Pruebas de consistencia

y por otra, si Q ∈ A, Q ⊂ P , P ∈ B Q , entonces H Q (P ) ∈ Lv(P ∩ κ, (Q ∩ κ)++ ) ∼ y, como Q ⊂ P ⊂ T , tambi´en H Q (P ) ∈ Lv(T ∩ κ, (P ∩ κ)++ ). ∼ ∼ 10 Este ´ es el punto de la prueba que requiere trabajar con Lv(κi+1 , κ++ ) en lugar de con i Lv(κi+1 , κi ), que ser´ıa m´ as natural.

490

Cap´ıtulo 17. Cardinales grandes y extensiones gen´ericas

Si T ∈ AP , entonces GP (T ) ∈ Lv(κ, (T ∩ κ)++ ). En efecto, tenemos que ++ G(P ) ∈ Lv(κ, κ++ ) y, para cada Q ⊂ T , se cumple que n ) ⊂ Lv(κ, (T ∩ κ) ∼ Q ++ H (T ) ∈ Lv(κ, (T ∩ κ) ). Por la propiedad c), las funciones H Q (T ) son compatibles dos a dos. El mismo razonamiento empleado con g P prueba que on sigue en a lo sumo hay (T ∩ κ)+ valores posibles para Q, por lo que la uni´ Lv(κ, (T ∩ κ)++ ). Por u ´ltimo, si T ⊂ T  est´an en AP , entonces, para cada Q ⊂ T , se cumple ∼ ∼ que H Q (T ) ∈ Lv(T  ∩ κ, (T ∩ κ)++ ), luego GP (T ) est´a en este mismo conjunto. La condici´ on ρP cumple claramente las propiedades a), b) y c). Concretamente, para la propiedad c) hemos de ver que si T ∈ B Q ∩AP y Q ≺ P , entonces H Q (T ) ⊂ GP (T ), lo cual es obvio. Si η no es la restricci´on a j de una extensi´ on de ρP , tomamos πP = ρP , y en caso contrario tomamos πP como un π  seg´ un B) para l, con ρP como π y n + 1 en lugar de n. As´ı se sigue cumpliendo a), b) y c). En efecto, a) se cumple porque πP ≤jcon ρP , b) se cumple porque πP ≤ ρP ≤ π y c) porque si T ∈ B Q ∩ AP y Q ≺ P , entonces H Q (T ) ⊂ GP (T ) ⊂ H P (T ). As´ı tenemos construida la familia {πP }P ∈A . Veamos que existe un B ∈ U tal que B ⊂ A y de modo que, para todo P ∈ B se cumple (fjP , . . . , fnP ) = (gj , . . . , gn ), para ciertas funciones fijas gi . En efecto, para j ≤ i < n, tenemos que fiP ∈ Lv(κi+1 , κ++ i ), luego hay P κn < κ valores posibles para (fjP , . . . , fn−1 ) y por la κ-completitud de U existe P un conjunto B1 ⊂ A, B1 ∈ U tal que (fjP , . . . , fn−1 ) es constante en B1 . Por P ++ otra parte, fn ∈ Lv(P ∩ κ, κn ), pero como P ∩ κ es inaccesible, de hecho existe un αP ∈ P ∩ κ tal que fnP ∈ Lv(αP , κ++ n ). Aplicando la normalidad de U a la aplicaci´ on P → αP encontramos un B2 ⊂ B1 , B2 ∈ U donde αP es constante igual a α0 . Ahora, para P ∈ B2 , las posibilidades para fnP son a lo sumo | Lv(αp , κ++ n )| < κ, luego otra vez por normalidad existe un B ⊂ B2 , B ∈ U donde fnP es constante. Definimos π  = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fj−1 , gj , . . . , gn , C, H), donde C = B ∩' B Q (entendiendo que B Q = P<κ (κ+ ) si Q ∈ / A) y H(P ) = f P . Q

Es claro que π  ∈ P. Notemos u ´nicamente si P , Q ∈ C, P ⊂ Q, se cumple ∼ P que H(P ) = f ∈ Lv(Q ∩ κ, (P ∩ κ)++ ) porque Q ∈ B P y f P forma parte de la condici´ on πP . Es claro adem´as que  Q H (P ) ⊂ f P y G(P ) ⊂ f P , (17.11) Q⊂P ∼

pues πP extiende a ρP . Veamos que π  cumple B) para l + 1. Claramente, π  ≤jcon π. Supongamos on de longitud n + l + 1, π  |j = η y π  ! Φ. Sea que π  ≤ π  es una condici´

