SOMMAIRE CHAPITRE
1-
Espaces vectoriels normés
1- Topologie des espaces vectoriels normés 11-Limite - Continuité - Dérivation
7
16
111-Complets - Compacts - Connexes Exercices-types, Indications, Solutions Exercices proposés
CHAPITRE
27
38 45
2 - Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
1- Continuité des applications linéaires 11-Espaces vectoriels de dimension finie Exercices-types, Indications, Solutions Exercices proposés
CHAPITRE
47 54
60 69
3 - Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul dilTérentiel 1- Applications partielles Dérivées partielles
11-Différentielle d'une application de classe 111-Différentiabilité
73
el
:.
IV- Fonctions implicites V- Difféomorphismes VI- Inégalité des accroissements finis
96 99 103
VII- Formule de Taylor-Young, Extremums Exercices-types, Indications, Solutions Exercices proposés
111
CHAPITRE 4 - Séries numériques
105 121
et vectorielles
1- Généralités
123
11-Séries à termes réels positifs 111-Séries absolument convergentes IV- Séries à termes quelconques Semi-convergence Exercices-types,Indications, Solutions Exercices proposés
, y,
78 88
CHAPITRE
132 142 144 150 160
5 - Suites et séries de fonctions
,
1- L'espace vectoriel normé '!Ji, (A, F) 11-Convergence d'une suite ou d'une série de fonctions 111-Limite - Continuité Intégration - Dérivation IV- Méthodes pratiques Exercices-types, Indications, Solutions
191
1
Exercices proposés
205
~ ~ .~ ~ ~ Îj
~
CHAPITRE
6c
Intégrale
I-Intégration
1 ~
1
1
,1-
181
corn.pl~ments
d~sfonctions'.'-<'." continuès pa/morceàux .. '-
Il::''Fôri'~tions de la forme ;: .', x ~ ..['cf": a ~ : '.. •. 111-.Intégrales impropres et sérieS':, ,".; ,•.....•• ~,
~Ia.!(x, ~;,dt
IV- Fonctions ~eïa forme. x Exercices"types, Indications, Solutions ~'. :":','
: .....•. ,
t.
.:. ,
,.
:: : .. ;
'x
Exercices proposés
163
164 174
, .. : , .. '., : '.' . ,
..
,
, ..........•......
:
';""
: .. :
:
J, ......•..••.••••••••
,
207
216 218 222
226 233
~
4ITf~:f/
RE,', de plusieurs , 7 ( ";O:C:ions Calcul intégral 1- Formes différentielles de degré un
,~/
variables réelles .
235
.
239
.
242
IV- Intégrale d'une fonction sur un compact mesurable de [Rn
.
245
V- Intégrale double - Aire plane VI- Aire d'un morceau de surface
. .
247
.
259
.
264
.
272
.
275
11-Convergence uniforme Continuité de la somme 111-Séries entières d'une variable réelle, Intégration - Dérivation IV- Développement en série entière
. . .
281
V- Fonctions usuelles d'une variable complexe
.
300
.
Q~=>
II-Intégrale curviligne 111-Compacts mesurables. Aire et volume
VII- Intégrale triple - Calcul de volumes VIII- Masse, centre et moment d'inertie
,
,
Exercices proposés
8-
IlPITRE
Séries
entières
1- Définition - Rayon de convergence
VI- Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice Exercices-types,
Indications,
Solutions
Exercices proposés
IlPITRE
284 287
.
310
.
321
.
323
9 - Séries de Fourier
1- L'espace préhilbertien D 11-Séries de Fourier
,
111-Développement en série de Fourier Exercices-types,
Indications,
Ji','
Solutions
.
326
.
332
.
336 346
,
/"'X:~roposes
,i ••••••••••••••••••••••••••
\PITRE 10-//
255
Equations düJérentielles
JL-
1- Equations linéaires 11-Equations non linéaires - Théorème de Cauchy-Lipschitz
Exercices-types, Indications, Exercices proposés
Solutions
:
EX
"
[
G.
1 D.Ini'l>a~ no.
. 2srtl! ,"..h ~
,_
~l 1,
t. O. J:.
IClltüphonesi
.
11.1-
+ ,11) __ -'--
~I..._
. .
.
......• -
1 1
347 362
. .
370
.
383
381
Chapitre 1
Espaces vectoriels normes ~
1- Topologie des espaces vectoriels normés ~=[Fgou iC; E est un Kespace vectoriel. Définitions : d.1
On appelle nonne sur E une application vecteurs x, y de E et tout scalaire À de ~ :
• • •
{=?
N(x) = 0 N(À x)
=
N(x + y)
N :E
--+[Fg+
vérifiant,
pour tous
x =0
IÀI N(x)
N(x) +' N(y)
oS;
Le couple (E, N) est un espace vectoriel nonné . d.2
Distance
associée a une norme
Soit (E, N) un espace vectoriel normé, l'application d
:
E2
(x, y)
--+[Fg+,
I-è>
d définie par:
d(x, y) = N(x - y)
eSt appelée distance associée ala norme N. Remarque Si F est un sous-espace vectoriel de E, la restriction à F de la norme de E est une norme sur F. (F, N) est un espace vectoriel normé. On considère désormais un espace vectoriel normé (E, N). d.3
il La boule ouverte de centre a E B(a, r) ii / La boule fermée
==
E et de rayon r E [Fg+ est:
{x
E/N(a - x) < r}
de centre a E E et de rayon r BJ(a, r) = {x
iii / La sphère
E
de centre a
E E
E
EIN(a - x)
et de rayon r
S(a, r) = {x
E
E [Fg+,
E [Fg+
oS;
est:
r}
est:
E/N(a - x) = r}
Remarque Les boules ou sphères de centre 0 et de rayon 1 sont appelées boules unité, sphère unité.
8
Précis d'Analyse Il
dA On appelle voisinage d'un point a de E toute partie X de E contenant une boule ouverte de centre a. L'ensemble des voisinages de a est noté 'V(a) XE 'V(a) {==:?3 r> 0, B(a, r) eX Remarque Pour tout réel r> 0, la boule B(a, r) est un voisinage (je a. d.5
Vôisinag~telatif Si A est une partie de E et a un point de A, l'intersection avec A d'un voisinage X de a s'appelleYoisrn!;j.geÔ.éadans {l. L'ensemble des voisinages de a dans A est noté 'VA (a) 'VA(a) = {X nA/X Ainsi
YE'VA(a)
{==:?3r>0,
E
'V(a)}
AnB(a,r)cY.
d.6 i / On appelle ses points
toute partie X de E qui est voisinage X ouvert de E {==:?V
iil
On appelle un ouvert de E
X E X,
X
de chacun de
E 'V(x)
toute partie de E dont le complémentaire
dans E est
X fermé de E {==:?E\X ouvert de E d.? i / Si A est mie partie de E, on appelle de chacun de ses points dans A. X ouvert de A {==:?V ii/ On appelle est un ouvert de E .
toute partie X de A voisinage X E
X,
X
E 'V A(X)
toute partie Y de A, dont 1e complémentaire
dans A
•
Soit X c A, X est un ouvert de A si et seulement si il existe Xl ouvert de E tel que X=AnXl·
•
A, Y est un fermé de A si et seulement si il existe Yl fermé de E tel que Soit Y Y=AnYl·
c
d.S On appelle intérieur 1
d'une partie A de E la réunion de la famille des ouverts
de E inclus dans A. On note A l'intérieur
de A. o
\
\
1
C'est le plus grand ouvert de E inclus dans A. Un point de A est dit intérieur à A.
d.9 1
On appelle adhérence fermés de E contenant
d'une partie A de E l'intersection A. On note A l'adhérence de A.
de la famille des
C'est le plus petit fermé de E contenant A. Un point de A est dit adhérent à A. d.10 On appelle frontière points de E adhérents
d'une partie A de E l'ensemble,
à A et à son complémentaire Fr(A) = A n E \ A
noté Fr(A), formé dans E :
/
Chapitre l d.11
9
Espaces vectoriels normés Partie
dense
On dit qu'une partie A de E est dense dans E si l'adhérence 1
d.12
1
On dit qu'une partie B de A est dense dans A si A
de A est E : A
==
E.
c B.
Point d'accumulation d'une partie A de E tout point x de E adhé-
On appelle point d'accumulation rent àA\{x}.
Un tel point est caractérisé par le fait que, pour tout voisinage V de x, l'ensemble A n V\ {x} n'est pas vide ou A n V est infini. d .13
Point isolé On appelle point isolé d'une partie A de E tout point a de A possédant voisinage V dont l'intersection avec A est le singleton {a} : a point isolé de A Ç=? 3 V
d.14 1
d.15
E
'V(a), A n V
==
{a}
Partie bomée Une partie A de E est dite bornée s'il existe une boule de E contenant
8 (A)
1
Distance
sup{N(x
- y)/(x, y) E A2}
d'un point x de E à une partie non vide A de E, le réel: d(x,A)
1
On appelle distance
==
inf{N(x - Y)/Y
E A}
de deux parties nop vides A et B, le réel d(A. B)
1
d.18
==
de A le réel:
d'un point à une partie
On appelle distance
d.17
A.
Diamètre Soit A une partie non vide et bomée de E. On appelle diamètre
d.16
un
==
inf{NCx - y)/x
E A, y E
B}
Fonction bomée Soit A un ensemble non vide et (E, N) un espace vectoriel normé. Une fonctionj de E:
:A
---+
E est dite bomée si son imagej(A)
est une partie bomée
Remarque L'ensemble ~, Si A d.19
CZJ3
(A. E) des fonctions bornées de A dans E est un sous-espace vectoriel de
il est normé par =1\1
Ilj
1100
==
sup XEA N(1(x)).
ils'agit de l'espace des suites bornées de E.
Normes équivalentes On dit que deux normes NI et N2 sur E sont équivalentes
si les fonctions
NI e t NI N2 d'fi . sur E \ {}OE son t maJorees. " N2 e mes Remarque Cette définition peut se traduire par l'existence de deux réels tels que ex NI "" N2 ""13 NI·
ex
et
13
strictement positifs
10
Précis d'Analyse
Exemples - Travaux pratiques 1 de IR- Norme usuelle de
iC
• • Norme usuelle de IR : valeur absolue Les boules sont les intervalles bornés. •
Norme usuelle de
Les boules de
iC
iC :
le module
IR---;-IR+,
iC---;-IR+,
x ~ Ixl
z ~ Izl
sont les disques, les sphères de
iC
sont les cercles.
exemple 2 1
•
Nature des boules d'un espace vectoriel normé
•
Une boule ouverte est un ouvert de E, elle est convexe.
Pour tout x, y de B(a, r) et t E [0,1], notons z = (1 - t)x + ty et montrons que z E B(a, r). car •
N(z - a) = N[(l - t)(x - a) + t(y - a),l ~ (1 - t)N(x - a) + tN(y - a) < r N(x - a) < 1; N(y - a) < r , (1 - t) > 0 et t> O. Une boule fermée est un fermé de E.
Notons C = E \ BJ(u, r) son complémentaire et, pour tout point x de C, notons R = N(x - a) - r> O. La boule B(x, R) est incluse dans C; en effet, pour chaque y de B(x, R) minorons: N(a - y) ~ N(a.-,x)
- N(x - y) > N(a - x) - R =
r
l'inégalité N(a - y) > r équivaut à y ~ BJ(a, r). Ainsi, C est voisinage de chacun de ses points, C est un ouvert de E. •
Un point est donc un fermé de E.
,xn) E (Kn.
sur
(Kn
par les expressions suivantes: 1
j N2(X) N2
1 "~
=
(t
est la
1
,
'1.
Ixi!
1"'(""11
2
(Kn
attachée au produit scalaire:
Voir Algèbre 2
il'
1
sup
L~l !Xd2)
•
Ces normes sont deux à deux équivalentes (ce qui est le cas dès que l'espace est de dimension finie), et les inégalités suivantes donnent les coefficients optimaux: Noo
~
N2 ~ N1 ~
.;n N2
~
n Noo
Il
Chapitre 1
11
Espaces vectoriels normés
exemple 4 classiques sur l'espace vectoriel il<:[X] des polynômes
P = ao + alX + ... + anXn, on définit trois nOrInes sur il<:[X] n
Nl(P) =
:
1
L lail
(t
N2(P) =
i=O
= sup lad2)
,=0
lail
O""i""n
:2
est la norme préhilbertienne canonique de il<:[X])
• •
Ces normes sont comparables en un sens: Noo
o<S
N2
o<S
NI,
pas dans l'autre sens: on montre que les fonctions NN2 00 et NNI 2 ne sont pas majorées en leur appliquant la suite de polynômes (Pn)nE N définie par Pn(X) = 1 + X + ... + Xn. ~ NI(Pn)=n+l, N2(Pn)=yn+l, Noo(Pn)=l, Les normes NI, N2, Nx ne sont pas équivalentes. •
N2 NI Nx(Pn)=N2(Pn)=vn+1
En associant à P sa fonction polynôme, on définit de nouvelles normes sur
IK [X]
~
par
les expressions suivantes:
sup
sup
IP(t)1
tE[O,l]
IP(z)1
Izl=1
exemple 5 classiques sur l'espace
1], il<:)des fonctions continues
C([O,
à valeurs
dans
cet espace, on définit trois normes par:
Iii
III = JorI Lf(t)1 dt
Iii Ilex: =
,
sup
Lf(t)1
tE[O,l]
est la norme préhilbertienne, attachée au produit scalaire sur C([ü,1], IK) (fg)1---'7
Vlg)
:
= 11](t)g(t)dt
• •
Ces normes sont comparables dans un sens: Iii III
o<S
Iii 112
o<S
Iii
1100
(égalité pour les fonctions constantes)
i iijii~
mais pas dans l'autre sens: on montre que les fonctions pas majorées en considérant une suite de fonctions Vn)nd'J définie par 1---'7
Le calcul donne
et les suites
nl---'7
1
Ilin III =
n+1
Ilin
112
=
1 v2n~1
1
Ilin 112--~- n+ Ilin III - v2n +
1
et
n
1---'7
Ilin lico = Ilin 112
et
Ilin Ilex:=
v2n + 1
li&I:~
ne sont
in(t) = tn.
1
ne sont pas majorées.
f.
------------12
Précis d'Analyse Il
E est un espace vectoriel normé. p.1 Pour tout x et y de E : !N(x) - N(y)1 ~ N(x - y)
1
p.2
il
~
La réunion d'une famille quelconque est un voisinage de x.
d'un même point x de E
de voisinages
ii 1L'intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x. Toute partie qui contient un voisinage d'un point x de E est aussi un voisinage de x (conséquence de la définition de voisinage). Le il en découle. Prenons deux voisinages U et V d'un même point x de E- Ilexiste alors deux réels ex et [3>° tels que: B(x, ex) c U
et
B(x,
(3) c
V
Supposons que ex~[3, alors B(x, ex) c B(x, (3) et B(x, ex) c U (î V, ce qui fait de U (î V un voisinage de x, même si [3~ex bien sûr.
D
p.3 Soit A une partie de E. A est un ouvert de E si et seulement
1
pA
Vx
E A,::3
r
E IR:, B(x,
r) cA
CaraGt~I'isationdel'adh~reAêê d'une partie A non vide de E. Pour tout point x de E, les trois propriétés suivantes sont équivalentes:
il x est adhérent
à A: x
E
A,
ii 1Toute boule de centre x rencontre ~
si:
A : V r> 0, A (î B(x, r) ;t
0,
iii 1Tout voisinage de x rencontre A : V V E OV(x), A (î V;t 0. il =? iil Supposons au contraire, qu'il existe une boule B(x, r) incluse dans E \ A, alors A est inclus dans le fermé F = E \ B(x, r), ce qui donne x E A. iil =? iiii Tout voisinage V de x contient une boule B(x, r), donc A (î V:) A (î B(x, r) et A (î V n'est pas vide. iiii =? il par contraposition. Si x E A, ilexiste un fermé F contenant A et pas x. Alors E \ F est un voisinage ouvert de x qui ne rencontre pas A. D
p.5
Ouverts etfermes
1
il E et
0 sont,
à la fois, ouverts et fermés de E.
• La réunion
iil
• L'intersection
d'une famill~ quelconque d'ouverts de E est un ouvert de E. d'une famille quelconque de fermés de E est un fermé
deE. iii 1 p.6
• L'intersection
de deux parties ouvertes de E est un ouvert de E. • La réunion de deux parties fermées de E est un fermé de E. Soit A et B deux parties
Intérieuretadhérênce
il
Si
A
cB
alors
o
A.cB
0
et
Ac
B. o
iil
• Si
Ac
B
• Si
Ac
B
et A ouvert, alors et B fermé, alors
Ac
B
Ac
B.
de E.
Chapitre 1 p.?
13
Espaces vectoriels normés
Produit
vectoriels
d1espaces
normes
1
Soit (E, N) et (El, NI) deux espaces vectoriels On définit
trois normes
classiques
normés.
sur l'espace produit
E x Fi :
1 Il
(x, Xl)
111
= N(x) + NI(XI) Il
(x.x)
Ces trois normes sont deux ~
à
,
lico
Il
112 =
(x, Xl)
(N2(x) + d2(x») 2:
= sup (N(x), NI(X»)
deux équivalentes.
Aucune difficulté hormis l'inégalité triangulaire de la norme
Il.112'
En utilisant les inégalités triangulaires de N et de NI : N(x + y) ~ N(x) + N(y)
NI (x + y) ~ NI (x) + NI (y)
et
et l'inégalité triangulaire de ([R2, N2) : v(a
+ b)2 + (al + b/)2 ~ va2 + al2 + vb2
+ b/2
on obtient:
VN2(x + y) + NI2(XI + yI) ~ VN2(;;)+ N/2(XI) + y'N2(y) + N/2(yl) L'équivalence de ces normes tient aux inégalités suivantes: Il
(x, Xl)
lico
~
Il
(x, Xl)
112 ~
Il
(x, Xl)
(x, Xl)
v'211
111 ~
112 ~
211 (x,
Xl)
lico
D
Remarques 1)
On définit de façon analogue (par récurrence) des normes équivalentes sur un produit de plusieurs espaces vectoriels normés, en particulier sur En.
2)
p.8
Désormais, tout produit d'espaces vectoriels normés sera muni de l'une de ces normes. Parties
bornées. d'un espace vectoriel
Soit A et B deux parties i / Si ii / Si iii / Si ~
A
c Bet
B bornée
normé (E, N)
non vides de E. alors
A est bornée et /) (A) ~ /) (B)
A et B sont bornées
alors
A u B et A + B sont bornées
A est bornée
alors il est bornée et /) (A) = /) CA)
il Si x et y E A
alors
ii 1 Soit (a, x) E A2
et
N(x - y) ~ /) (B)
,
Ac
B( x, /) (E»)
et
/) (A) ~ /) (B)
(b, y) E B2. L'inégalité triangulaire donne:
N(x - y) ~ N(x - a) + N(a - b) + N(b - y) ~ /) (A) + N(a - b)+ /) (B) N(x + y - a - b) ~ N(x - a) + N(y - b) ~ 0 (A)+ /) (B) C·e qUi perme t d e conc 1ure iii 1 Soit
x
u
/) (A (A + B) ()B B)+ /) (B) { /) B) ~~ /)/)()A (A)++/)d(A,
et y deux points de A.
Alors, pour tout r> 0, il existe
a
E
An B(x, r) et
b E An B(y, r)
L'inégalité triangulaire fonctionne comme en iil : N(x - y) ~ N(x - a) + N(a - b) + N(b - y) ~ r+ /) (A) + r Ce qui montre que A est bornée avec donc
/) CA)
.L'inclusion
~
A
/)
/) CA)
~
/)
(A) + 2r, pour tout r> 0,
(A) .
c A et il donne l'égalité
/) (A) = /) CA) D
14
•
Précis d'Analyse
Soit E un espace vectoriel muni de deux normes Nl et N2 telles que Nl ~ N2. Notons Bi(a, r) la boule ouverte de centre
a et de rayon r définie
B2(a, r) c Bl(a, r).
Ces boules vérifient
par la norme Ni pour i = 1 ou 2.
(Nl(a,x)
~ N2(a,x) < r).
Si U est un ouvert de (E, Nl), alors U est aussi un ouvert de (E, N2). En effet, x étant un point de U il existe un réel les inclusions
B2(X, r)
c
r) c
Bl(X,
U
r>
0 tel que
Bl (x, r) c U,
prouvent que U est un voisinage de x dans l'espace
(E, N2).
Supposons que ces deux normes soient équivalentes: il existe a> 0 et [3> 0 tels que:
a
Nl ~ N2 ~ [3 Nl·
Alors, les espaces vectoriels normés (E, Nl) et
CE,
N2) ont les mêmes ouverts.
Dans ces conditions, les notions de limite et de continuité coïncident sur ces deux espaces.
•
Il suffit de vérifier qu'un point x de la sphère S(a, r) est adhérent à la boule ouverte B(a, r). Notons
y = a+
1.1
(x - a)
l'image de x par l'homothétie de centre a et de rapport
fLE
]0,1[.
Calculons les deux normes: II y - a Il =1.1Il x - a II =1.1 r
r
et
Il y - x Il = II (1- fL)(a - x) Il =
(1- fL)r
a
Pour tout aE ]0, r[ et donc
avec
1-
<1.1< 1, on a
1.1r <
r et (1- fL)r
y E B(a, r) (î B(x, a).
exemple 8 sous-espaçe \fectoriel
cedeE;'~spa.ce vectoriel norrné. ~er~~e$qn~.(ihérence Fest un sous-espa.ce \téctbriel de E. En déguire ql.l'"Unhyp~rplan est soit fermé soit dense dans E. •
1)
Il s'agit de vérifier que, pour tous x et y de Ji' et ÀE IK, alors x + y E Ji' et À x E F. La caractérisation de points adhérents à F indique, pour tout r> 0, l'existence de points et b de F tels que
Il x
- a Il
< r
et
+ y)
- (a
+ b)
Il y -
a Il
< r.
Alors les majorations: II (x
suffisent à prouver
x-
II ~ II x - a Il
+ Il y
a Il = IÀI·II x - a Il ~ IÀI r que x + yet À x sont adhérents à F. II À
À
-
b II < 2r
a
Il
Chapitre 1 2)
15
Espaces vectoriels normés
Supposons maintenant que
F soit
E,
un hyperplan non fermé de
c'est dire qu'il existe un point c de If \ F et que la droite lK,c est un supplémentaire de
F (caractérisation d'un hyperplan) : E =lKc x = lec + y avec le E IK et y E F.
c If et que If est un sous-espace
Comme F
EB
F signifie que tout vecteur x de E s'écrit
de E,
x=
lec + y E F.
Ainsi If = E, F est dense dans E.
exemple 9 Distance
à une partie
Soit A une partie
A= , •
E,
1)
2)
Id(x,A)-
d(y,A)1 ~
d(x, A) = 0
L'égalité
espace
= O}
{x E E/d(x,A)
\f X,yE
E,
non vide de
Ilx-
se traduit par
yll
\f r> 0, 3 a E A, Il x - a Il < r.
Ceci caractérise
x
E
Fixons deux points
x
et y de E. Alors pour tout point z de A:
Il
x-
z
Il -
d(x, A) -
Il Il
A.
y - z
y - z
d(x,A) - d(y,A)
Il ~
Il ~
Il
x-
x - y
Il
y
(seconde inégalité triangulaire)
Il
(une borne inférieure est un minorant)
Il
~ Il x - y Il
d(y,A) - d(x,A) ~
Il
y - x
Id(x,A) - d(y,A)1 ~ Il x
-
Il
(elle est le plus petit des minorants) =
Il
x - y
(échange de x et y)
Il
(±
y Il
À~I-L =?
IÀI ~I-L)
exemple 10 et adhérence d'un convexe A une partie non vide et convexe d'un espace vectoriel o
A
que
normé E.
_
et
A
sont convexes . o
•
1)
Prenons deux points x et y de A et vérifions que, pour tout réel t E [0,1], le point z =
(1 -
t)x + ty
vecteur u vérifiant
est intérieur à A. D'après la propriété 3, il existe r> 0 tel que, pour tout Il
u
Il
Comme A est convexe donc 2)
B(z, r)
< r, alors
(1 -
x +u
y +u
et
sont dans A.
t)(x + u) + t(y + u) = z + u
c A. Ainsi z est intérieur à A;
A est convexe.
Reprenons les notations précédentes avec, cette fois-ci,
x
Pour tout r> 0, il existe deux points
et
Notons
c= Il z
Ainsi
zE
(1 -
t)a + tb
a E An
est aussi dans A,
o
B(x, r)
et y dans A.
b E An B(y, r).
et vérifions que, z E B(c, r) :
- cil = Il (1 - t)(z A, A est convexe.
a) + t(z - b) Il ~ (1 - tlIl
z-
a Il + tll z - b Il < r
16
Précis d'Analyse
Il
II - Limite - Continuité - Dérivation A. Suites La notion de suite à valeurs dans un corps
a été vue en Analyse
If{
1.
Etant donné un IK-espace vectoriel E, on définit de manière analogue:
•
les suites de E,: applications de N dans E, notations: u, (un), (Un)N, l'ensemble des suites de E est noté EN
•
les suites de E définies à partir d'un certain rang Tl{) EN:
applications de [Tl{), +00 [
dans E, notation : (Un)n~no
• •
les opérations sur EN : addition et produit par un scalaire. EN est un IK-espace vectoriel les suites extraites d'une suite donnée (Un)F\j E EN. Si E estun espace vectoriel normé, (Un)N E EN est born~e si et seulement si
A
il
existe
A.
E [R* tel que \:j nE N, Il Un Il ""
L'ensemble @ (E) des suites bornées de E est un sous-espace vectoriel de EN.
d.20
§u.ite~qIlvétg~nte
dans un espace vectoriel
Soit U une suite et
a un
On dit que la suite n
f-7>
Il
Un - a
Il
On écrit alors
a,
U a pour limite
a pour limite lim Un n~+oo
normé
CE, Il
.11)
ou converge
vers
a,
point de E.
=
si la suite réelle
O.
a Ç==} n~+oo lim Il Un -
a Il
=0
Remarques 1)
Une suite convergente a une seule limite.
2)
Une suite convergente est bornée.
3)
L'ensemble
C(S
L'application 4)
CE) des suites convergentes de E est un sous-espace vectoriel de @ (E). L:
C(S(E) --+
E, x
f-7>
lim Xn
est linéaire.
Si la suite U converge vers a alors on peut définir, pour tout n EN:
rn = sup
Il
up - a Il
p~n
On constate que la suite réelle
d.21
§uitéq.eCauchy
n
f-7>
rn est positive, décroissante et converge vers
dans un espace vectoriel
Soit U une suite bornée de E, notons
normé (E,II .11)
on= sup{11 Up - Uq
On dit que U est une suite de Cauchy si la suite réelle
1
II/p? n, q? n}.
(On\"d
converge vers O.
Remarques 1)
On est le diamètre de la partie
An = {up/p?
n}.
La suite (An)F\j est décroissante, (On)N aussi.
l
2)
La définition s'écrit traditionnellement:
3)
Il est commode aussi d'introduire
\:js>
0,3 nE N, \:j
p?
n, \:j q?
n,
Il up -
Sn= sup Il un+p - Un p~n
U est une suite de Cauchy si et seulement si
O.
lim
n--++oo
II·
Sn= O.
Uq Il <s
Chapitre 1 d.22
d.23
17
Espaces vectoriels normés
Valeur d'adhérence d'une suite Soit U une suite de E, espace vectoriel normé. On dit qu'un point a de E est une valeur d'adhérence de la suite une suite extraite de U qui converge vers a.
U s'il
existe
Un espace vectoriel normé est dit confplet si, dans cet espace, toute suite de Cauchy est convergente. On dit alors que c'est un
1
d.24 1
c E, si toute
Une partie A de E est dite complète, A de points de A est convergente dans A.
suite de Cauchy formée
p.9
il Une suite convergente est une suite de Cauchy. iil Une suite extraite d'une suite convergente
U
est convergente et a la même
limite.
iiii Une suite extraite d'une suite de Cauchy est encore une suite de Cauchy. iv 1 Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence a et, dans ce cas, elle converge vers a. Pour il, ii! et Iii!, les démonstrations sont analogues à celles vues en Analyse 1,Chapitre 1 (propriété 14, théorèmes 17 et 18).
~
Ivl
Si a est valeur d'adhérence de la suite de Cauchy (Un), il existe une suite extraite de limite a. La conclusion résulte alors de :
(~(n»
Il Un -
a Il
~
Il Un -
~
sup Il up p~n
~(u)
Il
+ Il ~(U) + Il ~(n)
-
- Uq Il
a Il -
a Il
q~n
o p.10
Soit A une partie non vide de E, espace vectoriel normé.
il Si une suite de points de A converge dans E, alors sa limite est un point de il, adhérence de A. ii 1 Un point de E est adhérent à A s'il existe une suite de A qui converge vers ce point. iii 1 A est un fermé de E si et seulement si A contient la limite de toute suite convergente de E qui est formée de points de A. ~
il Avec (un) E AN
et
lim
o ~ d(c,A) ~ donc
d(c, A) = 0
Ii 1 Supposons c E
il.
= c, écrivons:
Un
n---:-+co
Il
c-
ce qui signifie
Un Il CE
il
et
lim
n-++co
(cf. exemple
Il
c-
Un Il =
0
9)
Donc, pour tout n E F\j*, il existe un poi~t an de A tel que:
Il c - an Il < ~ La suite (an)N converge vers c.
iii 1 Cas où A est un fermé de Pour la réciproque, utiliser
car
A (1 B ( c, ~)
n'est pas vide
E : utiliser il.
ii 1
o
18
Précis d'Analyse
des.suÎtes bornées sur un espace vectoriel
(.E)~iR+, U f-7>sup
nEN
Eest •
complet
Il Un
alors 'lJ3(E)co l'est aussi .
J
Notons une suite comme une fonction Il Jn+p - Jn
normé E, muni de la
Il.
i f-7> JCi) ;
E 'lJ3(E),
considérons alors une suite de Cauchy (fn)N de
n f-7>On=sup
Il
Çi]3(E),
c'est-à-dire que la suite
converge vers O.
Il:::0
pEN
Comme
IIJn+p - Jn
[[co
= sup Il Jn+pCi) - Jn(i) [l,
on obtient:
iEN
'ï/ i EN, 'ï/ pEN, lfn+pCi) - Jn Ci) On (1) est une suite de Cauchy de E, E étant complet, elle converge; 1
n f-7>JnCi)
donc notons
g(i) =
hm
n--++co
Jn(i)
9 est une suite sur E, 9 est bornée:
~
pour tout i EN.
Ig(i) - Jn(i)[ ~ On (2)
'ï/ i EN,
(fn)N converge vers 9 dans
(faire p ~ +00 dans (1 )).
IIJo 11+ 00
IgCi)1 ~
Il .[Ico)
(Çi]3(E),
car
Il
9 - Jn lico ~ On d'après (2).
B. Limite - Continuité d'une fonction Soit (E, Il.11) et (F.I.I) deux IK-espaces vectoriels normés. Etant donné D partie non vide E, 'ji (D, F) désigne l'ensemble des applications de D dans F ou ensemble des fonctions de E dans F, dont l'ensemble de définition est D.
'ji (D, F) est un IK-espace vectoriel pour les opérations usuelles, somme de deux fonctions et produit d'une fonction par un scalaire: Cf, g) E'ji (D, F)2 J + 9 : x f-7> J(x) + g(x) "-E IK "-J : x f-7>,,-J(x) Dans le cas particulier où F =IK, on dispose de l'opération produit de deux fonctions et 'ji (D, IK) est une IK-algèbre : Cf,
g) E'!F (A, 1K)2 Jg : x f-7>J(x)g(x)
Définitions :
d.25
Limite
d'une fonction
Soit J E'ji (D,
en un point
On dit que J admet une limite que:
en
a
suivant
'ï/8> 0, 30'> 0, 'ï/ x E A, Il xhm J(x) = b. On note alors
ail <0'
F),
Ac
D
=?
lf(x) - b[ <8
x--+a.xEA
Remarques 1)
S'il existe b et bl dans F vérifiant (1) alors b = b' ce qui justifie la notation
hm
X--+a.XEA
J(x) = b
(voir Analyse l, Chapitre III, propriété 1, définition 2). 2)
La proposition (1) équivaut à : 'ï/ V EV (b), ou aussi à
'ï/ V EV (b),
3U
J-1(v)
et
aE
A.
A s'il existe un point b de F tel
EVA (a),
J(U) eV
EVA (a)
(3).
(2)
(1)
19
Chapitre 1 Espaces vectoriels normés d.26
Continuité
f
E 3i
d'une fonction en un point en un point a de D si
(D, F) est continue
f
admet une limite en a
suivant D.
1
Remarque La limitedef en a suivant D ne peut être quef(a), 1),
f est donc continue en a
E
(voirAnalyse 1,Chapitre III, théorème
D si et seulement si lÏE1f(~) = f(a). XED
d.27
Continuité f
1
d.28
d'une fonction
E 3i (D, F)
Continuité
f
est continue
sur Ac D sif est continue en tout point de A.
uniforme
E 3i (D. F)
continue sur A
est uniformément
Ife>O.3coO,If(x,y)EA2·llx-yll
1
c D si : =?
Lf(x)-f(y)l<e
Remarque 1)
Sif:
A ~ F est une fonction bornée, on peut définir la fonction:
8: IR+-IR+, h >--">8 (h) = sup{lf(x) - f(y)1 /(x, y) E A2, Il x - y Cette fonction h est positive décroissante. L'uniformecontinuité de sur A est caractérisée par lim 8 (h) = O.
f
2)
II ~
h}
h---;.O
f reste uniformément continue si on change la norme de E ou celle de F en une norme équivalente.
d.29
Fonction lipschitzienne
f
E 3i (D. F)
est dite lipschitzienne
sur A
c D si l'ensemble
R = { Lf(x) Ilx _- f(y)i yi! /(x. y). E A 2.} ,x '* y est maJore. .. Si le réel k est un majorant de R ou si k = sup R, on dit quef est lipschitzienne de rapport k ou k-lipschitzienne sur A. ~
Dans ces conditions
d.30
If
~ kll x - y
(x, y) E A2, lf(x) - f(y)l
Il
Homéomorphisme Soit A une partie de E, B une partie de F, etf On dit que f est un homéomorphisme sont continues.
d.31
si
f:
une bijection de A sur B. A ----;. B
et
f-1:
B ----;. A
Isométrie Soit A une partie de E, B une partie de F, etf une application On dit quef
est une isométrie
si, pour tout couple (x,
Ilf(y) - f(x)
W
=
Il
y - x
de A dans B.
y) E A2 :
II
On dit qu'une isométrie conserve la norme. li'ropriétés : Soitf
p.11
i/
f
E 3i (D, F)
et
Ac
D.
Les propositions
suivantes
est continue sur A.
ii/ pour tout ouvert V de F,f-1(V)
est un ouvert de A
iii / pour tout fermé W de F, f-1 (W) est une fermé de A. VoirAnalyse 1,Chapitre III, théorème 5 et corollaire.
sont équivalentes:
'20
Précis d'Analyse Il
p.12 Soit]
il]
(D, F) et
E'!Ji
Ac D et les propriétés suivantes:
est lipschitzienne
sur A de rapport
ii 1] est uniformément
continue sur A,
iii
k,
1] est continue sur A, Alors
p.13 Soit]
il]
E'!Ji
(D, F),
Ac
D et a
A; les propriétés
E
suivantes
sont équivalentes
admet une limite en a suivant A
iil pour
toute suite (an) de A qui converge vers a, la suite convergente.
ll2F
•
(t(an»)
de Fest
VoirAnalyse l, Chapitre III,propriétés 2 et 3, Notons b =
il =? iil vers a,
lim
x--+a,xEA
](x) et considérons une suite (an) de A qui converge
L'hypothèse 'ris> 0, 30'> 0, 'ri x donne
3
pEN,
'ri n ?
E A
p,lI an -
a
(î
Lf(x) - bl <s
B(a, 0') =?
Lf(an) - bl <s
Il <0' =?
c'est-à-dire que la suite (t(an») converge vers b, •
il Si (an) et (a~) sont deux suites de A qui convergent vers a, alors les suites (t(an») et (t(a~») convergent dans F; vérifions que leurs limites b et bl sont égales,
iil
=?
Pour cela, ilsuffit de mixer les suites (an) et (a~) en notant: { C2n+l c2n
Alors
lim Cn = a n-++co
et
=
a~ an
hm ](C2n) = b = n--++O() hm ](C2n+l) = n--++co
bl,
" s'ensuit que b est la seule limitepossible de] en a. Par l'absurde, si] n'admet pas b pour limiteen a : 3s> 0, 'riO'> 0, 3
Xu E
A (î B(a, 0')
tel que
Lf(Xu) - bl
?s
On peut alors former une suite (an) qui converge vers a : 'ri n
E N*,
3 an
E A
tel que
Il an -
a
et
Il < ~ n
Lf(an) - bl ?s
sans que la suite (t(an») converge vers b, ce qui est contradictoire,
o
Remarque Avec] : A
---t
F, a
E
A et b =
](x), on a b
E
(D, F), Ac D et a
E
lim
x--+a,xEA
](A), (d'après la caractérisation
de l'adhérence par les suites). p.14
(F, 1.1) étant complet, soit] Pour que]
admette
E'!Ji
une limite en a suivant A, il faut et il suffit que:
'ris> 0,30'> 0, (x, y) E (A
C'est le CritèredeCal.1chy III.
A.
(î
B(a, 0'»)2
pour l'existence
=?
lf(x) - ](y)1 <
s
d'une limite. -- -~--
--~=,-,
21
Chapitre 1 Espaces vectoriels normés b=
1&' i/ L'hypothèse
lim
t--+a,tEA
1(t) donne: 10
\je> 0, 3a> 0, \j t E A (1 B(a, a), Lf(t) - bl < "2
d'où par inégalité triangulaire:
\j
(A (1 B(a, a)) 2, lf(x) - l(y)1 ~
(x, y) E
bl + Lf(y) - bl <
Lf(x) -
1satisfait au critère de Cauchy,
Ce qui prouve que
ii / Pour la réciproque, prenons une suite quelconque (Xn) de
10
A qui converge vers a et
vérifions que (j(Xn)) est une suite de Cauchy: \je> 0, 3 r E N, \j n ~ r, IXn - al
\j
et donc
(p, q) E N2,p
r et
~
r, donne
q ~
Lf(xp) -
I(Xq)1 <10,
Comme F est complet, la suite de Cauchy (j(Xn)) est convergente. On conclut avec la propriété 13.
•M'
1
D
:prülo:ngement d\me application (F, 1.1)étant complet, soit A --+ F uniformément continue sur A. Alors il J est existe une unique application J : il --+ F continue qui prolonge uniformément continue sur A.
P: 15
1:
1 signifie
J prolonge 1&'
1donne l'existence de la fonction:
of : IR+-+IR+, a f-7 of (a) lim of (a) = O. 0'--+0
On en déduit que En effet, soit on obtient: Il
x-
y
10>
JIA = 1·
que
L'uniformecontinuité de
1;
= sup {lf(x) -
y) E A2, Il x -
l(y)I/(x,
1vérifie le critère de Cauchy en tout point a
0, il existe a>
II ~
II
° tel que of
x - a Il + II y
-
a II
<
a
Le critère de Cauchy donne l'existence de
(a)
et donc
lf(x) - l(y)1 ~ of lim
l(x)
u-
v II ~a}
x-+a,xEA
avec
E A.
et pour tout x, y dans B
<10;
J(a) =
a}
y Il ~
(C'
; ) ,
(a) < 10
En notant que JCA) = I(A), ilvient: 0I (a) = sup{ Alors 0'--+0 lim
p.16 ,
0f- (a)
Composition
=
°
V(u)
- J(v)I/(u,
v) E A2, II
= of (a)
assure l'uniforme continuité de J sur A.
D
de fonctionsCQPtinnes
Soit E, F, G trois espaces vectoriels normés, A une partie de E, B une partie de G,1 une application de A dans F et 9 une application de B dans G. Si, de B, on dispose de l'application composée go de A dans G. plus,I(A)
1
c
il
LÜnite b
E 13 :
Soit a supposons
E
A un point oùl admet une limite b
que 9 admette
une limite en b, c =
=
hm
x--+a,xEA
hm
g(y),
l(x), alors alors go
y--+b,YEB
admet c pour limite en a : c = ii 1 Continuité Si continue sur A.
1 est
hm
x-+a,xEA
continue
1
go l(x).
sur A et 9 continue
sur B, alors 9
01 est
I,,'t
22
Précis d'Analyse b E J(A)
trW i1On sait que
et
cB
J(A)
Il
b E B.
donc
Utilisonsdeux fois la propriété 3: «suite et limite». Soit (xn) une suite de A qui converge vers a, alors la suite (j(Xn») de B converge vers b, et la suite (g (j(Xn»)) converge vers c ii 1 Utiliserla définitionde la continuité en un point et le il p.17
Propriétés
D
des isométries
1
Soit (E, Il.11) et (F, 1.1) deux espaces vectoriels une partie de F etJ: A -7 B une isométrie.
il J
est lipschitzienne
normés, A une partie
1, doncJ est uniformément
de rapport
de E, B
continue sur A.
ii 1J est injective; si J, de plus, est smjective, J induit une bijection de A sur B, dont la bijection réciproque J-l : B ~ A est une isométrie ; J est alors un homéomorphisme de A sur B. iii 1 La composée de deux isométries p.18
Opérations
sur les limites
SoitJ
F, 9 : A ~ F et a
est une isométrie.
1
il
:A
-7
L'existence
A
E
ainsi que
'il:
A-7K
de :
u =
lim
x-a,xEA
v=
J(x)
lim
g(x)
x~a.xEA
fL=
lim
'il (x)
x~a.xEA
fournit les nouvelles limites: lim
x----,-a,xEA
J(x) + g(x) = u + v
et
lim
x---+a,xEA
'il (x)J(x)
=fL
u
ii/ Si F = FI x .,. x Fp est un produit d'espaces vectoriels normés et siJ: A -7 F est donnée par ses applications composantes x f--+ J(x) = (jl(X), ... ,fp(x»), alors J admet une limite b en a suivant A si et seulement si chaque fi, i E [1, p] admet une limite bi en a suivant A. Dans ce cas trW
il
b= (bl,bz.···.bp).
Pour la deuxième formule noter le découpage suivant: ep
pour majorer
lep
(x)J(x)-
(x)J(x)-
fL U =
i E
[1, p],
(x)-
fL] J(x)+
fL [J(x) -
u]
par l'inégalité triangulaire.
fL ul
ii 1 Pour montrer que l'existence de
[ep
lim
x_a,xEA
J(x) impliquecelle de
lim
x~a,xEA
fi(x), pour tout
utiliser la norme sur F définie par: II(xl,x2,'"
,xp)llx = sup Il Xi IIF; l~i~p
où Il ·IIF; est la norme sur Fi, Pour la réciproque, utiliser la norme sur F définie par: p
II(xl,x2····
,xp)lll =
L i=1
L
Il Xi
IIF;
D
Chapitre p.19
l
23
Espaces vectoriels normés
Opérations
sur les fonctions continues
1
i/ C(A, F) ensemble des fonctions vectoriel de S!i(A, F). ii/ C(A, X) est une sous-algèbre
continues
de S!i(A, X).
-K sont
iii/ Sif
A ~ F et c;:: A
iv / Sif
A - F est continue
-K
est continue v / Si
de A dans F est un sous-espace
continues
alors
alors
fi : A -IR(,
et ne s'annule
f :A ~
x
F est continue.
lf(x) est continue.
f--'>
1
A
pas, alors ~
--+~
est définie et
vi / Si F = FI x ... x Fp est un produit d'espaces vectoriels normés et sif : A est donnée par ses applications
composantes
f
alors est continue sur A si et seulement continue sur A (1,s; i ,s;pl. (I:;;)f
x
f--'>
f(x)
= (1I(X),'"
fi:
si chaque
A
--+
,fp(x)) --+
,
est
Fi
Ce sont des conséquence des opérations sur les limites.
D
Exemples - Travaux pratiques
E et F sont deux espaces vectoriels normés.
exemple 12 : E --+ F continue et A
c E.
que, si A est dense dans E, alorsf(A) •
est dense dansf(E) .
Nous utiliserons la caractérisation d'une partie dense suivante : A est dense dans E si et seulement si pour tout U ouvert non vide de E, l'intersection A ([ U n'est pas vide. Soit V un ouvert de F tel que Ils'agit de vérifier que V ([f(A)
*0.
V ([ f(E)
est non vide aussi.
Par hypothèse, il existe x E E tel que f(x) ouvert de E, non vide car ilcontient x.
EV:
or,j est continue donc
Comme A est dense dans E, U ([ A est non vide: or feu donc V ([f(A) est non vide.
([ A) cf(U)
est un
U = f-I(V)
([f(A)
et feu)
c
V,
exemple 13 et 9 deux applications {x E Elf(x)
•
continues
= g(x)} estfermé
,
de E dans F. Montrer que: B = {x
E Elf(x)
< g(x)}
On vérifie que A et B sont les images réciproques respectives par 9 l'ouvert ]0, +oo[ de IR. Commef - 9 est continue, A est un fermé de E et B est un ouvert.
F
est ouvert.
f du fermé {o}
de IRet de
24
Précis d'Analyse
uniformément
continué.
unE) suite de Cauchy dé E.estune •
Il
suite de Gauchy de F .
Rappelons la caractérisation de l'uniforme continuité: lim ~ (h)
==
h--O
°
avec
~ (h)
==
sup{ lf(y) - f(x)1 /(x, y) E E2,
Il y - x Il
h}
,.0:;
D'autre part, (xn) E EN est une suite de Cauchy si et seulement si : lim
On==
n---++oo
°
avec
On==
sup{
Avec ces notations, pour p ;3 net q ;3 n, on a Si
sup{lf(Xq)
o~==
donc
lim o~== n---++oo
- f(xp)
1
;3 n, q ;3 n}
Xq II /p
Il xp -
lf(Xq) - f(xp)1 ,.o:;~ (On)
/p ;3 n, q ;3 n}
alors
0, ce qui prouve que (f(xn»)
(On)
o~,.o:;~
N est une suite de Cauchy de F.
C. Relation de comparaison au voisinage d'un point Ces relations ont été introduites en Analyse l, Chapitre VII, dans le cadre des fonctions réelles d'une variable réelle.
E, F, G sont des espaces vectoriels normés de normes notées Il . Il ' I·IF ' 1·1G' A est une partie de E et a un point de E adhérent à A. Dans le cas où E ==IR;, a est un point de IR adhérent à A (donc éventuellement a == +ex; ou a == - ex;).
Il.
Domination
f
- Prépondérance
1
et 9 sont des fonctions définies sur A à valeurs dans F et G : f:A--+F,
g:A--+G
Définitions: d.32
par 9 au voisinage
f est dominée ouf
==
C (g), lorsque:
:3
V
de a suivant
E "If A (a),
A, et on notef
:3ÀE IR;:, 'If x E "If A (e).
==
Ca (g)
lf(x) F 1
,.0:;
Ig(x)j G
1
d.33
f
est négligeable
f
==
oa(g) ouf
lorsque:
1
==
devant 9 (ou 9 prépondérante
devantf),
et on note
o(g),
'Ife> 0, :3 V
E"V~A
(a),
x
'If
E
V,
lf(x)IF,.o:;e Ig(x)IG
Remarques 1)
Le cas E
==R
A
==N,
a == +ex;
donne les relations de comparaison entre suites à valeurs
dans un espace vectoriel normé. 2)
Les fonctions
f et 9 considérées
ont un ensemble de définition commun (ici A) mais ne
prennent pas nécessairement leurs valeurs dans le même espace vectoriel (ici F et G). En fait, seules les fonctions normes interviennent:
lflF : A --+R x Doncf
==
Oa(g)
En particulier,f 1...
f--?o
lf(x) 1F
s'interprète en ==
oaCl)
signifie
lflF
et ==
lim
Igl G :
A
oa(!gIG)'
x __a.xEA
f(x)
==
O.
--+IR;,
x
f--?o
Ig(x)1 G
l
Chapitre
25
Espaces vectoriels normés
Il est d'usage courant de comparer, par exemple, une suite complexe ou vectorielle à une suite réelle.
1
(--.
n+
L
= 0(1) signifie lim
--
1
n+i
n--HCXl
= 0).
Dans la mesure où les opérations sont légitimes dans les espaces vectoriels considérés, toutes les propriétés de la relation de prépondérance exposées en Analyse 1,Chapitre VII,sont valables.
Equivalence
12.
1
] et 9 sont des fonctions définies sur A à valeurs dans le même espace vectoriel normé F.
d .34
à 9 au voisinage de a suivant A, et on note] ~a g,
] est équivalente
lorsque: ] - 9 = Oa(g) Remarques 1) Pour l'équivalence de fonctions ou de suites, il est impératif que l'espace d'arrivée soit commun (existence de](x) - g(x), de Un - Un). 2) La relation ~a est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions définies au 3)
voisinage de a. Ilest intéressant de traduire] ~a 9
par]
=
(1+
avec
oa(1).
D. Dérivation des fonctions d'une variable réelle o
l est un intervalle de IRtel que l *0. Il.
d.35
Dérivation
1
On dit que]:
l --+ E est
l \ {a}
f--+
--+
E,x
x- a r](x) ~ - ](a)] _1_
En cas d'existence, d.36
l si l'application
dérivableav.pqintci:é
admet une limite en a suivant
cette limite s'appelledérivéëdefena.
l \ {a}.
on la note
On dit que]: l --+ E est dérivable a ùrolte \resp. à gaUChe) au pOInt a E 1 SI l'intervalle I~ = l ri [a, +oo[ (resp. I~ = ln] - 00, aD n'est pas réduit à {a} et si la restriction de] à I~ (resp. I~D est dérivable en a. Si elle existe, une telle dérivée s'appelle
délivÉ~e
de f en a, on la note f~(a) (resp. i!;(a» . d.37
On dit que] : l --+ E est dérivable (resp. dérivable à droite, est dérivable (resp. à droite, à gauche) en tout point de I. On définit alors l'application
dérivée def,
f :l
--+
E,x
f--+
à gauche) si]
par:
f(x)
On définit de façon analogue les applications]~ à gauche.
: dérivée à droite,J;
: dérivée
1"
--.------------------
26
Précis d'Analyse
Il
Remarques 1)
La dérivabilité reste acquise par changement de la norme en une norme équivalente.
2)
f: l ---7 E est dérivable en a si et seulement si pour (tout) en a (la dérivabilité est une propriété locale). L'existence def(a)
3)
équivaut à l'existence et l'égalité def~(a)
casf~(a) =f~(a) =f(a). La dérivabilité de ---7 E en
f :l
il existe €E E tel que f(a 4)
J E'V1
a se traduit
+ h) = f(a)+
La dérivabilité en un point (resp. sur
(a),JjJ est dérivable
et def~(a),
et dans ce
aussi par:
€ h + o(h) quand h tend vers O.
I)
entraîne la continuité en ce point (resp. sur
I).
Prbptiétés: p.20 1
p.21 1
p.22
L'ensemble V(J, E) des applications dérivables de l dans E est un sous-espace vectoriel de C(J, E). L'application «dérivation» : D(J, E) ---7'Je (J, E), f ~ est linéaire.
f
f
Si E = El x ... x Ep et f E'Je (J, E), alors est dérivable si et seulement si toutes les applications composantesJj : l ---7 Ej, (1 ";;j ,,;; p), sont dérivables. sont les applications composantes def. Das ce cas,f{,···,f; Si E est de dimension p, muni d'une base (ejh'0"Sp et sif E'Je (J, E) est donnée p
par t ~
alors
= 'L,Jj(t)ej,
f(t)
f
est dérivable si et seulement si toutes les
j=l P
applications coordonnéesfl"",fP
le sont et dans ce casf(t)
= 'L,Jj/(t)ej.
j=l
12.
Application de classe
cP
1
Définitibns: d.38
1
d.39
Comme dans le cas des fonctions réelles, pour f : l ~ E, on définit par récurrence les dérivées successives à partir de: f = fOl dérivée d'ordre O. On note Vn(I, E) l'ensemble des applications de l dans E n fois dérivables. Pour p
et f
E~
fp)
:l
On
noteCP(I.
:l
---7
E, on dit que f est de classe
cP
si f
E
VP(I, E) avec
~ E continue.
On dit quef:
E) l'ensemble des applications de classe l
---7
E est de classe
cP
de l dans E.
si, pour tout p c ~,f est de classe
C·:x)
CP,
Propriétés: p.23
Pour tout p c ~"', -pP(I,E) et
CP(J,
E) sont des sous-espaces vectoriels de C(I,
1
p.24
Formule de Leibniz Sif E CP(I, et 9 E CP(I, 11<)
E),
(j'.
alors f g)(n)
.9 E
CP(I,
E) et, pour 0 ,,;;n ,,;;p :
n
= 'L, C~fn-k)g(k) k=O
p.25 1
'-
Classe d'une composée Sif c CP(I, IR) et 9 c CP(J, E) avecf(J)
c J, alors 9 of
c
CP(I, E).
E).
::hapitre l
Espaces
vectoriels
27
normés
III - Complets - Compacts - Connexes A. Propriétés
des espaces complets
La définitiond'un espace vectoriel normé complet est donnée en d.23. L'espace CR.I.I) est complet. Le passage d'une norme à une norme équivalente ne modifie pas les suites de Cauchy, ni la nature «complète» de l'espace. Prqpriétés: .l'vI'
1
P',26il Soit A une partie fermée d'un espace vectOliel normé complet de E. Alors A est une partie complète de E. ii 1 Soit A une partie complète
de E. Alors A est un fermé de E
I].g' i/ Une suite (an)", de Cauchy formée de points de A est une suite de Cauchy de E. E étant complet, cette suite est convergente, or A est un fermé de E, donc [a limitede la suite (an)', est dans A. ii/ Soit (Xn):\ une suite convergente de E formée de points de A. Alors (Xn)'\ est une suite de Cauchy de E, donc aussi de A. A étant une partie complète de E, la suite (Xn)', converge dans A. La propriété 10 iiii prouve que A est fermé de E. p.27
Les espaces
!Mn
et
D
en sont complets
1
Notons qu'il s'agit d'espaces produits d'espaces vectoriels normés. Montrons que Soit
(Yn)7\j
est complet; [a généralisation est facile.
C=!M2
= Xn + iYn une suite de Cauchy de C, alors [es suites réelles sont des suites de Cauchy.
n -
Zn
En effet IXn+p
- Xnl ~ IZn+p - Znl ~ ôn
où
8n=
sup
(Xn)r\
et
IZn+p - Znl
pE,"\;'
et lim
ôn= 0
car
(zn)
est une suite de Cauchy.
n---;.-+·::>:)
!M étant
complet, les suites
La suite
(Zn)r:oi
converge
(Xn)'J
et (Yn)'; convergent dans
vers x + iy
!M, vers x
et y respectivement.
(opérations sur les suites convergentes).
D
Théorème'
-Tf
Théorème
du point fixe
Soit A une partie complète d'un espace vectoriel application de A dans A telle que:
normé
(E,
il existe un réel k de [O.l[ tel que, pour tout couple (x, Alorsf (Xn)7\j
y)
Il.11)
de
f
et A2
une
:
Ilf(y) - f(x) Il ~ kll Y - x il admet un point fixe a E A, celui-ci est unique et limite de toute suite de A définie par: X(J E A
et pour tout
nE
1\1:
Xn+l
= f(Xn)
28
Précis d'Analyse
On dit que l'applicationf ciée àf.
Ir§'
Il
estcoÇltraqtâtÜe, et que (Xn)N est une sUitè récurreôte asso-
La méthode consiste à vérifier que: i / la suite récurrente (Xn)N est une suite de Cauchy,
ii / sa limite est un point fixe de f, iii / ce point fixe est unique. i / Pour tout nE l'J*: Il Xn+l - Xn Il = Ilf(xn) d'où
Il Xn+1 ~ xflll ~ knll Xl - XO II
Il ~ ~II Xn - xn-lll
- f(Xn-l)
par récurrence. p-l
Pour tout p E l'J*, on a
xn+p - Xn =
L
Xn+i+l - Xn+i
i=O
p-l
d'où
L L
Il Xn+p - Xn Il ~
Il xn+i+1 - Xn+i Il
i=O
n
p-l
et
Il xn+p - Xn Il ~
k n+i Il Xl
- XO Il ~ --IIk
1- k
i=O
lim
Comme
Xl - XO Il
kn = 0, la suite n f-7 sup Il xn+p - Xn II converge vers 0 : la suite (Xn)N
n-++co
pE N*
est une suite de Cauchy de A. ii / A étant une partie complète de E, la suite de Cauchy (Xn)N de A converge vers a E A. L'applicationf
est Iipschitzienne donc continue sur A, d'où:
hm
n---++oo f(xn)
= f ( n---++oo hm xn)
c'est-à-dire
a = f(a)
Ainsi a est un point fixe def. iii / Envisageons deux points fixes Il b - a Il = Ilf(b) - f(a) donc b =
a ;f
admet
a et
b de
f:
Il ~ kll b - a Il
a pour unique
donne
0 ~
(1 -
k)11b - a Il ~ 0
point fixe.
o
B. Parties compactes d'un espace vectoriel normé Définition :
d.40 1
Partie compacte Une partie A d'un espace vectoriel normé est dite compacte si toute suite de points de A admet une suite extraite qui converge dans A. Remarques
1)
Le passage d'une norme à une norme équivalente conserve la nature compacte d'une partie.
2)
Une partie finie est compacte (théorème des tiroirs)
3)
Voir Analyse l, Chapitre Il, Paragraphe V, pour l'étude des compacts de !Kt
Propriétés
p.28 1
Dans un espace vectoriel normé, une partie compacte est bornée et fermée.
"
.,~r"'''.·,
Chapitre 1
29
Espaces vectoriels normés
Soit A une partie compacte d'un espace vectoriel normé E.
~
i / Supposons A non bornée et construisons une suite (an)'" il aj - ai Ii ~ 1
pour tout i
oF
de points de A réalisant
J entiers
La construction est récurrente: •
il existe ao et al dans A tels que Il ao - al Il ~ 1 car A est non bornée,
•
Si ao,"', an-l sont n points deA tels que Il Clj - ai Il ~ 1 pour 0"" i<J "" n - l,A étant non bornée, elle n'est pas incluse dans B, réunion des boules B(ai, 1), donc il existe an EA \ B et la famille (ao, ' , ' ,an-l'
an) vérifie Il
ai Il ~ 1 pour 0 "" i <J ""
Clj -
n,
Toute suite (a~h" extraite de A vérifie aussi il ~ - a~Il ~ 1 pour i oF J, elle n'est donc pas convergente, ce qui prouve que A n'est pas une partie compacte de E. Ii / Si A
c A alors A est fermée,
Soit x un point adhérent à A, donc limite d'une suite (an)r" formée de points de A A étant compacte, (anh
admet une suite extraite (a~h
toutes les suites extraites de
p.29
(anh
ont la même limite
x,
convergente dans A donc
x
E
; mais
A
D
Fermé dans un compact Soit A une partie compacte d'un espace vectoriel normé E.
1
Si B est une partie fermée de A alors B est aussi une partie compacte de E. A est compacte donc fermée dans E, alors B est aussi fermée dans E. Comme
BeA,
une suite
(bnh
formée de points de B est une suite de A
Or, A est une partie compacte de E donc il existe une suite (b~),'I: extraite de (bn),~ qui converge dans A; sa limite est dans B car B est fermée (dans A et dans E).
p.30
D
Produit de compacts Soit E et F deux espaces vectoriels normés, A une partie compacte de E, B une partie compacte de F. Alors A x B est une partie compacte de E x F. Soit (an', bn) une suite de A x B. A étant une partie compacte de E, il existe une suite (U;p(n)N extraite de (an)~j qui converge vers un point x de
A
La suite (bq;(n)i'; extraite de (bn)i'; est à valeurs dans B, partie compacte de F, et admet donc aussi une suite extraite (bq;o8(n)):'\; convergente vers un point y de B, Alors la suite (aq;o8(n)'"
est extraite de la suite convergente (U;p(n)i'\1 et converge donc
vers x. Finalement (U;po8(n)' bq;o8(n)) i'\1 est une suite extraite de (an, bn)N qui converge vers (x, y) E A x B. Ainsi A x B est une partie compacte de E x
t.2
F.
D
Theorème de Heine Soit A une partie compacte de E etf : A --+ Alors f est uniformément continue sur A (Voir Analyse
l, Chapitre III, théorème
8).
F une application continue.
ri
30
Précis d'Analyse
~
Raisonnons par l'absurde: dire que
f
Il
n'est pas uniformément continue sur A c'est dire
que: 3s> 0, \;f
n
E N*, 3 (xn, Yn) E A2•
et
Il Yn - Xn Il ~ ~n
lf(Yn)
~s
- f(xn)1
A étant une partie compacte de E, A2 est compacte dans E2, donc il existe (xq,(n). Y~(n») •
f étant continue, on a
donc •
extraite de (xn, Yn)N convergente vers (a, b) E A2.
r:,;
lf(b) - f(a)1
(Y~(n))
- f (x~(n))
1
(i)
d'autre part,
IIY~(n) - X~(n)11 ~ ~() cr
donc
et
b = a
= n~rrco lf
~s
lf(b) - f(a)1
f(b)
n
donne
lim ~ IIY~(n) - Xq;(n)Il = n~+x·
° (il)
=f(a)
Les résultats de (i) et (ii) sont contradictoires.
t.3
~
Image continue d'un compact Soit A une partie compacte de E etf : A ~ F une application continue. Alorsf(A) est une partie compacte de F. (Voir Analyse l, Chapitre III, théorème 6). A toute suite (Yn)N def(A),
on peut associer une suite (Xn)r:,; de A par f(xn)
= Yn.
A étant une partie compacte de E, il existe une suite (X~)N extraite de (Xn)r:,; qui converge
vers un point
a de A.
f étant continue, la suite (Yit) N = (f(x~)) f(a)
N' extraite de (Yn)'\j,
converge vers
E f(A). D
t.4
Fonction continue sur un compact Soit A une partie compacte de E etf : A ~ i! Alors
f est bornée
F une application continue.
et atteint sa borne: il existe a lf(a)1 = sup lf(X) 1
E
A tel que:
XEA
ü! Cas d'une fonction réellef: A ~iR continue sur A compact. Alorsf est majorée, minorée, il existe a et b dans A tels que: f(x) = inf f(x) et f(b) = supf(y) XEA
~
i / La propriété précédente indique que f(A) et fermée de F. On dispose donc du réel Introduisons une suite (Xn)\,
!jE A
est une partie compacte de F, donc bornée
IlfilA
= sup lf(x)l. XEA
de A telle que la suite (lf(xn)l)
converge vers
Iif liA
(propriété de la borne supérieure). A étant une partie compacte de E, il existe une suite (x~)'\
converge vers un point
a de A.
La fonction x f-7 lf(x)
étant continue en a, on obtient:
1
n~rrx ii / Icif(A)
lf(x~)1 = lf(a)1
donc
liA
extraite de la suite (xn)~, qui
= lf(a)1
est une partie bornée et fermée de R. elle admet un plus petit et un plus grand
élément; c'est le résultat annoncé. (Voir Analyse L Chapitre III. théorème 7).
1.....
D
::::hapitre 1
31
Espaces vectoriels normés
Exemples - Travaux pratiques
exemple 15 Cê?mplets et compacts
Dne •
partie
A compacte
de E est complète .
Prenons une suite de Cauchy de E formée de points de A. Comme A est compacte, cette suite
admet une suite extraite
qui converge dans A.
(X~)N
Or, une suite de Cauchy ayant une suite extraite convergente est elle-même convergente. Ainsi A est une partie complète de E.
exemple 16 PrOpriétés des compacts emboîtés sçùt (Xn)r,; une suite décroissante MOntrer •
X =
que l'intersection
de parties
(î
non vides et compactes
Xn est un compact non vide de E
Notons Xn un point de Xn (non vide) pour chaque Les Xn étant «emboîtés», (x
de E.
n E'\j.
est une suite du compact Xo, elle admet une suite extraite
convergente; notons c sa limite.
Comme Xp est aussi un fermé de E, nous avons l'équivalence:
{=?
CEXp
Or, pour tout n ~ p : 'P (n) ~ p, Ainsi,
CE
Xp pour tout pEN,
d(c.Xp) ~
donc X =
n
Il
d(c,Xp)=O
c - xcln) ,
\1
et
lim n~+x
Ii
c-
x..cln) Il
'
= o.
Xn n'est pas vide.
nE
Une intersection quelconque de fermés de E est un fermé de E, X est un fermé de E inclus dans le compact Xo, donc X est un compact de E.
Propriétés: p.31 1
Parties
compactes
Une partie
de Gin
de Gin est compacte
si et seulement
si elle est fermée et bornée.
Rappel Rappelons que
[K=[!:R
ou
iC
et que Gin est normé par
1/
.
Sur un espace vectoriel de dimension finie, deux normes sont équivalentes (cf Chapitre Il, théorème 5) donc le choix de la norme est indifférent. Nous savons déjà que tout segment [a, b] de de [Kn est fermée et bornée.
[!:R
est compact et que toute partie compacte
Réciproquement, considérons une partie A de Gin fermée et bornée, il existe donc R E [!:R+ tel que A
c [-R,
R]n.
Un produit de compacts étant compact, [- R, R]n est un compact de [!:Rn. Or, une partie fermée incluse dans un compact est elle-même compacte (propriété 29) donc A est une partie compacte de [Kn
D
32
Précis d'Analyse
Soit A une partie
IM'lp·32
i / Pour tout r> 0, il existe une famille contient A. ii / Pour toute famille tel que, pour tout boule B(x, r) :
compacte
de E.
finie de boules de rayon r dont la réunion
°
d'ouverts dont la réunion contient A, il existe r> de A, il existe un ouvert Vi de la famille qui contient la
(Vi)iEI
x
Il
iE
:3 r> 0, V X E A,:3
iii / Pour toute famille (V;)iEI d'ouverts de J telle que: partie finie
B(x, r)
J,
c Vi
dont la réunion
contient
J
A, il existe une
AcUVi iEJ
i / Par l'absurde, s'il existe r> de rayon r.
Il@r'
° tel que A ne soit pas réunion d'une famille finie de boules
Alors, à partir d'un point xo de A, on peut construire, point par point, une suite
U
A telle que Xn ne soit pas dans la réunion
(Xn)1\I
de
B(x;, r).
O~i
i
Du fait que Il Xj - Xi Il ~ r dès que *- j, la suite convergente, contrairement à l'hypothèse A compact.
A tel
ii / Par l'absurde encore, pour tout n E 1'\1*, il existe Xn E soit incluse dans aucun des ouverts Vi de la famille. A étant compacte, cette suite un point a de A.
(Xn)1\I
n'a aucune suite extraite
(xn)1\I
que la boule B ( Xn,
~)
ne
admet une suite extraite (~(n»)1\1 qui converge vers
Il existe Lin ouvert Vo de la famille (Vi)iEI qui contient a ainsi qu'une boule B(a, r) pour un rayon r> convenable, (Vo est ouvert).
°
Il existe, alors, un entier p tel que:
1
r Il
de sorte que la boule B dans Vo.
a-
~(p)
(~(P)'
'P
1\
<
~p))
32
et
'P
(p) <
est incluse dans la boule B(a, r) donc aussi
Il y a contradiction car, par construction, une telle boule B aucun Vi. iii / Utilisons iil
:3 r> 0, V x E A,:3
iE
J,
r 32
B(x, r)
(xn, ~)
n'est incluse dans
c Vi
puis il notons (Yj)jEJ la famille finie des centres des boules B(Yj, r) dont la réunion contient A. Pour chaque Yj il existe un ouvert Vj associé contenant la boule B(Yj, r). Ainsi
B(Yj, r)
c Vj
et
Ac
U B(Yj, JEJ
r)
cU
Vj.
JEJ
o
Remarques 1)
Par passage aux complémentaires, la propriété iii! devient: de toute famille (Fi)iEI de fermés de E dont l'intersection avec A est vide, on peut extraire une sous-famille finie .dont l'intersection avec A est vide aussi.
2)
Cette propriété iiil caractérise les parties compactes de E.
Chapitre l
33
Espaces vectoriels normés
pies ~ Travaux pratiques exemple 17
ère non compacte ace vectoriel E = C([O, 1], C) étant normé pa
==
sup lf(t)l), tE[O.l]
Les éléments de E sont des fonctions continues sur le compact [0,1] de ~, elles sont donc bornées et la norme
Il
.11
co est définie.
Pour constater que la sphère unité de E est non compacte, il suffit d'exhiber une suite de fonctions (fn)N, de la sphère unité de E, qui réalise distincts.
Ilfq - fp lico ;" 1
pour tout couple (p, q) d'entiers
En effet, aucune suite extraite de (fn)N ne peut être convergente. Choisissons ln:
lé"l
Comme
La formule
1
t f-7 fn(t)
E -+C, = 1
ei!>
-
pour
é'
1
=
Ci
21
=
e2in"lTt.
réel,fn est unitaire.
sin
f3 ~
Ci 1
donne:
1 l{q(t) donc
Ilfq - fp Il
fp(t)[
= 2 [sin(q - p)
'TT
tl ~ 2
(égalité si t = 21q _ pl
E
[0,1])
= 2.
Conclusion La sphère unité de (C([O, 1, C), Il .llco) est bornée et fermée mais n'est pas compacte. Ceci est l'illustration du théorème de Riesz: pour que la sphère unité d'un espace vectoriel normé E soit compacte, il faut et il suffit que E soit de dimension finie.
C. Parties connexes d.41
IM'I
Partie connexe Une partie A de E est dite nOn cOfinexe s'il existe deux ouverts Vo et Vi de tels que:
E
An Vo ",0 et { Ac Vo n(Vo VI U =0VI)
Dans le cas contraire, la partie A est dite Remarques 1)
Par passage aux complémentaires, on obtient:
A 2)
non connexe ~
il existe Fo et FI fermés de
E
n
A Fo ",0 et { Ac Fo nFI (Fo u=0 FI)
A
n FI ",0
Une partie A de E est connexe si A et 0 sont les seules parties de A à la fois ouvertes et fermées dans A. En particulier, un espace vectoriel normé est connexe.
Il 34
Précis d'Analyse Il 3)
Par définition, la partie vide 0 est connexe, un singleton aussi. Hormis ces deux cas, une partie finie de E est non connexe.
4)
La paire P = {O, 1} dans IRest la «caricature il d'un ensemble non connexe. Les parties de P sont 0, {O}, {1}, {O, 1} ; elles sont ouvertes et fermées dans P.
d.42
arcs Une partie A de E est dite connexe par arcs si, pour tout couple (x, y) de points de A, il existe une application J continue du segment [0,1] de IR à valeurs dans A telle que : J(O) =
1)
2) d.43
x
et
J(l)
= y
Remarques On peut comprendre que A est connexe par arcs si, deux points quelconques de A peuvent être réliés par un chemin continu inclus dans A. Lorsque ce chemin est un segment, A est convexe: une partie convexe est connexe par arcs. Partie etoilée Une partie A est dite etoilée s'il existe un point a de A tel que, pour tout x de A, le segment [a, x] est inclus dans A.
1
Remarques 1)
Dans cette définition, un tel point a est appelé centre de A .
2)
Une partie étoilée est connexe par arcs car deux points x et y de A sont les extrémités d'une ligne brisée [x, a, y], a étant un centre de A.
Propriétés: p.33 1
Caractérisation d'une partie connexe Une partie A de E est connexe si et seulement J de A dans la paire P = {O, 1} est constante.
si toute application
continue
u& Supposons A non connexe c'est-à-dire réunion de deux ouverts Va et VI disjoints non vides et construisons une applicationJ : A
--+
P en associant à tout x de A la valeur:
VI J(x) = {O1 SI si Xx E E Va Cette applicationJ est continue, car les images réciproques par J des ouverts de P : 0=J-1(0) sont des ouverts de A.
,
Va =r1(O)
,
VI =J-l(1)
A =J-l(p)
Comme Va et VI sont non vides, J n'est pas constante. Formulons la réciproque avec les mêmes notations. S'il existe une application continue J :
A --+
P non constante, alors
Va
= J-1(0) et
VI = J-1(1) sont deux ouverts non vides et disjoints de A.
Or p.34 1
u&
A = Va U VI, donc A n'est pas connexe.
Image continue d'une partie connexe Soit A une partie connexe de E etJ : A --+ Alors J(A) est une partie connexe de F.
o
F une application continue.
Soit 9 :J(A) --+ P = {O, 1} une application continue. L'application composée 9 0 J : A --+ P est continue donc constante car A est connexe. On en déduit que 9 est constante. DoncJ(A) est connexe.
o
l....-
Chapitre l p.35
35
Espaces vectoriels normés
Adhérence d'une Soit A une partie Alors toute partie En particulier, A
partie connexe connexe de E. B telle que Ac BeA est connexe.
est connexe.
Soit] : B -+ P = {O, 1} une application continue. La restriction de] à A est aussi continue, donc constante car A est connexe. On dispose alors des inclusions ICA) c](B) c]CA) = ]CA), ce sont des égalités donc ] est constante sur B, et par conséquent, B est connexe.
D
Remarque L'intérieur d'une partie connexe n'est pas nécessairement connexe disques fermés de C tangents extérieurement. p.36
imaginer deux
Réunion de parties connexes Soit CAi)ÜôI une famille non vide de parties connexes de E. S'il existe une partie Ale qui rencontre toute autre partie Ai de la famille, alors la réunion
R=
UAi
est connexe.
iEl
Remarque C'est, en particulier, le cas si l'intersection
n
Ai n'est pas vide.
iEl
Par contre, on ne peut rien dire quant à l'intersection de deux parties connexes (penser à un cercle et une droite sécante dans le plan). Soit] : R -+ P = {O, 1} une application continue,] est constante sur chaque partie Ai (connexe), cette constante est commune car Ai n Ale n'est pas vide. Donc] est constante, la réunion R est connexe.
D
p.37
Composante connexe Soit A une partie non vide et a un point de A. Alors la réunion des parties connexes de E qui contiennent {a} et qui sont incluses dans A est une partie connexe de E. Elle est fermée dans A, c'est la plus grande partie connexe de E contenant {a} et incluse dans A. On l'appelle composante connexe du point a dans A. La démonstration découle naturellement de deux propriétés précédentes.
D
p.38
Parties
connexes de
IR
Les parties connexes de
1
IR
sont les intervalles.
Rappel Un intervalle ouvert non vide est homéomorphe à
IR.
t
(t
f---7
a + et,
]a, +00[,
~
t
b - e- t,
f---7
] - 00, b[
i/ Un intervalle J de
IR
et
t
]a, b[
est connexe.
f---7
al+e + b~
sont des homéomorphismes de
IR
sur
respectivement). Notons J =
l l'intérieur de J.
Si J =0, alors J =0 ou J est un singleton, donc J est connexe. Sinon, J est connexe (intervalle ouvert non vide homéomorphe à J est connexe (cf propriété 35).
IR)
et J
c J c J, donc
36
Précis d'Analyse
Il
ii / Soit une partie A de IRqui n'est pas un intervalle. Il existe alors trois réels a, b, e tels que Dans ce cas, distincte de
a < b < e,
A n] - 00, b[= A n] - 00, b]
et
(a, e) E A2
b
Ii'.
A
est une partie ouverte et fermée de A
0 et de A, donc A n'est pas une partie connexe de IR.
D
p.39 Soit A une partie
etf : A
de E
-+IR.
f
On dit que possède la propriété f(A) est un intervalle de IR. Si A est connexe intermédiaires.
IL§
p.40
et
f
continue,
des valeurs alors
f
intermédiaires
possède la propriété
si son imagë des valeurs
Corollaire de la propriété 38. CO!ll1exitépararcs Soit
1
IL§
A une
partie
de E connexe par arcs, alors
A est
connexe.
Supposons qu'il existef : A -+ P = {O, 1} continue et non constante, c'est-à-dire qu'il existe deux points x et y de A tels que f(x) = 0 etf(y) = 1. Par hypothèse, il existe une application 'l': [0,1] -+ (1) = y.
A
continue telle que '1' (0) =
x
et
'1'
Alors l'applicationfo 'l': [0,1] -+ {O, 1} est continue et non constante par construction. Or, le segment [0,1] est une partie connexe de IR, ce qui est contradictoire avec la propriété caractéristique des connexes.
D
Remarques 1)
Une courbe paramétrée, image d'une application continue d'un intervalle de IRdans E, est connexe par arcs donc connexe de E.
2)
La réciproque de la propriété précédente est fausse. Cependant, elle a lieu dans le cadre de la propriété suivante.
p.41
Soit A une partie
ouverte
et connexe d'un espace vectoriel
normé E.
Alors A est connexe par arcs.
1
IL§
L'idée de la démonstration consiste à construire une ligne polygonale joignant deux points quelconques de A. Supposons A non vide, notons 'i6s1([0, 1], A) l'ensemble des fonctions continues sur
[0,1] à valeurs dans A et affines par morceaux. Fixons une origine a dans A et considérons la partie: D = {x E AI 3f Montrons, successivement, que fermée de A, que
•
D=A
pas vide, que
= a,f(l)
D est
= x}
une partie ouverte, puis
est connexe par arcs.
D est non vide car il existe une boule ouverte B(a, r) incluse dans A (ouvert). Cette boule est convexe donc incluse dans
•
E 'i6s1([0, 1],A),f(O)
D n'est
D est
D.
un ouvert de A.
Soit b un point de D, il existe donc f E 'i6s1([0, 1], A) : f(O) = a,f(l)
= b ainsi qu'une
boule B(b, r) incluse dans A (ouvert). Pour tout x de cette boule on «raccorde )) l'arc @)précédent au segment [b, x] (convexe) de la façon suivante:
c B(a,
r)
Chapitre l
Espaces vectoriels
g:[O,l]-+A,
t>--'> { g(t)
9 E 46.s:'1([0, l],A).
•
D est
37
normés
= j(2t) 2(1 - t)b + (2t - l)x
D qui
vers un point y de
converge
B(y, r) incluse dans A (ouvert) et un entier n tel que
• D est • D est
de la même façon l'arc âXn de
D, D est
fermé (caractérisation
1
A
Xn E
au segment
A,
il existe donc une boule
B(y, r). [Xn,
y].
par les suites).
D = A.
par arcs. pour tout couple (x, y) de
Par définition,
On a vu en cours de route comment
continue
"2~t~l
non vide de A. Comme A est connexe,
une partie ouverte et fermée connexe
si
1 "2
A.
Soit (Xn)1\I une suite de
Donc y E
°~t ~
Ainsi B(b, r) est incluse dans D, D est ouvert.
un fermé de
On raccorde
si
-+ A
h : [0,1]
rr, les
arcs âX et Qi) sont tracés dans
les raccorder,
telle que h(O) = x, h (
c'est-à-dire
à)
construire
A.
une application
= a, h(l) = y.
D
Exemples - Travaux pratiques exemple
1.8
est ()()nne'Xepar arcs, donc connexe. ne sont pas homéomorphes. et U ne sont pas homéomorphes. Prenons
l'origine
continue
Imaginons
L'application
>--'>
e
-+ U,
>--'>
j(t)
= [(1 - t)a + tb]e(1-t)ia+tii3 = B et lf(t)1 E [a, b] clR~,
est IR\ {j(O)},
partie non connexe
t >--'>
]0, 1[ par
par l'absurde
a = g-l z
où a et b E IR~, et et [3E IR.
de IR, doncj
U\
en supposant
(à)
et
az induit un homéomorphisme
donc U est une
surjective,
{1},
également
partie connexe
qu'il existe un homéomorphisme
h: U -+ [0,1],
Z>--'>
de iC. 9 de U sur [0, 1].
h(z) = g(az)
de U sur U, donc h est un homéomorphisme
composition).
1 Or, h(l)
n'est pas
de iC.
L'image de l'intervalle Raisonnons Notons:
beii3
de 1[: sur IR.
une bijectionj
partie connexe
B=
pas étoilé.
L'image de la partie connexe continue. 3)
t
= A,f(l)
vérifiantj(O)
1[:* n'est cependant
et
par le chemin suivant:
j : [0,1] -+iC*, application
2)
A = aé'-
deux points de 1[:* sous la forme
Contournons
= g(a) ="2
partie non connexe
donc j'image par h de la partie connexe
de IR, c'est une contradiction.
U \ {1} est
(par
38
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types Ex. 1.7 Soit A et B deux parties non vides fermées et
Soit
disjointes de E.
d'accumulation brable.
f : E ->IR
1)
Trouver une fonction continue
2)
telle que JjA = O,Jj B = 1. En déduire l'existence de deux ouverts
A
une partie de
AcU,BcV
suite. Calculer
Soit A et B deux parties non vides fermées et disjointes de E.
2)
Montrer que, si A est compact, alors
1)
Montrer que toute demi-droite d'origine rencontre la frontière de A,
a dans A 2)
Montrer que A et Fr(A) ont le même diamètre.
Ex. 1.3
Ex. 1. 10
Montrer que
Soit A une partie non vide de E et N(x, y) =
(x, y) ~
sup
lx + tyl
tE[ü,ll
est une norme sur
1)
1R2.
2)
---.IR,
Montrer que, pour tout Xl E
2)
f
F tel que Il x -
Montrer qu'il existe Il
et que 9 est
x
Il
x
Xl Il
x
E E, il existe
= d(x, F).
E E \ F tel que
= d(x, F).
Ex. 1. 12 Soit K une partie compacte de E.
EX.1.6
Pour quelles valeurs du réel une norme sur
2)
1)
Montrer que est lipschitzienne et trouver le meilleur rapport.
y) =
f
t Il}
-
Ex. 1. 11
1
Montrer quef : E ---.E,x ~ + Il xii induit un homéomorphisme de E sur la boule unité.
Nf.. (x,
tEA
---.IR,
Soit F un sous-espace de dimension finie de E, Fi=E.
x
1)
sup {J(t) - kll x
Vérifier que 9 prolonge
x ~ d(x, A) est
EX.1.5
2)
---.IR
aussi k-lipschitzienne.
Soit A une partie convexe de E. Montrer que la fonction E convexe.
Justifier la définition de 9 : E x ~ g(x) =
Ex. 1. 4
f :A
k-lipschitzienne.
