R. Elektrodynamik

Martin R. Zirnbauer

Elektrodynamik 3. Juli 1998

Springer-Verlag

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Inhaltsverzeichnis

0. Mathematische Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

Euklidischer Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Linearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Alternierende Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A u eres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Inneres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Zuruckholen alternierender Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : Hodgescher Sternoperator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dichten... : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Vektorfelder und 1-Formen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cartan-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Poincaresches Lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Pullback : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kurvenintegrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Flachen- und Volumenintegrale im E3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Integration von Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Allgemeiner Satz von Stokes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Lie-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Stromformen und Stromlinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Laplace-Operator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

1 3 6 9 11 13 14 16 17 22 24 28 30 33 38 44 47 50 52 58

1. Prinzipien des Elektromagnetismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63

1.1 Mathematischer Rahmen und Ma system : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung : : : : : : : : : : : : : : : 64 1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen MaxwellGleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 1.6 Flu linienbild : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 1.7 Axiom 4: Materialgesetze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 1.8 Energiesatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 1.9 Anschlu bedingungen an Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

VI

Inhaltsverzeichnis

1.10 Elektrodynamik in Materie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 1.11 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

2. ElektroMagnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101

2.1 Elementare Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104 2.2 Poisson-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114 2.4 Randwertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.1 Die Greenschen Identitaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem : : : : : : : : 117 2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastrome : : : : : 122 2.5 Energiebetrachtungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.1 Kapazitatskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.2 Induktionskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128

3. Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133

3.1 k-Komplexe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.1 Kapazitives Netzwerk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.2 Resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140 3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.3.3 Materialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.4 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147 3.5 Dynamik (diskret) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151

4. Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157

4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 4.2 Ebene Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.1 Ein Beispiel fur Pulserzeugung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.2 Skin-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161 4.2.3 Brechung an ebenen Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162 4.2.4 Losung der inhomogenen Wellengleichung : : : : : : : : : : : 162 4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.1 Losung der homogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms : : : : : : : : : : : : : : 168 4.3.3 Losung der inhomogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : 169

Inhaltsverzeichnis

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

VII

Elektrische Dipolstrahlung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170 Strahlung einer beschleunigten Punktladung : : : : : : : : : : : : : : : 173 Beugungsphanomene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Symmetrien und Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Das Feynmansche Paradoxon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Geometrische Optik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178

5. Relativistisch kovariante Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179

Der Minkowski-Raum M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 Die Poincare-Gruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180 A u erer Kalkul auf M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Kovariante Formulierung der Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : 183 Anschauliche Deutung mittels Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : 183 Altes relativistisch aufgewarmt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184 Transformationsverhalten der Felder und Strome : : : : : : : : : : : 186 5.8.1 Transformation des Viererstroms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186 5.8.2 Transformation der Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187 5.8.3 Aharonov-Casher-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188 5.9 Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

6. Wirkungsprinzip f ur klassische Feldtheorien : : : : : : : : : : : : : : 191 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : : : : 193 Erhaltene Strome : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 194 Ginzburg-Landau-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 Abelsches Higgs-Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 199 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung : : : : : : : : : : : : 202

A. Kleine Formelsammlung f ur das Rechnen mit Di erentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 205

0. Mathematische Grundlagen

0.1 Euklidischer Raum Perspektive. Zur Formulierung der Elektrodynamik benotigen wir ein mathematisches Modell der physikalischen Raum-Zeit. In der ersten Halfte dieser Vorlesung behandeln wir die Zeit separat vom Raum und modellieren den physikalischen Raum durch den dreidimensionalen Euklidischen Raum E3 . In der zweiten Halfte werden wir dann zum Zweck der relativistisch kovarianten Formulierung der Elektrodynamik zu einer einheitlichen Beschreibung von Raum und Zeit ubergehen und die physikalische Raum-Zeit durch den vierdimensionalen Minkowski-Raum M4 modellieren. (Wir wollen hier nur erwahnen, ohne darauf weiter einzugehen, da das MinkowskiModell adaquat ist, solange die raumkrummenden Eekte der Gravitation vernachlassigt werden konnen.) Beiden Modellen, E3 und M4 , liegt der Begri eines anen Raumes zugrunde. Der n-dimensionale ane Raum An . Der Begri des "Vektorraumes\ (oder linearen Raumes) wird als bekannt vorausgesetzt, und wir erinnern nur daran, da die "Vektoren\ genannten Elemente eines solchen Raumes addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden konnen. Per Denition besteht nun ein aner Raum nicht aus Vektoren, sondern aus Punkten, und die letzteren lassen sich nicht sinnvoll addieren. Ein aner Raum ist also kein Vektorraum, obwohl er zu einem solchen in enger Beziehung steht. Jedem Paar von Punkten a und b eines anen Raumes ist namlich in eindeutiger Weise ein Vektor zugeordnet. Au erdem ist es moglich, zu einem Punkt a eines anen Raumes einen Vektor v zu addieren, was einen neuen Punkt b = a + v zum Resultat hat. Die Operation des Addierens von Vektoren zu Punkten ist assoziativ und fuhrt einen Punkt nur dann in sich uber, wenn der hinzugefugte Vektor der Nullvektor ist. Diesen Sachverhalt fassen wir in der folgenden Denition zusammen: ein aner Raum A ist ein Tripel (M V +), bestehend aus einer Punktmenge M , einem reellen Vektorraum V und einer Addition + : M
V ! M , (a v) 7! a + v mit den Eigenschaften (1) a + (v + w) = (a + v) + w (a 2 M  v w 2 V ) (2) a + v = a () v = 0 (a 2 M  v 2 V ) (3) zu jedem Paar a b 2 M existiert ein v 2 V mit b = a + v :

2

0. Mathematische Grundlagen

Der nach (2) eindeutige Vektor v von (3) hei t der "Dierenzvektor\ von a und b und wird mit b ; a bezeichnet. Fur V = Rn ist A = (M V +) der n-dimensionale ane Raum An . Aufgabe 0.1.1. Gegeben sei ein Tripel von Punkten a b c 2 M . Deduzieren Sie aus den Axiomen (1)-(3) die Beziehung c ; a = (c ; b) + (b ; a). Unter der Geraden durch a in Richtung von v versteht man die Menge von Punkten der Form a + sv mit beliebigem s 2 R. Der von m Vektoren v1  :::Pvmm aufgespannte Spat mit Basispunkt p ist die Punktmenge faja = p + i=1 ti vi g fur 0  t1  ::: tm  1. Fur m = 2 sprechen wir auch von einem Parallelogramm. Ein anes Koordinatensystem ist eine Gesamtheit (o e1  e2 ::: en ), bestehend aus einem ausgewahlten Punkt o 2 M ("Koordinatenursprung\) P und n linear unabhangigen Elementen e1 ::: en von V . Die durch a ; o = ni=1 xi ei einem Punkt a 2 M zugeordneten Zahlen x1  ::: xn hei en ane Koordinaten von a bezuglich (o e1  ::: en ). Eine ane Abbildung  : M ! M bildet Geraden auf Geraden ab. e2 a 2

x

x1 o

e1

Abbildung 0.1.

Anes Koordinatensystem (o e1
e2 ) und ane Koordinaten x1 , x2 eines Punktes a 2 A2 .

Aufgabe 0.1.2. Zeigen Sie, da jede ane Abbildung  sich in der Form (p) = (o) + L(p ; o) ausdrucken la t, wobei o ein beliebig gewahlter Referenzpunkt und die Abbildung L : V ! V linear ist. Euklidischer Vektorraum. Der Dierenzvektorraum V eines anen Raumes hat zu wenig Struktur, als da es moglich ware, Langen von Vektoren oder von Vektoren eingeschlossene Winkel zu messen. Diese Moglichkeit wird erst durch die Einfuhrung eines positiv deniten Skalarprodukts h  i eronet. Ein Vektorraum V mit positiv denitem Skalarprodukt h  i hei t Euklidischer Vektorraum p . Die Lange jvj eines Vektors v ist in diesem Fall erklart durch jvj = hv vi und der Winkel (u v) zwischen zwei Vektoren u und v durch cos (u v) = hu vi=jujjvj.

0.2 Linearformen

3

Der n-dimensionale Euklidische Raum En . Unter einem Euklidischen Raum E versteht man einen anen Raum A, dessen Dierenzvektorraum V die zusatzliche Struktur eines Euklidischen Vektorraums hat. Der Abstand d(a b) zweier Punkte a b 2 M wird durch d(a b) = jb ; aj erklart. Der ndimensionale Euklidische Raum wird mit En bezeichnet. Ein kartesisches Koordinatensystem von En ist ein anes Koordinatensystem (o e1  ::: en ) mit der zusatzlichen Eigenschaft, da die Vektoren e1  ::: en eine Orthonormalbasis bilden: hei  ej i = ij (i j = 1 ::: n) : Hierbei ist ij Kroneckers Delta-Symbol, d.h. ij = 1 fur i = j , und ij = 0 fur i 6= j . Sind xi und yi die Koordinaten von a 2 M und b 2 M bezuglich eines solchen Systems, dann gilt:

v u n n

X
uX d(a b) = j(b ; o) ; (a ; o)j =
(xi ; yi )ei

= t (xi ; yi )2 : i=1

i=1

Da d(a b)Pvon der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, folgt dasselbe fur ni=1 (xi ; yi )2 . Euklidische Bewegungen. Sei E ein Euklidischer Raum und  : E ! E eine ane Abbildung. Wir nennen  eine Euklidische Bewegung, wenn fur jedes Paar a b 2 E gilt j(a) ; (b)j = ja ; bj : Euklidische Bewegungen lassen also den Abstand zwischen Punkten ungeandert. Aus der Behauptung von Aufgabe 0.1.2 folgt, da jede Euklidische Bewegung in der Form (a) = (o) + R(a ; o) ausgedruckt werden kann, wobei die lineare Abbildung R : V ! V der Orthogonalitatsbedingung hRv1  Rv2 i = hv1  v2 i unterliegt. Der Spezialfall R = id hei t Translation, fur (o) = o liegt eine Rotation mit Fixpunkt o vor.

0.2 Linearformen Hier und im folgenden bezeichne V immer einen Vektorraum der Dimension n uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine Linearform  auf V ist eine lineare Abbildung, die jedem Element von V eine reelle Zahl zuweist. In Formeln schreiben wir :V !R v 7! (v)  d.h. wir bezeichnen die v 2 V durch  zugewiesene Zahl mit (v). Linearitat der Abbildung bedeutet, da fur alle u v 2 V und x y 2 R gilt:

4

0. Mathematische Grundlagen

(xu + yv) = x(u) + y(v) : Linearformen lassen sich wie Vektoren in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren: ( + )(v) := (v) + (v)  (x)(v) := x(v) : Sie bilden also ihrerseits einen linearen Raum, den sogenannten "Dualraum\ von V , den wir mit L(V R) oder kurzer mit V
bezeichnen. Man sieht leicht, da V
die gleiche Dimension wie V hat. Damit ist schon alles gesagt, was es an dieser Stelle uber Linearformen zu wissen gibt, und wir konnten jetzt im Prinzip sofort zu Abschn. 0.3 ubergehen. Fur manche Zwecke ist es aber hilfreich, mit dem abstrakten Begri der Linearform eine anschauliche Vorstellung verbinden zu konnen. Graphische Veranschaulichung. Nach obiger Denition setzt der Begri der Linearform einen reellen Vektorraum V voraus und sonst nichts. Um den Begri der Linearform graphisch zu veranschaulichen, ist es jedoch gunstig, V als den Dierenzvektorraum eines anen Raumes A = (M V +) zu interpretieren, was wir hier tun wollen. Ein Vektor v 2 V la t sich dann als ein Pfeil auassen, der zwei Punkte von M miteinander verbindet. Addition zweier Vektoren u und v erfolgt in diesem Bild dadurch, da man den Schaft des Pfeils von v durch Parallelverschiebung an die Spitze des Pfeils von u setzt.1 Der Summenvektor u + v ist dann derjenige Pfeil, der vom Schaft von u zur Spitze von v zeigt. Dieser nutzlichen Veranschaulichung des Vektorbegris und der Addition von Vektoren entspricht eine Vorstellung von Linearformen, die in Abb. 0.2 illustriert ist. +3 +2

a f o α

e

+3 +2

b v

+1 0 -1 -2

+1 0 -1 -2

o α

Abbildung 0.2. Anes Modell einer Linearform

α(v)= 2,69

Abb. 0.2 entsteht auf die folgende Weise. Wir geben uns einen Punkt o und einen Vektor e vor und zeichnen die Gerade durch o in Richtung von e. Diese Gerade nennen wir die "Nullgerade\. Nun nehmen wir einen zweiten, von e linear unabhangigen Vektor f , bringen den Schaft von f durch Parallelverschiebung auf irgendeinen Punkt (z.B. o) der Nullgeraden und zeichnen die Gerade durch die Spitze von f in Richtung von e. Dann schieben wir 1 Parallelverschiebung beruht auf der algebraischen Relation b + v = a + v +(b ; a).

0.2 Linearformen

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den Schaft von f auf einen Punkt der so entstandenen "Einsgeraden\ und legen durch die Spitze von f wiederum eine Gerade in Richtung von e. Diesen Proze setzen wir fort und produzieren auf diese Weise eine Schar durchnumerierter und paralleler Geraden, die wir mit  bezeichnen (Abb. 0.2a). Nach dieser vorbereitenden Konstruktion wahlen wir nun irgendeinen Vektor v 2 R2 und bringen seinen Schaft (wiederum durch Parallelverschiebung) auf die Nullgerade (Abb. 0.2b). Die Spitze von v wird dann im allgemeinen nicht auf einer der gezeichneten Geraden liegen, sondern auf einer gedachten Zwischengeraden, deren "Nummer\ durch lineare Interpolation bestimmbar ist in Abb. 0.2b ware dies ungefahr die Gerade 2,69. Durch die Geradenschar  wird also dem Vektor v die reelle Zahl 2,69 eindeutig zugeordnet. Eine solche Zuordnung existiert oensichtlich nicht nur fur v sondern fur jedes Element des R2 . Die Geradenschar  deniert folglich eine Abbildung von R2 nach R, und diese Abbildung ist per Konstruktion von  linear. Mit anderen Worten, die Geradenschar von Abb. 0.2 veranschaulicht in graphischer Weise ein Element  von L(R2  R). Ganz analog kann man sich die Elemente von L(R3  R) als Scharen paralleler Ebenen im dreidimensionalen anen Raum, und allgemein die Elemente von L(Rn  R) als Scharen von (n ; 1)-dimensionalen Hyperebenen im n-dimensionalen anen Raum, vorstellen.

v

Abbildung 0.3. Modell einer Linearform 3 α

 2 L(R
R). Der Wert von (v) wird festgestellt, indem man die von v durchstoenen Ebenen von  abzahlt und linear interpoliert. Der Pfeil von  legt die positive Zahlrichtung fest.

Beispiel 0.2.1. In den Kursen fur Physik-Anfanger wird die physikalische Gro e "Kraft\ ublicherweise als Vektor eingefuhrt. In der Tat ist in einem Euklidischen Raum jedem Kraftfeld eindeutig ein Vektorfeld zugeordnet. Jedoch la t sich der Begri "Kraft\ bereits auf einem anen Raum, d.h. vor Einfuhrung eines Skalarprodukts mit Sinn erfullen. Ein konservatives Kraftfeld wird namlich vollstandig charakterisiert durch die Arbeit, die aufzubringen ist, um einen Korper von einem Punkt zu einem anderen zu transportieren. Fur ein homogenes Kraftfeld hangt diese Arbeit nur vom Dierenzvektor der beiden Punkte ab, nicht aber von ihrer individuellen Position. Bewegt man den Korper zunachst von a nach b und dann von b nach c, so setzen sich die Arbeiten linear zusammen. Ein homogenes Kraftfeld la t sich also als eine lineare Abbildung auassen, die jedem (Verschiebungs-)Vektor die Arbeit zuordnet, die beim Verschieben eines Korpers vom Schaft bis zur Spitze des

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0. Mathematische Grundlagen

betreenden Vektors aufzubringen ist. Kurz gesagt, ein homogenes Kraftfeld ist eine Linearform. Beispiel 0.2.2. Es sei hier betont, da die Denition des Begris der Linearform kein Skalarprodukt erfordert. Fur dieses zweite Beispiel wollen wir aber den Vektorraum V dennoch mit einem Skalarprodukt h  i versehen. Auf V lassen sich dann Linearformen dadurch erzeugen, da man in das erste (oder das zweite) Argument des Skalarprodukts permanent einen fest gewahlten Vektor einsetzt:  = hv i. Ist speziell v = e ein Vektor der Lange Eins, dann entspricht die Linearform  = he i fur V = R2 einer Geradenschar im E2 mit der Eigenschaft, da die Geraden der Schar auf e senkrecht stehen und Abstand Eins haben. Basisdarstellung. Sei e1  e2  ::: en eine Basis von V . Die sogenannte \Dualbasis" 1  2  ::: n von V
wird eindeutig festgelegt durch die Forderung i (ej ) = ji (i j = 1 ::: n)  wobei ji Kroneckers Delta-Symbol ist. Fur den Fall n = 2 werden Basis und zugehorige Dualbasis in Abb. 0.4 graphisch veranschaulicht.PSind ein Vektor v und eine Linearform  in Basisdarstellung durch v = i vi ei und  = P i i i  gegeben, so folgt aus der Denition der Dualbasis sofort

(v) =

n X i=1

i vi : θ1

+2 +1

e1

0 -1 -2

θ2

e2

-1

0

+1

+2

+3

Abbildung 0.4. Basis und Dualbasis

0.3 Alternierende Multilinearformen In Abschn. 0.2 haben wir Linearformen als lineare Abbildungen eines Vektorraums in die reellen Zahlen kennengelernt. Solche Abbildungen konnen

0.3 Alternierende Multilinearformen

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wir uns auch als \Maschinen" vorstellen, die einen Eingabeschlitz fur Vektoren haben und auf die Eingabe eines Vektors mit der Ausgabe einer reellen Zahl antworten. Wir nehmen nun eine Verallgemeinerung vor und betrachten Maschinen mit nicht nur einem sondern k Eingabeschlitzen (k  1) fur Elemente eines n-dimensionalen Vektorraumes V . Wie zuvor seien die Maschinen so konstruiert, da sie die Eingabe von k Vektoren v1  v2  ::: vk mit der Ausgabe einer reellen Zahl quittieren. Den von der Maschine  ausgegebenen Wert bezeichnen wir mit (v1  v2  ::: vk ). Wir stellen zwei zusatzliche Forderungen an unsere Maschinen. Erstens sollen sie in allen Argumenten linear sein. In Formeln hei t das: (xu + yv w :::) = x(u w :::) + y(v w :::) (u xv + yw :::) = x(u v :::) + y(u w :::) usw: (Hierbei sind u v w 2 V und x y 2 R.) Zweitens verlangen wir die Eigenschaft des Alternierens\, d.h. wenn wir die Eingabe durch Austausch zweier Argumente" abandern, dann soll die ausgegebene reelle Zahl dem Betrag nach gleichbleiben aber ihr Vorzeichen wechseln. In Formeln: (::: u ::: v :::) = ;(::: v ::: u :::) : Nichttriviale Maschinen mit der zweiten Eigenschaft existieren nur fur k  n. Abbildungen vom beschriebenen Typ hei en alternierende Multilinearformen vom Grad k oder etwas kurzer "alternierende k-lineare Formen\. Solche Abbildungen lassen sich in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Sie bilden also ebenfalls einen linearen Raum, den wir mit Altk (V ) bezeichnen. Beispiel 0.3.1. Wir bezeichnen die Komponenten eines Vektors u in V = R3 bezuglich einer fest gewahlten Basis e1  e2  e3 mit ui (i = 1 2 3) und die Komponenten der Vektoren v w entsprechend mit vi bzw. wi . Die durch 0 u1 v1 w1 1

(u v w) = Det @ u2 v2 w2 A u3 v3 w3 denierte Abbildung ist 3-linear und alternierend und ist folglich ein Element von Alt3 (V ). Beispiel 0.3.2. Die xy-Ebene durch den Koordinatenursprung des dreidimensionalen Euklidischen Raums werde von zwei orthonormalen Basisvektoren ex und ey aufgespannt. ! sei die alternierende 2-lineare Form, die jedem Paar von Vektoren u und v in R3 die reelle Zahl !(u v) = hex uihey  vi ; hex vihey  ui zuweist. Der Absolutbetrag von !(u v) ist dann die Flache der Projektion eines von u und v aufgespannten Parallelogramms auf die xy-Ebene. Aufgabe 0.3.1. Weisen Sie nach, da der Raum Altk (V ) fur maximalen Grad k = dimV eindimensional ist.

8

0. Mathematische Grundlagen

Orientierung. Sei e1  ::: en eine fest gewahlte, geordnete Basis von V . Die Anwendung eines von Null verschiedenen Elements 2 Altn (V ) auf e1  ::: en resultiert in einer reellen Zahl (e1  ::: en ), die entweder positiv oder negativ ist. Auf diese Weise wird der eindimensionale Raum Altn (V ) in zwei A quivalenzklassen eingeteilt, eine positive und eine negative Klasse. Umgekehrt legt die Wahl eines Elements 2 Altn (V ) ( 6= 0) eine Einteilung in positive und negative Systeme von Basisvektoren e1 ::: en fest. Diese Einteilung hangt nur von der enthaltenden A quivalenzklasse ab, nicht aber von selbst. Durch die Entscheidung fur eine der beiden A quivalenzklassen wird, wie man sagt, eine Orientierung bestimmt. Im R3 xiert man die Orientierung ublicherweise durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel. Danach hei t ein System von linear unabhangigen Vektoren u, v, w rechtshandig oder positiv orientiert, wenn sich die Vektoren mit Daumen, Zeigenger und Mittelnger der rechten Hand (in der angegebenen Reihenfolge) zur Deckung bringen lassen. Andernfalls hei t das System linkshandig oder negativ orientiert. Graphische Veranschaulichung. Nach Abschn. 0.2 lassen sich Linearformen  2 L(R3  R) als Scharen paralleler Ebenen im anen Raum A3 darstellen. In analoger Weise konnen wir auch alternierende Multilinearformen hoheren Grades veranschaulichen. Zum Beispiel dient als anes Modell eines Elements ! 2 Alt2 (R3  R) eine homogene Schar paralleler Geraden mit Schraubensinn (Abb. 0.5a). Um den Wert !(u v) auf zwei Vektoren u und v zu ermitteln, zahlen wir ab, wieviele Geraden der Schar ein Parallelogramm mit den Basisvektoren u und v schneiden (der Basispunkt des Parallelogramm ist beliebig) und interpolieren linear. Die Schnittpunkte zahlen wir als positiv (bzw. negativ), wenn der Schraubensinn der Geraden mit der Orientierung der Vektoren u, v ubereinstimmt (bzw. nicht ubereinstimmt). Durch die Berucksichtigung des Schraubensinns wird gewahrleistet, da der Wert !(u v) unter Austausch von u und v sein Vorzeichen wechselt.

a v

ω

b

ω

w

ρ

ρ u ω

ω

ρ

ρ

ρ v

ρ

ρ u

Abbildung 0.5. Modelle ... Modelle

ρ

0.4 A ueres Produkt

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Im Falle einer alternierenden 3-linearen Form 2 Alt3 (R3  R) verwenden wir zur Veranschaulichung ein System von Gitterpunkten. Die Punkte sind nicht strukturlos, sondern tragen eine Orientierung. Der Absolutwert von (u v w) wird der Zahl der in einem Spat mit Kantenvektoren u, v und w bendlichen Gitterpunkte gleichgesetzt. (Auch hier mu linear interpoliert werden, und die genaue Position der Basis des Spats ist dann wieder irrelevant). Stimmt die Orientierung der Punkte mit der Orientierung des Systems von Vektoren uberein, so ist das Vorzeichen von !(u v w) positiv, andernfalls negativ.

0.4 A ueres Produkt Perspektive. In den folgenden Abschnitten werden wir vier mathematische Operationen kennenlernen, die auf dem Raum der alternierenden Multilinearformen agieren: das au ere Produkt, das innere Produkt, das Zuruckholen von Formen, und den Hodgeschen Sternoperator. Die ersten drei Operationen setzen keine metrische Struktur voraus.  Au eres Produkt von Linearformen. Gegeben seien zwei Linearformen  2 L(V R). Unter ihrem au eren Produkt  ^ verstehen wir die Abbildung ^ : V
V !R  (u v) 7! ( ^ )(u v) := (u) (v) ; (v) (u) : Diese Abbildung ist oensichtlich linear in beiden Argumenten und alternierend. Folglich gilt:  ^ 2 Alt2 (V ). Beispiel 0.4.1. Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum V = (R2  h  i) mit Orthonormalbasis e1  e2 und Flachenform !(u v) = he1  uihe2  vi ; he1  vihe2  ui = u1v2 ; v1 u2 : Mit der Denition2 #i = hei  i (i = 1 2) konnen wir schreiben ! = #1 ^ #2 . Aufgabe 0.4.1. Zeige, da der Ausdruck #1 ^ #2 unter eigentlichen Drehungen von V invariant ist. Visualisiere Linearformen im dreidimensionalen Raum als Ebenenscharen. Das  auere Produkt der Linearformen entspricht dann der Schnittmenge der Ebenenscharen (einer Schar von Geraden).

2

In einem Euklidischen Vektorraum mit Orthonormalbasis ei gilt #i (ej ) = hei
ej i = ij = i (ej ) (wie immer sind i die Elemente der Dualbasis). Dagegen ist in einem nicht-Euklidischen Vektorraum wie z.B. dem Lorentzraum der speziellen Relativitatstheorie zwischen #i und i zu unterscheiden.

10

0. Mathematische Grundlagen

 Au eres Produkt alternierender Multilinearformen. Allgemein versteht man unter dem au eren Produkt zweier Elemente  2 Altk (V ) und 2 Altl (V ) (k l  1) die durch ( ^ )(v(1)  : : :  v(k)  v(k+1)  : : :  v(k+l) ) = 1 X sign() (v(
(1))  ::: v(
(k)) ) (v(
(k+1))  ::: v(
(k+l)) ) k !l !


denierte Abbildung  ^ 2 Altk+l (V ), wobei die Summe uber alle Permutationen  der Indexmenge 1 2 ::: k + l lauft und sign() das Signum von  ist. Das so denierte Produkt hat die Eigenschaften (1)  ^ = (;1)kl ^   (2) ( ^ ) ^  =  ^ ( ^  ) : Aufgabe 0.4.2. Beweise die Super-Kommutativitat (1) und die Assoziativitat (2) des au eren Produkts! Eine sofortige Konsequenz von (1) ist  ^  = ; ^  = 0 fur  2 Alt2l+1 (V ). Fur den Spezialfall v(1)  ::: v(k) 2 V und (1)  ::: (k) 2 V
gilt: 0  (v(1)) : : :  (v(k) ) 1 (1) (1) CA : . .. . . . ((1) ^ ::: ^ (k) )(v(1)  ::: v(k) ) = det B @ . . . (k) (v(1) ) : : : (k) (v(k) ) Es ist zweckma ig, das au ere Produkt ^ auch fur den Fall zu erklaren, da  und/oder reelle Zahlen sind. Wir vereinbaren, da ^ in diesem Fall mit der gewohnlichen Multiplikation zusammenfallt. Zum Zweck der bequemen Notation spater einzufuhrender Operatoren denieren wir Alt1 (V ) = V
und Alt0 (V ) = R. Beispiel 0.4.2. Im orientierten E3 sei eine alternierende 3-lineare Form

dadurch erklart, da einem Tripel von Vektoren u v w das Volumen eines von ihnen aufgespannten Spats zugewiesen wird. Hierbei zahlen wir das Volumen positiv (bzw. negativ), wenn u v w ein rechtshandiges (bzw. linkshandiges) System bilden. hei t Volumenform. Wenn wir wie oben eine Basis von Linearformen #i auf R3 durch #i = hei  i (i = 1 2 3) erklaren, dann ist

= #1 ^ #2 ^ #3 . Basisdarstellung. Sei e1 e2  ::: en eine Basis von V und entsprechend 1 , 2 , ..., n die Dualbasis von V
. Die Gesamtheit der au eren Produkte i1 ^ i2 ^ ::: ^ ik fur 1  i1 < i2 < ::: < ik  n bildet eine Basis von Altk (V ), d.h. jedes Element ! von Altk (V ) ist darstellbar als geordnete Summe X != !i1 :::ik i1 ^ ::: ^ ik : 1i1 <:::
Verwenden der Relation (i1 ^ ::: ^ ik )(ei1  ::: eik ) = 1 zeigt, da die reellen Zahlen !i1 :::ik durch !i1 :::ik = !(ei1  ::: eik ) bestimmt sind.

0.5 Inneres Produkt

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Aufgabe 0.4.3. Beweise durch Abzahlen der angegebenen Basis die Dimensionsformel dim Altk (V ) = k!(nn;! k)! :

k n;k;l

Veranschaulichung des  aueren Produkts einer -linearen mit einer -linearen alternierenden Form als Schar von -dimensionalen Hyperebenen, n amlich einer Schnittmenge von Scharen - und -dimensionaler Hyperebenen. Insbesondere wird im dreidimensionalen Raum das  auere Produkt einer Linearform mit einer 2-linearen alternierenden Form (n amlich eine 3-lineare alternierende Form) durch die Schnittmenge einer Schar von Ebenen mit einer Schar von Geraden (n amlich einem Gitter von Punkten) veranschaulicht.

l

l

n;k

n;

0.5 Inneres Produkt Perspektive. Die in Abschn. 0.4 eingefuhrte Operation ^ hat die Eigenschaft, den Grad alternierender k-linearer Formen bei Produktbildung zu erhohen. Im folgenden werden wir eine Operation kennenlernen, welche die Elemente von Altk (V ) auf Elemente von Altk;1 (V ) abbildet, d.h. den Grad um Eins erniedrigt. Denition 0.1. Wir haben uns oben die Vorstellung zueigen gemacht, da alternierende k-lineare Formen Maschinen mit k Eingabeschlitzen fur Vektoren sind. Wenn wir nun in einen dieser Schlitze, sagen wir den ersten, permanent einen fest gewahlten Vektor einsetzen, dann bleiben nur noch k ; 1 Eingabeschlitze ubrig. Es entsteht eine Abbildung, die in den verbleibenden k ; 1 Argumenten linear und alternierend ist. Die Operation des permanenten Einsetzens eines Vektors u in das erste Argument einer alternierenden k-linearen Form hei t \inneres Produkt" und wird mit iu bezeichnet. In Formeln denieren wir fur ! 2 Altk (V ): (iu !)(v(1)  ::: v(k;1) ) = !(u v(1) ::: v(k;1) ) : Mit der oben getroenen Vereinbarung Alt0 (V ) = R und Alt1 (V ) = V
fassen wir zusammen (1  k  n): iv : Altk (V ) ! Altk;1 (V )  ! 7! iv ! = !(v :::): Um das Auftreten von Subskripten an Subskripten zu vermeiden, wird das innere Produkt iv1 ! auch mit v1 ! bezeichnet. Beispiel 0.5.1. Wir betrachten die Euklidische Ebene E2 mit der wie in Beispiel 0.4.1 denierten Flachenform !, durch die E2 orientiert werde. Fur einen

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0. Mathematische Grundlagen +2 +1 0

1

u

|u|

-1 -2

i uω

Abbildung 0.6. Inneres Produkt des Vektors u mit der Flachenform ! ausgewahlten Vektor u 2 R2 fragen wir dann nach der Bedeutung der Linearform iu !. Wie in Abschn. 0.2 erlautert, konnen wir iu ! durch eine Schar paralleler Geraden veranschaulichen. Wegen (iu !)(u) = !(u u) = 0 mussen die Geraden der Schar zu u parallel sein. Ist e ein zu u orthogonaler Einheitsvektor, so gilt (iu !)(e) = !(u e) = juj, woraus wir schlie en, da die Geraden der Schar den Abstand 1=juj voneinander haben (Abb. 0.6). Die Nummern der Geradenschar wachsen in Richtung von e, wenn u e ein rechtshandiges (d.h. bezuglich ! positiv orientiertes) System bilden. Beispiel 0.5.2. Wir stellen uns elektrische Ladungstrager vor, die homogen uber den E3 verteilt sind und sich mit einer konstanten Geschwindigkeit u 2 R3 bewegen. Der homogenen Ladungsdichte entspricht dann eine homogene Stromdichte j . Wir behaupten, da der Zusammenhang zwischen den beiden Gro en durch j = iu gegeben ist. Zum Beweis betrachten wir irgendein von zwei Vektoren v und w aufgespanntes Parallelogramm. Die hierdurch pro Zeiteinheit ie ende Ladung ist einerseits gleich j (v w) per Denition von j , und andererseits gleich (u v w), denn das Parallelogramm uberstreicht pro Zeiteinheit genau das Innere des durch die Vektoren u v w aufgespannten Spats (siehe Abb. 0.5). Auch hier kann man der Anschauung des Studenten noch besser nachhelfen. Das innere Produkt eines Vektors mit einer topdimensionalen alternierenden Form wird ganz allgemein durch eine Schar von Geraden veranschaulicht. (Man bekommt die Geraden, indem man den Vektor an die Gitterpunkte der topdimensionalen Form ansetzt.) Mit demselben Prinzip veranschaulicht man das innere Produkt von Vektoren mit alternierenden Multilinearformen beliebigen Grades.

Kompatibilitat mit ^. Wir mussen jetzt noch klaren, wie sich inneres und au eres Produkt miteinander vertragen. Zu diesem Zweck wenden wir iv zunachst auf das au ere Produkt zweier Linearformen  und an. Aus ;i ( ^ )(w) = ( ^ )(v w) = (v) (w) ; (w) (v) v lesen wir ab: iv ( ^ ) = (iv ) ^ ;  ^ (iv ) :

0.6 Zuruckholen alternierender Multilinearformen

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Seien nun  und zwei alternierende Multilinearformen vom Grad k bzw. l. Aus der Denition des inneren Produkts und der alternierenden Eigenschaft von ^ folgt dann allgemein iv ( ^ ) = (iv ) ^ + (;1)k  ^ (iv ) : Aufgabe 0.5.1. U berprufe diese Identitat fur k = 1 und l = 2. Wenn wir i mit einem Dierentialoperator vergleichen und von den zusatzlich auftretenden Vorzeichen absehen, dann erinnert uns die angegebene Identitat an die Produktregel der Dierentialrechnung. (Man spricht davon, da der Operator i eine "Anti-Derivation der assoziativen Algebra alternierender Multilinearformen\ ist.)

0.6 Zuruckholen alternierender Multilinearformen Perspektive. Jede lineare Abbildung eines Vektorraums auf einen anderen induziert eine Abbildung zwischen den zugehorigen Dualraumen. Dieser Sachverhalt liegt der in Abschn. 0.13 denierten Operation \Pullback" zugrunde, die ihrerseits wichtig ist fur die praktische Integration von Dierentialformen siehe Abschn. 0.14. Denition 0.2. Gegeben seien zwei Vektorraume V und W und eine lineare Abbildung A : V ! W , v 7! Av. Mit A haben wir dann auch die durch (A
)(v) = (Av) bestimmte Abbildung A
: W
! V
. Man sagt, da die Linearform  2 W
mittels A nach V
zuruckgeholt wird. Beachte, da die Dimensionen von V und W keinen Beschrankungen unterliegen und insbesondere Gleichheit nicht erforderlich ist. Aufgabe 0.6.1. Die lineare Abbildung A : V ! W werde bezuP glich zweier Basen e1  ::: em und f1  ::: fn von V bzw. W durch Aei = nj=1 Aji fj (i = 1 ::: m) dargestellt. Die Darstellung von A
bezuglich der Dualbasen P m 1 m 1 n
j  und   :::  sei A  = i=1 (A
)ji i (j = 1 ::: n). Zeige, da ;(A ::: j j
) i j =1:::n i=1:::m die zu (Ai )i=1:::m j =1:::n transponierte Matrix ist.

Die Idee des Zuruckholens von Linearformen la t sich in naturlicher Weise auf alternierende Multilinearformen verallgemeinern. Ist A wie zuvor eine lineare Abbildung von V nach W , so denieren wir A
: Altk (W ) ! Altk (V )  ! 7! A
! durch (A
!)(v(1)  ::: v(k) ) = !(Av(1)  ::: Av(k) ) :

14

0. Mathematische Grundlagen

Fur einen Satz (i) (i = 1 ::: m) alternierender Multilinearformen beliebigen Grades folgt aus dieser Denition und den Eigenschaften des au eren Produkts sofort A
((1) ^ (2) ^ ::: ^ (m) ) = A
(1) ^ A
(2) ^ ::: ^ A
(m) : Aufgabe 0.6.2. Zeige, da fur die Komposition zweier linearer Abbildungen A und B gilt: (AB )
= B
A
. Beispiel 0.6.1. Wir betrachten speziell fur V = W und dimV = n eine lineare Abbildung A : V ! V . Es sei 2 Altn (V ) eine von Null verschiedene alternierende Multilinearform maximalen Grades. Wegen der Eindimensionalitat von Altn (V ) mu A
2 Altn (V ) ein reelles Vielfaches von sein, d.h. wir konnen schreiben A
= f (A) mit f (A) 2 R. Da A
linear ist, hangt f (A) nur von A, nicht aber von ab. Die Funktion A 7! f (A) =: detA hei t Determinante. Aufgabe 0.6.3. In der linearen Algebra fuhrt man detA haug als die Determinante einer Matrix (Aij )ij=1:::n ein, die A bezuglich einer Basis darstellt. Zeige, da diese Denition zu der soeben gegebenen basisfreien Denition aquivalent ist.

0.7 Hodgescher Sternoperator Perspektive. In der ersten Halfte dieser Vorlesung formulieren wir die Elektrodynamik im Euklidischen Raum E3 , in der zweiten durch Hinzunahme der Zeit im Minkowski-Raum M4 . Beide Raume besitzen eine auf dem jeweiligen Dierenzvektorraum erklarte nichtentartete quadratische Form. (Im ersten Fall ist dies eine positiv denite, im zweiten Fall eine indenite quadratische Form.) Eine derartige Form auf einem Vektorraum V induziert eine entsprechende nichtentartete quadratische Form auf dem Dualraum V
und L n k allgemeiner auf k=0 Alt (V ). Die Einfuhrung einer Orientierung fuhrt dann zur Denition des Sternoperators. Diesen verwenden wir zur Konstruktion aller mathematischer Operationen, die von der metrischen Struktur der Raume E3 und M4 Gebrauch machen. Vorbereitungen. Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension n, wie zuvor. Wir versehen V mit einer nichtentarteten (aber eben nicht notwendig positiv deniten) quadratischen Form h  i. Auf einem so strukturierten Vektorraum ist jedem Vektor v die Linearform hv i zugeordnet { ein Sachverhalt, von dem schon in mehreren Beispielen die Rede war. Wir formalisieren die Zuordnung v 7! hv i durch die Einfuhrung von I : V ! V
 v 7! I (v) := hv i :

0.7 Hodgescher Sternoperator

15

Aufgabe 0.7.1. Folgere aus dem Nichtentartetsein von h  i, da I injektiv ist. Die Injektivitat von I zieht wegen dimV = dimV
Surjektivitat nach sich, d.h. I ist ein Isomorphismus, und es existiert auch die inverse Abbildung I ;1 . Mit deren Hilfe denieren wir eine quadratische Form (  ) auf V
durch ( ) = hI ;1 () I ;1 ( )i : Die Eigenschaft der Nichtentartung ubertragt sich von h  i auf (  ). Aufgabe 0.7.2. Sei e1  ::: en eine Basis von V mit hei  ej i = gij (i j = 1 ::: n). Zeige, da fur die duale Basis 1  :::n gilt: (i  j ) = gij , wobei (gij )ij=1:::n die zu (gij )ij=1:::n inverse Matrix ist. Die quadratische Form (  ) dehnen wir nun aus auf Elemente  2 Altk (V ) der speziellen Form  = (1) ^ (2) ^ ::: ^ (k) und = (1) ^ (2) ^ ::: ^ (k) mit (i)  (i) 2 V
(i = 1 ::: k), indem wir denieren 0 (  ) : : : (  ) 1 (1) (1) (1) (k) B CA : . .. . .. .. ( ) = det @ . ((k)  (1) ) : : : ((k)  (k) ) Da solche Elemente Altk (V ) aufspannen, wird (  ) hierdurch per Linearitat auf dem gesamten Raum Altk (V ) erklart. Denition 0.3 (Sternoperator). Es sei  2 Altn (V ),  6= 0. Wegen (x x) = x2 ( ) fur x 2 R ist die quadratische Form (  ) auf dem eindimensionalen Raum Altn (V ) entweder positiv denit oder negativ denit. Durch die Normierung j( )j = 1 wird  bis auf das Vorzeichen eindeutig festgelegt. Wir entscheiden uns fur eines der beiden moglichen Vorzeichen und xieren somit eine Orientierung von V . Mit Hilfe von (  ) und  erklaren wir nun einen Isomorphismus3 ? : Altk (V ) ! Altn;k (V ) 

 7! ? durch die Forderung  ^ = (? ) fur alle 2 Altn;k (V ). Au erdem vereinbaren wir ? = 1 und ?1 = ( ). Aufgabe 0.7.3. Zeige, da fur zwei alternierende Multilinearformen identischen Grades  gilt:  ^ ? = ^ ?. Aufgabe 0.7.4. Beweise die Relation ?? = (;1)k(n;k) ( ) fur  2 Altk (V ). 3

In der physikalischen Literatur wird ? oft hochgestellt.

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0. Mathematische Grundlagen

Beispiel 0.7.1. Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum V = R3 mit Orthonormalbasis e1  e2  e3 und Dualbasis 1  2  3 . V werde durch  = 1 ^ 2 ^ 3 orientiert. Aus der obigen Denition errechnet man dann leicht die folgende Wirkung von ?: ?1 = 2 ^ 3  ?2 = 3 ^ 1  ?3 = 1 ^ 2  2 3 1 3 1 2 ?( ^  ) =   ?( ^  ) =   ?(1 ^ 2 ) = 3 : Wir sehen, da in diesem Fall insbesondere gilt ?? = id.

E

Im 3 veranschaulichen wir Linearformen durch Ebenenscharen und 2-lineare alternierende Formen durch Geradenscharen. Der Sternoperator wandelt dann eine Geradenschar in die dazu senkrechte Ebenenschar um und umgekehrt. Dabei geht offensichtlich die Metrik des 3 ein.

E Beispiel 0.7.2. Sei V = R4 mit der Standardbasis e0  e1  e2  e3 und der Dualbasis 0  1  2  3 . Wir versehen V mit der durch hei  ej i = gij mit ;g00 = g11 = g22 = g33 = +1 und gij = 0 fur i 6= j denierten LorentzMetrik, und wir legen die Orientierung von V durch  = 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 fest. Es gelten dann u.a. die Gleichungen ?0 = 1 ^ 2 ^ 3  ?1 = 0 ^ 2 ^ 3  0 2 1 3 ?( ^  ) = ; ^   ?(2 ^ 3 ) = ;0 ^ 1 : Die aus der Denition des Sternoperators resultierende Rechenvorschrift hierzu lautet wie folgt. Der Sternoperator ist auf das Dachprodukt  von einigen i 's anzuwenden. Setze gleich dem Dachprodukt der ubrigen i 's und ordne die Faktoren so an, da  ^ gerade  ergibt. Dann gilt ? = ; (bzw. ? = ), falls 0 in vorkommt (bzw. nicht vorkommt). Aufgabe 0.7.5. Beweisen Sie die folgenden Relationen, die in einem Vektorraum mit Skalarprodukt und Sternoperator das innere mit dem au eren Produkt verknupfen: ;  I (v) ^  = (;1)deg() ?;1  iv  ?   ;  iv  = (;1)deg();1 ?;1  I (v) ^ ?  : (Verkettung von Operatoren () schon eingefuhrt?)

0.8 Dichten... Beispiel 0.8.1. Wir legen hier wie im Hauptteil der Vorlesung den durch die Rechte-Hand-Regel orientierten E3 zugrunde und betrachten eine raumlich und zeitlich konstante elektrische Stromdichte j . Eine solche Gro e fassen wir als Vorschrift auf, welche jedem Paar von Vektoren v und w die { mit j (v w) bezeichnete { Ladung zuordnet, die pro Zeiteinheit durch ein von v und w aufgespanntes Parallelogramm ie t. Hierbei zahlen wir den Stromu positiv

0.9 Vektorfelder und 1-Formen

17

in Richtung desjenigen Normalenvektors u, der mit v und w (in dieser Reihenfolge) ein rechtshandiges System bildet (Abb. 0.5). Da u unter Austausch von v und w sein Vorzeichen umkehrt, gilt: j (v w) = ;j (w v). Fur v = w folgt dann insbesondere j (v v) = ;j (v v) = 0, was sich mit der Beobachtung vertragt, da ein von zwei linear abhangigen Vektoren aufgespanntes Parallelogramm Null ist und somit verschwindenden Ladungsdurchu haben mu . Da j au erdem linear ist, folgt j 2 Alt2 (R3 ), d.h. j ist eine alternierende 2-lineare Form. Beispiel 0.8.2. Eine raumlich und zeitlich konstante Ladungsdichte im orientierten E3 ist ein Element von Alt3 (R3 ). Sie ist namlich eine Abbildung, die jedem von einem Tripel von Vektoren u v w aufgespannten Spat die darin enthaltene elektrische Ladung (u v w) zuordnet. Hierbei vereinbaren wir, die Ladung positiv (bzw. negativ) zu zahlen, falls u v w ein rechtshandiges (bzw. linkshandiges) System bilden. Sind zwei der Vektoren, sagen wir u und v = xu, linear abhangig, so entartet der Spat zu einer Flache und die eingeschlossene Ladung verschwindet, was algebraisch aus (u v w) = x (u u w) = ;x (u u w) = 0 folgt.

0.9 Vektorfelder und 1-Formen Perspektive. In den Abschn. 0.1-0.7 haben wir das in dieser Vorlesung benotigte Material aus der linearen Algebra bereitgestellt. Wie an einigen Beispielen sichtbar wurde, ist hiermit eine Beschreibung raumlich und zeitlich konstanter physikalischer Gro en moglich. Fur den U bergang zu raumlich und zeitlich veranderlichen Gro en bedarf es der Verallgemeinerung der oben eingefuhrten Strukturen auf integro-dierentielle Form. Damit werden wir uns nun im Rest des einfuhrenden mathematischen Kapitels beschaftigen. Vektorfelder. In der Dierentialgeometrie deniert man Vektorfelder als Schnitte des Tangentialbundels einer dierenzierbaren Mannigfaltigkeit\. "Da diese Denition in ihrer ganzen Schonheit fur unsere Zwecke nicht wirklich unbedingt erforderlich ist, bescheiden wir uns mit der Einfuhrung des Vektorfeld-Begries uber einem anen Raum, A. In dem laufenden Abschnitt seien Punktmenge und Dierenzvektorraum von A durchweg mit M bzw. V bezeichnet. Unter einem Vektorfeld v auf A verstehen wir dann eine Abbildung, die jedem Punkt a 2 M einen Vektor v(a) 2 V zuordnet mathematisch ausgedruckt: v:M !V  a 7! v(a) : Die Dimension von V halten wir hier allgemein und spezialisieren an spaterer Stelle zu dimV = 3 (fur den Euklidischen Raum E3 ) und dimV = 4 (fur den

18

0. Mathematische Grundlagen

Minkowski-Raum M4 ). Ist eine Basis e1  ::: en von V fest vorgegeben, so bezeichnen wir das konstante Vektorfeld a 7! ei fur i 2 f1 ::: ng mit @i . Das Vektorfeld @i folgt also den Koordinatenlinien xj = const (j = 1 ::: n j 6= i), siehe Abb. 0.7.

x2 = const

(a) 2

a

x1 =

(a) 1

const

Abbildung 0.7. Das konstante Vektorfeld @1 (@2 ) folgt den Koordinatengeraden 2 1 x = const (bzw. x = const).

Koordinatenfunktionen. In einem anen Raum A mit Koordinatensystem (o e1  ::: en ) sind jedem Punkt a in eindeutiger Weise ein Satz von Koordinaten xi (a) (i = 1 ::: n) zugeordnet. Wir wollen die eindeutige Zuordnung a 7! xi (a) fur i 2 f1 ::: ng fortan als Funktion auassen und nennen xi : M ! R eine Koordinatenfunktion. Allgemeiner wird der Begri "Funktion\ in dieser Vorlesung immer fur Abbildungen von Teilmengen eines anen Raumes in die reellen Zahlen stehen. Partielle Ableitung. Es sei nun A mit seiner ublichen Topologie versehen.4 Sei weiter (o e1  ::: en ) ein anes Koordinatensystem von A und f eine auf einem oenen Teilgebiet U  M stetig dierenzierbare Funktion f : M ! R. Die partielle Ableitung (@f=@xi )(a) wird durch Dierenzieren von f im Punkt a 2 U in Richtung des i-ten Basisvektors gebildet: d f (a + se )

: (@f=@xi )(a) = ds i s=0 Die hierdurch denierte Gro e @f=@xi ist wiederum eine Funktion auf U . Wir schreiben fur @f=@xi auch kurzer @i f . Beachte, da die partiellen Ableitungen @f=@xi (i = 1 ::: n) nicht invariant deniert sind, sondern von der Wahl der Basisvektoren e1  ::: en abhangen. Dieser Umstand motiviert die folgende basisfreie Denition des Ableitungsbegris. 4

Die Begrie "Topologie\ und "stetig dierenzierbar\ werden hier als aus der Analysis bekannt vorausgesetzt.

0.9 Vektorfelder und 1-Formen

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Das Dierential einer Funktion. Gegeben sei wie zuvor eine auf einem oenen Teilgebiet U  M stetig dierenzierbare Funktion f . Wir bezeichnen mit (df )a die Linearform, die fur festes a 2 U jedem Vektor v 2 V die Ableitung von f im Punkt a in Richtung von v zuweist. Die formale Denition lautet:

d f (a + sv)

: (df )a (v) = ds s=0 Fur die oben denierte partielle Ableitung (@i f )(a) haben wir dann den Ausdruck (@i f )(a) = (df )a (ei ), d.h. sie wird durch Einsetzen des Basisvektors ei in (df )a erhalten. Das Dierential der Funktion f ist die Abbildung df : U ! L(V R)  a 7! (df )a : Das Dierential df einer Funktion f wird in der Literatur manchmal auch mit Df bezeichnet, und man schreibt dann Da f anstelle von (df )a . Beispiel 0.9.1. Wir greifen Beispiel0.2.1 wieder auf und nehmen die Verallgemeinerung auf ein raumlich veranderliches konservatives Kraftfeld K vor. Ein solches Kraftfeld wird durch die Angabe einer "Potentialfunktion\  vollstandig charakterisiert. Per Denition von  ist die beim Verschieben eines Korpers vom Punkt a zum Punkt b aufzubringende Arbeit gerade durch (b) ; (a) gegeben. Das Kraftfeld K selbst weist nun jedem Punkt a die Linearform Ka zu, deren Anwendung auf einen Vektor v die (dierentielle) Energie ergibt, die bei Verschiebung des Korpers im Punkt a in Richtung von v frei wird in Formeln: d (a + sv)


= ;(d) (v)  Ka (v) = ; ds a s=0 d.h. K ist gleich minus dem Dierential von . Veranschaulichung des Differentials einer Funktion f : R2 ! R

mittels der (lokalen) Schar von Tangentengeraden an die H ohenlinien der Funktion.

1-Formen. Oben haben wir das Dierential einer Funktion kennengelernt als Abbildung, die jedem Punkt eine Linearform zuweist. Abbildungen vom Typ : (Punkte ! Linearformen) hei en Dierentialformen ersten Grades oder kurz 1-Formen. Im "Maschinenbild\ konnten wir sagen, da durch eine 1-Form  in jedem Punkt p eine lineare Maschine p mit einem Eingabeschlitz fur Vektoren aufgestellt wird. Beachte, da wir das Ortsargument p als Subskript an  heften. Dies tun wir deshalb, weil dann rechts von  noch Platz fur den einzugebenden Vektor bleibt. Produktregel. Multiplikation einer 1-Form  mit einer Funktion f wird punktweise deniert: (f)p = f (p)p . Die resultierende Gro e f ist wieder eine 1-Form. Fur das Dierential des Produktes zweier Funktionen f und g gilt die Produktregel d(fg) = (df )g + f (dg) :

20

0. Mathematische Grundlagen

Koordinatenformen. Sei nun (o e1  ::: en ) ein anes Koordinatensystem von A und 1  ::: n die entsprechende Dualbasis von V
= L(V R). Dann sind die Koordinatenformen dxi (i = 1 ::: n) durch dxi : M ! V
, a 7! i erklart. Eine allgemeine 1-Form  la t sich durch die Koordinatenformen dxi ausP drucken:  = i i dxi . Die Komponenten i (i = 1 :::P n) sind hierbei Funktionen. Wegen (df )a (ei ) = (@f=@xi)(a) und (df )a = iP (@f=@xi )(a)i hat das Dierential einer Funktion die Basisdarstellung df = i (@f=@xi )dxi . Aufgabe 0.9.1. Zeige, da dxi mit dem Dierential der Koordinatenfunktion xi : M ! R identisch ist. Beispiel 0.9.2. Sei E2 die Euklidische Ebene mit Koordinatenfunktionen x := x1 und y := x2 . Wir nehmen den Koordinatenursprung o aus E2 heraus und betrachten die 1-Form  = (x2 + y2);1 (xdy ; ydx) :  ist auf E2 ; fog wohldeniert. Zur geometrischen Deutung von  sei p ein Punkt mit Abstand d(p o) = jp ; oj vom Ursprung und v ein Vektor mit Komponenten vx = (dx)p (v) und vy = (dy)p (v). Dann gilt: ;  ;  p (v) = x2 (p) + y2 (p) ;1 x(p)(dy)p (v) ; y(p)(dx)p (v) = x(p)dvy2 (;p yo()p)vx = jp j;vj oj sin #(p ; o v)  wobei #(p ; o v) den von den Vektoren p ; o und v eingeschlossenen Winkel bezeichnet. Die sich hieraus ergebende Berechnungsvorschrift fur p (v) ist in Abb. 0.8 illustriert: durch eine Skalentransformation, d.h. eine Streckung oder Stauchung, bezuglich o gehen wir von v zu v0 = v=jp ; oj uber. Der Vektor v0 wird sodann auf die zu p ; o senkrechte und an den Einheitskreis um o tangentiale Gerade projeziert. Die Projektion hat wegen der trigonometrischen Bedeutung der Sinusfunktion den gewunschten Wert p (v) = jvj sin #(p ; o v)=jp ; oj. Wir nennen  die \Winkel-1-Form" auf der Euklidischen Ebene mit Ursprung o. Vektorfeld als Dierentialoperator. Eine 1-Form ! kann auf ein Vektorfeld u angewendet werden { oder, anders gesagt, u la t sich in
! einsetzen {, wobei eine Funktion !(u) entsteht, die punktweise durch !(u)
p = !p (u(p)) deniert ist. Wir nennen !(u) das innere Produkt von u mit ! und schreiben hierfur auch iu ! oder u !. Wegen (dxi )(@j ) = i (ej ) = ji ergibt das innere Produkt von ! mit dem Basisvektorfeld P u = @i die i-te Komponente !i = !(@i ) der Koordinatendarstellung ! = !i dxi . Insbesondere entsteht beim Einsetzen von @i in df die i-te partielle Ableitung (df )(@i ) = @^i f . Hieran erkennt man auch den Sinn der gewahlten Notation fur die Basisvektorfelder @i : fa t man das Vektorfeld @i : p 7! ei als Vektorfeld von Richtungsableitungen auf, so geht es in den Dierentialoperator @^i = @=@xi uber. Ganz allgemein ist jedem Vektorfeld u : U  M ! V in kanonischer Weise ein Dierentialoperator

0.9 Vektorfelder und 1-Formen

21

v

ϑ (p-o,v) p

v’ αp(v) o Einheitskreis im E 2

Abbildung 0.8. Geometrische Bedeutung der Winkel-1-Form 

erster Ordnung u^ zugeordnet (^u operiert auf den auf U stetig dierenzierbaren Funktionen f ), und zwar durch die Gleichung u^f = (df )(u). Krummlinige Koordinaten. In vielen physikalischen Anwendungen ist das Rechnen mit kartesischen Koordinaten unbequem. Fur zylindersymmetrische Probleme verwendet man lieber Zylinderkoordinaten, fur kugelsymmetrische lieber Kugelkoordinaten usw., und im allgemeinsten Fall wird man sich geeigneter krummliniger Koordinaten bedienen wollen. Unter einem krummlinigen Koordinatensystem von U  M versteht man einen Satz von Funktionen  1  :::  n (n = dimV ) mit der Eigenschaft, da die Dierentiale d 1  ::: d n in allen Punkten von U linear unabhangig sind. Wie im kartesischen Fall wird die Dualbasis der Vektorfelder @i durch (d i )(@j ) = ji erklart. Die Denition der partiellen Ableitung @f=@ i ist dann ;  d f ;a + s@ i (a)


: (@f=@ i)(a) := (df )a @i (a) = ds  s=0 Aufgabe 0.9.2. Wir wollen die Bedeutung der Winkel-1-Form  von Beispiel 0.9.2 noch besser verstehen und fuhren dazu in der Euklidischen xyEbene Polarkoordinaten r ' durch x = r cos ' und y = r sin ' ein. Zeige, da  in diesen Koordinaten den Ausdruck  = d' hat. Zeige weiter, da  mit der Flachenform ! = dx ^ dy und dem radialen Vektorfeld @r als inneres Produkt  = @r !=r geschrieben werden kann. Gradient. In einem Euklidischen Raum E = (A h  i) ist uber den kanonischen Isomorphismus I : v 7! hv i jedem Vektor v die Linearform I (v) zugeordnet. Durch punktweise Verallgemeinerung von I entsteht ein Isomorphismus I^, der Vektorfelder auf 1-Formen abbildet. In Formeln ist I^ durch

22

0. Mathematische Grundlagen

;I^(v)(a) := I ;v(a) erklart. Die Anwendung von I^;1 auf das Dierential einer Funktion f ergibt ein Vektorfeld, das man den Gradienten von f nennt und mit gradf bezeichnet: gradf = I^;1 (df ) : Auswertung auf einer Orthonormalbasis fei gi=1:::n liefert uber ;  h(gradf )(a) ei i = hI ;1 (df )a  ei i = (df )a (ei ) = (@f=@xi )(a) den Ausdruck (gradf )(a) =

n X i=1

(@f=@xi )(a)ei :

0.10 Dierentialformen Denition 0.4. Wie in Abschn. 0.9 sei A ein aner Raum mit Punktmenge M und Dierenzvektorraum V . (Die Topologie von A sei wieder die gewohnliche.) Weiter sei U  M oen. Eine Dierentialform k-ten Grades ! auf U ist eine Abbildung ! : U ! Altk (V ) 

a 7! !a : Wie man hieran erkennt, stehen Dientialformen k-ten Grades zu 1-Formen in derselben Beziehung wie alternierende Multilinearformen zu Linearformen. Dierentialformen vom Grad k hei en kurz k-Formen. Der Begri 0-Form wird synonym mit dem Begri "Funktion\ gebraucht. Wenn nichts anderes speziziert ist, setzen wir hier wie im folgenden voraus, da die betrachteten Dierentialformen { als Abbildungen mit Denitionsbereich U { unendlich oft dierenzierbar sind. Die k-Formen auf U bilden einen linearen Raum uber R, der mit k (U ) bezeichnet wird.5 Eine k -Form mit dem maximalen Grad k = dimV hei t top-dimensional. Operationen mit Dierentialformen. Die in den Abschn. 0.4, 0.5 und 0.7 eingefuhrten Operatoren ^, i und ? verallgemeinern sich trivial auf Dierentialformen (anstelle von alternierenden Multilinearformen) und Vektorfelder (anstelle von Vektoren). Dies geschieht in naturlicher Weise durch punktweise Denition aller Operationen. Es seien f 2 0 (U ),  2 k (U ) und 2 l (U ). Dann gelten die Relationen (f)p = f (p)p  ( ^ )p = p ^ p  5

Der Kurze halber verzichten wir an dieser Stelle auf die Unterscheidung zwischen gewohnlichen Dierentialformen und solchen mit \Schraubensinn". Die Unterscheidung ist wichtig fur die Paritatsinvarianz der elektromagnetischen Theorie und wird spater (in Kap. 5.1) nachgeholt.