17.5. La independencia de la HCS

491

ρ = Intj (π  , π  ). Entonces ρ ≤jdir π  , luego ρ = (P1 , . . . , Pn , P, Q1 , . . . , Ql , h0 , . . . , hj−1 , gj , . . . , gn , f P , f Q1 , . . . , f Ql , C  , H  ), para ciertos P , Q1 , . . . , Ql ∈ C. Ahora resulta que π  ≤ ρ ≤ πP . En efecto,11 como P ∈ B, resulta que πP = (P1 , . . . , Pn , P, f0 , . . . , fj−1 , gj , . . . , gn , f P , B P , H P ). Teniendo en cuenta que η = (P1 , . . . , Pj , h0 , . . . , hj−1 ) y que η es la restricci´on a j de una extensi´ on de π, vemos que las funciones hi extienden a las fi . Adem´as Qi ∈ B P , H P (Qi ) ⊂ f Qi por (17.11), si Q ∈ C  entonces P ⊂ Q ∼ y Q ∈ C, luego Q ∈ B P , y si Q ∈ C  entonces, por (17.11) tenemos que H P (Q) ⊂ f Q = H(Q) = H  (Q). As´ı pues, π  ≤ πP , π  |j = η, luego η es la restricci´on a j de una extensi´ on de on de πP podemos aplicar ρP y π  tiene longitud n + 1 + l, luego por construcci´ B) y concluir que Intj (π  , πP ) ! Φ. Pero ρ = Intj (π  , ρ) ≤ Intj (π  , πP ) y, por consiguiente, ρ ! Φ. En realidad, el resultado que vamos a necesitar es la siguiente consecuencia del teorema anterior: Teorema 17.28 Sea π ∈ P una condici´ on de longitud n, sea 1 ≤ j ≤ n, P α ≤ κ+ y τ ∈ V de modo que π  τ : α ˇ −→ Ω. Entonces existe π  ≤ π tal j ˇ = γˇ , se cumple que para todo π  ≤ π  , todo β < α y todo γ tales que π   τ (β)   ˇ Intj (π , π )  τ (β) = γˇ . ´ n: Vamos a construir una sucesi´on decreciente {πβ }β<α de Demostracio extensiones j-conservativas de π. Partimosde π0 = π, tomamos πβ+1 ≤jcon πβ ˇ = x y, supuestos definidos que cumpla el teorema anterior para Φ ≡ x τ (β) {πδ }δ<λ , tomamos πλ seg´ un el teorema 17.26. Finalmente, sea π  una extensi´ on com´ un de todos los πβ .  ˇ = γˇ , entonces π  ≤ πβ y π  ! x τ (β) ˇ = x. Si π  ≤ π  y π   τ (β)    ˇ Por lo tanto Intj (π , πβ ) ! x τ (β) = x, es decir, existe un ordinal γ tal que ˇ = γˇ  . Pero entonces tambi´en π   τ (β) ˇ = γˇ  , lo que obliga Intj (π  , πβ )  τ (β)  a que γ = γ. Por otra parte, Intj (π  , π  ) ≤ Intj (π  , πβ ), luego tambi´en se cumple que ˇ = γˇ . Intj (π  , π  )  τ (β) La extensi´ on gen´ erica A partir de aqu´ı consideramos un modelo transitivo numerable M de ZFC en el que existe un cardinal κ que es κ+ -supercompacto y consideramos todo lo anterior relativizado a M . Sea G un filtro P-gen´erico sobre M . 11 Este ´ es el punto de la prueba donde se requiere la existencia de la funci´ on G en cada condici´ on, para obligar a que en ρ aparezca f P .

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Cap´ıtulo 17. Cardinales grandes y extensiones gen´ericas

Es claro que toda condici´ on puede extenderse hasta una condici´ on de longitud arbitrariamente grande (por ejemplo, mediante extensiones directas), luego G contiene condiciones de cualquier longitud. Si dos condiciones son compatibles, la P -parte de una extiende a la de la otra, luego las P -partes de las condiciones de G determinan una sucesi´ on infinita P 1 ⊂ P2 ⊂ P 3 ⊂ · · · ∼ ∼ ∼ a la que llamaremos P -parte de G. A su vez ´esta determina una sucesi´on creciente de cardinales fuertemente inaccesiblesM κn = Pn ∩ κ. Por otra parte, dado un n < ω, las componentes n-simas de las f -partes de M las condiciones en G de longitud ≥ n son compatibles en Lv(κn+1 , κ++ (o n ) M Lv(κ1 , ℵ1 ) para n = 0). Tambi´en es claro que si π ∈ G tiene longitud > n y D M  es un conjunto denso en Lv(κn+1 , κ++ n ) , el conjunto de las condiciones π ≤ π con fn ∈ D es denso bajo π, luego en G hay condiciones con fn ∈ D. De aqu´ı se sigue que la uni´ on de las funciones fn de las condiciones de G de longitud ≥ n −→ κn+1 con la propiedad de que, determinan una funci´ on12 fn : κn+1 × κ++ n para cada α < κn+1 , la funci´ on fnα dada por fnα (β) = fn (α, β) cumple que fnα : κ++ −→ α suprayectiva. n (Para n = 0 tenemos f0 : κ1 × ω1M −→ κ1 con f0α : ω1M −→ α suprayectiva.) Esto significa que en M [G] no hay cardinales entre ℵM 1 y κ1 , ni entre cada ++ κn y κn+1 . A la sucesi´on {fn }n∈ω la llamaremos f -parte de G. Teorema 17.29 La sucesi´ on {κn } es cofinal en κ y la sucesi´ on {sup Pn } es cofinal en κ+ . ´ n: El argumento es el mismo en los dos casos: sea α < κ Demostracio (resp. < κ+ ). Basta probar que el conjunto de condiciones π ∈ P tales que para cierto n < ω se cumple α ∈ Pn es denso en P, pues entonces existir´a una condici´ on π ∈ G con α ∈ Pn ∩ κ = κn (resp. α ≤ sup Pn ). Ahora bien, dada una condici´ on π = P1 , . . . , Pl , f0 , . . . , fl , A, H), existe P ∈ A tal que α ∈ P (porque B = {P ∈ P<κ (κ+ ) | α ∈ P } ∈ U , luego A ∩ B = ∅). Ahora basta considerar la extensi´on directa de π que a˜ nade P a la P -parte. Como consecuencia, ahora sabemos que los cardinalesM [G] menores que κ son a lo sumo los de la sucesi´on + ++ + ++ + ++ ℵ0 , ℵM 1 , κ1 , κ1 , κ1 , κ2 , κ2 , κ2 , κ3 , κ3 , κ3 , . . .

(17.12)

Pero de momento no sabemos si alguno de ellos es un cardinalM [G] . Lo que s´ı que sabemos es que κ y (κ+ )M tienen cofinalidad numerable en M [G]. Esto implica que (κ+ )M no puede ser un cardinalM [G] , ya que si lo fuera ser´ıa un cardinal l´ımiteM [G] y tambi´en un cardinal l´ımiteM , lo cual es falso. 12 En

lo sucesivo y, mientras no se indique lo contrario, se entender´ a que α+ significa (α+ )M .