Dessiner la sphère unité.
1)
d(xn, L).
Soit A une partie non vide et bornée de E.
O.
Donner un exemple dans IR, puis dans d(A, B) = O.
:1R2---.1R,
lim
n-+oo
EX.1.9
1R2 où
N
que A est dénom-
EX.1.8
Ex. 1. 2
d(A,B) >
ayant un unique point
Soit A un compact de E, (Xn)N une suite de A et L l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette
disjoints U et V de E tels que
1)
IRP
a ; montrer
1R2
À
définit-on
1)
K tels que Il b K.
par
vi x2 + 2
À
xy + y2 ?
Comparer les deux normes Nf.. et NiL'
Montrer qu'il existe deux points
2)
a Il
a et b de
=8 (K), diamètre de
Comment ces deux points se situent-ils par rapport à la frontière de K ?
Chapitre l
Espaces
vectoriels
39
normés
Indications Ex. 1.1 1)
Utiliser les fonctions
x
>--+
d(x, A), x
>--+
A comme
Présenter
d(x, B).
2)
Utiliser des images réciproques d'ouverts de iR;.
1)
Par l'absurde.
2)
Vérifier que Z est un fermé de
sembles en
réunion dénombrable
finis formés de " couronnes"
d'en-
centrées
a.
EX.1.2
à
Penser
Raisonner
une courbe
plane
iR;.
( d(xn),
ayant
une
par l'absurde
L)
1'\1
en supposant
ne converge
que
pas vers O.
asymptote.
Ex. 1.3
1)
Expliciter N(x, y) et reconnaître classique
une norme
considérer de
de iR;2.
Ex. 1. 4
2)
Faire un croquis;
utiliser
J(y) - J(x) à
Former
le plus éloigné
A partir de deux points
a et
b de
A
définir
dont l'intersection
est
y = J(x) en calcuSavoir qu'une partie non vide majorée l'aide de (y -
x)
ou
Pour le meilleur
met une borne supérieure,
de
iR;
ad-
que cette borne est
le plus petit des majorants.
Ilyll-Ilxll·
de
A
Ex. 1. 10 l'équation
lant Il y Il au préalable. 2)
le point de
A,
E
[a, b], puis utiliser 1).
Ex. 1. 5 Résoudre
a
d'origine
a.
deux demi-droites
la norme de E avant
de passer aux bornes inférieures.
1)
Sur une demi-droite
rapport, commencer
par
Ex. 1. 11
choisir y = O. 1)
Introduire
une suite convenable
2)
Considérer
de
F.
Ex. 1. 6 1)
Reconnaître une norme euclidienne À convenable.
2)
Chercher
N2 ~(x,
les bornes de la fonction
+y =
O.
x
= y - yi.
Ex. 1. 12 1)
Introduire
une application
continue
défi-
nie sur un compact.
y) sur les droites x = yet
Nf..
x
pour
2)
Vérifier intérieur
que
à K.
a,
par exemple,
n'est pas
.------
•••• "--
.,""'~
•••••
•
~
__
u
40
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types 1)
Notons
Ci
et [) les fonctions de E dans IRdéfinies par
Rappelons que
d(x, A) = 0 ~
Id(x,A) - d(y,A)1 ~
et que
Ainsi, les fonctions
Ci
A
X E
Il x
- y
(x) = d(x, A)
Ci
[) (x) = d(x, B).
et
(car A est fermé)
II·
et [) sont continues sur
E et la fonction
+ [) ne s'annule pas sur E (car
Ci
A et B sont fermés disjoints). Ceci justifie l'existence et la continuité de la fonction: d(x, A)
f : E -+R Il est facile de vérifier que
2)
x
d(x, A) + d(x, B)
f--é>
f est à valeurs dans [0,1]
U=f-1(]-oo,à[)
Notons continue)
AeU,
et
E (image
BeV
(an,
étant compact, il existe une suite Par inégalité triangulaire:
A
II c - b
JjA
Ci
+ [)
= 0 , JjB = 1.
réciproque d'ouverts disjoints de IR par une fonction
A=f-1(0)
car
Si d(A, B) = 0, il existe une suite
1)
et que
Ci
f =
v=r1(]à,+oo[).
et
Ce sont des ouverts disjoints de
". c est-a-dlre
bn)f\j
et
B=f-1(1).
extraite de (an)f\j
(~(n»f\j
+ Il ~(n)
lim Il an n~+co
de A x B telle que
-
b
et B étant fermés, c limite commune des suites est contradictoire car A Il B est vide.
A
(~(n»
= O.
qui converge, notons c sa limite.
d'où et
bn II
Il c - b
n~~CXl
appartient à
(b
A
Il B, ce qui
2)
•
Choississons les deux parties suivantes de IR:
A =7L
B = {
,
n-
21nln E N* }
Elles sont fermées et disjointes (IR\ A et IR\ B sont réunions d'ouverts)
et
•
d(A, B) ~ ln - ( n Soitf : IR-+R
x
f--é>
21n) =
2~
1
d(A, B) = O.
pour tout nE N*, donc
1
f(x) = ~
IY
x +1
f
est continue. Les deux parties de par:
1R2
définies
A = {(x, O)/x EIR} =IR x{O} et B = { (x,f(x» lx E IR}, graphe de f
B A
x
10
sont fermées. En effet, A est produit de fermés de IR, et B est l'image réciproque de {O} par la fonction continue 1R2-+R
A Il B
=0 (f
(x, y)
ne s'annule pas) et
f--é>
f(x) - y) 'if
x
E IR,d(A, B) ~ f(x)
donc
d(A, B)
= o.
Chapitre 1
41
Espaces vectoriels normés
Ex. 1. 3 Pour (x, y)
donné, la fonction
E u;g2
atteints aux bornes. Ainsi
t;-;.
x + ty
N(x, y) = sup{[x!,
Le changement de variable
est affine donc monotone, ses extremums sont
lx + yi}. IY
Y=x+y {X=x
A
correspond au changement de base sur
u;g2 :
I=i-j
J=) L'expression de N dans cette nouvelle base est {--+
---+
~
N(XI + Y j)
= sup(IXI ,IYi);
il s'agit de la norme Nx, de
u;g2.
ni'..
'..
x
La sphère unité est le parallélogramme
±l ±J
de sommets
c'est-à-dire
-[, -T+2)
[, [-2j,
EX.1.4
Notations
y ,
,
~\,
Z '',
;
Soit (x, y) E E2
(u, v) E A2,
,
{zw = (1 -
410rs z - w =
(1 -
~ A v~u
t)1Ix - u Il + tll y - v Il
d(z, A) "" (1 - t)11x - u Il + tll y - v Il d(z, A) ""
'
t)(x - u) + t(y - v)
Il z - w Il "" (1-
et
t)u tu t)x + ty
' ''
'
'
r E ]0,1],
X
1
,, ,
(1 -
t)d(x, A) + t dey, A)
(une borne inférieure est un minorant) (c'est le plus grand des minorants)
1.5 1)
Pour y = j(x),
~ IL Il appartient à [0, 1[, doncj Il y Il = 1 1,1
est à valeurs dans la boule unité
B(O, 1).
x Pour y E B(O, 1), résolvons l'équation
On obtient unique. Ainsi
j
Il x Il = 1 ~ ~II~
/1
y = -. -"
".
(défini car Il y Il < 1), puis
~
comme solution
induit un homéomorphisme de E sur B(O, 1) dont l'application réciproque est
B(O, 1) -+ E, y;-;. 1- ~I y Il (les continuités dej les fonctions continues, (propriété 19)) 2)
x=
Calculons
j(y)
=
découlent des opérations sur
y - x + Il x Ily - Il y Ilx (1 + Il x Il)(1 + Il y Il)
û= Il x Ily - Il y Ilx = Il x lI(y - x) + (II x Il - Il y Il)x
En écrivant on obtient
- j(x)
etj-1
Il
û
Il "" Il x II· Il y - x Il + III x Il -II
y III· Il x Il "" 211x II· Il y - x Il
'----.--~~--
==
•••.••~="".,'-=-"..,
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!!!!IIIII!!!!I!II.----4I! __
42
•
Précis d'Analyse
, , AinSI
Il
"" (1 + 211 x Il)[[ y - x Il IIJ(Y) - J(x) Il ~ (1 + [[ x Il)(1 + [[ y Il)
En permutant x et y ((x, y) ~
Il est symétrique) puis en faisant la moyenne
IIJ(Y) - f(x)
arithmétique, il vient:
(1 + [[x +
Il Il y 11)11 y x (1 + Il x Il)(1 + Il y Il)
IIJ(y) - J(x) Il ""
J
[[ "" Il y - x Il
est lipschtzienne de rapport 1. IIJ(x)
Comme
1
Il
,
lTXlI
= 1 , Il "II -+ 0
x))
x2 + 2 À xy + ~
(x -+ 0), k = 1 est le rapport optimum,
1.6 1)
Qx.cx---r +
=
est une forme quadratique sur ~2, il s'agit qu'elle soit
définie positive, Pour des raisons de symétrie, faisons le changement de coordonnées
T= X = v2 x-y { y= x+y v2
{
QA
(XI
+Y
J)
2)
= VQ;:
.
N~
À -
Ainsi pour
1- f1 =
(À -
(1
f1)(x \ \(1
+ y)2 ,,\
-+
~) )
~2.
l[
et dans ce
(Voir Algèbre 2)
et calculons:
2 ( f1 - À)(x - y,.)2 NIL 1+ f1 = (1+ À)(l+ f1) ~ 0
N~
pUIS 1-
-1 <À
j
= (1+ À)X2 + (1- À)y2
est une norme euclidienne sur
Plaçons nous dans le cas 2 NA 1+ À -
( ~
J=~j " --.+
(1+ À> 0, 1- À> 0) Ç=? ÀE] -1,
QA est définie positive si et seulement si NA
v2
correspondant au changement de base orthonormale
(vecteurs propres de la matrice symétrique
cas
t +
_
.
avec egallte sur la drOite x
"" ~ 0
_.
_
-
y = O.
,
avec egallte sur la drOite x + y = O.
-1 <À
de dimension finie) et:
NILV~I+;J:
"" NA ""
NILV~~
(coefficients optimum)
Ex. 1.7
A
ayant un point d'accumulation, ce n'est pas une partie finie de ~p
Notons, pour tout entier
n E l'J, Bn =
et
Bn est bornée et fermée dans ~P, c'est donc une partie compacte de
~p.
aurait un point d'accumulation autre que Ainsi
••
A' = A
nB
=
U (A n Bn)
nEN*
X E ~p
/ ~ "" Il
x - a Il
B=
n}
{
""
U
AnBn est finie sinon A
a.
est dénombrable et
A = {a}
u A'
Bn.
nEN*
l'est aussi.
~:I~'t~III~,~IIIIII.lllrn •••••••••••••••••••••••••••••••
Chapitre l
1I!!,~itf:i·
43
Espaces vectoriels normés
Ex. 1.8 A étant compact, la suite (xnh, admet une suite extraite convergente. donc L est non vide. Supposons que la suite
n f-7
d(xn, L) ne converge pas vers 0 : 3s> 0, V N
Ce qui signifie qu'il existe une suite (x~h,
E'\,
3 P ~ N,
extraite de
d(xp.LJ ~s
(xnh
vérifiant d(x~, L) ~s pour tout
Cette suite de A admet elle-même une suite extraite C,(~) convergente, dont la limite
a
n
E "c;.
est valeur
d'adhérence de (x~)"J et aussi de (xnh,. donc a E L, et on obtient la situation: ~ il x~ - a
o <s~ d(x~,L) C'est contradictoire. Ainsi
hm
avec
Ii x~
n---'-+::.>:
-
a
= 0
lim d(xn, L) = O. n-+x
Ex. 1. 9
Rappelons que 1)
Fr(A) =
Tout couple (a, demi-droite a+
ilIÎ
E \ A, A et
u) formé u.
ont la même frontière et le même diamètre.
d'un point a de A et d'un vecteur unitaire
a + tUE
/
A}
de lM.est non vide (0 E
T = sup lEI
elle admet donc une borne supérieure
t f-7 a + tu
(I --;- A,
de E définit une
I)
et bornée (8
X = a + Tu
et
E
il
CI)
~8 (A»,
est continue).
Xn = a +
Pour tout nE,,,, ""X
T + Tl (1) _ U
X = n---'-+·-:x:;. lim Xn E E \, A. Ainsi X E
donc
u
IR+
l = {t E IR+
La partie
il
E E \A
ilIÎ
car
T +
Tl
1
11'
l
E \, A = Fr(A),
toute demi-droite d'origine dans A rencontre la frontière de A. 2)
Le 1) prouve que Fr(A) n'est pas vide, et comme Fr(A)
c A, on a déjà
8 (Fr(A» ~8 (A).
Supposons que A ait deux points distincts a et b (sinon A = Fr(A». Sur la droite (ab) il existe deux points c et d de la frontière de A tels que [a, b] (pour définir le point c utiliser 1) en considérant la demi-droite d'origine Alors
Il b - a Il ~ Il
d-
c Il ~8 (Fr(A»
et
a ne contenant
8 (A) ~8 (Fr(A».
Conclusion: A et Fr(A) ont le même diamètre. Ex. 1. 10 Pour tE A, XE E, notons
h(t, x) = f(t)
- kll x - t
Il.
Utilisons quef est k-lipschitzienne et l'inégalité triangulaire, pour a dans A, il vient: fet) - f(a) h(t, x) =f(t)
~ kll t - a Il ~ kll t - x Il + kll x - a Il - kll x - t Il ~f(a)+
Ainsi t f-7 h(t, x) est majorée sur A d'où l'existence de
kll x - a Il g(x) =
sup h(t,
(1) x)
tEA
Si x E A, on a j'où
g(x) =f(x).
Formons j'où
h(x, x) = f(x)
~ g(x)
et
h(t, x) ~ f(x)
(choisir a = x dans (1)
Ainsi 9 prolongef.
h(t, x) - h(t, y) = k (II t - Y Il - Il t - x Il) ~ kll x - y Il
h(t, x) - g(y) ~ kll x - y Il
SI, par symétrie,
Ig(x) - g(y)
1
~
puis
g(x) - g(y) ~ kll x - y Il
kll x - y
Ainsi 9 est aussi lipschitzienne de rapport k.
Il.
c [c, d]. pas b)
~
l'
or; ••••• ~ •• _~-,
,'
~"'''''''''",H
••.••
44
1)
Précis d'Analyse
Il
F étant de dimension finie, toute suite bornée de F admet une suite extraite convergente. Soit x E E et (Xn)N une suite de F telle que:
hm
n-++oo
est convergente donc bornée, ce qui entraîne que la suite
Elle admet donc une suite extraite
(X~)N
hm n-++oo
convergente de limite x! dans F, car F est fermé.
Il x - x~ II = Il x - x' Il = d(x, F).
SoitYEE\FetylEFtelsque
y.
Posons x = y -
1)
= d(x, F)
La suite réelle (II x - Xn II) N (Xn)N est elle-même bornée.
Alors 2)
Il x - Xn Il
Ily-y/ll=d(y,F).
Comme
d(x, F) = dey, F), x vérifie
Introduisons l'application distance La norme choisie sur E2 étant
d : E2 -+IR,
(x, y)
Il x Il = d(x, F).
f-'3>
d(x, y) =
N(x, y) = II x II + Il y Il, l'application
II
y - x
d est
Il
lipschitzienne de
rapport 1, donc continue:
Id(X, y) - d(x,
y)1 ~ Il (Y -y)
La restriction de
d au
- (X-x)
Il ~ Il Y -yll
+ II X-x
Il
= N(X-x,
Y -y)
compact K2 (produit de compacts) est bornée et atteint sa borne (le
diamètre de K par définition) ; il existe deux points
sup
a et b de K
réalisant:
d(x, y) = Il b - a Il =0 (K)
(X.Y)EK'2
2)
Montrons que
a et
b sont des points de la frontière de K. o
K = K \ Fr(K), un raisonnement par l'absurde consiste à supposer que le point a, par exemple, est intérieur à K. existe donc une boule B(a, r) incluse dans K.
Fort de l'identité
\1
En supposant dans B(a,
II b - cil
a et
r) donc
=
II b -
b distincts (sinon K est un singleton), le point
r b- a c=
a-
211
b_
r dans K et "augmente le diamètre de K" car
r a II + 2 : c'est
bien sûr une contradiction.
b-c=b-a+-2----
a Il
b-
est
a
Chapitre l
45
Espaces vectoriels normés
Exercices proposés E désigne un espace vectoriel normé sur K Ex. 1. 1
EX.1.6
Montrer que l'on définit une norme sur ~2 par:
IIx+ sup ---
:V(x, y) =
tE
B
tyll
Déterminer et dessiner la sphère unité.
Ex. 1.7
Ex. 1.2
Soit A une partie non vide de E; pour tout r> 0,
Dans l'espace vectoriel E = dIO, 1], R) normé
on pose:
par Il.1100' on considère une famille
B(A. r) = {x
'f1, ... ,fp) E EP et on définit l'application
Montrer que
eV
par
:~P-+~
:V(X1,'" ,xp) = IIZf=l xJi11 x' Donner une condition nécessaire et suffisante pour que N soit une norme sur ~p
B(A,
A=
XEA
n DO
B(A. r).
Si A est bornée, calculer le diamètre de B(A, r) en fonction de celui de A. Ex. 1.8
Soit E = C([O, 1], m ; montrer que l'on définit des normes N1, N2, ... par: lf(O)1 + IIf' Ilco, N2(f)
< r}
E/d(x,A)
E
U B(x, r),
r) =
Ex. 1.3
·'h(f) =
[x, y] est une partie compacte
=u!x.Y)EA2
deE.
1+ t
[ii
Soit A une partie compacte de E, montrer que
Soit A une partie compacte de E etf On suppose qu'il existe un point
= lf(O)1 + lt(O)1 + 1I1"llx,'"
pour tout
Comparer ces normes deux à deux.
x;te
Ex. 1. 4
a
x
a de A tel
que,
E A:
Ilf(x)
=?
: E -+ E
c A.
telle que f(A)
-
a Il <
a II·
Il x -
On définit la suite (Xn)r\, de A par: Soit E = C1([0, 1], ~) ; montrer que l'on définit une norme euclidienne sur Epar:
XO E
A, xn+1 = f(xn).
Montrer que (Xn)i\i converge vers
X: E-+~, 1
f
f--'>
N(f) =
k2(Oh ,,f 1'2(t) dtr
Comparer les normes N et
Il.llx.
Soit K une partie convexe d'un ~-espace vectoriel E admettant GE comme centre de symétrie, ne contenant aucune droite, telle que toute droite passant par GE rencontre K en dehors :Je GE. Montrer que
N : E -+~,
xf--'>N(x)=inf{ÀE~: est une norme sur E. Montrer que pour cette norme o
B(OE, 1) = K et Bj(OE'
EX.1.9
Soit A une partie compacte de E etf
/~
IIf(y)
- f(x)
Il
=
Il
y - x
Il
Montrer que f est surjective. Ex. 1.10 Soit F l'ensemble des fonctions lipschitziennes de [0, 1] dans E. On définit l'application: K:F~~,
f
E K}
f--'>
K(f)
=
sup
lf(y)
O~x~y~l
et
N : F -+Rf
f--'>
lf(O)1 + K(f).
Montrer que N est une norme sur F, _
1) = K.
: A -+ A
telle que:
'i (x, y) E A2,
Ex. 1.5
a.
Comparer N et Il
·1100'
- f(x)1
y-x
'o· ••••
~
-",
•••••••••••••• _~
~~i~~
__
~
.
-------------
_
46
Précis d'Analyse
Ex.
lM]
lM]
Soit A une partie compacte de E et
Soit E un espace vectoriel normé ayant une base dénombrable.
suite de A telle que
Montrer que E est complet.
n--++oo
lim
Xn+l
Il
-
Xn
(Xn)1\I
une
= O.
Montrer que l'ensemble des valeurs Soit E un espace vectoriel normé où toute boule
d'adhérence de la suite
fermée est compacte.
Ex. 1. 16
lM] Soit E un espace vectoriel complet ; on con(Vn)1\I
décroissante d'ouverts
Montrer que l'intersection
n Vn
j :E
--+
E EX.1.18
une application telle que l'une de ses itéréesjP (p E N*) soit contractante.
•...
Cn est connexe.
lM]
Montrer que F est un hyperplan si et seulement si E \ F est non connexe.
14 Soit E un espace vectoriel complet,
n
ncol\l
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie n ~ 1 et F un sous-espace de E.
ncol\l
j
lM]
Montrer que l'intersection EX.1.17
est dense
dans E.
Montrer que
est connexe.
Soit A une partie compacte de E et (Cn)1\I une suite décroissante de parties non vides connexes et fermées.
Montrer que E est complet.
sidère une suite denses dans E.
(Xn)1\I
lM]
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie
n~2.
admet un point fixe unique. Montrer que toute sphère est connexe .
Chapitre Il
Applications linéaires sur les espaces vectoriels / normes 1- Continuité des applications linéaires E, F,
G désignent
des espaces
vectoriels normés.
Théorèmes: t.1
Caractérisation
des applications
Pour une application équivalentes:
il f
est continue
sur E
iil f
est continue
au point
f est
iii 1
bornée
iv 1 il existe
vif
k
sur la boule
?
linéaires
f
linéaire
F les
propriétés
suivantes
sont
OE
unité
0 tel que pour
fermée
est lipschitzienne facile de faire une démonstration
il =? iil =? iiii =? ivl =?
1) _
BJ(OE'
tout x de E : Ilf(x) Il ~ kll x Il
10? Il est •
continues
de E dans
vi
circulaire.
=? il
Détaillons 'iil =? iiii En utilisant la continuité en 0E, il existe a> 0, tel que
1 donc
f(y)
= -f(a a
1 y)
donne
Ilx Il ~a
=?
Ilf(x) II ~ 1.
Il a y Il = a Il y Il ~ a
Tout vecteur y de la boule unité fermée vérifie
1
Ilf(y) Il = -llf(a a
y) Il ~ -.a
Ainsif est bornée sur là boule unité fermée. •
Voyons aussi iiii =? ivl Exprimons que
f
est bornée sur la boule unité fermée: ::3 k?
0, 'if x E
E, Ilx
Il ~ 1
=?
Ilf(x) Il ~
k
y
Pour tout vecteur non nul y, on a
donc
1~(lI~II)II~k
et
m
E BJ(OE,l)
Ilf(y)ll~kllyll·
Sachant que f(O) = 0, l'inégalité Ilf(y) Il ~ kll y II est valable pour tout y de E. •
Les autres implications sont évidentes. D
48
Précis d'Analyse
Il
Remarques 1)
La continuité de
f E~
CE,
F) reste acquise par le changement d'une norme en une norme
équivalente, dans E comme dans F. Par contre, non continue sur (E, 2)
Il.112)
quand Il
.111
et
Il.112
f
peut être continue sur
CE, Il .111)
et
ne sont pas équivalentes.
Dans les propriétés du théorème 1 , on peut remplacer: en ii/ le point OE par un autre point de E, en iii/ la boule unité fermée par toute autre boule de rayon non nul, même ouverte, ou par une sphère de rayon non nul.
3)
la mise en défaut de la continuité d'une application linéaire
Souvent
f
E ~ (E, F) se fait
en exhibant une suite (Xn)N de la boule unité de E telle que la suite (i(xn») bornée, (n-++oo lim IIf(xn) Il = +00 par exemple).
N soit non
t.2 L'ensemble
des applications
linéaires
continues
de E dans F est un sous-
espace de ~ (E, F) noté
1
Ir%'
~c
CE,
F) est non vide et stable par l'addition des fonctions et la multiplication d'une
fonction par un scalaire.
•
o
"s'agit bien d'une application linéaire définie sur des espaces vectoriels
normés :
'Il: E -+IR, P f-7 pel) E normé par Il.1100
et IRpar la valeur absolue.
Essayons d'appliquer la remarque 3) précédente. Notons
Pn(X) =
on a alors
l +X
+ ... +Xn,
Il Pn 1100 = l
et
'Il (Pn) = Pn(l)
=
n+l
Voilà un exemple d'une suite (Pn)N de la sphère unité dont la suite des images ('Il (Pn») N n'est pas bornée. L'application linéaire 'Il n'est pas continue sur
.••...
-",..,..,,,,,,,,,,,,~,,,,
CE, Il.11(0)'
--- -----------------------------....
2 :
Chapitre
49
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
2 ment de norme les notations
1 et
de l'exemple
sur E =~ [X] deux autres
q 11
PlI1
==
Llad
et
i=O
\Il:
•
E -fIFt P
sur (E,II.I12)1
P(l)
f-3>
Ces questions se justifient car les normes •
L'analogie entre
Il P 111 et ep (P)
=
lep (P)I ep est
•
ep est
Reprenons la suite
n
=
IP(l)1
I~
ail ~ ~
Il.111)
continue sur (E,
f-3>
sont pas équivalentes.
se concrétise par:
bornée sur la boule unité de (E,
L'application linéaire
Il . 111, Il . 112 et Il . 1100 ne
(lep (P)I
1 si
~
=
lad
Il P 111
Il Pl11
1)
~
Il .111)
1 et calculons:
Pn(X) = 1 + X + ... + Xn de l'exemple Il
Pn
112 =
vn+l
Pn(1) = n +
et
1
P Alors Qn = vn+1 ~
appartient à la boule unité fermée de (E,
Il.112)
tandis que ( ep (Qn») N = (
vn+l) N est une suite réelle non bornée.
Ainsi, l'application linéaire
ep
t. 3
est non continue sur (E,
Norm.ed'un~applicatiol'lliliêaire E et F désignant 5Ec
(E, F)
-fR
Il . 112).
cOntinue
des espaces vectoriels f
Iif
f-3>
= sup Ilf(x)
Il
normés, Il
Ilxll~l
l'application:
est une norme sur
(E, F)
5Ec
Remarque L'existence du réeliif
pour f E 5Ec (E, F) est justifiée par la propriété iii/ du théorème 1.
II
Notons B la boule unité fermée de E: BJ(OE' 1). Vérifions les trois critères de définition d'une norme.
•
Si
Iif
= 0, alors pour tout x E B, Ilf(x)
Il
Or, quel que soit y E E, x = 1 + Conclusion:
•
I(j)
Notons Comme
f
= 0 ~
Iif
IÀI
I(j) pour
=
supI(Àf)
•
Soitf
et 9 dans
5Ec
(E,
IÀI
Ilf(x)
donc
Il ~
sup Ilf(x)
Il E
B
donc
= O. = (1 +
f(y)
Il
y Il)f(x) = O..
= O.
ÀE
II<:,
on a : c'est-à-dire
supI(j)
=
Il Àfll
IÀlllfl1
F).
Pour tout x de B, on a XEB
ty
= 0 etf(x)
Illx E B} c~+ pour f E5Ec (E, F)
= {llf(x)
I(À f) =
Il
Il
+ g(x)
+ g(x) Iif
Il
+
Il
Il ~
Ilf(x)
Il
g(x)
9 Il
c'est-à-dire
IIf
Il
+
Il ~
+9
Iif Il ~
Il
+ Iif
Il
9 IL Il
+
Il
9 II·
D
50
Précis d'Analyse
Il
Convention Dès que E et F sont des espaces vectoriels sur lesquels des normes sur E et fixées, l'espace vectoriel Cette norme sur
(E,
::Ec
::Ec (E,
F) est
F ont été
muni de la norme Il .11 précédente.
F) est dépendante
des normes choisies sur E et
F.
t.4 Pour toutf
E::Ec (E, F), on a :
.
II iil
Ilf(x) Il Iif Il
= Ilsup Ilf(x) X Il,,;;1
Iif Il = min{k
Il'W i / Si f
Il
= Ilxll~l sup Ilf(x)
l'if
E ~+
II = XEE\{OE} sup
XE E, Ilf(x)
E ::EcCE, F), l'existence de
Il ~ kll
x
sup
a =
-II-IIx
Il} Ilf(x) IL de
b =
IlX Il,,;;1
Ilf(x) Il , d th" 1 "t' "') ') sup -1-1-1-1 resu te u eoreme , propne es III et IV c = XEE\{Oe} x
sup
Ilj(x)
Il et de
Ilxll~1
1
B désigne toujours Ona
5cB
la boule unité fermée de E et soit
lfXlr= f Ilf(x) II Il ( donne b ~ a
Pour tout
x
de
B\
W x )
Il
on a
{OE},
encore vérifiée pour x = OE d'où Finalement a = b = c,
et
5 la sphère
Ilf(x) Il ~ II~~~ Il a ~ c soit aussi
d'où
a~
x est le plus petit majorant de l'ensemble ii / xEE\{Oe} sup Ilfll(XI)III
Ainsi on obtient
c = min{k
E ~+
l'if
'if
x
l'if
donc
Ilf(x)
b=c
Il ~ c, inégalité
b.
{llfll x (XI)IIIlx E E \ {OE}} E E \ {OE},
XE E \ {OE}, Ilf(x)
donc aussi, puisque f(OE) = OF, c = min {k E ~+
unité.
} =5
{xW/XEE\{OE}
donc c'est le plus petit des réels positifs k tels que
,
"~~~
x
Il ~ kll
Il ~'k,
Il}
x E E, Ilf(x) II ~ kll x Il}
o
Corollaires:
c.1
f E::Ec (E, F),
Pour
on a
'if
Ilf(x) Il ~ Iif 1111 x Il
XE E,
1
c.2
Soit
f
E::E CE, F).
S'il existe un réel k tel que, pour tout alorsf
1
est continue
et
Iif II ~
x
de E, Ilf(x)
Il ~ kll
x
Il,
k.
Ceci fournit une méthode pratique pour étudier la continuité d'une application linéaire,
Théorème: 1.5
Compositiond'applipa.tions
linéaires
Soit E, F, G trois espaces vectoriels Alors
1
Il'W
gofE::Ec(E,G)
D'après le corollaire
et
normés,j
1 précédent: et
Il ~ Iif 1111 x Il
Ilf(x)
on obtient, pour tout x de E
Le corollaire 2 donne alors la continuité de 9 0
l
E::Ec CE, F) et 9 E::Ec (F, G).
Ilgofll~llgllllfll.
Il g(y) Il ~ Il 9 1111 y Il d'où avec y = f(x),
continues
11
9 0 f(x) Il ~ Il 9 1IIIf 1111 x Il Il 9 0 f Il ~ Il 9 1IIIf Il
f avec
o
Chapitre 2 :
51
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
Méthode Donnons un plan d'étude de la continuité d'une application linéaire et de la recherche de sa norme éventuelle.
f
On suppose que est une application linéaire de E dans F où E et F sont des espaces vectoriels normés. 1)
Chercher une majoration de Ilf(x)
2)
En cas d'échec:
•
exhiber une suite (Xn)~; de
•
et conclure:
3)
E\
Il par kll x Il pour tout x de E, majoration la plus fine possible,
.
Ilf(xn)Il
=+=
hm ---
qui vérifie
{OE}
n--++co
Il Xn Il
n'est pas continue )}
«
En cas de succès: Ilf(x) Il "'" kll x Il
pour tout XE E,
k
« f est continue et Il fil"'"
•
on conclut
•
pour trouver le réel Il f Il (souvent égal à k lui-même) :
»
• expliciter un élément x non nul de E réalisant l'égalité , d'f h'b . ( ) d E \ {O} • ou a e aut, ex er une sUite Xn NeE 1
Il 'P (x) Il = kll x Il
.. 'f' qUi ven le
l'
n--++oo lm
Ilf(xn) Il Il xn Il
Ex$tnples - Travaux pratiques
3 1],!R;) l'espace vectoriel réel des fonctions dans E les deux normes classiques :
continues
de [0,1] dans !R:.
1 111Il,,,, = xE[O,lJ sup Lf(x) et n~~()ns,pour Considérons
simplifier,
ensuite
= LX tf(t) et calculer
f
ça: •
et
E",,::: (E, Il.1100)
l'endomorphisme
'P(f)(x)
1
f-,>'Pif)
,
IIf III = Jo[ lf(t)1 dt et
El = (E,II.liI).
'PE::E(E) défini par'
dt
pour toutjdeE
'Pb: Eco
[0,1]
etXE
la norme desapplica.tions 1 b
linéaires: ,'Pc:
El
Eco,
--+
f f-,>
La linéarité de l'intégrale fait de 'P un endomorphisme de E. •
Etude de 'PaE::E (Eco). Objectif: majoration de Ii 'Pa
l'Pa(j)(x)I""'}o
VfEE,\;jXE[O,1],
1 :)'où
Il 'Pa
=our
f = 1,
(j)
::':onclusion:
1100"'" 211f lico.
'Pa (j)(x)
~ = !o
r
tlf(t)ldt""'Jo
(j)
1100par kliif
[1tlf(t)ldt""'llfllooJo
1
lico.
rI tdt="2llflloo 1
Donc 'Pa est continue et Il 'Pa Il "'" 2'
2
tdt = 2
1 '
Iif 1100= 1
,
Il 'Pa Cf) 1100= 2
_______
•
.-_-
~
,~~.<.;..~_
••. :...'_c._"
52
Précis d'Analyse
•
Etude de
f
'if
(Eco ,El). Majoration de Il
'PbE::E
E E, 'if x E [0,1],
d'où
10
1"
r
x2
1dx ~ 10 Iif lico 2:' dx=
l'Pb (f)(x)
(f) 111par
1~ Jo t lf(t)1
(f)(x)
l'Pb
1
'Pb
k211f llco:
r
dt ~ IIf lico Jo
1
x2 tdt = Iif lico 2
.
(3llf lico
1 Donc
'Pb
est continue et Il
6'
Il ~
'Pb
1 = 1 donne l'égalité Il
Commef
(f) 111= 6'
'Pb
1 on en déduit
Il
Etude de 'PcE::E (El, Eco). Majoration de Il 'Pc (f) Ilco par
•
'Pb
k311f
1
'if f
E
E, 'if x
[0,1],
E
Il 'Pc (f) lico ~ IIf
D'où
6'
111·
1
(f)(x) 1 ~ Jor t lf(t)1 dt ~1 Jor lf(t)1 dt =
Iif
111
Donc 'Pcest continue et Il 'Pc Il ~ 1.
111.
à cause
L'égalité n'aura pas lieu
l'Pc
Il =
de la majoration ~, 1 car la différence Jor1 (1 - t) lf(t)1 dt
n'est nulle que sif est nulle. Il convient de choisir une suite de fonctions adéquate, par exemple,fn(t) 'Pc (fn)(X) = a nt
Comme on a
Ilfn
111
= 1
n
n
lx
Alors
dt = --1 nxn+1 n+
et
lim
n-++oo
Il 'Pc (f) lico ~ 1
sup
= n tn-1,
'
Ilfn 111= 1
et
Il 'Pc (fn) Ilco = ~n+l.
Il 'Pc (fn) lico = l,
et on peut conclure que
Il 'Pc Il =
l,
111111<;;1
exemple 4 C [X] muni
Pour •
P=
E
n akXk,
Il.llco (voir exemple
est uné forme
"","p(zo)
'1>:E la Gontinuité
•
de la norme
lîri~fl.iré;
et ca.lculer la llorme eventuelledèlp.
l'P (p)1 =
on a
1
E
n akzlf
1
~
E
n lzolk
Il P llco.
Cas où lzol < 1. n
Dans ce cas
L
k=O
1-lzoln+1
k
=
lzoi
1-lzol
1 ~ 1 - lzol
1 d'où
'if P EC [X],
l'P (P)I ~ 1-lzol
·11
Pllco
1 ce qui prouve la continuité de 'P et l'inégalité Il 'P Il ~ 1 - lzo Soit SEIR;tel que
1
zo = zo ei6, considérons la suite de C [X] de terme général: n 1
1
Pn =
L e-ik8Xk k=O
Il
Chapitre 2 :
53
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés n
Pour tout n E N, on a II Pn Ilx = 1
et
L
=
<; (Pn)
k~O
1
De n~+co lim
(Pn)
1-
1
-1-1-1' - ZO,
sup PII=~l
on déduit alors
1<;
(P)I :? --
1-lzol
1
et finalement •
=
lzolk = 1 - [ZO,n+l lzo:
Il
<;
il = 1-lzol
Cas où lzoi :? 1.
Avec la même suite (Pnh, on obtient maintenant
(Pn) :?
n+ 1
donc n---;.-+,x, lim
l
(Pn)1
= +:x:.
Das ce cas,
exemple 5 Montrer
•
que si E est un espace de Banach,
alors :J',c(E) est aussi un. espace de
Rappelons qu'un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet. Voici les étapes et les notations de la démonstration:
• •
choisir une suite de Cauchy vérifier que (tn(X))f\i noter
•
vérifier que
9 est linéaire,
•
vérifier que
9 est continue,
•
et que
= n-++cx::, lim fn(x),
g(x)
lim
n---++::v
II
de :J',c(E),
est une suite de Cauchy de E,
•
•
(Jn)""
9 - fn
Il
ce qui définit 9 E EE
= 0,
puis conclure.
Que (Jn)f\i soit une suite de Cauchy se traduit par: on= sup Ilfn+p - fn Il pEf\i
Alors, pour tout vecteur x de E
vérifie
lim
on=
n~+co'
Ilfn+p(x)
°
(1)
Il ~ Ilfn+p - fn Il . Il x II ~on
- fn(x)
Il x Il
(2)
prouve que (tn(X)) f\I est une suite de Cauchy de E, or E est complet, donc elle converge; ce qui lim fn(x). permet de définir g: E -+ E, x ~ n-++co Les opérations sur les limites donnent la linéarité de 9 : 9 E:J',(E). Par continuité de la norme sur E, l'inégalité (2) donne, en faisant tendre p vers +00 : V x E E,
Il g(x) - fn(x)
puis l'inégalité triangulaire donne
Il ~on
V XE E,
Il x Il
Il g(x) Il ~ (1lfn
(3) 11+
On) Il X Il,
ce qui assure la continuité de 9 : 9 E:J',c (E). L'inégalité (3) fournit alors et compte tenu de (1)
lim
II 9 - fn Il ~On
n---;.+oo
Il
9 - fn
Il
La suite de Cauchy (Jn)N converge dans de Banach.
= O.
(:J',c (E),
11.11),
donc:J',c (E) est complet, c'est un espace
54
Précis d'Analyse
Il
II - Espaces vectoriels de dimension finie A. Equivalence des normes Théorèmes: t.6
Sur [Kndeux normes quelconques sont équivalentes.
1
~
La démonstration L'équivalence
suivante
ne concerne
que le programme
des normes est une relation transitive,
M'.
il suffit donc de comparer
une norme
N de [Kn à la norme Il .llco de [Kn pour conclure. n
quelconque
Notons (eih~i~n
la base canonique
de [Kn et [3=
L
N(ei) > O.
i=l
n
Tout vecteur
x de
x=
[Kn s'écrivant
N(x) ~ ~
pour tout x de [Kn.
N :[Kn --+~ est continue sur (Kn, Il .llco);
Cela prouve aussi que l'application en fait, lipschitzienne: Comme
la sphère
(voir Chapitre
Xiei, on a :
i=l
IXil N(e;) ~ Il x lico (~NCei»)
N(x) ~[3 Il x lico
C'est déjà
L
IN(y)
- N(x)1 ~ N(y
unité 5 de ([Kn, Il.llco)
1, Propriété
25),
par homothétie,
t.7
on en déduit:
- x) ~[3 Il y - x lico
est compacte
il existe aE 5 tel que
Etant élément de 5, a n'est pas nul donc
N(a) =
Il x lico ~ NCx)
ex
elle est,
car elle est fermée
et bornée
ex= inf N(x) = N(a). XE5
ex> 0, et pour tout
xE
5 : ex~ N(x),
pour tout x de [Kn
D
Equivalence des normes en dimension finie Deux normes quelconques d'un [K-espacevectoriel de dimension finie sont équivalentes.
1
~
Si
E est
un IK-espace
vectoriel
de dimension
n, il
existe 'f' isomorphisme
algébrique
de
[Kn sur E. Alors,
E,
Il.11 étant une norme sur
Il.
W
:
[Kn--+~,x ~
Il 'f' (x) Il est une norme sur
[Kn. Soit Il ·111 et Il.112 deux normes sur associées
par'f'
sont équivalentes, 'if x E[Kn,
ce qui donne
'if y E
E,
ex ex
E,
les normes
Il.II~
et Il .II~ de [Kn qui leurs sont
donc, il existe ex> 0 et [3> 0 tels que:
Il 'f' (x) 111~ Il 'f' (x) 112~[3 Il 'f' (x) 111
Il y 111~ Il y 112~[3 Il y111'
D
Chapitre
55
2 : Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
B. Parties complètes - Parties compactes en dimension finie Propriétés: Soit (E. Il. ) un espace vectoriel normé de dimension finie n,
Tout espace vectoriel normé de dimension
finie est complet.
1
~
Un produit d'espaces complets est complet et sur iKntoutes les normes sont équivalentes donc ([~n, Il. W) est complet. Si
(Xn)',
est une suite de Cauchy de (E,
dans (iKn,
Il. W)
donc
(ç-1 (xn))
Il.11),
il en est de même pour (
converge.
lim
Dans un espace vectoriel complet donc fermé.
1
p.3
•
•
1
~
normé,
Il x - xn Il = Il y-
tout sous-espace
W
D
de dimension
finie est
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. En particulier, toute boule fermée, toute sphère est compacte. La propriété est connue dans iKn (norme quelconque). On conclut en utilisant que:
1
pA
(xn)) N
ç étant une isométrie, une partie A de (E, Il .11) est bornée si et seulement sÎ
D
Exemples - Travaux pratiques exemple 6 de Riesz un espace vectoriel normé, la sphère unité est compacte est de dimension finie . •
si et seulemsntsi
• Dans un espace de dimension finie, la sphère unité est fermée et bornée, elle est compacte (propriété 3) . • Envisageons un espace vectoriel normé E qui ne soit pas de dimension finie et montrons que la sphère unité S de E n'est pas compacte en construisant, point par point, une suite (Un)N de S telle que: pour i;t j,
Il Uj -
Ui Il ~
1
56
Il
Précis d'Analyse
Une telle suite ne pouvant avoir une suite extraite convergente, la sphère unité compacte.
S n'est
pas
Supposons déjà connue la famille (U1, UZ,' .. , un) de Sn telle que: pour
1,.,:; i <j ,.,:; n,
1
Il Uj - U; Il ~
Notons F = Vect(u1,' .. , un) le sous-espace engendré par cette famille, finie, or E ne l'est pas, donc S n'est pas incluse dans F.
F est
de dimension
Prenons alors un vecteur x de S \ F, la distance 0= d(x, F) n'est pas nulle (F est fermé, x rt F), il existe alors un vecteur y de 1.11 ) Choisissons comme point suivant
F réalisant
Un+1
=
Il x - y Il =0. (voir Chapitre l, Exercices-types
x-
ES.
y
Il x - y Il
Pour k E {l,·", n}, la différence Un+1 - uk = x ~ y - uk s'écrit avec z = Y+ 0 uk E F et Il x - z Il ~o. Ainsi
Il un+1 -
Uk = {-(x
Un+1 -
-
z)
uk Il ~ 1, ce qui établit la construction de la suite (Un)r,j.
C. Continuité des applications linéaires et multilinéaires t.8
applications
linéaires
Soit E et F deux espaces vectoriels nonnés, E étant dl;) dimension application linéaire E 5E CE,F) est continue.
1
~
f
finie, toute
E étant de dimension finie, les normes sur E sont équivalentes. Choisissons la norme définie à partir d'une base (u;h>s;;>s;nde Epar:
Iif;;1 x;u;11 =
n Avec
x =
LX;u; ;;1
sup lx;!
l>S;L>s;n
n
on a
f(x) =
L;;1
n
d'où
xJ(u;)
Ilf(x)
L;;1
Il ,.,:;
Ix;1 . Ilf(u;)
Il
n
puis
Ilf(x)
Il ,.,:;kll x Il
en notant
k =
L;;1
Ilf(ui)
II.
cette inégalité garantit la continuité de f. t.g
Continuité
des applications
D
multilinéaires
Soit El,' .. ,En des espaces vectoriels nonnés de dimension finie, F un autre espace vectoriel nonné et M : El x ... x En -+ F une application n-linéaire. Alors M est continue. ~
Pour la clarté de la démonstration limitons-nous au cas
M est alors
une application bilinéaire sur E à valeurs dans
Choisissons une base (Ul,' .. , up) de E,
une norme sur E:
-
n = 2 et El
une norme sur EZ:
Iltx;u;11 ;;1
= l>S;L>S;p sup Ix;1.
Il (x, y) Il = sup(11x Il, Il y
Il)·
F.
= Ez = E ;
Chapitre 2 :
57
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
Montrons, dans un premier temps, que M est bornée sur une boule unité fermée de E2, puis, dans un second temps, que cette propriété entraîne la continuité de M.
• M est bornée sur la boule unité de E2 . P
Pour (x, y)
E
E2
et
x =
L
P
XiUi,
y =
i=l
P M(x, y) =
L
Li=l j=lL xiYjM(ui, P
et l'inégalité triangulaire P En notant
k =
Il M(x, y) il "'"
M est continue
Uj)
P
Li=l j=lL IXil IYjll1 M(Ui,
Uj) Il
P
Li=l j=lL Il M(ui,
Uj) Il
Sur la boule unité de E2, on a donc
•
YjUj, la bilinéarité de M donne:
j=l P
il vient
Il M(x, y) Il "'" kll x 1111 y II·
Il M(x, y) Il "'" k
en tout point (a, b) de E2 .
La bilinéarité de M donne, pour tout (x, y) de E2
:
el= M(x, y) - M(a, b) = M(x - a, y) + M(a, y - b) A présent, majorons el : Il el Il "'" Il M(x - a, y) Il + Il M(a, y - b) Il "'" kll x - a 1111 y Il + kll a 1111 y - b Il En notant
h
= Il (x, y) - (a, b) Il = sup (II (x - a) Il, Il y - b Il), on obtient:
Il y Il "'" Il b Il + h
,
Il el Il "'" kh(11a Il + Il b Il + h)
et enfin
~~
Exemples - Travaux pratiques exemple 7 rme d'une forme linéaire El =
(IKn, Il.111)
,
Ez = (IKn, Il.112)
,
Eco = (1K1î;
hi la forme linéaire sur Ei, i E {l, 2, co}, définie par hi uler Il hl Il, Il h211 et Il hco Il en fonction des scalaires h(ei),' s de h dans la base duale de la base canonique (eh' ··,en) dfl •
Notons Cii= h(q) de sorte que le développement de h(x) devient:
h(x) = h (nEXiei IKn étant de dimension finie la continuité de
) = EXih(eil n
n = ECii
h est acquise. n
•
Norme de
hl.
Majorons Ih(x)1 à l'aide de Il xiiI
En notant Ci= sup ICiil, nous avons l~i:S;n
Ih(x)1 "'" Ci Il xiiI
avec égalité pour x = ek où k est tel que Ci= ICikl. Conclusion:
Il hl Il = sup Ih(ei)l· l~i~n
=
L i=l
Ixi!.
Xi
..
Il= O.
0
58
Précis d'Analyse
•
Il
Norme de hco. Majorons 1h(x)1 à l'aide de Il x 1100= sup IXil l~i~n
Ih(x)1 ~ En lail IXil ~
(n) E lad
Il x 1100avec égalité pour x = En Si ei
où
aiSi= lail
n Conclusion:
Il hcoII = 2:= Ih(ei)l· i=l
1 •
Majorons Ih(x)1 à l'aide de Il x 112= (~lxiI2)
Norme de h2.
C'est l'inégalité de Schwarz sur IKn qui donne la majoration:
1
Ih(x)1 ~ (~laiI2)
"2
"2.
1
(~lxiI2)
"2
n x = 2:= aiei (non nul si h n'est pas la forme nulle). i=l
avec égalité pour
Il h211= ( Eln
Conclusion:
h(ei)12 ) ~
exemple 8 Notmèd'une
matrice d'une application linéaire
Soitl E9!. (E, Ef) donnée dans des bases (l0h'0~n et
(e;h~i~p
par la
A = [Ag] E "~Lp.n (IK)
étant normés par:
Il xiiI
lit
exprimer la norme de •
t
= )=1 .\Jejl·11 = )=1 I.\JI
Il Xl
et
1100
=
II~
xie;ll =
1à l'aide des coefficients de la matrice A.
L'espace E est de dimension finie, donc f est continue. Cherchons une majoration de Ilf(x) 1100 de la forme Mil xiiI' p
Par définition de A, on a
f(ej)
= 2:= Age; i=l
Notons f(x) Posons
= 2:= xi e; i=l
M=
et
f(x)
n
p
avec
=
1(t)=1
.\Jej)
t (t
= !=1
)=1 Ag.\J) e;
xi = 2:= AgXj j=l
sup IAgI, il vient:
l~i""p
l'0~n
n pourtouti, On en déduit
Ixil ~2:=IAgll.\J1 j=l
Iif Il ~
~MllxI11,
donc
Ill(x)llx
M.
Il existe au moins un couple (k, h) d'entiers tel que IAkhl = M. Conclusion:
111 Il
~Mllx111·
= M = sup IAgl iJ
Alors
Ilf(eh) 1100= Mil eh !11'
Chapitre 2 :
59
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
exemple 9
f <
•
Quelle que
V(AB)E.ttp . r Jtp ilABl1 IIAIIIIBII "it la nonne .. '. choisie su. OK),~f.L il existe un réel
Dans la mesure où A représente un endomorphisme de
A
sup
=
Ik;P,
f.L
tel que:
par définition:
IIAXII
xc:
Ilxll
et le théorème 5 (composition d'applications linéaires continues) donne l'inégalité: ABli
~ I!AII·IIBII p
La norme de .tlp (:<) ainsi associée à la norme" . Prenons une autre norme tels que
a
.
~
de ~f3
IIAB
Avec
I-l=
Il
A Il =
:L
sup IAul 1<;;<;p )=1
elle est équivalente à la précédente: il existe
a et f3>
0
ce qui permet de faire les majorations successives:
Il .
~f3IIABII
~f3IIAII'IIBII
c'est l'inégalité souhaitée
af32
de iKP est
~
af321IAWIIBW
Il AB III ~1-l11 A 11/11 Bill.
exemple 10 A E.Hp (K) ; montrer que la série (Chapitre IV de ce livre) de tenne général
est absolument convergente dans l'espace vectoriel normé +:0
un majorant de sa somme •
expA
=
(A{p (IK), Il .11).
An
:L 1n. n=û
en fonction du réel
Il A Il.
Reprenons les notations et le résultat de l'exemple précédent: Pour tout couple (A, B) de
Jlp
Œi),
Il AB Il ~I-l Il A 1111 B Il
Une récurrence directe donne alors:
xn La convergence et la somme de la série entière de terme général n! (pour tout réel x) sont +cx:;,
connues:
eX
=
X
n
:L ,.n. n=O
An
Le critère de comparaison de séries positives assure la convergence absolue de la série et par addition, la majoration souhaitée apparaît :
11+:0 ~
Anll ~
~
Dans le cas où I-l= 1, il vient
+:0 ~
I-l n-111Ar n!
Il expA
Il ~
ell Ail
donc
Il expA
1 Il = j1:efLllAII
:L 1n.
60
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types Comme
Soit
dans le cours,
f :E
vérifie
--+
E et
F désignent
F une application
la propriété
suivante
(Xn)N qui converge
des IK-espaces
linéaire
: pour toute
qui suite
vers OE, la suite (i(xn»)
vectoriels
E =IR
Soit
normés.
[X] normé par
p
p=
~
aiXi
>-711
P lico
f est continue.
n On fixe un polynôme
'if
1)
E
--+
Montrer que sif est continue
2)
et 9 deux endomorphismes
f 09-
go
que
f
est
LP
et calculer
E qui
de
IK-espace
vectoriel
n
Pour tout
un
E N, on note
linéaire
sa norme.
normé de dimen-
u Il
itéré de
1 (IdE +u + u 2 + ... + u n ). converge
(E) vers
dans l'es-
un projecteur
pace vectoriel
normé ::Ec
p ; déterminer
l'image et le noyau de p.
Ex. 2, 8
vé-
f = IdE.
1.
~
n ième
le
u et un = --1 n+
Montrer que la suite (Un)N
B/OE' 1).
bornée sur la boule
rifient
f-O>
sion finie et U E::E (E) tel que Il
en 0E alors
en supposant
E un
Soit
est linéaire.
Même question
Soitf
E, P
de l'application
Ex. 2, 7
+ y) = f(x) + f(y)
(x, y) E E2,f(x
f
Xi non nul.
Âi
que 11<=IR.
: E --+ F qui vérifie:
Soitf
L = ~ i=O
Etablir la continuité On suppose
lail·
~[O~]
de F est bornée. Montrer que
sup
=
a
N
E un
Soit
IK-espace
vectoriel
normé de dimen-
sion finie.
1)
Calculer tout
0 gn - gn of pour
simplementf
Montrer
n EN.
de En déduire quef
2)
9 n'est
ou
qu'une suite (Un)N d'endomorphismes
E converge
dans ::Ec (E) si et seulement
si
pas continue. pour tout x de E la suite
(un (x»)
N converge
dans (E, Il ·11)· Soit A et B deux matrices
AB-BA=B 1)
Calculer
2)
ABn - BnA
En déduire que
B
Ex. 2.9
de Mp (II<) vérifiant Soit pour tout nE N.
A
E Artp (1[:) diagonalisable
Montrer bles
àA
que l'ensemble
(Voir Algèbre 2).
des matrices
sembla-
est fermé dans Mp (1[:).
est nilpotente.
Ex. 2.10 1) Soit
C(;',
le sous-espace
convergentes
vectoriel
muni de la norme Il . Il co .
;C(;',--+
E, x = (xn)N
est une application sa norme.
f-O>
[0,1],
vérifier
E=
que l'on définit
Ta sur le IR-espace
C([O, 1], IR) par 9 = Ta(f)
où g(x) = C'I
1 lXa f(t)
Montrer que l'application:
L
Soit aE
un endomorphisme
de EN formé des suites
dt.
x L(x) =
1
lim Xn
n-++oo
linéaire continue,
en donner
2)
E étant
normé par IIf 111 = fa lf(t)1 dt, montrer que Ta est continue si aE [0,
l[
et dans ce cas, calculer
Il
Ta
Il.
Chapitre 2 :
61
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
Ex. 2. 11
Ex. 2. 12
{f
Soit E = E C2([0, 1]. R) (j(O) =f(O) 1) Montrer que
=
o}
Soit E = C([O, 1],
1R1)
normé par
Iif Il = sup lf(t)1 tE
= sup VI(t) + 2j(t) + f(t)! rdO,l] définit une norme sur E. Ilf
2)
et cpun élément donné de E.
Montrer qu'il existe un réel a> 0 tel que
x ~ aiif Trouver le meilleur coefficient
[O,lJ
On considère la forme linéaire par
a.
ÎI.
ÎI.
sur E définie
(j) = fol cp(t)j(t) dt.
Vérifier que
ÎI.
est continue et calculer sa norme.
Indications Ex. 2. 1 Etablir la continuité de suites.
f
en
OE
à l'aide des
Pour montrer que la condition est suffisante, utiliser une base de E.
Ex. 2.2 Etablir f(ÎI. xl =Îl.f(x)
Ex. 2.9 pour
Îl.E j"\j,
Z, (Ji puis
R
EX.2.3
Caractériser un fermé
à l'aide
de suites.
Utiliser des polynômes annulateurs de A.
1)
Vérifier f 0 gn - gn 0 f récurrence.
= ngn-1
par
2)
Majorer Il ngn-111 à l'aide de la relation précédente. Ex. 2.4
Ex. 2. 10 1)
Utiliser un équivalent de g(x) quand x tend vers 0+.
2)
Choisir fn(x)
= n(! - x)n-1
et calculer
Il Ta(jn)111'
1)
Vérifier ABn - Bn A = nBn par récurrence.
2)
Majorer Ii nBn précédente.
Il
à l'aide de la relation
Résoudre dans E l'équation différentielle fi
+2f
+f=g
Majorer lf(x) 1par un multiple de Il 9 lico.
Ex. 2.5 Majorer Il L(x) Il par Il xlix; correspondante.
Ex. 2. 11
réaliser l'égalité
EX.2.6 Majorer Il LP Ilx par Mil P lico et réaliser l'égalité.
Ex. 2. 12
Pour trouver Il
ÎI.
Il = fo11cp (t)1 dt
écrire cp= cp+ - cp- où : cp+(x) = sup ( cp(x), 0) et
EX.2.7 Vérifier que l'image et le noyau de u - IdE sont supplémentaires, étudier Un sur l'un et l'autre.
cp- (x) = sup( - cp(x), 0). et construire une suite de fonctions continues qui converge simplement versf.
.-'-~.
62
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types Par caractérisation d'une application linéaire continue (théorème 1), il suffit de prouver la continuiM de f en 0E. Il suffit donc d'établir que pour toute suite (Xn):\, de E qui converge vers 0E, la suite (i(xn») de F converge vers OF. (Voir Chapitre 1: Limite d'une fonction et suites)
l'\j
A la suite (Xn)r\j, associons la suite (Yn)1'\jdéfinie par:
°
O·
Yn = Comme
Il Yn Il = ~
bornée:
::3
r\j
,
Yn = ~
SI
Xn
i=
' la suite (Yn)1'\jconverge vers 0E et par hypothèse la suite (i(yn»)
MEIR, V n EN,
Ainsi (i(xn»)
°
Xn.
Xn =
SI
Ilf(Yn) Il ~ M,
donc
~; est
!If(xn) Il ~ M~
est continue en OE, donc aussi sur E.
converge vers 0F,f
EX.2.2
1)
L'égalité Ilf(x + y) - f(x) (uniforme) sur E. Fixons un vecteur x de
=
Il
montre que la continuité en 0E entraîne la continuité
Il y Il
E et notons 9
la fonction de IRdans
g(u + v) = g(u) + g(v)
Elle est continue sur IRet vérifie
On en déduit que 9 est linéaire: il existe b E Ici, b = f(x), Ainsif
(obtenu avec t = 1), et donc
F tel que f(tx)
est une application linéaire de E dans
F définie
par
g(t) = f(tx).
pour tout couple (u, v) de réels. g(t) = tb
= if(x)
(voir ci-après).
pour tout réel t.
F.
Démonstration résumée de la linéarité de q Soit
G : IR--+F,
t -+ G(t) =
r
.la
g(u) du,
donc
G(u + v) = G(u) + G(v) + ug(v)
i! On vérifie
ii! On en déduit que 9 est de classe iii! On constate que
d est constante
el
car
G(O) = 0, G est de classe
el,
GI =
g.
pour tout (u, v) E 1R2
g(v) = G(l + v) - G(l) - G(v),
u -+ g(u + v)
en dérivant
= g(u) + g(v)
iv! On peut conclure. 2)
Notons A la partie de IRsuivante: A = {i\E IR,V
X
E E,fCf.- x) =i\f(x)}
Montrons successivement que A contient N, 7L,G et IR. •
f(OE) = OF,
(x = y = 0E)
f ((n + l)x) = f(nx) + f(x) Ainsi Ne A. (récurrence) •
•
f(-x)=-f(x),
° E A.
donc
n EA
donc
(y=-x)
Pour n E N' : nf ( ~)
donc
= f(x)
n +
=?
-lEA
donc f ( ~)
et
1E A.
7LeA.
= ~f(X),
ce qui conduit à Ge A. •
Le passage de G à IR ne peut s'opérer que par une limite: tout réel i\ est limite d'une suite rationnelle (i\n)",. Notons
[Ln=i\ - i\n
donc
hm
n---++cc
[Ln= O.
lt
1
1 1 1 i
Chapitre 2 :
63
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
Calculons
I-.J(xl =J(I-.n x+ IJ.nXi - (I-.n + IJ.n)J(X) =J(lJ.n X) - IJ.nJ(X).
fil-. x!-
J(I-. x) =I-.J(X)
Le résultat souhaité
lim J(fLn x) =
équivaut donc à
n---.;-+cç
a;
à ce niveau. la continuité de J en a E suffit pour conclure. IciJ est bornée sur la boule unité fermée notée B:
lim IJ.n= a n-+:>:
donne
lJ.<:;n x est dans B, et
Alors
Yn
donc
\:j n ~ p.
=
:3 p
\:j<:;E ::::.
On en déduit
j(lJ.n
\:j n ~ p,
E '\.
Ji IJ.n x!
=
\:j y E B,
:3 MEIR,
Il fLn x Il
J(<:;Yn)
=<:;
IIJ(y) Il "'" M
""'<:;.
J(yn)
car
<:;
est rationnel;
I\I.
""'<:;
lim J(lJ.n x) = o.
JO, xl =I-.J(x),
n-+=.->:
Ilk A.
Ainsi J est une application linéaire de E dans F. Ex. 2.3 1)
Introduisons la suite
n
hn =J
H>
0
gn - gn oJ de 5t (E).
hn+l = (g 0 J + IdE) 0 gn - gn+l 0 J = go (f 0 gn - gn 0 J) + gn hn+l = go hn + gn D'où, par récurrence, 2)
hn = ngn-l
= Jo gn - gn
9 continus,
Supposons, au contraire, Jet
et
hl = IdE
0J
pour n
E
~r.
ce qui permet d'introduire les normes IIJ Il et Il 9
II·
Nous utiliserons le théorème 5 : norme d'une composée.
d'où D'après le 1),
donne
gn = a
Or. par hypothèse,
"'"
gnll "'" IIJllllgllllgn-lll
gnoJl1
"'" 2!IJllllgllllgn-111
=a
gn-l
(n E i'\r), et donc 9 = a.
9 n'est pas nul, 9 n'est donc pas nilpotent et en simplifiant par Il gn-lll n"'" 211JIl 9 Ii pour tout n E I\jX, ce qui est impossible.
l'inégalité précédente devient
Ainsi, l'un au moins des deux endomorphismes n'est pas continu.
Remarques •
Une telle situation exige que E ne soit pas de dimension finie .
•
Dans Jlp ([<), l'égalité
AB - BA = Ip
est impossible, (utiliser
tr(AB) = tr(BA)).
EX.2.4 1)
Introduisons la suite
n
H>
Cn = ABn - Bn A
de Jtp (IK:)
Cn+l = (BA + B)Bn - Bn+l A = B(ABn - Bn A) + Bn+1 Cn+l = BCn + Bn+l d'où, par récurrence, 2)
CI = B
avec
Cn = ABn - Bn A = nBn.
Un choix convenable d'une norme sur Jlp (IK:) donne
il
AB
Il
"'"
Il A
1111
Appliquons cette majoration à l'égalité du 1) : Il nBn Il''''' IIABn Il + Il BnA Il''''' 211AIIII Bn Il Si B n'est pas nilpotente et en simplifiant
n "'"
211
Il Bn Il
-cf-
a
pour tout
A Il pour tout n
Conclusion: la matrice B est nilpotente.
n
E I\j, ce qui est impossible.
B
Il
-cf-
a,
64
Précis d'Analyse
Rappelons que l'espace vectoriel ÇA(N, E) des suites bornées de E est normé par: Il x lico = sup
Il
II Xn
nEF\!
On sait que 'i6 est un sous-espace de ÇA(N, E) et que L est linéaire. Il Xn Il ~ Il x lico
L'inégalité : V nE N,
et la continuité de la norme sur E donnent:
Il L(x) Il ~ llxllco
pourtoutxE'i6,
avec égalité pour une suite constante. Ainsi, L est une application linéaire continue et Il L Il = 1.
Il est clair que 't'est un endomorphisme de E. q
P=
Avec
L
i=ü
n+q
aiXi
LP =
on a
L
k=ü
bkXk
n
où
bk =
L
Ai ak_ i
i=ü
en convenant que
n
Majorons
Ibkl ~
L
= 0 si
cy
~u
,
{J
Ai= 0 si
~u l> 0n { i<
n
lAd· lak-il
L
~
i=ü
lAd
P lico
·11
i=ü
n donc
IILPllco ~ Il LlllIl
Pllco
IILlll
avec
Pour réaliser l'égalité, formons un polynôme
= LIAd i=ü n P =
L
fLi Xi
tel que le coefficient de Xn dans LP
i=ü
n
soit
bn =
L
n
AifLn-i=
i=ü
L
I/\il·
Donc
fLn-i= signe (Ai).
i=ü
n
Conclusion: l'endomorphisme 't': P
f-'>
LP est continu et
Il 't' Il = Il Lill
=
L
lAd·
i=ü
Notons
F = Ker(u - IdE)
et
G = Im(u - IdE) et vérifions que E = F
D'après le théorème du rang (dimE = dimF Soit XE F
ri
G c'est-à-dire
donc
Or
n+l Ilun+l(Y)-YII
donc
V
Ainsi
F
n E N, ri G =
un (X) = x vn(x)
n+l ~ Ilulln+l+lli
y
Il x Il = Il Vn(X)11 ~ {OE}
+ dim G) il suffit de vérifier que F
XE F : u(x) = x
On obtient alors, pour tout nE N,
et donc
XE G : 3 y E E ,
VnX
,
G.
ri
G = {OE}'
x = u(y) - y
= un+1(y) - un(y)
un(x)
()
=x
=
n+l( ) n+ly-y
u
n+l
Il ~ ~
, on en déduit n+Y111
Il x Il =
211
O.
E = F E9 G.
On vient de voir que pour XE F : vn(x) = x et que pour x 1 = u(y) - y E G:
E9
l'lm
n~+oo
(suite constante)
Vn(X)1 =
. hm
n~+oo
U
n+l( ) y - y = 0E. n+ ,
jj
~
L _~
~__
Il
Chapitre 2 : Ainsi, pour tout la suite
décomposé sous la forme
Z E: E
= vn(x) + Vnexl)
vn(z)
65
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
Z
= x + Xl
avec x E: F, Xl E: G,
converge vers x.
Donc la suite (Vn)', converge simplement, (voir Chapitre V), vers p, projection sur F parallèlement à G. Montrons que cette convergence a lieu dans l'espace vectoriel normé :i.e (E). Comme E = F S G et que G est stable par U - IdE, alors U - IdE induit un isomorphisme de G, notons-le 8. A tout Xl de G correspond un unique y de G tel que Xl = u(y) - y, c'est y =8-1 (Xl) .
. Majorons alors Il VnZ()_ car
- pCz) = vn1z) - X =
vn(z)
()il"",2I,YII_211 PZ, ~ n+l -
8-1 n~1
"",211 8-11111 X 111"",2118-111 ~ n~1 ~ n~1Il IdE-pli
(xl)i!
Il Z Il
= (IdE -p)(z).
Xl
2118-1 IIVn - pli ~
1111IdE
Il
-p Il
'
+
n
1
Ainsi
un+1(y) _ y n +1
lim n~+co
et
Ilvn - pli = 0
converge vers p dans (:i.e (E), Il.11).
La suite (vnh
Ex. 2.8 On sait que •
'if U E::i.e
(E),
hm
n------+x,
Alors, pour tout x
E:
La suite (un(x»)
u(x)
Il
Il
~
Il
u
1111
x
Il .
de:te (E) converge vers u dans
:te
(E)
U Il = O.
Ii Un -
E,
E: E,
(unh,
Supposons que la suite
c'est-à-dire
x
'if
Il Un (x) - u(x) Il ~ Il Un -
U
il Il x Il
et
hm
Il Un (x) -
n---++oc
u(x) Il = O.
converge donc vers u(x) dans (E, Il.11).
Ici, la dimension finie de E n'intervient que pour la continuité des applications linéaires u et Un, nE: N . •
Supposons que, pour tout x
E:
E, la suite (un (x») ~ converge et notons
v(x)
= n~+co lim
Un(X);
nous disposons d'une application v de E dans E dont la linéarité résulte des théorèmes sur les limites et de la linéarité des Un :
lim
n--++oo
unG\.
x+
Montrons que
I-L
y) = v(À
(Un)i\:j
x+
I-L
et
y)
hm À un(x)+ n-++x-
I-L
Un(y) =À v(x)+
converge vers v dans :i.e (E). p
Pour cela, prenons une base (el,'
.. ,ep) de E et décomposons
x = L
XWi.
i=l p
Calculons
Un (x) -
v(x) = LXi i=l
[Un(ei)
-
v(eil]
p
,Duismajorons
IIUn(X) - v(x)11 ~ L
Ixi! Ilun(ei)
-
v(ei)11 ~an
Il xllco
i=l p
avec
Il x lico = sup IXil
et
l';i.;p
Ainsi
Il Un -
_a suite
(Un)F\I
V
Il ~an,
an= L
Il Un(ei) -
v(eilll·
i=l
lim
or
converge vers
n--++oo v
an=
0
dans ;J;e (E).
donc
hm
n--++co
Il Un -
V Il
= o.
J-l
v(g).
~
66
Précis d'Analyse
Il
Ex,2.9 Il A Il
L'espace Mp (C) doit être muni d'une norme, par exemple
= sup IAul l~i-"Sp
l~~p
Pour faire la preuve, il suffit de montrer que, pour toute suite (Xn)N de matrices semblables à A qui converge dans Mp (C), la limite B est semblable à A (caractérisation d'un fermé par les suites). Rappelons que X est semblable à A s'il existe P E GLp(C) telle que Alors, pour tout kEN:
X = p-1 AP.
Xk = p-1 A k P et, pour tout polynôme Q E C [X] : Q(X) = p-1 Q(A)P.
L'hypothèse A diagonalisable se traduit par l'existence d'un polynôme Q sCÎndé dans C [X] ayant ses racines simples et tel que Q(A) =
O.
Alors Xn, étant semblable à A, vérifie nuité de X
>--'3>
dans
Q(X)
.Atlp
Q(Xn)
=
0
lim Xn
et
=
n--++oo
B
donne
Q(B)
=
0 (conti-
(C).
En prenant cette fois-ci le polynôme caractéristique de A : XA (x) = det(A - xIp), on a aussi XA
(x) = det(Xn -xIp)
à la limite donne
(deux matrices semblables ont le même polynôme caratéristique) et le passage
XB (x)
= n--++rx) lim det(Xn -
xIp) =XA (x).
Les matrices A et B ont le même polynômes caractéristique, elles sont diagonalîsables donc semblables à la même matrice diagonale et elles sont semblables. Ainsi l'ensemble des matrices semblables à A est fermé dans Jltp (C).
Remarque Cet ensemble n'est pas compact. Prenons A = (~
-1
E Jtt2 (C) et Xn = Pn APn =
~)
1 0 (10 n) 1 (10 -n) (10 0)
(10 0n) '
=
la suite (Xn)N est non bornée, Ex. 2.10 1)
Par développement limité au voisinage de 0, on obtient: f(t)
0(1), [0,1[: g(O)
r
=f(O) +
Pour
exE
dt = 4(0) + o(x) et ex= 1 : g(O) =f(O).
Jo f(t)
0,
=
g(x) = x1-O:f(0) + o(x1-a)
pour
Ainsi 9 est définie en 0 et continue sur [0, 1]. On vérifie que Ta est une application linéaire de E dans E, donc un endomorphisme de E. 2)
On sait que, pour Alors
Ig(x)1 ""
exE
x1 ----ex
[0,
Inx ,0
1[, 1,1 o xdx
converge et est égale à
-----ci:
Lf(t)1 dt ""
ΠIif III x1
et
Il
9
III =
JI
.0
-1-' -1
ex
Ig(x)1 dx "" --
Iif 1-
111 ex
1 ce qui prouve la continuité de Ta et Soitfn près de
E
E telle que
fn(x)
=
n(l-
Il
Ta Il
""
1-
ex
(0
Alors Ilfn
x)n-l
""ex<
1),
III = 1, etfn
"prend toute sa valeur"
O.
Déterminons
gn = TaVn) :
gn(X) = :a Evaluons
an =
[1- (1-
1,1(1 -
,0
x)n]
et
IIgn b =
x)nx-O: dx ; (an},-
1~ ex -
r\l - x)nx-a
Jo
dx
est une suite positive décroissante donc con-
vergente. Avec une intégration par parties, il vient:
Chapitre 2 :
1·1(l-x)
an_1-an=
.0
Sachant que la série >(an-1
1-
ex
an ~
-
n
L ~ converge aussi. a
À
-'2:. ~ -n et la série n +x
1 1=
gn
dx=(l-ex)-an
1-Œ
- an) converge, la série
an =À et À* 0 alors
lim.
n--!-'X.
x
n-1
a Mais si De
67
Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés
donc À= O.
lim an = 0, on déduit n-+x
et
TŒ
L -'2:. n diverge;
l-(1-);f Dans le cas Œ= 1,
gn = Tllfnl
=
x
j!gn 1 = /0··1 1- tn dt et gn 1 =.JorI (1+ t+· . + t n - 1) dt = 1 + lim gn 1 = +X, Tl n'est pas continue. Comme n-+x
--r=t
1 + ...
"2
1
+ ~
Ex. 2. 11 1)
Pour tout 9 E (1[0.1]. x), on sait qu'il existe une unique solution dans E à l'équation différentielle linéaire yll + 2yl + y = g. Lorsque 9 = 0, la solution est la fonction nulle. Retrouvons ces résultats en résolvant l'équation par la méthode de variation des constantes. yll + 2yl + y = 0
L'ensemble des solutions de l'équation homogène
xl
(2([0.1].
m,
A toutf E (2([0,1]. les relations:
et
et
x
ul =
par
é" g(x)
,
z./(x) = -xé" g(x)
r
v(x) = - .Jo tég(t)dt+
f.L
f(x) = .Jot,\x - t)é-Xg(t) dt+(À x+ f.L)e-x f(O)
=
f
(0) = 0
u(O) = v(O) = 0
<===}
l'unique solution f dans E est On retrouve alorsf
<===}
Iif Il = 0 =}
et donc
g=fl+2f+f,ona
SifEE,ennotant
À=f.L=0,
x H .Jo {X(x - t)et-x g(t) dt.
= 0 si 9 = 0
Il est facile de vérifier que Il Àf Il = IÀI Iif Il et pour constater quef H Iif Il est une norme sur E.
et
IR)
f
fi
u(x) = .Jo t' etg(t)dt+ À ,
Comme
2)
est le sous-espace de
He-x.
= xe-Xu(x) + e-x vCx) , f(x) = (1 - x)e-X u(x) - e-x v(x) + 2f + = 9 si et seulement si : 0= xe-Xul(x) + e-Xvl(x) , g(x) = (1 - x)e-Xul(x) - e-Xd(x)
f vérifie
c'est-à-dire donc
H xe-x
on associe un unique couple (u, v) de fonctions de (1([0, 1].
px)
Alors
x
engendré par
f=
Ilfll=llgll:-::
r
f(x) = .Jo t,\x - t)et-Xg(t) dt = .Jo ue-Ug(x - u) du
D'où Ainsi
lf(x)
1
~
Iif
j'xa ~ allf
ue-u Ig(x - 01 du ~ Il 9 Ilx Il
avec
L'égalité est réalisée avec donc
a
2
=f(l)
= 1 - -e
Remarque: les normes
Il
9=
a= 1
O.
Ilf1 +f211 ~ IIf111 + IIf211
!r'1 . a
ue-u
c'est-à-dire
InX . a
(poser u = x - t)
ue-u du
du = 1-
f(x) =
-
2e
r
.Jo
ue-u du = 1 - (1 + x)e-x
est le coefficient optimum. .11et Il .11:-:: ne sont pas équivalentes.
-----------_.---_
~-----------------_._------
_-_._.- ..
.•.
68
Précis d'Analyse
Comme
À
Il
est une application linéaire de E dans IR, À est une forme linéaire.
La majoration de Ill. (ni par un multiple de Iif Il est naturelle: Ill.
(ni ~
1011
On en déduit la continuité de Si
À
et l'inégalité
Il
avec
= 1 donne l'égalité:
est de signe constant (positif par exemple) le choix def = 101
À (f)
Pour réaliser l'égalité
(t)
dt
= k
Il, il faut choisir f tel que
Ill. (f)1 = kllf
k = 1011
k.
Il À Il ~
= {1
f(x)
-1
Mais cette fonction n'est pas continue, nous allons donc bâtir une suite (fn)N
SI si
0
de fonctions continues
qui converge vers cette fonction. Pour mettre en évidence les" parties positives et négatives" de
0)
pour laquelle
et
n
(
(
n
h+~
puis
À
(fn) =
I
101 a
-)2
(n
Il
À
Conclusion:
Il =
sup
Ilfll~l
0)
E N*)
car
+n
h
et
1
+
+
avec
n1101 a
lfnl = _
+-1
lfn(t)1 dt ~ k -
Ill. (f)1 ~À
(fn) ~ k - -
Il À Il = 101 I
n
1
-
+ _
n
-
n1
_ 1
et
1 Donc
n(h+~)
1
donnent
+n
1
1+ +-
h2 --=h-----
Les identités
_ 1
1 +-
+
introduisons la notation:
1
D'où l'idée de choisir fn=~
Calculons
et
pour tout
n
=
1
2+n n
Ilfn Il ~
n E NX•
1
l.
1
Chapitre 2 :
Applications
linéaires
sur les espaces
vectoriels
69
normés
Exercices proposés E, F désignent
des K-espaces
vectoriels
normés.
Ex. 2. 7
Ex. 2. 1
Soitf une application linéaire de E dans F telle quef(x) = o(x) quand x ~ 0E. Montrer que
f est nulle,
1)
une suite de E qui converge
x E E, et Cfn)nE', une suite de :te converge versf dans :te (E, F).
(ln (xo))
Montrer que la suite
vers
CE, F)
=
converge
dans
Montrer
=
Vérifier
(l
Montrer
Il ·111 ou Il
T
,112,
est continue;
1],~) muni
C([O,
que tout élément
est un endomorphisme Calculer
calcu-
1)
Montrer
est continu et calculer
sa
de la norme
f
normé E est continue
Il ' Ilx
de F admet
de E,
et
T :
f
une f--c>
Soit E = IK [X] normé par Il Plix =
sup
lakl
O<;k<;n
g
continu de F,
n
L
P=
pour
akXk,
Montrer que H
EX.2.5
1
1
= O}
d'un IK-espace
vectoriel
de degré
des poly-
n et an = PEEn inf IlPli.
1)
Montrer que an > 0, et que la suite (an)N est décroissante,
2)
Calculer
Soit H un hyperplan normé E
etf
une forme linéaire sur E telle que
H = Kerf. Pour tout
an, al, a2·
x
E E, montrer que
lf(x)
Ex,2.6
sif
par:
tE[-Ll]
Que devient le résultat si
f est continue?
Ex. 2, 10
'.1ontrer que la forme linéaire: Caractériser f--NP Cf)
est continue,
1
d(X,H)=~.
= C([ -1, 1],~) normé = sup lf(t)1
::st continue;
est
Ex. 2.9
E N, on note En l'ensemble
nômes unitaires
= {P E EIP(l)
dense dans E,
par
tE [0.1]
.:::E --+Rf
si
si son noyau est un fermé
k=O
=~ [X] normé Pli = sup P(t)
n
qu'une forme linéaire sur un IK-
espace vectoriel
Il Til·
Soit E
1100
fol K(x, t)j(t) dt.
T
que
et seulement
primitive g dans F et que l'application
f
TCf)
Ex. 2.8
2)
Soit E
f--c>
norme,
TCf) = Jo Cf' (()j(t) dt. E est muni d'une norme
E El fol f(t) dt = °},
{f
Pour
Epar
E,j
--+
où TCf)(x) = 2)
Ex. 2.4
1
T sur
E.
ler sa norme dans chaque cas,
F=
1
que, lorsque
classique
Soit E
= sup lf(t) tE[O.l]
1100
Montrer que l'on définit un endomor-
T :E
C([O, 1], !;;I), Cf'E E et T la forme linéaire
définie sur Epar
Iif
phisme
qui
Ex, 2.3 Soit E
: [0, 1]2 --+~, continue, E = C([O, 1],~)
normé par
Ex. 2.2
(xnh,
Soit
SoitK
=
LI (l
f(t) dt - f(O)
calculer sa norme,
que l'image
les endomorphismes par
ouvert de ~n.
f
f
de ~n tels
de tout ouvert de ~n soit un
Précis d'Analyse
70
Soit E =!R [X] normé par Il Pli = et
B la
boule unité fermée de
On suppose
1
sup
lP(x)1
xE[-l,l]
Soit de
-
B tels
que
B dans B telle
=
= ° pour k
1, Rk(O)
E [l,p
finie),j
une application
que:
Il ~ Ily
xii·
V (x, y) E B2, Ilf(x)
- f(y)
Montrer que
au moins un point fixe.
R = 2(P + Q) soit dans B et vérifie R(O)
unité fermée de E (espace vecto-
riel normé de dimension
E.
qu'il existe P et Q dans
B la boule
Il
f admet
-
Ex. 2. 16 -
1]
Soitf
une application
(E et F espaces vectoriels
que R.
finie) telle que Il
x
lim
normés de dimension
Ilf(x)
Il
= +x.
11--++00
Montrer que l'image par de E est fermée dans F.
Ex. 2. 12
de E dans F
continue
Montrer que Pet Q vérifient les même? relations
f
d'une partie fermée
Soit E = C([O, 1],!R) normé par Ex. 2. 17
Iif Il = sup
[0,1]
etA=
{fE
Lf(t)1
E/f(O)
Montrer que
A
=
° et folf
~
1}.
est une partie fermée de
Montrer que, pour toutf Calculer
E et F étant deux espaces vectoriels normés avec F de dimension finie, soitf une application linéaire de E dans F.
inf Iif
E A, on a
Montrer
E.
Iif 1100 > 1.
1100'
Ex. 2. 13
Montrer que de iC.
E C([O, 1], IR) ; montrer qu'il existe
P 1100
=
inf{llf -
Q
1100 /Q E!Rn
i
~
A est
de C, d'in-
au cercle unité
vectoriel
normé
Ain (C) : 1)
le sous-ensemble diagonalisables
additif de !Rn, fermé et 2) au moins une droite.
si
E.
compacte
homéomorphe
Montrer que dans l'espace [X]}
non discret. Montrer que G contient
si et seulement
est fermé dans
Ex, 2. 19
Ex. 2. 14 Soit G un sous-groupe
est continue
Ex. 2. 18
P E !Rn [X] tel que:
Iif -
f
Kerf,
Soit A une partie convexe térieur non vide.
fEA
Soitf
que
son noyau,
3)
formé des matrices est dense,
le groupe linéaire GLn(iC) est dense, en déduire pour toute matrice
A
E Ain (C) : det(exp
A) = exp(tr(A))
Chapitre III
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel Introduction net p sont des entiers naturels non nuls. Dans ce chapitre on étudie: • •
dans le cadre des programmes M, Pet P', des fonctions de [Rn dans
[RP,
dans le cadre du programme M', des fonctions de E dans F, où E et F sont deux
dim E
espaces vectoriels normés réels de dimensions finies:
= n,
dim F
= p.
