Proceedings of the XIth International Congress of Philosophy, Vol. V: Logic. Philosophical Analysis. Philosophy of Mathematics (1953)

There is infinite variability here. The third is by variation of the argument,

according to the numerical series ; we then have a variation of the function, not corresponding to the previous variation, but according to the law of its

pitcher of water; the form, the pitcher, still remains ready to be filled with

own series, whichever one of the infinite series of the first kind is adopted.

something else. But a sign that is emptied of content is not even a sign.

Hence, all that function in mathematics means, is that any number taken as

A sign as such is nothing in itself; it gets its meaning from that which it

an argument has the same value in the function of which it is a part, or,

represents. If that representation be set aside, the sign is no longer a sign

generalized, that x is a constant, having the same value in argument and

but only a mark on paper. Employing such a sign for something else would

function.

168

169

J. J·

CALLAHAN

SYM130LISM IN MATHEMATICS AND LOGIC

When the Logicists speak of the Algebra or Calculus of Logic, they must deal with propositions and their necessary connections.

His operation is so rigidly determined that it cannot go awry. He does not

But where can

start with meaning, but expects to end with it by the rigid accuracy of his

propositions and their connections be placed in any relation analogica to

method. For the logician the problem is different. He starts with meaning

the argument and function in mathematics?

�

Neither the mathemaucal

argument nor the mathematical function is a proposition. They b come � mathematical propositions only when two functions are compared m an

�

equation, or when by mathematical analysis the value of the argument s found in terms of the coefficients and value of the function. The proposi­ tional argument and function are not variables as are the argument and function in any mathematical theory of functions. The mathematical function is a variable because its meaning or value varies completely for every

and his only purpose is to order his meanings properly.

But the order

depends on the meaning, not the meaning on the rigidity of the order. The difficulty for the logician is precisely to preserve the order from becoming disorder, rather than to follow an order that is infallibly determined. In the one case the operation according to the order is what is most difficult yet most secure; in the other case, the order is simple and easy, yet most likely t o err.

The one process requires special training; the other every man

follows by �ature. Fallacy in reasoning is not so much a matter of form as

variation of argument. No such variation can be found in logic. There is . no field of variation of the logical argument to correspond to the senes

of meaning. No one has any difficulty in reaching a correct conclusion when

variation of the mathematical argument. There is no field of variation for

in so simple a syllogism, as

the propositional function, for a universal has no field of variation. It is . applied in every individual instance in the same sense. Its co res ondent m . . � � mathematics would be, taking the argument to be 2, 1ts d1stnbut10n to the two's in all books and manuscripts. Any talk of an Algebra or Calculus of Logic, using these words in any mathematical sense, is then mere delusion., There is nothing analogous to

a mathematical

function

or to

the

mathematical variability of a series in any propositional function. The two cannot be brought together at a single point. The employment of the words algebra and calculus with reference

to logic, far from being univocal, cannot

even be made analogical; it is purely equivocal.

the concepts are specific and defined. Thus, no one is in danger of fallacy

A = B, B = C,

the mathematical process is deemed sure.

therefore,

A = C.

This is why

The meaning attached to the

symbol is not supposed to change in the operation. But in logic, form is not the difficulty, but meaning. All forms of fallacy that are discussed in logic can be reduced to

ignorantia elenchi,

or ignorance of terms used. The only

way to avoid this is by a clear understanding of the sense of our signs as we use them in the rational process. It means thinking, not operations without thinking. The science of mathematics and the science of logic not only do not correspond at any point in their technique, but not even in the broader aspects of their specification as sciences. There is no reason, therefore, why

We can refer only briefly to the last assumption that pure formalism can

either both of these sciences should be reduced to one science, or why the

furnish us with a method of logical analysis that will overcome man's

technique of one should be taken as a pattern for the technique of the other.

limitations and make secure the path of abstract reasoning.

Even granting such a formulation of logic its widest fulfilment, and that a

It would be

going too far to assert that a language of symbols, cannot be constructed

mathematical metalanguage could be constructed for it, it still would have

for logic, but its utility is quite another question. The mathematician at the

to be translated into the common language of our concepts. This would

outset substitutes his symbols for real meanings, then forgets about the

require an ability to distinguish and define those concepts. The utility of

meaning and merely operates with the symbols according to a definite

the metalanguage is then more than dubious, since without it the proper

procedure, which issues in a necessary conclusion about the relation of

knowledge of our concepts would already suffice for the purpose.

certain symbols or certain sets of symbols. His attention is directed to the process, not the meaning; to the form rather than the content.

The

mathematically minded logician would like to do the same for his science. But he forgets that conditions are not identical; the problems are not the same in either science. The mathematician directs his attention to the operation, because the operation is all he knows. He does not know the meaning, except in the

l ground of In all these respects, the traditional logic stands on the soid man's natural mental processes, as they have been evolved throughout the ages in his languages and in the organization of concepts that they represent.

Isle Brevelle NATCHEZ P.O. La. U.S.A.

most indefinite way. The purpose of the operation is to attain that meaning. 170

Ii 1

DO WORDS MEAN ANYTHING?

v - 28 - 117

tion" only plays the part of "axioms" in modern mathematics.

A. M. MACIVER

any particular set of axioms is arbitrary. But the mathematician's interest

D O WORDS MEAN ANYTHING?

is not in his axioms as such, but only in their implications-in the fact that within such-and-such a set of axioms such-and-such a theorem holds.

My concern here is with "meaning" only in the sense in which linguistic

Similarly the

utterance s i "meaningful" as contrasted with the "meaningless" gurglings of an infant.

It is

understood that there are no "natural" or "true" axioms. The adoption of

logician's

interest is only in the fact that, within a certain

linguistic convention, an expression

Of course, "meaning" in this sense does not belong only to

means

just what it does rather than

ordinary spoken (or written) language: we can "talk" with flags (as by the

anything else. The

International Mercantile Marine code of signals) as well as with words.

algebra or a geometry, which is an object of study in itself independent of

But the problem is one of

all thought of any possible application.

"Meaning'' in this sense has only

communication.

"symbolism"

or

of a

language

is conceived on the

Let us call these two accounts of language the

an accidental and external connection with other things sometimes called "meaning'', such as psycho-analytical

use

mathematical respectively.

epistemological

application

of an

psychological

and

Both are inadequate.

If we say that there is only the intention of the speaker and the interpreta­

"reference" or "representation", and consideration of these things would

tion of the hearer, and no "meaning of the words themselves", how are we

only confuse the issue.

to account for the fact that I can understand (at least up to a point) what

Communication is evidently a transaction between two parties, conven­ tionally called "speaker" and "hearer" (though the "speaker'' may in fact

anyone says to me in English ; can work out (laboriously with the help of a

When this is

grammar and dictionary) the sense of a newspaper-article in Russian; but

be a writer or a telegraphist, and the "hearer" a reader).

can understand nothing spoken or written in Chinese? (What

observed, the problem of "meaning'' seems to divide into two- "intention" and "interpretation" (what the "speaker"

understands).

intends

and what the "hearer"

There is "successful communication" if the two

coincide, but

This observation is characteristic of those who approach the problems of (It may also vex those whose main

can

we call "knowing a language" well, or slightly, or not at all?)

rules

it be that

There are

(formulated in dictionaries and grammar-books) according to which

what we call "the

is is a coincidence of two different things. language from the side of psychology.

,

meaning

of a

sentence"

can be

of its component parts and their arrangement.

deduced

from the forms

A hearer understands a

speaker by interpreting what he says according to these rules, and a speaker

concern is with the literary or poetic use of language, to whom it may well

observes them in order to produce an utterance which his hearer can

seem that they have only to consider, on the one hand, what the poet

interpret. (They might, indeed, proceed otherwise- say, by the "sympathy"

intended by his poem and, on the other, what each individual reader reads into it, and that their great problem is how these can-or even whether they need- be brought together. ) This leads to impatience of the question "What does it mean?", when asked of a word or a sentence. (It is even

which makes possible the "conversation without words" of intimate friends

said that to ask such a question at all only betrays a surviving primitive

language would not arise.) social conventions, in the ordinary sense of the way in which members of some community habitually do something and expect one another to do it. (A language is a social institution.) To say that the

belief in word-magic.) The only permissible questions (it is said) are "How

word "blinds" means in English what in American are called "shades", and

was it

intended?"

of "How was it

understood?"

by some particular speaker

or hearer on some particular occasion. But this account of language is tacitly rejected out of hand by that modern linguistic philosophy which has a background of logic or mathematics. This does not, indeed, revive the old or unreflective assumption that

-but then the specific problems of These rules are

in American what in English are called "shutters", is to say that the members of the English and American speech-communities habitually use the word in these senses respectively, so that the usage must be observed by speakers who do not wish to be misunderstood. Thus "what

a word means"

(in any given particular language) is brute fact, to be recognized and

each individual speaker-it is not just "What he means by it",

every word or symbol or expression must have a single "natural" or "correct"

accepted by

or "proper'' meaning. It allows that significance is always relative to what is

which may be something quite different- though it is not independent of

called a "convention", so that one and the same word or expression may

speakers in general, but might be changed by a general change of speech­

have different meanings under different "conventions". But this "conven-

habits in the given speech-community.

172

173

DO WORDS MEAN ANYTHING ?

A. M. MACIVER

If the term "convention" is thus interpreted, these considerations might seem to justify the "mathematical" approach to language. The sentence

fitted to the words which he has written, but the same applies in some

in

degree to the interpretation of every utterance.

itself has its "meaning" within a particular convention, and a speaker only uses it to convey that "meaning" to a hearer, assuming that he recognizes

pronouns

the convention (much as, if he wished to convey whisky to

was an attempt to bring these within the "mathematical" account of

The point is particularly clear when personal, demonstrative or other

him, he might

are used. Russell's conception of "logically proper names", which

give him a bottle in which there already was whisky assuming him to

language, was a logical abortion. This would make it a

have the kind of corkscrew which would open it).

English language that "I",

And so we find

convention of the

as the word is used in this paper, should mean

contemporary philosophers busying themselves over the question "What

"A. M. Maciver''.

does such-and-such a word, or such-and-such a ·typical sentence, mean in

perfectly

(for example) ordinary English?"

conventions of the English language is that the word "I" should be used

But clearly it would be possible to "know English"

and never have heard of A. M. Maciver. What

is one of the

But these philosophers have not sufficiently considered the mechanism of

when a speaker wishes to refer to himself (just as it is another that he

linguistic communication. They treat as actuality, and as the only actuality,

should cry "Look out!" when he wishes to warn a hearer of a visible

what is no more than an ideal limit to which actual linguistic communica­

danger), but who the speaker is (or what the danger is) is something which

tion may approximate.

If the

whole"

of the meaning which a speaker

the hearer is not

intends could be collected from the composition and structure of the sentence-form which he uses, then it would be permissible to call it "�he meaning

of that sentence-form",

part of what a speaker intends

is gathered in

this way from the form of words he uses. There is even an

opposite

but must observe for himself, before the full meaning

We can, indeed, find a-

because exactly the same meaning would

within

be conveyed by the same verbal form, whoever used it and in whatever circumstances. But in fact only

told,

of what is said is taken in.

skeletal

"I have to stay here to-day but shall come to see you to-morrow" (found, ,

let us suppose, in a letter of unknown date, address and authorship) anyone who knows English can gather

limiting case, in which the speaker's meaning

is not gathered from his choice of words at all. If I shout

"Hi!"

or "Look

"meaning of the words themselves"

"what the speaker means by them". From the mere sentence-form

something

which might be called its

"meaning'' - namely, that someone was staying somewhere on one day but going to see someone else somewhere else the next day-but this is no more

out!" to warn someone that he is in danger of being run down by an

him attend to

than the skeleton of the meaning which the writer intended to convey,

approaching vehicle, the effect of my shout is to make

which would gain its flesh from the reader's extra-linguistic knowledge of

something to which he might otherwise not have attended, but it is what

him what I wished him to know. (Notice

the writer's identity and the circumstances of writing.

he himself

tried to do this much justice to the "mathematical" account of "meaning'',

then

sees

that tells

that even in this case what is said may be determined by

convention-as

it

clearly is if I shout in English "Look out!"-but no knowledge of English alone would extract from this the meaning "You are in danger of being run down by a motor bus", and my shout

may

convey the information

But, when I have

I have found the offer received only with polite smiles and shakes of the head. But it is the best offer that can be made. The "psychological" account of

correct to the extent that the fundamental fact is that a intends something which a "hearer'' has to understand. The use

language is

intended as well to a foreigner wwho knows no English as to any English­

"speaker"

man.)

of verbal forms having a so-called "meaning" according to a symbolic

This, it may be said, is not a

normal

use of language.

Nor, we may

convention is only

whole

machinery by means

of which this is brought about, and

retort, is the opposite limiting case either. All normal uses of language lie

never the

somewhere between the two extremes. What a speaker wishes to convey is

obvious as not to be worth saying, there is hardly an issue of a philosophical

gathered

partly

from his choice of words, but

partly also

by the hearer's

own mental activity, to which the utterance only stimulates him. sometimes say, we have to

guess

"what the fellow is driving at".)

This is

think hard what a reasonable man might be trying to say which could be

And, though this may seem so

per.iodical which does not contain an article in which it is forgotten.

(As we

very familiar in the reading of philosophical works, where we often have to

174

of the machinery used.

The University SOUTHAMPTON England 175

v - 29-

THE RELATIONS OF SYMBOLIC LOGIC AND COMPARATIVE LINGUISTICS

107

Sometimes even such a symbolic construction is contradictory to the forms

of the Traditional Grammar. If with Greek"

('x'

for 'Aristotle';

'f'

case if the same formula is used to express "a brother of William" and

THE RELATIONS OF SYMBOLIC LOGIC AND COMPARATIVE LINGUISTICS

'William' is made the argument

( 'x'

(London

1937)

sentence is analytic, synthetic, contradictory etc.) and the logical relations between them (for instance, whether two sentences contradict one another etc.) are solely dependent upon the syntactical structure of the sentences

2)".

as

a

property of 'brother' ('brother' is the regens; 'William' is the rectum). See

that · "the logical characteristics of sentences (for instance, whether a

(p.

for 'William' ; 'f' for 'brother') , while

the Old Gral!lmar with its possessive genitive regards 'William' Reichenbach, p.

The Logical Syntax of Language

is symbolized "Aristotle was a

not contradictory to that of the Traditional Grammar, but this is really the

A. J. J. DE WITTE

R. Carnap states in

'f(x)'

for 'was a Greek') the symbolic "form" is

In this way Logic becomes a part of Syntax, provided that the

latter is formulated with exactitude. But he means that this idealistic with exactitude formulated Syntax cannot be supported by an empirical studied existing language, a descriptive Syntax, because "the statement of their formal rules of formation and transformation would be so complicated that , it would be hardly feasible in practice". Therefore it is his ideal to construct a purely intelligential Syntax excluding the emotional and volitional, while all existing languages show a complicated mixture of the intelligential, volitional and emotional elements.

symbolized

as

80, 81, 299, 300. 'bl (x1 ) r ( x1 ) ' ('bl' ·

for 'red') and thus 'red' is treated a modifier of the function

'bl',

If "Royce Hall is a red building" is for 'building' ;

as

'x1'

for 'Royce Hall' ;

an independent function and not

'r'

as

this is contradictory to the attributive

placing of 'red' to 'building' in the Traditional Grammar (Reichenbach

304).

Evidently the whole of the classification of the parts of speech

deviates from the existing order, and especially: a substantive can be >ometimes an argument, and another time a function; prepositions and possessive pronouns may belong to the functions as well

as

to the logical

terms etc. These Logistic Grammars are of course carefully thought out, but they are without doubt strange to all existing language-systems. l think it is a pity that people have not made a thorough study of the

existing language-systems and that they did not try to free the intelligential elements from the non-intelligential. Then probably one would have hit

That is why his model-languages are projected without experimental investigations. Carnap and later on also H. Reichenbach in his Outlines of a Logistic Grammar in "Elements of Symbolic Logic" (New York 1947, p. 251-354) project systems of symbols, in which we meet elements and terms of the existing Grammars and the actually spoken language as: the (mostly abbreviated) words with their meaning; the speaking of subjects and objects and tenses of the verb; the putting before us in the part of the "logical terms" of "terms in a syntactical capacity: passive voice, copula 'is', punctuation- terms in a semantical capacity : conjunctions as 'or', 'and', 'but', 'is' in the meaning of identity-terms in a pragmatic capacity: 'yes', 'no', interrogatives, imperatives, modalities". But all this old traditional grammar-stuff is constructed in such a way, that the old forms of the Traditional Grammar do not receive any value. The pattern is quite anew. All that remains is the basic meaning of the word. If you can still speak of a "form" in the new Syntax or Grammar, then it is a form because symbols are placed in a construction of relations.

176

upon very important elements, which are now forgotten or neglected in the very theoretical constructions. Now, that the logistic model-languages exist, a profound comparative study of the different language-systems, and so of the different language­ types, can be useful

as

a means to verification and completion.

