie sich leicht nachpriifen lasst, f(x,u) = x(x — 1) + u = 0 I Die Linearisierung hefert nach Gl. (2.3.12) x*{t) mit A.
dl dx
KAx*{t)+Bu*{t)
= 2x-\
und
B =
dl du
1.
In der Tabelle 2.3.1 sind fiir verschiedene Ruhelagen die zugehorigen linearisierten Differentialgleichungen angegeben. Tabelle 2.3.1 Linearisierte Differentialgleichungen fiir Beispiel 2.3.1
Ruhelage x u
linearisierte Differentialgleichung -x*it)+u*(t) 0 x*{t) « x*{t)+u*{t) 0 x*{t)x K-3x*{t)+u*it) - 2 x*(t) 3x*{t)+u*{t) - 2 x*lt)!v
Beispiel 2.3.2 Die homogene Differentialgleichung eines nichtlinearen Systems sei gegeben durch ' + ay + Ksiny = 0. Setzt man xi = y
und
a;2 = xi = y,
so erhalt man das System von zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung: i i =X2 = fi{x) X2 = —-K'sinxi — ax2 =• f2{x). Die moglichen Ruhelagen des Systems ergeben sich durch Losen des Gleichungssystems:
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
28
0=^2
0 = —ff sinaJi — 0x2Man erhalt als L5sung: X2
= 0
Xi — nn,
n = 0, ± 1, ± 2,
Mit den Gin. (2.3.14) und (2.3.15) folgt fiir die linearisierte Bewegung
dxi
dx2
dxi
dx2
X
xi=a;i;x2=X2
Es interessiere nur die Ruhelage xi = Q; X2 = 0. Als linearisiertes homogenes Differentialgleichungssystem um diese Ruhelage erhalt man: X
2.3.2
0 K cos X\
1 —a
X 'xi =0;x"2—0
=
0 -K
1 —a
X
Systeme mit konzentrierten oder verteilten Parametern
Man kann sich ein Ubertragungssystem zusammengesetzt denken aus endlich vielen idealisierten einzelnen Elementen, z.B. ohmschen Widerstanden, Kapazitaten, Induktivitaten, Dampfern, Federn, Massen usw. Derartige Systeme werden als Systeme mit konzentrierten P a r a m e t e r n bezeichnet. Diese werden durch gewohnliche Differentialgleichungen beschrieben. Besitzt ein System unendlich viele, unendlich kleine Einzelelemente der oben angefiihrten Art, dann stellt es ein System mit verteilten P a r a m e t e r n dar, das durch partielle Differentialgleichungen beschrieben wird. Der Spannungsverlauf auf einer Leitung ist eine Funktion von Ort und Zeit und damit nur durch eine partielle Differentialgleichung beschreibbar. Ein anderes Beispiel fiir ein System mit verteilten P a r a m e t e r n ist das Schwingungsverhalten einer massebehafteten Feder (Bild 2.3.1).
Feder (Masse vernachlassigbar) Diimpfung
Feder (massebehaftet u n d mit innerer Dampfung)
Masse
Erregende Kraft
Erregende Kraft Bild 2 . 3 . 1 . Parametern
Beispiele fiir ein Schwingungssystem mit konzentrierten (a) und verteilten (b)
2.3 Systemeigenschaften
2.3.3
29
Zeitvariante und zeitinvariante Systeme
Sind die Systemparameter nicht konstant, sondern andern sie sich in Abhangigkeit von der Zeit, dann ist das System zeitvariant (oft auch als zeitvariabel oder nichtstationar bezeichnet). Ist das nicht der Fall, dann wird das System als zeitinvariant bezeichnet. Als Beispiel fiir zeitvariante Systeme k5nnen u.a. folgende Systeme genannt werden: - Rakete (Massenanderung) - Kernreaktor (Abbrand) - temperaturabhangiger Widerstand (bei zeitlicher Anderung der Temperatur). Haufiger und wichtiger sind zeitinvariante Systeme, deren Parameter alle konstant sind. Die Zeitinvarianz lasst sich formal durch die Operatorschreibweise (2.3.17)
x^{t - to) = T[x^it - to)]
kennzeichnen, welche aussagt, dass eine zeitliche Verschiebung des Eingangssignals Xe{t) um to eine gleiche Verschiebung des Ausgangssignals x^it) zur Folge hat, ohne dass Xa(t) verfalscht wird. Einfachheitshalber wird meist io = 0 gewahlt. Ein typisches Beispiel fiir ein zeitvariantes und zeitinvariantes System zeigt Bild 2.3.2 a, bei dem sich durch die ausstromende Fliissigkeit die Masse m(i) verandert.
f- m = const Bild 2.3.2. Beispiel fiir ein Schwingungssystem mit zeitvariantem (a) und zeitinvariantem (b) Verhalten
2.3.4
Systeme mit kontinuierlicher oder diskreter Arbeitsweise
Ist eine Systemvariable (Signal) y, zum Beispiel die Eingangs- oder Ausgangsgrofie eines Systems, zu jedem beliebigen Zeitpunkt gegeben, und ist sie innerhalb gewisser Grenzen stetig veranderbar, dann spricht man von einem kontinuierlichen Signalverlauf (Bild 2.3.3a). Kann das Signal nur gewisse diskrete Amplitudenwerte annehmen, dann liegt ein quantisiertes Signal vor (Bild 2.3.3b). Ist hingegen der Wert des Signals nur zu bestimmten diskreten Zeitpunkten bekannt, so handelt es sich um ein zeitdiskretes (oder kurz: diskretes) Signal (Bild 2.3.3c). Sind die Signalwerte zu aquidistanten Zeitpunkten
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
30
mit dem Intervall T gegeben, so liegt ein Abtastsignal mit der Abtastperiode T vor. Systeme, in denen derartige Signale verarbeitet werden, bezeichnet man auch als Ahtastsysteme ([Ack88]; [F6193]). In samtlichen Regelsystemen, in denen ein Digitalrechner z.B. die Funktion eines Reglers libernimmt, konnen von diesem nur zeitdiskrete quantisierte Signale verarbeitet werden (Bild 2.3.3d).
kontinuierlich
© quantisiert
© zeitdiskret
© 1 •
konstantes Abtastintervall ^ ' •
1^ Bild 2.3.3.
2.3.5
zeitdiskret und quantisiert
1
1
•
1
' •
©
t
Unterscheidungsmerkmale fiir kontinuierliche und diskrete Signale
Systeme mit deterministischen oder stochastischen Variablen
Eine Systemvariable kann entweder deterministischen oder stochastischen Charakter aufweisen. Die deterministischen oder stochastischen Eigenschaften beziehen sich sowohl auf die in einem System auftretenden Signale als auch auf die Parameter des mathematischen Systemmodells. Im deterministischen Fall sind die Signale und das mathematische Modell eines Systems eindeutig bestimmt. Das zeitliche Verhalten (Bild 2.3.4a) des Systems lasst sich somit auch reproduzieren. Im stochastischen Fall hingegen besitzen die auf das System einwirkenden Signale und/oder das Systemmodell, z.B. ein KoefRzient der Systemgleichung (also in diesem Fall eine stochastische Variable), stochastischen, d.h. entsprechend Bild 2.3.4b volhg regellosen Charakter. Der Wert dieser in den Signalen oder im System auftretenden Variablen kann daher zu jedem Zeitpunkt nur durch statistische GesetzmaBigkeiten ([Sch68a]; [Sol63]) beschrieben werden und ist somit nicht mehr reproduzierbar.
2.3 Systemeigenschaften
31
t Bild 2.3.4. Deterministischer (a) und stochastischer (b) Signalverlauf Xa.{t)
Da haufig der etwas unprazise Begriff des „stochastischen Systems"benutzt wird, sollte bei der Verwendung dieses Begriffes stets eindeutig geklart werden, ob die stochastischen Variablen tatsachlich in den KoefRzienten der Systemgleichungen oder nur in den zugehorigen Signalen auftreten.
2.3.6
Kausale und nichtkausale Systeme
Bei einem kausalen System ist die Ausgangsgrofie Xn{t) zu einem beliebigen Zeitpunkt ti nur vom Verlauf der Eingangsgrofie Xeit) bis zu diesem Zeitpunkt ti abhangig; es muss also erst eine Ursache auftreten, bevor sich eine Wirkung zeigt. Ist diese Eigenschaft nicht vorhanden, dann ist das System nichtkausal. Alle realen Systeme sind kausal.
2.3.7
Stabile und instabile Systeme
Die Stabilitat stellt bei Regelsystemen eine wichtige Systemeigenschaft dar, die spater noch ausfiihrlich besprochen wird. Hier soil zunachst nur festgestellt werden, dass ein System genau dann eingangs-/ausgangsstabil ist, wenn jedes beschrankte zulassige Eingangssignal x^it) ein ebenfalls beschranktes Ausgangssignal Xa,{t) zur Folge hat. Ist dies nicht der Fall, dann ist das System instabil (Bild 2.3.5).
Bild 2.3.5. Stabiles (a) und instabiles (b) Systemverhalten Xa.{t) bei beschrankter Eingangsgrofie Xe{t)
2.3.8
Eingrofien- und Mehrgrofiensysteme
Ein System, welches genau eine Eingangs- und Ausgangsgrofie besitzt, heifit Eingrofiensystem. Ein System mit mehreren Eingangsgrofien und einer oder mehreren Ausgangs-
32
2 Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen
grofien heifit Mehrgrofiensystem oder multivariables System, wenn mindestens eine Ausgangsgrofie von mehreren Eingangsgrofien abhangig ist. Ein Mehrgrofiensystem Uegt auch vor, wenn das System nur eine Eingangsgrofie, aber mehrere Ausgangsgrofien aufweist. Neben den hier diskutierten Systemeigenschaften werden spater noch einige weitere eingefiihrt. So sind beispielsweise die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eines Systems wesenthche Eigenschaften, die das innere Systemverhalten beschreiben. Da aber die fiir die Definition erforderlichen Grundlagen erst im Band „ Regelungstechnik Ifbehandelt werden, kann an dieser Stelle auf diese Systemeigenschaft noch nicht eingegangen werden. Es sei noch erwahnt, dass ein System gewohnlich mehrere der hier aufgefiihrten Eigenschaften besitzt, die dann auch zu seiner Charakterisierung verwendet werden. So werden z.B. in den nachfolgenden Abschnitten zunachst Uneare invariante kontinuierliche Systeme behandelt.
33
3
Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
3.1
Beschreibung mittels Differentialgleichungen
Wie bereits in den beiden vorhergehenden Kapiteln gezeigt wurde, kann das Ubertragungsverhalten linearer kontinuierlicher Systeme durch lineare Differentialgleichungen beschrieben werden. Im Falle von Systemen mit konzentrierten Parametern fiihrt dies auf gewohnliche lineare Differentialgleichungen gemafi Gl. (2.3.2), wahrend bei Systemen mit verteilten Parametern sich partielle lineare Differentialgleichungen als mathematische Modelle zur Systembeschreibung ergeben. Im Abschnitt 2.1 wurde bereits angedeutet, dass bei der Aufstellung des mathematischen Systemmodells - abgesehen von der experimentellen Systemidentifikation - stets von den physikalischen Grundgesetzen ausgegangen wird. Bei elektrischen Systemen sind dies die Kirchhoffschen Gesetze, das Ohmsche Gesetz, das Induktionsgesetz usw. (bei Netzwerken, also Systemen mit konzentrierten Parametern), sowie die Maxwellschen Gleichungen (diese kommen bei Feldern, also Systemen mit ortlich verteilten Parametern hinzu). Bei mechanischen Systemen gelten das Newtonsche Gesetz, die Krafte- und Momentengleichgewichte, sowie die Erhaltungssatze von Impulsen und Energien, wahrend bei thermodynamischen Systemen die Erhaltungssatze der inneren Energie oder Enthalpie sowie die Warmeleitungs- und Warmeiibertragungsgesetze anzuwenden sind, oft in Verbindung mit Gesetzen der Hydrooder Gasdynamik. Selbstverstandlich kann im Rahmen des vorliegenden Abschnitts nicht in breiter Form auf die Erstellung mathematischer Modelle fiir derartige unterschiedliche technische Systeme eingegangen werden. Da aber der Regelungstechniker in der Lage sein muss, in sehr verschiedenen Anwendungsbereichen die entsprechenden Systemmodelle zu erstellen, wird nachfolgend aus alien drei genannten Bereichen ein representatives Beispiel ausgewahlt.
3.1.1
Elektrische Systeme
Fiir die Behandlung elektrischer Netzwerke ([CF78], [Unb93],[CKKP68]) benotigt man u.a. die Kirchhoffschen Gesetze: 1. Die Summe der einem Knotenpunkt zuflieBenden Strome ist gleich Null: yj ii = 0
in einem Knotenpunkt.
2. Die Summe der Spannungen bei einem Umlauf in einer Masche ist gleich Null: y Ui = 0
bei einem Umlauf in einer Masche.
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
34
Das Aufstellen der DifFerentialgleichungen eines Netzwerkes wird an dem Beispiel des Reihenschwingkreises nach Bild 3.1.1 gezeigt. Hierbei wird durch R ein ohmscher Widerstand, C eine Kapazitat und L eine Induktivitat gekennzeichnet. Als Eingangs- und Ausgangsgr6i3en Xe{t) und Xa,{t) werden die Spannungen an den beiden Klemmenpaaren des Netzwerkes angesehen. Eine eventuell vorhandene Anfangsspannung an der Kapazitat wird durch uc(0) beriicksichtigt. 'h
L
A
r R •C
Bild 3.1.1. Reihenschwingkreis Mit den KirchhofFschen Gesetzen gilt: Fiir Masche 1: t
M = L^ +Ri2 + -^ J i2{r) dr + uc{0).
(3.1.1)
x^{t) =Ri2 + - I i2(r) dr + uc(0).
(3.1.2)
«i - «2 - «3 = 0.
(3.1.3)
Fiir Masche 2:
Fiir Knoten A:
Es wird vorausgesetzt, dass der Ausgang des Netzwerkes nicht belastet ist. Fiir den Strom is folgt daraus is = 0, und somit ergibt sich ii
= i2 = *•
(3.1.4)
Aus den Gin. (3.1.1) und (3.1.2) erhalt man dii
{t) = L-^+x^it)
(3.1.5)
und daraus folgt hit) = - I [X^ir) - XaiT)]dT. Unter Beachtung von Gl. (3.1.4) wird ii in Gl. (3.1.2) eingesetzt. Dies liefert
(3.1.6)
3.1 Beschreibung mittels Differentialgleichungen
35
t
x^it) = Ry
[a;e(T) - a;a(7-)] dr 0
t n
+ - ^ 1 /[^e(r2) - a:a(T2)] dT2 dn + uc{0).
(3.1.7)
0 0
Wird nun Gl. (3.1.7) zweimal differenziert, dann erhalt man d^Xa
R fdxe
dxa\
1 .
,
^o i o^
und die Umformung liefert schliefilich CL^ + CR^+x, = CR^+Xe. dt'' dt dr
(3.1.9)
Mit den Abkiirzungen Ti = fiC und T2 = v^LC ergibt sich somit als mathematisches Modell des betrachteten Reihenschwingkreises die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Zur eindeutigen Bestimmung von Xs.{t) miissen zwei Anfangsbedingungen a;a(0) und ia(0) gegeben sein. Die Ordnung eines solchen physikalischen Systems erkennt man an der Anzahl der voneinander unabhangigen Energiespeicher (hier L und C).
3.1.2
Mechanische Systeme
Zum Aufstellen der Differentialgleichungen von mechanischen Systemen ([Mag69]; [Lip68]) benotigt man die folgenden Gesetze: • Newtonsches Gesetz, • Krafte- und Momentengleichgewichte, • Erhaltungssatze von Impuls, Drehimpuls und Energie. Als Beispiel fiir ein mechanisches System soil die Differentialgleichung eines gedampften Schwingers nach Bild 3.1.2 ermittelt werden. Dabei charakterisieren c die Federkonstante, d die Dampfungskonstante und m die Masse desselben. Die Grofien z/i(= Xg,), 1^2 und x^ beschreiben jeweils die Geschwindigkeiten in den gekennzeichneten Punkten. Das Newtonsche Gesetz dp
m-r- = yj Fi di
[Fi = aufiere Krafte)
36
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
•i—Im ^1 Bild 3.1.2.
Gedampfter mechanischer Schwinger
liefert im vorliegenden Fall m-—- = d{vi - V2).
(3.1.11)
Als Kraftegleichgewicht im P u n k t P (Dampfungskraft = Federkraft) gilt, sofern die Feder zum Zeitpunkt i = 0 keine Anfangsauslenkung besitzt,
d{vi
- 1/2)
= c
/
[X^{T)
- VI{T)\ d r .
(3.1.12)
Aus den Gin. (3.1.11) und (3.1.12) folgt t
di/2 _ c &t m
/ Xe(r)dr -
/ i'i(T)dr
(3.1.13)
Da man Vi als Ausgangsgrofie x^. des Systems betrachtet und deshalb an dem Zusammenhang zwischen vi und x^ interessiert ist, wird 1/2 eliminiert. Dazu wird Gl. (3.1.12) differenziert:
a—
a—— = c\X(. — j/i
di
dt
^
(3.1.14)
.
^
Setzt m a n Gl. (3.1.13) in Gl. (3.1.14) ein und differenziert diese Gleichung anschlieiSend noch einmal, so liefert dies: d^z^i dt^
dc m
dc
dxe dt
m
dvi dt
(3.1.15)
Man sieht zunachst, dass auch Gl. (3.1.15) eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist. Mit den Abkiirzungen m,
Ti = — d und mit Xa = I'l ergibt sich
,
und
rr,
/"^
72 = -i/ — V c
3.1 Beschreibung mittels Differentialgleichungen
37
Diese Gleichung besitzt dieselbe mathematische Struktur wie die des elektrischen Netzwerkes gemafi Gl. (3.1.10). Beide Systeme sind daher analog zueinander. Die Analogie zwischen mechanischen Systemen, bestehend aus den drei Grundelementen Masse (m), Feder (c) und Dampfer (d) und elektrischen Systemen mit ohmschen Widerstanden (R), Kapazitaten (C) und Induktivitaten (L) lasst sich leicht verallgemeinern, wie Bild 3.1.3 zeigt. Dabei ist zu beachten, dass die im linken oberen Teil von Bild 3.1.3 dargestellte Masse nur eine „Verbindungsstange" nach auBen besitzt, an der eine Kraft F angreift. Das System „Masse + Verbindungsstange" stellt also ein mechanisches Eintor dar. Das analoge elektrische Element muss damit ebenfalls ein Eintor (Zweipol) sein. Die Feder und der Dampfer hingegen sind mechanische Zweitore. Deshalb miissen die analogen elektrischen Elemente auch Zweitore (Vierpole) sein. Es gibt nun zwei Zuordnungsmoglichkeiten fiir mechanische und elektrische GroBen. In der Analogie 1. Art entsprechen sich: Kraft
und
Spannung
F=u ;
Geschwindigkeit
und
Strom
i/=i .
In der Analogie 2. Art ist es genau umgekehrt, es entsprechen sich: Kraft und Strom F=i ; Geschwindigkeit und Spannung j/=u . Die beiden Analogien sind also zueinander elektrisch dual. Da nun, wie Bild 3.1.3 zeigt, die Differentialgleichung des mechanischen Elements mathematisch identisch ist mit der des analogen elektrischen Elements, ist man oft bestrebt, mechanische „Netzwerke" in analoge elektrische umzuwandeln. Dazu wird haufiger die Analogie 2. Art benutzt. Betrachtet man einen „mechanischen Knoten", so gilt stets J^^i = 0 . In der Analogie 1. Art lautet die analoge Beziehung ^ u ^ = 0. Dies ist aber eine Maschengleichung. In der Analogie 2. Art hingegen lautet die analoge elektrische Gleichung ^ii = 0 ; sie stellt ebenfalls eine Knotengleichung dar. Ein zu einem mechanischen Netzwerk analoges elektrisches Netzwerk gibt also nur in der Analogie 2. Art die Struktur des mechanischen Netzwerkes wieder. Die Analogie 2. Art wird daher „schaltungstreu" genannt, wahrend die Analogie 1. Art als „schaltungsdual" bezeichnet wird. Ein mechanischer „Parallelschwingkreis" entspricht in der Analogie 2. Art einem elektrischen Parallelschwingkreis, in der Analogie 1. Art hingegen einem Reihenschwingkreis (Bild 3.1.3).
3.1.3
Thermische Systeme
Wie bereits eingangs erwahnt, benotigt man zur Bestimmung der Differentialgleichungen thermischer Systeme ([Kut68]; [Pro62]; [YM70]; [DV70]) • die Erhaltungssatze der inneren Energie oder Enthalpie sowie
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
38
Mechanisches System
Analoge elektrische Systeme Analogic 2. Art
Analogic 1. Art
m
F,i^
+C F = m-
u ~ L
dl
di
dt
h
L
h
o—>~-^m—^—o
F,
=
F^=F
1 O
"2
»•
f
^-
h~^"*
F = — I (i/^ - i/^Jdt
-f{h~^)dt
i = — I (M, ~ u^jdt
h R h
iO^
"2
-»—tm—^—o
J^
K
F = F = F
M,
F = d{v^ ~- p^)
= W, = W
R{\ - 9 F
F,iy
I
V = U
F
U
V = I
An den Toren entsprechen sich: mechanischer Leerlauf:
f = 0
elektrischer Leerlauf:
i = 0
elektrischer Kurzschlufi:
mechanischer Kurzschlufi:
n
0
elektrischer Kurzschlufi:
u = 0
elektrischer Leerlauf:
u= 0
Analoge Schaltungen: ////////////////
////////////////
//1II11
w\ 'n flmW
Bild 3.1.3.
Elektrische und mechanische Analogien
!7m7f
/
3.1 Beschreibung mittels DifFerentialgleichungen
39
• die Warmeleitungs- und Warmeiibertragungsgesetze. Als Beispiel hierfiir soil nun nachfolgend das mathematische Modell des StofF- und Warmetransports in einem dickwandigen, von einem Fluid durchstromten Rohr gemafi Bild 3.1.4 betrachtet werden [Pro62]. Zunachst werden die folgenden vereinfachenden Annahmen getroffen: • Die Temperatur, sowohl im Fluid, als auch in der Rohrwand, ist nur von der Koordinate z abhangig. • Der gesamte Warmetransport in Richtung der Rohrachse wird nur durch den Massetransport, nicht aber durch Warmeleitung innerhalb des Fluids oder der Rohrwand hervorgerufen. • Die Stromungsgeschwindigkeit des Fluids ist im ganzen Rohr konstant und hat nur eine Komponente in z-Richtung. • Die Stoffwerte von Fluid und Rohr sind iiber die Rohrlange konstant. • Nach aufien hin ist das Rohr ideal isoliert. d|^
^
C
Rohrwand
dQi-
m'
3 I-
-dzBild 3.1.4.
•Fluid
-da ~dV^
D.
D,
Ausschnitt aus dem untersuchten Rohr
Mit folgenden Bezeichnungen ^{z,t) 9{z,t) m L w-p PY, pR CF, CR a D\, Da
Fluidtemperatur Rohrtemperatur Fluidstrom Rohrlange Fluidgeschwindigkeit spezifische Masse (Fluid, Rohr) spezifische Warme (Fluid, Rohr) Warmeiibergangszahl Fluid/Rohr innerer und auiSerer Rohrdurchmesser
sollen nun die Differentialgleichungen des mathematischen Modells hergeleitet werden. Betrachtet wird ein Rohrelement der Lange dz. Das zugehorige Rohrwandvolumen sei dVn, das entsprechende Fluidvolumen sei dVp. Die Herleitung des mathematischen Modells dieses thermischen Systems erfolgt nun in folgenden Stufen:
40
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich a) Wahrend des Zeitintervalls d^ fliefit in das Volumen dVp die Warmemenge dQi=CFi}Thdt
(3.1.17)
hinein. Gleichzeitig fliefit die Warmemenge
dQa = CFU+ ^ d ^ j m di
(3.1.18)
aus dem Volumenelement dVp wieder heraus. b) Warme gelangt in das Rohrwandvolumen dVn voraussetzungsgemafi nur durch Warmeiibergang zwischen dem Fluid und der Rohrwand. Die zwischen Rohrwand und Fluid im Zeitintervall d^ ausgetauschte Warmemenge (Warmeiibergang) betragt dQs = a;(i? - d) TTAdz dt. (3.1.19) c) Wahrend des Zeitintervalls dt andert sich im Fluidelement dVp die gespeicherte Warmemenge um dQp = pFdVFCF-K-
=
(3.1.20)
d-d ^
PF-D(dzCF-gTdt,
wodurch sich die Temperatur •& ebenfalls andert. d) Nun lasst sich die Warmebilanzgleichung fiir das Fluid im betrachteten Zeitintervall dt angeben: dQp = dQi - dQa - dQg. (3.1.21) Setzt man hier die Gin. (3.1.17) bis (3.1.20) ein, so erhalt man -D'^PFCF-7rdzdt = CFm'9dt-CF\^+i^dz] mdt4 at \ oz J -a{-d-e)TxDidzdt.
(3.1.22)
e) Fiir die Warmespeicherung im Rohrwandelement dV-n folgt andererseits im selben Zeitintervall (ahnlich wie unter c) dQK = /ORdyRCR—di
(3.1.23)
= p^'L[Dl-D^)dzcJf^dt. f) Damit lasst sich nun die Warmebilanzgleichung fiir das Rohrwandelement angeben. Es gilt dQR = dQs, (3.1.24) da nach den getroffenen Voraussetzungen an der Rohraufienwand eine ideale Warmeisolierung vorhanden ist. Nun setzt man die Gin. (3.1.19) und (3.1.23) in Gl. (3.1.24) ein und erhalt
3.1 Beschreibung mittels DifFerentialgleichungen
41
^^.^2 r.2^ ^^ -{Dl - Df)pRCn-g^dzdt = a{d - e)iiD,dzdt.
(3.1.25)
Mit den Abkiirzungen m
if:2
f(i32-D2)pRCR
gehen die Gin. (3.1.22) und (3.1.25) nach einigen einfachen Umformungen iiber in d'd d'd ^ + W ^ = ifi(^-i?)
(3.1.26)
und an
^ = K2{d-e). (3.1.27) Diese beiden partiellen Differentialgleichungen stellen die mathematische Beschreibung des hier betrachteten technischen Systems dar (System mit ortlich verteilten Parametern). Zur vollstandigen Losung wird aufier den beiden (zeitlichen) Anfangsbedingungen i?(z,0) und e{z,{)) auch noch eine (ortliche) Randbedingung i9(0,t) benotigt. Als Spezialfall soil nun das diinnwandige Rohr behandelt werden, bei dem dQs = 0 wird, da die Speichereigenschaft der Rohrwand vernachlassigbar klein ist. Fiir diesen Fall geht Gl. (3.1.26) iiber in d'd d^ , , ^ + . F ^ = 0 . (3.1.28) Bei Systemen mit ortlich verteilten Parametern muss die Eingangsgrofie Xe{t) nicht unbedingt in den Differentialgleichungen auftreten, sie kann vielmehr auch in die Randbedingungen eingehen. Im vorliegenden Fall wird als Eingangsgrofie die Fluid-Temperatur am Rohreingang betrachtet: ^(0,i)=Xe(i)
t>0.
(3.1.29)
Entsprechend wird als AusgangsgroiSe die Fluid-Temperatur am Ende des Rohres der Lange L definiert: i»{L,t)=x^{t). (3.1.30) Mit dem Losungsansatz i3iz,t) = f{t
z WF,'
=/(r)
(3.1.31a)
42
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
erhalt man die partiellen Ableitungen
M_dl
M___df_ f l_
dt
dz
dr
dr \
wp
die die GI. (3.1.28) erfiillen, wie man leicht durch Einsetzen dieser Beziehungen erkennt. Aui3erdem liefert dieser Losungsansatz unmittelbar
^(0,^) = fit) = xS) und t?(L,i) =f(t-—\= x,{t).
(3.1.31b)
Man erhalt somit als Losung von Gl. (3.1.28) x^it) = Xe{t - Tt)
mit
Tt = —.
(3.1.32)
WTp
Diese Gleichung beschreibt den reinen Transportvorgang im Rohr. Die Zeit Tt, um die die Ausgangsgrofie Xg,{t) der Eingangsgrofie Xe{t) nacheilt, wird als Totzeit oder Transportzeit bezeichnet.
3.2
3.2.1
Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale Die Ubergangsfunktion (Sprungantwort)
Fiir die weiteren Uberlegungen benotigt man den Begriff der Sprungfunktion (auch Einheitssprung) , , f 1 fiir i > 0 ,„ „ ,, '^(*) = |o f t i r . < 0 . ^'-'-'^ Nun lasst sich gemafi Bild 3.2.1 die sogenannte Sprungantwort definieren als die Reaktion Xa,{t) des Systems auf eine sprungformige Veranderung der Eingangsgrofie Xe{t) = Xea{t)
mit
x^ — const.
Die Ubergangsfunktion stellt dann die auf die Sprunghohe Xg bezogene Sprungantwort h{t) = ^ x a ( ^ ) XQ
dar, die bei einem kausalen System die Eigenschaft h{t) = 0 fiir t < 0 besitzt.
(3.2.2)
43
3.2 Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale
a(t)h{t)
i" -•-
t
x,it)
lineares Xs.{t) System
m
9{t)
A_ Bild 3.2.1.
3.2.2
Zur Definition der Ubergangsfunktion h{t) und Gewichtsfunktion g{t)
Die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)
Die Gewichtsfunktion g{t) ist definiert als die Antwort des Systems auf die Impulsfunktion (Einheitsimpuls oder Dirac-„Sto6") 5{t). Dabei ist 5{t) keine Funktion im Sinne der klassischen Analysis, sondern muss als verallgemeinerte Funktion oder Distribution [Unb98] aufgefasst warden. Der Einfachheit halber wird 5{t) naherungsweise als Rechteckimpulsfunktion fl/e
furO
(3.2.3)
re = \
0
sonst
mit kleinem positiven s beschrieben (vgl Bild 3.2.2 a). Somit ist die Impulsfunktion definiert durch 5{t) = limre(i) (3.2.4)
mit den Eigenschaften 5{t) = 0
fur
tj^O
und oo
f 5{t)dt = l. ~oo
s{tyI
I
©
1
~
® 't^
Bild 3.2.2.
'\
V
0
t
fc
(a) Zur Annaherung der (5(f)-Funktion; (b) symbolische Darstellung der (5-Funktion
GewohnUch wird die (5-Funktion gemafi Bild 3.2.2 b fiir i — 0 symbolisch als Pfeil der Lange 1 dargestellt. Man bezeichnet die Lange 1 als die Impulsstarke (zu beachten ist,
44
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
dass fiir die Hohe des Impulses dabei weiterhin (5(0) —^ co gilt). Im Sinne der Distributionentheorie besteht zwischen der (5-Funktion und der Sprungfunktion a{t) der Zusammenhang m = ^<x(i).
(3.2.5)
Entsprechend gilt zwischen der Gewichtsfunktion g{t) und der Ubergangsfunktion h{t) die Beziehung git) = ^ / i ( i ) .
(3.2.6a)
Bezeichnet man den Wert von h{t) fiir t = 0+ mit h{0+), so lasst sich h{t) gemafi der Aufspaltung nach Bild 3.2.3 in der Form h{t) = ho{t) + h{0+) a{t) darstellen, wobei angenommen wird, dass der sprungfreie Anteil ho{t) auf der gesamten t-Achse stetig und stiickweise differenzierbar ist. Damit kann Gl. (3.2.6a) auch in der Form g{t) = hit) = hoit) + /i(0+) Sit) (3.2.6b) geschrieben werden.
hiO+)ait) hiO+)-
Bild 3.2.3. Aufspaltung der Ubergangsfunktion hit) in eine Sprungfunktion /i(0+)cr(i) und einen sprungfreien Anteil /io(t)
3.2 Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale
3.2.3
45
Das Faltungsintegral (Duhamelsches Integral)
Bei den nachfolgenden Uberlegungen wird als das zu beschreibende dynamische System die Regelstrecke mit der EingangsgroBe Xe{t) = u{t) und der AusgangsgroBe Xa(i) = y{t) ausgewahlt. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass diese Uberlegungen ganz allgemein giiltig sind. Das Ubertragungsverhalten y{t) = T[u(i)] eines linearen zeitinvarianten Systems ist durch Kenntnis eines Funktionenpaares [yi{t);ui{t)] eindeutig bestimmt. Kennt man insbesondere die Gewichtsfunktion {g{t) = T[(5(i)]), so kann fiir ein beliebiges Eingangssignal u{t) das Ausgangssignal y{t) mit Hilfe des Faltungsintegrals
yit) =
9{t-
T) U{T)
(3.2.7)
dr
bestimmt werden. Umgekehrt lasst sich bei bekanntem Verlauf von u(t) und y{t) durch eine Umkehrung der Faltung die Gewichtsfunktion g{t) berechnen. Sowohl die Gewichtsfunktion g{t) als auch die Ubergangsfunktion hit) sind fiir die Beschreibung linearer Systems von groBer Bedeutung, da sie die gesamte Information iiber deren dynamisches Verhalten enthalten. Der im Abschnitt 2.2 eingefiihrte und oben bereits benutzte Operator T, der den Zusammenhang zwischen EingangsgroBe u{t) und AusgangsgroBe y{t) in der Form y{t) = T[u{t)] angibt, beschreibt bei linearen zeitinvarianten Systemen somit die „Faltung" von u(t) mit der Gewichtsfunktion git). Zum Beweis der Gl. (3.2.7) wird von Bild 3.2.4 ausgegangen. Bezeichnet man mit u{t) die Stufenfunktion, die u{t) approximiert, dann gilt mit den Bezeichnungen entsprechend Bild 3.2.4 l{t) = u(0+) a{t) + [u{n) -
U(TO)]
a{t-Ti) + ... + [u(r„) -
M(T„_I)]
a{t -
T„)
oder l{f) = U(0+) O-(i) + Yy^iTy) - u{Ty-i)] a{t - Ty).
(3.2.8)
u{t); u{t) u(t) w(0) /
uM)
^
0 ^1 ^2 Bild 3.2.4. Zur Herleitung des Faltungsintegrals Mit Ty — r^-i -4- 0 erhalt man als Grenziibergang u{t) —>• u{t). Als Folge der Linearitat ergibt sich bei Uberlagerung der einzelnen Sprungantworten
46
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich n
y(t) =
M(0+)
h{t) +
Y^[U{T^)
-
U{T^-I)]
h{t - T^)
(3.2.9)
oder durch Erweiterung mit Ar„ = r^ — T^-I m = w(0+) h{t) + V Kr^)-"(^»-~i)]fe(^ _ ^^) Ar,.
(3.2.10)
Ar,,
• ^
Der Grenziibergang Ar^ —>• dr liefert schliefilich fiir y[t) die Funktion 2/(f) und somit bei Beriicksichtigung von u{t) = uo{t) + u(0+) a{t) die Beziehung t
yit) = u(0+) /i(i) + / uo(r) h{t - r) dr.
(3.2.11)
0
Hierbei ist w(0+) der Wert von u(t) fiir i = 0+ und Mo(i) sein auf der gesamten i-Achse stetiger und stiickweise difFerenzierbarer Anteil. Ersetzt man in Gl. (3.2.11) UO{T) durch Uo(r) = u ( r ) - u ( 0 + ) 5 ( r ) , dann ergibt sich wegen der Ausblendeigenschaft der J-Funktion t
y{t)=
u(T)hit~T)dT.
(3.2.12a)
0
Fiir y{t) erhalt man durch Umordnung der Summenterme in Gl. (3.2.9) und Beriicksichtigung von h{t — Tn+i) = 0 auch die Darsteliung 2/(^) = X^ u{Ty) [h{t - T^) - h{t - r^+i)], und durch Erweiterung mit AT^, = r^+i — T„ folgt
m
=
—(
±u[r.)^''^'-^^^-''^'-^'^-'^^Ar^.
v=0
Der Grenziibergang ATJ, —>• dr ergibt die zu Gl. (3.2.12a) symmetrische Beziehung t
y{t)= I u(T)h{t-T)dT.
(3.2.12b)
Gl. (3.2.12b) liefert schhefilich unter Beriicksichtigung der Gl. (3.2.6a) das Faltungsintegral gemafi Gl. (3.2.7): yit) =
/
git-T)u{T)dT.
3.3 Zustandsraumdarstellung
3.3
47
Zustandsraumdarstellung
3.3.1
Zustandsraumdarstellung fiir Eingrofiensysteme
Am Beispiel des im Bild 3.3.1 dargestellten i?LC-Netzwerkes soil nachfolgend die Systembeschreibung in Form der Zustandsraumdarstellung ([Csa73], [Fol94], [OgaQO]) in einer kurzen Einfiihrung behandelt werden. *-% c
-1
1R
L
=C
k
• II
•>
Bild 3.3.1.
O
iiLC-Netzwerk
Das dynamische Verhalten dieses am Ausgang nicht belasteten Netzwerkes ist fiir alle Zeiten t > to vollstandig definiert, wenn die Anfangswerte Wc(io), i{to) und die Eingangsgrofie Uk (t) fiir t >to bekannt sind. Durch diese Angaben lassen sich die GroiSen i{t) und Uc{t) fiir alle Werte t > to bestimmen. Die GroiSen i{t) und Uc{t) charakterisieren den „Zustand" des Netzwerkes und werden aus diesera Grund als Zustandsgroi3en des Netzwerkes bezeichnet. Fiir dieses Netzwerk gelten folgende gekoppelte Differentialgleichungen: L - ^ + Ri{t) + u^it) =Uk(i) duc(t)
(3.3.1) (3.3.2)
Durch Einsetzen der Gl. (3.3.2) in (3.3.1) erhalt man CL—;^ + EC dt2
,: ' + Uc{t) = Wk(i)di
(3.3.3)
Diese lineare Differentialgleichung 2. Ordnung beschreibt das System beziiglich des Eingangs-/Ausgangs-Verhaltens vollstandig. Man kann aber zur Systembeschreibung auch die beiden urspriinglichen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung, also die Gin. (3.3.1) und (3.3.2) benutzen. Dazu fasst man die Gin. (3.3.1) und (3.3.2) zweckmafiigerweise mit Hilfe der Vektorschreibweise zu einer linearen Vektordifferentialgleichung 1. Ordnung
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich
48
dt duc{t)
R ' L 1
=
i{t)Uc{t)
Mk(i)
+
(3.3.4)
C
I dt J mit dem Anfangswert
Uc{to) zusammen. Diese lineare Vektordifferentialgleichung 1. Ordnung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Eingangsgrofie und den Zustandsgrofien. Man benotigt nun aber noch eine Gleichung, die die Abhangigkeit der Ausgangsgrofie von den Zustandsgrofien und der Eingangsgrofie angibt. In diesem Beispiel gilt, wie man direkt sieht, fiir die Ausgangsgrofie y{t) ^Uc{t). Fiihrt m a n nun in Gl. (3.3.4) den Zustandsvektor x{t)=^
xiit) X2{t)
iit)
bzw.
Xo = x{to)
i{to) '
Uc{t)
die Vektoren
1
und
c^ = [0
1],
z
die Matrix
0
R _r
A =
L
L
sowie die skalaren Grofien u{t) = Uk(t)
und
d = 0
ein, so erhalt m a n die allgeraeine Zustandsraumdarstellung fiir ein lineares zeitinvariantes Eingrofiensystera x{t) = Ax{t) + bu{t) y{t)
x{to) Anfangszustand
= c^x{t) + du{t),
(3.3.5) (3.3.6)
wobei Gl. (3.3.5) als Zustandsgleichung und Gl. (3.3.6) als Ausgangsgleichung bezeichnet werden. Im allgemeinen Fall mit n Zustandsgrofien stellt Gl. (3.3.5) ein lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung fiir Xi,X2,- • • ,Xn dar, die zum Zustandsvektor X = [xiX2 . •. Xn]'^ zusammengefasst werden. Dabei tritt die skalare Eingangsgrofie u multipliziert mit dem Vektor b als erregender Term auf. Gl. (3.3.6) ist dagegen eine rein algebraische Gleichung, die die lineare Abhangigkeit der Ausgangsgrofie von den Zustandsgrofien und - falls erforderlich - von der Eingangsgrofie angibt. Von der m a t h e matischen Seite aus betrachtet, beruht die Zustandsraumdarstellung auf dem Satz, dass m a n jede lineare Diiferentialgleichung n-ter Ordnung in ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung umwandeln kann.
3.3 Zustandsraumdarstellung
3.3.2
49
Zustandsraumdarstellung fur Mehrgrofiensysteme
Die Gin. (3.3.5) und (3.3.6) geben die Zustandsraumdarstellung fiir lineare zeitinvariante EingroBensysteme an. Fiir lineare zeitinvariante Mehrgrofiensysteme der Ordnung n mit r Eingangsgrofien und m Ausgangsgrofien gehen diese DifFerentialgleichungen in die allgemeine Form x{t) = Ax(t) + Bu{i)
mit der Anfangsbedingung
x(to)
y{t) = C x{t) + D u{t)
(3.3.7) (3.3.8)
iiber, wobei folgende Bezeichnungen gelten:
'xiity Zustandsvektor
x{t) =
(n X 1) Vektor
'ui{ty Eingangsvektor (Steuervektor)
u{t) =
(r X 1) Vektor Ur(t)
'yiity Ausgangsvektor (Beobachtungsvektor)
(m X 1) Vektor
y{t) = _ym{t)_
Systemmatrix Eingangs- oder Steuermatrix Ausgangs- oder Beobachtungsmatrix Durchgangsmatrix
1 I3
c 1
(n X n) Matrix (n X r) Matrix (m X n) Matrix (m X r) Matrix
Selbstverstandhch schliefit die allgemeine Darstellung der Gin. (3.3.7) und (3.3.8) auch die Zustandsraumdarstellung des Eingrofiensystems mit ein. Zu beachten ist, dass die Matrizen A,B,C und D konstante Elemente aufweisen. Sollten jedoch diese Elemente auch zeitabhangig sein, so lasst sich in analoger Form ebenfalls durch die Gin. (3.3.7) und (3.3.8) das entsprechende zeitvariante System beschreiben, indem A durch A{t) usw. ersetzt wird. Die Verwendung der Zustandsraumdarstellung hat verschiedene Vorteile, von denen hier einige genannt seien: 1. Ein- und Mehrgrofiensysteme konnen formal gleich behandelt werden. 2. Diese Darstellung ist sowohl fiir die theoretische Behandlung (analytische Losungen, Optimierung) als auch fiir die numerische Berechnung (insbesondere mittels elektronischer Rechenanlagen) gut geeignet. 3. Die Berechnung des Verhaltens des homogenen Systems unter Verwendung der Anfangsbedingung x{to) ist sehr einfach.
50
3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich 4. Schliefilich gibt diese Darstellung einen besseren Einblick in das innere Systemverhalten. So lassen sich allgeraeine Systemeigenschaften wie die Steuerbarkeit oder Beobachtbarkeit des Systems mit dieser Darstellungsform definieren. Diese Begriffe werden im Band „Regelungstechnik 11" ausfiihrlich behandelt.
Durch die Gin. (3.3.7) und (3.3.8) werden lineare Systeme mit konzentrierten Parametern beschrieben. Die Zustandsraumdarstellung lasst sich jedoch auch auf nichtlineare Systeme mit konzentrierten Parametern erweitern: x{t) = f^[x{t),u{t),t]
(Vektordifferentialgleichung)
y{t) = f2[x (t) ,u{t) 1^]
(Vektorgleichung),
(3.3.9) (3.3.10)
wobei die Vektorfunktionen /^ und /j nichtlineare Zusammenhange in x und u sowie t beschreiben. Der Zustandsvektor x{t) stellt allgemein, wie die geometrische Darstellung im Bild 3.3.2 zeigt, fiir den Zeitpunkt t einen Punkt in einem n-dimensionalen Euklidischen Raum (Zustandsraum) dar. Mit wachsender Zeit t andert dieser Zustandspunkt des Systems seine raumliche Position und beschreibt dabei eine Kurve, die als Zustandskurve oder Trajektorie des Systems bezeichnet wird.
Bild 3.3.2. Eine Trajektorie eines Systems 3. Ordnung im Zustandsraum
51
4
Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
4.1
Die Laplace-Transformation
4.1.1
Definition und Konvergenzbereich
Die Laplace-Transformation ([Doe85]; [F6177]) kann als wichtigstes Hilfsmittel zur Losung linearer DifFerentialgleichungen mit konstanten KoefRzienten angesehen werden. Gerade bei regelungstechnischen Aufgaben erfiillen die zu losenden Differentialgleichungen meist die zum Einsatz der Laplace-Transformation notwendigen Voraussetzungen. Die LaplaceTransformation ist eine Integraltransformation, die einer grofien Klasse von Originalfunktionen f{t) umkehrbar eindeutig eine Bildfunktion F{s) zuordnet. Diese Zuordnung erfolgt liber das Laplace-Integral von f{t), also durch oo
Fis) = I fit)e~^'dt,
(4.1.1)
0
wobei im Argument dieser Laplace-Transformierten F{s) die komplexe Variable s = cr+jw auftritt. Fiir die Anwendung der Gl. (4.1.1) bei den hier betrachteten kausalen Systemen miissen folgende zwei Bedingungen erfiillt sein: 1. fit) = 0 fiir i < 0; 2. das Integral in Gleichung (4.1.1) muss konvergieren. Hinsichtlich des Konvergenzbereiches des Laplace-Integrals gelten nun folgende Uberlegungen: Ist die zu transformierende Funktion f{t) stiickweise stetig und gibt es reelle Zahlen a und a' so, dass fiir alle i > 0 gilt
\m\ < a yt dann konvergiert das Laplace-Integral fiir alle s mit Res > a'. Wahlt man insbesondere fiir a' den kleinstmoglichen Wert CQ , so stellt die Bedingung Re s > CTQ den kleinstmoglichen Konvergenzbereich dar. Das Laplace-Integral existiert somit nur in einem Teil der komplexen s-Ebene, der sogenannten Konvergenzhalbebene, wie Bild 4.1.1 zeigt. Die GroBe CTQ bezeichnet man auch als Konvergenzabszisse. Fiir Werte von s mit Res > ao hat Gl. (4.1.1) keinen Sinn. Demnach muss fiir cr > CTQ der Grenzwert von /(t)e~'^* fiir i —)• 00 verschwinden, jedoch fiir jedes a < CTQ nicht.
52
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
Bild 4.1.1. Konvergenzhalbebene des Laplace-Integrals
Beispiel ^.1.1
fit) = r Das Laplace-Integral konvergiert fxir alle s mit a > 0, da e""^* fiir i -> oo rascher abnimmt als jede endliche Potenz von t anwachst. • Beispiel 4-1-2
Hier gilt dieselbe Aussage wie im vorherigen Beispiel. Beispiel 4.1.3
fit) = e"* Stellt a eine feste reelle oder komplexe Zahl dar, dann gilt: OO
F{s) =
fe"*e~'^dt = / e-^'-^^Mt T t—>00
{s-a)t
s—a
Jt=0
1st Res > Re a, dann ist lim e ^* " ) ' = 0, und man erhalt damit fxir das LaplaceIntegral den Wert 1
Fis) =
s—a Fiir Res < Re a existiert jedoch das Laplace-Integral nicht. Beispiel 4-^-4
4.1 Die Laplace-Transformation
53
Das Laplace-Integral existiert fiir dieses Beispiel nicht, da e* fiir i —> oo rascher anwachst als e"'^* abnimmt. • Um die Zuordnung zwischen Bildfunktion und Originalfunktion zu kennzeichnen, wird zweckmaBigerweise die Operatorschreibweise F(s)=i?[/(i)] eingefiihrt. Eine andere Moglichkeit der Zuordnung bietet die Verwendung des Korrespondenzzeichens •—o in folgender Weise: F{s) ^ / ( i ) . Bei der Behandlung von Regelsystemen stellt die Originalfunktion f{t) gewohnlich eine Zeitfunktion dar. Da die komplexe Variable s die Frequenz u enthalt, wird die Bildfunktion F{s) oft auch als Prequenzfunktion bezeichnet. Damit ermoglicht die LaplaceTransformation gemafi Gl. (4.1.1) den Ubergang vom „Zeitbereich" (Originalbereich) in den „Frequenzbereich" (Bildbereich).
4.1.2
Die Korrespondenztafel fur die Laplace-Transformation
Die sogenannte Riicktransformation oder inverse Laplace-Transformation, also die Gewinnung der Originalfunktion aus der Bildfunktion, wird durch das Umkehrintegral c+ioo
/W = ^ / ^(^)e''ds
^>0
(4.1.2)
c-joo
ermoglicht, wobei f{t) = 0 fiir i < 0 gilt. Die Grofie c muss so gewahlt werden, dass der Integrationsweg in der Konvergenzhalbebene langs einer Parallelen zur imaginaren Achse im Abstand c verlauft, wobei c grofier als die Realteile samtlicher singularer Punkte von F{s) sein muss. Fiir diese inverse Laplace-Transformation wird ebenfalls eine Operatorschreibweise in der Form
i{t)=g-'[F{s)] benutzt. Es ist zu beachten, dass Gl. (4.1.2) an einer Sprungstelle t = ts den arithmetischen Mittelwert der links- und rechtsseitigen Grenzwerte [fits+) + f{ts-)]/2, speziell im Nullpunkt t = 0, den Wert [f{0+) + / ( 0 - ) ] / 2 = /(04-)/2 liefert. Die Laplace-Transformation ist eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Originalfunktion und Bildfunktion. Daher braucht in vielen Fallen das Umkehrintegral gar nicht berechnet werden; es konnen vielmehr Korrespondenztafeln verwendet werden, in denen fiir viele Punktionen die oben genannte Zuordnung enthalten ist [Doe85]. Eine derartige Korrespondenztafel stellt Tabelle 4.1.1 dar. Bei der inversen Laplace-Transformation wird einfach von der rechten Spalte auf die linke Spalte dieser Tabelle Bezug genommen, wobei eventuell auch noch einige der nachfolgend angegebenen Rechenregeln der Laplace-Transformation angewandt werden miissen.
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
54
T a b e l l e 4 . 1 . 1 Korrespondenzen zur Laplace-Transformation Nr.
Zeitfunktion / ( i ) , f{t) = 0 fiir < < 0
1
(^-Impuls 5{t)
2
Einheitssprung a{t)
3
t
4
f
1 1 s 1 S2
2 1
5
1
6
g-at
7
te-°*
8
^2^-at
s +a 1 {s + a)2 2 (s -1- a)3 n!
ffiQ-at
9
(s -f- a ) " + i
10
1 - e-°*
11
4(e-"*-l+at)
12
(1 - at) e-"*
13
sin Wot
14
cos Wot
15
e~"* sin Wot
16
e~°*coswot
17
\aj
a
18 19
L-Tranformierte
e"*/(t) / ( t - a) 0
fiir fiir
t > a > 0 t < a
a s{s + a) 1 s2(s -t- a) s {s + a)2 Wo
S2+W2 s S2+W2 Wo
(s 4- a)2 -1- ul s + a {s + a)2 -1- wg F ( a s ) (a > 0) F{s - a) e-'"F{s)
F{s)
4.1 Die Laplace-Transformation
55
Fortsetzung von Tabelle 4.1.1
20
-tf{t)
21
i-trfit)
dF(s) As d"F(s) ds" c+joo
22
h{t)f2{t)
^
j
Fi{p)F2{s-p)Ap
c-joo
4.1.3
Haupteigenschaften der Laplace-Transformation
a) Uberlagerungssatz: Fiir beliebige Konstanten ai, 02 gilt: i? {aifiit) + a2h{t)] = aiFi{s) + 02^2(8).
(4.1.3)
Die Laplace-Transformation ist also eine lineare Integraltransformation. b)
Ahnlichkeitssatz: Fiir eine beliebige Konstante a > 0 gilt i^ {fiat)} = I F ('-) .
(4.1.4)
Dieser Zusammenhang folgt aus Gl. (4.1.1) mit der Substitution r = at. c) Verschiebesatz : Fiir eine beliebige Konstante o > 0 gilt £ {fit-a)} = e-^'F(s).
(4.1.5)
Dieser Zusammenhang folgt mit der Substitution r = t—a unmittelbar aus Gl. (4.1.1). d)
Differentiation: Da bei einer kausalen Zeitfunktion f{t), deren Differentialquotient fiir i > 0 existiert, auch mit Sprungstellen fiir t = 0 gerechnet werden muss, wird als untere Integrationsgrenze fiir Gl. (4.1.1) der Wert 0+ gewahlt, um damit den Punkt t = 0 aus dem Integrationsintervall herauszunehmen. Dies andert den Wert des Integrals nicht, sofern man sich auf klassische Funktionen (also keine Distributionen) beschrankt. Damit erhalt man durch partielle Integration 00
00
y { I f f i i } = / e - . . i M d , = [e-../W] r 0+ oder
+./e-.'/(*)*
°''" 0+
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
56
<^{^|=sF(s)-/(0+). . d^ /
(4.1.6)
Bei mehrfacher Differentiation folgt entsprechend (4.1.7)
df f=0+
e) Integration: Aus t
oo 4
i^|y"/(r)dr| =y|/(r)dTe-^*di 0
0 0
erhalt man durch partielle Integration
{/
/(r)dr
=
1
t
OO
y/(r)dre-'*
+-J f{t)e-''dt
OO
= i//(.)e0
t
(4.1.8)
i ' | | / ( r ) d T | = iF(s). f) Faltungssatz im Zeitbereich:
Die Faltung zweier Zeitfunktionen /i(i) und f^it), dargestellt durch die symbolische Schreibweise fi{t) * f2{t), ist definiert als z
flit)*f2it)
=
I fl{T)h{t-T)dT.
(4.1.9)
Wie man leicht durch Vertauschen der Variablen nachweisen kann, stellt die Faltung eine symmetrische Operation dar, denn es gilt h{t) * f2{t) = h{t) * h{t) oder |/i(r)/2(i-r)dr = |/2(r)/i(i-r)dr. Nachfolgend soil nun gezeigt werden, dass der Faltung zweier Originalfunktionen die Multiplikation der zugehorigen Bildfunktionen entspricht, also £{fl{t)*f2{t)]=Fi{s)F2{s).
(4.1.10)
4.1 Die Laplace-Transformation
57
Die Laplace-Transformierte von Gl. (4.1.9) ist gegeben durch t
i {flit) * hit)} = i y Mr) hit - T)dr| 0 CX)
t
= j I e-''hiT)Mt-r)dTdt. t=0 r = 0
Die Substitution a = t — T bzw. da = dt liefert dann mit der hier erlaubten Ausdehnung der oberen Integrationsgrenze nach r —>• oo ^ {flit) * f2it)} =
oo
oo
I
|e-'(-+'^)/i(T)/2(<7)drda.
-r r=0
Da aber beide Funktionen /i(t) und /2(i) fiir i < 0 die Werte Null besitzen, gilt unter Beriicksichtigung der unteren Integrationsgrenze oo
^
{flit)*
f^it)}
=
oo
j e-^' fiiT)dr j B-'" f2ia)da.
0
0
Die rechte Seite dieser Gleichung stellt gerade das Produkt Fi(s)F2(s) dar, womit der Faltungssatz gemafi Gl. (4.L10) bewiesen ist. Wendet man diesen Satz auf das im Abschnitt 3.2.3 abgeleitete Faltungsintegral an, Gl. (3.2.7), dann folgt Yis)=Gis)Uis), (4.L11) wobei offensichtlich der Laplace-Transformierten von git) die Funktion G(s) entspricht. Diese Funktion bezeichnet man gewohnlich als Ubertragungsfunktion des entsprechenden Systems. Die Ubertragungsfunktion G(.) = | g |
Oder
Gis) = J^ {git)}
(4.L12)
ergibt sich also entweder aus dem Verhaltnis der Laplace-Transformierten des Ausgangssignals j/(f) und des Eingangssignals u(t) des betrachteten Systems oder direkt als Laplace-Transformierte der zugehorigen Gewichtsfunktion git). Ist G(s) gegeben, dann lasst sich damit fiir jede gegebene Eingangsgr5fie C/(s) die entsprechende Ausgangsgrofie y(s) direkt berechnen. g) Faltungssatz im Frequenzbereich: Wahrend die bisherigen Uberlegungen sich auf die Faltung zweier Zeitfunktionen beschrankten, soil nachfolgend auch noch die Faltung im Frequenzbereich c+joo
i?{/i(<)/2(i)} = 2^
I c-joo
F^ip)F2is-p)dp
(4.L13)
58
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich behandelt werden. Dabei gilt -Fi(s) •—°fi{t) und F^is) •—°h{t)- Weiterhin stellt p eine komplexe Integrationsvariable dar. Gemafi diesem Satz ist die LaplaceTransformierte des Produktes zweier Zeitfunktionen gleich der Faltung von Fi[s) und F^f^s) im Bildbereich. Fiir das Produkt zweier kausaler Zeitfunktionen f{t)
=
(4.1.14)
h{t)h{t)
mit den Laplace-Transformierten Fi{s) und ^2(5) und den Konvergenzbereichen Res > (Ti bzw. Res > (72 folgt durch Laplace-Transformation von f{t)
ii{f{t)} = F{s) = j h{t)h{t)e-^'dt.
(4.1.15)
Mit dem Umkehrintegral gemafi Gl. (4.1.2) c+joo
/i(i) = ^
/
^1(^)6"*^^
(4.1.16)
cx^i
ergibt sich durch Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (4.1.15) 00
r
c+joo
F{s) = jh{t)^-^' ~ I F,{p)e'"dp 0
L
dt.