0.10 Dierentialformen

23

(iv )p = iv(p) p : Fur den Fall, da durch Vorgabe einer metrischen Struktur und Orientierung auf V (dimV = n) ein Sternoperator ? : Altk (V ) ! Altn;k (V ) erklart ist, denieren wir ? : k (U ) ! n;k (U ) durch (?)p = ?(p ) : Alle in den Abschn. 0.4, 0.5 und 0.7 angegebenen Eigenschaften ubertragen sich insbesondere gelten fur  2 k (U ), 2 l (U ) und v ein Vektorfeld auf U die Gleichungen  ^ = (;1)kl ^   iv ( ^ ) = (iv ) ^ + (;1)k  ^ (iv ) : Von der Verallgemeinerung der Operation des Zuruckholens alternierender Multilinearformen zum Zuruckholen von Dierentialformen wird in Abschn. 0.13 noch ausfuhrlich die Rede sein. Koordinatendarstellung von Dierentialformen. Sind dx1  ::: dxn ein Satz von Koordinatenformen auf U , so hat ! 2 k (U ) die Darstellung X != !i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik : 1i1 <:::
Die Koezienten !i1 :::ik sind Funktionen : U ! R und werden durch !i1 :::ik = !(@i1  ::: @ik ) bestimmt. Es ist manchmal zweckma ig, von der geordneten Indizierung der Koezienten von Dierentialformen abzuweichen. Wir denieren !
(i1 ):::
(ik ) = sign()!i1 :::ik , wobei  eine Permutation bezeichnet, und schreiben auch n X ! = k1! !i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik : i1 :::ik =1

P Aufgabe 0.10.1. EsP seien ein Vektorfeld v = i vi @i und zwei 1-Formen  = P i i i i dx und = i i dx gegeben. Zeige die Gultigkeit der Relationen X i j ^ =

iv ( ^ ) =

1i<j n

n X

ij =1

(i j ; j i ) dx ^ dx 

vi (i j ; j i ) dxj :

Aufgabe 0.10.2. Im Euklidischen Raum E3 seien ein Ursprung o und kanonische Koordinatenfunktionen x := x1 , y := x2 , z := x3 ausgezeichnet. Die Volumenform dx ^ dy ^ dz werde mit und der Abstand eines Punktes a von o mit r(a) = d(a o) bezeichnet. Ferner sei X das radiale Vektorfeld x@x + y@y + z@z mit Symmetriepunkt o. Wir erklaren die Raumwinkel-Form  auf E3 n fog durch  = iX =r3 :

24

0. Mathematische Grundlagen

Zeige die Gultigkeit der folgenden Aussagen: (1)  ist in Koordinatendarstellung durch  = (x2 + y2 + z 2 );3=2 (xdy ^ dz + ydz ^ dx + z dx ^ dy) gegeben. (2)  ist unter den eigentlichen Drehungen des E3 , die den Punkt o xieren, invariant. (3) In spharischen Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) x = r sin  cos '  y = r sin  sin '  z = r cos  hat  den Ausdruck sin d ^ d'. Illustration des Raumwinkels

0.11 Cartan-Ableitung Perspektive. Nachdem wir die Verallgemeinerung von alternierenden Multilinearformen zu Dierentialformen geschat haben, werden wir jetzt lernen, wie man Dierentialformen dierenziert. Dies geschieht durch einen Dierentialoperator d, der den Grad einer Dierentialform um Eins erhoht. d zusammen mit dem inneren Produkt i und dem Sternoperator ? gestattet die Konstruktion aller Dierentialoperatoren, die wir benotigen. Denition 0.5. Wir denieren einen Dierentialoperator d : k (U ) ! k+1 (U ) ! 7! d! auf die folgende Weise. Zunachst einmal falle d! fur k = 0 mit dem in Abschn. 0.9 erklarten Dierential der Funktion ! zusammen. Dann vereinbaren wir, da das Fehlen eines Vektors v in einer geordneten Liste von Vektoren durch ein Dach (^v) uber dem betreenden Vektor symbolisiert wird. Die Liste (v(0)  ::: v^(j)  ::: v(k) ) besteht also aus k Vektoren, wobei v(j) ausgelassen wird. Mit dieser Konvention denieren wir (d!)a fur k  1 durch die Formel

(d!)a (v(0)  ::: v(k) ) =

k X j =0





(;1)j (Da !)(v(j) ) (v(0)  ::: v^(j)  ::: v(k) ) 

wobei Da ! das Dierential der Abbildung ! : U ! Altk (V ) im Punkt a bezeichnet: d !

: (Da !)(v) := ds a+sv s=0

(d!)a ist per Konstruktion (k + 1)-linear und alternierend. Folglich gilt (d!)a 2 Altk+1 (V ) und die Abbildung d! : a 7! (d!)a ist in der Tat eine Dierentialform vom Grad k + 1. Der so erklarte Dierentialoperator d hei t Cartan-Ableitung oder au ere Ableitung (engl. "exterior derivative\).

0.11 Cartan-Ableitung

25

Zweimal d ist Null. Die Cartan-Ableitung d zeichnet sich durch viele schone Eigenschaften aus. Wir werden spater insbesondere sehen, da die Denition von d genauso gemacht ist, wie es sein mu , damit die Integration von Dierentialformen ihre Dierentiation umkehrt (Abschn. 0.17). Hier zeigen wir zuallererst, da die zweimalige Anwendung von d in jedem Fall Null ergibt. Dazu ersetzen wir in dem denierenden Ausdruck fur d 2 k+1 (U ) die k-Form  durch  = d! und erhalten per Denition ;d(d!) (v(0)  ::: v(k) ) = a

d2 ! (j) (l) v(0)  ::: v^(l)  ::: v^(j)  ::: v(k) 

(;1)j+l dsdt a+sv +tv s=t=0

X l<j

+

d2 ! (j) (l) v(0)  ::: v^(j)  ::: v^(l)  ::: v(k) 

(;1)j+l;1 dsdt a+sv +tv s=t=0 :

X l>j

Dieser Ausdruck verschwindet, weil jeder Term der ersten Summe durch einen entsprechenden Term der zweiten Summe genau weggehoben wird. Wir haben also die wichtige Eigenschaft dd=0  wobei  Verkettung von Operatoren bedeutet. Kompatibilitat mit ^. Als nachstes fragen wir, wie sich die Cartan-Ableitung mit dem au eren Produkt vertragt. Dazu schauen wir uns d! zunachst fur den Spezialfall ! = f mit f einer Funktion und  einer 1-Form an. Per Denition von d gilt: ;  ;  (d!)p (u v) = (Dp !)(u) (v) ; (Dp !)(v) (u) : Nun ist nach der Produktregel d f (p + sv)

= (df ) (v) + f (p)(D )(v)  (Dp !)(v) = ds p+sv s=0 p p p und Antisymmetrisieren ergibt: ;  (d!)p (u v) = (df )p (u)p (v) + f (p) (;Dp )(u) (v) ;(df )p (v)p (u) ; f (p) (Dp )(v) (u) : Man sieht, da gilt: ;  ;  (d!)p (u v) = (df )p ^ p (u v) + f (p) (d)p (u v)  und folglich ist d(f) = df ^  + f d : Aufgabe 0.11.1. Zeige fur zwei 1-Formen  und die Gultigkeit der Gleichung d( ^ ) = (d) ^ ;  ^ (d ) :

26

0. Mathematische Grundlagen

Cartan-Ableitung als Anti-Derivation. Die Aussage der Aufgabe liefert zusammen mit der Assoziativitat des au eren Produkts die allgemeine Regel d( ^ ) = (d) ^ + (;1)k  ^ (d ) fur  2 k (U ), 2 l (U ). Ein Operator L mit dieser Eigenschaft hei t eine Anti-Derivation der au eren Algebra nk=0 k (U ). Wir kennen bereits eine andere Anti-Derivation derselben Algebra: das innere Produkt mit einem Vektorfeld (siehe Abschn. 0.5 und 0.10). Cartan-Ableitung axiomatisch. Zusammenfassend halten wir fest, da d die folgenden charakteristischen Eigenschaften hat: (1) d ist eine Anti-Derivation der au eren Algebra von Dierentialformen, P (2) d  d = 0, und (3) d auf Funktionen f ergibt das Dierential df = (@f=@xi)dxi . Man kann umgekehrt zeigen, da diese Eigenschaften die Cartan-Ableitung vollstandig bestimmen. Beim praktischen Rechnen mit d wird man eher selten auf die grundlegende Denition 0.5 zuruckgreifen, sondern meist mit den Regeln (1){(3) arbeiten. Wie oben kurz angedeutet, ist die Denition 0.5 durch die Integration von Dierentialformen motiviert. Cartan-Ableitung in Koordinatendarstellung. Der Umgang mit d in Koordinatendarstellung ist besonders einfach, weil die Cartan-Ableitung jeder Koordinatenform dxi (i = 1 ::: n) wegen d  d = 0 verschwindet. Bei Anwendung von d auf eine k-Form ! mit Koordinatendarstellung X != !i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik 1i1 <:::
entsteht deshalb nach der Anti-Derivations-Regel der Ausdruck X d! = d!i1 :::ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik : 1i1 <:::
Dieser Ausdruck la t sich durch Entwickeln des Dierentials d!i1 :::ik nach den Koordinatenformen und Umordnen der Summe in Standardform bringen. P Beispiel 0.11.1. Eine 1-Form  = i i dxi hat die Cartan-Ableitung d =

n X i=1

di ^ dxi =

X

1i<j n

(@i j ; @j i ) dxi ^ dxj :

Rotation eines Vektorfeldes. Jedem dierenzierbaren Vektorfeld X auf dem orientierten E3 (oder einem Teil davon) ist ein "Wirbelfeld\ zugeordnet, das folgenderma en konstruiert wird. Zunachst wandeln wir X mit Hilfe des kanonischen Isomorphismus I , der in Abschn. 0.9 mit I^ bezeichnet wurde, in die 1-Form  = I (X ) = hX i um. Im zweiten Schritt bilden wir die CartanAbleitung d. Die resultierende 2-Form konvertieren wir im dritten Schritt durch Anwendung des Sternoperators in die 1-Form ?d. Abschlie ende Anwendung von I ;1 auf ?d resultiert dann in einem Vektorfeld, das man die

0.11 Cartan-Ableitung

27

Rotation von X nennt und mit rotX bezeichnet. Laut Denition ist "rot\ der Dierentialoperator rot = I ;1  ?  d  I : Beachte, da die Dierentialform ?dI (X ) im En den Grad n ; 2 hat. Die Rotation eines Vektorfeldes ist deshalb nur fur den Spezialfall n = 3 deniert. Beachte weiter, da rotX von der Orientierung des E3 abhangt. Die Rotation ist oenbar ein im Vergleich zu d reichlich komplizierter und spezieller Dierentialoperator. In dieser Vorlesung werden wir nie Gebrauch von ihm machen. Aufgabe 0.11.2. Es sei ijk (i j k = 1 2 3) der Levi-Civita Tensor: 
(1)
(2)
(3) = sign() und P Null sonst. Zeige, da rotX in kartesischer Koordinatendarstellung X = i X i @i durch

(rotX )i =

3 X

jk=1

ijk @X k =@xj

(i = 1 2 3)

ausgedruckt wird. Wie stellt sich rotX in Kugelkoordinaten (oder noch allgemeiner: in krummlinigen Koordinaten) dar? Divergenz eines Vektorfeldes. Auf einer sogenannten Riemannschen Mannigfaltigkeit la t sich ein Dierentialoperator \div" konstruieren, der Vektorfelder auf Funktionen abbildet. Im E3 ist dieser Dierentialoperator wie folgt deniert. Sei = dx1 ^ dx2 ^ dx3 die kanonische Volumenform des E3 , und sei X : E3 ! R3 ein dierenzierbares Vektorfeld. Wir setzen X in ein und bilden sodann die Cartan-Ableitung. Die resultierende Dierentialform d(iX ) hat Grad 3 und la t sich folglich als Produkt einer Funktion f (X ) : E3 ! R mit schreiben: d(iX ) = f (X ) : Hierdurch wird dem Vektorfeld X in invarianter Weise seine Divergenz f (X ) =: divX zugeordnet. P Aufgabe 0.11.3. Beweise die folgenden Aussagen: (1) Ist X = i X i @i die Koordinatendarstellung bzgl. einer kartesischen Basis des E3 , so gilt divX = P i i i @X =@x . (2) divX hangt nicht von der Orientierung ab. (3) Die obige Denition des Divergenzoperators ist aquivalent zu div = ?  d  ?  I : Aufgabe 0.11.4. Deduziere aus d  d = 0 die Identitaten rot  grad = 0 und div  rot = 0 (im E3 ).

28

0. Mathematische Grundlagen

0.12 Poincaresches Lemma Denition 0.6. Sei ! 2 k (U ). Wir vereinbaren die folgenden Sprechweisen. (1) Erfullt ! die Gleichung d! = 0, so hei t ! geschlossen. (2) Existiert zu ! eine global wohldenierte (k ; 1)-Form  mit der Eigenschaft d = !, so hei t ! exakt. (3) Die (k ; 1)-Form  nennen wir, sofern sie existiert, ein Potential von !. Oenbar ist wegen d  d = 0 jede exakte Dierentialform auch geschlossen. Wie steht es aber mit der Umkehrung? Dazu benotigen wir die folgende Vorbereitung. Denition 0.7. Sei A ein aner Raum und U  A oen. U hei t sternformig, wenn ein Punkt o 2 U existiert mit der Eigenschaft, da fur jedes p 2 U das Geradensegment von o nach p ganz in U enthalten ist. Ein solcher Punkt o hei t ein Sternpunkt von U .

0011p 111 o000

Abbildung 0.9. Ein sternformiges Gebiet mit Sternpunkt o

Satz 0.1 (Poincaresches Lemma). Auf einem sternformigen Gebiet U ist jede geschlossene Form ! 2 k (U ) auch exakt. Das Poincaresche Lemma behauptet mit anderen Worten, da unter der Voraussetzung der Sternformigkeit von U jede k-Form ! mit d! = 0 auf U ein Potential  auf U besitzt.  ist nicht eindeutig bestimmt. Erfullt namlich  die Gleichung d = !, so gilt wegen d  d = 0 dieselbe Gleichung fur  + d mit beliebigem  2 k;2 (U ). Die Beweisidee von Satz 0.1 ist unten skizziert. Mitteilung. Die Voraussetzung der Sternformigkeit la t sich stark abschwachen. (Zum Beispiel kann die ane Struktur durch die Struktur einer \differenzierbaren Mannigfaltigkeit" ersetzt werden, und fur den Fall k = 1 genugt es, wenn U einfach zusammenhangend ist.) Da die Aussage aber nicht global gelten kann und irgendeine Voraussetzung notwendig ist, sieht man an dem folgenden Gegenbeispiel. Betrachte die Winkel-1-Form  = (x2 + y2 );1 (xdy ; ydx) auf E2 n fog. Eine kurze Rechnung zeigt, da  geschlossen ist, d.h. d = 0. Andererseits kann man sich durch Ausprobieren davon uberzeugen, da  kein Potential hat. Es gilt zwar  = d' mit

0.12 Poincaresches Lemma

29

' = arctan(y=x) gilt, aber ' wachst bei jedem vollstandigen Umlauf um o um 2 an und ist daher als Funktion nicht global auf E3 nfog deniert. (Den tatsachlichen Beweis, da  nicht exakt ist, verschieben wir auf Abschn. 0.17.) Beweisidee. Der Beweis des Poincareschen Lemmas wird konstruktiv gefuhrt. Fur einen Sternpunkt o 2 U und k  1 deniert man einen Operator H : k (U ) ! k;1 (U ) durch die Formel (H!)p (v(2)  ::: v(k) ) =

Z1 0

sk;1 !o+s(p;o)(p ; o v(2)  ::: v(k) )ds :

H hat die interessante Eigenschaft d(H!) + H (d!) = ! : Der Nachweis dieser Identitat ndet sich unten. Damit ist Satz 0.1 aber schon bewiesen, denn unter der Voraussetzung d! = 0 folgt sofort ! = d mit  = H!. Mitteilung. Das Studium von geschlossenen Dierentialformen, die nicht exakt sind, ist Thema der Topologie, insbesondere der Theorie von Kohomologiegruppen dierenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Nachtrag zum Beweis. Im folgenden sei ! wieder eine k-Form (k  1) auf U und o ein Sternpunkt von U . Wir denieren den Operator H : k (U ) ! k;1 (U ) wie oben. Um die Identitat (d H! + H d!) = ! zu beweisen, untersuchen wir zunachst den ersten Term der linken Seite. Fur einen beliebigen Punkt p 2 U gilt

;H d! (v p R k ;

(1)

=

1

0

s

R

1

:::v(k) ) = sk d!o+s(p;o) (p;ov(1) :::v(k) ) ds

  ! (p;o) (v 0

Do+s(p;o)

(1)

:::v(k) ) ds

R Pk (;1)j ;Do s p;o !(v j )(p;ov 1

+ sk 0

+ (

j=1

( )

)

(1)

:::v(j;1) v(j+1) :::v(k) ) ds :

Die Berechnung des zweiten Terms der linken Seite ergibt

;d H! (v p

(1)

R

1

:::v(k) ) = k sk;1 !o+s(p;o) (v(1) :::v(k) ) ds

R Pk (;1)j; ;Do s p;o !(sv j )(p;ov + sk; 1

0

1

0

1

+ (

j=1

( )

)

(1)

:::v(j;1) v(j+1) :::v(k) ) ds :

Durch Zusammenfassen beider Ergebnisse erhalt man schlie lich

;d H! + H d!

R ;

R

1

1





k ;1 k p = k s !o+s(p;o) ds + s Do+s(p;o) ! (p;o) ds

 R  = s sk !o s p;o ds = !p : 0

1

0

d d

0

+ (

)

q.e.d.

30

0. Mathematische Grundlagen

0.13 Pullback Pullback einer Funktion. Gegeben seien zwei ane Raume A = (M U +), B = (N V +) und zwei oene Gebiete G  M , H  N . Gegeben sei weiter eine Abbildung  : G ! H und eine Funktion f : H ! R. Durch Verkettung von f mit  entsteht die Funktion f  : G ! R man sagt, da f mittels  von H nach G zuruckgeholt wird (Abb. 0.10). Diese Operation des Zuruckholens (engl. pullback) wird mit 
: f 7! 
f := f   bezeichnet. G a

H

φ

φ*f

φ(a)

f

(φ*f )(a) = ( f φ )(a)

IR

Abbildung 0.10.

Pullback einer Funktion f mittels einer Abbildung : G ! H

Pullback von Dierentialformen. 6 Es sei nun zusatzlich die Dierenzierbarkeit der Abbildung  : G ! H vorausgesetzt. Fur jeden Punkt a 2 G haben wir dann mit  : a 7! (a) auch eine Abbildung Da  : U ! V durch die Vorschrift

d (a + sv)

: v 7! (Da )(v) := ds s=0 Da  ist das Dierential von  im Punkt a.  induziert eine Abbildung 
: k (H ) ! k (G), ! 7! 
!, die durch ;  (
!)a (v(1)  ::: v(k) ) = ! (a) (Da )(v(1) ) ::: (Da )(v(k) ) deniert ist. 
! hei t die mittels  von H nach G zuruckgeholte Dierentialform. Die Konstruktion von 
! ist fur den Fall einer 1-Form ! in Abb. 0.11 illustriert. 6

Genau genommen unterscheidet man zwischen zwei Typen von Dierentialformen, namlich solchen, die unter orientierungs andernden Abbildungen in der gewohnlichen Weise transformieren (! 7!

!) und anderen, die einen zusatzlichen Vorzeichenwechsel erleiden (! 7! ; !). Diese Unterscheidung ist unnotig, wenn man vereinbart, da nur orientierungserhaltende Abbildungen zugelassen sind, was wir hiermit tun. In Kap.?? werden wir die elektromagnetische Theorie hinsichtlich ihrer Symmetrien untersuchen und insbesondere auch die Invarianz unter Raumspiegelungen herausarbeiten. Dabei wird sich der Unterschied zwischen den zwei Typen von Differentialformen als wesentlich herausstellen.

0.13 Pullback

(φ*ω)a

G

H

4

v

φ

1 0

a

ω φ(a)

(Da φ)(v)

3 2

31

4 3 2

φ(a)

1 0

(φ*ω)a (v) = 2.84 = ω φ(a)((Daφ)(v))

Abbildung 0.11. Pullback einer 1-Form !

Aufgabe 0.13.1. Beweise fur die Komposition zweier dierenzierbarer Abbildungen  : G ! H und  : H ! I und eine k-Form ! auf I die Formel (  )
! = 
(
!). Beispiel 0.13.1. Sei B der um den Koordinatenursprung o zentrierte Einheitsball im E3 mit der kanonischen Volumenform . Der Rand von B ist die Einheitssphare S . Eine den Punkt o enthaltende Ebene E2 habe Normalenvektor e3 und werde durch die Flachenform ! = e3 orientiert. E2 zerschneidet S in zwei Hemispharen, deren obere mit S + bezeichnet werde. Weiter sei D := E2 \ B (Einheitskreisscheibe). Wir betrachten nun die Abbildung  : D ! S + , die jedem Punkt a 2 D den Schnittpunkt der zu E2 senkrechten Geraden durch a mit S + zuordnet (Abb. 0.12). Mittels S+ φ(a)

e3 e2

D a

o

e1

Abbildung+ 0.12. Illustration der Abbildung :D!S

dieser Abbildung soll die in Aufgabe 0.10.2 denierte Raumwinkel-Form  von S + nach D zuruckgeholt werden. Zu diesem Zweck bemerken wir, da 
 : D ! Alt2 (R2 ) top-dimensional ist, weshalb eine Funktion f : D ! R mit der Eigenschaft 
 = f! existieren mu . Die Funktion f berechnen wir wie folgt. Sei d(a o) = r(a) der Abstand eines Punktes a 2 D vom Koordinatenurspung o. Per Denition von  gilt dann:

32

0. Mathematische Grundlagen

p

(a) = a + 1 ; r2 (a) e3  und Dierenzieren ergibt: (Da )(v) = v ; pha ; o2vi e3 : 1 ; r (a)
Wir wenden   auf eine zu e3 senkrechte und bezuglich ! positiv orientierte Orthonormalbasis e1  e2 an und erhalten per Denition des Zuruckholens von Formen den Ausdruck: ! h a ; o e i h a ; o e i 1 2
(  )a (e1  e2 ) =  (a) e1 ; p e  e ; p 2 e3 : 1 ; r2 (a) 3 2 1 ; r (a) Die rechte Seite berechnen wir mit Hilfe der in Aufgabe 0.10.2 angegebenen Koordinatendarstellung fur  . Kurze Rechnung ergibt den Ausdruck p (
 )a (e1  e2) = 1=p 1 ; r2 (a). Mit !a (e1  e2 ) = +1 und 
 = f! haben wir dann f (a) = 1= 1 ; r2 (a), und insgesamt folgt p 
 = != 1 ; r2 : Pullback vertauscht mit d. Wir fragen nun, wie sich die Operation des Zuruckholens von Dierentialformen mit der au eren Ableitung d vertragt. Es sei hierfur wie zuvor eine dierenzierbare Abbildung  : G ! H und eine Funktion f : H ! R vorgegeben. Fur das Dierential der zuruckgeholten Funktion 
f gilt nach der Kettenregel der Dierentialrechnung die Gleichung ;d(
f ) (v) = ;d(f  ) (v) = (df ) ;(D )(v) :

(a) a a a Die rechte ; Seite hiervon ist aber per Denition des Zuruckholens von Formen gleich 
(df ) a (v). Folglich gilt d(
f ) = 
(df ). Zur Verallgemeinerung dieses Resultats betrachten wir eine k-Form der Gestalt ! = f0 df1 ^ ::: ^ dfk mit Funktionen fi : H ! R (i = 0 1 ::: k). Dann gilt einerseits 
(d!) = 
(df0 ^ df1 ^ ::: ^ dfk ) = 
(df0 ) ^ 
(df1 ) ^ ::: ^ 
(dfk ) und andererseits ;  d(
!) = d (f0  )
(df1 ) ^ ::: ^ 
(dfk ) : Wir wenden die Produktregel fur d an und benutzen die eben bewiesene Aussage d(f0  ) = 
(df0 ) und d(
(dfi )) = d(d(
fi )) = 0 (i = 1 ::: k). Da k-Formen der betrachteten Gestalt k (H ) aufspannen, folgt die Gleichheit d(
!) = 
(d!) fur ! 2 k (H ), k beliebig.

0.14 Kurvenintegrale

33

Der Spezialfall dimG = k. Fur die in Abschn. 0.16 erklarte Integration von Dierentialformen benotigen wir den Spezialfall, der sich einstellt, wenn wir den Grad der zuruckzuholenden Dierentialform mit der Dimension des Raumes, in den sie zuruckgeholt wird, gleichsetzen. Die Voraussetzungen seien wieder dieselben wie im vorigen Paragraphen, aber es gelte jetzt speziell G  Rk . Die Identitat 
(f0 df1 ^ ::: ^ dfk ) = (f0  )
(df1 ) ^ ::: ^ 
(dfk ) und Anwendung der Rechenregel d  
= 
 d ergibt 
(f0 df1 ^ ::: ^ dfk ) = (f0  )d(f1  ) ^ ::: ^ d(fk  ) : Wir setzen Fi = fi   (i = 0 1 ::: k) und entwickeln die Dierentiale dF1  ::: dFk nach einem Satz von Koordinatenformen dx1  ::: dxk auf G  Rk . Es resultiert dann die Formel

0 @F : : : @x 
(f0 df1 ^ ::: ^ dfk ) = F0 det B @ ... . . . 1 1

@Fk1 @x

@Fk1 @x

k : : : @F @xk

.. .

1 CA dx1 ^ ::: ^ dxk :

0.14 Kurvenintegrale Heuristische Vorbetrachtung. Wir legen unseren Betrachtungen wie immer ein oenes Gebiet U in einem anen Raum zugrunde. ! sei eine 1-Form auf U und  ein Weg, der zwei Punkte a und b in U verbindet. (Der Begri \Weg" wird hier intuitiv gebraucht.) Wir streben eineR Denition des Integrals von ! langs  an. Dieses Integral werden wir mit ! bezeichnen. Die physikalische Motivation fur das Betrachten von Wegintegralen R liegt auf der Hand. Stellte ! zum Beispiel ein Kraftfeld dar, so ware ; ! die Arbeit, die gegen das Kraftfeld zu verrichten ist, um langs  von a nachR b zu gelangen. Eine naheliegende Idee fur die Denition des Wegintegrals ! ist die folgende: wahle eine Folge von N + 1 auf  liegenden Punkten p0 := a, p1 , ..., pN := b (Abb. 0.13). Werte die 1-Form p5 = b p4 p1

p0 = a

p2

γ

p3

AbbildungR 0.13. Heuristische Denition des Wegintegrals
!: approximiere durch einen Polygonzug von Punkten P p0
:::
pN und bilde die Riemann-Summe !pl (pl+1 ; pl).

34

0. Mathematische Grundlagen

! in den Punkten pl auf den Dierenzvektoren vlP:= pl+1 ; pl aus (l = 0 ::: N ; 1) und bilde die Riemannsche Summe Nl=0;1 !pl (vl ). VerR feinere die Punktfolge und erklare ! als den Grenzwert, gegen den die Summe im Limes N ! 1 konvergiert. Dieser Denitionsversuch enthalt etwas Richtiges, leidet aber unter mehreren Deziten: (1) Es bleibt ungeklart, wie weit der Begri \Weg" gespannt ist. (Eine ordentliche Denition sollte irregulare Wege, wo die Konvergenz der Summe gefahrdet ist, ausschlie en.) (2) Die Wahl der Punktefolge p0  ::: pN und ihre Verfeinerung ware naher zu spezizieren. (3) Von einem allgemeinen mathematischen Standpunkt ist es unschon, da durch die Bildung der Dierenzvektoren pl+1 ;pl von der anen Struktur Gebrauch macht wird. Man mochte die Integration von Dierentialformen auch fur Raume ohne solche Struktur erklaren. Um diese Mangel zu beheben und potentiellem Benutzermi brauch vorzubeugen, benotigen wir einige Denitionen. Kurven und Tangentenvektoren. Wir ersetzen den Begri \Weg" durch den Begri \Kurve". Unter einer Kurve verstehen wir ein Dupel  = (#0 1] ) mit  : #0 1] ! U einer dierenzierbaren Abbildung.  nennen wir eine Parametrisierung der Kurve  . Beachte den Kunstgri, eine Kurve nicht als eindimensionale Punktmenge, sondern als dierenzierbare Abbildung des Intervalls #0 1] auf eine solche Menge, zu denieren. Damit wird sichergestellt, da die Bildmenge, die uns als Integrationsweg dienen soll, genugend glatt ist. Sei nun x 2 #0 1] eine Zahl. Der Vektor d (x + s 1)

0 (x) := (Dx )(1) := ds s=0 hei t ein Tangentenvektor der Kurve  im Punkt p = (x). Die Gerade durch (x) in Richtung von 0 (x) hei t der Tangentialraum von  im Punkt p = (x). Kurvenintegral. Das Integral einer 1-Form ! langs einer Kurve  = (#0 1] ) wird folgenderma en erklart. Seien xl = l=N (l = 0 ::: N ) reelle Zahlen im Intervall #0 1]. Anstatt wie im obigen Versuch den Integrationsweg durch ein Folge von Dierenzvektoren (xl+1 ) ; (xl ) (l = 0 ::: N ; 1) zu approximieren, verwenden wir jetzt die Tangentenvektoren (Dxl )(xl+1 ;xl ) (Abb. 0.14). Die Riemannsche Summe NX ;1 l=0

;



! (xl) (Dxl )(xl+1 ; xl )

strebt fur N ! 1 gegen einen endlichen Grenzwert. Die Denition

Z



! := Nlim !1

NX ;1 l=0

;



! (xl) (Dxl )(xl+1 ; xl )

;



ist daher sinnvoll. Sie ist mit F (x) = ! (x) (Dx )(1) aquivalent zu

0.14 Kurvenintegrale

35

φ

γ:

φ(xl+1 ) φ(x l) xl

0

xl+1

( D xl φ ) (xl+1-x l )

1

Abbildung 0.14. Eine Kurve wird durch eine dierenzierbare Abbildung :

0
1] ! U beschrieben. Mit den Tangentenvektoren vl = (Dxl )(xl+1P ; xl) ist das R Kurvenintegral
! deniert als der Grenzwert der Riemann-Summe !(xl) (vl ).

Z

!=

Z1 0

F (x)dx 

wobei die rechte Seite als gewohnliches Riemannsches ;  Integral aufzufassen ist. Beachte auch, da der Ausdruck ! (x) (Dx )(1) identisch ist mit derR in x auf e = 1 ausgewerteten 1-Form 
!. Die Berechnungsvorschrift fur ! la t sich deshalb wie folgt in Worte fassen: (1) Hole die 1-Form ! mittels  von U nach #0 1] zuruck und setze 
! = f dx. (2) Drucke die Funktion fR : #0 1] ! R durch x aus: f = F (x). (3) RBerechne das Riemannsche Integral 1 0 F (x)dx. Das Resultat ist dann gleich ! . Beispiel 0.14.1. Im E2 mit kartesischen Koordinaten x und y und Ursprung o soll das Integral der 1-Form A = xdy ; ydx langs des Einheitskreises S 1 = fp 2 E2 jx2 (p)+ y2 (p) = 1g (mit Gegenuhrzeigersinn) berechnet werden. Dazu parametrisieren wir S 1 durch  : #0 1] ! S 1 mit (s) = o + ex cos(2s) + ey sin(2s) : Das Dierential der Abbildung ist
(Ds )(1) = dtd (s + t)
t=0 = ;2ex sin(2s) + 2ey cos(2s)  und Zuruckholen der 1-Form A mittels  ergibt ;  
A = 2 cos2 (2s) + sin2 (2s) ds = 2ds : Fur das Kurvenintegral folgt das Ergebnis

Z

S

A = 2 1

Z1 0

ds = 2 :

Reparametrisierungsinvarianz. Die Denition des Kurvenintegrals erfordert die Parametrisierung des Integrationsweges durch eine Abbildung  : #0 1] ! U . Nun ist aber  durch einen vorgegebenen Integrationsweg keinesfalls eindeutig bestimmt, denn fur jede dierenzierbare Abbildung  : #0 1] ! #0 1] mit (0) = 0 und (1) = 1 beschreibt die Komposition    : #0 1] ! U denselben Weg. Vor dem Hintergrund der anfangs versuchten heuristischen

36

0. Mathematische Grundlagen

Denition, die auf  keinen Bezug nahm, erwarten R wir naturlich, da es hierauf nicht ankommen sollte und das Integral ! unter der Ersetzung von  durch    seinen Wert behalt. Diese Invarianz unter Reparametrisierung liegt in der Tat vor. Es gilt namlich nach der Kettenregel ((  )
!)x (1) = !(  )(x);((Dx (  ))(1)) = ! ( (x)) (D (x) )(0 (x)) = F ((x))0 (x)  und die Invarianz ergibt sich rechnerisch als Konsequenz der Substitutionsregel fur Riemannsche Integrale:

Z1 0

F (x)dx =

Z1 0

F ((x))0 (x)dx :

Beachte, da die Substitutionsregel das monotone Anwachsen von (x) mit x nicht als notwendige Voraussetzung hat, sondern 0 (x) < 0 auf einem R Teil von #0 1] zula t. Fur das Kurvenintegral ! bedeutet dies, da auch Parametrisierungen zulassig sind, die Kehrtwendungen machen und in der Spur des Integrationsweges ein Stuck weit zurucklaufen. Kovarianz unter Abbildungen. Aus der Reparametrisierungsinvarianz des Kurvenintegrals folgt sofort sein kovariantes Verhalten unter Abbildungen. Betrachte dazu Abb. 0.15, wo zwei Kurven  und  mit Parametrisierungen U

V

f

δ

γ

ψ

φ 0

1

IR

Abbildung 0.15. Skizze zur Kovarianz des Kurvenintegrals  : #0 1] ! U bzw.  : #0 1] ! V gezeigt sind. Der Weg der Kurve  werde durch f auf den Weg von  in dierenzierbarer Weise abgebildet. Bijektivitat wird von f Rnicht gefordert. Fur eine 1-Form ! auf V betrachten wir R nun die Integrale  ! und f
!. Zu ihrer Berechnung holen wir ! und f
! nach Vorschrift mittels  bzw.  zuruck und integrieren sodann uber #0 1]. Da f   eine zu  aquivalente Parametrisierung von  ist und au erdem 
(f
!) = (f  )
! gilt, sind die Resultate nach Integration gleich. Es folgt also mit  = f ( ) := (#0 1] f  ) das Ergebnis

Z f ( )

!=

0.14 Kurvenintegrale

Z

37

f
! :

R

Beispiel 0.14.2. Sei  das Kurvenintegral der Winkel-1-Form  = (x2 + y2 );1 (xdy ;ydx) langs des in Abb. 0.16 skizzierten Integrationsweges in E2 n fog. Um dieses Kurvenintegral zu berechnen, bedienen wir uns der Abbildung f , die jedem Punkt a auf dem Einheitskreis S 1 um o den Schnittpunkt f (a) der Geraden fo + s(a ; o)js 2 Rg mit dem Integrationsweg zuweist. Aus Aufgabe 0.9.2 ist uns bekannt, da  in ebenen Polarkoordinaten r  den Ausdruck  = d hat. Hiermit und mit der Rechenregel f
 d = d  f
holen wir  mittels f nach S 1 zuruck: f
 = f
(d) = d(f
) = d(  f ). Da f lokal eine Streckung
in Radialrichtung ist, die den Polarwinkel  ungeandert la t, folgt f
 = d
S1 (Einschrankung auf S 1 ), und das zu berechnende Integral hat den Wert

Z



=

Z
=2 0

d = =2 :

f(a) f a

γ

E2 o

Einheitskreis S1

Abbildung 0.16. Skizze zu Beispiel 0.14.2

Integrieren ist die Umkehrung von Dierenzieren. Sei f eine dierenzierbare Funktion und  = (#0 1] ) eine Kurve vom Punkt a = (0) zum Punkt b = (1). Per obiger Denition R ist das Integral des Dierentials von f langs  durch das Riemann-Integral 01 F (x)dx mit F (x) = (
df )(@x ) gegeben. Die Rechenregel 
 d = d  
zeigt, da der Integrand eine Ableitung ist:

d (
f ) = d (f  ) : F (x) = (d  
f )(@x ) = dx dx Nach dem Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung folgt daher Z df = f ((1)) ; f ((0)) = f (b) ; f (a) :

38

0. Mathematische Grundlagen

0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3 Perspektive. Bei der Einfuhrung des Kurvenintegrals von 1-Formen haben wir mit einer heuristischen Diskussion begonnen und im Anschlu daran die mathematisch einwandfreie Denition gegeben. Aus didaktischen Grunden werden wir fur Flachen- und Volumenintegrale von 2- bzw. 3-Formen im E3 genauso vorgehen. Im laufenden Abschnitt prasentieren wir einen heuristischen Zugang, der sich durch Anschaulichkeit auszeichnet und ein unmittelbares Verstandnis der Eigenschaften des Integrals eronet. Die exakte Formulierung folgt dann in Abschn. 0.16. Orientierung von Flachen im E3 . Unser erstes Ziel ist es zu erklaren, was man sich unter dem Flachenintegral einer 2-Form im dreidimensionalen Euklidischen Raum vorzustellen hat. (Mit dem Wort \Flache" ist hier das gemeint, was man intuitiv darunter versteht, namlich eine \glatte" zusammenhangende Punktmenge, die lokal durch zwei Koordinaten beschrieben werden kann. RDazu erinnern wir zunachst an die heuristische Denition des Wegintegrals  in Abschn. 0.14. Wir hatten dort im ersten Schritt den Weg  durch einen Polygonzug angenahert, dann die Vektoren des Polygonzuges in die entsprechenden Ausdrucke fur  eingesetzt und schlie lich die Riemann-Summe der resultierenden Werte und ihren Grenzwert gebildet. Wie man diese Konstruktion auf das Flachenintegral einer 2-Form ! zu verallgemeinern hat, liegt auf der Hand: wir approximieren die Integrationsache S durch viele kleine Flachenstucke (z.B. Dreiecke), setzen die Kantenvektoren der Flachenstucke in ! ein und gehen dann wieder zum Limes der RiemannSumme uber. Im Vergleich zum Wegintegral kommt jedoch als neuer Aspekt hinzu, da an jedem Diskretisierungspunkt p jetzt zwei Vektoren (sagen wir u und v) einzusetzen sind, und wir wegen des alternierenden Vorzeichens von !p (u v) = ;!p (v u) entscheiden mussen, welche Reihenfolge des Einsetzens (u v oder v u) die richtige ist. Diese Entscheidung wird ganz allgemein durch die Orientierung (Abschn. 0.3 und 0.16) der Flache getroen, d.h. durch eine Vorschrift, die zwischen positiv und negativ orientierten Paaren von linear unabhangigen und zu S tangentialen Vektoren zu unterscheiden gestattet. Im E3 mit seinen speziellen Eigenschaften konnen wir die Orientierung durch ein stetiges Normalenvektorfeld7 n zusammen mit der Rechte-Hand-Regel xieren: wir erklaren ein Vektorenpaar u v im Punkt p 2 S als positiv oder \richtig" orientiert, falls u und v (in dieser Reihenfolge) mit dem Normalenvektor n(p) ein rechtshandiges System bilden. Fur unsere gegenwartigen Zwecke ist eine orientierte Flache im E3 also ein glattes zusammenhangendes zweidimensionales Gebiet mit einem stetigen Normalenvektorfeld.8 7

Die globale Existenz eines stetigen Normalenvektorfeldes setzt die \Orientierbarkeit" der Flache voraus. Nicht alle Flachen sind orientierbar. Ein Beispiel fur eine nichtorientierbare Flache ist das beruhmte Mobiusband. 8 Beachte, da die Eigenschaft des Senkrechtstehens des Normalenvektors auf der Flache nicht wesentlich ist. Ein anderes, stetiges und nirgendwo zur Flache tangentiales Vektorfeld wurde denselben Zweck erfullen.

0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3

39

Flachenintegral durch Triangulation. Die folgende anschauliche Konstruktion bietet sich jetzt an. Wir uberziehen die orientierte Flache S mit einem Netz von auf S liegenden Punkten. Wie in Abb. 0.17 illustriert ist, konnen wir das Netz auch als Triangulation, d.h. als ein Paster aus ebenen Drei-

S

Abbildung 0.17. Triangulation einer Flache ecken auassen. (Beachte, da ein Paster aus ebenen Vierecken nicht ohne weiteres moglich ist, da vier Punkte im allgemeinen nicht in einer Ebene liegen.) Jedes Dreieck  des Pasters wird durch einen Basispunkt p und ein positiv orientiertes Paar von Kantenvektoren uP  und v charakterisiert. Damit betrachten wir nun die Riemann-Summe  !p
(u  v ) =2. Ihr Wert hangt u.a. von der nicht eindeutigen Wahl des Basispunkts fur jedes Dreieck ab. Allerdings ist der Unterschied fur hinreichend kleine Dreiecke (u = u, v = v) wegen der alternierenden Eigenschaft !p (u v) = !p (v ; u ;u) = !p (;v ;v + u) und der Stetigkeit von !, !p (u v) = !p+u (u v) + O(3 ) = !p+v (u v) + O(3 )  von vernachlassigbarer Gro enordnung O() nach Summation. (Siehe hierzu auch Abb. 0.20.) Deshalb ist es vernunftig zu erwarten, da die RiemannSumme unter Verfeinerung der Triangulation gegen einen eindeutigen Grenzwert konvergiert. Dieser Grenzwert ist genau das zu denierende FlacheninR tegral S !:

Z

S

! = lim

X 

!p
(u  v ) =2 :

Der Faktor 1/2 wird z.B. durch die Beobachtung motiviert, da der Wert !p (u v) fur ! = dx ^ dy gleich der Flache der xy-Projektion des von u und v aufgespannten Parallelogramms ist. Um die Flache des Dreiecks (anstelle des Parallelogramms) zu erhalten, mussen wir durch 2 dividieren. Kovarianz unter Abbildungen. Zusatzlich zu S  U sei nun eine zweite Flache S 0  U 0 gegeben, die sich als Bild von S unter einer orientierungstreuen Abbildung  : U ! U 0 darstellen la t. Dann gilt

Z

( S )

!=

Z

S


! 

40

0. Mathematische Grundlagen

wie man auf folgende Weise leicht einsieht. Sei fp  u  v g eine Triangulation von S . Dann ist das Bild f(p ) (p + u ) ; (p ) (p + v ) ; (p )g eine Triangulation von S 0 . Per Denition des Zuruckholens von Dierentialformen gilt (
!)p
(u  v ) = ! (p
) ((Dp
)(u ) (Dp
)(v ))  und mit der Taylorentwicklung (Dp )(v) = (p + v) ; (p) + O(2 ) erhalten wir naherungsweise (
!)p
(u  v ) = ! (p
) ((p + u ) ; (p ) (p + v ) ; (p )) + ::: : Nach Summation uber alle Dreiecke des Pasters und anschlie ender VerfeiR 
! und nerung der Triangulation konvergiert die linke Seite gegen 2 die S R rechte Seite gegen 2 (S)=S0 !. Das Flachenintegral einer 2-Form verhalt sich also kovariant unter Abbildungen, wie behauptet. Berechnung durch Parametrisierung. Die heuristische Denition des Flachenintegrals per Triangulation hat den Vorzug, anschaulich und frei von mathematischem Ballast zu sein. Fur praktische Berechnungen eignet sie sich allerdings nicht. Zu diesem Zweck ist es besser, die Flache geeignet zu parametrisieren. Wir illustrieren das Prinzip am Beispiel eines zweidimensionalen Quaders, d.h. einer Flache Q, die sich als Bild des Einheitsquadrats #0 1]2 unter einer dierenzierbaren und orientierungstreuen AbbildungR darstellen R la t. Das Zuruckholen von ! mittels  resultiert in der Formel Q ! = 01]2 
!. Es seien nun es  et eine Basis von R2 und s t die entsprechenden Koordinaten fur das Einheitsquadrat (0  s t  1). Das Integral der zuruckgeholten Form 
! ist dann identisch mit dem gewohnlichen iterierten Riemann-Integral der Funktion F (s t) := (
!)(@s  @t ):

Z

Q

!=

Z

01]2


! =

Z 1 Z 1 0

0



F (s t)dt ds :

In der Tat haben wir die Koordinatendarstellung 
! = (
!)(@s  @t )ds ^ dt = F (s t)ds ^ dt  und indem wir das Einheitsquadrat so triangulieren, da Paare benachbarter Dreiecks sich jeweils zu einem kleinen Quadrat zusammenfassen lassen (\Quadrangulation"), erhalten wir

Z

01]


! = Nlim !1 2

NX ;1

mn=0

F (m=N n=N )(ds ^ dt)(m=Nn=N ) (es =N et =N )

Z 1 Z 1 NX ;1 ; 2 = Nlim F (s t)dt ds  !1 N mn=0 F (m=N n=N ) = 0 0

wie behauptet.

0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3

41

Beispiel 0.15.1. Im E3 mit dem kartesischen Koordinatensystem fo ex ey  ez g wollen wir die Raumwinkelform  = (x2 + y2 + z 2 );3=2 (xdy ^ dz + ydz ^ dx + z dx ^ dy) uber die Einheitssphare S := fp 2 E3 jx2 (p) + y2 (p) + z 2 (p) = 1g integrieren. Von den vielen Moglichkeiten der Parametrisierung fur S wahlen wir hier die der stereographischen Projektion, die folgenderma en erklart ist. Seien o + ez Nordpol

a

E2 φ(a) o S .. Sudpol

Abbildung 0.18.

Stereographische Projektion a 7! (a)

und o ; ez der Nordpol bzw. Sudpol der Sphare S . Die zu S tangentiale Ebene durch den Nordpol bezeichnen wir mit E2 . Dann denieren wir eine Abbildung  : E2 ! S , indem wir jedem Punkt a 2 E2 den Schnittpunkt (a) mit S der a mit dem Sudpol verbindenden Geraden zuordnen (Abb. 0.18). Elementargeometrische Betrachtungen ergeben die explizite Formel 8ez (a) = o ; ez + 4x(a4)+exx+2 (4ay) (+a)ye2y(+ a) : Die mittels  zuruckgeholte Raumwinkelform hat die Koordinatendarstellung 2 
 = (4 4+dxx2 ^+dyy2 )2 : Folglich berechnet sich der gesamte Raumwinkel zu Z Z Z 1 Z 1 dy  = 16 (4 +dxx2^+dyy2 )2 = 16 (4 + x2 + y2 )2 dx S E2 ;1 Z;1 1 dx = 4 : = 8 p ;1 4 + x2 3 Rand einer orientierten Flache im E3 . Wir verstehen intuitiv, was mit dem \Rand" einer Flache im dreidimensionalen Raum gemeint ist. Der Rand einer Kreisscheibe ist eine Kreislinie, der Rand eines Dreiecks besteht aus drei Geradenstucken, der Rand eines Quadrats aus vier gleichen Kanten usw. Daruber hinaus ist hier festzustellen, da durch die Orientierung der Flache auch eine Orientierung auf den Randstucken induziert wird: im E3 bestimmt

42

0. Mathematische Grundlagen

das Normalenvektorfeld der orientierten Flache zusammen mit der RechteHand-Regel einen Drehsinn (Abb. 0.19a), der seinerseits eine Laufrichtung oder Orientierung fur die Randstucke festlegt (Abb. 0.19b). Der orientierte Rand einer Flache S wird mit dem Symbol @S bezeichnet. (a)

(b)

11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111

D

D

0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 ∆ 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111

∆

11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 Q 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111

Q

Abbildung 0.19. Teil (b) zeigt den orientierten Rand @S der im E3 durch ihr Normalenvektorfeld orientierten Flache S von Teil (a).

Satz (Stokes). Ist S eine orientierte Flache mit Rand @S , dann gilt fur jede dierenzierbare Z Z 1-Form ! ! = d! : @S

S

Beweis (heuristisch). Wir spalten die Flache in zwei angrenzende und gleichorientierte Teile auf: S = S1 + S2 . Gilt der RSatz furRS1 und RS2 separat, so gilt er wegen der Linearitat des Integrals ( S1 ! + S2 ! = S !) und der Operation der Randbildung (@S1 + @S2 = @S ) auch fur die Summenache S = S1 + S2. Da wir S in beliebig guter Naherung durch ein Paster winziger ebener Dreiecke approximieren konnen, genugt es folglich, den Beweis fur ein Dreieck  mit Basispunkt p und Kantenvektoren u und v im Limes  ! 0 zu fuhren. Betrachte hierzu Abb. 0.20. Das Randintegral ist

Z

@

!=

Z

1

!+

Z

2

!+

Z

3

!

0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3

Z ;  !p+su (u) + !p+sv (;v) + !p+u+s(v;u) (v ; u) ds Z0 = !p+u;su (u) ; !p+u+s(v;u) (u) 0 

43

=

;!p+v;sv (v) + !p+v+s(u;v) (v) ds 

wobei fur das dritte Gleichheitszeichen Variablensubstitutionen (wie s 7! 1 ; s) und die Linearitat von Linearformen benutzt wurden. Nun haben wir nach Taylor: !p+v+s(u;v) ; !p+v;sv = (Dp !)(su) + O(2 )  ;!p+u+s(v;u) + !p+u;su = ;(Dp !)(sv) + O(2 ) : R Mit 0 sds = 2 =2 folgt Z 2 2 ! = 2 ((Dp !)(u)) (v) ; 2 ((Dp !)(v)) (u) @ 2 = 2 (d!)p (u v) + O(3 ) : Das zweite Gleichheitszeichen erkennt das antisymmetrisierte Dierential von ! als die au ere Ableitung d!. Auf der anderen Seite gilt aufgrund der Denition des Flachenintegrals per Triangulation

Z



d! = (d!)p (u v)=2 + O(3 ) :

R

R

Vergleich der genaherten Ausdrucke fur @ ! und  d! zeigt, da sie mit der erforderlichen Genauigkeit (O(3 ), oder O() nach Summation uber eine Zahl von ;2 Dreiecken) ubereinstimmen. MERKE: die au ere Ableitung d ist genau so deniert, da der Stokessche Satz gilt. (a)

p +εv

εv ∆

p

ε (v-u)

εu p +εu

(b)

γ2 γ3 γ1

Abbildung 0.20. Skizze zum Beweis des Stokesschen Satzes Hier fehlt noch einiges zum Thema Volumenintegrale... Ben otigt wird auch mehr Diskussion der Randoperation (Linearit at und = 0)... Auch: Differentialform ist die infinitesimale Version des Integrals... Nat urlichkeit der Cartan-Ableitung stark betonen (in MERKE...)

@ @

44

0. Mathematische Grundlagen

0.16 Integration von Dierentialformen Vorbereitung. In Abschn. 0.14 haben wir das Kurvenintegral einer 1-Form unter Zuhilfenahme einer Parametrisierung  : #0 1] ! U erklart. Dieses Vorgehen la t sich verallgemeinern und fuhrt zur Denition des Integrals von k-Formen uber k-dimensionale Gebiete. Um zum Beispiel eine 2-Form uber eine Flache S  U zu integrieren, wahlen wir eine Parametrisierung von S durch  : #0 1]
#0 1] ! U , werten ! in den Punkten von S auf Paaren von Tangentenvektoren aus und berechnen wieder den Grenzwert einer Riemannschen Summe. Um zu entscheiden, in welcher Reihenfolge die Tangentenvektoren einzusetzen sind, benotigen wir eine Orientierung, d.h. eine Vorschrift, die zwischen richtig und falsch orientierten Systemen von Tangentenvektoren unterscheidet. k-Zellen. Das Gesagte motiviert die folgende k-dimensionale Verallgemeinerung einer Kurve. Sei U ein n-dimensionales Gebiet. Wir denieren eine kZelle in U als ein Tripel (#0 1]k   ), bestehend aus dem k-dimensionalen Einheitskubus #0 1]k := #0 1]
:::
#0 1] (k-faches direktes Produkt) in Rk , einer dierenzierbaren Abbildung  : #0 1]k ! U , und einer Orientierung  von Rk . Diese Denition ist fur k = 2 und n = 3 in Abb. 0.21 illustriert. Au erdem verabreden wir, da unter einer 0-Zelle in U ein Punkt von U zu verstehen ist. φ U

1

γ:

σ IR2

1

Abbildung 0.21. Zur Denition von k-Zellen Das Integral einer k-Form uber eine k-Zelle. R Fur k  1 sei ! eine k-Form auf U und  eine k-Zelle in U . Das Integral ! ist durch die folgende Berechnungsvorschrift deniert. (1) Hole ! mittels  nach Rk zuruck. (2) Drucke

0.16 Integration von Dierentialformen

45


! durch die kanonischen Koordinatenfunktionen xi : Rk ! R (i = 1 ::: k) aus: 
! =: f dx1 ^ ::: ^ dxk  f =: F (x1  ::: xk ) : (3) Berechne das k-dimensionale Riemannsche Integral

Z 1 Z 1 Z 1 0

0

:::

0





F (x1  x2  ::: xk )dxk ::: dx2 dx1 :

R

Die resultierende Zahl ist gleich dem Wert von !. Zu dieser Denition ist folgendes zu bemerken. (1) Die Orientierung  der k-Zelle  legt eine Reihenfolge der Faktoren in dx1 ^ ::: ^ dxk und somit das Vorzeichen der Funktion f fest. (2) Das iterierte Riemannsche Integral la t nach dem Satz von Fubini eine beliebige Reihenfolge fur die Ausfuhrung der einzelnen Integrationen zu. (3) Injektivitat von  wird nicht gefordert. Die Bildmenge (#0 1]k ) darf sich selbst R kreuzen oder in sich falten. (4) Wie schon im Fall k = 1 ist das Integral ! unter einer orientierungstreuen Reparametrisierung der k-Zelle  invariant. Dies wird durch den Transformationssatz fur k-dimensionale Riemannsche Integrale garantiert. (5) Als Konsequenz der Reparametrisierungsinvarianz folgt auch hier sofort

Z

f ( )

!=

Z



f
!

fur jede dierenzierbare Abbildung f und f ( ) = (#0 1]k  f   ). Beispiel 0.16.1. Sei  die in Aufgabe 0.10.2 eingefuhrte Raumwinkel-Form auf E3 ; fog. Es soll hier das Integral von  uber die um o zentrierte Einheitssphare S berechnet werden. Dazu parametrisieren wir S durch f : #0 ]
#0 2] ! E3  ( ') 7! o + sin  cos ' e1 + sin  sin ' e2 + cos  e3 : In spharischen Polarkoordinaten ~ '~ gilt bekanntlich  = sin ~d~ ^ d'~. (Um unnotige Verwirrung zu vermeiden, unterscheiden wir in der Notation zwischen ~ '~ : E3 ! R und  = ~  f , ' = '~  f : #0 ]
#0 2] ! R.) Die mittels f zuruckgeholte Form f
 hat somit den Ausdruck f
 = f
(sin ~d~ ^ d'~) = sin d ^ d'  und es folgt

Z

S

=

Z

0
]02
]

sin d ^ d' =

Z 2
Z
0

0



sin d d' = 4 :

46

0. Mathematische Grundlagen

k-Kette. Ein wesentliches Element in der Denition des Begries k-Zelle ist die Dierenzierbarkeit der Abbildung . Diese Eigenschaft R garantiert die Existenz von 
! und somit die Existenz des Integrals !. Nun ist aber die Forderung der Dierenzierbarkeit von  fur viele Zwecke unbequem. Zum Beispiel konnten wir uns fur das Integral einer 2-Form uber den Rand eines Wurfels oder Zylinders im E3 interessieren. Ein solcher Rand hat Kanten und la t sich folglich nicht als Bild von #0 1]
#0 1] unter einer dierenzierbaren Abbildung darstellen. Es bedarf daher einer weiteren Verallgemeinerung. Motiviert durch die Beobachtung, da ein \kantiger Rand" sich aus mehreren glatten Teilen zusammensetzt, vereinbaren wir die folgende Denition. Eine Kette c der Dimension k (kurz: k-Kette c engl. \k-chain") ist eine Linearkombination von k-Zellen 1  ::: m mit reellen Koezienten r1  ::: rm . In Formeln schreiben wir c = r1 1 + ::: + rm m : Eine 0-Kette c ist eine Linearkombination c = r1 a1 + ::: + rm am von Punkten a1  ::: am . Beispiel 0.16.2 (Der Rand einer k-Zelle). Wir kommen gleich zu einer praktisch wichtigen Anwendung des Kettenbegris. Gegeben sei fur k > 1 eine k-Zelle  = (#0 1]k   ). Der k-dimensionale Einheitskubus #0 1]k (gemeint ist hier das \Urbild" der k-Zelle) hat 2k Seitenachen, deren jede sich als (k ; 1)-dimensionaler Einheitskubus im Rk;1 auassen la t. Ist Sj = #0 1]k;1 eine dieser Seitenachen, so bezeichnen wir die Einschrankung der Abbildung  auf Sj mit j (j = 1 ::: 2k). Eine Orientierung j auf Sj erklaren wir wie folgt. Sei n ein nach au en gerichteter Normalenvektor von Sj . (Fur diesen Schritt wird Rk in der ublichen Weise als orientierter Euklidischer Vektorraum aufgefa t.) Dann deklarieren wir eine geordnete Basis e1  ::: ek;1 der Sj enthaltenden (k ; 1)-dimensionalen Hyperebene als positiv orientiert, wenn das System n e1  ::: ek;1 bezuglich  positiv orientiert ist. Nach diesen Vorbereitungen denieren wir nun den Rand @ der k-Zelle  als die Summe der (k ; 1)-Zellen (Sj  j  j ) mit reellen Koezienten +1: @ =

2k X

j =1

(#0 1]k;1  j  j ) :

Siehe dazu Abb. 0.22. Fur den Spezialfall k = 1 denieren wir @ als die aus dem Endpunkt b und dem Anfangspunkt a der Kurve  bestehende 0-Kette mit reellen Koezienten +1 bzw. ;1: @ = b ; a. (Achtung! Verwechsle die 0-Kette b ; a nicht mit dem Dierenzvektor P b ; a zweier Punkte eines anen Raumes.) Der Rand @c einer Kette c = ri i wird per Linearitat erklart: @c = @ (r1 1 + ::: + rm m ) : Aufgabe 0.16.1. Zeige, da der Rand des Randes einer jeden k-Kette verschwindet: @@c = 0.

0.17 Allgemeiner Satz von Stokes

47

1

γ

IR2

1

Abbildung 0.22. Der Rand der k-Zelle von Abb. 0.21 Denition 0.8. FP ur k  1 denieren wir das Integral einer k-Form ! uber eine k-Kette c = ri i durch

Z

c

! = r1

Z

1

! + ::: + rm

Z

m

!:

Das \Integral" einer Funktion f uber eine 0-Kette r1 a1 + ::: + rm am ist ganz einfach die Linearkombination der Funktionswerte an den Punkten a1  ::: am :

Z

r1 a1 +:::+rm am

f := r1 f (a1 ) + ::: + rm f (am) :

Damit haben wir nun einen Integralbegri, der genugend elastisch ist, um alle fur uns interessanten Anwendungen in der Physik zu erfassen. Beispiel 0.16.3. Vielleicht ware hier noch ein Beispiel angebracht? (Volumen und Oberfl ache eines Torus im dreidimensionalen Raum?)

Irgendwo (vielleicht am besten hier) wird noch ein Abschnitt  uber gerade und ungerade Differentialformen (oder Dichten) ben otigt. Dabei w are auch auf den Unterschied zwischen innerer und  auerer Orientierung einzugehen.