In this

way a bridge will be constructed from the abstract theoretical Grammar of the Symbolic Logic to the Syntagmatics of the living languages in use. At present the language of Symbolic Logic is only the domain of a few initiated, who know the secrets.· Naturally an enormous study is demanded for such an investigation into the intelligential elements of the existing language-types of Indogermanic, Altaian,

Chinese,

Indonesian,

(flexional) , attributing

Bantu,

American-Indian,

of

flectizing

(all relations in the sentence are relations of

regens-rectum or attribute) , word-grouping

(parts of the sentence are

interrelated word-groups), analyzing and synthetizing languages. The search after the intelligential and non-intelligential elements can hardly be brought v -

12

177

J· J.

A.

DE WI'ITE

THE RELATIONS OF SYMBOLIC LOGIC AND COMPARATIVE LINGUISTICS

to good results by one scholar. But if this result will ensue it will be very

R. Carnap constructs n i

valuable, not only for Symbolic Logic, but also for Linguistics, for Psychology,

The Logical Syntax

(p.

2, 3)

the following words

and sentences, of which neither the meaning of these words nor the sense of

and especially for Signifies.

these sentences are known: Pirots karulize elatically ('pirots' is substantive

In the circles of Symbolic Logic there exists a tendency to come in contact

in the plural; 'karulize' is verb in the third person plural in the present

with the existing languages. But one strives too exclusively to dominate the

time; 'elatically' is adverb) - A is a pirot - Thus : A karulizes elatically.

existing languages from the part of Logistic Grammar, instead of listening

In this way we way construct also a logical system, a calculus, a logical

to forms found out by speaking people in thousands of years of struggle,

language.

forms which certainly contain much that is of great value.

But Carnap rejects this without a proper argument: "Owing to the

The following examples can be possibly regarded as some intelligential

deficiencies of the word-languages, the logical syntax of a language of this

elements in language. The very exactly analyzing function of the sentence­

kind will not be developed, but, instead, we shall consider the syntax of two

elements in language with distinct forms and the connecting function of

artificially constructed symbolic languages (that is to say such languages as

the words-suffixes in the languages possessing them I consider as the most

employ formal symbols in stead of words)".

important ones. The relation cause-result is indicated by the direct object,

Which is easier as well!

the purpose by the indirect object etc. Mostly the adjectives belong very

And since it has not been changed.

correctly to their substantives.

All these relations can be expressed by

But in the end of his introduction he reaizes l the necessity of contact with

attributing and, as in written Chinese, by rigid word-grouping.

the existing languages: ". . . the syntactical concepts and rules - not in

At first sight the objective genitive (amor patriae) seems more logical

detail but in their general character- may also be applied .to the (logical)

than the subjective genitive (amor patris, the love of the father) and the

analysis of the incredibly complicated word-languages

possessive genitive ( domus patris), because in the latter two the subject and ,

(8)".

Now that the first revolutionary phase of Symbolic Logic is over and

the possessor are tnore important than what r).lles them grammatically, but

more quiet pondering is possible we ask the symbolic logicians to begin a

concerning the classification of concepts all genitives procure a specification

serious study of the existing language-systems, and with the result of this

of the concept ruling them.

study they may obtain an advantage concerning the constructing of the

The participium conjunctum 'ab Urbe condita' and the 'gerundive 'ad

intelligential in language-expression. At the same time this will response to

milites expellendos' regard the founding and the expelling to be done as a

the empirical character of the so-called "Neo-positivismus" of "Neo­

property, function of respectively the 'Urbs' and the 'soldiers'.

empirismus".

The difference of the adjectival 'currentem' in 'audio eum currentem' and the infinitival 'currere' in 'audio eum currere' indicates either a direct

perception or an indirect way of knowing (I hear from others that he runs).

The prepositions have originally the value of a modifier. For instance the

Greek (Hom.) . genitive

nebwto

•

135 Dennenstraat NIJMEGEN Nederland

may denote : in the plain, of the plain,

through the plain, away from the plain etc., but it gets modified by prepositions:

bt.a n.

(through

-) ,
(away from

-), lx n.

(out of

-) .

We state as something noticeable that continually more forms are going out of use, when people are passing from the more emotional stage of primitivity to the more intelligential stage of progressed culture, because the purpose is more easily understood without an overdistinct apparatus of forms or symbols. Moreover, it must be of importance to contrast the intelligential in language against the non-intelligential : contrast gives more clearness.

178

179

ZUM PROBLEM DER KONSTITUTION VON BEDEUTUNG

v - 30- 105

hinreichend dargelegt hat. Nicht aber ist ein einzelnes Wort als solches bereits mit einer Bedeutung versehen. Es ist vielmehr Zeichen, Indiz. Es vertritt den von ihm bezeichneten Gegenstand oder Sachverhalt. Es ist reines syntaktisches Substrat, das als solches zwar ,richtig" oder ,falsch"

HANS HEINZ HOLZ

aufgenornmen, nicht aber eigentlich ZUM PROBLEM DER KONSTITUTION VON BEDEUTUNG

1920 starnmenden Anmerkung zum I. Band seiner Husser! niedergeschriebe n: ,die letzte Kliirung von Edmund "Ideen" hat darauf, Satz, die letzte Reinigung, fi.ihrt doch gerade im Sinne der ,Ideen' da doch es wie und, , scheiden zu hier noch zwischen Bedeutung und Satz inem e zu also mu.l3 schon geschieht, Satz ontologisch zu verstehen. Das I.

·

In einer aus

diese Notiz eigenen Thema gemacht und vollendet werden". Wenn wir als An­ nicht gemii.l3 einem vorgefa.l3ten Denkschema i.ibernehmen, sondern so lassen, zu kommen Worte zu selbst halt weisung verstehen, den Sachver

ischen Problem vermag sie uns auf einiges Wesentliche am sprachphilosoph ihre . der Bedeutung hinzufi.n lich- und darin folgen wir Husserl ­ grundsatz eiden untersch Wir ontischer , zwischen materialen Regionalontologien, die die Seinsverfassung for­ neten vorgeord ien Ontolog diesen allen Bereiche explizieren, und einer reibt. ngvorsch Verfassu malen Ontologie, die jenen ihre gemeinsame formale sei voraus­ Ohne hier in eine Beweisfi.ihrung dari.iber eintreten zu wollen, ist. Wie aus der gesetzt, da.l3 der Boden dieser Fonnalontologie die Sprache logische Ver­ konkreten Sprachstruktur das materiale, fundamentalonto entspringen, ien lontolog Regiona aile standnis des Seins hervorwachst, dem . Darauf versucht zeigen zu habe ich in meinem Buche ,Sprache und Welt" sei hier verwiesen. Folgen wir nun der Husserl'schen Unterscheidung, so mu.l3 sich der

werden kann. Dem ent­

Verhalten herausfordert, nicht eigentlich in unsere Welt aufgenommen wird. Nur was durch Tun - im weitesten Sinne des Wortes als beschaftigte Zuwendung

zu

etwas verstanden- vermittelt ist, wird anthropologisch

bedeutend. Dasselbe gilt auch fi.ir die Sprache. Erst im Satz erweist sich das Wort als bedeutsam, weil sich im Satz die Sphare des Tuns spiegelt. Schon Heraklit setzt

UyeLV �ai noteiv

in die rechte Beziehung (Frg.

112).

Aus dieser Erkenntnis heraus mi.issen wir der Bedeutungslehre (Semasio­ logie) Grenzen ziehen. Wenn Bedeutung sich nur im Satze konstituiert, so mu.l3 sich die syntaktische Struktur als wesentlich fi.ir ihre Verfassung erweisen. Bedeutung kann nur in einem mit dem Problem der syntaktischen Formen gesehen werden. Da die Kerne nur in Verkni.ipfung mit anderen Kernen oder mit syntaktisch modifizierenden Partikeln eine Bedeutung erlangen, kann man annehmen, da.l3 die semantische Sphare in einem for­ malen Vollzug entspringt. In diesem formalen Akte, der Herstellung der Syntax, ergreifen wir zugleich das Ursprungsphanomen der logischen Strukturen und der semantischen Inhalte. Aus diesem Grunde sind auch formale Logik und formale Ontologie dasselbe. III.

Verweist uns die Konstitution von Bedeutung auf den Satz als

unterste semantische Einheit, dann mi.issen gerade die fonnalen Elemente des Satzes in den Mittelpunkt der Analyse ri.icken. Denn der Satz ist das, was er ist, kraft seiner Formalkonstituentien. Der Kern, der in die Syntax

Satz

eingeht und damit zum Syntagma wird, lii.l3t sich als solcher nicht hinsicht­

der Synthesis der syntaktischen Glieder konstituiert.

Kern tritt er zwar in der Erfahrung des Gegenstandserlebnisses auf; aber in

ais Trager jener formalontologischen Strukturen erweisen, wahrend die

Bedeutung sich erst in

verstanden

spricht anthropologisch, da.l3 der Erfahrungsinhalt, der von uns nicht ein

Dabei ist im Auge zu behalten, da.l3 das durch die Pradikation vorgezeich­ nete Urteils-Schema nur

eine

mogliche Form von Bedeutung darstellt,

lich seines Kernstoffes von der syntaktischen Form isolieren. Als reiner

der an das Erlebnis sich anlagernden Sinn-Mannigfaltigkeit, vermittels deren der unmittelbar gegebene Kern sich mit anderen retentionalen, pro­

neben die andere Formen, z.B. mperativische, i optativische, etc., treten, die

tentionalen oder horizontischen Gegebenheiten zu einem Beziehungsganzen

sich nicht (wie Negation und Konjunktiv) als kategoriale Modifikationen

verbindet, wird er logisch (und semantisch) modifiziert. Diese intentionale

des Urteils interpretieren lassen.

Totalitat, in die der einzelne Kern eingebettet ist, stellt eine funktionale

Damit ist die Thesis ausgesprochen,

zu

deren Entfaltung hier einige

II.

aus

versc�edenen Perspektiven akzentuiert werden kann,

Die semantische Einheit, von der wir auszugehen haben, ist der

Strukturmodelle dargestellt zu werden vermag: z.B. die prinzipielle Um­

Bedeu­

wandelbarkeit eines aktiven transitiven in einen passiven Satz bezeichnet

Es ist wohl moglich, da.l3 es eingliedrige Satze gibt, wie z.B. Schuchardt

zwei allgemeinste funktionale Strukturmodelle ein und desselben Sachver-

Satz. Au.l3erhalb des Satzes gibt es im echten Sinn des Wortes keine

tung.

Einheit dar, die je

so daS ein ganzheitliches weltliches Gefiige unter einer Vielheit funktionaler

Ansiitze aufgewiesen werden sollen.

180

181

HANS HEINZ HOLZ

halts. Die funktionale Stellung eines Kerns in der Syntax wird durch die syntaktische Form ausgewiesen. Damit geht das in singularer Gegebenheit Erlebte in einen Zusammenhang ein, in dem es Bedeutung erlangt: nicht als das, was es an sich ist, sondern als das, was es im Ganzen eines Sach­ verhaltes erfiillt. Die syntaktische Form am syntaktischen Stoff macht den gegebenen Kern zum bedeutenden. Die Rede, die Syntax, verbirgt weder, noch enthiillt sie - denn das sind Leistungen des Sich-Gebens der Gegen­ standlichkeiten - sondern sie schafft Bedeutungen; mit den Worten Hera­ klits, der am Ursprung des Denkens iiber die Sprache steht: oiJre .Uyet oou ��oet d.Ua C11Jp.aLvet (B 93). Die Bedeutung erwachst aus der syntak­ tischen Synthesis der Syntagmata. Sie eignet dem Glied des Satzes als solchem. Der Satz als Satz ist dann ontologisch Trager der transzendentalen Bestimmungen, deren die Kerne unterzogen werden. In diesem Sinne haben wir die Unterscheidung Husserls, von der wir ausgingen, zu verstehen. Darin kiindigt sich ein neuer Begriff der Transzendentalitat an. Denn wir konnen zu Recht die Konstitution von Bedeutung in der formalen syntaktischen Verbindung der syntaktischen Stoffe als die eigentliche Lei­ stung der Transzendentalitat ansehen und als solche kategorial beschreiben. Fassen wir aber die Riickverwiesemheit jedes Sprechaktes auf die originare Gegebenheit der Kerne ins Auge, so stellt sich die Transzendentalitat nicht als isolierter Bereich des reinen Bewu6tseins, als subjektive dar, sondem erweist sich als verschrankt in die objektive Weltlichkeit, von der sie ihren Gegenstand samt dessen immanenten Formqualitaten und Strukturgesetz­ lichkeiten bezieht, um ibn kategorial zu formen und zur Bedeutung zu bringen. In vollem Umfang wird dieses Wesen der Transzendentalitat aller­ dings erst durchsichtig, wenn wir von der Konstitution der Bedeutung zu der des Sinnes iibergehen. IV. Der Sprache sind gegeniiber der Anschauung charakteristische Grenzen gesetzt. In der Anschauung begegnet ein singularer Sachverhalt. Dieser wird im deiktischen Sprechakt als das -r6�e u angezielt. Indem jedoch das -r6�e n in die Deixis eingeht und zum Besprochenen wird, ist es bereits in einer letzten Allgemeinheit erfa6t und ausgelegt. Denn die Sprache nennt zwar im Wort das erfahrene Einzelne als solches, im Satz aber fiigt sie es hermeneutisch einem Bedeutungsganzen ein. Zwischen dem unmittel­ baren Erfassen in der Anschauung und der vermittelten Auslegung in der

Sprache liegt eine Grenze, die durch die -re.A.wrala �taqJoe6. bezeichnet ist. Dieser Unterschied ist jedoch zugleich ein Selbstunterschied der Sprache als auslegender, insofern in der letzten Allgemeinheit der auslegenden Rede das Einzelne als Einzelnes der nennenden Rede enthalten ist. In diesem Unterschied kommt die Differenz der ,theoretischen und prak182

ZOM PROBLEM DER KONSTITUTION VON BEDEUTUNG

tischen Dieses" (vgl. Josef Konig, Archiv f. Philosophie, 2, p. 22) zum Durchbruch. Da6 die Sprache je schon das praktische Dieses (hicce) in ein theoretisches Dieses (talis) iiberfiihrt, da6 dieser Umschlag geradezu die genuine Leistung der Sprache ausmacht, verweist uns auf einen philoso­ phisch noch bei weitem nicht durchdrungenen, ja kaum geahnten Horizont logisch-ontologischer und wissenschaftstheoretischer Probleme. Fiir unser Problem der Bedeutung besagt das, da6 diese in dem entscheidenden Um­ schlag vom praktischen ins theoretische Dieses ( d.h. im 'Oberspringen der als -rekv•ata �taqJoe6. gekennzeichneten Grenze) konstituiert wird. Bedeu­ tung erweist sich damit als ein ontologisches ( transzendentales), nicht als ein ontisches Problem. V. Bedeutung greift iiber die Singularitat des -r6�e n hinaus, sie erwiichst in einem Bereich, den wir als das Allgemeine bezeichnen konnen. Der Satz behandelt das Besprochene als unterstes Genus, so sehr er auch auf Ein­ zelnes abzielen mag. Indem das Wort in die ,dreistrahlige semantische Relation" (BUhler) eingeht, ist das von ihm Bezeichnete schon hinsichtlich eines Gemeinsamen ausgelegt: in der Rede erscheint die Art an Stelle der nackten Haecceitas. Art aber meint ontisch Artung (qualitas) , logisch unterste Gattungseinheit (genus). So und so angesprochene Beschaffen­ heiten sind wesensgesetzlich unterste Allgemeingegenstiindlichkeiten. Die Sprache verfiihrt in einer urspriinglichen Weise eidetisch. Der Durchbruch dieser eidetischen Funktion der Sprache in der vorsokratischen Philosophic his hin zur au6ersten Denkintensitat des spiiten Platon, in dessen Verlauf sie zum Motiv und Thema der Philosophic wird, hat die Welt- und Selbst­ Denkens entscheidend bestimmt. l auslegung des abendandischen Da6 sich Bedeutung immer als Allgemeingegenstandlichkeit konstituiert, hat einige wichtige Konsequenzen. Zunachst entgleitet damit dem Denken stets die unmittelbare Wirklichkeit, die sich jedem Zugriff des Gedankens entzieht. Alles Gegebene wird nur im Durchgang durch einen Proze8 der Verfremdung zum moglichen Inhalt des Verstehens und Behandelns. Diese durch die Sprache bedingte Distanz zu den Dingen unterscheidet den Menschen auch wesentlich vom Tier, dessen Daseinsform und -verlauf gerade durch die Nahstellung zur Welt, die unvermittelte Beriihrung mit den Dingen bestimmt ist. Im Instinktverhalten scheint sich zwar eine eide­ tisch-selektive Funktion auszuwirken, aber noch ohne die Moglichkeit, Bedeutungen herzustellen und sie aus dem Ganzen heraus als einzelne Artungen zu verstehen. Erst die sprachliche Distanz schafft den Raum der Freiheit und des Tuns, statt des Verhaltenszwanges und der Reaktion. Die eidetische Funktion der Sprache hat einen zweiten, wesentlichen i dem sie ein IdenAspekt: sie entriickt das Bedeutete dem Zeitstrom, n 183

v-

HANS HEINZ HOLZ

31 - 104

tisches, Bleibendes zugrundelegt. Nietzsche hat ausdriicklich zu bedenken gegeben, da.B die Mittel der Sprache nicht hinreichen, ein ,Werden" aus­ zudriicken

(Wille zur Macht,

Aph.