(4.1.17)
c—joo
Durch das hier erlaubte Vertauschen der Reihenfolge der Integration (sofern die Integrale die Konvergenzbedingungen erfiillen) erhalt man dann C+JCX)
i^(s) = ^
/ ^i(i')dp//2(i)e-(«-P)*di,
(4.1.18)
C-JOO
wobei das zweite Integral durch 00
F2{s-p) = j h{t)Q-^'-^^'dt = i {eP*/2(t)}
(4.1.19)
0
ersetzt werden darf. Dieses Integral das - nebenbei bemerkt - den Verschiebesatz im Frequenzbereich darstellt, konvergiert fiir Re(s — p) > u-z- Durch Einsetzen der Gl. (4.1.19) in Gl. (4.1.18) ist somit Gl. (4.1.13) bewiesen. In Gl. (4.1.19) muss demnach der Realteil von p so grofi gewahlt werden, dass sich die Konvergenzbereiche von Fi ip) und ^2(5 — p) teilweise iiberdecken, d.h. die Abszisse c der Integrationsgeraden muss im gemeinsamen Konvergenzbereich von Fi (p) und F^ (s — p) liegen und somit gilt <Ji < c < Res -0-2.
i-i-O oo
^ {fit)} = j fit) e-^Mi = sFis) - /(0+) 0+
den Grenzwert fiir s —> oo: oo
lim
/ fit) e-'^dt = lim [s F(s) - /(0+)].
i—KX) J
S—>00
0+
Da hierbei die Integration unabhangig von s ist, diirfen Grenzwertbildung und Integration unter der Voraussetzung, dass das Integral gleichmaBig konvergiert, vertauscht werden. Da vorausgesetzt wird, dass i? [fit)] existiert, gilt somit lim fit) e-** = 0. s—>oo
Damit erhalt man schliefilich lim s F ( s ) = / ( 0 + ) . S—+00
Mit Hilfe des Satzes vom Endwert lasst sich das Verhalten von fit) fiir i -^ oo aus F(s) bestimmen, sofern wiederum /(f) und fit) eine Laplace-Transformierte besitzen und der Grenzwert lim fit) auch tatsachlich existiert. Dann gilt: t-4-OO
/(oo) = lim fit) = lim s F ( s ) . t—»oo
(4.1.21)
s—)-0
Zum Beweis [F5177] bildet man den Grenzwert oo
lim
f fit)e-^*dt = lim[sFis) - /(0+)].
Auch hier darf unter der Voraussetzung der Konvergenz des Integrals die Reihenfolge von Grenzwertbildung und Integration vertauscht werden. Dies liefert oo
/ 0+
fit)dt=lim[sFis)-fiO+)], s—>0
und nach Ausfiihren der Integration folgt /(cx)) - / ( 0 + ) = limlsFis) - /(0+)] /(oo) = lim s Fis). s—>0
60
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich Man beachte, dass sich lim f(t)
Oder
lim f{t)
aus der zugehorigen Laplace-Transformierteni? {/(i)} durch Anwendung der Grenzwertsatze nur berechnen lasst, wenn a priori die Existenz des entsprechenden Grenzwertes im Zeitbereich gesichert ist. Zwei Beispiele sollen dies verdeutlichen: Beispiel 4-i-5 /(i) = e"*(a>0)o-«F(s) = s—a Der stationare, asymptotische Endwert lim e°* existiert hier offensichtlich nicht. Daher darf der Endwertsatz nicht angewandt werden. • Beispiel 4-1-6 f{t) = coswoi o—*F{s) = -^r-—o Der Endwert lim coswoi existiert hier ebenfalls nicht, und daher darf dieser Grenzwertsatz wiederum nicht angewandt werden. • Anhand dieser beiden Beispiele ist leicht ersichtlich, dass folgende allgemeine Aussage gemacht werden kann; Besitzt die Laplace-Transformierte F{$), abgesehen von einem einfachen Pol im Nullpunkt s = 0, auf der imaginaren Achse oder in der rechten sHalbebene Pole, dann kann der Satz vom Endwert nicht angewandt werden.
4.1.4
Die inverse Laplace-Transformation
Die inverse Laplace-Transformation wird durch Gl. (4.1.4) beschrieben. Wie bereits im Abschnitt 4.1.2 erwahnt wurde, ist in vielen Fallen eine direkte Auswertung des komplexen Umkehrintegrals nicht erforderlich, da fiir die wichtigsten elementaren Funktionen Korrespondenztabellen entsprechend Tabelle 4.1.1 zur Verfiigung stehen. Ist jedoch fiir eine kompliziertere Funktion F(s) die entsprechende Korrespondenz nicht in einer solchen Tabelle zu finden, dann muss diese Funktion in eine Summe einfacher Funktionen von s F{s) = Fi(s) + F2(s) + . . . + Fnis) (4.1.22) zerlegt werden, deren inverse Laplace-Tranformierten bereits bekannt sind: £-'
{F{s)}=Ji-'
{F^{s)}+£-'
{F^is)}
+
...
+i?-^
= flit)+ f2it) + ... + fn{t) = fit).
{Fs{s)}
(4.1.23)
Bei regelungstechnischen Problemen tritt sehr haufig JF(S) in Form einer gebrochen rationalen Funktion ^ ck + d,s + ...d^s- ^ Zisl ^ ^ eo + e i s - ^ . . . - h s » Nis) ^
4.1 Die Laplace-Transformation
61
auf, wobei Z{s) und N{s) das Zahler- bzw. Nennerpolynom darstellen. 1st m > n, dann wird zweckmafiigerweise Z{s) durch N(s) geteilt, wodurch eine Funktion in s sowie als Rest eine gebrochen rationale Funktion entsteht, deren Zahlerpolynom Zi (s) eine niedrigere Ordnung als n besitzt. 1st z.B. m = n + 2, dann wird
H = '=»' + *•' + *» + I f • i"-^^) wobei Grad{Zi(s)} < n ist und ko,ki und k2 konstante Grofien darstellen. Nun lasst sich eine gebrochen rationale Funktion F{s) gemafi Gl. (4.1.24) durch Anwendung der Partialbruchzerlegung in einfachere Funktionen, wie in Gl. (4.1.22) angedeutet, zerlegen. Dazu muss bekanntlich das Nennerpolynom N{s) faktorisiert werden, so dass man die Form F{s) =
^^'\ [S-
S-1){S-S2)
...
. (S
-
(4.1.26)
S„)
bekommt. Fiir ein Nennerpolynom n-ter Ordnung erhalt man dann n Wurzeln oder Nullstellen s = si,S2,- • •,««. Diese NuUstellen von N{s) sind somit auch die Pole von F{s). Fiir verschiedene Arten von Polen soil nun nachfolgend das Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung gezeigt werden. Fall 1: F{s) besitzt nur einfache Pole. Hierbei lasst sich F{s) in eine Partialbruchzerlegung der Form
entwickeln, wobei die Residuen Ck reelle oder auch komplexe Konstanten sind. Mit Hilfe der Korrespondenztabelle erhalt man dann unmittelbar die zugehorige Zeitfunktion n
f{t) = Y,Cke"'^
fiir
i > 0.
(4.1.28)
Dabei lassen sich die Werte Ck entweder durch KoefRzientenvergleich oder mit dem Residuensatz der Funktionentheorie gemafi c. = |^ = ( - . . ) | ^
(4.1.29)
fiir k = 1,2,... ,n bestimmen, wobei N'{sk) — dN/ds {s-s^ kennzeichnet. Fall 2: F{s) besitzt auch mehrfache Pole. Treten die mehrfachen Pole von F{s) jeweils mit der Vielfachheit rk{k = 1,2,...,/) auf, dann lautet die entsprechende Partialbruchzerlegung
^(*) = E E 7 7 Z ^ k=ii^=i ^
'''
«^it
n = J2n. k=i
Die Riicktransformation der Gl. (4.1.30) in den Zeitbereich liefert
(4.1.30)
62
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
Dabei berechnen sich die entsprechenden reellen oder komplexen KoefRzienten Cku fiir p = 1,2,... ,rk gemaB dem Residuensatz zu
Diese allgemeine Beziehung enthalt natiirlich auch den Fall der einfachen Pole von F{s). Die Pole diirfen reell oder komplex sein. Man beachte aufierdem, dass hierbei definitionsgemafi 0! = 1 wird. Fall 3; F{s) besitzt auch konjugierte komplexe Pole. Da sowohl das Zahlerpolynom Z{s) als auch das Nennerpolynom N{s) der Funktion F{s) rationale algebraische Funktionen darstellen, treten eventuell vorhandene komplexe Faktoren, also Nullstellen oder Pole, stets als konjugiert komplexe Paare auf. Besitzt F{s) gerade ein konjugiert komplexes Polpaar si,2 = (^i ± jwi, dann lasst sich fiir die zugehorende Teilfunktion Fi^2(s) bei der Partialbruchzerlegung von Fis) = 1^ = ^i.2W + Fsis) + ... + Fn{s) selbstverstandlich Gl. (4.1.27) anwenden: Fi,2(s) =
/^^• , + /' • ,, s-{ai+]UJi) s-(o-i-jwi) wobei jedoch die Residuen entsprechend der Beziehung Cl,2
(4.1.33)
-Si ± j £ i
ebenfalls konjugiert komplex werden. Deshalb warden beide Briiche von Fi^^is) zusammengefasst, und man erhalt somit F.As) = - 4 ^ ^
(4.1.34)
mit den reellen KoefRzienten ao= Po=
aj+ujf -2(a2A+a;i£i)
; Qi = -2(Ti 1 ; A = 2Ji J'
, . ^^•'-'^^
Die Ermittlung der KoefRzienten /3o und I3i erfolgt wiederum mit dem Residuensatz durch (/?0 + A s ) l _ ={s-Si){s-S2) Z{s) (4.1.36) N{s) Da si eine komplexe Gr6i3e ist, werden beide Seiten dieser Beziehung komplex. Durch Vergleich jeweils der Real- und Imaginarteile beider Seiten erhalt man zwei Gleichungen zur Bestimmung von /?o und /3i. Dieses Vorgehen soil am folgenden Beispiel gezeigt werden.
4.1 Die Laplace-Transformation
63
Beispiel J^.l.l Mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation ist /(i) aus F(s) =
(s2 + 2s + 2) (s + 2)
zu bestimmen. Die Partialbruchzerlegung von F(s) liefert s2 -h 2s -H 2
s -I- 2'
wobei die Teilfunktion -Fi,2(s) das konjugierte komplexe Polpaar Si,2 = - l ± j enthalt. Aufierdem wird der dritte Pol von F(s) S3 = - 2 .
Fiir die Koeffizienten ^o und ^i folgt mit Gl. (4.1.36) 1 s+2
(^o + /3is)L_., =
1 1 _.l 2 "•'2' -l+j + 2 Durch Gleichsetzen der Real- und Imaginarteile auf beiden Seiten ergibt sich
(/3o-A)+j/3i =
^o-^i = i
und
^i = - \
und daraus schliefilich ^o = 0. Mit Gl. (4.1.29) lasst sich das Residuum cs = (s + 2)
(s2 + 2s -f- 2) (s + 2)
bestimmen. Damit lautet nun die Partialbruchentwicklung von F{s)
Fis) = ~-
1
s^ + 2s + 2
+ 2 s-l-2'
die zweckmai3igerweise noch in die Form F(s) =
s+1 2 [{s +1)^ + 1
(s-hl)2-H
1 s + 2_
gebracht wird, damit fiir die inverse Laplace-Transformation direkt die Tabelle 4.1.1 verwendet werden kann. Unter Beriicksichtigung der Korrespondenzen 16, 15 und 6 und bei Beachtung, dass t aufgrund der Multiplikation mit den entsprechenden Prequenzwerten dimensionslos wird, folgt /(i) = - - [ e
c o s i - e *sini
*]
fiir
t>0
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
64 oder umgeformt
/(i) =r - e - ' [ e " * + s m i - c o s i ]
fur
^ > 0.
Der grafische Verlauf von f{t) ist im Bild 4.1.2 a dargestellt. Daneben enthalt das Bild 4.1.2 b auch die Lage der zugehorigen Polstellen dieses Beispiels in der komplexen s-Ebene. •
Bild 4.1.2. (a) Verlauf der Originalfunktion f{t) (Zeitfunktion) und (b) Lage der Polstellen in der s-Ebene
Wie man leicht anhand dieses Beispiels erkennt, ist die Lage der Pole si,S2 und S3 fiir den Verlauf von f{t) ausschlaggebend. Da hier samtliche Pole von F{s) negativen Realteil besitzen, ist der Verlauf von f{t) gedampft, d.h. er klingt fiir i —>• 00 auf Null ab. Ware jedoch der Realteil eines Poles positiv, dann wiirde fiir f —> 00 auch f{t) unendlich grofi werden. Da bei regelungstechnischen Problemen die Originalfunktion f{t) stets den zeitlichen Verlauf einer im Regelkreis auftretenden SystemgroiSe darstellt, lasst sich das Schwingungsverhalten dieser SystemgroBe f{t) durch die Untersuchung der Lage der Polstellen der zugehorigen Bildfunktion F{s) direkt beurteilen. Auf diese so entscheidende Bedeutung der Lage der Polstellen einer Bildfunktion wird spater noch ausfiihrlich eingegangen.
4.1.5
Die Losung von linearen Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation, deren wichtigste Grundlagen in dem vorangegangenen Abschnitt behandelt wurden, stellt - wie im folgenden gezeigt wird - eine sehr elegante Moglichkeit zur schnellen und schematischen Losung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten KoefEzienten dar, wobei als wichtigstes Hilfsmittel meist eine Korrespondenztabelle ausreicht. Anstatt die im Originalbereich gegebene Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen direkt zu I5sen, wird der Umweg iiber den Bildbereich genommen, wo dann nur noch eine algebraische Gleichung zu losen ist. Die Losung von Differentialgleichungen erfolgt demnach allgemein gemafi Bild 4.1.3 in folgenden drei Schritten: 1. Transformation der Differentialgleichung in den Bildbereich,
4.1 Die Laplace-Transformation
65
2. Losung der algebraischen Gleichung im Bildbereich, 3. Riicktransformation der Losung in den Originalbereich. Originalbereich:
Differentiaigleichung
Losung
T iJ'-Transformation Bildbereich:
Sf " '-Transformation
i
klgebraische Gleichung^
I
^
Losung
Bild 4.1.3. Schema zur Losung von Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation Wahrend die beiden ersten Schritte trivial sind, erfordert der dritte Schritt gewohnlich den meisten Aufwand. Das Vorgehen wird im folgenden anhand von zwei Beispielen gezeigt. Beispiel 4-1-8 Gegeben ist die Differentiaigleichung (in dimensionsloser Darstellung) f{t) + 3/(i) + 2/(t) = e-* mit den Anfangsbedingungen / ( 0 + ) = / ( 0 + ) = 0. Die Losung erfolgt in den zuvor angegebenen Schritten: 1. Schritt: s^F{s) + isF{s) + 2F{s) =
"^ s-H
2. Schritt: ^ '
s + 1 s2 + 3s + 2
3. Schritt: Vor der Riicktransformation wird F{s) in Partialbriiche zerlegt, da die Korrespondenztafeln nur bestimmte Standardfunktionen enthalten: . s i s+2
1 s+1
1 (s-M)2'
Mittels der Korrespondenzen 6 und 7 aus Tabelle 4.1.1 folgt durch die inverse Laplace-Transformation als Losung der gegebenen Differentiaigleichung / ( f ) = e - 2 * - e - * + ie-*.
Beispiel 4-1-9 Gegeben ist die Differentiaigleichung X + aix + aox = Q^
(4.1.37)
wobei Qo und ai konstante Gr6i3en und die Anfangsbedingungen i(0-(-) und a;(0-|-) bekannt sind. Auch hier erfolgt die Losung in der zuvor beschriebenen Form:
4 Beschreibung Unearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
66 1. Schritt:
s^X{s) - s x{0+) - x{0+) + ai [s X{s) - x{0+)] + aoX{s) = 0 2. Schritt: 1 , ,^ + "^, x{0+) + iiO+), s ^ + o i s + ao s^ + ois + oo
X{s)=
(4.1.38)
also X{s) = Lois) x{0+) + L{s) x{0+) mit den Abkiirzungen Zois) Nis)
Lois)
s + ai s^ + ais + ao
und
Lis) =
Zjs) ^ 1 Nis) s'^ + ais + ao
3. Schritt: Fall a): Zwei einfache reelle Nullstellen des Nenners: Gegeben ist Nis) = s^ + ais + ao = is - ai) (s - 02). Fiir die beiden gebrochen rationalen Ausdriicke Lois) und Lis) folgt durch Partialbruchzerlegung r f \ Ai A2 Lois) — s — ai 1 s — a^
A und
T/ \ Bi Lis) = s — a\
B2 s — (X2
Die Koeffizienten A, und Bi lassen sich nun durch Koeffizientenvergleich oder durch Anwendung der Gl. (4.1.29) bestimmen: A:-
--IS - -'.^-
Zoia-%)
N'iai) '
Damit folgt fiir GL (4.1.38) Xis)^
Ai
A2
s — ai
s — a2
xiO+) +
Bi
B2
s — ai
s — a2
i:(0+),
und durch Anwendung der Korrespondenz 6 aus Tabelle 4.1.1 ergibt sich als Losung der Differentialgleichung xit) = [Aie"'' + Age"^*] a;(0+) + [Bie^^* + Bze"^*] a;(0+) = [AixiQ+) + BiiiO+)] e«i* + [A2ar(0+) + 52^(0+)] e'*^*.
(4.1.39)
Fall b): Eine doppelte reelle Nullstelle des Nenners: Gegeben ist
Nis) = is-a)'^. Hier folgt fiir die beiden gebrochen rationalen Ausdriicke Lois) und Lis) von Gl. (4.1.38) als Partialbruchzerlegung
4.1 Die Laplace-Transformation
67
h7 , 2' +7 r^ und Lis) = s — a {s — a) s — a (s — a)^ Nun werden die KoefEzienten Ai und Bi durch Koeffizientenvergleich oder durch Anwendung der Gl. (4.1.32) bestimmt:
-^o(s =
-Ai
Zo{s) {s {N{s)
1,
A.=
Zo{s) {s-af [N{8)
= a + ai
und Bi
-{
ds
Z{s) {s - af [N{s)
= 0,
B2 =
Z{s) {N{s)
{s-af
= 1.
Damit erhalt man schlieBlich fiir die Losung im Bildbereich a;(0+) A {S} —
s—a
(a + oi)a;(0+)+a;(0+) 1-
{s — aY
Durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation folgt schliefilich als gesuchte Losung der Differentialgleichung x{t) = x{0+) e"* + [{a + ai) x{0+) + i;(0-h)] i e " ' .
(4.1.40)
Fall c): Zwei konjugiert komplexe Nullstellen des Nenners: Gegeben ist N{s) = {s — ai) (s — 0:2)
mit
ai^2 = ^i ± j<^i-
Durch Einsetzen von ai und 03 und Ausmultiplizieren dieses Ausdruckes ergibt sich
N{s)
=
is-c7if+ujl
Der Vergleich mit dem Nenner der urspriinglichen Beziehung, Gl. (4.1.38) liefert entsprechend Gl. (4.1.35) Oo = (7^ + ui^
und
ai = —2(TI.
Mit diesen Koeffizienten geht Gl. (4.1.38) iiber in die Form 1
Xis)=,^ \l^]_„,,<0+) + S —
{s-aiY+ojf
CTi
CTi
Wi
wi (s - ai)2 + Wi_
1 - I - LOi — {s - (7i)2 +U)j
K0+) a;(0+)
x{0+),
und daraus erhalt man direkt unter Verwendung der Korrespondenzen 15 und 16 aus Tabelle 4.1.1 die zu X{s) gehorende Originalfunktion (Zeitfunktion) _ o<^lt cosuit x{t) = e'
smwji x{0+) + —e'''*x{0+) sinujit
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
68
oder umgeformt x{t)
—
o'^lt
a;(0+)coswii •
—x(0+) - —x{0+) sin Wit
(4.1.41)
als Losung der DifFerentialgleichung.
Auch anhand dieses Beispiels ist wiederum die Bedeutung der Lage der Nullstellen von N{s) bzw. der Pole von X{s) gemafi Gl. (4.1.38) ersichtlich. Fiir alle drei hier untersuchten Spezialfalle wird der Losungsweg bzw. die Losung der DifFerentialgleichung entsprechend den Gin. (4.1.39), (4.1.40) und (4.1.41) mafigeblich von der Lage der Polstellen von X{s) bestimmt. Diese Polstellen von X{s) sind - wie man sich leicht an beiden hier behandelten Beispielen iiberzeugen kann - allgemein nur abhangig von der linken Seite der zugeh5rigen DifFerentialgleichung, also deren homogenem Teil. Bekanntlich beschreibt die Losung der homogenen DifFerentialgleichung die Eigenbewegungen des Systems, also das Verhalten, das nur von den Anfangsbedingungen abhangig ist. Betrachtet man daher fiir den allgemeinen Fall den homogenen Teil der gewohnlichen linearen DifFerentialgleichungen n-ter Ordnung gemafi Gl. (2.3.2) mit konstanten Koeffizienten
y^a. i=0
d^Xgjt) = 0 dP
(4.1.42)
unter Beriicksichtigung aller n Anfangswertbedingungen {d'xa{t)/df)\t=o+
fiir
i = 0,l,...,n-l,
dann lasst sich diese Gleichung nach Anwendung der Laplace-Transformation XJs)
J2ais'
E«*E *
dt" '•u-i^'^W
v=l
LJ=0
\t=<0+
= 0
in eine der Gl. (4.1.38) entsprechende Form bringen
Xa{s) =
1=1
v=i
T^
or
Z{.s)
N{sy
(4.1.43)
t=0
wobei Z{s) und N{s) Polynome in s darstellen, und damit die Anfangsbedingungen nur im Zahlerpolynom Z{s) enthalten sind. Die das Eigenverhalten beschreibenden Pole Sk{k = 1,2,... ,n) von Xa{s) ergeben sich somit unmittelbar aus der Losung der Gleichung
Y^ ais' = 0.
(4.1.44)
i=0
Die Faktorisierung dieser Beziehung liefert dann an{s - Si) {s- S2)
...
{S- Sn)
= 0.
(4.1.45)
4.1 Die Laplace-Transformation
69
Die hierin enthaltenen Pole Sk von Xa{s) erm5glichen eine Partialbruchdarstellung von Xa{s), beispielsweise fiir den Fall einfacher Pole entsprechend Gl. (4.1.27). Fiir diesen Fall erhalt man gemafi Gl. (4.1.28) als Losung der homogenen Differentialgleichung, Gl. (4.1.42), die Beziehung n
Xa{t) = 'Y^Cke"'^
fiir
t > 0.
k=l
Daraus erkennt man, dass die Lage der Pole Sk von Xa{s) in der s-Ebene voUstandig das Eigenverhalten oder Schwingungsverhalten des durch die Gl. (4.1.42) beschriebenen Systems charakterisiert. Man erhalt somit fiir Re s^ < 0 (linke s-Halbebene) einen abklingenden und fiir Re s^ > 0 (rechte s-Halbebene) einen aufklingenden Schwingungsverlauf von Xa{t), wahrend sich fiir Polpaare mit Res^ =0 Dauerschwingungen einstellen. Gl. (4.1.44) bzw. Gl. (4.1.45) wird daher auch als charakteristische Gleichung und die Pole Sk von Xa{s) werden oft auch als Eigenwerte derselben bezeichnet. Die Untersuchung der charakteristischen Gleichung liefert somit die wichtigste Information iiber das Schwingungsverhalten eines Systems.
4.1.6
Laplace-Transformation der Impulsfunktion 5{t)
Die Impulsfunktion S{t) ist keine Funktion im Sinne der klassischen Analysis, sondern eine Distribution (Pseudofunktion). Aus diesem Grunde ist ohne eine Einfiihrung der Distributionentheorie das Integral oo
g{5{t)}= f 5{t)e-'*dt
(4.1.46)
0
nicht definiert. Die Singularitat fallt exakt mit der unteren Integrationsgrenze zusammen. Naherungsweise lasst sich aber die Impulsfunktion gemafi Gl. (3.2.4) durch den Grenzwert Sit) = limre(i) darstellen. Streng genommen ist diese Darstellung von S{t) jedoch keine Distribution, da rs{t) fiir 0 < t < oo nicht beliebig oft differenzierbar ist. Wegen der einfachen Beschreibung gegeniiber anderen Funktionen (z.B. Gaufi-Funktionen) soil ihr aber hier der Vorzug gegeben werden. Aus den Gin. (3.2.4) und (4.1.46) folgt damit
^{sm =-Jlj^^rS)
e-'^dt.
(4.1.47)
Gl. (3.2.3) auch in der Form re{t) =--^[a{t)-ait
-e)]
(4.1.48)
dargestellt werden kann, und da die Integration unabhangig von e ist, diirfen Grenzwertbildung und Integration vertauscht werden. Somit folgt aus den Gin. (4.1.47) und (4.1.48)
70
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich oo
i {b(t)} = lim I -
hu{t) - ait - e)] e-**di 0
i^W*)} = l i m { i i ( l - e - ) } . Durch Anwendung der Regel von IHospital erhalt man daraus schliefilich ^{5{t)}
,. s e - " = lim e->0 s
1.
(4.1.49)
Beispiel 4.1.10 Gegeben ist die DifFerentialgleichung d^a di • =
m-
Gesucht ist die Losung Xa{t). Anmerkung: Der Differentiationssatz gemafi Gl. (4.1.6) gilt - wie bereits erwahnt - nur fiir klassische Funktionen. Besitzt ein Signal jedoch eine (5-Funktion bei i = 0, dann muss die untere Integrationsgrenze von Gl. (4.1.1) zu i = 0- und damit in Gl. (4.1.16) der linksseitige Anfangswert Xa{Q—) gewahlt werden. Gemafi der Definition der Gl. (4.1.1) sind aber alle linksseitigen Anfangswerte stets Null. Die Losung erfolgt dann in folgenden drei Schritten: 1. Schritt: Die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung ergibt: sXa{s)-Xa{Q-) = l
mit a;a(0-) = 0.
2. Schritt: Die Losung der algebraischen Gleichung liefert: Xa{s) = - . s 3. Schritt: Aus der Riicktransformation dieser Beziehung folgt als Losung der gegebenen Differentialgleichung Xa{t) = (T{t), wobei a{t) die Sprungfunktion darstellt.
4.2 Die Ubertragungsfunktion
4.2 4.2.1
71
Die Ubertragungsfunktion Definition und Herleitung
Lineare, kontinuierliche, zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Parametern werden sofern eine Totzeit zunachst nicht beriicksichtigt wird - durch die gewohnliche Differentialgleichung
^"^-dtr- = L ^ i - ^ ^ i=0
(4.2.1)
j=0
beschrieben. Beispiele hierfiir wurden im Abschnitt 3.1 behandelt. Setzt man alle Anfangsbedingungen gleich Null und wendet auf beiden Seiten der Gleichung die LaplaceTransformation an, so erhalt man n
m
i=0
j=0
Oder umgeformt Xe(s)
ao + aio + . . . + ans-^
^ '
N{s)
^
'
wobei Z{s) und iV(s) das Zahler- und Nennerpolynom dieser Beziehung beschreiben. Der Quotient der Laplace-Transformierten von Ausgangsgrofie und Eingangsgrofie des oben klassifizierten Systemtyps ist eine gebrochen rationale Funktion in s, deren KoefHzienten nur von der Struktur und den Parametern des Systems abhangen. Diese das Ubertragungsverhalten des Systems vollstandig beschreibende Funktion G{s) wurde bereits in Gl. (4.1.11) definiert; sie wird Ubertragungsfunktion des Systems genannt. Mit Hilfe der Ubertragungsfunktion kann bei bekannter Eingangsgrofie Xe{t) bzw. Xs{s) unmittelbar die Laplace-Transfomierte der Ausgangsgrofie Xa(s)=G(s)Xe(s)
(4.2.3)
ermittelt werden. Es sei ausdriicklich darauf hingewiesen, dass ein Ubertragungsglied, bei dem m > n ist, physikalisch nicht realisierbar ist. Die Ubertragungsfunktion eines idealen (nicht realisierbaren) differenzierenden Ubertragungsgliedes (D-Glied) wird nach Gl. (4.1.6) durch G{s) = s beschrieben. Jade Ubertragungsfunktion mit m> n lasst sich in folgende Form '^^'^ ^W)^ ^$)
+ ^0 + fcis + . . . + fc„-™s™-"
zerlegen, wobei Grad{Zi(s)} —n-1 gilt und stets Terme in s mit positivem Exponenten und damit ideal differenzierende Glieder auftreten. Derartige D-Glieder wurden aber fiir ein Eingangssignal beliebig hoher Prequenz ein Ausgangssignal beliebig grofier Amphtude liefern, was physikalisch nicht zu realisieren ist. Als Realisierbarkeitsbedingung fiir die Ubertragungsfunktion gemafi Gl. (4.2.2) gilt daher Grad{Z(s)} < Grad{Ar(s)}
oder
m
(4.2.4)
72
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
Die Ubertragungsfunktion muss nun keineswegs immer die oben angegebene Form haben. Beriicksichtigt man beispielsweise noch eine Totzeit Tt, dann erhalt man anstelle von Gl. (4.2.1) die Differentialgleichung
i=0
i=0
Die Laplace-Transformation liefert in diesem Fall die transzendente Ubertragungsfunktion
Im Abschnitt 3.2.3 wurde bereits gezeigt, dass man bei linearen Systemen die Systemausgangsgrofie Xs,{t) durch Faltung der EingangsgroBe Xe{t) mit der Gewichtsfunktion (Impulsantwort) g{t) aus Ca(*) = / git - T) Xeir) dr erhalt. Die Anwendung der Laplace-Transformation liefert analog zu Gl. (4.1.11) X^{s)=£{g{t)}X,{s).
(4.2.7)
Der Vergleich mit Gl. (4.2.3) zeigt, dass die Ubertragungsfunktion G{s) gerade die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion g{f) ist: Gis)=J^{g{t)}.
4.2.2
(4.2.8)
Pole und NuUstellen der Ubertragungsfunktion
Fiir eine Reihe von Untersuchungen (z.B. Stabilitatsbetrachtungen) ist es zweckmafiig, die gebrochen rationale Ubertragungsfunktion G{s) gemafi Gl. (4.2.2) faktorisiert in der Form n^ \ ^(^) I. ( g - g N i ) ( g - S N 2 ) ••• Js-SN^) ,, r„n\ G{s) = -T-j-- = korr r(4.2:9) N{s) [s - s p j [s - s p j ... [s-spj darzustellen. Da aus physikalischen Griinden nur reelle Koeffizienten ai,bj vorkommen, konnen die Polstellen sp; bzw. die NuUstellen s^. von G{s) reell oder konjugiert komplex sein. Pole und NuUstellen lassen sich anschaulich in der komplexen s-Ebene entsprechend Bild 4.2.1 darstellen. Ein lineares zeitinvariantes System ohne Totzeit wird somit durch die Angabe der Pol- und Nullstellenverteilung sowie des Faktors ko vollstandig beschrieben. Dariiber hinaus haben die Pole der Ubertragungsfunktion eine weitere Bedeutung. Betrachtet man das ungestorte System (xe(i) = 0) nach Gl. (4.2.1) und will man den Zeitverlauf der Ausgangsgrofie Xa.{t) nach Vorgabe von n Anfangsbedingungen ermitteln, so hat man die zugehorige homogene Differentialgleichung t i=0
«
.
^ = 0
(4,2^10)
4.2 Die Ubertragungsfunktion
73 }^
xPolstellen oNuUstellen Bild 4.2.1. Beispiel fiir die Pol- und Nullstellenverteilung einer gebrochen rationalen Ubertragungsfunktion in der komplexen s-Ebene
zu losen, die genau der Gl. (4.1.42) entspricht. Wird fiir Gl. (4.2.10) der Losungsansatz Xa{t) = e** gemacht, so erhalt man als Bestimmungsgleichung fiir s die bereits in Gl. (4.1.44) definierte charakteristische Gleichung
P{s) = Y,ais'=0.
(4.2.11)
i=0
Diese Beziehung geht also unmittelbar durch Nullsetzen des Nenners {N{s) — 0) aus G{s) hervor, sofern N{s) und Z{s) teilerfremd sind. Die Nullstellen Sk der charakteristischen Gleichung stellen somit Pole sp. der Ubertragungsfunktion dar. Da - wie im Abschnitt 4.1.5 bereits behandelt - das Eigenverhalten (also der Fall, dass Xe{t) = 0 gesetzt wird) allein durch die charakteristische Gleichung beschrieben wird, beinhalten somit die Pole sp. der Ubertragungsfunktion voll diese Information. Will man nun den Zeitverlauf Xa{t) beim Einwirken einer beliebigen Eingangsgrofie Xe{t) fiir das durch die Ubertragungsfunktion G{s) in Form der Gin. (4.2.2) oder (4.2.9) beschriebene System berechnen, dann muss zunachst die zu Xe{t) gehorende LaplaceTransformierte Xe(s) gebildet werden. Damit lasst sich nun X^is) gemai3 Gl. (4.2.3) berechnen:
XM = |ax.(.).
(4.2.12)
Stellt Xa{s) in dieser Beziehung eine gebrochen rationale Funktion dar, dann kann diese durch Faktorisierung auf die Form der Gl. (4.1.26) gebracht werden, auf die sich dann nach Durchfiihrung einer Partialbruchzerlegung die inverse Laplace-Transformation anwenden lasst. In die Losung von a;a(i) gehen somit neben den Polstellen sp. auch die Nullstellen s^j der Ubertragungsfunktion G{s) ein. Samtliche Anfangsbedingungen von Xa,{t) sind dabei definitionsgemafi gleich Null.
4.2.3
Das Rechnen mit Ubertragungsfunktionen
Fiir das Zusammenschalten von Ubertragungsgliedern lassen sich nun einfache Rechenregeln zur Bestimmung der Ubertragungsfunktion herleiten.
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
74 a)
Hintereinanderschaltung Aus der Schaltung entsprechend Bild 4.2.2 folgt Y{s)
= G2{s)X,,is)
Xe,(s)=Xa,(s)=Gi(s)C/(s)
Yis)
=
G2is)Giis)Uis).
Damit ergibt sich als Gesamtiibertragungsfunktion der Hintereinanderschaltung Gis)
C/ = X„
G,is)
= ^ = U{s)
^a.^
—
Giis)G2is).
^a
(4.2.13)
GJs)
Bild 4.2.2. Hintereinanderschaltung zweier Ubertragungsglieder
b) Parallelschaltung Fiir die Ausgangsgrofie der beiden Regelkreisglieder folgt gemafi Bild 4.2.3 Xai(s)=Gi(s)[/(s)
X^,{s)^G2{s)U{s). Als Ausgangsgrofie des Gesamtsystems erhalt man Y{s) = X a ( s ) = X a , ( s ) + X a , ( s ) = [Gi{s) + ^ 2 ( 5 ) ] U{s),
und daraus ergibt sich als Gesamtiibertragungsfunktion der Parallelschaltung G{s)
=
^^=G^{s)+G2{s).
G^{s)
X,
U^X^
t^a = y^
o GJs)
X
Bild 4.2.3. Parallelschaltung zweier Ubertragungsglieder
c) Kreisschaltung Aus Bild 4.2.4 folgt unmittelbar fiir die Ausgangsgrofie Yis)
=
X,is)
=
[U{s)-X,,is)]Giis).
(4.2.14)
4.2 Die tibertragungsfunktion
75
Mit X,,{s)=G,{s)Y{s) erhalt man Yis)^[U{s)^-,G2{s)Y{s)]Giis), und daraus ergibt sich
Somit lautet die Gesamtiibertragungsfunktion der Kreisschaltung G{s) =
U = X,
•\
Y{s) Uis)
h
G,{s) l,l>Gi(s)G2(s)
G^is)
(4.2.15)
^. = y
1
:+) G^is) ^ai
Bild 4.2.4. Kreisschaltung zweier Ubertragungsglieder
Da die Ausgangsgrofie von Gi{s) iiber G2{s) wieder an den Eingang zuriickgefiihrt wird, spricht man auch von einer Riickkopplung. Dabei unterscheidet man zwischen positiver Riickkopplung (Mitkopplung) bei positiver Aufschaltung von ^a2(*) und negativer Riickkopplung (Gegenkopplung) bei negativer Aufschaltung von Xaj (s). Beispiel 4-2.1 Fiir den speziellen Fall, dass Gi (s) als reiner Verstarker mit sehr grofiem Verstarkungsfaktor K -^ oo wirkt, erhalt man bei negativer Riickkopplung G{s)
K l + KG2{s)
1 1__^^^^^^
G^isY
Das gesamte Ubertragungsverhalten wird demnach hier nur von dem Riickkopplungsglied bestimmt. Auf diesem Sachverhalt beruht bekanntlich die gesamte Operationsverstarkertechnik. Dort verwendet man in einer Kreisschaltung fiir Gi{s) jeweils einen Verstarker mit K -^ oo und kann dann mit Hilfe eines geeigneten Gegenkopplungsnetzwerkes G2{s) fiir das Gesamtsystem in gewissen Grenzen jedes beliebige Ubertragungsverhalten erzeugen. •
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Erequenzbereich
76
4.2.4
Herleitung von G{s) aus der Zustandsraumdarstellung
Wie bereits im Abschnitt 3.3.2 gezeigt wurde, kann eine lineare gewohnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung entsprechend Gl. (4.2.1) in ein System von n DifFerentialgleichungen 1. Ordnung umgeformt werden. Wendet man nun auf ein solches System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung, also auf die Zustandsraumdarstellung x{t) = Ax{t) + bu{t)
mit
a;(0) = 0,
(4.2.16a)
die hier ein EingroBensystem mit einer Eingangsgr6l3e u{t) und der Ausgangsgr6i3e y{t) = c^xit) + du{t)
(4.2.16b)
beschreibt, die Laplace-Transformation an, so erhalt man aus Gl. (4.2.16a) sX{s) = AX{s) + bU{s). Mit der Einheitsmatrix I folgt {si-A)X{s)=bU{s) X{s)
=
(4.2.17a)
{sl-A)-HU{s).
Weiterhin ergibt sich aus Gl. (4.2.16b) Y{s)=c^X{s)+dU{s) Y{s) = [c^ ( s i - A ) - i b + di U{s).
(4.2.17b)
Wird auch hier die Ubertragungsfunktion G[s) = Y{s)/U{s) eingefiihrt, dann kann G{s) gemafi Gl. (4.2.17b) durch die GroBen A,b,c und d ausgedriickt werden: G{s)=c^{sl-A)-^b + d.
(4.2.18)
Gl. (4.2.18) ist natilrlich identisch mit Gl. (4.2.2), sofern beide mathematischen Modelle dasselbe System beschreiben. Das soil nachfolgend anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Beispiel 4.2.2 Von einem System mit dem mathematischen Modell in der sogenannten FrobeniusStandardform oder Regelungsnormalform (fiir m
X2
0
1
0
0
0
1
0 0
••
'
0
"0"
Xl Xl
d d*
+ Xn—1
0
Xn
-ao
0 -ai
0
0
••
-02
u
1
Xfi — l
0
— O-n-l
Xn
_1_
(4.2.19a)
Xl X2
y=[bobi...bm\0O...O]
(4.2.19b)
4.2 Die Ubertragungsfunktion
77
ist die Ubertragungsfunktion G{s) und die zugehorige Differentialgleichung n-ter Ordnung gesucht. Das Blockschaltbild fiir dieses Ubertragungssystem zeigt Bild 4.2.5. Es besteht aus n Blocken mit integrierendem Verhalten (Integratoren oder I-Glieder) und n + m + 1 Blocken mit rein proportionalem Ubertragungsverhalten.
n 1
n-1 ^n
s
1
^
m
X m+1
1
n-.
X,,m
'' a
1 71—1
X.
X,
4
s
(-
Bild 4 . 2 . 5 .
1
'' a
„ n-2
TO—1
Blockschaltbild zur Probeniusforra
Die Ubertragungsfunktion G{s) soil nun allerdings nicht durch Anwendung von Gl. (4.2.18). sondern mit Hilfe des Blockschaltbildes ermittelt werden. Zuerst wird das Ubertragungsverhalten von U{s) nach Xi{s) bestimmt. Aus dem Blockschaltbild, Bild 4.2.5, gewinnt man die Laplace-Transformierten der ZustandsgroiSen. X2(s)=sXi(s) X3is) = s''Xi{s)
X^s)
Xn{s)
„m—l
„n-l
Xiis)
Xi{s),
und fiir die Eingangsgrofie des n-ten Integrators gilt sXn{s)
=
-an-lX„{s)
-
an-2 Xn-l{s)
-
...
-
QQ Xi{s)
+
U{s).
Werden in dieser Beziehung samtliche Zustandsgrofien durch Xi{s) ausgedriickt, dann erhalt man s" Xi (s) = - a „ _ i s"-i Xi (s) - o„_2 s"-2 Xi{s)-...-ao Xi (s) + U{s) und umgeformt
78
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich X,{s) Uis)
1 s" + a„_i + a„_2 s"-2 + . . . +
OQ
Im zweiten Schritt bestimmt man die Abhangigkeit der Ausgangsgrofie Y{s) von der Zustandsgrofie Xi{s). Aus dem Blockschaltbild folgt unmittelbar Yis) = boXi(s) +biX2is) + ... + bm X„+i(s). Driickt man alle Zustandsgrofien wiederum durch Xi (s) aus, so erhalt man Y{S) = ibo + biS + ... + bmS"") Xiis). oder Xi{s)
-bo + bis + .-. + bms"".
Die Gesamtiibertragungsfunktion G{s) folgt schUefihch aus
Gis)
Yis) _ Yis) Xiis) _ Uis) Xiis) Uis)
bo + bis + ... + b^s^ a o + o i s + ... + a „ _ i s " - i + s » '
mit a„ = 1. Durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation ergibt sich im Zeitbereich die zugehorige Differentialgleichung n — ter Ordnung /(") + a„_i2/("-i) +...aoy = b^u^""^ + fe^-iw^^-^' + . . . + 6,I Q U . Man kann nun umgekehrt zu einer vorliegenden Differentialgleichung der obigen Form (m < n) unmittelbar die Frobenius-Form als eine mogliche Zustandsraumdarstellung angeben. •
4.2.5
Die Ubertragungsfunktion bei Systemen mit verteilten Parametern
Die Ubertragungsfunktion eines linearen kontinuierlichen Systems mit konzentrierten Parametern stellt eine gebrochen rationale Funktion entsprechend Gl. (4.2.2) dar. Fiir lineare Systeme mit verteilten Parametern ergeben sich fiir die Modellbeschreibung transzendente Ubertragungsfunktionen. Dies soil nachfolgend an dem einfachen Beispiel eines Systems mit reiner Laufzeit (Totzeit) Tt gezeigt warden. Dazu wird der reine Laufzeitvorgang einer Temperaturanderung am Eingang eines fluiddurchstromten Rohres der Lange L (siehe Bild 4.2.6) betrachtet. i?(0,t) ist der Zeitverlauf der Temperatur am Anfang, i?(L,i) der Zeitverlauf der Temperatur am Ende des Rohres. Nach Abschnitt 3.1.3 und Gl. (3.1.28) gilt fiir diesen Transportvorgang in einem diinnwandigen Rohr die partielle Differentialgleichung ^ = - . p -
(4.2.20)
mit der Anfangsbedingung i?(;2,0) = 0 und einer beliebig noch vorgebbaren Randbedingung 'i?(0,i). Auf diese Beziehung wird nun die Laplace-Transformation angewandt, wobei zunachst fiir die einzelnen Terme gilt:
4.2 Die Ubertragungsfunktion
79 .•d{L-t)
^(0;i)
0
L
Bild 4.2.6. Warmetransport in einem Rohr als Beispiel fiir ein System mit Laufzeit
oo
jS{^{z,t)}
=
e{z,s)=
fi}{z,t)e-'*dt 0
6{z,s). Damit entsteht aus der partiellen Differentialgleichung im Zeitbereich nach Durchfiihrung der Laplace-Transformation eine gewohnliche Differentialgleichung fiir die Ortsvariable z: 80{z,s) = -WF—0{Z,S). (4.2.21) az In dieser Differentialgleichung hat s lediglich die Funktion eines Parameters. Sie kann gelost werden durch nochmalige Anwendung der Laplace-Transformation auf ^(2:,s) beziiglich der Ortsvariablen z. Somit ergibt sich als allgemeine Losung von Gl. (4.2.21) (4.2.22)
9{z,s) = Ce «'p Fiir die Ubertragungsfunktion erhalt man damit
^^'^ ~ e{0,s) ~ ^
-^
oder G{s) = e "'F
S
^
^-T.s
(4.2.23)
Dabei wird Tt = L/wp als Lauf- oder Totzeit des Systems bezeichnet. Die Ubertragungsfunktion nach Gl. (4.2.23) stellt eine transzendente Funktion dar. Durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation folgt unter Beachtung der Gin. (3.1.29) und (3.1.30) aus Gl. (4.2.23) direkt wiederum die Gl. (3.1.31b). Es sei hier noch erwahnt, dass eine andere Moglichkeit zur Beschreibung von Systemen mit verteilten Parametern darin besteht, dass die partiellen Differentialgleichungen des Systems einer Integraltransformation mit Hilfe der Greenschen Funktion unterzogen werden. Dabei kommt der Greenschen Funktion eine ganz analoge Bedeutung zu wie der Ubertragungsfunktion bei Systemen mit konzentrierten Parametern. Da im weiteren auf diese Beschreibungsform aus Raumgriinden nicht naher eingegangen werden kann, muss auf die Spezialliteratur [Gil73] verwiesen werden.
80
4.2.6
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
Die U b e r t r a g u n g s m a t r i x
Im allgemeinen Fall besitzt ein zeitinvariantes, lineares System mehrere Ein- und Ausgangsgrofien ui,U2,... ,Ur bzw. 2/1,2/2, •• • ,2/m- Man erhalt dann fiir die Beschreibung dieses Mehrgrofiensystems das Ubertragungsverhalten in der Form der Matrizengleichung
Yis)=Gis)Uis).
(4.2.24)
In dieser Beziehung stellen G(s) die Ubertragungsmatrix, U{s) und Y{s) die LaplaceTransformierten des Eingangs- oder Steuervektors u{t) bzw. des Ausgangs- oder Beobachtungsvektors y{t) dar. Die Ubertragungsmatrix G(s) beschreibt das Ubertragungsverhalten des Systems vollstandig. Beispiel 4.2.3 Fiir das in Bild 4.2.7 dargestellte MehrgroBensystem gelten die Beziehungen yi(s) = Gn(s)f/i(s) + Gi2(s)t/2(s) 12(S) = G2l(s) !7i(s) + G22(S) [/2(S), die sich leicht in die Matrizenschreibweise Y,{s) Y2{s)
Gii(s) G2l(s)
Gi2(s)' G22(S)
UM
oder
Y{s)^G{s)U{s) entsprechend Gl. (4.2.24) iiberfiihren lassen. ^
^11
\(
^21
•^12 ^2
^22
+'"
Bild 4.2.7. Ubertragungsverhalten eines Mehrgrofiensystems mit zwei Eingangsgrofien und zwei Ausgangsgrofien
4.2.7
Die komplexe G-Ebene
Die komplexe Ubertragungsfunktion G{s) beschreibt eine lokal konforme Abbildung der s-Ebene auf die G-Ebene. Wegen der bei dieser Abbildung gewahrleisteten Winkeltreue wird das orthogonale Netz achsenparalleler Geraden a = const und w = const
4.2 Die Ubertragungsfunktion
81
der s-Ebene in ein wiederum orthogonales, aber krummliniges Netz der G-Ebene - wie im Bild 4.2.8 dargestellt - abgebildet. Dabei bleibt „im unendlich Kleinen" auch die Mafistabstreue erhalten. I s-Ebene I i^ •u = const
V
a= const
const a= const\_"
Bild 4.2.8. Lokal konforme Abbildung der Geraden a = const und co = const der s-Ebene in die G-Ebene (verallgemeinerte Ortskurve)
Diese Abbildungseigenschaft soil nachfolgend am Beispiel der Ubertragungsfunktion 1. Ordnung K G(s) = (4.2.25) 1 + sT naher betrachtet werden. Fiir s = a + joj erhalt man aus Gl. (4.2.25) Gia+joj)
=
K l + aT+ jwT
K-
1 + aT - iwT (1 + (7T)2 + w^r^ •
Daraus folgt fiir den Real- und Imaginarteil von G{s) Re{G(s)} = K
1 + aT
(4.2.26a)
(1 + CTT)2 + a;2r2'
(4.2.26b) Fiir die Abbildung werden nun folgende beide Falle unterschieden: a) Abbildung der Geraden a — const Die Elimination von w aus den Gin. (4.2.26a) und (4.2.26b) liefert (4.2.27)
Re{G(s)}'
Gl. (4.2.27), in Gl. (4.2.26a) eingesetzt, ergibt nach einer einfachen Umformung Re{G(s)} -
K 2(1 + aT)
+ W{Gis)}
K 2(1 + aT)
n2
(4.2.28)
82
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich Diese Beziehung stellt fiir die Variablen Re{G(s)} und Im{G(s)} die Gleichung einer Kreisschar rait dem Parameter a dar. Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf der reellen Achse der G-Ebene bei ii'/[2(l + aT)], die Radien haben den Wert ii'/[2(l + crT)]. Damit gehen diese Kreise durch den Ursprung. Fiir w > 0, -ft' > 0 und T > 0 werden die Geraden a = const, wie Bild 4.2.9 zeigt, als Halbkreise in der unteren G-Ebene abgebildet. Die Halbkreise fiir a — const besitzen die w-Werte als Parameter. Die Kreise beginnen mit w = 0 auf der reellen G-Achse und enden fiir w -^ oo im Ursprung der G-Ebene. G-Ebene K a < 0 ,w = 0
/ Bje\a\4^
fiir w > 0
Bild 4.2.9. Konforme Abbildung der oberen s-Ebene {uj > 0) auf die G-Ebene fiir das Beispiel G{s) = K/{1 -f sT) Einen sehr wichtigen speziellen Fall stellt der Halbkreis mit dem Parameter a = 0 dar. Er reprasentiert die konforme Abbildung der positiven Imaginarachse der sEbene und wird als Ortskurve des Frequenzganges G(jw) des Systems bezeichnet. Dieser Halbkreis beginnt fiir w = 0 mit dem Wert K auf der positiven reellen Achse der G-Ebene; er besitzt fiir |Re{G(jw)}| = |Im{G(jw)}| die Frequenz to = OJE = 1/T, die auch als Eckfrequenz bezeichnet wird. Anhand von Gl. (4.2.28) ist leicht zu sehen, dass sich fiir cr > 0 die Radien der Halbkreise so lange verkleinern, bis sie schliefilich fiir u —>• oo den Wert Null annehmen und sorait der entsprechende Halbkreis mit dem Nullpunkt der G-Ebene zusammenfallt. Fiir CT < 0 hingegen wachsen die Radien an, und zwar so lange, bis fiir a = —1/T der Radius unendlich wird, und der so entartete Halbkreis mit der negativen Imaginarachse der G-Ebene zusammenfallt. Bei einer noch weiteren Verkleinerung der a-Werte wiirde man eine Verlagerung der Mittelpunkte der Halbkreise auf die negative reelle Achse der G-Ebene erhalten, wobei fiir cr —> oo die Radien wieder den Wert Null annehmen. • Abbildung der Geraden ui — const Wird Gl. (4.2.27) nach c7r = -
l-hwT
Re{G(s)} Im{G(s)}
(4.2.29)
aufgelost und in Gl. (4.2.26b) eingesetzt, dann erhalt man nach elementarer Umformung
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
83
Im{G(.)}
+
^
^
+ Re^{G(s)} =
r K 2OJT
(4.2.30)
Diese Beziehung stellt wiederum eine Kreisschar allerdings fiir den Parameter u dar, deren Mittelpunkte fiir w > 0 auf der negativen Imaginarachse bei —K/{2ioT) liegen und die, da die Radien den Wert K/{2OJT) besitzen, ebenfalls durch den NuUpunkt der G-Ebene gehen. Fiir to — 0 wird der Radius unendlich groi3, und der Kreis entartet zu einer Geraden, die mit der reellen Achse der G-Ebene zusammenfallt. Fiir w —>• oo schrumpft der Radius auf Null zusammen und der entsprechende Kreis geht in den Nullpunkt der G-Ebene iiber. Es ist leicht zu sehen, dass sich beide Kreisscharen entsprechend den Gin. (4.2.28) und (4.2.30) rechtwinkhg (orthogonal) schneiden. Die Ubertragungsfunktion G{s) = K/{l + sT) gehort zu einer speziellen Klasse von lokal konformen Abbildungen, den linearen Abbildungen. Eine Abbildung, beschrieben durch die Gleichung G{s) = {As+B)/{Cs+D), bildet die Kreise in der s-Ebene immer auf Kreise in der G-Ebene ab. Dabei werden Geraden als spezielle Kreise aufgefasst. Die Einfiihrung der komplexen G-Ebene hat fiir CT = 0 als Spezialfall von G{s) die Ortskurve des Frequenzganges G(ja;) geliefert. Die Systembeschreibung in Form des Frequenzganges G(jw) in der G-Ebene ist fiir praktische Anwendungen aufierordentlich bedeutsam, da der Frequenzgang eine direkt messbare Beschreibungsform eines Ubertragungssystems darstellt. Darauf wird in Abschnitt 4.3 noch ausfiihrlich eingegangen.
4.3 4.3.1
Die Frequenzgangdarstellung Definition
Wie bereits im Abschnitt 4.2.7 kurz erwahnt wurde, geht fiir CT = 0, also fiir den Spezialfall s — ]ui, die Ubertragungsfunktion G{s) iiber in den Frequenzgang G(ja;). Wahrend die Ubertragungsfunktion G{s) mehr eine abstrakte, nicht messbare Beschreibungsform zur mathematischen Behandlung linearer Systeme darstellt, kann der Frequenzgang GQui) unmittelbar physikalisch interpretiert und auch gemessen werden. Dazu wird zunachst der Frequenzgang als komplexe Grofie GQoj)=Rioj)+iIiuj)
(4.3.1)
mit dem Realteil R{u)) und dem Imaginarteil /(w) zweckmafiigerweise durch seinen Amplitudengang A{LJ) und seinen Phasengang (p{uj) in der Form G(jw) = A(w) ei-^^")
(4.3.2)
dargestellt. Denkt man sich nun das System durch die Eingangsgrofie Xe{t) sinusformig mit der Amplitude x^ und der Frequenz co erregt, also durch Xe{t) = Xesinojt,
(4.3.3)
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
84
dann wird bei einem linearen kontinuierlichen System die AusgangsgrolJe mit derselben Frequenz w, jedoch mit einer anderen Amplitude Xa und mit einer gewissen Phasenverschiebung v? = wi(^ ebenfalls sinusformige Schwingungen ausfiihren (Bild 4.3.1a). Zweckmafiigerweise stellt man beide Schwingungen Xeit) und Xa{t) auch in der Form zweier mit der Phasenverschiebung
Xa.it) = Xa Sin(wi + if).
x^ (t) — fg sin u)t
©
©
'^
a;a(*) = ^aSin(a)i-V')
Bild 4.3.1. Sinusformiges Eingangssignal Xeit) und zugehoriges Ausgangssignal a;a(i) eines linearen Ubertragungsgliedes (a) sowie Zeigerdarstellung beider Schwingungen (b) Fiihrt man dieses Experiment fiir verschiedene Prequenzen ujviv = 0,112,...) mit x^ = const durch, dann stellt man eine Frequenzabhangigkeit der Amplitude x^. des Ausgangssignals sowie der Phasenverschiebung ip fest, und somit gilt fiir die jeweilige Frequenz uj^ i&,v = x^ibJv)
und
(py =
Nun lasst sich aus dem Verhaltnis der Amplituden x^ und fa('^) der Amplitudengang des Frequenzganges A(c^) =
^
=
|G(ju;)|
-
^yR^w)+P{oj)
(4.3.5)
als frequenzabhangige Grofie definieren. Weiterhin wird die frequenzabhangige Phasenverschiebung fioj) als Phasengang des Frequenzganges bezeichnet. Es gilt somit (^(w) = argG(jw) = arctan
i?(w)'
(4.3.6)
wobei stets die Mehrdeutigkeit dieser Funktion entsprechend den Vorzeichen von R{u)) und I{uj) zu beachten ist.
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
85
Aus diesen Uberlegungen ist deutlich ersichtlich, dass durch Verwendung sinusformiger Eingangssignale a;e(t) unterschiedlicher Prequenz der Amplitudengang A{uj) und der Phasengang (p{Lu) des Prequenzganges G(jw) direkt gemessen werden konnen. Der gesamte Frequenzgang GQw) fiir alle Erequenzen von w = 0 bis a; ^ oo beschreibt ahnlich wie die Ubertragungsfunktion G{s) oder die Ubergangsfunktion h{t) das Ubertragungsverhalten eines linearen kontinuierlichen Systems voUstandig. Oft geniigen - wie spater noch gezeigt wird - auch nur Teilinformationen, z.B. nur die Kenntnis des Realteils R{oj) oder die Kenntnis des Betrages A{u!), um den voUstandigen Erequenzgang zu bestimmen. Zwischen der Darstellung eines linearen Systems im Zeit- und Erequenzbereich bestehen einige allgemeine einfache Zusammenhange. So gelten z.B. aufgrund der Anfangsund Endwertsatze der Laplace-Transformation die beiden wichtigen Beziehungen zwischen der Ubertragungsfunktion G{s) bzw. dem zugehorigen Erequenzgang G(jw) und der Ubergangsfunktion h{t): lim h{t) = lim sH{s) = lim G{s) = lim GQw),
(4.3.7a)
lim h{t) = lim siJ(s) = lim G(s) = lim G(jw),
(4.3.7b)
da H{s) = -G{s) ist. Voraussetzung fiir die Anwendung dieser Grenzwertsatze ist allerdings die Existenz der entsprechenden Grenzwerte im Zeitbereich (vgl. Abschnitt 4.1.3).