Notations: •
Soit
(el,
"J3n=
en) et"J3~= (e~, e~, ... , e~) les bases canoniques de [Rn et [RP,
e2,"',
Pour tout x = (Xl, x2,' .. ,xn)
de [Rn et tout y = (YI, Y2,' , . , yp) de [RPon a donc: n P x=
LXWi i=l
Y= LYJeJ
j=l
Sif est une fonction de [Rn dans [RPd'ensemble de définition DJ, l'imagef(x) vecteur (XI,X2,'" ,xn) de DJ est usuellement notée f(XI,X2,'" ,xn).
On dit aussi que f est une fonction de
n variables
réelles,
En notant (fI .12, ... ,fp) les p fonctions composantes de P
tout X de DJ:
= (i1(X),f2(X),'"
f(x)
,fp(x))
de tout
f
par rapport à 0i\~ ' on a pour
= Ljj(x)eJ
j=l
ou encore f(XI,X2,
= (i1(XI,X2'
",xn)
",Xn),f2(XI,X2,
P
= Ljj(XI,X2,
",xn),
.. ,fP(XI,X2,
.. ,xn))
",Xn)eJ
j=l •
Les espaces E (dimE = n) et 0i\n=
(el,' ..
,en)
Dr s.e représente par
Les bases
2Î3n
F (dimF
: E -+ F d'ensemble de définition
'if X E
DJ'
x = L Xiei, i=l
P
f(x)
= Ljj(x)eJ
j=l
de E et 2Î3~de F étant fixées, on peut convenir de noter: n P
X = LXWi
= (XI,X2,'"
,xn)
x=l etf
= p) étant rapportés aux bases
et 2Î3~=(e~, ... ,e~), une fonctionf n
se représente alors par
et
Y = L
YjeJ = (YI, Y2,"',
yp)
j=l 'if x
= (Xl,'"
Xn) E DJ,
f(x)
= (f1(X),f2(X),
.. ,fp(X))
.-
72
Précis d'Analyse
On dispose ainsi de notations identiques pour les fonctions de de IRn dans IRP. •
E dans
Il
F et les fonctions
Les programmes M, P, P' d'une part et M' d'autre part ont une approche différente des notions de fonctions continûment différentiables : L'introduction de type M, P, P' est traitée dans les paragraphes dans les paragraphes
1
1
et Il, celle de type M'
et III.
1- Applications partielles Dérivées partielles A. Fonctions partielles d.1
Soitf:
(resp.f:
IRn-+IRP
Etant
a
donné sont
Uensemble
==
E -+ F) d'ensemble
(al, a2,"',
fa.i
==
{t
élément
t>-7f(al,·
de
Vj,
les
.. ,ai_l,t,ai+l,
.. ·,an)
t, ai+l,'"
E Vj}'
iE
[Ln]
de fa,i est
de définition Vja.i
an)
:IR-+IRP,
Vj'
de définition
EIR /
(al,'"
,ai-l,
,an)
Remarque 1)
: E -+ F, E étant rapporté à la base (eih";i,,;n. lesfa.i sont
Dans le cas d'une fonctionf
aussi appelées fOnctîÔl1spartielles en 2)
a suivant la base
Si Vj est un voisinage de a, alors Vja.i est un voisinage de ai dans IR.
B. Continuité t.1
Sif
est continue
en
a,
chacune
de ses fonctions
partielles
fa,i est continue
en ai.
1
ll&
Utiliser
fa.i(t) ==f(a+ (t - ai)ei)
o
Remarque importante Le théorème 1 exprime une condition nécessaire, mais non suffisante, pour que continue en a.
- Travaux pratiques
(G,G) def:
f(x, y)
==
2xy 2
x +y
si
~2-+1R définie par:
(x, y)
* (0, 0) etf(O,
0)
==
O.
f
soit
Chapitre 3: ••
73
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
x
Les deux fonctions partielles en (0,0) nulles, donc continues.
f-7 f(x, 0) et y f-7 f(O, y) sont identiquement
1 Pour x 7= 0, on af(x, x) = 2' la restriction de f à la droite [p;u, où pas continue en (0,0) et il en est de même pour f. •
U
=
(l, 1). n'est donc
2 la fonctionf f(x, y) = ~
: [p;2-,'-[p; définie par: ,
x2y
(x, y)
SI
7=
(0,0) etf(O,
x +y Etudier la continuité en (0,0) des restrictionslci
f 1)
est-elle continue en
?
(0, 0)
Les fonctions partielles en (0,0)
x
:
f-7
f(x, 0) et
y f-7
ce qui assure la continuité en (0,0) des restrictions de
f(O,
y) sont nulles, donc continues,
f aux droites [p;el et [p;e2,
el = (1, 0), e2 = (0, 1). Pour tout
tx x 7=0, on a f(x, tx) = -2--2 x +t
d'où la continuité en (0, 0) de la restriction def
à toute droite [p;Ut, avec
Ut
= (1, t).
Tous les cas ont ainsi été envisagés,
1 2)
Pour tout
x
7=
0, on a
f(x,~)
=
à P = {(x, y)
La restriction def
2'
E [p;2
jy = ~},
(parabole), n'est donc pas continue en (0,0)
et il en est de même pour f.
C. Dérivées partielles
f est supposée définie sur DéfiJû,tîôi!ls ------
UGuvertdelRn,
(r~sp, de
:
'.
~
~ d.2 ,Boit a E U et) E [1, n], la) leme pa:rti€~ll~de . // existe, la dérivée en aj de la fonction partielle faj.
f en aest,
af
On la note af
D.J'(a)
.
ou
f(al,""
ax:(a). ':1
aj-l,
Clj + t, Clj+l,"',
-a-(a)= hm ---~-~-~~--------~--~ hO t"O
an) - fCal,""
t
af . f(a + te) - fCa) -a-Ca) = t--+O hm ----- t ~ t"O
d.3
Si DJ(a) existe en tout point a de U, on définit la def sur U par: D.J' : U -,'- F,
a
f-7
D.J'(a)
ou
af
a~
U-,'-F,
aj,"',
an)
lorsqu'elle
74
Précis d'Analyse Il 7f dA
f
IM'ld.5
est dite de
sur U si, pour tout j
f
[1, n],
E
admet une \ /ème
fonction dérivée partiellebffcontintle
1
E -+ F définie sur U ouvert de E, a
Soitf:
E U
et u
E
E, u
*-
0E.
f
admet une dériyée en a suivtmt velcteur" si la fonction t ~ f(a + tu), définie au voisinage de 0, est dérivable en 0, f(a + tu) - f(a) c'est-à-dire s'il existe lim -----t--;-O t uo Duf(a). Lorsqu'elle existe, cette dérivée est notée Laj ième dérivée partielle de f en a E U, suivant la base (eih~i~n est donc, lorsqu'elle existe, la dérivée def en a suivant le vecteur ej. On dit que : IR.-+ F,
fa.u
Propri~té: p.1
f est entièrement
définie par la donnée de ses pfonctions composantesf1, .. ,fp sur '27i\~ base canonique de IR.P (resp. base de F). Pour tout a E U, admet en q. une j ième dérivée partielle, (1 ~ j ~ n), si et seulement si, pour tout i E [1, P ], Ji admet en a une j ième dérivée partielle,
f
Piaf
et alors
P
ou
= 2:= D.Jfi.(a)ei
Dff(a)
i=l
i=l
-'0
f
est de classe c1 sur U si et seulement classe C1 sur U.
aJi
1
= 2:= -(a)ei
T(a)
a Xj
si , pour tout i
E
[1, p], Ji est de
D. Dérivées partielles d'ordres supérieurs f est supposée
définie sur U ouvert de
IR.n (resp.
de
E)
Définition : d.6
On suppose quef admet sur Uunejième
fonction dérivée partielle,
1 ~j
~ n.
Si Dff admet en a une k ième dérivée partielle Dk (Dff) (a), 1 ~ k ~ n, o~ dit que admet en a une (k,j) ième dérivée partiêll{)sêêQIld{) notée :
f
a2f Df.. Ig-'F(a)
= Dk
Dky(a) 2
()
Dff
(a)
ou
a Xj (a).
a Xk
ou
aXka2f aXj (a) =
aXk a
(af)aXj
(a)
On peut alors, comme précédemment, définir, si c'est possible, les fonctions dérivées partielles secondes, puis, en itérant le procédé, les dérivées partielles et fonctions dérivées partielles triples, quadruples, etc. Notation: n.1
1
fXj =
fXkXj Il -_ (q)
af
ax.'j
= Dff
__a~
aXka2faXj -
(!L) = aXj
aqf
-
fXjq '" .. ·Xj2Xjl ... -
a
aXL ...
aX;n a X;.
19 D2.
=--a aXjq (
aqaXjq_l'"
f aXj2 1 aXjl
)
~hapitre 3:
75
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
Définition :
:>d7 " .
Rappelons que J est dite de classe CO sur U si elle est continue sur U. On dit que J est de classe Ck , (k E f'\t), sur U lorsque, quel que soit (h .....
n]'\ J
[1.
Jk) E akJ a X·')k ... a x:JI
admet une
fonction dérivée partielle
11) ième
(he .....
.
contmue sur U.
On dit que J est de classe classe Ck sur U.
COO
sur
U
lorsque, quel que soit
k E fiJ, J
est de
::l-::xiété.; \
p.2
J:
[Rn-+[Rp
(resp. E -+ F) est de classe
-t~//fsuronctions composantes U.
Ck
sur la base 0:\~de
sur
IR.P
U
si et seulement si ses
(resp. de F) sont de classe
p
Ck
- •... éorème·: 1.2
T;lleorèfue de Schwarz Soit J : [R2-+[R, (resp. J : E ~[R, avec dim E = 2) (x. y) J(x, y) admettant, sur U ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes f-'3o
---a2J ax
ay
et
---a2J ay
ax'
Si ces fonctions sont continues en (a, b)
E
U, on a :
a2J ax
~
b) =
ay(a.
Ce résultat est admis.
o
:.1
Soit J : [R2-+[RP, (resp. J : E -+ sur U, ouvert de [R2, (resp. de
---a2J ax
ay
et
---a~ ay
F, E),
avec dim E = 2) (x. y) J(x. y) admettant des fonctions dérivées partielles secondes f-'3o
ax' 2
S· ",' . l ces lonctlOns sont contmues en ~
:.2
(a.
b
)
E
U, on a
aJ) a x a y (a,
j
a a y a x (a,
b =
b)
On applique le théorème précédent à chaque composante de].
o
Soit J : [Rn -+IR.P, (resp. J : E -+ F) (Xl.···, xn) J(X1 •...• xn) admettant sur U, ouvert de [Rn, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes f-'3o
--- a2J aXj
aXk
et
--- a2J aXk
aXj 2
Si ces fonctions sont continues en On applique le corollaire 1
à:
a E
g: (Xko Xj)
U, on a : f-'3o
J(X1"
2
a Xja { Xk (a)
. " Xko' .. ,Xj,'
=
a Xk a ~ Xj (a)
.. ,an)
0
75
Chapitre 3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel \Définition : ~
d.?
Rappelons quef est dite de classe Ca sur U si elle est continue sur U. On dit que est de classe Ck , (k E f'\J*), sur U lorsque, quel que soit
f
(h, ... ,Jk)
[1.
E
okf
..
d''<jk ...
n]\ f
admet une Vk,' ..
,J1) ième
fonction dérivée partielle
continue sur U. d.'<j,
f
On dit que est de classe classe Ck sur U.
ex
sur U lorsque, quel que soit kEN,
f
est de
!Propriété: p.2
,·,t/
f:
Cresp.
[Rn_[Rp
sur U. fonctions
E ~
composantes
F) est de classe
Ck
sur la base 273~de
sur
[RP
U
si et seulement
Cresp. de
F)
si ses p
sont de classe Ck
Théorème: t.2
Théorème
de Schwarz
f(x, y) admettant, Soit f : [R2~[R, (resp. f : E -+[R, avec dim E = 2) (x, y) •.....• sur U ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes 02f oy
oX
et
02f oy ox'
Si ces fonctions sont con~~n~e_~_.l"? (a. b) E U, on ~.: a2f a2f ax
lQf'
ay(a,b)=
ay
a)a,b).
Ce résultat est admis. D
Corollaires: c.1
Soitf : [R2-+[Rp, (resp. f : E -+ F, avec diillE = 2) (x, y) •.....• f(x, y) admettant sur U, ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes a2f a2f ax a y
et
a y a x' 2
Si ces fonctions sont continues
en (a, b)
E
U, on a a:~y(a,
b) = a: {)a,
b)
On applique le théorème précédent à chaque composante de f. c.2
D
Soit f : [Rn ~[RP, (resp. f : E -+ F) (Xl,"" xn) •.....•f(X1, ... ,xn) admettant sur U, ouvert de [Rn, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes
--- 02f
aXj aXk
et
--- 02f
aXk aXj 2
Si ces fonctions sont continues
en a
On applique le corollaire 1 à:
(Xk,Xj) •.....• f(X1,'"
g:
E U,
on a:
o,~
,Xko'"
2
{ ..
(a) =
,Xj,"',
",a ~ .. (a)
an)
D
76
Précis d'Analyse ",
.....
Il
",
Sif:
[Rn--+[Rp
pour tout
Cresp.f : E
(il, i2,···,
--+
[1,
ik) E
F) est de classe
a Xii
_
a Xi2 ...
a Xik
sur
U,
et toute permutation
n]k
akf
Ck
cr
de [1, k], on a:
akf a xÎu(1) a XÎu(2)...
-
a XÎuCk)
f étant de classe Ck sur U, tout calcul de fonction dérivée partielle d'ordre inférieur ou égal à k peut se faire dans un ordre arbitraire, ordre qui n'a donc pas à apparaître dans la notation.
a4f
On écrit par exemple
a y2
a4f
pour
ay
ax2
axay
ax
,0).
de ce calcul ?
• x;t Y
0,
;t 0,
fCx,
0) -X fCO, 0) =
°
=
y
f_C_x,_y_)-~fC_O_,y_) X af
A
De meme
ayCO, 0) =
° ,
d'où
af axCO,
d'où
(~2;2) X +y
°
0) =
afCO ,y )=-y ax
af
ayCX, 0) = X
On en déduit: -
1( y
~CO ax' af
y)-
~CO
0)
ax' af)
=-1
a2f ,
donc ay
a)0,0)=-1
a2f
x1 ( ayCX, af Par ailleurs,]
0) - ayCO, 0) af)
= 1,
donc ax
ayCO,O)
= 1
admet, évidemment, des dérivées partielles secondes en tout point de
[R2\ {CO,a)}, il résulte donc du théorème de Schwarz que l'une de deux fonctions
a2f
a2f
.
et ayax estnoncontinueenCO,O), (en fait, les deux sont non continues par raison d'antisymétrie). ax
ay
77
Chapitre 3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
E. Opérations sur les fonctions de classe C k Propriétés: p.3
Linéarité
des dérivations
partielles
1
Sif
;
(resp. f ; E
[Rn~IR1P
sont de classe
Ck
sur
il en est de même de
U, À
~
f+
J-L
9:
et
F)
ouvert de
[Rn
9 pour tout
(resp.
[Rn---+[Rp
(resp. (À,
9 :E
---+
F)
E), J-L)
E
[R2.
L'ensemble Ck(U, F) des fonctions de [Rn dans [RP (resp. de E dans F) de classe Ck sur U est un sous-espace vectoriel de '!Ji (U, IR1P) (resp. '!Ji (U, F». ~
C'est immédiat en notant que, pour tout (il,
ik) E
i2,"',
[1, n]k,
on a;
'-~a*TxJ+iigrakf =À-.----pA
Produit Sif:
1
Ck
D
de fonctions de classe (resp. f ; E ---+[R) la fonction produit
[Rn---+[R
sur
U,
f9
Ck
et 9; [Rn---+[R (resp. f ; E est de classe Ck sur U.
---+[R)
sont de classe
Démonstration P.§IJ§9u.r.r§ng~. e~..ulili§'éllJtlefait que;
ViE
a(fj)
[Ln],
-a XL9
af
a =f
a9XL
+9-aXL.
D
Remarque On a des résultats analogues pour tous les produits usuels;
p.5 1
•
une fonction vectorielle par une fonction numérique
•
produit scalaire de deux fonctions vectorielles, (cas où F est euclidien)
• •
produit vectoriel, déterminant.
Inverse d'une fonction de classe Sif;
IR1n---+1R1
tel quef(a)
Ck
(resp. f ; E ---+1R1) est de classe Ck sur U et si a est un point de U 0, il existe V ouvert de [Rn (resp. de E) tel que
*-
1
{a} eV cU,
0
E
f(V) et
J est
de classe Ck sur V.
L'existence de V résulte de la CQ.DJii)i.Jitâde·FenQ:'··
(1)
1
. a af On a de plus V LE [1, n], aXif ==!~~~:i._-.....o ce qui permet une démonstration par récurrence. D
..
78
Précis d'Analyse
Il
II - Différentielle d'une applic~tion de classe el Ce paragraphe est spécial aux programmes M, P, P'.
A. Différentielle en un point SoitJ : IRn--+IRPde classe el sur U ouvert de IRn.
d.8
Pour tout
a E U,
on note
dJa
l'application linéaire de
~ dJa(h) = L -(a)ht t=l aXt
IRn
dans
n
L'application
dJa
IRP
définie par
.
pour tout
h = (hl, h2, ", hn)
de IRn
est appelée différentielle
Cas particulier n=l La différentielle de J en
t.3
! 1
1
dJa
a est
l'application linéaire de IR dans \;f h E IR, dJa(h) = hf(a).
IRP
définie par:
est l'unique application linéaire u de IRn dans IRP telle que: J(a + h) = J(a)+ u(h) + o(h) quand h tend vers 0, h E IRn
~ III
Montrons que si
u E;g
(IRn, IRP)et v E;g (IRn, IRP)vérifient quand h E IRn tend vers 0 J(a + h) = J(a) + u(h) + o(h) alors u = v. et J(a + h) = J(a) + v(h) + o(h) Par différence on obtient (u - v)(h) = o(h) En prenant, en particulier, h = tet, t E IR, 1 ~ i ~ n, il vient t(u - v)(ei) = o(t)
On en déduit
(u - v)(ei) =
v)(ei) = 0(1).
O.
Cette égalité étant vraie pour tout i E [l, •
(u -
donc
u-
n], on a finalement
v = O.
Montrons que dJa vérifie, quand h E IRn tend vers 0, J(a + h) = J(a) + dJa(h) + o(h) Il existe l1E IR: tel que U contienne le pavé P={XElRn/\;f)E[l,n],IXj-ajl
[l, n],
J(a + h) - J(a)
soit
'0 = L
htei
1 ~)
t=l
'0 = '0-1 + ryej n
=
Lf(a j=l
o
+
~ n et Va =
et
'0) -
J(a +
1)-1)
""n 1l"Ij -(a+'0_1+tej)dt aJ a aK :J j=l
O.
Chapitre
3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
79
d'où: j(a
+ h) - j(a)
- '\"' hj-,-(a) L d X· dj j .. j=ln
Considérons sur
:;::n
et
= '\"' LOd -,-(a X' j=ln .1·1l; [ dj j
-(a) a X' aj j
dt J
les normes définies par
:;::p
= sup
X!
v y E8F,
l'0~n
L
+ VJ-1 + tejl-
a continU!e "t' d e -,aj sur Pd onneexls 1"
t ence
d
Il yll = sup Iyd l~i~p
e:
d~'0
M· = 'J
éJj.
-,-(a
sup
(1.'0
rc=[O.h:J
,
+
\.)-1
+ [ej)-
avec h-O lim
1'>'Ij
=
O.
On obtient alors: dj
n
+ h) - ICa) -
L
j(a
o<S
j
j=l
d'où finalement
n
hj ax
L
n
IhjllvIj
o<S
hll
i!
j=l
L jd
L'VIj
+ h) - ICa) - dja(h) = o(h).
o
Propriétés: p.6
Notation
différentielle
1
Soit (cL,il1~i~n la base duale de la base canonique VhE?!.n.
h=(h1.h2,"·,hn).
dja =
L
p.l
Linéarité
i=l
de [Rn.
dxi(h)=hi
al
n.
Alors
(ei)l~i~n
-,-(a)cL'i dXi
de la différe;'tiation
1
Soit j ::;::n~:;::p et g: [CRn_MP de classe Alors, pour tout
C\., [1.) E
1R2et tout a dC'Aj+
[1.
el sur
U, ouvert de [Rn.
EU:
g)a
=11.
dja+
[1.
dga
B. Matrice jacobienne Soitj : Rn~};\p de classe On note encore
el sur U, ouvert de [Rn. et
?An= (ejl1'0~n
?A~= (eD1~i~p.
Définitions: d.9
Pour tout a E U, la matrice de dja par rapport est appelée matrice jacobienne de j en a. On la note
JJ(a) = [ a~ aJi (a) J EAiLp,n (IR)
et on a
Jj!a) i :
indice de ligne aj
En effet dla(ej) = T(a)
)(;
L p
=
au couple de bases (œn, œ~)
, j: indice de colonne
aJi -,-(a)ei. i=l d)(;
1
80
Précis d'Analyse Il d.10
On suppose n = p
et
2n~=2nn.
Le déterminant de JjCa), c'est-à-dire aussi le déterminant ou dél;erlmÙlarlt fClllc·tiOlln€:lde en a.
f
Il est noté
DŒJ2,···
D(X1,X2,···
de dfa est appelé
,fn) (a) ,xn)
aux pratiques
el sur U
matrice jacobienne en a d'une application n contenant a, dans les cas suivants:
•
1)
Dans le cas n =
1.1 est continûment dérivable en a..
On constate que la matrice jacobienne de étant le vecteu r
l' (a) :
JjCa) =
f en a est unicolonne, son unique vecteur colonne
E .Mp,l (IR),
: [f{(a)] f~(a)
2)
Dans le cas p =
l'(a) = ~f(p
(a)e;
1=1
l, la matrice jacobienne de f en a est uniligne : Jj(a) =
aX1
[ af
(a)· .. a Xn (a) af]
E .M1,n (IR)
exemple 5 :1R2 -7~
cleclasse :1R3-7~3,
el sur
[- a, a]2, (a> 0).
(x, g, Z) f-è> (j(g, z),f(z,
ést de classe el sur [-a, a]3. pe jacobienne •
de F en (0, 0, 0) et son
Chacune des applications composantes de F est de classe
el sur
[-a, a]3, il en est de même
pour F. Si l'on pose
p = D1f(O, 0) et JF(O, 0, 0) =
q = Dzf(O, 0), on trouve: q ° p [0p pq q]
°
detJFCO, 0, 0) = q3 + p3.
Chapitre
81
3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
C. Gradient d'une fonction numérique Rn est supposé muni de sa structure euclidienne canonique, (la base canonique 0iln est donc orthonormée). Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de [Rinest noté : Rn-R une application de classe
Soitf
(Xl y).
el sur U, ouvert de [Rn.
Définition : d.11
Pour tout a en a et noté
1
~
E::
U, il existe un unique vecteur de
tel que
gradf(a)
Vh
E::
Rn.
appelé le gradient de f
[Rn
= (gradf(a)lh).
dfa(h)
C'est une conséquence du fait que dfa appartient au dual de [Rn qui est canoniquement isomorphe à Rn, (Voir Algèbre 11- Espaces Euclidiens). n
La base canonique de [Rinétant (eih<;i<;n, on a
=
gradf(a)
L
af
-(a)ei
i=l
aXi
f;:xemples - Travaux pratiques
exemple 6
ici considéré comme espace affine euclidien. un point fixé de [Rn, soitf l'application de [Rn dans
f :M
f-7
Il
Alvr
Retrouver le résultat précédent en calculant 1)
Soit (al,""
an) et (Xl,"',
définie par:
112
Montrer quef est de classe el sur [Rn. Calculer gradf(M) en utilisant l'expression deM. •
[R
def(M)
en fonction des coordonnées
d.fw( 11)
à partir
def(M
Xn) les coordonnées respectives de A et M sur la base canon
nique de [Rn. Alors f se définit par
f(M)
= f(Xl,
... , xn) =
L
(Xi - a;)2
i=l
f est donc de classe el sur [Rn. 2)
Pour tout i
E::
af
[l, n],
-d'
Xi
= 2(Xi - ai).
n
Donc
grad f(M)
=
L
2(Xi - ai)ei = 2AM
i=l
3)
f(M
+ 11) - f(M) .
+ u) - f(M) = IIAM +
Or, au voisinage de 0, on a
Li
Il
1[2 Li
= 2(AMllI)
-IIAMI12
112
+ II
u
112
= o( 11), donc:
u)
f(M + lI) - f(M) = 2(AMlu): o( D'après le théorème 3, on déduit de cette formule que dfM est définie par: V
d'où, par définition du gradient:
U E::[Rn,
gradf(M)
dfM(
u)
= 2(AMI Li)
= 2AM
o
82
Précis d'Analyse
Il
D. Différentielle d'une application de classe C 1 d.12
Soitf:
de classe
[Rn--+IRP
el
sur U ouvert
de [Rn.
La différentielle de f sur U est l'application dJ. point a de U, associe dfa, on la note df:
tA 1
ll&
: [Rn --+[RP étant
U --+5:E([Rn, [RP), a ~
el
df est continue
de classe sur U.
ÇiJl,n=(ejh"0~n
ÇiJI,~=(eDI~i~p
f
de 5:E([Rn,
[RP)
est
'v'kE On a alors
dfa
sur U ouvert
tout
dfa
de [Rn, l'application
différentielle
étant les bases canoniques de [Rn et [RP, une base
10".'Sn
[l,n],
P n = ""' ""' i~l j=l
à
où 'tJy est l'élément de 5:E([Rn, [RP) défini par:
lsi"'p
('tJy)
de U dans 5:E([Rn, [RP) qui,
'tJy(el<)=Osib=j
'tJy(ey)=e:
afi
00
_tax-
(a) 'tJfj
'j
afi
En d'autres termes, les a ~ sont les fonctions composantes de df sur la base ('tJfj),'~~;, La continuité de ces np fonctions composantes assure la continuité de dj. D
Conséquence
• t.5
Une fonction
Soitf:
f:
[Rn--+[Rp de classe différentiable sur U.
[Rn--+[Rp
définie
(Ç5k)
ll&
f(a
€ de
+ h) =f(a)+
est de classe
sur U ouvert de
sur U ouvert
S'il existe une application pour tout a de U : alorsf
el
el
U
€(a)(h)
Il suffit de remarquer que la relation
[RP)
5:E ([Rn,
+ o(h)
continue
=t(a)(ei)
+ o(h)
Puis on note que la continuité de Ainsif
est de classe
el
sur
U
et telle que,
quand h tend vers 0
df =€.
f(a
+ h) - f(a)
= eca)(h)
+ tei) - f(a)
f(a
sera aussi appelée fonction
de [Rn.
dans
sur U avec
[Rn
d'où l'existence de
+ o(h)
of -a-Ca) Xi
t assure celle de a ~eca)ei
donne
=€(a)(ei)
c'est-à-dire de :{i'
sur U.
Ensuite le théorème 3 donne que, pour tout a de U,
dfa = € (a)
D
Exemples
•
Si
f
t
est constante sur U, la relation (Ç5k) est vérifiée avec fonction nulle de est donc continûment différentiable sur U avec df = O.
U
dans
5:E([Rn, [RP),f
•
Sif est la restriction à U d'une application linéaire
[RP),
t
f est donc continûment différentiable sur U avec
'v' a E U,
dfa
='tJ.
On notera que, dans chacun des trois exemples précédents, l'application df est constante sur U.
83
Chapitre 3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
çxemples - Travaux pratiques exemple 7 Soit
(r. el
f:
f---7
(x, y) = (rcos e, rsin e)
Vélifier quef est de classe c1 sur jacobien def en (r. e), Mêmes questions
•
(x, y, z) = (rcos
'P
cos e, rCGS
Dans les deux cas, on a affaire à des fonctions de classe classe C1. 1)
et le
pour:
(I; e, 'f) '-+
f:
puis calculer l? matrice jacobienne
C1
puisque leurs composantes sont de
Premier exemple. D(x, y)
2)
D(r, e) = detJf(r, e) = r sm ee rcos J'f (r. e) = [c~s -rsin e e] Deuxième exemple. cos 'P cos e - r cos 'P sin e cos <.; sin e r cos 'P cos e - r sin 'P sin e o "1(,8,")= [ sm 'P r cos 'P 'P cos e - r sin D(x. y. 'P) z) = detJjCr, e. q:) = D(r. e,
E.
Composition
des
? cos
]
'P
de classe C 1
applications
Théorème: t,6
Soit
f:
de classe C1 sur U ouvert de ~n
lh\n_~p
g: ~P-iRq
Alors
9 of
de classe C1 sur Vauvert
: p;n~Rq
Posons b =f(a).
tel quef(U)
eV.
est de classe c1 sur U avec, pour tout a de U: d(g oj)a
~
de ~p
= dgf(a)
0 dfa
Les relations:
f(a+h)
=f(a)
+ dfa(h) + oCh)
g(b+k)=g(b)+d9b(k)+o(k)
hE~n.
a+hE
U
kE~P.
b+kE
V
se traduisent par l'existence de deux fonctions: 81 : ~n_~p
et
82: P;p-~q
définies respectivement sur fl1={hE~n
\j \j
ja+hE
h E fl1
, f(a
k E fl2
'
U}
+ h) = f(a)
et
flF{kE~P
jb+kE
+ dfa(h)+ ê1
(h)11
h
Il
'
g(b + k) = g(b) + dgb(k)+ 82
(k)11
k
Il
'
V} tellesque: lim 81 (h) = 0 (1) h--;.O
lim 82 (k) = 0
k~O
(2)
fl2 est un voisinage de 0 dans iRP etf continue en a, donc il existe fl~ voisinage de 0 dans ~n, fl~ cfl1 tel que \j h E fl~, u(h) = f(a + h) - f(a) E fl2
Avec b+u(h)=f(a+h) la relation (2) donne: \jhEfl~,
g(;(a+h))
et
=g(;(a))
u(h)=
dfa(h)+81
+d9bodfa(h)+83
(h)lIhll,
(h)11hll (3)
84
Précis d'Analyse Il
ou" on a pose
103
Ilest clair que
(h) = dgb
([1
dfa
Il
(h)
+ sz
(81 (h)) = 0
lim d9b h~O
et d'autre part de
() 81
-1-1h-IIIl u(h) Il ~ Il dfa
u(h)
) -II-h-IIIl u(h) I[
lim h~O
Sz (U(h))
(
,
IThlI (h)
pour h*-O et
(0) = O.
103
=0
+ Il SI (h) Il ~ Il dfa Il + Il SI (h) [l,
Il
est la norme de l'application linéaire continue dfa)
on déduit que
h
f-'>
Illï~li
La relation (3) donne donc
À~
est bornée au voisinage de 0, donc
Il
9 af(a
+ h) = 9 af(a)
103
(h) =
O.
+ dgb a dfaCh) + o(h)
Ilsuffitalors de noter que l'application: {
qJ
U a
:
-+
:f', (IRn-+lRq) dgj(a) a dfa
f-'>
est continue sur U, pour conclure par application du théorème 5 que 9 a
f est de classe
CI sur U avec, pour tout a E U, d(g a f)a = dgj(a) a dfa. La continuité de qJ, en tout point a de U, est conséquence de : a dfa' - dgj(a) a dfall ~ Ildgj(al)
Ildgj(al)
-
dgj(a) Il Il dfa' Il
ainsi que de la continuité de df en a, de dg enf(a)
+ Ildgj(aJilll dfa - dfa' Il et def en a
D
Corollaires: c.1
JacobieriIle
d'une fonction composée
On conserve les hypothèses
du théorème
6
Pour tout a de U, les matrices jacobiennes Jgoj(a)
c.2
Composition
des dérivations
vérifient:
= Jg(I(a))
Jj(a)
partielles
Soit f: IRn-+IRP de classe CI sur U ouvert de IRn CI sur V ouvert de IRP tel que fCU) c v. f:
(Xl,XZ,'"
g:
(YI, Yz,"',
,Xn) yp)
f-'>
(Il(Xl'XZ,'"
,Xn),'"
f-'>
9(Yl, Yz,"',
yp)
et
g:
,jP(Xl,XZ,'"
IRP-+IR
,xn))
Alors en tout point x = (Xl ,Xz,' .. ,xn) de U, on a, pour tout i a9 af ~(Xl,XZ,···,Xn)=
~
L
P ay. a 9 (fl(X),jZ(x), IJ )=1
C'est une conséquence de l'égalité matricielle Jgoj(x)
=
----axI(x), [ agaf
~(x), agaf
Jg(I(x))
=
[aa:l (I(x)).
Jj(x)
=
a ~ (x) ] [ai;
.. "
.. ·,jp(x) Jgoj(x) a Xn (x) agaf]
aa~ (I(X)) , aa~ (I(X))]
)
E
ali ax(Xl,Xz,
[1, n] : .. ·,Xn)
[
= Jg (I(x))
de classe
Jj(x)
où:
E JirLl,n (IR)
EJLl,p (IR)
E clipon (IR) D
85
Chapitre 3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel c.3
Composition Soitf
: [Rn~RP
et
[RP~Rq
g:
des différentielles:
méthode pratique
de classe CI sur U ouvert de [Rn
f :x = (Xl,
, xn) f-7 y = (YI, ... , yp)
...
g: Y = (YI,"',
Alors, J;, i
E
[1, p],
.1 [=
d(g 0 f) =
et
Différentielle il Soitf: Alorsfg
et
n
Soitf:
dJ; =
on a : aJ;
L-cbj . 1
)=
aX]
aJ;
cbj
dans dg les dYi par les dJ;.
d'un inverse
g: [Rn~[R
el sur U ouvert de
de classe
[Rn-;-[R
X E
U
d(jg)x = g(x)dfx
de classe el sur U ouvert de
+ f(x)dgx [Rn
Alors il existe V ouvert tel que
{a}
cVcU
CI sur V avec:
x =
f ; (x)1 dfx
(@f' il
f
[Rn.
est de classe CI sur U avec: V
ül
de
a Yi
d'un produit,
[Rn-;-[Rp
[l,p],
ViE
. 1 dx;J . 1 â Yi )= [= On obtient donc d(g 0 f) en remplaçant
cA
Zq)
n
ag -dYi
a9
P
et
yp) f-7 Z = (Zl,"',
étant les fonctions composantes
LP L~. - L-.-
dg =
c V.
el sur V ouvert de [RPavecf(U)
de classe
VX
E V
d (})
On sait déjà, voir propriété 4, que fg est de classe D'autre part, on peut écrire fg = Po F avec: { F:
Sachant que {dFx:
[Rn h
[Rn X
dFx,
~ f-7 XE
-;f-7
U
[Rn X [R (i(x), g(x:»)
et
(1)
et a E U tel quef(a) et
0
el sur
J est
f(V),
de classe
U. [Rn X [R
-;-
[Rn
(y, À)
f-7
À Y
sont définies par:
À) E [Rn X [R
. {dP(y'À)
[Rn X [R dgx(h») ,et (dfx(h),
E
(2)
et
dP(y,À)' (y,
*' O.
1
[Rn X [R
-;-
[Rn
(u, [L)
f-7
À
u+
[L Y
j(x),g(x)
Le théorème 6 donne d(jg)x = dP( ) 0 dFx donc d(jg)x: [Rn-;-[Rn, h f-7 g(x) dfx(h) + dgx(h)f(x) ii1 On sait déjà, voir propriété 5, qu'il existe V ouvert tel que
1
{a}
c V c U, 0 E f(V)
et
J de classe
el sur U. La formule annoncée s'obtient, comme ci-dessus, par application du théorème 6, en
..
ecnvant c.5
1
J=Io
Composition
f
avec
11ll'"
1
11ll'"
I:lf'ü'-;-lf'ü',tf-7t
0
des fonctions de classe Cm, m ~ 1
Sif : [Rn-;-[Rp est de classe Cm sur U ouvert de [Rnet 9 : [RP-;-[Rq de classe Cm sur V ouvert de [RPtel que feU) c V, alors go f est de classe Cm sur U.
1
(@f'
•
Il suffit de montrer que les composantes
(g
0
J)k, 1
<S
k
<S
q, de
go
f
dans la base
(ekh,,;k,,;q de [Rq sont de classe Cm. Or, (g 0 J)k = gk 0 on est donc ramené à démontrer la proposition dans le cas où q=1.
f;
86
Précis d'Analyse Il
•
Procédons par récurrence . Le résultat est acquis pour m = 1. Supposons la propriété vraie pour les fonctions de classe classe Cm+1. Leurs fonctions dérivées partielles sont alors de classe
et supposons
Cm,
f
et g de
donc, d'après l'hypothèse
Cm,
ag
-aYj
de récurrence, les
of sont de classe Cm.
On en déduit que les les
=L
".
a (g~0 f)
Ainsi,go
f
(:
~
-aW ag
. ( ~ J~l
0
of
:~isont de classe cm, propriété
f)
sont de classe Cm.
-a~ ajj
)
3, et donc que
est de classe Cm+1,la propriété annoncée est récurrente.
D
Exemples - Travaux pratîques exemple 8 f:
IR;2--;.1R;,(x, y)
>--c>
g: IR;2--;.1R;2,(r, 8)
de classe C2 sur IR;2
f(x, y)
(x, y) = (r cos 8, r sin 8).
>--c>
dérivées partielles
premières
et secondes de F =
a2f a2f '" --Z + --2 ax
Onaici
F(r,8) =f(rcos
8,rsin
ay
af aF { - aF a8
en fonction
def)
d'où:
8)
ar
(Laplacien
f
af
-
ax cos 8 +ay sin 8
=
--rsm
af. ax
af ay
8 +-rcos
8
Dans ces formules, pour alléger l'écriture, notons: aF
aF
af
af
pour ar(r,8) et ax pour Le théorème de Schwarz s'applique, et on obtient: a2F
--2 ar
a2f = --2 cos2 8 ax
a2f
--2 a8
af
a2j
...
a2f
+2aa sin 8 cos 8 +--9 x y a y-
8
= --a-rcos x
.
ax(rcos8,rsm8),
ar
af
--a y rSln'8
a2j
+--2 ax
2.282c
r SIn
sin2 8 ,)2j
-
-iJ'x
ay r 2'88 SIn cos ,2f +_d_. r2 cos2 8 ay2
a2f
a r a8
=
af. x sm 8
--a
af
a 2f
.
a 2f
9
+-ay cos 8 ---2ax r sm 8 cos 8 +-'--iJ,-r(cosdx y
.2
cJ
+~rsm dy
On en déduit
r --
--a2F + 2a2F a82
')
8 - sin~ 8)
ar2
+
r-aF. = ? .:::. F ar
a2F
Donc, pour tout (r,8) E IR;~x IR;: .:::.F = ~d
1
a2F
r + 2" r ~8d
+
1 aF r ar
.
8 cos 8
des
Chapitre 3 :
87
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
exemple 9
if' > O} déterminer les applications
{ex, y) E
,,,? -
j:
• éJ2j"
Vlx,ylE
donnée ')
(x, y)
-,-IR:,
on définit
f-!>
de classe CI sur
j(x, y)
1 yx2 _y2 par
g E e2(R2,
U
(1 ).
G
oy . 2IX,y)=
(IX " 2IX,yl-
L
j E C2,:=:2,
U
a2j,
+ y, x - y) = j(x, y)
IR)
')
;.rj - --,) a-j en lonctIon d es d'" ----". envees par t'le Iles d•.f)g. .Ç
élx-
,
ay~
les solutions de (1). •
g est e Inle sur ,/ =
ex
classe
sur
:=:2.
O}
j(U+V
')
uv>
1U. L') E .",,-
par:
u-v) -2-' -2-
gl,U, v =
ç avec;,;:: lu.vi f-!> lx,y) =
g = jo
ou encore 1
-')1
"{'
d'f" 1
Donc g est de classe C2 tout
-2-' -2-
et
Cf'
est évidemment de
u- v)le corollaire commej v(d'après (u+
5 précédent).
De jlx. yi = glx + y. x - y), on déduit alors: aj. é/g ag. -ax1x.y) = aulx+y.X-yl+ éJvIX+y,x-y)
aj
,ci .2 g y.x - y) + 2-.--ci.-(x+ dU v
d 2 g,
a2J ...
--2 a x Ix. y)
=
--? IX+ a u-
,ilg
ilg.
--:2 il Y (x, y)
= --') a u- lx + y. x - y) - 2-.--.-(x d U d V
a2g.
(;'C.
yl-
lx. yJ = 4-.--,,-,lu. dUel'
1.-'
. ')
4 ,d-~
\~
a2g + y. x - y) +
--2 il v (x + y, x
- y)
éJ2g
'P réalisant une bijection de
(1)Ç=?V(U,V)E
+ y.x - yJ
"a2g a2j --') ay-
y,x - y)
,
= -.-IX+ dU
donc
y.x - y) -
-.-Ix cil'
-il Y (x,y) a2j , a2j --') ax-
ci .2 g y.x - y) + ~(x+ a V-
cJ
U dV
= {eu. l')
E
.
l');
[:22Iuv>
1
(u.v)=
U = x + y, v = x - Y O} sur U, le calcul ci-dessus donne donc
(2)
~
vuv
Remarque fondamentale Si P est un pavé ouvert de :::22:P = [ x V
(x,y)
E P,
il
h
-,-(x, elX
y)
=0
V (x. y) E
P.
1.-' = 1.-'1 U 1.-'2
avec
la condition:
CliP,
1
équivaut à l'existence de /( E C (J,
iR() telle
que:
h(x, y) = Je(y) (h est indépendante de x)
car, pour tout (Xl, X2) E [2 et tout y E On a ici
J, et si h E
J,
le segment joignant (Xl, y) et (X2, y) est inclus dans P.
VI = C~~)2
et
V2 = (R:,;2,
pavés de 1R2.
Pour (u, v) E VI, (2) donne successivement, d'après la remarque précédente: U (u, v) = 2yu ~ + al(U), al E Cl(iR(~,IR) étant arbitraire
aag
g(u, v) = VUV+Al(U)
+ Bl(V), Al et BI étant arbitraires dans e2(1R:,
Sur V2, (2) donne de même glu, v) = VUU+A2(U)+B2(V),
IR)
A2 et B2 arbitraires dans C2(1R:,
En posant Ul = {(x, y) E iR(2 lx - y > 0, x + y > O}, U2 = {(x, y) lx - y < 0, x + y < déduit que la solution générale de (1) est définie par: V (x, y) E Uk'
j(x, y) =
Ak et Bk étant arbitraires dans C2(1R' ,IR),
V x2
- y2 + Ak(x + y) + Bk(x - y)
JeE {l, 2, 3}.
O},
m.
on en
88
Précis d'Analyse Il
Différentiabilité
[!!!
Ce paragraphe est spécial au programme M'.
en un point
A. Fonction différentiable Il.
Fonction
d.13
différentiable
Deux fonctionsj et 9 de E dans F définies sur V voisinage de a E E sont dites tange:rltes e'fia. sij(a):;: g(a) etj(x) ~ g(x) = o(x - a) ql.lql'lg~t~nd vers a, c'est-à-dire
d.14
1
f :E f est
---+
j(a) = g(a)
si
j(x) - g(x) lim=O x;;,a Il x - a Il
et
F est définie sur V voisinage de a
E
E.
diteqifférentiable en a s'il existe 'Pa, application telle que j et 'Pa soient tangentes en a.
1
!kW
affine de E dans F,
D'après la définition 13, on a alors 'Pa (a) = f(a), donc, si tjJa est la partie linéaire de ilvient: V x E E, 'Pa (a + x) = j(a)+ tjJa (x)
'Pa,
t.7
j :E
---+ F étant définie sur V voisinage de a E E, j est différentiable et seulement si il existe tjJaE:;g (E, F) telle que:
j(a + h) = j(a)+
1
tjJa
(h) + o(h)
en a
SI
quand h tend vers O.
Propriétés: p.8 !kW
p.9 1
!kW
Sij est différentiable E
en a,j est continue en a.
étant de dimension finie, tjJa est continue, d'où
Sij est différentiable non nul de E.
tjJa (h)
=0
en a,j admet en a une dérivée suivant
En effet, f(a + tu) = f(a) + t j(a + tu) - j(a) lim ------ t t_O
lim
h-+O
tjJa
=tjJa (u)
D
tout vecteur u
(u) + o(tu) donne:
c'est-à-dire
DJ(a)
l'application
linéaire
=tjJa (u)
Ml
p.10
Sij est différentiable unique.
en
a,
Elle est dite différentielle de j en a et notée Pour tout vecteur u non nul de E, on a donc !kW
tjJa
D
est définie de manière
dja DJ(a)
= dfa(u).
E étant rapporté à la base (eih",i",n, on a :
ViE [l,
n],
tjJa (ei)
Ainsi, tjJa est l'unique application linéaire de
L
E
= -.dXi -(a) dans F définie par:
n
V
h
E
E,
h=
i=l
L n
hiei
tjJa
af
= D;f(a)
(h) =
aj
hi-.-(a) i=l dXi
D
Chapitre
89
3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
Notation: n.2
dfa= OÙ
désigne la base duale de la base
(cL'(ih~i~n
(qh~i~n
de
E, dxi : h ~ hi.
Propriétés:
Les notions précédentes (fonction différentiable en a, différentielle en a) sont invariantes par changement de norme dans E ou F.
p.11 1
E (resp. F) étant de dimensions finies, toutes les normes sur E (resp. F) sont équivalentes.
~
D
p.12 1
CasoùE= ~ f est différentiable en a si et seulement sif est dérivable en a et alors dfa est définie par V h E~, dfa(h) = h1'(a) ou dfa =1'(a)dx
~
Les deux propositions se traduisent en effet par: :3
A
E
F,f(a + h) = f(a) + hA + o(h)
(A =
l'(a»
D
çxemples - Travaux pratiques exemple 10 :E •
--+ F définie sur un voisinage de a avec f(x) = o(x). quef est différentiable en O.Calculer dJO .
Il suffit de constater que
f et l'application nulle (de E dans F)
Donc f est différentiable en a avec
sont tangentes en O.
dfo = O.
exemple 11
la continuité et la différentiabilité de
f : ~2--+R
(x, y) ~
xy2
{a •
Choisissons une norme sur ~2: On a
:;t
LI
f(O' x, x)
h.
est continue en (0, 0). f(O' x, x)
O'X
On a, pour tout 0' réel:
.
-2--2 SI si (x, (x, y) y) = (0,0) (0,0) x +
(x, y) ~ sup{lxl, Iyl} =
h3 lf(x, y)1 ~ 2 = h. Doncf
h
f définie par:
lim
= ~1 0' +
x-+o
X
0'
-20' +1
=
0'
doncf
admet en (0, 0) une dérivée suivant le vecteur (0', 1): D(a.1Jf(0, 0) =
Supposons
f est différentiable en (0, 0), alors
L'application dfco,o) : ~2--+~ étant linéaire, Doncf
n'est pas différentiable en (0, 0).
O'~
-2-' 0' +1
0'
dfco.o)(O', 1) =
--;-
0'
-2-' 0' +1
+1 est affine;
c'est une contradiction.
90
Précis d'Analyse
Il
n}
•
deE .
11
f:PI-'J>
D'après la formule de Taylor-Lagrange: 2 'if
(x, h) E ~2, 3eE ]0,1[, sin(x + h) - sin x = hcosx
sin(x+ e h)
- ~
d'où
(p, Q) E E2,
'if
f(P)= fol [sin (t P(t) + t Q(t)) - sin (t P(t)) ] dt
f(P+Q)-
Jo/1
f(P+Q)-f(P)=
tQ(t)cos(tP(t))
L'application L: Q
Avec, par exemple,
Jo/1
fol tQ(t)cos(tP(t))
I-'J>
Q
Il
dt-
Il
=
( Jo/1 Q2(t)
t2Q2(t) -2-sin(tP(t)+te
est évidemment linéaire.
dt
dt )
(t)Q(t)) dt
i , ilvient
lt(P + Q) - f(P) - L(Q)I
1
os; zll
Q
112
donc f(P + Q) = f(P) + L(Q) + o(Q) En conclusion, f est différentiable en P avec
dfp = L.
Théorème: t.8
Linéarité
de la différentiation
Sif
F et 9 : E
(À.,
:E
--+
1-")E ~2,
À.
--+
f + 1-"9 est
F sont différentiables
en a avec:
différentiable d(À.f+
1-"
en a E E, pour tout
g)a
=À.
dfa+
1-"
dga
des fonctions de E dans F différentiables en a, est donc de l'espace vectoriel des fonctions définies au voisinage de a.
q[a (E, F), ensemble
un sous-espace IŒ'
En effet donne avec À.
12.
f(a + h) = f(a) + dfa(h) + o(h) avec dfa E;g (E, F) g(a + h) = g(a) + dga(h) + o(h) avec dga E;g (E, F) (À.f+ 1-"g)(a + h) = (À.f+ 1-"g)(a) + (À. dfa+ 1-"dga)(h) + o(h) dfa+ 1-"dga E;g (E, F)
Matrice jacobienne
o
1
Théorème: t.9
à une base
F est rapporté ,]p.
(e()I~;~p,
les composantes
def sur cette base sont
fl,]2,'"
f est
différentiable tiable en a.
On a alors composante IŒ'
•
Sif
en a si et seulement
(dfi)a = (dfa);, c'est-à-dire
de
f
est la i ième composante
est différentiable en a, on a
f(a
si chaque fi,
1 os;
que la différentielle de la différentielle + h) - f(a)
i
os;
p, est différen~
en a de la i ième en a de J.
=Wa (h) + o(h)
Donc, en introduisant les composantes (Wa); de Wa. on obtient:
Chapitre
91
3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
[1. p].
\:j i E
Ainsi,j
ji.(a + h) - ji.(a) = (t\JaMh) + o(h)
est différentiable en a avec
(dfi)a = (wal; = (dfa);. p
•
Inversement, si chaque fi est différentiable en a, posons t\Ja= 2)dfi)ael i=l
+ h) - fia)
On a alorsfla
=Wa (h) + o(h) ; doncf
est différentiable en a.
o
Définitions:
d.15
Matrice jacobienne Sif est clifférentiable en a, la matrice de dfa, par rapport au couple de bases (ejh"0~T1 de E, (eD1~i~p de F respectivement, est appelée matrice jacobienne def en a. E Mp,T1 (IR)
On la note JjCa) et on a JjCa) = [ ~~ Ci: indice de ligne ;j : indice de colonne) af dfa(ej) = -.-(al
En effet
d.16 ,
P
=
cL'j
(al]
afi
"L -'aJ0 (a)~. .
D
,=1
Jacobien On suppose E = F, (eih~i~T1 = (ejh"0~T1 Le déterminant de JJ(a) (c'est-à-dire aussi le déterminant de jacobien ou déterminant fonctionnel def en a.
dfa)
est appelé
On le note
Gradient
13.
d'une
fonction
numérique
1
Définition :
On suppose ici que E est un espace vectoriel euclidien et que F =IR. E ~IR étant différentiable en a, il existe un unique vecteur de E appelé le gradient def en a et noté gradf(al tel que:
d.17
f:
\:j h E E, I@f
dfa(h)
= (gradf(a)
1
h)
C'est une conséquence du fait que dfa appartient au dual de E qui est canoniquement isomorphe à E (voir Algèbre 2, Espaces Euclidiens). Si
est une base orthonormée de E, on a
(ei)l~i~T1
o
.t:Xemples - Travaux pratiques exemple 13
MOntrer que
f:
~ E
~R
\:j X E E \ {O},
x....."
gradf(x)
\1
x
Il
=
est différentiable sur E \ {O} x TIXTf'
92 •
Précis d'Analyse Il
Pour XE E \ {O} et h donc f(x+
E
h) = IIxll
(
E, on a
Ilx + h 112 = Ilx
1+2--2
+ --2 Ilxll Ilh112)2
Ilxll (xlh)
on obtient
f(x
+ h) = f(x) +
(1+ u)2
+ 2(xl h) + Ilh 112
u
.1
Sachant que, au voisinage 0,
112
1
=
1 + "2 + oCu)
U E IR
il~~~
dfx : h ~
+ o(h),
f est donc différentiable sur
(xlh)
"
W
E \ {O}avec
x = TIXlf
d ou grad fCx)
B. D!1férentiabilité sur un ouvert f : E -+ F est
d.18
dite différentiable en tout point de U.
1
d.19
Sif
: E -+ Fest
différentiable
sur U ouvert de E si elle est différentiable sur U ouvert de E, l'application:
df : U -+::E(E, F),
est dite application
1
d.20
différentielle
de
a ~ dfa
f.
Sif : E -+ Fest différentiable sur U ouvert de E, elle est dite continûment différentiable sur U si df est continue sur U.
1
Exemples •
f contante sur U est continûment différentiable sur U : df = O.
•
Dans le cas où E =IR.
f est différentiable sur U si et seulement si elle est dérivable sur U. f est continûment différentiable sur U si et seulement si elle est continûment dérivable c'est-à-dire de classe C1 sur U. Ilsuffit,par exemple, de noter que dans
::E
(R F), on a :
Ildfa - dfbll = Ihl~l sup Il h(l(a) -l(b»)
Il = IllCa) - j'(b) Il
•
Sif est la restriction à U d'une application linéaire c.p, (c.pE::E CE,F»), elle est continûment différentiable sur U : V a E U, dfa =c.p, df est ici une application constante.
•
Sif est la restriction à U d'une application affine e,j est continûment différentiable sur U avec: V a E U, dfa =c.p, partie linéaire de e.
Il,
Caractérisation des fonctions continûment dîfférentiables E est rapporté à la base
(ejh'0~n,
F est rapporté à la base
1
(ef)hi9'
Theorèmes: t.10 1
v:%'
f : E -+ F est
continûment différentiable sur U ouvert de E si et seulement si il en est de même pour chacune de ses fonctions composantesf1,f2, ... ,fp. C'est une conséquence du théorème 9
o
Chapitre t.11
1
3:
93
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
Pour que
J :E
voisinage
de
a,
--..;.If{soit différentiable n fonctions
a, il
en
suffit
dérivées partielles
Il existe 1]> 0 tel que V contienne le pavé P = {x
J
que
aaJ, Xj toutes
'ri jE
l
admette
continues
sur
v,
a.
en
[1, n], IXj - cyl <1]}
)
Pour h E E, tel que 'ri jE
[1, n],
!-YI <1],
1
L
soit V) =
J(a + h)
On a alors:
J(a)
-
=
hiei, 1 ~j
~ n et Va = 0,
i=l
n
LJ(a
+ V))
J(a + V)-1)
-
)=1
aJ
n
donc:
J(a + h)
)=1
':J
t
f--J>
(0)1
~
l!-YI
Mj
h Il =
Il
sup l"'0s;n
1.(a + h) - J(a) 1
[O'/ljJ
n -
•
SiJ
continues
est différentiable sur
si et seulement si
Jj:
donc si et seulement si L'implication
•
1
hjJ donne:
[0,
-(a
-(a) a
+ V)-1 + te)) -
Xj aJ
aXj aJ
(a) ~ 1
Il
h Il ~ n Mj
'ri jE [1,
n],
lim Mj = 0
h~O
aJ
= o(h).
o
':J
sur U, c'est-à-dire
dJ:
U,
Ci,j)
queJ
a
U --..;.::E (E,f),
a
U --..;.Jttlp,n (If{),
'ri
1
:
de E, il faut (suivant la
: E --..;.F soit continûment différentiable sur U ouvert que J admette sur U, n fonctions dérivées partielles
base (e)l"'0S;n)
1
!-y
sur
Xj \ aaJ
a donne
J(a) - ~'"" !-y-Ca) ax)=1
Pour queJ et il suffit
1
- ~!-y n
La continuité des dérivées partielles en
J(a + h)
Mj = sup
avec
donc avec, par exemple,
1.12
(0)
':J
tE
d'où
J(a + V)-1 + te)) - tax:(a)
L'inégalité des accroissements finis appliquée à
(h))-
(l-y)-
aJ
avec:
l
n =~ '"" )=1
J(a) - '"" ~ !-y-Ca) ax-
-
E [1,
p]
f--J>
Jj(a)
x [ 1, n],
(f continûment dérivable sur U =?
Réciproquement, si J est de classe
el
sur U,
J
J
f--J>
soit de classe
dJa
de classe
sur U
est continue sur
est continue sur aaj; Xj
el
U
U,
est continue sur U.
el sur U)
en résulte.
est différentiable sur U d'après les
théorèmes 10 et 11, elle est alors continûment différentiable sur U d'après la condition nécessaire et suffisante ci-dessus.
o
Conséquences il SiJ : E --..;.F est de classe
el
Plus généralement, siJ:E
--..;.
ii 1
~
sur U ouvert de E, elle est continue (classe Ca) sur U.
F est de classe Ck+1
sur U, elle est de classe Ck sur U.
i 1 est une conséquence du théorème 12 et de la propriété 7 ii 1s'obtient en appliquant il à toutes les dérivées partielles d'ordre k def.
o
94
Précis d'Analyse Il
ni
En posant x = (Xl, ",Xm) E E, h = (hl, ", hm), hi = L
hy ey
j=l on obtient, pour tout
X E
m
dfx(h)
d'où
dfx(h)
E et h
E:
al
ni
= LL i=l j=l m
= Lf
E
m
(Xl' "'Xi-l,
ni
= LLf(X1,··,xi-1,ey,xi+v"xn) i=l j=l
ax.(x)hy Y
hy
h;,Xi+1' .. ,Xn)
i=l 2)
Applications aux produits usuels
•
Produit de n réels:
p: IR;n~R
(Xl,""
dpx : (hl, ... , hn) •
Produit d'un réel et d'un vecteur:
p:
f--3>
Produit scalaire de deux vecteurs de
(f.!.,
E dans
•
Produit mixte de
:
X1x2'"
Xn
L xl ... xi-1 hi xi+1 ... Xn i=l
h)
f--3>f.!.
(À,
x+
x) À
X
f--3>À
h
un espace vectoriel euclidien
p : E2 ~IR;, dp(x,y)
f--3>
IR;xE ~ E,
dP(À.x) :
•
Xn) n
(x, y)
(h, le)
f--3>
f--3>
X . Y
h . Y + x . le
de E espace euclidien orienté de dimension
n vecteurs
~R
p: En
(X1,X2,'"
,xn)
f--3>
[X1,X2""
n
,xn]
n dPCXl,X2 •.
Xn)
:
(hl,'
.. , hn)
f--3>
L[X1, i=l
... ,xi-1·
hi. xi+1 ....
,xn]
Chapitre
95
3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
2. Compositions
des fonctions
différentiables
Théorème: t.13
E. F G sont trois espaces vectoriels
normés de dimensions finies. Sif : E ~ Fest différentiable en a E E et 9 : F --+ G différentiable en b = f(a), alors go est différentiable en a et de plus:
f
d(g of)a = dgla) 0 dfa Voirparagraphe Il : démonstration du théorème 4.
o
Corollaires: c.1
étant rapporté à une base (edl>S:i>s:n, F à une base (eJh"0>S:p et G à (e~)l>S:k>s:q, sous les hypothèses du théorème 13, on a pour les matrices jacobiennes :
E
= Jg (Pa»)
Jgof(a)
1
c.2
. Jf(a)
Sif est différentiable (resp. de classe el) sur U ouvert de E et G différentiable (resp. de classe el) sur V ouvert de F tel que feU) c V, alors go est différentiable (resp. de classe el) sur U.
f
1
c.3 • •
Produit et inverse de fonctions différentiables . Considérons (1) application différentiable en a (2) application différentiable sur U ouvert de E
•
(3)
application
et
i/Soitf:E--+iR
f
el
de classe
les propriétés:
sur U ouvert de E
g:E~F.
Si et 9 possèdent la propriété (k), k E {1.2.3}, il en est de même de l'applicationfg avec d(jg)a = g(a)dfa + f(a)dga ii / Soit f : E --+iRtelle que f(a) il existe un ouvert U, a possède la propriété (k). •
pour k = 1,
•
pour k
~
E
d
(J)
{2. 3}, V x
*-
0, si f possède la propriété
1
U, tel que a
E
11'
feU).
Alors
J
(k), k E {1. 2, 3},
est définie sur U et
f
a
= ---i-dfa (a)
E
U.d
(J)
f
x = -~dfx(x)
Voirparagraphe Il.démonstration du corollaire 4 du théorème 6.
cA
Composition
des dérivations
o
partielles
E --+ F de classe el sur U ouvert de E et 9 : F ouvert de F avecf(U) c V. Soitf:
--+1R
de classe
el
sur V
E et F étant rapportés •
f:
(Xl, .... Xn) ,.....,. f(x)
avec
• 9 : (YI Ona: ~
Yj = J](x) ....
,yp)
= J](XI
aux bases (e;)l>S:i>s:n et (eJh0>S:p, on note: = f(Xl ....• Xn) = (YI. Y2 •.... Yp) ....• Xn) , 1 "'"j "'"P
,.....,. z
agofx, -a-·-(Xl,X2.···,Xn)=
~ ~~a~
. J~l
agYu' (fl(X),J2(X).···,fp(x)
Voirparagraphe Il,démonstration corollaire 2 du théorème 6.
) ~a~(Xl.X2.···.Xn) aJ] Xi
o
96
Précis d'Analyse Il c.5 E -+ F,
X = (XI,X2,'"
g: F -+ G,
Y = (YI,Y2,'"
f:
f est supposée
,Xn)
f--?
,Yp)
différentiable
f--?
y = (YI, Y2"',
et
sur U et 9 différentiable dfi. =
,
P
a
n
afi.
[=
a Yi J= .
ax;J
n
afi.
. J=
ax;J
(V
sur V,f(U)
c V.
i E [l,p])
d(g 0 f) =
On obtient d(g 0 f) en remplaçant fonctions composantes de 1).
dans dg les dYi par les dfi. (les fi. étant les
fonctions de classe cm , m ~ 1
C.G
Sif; E -+ F est de classe V ouvert de F tel quef(U)
1
~
1
,Zq)
L. l Ll -cbj 9 LL1 -cbj .1
a9 dg = -dYi [= aYi
p
Alors
Yp)
= (Zl,Z2,'"
Z
sur U ouvert de E et 9 ; F -+ G de classe Cm sur c V, alors 9 of est de classe Cm sur U.
Cm
Voirparagraphe Il, corollaire 5 du théorème 6.
o
IV - Fonctions implicites Conformément au programme, les théorèmes 14 et 15 sont admis. t.14 Soitf
de classe C1 sur U ouvert de
; ~n-+~
f(a)
=
°
et a E U tel que;
~n
af
avec
-a-Ca) xn
1=
0, a = (al,' .. , an)
Alors il existe :
• • •
Q pavé ouvert de ~n-l ln intervalle
contenant
(al,"',
ouvert de ~ contenant
\p application
an-l)
an
de classe C1 de Q dans ln
tels que, en notant
P le pavé ouvert Q x ln de ~n ; ai V XE
V x
= (Xl, ... ,xn)
E P.
-a-(x)1=O Xn
P.
(1)
Xn) = 0 <==} Xn ='P (Xl,""
i(X1,"',
Xn-1)
(2)
Conséquences 1)
La condition (2) donne
an ='P (al .....
an-l)
De plus, elle traduit que l'intersection avec P de l'hypersurface S = {x
E ~n
/ f(X1,'
.. ,Xn) = O}
est un graphe fonctionnel; celui de \p.
de 'Il
2)
La fonction 9 : (Xl,"', Xn-1) f--? f ((Xl, ... ,xn-l, (Xl, ... , Xn-1)) est identiquement nulle sur Q. Or, on sait que et 'Il sont de classe C1, donc, en notant: c.p
f
'Il (Xl,'"
,Xn-l)
= xn, on obtient V (Xl,'"
ai -a ~. (XI,,,,,Xn_1,Xn)
a\p + -a ~.(X1"",Xn_I)·
,Xn-l)
E
ai -a-~
Q, ViE
[l, n - 1],
(X1"",Xn_I,Xn)
=0
Chapitre 3:
97
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
af a
--a-:(Xl,···,xn-l,xn)
3)
t.15
= --a-;-' -------
,Xn-l)
a~i(Xl""
--(Xl,'" aXn
est supposée de classe Ck, k ~ 1,
Sif
[Rn X [RP~[RP
Soitf:
(Xl,'"
de classe
,Xn,Xn+l,'"
sur
el
a E U
tel
U
ouvert de
=
quef(a)
D(xn+l' D(,fI,
,Xn+p),f2(Xl""
,Xn+p),'"
'VXET,
,Xn+p) ,fp) (a)
,xn+p))
= det [
a af;. xn+j (a)]
IO;;io;;p
;<00
l"0~p
[Rn+p,
(1)
D(D<Jl···fp) Xn+l ... Xn+p )(x);
= (Xl, ... , Xn+p) E
,fP(Xl,'"
0 avec:
Alors, il existe: Q pavé ouvert de [Rn contenant (al, ... , an) P pavé ouvert de [RP contenant (an+l,' .. ,an+p) 'P application de classe el de Q dans P tels que, en notant T le pavé ouvert Q X P de
'V X
[Rn X [RP.
,Xn+p)
~ (il (Xl, ...
et soit
• •
est de classe Ck sur Q.
Fonction implicite définie par un sYî,~m~ f:
•
'P
,Xn_l,Xn)
T,
Ç=? (Xn+l,,,,Xn+p)='P(Xl,
f(Xl""Xn,Xn+l,··,Xn+p)=O
.. ,Xn)
(2)
Conséquences 1)
'Pl,"',
'Pp
'VxET
désignant les composantes de 'P, (2) s'écrit: Ç=?
: .. {fl(Xl' fp(Xl,
2)
",Xn, ",xn,
= = 00
",Xn+p) ··,Xn+p)
La condition (2) donne
:
(an+l,""
{xn+l xn+p ='Pl ='Pp (Xl, (Xl, ",Xn) ",xn) an+p) ='P
(al,"',
an)
De plus, elle traduit que l'intersection avec T de S = {x E [Rn+p / f(x) 3)
= O} est un graphe fonctionnel: celui de
Calcul des dérivées partielles de La fonction : g: (Xl,'"
,xn)
,xn,'Pl (Xl,'"
~f(Xl,'"
,xn),'"
est identiquement nulle sur Q, or on sait que 'V (Xl,'"
L --(Xl, p
i
E Q, 'V E [1,
,xn)
a'Pj
. a~ )=1
af ··,Xn)--(Xl, a~+J'
n]
f et
,'Pp 'P
~ --(Xl,
{
=~
··,Xn)--(Xl' aXn+:J'
aA aXi(Xl""Xn,Xn+l,",Xn+p) aA
l~k~pa'Pj
(Xl,'"
,xn))
sont de classe
(en notant 'Pj (Xl,'"
,Xn)
el,
donc
= xn+j' 1 ~j ~
p):
af ",xn,xn+l,
··,Xn+p)
+ --(Xl,
En introduisant les composantes de f, on obtient: . aXi )=1
'P.
'P
",xTl,xn+l,
··,Xn+p)
a~
",xn,xn+lo
",Xn+p)
=0
98
Précis d'Analyse Il Pour tout (Xl, ... ,Xn)
E
g, ils'agit là d'un système de Cramer aux inconnues
d'P'
d~
xn), 1 ~j ~ p,
(Xl,""
(le déterminant de ce système est 4)
est de classe
Sif
Ck,
De Xn+l,'" DCfI, ... ,xn+p ,fp) ) (x).
alors
sur g.
Ck
- Travaux pratiques exemple 15
1
= 0, définie implicitement
telle quef(O)
Arctan(xy) + 1 =
par
eX+Y .
'DDéterminer développement à l'ord" 3 de J voisinage O. Montm qu'ille existe J, ~-R limité x ~ y = Jexl dean da"e c= audevoiainage de 0,
1
•
g:
(x, y)
iR(2---+iR(,
f--O>
Arctan(xy) + 1 -
dg
T(x, y) y
L'existence de Ilexiste
CI.>
f
_ -
est classe C% sur
e'C+Y
éJg_
x+y
X
g(O,
iR(2.
0) =
°
-1
2 - e donc -.-(0,0) l+x+y2 dy de classe C% résulte du théorème 14 et de sa conséquence 3).
0, 'if X
CI., CI. [,f(x)
E]-
E]-
CI.,CI. [
et
Arctan(xf(x»
+ 1 = ex+f(x)
ou encore en [1 + Arctan( xf(x))] = x + f(x) Etant de classe C% au voisinage de 0,] admet un développement limitéà tout ordre au voisinage de O.
Soit f(x) = ax + bx2 + cx3 + o(x3) On a successivement: xf(x)
=~
Arctan(xf(x))
le développement limitéd'ordre 3.
+ bx3 + o(x3) = ax2 + bx3 + o(x3)
en [1 + Arctan( xf(x))] x + f(x) x
f--O>
x + f(x)
on en déduit
- en [1 + Arctan( xf(x))]
b- a = 0
soit
c-b=O {a+l=O et, ainsi,
f(x)
=~
+ bx3 + o(x3)
= (a + l)x + b~ + cx3 + o(x3)
étant identiquement nulle au voisinage de 0,
b = -1 c=-1 {a=-1
= -x - ~ - x3 + o(x3)
au voisinage de 0
exemple 16
_
Montrer que, au voisinage de (1, 1, 1), l'ensemble
f: {(x, y, z) E iR(3 admet une représentation
/ ,..(2
+ lf + ~ = 3, x3 + 2x:z - y = 2}
de la forme
Calculer les dérivées premières
f:
z =lj; (x) {y XEI =
et secondes de
Chapitre
•
f:R3-RZ,
Soit
C>?+~+~-3,x3+2xz-y-2)
(x,y.zlf--»
f est de classe D(y,z) D(fl.Jz)
- -1 _Ii 2y
fil.
sur Ra
C=-C
2x 2z
1.11 = 0,
-_ 4 .\.y+~z ')
x
EO
I, avec
y =ç
D(y.z) (1 " 1 1) -- 6 DŒ.Jz)
donc
L'existence de 9 = (ç. ili) de classe ex sur Pour tout
99
3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
I
résulte du théorème 15 et de sa conséquence 4).
et z =ili (x), on a
(Xl
(1)
3
{xz+~+~ x +2xz-
y = 23
d'où, en dérivant deux fois: o ~
(2)
,
{X 3.\C'
+ +2zyyl+ 2xz + ZZI-
Au point (1. 1.
li, on a
1
y
b'
o
Il) = 1
'1 •
ç
ili' ili (1.1.= {II = bd
{ ",1
on 0 tient avec:
0
ç (1) =w
. Il' (.11= (1) = ac
et en posant
=
et
. _ou (2) {aa +- b2b= =-10 d"
a =.
1 b
= -L-
n
d'où c= --3' d2d= =-2 -6 14 d= --3' 4 Le théorème 15 des fonctions implicites a permis d'affirmer
puis avec (3): { c + Remarque:
r
est le support d'un arc de classe
qu'autour de (1, 1. 1),
eX,
14.
4.
3'
De 'PI (1) = 1. 'PI! (1) = wl (1) = -2, wl! (1) = -"3' on peut deduire [a tangente, la courbure et le centre de courbure de cet arc au point (1. 1. 1).
v - Difféomorphismes Définition :
d.21
Soit
U
un ouvert de
E, V
un ouvert de F et
k
un entier naturel non nul.
On dit quef est un Ck-difféomorphisme de U sur V sif est une bijection de U sur V telle quef soit de classe ek sur U etf-l de classe ek sur V.
1
Propriétés: p.13 1
Si f est un ek-difféomorphisme de U ouvert de E sur V ouvert de F, alors, pour tout a E U, avec b =frai, dfa est un isomorphisme de E; tel que: (dfa)-l
~
f etf-1
= dfb1
sont continûment différentiables puisque k ~ 1. Alors:
f-10f fof-1 La conclusion en résulte.
= Idu
donne
=
donne
Idv
a E U. dfb-1 0 dfa = IdE 'ifbEOV,dfaodfb1=IdF
'if
o
100
Précis d'Analyse
p.14
S'il existef,
Ck-difféomorphisme
de U ouvert dimE=dimF
1
RiF
de F, alors:
En effet, d'après la propriété 12, E et F sont isomorphes. Si
f
est Ck-difféomorphisme
à
rapporté
l5
de E sur V ouvert
de U ouvert
la base (ei)l~i~n
et F
à
Il
o
de E sur V ouvert
de F, E étant
CeDl"0~n, on a, pour tout a E U,
JjCa) E GLnCIR), (JjCa») -1 = Jj-1Cb)
avec b =fCa):
A. Propriétés des difféomorphismes E et F sont deux espaces vectoriels normés de même dimension n.
1
M'
1
t.,16
Soit U un ouvert de E, V un ouvert de F etf un homéomorphisme Sif est différentiable en a E U et si dfa est inversible
, t'
DifI,J2,'" ,Jn) C) D(xl,X2, .. "Xn)a*-,
d'
ces-a-lre alors f-l RiF
est différentiable
Pour tout k
E
en
F tel que b + k
E
0
b = fCa).
V, il existe h unique, h
b+k=fCa+h):
E
b + k = fCa + h)
k = fCa + h) - fCa) = dfaCh) + Il h Il e Ch)
f-lCb
+ k) -
r
lCb)
V, tel que:
h=f-lCb+k)-f-lCb)
En utilisant la différentiabilité de f en a,
d'où, puisque dfa est inversible Ainsi:
de U sur V.
h = df,;lCk)
donne: lim e Ch) = 0
h--+O
(\\ hll e Ch»)
- df,;l
= df'; lCk) - Il h Ildf'; lCe Ch»
= df,;lCk) + Il k Il [- il ~ i: dfa-lCe Ch»] Quand k tend vers 0, h tend vers 0 Cparcontinuité def-l), donc e Ch) tend vers 0 et df'; lCe Ch» également. Ainsi pour conclure à
f-lCb
+ k) - f-lCb)
le rapport Ii ~ Il est borné au voisinage de
= df'; lCk) + oCk)
il suffit de montrer que
O.
On a Il ~ Il = dfa ( Il ~ Il) + e Ch) et Il ~ Il décrit S sphère unité de E. S étant un compact de E (c'est un fermé-borné et E est de dimension finie), par continuité de x ~ IldfaCx)ll, on a XES inf IldfaCx)11 = IldfaCXO)11avec XO E S XO non nul et dfa inversible donnent alors dfaCXO) *-
0,
donc
IldfaCXO)11 >
O.
1 Pour Il
h Il assez
d'où
Ildfa (II ~II)
petit, on a
Ile Ch)11"" zlldfaCXO)11
+ e Ch)11;;.
On en déduit par continuité de
f-l
à
IldfaCxo)11 que, pour tout Il k Il assez petit:
_II h_11
-<
Il kll ~
-
La conclusion en résulte.
_2_
IldfaCXO)11
[
Chapitre 3 : 1.17
Soit
U
un ouvert de E,
V
un ouvert de F etf un homéomorphisme de
est de classe ek sur U, (k ~ 1) et si, quel que soit alorsf-l est de classe ek sur V.
Sif 1
101
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
D'après [e théorème
16,1-1 est différentiable (df-l)
b
U
sur
V.
est inversible,
a E U, dfa
sur V avec, pour tout b EV:
= (dfa)-l
a =f-l(b)
En considérant les matrices jacobiennes, on a :
. = LJj(a) , ,]-lIt=
Jj-l(b)
detJjCa)
et du fait quef
Tenant compte de la continuité de b f-7 a =f-l(b) en déduit que [es fonctions dérivées partielles de que
f-l
est de classe
comJj(a)
f-l
est de classe Ck, on
sont de classe Ck-l
sur V, donc
ek
D
Théorème d'inversion locale
1.18 1
Soit U un ouvert de E, inversible.
F de classe el sur
f :E -
Alors, il existe Ul ouvert de E avec {a} c Ul à Ul coïncide avec un Cl-difféomorphisme de
f ~
C'est un corollaire du théorème
15 des fonctions
U
et
a E U
tel que
soit
dfa
c U, tel que la restriction Ul
de
sur fCU1)'
implicites appliqué au système:
{ ~~:~~ fn (Xl·'.,'.. ... ,, xn) Xn) - !dl !dn == 00 D
1.19
Soit U un ouvert de U dans F.
E
etf une application injective de classe
Ck,(k ~
Alors, V = feU) est un ouvert et f définit un Ck-difféomorphisme de V si et seulement si , quel que soit a E U, dfa est inversible.
U
1), de dans
Ce théorème est admis, D
B. Application aux changements de variables Problème Soitf
: LRn~lR
de classe ek, (k ~ 1), sur U ouvert de f : (Xl, .... xn) f-7 !d= f(Xl,
Supposons disposer de cp:
(Ul,'··,
c.p: [Rn ~lRn
un) f-7 (Xl,···
[Rn :
... , xn)
induisant un Ck-difféomorphisme de V sur U :
,Xn) = ('-Pl
(Ul,···,
Un),···
,cpn
(Ul,···,
Un»)
(ce fait pourra, par exemple, être mis en évidence au moyen du théorème 19). La fonction g = fo partielles def
•
On af -1 cp
cp
est alors de classe Ck sur V et on désire calculer les dérivées
en fonction de celle de g,
= go c.p-l et la difficulté tient au fait que l'on ne sait, en général, pas expliciter
,
On pourra, pour calculer les dérivées partielles de
cp
-l, inverser la matrice J'P(u)
:
Précis d'Analyse Il
102
en posant
1 ona
\(I=cP-
JtjJ(X)= [a\(li aXj(X) ]
=
(J<.F(u) . ) -1
x = (Xl, ... , Xn) =cP (u), u = (U1, ... , Un)
On utilisera ensuite les formules: af -a-ex) Xi •
L
ag a\(lj -Cul-ex) au!J aXi
n
=
j=l
u =\(1(x)
Une autre méthode consiste à écrire les formules:
1"'"i
-,ag -Cu) = Ln -(xl-Cu) af acpj dUi . axj· au; )=1 et observer qu'il s'agit là, pour tout u
j "'"n;
aaf (x), 1 "'" Xj
E
"'"
n
V, d'un sytème de Cramer aux inconnues
le déterminant n'est autre que le jacobien de
cP
en u.
Exemples - Travaux pratiques exemple 17 Etude du changement de variable défini par X = r cos e, y = cp: (r, e) Ho (x, y) = (r cos e, r sin e) est une bijection de classe
_ sin e. CCO sur
r
U = iR2\ {(x, O)lx "'" O}. V =]0, +oc[x]- TI, + TI [ sur Sonjacobien est detJ<.F(r,e) = r (cf. exemple 7), donc, par application 19 , cP est un cO:: -difféomorphisme de V sur U.
f:
Etant donnée iR2-7iR de classe fonction de celles de 9 = 0 cp . •
•
f
CI
sur U, calculer les dérivées partielles
de
Première méthode
J'P(r,8) =
. d'où Jili(X. sm 8 rcos 8 e - r sin e] ar ar a8 = cos 8. -,- = sin 8 . -,- = ax dy (Ix
=
sin 8 --[ cosr e sin 8 a8 --,r dy
y)
[COS
Ainsi
du théorème
-
cos 8 --sinr 8 ] cos8 = -r
as as
ax = 7fT ax + ax = 7fT cos 8 -as-raf ag ar ag a8 ag. ag cos8 {afay = aray a9 a r + a9 ay a8 = ax agag sm 8 +as-r- sin 8 Remarque: On a allégé la notation en écrivant:
et
a r pour -a-x-x,y, a\(11( ) -a-x af pour -a-,/x,y), af. J'X • Deuxième méthode g(r, e) = fer cos 8, r sin 8) c'est-à-dire 9 =fo -,-
= -,-
dr
agagpour -a-r(r,81, ..... (x.y)=(rcos8,rsm8) -a-r
ç donne:
cos 8 +-,- sm 8
dX
ag éJf = --,-rsin { -,-ag afdx d8
dy
af 8 éJf +-,-rcos . dy
8
La résolution de ce système permet de retrouver les formules précédentes. Remarque: on pourra vérifier que
'fJ-1: U -
V
ç -1 est définie par:
(x, y)
Ho
(-./;>(2
+ y2. 2A.rctan
X
+ V'./y x2 + y2 )
f
en
Chapitre 3 :
Fonctions
de plusieurs variables réelles
103
Calcul différentiel
VI - Inégalité des accroissements finis Théorème: 1.20
de E etf:
Soit U un ouvert Pour
tout
C, on a
dans
où;\1 est un majorant L'existence de
JI
est de classe
flb)
de
el
et soit
c: [O. 1] -
D'où
[0.1].
E
..
'f'
[0.1].
[f(b)
F
+ th).
t >--7fia
- fia)
(t) oS;
af hi-.-Ia i=l dXi
.
L Tl
(ti =
C
continue sur [O. 1]. on a
'V tE
t E [0,1J}
1
lx E [a. bJ}.
{ dJ.:
,
Or
[a, b] = {a + t(b - a)
Il oS; Mil b - a Il
sur [O. 1] avec:
'V r
ç' étant
- fia)
k ~ 1.
résulte de la continuité de X >--7dfx sur le compact [a, b].
h =b- a
Posons
Ck sur U,
classe
la. bi E [>2 tel que le segment
soit inclus
I.Ç
F de
E -
flb)
- fia)
= Ildfa+th(h)'i
+ th) = dfa+th(h)
(1)-
=I.Ç
cp(0)
h Il Ildfa+thll
oS;
= oS;
101
cpl
(t) dt
Mil hll
1\111h,.
o
Exemple Tl
Supposons
X>--7 x 1 =
E muni de la norme
L
IXil
;=1
et posons
A = sup los;;os;Tl
L Tl
Alors de
dJ,,(h) =
-.-(X)!
sup xdabJ
1
afx,
..i·
d
1
af
hi-.-(xi i=l dXi
on déduit: Tl
'V h E E. 'V x E [a. b]. ii cif,,(hJII donc 'V x E [a. b].