0.17 Allgemeiner Satz von Stokes Motivation (heuristisch). Es sei U ein n-dimensionales Gebiet, und k (U ) bezeichne wie immer den Raum der k-Formen auf U . k (U ) ist ein linearer Raum unendlicher Dimension uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine k-Kette c in U la t sich als Abbildung c : k (U ) ! RR  ! 7! c ! =: c(!) auassen. Wegen der Linearitat des Integrals gelten fur x y 2 R und  2 k (U ) die Gleichungen

48

0. Mathematische Grundlagen

Z

Z

Z

c(x + y ) = (x + y ) = x  + y = xc() + yc( )  c

c

c

d.h. c ist ebenfalls linear. In seiner Eigenschaft als lineare Funktion auf k (U ) ist c ein Element des Dualraums von k (U ). Dieser Dualraum ist zwar wie k (U ) unendlich-dimensional, trotzdem durfen wir getrost seine Existenz unterstellen. (Eine prazise Denition wurde die Spezikation der Dierenzierbarkeits- und Tragereigenschaften der Elemente von k (U ) erfordern. Dieser Muhe wollen wir uns hier nicht unterziehen, sondern einfach die vernunftige Annahme machen, da k (U ) und sein Dualraum mathematisch sauber deniert werden konnen.) Er hei e k (U ) := k (U )
. Nun erinnern wir an den folgenden, aus der linearen Algebra wohlbekannten Sachverhalt. Sind uns zwei lineare Raume V und W und eine lineare Abbildung A : V ! W gegeben, so haben wir immer auch eine Abbildung A
: W
! V
der Dualraume durch (A
!)(v) = !(Av). Die Abbildung A
existiert ungeachtet der Dimension von V und W , sofern nur A wohldeniert ist. Eine interessante Konsequenz ergibt sich, wenn wir V = k (U ) und W = k+1 (U ) setzen und A mit der au eren Ableitung d : k (U ) ! k+1 (U ) identizieren. Es resultiert dann ein Operator d
, der (k + 1)-Ketten auf k-Ketten abbildet und durch (d
c)(!) = c(d!) deniert ist. Kehren wir jetzt zur Schreibweise von c(!) als Integral zuruck, so haben wir

Z

c

d! =

Z

d c

!:

In andereren Worten: wir erwarten aus ganz allgemeinen Grunden, da das Integral der au eren Ableitung einer k-Form ! uber die (k +1)-Kette c gleich dem Integral von ! uber eine k-Kette d
c ist. Es ware a priori denkbar, da d
hochpathologische Eigenschaften hat. Da dem nicht so ist, sondern d
sich gutartig verhalt und d
c mit dem Rand @c von c zusammenfallt, ist die Aussage des folgenden Satzes. (Ende der Motivation.) Satz 0.2 (Allgemeiner Stokesscher Satz). Sei U ein n-dimensionales Gebiet, ! eine k-Form auf U und c eine (k + 1)-Kette in U . Dann ist das Integral der exakten Form d! uber c gleich dem Integral von ! uber den Rand @c:

Z

c

d! =

Z

@c

!:

Bemerkungen. (1) Zur Formulierung von Satz 0.2 hat eine Vielzahl von Mathematikern beigetragen, und er hei t ausfuhrlich der Satz von NewtonLeibniz-Gauss-Green-Ostrogradskii-Stokes-Poincare. Da man ihn heute kurz nach Stokes benennt, ist eine Konvention, die der historischen Entwicklung nicht vollig gerecht wird. (2) Aus der in der Physik traditionellen Vektoranalysis im dreidimensionalen Euklidischen Raum sind drei Spezialfalle von Satz 0.2 bekannt. Es sind dies die Integralsatze fur das Wegintegral des Gradienten einer Funktion, das Flachenintegral der Rotation eines Vektorfeldes

0.17 Allgemeiner Satz von Stokes

49

(\Satz von Stokes") und das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes (\Satz von Gauss"). Beachte allerdings, da Satz 0.2 im Unterschied zu den drei genannten Integralsatzen keinerlei Gebrauch von einer metrischen Struktur (Euklidisch oder anders) macht. Beweis von Satz 0.2. Um Satz 0.2 zu beweisen, ist es wegen der Invarianz des Integrals unter pullback ausreichend, den Beweis fur den Fall zu fuhren, da die Kette c aus einem einzigen (k + 1)-dimensionalen Kubus  = (#0 1]k+1   ) in U besteht. Dieser Kubus habe Basispunkt p und Kantenvektoren se1 ::: sek+1 (s 2 R):  : #0 1]k+1 ! U  P +1 t e : (t1  ::: tk+1 ) 7! p + s kj=1 j j Der Kubus  la t sich in viele kleine Teilkuben i (i = R1 ::: N k+1 ) partitionieren, siehe Abb. 0.23, und per Linearitat von Integral und Randoperator @ gilt

Z



d! =

XZ

i

i

d!

und

Z

@

!=

XZ

@ i

i

!:

φ s e2

γ:

:

s e1 N Stucke

Abbildung 0.23.

p

Zum Beweis von Satz 0.2 reicht es daher, den reellen Zahlenfaktor s klein zu wahlen und alle Integrale in fuhrender Approximation in s zu berechnen. Der Rand @ besteht aus 2(k +1) Kuben 1  ::: k+1  1 0  :::, k+1 0 der Dimension k. Der k-Kubus j (j 2 f1 ::: k + 1g) hat Basispunkt p und Kantenvektoren se1  :::, sej;1  sej+1  ::: sek+1 , der k-Kubus j 0 hat Basispunkt p + sej und dieselben Kantenvektoren wie j . Wir betrachten jetzt speziell j = 1. Unter Berucksichtigung der Orientierung von 1 und 1 0 haben wir per Denition des Integrals die Formel

50

0. Mathematische Grundlagen

Z 1 + 1 0

!=

Z 1 Z 1 0

:::

0

!p+se1 +s Pi>2 ti ei ;



!p+s Pi>2 ti ei (se2  ::: sek+1 ) dtk+1 ::: dt2 :

P

Die Dierenz !p+se1 +sv ; !p+sv (mit v = i>2 ti ei ) wird in fuhrender Approximation durch (Dp !)(se1 ) genahert. Nach dieser Naherung sind die Integrale uber t2  ::: tk+1 trivial, und ihre Ausfuhrung ergibt

Z

1 + 1

;



! = sk+1 (Dp !)(e1 ) (e2  ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : 0

Das Integral von ! uber j + j 0 fur j 2 f2 ::: k + 1g wird analog berechnet. Aufsummieren aller Randintegrale fuhrt zu dem Zwischenergebnis

Z

@

!=

kX +1 Z

j =1 j + j 0

!=

kX +1 ;  k +1 s (;1)j;1 (Dp !)(ej ) (e1  ::: ej;1  ej+1  ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : j =1

Der Ausdruck auf der rechten Seite la t sich, wie man durch Vergleich mit der Denition der au eren Ableitung in Abschn. 0.11 sieht, auch folgenderma en schreiben: Z ! = sk+1 (d!)p (e1  ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : @

Damit ist Satz 0.2 bewiesen, denn die rechte Seite der letzten R Gleichung ist gerade gleich der fuhrenden Approximation fur das Integral d!.

0.18 Lie-Ableitung Gegeben sei auf einem Gebiet U  An ein Vektorfeld X : U ! Rn  a 7! X (a) : Der Flu des Vektorfeldes,  : U
R ! U , (a s) 7! s (a) wird bestimmt durch die Dierentialgleichung 1. Ordnung d  (a) = X ( (a)) s ds s mit der Anfangsbedingung s=0 = id. Insbesondere gilt d  (a)

= X (a) : ds s
s=0

0.18 Lie-Ableitung

Beispiel 0.18.1.

51

In der klassischen Mechanik hat man das Hamiltonsche Vektorfeld H = ( )q ( ) p . Die Gleichung _ t ( ) = ( t ( )) ist in diesem Fall eine andere Schreibweise f ur die kanonischen Bewegungsgleichungen _= und _ = . Der Flu (mit gleich der Zeit ) beschreibt dann die dynamische Zeitentwicklung. F ur den harmonischen Oszillator = ( 2 + 2 ) 2] ist = q und p t ist eine Drehung in der -Ebene (Phasenraum) um den Drehwinkel 2 ( ist die Oszillatorperiode).

X

q @H=@p H qp

p

@H=@p @ ; @H=@q @

 a

p @H=@q

q =

X p@ ; q@

s

X  a

t



t=T T Denition 0.9 (Lie-Ableitung). Ist ! eine k-Form und s der Flu des Vektorfeldes X , dann wird die Lie-Ableitung LX ! von ! deniert durch d 
!

: LX ! := ds s
s=0 Interpretation. ``Fischer-Ableitung''... Die Lie-Ableitung einer Funktion f fallt mit der Richtungsableitung: zusammen: d 
f


= d ;f   


= (df )(X ) = (i  d)f : LX f = ds s s=0 X s s=0 ds

Satz 0.3 (Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung).

LX = iX  d + d  iX : Beweisskizze. 1. Man zeigt zunachst, da LX eine Derivation der Algebra von Dierentialformen ist, d.h. der Leibnizregel genugt: d 
( ^ )


LX ( ^ ) = ds s s=0
d = ds (
s  ^ 
s )

s=0 = (LX ) ^ +  ^ (LX ) : 2. Dann beweist man durch explizites Rechnen und Anwenden der Produktregeln fur die Cartan-Ableitung und das innere Produkt, da iX d + diX ebenfalls eine Derivation ist. 3. Wegen 1. und 2. genugt der Nachweis des Hauptsatzes fur Funktionen f und 1-Formen dg: a) iX f := 0 ) LX f = iX df = (iX d + diX )f : b) d 
(dg)

= d d (
g)

LX (dg) = ds
s=0 ds s
s=0 s = d (iX dg) = (d  iX ) (dg) = (diX + iX d) (dg) : Beispiel 0.18.2. Ein Geschwindigkeitsvektorfeld v mit Flu ft g beschreibe eine zeitunabhangige Stromung, die elektrische Ladungen mit sich tragt und auf diese Weise eine Stromdichte j bewirkt: Es folgt eine Relation fur die Ladungsdichte :

52

0. Mathematische Grundlagen D φt,p (u3 ) D φt,p (u2 )

Fluss u2

u3

φt (p) p u1

D φt,p (u1 )

Abbildung 0.24.

;



p (u1  u2  u3  0) = t (p) Dtp (u1 ) : : :  t ;  oder kurz p (: : :  0) = 
t p (: : :  t). Dierenzieren nach der Zeit ergibt

 d


@ 0 = @t
t=0 + dt t
t=0 oder _ + Lv = 0. (In dieser dierentiellen Form ist die Gleichung auch fur zeitabhangige Vektorfelder und beliebige Zeiten gultig.) Mit Lv = (div + iv d) = d(iv ) und iv = j (Stromdichte) folgt dann die Kontinuitatsgleichung _ + dj = 0 (siehe Abschn. 1.2). Beispiel 0.18.3.

Induktion in einer bewegten Schleife

0.19 Stromformen und Stromlinien Motivation. In der Physik begegnen wir zuweilen Funktionen und Dierentialformen, die Singularitaten aufweisen. Zum Beispiel ist die elektrische Flu dichte eines punktformigen geladenen Teilchens singular am Ort des Teilchens. Die Cartan-Ableitung einer solchen Dierentialform ist a priori nicht deniert, was den unangenehmen Eekt hat, das Rechnen recht beschwerlich zu machen. Beim Integrieren geht man typisch so vor, da man eine Umgebung der Singularitat aus dem Integrationsgebiet herausschneidet, was im Falle einer nachfolgenden Anwendung des Satzes von Stokes zu Randtermen fuhrt, die dann sorgfaltig diskutiert werden mussen. (Mehrere Beispiele solchen Vorgehens nden sich im Kapitel uber ElektroMagnetostatik.) Die hier anzukundigende gute Nachricht lautet, da derlei Umstandlichkeiten vermieden werden konnen, indem man den mathematischen Rahmen wie unten beschrieben erweitert. Die Erweiterung hat noch einen zweiten wichtigen Zweck: sie suggeriert die Idee, Dierentialformen durch Ketten zu approximieren, was fur die Visualisierung des elektromagnetischen Feldes sehr hilfreich ist. Insbesondere werden wir in die Lage versetzt, die magnetische und elektrische Flu dichte im dreidimensionalen Raum durch magnetische bzw. elektrische Flu linien

0.19 Stromformen und Stromlinien

53

veranschaulichen zu konnen. Im Unterschied zu den \Feldlinien" klassischer Texte zeichnen sich Flu linien durch eine invariante und metrikfreie Bedeutung aus, die auch der U bertragung zur relativistischen Formulierung im Minkowski-Raum standhalt. Distributionen. An den Anfang stellen wir eine kurze Skizze des mathematischen Hintergrundes. In einem n-dimensionalen Raum (bei unseren limitierten Vorkenntnissen hat dies der Rn oder An zu sein, allgemeiner wurde man eine n-dimensionale dierenzierbare Mannigfaltigkeit zugrundelegen) betrachten wir die Menge der Funktionen, die unendlich oft dierenzierbar sind und zudem kompakten Trager haben, d.h. au erhalb eines beschrankten Gebiets identisch verschwinden. Der reelle Vektorraum solcher \Testfunktionen", wie sie hei en, wird (in einer bestimmten, hier nicht naher spezizierten Topologie) mit D bezeichnet. Der Fokus richtet sich nun auf den Dualraum D0 , namlich den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen D ! R. Die Elemente von D0 hei en Distributionen. Als prominentes Beispiel fur eine Distribution sei die Abbildung angefuhrt, welche jeder Testfunktion f ihren Funktionswert im Punkt p zuweist: (p) : f 7! f (p) =: (p) #f ] : Sie hei t nach ihrem Physiker-Ernder die Diracsche -Distribution bzgl. p. Der Kalkul mit Distributionen wurde von dem franzosischen Mathematiker L. Schwartz initiiert und entwickelt. Er zeigte, da sich fast alle in der Analysis gebrauchlichen Operationen auf Funktionen in sinnvoller Weise auf Distributionen ubertragen lassen. Zum Beispiel wird die partielle Ableitung einer Distribution T : f 7! T #f ] durch @ i @xi T #f ] := ;T #@f=@x ] sinnvoll erklart. Wir werden dieses Thema hier nicht elaborieren. Die fur die Elektrodynamik benotigten Objekte sind ja die Dierentialformen (anstelle der Funktionen), denen wir uns nun zuwenden. Stromformen. Die Erweiterung der Schwartz'schen Theorie zu den Dierentialformen wurde von de Rham vorgenommen. Ihm folgend bezeichnen wir den Vektorraum der \Testformen", d.h. jener Dierentialformen, deren Koezienten Testfunktionen sind, wieder mit D (beachte die A nderung der Bedeutung des Symbols). Der Vektorraum D wird durch den Grad k der Dierentialformen graduiert: D = nk=0 k , d.h. k ist der Vektorraum der k-Formen in D. Wenden wir uns nun wieder dem Dualraum D0 zu. Dieser besteht aus den stetigen linearen Abbildungen T : D ! R, ! 7! T #!]. Durch die Graduierung von D und die Paarung von D mit D0 wird naturlich eine Graduierung D0 = nl=0 l induziert. Per Konvention ordnet man den Grad in D0 so zu, da T 2 n;k auf dem Komplement von k in D Null ist oder, anders ausgedruckt, n;k ist mit k gepaart. Sollten diese abstrakten Begrisbildungen nicht auf Anhieb einleuchten, werden die folgenden Beispiele

54

0. Mathematische Grundlagen

helfen. (Bedeutungswechsel von k (U ) gegenuber fruher?) Beispiel 1: eine k-Kette c. Wie wir ja inzwischen gut verstehen, lassen sich k-Formen uber eine k-Kette c integrieren, was eine stetige lineare Abbildung c : k ! R,

Z

c#!] := !  c

also ein Element c 2 n;k , deniert. Beispiel 2: eine (n ; k)-Form . Wir konnen eine k-Form ! 2 k nehmen, das au ere Produkt mit  bilden und die resultierende n-Form uber den gesamten n-dimensionalen Raum integrieren. (Die Existenz des Integrals wird durch die Kompaktheit des Tragers von ! guarantiert.) So bekommen wir wieder eine stetige lineare Abbildung  : k ! R, durch

Z

#!] :=  ^ ! : Dem Leser konnte aufgesto en sein, da wir den Elementen von n;k noch keinen Namen gegeben haben. Nun, de Rham nennt sie \Strome" (franz. \courants") vom Grad n ; k. Er denkt dabei an den physikalischen Prototypen der ersten Beispielklasse fur k = 1, namlich die 1-Kette der elektrischen Stromlinien eines bewegten Systems von Punktladungen. Vom Standpunkt des Physikers, insbesondere des Elektrodynamikers, ist diese Wortwahl etwas unglucklich, da der Name \Strom" bereits an eine spezielle physikalische Gro e vergeben ist. Aber gegen den \Strom" der etablierten Nomenklatur anzuschwimmen ist aussichtslos, und wir mussen uns deshalb mit dem Kompromi Stromformen abnden.  Au erer Kalkul mit Stromformen. Kurz gesagt lassen sich praktisch alle fur Dierentialformen erklarte Operationen auf die Stromformen ubertragen: das innere Produkt mit einem Vektorfeld, das au ere Produkt mit Dierentialformen, die Operation des Zuruckholens mittels einer Abbildung, der Hodgesche Sternoperator und die Cartan-Ableitung. In allen Fallen geschieht die U bertragung durch naturliche Transposition von D nach D0 , und zwar mit derjenigen Wahl des Vorzeichens, welche die resultierende Operation fur den Spezialfall einer Dierentialform (anstelle einer allgemeinen Stromform) genau so wirken la t wie gehabt. Es genuge die Illustration dieses Prinzips am Beispiel der au eren Ableitung. Fur jede Dierentialform ! 2 n;k;1 und eine k-Form  gilt

Z

d ^ ! = ;(;1)k

Z

 ^ d! :

Der sonst beim partiellen Integrieren entstehende Randterm fehlt hier infolge des kompakten Tragers von !. Dementsprechend erklart man die CartanAbleitung eines beliebigen Elementes T 2 k durch dT #!] := ;(;1)k T #d!] :

0.19 Stromformen und Stromlinien

55

Da d : n;k;1 ! n;k wohldeniert ist, bekommt man auf diese Weise eine sinnvolle Operation d : k ! k+1 . Was ergibt nun letztere auf einer (n ; k)-Kette c 2 k ? Die Antwort folgt aus dem Satz von Stokes,

Z

dc#!] = ;(;1)k c#d!] = (;1)k+1 d! = ;(;1)k c

Z

@c

!

und sie lautet dc = ;(;1)k @c. Fassen wir also eine (n ; k)-Kette als Stromform in k auf, so ist die au ere Ableitung der Kette (bis auf k + 1 Minuszeichen) gleich ihrem Rand. ...Andere Operationen: T #!] := T #
!] (Transformationsverhalten unter Abbildung ) T ^ #!] := T # ^ !] (Dachprodukt mit Dierentialform ) ?T #!] := (;1)deg(T )(n;deg(T )) T #?!] (Sternoperator) iv T #!] := ;(;1)deg(T ) T #iv !] (inneres Produkt mit Vektorfeld v) Beispiel 0.19.1. Als einfaches und doch instruktives Beispiel mu nochmal  (a) , die Raumwinkel-2-Form bzgl. a 2 E3 , herhalten. Im Punkt a ist  (a) nicht dierenzierbar (auf E3 n fag ist  (a) bekanntlich geschlossen, doch die Koezienten der Dierentialform divergieren bei Annaherung an a wie das inverse Quadrat des Abstandes), weshalb  (a) sicher nicht in 2 (E3 ) liegt. Da R aber das Integral  (a) ^ ! fur alle ! 2 1 (E3 ) wohldeniert ist, konnen wir den Raumwinkel problemlos als Stromform  (a) 2 2 (E3 ) ansehen und als solche auch sinnvoll dierenzieren! Was ist nun in diesem wohlverstandenen Sinn die Cartan-Ableitung d (a) 2 3 (E3 )? Eine kurze Rechnung enthullt die Antwort: Z Z @f ( a ) ( a ) d #f ] = ;  ^ df = ; @r dra ^  (a) a 1 Z2
Z
0Z1 @F @ =; (ra  a  'a )dra A sin a da d'a 0 0 0 Z2
Z


= f (a)

0 0

@ra

sin dd' = 4f (a) = 4(a) #f ] :

Was auf der rechten Seite entstanden ist, erkennen wir als die Dirac--Distribution bzgl. a, aufgefa t als Stromform (a) 2 3 (E3 ). Dieses Resultat, d (a) = 4(a)  ist insbesondere in der Elektrostatik von einigem Nutzen. Veranschaulichung der Operationen auf Differentialformen (nicht nur Cartan-Ableitung, sondern auch inneres und  aueres Produkt, und Sternoperator) durch die entsprechenden Operationen auf Ketten. Das  auere Produkt ist nat urlich wieder der Durchschnitt der Ketten, beim inneren Produkt ben utzt man das einzusetzende Vektorfeld, um den Grad der Kette zu

56

0. Mathematische Grundlagen

erh ohen (aus Linien werden Fl achen usw.), und der Sternoperator angewendet auf eine Fl ache produziert die orthogonalen ``Haare'' der Fl ache usw.

Regularisierung. Die Einsicht, da k-Ketten und (n ; k)-Formen Elemente ein und desselben Vektorraums D0 sind, schuf die Grundlage fur de Rhams zelebrierte Beweisarbeit zur Theorie dierenzierbarer Mannigfaltigkeiten und ihrer topologischen Invarianten. Uns suggeriert sie die Idee, Ketten durch Formen zu approximieren und umgekehrt. Da ein solches Bestreben Aussicht auf Erfolg hat und k-Ketten durch glatte (n ; k)-Formen tatsachlich beliebig gut angenahert werden konnen, davon uberzeugt man sich anhand einiger Beispiele. Lassen Sie uns die xy-Ebene, die z -Achse und den Koordinatenursprung im E3 als Stromformen  2 1(E3 ) bzw.  2 2 (E3 ) bzw. o 2 3 (E3 ) auassen. Die folgenden drei Grenzwerte fur f 2 0 (E3 ),  2 1 (E3 ) und ! 2 2 (E3 ) pruft man leicht nach:

Z

;83;1 fe;px2 +y2+z2=dx ^ dy ^ dz  o#f ] := f (o) = lim !0

 #] := #!] :=

Z

z;Achse

Z

;1  = lim !0 ()

xy;Ebene

Z

e;(x2+y2 )=dx ^ dy ^  

Z = ! = lim !0 2 + z 2 dz ^ ! :

Charakteristisch fur die Integranden auf der rechten Seite ist das Auftreten einer durch  parametrisierten Familie von Funktionen (hier vom Exponential, Gau - bzw. Cauchy-Typ), deren \Trager" im Limes  ! 0 auf die Spur (definiert?) der entsprechenden Kette zusammenschrumpft. Die -abhangigen Normierungsfaktoren wurden so gewahlt, da die (3 ; k)-dimensionale, zur Spur der k-Kette transversale Integration in jedem Punkt der Spur genau Eins ergibt. Auf diese Weise konvergiert fur  ! 0 das Raumintegral auf der rechten Seite gegen das k-dimensionale Integral uber die k-Kette. Wir sagen, die Familie von approximierenden Dierentialformen sei eine Regularisierung der als Stromform aufgefa ten Kette. Eine solche Regularisierung existiert immer. (Jede Kette, und allgemeiner jede Stromform, kann durch innitesimales \Verschmieren" glatt gemacht werden. Diese Behauptung wurde in einem mathematisch sauber denierten Sinn von Schwartz und de Rham bewiesen.) Die Regularisierung ist oensichtlich nicht eindeutig, wie durch die unterschiedliche Wahl der regularisierenden Familie von Funktionen in den Beispielen illustriert wird. Eindeutig ist lediglich der Limes (die Stromform), gegen den die Approximation fur  ! 0 konvergiert. Diskretisierung. Oben haben wir \Diskretes" durch \Kontinuierliches" approximiert: durch die Ma nahme der Regularisierung wurde aus einer k-Kette (oder allgemeiner: einer Stromform T 2 n;k ) eine kontinuierliche Dierentialform. Interessant ist auch der umgekehrte Weg (\Diskretisierung") von

0.19 Stromformen und Stromlinien

57

der glatten Dierentialform zur \diskreten" Kette. Zum Beispiel konnen wir eine kontinuierliche Ladungsdichte im E3 durch eine Verteilung von Punktladungen Qi and Orten pi (i = 1 ::: N ) annahern. Dazu plazieren wir in Raumbereichen mit hoher Ladungsdichte viele (oder gro e) Punktladungen, in Raumbereichen mit geringer Ladungsdichte wenige (oder kleine). Das Integral von gegen eine Testfunktion  2 0(E3 ) wird dann durch

Z

 = #] '

Z N X i=1

Qi

pi

 :=

N X i=1

Qi (pi )

P

approximiert. Der 3-Form entspricht also die 0-Kette i Qi
pi . Um die Approximation zu verbessern, machen wir N gro er und verfeinern das System von Punktladungen entsprechend. Ganz ahnlich konnen wir versuchen, eine kontinuierliche Stromdichte j im E3 durch eine Verteilung von Stromen Ii langs Stromlinien i (i = 1 ::: N ) zu beschreiben. Wo die Stromdichte hoch ist, plazieren wir wieder viele Stromlinien (oder wahlen die Strome gro ), wo die Stromdichte niedrig ist, dorthin legen wir wenige Stromlinien (oder kleine Strome). Das Integral von j gegen eine 1-Testform A wird dann durch

Z

j ^ A = j #A] '

N Z X i=1

Ii

i

A

P

ersetzt. Der 2-Form j entspricht also die 1-Kette i Ii
i . Um die Approximation zu verbessern, machen wir wieder N gro er und verfeinern das System von Stromlinien. Allgemeiner konnen wir auf die beschriebene Weise jede n-Form im ndimensionalen Raum durch eine 0-Kette approximieren, jede (n ; 1)-Form durch eine 1-Kette usw. Eine solche Diskretisierung ist fur didaktische Zwecke nutzlich, weil 1-Ketten sich leichter visualisieren lassen als (n ; 1)-Formen. Beispiel 0.19.2. Wir wollen uns uberlegen, wie die Veranschaulichung der auf den Koordinatenursprung o bezogenen Raumwinkel-2-Form  durch eine 1Kette aussieht. In Kugelkoordinaten r  ' haben wir  R= sin d ^ ' und  ^  =  ^ r dr ( 2 1 (E3 )). Das Integral  #] =  ^  testet also nur die Radialkomponente r von . Folglich haben die \Stromlinien" der Stromform  in Radialrichtung zu liegen. Als Randpunkt fur die Stromlinien kommt wegen d = ;@ = 4(o) nur der Koordinatenursprung o in Frage. Unter Berucksichtigung des richtigen Vorzeichens sind die Stromlinien von  dann Halbachsen oder Strahlen i , die im Punkt o beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken. Da  = r;2 @r (dx ^ dy ^ dz ) drehinvariant ist, sind die Strahlen (so gut sich das bei einer endlichen Anzahl einrichten la t) isotrop anzuordnen. Damit der Rand richtig herauskommt (@ = ;4(o)), bekommt jeder Strahl das Gewicht 4=N : N X 4   ' N i : i=1

58

0. Mathematische Grundlagen

Abbildung: Veranschaulichung der Raumwinkel-2-Form als isotrope Schar von Strahlen, die im Ursprung beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken. Jeder der Strahlen tr agt das Gewicht 4 .

o N =N Aufgabe 0.19.1. Zeige, da das Integral von  uber eine Flache S im Stromlinienbild durch 4=N mal der Zahl der S durchsto enden Strahlen approximiert wird.

0.20 Laplace-Operator Laplace-Operator auf Funktionen und 1-Formen im E3 . Der Laplace-Operator 4 auf den Funktionen im dreidimensionalen Raum wird in kartesischen Koordinaten x y z bekanntlich durch 2

2

2

4f = @@xf2 + @@yf2 + @@zf2

dargestellt. In der Elektrodynamik haben wir es hauptsachlich mit Dierentialformen zu tun. Man wu te daher gerne, wie der Laplace-Operator im au eren Kalkul aussieht. Von einer nutzlichen Verallgemeinerung z.B. auf 1-Formen im E3 wird man verlangen 4 (Ax dx + Ay dy + Az dz ) = (4Ax)dx + (4Ay )dy + (4Az )dz : Die Frage ist nun, ob ein solcher Operator existiert und in sinnvoller, d.h. koordinatenunabhangiger Weise deniert werden kann. Die Antwort lautet ja. Dazu bringen wir zunachst den Ausdruck fur 4 : 0 (E3 ) ! 0 (E3 ) in koordinatenfreie Form. Eine kleine Rechnung,  @f @f @f ? d ? df = ? d @x dy ^ dz + @y dz ^ dx + @z dx ^ dy  @2f @2f @2f = @x2 + @y2 + @y2 ? (dx ^ dy ^ dz ) = 4f  zeigt, da 4 auf den Funktionen im E3 mit ? d ? d ubereinstimmt. Wahrend die au ere Ableitung d den Grad einer Dierentialform um Eins erhoht, hat die Verkettung ?d? die Eigenschaft, den Grad um Eins zu erniedrigen: ? 2;k (E ) ;! d 3;k ? k (E ) : k+1 (E3 ) ;!  (E3 ) ;! 3 3 Im nachsten Schritt untersuchen wir die Wirkung des Dierentialoperators ? d ? d auf den 1-Formen im E3 . Die Operatoren d und ? sind linear und drehinvariant, weshalb es ausreicht, 1-Formen von der speziellen Gestalt f dx zu betrachten. In diesem Fall nden wir @f ? d ? d(f dx) = ? d @f @z dy ; @y dz

@ 2 f dz ; @ 2 f dx ; @ 2 f dx + @ 2 f dy : = @x@z @z 2 @y2 @x@y

0.20 Laplace-Operator

59

Zu dem fur den Laplace-Operator erwarteten Resultat fehlt oenbar noch etwas. Was hier fehlt, ist nicht schwer zu sehen es ndet sich in  d ? d ? (f dx) = d ? @f d x ^ d y ^ d z @x 2 @ 2 f dy + @ 2 f dz : = @@xf2 dx + @y@x @z@x Durch Substraktion der Gleichungen nden wir (; ? d ? d + d ? d ? ) (f dx) = (4f )dx  wie gewunscht. Insgesamt haben wir also die beiden folgenden Formeln fur den Laplace-Operator: 4 auf Funktionen im E3 : 4 = ? d ? d  4 auf 1-Formen im E3 : 4 = ; ? d ? d + d ? d ? : Wir sehen, da in die koordinatenfreie Formulierung des Laplace-Operators die metrische Struktur des Raumes in wesentlicher Weise eingeht. Es ist nun zweckma ig, einen Operator  : ! 7! (;1)k ? d ? ! einzufuhren, der k + 1Formen auf k-Formen abbildet. Dieser Operator hei t kurz die Ko-Ableitung. Mit ihm konnen wir den Laplace-Operator in der einheitlichen Form 4 = d + d schreiben. (Der zweite Term in 4 verschwindet auf den Funktionen f wegen f 2 0;1 (E3 ) = 0.) Aufgabe 0.20.1. Im dreidimensionalen Euklidischen Raum existiert neben dem Gradienten (grad) und der Divergenz (div) auch der Vektordierentialoperator der Rotation (rot) siehe Abschn. 0.11. Drucke hiermit den LaplaceOperator auf Funktionen bzw. 1-Formen folgenderma en aus: 4 auf 0(E3 ) : 4 = div  grad  4 auf 1(E3 ) : 4 = I  (;rot  rot + grad  div)  I ;1 : Allgemeine Formel fur die Koableitung. Der Dierentialoperator  hat die folgende allgemeine Bedeutung. Sei U  An ein n-dimensionales Gebiet mit Sternoperator ? : k (U ) ! n;k (U ). Wir denieren das Skalarprodukt zweier k-Formen !1 und !2 auf U durch (!1 j!2 )U =

Z

U

!1 ^ ?!2 :

Dieses Skalarprodukt ist symmetrisch, (!1 j!2 )U = (!2 j!1 )U , und in beiden Argumenten linear. (Unter Vorgabe einer Euklidischen Struktur auf U  En ist es auch noch positiv denit, worauf es hier aber nicht ankommt.) Nun ist es bequem, den Raum der Dierentialformen vorubergehend dadurch einzuschranken, da ihr Verschwinden auf dem Rand @U verlangt wird. Fur eine k-Form  und eine (k ; 1)-Form  folgt dann durch partielle Integration

60

0. Mathematische Grundlagen

Z

;( jd)U = ; d ^ ? U

= (;1)k;1

Z

^d? =

Z ;  (;1)k;1 ?;1 d ?  ^ ? 

U U



wobei wegen  @U = 0 =  @U kein Randterm entstand. Wir denieren jetzt

den Operator  als die Abbildung  : k (U ) ! k;1 (U )  ! 7! ! = (;1)k;1 ?;1 d ? !  Die Motivation fur diese allgemeine Denition ist, da mit ihr die Relation ;( jd)U = ( j)U  gilt, d.h.  ist bzgl. des Skalarprodukts (mit der geforderten Randbedingung) zu ;d adjungiert. Aus d  d = 0 folgt    = 0. Im E3 , wo ? mit seinem Inversen ?;1 zusammenfallt, reduziert sich die allgemeine Denition von  auf die anfangs gegebene. Denition 0.10. Der Laplace-Operator 4 : k (U ) ! k (U ) ist erklart durch 4=d+d : Aufgabe 0.20.2. Zeige die folgenden Eigenschaften des Laplace-Operators: (1) 4d = d4 (2) 4 = 4 (3) ? 4 = 4? (4) (!1 j4!2)U = (4!1j!2 )U + Randterme: Satz 0.4. Sei dx1  ::: dxn eine Basis von Koordinatendierentialen mit




(dxi  dxj )

p = gij 

unabhangig von p. Dann gilt fur die Wirkung des Laplace-Operators auf eine k-Form ! mit Koordinatendarstellung X ! = !i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik die Formel X 2 1:::lk l1 lk 4! = gij @@x!il@x j dx ^ : : : ^ dx :

Beweisskizze. Mit der Dualbasis der Vektorfelder ei = @i (p) sind uns P  Projektoren i (i = 1 ::: n) auf den Vektoren durch i v = i j vj ej = vi ei gegeben. Hiermit denieren wir Operatoren di : k (U ) ! k+1 (U ) durch

(di !)p (v(0)  ::: v(k) ) =

k X j =0





(;1)j (Dp !)(i v(j) ) (v(0)  ::: v^(j)  ::: v(k) ) :

0.20 Laplace-Operator

61

Diese Operatoren P antivertauschen miteinander (di dj = ;dj di), und ihre Summe ergibt i di = d (au ere Ableitung). Auf die k-Form ! mit der angegebenen Koordinatendarstellung wirken sie wie folgt: X@ i l1 lk di ! = ! i l1 :::lk dx ^ dx ^ ::: ^ dx : @x l1 :::lk

Der zu ;di (formal) adjungierte Operator i : k (U ) ! k;1 (U ) ist i = (;1)k;1 ?;1 di ? (i = 1 ::: n). AuchPdiese Operatoren antivertauschen (i j = ;j i ), und ihre Summe ergibt i i = . Ihre Wirkung in Koordinatendarstellung ist X@ ;1 i l1 lk i ! = ! i l1 :::lk I (dx ) (dx ^ ::: ^ dx )  @x l1 :::lk wie sich mit der Behauptung von Aufg. 0.7.5 P verizieren la t. Mit Hilfe der Formeln fur di und i und mit I ;1 (dxi ) = j gij @j zeigt man ohne Muhe X X 2 1:::lk l1 lk (i dj + dj i )! = gij @@x!il@x j dx ^ ::: ^ dx : ij

Andererseits gilt X (i dj + dj i ) = d + d = 4  ij

womit die Behauptung des Satzes folgt.

62

0. Mathematische Grundlagen

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

1.1 Mathematischer Rahmen und Masystem Ziel dieses ersten Kapitels ist es, { im Stile Sommerfelds1 { das elektromagnetische Feld einzufuhren, die fundamentalen Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zu formulieren und Vorschriften anzugeben, wie sich die Feldgro en zumindest im Prinzip (d.h. per Gedankenexperiment) messen lassen. Dabei wird vieles notgedrungen unvollstandig bleiben. Einige Gleichungen werden wir ohne weitere Erlauterung einfach postulieren. Die Richtigkeit der Postulate folgt aus den Konsequenzen fur experimentell beobachtbare Gro en, die wir in den darauolgenden Kapiteln aus den Grundgleichungen ableiten. Den Kap. 1-?? liegt der dreidimensionale Euklidische Raum E3 als Modell fur den physikalischen Raum zugrunde. Der Zeit wird in diesen Kapiteln eine Sonderrolle zugewiesen, was die volle Schonheit und relativistische Kovarianz der elektromagnetischen Theorie zwar verschleiert, aber den didaktischen Vorteil eines intuitiveren und leichteren Zugangs fur den Studenten hat. Wir fassen kurz die wichtigsten Strukturen, Bezeichnungen und Rechenregeln zusammen, von denen wir dann im folgenden ausgiebig Gebrauch machen werden. Der Raum der Dierentialformen k-ten Grades (k = 0 1 2 3) auf E3 hei t k (E3 ). Hier sind auch die ungeraden Differentialformen zu erw ahnen. Auf dem Dierenzvektorraum von E3 ist ein Skalarprodukt h  i erklart. Hierdurch wird ein kanonischer Isomorphismus I bestimmt, der Vektorfelder auf 1-Formen abbildet. h  i induziert ein Skalarprodukt (  ) : k (E3 )
k (E3 ) ! 0 (E3 ). E3 wird in der konventionellen Weise durch die Rechte-Hand-Regel fur Tripel von Vektoren orientiert, was in Verbindung mit (  ) einen Sternoperator ? : k (E3 ) ! 3;k (E3 ) bestimmt. ? ist unter Euklidischen Bewegungen invariant. Die Wahl eines kartesischen Koordinatensystems (o e1  e2  e3) zeichnet drei Koordinatenformen dx = dx1 , dy = dx2 und dz = dx3 aus. ? wirkt auf sie { wie auch auf jede andere lokal orthonormale und rechtshandige Basis { in der folgenden Weise: ?dx = dy ^ dz , ?dy = dz ^ dx und ?dz = dx ^ dy. Da die Zeitvariable t in den Kap. 1-5 separat behandelt wird, meint "d\ hier immer die "raumliche\ 1

A. Sommerfeld, Elektrodynamik (Vorlesungen uber theoretische Physik, Band III), Dietrich'sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden 1948

64

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

Cartan-Ableitung. Die partielle Zeitableitung einer Dierentialform ! wird mit !_ = @!=@t bezeichnet.

Eine detaillierte Einf uhrung in die hier ben otigten mathematischen Grundlagen wird in Abschn. 0.1 bis 0.15 gegeben.

Zum Ma system. Fur die quantitative Buchfuhrung bei der Beschreibung rein mechanischer Vorgange reicht ein Ma system aus, das auf den fundamentalen Einheiten von Masse (Kilogramm), Lange (Meter) und Zeit (Sekunde) beruht. Mit der Erweiterung auf elektromagnetische Phanomene kommt als neue und unabhangige Qualitat physikalischer Korper ihre elektrische Ladung hinzu. Es ist unter Theoretikern beliebt, die Ladung zu \mechanisieren\ und sie in den Einheiten von Masse1=2
Lange3=2
Zeit;1 anzugeben. Dieser Praxis konnen wir uns nicht anschlie en. Wir folgen dem im Jahre 1948 von einer internationalen Kommission empfohlenen Standard ("SI-Ma system\), nach dem Ladungen in Einheiten von Coulomb gemessen werden. Die Ladungseinheit Coulomb wird im SI-Ma system aus der Stromeinheit Ampere = Coulomb/Sekunde als der grundlegenden elektromagnetischen Einheit abgeleitet.

1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung Die Erfahrung zeigt, da elektrische Ladungen in der mikroskopischen Welt von Atomen und subatomaren Teilchen stets als ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung auftreten. So haben das Proton und das Elektron, die zwei Bausteine des Wasserstoatoms, eine dem Betrag nach gleiche und im Vorzeichen verschiedene Ladung von e = 1:602
10;19 Coulomb. Wir beschreiben diesen Sachverhalt mit der Aussage, die elektrische Ladung sei "quantisiert\.2 Die Quantisierung der Ladung macht das Bestimmen des Ladungszustandes zu einer im Prinzip sehr einfachen Aufgabe: um die gesamte Ladung Q(V ) in einem Gebiet V zu ermitteln, mussen wir lediglich die in V enthaltenen positiven und negativen Elementarladungen abzahlen, die Dierenz bilden und mit dem Ladungsquantum e multiplizieren. Nach dem gegenwartigen Stand unseres Wissens haben elementare Ladungstrager wie Elektronen oder Quarks keine raumliche Ausdehnung. Ein treues mathematisches Modell mu te demnach ein System von Ladungen als System strukturloser Punkte beschreiben { jedenfalls solange die Heisenbergsche Unscharferelation der Quantenmechanik au er acht gelassen werden kann. Fur das Thema dieser Vorlesung, namlich elektromagnetische Phanomene der makroskopischen Physik, ist die Punktformigkeit der Ladungen jedoch nicht wesentlich. Wir werden uber die diskrete und punktformige Natur 2 Quarks, die Konstituenten des Protons und anderer Hadronen, tragen 1=3 oder 2=3 der Elementarladung e. U brigens hangt die elektrische Ladung nach den Erkenntnissen der Quantenfeldtheorie als laufende Kopplungskonstante von der Beobachtungsskala ab. Fur die klassische Theorie, die es hier zu entwickeln gilt, hat diese Tatsache aber keine wesentlichen Konsequenzen.

1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung

65

der elektrischen Ladungen meist hinwegsehen und ihre raumliche Verteilung als kontinuierlich betrachten. Ladungsdichte. Wie modellieren wir nun eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf mathematisch und physikalisch angemessene Art? Diese Frage fuhrt uns zur elektrischen Ladungsdichte, die wir mit dem Symbol bezeichnen. Sie wird durch die Forderung erklart, da ihr Integral uber ein Gebiet R V mit der in V enthaltenen Gesamtladung Q(V ) ubereinstimmt: Q(V ) = V . Der mathematische Formalismus sagt uns, da die naturlichen Kandidaten furs Integrieren unter den Dierentialformen zu suchen sind. Da die Gesamtladung durch Integration uber dreidimensionale Gebiete zu berechnen ist, konnte ein erster Vorschlag lauten, die Ladungsdichte als 3-Form zu modellieren. Dieser Vorschlag ist akzeptabel, solange wir nicht auf die Orientierung achten (oder Invarianz der Formulierung nur unter orientierungstreuen Transformationen verlangen). Bei sorgfaltigem Hinsehen fallt uns aber auf, da das Integral einer 3-Form die Eigenschaft hat, mit der Orientierung des Gebiets V das Vorzeichen zu wechseln, wogegen die in V enthaltene Gesamtladung von der Orientierung des Gebiets unabhangig ist { sie wird wie gesagt ganz einfach durch Abzahlen der Elementarladungen ermittelt. Um diese Diskrepanz zu beheben, modellieren wir die Ladungsdichte als ungerade 3-Form oder 3-Dichte. Das Integral der Ladungsdichte ist dann automatisch von der Orientierung des Gebiets unabhangig (und la t sich sogar fur nichtorientierbare Gebiete erklaren).3 (a)

(b) S V

Q(V) = ρ V

I(S) = j S

Abbildung 1.1. Zur denierenden Mevorschrift fur (a) die Ladungsdichte und (b) die Stromdichte j . Die positive Stromrichtung ist durch einen Normalenvektor der Flache S gegeben. 3

Traditionell meint man mit dem Begri "Ladungsdichte\ nicht die Dierentialform

an sich, sondern die ihr durch eine Basis von Koordinatenformen dx1
dx2
dx3 zugeordnete skalare Komponente 123 . Als koordinatenfrei denierte Groe ist fundamentaler und nutzlicher als 123 . Wir setzen uns deshalb uber die Tradition hinweg und ubertragen den Namen Ladungsdichte von 123 auf . Eine analoge Bemerkung gilt fur die elektrische Stromdichte j und ihre Komponenten j12
j23
j31 .

66

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

Stromdichte. Die pro Zeiteinheit durch eine Flache S stromende Ladungsmenge hei t der Strom durch S und wird mit I (S ) bezeichnet. Zur quantitativen Beschreibung einer kontinuierlichen Stromverteilung bedient man sich der elektrischen Stromdichte j . Erklart wird sie durch die ForderungR der Gleichheit von I (S ) mit dem Integral von j fur beliebiges S : I (S ) = S j . Da das Integrationsgebiet S zweidimensional ist, ware es mathematisch am naturlichsten, j als Dierentialform zweiten Grades zu denieren. Eine solche Denition fuhrt aber wieder zu Widerspruchen, sobald orientierungsandernde Abbildungen zugelassen werden. Zum Beispiel andert der elektrische Strom unter Raumspiegelung seinen Richtungssinn, wahrend eine gewohnliche 2Form unter derselben Abbildung ihr Vorzeichen beibehalt. Wie schon bei der Ladungsdichte ist auch hier der physikalisch korrekte Ansatz, die Stromdichte als Dierentialform vom ungeraden Typus zu erklaren. Wir modellieren j also als ungerade 2-Form. Das anschauliche Bild fur j besteht dann aus Stromlinien, die mit einem Richtungssinn versehen sind (Abb. 1.1). Man beachte, da es zur Integration der ungeraden 2-Form j keines Orientierungssinnes der Flache S bedarf, sondern lediglich der Angabe einer positiven Stromrichtung (z.B. durch einen Normalenvektor). Koordinatendarstellung und physikalische Dimension. In Koordinatendarstellung schreiben wir = 123 dx1 ^ dx2 ^ dx3 und j = j12 dx1 ^ dx2 + j23 dx2 ^ dx3 + j31 dx3 ^ dx1 : Die Komponenten 123 und j12  j23  j31 sind Funktionen : Raum
Zeit ! R. Sie haben die physikalische Dimension # 123 ] = Ladung/Volumen und #j12 ] = #j23 ] = #j31 ] = Strom/Flache. Da die Koordinaten-1-Formen dxi (i = 1 2 3) die Dimension einer Lange tragen, haben wir fur und j die "absoluten\ physikalischen Dimensionen

# ] = Ladung und #j ] = Strom : Da und j von der Wahl der Langeneinheit unabhangig sind, folgt unmittelbar aus ihrer Denition. Betrachten wir zum Beispiel die denierende GleiR chung Q(V ) = V . Die linke Seite wird (auf mikroskopischer Ebene) durch Abzahlen von Elementarladungen berechnet, die rechte Seite verwendet Einsetzen von Vektoren in alternierende Multilinearformen und Berechnung von Riemannschen Summen. Keine dieser Operationen erfordert Langen- oder Winkelmessung. ist also, wie wir sagen, metrikfrei erklart. Das gleiche gilt fur j . Kontinuitatsgleichung. Es ist eine Erfahrungstatsache, da elektrische Ladung nicht plotzlich aus dem Nichts auftaucht oder ins Nichts verschwindet. Zwar konnen in elementaren Prozessen Ni Teilchen in Nf andere Teilchen umgewandelt werden, aber dies geschieht immer so, da gleich viel positive wie negative Ladung erzeugt oder vernichtet wird. Wir sagen daher, Ladung

1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen γ e+ eγ

Abbildung 1.2. In der Quantenelektrodynamik konnen Paare von Elektronen (e; ) und Positronen (e+) aus einem Photon ( ) erzeugt werden oder sich unter Bildung eines Photons vernichten. Die elektrische Ladung bleibt dabei erhalten.

sei erhalten. Ihren mathematischen Ausdruck ndet diese Gesetzma igkeit in der sogenannten Kontinuitatsgleichung: Z Z @ Axiom 1 : @t + j = 0 : V @V Sie besagt in Worten, da die zeitliche A nderung der in einem Gebiet V enthaltenen Ladungsmenge mit einem dem Betrag nach gleichen und im Vorzeichen umgekehrten Stromu durch den Rand von V einhergehen mu . Wir konnen diesen Sachverhalt auch als dierentielles Gesetz formulieren. Der Stokessche Satz R gestattet uns, das Flachenintegral von j uber @V in das Volumenintegral V dj umzuformen. Da V beliebig ist, folgt _ + dj = 0  oder in Koordinatendarstellung 23 @j31 @j12 _123 + @j @x1 + @x2 + @x3 = 0 : Wir haben das Gesetz der Ladungserhaltung diesem Kapitel vorangestellt, weil es am Anfang der historischen Entwicklung der Elektrizitatslehre steht und, wie wir gleich sehen werden, die Form der inhomogenen MaxwellGleichungen festlegt. Aufgabe 1.2.1. Die lokale Stromungsgeschwindigkeit in einem einkomponentigen Plasma, z.B. einem Elektronengas, werde durch ein Vektorfeld v : Raum
Zeit ! R3 beschrieben. Zeigen Sie, da in diesem Fall zwischen Ladungsdichte und Stromdichte j der Zusammenhang j = (v) besteht.

1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen Die elektrische Erregung. Als 3-Form hat die Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum den maximalen Grad. Sie ist daher automatisch geschlossen (d = 0). Nach dem Poincareschen Lemma folgt dann sofort die Existenz eines Potentials auf jedem sternformigen Teilgebiet U des Raumes:

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68

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

dD = : Dieses Potential D, eine 2-Form, nennen wir die elektrische Erregung, was zum Ausdruck bringt, da die Anwesenheit elektrischer Ladungen den umliegenden Raum in gewissem Sinne anregt. Da eine Dierentialform vom ungeraden Typ ist und die Cartan-Ableitung lediglich dierenziert und den Typ nicht andern kann, mu D wie ungerade sein. Wir erhalten ein zu dD = aquivalentes Gesetz, indem wir uber ein beliebiges Gebiet V integrieren und auf der linken Seite den Stokesschen Satz anwenden. Die resultierende Beziehung hei t das Gau sche Gesetz:

Z

@V

D=

Z

V

:

In Worten besagt es, da das Flachenintegral der elektrischen Erregung uber den Rand eines Gebietes V gleich der gesamten in V enthaltenen Ladung ist. Dieser Sachverhalt suggeriert die anschauliche Vorstellung von der elek-

Abbildung 1.3. Elektrische Flulinien einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

trischen Erregung als einer elektrischen Flu dichte, d.h. der Stromdichte eines elektrischen Flusses, der aus elektrischen Ladungen herausquillt und von dort nach au en stromt. Wir sagen auch, Ladungen seien die Quellen des elektrischen Flusses. In Abb. 1.3 wird der elektrische Flu einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung durch sogenannte Flu linien bildlich dargestellt.4 Die physikalische Dimension von D ist5 4 5

Die prazise Formulierung des Flulinienbildes wird in Abschn. 1.6 gegeben. Eine Dimension Lange geht hier nicht ein. D ist ja metrikfrei erklart und folglich auch langenunabhangig.

1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen

#D] = Ladung : P In Koordinatendarstellung D = i<j Dij dxi ^ dxj hat das dierentielle Gesetz dD = die Gestalt @D23 + @D31 + @D12 = : 123 @x1 @x2 @x3 Die Komponenten von D tragen die physikalische Dimension #Dij ] = Ladung/Flache. Man beachte auch, da die Forderung dD = die elektrische Erregung nicht eindeutig bestimmt. Erfullt namlich D diese Forderung, so gilt wegen d  d = 0 dasselbe fur D + d. Die eindeutige Festlegung von D erfolgt uber zusatzliche Relationen, die wir in den Abschn. 1.5 und 1.7 vorstellen. Als Konsequenz dieser Relationen ist D zum Beispiel vom Bewegungszustand der Ladungen abhangig. Eine Me vorschrift fur D wird in Abschn. 1.9 nachgereicht. Die magnetische Erregung. Im nachsten Schritt betrachten wir die Summe aus der elektrischen Stromdichte j und der Zeitableitung der elektrischen Erregung D. Beide sind ungerade 2-Formen und haben die physikalische Dimension Ladung/Zeit. Die Summe j + D_ ist somit eine mathematisch wie dimensionsma ig sinnvolle Gro e. Au erdem ist sie geschlossen: d(j + D_ ) = 0  was mit dem Gau schen Gesetz dD = sofort aus der Kontinuitatsgleichung dj + _ = 0 folgt. Das Poincaresche Lemma garantiert dann wieder die Existenz eines Potentials auf jedem sternformigen Gebiet U des dreidimensionalen Raumes: j + D_ = dH : Diese Gleichung hei t das Ampere-Maxwell-Gesetz in dierentieller Form. Die 1-Form H tragt den Namen magnetische Erregung6 und hat die physikalische Dimension #H ] = Strom : Aus Grunden mathematischer Konsistenz mussen wir verlangen, da H mit j und D_ eine Dierentialform vom ungeraden Typ ist. Auch hier ist es der anschaulichen Vorstellung dienlich, das dierentielle Gesetz dH = j + D_ in integrale Form umzuschreiben. Durch Integration uber eine beliebige Flache S und Anwenden des Stokesschen Satzes bekommen wir Z Z H = (j + D_ ) : @S

6

S

Wir machen uns hier die Sprechweise Sommerfelds zueigen, die sich durch besondere Pragnanz und Systematik auszeichnet.

69

70

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

Das Linienintegral von H langs einer geschlossenen Kurve @S ist also gleich dem Integral von j + D_ uber eine von @S berandete Flache S. Hieraus resultiert die bildliche Vorstellung (Abschn. 1.6), da der um die zeitliche A nderung des elektrischen Flusses erganzte elektrische R Strom von einem magnetischen Wirbelfeld begleitet ist. Das Integral H nennen wir die magnetische Spannung langs des Weges  .

H

j

H

Abbildung 1.4. Magnetische Erregung eines unendlich langen geraden stromtragenden Leiters.

P

In Koordinatendarstellung H = Hi dxi gliedert sich das dierentielle Gesetz dH = j + D_ in drei skalare Gleichungen auf. Die erste davon lautet @H2 ; @H1 = j + D_  @x1 @x2 12 12 die anderen zwei entstehen durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge f1 2 3g. Die Komponenten von H haben die physikalische Dimension #Hi ] = Strom/Lange. Was oben fur D gesagt wurde, gilt gleicherma en fur H : mit H ist auch H + df (f eine Funktion) eine Losung der Gleichung dH = j + D_ . Folglich wird H erst durch die Angabe zusatzlicher Relationen eindeutig bestimmt. Eine Me vorschrift fur H ndet sich in Abschn. 1.9. Es sei auch darauf hingewiesen, da die Unbestimmtheit von D durch die Gleichung dD = unserem logischen Aufbau keinen Abbruch tut. Der U bergang von D zu D + d erfordert lediglich die Ersetzung von H durch H ; _. Die Gleichungen dD = und dH = j + D_ hei en insgesamt die inhomogenen Maxwell-Gleichungen. Wie gezeigt wurde, sind sie eine unmittelbare Konsequenz des Axioms der Ladungserhaltung. Im Kapitel uber die relativistisch kovariante Formulierung der Elektrodynamik werden wir sie zu einem einzigen Gesetz vereinigen. Ladungsneutralitat des Universums. Es ist noch auf eine Subtilitat bei der Herleitung des Gau schen Gesetzes hinzuweisen. Wir waren dabei von der

1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung

71

Geschlossenheit der Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum ausgegangen und hatten aus dem Poincareschen Lemma gefolgert, da auf jedem sternformigen Teilgebiet des Raumes ein Potential D hat. Da wir als Modell fur den Raum den E3 zugrunde legen und E3 selbst sternformig ist, hatten wir auf den Zusatz "sternformiges Teilgebiet\ auch verzichten konnen. Interessant wird es jedoch, wenn wir E3 als Modell fur den Raum durch eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit V , die geschlossen ist (@V = 0), ersetzen. Unter der Forderung, da die Gleichung dD = global auf V gultig sei, haben wir dann Z Z Z Q := = dD = D  V

V

@V

und mit @V = 0 folgt das Verschwinden der Gesamtladung Q. Oensichtlich reicht die Gleichung d = 0 fur die globale Existenz von D im allgemeinen nicht aus. In einem raumlich geschlossenen Universum ist auch noch seine Ladungsneutralitat notwendige Voraussetzung. Anschaulich la t sich dies so verstehen, da in einem endlichen Raum der aus einer positiven Ladung hervorquellende elektrische Flu sich nicht im Unendlichen "verlieren\ kann, sondern auf einer negativen Ladung gleicher Gro e enden mu .

1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung Die elektrische Feldstarke. Die Beobachtung zeigt, da ein elektrisch geladener Korper im ladungserfullten Raum einer raumlich veranderlichen Kraft unterliegt, die zu seiner Ladung proportional ist. Die Ursache dieses elektrischen Kraftfeldes ist das Vorhandensein einer den Raum erfullenden Qualitat, die wir die elektrische Feldstarke E nennen. Zu ihrer operativen Denition betrachten wir einen Testkorper, der genau eine Ladungseinheit tragt und moglichst geringe Ausdehnung hat. Beim Verschieben des Testkorpers langs eines Weges  ist gegen das elektrische Kraftfeld Arbeit zu leisten. Diese Arbeit setzt sich aus vielen innitesimalen Arbeiten zusammen, die sich beim Durchlaufen von  addieren, d.h. es wird langs  integriert. Die Gro e, die integriert wird, ist abgesehen vom Vorzeichen die elektrische Feldstarke E . Oenbar ist sie ihrem mathematischen Charakter nach eine (gerade) Differentialform ersten Grades. Wenn wir die bei Verschiebung langs  (pro Ladungseinheit) aufzubringende Arbeit { sie ist gleich minus der freiwerdenden Energie { mit We ( ) bezeichnen (Abb. 1.5), haben wir die denierende Gleichung

Z



E = ;We ( ) :

Durch U bergang zu einem innitesimalen Weg folgt, da auf eine ruhende Punktladung q am Ort p die elektrische Kraft Kp(e) = qEp

72

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

:

wirkt. Diese Kraft hei t auch die Coulomb-Kraft. Testkorper

γ Arbeit =: We (γ)

Abbildung 1.5. Per Denition ist die beim

Verschieben einer Einheitsladung langs Rfreiwerdende Energie gleich dem Wegintegral
E der elektrischen Feldstarke E .