4.3.2
Ortskurvendarstellung des Frequenzganges
Tragt man bei dem oben behandelten Experiment fiir jeden Wert von uji, mit Hilfe von A{(jj,y) und (p{io,y) den jeweiligen Wert von G{]LO,)=A{u,)e^^^^"^ in die komplexe G-Ebene ein, so erhalt man die in w parametrisierte Ortskurve des Erequenzganges, manchmal auch als Nyquist-Ortskurve bezeichnet. Bild 4.3.2 zeigt eine solche aus acht Messwerten experimentell ermittelte Ortskurve. Mit Hilfe der Gin. (4.3.7a) und (4.3.7b) kann aus einer solchen experimentell ermittelten Ortskurve der Verlauf der Ubergangsfunktion h{t) grob abgeschatzt werden (Bild 4.3.3). Allerdings kann auch jederzeit bei Kenntnis der analytischen Form von GQUJ) iiber G{s) mit Hilfe der Beziehung h{t)=^-^ l.-G{s)}
(4.3.8)
die Ubergangsfunktion mathematisch bestimmt werden. Die Ortskurvendarstellung von Erequenzgangen hat u.a. den Vorteil, dass die Erequenzgange sowohl von hintereinander als auch von parallel geschalteten Ubertragungsgliedern sehr einfach grafisch konstruiert werden konnen. Dabei werden die zu gleichen w-Werten gehorenden Zeiger der betreffenden Ortskurven herausgesucht. Bei der Parallelschaltung
86
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
Bild 4.3.2. Beispiel fiir eine experimentell ermittelte Prequenzgangortskurve
Bild 4.3.3. Zusammenhang zwischen den Anfangs- und Endwerten des Frequenzganges und der Ubergangsfunktion h{t) eines Ubertragungsgliedes
GQLO)
werden die Zeiger vektoriell addiert (Parallelogrammkonstruktion); bei der Hintereinanderschaltung werden die Zeiger vektoriell multipliziert, indem die Langen der Zeiger multipliziert und ihre Winkel addiert werden (Bild 4.3.4).
4.3.3
Darstellung des Frequenzganges durch Frequenzkennlinien (Bode-Diagramm)
Tragt man den Betrag A{uj) und die Phase (^(w) des Frequenzganges GQoj) — A(iJ) ^'^^'^^ getrennt liber der Frequenz w gemaB Bild 4.3.5 auf, so erhalt man den Amplitudengang oder die Betragskennlinie sowie den Phasengang oder die Phasenkennlinie des Ubertragungsgliedes. Beide zusammen ergeben die Frequenzkennlinien-Darstellung. A{uj) und to werden dabei zweckmafiigerweise logarithmisch und ip^to) linear aufgetragen. Diese Darstellung wird als Bode-Diagramm bezeichnet. Es ist iiblich, A{u>) in Dezibel [dB] anzugeben. Laut Definition gilt A{uj)dB=20\gAiu)
[dB].
(4.3.9)
4.3 Die Prequenzgangdarstellung
T,
• G.Qoj)
1
87
"+^a
X
1
•
G^O^)
G.iiuj)
GMiv)
X
"+
®
jIm[G]
jIra[G]
GAi^)
GJiw) Re[G]
GA3uj) + G^0u;) Bild 4.3.4.
1
GAiuj)-G^{iiu)
Addition (a) und Multiplikation (b) von Prequenzgangortskurven
Die Umrechnung von A{oj) in die logarithmische Form j4(w)dB kann direkt aus Bild 4.3.6 entnommen werden. Das logarithmische Amplitudenmafi A{u)dB besitzt somit eine lineare Zahlenskala. Aiu) 30-
Bild 4.3.5. Darstellung eines Prequenzganges durch Prequenzkennlinien: (a) lineare, (b) logarithmische Darstellung (Bode-Diagramm)
Die logarithmische Darstellung bietet besondere Vorteile bei der Hintereinanderschaltung von Ubertragungsgliedern, zumal sich kompliziertere Frequenzgange, wie sie beispielsweise aus .(s-SNi)
G{s) = K
•••
( S - S N „ )
( s - s p j ... ( s - s p „ )
(4.3.10)
mit s = jw hervorgehen, als Hintereinanderschaltung der Frequenzgange einfacher Ubertragungsglieder der Form
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
0,010,020,04 0,1 0,2 0,4
1
2
4
10 A{uj)
Bild 4.3.6. Umrechnung von A{LJ) in A{uj)dB [Dezibel]
K = const fiir i = 0 (jw — SNi) fiir i = 1,2,... ,m
GiiiLo) =
(4.3.11a)
und Giiico) =
fiir
i = m + l,m + 2,... ,m + n
jw - sp^
(4.3.11b)
V = 1,2,... ,n darstellen lassen. Es gilt dann G(ja;) = KGiiJuj) . ..Gm+n{i(^),
(4.3.12)
wobei Giiico) = Aiiui) (^'Pii'^)
fiir 2 = 1 , . . . ,m + n
ist. Aus der Darstellung Giiio)
= KA,{C0) A2iLu)
. . . Am+nico) ^^'^^i'^^ + '^^^'^^ + M^) + • • • + ^m+n{oj)]
(4.3.13) bzw. A{oj) = \K\ \Gi{ioj)\ |C?2(ja;)| . . . |G'™+„(jw)| = \K\Aiiu)A^ico) ...Am+n{^) erhalt man den logarithmischen Amplitudengang A{uj)dB = 20\g[\K\A,iuj)A2{uj) . . . A„+„(w)]
(4.3.14)
= | K | d B ^ l ( w ) d B + ^2(w)dB + • • • + Am+„(u;)dB
und den Phasengang ip{uj) = (fioioj) + Vlioj) + 1/32 (w) + . . . + 99m+„(w),
wobei ipo{uj) = 0° fur JC > 0 und (po(w) = -180° fiir K <0.
(4.3.15)
4.3 Die Prequenzgangdarstellung
89
Der Gesamtfrequenzgang einer Hintereinanderschaltung folgt somit durch Addition der einzelnen Prequenzkennlinien. Die logarithmische Darstellung des Prequenzganges besitzt aufier den hier bei der Hintereinanderschaltung gezeigten Vorteilen noch weitere. So lasst sich z.B. die Inversion eines Frequenzgangs, also l/GQw) = G~^(jw) in einfacher Weise darstellen. Da 20Ig [\G{iuj)\-'] = -20Ig |G(jw)| = -20\gA{oj) und arg[G-i (jw)] = - arg[G(ja;)]
(4.3.16)
gilt, miissen nur die Kurvenverlaufe von A{uj) und if{u)) an den Achsen 201gA = 0 (0-dB-Linie) und (/? = 0° gespiegelt werden. Wegen der gewahlten doppellogarithmischen bzw. einfachlogarithmischen Mafistabe fiir A{u>) bzw.
4.3.4
Die Zusammenstellung der wichtigsten Ubertragungsglieder
Nachfolgend werden fiir die wichtigsten Ubertragungsglieder die Ubertragungsfunktion G{s), der Prequenzgang G(jw), die Ortskurve des Frequenzganges und das Bode-Diagramm abgeleitet.
4-3.4-1
Das proportional wirkende
Ubertragungsglied
(P-Glied)
Das P-Glied beschreibt einen rein proportionalen Zusammenhang zwischen der Ein- und AusgangsgroBe: Xe,{t) = KXeit), (4.3.17) wobei K eine beliebige positive oder negative Konstante darstellt. K wird auch als Ubertragungsbeiwert oder Verstarkungsfaktor des P-Gliedes bezeichnet. Die Ubertragungsfunktion lautet fiir dieses System G{s) = K.
(4.3.18a)
G(jw) = K
(4.3.18b)
Die Ortskurve des Prequenzganges
stellt damit fiir samtliche Prequenzen einen Punkt auf der reellen Achse mit dem Abstand K vom Nullpunkt dar, d.h. der Phasengang (p(w) ist Null fiir iiT > 0 oder —180° fiir K
90
4-3.4-2
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
Das
integrierende
Ubertragungsglied
(I-Glied)
Das dynamische Verhalten dieses Ubertragungsgliedes wird im Zeitbereich durch die Beziehung t
a^aW = ^ /"a;e(r)dr + a;a(0)
(4.3.19)
0
beschrieben, wobei Xe{t) und x^{t) die Ein- bzw. Ausgangsgrofie und Ti eine Konstante der Dimension „Zeit" (Zeitkonstante) darstellen. Dieses Ubertragungsglied fiihrt eine Integration der Eingangsgrofie durch. Deshalb heifit dieses System Integral-Glied oder kurz I-Glied. Setzt man a;a(0) = 0, so erhalt man durch Laplace-Transformation von Gl. (4.3.19) die Ubertragungsfunktion des I-Gliedes G{s) = s
I
(4.3.20)
und mit s = jw ergibt sich der Frequenzgang 1
. 7T
(4.3.21)
p •^ 2 ,
^0") = j Jr. = woraus als Amplituden- und Phasengang M^) = -rpr und
(fiiuj) = -
TT
folgen. Fiir den logarithmischen Amplitudengang erhalt man dann ^(a;)dB = + 2 0 1 g ^ = -201ga;Ti.
(4.3.22)
Die grafische Darstellung der Gl. (4.3.22) liefert im Bode-Diagramm, Bild 4.3.7a, eine Gerade mit der Steigung - 20 dB/Dekade. Der Phasengang ist frequenzunabhangig. Die Ortskurve des Frequenzganges
G'(j^) = - j - V U) ll
fallt, wie man leicht aus Bild 4.3.7b sieht, mit der negativen Imaginarachse zusammen.
4-3.4-3
Das
differenzierende
Ubertragungsglied
(D-Glied)
Als Zusammenhang zwischen der Eingangsgrofie x^it) und der Ausgangsgrofie Xs.{t) erhalt man bei dem D-Glied xM=Tj,^Xe{t). (4.3.23) at Dieses Ubertragungsglied fiihrt eine Differentiation der Eingangsgrofie x^{t) durch und heifit deshalb differenzierendes Glied oder kurz D-Glied. Die zugehorige Ubertragungsfunktion lautet offensichtlich G{s) = sTj,, (4.3.24)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
91 jIm[G]
©
i I w —> oo Re[G^]
V
Bild 4.3.7. (a) Amplituden- und Phasengang sowie (b) Ortskurve des Prequenzganges fiir das I-Glied
und mit s = jw folgt als Prequenzgang G(j6j) = j a ; r D = w r D e i 2 ,
(4.3.25)
woraus sich der logarithmische Amplitudengang A(a;)dB = 201gwT
(4.3.26)
<^(w) = -
(4.3.27)
und der Phasengang
ergeben. Es ist leicht ersichtlich, dass I- und D-Glied durch Inversion ineinander iibergehen. Daher k5nnen - entsprechend den einleitenden Bemerkungen - die Kurvenverlaufe fiir den Amplituden- und Phasengang des D-Gliedes durch Spiegelung der entsprechenden Kurvenverlaufe des I-Gliedes an der 0-dB-Linie bzw. an der Linie <^ = 0 gewonnen werden, was natiirlich auch direkt schon aus den Gin. (4.3.26) und (4.3.27) hervorgeht. Bild 4.3.8 zeigt den grafischen Verlauf von Amplituden- und Phasengang im Bode-Diagramm sowie die Ortskurve des Prequenzganges des D-Gliedes. Die Steigung der Geraden A{LS) betragt + 20 dB /Dekade. Der Phasengang ist wiederum frequenzunabhangig. Das hier beschriebene D-Glied stellt - wie bereits im Abschnitt 4.2.1 erwahnt - ein ideales und damit physikalisch nicht realisierbares Ubertragungsglied dar. Fiir praktische Anwendungen wird das D-Glied durch das im Abschnitt 4.3.4.6 behandelte DTi-Glied angenahert, sofern Ts << 1 gilt.
4'3.4-4
Das Verzogerungsglied 1. Ordnung (PTi-Glied)
Als Verz5gerungsglied 1. Ordnung oder kurz PTi-Glied bezeichnet man Ubertragungsglieder, deren Ausgangsgrofie a;a(i) nach einer sprungformigen Anderung der EingangsgroJJe x^{t) exponentiell mit einer bestimmten Anfangssteigerung asymptotisch gegen einen Endwert strebt. Ein Beispiel fiir ein solches Glied ist der einfache i?(7-Tiefpass gemafi Bild 4.3.9. Wird zur Zeit i = 0 am Eingang z.B. die Spannung u^ = 2V angelegt,
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
92
® jIm[Gl i , W —>• O O
Re[G']
LO = Q
Bild 4.3.8. (a) Amplituden- und Phasengang sowie (b) Ortskurve des Prequenzganges fiir das D-Glied
dann wird die Spannung Ua am Ausgang exponentiell mit der Zeitkonstanten T = RC asymptotisch gegen den Wert Ua — 2V streben. ^e
e
R
%=o
1 1
U
=G
e^ '
T O
= X (t)
T —O
11
Bild 4.3.9. Einfacher iiC-Tiefpass als Beispiel fiir ein Verzogerungsglied 1. Ordnung Dieses Verhalten, das als Verzogerung 1. Ordnung definiert wird, ist bedingt durch die Aufladung des Kondensators, der hier die Funktion eines Energiespeichers (ibernimmt. Wie sich leicht nachvoUziehen lasst, lautet die Differentialgleichung fiir diesen i?C-Tiefpass ara(*) + -RCiaW = Xeit).
(4.3.28)
Verallgemeinert erhalt man als Differentialgleichung eines PTi-Gliedes Xe^it) + T Xe.it) = KxS)-
(4.3.29)
Setzt man a;a(0) = 0, so folgt durch Laplace-Transformation als tJbertragungsfunktion
''<" = T
^
(4.3.30a)
und daraus mit s = jw der Frequenzgang G(jw) = K
l+jwT"
(4.3.30b)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
93
Mit der sogenannten Eckfrequenz LO^ = — erhalt man 1 G{]uj)=K
1-J — - ^ .
^=K
-^
(4.3.31)
^+u
Als Amplitudengang ergibt sich A{uj) = \G{iuj)\ = K
^
(4.3.32)
fW und als Phasengang ipiu}) = arctan -=—^ = — arctan —. R{U!)
(4.3.33)
We
Aus Gl. (4.3.32) lasst sich der logarithmische Amplitudengang
A(a;)dB = 20 Ig is: - 20 Ig J'^+(^)
(4-3-34)
herleiten. Gl. (4.3.34) kann asymptotisch durch Geraden approximiert werden, und zwar fur: a) — << 1 durch We
A{u))dB !^20lgK = KdB
{Anfangsasymptote),
wobei
^(w)dB « 20 Ig JtT - 20 Ig —
(Endasymptote),
We
wobei Vj(w)w--
gilt. Im Bode-Diagramm kann A(w)dB somit durch zwei Geraden angenahert werden. Der Verlauf der Anfangsasymptote ist horizontal, wahrend die Endasymptote eine Steigung von - 20 dB/Dekade aufweist. Der Schnittpunkt beider Geraden ergibt sich aus der Beziehung 201gii' = 201giC-201g — We
94
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
und liefert die Prequenz (jj = Wfi.
Daher wird w = We als Eck- oder Knickfrequenz bezeichnet. Wie leicht aus Bild 4.3.10a zu entnehmen ist, hat der exakte Verlauf von A(w)dB fur die Eckfrequenz We seine grofite Abweichung von den Asymptoten. Als exakte Werte erhalt man 1 A(We) = K-j^
und
TT (/^(We) = - - .
Somit betragt die Abweichung des Amplitudenganges von den Asymptoten fiir oj — uj^. AA(a;e)dB = -201gv/2dB?« - 3 d B .
3dB Asymptoten 20dB/Dekade
jImfG]
® Bild 4.3.10. (a) Amplituden- und Phasengang sowie (b) Ortskurve des Prequenzganges des PTi-Gliedes Die Abweichungen fiir andere Prequenzen liegen im logarithmischen Mafistab symmetrisch zur Knickfrequenz, wie aus Tabelle 4.3.1 direkt zu ersehen ist. Damit ist eine sehr einfache Konstruktion des Amplitudenganges im Bode-Diagramm moglich. Eine ahnlich einfache Konstruktion des Phasenganges ist nicht moglich, allerdings lasst sich der Phasengang grob durch eine Treppenkurve annahern. Wie bereits im Abschnitt 4.2.7 ausgefiihrt wurde, ergibt die Ortskurve des Prequenzganges des PTi-Gliedes einen Halbkreis, der fiir w = 0 mit dem Wert K auf der positiven reellen Achse der G-Ebene beginnt und fiir w —>• oo im Koordinatenursprung endet (vgl. Bild 4.3.10b). Die konstante GroiJe T — 1/we in der Ubertragungsfunktion bzw. im Prequenzgang wird gewohnlich als Zeitkonstante des PTi-Gliedes bezeichnet; sie ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Anfangssteigung der Ubergangsfunktion h{t) mit dem asymptotischen Endwert h{oo). Diese Zeitkonstante kann auch physikalisch interpretiert werden; sie stellt, wie Bild 4.3.11 zeigt, die Zeit dar, bis zu der die Ubergangsfunktion ca. 63 % des Endwertes h{oo) erreicht hat. Die Grofie K wird - ahnlich wie beim P-Glied - als Verstarkungsfaktor des PTi-Gliedes bezeichnet. Er ist als Wert des Prequenzganges fiir u) = 0 definiert.
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
95
Tabelle 4.3.1 Amplituden- und Phasengang sowie Abweichung AA(u}) des Amplitudenganges von den Asymptoten eines PTi-Gliedes mit K — 1
^(w)dB
We
0,03 0,1 0,25 1,0 4,0 10,0 30,0
0 -0,04 -0,26 -3 -12 -20 -30
(^(w)
AA(w)dB
- 2° -6° - 14° -45° -76° -84° -88°
0 -0,04 -0,26 -3,0 -0,26 -0,04 0
h{t) h(oo) 0,63 • /i(oo> 0 0
T
t
Bild 4.3.11. Graiischer Verlauf der Ubergangsfunktion h{t) eines PTi-Gliedes
4-3.4-5
Das proportional-differenzierend gungsglied (PD-Glied)
wirkende
Ubertra-
Das PD-Glied weist sowohl proportionales als auch differenzierendes Ubertragungsverhalten auf. Es wird durch die Ubertragungsfunktion G{s) =K{l + sT)
(4.3.35a)
beschrieben. Abgesehen vom Verstarkungsfaktor K stellt dieses d i e d das zum PTiGlied inverse Glied dar. Fiir K = I erhalt man daher den Verlauf des logarithmischen Amplitudenganges sowie des Phasenganges durch entsprechende Spiegelung an der 0-dBAchse bzw. an der Linie (p{u]) = 0. Die Ortskurve G{iuj)=K{l+iajT)
(4.3.35b)
stellt eine Halbgerade dar, die fiir w = 0 auf der reellen Achse bei K beginnt und dann fiir anwachsende w-Werte parallel zur imaginaren Achse verlauft.
4.3.4.6
Das
Vorhalteglied
(DTi-Glied)
Als Vorhalteghed bezeichnet man Ubertragungsglieder, deren Ausgangsgroi3e Xa{t) bei einer sprungformigen Eingangsgr6i5e zunachst sprungartig ansteigt und dann exponentiell
96
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
mit einer charakteristischen Zeitkonstante gegen Null lauft. Als Beispiel fiir ein solches d i e d zeigt Bild 4.3.12 einen einfachen jR(7-Hochpass. C
K =0
X (t) = u
U
R
= X (t)
Bild 4.3.12. Einfacher iJC-Hochpafi als Beispiel fiir ein DTi-Glied Die Differentialgleichung fiir diese Schaltung lautet , d ( U e - Wa) _ Wa
c-
R
dt
bzw. umgeformt at
R
Durch Anwendung der Laplace-Transformation ergibt sich daraus die Ubertragungsfunktion '^^^^
[/a(s) _ Ue{s)
RCs 1+RCs'
(4.3.36)
Die Ubertragungsfunktion eines allgemeinen DTi-Gliedes ist durch G{s) = K-
Ts
(4.3.37)
l+Ts
definiert. Zur Konstruktion des Bode-Diagramms geht man von dem Prequenzgang G(ja;) = K
(4.3.38)
l+jwT
aus. Mit uj^ = — erhalt man
We l + j i i
f:^^ W,
We
+ j 2•
W
1-h
Aus dieser Beziehung folgt fiir den Amplitudengang
A(a;) = |G(ja;)| =^K
L ^ ^ 'H-
bzw. in logarithmischer Form
to
(4.3.39)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
97
(4.3.40)
A{uj)^B = 201g ^ + 201gif - 201g-i/l + ( 10f.
V
\ Wo
Als Phasengang ergibt sich nach einfacher Zwischenrechnung 2
<^(w)
TT
UJ
(4.3.41)
-r — arctan — 2 Ue
Der Vergleich von Gl. (4.3.40) mit den Gin. (4.3.34) und (4.3.36) zeigt, dass sich der logarithmische Amplitudengang des DTi-Gliedes aus der Addition der entsprechenden Kurven des PTi-Gliedes und D-Ghedes ergibt. Dasselbe gilt fiir den Phasengang (/?(w). Damit lasst sich gemafi Bild 4.3.13 fiir das DTi-Ghed der Verlauf des Amplitudenganges, des Phasenganges sowie der Ortskurve einfach konstruieren. Asymptoten SdBl
1
jIm[G/ 'a; =
© 1
UJ = Q
Y^W —s- OO K Re[G]
Bild 4.3.13. (a) Amplituden- und Phasengang sowie (b) Ortskurve des Prequenzganges des DTi-Gliedes Als Ubergangsfunktion h{t) ergibt sich der im Bild 4.3.14 dargestellte Verlauf. Der Verlauf von h{t) lasst sich anhand der Gin. (4.3.7a) und (4.3.7b) grob aus dem Verlauf der Prequenzgangortskurve abschatzen.
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
98
0
T
t
Bild 4.3.14. Grafischer Verlauf der Ubergangsfunktion h{t) eines DTi-Gliedes
4-3.4-7
Das Glied)
Verzogerungsglied 2.
Ordnung
(PT2-died und PT2S-
Das Verzogerungsglied 2. Ordnung ist gekennzeichnet durch zwei voneinander unabhangige Energiespeicher. Je nach den Dampfungseigenschaften bzw. der Lage der Pole von G{s) unterscheidet man beim Verzogerungsglied 2. Ordnung zwischen schwingendem und aperiodischem Verhalten. Besitzt ein Verzogerungsglied 2. Ordnung ein konjugiert komplexes Polpaar, dann weist es schwingendes Verhalten (PT2S-Verhalten) auf. Liegen die beiden Pole auf der negativen reellen Achse, so besitzt das Ubertragungsglied ein verzogerndes PT2-Verhalten. Als Beispiel eines Verzogerungsgliedes 2. Ordnung sei zunachst das im Bild 4.3.15 dargestellte -RLC-Netzwerk betrachtet. Aus der Maschengleichung • r. ,- die leR + L-— +Ua at
ergibt sich mit
(4.3.42)
dt die das Netzwerk beschreibende Differentialgleichung CpUa LC d^2
RC--^+u,it)=u,{t). at
(4.3.43)
Die zugehorige Ubertragungsfunktion lautet somit
Gis)
U.{s) _ Ue{s)
1 1 + RCs + LCs^'
(4.3.44)
Fiir die allgemeine Beschreibung eines Verzogerungsgliedes 2. Ordnung wahlt man als Ubertragungsfunktion
Fiihrt man nun Begriffe ein, die das Zeitverhalten charakterisieren, und zwar den Dampfungsgrad
D = Y^^
(4.3.46)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
99 «a-0
i
-^ L
^ R
\(t) = xj,t)
=C
\{t) = x^{t)
1
T o
0
1)
Bild 4.3.15. Einfaches iiLC-Netzwerk als Beispiel fiir ein Verzogerungsglied 2. Ordnung
sowie die Eigenfrequenz (der nicht gedampften Schwingung) Wo
(4.3.47)
n
so erhalt man aus Gl. (4.3.45) G{s) =
K .
1 +
2£)
K Nis)-
1 2
S+
-T^S^ Wg
Wo
(4.3.48)
Fiir s = jw folgt daraus als Frequenzgang
Giioj) =
-i2D
woy
K
U)
Wo
(4.3.49)
K
Wo
Wg
2D w
' - ( -
Wo
V'^0 Somit lautet der zugehorige Amplitudengang A(w) =
K
,
(4.3.50) 2D w
Wo
WQ
und der Phasengang
w 2D — WQ
(/5(w) = — arctan •
(4.3.51)
2' >Wo
wobei allerdings die Mehrdeutigkeit der arctan-Funktion zu beachten ist. Fiir den logarithmischen Amplitudengang ergibt sich aus Gl. (4.3.50) 2i2
A(w)dB=201gJs:-201g-
l - ( ^ Wo
+ I 2D^) . Wo/
Der Verlauf von A{ui)dB lasst sich durch folgende Asymptoten approximieren:
(4.3.52)
100
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
a) Fiir — << 1 durch Wo
^(w)dB ~ SOlgK
(Anfangsasymptote),
mit ip{uj) « 0.
b) Fiir — >> 1 durch Wo
A{Lo)dB « 20 Ig iiT - 20 Ig ( — )
« 20 Ig K - 40 Ig ( — )
(Endasymptote),
mit ip{ui) « —TT.
Die Endasymptote stellt im Bode-Diagramm eine Gerade mit der Steigung - 40 dB/Dekade dar. Als Schnittpunkt beider Asymptoten folgt aus 201gii: = 201giV' - 40 Ig ( — j die auf Wo normierte Kreisfrequenz
OJ/UIQ
= 1.
Der tatsachliche Wert von A{u})dB kann bei ui = COQ betrachtlich vom Asymptotenschnittpunkt abweichen, denn er ist gemafi Gl. (4.3.50) A(wo)dB = 201gJf-201g2D. Fiir D < 0,5 liegt der Wert oberhalb, fiir D > 0,5 unterhalb der Asymptoten. Bild 4.3.16 zeigt fiir 0 < I? < 2,5 und K = 1 den Verlauf von A{oj)dB und ifiioj) im Bode-Diagramm. Diese Darstellung enthalt die spater naher beschriebenen Falle fiir das PT2S- und das PT2-Verhalten eines Verzogerungsgliedes 2. Ordnung. Aus Bild 4.3.16 ist ersichtlich, dass beim Amplitudengang ab einem bestimmten Dampfungsgrad D fiir die einzelnen Kurvenverlaufe jeweils ein Maximalwert existiert. Dieser Maximalwert tritt fiir die einzelnen D-Werte bei der sogenannten Resonanzfrequenz uj^ auf. Aus Gl. (4.3.50) lasst sich der Maximalwert des Amplitudenganges ^(w)rnax = ^(^r) sowic die Resonanzfrequcnz oj^ einfach ermitteln. A(u)) wird maximal, wenn der Radikand im Nenner der Gl. (4.3.50), also 2
a(uj) = 1 -
2
/ U!
-
oJoJ
ein Minimum wird. Nullsetzen der ersten Ableitung liefert fiir w = Wr da(w) dw
2
0 = - l + ( ^ V +2D\
Daraus ergibt sich die Resonanzfrequenz
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
101
I
50 40
1 11 1 1
30 20
(
^^
1 + 2DJ'^ + UJ^
^
dB
1
1
,D= 0,005 ^=- 0,05 >= (1 19f^),25 ^ (3,5 ^ ^
n
10
L,U
0 ^
-10
L,5 i,0 I5
-20 -30 -40 0,1
0,2
0,3 0,4
0,6 0,8 1
6
>8 10 i l
0
D = 0,005= 0,05 = 0,125
-180° 0,1
0,2
0,3 0,4
0,6 0,8 1
Bild 4.3.16. Bode-Diagramm eines Verzogerungsgliedes 2. Ordnung {K = 1)
Jr = Wo\/l-2£»2
fiir D < ^
(4.3.53)
sowie der Maximalwert des Amplitudenganges fiir iiT = 1 zu ^ ( w ) m a x = >i(Wr)
1 2DV1 - £>2 •
(4.3.54)
Aus Gl. (4.3.53) folgt, dass ein Maximum nur fur (1 - 2D'^) > 0 bzw. D < 1/V^ existiert. Fiir D = l / \ / 2 = 0,707 wird Wr = 0 und A{ujr) = 1 bzw. A(wr)dB = 0, und fiir D = 0 wird Wr = Wo und A{u!r) = oo. Bild 4.3.17 zeigt noch die Prequenzgangortskurve eines Ubertragungsgliedes 2. Ordnung. Aus Gl. (4.3.49) folgt, dass fiir oj = WQ der Realteil von G(jw), also R{cuo) = 0 wird. Somit schneidet bei to = LJQ die Ortskurve die imaginare Achse, wie aus Bild 4.3.17 ersichtlich ist.
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
102
-jIm[G]
"jIm[G] a; —> oo u! = 0
Ul -
t
/ (
\ Re[G]'
d
©
Bild 4.3.17. Ortskurve des Prequenzganges eines Verzogerungsgliedes 2. Ordnung, (a) PT2Glied, (b) PTzS-Glied
Das dynamische Eigenverhalten eines Ubertragungsghedes wird nach Gl. (4.2.11) durch die Wurzeln der charakteristischen Gleichung bzw. durch die Pole der Ubertragungsfunktion bestimmt. Aus der charakteristischen Gleichung des Verzogerungsgliedes 2. Ordnung P{s) = N{s) = 1 +
2D
1
-s + -^s"- = 0
(4.3.55)
erhalt man somit als Pole der Ubertragungsfunktion, Gl. (4.3.48), si,2
=
-OJQD ± Wo V-D^
(4.3.56)
- 1-
In Abhangigkeit von der Lage der Pole in der s-Ebene lasst sich nun anschaulich das Schwingungsverhalten eines Verzogerungsgliedes 2. Ordnung beschreiben. Dazu wahlt man zweckmafiigerweise den Verlauf der zugehorigen Ubergangsfunktion h{t). Tabelle 4.3.2 zeigt in Abhangigkeit von D die Lage der Pole der Ubertragungsfunktion und die dazugehorigen Ubergangsfunktionen des Systems. Die dabei auftretenden Falle werden nun nachfolgend naher diskutiert. a) Fall I: 0 < D < 1 (schwingendes Verhalten: PTiS-Glied) Gl. (4.3.56) liefert fiir diesen Fall ein konjugiert komplexes Polpaar si,2 = -wo-D ± j w o v l - D ^ .
(4.3.57)
Die zugehorige Ubergangsfunktion erhalt man aus H{s) =
K
1
(4.3.58)
l + 2^s^Xs'' Wo
w^
bzw. KOJI
^(^) = ? r r — r (4.3.59) {s - si) [s - S2) s durch Partialbruchzerlegung und anschliefiende Laplace-Riicktransformation fiir <> 0 zu
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
103
Tabelle 4.3.2 Lage der Pole in der s-Ebene und Ubergangsfunktion fiir Ubertragungsglieder mit der Ubertragungsfunktion G(s) = 1/ [l + s2D/wo + (s/wo)^] Dampfung
Lage der Pole
Ubergangsfunktion /?,(i)
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
104
hit) =^Kil~ 6"'"°-^
cos ( w o \ / l - - D 2 ^ ) +
^
sin (cooVl - D'^tj
\ a{t).
(4.3.60) Das Abklingen des Schwingungsverlaufes wird durch die Gr5fie TA = l/{uJoD) beschrieben, daher wird TA auch als Abklingzeitkonstante bezeichnet. Aus der Lage der Polstellen Si und S2 von G{s) lasst sich diese Grofie direkt ablesen. Als relative Dampfung der Schwingung bezeichnet m a n das Verhaltnis Re(si) P =
fiir i — 1 oder 2,
Im(si)
oder
D Vl-£'2
t a n If a.
(4.3.61)
Wird also ein bestimmter D-Wert vorgeschrieben, dann werden durch die GroBe p zwei unter dem Winkel cpd gegen die imaginare Achse geneigte Geraden in der s-Ebene festgelegt. Uragekehrt kann aus dem Verlauf der gedampften Schwingung von h{t), die die gedampfte natiirliche Kreisfrequenz Wd = W o v l - D^ <
(4.3.62)
Wo
besitzt, mit Gl. (4.3.60) das Amplitudenverhaltnis zweier aufeinanderfolgender Halbwellen h 1 n+ VI - D^ gebildet und daraus die Dampfung In(4.3.63)
D lTr^ + In ermittelt werden. b)
Fall 2: D = 1 (aperiodisches Grenzverhalten: PT2-Glied) Aus Gl. (4.3.56) ergibt sich im vorliegenden Fall fiir die beiden Pole von G{s) Sl,2 = - W o -
Es liegt also eine doppelte Polstelle auf der negativen reellen Achse vor. Definiert m a n als Zeitkonstante T = — > 0, Wo
so erhalt m a n als Ubertragungsfunktion G{s)
K
ii + Ts)ii + TTy
^'-'-''^
die eine Hintereinanderschaltung zweier Verzogerungsglieder 1. Ordnung mit derselben Zeitkonstanten beschreibt. Als Ubergangsfunktion folgt aus Gl. (4.3.60) mit D = 1 nach kurzer Zwischenrechnung h{t) =K[l- e ' * " ° ( l + ujot)] ait),
t > 0.
(4.3.65)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
105
c) Fall 3: D > 1 (aperiodisches Verhalten: PT2-GUed) In diesem Fall ergeben sich aus Gl. (4.3.56) zwei negative reelle Pole von G{s) Si,2 =
-LOQD
± uJoy'D^ - 1.
Definiert man als Zeitkonstanten Ti =
und
T2 =
Sl
, S2
so erhalt man fiir die zugehorige Ubertragungsfunktion:
Hierbei handelt es sich ebenfalls um eine Hintereinanderschaltung zweier PTiGlieder, allerdings mit unterschiedlichen Zeitkonstanten. Auch dieses Ubertragungsglied zeigt PT2-Verhalten. Bei der Berechnung der Ubergangsfunktion h{t) nach Gl. (4.3.60) werden im vorliegenden Fall die Argumente der beiden Kreisfunktionen komplex. Uber den Zusammenhang dieser Kreisfunktionen mit den Hyperbelfunktionen cosja; = cosh a; und sinjx = j sinhx erhalt man dann im vorliegenden Fall direkt anhand von Gl. (4.3.60) fiir t > 0 als Ubergangsfunktion h{t)
= K I I -
e-*'^°-°
cosh
(LOOVD'^
- 1*) +
^
sinh (woV^D^ - l i )
| ait).
(4.3.67) d) Fall 4: D = 0 (ungedampftes Verhalten: schwingendes Glied) Aus Gl. (4.3.56) folgt fiir diesen Fall ein rein imaginares Polpaar von G{s) bei Sl,2 = ±JW0Mit Gl. (4.3.48) und D = 0 erhalt man die Ubertragungsfunktion Gis) =
\
= K^^.
(4.3.68)
Als Ubergangsfunktion h{t) ergibt sich aus Gl. (4.3.60) eine ungedampfte Dauerschwingung h{t) = K{1 - cosuJot) ait) (4.3.69) mit der Frequenz WQ. Der Parameter UJQ wird daher gewohnlich als Frequenz der ungedampften Eigenschwingung oder kurz als Eigenfrequenz bezeichnet. e) Fall 5: D < 0 (instabiles Glied) Im vorliegenden Fall liegen die beiden Pole von G{s) in der rechten s-Halbebene. Sie konnen rein reell oder konjugiert komplex sein:
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
106
si,2 = Wo \D\ ± W O \ / D 2 - 1
(4.3.70)
Gl. (4.3.60) gilt auch fiir diesen Fall, allerdings enthalt nun der Exponentialterm das positive Vorzeichen, so dass der Schwingungsvorgang nicht mehr abklingt, sondern sich vielmehr aufschaukelt, d.h. die Amplitudenwerte der Halbschwingungen von h{t) werden betragsmafiig exponentiell mit zunehmender Zeit anwachsen. Ein derartiger Vorgang, bei dem h{t) fiir i —> oo iiber alle Grenzen anwachst, wird als instabil definiert.
4.3.4-8
Weitere
Ubertragungsglieder
Obwohl in den vorhergehenden Abschnitten die wichtigsten Standardiibertragungsglieder bereits besprochen wurden, die zur Konstruktion auch komplizierterer Bode-Diagramme vollig ausreichen, sei nachfolgend noch auf weitere Standardiibertragungsglieder der Regelungstechnik hingewiesen, die in Tabelle 4.3.3 zusammengestellt sind. Diese Aufstellung enthalt auch Beispiele fiir die praktische Realisierung dieser Glieder.
4.3.4.9
Bandbreite
eines
Ubertragungsgliedes
Einen wichtigen Begriff, der bisher noch nicht definiert wurde, stellt die Bandbreite eines Ubertragungsgliedes dar. Verzogerungsglieder mit Proportionalverhalten, wis z.B. P T i , P T 2 - und PT2S-Glieder sowie PT„-Glieder (Hintereinanderschaltung von n PTi-Gliedern) besitzen eine sogenannte Tiefpasseigenschaft, d.h. sie iibertragen vorzugsweise tiefe Prequenzen, wahrend hohe Frequenzen von Signalen entsprechend dem stark abfallenden Amplitudengang abgeschwacht iibertragen werden. Zur Beschreibung dieses Ubertragungsverhaltens fiihrt m a n den Begriff der Bandbreite ein. Als Bandbreite bezeichnet m a n die Frequenz tJb bei der der logarithmische Amplitudengang gegeniiber der horizontalen Anfangsasymptote um 3 dB abgefallen ist, siehe Bild 4.3.18.
^r S
'^b
Bild 4.3.18. Zur Definition der Bandbreite Wb bei Ubertragungssystemen mit Tiefpassverhalten (wr Resonanzfrequenz, LVQ Eigenfrequenz der ungedampften Schwingung; u) in logarithmischem Mai^stab)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
107
108
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
109
110
4.3.4'10
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich
Beispiel fur die Konstruktion des Bode-Diagramms eines Ubertragungsgliedes mit gebrochen rationaler Ubertragungsfunktion
Im Abschnitt 4.3.3 wurde gezeigt, wie man das Bode-Diagramm eines Systems mit einer gebrochen rationalen Ubertragungsfunktion durch Zerlegung in elementare Ubertragungsglieder ermitteln kann. Nachdem die wichtigsten Standard-Ubertragungsgheder besprochen wurden, soil nun dafiir ein Beispiel folgen. Es soil das Bode-Diagramm fiir ein Ubertragungssystem, das nur reelle Pol- und Nullstellen besitzt, gezeichnet werden. Die vorgegebene Ubertragungsfunktion
wird dazu zweckmaBigerweise in die Form
G{s) = K2-^
p-O(i-) ^
;
ir2 = iCi/500 = l,78
gebracht. Dieses System lasst sich nun in ein I-, zwei PD- und zwei PTi-Glieder zerlegen:
5 = Gi(s)
G2{s)
G3{s)
20
G4{s) G^is)
Das Bode-Diagramm kann jetzt durch Addition der Bode-Diagramme der Teilsysteme Gi bis Gs entsprechend Bild 4.3.19a gewonnen werden. In diesem Bild stellen die GroBen uig. in den Termen {S/UIQ.^ + 1) fiir i = 1,2,3 und 4 die Eckfrequenzen im Bode-Diagramm dar. Bild 4.3.19 enthalt zusatzlich zum Bode-Diagramm auch noch die Ortskurve des Frequenzganges sowie das Amplituden-Phasendiagramm des betrachteten Ubertragungssystems. In dieser letzteren Darstellung ist der logarithmische Amplitudengang A{u})dB fiir die einzelnen Frequenzen to iiber dem Phasengang ip{u)) aufgetragen. Auch in dieser Darstellung lasst sich eine Veranderung des Verstarkungsfaktors K2 leicht durch eine Verschiebung des Kurvenverlaufs parallel zur A(a;)dB-Achse realisieren. Dieses Diagramm ist besonders in Verbindung mit dem spater noch zu behandelnden Nichols-Diagramm wichtig. Samtliche drei Frequenzbereichsdarstellungen des Bildes 4.3.19 enthalten - ebenfalls wie die Darstellung der Pol- und Nullstellenverteilung einschiiefilich des Verstarkungsfaktors - die gesamte Information iiber das hier betrachtete Ubertragungssystem. Anhand des vorhergehenden Beispiels lasst sich das Vorgehen bei der Konstruktion eines Bode-Diagramms fiir eine gegebene Ubertragungsfunktion nochmals kurz zusammenfassen: a) Zunachst wird eine gegebene Ubertragungsfunktion in die Form
4.3 Die Prequenzgangdarstellung
111
4^).IR4
Bild 4.3.19. Darstellung eines Ubertragungssystems auf drei verschiedene Arten im Prequenzbereich: (a) Bode-Diagramm, (b) Amplituden-Phasendiagramm, (c) Ortskurve
(s-SPi)
...
{S-Spj
ok
n
n (-«pj *P^?^0
n SPi.?^0
1+
-sp„
mit k = 0,1,2,... gebracht, wobei eventuelle Pole von G{s) bei sp^ = 0 ihrer Vielfachheit k entsprechend speziell beriicksichtigt werden. b) AnschlieiJend werden fiir s = jw die Asymptoten der Teilsysteme zur Approximation von A(a;)dB und y(w) verwendet. c) Falls erforderlich konnen dann noch die Korrekturen zur Prequenzkennlinien-Approximation eingetragen werden.
4.3.5
Systeme mit minimalem und nichtminimalem Phasenverhalten
Stabile Systeme ohne Totzeit, die durch die Ubertragungsfunktion G{s) =
Z{s) N{s)
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme ina Frequenzbereich
112
beschrieben werden und keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene besitzen, warden minimalphasig genannt. Sie sind dadurch charakterisiert, dass bei bekanntem Amplitudengang A{io) = |G(ja;)| im Bereich 0 < w < oo der entsprechende Phasengang ip{uj) aus A{u) (aufgrund des spater dargestellten Bodeschen Gesetzes) berechnet werden kann und das dabei ermittelte
gilt. Fiir die Phasengange erhalt man mit ^a,{u)) = — arctan und iphi<^) = —arctan
1 + u^TiT a;(Ti + T) 1 - Lo'^TiT
jedoch einen unterschiedlichen Verlauf, der im Bild 4.3.21 dargestellt ist. Dabei ist fiir
0
1
0
M
1 T
1
V
s-Ebene
•
®
^\ijj s -Ebene
1
1
0-
Ti
Bild 4.3.20. Pol- und Nullstellenverteilung von (a) Ga(s) und (b) Gh{s) in der s-Ebene Die Ubertragungsfunktion eines nichtminimalphasigen Ubertragungsgliedes Gb(s) lasst sich immer aus der Hintereinanderschaltung des zugehorigen Minimalphasengliedes und
4.3 Die Prequenzgangdarstellung
113
(p{co)Ik
1
0° -90°
10
v^{<^)
minimaler Phasenverlauf
¥'b('^)
Bild 4.3.21. Phasengang zweier Ubertragungsglieder gleichen Amplitudengangs, jedoch mit minimalem und nichtminimalem Phasenverhalten; |<^a| < I'/'bl
eines reinen phasendrehenden Gliedes, die durch die Ubertragungsfunktionen Ga{s) und G A ( S ) beschrieben werden, darstellen: Gb(s)=C?A(s)Ga(s)
(4.3.71)
Ein solches phasendrehendes Glied, auch Allpassglied genannt, ist dadurch charakterisiert, dass der Betrag seines Prequenzganges GA(JW) fiir alle Frequenzen gleich eins wird. Fur das gewahlte Beispiel erhalt man Gb(s) = GA(s)Ga(s) l-sT 1 + sTi
l-sT l + sT 1 + sT 1 + sTi
Die Ubertragungsfunktion des Allpassgliedes (1. Ordnung) lautet somit GK{S)
=
1-sT 1 + sT'
woraus als Amplitudengang AA{OJ) = 1
und als Phasengang (fA {^) = -~ arctan
2toT
= —2 arctan wT
1 - {OJTY
folgen. Dieses Allpassglied iiberstreicht einen Winkel <^A(W) von 0° bis - 180°. Allpassglieder zeichnen sich ~ wie oben bereits erwahnt ~ durch die Eigenschaft (4.3.72)
|GA(JC^)| = 1
aus. Diese Bedingung wird nur von Ubertragungsgliedern erfiillt, bei denen die Nullstellenverteilung der Ubertragungsfunktion GA (S) in der s-Ebene spiegelbildlich der Polverteilung beziiglich der jw-Achse ist. Dies ist im Bild 4.3.22 fiir einen stabilen Allpass 4. Ordnung dargestellt. Die Ubertragungsfunktion eines Allpasses n-ter Ordnung lautet somit GA{S)
( S - S I ) ( S -
= ±-
S - S I ) ( S - S 2 )
h)
••• ...
{s-Sn) (S-
8„)'
(4.3.73)
114
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich s -Ebene
Jt^
"2
'2
-
6 5o
Bild 4.3.22.
Pole (x) und Nullstellen (0) eines AUpass-Systems 4. Ordnung
wobei sich die korrespondierenden Pole und Nullstellen Sj und Si fiir i im Vorzeichen ihrer Realteile unterscheiden ( R e s ; = — R e s j ) .
1,2,... ,n nur
Wie bereits erwahnt, kann m a n bei Systemen mit minimalem Phasenverhalten eindeutig aus dem Amplitudengang A{uj) den Phasengang ip{uj) bestimmen. Dies gilt jedoch fiir Systeme mit nichtminimalem Phasenverhalten nicht. Die Uberpriifung, ob ein System Minimalphasenverhalten besitzt oder nicht, lasst sich nun aus dem Verlauf von (p{ui) und A{uj)^B fiir hohe Frequenzen leicht abschatzen. Bei einem Minimalphasensystem, das durch die gebrochen rationale Ubertragungsfunktion
G{s) =
Z{s) N{s)
dargestellt wird, wobei der Zahler Z{s) vom Grade m und der Nenner N{s) vom Grade n ist, erhalt man namlich fiir w —f oo den Phasengang
(4.3.74)
Bei einem Tiefpass-System mit nichtminimalem Phasenverhalten wird dieser Wert betragsmafiig stets grofier. In beiden Fallen wird der logarithmische Amplitudengang fiir a; —)• 00 die Steigung - 2 0 ( n - m) dB /Dekade besitzen. Ein typisches System mit nichtminimalem Phasenverhalten ist das Totzeitglied ( P T j Glied), das durch die Ubertragungsfunktion
Gis) = e-^^' und den Frequenzgang GQcj) = e-J-^' mit dem Amplitudengang A(w) = \Giito)\ = 1 sowie dem Phasengang (im Bogenmal3) (fioj) = -uiTt
(4.3.75)
4.3 Die Frequenzgangdarstellung
115
© (^ = 0
Re[G]
® 10 UJT
Bild 4.3.23.
O r t s k u r v e (a) u n d P h a s e n g a n g (b) des Totzeitgliedes
beschrieben wird. Die Ortskurve von G(jw) stellt somit einen Kreis um den Koordinatenursprung dar, der mit w = 0 auf der reellen Achse bei R{LO) = 1 beginnend mit wachsenden w-Werten fortwahrend durchlaufen wird, da der Phasenwinkel standig zunimmt, wie leicht aus Bild 4.3.23 zu ersehen ist. Wie bereits erwahnt, gibt es zu einem gegebenen Amplitudengang A{ijj) genau ein diesen Amplitudengang realisierendes Minimalphasenglied, dessen Phase (piyj) fiir einzelne Frequenzen a;^ nach der Beziehung (Gesetz von Bode)
ip{ijji,
2wv f In A{uj) - In A{oj„)
dto
(4.3.76)
zu berechnen ist. Die praktische Bedeutung dieser Beziehung ist allerdings in der Regelungstechnik gering. Ein Zusammenhang zwischen R{uj) = Re{G(ja;)} und I{oj) = Im{G(ja;)}, der sowohl fiir stabile-^ Minimalphasen- als auch Nichtminimalphasensysteme gilt, wird durch die Hubert- Transformation [Unb98]
R{LO^)
= R{oo) - -
f
L0l{w)
•duj
(4.3.77a)
und -"- Die Stabilitat von Minimalphasensystemen kann entsprechend obiger Definition nur durcli Pole der Ubertragungsfunktion auf der jw-Achse beeintraclitigt werden.
116
4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich
= ?^ [ ^M^^
(4.3.77b)
0
gegeben. Daraus ist ersichtlich, dass bei Kenntnis nur des Real- oder Imaginarteils stets der entsprechend zugehorige Imaginar- oder Realteil und damit auch der Prequenzgang G(jw) vollstandig berechnet werden kann.
117
5
Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
5.1
Dynamisches Verhalten des Regelkreises
Bild 5.1.1 zeigt das friiher schon benutzte Blockschema des geschlossenen Regelkreises mit den 4 klassischen Bestandteilen: Regler, Stellglied, Regelstrecke und Messglied. Wie bereits erwahnt, ist es meist zweckmafiig, Regler und Stellglied zur Regeleinrichtung zusammenzufassen, wahrend das Messglied oft der Regelstrecke zugerechnet wird. Gewohnlich konnen mehrere Storgrofien z[{i = 1,2,...) auftreten, die jeweils an verschiedenen Stellen in der Regelstrecke angreifen. Das Ubertragungsverhalten der Regelstrecke bzw. derjenigen Teile der Regelstrecke, die zwischen Angriffspunkt der Storgr6i3e und Regelstreckenausgang liegen, sei mit Gsz.(s) bezeichnet. Damit erhalt man ein Blockschaltbild des Regelkreises gemafi Bild 5.1.2.
Storverhalten Regler
^R
Stellglied
Stellverhalten
1%
+
Me6glied
Regelstrecke
Bild 5.1.1. Die Grundbestandteile eines Regelkreises Fiir lineare Regelstrecken lassen sich nach Bild 5.1.2 alle Storgrofien Z'^ zu einer einzigen Gesamtgrofie
Z(s)=:X^ZK«)Gs,.W i=l
zusammenfassen, die am Ausgang der Regelstrecke eingreift (siehe Bild 5.1.3). Weiterhin lasst sich durch geeignete Wahl von Gsg. (s) zeigen, dass diese im Bild 5.1.2 dargestellte Struktur auch dann gilt, wenn eine Storung z[{t) an einer anderen Stelle im Regelkreis einwirkt. Das Ubertragungsverhalten dieses Regelkreises wird entsprechend der Art der beiden Eingangsgrofien (Fiihrungs- und Storgrofie) entweder durch das Fiihrungsverhalten oder durch das Storverhalten beschrieben. Die Ubertragungsfunktion der Regeleinrichtung der Kiirze wegen im folgenden wieder nur Regler genannt - werde mit G R ( S ) und die
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
118
4 ,
G
(s)
G,^^is) ^1
W{s)_E{s)^
.
G, (s)
G^{s) ^W.
Gsis)
+ }i
-
^
r xi^i
+^ '
Bild 5.1.2. Blockschaltbild des Regelkreises Z{8) Wis)E{s)
Gr^is)
U{s)
G.{s)
-O
Bild 5.1.3. Blockschaltbild des Regelkreises mit Gesamtstorgrofie Z{s)
der Regelstrecke mir G^{s) bezeichnet. Wie aus Bild 5.1.3 ersichtlich ist, gilt fiir die RegelgroSe des geschlossenen Regelkreises Y{s)
=
Z{s) +
[W{s)
- Y{s)] GRCS) CS {S).
Durch Umstellen folgt daraus
Anhand dieser Beziehung lassen sich nun die beiden im Abschnitt 1.4 erwahnten Aufgabenstellungen fiir eine Regelung unterscheiden: a) Fiir W{s) = 0 erhalt man als Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises fiir Storverhalten (Festwertregelung oder Storgrofienregelung) die Storungsiibertragungsfunktion Yis) _ 1 (5.1.2) Gzis) = Z{s)
1 + GR(S)GS(S)-
b) Fur Z{s) =0 folgt entsprechend als Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises fiir Fiihrungsverhalten (Nachlauf- oder Folgeregelung) die Fiihrungsubertragungsfunktion _ Yis) _ Gnis)Gsis) ^ ^ ^ ' ) -Wi^)- l + G H ( a ) G s W ^'-'-'^
5.2 Stationares Verhalten des Regelkreises
119
Beide Ubertragungsfunktionen Gz (s) und Gw (s) enthalten gemeinsam den dynamischen Regelfaktor
Ris) =
(5.1.4)
l+Go(s)
mit Gois)=GR{s)Gs{s).
(5.1.5)
Schneidet man fiir W(s) = 0 und Z{s) = 0 den Regelkreis gemafi Bild 5.1.4 an einer beliebigen Stelle auf, und definiert man unter Beriicksichtigung der Wirkungsrichtung der Ubertragungsglieder die Eingangsgrofie Xe{t) sowie die Ausgangsgrofie Xa,(t), so erhalt man als Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises GofFen(s) =
X.is) Xeis)
= -GR(S)GS(S) = -GO(S).
(5.1.6)
Allerdings hat sich (inkorrekterweise) in der Regelungstechnik durchgesetzt, dass meist Go{s) als Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises definiert wird.
a
Gsis)
GR(^)
"1
Xe
[*
(^)
Bild 5.1.4. Offener Regelkreis Lasst sich Go(s) durch eine gebrochen rationale Ubertragungsfunktion beschreiben, so erhalt man fiir den geschlossenen Regelkreis durch Nullsetzen des Nennerausdrucks in Gl. (5.1.2) Oder Gl. (5.1.3) aus der Bedingung 1 + Go(s) = 0
(5.1.7)
analog zu Gl. (4.2.11) die charakteristische Gleichung in der Form P{s) =ao+ ais + a2S^ + . . . + o„s" = 0.
5.2
(5.1.8)
Stationares Verhalten des Regelkreises
Sehr haufig lasst sich das Ubertragungsverhalten des offenen Regelkreises (gemafi Bild 5.1.4 und Gl. (5.1.5)) durch eine allgemeine Standardiibertragungsfunktion der Form ,-Tts
s* 1+ a i s + . . . + a„_feS"~*
m < n
(5.2.1)
beschreiben, wobei durch die Konstante k — 0,1,2,... (ganzzahlig) im wesentlichen der Typ der Ubertragungsfunktion Go(s) charakterisiert wird. KQ stellt die Verstarkung des offenen Regelkreises dar. Go(s) weist somit z.B. fiir
120
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme k = 0; fc = 1; k = 2;
Verzogertes proportionales Verhalten Verzogertes integrales Verhalten Verzogertes doppelintegrales Verhalten
(verzog. P-Verhalten) (verzog. I-Verhalten) (verzog. I2-Verhalten)
auf. Es sei nun angenommen, dass der in Gl. (5.2.1) auftretende Term der gebrochen rationalen Funktion nur Pole in der linken s-Halbebene besitzt. Damit kann im weiteren fiir die einzelnen Typen der Ubertragungsfunktion Go{s) bei verschiedenen Signalformen der Fiihrungsgrofie w{t) oder der Storgrofie z{t) das stationare Verhalten des geschlossenen Regelkreises fiir i —> oo untersucht werden. Mit E{s) = W{s) - Y{s)
(5.2.2)
folgt aus den Gin. (5.1.1) und (5.1.6) fiir die Regelabweichung Eis) = ^^G^^^^[Wis) - Z{s)].
(5.2.3)
Unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert der Regelabweichung e{t) fiir i —>• oo existiert, gilt mit Hilfe des Grenzwertsatzes der Laplace-Transformation fiir den stationaren Endwert der Regelabweichung lim e(^) = l i m s E ( s ) . t—¥00
(5.2.4)
S-+0
Fiir den Fall, dass alle StorgroBen auf den Ausgang der Regelstrecke bezogen werden, folgt aus Gl. (5.2.3), dass - abgesehen vom Vorzeichen - beide Arten von Eingangsgrofien, also Fiihrungs- oder Storgrofie, gleich behandelt werden konnen. Im folgenden wird daher stellvertretend fiir beide Signalarten die Bezeichnung Xe(s) als Eingangsgrofie gewahlt. Mit Hilfe der beiden Gin. (5.2.3) und (5.2.4) lassen sich nun die stationaren Endwerte der Regelabweichung fiir die unterschiedlichen Signalformen von Xe{t) bei verschiedenen Typen der Ubertragungsfunktion Go{s) des offenen Regelkreises berechnen. Diese Werte charakterisieren das statische Verhalten des geschlossenen Regelkreises. Sie sollen nachfolgend fiir die wichtigsten Falls bestimmt werden. Bei den weiteren Betrachtungen werden gemaB Bild 5.2.1 folgende Testsignale zugrunde gelegt: a) Sprungformige Erregung: X,{s) = ^ , s wobei Xeo die Sprunghohe darstellt. b) Rampenformige
(5.2.5)
Erregung: Xe(5) = ^ ,
(5.2.6)
wobei a;ei die Geschwindigkeit des rampenformigen Anstiegs des Signals Xf,{t) beschreibt. c) Parabelformige Erregung: Xeis) = ^ ,
(5.2.7)
wobei Xe2 ein MaB fiir die Beschleunigung des parabolischen Signalanstiegs Xe{t) ist.