ALI
oS;
i=l
il dfx Il oS; A et, dans ce cas
hil = Ail h III
Ilf(b) - fia)
Il oS; Ail b - a Il
Corollaires:
c.i
de E etf:
Soit U un ouvert Soit tE::te lE. Pour
tout
soit inclus
E -
F de
dans
U, on a
Ilf(b) - f(a)-
{lidJc{'
Soit U un ouvert
convexe
de E etf
Il/xE
Ilf(b) - fia)
E [0,1J}
[a,bJ}.
F de
o classe
el sur U telle qu'il existe
est lipschitzienne,
La convexité de U donne que, pour tout (a, b) E U2, on a [a, b] théorème 20:
t
{'(x).
:E -
M majorant de {II dJ" Illx E U}, alorsf continue de U.
1
((b - a) Il oS; MI! b - a Il
On appplique le théorème 20 à x >--7f(x)-
1
k ~ 1.
[a, b] = {a + t(b - a)
(a. b) E U2 tel que le segment
oùMestunmajorantde
c.2
ek sur U,
classe
F)
Il oS; Mil b - a Il
donc uniformément
c U, donc,
d'après le
o
104
Précis d'Analyse
On dit que
c.3
c
[xo,x]
Soit
U, dfx =
La réciproque 'ri x E
tel que, pour tout x de
un ouvert étoilé de E etf une application de
On sait déjà que sif 'ri XE
XO E U
U,
U.
est constante si et seulement si
f
œ?
U
est étoilé lorsqu'il existe
U
Il
est constante
sur
U
dans F.
est nulle pour tout
dfx
U, elle
est continûment
x E U.
différentiable
sur
U avec
O.
est une conséquence
immédiate
du théorème
20
et du fait que
U, [XO,x] cU.
o
Exemples - Travaux pratiques
exemple 18
~
* 1, exPri~::~~~~
~.~~"' (a b) Ë~'tel que ab •.
Soit f
:
IR2 --+ IR.
(a,
f est continûment
b) --+ Arctan
différentiable
On a
U = UI
U Uz U
sur l'ouvert
u,
'ri (a, b) E
a + Arctan
+ Ardan b en fonction
de
b - Arctan 1a+b _ ab
U = {(a, b) E 1R2
af
af.
a a (a, b) =
a b (a. b) = 0
1
ab
donc
*-
1} avec:
d.fia,b) = 0
U3' YI!
2
UI = {(a, b) E IR
1
ab < 1}
U2
UI U2 = Ha, b) EIR2
1
ab> 1, a> O}
\
\
---------... \ 10"-----
X
U3 = {(a, b) E 1R2 ab> 1, a < O} 1
U3 UI, U2 et U3 sont des ouverts comme réciproques
d'ouverts
images
par des fonctions
continues.
U2 =
Par exemple
avec
1
Comme l'application étoilés.
IR: --+iR,
UI est étoilé car, pour tout Le corollaire
3 du
'ri (a, b) E UI, 'ri (a,
b)
E
'ri (a,
b)
E U3'
U2,
théorème
t
--+
t
est
m = (a. b) 20
E UI, on a
donne alors que
b) =f(O, 0) = 0 lim f(a, a) =" Q--++cc'
f(a,
lim f(a. a) = - "
a---'--cx:,
convexe,
on en déduit que Uz et U3 sont convexes,
[0, m] 'ri
k
E
donc
CUl-
{l, 2, 3}.j
est constante
sur Uko donc
Chapitre 3:
105
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
VII - Formule de Taylor-Young Extremums Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont à valeurs dans R
A. Formule de Taylor-Young Théorème: t.21
Soit
U
un ouvert de
: E ~R de classe C2 sur U.
E etf
a étant un point quelconque de U, on a, lorsque u tend vers 0 : f(a + u) - fia) =
L
'\"' -.-(a)Ui d X· i=l n of l
L -2..2f (a)ui
+ -2
d a X,
L
+2
'\"'
1 (ni=l
'\"'
l";i,,f,,;n .
9
-.--(a)ui!,ij dx ax l :J a2f
)
+ 0 (II
u Il ) 2
(Formule de Taylor-Young en a). u:§"'
U étant ouvert il existe r ER: tel que Bo(a, r) Alors, pour tout U E E tel que
u
t
donc dans U, et 9 : [0, 1] ~R. On a
n af g!(r) = '\"' ui-,-(a d~ i=l
L
La formule de Taylor avec
Il
f-c>
c U.
< r, le segment [a, a + u] est inclus dans Bo(a, r), f(a + tu) est de classe C2 sur [0, 1].
n n a2f gll(t) = '\"' '\"' UiUj---(a a~a~ i=l j=l reste intégral appliquée à 9 donne: ..
+ tu)
LL
et
g(l) - g(O) = gl (0) +
11(1-
+ tu)
t)gll (t) dt
= g'(O) + àd/(O) + .la r\l donc
af f(a + u) - J(a) = 2:= ui-.-(a) . d~
avec
R(u) =
- t) (gll(t) - gll(O»)dt n a2f + -22:=2:= UiUj---(a) + R(u) .. a~a~
1
n
1=1
1\1- t) (gll(t) -
n
1=1)=1
d/(o»)
dt
g'l est continue et t f-c> 1 - t est positive sur [0,1], d'où, d'après la formule de la moyenne, il existe 8E [0,1] tel que:
r1 (1R(u) = (d/(8) - gll(O»).la
t)dt
soit
1 (gll(8) -
R(u) =
g'/(O»)
:2
1 Avec, par exemple, la norme euclidienne:
IR(u)1 ~ --;Il
112
2:= 2:= .nl' )=1 n 1=
1
Il
u Il
=
--(a+ aXi a2fa~
(t
1=1ur) :2, on en déduit: 8 u) -
--(a) aXi a2fa~
1
a2f et la continuité en a des aXi La formule en résulte.
a~
donne alors
R(u) = 0 (II
u 112) D
106
Précis d'Analyse
c.1
=
l?f:1;r:t~I~1.l1ier: dimE La formule
2 -
de Taylor-Young
Notation
[1
de Monge
s'écrit:
1 fCa + h, b + k) - fCa, b) = ph + qk+ 2Crh2 + 2shk + t~)
+ oCh2 +~)
où on a posé:
af p = axCa, b)
a~ r = ~(a,
s=
b)
dx
af q = --ay(a, b)
a~ --a:a(a,
x
Notation
a~ t = ~(a,
b)
y
b)
dy
de Monge
B. Extremums relatifs Rappel •
f:
•
si et seulement
D un extremum
(maximum
V voisinage
si il existe
de
a tel
ou minimum) que:
VUE
E,
a + U E V (î D
=?
f(a
+ u) ~ fCa)
maximum
VUE
E,
a + U E V (î D
=?
fCa + u) ~ fCa)
minimum
u'*
On parle d'extremum
strict
Dans tout ce qui suit,
U est un ouvert de E .
Conditions
Il,
aE
E -71R définie sur D, admet en local (ou relatif)
si, de plus
nécessaires
d'extremum
0
=?
fCa + u) '*fCa).
1
Théorème: t.22
Soitf
:E
Pour
quef
suffisant)
-71R de classe admette que
CI sur
U ouvert
un extremum
dfa =
de E.
local
0, c'est-à-dire
a E U, il
en
ViE
[1. n].
est nécessaire
?f (a) =
dXi
Cmais non
0
L0f'
n
•
U contient un pavé P = Sif
II
admet un extremum
Xi
f-'Jo
sur ]ai-
est dérivable
]ai-
i=l
en
aH
. En effet, sOltf
.,fT')L ,.." ~"'.':0
( x,•. y)
n'admet pas d'extremum
[esquelsfCx,
ai+l,···.
:oey,
on a
:
(1 ~ i ~ ni
an)
en ai, donc:
of (a) = 0
éiXi
éif 10 O·) -,-., dX
..
éJf '0 . 0 )--,-1.
c'y
local en CO,0) puisque tout voisinage
pour lequels fCx, y.) y) < o.
f-'Jo
partie[le
un extremum
[Ln],
ne sont pas suffisantes .
des points
fonction
ai-l,X;'
Ces conditions
Or,]
ex[.
ex[ et admet
ViE •
ai+
a, chaque
f(al,···. ex,
ex,
> 0 c'est-à-dire
0
V de
(0, 0) contient
f(x, y) > f(O, 0) et des points pour
Chapitre
107
3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
Définition: d.22
Etant donnéf dfa = O.
1
Conditions
12.
E C1(U.
aE
::;:),on dit que
suffisantes d'extremum
U est un point critique
lorsque
def
[
Théorèmes:
M'
1
de
Soitf: E -::;: de classe C2 sur U et a E U un forme quad.Tatique qa soit non dégénérée.
t.23
n
qa : U'--'" 2:= .
[=1
Si qa est définie négative, ne présente
a ni
en
af
.
f présente f présente
Si qa est définie positive, Sinonf
2
ui -_-(a) + 2 d Xi
maximum
f
tel que la
a2f
UiUj---(a) a Xi a Xj
2:= ..
l~[~~n
un minimum
a. a.
en
un maximum
en
ni minimum:
on dit avoir affaire
à un
point col.
lE?
Dans les deux premiers cas, il s'agit d'un extremum strict. Pour U oF 0, la formule de Taylor-Young s'écrit ici: f(a
où •
1
+ U) - f(a)
= 2qa(u) + 0
+
f(a+ u) -f(a). = pu q2 8: E -::;: est telle que lim 8 Cu) = o. u-o
II U 11(9)
[ qaTIUll (u)
+
8
(u)]
Supposons qa définie postive ou définie négative. U Quand U décrit E \ {O}.
Ii
r--.,
ui
'1
décrit S sphère unité de E.
S est un compact (fermé-borné et E est de dimension finie), donc il existe v E S tel que Iqdv)1 = inf Iqa(x)1
Iqal
est continue sur S,
XES
qa étant définie (positive ou négative), v
oF
0 donne qa(V)
0, donc:
oF
inf Iqa(x)1 = m> 0
XES
De lim 8 (U) = 0 on déduit l'existence de r E~: tel que u-o
Il
U Il
< r
Donc, pour tout Il U Il < r f(a + u) - f(a) = Il u 112 [qa (II ~ Il) est du signe de qa, ce qui assure la conclusion. De plus, on note que dans ces conditions, U s'agit d'un extremum strict. •
oF
0
=?
f(a
18(u)1 < m.
=?
+ 8 (U)]
+ u) - f(a)
oF
0 ; donc, il
Supposons qa non dégénérée, non positive et non négative. Il existe alors D'où:
v E E \
{O} tel que
qa(V)
= 1 et
W E E \
1
{O} tel que
qa(W)
=-l.
1
f(a + tu) - f(a) = 2 t2 + o(t2) f(a + tw) - f(a) = - 2 t2 + o(t2) On en déduit que tout voisinage de a contient des points a + tu en lesquels f(a
f
+ tu) - f(a) > 0 et des pointsf(a ne présente pas d'extremum en a.
+ tw) en lesquelsf(a
+ tw) - f(a)
>
O.
D
108
Précis d'Analyse
t.24
On suppose dim E
Il
2.
=
Soitf : E ~[R de classe e2 sur U et (a, b) E U un point critique de f tel qu'en ce point on ait s2 - rt ° (cf. notations de Monge). oF-
•
Si
s2 -
•
Si
s2 -
° f présente rt < 0, r < ° f présente rt < 0, r>
un minimum en (a, b). un maximum en (a, b).
• Si s2 - rt > 0, (a, b) est un point col pour présente en a ni maximum nin minimum. C'est évidemment C'est
un cas particulier
la seule forme
théorème
figurant
du théorème
f,
f
ne
que M' dans lesquels
ce
c'est-à-dire que
23
dans les programmes
autres
est admis.
Exemples - Travaux pratiques
exempl~ 1t!i
~
Etudier les e~Jmums
relatifs de : f : [R2~[R,
(x, y) ~ (x _ y)2 + x3 + y3
9 :
(x, y) ~ (x _ y)2 + x4 + y4
et de :
.J f
[R2 ~[R,
est de classe eex sur [R2.
On commence
-(x, ax
par déterminer
def.
=0
y)
s'écrit
°
{ -2(x-y)+3if 2(x - y) + 3~
af
{
les points critiques
af ay(x,
=
°
ce qUi..equlvaut '
a.
y)
= =0
=0 { 2 ( x ~+if - y) + 3x-~. =0
On a donc un seul point critique: D'entrée
de jeu,f
(O. 0).
est donnée sous la forme d'un développement
3 2
f(x,
y) = (x - y)
x
?2 + o(.r + id)
qco.oix, y) = 2(x - y)2 :
On a donc ici
1
rgqiO.OI
(On peut aussi noter que r =
t = 2 et s = -2,
Ainsi, on ne peut pas conclure
par application
Remarquons
alors que f(x.
+y
(car" Xy,-(Ü.O l.im .' ~ X .+ 1
de Taylor-Young:
3 = 0)
id
= 1,
qiO,OI est dégénérée
donc s2 -
rt =
du théorème
0).
24
x) = 2x3 est du signe de x, ce qui assure que (0, 0) est un point
col.
2)
9 est de classe eex sur IR. On trouve un seul point critique: De façon évidente, Donc,
9 présente
on a
(0, 0), et ici aussi q'O.OI est dégénérée.
\j (x,
un minimum
y) E R2,
g(x, y) ~ g(O, 0)
en (0, 0) (qui est d'ailleurs
=°
un minimum
absolu et strict).
Chapitre 3 :
109
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
exemple 20 1
~
Etudier les extremums de
• f est de classe ex
f :;g2~!R,
(x, y)
>--7
sinxsin y sin(x + y) .
sur R2.
Remarquons d'abord que; 'ïI (x. y) E ['(2,
•
f(x+
TI.
y) = f(x, y+
= f(x, y)
TI)
Donc, sif présente un extremum en (x. y), il en est de même en (x+ (x, y+ 'TT), et ils sont de même nature. 'ïI (x, y) E['(2,
•
fe-x,
'TT,
y) et en
= -f(x,y)
-y)
Donc sif présente un maximum (resp. minimum) en (x, y), elle présente un minimum (resp. maximum) en (-x, -y).
[0,;]
On peut ainsi se limiter à la recherche des extremums sur D
éJf(
e
(2
..
axX.y)=Sln.
.. x+y)smy
af().
on déduit que les points critiques sur
0'2
x
['TT]
•
En (0,0), on a
f(O,
=sm
ayX,y
et
[
-2'2 'TT
(2
y+x
)'
x [-
;,
;].
Slnx,
sont(O,O)et 'TT]
3'3 .
('TT
'TT)
0) = o.
Or,f(x, x) = sin2 x sin 2x change de signe en a ; (0, 0) est donc un point col.
•
En
3'3
,onar=-y3,5=-2,t=~y3,f fi)
(TITI)
donc
52 - rt <
°
et
r< a :
V3
3V3
3'3
fi)
(TI
'TT)
-8-
f présente un maximum relatif stric!.
La deuxième remarque préliminaire montre que
f présente un minimum relatif strict en
(-;,-;) Remarque L'étude précédente consiste en la recherche des extremums def 0, [TI]
2
x [
-2' 2 TI
situés sur le compact
= K et non pas en la recherche des extremums de la restriction def
TI]
à
K, (pour celle-ci le théorème 24 ne s'appliquerait pas). Conclusion
f présente en 3' 3 ('TT
est
un maximum local strict, c'est un maximum absolu (non strict), sa valeur
TI)
-8-' elle est aussi atteinte aux points 3vis
La situation est analogue en
('TT
3' - 3
'TT)
(
3 +n TI
TI,
3
+p
TI
,(n,p)
'TT)
pour les minimums de f.
EZ'. . 2
110
Précis d'Analyse
,
j : 1R3--+1R,
•j
est de classe
(x, y, z) ~ (x + i2)e\'(lf+z'2+1)
sur 1R3,et on a :
COO
~~(x, y,z)
=
[(x + i2)(!f
+ i2 + 1) + 1] eX(lf+z'2+1)
~~ (x, y, z)
=
2xy(x + i2)~(lf+hl)
~~ (x, y, z) = 2z(1 + x2 + d)ex(lf+z'2+1) On en déduit quej admet un seul point critique: Développons
j
Avec les notations
j(x,y,z)
(-1,0,0).
à l'ordre 2 au voisinage de (-1, 0, 0).
x
= -1 + u, y =
v, z
= w, r = vu2 + v2 + uP, on obtient:
=
(-1+u+w2)
exp[-1+u-v2-w2+0(?)] 2
j(x, y, z)
=
1 -e(1-
j(x,y,z)
=
_~
j(x,y,z)
=
~e1+ e1( ~2
La forme quadratique
u - w)
(1-
~2
u
2
(2)
+o(?)
-v2-2tif) + v2 +2w2 2
+ o(r2) )
(u, v, w) ~ ~ +v2+2tif
un minimum relatif de valeur -
2
1 + u +""2 - v - w + o(?)
1 -.
étant définie positive,j présente en (-1, 0, 0)
e
Montrons qu'il s'agit en fait d'un minimum absolu.
•
j(x, y, z) < 0 impose
•
Sur
•
L'application
•
En conséquence, \;f (x, y, z) E 1R3,j(x, y, z) (x, y, z) = (-1,0,0).
IR::'
x
1R2,
cp:
on a
x + i2 < 0 donc
j(x, y, z)
IR---+IR.
::3
x<0
xex avec égalité si et seulement si y = z =
x ~ xex atteint un minimum absolu strict en
::3 -
1 e avec égalité
O.
1
-1 : cp (-1) = - -.e
si et seulement si
Il
Chapitre 3 :
Fonctions
de plusieurs
variables
réelles
111
Calcul différentiel
Exercices-types Ex. 3.1
EX.3.6
:Jln (~) -[R.X
Soitf
f
Montrer que différentielle.
detX.
f-7
el
est de classe
sa
l'équation
EX.3.2 Soit E =~n (euclidien)
X"'+y 9
{Od.
et Eo = E,
Eo,Xf-7
Eo 1)
Montrer
Soitf
Il xll-
f
que
est différentiable
; expri-
mer dJ",
'if
E
Cl(R~) f(x)
g(x, y) = ----
et
(x, y)E
et 9 : [R2_lR
- f(y)
, SI
x-y
2)
On suppose
définie par
= {(x, y))
de
9 sur
[R2.
2)
f(lRn) est un fermé,
3)
f(lRn)
fi
'if
E 1R2 lx>
x
E
1)
O}.
af af (x, y) E D, Xax + yay =0
E
clW,
Soit
f(X2) (E).
2)
f
montrer
ne dépend que de
Donner l'ensemble
l\J
(2)
E
u,
=
f :U
-+IR de
telle que:
dfx
Il
U tel que
O.
au cas où
el est
Il eS
k lf(x)j
(3)
alors que
Ex. 3. 9
v.
des solutions.
Etudier les extremums
de C2(1R:, IR)
f
de : 2
Ex. 3.5
Soit '1' et fonction:
on a :
que, s'il existe XO E
Généraliser
x
e,
longueur
= 0, alorsf
classe
est
'if
une solution,
feu, uv)
f
(1)
(k> 0)
kf(x)
ektf(xl)
eS
f(xo) 3)
montrer que go
eS
el et de
Montrer
(E).
solution de
4)
U, Il dfx Il
que:
U pouvant être joints par un chemin de
que 'l': (x, y) f-7 ~ est solution
9 E el (R m,
el telle
Montrer que, pour tous points Xl et x2 de
IR)
du problème.
3)
et
ŒD connexe
U -IR+ de classe
f:
telles que:
Soit
de IRn euclidien
est un ouvert.
classe
2)
(1)
Ilf(x)-f(y)
est injective,
Soit U un ouvert
(a) existe, étudier la de 9 en (a, a).
que
toutes les fonctionsf
Vérifier
Il
Il eS
Que peut-on en conclure?
Ex. 3.4
1)
y
f
Ex. 3. 8
Etudier la continuité différentiabilité
'if
x-
1)
x"* Y
1)
On recherche
ŒD
IRn x IRn,ll
g(x, x) =f(x)
Soit D
(1),
E Cl(lRn ,lRn) telle que:
Ex. 3.3 Soitf
f=O
Montrer que:
Vérifier que dJ" est une similitude.
2)
de
partielles:
.2 + (afxax+yay af) Ex. 3.7
x --9.'
el, solution
de classe
1R2-+IR
aux dérivées
On définit l'application:
f:
f:
Déterminer et trouver
deux fonctions
etf
la
:1R2_R(x,y)
f-7
:a - (cosy)V6a2 -x2
(a> 0 donné) Ex. 3. 10
f: (IR:) 2 --+R (x, y) f-7 VXY '1'( ~ ) +l\J (xy)
a2f Montrer que: Réciproque.
x2
~
ax
a2f -
~
~
ay
=0
(1 )
Soit
D=
Trouver
{(x, y)
E 1R2
les extremums
f(x, y) =
yi x2
I~ + ~ sur
+ y2 + ~ -
eS 9}.
D de
1
f définie
par:
112
Précis d'Analyse
Il
g(x, y,
Soit
f
f(a) =
de classe CI sur U ouvert de
:[R3 --+[R
[R3 et a =
(X{),
Yo, zo) un point de U tel que
~~(a)
0 et
ag -(a)· ax
*- O.
On sait que l'équation f(x, y, z) = 0 définit, au voisinage de
ce point on ait:
a, z en fonction
implicite de
af -(a) az
af = -(a) ax
ai . -(a) az
et
(1)
ag -(a) ay
af . -(a) az
af ay
ag . -(a) az
= -(a)
(x, y) : z =
Application:
zo =
Trouver les extremums de
Soit 9
:[R3 --+[R
de classe CI au voisinage de a,
montrer que pour que
g(x, y, z) = x€nx + y€ny + z€nz où
x, y,
z sont liés par x + y + z = 2 a, a>
O.
Indications Ex. 3)
x
= (xy), calculer
:f.. y
en considérant le dé-
Montrer que dfx est un automorphisme de [Rn puis utiliser le théorème d'inversion locale.
veloppement de detX suivant la colonne j. Exprimer dfx(H) en fonction de t comX.
Ex. 3.8 1)
f est le quotient de deux fonctions de classe CI,
Xz.
Introduire:
le dénominateur ne s'annulant sur Eo.
F:t 1)
Montrer que g(a+ h, a + k) = E [a + h, a + k].
l' (x) avec
x 2)
f--J>
f(
exp ( -k fut
(t»)
Il
2)
Considérer V = {x E U,j(x) = O}
3)
Considérer f2.
Il)
EX.. 3,9
Montrer que:
1 g(a+x, a+y)-g(a,
a)- 2/I(a)(x+y) = o(vxZ + yZ)
Dj = {(x, y)
/Ixl "'"aV6}
E [R2
rechercher les extremums de
f:
o
1) sur Dj
2) sur
Fr Dj'
Restreindre le problème à
aF 3)
alleu,
v)
= 0 sur D donne que Fest
indépendant de
u car D
Réciproque: faire le changement de variable
D= {(x, y) E [R2
10 < ~ + if < 9}
Rechercher les extremums de 1) sur D
u=xy, v=x'
2) sur
f
FrD.
Ex. 3. 11
Ex.3.ô Passer en polaires.
""'TI.
&.3.10
est un pavé.
Ex. 3,5
y
o "'"x "'"aV6, 0 "'" y
aG Calculer de 9 etf.
a
x
aG et
ay
.... en fonction des denvees
Chapitre 3 :
Fonctions
de plusieurs
variables
réelles
113
Calcul différentiel
Solutions des exercices-types Ex. 3. 1 ?
On identifie
Jtn
à IRn~par
(IR)
(i,j) de la matrice X. On note aussi
On note "Iii (X) le cofacteur 1)
Dérivées
X f-7 (xii)ILj)E[ l,n]2
X = t cornX.
de f.
partielles
Soit (i,j) fixé dans
[1. n]2.
Le développement
de
n
detx
j
suivant les termes de la colonne
donne
L:: xl9
"119
(X)
k=l Dans cette expression, partielle
aa;..: y
Ces n2 dérivées
partielles
dérivée
J
X. En conclusion, 2)
les
Différentielle
de
[1, n],
k E
sont indépendants
de xii, d'où l'existence
de la
X f-7'fii (X). car "Iii est une fonction
sont continues
polynôme
des coefficients
de
el.
est de classe
f.
à
Elle s'exprime
"119'
l'aide des dérivées
partielles
deJ :
L::
dJx =
"Iii (X)dXii
(i,j)E[I,n]2 Autrement
L::
dJx :Jtn (IR) ~IR, H f-7
dit,
"Iii (X)Hii
(i,j)E[l,n]2 Sachant
L::
tr(AB) =
que
AiiBji,
dJx(H) = trcXh).
on trouve
(i,j)E[l,n]2
Ex. 3.2
l
1)
J = 9-
On a
l = IdE
avec
9 est continûment
différentiable
avec:
,
2)
V
'
9
ne s'annule
xE
.
Eo,
Pour tout XE
Eo, l'application
De difx(
h )-~-
l'hyperplan
1
f-7
Il
x 112.
dgx: E ~IR. h f-7 2(xl h)
doncJ
l I(x) dJx = -( ) ~dgx, 9x g(x)
dJx: E ~ E, h f-7
à
x,
pas sur l'ouvert Eo,
c est-a-dlre
par rapport
x
sur E, avec:
pour tout D'autre part,
g: E ~IR,
et
h
est continûment
(rappelons
2(xlh)
--2 - --4 Ilxll Ilxll
Sx: E ~ E, Y f-7 Y - 2(xIY~x
Ilxll
orthogonal
à x.
(h _ 2 ~(xl h) x)
dJx = ~
Ilxll
-~' Sx(h) _
est une similitude
sur Eo,
= I)
x.
S on déduit que
que DIx
différentiable
(indirecte).
est la symétrie
orthogonale
114
1)
Précis d'Analyse
La continuité en (a, b), avec a*- b, est évidente. Etude en (a, a) •
Pour tout (h, k) E [R2,avec h
*-
k, on a, d'après le théorème des accroissements finis
(appliqué àJ sur [a + h, a + k]) : g(a+h,a+k)=f(x)
g:
avec
g(a + h, a + h) =
•
Par définition de
•
Dans tous les cas, on a donc
xE]a+h,a+k[
l'(a + h)
g(a + h, a + k) =1'(x)
et la continuité de 9 en (a, a) résulte de celle de f
x E [a + h, a + k]
en a. a
2)
Montrons que 9 admet en (a, a) des dérivées partielles
d'
a
x9 (a,
a) et
d'
9y (a, a).
g(a + x, a) - g(a, a) J(a + x) - J(a) - xf (a) = -------
On a
x
x
2
J(a + x) - J(a) - x1'(a) = ~ JII(a) + o(x2)
Or, d'après la formule de Taylor-Young g(a+ x, a) - g(a, a) donc
lim. ~O
x
-------
1
Il = ~~ f (x)
1 Il
ag et ainsi
-d'
x (a,
a) =
-2J
(a).
1
a
Etant donné la symétrie de 9 : g(x, y) = g(y, x), on a de même
a~ (a, a) = 2/11 (a)
En conséquence, si 9 est différentiable en (a, a), on a nécessairement:
1 Il
.
= 2/ (a)(dx + dy)
dgCa.a)
et 9 sera bien différentiable en (a, a) à condition que: g(a + x, a + y). - g(a, a) Posons •
(a)(x + y) = 0
1 Il
(x, y) = g(a+x.
2/
a+ y) - g(a, a) -
Vx
(~)
.+ y .
1
x-
(a)(x + y)
Cas où x = y ; x*-O Alors
•
q;
2/ 11/
(x, x) = f (a + x) - f (a) - xfll (a) = o(x)
q;
Cas où x
*-
y 8
Alors De
q; 81
(x, y) =
(x) =f(a
donc
1
{Yltldtl
.J x
q;
9.
(x)-
8 (y) x _ y
+ x) - f(a)
facilement que, lorsque
Or
(1)
8 (x) =J(a + x) - xf(a)
- xf/(a)
et y tendent vers 0 :
8
(x)-
J x2
sup tElx.y]
+ y2»)
8 (y) =
- 2:f/(a)
= o(x), on déduit
x
~ Iy-xl
(x, y) = 0 (
avec
LY 81
Itl ~ [y-xl
(t) dt = 0 ([Y
It: dt)
~
(2)
Dans les deux cas (1) et (2), on a donc: q;
(x, y) = 0 ( Jx2 +
y2)
: 9 est différentiable en
(a. a, )
Il
Chapitre 3 :
115
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
EX.3.4
1)
2)
acp -,-(x. dX
y
.
alors
-,-Ix. dX
\
::J
donc go Soitf
.\
11) -
::J
/
éJç. I-,-Ix. dX
éJr
.
.
a go
::J
af.
lu. ,
dy
y) = g 1 (
éJ
y)
D,
af
uv) = 0
u-,-(u, v) = 0 c!u
et donc
alleu.
un pavé, il en résulte
F(u., v)
uv),
uv)
uv-,-Iu, cly
aF
v) E
F(u, v) =f(u,
uv) +
=
car f est solution de (E).
aF v)
=
o.
(v).
D'après 2) et 3), l'ensemble des solutions du problème est constitué des fonctions:
(x, y)
, ..
Dou Soitf
>--+
g ( ~)
avec
g E CIOt~)
a2f a2f 2-9 J--2 = o. -
éJx-
2)
,
11)
af. uv) + v-,-(u.
U-,-( u. v) = U-,-(U, dU' clX'
D étant
et venfle (E).
'
vérifie (E).
cp
\;f
' ..
donc (!;EC (D,~)
x
go '{E CI(D. :::;').
aF .. af -,-lu. vi. = -,-lu. dX clu'
donc
4)
•
l
=-
CJ
solution de (E) et FE CIW.::2) définie par
alors
Ainsi
= g ,f.,1(!;x.(
'
11)
11)
d Y'
Si g E CIC~.::;\) agOLÇ~
3)
-,-Ix.
XL
CJ
1
a'{ ..
= ---"
11)
éJy
une solution de l'équation (1) sur (~~)2, de classe C2.
Il est naturel d'introduire les nouvelles variables:
Plus précisemment, on considère l'application
u = xy
0, v'rif;, 'co '" ,,' coo b;I'o1;O' dootl';,v,,,, ,,' et que
CCO
-difféomorphisme.
g=fo
ou f=go
et
y
v --
- x'
>--+
(
xy, ~ ) .
(
~,VU;; )
116
Précis d'Analyse
Autrement dit
\;j
(x, y) E U2,j(x, y)
ax(x, y) = Yau
xy, x
-
x2
=
9 ( xy, ~ ) .
au
xy, x
Il
c:
ay(x, y) = Xau + x1au g{es;;e : a9( xy, ( xy)y) af classe ag~t I(ecalc~)1 ( xy, xy) donn: ag 2
2
2
ax 2 ,y - x 3 av
a u2
a2f
a2g
a2g
"
2 a2f a2f x --J-=2---4J-ax2 al
2
x 2 auav
1
x 4 a v2
a2g
y ag x av
a2g auav a
Ainsi
9 est solution
sur
U de l'équation
,... (2) s ecnt aussI c est-a-dlre ,
-
,.
au a
\;j
h : IR: --+IR,U f-7
(2)
= 0
~ ~ (u, v)
est solution de l'équation
= o.
1 a2g 1 ag (u, v) E U, VU au av - 2uvu au -
(
2ui
z -
a2
a~ - 2u au ~v
Pour tout v E IR:, l'application partielle différentielle linéaire
2
2 --2 av
= ~ --2 { --2 aj(x(x, y))_2Y~+J~_~~+JL~ ay au + 2-a-au v+x
dou
2
-
= 0
= 0
VU 1 av a g)
U étant un pavé, ceci équivaut à l'existence de a E el(IR:, IR) tel que:
1
\;j (u, v) E U,
ag
vuau
= a(v)
d'où, enfin, à l'existence de A et B dans e2(1R:, IR)tels que: \;f
(u, v) E U, g(u, v) = A(v)VU + B(u)
En utilisant
(x, y) E U,j(x, y) = A ( ~ )
\;j
vIXY
+ B(xy).
Ex. 3.6 Afin d'utiliser les coordonnées polaires, cherchons les solutions définies sur: U=1R2Ü
où
~={(X,O)/XEIR_}
L'application C: IR~ xJ- TI,TI [--+ U, (r, 8) f-7 (x. y) = (rcos 8, rsin 8) Posons
9 =fo
Nous avons
0, c'est-à-dire
ar ag
= cos 8
g(r,8) =f(rcos
ax al. + sm
8
ay al
=
est un Cl-difféomorphisme.
8, rsin 8)
r1 (alXax
+ y ay al)
a
L'équation (1) est transformée en (2): et s'intègre par
? + g2 = h2(8)
r + --!ldr . 9 = 0,
(h de classe
En prenant pour expression de 8 : 8 = 2 Arctan la relation précédente permet d'expliciter 9 etf.
el).
b
x+vx2+y2
(x, y) E U
Chapitre 3:
Fonctions
de plusieurs
variables
réelles
117
Calcul différentiel
Ex. 3. 7 1)
D'après
2)
Soit
(1)
= f(y)
f(x)
y E f(R,n)
x =
donne
y.
: y est limite d'une suite de points de f([Rn).
II existe donc
(Xk)kEo'" E (J~n)"
La suite (f(Xk))
kE
telle que
étant continue,
Ainsi
on a
= f(Rn),
f(R,n)
donc, d'après (1), (Xk)kE N est également
elle converge
hm k~+x
=
f(x)
f(Xk).
k-++co
est de Cauchy (car convergente)
une suite de Cauchy. Rn étant complet, A[ors,f
= lim
y
x
vers
E [Rn.
= y, donc y E f([Rn).
f(Xk)
est fermé.
f(R,n)
3)
•
8: R,n~Rn
On sait qu'il existe
+ h) - f(x)
f(x
(1),
D'après
on en déduit
À~
Puisque
et donc
=
8 (h)
Il dJ,,(h)
telle que:
=
Il h il ~
0, i[ existe '1>
Il ~
h
à!1
+
dfx(h) Il dfx(h)
Il h Il 8 (h)
+ Il
Il
° tel que
h 1111 8 (h) Il
1
Il h Il ~1'] donne Il 8 (h) Il ~ '2
II·
•
dJ,:Cu)
'2
Il ~
d'où
locale s'applique
en conséquence, contenant
et
en tout point
pour tout y
y tels quef
= f(x)
x
on en
dfx E:;g ([Rn) .
el sur Rn et dfx étant inversib[e
étant de classe
f
d'inversion
'* 0
dfx(u)
à h =1'] u, et
[e résultat précédent
1
Ii
=0
8 (h)
h--+O
.
Pour tout U E Rn tel que Ii u il = 1, on peut appliquer tire
lim
et
x
en tout point
E [Rn, le théorème
E [R;n ;
de f([R;n),
x et
il existe un ouvert U contenant
induise un homéomorphisme
un ouvert V
de U sur V, on en déduit que V cf([R;n)
et donc que f([Rn)
est un voisinage
de y puisque V en est un.
Finalement,f([Rn)
est un voisinage
de chacun de ses points, c'est donc un ouvert de [R;n.
[Rn étant connexe,
les conditionsf([R;n)
ainsi
f est surjective:
ouvert,f([Rn)
,*0,f([R;n)
fermé, donnent
f([R;n)
=[R;n,
4).
De 1) et 4), on conclut alors que
f
est bijective.
Ex. 3.8 1)
Soit
cp:
[a, b]
t
~[R;n,
~
(t)
On a alors
t=
j.b a
Il
F:
La proposition décroissante.
(2) s'écrit
'if t E
De
df'fCt) (
el
[a, b], F(t)
(t)) ~
~kll
1
du chemin joignant
= Xl,
= x2,
(b)
cp
Xl et X2 : a ~
b
II·
f(
-k j.t
Il
=
(t))
il suffit donc de montrer
1
~
(t)) - kll Il
df'f(t)
1111
cpl
(t)
cpl
Ilf(
(t)
cp
(t))]
-k jt e
Il
cp
a
Il
(1), que: cp/(t)llf(
etdoncque
que Fest
sur [a, b], avec:
de telles fonctions)
[d,hCt) (
df'f(t) (cpl
III
cp
. a
F(b) ~ F(a) ; pour l'établir,
(comme composée
on déduit, en utilisant df'fCt)(cp/(t))
[R;n),
[a, b] ~[R;+, t ~
Introduisons
F est de classe
une paramétrisation
bl
F(t)~O
d'oùlaconclusîon.
1
Il
118
2)
Précis d'Analyse
V = {x E Ujj(X)
Posons (i)
V *0
on a
car
= O}
V.
)(() E
que V est un ouvert de U, c'est-à-dire
(H) montrons ouvert.
Soit x E V, on a x E U et U étant ouvert, il existe
un ouvert de IRn puisque
ï>
0 tel que B(x,
ï)
U est lui-même
C U.
t<
Pour tout y de B(x, ï), le segment
[x, y] est un chemin de classe CI et de longueur x et y; ce chemin est contenu dans B(x, ï) donc dans U.
0 ~ j(y)
D'après (2), on a alors à valeurs dans IR+.
~ ekf.j(x)
On a ainsi établi que, pour tout x de IRn donc de U. (iii) V est un fermé de de IR.
"
U.
V, il
j(y)
donc
ï>
existe
=
B(x, ï) eV:
0 tel que
V = U Î\ j-1 ({O} ), j
En effet
0 car j(x)
=
est continue
U étant connexe, on déduit de (i), (ii) et (iii) que V = U doncj
=
0 (x V
ï joignant
E V) etj
est
est un ouvert de
et {O} est un fermé
O.
Remarque 1)
Sij
U est connexe par arcs et on conclut à l'aide de (2).
que U est ouvert connexe,
Sachant
(3)
E C1(U, IR) vérifie
alors
9
=j2
E C1(U, IR) vérifie:
V x E U,
Il dgx Il ~ 2lcg(x)
Donc s'il existe )(() E U tel que j()({)) = 0, on a 9 = 0 d'après
(2), donc j
= O.
Ex. 3. 9 •
Remarquons
j
que
est définie (et continue)
D= Les résultats extremums •
exposés
à:
jlxl ~ aV6}
{(X,y)EIR2
au paragraphe
appartenant
VII, B. ne pourront
D = {(x,
être utilisés
que pour la recherche
y) est paire et y
(x, y)
2 TI, on peut donc se limiter dans les calculs à
f-+
E P
j(x, y) est paire et périodique
=
[0,
aV6]
de période
x [O. TI].
o
1)
Extremums
j •
D
sur
~
0
est de classe CX sur o.
On a sur D.
D, on
applique
aj -a-ex, y) _ - -2xa. + x
les théorèmes
22 et 24.
/ xcosy 6a2 _ x2
aj , y). _. -.-(x, - (sm dY
y)V / 6a2
- x,
c
On en déduit que les points critiques
1
a2j
o
•
Sur D :
---::-z(x, y)
D Î\
sur
(0.0)
P sont
a2j
6a2cosy
= 2a +
3
(6a2
dx
_
,,?)2
--O--a'
dx
y
.
(aV2, •.)
(0, ••),
'. - xsiny (x. y) = ~/ ~~~
v6a2-x2
'2j ~2 ay donc, avec les notations
(x, y) = (cos y)V6a2
en
(0,0),
1
1
ï =
-2 a
+ -----r/i av6
5=
0
t = aV6
en
(0,0)
ï =
-2a + -----r/i av6
5=
0
t = aV6
-2 a -
5=
0
t = -aV6
en (0,
1
'TT)
ï =
1 en
(aV2,
TI)
-
x2
de Monge:
1
ï = - 4a
?
1
1
av6r;:;
des
j Ixl < aV6}
y) E 1R2
de plus, que x f-+ j(x,
Remarquons,
sur un fermé D de 1R2 :
5=0
t=-2a
5- - ït < 0 et ï 52 -
ït < 0
et
ï
> 0
> 0
? 5--rt>0
52 -
rt <
0 et
ï<
0
Chapitre 3:
119
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
On en déduit que en (0.0)
c'est un minimum de valeur
en (0.0)
c'est un minimum de valeur
en (O. Ti)
c'est un point col, on a
en
(aV2.
f(O. 0) = -aV6 f(O, 0) = -aV6 f(O, 'TT) = aV6
m 5a f(av2,'TT) = "2
c'est un maximum de valeur
Ti)
Conclusion Sur D,f présente des maximums locaux aux points et présente des minimus locaux aux points 1)
2k
(O.
( ±aV2, (2k + 1) Ti)
k
k
'TT)
E?L,
E?L.
Extremums sur la frontière de D. roc
et, en posant
3
-
En un point (av6, Yo), on a
f(av!6. Yo) =
x=aV6-u
(u>O)
,
2"
a
Y=Yo+v,ilvient:
f(x, y) = "2 2av6 3a - -2u/6 + OIU)- V I~-( On en déduit que, si cos YO
-V2aV6/Ucosyo,
'"
0,
flX,
y) -
,lu + Ol/U) )
3a 2 est, pour U et u assez petits, du signe de
donc:
•
si cos Yo > 0, f atteint un maximum en ( aV6, yo)
•
si cos Yo < 0, f atteint un minimum en ( aV6, yo) .
Il reste à étudier le cas Yo
=
(cos Yo + v sin Yo + o(u»)
cos Yo =
O.
D'après la remarque initiale, il suffit d'étudier le cas
2'
Tout voisinage relatif (dans D) de ( aV6. ;) =A contient un demi-disque ..l de centre A (cf. figure) qui lui-même contient des demi-disques Dl et D.z de centre ( aV6, YI) = Al et ( aV6, yz) = Az avec 0 < YI < ; <Ti. De cette étude, on déduit que Dl contient des points
3a en lesquelsf(x,
y) <
"2
et
D.z
contient des points en lesquels
3a f(x, y) > "2 ; ainsi A est un point col de f.
X
D'après la deuxième remarque initiale, les résultats sont identiques pour les points ( -aV6, 2)
o
aV6
yo) .
Etude globale. L'image def est aussi celle du compact P = [O. aV6] x [O. ses bornes. L'étude précédente a montré que:
'TT]
doncf est bornée et atteint
s~Pf(x, y) = 52a
est atteint aux points
(±aV2, (2k + 1)
inff(x. D
est atteint aux points
(O.
y) = -aV"G
2k
'TT)
'TT)
k
E?L
k
E?L
120
f: [R2-+1R,(x, y)
La fonction
f--')
V X2 + y2 + J
f(x, y) =
-1
Précis d'Analyse
Il
est continue sur [R2, de classe
el
sur [R2\ {O}.
a= inff
Comme D est une partie compacte de [R2,on dispose des bornes Sur l'ouvert il= {(x, y)/O < x2 + nulle en ce point.
af
x
J
et
D
[3=
supf.
D
< 9}, sif atteint un extremum, alors la différentielle def
af
y
a=
Ona -a-= x yx2+y2 ~ et y yx2+y2 ~+2y. On constate que df ne s'annule pas sur les extremums de f sont atteints sur la frontière de •
Etude en O.
f(x,
y)
il :
-1 avec égalité en 0 seulement.
;3
Doncf présente en 0 un minimum absolu strict,f(O, 0) = •
J
Etude sur (C) : x2 +
On a f(x, y) = 2 +
J
E
est
il.
-l.
= 9.
[2,11].
= 11 atteint aux points (0, 3) et (0, -3).
Donc supf D
Ex. 3. 11 1)
Les points critiques de G sont définis par:
-a (x, y, z) + -a (x, y, z)-a (x, y) = 0 x z x agag acp { ay(x, ag ag acp y) = 0 y, z) + az(x, y, z)ay(x,
z =cp (x,
y)
La conclusion résulte donc de :
af
h(x, y, z)
acp --ax(x, y) =
af
az(x, 2)
acp af ( ay(x, y) = _ ay af x,y,z)
az(x,
y, z)
y, z)
Application
f(x, y, z) = x + y + z - 3 a, l'équation f(x, y, z) = 0 définit évidemment une fonction de (x, y), on peut ici expliciter: cp:
(x, y)
f--')
z
= 3 a -x -
y
ce qui permet de faire une étude directe de la recherche des extremums de G: G: (x, y)
f--')
xtnx
+ yeny + (3 a -x - y) .en(3 a -x - y)
Nous allons procéder différemment: la condition (1) s'écrit
•
1 + enx = 1 + en y = 1 +.en z
on en tire x = y = z, G a donc un seul extremum possible: en (a, a, a) . •
Posons alors
la condition
x =a +U, y =a +v,
x +y+z= 3a
en(a +u) = en a +-
{ •
-
--2
w = O.
+ oCu )
a
On obtient
d'ou
z =a +w,
u+ v +
donne
2a 2 (a +u) .en(a +u) =auen a u2 +u(1 + €n2a) + ; a + IL
1
g(x, y, z) = 3 a ut a +;ra(u
Ainsi, il est clair quef
2
oCu2)
2 9 9 2 9 + v + w-) + oCu- + v + ur)
atteint en (a, a, a) un minimum local et strict de valeur 3 a en a.
Chapitre 3:
121
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
Exercices proposés Ex. 3.6
Ex. 3. 1 Soit E = ~3 [X] etj
E
el
([;;;;2 ,
Ex. 3.2 :E -
IR)telle que:
E e2(~"2,
2
Montrer que F : E -~, P '-" fol Jet, pet»~ dt est de ciasse el sur E. Calculer dF.
E =Jtn (~), montrer quej
j
Déterminer
;2).
E,A '-" AtA
2
V (x, y) E IR'2, ~ + a { (x, y) _ i ax
aj
a { (x, y) ay
aj
-yay(x, y) + xax(x, y) = o. On utilisera le changement de variable défini par u=€nlxl =€nlyl·
est de classe el sur E. Calculer df. Déterminer jE
Ex. 3.3 E
=Jtn
e2(U, ~), avec U ouvert de ~2
à préciser, vérifiant: (1 )
(R).
j :X
1)
Montrer que el sur E.
~ X2 est de classe
2)
Montrer que si X E en (R),
a2j a2j a2j 2(i-x)----::-2+2y-a-a-+----::-2-(i-x) dx x y ay
=0
en utilisant le changement de variables défini
djx
est un
Ex. 3.4
= u2 + v2
y = u+v
par
~
(2) ~
. a2j a2j ----::-2 + 3xy TT ax x y +2
isomorphisme .
,
i
a2j ay = 0
----::-2
en utilisant le changement de variables défini Déterminer jE
el(u,
par
à préciser, vérifiant: (1)
aj aj -.- -.+ 3(x âx dy
(2)
u = xy
,
.
Soitj V
V
--2- ,
Ex. 3.5
E e2(IR~,~)
r = V x2 + y2,x
=
= O.
(x, y)
E ~2
9E
eco (~2, ~) telle que
,f(x, y) = yg(x, y)
Trouver nie par
j
E e2(IR~, IR)telle que
z) ~
j (x2---;+ 2)
a2j
:IR3---+IR défi-
vérifie ~
9
=
O.
et h E e2(R~)
r cos 8, Y = r sin
8
{X y = cos uchv v sin ush définit, au voisinage de tout point
(XO, Ya) = (cos ua ch Va, sin ua sh va), u et v
en fonctions implicites de (x, y).
-2 ax
9
Ex. 3.10
(2) V(x, y)E U,~ (f)=
0)
Montrer que le système:
telles que V (x, y) E U,f(x, y) = g(r)h(8) avec
E eco (R2 , IR)telle que E Rj(x,
9 : (x, y,
E e2(U, R) telle que:
(1) il existe 9
x
Ex. 3.9
On pose U =IR2\ {CO, O)}.
j
y
Montrer qu'il existe
aj ay =0
en utilisant le changement de variables défini u2 + v2 u par: x = Y = Li
Déterminer
v =-.
y
EX.3.a
v = x + y.
aj 2x ax -y(l+i)
x
u = -
y)j = 0
-
en utilisant le changement de variables défini par:
x2
R), avec U ouvert de IR2
a2j (x, y)+ -2 (x, y)=O. ay
Calculer ~ u(x, y) et ~ v(x, y),
(
~u=--2+--2 ax a2u
ay a2u)
122
Précis d'Analyse
Il
Ex. 3. 16
'if
x
Dans le plan euclidien
E C1(1J;gn,[Rn) telle que
Soitf
E [Rn, dfx E (i)n ([R)
rapporté
à un repère or-
on donne les points A(1, 0), B(2, 0)
thonormé, et C(O, 3).
(groupe orthogonal 1)
de [Rn euclidien canonique).
Ilf(x) 2)
Trouver
Montrer que 'if (x, y) E [Rn X [Rn,
Montrer
f
que
(on pourra
- f(y)
Il ~ Il x - y
utiliser
le théorème
4)
Montrer que
:
f
x f-;>
dfx est constante.
est une isométrie
de [Rn.
Ex. 3. 12
A =
avec
y
aXi
a_'j
x
E B(O, g(x) =
2)
que
quel que soit
t E IR, u' (t)
~
_allxI12.
el
telle que,
= (grad Du(t)
x:o E B(O. r).
lim u(t) =
t~+x
f=[R~2~IR,(x,Y)f-;>xtny+ytnx f:[R2~[R, f-;> ~
O.
el sur
-
xy + ~
f -
V x2
+ y2
f-;>
u+v 2
D.
à
un repère orthonormé
montrer que,
en (a, b, 0) au plan xOy et tangente
E=
eO([O, 1], Ji) normé par:
Iif Il ex; = sup Lf(x) 1
et F = {J E e1([0.
ilfllF
Soit 'F: F 2 .
(1 + u )(1 + v )
Ex. 3. 15 inscrits
1], R),f(O)
= O} normé par
= sup V(x)! [0.1]
E, 'F:f
1)
Montrer que
2)
Montrer
f-;>
(on pourra sion locale).
f2
'F est
que f2
une solution les triangles d'aire maximum
dans un cercle.
0
[0.1]
Ex. 3. 14
Déterminer
y) =
au graphe de f.
ff-;>
[0.1]2
maxi-
pour tout (a, b) E [R2\ Fr D, il existe une sphère
Soit
1)
(U.V)E
D,f(x,
T, k),
(0, T, tangente
de
2)
sup
T.
Ex. 3. 19
Etudier les extremums
Calculer
Fr
f de classe
Ex. 3. 13
(x, y)
de
y) > 0,
L'espace étant rapporté
de classe
avec u(O) = XO,
on appelle
: I5 ~[R telle que
'if (x, y) E D,f(x, 'if (x, y) E
af
LXi-,-(X) i=l dXi
Soit u :[R~[Rn
Montrer que
r) E [R~2 tel
r), n
M intérieur à T,
r les distances de M aux trois côtés Trouver M pour que le produit pqr soit
et soitf
Prouver qu'il existe (a, 'if
Etant donné un point
p, q,
Soit D un domaine de [R2 tel que I5 soit compact
négative. 1)
du plan euclidien.
(0) est définie
d
y
un triangle
Ex. 3. 18
,2f
au =
T
mum.
E e2([Rn, [R) telle que dfo = 0 et [au]
Ex. 3. 17 Soit
Montrer que df
Soitf
soit minimale.
d'inver-
sion locale). 3)
du plan telles que
Ç1
+ d(B, m2 + d(C, m2
II·
e2 sur [Rn
est de classe
les droites
d(A, Ç1)2
+
+ f. de classe
f
el
= 9 admet dans E
pour Il 9 Il ex; assez petit. utiliser
le théorème
d'inver-
Chapitre IV
Séries numériques et vectorielles
1
1- Généralités E désigne un IK-espace vectoriel normé (IK==~ou iC).
A. Espace vectoriel des séries à valeurs dans d.1
Soit
une suite
(Un)nEN
On appelle
E
à valeurs dans E.
série de termeg-énéralun
le couple de suites:
n
d.2
La suite
(Un)N
de tenne général
Un
L
==
est dite suite
Uk
k=O
1
d.3
des .sooonéS Une série
de la série de tenne général
à valeurs dans ~ (resp. dans
iC)
Un.
sera dite réelle (resp. complexe).
1
n.1
La série de tenne général
Un
L Un.
sera notée
1
Remarque Une série Un est entièrement définie par la donnée de la suite (Un)N (suite des sommes partielles). En effet, on a ua ==Uo et ';f nE N*, Un ==Un - Un-l.
L
dA
Soit
(Un)n;;,no
La série pour
une suite
à valeurs dans E, définie à partir du rang
L u~ où (U~)N est
n ;;;, no,
définie par
uh
==ui ==... ==~-l
est encore appelée série de tenne général
Un
no E
N*.
==0, et u~ ==Un et notée
L
n;;,no
Pour la suite
(U~)N
des sommes partielles,
on a alors: n
';f nE
N,
n ;;;, no
=?
U~
==
L
k=no
Uk
Un.
124
Précis d'Analyse
d.S
Soit
L Un une série à valeurs
dans
E,
la série
2=: Un n~no
(qui est du type défini
en dA) est dite déduite de LUn partTO,fiçàtupe au rang Si
(Un)nE N
2=: Un n~no
t.1
et
(U~)n~no
Il
Il{).
sont les suites des sommes partielles de
2=: Un
et
respectivement, on a :
n?
V nEN.
L'ensemble
S(E)
=}
Il{)
U~ = Un - Uno-l
des séries à valeurs dans
E
est un IK-espacevectoriel.
1
~
On vérifie que c'est un sous-espace vectoriel de EN x EN. D
B. Séries convergentes d.6 1
L
Une série Un à valeurs dans E est diteconyerge~te suite (Un)N de ses sommes partielles est convergente. Une série non convergente est dite
si et seulement si la
+00
d.?
co:nv'er~;eIlteL
On appelle sornm.e E
défini par
"'"' L..,; Un
n=O
et on note
n
+00
de
Un,
= n--+ lim +00 "'"' ~
2=: Un l'élément n=O
Uk
k=O +00
Dans le cas d'une série 2=: Un convergente, la somme est notée 2=: Un et on a : n~no +00 n=no n 2=: Un = n--++co lim 2=:
p.1
Uk
k=no
n=TID
Cas où E est de dimension finie p. Soit (ei)lE;iE;p une base de E, (Un)nEN une suite de
t
E
et
(Uh)nEN.
Ci
E [1. p])
ses suites composantes (v nE N. Un = t=l u~ei) La série L Un est convergente si et seulement si les p séries composanteE L uh . (i E [1, p]) sont convergentes. Alors ~
E = f;n E u~ p
+00 Un
En posant
(+00
)
ei
n
p
Un = L Uk. U~ = L u~, k=O k=O
on a
Un = 2=: UAei i=l
Cas particulier
L
Une série Un à termes complexes est convergente si et seulement si la série de' an et la série des parties imaginaires bn sont convergentes. parties réelles +00 +00 +00
L
Un = an + ibn. (an. bn) E (R2.Alors
L
2=:(an + ibn) = 2=: an + iL bn. n=O n=O n=O
j,-.,j"-
ILO
=:hapitre 4 : Séries numériques et vectorielles p.2
L Un
Une série
E S(E)
et une série
L
Un
s'en déduisant
par troncature
n;?;no
sont de même nature.
1
p.3
Si deux séries ne différent même nature.
1
Application
Il assez
Il.
grand, on dit que la nature d'une série est une notion asymptotique.
Reste d'une série convergente
d.a
Etant
elles sont de
L Un ne dépend donc que du comportement de
La nature d'une série unppur
que par un nombre fini de termes,
1
L
donnée une série convergente
Un E S(E)
et p un entier naturel,
n;?:no
p
:?o
no, on appelle
L
la série
+=
Rp=
Un:
Pour tout p
:?o
L
de cette série et on note
Rn =
no, on a alors
~+00
Un = Up
+ Rp
(PUp = ~
L
n d'une série convergente
le reste d'ordre
Uk
Pour tout
n
:?o
no,
D
Un )
k=n+l
pA
la somme de
Un
+00
Soit
Rp
n=p+l
n;"p+l
~
p
reste d'ordre
L
Un·
n~no Un
= Rn-l -
Rn
1
p.5,:K"
lim Rn = O~·
n--++oo
1
Remarque +00
p-l
On pourra aussi rencontrer les notations
Up =
L
Un
Rp
= LUn. n=p
n=T1Q
2. Conditions nécessaires de convergence
t.2
Gritèrède Cauchy Pour qu'une série que
\ISE
L Un à valeurs
dans E soit convergente,
IR:, 3 NE N, \1 (n,p) E r\:P, n:?o N
=?-
IlE ukll
il est nécessaire
<s
La suite des sommes partielles doit être de Cauchy, on obtient le résultat en notant que n+p
Un+p -
Un-l
=
L
k=n
Uk
D
126
Précis d'Analyse Il Application La série harmonique (
U2
t.3
n
-
Un =
diverge. En effet:
n+1 n+2 2n _1_ + _1_ + ... + ~
donc
U2
n
-
Un ~
dans E soit convergente, lim Un = 0 +CXJ n........•..
que
2n
n (~)
L Un à valeurs
Pour qu'une série (mais non suffisant)
1
lrW
1)
n ~
Un = ~,
2
= ~
il est nécessaire
On applique le critère de Cauchy avec p = O. L'exemple de la série harmonique montre qu'il ne s'agit pas là d'une condition suffisante de convergence. D
Application On utilise ce théorème pour mettre en évidence des divergences, par exemple: Un = an, a E C, pour 1al ~ 1, Un ne tend pas vers zéro, donc Un diverge.
L
Définition: d.9
Une série dont le terme général ne tend pas vers zéro sera dite grossièrement
1
3. Condition
divergente.
nécessaire
et suffisante
de convergence
Théorème:
tA
L
Soit E un espace de.Banach et Un une série à valeurs dans E. Pour que Un converge, il faut et il suffit qu'elle vérifie le critère de Cauchy. Ce qui se traduit par l'une ou l'autre des formulations équivalentes suivantes:
L
lrW
(1)
\lsE!RI.:,3NEf:;J,\I(n,p)Er\P,n~N
(2)
n ,!!;m . +co pEN sup
II~
k=n Ukll =
0
=}
ou
IIEUkll<s
(ou,!!;m. n . +X p""n sup
lit
k=n Ukll =
0)
E étant complet, la suite (Un)nE converge si et seulement si elle est de Cauchy, =} IIUn+p-Un-lll<s c'est-à-dire \lsE!RI.:,3NEf:;J,\I(n,p)Ef:;J2,n~N On obtient ainsi la formulation (1).
L'équivalence entre p
E
f:;J,
(1)
et
(2)
est claire dès que l'on note que, Il ~
donne l'existence (dans
Conséquence pratique Pour montrer qu'une série s'efforcera de majorer nulle.
IlE
!RI.)
de
Sn = pE~j sup
L Un converge Uk!!
Il ~ k=n Ukll 1
unll < s pour tout
avec 0 ~ Sn ~
S.
D
par application du critère de Cauchy, on
indépendamment de p (p ~ n) par une suite de limite
Chapitre
14.
127
4 : Séries numériques et vectorielles
Séries absolument
convergentes
1
Définition:
L
d.10
Une série Un à valeurs dans E est dite absolument convergente seulement si la série;: Un Il E S(R) est convergente:---
1
si et
Théorème: t.5
Soit
E
un espace de Banach et
L Un une série à valeurs
dans
E.
L
Pour que Un soit convergente, il est suffisant mais non nécessaire que Un soit absolument convergente.
L
1
Si
L Un est absolument convergente, L Il Un Il vérifie le critère de Cauchy,
or, on a
!i k=n n+p uk Il ,]II~
L
n+p ~ ~ k=n
Il
uk
Il,
donc
L Un vérifie aussi le critère de Cauchy et
E étant complet, Un est convergente (d'après le théorème 4). La condition n'est pas nécessaire car il existe des séries réelles qui sont convergentes et non absolument
0
convergentes.
(_l)n+l
Un exemple est celui de la série harmonique alternée
on sait que'\"' ~
n~l
15.
~-, n~l
1
(_l)n+l
-n diverge et on verra plus loin que ~
---
n~l
Séries semi-convergentes
n
n converge (exemple 2).
1
Définition:
L
d.11
Une série Un à valeurs dans E est dite semi-convergente si elle est convergente mais non~bsolument convergente.
1
si et seulement
C. Suites et séries
L
On peut, dans certains cas, conclure à la nature d'une série Un en étudiant directement la suite (Un) de ses sommes partielles. Pratiquement, ceci sera possible lorsqu'on pourra n donner de Un = ~
uk une expression simple en fonction de n.
k=O
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 /_/_/_/
La série géométri~ue
_
an, a E C, (par convention
~ n~O
•
Si
a
of.
1
n Un=~a k=O
k
1-a n+l
=-.-
'if
a E C, aO = 1).
128
Précis d'Analyse
•
Pour lai < 1,
lim
1
an+1 = 0, donc
n-++oo
hm
Un =
n-++co
1- a
1
+00
La 1-a Pour lai;:;. 1, an ne tend pas vers zéro, donc L an est grossièrement
La série géométrique est alors convergente avec •
""' n = _ n=O
divergente.
pie 2
L (_lf+1 n
n~l
•
i: = 101 tk-1
Sachant que
dt, (k E N*), il vient:
Un=L--= n (_l)k+1 k=l k
Jo l+t r1_d_t
Or,
=.fn2 et
1
L(-t)
!n1 n 0 ( k=l
dt=
k-1)
lol0
1----dt 1(_t)n +t
Jo n+1 r1_(l+t __t)_n dtl,,; Jo r\ndt=_l_.D'OÙ
!Un-tn21,,;_1_1 n+
Ce qui montre que la série harmonique alternée est convergente, de somme:
hm
n--HOO
=
Un
+:0: (_1)k+1
L ---=k
.fn2
k=l
exemple 3 dont le terme général s'écrit ••
Un = hn+1 -
Proposition Soit (hn) une suite de E et (Un) la suite défine par
'ri nE N, Un = hn+1 - hn.
La série de terme général Un est de même nature que la suite (hn)l'\j, et, dans le cas de la
+x
+00
convergence, on a
""' Un = ~""' (hn+1 - hn) = -ho + ~ n=O n=O n
Il suffit de remarquer que
• Onaici
hn
'ri nE N, Un = L Uk = hn+1 - ho k=O
Application : Etude de la série
'rInEN,
lim n--++oo
1
L
n~O Arctan
1 Arctan
2
n +n+1
= Arctan(n
n2 + n + 1
+ 1) - Arctan n
'lT
donc, puisque
n-++oo lim
Arctan(n
+ 1) = -2 ' la série proposée converge avec: +00
L
""' n=OArctan
1 n2 +n+
'lT
1 =
'2
Il
Chapitre 4:
129
Séries numériques et vectorielles
Remarque La proposition précédente s'utilise aussi pour ramener l'étude d'une suite à celle d'une série. n 1 Par exemple, la convergence de [a suite de terme général Analyse
1,
hn =
Lk k=l
en n, (voir
Chapitre VIII, Constante d'Euler), peut se déduire de celle de la série de terme
general Un = hn+l - hn = n + 1 - {n 1 + Tl , ,Ir ( Convergence que ['on peut établir au moyen de la règle des équivalents comme on le
1)
verra par la suite: Un - -
1
--9 . 2n-
D. Opérations sur les séries )'
•
Un et )'
L'n
sont deux séries à valeurs dans E et
Si )' Un converge. alors L
À
un scalaire
(ÀE
IK).
+x'
+::c
L
n=û
•
À
Un converge et on a : ÀUn
=À
Lun n=û
Si L Un et ;: Vn convergent, alors L(un + vn) converge, et on a :
+x
L(un n=û
+x
+X'
+ L'n) = L Un + L Vn n=û n=û
•
Si )' Un converge et L Vn diverge, alors L(Un + un) diverge.
•
Si )' Un et L Vn divergent on ne peut rien dire a priori de L(Un + un).
E. Groupement de termes Définition:
d.12
L
Soit Un une sélie à valeurs dans E, une application strictement croissante de ~ dans ~ telle que (0) = o.
<;Cn+l)-l
La série de terme général
Vn =
L
Uk
est dite déduite de L Un
k=<;(n)
par groupement des termes ou par sommation par tranches moyen de la fonction
(définies au
Exemple
n ~ 2n. Un = U2n+ U2n+l.
L Un et L Vn ne sont pas nécessairement de même nature: par exemple, pour Un = (_l)n et Un = U2n+ U2n+l,L Un diverge et L Un converge (série nulle). Théorèmes: On conserve les notations de la définition
12. +x
t.6
Si L Un converge, alors L Un converge et L n=O
Si L Un diverge, alors L Un diverge.
+cx:;
Un = L n=O
Un·
130
Précis d'Analyse
lfiF
Il
i / La deuxième proposition du théorème est la contraposée de la première. ii / La première proposition résulte de ce que (Vn), suite des sommes partielles de ~ Un, est extraite de (Un), suite des sommes partielles de :L Un.
D
t.7
Si
hm
:L Un
alors
lfiF
ME
Un = 0 et s'il existe
n-++oo
et
:L Un sont
~r tel
•
E~.
Cf'
(n +
1)-
Cf'
(n) ~ l'II,
de même nature.
(:L
i / D'après le théorème 6, on a déjà: ii /
que \;/ n
(:L Vn
Montrons maintenant:
Un converge)
converge)
(:L
=?
(:L
=?
Un converge)
Un converge)
Lemme Quel que soit
n E~,
hm Pn = n-++x,
De plus, on a •
il existe Pn
Si pn existe, on a
unique, tel que
E~,
Cf' (Pn) ~
n <~
(Pn + 1)
+x. pn = max{p
E~.
~
(p) ~ n}, d'où l'unicité.
• Remarquons que, pour tout Je E \', on a ~ (k) ?o k, il en résulte que le sous· ensemble de ~, {p E~, cp (p) ~ n} est majoré par n, comme il est non vide (il contien 0), il admet un plus grand élément, ce qui assure l'existence de pn. P
•
En écrivant
cp
(p) =~ (p)-
Cf'
L [ç
(0) =
(Je)-
Cf
(k - Ii] ~ pA!'
k=l
on obtient
n
hm n-+x
= +X.
Pn
Démonstration de il / Formons
Il Vpn -
lpCPn+1)-1
ii
L
Ukll'~
Un Il =
k=n+l
Ona et
lim
n-++oo
hm
n-++oo
Un=O
GIPn+li-1
L
k=n+l
donc, pour tout nE "'", il existe
Ilukli an = sup p~n
ii Up
an = O.
En remarquant que cp (Pn + 1) - 1 - n ~ III, on obtient donc n-++c'>C· lim Un - Vpn = 0
Il Vpn -
Un
+x
V=
Par ailleurs, en posant
L
Vn, on a
n~:rrx Vn
= V,
n=O
donc, puisque n-++x hm pn = et, finalement
hm
n----'-+-x
+x
(d'après le lemme), il vient
hm \p"--= Il n-+x
Un = V.
Exemples - Travaux pratiques
1 •L 1
Un
exemple 4 /
= n (_l)n,j + (_I)n,
n?o 2
Un est de même nature que
L
Vn, avec:
1 [~2
Vn = U2n + U2n+l = 2n + n~l
1
-1
1 - 2n = 2n(2n + 1)
~ JIan
Chapitre 4:
131
Séries numériques et vectorielles
exemple 5
cos (zn;)
n~1
n
•L
Un est de même nature que
n~l
L
Un, avec:
n~O Un
- 1 + 1) -
= USn+l + U3n+2 + U3n+3 =
2(3n
=
2(3n
2(3n
1 1 + 2) + 3n + 3
- 9n- 5 Dans chacun de ces deux exemples, équivalents car
Un
+ 1)(3n + 2)(3n + 3)
L Un pourra être étudiée au moyen de la règle des
est de signe constant (cf. Il).
F. Modification de l'ordre des termes Définitions: d~13 \.
Soit '> Un une série à valeurs dans E et une permutation de N, la sélie :> Un de terme général Un = n) est dite déduite de Un par modificaton de l'ordre des termes ou par ré arrangement (associé à la permutation de Œ). eT
L
110-!
Remarques 1)
Un réarrangement peut modifier la nature d'une série. Un =
Considérons, par exemple, la série harmonique alternée On peut réarranger (Un)n~l
en une suite (U~)n~l
pement de termes, donner une série
telle que
n
L u~ puisse, par un regrou1
L Un telle que, pour tout nE
N, Un > n +
1.
Il suffit en effet de définir (u~) de façon à pouvoir poser: Uo
=
1
~'2
1 1 1 1 1 =-2+3+0+"'+15>2 1 1 1 1 1 =-4+17+19+"'+51>3
Un
=-
Ul
1 etc.
2n
1 1 + 2pn + 1 + ... + 2pn+l - 1 >
(L'existence de Pn+l est assurée par le fait que la série
L
n
1 +1
1 2k +
1 est divergente).
k?'>pn
1
n-l
Par construction
L Un est divergente car"\"'L
k=O
théorème 6,
uk ~
1
1+ -2 + ... + -, n
d'après le
L u~ est également divergente.
Par modification de l'ordre des termes, on a ainsi transformé une série convergente en une série divergente.
132
Précis d'Analyse
2)
Il
Un réarrangement peut, sans changer la nature, modifier la somme d'une série. Considérons toujours la série harmonique alternée :[ Un transformée par la modification de l'ordre des termes en :
L/ n"'l
Un
=
1-
1111 "2 -
L
D'après t.7,
1
=1 + "3 -
1
1
1
+ 2n + 1 - 2(2n + 1)- 2(2n + 2) + 2n + 3-
6+'
..
u~ est de même nature et a éventuellement même somme que:
n"'l
~
Un
1 + (1"3 - 6'1) - 8+ 1 . - 2(2n1+ 2) + = (1 -"2 1) - =1
En conséquence,
1
L
Or, on constate que
Un n"'l
=
L
"2
(12n + 3
1)
- 2(2n + 3)
+..
L
Un· n"'l
1 +x
L
L
Un et, donc, u~ sont convergentes, de somme 2' Un. n",l n"'l n=l
Le réarrangement «a divisé la somme par 2))!
d.14
Une série :[ Un lorsqu'elle fication
1
à
valeurs
est convergente
de l'ordre
dans E est dite
commutative
ment convergente
et que toute série :[ Un qui s'en déduit
des termes
est convergente,
par modi-
de même somme.
Des exemples nous seront fournis par les séries à termes réels positifs et les séries absolument convergentes dans un espace de Banach.
II - Séries à termes réels positifs RémarqÙespréliminaires •
On a vu que l'on ne change pas la nature d'une série lorsqu'on modifie un nombre fini de termes. Les résultats qui suivent concernant la nature des séries à termes positifs sont donc valables pour les séries réelles à termes positifs à partir d'un certain rang .
•
Si:[ Un est à termes réels négatifs, à partir d'un certain rang, ~ -Un est de même nature et est à termes réels positifs à partir d'un certain rang. Le présent paragraphe permet donc d'étudier les séries réelles de signe ~()!1~~nt à partir d'un certain~ng
.
A. Théorème fondamental - Conséquences Théorèmes : t.8
Pour qu'une suffit
1
IGF
série :[ Un
à
termes
réels positifs
que la suite (Un):\j de ses sommes partielles
soit convergente,
Il suffit de remarquer que (Unh est dans ce cas une suite croissante.
Remarques +x
On a alors, V
n E N,
Un ~ U
avec
U=
L n=O
Dans le cas de la divergence
lim Un = +X. n-'-+x
Un·
il faut et il
soit majorée.
o
Chapitre 4 :
Séries numériques
133
et vectorielles
Conséquences 1) l!2F
'> Un à termes
Une série
L Un par modification
Soit '> L'n déduite de une permutation de
n
Pour tout
n
\ln =
n
L
Vk
k=O
de l'ordre des termes:
convergente.
=
Un
llv-(n) où cr est
E "':è, on a :
p
L
=
est commutativement
réels positifs, convergente,
llv-rkl
L
~
k=O
avec
Uk
(k), 0 ~ k ~ n}
P = max{cr
k=O
+x
L Un étant
convergente,
\;/ nE f'ii. Vn ~
il en résulte
L
Uk, donc d'après
k=O
+x [e théorème
8, )'
+:::0
~LUk
avec
Un est convergente
lc=()
+00
En notant que
=
Un
Ucr-lln!'
L
on obtient de même
+-
uk ~ ~ /, J
k=O
+x
L
Finalement
L
=
ule
k=O
2)
vle'
o
le=O
Une série )'
Un à termes réels positifs et une série
par tranches
sont de même nature.
Comparaison
J
Soit
d'une
une
positive
série
et d'une
déduisant
par sommation
intégrale
+x:[
de [a,
application
L Un s'en
dans
IR, (a E IR+), continue
par
morceaux,
et décroissante.
La série
de terme
Un = J(n) est de même
général
nature
r= f. .la
de l'intégrale
Remarque L'intégration
•
Un n'a
des fonctions
L L
donc
?
n
de sens que pour
On compare
continues
Un
no, où no est
est traitée dans le Chapitre
le plus petit entier naturel tel que
VI.
no
?
a.
rx f.
et
n~T1D
par morceaux
.la
n
•
Un =
Posons
ule'
(n?
no)
(x?
;
no).
le=T1D
• Rappe[ons
• J étant
que,
J
jn+l J ~
J(n)?.ln
Un ~
uT1D
. T1D
• Si
J:x J converge, F est
et le théorème
converge
si et seulement
si
F est
majorée.
on a :
\;/n?no, d'où
J:1
étant positive,
décroissante,
+
r+1J J
jnT1D
majorée,
8 permet de conclure
et
\;/ n
?
no + 1, J(n) ~
c'est-à-dire
F(n + 1) ~ Un ~
donc, d'après
l'inégalité
à la convergence
de
(1),
L
r
.ln-l J uT1D
+ F(n)
(1 )
(Un)n~T1D est majorée
Un.
n~T1(J
•
J~xJ diverge, et L Un diverge. Si
lim on a
n----;..+oo
J = +x:, ln+1 no
donc d'après
(1),
lim Un n-++oo
= +00 "
o
134
Précis d'Analyse
Il
Applications
1
•
L -U, n
Aièmmann:
(aE
n~l
IRS)
Si a"'" 0, la série est grossièrement divergente.
L
1
l
·+x dt
Si a> 0, par application du théorème 9, n~1n -u est de même nature de ·1
tŒ'
Formulaire:
L -un1 converge
f.1
si et seulement si a> 1
n~l
•
Série de Bertrand:
1
L
n(tn n)
n~2
e-(3),f:
Soit a = sup(2,
L
Ainsi
n~l
,,(f3E
IRS)
1 x ~
..
x(tnx)
est positive, décroissante sur [a.
R
1 n(tn
est de même nature que
n)
.l+X {na l3 tdt
nature que
(changement de variable
L n(tn1 "converge si et seulement si
f.2
n~2
+x[.
f3>
n)
.'dx .I+X a x([nx)
Q ,
qui est de même
t = tnx) . 1
B. Premier théorème de comparaison de séries Théorème: Soit
t.10
L Un et L Un deux séries
à termes réels positifs telles que:
'if n E
0"'"
Un"'"
Un
Alors:
il Pour que
L Un converge, il suffit que L l-'n converge, et, dans ce cas, +=:-:
+::>.:
'if
nE
i";.
0 "'"
L
Uk "'"
k=n
iil Pour que Notons
Un =
L
n
uk et
1/n =
k=O
il La proposition
il
limite, l'inégalité
vk, on a
'if
nE '\.
0 "'" Un "'" 1/n.
est alors conséquence immédiate du théorème 8, et par passage à la p p +:': +x 0 "'"
L
uk "'"
L
~n
vk
donne
0 "'"
L ~n
uk "'"
L
cie
~n
L Un diverge, on a n-+x lim Un = +x, donc, de Un Vn = +x et L Vn diverge: c'est la proposition iil.
ii 1 D'autre part, si
lim
L
k=O
~n
n-----'+N
L'k
k=n
L Un diverge, il suffit que ;> Un diverge. n
lB5'
L
"'" \ln, on déduit C' l'
135
Chapitre 4: Séries numériques et vectorielles Applications
Règle: r.i
Critère de Riemann
ou règle
nO'Un
L Un une sélie à termes réels positifs. i / Pour que L Un converge, il suffit qu'il existe Soit
Un =
0 (
~O') (resp.
L Un diverge,
ii/ Pour que
1
~
Si Un =
0 (
Si
1 -----ex
n
quand
)
L
= O(Un) ou
Or, pour ex~ 1.
L
ou
Un =
1
-----exest
n
1 -----ex
n
tend vers
n
0(
~O'
)
,
quand
O(Un»
ilexiste
n
a tel que
a>
tend vers +00
n E N*, a
'cf
convergente, donc, d'après le théorème 10, ilexiste
= O(un),
a tel que,
a>
.
'cf
N",
nE
~
Un ~ ~
L Un converge. a
Un ~
1 nO'
+x
il suffit qu'il existe a~ 1 tel que:
1
~O'
Or, pour ex> 1,
0 ( ~)
Un =
(resp. ---ex n =
= o(un)
n
-----ex
a> 1 tel que:
est divergente, donc, d'après le théorème 10,
-----ex.
n
L Un diverge.
D
Remarque Les conditions Un = 0 ( ~O') et Un = 0 ( ~O') se traduisent respectivement par lim nO'Un = a et (UO'un) est bornée d'où le nom de la règle. n---'-+co Exemple: Série de Bertrand:
1
L
(a,
Q'
13) E 1R2
n;;e2 nO'(€nn)
• Le cas
ex=
1 a été étudié précédemment,
1 noter, que pour j3~ '." • Cas 1 <ex: On a
0,
l'inégalité
n(fnn)
1 11peut être utilisée.
13 ~
soit '( réel tel que 1 <'«ex. et, puisque '( -
n"Yun = n"Y-O'(1nn)-I3,
n~+c()
lim n"Yun=O c'est-à-dire D'après la règle de Riemann,
ex<
n
un=o(
0,
(quel que soit
\)
13).
L Un est convergente.
• Cas
ex<
1:
on a ici nUn
lim nUn = +'X n~+w
= n1-O'cen n)-I3,
c'est-à-dire
D'après la règle de Riemann,
1
-n =
o(un)
et, puisque
1- ex> 0,
(quel que soit
13).
L Un est divergente.
=ormulaire : f.3
L
1
n;;e2nO'(fnn)
13
converge
si et seulement
si
(ex>
1) ou
(ex=
1 et
13>
1)
136
Précis d'Analyse
Règle: r.2
Il
équivalents
I: Un et I: Un deux séries réelles
telles que, au voisinage de +x, Un ~ 0 et Un ~ Un. Alors, on a également Un ~ 0 au voisinage de +x et les deux séries sont de même nature.
Soit
~
On a, lorsque n tend vers
+x,
Un - Un = O(Un) et
Un ~
O.
1 Il existe donc no E "'J tel que, pour tout n ~ no, Un - Un 2" Un 3 donc Un ~ 2"Un et Un ~ 2un. On conclut avec [e théorème 10. 1
~
o
Remarques 1)
Cette règle très importante permet de ramener l'étude d'une série (:compliquée» à celle d'une série «p[us simp[e». Il sera utile de déterminer ['équivalent [e plus simple possible. La technique de calcul peut utiliser [es développements [imités au sens fort.
2)
Cette règle s'applique aux séries de signe constant à partir d'un certain rang.
3)
Cette règle est en défaut si les séries comparées ne sont pas de signe constant au voisinage de +x, (voir exemple 16 deuxième remarque)
Exemples - Travaux pratiques
exemple 6 ,~~/
l'Etude •
_
de la série de terme général
En développant Un on obtient:
Si a
*-
~,un ~ ( ~ - ~)
Si a = ~. Un =
t) (:3)
Un = {/n3 + an - \/n2 + 3. (a ER)
Un = ~ (~
~ et)" et;
- ~)
+
t) ( ~)
Un diverge
(règle des équivalents)
un converge
(règle nCiun).
exemple 7
t=-Et ~tu d"e' d e la sene ~. de terme ' genera ~ ~ l 1
1 (n + 1)1+1 n = n 1+1 n 1 + _n (
Un = nCi 1 [,ln +
J
l'
Fianlement
(n-1) (n+I)'n
= n ('
1_1n =ne _ tnn+o( n 1+11-1
-(n-li
D'après ['étude des séries de Bertrand,
(
0 ( ~ ) ) = ~ + 0 (~) tnn 1+ ----rL
(n + 1) 1+1 n = n e tnn+o(tnn) n n
De même
J
n = n e -+n 1+-) 1+n tn ,n; tn n (' 1\
) 1+1
Or (1 + ~ ) tn (1 + ~) = (1 + ~) (~+ Donc
11+1 n - \H " - 1·1-1] ! n
+
07, .
= 0 (
= n + tn n + o(tn n)
('tnn'))
tnn ') =n-{nn+o(tnnl ,n.
n =2tnn+oCtnnl
L Un converge
et
Un -
t~ n)
tn n 2--
si et seulement si
nCi
CD
1.
Chapitre
137
4 : Séries numériques et vectorielles
C. Sommation des relations de comparaison Théorèmes: t.11
Soit :L
'> L'n deux séries à termes réels telles que:
et
Un
•
'> L'n est à termes positifs à pmiir d'un certain rang
•
~
•
Un =
converge
L'n
n tend vers +x.
alUni quand
L
L
+:..:::
i\lors,
[@f'
les restes
d'ordre
IRn\
•
:L
•
Un
Alors, :L On a ici
no,
~ SUn.
[Uni
L'n
1
Uk[
~S
k=n+1
L
uk
k=n+1 D
deux séries à termes
+-=-~
L'n
quand
réels positifs à partir
Un -
Un
=
et les restes Rn et Tn vérifient
c'est-à-dire
Rn - Tn = o(Tn)
exemple 8 un équivalent
+x ~? L
simple de
le=n
1 k~
quand n tend vers
1
en considérant
la série de terme général
L'n= ---n
en considérant
la série de terme général
wn=! n
1)
D'après le théorème 12, on a alors Un = n(n + 1)- n2'
Or
~+x
1
n+ 1 n+1 dx
2x
1
1
(1k - k+1)1
n
Rn
-
Tn.
+r:x=:
Le théorème 11 s'applique et donne:
o(L'n).