17.5. La independencia de la HCS

493

Reduciremos el problema de estudiar los cardinales de M [G] al estudio de los cardinales en extensiones gen´ericas intermedias mucho m´as simples. Para cada j < ω definimos M M Pj = Lv(κ1 , ℵ1 )M × Lv(κ2 , κ++ × · · · × Lv(κj , κ++ ∈ M. 1 ) j−1 )

Llamaremos G|j como el conjunto de las j-tuplas (f0 , . . . , fj−1 ) tales que existe π ∈ G de la forma π = (P0 , . . . , Pl , f0 , . . . , fl , A, H), con l ≥ j. Es claro que G|j es un filtro Pj -gen´erico sobre M . Teorema 17.30 Si x ∈ M [G], x ⊂ κ+ j , entonces x ∈ M [G|j ]. ´ n: Llamemos µ = κ+ Demostracio j y sea x = τG , donde τ es un buen nombre para un subconjunto de µ ˇ. As´ı 1l  τ ⊂ µ ˇ. El filtro G contiene una condici´ on de longitud ≥ j, que podemos reducir a π = (P1 , . . . , Pj−1 , 1l, . . . , 1l, A, H), donde A = {P ∈ D | Pj−1 ⊂ P } y H(P ) = 1l para todo P ∈ A. ∼ Sea i : Pj −→ P dada por (f0 , . . . , fj−1 ) → (P1 , . . . , Pj−1 , f0 , . . . , fj−1 , A, H). Es claro que si p ∈ Pj , entonces i(p) ∈ G ↔ p ∈ G|j . Por lo tanto, la aplicaci´ on inducida i : M Pj −→ M P cumple que, i(σ)G = σG|j , para todo Pj σ ∈ M . Llamaremos σ ˜ = i(σ). Veamos que para cada π  ≤ π existen ρ ≤ π  y σ ∈ M Pj tales que ρ  τ = σ ˜. Esto prueba el teorema, pues entonces el conjunto  {ρ ∈ P | σ ∈ M Pj ρ  τ = σ ˜} ∈ M es denso bajo π, luego existe un ρ ∈ G y un σ ∈ M Pj de modo que ρ  τ = σ ˜, con lo que x = τG = σ ˜G = σG|j ∈ M [G|j ]. Extendiendo π  podemos suponer que su longitud es mayor que j. Tomamos τ ∈ M P tal que 1l  τ  es la funci´ on caracter´ıstica de τ en µ ˇ. Podemos aplicarle el teorema 17.28, que nos da un ρ ≤ π  de modo que si ρ ≤ ρ , β ∈ µ y 

ρ  βˇ ∈ τ,

o bien ρ  βˇ ∈ / τ,

entonces Intj (ρ , ρ ) fuerza lo mismo. Sea ρ = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , A, H). Vamos a definir (en M ) una partici´ on F : [A](<ω) −→ P(Pj ×µ×3) (ver 16.22). Notemos que |Pj | = κj , luego tenemos que |P(Pj × µ × 3)| < κ. Si Q1 ⊂ · · · ⊂ Ql , definimos F ({Q1 , . . . , Ql }) como el conjunto de todas las ∼ ∼ ternas (η, β, i) ∈ Pj × µ × 3 tales que η = (g0 , . . . , gj−1 ) con fi ⊂ gi y a) Si i = 0, la extensi´ on j-directa de ρ determinada por (Q1 , . . . , Ql ) y η ˇ fuerza β ∈ / τ.

494

Cap´ıtulo 17. Cardinales grandes y extensiones gen´ericas

b) Si i = 1, la extensi´ on j-directa de ρ determinada por (Q1 , . . . , Ql ) y η fuerza βˇ ∈ τ . c) Si i = 2, la extensi´ on j-directa de ρ determinada por (Q1 , . . . , Ql ) y η no fuerza βˇ ∈ τ ni βˇ ∈ / τ. Por el teorema 16.22, existe B ∈ U , B ⊂ A tal que F es constante en cada conjunto [B](l) . Sea El este valor constante. Notemos que E = {El }l<ω ∈ M . Notemos que si (η, β, 1) ∈ El , no puede ocurrir que (η  , β, 0) ∈ El para un η  compatible con η. En efecto, en tal caso, tomando una extensi´ on com´ un η  ≤ η,    η ≤ η , sea m = m´ax{l, l } y Q1 ⊂ · · · ⊂ Qm ∈ B, llegamos a que la extensi´on ∼ ∼ j-directa de ρ determinada por η  y (Q1 , . . . , Qm ) fuerza a la vez βˇ ∈ τ y βˇ ∈ / τ , pues extiende tanto a la extensi´ on j-directa de ρ determinada por η y (Q1 , . . . , Ql ) y a la extensi´ on j-directa de ρ determinada por η  y (Q1 , . . . , Ql ). Sea ρ = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , B, H|B ). Veamos que cumple lo pedido. Tomamos σ ∈ M Pj tal que   ˇl }, 1l|Pj  σ = {β < µ ˇ | l < ω η ∈ Γ (η, β, 1) ∈ E donde Γ es el nombre can´ onico del filtro gen´erico. Veamos que si G es un filtro Pj -gen´erico sobre M y (f0 , . . . , fj−1 ) ∈ G , entonces, o bien (η, β, 1) ∈ El , para ciertos l < ω y η ∈ G , o bien (η, β, 0) ∈ El para ciertos l < ω y η ∈ G . (Antes hemos visto que no pueden darse los dos casos a la vez.) En efecto, sea η  ∈ Pj tal que η  ≤ (f0 , . . . , fj−1 ). Consideremos π0 = (P1 , . . . , Pn , g0 , . . . , gj−1 , fj , . . . , fn , B, H|B ) ∈ P, donde (g0 , . . . , gj−1 ) = η  , y tomemos una extensi´on π1 ≤ π0 tal que π1  βˇ ∈ τ

o bien π1  βˇ ∈ / τ.

Como π1 ≤ π0 ≤ ρ ≤ ρ , por construcci´ on de ρ tenemos que Intj (π1 , ρ )  βˇ ∈ τ

o bien Intj (π1 , ρ )  βˇ ∈ / τ.