R

Wir betonen, da das Integral E im allgemeinen Fall nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt von  abhangt, sondernR von  insgesamt oder differentiell ausgedruckt: dE 6= 0. Insbesondere ist E fRur einen geschlossenen Weg  = @S im allgemeinen von Null verschieden. E hei t dieRelektrische Spannung langs  . (Fur einen geschlossenen Weg  nennen wir E die elektrische Ringspannung langs  .) Die denierende Gleichung fur die elektrische Feldstarke bedeutet, da sich ihre physikalische Dimension #E ] wie folgt konstituiert: #E ] = Energie=Ladung : Im Unterschied hierzu tragen die Komponenten der elektrischen Feldstarke P E = Ei dxi die Dimension Energie/(Ladung
Lange) = Kraft/Ladung. Die magnetische Feldstarke. Die Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke auf eine Testladung ist von deren Bewegungszustand unabhangig. Fur sich allein genommen reicht sie nicht aus, um { in Verbindung mit dem Newtonschen Bewegungsgesetz { die Bewegung geladener Korper zu erklaren. Zum Beispiel erfahrt ein stromtragender Leiter in der Nahe eines Stabmagneten eine Kraft, die von seinem Ladungszustand unabhangig ist aber mit seinem Strom, d.h. mit der Dichte und Geschwindigkeit seiner frei beweglichen Ladungstrager, linear zunimmt. Dieses Phanomen, wie viele andere Beobachtungen auch, weist auf die Existenz einer geschwindigkeitsabhangigen Kraft, der sogenannten Lorentz-Kraft, hin. Die lokale Ursache der Lorentz-Kraft ist eine Gro e, die wir die magnetische Feldstarke B nennen. Wie E denieren wir auch B in metrikfreier und invarianter Weise uber den Arbeitsbegri. Es sei dazu ein Teststrom in Form eines elektrisch neutralen aber stromtragenden Leiterstucks mit moglichst kleinem Querschnitt gegeben. Der Teststrom betrage genau eine Stromeinheit. Wir xieren den Leiter an zwei Punkten a und b und bezeichnen mit  den Weg des dazwischenliegenden Leiterstucks (Abb. 1.6). Nun verandern wir den Verlauf des Zwischenstucks von  nach  0 . Dabei uberstreicht das Leiterstuck eine orientierte Flache S1 , die durch @S1 =  0 ;  berandet ist. Das Verschieben des Leiters erfordert die Arbeit Wm(S1 ). Was wir soeben beschrieben haben, ist eine Prozedur, die jeder

1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung γ

b

Teststrom I = 1 Stromeinheit

S1 a

73

S1 = γ − γ γ

Abbildung 1.6. Zur operativen Denition der magnetischen Feldstarke orientierten Flache S eine reelle Zahl, namlich gerade die entsprechende Arbeit Wm(S ), zuordnet. Die Funktion S 7! Wm (S ) ist linear und deshalb als Flachenintegral einer (geraden) Dierentialform zweiten Grades darstellbar. Diese 2-Form identizieren wir als minus die magnetische Feldstarke B . Die Denition von B wird also durch die folgende Formel ausgedruckt:

Z

B = ;Wm(S ) :

S

Oenbar hat B die physikalische Dimension #B ] = Energie=Strom = Wirkung=Ladung : R Das Flachenintegral S B hei t auch der magnetische Flu durch S . Wenn wir den Charakter von B als 2-Form besonders hervorheben wollen, nennen wir B alternativ P die magnetische Flu dichte. B hat die Koordinatendarstellung B = i<j Bij dxi ^ dxj . Die Komponenten von B tragen die physikalische Dimension #Bij ] = Wirkung/(Ladung
Flache). Um aus der uber den Arbeitsbegri formulierten Denition der magnetischen Feldstarke einen expliziten Ausdruck fur die Lorentz-Kraft zu gewinnen, betrachten wir eine idealisierte Situation, wie sie in Abb. ?? gezeigt ist. Dort wird ein kurzes gerades Leiterstuck, das anfangs zwischen den Punkten p und p0 verlauft, bei konstantem Strom I in die Endkonguration zwischen p1 und p01 parallel verschoben. Ist u der Vektor des Leiterstucks und u1 der Verschiebungsvektor, so wird per Denition von B die Energie (fur kleines )

I

Z

S

B = IBp (u1  u) + O(3 )

frei. Hieraus lesen wir ab, da auf das Leiterstuck unabhangig vom Verschiebungsvektor u1 die Kraft Bp ( Iu) wirkt. Nun stellen wir uns vor, da der Strom I durch das Geradenstuck p + su (0  s  ) von einer einzelnen Ladung q mit Geschwindigkeit v verursacht wird und setzen Iu = qv (es kommt hier nur auf das Produkt qv { eben den Strom { an). Die Lorentz-Kraft auf diese Ladung ist dann gleich 7 7

In dem unter Theoretikern beliebten Gauschen Masystem steht in der Formel fur die Lorentz-Kraft ein Faktor der inversen Lichtgeschwindigkeit. Ein solcher

74

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

K (m) = Bp ( qv) = ;(qv)Bp : Wir fassen zusammen: auf eine Punktladung q mit Geschwindigkeit v wirkt am Ort p die elektromagnetische Kraft Axiom 2 : Kp = q (Ep ; (v)Bp ) (Kraft auf Punktladung). Wie aus den Me vorschriften per Wegintegration bzw. Flachenintegration zwingend folgt, mussen die in dieses Kraftgesetz eingehenden Feldstarken E und B Dierentialformen vom geraden Typ sein. Aufgabe R 1.4.1. Empirisch ndet man, da die magnetische Arbeit Wm(S ) = ; S B nur vom Rand @S =  0 ;  der Flache S , nicht aber von der Flache selbst, abhangt. Antizipieren Sie aus dieser Beobachtung die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke (dB = 0).

1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) Per Konstruktion der Erregungen D und H in Abschn. 1.4 haben wir bereits die inhomogenen Maxwell-Gleichungen dD = und dH = j + D_ : Ihnen zur Seite stellen wir jetzt ein Gesetz, das die Feldstarken E und B miteinander verknupft. Es sei dazu S ein beliebiges orientiertes Flachenstuck mit Rand @S . Per Postulat verlangen wir das Verschwinden der Summe aus der Zeitableitung des magnetischen Flusses durch S und der elektrischen Ringspannung langs @S : @ Z B + Z E = 0 (Induktionsgesetz). Axiom 3 : @t S @S Wir sagen auch, da ein zeitlich veranderlicher magnetischer Flu eine elektrische Ringspannung induziert. Das relative Vorzeichen merkt man sich uber die Lenzsche Regel. Sie besagt folgendes. Der magnetische R Flu durch die orientierte Flache S nehme z.B. mitR der Zeit ab, d.h. S B_ sei negativ. Dann ist die induzierte Ringspannung @S E positiv. Verlauft nun langs @S eine Leiterschleife, so bewirkt die induzierte Ringspannung einen Strom, welcher dem Durchlaufsinn von @S folgt. Wie wir spater sehen werden, erzeugt ein solcher Strom nach dem Gesetz dH = j + D_ in Verbindung mit einer H und B verknupfenden Relation seinerseits einen positiven magnetischen Flu durch S . Der induzierte Strom wirkt also seiner Ursache entgegen (Lenzsche Faktor ist hier fehl am Platz. Wie die Herleitung uber den Arbeitsbegri deutlich herausstellt, ist die Lorentz-Kraft invariant deniert und hat keinerlei Kenntnis von der metrischen Information, die in der Lichtgeschwindigkeit steckt.

1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses)

75

Regel). Historisch war es so, da das postulierte Gesetz durch die experimentellen Beobachtungen von Faraday (1831) entdeckt wurde. Es hei t deshalb ausfuhrlich das Faradaysche Induktionsgesetz. Das Induktionsgesetz in dierentieller Form lautet B_ + dE = 0 : Wie nach mehrfacher Ausfuhrung derselben Manipulationen inzwischen klar sein sollte, wird es aus Gesetz in integraler Form gewonnen, indem man R dem das Kurvenintegral E mit Stokesschen Satz in das Flachenintegral R dE umwandelt und@Sdann diedem Beliebigkeit der Flache S ausnutzt. Das difS ferentielle Gesetz hat in Koordinatendarstellung die Gestalt 2 ; @E1 = 0  B_ 12 + @E 1 @x @x2 mit zwei weiteren Gleichungen, die wieder durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge f1 2 3g entstehen. Die magnetische Feldstarke ist quellenfrei. Wir zeigen nun, da aus dem Induktionsgesetz in Verbindung mit der Aussage des Relativitatsprinzips { namlich, da die Naturgesetze in allen Inertialsystemen dieselbe Form haben { die Gleichung dB = 0 folgt. Dazu wenden wir auf das Induktionsgesetz in dierentieller Form die Cartan-Ableitung an und erhalten dB_ = ;d(dE ) = 0. Folglich gilt dB = m mit m einer zeitunabhangigen 3-Form. Per Analogie zur Gleichung dD = lie e sich m als magnetische Ladungsdichte auassen. Im Unterschied zu den elektrischen Ladungen waren aber die magnetischen Ladungen, wenn sie existierten, wegen m = const (unabhangig von t) fest mit dem Raum verankert. Es ware deshalb ein spezielles Bezugssystem ausgezeichnet, namlich jenes, bezuglich dessen die magnetischen Ladungen in Ruhe sind. Da dies im Widerspruch zum Relativitatsprinzip stunde, folgt das Gesetz dB = 0 : In Koordinatendarstellung schreibt es sich @B23 + @B31 + @B12 = 0 : @x1 @x2 @x3 Seine integrale Form

Z

@V

B=0

besagt, da der magnetische Flu durch jede geschlossene Flache @V verschwindet, d.h. die magnetische Flu dichte ist quellenfrei. Die Gleichungen B_ + dE = 0 und dB = 0 hei en die homogenen Maxwell-Gleichungen in dierentieller Form.

76

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

1.6 Flulinienbild Bevor wir den axiomatischen Aufbau der Elektrodynamik mit der Aufstellung der Materialgesetze abschlie en, wollen wir innehalten und das Formulierte der intuitiven Anschauung besser zuganglich machen. Erfreulicherweise zeichnet sich der au ere Kalkul durch den besonderen Vorzug aus, da er den Feldgro en und Gesetzen der Elektrodynamik eine bildliche Vorstellung mitliefert, mit der sich die physikalische Realitat gleicherma en anschaulich wie akkurat beschreiben la t. (A hnliches kann der traditionelle Vektorkalkul nicht von sich behaupten siehe z.B. Feynmans Diskussion der Unzulanglichkeiten des Feldlinienbildes.) Der Schlussel zur anschaulichen Darstellung im E3 ist die U bersetzung von (3 ; k)-Formen in k-Ketten, d.h. in Linearkombinationen von Flachenstucken der Dimension k. (In einem d-dimensionalen Raum ware hier die Zahl 3 durch d zu ersetzen.) Die Motivation fur eine solche U bersetzung liegt auf der Hand: k-dimensionalen Flachenstucke, namlich Punkte, Linien, Flachen und Gebiete (k = 0 1 2 3), lassen sich leichter visualisieren als Dierentialformen. Die Grundlage fur die U bersetzung schuf der franzosische Mathematiker de Rham mit dem von ihm entwickelten Begri der k-Strome, der k-Formen und (3 ; k)-Ketten in einer einzigen gro en Klasse von Objekten (namlich Dierentialformen mit distributionswertigen Koezienten) zusammengefa t. Es geht also darum, aus einer k-Form ! im E3 eine (3 ; k)-Kette c zu machen. Zu diesem Zweck vergleichen fur eine beliebige "TestdierentiR ! ^wir mit alform\  das Volumenintegral EP einer 3 R R Linearkombination von (3 ; k)-dimensionalen Integralen mi ci  = P mi ci . Beide Ausdrucke sind invariant denierte lineare Funktionale (oder Distributionen) auf dem Raum derP Testformen. Diese Koinzidenz suggeriert die Idee, eine U bertragung ! ! c = mi ci durch folgende "Ubersetzungsformel\ (siehe Abschn. 0.19) zu versuchen:

Z

E3

!

Z

!^= : c

Das Ausrufezeichen soll zum Ausdruck bringen, da Gleichheit nur durch einen entweder auf der linken oder auf der rechten Seite durchzufuhrenden Grenzproze erreicht werden kann. Hier sind zwei kontrare Sichtweisen moglich und nutzlich. Zum einen konnen wir wie oben die kontinuierliche Differentialform ! auf der linken Seite als fundamental ansehen und sie mittels der U bersetzungsformel durch eine geeignete Kette c annahern ("Approximation des Kontinuierlichen durch das Diskrete\). Der gesunde Menschenverstand sagt uns, da wir unter der Voraussetzung hinreichender Glattheit der Testform  die Approximation beliebig genau machen konnen, indem wir die Kette c genugend fein wahlen. (Ist ! eine 3-Form, zum Beispiel, verbessern wir die Gute der Approximation dadurch, da wir einen Punkt der 0-Kette c mit "Masse\ mi durch einen Schwarm von 100 Punkten mit Masse m =100 ersetzen usw.) Der andere mogliche Standpunkt ist, die vorgegebene i

1.6 Flulinienbild

77

Gro e in der diskreten Kette auf der rechten Seite zu sehen und aus ihr durch Verschmieren\ eine glatte Dierentialform zu machen ("Approximation des "Diskreten durch das Kontinuierliche\). Die zweite Sichtweise wurde bereits in Abschn. 1.2 implizit verwendet, als wir die elektrische Ladungsdichte einfuhrten. Das fundamentale Modell der Ladungsdichte P war ja ein System von Ladungen qi an Punkten pi, also eine 0Kette c = qi pi . Die zugehorige kontinuierliche Ladungsdichte bestimmte sich durch die Forderung

Z

E3

f =!

X

qi f (pi )

P Testfunktion f . Berucksichtigen wir die Schreibkonvention qi f (pi ) = Rfurfbeliebige , so hat diese Forderung genau die Form der obigen U bersetzungsformel. c

Gleichheit wird erzielt, indem man den Trager der kontinuierlichen Dierentialform durch einen Grenzproze auf die Punkte pi konzentriert. Die alternative Sichtweise ("Approximation des Kontinuierlichen durch das Diskrete\) wollen wir am Beispiel der elektrischen Ladungsdichte j illustrieren. Dazu betrachten wir ein System geschlossener Stromkreise i, die stationare Strome Ii (i = 1 2 :::) tragen. Sind die stromtragenden Kabel dunn genug (oder die Test-1-Form A hinreichend glatt), dann gilt in guter Naherung

Z

E3

j^A=

X Z Ii

i

A:

wobei die geschlossenen R der Strome wiederP Integrationswege i den Verlauf geben. Mit c#j ] := Ii i wird die rechte Seite zu cj] A, und die Gleichung nimmt wieder die Gestalt der obigen U bersetzungsformel an. In diesem Fall ubersetzen wir also die P kontinuierliche Stromdichte j naherungsweise in die diskrete 1-Kette c#j ] := Ii i . Man beachte, da die U bersetzungsformel nicht nur koordinatenfrei formuliert ist, sondern auch ohne jede metrische Struktur (Skalarprodukt oder ahnliches) auskommt. Zudem liegt Invarianz unter orientierungstreuen Diffeomorphismen  des E3 vor, wenn wir die Transformationsgesetze  7! 
, ! 7! 
! und c 7! ;1 c vereinbaren. Wir unterstreichen diese Invarianzeigenschaften, weil sie fur die logische Konsistenz unserer Darstellung unentbehrlich sind. Da auf der linken Seite der U bersetzungsformel der E3 mit seiner Orientierung eingeht, hat eine interessante Konsequenz, die wir gleich noch beleuchten werden. Im folgenden wollen wir die U bersetzungsformel dazu benutzen, uns ein anschauliches Bild von der magnetischen Feldstarke B zu verschaen. Da die Dierentialform B den Grad k = 2 hat, ubersetzt sie sich im E3 in eine Kette der Dimension 3 ; 2 = 1. Wir bezeichnen die 1-Kette von B mit c#B ]. Eine eben schon angedeutete Feinheit ist, da die linke Seite der U bersetzungsregel unter orientierungsandernden Dieomorphismen des E3 (z.B. Raumspiegelungen) das Vorzeichen wechselt, wahrend das Linienintegral auf

78

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

der rechten Seite von der Orientierung des einbettenden Raumes gar nicht abhangt und deshalb ungeandert bleibt. Um diese Diskrepanz im Transformationsverhalten zu beheben, versehen wir die 1-Kette c#B ] mit der au eren Orientierung durch einen Umlaufsinn (anstelle der gewohnlichen inneren OriR entierung durch einen Richtungssinn). Vor der Berechnung von B  gema der Integrationregeln fur Dierentialformen ist dann die au ere Orientierung von c#B ] in eine innere Orientierung umzuwandeln. Da hierbei die RechteHand-Regel (oder die Linke-Hand-Regel) im E3 eingeht, ist hiermit fur die mathematische Konsistenz der U bersetzungsregel gesorgt. Anders verhalt es sich fur ungerade 2-Formen wie die Stromdichte j oder die elektrische Erregung D: hier hangt das Integral auf der linken Seite der U bersetzungsregel von der Orientierung des E3 nicht ab, und das korrekte Pendant auf der rechten Seite ist eine 1-Kette mit einer inneren Orientierung, d.h. einem Richtungssinn (siehe Abb. 1.3 und 1.1b). Abbildungen hier einf ugen

Die 2-Form der magnetischen Feldstarke B wird also durch eine 1-Kette c#B ] mit Umlaufsinn approximiert. Wir nennen die Elemente der 1-Kette magnetische Flu linien. Nun kommt es unserer Darstellung sehr entgegen, da die Natur spezielle physikalische Systeme kennt, wo die magnetischen Flu linien nicht nur ein periphares Dasein als mathematisch-anschauliche Hilfskonstruktion fristen, sondern eine experimentell beobachtbare Realitat annehmen! So dringt in der Shubnikov-Phase von Typ-II Supraleitern ein externes Magnetfeld in der Form von sogenannten "Vortizes\ oder magnetischen Flu schlauchen in den Supraleiter ein. Jeder Vortex tragt ein magnetisches Flu quant 0 = h=2e (h ist die Plancksche Konstante und e die Elektronladung). Die transversale Ausdehnung eines Vortex ist system- und > 10;7 m. #Fur die quantemperaturabhangig und von der Gro enordnung   tenmechanische Erklarung des Phanomens der Supraleitung und der Flu quantisierung mussen wir auf die einschlagige Literatur der theoretischen Festkorperphysik verweisen. Kurz gesagt ist es fur die Elektronen des Supraleiters energetisch optimal, in einen makroskopisch koharenten und magnetfeldfreien Quantenzustand zu kondensieren. Wird einem Typ-II Supraleiter durch die experimentellen Randbedingungen ein magnetischer Flu von au en aufgezwungen, dann motorisiert er (bis zu einem oberen kritischen Feld) Abschirmstrome, die den magnetischen Flu auf schlauchformige Bereiche der transversalen Ausdehnung  eingrenzen.] Fur die Zwecke der makroskopischen Physik durfen wir die endliche Dicke der Flu schlauche vernachlassigen und zu einem idealisierten Modell ausdehnungsloser Flu linien ubergehen. Es versteht sich von selbst, da das Bild quantisierter magnetischer Flu linien im Vakuum oder in Medien ohne Supraleitung nur als Hilfskonstruktion (ohne nachweisbare physikalische Realitat) unserer Anschauung nachhelfen soll. Es sei jedoch vorweggenommen, da sich das Flu linienbild (im Unterschied zum traditionellen Feldlinienbild des Vektorkalkuls) als mathematisch konsistent und durchaus akkurat erweisen wird, und auch nicht im Wider-

1.6 Flulinienbild

79

spruch zur Beobachtung steht, wenn wir die Flu linien nur feiner machen als das Experiment sie aufzulosen vermag. Im Flu linienbild (mit Flu quantisierung), das wir den folgenden Ausfuhrungen zugrunde legen, reduziert sich die Berechnung des magnetischen Flusses durch eine Flache S zu einer elementaren Zahlaufgabe: wir zahlen ganz einfach ab, wieviele Flu linien die Flache S kreuzen und multiplizieren mit dem Flu quant 0 . Dabei zahlen wir einen Kreuzungspunkt positiv oder negativ, je nachdem ob der Umlaufsinn der Flu linie mit der Orientierung von S ubereinstimmt oder nicht. Im Kontinuumslimes immer feiner werdender Flu linien (mit entsprechend verkleinertem Flu quant) geht dieses Abzahlverfahren R unmittelbar in das Integral S B uber, das ja invariant und metrikfrei erklart ist. 8 Was bedeutet nun die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke im Flu linienbild? Dazu machen wir folgende formale Rechnung:

;

Z

E3

f dB =

Z

E3

B ^ df =

Z

cB ]

df =

Z

@cB ]

f

wobei neben der U bersetzungsregel B ! c#B ] auch partielle Integration und der Satz von Stokes verwendet wurde. Insgesamt folgt c#dB ] = ;@c#B ]. Das Gesetz dB = 0 entspricht demnach @c#B ] = 0, d.h. die 1-Kette c#B ] hat keinen Rand oder, anders ausgedruckt, magnetische Flu linien sind stets geschlossen. Fur kunftige Zwecke vermerken wir, da eine analoge Rechnung fur eine Dierentialform ! mit beliebigem Grad deg(!) zu der Relation c#d!] = (;1)deg(!)+1 @c#!] : fuhrt. Als nachstes fuhren wir den in Abschn. 1.5 angekundigten Beweis der A quivalenz des Induktionsgesetzes zu einem Erhaltungssatz fur magnetische Flu linien. Dazu zeigen wir zunachst, da die Bewegung eines Systems magnetischer Flu linien mit Geschwindigkeitsfeld v die elektrische Feldstarke E = (v)B induziert. Das Argument ist wie folgt. In Abwesenheit eines elektrischen Feldes wirkt im (lokalen) Ruhesystem der Flu linien auf einen geladenen Testkorper keine Kraft insbesondere erleidet der Testkorper keine Beschleunigung. Daran darf sich nach dem Relativitatsprinzip nichts andern, wenn wir in ein gleichformig geradlinig bewegtes Bezugssystem ubergehen, in dem die Flu linien wie die Testladung sich mit der Geschwindigkeit v bewegen. Die Testladung q unterliegt jetzt der Lorentz-Kraft K = ;(qv)B . Damit keine Beschleunigung eintritt, mu eine elektrische Kraft ;K wirken, die der Lorentz-Kraft genau die Waage halt. Dies erfordert aber die lokale Existenz einer elektrischen Feldstarke E = (v)B , wie behauptet. (In der Sprache der 8

Im Gegensatz hierzu benotigt der traditionelle Vektorkalkul zur Berechnung des magnetischen Flusses durch die Flache S das Skalarprodukt des Vektorfeldes von B mit dem Normalenvektor von S . Hierdurch wird die metrische Struktur des Raumes eingeschleppt, was ganz und gar unnotig und der Problemstellung an sich vollig fremd ist.

80

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

Relativitatstheorie besagt die Flu linien-Beziehung E = (v)B nichts weiter, als da E und B sich zu einem kovarianten Tensor zweiter Stufe, namlich der Faraday-Form F = B + E ^ dt, vereinigen.) Wir kommen jetzt zum zentralen Thema des Abschnitts: der Begrundung des Induktionsgesetzes im Flu linienbild. Ausgangspunkt hierzu ist das Postulat der Erhaltung des magnetischen Flusses. Im aktuellen Kontext besagt dieses Postulat, da magnetische Flu linien nicht abrupt verschwinden oder aus dem Nichts auftauchen. Zwar durfen sie sich auf jede erdenkliche Weise bewegen und ihre Form andern { sie konnen auch auf einen Punkt zusammenschrumpfen und auf diese Weise annihiliert oder im inversen Proze aus einem Punkt durch Expansion kreiert werden { aber der postulierte Erhaltungssatz verlangt, da all diese Vorgange kontinuierlich ablaufen. Da wir auf dem Gesetz dB = 0 (Nicht-Existenz magnetischer Monopole) insistieren, bleiben die magnetischen Flu linien au erdem zu allen Zeiten geschlossen. Seine mathematische Formulierung ndet der postulierte Erhaltungssatz im Verschwinden der totalen Zeitableitung der magnetischen Feldstarke, dB=dt = 0. Bekanntlich (hier wird noch ein Verweis benotigt) ist die totale Zeitableitung gleich der partiellen Zeitableitung B_ plus der duch das Stromen mit dem Geschwindigkeitsfeld v verursachten zeitlichen A nderung der Flu linien. Da letztere durch die Lie-Ableitung Lv = d(v) + (v)d von B ausgedruckt wird, schreibt sich der Erhaltungssatz in der Form d _ dt B = B + Lv B = 0 : (Es ist bequem, die Rechnung anhand der Dierentialform B durchzufuhren. Mit de Rhams Formalismus von Stromformen la t sie sich ohne weiteres auf die 1-Kette c#B ] ubertragen.) Nun vereinfacht sich aber mit dB = 0 und E = (v)B die Lie-Ableitung zu Lv B = d(v)B = dE , und es folgt das Induktionsgesetz 0 = dtd B = B_ + dE : Das Induktionsgesetz la t sich also als Kontinuitatsgleichung fur magnetische Flu linien verstehen. ahnliches Argument trit auch fur die elektrische Erregung zu... ... ...

1.7 Axiom 4: Materialgesetze Machen wir eine Bestandsaufnahme. Oben haben wir 12 unbekannte Funktionen : Raum
Zeit ! R eingefuhrt, namlich die 3+3+3+3 Komponenten der Feldgro en E , B , D und H . Dieser Zahl stehen bislang 8 skalare Gleichungen gegenuber. Es sind dies die 1 + 3 + 3 + 1 Komponenten der Gleichungen dD = , dH = j + D_ , ;dE = B_ und dB = 0 in dieser Reihenfolge. Wir haben also mehr zu bestimmende Funktionen als Bestimmungsgleichungen.

1.7 Axiom 4: Materialgesetze

81

Das Mi verhaltnis ist sogar noch gro er als es auf den ersten Blick scheint, denn die skalaren Gleichungen dD = und dB = 0 sind gar keine dynamischen Gleichungen sondern Nebenbedingungen. Erfullen namlich D und B diese Gleichungen zur Zeit t = 0, so tun sie das infolge der Gultigkeit der dynamischen Gleichungen dH = j + D_ und ;dE = B_ fur alle Zeiten. Aufgabe 1.7.1. Veriziere diese Aussage fur die Gleichung dD = . Zur Bestimmung von 12 zeitabhangigen Funktionen stehen bislang 6 dynamische Gleichungen bereit. Es mussen daher zusatzliche Beziehungen zwischen den Feldern geknupft werden, um das Gleichungssystem zu schlie en. Dies geschieht durch die sogenannten Materialgleichungen, welche die elektrische Erregung und die elektrische Feldstarke einerseits, und die magnetische Erregung und die magnetische Feldstarke andererseits, zueinander in Beziehung setzen. Sie lauten: D = "0 ? E und B = 0 ? H : Hierbei ist ? der Sternoperator (?dx = dy ^ dz ), und "0 und 0 sind zwei empirische Konstanten. "0 hei t die dielektrische Konstante des Vakuums und 0 die magnetische Permeabilitat des Vakuums . Die Materialgleichungen zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus. Sie sind linear, sie sind lokal (d.h. sie verknupfen die elektromagnetischen Feldstarken am Ort p und zur Zeit t mit den elektromagnetischen Erregungen nur am selben Ort und zur selben Zeit), und sie sind wegen der Invarianz des Sternoperators unter Euklidischen Bewegungen translations- und rotationsinvariant. Man kann zeigen, da diese Eigenschaften ihrerseits die Form der Materialgleichungen vollstandig bestimmen.9 Die Invarianz der Materialgleichungen unter Translationenen und Rotationen druckt die Homogenitat und Isotropie des Raumes aus. Die Materialgleichungen sind mathematisch sinnvoll: in beiden Fallen wird durch ? eine Dierentialform ersten Grades auf eine Dierentialform zweiten Grades abgebildet. Da die Operation des Sternoperators die physikalische Dimension der 1-Form auf der rechten Seite jeweils um die einer Lange erhoht, gilt fur die Dimensionen der Proportionalitatskonstanten

9

Die Gultigkeit der Materialgleichungen in der angegebenen Form setzt voraus, da in den inhomogenen Maxwell-Gleichungen durch und j die gesamte Ladungsdichte und Stromdichte erfat wird. Zur phanomenologischen Beschreibung von Festkorpern und anderen Materieformen ist es jedoch zweckmaig, nur einen ausgewahlten Teil der Ladungstrager explizit zu behandeln und den Rest durch Umdenition der Felder D und H aus dem Gleichungssystem zu eliminieren. Wie wir Abschn. 1.11 sehen werden, gehen dabei im allgemeinen Lokalitat, Rotationsinvarianz, Translationsinvarianz und Linearitat der Materialgleichungen verloren.

82

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

#D] = Ladung2  #"0 ] = Lange #E] EnergieLange #B] = Energie2 Zeit2 : #0 ] = Lange #H] Ladung Lange Im SI-Ma system ist 0 per Denition der Stromeinheit Ampere auf den numerischen Wert 0 = 4
10;7 Newton=(Ampere)2 festgelegt. (Newton ist die Krafteinheit Kilogramm
Meter=(Sekunde)2 .) Zum numerischen Wert von "0 werden wir gleich noch etwas sagen. In Koordinatendarstellung bezuglich eines kartesischen Koordinatensystems haben wir D12 = "0 E3  D23 = "0 E1  D31 = "0 E2  B12 = 0 H3  B23 = 0 H1  B31 = 0 H2 : Die durch die Materialgleichungen geknupften Verwandtschaften honorieren wir dadurch, da wir E wie D pauschal das elektrische Feld nennen, und B wie H pauschal das magnetische Feld. Alle Gro en E , D, B und H zusammen nennen wir das elektromagnetische Feld. Zusammenfassung. An dieser Stelle tragen wir alle Gleichungen zusammen, denen die elektromagnetischen Felder genugen: inhomogene Materialhomogene Maxwell-Gln Gleichungen Maxwell-Gln dD = D = "0 ? E dE = ;B_ _ dH = j + D B = 0 ? H dB = 0 Dies sind die Grundgleichungen der elektromagnetischen Theorie. Fur vorgegebene Ladungen und Strome bilden sie ein vollstandig determiniertes System. Zum Beispiel kann man die 1-Formen E und H zugunsten der 2-Formen D und B eliminieren und erhalt: D_ = ;j + 0 ;1 d ? B  B_ = ;"0;1 d ? D : Diese Gleichungen zusammen mit den Nebenbedingungen dD = und dB = 0 denieren ein eindeutig losbares Anfangswertproblem, das wir im Kapitel uber elektromagnetische Wellenausbreitung untersuchen werden. Aufgabe 1.7.2. Dem elektromagnetischen Feld werden mittels ? und des kanonischen Isomorphismus I die Vektorfelder E = I ;1 E , B = I ;1 ? B , D = I ;1 ? D und H = I ;1H zugeordnet. Au erdem sei ! := ? und j := I ;1 ?j . Zeige, da die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie unter diesen Zuordnungen mit den in Abschn. 0.10 denierten Dierentialoperatoren div und rot die folgende Gestalt annehmen: divD = !, rotH = j + @ D=@t, ;rotE = @ B=@t, divB = 0, D = "0 E und B = 0 H.

1.7 Axiom 4: Materialgesetze

83

Metrische und dierentielle Struktur. In den Grundgleichungen der elektromagnetischen Theorie, so wie sie oben aufgeschrieben sind, sehen wir die differentielle Struktur des Raumes (und der Zeit) von seiner metrischen Struktur klar getrennt. Die homogenen und inhomogenen Maxwell-Gleichungen enthalten neben den Feldern und Stromen nur den Dierentialoperator d. Da d metrikfrei erklart ist, sind die Maxwell-Gleichungen nicht an die metrische Struktur von E3 gebunden. Dies hat die erfreuliche Konsequenz, da sie beim U bergang zu einer gekrummten Raum-Zeit, wie sie die Einsteinsche Gravitationstheorie erfordert, ihre Gultigkeit behalten. Im Gegensatz hierzu hangen die Materialgleichungen durch den Sternoperator sehr wohl von der metrischen Struktur des Raumes ab. (Wie wir in der zweiten Halfte der Vorlesung sehen werden, bestimmen die empirischen Konstanten "0 und 0 eine Lorentzsche metrische Struktur auf der vierdimensionalen Raum-Zeit.) Bei der Einfuhrung der Maxwell-Gleichungen via Denition der Felder bzw. per Postulat haben wir alle Gleichungen in dierentieller Form jeweils auch in Koordinatendarstellung angegeben. Wir mochten hier besonders hervorheben, da diese Gleichungen in allen Koordinatensystemen { krummlinige eingeschlossen { dieselbe Form haben. Hierfur sind die kartesischen Koordinaten x1  x2  x3 lediglich durch krummlinige Koordinaten  1   2   3 zu ersetzen. Fur die Materialgleichungen in der angegebenen Koordinatendarstellung ist jedoch die Orthonormalitat der Basis dx1  dx2  dx3 wesentlich. Sie andern beim U bergang zu krummlinigen Koordinaten ihre Form. Paritatsinvarianz. Gehen wir zuruck und inspizieren wir die Formulierung aller Gesetze, dann fallt uns auf, da wir nirgendwo die Orientierung des Raumes benutzen mu ten... ... ... Magnetische Monopole. Wir wollen den Faden noch etwas weiter spinnen und auf die Moglichkeit hinweisen, da neben den elektrischen Ladungen auch magnetische Ladungen { als dynamische Gro en { existieren konnten. Der Widerspruch zum Relativitatsprinzip entstand ja dadurch, da das Induktionsgesetz in der angegebenen Form nur statische Ladungen (und somit gar keine) zula t. Wenn wir den magnetischen Ladungen eine dynamische Existenz zugestehen und das Induktionsgesetz um eine magnetische Stromdichte jm erweitern, entsteht das Gleichungssystem dB = m  dD = e  ;dE = jm + B_  dH = je + D_  wobei die Symbole e  je fur  j stehen. Dieses Gleichungssystem ist unter der Voraussetzung, da das Gesetz der Ladungserhaltung auch fur magnetische Ladungen gilt, mit allen bekannten Prinzipien der Physik vertraglich (siehe dazu Kap. ??), und es zeichnet sich au erdem durch eine perfekte Symmetrie { von einem Vorzeichen abgesehen { zwischen den elektrischen und magnetischen Feldern aus. Es ist aber bis heute nicht gelungen, die Existenz

84

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

magnetischer Ladungen experimentell nachzuweisen. Die Natur hat anscheinend von dieser theoretischen Moglichkeit keinen Gebrauch gemacht.10 Lichtgeschwindigkeit. Oben haben wir die physikalische Dimension der Naturkonstanten "0 und 0 angegeben. Die Kombination c := ("0 0 );1=2 hat, wie man sieht, die physikalische Dimension einer Geschwindigkeit. Um die Bedeutung dieser Geschwindigkeit zu klaren, machen wir eine kleine Rechnung. Im Vakuum, d.h. in Abwesenheit von Ladungen und Stromen, reduzieren sich die Feldgleichungen fur D und B zu dD = 0  dB = 0  D_ = 0 ;1 d ? B  B_ = ;"0 ;1 d ? D : Spezielle Losungen hiervon sind leicht zu nden. Betrachte zum Beispiel fur eine dierenzierbare Funktion f : R ! R die Ausdrucke B = f (z ; ct)dz ^ dx und D = (0 c);1 f (z ; ct)dy ^ dz : Die angegebenen Flu dichten sind oensichtlich quellenfrei (dD = dB = 0), und an den Gleichungen B_ = ;cf 0(z ; ct)dz ^ dx = ;"0 ;1 d ? D  D_ = 0 ;1 f 0 (z ; ct)dz ^ dy = 0 ;1 d ? B erkennt man, da auch die dynamischen Feldgleichungen fur B und D erfullt sind. Was ist nun die Bedeutung dieser Losung der Gleichungen fur das elektromagnetische Feld im ladungsfreien Raum? Sei dazu f eine \lokalisierte" Funktion (Abb. 1.7) mit Maximum bei Null. Die angegebene Losung beschreibt dann eine planare, in z -Richtung raumlich lokalisierte elektromagnetische Welle, deren Kamm zur Zeit t auf der Ebene z = ct liegt. Die Welle bewegt sich (ohne A nderung ihres Prols) mit der Geschwindigkeit c fort. c ist also die Lichtgeschwindigkeit, d.h. die Fortpanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum. Messungen haben fur c den Wert c = 2:9979
108 Meter=Sekunde ergeben. Hierdurch ist jetzt auch die Konstante "0 festgelegt. Sie hat den numerischen Wert "0 = 1=0 c2 = 8:8544
10;12 (Coulomb)2 =(Joule
Meter). 10

Es sind theoretische Anstrengungen gemacht worden, Materie und Strahlung bei extrem hohen Energiedichten, wie sie z.B. fur den Bruchteil einer Sekunde nach dem Urknall existierten, durch sogenannte "groe vereinheitlichte Feldtheorien\ (engl. grand uni
ed theories, kurz: GUTs) zu beschreiben. In diesen Feldtheorien werden magnetische Ladungen als topologisch nichttriviale Losungen der Feldgleichungen auf ganz naturliche Weise und in reicher Anzahl produziert. Es ist fur solche Feldtheorien daher problematisch, da magnetische Ladungen bislang nicht beobachtet worden sind. GUTs werden durch die Nichtbeobachtung magnetischer Ladungen aber nicht ausgeschlossen, denn es lassen sich kosmologische Modelle konstruieren, die fur eine hinreichend groe "Ausdunnung\ der magnetischen Ladungen sorgen. Beachte auch die physikalische Dimension  m] = Energie/Strom = Wirkung/Ladung. Dirac hat schon 1932 gezeigt, da magnetische Ladungen, wenn sie existieren, den Prinzipien der Quantentheorie zufolge nur als ganzzahlige Vielfache von h=e mit h dem Planckschen Wirkungsquantum und e der Elektronladung auftreten konnen.

1.8 Energiesatz f (z-ct1)

85

f (z-ct2)

t1 < t2

z z = ct1

Abbildung 1.7. Fortp

anzung einer Wellenfront

z = ct2

1.8 Energiesatz In einer zeithomogenen Welt gilt ganz prinzipiell das Gesetz der Energieerhaltung. Da das elektromagnetische Feld auf geladene Korper Krafte ausubt und ihnen auf diese Weise Energie zufuhrt oder entzieht, mu auch das elektromagnetische Feld Trager von Energie sein. Ausdrucke fur die Energiedichte und die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes werden aus den Grundgleichungen der Theorie wie folgt hergeleitet. Leistung des Feldes an der Materie. In einem vorbereitenden Schritt betrachten wir uber ein Gebiet V kontinuierlich verteilte Ladungstrager mit elektrischer Ladungsdichte . Jedem Punkt p 2 V werde durch das Vektorfeld v : V ! R3 (fur eine feste Zeit t) die lokale Geschwindigkeit v(p) der Ladungstrager zugeordnet. Gema ihrer Denition leistet die elektrische Feldstarke E an einem ausdehnungslosen Korper am Ort p mit Ladung q und Geschwindigkeit v(p) pro Zeiteinheit die Arbeit qEp (v(p)) = qiv(p) Ep . Materie in U wird also pro Zeiteinheit insgesamt die Energie RDer igeladenen E zugef u hrt. Wegen ^ E = 0 (als 4-Form im E3 mu ^ E verv V schwinden) gilt iv ( ^ E ) = 0 und folglich iv E = (iv ) ^ E . Mit iv = j (siehe 1.2.1) haben wir dann fur die Gesamtleistung den Ausdruck R E ^Aufgabe j . Besteht die Materie { wie das z.B. fur einen Festkorper oder ein V zweikomponentiges Plasma der Fall ist { aus mehreren durch k = 1 ::: N indizierten Komponenten, so fuhren wir die obige U berlegung fur jede Komponente separat durch und bilden am Ende diePSumme. Der Ausdruck fur die Gesamtleistung bleibt dann richtig mit j = j (k) . Aufgabe 1.8.1. Zeige, da die Leistung der magnetischen Feldstarke an der Materie gleich Null ist. (Tip: nach Aufgabe ?? hat die Lorentz-Kraft Kp auf einen Korper am Ort p mit Ladung q und Geschwindigkeit v(p) den Ausdruck Kp = ;qiv(p) Bp .) Im zweiten Schritt berechnen wir die Zeitableitung der 3-Form E ^ D: @ @ _ _ _ @t (E ^ D) = "0 @t (E ^ ?E ) = "0 (E ^ ?E + E ^ ?E ) = 2E ^ D : Ganz analog zeigt man die Relation @^t (B ^ H ) = 2B_ ^ H . Es folgt

86

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

1@ _ _ 2 @t (E ^ D + B ^ H ) = E ^ D + B ^ H = E ^ (dH ; j ) + (;dE ) ^ H = ;d(E ^ H ) ; E ^ j  wobei fur das zweite Gleichheitszeichen die dynamischen Maxwell-Gleichungen D_ = dH ; j und B_ = ;dE benutzt wurden. Dieses Resultat nimmt mit den Denitionen u = (E ^ D + B ^ H )=2 und s = E ^ H die folgende Gestalt an: u_ + ds = ;E ^ j : Die rechte Seite ist, wie wir schon wissen, nach Integration uber V gleich der Rate der Energie, die vom elektromagnetischen Feld an die geladene Materie abgegeben wird. Die linke Seite hat { fur verschwindende rechte Seite und mit den Identikationen u ! , s ! j { die dierentielle Form einer Kontinuitatsgleichung. Die Interpretation des Resultats liegt somit auf der Hand: die 3-Form u = 21 (E ^ D + B ^ H ) ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, und die 2-Form s=E^H ist seine Energiestromdichte. E ^ H hei t traditionell \Poynting-Vektor". Wir nennen diese Gro e besser die Poynting-2-Form. Beachte, da { im Unterschied zur N -Teilchen-Mechanik, wo die potentielle Energie des Systems dem Raum nicht lokal zugeordnet ist { Energie und Energiestrom des elektromagnetischen Feldes lokalisierbar sind: mit Kenntnis von u und s konnen wir quantizieren, wo sich die Energie des elektromagnetischen Feldes bendet und wohin im Raum sie stromt.11 Aufgabe 1.8.2. Fur die in Abschn. 1.7 (Lichtgeschwindigkeit) angegebene Losung der Feldgleichungen gilt: E ^D = B ^H = u = 0 ;1 f (z ;ct)2 dx^dy ^dz und E ^ H = c0 ;1 f (z ; ct)2 dx ^ dy. Interpretiere dieses Ergebnis.

1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen Motivation. An der Grenzache zwischen zwei Medien konnen sich in singularer Konzentration Ladungen ansammeln oder Strome ie en. Prominente Beispiele hierfur sind Metall-Vakuum- oder Supraleiter-Vakuum-Grenzachen. Die Ladungen und Strome in der Grenzache werden in makroskopischer Naherung als ausdehnungslos in der zur Grenzache senkrechten Richtung angesehen. Es resultieren dann gewisse Anschlu bedingungen, die festlegen, wie sich die Tangentialkomponenten des elektromagnetischen Feldes uber 11 Die hier angestellte Betrachtung legt u und s nicht eindeutig fest... in die angegebene Form geht eine zusatzliche Hypothese ein...

1.9 Anschlubedingungen an Grenz achen

87

die Grenzache hinweg fortsetzen. Die Herleitung dieser Anschlu bedingungen ist eine einfache Anwendung der homogenen und inhomogenen MaxwellGleichungen in integraler Form. Als Nebenprodukt erhalten wir Me vorschriften fur D und H , welche die schon angegebenen Me vorschriften fur E und B komplettieren. Anschlu bedingungen fur die Feldstarken. Gegeben seien zwei Medien 1 und 2, die von einer R Grenz R ache gegeneinander abgegrenzt werden. Das Induktionsgesetz ; @S E = S B_ erlaubt die Herleitung einer Anschlu bedingung fur die elektrische Feldstarke E in der folgenden Weise. Wie in Abb. 1.8a gezeigt ist, schneiden wir die Grenzache mit einem zweidimensionalen Flachenstuck S . Der Rand @S ist ein geschlossener Weg, der die Grenzache im Punkt a durchsticht, im Medium 1 parallel zur Grenzache (d.h. in konstantem Abstand von ihr) langs 1 verlauft, die Grenzache im Punkt b erneut durchsticht und schlie lich im Medium 2 parallel zu 1 langs 2 zum Ausgangspunkt zuruckkehrt. Die Kurvenstucke senkrecht zur Grenzache haben die Lange `. Wir schicken ` gegen Null. Unter dieser Kontraktion konvergieren die Kurven 1 und 2 gegen ; bzw.  (Abb. 1.8b). R Gleichzeitig verschwindet die Flache von S und somit auch das Integral S B_ , denn die Zeitableitung der magnetischen Feldstarke B ist regular. Es folgt

Z



(E (2) ; E (1) ) = 0 

wobei E (i) (i = 1 2) den Grenzwert bezeichnet, dem E bei Annaherung an die Grenzache vom Medium i her zustrebt. Aus der Beliebigkeit von  schlie en wir nun, da sich die Tangentialkomponenten von E uber die Grenzache hinweg stetig fortsetzen.

(a)

:

Medium 1

a

γ1

b

Querschnitt durch die Grenzflache

γ2

:

l

Flache S

a

1

Medium 2 b

γ

2

(b)

Abbildung 1.8. Skizze zur Herleitung der Anschlubedingung fur die elektrische Feldstarke an der Grenz ache zweier Medien

88

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

:

ZurR Herleitung einer Anschlu bedingung fur B gehen wir von der Gleichung @V B = 0 aus und wahlen das Gebiet V als einen deformierten Quader, welcher einen Teil der die Medien 1 und 2 gegeneinander abgrenzenden Trennache enthalt (Abb. 1.9). Der Rand von V besteht aus zwei gro en Seitenachen S1 und S2 , die parallel zur Grenzache in den Medien 1 bzw. 2 liegen, und vier kleinen Seitenachen senkrecht zur Grenzache. Die Orientierung des deformierten Quaders bestimmt eine Orientierung auf S1 und auf S2 . Wir lassen die RLange der Kanten senkrecht zur Grenzache wieder gegen Null gehen. Zu @V B tragen dann nur die Flachenstucke S1 ! ;S und S2 ! S bei. Bezeichnen wir den Grenzwert von B bei Annaherung von Grenzflache

S2

S1

(hinten)

:

V

(vorn)

Linie in der Grenzflache

Abbildung 1.9. Skizze zur Herleitung der Anschlubedingung fur die magnetische

Feldstarke

Medium i an die Grenzache mit B (i) (i = 1 2), so erhalten wir

Z

S

(B (2) ; B (1) ) = 0 :

Da S ein beliebiger Teil der Grenzache ist, folgt die Stetigkeit der zur Grenzache tangentialen Komponente von B . In traditionellen Lehrbuchern ndet man an dieser Stelle immer die Aussage, es sei die Normalkomponente von B , die sich stetig verhielte. Dazu ist folgendes anzumerken. Die traditionelle Formulierung des Gesetzes von der Quellenfreiheit der magnetischen Flu dichte B besagt in Worten, da die uber eine geschlossene (aber ansonsten beliebige) Flache integrierte Normalkomponenente des Vektorfeldes B = I ;1 ? B verschwindet. Die sich hieraus ergebende Anschlu bedingung fur B ist \metrisch verseucht", setzt sie doch

1.9 Anschlubedingungen an Grenz achen

89

uber den Begri des Normalenvektors einer Flache eine metrische Struktur voraus, die, wie unsere Herleitung zeigt, fur diesen Zweck uberhaupt nicht gebraucht wird! Wir vertreten den Standpunkt, da physikalische Gro en wie die magnetische Flu dichte B , deren Bestimmung es ist, uber Flachen integriert zu werden, als Dierentialformen zweiten Grades aufzufassen sind. R Nach Abschn. 0.14 ist fur ein orientiertes Flachenstuck S das Integral S B durch die zu S tangentiale Komponente von B vollstandig bestimmt. Um mit der traditionellen Formulierung der Anschlu bedingung ubereinzustimmen, mu ten wir von unseren Konventionen abweichen und in Koordinatendarstellung B = Bxy dx ^ dy + Byz dy ^ dz + Bzx dz ^ dx z.B. die zur xy-Ebene tangentiale Komponente Bxy in \Normalkomponente" umbenennen. Eine solche Umbenennung ware inkonsequent. Anschlu bedingungen fur die Erregungen. Das Verhalten ErR der elektrischen R regung D an Grenzachen wird durch das Gesetz @V D = V bestimmt. Wir betrachten nochmals Abb. 1.9 und fuhren denselben Grenzproze durch wie fur die magnetische Feldstarke B . Falls eines der beiden Medien elektrisch leitet, ist jetzt die Moglichkeit zu berucksichtigen, da sich an der Grenzache elektrische Ladungstrager in sehr hoher Dichte ansammeln. Typischerweise konzentrieren sich solche Oberachenladungen in einer dunnen Schicht von etwa 10;10 Metern Dicke. Fur alle praktischen Zwecke der makroskopischen Physik ist es zulassig, eine so kleine Lange wie 10R ;10m durch Null zu ersetzen. Mit dieser Idealisierung bleibt das Integral V fur ` !R 0 endlich. R Wir denieren die Flachenladungsdichte , eine 2-Form, durch V ! S  fur `R ! 0. Mit denselben Schreibkonventionen wie vorher folgt die Gleichung (2) ; D(1) ) = R  oder, in dierentieller Form ( D S S
(2) (1)
(D ; D ) tang =   d.h. die Tangentialkomponente von D verhalt sich uber die Grenzache hinweg unstetig, und die Diskontinuitat ist gerade gleich der Flachenladungsdichte . Um eine Anschlu bedingung fur die magnetische Erregung H herzuleiR R ten, gehen wir vom Amp'ere-Maxwell-Gesetz @S H = S (j + D_ ) aus und stellen eine ahnliche U berlegung an wie fur die elektrische Feldstarke E . Der Unterschied zu vorher besteht darin, da wir zwar die Regularitat von D_ { wie zuvor von B_ { voraussetzen, aber singulares Verhalten der Stromdichte j in der Grenzache zulassen. Ein typisches Beispiel sind Vakuum-SupraleiterGrenzachen mit gro en Oberachenstromen in einer Schichtdicke von etwa `  10;7 Metern, die fur die Zwecke der makroskopischen Physik vernachlassigt werden kann. Wir charakterisieren die singulare Stromdichte an der Grenzache durch die Linienstromdichte k, eine 1-Form, die folgenderma en deniert ist. Betrachte einen in der Grenzache liegenden Weg  und ein Flachenstuck S , das die Grenzache langs  schneidet (Abb. 1.10). Die Orientierung von S wird so gewahlt, da der Durchlaufsinn von @S im Medium 2 mit dem von  ubereinstimmt. Mit diesen Konventionen verlangen

90

1. Prinzipien des Elektromagnetismus ..

Medium 1 (oben)

Grenzflache

γ

S

positiver Strom Medium 2 (unten)

Abbildung 1.10. Das Wegintegral der Linienstromdichte k langs ist gleich dem

kreuzenden Strom. Die positive Stromrichtung wird durch den gestrichelten Pfeil angedeutet.

R

R

wir S j ! k fur ` ! 0, d.h. das Integral der Linienstromdichte langs  ist gleich dem  kreuzenden Strom. Aus der Denition von j uber die RechteHand-Regel (Abschn. 1.2) ergibt sich die in Abb. 1.10 durch den gestrichelten Pfeil angedeutete positive Stromrichtung. Ausfuhren des Grenzprozesses `R ! 0 im Amp'ere-Maxwell-Gesetz resultiert dann in der Anschlu bedingung (2) ; H (1) ) = R k . Ihre dierentielle Formulierung ( H




(H (2) ; H (1))
tang = k besagt, da der tangentiale Teil von H beim Durchgang durch die Grenzache um die Linienstromdichte k springt. Aufgabe 1.9.1. Es seien p ein Punkt in der stromfuhrenden Grenzache und v ein Vektor, der am Punkt p tangential zur Grenzache liegt. Weiter sei u irgendein Vektor, der am Punkt p ins Medium 2 hineinzeigt. Begrunde warum kp (v) unabhangig von der genauen Wahl von u durch den Ausdruck

kp (v) =

Z +" ;"

jp+su (u v)ds

gegeben ist. Me vorschrift fur D. Metallische Leiter werden durch die freie Beweglichkeit eines Teils ihrer Ladungstrager, der sogenannten Leitungselektronen, charakterisiert. Ein Leiter im Gleichgewicht ist in seinem Inneren notwendig elektrisch feldfrei, denn eine von Null verschiedene elektrische Feldstarke wurde ja die frei beweglichen Ladungstrager beschleunigen und einen Strom bewirken. Die Feldfreiheit wird durch Oberachenladungen erzielt, die sich auf der Leiteroberache justament so ansammeln, da sie das Leiterinnere gegen ein au eres elektrisches Feld abschirmen. Wegen D = "0 ? E 12 verschwindet mit 12

Von der metrischen Struktur wird hier kein wesentlicher Gebrauch gemacht. Wir benuzen lediglich E = 0 , D = 0.

1.9 Anschlubedingungen an Grenz achen

91

der elektrischen Feldstarke auch die elektrische Erregung D im Inneren eines Leiters im Gleichgewicht. Dieser Sachverhalt ermoglicht im Prinzip die Messung von D durch folgende Prozedur. Unsere Aufgabe bestehe darin, R fur ein vorgegebenes (orientiertes) Flachenstuck S den elektrischen Flu S D zu messen. Fur diesen Zweck beschaen wir uns eine Me sonde, die aus zwei S nachgeformten, dunnen Metallplatten besteht. Vor Me beginn werden die beiden Platten in den elektrisch neutralen Zustand versetzt und aufeinandergelegt. Die Platten im vereinigten Zustand bringen wir mit dem Flachenstuck S zur Deckung, um sie dann wieder zu separieren (vgl. Abb. 1.11). Die Platten sind jetzt elektrisch geladen. (Wahrend (a)

S

(b)

+Q

(c) +

+ −

+

D=0

−

−

+ −

+Q -Q

-Q

Abbildung 1.11. Zur Messung von D: Zwei Metallplatten werden mit der orientierten Flache S zur Deckung gebracht (a) und dann separiert (b). In (c) ist die Abschirmung des elektrischen Flusses (D = 0) durch die induzierte Flachenladungsdichte in einer Seitenansicht skizziert. Eine gute Abbildung (c) wurde das Abknicken der elektrischen Flulinien andeuten. Die elektrischen Flulinien laufen ja immer senkrecht auf metallische Oberfl achen zu. Auerdem ben otigt die Fl ache eine  auere Orientierung.

S

des Kontakts rearrangierten sich die Leitungselektronen, um das Innere der vereinigten Metallplatten gegen die elektrische Feldstarke am Ort der Messung abzuschirmen.) Die Ladungen der beiden Platten sind dem Betrag nach gleich und im Vorzeichen verschieden. Durch das Flachenstuck S wird beiden Platten eine Orientierung mitgegeben. Wir messen die Ladung derjenigen Platte, die von au en gesehen die mathematisch positive Orientierung (Gegenuhrzeigersinn) tragt. Aus der Anschlu bedingung, die D uber eine geladene Platte hinweg fortsetzt, und aus dem Verschwinden von D zwischen den innitesimal Platten folgt, da das Resultat der Messung gleich R D ist. Soll separierten die elektrische Erregung im Inneren eines Festkorpers gemessen S werden, so mussen wir ein Loch bohren und die Me sonde an die betreende Stelle bringen. Falls Zeitabhangigkeit vorliegt, mussen wir schneller messen als das Feld D sich andert. Aufgabe 1.9.2. Die Me vorschrift fur D basiert auf dem Gau schen Gesetz (dD = ). Nun wird aber D durch dD = nicht eindeutig festgelegt, denn mit D ist ja auch D +d Losung der Gleichung! Man konnte daher einwenden, da eine blo e Ladungsmessung zur Bestimmung von D nicht ausreichen kann. Warum funktioniert die Me vorschrift trotzdem?

92

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

Me vorschrift fur H. Supraleiter13 haben die hochinteressante Eigenschaft, Magnetfelder unterhalb einer kritischen Starke vollstandig aus ihrem Inneren zu verdrangen. Man sagt, Supraleiter seien perfekte Diamagneten. Die Magnetfeldverdrangung wird dadurch erreicht, da an der Oberache eines Supraleiters Strome zirkulieren, deren Magnetfeld das externe Magnetfeld im Inneren des Supraleiters exakt kompensiert. Dieser Eekt gestattet im Prinzip die Messung von H durch eine Prozedur, die der oben beschriebenen Me vorschrift fur D analog ist. Sie basiert auf der Anschlu bedingung fur die Tangentialkomponente von H und funktioniert folgenderma en. Wir stellen Runs die Aufgabe, fur einen beliebigen Weg  die magnetische Spannung H zu messen. Dazu verwenden wir einen schlauchformigen Testkorper aus supraleitendem Material (Abb. 1.12). Der Schlauch sei in Form Suprastrom

γ

Abbildung 1.12. Skizze zur Mevorschrift fur H und Lange dem Weg  exakt nachgebildet, habe aber einen endlichen Querschnittradius ( 10;7 m) (Erinnerung daran, wie es zu dieser mikroskopischen L ange kommt). Wir bringen den supraleitenden Schlauch an den Me ort. Der Supraleiter setzt dann in Reaktion auf ein au eres Magnetfeld Strome in Bewegung, die an seiner Oberache ie en und die magnetische Flu dichte B , und damit auch die magnetische Erregung H , aus seinem Inneren vollig verdrangen. Auf der Oberache des Schlauches sei eine Me apparatur angebracht (Gedankenexperiment), die es uns gestattet, den um den Schlauch zirkulierenden Oberachenstrom zu messen. Wir messen den Oberachenstrom durch den Weg R  . Das Resultat der Messung ist dann gleich der zu messenden Gro e H .

R

Aufgabe 1.9.3. Begrunde warum fur das korrekte Vorzeichen von H die positive Stromrichtung so wie in Abb. 1.12 durch Pfeile angedeutet zu wahlen ist.

13

Supraleitung ist ein quantenmechanisches Vielteilchenphanomen, fur dessen Erklarung wir auf die Lehrbucher der theoretischen Festkorperphysik verweisen mussen.

1.10 Elektrodynamik in Materie

93

1.10 Elektrodynamik in Materie Motivation. Die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zusammen mit dem Kraftgesetz fur bewegte Ladungen geben im Prinzip eine vollstandige Beschreibung elektromagnetischer Phanomene im Rahmen der klassischen Physik. Ihre Gultigkeit setzt jedoch voraus, da in die inhomogenen MaxwellGleichungen wirklich alle Ladungen und Strome eingehen { die in Materie auf atomaren oder mikroskopischen Skalen existierenden eingeschlossen. Dieser Umstand nimmt der oben formulierten exakten Theorie ihre Vorhersagekraft, denn die atomaren Ladungsverteilungen und -bewegungen und ihre Reaktion auf elektromagnetische Felder sind im allgemeinen zu kompliziert, als da wir hoen konnten, sie im Detail zu erfassen. Zudem erfordert ihre korrekte Beschreibung den Formalismus der Quantenstatistik, der den Rahmen dieser Vorlesung bei weitem sprengt. Um das schwierige Problem der Berechnung atomarer Prozesse von unserem eigentlichen Ziel, namlich der Vorhersage makroskopischer elektromagnetischer Phanomene, abzutrennen, fuhren wir Naherungen ein und formulieren eine Maxwellsche Theorie in Materie, welche die mikroskopischen Details auf einfache Weise berucksichtigt. Unser Vorgehen wird dabei so sein, da wir im ersten Schritt ein exaktes Umschreiben der elektromagnetischen Theorie vornehmen. Im zweiten Schritt fuhren wir dann ein Raum- und Zeitmittel durch, das die in Materie rapiden Schwankungen der elektromagnetischen Felder auf mikroskopischen Skalen eliminiert, und ersetzen die Materialgleichungen durch phanomenologische Beziehungen. Wir beginnen, indem wir eine Aufspaltung der Ladungen und Strome in zwei Anteile vornehmen: = ext + mat  und j = j ext + j mat: Den jeweils ersten Summanden nennen wir den externen Anteil, den zweiten den Materieanteil. Generell haben wir uns vorzustellen, da sich die externen Ladungen und Strome au erhalb der Materie benden oder jedenfalls durch au eren Zugri manipuliert werden konnen. Im Unterschied hierzu ist der Materieanteil der sich jenseits unserer Kontrolle bendliche Anteil, welcher sich in Reaktion auf die Kraftwirkung elektromagnetischer Felder in Materie einstellt. Die Aufspaltung in zwei Anteile ist nicht immer eindeutig, sondern mu der jeweiligen Problemstellung angepa t werden. Eine sinnvolle Aufspaltung erfullt die Kontinuitatsgleichung _ext + dj ext = 0 : Es folgt dann mit _ + dj = 0 auch die Kontinuitatsgleichung fur Materieladungen und -strome. Wir vereinbaren au erdem, uberschussige Ladungen immer als extern zu zahlen, d.h. mat verschwinde nach Integration uber den gesamten von Materie erfullten Raumbereich. Elektrische Polarisierung. In einem polarisierbaren Medium bewirkt die Anwesenheit elektrischer Felder eine Umorganisation der mikroskopischen Ladungen. Zwei Mechanismen sind zu nennen. Zum einen konnen durch die

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1. Prinzipien des Elektromagnetismus

Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke Ladungen, die sich sonst neutralisieren, gegeneinander verschoben werden, zum anderen richten sich permanent getrennte Ladungen, z.B. Molekule mit einem statischen Dipolmoment, langs des elektrischen Feldes aus (Abb. 1.13). Die Umorganisation von Ladungen

+ + + + +

- +

-

- + - +

-

- +

+ - +

Abbildung 1.13. Polare Molekule (z.B. in einem Losungsmittel) richten sich im elektrischen Feld aus.

wird durch die elektrische Polarisierung P , eine 2-Form, R quantitativ erfa t. Fur eine beliebige orientierte Flache S denieren wir S P als die gesamte Materieladung, die infolge der Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke durch S \hindurchgeschoben" wurde. Dabei zahlen wir die Materieladung relativ zu einem lokal neutralen Referenzzustand in der fernen Vergangenheit. Ist V ein dreidimensionales Gebiet mit Rand @V , so folgt:

Z

V

mat = Qmat(V ) = ;

Z

@V

P =;

Z

V

dP :

Das Minuszeichen erklart sich aus der Tatsache, da das Hinausie en positiver Ladung durch @V eine entsprechende negative Ladung in V zuruckla t. Die Beliebigkeit von V resultiert in mat = ;dP: U berdeckt V den gesamten materieerfullten Raum, so ergibt R sich wegen P = 0 au erhalb der Materie die Gleichung Qmat(V ) = ; @V P = 0, d.h. die gesamte Materieladung verschwindet in U bereinstimmung mit der oben getroenen Vereinbarung. Magnetisierung. Das magnetische Analogon zu einem elektrisch polarisierbaren Medium ist ein Material, das sich unter dem Einu einer magnetischen Feldstarke B magnetisch ordnet. In der Atomphysik lernt man, da der orbitale Drehimpuls und der Spin von Elektronen in ungesattigten Atomhullen Ursache eines atomaren magnetischen Dipolmoments ist. In einem simplen klassischen Bild konnten wir uns vorstellen, da die Elektronen der Atomhulle sich auf elliptischen Bahnen bewegen, was einem atomaren Kreisstrom, und somit einem magnetischen Dipolmoment (siehe Kap. 2), entspricht. Diese

1.10 Elektrodynamik in Materie

95

atomaren Kreisstrome werden durch die Kraftwirkung der magnetischen Feldstarke polarisiert, d.h. sie richten sich im Feld partiell aus und addieren sich zu einem lokalen Gesamtstrom, dem sogenannten Magnetisierungsstrom. Zur quantitativen Beschreibung dieses Sachverhalts fuhren wir die Magnetisierung M , eineR 1-Form, ein. Sie ist durch die Forderung deniert, da das Linienintegral M fur eine beliebige Kurve  dem um  zirkulierenden Magnetisierungsstrom gleich sei (Abb. 1.14).