Exemples - Travaux pratiques
•
d'un certain
n tend vers +x.
converge également
~ (un - L'n) = a ( k=n+1 ~ L'n)' k=n+1
1
vérifient
Ule
k=n+1
converge
Un
Un
n ~
Tn =
Tn
~S
Soit:L Un et )' rang telles que:
~L
+:-:
Ik~l
Pour tout n ~ no, on a c'est-à-dire
et
Uk
k=n+1
est absolument convergente d'après le premier théorème de comparaison. +::>: +x
Un
i
[@f'
Rn =
--.!!~n=o(!n) quand n tend vers +x. Po~r-tout:; 0, il existe no E; ~'jtel que, pour tout La série '>
t.12
n
L 2'1 - L (1k -
+x k k=n
donc
+x k=n
1)1
k+
+x
D
138
2)
Précis d'Analyse
De
__ cIx (n +1_ 1)2 ~;,n+1 n x2
Or
Li
Ie=n le
~
L k1 L l'k+1 2x 2" ~ +co
+C0
cIx
Ie=n' le
1 1
+co
=
x
wn~2n
~ ~n2
Ie=n
,laI
1
on déduit
D'où, d'après le théorème 12 +0::.
rco
.1n
Il
L
donc cIx = ~ n
Ie=n k2
x2
~;:1
exemple 9
Lk ----a 1 ) de An = '"
Œ>
1
de Bn = Lk1.nk '" (f) 1
2)
Ie=n i:alent simple quand n tend ver::% Ie=n !1Touve,"n :;:'.
•
1)
De
---~ (n +11)C<
~ 1n+1 cIx n xC<
-
et le théorème 12 donne
on déduit
1 nŒ
,
~ 1c< Ie=n k
_
-
1 nC<
rk+l
~
2)
~ = x
On a de même
rco .1 n
clx xC<
1
donc
!
eL, x(fnx)Œ
+x
d'où on déduit d'après [e théorème 12 c'est-à-dire
1
ü-1
An~ (a-1)n
(a _1)nü-1
r+1 ~.ln
1 n(fnn)ü
-
cIx ,1n+1 n xŒ
eL: x
Ie=n.lle
1 Or ~ jk+1 Ie=n' le
-
1
ex>
)Œ
clx -Πx(tnx)
Bn - '. n
--,
Bn - (a -l)iJnn)
Théorèmes:
t.13
L Un et Vn deux séries à termes réels telles que: • L Vn est à termes positifs à partir d'un certain rang • L Vn diverge
Soit
•
':>'
Un =
quand
O(un)
n
tend vers +x, n
Alors, les sommes partielles
Un =
L
n
et
Ule
L
Vn =
Ic=O
quand n tend vers
+
L'le vérifient Un = olYn)
Ie=O
x, 8
~
Pour tout 8> 0, il existe no E 'c tel que, pour tout n "'" no.
Un ~ 2L'n.
n
En écrivant, pour n"'" no,
=
Un
Un:>
+
L
ule
k=no+1
n on obtient Uni ~
i
Un" + ')-'8
'" L
L'k
soit aussi . Un: ~ 1
Unr,!
-
~8 l'Tl{, + ')8 vTn
')
....
k=nê+1
8 Un. , - Par ai[leurs, on a
lim Iln = +x n-+:,:
donc
hm
n-+:--:
2
1.(1 [
Vn
ITn. lU)
=0
Chapitre 4:
139
Séries numériques et vectorielles
1': et il existe nI Finalement,
?
tel que pour tout n
EC,
n ~ max(no. nl)
=?
1
nl
Uno 1
1':
"2 Vno ~ "2 Vn.
-
Uni ~I': V'n, d'où la conclusion
o Soit:>' Un et :>' Vn deux séries à termes réels positifs à partir d'un certain rang et telles que: • ) Vn diverge
t.14
•
Un ...:...-;: L'n
Alors, :>' Un diverge également et les sommes partielles
Un
et
Vn
vérifient
Un - Vn. +x ~
On a ici
Un - en = olvn!.
f(UK K=O
vk) =
0(f
K=O
Le théorème 13 s'applique et donne:
Un - Vn = o(Vn)
VK) " c'est-à-dire
Exemples - Travaux pratiques
exemple 10
_
ken k '. En déduire un équivalent simple, quand n tend vers +x de ~ Vélific' que, l",-'que n ten d ve" +x n ln n - (fn ({n(n + 1)) k=2 ~ (n f~ n)
l"
•
Un calcul de développements asymptotiques donne: tn(tn(n
+ 1)) - tn(tn n) - nt~ n
1 D'après l'étude des séries de Bertrand, ~
n~2
1
n d'après le théorème 14 on a """' L
n=2
n
ktn k - ~
~
k=2
est divergente à termes réels positifs, donc
K=2
(tntn(k
+ 1) -
tnth k)
1
n
soit
-1:n1.nn
-{k~nk - ftn " (tn(n+
1») - tntn2]
- tn(tnn)
exemple 11 n
un équivalent simple, quand n tend vers
+x, de
~ -,-
1 _.
Œ<
1
k=2
•
La série de Bertrand ~ el)'" n~2k(nn
avec
Œ<
1 est divergente.
~
_
1 x f-+ x(fnx)O:
n?no
est décroissante au voisinage de
1 (n+ l)(tn(n+
et on en déduit
1»0:
n (en1 n )0:
-
~
in+I ---~-dx x(enx)O:
.n
-e-' i·n+l n x( dx nx)
0:
+x, il existe donc 1 n(€nn)O:
no EN tel que, pour tout
140
Précis d'Analyse
Le théorème
1 n k(enkt k=2 n
dx
~ .12{n+l
L
D'où encore
L
n k( en1 k)a ~ k=2 n .1{k+l dxxt k x( en k=2
14 donne alors
L
Soit
L
(en
1 .~ ~
Deuxième
de
théorème
n)l-a
1- 0'
1»l-a - (en2)1-a
(en(n+
k=2
D.
Il
comparaison
de
séries
Théorème:
L
L
Soit Un et Un deux séries à termes réels strictement positifs. On suppose qu'il existe no E N tel que :
t.15
n EN,
\f
no~n
=?
Un+l --~
un+l
Un
Un
Alors:
L Un diverge, il suffit que L Un diverge. que L Un converge, il suffit que L Un converge.
i / pour que ii / pour
+'X
iii / dans le cas ii /, pour tout
on a
n ~ no,
+cx:·
""'. ""' uk. L-- uk ~ Un vnLk=n k=n
n-l """ rr=
•
Ona
\fn>no,-=
et les propositions •
II
Un Uno
i / et ii / résultent
\fn~no,Un~'-Un
--donc uk+l
k=no
uk
du théorème
L Un convergente.
Supposons
10. +x
+::-<:
On a, pour tout k ~ n ~ no,
Un uk ~ -Vk Un
Uno Uno
d" ou
L
L
""' uk ~ Un uk Vn k=n k=n
o
Règle: r.3
Critère de d'Alembert Soit
L Un une série à termes
i/ S'il existe k E ]0, l[ et alors,
no
tels que
E ['\,
tel que
\f n
E '\;.
Un+l lm --, n---'-+::c~
Un
\f n
E ~'"
=?
.
a l ors
si t< 1. L Un converge si t> 1. Un diverge grossièrement si t= 1, on ne peut rien dire.
L
n ~ no
=? +X
n ~ no
n ~ no
L Un diverge grossièrement
... / S"l1 eXIse . tEl'<,= 111 • • •
E ['\,
L Un converge, et pour tout
ii / S'il existe alors,
no
réels strictement positifs. Un+l ~ k, Un kUn
""' ° ~ Rn = k=n+l L uk ~<-1_ k Un+1 ~ Un
1. '
Chapitre 4:
l0f
Séries numériques
Introduisons
la série géométrique
i / est conséquence
immédiate
ii / résulte de ce que
•
iii /
\-1 V
n ~ •
Un+1 -u n ~
•
qu'avec
J
c,
d
d'après
donc
L Un converge
--
onc
Tl{)
tel que
E '\
\::!
l, puisque
le <
.«
L'n
=
len:
Vn+1
Vn
= le,
15
du théorème
le tel que
l, il existe
Si.( >
grossièrement
de terme général
unln~nü est croissante,
l, soit
Si .( <
Tl{).
1
141
et vectorielles
d'
lim n~+x
Tl{) ,
Un ~ Uno > 0,
Un+1
Un
=(,
il existe Tl{) E [\j tel que
. '/ apres l"
n ~
\::!
n ~
Tl{) ,
un+1 Un ~ 1, donc
L Un diverge
ii/,
Le cas .(= 1 peut se produire
aussi bien avec une série convergente
o
(L ~) ,
une série divergente
(L :2 )
Exemples - Travaux pratiques exemple 12 ~
~
Etudier les séries de termes généraux
1
= -, n;
Un
et
_
ennl
Vn= -nn
• _ 1
•
Un -
•
n!'
~-=e Vn
Vn+1 c est-a-
,
Ire -'-Vn Vn~l
. d'
Un+1
1
_
u;:;- - n + 1 --
=
1 +
n
1n
-2
(
1+-n
e L
n =
=e
1) -n
Un converge,
-.l.~O(l) e2n ' Tl
1-n.(n(1+1)
(1)
lim
n---'-+x , ,
vn~l
-'-
l,
=
Un
1
Vn+1
on a, au vOIsinage de
donc il existe Tl{) E i'\! tel que
Un
+ 0 -n .
On se trouve dans le cas douteux:
cependant,
t\
Un+1 - =0
n~+x
=e
n+1 (n)
l'lm
donc
\::!
+x, --Vn n~
Vn+1 Vn
Tl{), --
1 ~ -
-2
n
'
1> 0
et
L Vn diverge.
,/
/'
142
Précis d'Analyse
Il
III - Séries absolument convergentes Remarque
L
Pour étudier l'absolue convergence d'une série Un à valeurs dans E, on utilisera les critères développés dans l'étude des séries à termes réels positifs.
L Un à termes réels positifs convergente telle que Un = o(un) quand n tend vers +X, L Un est alors absolument convergente.
En particulier, s'il existe
=
ou
1.16
O(un)
Cas où E est de dimension finie, p. Soit (eihoS;ioS;pune base de E, (un) une suite de E et (uh) ses suites composantes. La série L Un est absolument convergente si et seulement si les p séries composantes L uh sont absolument convergentes.
Il§
E étant de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes: la nature d'une série ne dépend pas de la norme choisie. p Utilisons la norme définie par
Il x
IiI =
L
p
IXil
avec
i=l
x =
L
xiei.
i=l
p
On a alors, pour tout
n
E N, Il Un III
=
L [u~i
donc l'absolue convergence des séries
i=l
L uh donne celle de L Un· De même, \J i E [l,p],\J n EN,[uh[ IIUnI11' donc l'absolue L Un donne celle de chacune des séries L uh, i E [1, p] . oS;
•
Cas particulier
Une série
L Un à termes complexes est absolument convergente
série des parties réelles
L an et la série des parties imaginaires ~
convergente, (un = an + ibn, (an. bn) E
t.17 1
Il§ t.18 1
convergence de
si et seulement si la bn sont absolument
::::12).
o
Une série L Un à valeurs dans E, espace de Banach, absolument convergente, est commutativement convergente. Ce résultat est admis.
Uensemble des séries absolument convergentes à valeurs dans E, espace de Banach, est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des séries convergentes à valeurs dans E.
Il§
C'est un sous-ensemble non vide (il contient la série nulle) de l'ensemble des séries convergentes à valeurs dans E d'après le théorème 5, et il est stable par combinaison linéaire car
IIÀ. Un+ f.l Unll oS;
,IUnl +
f.l'
L'n
o
Produit de Cauchy des séries complexes Définition : d.15
1
L Un et L Un deux séries complexes, on appelle produit de Cauchy n L Un par L Un, la série L Wn de terme général Wn = L UkL'n-k k=O Soit
de
143
Chapitre 4 : Séries numériques et vectorielles Théorèmes: t.19
Src) muni des trois opérations
- somme de deux séries, produit
d'une série
par un scalaire, produit de Cauchy - est une [>algèbre commutative
1
~ t.20
Même démonstration que pour la vérification de la structure d'algèbre de C Le produit de Cauchy /' Wn de deux séries à termes gentes /' Un et L'n est une série convergente. ~n=OWn = (.~ \n=O un) n
~
Posons
HTn =
On a
L L Id
Un =
~o lE
Posons ln = {k
UkU(,
D
('.~ n=Oun) . n
Uk, \ln =
[X].
réels positifs conver-
L
De plus
unitaire.
L
n
L
L'k, HTn =
~o
Wk·
k~
Tn = {(k. [) E
10"""
k """n,O """["""n - k},
T-,
E \, 10 """
k """n}, on a
c T2n·
Tn cI~
A
10,Zn)
1
L Un et L Un étant à termes réels positifs, on en déduit:
L
'ld)E
unv( """
L
ukv( """
, k,[ lE I;
Tc
c'est-à-dire
r
L """ ukv(
k,OE T2n
l'ln""" Un \ln """W2n
Wn """Un \ln
donne, pour tout n,
01
Wn """ (~Uk) k=O
(~Vk) k=O
Donc, d'après le théorème 8, L Wn converge et ~k=OWk """ (~Uk) k=O De Un \ln """W2n, on déduit ensuite (par passage à la limite) :
(~k=O Uk)
t.21
(~Vk) k=O
"""~k=O wlc-
Finalement ~k=O wk = (~Uk) k=O
(~Vk) k=O
(~Vk)' k=O
Le produit de Cauchy L Wn de deux séries complexes absolument gentes L Un et L Vn est une série absolument convergente.
D
conver-
De plus ~n=OWn = (~un) n=O
On a, pour tout n,
IWnl """ w~
(~vn) n=O
avec
n
w~ =
L
IUkl IVn-kl.
k=O
L w~ est le produit de Cauchy de L IUnl et de L IVnl qui sont des séries à termes réels
positifs convergentes, donc, d'après le théorème précédent, L w~ est convergente. Il en résulte que L Wn est absolument convergente, Avec les notations de la démonstration du théorème 20, on a :
144
Précis d'Analyse Il Or, d'après le théorème 20 :
t
(f
k=O IUkl)
k=O W~ =
n~~oo
En conséquence
lim
Wn -
(f
(t (t
= n~~oo
k=O [Vkl)
k=O [Ukl)
k=O IVkl)
=0
Un Vn
n---;.-+oo
f
c'est-à-dire
k=O wk
(f
=
(f
k=O Uk)
o
k=O Vk) /;
"'
- Travaux pratiques
exemple 13 Etant donné z 1)
Montrer
E
n Z un(Z) = n!'
C, on considère la série de terme général
que ~ un(Z) est absolument
convergente.
+:0
2)
On pose
f(z)
=
L
Montrer
Un(z).
que l'application
f
: C--+C
ainsi définie
n=O
vérifie •
V (z,
Z') E C2,
+ Zl) = f(z)f(z)
f(z
1)
Le critère de d'Alembert donne la convergence de ~
2)
D'après le théorème 21, on a : 1
V (z,
Donc
=
f(z)j(z)
2
L,1 L +:0 n=O
n.
(nk=O
L L, (_ Z
l'
z ) E C,
[Un(z)l.
= +:0 n=O
f(z)f(z)
=
en zCz n-k k 1 1 )
(nk=O
L
+:0 (z n=O
Z
k.k nm~k) k.)1
n.!
+ z)n
=f(z
+ Z). 1
IV - Séries à termes quelconques
Semi-convergence Les méthodes ci-après seront utilisées pour l'étude de séries dont on n'a pas pu établir l'absolue convergence.
A. Transformation et règle d'Abel Définition : d.16
Soit
E
un espace vectoriel normé,
(8n)
une suite réelle et
(an)
une suite de
E.
n
En posant, pour tout nE
L ab on obtient: =L
An =
""J,
k=O
n+p
V nE
rr, V p E l'J. L 8k k=n
n+p~l
ak
8n An-l
On dit alors avoir effectué la transformation
+
(8k -
8k+l)
Ak+
k=n
d'Abel sur la somme
8n+p An+p n+p
L k=n
8n an
Chapitre
4: Séries numériques Ona
VnE~:r.
n+p
L
Donc, VnEr:Jx,VpE
an=An-An_l' n+p
L
=
8k ak
145
et vectorielles
k=n
n+p
Ak-Il =
8k (Ak -
k=n
n+p-I
L
L
8k Ak -
k=n
8k+l Ak
k=n-I
n+p-I
~'-
/---
- 8n
.
.(
L
An-I +
(8k -
8k+l)
Ak+
8n+p An+p
k=n
;Règle: Règle
d'Abel
Soit E un espace
(8n) une
de Banach,
suite
réelle
et (an) une suite
de E telles
que: i / (8n) est décroissante
et
lim 8n= 0 n-~:..::: n
ii / la suite
définie
(AnY.
V n E '\, An =
par
L
est bornée.
ab
k=O
Alors la série
•
de terme
Il résulte de i 1 que et ii 1 s'écrit
général.
V nE
i"'J,
0 et 8n -
8n?
::3 M E Gr. V nE
est convergente
Un =8n an
11An!1 ~
8n+l?
0
IH.
n+p
•
Effectuons la transformation
d'Abel sur la somme
n+p
L
Uk
k=n
L
L
liAn-Iii +
~8n
k=n
d ou ,.
1
L
+
Ir
lim
n-----+x
L
8k ak,
k=n
(8k -
IIAkl1+ 8n+p IIAndl
8k+l)
k=n
8n k=n ukllIl ~ l'vI n+p . (
Puisque
=
n+p-I
n+p
on obtient:
.
L
(8k ,
k=n n+p-I
8n= 0, cette majoration
elle est donc convergente
8k+l) + 8n+p
montre que
= 2M
')
8n
L Un vérifie le critère
de Cauchy,
(E est complet par hypothèse).
D
Exemples - Travaux pratiques
exemple 14
-, cosne
--,,n
des séries •
Posons
an
= cos ne,
sinne
et
bn = sin
na-
ne .
. n
n-I On a alors
'\""'(ak L..
An_
I = '\""' L..
k=O
=e
n-1
n-I donc
I 1- einS L..-k=O 1- eC
+ ibk) = n'\""' eikS _
k=O
in-Issm-e
ak = cos
--2
2
2
.
. n-1
n-l e sm .
. e Sln2
n
"2
e
Bn-I =
e
srn 2
L
k=O
b k-_
sln-' 2 . eesm -2n Sln-2
e
146
Précis d'Analyse
et
'if
n
1
EN,
1
~ceI Ism2[
IAnl
L --Œ-n
L
et
Ism21
résulte alors de la règle d'Abel.
sinn 8
n~l
n~l
•
cel
IBn! ~
cos n 8
La convergence de
nCi
Les séries précédentes sont les parties réelle et imaginaire de la série Pour 8E 2
Tld:,
Il
on retrouve la série de Riemann )'
1
I:
e inB -Ci-·
n
.
---ci'
qui converge si et seulement si
est absolument convergente
si et seulement si a> 1, car
n
a> 1. Pour 8E iR.\ 2
Tld:,
einB
•
la série
le;BI =
•
I: -Œn
:Ci'
•
pour 0
•
pour a~ 0, elle est grossièrement divergente.
Comme
1
les séries
~sin n 81 ~
L
1
nŒ
et
cos n 8 --Ci-· n ~
Il
L
et
~. sin n 81 ~
1
nCi'
pour a> l,
. sin n 8 --Ci-· n -
sont absolument convergentes.
On montre qu'elles sont semi-convergentes pour 0
-- ?
1
cos2n8 n Ci
= 2 nŒ
cos2n8 + ~n ') Ci
',sinn8[ et
nCi?
1par les inégalités sin2n8 1 cos2n8 nCi - 'f'" ~n - ---.
(minoration par des séries positives divergentes).
B. Séries alternées Définition:
I:
d.17
Une sélie réelle Un est dite alternée est de signe constant.
1
Onaalors:
\;fnE~;"un=(-l)n
N.B. On pose, par convention,
l,
un'
(-lP
ou
si et seulement
si la suite ((-l)nun)
'ifnE'·,.Un=l-ll'"l+l
Un
= 1.
Critère spécial des séries alternées
1
Règle: r.5
Soit )' Un une sélie alternée.
!
Si la suite (! Un ). décroît et si
~
lim
n--:--::--=-
Un = 0, alors,
On peut déduire ce résultat de la règle d'Abel. En effet
•
(1
">'
Un conyerge.
Un =
[-IF
'Un
UnI) est décroissante de limite nulle.
n
•
L
(_l)k est le terme général d'une suite bornée (elle prend deux valeurs, 0 et 1).
'·:~O
147
Chapitre 4 : Séries numériques et vectorielles Autre démonstration On montre que les suites de sommes partielles (U2n) et (U2n+l) sont adjacentes.
•
En effet
=
jU2n+l ~ U2ni
et, si nous supposons que
'if
u2n+l
donc
nE
Un
lim n-+x
=
= !U2n+2 ~ U2n+li ,s; 0, = - u2n+3. + U2n+2 "" 0, (dans l'autre cas, les résultats sont inversés) . •
U2n+l
et
(U2n+l)
(U2n)
-
U2n)
=0
iUni, on a :
(_I)n
donc donc
U2n+2 ~ U2n
U2n+3 -
(U2n+l
(U2n)
décroît croît
(U2n+l)
sont donc convergentes et ont même limite, et (Un) converge.
D
Exemples - Travaux pratiques
exemple 15 Exemple important
L ~, n
~--
(_I,n
La série nées.
0:>
0, est convergente
Majoration de la somme
12,
d'après le critère spécial des séries alter-
1
Théorème:
L
t.2~
Soit Un une série alternée somme. Alors:
/'
il
d'après le critère spécial et U sa
U est compris entre deux sommes partielles
ii 1 U est du signe de iiii
convergente
Rn
désignant
U()
et UI ,s; 1
1
consécutives
quelconques,
U() l,
le reste d'ordre n,
Rn
est du signe de
Un+l
et
IRnl,s; IUn+ll.
~ i/ résulte de ce que les suites ii/Dans le cas où
(U2n)
et
sont adjacentes.
(U2n+l)
un=(~I)nlunl,ona
Ul,s;U,s;UO,
d'où 0 ,s; U() + Ul ,s; U ,s; U() et la conclusion. Dans le cas où d'où
U()
Un
= (-I)n+llunl,
on a
Uo,s;
u,s;
UI.
,s; U ,s; U() + Ul ,s; 0 et la conclusion. +::X:'
iii/ On applique ii/ à la série
L
k~n+l
uk (de somme Rn).
D
148
Précis d'Analyse
Il
C. Méthode par éclatement Un développement asymptotique peut permettre d'écrire [e terme général d'une série
I: Un comme somme de deux ou plusieurs termes correspondant à des séries faciles à étudier.
Exétnples - Travaux pratiques
exemple 16
(_I)n
-=-" •
Comme 1Un 1+X' - ~, ~ n2
Pour
co 0, n ~ 2,
.Jncx + (-I)n'
° <ex~
la série I:
Un
est absolument convergente si et seulement si
2, écrivons au voisinage de
La série
I: (-
Avec
Vn
Un
+:X::,
=~
n2 (-Il"
-
30:
1
2n2
+a
(_1)n = --0:- -
3Q'
( n21 )
1 Un
on a
n2
Vn +~
-----S;:;-, 2n 2
(vn) est donc positive au voisinage de +:x::,
la règle des équivalents s'applique : )' Vn est de même nature que
1
>----sa ~ 2n
1
-----s;x,
2,
converge d'après [e critère spécial des séries alternées.
~n
n2
I: n2
ex>
c'est-à-dire qu'elle converge si et seulement si
ex>
donc que
2
2 3'
Conlusion
• •
2
pour
° <ex~
3'
pour
ex>
2 3'
I:
I: Un diverge (somme d'une série convergente et d'une série divergente) . Un
converge (somme de deux séries convergentes) .
Remarques •
On a limité le développement à deux termes, car. dans le deuxième terme, l'alternance de signe a disparu, ce qui permet d'uitiliser [a règle des équivalents.
1. •
Dans le cas ex= 3' on a
Un
L
(_I)n
Un divergente et
I: -'-nt) 1-
convergente, bien que
(-11)n la règle des équivalents ne s'applique pas aux séries qui ne sont pas +x _ n6
de signe constant au voisinage de
+:x:: .
Chapitre
149
4: Séries numériques et vectorielles
/ n?
~/n . , (' sinn) ~"'Un = sin exemple')7
1.
Au voisinage de +x SIn (sinn~,n) ~. 3 _ 3 ~' 1. 3 d ' bln n - "4 bln n - "4 SIn n, onc,
Or,
sin
Un
=
n
--y- n3
sin n sin 3n ---sr! + 24n + Lin
avec sin
~
Lin
est absolument convergente (règle de Riemann) et les trois séries
n
sin n
I: --1-n3 , I: -n- et
sin3n
I: --n- sont convergentes d'après la règle d'Abel, donc I: Un converge. Remarque Les séries qui apparaissent dans le développement ne sont jamais de signe constant. On a donc dû pousser ce développement assez loin pour pouvoir conclure de la [(série reste
ii
à
la nature
par absolue convergence,
D. Méthode par groupement des termes Etant donnée une série I: Un réelle, de signe constant,
le théorème 7 peut parfois permettre de lui associer une série de même nature et de signe constant.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 18 (_1)n
n+ (- l'n' ) ••
n?
2.
Le critère spécial des séries alternées n'est pas vérifié (la suite monotone), •
D'après le théorème 7,
-1
Lin
I: Un est de même nature que I:
I:
4n ' au voisinage de +x, donc
Lin
1
- 1
Lin
UnI) N n'étant pas
avec:
= U2n + U2n+1 = 2n + 1 - 2n = 2n(2n + 1)
Or, Un ~ --2
à
1
(1
qui est de signe constant.
I:
Lin
converge car la règle des équivalents s'applique
150
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types Ex. 4. 7
L Un une série
Soit
à
termes
Discuter
la nature de la série
avec Un
=
v
1 9
1+ n-Un
Ex. 4. 2
L Un une
Soit
Démontrer que nature avec
réels positifs.
L
à
série
Soit (Un) une suite décroissante
de réels stric-
tement positifs telle que la série
L nU~ ,((xE ~),
Un
converge.
et
L Un sont
Ex. 4. 8
de même Montrer que la série de terme général
1 Un
=
Tl (Un
+ un+1 + ... + U2n-1)
1\
que les séries
(t L
Etudier la série de terme général
1
Un et
L Un sont
de
Un
=
n "" 2,
U1 .en2
Montrer que
Ex. 4. 10 Soit
une série
gente, pour
un = 10 - nP où p est le nombre de chiffres de l'écriture décimale de n.
cas de convergence,
Ex. 4. 4
L Un
Soit
à
termes
positifs,
conver-
on pose:
que
+ U2 tn3+·· fUn tn(n + 1) ntn ntn(n + 1)
L
. est divergente.
EX.4.9
!//
1c=1 kUIc)'
même nature et, qu'en elles ont même somme.
__
/
EX.4.3
On pose Un = ~(~1,
cos(tn n)
Un =
.
Soit (Un)nE:'\I* une suite réelle positive.
Montrer
n---..,.+cc.'
termes réels positifs.
L Un
nI-a. un.
1im
Calculer
f : [1. +x[ .
f(x)
x-+x
f(x)
hm -. -
1)
=
Démontrer
finl
+x[
JO.
de classe
-x.
que la série de terme général
converge,
Un converge.
2)
Ex. 4. 5
telle
CI
de Rn =
Trouver un équivalent
L
f(k)
lc=n+1 Soit (un) une suite réJile positive
décroissante
lorsque
et p un entier naturel fixé, p "" 2. Montrer
L Un
que
est de même
nature
1
Application:
Nature de
L n(tnnJ' ' .
Soit
LUn
une série réelle positive, convergente.
Montrer
une suite
croissante
telle que:
Un = + X
-l, on pose Rn =lc=n+1 L ulc·
que, pour tout O:EJO.1[,
réelle positive
et l'lm
n-+::c
n----'-+::-<::
Pour tout entier n"" 1)
Soit (un)
1·lm
Ex. 4. 6
/ .fX.
vers
Ex. 4, 11
que
LPnupn.
n tend
Montrer que, au voisinage
strictement
Un+1 = 1. -Un
de
+X,
n
L ----
"" uic - ulc-1 1c=1 uic
~ (n
Un.
+x
la série Ex. 4. 12
d
•• e terme genera
1
Un
Un = -0.est conRn-1
vergente. 2)
Montrer
Soit
L
Url une série
à
termes réels strictement
positifs. que la série de terme
Un
Wn = Rn
général On suppose
est divergente.
et
'> Vn
Un~l que -'Un
=
À.
1 -
n +
-
est une série absolument
Vn où À.E ~
convergente.
Chapitre 4:
1)
151
Séries numériques et vectorielles
r --Un~l Montrer que ~n Un
= - -nÀ +
U'n où
L Wn est une série absolument conver-
___
Etudier la série de terme général
gente.
2)
En/d&duire qu'il existe A E _
/
A
tel que
~n. " F~~ 4. 14
Un=
(-lPncos n
------
ny"n
Un -:-. ----:\' au voisinage de +%. ~.'- 1] 3)
/
sin n
Ex. 4. 15
~>
Etudfér la série de terme général: /_
Un = \'
n
1
n~TI sin
---=
p=l
i 1)
~
Etudier la série de terme général (_lin
nC<\A.-,3· + (-llp,
Montrer que la suite de terme général:
111
vP
Un
Ex. 4. 13
Un =
+
= 2n +
1 + 2n
+
3 + ...
+ 4n -
1
(n ~ 1), converge et calculer sa limite e. 2) yeuver, quand n tend vers +co un équivalent de t: - Un.
----------
152
Précis d'Analyse
Il
Indications Ex. 4. 9
1
Etudier le cas particulier
Considérer
= ---cx n
Un
l'p =
~
(2: Un converge)
(2: l'n
=?
Ex. 4. 10
les sommes
1)
partielles
Un et Vn.
Vn et U2n-I
?
2)
Remarquer
1
+ 1) =
que, lorsque
et
+
de J(n),
(JCnJî \. ./
G
n tend
vers
+x,
un-un-I
1
tn Un-I
tn Un 1\ au voisinage
de
+x..
EX.4.5
Un-I
+-=::
Ex. 4. 12 1)
Au voisinage
+x :
de
Upn+I + Upn+2+' . +Upn+l
Encadrer
Un n un+I = --+vn+O À tn --
EX.4.6
l'n = (Rn-I
2: l'n
comparer 1
avec l'n
- Rn)R-;;Ci
2)
Utiliser
2: l'~
et
\.
, (',' " (Un -
n/
-)À\2')
1
n
1)
-1.
une majoration
Ex. 4. 11
n {n( n
()-(- .
=?
Montrer que Jin
EX.4.4
1
a
1 tel que
f(x) J(x) ~
En déduire
Etablir une relation simple entre Vn, Un et nl'n.
n en
?
a
Il existe
x
EX.4.3
en n -
Un.
l'p.
Puis minorer
diverge)
EX.4.2
Comparer
L'p avec
lOp-l ~n<10P-I
Montrer que:
Comparer
la série )'
Lk k=l
(n n + 0(1)
=';' +
Ex. 4. 13
= RI-Ci n-I - RI-a n
Dans le cas [3<0' : 2)
Comparer
Wn
à
1
C
Rn-I
Wn = ~n ~
1)
Etudier l'absolue
2)
Pour la semi-convergence,
Ex. 4. 7
développement
n
o
Considérer
'"""
uk kCi
et utiliser
asymptotique
effectuer
Effectuer
un développement
asymptotique
Un-
de Cauchy. Ex. 4. 15 Ex. 4. 8 Montrer tisfait.
que le critère de Cauchy
un
de Un.
Ex. 4. 14
le critère
k=E(R)+l
convergence
1)
Encadrer
2)
[-un
Un par des intégrales:
n'est pas sa-
= L1up+I p=n
- Upl
de
Chapitre 4:
Séries numériques
153
et vectorielles
Solutions des exercices-types Ex. 4. 1
1 1)
. Etude
Un = ----a. n
du cas particulier:
O'E ~"t.
1
Pour 0'< 1,
::;- Un diverge et Vn ~--:.
Pour 0'= 1,
~
Pour 0'> 1,
:L Un converge
.--"-n2-(,
L Un diverge
et Vn = n
avec
1
+ 1 donc:L
2- 0'> 1donc
:L Vn converge .•
. /
Un diverge. /
et :
1 si
1 <0'< 2,
si 0'= 2, si 0'> 2. L'étude de cet exemple
2)
Montrons
Vn -
1 donc
:L Vn diverge,
1 Vn
=
.2 donc :L Vn diverge,
1donc
Un +x ~
:L Vn diverge.
alors :L Vn diverge.
:>: Un et :L Un convergentes.
Supposons
De
0'<
montre que l'on ne peut rien dire de :L Vn lorsque :L Un diverge.
que si :L Un converge
-
2-
Vn ~-::.: .. n2-0: avec
1
1
--9'
1- Vn
on tire
+ n~un
UnVn=~
d'où
1 Or
\ÎUnVn"':;.2(
Un
+ vn)
montre, d'après
On a ainsi obtenu une contradiction,
le théorème
8, que :L JUnVn
ce qui permet de conclure
est convergente.
à la proposition
EX.4.2 n
Pour n E
f'r,
Un =
posons
L
uk
k~l
+x
et lorsque ces séries sont convergentes,
U =
L
+':'0
Uk
V=
k~l
2n-l On a alors
Vn =
L
LVk' k~l
inf(Jc.n) QkUk
L
avec
k~l
1 p
P~l+E(~) 1)
De
inf(k, n) ",:; k,
on déduit:
donc
Il en résulte
Vn",:; 2U2n-l
Si :L Un est convergente, D'après
le théorème
on a
V nE N, U2n-l
",:; U
donc
Vn",:; 2U.
8, la série :L Vn, à termes réels positifs, est convergente.
annoncée.
154
2)
Précis d'Analyse
Pour 1
k
o<S
n, on a
o<S
1
L
ak =
p1
k P=l+E(~)
1 (k - E
k
;?o
L
Vn;?o
donc ak
"2 (k))
2;'
;?o
1
n
Tenant compte de
II
akuk, il en résulte Vn
2; Un, c'est-à-dire
;?o
Un
o<S
2Vn.
k=l
Comme au 1), on en déduit que la convergence de 3)
L Vn implque celle de ~
Un.
On déduit de 1) et 2) que les deux séries sont de même nature. EX.4.3 n
Posons, pour tout n E l':r,
Un =
n
L
Vn =
Un
k=l
Vn =
donc
L
L p(p1 L L L'plp 1 L (1k - 1)1 + 1) p kUk = n kUk n k=l k=l p=k
n p=l
Vn =
n k=l
kUk
Vn, on obtient:
k=l
+ 1) =
L L (1p-- p- 1 1') kUk
n k=1
+
n p=k
= Un - nVn·
n +
+x
Si la série
L Un converge, l'inégalité
0
Vn
o<S
o<S
Un
L
U =
o<S
prouve que la série positive
Un
k=O
L Vn converge. De
nVn = Un - Vn, on déduit que la suite (nUn) converge, soit
A
sa limite.
A
Si kt- 0, alors Vn -
+0::
donc 11.=0 et Si la série d'où
V =
n ce qui est contradictoire lim Vn = lim Un.
C>' L'n converge)
-
n~+,::<:
n---'-+:·:
L Un diverge et la série L Un converge, on a
lim
n---'-+o::;:
lim
rl-----'+::>:'::
'Fn = \' et n--:-:-.:.: hm Un = +:x
nUn = +:X, ce qui est contradictoire avec (~ Un converge).
L Un diverge, la série L Un diverge aussi.
Donc, si la série Ex. 4.4
1 On a
1
1
- -[n t:n n {(n n + 1) +x ~n nn - {( ,n + 1 . donc d'après la règle des équivalents')' .1
même nature que
L Wn avec
Wn
=
(' tnn 1
L'n
~
- tn(n +
1)11
L uiJnik n k=l
est de
+ 11
(il s'agit bien sûr de séries à termes positifs) Formons
L
LL
Wn = n wp = np(1 p=2 p=2 k=l Wn = Ul
Ln('1 {ni"p=2 .... ~~np -
1
L'introduction de ~~nn -
1
Wn=ul{n2
tnp - tn(p1+
1)
'\
11 1 uk tnO~ + 11 j
L
t nlp . + 11' . + k=2 n uktnU~+
tn(n+ 1) trouve sa justification ~n
Onadonc
.
(
1 - tn(p+ 1 tnp
(1tn2-
1
tn(n+lJ,
I\L-[-n('1 m p p=k
_1
dans ce calcul, car on a :
1 1)') = tnk
---
")+Euktnlk+l,1 n ,
1 ,,('1 ,tnk-
_1
)
)
Chapitre 4 :
155
Séries numériques et vectorielles
n
et il en résulte puisque les Un sont positifs
[n Ie+
[nUe + 1.1
Or
Ulc
[n le
L
[n
S=
2, Vv'n ~ Ul +
L lc=2
[n(1e + 1)
[n
Uk
le
'
1
')' Uk
[n le
on obtient
V
-i--=::Uk , donc
-i-:':
et avec
n~
V
converge (règle des équivalents),
le + 1
Uk
n~
2,
l,1,!n
Ul + S,
~
k=2
La série ')' Wn à termes positifs est donc convergente (théorème 8) et
il
en est de même pour
L Un,
Ex, 4,5 (Un) étant décroissante, on a, pour tout nE
(,p p ! n-i-l ~ p n\) Up~:<~ Upr~+l T, Up"+2 + ... + Upc+l ~ (n+l
X
L
' pour tout 1\"'"Eo, d,ou,
L k=2
i n+l - P n\) Llp,,+l~ , (p
n=O
- p n) Upn
X
p~1
L
,
Uk ~
n=O
! n+l - p n) lp
Upn
n
n~
Posons, pour
2,
Un =
L
Uk
et
k=2
La double inégalité précédente s'écrit alors
Si
L Un converge,
donc que Si
L
on déduit de
L pnup"
-
ul)
Ul) ~ Up-\+l ~ (p - l)Vn.
Up-'+I que la suite (Vn) est majorée et
~
Up-'cl = +X, et on déduit de Up-\+I ~ (p - I)Vn que N-+oo hm VN =
+X,
diverge.
Application: pour Un =
donc
(YY+l
('\FY+1 -
pnUpr. converge.
L Un diverge alors ~-+x lim
donc
(1- ~)
(1-~)
L Un converge
1 n([nn)'
.,
on a
1
si et seulement si
L )\ n converge, c'est-à-dire
À>
1.
Ex. 4. 6 1)
Ecrivons
Un = (Rn-l
(Rn-l-Rn)R;;~l Puisque
1-
convergente,
" Rn)R;;~l'
~ JifRn-l x-Œdx Rn
alors la décroissance de x donc
Un ~
1-1a
2)
(L d (le) = R~lŒ _R~-Œ
Wn ~ w~
La série )
(a> 0), donne
(R~=~ _R~-Œ)
tend vers R~lΠquand
1 -1-~a u~ donne la convergence
On a de même donc
X-Œ,
a> 0 et n!!.rpoo Rn = 0, la sélle de terme général u~ = R~=~ - R~-Œ est n k=O
o ~ Un ~
f--ô>
Wn = (Rn-l avec
de
L Un par application du théorème 10.
~ Rn)-R1 ~ l'Rn-l n ,Rn
w~ = €nRn_l
n tend vers +x), et l'inégalité
-dx X
~ €nRn.
w~ est divergente car n---;-+x, hm en Rn = -% donc
L Wn diverge (théorème 10).
156
Précis d'Analyse
Le critère de Cauchy
appliqué
L u~ n
à la série convergente
n
an =
'""' L.,
converge
Uk ka
vers O.
Envisageons
montre que la suite de terme général
alors deux cas selon [e signe de a.
k=E(~)+I 1)
Si
an ~ [n - E (~ )]
2 n - E (-2n) +x ~.!2:
On a, par ailleurs,
donc
[
n - E
~~ > 0
n +x ~ Un
-2
----ex
( n)]
-2 n
1
Un
I-a
n!iIfoo [n - E (
donc
(car
et
Il
n-
n~+x l.m n
l'
= O.
-2-)1
"2 (n)
E
i)]~:
="2 ou n n+ Un =
I-a
O.
2)
q<
Si
an ~ [n - E (~ )]
0,
~: Un > 0
et on conclut de la même manière.
Ex. 4.8 Montrons
que le critère de Cauchy n'est pas satisfait.
Soit k EN.
c -3TI "" -Lnn
2k'iT
Pour
"" 2k
TI
'TI +3' c'est-à-dire
e
21(,Ti~.:!I
3 "" n "" e
2kTi+~
3, on a
1 2'
cosœnn) ~
n2
nI = E ( e2kTI-
Posons donc
TI
-
CTI--3
on déduit
donc
=
L
un·
n=nl+I
Sk~~'
21
e
e2k '1T+3) .,,\
n2 = E (
Sic
n2 - nI
On a alors
De
i)
et
1 < nI ""
nI +'x' ~ e2kTInI
lim
-
k-+cx:· n2
=
En conséquence,
2k e
et
i
-+x
puis
3
TI TI+-3
e~
')k
-
1 < n2 "" e -
=
1 - e
TI TI+~3.
21c.,,+ or
n') ~
_2TI
e
'7k
TI
TI--3
e
lim
k~+x
3
n') - nI
----
n2
-2." > 0
3
Sk ne tend pas vers 0, d'où la conclusion.
Ex. 4. 9
l On a pour n ~ 1, Ainsi, [a série Pour
p ~
Ona
10p-1
L Un est à termes
1, posons
L
vp ~ C10P - 10p-l)
wp = 9 ·10P
1 - CI -
10-P)P
l
et d'après
[la -
1)~]
C10P -
= 1 - eP'
le théorème
L vp est déduite
[1- C1-1O-P)~].
L wp (à termes 6.
n < 10P . nP < 10 et Un>
donc
O.
positifs.
vp = Un : IOp-l ~n<10P-I
Posons
La série
"" n "" 10P - 1
l (nil-IO-P,
= --
=
+0
positifs) est donc divergente.
L Un diverge.
L Un par sommation
9· loP [1 - 11-
Lorsque ptend
p lO-P
de
--
p (lO-P)
vers
+X, donc
par tranches.
10-PI~]
on a:
wp-
~'- p9
Puisque vp ~ wp. il en est de même de
L vp,
Chapitre 4 :
Séries numériques
157
et vectorielles
Ex. 4. 10
fix)
lim - - =-x x-<·c fixl
L'hypothèse
1)
(1)
VAER.3
A =
-1.
Prenons
permet d'écrire:
En posant
)' f(n) 2)
, on obtient,
10
en résulte, (théorème
(2)
le>:) ~A f(x)
(nf(-a')~ a -
donc
x, À
pour tout n "'" a, 0 < f(n)
e-n
et)'
~
est une série géométrique
tn (Jfn+l)) f.(n)'
f(n+ 1) = f(n)
lim tn ---
n-+x En conséquence,
t
t
alors:
11' e la
convergence
de
convergente).
=?
lnr+l f(t) f(t)dt~A
(2) traduit que: f(n
x
ou encore que
f(n)
donc
+ 1)
lim=O n-Hx f(n) - f(n
+ 1) +x ~ f(n),
...1... X
...I.......,~
k=n+l
,
Jin + 1) = 0 (I( n))
on a
12 donne
Rn =
x
[l,+x[,VnEN,n"'"a
VAE?c.3aE -', .;Con+llItJ n fit) '-, dr =
le théorème
=?
(1), on déduit:
De la proposition
et, puisque
a-
dr ~
,Œ
À= f(a)eŒ,
a
p>:)
1 --', fir)
a
[l,+x[.x"'"
l(t!
CoX
x "'" a, on
Pour tout
[1,+x[,VxE
aE
f(l() +~
k=n+l
(IOc) - f(k
+ 1))
Rn ~ f(n
+x
c'est-à-dire
+ 1)
Ex. 4. 11 Posons
Un
= tn Un
-
Un
L Un et L Un - UnUn-l
tn Un-l, = tn
1), on a alors:
(n"'"
--
~ --
Un-l (Un)
+x Un-l Un
sont donc des séries
à
Un
- 1
(car -Un-l
tend vers 1)
termes positifs, de même nature.
n
L
Par ailleurs, "'. Ulc = ~l et d'après
(n Un - tn U{)donc
L Un est divergente,
il en est de même pour
L
Un - Un Un-l
n 12, on a, quand n tend vers
le théorème
+x, L '"
k=l
---uk - ulc-l ~ .en Un. Uk +:0
Ex. 4. 12
1)
On a
w --Un f)
Pour
n assez
Pour tout
= th
un+l
(
1- -n
grand, on a
n "'" 1, on
Il en résulte que
L
a
1
1
)
Un < 1
Un ~ Tl
L ( Un -
Wn et finalement ment convergente.
+ Un
À
où
1
1
donc u~ < Un et 1
IUnl donc
À)2 = Tl
L u~ est convergente.
Un est ab:olument L Tl
L (2Un - 2Àun -n-
Wn = .en (
1
U:~l)
À) + n2
+~ =
Un
convergente.
est absolument
+ (') (
(un
convergente
_ ~ )
2)
est absolu-
158
2)
Précis d'Analyse
Avec les notations
Il
du 1), n-l
en
-Ul (Un)
= L en -= uk n-l uk+l k=l
L -k + Wn-l n-l1 k=l
À
+'X
Or,
Wn-l =
L wk k=l
W + 0(1) avec W =
Wn-1=LWk k=l
où
n-11 L k ='1 + €n n+ 0(1)
et
k=l
('f constante
d'Euler),
A Un = ule-;\,Y-i>.€nn+W+O(l) et
donc
3)
vn SIn .1 Vn;::; =
-Un+l Un =
On a ici
Un ~ )\ +,x n
? n- . 1 0 (1)
1
Un +-:::.:
donne:
E Ri~.
-6n +
1 -
A
Le résultat précédent
où A = ule-kY+ÎF
donc
n6
L Un diverge.
Ex. 4.13
•
Si 0'.=[3, Un n'est pas défini lorsque
•
Si 0'.<[3,
n est
1 Un =
nl3
impair,
Supposons
donc 0'.;>=[3 .
1
+ (_l)nno.
nl3
[1 + (_l)nno.-13]
1 Un est
On voit ainsi que
L Un est donc
La série
défini et positif pour tout convergente
. •
n~
si et seulement
2, avec de plus
Un 7-"."':. 13' n
si [3> 1.
(_l)n
1+ (-ltn . [
nO.
Un =
SI [3<0'.,
~
-0.1
J
n~
On voit ainsi que Un est défini pour tout
2 et que )"' Un est une série alternée.
1 On a
IUn\
~
+:0
lorsque n tend vers +:x:, en conséquence:
---a
pour 0'.> pour O'.~
n
l, L Un est absolument convergente. l, L iuni est divergente. 0
Il reste ainsi à étudier le cas où
1
On a alors
(-If
Un = --Œn
donc
=
1+ (_l)nn13-o. -
La série
L (-n~n
La série
L Un,avec
1+ (_lp+ln13-û.
-2 n Œn-Û.1 13 + 0 (1~13
est convergente
Un = Un-
d'après
+ oCnl3-C')
') le critère spécial des séries alternées.
1
(_l)n
--0.-, n
est telle que
Vn ~-=: -
n2c,-3' '
elle est donc de même nature
1
L -9 -13' c'est-à-dire n-Œ-
que
convergente
de +:x:, on peut donc appliquer
voisinage Finalement,
pour
0
•
si 2
0'. -
[3~
•
si 2
0'. -
[3>
si et seulement
si 2
ex -
[3>
l,
(Vn
est de signe constant
la règle des équivalents).
1:
l,)"'Un diverge (somme d'une série convergente et d'une l, L Un converge (somme de deux séries convergentes)
série divergente)
au
Chapitre 4:
•
Séries numériques
Résumons Absolue
graphiquement
convergence
159
et vectorielles
les résultats
ACT'
:
sup!o:.
131
>
1
SCI'
Semi-convergence:
0:
sup (.o.~.f3+1) Divergence:
1
<0:"S
DJV
Ex. 4. 14
de Un au voisinage
Un développement
+x
de
Un = Un - (_lin-----;==cos n on a donc Un = ()
En posant
vn
cos
En ce qui concerne
L( _l)n-----;==vn
la série
.,
, .
L Un converge
Finalement
n
cos
L~
(voir IV - etude des senes
8,
vnn + ()
Un = (_1)n
s'écrit
( 2" n1
et
)
(
cos
n2 1 )
L Un est absolument
convergente.
n on peut conclure
:le cas present
à la convergence
correspondant
par la règle d'Abel,
,
1
a
0:= 2.8=
1+ TI).
comme somme de deux séries convergentes.
Ex. 4. 15
1
2n-l 1)
On a
donne
dou
.,
Un
,
L
=
k=n
k ~
pour tout
l2n .n
--
c'est-à-dire
1
2lc+
"S
dt 2t+1
1
La décroissance
--
j,.k+l 2t+1 dt .k
,
un"S
1·2n-1 .n_12t+1
2 en -2n + 1
-
1
(4n
Un
"S
+ 1)
"S
--
"S
j,1 -2'
de]:
1 2k+1
--
1 +x [ ~~,
"S
tl-'> 2t+1
--
h'/( k_12t+1dt
dt
2 en --2n
-
1
(4n
1
-
1
1)
On en déduit
lim Un = - €n2. n-;+::o. 2
+·x
2)
On a
L(Up+l p=n
- up)
=(
-Un,
cherchons
1 Un+1 - Un = 4n +
1
donc,avecx=4n+2,
Sachant
que
donc un équivalent
3~,
n1
Un+l-Un=
+'X. J.n+l n
3'
dt t
1 1
le théorème
1
1 + 4n + 3 - 2n + 1
2
--1+--1-x + x x -
de u[l+l - Un.
2
= x(x
de sommation
2-
1
1) et Un+l-Un
des équivalents
-3'
~ 32n
+00
(cas des séries
1 positives convergentes)
donne
L(up+1 +'X p=n
- up) -, 32 3dt 1 l+::O +CX:. n t
d'où
e -Un
+~
64n2
160
Précis d'Analyse
Il
Exercices proposés EX.4.3
L Un une série à termes réels strictement
Déterminer la nature des séries de terme géné-
Soit
rai:
positifs. On suppose que Un+l
n!
1)
lim
nn
n---,..+x,
n
bn + (y'Tl) €nn ' a >
0, b > O.
1)
n€nn 3)
(
Un
(€n n)n
=t
)tnn
t= +x).
(éventuellement
a +(€nn)vn
2)
n€n--
Montrer que: si {> e,
L Un converge,
si {< e,
L Un diverge.
(on pourra comparer
(vn+l- vn) vn
4)
5)
2)
€nchn
( €nsh
n)
n"én
(
,1
n(€n n)
au moyen du théorème 15)
R
Montrer que, pour
t= e, on a un cas dou-
teux (considérer les séries
4
n-1
'TI
n+
-Arctan--
6)
L
L Un et
1
L n tn n(.tn en n)
1
R)'
) nCenn)" Ex. 4.4
7)
La suite réelle (un) est définie par ua
€nn (1- _1
)€n"n
et la récurrence Un+l = sin Un.
ex
Etudier les séries
n
8)
Arccos
9)
1+ n
(1 + Jn) (
Arctan(n+ Arctan
'TI [
:> u~, 0:> O.
EX.4.5
Pour tout n E l'''J', on note J(n) le nombre de zéros de l'écriture de n en base 10.
-nvn
n
1)
)
nU
de la série
L
EX.4.2
E R~, la nature
------z.
n
Ex. 4. 6
L Un une série à termes réels non nuls
telle que n--'-+x lim Un =
a
a!lnl
n;;,l
Soit
]0,
ex
Etudier suivant les valeurs de 10)
E
O.
Montrer que, s'il existe un nombre réel r E ]0. 1[ tel qu'à partir d'un certain rang no on ait Un+l -1~ -~ r, alors L Un est convergente. Un
Montrer qu'il existe une suite réelle (xn) telle que:
\::j
n E'\,Xn
= Argth(tanxn), TI
n ••< Xn < n •• +
4'
Etudier la série de terme général: ••
Un
=
n'TI
+4 -
Xn·
Chapitre 4:
Séries numériques
161
et vectorielles
Ex. 4. 11
Ex. 4. 7 Montrer
une suite réelle IXni telle
qu'il existe
é(c + Xn -
V nE.
que:
n=
Application
Etudier la série de terme général
Etudier la série de terme général:
b (,'n n. ( a. Un = Xn - a (,n n - -n
de la règle de Raabe Duhamel
0,
:t
_? bi E ,'ç.
(,n(leb) Ic(,n b
Un = ak=2
et b E IM~.
où a E
EX.4.8 Soit (Un) tement
une suite décroissante positifs.
Montrer
que, s'il existe
tier le > 1 tel qu'à partir d'un certain
leukn
?'o
Dans
de réels stric-
Un pour tout n, la série
le cas douteux,
équivalent
un endi-
L (~-i-,-
n~+x
hm
À tel que
k=2
vergente.
Soit
L an une série
1
Montrer
1) Tl est convergente
k=1
I: Wn
que
sa somme
B vérifie B "'" eA.
L Un une série
en fonction
2)
1)
à
termes
de
1
+x
réels strictement
+x :
'\" L
3)
WP +X' - --
n
2n
En déduire que, quand
+ 0 (~)
Montrer que:
I:-=tnn+'Y+-+o n p1 p=1
L Un diverge, si 0'> 1, L Un converge.
si 0'< 1,
2)
En considérant
les séries
n~
n (1)
Etudier la série de terme général 13'
montrer
que 0'= 1 est un
cas douteux.
Un =
cr (1 - t) dt !nI 2 n n1 .0
tE?~riesà termes quelconques
(-1)
Ex. 4. 14 Déterminer
la nature des séries de terme géné-5)
rai:
7) 8) 6)
.0
[
TI
1)
(_l)n 2)
en n + (_l)n
3) tan
-4 + -- na
(TI
(_1)" 4)
nvln-1
(_l)n)
- 1
nsin vn:
t;
cos XSln !n2 [TI n nx . ( n nvn: 1+ ~1dx1) tn cos tan n2 en21e vn:+(-l)n n
(_l)k]
+x, -
2n 1
Ex. 4. 13
de Bertrand
1
L n(f.n n)
de la constante
Montrer que,
p=n+l
1_ ~n
Calculer
d'Euler.
positifs telle que, au voisinage
Un
converge.
n=2
et
Ex. 4. 10
un+l =
=À.
+x
La règle de Raabe Duhamel. Soit
f.n(en n))
\.Fn = -n - (,n n + fn(n - 1)
que la série de terme
(fI ak)
que la somme
Ie~nlc
1
réelle positive convergente
A. Montrer
bn =
général
un
Ex. 4. 12
EX.4.9
de somme
chercher
de Un en montrant qu'il existe un réel
rang no,
L Un est
on pourra
]
162
Précis d'Analyse
Il
+= (_l)k 9)
en k
2..= k=n
Un
(t ~!)(t (~~)k) - 1 k=ü
10)
11)
k=ü
n p=1
=
sin
'TT
n
yin
]0,1] (on pourra comparer
,CiE
Œ
'TT
\/X
-0-'
x
2..= Un avec r+x
n""l
Etudier la suite de terme général :
II
Etudier la série de terme général
sin
Ex. 4. 15
Un =
+ dx (_l)nxŒ
17
Un
2..= (- ~) 1+= k lenn k=n
1+= n xŒ+13
(_l)n = ~
JI
-dx
Ex. 4. 18
1+ (
Œ
(-1t+1) P
'
CiE
]0, l[ Montrer que la série de terme général
Ex. 4. 16
z(z - 1) ... (z - n + 1)
Etudier, suivant les valeurs de série de terme général:
(Ci,
[3) E !Ri2, la
Un
=
n.,
où ZEe avec Re Z > 0, est convergente.
Sommes de séries
'
/
Ex. 4. 19
n \
f
+x n - aE \- al Calculer les sommes des séries suivantes, en
4)
2..=
5)
2..=
l, . 1
n(n+ ) -' a
n=1
E o.'.,. a
>2 ~ .
montrant leur convergence:
+=
n
1)
2..= n4 + n'" + n=ü
1
2)
+X( E
1 + Vn+1
1 vn-1
...1..00
3)
1
n=O
-vn2)
6)
t
/2 (n(sin x) sinn xdx
n=O 0
Ti
t(_1)n]2 n=O
7) ~ (_Ile n=2 n
cosnxd.\:
0
Suites et séries Ex. 4. 20
Déterminer la nature de la série de terme générai Un - {n2,
Etudier la suite de terme général:
1
n Un
=
2..= ---
Ex. 4. 22 -
Argsh n
Etudier la suite réelle définie par:
k=l~
o
1+ Un
Ex. 4. 21
ua = O. Un+l = ------:z-.
Montrer que la suite de terme général
111
un
=
en+1 + en+2 + ... + e2n -
converge vers {n 2.
n
Trouver un développement asymptotique à trois termes de Un. (n - +:x:).
Chapitre V
Suites et séries de fonctions Notations Dans tout ce chapitre, on convient que: fK= R ou :C,
A est un ensemble non vide,
F est un K-rspace vectoriel normé complet, donc un espace de Banach, ::F (A,
F) est l'espace vectoriel des applications de A dans F donc
dl (A, F) est le sous-espace de
'!Ji
(A,
F) =
r,
(A, F) formé des applications bornées,
::F
Dans le cadre des programmes M, Pet p', on se limite au cas où F est de dimension finie. Comme F désigne toujours l'espace d'arrivée des fonctions étudiées, et qu'en général F = IR ou :C, la norme de F sera notée 1.1
.
f
A toute fonction E::F (A, F), on associe sa fonction norme notée définie par A -[Ri, x H> lf(x) 1
lfl
E'!Ji
(A,
'
II- L'espace vectoriel
normê
C!A(A,F)
Définition : d.1
On appelle
norme de la convergence dl (A,F) ~IR.
uniforme
fH>
sur dl (A, F) l'application:
Ilfl[x
= suplf(x)1 XEA
1
S'il est nécessaire de préciser A, on notera L'espace vectoriel normé (dl (A, F),
= sup lf(x) 1
Ilf II~
XEA
) est noté ÇfJJx(A, F).
Il .
Théorème:
}flt.1
L'espace vectoriel
normé ÇfJJx(A, F) est complet.
1
lf'iF
Soit (jn)~ une suite de Cauchy de dlx
(A, F) : et on a
pour tout nE N, il existe 8n= sup Ilfn~p - fn Il::0 pEN
Pour tout
x
de A, la suite (tn(X))
N
lim
n-++oc,
8n= O.
est de Cauchy dans F car:
sup lfn+p(x)
- fn(x)
1
'-S;8n
pEN
Or F est complet, donc elle converge :f(x) Cette fonction est bornée car
lfn+p(X)
donne, en faisant tendre p vers +x,
1
= n~+oo lim
lfCx)
1
'-S;
ce qui définitf
+ 8n'-S; Ilfn 1100 + 8n [[fn 1100 + 8n.
lfn(x)1
'-S;
fn(x),
: A -+ F.
IR)
164
Précis d'Analyse
De même et donc
IIJ -
lfn+p(x)
Jn
\\00
La suite de fonctions
~On
- fn(x)1
donne
~on. Il en résulte (fn)"'d
lf(x) -
IIJ -
lim
n----:-+oo
fn(x)1
~on
Jn
= O.
1100
converge donc vers J dans l'espace
7A00
(A, F).
Il
o
II - Convergence d'une suite ou d'une série de fonctions A. Convergence simple, untforme, normale Définitions :
d.2
Suite et série de fonctions
1
On appelle suite de fonctions une suite (fnh" de terme généralJn E;iF (A, F). On appelle série de fonctions une série ~ Unde terme général Un E;iF (A, F). n
La suite de fonctions de terme général Sn =
L
Ui
est la suite des sommes
i=O
partielles de la série de fonctions
L Un.
Remarques 1)
L'étude d'une série de fonctions
L Un peut ainsi se déduire
de celle de la suite de
fonctions (Sn)N' 2)
Les fonctions Jn doivent avoir un ensemble de définition commun A (A ne dépend pas de n).
d.3
Convergence simple d'une suite de fonctions On dit que la suite de fonctions (fn)'" de ;iF (A, F) converge simplement sur si, pour tout x E A, la suite Vn(X») converge dans F. On appelle limite de la suite Vn) ", la fonctionJ de J :A
dA
- F,
X i--7
;iF (A.
FI définie par:
hm Jn(X) n-+x
Convergence simple d'une série de fonctions On dit que la série L Unde fonctions de ;iF (A. F) converge simplement sur si, pour tout x E A, la série de terme général Un(x) converge dans F. On appelle somme de la série Un, la fonction S de ;iF (A. F) définie par:
L
+x
S : A - F,
X i--7
L
un(.>':)
n=O
Il s'agit de la convergence simple sur A de la suite (Sn)'" série de fonctions
d.S
L Un·
des sommes partielles de la
Convergence uniforme d'une suite de fonctions On dit que la suite de fonctions Un)'" de ;iF (A, F) converge unifonnéme~t lim ilJ - Jn cc = O. sur A s'il existe une fonctionJ de .ey (A, F) telle que n---'-+x'
Chapitre
165
5 : Suites et séries de fonctions
1)
Remarques Ceci suppose qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonctionJ - Jn (n ~ r) est bornée et que la suite Cf - Jn)n~r converge vers 0 dans élAx (A, F).
2)
Dans ce cas, pour tout x de A, Lf(x) - Jn(x) IIJ - Jn Iloc : la suite de fonctions converge simplement sur A versJ, (c.f propriété 1 suivante). 3) Il se peut qu'une suite de fonctions Cfn)N de ;if (A F) converge simplement sur A vers JE 2F (A, F) et uniformément sur une partie B de A c'est-à-dire n--++oo lim IIJ - Jn II~ = O. 1
~
Cfn)',
La limiteuniforme de 4) d.6
sur B est la restriction de J à B. qui converge uniformément sur A
Une suite (Jn)', de fonctions bornées (ln E éIA (A, F») a une limiteJ bornée if E éIA (A. F)). Convergence
uniforme
d'une série de fonctii?1:ls
L Un
On dit que la série de fonctions
de
L
sur A si la suite de fonctions Sn : n ~
;if
(A, F)
Ui
converge uniformément
n
sur A
;=0
1)
Remarques Dans ce cas, la série de fonctions :>: Un converge simplement sur A +x On dispose de la fonction somme
S : A ~ F,
et de la suite de fonctions
2F
x ~
L un(x) n=O
(Rn)'"
de
(A, F)
(reste d'ordre n) : +%
Rn : A -;- F,
L
x ~
Uk(X)
k=n
2)
Dans ces conditions S - Sn = Rn+1 et il est utile de retenir: La convergence uniforme sur A de la série de fonctions Un équivaut à la convergence uniforme sur A de la suite de fonctions (Rn)', vers 0 (fonction nulle de ;if (A, F)).
L
Convergence
normale
d'une série de fonctions
On dit que la série de fonctions
L Un
sur A si la série réelle de terme général 1)
2)
de
;if
Il Un
(A, F) converge normalement
est convergente.
Remarques Ceci suppose qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonction Un (n ~ r) est bornée. La convergence normale est une notion qui ne s'applique qu'aux séries de fonctions.
Propriétés: p.1 1
~ p.2
ConvergenceJ!!?iivYïl18 =? convergenc~_~:p~ Pour une suite ou une série de fonctions de 2F (A, F), la convergence uniforme sur A entraîne la convergence simple sur A. C'est l'objet de la remarque 2) de la définition5. Convergence normale =? convergence uniforme Un de gji (A, F) converge normalement Si une série de fonctions elle converge uniformément sur A
L
1
sur A alors
La série de terme général Il Un , (n ~ r), est convergente: pour tout x E A, IUn(x)1~ Il Un Ilx Un (x) converge. donc, par critère de comparaison de séries positives, la série Un. C'est la convergence simple sur A de la série de fonctions
L
L
166
Précis d'Analyse
Introduisons les restes d'ordre
n de la série
L Il
réelle
Il
+x
Un
Ilx,
L
pn=
Il U/c
/c=n
+x'
L Un,
et celui de la série de fonctions
A ~ F;
Rn:
L
X f--?>
u/c(x), Majorons :
/c=n
""Pn 1
E n+p
u/c(x)
d'où
"" EIU/c(X)1 n+p
1
IRn(X)1 ""pn
,
"" EII n+p
Il Rn
U/c ""Pn
et
lim
n---i-+,x,
Il Rn Ilx = O.
Comme la suite de fonctions (Rnh converge uniformément sur A vers 0, la série de fonctions Un converge uniformément sur A.
L
Remarques 1)
Une série de fonctions
L Un de
2F
(A. F) peut simultanémant converger:
simplement sur une partie B de A' uniformément sur une partie C de B et normalement sur une partie D de C. 2)
Il est indispensable de préciser l'ensemble de convergence simple, uniforme, normale d'une suite (ou série) de fonctions.
Exemples - Travaux pratiques 1 exemple 1 /~
1
•
. ve" o.
Montrer que, ,uit1,!de pour toute suite CX:n),\'1 Vn(Xn»)uni[onn'ment est convergente Soit (j;,) une fonction, de :J de (A, A, Pl la quisuite ronve,"e A partir d'un certain rang r, chaque fonctionfn (n ::;, r) est bornée et la suite réelle
n f--?> Ilfn
Par comparaison
Ûn(xn)1
Ilx
= sup Ûn(x)1 XEA
"" Ilfn
Ilx, la suite
converge vers O. converge aussi vers O.
Vn(xn»)"
exemple 2 ~ Soit
fn:
iLYMontrer
IR--,.IR.
.--=-
x f--?> fn(x)
= _sl_'n_2_1l:_x (InC0) = 0) llX
que chaque fonctionfn
.••. ~
est bornée (n ::;, 1).
~ ;' Montrer que la slli~~e. fonctions (jn h,* converge simplement c La convergence est-elle uniforme?
•
1)
La fonction
cp: IR--,.!R,
De plus ûn(x)1 continue. 2)
""
~t tf--?><.p(t)=-t-. (<.p(0)= 1) est continue sur
1
sl~nxl
IR
sur
et bornée,
= !<.p(nx)! "" 1, donc chaque fonction fn
n x 1 donc Pour tout x E IR~, ûn(X) 1 "" ~l' fonctions (fnh,* converge simplement sur
n-+x hm fn(x) IR
vers
iR(.
= 0, et commef(O)
° (fonction nulle).L.--
Il
Cf
Ilx
= 1.
est bornée et
= 0, la suite de
Comme fn (Ti) 2n = 2Ti' la suite ((Ti)) fn 2n 'i* ne converge pas vers 0, donc la suite de fonctions f(n)~,,* ne converge pas uniformément sur IR, d'après l'exemple précédent.
Chapitre 5 :
167
Suites et séries de fonctions
Méthode Pour étudier la convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions, on pourra suivre le plan suivant: 1)
Etude de chaque fonction
•
Donner explicitemeot
fn
A ~ F,
fn:
X i-+
fn(x)
L'ensemble de définition A ne doit pas dépendre de •
Remarquer la parité, la période, la continuité de fn.
•
Dessiner l'allure du graphe de la fonctionfn
2)
Etude de la converqence simple de la suite
n.
(n = 1, 2,' .. , 100) (fn)N
•
Fixer x dans A et étudier la convergence de la suite (Jn(X) ) N'
•
Trouver l'ensemble
B = {x
Expliciter la limite f
:B -
•
/
•
Conclure:
3)
E
AI (fn(x»)
F,
X i-+
converge}
N
fn(x)
=
fn(x)
la suite de fonctions (fnhj converge simplement sur B vers la fonction f.
Etude de la converqence uniforme de la suite
•
lim
71----7-+0:.'
(fnh.
Expliciter la fonction différence: On=f - fn On : B ~ F,
•
X i-+
f(x)
- fn(x)
Chercher une partie C de B où chaque fonction f - fn est bornée. Si possible, calculer
Iif -
fn
Il~
= sup lf(x) - fn(x)1 XEe
ou trouver une suite réelle majorante (j..I..n)', : V XE
•
Si la suite réelle
n i-+
C, lf(x) - fn(x)[
ilf - fn II~(resp j..I..n)converge
~j..I..n.
vers 0,
conclure : la suite de fonctions (fnh, converge uniformément sur C.
/'
exemple 3 fn : IR~IR, ;etudier •
V
x i-+ fn (x) = inf
la convergence
simple
(
n, xn
2)
(n E i\r).
'
et uniforme
de la suite de fonctions
(fn)j\!' .
Chaque fonction fn est paire et bornée. Pour tout x E IR,dès que n ?'o 14
x
fn(x) . donc
lim
71--'-+·:-':':':
fn(x)
2
=-n
fn
= O.
Conclusion: la suite de fonctions (fn)o,. converge simplement sur IRvers 0 (fonction nulle) Par ailleurs,
sup lfn(x)1 = Ilfn
1100
= n.
XE ?,
La suite (fn)~, ne converge pas uniformément sur
IR;,
x
168
Précis d'Analyse
1+ XZn+l =
l+x
Z
n
nE
suite de fonctions (fn)N converge i;limplement sur (versI). Hure des courbes représentatives (cen) et (ce) defn etf. 'l'sa convergence uniforme sur 1 ~ a.~ 1 + a[ pour tout a> O. [R;
[R; \]
•
Observons que fn(-l)=O, 1)
fn(O)=l
et
-
fn(l)=1.
Convergence simple Les courbes (cen)nE N* des fonctions
(fn)N
A=(-l,O) fn(x)
Si
Ixl > 1,
Si
Ixl < 1, fn(x)
La suite
(fn)N
- x n--++CXJ -
n--++CXJ
1
,
et
x-l x - fn(x) = -Z-n-X +
et
1 - fn(x) =
converge donc simplement sur
f :
[R;-+[R;, X~
2)
Convergence uniforme
•
Sur
x-l ]1, +00[:
ont donc trois points communs: B=(O,l) , C=(l,l)
[R;
1
xZn(l -x) Zn l+x
f
vers définie par: si x<-l si x = si <x ~ si 1< x
-1
g
-1
1 1
x-l
0 ~ f(x) - fn(x) = xZn + 1 ~ xZn _ 1 = xZn-l
o<~
+ ... + x + 1 ~ 2n
1 f - fn est bornée sur]1, +oo[
•
Sur
et
sup lf(x) - fn(x)1 ~ 2n XE]1.+:0[
[0,1]:
o ~f(x)
- fn(x) =
f - fn est bornée sur [0, 1] et
sup
1
XZn
xZn(l _ x) xZn(1 _ x) xZn Zn ~ Zn = l+x l-x l+x+···+x
~_~
Zn-l
__
2nxZn-l
0<
~ 2n
y
1
lf(x) - fn(x)1 ~ -
2n
XE[O.l]
1 Ainsi
sup lf(x) - f~~ [O.+CXJ[
-2n .
Prenons maintenant un réel
•
Sur
x
1
La suite (fn)N converge uniformément sur [0, +00[.
a E ]0, lL
] - 1 + a, 0]
o ~ f(x) - fn(x) = (utiliser
1~1-x~2-a<2,
xZn(l - x) Z 1+ x Zn ~ 2(1 - a) n O~~n~(l_a)Zn,
et
hm 2(1 - a)
Zn
n--++x
0<
1 --Z-n ~ 1) l+x
=0
Il
Chapitre 5 : •
169
Suites et séries de fonctions
]-x.-1-a]
Sur
x +1 o ~fn(x) (utiliser
-f{x}
x- + 1
=
-x
Conclusion:
= ~ ?o
2x! 2 'ln' ~ ''ln_l xIl + al-
~
2 et
lim,
(1+ a) 2n -1
n-+::c.
=
0
1 + a> 1).
la suite de fonctions (fn)·. converge uniformément sur: ] - x. a] v + a. +x[ =::: ] a,
-1 -
Remarill!§.: Comme
[-1
sup x,,:=
1- -1 + a[
- .fr,(x), = 1, il n'y a pas de convergence uniforme sur
f(x)
1-1'
{-1}.
~,nisur:::
exemple 5
S·'Olt
Un:
ln) -y x n'
C' ' :c-o; uniX) = (-
TC i':'~.~.
TC
(nE
1) Trouver la partie A de GEoù la suite de fonctions La convergence est-elle uniforme sur A ? 2) Trouverla partie B de 'Ii; où la série de fonctions , La convergence est-elle uniforme sur B ? 3) ~ouver une partie C de R où la série de fonctions
(Un)f\j*
converge simplement.
L Un converge simplement. L Un converge normalement.
•
1)
Etude de la suite de fonctions (un)n" On a Un{O) = 0,
et
hm Un(X)i 0 n~:rp:.= unix), = +x n-+x
{pour x < 0: 0 : ~ pour x>
Conclusion: nulle).
1
la suite de fonctions
converge simplement sur [0,
{Un)c ,*
+x[ vers 0 (fonction
Cherchons à savoir si la fÇJnctionUn est bornée, et dans ce cas, déterminons Il Un II~·+:):[. Pour
x?o
"x 0 et n?o 2.un{x), ,
-xtnn
' , = -y n'
=
f -xtnn X1.nne .[nn
1
Or, la fonction
y: [0, +x[~[;&. y;
(t) = t e-t
t ~y;
(xtn n)
-f--' l.nn
donc Un est bornée sur [0,
Un !Ix"~' = Noter que
= xe"
Ul (x) = -x
est bornée (0 ~y; (t) ~cp (1) = e)
+x[ avec:
1 sup IUn(x)1 = -xdO.+::d e€n n
(n?o 2)
et que ul n'est pas bornée.
Conclusion: la suite de fonctions (unh, converge uniformément sur [0, 2)
Etude de la série de fonctions
L Un
+x[, vers O.
L
Pour x< 0, un(x) ne tend pas vers zéro donc la série un(x) diverge. Pour x = 0, unCO) est la série nulle, donc convergente.
L
La série de terme général Pour x < 0 ~ s'applique.
1Un(X)1 = I~
n'
l, la suite (lun(x)J)
Conclusion: la série de fonctions
est convergente si et seulement si x> 1.
décroît vers 0, le théorème des séries alternées
L Un converge simplement sur [0, +00[.
Introduisons la suite des restes d'ordre
n de la série
Rn : [O,+x[~R
x~
L Un.
+x
~(_l)k~ k=n
kX
\.,.0.---
170
Précis d'Analyse
Il
Le théorème des séries alternées donne la majoration :
1 IRn(xll ~ IUn(xll ~ Il Un Il[2;+co[ = e€nn
donc la fonction Rn est bornée (n ~ 2),
1 Il Rn 11~'+co[ ~ -1}e1.nn
I: Un converge uniformément sur [0, +x[. Etude de la converqence normale de la série I: Un
Conclusion: 3)
et la suite (RnlN converge uniformément sur [0, +x[ vers O.
la série de fonctions
Comme la série de terme général Il Un !!~,+:0[= e€~ n ne converge pas, la série de fonctions Un n'est pas uniformément convergente sur [0, +x[.
I:
Cependant, pour tout a> 1 et x ~ a:
!un(xl!
~ IUn(all
'
Il Un
= IUn(a)1
et la série I: 1un(all converge. Conclusion: Pour tout a>
l, la série de fonctions I: Un converge normalement sur [a. +x[.
Méthode Pour étudier la convergence d'une série de fonctions, on pourra suivre le plan suivant: Tenant compte des propriétés 1 et 2, on examinera: 1) la convergence normale,
2) la convergence simple,
Soit Un le terme général de la série de fonctions Un 1)
Etude de la converqence normale
•
Dégager la partie D de A où les fonctions Un sont bornées,
•
Trouver une série réelle
•
Si la série
I: J1.nmajorante:
'r;/ XE
D.lun(x)!
3) la convergence uniforme
A ~ F. x f-7 Un (x).
(J1.n= Il Un II~c est idé,al.
~J1.~,
I: J1.nest convergente, conclure: I: Un converge normalement donc uniformément sur D.
la série de fonctions 2)
Etude de la converqe simple
I: un(x) converge} la série de fonctions I: Un converge simplement sur B.
•
Chercher la partie
•
Conclure:
B = {x E AI
+=':
elle a pour somme
s--;--B -
F.
x f-7
L
UnC"I:)
n=O
et pour reste
Rn
B -
F;
X f-7
L k=n
3)
u/c(x) ~
Etude de la converqence uniforme Il s'agit de trouver une partie C de B sur laquelle la suite (Rn), des restes c~nverge uniformément vers O.
•
Chercher une suite majorante (Pnh, : 'r;/x E C.
•
Conclure: la série de fonctions converge uniformément sur C.
iRn(X)i ~Pn
qui converge vers O.
Chapitre 5: ../--~
171
Suites et séries de fonctions
'r---~
.
L Un et T defimes sur no.male, ]0. 1] par: simple UnIX) et= unifo~e xn..(n- X Etudier lesUncon~er~ences
1
•
1) r
Ca~
~
IL.--
et deux vn(x) séries = xn tnx des de fonctions
la série )' Un ?
..
~
. o."· 1· n 2 n' y (xn) uo(x) = tn- x. ua est non bornée sur JO.1J Smon, pour n E<, : unCx:) = 2n (x \ tn X .) = n
, ou
--2-
y est bornée sur ]0. 1J
0
<'S
UnIX)
<'S
= t tn t,
Y
4 D'où
2 'Il (t)
4 et
~
n e
=~ n e
Un
T Un est normalement
Conclusion : la série de fonctions
donc uniformément convergente
sur JO.1]. Comme il s'agit d'une série géométrique, on peut expliciter la somme 8 : -l--'~
L'" tn
\:!xEJO.1[.8(x)=
Xn
c 2 2
n=O
x=-- ~n X 1-x
,8(1)=0
.~série)'Un • Etude de la converqence normale .VO(x)
= tnx,
est non bornée sur ]0,1].
Vo
"
Sinon, pour nE
f'\j
8 est bornée sur
: Vn(x)
JO.1J :
xn tnxn = --- n
Il 8
II~lJ = ~ =
où
n
18 (~)
1
8 (t) = ttn t,
d'où
Il Vn
II~lJ =
~e'
L Vn ne converge pas normalement sur ]0, 1].
Conclusion: la série de fonctions
•
8 (xn)
= --
Etuâéde la converqence simple ~n(l)
= 0 et pour x E]0.1[:
vn(x) = xn -l?nx est une suite géométrique convergente.
L Vn converge simplement sur ]0,1].
Conclusion: la série de fonctions Sa somme T est connue:
.',tnx
+c'"
\:!XE ]0. 1L T(x) =
•
L
n=O
xn -l?nx = 1 _ x
• T(l) = 0
Etude de la convergence uniforme Voyons la suite des restes:
(Rn)""
L +02
\:! x E]O.lL Rn(x) =
k=n
k xn -l?nx x tnx = -1---x
Rn(l) = 0
Comme la fonction Rn admet des limites aux bornes de ]0. 1L
hm Rn(x) = 0,
x..., 0
Rn est bornée sur ]0.1] mais vers O. Conclusion: la série de fonctions
Il Rn
hm Rn(x) = -1,
x..., 1
II~lJ ::,.,1 ; la
suite (Il Rn
II~lJ)
ne converge pas
L Vn ne converge pas uniformément sur ]0. 1].
~..,..,.....~
172
Précis d'Analyse
1/
B. Le critère de Cauchy Rappelons que F est un espace vectoriel normé complet.
t.2
Critère de Cauchy uniforme pour une suite de fonctions Pour qu'une suite de fonctions de 2F (A, F) soit uniformément convergente sur A, il faut et il suffit que: \le> 0,:3 r E N, \1 p ~ r,\1 q ~ r,\1 x E A:
lfq(x) - fp(x)/
OCSe
Une formulation équivalente de ce critère est: - fn est bornée sur A
Pour tout (n,p) E N2, la fonctionfn+p et la suite
n ~ sup /lfn+p - fn/lx
converge vers
O.
pE'I.
~ 1)
f
Supposons que la suite (fnh converge uniformément sur A vers E·'.Ji (A, F) ; alors à partir d'un certain rang r, pour tout n ~ r, la fonction f - fn est bornée sur A et hm n-:-+('Ç·
Ilf - fn/lx - = O.
La suite (f - fn)~; converge dans '!Ax (A, F), c'est une suite de Cauchy;
(f - fn) - (f - fn+p) =fn+p - fn
en remarquant simplement que: on a l'existence de
on= sup Ilfn+p - fnll
x
avec
lim .. On= O.
n~F:0
pEe,
2)
Supposons que la suite Avec e=
1et r EN
est bornée:
Il
gn
/1
(fnl\
vérifie le critère de Cauchy.
associé, on constate que chaque fonction x
ocs
1. D'autre part, puisque
Cauchy donne l'existence de
on= sup Ilgn+p - gnli. pE.
C',"
Ainsi (gn)n"",r est une suite de Cauchy de
avec
(n ~ r)
lim
on= O.
n----'-+~=
~
f,x
gn = fn - fr
gn+p - gn = fn+p - fn, le critère de
(A, F) , espace vectoriel normé complet;
elle admet donc une limite g. En notant
ona
f=fr+g
Or n-+x lim il g- gn sur A.
et
f-fn=g-gn
iLf-fnlx
=1:g-gnTIx'
= 0, d'où la convergence uniforme de la suite de fonctions (fnh. D
t.3
Critère de Cauchy uniforme pour une série de fonctions Un de .g;CA. F) converge uniformément sur A, Pour qu'une série de fonctions
L
il faut et il suffit
\le> 0,:3 r E cc, \1 p ~ r.\1 q ~ p. \1 x E A :
IL
k~q U//X) , OCSe k~p 1
Autre formulation de ce critère: n+p
Pour tout
net p
E!'\!, la fonction
L
hm
Iln+p Il Sn=~~~IIEUklx ~
uk
est bornée, donc il existe:
k~n
n-+x
Sn = O.
etona
Il s'agit exactement du critère de Cauchy uniforme appliqué à la suite de fonctions n n+p Sn: n ~
L
i~O
Ui
puisque
L
k~n
uk = Sn+p - Sn-1
Chapitre
tA
5:
173
Suites et séries de fonctions
Condition
nécessaire
de convergence
Soit ')' Un une série de fonctions A;
1
alors la suite
de fonctions
uniforme
d'une série de fonctions
de 'Ji (A, F) qui converge uniformément
(un)F\j converge
uniformément
sur
sur A vers O.
Ceci signifie, qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonction Un est bornée (n ~ r) et que la suite réelle n f--i> Il Un Il cc converge vers O.