5.2 Stationares Verhalten des Regelkreises
^.{tf
121
x^{t)
/
/xj^t) = x^^a{t)t
^eii) = Xncrit) 0
(t) = x.a{ty
t"
©
®
Bild 5.2.1. Verschiedene Eingangssignale a;e(f), die haufig fiir die Storgrofie z{t) und Fiihrungsgrofie w{t) zugrunde gelegt werden: (a) sprungformiger, (b) rampenformiger und (c) parabolischer Signalverlauf Fiir die Regelabweichung gilt nach Gl. (5.2.3) E{s)
1 X,{s), l + Go{s)
(5.2..
wobei sich der Unterschied zwischen Fiihrungs- und Storverhalten nur im Vorzeichen von Xe(s) bemerkbar macht (Storverhalten: XQ{S) = —Z(s); Fiihrungsverhalten: Xe(s) = W{s)). Setzt man in diese Beziehung nacheinander die Gin. (5.2.5) bis (5.2.7) ein, dann lasst sich damit die entsprechende Regelabweichung fiir verschiedene Typen der Ubertragungsfunktion Go{s) berechnen, was im folgenden gezeigt werden soil.
5.2.1
Ubertragungsfunktion Ga{s) mit verzogertem P-Verhalten
Fiir diesen Fall folgt aus Gl. (5.2.1) die Ubertragungsfunktion ^ '
(5.2.9)
l + ai8 + ... + a „ s "
Diese Ubertragungsfunktion beschreibt einen offenen Regelkreis mit verzogertem P- Verhalten. Die GroBe JCQ stellt die Verstarkung dieses offenen Regelkreises dar. Sie setzt sich im vorliegenden Fall aus dem Verstarkungsfaktor des Reglers K"R und dem der Regelstrecke Ks in der multiplikativen Form KO
=
(5.2.10)
KKKS
zusammen. Mit Gl. (5.2.4) erhalt man nun fiir die bleibende Regelabweichung des geschlossenen Regelkreises lim e(t) = lim s i_^oo
^ '
s~^0
^ , , Xgis) l + Go{s)
^ '
(5.2.11) ^
^
und bei sprungformiger Erregung mit Gl. (5.2.5) 1 eoo = lim e{t) =- ^ — ^ ^ -eo-
(5.2.12)
122
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Aufierdem lasst sich bei rampenformiger Erregung gemafi Gl. (5.2.6) zeigen, dass die in diesem Fall in Gl. (5.2.8) auftretende doppelte Polstelle beim Ubergang in den Zeitbereich einen Verlauf e{t) = const 4 • a{t) entspricht, so dass Goo = lim e{t) -^ 00
(5.2.13)
t—^oo
gilt. Entsprechende Uberlegungen liefern bei parahelformiger Erregung mit Gl. (5.2.7) eoo = lim e{t) ->• oo.
5.2.2
(5.2.14)
Ubertragungsfunktion GQ{S) mit verzogertem I-Verhalten
Aus Gl. (5.2.1) folgt fiir diesen Fall Go(s) = —
re
' .
(5.2.15)
Der hierzu gehorende offene Regelkreis besitzt also verzogertes /- Verhalten. Mit Gl. (5.2.11) erhalt man fiir die bleibende Regelabweichung des geschlossenen Regelkreises bei sprungformiger Erregung Coo = lim e{t) = 0, (5.2.16) und bei rampenformiger Erregung Coo = lim e{t) = -r;-a;ei.
(5.2.17)
Weiterhin ergibt sich bei parahelformiger Erregung Coo = lim e{t) -> 00.
5.2.3
(5.2.18)
Ubertragungsfunktion Go{s) mit verzogertem I2-Verhalten
Die zu diesem Fall gehorende Ubertragungsfunktion ^^ ^
S2 l + a i S + . . . + Q„_2sn-2
^
'
beschreibt ein System mit verzogertem I2 - Verhalten. Als bleibende Regelabweichung des geschlossenen Regelkreises folgt, sofern der Regelkreis stabil ist, fiir sprungformige Erregung 600 = lim e{t) = 0,
(5.2.20)
t—^oo
fiir rampenformige Erregung Coo = lim e(^) = 0 i—J-OO
(5.2.21)
5.2 Stationares Verhalten des Regelkreises
123
und fiir parabelformige Erregung = lim e{t)
(5.2.22)
Ko'
Aus den Ergebnissen, insbesondere aus den Gin. (5.2.12), (5.2.17) und (5.2.22) sowie aus Tabelle 5.2.1 folgt, dass die bleibende Regelabweichung eoo, die das statische Verhalten des Regelkreises charakterisiert, in all den Fallen, wo sie einen endlichen Wert Tabelle 5.2.1 Bleibende Regelabweichung fiir verschiedene Systemtypen von Go{s) und unterschiedliche Eingangsgrofien Xe{t) (Ftihrungs- und Storgrofien, falls alle Storgrofien auf den Ausgang der Regelstrecke bezogen sind) Systemtyp von Go(s) gemaiJ 01. (5.2.1)
EingangsgroBe Xe{s)
Bleibende Regelabweichung eoo
S
1 1 + Ko ""'^
k=0 (verzogertes
00
P-Verhalten) 00
0 S
k = l (verzogertes I-Verhalten)
1 2^62
00
s3
k=2 (verzogertes I2-Verhalten)
0
S
0 1 S3
• ^ ^ 6 2
annimmt, um so kleiner gehalten werden kann, je grofier die Kreisverstarkung Kg gemafi Gl. (5.2.10) gewahlt wird. Bei verzogertem P-Verhalten des oflFenen Regelkreises bedeutet dies auch, dass die bleibende Regelabweichung Coo um so kleiner wird, je kleiner der statische Regelfaktor R = , \,
1 + Ko
(5.2.23)
ist. Haufig fiihrt jedoch eine zu groi3e Kreisverstarkung KQ schnell zur Instabilitat des geschlossenen Regelkreises, wie spater im Kapitel 6 ausfiihrlich besprochen wird. Daher ist bei der Festlegung von KQ gewohnlich ein entsprechender Kompromiss zu trefFen,
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
124
vorausgesetzt, dass nicht schon durch Wahl eines geeigneten Reglertyps die bleibende Regelabweichung verschwindet. Da von der Wahl eines geeigneten Reglers nicht nur das dynamische, sondern vor allem auch das statische Verhalten des geschlossenen Regelkreises stark abhangt, sollen nachfolgend zunachst die wichtigsten Typen von Standardreglern eingefiihrt werden.
5.3
Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
5.3.1
Das Ubertragungsverhalten
Die geratetechnische Ausfiihrung eines Reglers umfasst die Bildung der Regelabweichung e{t) = w{t) — y{t) sowie deren weitere Verarbeitung zur ReglerausgangsgrofieuR(i) gemafi Bild 5.1.1 oder direkt zur Stellgrofie u{t), falls das Stellglied mit dem Regler zur Regeleinrichtung entsprechend Bild 5.1.2 zusammengefasst wird. Die meisten heute in der Industrie eingesetzten linearen Reglertypen sind Standardregler, deren Ubertragungsverhalten sich auf die drei linearen idealisierten Grundformen des P-, I- und D-Gliedes zuriickfiihren lasst. Als der wichtigste Standardregler wird heute im industriellen Bereich der PID-Regler verwendet. Die prinzipielle Wirkungsweise des PID-Reglers lasst sich anschaulich durch die im Bild 5.3.1 dargestellte Parallelschaltung je eines P-, I- und DGliedes erklaren. Aus dieser Darstellung folgt als Ubertragungsfunktion des PID-Reglers (5.3.1)
s
E{s)
ifp
+J-r^R v(^)
^ » :
s
oder
^.
1 ^R
i
T^s
K^s
Bild 5.3.1. Blockschaltbild des PID-Reglers Durch Einfiihrung der Grofien Verstarkungsfaktor Tj = ^^ TD
KB
Kv
+Jr^R ^^{U)
Integralzeit oder Nachstellzeit Differentialzeit oder Vorhaltezeit
5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
125
lasst sich Gl. (5.3.1) so umformen, dass neben dem oftmals dimensionsbehafteten Verstarkungsfaktor K^. nur die beiden Zeitkonstanten Ti und Tu in der Ubertragungsfunktion Gn{s) = Kn
(5.3.2)
^ + IT^ + ^-^
auftreten. Diese drei Grofien KB.,TI und To sind gew5hnlich in bestimmten Wertebereichen einstellbar; sie werden daher auch als Einstellwerte des Reglers bezeichnet. Durch geeignete Wahl dieser Einstellvirerte lasst sich ein Regler dem Verhalten der Regelstrecke so anpassen, dass ein moglichst giinstiges Regelverhalten entsteht. Aus Gl. (5.3.2) folgt fiir den zeitlichen Verlauf der Reglerausgangsgrofie de(i) unit) = Kneit) + ^ /
(5.3.3)
Damit lasst sich nun leicht fiir eine sprungformige Anderung von e(i), also e{t) = a{t), die tibergangsfunktion h{t) des PID-Reglers bilden. Sie ist im Bild 5.3.2a dargestellt. Dabei ist zu beachten, dass die Pfeilhohe KnT^ des D-Anteils nur als Ma6 fiir die Gewichtung des 5-Impulses anzusehen ist.
hit)'
m
L
M I + ^DV] I D-AnteiH y^
^ o l y^
©
y^
Tr.
>/f
k-Anteil
D-Anteili
I-Anteil
J • P-Anteil <
to-
-T, Bild 5.3.2. tibergangsfunktion (a) des idealen und (b) des realen PID-Reglers Bei den bisherigen Uberlegungen wurde davon ausgegangen, dass sich das D-Verhalten im PID-Regler realisieren lasst. Geratetechnisch kann jedoch das ideale D-Verhalten nicht verwirklicht werden. Bei tatsachlich ausgefiihrten Reglern ist das D-Verhalten stets mit einer gewissen Verzogerung behaftet, da anstelle des D-Gliedes in der Schaltung von Bild 5.3.1 ein DTi-Glied mit der Ubertragungsfunktion
"^-W'^-rfk
{5.3.4)
mit T « 1 zu beriicksichtigen ist. Damit erhalt man als Ubertragungsfunktion des realen PID-Reglers oder genauer des PIDTi-Reglers die Beziehung Ki GR(S)
und durch Einfilhrung der Reglereinstellwerte
,^
Ts
1 + Ts'
(5.3.5)
126
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme K^ = Kp, Ti = ^
und
TD
= ^
folgt daraus G R ( S ) =K^{l + ± + T D ^ ^ 1 .
(5.3.6)
Die Ubergangsfunktion h{t) des PIDTi-Reglers ist im Bild 5.3.2b dargestellt. Diese Ubergangsfunktion weist fiir i = 0, bedingt durch den P- und D-Anteil, einen starken Anstieg auf, der anschliel3end schnell wieder bis fast auf den durch den P-Anteil gegebenen Wert zuriickgenommen wird, um dann anschlieBend in den langsameren I-Anteil iiberzugehen. Das P-, I- und D-Verhalten kann jeweils unabhangig voneinander eingestellt werden. Bei handelsiiblichen Reglern lasst sich der „D-Sprung" bei i = 0 gewohnlich 5- bis 25-mal gr613er als der „P-Sprung" einstellen. Bei einer starken Bewertung des D-Anteils, also einem hohen D-Sprung (man bezeichnet dies oft auch als Vorhaltiiberhohung ) wird jedoch meist das Stellglied seinen maximalen Wert erreichen, d.h. es kommt an seinen „Anschlag". Als Sonderfalle des PID-Reglers erhalt man fiir: a) TD = 0 den PI-Regler mit der Ubertragungsfunktion
Gn{s) = i^R Tl + i - V
(5.3.7)
b) Ti -^ GO den idealen PD-Regler mit der Ubertragungsfunktion Gn{s)=KR{l + Ti,s)
(5.3.8)
bzw. den PDTi-Regler mit der Ubertragungsfunktion GK{S) = Kn(^l + T D J
^
^ ;
(5.3.9)
c) TD = 0 und Tj ^ oo den P-Regler mit der Ubertragungsfunktion G R ( S ) = i^R.
(5.3.10)
Die Ubergangsfunktionen dieser Reglertypen sind im Bild 5.3.3 zusammengestellt. Neben den hier behandelten Reglertypen, die durch entsprechende Wahl der Einstellwerte sich direkt aus einem PID-Regler (Universalregler) herleiten lassen, kommt manchmal auch ein reiner I-Regler zum Einsatz. Die Ubertragungsfunktion des I-Reglers lautet GR(S)=KI- = ^ . S
(5.3.11)
IiS
Seine Ubergangsfunktion lasst sich aus Tabelle 4.3.3 entnehmen. Erwahnt sei noch, dass D-Glieder nicht direkt als Regler eingesetzt werden, sondern nur in Verbindung mit PGliedern beim PD- und PID-Regler auftreten.
5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
127
h{t)
P-Regler
PI-Regler
h{t)
PD-Regler (ideal)
K^
h{t).
PDTj-Regler (realer PD-Regler)
KK 0
T
t
Bild 5.3.3. Ubergangsfunktionen der aus dem PID-Regler ableitbaren Reglertypen
5.3.2
Vor- und Nachteile der verschiedenen Reglertypen
Nachfolgend wird anhand eines Beispiels das Storverhalten eines simulierten Regelkreises untersucht, wobei als Regler die im Abschnitt 5.3.1 eingefiihrten Reglertypen verwendet werden. Das Verhalten der Regelstrecke wird durch die Ubertragungsfunktion Gs{s) =
Ks (1 + Ts)4
beschrieben. Zur Untersuchung auf Storverhalten wird die Fiihrungsgrofie 'w{t) = 0 gesetzt und am Eingang der Regelstrecke eine sprungforraige Storung z'{t) = zoa{t) aufgeschaltet. (Dem entspricht der Fall, dass Z{s) = Z'{s) Gs{s) am Ausgang der Regelstrecke angreift.) Die Reglerparameter werden nach einem spater noch zu behandelnden
128
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Giitemafi optimal eingestellt. Bild 5.3.4 zeigt fiir die verschiedenen Reglertypen die Reaktion der auf KSZQ normierten Regelgr6i3e y nach einer sprungformigen Storung zocr{t). Diese Kurven geben auch, abgesehen vom Vorzeichen, unmittelbar die Regelabweichung e{t) wieder, da fiir w{t) = 0 die Beziehung e{t) = —y{t) gilt. Zur Diskussion dieser Kurven benotigt man noch den Begriff der Ausregelzeit t^%. Diese ist definiert als der Zeitpunkt, von dem an die Differenz |2/(i) — 2/ooi weniger als 3% des stationaren Endwertes im ungeregelten Fall 2/oo,ohne = KsZo
(5.3.12)
betragt. Aufierdem sollen die verschiedenen Falle beziiglich der normierten maximalen Uberschwingung ymax/C^f^S-^o) (Uberschwingweite) verglichen werden. Im folgenden werden die einzelnen Falle kurz diskutiert: a) Der P-Regler weist ein relativ grofies maximales Uberschwingen yma.x/{KsZo), eine grofie Ausregelzeit t^% sowie eine bleibende Regelabweichung eoo auf. b) Der I-Regler besitzt aufgrund des langsam einsetzenden I-Verhaltens ein noch groBeres maximales Uberschwingen als der P-Regler, dafiir aber keine bleibende Regelabweichung. c) Der PI-Regler vereinigt die Eigenschaften von P- und I-Regler. Er besitzt ungefahr ein maximales Uberschwingen und eine Ausregelzeit wie der P-Regler und weist keine bleibenden Regelabweichungen auf. d) Der PD-Regler besitzt aufgrund des „schnellen" D-Anteils eine geringere maximale Uberschwingweite als die oben unter a) bis c) aufgefiihrten Reglertypen. Aus demselben Grund zeichnet er sich auch durch die geringste Ausregelzeit aus. Aber auch hier stellt sich eine bleibende Regelabweichung ein, die allerdings geringer ist als beim P-Regler, da der PD-Regler im allgemeinen aufgrund der phasenanhebenden Wirkung des D-Anteils mit einer hoheren Verstarkung KR betrieben wird. Bei den im Bild 5.3.4 dargestellten Ergebnissen betrug der Verstarkungsfaktor beim P-Regler KR = 2,68 und beim PD-Regler XR = 6,6, wahrend die Regelstrecke den Verstarkungsfaktor Ks = 1 aufweist. e) Der PID-Regler vereinigt die Eigenschaften des PI- und PD-Reglers. Er besitzt ein noch geringeres maximales Uberschwingen als der PD-Regler und behalt aufgrund des I-Anteils keine bleibende Regelabweichung. Durch den hinzugekommenen IAnteil wird die Ausregelzeit jedoch gr613er als beim PD-Regler. Die an diesem Beispiel durchgefiihrten qualitativen Betrachtungen lassen sich auch auf andere Typen von Regelstrecken mit verzogertem P-Verhalten iibertragen. Diese Diskussion soil zunachst nur einen ersten Einblick in das statische (stationare) und dynamische Verhalten von Regelkreisen geben. Im Rahmen des Entwurfs von Regelkreisen wird darauf im Kapitel 8 noch naher eingegangen.
y
1,0-
Regler VoD, ohne "ohne Regler
0,8-
/
PID PI PD P I
2/max
0,11 0,44 0,15 0,45 0,79
T 14 36 8 26 42
^ -0,13 -0,27 -
5 2 6 2
40
Bild 5.3.4. Verhalten der normierten Regelgrofie y/{zoKs) bei sprungformiger Storung z' = zoo-(t) am Eingang der R [Gs(s) = Ks/{1 + Ts)'^; Ks = 1 ]', die mit den verschiedenen Reglertypen zusammengeschaltet wurde.
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
130
5.3.3
Technische Realisierung von linearen kontinuierlichen Reglern
5.3.3.1
Das Prinzip
der Riickkopplung
Die meisten technischen, analogen Regler werden unter Anwendung des Prinzips der Riickkopplung realisiert. Ein solcher Regler besteht nach Bild 5.3.5 aus einem Verstarker mit einer sehr hohen Verstarkung K und einem geeigneten Riickkopplungsglied mit der Ubertragungsfunktion Gr{s).
1
I^R.
K
'+»C
3 ^
^
I
Y Gris) •«— Regler '
L_
Bild 5.3.5. Realisierung eines Reglers mit Hilfe des Prinzips der Riickkopplung Ahnlich wie im Abschnitt 5.3.1 wird im weiteren davon ausgegangen, dass die Bildung der Regelabweichung e{t) schon vor dem eigentlichen dynamischen Teil des Reglers erfolgt. Die resultierende Regleriibertragungsfunktion ergibt sich daher aus Bild 5.3.5 zu
Gnis) Hieraus folgt mit 1/K «
UK{S)
^
K
E{s)
1
1 + KGAs)
(5.3.13)
^_^aAs)
|Gr(s)| Gn{s)
GrisY
(5.3.14)
Das Ubertragungsverhalten des Reglers wird somit nur durch das Riickkopplungsglied bestimmt. Daher lassen sich durch Verwendung verschiedener, zweckmafiig gewahlter Riickkopplungsglieder die wichtigsten linearen Reglertypen einfach realisieren, wie nachfolgend gezeigt werden soil. a) Aus einer verzogerten Ruckfiihrung mit der Ubertragungsfunktion Gr{s) =
1+T,s
(5.3.15)
erhalt man unter Verwendung von Gl. (5.3.14) die Regleriibertragungsfunktion
Gnis) = ^ + ^s = K^il + TDS). Diese Gleichung stellt einen PD-Regler mit der Verstarkung
(5.3.16)
5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
131
KK=^
(5.3.17a)
und der Vorhaltezeit TD = T,
(5.3.17b)
dar. b) Aus einer nachgebenden Ruckfiihrung mit der Ubertragungsfunktion G'r(5)=-F^rY|^
(5.3.18)
erhalt man die Regleriibertragungsfunktion
Diese Beziehung beschreibt einen PI-Regler mit der Verstarkung KR=^
(5.3.20a)
und der Nachstellzeit Ti = Tr.
(5.3.20b)
c) Aus einer verzogert nachgebenden Riickfiihrung mit der Ubertragungsfunktion
-"•ri-"-r2-^r2^
(5.3.21)
ergibt sich die Regleriibertragungsfunktion zu
=
i^R
f
1
+
^
+
TDS")
.
(5.3.22)
Hier entsteht durch die Riickfiihrung ein PID-Regler mit der Verstarkung K^ = # ^ ^ % - ,
(5.3.23a)
Ti = Tr, + Tr,
(5.3.23b)
TD = J^f:^ •
(5.3.23c)
der Nachstellzeit sowie der Vorhaltezeit
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
132
5.3.3.2
Elektrische Regler
Moderne elektrische Regler [TS93] werden weitgehend durch Operationsverstarkerschaltungen realisiert. Bei den weiteren Betrachtungen soil von einem idealen Operationsverstarker ausgegangen werden. Dieser ideale Operationsverstarker mit den Bezeichnungen entsprechend Bild 5.3.6 besitze die folgenden Eigenschaften: • Der Eingangswiderstand RE sei unendlich grofi. • Es treten keine Eingangsruhestrome, Eingangsoffsetstrome und Offsetspannungen auf. Mit diesen ersten beiden Annahmen wird 0. Es gilt Ua = VoUd = Vo{Up - M„),
mit der Leerlaufverstarkung isT = Vb -> oo (iiblicher Wert VQ > 10^).
Bild 5.3.6. Unbeschalteter Operationsverstarker Beschaltet man diesen Operationsverstarker mit einem Riickkopplungsnetzwerk, bestehend aus den beiden komplexen Widerstanden Zi{s) und Z2{s) zu einem nichtinvertierenden Verstdrker, so erhalt man Bild 5.3.7. Die Struktur entspricht genau jener von Bild 5.3.5.
Bild 5.3.7. Beschaltung des Operationsverstarkers als nichtinvertierender Verstarker Als Riickfuhrungsiibertragungsfunktion folgt unmittelbar Gr{s) =
Un{s) U^{s)
Ziis) Z,{s) + Z2{s)-
(5.3.24)
5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
133
In der Praxis wahlt man jedoch meistens eine Beschaltung als invertierender Verstarker nach Bild 5.3.8. Betrachtet man die Strombilanz am Summenpunkt S, so gilt
Ziis)
Z2{s)
0,
(5.3.25)
da wegen der unendlich groBen Leerlaufverstarkung Vo die Differenzspannung Ud = 0 sein muss. Daraus ergibt sich fiir die Regleriibertragungsfunktion GR(S)
=
U.js) ^ Ue{s)
Z2{s) Zi(s)'
(5.3.26)
ZJs)
Bild 5.3.8.
Beschaltung des Operationsverstarkers als invertierender Verstarker
Tabelle 5.3.1 zeigt mogliche Ausfiihrungsformen der verschiedenen Reglertypen (ohne Sollwert-/Istwertvergleich) mit einem als Invertierer geschalteten Operationsverstarker. Man beachte dabei, dass gemafi Gl. (5.3.26) die hierbei entstehenden Regler eine zusatzliche Vorzeichenumkehr der Ausgangsspannung Ua bewirken. Tabelle 5.3.1 enthalt bei den Schaltungen des PD und PID-Reglers die Reahsierung eines idealen D-Gliedes. Da derartige D-Glieder aber kleine zufallige Schwankungen oder Storungen der Regelabweichung e{t) um so mehr anheben, je rascher sie verlaufen, d.h. je hoher deren Prequenz ist, ist man fiir praktische Anwendungen stets bestrebt, D-Glieder durch DTi-Glieder zu realisieren, wobei die entsprechende Verzogerungszeitkonstante jedoch so klein sein muss, dass sie das eigentliche Regelsignal nicht nennenswert beeinflusst. Daher wird i.a. durch eine zusatzliche Schaltung dem D-Anteil eine entsprechende Verzogerung hinzugefiihrt. Dies kann beispielsweise beim PD- und PID-Regler durch einen zusatzlichen Widerstand geschehen, der in Reihe mit Ci geschaltet wird. Die zuvor beschriebenen analogen elektrischen Standardregler werden heute in der industriellen Ausfiihrung leittechnischer Anlagen als digitale Regler realisiert. Dabei werden die Rechenfunktionen des P-, I- und D-Verhaltens direkt von einem Mikroprozessor iibernommen. Da diese Regler nur die zu diskreten Zeitpunkten tk abgetasteten Signalwerte der Regelabweichung e{tk) = w{tk) — v{tk) verarbeiten und auch die Stellgrofie u{tk) nur zu diskreten Zeitpunkten in aquidistanten Zeitintervallen hefern, miissen zusatzliche Mafinahmen fiir die Analog/Digital- bzw. Digital/Analog-Umsetzung der Signale vorgesehen werden. Auf die Arbeitsweise derartiger Abtastregelsysteme wird ausfiihrlich im Band „Regelungstechnik 11" eingegangen.
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
134
Tabelle 5.3.1 Realisierung der wichtigsten linearen Standardregler mittels Operationsverstarker (ohne Beriicksichtigung des Sollwert-/Istwertvergleichs e{t) = e{t) — yit)) Reglertyp
Ubertragungsfunktion
Schaltung
Einstellwerte
Verstarkung «R(*) ^
E{s)
R^
K
= - ^
C„ _
Ri
GR(^)
-fc
E
Nachstellzeit
UK(')
E{s)
Ri
1
Ur.
sRf^ Verstarkung
+ R, G^{s) = PI
o—C±l—»- ^ ~ ^
E{s) 1+Ry
^1
R2
\
'Rp2]
_ ^R(«) _ GR(^) E{s)
Verstarkung
R2 Ri
^ R = -
1 + sR^C^
PD E
Ri
-t
R^
Nachstellzeit
-t
E
^
Ri
EL R2
Vorhaltezeit
Ur,
^D = Rfi
Verstarkung
G„W
^
^
1 + siZjCj
Rf2
^'^i + Rfi PID
Rfi E
u^\
^<^i + Rf2
Nachstellzeit Tj = Rf^ + if^Cj
1+Vorhaltezeit T
=
iJjC7j + Rf^
5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
5.3.3.3
135
Pneumatische Regler
In vielen verfahrenstechnischen Aniagen, insbesondere in der chemischen Industrie, wird auch haute noch gelegentlich fiir Regelgerate Druckluft als Hilfsenergie und Signaltrager verwendet. Zur Ubertragung pneumatischer Signale, z.B. vom Regler zum Stellglied, werden Leitungen aus Kupferrohr oder Kunststoff (Innendurchmesser 4mm) benutzt. Die maximale Lange derartiger Signaliibertragungsleitungen liegt bei ca. 300 m. Als hauptsachliche Vorteile fiir die Einftihrung pneumatischer Regelgerate ([Sch71]; [SB04]) sind zu erwahnen, dass sie • leicht zu handhaben sind, • prinzipiell keine Explosionsgefahr erzeugen, und dass • pneumatisch betriebene Stellglieder besonders einfach und robust sind sowie grofie Stellkrafte erzeugen konnen. Gewohnlich liefern die mit pneumatischer Hilfsenergie arbeitenden Regelgerate Signale im Einheitsbereich zwischen 0,2 und 1,0 bar IJberdruck. Der Versorgungsdruck dieser Gerate betragt po ~ 1,4 bar. Das Duse-Prallplatte-System. Bild 5.3.9 zeigt als Beispiel einen Druckregelkreis mit einem pneumatischen P-Regler. Die Regelaufgabe besteht darin, den Druck in einer fluiddurchstromten Rohrleitung unabhangig von auftretenden Storungen konstant zu halten. Dazu wird der Rohrdruck als Regelgrofie ys{i) iiber ein Messglied erfasst und als pneumatisch umgeformtes Signal y{t) einem pneumatischen P-Regler zugeftihrt. Dieser bildet die Regelabweichung e(i) und verarbeitet e{t) zur Reglerausgangsgrofie UB.{t), also zum Stelldruck P R , der iiber ein Membranventil (Stellglied) in geeigneter Weise den Volumenstrom und damit den Druck in der Regelstrecke (Rohr) beeinflusst und Storungen ausregelt. Der P-Regler wird iiber eine Drossel mit einem Druck po ~ li4 bar versorgt. Den wichtigsten Tail das Raglers stellt das Duse-Prallplatte-System dar, wobei die Prallplatte vor dem Diisenaustritt als Waagebalken ausgefiihrt ist. Je nach Abstand zwischen Diise und Prallplatte kann als Reglerausgangsgrofie UR(t) ein Stelldruck PR im Bereich 0 < PR < Po eingestellt werden. Ist die Prallplatte weit von der Diise entfarnt, so argibt sich ein Stelldruck von pR « 0, da die Druckluft ungehindert aus dar Diisa austritt und somit der gesamte Versorgungsdruck an der Drossalstalle (Dr) abfallt. Befindet sich die Prallplatte jedoch dicht vor der Diise, so kann dort keine Luft ausstromen, so dass der Druckabfall an der Drossalstalle nahezu Null ist, und daher der Stelldruck ungefahr PB. ~ Vo wird, also den Wert des Versorgungsdruckes po annimmt. Gewohnlich wird dabei aber nur der Druckbereich pR = 0,2 bis 1,0 bar ausgenutzt. Lasst man zunachst den Riickfiihrbalg (RFB) aufier Betracht, so wird der Abstand zwischen Diise und Prallplatte aus dam Gleichgawicht der Krafte bestimmt, die durch die Fader (F) des Sollwertstallers und dan Massbalg (MB) harvorgerufen werden. An dieser Stella wird somit durch einen Kraftevergleich die Differenzbildung zwischen Sollwert- und Istwert der Regelgrofie durchgefiihrt, d.h. also die Regelabweichung e{t) = e{t) — y{t) gebildet, da man iiber die Fedarspannung dan Sollwert w einstallen kann. Bareits kleine Druckanderungen im Messbalg (MB) bewirken durch die hohe Ansprechampfindlichkeit dar Drossalstalle des Diise-Prallplatte-Systems starke Anderungan das Stelldruckes PR. Somit kann das DiisaPrallplatte-System als Verstarker mit hoher Verstarkung betrachtet werden.
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
136 Stellglied
Regelstrecke
ys
i-f •Po
'"1 Mefiglied Sollwertsteller "R = PR klein -*—^ grofi
MB
RFB rr? ////\•TTTi WTV
Regler Bild 5.3.9.
Druckregelung mit pneumatischem Druckregler
Der P-Regler. Der Riickfiihrbalg (RFB) hat die Aufgabe, die hohe Verstarkung des DiisePrallplatte-Systems zu reduzieren. Dabei kommt das im Abschnitt 5.3.3.1 vorgestellte Riickkopplungsprinzip zur Anwendung, demzufolge nach Bild 5.3.5 im vorliegenden Fall die Ausgangsgrofie des Reglers WR(i) iiber ein P-Glied mit der Verstarkung Kr an den Eingang zuriickgefiihrt wird. Dazu bringt man auf der dem Messbalg (MB) gegeniiberliegenden Seite des Waagebalkens einen weiteren Balg an, der an die Reglerausgangsgrofie WR(i) mit dem StelldruckpR angeschlossen wird und somit der Kraft des Messbalges (MB) entgegenwirkt (Riickkopplung). Dieser Riickfiihrbalg (RFB) besitzt ein vernachlassigbar kleines Volumen. Der mit mehreren Balgen versehene Waagebalken wird gewohnlich auch als Balgwaage bezelchnet. Je nach Lage des Drehpunktes S liefert der Riickfiihrbalg (RFB) einen mehr oder weniger grofien Beitrag zum Momentengleichgewicht der Balgwaage. Das bedeutet aber, dass durch Veranderung der Lage des Drehpunktes S die Riickfiihrverstarkung K^ eingestellt werden kann. Verschiebt man den Drehpunkt nach links, so erhoht sich K^, damit nimmt die Reglerverstarkung KR ah. Verschiebt man den Drehpunkt nach rechts, so nimmt K^ ah, damit wird aber die Reglerverstarkung K^. grofier. Der PI-Regler. Bild 5.3.10 zeigt, wie man den P-Regler zu einem PI-Regler erweitern kann. Man schliefit iiber ein Ventil (Dr2) an den Stelldruck PR einen weiteren Riickfiihrbalg (RFB2) an, dem als Energiespeicher zusatzlich ein mehr oder weniger grofies Volumen (Zusatzvolumen ZV) parallel geschaltet ist. Es soil - wie bei der Ableitung des PReglers ~ davon ausgegangen werden, dass auch das Volumen des Riickfiihrbalges (RFB2)
5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen
137
und des gesamten Rohrleitungssystems vernachlassigbar klein ist. Das Ventil (Dr2) stellt nun eine Drosselstelle dar, die eine Einstellung des Stromungswiderstandes ermoglicht. Erhoht man am Eingang dieser Drosselstelle sprungformig den Druck, so fallt die DifFerenz zwischen altem und neuem Druck zunachst voll an dieser Drosselstelle ab, da das noch „leere" Volumen von ZV zunachst aufgefiillt werden muss. Nach und nach wird dieses Volumen jedoch durch einstromende Luft gefiillt, und der Druck im Balg RFB2 steigt asymptotisch auf den neuen Wert an. Das Volumen ZV bildet zusammen mit der Drosselstelle ein PTi-Glied. Mit Dr2 =R und ZV =C kann man eine Analogie zu dem in Bild 4.3.9 gezeigten PTi-Glied herstellen. Ein nahezu geschlossenes Ventil entspricht einer groBen Zeitkonstanten. Das gesamte Riickfiihrglied besteht also aus der Parallelschaltung eines P- und eines PTi-Gliedes. Beide Ubertragungsglieder besitzen dieselbe Verstarkung, da im stationaren Zustand in RFBi und RFB2 der gleiche Druck herrscht. Damit lautet die Riickfiihrungsiibertragungsfunktion unter Beriicksichtigung des negativen Vorzeichens des PTi-Anteils Gr{s)
=Krll = Kr
1 + Ts
Ts l + Ts
(5.3.27)
Es handelt sich also um eine nachgebende Riickfiihrung, die nach den Uberlegungen von Abschnitt 5.3.3.1b zu einem PI-Regler fiihrt.
Sollwertsteller K klein -^ • grofi Prallplatte
Bild 5.3.10. Pneumatischer PI-Regler Der PID-Regler. Bild 5.3.11 zeigt die Erweiterung des PI-Reglers zu einem PID-Regler. Das Ruckfiihrglied, bestehend aus einer Parallelschaltung zweier PTi-Glieder, besitzt die Ubertragungsfunktion G,{s) = K,
1 1 + Ts iT2-T,)s l + (T2+Ti)s + r i T 2 s V 1 + Ts
(5.3.28)
5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme
138
Sorgt man dafiir, dass T2 stets groBer als Ti ist, so erhalt man als GK{S)
=
1
a(s)
1
T2+T1
KrT2-Ti
1 +
1 (Ti+T2)s
die Ubertragungsfunktion eines PID-Reglers
Dr
Sollwertsteller Dtise Prallplatte
klein -*
• grof5
z^^t
MB
Bild 5.3.11. Pneumatischer PID-Regler
T1T2 • T1+T2*,
(5.3.29)
139
6
Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsy st erne
6.1
Definition der Stabilitat und Stabilitatsbedingungen
Bei der Gegeniiberstellung der Begriffe Steuerung und Regelung in Kapitel 1 wurde bereits gezeigt, dass ein Regelkreis aufgrund der Riickfiihrungsstruktur instabil werden kann, d.h. dafi Schwingungen auftreten konnen, deren Amplituden (theoretisch) iiber alle Grenzen anwachsen. Im Abschnitt 2.3.7 wurde ein System als stabil bezeichnet, das auf jedes beschrankte Eingangssignal mit einem beschrankten Ausgangssignal antwortet. Nachfolgend soil nun naher die Stabilitat linearer Regelsysteme behandelt werden. Dazu wird zunachst folgende Definition eingefiihrt: Ein lineares zeitinvariantes Ubertragungssystera entsprechend Gl. (4.2.3) oder Gl. (4.2.16a) und (4.2.16b) heifit {asymptotisch) stabil, wenn seine Gewichtsfunktion asymptotisch auf Null abklingt, d.h. wenn gilt lim g{t) = 0.
(6.1.1)
Geht dagegen die Gewichtsfunktion betragsmaBig mit wachsendem t gegen unendlich, so nennt man das System instabil. Als Sonderfall sollen noch solche Systeme betrachtet werden, bei denen der Betrag der Gewichtsfunktion mit wachsendem t einen endlichen Wert nicht uberschreitet oder einem endlichen Grenzwert zustrebt. Diese Systeme werden grenzstabil genannt. (Beispiele: ungedampftes PTsS-Ghed, I-Glied). Diese Definition der Stabilitat zeigt, dass bei linearen Systemen die Stabilitat eine Systemeigenschaft ist, da ja die Gewichtsfunktion das Systemverhalten vollstandig beschreibt. 1st Gl. (6.1.1) erfiillt, so gibt es keine Anfangsbedingung und keine beschrankte Eingangsgrofie, die bewirken konnen, dass die Ausgangsgrofie iiber alle Grenzen wachst. Aufierdem kann diese Stabilitatsdefinition direkt zur Untersuchung der Stabilitat eines linearen Systems dadurch benutzt werden, dass man den Grenzwert der Gewichtsfunktion fiir i ^- oo bestimmt. Existiert der Grenzwert, und ist er Null, so ist das System stabil. Meist liegt jedoch die Gewichtsfunktion nicht als geschlossene Formel vor, so dass es recht aufwendig sein kann, den erforderlichen Grenzwert zu berechnen. Dagegen kennt man sehr haufig die Ubertragungsfunktion G{s) des Systems. Da G{s) die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion g{t) ist, muss die Stabilitatsbedingung gemaiJ Gl. (6.1.1) auch als Bedingung fiir G{s) formuliert werden konnen. Um dies zu zeigen, benutzt man die inverse Laplace-Transformierte, die im Abschnitt 4.1.4 besprochen wurde. Ist G{s) als rationale Ubertragungsfunktion
140
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme Gis) = ^ =
^
(6.1.2)
gegeben, und sind Sk = ak+]ijJk die Pole der Ubertragungsfunktion G{s), also die Wurzeln des Nennerpolynoms n
N{s) = a„(s - 5i) (s - S2) ... (s - s„) = V ' t t i s ' ,
(6.1.3)
i=0
so setzt sich die zugehorige Gewichtsfunktion n
i=i
analog zu Gl. (4.1.28) bzw. Gl. (4.1.31) aus n Summanden der Form gj{t) = Cjt^e'^\
M = 0,1,2,...,
j = 1,2,... ,n,
i = l,2,...,n
zusammen. Dabei ist Cj im Allgemeinen eine komplexe Konstante, und fiir mehrfache Pole Si der Vielfachheit r wird jj, = r — I > 0. Bildet man den Betrag dieser Funktion, so erhalt man \gM = ic.-f^e^'*! = jc.li'^e-**. Ist nun (Tj < 0, so strebt fiir i ^ 00 die e-Funktion gegen Null, und damit auch |(?j(i)|, selbst wenn /i > 0 ist, da bekanntlich die Exponentialfunktion schneller gegen Null geht als jede endliche Potenz von t anwiichst. Diese Uberlegung macht deutlich, dass Gl. (6.1.1) genau dann erfiillt ist, wenn samtliche Pole von G{s) einen negativen Realteil haben. Ist der Realteil auch nur eines Poles positiv, oder ist der Realteil eines mehrfachen Poles gleich Null, so wachst die Gewichtsfunktion mit t liber alle Grenzen. Es geniigt also zur Stabilitatsuntersuchung, die Pole der Ubertragungsfunktion G{s) des Systems, d.h. die Wurzeln 5^ seiner charakteristischen Gleichung P{s) = N{s) =ao + ais + S2S^ + . . . + a^s'' = 0,
(6.1.5)
zu iiberpriifen. Nun lassen sich die folgenden notwendigen und hinreichenden Stabilitatsbedingungen formulieren: a) Asymptotische
Stabilitat
Ein lineares Ubertragungssystem ist genau dann asymptotisch stabil, wenn fiir die Wurzeln Si seiner charakteristischen Gleichung Re Si < 0
fiir alle
Si(i = 1,2,... ,n)
gilt, oder anders ausgedriickt, wenn alle Pole seiner Ubertragungsfunktion in der linken s-Halbebene liegen. b) Instabilitat Ein lineares System ist genau dann instabil, wenn mindestens ein Pol seiner Ubertragungsfunktion in der rechten s-Halbebene liegt, oder wenn mindestens ein mehrfacher Pol (Vielfachheit r = 2 oder /x > 0) auf der Imaginarachse der s-Ebene vorhanden ist.
6.2 Algebraische Stabilitatskriterien
141
c) Grenzstabilitat Ein lineares System ist genau dann grenzstabil, wenn kein Pol der Ubertragungsfunktion in der rechten s-Halbebene liegt, keine mehrfachen Pole auf der Imaginarachse auftreten und auf dieser mindestens ein einfacher Pol vorhanden ist. Anhand der Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der s-Ebene (Bild 6.1.1) lasst sich also die Stabilitat eines linearen Systems sofort beurteilen. Gewohnlich ist die Berechnung der genauen Werte der Wurzeln der charakteristischen Gleichung nicht einfach. Auch ist es fiir regelungstechnische Problemstellungen oft nicht unbedingt notwendig, diese Wurzeln genau zu bestimmen. Fiir die Stabilitatsuntersuchung interessiert den Regelungstechniker nur, ob alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken s-Halbebene liegen oder nicht. Hierfiir gibt es einfache Kriterien, sog. Stabilitatskriterien, mit welchen dies leicht iiberpriift werden kann. Diese Kriterien sind teils in algebraischer (und damit numerischer) Form, teils als grafische Methoden anwendbar. jw
s-Ebene
jw
s -Ebene
a stabil
jw
);
s -Ebene
grenzstabil s -Ebene jw
-^it instabil
instabil
Bild 6.1.1. Beurteilung der Stabilitat eines linearen Systems anhand der Wurzelverteilung der charakteristischen Gleichung in der s-Ebene
6.2
Algebraische Stabilitatskriterien
Die algebraischen Stabilitatskriterien gehen von der charakteristischen Gleichung des zu untersuchenden Systems, Gl. (6.1.5), aus. Sie geben algebraische Bedingungen in Form von Ungleichungen zwischen den KoefRzienten a, an, die genau dann erfiillt sind, wenn alle Wurzeln des Polynoms in der linken s-Halbebene liegen.
6.2.1
Beiwertebedingungen
Als notwendige aber nicht hinreichende Bedingung fiir die asymptotische Stabilitat eines Systems gilt beim Beiwertekriterium, dass alle Koeffizienten ai{i = 0,1,...,n) der
142
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
zugehorigen charakteristischen Gleichung von Null verschieden sind und dasselbe Vorzeichen besitzen (Vorzeichenbedingung). Dies soil zunachst im folgenden bewiesen werden. Zerlegt man die auf a„ = 1 normierte charakteristische Gleichung in Wurzelfaktoren, so gilt Pis) = (S - Si) (S - S2) . . . (S - Sn) = 0.
(6.2.1)
Unter der Annahme, dass die ersten 2q dieser n Wurzeln q konjugiert komplexe Wurzelpaare S2i-i,2i = 0-2, ± iui2i
fiir
i = 1,2, ...,q
bilden, liefert Gl. (6.2.1) q
n
J J ( s - (T2i - jW2i) (s - 0-2i + jW2i) JJ (s - CT,) = 0. (6.2.2) i=l
i=2q+l
Bei asymptotischer Stabilitat gilt bekanntlich (Tj < 0 bzw. cr, = — |(Tj|
fiir alle Realteile CTJ.
Damit ergibt sich aus Gl. (6.2.2) q
n
n [(^ + \^2i\f + <^l] i=l
U
i'+ kil) = 0-
(6-2.3)
i=2q+l
Durch Ausmultiplizieren dieser Produktdarstellung erhalt man fiir die KoefRzienten ai vor den Gliedern s'(i = 0 , 1 , . . . ,n) nur positive und von Null verschiedene Werte. Wenn ein System stabil ist, dann treten also in dem charakteristischen Polynom alle KoefRzienten Oi auf, die zudem auch gleiches Vorzeichen besitzen. Dass die Umkehrung dieser Aussage nicht gilt, zeigt z.B. das System mit dem charakteristischen Polynom Pis) = s^ + 2s2 +2s + 40,
bei dem die Vorzeichenbedingung erfiillt ist. Die Nullstellen dieses Polynomes liegen jedoch bei si,2 = 1 ± 3j und S3 = —4. Das System ist somit instabil. Die Vorzeichenbedingung ist also notwendig, aber nicht hinreichend. Zur Bestimmung weiterer Stabilitatsbedingungen soil nachfolgend ein grenzstabiles System betrachtet werden mit einem Wurzelpaar auf der Imaginarachse 5i,i+l
= ±jwi
mit
LOi ^ 0.
(6.2.4)
Zu diesem Wurzelpaar gehort entsprechend Gl. (6.1.4) ein Summand der Gewichtsfunktion, der als Schwingung mit konstanter Amplitude darstellbar ist: giit) = CiCosiujit + (pi). Nun soUen die KoefRzienten der charakteristischen Gleichung eines solchen Systems naher untersucht werden. Ist Sj = jwj eine Wurzel der charakteristischen Gleichung, Gl. (6.1.5), so muss gelten PiioJi) = ao+ aiiioji) + 02(jwi)^ + ... + a„(jwi)" = 0
6.2 Algebraische Stabilitatskriterien
143
oder (ao - a2UJ^ + 040;^ - . . . + . . . ) + j(aia;j - asw? + aswf - . . . + ...) = 0 .
(6.2.5)
Diese Beziehung ist gerade dann erfiillt, wenn Real- und Imaginarteil fiir sich jeweils Null werden: ao = 020;? -I- 040;* - . . . - 1 - . . . = 0 (6.2.6) und wegen Wj 7^ 0 ai - asojf + a5uf - . . . -|-... = 0.
(6.2.7)
Durch Eliminierung von uii ergeben sich aus diesen Gleichungen die gesuchten hinreichenden Bedingungen fiir grenzstabiles Verhalten. Sind diese erfiillt, so kann man mit Gl. (6.2.6) oder Gl.(6.2.7) auch die Frequenz Wj = Wkr der Schwingung berechnen. Fiir die Anwendung der Gin. (6.2.6) und (6.2.7) als Stabilitatskriterium sei nun ein System 3. Ordnung betrachtet. Hierfiir lauten die Gin. (6.2.6) und (6.2.7) ao — a2oJl = 0
und
ai — asw? = 0.
Lost man diese beiden Gleichungen nach Wj auf und setzt die erhaltenen Ausdriicke gleich, so ergibt sich ^i
2 _ 2 - (^kr -
_ ^ _ ^ ^2 ~ a s •
Dabei ist Wkr die Frequenz der auftretenden Dauerschwingung. Diese Gleichung ist allerdings nur erfiillt, wenn aoos — aia2 =0 wird. Nur wenn die KoefRzienten a^ diese Bedingung erfiillen, ist somit ein System 3. Ordnung grenzstabil. Nun soil diese Beziehung fiir ein instabiles System gepriift werden. Dazu wird das zuvor behandelte Beispiel mit ao = 40, ai = 2, 02 = 2, as = 1 gewahlt. Es ergibt sich hierbei fiir obige Gleichung ttoas — aia2 = 40 — 4 = 36 > 0, also ein positiver Wert. (Anmerkung: Uber den Zusammenhang der Koeffizienten a, und der Wurzeln s^ der charakteristischen Gleichung lasst sich mit Hilfe des Vietaschen Wurzelsatzes zeigen, dass der Ausdruck aoos — aia2 dann und nur dann negativ wird, wenn ein System 3. Ordnung stabil ist.) Daher kann allgemein festgestellt werden: Ein System 3. Ordnung ist asymptotisch stabil, wenn a) die Vorzeichenbedingung und b) die Ungleichung aoas — aia2 < 0
(6.2.8)
erfiillt sind. Diese beiden Bedingungen sind zusammen notwendig und hinreichend. Hieraus ist ersichtlich, dass fiir ein System 2. Ordnung (as = 0) die Vorzeichenbedingung sowohl notwendig als auch hinreichend fiir asymptotische Stabilitat ist.
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
144
Entsprechend erhalt man anstelle der Ungleichung (6.2.8) fiir ein System 4- Ordnung aiOi + ooOg - aia203 < 0 ( falls alle at > 0)1 a4al + ooal — 010203 > 0 ( falls alle o, < 0)J '
.
s
wobei -
,,2
^ O3
gilt. Die entsprechenden Beziehungen fiir ein System 5. Ordnung mit Oj > 0 lauten: und
0205 — 0304 <0 (01O4 — ooos)^ — (0304 — 0205) (0102 - 00O3) < 0
(6.2.10)
mit 2
01
"23
Ww ^kr = •::— ± 205
4o?
05
fiir O3 — 405O1 > 0.
Fiir Systeme noch hoherer Ordnung ist die Herleitung der Beiwertebedingungen sehr aufwendig.
6.2.2
Das Hurwitz-Kriterium
Ein Polynom (mit o„ > 0) P{s) = Oo + Ois + . . . + ans" = an{s - si) (s - S2) . . . (s - s„)
(6.2.11)
helBt Hurwitz-Polynom, wenn alle Wurzeln Si{i = 1,2, . . . , n ) negativen Realteil haben. Ein lineares System ist also gemafi den zuvor eingefuhrten Stabilitatsbedingungen genau dann asymptotisch stabil, wenn sein charakteristisches Polynom ein Hurwitz-Polynom ist. Das von Hurwitz (1895) [Hur95] aufgestellte Stabilitatskriterium besteht nun in einem notwendigen und hinreichenden Satz von Bedingungen fiir die Koeffizienten eines Hurwitz-Polynoms: Ein Polynom P{s) ist dann und nur dann ein Hurwitz-Polynom, wenn folgende n Determinanten positiv sind: Di = o„_i > 0, D.=
D.
usw. bis
n~\
a„ > 0
fln-S
0,n-2
a„_i
On
0
O'n-a On-S
an-2 CLn-i
Ctn-1 dn-S
>0
6.2 Algebraische Stabilitatskriterien
145
Oin-3
0"n-2
>0
Dn0
0
...
(6.2.12)
ai
>0. Diese Bedingung hat zur Folge, dass alle Koeffizienten at von P{s) a) verschieden von Null sind und b) positive Vorzeigen haben. Folgende Anordnung der Koeffizienten kann als Hilfe zur Aufstellung der Hurwitz-Determinanten dienen: 0
0
0
On-l
On
0
On-4
On-S
On-2
ttn-l • • •
On-6
On-&
On-i
a„_3 . . .
Di
O'n-l
D2
0>n-3
0-71-2
Ds
Ora-5
Di
O'n-l
a-n
Die Determinanten D^ sind dadurch gekennzeichnet, dass in der Hauptdiagonale die Koeffizienten o„_i,a„_2,... ,a„_i, stehen {u = 1,2, . . . , n ) , und dass in den Zeilen die Koeffizientenindizes von links nach rechts aufsteigende Zahlen durchlaufen. Koeffizienten mit Indizes groiSer n werden durch Nullen ersetzt. Man muss bei Anwendung dieses Kriteriums samtliche Determinanten bis Dn-i auswerten. Die Bedingung fiir die letzte Determinante -D„ ist schon in der Vorzeichenbedingung enthalten. Wahrend fiir ein System 2. Ordnung die Determinantenbedingungen von selbst erfullt sind, sobald nur die Koeffizienten ao,ai,02 positiv sind, erhalt man fiir den Fall eines Systems 3. Ordnung als Hurwitzbedingungen i ^ l = 02 > 0
Do =
D.
02 Oo
as Oi
a2
as
0
OQ
ai
02
0
0
ao
= aia2 — aoOa > 0
= aoD2 > 0,
d.h. zur Forderung positiver Koeffizienten tritt noch die Bedingung (6.2.8) hinzu, die schon beim Beiwertekriterium hergeleitet wurde. Das Hurwitz-Kriterium eignet sich nicht nur zur Stabilitatsuntersuchung eines gegebenen Systems, bei dem alle a, numerisch vorliegen. Man kann es insbesondere auch bei Systemen mit noch frei wahlbaren Parametern dazu benutzen, den Bereich der Parameterwerte anzugeben, bei denen das System asymptotisch stabil ist. Dazu sei folgendes Beispiel betrachtet.
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
146
Beispiel 6.2.1 Bild 6.2.1 zeigt einen Regelkreis, bei dem der Bereich fiir KQ SO zu bestimmen ist, dass der geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil ist. 1 l + T^s
^^.r
?-
s
1 l + T^s
y.
Bild 6.2.1. Untersuchung eines einfachen Regelkreises auf Stabilitat Die Zeitkonstanten Ti und T2 der beiden Verzogerungsglieder seien bekannt und grofier als Null. Mit der Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises Ko s(l + T i s ) ( l + T 2 s )
Go{s)
s + (Ti+T2)s2+TiT2s3 erhalt man fiir die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises Gwis) =
Y{s) W{s)
Gois) l + Go{s)
durch Einsetzen von Go{s) Gwis) =
Ko+s
+
Ko iTi+T2)s^+TiT2S^'
Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises lautet also P{s) =Ko + s + {Ti+ Ta) s^ + T1T2S'' = 0. Nach dem Hurwitz-Kriterium sind fiir asymptotische Stabilitat nun folgende Bedingungen zu erfiillen: a) AUe KoefRzienten QQ = KQ, ai = 1, 02 = {Ti + T2) und as = T1T2 miissen positiv sein. Es muss also KQ > Q sein. b) Aufierdera muss (oia2 - asoo) > 0 gelten. Mit obigen KoefRzienten folgt daraus T1+T2- T1T2KQ > 0 und durch Auflosen nach KQ
T1+T2 T1T2 • Der geschlossene Regelkreis ist somit asymptotisch stabil fiir KQ<
T1+T2
o
6.2 Algebraische Stabilitatskriterien
6.2.3
147
Das Routh-Kriterium
Sind die KoefHzienten Oj der charakteristischen Gleichung zahlenmafiig vorgegeben, so empfiehlt sich zur Uberpriifung der Stabilitat eines Systems das Verfahren von Routh (1877) [Rou77]. Dabei werden die KoefRzienten ai{i = 0,1,...,n) in folgender Form in den ersten beiden Zahlen des Routh-Schemas angeordnet, das insgesamt (n + 1) Zeilen enthalt: 0 O-n-% • a-n O-n-2 O-n-i n n-1
In-l
0-n-Z
O'n-h
0-n-l
•
n-2
bn-1
b„-2
bn--i
bn-4
•
n—3
Cn-1
Cn-2
Cn-3
Cn—4
dn-l
dn-2
0
Sn-l
e-n-2
0
0 . 0 . 0
/n-1 9n-l
Die KoefRzienten 6„_i,6„_2,6n-3,... in der dritten Zeile ergeben sich durch die Kreuzproduktbildung aus den beiden ersten Zeilen: 0-n~lO-n-2 On-1
~ dnO-n-Z
-
Qn-l -l^n—4 h o ""On-2 — fln-l
^n^n—b
-lOri-6 — O'nO-n-7 h . ""On-Z — dn-l
Bei den Kreuzprodukten wird immer von den Elementen der ersten Spalte ausgegangen. Die Berechnung dieser 6-Werte erfolgt so lange, bis alle restlichen Werte Null werden. Ganz entsprechend wird die Berechnung der c-Werte aus den beiden dariiberliegenden Zeilen durchgefiihrt: Cn-l
=
Cn-2
=
Cn-3
=
bn-lO-n-3
—
0,n~lbn-2
bn-1
bn- - l ^ n - S — fln-l&n-S bn-1
bn- -Ifln-T
—
dn-lbn-A
bn-1
Aus diesen beiden neugewonnenen Zeilen werden in gleicher Weise weitere Zeilen gebildet, wobei sich schliefilich fiir die letzten beiden Zeilen die KoefRzienten
148
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme , _ e„-i
und 5 n - l = en-2
ergeben. Nun lautet das Routh-Kriterium: Ein Polynom P{s) ist dann und nur dann ein Hurwitz-Polynom, wenn folgende 3 Bedingungen erfiillt sind: a) alls KoefRzienten ai{i = 0,1, • • • ,n) sind von Null verschieden, b) alle KoefRzienten a^ haben positive Vorzeichen, c) samtliche KoefRziente n bji—ijCji—i usw. in der ersten Spalte des RouthSchemas sind positiv. Beispiel 6.2.2 P{s) = 240 + 110s + 505^ + 30s^ + 2s^ + s^. Das Routh-Schema lautet hierfiir: 5
1
4 3
30
110
0
2
50
240
0
5
-10
0
2
54
240
1
-32,22
0
240
0
Da in der 1. Spalte des Routh-Schemas ein Koeffizient negativ wird, ist das zugehorige System instabil. • Fiir den Nachweis der Instabilitat geniigt es deshalb, das Routh-Schema nur so weit aufzubauen, bis in der ersten Spalte ein negativer oder verschwindender Wert auftritt. Ohne weiteren Beweis soil noch angegeben werden, dass der Nachweis der Instabilitat bereits dann erbracht ist, wenn iiberhaupt ein negativer Wert an einer Stelle erscheint. So hatte das zuvor behandelte Beispiel bereits mit der 3. Zeile beendet werden konnen. Mit dem Routh-Schema lassen sich auch Systeme hoherer Ordnung einfach auf Stabilitat iiberpriifen. Die Giiltigkeit des Routh-Kriteriums lasst sich leicht anhand der Aquivalenz mit dem Hurwitz-Kriterium nachweisen. Aus den KoefRzienten der ersten Spalte des Routh-Schemas ist direkt der Zusammenhang mit den Hurwitz-Determinanten in folgender Form zu ersehen: Di = a„_i D2 = a„_i6„_i = Dibn-i D3 = In-lbn-lCn-l
Dn
— -D2C„_i
— 0,n-lbn-lCn-l . • . dn-ien-lfn-l9n-l
— -Dn-lSn-l
6.3 Das Kriterium von Cremer-Leonhard-Michailow
149
Die Koeffizienten 6 „ _ i , c „ _ i . . . in der ersten Spalte des Routh-Scfiemas ergeben sich also gerade als Quotienten aufeinanderfolgender Hurwitz-Determinanten. Sind alle HurwitzDeterminanten positiv, dann sind auch ihre Quotienten und damit auch die Koeffizienten der ersten Spalte im Routh-Schema positiv. Sind die Koeffizienten des Routh-Schemas positiv, dann sind auch, da a„_i = Di, alle Hurwitz-Determinanten positiv. Das RouthKriterium ist somit dem Hurwitz-Kriteriums aquivalent.