485).

Die unvollstiindigen Hilfsrnittel

der Tempora konnen nur grobe Differenzierungen darstellen. Das hat den

H.

Nachteil, da.B mit der Sprache sich zugleich das Denken gegeniiber der WirJdichkeit versteift. Es ermoglicht jedoch die Leistung, aus dem Flu8 der

G.

ALEXANDER

LANGUAGE AND HYPOSTATIZATION

Erscheinungen eine einheitliche Welt herauszuheben, deren ldentitat eine eigene Stellungnahme zu ihr erlaubt. Indem die Zeit in der Sprache ihres kontinuierlichen Flu.Bes enthoben wird, entsteht auf dem Boden der Be­ deutungen stiftenden Sprache das Bild_ der Welt als einer einheitlichen, gegenstandlichen, identischen.

A rather serious concern over the proper relationship between reality,

thought, and the symbolization of thought, has been evinced by much

recent iterature l in philosophy. We must, of course, heed the warning

Die Herstellung der Distanz in der Subjekt-Objekt-Relation (und damit

that we guard against the kind of intellectual degeneracy which finds

die Bedingung der Moglichkeit von Subjektivitat iiberhaupt) und die Kon­

in semantics either a universal panacea or the central problem of

stitution von Welt als einer identischen, einheitlichen, mit wesenhaft unab­

philosophy. Nevertheless, a certain grave uneasiness over the semantic

geschlossenen Horizonten - das sind die fundamentalen Leistungen der

problem must have its causes. Chief of these is perhaps the apprehension

semantischen Seite der Sprache.

that languages, to an unexpected degree, have an influence over concepts

V.I.

i Es ist einsichtig, da.B diese Leistungen nicht als Ausflu.B der m

and thought patterns. In this case the danger looms that we are confronted

Sprachfeld bereits fertig vorfindlichen Bedeutungen anzusehen sind. Viel­

with a subtle form of a familiar Baconian "idol" against which we should

mehr : indem sich die Bedeutungen in der ,dreistrahligen semantischan

be on guard.

Relation" konstituieren, geboren aus dem aufeinander zugeordneten Horen

The hypothesis that language is a potent factor in the shaping of ideas

19), wachsen aus ihnen

seems on the whole to be regarded more seriously by linguists than by

jene Seinsverhaltnisse hervor, in denen der Mensch denkend sich mit dem

philosophers. One of America's greatest linguists, the late Professor

und Sprechen - &uoiiaat "'al. ehte'iv (Heraklit Frg.

Seienden einla.Bt. In dieser Dreiheit von

1.) Bedeutung,

in der ein Seiendes

Edward Sapir, reflects a typical point of view in remarking: "It is, indeed,

2.)

in the highest degree likely that language is an instrument originally put

sich hinsichtlich eines umfassenden Beziehungsganzen erschlie.Bt, von

Welt-1dentitiit, an der ein Tun als verstehendes, geplantes, bewirkendes ( als Entwurf) ansetzen kann und von 3.) Subjekt-Objekt-Distanz, in der das

refined interpretation of its content"

Seiende einem Bewu.Btsein als Allgemeines erscheint- darin geschieht nun

a key; it may also be a fetter"

ein Letztes, Hochstes, das die Sprache vermag: es konstituiert sich der

Sinn

als die Erfiillung einer auf das Sein gerichteten Intention, als die Unver­ borgenheit des Seienden in seinem Sein

(&Ary19-eta),

wie Heidegger den

Wahrheitsbegriff interpretiert. lndem die Bedeutungen sich zusammen­ schlie.Ben als kompossible Elemente, werden sie transparent auf eine in der

to uses lower than the conceptual plane and that thought arises as a

2 ).

1) .

Or again, "the word is not only

Exaggerating this point of view has

led certain popularizers to emphasize the "fetter" idea almost to the exclusion of the "key" idea. But here, at any rate, is the crux of the problem; for

if

the word be in some respect "key", we must also regard

it at least as a potential "fetter". In discussing the ways in which language may influence or fetter

Perspektivitat sich erfiillende Wahrheit, gemaB der sich der offene Horizont

thought, it will be convenient to mention three familiar linguistic cate­

der Intention ,zustellt", insofem eine konkrete Moglichkeit als Wirklichkeit

gories: vocabulary, morphology, and syntax. By vocabulary, I refer only

in ihn einriickt. Das ist dann der Sinn, in den ein Gegebenes sprachlich

to the sets of unrelated words which one would find in a lexicon. The

ausgelegt wurde. Dieser aber ist

influence of vocabulary on thought is rather obvious, and should not be

ai>�wv.

(Heraklit Frg.

A6yo� {3a-Ml�,

115).

und das heiSt :

A6yo� eavr6v

overly misleading; for it consists primarily in the fact that words are

164 RaimundstraBe FRANKFURT AM MAIN Allemagne

1

) E. Sapir, Language, (New York: Harcourt, Brace and Co., 1921), p. 14. '2) Ibid., p. 17.

184

185

H. G. ALEXANDER

LANGUAGE

AND

HYPOSTATIZATION

terms with variable extension, the limits of which are rather arbitrarily,

We must insist that the above scheme is a functional one. This may

though often unwittingly, set. These limits change from language to

be clearly indicated by the fact that words are in many languages easily

language, from age to age, and even from speaker to speaker, so that there

changed from one category to another. The following quotation of Boas

can be no eternally fixed referent per symbol. But if the immediate referent is reasonably indicated by context, gesture, or the like, no dangerous ambiguity is apt to result.

with regard to Kwakiutl might almost apply with equal force to English: "Although the formal [i.e., syntactical] distinction of noun and verb is quite sharp", he says, "the great freedom with which nouns may be trans­

However, the influences which stem from morphology and syntax are

formed into verbs, and verbs into nouns, makes a classification difficult.

of a more subtle nature. Here we must include the major categorizations

All stems seem to be neutral, neither noun nor verb; and their nominal

of inguistic l symbols into so-called "parts of speech". In any discussion

or verbal character seems to depend solely upon the suffix with which

of parts of speech, the linguist immediately calls attention to the fact that the variation from language to language is considerable, and that there­

fore there is

no

uniform or natural pattern. From this he argues that the

they are used . . ." 3). Various languages are marked by differing emphases.

In Greenlandic, for example, the verb is part of a naming function, almost

nominal in character. As Graff tells

us

4), "In Greenlandic, for

example,

thinking of each linguistic group is strongly colored by its own peculiar

the sentence 'I hear him' . . . would literally mean 'sounding-his-my'." But

morphological system, leading to impossibilities of translation, and showing

even here there is a categorial distinction present: a named condition is

therefore the strong influence of language upon thought patterns. On the other hand, it may be noted that however varied the morphological arrangement may be, there is a certain underlying uniformity due to

expressed. The nominalized activity functions as noun together with the implication of verbal assertion. In general, it appears that every language has some categorial scheme,

syntax.

however much the emphasis may change from one function to another.

of this relation a special type of function to perform. Thus, a verb is a

recurrence of the four-fold arrangement already mentioned. The vari­

Syntax is the relational matrix of a language, giving to each member

Furthermore, there appears to be something almost universal about the

verb rather because of its syntactical function than because of any inherent

ations occur principally between the customary. classification of ideas

morphological character, though the latter normally follows the function.

according to certain "parts of speech", and in the relative emphasis or

A noun used as verb will in most languages take on morphological traits

importance attaching to each part of speech. Concepts which are custom­

of a verb. Actually the verbal affixes of an inflected language may be placed on any word, and while these affixes or inflections are considered as morphological traits, they are really so by virtue of syntax. To illustrate what I mean, let us consider the basie categorial scheme of Indo-European languages, a categorial scheme which I believe can find some counterparts in most languages. This scheme may be regarded as basically four-fold. First, there are

nouns,

whose task primarily, despite

the profusion of nominalized qualities, relations, and actions, is to desig­ nate relatively stable, concrete objects or classes of objects. As for pronouns, let it be recorded that they are merly substitutional symbols for nouns. Second, there are the

modifiers or qualifying terms, the adjectives, adverbs,

articles, and the like, which have as function the task of characterizing or limiting. Third, there are

relaters,

including especially prepositions and

conjunctions, together with their counterparts in the inflectional schemes. And fourth, there are the

verbs,

whose principal function is to designate

events, goings on, activities, and the like. Of these four categories, Indo­ European languages normally emphasize the noun and the verb.

186

arily verbal in some languages are nominal in others, those which are adjectival n i one may be verbal in another, etc. Also, some languages will be primarily nominal in emphasis, others primarily verbal. It

s i

rarer

to find one that is basically adjectival or relational, although, if Professor

Gray's theory of epithetologues in primitive Indo-European were accepted,

the ancestor of our own languages would seem to have been primarily adjectival and verbal; for all parts of spee,ch, he suggests, other than verbs, are reducible to the descriptive function of the epithet {hence "epi­ thetologues") 5).

In Indo-European languages the nominalization of words ordinarily appearing in other categories, such as verbs or adjectives, serves a twofold

3) Franz Boas, Handbook of American Indian Languages, (Bulletin of the

Bureau of American Ethnology, No. 40, Pt. I), p. 441. 4) Willem Graff, Language and Languages, (New York: D. Appleton and Co., 1932), p. 327. 6) Louis H. Gray, Foundations of Language, (New York: The Macmillan Co.,

1939), pp. 169ff.

187

H.

G.

ALEXANDER

LANGUAGE AND HYPOSTATIZATION

purpose. First, it carries the concept into a new perspective which because

categories thus served to bring the focus of interest upon those scien­

of the original categorical significance of the noun class causes the referent

tifically significant abstractions, the emphasis upon which has made of Plato the father of modern mathematical science. Curiously, we notice

to be viewed as something relatively stable and concrete. Qualifiers, activity terms, and even relaters may be nominalized to accomplish this

that the most unreasonable of all Platonic ideas are exactly those which

change of perspective. For example, in English we may speak of "the ride"

represent classes of concrete objects, such as man, chair, table, etc. It is

(from a word primarily designating an activity) , or "the rough" (from

not so absurd. to stress archetypal beauty or archetypal goodness as it is

a word primarily designating a quality), or even "the uponness" (from

to formulate a metaphysics out of archetypal Platos or archetypal mud. The liability of hypostatization seems to have blinded subsequent

a word primarily designating a relation). The second function of nomi­ nalization is that of attention-calling. Because of its dominant place in

thinkers to its real merit as an attention-focusser. Even Aristotle, in

upon anything which is so designated. Unfortunately, nominalizing of

of substances which tried to avoid being mere forms but which in the

the sentence, transference to a noun category serves to focus the attention

verbs, adjectives, and so on, in order to focus attention upon them has

criticizing the hypostatized forms of the Platonists, reverted to a world end were certainly only significantly a set of formal entelechies. But

also had the consequence of causing the concepts expressed by such

principally Aristotelianism constitutes an effort to return to natural and

linguistic forms to be nominalized in the first sense as weii, that is, to be

non-derived substantives, leaving abstract nouns, and the "forms" of

given the status of , stable, concrete particulars. Inadvertently perhaps, in

Plato, to their former place as attributes of material things. Aristotle's thought is that which of all ancient philosophies was most closely fitted

this way hypostatizations have come about. The facility with which the ancient Greek languages nominalized other

to the normal grammatical implications of an Indo-European language.

parts of speech gives us a clue to the manner in which thought may be

Subsequent western philosophy has had difficulty with Aristotle's

influenced by language. The strong tendency toward hypostatization in

substance-based system; for this substantial reality turns into a relational

Greek philosophy was unquestionably furthered by this facility. Even

concept, namely that of

possessor of

attributes or

doer of

actions, which

Homeric Greek already gives indications of the tendency 6), so that it is

s i

not surprising to find example of hypostatization

is an impossibility, except insofar as it is the mere potentiality of form,

already

in such

expressions of early Greek philosophers as "the boundless", or "the being". Thus, at the very inception of Greek philosophical and scientific thought we find a linguistic influence, which was both aid and hindrance, it would

as abstract as any Platonic form. To describe the ultimate substrate

the potential· possessor of namable formal attributes 7). Since the time of Plato and Aristotle, western thinkers have been roughly divided into those

who prefer to follow the Platonic scheme despite the implied acceptance

appear. It was an aid in enabling the Greek thinkers to focus attention

of hypostatized forms and those who prefer to follow the Aristotelian

more directly upon. qualities, relations, and the actions or conditions

stress on possessor-substance. Medieval realism and nominalism represent

expressed by verbs. The advantage of being thus able to center attention

but the extremes of these emphases. Thomism makes use of both by

upon abstracted traits as the central features of the cosmos is incalculable.

accepting the real significance of Platonic forms together with an insistence

But this facility was also somewhat of a liability insofar as it caused an

upon the ultimate reality of a substance which is more pure substratum

over-hypostatization of these abstractions.

than a set of particulars. But usually the doctrine of substance has two

The Platonic theory of forms is the culminating glory of the whole

diverse descendants, one being the nominalistic and atomistic doctrine of

tendency toward hypostatization. Ideas or forms are clearly for Plato the

individual substances, or particulars, the other being the more traditional

most permanent and significant

(and in this sense the most "real")

view of a generic form-possessing substratum.

elements in the universe. Moreover, it seems to be precisely because

Locke was the father of a tradition in philosophy which finally repudi­

Platonic forms represent substantivized qualities, relations, and functions

ated substance in favor of ultimate qualities, and Leibniz was the father

that they are superior to mere objects. The nominalizing of non-nominal

6)

Cf. Iliad I, 70 and XI, 658, etc., in which the participle or verbal adjective occurs with the definite article before it. 188

7) Note Aristotle's effort to suggest a pure possessor of all attributes, even of the attributes of materiality, as in Metaphysics 1049a 19ff., where terms like "wooden", "earthen", etc., appear

as

qualities of a prior substrate. 189

H.

G.

ALEXANDER

of another tradition which hM replaced substance with relations and functions. The Platonic abstractions have thus been eventually recognized but without the liability of hypostatization. In the foregoing example of linguistic influence on philosophical think­

PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

ing we must not fail to observe again that while in a way language was apparently a fetter to thought, nevertheless it was also a key. A certain facility for nominalization in Greek made possible or suggested a line of thought that led to western science. It is not our argument here that language was in this case or in any case the whole cause of the develop­ ment of a certain philosophy. But it does

seem

apparent that within the

channel or .groove afforded by linguistic patterns a certain line of thought was made possible. Without the thinkers as well who imagined and stretched and molded the language upon the suggested frame, the development would never have occurred.

University of New Mexico ALBUQUERQUE, N. M. U.S.A.

PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

lYO

v - 32 - 128

A. H E Y T I N G

SUR LA TACHE DE LA PHILOSOPHIE DES MATH:EMATIQUES

Malgre le developpement de la philosophic des sciences dans le dernier demi-siecle, tout le monde n'est pas d'accord sur la tache de cette branche de Ia philosophic et sur ses rapports avec Ia science. De nos jours encore

on defend le point de vue extreme selon lequel Ia philosophie, en vertu de

ses principes autonomes, erige des normes auxquelles la science, pour etre

coherente, est tenue d'obeir. En general cette conception de la philosophic favorise les tendances conservatrices. La science d'hier, tirant prestige de ses succes, semble posseder des principes inebranlables que le philosophe est

trop incline a considerer comme absolus. Les exemples de cette espece de

conservatisme abondent dans l'histoire des sciences. Citons-en quelques-uns

parmi les plus recents. Presque tous les philosophes s'opposerent aux debuts de Ia theorie de Ia relativite, alleguant que Ia n_otion de temps absolu, qui' peut se constituer sur des fondements philosophiques,

ne saurait etre

invalidee par !'experience. En mathematiques, Ia geometrie non-euclidienne

se heurta a des convictions analogues sur la nature de l'espace. Aujourd'hui la mecanique des quanta lutte contre des notions fixees sur le principe de

causalite. Meme parmi le!l courants de pensee considcres comme progressifs, il y

en a qui voudraient prescrire des methodes a la science. Les physicalistes

par exemple decretent que, pour etre scientifique, un enonce doit pouvoir

etre exprime dans le langage de la physique. Pour les mathematiques, Ia meme tenda\lce se trouve sous sa forme Ia plus nette chez les empiristes proprements dits, comme Pasch par exemple, qui, partant de Ia these philo­ sophique que !'experience est Ia seule sou�ce de la connaissance, decretent que les mathematiques doivent etre une science experimentale. Les courants de pensee plus modernes ne sont pas entierement liberes de cette tendance. Certains partisans de la logistique pretendent que les mathematiques doi­ vent etre exclusivement fondees sur Ia logique; beaucoup de mathematiciens croient que la rigueur ne se trouve que dans Ia manipulation de formules; les n i tuitionnistes exigent que les mathematiques se basent sur des verites intuitivement claires. L'histoire nous apprend que Ia science. se moque de Ia pretention qu'a

V-U

193

A. HEYTINC

SUR LA TACHE DE LA PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

Ia philosophie de lui prescrire sa voie. Les physiciens ont developpe Ia theorie de Ia relativite sans se saucier des objections philosophiques i le meme cas se presente pour la georoetrie non-euclidienne. Aujourd'hui la sterilite de Ia methode dogmatique et dictatoriale est generalement recon­ nue, mais, corome je viens de l'indiquer, des traces en restent, souvent deguisees, dans les courants de pensee contemporains et continuent de gener le progres de la science. Faut-il en conclure que Ia philosophie doive se horner a enregistrer sans critique Ies methodes de Ia science? Cette conclusion serait prematuree. L'homme de . science vise a des resultats concrets; d'une part il choisit les methodes qui menent a son but sans trap se saucier de leur sens general, d'autre part, son attention etant fixee sur le detail, il court le risque de ne pas apercevoir les tendances generales de Ia science. Le but de cette con­ ference est de montrer par quelques exemples comment une analyse des methodes et des notions fondamentales de Ia science peut conduire a des resultats qu'on n'atteint pas par les methodes de la science et qui a leur tour peuvent inspirer de nouvelles recherches scientifiques. Peut-etre serait-il plus aise de trouver ces exemples dans Ia philosophie de Ia �hysique. On sait que la notion d'explication a evolue rapideroent; Ia physique des modeles mecaniques, celle des milieux elastiques, celle des champs de forces se sont succede et aujourd'hui Ia notion d'explication semble ceder sa place a celle de revision. II est important de remarquer que cett� �volutio� s'effectue involontairement et que Ie plus souvent le savant qUl mtrodUit une methode nouvelle n'est pas conscient de modifier le but de Ia science et !'ideal de Ia methode scientifique. C'est au philosophe qu'incombe Ia tache de degager nettement les idees fondamentales de Ia tMorie nouvelle. C'est sans doute parce que Ia notion de science mathematique comprend une exigence de nature plus ou moins dogmatique, celle de Ia rigueur, que les philosophes des mathematiques sont inclines a s'exprimer en des tex:nes pl�s apodictiques que ceux de Ia science experimentale. Pour un vrru math�­ roaticien, c'est a peine si Ia rigueur pose un probleme. II'1lui suffit de savotr ' n distinguer si un raisonnement est ngoureux ou non et 1 n' eprouve qu'u cette faible besoin de se rendre compte des criteres qu'il applique pour decision. Platen et Kant sont les philosophes qui se sont le plus intensive­ ment occupes du probleme de Ia rigueur. II y a une difference caracteris­ tique dans . leur maniere de l'attaquer, celle de Platon etant plus proche du point de vue moderne. Platon avait observe l'activite des mathemati­ : leur ciens ' il connaissait les caracteres principaux des ma:thematiques . , caractere abstrait et leur methode deductive. En constatant, en decnvant et en interpretant ces particularites, il doit avoir aide les mathematiciens

de son temps a en devenir mieux conscients, et c'est probablement en ce sens qu'il a influence le developpement ulterieur. Si cette hypothese est exacte, Platen est le prototype d'un bon philosophe de Ia science. C'est Leibnitz qui a mis en lumiere un caractere des mathematiques peu etudie avant lui, le caractere forme!. II dressa le programme d'appliquer Ia methode formelle a d'autres domaines. Kant fixa !'attention sur un carac­ tere different, celui de !'evidence intuitive. Mais Kant, ayant une idee moins claire de sa tache, ne se borna pas a !'analyse de cette evidence et a !'investigation de ses limites; il l'erigea en une exigence abs0lue et chercha a Ia deduire de principes philosophiques. La forme ideale de Ia philosophie des matheroatiques, que nous voyons realisee le mieux chez Platon et Leib­ nitz, consiste done en !'analyse des methodes et des notions fondamentales, dans leur comparaison avec celles .d'autres sciences et dans Ia determination des limites de leur applicabilite. Examinons de ce point de vue Ies mathe­ matiques du XIXieme siecle, connues sous le nom de «mathematiques clas­ siques». Platen avait remarque que les mathematiques, a cause de leur caractere abstr.ait, ne pouvaient pas porter sur Ia realite materielle; il posait ainsi le probleme de !'objet des mathematiques. Sa solution ne nous satisfait plus ; corome aucune interpretation vraiment satisfaisante de leur objet n'a ete donnee, on peut dire sans exageration que les mathematiques classiques planent dans le vide. L'analyse effectuee dans le premier quart du XX.i�me siecle en a rev6le la cause : les roathematiques classiques sont un melange d'elements intuitifs et d'elements formels, combines sans distinction claire et exigeant chacun un objet de nature differente. D'une part, les concepts logiques, ceux de nombre nature! et d'ensemble y sont pris en leur sens usuel, emprunte aux ensembles finis qu'on rencontre dans Ia vie de taus les jours; d'autre part des algorithmes purement formels y definissent de nou­ ve3:ux objets. Ce n'est pas Ia tache de la philosophie de juger si ces metho­ des sont admissibles ou non; il suffit de constater qu'il est impossible d'assig­ ner aux mathematiques classiques un objet bien determine. Si les mathe­ maticiens veulent continuer de pubier l des considerations sans objet, ils seront peut-etre justifies par l'utilite de cette activite pour les sciences de Ia nature, ou par quelque autre argument. Neanmoins cette conclusion philosophique peut etre l'origine d'une nouvelle direction pour les recher­ ches scientifiques. L'histoire de la methode axiomatique pendant le dernier siecle nous en fournit un: exemple. Negligeant les idees de Pasch, qui ont perdu leur actualite, commen9ons par une analyse de Ia conception de Hilbert, dans ses «Grundlagen der Geometrie» de 1899. Pour lui, le but unique d'une theorie axioroatique est !'etude des consequences des suppo-

194

195

I

�

·

·

SUR

A. HEYTING sitions formulees dans les axiomes. :£videmment cela veut dire que pour lui

LA

TACHE DE LA PHILOSOPIDE DES MATHEMATIQUES

d'employer le mot «mathematiques�. En realite chacun d'eux ne faisait

l'objet des mathematiques est hypothetique; it faut lire chaque theoreme

que poursuivre jusqu'a ses demieres consequences un certain aspect qui

comme suit : «Si pour un certain domaine d'objets les axiomes sont vrais,

etait deja present dans les mathematiques classiques.

le theoreme est vrai dans le meme domaine:.. (En once

A).

La question

L'analyse ne s'arrete ni devant le formalisme ni devant l'intuitionnisme

se pose de savoir quel sens il faut attribuer a cet enonce lorsqu'aucun

de M. Brouwer. Quant au premier, plusieurs questions se posent, tant

domaine n'existe pour lequel les axiomes sont vrais, question d'autant plus

concernant les mathematiques formelles que Ia metamathematique. Qu'en­

pressante que certainement aucun domaine de validite n'existe dans Ia

tend-on exactement par un. signe? «Le meme signe� a deux places diffe­

realite materielle. Deux reponses ont ete donnees a cette question. La pre­

rentes, ce sont deux signes differents mais de forme egale; il ne s'agit done

miere, celle de Poincare, consiste en une modification de la notion d'exis­

:Pas des signes comme objets materiels, mais de formes de signes. Pour

un

mathematicien nourri des travaux de Cantor, Frege et Russell, il est

tence. Poincare soutient qu'en mathematiques !'existence d'un objet est assuree par la consistance du systeme d'axiomes qui constitue sa definition

attrayant d'interpreter «forme de signe» comme signifiant la classe de tous

implicite. En proposant cette theorie, il ne s'appuyait pas sur une theorie

les signes de la meme forme qu'un signe donne. Cependant cette interpre­

philosophique pn!con�tue, mais il donnait une interpretation des mathe­

tation a de graves inconvenients. Une analyse definitive de Ia notion de

matiques existantes. Une autre solution, tacitement adoptee par Ia plupart

forme de signe n'a pas encore ete donnee ; un travail preparatoire consiste

des mathematiciens, est la suivante. On interprete l'enonce que je viens de

en l'axiomatisation de la theorie des signes, par laquelle une science nou­ velle, Ia semiotique, a ete inauguree.

formuler par «Si pour un certain domaine d'objets les axiomes sont approximativement vrais, le theoreme sera approximativement vrai dans le meme domaine:t (Enonce

A aB

B).

Pour l'intuitionnisme, la situation est un peu differente. M. Brouwer a

II serait difficile de justifier le passage de

par Ia logique ou par Ia philosophic; ce passage n'est justifie que

par son succes pratique.

donne une analyse de la notion de nombre nature!, mais il para1t que cette I

analyse n'epuise pas les modes de raisonnement qu'il emploie. Par exemple, sa notion de l'absurde et la methode de reflexion sur une demonstration,

Du fait que l'axiomatique ne possede pas un objet bien determine, Hil­

qu'il utilise pour etablir le theoreme fondamental sur les deploiements

bert a tire Ia consequence qu'une demonstration de consistance pour le

bornes, sortent du cadre de Ia construction de Ia suite des nombres naturels.

systeme d'axiomes est necessaire. Or comme Ia methode des modeles ne

La tentative de M. Griss de se passer de la negation se heurte a de graves

conduit qu'a des demonstrations de consistance relatives, il lui fallait trouver

difficultes.

une base nouvelle pour donner une demonstration absolue, de consistance.

La base de !'analyse d'une theorie est dans !'observation de l'activite du

Hilbert la trouve dans la formalisation des mathematiques et dans Ia sepa­

savant. II faut se mefier de ce que celui-ci dit lui-meme de son activite.

ration entre les mathematiques proprement dites, lesquelles sont purement formelles, et d'autre part la metamathematique qui contient les conside­ rations sur le systeme formel. Toute cette evolution de la pensee de Hilbert

Un mathematicien formaEste ecrit des formules suivant des regles claire­

ment formulees, mais le philosophe portera son attention cgalement sur les

jugements de valeur que le formaliste fait sur son systeme, et sur !'inter­

consiste en une analyse approfondie de l'un des caracteres des mathema­

pretation tacite qui le guide dans Ia construction du systeme. De meme,

tiques classiques, son caractere forme!.

quand l'intuitionniste pretend

s'interesser exclusivement aux construc­

L'analyse de !'element intuitif, preparee par Poincare et par les soi­

tions mentales, le philosophe observera qu'il fait tout de meme des calculs

disants empiristes fran�tais comme M. Borel, a ete menee a fond par

formels et se demandera quel est le role du calcul dans la conception

M. Brouwer. Quoique le developpement de l'intuitionnisme ait ete moins

intuitionniste.

rectiligne que celui des idees de Hilbert, il presente le meme balancement de la construction et de !'analyse critique. Par un malentendu qui se presente souvent dans des situations analogues,

Cette analyse, quoique incomplete, montre deja que le formalisme et l'intuitionnisme, accentuant chacun l'un des caracteres fondamentaux des mathematiques

classiques,

n'ont pas pu

affranchir

completement les

ou deux savants, ayant analyse des aspects differents d'une theorie, se dis­

deux aspects, de sorte qu'aucune des deux theories ne donne une solution

putent l'honneur d'en avoir decouvert !'essence, Hilbert et Brouwer s'enga­

definitive du probleme de !'objet des mathematiques. L'objet des mathe­

gere-nt dans une discussion qui ne portait en fin de compte que sur le droit

matiques formalistes n'est pas le systeme forme! en soi, en tant qu'objet

196

197

v - 33 - 94

A. HEYTING

materiel, mais Ie systeme forme! comme representant des idees laissees

a

dessein dans Ie vague. Et !'objet des mathematiques intuitionnistes n'est pas

forme par des constructions mentales inobservables, mais par des construc­

tions exprimees et soutenues par Ie calcul. Ces resultats indiquent peut-etre

HUGO DINGLER

que Ia question de !'objet est mal formulee et qu'il faut d'abord en chercher un enonce plus adequat.

WAS 1ST KONVENTIONALISMUS?

Je formule mes conclusions dans les theses suivantes.

1.

La science progresse en une alternance de phases de construction et

2.

En general, le savant, preoccupe de Ia construction d'une theorie,

de phases d'analyse.

n'a qu'une notion vague et incomplete des concepts et des relations qu'il

presuppose.

3.

La tache du philosophe de Ia science est d'y suppleer par !'analyse

du travail scientifique effectif. Le philosophe ne saurait juger de la valeur d'une theorie scientifique; il se bornera

4.

a en preciser la portee.

L'analyse portera non seulement sur les enonces plus ou moins for­

malises de Ia theorie proprement dite, mais egalement sur ce qui y est

tacitement presuppose. Cela veut dire que le philosophe ne dedaignera pas de se servir de Ia methode de la signifique.

5.

Par son activite Ie philosophe donne le branle

a de nouvelles recher­

ches scientifiques dont il indique la direction sans toutefois pouvoir en

Zum 50jahrigen Jubilaum des Erscheinens der deutschen Ausgabe von Henri Poincares Wissenschaft und Hypothese. · '

Der beriihmte franzosische Mathematiker Henri Poincare hat nicht nur

die exakten Wissenschaften urn wichtige Einsichten bereichert, er hat in

hoheren Jahren in einer Reihe von Schriften bedeutsame Gedanken zur Wissenschaftslehre niedergelegt. Er hat darin eine originelle Auffassung

vertreten, die er als ,Konventionalismus" bezeichnet und er hat damit das

Recht gewonnen auch als Schopfer einer neuen philosophischen Denk­

richtung in die Geschichte dieser Wissenschaft einzugehen. Das erste Buch dieser Art war

La Science et !)hypothese, das 1902 in· Paris erschien. Die

deutsche Di;>ersetzung dieses Werkes ( durch den Mathematiker Ferdinand

Lindemann) erschien 1904. Das Werk hat unzweifelhaft die Diskussionen

prescrire la methode.

uber das Wesen der exakten Wissenschaften, welche durch die Entdeckung

Nieuwe Achtergracht 121 AMSTERDAM-C.

Iungen der theoretischen Physik ausgelost wurden, tie£ befruchtet, so daB es

Pays-Bas

wir dieses Urristandes nach 50 Jahren heute gedenken.

der nichteuklidischen Geometrien und die dadurch beeinfluBten Aufstel­

als eine Pflicht der Dankbarkeit an diesem groBen Forscher erscheint, wenn Es ist Ieicht zu verstehen, warum der Konventionalismus nicht zeitlich

friihei auftreten konnte. Er ist ein Kind der Entdeckung der nichteuklidi_. schen Geometrien, die ab

1865 in

das BewuBtsein der Forscher traten. Er

driickt die eigenartige Problemlage aus, die in erkenntnistheoretischer Hin­ sicht damit entstand. Solange man der Meinung war,

daB nur

eine

Geometrie moglich sei, hatten die Mathematiker wenig AnlaB sich Init der Frage nach ihrem Geltungsgrund zu beschaftigen. Sie iiberlieBen das Allgemeinen der

Philosophie.

im

Waren jedoch ·verschiedene Geometrien

moglich, dann wurde diese Frage auf einmal auch fiir die exakten Wissen­

schaften aktuell.

Aus dem erilpiristischen Zeitgeist heraus schien .es sicher, daB die Geome­

trie eine Eigenschaft der Wirklichkeit sei; aus Tradition nahm man

an, daB die Geometrie des Raumes nur· eine sein konne. Woher sollte dann die Entscheidung genommen werden, dariiber, welche der vielen mathema-

198

199

WAS 1ST KONVENTIONALISMUS?

HUGO DINGLER

tisch vorhandenen Geometrien nun wirklich gelte? Es schien nur

von vorneherein feststiinde, daB sie deformationsfrei sind. Denn es gibt keine

eine

Normen, an denen dies festgestellt werden kann. Man kann rein empirisch

Moglichkeit iibrig zu bleiben: die Entscheidung muBte aus der Erfahrung, aus der Messung flieBen.

Poincare sieht die Dinge anders.

Deformationsfreiheit nicht feststellen, da sie nicht definiert ist. Die zweite

Moglichkeit ist also widerspruchsvoll und undurchfiihrbar (wo sie durch­

Er sagt: die geometrischen Axiome seien

fiih.rbar erscheint, stecken unbewuBte Definitionen dahinter) . In

nur verkleidete Definitionen, sie seien ,auf Vbereinkommen beruhende Festsetzungen" und die euklidische Geometrie wahle

man

vollig die Definition des Begriffes ,fester Korper".

nur, weil sie

3.)

fehlt

Fiir den Konventionalismus ist die erste Vorbedingung, daB iiberhaupt

bequemer sei als die anderen ( S . 5 1 . 52. der deutschen Ausgabe). Dennoch

eine

billigt er der Erfahrung einen EinfluB zu: unsere Wahl der euklidischen

Wahl

zwischen

verschiedenen

Moglichkeiten in der Wirklichkeit vor­

liegt. Diese Vorbedingung ist aber selbst nicht als vorhanden bewiesen. Es

Geometric sei ,von experimentellen Tatsachen geleitet" (S. 5 1 ) , sie entlehne

ist namlich nicht Streng bewiesen, daB iiberhaupt etwas Geometrisches in

der Erfahrung die Eigenschaften der ,festen Korper", die ,sich nicht wesentlich von den Eigenschaften solcher idealer Korper unterscheiden,

der Wirklichkeit vorliegt (wenn auch nur angeniihert wie bei Poincare) .