L
Un converge uniformément sur A,on Comme la série de fonctions critère de Cauchy: 1: Un 11= ~8n donne lim Il Un 1100= o.
lui applique le
o
Exemples - Travaux pro!Js:;rtles
Soit
. ~1]~!R,
x
na xn(1 - x)
f--i>
(n E 1\1').
Trouver les valeurs du réel Œ pour lesquelles la série de fonctions • lement convergente, simplement convergente, uniformément convergente
rE • -
1)
.
,exem~J:1
.
Converqence normale L'étude de la fonction Un est directe,
sup [0.1]
- (n + l)x]
u~(x) = n"xn-1[n
!un(x)1 = Un ( ~1 n+
1 + _n (l)-n
= ~1 n+a
)
La série de terme général Il Un converge si et seulement si critère des équivalents de séries positives). Conclusion: si a< O.
n Œ-1 e
n~+x Œ< 0
(série de Riemann et
la série de fonctions /: Un converge normalement sur [0, 1] si et seulement
~ 2)
Converqence simple Un(O) = 0 et un(l) = O. Si x E JO. 1[,
uTl(x) =
par critère de prépondérance, la série Conclusion: la série de fonctions 3)
L
Un(X)
o( :2)
quand n ~
+x
(pour tout ŒEIR()
converge.
L Un converge simplement sur [O.
1J
('\IŒEIR().
Converqence uniforme na-1 Rappelons que gence uniforme est
lim n----'-+x,
et qu'une condition nécessaire pour la conver-
e
n~+cc
l
Il Unll= = 0 (théorème 4) donc nécessairemeQ.U.~<: ...
Pour a< 0, la convergence est normale donc uniforme.
+=
Plaçons-nous désormais dans le cas 0 ~Œ< 1. Voyons la suite des restes d'ordre
n
R1i:tO,lJ
~R
x
f--i>
L
kŒxk(1_ x)
k=n
Pour mettre en défaut la convergence uniforme, minorons Rn(x) pour 0 < x < 1 :
+x
Rn x) (
n L
~
Π"\'"'
x k (1 - x) =
n
Œ
xn
k=n
A supposer que la fonction Rn soit bornée sur [0, 1], cette minoration donne:
IlRnll= ~
nŒ
~
1
La suite (Rn)'~* ne converge pas uniformément sur [0, 1] vers O.
L
Conclusion: la série de fonctions Un converge uniformément sur [0, 1J si et seulement si Œ< 0 (cas de la convergence normale).
174
Précis d'Analyse
Il
III - Limite - Continuité Intégration - Dérivation A. Limite et convergence uniforme Ici A désigne une partie non vide d'un espace vectoriel normé de E et c un point adhérent
àA : CE A. Théorèmes: t.5
Permutation Soit
(fn)C\j
L//
des limites
de 2F(A, F) uniformément
une suite de fonctions
vers f telle que, pour tout n EN, fn(x) suivant
A:
admet une limite
convergente
sur A
quand x tend vers
C
Àn= !JEifn(x). XEA
F est
Alors la suite (Àn):\j de etf
admet À pour limite
en
convergente C
: À= n~+C0 lim Àn
A : limf(x) x~c
suivant
=À.
XE A.
Remarques 1)
Les hypothèses (traits pleins) et les conclusions (pointillés) de ce théorème se visualisent sur le diagramme suivant: Convergence uniforme sur A n ~ +x
f: ( x ) Jn
~f(x)
XEA X
.:xEA
el
-+
Y''X
Àn
2)
····n·.::·-tx· .. ·· .... ;>
~
c
À
Dans le cadre de ce théorème il y a permutation des limites:
~~ 3)
•• •• • ••
L'existence des
C~~cJn(x»)
Àn= l~fn(x)
= n~~x
(~~fn(X»)
peut n'être acquise qu'à partir d'un certain rang.
XEA
Jr%lf
Pour la convergence de la suite (Ành de est complet). La suite Il existe donc
(fnh
vérifions qu'elle est de Cauchy (en effet, F
F,
vérifie sur A le critère de Cauchy uniforme.
on= sup Ilfn+p - fnllx
et
lim.
PE",
Pour tout x de A, on a
on= 0
n~7X
lfn+p(x) - fn(x)!
(Àn):\j est une suite de Cauchy; notons À=
~8n lim
donc
!Àn+p - Àn; ~8n,
Àn.
n----,-+x:
En faisant tendre p vers
+x
\1 x E A, La condition
lim
n--++cx::
on= 0
dans les inégalités précédentes, il vient: lf(x) - fn(X)1 ~on donne
et
lÀ - Ànl ~on
\lE;>0,::3 nE N, 0 ~8n~E;
175
Chapitre 5: Suites et séries de fonctions Par inégalité triangulaire, on obtient: f(x)8
est donné,
n
+ Lfn(X)-
Lf(x) - fn(x)]
À.i ~
est fixé tel que
On ~8,
+ ]À.n
À.nl
et dans ces conditions
Lf(x)-
Permutation
Soit (jn)c~ une suite de fonctions de sur [a. +x[ vers].
À.n=
etf admet
À.
(À.n)c.
-
D
+xE, F) qui converge uniformément
([a.
:Ji
admet une limite quand
n E .\J,fn(x)
alors la suite
=À..
A
(cas où A = [a. +x[)
de limites
Si, pour tout
À.n] ~8
limf(x) x c x'=.
t.6
+ On
=À.n :
fn(X)-
3 8. Donc
À.ni
A.
An B(c. a)
À.I ~
+ Lfn(X)-
À.] ~On
exploitons limfn(x) x-c XE
::la> O. \;/ x E
-
lim
x
tend vers
+CXJ:
fn(x)
X--++OO
de F est convergente:
lim
À.=
À.n
n--++oo
pour limite quand x tend vers +00
lim f(x)
x-++oc,
=À..
[ciA = [a. +x[ est un intervalle non majoré de IR.
~
Les remarques et la démonstration précédentes sont valables. Ilconvient, cependant, de traduire
lim
fn(x)
x-----+x
\;/8> O.::l ME IR+. \;/ X ~ M.
t. 7
Limite terme
1
Soit A
L Un une
=À.n
Lfn(X)-
par:
À.nl ~8
D
à terme série de fonctions de
:Ji
F) qui converge uniformément
(A,
sur
+rx)
et S sa somme
S:
A ~
F:
X>-i>
L
un(x)
n=O
Si chaque fonction
a une limite quand
Un
Un
= ~~
x
tend vers c suivant A :
un(x)
XEA
+C0
alors la série
L Un est
convergente
et la fonction S admet
L
Un
n=O
+00
quand
x
tend vers c suivant
A :
I:~ S(X)
=
xcA
L
Un
n=O
Remarques n
1)
Sn =
C'est [e théorème 5 appliqué à la suite de fonctions >5n)~,
LUi. i=O
+co
2)
Dans [e cadre de ce théorème il y permutation de
I:~ et de XE,A
~~ XEA
(~un(x») n=O
L: n=O
= ~n=O (lJ..Tc un(x») XEA
pour limite
176
Précis d'Analyse
t.8
Soit
L
Il
(cas où A = [a, +x[) Un une série de fonctions de cg; ([a, +:xJ[, F) qui converge uniformément , +0:..
sur
[a,
+=[, de somme
S:
[a,
+x[ -c- F,
X
un(x)
>-+ ~
n=O
Si chaque fonction
Un
a une limite quand
x
tend vers +x : Un = X----:-+X' lim i
Un (x)
+x
alors la série
L Un est convergente
et la fonction S admet ~
Un
pour limite
n=O +rx
quand
x
tend vers +x
x~~-s
=~
S(X)
n=O
Un,
B. Continuité et convergence uniforme A désigne une partie non vide d'un espace vectoriel normé E. C(A, F) est l'espace vectoriel des fonctions continues de A dans F,
Théorèmes:
ri
Continuité d'une limite uniforme: cas d'une suite de fonctions Soit (fn)N une suite de fonctions de C(A, F) qui converge uniformément sur versf : A - F, alorsf est continue sur A, doncf E C(A F).
A
La continuité des fonctions fn à partir d'un certain rang suffit.
IJE
La continuité def en un point a de A s'établit par le théorème de permutation des limites (théorème 5): limfn(x) =fn(a) et n---=-+x lim fn(a) =f(a) X--+Q
o
XEA
t.1rf
Continuité d'une limite uniforme: cas d'une série de fonctions Soit L Un une série de fonctions de C(A, F) qui converge uniformément sur +y
A, alors sa fonction somme
A -
S
F:
x
un(x)
>-+ ~
est continue sur
n=O
A, donc S
E
, .
C(A F). n
IJE
Appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions
n r-> Sn
=~ i=O
Ui.
o
Conséquence La non continuité de la fonction limite (resp. de la somme) prouve la non convergence uniforme d'une suite (resp. d'une série) de fonctions.
Exemples - Travaux pratiques exemple 8 1
•
.t~/_"-----------------------~
Exemple classiqbe : fn : [O. 1] -[H(,
X r-> fn(x)
= xn.
La suite (fn) converge simplement sur [0, 1] versf:
f : [0,1]-R Chaque fonctionfn
est continue sur [0, IJ etf
x>-+ {
X = 1 °1 SIs~XE [0,l[
ne l'est pas.
Donc la suite (fnh" ne converge pas uniformément sur [0.1].
Chapitre 5 :
177
Suites et séries de fonctions
exemp~ 9
Mœ:ltrer que
1
F) est un sous-espace complet de
C~a. bl
ZAx ([a. bl F) .
On sait déjà que d3x ([a, bl F) est un espace complet et que C([a, b], F) est un sous-espace vectoriel de d3 ([a. bJ. F),
•
il reste donc à vérifier que C([a, bJ. F) est fermé dans d3x ([a, bl F). Utilisons la caractérisation d'un fermé à l'aide d'une suite. Soit (ln)', une suite de C([a. bJ. F) qui converge versJ dans d3x ([a. bl F). Il s'agit, par définition, d'une convergence uniforme sur [a, b], donc le théorème 9 garantit la continuité deJ sur [a. b]. Ainsi, JE
C([a, b], F).
En conséquence, C([a. bJ. F) est fermé donc complet dans ZAe:v([a. b], F).
exemple 1 /~ ~~-.---~ ,/ Soit a ER lai < 1 et
+e:vn a
!
~
Montrer que
~.••• 21 'Trouver
•\/
S: [O.1[~R
XI-»
S est continue sur [0,1[.
L~ 1-x n=l
un équivalent de S(x) quand x tend 1.
Nous avons affaire à la série de terme général Un:
1)
Montrons la convergence normale de Pour tout
x
Un: [0.1[
an X f-ô> ---n
l-x
L Un sur tout segment [0, b] inclus dans [0.1[.
de [0, b] :
1
( )1 0<
Iain
lanl
0<
0<
Iain
d
Un X ~ 1 _ Ixl n ~ 1 _ Ixl ~ 1 _ b
La série géométrique de raison Il Un 11l;;,b]
--=...;.IR\,
1al
Il
onc
Illü.b]
Une:v
0<
Iain
~ 1- b
< 1 est convergente, donc la série de terme général
converge.
Conclusion: la série de fonctions pour tout réel b E [0.1[.
L Un converge normalement donc uniformément sur [O. b]
Il en résulte fa convergence simple sur [0, 1[, l'existence de la somme +'x:
S : [O. 1[ -+IR\,
x
1-»
n
a L ---n l-x n=l
et la continuité de la restriction de S à [0, b] pour tout
b E [O. IL donc la continuité de S sur [0, 1[. En effet, le théorème 10 s'applique sur [0, b] à la série de fonctions continues 2)
L Un.
ta solution tient à l'identité et à la limite suivantes:
l-x ---n l-x
1 = l+x+
1- x L ---n
... +x n-l
et
lim x-1 x<1
1- x 1 ---n 1- x =-n
+x
Comme
(l-x)S(x)
=
n=l l-x Un
an, introduisons lasuite de fonctions de terme général
[O.1[~R
XI-»
1- x ---d l_xn
n
178
Précis d'Analyse
Notons que
lim
Un(x)
x_l
Il
an = -,
n
x<1
La convergence normale sur [0,
1
Un X (
)1
= l+x+
l[ s'obtient Iain
.. ,+x n-
+00
1 ,s;
1
a ln
Il Un [D,l[ = a ln 1
an
L -n
Sachant que, pour lai < 1,
par:
= - €n(l- a), il suffit d'appliquer le théorème 7: limite
n=l
terme à terme pour obtenir: +cx:;
E:rt
L
n=l Conclusion : x<1
+oc
un(x) =
+X'
L ~01 n=l
Un(x)
x<1
S(x) =
n=l
x
+X
n=l
an
= - €n(1 - a)
€n(l- a) 1-x
an
L 1_
n
YEt(l - x)S(x) = L~.an
donc
X:-""
C. Intégration et convergence uniforme C([a,hl
F) désigne toujours l'espace des fonctions continues de [a. b] dans F,
Théorèmes:
t.11
Intégrale d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues Soit Vnh" une suite de C([a. b]. F) qui converge uniformément sur [a, b] vers J. AlorsJ est continue sur [a, b] et : >j
~Ty Jn(t)dt ~~.j'b a
J(t)dt= (,b an,
..
Remarques 1)
La continuité des fonctionsJn n'est utile qu'à partir d'un certain rang avec la convergence uniforme, elle procure la continuité de J. Cob
2)
Dans le cadre de ce théorème il y a permutation de
lim JnCt) .j,b a [n-+x: 3) I@f'
et de .la
dt = n-"'T_'lilIl. ,j,b a JnÎtI dt
Ce théorème exclut toute intégrale généralisée, Le résultat se déduit de : J(t)dt,a \j'b et
t.12
n~Tx'
n~~"
Jn(r)dt,s; 'j,b al'
lû - Jnllx
1
a j'b
ûÎt) -
Jn(t)
dt,s; ib -
=°
a)
- Jn'I:.:
0
Intégration terme à terme d'une série de fonctions continues Soit L Un une série de fonctions de C([a. bJ.F.I qui converge uniformément sur [a, bJ. Alors:
Lb
(Ê
un(r))
dt
=
Ê (Lb un(r)dt)
Chapitre 5 :
179
Suites et séries de fonctions
Remarques +C'C
1)
Dans le cadre de ce théorème il y a permutation de
2)
Ce théorème exclut toute intégrale généralisée.
lb
L, n=O
et de
n
Il suffit d'appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions
~
Sn:
n e-+
L i=O
Exemples - Travaux
exemple 1,1 ". \ v
x
Sachant que, pour tout x réel,
établir l'égalité - , Pour tout
x
L
xn
dx= +0:: --n (_I)n+l
XX
J'lo
+-x·
=L nl' n=O
e
n=l
n
+:0
E JO,1], on a
xtnx X' )( = e
nv n
'Lnx = ,x L --n-t-' n=O
Introduisons la série de fonctions de terme général Un : x
ua = 1
et, pour n
un(O) = 0,
EN,
Un(x) =
xn
tnn x n.1
si x
E JO, IJ
Etablissons la convergence normale sur [0, IJ :
1
Ix€nxln V x
Il
Un 1100 = Iun (~)
E
JO, 1], Un(x)1 1
1
=
=
n.1
(car
-n-I e n.
~
sup Ixtnxl JO,l]
est le terme général d'une série convergente.
eT~n!
Appliqù'ons le théorème 12 : intégration terme à terme:
Il
xXdx=
o
Le calcul de
an = JorI (x €n x)n dx
L il +00.
n=O
(x€nx)n n. 1
0
permettra de conclure.
Une intégration par parties donne, pour tout p E NX
1,1xn(€nxt
dx = -~
.0
et la conclusion
n+l0
1 = -)
1·1
xn(€nxt-1
dx
:
d'où
ou
dx
e
Ui
D
180
Précis d'Analyse Il
D. Dérivation et convergence untforme J désigne un intervalle de lR1 non réduit à un point. e1(I, F) est l'espace des fonctions de J dans F de classe el.
d'une suite de fonctions
t.13
Soit (fnlr\j une suite de fonctions de e1(I, Fl telle que: •
la suite
•
la suite (f~l,,,,,converge simplement sur J, vers une fonction 9 : J convergence étant uniforme sur tout intervalle compact [a, b] cI. Alorsf
converge simplement
(fn),,,,,
est de classe el sur J
sur J, versJ:
f
et
J~ F
F, cette
= g.
Remarques
el sur f' suffit.
1)
La condition "à partir d'un certain rangfn est de classe
2)
Dans le cadre de ce théorème, la dérivation et la limitecommutent : C~T:"fn)
~
a étant un point fixé de
J,
'if
Ilen résulte t.14
Dérivation
1
Soit
f
la série
•
la série J.
el sur J, on a :
XE J.jn(X) =fn(a)+L'{f~(t)dt [a, x]
de la suite (f~h vers 9 donne:
limJ~(tldt a n~+x Fl
avec
f
d'où
'if
XE I,
Jor"g(tldt.
f(xl=f(al+
= g. D
.-
terme à terme
L Un une
•
E C1(I,
= n~T:"f~
etfn étant de classe
La convergence uniforme sur
lim ..1Xf~(t)dt=j·X n~+G) a
f
série de fonctions de
L Un converge simplement L u~ converge uniformément
e1(I.
F) telle que:
sur J, sur J sur tout intervalle
Alors la fonction somme S : J - F est de classe 'if
x E
1.
Sf(xl =
L
el
compact [a, b]
c
sur J avec:
u~(x)
n;O
Remarques soient de classe
el sur J.
1)
Ilest utile que toutes les fonctions
2)
Dans le cadre de ce théorème la dérivation et la sommation commutent :
Un
t
(~n;Oun(x») , = n;Ou~(x)
~
Appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions
n Sn: n'-è>
LUi. i;O
D
Chapitre 5:
1
181
Suites et séries de fonctions
IV - Méthodes pratiques Il s'agit d'étudier une fonction réelle d'une variable réelle: limite, équivalent, dérivée, variation quand la fonction est donnée par une intégrale, une limite de suite de fonctions, une somme de série de fonctions. Chaque fois, nous décrirons la méthode en traitant simultanément un exemple. Un deuxième exemple sera donné ensuite sous forme d'exercice.
A. Intégrale dépendant d'un paramètre Exemples - Travaux pratiques
/
---.L-
...•Justifier la définition de 1 •
f:
R--+C, x
f--c>
f(x)
=
--2 l+t
·0
dt.
Montrer que f est continue sur R. ~onti:~i:::~Jtn-te-' g-r-a-le-ge-né.raliSée déPendanit~'~n ::amètre La méthode consiste à :
•
introduire la suite de fonctions (fn)'" définie par
fn:
IR1~C,
Xf--c>
j.n ·0
•
établir la continuité de chaque fn en utilisant les résultats du Chapitre VI
•
conclure à la continuité de
--2 eixt l+t
dt
f avec le théorème sur la continuité d'une limite uniforme.
Applicationde la méthode à l'exemple
f
~éfinition
de
La fonction
<:p:1R12--+C, (x, 0
éU f--c>
--2
1 est continue sur 1R12 et
l+t
l<:p
(x, 01 = --2
l+t
·+x Donc~pour tout réel x, l'intégrale •
Jor
<:p(x, t) dt
est absolument convergente.
Convergence simple de (fn) versf
àcquise par définition même de la convergence de l'intégrale:
r
hm n-+C0lo
•
(x,
0 dt = lo rC0
<:p
(x, t) dt
Convergence uniforme
Ona Ainsi
lf(x) lim ]1---++':-<::
•
<:p
fn(X)1
Iif - fn
~
1+::<: n
1100
--2 ~ .n1+::<: :2 = 1 l+tdt tdt n
donc
Iif - fn
1
~-
n'
= ° et la suite (fnhJ converge uniformément sur 1R1.
ContiJ;luitéde fn
<:pest continue sur lR1x [0, n] donc fn est continue sur lR1par application du théorème sur la continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
182
•
Précis d'Analyse
Continuité de
f sur IR
par application du théorème 9: continuité d'une limite uniforme.
Exemple analogue ]0, l[ --+IR,
Etablir la continuité de la fonctl6n
dt x-+Jo rCO tX(t+l)
1
1
exemple 13
Montrer
que la fonction
IR~R
f:
.............................
x -+
e-
fo+'co .0
il cos 2xt
dt
est de classe
CI .
Calculer f(x),d'une en intédrale déduire f(x) . ..•..•••.••..•• D e •'••• .•• ·.r'~?fi()ri généralisée dépendant d'un paramètre
I ·..•....•.. ·..•..
•
•
Définition de
f
Par convergence de l'intégrale •
·+x
·+x-
= Jof
f(x)
. e-
il cos 2xt
dt
Définition de la suite de fonctions (fn)",
=
fn(x)
ln
Jn0
·0
e-t
cos2xtdt 2
La convergence simple sur IRéquivaut à l'existence def. Dérivation de fn
•
l ' la fonction
Par le théorème de dérivation sous le signe classe CI sur IRavec: fi,Cx) = •
J.n .0
-(x,
x
t)dt = -2
éJ
J.n? .0
te-ë sin2xtdt
,
Définition de la limite simple de (f~),o
Soit
g:
IR~R
La majoration
rx
Jo
•
'if
x -+ (x,
0
te - il sin(2.\.1:)dt
-.-' (x. Odt = -2
J'+x .0 E
déJœx
et donc
'if
x E K.
Convergence uniforme sur IRde la suite
rx
Ig(x) - f~(x)1 ~ 2 ln
donc
IIg
-
te-t sin2.\.1:dt 2
IR x IR+.I te- t2 sin 2.\.1:1~ te- t2
par majoration du reste intégral
Ici
l+X .0
f~11x. ~ e-n2
te-t2
et
(g - f~)
isin2xti
donne l'absolue convergence de
lim f~x) = g(x). n-+x
(f~)"
(x) =
-.-(x.
.j+x n
r) dt .
éJ'f dX
rx
dt ~ 2 ln
lim 9 - f~ Ilx n-+x
1R2,fn est de
= 0
te-t2
dt = e-n2
Il
Chapitre 5: •
183
Suites et séries de fonctions
Conclusion
par [e théorème
13 : dérivation
f est de classe CI sur
f(x)
= -2
Donc f(x)
.1"+::-:: 0
= 2,'if(x)
l+::-:: .02
-'
aacox
1,+::-:: .0
te-[2 sin2.xtdr
e ~
=
f(x)
= i_e-t2 '
=À e" 9
, f(x)
AInSI'ï!XE-"i. .,
et
Si:
d'une suite de fonctions
avec
(x, t) dt
sin 2À1:]0+::-:: +2x Jo/+::-:: e-t" cos 2xt dt = .0 l+::-:: e-t
À=flO)
2
dt = '"'2 /TI
cos2À1:dt=-e' - t2
V7T
,
\..2
Exemple analogue Trouver une expression intégrale de la dérivée de [a fonction:
r:JO.+x[~iH,
x>-+
e-ttX-1tdt
l+C0
·0
, B. Equivalent de la somme d'une série defonctions Exemples - Travaux pratiques
/
i exemple 14 ~/~' 1
•
_
Méthode dite " Eq~a!ent
au premier terme"
Une fonction étant donnée sous [a forme d'une série, par exemple:
1
+::-::
f
: JO,+x[-iH,
on cherche un équivalent def(x)
x>-+f(x)
quand x tend vers
=
L -h-nx s
n=l
+x.
f est somme de la série de fonctions de terme général: 1
Un
:JO,+x[~R
Un (x)
dont la convergence simple tient à ['équivalent
1
Ici, chaque fonction Un: x>-+ quand x tend vers +x.
-h--' s nx
(n
x>-+
-h-s nx
n---i-+O:'
2e-nx.
1
?
2), est négligeable devant
Ul(X):
x>-+
-h s x
En montrant que leur somme est encore négligeable devant Ul (x) quand x tend vers +00 :
+x
L n=2
on prouve que
f(x)
~
X---i-+OC
un(X) =f(x)
- Ul(X) =
o( Ul(X))
par
o( Ul(X)).
Ul (x). +x'
I[ suffit, par conséquent, de majorer
L n=2
Un(x)
184
Précis d'Analyse
2e-nx
1
Dans notre exemple,
sh nx = 1 ~
Un(x) =
e-2nx
2-nx e et pour n ~ 2,
0 ~ un(x) ~ _
L
0 ~
un(x) ~
(1 -
n=2
donc
_
-e -4x
(suite géométrique de raison e-x < 1)
2e-2x
+00
Ainsi
Il
[f(x) ~ Ul(X)] =
e-
4
2e-2x
~
et
Ul(X)
x)(l - e-x) X-Hoa et enfin
o( Ul(X»)
2e-x, X~+C0
+C0 1 '"""shnx
L
2e-x
x~+oo
n=l
Exemple analogue
1
L +CX:'
Equivalent de
e
n=2 n( n n)
quand
x
x
tend vers +oc.
exemple 15 1
•
à terme"
Méthode dite" Equivalent terme
Une fonction étant donnée sous la forme d'une série, par exemple: +x n
L-X
f :]O,l[-+IFR,
Xf-i>
n=l
On cherche un équivalent def(x)
f
1+ nx
quand x tend vers 1.
est somme de la série de' fonctions de terme général: X
Un :]O,l[-+1FR,
n
1+ me
X f-i>
xn-l dont la convergence simple tient à l'équivalent Ici, quand
x
un(x)
n~+,cx:
n
1
tend vers 1 par valeurs inférieures, X
divergente, mais aussi
un(x)
-
n-+cx:
--
--1 n+
Un (x) x~l -
n-l
terme général d'une série, ,-
= vn(x).
n
L Vn est une série entière dont la somme est connue (voir Chapitre VIII de ce tome) :
L
1 +cx:
+cx:
9 : ]O,l[-+IFR,
x
f-i>
n=l
Notons que
g(x)
-
x~l
Majorons la différence
vn(x) = -x
1
vn(x) - Un(X) :
1
n (-~ +nx )~
L
a
+cx:
c'est-à-dire
0 ~
n=l
n-l
1
n ( n + 1) = -n - --Ion n+
on peut sommer
tn(1 ~ x)
xn
n = ---
x
lin(1 - x)l.
\lxE]O,ILO~vn(x)-un(x)= En écrivant
L-
n=l
1
nn + 1)
L
n=l
~ 1
(
1
L( +cx:
(vn(x) - un(x» ~
0 ~ g(x) - f(x)
+cx:
'"""
n=l
n n + 1)
n-2 nn+ 7
= 1,
1)~
1 n(n + 1)
Chapitre 5 :
Donc ~
185
Suites et séries de fonctions
[g(x) - f(x)J = 0 (g(x)) , et on peut conclure à
- Itn(lx-l
soit encore
f(x) x~l ,- g(x)
x)1
Exemple analogue
n
+X
Trouver un equivalent de
2.:=
2
quand
')
n=l n + n x
x
tend vers
+x.
exemple 16 , Méthod/~âite" •
1)
~
Comparaison d'une série et d'une intégrale"
GE6' d'une série réelle
~Ci
la méthode est connue, illustrons-la par un exemple simple où les inégalités et les con-
vergences de série et d'intégrale sont évidentes.
1 Pour a> 1, la série de Riemann
ex
2.:=
et l'intégrale
et de plus, La fonction
Ci dt
l
t
;,'+00
n~l n
sont convergentes,
rx 7' dt = a 1 -1
JI
1
t f-7 CI t
étant décroissante, on a :
(n ~ 1)
d'où en sommant
- ~ ~ dt 1 .in+l n tCi nCi
Ci ~ dt
.j,+x l
t
1 d'où l'encadrement
--a
2.:= +::0
ex 1~
n=l nIt
(n ~ 2) dt tCi
1+ j,+oo Ci dt
1
+00
i·n n-l
a
~ -nCi ~ --a-l -1 ~ L n=l +::0
On en déduit l'équivalent
2.:=
n=l
1
1
Ci n -
0:---+1 0:>1
--1 ex-
Remarque Les programmes P et P' ne contiennent pas les théorèmes de sommation de relation d'équivalence. La méthode précédente permet alors de retrouver les résultats de ces théorèmes. Par exemple, un équivalent du reste d'ordre N : RN =
de l'encadrement
et du calcul
j+::0 N
Ci ~ dt t
rx 7'dt = (a
JN
+C0
1
2.:=
ex
n=N n
2.:= ex ~ ----a + Ci +x· n 1+·::0 n=N N N tdt
1
1
_1)NCi-1
1
se déduit
186
Précis d'Analyse
2) / Cas d'une série de fonctions La question se présente, par exemple, de la façon suivante:
1
+x
Trouver un équivalent de
•
•
f(x)
=
L -h-n;O
c nx
quand
x> 0 ?
x tend vers 0,
1
D'abord présenter le terme général de la série de fonctions:
Un : JO, +:x::[ -;-IR, x f-7 ch nx
1
-h-~ c nx n-.;-+x
Vérifier la convergence simple sur JO,+x[:
2e-nx
La méthode consiste à comparer la somme de la série
1
+00
f(x)
=
L -h--
l+x chtx' dt
h(x) = ·0
à la valeur de l'intégrale
c nx
n;O
Voici les conditions à réunir:
• •
1 Pour x> 0 fixé, la fonction 9x : [0, +:x::[-;-IR, X f-7 ch tx est continue, décroissante.
h(x) =
L'intégrale
l+x 9x(t) dt = .0l'+x-hilitx o
un équivalent simples quand
,+x
•
x
tend vers 0
dt
2
~
ch tx = [ :;;:Arctan
h(x) = 10
conver~ et possède une limite ou
c
h(x) =:x
é" ] +x 0
(pour x > 0)
La fonction x f-7 uo(x) est négligeable devant h(x) (x ~ 0)
uo(x) = 1 = a ( ~)
quand
x -
0
Voici la comparaison proprement dite: (n;o
0)
.ln+l n
9x(t) dt "'" 9x(n)
= unC\:) "'"
j,nn-l
9(X)(0
dt
(n;o
La série et l'intégrale convergent, on peut sommer:
~n;O'jn+l n
9(x)(0
dt "'"~ n;O Un(X) "'" UO(x) h(x) "'"f(x)
La condition
UO(x)
= o( h(x))
"'" uo(x) + h(x)
est essentielle pour conclure:
+x
f(x)
x-o .DO
Exemple analogue Calculer
+x
L
X
lim n;l x,2 + n2 n-+x
+ ~n;l' lnn-l
h(x)
1
L chnx n;O
X-L' .o.:>l!
2x
9x(t) dt
1)
Il
Chapitre 5:
187
Suites et séries de fonctions
(nEl'\n
On retrouve la méthode de comparaison avec une intégrale sans disposer de la monotonie de la fontion gx : gx : [1, +x[ ---cR
t
1 f-7
t+ (t - x)
n
La comparaison se fait alors par l'inégalité de Taylor-Lagrange:
1
G(n + 1) - G(n) - G1(n) ~ -1 sup G Il (t) 2 tE[n,n+1] 1
r
1
.1 n n+1
1
1
~ 21 tE [n,n+1] sup Ig~(t)1
gx(t) dt -gx(n) 1
On pourra utiliser la démarche suivante: 1)
Introduire la série de fonctions de terme général:
Un : 1R---c1R,
x f-7
9x(t)
.l·n+1 n
=
dt
.ln+1 n
t + (tdt- x)
dont la convergence simple est directement liée à la convergence de l'intégrale
dt
+:0
h(x)= 2)
t+(t-x)-
Etablir la convergence uniforme sur IRde la série de son reste
Rn =
l+:o---t + (tdt-
.n 3)
.11 r
L
Un
par une bonne majoration (uniforme)
~. x)
Efféctuer également une bonne majoration (uniforme) de la différence:
IUn(x) -
Un(x)
1
~
~
2
sup
tEln.n+1J
Ig~(t)1
+00
4)
Effectuer enfin une majoration (uniforme) du reste
L
n=N
précédentes.
Un (x)
à l'aide des 2 majorations
188
Précis d'Analyse
Dans l'exemple proposé, cela nous donne:
1 1)
9xCt)
2" t et le critère des équivalents de fonctions positives donnent la convergence
-
t--->+=
de l'intégrale
2)
0"'"
3)
9~(t)
r= 9xCt) dt
JI
rco n+Ct-x)2 dt RnCx) "'" Jn 1+ 2Ct -
=_
"'"
--1+co -co n + (tdt~
x)
2
- .J+x -x ~= n + u2
TI vn:
x)
[t + Ct _ x)2] 2'
1
---2
Séparons les deux termes:
1
1
t
n
""'2""'2'
[t+Ct-x)2]
Dans le second terme faisons une" homothétie" t - x = uJt
2 1ul Jt 1 ---""'-.--""'-
2lt-xl
t2(1 + u2)2
tJt
[t+Ct-x)2r
1 IIVn- unllx "'"
Au total
n2
Par l'identité
L
n=N
unCx) =
2 1ul
1
1+ u2
nvn:
2
+ nvn: "'" nvn:
+ cc;
+0::;
4)
1
:
+ cc'
L
L
(un (x) - vn(x» + vn(x) n=N n=N
+IIRNllx [ï= n=N Un(X)1 "'" n=N ï= Il Un - Vn
et la majoration
IIï=unll n=N
Il vient
x ""'~n-N n~+
~
1 Comme la série réelle
Donc
:L
+x
nyn.nyn (.; est convergente son reste d'ordre N,
N--->+x hm .11 n=N unll cc ..
ï=
= 0, c'est la convergence uniforme sur
1
L. (.;'tend vers O.
n=T,
[hg
de la série
L Un·
Remargue
1 Il Un
=
La série
:L Un
sup XE 8.
n + (n - x)
1 2
=
n
(série harmonique).
,~ ne converge pas normalement sur IR.
Il
Chapitre 5:
189
Suites et séries de fonctions
C. Cas des séries alternées Il est intéressant de manipuler des séries alternées L(-l)nan
où la suite réelle (an\~
converge vers 0 en décroissant. On utilise les propriétés suivantes:
+x i lia série converge
(_l)n an (critère spécial des séries alternées)
S= ~ n=O
+x ii Ile reste d'ordre N.
RN
= ~ (-l)nan
IRNI ~ aN
vérifie
n=!\T
iii 1 on connaît son signe:
RN
= (_l)N IRNI
Pour une série de fonctions L( -l)nun(x)
Ra ~ S ~
•
la propriété
•
la propriété iil fournit la convergence uniforme
•
la propriété
il
ao - al.
:
fournit la convergence simple,
iiii
Il RN
donne des encadrements, limites ou équivalents
Décrivons deux méthodes sur un même exemple:
Soit
J:
[O,+x[~R
X >-7
+x ~(_l)n-Itn
() l+~
Il s'agit de trouver un équivalent de J(xl quand x tend vers 0, puis quand x tend vers +00. Le caractère alterné de la série de fonctions L(-l)n-Iun(x)
pour tout x fixé dans [0, •
+x [,la suite réelle
n
>-7
un(x) =
est clair et,
tn( 1 + ~)
décroît vers O.
Pour le comportement de J(x) quand x tend vers 0, on pense à " l'équivalent terme à terme"
+x (_l)n-l
~--=tn2, n=l
On connaît la somme
d'où le résultat probable J(x)
- x tn 2.
x-+O
La méthode s'appuie sur le théorème de limite terme à terme appliqué à la fonction:
X
J(x)
=~ x +x n=l (_l)n-l
tn
(
1 + -;x)
(x>
0)
Le théorème des séries alternées s'applique toujours et la propriété iil fournit la convergence uniforme sur ]0,
+x[ :
~-N1
190
Précis d'Analyse
J(x)
Le théorème limite terme à terme donne
L
n=l ~(_I)n-l
c'est le résultat prévu •
en
lim x-;-o
-X
Il
+:::c(_I)n-l = '" --- n n=l
L
n x-;-o (1 +~) ~ xenz,
Pour le comportement de J(x) quand x tend vers +oc, on va appliquer la méthode dite " équivalent à la moitié du premier terme" Cette méthode est liée à la transformation suivante:
+~
+00
J(x)
n=l
Ul(X)
§.i
n
n=l
n 1
+:::c
-Z-+L(-I) n=l
=
J(x)
= Ul(X) + L(-I)nun+1(x)
L(-I)n-lun(x)
=
[Un(X)-Un+1(x)]
le théorème des séries alternées peut encore s'appliquer, (décroissance de la suite Ho
un(x) - un+1(x) (1 ), la propriété
iiii
donne l'encadrement:
Ul (x)
o ~J(x)
soit ici
0 ~J(x)
et la conclusion
-
-2- ~
-
[Ul(X) - U2(X)]
en(: + 1) ~ en(x + 1) - en ( ~ + 1) = en
~ n=l (_I)n-l
en
(1 + ;)
(2~:~)~en2
x-;--::c: _e_~_x,
Remarque importante pour (1) La décroissance de la suite dépend du signe de
n
Vn = Un - un+l
Ho
- Vn = un-l
vn-l
- 2un + Un+l
En ecnvan " t 2"1 ( Vn-l - Vn) = Un-l 2+ Un+l - Un, on VOl't que a convexite'd e la SUI'te n Ho Un suffit pour assurer cette décroissance. 1
.
Conséquence pratique x étant fixé dans l'intervalle d'étude, on étudie la convexité de la fonction' gx : t
Dans l'exemple proposé
i on obtient
gx(t)
x> 0, gx: [1, +x[ -;-!R, t
1 =
-t -,
+x
1 -
-t
1 et
d/:(t) = t 2
Ho
en
Soit
J(x) =
L n=l
1 -
--.-9 (t+xr
>0
d'où la conclusion.
x (_I)n-l
Arctan Tl'
Trouver un équivalent de J(x) : 1)
2)
x quand x
quand
tend vers 0, tend vers
Ut(x).
(1+ ~)
Exemple analogue +'x
Ho
+x,
,"
Chapitre 5:
__
Suites et séries
/
EX.5.1,
Montrer que:
191
de fonctions
Exercices-types
/
Soit (an)'" vers O.
\)
11tn t . tn(l -
t)
dt = 2 - -
o
1)
,,2 6
/
une suite complexe
Justifier
la définition
qui converge
de :
L IX n.
IÎ'
f : IR~L,x~
Ex. 5. 2 1 ) / Justifier
*-/
Ex. 5. 7
+=--:>
an
n
'1=0
la définition
et la continuité
=
Montrer que f(x) vers +oc.
2)
de la
fonction:
quand x tend
o(eX)
EX.5.8 1)
+x
L
X ~
Soit (an)N une suite réelle positive crois'1
Arctan(n + x) - Arctan n
sante et An =
'1=0
L(-l)kak. k=O
?/l
Trouver
f(x
une expression
simple de
a "'" (_1)'1 An "'" an
Montrer que
+ 1) - f(x)
2)
En déduire
la convergence
uniforme
IR de la série de fonctions
8)
Déterminer un équivalent def(x) tend vers +X, puis vers
-x.
x
quand
(_l)nn néral Un : iR~!R:, x ~
Ex. 5. 3 À 1)
Justifier
sur
de terme gé-
~
n +x
Ex. 5. 9
la définition
de la fonction:
L -n1 +X
f : IR:~IR,x ~
cosn xsinnx
Montrer que:
l+X
e-t
.0
dt = Arctanx
__
sinxt t
(x
E!R:)
'1=1
2)
Montrer que IR\"Z'
3)
f est de classe
; calculer
el sur
f.
Ex. 5. 10 Soit (Pn)"" une suite de polynômes qui converge
J
En déduireI
uniformément
sur
IR:
E 2F (IR, IK).
Que dire de la suite des degrés
Ex. 5.4
n~r;?:v
Calculer
L (k)n '1 k=O
Ex. 5. 11 '1
1)
~
(
1
Etablir la convergence suite de fonctions :
+ ~)
'1
Soit E = C1([0,
E .ûtp (lK), montrer que:
lim Tl-d0:
L -1n.
(
Ip + -n
A)n
=
+xAn '1=0
- (1 - x)n
Que dire de la série de fonctions
des fonctions
A
de}a
LJn
?
Ex. 5.12
pour Z E iC.
Ex. 5. 6 Soit
uniforme
Jn : [0, 1] ~IR, x ~ e-nx 2)
n~~C0
de Pn, de la
limiteJ?
Ex. 5. 5
Calculer
de IK [X]
vers
1)
1], IK), le IK-espace vectoriel 1] dans IK de classe el.
de [0,
Montrer que l'on définit une norme par: E --;-iR,J ~
2)
L'espace
N(f)
= lf(O)! + sup
tE [0,1]
(E, N) est-il complet?
l(
(t)1
192
Précis d'Analyse
Il
Ex. 5. 14 1)
Justifier la définition et la continuité de la
A toute fonction]
fonction:
suite de polynômes
L--
c
C([O,
1], IR), on associe la
(k) ~
x k (1 - x) n-k
+cv (_l)n
]
:]0, +=[----;-IR,
x>-+
n+x
n=O
1)
Trouver un équivalent de ](x)
2)
= ~n
Bn(f)(x)
Déterminer Bn(f) pour ]:
a)
quand
x
tend vers 0,
b)
quand
x
tend vers +cc.
x>-+ 1,
] :x 1
k Cn]
>-+
x,
]:x>-+x2 tX-1
-1+ t dt
3)
Etablir l'égalité ](x) = Jor
4)
Retrouver les équivalents du 2).
2)
Calculer
L k=O n
=
9n(X)
k Cn
k (
~ -
X
•
)2
.k n-k x (1 - x)
Indications Ex. 5. 1
Ex. 5.3
Utiliser les deux sommes de séries suivantes:
° ~ t < 1, 2
et
-
€n(l - t) = +::0
tn
L Tl +::0
Ex. 5.4
n=l
1
Ecrire:
2" 6 = L.. n n=l
'TI"
~
S(n)=L ~ =Ln (' 1-~ n ()n )=0
k=O
EX.5.2
1)
Appliquer soigneusement [e théorème de dérivation terme à terme.
Appliquer le théorème" continuité d'une [imite uniforme ".
2)
Former Un(X+l)-Un+l(X)
3)
Comparer une série à une intégrale généralisée.
)n,
=tLj(n) x )=0
et appliquer le théorème de limite terme à terme. Ex. 5.5
puis sommer.
Z
Ecrire (
1+ Tl )
,
L
k Z
L
uk(n) n = k=O n Cn nkk = +x k=O
et appliquer le théorème de limite terme à terme.
Chapitre 5:
193
Suites et séries de fonctions
Ex. 5. 11
Ex. '5. 6
Utiliser l'exponentielle d'une matrice:
L, +:cc:
~ =
Etudier fn et trouver un majorant ou équi-
1)
valent de Ilfn
An
n.
n=O
(voir Chapitre VIII)
2)
Il:cc:·
Etudier la continuité de la somme +.::;(:.
Ecrire: X>--è>
Lfn(x). n=O
( Ip
+
Tl A)n
L
L
= k=O nk = +:x: n C~ Ak k=O Uk(n)
Appliquer le théorème de limite terme à terme. Il s'agit d'une copie conforme de l'exercice précédent
Ex. 5. 12 Application directe du théorème" dérivation et limite uniforme" Ex. 5. 13 1)
Ex. 5. 7
L'équivalent en 0 est le premier terme, l'équivalent en +00 est la moitié du premier terme.
Etablir la convergence uniforme sur JO,+x[ de +cx:::
la série de fonctions
L a7 n. xne-x n=O
1- (_I)NtN
N-l 2)
Utiliser
L
(_I)ntn
=
n=O
EX.5.8
1
1)
Par récurrence
2)
La suite
n
n
>--è>
-2--2 n +x
Ex. 5. 14
est d'abord crois-
sante puis décroissante. Ex. 5.9 Utiliser la série de fonctions:
L
Introduire la fonction: n t>--è>
L
C~ ektxk(1 - x)n-k
k=O
et ses dérivées. Evaluer la différence:
f(x) = +C0 sin nt dt ontJr(n+l e-t __ pour calculer
Utiliser f(x + 1) + f(x) = x'
3)
f
f(x) - BnV)(x) =
(x).
~
Ex. 5. 10 A partir d'un certain rang chaque fonction
C~
~(X)
-
f (~)
] xk(1 - xt-k
en distinguant les deux ensembles:
Pn+l - Pn est bornée.
{ k/
1
~
-
xl
<11 }
et { k/ kn - xl ~Œ} 1
194
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types j:
La fonction
[0, 1] --+~,J(t)
= ten t· .en(1 - t)
positive. l'existence de l'intégrale
j
si
° < t < 1.1(0)
= 0.1(1) =
°
est continue et
l = fol .en ten(1 - t) dt en résulte.
est la somme de la série de fonctions de terme général
Un: [0, 1]
~R t f-'>
tn
--.en t n
Etablissons la convergence normale sur [0, 1] :
1 avec
sup
tE[O.l]
tn.en tn
= -, en écrivant
Ix.enxl
unCt) =
e
---2n
?
1 0, il vient
Il
Un 11~·1]= -----Z,qui est
en
le terme général d'une série de Riemann convergente. Le théorème 12 " intégration terme à terme" s'applique:
JorI [+CC ~Un(t)
] dt=
rI
+= ~Jo
un(t)dt
JorI .enten(l-
,
t)dt=
+x ~-
-n-dt
rI tn.en t .la
Une intégration par parties donne:
+x V
n?
1, -
1·1tn .en t dt
=
. a
1 D'autre part
,
----
n(n + 1)2
L
n=l n(n + 1)
2
=
--1 .en t
+
o'
dt = ---2' 11--1 n tn+ (n +11)
1 1 1 - --n n + 1 (n + 1)2 1 N+1 1 N+1 1
:L n - :L n - :L -:2 n=l n=2 n=2 n
1
N+l
I=:L
1 \
n=l n(n + 1)2 \
1
:L -:2 n=2 n
= 1- N +1 -
=2j.1a .en t .en(1 - t) dt = 1 - :L +x -:2 n=2 n1
Finalement
donc
a
= - - --
NIN
donc
-
[tn+1]1 n+
i· ~2
Ex. 5.2 1)
La fonctionj
se présente comme somme de la série de terme général: Un : ~~~,
Chaque fonction Un est de classe
X --+
Arctan(n
Arctann
+ x) -
el sur ;g,
L'inégalité des accroissements finis donne la majoration:
°
o ~ Arctan ~ - Arctan
~Œ~~,
a], (a> 0), IUn(X)1 ~
' "
1+ (n -
---9 1+ Œ~
a
lx!
donc sur [-a,
~-Œ
Œ~
,2 lx!)
~
--~
(n - a
a
et Il
un
II[-a.a] C0
~
(n _ a)
2
a
---2 (n - a)
étant le terme général d'une série convergente, la majoration précédente donne la
convergence normale sur [-a, a] de
L
L Un.
Ainsi la série Un converge simplement sur R (j est donc continue sur R) et uniformément sur [-a, a] (j est donc continue sur] - a, aD pour tout réel a> O. Finalement
j
est continue sur Ri.
Chapitre 5: 2)
195
Suites et séries de fonctions
La simplification par Arctan(n + 1 + x) Un (x +
1) -
donne:
Arctan(n + 1) - Arctan n
Un+l (x) =
JI.:
d'où [a somme partielle
( un(x + 1) - Un+l(X») = Arctan(N + 1)
~ n=O
f(x + 1) - [f(x) - uo(x)] = ;,
et en faisant tendre N vers +X, il vient f(x + 1) - f(x)
Pour tout x E R, 3)
- Arctanx,
= ;
Appliquons [a méthode" comparaison à une intégrale ", A x fixé dans :;:;;:, associons la fonction
9x:
t
Arctan(t + x) - Arctan t continue,
f--è>
positive, décroissante et telle que ['intégrale généralisée
h(x) =
([e critère d'équivalents de fonctions positives s'applique
9x(t)
10+00 ,0
9x(t) dt
existe.
x
Par la relation de Chasles et par [a translation U = t + x
[Arctan(t + x) - Arctan t] dt =
J,A ·0
·x+A
hA(X) = JA f
et
h(x) =
hm
Faisons tendre
·x Jof
ArctantdthA(x) = -x 2TI
A~+x
x
t-HOO
--2) 1+ t
h(x) = fo+x [ArctanCt + x) - Arctan t] dt.
Il convient d'évaluer
hA (x) =
~
-
:
.j'X+A x
Arctan U du -
l·A ·0
Arctan t dt
Arctantdt
lX0
Arctan t dt =
Arctan - dt l'x 1 0 t
vers +X, et utilisons le théorème d'intégration des relations d'équivalence
pour les intégrales divergentes de fonctions positives:
Arctan
1 t~+oo 1t
-t·
~
-
~ 1t x_+x. 1 Arctan ---dt
donne
~,X
1x 1 -dt t
donc
h(x) +00 ~ en x
9x(t) dt,
(n EN')
Comparons maintenant la série et l'intégrale: (n EN),
9x(t) dt ~ Un(x) = 9x(t) ~
jn+l n
'i·nn-l
et par sommation (l'intégrale et la série convergent) :
hroo9xCt) dt ~
~=0 un(x) ~ uo(x) +
h(x) ~ f(x)
hrx
9x(t) dt
~ h(x) + Arctanx TI
Comme
h(x)
~ enx +x'
et
Arctan x
+~
f - h = o(h) Fixons x dans
1R1=-
et gardons [a fonction
2' on en déduit: et donc 9x:
f(x) t
~ enx
+C>;J
Arctan(t
f--è>
+ x) - Arctan t continue,
mais ici, négative et croissante. La méthode précédente s'applique encore avec la même définition de h(x) et des inégalités changées de sens:
rn-l
.J
En sommant, on obtient
9x(t) dt ~ un(X) ~
uo(x) + h(x) ~ f(x)
J
r+1 n 9x(t)
~ h(x).
dt
196
Précis d'Analyse
Attention à l'équivalent de
on a maintenant Là encore
1)
71 h(x) = -i-x-
(X Arctan tdt x~--0O Jo
uo(x) = Arctanx
=
71 -2x
0 (h(X))
et
Un:
tend vers
-cc :
h(x) x~--0O 71x
-:0
donc f(x)
Etudions la série de fonctions de terme général
x
quand
(X Arctantdt Jo
Il
71x.
~--+R
1
n cosn X
X f-'> -
.
SIn nx
Chaque fonction Un est impaire de classe CI sur ~, et de période 71. La série
Z Un converge simplement sur ~ : Un(O) = Un(7T)= 0
et pour x E]O, 71[,
IUn(x)1 ~
Icosxln n
(majoration par une série géométrique de raison Icosxl < 1). Elle a pour somme la fonctionf,
impaire et 7T-périodique :
1
+00
f:
~--+~,
2)
Un calcul simple donne La série car
X f-'>
L -;:;.
cosn x sin nx
n=l
u~(x) = cosn-l cos(n + l)x.
Z u~ est normalement convergente sur [a, 71-a]
lu~(x)1 ~ lcosxln-l
~ Icosaln-l
donc
Il u~(x)
pour tout a E
O. ]
11~·7T-a]
~
2
71 [
Icosaln-l
et la série géométrique de raison Icos al est convergente. Le théorème de " dérivation terme à terme" s'applique: la restriction de
f
à [a, 'iT - a] est de
classe CI, donc f est de classe CI sur ]a. 'iT- a[ pour tout a E ] 0, ; [, donc f est de classe CI sur ]0, 71[et compte tenu de la période 7T,f est de classe CI sur IR\'iTZ avec: +x
j' Le calcul utilise
(x) =
cosn-l
n=l
cos(n + l)x
cos(n + l)x = Re ei(n+l)x j'ex)
R
j'
e
(x) Re
j'ex) 3)
L
=
-1
L
(~n=l
cos
n-l
xe'
1- cos x . e L" e2L" pour tout
iin+lJX)
= Re
~- cos x (~Lë_e_L"~_')
x EIR\'iTZ
Comme f est de classe CI sur l'intervalle ]0, 'iT[, il existe un réel C tel que f(x)
or,f(;)
=0
donc
f(x)
On complète la description de Observer que
f
= ;
-x
= C - x.
pour tout x E]O,'iT [.
f sachant qu'elle est 'iT-périodique et nulle en tout point de 'iTZ.
n'est pas continue sur IR.
Chapitre 5 :
197
Suites et séries de fonctions
EX.5.4
L'égalité
S(n) =
I: (k)~ I: n 1e=0
n
=
n ( )=0
I:
1- ~ = uin) . ) n )=0 +x
se justifie par la définition de la série de fonctions
L
Uj
de
;iF
(N" , IR) où :
n
si J"'"
n ""'J
si
La convergence normale S'jr r'\r de cette série de fonctions résulte de :
sup uin) = lim. Uj(n) = e-) = IIUj lico
n-+x
nE~'~*
if): ]j, +x[ --+R
Pour cela étudions la fonction
Calculons
if)! (x) = tn
x +L X-j (1 - L)
x
= - en
Ainsi la fonction if) est croissante, la suite n
J-+
X-j (1 +L)
N'
u'j·(n) =
~)
X-j ~0 +L
Uj(n) = e'l)n)
Il U) Ilx = n---'oo+x lim La convergence normale sur
x en ( 1 -
J-+
(utiliser en(l+ u) "'" u).
est croissante et
e-)
L u) permet d'opérer la limite terme à terme
de la série de fonctions +œ
+x'
L
L
lim S( n) = """ n-;.+x lim Uj( n) = """ e-) = n-+·co )=0
)=0
_e_ e- 1
Ex. 5.5 Fixons z dans C et appliquons la formule du binôme: Z
(
1+ Tl )
en introduisant la série de fonctions
I:
L Un de
k
La convergence normale sur N'" de cette série
nE
[Ie.+co sup [ (1-~)
n.
I:
(N'" , C), telle que:
;iF
k zle n(n - 1)· .. (n - k + 1) uk(n) = Cn n = nle
!IUkllco =
z
le
n = k=O n Cn niele = 1e=0 +.co uk(n)
-kl
.
si k "'" n
et k! Izlle
Le théorème de limite terme à terme peut donc s'appliquer:
n~~co
C'est-à -dire
lim n-;.+=
(
1+':' n
) n
+OC'
+':::0
I:
I:
uk(n) = n~%o ule(n) k=O k=O
="""~=é. L k! += le k=O
,
ule(n) = 0 si n < k
L ule résulte de :
n k-l)
... (1-
zk .
Iz[1e
Lk'!
est convergente.
198
Précis d'Analyse
Il convient
d'abord de munir l'espace vectoriel
IIABII Nous reconnaissons
expA
n.
n=ü A~ =~
"" IIAIIIIBII
etdonc
dans l'énoncé
la définition
(série absolument
La matrice étant fixée dans
(IK), utilisons
J&Lp
finie, prenons IIAnl1
Ip + 11
n
"" IIAlln
n.
A~ Il
Il
la formule
=
une norme d'algèbre
L n k=ü
C~
d'une matrice:
n.
du bînome :
k
L
=
Ak n
+:0 n=ü
Uk(n)
k Ak
kn
Uk(n) = Cn Le résultat tient à la convergence
n~~'0
L
k=ü
et à une limite terme à terme:
n(n-l)···(n- nk
sur N'
I{!
Tc!
le-l)
L
de la série de fonctions
Ak Uk(n) = -,le. ' l'application
+e<)
° si n < le
"" IIAllk
IIAkl1
le,
normale
lim n--;.+:o
Comme
Uk(n) =
et
Uk :
= Il Uk(n)11 "" Il A;I k ,
sup Il Ukll:o nEN*
la convergence
si le "" n
normale
Il Uk(n)11 ""
donne
11\
Il A
""
de 2F (N' , Jtp (IK)), de terme général
la série de fonctions
qui vérifie:
pourtoutnEN
de l'exponentielle
convergente
(A) en introduisant
(IK) d'une norme.
J&Lp
car Mp (IK) est de dimension
Le choix est arbitraire
Il
du théorème"
U/c en résulte.
limite terme à terme"
donne:
+CX:.
Uk(n) =
L
lim
donc
n~~:o Uk(n) k=O
n~+x
Ip + -n
(A)
1le. L +x Ak k=ü
= '"
n
= exp A
Ex. 5. 7 La suite (an)f\J est convergente
(Mnh,
que la suite réelle
donc bornée.
Mn = sup lail
Il sera utile de noter
est positive, décroissante
i~n
et qu'elle converge
et d'observer
vers O.
+x xn
1)
L'existence
de
J
tient à l'absolue
(puis critère de comparaison +:X::'
2)
Comme
e-xJ(x)
L
convergence
de
=
eX
L
car
n! n=O ~
des séries positives)
anxn
_
= '" __n,,_e-x, n=O
introduisons
Nous avons déjà la convergence
la série de fonctions:
an n -x
[O.+x[~C.
Un
e
X f--> --,- X
n.
simple et la somme,
établissons
la convergence
[0,+::>0[,
le reste d'ordre
Rn:
n est
.. et une majoration
1
,+x Rn(X)1 ""
[0,
+x[-:c,
L
k=n
Ainsi
Il Rn Ilx
=
sup XE[O.+X[
la~tl
Ixnl
"" M0---n:!
x
f-->
laki k -x -,-x le
IRn(x)! "" Mn
+x
k
'" L
__ akx le,_e-x .
k=n
L --,-"" +:0 xke-x
e ' "" ;'VIn
k=n
donc
hm
n--;.+x
Mn
le.
Rn Ilx
=
O.
uniforme
sur
Chapitre 5 :
199
Suites et séries de fonctions
La suite (Rn)',
converge uniformément sur [0,
converge uniformément sur [0,
+x[
vers 0, donc la série de fonctions
Appliquons le théorème" limite terme à terme" :
L-
x~+x
hm
c'est-à-dire
:L Un
+x[.
lime-"'1(x) = 0
donc
x----,-+x
L-. x~+oo hm
[~un(x)] n~O
= o(e-") quand x -
f(x)
= ~n~O [
Un (x)]
et
[Ani ~ an
+x
EX.5.8 1)
Montrons par récurrence le couple de relations:
(Hn)
= (-l)nAn
[An[
Comme Ao = an, la relation (Ho) est acquise.
n et partons
Supposons (Hn) aGquise pour tout entier
= An + (-1)n+lan+1
An+l
(_l)n+lAn+l
et d'après (Hn), C'est 2)
=
[An+li = (_l)n+lAn+l
Etudions pour
x
donc
an+l
-IAni
et aussi
de l'égalité
(_l)n+lAn+l ~
an
IAn+ll ~
=
-IAnl
an+l
~ 0 donc
an+l
- (-l)nAn
(Hn+l).
t
fixé dans lKÎ~la fonction:
9x:
[0, +x[--+R
/
Nous avons d'où les variations
9x(t)
0
t
--2' t2 + x 0 1 X +00
t>---'>
'"
2x
0
1 Cela donne ~~~ 9x(t) [ = 2x' 1
n
Etudions à présent la suite
n>---'> Un(X)[ 1
=
-2 n --2 +x
=
9x(n).
1 Nous avons
1
n
Iun(:d[ ~ [Un(O)i =
donc
Il Un[[x
=
n'
ce qui indique la non convergence normale sur IRde la série
:L Un.
Cependant la suite (~)n +x n~x est décroissante, donc par application du théorème des séries alternées, la série de fonctions :L Un converge simplement sur IR.
n
+:-0
Introduisons le reste d'ordre N:
x
lKÎ--+R
RN:
~(-1)n-2--2
>---'>
n +x
n~N
Pour la convergence uniforme sur
de la suite (RN)NEI\J* vers 0, cherchons à établir:
IR;
sup IRN(x)1
1 ~ -
N
XEu;l
Pour cela, distinguons deux cas suivant la place de •
Si Ixl ~ N, la suite (lun(x)l)
n"",N.
x
par rapport à N.
étant décroissante, le théorème des séries alternées fournit
1 1RN(X) •
Si N < [xl, notons
M = E(lxl)
~(_l)n n~N
La suite (lun(x)l) N~n~M
~
IUN(x)1~ Il UN'1::0=
fi
et décomposons RN(X) :
M RN(X) =
1
+'::0
IUn(x)1+ ~
(_l)n IUn(x)1=
n~M+l
étant croissante, le résultat du 1) fournit:
A
+B
200
Précis d'Analyse n~M
lAI = (_I)M
2.)-I)n
IUn(X)1 oS: IUM(x)1
n~N
Comme
B=RM+1(x),ona
1
1
M
N
=-:::::;-
Il uM
oS:
Il
IBI=(-I)M+IBet:
1 IRM+l(x)1
oS:
IUM+1(x)1 oS: Il UM+l
=
1
M+ 1
oS:
N
Il est intéressant d'observer que A et B sont de signes opposés.
1
Or
lAI
oS:
1
N
IBI
et
oS:
1
N
IRN(x)1 = lA + BI = liAI - IBII
donc
1
Ainsi
IIRNII=
oS:
N' donc la série de fonctions
oS:
N
L Un converge uniformément sur
1Ft
Ex. 5.9 Voici les étapes et les notations de la solution proposée: 1)
Définition des fonctions : f:
~~~,
l+x e-t __sinxtt
X>--'>
et 2)
Un
:~~R
X>--'>
g:~-~,
dt
. 0
r+x e-t
x>--'> Jo
e-t--dt sinxt t
jn+l n
Preuve de la convergence normale sur ~ de la série de fonctions
cosxtdt
L u~
+C()
3)
Calcul de
J'(x)
=
L
u~(x)
n~O
4)
Calcul de f(x).
Détaillons chaque étape:
1)
(x, t)
Soit
e-t
>--'>
sinxt t
a
a::
(x, t)
>--'>
e- t cos .xt.
En fait,
ex
où e est la fonction de classe
sur
[R2.
Pour le voir il suffit d'écrire:
ex
sur R définie par:
SIn U
e (0) = 1
Par ailleurs,
I
et
(u)= -u-
e
et
. a.~(x. a<.r; t) 1
1
pour tout u"* 0
oS:
e-t,
donc, par comparaison de fonctions positives, les intégrales suivantes existent:
f(x) =
2)
l+Xe-t
. 0
__
sint t
Le théorème de dérivation sous le signe Alors
lu~(x)1
Or la série
oS:
.j.n+l n
L .jn+1 n
e-t
e-t dt
dt
donne
dt
et
g(x) =
J s'applique u~
x
à Un: oS:
e-t cos.xtdr
u~(x)
n .j.n+l
est convergente (~n~Ojn+l n
L u~ est normalement convergente.
.j'+x 0
e-t
=
Ln+l e-
t COs.:\.1: dt
dt .
e-t dt = .l+x 0
e-t dr = 1) donc
Chapitre 5 : 3)
Suites et séries
Le théorème
201
de fonctions
de dérivation
terme
à
f(x)
=~ u~C'd = .la n=O
terme s'applique
rx
Le calcul se fait à l'aide de l'exponentielle
=
Avecf(O)
1
= Arctanx
f(x)
on en déduit:
=
Ex, 5, 10
à
Il existe un rang r
partir duquel
toutes
Pn+1 - Pn = if - Pn) - if - Pn+1) Les seules fonctions
polynômes
I-
les fonctions
bornées
sur
IR:
sinxt t
dl:.
Pn, (n "'" r), sont bornées
sur
IR: ,
donc
IR:.
donc:
k-1
Pk = Pr + L
p/c(x) = Pr(X) + Lan.
an
le H> Pk(X)
la suite
e-t __
(n"'" r)
IK
n=r
n=T
Comme
+X' a
sont les constantes
k-1
= l+x --2
f/(x)
j.+x a
est bornée, (n "'" r), sur
Pn+1 - Pn ~ an.E Par addition,
et:
IR:
complexe:
r~
0
el sur
e-t cosxtdt
= .la.' x Re el,èi-1Jt dt = Re [ _e_. XL _ -_ 1 (Ai-1Jt]
f(x) 4)
:f est de classe
est convergente,
+x L
la série
an
est convergente
= Pr(x) + L
f(x)
et
n"3r
Conclusion: polynôme
an
n=T
la suite des degrés constant,
la limitei
de Pn est stationnaire,
pour tout n "'" r, Pn - Pr est un
mieux,
est un polynôme.
Ex. 5, 11 1)
Etudions
f~(x) avec
de fn :
les variations
= ne-nA fn(x)
gn(X) =
(1-
g~(x) =
x)n-1enA
(1 -
où an est caractérisé
(1 -
-
1
x)n-2enA(1 Ilfn
De cette étude il résulte
En remplaçant
/ /1 1
0 0- an 0e-n -1 bn "" ""
x - 1] [(1- nx)n-1eTl.Y gn(X) 0
par
Ilx
= bn =fn(an)
gn(an) =
an)n par
bn = ane
- nx)
Tl
(1 =
-na
(1- an)n-1enan _
,,; -
2)
Ilfn
Ilx ,,; ne
La convergence
1 ( .
simple de la série de fonctions de raison
sup te tE[O,l]
car
ifn)~ converge
et la suite de fonction
s'agit de deux séries géométriques
1= 0
ne
(nane-naTl)
1 Ainsi
-
an)e- nan dans bn, il vient:
Lfn
e-x
=-
-t
uniformément
est claire. In(O)
=
vers O. 0 et pour x E]O, 1], il
(1 - x).
et
1
+x La somme S
= LIn
est définie par SeO)
=0
et pour XE
n=O
[0,
un équivalent
de S(x) quand x tend vers 0 :
S(x) = ( S n'est pas continue série Lfn
en O. Le théorème"
ne converge
pas uniformément
continuité
1-e
et limite uniforme"
sur [0, 1].
1
1] : S(x) = -1-e _
e-x-1+x Donnons
e1)
x
1
-x) x ~ '2 étant mis en défaut, la
202
1)
Précis d'Analyse
Ecrivons
N(f)
= lf(O)1 + Ncx:,(f/)
où
= sup
Nx(g)
Il
Ig(t)1
tEIO,I]
Il est alors facile de vérifier que N est une norme sur E.
Remarque Onadeplus,pourtoutfEE, d'où 2)
lf(x)
1
\:fxE[O,I]
lf(O)1 + Nx (fI)
~
r/(t)dt
f(x)=f(O)+
Nx (f) ~
et
Jo
N(f).
Soit (fn)i'\j une suite de Cauchy de CE,N) : On = sup N (Jn+p - fn)
existe et
pE:\\
Posons
=
Eo
lim
on=
n---:-+,x
O.
1], IK).
C([O,
La remarque du 1) donne
Nx(fn+p
- fn)
~ N(fn+p
- fn)
~on
donc la suite (fn)~; vérifie le critère de Cauchy uniforme. De ce fait, elle est convergente dans (Eo, N'X) ) ; notons
f sa limite.
De même, on a
Nx (f~+p
- f~)
~On
donc la suite
(f~h converge
Le théorème" dérivation et limite uniforme" s'applique:
f
dans (Eo, N'X»).
est de classe CI sur [0, 1],
f
étant
la limite uniforme de (f~)~J'
lim
Ainsi on a donc
lim
n-++C0
°
lfCO) - fn(O)1 =
n---:-+x
°
N(f - fn) =
lim Nx n~+x
et
(fI
f~) = 0
-
ce qui prouve que la suite (fn)\, converge dans (E. N) ;
(E, N) est donc complet. Remarque: Comparons les normes N et N'X.
On a déjà vu que
N'X
Cependant, l'exemple de la suite (xnh, prouve que l'application
f
(f) ~ >--?>
N(f).
Mf) (f)
N'X
, n est pas
majorée. Les deux normes ne sont pas équivalentes. Ex. 5. 13
1 1)
Soit
Un :]O,+x[~IR,
1 ua = x'
x>--?>n+x
La suite n>--?> un(x) décroît vers 0, le théorème des séries alternées donne la définition def
et
la convergence uniforme sur ]0, +x[ par majoration du reste d'ordre N :
1
L -+'X (_I)n
RN(X)
=
n=N
1
IRx(x)i ~ -.,--, II, +x ~ 0 1\
n+x
hm '\-+'X
Rx
=
'X
°
La convergence uniforme d'une série de fonctions continues donne la continuité de la somme. 2)
a)
L'équivalent quand
x
tend vers
° est le premier terme:
lf(x) - ua(x)i = IRI (x)' b)
Quand
x
tend vers
+x,
1 ~ 1
, f(x)
- -
ox
la méthode" équivalent à la moitié du premier terme" s'applique.
En pratique, il convient de la décrire soigneusement. f(x)
=
x1 + L -n-+-x-'+-1 = 2x + L(-I) +x 1 +x n n=O (_I)n n=O 1
f(x)
=
2x +
+x
L
n=O
[
-n-+-x-
1
_1
]
I_l)n
1
Pour tout réel x> 0, la suite n>--?>vn(x) = (n + x)(n + x + 1) des séries alternées s'applique:
décroît vers 0, le théorème
Chapitre 5 :
203
Suites et séries de fonctions
1
1
1
o ~ j(x) - 2x ~ -x-(x-+-1-) d'où f(x) 3)
t",-1 N-1 ,.tN+x-1 l+t = L(~lftn+x+1+(-1)N1+""t n=O
j'lo -dt= tX-1 1+ t
L(-l)n N-1 n=O
j'l0
pourx>O
tE [0,1]
--dt
,0
4)
et
tN
tn+x-1dt+(_1)N . 11 tN+x+1 ,0 1+ t
t- L-= --Il'1--tX-1 1+ t d 1~(-1)nI11rllJ+x+1d n=O n + x 1+ t
t"'"
,0
D'où:
2x
-1tN-1 + (_l)N
1 ~ t = 1 - t + t2 + ' , , + (_l)N
Exploitons l'identité
+~,
11 ,oN
t
t""'N+x+1d 1
L --
= +:0 (_l)n n=On+x
j'lo -e:-1 l+t dt
1
J(x + 1) + J(x) = x-
Sous forme intégrale, la relation
est évidente, ainsi que la continuité
deJ sur ]0, +:x:[ (intégrale dépendant d'un paramètre), Ainsi X--;-O lim LfJ(x) - ~] x =J(1) = en 2 et J(x) ~0 ~, x Sous sa forme intégraleJ apparaît comme décroissante, donc:
1
1
1
2J(x + 1) "'" J(x + 1) +J(x) = x- "'" 2J(x) ,
1
2x ""'J(x) "'"
et
J(x)
Ex, 5, 14
1)
Considérons pour cp:
IR~IR.
t
f-+
x
donné dans [0, 1] la fonction:
n L C~ ektxle(1_
n x)n-Ie = [éx + (1 - x)]
1e=0
n intéressante pour ses dérivées en 0:
(0) = L
cp(p)
C~ kPxle(1 - x)n-Ie
1e=0
1
Ainsi
Bn(l)
=cp
Les dérivées de
cp
(t) =
Bn(X) =
(0), cp
(0)
-cp-n
Il
et
Bn(X2) = ~
(0)
n
en 0 s'obtiennent par développement limité:
[1+ xt + 2xt2 1
] n = 1+ nxt + (nx + n(n -
+ o(t2)
1)x2)2 + o(t2) .
t2
ce qui donne directement les trois résultats:
Bn(l) =
2)
L
n
1e=0
gn (X ) = 3)
Bn(X) = x
Bn(X2) = ~ + x(l - x)
2 - 2 -n x + x2 donne:
- - x = n (k n )2 k2
Le développement le Cn
1 ,
(
k -;:;-
le X
)2
x (1 - x)
k
n-Ie
2
2
= Bn(X ) - 2xBn(X) + x Bn(l)
x(l n- x)
Pour établir la convergence uniforme de (Bn(f)) N versJ, formons la différence:
+:::0
2x
204
Précis d'Analyse
Fixons ë> 0, a>
8
~ Bn (f )(x) = ~
l(x)
° et pour XE
k) ] 1~
ekn ~(x) r -
Il
x k (1 - x) n- k
(
[0, 1], considérons la partition de [0, n] formée de :
ln = { kl xl 0, il existe: 1
o (h) =
Ainsi
~
1
-
1
sup{lf(u) - l(v)1 I(u, v) E [0,1]2, lu-
Un =
l ,(x) -
Pour majorer
Vn =
1
l ~
lCEJn
k
exploitons
gn(X) =
en
k=O n
(
xk(l
,(x) -
1
k ~ - x
xk(l
=
111
sup lf(t)1
soit
=
n
1~
~2
Vn ~ 2111
xk(l
°
- x)n- k
~o
(a)
1 ~ 4n
(~-xr
en écrivant
[0,1]
Ainsi
L e~
~~
x(l - x)
xl ~a
Nous utiliserons aussi
(a)
lim 0 (h) =
h~O
- x)n-k
xk(1 - x)n-k
I~-
en observant que, pour k E Jn,
~o
- x)n- k
-
et on a
vi < h}
L e~~ 1(~) L e~ 1(~) L )2
~~
~
~(X)
- 1 ( ~ )
1
2111
~
L e~
xk(1 - x)n- k
kEJn
ci
L
Vn
~
211111x kEJn '"""
Vn
0< ~
211111x gn ()X ------:ra
Rassemblons ces deux majorations:
ekn
(~
n
_ x) 2 xk(l_
--2 2na
0< Illllx ~
lf(x) - Bn(f)(x)1 ~ Un + Vn
" est possible de choisir a tel que 0 (a) ~;
puis
pour conclure à: 'ifë> 0,:3
111-Bn(f)
Tl;; E
x)n-k
N, 'if n ~
Tl;; ,
Tl;;
EN
tel que
Ilx
~o
'if
(a) +
n~
= sup
Tl;;
111 Il ~
2na
:
111Il 2na ~
~;
lf(x) - Bn(f)(x)1 ~ë
XE[O,I]
Ce qui traduit l'uniforme convergence sur [0,1] de la suite de p~lynômes (Bn(f») fonctionf.
vers la
Chapitre 5 :
205
SÙites et séries de fonctions
Exercices proposés Ex. 5. 1 Soit Pn : [0, 1] -,-IR; la suite de polynômes donnée par récurrence:
Soit
fn : [0,
+cx:[ -,-IR;, X
>--+
x+n AI-ctan 1 + nx
uniformément sur [O~+cx:[.
Pn+1(X) = Pn(x) + ~ (x - P~(x)) . Etablir les inégalités
__
° ""y'X
Montrer que la suite de fonctions (fn)~~ converge
Ex. 5.2 : IR;-,-R x
>--+
--.-
(Pn)N sur [0, 1].
nSU1-X.
(prolongée par continuité en 0).
Ex.5.?
Etablir la convergence simple de la suite de fonctions (fn),,"* sur
IR;,
La convergence est-elle uniforme sur Trouver
sup
2y'X
- Pn(x) "" ---.
2+ ny'X En déduire la convergence uniforme de la suite
sin nx Soitfn
Po = 0,
IR;
?
Soit u : ~P-,-IR;, (p, q) >--+ u(p, q) une suite double qui converge uniformément par rapport
u(p, q) = aq et simplement
à q E rJ avec lim
p-;-+cv
par rapport à p E rJ avec
Lf(x)l.
XE ?l,nE :»~*
lim
q---;.-+,:x;.
u(p, q) = bp.
Montrer que les suites (aq)qE N et (bp)pE N convergent et ont même limite.
Ex. 5.3
Ex. 5.8 Soitfn : IR;-,-R x
>--+
(
1 + xn
2)-n
Soitfn : [a, b]
Monter que la suite (fn),,* converge uniformément sur IR;.
-,-IR; continue telle que la suite de fonctions (fn\,," converge simplement sur [a, b] vers continue.
f
La suite (fn) étant croissante (fn "" fn+1), monEX.5.4
trer qu'elle converge uniformément sur [a, b].
1 ntn
Soitfn : IR;-,-IR;,fn(X) =
(
Ex. 5.9
1- nx1 )
[-1, 1] -,-IR;
Soitfn
:
° < Ixl
"" 1 =}
telle que
lf(x)
1
< Ixi-
On définit une suite de fonctions (fn)N par si x Ë [0, ~ ] ,fn(X) =
°
si x E [0, ~ J.
Montrer que la suite (fn)N* converge uniformément sur IR;.
fo(x) = x etfn+1(X) =f(in(x)). Montrer qu'elle converge uniformément sur
[-1, 1] vers
EX.5.5
la fonction nulle.
Ex. 5. 10
Montrer que: Soit Pn :
[-1, 1] ~IR;,x
L -1n 1- - -1 +cç
>--+
lim x~o
n=l
+x
='( (constante d'Euler).
X
Ex. 5. 11
et Q(x) = fox Pn(u) du. Montrer que la suite de polynômes (Qn)N converge uniformément sur
[-1, 1] vers
Ixl.
Calculerf(x)= définie pour x>
-
10+.00 o O.
e-xt-=--=-dt it
t
1
206
Précis d'Analyse
Il
Ex. 5. 16 Trouver
un équivalent
chacune
des fonctions
x
suivantes
H'" e-nx" L-2-' n=O11. + 1
tend vers 0 de
Soitf:IR-+Rx~
:
1
+00
1)
quand
x~Ln=O1+ n-x
Montrer que
f est de classe
+00
2)
Etablir pour tout vantes:
x~ Le-xvn n=O
+00
1)n-1
+00 (
3)
x~L--=n=l 11.
1)
2)
Ex. 5. 13 Trouver
un équivalent
chacune
des fonctions +oc
1)
x~
"\'""" n2 LX
2)
x ~
L xn n=l
el sur
IR.
Ex. 5. 17
quand
x
suivantes
tn
1,
l[
les égalités
sui-
(_1)n-1tn
+00
L 1+ L
tn = n=l n=l +co ntn +co L-n=L n=l 1- t n=l
tend vers 1 de :
tE] -
tn
Ex. 5. 18 Etablir les égalités suivantes:
1)
n=O
=_ ~ __ 1 n=O(211. + 1)
)0r00 tnthxdx
+cc
x~
11.
2)
nx n
+00
3)
.en
3)
L 1_xn n=l
un équivalent
chacune
1)
quand
des fonctions
x~
x
suivantes
+cc
xn
L n=l
1+x2n
+00
:
.Ion
L n=l
x~
Soitf:
X
1)
dx = ~n=O(_:~n.
1
Lx n=l
Montrer que, pour tout
o ~fn(x)
x
2)
-;:;:th-;:;:
+00
sin2 x
L-2--n=1/n x
1R-IR,x ~
.1(0)=0.
x>
E
.~x :
continue
sur
0 et
Montrer
~ 11.)(+TlX que
f
est bornée,
J!.x, non continue 'en O. Ex. 5. 21
1 +
en
11.
1
Ex. 5. 15
Montrer que
(~(_l)ne-a:nx) n=O
+00
n - 1Arctan-;:;:x
L2-2 n=l x +11. +00
4)
non ma-
jorée ; établir l'égalité:
Ex. 5.20
"\'""" 2) x ~ L(-l) n=l x~
~n=O(-1)n(2n 1) t2 + (211.+ +1)2
Soit (an)~ une suite réelle croissante tend vers 1 de
+00
3)
--
--dx=2L 1+00 cos o chxtx Ex. 5. 19
Ex. 5.14 Trouver
r00 e~:ntx - 1dx= ~ n=l ~ t + 11.
)0
.en
x
-nlx2+Y'1
+00
Soitf:R2~R.(x,y)~
x-+:co ~. Montrer que
2: xe n=l
f est de classe
2
11.
el sur
ChapHre VI
Intégrale compléments 1- Intégration des fonctions continues par morceaux En Analyse l, Chapitres VII et IX, nous avons étudié l'intégration des fonctions réelles ou complexes continues sur un intervalle compact [a. bJ de R. On se propose icid'étendre cette notion d'intégrale aux fonctions continues par morceaux à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.
A. Fonctions continues par morceaux E est un espace Définitions: d.1
vectoriel
normé.
Soit la. b], a < b, un intervalle
compact de
R
f :
Une fonction la, bJ ~ E est dite continue par morceaux s'il existe une subdivision (c)O"0~n de la, bJ telle que, pour tout) E [1, n], la restriction de à ]ej-l, Cj[ soit continue et admette une limite à droite en Cj-l et une limite à gauche en Cj.
f
Une telle subdivision est dite adaptée àf. elle contient les points de discontinuité de f (ilYen a un nombre fini). L'ensemble des fonctions de la, bJ dans E continues par morceaux est un sous-espace vectoriel de ':J (la. bJ. E) ; on le note c{ll (la. bJ. E). Sif JL
d,2
EJt
(la, bJ.
Soit
l un
est bornée et la fonction Ilfll :
([a.bJ.E).f
x
f--O>
Ilf(x)Il appartient à
IRD.
intervalle
de
1Rl.
Une fonctionf : l ~ E est dite continue par morceaux lorsque la restriction à tout intervalle compact [a, bJ inclus dans l est continue par morceaux (sur [a, b]).
Ji[a.b]
d.3
f :
Une fonction [a. b] ~ E est dite en escalier s'il existe une subdivision (cj)O"0~n de la. b] telle que, pour tout) E [1. n], la restriction def à ]ej-l, Cjl soit constante. Uensemble des applications en escalier de [a. b] dans E est un sous-espace vectoriel de J{ (la, bJ. E) ; on le note ~ (la, bJ. E).
208
Précis d'Analyse Il
p.1 1
.Ail ([a, b], E) est un sous-espace bornées de [a, b] dans E.
L'espace
'ZJ!,([a, b], E)
vectoriel de
''ZJ!,([a,
b], E) espace des fonctions est noté
normé par la norme de la convergence uniforme Il .
'lAoo ([a, b], E).
p.2
Si E est de dimension finie, n ~ 1, soit (eih~i~n une base de E etJ un élément de ':Ji ([a, b], E) de composantesJl,"',fn sur (eih~i~n' Alors J est continue par morceaux
si et seulement
si chacune des fonctions
fi est continue par morceaux. ~
En effet, J est continue (resp. admet une limite) en x si et seulement si chaque fi est continue (resp. admet une limite)en x.
D
Toute fonctionJ ; [a, b] - E continue sur [a, b] est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier sur [a, b], c'est-à-dire que dans l'espace 'ZJ!,x ([a, b], E) : Pl3
~
J est uniformément continue sur
\j (x, y)
tel que
c
b], E)
C([a,
([a.
'(€
b], E)
[a, b], donc, à tout n EN on peut associer ŒnEIR:
1
E [a, b]2,
lx - yi ~Œn
A Œn> 0, on associe pEN'
b-p
tel que
~-
=?
a
lf(x)
- J(y)1 et
~Œn
~
n+1
) Cfn= (CjjE[O.p]'
b-a Cj
= a+j~-, P
par
subdivision régulière de [a,
\j jE [0,
P -
1], \j XE
.
\j x E
Par construction, on a donc
IIJ,
'
([;n
[Cj,
b],
puis on définit la fonction CPE'(€ ([a, b],
Cj+l[,
1 [a, b], IIJ(x)-
'Pn (x)
Il ~
n+1
Ainsi J = n-+x lim Çn dans & '"
Il,,, . ~ _1_. n+ 1
b], E).