γ

Abbildung 1.14. Das Linienintegral R
M

Magnetisierungsstrom.

ist gleich dem um zirkulierenden

Zur Herleitung einer zu mat = ;dP analogen Formel fur j mat betrachten wir eine orientierte Flache S und berechnen den gesamten Materiestrom I mat(S ) durch S . Dabei ist zu berucksichtigen, da zu I mat(S ) neben dem Magnetisierungsstrom auch der von der zeitlichen A nderung von P herruhrende Polarisierungsstrom beitragt. Es gilt daher Z Z Z Z @ mat mat j = I (S ) = @t P + M = (P_ + dM )  S S @S S woraus die folgende Gleichung resultiert: j mat = P_ + dM : Man uberzeugt sich leicht, da dieser Ausdruck zusammen mit jenem fur mat die Kontinuitatsgleichung fur die Materieladungen erfullt. Wie P verschwindet auch M au erhalb der Materie. Mathematische Argumentation. Vom didaktischen Gesichtspunkt leidet unsere Darstellung unter dem Mangel, da sie ein gewisses Verstandnis der Atomphysik sowie einiger Begrie wie des elektrischen und magnetischen Dipolmoments, die im folgenden erst noch zu entwickeln sind, voraussetzt. Wir wollen deshalb als zusatzliche Information anbieten, da die Gleichungen fur die Ladungs- und Stromdichte in Materie auch mathematisch gut motiviert sind (das Argument ist vollig analog zur Einfuhrung der elektromagnetischen Erregungen D und H in Abschn. 1.4), und zwar wie folgt. Als topdimensionale und deshalb geschlossene Form mit verschwindendem Raumintegral besitzt

96

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

mat ein Potential: mat = ;dP . Nach obiger Diskussion wird P als die Polarisierung identiziert. Wie mat ist auch die 2-Form j mat ; P_ geschlossen: d(j mat ; P_ ) = ; _mat + _mat = 0. Folglich ist sie nach Poincare auf jedem sternformigen Materiegebiet exakt, und wir konnen j mat ; P_ = dM setzen. Das Potential M la t sich wie oben erlautert als die Magnetisierungs-1-Form auassen. Maxwellsche Theorie in Materie. Es sei betont, da die Polarisierung P im allgemeinen nichtlokal von E abhangt. Anders ausgedruckt wird Pa (::: t) nicht nur durch E am Ort a zur Zeit t bestimmt, sondern auch durch die Werte von E zu fruheren Zeiten t0 < t und anderswo im Raum. Die Ursachen dieser Nichtlokalitat sind die Tragheit und endliche Ausdehnung der Materieladungen.14 Um die nichtlokale oder funktionale Abhangigkeit der Polarisierung von der elektrischen Feldstarke evident zu machen, schreiben wir auch P #E ] fur P . A hnlich wie P #E ] in nichtlokaler Weise von E abhangt, so ist auch M ein im allgemeinen nichtlokales Funktional der magnetischen Feldstarke B , und wir schreiben zur besonderen Betonung dieser Abhangigkeit M #B ] fur M . Wir konnen jetzt die Materieladungen und -strome zugunsten der Polarisierung P und der Magnetisierung M aus den Gleichungen der elektromagnetischen Theorie eliminieren. Dazu denieren wir die 2-Form D = D + P und die 1-Form H = H ; M . Die Gro en D und H sind Hilfsfelder ohne direkte physikalische Bedeutung. Sie genugen den modizierten inhomogenen Maxwell-Gleichungen dD = ; mat = ext und dH = j + D_ ; dM = j + D_ ; j mat = j ext + D_  in die nur noch der externe Anteil der Ladungen und Strome eingeht. Au erdem treten an die Stelle der Materialgleichungen im Vakuum die Beziehungen D = "0 ? E + P #E ]  und H = ;0 1 ? B ; M #B ] : Diese Gleichungen drucken die Hilfsfelder D und H durch die elektromagnetischen Feldstarken E und B aus. Infolge der Eigenschaften der Funktionale P #E ] und M #B ] sind sie im allgemeinen zeitlich und raumlich nichtlokal, anisotrop (in Kristallen), inhomogen (in ungeordneten Medien) und nichtlinear (in Ferroelektrika und Ferromagneten). Zusammenfassend haben wir das folgende Gleichungssystem der Maxwellschen Theorie in Materie: inhomogene Materialhomogene Maxwell-Gln Gleichungen Maxwell-Gln ext dD = D = "0 ? E + P #E ] dE = ;B_ ; 1 ext _ dH = j + D H = 0 ? B ; M #B ] dB = 0 14

Die raumliche Nichtlokalitat ist typisch von atomarer Dimension, wahrend die Nichtlokalitat in der Zeit durch atomare Schwingungsdauern bestimmt wird.

1.10 Elektrodynamik in Materie

97

Phanomenologie. Die obige Reformulierung der Maxwellschen Theorie ist exakt und deshalb genauso schwierig zu behandeln wie die Theorie in ihrer ursprunglichen Form. An die Stelle der Berechnung von mat und j mat tritt jetzt das aquivalente Problem der Berechnung von P #E ] und M #B ]. Die Nutzlichkeit der Umformulierung besteht darin, da sie sich gut fur die Einfuhrung von Naherungen eignet. Zu diesem Zweck fuhrt man zunachst eine Mittelungsprozedur durch, um die rapiden zeitlichen und raumlichen Schwankungen auf atomaren Skalen zu eliminieren. (Wie eine solche Mittelung im Prinzip durchgefuhrt werden kann, ohne die Struktur der Maxwell-Gleichungen zu verletzen, ist Thema von Kap. 3.) Die Mittelung vereinfacht die komplizierten funktionalen Abhangigkeiten P #E ] und M #B ] und la t uns die Materialgleichungen durch einfache \makroskopische" Beziehungen ersetzen. Homogenes Dielektrikum. Im Fall eines homogenen Dielektrikums gilt per Denition des dielektrischen Tensors "kij = ;"kji

Dij (x t) = "0

Z 1 Z X 0

k

"kij (x ; x0  t ; s)Ek (x0  s)d3 x0

!

ds :

Fur ein isotropes Medium im statischen Limes reduziert sich "kij zu einer einzigen skalaren Gro e ", und wir erhalten die simple Materialgleichung D = "0 " ? E : Homogenes Magnetikum. Im magnetischen Fall ist es Konvention, die Feldstarke durch die Erregung auszudrucken. Die Materialgleichungen in linearer Naherung lauten dann

Bij (x t) = 0 kij =

Z 1 Z X 0

!

kij (x ; x0  t ; s)Hk (x0  s)d3 x0 ds :

k k ;ji hei t der Tensor der magnetischen Permeabilitat. Im isotropen

und statischen Limes resultiert wieder ein sehr einfaches Gesetz: B = 0  ? H : Fur  > 1 wird B , die totale magnetische Feldstarke in Materie, relativ zum au eren Feld B ext = 0 ? H verstarkt. Das magnetische Medium hei t in diesem Fall ein Paramagnet. Im umgekehrten Fall (0 <  < 1) liegt ein Diamagnet vor. Supraleiter, die ein au eres Magnetfeld vollstandig verdrangen, sind perfekte Diamagneten ( = 0). Ohmsches Gesetz. Die Gleichungen der Elektrodynamik in Materie eignen sich besonders gut zur Beschreibung von Dielektrika und magnetischen Materialien. Anders ist die Situation in metallischen Leitern. Die vollstandige Abschirmung au erer Felder im Gleichgewicht entspricht einer divergenten dielektrischen Konstanten (" = 1). In Metallen bewirkt die Anwesenheit eines elektrischen Feldes (im quasi-stationaren oder dynamischen Fall) mehr als nur eine elektrische Polarisierung. Die Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke

98

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

beschleunigt die Leitungselektronen, und dissipative Prozesse, wie z.B. Kollisionen mit dem Atomgitter, bewirken dann eine Relaxation (uber Zeitskalen der Gro enordnung 10;14s) zu einem stromfuhrenden Zustand, der durch das Ohmsche Gesetz j =?E bestimmt ist. Die Materialkonstante  hei t die elektrische Leitfahigkeit. Sie hat die physikalische Dimension #] = Strom=(Spannung
Lange). Zum Beispiel hat Kupfer bei T = 300K (Zimmertemperatur) die elektrische Leitfahigkeit  = 5:7
107(Ohm
Meter);1 . Dabei ist 1 Ohm = 1 Volt/Ampere die Einheit des elektrischen Widerstandes im SI-Ma system.

1.11 Flulinien Dieser Abschnitt spielt eine zentrale Rolle in der Didaktik dieser Vorlesung. Hier wird der physikalische Inhalt der Gleichungen der Elektrodynamik mit Hilfe des Flulinienbildes veranschaulicht. Flulinien sind besser als Feldlinien... Eine kritische Diskussion der Vorz uge und Defizite der traditionellen Feldlinien findet man in den Feynman Lectures on Physics. Feynman kritisiert insbesondere die fehlende relativistische Kovarianz des Feldlinienkonzepts. In Kap.?? werden wir sehen, wie sich die Flulinien von und zu den Weltfl achen der Faraday- und Maxwell-2-Formen relativistisch erweitern. Zun achst wird wiederholt, was man unter einer Stromform versteht. An die Operationen inneres Produkt,  aueres Produkt, Cartan-Ableitung und Sternoperator auf Stromformen wird erinnert, und es wird dann zu den Ketten spezialisiert. Die 2-Formen der magnetischen Feldst arke , der elektrischen Erregung und der elektrischen Stromdichte werden im 3 durch 1-Ketten approximiert und veranschaulicht. Die Linien der 1-Kette von heien elektrische Stromlinien, die Linien der 1-Ketten von und heien magnetische bzw. elektrische Flulinien. Die 1-Formen der elektrischen Feldst arke und der magnetischen Erregung werden durch 2-Ketten approximiert und veranschaulicht. Der 3-Form der elektrischen Ladungsdichte entspricht eine 0-Kette, d.h. ein System von Punktladungen. (Magnetische Flulinien sind  ubrigens kein rein theoretisches Konstrukt sondern haben eine physikalische Realit at in Typ-II-Supraleitern in der gemischten Phase. Eine entsprechende Realisierung elektrischer Flulinien ist nicht bekannt. Allerdings kennt man den gluonischen String der Quantenchromodynamik.]) Zuerst interpretieren wir das Gesetz von der Quellenfreiheit der magnetischen Fludichte (d = 0). Als Stromform betrachtet l at sich durch eine 1-Kette approximieren. Das Gesetz d = 0 wird dann zu = 0. Der Rand der 1-Kette von verschwindet also,

B

D

j

D

B

E

B

E

H



B

B

;@B

B

B

E

j

1.11 Flulinien

99

B

und wir k onnen sagen, da aus randlosen Linien zusammengesetzt ist: magnetische Flulinien haben keinen Anfang und kein Ende. Abbildung: einige erlaubte Konfigurationen magnetischer Flulinien Ganz analog interpretieren wir das Gausche Gesetz d = . Die (als Stromform aufgefate und durch eine 1-Kette approximierte) elektrische Erregung setzt sich aus elektrischen Flulinien zusammen, die elektrische Ladungsdichte aus Punktladungen. Das Gausche Gesetz wird zu = . Dies bedeutet, da elektrische Flulinien entweder geschlossen sind ( = 0 = 0) oder aber auf positiven Ladungen beginnen und auf negativen enden. Die Zuordnung positiv Anfang, und negativ Ende (und nicht umgekehrt) ber ucksichtigt das Minuszeichen im reformulierten Gauschen Gesetz.] Abbildung: einige mit dem Gauschen Gesetz vertr agliche Konfigurationen elektrischer Flulinien. Beachte, da diese Abbildung wie auch die letzte keiner realen physikalischen Situation entspricht. (Die Studenten wollen an dieser Stelle immer wissen, wie das Feld denn nun ``wirklich aussieht''.) Die Abbildung illustriert lediglich den physikalischen Inhalt des Gauschen Gesetzes und sonst nichts. (Um herauszufinden, wie das Feld wirklich aussieht, m ussen alle Gleichungen der Elektrodynamik gleichzeitig betrachtet und gel ost werden.) Im Flulinienbild wird das Integral S ganz einfach durch (v ollig metrikfreies) Abz ahlen der kreuzenden Flulinien berechnet. (Wenn alle Flulinien denselben Flu tragen, multiplizieren wir einfach mit dem Elementarflu, ansonsten ist nat urlich jede Flulinie mit dem ihr eigenen Flu zu gewichten.) Eine analoge Aussage gilt f ur das Integral S .

D

D

;@D





$ @D

$

$

R B

S

R D

Abbildung 1.15. _ =d . Deutung des Induktionsgesetzes Betrachte zun achst den statischen Limes _ = 0. Unter der Approximation von durch eine 2-Kette wird die Gleichung d = 0 zu = 0, d.h. die kleinen Fl achenst ucke der 2-Kette von m ussen sich zu  randlosen oder geschlossenen Fl achen, sogenannten Aquipotential achen,

;B

E

E B

E

E

@E

100

1. Prinzipien des Elektromagnetismus

E

zusammenf ugen. (Der Rand von im dynamischen Fall entspricht dem, was man gew ohnlich das dem Vektorfeld von zugeordnete Wirbelfeld nennt.) Genauer gesprochen symbolisiert jede solche Fl ache einen Spannungsabfall. Die Spannung wird berechnet, indem man die Spannungsabf alle an den vom Weg durchstoenen Fl achen von aufsammelt.

RE

E



E

+ + + + -

Abbildung 1.16. Jetzt kommen wir zur dynamischen Interpretation des Induktionsgesetzes. Dies ist etwas heikel, weil die Bildung der Zeitableitung _ einen weiteren Grenz ubergang erfordert, was die Anschauung erschwert. (Zu einer wirklich befriedigenden Interpretation werden wir erst im Rahmen der relativistischen Formulierung gelangen.) Eine wandernde magnetische Flulinie zieht wie ein Komet einen ``Schweif'' elektrischer Feldst arke hinter sich her... Eine pfiffige Idee ist, einen ``Zaun'' von magnetischen Flulinien (am besten in der Zaunebene selbst) wandern zu lassen. Das Induktionsgesetz behauptet dann, da die Zaunfl ache ein Fl achenst uck der 2-Kette von ausmacht (Beweis mittels Lie-Ableitung...) Analoges Vorgehen f ur das Amp ere-Gesetz (Sprechweise noch nicht eingef uhrt): aus d = wird = . Folglich liegen die Rander der Fl achenst ucke der magnetischen Erregung (in der Magnetostatik) genau auf den Stromlinien der elektrischen Stromdichte ... Versuch einer Interpretation des dynamischen Amp ere-Maxwell-Gesetzes... Weitere Themen:... Deutung der Lorentz-Kraftform qv im Flulinienbild... Anschauliche Deutung der Poynting-2-Form als 1-Kette (den Stromlinien der Energie), die sich als Durchschnitt der 2-Ketten von und ergibt...

B

E

H j

@H j

i B

E

H

H

E ^H

j

2. ElektroMagnetostatik

Thema dieses Kapitels ist die Maxwellsche Theorie im statischen Limes, d.h. in Grenzfallen, wo die Zeitableitungen der elektromagnetischen Felder und ihrer Quellen verschwinden oder vernachlassigbar klein sind. Die Analyse des statischen Grenzfalls ist ein nutzlicher Schritt hin zum Verstandnis der vollen dynamischen Theorie. Historisch war es so, da die Elektrodynamik aus bereits bekannten, im statischen Limes gultigen Gesetzen (Coulomb-Gesetz und Amp'ere-Gesetz) durch die von Faraday und Maxwell entdeckten bzw. postulierten Erweiterungen erhalten wurde. Fur den Studenten hat die Untersuchung der Statik den didaktischen Vorteil strukturell einfacherer Gleichungen, an denen sich der noch ungewohnte mathematische Formalismus illustrieren und einuben la t. Au erdem kann die Losung der statischen Gleichungen auch fur das Verstandnis dynamischer Vorgange hilfreich sein. Bekanntlich haben die Naturgesetze nach dem Einsteinschen Relativitatsprinzip in allen Inertialsystemen dieselbe Form. Diese Kovarianzeigenschaft ermoglicht es zum Beispiel, das elektromagnetische Feld einer gleichformig geradlinig bewegten Ladungsverteilung aus dem Feld der ruhenden Ladungsverteilung in einfacher Weise durch Transformation der Raum-Zeit-Koordinaten zu gewinnen. Der statische Grenzfall ist formal dadurch erklart, da alle Zeitableitungen durch Null ersetzt werden: _ = 0, D_ = 0, B_ = 0 usw. Die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zerfallen dann in zwei Teilsysteme: dD =  D = "0 ? E dE = 0  (Elektrostatik) dH = j B = 0 ? H dB = 0 : (Magnetostatik) In das erste System geht nur das elektrische Feld ein, in das zweite nur das magnetische. Dementsprechend nennen wir die beiden Teilsysteme die Elektrostatik bzw. Magnetostatik. Der statische Grenzfall dH = j des Amp'ereMaxwell-Gesetzes hei t das Amperesche Gesetz. Die Gleichung dE = 0 besagt, da die elektrische Feldstarke in der Elektrostatik wirbelfrei ist. Zwischen den Gleichungssystemen der Elektro- und Magnetostatik besteht oensichtlich eine starke formale A hnlichkeit. Wir werden sehen, da infolge dieser A hnlichkeit die Losungsmethoden im wesentlichen identisch sind, weshalb wir die zwei Systeme weitgehend parallel behandeln konnen.

102

2. ElektroMagnetostatik

Diese Einheitlichkeit ist es, was durch die unkonventionelle Wahl der Kapiteluberschrift angekundigt werden soll. Ein Caveat zur Magnetostatik ist angebracht. Aus dem Amp'ereschen Gesetz folgt durch Dierenzieren dj = d(dH ) = 0. Fur die mathematische Konsistenz des magnetostatischen Gleichungssystems ist also die Quellenfreiheit der elektrischen Ladungsdichte notwendige Voraussetzung. Was hier besonders betont werden soll, ist, da dj = 0 global (und nicht etwa nur lokal) erfullt sein mu . Ist dj = 0 auf Teilen des Raumes verletzt, kann die Anwendung des Amp'ere-Gesetzes zu Widerspruchen fuhren. Ein Standardbeispiel ist das folgende. Betrachte eine punktformige Ladungsquelle, von der ein spharisch symmetrischer und zeitlich konstanter Stromu ausgeht. Experimentell la t sich eine solche Quelle als radioaktive Probe (z.B. 1 Gramm des Elements X { hier ist noch ein radioaktives Element mit einer geeigneten Halbwertszeit auszusuchen) realisieren. F ur Zeiten, die viel kurzer als die Halbwertszeit der Quelle sind, kann der Stromu im Kurzzeitmittel als stationar angesehen werden, was eine \statische" Situation suggeriert. Aufgrund des Ladungserhaltungssatzes gilt au erdem dj = 0 au erhalb der Probe, wo _ = 0 ist. Weil H = 0 in der Magnetostatik j = dH = 0 impliziert, konnte man jetzt den Fehlschlu ziehen, da die beschriebene Anordnung (fur die j ja von Null verschieden ist) ein Magnetfeld produzieren mu . Ein von Null verschiedenes Magnetfeld stunde aber im Widerspruch zur spharischen Symmetrie des Problems (in welche Richtung sollte der magnetische Flu denn zeigen?!) und liegt in Wirklichkeit auch gar nicht vor. Warum ist das Amp'ereGesetz hier nicht anwendbar? Die Antwort lautet, da der radial nach au en gerichtete Strom auf der radioaktiven Probe eine Gesamtladung zuruckla t, die mit der Zeit anwachst. Dadurch wird nach dem Gau schen Gesetz ein zeitlich veranderlicher elektrischer Flu (D_ 6= 0) erzeugt, der im Amp'ereMaxwell-Gesetz nicht vernachlassigt werden darf. (Vor dem Hintergrund

der anschaulichen Deutung des Amp ere-Maxwell-Gesetzes durch Flulinien ist dieser ganze Sachverhalt sofort klar.)

Aufgabe 2.0.1. Zeige j + D_ = 0 fur die beschriebene Anordnung.

2.1 Elementare Anwendungen An zwei elementaren Beispielen soll der praktische Umgang mit dem vielleicht noch ungewohnten au eren Kalkul demonstriert werden.

2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator Aufgabe 2.1.1. Im E3 mit dem kartesischen Koordinatensystem fo ex ey  ez g denieren wir spharische Polarkoordinaten (oder Kugelkoordinaten) r  ' wie ublich durch x = r sin  cos ', y = r sin  sin ' und z = r cos . Zeige: (1) Die Volumenform = dx ^ dy ^ dz wird in Kugelkoordinaten durch

2.1 Elementare Anwendungen

103

= r2 sin  dr^d^d' ausgedruckt. (2) Die drei 1-Formen (dr rd r sin d') bilden au er auf der z -Achse eine rechtshandige (lokale) Orthonormalbasis. (3) ?dr = r2  , wobei  = sin d ^ d' die auf den Koordinatenursprung o bezogene Raumwinkelform ist. (4) Jede bzgl. o drehinvariante 1-Form bzw. 2-Form ist von der Gestalt f (r)dr bzw. g(r) . Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung. Fur eine vorgegebene, bzgl. des Ursprungs drehinvariante Ladungsdichte = !(r)dx ^ dy ^ dz soll das zugehorige elektrische Feld berechnet werden. Naheliegend aufgrund der Symmetrie des Problems ist der \radiale" Ansatz E = f (r)dr. Als erstes uberprufen wir, da dieser Ansatz der Forderung der Wirbelfreiheit (dE = 0) genugt. Dierenzieren gibt dE = f 0 (r)dr ^ dr was wegen dr ^ dr = ;dr ^ dr = 0 tatsachlich verschwindet. Um nun eine Bestimmungsgleichung fur die unbekannte Funktion f (r) zu erhalten, setzen wir den Ansatz unter Verwendung der Materialgleichung in das Gau sche Gesetz ein: ="0 = dD="0 = d ? E = d(f (r) ? dr) = d(r2 f (r) ) @ ;r2 f (r)dr ^  = 1 @ ;r2 f (r)dx ^ dy ^ dz  = @r r2 @r wobei fur das funfte Gleichheitszeichen die Geschlossenheit der Raumwinkelform (d = 0 fur r > 0) benutzt wurde. Vergleich der rechten Seite mit der Koordinatendarstellung von liefert eine gewohnliche Dierentialgleichung 1. Ordnung fur f (r): 1 @ r2 f (r) = !(r)=" : 0 r2 @r Hieraus folgt durch einfache Quadratur das Ergebnis ZR f (R) = " 1R2 !(r)r2 dr : 0 0 Beispiel 2.1.1 (Kugelkondensator). Der Kugelkondensator ist eine konzentrische Anordnung zweier metallischer Kugelschalen mit entgegengesetztem Ladungszustand (Abb. 2.1). Sei Q die Ladung auf der inneren Kugelschale mit Radius R1 und ;Q die Ladung auf der R au eren mit Radius R2. Ausfuhren des Radialintegrals gibt in diesem Fall 01 !(r)r2 drR = const fur R1 < R < R2 , und Null sonst. Mit dx ^ dy ^ dz = dr ^ r2  und  = 4 folgt const = Q=4 und

Q dr=r2 fur R1 < r < R2  E = 4" 0 sonst : 0

Die elektrische Spannung U des Kondensators ist deniert als das Wegintegral der elektrischen Feldstarke zwischen zwei Punkten a und b auf der inneren bzw. au eren Kugelschale. Der Wert dieses Integral hangt nur von den beiden Radien ab:  Zb Q Z b dr = Q Z R2 dr = Q 1 ; 1 : U = E = 4" 4"0 R1 r2 4"0 R1 R2 0 a r2 a

104

2. ElektroMagnetostatik

R2

R1

Abbildung 2.1. Kugelkondensator im Querschnitt Unter der Kapazitat C eines Kondensators versteht man das Verhaltnis von Ladung Q zu Spannung U . Fur den Kugelkondensator resultiert C = Q=U = 4"0 R1 R2 =(R2 ; R1 ) : Aufgabe 2.1.2. (1) Berechne die im Zwischenraum enthaltene Feldenergie Wfeld . (2) Wie gro ist die Energie w(Q)Q, die man aufbringen mu , um die innitesimale Ladungsmenge Q von der inneren zur au eren Schale zu transportieren? Welche Energie Wkonf ist daher notig, um die Konguration aufzubauen? Vergleiche das Ergebnis mit Wfeld . (3) Wie andert sich die Kapazitat des Kugelkondensators, wenn der Zwischenraum von einem (nichtleitenden) Dielektrikum mit der dielektrischen Konstanten " > 1 ausgefullt wird?

2.1.2 Magnetostatik: Messung von
0 Aufgabe 2.1.3. Zylinderkoordinaten r ' z entstehen aus den kartesischen Koordinaten x y z dadurch, da man in der xy-Ebene zur Polardarstellung ubergeht: x = r cos ', y = r sin '. Zeige: (1) Die drei 1-Formen (dr d' dz ) bilden fur r 6= 0 eine rechtshandige Orthogonalbasis mit (dr dr) = 1 = (dz dz ) und (d' d') = 1=r2 . (2) Der Sternoperator wirkt wie folgt: ?(dz ^ dr) = rd', ?(dr ^ d') = r;1 dz und ?(d' ^ dz ) = r;1 dr. Magnetfeld eines unendlich langen, geraden, stromfuhrenden Drahtes. Gegeben sei in Zylinderkoordinaten r ' z die Stromdichte

2 fur r < R  j = dr ^ rd'
I=R 0 sonst : Sie beschreibt den homogenen Stromu eines unendlich langen, geraden und um die z -Achse zentrierten Drahtes mit kreisformiger Querschnittsache R2

2.1 Elementare Anwendungen

105

und Gesamtstrom I . 1 Wie sieht das Magnetfeld eines solchen Stromusses aus? Dazu machen wir den allgemeinsten zylindersymmetrischen Ansatz: B = f (r)dr ^ d' + g(r)d' ^ dz + h(r)dz ^ dr : (Sicherlich ist das Resultat fur B jedem Physik-Studenten aus dem Einfuhrungskurs langst bekannt, aber wir stellen uns hier \dumm" und wollen sehen, ob wir mit dem allgemeinen Ansatz zurechtkommen.) Die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke (dB = 0) erfordert g0 (r) = 0 und somit g(r) = g0 = const. Nun ist aber die 2-Form g0 d' ^ dz wegen der Unbestimmtheit der Winkel-1-Form d' auf der z -Achse r = 0 singular. (Regular ware rd' ^ dz mit einem zusatzlichem Faktor r.) Da es hier keinen Grund fur das Auftreten von Singularitaten in B gibt, folgt g0 = 0. Im nachsten Schritt ubersetzen wir die Feldstarke B mit der Materialgleichung in die Erregung H : 0 H = ?B = r;1 f (r)dz + rh(r)d' : Einsetzen dieses Ausdrucks in das Amp'eresche Gesetz liefert @ ;f (r)=rdr ^ dz + @ ;rh(r)dr ^ d' : 0 j = d(0 H ) = @r @r Durch Vergleich mit der vorgegebenen Stromdichte j folgen die Dierentialgleichungen @=@r (f (r)=r) = 0 und

1 @ rh(r) = 0 I=R2 fur r < R  0 sonst : r @r Die regularen Losungen dieser Gleichungen sind f (r) = f0 r bzw.

2 fur r < R  h(r) = 20I r=R h0 =r sonst : Die Stetigkeit von H erfordert h0 = 1. Unbestimmt bleibt dagegen die Integrationskonstante f0 . Wie sollen wir das interpretieren? Hierzu ist zu bemerken, da B = f0 dr ^ rd' = f0 dx ^ dy eine Losung des homogenen Gleichungssystems d ?B = 0 = dB ist. Nun kann man zu einer Losung B von d ?B = 0 j und dB = 0 immer eine beliebige Losung des homogenen Systems hinzufugen und erhalt wieder eine Losung. Welche Losung die physikalisch richtige ist, wird erst durch die Angabe zusatzlicher Forderungen, oder Randbedingungen, festgelegt. (Diese Unterbestimmtheit bei fehlenden Randbedingungen ist eine generelle Eigenschaft linearer Dierentialgleichungen.) Wir suchen hier das Magnetfeld des stromfuhrenden Drahts und weiter nichts.2 Die fur unsere Zwecke richtige Losung wird also durch die Forderung B = 0 fur I = 0 bestimmt. Es folgt f0 = 0 und insgesamt 1

Vor dem Hintergrund der zu Anfang des Kapitels ausgesprochenen Warnung ist dieses Beispiel als schwach pathologisch einzustufen. Ein unendlich langer, gerader, stromfuhrender Draht akkumuliert Ladungen im Unendlichen. Dieses Problem lat sich dadurch umgehen, da man z = +1 mit z = ;1 identiziert. 2 Als Ursache des raumlich konstanten Magnetfeldes B = f0 dx ^ dy konnten wir uns eine kosmische Spule vorstellen, die den gesamten Raum umschliet.

106

2. ElektroMagnetostatik

2 fur r < R  B = 20I dz ^ dr
r=R 1=r sonst : Wie man an H = const
d' (fur r > R) erkennt, fallt die magnetische Spannung langs der Koordinatenlinien des Winkels ' ab oder, anders ausgedruckt, der magnetische Flu zirkuliert um den Draht (Abb. 2.2).

B I

Abbildung

2.2. Magnetische Flulinien eines stromfuhrenden Drahtes Orientierung ist anzupassen

Festlegung von 0 . Wir kommentieren jetzt die Festlegung der empirischen Konstanten 0 im SI-Ma system. Dazu bringen wir in das eben berechnete Magnetfeld einen geraden Testdraht der Lange L. Der Testdraht sei praktisch ausdehnungslos und trage den Strom I 0 . Seine beiden Endpunkte seien mit p und p0 bezeichnet. Nach Aufg. ?? ist die Linearform der auf den Testdraht wirkenden Lorentz-Kraft K durch

K = I0

Z1 0

Bp+s(p0 ;p) ( p0 ; p)ds :

gegeben. Fur eine parallele Anordnung der Drahte (p0 ; p = Lez ) erhalten wir 0 II 0 L (dr) : K = I 0 Bp ( Lez ) = ; 2r (p) p Die Lorentz-Kraft zeigt fur II 0 > 0 radial nach innen, d.h. die beiden Drahte ziehen sich an, wenn die Strome in die gleiche Richtung ie en. Pro Lange L des Testdrahtes hat die Kraft im Abstand d = r(p) den Betrag 0 II 0 =2d. Im SI-Ma system trit man die willkurliche Festlegung 0 = 4
10;7Newton=(Ampere)2 . Hiermit folgt: Denition 2.1. 1 Ampere ist der Strom, den zwei unendlich lange, gerade, parallele Drahte tragen, wenn sie im Abstand von 1 Meter die Kraft 2
10;7 Newton pro Meter (ihrer Lange) aufeinander ausuben.

2.2 Poisson-Gleichung

107

Umgekehrt lie e sich die Naturkonstante 0 nach einer unabhangigen Festlegung der Stromeinheit durch die Messung der Kraft zwischen stromfuhrenden geraden Leitern nach obiger Formel bestimmen. Aufgabe 2.1.4. Gegeben sei die statische und quellenfreie Stromdichte j = f (x)dx ^ dy (mit irgendeiner Funktion f : R ! R). Um die RAkkumulation von Ladungen im Unendlichen zu vermeiden, verlangen wir R f (x)dx = 0 und f ( 1) = 0. Wie sieht das Magnetfeld dieser Stromdichte aus?

2.2 Poisson-Gleichung Das Gleichungssystem der Elektrostatik wie auch der Magnetostatik la t sich als Poisson-Problem auassen. Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist dieses Problem eindeutig und in geschlossener Form losbar.

2.2.1 Elektrostatik Elektrostatisches Potential. Als unmittelbare Konsequenz der Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstarke (dE = 0) ist in der Elektrostatik das Linienintegral von E langs eines beliebigen geschlossenen Weges  = @S gleich Null:

Z



E=

Z

@S

E=

Z

S

dE = 0 :

Wir sagen auch, da die elektrostatische Ringspannung langs jeder Schleife  = @S verschwindet. Betrachte nun zwei Wege 1 und 2 , die den Anfangsund Endpunkt a bzw. b gemein haben. Die Dierenz der Wege ist dann eine Schleife, 1 ; 2 = @S , und 0=

Z

@S

E=

Z

1 ; 2

E ()

Z

1

E=

Z

2

E:

Eine zum Verschwinden der Ringspannung aquivalente Aussage ist also, da R die Spannung E nur vom Rand @ = b ; a abhangt, nicht aberR vom Weg  selbst. Es existiert daher eine Funktion  mit der Eigenschaft E = (a) ; (b) fur jede Kurve  : #0 1] ! E3 mit  (0) = a und  (1) = b. Diese Funktion ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt und hei t ein elektrostatisches Potential. Der dierentielle Zusammenhang zwischen E und  lautet E = ;d. Potential einer Punktladung. In Abschn. 2.1.1 hatten wir das elektrische Feld eines um den Koordinatenursprung o zentrierten Kugelkondensators mit Ladung q und Radien R1 und R2 berechnet. Fur die Feldstarke im Zwischenraum R1 < r < R2 ergab sich E = (q=4"0)dr=r2 . Wir schicken jetzt R2 ! 1 und R1 ! 0. Was wir dann erhalten, ist das Feld einer Punktladung q am Ort o (mit einer neutralisierenden Ladung ;q im Unendlichen).

108

2. ElektroMagnetostatik

Bendet sich die Ladung am Ort p, so ist die auf den Ursprung bezogene Abstandsfunktion r durch den Abstand von p, rp (p0 ) = d(p p0 ) = jp ; p0 j, zu ersetzen: 1 q d r q p E = 4" r2 = ; 4" d r : 0 p

0

p

Durch Integration des Dierentials entsteht die Potentialdierenz zwischen zwei Punkten,  1 1 q ; : (a) ; (b) = 4" 0 rp (a) rp (b) Hieraus erhalten wir mit der Konvention (1) = 0 die Formel  = 4"q r : 0 p

Das elektrostatische Potential  einer am Ort p ruhenden Punktladung ist also invers proportional zum Abstand von p. Die Gro en  und E = ;d sind wohldeniert auf E3 n fpg. Poisson-Gleichung. Durch Einsetzen von D = "0 ?E = ;"0 ? d in das Gau sche Gesetz (dD = ) erhalten wir die Gleichung = ;"0 d ? d. Anwenden des Sternoperators auf beiden Seiten ergibt ?d ? d = ; ? ="0 : Mit dem Operator  : k+1 (E3 ) ! k (E3 ),  7! (;1)k ?;1 d ?  la t sich die linke Seite auch in der kurzeren Form d schreiben. Die Verkettung   d ist eine Halfte des Laplace-Operators 4 =   d + d  . Die andere Halfte durfen wir wegen  = 0 ( verschwindet auf den Funktionen) erganzen. Es folgt 4 = ; ? ="0 : Die Gleichung 4f = g fur eine unbekannte und eine bekannte Funktion f bzw. g hei t Poisson-Gleichung. Wir sehen, da das elektrostatische Potential einer Poisson-Gleichung genugt. Im ladungsfreien Raum ( = 0) erfullt  die Laplace-Gleichung 4 = 0. Losung der Poisson-Gleichung. Mit der uns schon bekannten Formel fur das Potential einer Punktladung konnen wir die Losung der Poisson-Gleichung sofort angeben. Fur eine Anordnung von N Ladungen qi an den Orten pi entsteht durch lineare Superposition N 1 X qi : (p) = 4" 0 i=1 jp ; pi j Im Limes einer kontinuierlichen Ladungsdichte wird die Summe zu einem Integral, 1 Z  (p) = 4" 0 U rp

2.2 Poisson-Gleichung

109

wobei wir voraussetzen, da alle Ladungen in einem beschrankten Raumgebiet U  E3 enthalten sind. Fur eine vorgegebene Ladungsdichte ist das elektrostatische Problem hierdurch auf die Auswertung von Integralen zuruckgefuhrt und kann als im Prinzip gelost betrachtet werden. Damit ist das Thema der Elektrostatik aber mitnichten erschopft, denn die Ladungsdichte ist in vielen Fallen a priori unbekannt und mu erst berechnet werden. Beispiel 2.2.1. Die Voraussetzung der Beschranktheit von U garantiert die Existenz des Integrals. Sie la t sich abschwachen, aber nicht vollig eliminieren, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt. Betrachte einen unendlich langen, geraden, metallischen Draht mit Ladung q pro Lange `. Der Draht liege auf der z -Achse. Ohne Muhe la t sich verizieren, da die Funktion q ln R=px2 + y2   = 2`" 0

mit einer beliebigen Konstanten R > 0 ein Potential fur dieses Problem ist. Andererseits fuhrt die Anwendung der Losungsformel fur die PoissonGleichung hier auf ein divergentes Integral: Z ? q (p) = 4`" p 2 dz 2 =1: 0 R x (p) + y (p) + z 2 (Der gewunschte Ausdruck fur  la t sich wiedergewinnen, indem man das z -Integral bei z = R=2 mit R2  x2 (p) + y2 (p) abschneidet.)

2.2.2 Magnetostatik Vektorpotential. Auf einem sternformigen Gebiet U  E3 ist die Bedingung dB = 0 durch B = dA global losbar. Die 1-Form A hei t ein Vektorpotential von B . Sie ist nicht eindeutig bestimmt, denn mit A lost auch A + d (mit einer beliebigen Funktion ) die Gleichung B = dA. Die Transformation A 7! A + d hei t Eichtransformation. Mitteilung. So wie wir das Vektorpotential eingefuhrt haben, bekommt man den Eindruck, es handle sich um ktive Hilfsgro e ohne direkte Beobachtbarkeit oder Realitat. Obwohl sich einer solchen Auassung im Rahmen der klassischen Elektrodynamik nicht ernsthaft widersprechen la t, wird man in der Quantenmechanik geladener Teilchen (z.B. durch den Aharonov-BohmEekt) eines anderen belehrt. Eine Andeutung von dieser tieferen Bedeutung gibt die Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik (Kap. ??), die auf dem Vektorpotential (oder genauer: seiner relativistischen Erweiterung, dem Eichpotential) als dem fundamentalen Feld beruht. Coulomb-Eichung. Wir setzen 0 H = ?B = ?dA in das Amp'eresche Gesetz dH = j ein und wenden auf beiden Seiten den Sternoperator an. Dann folgt: ?d ? dA = 0 ? j :

110

2. ElektroMagnetostatik

Die linke Seite ist gleich ;dA. Wahlen wir A nun so, da A verschwindet, dann haben wir ;dA = ;(d + d)A = ;4A  und es folgt eine Gleichung vom Poisson-Typ fur A: 4A = ;0 ? j (falls A = 0) : Die Nutzlichkeit des Vektorpotentials besteht also darin, da es uns die Reduktion des magnetostatischen Problems auf ein Poisson-artiges Problem ermoglicht. Die Bedingung A = 0 hei t Coulomb-Eichung. In kartesischen Koordinaten (A = Ax dx + Ay dy + Az dz ) lautet sie @Ax + @Ay + @Az = 0 : @x @y @z Die Coulomb-Eichung la t sich immer erfullen. In der Tat konnen wir fur A = f 6= 0 das Dierential einer Losung  der Poisson-Gleichung ;4 = f zu A addieren, und es gilt dann (A + d) = A + 4 = f ; f = 0  d.h. das eichtransformierte Vektorpotential A0 = A+d genugt der CoulombEichung. P Losung der Poisson-Gleichung. Wir schreiben ?j = k (?j )k dxk . Mit der (nur in kartesischen Koordinaten gultigen!) Relation

4

X

!

X Ai dxi = (4Ai) dxi i i

folgt dann

 @2 @2 @2 4Ak = @x 2 + @y 2 + @z 2 Ak = ;0 (?j )k

(k = x y z ) :

Dies sind drei entkoppelte Poisson-Gleichungen fur die kartesischen Komponenten von A. Ihre Losung ist uns aus der Elektrostatik bereits bekannt: Z Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz (k = x y z ) : U p U ist hier ein beschranktes Gebiet, au erhalb dessen die Stromdichte verschwindet. Vektorpotential einer Stromschleife. Die Rechnung im folgenden Beispiel

ist noch unn otig umst andlich. Besser w are es, bereits hier die Relation die f ur eine Schleife mit Strom g ultige Relation

0 Z

Ak (p) = 4

U



I Z j ^ dxk = 0 I dxk rp

4 rp

zu beweisen und zu ben utzen. (Diese Art von Relation wird im vorliegenden Manuskript bei der Berechnung des magnetischen Dipolmoments einer stromf uhrenden Schleife ausf uhrlich hergeleitet.)

2.2 Poisson-Gleichung

111

Beispiel 2.2.2. In der xy-Ebene liege eine kreisformige Leiterschleife mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung (Abb. 2.3). Es ie e der Strom I . Zu berechnen sei das Vektorpotential A in der Coulomb-Eichung A = 0. Aufgrund der Invarianz des Problems unter Drehungen um die z p

z

y R

x I

Abbildung 2.3. Skizze zu Bsp. 2.2.2

Achse bietet sich die Einfuhrung von Zylinderkoordinaten r ' z an. Leider gilt die Poisson-Gleichung nur fur die kartesischen Komponenten von A, weshalb wir kartesisch beginnen mussen. Der Strom ie t langs des Kreises C := fpjx2 (p) + y2 (p) = R2  z (p) = 0g. Da die Stromdichte linienformig ist, konnen wir das Volumenintegral fur Ax  Ay  Az zu einem Linienintegral langs C reduzieren. Die zu integrierende 1-Form bekommen wir dadurch, da wir die Zylinderkoordinaten z und r \ausintegrieren", d.h. das innere Produkt von rp;1 (?j )k dx ^ dy ^ dz mit den Vektorfeldern @z und @r bilden (wobei der Strom I aufgesammelt wird) und das Resultat auf C einschranken. Fur die y-Komponente erhalten wir
(?j )y dx ^ dy ^ dz @r ;!  @z I cos '
rd'
C  rp

und somit (r
C = R, '
C =:  ): Z 2
 cos d 0 Ay (p) = 4 IR h i1=2 : 0 (x(p) ; R cos )2 + (y(p) ; R sin )2 + z 2 (p) Fur die x-Komponente gilt eine analoge Gleichung, die durch die Substitution cos d ! ; sin d entsteht. Die z -Komponente Az verschwindet wegen (?j )z = jxy = 0. An dieser Stelle ist der Wechsel zu Zylinderkoordinaten (A = Ar dr + A' d') gefahrlos moglich. Die Radialkomponente Ar = Ax cos ' + Ay sin ' ergibt sich letztendlich zu Null, was seinen Grund in ?j  d' hat. Fur die Winkelkomponente A' = ;Ax r sin ' + Ay r cos ' folgt nach einer Variablensubstitution ( + ' ! ) Z 2
cos d : A' = 40 IRr 0 (r2 + z 2 ; 2Rr cos + R2 )1=2

112

2. ElektroMagnetostatik

Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral  es la t sich nicht durch elementare Funktionen ausdrucken, ndet sich aber in mathematischen Formelsammlungen tabelliert. Um hier noch weiterzukommen, spezialisieren wir zur Fernzone r2 + z 2  R2. In diesem Grenzfall durfen wir die Quadratwurzel im Nenner des Integranden Taylor-entwickeln,  Rr cos 2 2 2 ; 1 = 2 2 2 ; 1 = 2 (r + z ; 2Rr cos + R ) = (r + z ) 1 + r2 + z 2 + :::  und Ausfuhren des Integrals resultiert in A = 40 IR2 (r2 + z 2);3=2 r2 d' + : : : : Einmal Dierenzieren gibt die magnetische Feldstarke ;  B = dA = 40 IR2 (r2 + z 2);5=2 (2z 2 ; r2 )dr ; 3rz dz ^ rd' + : : : : B

I

Abbildung 2.4. Magnetische Flulinien einer stromfuhrenden Leiterschleife

In dieses Fernfeld bringen wir jetzt eine zweite kreisformige Leiterschleife mit Radius R0 und Strom I 0 . Wir interessieren uns fur die Kraft, die die beiden Schleifen aufeinander ausuben, wenn die zweite Schleife wie die erste zur xy-Ebene parallel liegt und um die z -Achse zentriert ist. Nach Aufg. ?? ist die z -Komponente der Lorentz-Kraft auf das innitesimale Stuck der zweiten Schleife am Ort p (r(p) = R0 ) mit Tangentenvektor @' (p) bleich Kz (p) = I 0 Bp (ez  @'(p)) : Durch Auntegrieren der Beitrage erhalten wir fur die Gesamtkraft 0 2 0 02 dz Kz dz = ; 3 2 IR I R z 4 + ::: : Die anderen Kraftkomponenten mussen in diesem Spezialfall aus Symmetriegrunden verschwinden. Wir sehen, da die Kraft zwischen den Schleifen fur den Fall gleicher Stromrichtung (II 0 > 0) attraktiv ist und dem Betrag nach wie die vierte Potenz des inversen Abstands abfallt. Aufgabe 2.2.1. Wie hangt die Kraft vom Abstand ab, wenn die beiden Schleifen in der gleichen Ebene liegen?

2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)

113

2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist das Problem der ElektroMagnetostatik durch die Losung der Poisson-Gleichung auf Integrationen zuruckgefuhrt. Die exakte Berechnung der Integrale kann mitunter aufwendig sein. In der Praxis ist man jedoch oft nur am Verhalten der Losung fern von den Quellen interessiert. Wie wir schon gesehen haben, ergeben sich in diesem Grenzfall Vereinfachungen. Die Systematisierung der in Bsp. 2.2.2 verwendeten Naherung fuhrt auf eine Entwicklung nach Multipolen. Notation. Um die Notation abzukurzen, bedienen wir uns hier der im RicciKalkul ublichen Einsteinschen Summenkonvention, nach der uber jeden doppelt auftretenden, einmal hoch- und einmal tiefgestellten Index automatisch zu summieren ist. Im folgenden schreiben wir also xi xi anstelle von x2 + y2 + z 2.3

2.3.1 Elektrostatik Wir betrachten eine Anordnung von Ladungen, die in einem endlichen Raumbereich U  E3 enthalten sind. Ohne Verlust an Allgemeinheit wahlen wir diesen Bereich als eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung, U = BR . Wir fragen jetzt, wie das elektrostatische Potential einer solchen Ladungsverteilung \in der Ferne aussieht". Dazu ist unser Ausgangspunkt die Formel 1 Z : (p) = 4" 0 BR rp Die auf den Punkt p bezogene Abstandsfunktion rp hat in kartesischen Koordinaten den Ausdruck q; ;  rp () = d( p) = xi () ; xi (p) xi () ; xi (p) p = r2 () ; 2xi ()xi (p) + r2 (p)  p wobei r = xi xi der Abstand vom Koordinatenursprung ist. Per Voraussetzung gilt2 R  r(p), und mit der Taylor-Entwicklung (1 + x);1=2 = 1 ; x2 + 3x8 + O(x3 ) haben wir



2 i rp ();1 = r(p);1 1 + r () ; 22xi ()x (p)

;1=2

r (p)  = r(1p) + r3 (p) xi () + 2 r5 (p) 3xi ()xj () ; ij r2 () + : : : : xi (p)

3

1 xi (p)xj (p) ;

Auf den tieferen Sinn der Tief- und Hochstellung von Indizes, namlich der Unterscheidung zwischen \kontravarianten" und \kovarianten" Tensoren, wie es in der alten Diktion heit, wird hier nicht eingegangen.

114

2. ElektroMagnetostatik

Wir setzen diese Entwicklung in die Formel fur (p) ein und fuhren die Integration aus. Dann resultiert  1 q(0) 1 + q(1) xi + 1 q(2) xi xj + : : :   = 4" r i r3 2 ij r5 0 wobei die folgenden Gro en eingefuhrt wurden: Monopolmoment: Quadrupolmoment:

q(0) =

Z



q(1) =

Dipolmoment: i

Z;  qij(2) = 3xi xj ; ij r2 :

Z

xi 

Das Integral erstreckt sich in jedem Fall uber den endlichen, ladungserfullten Raumbereich U = BR . Beim Monopolmoment handelt es sich um nichts anderes als die Gesamtladung der Anordnung, und das zugehorige Potential fallt wie r;1 ab. Fur das Dipolmoment geht der Abfall wie r;2 , fur das Quadrupolmoment wie r;3 . Die angegebenen Terme sind die ersten drei in einer unendlichen Reihe, der sogenannten Multipol-Entwicklung. Das Potential des Multipolmoments l-ter Ordnung, q(l) , fallt ab wie r;l;1 . Aufgabe 2.3.1. Berechnung der Multipolmomente einiger einfacher Ladungsverteilungen... Aufgabe 2.3.2. Kraft zwischen elektrischen Dipolen...

2.3.2 Magnetostatik Auch hier gehen wir von der Losung der Poisson-Gleichung aus, Z Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz : U p Fur den Zweck einer Multipol-Entwicklung ist es gunstig, den Integranden etwas umzuschreiben. Wir setzen = dx ^ dy ^ dz und machen folgende kleine Rechnung: (?j )k = (@k ? j ) ^ = (@k ) ^ ?j = j ^ ?(@k ) = j ^ dxk : Diese Rechnung geh ort nach oben (Poisson-Gleichung: Magnetostatik), und man sollte gleich mit der folgenden Gleichung beginnen: Hier-

mit wird die Formel fur das Vektorpotential zu Z j ^ dxk  0 Ak (p) = 4 : BR rp Jetzt spezialisieren wir wieder zur Fernzone, indem wir die Taylor-Entwicklung fur rp;1 einsetzen: Z  1 xl(p) Ak (p) = 40 + x (  ) + : : : j ^ dxk : l BR r(p) r3 (p)

2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)

115

Wegen der Stromerhaltung (dj = 0) gilt R j ^ dxder= magnetostatischen R dj ^ x = 0, so Bedingung ; da der Monopolterm hier verschwindet. Der k k nachste Term in der Entwicklung ist k l A = 40 mkl x rd3x + : : : : Hierbei bezeichnet m einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe,

Z

mkl := j ^ xk dxl = ;mlk  der das magnetische Dipolmoment genannt wird. (Die Antisymmetrie folgt durch partielle Integration.) Wir sehen, da das Vektorpotential eines magnetischen Dipols wie das Quadrat des inversen Abstandes abfallt (vgl. das Potential eines elektrischen Dipols, Abschn. 2.3.1). Aufgabe 2.3.3. Gehe analog zum elektrischen Fall vor und treibe die Entwicklung bis zum magnetischen Quadrupolmoment. Aufgabe 2.3.4. Wie vergleichen sich die Felder des elektrischen und magnetischen Dipols? Sind sie identisch?

Beispiel 2.3.1. Gegeben sei eine Leiterschleife beliebiger Form  mit Strom I (Abb. 2.5 illustriert den Fall, da  in der xy-Ebene liegt). Was la t sich uber das magnetische Dipolmoment einer solchen Schleife sagen? (Die folgende

Rechnung wird durch die im Abschnitt  uber die Poisson-Gleichung getroffene Vorbereitung redundant. Wir ben utzen sofort:)

Z

BR

j ^ xdy = I

Z



xdy :

R

Betrachte dazu speziell die xy-Komponente mxy = j ^ xdy. Wir behaupten, da fur den vorliegenden Fall einer linienformigen Stromdichte gilt

mxy =

Z

BR

j ^ xdy = I

Z



xdy :

Beim Beweis machen wir uns die Tatsache zunutze, da die Integration von Dierentialformen metrikfrei erklart ist. Wir fuhren krummlinige Koordinaten  ,  und # mit Dierentialen d , d und d# ein und bezeichnen die Dualbasis der Vektorfelder wie ublich mit @ , @ und @ . Die Koordinaten wahlen wir so, da  eine Koordinatenlinie von  ist:  = fp 2 E3 j (p) = 0  # (p) = #0 g : Fur einen Punkt a 2  setze u = @ (p), v = @ (p), w = @ (p) und betrachte das Parallelepiped mit Basispunkt p = a ; (u + w)=2 und Kantenvektoren u, v, w (vgl. R Abb. 2.5). Der Beitrag von diesem Parallelepiped zum Volumenintegral j ^ xdy ist

116

2. ElektroMagnetostatik

εu a

εv

y

p

x γ

Abbildung 2.5. Ein Teil der in der xy-Ebene liegenden Leiterschleife wird von dem Parallelepiped mit Basispunkt p und Kantenvektoren u, v, w uberdeckt.

Z  Z  0

0



(j ^ xdy)p+su+tw (u v w)dt ds + O(2 )

= (xdy)a (v)

Z  Z  0

0



jp+su+tw (w u)dt ds + O(2 )

= (xdy)a (v)
I + O(2 ) : R Da die rechte Seite der entsprechende Beitrag zum Linienintegral I xdy ist, folgt die Behauptung. Dieses Resultat la t sich auf einfache Weise geometrisch deuten. Sei xy die orthogonal Projektion von  auf die xy-Ebene. Der Einfachheit halber nehmen wir an, da diese Projektion  auf  bijektiv ist und durch  = ;1 (xy ) umgekehrt werden kann. Die 1-Form xdy bleibt unter dem Zuruckholen mittels ;1 ungeandert, so da mit xy = @S (S liegt nat urlich in der xy -Ebene) und dem Satz von Stokes folgt

mxy =I =

Z


;1 ( xy )

xdy =

Z

xy

xdy =

Z

S

dx ^ dy = Flache(S ) :

Die xy-Komponente des magnetischen Dipolmoments der Schleife  ist also gleich dem Strom I mal der von der Projektion von  auf die xy-Ebene (im orientierten Sinn) eingeschlossenen Flache. Eine analoge Aussage gilt fur die yz - und zx-Komponenten. Zum Schlu betrachten wir noch den Spezialfall einer kreisformigen Leiterschleife mit Radius R in der xy-Ebene. Mit mxy = IR2 und myz = mzx = 0 erhalten wir i j 2 x dy ; y dx A = 40 mij x rd3x = 0 IR 4 (x2 + y2 + z 2)3=2 : Nach U bergang zu Zylinderkoordinaten stimmt dieser Ausdruck mit dem fuhrenden Term des Resultats von Bsp. 2.2.2 uberein.

2.4 Randwertaufgaben

117

2.4 Randwertaufgaben 2.4.1 Die Greenschen Identit aten In der theoretischen Physik im allgemeinen, insbesondere aber fur die ElektroMagnetostatik, sind zwei nach Green benannte Identitaten von gro em Nutzen. Sie beruhen auf der folgenden Konstruktion. Gegeben sei ein beschranktes Gebiet U . Fur jedes Paar von 1-Formen  und denieren wir das reellwertige Produkt (j )U :=

Z

U

 ^ ? :

Dieses Produkt ist in beiden Argumenten linear und wegen  ^ ? = ^ ? symmetrisch. Au erdem P ist es positiv P denit, wie man an der Koordinatendarstellung ( = i i dxi , = i i dxi ) (j )U =

Z X 3 (

U i=1

i i )dx ^ dy ^ dz

sofort sieht. Es hat also die Eigenschaften eines Skalarproduktes. Nun setzen wir speziell  = df und = dg, wobei f und g zwei Funktionen auf U sind, und wenden die Produktregel fur d an: df ^ ?dg = d(f ^ ?dg) ; f d ? dg : Der zweite Term auf der rechten Seite la t sich auch in der Form ;f ? 4g schreiben. Durch Integration uber U und Anwenden des Stokesschen Satzes im ersten Term auf Z der rechtenZ Seite entsteht (df j dg)U = f ? dg ; f ? 4g (1. Greensche Identitat): @U

U

Nun tauschen wir in der 1. Greenschen Identitat f und g aus, subtrahieren die Gleichungen und verwenden die Symmetrie ( df j dg)U = ( dgj df )U . Dann resultiert: Z Z (f ? dg ; g ? df ) = (f ? 4g ; g ? 4f ) (2. Greensche Identitat): @U

U

Wir sehen, da in die Formulierung der Greenschen Identitaten die metrische Struktur des Euklidischen Raumes in wesentlicher Weise eingeht.

2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem Fur vorgegebene Ladungsdichte wird das elektrostatische Problem durch R die Losung der Poisson-Gleichung (p) = (4"0 );1 =rp auf die Berechnung von Integralen zuruckgefuhrt. In Anwesenheit metallischer Leiter ist die Ladungsdichte jedoch keine Gro e, die wir als gegeben ansehen konnen. Sie stellt sich im Gleichgewicht genau so ein, da das elektrische Feld im Innern

118

2. ElektroMagnetostatik

U U U1 U2

Abbildung 2.6. Eine typische Konstellation fur das Randwertproblem des Leiters verschwindet. Die Problemstellung besteht in einem solchen Fall u.a. darin, die auf der Oberache des Leiters induzierte Flachenladungsdichte zu berechnen. Betrachte zum Beispiel Abb. 2.6. Gezeigt ist dort ein Gebiet U , das von der Oberache @U eines metallischen Leiters berandet wird. In U benden sich Bereiche U1 und U2 (z.B. elektrisch geladene Isolatoren) mit vorgegebener Ladungsdichte = (1) + (2) . Der Leiter
sei \geerdet", d.h. er habe eine leitende Verbindung nach Unendlich, so da 
@U = (1) = 0. Das Problem besteht nun darin,  so zu bestimmen, da die Poisson-Gleichung ;4 = ? ="0 erfullt ist und gleichzeitig  auf dem Rand von U verschwindet. Denition. Die Aufgabe: \Lose fur vorgegebene Ladungsdichte
die PoissonGleichung ;4 = ? ="0 auf U n @U zur Randbedingung 
@U = 0" hei t Poisson-Problem. Von Interesse ist auch der Fall, da die Ladungsdichte auf dem Inneren von U verschwindet und der Rand @U (der auch aus mehreren Teilen bestehen kann) auf einem festen Potential gehalten wird. Denition.
Die Aufgabe: \Lose 4 = 0 auf U n @U zu vorgegebenem Randpotential 
@U " hei t Dirichlet-Problem. Die allgemeinste Randwertaufgabe besteht in der Losung der Poisson-Gleichung unter Vorgabe der Ladungsdichte auf dem Inneren von U und des Potentials auf dem Rand von U . Wegen der Linearitat der Poisson-Gleichung zerfallt die allgemeine Aufgabe in ein Poisson-Problem und ein DirichletProblem. Unter schwachen Voraussetzungen an U la t sich zeigen, da Poisson- und Dirichlet-Problem eindeutig losbar sind. Die Losungstheorie beruht auf dem Konzept der Greenschen Funktion.