90).

einzige Geometrie fiir den ganzen Raum in Frage komme. Es ist drittens

Sollte dies aber der Fall sein,

deren samtliche Dimensionen unveranderlich sind" (S. 46). Diese Wahl pa.Bt

sich zugleich

,am

besten den Eigenschaften unseres Korpers" an (S.

so

ist nicht streng bewiesen, daB nur eine

nicht Streng bewiesen, daB iiberhaupt mehrere Geometrien gleich moglich

Erkenntnistheoretisch haben wir hier eine Mischung zwischen Idealismus

und Empirismus vor uns. Trotz dieser Ungeklartheit muB Poincares Ansatz

sind.

den konventionalistischen Gedanken in seiner Eigenart etwas zu verfolgen.

sungsarten des geometrischen Problems. Ebenso wie bei

als auBerordentlich anregend bezeichnet werden. Es mag uns AnlaB geben, Bisher waren

3

Losungsversuche des Problems der Entscheidung iiber die

Frage nach dem ,Geltungsgrund der Geometrie in der Wirklichkeit" aufgetreten. 1.)

Die Geometrie ist eine Anschauungsform von uns selbst, sie liegt

also nicht in der Wirklichkeit, die Entscheidung iiber sie ist also subjektiv

Jedenfalls aber gehort der Konventionalismus zu den

'

Subjekt, welches die Entscheidung trifft. Bei

subjektiven Lo­ Kant ist es das

Kant ist es eine Fiihigkeit

(die

,reine Anschauung"), die nicht dem Willen unterworfen ist, sondern sozu­

sagen automatisch aus unserer Konstitution heraus wirkt Existenz ist unbewiesen) . Bei

(aber ihre

Poincare ist es dagegen die bewu{Jte Entschei­

dung des Einzelnen, der sich der ,Mehrheit" anschlieBt ( daher Konven­

(die Kant'sche Losung).

tion). ·Bei

Messung daraus entnommen werden, die Entscheidung erfolgt also unter

aus der Notlage, daB unter mehreren Geometrien gewahlt werden muBte.

2.)

Die Geometrie liegt in der Wirkichkeit l und kann angenahert durch

Zwang von auBen (die empiristische Losung).

3.

Wir lassen uns durch die Eigenschaften der ,festen Korper", die wir

in der Wirklichkeit vorfinden, leiten. Diese erweisen sich ungefahr iihnlich

den Forderungen der euklidischen Geometric. Daraufhin wiihlen wir von uns aus diese Geometric,

urn

sie bei der geistigen Behandlung der Wirklich­

keit zur Durchfiihrung zu bringen. Auch diese Entscheidung ist zuletzt

subjektiv (Poincares Losung).

Aile diese Losungen sind unzulanglich. In 1.) ist das Vorhandensein der

Kant'schen ,reinen Anschauu·ng" unbewiesen und unbeweisbar. Es ist

ferner ohne unbewiesene Zusatzhypothesen nicht zu sehen, wie die Wirk­

lichkeit durch diese Anschauung gezwungen werden kann sich in konkreten

Kant

hestand die Subjektivitat der Losung

einzige Geometric bekannt war. Bei

trotzdem nur eine Poincare entsprang seine Losung direkt

Als Haupteinwand gegen die Kant'sche Losung wurde vorgebracht, daB

bei ihm nur eine Geometric in Frage kam, wahrend man nach 1865 sicher zu sein glaubte, daB eine Mehrzahl von ihnen ,logisch" moglich sei. Die Frage, ob diese auch

real

aile moglich seien, wurde niemals naher unter­

sucht, man begniigte sich mit der empiristischen Behauptung, daB

der Wirklichkeit ,entnehmen" miisse.

Nun kann man aber zunachst rein formal

urn

man

dies

vollstandig zu sein noch

den Fall heranziehen, wo zwar die Losung subjektiv ist, d.h. wo wir selbst

die Geometrie in die Wirklichkeit einfiihren, wo aber trotzdem ein Zwang

besteht, nur zu einer einzigen bestimmten Geometrie zu greifen. Den Fall,

daB eine einzige Geometrie sachlich erzwungen wird, konnte man sich

Fallen nach ihr zu richten. In 2.) hangt die Messung von Messungsappara­

bisher nur so denken, daB diese durch die Natur vorgeschrieben werde

Umstande in einer Genauigkeit benutzen miissen, die durch die Messung

dieser Zwang nicht durch die Natur, sondern sozusagen durch den Begriff

erst festgestellt werden soli. Es gibt ferner dort keine Korper, von denen

der Geometric selbst geschahe. Dieser Fall war bisher nicht in Erwagung

200

201

ten ab, die wir selbst herstellen, und bei denen wir schon geometrische

(Fall 2). Aber es besteht rein logisch offenbar noch die Moglichkeit, daB

HUGO DINGLER

WAS IST KONVENTIONALISMUS?

gezogen worden. Dann wurde die Geltung der Geometrie weder aus einer

Liegt dann in der Ebene E eine Gerade G und legen wir eine zweite

unbewiesenen reinen Anschauung, noch aus der Erfahrung, noch durch

Gerade G' in E, so, daB die beiden Enden des ebenen Streifens, der zwischen

freie Wahl unter mehreren zu gewinnen sein.

G ung G' liegt, nicht unterscheidbar sind, dann gewinnen wir den ,Paral­

Von diesem Fall mochte ich kurz zeigen, daB er der allein zutreffende ist.

lelstreifen" als eine ehenfalls vollig parallele Ahstande der

Fragen wir uns, wo Geometrie in der Wirklichkeit auftritt. In der

Natur

treten z.B. an Kristallen Flachen auf, die wir als ,eben" ansprechen. Diese

2

symmetrische

Figur. Werden dann

Geraden als ,gleiche Strecken" definiert, dann

haben wir hereits die Grundelemente der Geometric und zwar der

schen Geometric

euklidi­

gewonnen. Hierdurch ist auch der deformationsfreie

Aussage hat nur einen Sinn, wenn der Begriff der ,Ebene" anderweitig

Korper jetzt vollig definiert, und dies sind die Mittel, durch die er in der

definiert

Tat in der Praxis gepriift und dadurch hergestellt wird.

ist. Aber auch dann kann eine empirische Kristallflache niemals

als ,absolut eben" betrachtet werden, schon deshalb, weil wir das wegen der prinzipiell endlichen Genauigkeitsgrenze aller Beobachtung gar nicht

Fassen wir in grober Weise das Gefundene zusammen, so konnen wir sagen : die

Geometrie ist das Symmetrische in unserem raumlichen Denken.

feststellen konnten. Es muB also die Moglichkeit bestehen, daB in der

Wiirde jemand, der noch nichts von Geometric weiB, zu dem Wunsche

Wirklichkeit (wenn auch nicht in der Natur) Flachen vorhanden sind, von

gefiihrt werden, in der Wirklichkeit Flachen und Linien kiinstlich herzu­

denen

wir wissen,

daB sie innerhalb der momentanen Genauigkeit eben

sind, die also der Definition der Ebene gehorchen.

Das sind diejenigen, die

wir selbst eben gemacht haben und machen.

Schon urn 2000 v. Christo stellte man im Zweistromlande Ziegel her,

welche die Eingenschaft hatten, daB je 2 solche in jeder Lage aufeinander

stellen, die vollig eindeutig und reproduzierbar in ihrer Form sind, so wiirde er nichts anderes tun konnen, als ebenfalls nach den vollsymmetri­ schen Formen zu suchen. Denn diese sind die einzigen, die in der flieBen­ den Wirklichkeit eindeutig hestimmt, festgehalten und reproduziert werden konnen. Das ist der Grund warum die Menschheit von Anfang an ganz

gelegt werden konnten, ohne Zwischenraum. Das ist schon die definierende.,

instinktiv zu diesen Formen getriehen wurde (z.B. bei der Steinbearbeitung

Eigenschaft der Ebene. In der heutigen Metallbearheitung werden

etc.) . Wollte man also irgendwo genau reproduzierbare Formen haben ( und

3

groh

vorgeehnete S�ahlplatten solange gegenseitig aufeinander ahgeschliffen, bis

dieser Wunsch ist bei wachsender Kultur sehr naheliegend), so muBte man zu

sie adharieren. Bei nur zweien konntte auch eine Kugelkalotte entstehen, hei

den in sich symmetrischen Formen greifen. Nur diese waren ohne ander­

dreien s i t das ausgeschlossen. Durch dieses Verfahren werden aile wirklich

weitige Hilfsmittel von vornherein ihrer Gestalt nach eindeutig hestimmbar.

exakten Ehenen hergestellt, die wir an exakten MeBinstrumenten finden.

Wenn aber die Geometric in ihren primaren Formen vollig auf der

im Ganzen und in

Symmetric heruht, so ist es von vorneherein unmoglich gemacht, daB jemals

har, d.h. raumlich ununterscheidhar sind. Man kann auch kurz sagen, daB

von der Symmetric wiirden namlich unrnittelbar hemerkt und als fehlerhaft

Hier wird also die Ehene als die Flache hergestellt, die

allen ihren Teilen so heschaffen ist, daB ihre heiden Seiten aufeinanderleg­

diese Flache im ganzen und in allen Teilen sich bezuglich ihrer Seiten

symmetrisch verhalt.

Ahweichungen von diesen Gestalten auftreten. Auftretende Abweichungen stets heseitigt werden. Unsere Ausgangsfrage : wodurch ist die Geometric der Wirklichkeit be­

Das laSt sogleich die vollige Eindeutigkeit der Definition erkennen, von

stimmt? ergibt nun zu den

3

obigen Losungsversuchen noch e ine

vierte:

der es keine Abweichung geben kann. Sie bedient sich zwar bei ihrer Reali­

aus der Symmetric. Hier sind die Forderungen, die wir an die Geometric

sierung in Metall sogenannter starrer d.h. praktisch deformationsfreier

stellen, zwar ,subjektiv", denn es sind Forderungen die der Mensch stellt.

Korper, aber sie setzt nicht voile Starrheit voraus. Nur die Flache als ganze

Dennoch aher fiihrt diese SuhjektiviHit nicht zu einer Wahl zwischen mehreren

dar£ sich momentan nicht verbiegen. Die Herkunft der Ebene aus der Sym­

Moglichkeiten. Sie fiihrt vielmehr zu einer einzigen, eindeutig bestimmten

metric zeigt, warum die Ebene eindeutig bestimmt sein kann, ohne bereits

Form : zur Begriindung durch die Symmetrie. Dies ist die einzige Art, wo

uber die gesamte Geometric verfiigt zu haben.

unter der unabsehbaren Fiille von Formmoglichkeiten ohne weitere Hilfs­

In ganz analoger Weise ist dann die

Gerade

der Schnitt zweier solcher

mittel eine einzige eindeutig hervorgehoben werden kann. Diese Entschei­

Ebenen und wird auch in der Tat in der Feinmechanik stets so hergestellt.

dung aher fiihrt automatisch zur euklidischen Geometric, ja sie ist mit ihr

Auch hier kann man sagen, daB die Gerade sich hezuglich ihrer heiden

identisch:

Seiten symmetrisch verhalt.

So zeigt sich auch, daB das Auswahlprinzip der ,Einfachstheit", das 202

203

v - 34- 129

HUGO DINGLER

Poincare und auch ich selbst friiher anwendeten, hier keine Rolle spielt. Die Einfachheit kann hier nur sekundar als eine Nebenerscheinung konsta­ tiert werden. Es zeigt ·sich ferner, daB hier

denn dieser bedarf das Vorhandensein mehrerer Faile. Es s i t aber nur ein einziger vorhanden. Trotzdem also die Geometric vom Menschen aus, d.h. subjektiv bestimmt ist, liegt dennoch fiir die Wirklichkeit nur eine Moglichkeit vor : namlich die euklidische.

ARNOLD SCHMIDT

kein Konventionalismus vorliegt,

WM VERHALTNIS VON EXISTENZ UND WIDERSPRUCHSFREIHEIT

einzige

Man ist seit einiger Zeit gewohnt, die· Existenz einer relationalen Struktur mit h i rer Konsistenz gteichzusetzen, mit anderen Worten: ihr ideates Dasein in ihrer Widerspruchsfreiheit zu suchen. (Die Existenz von irgendwetchen

Siidl. Auffahrtsallee 72 MONCHEN 38 Allemagne

Elementen der Struktur wird alsdann auf die Existenz der Struktur zu­ riickgefiihrt.) Diese Auffassung ist insbesondere in der Lehre von der mathematischen Erkenntnis heimisch geworden. Zwar fehtt es nicht an Stimmen, die eine engere Konzeption von der Existenz mathematischer Strukturen zum Ausdruck btingen. DaB wir z.B. zahlen und in bestimmter Weise mit den natiirichen l Zahlen rechnen, ist nach Ansicht vieler in einer Seinsart der Zahlen begriindet, die zwar unter anderem die Wider­

spruchsfreiheit garantiert, die jedoch nicht mit ihr

zusammenfallt.

Es

metdet sich darin ein Deutungsanspruch an, auf den einzugehen bier

zu

weit fiihren wiirde, von dem jedoch so viet festgestellt sei, daB er durch die bloBe Forderung, es solle sich kein Widerspruch ergeben, schon

aus

kategorialen Grunden nicht erfaBt werden kann. Auch bei allgemeineren

relationalen Gefiigen, bei denen sich die Vorstellung einer eigenstandigen

Existenzweise nicht im gleichen MaBe anbietet wie bei den Zahlen, wird man die Existenz urspriingich t etwa in der Erfiilltheit an einem Modell sehen, wobei in der Mathemati k - anders als in schaften - das

Modell

seinerseits

m i

altgemeinen

den

Naturwissen­

wieder

ein

ab­

straktes relationales Gefiige sein dar£. (Es braucht an dieser Stelle nicht darauf eingegangen zu werden, daB hiermit bei angemessener Stufung kein unendlicher oder zirkelhafter RegreB verbunden ist.) Auch in eine solche Interpretation der Existenz spielen Deutungen hinein, die den kategorialen Rahmen der bloBen Widerspruchsfreiheit iibersteigen. Von einer anderen Einstellung ausgehend, hat man formate ,Grundsprachen" entworfen, welche die folgende Eigenschaft besitzen: jede in einer solchen Sprache ausdriickbare These, die nicht bereits durch Zeichenkomplexe eben der betreffenden Sprache erfiillt ist, wird in dicser ,Sprache" wider­ spruchsvoll. Zur Entscheidung, inwieweit durch die Anlage solcher For­ malsprachen die Frage nach der Gleichbedeutung von Existenz und

Widerspruchsfreiheit beantwortet sei, bedarf es einer genaueren Analyse

der Notwendigkeit bzw. der Urspriinglichkeit jener- recht komplizierten - Formalsprachen.

204

205

ZUM VERHALTNIS VON EXISTENZ UND WIDERSPRUCHSFREIHEIT

ARNOLD SCHMIDT Allen angedeuteten Dberlegungen ist die Dberzeugung gemein, daB die Existenz eines relationalen Gefiiges

(einer Struktur)

jedenfalls die

Widerspruchsfreiheit in sich schlieBe. Die Forderung der Widerspruchs­ freiheit erscheint hier als die radikale Mindestforderung : indem man auf jede ,,Deutung" des Gefuges, auf jede ,Bedeutung" seiner Elemente ver­ zichtet, zieht man sich darauf zuruck, eine Seinsart zu fordern, die die Seinsart irgendeines Spieles ist. Ist aber von diesem rein formalen, syntak­ tischen bzw. logisch-operativen Standpunkte aus die Widerspruchsfreiheit wirklich cine Mindestforderung? Ist sie iiberhaupt eine diesem Standpunkt angemessene Forderung? Der Dberzeugung, daB sie dies sei, liegt offen­ sichtlich der Umstand zugrunde, daB sich aus Widersprechendem alles beweisen laBt, genauer: daB sich aus

einem

Widerspruch

jede

iiberhaupt

ausdriickbare These samt ihrem Gegenteil beweisen lasse, so daB nach Aufdeckung eines Widerspruchs die Beschaftigung mit dem betreffenden Gefiige (m.a.W.: das formale Spiel) jeden Reiz verliere. Dies ist nun aber offenbar nicht der Fall. Es lassen sich relationale Gefiige denken, in denen - bei voraufgegangener· Axiomatisierung nebst Einigung iiber die Genesis des SchlieBens - erst nach einer Billion von Schliissen ein Widerspruch beweisbar wird, wahrend jeder aus weniger , als einer Billion von Schliissen bestehende Beweis keinen Widerspruch liefert.