Pero Intj (π1 , ρ ) es la extensi´on j-directa de ρ determinada por ciertos Q1 , . . . , Ql ∈ B (est´an en B porque forman parte de π1 ) y η  ≤ η  (porque η  est´a en π1 ). Por consiguiente (η  , β, 1) ∈ El o bien (η  , β, 0) ∈ El . Con esto hemos probado que el conjunto  {η ∈ Pj | l < ω((η, β, 1) ∈ El ∨ (η, β, 0) ∈ El )} ∈ M es denso bajo (f0 , . . . , fj−1 ), luego corta a G , que es lo que hab´ıa que probar. Como consecuencia,   ˇl }. (f0 , . . . , fj−1 )  σ = µ ˇ \ {β < µ ˇ | l < ω η ∈ Γ (η, β, 0) ∈ E (17.13)

17.5. La independencia de la HCS

495

Veamos finalmente que ρ  τ = σ ˜ . En caso contrario existen ρ0 ≤ ρ y β < µ tales que ρ0  βˇ ∈ τ ∧ βˇ ∈ /σ ˜ o bien ρ0  βˇ ∈ / τ ∧ βˇ ∈ σ ˜. Supongamos el primer caso. Como ρ0 ≤ ρ ≤ ρ , por construcci´ on de ρ se   ˇ cumple que Intj (ρ0 , ρ )  β ∈ τ , pero Intj (ρ0 , ρ ) es la extensi´on j-directa de ρ determinada por un cierto η ∈ Pj y por Q1 , . . . , Ql ∈ B (est´an en B porque est´ an en ρ0 ≤ ρ). Por definici´ on de F tenemos que (η, β, 1) ∈ F ({Q1 , . . . , Ql }) = El . Si G es P-gen´erico sobre M y ρ0 ∈ G, entonces β ∈ τG y β  ∈ /σ ˜G = σG|j , pero como ρ0 ∈ G, se cumple que η ∈ G|j , y la definici´ on de σ nos da que β ∈ σG|j , contradicci´ on. En el segundo caso razonamos igualmente usando (17.13) en lugar de la definici´ on de σ. Hemos de observar adem´as que si ρ0 ∈ G entonces ρ ∈ G, luego (f0 , . . . , fj−1 ) ∈ G|j . Este teorema nos aporta mucha informaci´ on sobre M [G]. Por lo pronto, los M ) son los mismos que los cardinalesM [G|j ] ≤ κ+ cardinalesM [G] ≤ (κ+ j j , pues si + M [G] µ ≤ κj no es un cardinal , existe una biyecci´on f : α −→ µ, con α < µ y f ∈ M [G]. Tomamos g ∈ M tal que g : µ × µ −→ µ biyectiva, con lo que g[f ] ∈ M [G] y, por el teorema anterior, g[f ] ∈ M [G|j ], luego f ∈ M [G|j ] y µ no es tampoco un cardinalM [G|j ] . M Similarmente, si µ ≤ (κ+ es un cardinalM [G] , entonces el teorema anterior j ) M [G] M [G|j ] = (Pµ) , de donde (2µ )M [G] = (2µ )M [G|j ] . nos da que (Pµ) Los cardinales y la funci´ on del continuo en las extensiones M [G|j ] son f´ aciles de calcular con las t´ecnicas del cap´ıtulo V. En concreto es f´ acil ver que los + ++ cardinales infinitos en M [G] bajo κ resultan ser ℵ0 , ℵM 1 y los κn , κn y κn . Si queremos calcular expl´ıcitamente la funci´ on del continuo conviene anticipar una hip´ otesis que necesitaremos despu´es: a partir de aqu´ı suponemos (2κ = κ++ )M . Entonces, como todos los subconjuntosM de κ est´an en UltU (M ), se cumple (2κ > κ+ )Ult , luego en la definici´ on (17.10) del conjunto D podemos a˜ nadir la M condici´ on 2P ∩κ > (P ∩ κ)+ , con lo que tenemos (2κn ≥ κ++ para todo n. n ) Por no complicar la notaci´ on estudiamos los cardinales y la funci´ on del continuo en M [G|3 ], aunque todos los razonamientos son generales. La t´ecnica es la misma que empleamos en el teorema 5.25, bas´andonos ahora en los teoremas 5.31 y 5.33. Tenemos que M M P3 = Lv(κ1 , ℵ1 )M × Lv(κ2 , κ++ × Lv(κ3 , κ++ 1 ) 2 ) .

Seg´ un 6.29, podemos factorizar G|3 = G1 × G2 × G3 y, seg´ un el teorema del producto, M [G|3 ] = M [G3 ][G2 ][G1 ]. Seg´ un 5.31, los cardinales (y las cofinalidades) en M [G3 ] son los mismos M que en M , salvo que se han colapsado todos los cardinalesM entre (κ++ 2 ) y κ3 . Seg´ un el teorema 5.33, la funci´ on del continuo en M [G3 ] es la misma + ++ M [G3 ] y (2κ2 = κ3 )M [G3 ] (notemos que en M , salvo que (2κ2 = 2κ2 = κ++ 2 ) ++ que κ+ es lo mismo en M y en M [G3 ]). En particular, los cardinales 2 y κ2 κn (para n = 3) siguen siendo fuertemente inaccesibles en M [G3 ] y, teniendo

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Cap´ıtulo 17. Cardinales grandes y extensiones gen´ericas

++ M M M es κ++ = en cuenta que Lv(κ3 , κ++ 2 ) 2 -cerrado , es claro que Lv(κ2 , κ1 ) ++ M [G3 ] Lv(κ2 , κ1 ) . Esto justifica que podamos usar los teoremas sobre Lv para estudiar la extensi´ on M [G3 ][G2 ]. Razonamos igualmente y luego usamos que M M M × Lv(κ3 , κ++ es κ++ para concluir que el producto Lv(κ2 , κ++ 1 ) 2 ) 1 -cerrado M M [G3 ][G2 ] Lv(κ1 , ℵ1 ) = Lv(κ1 , ℵ1 ) , lo que nos permite abordar la tercera extensi´on. En resumen, llegamos a que los cardinales infinitosM [G|3 ] ≤ κ++ son exacta3 mente los indicados en (17.12) y, adem´ as, en M [G|3 ] se cumple: +

++

ℵ1 κ1 2ℵ0 = ℵM = κ1 , 2κ1 = 2κ1 = κ++ 1 , 2 1 , 2 M

+

++

κ2 2κ2 = 2κ2 = κ++ 2 , 2

= κ2 ,

= κ3 .