([a,
D
Toute fonction J ; [a, b] - E continue par morceaux sur [a. uniforme d'une suite de fonctions en escalier sur [a. b]. Pl4
~
C'est-à-dire
que dans l'espace 13",
SoitJ E Ail ([a.
b], E)
et
E)
([a.
b]. E):
jl ([a. b], E)
b]
c '(€([a,
est limite b], E)
une subdivision adaptée;
(Cj)jE [O,n]
pourtoutj E [0, n-1], la restriction deJ à]ej' Cj+l[ est prolongeable en une application continue fj: [Cj' Cj+l] - E. D'après la propriété 3, à tout n E telle que Alors, soit
\j X
E
[ej' Cj+Ù
'Pn: [a, b]
\j jE [0, n],
-+
Ainsi, on a
Ilfj(x)-
E
lim 'Fn= J n-+x
'Fj.n (x)
'Fj.n: [Cj' Cj+l] -
E
~--1
n+1
définie par:
'Pn (c) =J(c),
Cette fonction 'Pn réalise
on peut associer une fonction
\j jE [0, n - 1], \j t E ]ej. Cj+l[.
'PnE'(€([a.
bJ)
et
J-
Çn
1 '" ~ n+
'Pn (t) ='Fj.n
(t)
l'
dans &", ([a. b]. El. D
--------------------------------Chapitre 6:
209
Intégrale compléments
B. Intégrale d'une fonction scalaire continue par morceaux Soit [a. b] un intervalle compact de R et
f : [a. b]
-71K continue par morèeawcD-=
étant une subdivision de [a, b] adaptée à f, pour tout) E [0, n - 1], soit Ji le prolongement par continuité sur [Cj. Cj+1] de la restriction de à ]ej' Cj+1[ et [O.n]
(Cj~E
I(a-.f)
=
f
't1jC'"'Ji j=o . s'
•
On vérifie que Ii,a.fi
•
Sif
est indépendant du choix de la subdivision adaptée a .
est continue sur [a. b], une subdivision de [a, b] adaptée àf
est a= (a, b),
,·b
j
et on a I(a.J) = ·a f. On peut donc poser la définition suivante:
Définition: dA
On appelle
intégrale
def
s1.lr{d,
ibf,
et on note
le scalaire
Cas particulier Sif E 1" ([a, b],
chaque Ji est constante, égale à '0, on obtient alors:
1<),
n-1
.b
ja f
=
L
Aj
j=O
(cj+1 - c)
C. Intégrale d'une fonction vectorielle
continue par morceaux Soit E un Kespace vectoriel normé de dimension finie (dîmE intervalle compact de IR etf E cil ([a, b], E).
= n ~ 1), [a, b] un
Etant donné deux bases (eil1o<Sio<Sn et (8iho<Sio<Sn de E, soit Cfi.ho<Sio<Sn (resp. ('Pi)lo<Sio<Sn) la famille des fonctions coordonnées de sur la base (eiho<Sio<Sn (resp. (8il1o<Sio<Sn)'
f
Alors, pour tout i E
[1,
n ],Ji E cil ([a, b],
L n i=l
En effet,
P
=
[Pij]
j.b Ji
. a
plexe) puis
t
=
j 'b)Ji
. a
ei
(resp.
= Li=l n (
étant la matrice de passage de n
on a, pour tout i E [
donc
(
IK)
1,n],
L n Pij j=l'
i=l
(jb . a Ji)
ei
~
(LbJi)
ei
~ (ibJi)
ei
j.b a
Ji =
'Pj
L j=l
Pij 'Pj
j
'PiE c(il
ab
'Pi
([a, b],
)
(eil1o<Sio<Sn
IK)
et on a :
8i
à
et, pour toutj E
(8il1o<Sio<Sn,
n
[1, n],
8j=
LPijei, i=l
(par linéarité de l'intégrale d'une fonction réelle ou com-
210
Précis d'Analyse Il
d.5
j
Pour
EJIil ([a, b],
E) de composantesjl,'
on appelle Întégrale
sur une base (e;)l~i~n
··,fn
de j sur [a. b] et on note
j,
le vecteur
jb
. a
de E,
L (j'b)fi n ~l
q
a
Conséquences 1)
(1.
il est une base de :c considérée comme IR espace {b a j
La définitionprécédente nous redonne 2)
.J
vectoriel.
= .J(b.b a (Rej) + i.la
(Imj)
Soit j une fonction en escalier sur [a, bJ : j E~ ([a, bJ. E) et (j"= (Cj)jE [O,n] subdivision de [a, bJ adaptée àf. Sur chaque intervalle ]0' Cj+lU E [0, n - 1],
b
n-l
1j L
constante, égale à Àj,ÀjE E. Alors
=
. a
(Cj+l
-
j=O
j
une est
cjl Àj.
D. Propriétés ~
Conséquences de la définition
i i
Nous regroupons ci-après les propriétés qui, pour la plupart, se déduisent des propriétés analogues vues dans le cadre de l'intégration des fonctions continues par simple application de la définition5. Elles sont alors données sans démonstration. p.5
L'application
j :JIil ([a,
Pour toutj
EJL ([a, bJ. E),
bJ.
-+
E)
E,f
j.b a j
f--'>
est linéaire.
1
p.6 1
rj
= _ .jba
.Jb
f
Remarque
a=
Cas où
p.7 1
ja a f
b:
= 0,
Relation de Chasles l étant un intervalle
de ;:; etf
E il (I. El, pour tout (a. b. C)E ('Cf= a
Si a<
b,
si E
=IR
et sif EJI ([a,
bJ.;:;)
(bf+
.a
13 :
./bCocf
est positive sur [a.
bJ,
b
PI8
lf~
alors Si a <
!
b,
si
O.
E =IR
et sif et g sont éléments
b
PI9
alors
p.10
Si a
. a cF
alorsj
de ..11ira.
bJ. :=:)
vérifiant
j ~ g,
b
f ~ {a .J
g.
b, si E =)i;, sij est continue et positive sur [a. est la fonction nulle sur
[a, bJ.
bJ
et si
jb ·a
f = 0,
Chapitre 6:
211
Intégrale compléments
Remarque Cette propriété - déjà énoncée en Analyse 1- ne s'étend 'pas aux fonctions continues par morceaux. Penser à l'exemple d'une fonction en escalier:
1.
fia) = '.(ba
p.11
1 ,
f(x) = 0
SiE=RetsifEOJll[a.bl.
Inégalité
Soitf
libfl~libLfII.
alors
lib fi ~ ib
devient
Lfl·
de Schwarz
et 9 dans
Jill
([a, bl.lK) avec
K
=IR ou iC. 1
~
pour x EO ]a, b[
f est nulle alors que f est positive non nulle.
Si a < b, cette inégalité
p.12
flb) =
i bf9
~ i b lfl2 i b 1912
12
i
b
i / Si IK=IR,la démonstration, vue en Analyse l, qui repose sur le fait que ÀI-O> (À 9 + 9)2 est, pour a < b, une fonction polynôme qui ne prend que des valeurs positives, reste valable. ii / Si :<=C, il suffit d'observer que
et que les fonctions
lfj
et
191
étant réelles, on a D
P .13
Inégalité
de Minkowski
1
Soitf
~
et 9 dans Jl ([a, b], IK), G<=IRou C, avec a ~ b.
i / Si IK=IR, la démonstration vue en Analyse 1reste valable.
llb lf
ii / Si IK=C, il suffit de noter que
et que, d'après le cas où IK=IR
p.14
Inégalité
daj'b
+ 9j2
(lfl
+
~
llb (lfl
191)2 ~
V~'b Ja
+
lfl2
de la moyenne
1
Soitf
et p dans Jt ([a, bl.lR) avec a < b et p positive.
Alors,
en posant
on a
m
p ~
jb ·a·Q
m=
jb
inf f(x) XE[a,b]
pf ~
M
jba
P
et
M=
j91) 2
sup f(x), xE[a.b]
+ V~~b Ja 1912
D
212
Précis d'Analyse
Il
restent valables.
0
p.15 Soit p dans M ([a, b], IR) positive
dans CrEa, b], IR).
etJ
Alors, il existe e E [a, b] tel que
rb a pJ = J(e) .Jrb a p
.J
((iF Pour les propriétés 14 et 15, les démonstrations vues en Analyse
1
Remarque La formule de la moyenne est vraie avec l'hypothèse: p de signe constant sur [a, b].
12.
Propriétés complémentaires
p.16
1
E Jl ([a, b], IR) et (fp)~j une suite de fonctions
SoitJ
uniformément
vers J sur [a, b].
Ib
lim '. jb Jp . a J = p-+x a
Alors
1
((iF
Il suffit de noter que:
libJ p.17
de Jl ([a, b], IR) convergeant
.Iob Jpl =
E •.H ([a,
SoitJ
uniformément
libJ
- Jpl ~ 1.lob lf - Jp,f ~ Ib -
b], E) et (fphc une suite de fonctions versJ
sur [a, b].
Alors
jb J
.a
1
o
alllJ - Jp Ilx de jL ([a, b], E) convergeant
=
lim
p_+xo
jba
Jp
((iF Introduisons les parties réelles et imaginaires de J etJp, (p E 1\1) J = U + iv
Jp = up + ivp
,
:
u, v, up, vp sont éléments de jl ([a, b], IR)
,
Alors (up)f\j, (resp. (vp)f\j), converge uniformément vers u, (resp. v). La propriété précédente donne: U=
.Iba
lim, up p-+x.a Ib
2éme cas:
(ej)l'0~n
et
v
Jba
=
lim, p--x.a
vp
jb
1\1),
jb .a
J
=
lim, Jp . n-+x.a Ib
E est un K-espace vectoriel normé de dimension finie
étant une base fixée de E, on introduit les fonctions coordonnées de J etJp, n
(p E
d'où
sur cette base:
J = LI j=l
n
ej
Jp = LJiej j=l
les]l etA sont des éléments de .Il ([a. b]. :<), Alors, pour tout) E
[1, n],
La propriété précédente 16 si
\j)
E
[1, n],
jb
(J~)p",' C{=:::i.
converge uniformément vers Jj sur [a, ou
rb Ji . a 1 = p~T--...:.Ja
le d'où
1 el'
cas si
.Ja··bJ
:<=::::
b].
donnent:
o
= p~r;?c:. j.b a fp.
Remarque Les propriétés 16 et 17 s'appliquent en particulier pour toute suite (yp en escalier sur [a, b] convergeant uniformément versJ sur [a. b].
J.
de fonctions
Chapitre 6: p.18
213
Intégrale compléments
Soit
([a, bl. E) avec a < b.
cil
La nonne sur E étant notée il : [a. bJ -,,;L
x
1\
, on définit
.
Alors
f-+
i 1:
IIJ Il E Al ([a, bl.~) par
la fonction
IIJ II·
~
i· j.b a
.Jb a
La propriété se vérifie facilement pour une fonction en escalier. i / SiJ E'€ ([a. bl. E),
À,j
étant une subdivision adaptée àJ, on a:
p-l
.b
L
J J = j=O (Cj+l
. a
où
cr= (cjIO'0~p
p-l
.b
-
ej) ÎI.j
Ja
et
=
est la valeur constante prise par J sur
L
j=O
(Cj+l
-
ÎI.j Il
Jej. Cj+1[
Par inégalité triangulaire, on obtient: c'est-à-dire
ii / Dans le cas général,]
est limite uniforme d'une suite ('Pk)f\I de fonctions en escalier sur
[a, b], et l'inégalité:
IIIJ(X) Il -II
\;/ x E [a, bl.
'Pk (x) III ~ IIJ(x)-
montre que IIJ Il est limite uniforme de (II 'Pk
'Pk (x) Il ~ IIJ-
'Pk
Il)· . 'Pk Il
La propriété annoncée résulte alors de lim _ 'Pk= k~+x Jb a .Jb a
J
et
\;/
Je
E N,
.lb
k~~-ç
Il.lb
'Pk Il ~ fab Il
Il 'Pk
Il
=
.lb IIJ
o
Il
Remarque Dans le cas ou E =C, en introduisant les parties réelles et imaginaires u et v de
JE JL ([a, b]. C), on obtient SoitJ
(
fa b u )
fa v ('b)
2 +
2
~
(bfa
J u2 + if )
E Al ([a, bl. E).
AlorsJ
est bornée sur [a. bJ et
C'est un corollaire des propriétés 18 et 11.
Exemples - Travaux pratiques
/ exemple 1 de Leo&sgue a et b réels,
a< b, etJ: [a. bJ f-+Clontinue lim _
n----,.+x.j.b a
J(x)eÎ11.X
par morceaux.
dx = 0
b
En déduire
que
n~~-ç fa J(x) cos nx dx = 0,
lim
n--:,.+co
jbJ(X)Sinnxdx=O a
2
214 •
1)
Précis d'Analyse
Principe a)
On vérifie la propriété pour
j
fonction en escalier,
b) dans le cas général, on introduit une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers j, la propriété s'obtient alors par passage à la limite.
Application a) Envisageons d'abord le cas où
jb, a j(x)elnX
Alors donc Si
j
.a Ij'b
j(x)e[/1)( .
j
dx = inÀ( eln'b dx ~ --
1
est contante sur [a, bJ: ') elna
-
lim ~
et
n
\/ x E [a, bJ,J(x) =À,
n---,-+,x.
21ÀI
est en escalier sur [a, b], il existe
dx = °
j(x)e[/1)(
a jb.
subdivision de [a, bJ telle que
Œ= (cj)O'0~p
constante (égale à '0) sur chaque intervalle ]ej, Cj+l[,) E [O,p
Alors
fb j(x)ein)(
.J
a
dx = ~
()+1 '0
Or d'après l'étude précédente, pour tout) E [0, P -
n---,..+x.
b)
donc
eJ
Dans le cas général, soit
versj:
lim k-++co
Ilj-
1], inx
°
hm _ jC)+1 '0 e inx dx =
(
hm ~
dx =
j(x)e
rL--,.+X. j'b a
°
une suite de ~ ([a, b], e) convergeant uniformément
Il,, = 0, 8
Pour tout 8> 0, il existe kEN Donc en écrivant
tel que Ilj -
dx =
jba j(x)einx
il vient, pour tout nE N,
k étant ainsi fixé, on a
(j(x)-
.fba
ILbj(x)einx
Il::0 ~
2(b
n~Tx. !'b a
=?
1
(x)ei/1)(
j.ba
(x)einx
dx
dx = °
(x)ei/1)(
\/8> O. :3 no E,cJ, n ~ no
a)'
_
(x)) ei/1)( dx+
dxl ~ ; + .!ab
donc, il existe no E'\: tel que, pour tout n ~ no, I/ab Finalement
(x)einx
.1a·,b jex)einë
dx
i-
dxl ~ ;, ~ 8
C'est la conclusion, 2)
On démontre de même que et la conclusion résulte de Remarquer que
sij
h~~
n---,-+~'_.j'b a cos
soit
ei/1)( dx:,
.J c)
j=O
j
1].
-
nx =
e
jex)e-inë ÏTL\:
+e
---.- 2
-
dx =
°
in\':
et
est réelle, le 1) suffit pour conclure.
sin nx
e ÎIlx -
= ---~-.
e-
frLy:
d..\é
Il
Chapitre 6:
215
Intégrale compléments
3, Sommes, de Riemann Etant donné
1
E .11 ([a. bJ. E
[O. n - 1],
Pour tout le E
a < b, soit CJ=(Xk)O<s;k<s;n une subdivision de [a, bJ.
l,
on choisit ck E
[XIe.
XIe+lJ.
Définition: n-l d,G
L
La somme
à
CJet
à
{-'hl k=O Ick)O<S;k<s;n-l'
XJeif(ck
est appelée
1
somme de Riemann
relative
Théorème: t.1
Le réel
sup ,-'hl O<s;k<S;n-l
- XIeI, est appelé le pas de la subdivision
Alors, pour tout ê> 0, il existe 1]> quelle que soit la famille
ICJI~
° tel
que, quelle que soit la subdivision
Il
ib1-
On interprète ce résultat en disant que
};(Xk+l
(b a
.J
n-l
sommes de R'iemann ~
L
C\:k+l k=O
R(CJ)
L
[a,b]2,!x_x/j
(X,X/)E
Ill(x)
est continue sur [a, bJ.
L
= n-l ,- (f(x)-llck))dx k=O'j,'(x/.,] Xk
R(CJ)
1] et tout XE
n-
° tel que, pour tout
~ b~a'
Ill(x)-fex)11
=?-
ê Il ~ b _
- llck)
est la limite, quand ICJItend vers 0, des
sur [a, bJ. à ê> 0, on peut associer 1]>
Alors si ICJI~1], pour tout le E [0, donc
1
1-
1
~1]
CJet
on ait:
- xkl[(cJc)11 < ê
on a alors .j({b a
= n-l k=O(Xk+l - xk)fick),
Par uniforme continuité de
cette subdivision,
XJe)j(Ck),
Démontrons ce résultat dans le cas oùl
Posons
à
(CJc)O<s;k<s;n associée
1] =?
CJ,
[Xk, Xk+Ü on a lx - ckl ~1]
a ê (xk+l - Xk)
On en déduit
Il:k+1 (fix)
- l(ck))
d..\':11 ~
Nous admettons ce résultat lorsque
b-a
1
est seulement continue par morceaux,
D
Remarque Cela reste valable dans le cas [a,bJ.
a
> b, avec CJ=(Xn)O<s;Jc<s;n
subdivision décroissante de
Conséquence Si CJest une subdivision régulière, on retrouve la situation envisagée en Analyse étendue au cas des fonctions vectorielles continues par morceaux:
-nb_an-lLl(CJcl k=O
n~~
=
jba
1
En particulier:
hm --
n--++::c b-a n
LI
a+le-b-a)
n-l k=O ~
n,
=
j'ba
1,
hm -n_+::c'
b-a n
LI a+le-n ~ b-a) n Jc=l
=
.' j'b a
1
1,
216
Précis d'Analyse
Fonctions de la forme
[!!
Il
x~.Lxf
E est un iii-espace vectoriel normé de dimension finie.
A. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle o
t.2
Soit J un intervalle de
f
Etant donné F: ((\)f
J,
*0.
et a un point fixé quelconque dans
E)
ECU,
J
J,
la fonction
jXf est de classe CI sur J : F E c1U. E), F est une primitive ·a c'est l'unique primitive def sur J qui s'annule en a.
E, x
J ~
def sur
tel que
IR
f-3>
Le résultat est connu dans le cas où E = IRou E = C (Analyse 1). Dans le cas général, il suffit de constater que, sif1' ... .]n sont les composantes def sur ·x
de E, celles de F sont FI.'
une base (eih~i~n
"
Fn avec
Fi:
E, x
J -
f-3>
j
·a
fi
puis que chaque Fi est de classe CI avec Fi = fi.
o
Conséquences Comme dans le cas des fonctions réelles ou complexes, il en résulte que: 1)
Sif
E C([a, b],E) et si P est une primitive def
.j'b a
f
Exemple: Pour tout
= P(b) - pra)
WE
sur [a, bJ:
ce que l'on note
.J.b a
f
=
[F(X)! l a b ...J
!R" {O}, .jb a eiwX dx = ~. (eiwa _ eiwb) ·.b
f
= fib)
Sif
3)
Comme dans le cas des fonctions réelles, pour f E C(J. primitive non précisée de sur J.
t.3
E C1([a. bJ. E),
.la
2)
f
El, .1 f(x)
elx représente une
Inégalité des accroissements finis pour un couple de fonctions de classe Soitf
E C1([a,
bJ,E) et
9
E C1([a.
vX Alors, si a < b, on a ((\)f
- f(a).
Ilf(b) -
f(a)
Ii =
bJ,';:)telles que:
~ dix)
E [a. b].
- f(al
Ilibf
~ g(b) - glaJ. ~ 'c
1:
jba
g/ = g(b) - blal.
Remarque Si a> b, on obtient
iif(bJ - fia)
donc, dans tous les cas
CI
- fiai
~ glaJ - gl bl ~ ,glbi - geai
o
Chapitre 6:
217
Intégrale compléments
B. Intégration par parties Les résultats suivants se justifient comme dans le cas des fonctions réelles.
Théorèmes: t.4
1
t.5
Formule d'intégration par parties pour une intégrale définie Soitf
E Cl([a. bJ. EJ
et
9 E Cl([a. bJ. K)
.jb a l 9 = lf(x)9(x)L c
jb
b - . a fgl
Formule de Taylor avec reste intégral E Cn+1([a. bJ. Ei.
Soitf
L
= n. (b _k! a)k. k=O
f(b)
j
kl(a) +
j.ba (b _
,fn+l(x) x)n
dx
Corollaire:
c.i
Inégalité de Taylor-Lagrange
Il';-'' f(b) -
SOIt. f E Cn'T 1([a, b], E).
t.6 1
6
(b -k!a)kjkJ
(a)
Il~
(b(n- +a)n+l 1)!
Iifn+l
1100
Formule d'intégration par parties pour une intégrale indéfinie Soit J un intervalle de
E CIU. E)
~,f
et
9 E Clu. iK)
Il
9 = fg ~ Ifd
C. Changement de variables Comme dans le cas des fonctions réelles, on obtient:
Théorème: t. 7
1
Soit
13],iK),
cpE Cl([O',
Alors
I,JŒ) (y(l?»
f(x)dx
[A, B] =cp ([0',
13]) et
(t))
cpl (t)dt
=.lŒ(f3 f(
cp
f
E CrEA, BJ. E).
D. Cas des fonctions continues par morceaux Théorème: t.8
o
Soit J un intervalle de Etant donnée
F :x si x
,,=
f
E J{
iK
tel que
J ,,=0.
U.E) et a un point fixé quelconque dans
J,
la fonction
lX f est continue sur J et admet en tout point une dérivée à droite sup J et une dérivée à gauche si x inf J.
f-7>
,,=
Pour tout x E J, il existe [a, b], intervalle compact voisinage de x dans J, et, pour tout
h E IRtel que x + h E F(x+h)-F(X)=.lx
[a, b], on a :
r+h f donc IIF(x+h)-F(x)11 ~ Ihlllfll[;;,b] x en résulte.
La continuité de F en
218
Précis d'Analyse
•
Si
x
"*
notée
sup
J,
puisque
f
f
est continue par morceaux,
admet en
Il!- f(x
+ O)II[x.x+hJ =
et on a
hm 11--+0
sup tE [x,x+h]
Iif - f(x
Ilf(t) - f(x
x
une limite à droite
c J, il existe:
+ 0). Alors, pour tout h tel que h> 0 et [x, x + h]
f(x
Il
+ 0) Il
+ 0) 11~·x+ll] = O.
11>0
x+h
Ainsi, en écrivant on obtient
F(x + h) - F(x) - hf(x
Il F(x + h) - F(x) - hf(x
+ 0) =
L
+ 0) Il ~ Ihl Iif - f(x
et donc, quand h tend vers 0, F(x + h) - F(x) - hf(x F~/x) = f(x
l'existence de
•
(i(t) -
+ 0») dt
f(x
+ 0) 11~·,Y+hJ
+ 0) = o(h), ce qui nous donne
+ 0).
On montre de même que si x"* inf
J,
il existe
F!J(x) =f(x
- 0) = limf(x 11-0
- h)
h>O
D
Conséquence En tout point x oùf
est continue, F est dérivable avec F(x)
=f(x).
III - Intégrales impropres et séries A. Intégrales impropres d'une fonction continue par morceaux E est toujours un espace vectoriel normé de dimension finie. La notion d'intégrale impropre (ou généralisée) développée en Analyse l , dans le cadre des fonctions réelles continues, s'étend sans modification au cas des fonctions vectorielles continues par morceaux.
Définitions:
d.?
Soit
(a, b) ER
x R, a."* b,
etf
E .Il ([a. b[. E).
On dit que l'intégrale impropre. j.ba F : [a. b[ ~ E. x
-ô>
f est
convergente lorsque
f
admet une limite {E
E
[a. b],
"!.b a
E
quand x tend vers
b.
On note
{= ·a jb f. Noter que, pour tout x
f
est continue par morceaux sur [a. xl. ce qui assure
l'existence de ·a j'xI.
d.8
Avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, soit la fonction
lifll: [a. b[-::2.x-ô> L'intégrale
f est dite "!.b a
est convergente.
·b
absolument convergente si et seulement si! .~a ilf Il
Chapitre 6:
Intégrale
219
compléments
Théorème: On dispose du critère de Cauchy.
t.g
Etant
(a. b! c::;:; X ~ etl
donné
si et seulement
si
\:18>
Ill[a. bL El,
c
0.:3 cc [a.
b[. \:1
l'intégrale
lx. y) c [co b[2,
IIsuffit de remarquer que E étant complet, la fonction admet une limite en b si et seulement F(y)
=
- FIx)
1 iY
est convergente
j'b ·a Il
111 ~8
1:
E, x
[a. b[ ~
.f~ë1
H>
si elle vérifie le critère de Cauchy, et que
f.
j.y ."x
D
Une formulation équivalente
de ce critère est:
Pour tout x c [a. b[. il existe
Ô
(x)
= yElx.b[ sup IllY Jx
lim
Ô
x~b
et
111
(x) =
O.
Conséquence Si .j.b a
1
est absolument
IliY
En effet, donc si
j.b ·a
convergente
iY
~
alors elle est convergente.
Iii
il vérifie le critère de Cauchy, il en est de même pour J lb a f.
D
Théorème: Pour les fonctions réelles positives, on dispose toujours du théorème fondamental:
t.1 0
Etant
l'intégrale majorée. ~
(a, b)
donné
.fab
E ~
x IR,a < b, et
1
est convergente
1
E
1
Jl ([a. bL iR1)avec
si F : [a, b[ ~iR1, x
si et seulement
sur [a, b[,
positive
H>
lX
1
est
En effet, F est toujours une fonction croissante. Donc les critères de comparaison
établis en Analyse
1
restent tous valables. D
B. Intégrales de Jonctions de signe constant Théorème: t.11
Soit
(Xn)nE
Alors
1:
a E iR1,
[a, +x[ ~~
une suite
r001 est
la
croissante
de même
continue
par
sur
de [a, +x[ telle
d'éléments
nature
morceaux
que la série
de terme
[a, +x[ que
et
lim
n-++co
général
Un
.+C'(::;
~
il supposons.fa
En posant
J
1
convergente,
= 1+00 1, on a x~+x lim Xi]
alors
rI
JXi]
rx 1
est convergente.
JXi]
= J,
or
Un
=
L
n-l Uk = J lXn x 1 k=O Xi]
positive, Xn
= +00.
= J~ rn+ll.
220
Précis d'Analyse
lim Xn = +ex, on en déduit n~+oo lim Un = J. n~+œ'
donc, puisque
:z Un est
Ainsi
i+xJ
ii / Supposons
J
étant positive, lim
n---;-+,:;c
avec
convergente
divergente,
r
on a x~+x, lim ~ 1"D
~n=O Un = J+:'0 f. Xo
alors
J
=
:z Un est
Un = +ex. Ainsi,
;:00 J
+x,
diverge.
comme ci-dessus
on en déduit
divergente.
Remarque (xnlf\j croissante
L'hypothèse
a pour conséquence
Dans la pratique, le résultat précédent de fonctions
à
positives
:z Un est
que
permet de ramener
celles de séries
à termes
à
termes positifs.
l'étude de certaines
intégrales
positifs.
Exemples - Travaux pratiques
1
k exet2 Nature de' ; r~ Jo
• J: x
donc
f-è>
1 . 2 1 + chxsm
h/+X
J est
n
conclure
'TI"
à
+ chxsin dx
ici correspond
et positive sur [0,
:z Un avec
=
Un = j.(n+liô f.
efficace
de
J,
lln+llô---n-ô--e dx 1 +?
car chx ~
e e "2 ~
On en déduit
Or
+x[,
en chaque
et permettant
2
sin
x
n'j"j"
2
\;f
n
E:
sur [n '"
u
2
o ~ -u
'TI"
.
(n +
1) ,,].
Un ~ 2e-no.
!~, 0 ~
-nTidu .2 J'''' o 2e + sm
et, sur [O. ;]
sur [O.
rx f. . nô
x
valable
de Jo
o ~ Un ~
E: ,~,
+x[,
aux zéros de sin x, le fait que sin2 x s'annule
une majoration
la convergence
n
x
est continue
x
rend impossible
On a, pour tout
2
de même nature que
La suite (xnl choisie point
1
=2
.fr'0 ~ 2e
.
~ smu,
/.o. ·,0
2e
-no. du .2 + sm
-no..du 2 + sm u
------nô ..
·,O.4en /.:ry:
x
= u +
n ,,)
(carsini,,-u!=sinu)
u
-
donc
(poser
du ;> +Sln-u.O
~
/"05-
------ 4 -nô
2e
du
+~
u-9
ïT
de
Il
Chapitre 6:
221
Intégrale compléments
d'où, finalement
ç - ')"
soit
U\ . ')"
--TI
JI
11_ [ Arctan (' ~e~'/2 11_')] 0~ ~ ne ~2 11 2 o ~ UI1~" v2e ~ n_ TI La série e- 2" étant convergente (série géométrique de raison e- 2), la série
L
L UI1 (à termes
positifs) converge également et Jor' ,', J est convergente,
C. Cas général Théorème:
t.12
Soit a
l [a, +x [,J : l -, E une fonction continue par morceaux sur l, une suite d'éléments de l, strictement croissante telle que
E:;:;,
CX:I1)I1E',
liT, n---,.,x
XI1
==
==
+x.
Lorsque
rj
l'intégrale nature.
li~,
n---'-+_~,xnj.xn+1
==
0,
et la série de terme général
.la
UI1
11-1
~
i / Si l'intégrale converge, la série converge car
L
ulc
j,X" .\'il
,
lc=O
lorsque
J
tend vers J rcv J Xc
n tend vers +x,
ii / Si la série converge, Pour tout
x
et de x<
xl1x+1,
E [XO,
+x[, il existe nx
on déduit
D'autre part, De JX.xo
ainsi
L
x!i~
J
r+x l\'il
lc=O
Ulc
==
L
.jX"X ,\'{)
J
J:
==
E
[Xl1x'
Xl1x+1[,
+x,
ulc
c'est-à-dire
lc=O
Il.J~~!II ~ L~
==
xn-+1
x
+x
nx
Donc
lim
x--..;-+x
E ,\1 unique tel que
J + .jXXnx J
converge et
.l::X+1 ur Il tend vers 0 lorsque
x
tend vers +00,
il résulte alors
o
Remarque
J
étant réelle de signe non constant au voisinage de +00, le résultat précédent sera
souvent utilisé avec pour (xn) la suite (quand elle existe) des points où J change de signe,
222
Précis d'Analyse
Il
EXE~mpIE~s - Travaux pratiques
exemple 3 [0,
+x[
~lR\, continue
rx
l'intégrale •
par morceaux,
décroisante
avec
lim
X---:-+;~K)
Jo
Vérifions que les hypothèses du théorème précédent sont satisfaites avec
f est continue par morceaux sur [0, +x[, et lim
Xn =
n-----.+x
Enfin
{"n+1 JXn
avec Xn = n
TI,
f(x)
=
la suite (xn) est strictement croissante
+X.
tn+1hr 1
o<S
tn+1hr .ln"
(x) dx
o<STI
(n
TI)
(noter que
lim.
TI)
= 0, par suite
lim. rIT+1 lf(x)1 n-+xJ~
= 0, d'où la conclusion.
el.\::
IV - Fonctions de la forme
f(x,t)
dt
à valeurs
dans
X r--7> LX
A. Continuité Théorème: t.13
une fonction
l'espace vectoriel
E. Alors la fonction
est continue l0"f'
continue
Soit P un pavé de :;n etf normé
sur P x [a. b]
E, x ~
F : P -
.j.b a f(x, t) àt
sur P.
Soit.'C(JE P, montrons que F est continue en .'C(J. Il existe un pavé compact Q
c P,
continue sur le compact K = Q x [a. b] de compact. En conséquence !,
x-:':
o<Sll
et
f
un voisinage de .'C(Jdans P, la fonction
:;n~ldonc uniformément
ohp O.'d (Ix. ti.I:!.
'd8E , it-e
continue sur ce
el) E K2 :
,"
8
=>
o<Slll
1·
est alors
flx.tJ-f(x!.
Il résulte de la proposition précédente que. pour tout
x
E
o<S
Q, si
x
-.'C(J Il
-b--a -
o<Sll,
alors:
8
'd [E [a. b]. flx.
[1- fi.'C(J.
et donc
..1a
o<S
b-a
~b
··b !J'X. [1 - fi·'C(J·
d[
Iflx.
tl-
o<S 1 ,j a
fi.'C(J.
dt
o<S 8
On a ainsi montré que: 'd8>0·:Jll>0.'dXE
Q.
X-.'C(J
o<Sll
=?
Flxl-
o<S8
c'est-à-dire que la restriction de F à Q est continue en .'C(J. Puisque Q est un voisinage de .'C(J dans p, F est continue en .'C(J.
D
Chapitre 6:
Intégrale
223
compléments
B. Dérivation J est un intervalle de
:=:
tel que J
Z.
cF
Théorème:
t.14
Soitf une fonction de J)< [a. bJ dans l'espace vectoriel normé tout x de J, la fonction partielle t '-J> fi x. ri soit continue sur Si f possède une dérivée partielle
riX
~if
continue sur
sur
J
J
E
telle que, pour bJ.
[a.
[a.
bJ, la fonction
b
F :
x
j' flx. ·a
f-'>
t) dt est de classe
CI
avec:
·b af
Vx ~
Etant donné x quelconque
assure l'existence
il Envisageons Soit alors
_\{j
E
.a
dans J, la fonction
t
de .j.b a f(x,
d'abord
J et (a. [3)
sur [a, b], ce qui
tel que [a. [3J c J soit un voisinage
de xo dans J, la
= IR.
::hl> 0, V
h
+
E iR tel que _\(j
x
f-'>
f(t)
h
Il
~I]
x [a,
bJ
de [Riz, donc uniformément
[_\{j, _\(j
-,-(x. t) dx'
=?
af
des accroissements
+ hJ donne l'existence If
t)
~,-(x . t) dx
-
af
1
= h~(xo+ dX
1
~--
b- a
IlE
finis appliqués
à
la
de 8E JO. l[ tel que:
8 h, t)
jhl ~I], on a alors:
F(xo + h) - F(XO) - h 1
~C\{j. dx
t)dt
V
jba
1
= h 1
Il en résulte que F est dérivable
(eill~i~n
E à une base
8
-,-(XO+
l·b dxaf
.0
en xo avec
ii 1 Dans le cas où E est un espace vectoriel
En rapportant
r:lJ fJ
1 \)
E [a, [3], la formule
sur le segment
f(xo + h. t) - f(xo. En imposant
[a.
E (x. t), (x . t) 1 l ')
(
t
,t 1
,
Pour
K=
sur le compact
et
fonction
t) est
f(x,
f-'>
t) dt.
E
En conséquence
-,-(X. t)dt dx continue
le cas où E
If fonction ~dx est continue continue sur ce compact.
j
FI(x) =
E I.
F
(XO)
=
- de dimension
et en posantf
h, t)
j.ba
-,-
-
af dx
-,-(XO. dx af
~ Ihl E
t) dt 1
(XO, t) dt
finie - quelconque. n
= Lliei,
i=l
on obtient F
n
=L
i=l
Fiei
b avec
V
x
E J, Fi(X)
D'après
l'étude
dérivable
en
XO
= .Ia li(x, t) dt
du premier avec
cas, pour tout XO E J, chaque F[(XO)
=
.jb a
-,-(XO, aj; dx
t)dt
fonction
composante
Fi est
224
Précis d'Analyse
Il
On en déduit que F est dérivable en xo avec:
lb
-,-'(xo, t)dt af;
FC"O) = 2=: n e, . a i=l iii! La continuité de F sur
=
dx
l résulte alors de l'application
lb
-,-(XO, af
. a
iJx
t)dt
du théorème 13.
o
C. Intégration Théorème: t.15
f
étant une fonction continue sur l x [a, b] à valeurs dans l'espace vectoriel normé E, on a, pour tout (a, 13)E [R;2tel que [a. 13]el:
l~
(fab f(x, t) dt) dx = fab
u&
(l~
f(x, t) dx ) dt
On remarquera d'abord que, d'après le théorème 13, les fonctions: F:
x
f-7
j.ba f(x, t)dt
1~
G: t f-7 . Œ. f(x. t)dx
et
sont continues sur [a, 13]et [a. b] respectivement, ce qui assure l'existence de
l~ F(x) dx lŒ Considérons alors les fonctions : Hl Hz
F étant continue sur 'if U E [a, 13],
H~(u)
:
lalb G(t)dt
et
[a, 13] --+ E
U f-7
lU F(x)
[a, 13]--+ E
U f-7
fab
[a, 13],Hl est de classe
el
dx
(lU f(x.
t) dx)
dt
sur [a. 13]avec
= F(u).
fi
K: (u. t) f-7 '.l'u x, t) eL, admet sur [a, 13]x [a, b] Œ
Pour la même raison, la fonction aK une dérivée partielle -,-dU
:
(LL t) f-7 .
feu. t) qui est continue sur [a. 13]x [a, b].
uE
Par application du théorème 13, pour
[a. 13]la fonction partielle t f-7
.l
U f(x.
est continue sur [a. b]. On déduit alors du théorème 14 que Hz est de classe
t) dt
el
sur
[a, 13]avec: 'if
u E [a, 13].Hb(ui =
~
j.b .a
-,~(u. t)dt = élK dU
Il résulte de ceci qu'il existe une constante 'if u
E [a.
13].
)cE
j.b .a
flu. t)dt = F(u)
E telle que:
H2(ul = HIIU)+
)c
et, comme H2(a) = Hl (a) = 0, on a finalement )c= 0 et la formule annoncée.
o
Remarque On évitera de se précipiter aveuglément sur ces théorèmes dans certaines situations simples.
Chapitre
6 : Intégrale compléments
\0 1)
225
Exemples
j
est continue sur S:, pour faire apparaître les propriétés de :
F: x ~
fb jix
+ r) dr
. a
il suffit d'écrire
2) j est continue sur ::::,pour étudier a jl[l F(x) = cOS.Yj.b
F(x) =
jb+X a+x
j(u) du
(poser u = x + t) .
F: x ~ j'b a j(t)cos(x + t) dt
on peut noter que
cos r dr - sin x. fba j(t) sin t dt.
Exemples - Travaux pratiques exemple 4
1
•
t
f'"~
Montrer quel ;annule une fois et une seule sur [;, Soit C",(x.;n')d'.
11'] .
La fonction
et pourvue de dérivées partielles
(x. e) ~
cp:
continues sur Ji2, donc V Pourtout(x,e)E
X
j
cos(xsin
e)
el
est de classe
E-:::;'.flx! =
est continue sur
[R2
sur R d'après le théorème 14, avec:
1"
-.-' (x. e)d e = sin e sin(xsin ék; !r-'" ax .0
.0
[O.•• i.onaxsineE
[O.•. J,donc
sin(xsine)?O
Plus précisement on af(O) = 0 et pour x EJO.•. J,la fonction e~ continue, positive, non identiquement nulle sur [O.•. J, donc Ainsi,]
r
Jo
sin e sin(x sin e) de>
0
et
flx)
e)d e et
f(x)~o.
sin e sin(xsin
e)
est
< O.
est strictement décroissante sur [0, •.].
j ( ;)
= fa" cos ( ; sin e) d e est strictement positife car e ~ nue, positive, non identiquement nulle sur [0, •.].
j( ••) = j'"o
cos(-rr sin e)d e
=
l~ 0
2
cos(•• sin e)d e+ ;:
cos ( ; sin e) est conti-
cos(TI sin e)d e
. ~
1'2cos(Ti sin e) d e
·0
(poser u =TI - e dans la deuxième intégrale)
Sur [0, ;],onasine>
:
edonc
TI? •• sine?2e
L'inégalité précédente est stricte sur] 0, ;
[
et
cos(TIsine)~cos2e.
d'où:
j(TI) < 2 fa~ cos2 e d e
c'est-à-dire
j(TI) < 0 'TT
Finalement, j réalise un homéomorphisme décroissant de [
'TI"
2' TI] sur [t( 2 ),j( TI)] et, puisque
o E lf( ; ),j( TI)[, il existe a E J ;, TI [ unique tel que j(a) = O.
226
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types
(1).
que f(x)
a un argument
sur
v
[a,b]. Ex. 6. 2
Nature de
constant
>-+
'/
.1,+::-: 0
Calculer
tn(xsin 2Il /'~ . 0
f(x,y)=-=
'J
/
pour (x. y) E R~. (x. y)
+ (l)EIXI] - xC<
Nature de .Jo•+::-: tn
[1
a> 0, E(x) désigne
la partie entière de x,
Ixl
2
6+ycos
2
6)d6
* (0.0) .
Ex. 6. 7
V/
EX.6.4 pour
dt
Ex. 6. 6
Ex. 6.3
Calculer,
t, e-t
.~
1 - tcos
Calculer f.
9
j+::-: o
f :x
Etudier
- 2x cos 6 +x2) d 6
tn(l
Ex.Jo6.5
Iibfi = ib Ifl Montrer
r
F(x) =
et
SoitfE
Soit F
< 1, l'intégrale:
::J~R. F(a) = /
VIQuel ;inuité est del'ense~ble F ?
\1 )
r
e-C<x , __ sinx
x
/'+::-: 0
de définition,
cL'C
de con-
I(x) = Jo 1-2xcos6+x d_6 =
En déduire f(x)
2(x - cos 1-2xcos6+x
j''IT o
6)
~d
6
V . .0 2'tzJ))Ji
n déduire j+::-: -,= -2"]0.. +XJ[. sinx x cL'C sur on ~r que F est dérivable
3)
Indications EX.6.4 Dériver F.
-i8 Avec 6=
(1)s'écrit
arg j'ba
f et
9 = fe
,
EX.6.5
lb
fn : x Il Y a problème
de convergence
la suite de fonctions fn :
Introduire
rb Igl· a g= Ja
>-+
_/,n ,~o
en chaque point
n'Ti, nE N. Introduire la série de terme général Un =
les dérivées
de
F,
Ex. 6,7
Ex. 6. 3
Introduire
Il Y a trois problèmes
de convergence.
En +x,
par effectuer
un dévelop-
la série de fonctions
Un(O:I = '0
pement limité.
partielles
2
(1 + x
commencer
e -t dt
L'C
Ex,6.6 Calculer
.j,(n+l)'IT n'IT
0 1- ccos
/'"n••n~l ••
Pour tout a~
0,
'>' Un
e-C<x_" __ ' cL'C, X X
L
~in
Un(O:!
est alternée.
Chapitre 6:
Intégrale
227
compléments
Solutions des exercices-types Ex. 6. 1
8=arg(.Ja . ·b j) .
Posons
donc la condition
(1) s'écrit
j
En considérant
la partie réelle, on en déduit
La fonction
ig - ReCg)
°
(b) j
9 = Jrb a
Jrb a
e-i8=
1
l
·b j.
(2).
[gl
sur [a, b], la relation (3) donne \:j x E [a, b], argj(x)
et donc
1
= ° (3).
.j.b a (igl - Re(g))
étant positive et continue
\:j x E [a. b]. arg gix) =
Il en résulte
b g=
Alors
D'autre part,
=!g
l l
g=je-i8.
et
Igl-
Re(g) = O.
=8.
Ex. 6.2
j :x
1 f-7.
11+x-h/ismx'
fois impropre. comportement •
.
pour tout
+x .
de chaque
(k + 1)
a
E JO,
TI [, cette intégrale
point
k ",
+x[
de
•
Problème
. .
(le E
on a
jix) -
j
-xl ,(A/(=
1 +
TI
j
étant positive,
2
k "
9.)
sont convergentes
car de
. 1·1---;= du Vu l'intervalle
hrXj
non borné.
est de même nature que la série de terme général
Un =
tn+1lj J=
11).
(cf. théorème
Or, on a, pour tout
n E i\JX
2 _2
n 1" .j.in+l!" n•.
(poser x =
le
1
Ale J.
\1 ,le
et d'étudier
.a
à
dû
est une infinité de
F(a) = Jora
les intégrales
même nature que
° ~ Un ~
TI,
/(E
Il s'agit d'établir l'existence de F au voisinage de
Au voisinage
donc toutes
U Jk
est continue
9.~
t + n ,,),
Il en résulte que
,
!.
dx Vlslllxl
=
2
n"A
2
avec
A=
ce qui montre que A ne dépend pas de
L Un et donc Jor:c j
lin+1J" dx. n•. Vlsmxl·
= 10'" --. dt a vsm
t
n.
sont convergentes.
EX.6.3
j:
x f-7 en
(
en tout point par morceaux
1+
n
:?o
sur les intervalles
2. De plus, elle admet une limite
sur ]1,
Il Y trois problèmes
est continue
xŒ
(_I)EiX))
+x[
à
et sur JO, 1].
d'intégrales
impropres
à étudier.
Jn, n + 1[, (n
gauche en tout point
n
:?o
E i\J) et continue
à droite
1, elle est donc continue
228
Précis d'Analyse
•
voiisinlâQIa
Sur ]0,1[,
f(x)
/
( 1 + xCi. 1)
= en
=0
(par exemple :f(x) •
MUVUISIHaU" de 1
Sur]1,2[,
Il
Jx)
(
donc f(x)
- - a enx quand x tend vers 0 et
.10·1 f
converge. \/
au voisinage de 0) .
à droite
= en ( 1 - :Ci.) = tn(xCi. - 1) - tnxO: donc f(x) x-=l tn(xCi. - 1). xO: ~ 1 =a U + o(u) d'où tn(xCi. - 1) - enta u) ~ tn u.
f(x)
En posant x = 1 + u, on a
r
Ainsi
f est convergente (comme JI(2 en(x - 1) dx).
JI
•
Au voisinage de +ex
f(x)
=
Ci.
-
x (_l)E(x)
seulement si a> 1.
~
+0
1
2x
V
lf(x)
et
2'CY
(x1 )
1
x1
----et
~
donc
f
h'+x .2
converge absolument si et
Supposons désormais 0
Posons
9 est donc
(_lpxI x
1
0:-
on a
f(x),
de signe constant quand
x
Ci.
l·+O0(_l)E(x) X
. 2
Un= La série
-9-. +x 2x~Ci.
tend vers
1+00 9 est de même nature que 1+00 Pour l'étude de
g(x)
~
+x, la règle des équivalents
xC;: donc convergente pour a>
s'applique:
à.
dx, introduisons la série de terme général:
Ci.
(_l)E(X) .j.n+l n X
dx=(-l)
----a:
n .l·n+1 n Xeix.'
L Un est alternée par construction. iUnl ~ n10: donc
IUn+1l-IUnl =
J r+1 n (x +1_'_0:1) ( __
hm n-+x
x10:)
Un
=0
ei" < 0 donc
. ([Uni)
Le critère spécial des séries alternées donne alors la convergence de --Ci.-
(_l)E(x) .1+00 2 x
n~_ >9 décroît
L Un et la convergence
dx en résulte avec le théorème 12 .
Finalement ·2 h·+oo
f converge pour a> 1 (somme de deux intégrales convergentes) "2
1 et diverge pour 0
"2
(somme d'une intégrale convergente et d'une intégrale divergente).
f converge lorsque a> à (il n'y a absolue convergence
que pour a> 1).
de
Chapitre 6:
229
Intégrale compléments
EX.6.4
Notons d'abord que
1 - 2x cos
El
+x2
ne s'annule pas pour 8E [O,TI].
')
En effet, donc
1 - 2xcos
1 - 2x cos 8 +x2 = 0
donc 8", 0(,,) et x = Ainsi,
::t: 1,
exige
et
x = cos 8,
ce qui est exclu. est continue sur J - 1.1[x [0, TI],
.) 2xcos 8 +x-
1-
')
s~n-:.Jl_
sin 8= 0
1
ç: (x. 8) ;-?
.
')
+x- = lX - cos 8~
El
ce qui assure l'existence (et la continuité, d'après le théorème 13, de
Pour le calcul de
l sur J -
1, 1[).
effectuons le changement de variable défini par t = tan;,
Ilx1,
(donc 8 = 2 A.l'ctan t.
tE [0, +x[).
8E
[0, ; [
On obtient: TI
I(x) = 2
f ·+x
(l-x)-
Jo
?
2 2 = --2 +dtt (1+x) 1-x2
[
A.rctan t
-(l+X)]+CO
1-x
d'où
0
I(x) = -2" 1-x
Calcul def Pour x
cF
2(x -
O. on a
donc f(xi
Pour x = 0,
=
1+ x-? -
--::+
10"(1 ..x
. 0
= -2
f(O)
U,I
2!L\:
1 x2 = -:: + --, X
_?--,-? x 1 + xx--1
1
-
x
1
- ---?---
1+ x- -
- 12x cos 8 )
2!L"(
d 8 =
+ _?_, -I(x) x"x--1 x
--=-
= 0
r' cos 8 d 8 = 0
.~0
Calcul de F : La fonction
(x. 8) ;-? tn(l - 2xcos 8 +,~)
ell:
est continue sur J - 1.1[xJO,
TI],
et possède une
élell
dérivée partielle
éI
x continue sur J - 1. 1[x [O. ,,], donc le théorème 14 s'applique, et on a :
F(x)=
'rIxEJ-l,l[,
l"
-.-(x.8)d8=2
·0
c'est-à-dire
'ri x E J - 1.1[,
Il en résulte
'ri x E J - 1. 1[,
ln" x - cos 8 0 1-2xcos8+x
élell dx
F(x)
= f(x)
= O.
F(x)
= f(O)
= 0
Autre calcul de F :
tn(1-
donc
r
F(x) = Jo
2xcos 8 +~)
=
2 fr'X o
d 8 Jo(' 2 1-2ucos8+u u - cos 8
cos88+u 1- U 2u- cos
~ du
,~du
Par application du théorème 15, on a alors: F(x) =
fr'X o
du
2 1" 0 1-
u2 u- cos cos88+ u
2
d8=
lX0
feu) du = 0
~d8
230
Précis d'Analyse
Il
v Les fonctions et
'Pl: IR(-+R ( 'Pl (x) = 1 - xZ cogf-x si x*- 0, 'Pl (0) = Z1 )
'PZ:IR(z-+R 'PZ(t, x) = xZe-t
sont continues sur IR(et IR(Zrespectivement.
Z Donc la fonction 'P:IR(-+IR(définie par
cp(t, x) =
xZ
1 - cos(tx)
t
e- t si t
n
0
*-
et
'P (O,x) =
2
est
continue sur IR(zcar cp(t, x) =CPI(tx) CPZ(t, x) Il en résulte que, quel que soit x E IR(,t -+cP (t, x) est continue, donc localement intégrable sur [0, +:)0[, 'if x E IR(,'if t ? j2, 0 ~cP (t, x) ~ e-t, il en résulte que, quel que soit x E IR(,
D'autre part, on a JorC0 'P (t, x) dt
est convergente, Ainsif
est définie sur R
Continuité Considérons la suite de fonctions vn )', définie par: 'ifnEl~,'ifxEIR(, Pour tout
n E~,
fnC'{)=
'if x E iR,f(x) =
D'autrepart,ona
'ifn?2,
'if n?
cp(t,x)dt
j,n 0
cPest continue sur [O. n]x R doncfn est continue sur R.
On a évidemment
ainsi
? e-tdt= cos t.,'{
j,n or·1 -
2, Iif - fn
hm fn(x)
O~f(x)-fnC'{)=
tx
cp(t,x)dt~
e-n
donc
ln
= sup !f(x) - fn(x)1 ~
tx
ln
hm
XE:=:'
e-tdt=e-n
00
donc, quel que soit n,fn est de classe
1
0
el sur:;:: avec
---e-tdr sint t.,'{
o j'+x
~
.J'Tx n
'if XE:;::.
f~(XI=
est de classe
el sur:;:: avec
Le même raisonnement montre que
f
'ifXEiR(,
'if XE :;::,f'x)
x -+ =
*-
éJiL 0,-.-' ' dx (O.x) = x)
--e-tdt
j',n sinr t.,'{ .,0
, (n?
e-tdr=e-n
montre que V~)N converge uniformément sur:;:: vers la fonction
Il en résulte quef
= 0:
f sur IR(,f est donc continue sur lPicomme limite uniforme
éJcp Z éJiL, sin t.,'{ 'P admet une dérivée partielle -.e-t si t dx continue sur R ,' (-.-' dx' (t. Xl = __ r
'ifXEIR(,
x
Iif - fn
n---;-+C'\::
la suite vn)N converge uniformément vers d'une suite de fonctions continues,
Lamajoration
sur R.
: vn)', converge simplement versf
n---'-+x
Ir(TX ,.0
1)
sinr t.,'{e-t dt.
e-t j'TX __ sint t.,'{
. 0
dt
est de classe e2 sur:;:: avec: f/ix)=
Jo("":'·Cosit.,'{le-tdt
Calcul def
1 On a
fil (x)
donc f(x)
rx Re e( -l+ix)t
= Jo
= Arctanx
(car
dt = Re
/
f(O)=O)et
l-L'{ )' (_1_.
--0
1+ x-
fCx)=xA.rctanx-z
1(0n1l+rl?
(car
f(O)
= 0),
Chapitre 6:
Intégrale
231
compléments
Ex. 6. 6
O,px. y)
Si x> 0 et y >
est une intégrale
2".(nx+2
Jol~tn(xSin2e+ycoS2e)de=
x
Si x ou y est nul, par exemple
de Riemann.
Jor~tnsinede=-~t'n2
.
y = 0, alors
(calcul classique)
2
y
J(:'-'_~)=-~~4'
DemêmeJ,O.Y.1=tn4· On se limite pour la suite à x> (J:7J > G,
donc
Le changement
de variable
e= ;
t
-
ç:
y étant fixé, y > 0, la fonction
[o. -";]
]O.+:x.[><
avec
P(x)
donc
Pour
donc
x
=
P(x)
=
* y,
.
P(x)
=
donc
-= 2"
- ~(x, GU; èJ
-= 2"0J'+cs
9
r~
e) de = -
2TI
x
J'~ 0
9 dt
9
9. =
e)
est de classe
2 sin2 e + y ecos e
de
1(1 Y .. -9-C + 1-
-9y)+- y . .,-7.-
1
2-:.\=.0
Y
9
F(x) = tn lx - yi - 2vIY
x-y
c+-
dt x 1
~ ,J. u du -
(u = vIX)
Y
F(x) = 2 tn( vIX + VfJ) + c, résultat encore valable pour x = y puisque F est continue +:x.[.
puis JO,
CI sur
(t = tan e)
-.-X -
l+cs Il en résulte
. 2
Y
TI
y)
e +y cos2
est de classe CI sur]O,+oo[
X SIn
t2 + r) (xt~ + y)(l
t2,,_
2 ,,(x _
(x. e) f-7 tn(x sin2
:.II Jo
F:Xf-7
l~
. 0
donne J(x. y) = J(y, x)
En tenant compte de la continuité
F(y) = J(y, y) = tn y
Alors
de F en y, il vient
c = F(y) - 2 t'n(2v/Y)
c = - 21n2 et
donne
sur
J(x, y) = 2.en
2
(vIX+VfJ)
.
Ex. 6. 7
1)
. SInx lp: u;g-R
a)
Les fonctions
et
ljJ: 1R2~R ljJ (0:,
? Donc J : 1R~-RJ(o:,
x)
sont continues
Ci" sinx
x) =
Ceci assure l'existence,
•
= e-CiX
e- . -x-
pour tout
x~
l'absolue
convergence
de
* 0, lp (0)
r
~
2
= 1 est continue sin
e-Cit
e-CiX .'
e-CiX __
1+00
.0
= 1
sur u;get u;g2respectivement.
* 0,](0:,0)
0, de J o
sInxl
1
donnent
si x
e-CiX-x-
Pour 0:> 0, l'inégalité
si x
sinx
__
t
t
dt.
et la convergence
x
sur IR ,car J =tjJ . 'P.
dx .
de
232
Précis d'Analyse
•
-l+C0 sinx x
on obtient l'intégrale bien connue
clx
Il
qui est semi-convergente .
. a
(voir Analyse 1,Chapitre X) . •
, l'inégalité: -sin t dt "" ---avec lim ---h·(2n+lhT e-cd 2e-2cm" e-2an" 2n" t (2n + 1) 'TI' n-+C() (2n + 1)
montre que
Jof+x e_at_s_in_tdt t
Ainsi, F est définie sur [0,
b)
=
+x
'TI'
ne vérifie pas le critère de Cauchy. Donc elle diverge.
+x[. +-:0j.(n+l)" F(a) = ~. n" e-ax-x-sin x clx donc F est somme de
Pour tout aE [0, +x[, on a
la série de fonctions de terme général Chaque Un est continue sur IR car
i
On constate que, pour tout a"" 0,
2:=
VaE
[0,
+x[,
Un: af-7>
e-ax -clx. .. sin Xx
j.(n+l)" n"
est continue sur 1R2. un(a) vérifie le critère des séries alternées, il en résulte:
L
V nE!';J,
~ IUn(a)[ ~ Tl
uk(a)
I+X k=n
1
1
+x
En conséquence, la suite des restes (Rn)"
(Rn:
L
af-7>
converge uniformément vers
uk(a)),
k=n
° sur [0, +x[. 2)
La série
Un converge donc uniformément sur [0, +x[ et F est continue.
2:=
D'après le théorème 14, les fonctions Un sont de classe CI sur IR avec:
VaEIR,u~(a)=
Pour tout a>
° fixé et tout aE lu~(a)1
jen+l)" ai n" --a;(a,x)clx=-
e-axsinxclx
j.(n+l)" n"
[a, +00[, on a :
~'TI'
e-an"
donc
Il u~ Il [;;,+x
[
~'TI'
e-an"
et la convergence de 2:= e-an" donne la convergence normale, donc uniforme, de [a, +00[. Ainsi, F est de classe CI sur [a, +x[. Ceci étant vrai pour tout a> 0, F est de classe CI sur Va> O,F(a) 3)
On calcule F/(x)
pour a>
F/(x) .
Il en résulte
=
=
u~(a) = - Jo['+x
n=O
j
lm o.+X _el-Q+l!t ..
VaE IR:, F(a) =À - Arctan
rx
Enfin la majoration [F(a)1 ~ Jo
dt =
sinxcbc
lm [el-Q+ilt] -.--. ex -l 0+x
=
-1 -?a- +1
ex (À constante réelle)
F(a) = F(O) - .Â..rctan a.
e-QX
elx
donne
c'est-à-dire
j+x .0
--
sinx x
~ ~a et donc
lF(a)[
'TI'
2
e-QX
O.
et puisque F est continue en 0,
On en déduit F(O) =
Un sur
+x[ avec:
JO,
I:
2:=
eL\:
=-
2"
hm F(a) = O. a-+x
Chapitre 6:
233
Intégrale compléments
Exercices proposés E désigne un espace vectoriel normé de dimension finie. Ex. 6. 1
J
Soit que
e
Jo
E.l1 ([0.1].::;:)
/.1 .0
J
positive ou nulle, telle
> 0 et A un polynôme réel tel que
A2J =
O.
SoitJ E C=(R g(x)
1)
Montrer que A est le polynôme nul.
et 9 : IR-+IR telle que:
= J_(_x_)_-_J_(O_) si x x
* 0, g(O)
=f(O).
Montrer que 'ri x E IR, g(x) = JorIf (xt) dt. En déduire que 9 est de classe C= sur
Ex. 6.2
2)
Calculer
SoitJE CO([a, bJ. ~+) et cpECO([a, bJ. ~),a
Montrer que
IR)
gCn)(O),
n
EN.
9 En comparant à une série, étudier la nature des
libJ(t)ei'fCt)
dtl
""
.lb J(t)
dt
intégrales:
Ex. 6.3 SoitJ
E.ll ([0, 1]. El.
rIX ~ t~' dt . Calculer ~~ x .Jy .\.>0 Ex. 6.4 SoitJ
E.ll ([0,1]. E).
Calculer lim k;;;oO
~ 11 a /c/cJ(t) + t
dt
.
Ex. 6. 5 Décomposer en éléments simples la fraction ran-1
nx
1
tionnelle un(x) = xn _
Ex. 6. 10 En déduire
.!n2" ° ---il x-dte
Etudier la nature des intégrales:
Ex. 6. 6
Calculer
lim -n LE n-+x 1 k=l n
-
/c (2n)
- 2E
-
(n)/c
1 )
-_--=--=--==== .~.+x 0 V t +sin ta tcos t
dt,
0' ~
2)
a 1'+x en Il x- (1 xl +cosC€n o x)
x)
3)
l+x
4)
Jo
O.
dx
Ex. 6. 7 SoitJ E C2(~, ~), trouver la classe de
9 E CO(R~) telle que
IR.
'ri x
* 0, g(x)
=-
11Xa x.
J
(-1 + e ~E(X)-l)
r00 xa sin
dx
(fn(x3 + x)) dx
234
Précis d'Analyse
Il
Ex. 6. 16 Etudier Un
=
la nature de la série de terme général
01)
sin(TI
n
Œ
l'intégrale
,
aE]O, 1] en comparant
sine XTI vIX)
1=
Cio" cos(x
.10+20 e-ŒX
(Considérer
2)
décroissante Montrer que
.L:/
et
rx j
On suppose
lim X----;'-+·:0
lim
j
Xn = +::x:: et
lim
9 :~--+~, x
Exprimer
peut-
telle que
xnf(Xn)
=
O.
loTI xj(sin
x) dx est convergente
xj(sin lTI a
x) dx = -
j'"a
2TI
j(sin
l+20 ---9-dt tn(1 1++ t2)
r rx 1 r
Montrer
j
_t_n_(a_2_+_9_t2_) dt +
que
x) dx
rx j
lim
-
2)
et calcul de :
j(x) = .101 tX~nt - -1 dt a -cEnsemble
=
y)
de définition
J+X -x
et calcul de :
..9
9
x
E [q+ :
eit +x(t- yr
dt Jeu) iX !nt a a
x1
r
du
dt.
Ex. 6. 21
con-
Montrer que, pour tout
l~ x21 Jo x>(}
de définition
Ex. 6.20
E M ([0, +00[, E) telle que Jo
X-++OO
0)
(a>
et que l'on a
verge. Calculer:
1)
et
Ex, 6. 19
j(x. Soit
e - t2 dt.
et calcul des intégrales:
Ensemble x) dx soit convergente.
de g.
,0
E Jt (]O, 1[, E) telle que l'intégrale
loTI j(sin
·0
lo+x
dt
dt.
l'X e _t2
C-ô>
en fonction
Existence
Jo Ex. 6. 13 Soitj
j
1+ t ~
Jo1
C-ô>
Ex, 6, 18
=0 ?
n----:-+·::x;
et
En déduire
/:x2 j).
qu'il existe (xn) E ~'C
Montrer n----:-+·x
xj(x)=O.
convergente,
Jo
on en déduire
j
fo+x
et
j(x)=O puis que x~+~ lim
lim X~+N
:~--+R x
Soitj
j
On suppose convergente.
dx
e -K(1+t2)
·1
1)
e) de)
Ex. 6. 17
EM ([0, +::X::[,~) positive.
Soitj
sin
quand elle existe (aE ~).
dx
et
/+00 1
avec
Calculer:
j"+x .0
--dt= sin t x+t
(Vérifier
tf(t)dt. de y'
.
--dt.
l'+x .0
e-''([ l+t2
que les deux fonctions
'/ + y
1
= x - sur
sont solutions
rrcx ,h;(+)
Ex. Ex. 6.22
Soitj
E C2(~2,~)
telle que: ••Q
a2j
a2j
ax
ay
:::'j= --2 +--2 =0
Calculer
ha(x) =
Montrer que l'application: q;(x) F : r C-ô> Jol2" j(r cos est constante.
e, r sin e) d e En déduire
1 .Jo
=
cos
tx
--2 1+ t
l'X --dt sint t
. a
dt. l'+x --2 cos tx l+t
·0
dt en fonction de
Chapitre VII
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral Dans ce chapitre, E désigne l'espace [Rn (n E N*) muni de sa structure affine canonique. On note
B = (el, e2,"',
en)
la base canonique de [Rn.
On dispose d'un espace vectoriel normé en munissant [Rn de sa structure euclidienne canonique.
1- Formes différentielles de degré un U désigne un ouvert de E. Le dual de E est noté EX.
Définition :
d.1
On appelle forme différentielle sur
U,
toute application de
U
dans
E*.
1
Remarques U --+[Rest de classe el, sa différentielle df : U --+ E* est une forme différentielle.
1)
Sif:
2)
L'espace EX est un espace vectoriel normé ; on peut donc parler de forme différentielle continue, de forme différentielle de classe Ck
Notations: n.1
La base de E*, duale de B, est notée
B* = (dx1, dx2,' .. ,dxn).
1
n.2
Une forme différentielle w sur U est caractérisée par ses fonctions coordonnées (P1,P2,'" ,Pn) dans la base B*(Fj : U --+[R). n
Ainsi, pour tout
x
de
U : w (x) =
L
Fj(x)c1.xj
)=1
n
où w
(x)
est la forme linéaire
w
(x)
E -+IR, y
>-7 W
(x) . y =
L
)=1
n
n.3
On dit que
w
=
L
Fjc1.xj est
l'écriture canonique de
)=1
nA 1
Pour n = 2, on écrit souvent Pour n = 3, on écrit souvent
w= Pdx+ Qdy w
= Pdx + Qdy + Rdz.
w.
YjFj(x)
236
Précis d'Analyse Il
d.2
forme différentielle n
On dit que la forme différentielle
sur
U,
W
=
L
est de classe
FjdXj
ck,
)=1 (k E Nu
n.5 1
{x}),
si les n applications
On note nk (U) l'ensemble un IR-espace vectoriel.
Pl, P2, ...
:
,Pn
-IR sont de classe
U
des formes différentielles
de classe
Ck
sur
Ck.
U;
c'est
Défihitions : d.3
Forme différentielle
exacte
1
Une forme différentielle WE nk (U) est dite exacte sur U s'il existe une appliw: df = w. cationf : U -."IRde classe Ck+1 dont la différentielle est L'applicationf dA
s'appelle une primitive
Forme différentielle
de w sur
u.
fermée n
Une forme différentielle
de classe
sur
Ck
U, (k
?
L
1), w =
FjdXj
est dite
)=1
fermée si:
a p. __a Pi _J
[1. n]2,
'if (i,j) E
a Xi -
aX]
(sur U)
pr9prÎé.~$§: p.1
Une condition nécessaire
de classe el,
pour qu'une forme différentielle
n
W=
L
FjdXj
EnI
(U),
soit exacte sur
est d'être fermée sur
U
U.
)=1
~
Si west exacte, ilexiste f .
donc
'if JE
: U -IR de classe C2 telle que df = w éif.
[l,n].Pj·= -.-dXj
élFj
et
'if LE
[1.n].-.. d~
=
..
él2f
d~dXj
Ilsuffitalors d'appliquer le théorème de Schwarz (Chapitre III,théorème 2). Noter que cette condition n'est pas suffisante (voir exemple 1).
D
IM'lp·2 Soit
W
une forme différentielle
Alors, west exacte
1
~
de classe
si et seulement
si
ù)
el
sur un ouvert étoilé U.
est fermée.
Supposons que U soit étoilé par rapport à l'origine (on se ramène à ce cas partranslation). n
On définit alors l'application
lp:
U x [O. IJ -:;:.
(x.
t)
f-ô>
w (tx)
.x =
L
-'9p)(tx)
)=1
(Noter que
L'C E
[O,xJ cU.)
Elle est continue et. pour tout t
E
[0.1], l'application partielle éle
de classe el avec
'if i E
[1.
n],
~(x. dX,
U -:;:, x .. n éiP' LI = P[ltx) + t..'9~(t..'C1 ÔX[ )=1
L
f-ô>lp
(x. t) est
Chapitre
237
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral n
OP'
j~l
dX:J'
a
Sachant que west fermée sur U, on peut écrire et constater qu'il s'agit de la dérivée de
t) = Pi(tx) +
+(x, u~
L 1Xj-,-'
(t'C)
t f--+tPi(tx).
1 Introduisons alors l'application J:
U
-2.
x f--+la
'P
(x, t) dt
:~iest continue sur
Le théorème de dérivation sous le signe somme s'applique ( Ux[O.l]
,')
d'où -,-lxl= élJ '" dXi
-,-' élc (x.tldt= " dXi
il 0
rltPi(tx)]
1= Pi (x)
0
Ainsi, west exacte, J est une primitivede w sur U.
D
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 Soit U =
\ {(O. O)} et
(ù
la forme différentielle , ", (ù IX, y)
1)
Vérifier que
2)
On suppose que
el
est de classe
(ù
(ù
•
-
ycL-...:
9
x-+y-
9
est exacte sur U, il existe donc F
G=Fo9,
U,
E e2(u,
[8) telle que, pour
f--+(reos e, rsin 8l,
(r,8)
G:(r,8)f--+F(reos8.rsin8)
Calculer dG et en déduire qu'il existe 3)
xdy
et fermée sur U.
tout (x. y) E U, (ù (x. yi = dFix.Y1 Etant donné V = x Ret 9: V on pose
=
définie sur U par
Relever une contradiction
R tel que
dans les résultats
1)
Vérifications immédiates:
À.E
0 ox
(
l
x2 x) +
=
V (r, e)
précédents
0 0Y (~) x2
+ y2
E
V,
G(r, 8) = 8 +
À..
et conclure. =
2 Y 2
-x 2 22
(x + y )
2) dFircosS.rsinSI
0 d 'PlrS>
(reos e, rsin e) ° d 'PlrS) reos 8 (sin e dr + reos e d e) - rsin e (cos 8 dr - rsin 8 d 8)
(ù
?
d8 Donc 3)
G(r, 8) = e +
À.
,
À.E
IR.
L'égalité F(reos 8, rsin 8) = e + À., pour tout (r,8) E!Ri: x !Ri, est absurde. (pour r fixé, elle donne l'égalité d'une fonction 2 TI-périodiqueavec une fonction non périodique). En conclusion,
(ù
n'est pas exacte sur U. On constate que le théorème de Poincaré ne
s'applique pas ici,car l'ouvert U n'est pas étoilé.
238
Précis d'Analyse
Il
2 U = [R2\
6
où 6 =
la forme différentielle pour primitive sur
définie sur
w
f : (x. y)
U
est un ouvert étoilé.
{(x, O)/x ~ O}
par
(x, y) = y~
w
x
- x~y +y
---y--
Arctan
f---'>
U
x+Jx2+y2
à
On vérifie que U est étoilé par rapport Pour tout (x, y) E U
x +
on a
tout point A = (a, 0) où a> O.
-j x2 + y2 > 0
et on obtient sans difficulté: y
(x, y)
'if
d.fix.y) =
U.
E
W
(x, y)
Noter que l'on a
2f(x,
tan(
y»)
x
exemple 3
Soit
w
une forme différentielle de classe
On dit que l'application 'P: tielle 'PW est exacte sur U.
U
CI
sur
U.
~[R est un facteur intégrant de
si la forme différen-
w
Exemple *3 U = (IR+'),
montrer que
. z)
w: (x. y,
y+z f---'>
--
admet un facteur intégrant de la forme •
1)
Comme Notons
L
z)
f---'>
z dz où
'P (xyz)
-a- = x y aQ { -aapX = -Y
'P
(xyz) + z(y + z)
1 1 'P (xyz)
y+z
-2-
x yz
sont successivement 9
Les primitives
ay
'P
(xyz)
'PI1
(xyz)
-----xy-
on voit qu'il suffit que
z+x
(1) =
aR
'PW est fermée,
1 éD\
aR ap ax = '7iZ
+ xyz y t>
'if
1
•
0
]
l ,'-yz) =
O. y
(tl + t
It) = 0
1
ou
x+y
dx + --2- dy + --2 dz xy z ,'-yz
: U ~[R
Soit alors,f
+ z(z + x)
aQ
az=
(y - x) [()
l" d ega Ite on ne
Par raison de symétrie,
Wl =
'PE CI (IR~ ,IR).
= Pdx + Qdy + Rdz ; 'PW est fermée si :
'PW
". a premlere
Ainsi
(x, y,
x+y dy + --
U est convexe, il suffit de vérifier que la forme différentielle
ap aQ --ay=iiJ( Ona:
z+x
x dx + -- y
est exacte.
une primitive de Wl sur U, les conditions:
af =Y2+z ax x yz équivalentes
af _ z + x .,-----9dy
x+y
éif -,-
,'-y-z
--9
.'-yz-
dZ
à:
HA. 1 élz y+z dyyz-KE~ y-z yz
de Wl sur U sont donc de la forme
À. -,-
+K
(y. -z)---ry= --
IX. y,
zl
f---'>
-
x+y+z ,'-yz
----
+K
Y (t)
=
t
Chapitre
1
239
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
II - Intégrale curviligne Définition:
Soit (ù une forme différentielle continue sur U ouvert de E et '1= arc compact continu et de classe el par morceaux dont le support dans L'.
d.5
On appelle intégmle curviligne de
l.
= .lb
w
w (q;
bJ,q;)un
r est inclus
le réel:
le
w
([a.
W) . [q;' W] dt
Remarques 1)
L'application
2)
Dans le cas et
[a. b] ~
q;:
On a
[a. b] ~R.
n = 2,
l
w
=
w
U.
.lb
t ~
w ( q;
= Pdx + Qdy t ~
=
q; (t)
[x/(t)p(x(t),
W) . [q;'
(t)]
est continue par morceaux.
EDO (U)
(x(t),
y(t))
+ y/(t)Q(xW.
y(t))
y(t))]
dt
Propriétés: p.3
Relation de Chasles
1
Avec les notations précédentes et, pour e E ]a. bL introduisons les arcs compacts de classe el par morceaux: '1a.c= ([a, c] q;),'1 c.b= ([e, b], q;),'1='1 a.b Alors
1
w
=
'Ya.b
w
j.
.
+
"ICLC
w.
j'
"(c.b
•
Cette formule se généralise à un nombre fini de points de ]a, b[. Elle permet le calcul de
pA
l
w
lorsque '1 a des points anguleux.
Changement de paramétrisation
1
Ajoutons aux données précédentes celle d'un autre arc paramétré '1/ = ([e,
Al !kiF
ors
d], q; 0 el, où e est un el-difféomorphisme de
j.
w =8
. -y'
j
w
avec
{ 8=8=-1 1
. -y
On constate que
'1/
[e,
d] sur
[a, b].
croissant si e est décroissant
est compact continu, de classe
r que '1, il est inclus dans U.
el par morceaux et de même support
Plaçons-nous dans le cas particulier où '1 est de classe
el,
(le cas général s'en déduira
à l'aide de la relation de Chasles). Le changement de variable
l
t=
.b
d'où
e (u) donne: ·e-l(b)
w
(q;(t)) .[q;I(t)]dt=h_l(a)
l
w
=8
id w
(q; 0 e
(u))
w
.
(q;oe(u)).
[(q; 0 el/tu)] du
[q;1(e(u))]
=8.l
w
e'
(u)
du
o
240
Précis d'Analyse Il Remarque Soit + l'arc orienté définipar le choix d'un représentant '/, la propriété précédente montre que deux représentants de + donnent la même intégrale curviligne; celle-ci sera notée
r
r
r w. Si r_désigne l'arc déduit de r+ par changement d'orientation, on a : ir+ r w ir+
1 w-iL
L'intégrale curviligne de w le long d'une courbe n'est définie qu'à un signe près. p.5
r
est une courbe fermée orientée, Si pas de l'origine choisie sur
1
p.6
r.
Pour U et
r donnés,
r dont l'orientation n'est pas précisée,
l'intégrale
curviligne
r ir
w 1-'> ir r west une forme linéaire
l'application
w ne dépend
sur no (U).
Théorème: t.1
Soit w une forme différentielle exacte sur U, J une primitive de w. Pour toute courbe orientée d'origine A, d'extrémité B incluse dans U, on a :
r
u:w
l
=J(B) - J(A)
w
Noter que le résultat ne dépend que des points A et B. Soit '/= ([a, bJ. 'l') un représentant de r, A ='1' (a), B Plaçons-nous dans le cas où '/ est de classe la relation de Chasles). De w = d'où
l
dJ,
on tire
w=
w
ib(fa
('P
(t)) . ['PI
(t)]
= diq)(t)['P1
'1')1(t) dt = Jo '1' (b) - Jo
(t)]
=
'1' (a) = JŒ)
!
ir y 2 dx + x 2 dy lorsque r est
2)
x2 +2 2 x y a2 + b2 ~
x2
y2
a>
2x
a
3)
a2 + b2 -
1)
Paramétrisation de [
-2'2 -l". " "] n2
.h· r, y-9 dx+x- 9 dy =
O.
b>
='1' (b).
el, (le cas général s'en déduit à l'aide de (fa
cp)/(t)
- J(A).
l'une des courbes sui-
0
=0
rl:
x2 +
if - ay = O.
tl-'>Ml t, x=acostsmt. () ...
y=aSln-t
4 ..
sm3 2r.- dr = --- " 4a3 ..
a3
["0
[ (1..
cos2t)-
,)
cos2r+
9
D
Chapitre 7 :
2)
241
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
Paramétrisation de [-",,,J_:;::2,
[C-3>M21[1, x=aCOSL
y=bsint
l? iF dx + x-? dy = ,j""_" _--ab- '),sm'3 [+ a-? b cos3]t dt = 0 1re ?,
3)
r3 :
Paramétrisation de [-T.',,,J-:;::2,
a)-
1X -
?
a~
?
! Y - b)+ .) - 2 = 0,
b-
8C-3>"V3181,x=a(1+v2cos8),
ir·)r y- dx + x- dy = ,j'+"_"
[ - ab-.)vln ' 2 sm
?
3
y=b(1+V2sin8)
8 (1 + vln, 2 sm 8)2 +a2bV2COS8(1+V2COS8)2]
,frr3
Y dx+:c
?
2
r
•
ab(a - b)
dy = 4"
5
exemple
a cu 1el' fr' (:1consécutifs
x +y A ou =, la,Wa)= (x -B y) = (-a, , 2 + a) C = (-a, ,et, rI" al e carreD =onen (a, -a)e (x2 + y) dy
•
1
Elle se decompose en
i
On constate que west
•
t
wl= 0
t' de
dx
W
La forme différentielle west de classe
donc
w=w +
l 'lr w-
W
c=
sur U =;;:2
i
avec
ùJ
exacte sur
,r
et
il
L':
éù
=
?
x-
1
1
ii Wll
~?
+
'/
Il w
+ y-
=
xdy - yd.x 2 X
+y
2
if')
a été étudiée dans l'exemple *- O}
1,
B
= d Arctan l{
x
A
r 01
•
t
somme (a> 0) s
{W,OI},
xdx + ydy
w = '2 d tn(x
elle est exacte sur Ul = {(x, y) E:;::2 lx Wll
d8
1
elle est exacte sur U2 = {(x, y) E Wll= -dArctan-
If
Ecrivons
.!r
w=
Co
Ona
X
!
C
y
Jf
w
.PB
.!~ 'H
AB
w = [ - Arctan
+
Il
Ir .Bé
w +
Ir .CD
w
1/
+
1/
h ,i5À
X
x
T.'
y ]BA
a ]x=-a x=a
2
= [ - Arctan
On trouve de même_ ,Be _ wIl = ,DA Ir wIl = 'IrCD ~.,,_, w Il = Ainsi
w
2' T.'
r w= ir r WII=2T.', ir
On remarquera que ce calcul montre que w n'est pas exacte sur U bien qu'étant fermée,
D
x
242
Précis d'Analyse
6 + xdy+ydz
r est
où
x +y +z= a •
La projection orthogonale
de
le cercle
,
La deuxième équation s'écrit
3
,
(
x2 + ;
x +y
-
+
:3 2a)
orienté)
d'équations:
lf + ~ = a2
x2 +
r sur le plan Q>-yest
z=0
(supposé
l'ellipse d'équations: a(x + y) = 0
>-y -
2
+ (x -
y)
2
34a2
-
= 0
a
.
On obtient pour paramétrisation
r
de
[0,2
t
_iRi3,
TIJ
rè> <
Y=
a
t) -
a
z =
r étant
a 3(1 + cos
a
/3 sint
x=3(1+cost)+
orienté par cette paramétrisation,
on obtient
h' z dx ·r
3(1 -
/3 sin
2 cos t)
+ x dy +y dz = - --r;:-'
2 V3 TI a2
III - Compacts mesurables Aire et volume Définitions : d.6
Pavé On dit qu'une ou s'il existe
partie
P de
a = (al,
IR\n
est un pavé si P = 0
... , an), b = (bl,
... , bn) dans
sgn tels
que:
n P
=
TI [aj'
=
bjJ
{(Xl,'"
,xn)
E~n
/ 'if jE
[1, n],)j
E [cy, bjJ}
j=l
(p est alors
dit pavé d'extrémités
{a,
b}J.
Remarques Un point de
2)
Un pavé est une partie fermée-bornée
3)
L'intérieur d'un pavé P d'extrémités n
p = TI Jcy,
IR\n
est un pavé (cas
a=
1)
bj[
b).
de ::::n, donc compacte.
{a.
b} est:
dit pavé ouvert d'extrémités
{a. b}.
j=l o
P est vide si et seulement 4)
d.?
[1, n]
si il existe jE
tel que cy = bj-
L'intersection de deux pavés est un pavé. Mesure
d'un pavé
On appelle
mesure
d'un pavé P de
::::n
d'extrémités
n /J-
(P) =
TI j=l
Si P =O, on pose
/J-
(P)
= O.
bj - aJi
{a.
b} le réel
positif:
t
Il
243
Chapitre 7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
1)
2)
d.8
Remarques Un pavé est de mesure nulle si et seulement si son intérieur est vide: Soit Pl et P2 deux pavés de ::en. On a Pl C P2 =} fL (Pl) ~fL (P2) Ivlesure d'une réunion finie de pavés
i! Soit Pl et
deux pavés de ~n, on appelle mesure de leur réunion le réel: /J. (Pl 0 P2i ==/J. (PIJ+ /J. (P2)fL (Pl n P2)
P2
ii! On définit alors par itération 1) 2)
la mesure d'une réunion finie de pavés.