6.3
Das Kriterium von Cremer-Leonhard-Michailow
Wahrend bei Systemen mit gebrochen rationalen Ubertragungsfunktionen die zuvor behandelten Stabilitatskriterien viber die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung algebraische Bedingungen fiir die asymptotische Stabilitat liefern, erfordert das CremerLeonhard-Michailow-Kriterium - zumindest bei der Herleitung - grafische Uberlegungen. Bei diesem Kriterium, das in leicht modifizierter Form unabhangig voneinander von Cremer (1947), Leonhard(1944) und Michailow (1938) formuliert wurde ([Cre53], [Leo44], [Mic38]), betrachtet man das charakteristische Polynom P{s) fiir s = jw im Bereich 0 < w < 00. Dabei lasst sich P(ja;) =ao + aiQco) + a2{iLof + ... + a„(ja;)" = [/(w) + jy(w)
(6.3.1)
in der komplexen F-Ebene als Ortskurve darstellen. Diese Ortskurve wird auch als Cremer-Leonhard-Michailow-Ortskurve (CLM-Ortskurve) bezeichnet. Mit Hilfe dieser CLM-Ortskurve kann nun das Stabilitatskriterium wie folgt formuliert werden: Ein System mit der charakteristischen Gleichung P(s) = ao + ais + a2S^ -I-... -I- anS^ = 0 ist dann und nur dann asymptotisch stabil, wenn die Ortskurve P(jw) fiir 0 < w < 00 einen Zuwachs des Phasenwinkels von m:/2 besitzt, d.h. sich in positiver Richtung durch n aufeinanderfolgende Quadranten um den NuUpunkt dreht. (Der Phasenwinkel wird dabei im Gegenuhrzeigersinn (also mathematisch) positiv gezahlt.) Entsprechende Beispiele fiir derartige Ortskurven sind im Bild 6.3.1 dargestellt. Zum Beweis dieses Kriteriums wird die Ortskurve in Wurzelfaktoren zerlegt: P{}u) = a„(jw - si) (jw - S2)... (jw - s„),
(6.3.2)
wobei nur der Phasenwinkel der Ortskurve PQuj) = an \iu - sil \joj - S2I . . . Ijw - sn\ eJ('^^+'^^+-+'^"), also n
ip = arg[P(jw)] = Y^ arg(jw - Si)
(6.3.3)
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
150
= 2tjIm[P(jw)]-jFH
'^ilMP{ioj)] = iV{uj)
n = 5
n = 5
Re[F(ja;)]
n = 3 U(w)
0 Bild 6.3.1. System
©
Ortskurven P(jw) fiir (a) asymptotisch stabile Systeme und (b) ein instabiles
interessiert. Zunachst gilt fiir den Phasenwinkel eines reellen Wurzelfaktors (jw — Sj) ipi = arg(jw — Si) = arctan -
(6.3.4)
Durchlauft u) nun den Bereich 0 < w < oo, so erhalt man fiir die zwei interessierenden Falle von Sj folgende Phasenwinkel: Sj > 0 : Si < 0 :
TT > 7r/2 0 < tpi < IT/2
((/?, nimmt um TT/2 ab) {(fi nimmt um TT/2 ZU)
Entsprechend erhalt man ein konjugiertes komplexes Wurzelpaar Si_j+i = a ± j6 als Phasenwinkel des Produkts der zugehorigen Wurzelfaktoren (fi = arg [(jw - o - j6) (jw - a + j6)] = arg(-a;^ + a^ + 6^ - 2jwa) (6.3.5) -2ow = arctan • ,2' a^ + &2 — t^;^ Durchlauft u) wieder den Bereich 0 < w < oo, so kann man beziiglich des Gesamtwinkels ifi des Wurzelpaares zwei Falle unterscheiden: Re Sj = a > 0 : Re Sj = a < 0 :
> ipi > TT
(ipi nimmt um 27r/2 ab)
0 <
{ifii nimmt um 27r/2 zu)
2TT
Aus diesen Uberlegungen, die anschaulich auch direkt aus Bild 6.3.2 hervorgehen, folgt, dass beim Durchlaufen der Frequenzen von w = 0 bis w = oo der Phasenwinkel der Ortskurve fiir jede Wurzel mit negativem Realteil um 7r/2 wachst. Liegen samtliche n Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken s-Halbebene (ist also das System asymptotisch stabil), dann wachst 0 gilt, ist das Anwachsen von ip geringer. Bei Vorhandensein von Wurzeln mit Res, = 0 lauft die Ortskurve PQuj) durch den Nullpunkt und die Entscheidung dariiber, ob Grenzstabilitat oder Instabilitat vorliegt, kann mit diesem Verfahren nicht getroffen werden.
151
6.3 Das Kriterium von Cremer-Leonhard-Michailow
"j'^ 0
Bild 6.3.2. Zum Beweis des Cremer-Leonhard-Michailow-Kriteriums bei verschiedenen Lagen der Wurzeln s, der charakteristischen Gleichung: (a) Reelle Wurzel Sj > 0 {instabit}: ipi nimmt um %/2 ab. (b) Reelle Wurzel s, < 0 {asymptotisch stabil): ipi nimmt um 7r/2 zu. (c) Konjugiert komplexes Wurzelpaar Res, > 0 (instabit): fi = ifi + ip2 nimmt um 2-K/2 ab. (d) Konjugiert komplexes Wurzelpaaj Res, < 0 (asymptotisch stabit); (fit = (fi + (p2 nimmt um 27r/2 zu. Das hier beschriebene Kriterium lasst sich auch in der Form des Luckenkriteriums angeben: Ein System mit der charakteristischen Gleichung gemafi Gl. (5.1.8) ist dann und nur dann asymptotisch stabil, wenn in der entsprechenden Ortskurve
Piiuj)^Uioj)+iViu) Realteil U{u) und Imaginarteil V(u]) zusammen n reelle NuUstellen im Bereich 0 < w < oo besitzen und bei wachsenden w-Werten die NuUstellen von U{uj) und V(u>) einander abwechseln. Der Beweis dieses Satzes ist direkt aus dem Verlauf der CLM-Ortskurve ersichtlich, wenn U{uj) und V{uj) iiber w dargestellt werden (Bild 6.3.3). Abschliefiend soil anhand eines Beispiels die Anwendung des Cremer-Leonhard-MichailowKriteriums bzw. des Luckenkriteriums demonstriert werden. Beispiel 6.3.1 Gegeben sei das charakteristische Polynom P(s) = 2 + 5s + 7s^ + 8s^ + 4s^ + s^
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
152
© Re[P(ja;)]
stabil P(jw)
®
=
U{LO)
P{i^\
^C^
instabil
Re[P(ja;)]
Bild 6.3.3. Verlauf der CLM-Ortskurve Pijw) bzw. U{u)) und V(w) fiir (a) ein stabiles und (b) ein instabiles System aus dem man mit s = jw die Gleichung der CLM-Ortskurve P(jw) = 2 + 5jw + liiujf + 8(ja;)3 + A{]Lof + {]ujf = 2 - 7w2 + 4w* + j(5w - Sw^ + uj^) =
U{uj)+W{^)
erhalt. Der Realteil U{io) = 2 - 7^2 + 40;" = 0 besitzt die NuUstellen ul = 0,36
und
w| = 1,39.
Der Imaginarteil V{uj) = 5a; - 8w^ + w^ = 0 besitzt die NuUstellen ws = 0 ,
w| = 0,68
und
Ji = 7,32.
Insgesamt sind n = 5 reelle NuUstellen Wj > 0 des Real- und Imaginarteils vorhanden. Diese wechseln sich jeweils ab, da ws < wi < W4 < a;2 < W5 gilt. Somit ist das System asymptotisch stabil.
6.4
•
Das Nyquist-Kriterium
Dieses Verfahren [Nyq32], das 1932 urspriinglich fiir Stabilitatsprobleme riickgekoppelter Verstarker entwickelt wurde, ist speziell fiir regelungstechnische Problemstellungen geeignet. Es ermoglicht, ausgehend vom Verlauf der Erequenzgangortskurve GQ{}U:) des offenen Regelkreises, eine Aussage iiber die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises. Fiir die praktische Anwendung geniigt es, dass der Prequenzgang Go(jw) grafisch vorliegt. Folgende Griinde sprechen fiir dieses Kriterium:
6.4 Das Nyquist-Kriterium
153
• Go{i(jj) lasst sich in den meisten Fallen aus einer Hintereinanderschaltung der einzelnen Regelkreisglieder ermitteln, deren Kennwerte bekannt sind. • Experimentell ermittelte Prequenzgange der Regelkreisglieder oder auch GoQco) insgesamt konnen direkt beriicksichtigt werden. • Das Kriterium ermoglicht die Untersuchung nicht nur von Systemen mit konzentrierten Parametern, sondern auch von solchen mit verteilten Parametern (z.B. TotZeitsysteme). • tjber die Prequenzkennlinien-Darstellung von Go (jw) lasst sich nicht nur die Stabilitatsanalyse, sondern auch der Entwurf (Synthese) stabiler Regelsysteme einfach durchfiihren. Das Kriterium kann sowohl in der Ortskurven-Darstellung als auch in der Prequenzkennlinien-Darstellung angewandt werden. Beide Darstellungsformen sollen nachfolgend besprochen werden.
6.4.1
Das Nyquist-Kriterium in der Ortskurven-Darstellung
Zur Herleitung des Kriteriums geht man von der gebrochen rationalen Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises (ohne Vorzeichenumkehr)
aus. Dann werden folgende Annahmen getroffen: 1. Die Polynome Zo{s) und No{s) seien teilerfremd. 2. Es sei GradZo(s) =m
(6.4.2)
Dies ist fiir physikalisch realisierbare Systeme stets erfiillt. Die Pole /3i des offenen Regelkreises ergeben sich als Wurzeln seiner charakteristischen Gleichung iVo(s) = 0.
(6.4.3)
Nun interessieren fiir die Stabilitatsuntersuchung gerade die Pole ai des geschlossenen Regelkreises, also die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die man durch Nullsetzen des Nennerausdrucks der Gin. (5.1.2) oder (5.1.3) aus der Bedingung
in der Form P{s) = Nsis) = No{s) + Zois) = 0
(6.4.4b)
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
154
erhalt. Wegen Gl. (6.4.2) gilt Gv3,d{Ng{s)} - n. Es muss also die Funktion G'{s) = 1 + Go{s) naher untersucht werden. Die Nullstellen dieser Funktion stimmen mit den Polstellen des geschlossenen Regelkreises, ihre Polstellen mit den Polstellen des offenen Regelkreises liberein. Damit ist folgende Darstellung moglich: n (s - ai)
G'is) = l + Go{s)=k',i=^
,
(6.4.5)
n (s - Pi) t=i
wobei Oi die Pole des geschlossenen Regelkreises und /S, die Pole des offenen Regelkreises beschreiben. Beziiglich der Lage der Pole sei gemafi Bild 6.4.1 angenommen, dass a) von den n Polen ai des geschlossenen Regelkreises N in der rechten s-Halbebene, f auf der Imaginarachse und {n — N — v) in der hnken s-Halbebene hegen. Entsprechend sollen b) von den n Polen Pi des offenen Regelkreises P in der rechten s-Halbebene, /Lt auf der Imaginarachse und (n — P — /u) in der linken s-Halbebene liegen.
n — P — fi
P
offener Regelkreis
geschlossener Regelkreis
Bild 6.4.1. Zur Lage der Pole des offenen und geschlossenen Regelkreises in der s-Ebene (mehrfache Pole werden entsprechend ihrer Vielfachheit mehrfach gezahlt) P und p werden als bekannt vorausgesetzt. Dann wird versucht, A'' und v aus der Kenntnis der Frequenzgang-Ortskurve von Go(jw) zu bestimmen. Dazu bildet man mit s = jw den Frequenzgang G'(jc^) = l + Go(ja;) = ^ ^ ,
A^o(jw)'
fiir dessen Phasengang die Beziehung
(6.4.6)
6.4 Das Nyquist-Kriterium
155
ifioj) = arg[G'(jw)] = arg[iVg(jw)] - arg[iVo(jw)] gilt. Durchlauft ui den Bereich 0 < w < oo, so setzt sich die Anderung der Phase Aip = (p(oo) - ip{0) aus den Anteilen der Polynome iVg(jw) und iVo(ja;) zusammen: Aifi = A(^g — AipoFiir diese Anteile konnen direkt die Uberlegungen aus Abschnitt 6.3 angewandt werden: Jede Wurzel des Polynoms Ng{s) bzw. No(s) liefert zu A(pg bzw. Aipo einen Betrag von +7r/2, wenn sie in der linken s-Halbebene liegt, und jede Wurzel rechts der Imaginarachse liefert einen Betrag von -7r/2. Diese Phasenanderungen. erfolgen stetig mit u). Jede Wurzel j5 auf der Imaginarachse {5 > 0) bewirkt dagegen eine sprungformige Phasenanderung von TT beim Durchlauf von jw durch j5. Dieser unstetige Phasenanteil soil aus Griinden, die weiter unten leicht einzusehen sind, unberucksichtigt bleiben. Man erhalt also fur den stetigen Anteil A<^s der Phasenanderung A<^ mit den oben definierten Grol3en Alps = [{n-N-iy)-N] w/2 - [(n - P - fi) - P] TT/2 = {n-2N -u) IT/2 -{n-2P-fj.) 7r/2, oder Alps = [2(P -N)+n-u] n/2.
(6.4.7)
1st nun aufier P und /i auch A(ps bekannt, so kann aus Gl. (6.4.7) ermittelt werden, ob N > 0 oder/und u > 0 ist, d.h. ob und wie viele Pole des geschlossenen Regelkreises in der rechten s-Halbebene und auf der Imaginarachse liegen. Zur Ermittlung von Ai^s wird die Ortskurve von G'Qu) = l + Go(j'^) gezeichnet und der Phasenwinkel iiberpriift. ZweckmaBigerweise verschiebt man jedoch diese Kurve um den Wert 1 nach links und verlegt den Drehpunkt des Zeigers vom Koordinatenursprung nach dem Punkt (-1, jO) der Go(ja;)-Ebene, der auch als „kritischer Punkt" bezeichnet wird. Somit braucht man gemal3 Bild 6.4.2 nur die Ortskurve Go(ji^) des offenen Regelkreises zu zeichnen, um die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises zu iiberpriifen. Dabei gibt nun Aips die stetige Winkelanderung des Fahrstrahls vom kritischen Punkt (-1, jO) zum laufenden Punkt der Ortskurve Go(jw) fiir 0 < w < oo an. Geht die Ortskurve durch den Punkt (- 1, jO), oder besitzt sie Unendlichkeitsstellen, so entsprechen diese Punkte den NuUstellen bzw. Polstellen von G' (s) auf der Imaginarachse, deren Grofie aus der Ortskurve Go(ja)) nicht eindeutig ablesbar ist. Aus diesem Grund wurden sie zur Herleitung von Gl. (6.4.7) nicht beriicksichtigt. Bild 6.4.3 zeigt z.B. eine solche Ortskurve GoQui), bei der zwei unstetige Winkelanderungen auftreten. Die stetige Winkelanderung ergibt sich dabei aus drei Anteilen A<^s = A
(Man beachte, dass die Drehung in Gegenuhrzeigerrichtung im mathematischen Sinn positiv zahlt.) Die bis hierher erarbeiteten Ergebnisse soUen wie folgt nochmals zusammengefasst werden:
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
156 i
'jIm[G']
G -Ebene w=0 Re[G'
/A Bild 6.4.2. Ortskurven von G'(ja;) und Go(jw)
Re[GJ Tangente
Bild 6.4.3. Zur Bestimmung der stetigen Winkelanderung ^ips Durchlauft w den Bereich von 0 bis +oo, dann betragt die stetige Winkelanderung A<^s des Fahrstrahls vom kritischen Punkt ( - 1 , jO) zum laufenden Punkt der Ortskurve von Go(ja;) des offenen Regelkreises gemafi Gl. (6.4.7)
^^^
=
[2{P-N)+^l-v]•K|2,
wobei die ganzzahligen Grofien P,N,n und u bereits anschaulich im Bild 6.4.1 dargestellt wurden. Da der geschlossene Regelkreis genau dann asymptotisch stabil ist, wenn N = v = 0 ist, folgt aus Gl. (6.4.7) die allgemeine Fassung des Nyquist-Kriteriums: Der geschlossene Regelkreis ist dann und nur dann asymptotisch stabil, wenn die stetige Winkelanderung des FaJirstrahls vom kritischen Punkt (- 1, jO) zum laufenden Punkt der Ortskurve von Go(jw) des offenen Regelkreises A<^s = PTT + /U7r/2 betragt.
(6.4.8)
6.4 Das Nyquist-Kriterium
157
Fiir den Fall, dass die Verstarkung des ofFenen Regelkreises KQ negativ ist, erscheint die zugehorige Ortskurve um 180° gedreht gegenuber derjenigen Ortskurve, die man mit dem positiven KQ erhalt. Das Nyquist-Kriterium gilt unverandert auch dann, wenn der ofTene Regelkreis eine Totzeit enthalt. Da der Beweis hierfiir sehr aufwendig ist, sei aus Platzgriinden darauf verzichtet.
6.4-1-1
Anwendungsheispiele
zum Nyquist-Kriterium
Um die Anwendung des Nyquist-Kriteriums zu veranschaulichen, werden nachfolgend einige Beispiele betrachtet. Im Bild 6.4.4 sind Ortskurven solcher Systeme dargestellt, deren Ubertragungsfunktion GQ{S) keine Pole auf der Imaginarachse besitzt {/J, = 0). Diese Ortskurven beginnen fiir w = 0 auf der reellen Achse und enden fiir w -> oo im Ursprung der komplexen Go-Ebene. Daher ist die Winkelanderung immer ein ganzzahliges Vielfaches von IT. Geht die Ortskurve bei w = Wa durch den Punkt ( - 1 , jO), so hat der geschlossene Regelkreis einen Pol s = jwa (und damit auch s = -jWa) auf der Imaginarachse, da fiir ui =LOa offensichtlich gilt: l + Go(jWa)=0. In den Beispielen tritt dieser Fall nicht auf; es gilt also immer f = 0. Die Zahl der Pole des geschlossenen Regelkreises in der rechten s-Halbebene lasst sich nun anhand von Gl. (6.4.7) bestimmen zu: N = P + n/2- Aifs/TT. (6.4.9) Wird in Beispiel (a), das - wie man leicht sieht - ein stabiles System reprasentiert, die Verstarkung KQ des offenen Regelkreises vergr5fiert, so blaht sich die Ortskurve auf, erreicht und iiberschreitet den Punkt (- 1, jO). Damit erhalt man den als Beispiel (b) dargestellten Fall. Dabei andert sich A<^s von 0 nach -27r und da A'' > 0 wird, ist der geschlossene Regelkreis instabil. Im Beispiel (c) ist ein stabiles System dargestellt, das jedoch sowohl bei Vergrofierung als auch bei Verkleinerung von KQ instabil wird. Man bezeichnet ein solches System auch als bedingt stabil. Beispiel (d) stellt ebenfalls ein bedingt stabiles System dar. Als Beispiele fiir den Fall, dass Pole des offenen Regelkreises auf der Imaginarachse auftreten, sei der wichtige Spezialfall von Polen im Ursprung betrachtet, da haufig der offene Regelkreis I-Verhalten besitzt. Bild 6.4.5 zeigt einige Ortskurven solcher Systeme und veranschaulicht die Anwendung des Nyquist-Kriteriums. Die Ortskurven beginnen fiir 6J = 0 im Unendlichen und enden im Ursprung. Demzufolge ist A<^s immer ein ganzes Vielfaches von 7r/2. Nach Gl. (6.4.9) ergibt sich auch in diesem Fall fiir N stets ein ganzzahliger Wert.
6.4-1-2
Anwendung auf Systeme mit Totzeit
Wie schon oben erwahnt, ist das Nyquist-Kriterium unverandert auch dann giiltig, wenn der offene Regelkreis eine Totzeit enthalt. Es ist das einzige der hier behandelten Stabi-
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
158
Vorgegebenes System Ortskurve G„(ja;)Pole von GJs)
®
jIm[Go],
Stabilitatsaussage
P = 0 /i= 0
A
P= 0 p= 0
Zly9g=-27r=^7V=2:mstabil
P=0 // = 0
Zi^s = 0 =^ N= 0: stabil
1
j ^ ^ oo
f -^\^
RBIGQ
Joj^Q
N^c.
^o(j^)
P = 2 //= 0
A(P„ = 2TT=:^N=Q:
stabil
Bild 6.4.4. Beispiele zur Anwendung des Nyquist-Kriteriums bei Systemen, deren Ubertragungsfunktion Go(s) keine Pole auf der Imaginarachse besitzt
6.4 Das Nyquist-Kriterium
159
Vorgegebenes System: Ortskurve GJjoj) Pole von GJs)
-1
V
Stabilitatsaussage
.tL F=0
A
Go(jw)— °
5(1 + TS)
LO^O
LO = 0
P=0 //= 2
A(p„=— 7r=>-/V=2:instabil
P= 1 ^=1
Zi^g=-7r/2=^iV=2:instabil
5^(1 + Ts)
F=0
Aipg=-2,Tr/2 =^iV=2:instabil
Bild 6.4.5. Beispiele zur Anwendung des Nyquist-Kriteriums bei I-Verhalten des offenen Regelkreises
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
160
litatskriterien, das fiir diesen Fall anwendbar ist. Dazu werden zwei Beispiele betrachtet: Beispiel 6.4-1 Bei einem Regelkreis, der aus einem P-Regler und einer reinen Totzeitregelstrecke besteht, lautet die charakteristische Gleichung l + Go(s) = l + i^Ri^se-
-sTt
0.
Die Ortskurve von GoQw) = KQQ^^"'^^ (mit KQ = K-nKs) beschreibt einen Kreis mit dem Radius \Ko\, der fiir 0 < w < co unendlich oft im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Da der offene Regelkreis stabil ist, ist P = 0 und /x = 0. Gemafi Bild 6.4.6 konnen zwei Falle unterschieden werden: a) if0 < 1 : Atps = 0.
Der geschlossene Regelkreis ist somit stabil.
b) Ko> \ : A(/?s = — 00.
Der geschlossene Regelkreis weist instabiles Verhalten auf.
Bild 6.4.6. Ortskurve des Prequenzganges eines reinen Totzeitgliedes mit der Verstarkung Ko fiir (a) stabiles und (b) instabiles Verhalten des geschlossenen Regelkreises
Beispiel 6.4-2 Gegeben sei der im Bild 6.4.7 dargestellte Regelkreis. Gesucht ist der Bereich von K^, fiir den der geschlossene Regelkreis stabil ist. Die Regelstrecke habe die Daten T^ = Is; T = 0,1s und Ks = 1- Da der offene Regelkreis mit Go(s) = G R ( S ) G S ( S ) stabil ist (P = 0,/x = 0), muss fiir einen stabilen geschlossenen Regelkreis die Winkelanderung des Fahrstrahls vom kritischen Punkt zur Ortskurve jvon Go(jaj) gerade A(/JS = 0 werden. Bild 6.4.8 zeigt die Situation fiir ein solches K-R,, bei dem der geschlossene Regelkreis stabil ist. Man erkennt hieraus unmittelbar folgenden Sachverhalt: VF
Bild 6.4.7.
G^{s) = K^
Einfacher Regelkreis mit Totzeit
GJs) = - S ^ ' 1 + Ts
r.
6.4 Das Nyquist-Kriterium
161
Bild 6.4.8. Ortskurve des Frequenzganges des offenen Regelkreises nach Bild 6.4.7 fiir einen stabilen Fall • Die Ortskurve des oifenen Regelkreises hat unendlich viele Schnittpunkte mit der reellen Achse. • Die Lage des Schnittpunktes mit der niedrigsten Frequenz W2 > 0 entscheidet iiber die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises. Liegt er rechts vom kritischen Punkt (- 1, jO), so ist die Winkelanderung Af^s = 0 und damit der geschlossene Regelkreis stabil. Liegt er jedoch links vom kritischen Punkt, so ist die Winkelanderung Aifis < —2w und der geschlossene Regelkreis wird instabil. VergroBert man KR so lange, bis die Ortskurve von Go(jw) bei einem Wert i^TRkrit uiit der Frequenz U2 gerade den kritischen Punkt (- 1, jO) schneidet, so entspricht dieser Fall einer tJbertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem Polpaar ±ja;2 auf der Imaginarachse. Damit liegt grenzstabiles Verhalten vor, d.h. der Regelkreis arbeitet an der Stabilitatsgrenze. Zunachst bestimmt man die kritische Frequenz W2 und betrachtet dazu die charakteristische Gleichung fiir s = jw: 1 + i ^ R ^ „. =01 + Tjuj Mit den obigen Zahlenwerten gilt I + KR
1 + 0,ljw
0
Oder K^iicosuj - jsinw) = —1 - jO,la;. Die Aufspaltung in Real- und Imaginarteil liefert Kjicosuj =—1
und
KY^smu} = 0,lu.
(6.4.10)
Durch Division beider Gleichungen kann K^i eliminiert werden: smw = tano) = —0,1a;. cosw
(6.4.11)
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
162
Die Losungen dieser Gleichung sind nun diejenigen w-Werte, bei denen (fiir entsprechendes K^) die Ortskurve durch den kritischen Punkt gehen kann, also genau die Werte uii,ui2,-.. im Bild 6.4.8. Man erhalt sie beispielsweise grafisch aus Bild 6.4.9 oder mit Hilfe des Newtonschen Verfahrens zu u}i=Os~^,
0^2= 2,86 s""^,
W3=5,76s^^,
"—0, lw;tana)
Bild 6.4.9. Grafische Losung der Gl. (6.4.11) Wie schon erwahnt, bestimmt W2 den maximalen Wert von K^. Man erhalt ihn durch Einsetzen von uj2 in die charakteristische Gleichung, z.B. in der Form von Gl. (6.4.10). Es ergibt sich 1 0,lW2 K,Rkrit — 1,04. cos W2 sm W2 Der gesuchte Bereich fiir K^ ist somit 0
6.4-1-3
1,04.
Vereinfachte Formen des Nyquist-Kriteriums
In vielen Fallen ist der offene Regelkreis stabil, also P = 0 und yu = 0. In diesem Fall folgt aus Gl. (6.4.8) fiir die Winkelanderung A(ps = 0. Dann kann das Nyquist-Kriterium wie folgt formuliert werden:
I
Ist der offene Regelkreis asymptotisch stabil, so ist der geschlossene Regelkreis
genau dann asymptotisch stabil, wenn die Ortskurve des offenen Regelkreises den kritischen (- 1, jO) weder umkreist noch durchdringt. Eine andere FassungPunkt des vereinfachten Nyquist-Kriteriums, die auch angewandt werden kann, wenn Go{s) Pole bei s = 0 besitzt, ist die sogenannte „Linke-Hand-Regel":
6.4 Das Nyquist-Kriterium
163
Der offene Regelkreis habe nur Pole in der linken s-Halbebene, aufier einem 1- oder 2-fachen Pol bei s = 0 (P-, I- oder l2-Verhalten). In diesem Fall ist der geschlossene Regelkreis genau dann asymptotisch stabil, wenn der kritische Punkt (- 1, jO) in Richtung wachsender w-Werte gesehen links der Ortskurve von Go(jw) liegt. Diese Fassung des Nyquist-Kriteriums reicht in den meisten Fallen aus. Dabei ist der Teil der Ortskurve mafigebend, der dem kritischen Punkt am nachsten liegt. Bei sehr komplizierten Ortskurvenverlaufen sollte man jedoch auf die allgemeine Fassung des Kriteriums zuriickgreifen. Man kann die Linke-Hand-Regel anschaulich aus der verallgemeinerten Ortskurve (Abschnitt 4.2.7) herleiten, wenn man das die Ortskurve GQQLJ) begleitende cr,w-Netz betrachtet. Danach ist asymptotische Stabilitat des Regelkreises dann gewahrleistet, wenn eine Kurve mit a < 0 durch den kritischen Punkt (- 1, jO) lauft. Diese Netzkurve Uegt aber bekanntlich links der Ortskurve von GQQLO).
6.4.2
Das Nyquist-Kriterium in der Frequenzkennlinien-Darstellung
Wegen der einfachen grafischen Konstruktion der Frequenzkennlinien einer vorgegebenen Ubertragungsfunktion ist die Anwendung des Nyquist-Kriteriums in dieser Form oftmals bequemer. Dabei muss die stetige Winkelanderung Aips des Fahrstrahls vom kritischen Punkt (- 1, jO) zur Ortskurve von Godoj) durch den Amplituden- und Phasengang von Goi}(^) ausgedriickt werden konnen. Aus Bild 6.4.10 geht anschaulich hervor, dass diese Winkelanderung direkt durch die Anzahl der Schnittpunkte der Ortskurve mit der reellen Achse links vom kritischen Punkt, also im Bereich (-oo, — 1) bestimmt ist. Das NyquistKriterium lasst sich also auch mittels der Anzahl dieser Schnittpunkte darstellen. Damit kann es auch leicht in die Frequenzkennlinien-Darstellung iibertragen werden. Es muss jedoch im folgenden vorausgesetzt werden, dass die Verstarkung des offenen Regelkreises positiv ist.
s+ = 1
s—J
jlm[(?j^ L
= 1
''''~X+ - 1 / ^
w —> oo
Re[G'o
(jj
Bild 6.4.10. Zur Definition positiver (4-) und negativer (-) Schnittpunkte der Ortskurve Go(ju>) niit der reellen Achse links vom kritischen Punkt Zunachst werden die Schnittpunkte der Ortskurve von
GQQUJ)
mit der reellen Achse im
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
164
Bereich (—00, — 1) betrachtet. Man definiert einen Ubergang von der oberen in die untere Halbebene in Richtung wachsender w-Werte gesehen als positiven Schnittpunkt, wahrend der umgekehrte Ubergang einen negativen Schnittpunkt daxstellt (Bild 6.4.10). Wie man aus dem Verlauf der Ortskurve leicht erkennt, ist die Winkelanderung A<^s = 0, wenn die Anzahl der positiven Schnittpunkte 5*+ und die Anzahl der negativen Schnittpunkte S~ links vom kritischen Punkt gleich ist. Aips hangt also direkt mit der DifFerenz der Anzahl der positiven und negativen Schnittpunkte zusammen, und es gilt fiir den Fall, dass der offene Regelkreis keine Pole auf der Imaginarachse besitzt: Aifs
=27riS+
-S-).
Bei einem offenen Regelkreis mit einem I-Anteil, also einem einfachen Pol im Ursprung der komplexen Ebene (/x = 1), beginnt die Ortskurve fiir w = 0 bei S — joo, wodurch ein zusatzlicher Anteil von +TT/2 ZU der Winkelanderung hinzukommt. Es gilt also bei Pund I-Verhalten des ofFenen Regelkreises A(ps =27r(S+-S^)4-M7r/2
M = 0,1.
(6.4.12)
Grundsatzlich ist diese Formel auch fiir /x = 2 anwendbar. Hier beginnt jedoch die Ortskurve ftir w = 0 bei —00 + id (Bild 6.4.11), und man miisste diesen Punkt als negativen Schnittpunkt zahlen, falls 6 > 0 ist, d.h. falls die Ortskurve fiir kleine cj-Werte oberhalb der reellen Achse verlauft. Tatsachlich ergibt sich aber fiir 6 > 0 (und entsprechend (5 < 0) in diesem Fall kein Schnittpunkt. Dies folgt aus einer genaueren Untersuchung der unstetigen Winkelanderung, die hier bei w = 0 auftritt. Da jedoch nur die stetige Winkelanderung betrachtet werden soil, und um der Symmetrie der beiden Falle gerecht zu werden, wird der Beginn der Ortskurve bei w = 0 als halber Schnittpunkt definiert, positiv fiir 6 < 0 und negativ fiir i5 > 0, in Analogie zu der obigen Definition (Bild 6.4.11).
Bild 6.4.11. Zur Zahlung der Schnittpunkte links des kritischen Punktes bei l2-Verhalten des offenen Regelkreises Damit gilt wiederum fiir die stetige Winkelanderung A(^s = 27r(5+ - 5 - )
ifj. = 2).
(6.4.13)
Durch Gleichsetzen der Gin. (6.4.12) bzw. (6.4.13) mit Gl. (6.4.8) erhalt man die Stabilitatsbedingung fiir das Nyquist-Kriterium in der Form von Gl. (6.4.14) (s.u.), und damit kann man das Nyquist-Kriterium auch wie folgt formulieren:
6.4 Das Nyquist-Kriterium
165
Der offene Regelkreis mit der Ubertragungsfunktion Go{s) besitze P Pole in der rechten s-Halbebene und moglicherweise einen einfachen (fj, = 1) oder doppelten Pol {fi — 2) bei s = 0. Hat die Ortskurve von GoOt^) S^ positive und S~ negative Schnittpunkte mit der reellen Achse links des kritischen P u n k t e s , so ist der geschlossene Regelkreis genau dann asymptotisch stabil, wenn die Beziehung
D* = 5 + - 5 "
P 2 P + 1
fiir [i = 0,1 (6.4.14) fiir /i = 2
gilt. Fiir den speziellen Fall, dass der offene Regelkreis stabil ist (F = 0, // = 0), muss also die Anzahl der positiven und negativen Schnittpunkte gleich grofi
Aus dieser Formulierung des Nyquist-Kriteriums ergibt sich nebenbei, dass die Differenz der Anzahl der positiven und negativen Schnittpunkte im Fall [i. = 0,1 eine gauze Zahl, fiir fi = 2 keine gauze Zahl wird. Hieraus folgt jedoch unmittelbar, dass fiir fj. = 0,1 die Grofie P eine gerade, fiir /x = 2 die Grofie P + 1 eine ungerade und damit in jedem Fall P eine gerade Zahl sein muss, damit der geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil ist. Dies gilt allerdings nur, wenn D* > 1 erfiillt ist. Nach diesen Vorbetrachtungen lasst sich das Nyquist-Kriterium direkt in die Frequenzkennlinien-Darstellung iibertragen. Der zur Ortskurve von GQQUJ) gehorende logarithmische Amplitudengang Ao(w)dB ist in den zuvor definierten Schnittpunkten der Ortskurve mit der reellen Achse im Intervall (—oo, — 1) stets positiv. Andererseits entspricht diesen Schnittpunkten der Ortskurve jeweils der Schnittpunkt des Phasenganges (fio{uj) mit den Geraden ± 1 8 0 ° , ±540° usw, also einem ungeraden Vielfachen von 180°. Im Falle eines positiven Schnittpunktes der Ortskurve erfolgt der Ubergang des Phasenganges iiber die entsprechenden ±(2A; + 1) 180°-Linien von unten nach oben und umgekehrt von oben nach unten bei einem negativen Schnittpunkt gemafi Bild 6.4.12. Diese Schnittpunkte sollen im weiteren als positive ( + ) und negative (-) Ubergange des Phasenganges (po{oj)
A)H
Bild 6.4.12. Prequenzkennlinien-Darstellung von GoQui) = Ao{uj)e^'^°^'^'> und Definition der positiven (+) und negativen (-) Ubergange des Phasengangs ipo{oj) iiber die - 180°-Linie
166
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
liber die jeweilige ±(2A; + 1) 180°-Linie definiert werden, wobei k = 0,1,2,... werden kann. Beginnt die Phasenkennlinie bei - 180°, so zahlt dieser Punkt als halber Ubergang mit dem entsprechenden Vorzeichen. Damit kann man das Nyquist-Kriterium in der fiir die Frequenzkennlinien-Darstellung passenden Form aufstellen: Der ofFene Regelkreis mit der Ubertragungsfunktion Go{s) besitze P Pole in der rechten s-Halbebene und moglicherweise einen einfachen oder doppelten Pol bei s = 0. 5"+ sei die Anzahl der positiven und S~ die Anzahl der negativen Ubergange des Phasengangs (po(w) iiber die ±(2fc+ 1) 180°-Linien in dem Frequenzbereich, in dem Ao(w)dB > 0 ist. Der geschlossene Regelkreis ist genau dann asymptotisch stabil, wenn fiir die Differenz D* die Beziehung
D* = S+ ~ S' = I
P —
fiir /i = 0,1
—-—
lur /i = 2
gilt. Fiir den speziellen Fall, dass der offene Regelkreis stabil ist (P = 0, // = 0), muss also gelten: D* = 5+ - 5 - = 0.
Bild 6.4.13 zeigt einige Anwendungsbeispiele des Nyquist-Kriteriums in der Frequenzkennlinien-Darstellung. Abschliefiend soli die „ Linke-Hand-Regel" auch fiir das Bode-Diagramm dargestellt werden, da sie in der Mehrzahl der Falle ausreicht und auch hier sehr einfach ist. Der offene Regelkreis habe nur Pole in der linken s-Halbebene aufier moglicherweise einem 1- oder 2-fachen Pol bei s = 0 (P-, I- oder I2-Verhalten). In diesem Fall ist der geschlossene Regelkreis genau dann asymptotisch stabil, wenn GoQw) fiir die Durchtrittsfrequenz LJD bei /J.o(wD)dB = 0 den Phasenwinkel tpo{(^D = argGo(jWD) > -180° hat. Dieses Stabilitatskriterium, das man sich anhand der Beispiele b, c und d im Bild 6.4.13 leicht veranschaulichen kann, bietet auch die Moglichkeit einer praktischen Abschatzung der „Stabilitatsgiite" eines Regelkreises. Je gr56er der Abstand der Ortskurve vom kritischen Punkt ist, desto weiter ist der geschlossene Regelkreis vom Stabilitatsrand entfernt. Als MaQ hierfiir benutzt man die Begriffe Phasenrand und Amplitudenrand, die im Bild 6.4.14 erklart sind. Der Phasenrand <^R = 1 8 0 ° + (PO(WD)
(6.4.15)
ist der Abstand der Phasenkennlinie von der - 180°-Geraden bei der Durchtrittsfrequenz WD, d.h. beim Durchgang der Amplitudenkennlinie durch die 0-dB-Kennlinie (|Go| = !)• Als Amplitudenrand ^RdB = ^ o ( w s ) d B
(6.4.16)
6.4 Das Nyquist-Kriterium
167
Vorgegebenes System: Bode-Diagramm
Stabilitatsaussage
S+=l S~
=2 D
D
^ '^/2: P/2: instabil
=-1
P = 2
S-*- = 3/2
P+l
•D
D =1/2 P-
5-^=0 S~=l
=^ D
-=>D
=-1 P=0
stabil,falls 2 Pole im Nullpunkt vorhanden sind.
^ P /y2:i 2:instabil
-180'
S^=0 S~ =0 * D =0 P = 0
D
= P /y2:s 2:stabil
Bild 6.4.13. Beispiele fiir die Stabilitatsanalyse nach dem Nyquist-Kriterium in der Prequenzkennlinien-Darstellung
6 Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme
168
^
"lm[GJ *
•*
^s /
Ms"
"l/\
)
\V
\l ^
/1^^
•'OJ
0
y /^ u)
'^DXZ ^•"^^GoO^)
Bild 6.4.14. Phasen- und Amplitudenrand yjR und J4R bzw. Aa^g in der Ortskurvendarstellung (a) und im Bode-Diagramm (b) wird der Abstand der Amplitudenkennlinie von der 0-dB-Linie beim Phasenwinkel ^o = —180° bezeichnet. Fiir eine gut gedampfte Regelung, z.B. im Sinne der spater noch behandelten betragsoptimalen Einstellung, sollten etwa folgende Werte eingehalten werden: iRdE
=
-12 dB -3,5 dB
bis bis
40° 20°
bis bis
- 2 0 dB -9,5 dB 60° 50°
bei Fiihrungsverhalten bei Storverhalten bei Fiihrungsverhalten bei Storverhalten
Die Durchtrittsfrequenz WD stellt ein Mafi fiir die dynamische Giite des Regelkreises dar. Je groBer WD, desto grofier ist die Grenzfrequenz des geschlossenen Regelkreises, und desto schneller die Reaktion auf SoUwertanderungen oder St5rungen. Als Grenzfrequenz ist dabei jene Frequenz Wg zu betrachten, bei der der Betrag A^iiS) des Frequenzganges des geschlossenen Regelkreises naherungsweise auf den Wert Null abgefallen ist.
169
Das Wurzelortskurven-Verfahren
7.1
D e r G r u n d g e d a n k e des Verfahrens
Bei der Untersuchung von Regelkreisen interessiert oftmals die Frage, in welcher Weise die bekannten Eigenschaften (Parameter und Struktur) des ofFenen Regelkreises das noch unbekannte Verhalten des geschlossenen Regelkreises beeinflussen. Diese Frage lasst sich mit Hilfe des Wurzelortskurven-Verfahrens ([Eva50], [Eva54], [Sch68b]) beantworten. Dieses Verfahren erlaubt anhand der bekannten Pol- und NuUstellenverteilung der Ubertragungsfunktion Go{s) des offenen Regelkreises in der s-Ebene in anschaulicher Weise einen Schluss auf die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises. Variiert man beispielsweise einen Parameter des offenen Regelkreises, so verandert sich die Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises in der s-Ebene. Die Wurzeln beschreiben somit in der s-Ebene Bahnen, die man als Wurzelortskurve (WOK) des geschlossenen Regelkreises definiert. Die Kenntnis der Wurzelortskurve, die meist in Abhangigkeit von einem Parameter dargestellt wird, ermoglicht neben der Aussage iiber die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises auch eine Beurteilung der Stabilitatsgiite, z.B. durch den Abstand der Pole von der Imaginarachse. Die WOK eignet sich daher nicht nur zur Analyse, sondern vorziiglich auch zur Synthese von Regelkreisen. Zur Bestimmung der WOK geht man von der Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises 771
n(s-SNj Go{s) = ko^ = koG{s) n(s-spj
(7.1.1a)
aus, wobei ko > 0,m
s'' 1 + ais + ... + On-kS"-''
lasst sich auf einfache Weise gewinnen, indem Gl. (7.1.1a) wie folgt umgeformt wird:
Go(s) =
n(-«N,)
^
fco-^ n—k
-^ qk
n—k
n
(-«pj
V=l s p . 5^ 0
qk
n 1+—^~: —^ ,k n n
n
—
i/=: 1 sp, ^ 0
k
/ /
^ ^e^ ^ ^\ . -
\
(i + - ^ )
(7.1.1c) ^
'
Damit ist der Zusammenhang zwischen dem Vorfaktor ko und der Verstarkung KQ des offenen Regelkreises durch
170
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren m
n
(-SNJ Ko = ko - ^ g
n
^
(7.1.2)
i-spj
v= 1 hergestellt. Man beachte, dass ftir m = 0 im Zahler von Gl. (7.1.2) eine Eins steht. Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises ergibt sich mit Gl. (7.1.1a) aus 1 + koGis) = 0 (7.1.3a) oder G{s) = - - ^ .
(7.1.3b)
Die Gesamtheit aller komplexen Zahlen Si = Si{ko), die diese Beziehung ftir 0 < fco < oo erfiillen, stellen die gesuchte WOK dar. Durch Aufspaltung von Gl. (7.1.3b) in Betrag und Phase erhalt man die Amplitudenbedingung
\G{s)\ = 1
(7.1.4)
und die Phasenbedingung ¥)(s) = arg[G(s)] = ±180°(2A; + 1)
fur fc = 0,1,2,....
(7.1.5)
Offensichtlich ist die Phasenbedingung von kg unabhangig. Alle Punkte der komplexen s-Ebene, die die Phasenbedingung erfiillen, stellen also den geometrischen Ort aller moglichen Pole des geschlossenen Regelkreises dar, die durch die Variation des Vorfaktors ko entstehen konnen. Die Kodierung dieser WOK, d.h. die Zuordnung zwischen den Kurvenpunkten und den Werten von ko erhalt man durch Auswertung der Amplitudenbedingung entsprechend Gl. (7.1.4). Der hier beschriebene Zusammenhang ermogUcht eine einfache grafisch-numerische Konstruktion der WOK. Zunachst soil hierzu ein einfaches Beispiel 2. Ordnung betrachtet werden, bei dem die WOK aus der charakteristischen Gleichung direkt analytisch berechnet werden kann. Beispiel 7.1.1 Gegeben sei als Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises
s(s + l)
(s-spi)(s-spj'
wobei spj = 0, sp^ = —1 und ko = Ko wird. Gesucht sind die Pole der Fiihrungsiibertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
s"^ +s + Ko bzw. die Wurzeln si und S2 der charakteristischen Gleichung
7.1 Der Grundgedanke des Verfahrens
171
P{s) =.s^ + s + Ko = 0, wobei der Parameter ko = KQ von 0 bis +oo variiert werden soil. Man erhalt 1 . 1 si,2
=
"2
=^
-^/I-AKQ.
Hieraus ist direkt ersichtlich, dass fiir KQ = 0 die Pole des geschlossenen Regelkreises identisch mit denen von Go{s) sind, da gerade si = sp^ — 0 und S2 — sp^ = — 1 wird. Fiir die iibrigen i^o-Werte werden nun die folgenden beiden Falle unterschieden: a) Ko < 1/4: Beide Wurzeln si und S2 sind reell und liegen auf der cr-Achse im Bereich — 1 < c < 0; b) KQ > 1/4: Die Wurzeln si und S2 bilden ein konjugiert komplexes Paar mit dem Realteil Resi_2 — ~ ( l / 2 ) , der von KQ unabhangig ist, und dem Imaginarteil Imsi_2 = ±(l/2)-\/4ii'o — 1, der mit KQ —>• oo unbeschrankt anwachst. Damit ergibt sich der im Bild 7.1.1 dargestellte Verlauf der WOK, die offensichtlich bei (spi + Sp^)l2 einen Verzweigungspunkt aufweist. Es soil nun der Verlauf der WOK mit Hilfe der Phasenbedingung iiberpriift werden. Hierfiir muss gelten cp{s) = arg{G(s)} = arg
s(s + l)
= - a r g s - a r g ( s + l) = ±180°(2fc + l).
Die komplexen Grofien s und (s + 1) haben die Winkel
Bild 7.1.1. Wurzelortskurve eines einfachen Systems 2. Ordnung Durch Auswertung der Amplitudenbedingung entsprechend Gl. (7.1.4)
\Gis)\
1 s(s + l)
1
lasst sich fiir bestimmte s-Werte der zugehorige Wert von KQ auf der WOK ermitteln. So ergibt sich z.B. fiir s = —1/2 + j die Verstarkung des offenen Regelkreises zu
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
172 Ko = \s(s + 1) I
1
Der Wert fiir KQ am Verzweigungspunkt s^ — —0,5 betragt Ko= | - 0 , 5 ( - 0 , 5 + l)| =0,25. Dieser Wert wurde bereits zuvor ermittelt. Tabelle 7.1.1 zeigt weitere Beispiele von Wurzelortskurven fiir einige Systeme 1. und 2. Ordnung bei Variation des fco-Wertes. Tabelle 7.1.1 Wurzelortskurven von Systemen 1. und 2. Ordnung Go(s)
hi
WOK
^1
fcn
r
S
s
WOK
Gois)
A
\2
(^
9
=H
-o^
. a"
V
' J'^i
^
'j^
fcg ^0
a
.2
(S-Sp)(s-Sp )
''
•-
X »-»^f5p ^2
U 1
a
5p '^l
,• j ^
fjw ^0
a
S-S-p -^1
^N,
>
\
^o(''~%j
fcg S
2 , 2 +L0^
— • -
-JWjX
(s-5. )
a
«N,
7.2
<
o
n^
^ -f\.
)
0"
'j'^ X » *Pj
O—1 ''NJ
a
Allgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven
Die Bedeutung des WOK-Verfahrens liegt darin, dass aufgrund der Phasenbedingung einige Regeln aufgestellt werden konnen, mit denen man auch bei Systemen hoherer Ordnung ohne langere Rechnung den qualitativen Verlauf der WOK angeben kann. Diese Regeln wurden 1950 von W. Evans [[Eva50]; [Eva54]] angegeben.
7.2 AUgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven
173
Obwohl das Verfahren prinzipiell auch bei Systemen mit Totzeitverhalten anwendbar ist, sollen die nachfolgenden Betrachtungen auf Regelkreise mit rationalen Ubertragungsfunktionen beschrankt bleiben. Dies erscheint zweckmafiig wegen der umstandlicheren Anwendbarkeit des Verfahrens bei Totzeitsystemen. Unter der Annahme, dass die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises Go (s) als gebrochen rationale Funktion gemai3 Gl. (7.1.1a) n ^ \ I. ( g - S N i ) ( 5 - S N 2 ) - - - ( s - 5 N ^ ) I. ^ n ^-7 o 1 ^ Go{s)=ko-'. 77 r -, r-, fco > 0 (7.2.1a) oder Go{s) = ko
• ; • —T-—- = feo (7.2.1b) a o + a i s + . . . + a „ _ i s " i + s" No(s) mit den Pol- und Nullstellen sp^ und SN^ (i' = l , 2 , . . . n ; // = 1,2,... ,m) geschrieben werden kann, lasst sich Go(s) durch Betrag und Phase ^ , . , |s-SNi|eJ*'Ni|s-SN2|e''^N2 , _ | s _ s j ^ |eJVN„ Go(s) = fco |s - spi I e''^Pi \s - SP21 e)'^P2 . . . |s _ gp^ | eJvp„ oder in der Form
Go(s) =
n | S - S N J J 53 V'N^ - 13'PP fco^^=^ e V^=i ''=1 /
M=l n
(7.2.2)
n is-spj darstellen. Mit Gl. (7.1.4) folgt hieraus als Amplitudenbedingung m
n |S-SNJ M=l _ 1 n \s-spj "'
(7.2.3)
und mit Gl. (7.1.5) als Phasenbedingung m
n
vis) = 5] (PN, - 53 'PP. = ±180°(2fc + 1)
(7.2.4)
mit k = 0,1,2,.... Hierbei kennzeichnen ipi^^ und ipp^ die zu komplexen Zahlen (s — SN^) bzw. (s — sp^) gehorenden Winkel. Stellt man zu jedem Punkt der s-Ebene die Winkelsumme 0) angewandt: 1. Da alle Wurzeln reell oder konjugiert komplex sind, verlauft die WOK symmetrisch zur reellen Achse.
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
174
A.
'^N^
s
Is —Ebene
~ ^ i
Sp
a
Sp
2
*N
Bild 7.2.1. Uberpriifung der Phasenbedingung 2. Aus 1 + 6*0(5) = 0 erhalt man die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises m
n
kollis-s^^) + l[{s-spJ = Q.
(7.2.5)
Daraus ist ersichtlich, dass sich fiir fco = 0 als Wurzelorte gerade die Pole sp^ und fiir fco ^ 00 die Nullstellen SN^ des offenen Regelkreises ergeben. Die Wurzelortskurve besteht demnach aus n Asten, die in den Polen des offenen Regelkreises beginnen. Fiir fco —>• 00 enden m dieser n Aste in den Nullstellen des offenen Regelkreises, wahrend (n — m) Aste gegen Unendlich laufen (man kann s ^ 00 auch als (n — ?n)-fache Nullstelle von Go{s) auffassen). Bei mehrfachen Polen oder Nullstellen beginnen bzw. enden dort eine Anzahl Aste der Wurzelortskurve, entsprechend der Vielfachheit der Pole bzw. Nullstellen. 3. Die Asymptoten der (n — m) nach unendlich strebenden Aste der WOK sind (n — m) Geraden, die sich alle im Wurzelschwerpunkt auf der reellen Achse schneiden. Dieser Punkt hat die Koordinaten (aa,jO) mit 1 O-a
=
n—m
\ J Re sp^ — 2_. ReSN„ ,i/=i
(7.2.6)
M=i
Zum Nachweis der Gl. (7.2.6) wird Gl. (7.2.1b) durch Ausfiihrung der Division von Zahler und Nenner von Go(s) umgeschrieben in die Form Go{s) - ko
1 )s"- m — l
Setzt man diese Beziehung ein in 1 + Go{s)=0, dann erhalt man als charakteristische Gleichung + (a„„i-6™_i)s"-™-i +
ko=0.
(7.2.7)
7.2 Allgemeine Regain zur Konstruktion von Wurzelortskurven
175
Bei einem derartigen Polynom gilt bekanntlich fiir grofie Werte von s, also fiir s -^ oo und damit fiir die Asymptoten der WOK, die Beziehung s+
a„-_i - h' m - l
(7.2.S
0,
n—m
und mit dem Vietaschen Wurzelsatz folgt auBerdem fiir obige Polynomkoeffizienten On-i = - ^ s p „ = - ^ R e s p ^ i/=i
und
6m_i = - ^ SN^ = - ^ R e s N ^ .
y=i
^=1
fj,=i
Setzt man diese KoefRzienten in die Gl. (7.2.8) ein, dann erhalt man durch Auflosen nach s = (7a gerade die Gl. (7.2.6). Bei der Berechnung des Neigungswinkels der Asymptoten der WOK wird man fiir s -^ oo zweckmafiigerweise von dem Grenzwert der Ubertragungsfunktion Go(s) des ofFenen Regelkreises gemafi Gl. (7.2.7), also von (7.2.9)
lim Go(s) = lim fcoS—!-00
S
ausgehen, woraus sich als zugehorige Phasenbedingung ip{s) = - ( n - m) args = ±180°(2fc + 1) fiir k = 0,1,2,... ergibt. Der Neigungswinkel der Asymptoten wird damit ±180°(2A:+1) a/fc = arg s
(7.2.10)
n—m
Fiir (n — m) = 1,2,3 und 4 erhalt man daraus die im Bild 7.2.2 dargestellte Anordnung der Asymptoten. jw
J'^
(n — m) = l
Bild 7.2.2.
( n —m) = 2i
jw
{n — m) = 3^.
•JW
(n — m) = 4
A n o r d n u n g der A s y m p t o t e n der W O K i n der s-Ebene
4. Ein Punkt auf der reellen Achse ist ein Punkt der Wurzelortskurve, wenn die Gesamtzahl der rechts von diesem Punkt liegenden Pole und Nullstellen sp^ und SN^ des ofFenen Regelkreises ungerade ist.^ Dies folgt unmittelbar aus der Phasenbedingung nach Gl. (7.2.4). Pole und Nullstellen, die links von dem betrachteten Punkt auf der reellen Achse liegen, liefern keinen Beitrag zur Phasenbedingung, da der Phasenwinkel des Strahls von einem solchen Pol bzw. einer Nullstelle zu dem ^ Diese Aussage gilt fiir ko > 0. Im Falle fco < 0 muss die entsprechende Gesamtzahl eine gerade Zahl Oder gleich Null sein; aufierdem muss dann in den Gin. (7.2.10), (7.2.15) und (7.2.16) der Term (2fc4-l) durch 2k ersetzt werden.
176
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren betrachteten Punkt gerade Null ist. Ein konjugiert komplexes Pol- und Nullstellenpaar liefert fiir einen Punkt auf der reellen Achse zwei entgegengesetzt gleiche Winkelwerte, so dass auch hier kein Beitrag zur Phasenbedingung erfolgt. Nur Pole und Nullstellen, die auf der reellen Achse rechts von dem betrachteten Punkt liegen, liefern jeweils einen Phasenwinkel von ±180°. Damit sich als resultierender Phasenwinkel ein ungeradzahliges Vielfaches von ±180° ergibt, muss die Anzahl der Pole plus Nullstellen rechts von dem betrachteten Punkt ungerade sein.
5. Liegt ein Ast der Wurzelortskurve gerade zwischen zwei Polen des offenen Regelkreises auf der reellen Achse, dann existiert mindestens ein Verzweigungspunkt der Wurzelortskurve zwischen beiden Polen. Liegt umgekehrt ein Wurzelortskurvenast zwischen zwei Nullstellen des offenen Regelkreises auf der reellen Achse, dann existiert mindestens ein Vereinigungspunkt der Wurzelortskurve zwischen beiden Nullstellen. Liegt ein Ast der Wurzelortskurve zwischen einem Pol und einer NuUstelle des offenen Regelkreises auf der reellen Achse, dann sind entweder keine Verzweigungs- oder Vereinigungspunkte vorhanden, oder dieselben treten paarweise auf. Die Lage der Verzweigungspunkte Uy der WOK auf der reellen Achse erhalt man als Losung s = a^ der Gleichung
y:^— = y2^—-
(7-2.1i)
Sind keine Pol- oder Nullstellen vorhanden, so ist der entsprechende Summenterm gleich Null zu setzen. Die Giiltigkeit dieser Beziehung folgt aus der Tatsache, dass ein Verzweigungspunkt eine mehrfache Wurzel der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises ist. Fiir eine solche mehrfache Wurzel muss also gleichzeitig gelten l + Go(s)=0 (7.2.12a) und -^[1 + Go(s)] = ^Go{s) = G'{s) = 0. as as Schreibt man fiir Go{s) gemafi Gl. (7.1.1a) Go{s)
= fco Yf^
;;
(7.2.12b)
r,
so folgt durch Logarithmieren m
n
InGois) =\nkQ + Y,Hs - SNJ -YlHs - spj.
(7.2.13)
Nun gilt bekanntlich fiir den Logarithmus einer Funktion / ( s )
ds'""^^''
f{s)
ds
- f{s)'
so dass man aus Gl. (7.2.13) durch Differentiation beider Seiten direkt die Beziehung
7.2 Allgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven G'ojs) ^ A Gois) ^^s
SN„
E 1^=1
177 (7.2.14)
S — Sp^
erhalt. Wegen Gl. (7.2.12a) ist G'o(s) = - 1 , und mit Gl. (7.2.12b) folgt daher aus Gl. (7.2.14) unmittelbar die Bestimmungsgleichung fiir Verzweigungspunkte entsprechend Gl. (7.2.11). 6. Sowohl der Austrittswinkel der WOK aus einem Pol sp „ des offenen Regelkreises, als auch der Eintrittswinkel der WOK in eine Nullstelle SN^ des offenen Regelkreises lassen sich in gleicher Weise direkt aus der Phasenbedingung gemafi Gl. (7.2.4) bestimmen. Man erhalt fiir den Austrittswinkel aus dem Pol sp„
E^P^/ + E^N„±180°(2fc+l)
¥>PgA
rp.