Seg´ un hemos dicho, esto es obviamente v´alido en general para todo M [G|j ], con lo que tambi´en es cierto en M [G]: los cardinales infinitossM [G] ≤ κ son M [G] ++ M [G] exactamente ℵ0 , ℵ1 y los κn , κ+ n y κn . Por lo tanto κ es un cardinal M [G] (porque es supremo de cardinales) y, como el conjunto de cardinales <κ M [G] tiene ordinal ω, ha de ser κ = ℵω . Esto nos da los siguientes valores para la funci´ on ℵ y para la funci´ on del continuo en M [G]: ℵ0 ℵ0 ℵ1

ℵM 1 ℵ1 ℵ2

κ1 κ+ κ++ 1 1 ℵ2 ℵ3 ℵ4 ℵ4 ℵ4 ℵ5  En particular ( n < ω 2ℵn < l´ımite fuerte)M [G] . µ ℵ 2µ

κ2 ℵ5 ℵ7

κ+ 2 ℵ6 ℵ7

κ++ 2 ℵ7 ℵ8

κ3 ℵ8 ℵ10

κ+ 3 ℵ9 ℵ10

κ++ 3 ℵ10 ℵ11

··· ··· ···

ℵω )M [G] o, dicho de otro modo, (ℵω es un

Hemos visto antes que κ+ se colapsa en M [G]. Ahora podemos probar que, M [G] en cambio, κ++ se conserva. Por lo tanto κ++ = ℵω+1 . Teorema 17.31 κ++ es un cardinalM [G] . ´ n: Si ξ = κ++ no es un cardinalM [G] , entonces es un ordiDemostracio nal l´ımite singular. Sea µ su cofinalidadM [G] . Como µ < κ++ ha de ser un cardinal regularM [G] , necesariamente µ < κ (no puede ser κ+ porque no es un cardinalM [G] y no puede ser κ porque es singularM [G] ), luego existe un j < ω ˇ −→ ξˇ tal que µ < κj . Sea τG : µ −→ ξ cofinal y sea π ∈ G tal que π  τ : µ cofinal. Extendiendo π podemos suponer que su longitud es mayor que j. Apliˇ = γˇ , para camos 17.28 para obtener π  ≤ π tal que si π  ≤ π  y π   τ (β)   cualesquiera β < µ y γ, entonces Intj (π , π ) fuerza lo mismo. Para cada β < µ sea  ˇ = γˇ } ∈ M. Aβ = {γ < κ++ | π  ≤ π  π   τ (β)  Admitamos —de momento— que (en M ) β < µ |Aβ | ≤ κ+ .  Entonces Aβ tiene cardinalM ≤ κ+ , luego est´a acotado en κ++ , digamos β<µ

por δ < κ++ . Esto implica que τG : µ −→ δ, lo que contradice que sea cofinal en κ++ y el teorema queda probado.

17.5. La independencia de la HCS

497

Veamos, pues, que (|Aβ | ≤ κ+ )M . Todo lo que sigue se entiende relativizado ˇ = γˇ . Por a M . Para cada γ ∈ Aβ , sea πγ ∈ P tal que πγ ≤ π  y πγ  τ (β) j   la construcci´ on de π podemos suponer que πγ ≤dir π . M´ as concretamente, πγ ser´a la extensi´on j-directa de π  determinada por ciertos Qγ1 , . . . , Qγlγ ∈ A y cierto ηα ∈ Pj . Si |Aβ | = κ++ , como |P<κ (κ+ )| = κ+ y |Pj | < κ, ha de existir B ⊂ Aβ con |B| = κ++ tal que para todo γ ∈ B se cumpla que las sucesiones {Qγ1 , . . . , Qγlγ } y {ηγ } sean constantes. En particular, si γ1 , γ2 ∈ B son distintos, tenemos que πγ1 = πγ2 , lo cual es imposible, porque fuerzan afirmaciones contradictorias.

El modelo M0 Ya estamos cerca de nuestro objetivo, pero nos encontramos con un u ´ltimo problema. Recordemos que nuestra intenci´ on era violar la HCS en ℵω . Lo tenemos casi todo arreglado, pues en M [G] se cumple que ℵω es un l´ımite fuerte y bastar´ıa probar que 2κ ≥ κ++ para contradecir la HCS. Ahora bien, sabemos que (2κ = κ++ )M , pero, como κ+ se colapsa en M [G], esto no impide que (2κ = κ+ )M [G] . Para superar este inconveniente pasaremos a un modelo intermedio M ⊂ M0 ⊂ M [G]. Concretamente, aplicamos el teorema 7.35 para obtener el modelo M0 = M [{κn }n<ω , {fn }n<ω ], es decir, el menor modelo de ZF que extiende a M y contiene las sucesiones {κn }n<ω y {fn }n<ω . Para aplicar 7.35 basta observar que estas sucesiones pueden codificarse con un subconjunto de M . Por ejemplo,  A= ((κn × {n} × {0}) ∪ (fn × {n} × {1})) ⊂ M, A ∈ M [G]. n<ω

A partir de {fn } puede reconstruirse cada filtro G|j , luego G|j ∈ M0 y, por consiguiente, M [G|j ] ⊂ M0 . El teorema 17.30 nos da que M0 y M [G] tienen los mismos subconjuntos acotados de κ. De aqu´ı se sigue que los cardinalesM0 < κ son los mismos que los cardinalesM [G] , al igual que la funci´ on del continuo. Por ++ 0 y, obviamente, κ sigue siendo un cardinal en M0 lo tanto, tambi´en κ = ℵM ω (por serlo en M [G]). Claramente (2κ )M0 ≥ (κ++ )M , luego si demostramos que κ+ sigue siendo un cardinal en M0 , tendremos que (κ++ )M = (κ++ )M0 , luego en M0 se cumplir´a on con la HCS. que ℵω es un l´ımite fuerte y 2ℵω ≥ ℵω+2 , en contradicci´ Teorema 17.32 κ+ es un cardinalM0 . ´ n: Casi toda la prueba del teorema 17.31 sigue siendo v´ Demostracio alida: si ξ = κ+ no es un cardinalM0 , su cofinalidadM0 ha de ser un cardinalM0 µ < κ, luego existe un j < ω tal que µ < κj . Sea τG ∈ M0 tal que τG : µ −→ ξ cofinal y sea π ∈ G tal que π  τ : µ ˇ −→ ξˇ cofinal, pasamos a π  y construimos los + conjuntos Aβ ∈ M , Aβ ⊂ κ . Ahora hemos de probar que |Aβ |M ≤ κ y con ello llegaremos a la misma contradicci´on que en 17.31.