Beachte die Komplementarit at von Poisson- und Dirichlet-Problem: im ersten wird die Ladungsdichte im Inneren von vorgegeben und

U

2.4 Randwertaufgaben

119

das Potential auf dem Rand gleich Null gesetzt, im zweiten dagegen wird die Ladungsdichte im Inneren gleich Null gesetzt und das Potential auf dem Rand vorgegeben.

Denition. Sei U ein beschranktes Gebiet.

Besser w are es, schon hier und nicht erst sp ater mit der Dirac- -Distribution zu arbeiten. Die



Greensche Funktion zu U ist eine Abbildung: U
U ! R, (a b) 7! G(a b) mit den Eigenschaften (1) G(a b) ; (4ja ; bj);1 ist regular fur a = b  (2) (4G)(
 b) = 0 auf U n (@U  fbg)  (3) G( b)
@U = 0 : In Worten: G(a b) ist (abgesehen von einem Faktor "0 ) das elektrostatische Potential im Punkt a, das eine im Punkt b ruhende Einheitsladung verursacht, wenn der Rand @U geerdet ist. Mitteilung. Die Beschranktheit von U wird verlangt, um mathematische Pathologien auszuschlie en. Gewohnlich existiert G (und ist eindeutig) auch fur unbeschranktes U . In diesem Fall wird man verlangen, da G im Unendlichen verschwindet. Zum Beispiel ist die Greensche Funktion zu U = E3 gleich G(a b) = 4ja1; bj : Eindeutigkeit der Greenschen Funktion. Die Bedingungen (1{3) legen G(a b) eindeutig fest. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es gabe zwei Greensche Funktionen G1 und G2 und betrachten fur einen fest gewahlten Punkt p 2 U n @U die Dierenz g := G1 ( p) ; G2 ( p). Diese Funktion ist aufgrund von
(1) im Punkt p regular. Nach (2) und (3) gilt 4g = 0 auf U n @U und g
@U = 0. Hiermit liefert die erste Greensche Identitat

(dgjdg)U =

Z

U

dg ^ ?dg =

Z

@U

g ? dg ;

Z

U

g ? 4g = 0 ; 0 = 0 

und die positive Denitheit des Skalarprodukts (dgjdg)U  0 erzwingt g  0. Losung des Poisson-Problems. Per Denition der Greenschen Funktion ist das Potential (a) einer am Ort b ruhenden Ladung q gleich G(a b)q="0 . Durch U bergang zum Integral erhalten wir trivialerweise

(p) =

Z

U

G(p ) ="0 :

Losung des Dirichlet-Problems.

Die folgende Rechnung ist durch Verwenden der Dirac- -Distribution abzuk urzen. Unser Vorgehen ist hier ganz a hn-

 lich wie in Bsp. 2.6.1. Es sei B (p) wieder der Ball mit Mittelpunkt p 2 U n @U und Radius . Wir wenden die zweite Greensche Identitat mit f =  und g = G( p) auf das Gebiet U n B (p) an. Da dort 4G( p) = 0 = 4 gilt, folgt:

120

Z

2. ElektroMagnetostatik

@B (p)

(G( p) ? d ;  ? dG( p)) =

Z @U

(G( p) ? d ;  ? dG( p)) :

Der erste
Term auf der rechten Seite verschwindet infolge der Randbedingung G( p)
@U = 0. Auf der linken Seite erhalten wir (vgl. Bsp. 2.6.1) lim !0

Z

B (p)

(G( p) ? d ;  ? dG( p)) = (p) :

Folglich wird das Dirichlet-Problem durch

(p) = ;

Z

@U

 ? dG( p)

gelost. Dieses Resultat druckt  im Inneren von U durch seine Werte auf dem Rand @U aus. Symmetrie der Greenschen Funktion. Fur zwei Punkte a b 2 U n @U betrachten wir das Gebiet U n (@U  B(a)  B (b)) und setzen in der zweiten Greenschen Identitat f = G( a) und g = G( b). Eine analoge Rechnung wie oben fuhrt dann auf die Symmetrierelation G(a b) = G(b a) : Auch hier hilft die Dirac- -Distribution. Poisson-Kern.
Die in der Losung des Dirichlet-Problems auftretende 2-Form ; ? dG( p)
@U (p fest, anderes Argument variabel) hei t Poisson-Kern. Sie hat die folgende physikalische Interpretation. Wir bringen eine Ladung q an den Ort p und erden den Rand @U . Dann ist das elektrostatische Potential durch  = G( p)q="0 gegeben, und es gilt D = "0 ? E = ;"0 ? d = ;q ? dG( p) : Die Verdrangung des elektrischen Feldes aus dem Metall wird durch Oberachenladungen auf mit Flachendichte-2-Form  auf @U bewirkt. Die Anschlu bedingung fur die Tangentialkomponente von D auf @U lautet

 = ;D

= q ? dG( p)

: @U

@U

Wir konnen also ?dG( p) @U als die durch eine Einheitsladung am Ort p auf

der metallischen Oberache @U induzierte Flachenladungsdichte auassen. (wobei @U durch die nach auen zeigende Normale orientiert wird. Bildladungsmethode. Hier ware kurz das Prinzip der Bildladungsmethode

zu erl autern. F ur den Halbraum kommt man mit einer einzigen Bildladung aus, f ur den Raum zwischen zwei parallelen Ebenen ben otigt man schon unendlich viele. Ein ber uhmtes nichttriviales Beispiel, wo mit einer Bildladung auskommt, ist die Kugel (Kelvin).

2.4 Randwertaufgaben

121

Beispiel 2.4.1. Oben haben wir gezeigt, da die Losung des Poisson- und Dirichlet-Problems durch die Greensche Funktion ausgedruckt werden kann. Unser Ziel ist daher die Berechnung der letzteren. Obwohl dies im allgemeinen die Hilfe eines Computers erfordert, gelingt in einigen Fallen mit hoher Symmetrie auch die analytische Berechnung. Ein solcher Spezialfall ist die Kugel U = BR . Ohne Verlust an Allgemeinheit legen wir den Kugelmittelpunkt in den Koordinatenursprung o. Zu berechnen ist fur einen festen Punkt a 2 BR n @BR die Greensche Funktion G( a), was sich mit dem folgenden Trick (Lord Kelvin) bewerkstelligen la t. Sei d(o a) 6= 0 der Abstand des Punktes a von o. Wir wahlen den Punkt A auf der Geraden durch o und a so, da gilt (siehe Abb. 2.7): R = d(o A) : d(o a) R p A o

a

BR BR

Abbildung 2.7. Skizze zu Bsp. 2.4.1

Zwischen den Koordinaten2 der Punkte a und A besteht dann die Beziehung xi (A) = (R=d(o a)) xi (a). Nun betrachten wir irgendeinen Punkt p auf @BR . Die beiden Dreiecke poa und poA sind einander ahnlich. (In der Tat ist ihnen ein Winkel gemein, und die Seiten haben per Wahl von A gleiche relative Langen.) Deshalb gilt die elementargeometrische Relation R=d(p a) = d(o A)=d(p A) oder aquivalent 1 = 1
d(o A) = 1
R : d(p a) d(p A) R d(p A) d(o a) Der wichtige Schlu , den wir hieraus ziehen, ist, da die Funktion  g = 41 r1 ; r1
d(oR a) a A auf dem Rand der Kugel @BR verschwindet. Nun la t sich aber "0 g als das Potential zweier Punktladungen auassen: einer Einheitsladung am Ort a und einer \Spiegelladung" ;R=d(o a) am Ort A 2= BR . Als solches genugt g der Laplace-Gleichung auf BR nfag. Au erdem ist die Funktion g ; (4ra );1 am Punkt a regular. Damit erfullt g genau die an die Greensche Funktion gestellten Forderungen. Da die Greensche Funktion eindeutig ist, folgt g = G( a).

122

2. ElektroMagnetostatik

Aufgabe 2.4.1. Veriziere fur das Beispiel der Kugel U = BR die
Symmetrie G(a b) = G(b a), und berechne den Poisson-Kern ;d ? G( p)
@U .

2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastr ome Das magnetostatische Analogon zur Abschirmung des elektrischen Feldes durch ein Metall ist die Verdrangung des magnetischen Feldes aus einem Supraleiter.4 To be continued

2.5 Energiebetrachtungen 2.5.1 Kapazit atskoezienten Energie eines Systems von Punktladungen. Ein punktformiger Korper, der sich am Ort p1 bendet und die Ladung q1 tragt, erzeugt wie wir wissen die elektrische Feldstarke E (1) = (q1 =4"0)drp1 =rp21 . Um in diesem Feld einen zweiten punktformigen Korper mit Ladung q2 aus dem Unendlichen an die Stelle p2 zu bringen, ist die Arbeit Z 1
q1 q2 =: W ;q2 E (1) = 4" 12 0 jp1 ; p2 j erforderlich. (Fur q1 q2 < 0 ist die Arbeit negativ, d.h. es wird Energie frei.) Transportieren wir nun im elektrischen Feld der schon vorhandenen Ladungen eine dritte Punktladung q3 an den Ort p3 , so ist die Arbeit W13 + W23 zu verrichten. Wir setzen diese Prozedur fort, bis wir N Punktladungen qi an die Positionen pi (i = 1 ::: N ) gebracht haben. Die zum Aufbau der Gesamtkonguration notige Energie ist dann eine Summe uber N (N ; 1)=2 Paare, X 1 X qi qj : W = Wij = 4" 0 i<j jpi ; pj j i<j A quivalent konnen wir schreiben N X 1 W = 2 (i) (pi )qi  i=1

X qj jpj ; j  0

1 (i) = 4"

wobei in der Potentialfunktion (i)

j 6=i

der i-te Summand weggelassen wird, um den divergenten Beitrag der \Selbstenergie" Wii  qi2 =jpi ; pi j = 1 auszuschlie en. 4

Genau gesprochen benotigt man einen Supraleiter in der sogenannten MeinerOchsenfeld-Phase.

2.5 Energiebetrachtungen

123

Energie eines Ladungskontinuums. In Abschn. 1.8 haben wir uber die Herleitung des Energiesatzes motiviert, da die Energiedichte des elektrischen Feldes durch (1=2)E ^ D gegeben ist. Demnach berechnet sich die in einer kontinuierlichen Ladungsverteilung mit elektrischer Feldstarke E und Erregung D gespeicherte Energie zu Z W~ = 12 E ^ D : Wie hangt dieser Ausdruck mit jenem fur das System von Punktladungen zusammen? Dazu machen wir mit E = ;d eine partielle Integration #wobei (1) = 0 benutzt wird] und verwenden das Gau sche Gesetz dD = : Z Z Z W~ = ; 21 d ^ D = 21 dD = 12  : Oenbar ist W~ die kontinuierliche Version des diskreten Ausdrucks W . Bei genauerem Hinsehen tut sich jedoch eine Diskrepanz auf. Die Energie Z Z;  W~ = "20 E ^ ?E = "20 Ex2 + Ey2 + Ez2 dx ^ dy ^ dz  0 ist immer positiv, wahrend W auch negativ (z.B. fur ein System von zwei Punkten mit Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens) sein kann. Der Unterschied ruhrt daher, da W~ Selbstenergiebeitrage enthalt, die in dem Ausdruck fur W weggelassen wurden. Die Problematik wird besonders deutlich, wenn wir die Feldenergie einer elektrisch geladenen Kugel mit Radius R betrachten. Aus dimensionellen Grunden (oder durch kurze Rechnung) folgt, da diese Energie im Limes einer Punktladung (R ! 0) wie R;1 divergiert. Diese Divergenz ist nichttrivialer Natur 5 und deutet an, da die Elektrodynamik bei kurzen Skalen modiziert und durch eine fundamentalere Theorie vervollstandigt werden mu . Kapazitatskoezienten. Wir betrachten jetzt wie in Abb. 2.8 illustriert eine Anordnung von N elektrischen Leitern U1  U2 : : :  UN . Das elektrostatische U2 U1

p

5

U3

Abbildung 2.8. Eine kapazitives System metallischer Bereiche

In der Quantenelektrodynamik werden solche Divergenzen phanomenologisch beseitigt, indem man die Theorie \regularisiert" und \renormiert".

124

2. ElektroMagnetostatik




Potential  ist auf jedemRLeiter konstant, 
Ui = i , und wir wahlen (1) = 0. Mit der Ladung Qi = Ui auf Ui erhalten wir dann fur die Gesamtenergie des Systems Z N X 1 1 ~ W = 2  = 2 i Qi : i=1 Die Ladungen sitzen alle auf den Oberachen @Ui . Unser Ziel ist es hier, die Energie als quadratische Form in den konstanten Potentialen i auszudru;cken. Es seien also die i vorgegeben. Wir haben es dann auf U = E3 n Ni=1 Ui mit einem Dirichlet-Problem zu tun, dessen Losung fur das Potential  im Punkt p sich folgenderma en aufschreiben la t:

(p) =

N X j =1

j Kj (p) 

wobei Kj durch Integrieren des Poisson-Kerns uber die Oberache ;@Uj berechnet wird,

Kj (p) :=

Z

@Uj

?dG( p) :

P

(Beachte @U = ; j @Uj .) Diesem Potential entspricht die elektrische Erregung X D = "0 ? E = ;"0 ? d = ; j "0 ? dKj : j

(i)

Es sei nun die Flachenladungsdichte auf der i-ten Leiteroberache @Ui (die durch den nach U gerichteten Normalenvektor orientiert wird). Dann gilt uber @Ui hinweg die Anschlu bedingung
D
@Ui = (i)  und durch Integration uber @Ui erhalten wir die Ladung

Qi =

Z

@Ui

(i)

=

X Z j

j

@Ui

R

(;"0 ? dKj ) =

X j

Cij j :

Die reellen Zahlen Cij = ;"0 @Ui ?dKj hei en Kapazitatskoezienten. Sie sind allein durch die Geometrie der Anordnung bestimmt und vom Ladungszustand und/oder den Potentialen der Leiter unabhangig. Ihre Berechnung setzt die Kenntnis der Greenschen Funktion des Randwertproblems voraus und ist daher im allgemeinen schwierig. Aus der Symmetrie der Greenschen Funktion folgt

Cij = ;"0

Z

@Ui

?dKj = ;"0

Z

@Uj

?dKi = Cji :

Insgesamt erhalten wir fur die elektrostatische Energie der Anordnung

2.5 Energiebetrachtungen

125

X W~ = 12 Cij i j : Beispiel.

ij

Welches?

2.5.2 Induktionskoezienten Energie eines Systems stromfuhrender Schleifen. Betrachte eine Anordnung von N Leiterschleifen i beliebiger Form, Gro e und Ausdehnung (ABBILDUNG). Ausgehend von einem Anfangszustand ohne Stromu werde der Strom in i auf den stationaren Wert Ii (i = 1 ::: N ) hochgefahren. Dabei ist von der Stromquelle wegen des Induktionsgesetzes eine Gesamtarbeit W zu verrichten, die nach dem Energiesatz (Abschn. 1.8) im aufgebauten Magnetfeld gespeichert wird: Z W = 12 B ^ H : R In der Elektrostatik haben wir gesehen, da die elektrische Feldenergie 21 E ^ D fur eine kontinuierliche Ladungsdichte mit Potential  #(1) = 0] sich in R die Form 12  bringen la t. Ein analoges Umschreiben nehmen wir jetzt in der Magnetostatik vor, wobei das Vektorpotential A das Potential  ersetzt, und die Rolle von durch j ubernommen wird. Sei also A ein Vektorpotential von B . Dann folgt durch partielle Integration Z Z Z W = 21 dA ^ H = 21 A ^ dH = 21 A ^ j : (Hier wurde naturlich angenommen, da das Magnetfeld im Unendlichen schnell genug abfallt, so da die Integrale existieren undR auch kein Randterm bei der partiellen Integration entsteht.) Der Ausdruck A ^ j ist nicht manifest eichinvariant, da A unter einer Eichtransformation inR A + d ubergeht. R Jedoch verschwindet der entstehende Zusatzterm dank d ^ j = ; dj und der magnetostatischen Zwangsbedingung dj = 0. Aufgabe 2.5.1. Die in einem System stromfuhrender Schleifen gespeicherte magnetische Energie ist quadratisch im Magnetfeld. Verdoppeln wir die Strome (und damit das Magnetfeld), so vervierfacht sich die Energie. Folglich nimmt die magnetische Energie zu, wenn wir zwei Leiterschleifen mit festen und gleichgerichteten Stromen I und I 0 aufeinander zubewegen. Man konnte deshalb meinen, da sich die Leiterschleifen fur II 0 > 0 absto en. In Abschn. 2.1.2 (Festlegung von 0 ) und Bsp. 2.2.2 hatten wir aber gezeigt, da die Kraft zwischen Schleifen mit gleichgerichteten Stromen attraktiv ist! Wo liegt der Denkfehler?

126

2. ElektroMagnetostatik

Induktionskoezienten. Wir nehmen jetzt an, da die Stromdichte j (i) der i-ten Leiterschleife mit dem Strom Ii skaliert: ?j (i) = Ii
!(i) . Die dimensionslose 1-Form !(i) beschreibt das \Stromdichteprol" P der i-ten Schleife. Dann wahlen wir wieder die Coulomb-Eichung fur A = k Ak dxk und haben nach Abschn. 2.3.2 N Z ! (i) dV X  0 k Ak (p) = 4 Ii rp  i i=1 wobei dV die kartesische Volumenform dx ^ dy ^ dz bezeichnet. Diesen Ausdruck setzenZ wir in die Formel W = 21 (Ax jyz + Ay jzx + Az jxy ) dV ein, worauf Doppelintegrale entstehen, P !(i)(x y z) !(j) (x0  y0 z0) Z Z  0 0 k k k p  Lij = 4 dV dV (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z 0 )2 i j deren mit den Stromen gewichtete Summe die Energie W ergibt: N X 1 W=2 Lij Ii Ij : ij =1

Die Gro en Lij hei en Induktionskoezienten. Fur i 6= j sprechen wir von \Gegeninduktionskoezienten", fur i = j von \Selbstinduktionskoezienten". Energie eines Systems von Stromlinien. Wenn die Leiterschleifen linienformig (d.h. sehr geringer transversaler Ausdehnung) sind, konnen wir die Volumenintegrale fur W und A zu Linienintegralen reduzieren. Mit der gleichen Rechnung wie in Bsp. 2.3.1 nden wir N Z X X 1 W = 2 Ii Ak dxk  i i=1 k X Z dxk  0 Ak (p) = 4 Ij : j rp j

P

Einsetzen des zweiten Integrals in das erste ergibt W = 21 Lij Ii Ij mit Z 3 Z X ;   0 0 dxk dxk (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z 0 )2 ;1=2 : Lij = 4 j k=1 i Zur weiteren Vereinfachung dieses Ergebnisses parametrisieren wir die Schleifen durch s 2 #0 1] 7! i (s) und t 2 #0 1] 7! j (t) und holen die 1-Formen dxk nach #0 1] zuruck. Dann entsteht

2.5 Energiebetrachtungen

Z Lij = 40

1 Z1

0 0

127

 0(s)  0 (t) i

j

ji (s) ; j (t)j dtds 

  wobei i0 (s) den Tangentialvektor (d=ds)i (s) bezeichnet und  das Ska-

larprodukt des Euklidischen Vektorraumes von E3 ist. (Achtung! Die Selbstinduktionskoezienten Lii sind in dieser Naherung divergent. Fur sie ist die endliche transversale Ausdehnung der Leiterschleifen zu berucksichtigen.) z γ2 a

y 2

x

R

γ1

Abbildung 2.9.

Beispiel 2.5.1. Gegeben seien zwei kreisformige Leiterschleifen (Abb. 2.9) mit Parametrisierung 1 (s) = o + exR cos(s) + ey R sin(s) ; ez a=2  2 (t) = o + exR cos(t) + ey R sin(t) + ez a=2 : Der Abstand zwischen zwei Punkten auf den Schleifen und das Skalarprodukt der zugehorigen Tangentenvektoren berechnen sich zu

q ;



j1 (s) ; 2 (t)j = 2R2 1 ; cos(s ; t) + a2   0 (s)  0 (t) = R2 cos(s ; t) : 1 2

Damit erhalten wir fur den Gegeninduktionskoezienten

Z L12 = 40 R2

2
Z2


0 0 2 Z


0R = p 2 20

q 2; cos(s ; t)  2 dtds 2R 1 ; cos(s ; t) + a

cos tdt p1 ; cos : t + a2 =2R2

Dieser Ausdruck ist wieder mal ein elliptisches Integral, das nicht elementar berechnet werden kann. Im Grenzfall a  R gilt in fuhrender Naherung

128

2. ElektroMagnetostatik

4 L12 ' 2 0
Ra3 : Wer dies nicht auf einen Blick sieht, macht wenigstens einen Dimensionstest. Mit #0 ] = Energie=(Strom2
Lange) ergibt sich #L12 ] = Energie=Strom2 , wie es per Denition der Induktionskoezienten sein mu .

2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen Hier wird das Rechnen mit Distributionen und Stromformen weiterf uhrend als bisher illustriert und einge ubt.

Elektrische Dipolschicht. = Stromform 2 3 (E3 ))



Ladungsdichte einer Dipolschicht

Abbildung zeigt im Querschnitt Ladung . (F ur sp ater: = ) Formale Definition:



Z

@ 

 1=,



(einer

Abstand der Schichten

#f ] := ;Q ?df  

Q

wobei =Dipolmoment/Flacheneinheit im Limes wird (beachte: # ] = Ladung / L ange). Potential (L osung der Poisson-Gleichung):

1

Q

!0

festgehalten



Z Q (p) = r =4"0 = ; 4" ?d r1 : p 0  p

Ein anderer, komplizierterer L osungsweg w are (um das Rechnen mit Stromformen zu  uben!): w ahle eine spezielle L osung der Gleichung d = , zum Beispiel: (0) = . (physikalische Bedeutung: (infinitesimale) elektrische Flulinien, die eine Seite der Dipolschicht mit der anderen verbinden). Abbildung Verifikation (hier wird das Rechnen ge ubt):

D



D

Q?

dD(0) #f ] = ;D(0)#df ] = ;Q ? #df ] = ;Q#?df ] = ;Q

Z



?df = #f ] :

Allgemeine L osung: = (0) + d  Aus d = 0 folgt 0 = d = d + d d oder d d = + , wenn = = d der Rand der Flache ist. In der ``Coulomb-Eichung'' d = 0 erhalten wir dann = usw. usw. Interessante Schlufolgerung: d , und damit letztlich auch das elektrische Feld, h angt nur vom der Fl ache = ab. Ist anschaulich klar (Dipolschicht!) und h atte sich auch rechnerisch sofort sehen lassen:

E  @ ; 

D D  ?D Q 

? 

? 

4 ;Q?

?

Rand

Q





@

Z

Q (p) = ; 4"

0

2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen

129



Q Z  : ?d r1 = ::: = 4" p p 0  

Das Integral  uber den Raumwinkel h angt offensichtlich nur vom Rand der Fl ache ab.



Magnetisches Skalarpotential einer Stromschleife.

Kurz an Rechnung mit Vektorpotential erinnern. Es geht aber auch anders (siehe Elektrostatik oben)... = Stromdichte einer Leiterschleife (eine Stromform 2 ( 3 )) per Definition: # ] = Abbildung (zeigt eine Fl ache , deren Rand gleich ist).

A

j

jA

j2 E

R

I A





(0) = . Amp eresches Gesetz d = hat die spezielle L osung (0) (0) (Verifikation: d = = = = .) allgemeine L osung: = (0) + d . Aus d = 0 folgt 0 = d = d (0) + d d = d + oder = d . Beachte die starke Analogie zur Elektrostatik: d entspricht der Ladungsdichte einer elektrischen Dipolschicht (siehe oben)... Die L osung dieser Poisson-Gleichung k onnen wir sofort angeben:

H

B

4$ ;I ? ? 

H j H @H I@ I j H H $ ?H ?H ? $ I ?  ?4$

I

?

 

 

Z 4$ (p)=I = d ?  r1 = ; ?  d r1 = ::: = p : p p  $ springt uber die Flache  hinweg die Kombination H (0) +d$

ist stetig. Korollar 1: perfekte Analogie zwischen dem elektrischen Feld einer Dipolschicht und dem Magnetfeld einer stromf uhrenden Schleife. Korollar 2: Schleife schrumpfen lassen das Feld von elektrischem und magnetischem Dipol sind (abgesehen von den Vorfaktoren) identisch. ( Uberpr ufung f ur = Kreisscheibe)

!



Zusammenfassung: m ogliche Strategien. 1. Die homogene Gleichung d = 0 oder d = 0 durch die Einf uhrung eines Potentials = d oder = d losen. Mit Materialgleichung oder ausdr ucken und damit in die inhomogene Gleichung d = oder d = gehen. Es resultiert Poisson-Gleichung f ur bzw. (im ersten Fall ist die Coulomb-Eichung zu w ahlen). 2. Spezielle L osung der inhomogenen Gleichung ansetzen. Durch Hinzuf ugen einer exakten Stromform die allgemeine L osung der inhomogenen Gleichung ausdr ucken. Damit (und mit Materialgleichung) in die homogene Gleichung gehen... Haben wir zuviel versprochen, als wir sagten, wir k onnten Elektrostatik und Magnetostatik in einheitlicher Weise behandeln. Nein. Der Kalk ul mit Differentialformen oder Stromformen macht's m oglich!

H j 

D D

B

A

B

E ;

E

A

H

130

2. ElektroMagnetostatik

Magnetisches Skalarpotential einer Leiterschleife.

Es folgt jetzt noch die alte, umst andliche Rechnung. Vielleicht l at noch die eine oder andere Redewendung wiederverwenden. Wir greifen das Problem der stromf uhren-

den Leiterschleife ein letztes Mal auf und behandeln es jetzt mit einer amusanten Methode, die auf Amp'ere zuruckgeht. Wie zuvor folge die Leiterschleife dem Weg  und trage den Strom I . Nach dem Amp'ere-Gesetz gilt dH = 0 auf dem stromfreien Gebiet V := E3 n  . Nun wurde man gerne das Poincar'esche Lemma anwenden und ein Potential fur H einfuhren. Das ist aber nicht ohne weiteres moglich, da V nichtkontraktible Schleifen zula t (z.B. die Schleife  in Abb. 2.10). In der Tat ergaRbe H =Rd$ wegen R @ = 0 eine verschwindende magnetische Ringspannung  H =  d$ = @ $ = 0, was ein Fehlschlu ist. R R Das richtige, aus dem Amp'ereschen Gesetz in integraler Form ( @ H =  j ) resultierende Ergebnis ist

Z



H = I 6= 0 : I

S

α γ

Abbildung 2.10.

Wie durch die nichtkontraktible Schleife  demonstriert wird, ist das Gebiet E3 n nicht einfach zusammenhangend. Wir sehen hier die Trennache S = S+ von \vorn".

Die Problematik der Nichtexaktheit von H la t sich durch einen Trick umgehen: wir schneiden V ganz einfach langs irgendeiner Flache S , die von  berandet wird (@S =  ), auf! Um das Argument moglichst klar herauszuarbeiten, erweitern wir S zu einer sehr dunnen Schicht US (S  US ) und setzen V 0 := E3 n US . Das modizierte Gebiet V 0 hat den Rand @V 0 = S; ; S+ , wobei S; im Limes innitesimaler Schichtdicke gegen S konvergiert und S+ gegen ;S . Wir nennen S+ die vordere und S; die hintere Seite der Trennschicht. Das Gebiet V 0 ist per Konstruktion einfach zusammenhangend, und nach Poincare folgt jetzt, da die auf V 0 geschlossene 1-Form H dort auch exakt ist: H = d$ . Die Funktion $ hei t ein skalares magnetisches Potential von H . Auf dem stromfreien Gebiet V 0 genugt $ der Laplace-Gleichung 4$ = 0, denn ?4$ = d ? d$ = d ? H = ;0 1 dB = 0 : Da $ nicht global existiert, macht sich in einer Diskontinuitat an der Trennache S Zbemerkbar:Z I= H= d$ = $; ; $+  

n(US \)

2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen

131

wobei $; und $+ den Grenzwert von $ bei Annaherung an S von hinten (S; ) bzw. vorn (S+ ) bezeichnen. Das skalare magnetische Potential springt also uber S hinweg um einen Betrag, der durch den Strom I gegeben ist. Diese Tatsache in Verbindung mit der Laplace-Gleichung 4$ = 0 auf V 0 erlaubt es, $ (p) auf geometrische Weise auszudrucken. Es sei dazu B (p) der Ball mit Mittelpunkt p und Radius . Wir schneiden B (p) aus V 0 heraus und wenden auf das verbleibende Gebiet U := V 0 n B (p) die zweite Greensche Identitat mit f := $ und g := 1=rp an: Z 1 1 =0: ? d $ ; $ ? d rp @U rp Die rechte Seite verschwindet wegen 4f = 0 und 4g = 0 auf U . Die 2Form ; ? d(1=rp) ist mit der auf den Punkt p bezogenen Raumwinkelform p identisch: ; ? d r1 = ? drr2p = p : p

p

(Achtung! Das Subskript p in p ist hier kein Auswertungspunkt wie in unserer Notation fur Dierentialformen sonst ublich, sondern lediglich ein externer Parameter, der verschiedene Dierentialformen unterscheidet. Eine prazisere, aber umstandlichere Notation ware  (p) .) Der Rand von U besteht aus drei Stucken, @U = S; ; S+ ; @B(p), so da folgt:

Z

;r;1 ? d$ + $  = Z

;r;1 ? d$ + $  : p p @B (p) S; ;S
Da die Oberache des -Balles wie 2 skaliert, r;1
aber nur wie ;1 p

p

+

p @B (p)

divergiert, tragt zum Integral uber @B (p) im Limes  ! 0 nur der zweite TermZ bei: Z ;r;1 ? d$ + $  ;! !0 $ (p) p = 4$ (p) : p p @B (p)

@B (p)

Wegen der Stetigkeit von d$ = H fallt der erste Term auch im Integral uber den zweiseitigen Rand S; ; S+ der Trennschicht weg, und die Diskontinuitat des zweiten Terms ($; ; $+ = I ) gibt

Z

S; ;S+

;r;1 ? d$ + $  = Z ($ ; $ ) = I Z  : p ; + p p p S

S

Insgesamt folgt das hubsche Ergebnis Z $ (p) = 4I p : S Das skalare magnetische Potential im Punkt p ist also gleich I=4 mal dem Raumwinkel, R unter dem die Leiterschleife von p aus gesehen wird. Da das Integral S p von der Wahl der Trennache S nicht abhangt, ist anschaulich klar. Formal folgt die Unabhangigkeit aus der Geschlossenheit von p

132

2. ElektroMagnetostatik

(dp = 0 auf E3 n fpg). In der Tat la t sich fur zwei Flachen S1 und S2 mit gleichem Rand @S1 = @S2 =  die Dierenz S1 ; S2 als der Rand eines dreidimensionalen Gebiets W auassen, und es gilt

Z

p ;

Z

Z

S2

p =

Z

p =

Z

dp = 0  S1 ;S2 @W W R R d.h. das Integral S1 p = S2 p hangt wirklich nur von der berandenden S1

p =

Schleife @S =  ab und nicht von S selbst. Wir konnen diese Unabhangigkeit formelma ig explizit machen, indem wir lokal p = dp setzen #z.B. mit p = (1 ; cos p )d'p , wobei p und 'p der Polar- bzw. Azimuthwinkel bzgl. p sind] und mit dem Stokesschen Satz das Flachenintegral uber S in ein Linienintegral langs  umwandeln: Z I $ (p) = 4 p : Aufgabe 2.6.1. Berechne fur die in Abb. 2.11 gezeigte Anordnung das skalare magnetische Potential $ und die magnetische Erregung H auf der z -Achse, und veriziere die U bereinstimmung des Resultats mit dem von Bsp. 2.2.2. z p

θp y R

γ

I

x

Abbildung 2.11. Skizze zu Aufg. 2.6.1

3. Netzwerke

Warnung: das folgende Kapitel ist noch in einem didaktisch sehr schlechten Zustand und findet bei den Studenten keine groe Resonanz. (Vielleicht sollte man das Kapitel deshalb ganz weglassen. Andererseits ist es aber f ur numerische Zwecke schon sehr wichtig zu verstehen, wie man die Maxwellsche Theorie richtig diskretisiert.)

In diesem Kapitel werden wir die Maxwellsche Theorie diskretisieren. Die Motivation hierfur ist zweifach: 1. Diskretisierung ist eine Vorbereitung fur die Anwendung numerischer Methoden in Situationen, wo analytische Losungsmethoden versagen. 2. Die diskrete Formulierung wird unser Verstandnis der Theorie vertiefen und unsere Anschauung verbessern. Insbesondere werden wir das \Flu linienbild" prazisieren. Abschnitt 1.1 dient u.a. dazu, einige allgemeine Strukturen einzufuhren, mit denen wir dann auf Netzwerken arbeiten werden.

3.1 k-Komplexe Wir betrachten eine Gesamtheit, die aus einer Menge von Punkten %0 = fp1 p2 p3 : : :g orientierten Linien %1 = f1 2 3 : : :g orientierten Flachen %2 = fS1 S2 S3 : : :g und orientierten Gebieten %3 = fV1 V2 V3 : : :g besteht plus einer Vorschift @ (\Randoperator"), die jeder/m 0 Linie 1 0 Punkte 1 @ Flache A die sie=es berandenden @ Linien A zuweist: Gebiet Flachen Beispiel 3.1.1. Tetraeder %0 = fp1 p2 p3 p4 g %1 = f12  13  14  23  24  34 g @ij = pj ; pi %2 = fS123  S124  S134  S234 g @Sijk = jk ; ik + ij %3 = Tetraeder = V1234 @V1234 = S234 ; S134 + S124 ; S123

134

3. Netzwerke

.

P4

γ

γ S134 γ 13

P1

γ

.

24

S 234 P3

γ

S123

.

vorn

34

14

23

γ 12

S 124

.

P2

Abbildung 3.1. Tetraeder Beispiel 3.1.2. Quader 7

.

.

8

.

4

oben

5

.

.

6 hinten

rechts

links vorn

3

. unten

1

.

.

Abbildung 3.2. Quader

2

%0 = fp1 p2 : : : p8 g @ij = pj ; pi %1 = f12 : : : 78 g @Srechts = 24 + 48 ; 68 ; 26 %2 = fSoben Sunten : : :g @Q = Srechts ; Slinks + Soben ; Sunten %3 = fQg Q = Quader +Shinten ; Svorn Die Elemente von %k spannen einen linearen Raum auf, den wir mit Ck bezeichnen. (In den Beispielen: p2 ; p1 2 C0  12 + 2P 24 ; 43 13 2 C1 .) Die Elemente von Ck hei en k{Ketten. Die Elemente von k hei en Basis{k{ Ketten oder, kurzer, k{Zellen. Die Gesamtheit der Raume Ck (k = 0 1 2 3) @ C ! @ @ zusammen mit dem Randoperator C3 ! 2 C1 ! C0 hei t 3{Komplex. (Verallgemeinerung zu k{Komplexen ist klar.) Wir betrachten jetzt den zu Ck dualen Raum Ck
= C k (k = 0 1 2 3). Zur Erinnerung: \dual" hei t, da C k der lineare Raum ist, der aus den linearen Funktionen ! : Ck ! R besteht.

3.1 k-Komplexe

135

Die Elemente von C k hei en k{Coketten. Durch Anwendung einer k{ Cokette ! auf eine k{Kette c ensteht eine reelle Zahl, die wir mit !(c) bezeichnen. liegt nahe, diese Anwendung mit \Integrieren" gleichzusetzen: !(c)  R !Es . Mit dieser Identication sind k{Coketten das diskrete Analogon zu k{ c Formen. Wir notieren die Dualbasis mit hochgestellten Indizes, d.h. pi (pj ) = i j   i (j ) = ji usw. Dann ist also f = pi jene Funktion (= Null{Form), die uberall verschwindet au er im Punkt p = pi , wo sie den Wert f (p) = 1 hat. Genauso konnen wir ! =  i als die 1{Form auassen, deren Integral langs jeder 1{Zelle (d.h. R jeder elementaren Linie) verschwindet au er langs c = i , wo gilt !(c) = c ! = 1: Der zum Randoperator @ : Ck ! Ck;1 duale Operator d : C k;1 ! C k hei t Corandoperator. Fur 
2 C k;1 und c 2 Ck gilt per Denition von d als dem zu @ dualen Operator: (d
)(c) = 
(@c) : (3.1) R R Mit den Identikationen !  
 
(@c) = @c ! und (d
)(c) = c d! schreibt sich (3.1) wie folgt:

Z

Z

! d.h. der Corandoperator ist das diskrete Analogon zur au eren Ableitung { was seine Bezeichnung mit d erklart {, und (3.1) ist die diskrete Version des Stokesschen Satzes. Wie im Kontinuum ist d auch auf einem k{Komplex genau so deniert, da der Stokessche Satz gilt. Beispiel 3.1.1 : Tetraeder X X (1) dP i =  ni ;  in c

d! =

@c

(2) d ij =

n
n
i
X

i
S inj +

X

i<j
S ijn

(Es wird jeweils nur uber n summiert:) (3) dS 234 = V 1234  dS 134 = ;V 1234 usw: Beweis z.B. von (1): X mn (dpi )(c) = pi (@c) = pi (@ c mn ) = pi =

X

m
cmn (pn ; pm) =

 Xm
 ;

i


X

cmi ;

m
|k
X i
cin

136

3. Netzwerke

Beispiel 3.1.2 : Quader dp1 = ; 12 ;  13 ;  15 dp4 =  24 +  34 ;  48 usw: d 37 = +S hinten + S links d 68 = +S oben ; S rechts usw: Die allgemeine Rechenregel fur d lautet wie folgt: (Sie ergibt sich direkt aus der Denition und la t sich leicht merken, da der Corandoperator die diskrete Version der au eren Ableitung ist): Sei ci eine k{Zelle. Zur Berechnung von dci sehen wir nach, welche (k +1){ Zellen ci in ihrem Rand enthalten. dci ist dann die \orientierte" Summe der zugehorigen (k + 1){Cozellen, wobei das Vorzeichen positiv (negativ) zu wahlen ist, wenn ci im Rand der betreendem (k + 1){Zelle mit der richtigen (falschen) Orientierung vorkommt.

3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke Unser eigentliches Ziel in diesem Kapitel ist { wie gesagt { eine diskrete Formulierung der Elektrodynamik, die ihrer dierentiellen Struktur gut angepa t ist. Bevor wir uns diesem Ziel zuwenden, wollen wir den Begri des k{Komplexes und der auf ihm denierten Operationen @ and d an zwei Beispielen weiter erlautern und einuben.

3.2.1 Kapazitives Netzwerk

Wir betrachten einen 2{Komplex (am Ende wird auch ein 1{Komplex ausreichen), auf dessen 1{Zellen Kondensatoren plaziert sind!

. E

Cγ δ

γ

Cδ

. A

.

α

B

Cα

.

D

β

Cβ

Abbildung

3.3.

Die C
: : :
C sind die Kapazitaten der Kondensatoren.

Beispiel 3.2.1. Wir transferieren (mit Hilfe einer Batterie) Ladungen zwischen den Knoten (= Punkten oder 0{Zellen) des Netzwerkes (oder Komplexes). Im Gleichgewicht werden sich die Ladungen in einer bestimmten Weise

3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke

137

uber die Kondensatoren verteilen. Ziel ist die Berechnung dieses Gleichgewichtszustandes. Zuordnung der physikalischen Gro en zum Netzwerk: i. Die Verteilung der Ladungen an den Knoten ist eine 0-Kette: = A A + B B + ii. Die Verteilung der Ladungen uber die Kondensatoren ist eine 1{Kette: Q = Q  + Q + iii. Die Spannungen an dem Kondensatoren bilden eine 1{Cokette: V = V 
+ V
+ (A
ist dual zu A, 
dual zu  usw.) Die Ringspannung langs jedes geschlossenen Weges mu verschwinden =) dV = 0. Die Kapazitaten verknupfen Kondensatorladungen und {Spanunngen: Q = C V usw. In basisfreier Notation denieren die Kapazitaten eine Abbildung C : C 1 ! C1  V ! C V = Q. Der Denition der Kondensatorladungen liegt eine Vorzeichenkonvention zugrunde, die der Orientierung der Linien entsprechend gewahlt ist. Zur Illustration greifen wir dem Knoten B im obigen Beispiel heraus: δ

-Q

δ

+Q δ

α

+Q α

-Q

α

.

β

B +Q β

-Q

β

Abbildung 3.4. Es mu gelten:  = ;Q + Q + Q . Der allgemeine Zusammenhang zwischen Kondensator{ und Knotenladungen lautet mit Hilfe des Randoperators @ : @Q = ; : Zusammenfassung: die Gleichungen des kapazitiven Netzwerkes sind: @Q = ;  Q = C V  dV = 0 Beachte die starke (und auch nicht zufallige) Analogie zu dem Grundgleichungen der Elektrostatik: dD =  D = "0 ? E dE = 0 : (@ D~ = ; ~)

138

3. Netzwerke

Die Gleichung dV = 0 wird durch V = ;d gelost und kann durch letztere ersetzt werden. (Nach dieser Ersetzung ist ein 1{Komplex fur die Formulierung der Netzwerk{Gleichungen ausreichend.) Das Potential  = A A
+ B B
+ ist eine 0{Cokette. Die Stimmigkeit der Zuordnung der physikalischen Gro en zum Netzwerk sieht man z.B. am Ausdruck fur (zweimal) die Energie: ( ) = A A + B B + (Potential angewendet auf Knotenladungen) = (;@Q) = (;d)(Q) = V (Q) (Spannungen angewendet auf Kondensatorladungen) = V Q + V Q + = C (V )2 + C (V )2 + Fur ein zusammenhangendes Netzwerk wird das Potential  bis auf eine additiven Konstante durch die Poisson{Gleichung bestimmt: ; = @Q = @ C V = ;@ C d  ) 4 = ; mit dem Netzwerk{Laplaceoperator 4 = ;@ C d (4 : C 0 ! C0 ) Ein einfaches Poisson{Randwertproblem:

. E

Cγ Cδ γ

A

δ

.

α

.

β

B

Cα

Abbildung 3.5.

C

.

D

β

Die \Randknoten" A und E seien geerdet. (d.h. A = E =
0.) Die Ladungen auf den \inneren Knoten" B und D sind vorgegeben:
innen = B B + D D . Zu berechnen sind die Potentiale auf den inneren Knoten und die Ladungen auf den Randknoten. Sei dazu G( p) das Potential, das durch eine an einem inneren Knoten p plazierte Einheitsladung erzeugt wird, wenn die Randknoten geerdet sind. G ist die Greensche Funktion des Netzwerks mit Randknoten. G genugt den Gleichungen:

3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke




139

(1) ;4G( p)

innen = p (p = innerer Knoten)
(2) G( p)

Rand = 0 Die Losung der gestellten Aufgabe la t sich durch die Greensche Funktion ausdrucken: X (i)  = G( p) p  (ii)



p innen X

Rand = ; 4G( p)

Rand p p innen

(Begrundung
: Per Denition von G erfullt das in (i) angegebene

 die=Randbe

dingung 
Rand = 0 und genugt der Poisson{Gleichung ;4  innen innen .

Gleichung (ii) folgt aus: ;4 = )
Rand = ;4
Rand und (i).) Zur Berechnung von G benotigen wir den Laplaceoperator 4 = ;@ C d des Netzwerkes, den wir folgenderma en bestimmen:  := B
B + D
D ) d = (
;
; 
)B + (
; 
)D ) 'd = (C ; C ; C )B + ( C ; C )D ) @'d = ((B ; A)C ; (D ; B )C ; (E ; B )C ) B + ((D ; B )C ; (E ; D)C ) D )
(;4)
innen = B ((C + C + C )B ; C D ) +D (;C B + (C + C )D ) Folglich genugt die Greensche Funktion G der Gleichung
(;4G)( p)
innen = B ((C + C + C )G(B p) ; C G(D p)) +D(;C G(B p) + (C + C )G(D p)) = p U bergang zu Matrixdarstellung: 1 0 B= 0  D= 1 )  C + C + C ;C  G(B B) G(B D)  1 0     ;C C + C G(D B ) G(D D) = 0 1 : Es folgt: G(B B ) = (C + C =Z  G(B D) = C =Z G(D B ) = C =Z  G(D D) = (C + C + C )=Z mit Z = (C + C + C )(C + C ) ; C2 . Gleichung (i) ) B = G(B B ) B + G(B D) D  D = G(D B ) B + G(D D) D : Sei speziell C = C = C = C = C (um einfache Ausdrucke zu bekommen). Dann folgt

140

3. Netzwerke

B = (2 B + D )=5C D = ( B + 3 D )=5C Aufgabe: Berechne A und E aus Gleichung (ii)

3.2.2 Resistive Netzwerke Wir betrachten wiederum einen 2{Komplex. Die Zahl der 1{Zellen auf dem 2{Komplex sei mit N bezeichnet. Auf N ;1 dieser 1{Zellen seien Widerstande plaziert und auf der verbliebenden eine Stromquelle (eine Batterie mit Spannung Vbatt ). Alles sei durch die Knoten leitend verbunden.

.

D

γ

Rε

Rγ ε

.

A

Rφ α

φ

Abbildung 3.6.

.

C

δ

Rβ

Rδ

β

.

B

Im stationaren Zustand ie t in jedem Leiterstuck (= 1{Zelle) ein bestimmter Strom. Diese Strome gilt es aus der Batteriespannung und den als bekannt vorausgesetzten Widerstanden zu berechnen. Zuordnung der physikalischen Gro en zum Netzwerk: Die an den Widerstanden (und an der Batterie) abfallenden Spannungen bilden eine 1{ Cokette V = V 
+ V
+ (V = Vbatt im Beispiel), die Potentiale an den Knoten eine 0{Cokette  = A A
+ B B
+ Die Strome bestimmen eine 1{Kette I = I  + I + (I = Ibatt im Beispiel). Resistive Netzwerke wurden erstmals von Kirchho ( 1845) systematisch untersucht. i. 1.Kirchosches Gesetz: @I = 0. Dieses Gesetz druckt die Stromerhaltung an den Knoten aus: alles was an Strom in einen Knoten hineinie t, mu im stationaren Zustand auch wieder herausie en. (Andernfalls wurde sich ja im Knoten Ladung ansammeln und wir hatten keinen stationaren Zustand.) @I = 0 ist die diskrete Version der Gleichung dj = 0. (Gema den U berlegungen von Abschnitt ?? ent-

3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke

141

spricht die Stromdichte{2{Form j einer 1{Kette, I .) Im Beispiel ist (@I )C = I ; I" + I' = 0 . ii. 2.Kirchhosches Gesetz: dV = 0. iii. Ohmsches Gesetz: V i = Ri Ii (i 6= Batterie). Diese Gleichung gilt fur alle mit Widerstanden besetzten 1{ Zellen. Der Strom Ibatt durch die 1{Zelle mit Batterie wird durch Vbatt und den (zu berechnenden) Gesamtwiderstand des Netzwerks bestimmt. Basisfreie Schreibweise des Omschen Gesetzes: V = RI . Zusammenfassung: die Gesetze eines resistiven Netzwerkes sind @I = 0  V = RI  dV = 0 Zwei Losungsmethoden bieten sich an: 1. Methode (\Knotenpotentialmethode"): i. Lose dV = 0 durch den Ansatz: V = ;d. ii. Drucke I durch  aus: I = ;R;1d. iii. Bestimme  aus den Gleichungen @I = ;@R;1d = 0. 2. Methode (\Schleifenstrommethode"): i. Lose @I = 0 durch den Ansatz: I = @Z . (mit Z einer 2{Kette) ii. Drucke V durch Z aus: V = R@Z . iii. Bestimme Z aus den Gleichungen dV = dR@Z = 0. Man kann zeigen, da beide Methoden immer funktionieren, d.h. zum Ziel fuhren. (Beweis im Buch von Bamberg und Sternberg.) Hier begnugen wir uns mit der Illustration beider Methoden am obigen Beispiel.

.

.

D

γ

ε blau

A

.

.

β

rot

α

Abbildung 3.7.

.

.

C

D I batt

C

φ

~ =

gruen

A

δ

.

B

.

B

142

3. Netzwerke

1. Knotenpotentialmethode: O.B.d.A. setzen wir A = 0 B = Vbatt . Dann folgt
Vbatt + C
C + D
D ) ;V = d
= d(B
= ( ; ; 
)Vbatt + (
; "
+ '
)C + (
+ 
+ "
)D : Es folgt: ;I = R;1d = ;Ibatt ; (R;1 + R;1 )Vbatt +(R;1  ; R";1" + R';1 ')C + (R;1 + R ;1 + R";1")D  und ;@I = Ibatt (A ; B) ; (R;1 (D ; B) + R;1 (C ; B))Vbatt +(R;1 (C ; B) ; R";1 (D ; C) + R';1 (C ; A))C +(R;1 (D ; B) + R ;1(D ; A) + R";1(D ; C))D = = A(Ibatt ; R';1C ; R ;1D ) +B(;Ibatt + (R;1 + R;1 )Vbatt ; R;1C ; R;1 D ) +C(;R;1Vbatt + (R;1 + R";1 + R';1 )C ; R";1 D ) +D(;R;1 Vbatt ; R";1C + (R;1 + R ;1 + R";1)D Wegen @I = 0 mussen die Koezienten von A, B, C, D im letzten Ausdruck verschwinden. Dies liefert vier Gleichungen. Davon sind nur drei linear unabhangig. (Ist namlich Stromerhaltung an (N ; 1) Knoten erfullt, so ist sie am verbliebenden Knoten automatisch erfullt.) Wir haben deshalb drei Gleichungen fur drei Unbekannte (C  D und Ibatt ). Aufgabe 3.2.1. Lose diese Gleichungen und berechne den Gesamtwiderstand Vbatt =Ibatt. 2. Schleifenstrommethode: Wie im Diagramm bezeichnen wir die 2{Zellen des Netzwerks mit \rot", \grun" und \blau". Ansatz fur die 2{Kette Z : Z = rot I rot + grun I grun + blau I blau : Der Rand: I := @Z = ( +  ; ')I rot +( ; " ; )I grun +(" ;  + ')I blau . Ohm: V = RI = R@Z = 
Vbatt +
R I grun ; 
R I blau + 
R (I rot ; I grun) + "
R" (I blau ; I grun) + '
R'(I blau ; I rot ) Es folgt dV = rot
Vbatt + grun
R I grun + blau
R I blau +(rot
; grun
)R (I rot ; I grun) +(blau
; grun
)R" (I blau ; I grun ) +(blau
; rot
)R' (I blau ; I rot ) : dV = 0 ) die Koezienten von rot
 grun
 blau
mussen verschwinden, und wir erhalten wieder drei Gleichungen fur drei Unbekannte (I rot  I grun  I blau ): rot
: Vbatt + R (I rot ; I grun ) ; R' (I blau ; I rot ) = 0 grun
: R I grun ; R (I rot ; I grun ) ; R" (I blau ; I grun ) = 0 blau
: R I blau + R" (I blau ; I grun ) + R' (I blau ; I rot ) = 0 :

3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke

143

In Matrixschreibweise: 0R + R 1 0 I rot 1 0 V 1 ;R ;R'  ' batt @ ;R R + R + R" ;R" A @ I grun A = @ 0 A ;R' ;R" R + R" + R' I blau 0 Aufgabe 3.2.2. Lose diese Gleichungen und uberprufe die U bereinstimmung mit dem Ergebnis der Knotenpotentialmethode fur den Gesamtwiderstand (I rot =Vbatt );1

144

3. Netzwerke

3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie 3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen Wir uberdecken den dreidimmensionalen Raum (oder, je nach Aufgabenstellung, nur einen Teil davon) mit einem 3{Komplex K . @ C ;! @ C ;! @ C 2 1 0 K : C33 ;! d 2 d 1 d 0 C ; C ; C ; C Wie der Komplex K im Detail aussieht, ist fur das folgende ohne Bedeutung. Zum Beispiel konnten wir den Raum mit Tetraedern ausfullen. Der Rand eines jedem Tetraeders ist die 2{Kette, die aus den vier den Tetraeder begrenzenden Dreiecken zusammengesetzt ist. Die Orientierung der Dreiecke ist positiv (Gegenuhrzeigersinn), wenn wir von au en auf den Tetraeder blicken. (Genauer: wir sehen die Dreiecke mit der mathematisch positiven Orientierung, wenn wir von au en draufblicken.) Der Rand eines jeden Dreiecks ist die 1{Kette, die sich aus den das Dreieck begrenzenden Linien zusammensetzt. Die Orientierung der Linien folgt dem Umlaufsinn des Dreiecks. Der Rand einer jeden elementaren Linie ist die Dierenz aus Endpunkt und Anfangspunkt. Es ist nicht notwendig, da die Dreiecke eben und die Linien gerade sind, sie durfen auch krumm sein. Die Tetraeder durfen verschieden gro sein und verschiedene Gestalt haben, solang sie nur den Raum vollstandig ausfullen. Um ein zweites Beispiel (mit mehr Regelma igkeit) zu nennen: der Komplex K konnte aus Wurfeln gleicher Form und Gro e aufgebaut sein (\kubischer Komplex"). Jeder Wurfel hatte 6 quadratische Seitenachen, die seinen Rand bilden. Der Rand jedes elementaren Quadrats bestunde aus 4 Kanten. Jede Kante ware durch 2 Punkte berandet. Wir nehmen die elektrische Feldstarke R E und integrieren sie uber jede der 1{Zellen   : : : von K . Mit V :=  E (= elektrische Spannung langs ) entsteht die 1{Cokette V = 
V +
V + . Ebenso nehmen wir die magnetische Feldstarke B und integrieren sie uber jede der 2{Zellen rot, blau, R grun, usw. von K . Mit blau := blau B (= magnetischer Flu durch die 2{ Zelle blau) entsteht die 2{Cokette (m) = rot
rot R+blau
blau + . Sei nun c eine beliebige 3{Kette auf K . Aus dem Gesetz @c B = 0 (Quellenfreiheit der magnetischen Flu dichte) folgt dann (m) (@c) = rot (@c)rot + blau (@c)blau + = 0 : (Anwendung der 2{Cokette (m) auf die 2{Kette @c ergibt Null.) Per Denition des Corandoperators d ist (m) (@c) = (d(m) )(c), und wegen der Beliebigkeit von c folgt: d(m) = 0 : (Der Corand des magnetischen Flusses verschwindet.)

3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie

145

Sei c nun eine beliebige 2{KetteR auf KR. Aus dem Faradayschen Induktionsgesetz in integraler Form (; @t@ c B = @c E ) folgt: ; @t@ (m) (c) = V (@c) = (dV )(c)  oder: ;_ (m) = dV . (Der Corand der elektrischen Spannung ist gleich minus der zeitlichen A nderung des magnetischen Flusses.) Zusammenfassung: die homogenen Maxwell{Gleichungen in integraler Form lauten auf einem 3{Komplex K : d(m) = 0  dV = ;_ (m)

3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen Das Vorgehen ist ganz ahnlich wie fur die homogenen Gleichungen. Wir fuhren einen zweiten 3{Komplex K~ ein. (K~ 6= K:) 1. Wir integrieren die Ladungsdichte{3{Form uber die 3{Zellen von K~ und erhalten auf diese Weise eine 3{Cokette, Q (\Ladung"). 2. Wir integrieren die Stromdichte{2{Form j uber die 2{Zellen von K~ . Dies ergibt eine 2{Cokette, I (\Strom"). 3. Integration der elektrischen Erregung D uber die 2{Zellen von K~ liefert eine 2{Cokette, (l) (\elektrischer Flu "). 4. Integration der magnetischen Erregung H uber die 1{Zellen von K~ liefert eine 1{Cokette, J (\magnetische Spannung"). R D = R und das Amp'ere{Maxwell{Gesetz R H = Das Gau sche Gesetz @c R (j + D_ ) werden dann@czu c c d(l) = Q  dJ = I + _ (l) (Der Corand des elektrischen Flusses ist gleich der Ladung. Der Corand der magnetischen Spannung ist gleich der Summe aus Strom und zeitlicher A nderung des elektrischen Flusses.) Unsere Formulierung der Maxwell{Gleichungen auf zwei 3{Komplexen K und K~ ist vollig aquivalent zu den Maxwell{Gleichungen in integraler Form. Da die Metrik des Raumes hier nicht eingeht, kann die Topologie von K und K~ beliebig gewahlt werden (Tetraeder oder Wurfel oder : : :), ohne da sich die Form der Gleichungen andert.

3.3.3 Materialgleichungen Wir wahlen jetzt K und K~ so, da jede 0{Zelle von K (bzw. K~ ) in genau einer 3{Zelle von K~ (bzw. K ) liegt, und jede 1{Zelle von K (bzw. K~ ) genau eine 2{Zelle von K~ (bzw. K ) durchsticht. Dann ist jede k{Zelle von K einer

146

3. Netzwerke

p

. .

3-Zelle von K, enthaelt die ~ 0-Zelle p von K

.

2-Zelle von K

.

0

.Abbildung 3.8. .

.

~ 1-Zelle von K

(3 ; k){Zelle von K~ eineindeutig zugeordnet, und K und K~ sind in diesem Sinne zueinander dual. Die Situation ist am ubersichtlichen fur den Fall zweier Komplexe K und K~ , die aus identischen Wurfeln aufgebaut sind. Dann legen wir die 0{Zellen (Knoten) von K gegen ins Zentrum der 3{Zellen (Wurfel) von K~ .

.

.

. . . . . . . . . . . Abbildung 3.9.

= Punkt von K ~ = Punkt von K

a

Wir formulieren die Netzwerk{Materialgleichungen zunachst fur diesen kubischen Fall. Sei  eine 1{Zelle auf K , S die korrespondierende 2{Zelle auf K~ :

. .

.

S

.

α

Abbildung 3.10.

3.4 Flulinien

147

Der elektrische Flu durch S ist (Sl) , die elektrische Spannung langs  = V . Sei a die Gitterkonstante des kubischen Gitters. Dann hat  die Lange a und S die Flache a2 . Da S und  aufeinander senkrecht stehen, bedeutet die Materialgleichung D = "0 ? E die Gleichheit der Limites (Sl) = " lim V : lim 0 a!0 a a!0 a2 Fur a klein gilt dann naherungsweise: (Sl) ' " V oder (l) ' " a V : 0 a 0  S a2 Das Product "0a hat die physikalische Dimension Ladung/Spannung = Kapazitat. Fur beliebige nichtkubische Komplexe K K~ konnen wir analog vorgehen, wenn wir verlangen, da die korrespondierenden 1{Zellen von K und 2{Zellen von K~ wieder aufeinander senkrecht stehen. Dann erhalten wir ache (S ) (Sl) ' Fl Lange () "0 V : In basisfreier Schreibweise: (l) = C (l) V mit C (l) : C 1 ! C~ 2 . (1{Cokette auf K ! 2{Coketten auf K~ .) '(l) hat, wie gesagt, die physikalische Dimension von Kapazitat. Dasselbe Vorgehen fur den magnetischen Fall liefert (m) = C (m)J mit ( m C ) : C~ 1 ! C 2 . C (m) hat die physikalische Dimension magnetischer Flu /magnetische Spannung = magnetischer Flu /Strom = Induktivitat. (Fur kubische Komplexe K K~ : (Sm) = 0 a J .)