Ein solches Gefiige Ia.Bt sich etwa in der Weise konstruieren, daB

man irgendwelchen widerspruchsfreien Axiomen das Negat eines solchen Satzes zufiigt,

der aus ihnen nicht eher

als durch eine Billion von

Schliissen folgt. Er laBt sich ebenso gut denken, daB Generationen von Menschen mit einem derart gelagerten Gefiige in gleichbleibendem Ver­ trauen umgehen, ohne zu einem Widerspruch vorzudringen. Jedem rela­ tionalen Gefiige ist das Gefiige seiner deduktiven Zusammenhange zu­ geordnet; hierauf beruht ja unter anderem jede seiner moglichen Fixierun­ gen. Dieses zugeordnete logische Gesamtgefiige, auf dessen formalen Reiz letzten Endes bei der Widerspruchsfreiheitsfordetung abgezielt war, ver­ liert fUr ein Gefiige i:ler angedeuteten Art seinen Reiz keineswegs. Auch bei einem Gefiige der angedeuteten Art kann nach unmittelbaren logischen Zusammenhangen, nach der Tragweite von Operationen und Deduktions­ methoden, nach der Art der Einlagerung

von

Teilstrukturen - unter

anderem von widerspruchsfreien Teilstrukturen- gefragt werden u.s.£. Zwar bezieht sich ein Teil dieser Fragen zunachst nur auf gewisse deduk­ tive Fixierungen des Gefiiges; jedoch verleiht die Eigenschaft des Gefiiges, sich durch solche deduktiven Fixierungen darstellen zu lassen, ibm cine Art ideellen, namlich logisch-formalen Seins, die sich von dem durch die Widerspruchsfreiheit

festgelegten nicht kategorial

206

unterscheidet,

sodaB

nicht ohne weiteres einzusehen ist, warum die eine als Existenz schlechthin angesprochen werden durfe, wenn es der anderen verboten sein solle. In der Lehre von der physikalischen Erkenntnis herrscht heute wohl der Standpunkt vor, der der theoretischen Physik unter bewuBtem Absehen von jedem transzendierenden ,Wahrheits"-Anspruch als Aufgabe die bloBe mathematische Bewa Jtigung moglichst urnfassender experimentalphysika­ lischer Tatbestandskomplexe zuweist. Von

diesem

formalen Standpunkt

aus besitzt aber eine mathematisch-relationale Struktur der oben ange­ deuteten

Art - sofern nur ihr Widerspruch ,praktisch" unerreichbar ist ­

letztlich dasselbe Konkurrenzrecht wie eine widerspruchsfreie Struktur.

Die vorstehenden Dberlegungen sollten zeigen, daB die rein formale, relationstheoretische

Konzeption

des

relationalen

Gefiiges,

der

die

Zuriicknahme des Existenzbegriffs auf den Widerspruchsfreiheitsbegriff entflieBt,

nicht

an

diese

Gleichsetzung

gebunden

ist.

Fur

andere

Auffassungen des relationalen .Gefiiges (m.a.W.: der Struktur) liegt in der Forderung der Widerspruchsfreiheit ein Moment der Willkiir, in­ sofern sie zu· schwach ist; fiir die heute so weit verbreitete rein relations­ theoretische Auffassung andererseits liegt, sobald man mit ihr Ernst macht, in der Forderung der Widerspruchsfreiheit ein Moment der Willkiir, insofem sie zu stark erscheint. Durch diese SchluBfolgerung wird der Wert der Widerspruchsfreiheits­ forderung

als eines dialektischen Argumentes nicht beriihrt. Wenn bei

einem Forscher im Umgang mit einer mathematischen Struktur die Kritik an ihrer- anderweitig konzipierten - Berechtigung

sich so

weit

ver­

dichtet hat, daB er gar die Begegnung mit Widerspruchen zu fiirchten beginnt, wird ein anderer ( oder er selbst) h i n beziiglich dieser Besorgnis gegebenenfalls eines besseren belehren und

ihn hierbei wohl auch am Ge­

wicht seiner Kritik, die ihn zu einer falschen Furcht verleitete, zweifeln

lassen. Dies war auch die Funktion, die den Widerspruchsfreiheitsnach­ weisen n i der Mathematik urspriinglich zugewiesen war. In diesem Zu­ sammenhange wird zugleich deutlich, was bereits bei cinigen obigen t!ber­

legungen anklang: daB namlich das Widerspruchsfreiheitsproblem sich nicht so sehr auf diejenigen Momente der Struktur bezieht, die fur die Frage nach der Existenz ma13gebend sind, d.h. auf die momente,

an denen die Struktur orientiert ist,

Stringenz von Schliissen, genauer: auf

die

Tatbestands­

als vielmehr auf die

Dbertragbarkeit

gewisser

Schliisse von einfacheren auf komplizierte deduktive Systeme, die zur Fixierung von Strukturen dienen sollen. Frimkfurterstral3e 15 MARBURG!LAHN

20"1

v-

DEFINITION DES NOMBRES PAR LEUR VALEUR NUMERIQUE

LA

35 - 127

a

Ix-aI

+ b I x - P I + ex + d = 0, ·

I I a2x + b2 l + alx + b1 l + ax + b = 0, c

ax2 + b I x - P I x + I x I + dx +

DIMITRI RIABOUCHINSKY

e

=

etc.,

0,

sans avoir recours a des inegalites. Les racines multiples de ces equations

LA D£FINITION DES NOMBRES PAR LEUR VALEUR

peuvent etre reelles, imaginaires, indeterminees, ou confondues et elles

NUM£RIQUE ET PAR LEUR ORIGINE; ROLE DE CE

presentent, du point de vue logique, des particularites interessantes.

CONCEPT EN PHILOSOPHIE MATH£MATIQUE

7. - Le

Les idees exposees dans cette communication se sont developpees et ont

«radical» ,-, �appelant celui de !'extraction d'une racine cam�e,

semble satisfaire aux conditions exigees par Leibniz pour les symboles bien

x2, x = ± yY;

muri pendant 40 annees. Elles ne s'accordent pas toujours avec certains

choisis, celles d'etre naturelles

incomprises ou meme injustement condamnees a priori. J'espere neanmoins

nombres reels dont Ia valeur absolue soit negative, mais en regard de

points de vue admis actuellement et pour cette raison sont restees parfois

Y =

V

l'imaginaire

reconnus par mes collegues philosophes et mathematiciens qui voudront

et indispensable.

8.- Les

bien les mediter. 1.

- Nous

nommons origine d'un nombre les formes operatoires aux­

quelles il est soumis et qui permettent de le distinguer des autres 90mbres de meme valeur numerique.

2. -Deux nombres appartenant a la classe de� nombres definis par leur

valeur numerique et leur origine sont egaux ou inegaux selon que leur valeur numerique et leur origine sont ou ne sont pas egales respectivement. 3. - Exemple: Si l'on convient d'admettre que arcsin [sin (2n +

1) (n/2)]

( 2n

·

sin(n/2} et

b=

4. - Pour eviter des malentendus dus

( 1 = 1'

a une contradiction apparente de

� sin 5 (:rt/2)

on

(b = 1, est sin 5(:rt/2 ) ) , ou bien le sousentendre. ·5. - Nous considerons le passage a Ia valeur absolue y = I I et !'opera­ . tion inverse du retour a la valeur relative = I'Y comme des operations copule «esb

X

+

(- a)

1

=

et

x2 = - 1 = - 1 = j - 1.

-1-1

-- j - 1,

1, ! 1 = = 1 = 1. de Kant : «On ne saurait, a vrai dire, nommer negative

I+

a

a

+

est negative par rapport a l'autre».

+ a)

nombreuses tentatives faites pour demontrer que Ia regie des

X

a !'auteur de developper une theorie generale de la resolution d'equations

+.+

=

-

.-=

+'

+ . - = -.

+ = -,

tant Ia convention que Ia valeur absolue d'un nombre est egale a sa valeur

positive, I +

a I = + a, on n'a pu que constater a posteriori que cette regie

et cette convention ne conduisent a aucune contradiction.

1 1 . - L'echec de ces tentatives de demontrer l'unicite de Ia regie des

signes dans Ia multiplication est une consequence du principe de Kant et !'auteur a mis en evidence qu'une deuxieme regie des signes,

1'Algebre.

208

=

est obligatoire, c'est-a-dire Ia seule admissible, sont restees vaines. En adop­

( 2)

6. - L'introduction de I'operation du retour a la valeur relative a permis

absolues:

j

aucune grandeur, mais il faut dire que chacune des deux grandeurs (

( 1)

peut remplacer la copule «egale» placee devant le symbole d'origine, par la

sui generis de

9.- Principe

1 = sin 5 ( n/2}

tandis que sin (:rt/2)

apparait comme naturelle

signes dans Ia multiplication des nombres relatifs

ne sont ,pas egaux, car leur origine sin(n/2) et sin 5(n/2) sont differentes. pareilles doubles egalites

1- 1

a comme valeur numerique !'unite et comme origine

j

10. - Les

ou n est zero ou un entier, les nombres

a= 1 =

=

deux racines de !'equation

qui Ie distingue de !'unite

et

+ 1) (:rt/2)

1 Ia nouvelle imaginaire

I � I = - 1 sont x1 = j Le nombre

y

I"Y. En raison des definitions admises, il n'existe pas de

j x I, x = +

que !'importance et !'interet des problemes consideres finiront par etre

et ideographiques :

+ .

+

= - . - = -,

+ .-=

-.

+ = +,

et la convention adjointe que la valeur absolue d'un nombre est egale a Ia valeur negative, 1 +

v-u

a

1 = - a, sont egaiement Iogiquement admissibles.

209

DIMITRI RIABOUCHINSKY

LA

12.- Contrairement au probleme de Ia regie des signes dans la multipli­ cation qui admet deux solutions pouvant etre choisies arbitrairement, le probleme des additions et soustractions des nombres relatifs n'a qu'une solution unique:

(3)

+

+ ( + a) = - (-a) = + a,

Cela tient

a

(-a)

= -

( + a)

= - a.

ce que dans cette solution les signes plus et moins figurent

compatible avec le principe de Kant. En effet, quand on interchange dans simultanement tous les

+a

et

- a,

ce

systeme reste identique

meme.

a lui­

13. - Du point de vue mnemonique ou de symetrie, on peut preferer !'ensemble ( 1 ) (3) a !'ensemble (2) (3), mais du point de vue logique ces deux ensembles de regles des signes sont egalement admissibles.

14. -La

1'Algebre,

regie des signes dans Ia multiplication etant l'un des piliers de

Ia question se pose

a que! stade de son enseignement dans les

ecoles il faudra mentionner !'existence d'une deuxieme regie ?

15. - L'une

des consequences importantes d e I'existence de deilx regles

egalement admissibles est Ia suivante. En paraphrasant Ia remarque precitee de Kant, on peut constater qu'on ne saurait nommer imaginaire aucune grandeur, mais qu'il faut dire que chacune des unites

i' = 1 = {+1 a une origine

imaginaire par rapport

nombres complexes de Ia forme gine de !'unite

i' comme

i'x + iy,

ou

x + iy,

i = 1 = V- 1

et

a celle de !'autre. Les si l'on considere l'ori­

«reelle», representent en quelque sorte un «amal­

game» des deux regles de signes.

16.- Pour

pouvoir etendre Ia theorie de Ia resolution des equations

absolues comprenant des puissances de l'inconnue superieures

a Ia premiere,

i1 a fallu introduire Ia notion de signe et de valeur absolue d'un nombre

a + ib. Le symbole I a + ib I est generalement defini cornrne + Va2 + b2 de a + ib. Cette interpretation est en desaccord avec

complexe module

le principe de Ia permanence des formes operatoires. En effet, en substituant x

= -+- i dans l'identite I x I = + V x2, I -+- i I = 1. Il serait preferable d'utiliser,

M(a + ib) = + et d'admettre, en se laissant guider par

I a + ib I = (a + ib} sgn (a + b), signe de a + ib celui de a + b.

que

210

il vient

I

-+-

iI

=i

et non pas

par exemple, le symbole

Va2 + b2

la theorie des equations absolues, a considerer comme

ce qui revient

les racines imaginaires des equations, comprenant des puis­

sances quelconques de l'inconnue et des passages unites d'origine imaginaire

i= 1

+ V- 1

=

et

a

Ia valeur absolue, les

j= 1

=

- I-

1

peuvent

tion logique au trace des courbes dites irnaginaires, completant les courbes

comme signes distinctifs des nombres relatifs, ces derniers sous une forme

(3)

17. - Dans

LEUR VALEUR NUMERIQUE

figurer separement ou simultanement. Cette remarque donne une justifica­

a cote comme symboles des operations d'addition et de soustraction et

cote

DEFINITION DES NOMBRES PAR

reelles sur le plan cartesien, en admettant que les imaginaires

- 1-1

+ v- 1

et

ont comme valeur numerique !'unite, tout en restant soumises aux

�

regles de calcul qui leur sont propres. Cette remarque est egaleme t appli­

quable aux !ignes et surfaces dans l'espace. L'auteur a donne plusieurs

exemples de pareilles constructions graphiques planes qui temoignent d'une fa�on convaincante du bien fonde et de !'interet de ces developpements.

18. - Les

trois classes de nombres complexes

a deux unites, satisfaisant

aux lois commutative, associative et distributive de la multiplication, sont

x + iy, avec i = V 1, i2 = - 1, et les nombres x + jy, x + ky, avec j ?, j2 = + 1, (j- 1 ) (j + 1) = 0 et k = ?, k2 = 0. Les nombres j et k =

ont ete introduits par Grassman d'une fa�on formelle, sans justification de

leur apparence contradictoire, et les interrogations ci-dessus attendent .

encore une reponse.

19. - Les deux demieres classes comprenant des diviseurs

de zero, on ne

saurait developper une theorie des fonctions des variables complexes

x + jy et x + ky aussi

generale que celle de Ia variable

x + iy sans elargir

le cadre des operations fondamentales de l'Algebre ordinaire. C'est ce que X = -+-

I'auteur a essaye de faire. L'operation

Y = I xl, l'ayant

conduit au nombre

a

0. 20.- Nous

a !'operation

qui peut etre

a Ia premiere des interrogations sus­

rechercher une nouvelle operation fondamentale,

dont !'operation inverse conduirait

k2

inverse

i = - 1 - 1, p = + 1,

considere comme reponse admissible

dites, il s'est applique

I y,

a un

nombre satisfaisant

a Ia condition

=

conviendrons de considerer !'operation du passage

definie par les conditions

L(a)

= aL(1)

= 0, L(oo)

=

b,

inverse du retour de Ia limite, definie par les conditions

a Ia limite,

et !'operation

L-1 (0) = a, L-1 (b) b L-1 ( 1 ) = oo, ·comme operations sui generis de I'Algebre; a et b sont, en general, des nombres finis ; oo , par definition, un nombre superieur a tous les nombres finis. Nous utiliserons dans certains cas les abreviations L ( 1 ) L, L-1 ( 1 ) = L-1, L-1 L = L L-1 = 1. Ces defini­ tions mettent en evidence que les symboles L, L-1 sont soumis aux memes lois que les nombres p et p-1 1/p, ou p n'est ni zero, ni l'inlini, mais a condition de ne jamais perdre de vue leur signification en tant qu'ope­ =

=

=

rateurs.

211

DIMITRI RIAJIOUCHINSKY

LA DEFINITION DES NOMBRES PAR LEUR VALEUR NlJMERIQUE

2 1 . - Si !'on tient a rattacher les operations L, L-1 a une image, on interpretera !'operation L(a) = 0 comme une annihilation de Ia longueur a

volume, un intervalle de temps etc., par application de !'operation du passage a Ia limite. L'origine de ces zeros, c'est-a-dire les lois operatoires auxquelles ils sont soumis, precise leur caractere dimensionnel:

d'un segment de droite par rapprochement direct de ses extrernites jusqu'a leur coincidence et !'operation inverse L-1 (0) = a cornme l'eloignement l'un de !'autre, a une distance a, de deux points qui co1ncidaient. On inter­ pretera de meme les operations L ( oo ) = b et �-1 (b) = oo . Dans le cas general d'un espace a n dimensions, il y aura lieu de parler egalement de contraction et d'extension. 22.- En se basant sur l'axiome «deux grandeurs qui peuvent s'appiquer l l'une sur !'autre, sont egales entre elles», Euclide a eu recours dans ses demonstrations au rapprochement des figures et des points jusqu'a leur coincidence, mais cette operation mentale n'a jamais e.te definie, ni symbo­ lisee explicitement en Algebre cornme operation fondamentale sui generis. II faut en chercher la cause dans la dialectique zenonienne et ses derivees, qui continuent a tenir le recours a !'evidence geometrique en suspicion. 23.- Les definitions precitees font voir que les norobres 0 et oo peuvent avoir, de meme que les nombres finis non nuls, des origines differentes:

0 = L(a), 0 = L ( b ) , 0 = £2 (c), etc.; 00 = L-l (d),

oo

= L-l (e), oo .= L-2(f), etc.