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Cap´ıtulo 17. Cardinales grandes y extensiones gen´ericas

Definimos igualmente πγ ≤jdir π  . Si π  = (P1 , . . . , Pn , f1 , . . . , fn , A, H), entonces, cada πγ ser´a de la forma γ (P1 , . . . , Pn , Qγ1 , . . . , Qγlγ , g0γ , . . . , gj−1 , fj , . . . , fn , H(Qγ1 ), . . . , H(Qγlγ ), B γ , H|B γ ),

pero ahora tenemos demasiadas sucesiones posibles {Qγ1 , . . . , Qγlγ } (hay, como antes, κ+ , pero estamos suponiendo que |Aβ | = κ+ ). Lo que podemos decir es que hay a lo sumo κ<κ = κ sucesiones {Qγ1 ∩κ, . . . , Qγlγ ∩κ}, luego podemos tomar B ⊂ Aβ , |B| = κ+ de modo que todos los πγ con γ ∈ B est´en determinados por una misma sucesi´on η = (g0 , . . . , gj−1 ) ∈ Pj y unas sucesiones {Qγ1 , . . . , Qγl } con l constante y con {Qγ1 ∩ κ, . . . , Qγl ∩ κ} = {ν1 , . . . , νl } constante. M´ as a´ un, las posibilidades para la sucesi´ on ++ (H(Qγ1 ), . . . , H(Qγl )) ∈ Lv(ν2 , ν1++ ) × × · · · × Lv(νl , νl−1 ) × Lv(κ, νl++ )

son a lo sumo κ, luego reduciendo B podemos suponerla tambi´en constante. En resumen, si tomamos γ1 , γ2 ∈ B, γ1 = γ2 , tenemos que π γ1

=

(P1 , . . . , Pn , Qγ11 , . . . , Qγl 1 , h0 , . . . , hn+l , B γ1 , H|B γ1 ),

πγ2

=

(P1 , . . . , Pn , Qγ12 , . . . , Qγl 2 , h0 , . . . , hn+l , B γ2 , H|B γ2 ), (17.14) ˇ = γˇi . Qγi 1 ∩ κ = Qγi 2 ∩ κ, πγi  τ (β)

M´ as a´ un, extendi´endolas podemos sustituir B γi por B γ1 ∩ B γ2 , con lo que πγ1 y πγ2 s´olo se diferencian en la P -parte. Para llegar a una contradicci´ on necesitamos ideas nuevas: Sea G el grupo de las permutaciones de κ+ que fijan a cada ordinal de κ. Si g ∈ G y P ∈ P<κ (κ+ ), definimos g(P ) = g[P ], con lo que G puede identificarse un grupo de permutaciones de P<κ (κ+ ). Similarmente, para cada A ⊂ P<κ (κ+ ), definimos g(A) = g[A]. Finalmente, para cada π = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , A, H) ∈ P, definimos g(π) = (g(P1 ), . . . , g(Pn ), f0 , . . . , fn , g(A), g −1 ◦ H). Es f´ acil ver que g(π) ∈ P. Notemos que como g fija a los ordinales menores que κ se cumple Pi ∩ κ = g(Pi ) ∩ κ, por lo que las funciones fi pertenecen a los c.p.o.s correctos. As´ı mismo, g[D] = D, etc. El u ´nico punto que no es evidente es que g(A) ∈ U . Esto es consecuencia del hecho siguiente: F = {P ∈ P<κ (κ+ ) | g(P ) = P } ∈ U

(17.15)

En efecto, supongamos que B = {P ∈ P (κ ) | g(P ) = P } ∈ U . Entonces para cada P ∈ B existe un βP ∈ P tal que g(βP ) ∈ / P o bien g −1 (βP ) ∈ / P . Como U es normal, existe un C ⊂ B, C ∈ U y un β ∈ κ+ de modo que βP = β para todo P ∈ C. Ahora bien, L = {P ∈ P<κ (κ+ ) | {β, g(β), g −1 (β)} ⊂ P } ∈ U , y un P ∈ C ∩ L nos da una contradicci´ on. <κ

+

17.5. La independencia de la HCS

499

As´ı pues, podemos identificar a G con un subgrupo de Aut P. Consideramos la extensi´on sim´etrica SM [G] de M determinada por G y por el filtro normal de subgrupos Γ = {G} (ver la secci´on 6.2). Tenemos que M ⊂ SM [G] ⊂ M [G]. Veamos que {κn }n<ω , {fn }n<ω ∈ SM [G]. Para ello hemos de mostrar que tienen nombres hereditariamente sim´etricos. Un nombre para {κn }n<ω es σ = {(p.o.(ˇ n, µ ˇ), π) | π ∈ P ∧ 0 < n < ω ∧ long π ≥ n ∧ µ = Pnπ ∩ κ} ∈ M, y es claro que σ ∈ SM P . Por otra parte, un nombre para fn es ˇ γˇ ), π) | π ∈ P | long π ≥ n ∧ (α, β, γ) ∈ f π } ∈ SM P , σn = {(p.o.(p.o.(ˇ α, β), n con lo que un nombre para {fn } es σ  = {(p.o.(ˇ n, σn ), 1l) | n < ω} ∈ SM P . Como M0 es el menor modelo de ZF que extiende a M y que contiene las sucesiones {κn }n<ω y {fn }n<ω , concluimos que M0 ⊂ SM [G]. Al principio de la demostraci´ on hemos tomado τG ∈ M0 , tal que τG : µ −→ ξ cofinal. Seg´ un lo visto, podemos exigir que τ ∈ SM P . Ahora ya podemos terminar la prueba: demostraremos que existe g ∈ G tal que g(πγ1 ) es compatible con πγ2 , lo cual es contradictorio pues, por la simetr´ıa de τ , se cumple tambi´en ˇ = γˇ1 , y as´ı g(πγ ) y πγ fuerzan afirmaciones contradictorias. g(πγ1 )  τ (β) 1 2 Simplificando la notaci´ on de (17.14), tenemos dos condiciones π = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , A, H),