(7.2.15)
M=l
und fiir den Eintrittswinkel in die Nullstelle s^
E'^N^ + E'^P^±180°(2/: + l)
VNfl.E =
(7.2.16)
^N.
mit k = 0,1,2,... (rp„ bzw. TN^ Vielfachheit der Pol- bzw. Nullstelle). Bild 7.2.3 zeigt anhand eines einfachen Beispiels anschaulich die Bestimmung des Austrittswinkels im Pol Sp^. Mit den Werten (fp^ = 144°, ipp^ = 90° und (^NI = 112° folgt nach Gl. (7.2.15) fiir den Austrittswinkel (/'P2,A = -(144° + 90°) + 112° + 180° = 58°.
Bild 7.2.3. Zur Bestimmung des Austrittswinkels
V'P2,A
178
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
7. Die Kodierung der WOK durch den jeweiligen Wert des Vorfaktors ko ergibt sich direkt aus der Amplitudenbedingung gemafi Gl. (7.2.3) zu
fi
\s-spj
ko = ^ n
|S-SNJ
(7.2.17)
fiir jeden beliebigen s-Wert. Im Falle m = 0 (keine Nullstelle vorhanden) wird durch 1 dividiert. Die Betrage \s — sp^\ und \s — SN^\ konnen, wenn der grafische Verlauf der WOK bereits vorliegt, durch eine einfache Messung des Abstandes des interessierenden Punktes s der WOK von dem entsprechenden Pol sp^ bzw. von der Nullstelle sjv bestimmt werden. 8. Fiir einen bestimmten vorgegebenen Wert des Vorfaktors ko ist der geschlossene Regelkreis nur dann asymptotisch stabil, wenn alle zu ko gehorenden Punkte der Wurzelortskurve (also die Pole der Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises) in der linken s-Halbebene liegen. Die Stabilitatsgrenze, also der kritische Wert von A;o ergibt sich somit an den Stellen, an denen die Aste der Wurzelortskurve die Imaginarachse der s-Ebene schneiden. Verlaufen alle Aste der Wurzelortskurve in der linken s-Halbebene, so ist der zugehorige Regelkreis fiir alle Werte 0 < fco < 00 asymptotisch stabil. Es sei noch bemerkt, dass das Wurzelortskurvenverfahren auch zur Ermittlung des Einflusses anderer Parameter als ko benutzt werden kann, sofern man Go{s) so umformen kann, dass dieser Parameter als Vorfaktor erscheint. Immer dann ist namlich, wie oben schon gezeigt wurde, die Phasenbedingung gemafi Gl. (7.2.4) von dem betreffenden Parameter unabhangig und bestimmt alleine den Verlauf der Wurzelortskurve, so dass obige Regeln unverandert gelten. Dies sei an zwei Beispielen nachfolgend kurz erlautert. Beispiel 7.2.1 Gegeben sei als charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises ao + ais + ... + a„_is"~^ + s" = 0. Gesucht ist die WOK, die durch die Variation des Parameters ai entsteht. Dazu lasst sich die charakteristische Gleichung umformen in 1 + oi
~ = 0. ao + 02*2 + . . . + gn Diese Form entspricht unmittelbar der Standarddarstellung l + Go(s) = l + a i ^ = 0, No[s) auf die das WOK-Verfahren in der oben beschriebenen Weise angewandt werden kann.B Beispiel 7.2.2 Gegeben sei als charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises s^ + {3 +a) s^ +23 + 4 = 0,
7.2 Allgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven
179
bei der die Auswirkung des Parameters a auf die Lage der Wurzeln untersucht werden soil. Diese Gleichung lasst sich direkt in die gewiinschte Form 1 + "^5—^-^5—K
7 =0
bringen. Anhand der Regeln 1 bis 8 ist es nun leicht moglich, aus der Pol- und Nullstellenverteilung des offenen Regelkreises Aussagen iiber die geometrische Form der WOK zu treffen. Tabelle 7.2.1 zeigt einige typische Pol- und NuUstellenverteilungen mit dem Verlauf der zugehorigen WOK. Als ein weiteres wichtiges Hilfsmittel zur qualitativen Abschatzung des prinzipiellen Verlaufs einer WOK kann die nachfolgende physikalische Analogic benutzt werden: Ersetzt man beim offenen Regelkreis alle Pole durch negative, alle NuUstellen durch gleichgrofie positive Ladungen, und bringt man dann auf einen bereits bekannten Punkt der WOK ein masseloses negativ geladenes Teilchen, so lasst sich nun die Bewegung dieses Teilchens anschaulich verfolgen. Die Bahnkurve, die das Teilchen aufgrund der Wechselwirkung zwischen Abstofiung von den Polen und Anziehung durch die NuUstellen beschreibt, liegt gerade auf der WOK. So zeigt ein Vergleich zwischen den Beispielen 3 und 9 von Tabelle 7.2.1 sehr deuthch die „abstofiende" Wirkung des zusatzUch hinzugekommenen Pols. Die bisherigen Betrachtungen des WOK-Verfahrens zeigen, wie man eine WOK mit einer Anzahl von Konstruktionsregeln naherungsweise ermitteln kann. Der genaue Verlauf der WOK soUte jedoch bei komplizierteren Regelkreisen stets mit Hilfe eines Digitalrechners ermittelt werden. Besonders wirkungsvoll ist das WOK-Verfahren dann, wenn ein interaktives Arbeiten am Digitalrechner mit einer grafischen Bildschirmanzeige der WOK moglich ist. Dabei gewinnt man nicht nur sofortige Aussagen iiber die Stabilitat des untersuchten Regelkreises, vielraehr lasst sich die WOK durch Hinzufiigen zusatzlicher Pole und NuUstellen (Kompensationsglieder) in gewiinschter Weise beeinfiussen und somit die Stabilitatsgiite verbessern. Der Ubersicht halber seien nachfolgend die wichtigsten Regeln zur Konstruktion von WOK nochmals kurz zusammengefasst: 1. Die WOK ist symmetrisch zur reellen Achse. 2. Die WOK besteht aus n Asten. (n — m) Aste enden im Unendhchen. Alle Aste beginnen mit /CQ = 0 in den Polen der charakteristischen Gleichung des offenen Regelkreises, m Aste enden mit fco ^ oo in den NuUstellen des offenen Regelkreises. Die Anzahl der in einem Pol beginnenden bzw. in einer Nullstelle endenden Aste der WOK ist gleich der Vielfachheit der Pol- bzw. Nullstelle. 3. Es gibt n — m Asymptoten mit Schnitt im Wurzelschwerpunkt auf der reellen Achse (ffaJO) mit ^
( n
m
"- = V^^ E J^e «P^ - E I^e «N, U=l
M=l
^
.
(7.2.6)
)
4. Ein Punkt auf der reellen Achse gehort dann zur WOK, wenn die Gesamtzahl der rechts von ihm liegenden Pole und NuUstellen ungerade ist.
180
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
T a b e l l e 7.2.1 Typische Beispiele fiir Pol- und NuUstellenverteilungen von Go(s) und zugehorige Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises
Nr.
WOK
Nr.
WOK
jw
-*
}^
K-
-•-^<-
*UX
JW
X
*o-
JW
10
JW
Jt^
11
X X
X X
v^jo;;:
JW
^
>C
12
^*—X
^
X ( )( ^
'i^'
13
• 0 '^k -«-J^
jw
. > ^ <
14
X
^e
"X >rtj
J'^ < X X >
15
o-
\ . 'jw
-•o-
j'^
16
* X
x» ( o e
*
7.3 Anwendung der Regeln zur Konstruktion der Wurzelortskurven
181
5. Mindestens ein Verzweigungs- bzw. Vereinigungspunkt existiert dann, wenn ein Ast der WOK auf der reellen Achse zwischen zwei Pol- bzw. NuUstellen verlauft; dieser reelle Punkt geniigt der Beziehung 1 Y" ; ^ s - *p.
(7.2.11) ;r{s- SN,
fiir s = <Jv als Verzweigungs- bzw. Vereinigungspunkt. Sind keine Pol- oder NuUstellen vorhanden, so ist der entsprechende Summenterm gleich Null zu setzen. 6. Austritts- bzw. Eintrittswinkel aus Polpaaren bzw. in Nullstellenpaare der Vielfachheit rp bzw. TN^:
'^Nfl.E
E ^P^ + J2^N,±180°i2k + l)
(7.2.15)
- E < ^ N , + ^ V P „ ± 1 8 0 ° ( 2 f c + l)
(7.2.16)
H=l
^N,
7. Belegung der WOK mit A;o-Werten: Zum Wert s gehort der Wert
n
is-spj
ko
(7.2.17)
(fiir m = 0 ist der Nenner gleich Eins zu setzen). 8. Asymptotische Stabilitat des geschlossenen Regelkreises liegt fiir alle /co-Werte vor, die auf der WOK links von der imaginaren Achse liegen. Die Schnittpunkte der WOK mit der imaginaren Achse liefern die kritischen Werte fco^^if
7.3
Anwendung der Regeln zur Konstruktion der Wurzelortskurven an einem Beispiel
Die systematische Anwendung der im letzten Abschnitt behandelten Regeln zur Konstruktion der Wurzelortskurven soil nachfolgend an einem nichttrivialen Beispiel gezeigt werden. Betrachtet wird der Regelkreis mit der Ubertragungsfunktion des offenen Systems A;o(s + l) (7.3.1) Go(s) = s(s + 2) (s2-M2s + 40)'
182
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
Der Zahlergrad dieser Ubertragungsfunktion ist m = 1, d.h. sie besitzt eine Nullstelle (SNI = —1), der Nennergrad ist n = 4, d.h. sie besitzt vier Polstellen (spj = OjSp^ = —2, SP3 = —6 + 2j, sp4 = —6 — 2j). Zunachst werden in der komplexen s-Ebene gemafi Bild 7.3.1 die Pole (x) und die Nullstellen (o) des offenen Regelkreises eingetragen. Nach Regel 2 sind diese Polstellen gerade die Punkte der WOK fiir fco = 0, und die Nullstelle stellt den Punkt der WOK fiir ko ^ oo dar. Es gibt somit {n — m) =3 Aste der WOK, die gegen Unendlich laufen. Die Asyraptoten der 3 nach Unendlich strebenden Aste der WOK sind Geraden, die sich nach Regel 3 auf der reellen Achse schneiden. Nach Gl. (7.2.6) hat dieser Schnittpunkt die Koordinaten (ua; jO) mit ..= '°-^-%-^'-'-"=-f^^4,33.
(7.3.2)
Der Neigungswinkel der drei Asymptoten betragt nach Gl. (7.2.10) ^ ^ ^ ± } m ^ t ^ = ±Q0^2k+l) d.h.
ao = 60°,
ai = +180°,
k = 0,1,2,...
(7.3.3)
a2 = - 6 0 ° .
Die Asymptoten sind im Bild 7.3.1 eingetragen. Nach Regel 4 wird danach gepriift, welche Punkte der reellen Achse zur WOK gehoren. Die Punkte a mit — 1 < cr < 0 und a < —2 gehoren offensichtlich dazu, denn rechts davon gibt es jeweils eine ungerade Anzahl von Polen und Nullstellen. Nach Regel 5 konnen auf der reellen Achse zwischen 0 und - 1 und links von -2 Verzweigungs- oder Vereinigungspunkte nur paarweise auftreten. Diese Punkte miissen reelle Losungen der Gl. (7.2.11) sein. Im vorliegenden Beispiel erhalt man fiir Gl. (7.2.11) die Beziehung
1+J _ + s
1
s+2 s+6-2j
+
1
= ^ -
S + 6 + 2J
s+1
(734) ^''^
bzw. 3s'' + 32s^ + lOGs^ + 128s + 80 = 0. Diese Gleichung besitzt die Losung Svi = —3,68, Sy^ = —5,47, Sy^ = —0,76 + 0,866j und Sy^ = -0,76 - 0,866j. Die reellen Wurzeln svj — —3,68 und sy^ = —5,47 entsprechen einem Verzweigungspunkt und einem Vereinigungspunkt. Der Austrittswinkel V'Pa.A der WOK aus dem komplexen Pol bei spg = —6 + 2j lasst sich grafisch aus Bild 7.3.2 nach Gl. (7.2.15) bestimmen: y,p^ A = - 9 0 ° - 153,4° - 161,6° + 158,2° ± 180°(2A; + 1)
(7.3.5)
(pPs.A = -246,8° + 180° = -66,8°. Mit diesen Angaben kann die WOK mit hinreichender Genauigkeit gezeichnet werden. Fiir einige Punkte der WOK kann nach Regel 7 der zugehorige Wert von ko berechnet werden. Der nach dieser Regel zura Schnittpunkt der WOK mit der imaginaren Achse gehorende Wert fco,krit betragt mit den grafisch abgelesenen Werten , 7,2-7,4-7,9-11,1 fco.krit = Y25 "^
'
7.3 Anwendung der Regeln zur Konstruktion der Wurzelortskurven
183
Bild 7.3.1. Die WOK des Regelkreises mit der Ubertragungsfunktion des offenen Systems Go(s)
ko{s + 1) s{s + 2) (s + 6 + 2j) (s + 6 - 2j)
Haufig ist es erforderlich, diesen Wert /co.krit und den Schnittpunkt der WOK mit der imaginaren Achse genau zu berechnen. Dazu wird die charakteristische Gleichung s^ + Us^ + 64s^ + (80 + feo) s + A;o = 0
(7.3.6)
des geschlossenen Regelkreises betrachtet. Das Routh-Kriterium liefert folgende Bedingungen fur die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises:
184
7 Das Wurzelortskurven-Verfahren
Bild 7.3.2. Zur Berechnung des Austrittswinkels yjpg A der WOK aus dem komplexen Pol 5P3 = - 6 + 2j
4
1
3
14
2 1 0
816 - ko 14 65280 + 540A;o -- k'^ 816 - ko ko
64
ko 80 + fco 0 ko
0
0
0
Fiir positive ko sind bis auf den dritten und vierten Koeffizienten in der ersten Spalte des Routh-Schemas alle Bedingungen sofort erfiillt. Die Auswertung dieser beiden Koeffizienten liefert ko < 816 bzw. ko < 641,7, wobei die letzte Forderung die strengere ist. Der geschlossene Regelkreis ist stabil fiir 0 < A;o < 641,7. Fiir ko = 641,7 besitzt der geschlossene Regelkreis ein rein imaginares Polpaar bei /80 + fco ,7„ Lo = ±\l——— = ±7,2.
(7.3.7)
185
8
Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.1
Problemstellung
Eine der wichtigsten Aufgaben stellt fiir den Regelungstechniker der Entwurf oder die Synthese eines Regelkreises dar. Diese Aufgabe, zu der streng genommen auch die komplette geratetechnische Auslegung gehort, sei nachfolgend auf das Problem beschrankt, fiir eine vorgegebene Regelstrecke einen geeigneten Regler zu entwerfen, der die an den Regelkreis gestellten Anforderungen moglichst gut oder bei geringstem technischen Aufwand erfiillt. An den im Bild 8.1.1 dargestellten Regelkreis werden gewohnlich folgende Anforderungen gestellt: 1. Als Mindestforderung muss der Regelkreis selbstverstandlich stabil sein. 2. StorgroBen z{t) sollen einen moglichst geringen Einfluss auf die RegelgroBe y{t) haben. 3. Die Regelgrofie y{t) soil einer zeitlich sich andernden Fiihrungsgrofie w{t) m5glichst genau und schnell folgen. 4. Der Regelkreis soil moglichst unempfindlich gegeniiber nicht zu grofien Parameteranderungen sein. Z{s) W(s) — - ^ i + } Bild 8.1.1.
m^
^R(-)
U{s)^ G^is)
n^).
Standardstruktur des Regelkreises
Um die unter 2) und 3) gestellten Anforderungen zu erfiillen, miisste im Idealfall fiir die Fiihrungsiibertragungsfunktion (gemafi Forderung 3) Gw(s) =
Y{s) _ Gois) W{s) I + Gois)
U.l)
und fiir die Storungsiibertragungsfunktion (gemafi Forderung 2) Gzis) =
Yis) _ 1 = 0 Z(s) 1 + Gois)
.1.2)
gelten. Eine strenge Verwirklichung dieser Beziehungen ist aus physikalischen und technischen Griinden nicht moglich. Diese Problematik sei anhand eines einfachen Beispiels nachfolgend erlautert.
186
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Beispiel 8.1.1 Gegeben sei als Regelstrecke ein Gleichstrommotor, der naherungsweise als Verzogerungsglied 1. Ordnung mit der Ubertragungsfunktion
beschrieben werden kann. Die Stellgrofie u{t) sei dabei die Ankerspannung, die Ausgangsgrofie y{t) sei die Drehzahl des Motors bzw. die der Drehzahl proportionale Spannung am Ausgang des Messgliedes (Tachogenerator). Um die in der Regelstrecke enthaltene Eigendynamik zu kompensieren, liegt es nahe, als Regleriibertragungsfunktion GR{S)=KR{1+TS),
(8.1.4)
also einen PD-Regler zu wahlen. Der ofFene Regelkreis mit der Ubertragungsfunktion Gois)=Gn{s)Gsis) = Knil + Ts)^^^^=KnKs
(8.1.5)
besitzt damit reines P-Verhalten. Erregt man nun die Eingangsgrofie des Reglers sprungformig, so nimmt die Drehzahl des Motors ebenfalls sprungformig ihren stationaren Endwert an. Um dieses Verhalten physikalisch interpretieren zu konnen, ermittelt man aus Gl. (8.1.4) die Ubergangsfunktion des Reglers hnit) = Kna{t) + KnTSit).
(8.1.6)
Man erkennt unmittelbar, dass die Tragheit des Motors, die sein Hochlaufen normalerweise verzogert hatte, offensichtlich durch eine zu Beginn erforderliche unendlich hohe Stellgrofie ((5-Impuls) kompensiert werden konnte. Um auBerdem im geschlossenen Regelkreis die bleibende Regelabweichung gering zu halten und um den Einfluss von Storungen weitgehend zu unterdriicken, miisste in Anlehnung an die Uberlegungen aus Kapitel 5 die Reglerverstarkung KR sehr grofi gewahlt werden. Gegen die Einfiihrung eines solchen Reglers sprechen i.a. mehrere Griinde: • Der Regler nach Gl. (8.1.4) ist bekanntlich nicht realisierbar. Allerdings lasst er sich durch Hinzufiigen eines reellen Pols in der Ubertragungsfunktion G R ( S ) hinreichend gut approximieren, wenn dieser Pol nur weit genug in der linken s-Halbebene liegt. Dieses Vorgehen entspricht der Verwendung eines PDTi-Reglers gemaB Gl. (5.3.9). • Die Stellgrofienamplituden konnen nicht beliebig grofie Werte annehmen. Der im Beispiel verwendete Motor hat eine maximal zulassige Ankerspannung, die nicht (iberschritten werden darf. Befindet sich der Motor in Ruhe, so darf sogar die im stationaren Betrieb zulassige Betriebsspannung nur iiber Vorwiderstande dem Motor zugefiihrt werden, um den zu Beginn auftretenden hohen Ankerstrom zu begrenzen. Grenzwerte fiir Ankerspannung und Ankerstrom miissen also bei der Auslegung des Reglers mit beriicksichtigt werden.
8.1 Problemstellung
187
• In anderen Fallen wird die maximale Stellamplitude nicht wie hier durch Grenzwerte der Regelstrecke, sondern durch die Ausfiihrung des Stellgliedes bestimmt. So kann beispielsweise ein Stellventil nur innerhalb des Bereichs zwischen den Zustanden „zu" und „auf" arbeiten. Wiirde man wie im vorliegenden Beispiel ein Stellventil mit einem impulsformigen Signal ansteuern, so wiirde es an den oberen Anschlag laufen und so den Impuls begrenzen. Der Stellimpuls wird somit nur begrenzt weitergegeben und wirkt daher auch nicht voll auf die Regelstrecke ein. Es ist also unbedingt erforderlich, beim Entwurf eines Reglers auch die maximal moglichen Stellamplituden zu beriicksichtigen. Oft wird auch aus technischen Griinden ein moglichst ruhiges Stellverhalten eines Regelkreises gefordert, d.h. die StellgroBe soUte keine allzu grofien und schnellen Anderungen aufweisen. • Durch Auftreten eines D-Gliedes bzw. eines angenaherten D-Gliedes in einem Regelkreis werden die hoherfrequenten Signalanteile stets stark verstarkt. Derartige Signale treten gewohnlich in jedera realen Regelkreis zusatzlich als statistische Storungen (Rauschsignale) auf, die den eigentlichen deterministischen Regelsignalen (Nutzsignalen) iiberlagert sind. • Durch eine zu grofie Reglerverstarkung KR kann in vielen Fallen der geschlossene Regelkreis instabil werden. Dieser Fall tritt in dem hier gewahlten Beispiel theoretisch zwar nicht auf, jedoch sollte man bedenken, dass Gl. (8.1.3) ein mit Naherungen erstelltes mathematisches Modell darstellt. Aufierdem tritt bei grofien Reglerverstarkungen ebenfalls das Problem der StellgroBenbeschrankung auf.
Anhand des hier diskutierten Beispiels ist ersichtlich, dass die an einen Regelkreis beim Entwurf gestellten Anforderungen hinsichtlich des stationaren Verhaltens (bleibende Regelabweichung) und der Dynamik (Schnelligkeit) teilweise gegenseitig im Widerspruch stehen, und zwar umso starker, je raehr man den in den Gin. (8.1.1) und (8.1.2) definierten idealen Regelkreis anstrebt. In der Praxis muss man sich daher beim Regelkreisentwurf iiberlegen, welche Abweichungen vom idealen Fall jeweils in Kauf genommen werden konnen. Somit stellt der Regelkreisentwurf stets einen Kompromiss zwischen den gestellten Anforderungen und den technischen Grenzen wie beispielsweise Stellbereichsbeschrankungen dar. Bei diesem Vorgehen sind viel Erfahrung, ingenieurmafiiges Verstandnis und Phantasie erforderlich. Insofern erscheint es verstandlich, dass fiir den Entwurf (Synthese) von Regelkreisen zahlreiche Verfahren sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich entwickelt wurden, von denen die wichtigsten nachfolgend behandelt werden sollen. Die Vielfalt der Entwurfsverfahren zeigt, dass die Synthese von Regelkreisen somit auch viele Losungen aufweisen kann. Jede Losung ist dann optimal im Sinne des jeweils gewahlten GiitemaBes. Die nachfolgende Darstellung beschrankt sich auf die klassischen Verfahren zum Entwurf linearer Regelkreise. Die Entwurfsverfahren im Zustandsraum werden daher nicht in diesem Kapitel, sondern erst in den Banden Regelungstechnik I und n behandelt.
188
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.2
Entwurf im Zeitbereich
8.2.1 8.2.1.1
Giitemafie im Zeitbereich Der
dynamische
Ubergangsfehler
Bei der Beurteilung der Giite einer Regelung erweist es sich als zweckmaBig, den zeitlichen Verlauf der Regelgrofie y{t) bzw. der Regelabweichung e{t) unter Einwirkung wohldefinierter Testsignale zu betrachten. Als das wohl wichtigste Testsignal wird dazu gewohnlich eine sprungformige Erregung der Eingangsgrofie des untersuchten Regelkreises verwendet. So kann man beispielsweise fiir eine sprungformige Erregung der Fiihrungsgrofie den im Bild 8.2.1 dargestellten Verlauf der Regelgrofie y{t) = hw{t) beobachten. Zur naheren Beschreibung dieser Fiihrungsiibergangsfunktion werden die folgenden Begriffe eingefiihrt: • Die maximale Uberschwingweite e^ax gibt den Betrag der maximalen Regelabweichung an, die nach erstmaligem Erreichen des SoUwertes (100% ) auftritt. • Die ^max-^eJ^beschreibt den Zeitpunkt des Auftretens der maximalen Uberschwingweite. Die Anstiegszeit T^ ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Tangente im Wendepunkt W von h-w{t) mit der 0% - und 100% -Linie. Haufig wird allerdings die Tangente auch im Zeitpunkt t^o verwendet, bei dem hw{t) gerade 50% des SoUwertes erreicht hat. Zur besseren Unterscheidung soil dann ftir diesen zweiten Fall die Anstiegszeit mit Ta.so bezeichnet werden. Die Verzugszeit T^ ergibt sich aus dem Schnittpunkt der oben definierten Wendetangente mit der i-Achse. • Die Ausregelzeit tg ist der Zeitpunkt, ab dem der Betrag der Regelabweichung kleiner als eine vorgegebene Schranke e ist (z.B. e = 3% : ^3%, also ± 3% Abweichung vom SoUwert). • Als Anregelzeit ian bezeichnet man den Zeitpunkt, bei dem erstmalig der Sollwert (100% ) erreicht wird. Es gilt naherungsweise tan ~ Tu + Tain ahnlicher Weise lasst sich gemafi Bild 8.2.2 auch das Storverhalten charakterisieren. Hierbei werden ebenfalls die Begriffe „maximale Uberschwingweite" und „ Ausregelzeit" definiert. Von den hier eingefiihrten Grofien kennzeichnen i.w. Cmax und t^ die Dampfung und ian, Ta und tmax die Schnelligkeit, also die Dynamik des Regelverhaltens, wahrend die bleibende Regelabweichung eoo das statische Verhalten charakterisiert. Da alle diese Grofien die Abweichung der Ubergangsfunktion vom eingangs definierten Idealfall angeben und somit den dynamischen Ubergangsfehler des Regelvorgangs beschreiben, ist man bei der Auslegung des Regelkreises bestrebt, dieselben moglichst klein zu halten. Dabei kann man sich oft bereits auf drei Grofien, z.B. tan, t^ und e„iax beschranken. Bei der Minimierung dieser Grofien ist dann allerdings ein Kompromiss mit der maximal zulassigen Stellgrofie zu schliefien.
8.2 Entwurf im Zeitbereich y{t) = f\v(t)
189
Wendetangente
100%
\
t
---y^---^
"**-
- ^
" * • • " *
"f
w^ 50%
0%
0
^50
^an
^ max
e
t
T -'u •
*
—
^
Bild 8.2.1. Typische Antwort eines Regelkreises auf sprunghafte Anderung der Fiihrungsgrofie yit) = h^{t) 100%
0%
Bild 8.2.2. Typische Antwort eines Regelkreises bei einer sprungformigen Storung
8.2.1.2
Integralkriterien
Die Vielzahl der im vorherigen Abschnitt eingefiihrten Giitespezifikationen sind zwar fiir die Beurteilung des Ergebnisses eines Regelkreisentwurfs geeignet, als Ausgangspunkt fiir eine Synthese im Zeitbereich sind sie jedoch kaum brauchbar. Hier ware es vielmehr wiinschenswert, nur eine Giitemai3zahl zu verwenden, um die Wirkung von Anderungen gewisser Entwurfsparameter direkt beurteilen zu konnen. Es liegt deshalb nahe, z.B. aus den zuvor genannten drei Gr6i3en ian, te und emax ein Giitemafi der Form Is. = fcl^an + k2te + ''St^max k^e
(8.2.1)
einzufiihren, und dieses dann zu minimieren. Hierbei wiirde allerdings die subjektive Wahl der Bewertungsfaktoren ki, k2 und fca sowie die Auswertung des Giitemafies Schwierigkeiten bereiten. Eine andere Moglichkeit, den dynamischen Ubergangsfehler nur durch ein einziges Giite-
190
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
mafi zu charakterisieren, besteht nun in der Einfiihrung sogenannter Integralkriterien. Aus Bild 8.2.1 ist ersichtlich, dass die Flache zwischen der 100%-Geraden und der Fiihrungsiibergangsfunktion /iw(*) sicherlich ein Mafi fiir die Abweichung des Regelkreises vom idealen Fiihrungsverhalten darstellt. Ebenso ist in Bild 8.2.2 die Flache zwischen der Storiibergangsfunktion hzit) und der t-Achse ein Mafi fiir die Abweichung des Regelkreises vom Fall der idealen Storungsunterdriickung. In beiden Fallen handelt es sich um die Gesamtflache unterhalb der Regelabweichung e(i) = w{t) — y{t), mit der man die Abweichung vom idealen Regelkreis beschreiben kann. Es liegt nahe, als Mafi fiir die Regelgiite ein Integral der Form oo
I fk[e{t)]dt
?.2.2)
einzufiihren, wobei fiir /fc[e(^)] gewohnhch die in Tabelle 8.2.1 angegebenen Funktionen wie z.B. e{t), \e{t)\ t, e'^{t) usw. verwendet werden. In einem derartigen integralen Giitemafi lassen sich auch zeitliche Ableitungen der Regelabweichung sowie zusatzlich auch die Stellgrofie u{t) beriicksichtigen. Die wichtigsten dieser Giitemafie Ik sind in Tabelle 8.2.1 zusammengestellt. Mit Hilfe solcher Giitemafie lassen sich nun die Integralkriterien folgendermafien formulieren: Eine Regelung ist im Sinne des jeweils gewahlten Integralkriteriums umso besser, je kleiner Ik ist. Somit erfordert ein Integralkriterium stets die Minimierung von I/., wobei dies durch geeignete Wahl der noch freien Entwurfsparameter oder Reglereinstellwerte r i , r 2 , . . . geschehen kann. Damit lautet das Integralkriterium schliefilich oo
h^ I fk [e{t)] dt = 7fc (n ,r2,...) = Min.
(8.2.3)
Dabei kann das gesuchte Minimum sowohl im Inneren als auch auf dem Rand des durch die moglichen Einstellwerte begrenzten Definitionsbereiches liegen. Dies ist zu beachten, da beide Falle eine unterschiedliche mathematische Behandlung erfordern. Im ersten Fall handelt es sich gewohnlich um ein absolutes Optimum, im zweiten um ein Randoptimum.
8.2.1.3
Berechnung
der
quadratischen
Regelfldche
Aufgrund der verschiedenartigen Anforderungen, die beim Entwurf von Regelkreisen gestellt werden, ist es nicht moglich, fiir alle Anwendungsfalle ein einziges, gleichermafien gut geeignetes Giitemafi festzulegen. In sehr vielen Fallen hat sich jedoch das Minimum der quadratischen Regelflache als Giitekriterium sehr gut bewahrt. Es besitzt aufierdem den Vorteil, dass es fiir die wichtigsten Falle auch leicht analytisch berechnet werden kann. oo
Zur Berechnung der quadratischen Regelflache / e^ (t) dt geht man von der allgemeinen 0
Darstellung des Faltungssatzes im Frequenzbereich gemafi Gl. (4.1.13) bzw. Gl. (4.1.15)
8.2 Entwurf im Zeitbereich Tabelle 8.2.1
191
Die wichtigsten Giitemafie fiir Integralkriterien
Eigenschaft
Giitemafi oo
Ii = J e{t) dt 0 oo
h
=
J\eit)\dt
Betragslineare Regelflache: Geeignet fiir nichtmonotonen Schwingungsverlauf. Umstandliche Auswertung.
JeHt)dt
Quadratische Regelflache: Starke Beriicksichtigung grofier Regelabweichungen; liefert grofiere Ausregelzeiten als I2 • In vielen Fallen analytische Berechnung moglich.
0 oo
h
= 0 oo
/4 = / \e{t)\tdt 0 oo
Is
=
Je^{t)tdt
0
J[e\t)+pu^{t)]dt
Quadratische Regelflache und Stellaufwand: Etwas grofierer Wert von emaxj jedoch t^ wesentlich kiirzer; Wahl des Bewertungsfaktors /? subjektiv.
oo
= 0
Zeitbeschwerte quadratische Regelflache: Wirkung wie I3; beriicksichtigt zusatzlich die Dauer der Regelabwe ichung. Verallgemeinerte quadratische Regelflache: Wirkung giinstiger als bei J3, allerdings Wahl des Bewertungsfaktors a subjektiv.
0
Ir
Zeitbeschwerte betragslineare Regelflache: Wirkung wie I2; beriicksichtigt zusatzlich die Dauer der Regelabweichung.
J[eHt)+aeHt)]dt
oo
le^
Lineare Regelflache: Eignet sich zur Beurteilung stark gedampfter oder monotoner Regelverlaufe; einfache mathematische Behandlung.
Anmerkung: Besitzt der betrachtete Regelkreis eine bleibende Regelabweichung Coo, dann ist e(i) durch e{t) — 600 zu ersetzen, da sonst die Integrale in der obigen Form nicht konvergieren. Entsprechendes gilt auch ftir die Stellgrofie u{t). c+joo
^ {flit) f2{t)} = I flit) f2it) e-^'dt = ^
/ Flip) F2is - p) dp
(8.2.4)
aus, bei der bekanntlich p die komplexe Integrationsvariable darstellt. Wahlt man nun speziell s = c = 0 und /i(i) = /2(i) = fit), so erhalt man direkt die als Parsevalsche Gleichung bekannte Beziehung +J00
/ / ' W d t = ^ / FiP)Fi-P)<^P^
(8.2.5)
wobei als Voraussetzung die Integrale / \f{t)\dt und / \f{t)\'^dt konvergieren miissen. 0
0
Gl. (8.2.5) lasst sich nun unmittelbar auf die Regelabweichung e(^) anwenden, und man erhalt nach Ersetzen der nur fiir die Herleitung benotigten Variablen p durch s fiir die quadratische Regelflache schliefilich
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
192
+JOO
h=
f e\t) dt = ^
J Eis) E{-s) ds.
(8.2.6)
Ist E{s) eine gebrochen rationale Funktion E{s) =
Co + C i S + . . . + C „ - i S "
(8.2.7)
do + dis + ... + dnS'^
deren samtliche Pole in der linken s-Halbebene liegen, dann lasst sich das Integral in Gl. (8.2.6) durch Residuenrechnung bestimmen. Bis n = 10 liegt die Auswertung dieses Integrals in tabellarischer Form vor [NGK57]. Tabelle 8.2.2 enthalt die Integrate bis n = 4. Tabelle 8.2.2
^3,1 =
h,2
-
h,3
-
Quadratische Regelflache Is^n fur n = 1 bis n = 4
2dodi
cf do + cld2 2dodid2
c^dodi + (cf --
^3,4 =
2C0C2)
2do<^3 ( - d o d s
dods + cld2d3 + did2)
c§ {-d^ds + dodid2) + (c; - 2C1C3) dodidi + (cf - 2C0C2) dodsd^ + CQ (-'didl 2dod4 (—dodi -- dfdi + ^142^3)
-1-^2^3 ^4)
Etwas allgemeiner ist die von Solodownikow [Sol71] angegebene Berechnung von I3, bei der auch eine eventuell vorhandene bleibende Regelabweichung 600 direkt mitberiicksichtigt werden kann; dabei wird bei sprungformiger Erregung des Regelkreises fiir E{s) in Anlehnung an die Originalarbeit die spezielle Form E{s) =
mit
60 = 0 > / o OQ 7^ 0
bo + biS + .-. + brriS"' 1
(8.2.8)
ao + ais + ... + UnS'^ s fiir rlur
600 = 0 /n Coo 7^ 0
, . ., und m < n — 1 ~"
zugrunde gelegt. Dann gilt fiir die quadratische Regelflache 00
f[eit) - Coo? dt = ^ ^ 7 ^ [-Bo Ac + Bi Ai + . . . + B „ A „ - 2bohA]
(8.2.9)
mit der Determinante ao
0 A = 0 0
-02 ai
0 0
04 -as 02
-oe as —a4
..
0 0 0 0-n-l
(8.2.10)
8.2 Entwurf im Zeitbereich
193
Die Determinanten A^ erhalt man fiir v — 1,2,... ,m aus der Determinante A dadurch, dass man die {v + l)-te Spalte durch (oi; ao; 0; 0 , . . . ; 0) ersetzt. Ferner gilt:
Bi=h\-
26o&2
Bk = bl- 26*_i6ji+i + . . . + 2(-l)'=6o&2*
Bm - &m-
8.2.2
Ermittlung optimaler Einstellwerte eines Reglers nach dem Kriterium der minimalen quadratischen Regelflache
Nachfolgend soil gezeigt werden, wie bei einem im Regelkreis vorgegebenen Regler die frei wahlbaren Einstellparameter optimal im Sinne des Giitekriteriums der minimalen quadratischen Regelflache (kurz: Quadratisches Giitekriterium) bestimmt werden konnen[Unb70]. Dabei wird von einer Regelkreisstruktur nach Bild 8.1.1 ausgegangen. Bei vorgegebenem Fiihrungs- bzw. Storsignal ist die quadratische Regelflache oo
^3 = f[e{t) - e^fdt = h{rur2,...)
(8.2.11)
0
nur noch eine Funktion der zu optimierenden Reglerparameter r i , r 2 , . . . . Die optimalen Reglerparameter sind nun diejenigen, durch die /s minimal wird. Zur Losung dieser einfachen mathematischen Extremwertaufgabe /3(ri,r2,...)=Min
(8.2.12)
gilt unter der Voraussetzung, dass der gesuchte Optimalpunkt (riopt,J'2opt, • • •) nicht auf dem Rand des moglichen Einstellbereichs liegt, somit fiir alle partiellen Ableitungen von
h dry
or-} '•2opt,r3opt,...
^
^
= 0,....
(8.2.13)
»'lopt,''3opt,---
Diese Beziehung stellt einen Satz von Bestimmungsgleichungen fiir die Extrema der Gl. (8.2.11) dar. Im Optimalpunkt muss Iz ein Minimum werden. Ein derartiger Punkt kann nur im Bereich stabiler Reglereinstellwerte liegen. Beim Auftreten mehrerer Punkte, die Gl. (8.2.13) erfiillen, muss u.U. durch Bildung der zweiten partiellen Ableitungen von /s gepriift werden, ob der betreffende Extremwert ein Minimum ist. Treten mehrere Minima auf, dann beschreibt das absolute Minimum den Optimalpunkt der gesuchten Reglereinstellwerte r^ = riopt(i = 1,2,...).
194
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.2.2.1
Beispiel tischen
einer Optimierungsaufgabe Gutekriterium
nach
dem
quadra-
Gegeben ist die Ubertragungsfunktion einer Regelstrecke Gs(.) = ^ .
(8.2.14)
Diese Regelstrecke soli mit einem PI-Regler, dessen Ubertragungsfunktion G R ( S ) = K^(l + ^ \
(8.2.15)
lautet, zu einem Regelkreis zusammengeschaltet werden. Dabei sind i^Ropt und Tjopt so zu bestimmen, dass die quadratische Regelflache Is fiir eine sprungformige Storung am Eingang der Regelstrecke ein Minimum annimmt. 1. Schritt: Bestimmung des Stabilitdtsrandes. Man bestimmt zuerst den Bereich der Einstellwerte. Dies sind, soweit durch die technischen Ausfiihrungen der Regeleinrichtung keine weiteren Einschrankungen bedingt sind, alle {K-R; ri)-Wertepaare, fiir die der geschlossene Regelkreis stabil ist. Aus l + Gois) = l + Guis)Gsis) = 0 erhalt man fiir dieses System 4. Ordnung als charakteristische Gleichung P{s) = Tis* + 3Tis^ + 3Tis2 + Ti(l + KR)S + KB. = 0.
(8.2.16)
Wendet man darauf die Beiwertebedingung nach Gl. (6.2.9) an, so liefert dies als Grenzkurven des Stabilitatsbereichs Kn = 0 (8.2.17a) und
^^-^^ = (i + i^^Hs-XR)-
^^-'-'^^^
Der Bereich stabiler Reglereinstellwerte, das Stabilitatsdiagramm, ist im Bild 8.2.3 dargestellt. 2. Schritt: Bestimmung der quadratischen Regelflache. Die Laplace-Transformierte der Regelabweichung E{s) bestimmt man aus Gl. (5.2.3) mit W{s) = 0 zu
Setzt man hierin Gsis) und G R ( S ) sowie Z{s) = Gs{s)/s (sprungformige Storung am Eingang der Regelstrecke) ein, so erhalt man —Tis 1 ^^^^ " i^R + (1 + KK) TIS + 3Tis^ + 3Tis^ + Tis^ 1'
^^'^''^^^
Wendet man darauf entweder Gl. (8.2.9) oder den entsprechenden Ausdruck aus Tabelle 8.2.2 an, so erhalt man nach einigen elementaren Zwischenrechnungen fiir die quadratische Regelflache
Bild 8.2.3. Bereich stabiler Reglereinstellwerte (Stabilitatsdiagramm)
Ti{8-Kn)
h = 2KK
{ (1 + i^R) (8 - Kn)
9KRV
(8.2.19)
Ti J
Zur Kontrolle dieser Beziehung kann man die quadratische Regelflache am Stabilitatsrand nach den Gin. (8.2.17a) und (8.2.17b) bestimmen. Dort wachst die quadratische Regelflache ofFensichtlich iiber alle Grenzen. 3. Schritt: Bestimmen des Optimalpunktes (^Ropti^ioptj- Da der gesuchte Optimalpunkt im Inneren des Stabilitatsbereiches liegt, muss dort notwendigerweise dh OKK
und
a/a dTi
= 0
(8.2.20)
= 0
(8.2.21)
gelten. Jede dieser beiden Bedingungen liefert eine Optimalkurve Ti{Kii) in der (JFSTR; T I ) Ebene, deren Schnittpunkt, falls er existiert und im Inneren des Stabilitatsbereiches liegt, der gesuchte Optimalpunkt ist. Aus Gl. (8.2.20) erhalt man die Optimalkurve
196
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme 31 opt,
9KK{16
-
K^)
(8 - K^y (1 +
(8.2.22)
2KK)
und aus Gl. (8.2.21) folgt als Optimalkurve Ti o p t j
18XR
(1 +
KK)
(8 -
KK)
•
(8.2.23)
Beide Optimalkurven gehen durch den Ursprung (Maximum von I3 auf dem Stabilitatsrand) und haben, wie die Kurve fiir den Stabilitatsrand nach Gl. (8.2.17b), bei KR = 8 einen Pol. Durch Gleichsetzen der beiden rechten Seiten der Gin. (8.2.22) und (8.2.23) erhalt man den gesuchten Optimalpunkt mit den Koordinaten -fi^Ropt = 5
und
Tiopt = 5s.
Man erkennt sofort, dass dieser Optimalpunkt im Bereich stabiler Reglereinstellwerte liegt. Bild 8.2.4 zeigt das Stabilitatsdiagramm mit den beiden Optimalkurven und dem Optimalpunkt.
Bild 8.2.4.
Deis Stabilitatsdiagramm mit den beiden Optimalkurven und dem Optimalpunkt
4. Schritt: Zeichnen des Regelgiitediagramms. Vielfach will man den Verlauf von I^ ( K R J T I ) in der Nahe des gewahlten Optimalpunktes kennen, um das Verhalten des Regelkreises bei Veranderung der Reglerparameter abschatzen zu konnen. Ein Optimalpunkt, in dessen Umgebung I3{KY{,;TI) stark ansteigt, kann nur dann gewahlt werden, wenn die einmal eingestellten Werte genau eingehalten werden bzw. wenn sich das dynamische Verhalten der Reglerstrecke wahrend des Betriebs nicht andert.
8.2 Entwurf im Zeitbereich
197
Nun ermittelt man Kurven Tih{Kii), auf denen die quadratische Regelflache konstante Werte annimmt (Hohenlinien), und zeichnet einige in das Stabilitatdiagramm ein. Gl. (8.2.19) nach Ti aufgelost, liefert als Bestimmungsgleichung fiir die gesuchten Hohenlinien Tlhi.j = -^R
h{Kn + l)±\
Ii{KR + l)^-
(8.2.24)
Wegen der Doppeldeutigkeit der Wurzel erhalt man fiir verschiedene /iTR-Werte entweder zwei, einen oder keinen (Radikand negativ) Tj-Wert. Die Hohenlinien gemafi Gl. (8.2.24) stellen also geschlossene Kurven in der Stabilitatsebene dar. Diese Hohenlinien besitzen im Schnittpunkt mit der Optimalkurve Tiopti(-K'H) wegen Gl. (8.2.20) eine horizontale, im Schnittpunkt mit der Optimalkurve Tjopt^^i^R) wegen Gl. (8.2.21) eine vertikale Tangente. Tragt man einige Hohenlinien im Bild 8.2.4 ein, so entsteht ein Regelgiitediagramm nach Bild 8.2.5. Hohenlinien
Bild 8.2.5. Das Regelgutediagramm fiir das untersuchte Beispiel Es sei noch darauf hingewiesen, dass die optimalen Reglereinstellwerte von der Art und dem Eingriffsort der Storgrofie abhangen. So werden beispielsweise die im vorliegenden Fall ermittelten Einstellwerte fiir Fiihrungsverhalten oder Storungen am Ausgang der Regelstrecke nicht mehr optimal sein.
198
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.2.2.2
Parameteroptimierung von Standardreglertypen fiir PTn-Regelstrecken
Die Berechnung optimaler Reglereinstellwerte nach dem quadratischen Giitekriterium ist im Einzelfall recht aufwendig. Daher wurden fiir die Kombination der wichtigsten Regelstrecken mit Standardreglertypen (PID-, PI-, PD- und P-Regler) die optimalen Einstellwerte in allgemein anwendbarer, normierter Form berechnet und tabellarisch dargestellt. Hierauf soil fiir den Fall der Festwertregelung mit Storsprung am Eingang der Regelstrecke bei PTn-Regelstrecken bis 4. Ordnung nachfolgend kurz eingegangen werden. Bei der Parameteroptimierung ist neben der Regelstrecke auch die Struktur des Reglers vorgegeben. Es sei nun angenommen, dass sich die Regelstrecke durch die Ubertragungsfunktion Gsis) = - . ^ (8.2.25)
mit Ti = T 2 = . . . = T„_i, Tr, = nTi und n < 4 beschreiben lasst. Von den n Zeitkonstanten sind also jeweils (n - 1) gleich. Sowohl fiir die Stabilitatsuntersuchung als auch die Ermittlung optimaler Reglereinstellwerte erweist sich die Einfiihrung der in Tabelle 8.2.3 zusammengestellten Abkiirzungen a, b, c und d fiir verschiedene Kombinationen der n Zeitkonstanten der Regelstrecke als sehr vorteilhaft. Dabei werden die Falle mit n = 1,2,3 und 4 unterschieden. Als weitere allgemeine Abkiirzungen, die fiir samtliche zugelassenen Regelstrecken Giiltigkeit besitzen, fiihrt man die Grofien A{f,) = j,
Bin) = ~
und
C(^) = ^
(8.2.26)
ein, die wegen der Beziehung T„ = fiTi nur noch Funktionen von fi sind und somit als dimensionslose verallgemeinerte Zeitkonstanten der Regelstrecke gedeutet werden konnen. Sie weisen folgende Symmetrieeigenschaften auf: A{fi)=A(-j
fiir
n = 2,
(8.2.27a)
B{fi)=B(-]
fur
n =3
(8.2.27b)
dfi) = C f - j
fiir
n = 4.
(8.2.27c)
und
Fiir die Untersuchung des Stabilitats- und Regelgiiteverhaltens zeigt sich, dass hinsichtlich der Reglereinstellwerte ebenfalls eine dimensionslose Darstellung zweckmafiig ist. Als verallgemeinerte Reglereinstellwerte werden daher die normierten GroiSen K = KnKs,
TiN = -
und a
eingefiihrt.
TDN = — a
(8.2.28)
8.2 Entwurf im Zeitbereich
199
Tabelle 8.2.3 Abkiirzungen fiir die Kombinationen der Zeitkonstanten bei PTn- Regelstrecken (n = 1,2,3,4) n = 4
n = 2
n = 3
= Ti + Ts + Ta + T4
= Ti + Ta + T3
=
= r i ( i + p)
Ti+T2
a
b
c
n = l Ti
= T I ( 3 + M)
= r i ( 2 + /i)
= TiT2 + TiT3+TiTi +T2T3 + T2Ti + T^Ti = T2(l+^)3
= TiTa + T1T3 + TaTa
= TiTsTs + T^T2Ti +TiT3Ti + T2T3T4
= T1T2T3
0
= T2(l + 2/i) 0
0
0
0
^(/^) = ^ { ^ )
-
= rf(l+3M) = TiT2T3Ti d
0
^(M) = c ( i )
5(M) = S ( ^ )
Mit den hier definierten verallgemeinerten Zeitkonstanten der Regelstrecke und den Reglereinstellwerten lassen sich nun sowohl der Stabilitatsrand als auch das komplette Regelgutediagramm eines Regelkreises der hier betrachteten Struktur in allgemeiner Form berechnen und darstellen. Die Ergebnisse dazu sind in den Tabellen 8.2.4 bis 8.2.7 enthalten. Man beachte bei der Darstellung, dass wegen der besseren Ubersicht bei der Indizierung fiir die quadratische Regelflache die Schreibweise I3 = Jq eingefiihrt wurde. Auch die quadratische Regelflache Jq wird dabei in der dimensionslosen Form IqN =
{zoKs?a
(8.2.29)
mit der Sprunghohe ZQ verwendet. Tabelle 8.2.4 enthalt die Stabilitatsrander der wichtigsten Standardreglertypen fiir PTnRegelstrecken. Selbstverstandlich ist diese Darstellung unabhangig von der Eingangsgrofie des Regelkreises. Sie gilt also sowohl fiir Storverhalten (Festwertregelung) als auch fiir Fiihrungsverhalten (Folgeregelung). In Tabelle 8.2.5 sind fiir den Fall der Festwertregelung mit Storung am Eingang der Regelstrecke die Gleichung des normierten Integralwertes JqN und, soweit ableitbar, die Gleichungen fiir die beiden Optimalkurven TiNoptj und TiNoptji sowie die Gleichung der zugehorigen Hohenlinien TiNhi.j bzw. TjNh oder TDNhi,2 bzw. TDNH dargestellt. Diese Beziehungen sind notwendig zur Bestimmung der optimalen Reglereinstellwerte, die in Tabelle 8.2.7 enthalten sind. Interessant ist die Darstellung in Tabelle 8.2.6, die das prinzipielle Aussehen der Regelgiitediagramme fiir die betrachteten Regler- und Regelstreckenkombinationen beschreibt. Absolute Optima treten z.B. fiir eine PTs-Regelstrecke nur bei Einsatz eines PI- und P-Reglers auf. Bei Verwendung eines PD-Reglers stellt sich auf der Optimalkurve von <9JqN/5TDN = 0 dagegen ein Randoptimum ein. Das Regelgiitediagramm fiir den PIRegler ist in diesem Fall ahnlich dem der PT4-Regelstrecke, nur dass beispielsweise fiir gleiche /u-Werte offensichtlich der Stabilitatsbereich bei einer PTs-Regelstrecke breiter
200
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.2 Entwurf im Zeitbereich
201
202
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.2 Entwurf im Zeitbereich
203
204
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
wird. Beim PD-Regler hingegen andert sich das Regelgutediagramm erheblich. Bei Regelkreisen mit PT2-, P T i - und P-Regelstrecken ergeben sich fiir die optimalen Einstellwerte der vorliegenden Reglertypen nur Randoptima. Bei PTi- bzw. P-Regelstrecken ist die Verwendung des PID- bzw. PD-Reglers nicht vorteilhaft, da der D-Anteil nicht mehr wirksam ist. Hier liefert der PI- bzw. P-Regler dieselben Resultate. Da nur im Falle der PT4-Regelstrecke samtliche hier verwendeten Reglertypen absolut optimale Einstellwerte aufweisen, lasst sich ein Vergleich des jeweiligen Regelverhaltens auch nur fiir diesen Regelstreckentyp durchfiihren. Fiir diesen Fall enthalt Bild 8.2.6 die den dynamischen Ubergangsfehler kennzeichnenden GroBen, also die normierte maximale Uberschwingweite e N m a x = ^
(8.2.30)
und die normierte Ausregelzeit auf e = 3% tm% = (^)
,
(8.2.31)
in Abhangigkeit vom interessierenden /i-Wert bei entsprechend optimalen Reglereinstellwerten. Die kleinste Uberschwingweite stellt sich beim PID-Regler ein. Der PI-Regler liefert nahezu dieselbe Uberschwingweite wie der einfache P-Regler, jedoch hat der letztere bekanntlich den Nachteil, dass nach Ausregeln einer sprungformigen Storung bei den hier betrachteten PT„-Regelstrecken stets noch eine normierte bleibende Regelabweichung CNCX) zuriickbleibt. Diese Feststellung gilt auch fiir den PD-Regler. Fiir diese beiden Reglertypen ist der Verlauf von GNOO ebenfalls im Bild 8.2.6 enthalten. Die schraffierte Flache stellt daher den Bereich dar, in dem diese beiden Regler iiberhaupt arbeiten konnen. Gegeniiber dem PI-Regler weist der PD-Regler allerdings eine wesentlich geringere Uberschwingweite auf. Die Ausregelzeit auf den stationaren Zustand nach einer sprungformigen Storung am Eingang der Regelstrecke ist beim PD-Regler am kleinsten. Beim PI-Regler sind die Ausregelzeiten noch grofier als beim P-Regler. Dies ist auf den Einfluss des I-Verhaltens zuriickzufiihren. Dieselbe Erscheinung kann beim Vergleich des PID- und des PD-Reglers festgestellt werden. Bild 8.2.6 eignet sich zur groben Auswahl eines giinstigen Reglertyps bei der Durchfiihrung einer Entwurfsaufgabe. Wird beispielsweise bei einer Regelkreissynthese verlangt, dass fiir eine PT4-Regelstrecke mit n = 2 die maximale Uberschwingweite eNmax = 0,14 sein soil und eine bleibende Regelabweichung von eNoo = 0,11 in Kauf genommen werden kann, dann eignet sich zur Losung dieser Aufgabe durchaus ein PD-Regler. Wiirde aber die Aufgabe gestellt werden, unabhangig von CNmax die Regelung ohne bleibende Regelabweichung zu betreiben, so kann dafiir ein billiger I-Regler vorgesehen werden. Dieser Sachverhalt wurde bereits im Abschnitt 5.3.2 bei der Behandlung der Vor- und Nachteile verschiedener Reglertypen angesprochen. Aus Bild 8.2.6 ist weiterhin ersichtlich, dass in samtlichen hier untersuchten Fallen die grofite Uberschwingweite bei // = 1 auftritt. Aufierdem kann aus Tabelle 8.2.4 entnommen werden, dass der schmalste Stabilitatsbereich ebenfalls bei fj, = 1 auftritt. Dies bedeutet, dass Regelstrecken, deren dynamisches Verhalten durch n gleiche Zeitkonstanten beschrieben werden kann, schwieriger zu regeln sind als solche, bei denen diese n Zeitkonstanten unterschiedliche Werte annehmen.
8.2 Entwurf im Zeitbereich
205
10 M Bild 8.2.6. (a) Maximale Uberschwingweite und (b) Ausregelzeit an PT4-Regelstrecken bei optimaler Einstellung verschiedener Reglertypen nach dem quadratischen Giitekriterium (fiir den P- und PD-Regler ist jeweils auch die normierte bleibende Regelabweichung BNOO = ZQKS dargestellt) Beispiel 8.2,1 Um die leichte Anwendbarkeit der hier eingefiihrten verallgemeinerten Darstellungsform zu zeigen, soil nochmals kurz auf das im Abschnitt 8.2.2.1 behandelte Beispiel eingegangen werden. Mit Ks = 1 und Ti = T2 = T3 = T = I s , also ^ = 1, erhalt man fiir n = 3: die in Tabelle 8.2.3 eingefiihrten Grofien
c = T^fj. = 1 s^
und
d = 0:
die verallgemeinerten Zeitkonstanten der Regelstrecke o^ A=^=3,
„
^
c
1
B = - = -
, und
^
d
C=^=0;
die verallgemeinerten Reglereinstellwerte K = KnKs = Kn
und
TIN = - = ^l a 6
die normierte quadratische Regelflache •'"qN
=
izoKs)^a
3
206
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Fiir den speziellen Fall des hier gewahlten Beispiels lassen sich nun anhand der allgemeinen Formeln aus den Tabellen 8.2.4,8.2.5 und 8.2.7 der Stabilitatsrand Tistab, die quadratische Regelflache /q(= h), die beiden Optimalkurven Tiopt; (fiir i = 1,2), die Hohenlinien Tin 12 sowie die optimalen Reglereinstellwerte -ft'Ropt und Tiopt unmittelbar bestimmen. So folgt z.B. aus Tabelle 8.2.7 fiir die optimalen Reglereinstellwerte des PI-Reglers:
K Tiopt
„
K -IZII^K
2 - 3(1/9)
_ 3(2 -2.B)
= -£ IN opt —
-.
3[2_-3(l/9)] => JI opt = J s
;:;
=
OS.
a A '^ 3 Die Nachprlifung der im Abschnitt 8.2.2.1 verwendeten Gleichungen fiir Tistab, -fq, Tiopt; (i = 1,2) sowie Tihj 2 kann ebenfalls schnell mit Hilfe der zuvor erwahnten Tabellen nachvollzogen werden. • Abschliefiend sei noch darauf hingewiesen, dass sich die hier dargestellte Parameteroptimierung von Standardreglertypen unter Verwendung des quadratischen Giitekriteriums auch auf andere Regelstecken iibertragen lasst [Unb70], z.B. auf solche mit IT„-Verhalten; aufierdem lasst sie sich auch auf Regelstrecken mit Totzeitverhalten anwenden. Damit steht fiir die Synthese von Regelkreisen im Zeitbereich ein leistungsfahiges Verfahren zur Verfiigung.