24. - Les zeros d'origine imaginaire

k1 = 0 = L( V

k2 = 0 = L(l- 1),

dx = L(6.x) = 0, dxdy = L ( 6.x).L( 6.y) = 0, etc. 27.- C'est une justification logique de la conception intuitive d'Euler que les differentielles sont des zeros et jouissent neanmoins de proprietes qui les distinguent les unes des autres. En effet il est toujours possible de retrouver une grandeur reduite a zero par !'operation L en appliquant a ce zero, dont on connait l'origine, !'operation inverse L-1. Ce raisonnement ne saurait etre refute par !'objection de d'Alembert«une quantite estquelque chose ou rien; si elle est quelque chose elle n'est pas encore evanouie, si elle est rien elle e�t evanouie tout a fait», qui a empechC d'adopter le point de vue d'Euler. 28. -On peut, dans une certaine mesure, se rendre compte du rapport qui existe entre les operations d'un ordre plus eleve de differentiation et d'integration d'une part et les operations primordiales du passage a la limite et du retour de la limite d'autre part, en considerant la transformation

a:

J 2x dx

4

lt

=

J dx2

4

=

¢1-a' J d (x2 - a2) 0

=

L-1 (0)

=

L-1 L (x2 - a2)

=

x2 - a2.

29.- Les developpements qui precedent conduisent aux definitions et

euclidien avec le point dimensionnel. On obtient ce dernier en reduisant a zero une grandeur dimensionnelle - une longueur, une surface, un

remarques suivantes: un zero qui n'est determine que par sa position (un triplet de coordonnees) est un point euclidien. Un zero qui est determine par sa position et son origine est un point dimensionnel. Un point dimen­ sionnel n'est pas l'extremite sans dimension d'un vecteur, mais un accroisse­ ment virtue! de ce dernier. Les nombres irrationnels et transcendants ne se distinguant des fractions decimales de meme valeur numerique, que par l'origine irrationnelle ou trancendante d'un zero, il n'y a pas lieu de faire la distinction, qu'admet Ia theorie de Dedekind, entre les coupures corres­ pondant aux nombres irrationnels ou transcendants et celles des nombres rationnels de meme valeur numerique, puisqu'elles se confondent. 30. - Certains theoremes d'apparence paradoxale de Ia theorie moderne des ensembles sont imputables a la confusion des points dimensionnels avec les points euclidiens et a la meconnaissance du principe de l'origine des nombres. Nous analyserons a titre d'exemple Ia demonstration de Georg Cantor de la proposition que le nombre de points dans un carre ou un cube est egal au nombre de points sur leur cote ou arete. 31. - Nous considererons le cas d'un carre, dont la longueur des cotes est egale a !'unite, mais notre raisonnement s'appique l egalement au cube.

212

213

1},

dont les carres sont des zeros d'origine reelle, peuvent etre consideres cornme des reponses a Ia deuxieme des interrogations du n° 18 et permet-

tent, de meme que les unites 1 = v 1 et 1 = 1 - 1, de situer graphique­ ment certains lieux geometriques dits iroaginaires. 25. - Euclide a defini les surfaces, les lignes et les points corome les extremites respectives de volumes, surfaces et lignes. On ne saurait done admettre, en raison du principe de l'homogeneite des formules, que les volumes, surfaces et !ignes sont respectivement des ensembles infinis de surfaces, de !ignes et de points. II en resulte que les points euclidiens sont non dimensionnels, ne possedant done aucune propriete metrique, n'appar­ tiennent jamais a !'ensemble des parties d'un tout qu'ils ont servi a diviser. Un point d'intersection de deux lignes, pouvant etre considere comme l'extremite de chacune des quatre lignes issues de ce point, est euclidien.

26. - II ne faut plus confondre, comme on l'a toujours fait, le point

DIMITRI RIABOUCHINSKY

v - 36 - 275

Divisons le earn� en tra�ant des droites equidistantes paralleles

N1 = 102n

carres de superficie

10-2n,

par les points d'intersection avec ces droites en longueur

10-n.

a ses cotes en

tandis que chaque cote est divise

On a evidemment, pour un

=

10n segments n quelconque N� = N1 et, N2

de en

appliquant le raisonnement par recurrence, cette egalite se conservera, lorsque, en effectuant un passage

a la limite pour

n -+ oo,

et segments se transformeront en points dimensionnels:

Ce resultat est conforme

FRAN<;OIS ROST AND

les petits carres

0 = dxdy,

0 = dy.

QUELQUES ASPECTS DE LA PSYCHOLOGIE DES

a celui qu'on adroet m i plicitement dans le calcul

MATH£MATIQUES

infinetisimal, mais il ne s'accorde pas avec celui de Cantor.

32.- Pour coordonnees

elucider ce desaccord, remarquons qu'on peut exprimer les

x, y

de !'angle superieur

carrt�S par des fractions decimales cotes du carre en

N2 = 102n

a

n

a

gauche de chacun des

N1 = 102n

chiffres decimaux; diviser }'un des

segments de longueur

10-2 n ;

definir l'extre­

mite superieure de chacun de ces segments par une fraction decimale

2n

chiffres decimaux. On obtient ainsi en effectuant le passage

pour

n -+ oo

le resultat de Cantor N

2

=

N1.

a

a Ia limite

Ayant demontre que

N2 = N1•

on peut etablir une correspondance univoque et reciproque entre les points du carre et ceux de son cote, par exemple, par le procede de Cantor. Le probleme considere comporte, par consequent, des solutions multiples qui �ependent de l'origine qu'on assigne aux points des cotes du carre

1) .

La recherche du vrai, dans le domaine des rnathematiques, revet un double aspect : tantot on essaiera de definir Ia notion de verite, tantot on essaiera de se conformer

definir des procedes formels,

le mathematicien se dedouble, chaque fois qu'il le peut, en un ma­ thematicien Iegislateur,

nitions, et

en

1) Pour d'autres developpements des problemes discutes dans cette communica­ tion, voir les travaux de !'auteur parus dans les recueils suivants: Comptes rendus de l'Academie des Sciences T. !56, Paris 1913, p. 924. Bulletin de l'lnstit"t Aerodynamique de Koutchino, fascicule 5, Moscou 1914, p. !!4.Calcul des valeurs absolues, autographic, Copenhague 1919. Comptes rendus du Congres International des Mathematiciens, Strasbourg 1920, p. 231. Atti de Congresso lnternazionale dei Matematici, T. 6, Bologna 1928, p. 489. Travaux du IX Congres International de Philosophie, T. 6, Paris 1937, p. 154. Comptes rendus de l'Academie des Sciences, T. 212, 1941, p. 677 et p. 1109; T. 225, 1947, p. 552 et p. 1104; T. 227, 1948, p. 885 et p. 13!5; T. 229, 1949,. p. 405 et p. 535; T. 230, 1950, p. 421; T. 232, 1951, p. 2275.

a

qui revient Ia responsabilite de fournir les defi­

un mathematicien executant,

a qui revient Ia responsabilite

de les bien appliquer. Le dialogue entre l'un et l'autre semble fondamen­

(G.

Bouligand), car, reciproquement, Ia definition est con�ue en �e

de ses applications, et

PARIS 15e

a les appliquer correctement. La

puis

recherche mathematique appara1t comme essentiellement reflexive, car

tal

10, rue Edmond Roger

a la definition posee; est-on amene a restreindre,

en Ia precisant, Ia notion rneme de verite, on s'emploiera, neanmoins a

il arrive qu'elle soit condamnee au nom de son

impraticabilite ou de son ambiguite

(H.

Lebesgue,

E. Borel).

Or, chacun de ces themes de recherche est occasion de fautes : toute definition peut

etre mal choisie, toute methode mal utilisee. Les procedes

formalises - ou seulernent decrits - constituent des schematisations

(F.

Gonseth)

dont !'application depend d'un jugement de schematisa­

bilite, porte par un sujet-connaissant qui ne saurait se contenter d'etre un sujet connaissant la methode, et qui devra prendre le risque de !'objet. La difficulte n'est pas resolue par un dedoublement rnethodique legislateur­ executant, car, en eut-on defini les conditions, il resterait

celles-ci sont remplies.

a

juger quand

Si la schematisation fournit des garanties contre !'imprecision, et des criteres de verite ou de demontrabilite relatives, ou le mathematicien trouvera-t-il des garanties contre l'erreur, contre le mal-demontre? Un repertoil;-e de fautes logiques possibles ne lui offrirait encore qu'une aide schematique, et, en fin de compte, c'est bien

a son intuition qu'il devra

demander s'il peut, ou non, reconnaitre une demonstration comme valable. Quelque grossieres que les demarches de Ia pensee intuitive puissent

paraitre, au regard de celles de Ia pensee discursive, leur etude ne saurait

214

215

QUELQUES ASPECTS DE LA PSYCHOLOOIE DES MATHEMATIQUES

FRAN90IS ROSTAND etre exclue, si l'on pose Ia question de savoir comment le mathematicien

saire. Seule, elle lui epargnera un grand nombre d'erreurs - sans toute­

parvient

fois lui donner le moyen de les eviter toutes.

a former des raisonnements qu'il tient pour corrects. L'analyse des textes mathematiques- comprise a Ia maniere des ana­ lyses litteraires -, foumit, a cet egard, de nombreux renseignements,

verifiables par !'etude de documents tels que les correspondances entre

mathematiciens. Il en ressort que Ia pensee mathematique est soutenue

type d'esprit du mathematicien limite ses possibilites a un certain champ et le predispose meme a un certain genre d'erreurs, il aura encore quelque chance de participer- indirecte­ Si d'ailleurs le

constructrices

ment - au developpement global de la mathematique, qui n'a pas trop

a la r;chesse du reel. Il y a des

par un echafaudage de schemes elementaires, dont Ia solidite est con­

de toutes les n i itiatives pour atteindre

starnment controlee,

erreurs fecondes (E. Picard), et l'erreur est un des voies les plus sures

a !'instigation de scrupules egalement elementaires.

Le recensement de ces schemes et de ces scrupules semble possible, malgre

vers Ia verite (G. Bachelard) . Aussi la classification psychologique que l'on

Ia variete des formes de demonstration.

tirerait de !'etude objective du «style mathematique» des mathematiciens

La construction

d'une demonstration appellera done des scrupules

assez precis, et ceux-ci susciteront, reciproquement, des amenagements dans Ia construction. Le role des scrupules est aussi indispensable que

(C. Chevalley), en tenant compte des donnees nouvelles de la psycholo­ gic mathematique, n'aurait rien de normatif; elle refleterait seulement Ia diversite des modes d'expression de !'intelligence.

celui d'une tendance constructrice, car eux seuls auront qualite pour accrediter une construction donnee. La valeur d'une schematisation depend en effet cssentiellement des circonstances ou celle-ci a ete faite : est-on ou non dans le cas ou il est legitime d'applique�; tel ou tel «principe sim­ plificateur»? Ces principes doivent etre

ad hoc,

29 rue Pradier

VILLE D'AVRAY (S

& 0)

France

dit M. F. Gonseth, leur

efficacite est question d'adaptation. Qu'il s'agisse du lapsus. desaccord entre !'intention et Ia realisation, ou de la faute de raisonnement, qui correspond

a un desaccord logique plus complexe, l'erreur, en tant que

defaut d'adaptation, sera signalee par un scrupule approprie.

Mais il y a de faux sci;Upules; les correspondances de mathematiciens - et les documents pedagogiques - en donnent le temoignage: souvent le mathematicien doute de Ia valeur d'une demonstration qui est, en fait, parfaitement correcte. Et meme

il arrive qu'en certains domaines

critiques de Ia mathematique, on soit dans l'impossibilite radicale de distinguer,

vu

l'etat des definitions et des theories, si un scrupule est ou

non fonde. Tel scrupule, qui eut nui au progres des mathematiques si on lui avait obei (p. ex. en ce qui conceme le calcul infinitesimal) , etait pourtant legitime etant donne !'imperfection de Ia theorie appelee

qui etait

a evoluer ; et, une fois cette theorie reformee et amendee, ii reste

legitime en tant que scrupule, mais la theorie est- partiellement sous son influence - devenue telle qu'il ne doive plus intervenir

a son sujet.

Dira-t-on qu'il etait legitime, ou illegitime? L'une ou !'autre reponse serait insuffisante. Aussi le mathematicien ne

peut-il

eviter le risque essentiel

de

Ia

recherche. Il ne peut impunement jouer avec les scrupules. S'il se prend au jeu,

i l risque d'etre victime d'un scrupule illusoire. Et feindre Ia scrupu­

losite ne lui permettrait pas d'elucider

216

un

doute : Ia sincerite est neces-

217

V -

37 - 389

MATEMATICA COMO CIENCJA DE ESTRUCTURAS FORMALES 1.21.

La expresi6n mas proxima a la descripci6n pura seria una de la

forma: 'aqui, ahora, rojo'. 1.22.

MIGUEL SANCHEZ-MAZAS LA MATEMATICA COMO CIENCIA DE ESTRUCTURAS FORMALES (DIALECTICA) Y COMO CIENCIA DE ESTRUCTURAS 1.

REALES

(CIENCIA

NATURAL)

El fin de la ciencia es la descripci6n y explicaci6n de la realidad,

1.23.

Las proposiciones cientificas ordinarias tienen siempre un aspecto

descriptive y otro explicativo. 1.231.

Toda descripci6n cientifica es, a la vez, una explicaci6n, mien­

tras que toda explicaci6n cientifica es, al mismo tiempo, una descripci6n. 1.2311.

La aseveraci6n de una dependencia entre proposiciones, en

virtud de la cual una serie de proposiciones se convierte en hilera signifi­ cativa, en teoria, en sistema - en esto consiste toda explicaci6n cientifica­

en terminos de valor universal. 1.1.

La explicaci6n pura no es accesible a traves del lenguaje humano:

la ciencia que pretende acercarse a ella se llama metafisica.

Describir y explicar son funciones expresivas distintas, pero una

es tambien una proposici6n, que posee como correlato real una dependencia

misma expresi6n cientHica puede desempeiiar, a la vez, una funci6n des­

entre aspectos de la realidad: una explicaci6n es, pues, al mismo tiempo,

criptiva y otra explicativa.

una descripci6n; el modo mas profundo de descripci6n.

1.11.

Describir la realidad significa manifestar c6mo es.

1 . 1 1 1 . Esta manifestaci6n se realiza por medio de expresiones que tienen

1.23111.

forma de aseveraci6n (proposiciones), cuyos terminos - salvo las con­

1.23112.

stantes 16gicas- corresponden a supuestos elementos de la realidad y

1.2312.

cuya forma corresponde a una supuesta forma de la realidad. 1.112.

Cada ciencia describe la realidad segun una perspectiva dife­

Decir por que algo real es como es, sigue siendo decir c6mo

es la realidad, aunque segun una perspectiva mas elevada. El porque es e1 ultimo c6mo, el mas profundo c6mo. A su vez, una proposici6n descriptiva, si es cientifica, es siempre

universal, y, por lo tanto, no es nunca puramente descriptiva, pues su universalidad representa la sintesis de ciertas descripciones particulares

rente: esto quiere decir que la correspondencia entre los terminos y la

en un sistema, simbolizado por Ia proposici6n universal (de esta dependen,

forma de las expresiones y sus correlatos en la realidad obedece en cada

en efecto, las particulares): una proposici6n cientifica descriptiva es, pues,

ciencia a criterios distintos y tiene sentido distinto.

a la vez, una explicaci6n; el modo mas superficial de explicaci6n.

1.12.

Explicar la realidad significa manifestar por que raz6n la realidad

1.121.

Esta manifestaci6n se reaiza l por medio de expresiones que

tienen forma de teoria (sistemas de proposiciones) : la estructura de estas expresiones se basa en una suerte de dependencia de unas proposiciones respecto de otras, que vienen a ser, entonces, el fundamento explicativo o Rasgo caracteristico de toda explicaci6n es que las propo­

siciones fundantes del sistema explicativo (teoria) sean mas generales, simples y racionalmente evidentes que las fundadas. 1.122.

Decir c6mo es la realidad, mediante !eyes universales, es ya

1.23122.

El c6mo universal es el primer porque, el mas superficial

porque. 1.23123.

Toda sintesis suministra un fundamento racional a lo par­

ticular. 1.3.

racional de las primeras. 1.1211.

1.23121.

decir, en cierto modo, por que los hechos reales particulares son como son.

es como es.

La ciencia se desarrolla entre un conocimiento preferentemente

descriptive y uno preferentemente explicativo, sin tocar los extremos. 1.31.

La actitud cientifica positivista, que reduce el papel de la ciencia

a una mera ordenaci6n de resultados, rechazando el ideal de explicaci6n,

Cada ciencia posee un estilo de explicaci6n diferente: esto quiere

no hace mas que reconocer el hecho de una jerarquia de pianos del saber,

decir que la dependencia de unas proposiciones respecto de otras, en la

al ultimo de los cuales, inalcanzable de ordinario, solamente, es llcito

teoria, se manifiesta por medio de conexiones 16gicamente distintas y

atribuir una funci6n explicativa, siendo los restantes susceptibles de des­

tiene sentido distinto.

cripci6n, nada mas, o sea, de explicaci6n impropia, relativa y provisional.

1.2.