π  = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , A, H)

tales que Pi ∩ κ = Pi ∩ κ = κi y hemos de encontrar g ∈ G tal que ¬g(π) ⊥ π  . De hecho, basta conseguir que g(Pi ) = Pi , pues entonces g(π) = (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , g(A), g −1 ◦ H). Por (17.15) se cumple que B = {P ∈ A | g(P ) = P } ∈ U , y una extensi´ on com´ un de g(π) y π  es (P1 , . . . , Pn , f0 , . . . , fn , B, H|B ). La construcci´on de g no presenta ninguna dificultad: consideramos una biyecci´on entre P1 \ κ y P1 \ κ (notemos que ambos conjuntos tienen cardinal κ+ 1 ), la extendemos a una biyecci´ on entre P2 \ κ y P2 \ κ (lo cual es posible porque on entre Pn \ κ y |P2 \ P1 | = |P2 \ P1 | = κ+ 2 , etc., hasta llegar a una biyecci´ Pn \ κ. A su vez extendemos ´esta a una biyecci´on entre κ+ \ κ y κ+ \ κ (lo cual es posible porque |κ+ \ Pn | = |κ+ \ Pn | = κ+ ) y por u ´ltimo la extendemos a q ∈ G que claramente cumple lo pedido. Seg´ un hemos visto, esto nos garantiza que (2ℵω ≥ ℵω+2 )M0 . Es posible probar la igualdad, pero es m´ as f´acil extender M0 con Fn(ℵω+2 , 2ℵω , ℵω+2 )M0 . La funci´ on del continuo en la extensi´ on cumple claramente las mismas propiedades que hemos probado para M0 y adem´as se da la igualdad 2ℵω = ℵω+2 . Recapitulando, hemos demostrado lo siguiente:

500

Cap´ıtulo 17. Cardinales grandes y extensiones gen´ericas

Teorema 17.33 (Magidor) Si es consistente la existencia de un cardinal supercompacto, entonces tambi´en lo es que ℵω sea un l´ımite fuerte y 2ℵω = ℵω+2 . M´ as concretamente, en el modelo que hemos construido la funci´ on del continuo es 2ℵ0 = ℵ1 , 2ℵ1 = ℵ2 , 2ℵ2 = 2ℵ3 = ℵ4 , 2ℵ4 = ℵ5 , 2ℵ5 = 2ℵ6 = ℵ7 , . . . Modificando levemente la prueba se puede conseguir 2ℵω = ℵω+k , para cualquier 2 ≤ k < ω (ver [14]). En [15], Magidor refina el argumento para probar, bajo la hip´ otesis de que exista un cardinal supercompacto por debajo de un  cardinal enorme, la consistencia de n < ω 2ℵn = ℵn+1 ∧ 2ℵω = ℵα+1 , para α < ω1 . Por otra parte, en [13], Magidor desarrolla una teor´ıa de extensiones de Prikry iteradas que le permite obtener una extensi´ on gen´erica en la que un conjunto prefijado de cardinales medibles del modelo base pasa a tener cofinalidad numerable en la extensi´ on. Como aplicaci´ on obtiene los teoremas siguientes: Teorema 1 Si es consistente la existencia de un cardinal compacto, tambi´en lo es la existencia de un u ´nico cardinal compacto que a la vez sea el u ´nico cardinal medible. Teorema 2 Si es consistente la existencia de un cardinal supercompacto, tambi´en lo es la existencia de un u ´nico cardinal supercompacto que a la vez sea el u ´nico cardinal compacto. El teorema 1 se demuestra cambiando la cofinalidad de todos los cardinales ´ medibles por debajo del primer cardinal compacto. Este sigue siendo compacto en la extensi´on, pero ya no tiene cardinales medibles por debajo. Para probar el teorema 2 se parte de un modelo con un cardinal supercompacto κ tal que 2κ = κ++ , con lo que la HCG es violada en un conjunto no acotado de cardinales medibles bajo κ. Dichos cardinales se convierten en cardinales singulares en la extensi´ on, de modo que κ sigue siendo supercompacto, pero tiene por debajo un conjunto no acotado de cardinales que violan la HCS. Por el teorema 16.8, ning´ un cardinal menor que κ puede ser compacto.

Bibliograf´ıa [1] Barwise, J. (editor), Handbook of Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam, 1977. [2] Baumgartner, J.E. (editor), Iterated Forcing, (en Mathias). [3] Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis, W.A.Benjamin inc. reading, New York, 1966. [4] Devlin, K.J. Constructibility, (en Barwise). [5] — Constructibility, Springer, New York, (1984) [6] Eklof, P.C. Ultraproducts for Algebraists, (en Barwise). [7] Jech, T.J. The Axiom of Choice, North Holand, Amsterdam, 1973. [8] — Set Theory, Academic Press, New York, 1978. [9] Keisler, K.J. Fundamentals of Model Theory, (en Barwise). [10] Kunen, K. Combinatorics, (en Barwise). [11] — Set Theory. An Introduction to Independence Proofs, North Holland, Amsterdam, 1985. [12] Laver, R. Making the Supercompactness of κ Indestructible under κdirected closed Forcing, Israel J. Math. 29 (1978) 385–388. [13] Magidor, M. How Large is the First Strongly Compact Cardinal?, Ann.Math.Logic 10 (1976) 33–57. [14] — On the Singular Cardinals Problem I, Israel J. Math. 28 (1977) 1–31. [15] — On the Singular Cardinals Problem II, Ann. of Math. 106 (1977) 517– 547. [16] Mathias, A.R.D. Surveys in Set Theory, London Math. Soc. Lecture Notes, 87 (1983). [17] Menas, T.K. Consistency Results concerning Supercompactness, Trans. Amer. Math. Soc. 223 (1976) 61–91. 501