8.2.3 8.2.3.1
Empirisches Vorgehen Empirische
Einstellregeln nach
Ziegler und Nichols
Viele industrielle Prozesse weisen Ubergangsfunktionen mit rein aperiodischem Verhalten gemafi Bild 8.2.7 auf, d.h. ihr Verhalten kann durch PT„-Glieder sehr gut beschrieben werden. Haufig konnen diese Prozesse durch das vereinfachte mathematische Modell Gsis) = j f l ^ e - ^ - ,
(8.2.32)
das ein Verzogerungsglied 1. Ordnung und ein Totzeitglied enthalt, hinreichend gut approximiert werden. Bild 8.2.7 zeigt die Approximation eines PT„-Gliedes durch ein derartiges PTiTj-Glied. Dabei wird durch die Konstruktion der Wendetangente die Ubergangsfunktion hs{t) mit folgenden drei Gr6i3en charakterisiert: Kg (Ubertragungsbeiwert oder Verstarkungsfaktor der Regelstrecke), Ta (Anstiegszeit) und T^ (Verzugszeit). Fiir eine grobe Approximation nach Gl. (8.2.32) wird dann meist Tt = T^ und T = Ta gesetzt. Fiir Regelstrecken der hier beschriebenen Art wurden zahlreiche Einstellregeln fiir Standardregler in der Literatur [Opp72] angegeben, die teils empirisch, teils durch Simulation an entsprechenden Modellen gefunden wurden. Die wohl am weitesten verbreiteten empirischen Einstellregeln sind die von Ziegler und Nichols [ZN42]. Diese Einstellregeln wurden anhand ausgedehnter Untersuchungen von Reglereinstellungen empirisch abgeleitet, wobei die Ubergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises je Schwingungsperiode eine
8.2 Entwurf im Zeitbereich
h^ity
207
1
Kc
s
^ / / I
/ '
ly
0,63/Cg
Wy
/'
^ PT.T^ — Approximation
1 1 1 1 1
/ / '
1
0
/
^ T
^—
1 1 1
t T.
—
*
•
Bild 8.2.7. Beschreibung der Ubergangsfunktion hs{t) eines Prozesses durch die drei Grofien Ks (Ubertragungsbeiwert oder Verstarkungsfaktor der Regelstrecke), Ta (Anstiegszeit) und Tu (Verzugszeit) Amplitudenabnahme von ca. 25 % aufwies. Bei der Anwendung der Einstellregeln nach Ziegler und Nichols kann zwischen folgenden zwei Fassungen gewahlt warden: a) Methode des Stabilitdtsrandes (I): Hierbei geht man in folgenden Schritten vor: 1. Der jeweils im Regelkreis vorhandene Standardregler wird zunachst als reiner P-Regler geschaltet. 2. Die Verstarkung K-^ dieses P-Reglers wird solange vergroBert, bis der geschlossene Regelkreis Dauerschwingungen ausfiihrt. Der dabei eingestellte isTR-Wert wird als kritische Reglerverstarkung i^Rkrit bezeichnet. 3. Die Periodendauer Tkrit (kritische Periodendauer) der Dauerschwingung wird gemessen. 4. Man bestimmt nun anhand von iiTRkrit und Tkrit mit Hilfe der in Tabelle 8.2.8 angegebenen Formeln die Reglereinstellwerte K^, Ti und TDb) Methode der Ubergangsfunktion (II): Haufig wird es allerdings bei einer industriellen Anlage nicht moglich sein, den Regelkreis zur Ermittlung von i^Rkrit und Tkrit im grenzstabilen Fall zu betreiben. Im allgemeinen bereitet jedoch die Messung der Ubergangsfunktion hs{t) der Regelstrecke keine grofien Schwierigkeiten. Daher scheint in vielen Fallen die zweite Form der Ziegler-Nichols Einstellregeln, die direkt von der Steigung der Wendetangente Ks/T^ und der Verzugszeit Tu der Ubergangsfunktion ausgeht, als zweckmafiiger. Dabei ist zu beachten, dass die Messung der Ubergangsfunktion hs{t) nur bis zum Wendepunkt W erforderlich ist, da die Steigung der Wendetangente bereits das Verhaltnis /sTs/^a beschreibt. Anhand der Messwerte Tu und Ks/T^ sowie mit Hilfe der in Tabelle 8.2.8 angegebenen Formeln lassen sich dann die Reglereinstellwerte einfach berechnen.
208
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Tabelle 8.2.8 Reglereinstellwerte nach Ziegler und Nichols Reglereinstellwerte
Methode I
Reglertypen
Kn
Ti
TD
P
0,5 -RTRkrit
-
-
PI
0,45A'Rkrit
0,85Tkrit
-
0,6
0,5 Tkrit
0,12Tkrit
-
-
PID P Methode II
8.2.3.2
Kukrlt 1
Ta
KsTu
PI
0,9 Ta KsTu
3,33 Tu
-
PID
1,2 Ta Ks Tu
2Tu
0,5 Tu
Empirischer Entwurf durch Simulation
Die zuvor behandelten Einstellregeln nach Ziegler und Nichols sind reine Faustformeln, die man immer dann anwenden wird, wenn man auf grofieren mathematischen Aufwand verzichten will. Man sollte daher das erhaltene Ergebnis auch daraufhin iiberpriifen, ob die zu Beginn der Optimierung festgelegten Giitemafie, also die Spezifikationen fiir die Anstiegszeit, Uberschwingweite, Ausregelzeit usw. ungefahr eingehalten werden. Obwohl die Anwendung dieser Faustformeln meist nur bedingt das gewiinschte Regelverhalten liefert, insbesondere auch schon deswegen, well sie weder zwischen Festwert- und Fiihrungsregeln unterscheiden noch den Eingriffsort der Storungen beriicksichtigen, konnen sie dennoch in vielen Fallen als gute Startwerte fiir einen Regelkreisentwurf mittels Rechnersimulation dienen. Dieses Vorgehen ist weit verbreitet. Das Schwingungsverhalten wird dabei iiber Bildschirm in jeder Entwurfsphase angezeigt. So kann dann jederzeit anhand des Einschwingvorgauges entschieden werden, ob das Ergebnis akzeptabel ist oder nicht. Generell wird man bei einem Regelkreisentwurf mittels Rechnersimulation von bestimmten anfangs festgelegten GiitemaBen ausgehen und dann fiir die vorgegebene Regelstrecke eine Reglerstruktur auswahlen. Nun versucht man, fiir diese Konfiguration des Regelkreises die Reglerparameter so einzustellen, dass die vorgegebenen Giitemafie erfiillt werden. Ist dies erreicht, so liegt bereits ein akzeptabler Entwurf vor. Konnen jedoch die gewiinschten Giiteanforderungen allein durch Variation der Reglerparameter nicht erzielt werden, dann muss durch Wahl einer anderen Reglerstruktur dieselbe Prozedur wiederholt werden. Liefert auch dieser Weg - eventuell trotz mehrmaliger Anderung der Reglerstruktur - nicht das gewiinschte Ergebnis, dann sind die Giiteanforderungen meist well sie zuvor zu streng waren - neu festzulegen. Dieses Vorgehen, das viel ingenieurmafiige Erfahrung erfordert, ist im Bild 8.2.8 anschaulich dargestellt.
8.2 Entwurf im Zeitbereich
209
Festlegung der Giitemafie Festlegung der Giitemafie Wahl der Reglerstruktur Wahl einer neuen j a Reglerstruktur
Einstellung der Reglerparameter
Konnen "^Giitemafie durcli^ Wahl einer neuen Reglerstruktur erreicht werden?
Konnen ''Giitemafie durcli^ Verstellung der Parameter erreicht werden?
ja
nem
Akzeptabler Entwurf
Bild 8.2.8. Prinzipielles Vorgehen beim empirischen Entwurf von Regelkreisen
210
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.3
Entwurf im Frequenzbereich
8.3.1
Kenndaten im Frequenzbereich
Nachfolgend werden fvir Fiihrungsverhalten die wichtigsten Kenndaten sowohl des offenen als auch des geschlossenen Regelkreises im Prequenzbereich angegeben und ihre Abhangigkeit von den im Abschnitt 8.2.1.1 eingefiihrten Giitemafien des geschlossenen Regelkreises im Zeitbereich untersucht.
8.3.1.1
Kenndaten des geschlossenen Regelkreises im Frequenzbereich und deren Zusammenhang mit den Giitemafien im Zeitbereich
Ein Regelkreis, dessen Ubergangsfunktion /iw(i) einen Verlauf entsprechend Bild 8.2.1 aufweist, besitzt gewohnlich einen Prequenzgang Gw(jw) mit einer Amplitudeniiberhohung, der sich qualitativ im Bode-Diagramm nach Bild 8.3.1 darstellen lasst. Zur Beschreibung dieses Verhaltens eignen sich die folgenden teilweise friiher bereits eingefiihrten Kenndaten: • Resonanzfrequenz ujr, • Amplitudenuberhdhung AwmaxdB, • Bandbreite Wb, • Phasenwinkel ip\, = (p{u}h). Diese Kenndaten gehen anschaulich aus Bild 8.3.1 hervor. Fiir die weiteren Uberlegungen wird die Annahme gemacht, dass der geschlossene Regelkreis naherungsweise durch ein PT2S-Glied mit der Ubertragungsfunktion
nach Gl. (4.3.48) mit K = 1 beschrieben werden kann, wobei die Eigenfrequenz ujo und der Dampfungsgrad D das Regelverhalten vollstandig charakterisieren. Dies ist sicherlich dann mit guter Naherung moglich, wenn die reale Fiihrungsiibertragungsfunktion ein dominierendes Polpaar gemafi Bild 8.3.2 besitzt. Dieses Polpaar liegt in der s-Ebene der jw-Achse am nachsten, beschreibt somit die langsamste Eigenbewegung und beeinflusst damit das dynamische Eigenverhalten des Systems am starksten, sofern die iibrigen Pole hinreichend weit links davon liegen. Die zur Gl. (8.3.1) gehorende Ubergangsfunktion hw{t) = |l - e--^""*
cos (Vl - D^ujot) +
^
sin ( A / I - D^ujot)
\ a{t) (8.3.2a)
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
211
Bild 8.3.1. Bode-Diagramm des geschlossenen Regelkreises bei Fiihrungsverhalten ^d'^iw
Is —Ebene
X -Xdominierendes >^ Polpaar
Bild 8.3.2. Polstellenverteilung eines Ubertragungsgliedes mit dominierendem Polpaar nach Gl. (4.3.60) wird zweckmafSigerweise in die Form -Duiot
/iw(t) = \ l -
rCOS
f
\/l
-
D'^uot)
-
ipd
\
cr{t)
(8.3.2b)
gebracht, wobei fiir tpd = arcsin D
oder
D — sin (p^
gilt. Aus GI. (8.3.2b) folgt durch Differentiation die Gewichtsfunktion gyv{t) = hw{t) =
, /^0 " ^ ^ e -p^- C' "o°- *o ts, i n ( \ / l - D'^oJot^ a{t).
(8.3.3)
Damit sind nun die Voraussetzungen geschaffen, um die tJberschwingweite, Anstiegszeit und Ausregelzeit in Abhangigkeit von den Kenndaten des Frequenzbereichs, z.B. der Eigenfrequenz WQ und dem Dampfungsgrad D, zu bestimmen. Mit UIQ und D konnen die interessierenden GroiSen AwmaxdB und cjr dann direkt iiber die Gin. (4.3.53) und (4.3.54) ermittelt werden.
212
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
a) Berechnung der maximalen Uberschwingweite emax: Zur Berechnung von e^ax wird zunachst der Zeitpunkt t = imax > 0 bestimmt, bei dem hw{t) gemafi Gl. (8.3.3) erstmalig Null wird. Dies ist offensichtlich dann der Fall, wenn fiir das Argument der sin-Funktion in Gl. (8.3.3)
gilt. Fiir t = imax erhalt man daraus TT
(8.3.4)
wov/l - D'^ Damit folgt aus Gl. (8.3.2) als maximale Uberschwingweite DTT Cmax — " W v ^ m a x j
= e VT^W^
(8.3.5)
Die maximale Uberschwingweite ist somit nur eine Funktion des Dampfungsgrades D. Diese Abhangigkeit ist im Bild 8.3.3 dargestellt. Aufierdem zeigt das Bild den Zusammenhang (gestrichelt) zwischen Cmax und Aw„», •
max *^ 1 ^ ^
100%
0,1 1 2
0,2 4
0,3 6
0,4 8
0,5 10
0,6 12
0,7 14
0,8 16
0,9 18
1,0 D 20 A w,„
Bild 8.3.3. Maximale Uberschwingweite Cmax = fi{D) (in %) bezogen auf hwo Funktion des Dampfungsgrades D S0W16 6max —
100% als
b) Berechnung der Anstiegszeit Ta,^5o'Die Anstiegszeit wird nachfolgend nicht iiber die Wendetangente, sondern liber die Tangente im Zeitpunkt t = t^o (vgl. Bild 8.2.1) bestimmt, bei dem hw{t) gerade 50 % des stationaren Wertes /iwoo = 1 erreicht hat. Zu ermitteln ist also zunachst die Zeit ho, fiir die mit Gl. (8.3.2) hy/iho) = 0,5 gilt. Aus Gl. (8.3.2a) folgt somit 0,5 = 1 - e-^"°*=° cos ( \ / l - D^oJoho) +
^ sin ( \ / l - D^ujot^o)
Diese Bestimmungsgleichung fiir das Produkt Woiso muss numerisch ausgewertet werden. Man erhalt eine Abhangigkeit der Form Woi50 = /2*(-D)-
(8.3.6)
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
213
Aus Gl. (8.3.3) folgt als Anstiegszeit
VI-D^
1 ^a.SO —
Woe" -DcJotso
hwih
sin (\/l - D^ojot^o)'
und daraus ergibt sich mit Gl. (8.3.6) schliei31ich die normierte Anstiegszeit Wo7a,50 —
Vl-D^ e-Dfi{D)
sin
(8.3.7)
{^yl-D^f*{D))
also ebenfalls eine nur vom Dampfungsgrad D abhangige Grofie. Dieser Zusammenhang ist im Bild (8.3.4) grafisch dargestellt. S^.,50=/2(^)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 D
Bild 8.3.4. Das Produkt ojoTa.so = f2{D) (normierte Anstiegszeit) als Funktion des Dampfungsgrades D c) Bestimmung der Ausregelzeit t^: Mit Gl. (8.3.2b) lasst sich die Amplitudenabnahme auf einen Wert kleiner als e fiir t > ts aus der Hiillkurve des Schwingungsverlaufs, also aus der Beziehung Vl-^D^ angenahert abschatzen. Daraus folgt die normierte Ausregelzeit iOote
imi D e
1 Vl-£)2
(8.3.8)
Wahlt man e = 3%(=0,03), dann erhalt man l^ot3%
1 [3,5-0,51n(l-D2)] =/3(p). D
.3.9)
Dieser Zusammenhang ist im Bild 8.3.5 dargestellt, ebenfalls derjenige fiir die normierte Anregelzeit woian, die sich unmittelbar aus dem spater dargestellten Bild 8.3.9 ergibt. Vergleicht man nun die in den Bildern 8.3.3 bis 8.3.5 dargestellten Ergebnisse miteinander, so lasst sich zusammenfassend folgendes feststellen:
214
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
•'UD)\ 15-
^^0*3%
i^O^an
10-
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 D
Bild 8.3.5. Normierte Ausregelzeit a;of3% ~ hiD) und normierte Anregelzeit oio^an = fz{D) als Funktionen des Dampfungsgrades D • Die Uberschwingweite emax hangt nur vom Dampfungsgrad D ah. • Eine Veranderung des Dampfungsgrades D im Bereich von etwa D < 0,9 wirkt auf die Ausregelzeit t^ gerade entgegengesetzt wie auf die Anstiegszeit Ta,5o und die Anregelzeit ianj d.h. eine Vergrofierung des Dampfungsgrades D zur Erreichung kleinerer Ausregelzeiten t^ hat eine Vergrofierung der Anstiegszeit Ta,5o und der Anregelzeit tan zur Folge. • 1st der Dampfungsgrad D fest vorgegeben, so bestimmt der Parameter WQ die Geschwindigkeit des Regelkreises. Ein grofies OJQ bat eine kleine Ausregelzeit und eine kleine Anstiegszeit zur Folge. Fiir die praktische Anwendung der Diagramme gemafi den Bildern 8.3.3 bis 8.3.5 sei nachfolgend noch ein Beispiel angegeben. Beispiel 8.3.1 Die Fiihrungsiibergangsfunktion hwit) eines geschlossenen Regelkreises mit dominierendem Polpaar soil eine maximale Uberschwingweite emax < 10%, eine Anstiegszeit Tafio < 1 s und eine Ausregelzeit ^3% < 4s besitzen. Wie miissen der Dampfungsgrad D und die Eigenfrequenz UIQ gewahlt werden? Mit dem gegebenen Wert von Cmax erhalt man aus Bild 8.3.3 als Dampfungsgrad D = 0,58. Fiir diesen D-Wert folgt aus Bild 8.3.4 mit Ta,5o = 1 s die Eigenfrequenz /2(0,58) = 2,05 s- 1 Is Entsprechend wiirde man aus Bild 8.3.5 mit ^3% = 4s die Eigenfrequenz Wo
OlQ
4s
8.3 Entwurf im Prequenzbereich
215
erhalten. Die Forderung nach einer Anstiegszeit von Ta^so = 1 s stellt somit die scharfere Forderung dar, so dass WQ = 2,05 s~^ zu wahlen ist. Mit diesem Wertepaar {ujo,D) konnen nun liber Gl. (4.3.53) die Resonanzfrequenz zu Ur- =LOo\/l-2D^ = 1,17S~^ und iiber Gl. (4.3.54) die Amplitudeniiberhohung zu ^^^"^^
^
2DVT^D^
=
''^"^
bzw. ^WmaxdB = 0,49 dB bestimmt werden.
•
Zur Abschatzung der Bandbreite Wb bei vorgegebenem Dampfungsgrad D wird haufig auch der Zusammenhang dieser beiden Grofien benotigt. Aufgrund der im Bild 4.3.18 dargestellten Definition der Bandbreite Wb folgt aus |Gw(j^b)|
= ^ |Gw(0)|
nach kurzer Zwischenrechnung mit Gl. (8.3.1) fiir s = jw und w = Wb — = J{1- 2I?2) + 7 ( 1 - 2Z?2)2 + 1 == /^(z?) UJQ
(8.3.10)
'
und (/5b = arctan ^
2D J 1 - 2D^) + V 1 - 21^2 2 ^ ^ ^ = = fsiD). 2I?2 - 7 ( 1 - 2i52)2 +1 •'"^ ^
(8.3.11) ^ ^
Weiterhin erhalt man mit Gl. (8.3.7) aus Gl. (8.3.10) c^bTa.so = f2{D) U{D) =. fe{D).
(8.3.12)
Der grafische Verlauf der Funktionen fi{D), fs{D) und f%{D) ist im Bild 8.3.6 dargestellt. Durch Approximation von fi{D), f^{D) und f&{D) lassen sich dann folgende Faustformeln ableiten:
1. —« 1,8-1,11?
fiir
0,3
(8.3.13)
fur
0
(8.3.14)
fiir
0,3<0,8.
(8.3.15)
Wo
2.
i(/3b! « 7 r - 2 , 2 3 D ((/^b im Bogenmafi) 3. WbT'a,50«2,3
Mit diesen Bezeichnungen kann fiir das zuvor behandelte Beispiel 8.3.1 mit WQ = 2,05 s^-^ und D = 0,58 auch noch die Bandbreite cjb entweder aus Gl. (8.3.13) zu Wb « 2(1,8 - 1,1 • 0,58) = 2,32s^i oder mit Ta^so = Is aus Gl. (8.3.15) zu Wb ~ 2,3s""^ ermittelt werden.
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
216
4,/ -3 . _ _ TN
—,
1,0-
. ^ • ^ • ^ ' ' '
-2
^ v .
I'p.Mm 0,5-
-1
0
•-
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 D
Bild 8.3.6. Abhangigkeit der Kenngrofien Wb/wo = fi{D), tpb = fsiD) und uJbTa,m — /eC-D) vom Dampfungsgrad D des gesclilossenen Regelkreises mit ]^T2-Verh.alten
8.3.1.2
Kenndaten des offenen Regelkreises und ihr Zusammenhang mit den Giitemafien des geschlossenen Regelkreises im Zeitbereich
Bei den nachfolgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, dass der offene Regelkreis Verzogerungsverhalten besitzt und somit qualitativ ein Bode-Diagramm gemafi Bild 8.3.7 aufweist. Zur Beschreibung dieses Frequenzganges GQQLO) werden folgende, bereits in den Gin. (6.4.15) und (6.4.16) eingefiihrte und im Bild 8.3.7 dargestellte Kenndaten verwendet: • Durchtrittsfrequenz LJ-D, • Phasenrand (oder Phasenreserve)
(/JR,
= 180° +
(^(WD),
• Amplitudenrand (oder Amplitudenreserve) A R ^ B = |Go(ws)|dBEs sei wiederum angenommen, dass das dynamische Verhalten des geschlossenen Regelkreises angenahert durch ein dominierendes konjugiert komplexes Polpaar charakterisiert werden kann und somit durch Gl. (8.3.1) beschrieben wird. In diesem Fall folgt aus Gl. (8.3.1) als Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises Go{s) = oder
Gwjs) 1 - Gw(s ,
KQ
ul sis + 2DOJQ)
1
(8.3.16a)
(8.3.16b)
mit KQ = uo/i2D) und T = l/{2Dujo). Der zu Gl. (8.3.16) gehorende Prequenzgang ist als Bode-Diagramm im Bild 8.3.8 skizziert. Dieses Bode-Diagramm weicht wesentlich
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
217
Bild 8.3.7. Bode-Diagramm des offenen Regelkreises von dem im Bild 8.3.7 dargestellten ab. So besitzt das System nach Bild 8.3.7 keinen I-Anteil. Weiterhin ist es von hoherer als zweiter Ordnung, da die Phasenkennlinie den Wert von - 180° iiberschreitet. In der Nahe der Durchtrittsfrequenz wu weisen allerdings beide Bode-Diagramme einen ahnlichen Verlauf auf. Ist bei einem vorgegebenen System |Go(jw)| >> 1 fiir u « WD und gilt angenahert |Go(j'^)| ?» 0 fiir w >> WD, dann lasst sich Go{s) in der Nahe der Durchtrittsfrequenz WD durch Gl. (8.3.16a) und (8.3.16b) approximieren. Damit erhalt die zugehorige Ftihrungsiibertragungsfunktion Gw(s) ein dominierendes, konjugiert komplexes Polpaar. Um die fiir ein System zweiter Ordnung hergeleiteten Giitespezifikationen auch auf Regelsysteme hoherer Ordnung iibertragen zu konnen, soUte man daher beim Entwurf anstreben, dass deren Betragskennlinien |Go(jt<;)| in der Nahe von cou mit etwa 20 dB/Dekade abfallen. Fiir Gl. (8.3.16b) ist dies nur erfiillt, wenn WD < 1/T gilt (vgl. Bild 8.3.8). Aus Gl. (8.3.16a) erhalt man mit der Bedingung |GO(JWD)| = 1
nach kurzer Zwischenrechnung — =
A/V4£)4
+ 1 - 2£>2 = y^(£,).
Wo
(8.3.17)
Damit folgt nun mit T = l/(2Da;o) fiir WD < 1/T aus \ / \ / 4 D 4 + 1 - 2D2 < 21? schliefilich die Bedingung D > 0,42. Wahlt man also als Dampfungsgrad einen Wert D > 0,42, dann ist gewahrleistet, dass die Betragskennlinie |Go|dB des offenen Regelkreises in der Umgebung der Durchtrittsfrequenz WD mit 20 dB/Dekade abfallt. Aufierdem zeigt Bild 8.3.9, dass fiir den geschlossenen Regelkreis gerade das Intervall 0,5 < D < 0,7 einen Bereich giinstiger Dampfungswerte darstellt, da hierbei sowohl die Anstiegszeit, als auch die maximale Uberschwingweite vom Standpunkt der Regelgute aus akzeptable Werte annehmen. Dies bedeutet aber andererseits, dass dann auch Phasen- und Amplitudenrand <^R und A^^iB giinstige Werte besitzen.
218
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
KL\ ^\,^^ ^ \ ^
1 /T ^40
dB/Dekade
(J -90^-180'^
[s-']
OJ
[s-'\
LO
Bild 8.3.8. Bode-Diagramm des offenen Regelkreises mit Go{S) gemafi Gl. (8.3.16b) Z}=0,2
Gw(«) =
s^ +2DWQS + U?Q
9
^0*
Bild 8.3.9. Ubergangsfunktion h-w(t) des geschlossenen Regelkreises mit PT2-Verhalten gemafi der Ubertragungsfunktion Gw(s) nach Gl. (8.3.1) Aus diesen Uberlegungen kann daher geschlossen werden, dass bei Regelkreisen mit Minimalphasenverhalten, die angenahert durch ein PT2S-System beschrieben werden konnen, der Amplitudengang |Go(jw)|dB des ofFenen Systems in einer geniigend grofien Umgebung der Durchtrittsfrequenz WD mit 20 dB/Dekade abnehmen muss, um eine hohe Regelgiite, d.h. einen hinreichend grofien Phasenrand ^R ZU gewahrleisten. Wie im Abschnitt 6.4.2 bereits erwahnt, stellt die Durchtrittsfrequenz WD ein wichtiges Giitemafi fiir das dynamische Verhalten des geschlossenen Regelkreises dar. Je grofier WD, desto grofier ist gewohnlich die Bandbreite Wb von GwO'^) und desto schneller ist auch die Reaktion auf Sollwertanderungen. Nun gilt naherungsweise fiir den Prequenzgang bei Fiihrungsverhalten
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
219 1 Go(jw)
fiir |Go(jw)| » 1 fur |Go(ja;)l « 1 .
(8.3.18)
Daraus lasst sich der Amplitudengang von Gw(jw) asymptotisch bestimmen (Bild 8.3.10). Nimmt |Go(jw)|dB in der Umgebung von WQ mit dem oben geforderten Wert von 20 dB/Dekade ab, dann gilt in diesem Bereich Go (jo;)
WD
und somit wird Gw(jw)
1+J:'OJb G,OldB
lG'o(j'^)laB
G,
- 2 0 dB/Dekade
WidB
Frequenzbereich
Bild 8.3.10. Stiickweise Ermittlung von |GwOw)|dB aus |GoGw)|dB im Bode-Diagramm Gw(jw) verhalt sich also in diesem Bereich wie ein PTi-Glied. Da bei einem PTi-Glied der Amplitudengang bekanntlich bei der Eckfrequenz (hier We = WD) um 3 dB abgefallen ist, stellt die Durchtrittsfrequenz WQ des offenen Regelkreises gerade den Wert fiir die Bandbreite Wb des geschlossenen Regelkreises dar, d.h. WD = tOh- Damit lasst sich fiir Phasenminimumsysteme der Frequenzgang von Gw(jw) stiickweise aus Go(jw) gemafi Bild 8.3.10 ermitteln. Dabei soUte zur Erfiillung der Gl. (8.3.18) im unteren Frequenzbereich der Wert |Go(jw)| und damit auch die Kreisverstarkung KQ groB sein, um die bleibende Regelabweichung moglichst klein zu halten. Dieser untere Frequenzbereich von |Go(jw)| kennzeichnet gerade das stationare Verhalten des geschlossenen Regelkreises, wahrend der mittlere Frequenzbereich im wesentlichen den Einschwingvorgang und damit die Dampfung charakterisiert. Um die Auswirkung eventuell nicht unterdriickbarer hochfrequenter Storungen bei der Fiihrungsgrofie w(t) im Regelkreis zu vermeiden, muss |Go(ja;)| und damit auch |Gw(jw)| im oberen Frequenzbereich rasch abfallen. Mit diesen Betrachtungen ist man nun in der Lage, neben der Gl. (8.3.17) noch weitere wichtige Zusammenhange zwischen den Kenndaten fiir das Zeitverhalten des geschlossenen Regelkreises und den Kenndaten fiir das Frequenzverhalten des offenen und damit teilweise auch des geschlossenen Regelkreises anzugeben. So folgt aus Gl. (8.3.17) unter Verwendung von Gl. (8.3.7) direkt
220
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme WDTa,50 = / 2 P ) friD) = fs{D).
(8.3.19)
Der grafische Verlauf von fsiD) ist im Bild 8.3.11 dargestellt. Es lasst sich leicht nachpriifen, dass dieser Kurvenverlauf in guter Naherung im Bereich 0 < i? < 1 durch die Naherungsformel c^DTa.so « 1,5 - ^ 2 1 ^
(8.3.20a)
oder WD^a.so« 1,5
fiir
e^ax < 20%
oder
D > 0,5
(8.3.20b)
beschrieben werden kann. Ein weiterer Zusammenhang ergibt sich aus der Durchtrittsfrequenz u>u fiir den Phasenrand (/jR = 180°+argGo(ja;D) = 180° - 90° - arctan (-^ — \2D Wo woraus nach kurzer Umformung schliefilich 2D—
= arctan 2D
WD/
friD)
= MD)
(8.3.21)
folgt. Bild 8.3.11 enthalt auch den grafischen Verlauf dieser Funktion. Man kann hier durch Uberlagerung von fQ{D) mit fi{D) zeigen, dass im Bereich 0,3 < D < 0,8, also fiir die hauptsachlich interessierenden Werte des Dampfungsgrades, die Naherungsformel VRn+e„,ax[%]«70
(8.3.22)
gilt.
8.3.2 8.3.2.1
Reglersynthese nach d e m Frequenzkennlinien-Verfahren Der
Grundgedanke
Die im vorhergehenden Abschnitt hergeleiteten Beziehungen fi{D) {i = 1,2,... ,9) fiir einen Regelkreis, dessen Fiihrungsverhalten durch ein PT2S-Ghed beschrieben wird, lassen sich, wie gezeigt wurde, auch auf Systeme hoherer Ordnung iibertragen, sofern diese ein dominierendes Polpaar besitzen. Fiir diese Klasse von Systemen existiert ein leistungsfahiges Syntheseverfahren im Prequenzbereich, das Frequenzkennlinien-Verfahren, welches nachfolgend naher behandelt wird. Ausgangspunkt dieses Verfahrens ist die Darstellung des Prequenzganges Go(jw) des offenen Regelkreises im Bode-Diagramm. Die zu erfiillenden Spezifikationen des geschlossenen Regelkreises werden zunachst gemafi Abschnitt 8.3.1.2 als Kenndaten des offenen Regelkreises formuliert. Die eigentliche Syntheseaufgabe besteht dann darin, durch Wahl einer geeigneten Regleriibertragungsfunktion G R ( S ) den Prequenzgang des offenen Regelkreises so zu verandern, dass er die geforderten Kenndaten erfiillt. Das Verfahren lauft im wesentlichen in folgenden Schritten ab:
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
221
^J^o t 1,0V^ 0,980° 0,8i
70° 0,7-
^
60° 0,6-
I^Rh/9(^) ^ ^ - ^ ' ^ " ^ • " " • ^ ^
50° 0,5-
-1,6 -1,5 -1,4
40° 0,430°
T
^ • " ' ' " ' ' ^
^-^X
1
'^D^a.50=/8(^)
-1,3
20°
-1,2
10°
^1,1
0° 0 -J^ 0
1
1
1
1
1
1
1
1
1—
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
••
1,0 D
Bild 8.3.11. Abhangigkeit der Kenndaten fiir das Prequenzverhalten des offenen Regelkreises, WD und (^R, vom Dampfungsgrad D des geschlossenen Regelkreises mit PT2S-Verhalten 1. Schritt: Im Allgemeinen sind bei einer Syntheseaufgabe die Kenndaten fiir das Zeitverhalten des geschlossenen Regelkreises, also emax, ?a,5o und e^ vorgegeben. Aufgrund dieser Werte werden mit Hilfe von Tabelle 5.2.1 der Verstarkungsfaktor ii'o, aus der Faustformel fiir WD Ta,5o « 1,5 gemai3 Gl. (8.3.20b) die Durchtrittsfrequenz WD und iiber die Faustformel ¥'R[°] f« 70 — emax[%] der Phasenrand 9?R berechnet, sowie zweckmaI3igerweise aus /i(-D) der Dampfungsgrad D bestimmt. 2. Schritt: Zunachst wird als Regler ein reines P-Glied gewahlt, so dass der im 1. Schritt ermittelte Wert von -ftTo eingehalten wird. Durch Einfiigen weiterer, geeigneter Reglerubertragungsglieder (oft auch als Kompensations- oder Korrekturgliederbezeichnet) verandert man Go so, dass man die tibrigen im 1. Schritt ermittelten Werte WD und (pR erhalt, und dabei in der naheren Umgebung der Durchtrittsfrequenz WD der Amplitudenverlauf lGo(ja;)|dB mit etwa 20 dB/Dekade abfallt. Diese zusatzlichen Ubertragungsglieder des Regelkreises werden meist in Reihenschaltung mit den tibrigen Regelkreisgliedern angeordnet. 3. Schritt: Es muss nun gepriift werden, ob das ermittelte Ergebnis tatsachlich den geforderten Spezifikationen entspricht. Dies kann entweder durch Rechnersimulation direkt anhand der Ermittlung der Grofien emax, T^^bo und Coa erfolgen oder indirekt unter Verwendung der im Abschnitt 8.3.1 angegebenen Formeln zur Berechnung der Amplitudeniiberhohung Aw max = l / ( 2 D V l - D 2 ) ^ Gl. (4.3.54), und der Bandbreite Wb ^ 2,3/Ta,5o, Gl. (8.3.15). Diese Werte werden eventuell noch iiberpriift, indem man anhand der Frequenzkennlinien des offenen Regelkreises iiber die Beziehung Gw(jw) = Go(jw) l + GoQoj)
222
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme die Frequenzkennlinien des geschlossenen Regelkreises berechnet. Zweckmafiigerweise benutzt man - sofern kein Digitalrechner zur Verfiigung steht - dafiir das Nichols-Diagramm, auf das spater noch eingegangen wird. Stellen sich dabei grofiere Abweichungen von den aufgrund der Naherungsbeziehungen ermittelten Werten von Aw max und tOb ein, dann muss Schritt 2 in modifizierter Form wiederholt werden.
Hieraus ist ersichtlich, dass dieses Verfahren nicht zwangslaufig im „ersten Durchgang" bereits den geeigneten Regler liefert. Es handelt sich hierbei vielmehr um ein systematisches Probierverfahren, das gewohnlich erst bei mehrmaligem Wiederholen zu einem befriedigenden Ergebnis fiihrt. Dieses Vorgehen wurde bereits im Bild 8.2.8 angedeutet. Zum Entwurf des Reglers reichen bei diesem Verfahren die friiher im Kapitel 5 vorgestellten Standardreglertypen gewohnlich nicht mehr aus. Der Regler muss - wie oben bei Schritt 2 gezeigt wurde - aus meist verschiedenen Einzeliibertragungsgliedern synthetisiert werden. Dabei sind zwei spezielle Ubertragungsglieder, die eine Phasenanhebung bzw. eine Phasenabsenkung ermoglichen, von besonderem Interesse. Diese werden nachfolgend vorgestellt.
8.3.2.2
Phasenkorrekturglieder
a) Das phasenanhebende Ubertragungsglied (Lead-Glied) Das phasenanhebende Glied wird verwendet, um in einem gewissen Frequenzbereich die Phasenkennlinie anzuheben. Die Ubertragungsfunktion dieses Gliedes lautet s
GR(s) = i ^ ^ = 1 + al s
^'
0
(8.3.23)
11
Daraus folgt fiir s = jw der Frequenzgang 1+JGRUOJ)
^
(8.3.24)
1+j — mit den beiden Eckfrequenzen wz = j;
(8.3.25a)
WN = ^.
(8.3.25b)
und
Als weitere Kenngrofie wird noch das Frequenzverhaltnis mh = — = - > 1 Wz
(8.3.26)
Ct
eingefiihrt. Aus Gl. (8.3.23) folgt fiir die Ortskurvendarstellung des Frequenzganges
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
223
— . / l+T io
i(arctanrw — arctanaTw)
/Q O o'7^
Der grafische Verlauf der Ortskurve ist im Bild 8.3.12 dargestellt. Wie sich leicht nachpriifen lasst, beschreibt die Ortskurve einen Halbkreis. jIm[Gj^
Bild 8.3.12. Ortskurve des phaisenanhebenden Ubertragungsgliedes Die maximale Anhebung des Phasenwinkels ip{co) = arctanTw — arctanaTo; erhalt man aus der Bedingung d(p(uj)/du) — 0 fiir 1
1
(8.3.28)
Wie das im Bild 8.3.13 dargestellte Bode-Diagramm zeigt, besitzt das phasenanhebende Glied fiir hohe Frequenzen eine an sich unerwlinschte Erhohung der Betragskennlinie (Amplitudenerhohung) um den Wert |AGR|dB=201g(l/a)=201gmh. Spaltet man Gl. (8.3.23) auf in die Form
^ , ,
1 + aTs
{l-a)Ts
^^^') = T T ^ r ; + l + aTs -1 +
aTs 1 + aTs'
(8.3.29)
so erkennt man, dass das phasenanhebende Glied aus der Parallelschaltung eines PGliedes mit dem Verstarkungsfaktor 1 und eines DTi-Gliedes besteht und damit einen speziellen PDTi-Regler (vgl. Gl. (5.3.9)) darstellt. Als Ubergangsfunktion erhalt man somit t hR{t)=a{t) l + ( - - l ) e ~ ^ . (8.3.30)
224
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Bild 8.3.13. Bode-Diagramm des phasenanhebenden Ubertragungsghedes
0
aT
t
Bild 8.3.14. Ubergangsfunktion des phasenanhebenden Ubertragungsgliedes Den grafischen Verlauf von hR,(^) zeigt Bild 8.3.14. Fiir die praktische Anwendung des phasenanhebenden Ubertragungsgliedes verwendet man das im Bild 8.3.15 dargestellte Phasendiagramm fiir die auiuiz normierte Frequenz. 1st die Frequenz Wmax bekannt, so kann aus diesem Diagramm die Gr6l3e des Frequenzverhaltnisses mj, bestimmt werden. Die untere Eckfrequenz coz kann ebenfalls aus dem Diagramm abgelesen oder mit Gl. (8.3.28) bestimmt werden. Beispiel 8.3.2 Die Phasenkennlinie des tjbertragungsgliedes soil bei w = Wmax = 4s~-^ um A(^ = 30° angehoben werden. Das Maximum der Phasenanhebung von A(^ = 30° ergibt sich nach Bild 8.3.15 fiir w/wz ^^ 1,7 und ruh — 3. Damit folgt mit w = Wmax = 4s~^ fiir die untere Eckfrequenz wz ^ Wmax/1,7 oder aus Gl. (8.3.28) wz = ^max/^/rnh — 4/\/3 = 2,31 s~^ und mit Gl. (8.3.26) fiir die obere Eckfrequenz WN = m^ujz = 6,93s"^. • b) Das phasenabsenkende Ubertragungsglied (Lag-Glied)
8.3 Entwurf im Prequenzbereich
225
n65°
m, =15
60°
fo"
55°
8
50°
^
45° 40°
.5
35°
4^
30°
3
25 20°
2
15' 10' 5° 0°
10-1
4
6 8 10'iO
4
4
6 8 10
6 8 10^ 2-10^ UJ/LO„
Bild 8.3.15. Phasendiagramm fiir dcis phasenanhebende Korrekturglied (oiz = untere Eckfrequenz; mhWz = obere Eckfrequenz) Das phasenabsenkende Ubertragungsghed wird benutzt, um von einer bestimmten Prequenz an die Betragskennlinie abzusenken. Dabei tritt in einem gewissen Prequenzbereich eine an sich meist unerwiinschte Absenkung der Phasenkennhnie auf. Die Ubertragungsfunktion dieses Ubertragungsghedes lautet
Gnis) =
1 + Ts 1 + aTs
1+
(1/T)
mit
I _^
a > 1.
(8.3.31)
(1/aT) Daraus folgt mit s = jw und den Eckfrequenzen wz = ;^ und WN = -7^ der Prequenzgang T aT • <^ 1+J —
(8.3.32)
GROW) •
^
'
1+J— Auch hier wird wieder ein Prequenzverhaltnis L02, TTls =
= a > 1
(8.3.33)
eingefiihrt. Die sich fiir hohe Prequenzen ergebende Absenkung des Amplitudengangs betragt
226
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme (8.3.34)
|AGR|dB = - 2 0 1 g - = 201gms. a
Bild 8.3.16 zeigt die Ortskurve sowie das Bode-Diagramm des phasenabsenkenden tJbertragungsgliedes. Die Umformung der Gl. (8.3.31) in die Darstellung
i-i
1
''•'('> = s + r r J ;
(^•'•^'>
zeigt, dass das piiasenabsenkende Ubertragungsglied die Parallelschaltung eines P-Gliedes
jIn.G^
®
Bild 8.3.16. Ortskurve (a) und Bode-Diagramm (b) des phasenabsenkenden Ubertragungsgliedes mit dem Verstarkungsfaktor 1/a und eines PTi-Gliedes mit dem Verstarkungsfaktor (1 — 1/a) und der Zeitkonstanten aT darstellt. Die zu einem derartigen Glied gehorende tJbergangsfunktion folgt aus Gl. (8.3.35) unmittelbar zu
hnit) = a{t)
l + (i-i a
\
1-e
aT
(8.3.36)
a
Den grafischen Verlauf von /iR(t) zeigt Bild 8.3.17. Man erkennt leicht, dass diese Beziehung mit Gleichung (8.3.30) wieder identisch ist, nur dass im vorliegenden Fall a > 1 gilt.
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
0
227
aT
t
Bild 8.3.17. Ubergangsfunktion des phasenabsenkenden Ubertragungsgliedes Fiir das praktische Arbeiten mit diesem Ubertragungsglied verwendet man zweckmafiigerweise ebenfalls ein Phasendiagramm, das prinzipiell zwar mit jenem im Bild 8.3.15 iibereinstimmt, jedoch andere Parameter enthalt und daher im Bild 8.3.18 nochmals gesondert dargestellt ist. A 0° 'P 5°
\v^^
-10° -15°
2
-20° -25°
'3
-30° -35°
iy
-40°
'5
-45° -50°
t
-55°
8 10
-60° -65' 10"
m— 15 4
6 8 10',0
4
1
6s 8 10^ I
I
I
2
4
6 810^
2-10^
W/Wj^
Bild 8.3.18. Phasendiagramm fiir das phasenabsenkende Korrekturglied (OIN = untere Eckfrequenz; mgOiN = obere Eckfrequenz)
228
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Beispiel 8.3.3 Die Betragskennlinie |Go|dB eines ofFenen Regelkreises soil bei w = 10 s~^ um 20 dB abgesenkt werden, wobei die sich einstellende Phasensenkung maximal 10° betragen soil. Aus Gl. (8.3.34) folgt |AGR|dB = 20dB = 201gms und hieraus rris = 10. Mit f = —10° und rris = 10 erhalt man aus dem Phasendiagramm ^«50, und mit oj = 10 s"^ ergibt sich fiir die Eckfrequenzen WN = — s~^ = 0,2s~'^ 50
8.3.2.3
Anwendung
und
wz = mgWN = 2s~^.
des Prequenzkennlinien-Verfahrens
Anhand eines Beispiels soil nachfolgend die Vorgehensweise bei der Reglersynthese mit Hilfe des Prequenzkennlinien-Verfahrens gezeigt werden. Gegeben ist eine Regelstrecke (z.B. einschliefilich Stellmotor mit I-Verhalten) mit der Ubertragungsfunktion
Gs
is)
= K iY. .(l + . ) ( l + 3 )
(8.3.37)
Fiir die Fuhrungsiibergangsfunktion /iw(^) des geschlossenen Regelkreises wird die Anstiegszeit Ta,5o = 0,7s, (8.3.38a) sowie die maximale Uberschwingweite emax = 25%
(8.3.38b)
gefordert. Aufierdem soil fiir ein rampenformiges Fiihrungssignal w(t) = wia{t)t der geschlossene Regelkreis die bleibende Regelabweichung Coo = ^
(8.3.38c)
besitzen. Das Entwurfsverfahren wird nun gemafi Abschnitt 8.3.2.1 in den folgenden Schritten voUzogen.
8.3 Entwurf im Prequenzbereich
229
1. Schritt: Man erhalt aus der Bedingung nach Gl. (8.3.38a) mit Gl. (8.3.20) naherungsweise die Durchtrittsfrequenz
sowie aus Gl. (8.3.38b) mit Gl. (8.3.22) die Phasenreserve zu ipn[°] « 70 - e„ax[%] = 45.
(8.3.39b)
Aus der Forderung gemafi Gl. (8.3.38c) erhalt man bei einer rampenformigen Fiihrungsgrofie mit Tabelle 5.2.1 (Fall A; = 1) fiir a;ei = wi = 1 als Kreisverstarkung Ko = KKKS = 20.
(8.3.39c)
2. Schritt: A) Man wahle als Regler zunachst ein reines P-Glied, GRJ (s) = KR, mit der Verstarkung JTR, SO dass Gl. (8.3.39c) erfuUt ist. Im vorliegenden Beispiel ist damit KR = 20. Dann zeichnet man entsprechend den Bildern 8.3.19 und 8.3.20 das BodeDiagramm des ofFenen Regelkreises mit der Ubertragungsfunktion 20 Go, {s) = GK, (S) GS{S) =
^. .(l + « ) ( l + 3 )
(8.3.40)
Um die in den Gin. (8.3.39a) und (8.3.39b) geforderten Kenndaten zu erhalten, muss 1. die Phase von GQI (jw) bei w = WD um 53° erhoht werden, und 2. der Betrag von GQ^ (jw) bei w = WD um 11 dB gesenkt werden. B) Um die erste Forderung zu erfiillen, erweitert man das P-Glied des Reglers um ein phasenanhebendes Ubertragungsglied, dessen Phasenkennlinie bei u — OJB = 2s~^ ein Maximum von (53° 4- 6°) besitzt. Es wird hier ein um 6° hoherer Wert angestrebt, da sich im dritten Schritt durch die Verwendung eines phasenabsenkenden Ubertragungsgliedes eine geringe (unbeabsichtigte, aber nicht vermeidbare) Phasenabsenkung ergeben wird. Aus dem Phasendiagramm (Bild 8.3.15) entnimmt man fiir (pmax = 59° das erforderliche Frequenzverhaltnis von mh ^ 12. Damit erhalt man fiir w = Wmax = WD mit Gl. (8.3.28) oder ebenfalls aus Bild 8.3.15 als Eckfrequenzen LOz = , « 0,6 S /mh und WN = wz?Tih « 7,2 s"-^.
230
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme Die Ubertragungsfunktion des erweiterten Reglers lautet somit
GK,{S) = 2 0
^.
(8.3.41)
Damit besitzt der offene Regelkreis die Ubertragungsfunktion
Go, (s) = G R , (S) Gsis) = 20
;
^ ^ ^
^.
(8.3.42)
<'^H'^I){'^^) Die zugehorigen Frequenzkennlinien sind in den Bildern 8.3.19 und 8.3.20 eingetragen. Durch das hinzugekommene phasenanhebende Ubertragungsglied hat sich (unbeabsichtigt) auch die Betragskennlinie von Go2(s) geandert. Daher muss im folgenden Schritt fiir w = WD die Betragskennlinie statt um 11 dB nun um 22 dB gesenkt werden. C) Um diese Betragssenkung zu erhalten, erweitert man den offenen Regelkreis nach Gl. (8.3.42) um ein phasenabsenkendes Ubertragungsglied, so dass die gewiinschte Betragssenkung bei a; = WD = 2s'"^ erreicht wird. Aus Gl. (8.3.34) folgt 201gms = 22dB und daraus rris = 12,6. Damit aber durch die Betragssenkung die Phase bei WD = 2s~^ nicht zu sehr beeinflusst wird, muss die obere Eckfrequenz ojz und damit auch die untere Eckfrequenz WN hinreichend weit links von WD hegen. Durch die spezielle Wahl des phasenanhebenden Gliedes im 1. Schritt darf das in diesem Schritt zu entwerfende phasenabsenkende Glied eine maximale Phasensenkung von 6° bewirken. Aus dieser Bedingung erhalt man mit rris = 12,6 aus Bild 8.3.18 w — = 125 und speziell fiir w = WD = 2s~^ den Wert WN = ^ =0,016 s-i. Izo Als obere Eckfrequenz folgt dann wz =
WN^S
= 0,2 s~-^.
Die Ubertragungsfunktion des endgiiltigen Reglers ist damit gegeben durch
Gnis) = 2 0 — M _ i ^ . 1+-Z-X 1 + 7,2 0,016
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
231
Die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises lautet somit
Gois) = 20-
-<§
1+
s
0,6
Die zugehorigen Frequenzkennlinien sind ebenfalls in den Bildern 8.3.19 und 8.3.20 dargestellt.
Bild 8.3.19. Die Betragskennlinien von Goi(jw), Go2(jw) und Go(jw)
Bild 8.3.20. Die Phasenkennlinien von Goi (ji^), GojGw) und Go(jw) 3. Schritt: Da die Synthese nach dem Frequenzkennlinien-Verfahren mit Hilfe von Naherungsformeln durchgefilhrt wird, sollte man sich stets durch Simulation davon iiberzeugen, ob die eingangs geforderten Spezifikationen tatsachlich erfiillt werden. Das Ergebnis der Simulation zeigt Bild 8.3.21. Die geforderten Spezifikationen fiir Ta,6o,emax und eoo werden voll erreicht.
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
232
Bild 8.3.21. kreises
Ubergangsfunktion hwit) und Rampenantwort rw(i) des entworfenen Regel-
Weiterhin muss noch gepriift werden, ob das aufgrund des Reglerentwurfes sich ergebende Stellsignal u{t) auch realisiert werden kann. 1st dies nicht der Fall, dann miissen die urspriinglich an die Regelung gestellten Spezifikationen geandert werden.
8.3.3
Das Nichols-Diagramm.
Der Frequenzgang
''"0"' = Tlts^ = -^»(-'^'"'-'
(8.3.43)
des geschlossenen Regelkreises bei Fiihrungsverhalten kann anhand des bekannten Verhaltens des Frequenzganges des offenen Systems Goijcj) = Roioj) +j/o(w) = iGo(a;)|e^'^°(")
(8.3.44)
auf einfache, grafische Weise direkt iiber das Nichols-Diagramm erfolgen. Als Ausgangspunkt zur Konstruktion des Nichols-Diagramms wird zweckmafiigerweise das Hall-Diagramm [Hal43] benutzt, auf das zunachst kurz eingegangen wird.
8.3.3.1
Das
Hall-Diagramm
Aus Gl. (8.3.43) erhalt man fiir den Amplitudengang Aw = A w ( a ; ) = | G w ( J . . ) | = J ^ | ^ Setzt man in diese Beziehung Gl. (8.3.44) ein, so folgt Aw =
|i?o+j/o| jl + iJo+jJol
_ VW^ V(l + Ro? + II'
(8.3.45)
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
233
und daraus ergibt sich durch Umformung
Ro+
^
A• w
-\- P -
^ ^ - 1
(8.3.46)
L ^ ^ - 1
Diese Gleichung beschreibt Kreise in der Go-Ebene mit dem Radius r = A w / ( ^ w ~ •'•)• Der Mittelpunkt derselben liegt jeweils auf der reellen Achse. Er besitzt die Koordinaten [-Ayf/{Ay^ — 1); 0]. Fur jeden dieser Kreise nimmt also Aw = |Gw(jw)| einen konstanten Wert an. Die Schnittpunkte von GQQW) mit diesen „Aw-Kreisen" geben somit an, welchen Betrag Gyf{iu)) bei der betreflenden Schnittfrequenz w besitzt. Ganz entsprechend den Aw-Kreisen konnen sogenannte ipyf-Kieise als die geometrischen Orte gleichen Phasenwinkels i^w von Gwii(^) hergeleitet werden. Dazu bildet man zunachst aus den Gin. (8.3.43) und (8.3.44) Gw(jw) =
Ro+ilo
Aw(w)e''^*('^).
(l+i?o)+j/o
Fiir den zugehorigen Phasenwinkel ipw (w) = arctan — fCo )lgt nach kurzer Umformung
arctan
— 1 + ilo
(8.3.47)
<,w (a;) = arctan ^ , ^ ^ ^ _ ^ ^ , zw. tan (^w (w) -RQ
lo =
(8.3.48)
ine weitere Umformung liefert 2
Eo + I +
' 2^w.
1 -^^ + 1 4
lf
(8.3.49) •
Diese Beziehung stellt wiederum eine Kreisgleichung dar. Die dadurch beschriebenen ^ + l/{2(f)-w)- Die Darstellung der Aw- und tp-w-Kveise in der Go-Ebene bezeichnet man als Hall-Diagramm, [Hal43]. Mit Hilfe dieses im Bild 8.3.22 dargestellten Diagramms lasst sich nun der Frequenzgang Gw(jw) des geschlossenen Regelkreises aufgrund der Kenntnis des Erequenzganges GoQco) des offenen Regelkreises grafisch bestimmen. Go(jw) wird dabei im Hall-Diagramm als Ortskurve dargestellt.
8.3.3.2
Das Amplituden-Phasendiagramm
(Nichols-Diagramm)
Neben der Darstellung von Frequenzgangen als Ortskurve wurde fiir die getrennte Darstellung von logarithmischen AmpHtuden- und Phasenkennlinien das Bode-Diagramm
234
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0
1,0
2,0
Bild 8.3.22. Das Hall-Diagramm eingefiihrt. Daneben besteht weiterhin auch die M5glichkeit, die logarithmische Amplitudenkennlinie in Verbindung mit der Phasenkennlinie in einem gemeinsamen Diagramm, dem logarithmischen Amplituden-Phasendiagramm darzustellen [JNP47]. Auf der Abszisse dieses Diagramms wird der Phasenwinkel
und
Jo = |Go| simpo
in Gl. (8.3.45) ein, so erhalt man direkt fiir den Betrag des geschlossenen Regelkreises |G-w|
Aw =
iGol Vl + 2|Gorcos<^o+ |Go|2
= /l(tGo|,<;3o).
(8.3.50)
Durch Einsetzen von RQ und IQ in Gl. (8.3.47) folgt weiterhin fiir den Phasenwinkel des geschlossenen Regelkreises ipw = arctan
= /2( Go ,
?.3.51)
8.3 Entwurf im Prequenzbereich
235
Die Gin. (8.3.50) und (8.3.51) lassen sich derartig umformen, dass daraus die Funktionen | G o U w = / r ( " P c ^ l w ) Uw=const
(8.3.52)
|Go|,^vv = /2 (
(8.3.53)
und gebildet werden konnen, die zweckmafiigerweise numerisch in logarithmischer Darstellung bzw. in dB fiir Aw = const und (^w = const ausgewertet werden. Fiir jeweils konstante Werte von |Gw| = -^w beschreibt Gl. (8.3.52) im Amplituden-Phasendiagramm eine Kurvenschar, die ahnlich wie die ^w-Kreise im Hall-Diagramm die geometrischen Orte fiir konstante Amplitudenwerte |Gw| = const des Frequenzganges des geschlossenen Regelkreises darstellen. Ganz entsprechend ergibt sich aus Gl. (8.3.53) eine Kurvenschar als geometrischer Ort fiir gleiche Phasenwinkel ^w = const des geschlossenen Regelkreises. Durch die Darstellung dieser beiden Kurvenscharen fiir |Gw| = const und (/^w = const entsteht aus dem Amphtuden-Phasendiagramm das im Bild 8.3.23 dargestellte NicholsDiagramm. Mit Hilfe dieses Diagramms kann nun wiederum Gw (jw) grafisch nach Betrag und Phase aus Go(jw) konstruiert werden, indem die Schnittpunkte der Kurven |Gw| = const und i/^w = const mit Go(ja;) bestimmt werden. Der Vorteil des Nichols-Diagramms besteht darin, dass wegen seiner logarithmischen Darstellung sofort auch der Ubergang zum Bode-Diagramm vorgenommen werden kann. Damit stellt es ein wichtiges Hilfsmittel zur Synthese von Regelkreisen dar. Es gestattet, die Eigenschaften des offenen und des geschlossenen Regelkreises in einem Diagramm abzulesen. So kann man beispielsweise fiir das Wertepaar |Go|dB = 12dB und v'o = - 1 5 0 ° des offenen Regelkreises das Wertepaar |Gw|dB = 2dB
und
c^w = - 9 °
des geschlossenen Regelkreises direkt aus dem Nichols-Diagramm ablesen.
8.3.3.3
Anwendung des Nichols-Diagramms
Ein offener Regelkreis besitze die Ubertragungsfunktion Go(s) = GR(s)Gs(s) = i f R — ^ - - ^ - — —
mit
i^R = 1.