3.4 Flulinien Durch die eineindeutige Zuordnung von k{Zellen  auf K und (3 ; k){Zellen ~ auf K~ haben wir ein inneres Produkt C k
C~ 3;k ! R durch !  = X !  :  ~ 2k

R

(Es entspricht der Integration E3 ! ^  im Kontimuum.) Dieses innere Produkt ist linear in beiden Argumenten, so da sich ein Element von C~ 3;k auch als Element des Dualraumes Ck von C k auassen la t. Dadurch haben wir einen naturlichen Isomorphismus I : C~ 3;k ! Ck , der jeder (3 ; k){Cokette auf K~ eine k{Kette auf K eindeutig zuordnet. In Formeln ist I () 2 Ck fur  2 C~ 3;k deniert durch die Forderung !  = !(I ()) fur alle ! 2 C k .

148

3. Netzwerke

Vertauschen der Rollen von K und K~ deniert I : C 3;k ! RC~k . R (Der Isomorphismus I entspricht dem durch die Gleichung c ! = E3 ! ^ c vermittelten Isomorphismus e $ c zwischen \verschmierter" k{Kette e und (3 ; k){Form c , von dem in Abschnitt ?? die Rede war.) Durch I wird dem elektrischen Flu (l) auf K~ (bzw. dem magnetischen Flu (m) auf K ) eine 1{Kette '(l) := I ((l) ) auf K (bzw. '(m) := I ((m) ) auf K~ ) zugeordnet. Der Wert von '(l) auf einer 1{Zelle  von K (d.h. 
('(l) )) ist gleich dem elektrischen Flu durch die zu  korrespondierende 2{Zelle  ~ auf K~ : Beispiel 3.4.1. (l) = : : : + x S
+ : : : 2 C~ 2  '(l) = : : : + x  + : : : 2 C1

.

.

S

. . Abbildung 3.11. α

Eine analoge Aussage gilt fur den magnetischen Flu . Partielle Integration im Kontinuum

Z

E3

! ^ d = ;(;)deg(!)

Z

E3

d! ^ 

impliziert \partielle Integration" auf dem Netzwerk: h! di = ;(;)deg(!) hd! i : (Hier ! 2 C k und d 2 C~ 3;k .) Es folgt:  f  d(l) ; Q  = ;f Q ; df (l)  0 = |{z} | {z } 2C 0

2C~ 3

= f (I (Q)) ; (df )(I ((l) )) = ;f (I| ({zQ}) +@  I| ({z(l)})) f beliebig

=:q q + @'(l) = 0 :

='(l)

= ;f (q + @'(l) ) : ) Ebenso zeigt man d(m) = 0 , @'(m) = 0. Zusammenfassung: Die Gleichungen d(l) = Q (auf K~ ) und d(m) = 0 (auf K ) lassen sich durch U bertragung auf den jeweils dualen Komplex auch folgenderma en schreiben: @'(l) = ;q  @'(m) = 0 :

3.4 Flulinien

149

Hierbei ist q = I (Q) die der Ladung Q 2 C~ 3 zugeordnete Ladungs{0{Kette q 2 C0 . In Worten: die dem magnetischen Flu (m) zugeordnete 1{Kette '(m) hat verschwindenden Rand. Der Rand der dem elektrischen Flu zugeordneten 1{Kette '(l) ist gleich minus der Ladungs{0{Kette q. Interpretation: @'(m) = 0 bedeutet (vgl. auch 1. Kirchhosches Gesetz @I = 0 fur ein resistives Netzwerk), da in jeden Knoten von K~ ebensoviel magnetischer Flu hinein{ wie herausie t.

.

-1

(m)

.

-1

+1

.

0

0

0

.

0

.

+1

-1 0 0

.

.

+1

.

~ K

Abbildung 3.12. Beispiel 3.4.2. ) '(m) ist aus geschlossenen Wegen (= \1{Zyklen") aufgebaut. Diese lassen sich als magnetische Flu linien interpretieren. (Bemerkung: wir erinnern daran, da die Gleichung dB = 0 durch B = dA (A = Eichpotential) gelost wird. Analog la t sich @'(m) = 0 losen durch die Einfuhrung einer 2{Kette a 2 C~2 : '(m) = @a. Wie A ist auch a nicht eindeutig: wir konnen zu a immer den Rand @c einer beliebigen 3{Kette c 2 C~3 hinzufugen, ohne '(m) zu andern. (@ (a + @c) = @a + |{z} @@c = '(m) ).) =0

Die Gleichung @'(l) = ;q bedeutet, da an jedem Knoten von K die Dierenz von herausstromendem und hineinstromendem elektrischen Flu gleich der Ladung an dem Knoten sein mu . Beispiel 3.4.3. Auch den elektrischen Flu konnen wir uns durch Flu linien aufgebaut denken. Wegen @'(l) = ;q sind elektrische Flu linien entweder geschlossen, oder sie beginnen auf positiven und enden auf negativen Ladungen. (Betrachte: die Zerlegung nach Flu linien ist im allgemeinen nicht eindeutig. Zum Beispiel la t sich auassen als

150

3. Netzwerke

.

. (l)

.

+1

.

und q

.

.

-1

.

+1

+1

.

-1

K

-1

+2 0

Abbildung 3.13.

. -1

2/3

0

.

1/3

.

-2/3

+1

Abbildung 3.14.

.

.

-1/3

(i)

0

0

.

-2/3

+

1/3

.

0

1/3

2/3

0

.

0

.

+

+1 0

Abbildung 3.15.

.

2/3

0

-1

0

-2/3

.

. (ii)

, oder als

0

.

+1

2/3

0

.

-2/3 -2/3

.

0

3.5 Dynamik (diskret)

151

3.5 Dynamik (diskret) Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die Zwangsbedingungen der diskretisierten Maxwellschen Theorie mit Hilfe des Isomorphismus I umformuliert (@'(l) = ;q @'(m) = 0) und veranschaulicht. Nun wollen wir Ensprechendes auch mit den dynamischen Gleichungen tun. Wir beginnen mit dem Faradayschen Induktionsgesetz _ (m) = ;dV . Anwendung von I auf beiden Seiten ergibt '_ (m) = ;I (dV ). Behauptung: I (dV ) = @ I (V ). Beweis (graphisch fur kubische Komplexe): Sei dV =

= 2-Ko-Kette auf K , und

~ ~| ( d V ) =

~ = 1-Kette auf K

Abbildung 3.16. Damit ist

dV =

= 2-Ko-Kette auf K , und

~ ~| ( d V ) =

~ = 1-Kette auf K

Abbildung 3.17. Anderseits ist Beweis (algebraisch allgemein): Sei ! 2 C~ 1 beliebig.

152

3. Netzwerke

~ ~| ( V ) =

und

= 2-Zelle auf

~ K

~ = 1-Kette auf K

~ ~| ( V ) =

Abbildung 3.18.









!(I (dV )) = ! dV p=:I: + d! V = (d!)(I (V )) Stokes = !(@ I (V )) Mit I (dV ) = @ I (V ) wird das Induktionsgesetz zu '_ (m) = ;@ I (V ) : In analoger Weise formen wir das Ampere{Maxwell{Gesetz dJ = I + _ (l) in: '_ (l) = @ I (J ) ; I (I ) : Vom Standpunkt der Relativitatstheorie ist es unnaturlich, Zeit und Raum verschieden zu behandeln. Deshalb nehmen wir nach der Diskretisierung des Raumes nun auch eine Diskretisierung der Zeit vor und schreiben: 

 1 '(m)

(m)

; ' = ; @ I ( V ) t + = 2 t ; = 2 t  1 '(l)

; '

 = @ I (J ) ; I (I )

t+ t t+=2 :   ist der Zeitschritt. Elektrische Gro en ('(l)  V q) werden fur \ganze" Zeiten : : : t t +  t + 2 : : : erklart, magnetische Gro en ('(m)  J I ) fur \halbe" Zeiten : : : t ; =2 t + =2 t +3=2 : : :. (Diese relative Verschiebung entspricht der raumlichen \Verzahnung" der Komplexe K and K~ .) Das Faradaysche Induktionsgesetz in diskreter Form bedeutet folgendes: Fallt zur Zeit t langs einer 1{Zelle  von K die elektrische Spannung U ab, so wird im Zeitschritt von t ; =2 bis t + =2 dem Komplex K~ eine  im linkshandigen Sinn (lenzsche Regel) zirkulierende magnetische Flu linie der Starke U  hinzugefugt:
V
t
= + U (Bild 3:19) + ,
'(m)
t+=2 ; '(m)
t;=2 = : : : + U (Bild 3:20) +

(

.

γ

Abbildung 3.19.

.

3.5 Dynamik (diskret)

153

)*

γ

Abbildung 3.20. Fur das Ampere{Maxwell{Gesetz in diskreter Form gilt mit den offensichtlichen Ersetzungen (V $ J K $ K~ , magnetisch $ elektrisch, rechtshandig $ linkshandig) eine identische Aussage, wobei allerdings noch der Beitrag des Stromes (I (I )) zu berucksichtigen ist.

Zusammenfassung.

Zur diskreten Formulierung der Maxwellschen Theorie bedienen wir uns zweier zueinander dualer 3{Komplexe K und K~ und einer diskreten Zeit mit Zeitschritt  . Wir beschreiben (1) den elektrischen Flu '(l) als 1{Kette auf K , (2) die elektrische Spannung V als 1{Cokette auf K , (3) die Ladung q als 0{Kette auf K  (alle zu ganzen Zeiten : : : t t +  t + 2 : : :) (1') den magnetischen Flu '(m) als 1{Kette auf K~ , (2') die magnetische Spannung  als 1{Cokette auf K~ , (3') den Strom I als 2{Cokette auf K~ . (alle zu halben Zeiten : : : t ; =2 t + =2 t + 3=2 : : :) Die diskretisierten Maxwell{Gleichungen lauten

@'(l)
= ;q  @'(
m) = 0 
'(m
)
t+=2 ; '
(m)
t;=2 = ;@ I (
V )
t  '(l)
t+ ; '(l)
t = @ I (J ) ; I (I )
t+=2 : Die diskretisierten Materialgleichungen lauten

'(l) = C V  '(m) = LJ : Hierbei hat C := I  C (l) : C 1 ! C1 (L := I  '(m) : C~ 1 ! C~1 ) die physikalische Dimension Kapazitat (Induktivitat).

154

3. Netzwerke

Korollar: Elektrostatik ist auf einem einzigen 2{Komplex K formulierbar. Die Gleichungen der Elektrostatik @'(l) = ;q '(l) = 'V dV = 0 sind formal identisch mit den Gleichungen eines kapazitiven Netzwerks @Q = ;  Q = C V dV = 0. Magnetostatik ist auf einem 3{Komplex K~ formulierbar. Die Grundgleichungen sind in diesem Fall @'(m) = 0 '(m) = LJ und dJ = I . Wir wollen jetzt am einfachsten Beispiel die Propagation elektromagnetischer Wellen illustrieren. Dazu betrachten wir kubische Komplexe mit Gitterkonstante a. Sei  : C 1 ! C1 (C1 ! C 1  C~ 1 ! C~1  C~1 ! C~ 1 ) der Operator, der 1{Zellen in ihre Dualelemente umwandert und umgekehrt. Es gilt dann C = a"0  und L = a0  : Wir treen folgende Wahl des Zeitschritts  :  := a=c = a("0 0 )1=2 , und wir setzen der Einfachheit halber q = 0 I = 0 (materiefreier Raum). Durch Verwenden der Materialgleichungen in den dynamischen Gleichungen erhalten wir:  0 1=2


( m ) ( m )

' t+=2 ; ' t;=2 = ; " @ I ('(l) )
t   "00 1=2


( l ) ( l ) '
t+ ; '
t = +  @ I ('(m) )
t+=2 : 0

Es seien nun folgende Anfangsbedingungen gegeben: (i) Zur Zeit t = 0 ist die Ebene z = 0 homogen mit elektrischen Flu linien (der Starke 1 Coulomb) ausgefullt, die in x{Richtung verlaufen: y

Abbildung 3.21.

x

.

(ii) Zur Zeit t = =2 ist die Ebene z = a=2 mit megnetischen Flu linien (der Starke (0 "0 )1=2
1Coulomb) homogen erfullt, die in y{Richtung verlaufen: Diese Anfangsbedingungen erfullen oensichtlich die Zwangsbedingungen @'(l) = @'(m) = 0. Was passiert nun mit zunehmender Zeit? Antwort: Im Zeitintervall von 0 bis  (bzw. =2 bis 3=2) bewegen sich alle elektrischen (bzw. magnetischen) Flu linien um eine Einheit der Gitterkonstante a in z {Richtung fort. Beweis:

3.5 Dynamik (diskret)

. Abbildung 3.22.

~ ~| ( *

)

=

+

z=a/2

~ ~| ( *

Abbildung 3.23.

) z=a

z=a

=

z=0

+ z=3a/2

z=a/2

155

156

3. Netzwerke

4. Elektromagnetische Wellen

Es wurde schon in Abschn. 1.7 angedeutet, da die Gleichungen fur das elektromagnetische Feld Losungen zulassen, die den Charakter von sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpanzenden Wellen haben. Die Existenz elektromagnetischer Wellen ist eine der herausragenden Vorhersagen der von Maxwell formulierten Theorie. Sie bildet die Grundlage fur einen gro en Teil der modernen Technologie, vor allem der Telekommunikation. Eine ganz wesentliche Eigenschaft der Maxwellschen Theorie ist ihre Linearitat. Diese gestattet es { in Verbindung mit speziellen Eigenschaften, die von der Dreidimensionalitat des Raumes herruhren { fur vorgegebene Ladungen und Strome die Losung der Gleichungen fur das elektromagnetische Feld in sehr expliziter Form anzugeben.

4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E Entkoppeln der Grundgleichungen. Das in Abschn. 1.7 zusammengestellte Gleichungssystem der Maxwellschen Theorie koppelt die Felder E , B , D und H miteinander. Zum Zweck der systematischen Losung ist es gunstig, die Gleichungen zu entkoppeln und je eine Gleichung fur jede kartesische Komponente des elektromagnetischen Feldes aufzustellen. Wir exemplizieren die Entkopplungsprozedur am Beispiel der magnetischen Feldstarke B . Ausgehend von B_ = ;dE erhalten wir durch Dierenzieren nach der Zeit _ 0, D_ = dH ; j und und sukzessives Verwenden der Gleichungen E_ = ?D=" H = ?B=0 das Zwischenergebnis B = ;("0 0 );1 d ? d ? B + "0 ;1 d ? j: Jetzt multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit dem inversen Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c;2 = "0 0 . Mit dem in Abschn. 0.20 eingefuhrten Dierentialoperator  gilt ? d ? B = ;B , und wir erhalten somit 1 @ 2 B = dB +  d ? j :

0 c2 @t2 Wegen der Quellenfreiheit von B durfen wir auf der rechten Seite dB hinzufugen, ohne die Gleichung zu andern. Da d + d der Laplace-Operator 4 ist, folgt

158

4. Elektromagnetische Wellen 2

(4.1)
B = 0 d ? j mit
:= c12 @t@ 2 ; 4 : Der Dierentialoperator
wird Wellenoperator oder d'Alembert-Operator

genannt. In Kap. 5 werden wir lernen, da er (das Vorzeichen ausgenommen) mit dem Laplace-Operator auf dem vierdimensionalen MinkowskiRaum identisch ist. Die Gleichung
B = 0 d ? j hei t die inhomogene Wellengleichung fur B . Sie enthalt neben raumlichen Ableitungen der elektrischen Stromdichte j die magnetische Feldstarke B als einzige Feldgro e. In Abschn. 4.3.3 werden wir zeigen, da sie B { bei Kenntnis der Anfangsbedingungen { vollstandig bestimmt. Die rechte Seite der inhomogenen Wellengleichung nennen wir den Quellterm, und
B = 0 hei t die zugeordnete homogene Wellengleichung. Aufgabe 4.1.1. Zeige, da die Felder H , D und E den inhomogenen Wellengleichungen
H = ;j 
D = ; ; c;2 @j=@t 
E = ;"0;1 d ? ; 0 ? @j=@t genugen. (Tip: Gehe fur D analog zu B vor, und verwende fur H und E die Relation ?
=
?.) Gleichungen fur die Komponenten. In Koordinatendarstellung durch eine kartesische Basis konnen wir nach Abschn. 0.20 das Resultat der Operation von 4 auf eine Dierentialform beliebigen Grades dadurch berechnen, da wir 4 auf jede kartesische Komponente der Dierentialform anwenden. Diese Eigenschaft ubertragt sich trivial auf den Wellenoperator
. Zum Beispiel gilt:

0 1 X X
@ Bij dxi ^ dxj A = (
Bij ) dxi ^ dxj : i<j

i<j

In Koordinatendarstellung ?j =: jx dx + jy dy + jz dz folgen daher aus
B = 0 d ? j die Gleichung  y @j x
Bxy = 0 @j @x ; @y und zwei weitere Gleichungen, die durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge fx y z g entstehen. Aufgabe 4.1.2. Wie lauten die inhomogenen Wellengleichungen fur H , D und E in Koordinatendarstellung durch die kartesische Basis dx dy dz ?

4.2 Ebene Wellen

159

4.2 Ebene Wellen Wir haben gesehen, da jede Komponente f des elektromagnetischen Feldes einer inhomogenen Wellengleichung
f = g (mit g einer Funktion : Raum
Zeit ! R) genugt. Fur das magnetische Feld besteht der Quellterm g aus raumlichen Ableitungen der Stromdichte, fur das elektrische Feld setzt er sich aus raumlichen Ableitungen der Ladungsdichte und Zeitableitungen der Stromdichte zusammen. Bevor wir in Abschn. 4.3.3 die allgemeine Losung der inhomogenen Wellengleichung konstruieren, wollen wir hier unser Verstandnis praparieren, indem wir die Losung fur den Fall berechnen, da Invarianz unter Translationen in y- und z -Richtung vorliegt. Das Problem vereinfacht sich in diesem Fall zur Losung der inhomogenen Wellengleichung in einer Dimension (x 2 R):  1 @2 @2 c2 @t2 ; @x2 f (x t) = g(x t) : Die ihr zugeordnete homogene Gleichung wird { wie man sofort sieht { durch f (x t) = F (x ct) mit F : R ! R einer beliebigen zweimal stetig dierenzierbaren Funktion gelost. Es folgen einige Anwendungen der eindimensionalen Wellengleichung...

4.2.1 Ein Beispiel f ur Pulserzeugung Wir betrachten zwei ebene, unendlich ausgedehnte Platten, auf denen in gleichma iger Verteilung Ladungen befestigt sind (Abb. 4.1). Die Platten sollen parallel zueinander angeordnet sein und eine dem Betrag nach gleiche und im Vorzeichen verschiedene Flachenladungsdichte tragen, so da das System insgesamt elektrisch neutral ist. Um den Zeitpunkt Null herum versetzen wir die beiden Platten in den gleichen Bewegungszustand. Fur Zeiten lange nach Null ie t dann in Bewegungsrichtung der Platten ein stationarer elektrischer Strom. Nun erzeugt das Hochfahren des Stroms einen elektromagnetischen Puls, der senkrecht zu den Platten abgestrahlt wird. Diesen Puls wollen wir im folgenden quantitativ beschreiben, was wegen der Invarianz des Problems unter Translationen in der Plattenebene leicht fallt. Die Anordnung sei so gewahlt, da die positiv geladene Platte in der zur yz -Ebene parallelen Ebene x = ;d (d > 0) liegt, die negativ geladene in der Ebene x = +d. Der Geschwindigkeitsvektor zeige in y-Richtung. Unter Vernachlassigung der Plattendicke beschreiben wir dann den Stromu in den Plattenebenen durch eine homogene Linienstromdichte k = 2F dz , wobei die Form der Funktion F : R ! R durch den zeitlichen Verlauf des Anschaltvorgangs gegeben ist, dessen Zeitskala T sei (Abb. 4.2). Die singulare Stromdichte resultiert in Anschlu bedingungen fur die magnetische Erregung an den Plattenebenen x = d. Die x- und y-Komponenten von H verhalten sich stetig, wahrend Hz springt, sobald der Stromu einsetzt.

160

4. Elektromagnetische Wellen

ex

Abbildung 4.1. Zwei Platten mit entgegen-

v = v(t) ey

gesetzter Flachenladungsdichte werden in Bewegung versetzt.

+ F(t)

Abbildung t=0

T

Zeit t

4.2.

Graph der Anschaltfunktion F

Wenn wir den Grenzwert von Hz bei Annaherung vom Halbraum x > d (bzw. x < d) an eine Platte mit Hz+ (bzw. Hz; ) bezeichnen, dann gilt

Hz+

x= d ; Hz;

x= d = 2F :

Die Zeitentwicklung von Hz konnen wir wegen der Eindimensionalitat des Problems ohne Muhe erraten. Sie lautet: 8  x(a)+d   x(a);d  > > < +F t + x(ac)+d  ; F t + x(ac);d  x(a) < ;d  Hz (a t) = > ;F t ; c  ; F t + c  ;d < x(a) < +d  > : ;F t ; x(ac)+d + F t ; x(ac);d +d < x(a) : Dieser Ausdruck erfullt die homogene Wellengleichung
Hz = 0 fur x 6= d, und er genugt den angegebenen Anschlu bedingungen. Die Skizze der Losung in Abb. 4.3 zeigt zwei Pulse oder Wellenberge, die nach x = 1 weglaufen. Fur d  cT wird das Prol der Wellenberge durch die erste Ableitung der Funktion F bestimmt. Zwischen den Platten bildet sich ein konstantes Magnetfeld aus, so wie wir es aufgrund des (fur t  0) stationaren Stromes in z -Richtung erwarten. Die Komponenten Hx und Hy verschwinden fur alle Zeiten. Aufgabe 4.2.1. Wie sieht fur dieses Beispiel der zeitliche Verlauf der elektrischen Feldstarke aus?

4.2 Ebene Wellen

161

t > 0 fest

Hz

Hz x

x=-d

x=+d

Abbildung 4.3. Graph von Hz fur Bsp. 4.2.1

4.2.2 Skin-E ekt In Metallen (z.B. Cu, Ag, Pb) gilt fur Zeitskalen langer als  10;14 Sekunden naherungsweise das Ohmsche Gesetz j =  ? E . (Dies ist die lokale Version der Beziehung I = U=R.) Die elektrische Leitfahigkeit genannte Materialkonstante  hat die physikalische Dimension 2 #] = Lange#j ]
#E ] = EnergieLadung
Zeit
Lange : Wir betrachten im folgenden eine ebene monochromatische ;  elektromagnetische Welle mit elektrischer Feldstarke E = Re eikx;i!t E0 dy, die auf eine metallische Oberache trit: z Ey dy y x

x < 0 : Vakuum

x > 0 : Metall

Abbildung 4.4. Eine elektromagnetische Welle trit auf eine Metallober

ache

Die Welle dringt bis zu einer endlichen Tiefe  (= Skin-Tiefe) in das Metall ein. Diese Eindringtiefe wird folgenderma en berechnet. Im Fall = 0 lautet die Wellengleichung fur E wie folgt:

162

4. Elektromagnetische Wellen (Ohm) _
E = ;0 ? @j @t = ;0 E :

Sie wird fur x; < 0 (im Vakuum ist  = 0) durch die einfallende ebene ;i!t E0 dy gelost. Im Metall (x > 0) fuhrt der Ansatz Welle E;= Re ei!x=c  i k ( ! ) x ; i !t E = Re e E0 dy auf die algebraische Gleichung 2 ; !c2 + k2 (!) = i0! : Der Term !2 =c2 auf der linken Seite ist im gesamten Frequenzbereich, in dem das Ohmsche Gesetz Gultigkeit hat, vernachlassigbar. (Zum Beispiel ist o c2  1019Hz fur Cu bei Zimmertemperatur.) p Es folgt: k = Rek + i Imk Rek = Imk = 0 !=2. Aus physikalischen Grunden (exponentiell abklingende anstatt exponentiell anwachsende Welle!) haben wir die Wurzel mit dem positiven Vorzeichen gewahlt. Somit haben wir im metallischen Raumbereich ;  E = Re be;Imk x eiRek x;i!t E0 dy mit b 2 C einer Konstanten. Die Eindringtiefe ist oenbar  = (Imk);1 = p 0 !=2;1 . Fur Cu bei Zimmertemperatur ( = 5:7
107(Ohm
Meter);1) ndet man fur ! = 1010Hz (Mikrowellenfrequenz)  = 1:5
10;6Meter. Wodurch wird die Konstante b festgelegt? Wir mussen berucksichtigen, da fur x < 0 (Vakuum) neben der einlaufenden ebenen Welle auch eine auslaufende (oder reektierte) ebene Welle   E = Re ae;i!x=c;i!t E0 dy anzusetzen ist. Aus der Stetigkeit von E und seiner Ortsableitung fur x = 0 lassen sich dann a und b berechnen. Aufgabe 4.2.2. Fuhre diese Rechnung durch! Wie gro ist die im Metall dissipierte Leistung?

4.2.3 Brechung an ebenen Grenz achen Hier sollte man noch etwas zur Propagation ebener Wellen in Materie sagen und insbesondere den Brechungswinkel und die Reflexionsamplitude an einer Grenzfl ache berechnen.

4.2.4 L osung der inhomogenen Wellengleichung Aufgabe 4.2.3. Zu betrachten sei die homogene Wellengleichung  1 @2 @2 2 2 ; 2 f (x t) = 0

c @t

@x

4.2 Ebene Wellen

163

mit den Anfangsdaten f (x 0) = u(x) und f_(x 0) = v(x). Verizieren Sie, da sie fur t > 0 folgende Losung hat:  Z x+ct f (x t) = 12 u(x + ct) + u(x ; ct) + 1c v(x0 )dx0 : x;ct Fur vorgegebene Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 stellt Aufg. 4.2.3 die allgemeine Losung der homogenen Wellengleichung in 1 Dimension bereit. Wir wenden uns jetzt dem komplementaren Problem zu, das in der Losung der entsprechenden inhomogenen Anfangswertaufgabe besteht, namlich  1 @2 @2 c2 @t2 ; @x2 f (x t) = g(x t) fur t > 0, mit den Anfangsdaten f (x 0) = f_(x 0) = 0. Diese Aufgabe wird folgenderma en gelost. Es sei hs (x t) fur s 2 R und t  s die Lo
sung der homogenen Wellengleichung zu den Anfangsbedingungen hs (x t)
t=s = 0 und
; 1 _
c hs (x t) t=s = g(x s). Dann behaupten wir, da die Losung der Anfangswertaufgabe durch

f (x t) = c

Zt 0

hs (x t)ds

gegeben ist. Zum Beweis dieser Behauptung weisen wir zunachst nach, da der angegebene Ausdruck fur f den geforderten Anfangsbedingungen genugt. f (x 0) = 0 ist klar, und f_(x 0) = 0 folgt aus

f_(x t) = c

Zt 0

h_ s (x t)ds 

wobei die Anfangsbedingung ht (x t) = 0 benutzt wurde. Nochmaliges Dierenzieren nach der Zeit ergibt Zt
; 2 ; 1 ; 1  _
c f (x t) = c hs (x t) s=t + c h s (x t)ds : 0

Der erste Term auf der rechten Seite ist nach Vorgabe gleich g(x t). Au erdem ist hs (x t) Losung der homogenen Wellengleichung, d.h. es gilt c;1 h s (x t) = c @ 2 hs (x t)=@x2 , worauf die zu beweisende Behauptung sofort folgt. Aufgabe 4.2.4. Die Werte der Funktion f und ihrer Zeitableitung f_ zur Zeit t = 0 seien vorgegeben. Es soll dann mit Hilfe des Resultats von Aufg. 4.2.3 und der Losung der inhomogenen Anfangswertaufgabe gezeigt werden, da die inhomogene Wellengleichung
f = g in 1 Dimension fur t  0 durch folgende Formel gelost wird: ! Z t Z x+c(t;s) c 0 0 f (x t) = 2 g(x  s)dx ds 0 x;c(t;s)  Z x+ct + 21 f (x + ct 0) + f (x ; ct 0) + 1c f_(x0  0)dx0 : x;ct

164

4. Elektromagnetische Wellen

Bislang war die Aufgabenstellung so, da wir fur vorgebene Anfangsbedingungen zur Zeit t0 = 0 die Wellengleichung
f = g fur Zeiten t  t0 zu losen hatten. Wir lassen jetzt t0 gegen minus Unendlich streben und nehmen an, da die Werte von f und f_ in der fernen Vergangenheit verschwinden. Aus dem Resultat von Aufg. 4.2.4 folgt dann nach einer einfachen Substitution Z 1 Z x+cs g(x0  t ; s)dx0 ds : f (x t) = 2c 0 x;cs Hieran erkennen wir
deutlich, da f (x t) nur von Quellen im Raumzeitge; := f(x0  t0 )
jx ; x0 j  c(t ; t0 )g beeinu t wird (Abb. 4.5). Dieser biet Cxt Sachverhalt ist unter dem Namen Kausalitatsprinzip bekannt. Das Raumzeit; hei t der ruckwarts gerichtete Lichtkegel . gebiet Cxt Aufgabe 4.2.5. Konstruiere mit Hilfe dieses Resultats die Losung von Bsp. 4.2.1. Zeit ct (x,t )

Cx,t ( xo ,to)

Raum x

Abbildung 4.5. Ruckwarts gerichteter Lichtkegel

4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen 4.3.1 L osung der homogenen Gleichung In diesem Abschnitt bearbeiten wir die folgende Aufgabe: Lose
f = 0 zu den Anfangswerten f (p 0) = u(p) und f_(p 0) = v(p) : Beachte, da die homogene Wellengleichung
f = 0 eine Dierentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist, weshalb zur Anfangszeit sowohl f wie auch f_ vorzugeben ist. Zur Losung der Aufgabe benotigen wir zwei Hilfsatze und eine Denition. Hilfsatz 4.1. Sei BR die Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung o. Au erdem sei SR = @BR die BR berandende Sphare und  die Raumwinkel-2-Form bzgl. o. Dann gilt

4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen

165

d Z f = 1 Z ?4f dR SR R2 BR fur jede (zweimal stetig dierenzierbare) Funktion f . Beweis. Die Greensche Funktion G( p) des Gebietes U = BR fur p = o ist bekanntlich G( o) = (r;1 ; R;1)=4. Jetzt kommt ein Trick: wir betrachten f als Losung einer elektrostatischen Randwertaufgabe auf U = BR ! Mit den Vorgaben ; ? 4f jU (\innere Ladungsdichte" fur das Poisson-Problem auf U ) und f j@U (\Randpotential" fur das Dirichlet-Problem auf U ), gilt dann die Formel Z Z f (o) = ; G( o) ? 4f ; f ? dG( o) : BR

SR

Da der Poisson-Kern ;d ? G( o) gleich =4 ist, vereinfacht sich die Formel zu Z Z 1 1 ; ? 4f : f = 4f (o) + SR BR r R Durch Dierenzieren nach R folgt dann die Behauptung des Hilfsatzes. Korollar (Mittelwertsatz fur harmonische Funktionen). Eine Funktion f hei t harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung 4f = 0 erfullt. Aus der letzten Gleichung resultiert dann die Aussage, da der Funktionswert einer harmonischen Funktion f im Punkt o gleich ihrem Mittelwert uber irgendeine um o zentrierte Sphare SR (o) ist: Z f (o) = 41 f : SR (o)

Denition 4.1. Es sei p die Raumwinkel-Form bezuglich des Punktes p und SR (p) die Sphare mit Mittelpunkt p und Radius R. Fur eine Zeit t und irgendeine Funktion w : Raum ! R denieren wir die reelle Zahl M(p t)w durch Z M(p t)w := 4t wp : Sct (p)

Andere Darstellung von M. Der Operator M(p t) mittelt w uber die Sphare mit Mittelpunkt p und Radius ct und multipliziert anschlie end mit t. Fur manche Zwecke (siehe unten) ist folgende Alternativdarstellung nutzlich. Wie in Abb. 4.6 illustriert, bilden wir die Einheitssphare S um o auf die Sphare Sct (p) ab durch pct (a) = p + ct(a ; o) : Hiermit konnen wir den Integranden wp nach S zuruckholen:
;wp  = ;w  pct ;
p  : pct pct

166

4. Elektromagnetische Wellen


p =  folgt dann Mit pct Z Z ;  wp = 4t w  pct  : M(p t)w = 4t S

pct (S )

:

ψp,ct (a)

Einheitssphare S a

ψp,ct p

ct

o B ct (p) S ct (p)

Abbildung 4.6. Die Abbildung pct schiebt den Koordinatenursprung o an den Punkt p und streckt dann um den Faktor ct. Hilfsatz 4.2. Jede durch f (p t) = M(p t)w erklarte Funktion f ist eine Losung von
f = 0. Beweis. Unter Zuhilfenahme von Hilfsatz 4.1 dierenzieren wir f einmal nach der Zeit: @f (p t) = 1 Z w + 1 Z ?4w : p 4ct @t 4 Sct (p)

Bct (p)

Fur die Wellengleichung benotigen wir die zweite Zeitableitung von f , weshalb wir nochmal dierenzieren mussen. Dabei entstehen auf der rechten Seite drei Terme, die von der Zeitabhangigkeit von Sct (p) bzw. (ct);1 bzw. Bct (p) herruhren. Die ersten beiden heben sich als Konsequenz von Hilfsatz 4.1 gegenseitig auf, und es verbleibt 1 @ 2 f (p t) = 1 @ Z c2 @t2 4c3 t @t Bct (p) ?4w Z ;  1 @ = 4c2 t @ (ct) 4w rp2 drp ^ p B (p) ct Z t = 4 (4w)p : Sct (p) Hier wurden im zweiten Schritt Kugelkoordinaten bzgl. des Punktes p eingefuhrt, und das letzte Gleichheitszeichen berechnet die Ableitung nach R = ct. #Der letzte Schritt sollte intuitiv klar sein. Wer aber partout auf einer formalen Begrundung besteht, der konnte z.B. wie folgt vorgehen. Sei X = rp @rp

4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen

167

das von p radial nach au en zeigende Vektorfeld mit;Flu s(a) = p + es(a ; p) und Lie-Ableitung LX . Dann gilt Bexp(s)R (p) = s BR (p) und Z d Z f dr ^  = R;1 d

f drp ^ p =
p p dR ds s=0 BR (p)

= R1

Z

BR (p)

LX (f drp ^ p ) = R1

(4w)r2 =4c2 t

ZB

exp(s)R

BR (p)

(p)

d (rp f ^ p ) =

Z

SR(p)

fp :

Mit f = und R = ct folgt dann das behauptete Gleichheitsp zeichen.] Insgesamt haben wir also 1 @ 2 f (p t) = M(p t);4w : c2 @t2 ; Nun sieht man aus der obigen alternativen Darstellung von M und (4w)  pct (a) = (4w)(p + ct(a ; o)) ohne Muhe, da M mit 4 vertauscht. Damit erfullt f (p t) = M(p t)w die homogene Wellengleichung, und der Hilfsatz ist bewiesen. Satz 4.1. Die Losung der homogenen Wellengleichung
f = 0 zu den Anfangsdaten f (p 0) = u(p) und f_(p 0) = v(p) ist @ M(p t)u : f (p t) = M(p t)v + @t Beweis. Oben haben wir gezeigt, da M(p t)w die homogene Wellengleichung
f = 0 lost. Da
und @=@t vertauschen, ist mit M(p t)w auch @ @t M(p t)w eine Losung von
f = 0. Es bleibt daher lediglich nachzuweisen, da die Anfangsbedingungen erfullt sind. Zu f (p 0) tragt wegen des Faktors t vor dem Integral in der Denition von M nur @t@ M(p t)u bei: Z @ 1 f (p 0) = tlim up = u(p) : !0 4 @t t Sct (p)

Fur die Ableitung f_(p 0) nden wir analog Z _f (p 0) = v(p) + 1 lim @ up : 2 t!0 @t Sct (p)

Der Satz ist bewiesen, sobald wir das Verschwinden des zweiten Terms auf der rechten Seite gezeigt haben. Da dieser verschwindet, sieht man folgenderma en. Fur kurze Zeiten t haben wir die Taylor-Entwicklung ;u   (a) = u;p + ct(a ; o) pct = u(p) + ct(du)p (a ; o) + O(t2 ) 3 X @u (p)xi (a) + O(t2 ) : = u(p) + ct @x i i=1

168

4. Elektromagnetische Wellen

Damit folgt Z Z ; Z 3 X  @ @ @u lim u = lim u  pct  = c @xi (p) xi  = 0  t!0 @t Sct (p) p t!0 @t S S i=1 wobei R xi  =der0. letzte Ausdruck verschwindet, weil aus Symmetriegrunden gilt S Huygens'sches Prinzip. Huygens...

4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms

Der stationare Strom I einer Leiterschleife werde zur Zeit t = 0 abrupt abgeschaltet. Es kommt dann aufgrund der zeitlichen A nderung des Stromes zur Abstrahlung eines elektromagnetischen Signals, dessen elektrischen Anteil wir hier berechnen wollen. Wegen der Abruptheit des Ausschaltvorganges konnen wir das Problem als Anfangswertaufgabe formulieren. Das geht folgenderma en. Die elektrische Feldstarke genugt der inhomogenen Wellengleichung
E = ;0 ? @j=@t (die Ladungsdichte soll hier verschwinden). Diese Gleichung integrieren wir uber ein innitesimales Zeitintervall: 1 E_

+ O() = Z +(
E )dt = ; ? Z + @j dt =  ? j

0 0
t=; : c2
t= ; ; @t Dabei wurde verwendet, da E_ vor dem Abschalten (t < 0) und j nach dem Abschalten (t > 0) verschwindet. Es gelten also die Anfangsbedingungen


E

t=0 = 0 und E_

t=0+ = ";0 1 ? j

t=0; :

P

In der ublichen kartesischen Basis setzen wir jetzt ?j jt=0; =: 3k=1 jk dxk . Nach Satz 4.1 haben wir dann fur die elektrische Feldstarke den Ausdruck Ek (p t) = M(p t)jk ="0 . Nun liege die Leiterschleife speziell in der xy-Ebene und sei kreisformig mit Mittelpunkt o und Radius R. Um Ek (p t) = M(p t)jk ="0 zu berechnen, legt man eine Sphare Sct (p) um den Punkt R p mit Radius ct (Abb. 4.7) und wertet das Integral Ek (p t) = (t=4"0) Sct (p) jk p aus. Aufgabe 4.3.1. Zeige das folgende: 1. E verschwindet auf der z -Achse fur alle Zeiten. 2. In der Zylinderbasis @r , @' und @z verschwinden die Komponenten Er und Ez uberall zu allen Zeiten. 3. In der xy-Ebene gilt ;R2 + r2 ; c2t2 d' I p E = 2" c
p 2 0 R ; (ct ; r)2 (ct + r)2 ; R2 fur jct;rj < R, und Null sonst. (Skizze des Ergebnisses als Funktion von t)

4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen y

169

p ct

R o

x I

Abbildung 4.7.

4.3.3 L osung der inhomogenen Gleichung Mit all den getroenen Vorbereitungen ist es jetzt leicht, die allgemeine Losung der inhomogenen Wellengleichung zu konstruieren. Dazu betrachten wir zunachst die Anfangswertaufgabe
f = g (fur t > 0) mit f (p 0) = 0 und f_(p 0) = 0. In volliger Analogie zu dem in Abschn. 4.2 behandelten eindimensionalen Fall zeigt man

f (p t) = c

Zt 0

hs (p t)ds 

wobei hs fur t > s durch die homogene Wellengleichung
hs = 0 bestimmt wird und den Anfangsbedingungen hs (p t)jt=s = 0 und 1c h_ s (p t)jt=s = g(p s) genugt. Mit Satz 4.1 konnen wir hs sofort angeben: hs (p t) = c M(p t ; s) g( s) : Einsetzen in den Ausdruck fur f ergibt:

f (p t) = c2 = c2

Zt Zt 0 0

M(p t ; s) g( s)ds

2Zt M(p s) g( t ; s)ds = 4c 0


Nun benutzen wir cs = rp
Scs (p) und

 Z Scs (p)



g( t ; s)p s ds :

rp drp ^ p = rp;1 dx ^ dy ^ dz =: rp;1 dV : Es folgt dann die Formel Z g; t ; rp ()=c f (p t) = 41 dV : rp () Bct (p)

Durch Hinzufugen der Losung der homogenen Gleichung bekommen wir fur die Losung der Gleichung
f = g zu den allgemeinen Anfangsbedinungen f (p 0) = u(p), f_(p 0) = v(p) das Ergebnis

170

4. Elektromagnetische Wellen

@ M(p t)u + 1 f (p t) = M(p t)v + @t 4

Z g; t ; rp ()=c dV :

Bct (p)

rp ()

Wahlen wir die Anfangsbedingungen f (p t0 ) = 0 = f_(p t0 ) zur Zeit t0 ! ;1, so resultiert Z f (p t) = 41 g( t r; rp =c) dV : p E3 Interpretation. Diese Formel merken wir uns wie folgt. Wir haben uns vorzustellen, da zur Zeit t0 am Ort p0 ein spharischer Puls (\Seifenblase") mit Amplitude g(p0  t0 ) erzeugt wird. (Ist g(p0  t0 ) = 0, so wird nichts erzeugt.) Dieser Puls breitet sich (ohne seine Form zu verandern) mit Lichtgeschwindigkeit isotrop aus, wobei seine Amplitude wie der inverse Abstand abnimmt. Er trit zur Zeit t = t0 + jp ; p0j=c am Ort p ein und tragt zum Funktionswert f (p t) bei. Zur Berechnung von f (p t) ist uber alle \Quellereignisse" (p0  t0 ) zu summieren #gewichtet mit g(p0  t0 )], die auf dem Mantel (oder Rand)
n o ; := (p0  t0 )

jp ; p0 j = c(t ; t0 ) @Cpt ; liegen, des ruckwarts gerichteten Lichtkegels Cpt




n

o

; := (p0  t0 )

jp ; p0 j  c(t ; t0 ) : Cpt

Zeit

(p,t) Cp,t Cp,t Raum

Abbildung 4.8. Mantel des ruckwarts gerichteten Lichtkegels

4.4 Elektrische Dipolstrahlung Als konkrete Anwendung der Ergebnisse von Abschn. 4.3.3 berechnen wir das Strahlungsfeld einer raumlich lokalisierten und harmonisch oszillierenden Quelle in elektrischer Dipolnaherung. Die Strahlungsquelle bende sich innerhalb einer um den Koordinatenursprung zentrierten Kugel BR mit Radius R. Sie sei elektrisch neutral, habe aber ein endliches elektrisches Dipolmoment.

4.4 Elektrische Dipolstrahlung

171

Unser erstes Ziel wird es sein, die magnetische Erregung H zu berechnen. Sie genugt der inhomogenen Wellengleichung
H = ;j = ? d ? j , deren Losung durch Z 1 Hk (p t) = 4 (? d ? j )k ( t ; rp =c) rp;1 dV BR ausgedruckt wird. Wir beginnen mit der folgenden Nebenrechnung: (? d ? j )k dV = @k (? d ? j ) dV = (@k dV ) ^ ? d ? j = (d ? j ) ^ ?(@k dV ) = d ? j ^ dxk = d (?j ^ dxk ) : Die Zeitabhangigkeit von Strom- und Ladungsverteilung sei jetzt harmonisch: j = ~j sin !t und = ~ cos !t, mit zeitunabhangigem ~j , ~. Hiermit wird die Gleichung fur Hi zu Z sin(!t ; krp) Hi (p t) = 41 d(?~j ^ dxi )  rp BR wobei k = !=c gesetzt wurde. Wir werden sehen, da  = k;1 die Wellenlange der emittierten Strahlung ist. Die weitere Rechnung fuhren wir unter den Bedingungen R    r(p) durch. Die Ungleichung R   bedeutet den Grenzfall gro er Wellenlangen, und   r(p) deniert den Bereich der Fernzone. Fur einen Punkt a 2 BR durfen wir wegen R  r(p) die Taylor-Entwicklung des Abstandes rp (a) = jp ; aj nach der ersten Ordnung abbrechen: j ;  rp (a) = r(p) ; xr((pp)) xj (a) + O R2 =r(p) : #Ab hier bedienen wir uns wieder der Einsteinschen Summenkonvention.] Damit gehen wir nun in den Ausdruck sin(!t ; krp )=rp : sin(!t ; krp ) = sin(!t ; kr(p)) + cos(!t ; kr(p))
xj (p) kx + : : : : rp r(p) r(p) r(p) j Die Entwicklung der Sinusfunktion im Zahler wurde nach dem ersten Korrekturglied abgebrochen. Diese Naherung eliminiert Beitrage zum Strahlungsfeld, die von hoherer Ordnung in der kleinen Gro e kR  1 sind (Langwellenlimes). Die Ersetzung von rp durch den konstanten Wert r(p) im Nenner ist zulassig in der Fernzone. Mit einer partiellen Integration folgt jetzt j (p) Z cos( kr ( p ) ; !t ) kx
4r(p) dxi ^ dxj ^ ?~j : Hi (p t) = ; r(p) BR Nach einer weiteren Nebenrechnung, dxi ^ dxj ^ ?~j = ~j ^ ?(dxi ^ dxj ) = ijk ~j ^ dxk #ijk = ;jik usw. ist der total antisymmetrische Tensor in drei Dimensionen ], la t sich das verbleibende Integral durch das elektrische Dipolmoment & der Quelle ausdrucken:

172

Z

4. Elektromagnetische Wellen

BR

dxk ^ ~j = ;

Z

BR

xk d~j = ;!

Z BR

xk ~ = ;!& k :

Hier wurde fur das zweite Gleichheitszeichen benutzt, da nach der Kontinuitatsgleichung ( _ + dj = 0) gilt d~j = ! ~. Es folgt ; !t)  dxi xj & k : H ( t) = k! cos(kr ijk 4r r Der Ausdruck ijk xi dxj ^ dxk =2r3 ist die kartesische Koordinatendarstellung der Raumwinkel-2-Form  , so da gilt  j i k j ijk dxi xr & k = ;i ijk x dx2r^ dx = i r2  : Wir fuhren die Kugelachen-2-Form dS := r2  ein und haben damit das Resultat ; !t) i dS : H = k! cos(kr  4r Hier steckt noch irgendwo ein Vorzeichenfehler.

Ausgehend von der inhomogenen Wellengleichung fur die elektrische Feldstarke,
E = ; "1 d ? ; 0 ? @j @t  0 zeigt man mit dem Zwischenergebnis Z cos(!t ; krp ) ; 1 ;1d ? ~ ; 0 ? ~j  dV Ei (p t) = 4 ; " 0 i rp BR durch eine ahnliche Rechnung wie fur H das Resultat ; !t) (h& @ idr ; h& i) : E = 0 !2 cos(kr r 4r Der Term h& @r i dr kommt vom Ladungsanteil der Quelle, der Term h& i vom Stromanteil. (Achtung! Fur den Ladungsanteil ist der Kosinus bis zur zweiten Ordnung in k2 zu entwickeln!) Wir legen jetzt das Dipolmoment speziell in z -Richtung (& = j& jez ) und fuhren Kugelkoordinaten r  ' ein. Aus @z = cos  @r ; r;1 sin  @ folgt i dS = ;j& jr sin2  d' und h& i ; h& @r idr = j& j;dz ; j& j cos  dr  = j& j d(r cos ) ; (dr) cos  = ;j& jr sin  d : Fur diese Wahl der Richtung des Dipolmoments haben wir also 2 E = 40! j& j sinr  cos(kr ; !t) r d  sin  cos(kr ; !t) r sin  d' : H = k! j & j 4 r

4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung

173

Diskussion. 1. Wir ordnen der 1-Form E durch den kanonischen Isomorphismus I das Vektorfeld I (E ) = (E ) zu. Fur H verfahren wir genauso. Die nach au en gerichtete Kugelnormale @r , die die Ausbreitungsrichtung der Strahlung beschreibt, und die Vektorfelder I (E )  @ und I (H )  @' bilden dann ein rechtshandiges Orthonormalsystem. ez er

I (H) ~ eφ p o

I (E) ~ eθ

Abbildung 4.9. Zur Ausbreitung der abgestrahlten Welle

2. E und H verschwinden auf der Polarachse des Dipols (Faktor sin !) und sind in der A quatorialebene maximal. Diese Variation mit dem Sinus des Polarwinkels ist charakteristisch fur das Strahlungsfeld eines elektrischen Dipols. (Hohere Multipolmomente wurden durch die Langwellennaherung eliminiert. Sie haben ubrigens eine andere Winkelverteilung.) 3. Die zeitgemittelte Poynting-2-Form ist mit hcos2 (: : :)i = 1=2 gleich 3 2 2 hE ^ H i = 32k ! 2 "0 j& j sin  : Integration liefert die gesamte abgestrahlte Leistung 0 j& j2 !4 =12c. Beachten Sie die starke Frequenzabhangigkeit! Aufgabe 4.4.1. Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung

4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung Hier k onnte man zun achst mit Hilfe des Flulinienbildes die Bremsstrahlung einer Punktladung diskutieren (siehe Thirring). Anschlieen w urde sich dann die exakte analytische Theorie. Denkbar w are auch, diesen Abschnitt vor dem  uber die elektrische Dipolstrahlung einzuschieben und auf diese Weise die dort etwas l angliche Rechnung abzuk urzen.

174

4. Elektromagnetische Wellen

4.6 Beugungsphanomene Ein ehrgeiziges Ziel w are, Sommerfelds L osung f ur die Beugung am Keil zu pr asentieren. Dazu ben otigt man aber wohl mehr Funktionentheorie und komplexe Analysis als hier zur Verf ugung steht.

4.7 Symmetrien und Erhaltungssatze In Vorbereitung des n achsten Abschnitts w are hier noch -- nach dem Skript vom Sommersemester 1993 -- die Herleitung des Impuls- und Drehimpulssatzes zu geben. Dieses Thema wird im relativistischen Kapitel wieder aufgegriffen und dort pr agnanter behandelt.

4.8 Das Feynmansche Paradoxon Feynman im Original. \Betrachte die in Abb. 4.10 gezeigte Apparatur. Eine Achse tragt in zu ihr senkrechter und konzentrischer Anordnung eine dunne, kreisformige Plastikscheibe. Die Achse ist hervorragend gelagert, soda die Scheibe ohne Reibungsverluste rotieren kann. Auf der Scheibe bendet sich ein Draht in Form einer konzentrisch zur Drehachse angeordneten Spule. Diese Spule tragt einen stationaren Strom I , der einer kleinen, ebenfalls auf der Scheibe montierten Batterie entnommen wird. In der Nahe des Scheibenrandes benden sich in gleichma iger Anordnung viele kleine Metallkugeln, die durch das Plastik der Scheibe voneinander und von der Spule elektrisch isoliert sind. Jede Metallkugel tragt die gleiche elektrische Ladung q. Alles ist stationar, und die Scheibe ruht. Nun wollen wir annehmen, da durch Zufall { oder Planung { der Strom in der Spule zum Erliegen gebracht wird, und zwar ohne irgendeine au ere Einwirkung. Solange der Strom ie t, existiert ein magnetischer Flu , der auf der Spule so ungefahr senkrecht steht. Dieser magnetische Flu mu verschwinden, wenn der Strom gestoppt wird. Es wird deshalb ein elektrisches Feld induziert, das um Kreise mit Mittelpunkt auf der Drehachse zirkuliert. Die geladenen Kugeln spuren dann ein zum Scheibenrand tangentiales elektrisches Feld. Die elektrische Kraft hat fur alle Kugeln denselben Drehsinn, was in einem an der Scheibe angreifenden totalen Drehmoment resultiert. Wir wurden aufgrund dieser Argumente erwarten, da die Scheibe mit dem Verschwinden des Stromes in der Spule zu rotieren beginnt... Wir konnten jedoch auch anders argumentieren. Da der Drehimpuls der Scheibe mit all ihrem Zubehor zu Anfang verschwindet, konnten wir unter Verwendung des Prinzips der Drehimpulserhaltung sagen, da der Drehimpuls der gesamten Anordnung fur alle Zeiten Null bleiben mu . Die Scheibe sollte also nach dem Abschalten des Stromes in Ruhe verweilen. Welches der

4.8 Das Feynmansche Paradoxon

175

beiden Argumente ist korrekt? Wird die Scheibe in Rotation versetzt oder nicht?..." (Ende des Zitats.) geladene Metallkugeln

I

Plastikscheibe

Abbildung 4.10. Die Feynmansche Anordnung (die Spule ist vereinfacht als Kreisstrom dargestellt)

Feynman fugt hinzu, da die korrekte Antwort nicht von irgendwelchen unwesentlichen Begleitumstanden wie zum Beispiel der asymmetrischen Position der Batterie abhange. Die Abgeschlossenheit des Systems, d.h. das Abschalten des Stromes ohne eine den Drehimpuls andernde au ere Einwirkung, konne man zum Beispiel durch folgende ideale Situation erreichen. Die Spule sei aus einem supraleitenden Draht gewickelt, in dem ein Strom ie e. Nachdem man die Anordnung sorgfaltig in den Ruhezustand versetzt hat, lasse man die Temperatur langsam ansteigen. Sobald die U bergangstemperatur zwischen supraleitendem und normalleitendem Zustand erreicht ist, wird der Strom in der Spule durch den Widerstand des Drahtes zum Erliegen gebracht. Wie zuvor sinkt der magnetische Flu ab, und es wird ein elektrisches Feld induziert. Abschlie end warnt Feynman den Leser, da die Auosung des Ratsels weder leicht noch ein Trick sei, sondern zur Entdeckung eines wichtigen Prinzips des Elektromagnetismus fuhre. Wir nehmen vorweg, da die erste Antwort die richtige ist: die Scheibe bendet sich nach dem Abklingen des Stromes tatsachlich in Rotationsbewegung. Unsere Aufgabe wird es demnach sein, die Drehimpulsbilanz in Ordnung zu bringen. Zunachst einmal fragt man sich, ob der mechanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen wesentlich sein konnte. Dazu ist zu bemerken, da der Drehsinn der durch die Wirkung des induzierten elektrischen Feldes in Rotation versetzten Scheibe vom Vorzeichen der Ladungen q auf den Metallkugeln abhangt. Deshalb wird das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz durch Hinzunahme des Drehimpulses der Elektronen entweder gro er oder kleiner gemacht, je nachdem ob q positiv oder negativ ist. Zudem konnen wir durch Vergro ern der gesamten Ladung auf den Metallkugeln das angreifende Drehmoment - und damit auch den Drehimpuls der rotierenden Scheibe { variieren, wahrend der Drehimpuls der Elektronen fest bleibt. Wir entnehmen diesen U berlegungen, da der me-

176

4. Elektromagnetische Wellen

chanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen einer der im Feynmanschen Sinn unwesentlichen Begleitumstande des Ratsels ist und vernachlassigt werden kann.1 Auosung des Ratsels. Um das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz zu kompensieren, werden wir den Drehimpuls im elektromagnetischen Feld heranziehen mussen. Leider ist eine quantitative Analyse des von Feynman beschriebenen Vorgangs schwierig. Wir nehmen deshalb eine Vereinfachung vor, indem wir das System unter Translationen in Richtung der Drehachse invariant machen. (Wir stellen uns zum Beispiel vor, es seien sehr viele identische Scheiben von der beschriebenen Form ubereinander gestapelt.) Insbesondere ersetzen wir die ringformige Anordnung von Metallkugeln durch einen gleichma ig mit Flachenladung bedeckten Zylindermantel. Diese Abstraktion wird nicht nur das Rechnen erleichtern, sondern auch den Blick auf das Wesentliche des Problems lenken. Wir fuhren gewohnliche Zylinderkoordinaten r ' z ein und legen die Symmetrieachse der Anordnung auf die z -Achse. Mit u 2 3 (E3 ) bezeichnen wir die Dichte der z -Komponente des Drehimpulses im elektromagnetischen Feld. Aus dem vorangehenden Abschnitt kennen wir die Formel u = ;B ^ @' D, wobei @' das durch die Gleichungen (dr)(@' ) = 0, (d')(@' ) = 1 und (dz )(@' ) = 0 bestimmte Vektorfeld ist. (@' erzeugt Drehungen um die z Achse.) Im ersten Schritt untersuchen wir die statischen Situationen vor dem Zusammenbruch des Stromes zur Zeit t = 0 und lange danach. Vorher existiert ein magnetisches Feld innerhalb der Spule und ein elektrisches Feld au erhalb des geladenen Zylindermantels. Da die Raumbereiche, wo die Fel
der von Null verschieden sind, nicht uberlappen, gilt u
t<0 = 0, d.h. fur t < 0 steckt im elektromagnetischen Feld kein Drehimpuls. Die Situation fur t  0 ist ahnlich. Zwar erzeugen die Ladungen des rotierenden Zylindermantels jetzt ein statisches Magnetfeld, das bis an ihn heranreicht, aber es entsteht trotzdem kein U berlapp, denn das elektrische Feld ist ja erst au erhalb des Mantels von Null verschieden. Diese U berlegungen fuhren zwingend zu dem Schlu , da sich der fehlende Drehimpuls in dem elektromagnetischen Puls verbirgt, der durch den zusammenbrechenden Strom erzeugt und radial nach au en abgestrahlt wird. Wir gelangen hiermit zu der intuitiven Vorstellung, da der Puls auf dem Weg nach au en von den geladenen Metallkugeln in seiner Richtung ein wenig abgelenkt wird (Abb. 4.11). Dadurch wird auf ihn ein Drehimpuls ubertragen, der sich mit dem mechanischen Drehimpuls des rotierenden Zylinders zu Null addiert. Die Richtigkeit dieser Vorstellung gilt es nun rechnerisch nachzuweisen. Quantitative Rechnung. Fur die Berechnung des Feld-Drehimpulses durch Integration von ;B ^ @' D uber den gesamten Raum benotigen wir die 1

Es sind ideale Anordnungen denkbar, wo der mechanische Drehimpuls zu Anfang exakt gleich Null ist. Zum Beispiel konnten wir uns die Spule durch einen Elektron-Positron-Speicherring ersetzt denken, in dem die Elektronen und Positronen mit gleicher Dichte und umgekehrter Richtung umlaufen.

4.8 Das Feynmansche Paradoxon

177

I

Abbildung 4.11. Drehimpuls der Scheibe und des Feldes 1-Form @' D. Nun wissen wir aus Gleichung (??) von Abschn. 4.1, da die dynamisch induzierte elektrische Erregung Dind die Zeitableitung der Stromdichte j zur Quelle hat. Da im vorliegenden Fall nur die zr-Komponente von j ungleich Null ist, folgt @' Dind = 0. Der Feld-Drehimpuls wird demnach aus dem (dynamischen) Magnetfeld in Kombination mit der durch den geladenen Zylindermantel verursachten statischen elektrischen Erregung gebildet. Ist R der Radius des Zylindermantels, Q seine gesamte Ladung und L seine Lange in z -Richtung, so haben wir mit der Stufenfunktion h(s) = 1 (bzw. h(s) = 0) fur s > 0 (bzw. s < 0) fur den statischen Anteil von D den Ausdruck Dstat = 2Q L h(r ; R)d' ^ dz: Wir bilden @' Dstat , setzen in ;B ^ @' D ein und integrieren uber den Raum. Das Integral uber z la t sich trivial ausfuhren und gibt einen Faktor L, der sich gegen den Faktor L im Nenner wegkurzt. Es verbleibt das Flachenintegral uber eine zur z -Achse senkrechte Ebene. Wir denieren E2 = fa 2 E3 jz (a) = 0g und DR = fa 2 E2 jr(a) < Rg. Das Ergebnis fur die z -Komponente des Drehimpulses im elektromagnetischen Feld lautet dann Z Z Z B: ; B ^ @' D = ; 2Q h(r ; R)B = ; 2Q E2 ;DR

E2

E3

Dieses Resultat ist fur alle Zeiten gultig. Wie oben schon bemerkt wurde, verschwindet der Feld-Drehimpuls fur t < 0, weil B jE2 ;DR in diesem Fall gleich Null ist. Zum schnelleren Vergleich mit dem noch zu berechnenden mechanischen Drehimpuls formen wir unser Resultat fur Zeiten t = T > 0 um. Da E2 keinen Rand hat, erhalten wir ausR dem Induktionsgesetz R R zusammen mit dem Stokesschen Satz die Beziehung E2 B_ = ; E2 dE = ; @E2 E = 0, d.h. der magnetische Flu durch die gesamte Ebene E2 ist zeitlich konstant. Es folgt insbesondere

Z

E2




B
t=T =

Z




E2

B
t=0 =

Z

DR




B
t=0 :

178

4. Elektromagnetische Wellen

Die durch das zweite Gleichheitszeichen vorgenommene Einschrankung der Integrationsache ist zulassig, weil DR den Querschnitt der Spule enthalt. Insgesamt ergibt sich fur die z -Komponente des Feld-Drehimpulses nach dem Abklingen des Stromes das Resultat Z
Z
Z
B
t=T ; B
: ; B ^ @' D
t=T = 2Q DR DR t=0 E3 Wir werden nun zeigen, da sich dieser Ausdruck mit dem Drehimpuls des rotierenden Zylinders exakt zu Null addiert. Das am Zylindermantel mit Radius R angreifende Drehmoment D ist gleich dem Produkt
aus Gesamtladung Q und '-Komponente der elektrischen Feldstarke E
@DR . (Die Lorentz-Kraft wirkt in Radialrichtung und tragt zum Drehmoment bezuglich der R z-Achse nicht bei.) Da wir fur die auf @DR konstante Funktion E' auch @DR E=2 schreiben konnen, haben wir Z Z Q Q @ D = 2 E = ; 2 @t B @DR DR wobei fur das zweite Gleichheitszeichen nochmals das Induktionsgesetz benutzt wurde. Den mechanischen Drehimpuls erhalten wir durch Integration des Drehmoments uber die Zeit. Es resultiert Z
ZT Z
Q
D(t)dt = ; 2 B
 B ; 0 DR t=T DR t=0 wie angekundigt. Die Drehimpulsbilanz stimmt. Aufgabe 4.8.1. Unsere Rechnung illustriert die Gultigkeit des Drehimpulssatzes, la t aber die Frage oen, wie gro die Winkelgeschwindigkeit ! ist, mit der die Anordnung nach dem Abklingen des Stromes rotiert. Nimm das Tragheitsmoment des Zylinders als bekannt an und berechne ! fur Zeiten t  0.