502

BIBLIOGRAF´IA

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´Indice de Materias compacto, 419 de Ramsey, 313 d´ebilmente compacto, 297 d´ebilmente medible, 401 enorme, 435, 437, 438 extensible, 438 indescriptible, 310 medible, 271 medible Ulam, 271 supercompacto, 427 casi homog´eneo, 137 cero-dimensional, 194 cerrado, 114 cilindro, 253 compatibilidad en un c.p.o., 83 en un a´rbol, 204 compleci´on, 177 completitud, 192, 193, 270 condici´ on, 83 condici´ on de cadena, 113, 194 congruencia, 192 conjugado, 50 conjunto D-finito, 149 de Ehrenfeucht-Mostowski, v´ease Ehrenfeucht dirigido, 458 dual, 171 hereditariamente sim´etrico, 51 homog´eneo, 292, 313 preordenado, 83 sim´etrico, 50, 141 conservaci´on de cardinales, 112 de cofinalidades, 112

abierto regular, 172 absoluta (expresi´ on), 20, 25 algebra ´ cociente, 192 de Boole, 167 completa, 171 de Borel, 252 de Cantor, 255 de conjuntos, 168 de Lindenbaum, 168 degenerada, 170 medida, 247 altura (en un a´rbol), 203 de una rama, 204 anticadena, 113, 204 arbol, 203 ´ bien podado, 205 completo, 206 de Aronszajn, 206, 297 de Suslin, 208 ramificado, 208 atomo ´ de una medida, 250 en un c.p.o., 86 at´ omica (medida), 250 at´ omico (c.p.o.), 86 automorfismo, 136 bien podado (´ arbol), 205 Borel (´algebra de), 252 buen nombre, 121 cadena de signos, 5 en un a´rbol, 204 camino (en un a´rbol), 204 cardinal 503

504 constructibilidad, 67 relativa, 77, 321 cuasidisjunta (familia), 116 cubo de Cantor, 253 degenerada (´ algebra), 170 denotaci´ on, 6 denso, 84, 87 designador, 6 D-finito (conjunto), 149 diamante, 212 diferencia sim´etrica, 179 dirigido (conjunto), 458 dual (conjunto), 171 d´ebilmente compacto (cardinal), 297 medible (cardinal), 401 Easton funci´ on de, 158 producto, 158 Ehrenfeucht-Mostowski, 346 bien fundado, 349 no acotado, 350 notable, 351 elementalmente equivalentes, 9 equivalencia (de condiciones), 461 escala, 416 espacio medida, 252 estabilizador, 54 extensional (nombre), 185 extensi´on gen´erica, 89 sim´etrica, 141 filtro, 84 de subgrupos, 50 de un a´lgebra, 178 gen´erico, 84 normal, 286 fuertemente cerrado (conjunto), 458 compacto (cardinal), 419 funci´ on de Skolem, 10 f´ ormula, 5 grupo de simetr´ıas, 49, 141

´INDICE DE MATERIAS hereditariamente extensional (nombre), 185 sim´etrico (conjunto), 51 sim´etrico (nombre), 141 un´ıvoco (nombre), 184 homog´eneo (conjunto), 292, 313 ideal, 178 primo, 180 incompatibilidad en un c.p.o., 83 en un a´rbol, 204 indescriptible (cardinal), 310 indiscernibles, 315, 346 de Silver, 356 inmersi´on, 8, 131 completa, 131 densa, 131 elemental, 9, 280 no trivial, 281 natural, 281 isomorfismo, 8 iteraci´on de pre´ ordenes, 226 Lema de los sistemas ∆, 116 lenguaje formal, 4 L´evy jerarqu´ıa de, 29 orden colapsante de, 128 Martin (axioma de), 230 medible (cardinal), 271 de Ulam, 271 medida, 247, 271 aditiva, 256 at´ omica, 250 de Borel, 252 de Cantor, 255 de Ulam, 271 d´ebil, 401 en un conjunto, 262 fina, 420, 435 normal, 427, 435 finita, 247 finitamente aditiva, 247 fuerte, 264 no trivial, 262

´INDICE DE MATERIAS normal, 403 producto, 253 unitaria, 247 modelo, 6 interno, 58 natural, 14 transitivo, 14 nivel (en un a´rbol), 203 no at´ omico (c.p.o.), 86 nombre, 88 bueno, 121 can´ onico, 89 para un c.p.o., 221 nulo (elemento), 247 partes definibles, 64, 320 partici´ on, 292 producto de c.p.o.s, 156 generalizado, 221 de Easton, 158 R-medible (cardinal), 264 rama, 204 ramificado, 208 Ramsey (cardinal), 313 reducci´ on, 131 relativizaci´ on, 15 satisfacci´on, 6 saturaci´ on, 194 semejanza, 131 sentencia, 6 separativo (c.p.o.), 132 σ-´algebra, 251 sim´etrico (conjunto), 50 sim´etrico (nombre), 141 sistema delta, 116 soporte, 54, 226, 379 finito, 379, 380 Stone (espacio de), 195 submodelo, 8 elemental, 9 sub´ algebra, 170 sub´ arbol, 204 Suslin

505 hip´ otesis de, 201 recta de, 201 Teorema de compacidad, 275, 302 de Easton, 163 de Erd¨ os-Rado, 295 de factorizaci´on, 388, 461 de Fubini, 253 de isomorf´ıa, 192 de la forma normal, 340 de L¨owenheim-Skolem, 11 de Ramsey, 291, 294 de reflexi´ on, 22 de Stone, 194 del ideal primo, 180 del modelo gen´erico, 105 del producto, 157 del ultrafiltro, 180 fundamental de la teor´ıa de extensiones, 99, 182 t´ermino, 5 ultrafiltro, 180 principal, 270 ultrapotencia, 275, 279 ultraproducto, 272 valor, 88, 181