(8.3.54)
o\^5 'T' J. j'-iS "T" -1- )
Fiir den wesentlichen Prequenzbereich werden zunachst die Werte von |Go| und cpo ausgerechnet (Tabelle 8.3.1) und dann ins Nichols-Diagramm (Bild 8.3.24) eingetragen. Als wichtige Kenndaten erhalt man aus dieser Darstellung • die Durchtrittsfrequenz WD = 1,68 s~^, • den Amplitudenrand AR = 11 dB, • den Phasenrand (/5R = —38°. Anhand dieser Kennwerte ist ersichtlich, dass der geschlossene Regelkreis instabil ist. Nun soil aber der Verstarkungsfaktor K^i des Reglers so eingestellt werden, dass der
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
236
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+36 +34 +32 +30 +28 +26 +24 +22 +20 +18 +16 +14 +12 +10 +8 +6 +4 +2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 c o o o C5 O O O -18 c-1- CNI- ~ < - 0 77 -20 -22 -24 -26
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Bild 8.3.23. Nichols-Diagramm geschlossene Regelkreis stabil wird und einen Phasenrand von (/5R = -1-20° erhalt. Im Nichols-Diagramm bedeutet eine Veranderung der Verstarkung des offenen Regelkreises eine Verschiebung der Amplituden-Phasenkurve |Go(Vo)| in vertikaler Richtung. Um den geforderten Phasenrand zu erhalten, muss die Amplituden-Phasenkurve IGQCVO)! um 15 dB nach unten verschoben werden. Dies erreicht man, indem man die Reglerverstarkung KK = 0,18
237
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
(Po \G,
OldB
o
o
CS CS I I
+36 +34 +32 +30 +28 +26 +24 +22 +20 +18 +16 +14 +12 +10 +8 +6 +4 +2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30 -32 -34 -36 -38 -40 -42 -44 -46
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Bild 8.3.24.
Niciiolskurve von Go(s) = iiTR-
(s^ + l,4s + l)
fiir KR = 1 und ii'R = 0,18
o O
7
238
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Tabelle 8.3.1 Betrag |Go| und Phase i^o des Prequenzganges nach Gl. (8.3.54) fiir einige ausgewahlte Prequenzen
oj[s-']
IGol
|Go|dB
M°]
0,1
50
34
-98
0,2
25
28
- 106
0,7
6,47
16
- 153
1,0
3,57
11
- 180
1,5
1,36
2,7
-211
1,68
1
0
- 218
2,0
0,61
-4,3
- 227
3,0
0,18
-14,7
-242
5,0
0,04
-28
-254
7,0
0,015
-37
-258
wahlt. Damit verschiebt sich die Durchtrittsfrequenz zu WD = 0,75 s - ^ Der sich ergebende neue Amplitudenrand betragt damit AR«-4dB. Die Amplitudeniiberhohung des geschlossenen Regelkreises ist gleich dem |Gw|dB-Wert der Kurve, die von der Amplituden-Phasenkurve gerade beriihrt wird. Im vorliegenden Beispiel ergibt sich max
wlOdB. Die zugehSrige Resonanzfrequenz liegt bei Wr « 0 , 8 S " ^ und als Bandbreite des geschlossenen Regelkreises liest man ab Wb « l , 2 s " ^ An diesem Beispiel sieht man, dass aus dem Nichols-Diagramm die Kennwerte sowohl des ofFenen als auch des geschlossenen Regelkreises einfach abgelesen werden konnen. Insofern eignet sich dieses Diagramm sehr gut zur Synthese von Regelkreisen fiir Fiihrungsverhalten.
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
8.3.4 8.3.4-i
239
Reglerentwurf mit dem Wurzelortskurvenverfahren Der Grundgedanke
Der Reglerentwurf mit Hilfe des Wurzelortskurvenverfahrens schliefit unmittelbar an die Uberlegungen vom Abschnitt 8.3.1.1 an. Dort wurden ftir den geschlossenen Regelkreis mit einem dominierenden Polpaar die Forderungen an die Uberschwingweite, die Anstiegszeit und die Ausregelzeit umgesetzt in die Bedingungen fiir den Darapfungsgrad D und die Eigenfrequenz UJQ der zugehorigen Ubertragungsfunktion Gw{s)- Mit D und Wo liegen aber iiber Bild 8.3.2 unmittelbar die Pole der tjbertragungsfunktion Gw{s) fest. Es muss nun eine Ubertragungsfunktion Go(s) des offenen Regelkreises so bestimmt warden, dass der geschlossene Regelkreis ein dominierendes Polpaar an der gewiinschten Stelle erhalt, die durch die Werte WQ und D vorgegeben ist. Einen solchen Ansatz bezeichnet man auch als Polvorgabe. Mit dem Wurzelortskurvenverfahren besitzt man bekanntlich ein grafisches Verfahren, mit dem eine Aussage iiber die Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises gemacht werden kann. Es bietet sich an, das gewiinschte dominierende Polpaar zusammen mit der Wurzelortskurve (WOK) des fest vorgegebenen Teils des Regelkreises in die komplexe s-Ebene einzuzeichnen und durch Hinzufiigen von Pol- und NuUstellen in den offenen Regelkreis die WOK so zu verformen, dass zwei ihrer Aste bei einer bestimmten Verstarkung KQ das gewiinschte dominierende, konjugiert komplexe Polpaar schneiden. Bild 8.3.25 zeigt, wie man prinzipiell durch Hinzufiigen eines Pols die WOK nach rechts und durch Hinzufiigen einer Nullstelle die WOK nach links „verformen" kann.
©
© Bild 8.3.25. Verbiegen der WOK (a) nach rechts durch einen zusatzlichen Pol, (b) nach links durch eine zusatzliche Nullstelle im offenen Regelkreis
8.3.4-2
Beispiele fur den Reglerentwurf mit Hilfe des zelortskurvenverfahrens
Wur-
Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Regelkreissynthese mit Hilfe des Wurzelortskurvenverfahrens soil nachfolgend anhand zweier Beispiele erlautert werden.
240
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Beispiel 8.3.4 Gegeben ist eine Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion 1 s(s + 3)(s + 5)'
Gs{s)
(8.3.55)
Fiir diese Regelstrecke soil ein Regler so entworfen werden, dass die Ubergangsfunktion hw{t) des geschlossenen Regelkreises folgende Eigenschaften besitzt emax < 1 6 %
Und
Ta,50 = 0,6 s.
Zunachst werden diese Forderungen mit Hilfe der Bilder 8.3.3 und 8.3.4 in Bedingungen fiir D und UQ iibersetzt. Man erhalt D > 0,5
und
cjo >
1,85 0,6 s
3,ls-^
Um diese Bedingungen geometrisch deuten zu konnen, betrachtet man Bild 8.3.26, wo ein konjugiert komplexes Polpaar Sa,b = -DuJo ± j W o V l - D"^
eingetragen ist. Der Abstand d* der beiden Pole Sa,b vom Ursprung betragt d* = JiolD^ + (1 - D^)iol = Wo.
8.3.56)
Fiir den Winkel a gilt cos a =
cooD
= D
.3.57a)
Wo
oder a = arccosD, (8.3.57b) wobei im vorliegenden Fall mit D > 0,5 die Bedingung a > 60° gilt. Der Dampfungsgrad D beschreibt somit den Winkel a, die Frequenz WQ den Abstand d* des dominierenden Polpaares vom Ursprung. , jw
s-Ebene
• JWQVI-ZJ^
1 1 1
a
'
^ '
-iojJl-D^
Bild 8.3.26. Konjugiert komplexes Polpaar in der s-Ebene Bei der Synthese wird man versuchen, den minimal erforderlichen Dampfungsgrad nicht unnotig zu erhohen, well eine solche Mafinahme fiir eine gegebene Eigenfrequenz WQ auch eine Vergrofierung der Anstiegszeit ra,5o bewirkt, wie leicht auch aus Bild 8.3.4 hervorgeht. Die Erhohung der Eigenfrequenz WQ bringt eine Vergrofierung der Regelgeschwindigkeit mit sich. Allerdings sollte auch dieser Parameter nicht unnotig liber das erforderliche Mafi hinaus vergrofiert werden, da sonst eventuell die Dominanz des Polpaares verloren geht.
8.3 Entwurf im Frequenzbereich
241
Bild 8.3.27 zeigt die WOK des geschlossenen Regelkreises bei Verwendung eines PReglers. Dort sind gestrichelt auch die mogUchen Lagen des dominierenden Polpaares auf den beiden Halbgeraden Hi und H2 eingetragen. Man erkennt sofort, dass eine Synthese mit einem reinen P-Regler (Anderung der Verstarkung KQ) nicht moglich ist, da die WOK die beiden Halbgeraden Hi und H2 fiir die moglichen PoUagen nicht schneidet. Ebenso wird deutlich, welche Mafinahmen man ergreifen kann, damit die beiden in Frage kommenden Aste der WOK die Halbgeraden Hi^2 schneiden. Verlegt man namlich die beiden Pole S2 = — 3 und S3 = — 5 weiter nach links, so wird sich der Wurzelschwerpunkt, mit ihm das ganze „Asymptotengeriist" und schliefilich auch die gesamte WOK nach links verschieben, ohne dass sich dadurch qualitativ die Struktur des Systems andert. Eine Moglichkeit, dies mit einem einfachen phasenanhebenden Ubertragungsglied durchzufiihren besteht darin, den Pol S2 = S durch eine Nullstelle zu kompensieren und einen Pol S4 = —10 einzufiihren. Damit erhalt man als Ubertragungsfunktion des Reglers GKis)
i^H.^^=3,33KK' + ' s/10 10
(8.3.58)
sowie als Ubertragungsfunktion des korrigierten offenen Regelkreises Go{s) = KR3,S3
^
s{s + 10) (s H- 5) •
(8.3.59)
-10
Bild 8.3.27. WOK von Gw(s) (Regelstrecke mit P-Regler) und mogliche Lage des dominierenden Polpaares (gestrichelt) Die WOK des zugehorigen geschlossenen Regelkreises zeigt Bild 8.3.28. Sie schneidet die Halbgerade Hi im Punkt s^. Die zu diesem Punkt gehorige Regelverstarkung ermittelt man zweckmafiigerweise grafisch (iiber die Abstande zu den 3 Polen) aus Gl. (7.2.17)
242
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme ko = K R 3 , 3 3 = \sk - 0| \sk + 5| \sk + 10| = 3,3 • 4,4 • 8,8
zu KR
= 38,4.
V'
•5j •4j
h
•3j •2j
h
«3
-10
-5
"
\
-J a
''
/
—J -2j -3j -4j
A2
-5j
Bild 8.3.28. WOK von Gw(s) mit korrigiertem Regler nach Gl. (8.3.58) Es sei darauf hingewiesen, dass die vollstandige Kompensation (Kiirzung) des Poles 32 = —3 durch eine NuUstelle nicht exakt zu verwirklichen ist, da die KenngroBen einer Regelstrecke entweder nie so genau bekannt sind oder sich in gewissen Grenzen auch verandern konnen. Dadurch weicht u.U. die WOK in der Umgebung des kompensierten Pols vora idealen Verlauf entsprechend Bild 8.3.28 ab, jedoch andert sich der Schnittpunkt mit den beiden Halbgeraden dadurch nicht. • Man erkennt anhand dieses Beispiels, dass das Wurzelortskurvenverfahren gut geeignet ist, um sich schnell einen ersten Uberblick (iber die prinzipiell moglichen Korrekturmafinahmen zu verschafFen. Dazu reicht oftmals die Kenntnis der Asymptoten bereits aus. Das Wurzelortskurvenverfahren ist besonders auch fiir die Falle geeignet, bei denen mit einem Regler eine instabile Regelstrecke stabilisiert werden soil. Dies soil im folgenden an einem weiteren Beispiel erlautert werden. Beispiel 8.3.5 Gegeben sei eine instabile Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion 1
Gsis) = ( s + l ) ( s + 5 ) ( s - l ) '
(8.3.60)
8.3 Entwurf im Prequenzbereich
243
Es liegt zunachst nahe, den Pol Si = 1 durch eine entsprechende NuUstelle zu kompensieren. Dies konnte man beispielsweise durch ein Allpassglied 1. Ordnung mit der tibertragungsfunktion 1 GR(S) = s+1 erreichen. Aus den zuvor genannten Griinden gelingt diese Korapensation der instabilen Polstelle durch eine NuUstelle praktisch nie vollstandig, so dass gerade aus Griinden der Stabilitat hierauf unbedingt verzichtet werden muss. Eine andere Moglichkeit besteht nun darin, die instabile Regelstrecke mit einer geeigneten Riickkopplung zu versehen, um so den urspriinglich instabilen Pol im geschlossenen Regelkreis in die linke s-Halbebene zu verlagern. Wiirde man die vorgegebene Regelstrecke mit einem P-Regler zusammenschalten, so liefert dies die WOK nach Bild 8.3.29. Daraus ist aber ersichtlich, dass der P-Regler nicht in der Lage ist, den Regelkreis zu stabilisieren, da die beiden rechten, nach unendlich laufenden Aste der WOK fiir beliebige Werte der Verstarkung stets in der rechten s-Halbebene verbleiben. Verwendet man jedoch einen Regler, der eine doppelte NuUstelle bei s = —1, sowie einen Pol bei s = 0 besitzt, so wird die Polstelle bei s = S2 = — 1 durch eine NuUstelle ersetzt. Dadurch wird die WOK gemafi Bild 8.3.30 nach links verformt.
-5
-10
Bild 8.3.29. Regler
-1,67
1 (^
WOK des Regelkreises bestehend aus der instabilen Regelstrecke und einem P-
Diese Pol-Nullstellenverteilung lasst sich durch einen PID-Regler mit der tibertragungsfunktion G R ( S ) = i ^ R ^ ^ i ^ =Kn(2+- + s s \ s 2KR
1+
1 -f0,5s 0,5 s
auf einfache Weise realisieren. Aus Bild 8.3.30 ist ersichtlich, dass ab einer gewissen Verstarkung i<"okrit der geschlossene Regelkreis stabil wird, well dann alle Pole desselben in der linken s-Halbebene liegen.
244
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Bild 8.3.30. WOK des Regelkreises bestehend aus der instabilen Regelstrecke und einem PIDRegler Da die Stabilitat des Systems durch die Pole in der linken s-Halbebene nicht beeinflusst werden, ist eine Kompensation derselben moglich. Selbst wenn diese Kompensation nicht voUstandig moglich ware, z.B. bei eventuell auftretenden Parameteranderungen der Regelstrecke, bliebe die Stabilitat des Systems erhalten. Aus demselben Grund sollte - wie oben bereits erwahnt - allerdings die Kompensation von Polen in der rechten s-Halbebene unbedingt unterbleiben. •
8.4
Analytische Entwurfsverfahren
Nachfolgend soUen analytische Entwurfsverfahren behandelt werden, die durch streng systematisches Vorgehen direkt zur Losung der Syntheseaufgabe fiihren. Im Gegensatz zu diesen direkten Entwurfsverfahren stellen die bisher behandelten Methoden, wie beispielsweise das Frequenzkennlinien- oder das Wurzelortskurven-Verfahren, indirekte Entwurfsverfahren dar, die mehr auf einem systematischen Probieren beruhen (z.B. Wiederholung eines bestimmten Entwurfsschrittes). Dieses Vorgehen hangt stark von der Erfahrung und dem Geschick des Benutzers ab. Bei den bisher betrachteten Entwurfsverfahren wurde stets vom offenen Regelkreis ausgegangen. Dieser wurde dann durch Hinzufiigen verschiedener Reglerbausteine wie z.B. phasenanhebender und phasenabsenkender tjbertragungsglieder so lange modifiziert, bis der geschlossene Regelkreis das gewiinschte Verhalten aufwies.
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
245
Bei den direkten Entwurfsverfahren wird hingegen stets vom Verhalten des geschlossenen Regelkreises ausgegangen. Meist wird eine gewiinschte Fuhrungsiibertragungsfunktion Gw(s) = K^fif{s) vorgegeben. Im allgemeinen erfolgt dies aufgrund von Giitespezifikationen, die z.B. an den Verlauf der entsprechenden Ubergangsfunktion /iw(i) gestellt werden. Fiir eine Reihe von geeigneten Ubergangsfunktionen liegen nun in tabellarischer Form die Zahler- und Nennerpolynome der zugehorigen Ubertragungsfunktion Kvf{s) bzw. deren Pol- und NuUstellenverteilung vor. Bei bekanntem Verhalten der Regelstrecke lasst sich dann der erforderliche Regler direkt entwerfen. Die auf diese Weise entworfenen Regler miissen nicht unbedingt eine optimale Losung darstellen; sie garantieren jedoch die Einhaltung der gestellten Giitespezifikationen wie Uberschwingweite, Ausregelzeit usw. Nachteil dieser Verfahren ist, dass sie bei Systemen mit Totzeit nicht anwendbar sind.
8.4.1
Vorgabe des Verhaltens des geschlossenen Regelkreises
Die gewiinschte Fiihrungsiibertragungsfunktion des Regelkreises sei festgelegt durch a{s) a o + a i s + . . . + a„s'' Kwis) - -wrx = -7, n 7, )
u>v,
zo ^-l^ (8.4.1)
wobei a{s) und /9(s) Polynome in s darstellen. Bei den nachfolgend behandelten Entwurfsverfahren wird nun stets die Pol-NuUstellen-Verteilung von K^f^{s) so gewahlt, dass die an die Fiihrungsiibertragungsfunktion h-w{t) gestellten Giitemafie erfiillt werden. Es liegt zunachst nahe, zu diesem Zweck eine Rechnersimulation fiir Kyf (s) zu verwenden, bei der eine bestimmte Pol-Nullstellen-Verteilung in der linken s-Halbebene zugrundegelegt wird, deren Parameter dann solange variiert werden, bis /iw(*) das gewiinschte Verhalten zeigt. Haufig ist jedoch eine derartige, detaillierte Untersuchung gar nicht erforderlich, insbesondere, wenn die Fiihrungsiibertragungsfunktion des Regelkreises keine NuUstellen aufweist, und wenn - wegen der Forderung -RTwCO) = 1 bei Fiihrungsverhalten - gerade ao = /3o wird und somit im einfachsten Falle Kvfis) =
—^
(8.4.2)
gilt. Fiir einen Regelkreis, dessen Fiihrungsiibertragungsfunktion durch Gl. (8.4.2) beschrieben werden kann, existieren verschiedene Moglichkeiten, sogenannte Standard-Formen, um die Ubergangsfunktion /iw(t) sowie die Polverteilung von K-w{s) bzw. die KoefRzienten des Nennerpolynoms 0{s) aus tabellarischen Darstellungen zu entnehmen. Eine erste Moglichkeit ist, als Polverteilung einen reellen Mehrfachpol bei s = —UQ anzunehmen. Hier und im folgenden ist WQ jeweils eine spezielle Bezugsfrequenz, nicht die Eigenfrequenz. Damit erhalt man als Ubertragungsfunktion fiir das gewiinschte Fiihrungsverhalten
Dies entspricht einer Hintereinanderschaltung von u PTi-Gliedern mit gleicher Zeitkonstante T = I/WQ- Diese Darstellung wird auch als Binominal-Form bezeichnet. Die zu den verschiedenen Ordnungen u gehorenden Standard-Polynome /3{s) sind in Tabelle 8.4.1
246
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
dargestellt [GL53]. Wie die Darstellung in Tabelle 8.4.1 weiterhin zeigt, wird die zeitnormierte Ubergangsfunktion hy/i^oi) niit steigender Systemordnung u immer langsamer. Ein Reglerentwurf entsprechend dieser Binominal-Form kommt daher nur in Betracht, wenn die Ubergangsfunktion /iw kein Uberschwingen aufweisen soil. Ansonsten wird diese Standard-Form meist fiir Vergleichszwecke benutzt. Eine weitere Moglichkeit einer Standard-Form fiir Kyf{s) nach Gl. (8.4.2) stellt die Butterworth-Form dar. Bei dieser Form sind die u Pole von K^/^(s) in der linken sHalbebene in gleichmaBiger Teilung auf einem Kreis mit dem Radius COQ um den Ursprung als Mittelpunkt angeordnet. Tabelle 8.4.1 enthalt die zugehorigen Standard-Polynome /3(s) sowie die entsprechenden zeitnormierten Ubergangsfunktionen h^iv{u}ot). Zahlreiche weitere Moglichkeiten zur Entwicklung von Standard-Formen fiir Gl. (8.4.2) bieten die in Tabelle 8.2.1 aufgefiihrten Integralkriterien. Beispielsweise liefert das Kriterium fiir die minimale zeitbeschwerte betragslineare Regelflache (I4) die ebenfalls in 00
Tabelle 8.4.1 dargestellten Resultate ( / |e| tdt-Form ). Weiterhin wird haufig auch die 0
minimale Abklingzeit t^ als Kriterium benutzt. Tabelle 8.4.1 enthalt daher fiir die minimale Abklingzeit auf einen Wert von e = 5% auch die entsprechende t^^-AhklingzeitForm. Je nach dem speziellen Anwendungsfall kann aus den in Tabelle 8.4.1 angegebenen Standard-Formen die gewiinschte Standard-Form fiir einen Reglerentwurf zugrunde gelegt werden. Fiir die Polfestlegung in Gl. (8.4.2) hat sich weiterhin auch ein Vorschlag von W. Weber [Web67] bewahrt, bei dem die gewiinschte Fiihrungsiibertragungsfunktion ,k+2 5fe(l + K^)t^^
ifw(s
(8.4.4)
{s + (jjQ+ JKWo) {S+UJQ- JKWo) (S 4- hOJoY
durch einen reellen fc-fachen Pol {k = u — 2) und ein komplexes Polpaar beschrieben wird. Tabelle 8.4.2 enthalt fiir verschiedene Werte von k und K die zeitnormierten Ubergangsfunktionen /iw(cJoi)- Durch geeignete Wahl von fc, K und UJQ lasst sich fiir zahlreiche Anwendungsfalle meist eine Fiihrungsiibertragungsfunktion finden, die die gewiinschten Giitemai3e im Zeitbereich erfiillt.
8.4.2
Das Verfahren nach Truxal-Guillemin
Bei dem im Bild 8.4.1 dargestellten Regelkreis sei das Verhalten der Regelstrecke durch W
I'
G Is) ^^^'^
^^'^ U A{s)
G (s) - ^^'^ S^^ C{s)
,K
Bild 8.4.1. Blockschaltbild des zu entwerfenden Regelkreises die gebrochen rationale Ubertragungsfunktion
Gsis) =
do + dis + d^s^+ ... + dmS'^ Co -I- CiS + C2S^ -I- . . . -I- CnS'^
D{s) C{s)
(8.4.5)
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
247
248
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
249
Tabelle 8.4.2 Ubergangsfunktionen fiir Regelsysteme mit einem komplexen Polpaar und einem reellen A;-fachen Pol gemaJ3 Gl. (8.4.4)
fc=2
fe=l
K = \ X'^-o.e ^^
^2
1 10"' 0 2 4 6 8
fc=3 1,2 1,2 1,0 1,0 K _ 0,8 0,8 \^0,6 0,6 0,6 VL 0,4 0,4 I 0,2 0,2 ^ 0 1 ,0,0. 10 '"0 2 4 10
k=A
fi1 f1 fi
ij^t-
k=6
^
«= \
^0,6 ^^1 [-^2 "~3
r"4 6 8 10
fc=7 N
K
^0,6 \ ]
^'. 0 2 4 6 8 10 UJ^t-
PolverteilunK:
6 8 10
s-Ebene
)^ fc-fach
- ^
gegeben. Dabei soUen das Zahler- und Nennerpolynom D{8) und C{s) keine gemeinsamen Wurzeln besitzen; weiterhin sei G s ( s ) auf Cn = 1 normiert, u n d es gelte m < n. Zunachst wird angenommen, dass Gs (s) stabil sei und minimales Phasenverhalten besitze. Fiir den zu entwerfenden Regler wird die tJbertragungsfunktion GR(S)
=
bo + bis + b2s'^ + ... + b^s'" _ Bjs) UQ
+ ais + a2s'^ + ... + OzS^
A{s)
3.4.6)
angesetzt und ebenfalls normiert mit Uz = 1. Aus Grtinden der Realisierbarkeit des Reglers muss w = Grad-B(s) < G r a d ^ ( s ) = z gelten. Der Regler soil nun so entworfen werden, dass sich der geschlossene Regelkreis entsprechend einer gewiinschten, vorgegebenen Fiihrungsiibertragungsfunktion
Kwis) =
ao+ai8 + ... + UyS^
_
a{s)
U> V
(8.4.7)
verlialt, wobei Ky^{s) unter der Bedingung der Realisierbarkeit des Reglers frei wahlbar sein soil. Aus der Fiihrungstibertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
250
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme (8.4.8)
erhalt man die Regleriibertragungsfunktion GR(S)
=
1 Gs(s)
i^w(s) l-ifw(s)
(8.4.9)
Oder mit den oben angegebenen Zahler- und Nennerpolynomen ^^^
A(s)
(8.4.10)
£>(s)[^(s)-a(s)]-
Die Realisierbarkeitsbedingung fiir den Regler Grad B(s) = w = n + v < Grad A(s) = z = u + m liefert somit (8.4.11)
u — V > n — m.
Der Poliiberschuss {u — v) der gewiinschten Ubertragungsfunktion -K'w(s) fur das Fiihrungsverhalten des geschlossenen Regelkreises muss also grofier oder gleich dem Poliiberschuss (n — m) der Regelstrecke sein. Im Rahmen dieser Forderung ist die eigentliche Ordnung von Kvf{s) zunachst frei wahlbar. Nach Gl. (8.4.9) enthalt der Regler die reziproke Ubertragungsfunktion 1/Gs{s) der Regelstrecke; es liegt hier also eine vollstandige Kompensation der Regelstrecke vor. Dies lasst sich auch in einem Blockschaltbild veranschaulichen, wenn man in Gl. (8.4.9) ii'w(s) explizit als „Moden" einfiihrt (Bild 8.4.2). Bei der physikalischen Realisierung des Reglers G R ( S ) ist natiirlich von Gl. (8.4.10) auszugehen, da eine direkte Konstruktion von 1/Gs(s) nicht moglich ist.
r
w+ 1 J ^ i
\+
Regler 1
^w(^)
Gfi(s)
-1
1 u^ Ggi')
Y.
Bild 8.4.2. Kompensation der Regelstrecke Beispiel 8.4-1 Gegeben sei eine Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion
Gsis) =
s(l + l,4s + s2)"
(8.4.12)
Der Poliiberschuss der Regelstrecke ist dabei n - m = 3. Nach der Beziehung (8.4.11) muss daher der Poliiberschuss der gewlinschten Fiihrungsiibertragungsfunktion K-w{s) u-v>3 sein.
•
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
251
Die KoefRzienten einer Ubertragungsfunktion Kyf{s), die der Realisierbarkeitsbedingung (8.4.11) gefiorcht, sind allerdings nicht ganz beliebig wahlbar. Praktische Beschrdnkungen bei der Wahl von Ky^{s) bilden gewohnlich der maximale Bereich der StellgroBe, Parameterfehler, bei der eventuell ungenauen Angabe von 1/Gs{s) sowie das Messrauschen im Regelsignal, das sich iiber den Regler storend auf das Stellsignal auswirken kann. Bei dem urspriinglich von Guillemin [Tru60] angegebenen Verfahren [Tru60] war der Reglerentwurf noch so durchzuftihren, dass G R ( S ) nur negativ reelle Polstellen aufwies, um dadurch eine Realisierung durch passive RC-Netzwerke zu gewahrleisten. Darauf ist man selbstverstandlich heute nicht mehr angewiesen. Aufgrund der modernen Schaltungstechnik mit Operationsverstarkern lassen sich nahezu beliebige Ubertragungsfunktionen realisieren. Daher kann man im Rahraen der Reahsierbarkeit gemafi Gl. (8.4.11) und bei Beachtung der technischen Beschrankungen in der StellgroBe die Pol-NullstellenVerteilung von Kw{s) weitgehend beliebig festlegen. Das Vorgehen beim Entwurf von GB.{S) sei anhand des nachfolgenden Beispiels gezeigt. Beispiel 8.4.2 Fiir eine proportional wirkende Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion ^^''^^ ^ (l + s)2(l + 5s) " l + 7s + lls2 + 5s3 " C ( ^
(8.4.13)
sei ein im Sinne der minimalen zeitbeschwerten betragslinearen Regelflache (14) optimaler Regler nach dem zuvor beschriebenen Verfahren so zu entwerfen, dass die Anstiegszeit Ta,50 = 2,4s wird. Zunachst folgt aus der Realisierbarkeitsbedingung, Gl. (8.4.11), und wegen n — m = 3 — 0 = 3, dass der Poliiberschuss der gewiinschten Fiihrungsiibertragungsfunktion Kw{s) u—V>3
sein muss. Bei Zugrundelegung der Tabelle 8.4.1 erhalt man mit der J \e{t)\ t dt-Fovm fiir M = 3 und somit fiir w = 0 das Standard-Polynom /3(s) = s^ + l,75a;os^ + 2,15a;^s + w^.
(8.4.14)
Aus der zugehorigen zeitnormierten Ubergangsfunktion h-w{uJot) folgt ebenfalls aus Tabelle 8.4.1 die normierte Anstiegszeit
und damit wird wegen der geforderten Anstiegszeit Ta.so = 2,4s die Bezugsfrequenz Wo = 1 s~^ Gl. (8.4.14) lautet nun P{s) = 5^ + 1,758^ + 2 , 1 5 s + 1 . Da bei der gewahlten Standardform fiir Kw{s) das Zahlerpolynom a{s) = 1 wird, folgt als Ubertragungsfunktion des Kompensationsreglers gemaiS Gl. (8.4.10) ^ , , GR(S)
oder
Cis)a(s) = D{s) [/3(s) - a{s)]
1 + 7s + lls2 + 5s3 - 1 + 2,15s + l,75s2 + s^ - 1
252
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
' V ' " u ' "•£
6 5 \ 4 3
\ 2H
\
1
v^
0
-h^
0
12
16
20 t
Bild 8.4.3. Regelverhalten bei dem untersuchten Beispiel: h-wit) Ubertragungsfunktion der RegelgroCe fiir Fiihrungsverhalten, his{t) Ubergangsfunktion der zugehorigen StellgroCe, fts(i) Ubergangsfunktion der ungeregelten Regelstrecke
GR(S)
l + 7s + l l s 2 + 5 s 3 s(2,15 + 1,75s+ s2)-
Dieser Regler besitzt also einen I-Anteil. Das Regelverhalten ist in Bild 8.4.3 dargestellt.
Wiirde man als weiteres Beispiel anstelle von Gl. (8.4.13) die integralwirkende Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion gemafi Gl. (8.4.12) wahlen, dann wiirde sich sofern KT^{S) gleich sein soil - als Ubertragungsfunktion des Reglers GR(S)
=
1 + 1,4s+ s^ (2,15-I-1,75s + s2) 5
1 + 1,4s -t- s^ 10,75 + 8,75s-I-5s2
ergeben, also ein Regler ohne I-Anteil. Fiir beide, sehr unterschiedlichen Regelstrecken lasst sich somit durch dieses Syntheseverfahren dasselbe Fiihrungsverhalten erzwingen, sofern der zulassige Stellbereich des Reglers nicht iiberschritten wird. Bei den bisherigen Uberlegungen wurde vorausgesetzt, dass Gs(s) stabil sei und minimales Phasenverhalten besitze. Fiir Regelstrecken, die diese Voraussetzungen nicht erfiillen, ist das hier beschriebene Verfahren nur bedingt anwendbar; das Verfahren muss dann in folgender Form erweitert werden: Es sollte keine direkte Kompensation der in der rechten s-Halbebene gelegenen Pole und NuUstellen von Gs(s) durch die Regleriibertragungsfunktion G R ( S ) stattfinden, da sonst bereits bei einer kleinen Veranderung der Lage dieser Pol-Nullstellenverteilung Stabilitatsprobleme auftreten. Daher kann in diesen Fallen die gewiinschte Fiihrungsiibertragungsfunktion K^^{s) nicht mehr beliebig gewahlt werden. Bei einer Regelstrecke mit
nichtminimalem Phasenverhalten muss Kw(s) so festgelegt
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
253
werden, dass die NuUstellen von Js'w(s) die in der rechten s-Halbebene gelegenen NuUstellen von Gsis) enthalten. Bei einer instahilen Regelstrecke muss hingegen die Ubertragungsfunktion 1 — ii'w(s) als NuUstellen die Werte der in der rechten s-Halbebene gelegenen Pole von Gs(s) besitzen. Dadurch wird die Wahl von i
soil ein Regler so entworfen werden, dass der geschlossene Regelkreis der gewiinschten Fiihrungsiibertragungsfunktion Gw(s) = Kw{s) = Y ^ p ^ gehorcht. Die Anwendung von Gl. (8.4.10) liefert als Regleriibertragungsfunktion Gnis) = ^ 3 ^
^.
Dieser Regler bewirkt eine direkte Kompensation (Kiirzung) der Nullstelle der Regelstrecke. Dies ist jedoch - wie bereits ausgefiihrt wurde - unerwiinscht. Daraus folgt, dass die zuvor gewahlte Ubertragungsfunktion K-w{s) nicht zulassig ist. Kvf{s) wird daher entsprechend obiger Diskussion in folgender, abgeanderter Form gewahlt: (1+Tis)2Mit Gl. (8.4.10) erhalt man nun die Regleriibertragungsfunktion GR(S)
=
1-h Ts s[(2Ti + T) + sT^] •
Aufgrund der Wahl von Kw{s) weist also der geschlossene Regelkreis ebenfalls AUpassverhalten auf. Dies wirkt sich umso starker aus, je kleiner die Zeitkonstante Tj gewahlt wird. Bild 8.4.4 zeigt das Verhalten dieses Regelkreises.
Beispiel 8.4-4 Die Ubertragungsfunktion einer instabilen Regelstrecke Gsis) =
^ 1-sT
sei gegeben. Gesucht ist ein Regler G R ( S ) , bei dem Kw{s) die Reahsierbarkeitsbedingung u — v > 1 erfiillt, sowie 1 — Kw{s) als Nullstelle den Wert des instabilen Pols bei s = -j-l/T enthalt. Es muss also der Ansatz 1 - Kw[s) =
—— /3{s)
=
— I3{s)
254
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
1,5
Bild 8.4.4. Regelverhalten bei dem untersuchten Beispiel: h-w{t) Ubertragungsfunktion der Regelgrofie fiir Fiihrungsverhalten, h\}{t) Ubergangsfunktion der zugehorigen Stellgrofie, hs{t) Ubergangsfunktion der ungeregelten Regelstrecke (T = 1 s; Ti = 0,5 s) gelten, wobei K{s) so zu wahlen ist, dass Grad[(l - sT) K{s)] = Grad^(s) wird. Im vorliegenden Fall soil Kyf{s) so gewahlt werden, dass Grad /3(s) = u = 2 wird. Daraus folgt dann Giad K{s) = 1. Damit K^^{s) stabiles Verhalten aufweist, wird der Ansatz K{s) = -Tis gemacht. Damit erhalt man /3(s) - a{s) = (1 - Ts) (-Tis) und bei Beachtung der Realisierbarkeitsbedingungen folgt hieraus (/3o - ao) + (/Si -ai)s + 023^ = -Tis + T^Ts^ Der KoefRzientenvergleich liefert dann mit der BezugsgroBe /32 = 1 Po-ao = 0, /?! - ai = - T i
und
TiT = 1.
Somit wird Ti = —
und
Po = cto-
Die noch frei wahlbaren Parameter /JQ und /3i werden nun so festgelegt, dass Kw{s) unter Beriicksichtigung eines akzeptablen Stellverhaltens - eine bestimmte Dampfung und Eigenfrequenz erhalt. Ohne darauf im einzelnen einzugehen, werden im vorliegenden Fall /3o = 1
und
l3,=Ti = l
gewahlt. Damit folgt ao = 1
und
a i = 2Ti = —.
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
255
Mit diesen Grofien ist nun die gewiinschte Fiihrungsiibertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises durch die Beziehung Kw{s)
1 + (2/r) s 1 + (1/T) s + s2
festgelegt und es gilt 1 - Ky,is)
^ (1 - Ts) i-s/T) 1 + (1/T) s + §2 •
Die Voraussetzungen fiir den Reglerentwurf sind damit erfiillt, und als Ubertragungsfunktion des Reglers erhalt man gemafi GI. (8.4.9) oder Gl. (8.4.10) GR(S)
l + {VT)s) -{1/T)s
-2
1+
T 1 2" s
Offensichtlich liefert dieser Entwurf einen PI-Regler, der fiir w{t) = a{t) durch seine negative Verstarkung einen positiven Verlauf der Regelgrofie bewirkt. Das Ubertragungsverhalten dieses Regelkreises ist im Bild 8.4.5 fiir T = 1 s dargestellt. Bei Beriicksichtigung eines akzeptablen Stellverhaltens lasst sich allerdings die relativ grofie maximale Uberschwingweite nicht vermeiden.
2,0 1,51,00,5 0,0
12 t
-0,5 -1,0 -1,5 -2,0
w I \
-2,5 -3,0-" Bild 8.4.5. Regelverhalten bei dem untersuchten Beispiel: h-w{t) Ubergangsfunktion der Regelgrofie, /iu(i) Ubergangsfunktion der zugeliorigen Stellgrofie, hs{t) Ubergangsfunktion der ungeregelten Regelstrecke
256
8.4.3 8.4-3.1
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Ein algebraisches Entwurfsverfahren Der
Grundgedanke
Bei dem nachfolgend behandelten Verfahren [Web67], [Shi63] soil entsprechend Bild 8.4.1 fiir eine durch Gl. (8.4.5) beschriebene Regelstrecke ein Regler gemafi Gl. (8.4.6) so entworfen werden, dass der geschlossene Regelkreis sich nach einer gewiinschten, vorgegebenen Fiihrungsiibertragungsfunktion entsprechend Gl. (8.4.7) verhalt. Dabei wird allerdings die Ordnung von Zahler- und Nennerpolynom der Regleriibertragungsfunktion gleich grofi gewahlt {w = Gradi?(s) = Grad^(s) = z). Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die man aus l + Gnis)Gs{s) = 0 unter Beriicksichtigung der in den Gin. (8.4.5) und (8.4.6) definierten Polynome zu P{s) = Pis) = A{s) C(s) + B{s) D(s) = 0
(8.4.15a)
erhalt. Andererseits folgt mit Gl. (8.4.7) u
P{s) = Pis) = /?o + /3is + . . . + ^ „ s " = pu His - Si) = 0.
(8.4.15b)
Dieses Polynom besitzt die Ordnung u = 2 + n, seine Koeffizienten hangen von den Parametern der Regelstrecke und des Reglers ab und sind lineare Funktionen der gesuchten Reglerparameter. Der erste KoefRzient lautet gemafi eines Vergleichs beider Gleichungen /?o = aoco + bodo,
(8.4.16a)
der letzte wegen m < n und a^; = c„ = 1 Pu = a,cn = 1.
(8.4.16b)
Eine allgemeine Darstellung lasst sich mit Pi - bodi + bidi-i + . . . + bwdi-w + floCi + aiCi-i + . . . + a^Ci-z
^.4.16c)
angeben, wobei dk = 0
fiir
k <0 und k > m
und Cjt = 0
fiir
A; < 0 und k > n,
sowie w = z nach Voraussetzung gilt. Die Koeffizienten Pi ergeben sich andererseits aus den negativen Polen — Sj durch den Vietaschen Wurzelsatz. Fiir den ersten, zweitletzten und letzten Koeffizienten von Pis) gilt beispielsweise
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
257
^0 = l[i-s^)
(8.4.17a)
i=l u
^„_i = J2^-Si)
(8.4.17b)
1=1
Pu = 1
(8.4.17c)
Wahrend sich also die KoefRzienten /3j gemafi Gl. (8.4.17) unmittelbar aus den vorgegebenen Polen des geschlossenen Regelkreises ergeben, sind in den KoefRzienten /3i der Gl. (8.4.16) noch die gesuchten Reglerparameter enthalten. Ein KoefRzientenvergleich liefert die eigentlichen Synthesegleichungen, namlich ein lineares Gleichungssystem fiir die 2z + 1 unbekannten Reglerkoeffizienten ao,... ,a2-i,bo,bi,... ,6^. Die Zahl der Gleichungen ist u = z + n. Daraus ergibt sich als Bedingung fiir die eindeutige Auflosbarkeit die Ordnung des Reglers zu 2; = n — 1. Bei naherer Untersuchung zeigt sich jedoch, dass ein so entworfener Regler bei weitem nicht alien Einsatzfallen gerecht wird. Durch seinen relativ kleinen Verstarkungsfaktor kann sich bei Storungen eine bleibende Regelabweichung ergeben. Dies muss beim Entwurf beriicksichtigt werden. Fiir Regelstrecken mit integralem Verhalten geniigt die Reglerordnung z = n — 1; bei Regelstrecken mit proportionalem Verhalten oder wenn Storgrofien am Eingang integraler Regelstrecken beriicksichtigt werden miissen, soUte die Verstarkung des Reglers beeinflussbar sein, so dass insbesondere auch ein integrales Verhalten des Reglers erreicht werden kann. Dies geschieht dadurch, dass man die Reglerordnung um 1 erhoht, d.h. z = n setzt, so dass das Gleichungssystem unterbestimmt wird. Der so erzielte zusatzliche Freiheitsgrad erlaubt nun eine freie Wahl der Reglerverstarkung KYI, die zweckmaf3ig als reziproker Verstarkungsfaktor eingefiihrt wird:
AUerdings erhoht sich damit auch die Ordnung des geschlossenen Regelkreises; sie ist jetzt doppelt so groB wie die Ordnung der Regelstrecke.
8.4-3.2
Beriicksichtigung gelkreises
der Nullstellen des geschlossenen Re-
Bei dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen Vorgehen ergeben sich die Nullstellen der Fiihrungsiibertragungsfunktion
von selbst. Zwar konnen die Nullstellen der Regelstrecke, also die Wurzeln von D{s), bei der Wahl der Polverteilung beriicksichtigt und eventuell kompensiert werden, das Polynom B{s) entsteht aber erst beim Reglerentwurf und muss nachtraglich beachtet werden. Dies geschieht am einfachsten dadurch, dass man vor den geschlossenen Regelkreis, also in die Wirkungslinie der Fiihrungsgrofie, entsprechend Bild 8.4.6 a ein Korrekturglied (VorRlter) mit der Ubertragungsfunktion
258
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme GK{S)
'^
BK{S)
schaltet, mit dem sich die Nullstellen des Reglers und der Reglerstrecke kompensieren lassen. Dies lasst sich aus Stabilitatsgriinden allerdings nur fiir Nullstellen durchflihren, deren Realteil negativ ist. Bezeichnet man die Teilpolynome von B{s) und D{s), deren Wurzeln in der linken s-Halbebene liegen mit B~^{s) und D~^{s) sowie die Teilpolynome, deren Wurzeln in der rechten s-Halbebene bzw. auf der imaginaren Achse liegen entsprechend mit B~{s) und D'~{s), so lassen sich die Zahlerpolynome B{s) und D{s) wie folgt aufspalten: B{s)=B--{s)B+{s)
(8.4.20)
D{s) = D-{s)D-{s)
(8.4.21)
mit B-{s)=J2b~s'
(8.4.22a)
i=0 W = W'^ + W~
B+(s)=^6+s^
(8.4.22b)
i=0
bzw. D'{s)=J2d^s'
(8.4.23a)
i=0
m = m"^ + m D+{s)=J2dts'
(8.4.23b)
i=0
Fiir den Fall, dass B{s) und C{s) sowie A{s) und D{s) teilerfremd sind, also im geschlossenen Regelkreis der Regler weder Pol- noch Nullstellen der Regelstrecke kompensiert, lasst sich das Nennerpolynom der Ubertragungsfunktion des Korrekturgliedes wie folgt bestimmen: BK{s)=B+is)D+{s). (8.4.24) Damit erhalt man als Fiihrungsiibertragungsfunktion CK G-w(,S) =
BKIS)
B{s)Dis) Ais)Cis)+B{s)D(s)
A{s)C{s)+B{s)D{s)' Wenn sowohl der Regler als auch die Regelstrecke minimalphasiges Verhalten und deren Ubertragungsfunktionen keine Nullstellen auf der imaginaren Achse aufweisen, lassen sich samtliche Nullstellen des geschlossenen Regelkreises kompensieren, so dass man anstelle von Gl. (8.4.25) die Beziehung
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
©
w
1 1 u
259
^K \ rJ B^{s) — ^ \
B{s) A{s)
-^
1
1^. 1
D{s) C{s)
,
Y^
1 \ Regler
W
u
+
®
Y C{s)
Regler A{s)
Bild 8.4.6. Kompensation der Reglernullstellen (a) mit Regler im Vorwartszweig und (b) mit Regler im Riickkopplungszweig
Gw{s) =
CK
A{s)C{s)+B{s)D{s)
(8.4.26)
erhalt. Soil der geschlossene Regelkreis auch vorgegebene Nullstellen enthalten, so ist in der Ubertragungsfunktion GK (S) des Korrekturgliedes ein entsprechendes Zahlerpolynom vorzusehen. Der Zahlerkoeffizient CK des Korrekturgliedes dient dazu, den Verstarkungsfaktor Kw der Fuhrungsiibertragungsfunktion Gw(s) gleich 1 zu machen. Aus Gl. (8.4.25) folgt hierfiir K^ = Gw(0) = CK
^° "^^ . = 1. (8.4.27) a-oco + bodo Der Nennerausdruck stellt den ersten KoefRzienten /3o des charakteristischen Polynoms /9(s) dar, und somit gilt mit Gl. (8.4.27) CK
=
^0
fegdo
(8.4.28)
Im Falle eines Reglers mit I-Anteil wird ao = 0 und nach Gl. (8.4.18) CR, — 0. Mit den Gin. (8.4.27) und (8.4.20) bis (8.4.23) folgt direkt CK =b^d^.
(8.4.29)
Wird der Regler gemaB Bild 8.4.6 b in den Riickkopplungszweig des Regelkreises geschaltet, so andert das am Eigenverhalten des so entstandenen Systems gegeniiber dem der Konfiguration nach Bild 8.4.6 a nichts, denn das Nennerpolynom der Ubertragungsfunktion und somit die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises bleiben erhalten. Allerdings erscheinen nun nicht mehr die Nullstellen der Ubertragungsfunktion des Reglers, sondern deren Polstellen als Nullstellen in der Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises. Es gelten jetzt analoge Uberlegungen bei der Bestimmung des Nennerpolynoms AK{S) in der Ubertragungsfunktion des Korrekturgliedes. Dieses Polynom berechnet sich zu AKis)=A+is)D+{s), (8.4.30)
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
260
wobei das Polynom A^ (s) die Pole des Reglers und £)+ (s) die Nullstellen der Regelstrecke in der linken s-Halbebene enthalt. Die Fiihrungsiibertragungsfunktion CKA-(S)£)-(S)
GwW
(8.4.31)
A{s)C{s) + B{s)D{s)
stimmt fiir den Fall eines stabilen Reglers und einer minimalphasigen Regelstrecke mit der Gl. (8.4.26) uberein. Die Konstante CK fiir einen proportional wirkenden Regler ist /3o (8.4.32) %(io Es soil ausdriicklich darauf hingewiesen werden, dass fiir einen integrierenden Regler im Riickkopplungszweig keine Fiihrungsregelung realisierbar ist. CK
8.4'3.3
Losung der Synthesegleichungen
Das durch Gl. (8.4.16c) beschriebene Gleichungssystem kann leicht in Matrix-Schreibweise dargestellt werden. Dabei werden die gesuchten Reglerparameter in einem Parametervektor zusammengefasst. Die Matrix der Regelstreckenparameter ist in den beiden betrachteten Fallen (Reglerordnung z = n — 1 und z = n) gleich aufgebaut. Ftir integrale Regelstrecken (CQ = 0) mit der Reglerordnung z = n — 1 und Normierung c„ = 1 lautet damit das Synthese-Gleichungssystem: do di ^2
0 0
do di
Cl
do
C2
0
0 Cl
0
Cn-2 Cn-3 dn-l 0
di
dn-2 dn-l d n - 2 dn-l
do di d2
1
1
- /3o 1
bi
01
62
h Pn~2
r 0 1 0 0
Cl
0
bn-2
C2
Cl
bn-1
C2
Oo
/?„
Cl
C3
ai
Pn+1
C2
Cn-1
On-S
/?2n-3
Cn-2
1
0'n-2_
_02n-2_
_Cn_l_
Cn-1 Cn-2
0
0 0
Cn-1 Cn-2
" bo 1
Cn-l
dn-l
=
/3n~l
-
0 0
(8.4.33a) und O-n-l — Pu
(8.4.33b)
In dieser Beziehung wurde ein nicht mit den Reglerkoeffizienten verkniipfter Vektor [ 0 . . . 0 C l . . . Cn-i]"^ von der Matrix der linken Seite abgespalten und auf die rechte Seite gebracht, die als wesentlichen Teil die Koeffizienten des Polynoms /3(s) mit der gewiinschten (vorgegebenen) Polverteilung enthalt.
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
261
Fiir Regelstrecken mit proportionalem Verhalten oder bei Storungen am Eingang integraler Regelstrecken, wo die Reglerordnung aus Griinden des Storverhaltens um 1 auf z =n erhoht wird, gelten mit den Gin. (8.4.18) und (8.4.16a) folgende Beziehungen: (8.4.34)
ao = CR6O UQ
(8.4.35)
—
do + CRCO
Aufierdem gilt das Synthese-Gleichungssystem:
do
r &i 1 r /3i ]
Co
di
do
da
di
0 do
Cl
Co
C2
Cl
Co
h
/32
bs
/33
0
di do
dn-ldn-2- • •
di
-lC„_2 • • • C2 Cl 1 C „ _ i C „ _ 2 - - - C2 1
C „ _ i - - - C3
•CRCI
d2
•CRC2
dn-1
Co
dn-ld,•n-2
Ol
bn ai
=
^n
-bo
Pn+1
"
+CRC„_I
0
CR
Co
0
Cl
02
Cn-1
1
dn-1
[fln-1.
_02n-l_
Cn-1
(8.4.36a) und (8.4.36b)
an =
Die (2n - 1) x (2n - 1) Matrizen der linken Seite der Gin. (8.4.33a) und (8.4.36a) sind fur c = 0 jeweils gleich. Es lasst sich einfach zeigen, dass diese Matrix regular ist. Damit sind die Synthesegleichungen eindeutig losbar. Die Losung kann bei Systemen niedriger Ordnung von Hand durchgefiihrt werden. Bei Systemen hoherer Ordnung ist der Einsatz einer Digitalrechenanlage erforderlich.
8.4-3.4
Anwendung des Verfahrens
Beispiel 8.4-5 Eine integrate Regelstrecke habe die Ubertragungsfunktion Gs(s)=0,25
l + 5s s(l +0,25s)
l + 5s 4s + s2'
Da nicht mit Storungen am Eingang der Regelstrecke gerechnet wird, lassen sich die Reglerkoeffizienten nach Gl. (8.4.33a) und Gl. (8.4.33b) bestimmen.
262
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
Nach Abschnitt 8.4.3.1 erhalt man fiir diese Regelstrecke 2. Ordnung die Reglerordnung zu2; = n — 1 = 1. Der geschlossene Regelkreis besitzt somit die Ordnung u = z + n = 3. Die Ubergangsfunktion dieses Regelkreises soil der Binominalform gemai3 Tabelle 8.4.1 entsprechen, wobei ^so w 2,5s eingehalten werden soil. Dies entspricht etwa dem Wert Is ^. Das zugehorige charakteristische Polynom P(s) = (1 + 5)=^ = 1 + 3s + 3s2 + s^
und Gin. (8.4.33a) und (8.4.33b) liefern die Synthesegleichungen 1 OiO 5 li4
bo
^"0""5Tr
Co
h
1 3 3
=
0 0 4
-
mit ai = 1, aus deren Losung sich die Reglerkoeffizienten 9_
" ° = - 119 9
ai =
1
,
bo=
n -- 19
'
1
ergeben. Die gesuchte Ubertragungsfunktion des Reglers lautet damit: 2 19
1 GR(S)
=
9
-I9+^ Wie hieraus ersichtlich, fiihrt dieser Entwurf zu einem instabilen Regler, der dariiber hinaus noch nichtminimalphasiges Verhalten aufweist. Die Ubertragungsfunktion
Gwi(s) =
(1 + 5s)
' - ^ '
(l + s)3
des geschlossenen Regelkreises enthalt im Zahlerpolynom neben der NuUstelle der Regelstrecke eben auch diese Nullstelle des Reglers in der rechten s-Halbebene. Entsprechend den Uberlegungen in Abschnitt 8.4.3.2 lasst sich diese Nullstelle aus Stabilitatsgrunden nicht mit einem Korrekturglied kompensieren. Dies ware auch gar nicht so sehr erforderlich, da die Nullstelle der Regelstrecke dominiert und somit einen sehr viel starkeren Einfluss auf den Verlauf der Ubergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises hat (vgl. Bild 8.4.7). Das Nennerpolynom BK{S) in der Ubertragungsfunktion G K ( S ) des Korrekturgliedes bestimmt sich somit zu BK{S)
=D+{S)B+{S)
=
1
+ 5S.
Die Gesamtiibertragungsfunktion des Regelkreises einschliefilich des Korrekturgliedes
G'w(s) =
111! (1 + S)3
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
263
u{f), y{f) 2,0-
Bild 8.4.7, Ubergangsfunktion der RegelgrSfie y{t) fiir die Fiille: (a) ohne Korrekturglied y{t) = hwi(f)j (b) mit Korrekturglied y{t) = hw{t), sowie den zugehorigen Stellgrofien ui{t) und u{t) und der Ubergangsfunktion des Vergleichssystems y{t) = /IM(<) enthalt nun zwar immer noch im Zahlerpolynom die Nullstelle der tJbertragungsfunktion des Reglers, wie aus Bild 8.4.7 jedoch ersichtlich ist, zeigt die entsprechende Ubergangsfunktion /iw(i) keine grofie Abweichung von der Ubergangsfunktion huit) des vorgegebenen Vergleichssystems
AufFallend ist, dass die Ubergangsfunktion hwi (t) des Regelkreises ohne Korrekturglied mit ihrer groi3en Uberschwingweite so gut wie keine Ahnlichkeit mit den anderen Ubergangsfunktionen aufweist, obwohl alle drei Systeme das gleiche Eigenverhalten besitzen. Hier macht sich also der dominierende Einfluss der Nullstelle SN = —0,2 in der tJbertragungsfunktion der Regelstrecke bemerkbar. • Beispiel 8.4-6 Gegeben sei eine Regelstrecke 3. Ordnung mit der Ubertragungsfunktion
Gsis) =
0,2 dp (1 + s)2 (1 + 5s) ^ 0,2 + 1,4s + 2 , 2 s 2 T ^ ~ 'C(s)'
Die Ubergangsfunktion hsit) dieser Regelstrecke ist im Bild 8.4.8 dargestellt. Nun soil ein Regler so entworfen werden, dass die Ubergangsfunktion hwit) des geschlossenen Regelkreises eine gewtinschte Form aufweist, die aus Tabelle 8.4.2 ausgesucht wird. Im vorliegenden Fall einer PT„-Regelstrecke muss die Ordnung m des Reglers gleich der Ordnung n der Regelstrecke, also z = n, gewahlt werden. Damit erhalt man eine Fiihrungsiibertragungsfunktion G'w(s) 6. Ordnung. Die gewunschte Ubertragungsfunktion gemafi Gl. (8.4.4), die die Grundlage fiir Tabelle 8.4.2 bildet, besitzt genau dann die geforderte Gesamtordnung z + n = 6, wenn
8 Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme
264
fc = 4 gewahit wird. Fiir den Fall soil weiterhin die Form der Ubergangsfunktion mit «; = 4 (siehe Tabelle 8.4.2) festgelegt werden. Der letzte noch nicht festgelegte Parameter der angestrebten Ubertragungsfunktion Ky^is) ist die Frequenz LOQ. Alle Ubergangsfunktionen in Tabelle 8.4.2 sind auf diese Frequenz normiert, so dass man den ZeitmaiJstab noch wahlen kann. Somit lasst sich durch geeignete Wahl von UIQ das in Tabelle 8.4.2 normiert dargestellte Ubergangsverhalten auf den gewiinschten Zeitmai5stab iibertragen. Fiir einen Wert LOQ = 0,4 s~-^ wiirde sich z.B. eine Anstiegszeit Ta.so ~ IjSs ergeben, fiir OJQ = 2s^^ ware Ta,5o ^ 0,32 s. Wahlt man jedoch fiir UIQ einen sehr groSen Wert, um eine geringe Anstiegszeit zu erhalten, dann liefert dies als Ergebnis des Reglerentwurfs die Koeffizienten des Reglers in so unterschiedlichen GroBenordnungen,dass dieser Regler praktisch nicht realisierbar ware. Es soil daher hier Wo=0,4s~^ gewahit werden. Mit den hier festgelegten Werten fiir k,K, und UIQ erhalt man fiir die gewiinschte Fiihrungsiibertragungsfunktion nach Ausmultiplikation in Gl. (8.4.4) schlieiJlich
Kwis)
43,52 43,52 + 99,84s + 106,88s2 + 72,96s3 + 33,12s4 + 8,9s5 + s«
^(s)'
Zur Berechnung der Koeffizienten der nach Gl. (8.4.6) beschriebenen Reglerilbertragungsfunktion G R ( S ) liefern zunachst die Gin. (8.4.34) und (8.4.35)
Po 1
,
= 217,6 ^0
1 + CR
1 + CR-J-
und ao = CR6O = 217,6:
CR
1 + CR
Die Bestimmung der restlichen Reglerkoeffizienten erfolgt nun nach Gl. 0,2 0 0 0 0
0 0,2 0 0 0
0 0 0,2 0 0
0,2 1,4 2,2 1 0
0 0,2 1,4 2,2 1
'h' b2
ba Oi 02
" 99,84 " 106,88 72,96 - 217,6 = 1+CR 33,12 8,8
i.4.36a)
"1,4CR"
• 0 "
2,2cR
0 0,2
CR
0 0
-
1,4 2,2
Die Losung dieses Synthese-Gleichungssystems liefert - angefangen von der untersten Zeile - die Reglerkoeffizienten
8.4 Analytische Entwurfsverfahren
265
y{t) = h^^{t)
Bild 8.4.8. (a) Ubergangsfunktionen der Regelgrofie y{i) im ungeregelten Fall y{t) = hs{t) sowie im geregelten Fall ftir den e