Descripci6n pura y explicaci6n pura son llmites ideates, los ter­

Desde un punto de vista metodol6gico, · y cuando no implica una toma

minos extremos y contrapuestos entre los cuales se situa, sin alcanzarlos, la

de posicion anti-metaflsica, esta reducci6n preliminar de la flsica al estricto

expresi6n cientifica.

ordenar y describir es de la maxima eficacia cientifica. 218

219

MIGUEL SANCHEZ-MAZAS 1.32.

MATEMATICA COMO CIENCIA DE ESTRUCTURAS FORMALES

La mas plena descripci6n debiera corresponder a la historia

natural y humana y la expicaci6n l superior a la filosofia.

2.

.

3.43.

Denominamos axioma con contenido la afirmaci6n implicita en

una expresi6n simb6lica de forma aseverativa, cuando se atribuya un

La perspectiva formal propia de la fisica es la movilidad; su objeto

sentido intuitivo determinado a cada uno de sus simbolos. Tal, por

formal, la realidad en tanto que m6vil; su fin, expresar las leyes que rigen

·ejemplo, la afirmaci6n contenida en la expresi6n anterior, si convenimos en

el movimiento: describir c6mo se realizan los movimientos reales y explicar

en tender x, y, z como numeros enteros, R como Ia relaci6n «menor que», C

por que raz6n lo hacen as!, hasta un cierto nivel explicativo.

y K en el sentido tradicional ordinario de la consecuencia l6gica y del

3.

La perspectiva formal propia de la matematica, en contra de lo

producto 16gico. Entonces el axioma dicho es una propiedad aritmetica

afirmado por el aristotelismo, que la cifra en la cantidad, es la. estructura;

concreta: la transitividad de Ia relaci6n «menor que» en el campo de los

su objeto, la realidad, en tanto que estructurada; su fin, expresar las leyes

numeros enteros.

de la estructura: describir c6mo son las estructuras reales y explicar su fundamento. 3.1.

Estructura es

una

de

las

acepciones

generales

del

termino

tradicional «forma»: de ahora eri adelante emplearemos dicho vocablo en la acepci6n en que es sin6nimo de estructura. 3.2.

Tal acepci6n puede manifestarse diciendo que la noci6n de forma

es la noci6n que se desprende de un todo al hacer abstracci6n de la naturaleza de sus partes. 3.21.

define

una estructura formal pura:

por

suposici6n formal, define, del modo mas general, la estructura formal que denominaremos «transitividad». 3.6.

Un axioma con contenido define una estructura concreta o real.

3.7.

Un sistema de axiomas formales, compatibles entre si, cada uno

de los cuales define una estructura, definen, a su vez, una nueva estructura, considerarse como sus generos. 3.8.

Reciprocamente, materia es el elemento comun a un todo y a

sus partes. 3.3.

Un axioma formal

mas compleja y esped.fica, combinaci6n de las anteriores, que pueden

Tambien puede decirse: forma es el elemento diferencial entre

un todo y el mero conjunto de sus partes. 3.22.

3.5.

ejemplo, el axioma representado por Ia anterior expresi6n, tomada en

Estructura elemental o at6mica sera la definida por un axioma

formal que no admita ulterior descomposici6n en axiomas formales mas simples.

Hay que observar que cada analisis de un todo da origen a una

pareja distinta materia-forma. Materia y forma de un todo no son, pues,

3.81.

Una estructura se dira monomorfa o polimorfa seg{ln que no

admita o admita nuevas especificaciones, por medio de nuevos axiomas

conceptos absolutos, sino relativos a un tipo determinado de analisis de

formales, agregables a los que la definen. Se dice que una estructura

un todo en partes.

polimorfa puede bifurcarse, dando origen a estructuras nuevas, especies

3.4.

De todos modos, cualquier forma resulta siempre de la abstrac­

3.41.

suyas. 3.82.

ci6n, de la no consideraci6n de la naturaleza de unas partes.

Una estructura monomorfa representa, en el universo 16gico

Refiriendonos a expresiones cientificas compuestas, en general,

de las estructuras formales puras, lo que la «species specialissima» en

de simbolos, diremos que una expresi6n se toma en suposici6n formal si

el campo general de las esencias. Admitir su existencia es tanto como

no se tiene en cuenta lo que designan dichos simbolos.

admitir el caso de un sistema de axiomas formales puros que no admita

3.42.

Denominamos axioma formal la afirmaci6n impllcita en una

expresi6n simb6lica de forma aseverativa cuando esta se toma en suposici6n puramente formal, o sea, no teniendo en cuenta ningun valor o significado

ulterior ampliaci6n, es decir: tal que todo nuevo axioma distinto de los del sistema sea «incompatible» con ellos. 3.83.

Este caso no puede admitirse en el universo formal puro: en

de sus simbolos aislados, sino Ia sola forma de Ia expresi6n. Axioma formal

el debe ser siempre posible encontrar un nuevo axioma compatible con

es, por ejemplo, la afirmaci6n implicita en la expresi6n siguiente, donde

un sistema dado. Por lo tanto, no hay en este campo «species specialis­

R, x, y, z son variables y C, K designan, respectivamente, las constantes

sima», sino que el proceso de especificaci6n es indefinido, no encuentra

16gicas

termino. El universo de las estructuras formales puras es, pues, abierto.

«implicaci6n»

y

«conjunci6n»,

segun

formal definido en la 16gica simb6lica, y en de Lukasiewicz:

su

sentido

puramente

hi. que empleamos Ia notaci6n

3.84.

Veamos ahora cual es la relaci6n entre una estructura formal

pura y una estructura real, como el numero entero que se da en nuestra CK (xRy) (yRz) (xRz}

intuici6n : esta relaci6n es, desde un punto de vista 16gico, la de especie a

220

221

MIGUEL SANCHEZ-MAZAS

individuo, y desde el punto de vista matematico, la de termino de una sucesion convergente al limite de esta sucesion.

3.841.

Ninguna estructura formal llega jamas a coincidir con una

MATEMATICA COMO CIENCIA

DE

formales. Pero este analisis es indefinido. Hay siempre un resto irreductible, aunque no determinable a priori. Puede darsele el nombre de resto intuitivo.

estructura real. La proposici6n de Skolem, que afirma la imposibilidad de caracterizar plenamente los numeros entero.s de nuestra intuicion por medio de un numero finito de axiomas, es un caso particular de este principio, el cual tiene su paralelo logico en el que afirma la irnposibilidad de caracterizar plenamente un individuo real por un concepto universal, por muy especifico que sea.

3.8411.

«Theoria» Revista de

Teoria e Historia de

Ia

Ciencia

Apartado 1159

MADRID Espagne

Las estructuras reales son los objetos individuales de la

matematica, y las estructuras formales puras los universales. La mate­ matica subordina las prirneras a las segundas. Todas las relaciones de inclusion, exclusion, compatibilidad e incompatibilidad, consideradas por la 16gica matematica leibniziana, son aplicables en este dominio.

3.8412.

Toda estructura real considerada por la matematica es siem­

pre el limite de una sucesi6n de estructuras formales puras que la incluyen y encierran de modo cada vez mas estricto y sobre ella convergen, como una sucesion de circulos concentricos n i cluidos cada uno en el anterior, convergen sobre su centro.

3.8413.

Pudiera sugerirse que este es tabien el caso general de la

relacion entre universales e individuos, en logica, con Io que se ofrece una tercera salida al problema resuelto de modo opuesto por Santo Tomas (individuacion por la materia, aceptacion de una «species specialissirna», frontera de la determinaci6n esencial o formal) y Scoto (individuaci6n por Ia «haecceitas», coincidencia del individuo con un universal) . Aqui dir1amos: entre universales e individuos hay ciertamente, discontinuidad y heterogeneidad: pero la distancia conceptual puede acortarse indefinida­ mente: no se anula, pero tampoco hay frontera irrebasable.

3.842.

Las estructuras reales que considera la matematica son, a su

vez, universales respecto de los objetos de la realidad fisica, y producto de una abstracci6n, caracteristica de la matematica. Muestran, por lo tanto, dos caras: una, al mundo formal puro, en el que desempefian el papel de individuos, y otra, al mundo fisico, en el que representan univer­ sales matematicos.

3.85.

Hay asi tres niveles sucesivos: El de la fisica, el de Ia matematica

en tanto que ciencia de Io real ( ciencia natural), que considera estructuras

reales, y, finalmente, el de la matematica como ciencia formal pura, la cual es en realidad una dialectica, que converge sobre la ciencia anterior,

empleando como instrumento de analisis de las estructuras reales las estructuras formales puras definidas por sistemas coherentes de axiomas

222

ESTRUCTURAS FORMALES

223

TABLE DES MATlf:RES/CONTENTS Volume V LOGIQUE

TouLMIN, S.: What kind of discipline is logic? . P.: Die ontologische und die operative Auffassung der Logik VON FREYTAG L6RINHOFF, B. Baron: Zur Logik als Lehre von ldentitat und Verschiedenheit . MAGGIONI, E.: Apofanticita e semanticita nel giudizio e nei concetti HARTIG, K.: Die «<dentischen Urteile» der Syllogistik SAARNio, U.: Der Teil und die Gesamtheit . KAUPPI, R.: Dber den Begriff des Merkmalraumes GuNTHER, G.: Die philosophische Idee einer nicht-aristotelischen Logik LORENZEN,

. ·

.

.

7 12 19 25 28

35 38 44

LOGIQUE FORMALIS�E FREY, G.: Bemerkungen zum Problem der mehrwertigen Logiken voN WRIGHT, G. H.: A new system of modal Logic . BETH, E. W.: Sur la description de certains modeles d'un systeme

forme!

FEYS, R.: Peano et Burali-Forti pn!curseurs de Ia logique combina-

toire

.

53 59

64

70 TH£0RIE DE LA PREUVE

DAL PRA, M.: Sulla prova nel discorso filosofico . DALLMANN, M.: Die Vielfalt der Beweisverfahren in ihrem Bezug auf

Wirklichkeits- und Wahrheitsgehalt ME'NNE, A.: Beweis und Negation . GILMORE, P. C.: Griss' criticism of the intuitionistic logic and the theory of order MoRPURGO-TAGLIABUE, G.: Significato e prova nel discorso critico

75 82 91 98

105

S£MANTIQUE ET ANALYSE PHILOSOPHIQUE LINS, M.: The supports of the new general semantics

115

S.: The nature of philosophical analysis .

121

KoRNER,

225

HEINEMANN, F. H.: Meta-analysis MARTIN, R. M.: On non-translational semantics . GALIMBER.TI, A.: L'analyse linguistique de Ia representation LINKE, P. F.: Die Implikation als echte wenn-so-Beziehung . PAP,, A.: Analytic truth and «<mplicit definitions» . CRAHAY, F.: A propos d'une reduction fallacieuse des notions d'existence et de verite . BAR-HILLEL, Y.: On recursive definitions in empirical sciences CALLAHAN, J. J.: Symbolism in mathematics and logic . MAclVER, A. M.: Do words mean anything? . DE WITTE, A. J. J.: The relations of symbolic logic and comparative linguistics . HoLz, H H.: Zum Problem der Konstitution von Bedeutung . ALEXANDER, H. G.: Language and hypostatization . .

132 132 139 146 151 156 160 166 172 176 180 185

PHILOSOPHIE DES MATHJ!:MATIQUES

Sur Ia tache de la philosophie des mathematiques . DINGLER, H.: Was ist Konventionalismus ? ScHMIDT, A.: Zum Verhaltnis von Existenz und Widerspruchsfreiheit RrABoucmNSKY, D.: La definition des nombres par leur valeur numerique et par leur origine; role de ce concept en philosophic mathematique . RosTAND, F.: Quelques aspects de la psychologic des mathematiques SANCHEz-MAzAs, M.: La matematica como ciencia de estructuras formales (dialecta) y como ciencia de estructuras reales ( ciencia natural)

HEYTING, A.:

.

226

193 199 205

208 215

218

(

STUDIES IN LOGIC

AND THE FO UNDA TIONS OF MATHEMATICS P. BERNAYS, A. A. FRAENKBL AN D A. BORGERS

Axiomatization of Set Theory I . M . BOCHENSKI

Ancient Formal Logic

(1951)

P• .BOEHNER, 0. F. · M.

Bin Beitrag zur mittelalterlichen Suppositionstheorie (to

be translated)

HASKELL B. CURRY

Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics

(1951)

K. D U RR

The Propositional Logic of Boethius

(1951)

R. FEYS AND

J.

C. C. MCKINSEY

Modal Logics

(1952)

E. A. MO O D Y

Truth and Consequence in Mediaeval Logic

(1953)

A. MOSTOWSKI

Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic (At1 Exposition of the Theory of Kurt Code/)

(1952)

A. RO B IN SO N

On the Metamathematics of Algebra

(1951)

J.

B. ROSSER AND A. R. TURQUETTE

Many-valued Logics

(1952)

' B. SO B O CIN SKY

Mereology

G.

H. V O N W R I G H T

An Essay in Modal Logic

(1951)

ACTES DU Xleme CONGREs INTERNATIONAL DE PHILOSOPHIE I THtoRIE DE LA PHILOSOPHIE 162 p. Prix 6,50 florins - 85 francs belges II EPISTEMOLOGIE 248 p. Prix 9,50 florins - 125 francs belges III METAPHYS1Ql1E ET ONTOLOGIE 192 p. Prix 7,50 florins - 100 francs belges IV ExPERIENCE ET METAPHYSIQUE 150 p. Prix 6,50 florins - 85 francs belges . V LOOIQUE - ANALYSE PHILOSOPHIQUE - PHILOSOPHIE · DES MATHEMATIQUKS 225 p. Prix 8,50 florins - 110 francs belges. VI PHILOSOPHIE ET METHODOLOGIE DES SCIENCES DE LA NATURE 268 p. Prix 10,50 florin.S - 140 francs belges VII PsYcHOLOGIE PHtLOSOPHtQ.UE 272 p. Prix 10,50 florins - 140 francs belges VIII PHILOSOPHIE DE L'HISTOIRE - PHILOSOPHIE DE LA CULTURE 152 p. Prix 6,50 florins - 85 francs J;>elges IX PHrLosoPHm sociALE - PHILOSOPHIE JURIDIQUE - Pl:IILOSoPHIE PoLITIQUR 231 p. Prix 8,50 florins - 1 1 0 francs belges X PHILOSOPHIE DES vALEURS - ETHIQ.UE - Esru:ATIQUE 284 p. Prix 1 1,50 florins - 150 francs belges XI PHtLOSOPHIE DE LA RELIGION · 138 p. Prix 6,50 florins - 85 francs belges XII HISToiRE DE LA PaiLosoPHIE : METHODOLOGIE - ANnQUITE &T MoYEN AGB 196 p. Prix 7,50 florins - 100 francs belges XIII HlSToiRE DE LA PHILOSOPHIE MODERNE ET CONTEMPORAINE 267 p. Prix 10,50 florins - 140 francs belges XIV VoLUME CoMPl.EMENTAIRE - TABLES 300 p. environ. Prix 11.- florins - 145 francs be�es Le prix des ACTES complets (14 vol.} est de 95 florins - 1250 francs belges PROCEEDINGS OF THE Xlth INTERNATIONAL CONGRESS OF PHILOSOPHY

THEoRY OP Plm..OSOPHY 162 pp. Price S 1,80 - 13 sh. II EPISTEMOLOGY 248 pp. Price $ 2,50 - 19 sh. III METAPHYSICS AND ONTOLOGY 192 pp. Price S 2,00 - 15 sh. IV ExPERIENCE AND METAPHYSICS 150 pp. Price $ 1,80 - 13 sh. V LoGIC - ANALYSIS - PHILOSOPHY OF MATHEMATICS 225 pp. Price S 2,25 - 17 sh. VI PHILOSOPHY AND METHODOLOGY OF THE SomNCES OP NATURE 268 pp. Price $ 2,80 - 2 1 sh. VII PHILOSOPHICAL PSYCHOLOGY 272 pp. Price $ 2,80 - 2 1 sh. VIII PHILOSOPHY oF HISToRY - PHILOSOPHY OF CuLTURE 152 pp. Price S 1,80 - 13 sh. IX SOCIAL PHILOSOPHY - JURJDICAL PHILosoPHY - PoUTICAL PHILOSOPHY 231 pp. Price $ 2,25 - 1 7 sh. . X PHILOSOPHY OF vALUES - ETHICS AND AESTHBTICS 284 pp. Price 8 3,00 - 23 sh. XI PHILOSOPHY OF RELIGION 138 pp. Price S 1,80 - 13 sh. XII HISTORY oF PmLo&OPHY: METHODOLOGY - ANTIQUITY AND MIDDLE AGB 196 pp. Price S 2,00 - 15 sh. XIII HISTORY OF PHILOSOPHY, MODERN AND CoNTEMPORARY 267 pp. Price $ 2,80 - 21 sh. XIV ADDrTIONAL VoLUME - INDICES appr. 300 pp. Price S 3,00 - 23 sh. The price of the complete set of the Proceedings is S 25,00 - £ 9.-.-. I