4.9 Geometrische Optik Wie w ar's mit noch etwas Geometrischer Optik?

5. Relativistisch kovariante Theorie

Die spezielle Relativitatstheorie wird in ihren Grundzugen als bekannt vorausgesetzt und in Abschn. 5.1 und 5.2 kurz zusammengefa t.

5.1 Der Minkowski-Raum M4 Denition 5.1. Der Minkowski-Raum M4 ist ein orientierter, aner, vierdimensionaler Raum mit Lorentzschem Skalarprodukt h i auf seinem Dierenzvektorraum R4 . Bemerkungen. 1. Die Elemente von M4 sind \Weltpunkte" oder \Ereignisse". Ein Beobachter ordnet jedem Ereignis drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate zu. Ereignisse haben aber eine invariante, d.h. von den speziellen Raum-Zeit-Koordinaten losgeloste Bedeutung. 2. Die ane Struktur von M4 macht Geraden s 7! a + sv (a 2 M4  v 2 R4 fest, s 2 R variabel) zu einem wohldenierten und invarianten Begri. Eine solche Gerade in M4 (mit hv vi  0) wird als gleichformig geradlinige Bewegung interpretiert. 3. Ein Lorentzsches Skalarprodukt im Rn+1 ist eine quadratische Form:


Rn+1 ! R  u v 7! hu vi P mit Normalform hu vi = ;u0 v0 + ni=1 ui vi . Rn+1

4. Der Minkowski-Raum M4 ist ein gutes Modell der physikalischen RaumZeit, wenn die Krummungseekte der Gravitation vernachlassigt werden konnen. Denition 5.2. Unter einem Inertialsystem versteht man ein anes Koordinatensystem fo e0 e1  e2  e3 g von M4 mit folgenden Eigenschaften: 1. he  e i = 0 fur  6= ' . 2. he0  e0 i = ;1 und he1  e1 i = he2  e2 i = he3  e3 i = +1. 3. Mit der Dualbasis f g=0:::3 zu fe g =0:::3 ist die Orientierung von M4 durch  = 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 gegeben.

180

5. Relativistisch kovariante Theorie

Bemerkungen. 1. e0 deniert die Zeitachse s 7! o + se0 (s 2 R) des Inertialsystems, und die Vektoren e1  e2 e3 spannen den Raum auf. 2. Die Zerlegung nach Raum und Zeit ist nicht invariant: ein anderes Inertialsystem macht eine andere Zerlegung. Zwei Ereignisse a und b werden im Inertialsystem fo e0 : : :  e3 g genau dann als gleichzeitig wahrgenommen, wenn gilt 0 (a ; b) = 0. In einem anderen Inertialsystem fo0  e00  : : :  e03 g gilt im allgemeinen 0 0 (a ; b) 6= 0, d.h. a und b nden nicht gleichzeitig statt. 3. Die korrekte Orientierung des Basissystems e0  e1 e2  e3 la t zwei disjunkte Moglichkeiten zu: a) e0 zeigt (im kausalen Sinn) in Richtung der zunehmenden Zeit und e1 e2  e3 bilden ein rechtshandiges System. b) e0 zeigt in Richtung abnehmender Zeit (\die Zeit lauft ruckwarts") und e1 e2  e3 ist ein linkshandiges System.

5.2 Die Poincare-Gruppe Denition 5.3. Die Poincare-Gruppe ist die Automorphismengruppe von M4 , d.h. sie ist die Gruppe aller anen Abbildungen f : M4 ! M4 , die (i) das Skalarprodukt invariant lassen: h(Df )(u) (Df )(v)i = hu vi und (ii) die Orientierung erhalten: f
 = . Bemerkungen. 1. Jede ane Abbildung f : M4 7! M4 ist von der Form a 7! f (a) = o + (a ; o) + w mit o 2 M4 einem Weltpunkt,  : R4 ! R4 einer linearen Abbildung und w 2 R4 einem Vektor. Die Bedingungen (i) und (ii) schreiben sich dann wie folgt: (i) hu vi = hu vi (ii) det  = 1 : 2. Eine Poincare-Transformation, d.h. ein Element der Poincare-Gruppe, bildet Inertialsysteme auf Inertialsysteme ab. Denition 5.4. Die Lorentz-Gruppe ist die Untergruppe von Elementen der Poincare-Gruppe, die einen ausgewahlten Weltpunkt (z.B. o) xieren. Bemerkung. Der lineare Teil  : R4 ! R4 einer Poincare-Transformation bestimmt eine Lorentz-Transformation, d.h. ein Element der Lorentz-Gruppe, durch a 7! o + (a ; o).

5.3 A uerer Kalkul auf M4

181

Koordinatendarstellung. Eine Poincare-Transformation a 7! f (a) = o+(a; o) + w wird bezuglich eines Inertialsystems fo e0  e1 e2  e3 g wie folgt dargestellt. Wir setzen a ; o = x e , f (a) ; o = y e , e =  e und w = w e und haben dann y =  x + w : Die Koezienten  genugen der aus der Bedingung he  e i = he  e i mit g := he  e i folgenden Gleichung g =  g  . Aus det  = 1 folgt det( ) = 1.

5.3 A uerer Kalkul auf M4 Wir bezeichnen den Raum aller Dierentialformen (besser ware es, hier gleich mit den Stromformen zu arbeiten) k -ten Grades auf M4 mit k (M4 ). Die metrikfreien Operationen au eres Produkt, inneres Produkt, au ere Ableitung, Pullback und Integration sind genauso deniert wie zuvor. Wir notieren die au ere Ableitung mit d : k (M4 ) ! k+1 (M4 ). Um Verwirrung unter den Studenten zu vermeiden, schreiben wir ab jetzt "d\ fur die raumliche au ere Ableitung (bzgl. einer fest gewahlten Raum-Zeit-Zerlegung). Es gilt dann d = d+dt ^ @=@t. Die Koordinaten-1-Formen dx0 ;: : :  dx3 bezuglich eines Inertialsystems fo e0  : : :  e3 g sind wie ublich durch dx a (v) =  (v) (unabhangig von a) erklart. Insbesondere ist dx0  c dt. Was sich gegenuber vorher andert, sind alle Gro en wie z.B. der LaplaceOperator, die uber den Sternoperator von der Metrik abhangen. Der Sternoperator ist jetzt eine Abbildung ? : k (M4 ) ! 4;k (M4 ). Er wird durch die Relation  ^ = (? ) erklart (siehe Abschn. 0.7).

5.4 Kovariante Formulierung der Theorie ;



Faraday-Form. F = E ^ dt + B F 2 2 (M4 ) . physikalische Dimension: #F ] = Wirkung=Ladung. Es gilt dF = ;d E ^ dt +d B + dt ^ B_ = d| E{z+ B_} ^ dt + |{z} dB = 0 :

)

=0

=0

dF = 0 (homogene Maxwell-Gleichungen) : ;  Vierer-Strom. J = ; j ^ dt J 2 3 (M4 ) . physikalische Dimension: #J ] = Ladung.  ; dJ = ;d j ^ dt + dt ^ _ = dt ^ |_ +{zd j} = 0 :

)

dJ = 0

=0

;Kontinuitatsgleichung $ Ladungserhaltung :

182

5. Relativistisch kovariante Theorie

;



Maxwell-Form. G = D ; H ^ dt G 2 2 (M4 ) . physikalische Dimension: #G] = #Ladung]. ;  d D ; d| H{z; D_} ^ dt = J : dG = d D ; d H ^ dt + dt ^ D_ = |{z} =

=j

)

dG = J (inhomogene Maxwell-Gleichungen) : Bemerkung. J = dG ) dJ = d(dG) = 0. Materialgleichungen (im Vakuum). ?F = ?(E ^ dt + B ) = ?(Exdx ^ dt + : : : + Bxy dx ^ dy + : : :) = ; 1c Ex dy ^ dz + : : : + c Bxy dz ^ dt + : : : = ; "1c Dyz dy ^ dz + : : : + 0 c Hz dz ^ dt + : : : r0 0 r 0 = ; " (D ; H ^ dt) = ; " G : 0

)

r ; " 0 G = ?F 0

p

0

(Materialgleichungen) :

physikalische Dimension # 0 ="0] = Wirkung=Ladung.

Koordinatendarstellung Faraday-Form.

F = B + E ^ dt = 2!1 F dx ^ dx

(Fi0 = c Ei  Fij = Bij ) Maxwell-Form. G = D ; H ^ dt = 2!1 G dx ^ dx

(Gi0 = ;c Hi  Gij = Dij ) Vierer-Strom. J = ; j ^ dt = 3!1 J dx ^ dx ^ dx

5.5 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie

183

5.5 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie Die Maxwell-Gleichungen dF = 0 und dG = J haben in allen Koordinatensystemen dieselbe Form: dF = 0 : @ F + @ F + @ F = 0 dG = J : @ G + @ G + @ G = J : Diese Forminvarianz schlie t krummlinige Koordinaten (! beschleunigte Bep zugssyteme) ein. Die Materialgleichungen ; 0 ="0 G = ?F enthalten den Sternoperator, der auf die Metrik und die Orientierung des M4 Bezug nimmt. Poincare-Transformation vertauschen per Denition der Poincare-Gruppe mit dem Sternoperator ?. Folglich sind die Materialgleichungen r r ?F = ; " 0 G : F01 = ; " 0 G23 usw. 0 0 forminvariant unter Poincare-Transformationen. (Tatsachlich ist die Invarianzgruppe sogar gro er, denn ? : 2 (M4 ) ! 2 (M4 ) vertauscht auch mit Dilatationen x 7! sx (s 2 R+ ), was auf die sogenannte konforme Gruppe fuhrt.)

Hier w aren die Symmetrien der Maxwellschen Theorie noch etwas ausf uhrlicher zu diskutieren (Raumspiegelung und Zeitumkehr). Insbesondere w are endlich mal auf den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Differentialformen einzugehen.

5.6 Anschauliche Deutung mittels Stromformen Wir konnen die Dierentialformen F , G und J als Stromformen auassen (siehe Abschn. ??) und dann durch Ketten veranschaulichen. Der Viererstrom ist eine Stromform dritten Grades, was im vierdimensionalen Raum einer 1-Kette entspricht. Die Kontinuitatsgleichung dJ = 0 ubersetzt sich in @J = 0, was bedeutet, da P die 1-Kette von J sich aus randlosen Linien i im M4 zusammensetzt (J = qi i ). Diese Linien sind nichts anderes als die Weltlinien geladener Teilchen. Der reelle Gewichtsfaktor qi der Linie i der 1-Kette J ist die Ladung des i-ten Teilchens. Die Faraday-Form ist eine Stromform zweiten Grades und wird im vierdimensionalen Raum durch eine 2-Kette (Weltachen) veranschaulicht. Die homogenen Maxwell-Gleichungen dF = 0 entsprechen in der Interpretation von F als 2-Kette der Relation ;@F = 0. Mit anderen Worten besteht F wie in Abb. 5.2 illustriert aus geschlossenen Weltachen. Bilden wir den Durchschnitt einer geschlossenen Weltache mit den 3-Ebenen konstanter Zeit t, so entstehen geschlossene Linien im E3 (in einem E3 ). Aus F = B + E ^ dt sieht man, da diese geschlossenen Linien als die Flu linien der magnetischen Flu dichte B anzusehen sind.

184

5. Relativistisch kovariante Theorie

M4 -q

+q

Abbildung 5.1. Die 1-Kette J

ist aus geschlossenen Weltlinien aufgebaut. Ladungsumkehr fallt hier mit Zeitumkehr zusammen: ein Vorzeichenwechsel q ! ;q ist aquivalent zur A nderung der Orientierung der Weltlinie.

Zeit

magnetische Flusslinie

Abbildung 5.2. Zwischen Zeitpunkten von Entstehung und Vernichtung uberstreicht eine magnetische Flulinie eine geschlossene Welt ache, die zur 2-Kette der Faraday-Form F beitragt. Die Maxwell-Form ist ebenfalls eine Stromform zweiten Grades und wird im vierdimensionalen Raum wieder durch eine 2-Kette (Weltachen) veranschaulicht. Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen dG = J entsprechen in der Interpretation von G als 2-Kette und von J als 1-Kette der Relation ;@G = J . Mit anderen Worten besteht G aus Weltachen, die entweder geschlossen sind oder durch die Weltlinien geladener Teilchen berandet werden. Der Durchschnitt einer solchen Weltache mit t = const ist eine elektrische Flu linie. Diese ist entweder geschlossen oder beginnt auf einer positiven Ladung usw. usw. Hier wird noch eine Abbildung benotigt.

5.7 Altes relativistisch aufgewarmt Um den Rechenvorteil der kovarianten Formulierung zu illustrieren, greifen wir einige Themen nochmals auf, die wir bereits in Kap. 4 behandelt haben. Vorbereitung 1. Aufg. 0.7.4: ?? = (;1)k(n;k) ( ). Minkowski-Raum M4 : n = 4 und ( ) = ;1. ) ?? = ;(;1)k(4;k) = (;1)k;1 fur k = 0 1 2 3 4 :  = (;1)l;1 ?;1 d ? : l (M4 ) ! l;1 (M4 ) (1  l  4)  Man sieht, da gilt:

5.7 Altes relativistisch aufgewarmt

185

 = (;1)l;1 (|??{z);}1 ? d? = ; ? d ? in allen Fallen (1  l  4) : = (;1)l;2

Vorbereitung 2. Laplace-Operator 4 auf M4 = ; d'Alembert-Operator
. Behauptung fur Funktionen nachprufen: 4f = (d + d) f = d f = (@t f dt + @x f dx + @y f dy + @z f dz )  = ; ? d 1 @ f dx ^ dy ^ dz + @ f dy ^ dz ^ (c dt) + : : :

 1c

t

x



= ; ? c2 @t2 f ; @x2 f ; @y2 f ; @z2 f c dt ^ dx ^ dy ^ dz = ;
f ? (d| x0 ^ dx1 {z ^ dx2 ^ dx}3 ) ?==1 ;

=


f :

Wellengleichung fur F und G. dG = J ) dG = J G = ; ? d| {z ? G} = 0

9 =  4G = J  q"  q"

dF =0

?4 = 4? ) J = 4G = 4 ; 00 ? F = ; 00 ? 4F q q ) 4 = ; "00 ?| ;{z1 J} ) 4F = "00 d ? J =;d?J

Viererpotential A. dF = 0 auf M4 . M4 sternf ; ormig, Poincar  e-Lemma ) Es existiert ein Potential A: F = dA A 2 1 (M4 ) . Bemerkung. A = ; dt + A (A = Vektorpotential). Koordinatendarstellung. A = A dx (A0 = ;=c  Ai = Ai (i = 1 2 3) :) Lorentz-Eichung fur A. : A = 0. A = ; ? d ;? A = ; ? d ? (A dx )  = ; ? d A0 dx1 ^ dx2 ^ dx3 + A1 dx2 ^ dx3 ^ dx0 + : : :



= ;@0 A0 +

3 X

i=1

!

;

@i Ai ? dx0 ^ dx1 ^ dx2 ^ dx3

3 X @ Ai = c12 @ + @t i=1 @xi :

|

{z

=1

 }

186

5. Relativistisch kovariante Theorie

Wellengleichung fur A.

dA = F

r ) ? dA = ?F = ; " 0 G r 0

) d ? dA = ; " J 0

0

und

Lorentz-Eichung A = 0 )

r dA = " 0 ? J 0

4A =

q

0

"0

?J

5.8 Transformationsverhalten der Felder und Strome Zwei verschiedene Sichtweisen sind moglich: 1. Der Minkowski-Raum M4 wird einer Poincare-Abbildung  : M4 ! M4 unterworfen (\aktive Transformation"), und die Felder und Strome werden mittels  zuruckgeholt. 2. Die Felder und Strome werden als fest angesehen (vom Bezugsystem unabhangig deniert) und es wird lediglich ein Koordinatenwechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen durchgefuhrt (\passive Transformation"). Wir machen uns hier die zweite Sichtweise zu eigen.

5.8.1 Transformation des Viererstroms Fur den Viererstrom J = ; j ^ dt setzen wir (nicht notig, spart aber einige Indizes und Schreibarbeit) ?J = J dx . Inertialsystem 1 mit anem Koordinatensystem fo e0  e1 e2  e3 g und Koor-

dinatenfunktionen x0  x1  x2  x3 : ?J = J(1) dx : Inertialsystem 2 mit anem Koordinatensystem fo e00  e01 e02  e03 g und Koordinatenfunktionen y0  y1 y2  y3 : ?J = J(2) dy : P Lorentz-Transformation: x =   y . P dx =   dy einsetzen ) J(1)  dy = ?J = J(2) dy

) 1

J(2) = J(1)  :

Boost in 1-Richtung 1 :

Abkurzende Schreibweise: sh  sinh  & ch  cosh .

5.8 Transformationsverhalten der Felder und Strome

0 x0 1 0 ch sh B x1 C B sh ch B @ x2 CA = B@ 0 0

10 1

187

0 0 y0 C B 0 0 C B y1 C C 1 0 A @ y2 A x3 0 0 0 1 y3 #Genauer: x1 = sh  y0 + ch  y1 ) Inertialsystem 2 bewegt sich relativ zu Inertialsystem 1 mit der Geschwindigkeit v = c tanh  in Richtung der positiven 1-Achse.] Explizit: J0(2) = ch J0(1) + sh J1(1)  J1(2) = sh J0(1) + ch J1(1) : Noch expliziter: ?J = ?( ; j ^ dt) ;  ;  = 123 ? dx1 ^ dx2 ^ dx3 ; 1c j12 ? dx1 ^ dx2 ^ dx0 ; : : : = 123 dx0 ; 1c j12 dx3 ; 1c j23 dx1 ; 1c j31 dx2 : ) 1 (1) (2) ch (1) 123 = 123 ; c sh j23 (2) = ; c sh (1) + ch j (1) j23 123 23 1 ch = p1;tanh = p1;1v2 =c2  2 tanh  = p v=c sh = p1+tanh : 2 1+v2 =c2

5.8.2 Transformation der Felder X F = E ^ dt + B =: 12 F dx ^ dx  ) 

Fij = Bij und Ei = cFi0 = ;cF0i (i j = 1 2 3) : Inertialsysteme 1 und 2 wie zuvor: (1) dx ^ dx = 1 F (2) dy  ^ dy  F = 12 F 2  P x =   y ) (2) =  F (1)  : F    Wieder ein Boost in 1-Richtung Koezienten  wie oben. Summe ausrechnen ):

188

5. Relativistisch kovariante Theorie (1) c sh  E2(2) = E2(1) ch ; B12 (2) = B (1) ch ; E (1) 1 sh  B12 12 2 c (2) (1) (1) c sh  E3 = E3 ch + B31 (2) = B (1) ch + E (1) 1 sh  B31 31 3 c E1(2) = E1(1)   (2) = B (1) : B23 23

Aufgabe 5.8.1.

Hier k onnte man noch eine scheinbar paradoxe Situation ansprechen: ein bewegtes geladenes Teilchen sp urt im Magnetfeld eines stromf uhrenden (aber elektrisch neutralen) Leiters eine Lorentz-Kraft. Im Ruhesystem des Teilchens fehlt die Lorentz-Kraft. Daf ur wirkt aber jetzt eine elektrostatische Kraft, denn der Leiter erscheint nun geladen.

5.8.3 Aharonov-Casher-E ekt Eine bewegte stromf uhrende Spule erscheint geladen... ein bewegter magnetischer Dipol unterliegt einer Spin-Bahn-Wechselwirkung...

5.9 Erhaltungssatze Erfullt eine 3-Form T 2 3 (M4 ) die Gleichung dT = 0, so folgt ein Erhaltungssatz. Sei namlich T = u ; s ^ dt (Raum-Zeit-Zerlegung). Dann gilt 0 = dT = dt ^ u_ ; d s ^ dt = dt ^ (u_ + d s)  @ Z u = ; Z d s; = Z s = 0 da @E = 0 : u_ + d s = 0 ) @t 3 E3 E3 @E3 Beachte: Die Raum-Zeit-Zerlegung T = u ; s ^ dt zeichnet einen E3 aus. R Der Erhaltungssatz E3 u = const gilt fur jede Wahl von E3 (verschiedene Bezugssysteme). Ziel: konstruiere geschlossene 3-Formen. Betrachte nun fur ein (zunachst) beliebiges Vektorfeld  ( : M4 ! R4 ) die 3-Form: ;  T := 21 F ^ i G ; 21 i F ^ G  ;  ;  dT = 12 F ^ di G ; 12 di F ^ G + 21 i F ^ dG ;  ;  = 12 F ^ L G ; 12 L F ^ G + 12 i F ^ J ; 21 F ^ i J 

|

{z

=(i F )^J

}

q Mit G = ; "00 ? F und  ^ ? = ^ ?  folgt

5.9 Erhaltungssatze

r "0 ; ;   F ^ L G ; L F ^ G = ;  F ^ L ? F ; F ^ ?L F : 0 r "0 ;  ;  ) dT = F ^ ?L ;L ? F + i F ^J : 

189

   0 Wahle jetzt  als das erzeugende Vektorfeld einer Poincare-Transformation (d.h. der Flu von  sei eine Einparameter-Gruppe von Poincare-Transformationen.). Dann folgt ?L = L ? und ;  dT = i F ^ J : In Abwesenheit von Materie (J = 0) ergeben sich die Erhaltungssatze: 1.  = @t ) u_ + d s = 0 mit u = 12 (E ^ D + B ^ H )  s = E ^ H (! Energie) : 2.  = @x ) u_ + d s = 0 mit u = B ^ @x D  n ;  ;  o s = 12 D @x E ; @x D ^ E + B @x H ; @x B ^ H (! x-Komponente des Impulses (bis auf Minuszeichen)). 3.  = x@y ; y@x ) ... (! Drehimpuls bzgl. der z -Achse).

190

5. Relativistisch kovariante Theorie

6. Wirkungsprinzip fu r klassische Feldtheorien

Eine Erinnerung an die klassische Mechanik: dynamische Variablen q = fqi gi=1:::f (verallgemeinerte Koordinaten) mit Geschwindigkeiten q_ = fq_i gi=1:::f . Lagrange-Funktion: (q q_) 7!RL(q q_) Wirkungsfunktional: S #q] = tt01 L(q q_)dt. Hamiltonsches Prinzip der extremalen Wirkung. Losungen der Bewegungsgleichungen sind Extrema des Funktionals S unter den Randbedingungen q(t0 ) = q0 , q(t1 ) = q1 . ) Euler-Lagrange-Gleichungen:  d @L = @L dt @ q_i @qi (i = 1 : : :  f ) :  Ubertragung auf Feldtheorien. In einer Feldtheorie vom hier diskutierten Typ sind die dynamischen Variablen Felder genauer: Dierentialformen vom Grad k. Eine Poincare-invariante Feldtheorie wird uber dem Minkowski-Raum M4 mit Sternoperator ? formuliert. (M4 ubernimmt die Rolle der Zeitachse in der klassischen Mechanik.) Wir betrachten eine Feldtheorie mit nur einem einzigen Feld, das wir hier mit ! (! 2 k (M4 )) bezeichnen. (Die Verallgemeinerung auf mehrere Felder erfolgt in der naturlichen Weise.) Die Lagrange-Dichte ist eine Vorschrift, die ! und seiner au eren Ableitung d! (d! $ q_ in der Mechanik) eine 4-Form L(! d!) zuordnet. L sei ein lokales Funktional, d.h. Variieren von ! an einem Punkt a 2 M4 liefere eine Variation von L(! d!) nur am selben Punkt. Beispiel 6.0.1. Freies, massives, skalares Feld: ! 2 0 (M4 ) mit

L(! d!) = + 12 d! ^ ?d! ; 12 M 2 !2 



!

X;  = c12 (@!=@t)2 ; @!=@xi 2 ; M 2 !2  i 0 1 2 3 und  = dx ^ dx ^ dx ^ dx .

192

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

Wirkungsfunktional. Fur ein beschranktes Gebiet N  M4 ist das Wirkungsfunktional SN #!] durch

SN #!] =

Z

N

L(! d!)

deniert. ! hei t Extremum von SN , wenn gilt
d S #!s ]

= 0 ds N
s=0
fur jede dierenzierbare Einparameterfamilie von Feldern !s mit !s
s=0 = !
und (!s ; !)
@N = 0. Wirkungsprinzip. Die Losungen der Feldgleichungen einer Feldtheorie mit R Lagrange-Dichte L sind Extrema von SN = N L. Ableitung der Feldgleichungen. (aus dem
Wirkungsprinzip): Setze !s = ! + s mit  2 k (M4 ), 
@N = 0, sonst beliebig. )

d S #!s ]

= Z d L(! + s d! + sd)

:
s=0 ds N
s=0 N ds
Da dsd L(! + s d! + sd)
s=0 homogen vom Grad Eins in  und d ist, existieren Abbildungen (! d!) 7! (! d!) 2 4;k (M4 ) und (! d!) 7! (! d!) 2 4;k;1 (M4 )  so da
d L(! + s d! + sd)

=  ^ (! d!) + d ^ (! d!) :
s=0 ds Wir schreiben @ L=@! := (! d!), @ L=@ (d!) := (! d!). Damit ist
 d S #!s ]

= Z  ^ @ L + d ^ @ L ds N
s=0 N @ (d!) Z  @@!L @ L k =  ^ @! ; (;1) d @ (d!) : N

Wegen  @N = 0 entsteht beim partiellen Integrieren kein
Randterm. Da  beliebig ist, folgt aus dem Wirkungsprinzip 0 = dsd SN #!s ]
s=0 :

@ L = (;1)k d  @ L (Feldgleichungen) @! @ (d!) Diese Gleichungen verallgemeinern die Euler-Lagrange-Gleichungen der klassischen Mechanik.

6.1 Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik

193

L(' d') = 21 d' ^ ? d' ; 21 M 2 '2  @ L = ? d' : ) @@'L = ;M 2'2   @ (d ')

Beispiel 6.0.2.

Feldgleichung (Klein-Gordon): ;M 2'2  = d ? d' oder ;
' = 4' = M 2 '. Losungsansatz in 1 Dimension: ' = '0 cos(pkx ; !t) Es folgt ;!2=c2 + k2 = ;M 2 oder !=c = k2 + M 2 (Dispersionsrelation) Sie beschreibt frei propagierende Wellen. Durch den Proze der Quantisierung (siehe Vorlesung uber Quantenmechanik) wird dem Wellenvektor k der Impuls p = ~k und der Frequenz ! die Energie E = ~! zugewiesen.p(~ ist das Plancksche Wirkungsquantum.) Die Dispersionrelation !(k)=c = M 2 + k2 geht dann in die relativistische Energie-Impuls-Beziehung p E = p2 c2 + m2 c4  uber, wobei Masse m = ~M=c. ) Sprechweise: "freies massives Skalarfeld\.

6.1 Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik A ordentlich p eingef uhrt? Lagrange-Dichte:L(A dA) = ; 21 "0 =0 dA ^ ? dA ; A ^ J mit A dem Eichpotential. Beachte: Nicht die Faraday-Form F (oder Maxwell-Form G), sondern das Eichpotential A ist das "Feld\ in der Lagrange-Formulierung. Feldgleichungen: Eichpotential

@ L = ;J  @ L = ;r "0 ? dA  @A @ (dA) 0 @ L + d @ L = ;J ; r "0 d ? dA : ) 0 = @A @ (dA) 0 p Mit ? dA = ?F = ; 0 ="0 G sind dies die inhomogenen Maxwellgleichungen J = dG. Raum-Zeit-Zerlegung: (A = ; dt + A, J = ; j ^ dt)  L = 21 F ^ G ; A ^ J = 12 E ^ D ; 12 H ^ B ;  + j ^ A ^ dt (\kinetische Energie" E ^ D, \potentielle Energie" B ^ H )

Bemerkungen. p 1. Die Gleichungen ;d ? dA = 0 ="0 J legen A nicht fest, da immer die Moglichkeit einer Eichtransformation A 7! A + d$ besteht.

194

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

2. Der Vierer-Strom J ist hier extern vorgegeben und hat keine eigene Dynamik. Eine vollstandige Theorie (siehe z.B. unten) erfordert zusatzliche Terme in L fur die stromtragenden Materiefelder. 3. Unter Eichtransformationen geht dA in sich uber, aber der Kopplungsterm ;A ^ J andert sich: ;A ^ J 7! ;(A + d$ ) ^ J , d.h. ;A ^ J ist nicht eichinvariant\. Dieser Umstand hangt mit der Unvollstandigkeit "der Beschreibung zusammen. Eichtransformationen wirken auch auf die Materiefelder (siehe unten), und deshalb ist erst die Lagrange-Dichte fur das vollstandige System (Materie +R Eichfeld) ; p eichinvariant.  4. Das Wirkungsfunktional SN #A] = N ; 21 "0 =0 dA ^ ? dA ; A ^ J erfullt Z Z SN #A + d$ ] ; SN #A] = ; d$ ^ J = ; $J : N

@N

(wegen
dJ = 0.) SN #A] ist daher eichinvariant unter der Randbedingung $
@N = 0. Dies ist der Grund, warum dieq aus dem Wirkungsprinzip resultierenden Feldgleichungen d ? dA = ; "00 J eichinvariant sind. 5. Bei der Quantisierung (! Quantentheorie) der Maxwellschen Theorie (und anderer Feldtheorien) geht man ublicherweise von der LagrangeFormulierung aus. 6. Wir konnen zu L eine exakte Form, zum Beispiel F ^ F = d(A ^ dA)  (\Pontrjagin-Dichte") addieren, ohne die Feldgleichungen zu andern. (Ein solcher Term ist fur die Quantentheorie von Bedeutung.)

6.2 Erhaltene Strome Eine 3-Form T (T 2 3 (M4 )) hei t ein erhaltener Strom, wenn T geschlossen ist (dT = 0), und es folgt bekanntlich ein Erhaltungssatz. Konstruktion erhaltener Strome in einer Poincare-invarianten Feldtheorie. Feld !, Lagrange-Dichte L(! d!). Sei  das erzeugende Vektorfeld einer Einparameter-Gruppe (erklart?) von Poincare-Transformationen. Dann gilt: ;  ;  @L L L L ?==?L L ! ^ @@!L + L d! ^ @ (d !)  ;  @L @ L Feldgln: ; = L ! ^ (;1)k d @ (d!) + dL ! ^ @ (d !)





@L : = d L ! ^ @ (d !) ;  Mit L L = di + i d L = di L folgt:



6.3 Ginzburg-Landau-Theorie



195

@L ; i L = 0  d L ! ^ @ (d !) 

d.h. wir haben einen erhaltenen Strom gefunden: @L + i L T = ;L ! ^ @ (d erfullt dT = 0. !)  Anwendung auf die "reine\ Elektrodynamik: r L(A dA) = ; 12 "0 dA ^ ? dA : Hier ist: 0 ;  @ L + i L  @ L = +G ) T = ; L A ^ @ (d A)  @ (dA)

;



T = ; (di + i d) A ^ G + 12 i (F ^ G) ;  ;  ;  = ; i F ^ G + 12 (i F ) ^ G + 21 F ^ i G ; d i A ^ G ;  ;  ;  dG=0 1 = 2 F ^ i G ; 21 i F ^ G ; d i A ^ G :

|

{z

} ;  Wegen der Exaktheit von ; d i A ^ G ist auch der =:T^

 "symmetrische\ ;  ; Anteil  T^ von T geschlossen, d.h. es gilt dT^ = 0 fur T^ = 21 F ^ i G ; 12 i F ^ G, wie wir oben schon auf direktem Wege gezeigt haben. (Vgl. auch Kap.??.) Allerdings h angt jede Umkehrung A = A#F ] der Beziehung F = dA nichtlokal von F ab. Die ``Lokalisierungshypothese'' favorisiert daher schon aus rein theoretischer Sicht T^ . Bemerkung. Wegen d  d = 0 sind erhaltene Stome durch dT = 0 nur bis auf Addition einer exakten 3-Form bestimmt. Welches T das richtige\ ist (d.h. die korrekten Ausdrucke fur Energiestrom, Impulsstrom,"Drehimpulsstrom usw. liefert), la t sich nicht aus allgemeinen Prinzipien deduzieren, sondern mu aus der Erfahrung entschieden werden.

6.3 Ginzburg-Landau-Theorie (Anwendung des Variationsprinzips auf eine Gleichgewichtstheorie. S ! H.) In einem supraleitenden Festkorper binden sich Elektronen zu sogenannten Als Cooper-Paare konnen sie sich verlustfrei durch den "Cooper-Paaren\. Festk orper bewegen, was zu widerstandslosem Stromu fuhrt. Die magneto-statischen Eigenschaften von Supraleitern werden durch die Ginzburg-Landau-Gleichungen auf phanomenologische Weise beschrieben. In der Ginzburg-Landau-Theorie geht man von einem Funktional fur die statische Energie des Supraleiters aus. Es hat die Form:

196

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

H=

Zh

E3

;



;  i

1 2 ( ( 20 dA ^ ? dA + 2m ~d$ +iqA$ ^ ?(~d$ ; iqA$ )+ U j$ j dV : 1

Hierbei ist A das magnetische Vektorpotential und $ ein komplexwertiges (neu! bisher war alles reell) Skalarfeld, dessen Betragsquadrat j$ (p)j2 als die Wahrscheinlichkeit, ein Cooper-Paar am Ort p zu nden, interpretiert wird q = 2e ist die elektrische Ladung eines Cooper-Paares, ~ eine Konstante von der physikalischen Dimension einer Wirkung (Plancksche Konstante), U (x) = ; x + 21 x2 eine Funktion, d die raumliche au ere Ableitung und ? = ?3 der Sternoperator im E3 . Vergleiche mit Hamiltonfunktion H = (p ; eA)2 =2m fur Teilchen im Magnetfeld und setze p ! ~d=i. Die positiven Gro en m, und  sind die Parameter der Theorie. (m hat die Dimension einer Masse.) Beachte auch #$ ] = (Lange);3=2 . Eichinvarianz diskutieren:

A 7! A + d!  $ 7! eiq =~ $  $( 7! e;iq =~ $( : Per Postulat ist der Zustand des Supraleiters im Gleichgewicht ein Minimum von H. Hieraus folgen die Ginzburg-Landau-Gleichungen. Sie sind ( d$( ] und die Euler-Lagrange-Gleichungen des Funktionals H#A dA $ d$ $ lauten wie folgt: H = ; d @H . 1. @@A @ (dA) Ausfuhren der Variationsableitungen ergibt das Amperesche2 Gesetz: dH = js , mit H = ;0 1 ? dA und js = 2~mq i ? ($( d$ ; d$( $ ) ; qm j$ j2 ? A. js ist als die Stromdichte-2-Form des Suprastroms zu interpretieren. 2. @ H( = d @ H( . @$ @ (d$ ) ~2 4 $ = U 0 ;j$ j2 $ Hier ergibt das; Ausrechnen: 2  ;m A mit 4A$ := ? d ; i~q A ^ ? d ; i~q A $ . @ H ) ~2 4( $( = U 0 ;j$ j2 $( . 3. @@$H = d @ (d $) 2m A Wegen U 0 ( = ) = 0 haben die Ginzburg-Landau-Gleichungen die triviale Losung p A  0 und $ = = = const : p (Allgemeiner wegen Eichinvarianz: A = d! und $ = eie =~ = .) Diese Losung beschreibt das Innere des Supraleiters. Nun wollen wir sehen, was an einer Vakuum-Supraleiter-Grenzache passiert. Im Vakuum ist B = dA 6= 0 und $ = 0 (keine Cooper-Paare im Vakuum). Tief im Inneren des Supraleiters ist j$ j2 = = und B = 0. Qualitativ erwarten wir daher das folgende Verhalten:

6.3 Ginzburg-Landau-Theorie Supraleiter |ψ|2

197

Vakuum B

Abbildung 6.1. London-Limes. Wir machen die Annahme, da j$ j2 auf dem Weg in den Supraleiter hinein sehr schnell zu einem Sattigungswert = ansteigt, wahrend B nur langsam abfallt. (Dies ist der Londonsche Grenzfall. In welchem Parameterbereich er sich einstellt, werden wir spater diskutieren.) Zur Berechnung des Abfallverhaltens von B durfen wir dann j$ j2 als p raumlich konstant ansehen. Wir setzen $ = = = const (Unter welchen

$ konstant eichen? Einfach zusammenh angender 2 q Supraleiter) in den Ausdruck f urpjs ein und erhalten js = ; m ?A. Wegen djs = d(dH ) = 0 erfordert $ = = oensichtlich die Coulomb-Eichung d ? A = 0. Das Amperesche Gesetz lautet js = dH = ;0 1 d ? dA. Gleichsetzen der Ausdrucke fur js und auf beiden Seiten den Sternoperator anwenden gibt mit d ? A = 0 die Gleichung 2 4A = ;2 A  ;2 = 0 qm : Der Parameter  hat die Dimension einer Lange. Sei nun z die zur Grenzache senkrechte Koordinate und z > 0 bezeichne das Innere des Supraleiters. Weiter sei Ajz=0 := A(0) = AVakuum Ajz=1 = 0. Die Losung der Gleichung 4A = ;2 A zu diesen Randbedingungen ist unter der Annahme von Translationsinvarianz in der xy-Ebene A = e;z= A(0) . Das Vektorpotential (und mit ihm das Magnetfeld) fallt im Supraleiter exponentiell ab.  ist die Eindringtiefe. Die Magnetfeldverdrangung wird durch eine Supra-Stromdichte js = ;(0 2 );1 e;z= ? A(0) erreicht. Wir werden jetzt die U bergangszone etwas genauer ansehen. Aus den Parametern der p Theorie la t sich neben  eine zweite, unabhangige Lange bilden:  = ~= 2m . Wir suchen nach einer Losung der Ginzburg-Landau-Gleichungen in der Form p $ = = f (z ) reell, A  ~q a(z ) dx : Bedingungen l at sich die Phase von

Die Funktionen f und a sind dimensionslos. Einsetzen des Ansatzes liefert:

198

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

(1) dH = js ;  (2) 4A$ = U 0 j$ j2 $

2 a00 1 2 00  f ; 2 a2 f

) )

= ;f 2 a  = ; 1 + f2 f

(i) (ii)

Die Randbedingungen sind (h0 = au eres Magnetfeld) f (0) = 0  a0 (0) = h0 f (1) = 1  a(1) = 0 : Diese Gleichungen sind recht nichtlinear und im allgemeinen nur mit Hilfe eines Computers losbar. Einfach zu behandeln sind die beiden Grenzfalle    und   . 1.    In diesem Fall durfen wir den Term  2 f 00 in (ii) vernachlassigen. Die resultierende Gleichung ; 21 a2 f = (;1+ f 2)f hat nur zwei Losungen: f = 0 und a beliebig (Vakuum) f = 1 und a = 0 (Supraleiter). Das System springt an der Grenzache zwischen den beiden Losungen. (Genauer andert sich f von 0 auf 1 uber die kleine Lange  .) Dies ist der schon diskutierte London-Limes. 2.    Hier ist das Magnetfeld die sich rasch andernde Gro e, und f wachst langsam von 0 auf 1 an. U ber dem Bereich, wo sich f andert, durfen wir a praktisch als Null ansehen. Es resultiert dann die Gleichung ;   2 f 00 = ;1 1 ; f 2 f : Ihre Losung zu den angegebenen Randbedingungen ist  z f (z ) = tanh p  2 wie man leicht nachrechnet. Die Gro e  hei t Koharenzlange. Sie bestimmt die Distanz, uber der j$ j2 sich andert. Vakuum Supraleiter

Vakuum Supraleiter f

f

B

B z ξ >> λ

z ξ << λ

Abbildung 6.2. In dem Bereich z > 0 gilt f tanh ;z=(p2) fur den Grenzfall

   bzw. B e;z= fur  

Ein ehrgeiziges Ziel w are, hier auch noch die Vortex-L osung (Abrikosov) zu diskutieren!

6.4 Abelsches Higgs-Modell

199

6.4 Abelsches Higgs-Modell Warum nicht Elektronen? (sind Fermionen mit Spin 1/2).

Das Abelsche Higgs-Modell ist eine relativistische kovariante Verallgemeinerung der Ginzburg-Landau-Theorie. Es hat keine direkte physikalische Anwendung, illustriert aber den Higgs-Mechanismus, mit dem in der elektroschwachen Theorie (= vereinheitlichte Theorie der elektromagnetischen und der schwachen Wechselwirkung) die Vektorbosonen W +  W ; und Z 0 massiv werden. Wir haben zwei Typen von Feldern: A = A dx (Viererpotential oder "Eichfeld\) $ : M4 7! C komplexes skalares Feld (Higgs-Feld) Die Lagrange-Dichte ist r "0 ;  1 ( ( L A dA $ d$ $ d$ = ; 2  dA ^ ? dA  ( 0 e (   ;  + d$ +i ~ A$ ^ ? d$ ; i ~e A$ ; U j$ j2  mit U (x) = ; x + x2 =2. (d und ? sind hier im Gegensatz zum vorigen Abschnitt wieder vierdimensionales d und ?.) e hei t Kopplungskonstante (oder Ladung des Higgs-Teilchens). ~ ist eine Konstante der Dimension Wirkung. 1=2 #$ ] = Wirkung Lange : Die durch L denierte Feldtheorie ist vollstandig im Sinne der Bemerkungen (2) und (3) von Abschn. 6.1. 1. Eichinvarianz. Eichtransformationen sind durch A 7! A + ~e d!  $ 7! ei  $( 7! e;i $( : erklart. Diese Transformationen lassen L invariant, wie man mit Hilfe von ;  d$ ; i ~e A$ 7! ei ;d$ ; i ~e A$  d$( + i ~e A$( 7! e;i d$( + i ~e A$( sofort sieht. War im Abschnitt uber die Ginzburg-Landau Theorie zu zeigen.

2. Feldgleichungen.  @L = @L a) Eichfeld: ; d @ (d A) @A p ;  ) ~2 "0 =0 d ? dA = ie$( ? (~d$ ; ieA$ ) ; ie$ ? ~d$( + ieA$( 

200

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

q

Mit den Denitionen F := dA, G = ; "00 ? F und ; ;   J = ;i ~e ? $( (d$ ; ieA$ ) ; d$( ; ieA$( $ entstehen die inhomogenen Maxwellschen  @ L Gleichungen @ L dG = J . b) Higgs-Feld: d @ (d$( ) = @ (d$( ) und c.c. ($ = Re $ + i Im $ und $( = Re $ ; i Im $ sind linear unabhangige Gro en und als solche unabhangig zu variieren.) Die Feldgleichung fur $ lautet: ; ;  ;  d ? d$ ; i ~e A$ = i ~e A ^ ? d$ ; i ~e A$ ; U 0 j$ j2 $ : Mit dem (modizierten)  e Laplace-Operator    4 $ := ; ? d ; i A ^ ? d$ ; i e A $ A

;~ 

~

wird sie zu: 4A$ = U 0 j$ j2 $ . Komplexes Konjugieren ;  gibt die andere Gleichung 4( A$( = U 0 j$ j2 $( : Um etwas uber den Zustand niedrigster Energie (= Vakuum) dieser Feldtheorie zu lernen, gehen wir per Legendre-Transformation von der LagrangeDichte zur Hamilton-Funktion uber. Raum-Zeit-Zerlegung des Eichfeldes: A = ; dt + A : Bekanntlich ist q ; 21 "00 dA ^ ? dA = 12 F ^ G = 21 (E ^ D ; B ^ H ) ^ dt :

Wir wahlen die temporale Eichung  = 0. (Diese Eichbedingung ist nicht relativistisch kovariant. Eine Verletzung der Kovarianz ist aber unvermeidlich, wenn man von der Energie { einer nicht invarianten, d.h. beobachterabhangigen Gro e { reden will.) Wir haben dann: E = ;A_  D = ;"0 ?3 A_  B = d A  H = ;0 1 ?3 d A : (?3 = Sternoperator im E3 .) Die Lagrange-Dichte wird zu L = L~ ^ dt  L~ = "20 A_ ^ ?3 A_ ; 21 d A ^ ?3 d A + j$_ j2 dV  ( e (0   ;  ; d $ + i A $ ^ ? d $ ; i e A $ ; U j $ j2 d V : ~

3

Die kanonischen (Feld-)Impulse sind

~

6.4 Abelsches Higgs-Modell

201

~ &A = @ L_ = "0 ?3 A_ = ;D @A @ L~ = $(_ dV  & = @ L~ = $_ dV : &! = @$ ! @$ durch Legendre-Transformation (in der ublichen Weise, namlich H = pq_;L) folgt die Hamilton-Funktion Z 1 H= &A ^ ?3&A + 21 d A ^ ?3 d A + &! ^ ?3 &! 2 " 0 E3  0 ie ;   i e + d $( + ~ A$( ^ ?3 d $ ; ~ A$ + U j$ j2 dV :

; 

Abb. 6.3 zeigt die Form des Potentials U j$ j2 . Es besitzt ein (entartetes) U

Im Ψ

Re Ψ

Abbildung 6.3. Das Potential des Abelschen Higgs-Modells globales Minimum fur j$ j2 = = . Die Hamilton-Funktion wird wie immer als die Energie des Systems interpretiert. (Beachte, da 1 & ^ ? & + 1 dA ^ ? dA = 1 E ^ D + 1 B ^ H 3 2"0 A 3 A 20 2 2 der uns wohlbekannte Ausdruck fur die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist.) p Betrachte Avac = d !  $vac = = eie =~ mit ! einer zeitunabhangigen, aber sonst beliebigen Funktion Notation fur Eichtransformation einheitlich machen, und setze &A = &! = &!  0. Diese Wahl macht den positiv deniten Ausdruck

202

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

1 & ^ ? & + 1 dA ^ ? dA + & ^ ? & 3 ! 3 ! 2"0 A 3 A 20   ( e (  + d $ + i A$ ^ ?3 d $ ; i e A$ ~

~

zu Null, und er minimiert U . (Au erdem werden die kanonischen Gleichungen gelost.) Deshalb handelt es sich bei diesen Feldern um einen Zustand niedrigster Energie (= Vakuum). Die Unbestimmtheit von ! ist eine Konsequenz der Eichinvarianz (Freiheit), die nach Wahl der temporalen Eichung noch verbleibt. Wir konnen z.B. ! = 0 wahlen. Der von Null verschiedene Vakuumwert des Higgs-Feldes gibt dem Eichfeld A eine "eektive Masse\, d.h. er macht die durch das elektromagnetische Feld vermittelte Wechselwirkung kurzreichweitig. Fur den Fall eines statischen au eren Magnetfeldes ist dies aus der (mit &A = &! = &!  0 perfekten) Analogie zur Ginzburg-Landau-Theorie der Supraleitung sofort klar: Das Higgs-Feld verdrangt das Magnetfeld durch Anwerfen von HiggsStromen. Elektrische Felder werden durch Higgs-Polarisationsladungen verdrangt. (Hier nicht gezeigt.) #Was wir hier skizziert haben, ist der Prototyp des sogenannten HiggsMechanismus, der in der Weinberg-Salam-Glashow-Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung benutzt wird, um den Eichfeldern W +  W ; und Z 0 (aber nicht dem Photon) die experimentell beobachtete kurze Reichweite von < 10;17m zu geben. Nach dem Higgs-Teilchen (= Quantum des Higgs-Feldes) wird experimentell eifrig gesucht, es ist aber noch nicht gefunden worden.]

H orerfrage: was hat Abschirmung, Verdr angung mit Massivwerden zu tun? Wichtig: in vier Raum-Zeit-Dimensionen sind Eichtheorien ausgezeichnet. In Quantenfeldtheorien treten notorische Divergenzen auf (ein Beispiel hatten wir gesehen: unendliche Feldenergie einer Punktladung). Um die Vorhersagekraft zu behalten, d urfen nur endlich viele Type von Divergenzen auftreten.

6.5 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung Allgemeiner (lokaler) Zusammenhang zwischen elektrischer Feldst arke und elektrischer Stromdichte in einem zweidimensionalen Medium:

E

 j     E x = xx xy x

jy yx yy Ey j = E.  ist der Tensor

j

oder der elektrischen Leitf ahigkeit. Aus Rotationsinvarianz folgt (Onsager)

xx = yy und xy = ;yx :

6.5 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung

203



In Anwesenheit eines Magnetfelds ist xy im allgemeinen von Null verschieden. (Klassischen Halleffekt erl autern...) (Experimentelle Geometrie f ur den Quanten-Halleffekt beschreiben und durch eine Abbildung illustrieren...) Beobachtung: f ur (1) Tesla und (1) Kelvin existieren 2 =: H mit quantisierten Magnetfeldbereiche, wo xx = 0 und xy = Werten von = . (Am sichtbarsten sind die Jain-Serien = (2 1).) (Hohe Prazision der Quantisierung Widerstandsstandard). Hallplateau:

BO  ' p=q



T O ' e =h



!

jx = H Ey  jy = ;H Ex :

' p= p

Abbildung Da die Vektorfelder von und aufeinander senkrecht stehen, t auscht vor, da die Metrik eine Rolle spielt. Bessere Formulierung mit Differentialformen: Definiere Linienstromdichte = wie gewohnt in metrikfreier Weise durch = Strom durch . Dann ist

E

j 

j

Rj

k

j = jx dy ; jy dx :

Abbildung zur Illustration (oder Erinnerung). Dann

j = H E (metrikfreie Relation h angt nur noch von der Orientierung ab: unter Raumspiegelung  andert H sein Vorzeichen. Als Differentialformen sind gerade und ungerade.) Interpretation: die Stromlinien folgen den  Aquipotentiallinien. (Die 1-Formen und werden in zwei Dimensionen durch 1-Ketten veranschaulicht.) _ = d = d H = _ H. Induktionsgesetz Durch Integration folgt = H + const empirisch (oder durch eine quantenmechanische Betrachtung) findet man const = 0. Faraday-Form: = + d Dreierstrom (eine 2-Form): = + d Ladungserhaltung: 0 = d = d ( _ + d ) Insgesamt:

E

j



j

) B ; E ; j=

F

 B

E

=

B E^ t J j^ t J t^ j

J = H F



F ur konstante Hall-Leitf ahigkeit H ist diese Relation kompatibel mit dem Induktionsgesetz 0 = d = d ( _ + d ). Interpretation: , werden durch 0-Ketten veranschaulicht ( durch Punktladungen, durch die Kreuzungspunkte der magnetischen Flulinien mit der Ebene des Elektronengases).] ``Jede Punktladung (jedes Elektron) tr agt eine magnetische Flulinie mit Flu mit sich herum.'' H

B

F

B

t^ B

E



e=

L

Welche Lagrangedichte zieht ein solches Gesetz nach sich? Setze ein Potential f ur die 2-Form ). Behauptung:

J = db (b =

J

204

6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien

L = (2H );1 b ^ db ; A ^ J Verifikation:

Es

@L b @ L = db  @b 2H @ (db) = 2H ; A   @ L = ;d @ L ) @b @ (db)  db = ;d b ; A = ; db + F : 2H 2H 2H folgt in der Tat J=H = F .

b^ b

d heit Chern-Simons-Term. Er ist nur bis auf Randterme ``eichinvariant''. Dies ist ein Hinweis darauf, da die Theorie durch eine eindimensionale Feldtheorie f ur Randstr ome erg anzt werden mu. Ist Thema aktueller Forschung.

A. Kleine Formelsammlung fu r das Rechnen mit Di erentialformen

Die folgende Liste enthalt die wichtigsten Regeln fur den Umgang mit Dierentialformen sie erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. Es sei En ein euklidischer Raum der Dimension n, f und ai (i = 1 2 3) Funktionen,  eine k-Form, eine l-Form, ( eine (k{1)-Form (falls k > 0), v ein Vektorfeld,  eine Abbildung zwischen oenen Teilmengen zweier aner Raume (die Bildmenge von  liege in En ) und C ein geeignetes Integrationsgebiet.

A ueres Produkt f ^  =  ^ f := f   ^ = (;1)kl ^  Inneres Produkt ! iv f = 0  iv

n X i=1

ai dxi =

iv ( ^ ) = (iv ) ^ Auere Ableitung

(A.1) (A.2) n X

ai vi i=1 + (;1)k  ^ (iv )

(A.3) (A.4)

n @f X

i (A.5) i dx @x i=1 d ( ^ ) = (d) ^ + (;1)k  ^ (d ) (A.6) d  d = 0  Poincare : d = 0 =) (lokal :)  = d( (A.7)

df =

Pullback


f = f  
 ( ^ ) = (
) ^ (
) 
 d = d  


(A.8) (A.9) (A.10)

 = 


(A.11)

Integration Z Z "(C )

Stokes :

Z

C

d =

C

Z

@C



(A.12)

206

A. Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Dierentialformen

Sternoperator (im E3) ?? = id ? dx = dy ^ dz ? dx ^ dy ^ dz = 1  ^ ? = ^ ?

(und zyklisch) (falls k = l)

(A.13) (A.14) (A.15) (A.16)

Index

(inneres Produkt), siehe Kap. 0.5 Ableitung { partielle, 18 Alternierende Multilinearformen, 7 Ampere, 64, 106 Basis { duale, 6 Basisdarstellung { alternierender Multilinearformen, 10 Boost, 186 Cooper-Paare, 195 Coulomb, 64 Coulomb-Eichung, 110 d (Operator), 181 4 (Laplace-Operator), siehe Kap. 0.20, 185 d'Alembert-Operator
, 158 Determinante, 14 Dielektrische Konstante d. Vakuums, 81, 84 Dierential { einer Abbildung, 24 { einer Funktion, 18 Dierentialform { k-ten Grades (k-Form), 22 { ersten Grades (1-Form), 19 { exakte, 28 { geschlossene, 28 { Koordinatendarstellung, 23 { top-dimensionale, 22 Dilatation, 183 Dipolmoment { elektrisches, 114 { magnetisches, 115 Dirichlet-Problem, 118 Divergenz, 27 Dualraum, 4

"0 , siehe Dielektrische Konstante d. Vakuums Eektive Masse, 202 Eichfeld, 199 Eichpotential, 193 Eichtransformation, 109 Eindringtiefe, 161, 197 Elektroschwache Theorie, 199 Energiedichte, 86 Energiestromdichte, 86 Ereignis, 179 Erregung { elektrische, 67 { { Mesvorschrift, 90 { magnetische, 69 { { Mesvorschrift, 92 Faraday-Form, 181, 182 Faradaysches Induktionsgesetz, 75 Feld { elektrisches, 82 { elektromagnetisches, 82 { magnetisches, 82 Feldgleichungen, 192, 193, 199 Feldstarke { elektrische, 71 { magnetische, 72 Fernzone (Dipolstrahlung), 171 Flachenladungsdichte, 120, 124 Flachenladungsdichte, 89 Fluslinien, 68 Flus { elektrischer, 68 { magnetischer, 73 Flusdichte { elektrische, 68 { magnetische, 73 Gradient, 21 Greensche Funktion, 119 GUT, 84

207

208

Index

~,

siehe Plancksche Konstante Hamiltonsches Prinzip, 191 Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung, 51

Induktionsgesetz, siehe Faradaysches Induktionsgesetz Inertialsystem, 179

k-Form, 22 k-Kette, 46 k-Zelle, 44

Kapazitat, 104 Kausalitatsprinzip, 164 Koharenzlange, 198 Konforme Gruppe, 183 Kontinuitatsgleichung, 52, siehe Kap. 1.2, 181 Koordinatenform, 19 Koordinatenfunktion, 18 Koordinatensystem { anes, 2 { kartesisches, 3 Kopplungskonstante, 199 Kraft { Coulomb-, 72 Kugelkondensator, 103 LX (Lie-Ableitung), siehe Kap. 0.18 Ladung, 64 Ladungsdichte { elektrische, 65 { magnetische, 75 Ladungserhaltung, siehe Kap. 1.2, 181 Ladungsneutralitat (Universum), 70 Lagrange-Dichte, 191, 193 Leistung (d. Feldes an Materie), 85 Leitfahigkeit, 161 Lenzsche Regel, 74 Lichtgeschwindigkeit, 84 Lichtkegel, 164 Linearform, 3 Linienstromdichte, 89 London-Limes, 197, 198 Lorentz-Eichung, 185 Lorentz-Gruppe, 180 Lorentz-Kraft, 72, 85, 106, 178 M (Operator), 165 0 , siehe Magnetische Permeabilitat d. Vakuums Magnetische Monopole, 83 Magnetische Permeabilitat d. Vakuums, 81

Magnetisierung, 94 Materialgesetze, 80 Materialgleichungen, 182 Maxwell-Form, 182 Maxwell-Gleichungen { homogene, siehe Kap.1.4, 181 { Inhomogene, 67 Monopolmoment (elektrisches), 114 Ober achenladung, 89 Ohmsches Gesetz, 97, 161 Orientierung, 7 Parametrisierung, 34 Permeabilitat, siehe Magnetische P. Plancksche Konstante, 196 Poisson-Kern, 120 Poisson-Problem, 118 Polarisierung (elektrische), 93 Polarkoordinaten (spharische), 102 Potential { einer Punktladung, 107 { elektrostatisches, 107 { skalares magnetisches, 130 Poynting-Form, 86 Quadrupolmoment (elektrisches), 114 Quellterm (Wellengleichung), 158 Rand { einer k-Kette, 46 { einer k-Zelle, 46 Raum { aner, 1 Raumwinkel-Form, 23 Rechte-Hand-Regel, 8 Ringspannung { elektrische, 72 Rotation, 26 Skalarprodukt { Lorentzsches, 179 Skin-Tiefe, siehe Eindringtiefe Spannung { elektrische, 72 { magnetische, 70 { statische, 103 Sternformig, 28 Stromdichte { elektrische, 66 Supraleiter, 92, 195 Tangentenvektor, 34 Temporale Eichung, 200

Index Transformation { aktive, 186 { passive, 186 Vektorbosonen, 199 Vektorpotential, 109 Vierer-Strom, 181, 182, 194 Viererpotential, 185, 199 Weinberg-Salam-Glashow-Theorie, 202 Welle (elektromagnetische), 84 Wellenoperator, 158 Weltpunkt, siehe Ereignis Winkel-1-Form, 37 Wirkungsfunktional, 192 Wirkungsprinzip, 192 Zylinderkoordinaten, 104

209