Remarques Dans ii. on a /J. (Pl U P2) ~ SUP{fL (Pl), fL (P2)} ~ o. L'ensemble J' des réunions finies de pavés de [R;nest stable par intersection et réunion finies. Les éléments de J' sont donc des compacts de [R;n. On dispose alors d'une application • X C Y =} fL (X) ~fL (y) • fL (X U Y) ==fL (xl+ fL (Y)o
•
X \ Y
0"-+[R;+ vérifiant pour tout (X, y)
fL:
fL
(X
n
E 0"2 :
Y)
0
E
0" et
fL
(X \ y)
==fL
(X)-
fL
(X n y)
o
== 0
~
X
•
fL (X)
•
Si P est un pavé, sa frontière Ô
==0 o
d.9
Parties
P == P \ P
appartient à J' et
/J.
si, pour tout
2>
négligeables
On dit qu'une partie X de ~n est négligeable suite
(ô P) == o.
(PIc)c"
de pavés de ~n telle que
Xc
U Pk
0, il existe une
et
k",
1) 2) 3) 4) d.10
Remarques Si X est une partie négligeable, alors toute partie de X est négligeable. Une réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable. Un point, une partie finie ou dénombrable sont négligeables. Une réunion finie de pavés est négligeable si elle est d'intérieur vide ou si elle est de mesure nulle. Compacts mesurables Un compact X de :sn est dit mesurable si sa frontière On note .1Le l'ensemble des compacts mesurables de
1
1)
2)
d.11
Ô
X est négligeable.
[R;n.
Remarques Soit X et Y deux compacts mesurables de [R;n, en notant [R;n \ X Xe, on a : Ô (X n y) == (ô X n Y) u (X nÔ Y) et Ô (X u y) c (0 X n ye) U (xe no Y) d'où Ô (X n Y) CÔ X uÔ Y et Ô (X u Y) CÔ X uÔ Y. Ainsi,X n Y et X u Y sont des compacts mesurables. Un pavé, une réunion finie de pavés sont des compacts mesurables :2l'cj/;Le. L'ensemble JLe est stable par intersection et réunion finies. ==
Mesure d'un compact mesurable X de [R;n. Soit 2l' x la famille des réunions finies de pavés inclus dans X ; alors {/J. (S)/S E2l'X} est une partie non vide majorée de [R; (elle contient 0 car 0E 0"x et, si P est un pavé contenant X (il en existe car X est borné), pour tout S E2l'x, on a Sc X C P et fL (S) ~fL (P)) Ainsi {/J. (S)/S E0'x} admet une borne supérieure appelée mesure de X et notée fL (X): /J. (X) == SUP{fL (S)/S E0' (X)}
244
Précis d'Analyse
Il
Remarques 1)
Cette définition appliquée à un pavé ou à une réunion finie de pavés coïncide avec les définitions 8 et 9 correspondantes.
2)
Pour un compact mesurable X, on a les équivalences des trois cas suivants: il X est négligeable,
3)
iii X est de mesure nulle,
On dispose alors d'une application •
X
cY
•
f.L
(X
=?
u Y)
f.L
(X)
'-'Sf.L
(X)+
=f.L
f.L
o
•
d.12
X \ Y
f.L :
iiii X est d'intérieur vide.
ALe~[R+ vérifiant pour tout (X,
d.13
(Y)-
f.L
(X
(1
Y)
0 E
ALe et
f.L
(X \
y)
(X)-
=f.L
f.L
(X
(1
y)
Un compact mesurable de [R2est dit quarrable. Uncompactmesurable
La mesure d'une partie .
de [R3est dit cubable. La mesure d'une partie cubable
X de 1R13 est appelée volume de X et notée "("(X)
1
de Jt~ :
(Y)
quarrable X de [R2est appelée aire de X et notée si. (X)
1
y)
.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 7 [a, b] -+lR1continue, a < b.
le graphe de •
[,,;; {ex,f(x»fx
E [a,
b]}est une partie négligeable de
Utilisons l'uniforme continuité de J : \;fe> 0, 3a> 0, \;f (x, y) E [a, bJ2, lx - yi '-'Sa =? Fixons alors n
b-
E
N* tel que --
'-'Sa
n
et la subdivision de [a, bJ formée des points
bCj
Pour jE
[1, n],
notons
FJ
l[(x) - J(y)'
a
=
a
a+j-n-'
le pavé
[Cj-l.
(0
Cj]
><
'-'Sj'-'S ni
[J(Cjl~ 8.flcj)+
s],
n on vérife alors que
fc U 1] j=l b_
Or l'aire de 1] est
si. (FJ) = 2 8
a
-n-'
n donc 2:= .-:111]1 = 28 (b - al j=l
Ceci prouve que
f, graphe de J,
est une partie négligeable de ~2
Remarque On montre de la même façon le résultat suivant: Si
..1
est un compact de
[R2
et si J
: ..l~[R;
est continue:
alors le graphe de J est une partie
négligeable de ~3. Ce résultat permet d'établir qu'une boule fermée de ~n euclidien est un compact mesurable.
Chapitre 7 :
245
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
exemple 8 ~sure •
d'une courbe
r
Soit une courbe de Fin. (n ~ 2), support d'un arc paramétré compact et de classe CI par morceaux. On montre alors que est une partie négligeable de [Rn (compact mesurable d'intérieur vide). Ce résultat tombe en défaut si l'on suppose l'arc seulement continu. En effet, il existe une application continue et surjective de [0.1] sur [O.1] x [0,1], la courbe correspondante a pour aire (courbe de Peano).
r
1
IV - Intégrale d'une fonction
sur un compact mesurable de ..l désigne un compact mesurable de
[Rn
[Rn.
A. Définitions d.14
On appelle
partage
de ..l toute famille
finie
(~)l'0~p
Œ=
de compacts
mesu-
p
l'ables de ~n telle que ..l=
U ..lj
et
\:j Ci.j)
[1. p]2,
E
i
*j
=?
f-L
(;iin;ij)
= 0
j=l
On note ;y j, l'ensemble des partages de ..l (il est non vide car il contient le singleton (;i)).
d.15
Sommes de Darboux
Soitf
: ..l-~
une application
associe les réels:
m=inff. j,
bornée. 1\J=supf.
j,
d(Œ) =
L
partage
[1.p],
Œ= (~h'0~p de..l, on T71j=inff. Mj=supf j,j
p
pms
A un \:j jE
j,j
p
mj
D(Œ) =
(..lj)
/..l
j=l
L
1'\1j
/..l
(..lj)
j=l
appelées respectivement
sommes de Darboux
inférieure
et supérieure.
Remarques Avec ces notations, on a les relations suivantes: p
1)
/..l
(..l) =
L
/..l
(..lj)
.
m
/..l
C..l) ~ d(Œ) ~ D(Œ) ~ M
/..l
el).
j=l
2)
Les ensembles {d(Œ)/
ŒE J' j,}
et
{D(Œ)/
ŒE J' j,} sont des parties bornées de
[R ;
on peut introduire leurs bornes supérieure et inférieure respectives: s(f)
d.16
Fonction
= sup{ dCŒ)/ ŒE J' j,}
.
SV) = inf{D(Œ)/
ŒE 2P j,}
intégrable
Une application
bornéef
: ..l-R
est dite intégrable
cas, le réel SV) = SV) est a ppelé intégrale
de
f
sur;i
si SV) = SV) et, dans ce et noté
Remarque Lorsquef
==
1, l'intégrale sur ;i donne la mesure de~.
Des règles pratiques de calcul des intégrales doubles ou triples méthodes de calcul de la mesure de ;i, aire ou volume.
j~f découlent
les
246
Précis d'Analyse
"
B. Propriétés Une application
p.?
bornéef
.1~[R;est intégrable si et seulement si :
\:18> 0, ::lm=
1
7P -1,
0 ~ D(Œ) - d(Œ) ~8
il L'ensemble des fonctions réelles intégrables sur ..1,noté 1"(.1),est un sous-
p.8
espace vectoriel de iil
2F
(.1,[R;).
L'application 1"(..1) -7[R;.j
f--ôo
l
.1-1 f
est une forme linéaire .
il Toute application continue de .1 dans [R;est intégrable.
p.9 1
:
ii 1 Soit f et 9 : ..1-7[R;, intégrables; alors les applications suivantes sont intéinf(f g) , sup(f g) , fg grables: lfl
p.10
Soitf et 9 : ..1-[R;intégrables.
1
ilf?cO
iil
Il
llfl
.1-1.1-1 fi ~
iii 1 (.1)= 0 f.L
p.11
lf?cO
=?
=?
~f.L
if
,
f~g
l f ~ .J'-1g .
.1-1
=?
xd Ilf(x) (.1)sup
II·
= o.
Soit.11 et.12 deux compacts mesurables etf
1
Alors,
f est intégrable
sur .11et .12et :
l
.1-11u!l2 f=
et, si
f.L
(.11(\.12)= 0:
:.11u.12-7[R;intégrable.
.l'U-12 f =
l
.1-11f+
l
.1-12f-
i,
f +
l
f .1-11~-12
.l2 f
moyenne: Théorème de la moyenne
p.12
il Soitf : .1-7[R;intégrable, on a iil
p.13
Si.1 est connexe,j
f.L
(..1). inff -1.1-1~
lf
~f.L
(..1). supf -1
: .1-7[R;continue, 9 : ..1-R intégrable positive:
lf
il existe a E.1 tel que
.1-1
il existe b E ~ tel que
.1!lfg = f(b)
= frai
l
f.L
(..1)
.J-1 g .
Inégalités de Schwarz et de Minkowski
1
Soitf et 9 : ..1~[R;intégrables. 1
(lfgr
~Clf)
Cll)
r ~Clf)
[.l(f + g)2
1 2 +
1
Cll)
2
247
Chapitre 7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
C. Intégrale d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel E désigne un :<-espace vectoriel normé de dimension finiep
?
1.
Définitions: d.17
Soitf: .1-::::: une application bornée. On dit quef est intégrable deux applications Reif! et Im!f) : .1-?- sont intégrables sur Ll. On définit alors l'intégrale
d.18
de
f
.l f = .l Re(f) + i.l Im(f)
sur .1 par:
Soitf:.1E une application bornée, B = (eJ)l'0~p une base de E et (jJh'0~p les fonctions coordonnées de dans cette base. On dit que est intégrable sur .1 si toutes les applications li : .1-C (1 ~j ~ p) sont intégrables sur .1.
f
On définit alors l'intégrale
f
t
.lf =
de
f
f
:.1~ E ne dépend pas de la base choisie, ainsi que
sur .1 par:
Remarques 1)
On vérifie que l'intégrabillté de l'intégrale de f.
2)
Les propriétés 9, 10 il, 12 restent valables (mutatis mutandis).
3)
Enonçons une propriété de majoration. Pour
f
(.lli)
eJ
:.1- E, intégrable, alors l'application:
est intégrable, et
1
sur.1 si les
~.l
II ~fJ. (.1) ~~~ Ilf(x)
Il
V - Intégrale double - Aire plane Notations: n.6
L'intégrale
sur un compact quarrable
.1 de :qz, de
f
:.1-
E, s'appelle
une
r f = Jj::, r r f(x, y) dx dy intégrale double, on la note .1::, (x et y sont des variables dites muettes).
n.7
L'aire de .1 (mesure de .1) est notée sI (.1), elle se calcule en choisissantf cel
1
(.1) =
fI
==
1:
dx dy
A. Théorème de Fubini t.2
Soitf
:.1~ E continue.
il Cas où.1 est un pavé . .1= [a, b] x flf(X,
iil .1= {(x, ..hI'::'f(x,
y) dxdy
= fab
y) E IR;2la y) dx dy =
~
[ld f(x,
[c,
dJ. a ~ b et c ~ d.
y) dY] dx =
ld
[fab f(x, y) dx] dy.
x ~ b, u(x) ~ y ~ v(x)}, où u, v:
jba
. U(Xl .. [JV(Xl
f(x, y) dy ] dx
[a, b]
-IR; sont continues.
248
Précis d'Analyse
Il
Désormais, on ne considère que des fonctions continues,
Remarques 1)
Pour tout (x, y) E [a, bJ x [c, dl, les applications partielles de justife l'existence des intégrales simples: j(x, y) dy,
jba
J'd
,C
j(x, y) dx
j
j'~~j(x,
,
,~~
sont continues, ce qui
y) dy
Ainsi, le calcul d'une intégrale double se fait à l'aide d'intégrales simples. j se décompose enj(x, y) = g(x) h(y), on a :
2)
Si dans le cas
3)
On montre que le compact ~ décrit en iil est mesurable.
il,
JI
g(x) h(y) dxdy
=
[ib g(x)
Dans la suite, un tel compact sera décrit par:
dX]
~:
[id
h(y) dY]
a ~ x ~ b, u(x) ~ Y ~ v(x)
On obtient un résultat analogue en permutant les rôles des variables
x
et y.
Définitions : d.19
Compact
élémentaire
On appelle
compact
simultanément ou par
~:
élémentaire
par
~:
c ~ y ~ d,
une partie
a ~ x ~ b,
~ de
1R2
pouvant
être définie
u(x) ~ y ~ v(x)
r(y) ~ x ~ sCy)
où u, v : [a, bJ -+IR et r. s : [c, dJ -+IR sont continues ceaux.
el
et de classe
par mor-
Le théorème de Fubini donne alors:
i1 j(x, Li.
y) dx dy = ,a J'b
d.20
y) dx ] dy . Tl. yi j(x. [jS(Y)
j(x, y) dy ] dx = ,CJ'd
On appelle compact simple une réunion compacts
1
,u(x) [jV(X)
finie et connexe de
élémentaires. ,,\
d"---: , ,
C
dc".
dr--g, el- - -,- -........• --
a
b
01
_nnn
a
b
figure 1
SJ 8'0
mm.
____ ?.:m n*--
/
~
,
"nn
0]
.•
~
nn_
o a
b
figure 2
7
di C~..... ..Ô;i.@-
o a
figure 3
Remarques 1)
2)
Dans la définition 20 d'un compact élémentaire. (figures 1,2 et 3) , on a: a=inf{xjCx,Y)E~}
b=sup{xj(X.Y)E~}
c = inf{yjCx,
d = sup{yj!x.
y) E~}
La frontière de ~ est une courbe de classe
yi E.l}
el par morceaux.
Elle est conventionnellement orientée par la paramétrisation :
n_
~
,
2 ~
.
l
:
.
b ,. figure 4
Chapitre
249
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
= bvt21a t)a++ (3 tb+ -(t (u (x) -- 2)a 3)u(a) t)u(b) (4 t)b -- l)v(b) t)v(a) x X [0,4J -_"ê-. tE E [3,4J [O,IJ tt·'-'7 [2,3J [L2J < x tière de ..:lainsi orientée.
}
3)
La frontière d'un compact simple, (figure 4), sera orientée par les frontières orientées des compacts élémentaires qui le composent. L'orientation de 8..:lest indiquée par des flèches sur les schémas.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 9
1
•
JI
Calculer Ici
..:l=
où
yX elx ely
c?,
:
°< a ~ x ~
[a. bJ x [O. IJ est un pavé, etf
b, 0 ~
1.
y ~
: ..:l-;:::. (x. y) f-7 !J" est continue.
On peut utiliser le théorème de Fubini, mais le choix pour l'ordre d'intégration n'est pas indifférent. Le calcul donne:
'if (x. y) E..:l: .larI yX
Ainsi
JJ."y"clxdy= rr
lac,b[r1] .la
yXdy
y
- y
"
ou bien
~Z
.~. ..\.!J
clx dy =
..ib
dy = x +1 1
si
yX elx: =
eL\:=
°
tny
b-
{ yb _a ya
YEJO,l[
si
y =
°
si
Y =
1
.la rb x;1 elx =tna+l b+l
btn Y a dy
j.1 a
Le calcul de la dernière intégrale peut se faire (la fonction sous le signe somme a un prolongement continu sur [0, IJ) mais pas à l'aide de primitive.
exemple 10
Il
x = où" if' . e,t la partie du plan limitée pa' le, pambol" ~•.•.tions Cakulery = :>? xyet dxdy, •
On a ici
..:l:
° ~x ~
1,
x2 ~ Y ~
lX
Le calcul s'écrit: ..
r r xy Il..\.
·1
1.yX
dx dy = .1 ra
(
x
j
X2
y dy )
clx = .1 ra
x-
xD
(- 29 -
=--2-)
X clx =
[3-6
x - -126]10
250
Précis d'Analyse
Il
y
1 rr ÀY dxdy
Il.::.
= 12
x
B.Changementdevanabœs 1. Formule du changement Soit U et V deux ouverts de
de variables dans les intégrales doubles U -
J;{L, (Ç:
c
compacts quarrables tels que D
V une application de classe
c
U, .3.
V,
(Ç
el,
D et.3. deux
(D) =.3.. On suppose, de plus, que
l'ensemble des points de .3.qui ont plusieurs antécédents dans D est négligeable. L'application
D --+.3.,(u. v) f-7 (x, y) définit un changement de variables;
cp:
le jacobien
l' t' t' d Dd fil) ' D(x, y) . d 't e cp, note D(u, v)' ln UI une app Ica Ion con Inue e ans "". Avec ces notations, on a la formule: d
Jf f(,X, yldx 11.::.
dy
lnr f(x(u,
v), yeu, v»)'
== .'.
Noter la présence de la valeur absolue du jacobien de
Applications al
Di(X.~')) D,u. [; du dv 1 1
(Ç.
1
Coordonnées polaires cp: J;{2_;;:.2. (r. 8)
.. Le jacoblen de
cp
est
>->
lx.
D(x. y) i cos 8 -D( r.,81 = i sm 8 1.
12.
1 1
yi = Ir cos 8. r sin 81
-rsin
8 = r.
r cos 8
La formule du changement de variables s'écrit alors:
lif(X,
y)
dxdy =
l/Df( rcos
8. r sin 8) irl dr d8
Remarque Il est souvent judicieux de choisir D pour que r reste positif (quitte à faire un partage de .3.et utiliser la relation de Chasles). b)
Coordonnées elliptiques (Ç:
Le jacobien de
ç est
(u, 8) f-7 (x. yi = (au cos 8. bu sin 81 D(x. y) = D(u.8l
1
!
acos 8 bsin 8
-ausin 8 = abu. bucos 8
Chapitre 7 :
251
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
La formule du changement de variables s'écrit alors:
il]IX,
yi cb:dy = IID](aucos
8. bu
sin
8) labu[ du d8
Cas d'une application affine
Cl
y : :=:2_;~2 est une bijection affine Le jacobien de c est le réel det
LI
ç) où LCcp) désigne la partie linéaire de
q;
(D) est un compact quarrable dont l'aire est:
cp,
Application Si D est un compact quarrable,
3l. [q;
(D)]
=$
(D) IdetL(cp)1
Cas particuliers c homothétie de rapport
ÀE [FR*:
y affinité de rapport
fLE
ç isométrie
de
[FR*:
$ $
Ccp
(D)] =
Ccp
(D)] =
sI [q; (D)]
[FR2
$ $
111.12
1
fLl
(D)
(D)
=$ (D)
Exemples - Travaux pratiques
exemple 11
1
•
l,
l+x
JJ",
rayon Calculmff =
+y ;
2
dx dy
où 1 e~t Je di,quo fc,'m é de cent,c (0,0) et de
Il est naturel d'utiliser les coordonnées polaires: ? 2 D :0 ~ ..1: X- + y ~
1
r ~ 1. 0 ~8~ 2
ÎÏ
811\
YT
hh 1
L'ensemble des points de
..1
qui ont plusieurs antécédents dans D est:
A:O~x~l
y = 0,
il est négligeable
Le calcul de l'intégrale double s'écrit:
l = ..
~ lh'D1+r r
dr d8=
,0 (io2'iT)
d8
-2
,ol+r r (1'1
dr
)
• l
=TI'
fn2
252
Précis d'Analyse
il)
dxdy où!l X
2
est le disque elliptique Y
2
2+2~1, a b •
fermé donné par:
(a>O,b>O)
Il est naturel d'utiliser les coordonnées elliptiques: 2 2
x
y
!l: 2a
+2 b
~ 1 , D: 0 ~ u ~ 1,0 ~8~ 2
11"
Le calcul de l'intégrale double s'écrit: l
=
rr 2 u 2 cos2 8 +b 2 u 2 sm . 2 8)abudu JJD(a ab
l·1u3 du·
. 0
d8
(a2 cos2 8 +b2 sin2 8) de .i·2'IT 0
4 ab(a2 + b2) 11"
Noter que
l est le moment d'inertie du disque !l
par rapport à son centre.
exemple 13
Ji (x + y) dx dy
où !l:
VX + JY
~
LvI -
!l est limité par deux arcs de parabole et admet le point (~,
x+
vI -
~)
pour centre de symétrie.
y ~ 1,
Transformons l'intégrale à l'aide du changement de variable défini par la rotation: 2 'P :
On trouve
puis
l= yi'v
-1 (!l) 'P
il
= D :
(u, v)
- 1~ V2
(1 + uV2) du dv
u
1
2
IR ---;IR,
v~
1--»
X
=
"2
1 -
V2
1
u-v
+ V2 ,y = 2
2v --~2v2
1~
(le jacobien de q; est 1).
u+v
"2
+ V2
u ~
1---
A
\ 1°)
Des raisons de symétrie (par rapport à la droite d'équation u = 0) donnent: ..lir' D u vl2 du dv = 0
et donc
l =::1 (DI
9
2v2V2
=:J (..l) = ~ 9
Il
Chapitre
253
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
C. Formule de Green-Riemann Calcul d'aires planes Théorème: t.3
Soit ~ un compact simple de :=;;2 et w classe el sur un ouvert contenant ~,
h'
On a alors
P dx + Q dy
,0+",
==
==
Pdx + Qdy une forme différentielle
!J -,--dx ,.J", j'''(aQ
Application au calcul d'aires planes Soit ~ un compact simple de 1R2et D son image en coordonnées polaires, 1)
sa (A)
2)
sI
(A) == .Jr0+ '" x dy
== _
JI
==
r
Jo+j,
Exemples - Travaux pratiques
exemple 14
/etl'arcparamétré 'Y: [O,2TI]~iR;2, (aCt-sint),a(l-cost») ~ est le tH(x,y)= campa. et simple limité par l'axe Ox ~. Aire d'une arche de CYClo·,.'de.
•
sa (~) = -
l,
y dx =
a
2
0+'"
,11(A)
==
3
TI
~'2" a
.
(1 -
cos
À
tt dt ,)
y
a2 2a"-
-------------
(noter que l'orientation de 8A correspond à l'orientation de 'Y dans le sens des t décroissants)
x 21Ta
exemple 15 limitée par la cardioïde d'équation
polaire
r
==
a(1
+ cos 6),
• sa
(A) ==
1 hü+D
2"
r2
2 j"
d6= a2
.
-TI (1 + cos 6)2 d6
y
2
sa (A)
= 3~ a
x
de
254
Précis d'Analyse
de Descartes x3 + y3 - 3axy
• il
=
O.
est le compact dont la frontière est l'arc: YI
[0, +00[-+[1;1;
2 ,t
x = 1+ (3at
-+
ü+il
t3 . Y = tx )
x
(On notera que, avec y = tx :
xdy-y
:il
Il
(il)
1 Jo+j, r x = "2 3a2
2
dx =
dt)
x2
2.10rc:0 (1 t2+ dt t3)2
dt = ga2
=2
exemple 17
~
de deux façons différentes l'intégrale double: l = •
1)
JI (2x3 -
y)
il :
dxdy
A l'aide du changement de variable
x ~
'224 fa 1T(
4 1= 15a 2)
4
3
Sa bcos 8
b-
ab
a
b
= bu sin 8 aucos
{X y
1= jjD(2a3u3cos38-bUSin8)abUdUd8
1=
2 2 x y 0, y ~ 0, -"-Z + 2' - 1 ~ 0
,
o~
D
1 0 ~8~-
U ~
.
" 2
ab
-32)sin 8
d8
2
3
A l'aide de la formule Green-Riemann:
.
l
4
1= 15a
x4
y2
= Jo+j, r -2 4
.:!':
dx + _2 dy = .lar
b-
ab
3
2
2
dY
= y
P = y~ 2
Q=Z
. 9 .•. a 2 sm-81-asmSJ+2cos
[b2
.)
x4
é!P
!.2 = 2x3 éJx
4
4
8(bcos8
]
d8
Chapitre 7 :
1
255
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
VI - Aire d'un morceau de surface On considère dans ce paragraphe, l'espace E ture affine canonique, 10,
!,
j ,
le
,1
euclidien, orienté, muni de sa struc-
==::;:;3
est un repère orthonormé direct.
A. Définitions d.21
Morceau de surface
1
On considère une nappe paramétrée F : U ~::;:;3 (L' ouyert de ::;:;:2,F application de classe el). A un compact quarrable...1 dans U, on associe la partie :[ de la nappe appelée morceau de surface. d.22
==
F(...1!
du support
Aire du morceau de surface :[ On appelle aire du morceau de surface :[ de représentation paramétrique (...1.F),
l'intégrale double
sI (:[)
==
éJF
Il
--
--II dudv éJF
fi
éJu
éJv
Remarques 1)
On montre que l'intégrale ne dépend pas de la paramétrisation choisie.
2)
On dispose des propriétés habituelles de l'intégrale double .
3)
Il est frequent que les vecteurs
.
élF --A-élu
et dans ce cas
éJF éIu
et
éJF éIv
soient orthogonaux:
élF élu
B. Cas particuliers l, Cas d'une poramétrisation cartésienne
F:U~!R3,
(x,Y)f-'Joo+X!+YJ
+z(x,y)k éJz
En utilisant les notations de Monge, p éJF éJx==i+plc
==
dx
-,-,
éJz
q
==
uy
:;-,
il vient:
éJF EJij==j+qlc
si CL)
==
éJ F A élx
.Jl/l + p2 + q2 dxdy
éI,F Il dy
==
VI + p:2
+ q2
256
Précis d'Analyse
12,
Cas d'une surface de révolution
1
u, 1
n,8
Nous utiliserons
----;-
Cu, k) défini par: ! U (t) = - sin tT + cos t
le repère orthonormé
u(t) = cos tT + sin t j Les surfaces de révolution
Il
j
considérées
sont d'axe (0, k),
Surtace de révolution donnée par une méridienne
F: Ix
(t, e)
[R-c[R3,
0 + r(t)u(e)
f--'>
+ z(t) k
oF
-éJ8
r'u + z'k
=
oF Ces vecteurs
sont orthogonaux
Jllrl J r'2
-'
oF
Eit
oF
Eit /\---;F
donc
=ru
= Ir' Vr'2 +
z"2
+ zl2 dt de
si C:L)=
Dans le cas d'une zone de révolution, surface
de révolution
engen-
drée par une demi-méridienne
fai-
sant un tour complet autour de l'axe, l'aire est donnée par:
sa (:2) = 2
Ti"
1r r ds
Intégrale
curviligne
abscisse
curviligne
d'un point de
(r
ç
r, s r, r distance
le long de de
r a l'axe de révolution,
0),
Cas d'une surface cylindrique,
13,
Ix
F:
[R-c[R3,
(t, z)
f--'>
0 + f(t)T
+ g(t)j
+z
k
oùf
et
9
sont de classe CI sur -l,
z
r:
tf--'>
O+f(t)[
+g(t))
~
est une base droite du cylindre, notons s une abscisse
sa
(2::)
= .. JI ~
\/1'2
+ gl2
curviligne
dtdz
= if r
de
r,
zds
air·,
x/'
y
r
l,
Chapitre
257
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
Exemples - Travaux pratiques
exemple 18
le plan 1
•
xOy le quart de disque Aire suivant de la portion du paraboloide
O. yi se ~ pr.ojette O.~ + if' ~ a2 z.l:=x;;~ nu.
La surface est donnée par une équation cartésienne: calculons: élz élx
p =
y
=
1+ p-9 + q2 = 1+ x 2 + y 2
Ci
a2
Nous utilisons les coordonnées polaires et le compact:
:;il»)
.iJ.è. r l.1~
1+
x2 ~ + y2
; [~' (1 + ::) 7i
a6
D; 0 ~
r~a
dxdy = JJD·~ fI ~1 + ~rdr
de
~[
r=
-6-12v2-1) exemple 19
~
suivant une boucle de lemniscate de Bernouilli : 7ï ~ ~e~ de. ré\.'OIUtiOn 0 ~ r ~~ + pyif'cos 2 e qui se projette orthogoAire de la pmiion du pamboloide = 2pz nalement sur le plan
xOy
-4
4 .
'j'j"
1...
2
•
Paramétrons le paraboloïde en coordonnées cylindriques: dF dr
r~
u+-Ic p
dF ---a:J =
ru'
F: (r. e)
Ho
0 + ru + ;p k
258
•
, Précis d'Analyse
Une demi-méridienne est le cercle
r paramétré par
3
~
[O,2'TT]--+1R. ,O+Ca+Rcos
+Rsin
~ k
o
Une abscisse curviligne est s = R
/)y
x
sflC2:)
2
'IT
)0(2'ITCa + R cos
O
2'TT )0(2'ITCa+Rcos
sfl C2:)
exemple 21
[.Aire de surfaces associées à un hélicoïde droit . •
F1:lR.xlR.--+1R.3,Ct,8)f--c>O+at17+h8k
1)
a F1 -----at =
aF 1
F ai!\ a
1
sfl (2:1)
--as-
au
=
a
F 111
a8
fil
=
. =
..11: 0 ~
t~
1,
° ~8~ z
1
mu
;
+hk
aV a2t2, + h2 y
av/ a2t2 + h2 dt d8
x sfl
2)
(2:1) = : ( av a2
+ h2 + h2 Argsh ~ )
F2:1R. x 1R.--+1R.3, (z, 8) f--c> 0 + a 17 + z
a
F2 ----+ = k az
a
--
F2
a8
k
~'. 0 ~ z ~
..12: 0 ~8~
-- au
éI
/
F2
a
é.lz
c:2) 2
=
IffI
Â2
adz
d8= ah ~
il
~I=a 2
sfl
F')
h8
Il
259
Chapitre 7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral exemple 22
1
•
au cylindre d'équation _.? + lf pm'tinn - ax = de O . la aphère de centce Aire de la fenêtre de Viviani, Utilisons les coordonnées sphériques 7i
i7.
F::::
î'i
..1: --2 ~8~ ",.
8! ~.<::
:::.
,
•
~
j
~_3 •
F
a
-0-..8 = rJ
",. L
;.-
acos
<:: 'rJIf
(8.
eç) H>
0 do rayon
n, intérieare
0 + a cos cp u + a sin y
_f a F . u . -.-'.- = -aslncp
--+
k
----,-
u + acoscp le
A
élF
Z
F
él
. --
=
éiç
a
2~_
co::, y
-
-
(if
(7J y
4a: 4a~ . 2 d- 81';)/8 - cos .1(10
1
~
Cf
d cp
Calcul de volumes
VII ln tégrale tri pIe
Notations: n.9
L'intégrale intégrale
sur un compact triple,
cubable
..1 de Rio, de
f
:..1~ E s'appelle
1
une
.l
on la note f = .J!J~ f(x. y. z) dx dy dz dites muettes)
(x. y. z) sont des variables
n.10
Le volume de
..1 (mesure
de
..1) est
noté
r (..1)= .fil
1
On suppose désormais
il se calcule en choisissantf
==
dxdydz
f continue.
de Fubini
A. Théorème tA il Cas
(..1),
CF
OÙ..1
est un pavé .
.fll f(x.
..1= [a. al]
y. z) dx dy dz =
iil Cas
OÙ..1: (x, y) E D. u(x. u et v : D ~IM continues.
y) ~
x
x
[b. bl]
.faal [.lb!
z ~ v(x.
ffI
fI
y),
[c.c']
(lei f(x.
avec
D
y. z) dZ) dY] dx
compact quarrable
de
1R2,
[!
JJJ j, f(x. y, z) d.x·dy dz = JJ D . uiL'(~.y) x.y) f(x. y. z) dZ] dx dy
iii 1 Cas où ..1: a ~ z ~ b. (x. quarrable de 1R2.
fI
.1.) j, f(x.
y) E D(z),
avec, pour tout z
y. z) dx dy dz = .J.b a
[fI J J D(z) f(x.
E [a, b], D(z)
y. z) dx dY] dz
compact
1
260
Précis d'Analyse
Il
Remarques 1)
Les applications partielles dej en tout point sont continues, ce qui justifie l'existence des intégrales simples ou doubles,
2)
Dans
il,
on peut permuter l'ordre des intégrations, y, z) = 0' (x) [5 (y) '1 (z), on a :
Dans le cas oùj(x,
III 3)
0' (x) [5 (y)'{ (z) clxdydz= [.lai 0' (x) dX] [.lbl [5 (Y)dY] Le cas iil est appelé sommation par piles
[,lei
'1 (Z)dZ]
Le cas iiii est appelé sommation par tranches Z Z
= v(x, y)
Z =
u(x, y)
o
y
cr=v
y
Sommation par piles
Sommation par tranches
.i: :? + J + .;
) dx dy dz où •
Utilisons une sommation par piles avec
l=
ff ~D
2(x2 + y2)j
D: x2 +
a2 _ x2
à l'aide des coordonnées polaires,
-
~ a2 .
J ~ a2, rf
y2 clxdy = 2 .iD 1 r2,./a2
D: 0 ~ r ~ a, 0
~e~
-
r2rdr
2 "', on obtient
l=
de
8",
5
15 a
(moment d'inertie d'une boule par rapport à un de ses diamètres)
exemple 24
1
•
Calculer
-
_ Où
l = liL x2yexyzclxclydz
.i = [0,1]3 .
L'ordre d'intégration n'est pas indifférent:
I=
II [.f
dx = x(eÀ1j
-l)dY]
/,1,
",0
le' - 1 - x) dx = e - >:
•
25
Chapitre 7 :
261
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
exemple 25
1
•
Calculer
où ~: vIX + yIY +
l = .Jjj~z dx dy dz
Utilisons une sommation par tranches avec D(z) :
,fi "'"1.
lx
+ IY
"'"1 - ,fi.
Notons que D(z) se déduit de DiOl par l'homothétie de centre (0,0), de rapport (1 autrement dit On a:
J1Dz
cL'édy = jj~o,l1-
.el ~ iDiOl1 , .'.
=
,1 1 i1Jo'
\/'2)4 cL'édy = il - /2)4
dx =
SI1(D(O»
z
1 \/~}2 A
Iii,
-6
1 D(z)
d'où
l
1 D(O)
y
B. Changement de variables 1. Formule du changement
de variables dans les intégrales triples
Soit U et V deux ouverts de [;'3,
<,s:
~ deux compacts cubables tels que D
U -
c
V une application de classe el, D et
U,
~c
V, CF (D)
=~. On suppose, de plus,
que l'ensemble des points de ~ qui ont plusieurs antécédents dans D est nég[igeable. L'application CF: D ~~, (u, v, w) f-7 (x. y, z) définit un changement de variables; [e jacobien de c, y, z),. il induit une application continue de D dans .. Je, est aussi noté g:x, ,U,V,w' R. Avec ces notations, on a [a formule:
fil
f(x, y, z) dx dy dz =
((fif( x(u,
v, w), yeu, v, w), z(u, v, w») . D(u, D(x, v, y, w) z) Noter [a présence de [a valeur absolue du jacobien de
\2. Applications al
1
1
Coordonnées cvlindriques
(r, e, z) f-7 (x, y, z) = (reas e, rsin e, z)
.. D(x, y, z) Le jacoblen de
f/lf(X,
y, z) dxdydz
=
jfLf(reas
e, rsin e, z) Irl dr de dz
Précis d'Analyse
262
b)
Coordonnées
sphériques
(x, y,
cp: [Fg3--.;-[Fg3, (r, e,
(rcos
z) =
e cos cp,rsin
e cos
x,y,z
2
-r cos sin -rrcossin eecos cos
La formule du changement
de variables
i
j(x,
Coordonnées
s'écrit alors:
Le jacoblen
cos e cos
dcp
ellipsoïdlques
.'
(x, y.
z) =
(au
cos e cos
D(x, y, z) 9 D( u, e ,
de
La formule du changement
de variables
s'écrit alors:
y, z) dx dy dz =
.fl/Dj(aucos d)
1
y, z) el\: dy dz =
.fll j(x,
= r cos
e sin
0
.fl/Dj(r c)
de cpest:
D(r, e, cp)) = \ cos sin e cos
.fI
Il
e cos cp,bu sin e cos cp,cu sin cp)abcu2lcos
Cas d'une application
Le jacobien
affine
de cpest detL(cp),
cp: [Fg3--.;-[Fg3
bijection
cpldu
de
dcp
affine
où L(cp) désigne la partie linéaire de cp, Il est constant.
Application Si D est un compact "If
[cp (D)]
cubable,
cp(D) l'es! aussi, son volume est
(D) Idet L(cp)1
="If
Cas particuliers cphomothétie cpisométrie
de rapport ÀE
[Fg"':
de [Fg3
'F [cp (D)] = IÀ[3 l' (D) [
10
=1'
(DI
pratiques
'/
1
•
Calculé> Utilisons
où"
les coordonnées
ellipsoïdiques
D: 0 ~
l
'/
'J.
x- y- z~+~+9~1. a- b~ c~ :
u ~ 1, 0 ~e~ 2 To,
fff C2 u 2 = JJJD 4 TI abc3
-
;
~
;
. 2
d
15 Le même calcul donne le volume de l'ellipsoïde
r
(..1)
= .J'.1
.. 1 (..1) =
dxdydz
4
To
..1
= JJ(JIJ D abcu2
cos
"!
abc 3
(resp. d'une sphère
(resp.
1
ç du 4
1..1 1 =
"3 'i7
..1/
de
de rayon a) : d
3
a )
-
Chapitre 7 :
263
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
exemple 27
1
•
~
z ~ 0, x + y +~zx ~- 1y - zt ci: x ~ 0, y 1~= 0, Calouler ffL,",y"z'(1
dxdy dz où
(p_ q_"
Utilisons le changement de variables défini par
x
L'image de .1 est
Drx, y, z} = u2v, D(u,v.w)
D = [0, 1J3, le jacobien est
+y +z =
u,
s) E N4 et
y +z=
uv, z = uvw
Remarque
1 On en déduit que le volume du tétraèdre Ll, (p = q = r = s = 0), If (Ll) = "6' ainsi que ses moments d'inertie par rapport aux plans ou axes de coordonnées,
exemple 28
~
~'~;~:~:::nl:P"'iie •
du 'ylind" x'
+ if
-
ax ~
0 intérleureà la ,phé,-ede cent" 0
Utilisons les coordonnées cylindriques, L'image réciproque de .1 est:
D:-2~e~2'
O~r~acose.
••••
OV"
(à) =
.!Jj~rdr
If (Ll) = 2~3
OV"
(Ll)
=
4~3
de dz =
L:
(1-lsin3
( ;
_ ~)
2
L~
[.laCOS8
2ri
a2 - r2 dr]
'1 ~ Iz ~Va"-r"
de
el) de
exemple 29 Volume engendré ,>rrontière orientée
1
i
•
pas
par f) parla rotation rotation
d'une quarrable de !R;2 de autour plaque d'une plane droite .1 D (compact de son plan, D ne traversant
Ll.
Utilisons les coordonnées cylindriques, Le compact cubable B est ici caractérisé par 0 ~e~
Of
(B) =
fjlB
dxdydz
=
12" [.il
2 '" (r, z) E.1, rdrdz]
de= 2 ••
/1 rdrdz
264
Précis d'Analyse
et, en utilisant la formule de Green-Riemann:
"V (B) =10
Il
D
[r2 dz
ttJ
Application
f:
Ici, la plaque Ll est un disque de frontière r = a + R cos (j), z = R sin (j), 0 ~ R < a 'Y (B) 10
[r2 dz
a ---t@zrrR.> 1
fo2"(a + Rcos
10
'Y (B)
~
i
VIII- Masse, centre et moment d'inertie E désigne l'espace affine euclidien orienté Rn, (n = 1,2,3), muni d'un repère orthonormé direct (0, T,
T)
ou (0, T,
T,
k)
A. Définitions d.23
Systèrnematériel On appelle système matériel de E tout couple (S, (T)où S est un compact de E et (Tune application continue de S dans IR+ appelée répartition de ou
d.24
Lorsque la densité d'un système matériel le sytème est dit homogène
1
d.25
Un système matériel
il
si
si
iiii
si si
constante,
(T)est appelé:
S est un compact cubable de
iil iv 1
(S.
(S. (Tlest une fonction
S est un morceau de surface de
S est un compact quarrable
de ~2,
S est un arc continu de classe el par morceaux de
ou de :=23.
(S, (T), estle réel positif M(S) = Jjfs (T(x, y, zl dx dy paramétrique ii 1 La masse de la plaque gauche (1. (T)dont une représentation
d.26 i 1 La masse du solide
est
C.l,
F), est le réel positif
M("2:)
=
lZ':' (T\(F(u, u)\JidU! -.-élF /\
..
1
[1
-.-11 du du élF!i dUI
il
iii 1 La masse de la plaque plane (.~, (T), est le réel positif M(ilj = (T(x, yl iv 1 La masse du fil (f, (T) dont s est une abscisse curviligne, est le réel positif M(f) = [ croissants).
(Tds (intégrale
curviligne
le long de
r orientée
suivant
les s
Chapitre 7 :
265
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
Remarques 1)
[a. bJ -
SoitJ:
E de classe CICa < b) une paramétrisation d'une courbe
L'abscisse curviligne positive est
t
[a. bJ ~~+,
s:
f-'>
=
sCO
it Il.1
r.
(U)ll du
ib
La masse du fillT, (J') est: kIff) = (J' (JCO) Il.1 COll d.t Lorsque le système matériel est homogène, on note encore la masse s'écrit alors, dans chaque cas: 5 solide de volume (5) AI(S) =(J'T (5)
2)
CT
2 plaque gauche d'aire sI (2) j, plaque plane d'aire :il (j,) r fil de longueur e (r)
d.27
(J'
la valeur de la fonction
r
:
= CT,el (2:) M(j,) = CT:;1 0) M(r)= CTt (f) M(2.)
S,ymétrie mécanique Soit H une variété affine de E (point, droite ou plan), la symétrie orthogonale par rapport à H. On dit que H est élément de symétrie mécanique d'un système matériel (S, CT) si: (5) = 5 et (J' 0 = (J'.
Lorsque le système est homogène, la deuxième condition est acquise, on dit que H est élément de symétrie géométrique de S.
Exemples - Travaux pratiques exemple 30
. polaire définie par (J' +.UV!.I =el.Ci11'-1' : OM •• r =la a(1 co..sdu (a..•.. > 0.), le la compact frontière r, et (J' d:équation la densité Calculer ma"e fi] (f. cr, ." j, de plaque quarrable ln,"J, où[deest la "",dio'de
1
•
1)
Cas du fil. Une paramétrisation de Le calcul donne:
fie)
= -asin
Men =
M(r)
=
e
LT~(J' jTi-Ti
r est
ef-'>J(8) = 0 + a(l + cos e)17
17 + a(l + cos e)v, Il.1 (e)\\ = 2acos;
lil
(J(e))
(1 + cos
x
2e
r
y
(e)l\ de
e)2acos -
Noter que la longueur de 2)
[- 11',11'J~~2,
est
de=
2a
-a
32 3
t (r) = jTi-Ti
2acos
2e de=
Sa.
Cas d'une plaque. Nous utiliserons les coordonnées polaires. 6. est associé au compact
M(j,) =
Ilrrj,
CT
D: - 11'~e~11',
rr (x, y) dxdy = JJD
5 11'a2. M(6.) = '3
r
Ci.rdr
°~r ~
a(l
+ cos e)
3(1 +cos
de= j1T -Ti a2
e)3 de
a2 3 11'a2. L'aire de 6. est: :il (6.) = .JTi -Ti 2(1 + cos e)2 de= '2
266
Précis d'Analyse
Il
d'une plaque gauche homogène (2;1U2,2. (T) et du solide (S. (T) de , où 2,2 est la portion de sphère de centre 0 et de rayon a, et 41 la ne de révolution d'axe Oz et de demi-angle au sommet ex,précisés par
•
1)
Cas de la plaque.
k cos ex)
: 0(r,~e) r~ ~ 0a.+ r(u sin ex+ 0 ~e~ 2 TI
2,1 {FI ~l 2,2
TI
aFI
ar
TI.
aFI
~
.
~
fi
TI
cp)~ 20 + a(u cp+ k 2sin 0(e.~e~ 2-cosex~cp~
{ ~2 F2
Il
---a8
(I
M(2,I)
= )) -'1 cr
M(2,I)
= crTI
aF2
aF2
~
~
1\
= rsmex.
1---a8
rsinex dr de.
a2 sin ex.
M(42)
=
2
ŒTI
9
~II
fi
M(2,2)
cp)
=
= a~ coslp
fI
Il-"2
a2 cosq; de dq;
cr
a2(1 - cos ex) y
M(2,IU2,2)
2)
=
+ M(2,2)
M(II)
Cas du solide.
S:
=ŒTI
x2 + .2 y
a2(2 + sin ex-2cos
x-9 +
+ z:-9 ~ a.2
x
ex)
7J9 - z:-9 tan 2 ex~ 0
S est défini en coordonnées sphériques par:
Si : 0 ~ r ~ a,
M(S)
= IJJs (fI 2
M(S) =
ŒTI
3
Œ
0
~e~
TI
2
2- ex~cp~ 2
TI,
TI
eL\"dy dz = .j(ff} Ils cr r2 cos cpdr de d q;
a3
(1 - cos a)
B. Centre d'inertie d'un système matériel Définitions
d.28
:
On appelle centre d'inertie
(ou de gTavité) d'un système matériel
fini
(fLi. AihE;iE;p où Al .... ,Ap sont des points de E et fll.· '. flp des réels strictement positifs, le barycentre du système pondéré correspondant:
1 G= M
p
Lbl
p
fli Ai
où
!VI =
Lbl
fli
Remarque p
Comme la masse M =
L
fli du système n'est pas nulle (j,I > 01. le barycentre existe. i=l Si [e système est homogène (fll= '" =flpl, le centre d'inertie est l'isobarycentre des p points AI-···
_Ap.
Chapitre
267
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral On définit le centre d'inertie d'un sytème matériel les quatre cas habituels de la façon suivante:
.1!r
i / Cas d'un solide IS. (J de masse .1{ISI = 1
/Ir
G = 0 + ~1J~Si où OP : 5 -
E. Ix. y, zi -+ X T + y
ii/ Cas d'une plaque gauche (I,
1 11' .MI~).,..\
G= 0 + ~
où F : j,- E. lU.
v)
-+ F(u,
v)
(
+ z le ,
.\j -
Flu, v) 1OFIu.
j
V)
G = 0 + M~J.) .JI où OP : J.~ E, (x, (J)
y)
>-7
X
1)
-ii dudv
de I.
O.
(x, y)OP(x, y) dx dy
T + y j.
G= 0 + [a, bJ -
F
éICIL'
de masse M(f) > O.
1 où F:
(J
F
éIc'U
est une paramétrisation
iii/ Cas d'une plaque plane (J., (J) de masse M(J.) >
iv / Cas d'un fil ([.
z) dx dy dz
de masse ,\IIII > O.
(J)
(J
(x, y, z) dx dy dz,
lX. y. zlOP(x, y,
(J
j
(J
de masse non nulle dans
'1·-.-.---'.
d.29
ob
Mln.la
(J
(FIt)) OF(t) , F'wll dt de r.
E est une paramétrisation
Remarques Dans chaque cas, le centre d'inertie est défini par ses coordonnées = 0+ 0' T + [3 j + T le Celles-ci S'obtiennent en remplaçant la fonction vectorielle de l'intégrale par la fonction coordonnée correspondante. Pour une plaque plane homogène, on a : (0', [3, T) : G
2)
0'= M~j,) .JI (J x dx dy , [3= TVI~j,) .JI (J y dx dy Le centre d'inertie d'un système matériel homogène est indépendant de la valeur de la densité (J> O.
Propriétés: p.i4 1
p.i5 1
Soit H une variété affine de H et (S, (J) un système matériel (5 cH), alors le centre d'inertie de (S, (J) appartient à H.
inclus dans H
Si une variété affine H est élément de symétrie mécanique d'un système matériel (S, (J), alors le centre d'inertie de (S, (J) appartient à H.
Exemples - Travaux pratiques
268
Précis d'Analyse
1(t)
= aCl - cos
2a sin
111 (t)\1 =
e Cf) =
t)f
+
a sin
tl
y
c:L
r
~ Ll
JofZTI 2asin"2
t dt = Sa
x
o
a'iT
Zao
Notons Gr = 0+ a T + 13 J le centre d'inertie de
r.
2)
La droite Cfl) d'équation x = a Ti est axe de symétrie de axe de symétrie mécanique du fil, donc a= a Ti. On a alors:
r ; comme r
1 f 13= tCf)Jryds=SaJo
4a
Cas de la plaque.
1
fZo aCl-cost)2asin"2dt=3't
est homogène
c:L
est
4a~ Gr=0+aTiT+3J el (;}.)= 3 Ti a2
14:
L'aire de ;}. a été calculée dans l'exemple
Notons G-" = 0+ 'Y T + 0 J le centre d'inertie de la plaque. Comme SJ est aussi élément de symétrie mécanique de la plaque, G est situé sur Q, "1= a Ti. On a donc: .
1
ff y dxdy $ (;}.) Jl-"
0=
1
0= --Z 3Tia
exemple
= s1
!oZO?'te (1 - cos .0
10)
f J8-""
tr a(1
-2l
(d'après la formule de Green-Riemann)
dx,
- cos t) dt =
El 5a '
G-" = 0
+ a Ti _i + Er 5a-J
33
iner le centre d'inertie d'une zone sphérique homogène 2; et du solide ,limité par cette zone et les deux plans parallèles la définissant . •
1)
Cas de la zone. ;}'~1R3, (e,
$ C2;)=
i
0 +
cp) ~
a(u
cos ç +
k sin ç)
II
-2
{F;}. :: o ~e~ 2 Ti,
TI
2
~CP1 ~CP~CP2~
,-,z
aZ cos
'P
de d'P
$= 2 Ti aZ(sin 'PZ - sin 'Pl) = 2"
-- --
a(z2 - Zl) /
Pour des raisons de symétrie, le centre d'inertie ~ de 2; est situé sur l'axe Oz: On a:
~
~-;Z2
= 0+ 'Y le
/ 1
'Y = 'Y
=
13
$ C2;)J ff J t. a Z cos
'P .
. a sm
'P de d cp
\
Tia . Z . Z 1 .s:1 (2;) Csm 'Pz - sm 'Pl) = 2(Zl + Z2)
1
k: x 1---<----\~~
0 ~
-
---+
G(2.) = 0 + 2(Zl + zz) le
2)
Cas du solide S.
xZ + yZ + ~ ~ aZ,
V (S) = JJJs (f f dx dy dz =Ti JZ1 fZ2 (aZ
î,
(S)="a(zz-zlJ-3 2
."
-
Zl ~ z ~ Z2
i) dz
(sommation par tranches)
(322-z1 3) =3{Z2-Z1 ".
y
----------
--.Zl
-3a--V~ï+Z1Z2+Z2/_ 9 i.)
')')-
Il
Chapitre 7 :
Fonctions
de plusieurs
Pour des raisons de symétrie,
Cs=O+'1
1 -k.
variables
réelles
le centre de gravité Cs de S est situé sur l'axe Oz :
,1 'l'(SI./.J.Jszd.x:dydz= lr l ';'=
Ona
269
Calcul intégral
!
TI rz z(a 2 -z-)dz 9 y(S)'/Zl
229
2a - Zl - z2 3a 2 - zl2 - zlz2 -
3
I=4(Zl+Z2)
2
z2
C. Moments d'inertie Définition:
d .30
Soit H une variété affine de E (point, droite, plan). On définit le moment d'inertie d'un système matériel par rapport à H dans chacun des cas suivants: i! Cas d'un solide P=0
(S, cr)
j
+ xT + y
+
= .I.IA
IH
z k,
(J (P)(PCp;
H) dx dydz
H) distance de P à H.
d(P'
ü! Cas d'une plaque gauche (1. cr) "
IH =
où F :..1-
l', ,
.J::. If cr
E, (u, v) f-?
(F(U,
P = F(u.
v)
t\ -.advF -II dudv est une paramétrisation de 2:.
/'9 v»)d-(P,H!
üi! Cas d'une plaque plane (..1.cr)
IH
=
'l"
[dU ,,-.
a F
/L cr (P)d2(P' H) dxdy
P=O+xT+yJ
iv / Cas d'un fil (r, cr)
IH =
if
cr (P)d2(P'
H) ds
P point générique de r.
Remarques •
Dans chaque cas, le moment d'inertie repère, de l'orientation
•
de
par rapport à H est un réel positif indépendant
du
E.
Pour la plaque gauche ou pour le fil,
IH ne
dépend pas de la paramétrisation
choisie.
Théorèmes: t.5
Soit H et HI deux variétés affines perpendiculaires ; les moments d'inertie d'un système matéliel par rapport à H, HI et Hu HI vélifient : IH + IHI
1
= IHnHI
Conséquences Q
•
Soit
•
Soit P, p,
On a
On a •
une droite,
P et pl
deux plans perpendiculaires
Q.
Ip + Ipt = IJ:.
pl
trois plans deux
Ip + Ipt + Ipll
à
Ig + Igi +Igli
deux perpendiculaires,
0 leur point commun.
= la.
Soit Cfl, Cfll, Cflll trois droites deux On a
contenant
= 2Io.
à
deux orthogonales,
concourantes
au point O.
270
Précis d'Analyse
Il
1.6
Soit (S, u) un système matériel, G son centre d'inertie, H une variété affine de E et HG la variété affine parallèle passant par G. On a alors IH = IHG + Md2 M masse de s, d distance de H et HG. Cas particuliers 1)
Plaque qauche de révolution homoqène Soit une courbe plane, compacte,
r
de classe
el par morceaux, orientée par une
abscisse curviligne s. plan
est une droite du
'2l
r, ne traversant pas r. 2: est la surface
r
engendrée par la rotation de autour de 9:. L'aire, le centre d'inertie, le moment d'inertie de la plaque gauche homogène 2: (de densité 1) sont donnés par:
sI (2:) = 2
r
TI .ir
r ds
.
G= 0 +
~. (, rz ( cJ.~).r 2TI ~ •.
où r = d(P' D), distance du point générique P de 2)
ds )_ le
r
.
1.è" = 2 TI .ir r3 ds
r à l'axe de révolution '1= (O. le),
Solide de révolution homoqène
r est une courbe plane, fermée de classe el
h
par morceaux, frontière d'un compact quarrable ~. 9: est une droite du plan ~, ne tra-
1
versant pas ~. S est l'ensemble engendré par la rotation de ~ autour de 9:. Le volume, le centre d'inertie, le moment
G
d'inertie du solide homogène S (de densité
k
1) sont donnés par:
v (S)
r
=TI .ir r2
iP o
o
dz
.
G= 0 +
(
r r- z dz ..)-
-, TIIS.I ~.'
~.~
1.è"
le
= -TI 2
l
..r r
-1
dz
Exemples - Travaux pratiques exemple 34 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1
•
:::::::'~:::
:::::":
à
~n: ~i=:'un: ::que
Soit 9: une droite passant par 0, centre de ~: 9:= 0+ ~
II. où II =
vecteur unitaire. La distance d'un point P à la droite 9: est Avec
P=O+xT+yj
E~,ona
elliptique homogène
dlP''1) =
Ci
T + (3 j + OP /. II
d2(p,9:!=CCiy-(3x.12+1.'?+lfl,,:,2
1
1 le est un
Chapitre 7 :
271
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
Utilisons les coordonnées elliptiques:
l']
!~
=
Œd-U'.;[)dxdy 9.
~
'j'il , ,.J..l!Œl(abSmS-13acosSJ-+la-cos avec :..'>/: 0 ~ u ~ 1.
0 ~S~ 2
Le calcul donne
--4- lbŒ<7
I-;;
=
,) . ,)
2 l::I+b-sm-S)-y '), ')
abu 3 dudS
2]
<7
ab :?
9
,)
+a-
cC
,) 13-
,9
0.
9'
+1a- + b-) -y-_
,c'J.
= TI ab,
(:..'»
M(~)
= ŒTi" ab
Le théorème de Huygens donne alors le moment d'inertie de:..'>par rapport à une droite ne passant pas par 0, Il est facile, à partir de l'], de trouver les moments d'inertie de :..'> par rapport aux axes de coordonnées ou au centre de :..'>, Ecrivons-les en fonction de la masse IvI = Œ'IT ab: a2
b2
Iox = M
4 '
IOy = M
a2 + b2
4'
a2 + b2
Ioz = M--4-
Io =
111--4-
exemple 35
1
•
raboloïde de révolution comprise entre son sommet et un plan perpendiculaire à son axe d';nertie, dont la distance au d'rne,-tie sommet est (p étant à le"TI paramètre despartie méridiennes) Cen"" moment pac~rapport axe de la d'un pa,. Il s'agit de la plaque gauche homogène de support
? I:
x-
?
l:
A
P
+ !F = 2pz,
Z,
0 ~ z ~ '2 paramétrée par ?
r--
3
F : :..'>~:R' ,(r, S) è-7 0 + r Li + 2p le avec:..'>: 0 ~S~ 2 TI, 0 ~ r ~ p
y
"\1,r-
r--2
.JI
,.
2~
r~ 1 + p2 dr dS , :;1. (I) = -ip2(2V2 Le centre d'inertie de est sur l'axe de révolution:
si (I) =
l
G=O+cle
c=
si(2:)
1
-
1)
1+2'drdS P il' zr FG2
avec
"..l
, 2 TI p3(v2 + 1) ,. 5 + 3v2 _ On obtient c = 15 si (I) d ou G = + 35 pk Le moment d'inertie de Œ par rapport à l'axe de révolution est:
0
.
IOz=
rI
JJ..l
3 Œr
r
f~G 1+2'dr p
dS=2pcM(I)=
4
TI
P
Œ
4
(v 2 + 1)
15
;;:;
272
Précis d'Analyse
Il
Exercices proposés AVEC INDICATIONS DE SOLUTIONS
On considère la forme différentielle w sur [R2 w = (y3 - 6xlf') Soit l = [A, B], segment de [R2,A = (1,2), B = (3,4) et
JI[' w et
Calculer les intégrales curvilignes Indication: west exacte
[' w= J[A,B]
Jf['
w=
eL\:+ (3xlf'
- 6x2y)
dy
r un des demi-cercles de diamètre [A, Bl
[' w. Jf
-236
Ex. 7.2 On considère la forme différentielle w sur U = [R2\ {O, O} : -y
w= ~ x +y
+ (xcosx + y sin X)dy]
[(x sinx - ycosx)dx
r
et la courbe orientée formée des demi-cercles de centre 0, de rayons a et b (0 < a < b) et des segments [A, B] et [AI,
ty
Hl I(a, b) = 1r w
Calculer l'intégrale curviligne Calculer lim I(a, b) a-+O
b_+=
En déduire l'intégrale
--
sint .1·+00 0
t
dt.
Indication: west exacte sur U.
y =
~ YI
Calculer l = J({J!l sin 'ITX 2y dx dy où Ll : 1 "'" x "'" 4, yIX "'" y "'" inf(x, 2)
l=
Indication: Ll = Lll uLl2,
:3
?
x
Y
_
2L--------------- / ,
( ; + 1)
=x
":'Q
:.11
l
-
x "4
a Calculer
l = .Il vi a2
- x2 -
y2 dx dy :ù ..:.est le disque fermé de centre ( ~. 0 )
a
Indication: Coordonnées polaires,
l=
9(3"
-4)
Ex. 7.5 Calculer
?
.
l = JI ( 1 -
ou
::
- ~:)
dx dy
Indication: Coordonnées elliptiques, l =
'IT
2 ab.
x-
..:.:
')
y-
:2 "'"1 a +:2 b
et de rayon "2'
Chapitre 7 :
Fonctions
de plusieurs
variables
réelles
273
Calcul intégral
Ex. 7. 6
1~ 9
9
•
l Coordonnées =. J. (x- + y-polaires, ) el..: dy
Calculer Indication:
,)
-T -x- 2
1= OU(' . 3~
9
ya4. ~ 2ax..
+)
.2
9 'C"
+ y ~ 2ay
Ex. 7. 7 Calculer
1=
x([
hfJ.
..
Indication:
+ y- ) el..: dy
?
où
~:
x
9
Pour des raisons de symétrie,
+ Y'
i
4
+:c - y- ~
l = O.
on trouve
.)
1
9
EX.7.8
l = j f·.
Calculer
..
Indication:
dxdy
(1 + x2
J.
l=4
.
fIl
.? + y2 )
où ~:
,
= ; (V2 -
[xl
~
.'C"9
+ y-9 ~
1
1)
Ex. 7.9 Déterminer
le centre d'inertie de la plaque plane homogène
~: (K'9 + y-)92.2+
y
de support
:
°
- x~9 ~ O,x ~
Indication
: ~ est limitée par une lemniscate
r = V~cos
TIV2~ i 2 e, G= 0 + -8-
de Bernouilli
x
:
Ex. 7. 10
Calculer Indication:
l) dxdy
1=.l1 (3x2
+
5 TI
9)3
l= 6
où
~: ~
+
t} ~ 1,
(x - 1)2 +
t} ~
1,
y ~ O.
- -8-'
Ex. 7.11 Trouver
l = JJ[O,l]2 rr xyexy dx dy.
une série dont la somme est
l et J = fol
En déduire la valeur des intégrales
l=
Indication:
1
+cv 2...:: n=O
+cv 2
=
(n + 2) n!
tfn t· et
dt.
1
e - 1 - 2...:: --, p=1 P . p.
, 1=
/1 ( eX + 1~
Jo
dx, eX)
Ex. 7. 12
Calculer
à
1=
JI
exp
l'aide du changement
Indication:
l = ~ (e2P
(x3 .:y3) de variable
_
1) 2
dxdy
x
où
~:
t} - 2px ~
= u2v, y = uv2.
0,
x2 -
2py ~
0,
J =-1
274
Précis d'Analyse
(x + y) dxdy dz
1l: x;?o 0, y;?o 0, Z
où
il ~ 1, ° ~ z ~
0, x'2 +
;?o
X2
Il
+ y2
2
l
Indication:
= "5'
fil. JJJ:;
CalculerI= Indication:
(y+z )(ix+y+z
Changement
)dxdydz
de variables
1l:x;?oO,y;?oO,z;?oO,x+y+z~1.
où
u = x + y + z,
linéaire:
v
1
1= 3' 4
w = z
= y + z,
Ex. 7. 15
l=
Calculer Indication:
.IiI cos(a
1l: ~YZ+
x+ 13y+ '/ z) dx dy dz où
il + ~
~ 1.
r = ..j a2 + 132+ ,/2, changement de variables lié à un change1 4TI tel que Z = -(a x+ 13y+ '/ z) , 1= -3 (sin r - r cos r)
Pour (a, 13,'/) *- (0,0,0),
ment de base orthonormée
r
r
Ex. 7. 16 Trouver
1l: 3x2
le volume de
+ 31
- 2xy + 2xz + 2yz ~ 1.
+ 4~
_ Indication:
Le volume de l'ellipsoïde
4TI
y2
Z2
abc+ 2
+
2
~
4TI.
detA -3 abc= 3.JdciA' Déterminer
X2
réduite q(OM) = 2
d'équation
1 est J2
Ti
ou
A est
la matrice de la forme quadratique
le centre d'inertie de la piaque gauche homogène
2::
x2
G =
0
+
définie par:
1
+ il + ~ = 1,
sphériques,
q. D'où If (1l) = ~'3v3
x;?o 0,
Indication:
Coordonnées
Déterminer
l'aire de la portion de sphère (de centre
y;?o 0,
2 TI (i .,13) ~
"3 -
(2
0 et de
+
z;?o
j )+
~
2 "4
le
3~
rayon a) délimitée
par le pian yOz et le
a8 cylindre droit de directrice
Indication:
Coordonnées
la spirale d'Archimède,
sphériques,
A =
r
= ----:;;:-'
° ~8~Ti,
du plan xOy,
2 TI a2 (1 - :),
Ex. 7. 19 Volume et centre d'inertie
du solide homogène
défini par
0< Zl ~ Z "" Z2
2
Indication:
V
=
-4a4 ( Zl1 - Z21) TI
G = 0 + ~
4
zl + z2 Zl Z2
;
z(x2 +
T + Zlzl- z2Z2 {Tl Z2 Zl
il) ~ a2x
Chapitre VIII
Séries entières On rappelle que [e symbole IK désigne IRou
1
iC.
1- Définition - Rayon de convergence Définition :
d.1
Une série entière d'une variable complexe (resp. d'une variable réelle) est une sélie de fonctions ;: Un pour laquelle il existe une suite complexe (an) telle que chaque Un (n E "e)soit définie par Un: C~C. Z anzn (resp. Un : ~~c. x anxn). Une telle sélie sera notée L anzn . f--»
f--»
Remarque Dans [e cas d'une variable réelle, si [a suite (an)' réelle d'une variable réelle.
est réelle, on obtient une série entière
Exemples •
;: zn : V n
•
L ZZn+l : V nE
E "\.
an = 1 a2n =
O.
a2n+l =
1
1
zn
· L n(n - .: n'?<2
1)
ao = O. V
n E '\j\
{O. 1}.
an = -(n n-
A. Opérations sur les séries entières •
La somme de deux séries entières L anZn et L bnzn est la série entière associée à la suite (an + bnh~:
•
ciée à [a suite •
L anzn + L bnzn = L(an + bn)zn
Le produit d'une série entière L anzn par un scalaire (À.
anh:
À.
À.E
iC
est la série entière asso-
L anzn = L(À. an)zn
Le produit de deux séries entières L anZn et L bnzn est [a série entière associée à n la suite (cnh, avec V n EN. en =
L
akbn-k
:
k~O
(L anzn) (Lbnzn)
==
L (~akbn"-
,,)
276
Précis d'Analyse Il •
L'ensemble des séries entières d'une variable complexe (resp. réelle) est, pour ces trois lois, une iC-algèbre commutative.
•
Le sous-ensemble formé des séries entières réelles d'une variable réelle, est une IRalgèbre commutative.
B. Rayon de convergence
d.2
Soit
L anzn
L'ensemble nantO.
une série entière d'une variable
complexe ou réelle.
J = {r E IR+/ Lian
est un intervalle
rn converge}
1
de IR+conte-
--
La _lJor_ne_~l,lp_ériEèu_re de J, dans an zn . On le note p= sup J
IR",
L
est appelée le rayon de convergence
de
J est non vide car 0 E J.
~
Si r est dans
J,
on a [O.r]
c J, donc J est bien un intervalle de IR+contenant O.
Remarques L'intervalleJ peut être de la forme: •
J = {O}
et dans ce cas le rayon de convergence est p= O.
Exemple:
L nnzn
.
. 2 Pour tout r> 0, avec Vn = nnrn, on a Vn > 2n des que n> -r donc lim •
J = [0, +00[,
et dans ce cas le rayon de convergence est infini,on écrit p= +'X. Z
Exemple:
L Vn est a fortioridivergente.
Vn = +00 et
n---;.-+oo
n
L n! rn
•
Pour tout r> 0, avec
Vn
J = [0, p [, pE IR~.
Exemple:
La série géométrique
lim
= "n. on a
l'
rn.
n-+x
Vn+l
--
Un
= 0, donc
L Vn converge.
L zn.
r E ;2+, converge si et seulement si r < l, donc J = [0, 1[.
Ici p= 1.
•
Exemple:
n
L :2' n Z
J = [0, pl, pE IR: .
n"'l
n
Pour tout r> l, avec Vn = n r 2' on a n-+:..::: hm Vn = +'X, donc Pour tout r E [0,1], on a Vn ~ d.3
n-
Soit l'anzn rayon p.
une série entière
L'ensemble
Dp
est appelé ~
1 ---c;,
= {zEiC
/[z[
donc
L Vn converge.- Donc, J = [0.1].
d'une variable
Dp
complexe
< p} (resp. Dp = {ZEF: (z
disque ouvert (resp. intervalle
On notera que
L Vn diverge.
est vide lorsque p= O.
Ici p= 1.
(resp. réelle)
< p} =]- p.p [)
ouvert) de convergence.
de
277
Chapitre 8 : Séries entières Théorèmes: Soit L anZn une série entière d'une variable complexe ou réel[e de rayon p,
t.i
La série L anZn est absolument
convergente
pour tout z E Dp.
.~
1
t.2
Lemme d'Abel est majorée, alors, quel que soit r E [0, ro[,
Soit ro > 0, si la suite ( an r[))nE la série Lan: rn est convergente.
1
S'il existe A >
° tel que V n
E r~,[anl
r[) ~ A,
alors
V r E [0, ro[, V nE N.lanl
et la convergence de [a série Lian
1
rn ~ A (~)
n
rn (à termes réels positifs) résulte de ce[le de [a
r
série géométrique de raison - < 1.
o
ro
t.3
Pour tout z E C, (resp. z E IR), tel que [zl > p, la suite (anZn)nEN est non bornée, donc la série L anZn est grossièrement divergente.
1
Soit z E K tel quez
lBi'f'
> p et ri E ~+ tel que p< ri < izl.
Par définitionde p, la série Lan.
r n est divergente.
Supposons que la suite ( anZn )nE 1
soit majorée alors, d'après le lemme d'Abel, [a
série L [an i r n serait convergente ce qui est exclu. La conclusion en résulte.
o
C. Calcul du rayon de convergence Théorème: Soit L anZn une série entière d'une variable complexe - ou réelle -, son rayon de convergence p est défini par :
t.4
i/p=sup{lzl,zEC,~:an[[z[n ii/ p= sup{lz[ ,z E CL
converge}'converge}
anzn
iii/ p= sup{[zl. z E C, (anZn)nE iv/p=sup{lz[,zEC, lBi'f'
lim
n-......;..+c'C
est bornée}
anzn=O}
i/ par définitionde p ii/ iii/ et
Iv /
pour Izi < p, L anzn converge donc n---'-+:::x: lim anZn = 0 et (anZn)nEN est bornée. pour [z[ > p, (anZn)nE diverge.
est non bornée donc cette suite ne tend pas vers 0 et L anzn
o
Remarques •
Dans les cas simples, on pourra utiliser [e critère de d'Alembert pour étudier L rani rn
278
Précis d'Analyse
•
Le rayon de convergence d'une série entière
L anzn,
Il
dont tous les coefficients ak sont
nuls à partir d'un certain rang p, est +X. Dans ce cas, la suite des sommes partielles p
est constante à partir du rang p :
\;f
n
? p,
Sn(Z) =
L
akzk ,
k=O
on dit qu'il s'agit d'une série entière polynôme.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 Déterminer
le rayon de convergence
-n-1)
an-
_ (n
de la série ~ anzn dans les cas suivants:
(n ? 1) n2
(n? 1) n7ï 7
an =tan-
(n ? 0)
sIn n
On pose Un = anzn
1)
(n? 1).
n
an =
, Vn = !Un!
fnvn=nfnlzl+n
2
tn
(
1-/1
où
Z
E ex.
1). =n(tn!z!-l)-Z+o(l)
1
Ainsi, Un tend vers 0 si et seulement si !zl < e donc p= e. 2)
Vn+l Vn
3)
Quand
(n + 1) Izi <=="~~~~~, 4v(2n + 1)(2n + 2)
n décrit 1\1,
1
7
l'lm n_ü:
Vn+l -_ -,izi donc p-_ 8 . -Vn 8
tan n •• ! prend quatre valeurs distinctes:
Donc\;fnEI\I,0~lunl~lzlntan3:
,
D'autre part, pour Izl = 1, ! Uïn+l[
et
= tan -:1
lim
OnaO~vn~ Pour
IZ]
1
Iznj n
> 1 , on a
donc
l'lm
n---'-+x;
Izl<1
--Izln n = +x
T' 7' 2 •• ••
tan
ne tend pas vers 0 quand
donne
lim
part, on salt'l" que a sUite
Ainsi, p= sup {Iz! ,z E e, n~IJ:1" anzn = O} = 1.
(
.'
vers +x,
Vn = O.
SIn ni z converge pas vers 0, il en est donc de même pour
n tend
, Z E:::, n~:rp:.:an zn = O} = 1.
n-+x
d' et,autre
7'
tan 3 •.
un=OpourtoutzEetelque!z!<1.
n-...:...:>:
donc Un ne tend pas vers 0, En conclusion, p= sup {z 4)
0,tan
l[
,
~ ,
1
ni)
nE'. *
n
f--'>
sm
n
ne
Chapitre 8 :
Séries
279
entières
/
~ 1
i !
!
•
exe~2~ue la série entière)"' sup~e n
"1 l, antrer
que
Posons
R=
P
Pour tout z T
'""' anZ L ----n!
2'
E:=:.
T
=z,
on a
p> O.
'nfi m..
a un rayon
l
lim an Rn = n-+x
on a
avec
anzn a un rayon ~
ŒnZ
O.
n
----n!
n
Or, Rn n. est d'après [a règle de d'Alembert, [e terme général d'une série convergente, n n T anZ donc lim = 0 et. finalement liT. --,-n. = O. n-+x R n! 1
-n-
n-.x
Le rayon de convergence
de
an L -,zn est +x. n.
D. Opérations et rayon de convergence Théorèmes: t.5
Soit réelle
L an.z:
et )"' bnzn ~ux séries entières d'u.ne variable - de rayon de convergence respectifs Pl e,t P2'; ~Q.f.S :
i / Le rayon • • Donc, ii / Pour
de convergence
P de la série
lorsque
Pl"'P2 : P= inf(PI. P2)
lorsque
Pl =P2 : P~PI
dans tout
iii / Le rayon
somme
)(an
complexe
- ou
+ bn)zn vérifie:
tous les cas, P~ inf(PI· P2). Îl.E }(\
{O}.
L anzn
de convergence
et
L
ÎI.
anzn ont le même
pl de la série produit
rayon
de convergence. n
L CnZn. Cn = L, a)(bn_)( )(=0
vérifie
pl ~ inf(PI. P2).
i / Pour z E Th, tel que Izl < inf(PI. P2). L(an + bn)zn est absolument convergente somme de deux séries absolument convergentes. Donc P~ inf(pI, P2)·
((i5'
comme
Si Pl < P2, pour z E lK,tel que Pl < [zl < P2, L(an + bn)zn est divergente comme somme d'une série convergente et d'une série divergente. Donc, ici. P= inf(PI. P2). ii/ La mu[tiplication par un scalaire non nul ne modifie pas [a nature d'une série numérique. iii/ Même raisonnement convergentes
qu'en i / en utilisant que le produit de deux séries absolument
est absolument
convergente.
(cf. Chapitre IV, théorème 21)
D
Remarques 1)
Dans le cas où Pl =P2, le rayon P de la série somme peut être tel que P> Pl.
Considérer, par exemple, L ( ~ + 1) zn et L ( ~! - 1) zn dont le rayon de convergence est égal à 1, la série somme a un rayon de convergence infini.
280
Précis d'Analyse Il 2)
Un cas particulier: Si Pl =P2 et si les suites (an)r~ et (bn),c sont telles que série somme a pour rayon P=PI=P2. Dans cette situation, nous dirons que les séries
L anzn
\;f
et
nE N, anbn = 0, alors la
L bnzn
dont disjointes: si
an est non nul, bn est nul et réciproquement.
Pour r > Pl, la suite
(1
an rn) est non majorée. 1
Or, dans ce cas, lan + bnl = lanl + Ibnl, donc (Ian + bnl rn) est non majorée, et on en déduit P ~ Pl.
5 i 1.
On conclut avec le théorème
Soit L an zn et L bnzn deux séries entières d'une variable réelle - de rayons de convergence respectifs Pl et P2. Alors:
t.6
i / Quel que soit
pour tout z
(À, /-l) E ['(",
tel que lzl < inf(PI. P2), on a : +x +x
E}<:'
+x L::(À an+
/-l
n=O
ii / Pour tout z
E
[~tel que
!Zi
complexe - ou
bn)zn =À L:: anZn+ n=O
/-l
L:: bnzn n=O
< inf(PI, P2), on a:
~ (f
n=O k=Oakbn-k)
zn = (~anzn) n=O
(~bnZn') n=O
EX~rBPles - Travaux pratiques
1·lm
, . -en t"18re t e Ile que n~~'X: l' U2n ne sene a2n+l: = 1
1
1
n-+-:..::
a2n+l: - 2. --, a2n+2
De
l,lm
1
1
l
n-++co a2n+3 a9n' 1
on déduit que les deux séries P=
--!- ~
= l'lm
--
n-++co a2n+2 U2n
1
de convergence. = 2,
L a2n~n
et
L a2n+2~n+1
ont le même rayon de convergence
v2.
L anzn
étant somme de ces deux séries disjointes, son rayon de convergence est encore P= J2.
exemple 4 1
•
du théorème
5
Le produit des deux séries entières
1-
Avec les notations
On a
PI= +x
. P2= 1 .
p/=
+X.
Hi/,
trouver un exemple où
pl>
inf(PI. P2)'
z, (série entière polynôme), et '> zn est 1.
Chapitre 8:
Séries
281
entières
II - Convergence uniforme Continuité de la somme A. Etude dans le disque ouvert de convergence Théorèmes: t.7
Une série entière
d'une variable
ment - donc uniformément dans le disque ouvert
1
DR = {z E K /zi
- ou réelle - ~ anzn est normale-
complexe
- convergente
de convergence
"'" R}. Pour tout n
sur tout disque compact DR inclus
Dp :
° "'"R
s1p lanznl = ianl Rn.
E
zEDR
La convergente normale de L anzn sur DR résulte de la convergence de la série numérique L Jan]Rn.
r
:"'_i.:>r,
t.8
f
La somme
d'une série entière
le disque ouvert
1
Soit
lB1f
ZO E Dp,
o
il existe R
La restrictionfR de
de rayon
p>
° est
une fonction
continue
sur
de convergence. tel que izol < R < p.
E
f à DR est continue sur DR, car, d'après le théorème 7, il s'agit de la
somme d'une série, uniformément convergente sur DR, de fonctions continues sur DR (fonctions polynômes). DR étant un voisinage de
ZO
dans
la continuité de fR en
ZO
donne celle de f en zo'O
Remarque Une série entière de rayon de convergence p n'est en général pas uniformément convergente sur le disque Dp.
L xn. On a ici Dp =] - 1, 1[. 4), que si une série de fonctions L Un converge
Soit, par exemple, la série entière d'une variable réelle
On sait, (voir Chapitre V, théorème uniformément sur une partie A, alors le terme général tend uniformément vers
hm n---'-+x
Ii Un
° sur A
:
x = o.
Dans l'exemple proposé, Un: X f-7 xn, on a Ilunll;:;-l.l[ = 1, la convergence n'est donc pas uniforme sur] - 1, 1[.
B. Etude sur le bord du disque de convergence Nous nous limiterons ici aux séries entières réelles d'une variable réelle.
Théoremes: ~.,.
t.9
1
Soit L anxn une série entière
réelle d'une variable
Si Lan pn Cresp. L anC- p)n) converge, gente sur [0, p] Cresp. sur [0, - pl lB1f i / En posant
réelle
de rayon pE IR:.
la série est uniformément
conver-
bn = an pn, on se ramène au cas d'une série entière L bnxn dont le rayon
de convergence est 1.
282
Précis d'Analyse
Il
+cc
L
La série L bn est convergente, notons rn = Sn= sup i~n
Inl
bk son reste d'ordre k=n ; la suite (snhJ est décroissante de limite nulle.
n et introduisons
n+p Majorons d'Abel:
Sn,p(x) =
L
bkxk , pour tout x k=n avec bk = rk - rial, on obtient: n+p
Sn.p(X) =
L
k=n
[0,1], au moyen d'une transformation
n+p+1
THP
L
(rk - rial) xk =
E
L
rk'\)c -
k=n
rkxk-1
k=n+1
n+p
L
Sn,p(X) _ - '""' ne ()e x - x k-1) + rnX,n-1 - rn+p+1Xn+p k=n n+p 1
Sn,p x (
)1
~ Sn
L x k-1 k=n
'""'(
ISn,p(x)1 ~ 2 Sn xn-1
- x k) + Sn X n-1 + Sn X n~p '
~ 2 Sn
I~
En faisant tendre p vers +:X, on en déduit Donc
IIRnllx~
~ 2 Sn
,
hm
n----,...+x
/Rn(X)1 = k=n bkxkl
~ 2 Sn
= 0 et la convergence de ;: bnxn est
IIRnllx~
uniforme sur [O. 1], il / Dans le cas où
L an( -
p)n converge, on se ramène au cas précédent en considérant
la série entière LC-l)nanxn.
D
Remarques Dans la pratique, on peut souvent mettre en évidence la convergence uniforme sur [0, p] (quand Lan
pn converge) par des méthodes directes élémentaires. Ce sera le cas
lorsque: 1)
Lian
1pn est convergente: )' anxn est alors normalement convergente sur [O. p].
2)
Lan
pn est alternée, convergente d'après le critère spécial des séries alternées.
Pour tout x E [0, pl. L anxn vérifie alors ce critère, donc:
+x
[O,p].
V XE
et la conclusion résulte de ./
t.10
Soit L anxn une Lan
lim n---i-+'x
série entière
pn (resp, )' an(-
~
'""'
1
k
1
~
lanlxn
~ [an pn
1
an pn= O. réelle d'une variable
réelle
de rayon
p> O. Si
p)n) converge, la somme de cette série est continue
p Cresp. en - pl,
1
L akx k=n
C'est un corollaire du théorème 9
en
Chapitre
283
8 : Séries entières
Exemples - Travaux pratiques
exemple
5
Etudier la continuité des fonctions définies par:
1)
f
:R-R.
2)
9
:R-R.
3)
•
h' p~" .~'"
,
·ü"\S..
)(1---3>
/
n .
+:'.:::
L ----x sm!n cd n=l n
'.
V
ŒEiR\7TZ.
1)
=
]x],
le rayon de convergence est donc p= 1.
1
1
L n1
1
La série
L2 ,xn
est normalement convergente sur [-1, 1J etf
--:2 étant convergente. n~l n n~l est continue sur [-1. 1]. 2)
, le rayon de convergence est donc p= 1.
La série
L (_l)n+l n
est convergente. d'après le critère spécial des séries alternées.
L
(_l)n+l
xn est uniformément convergente sur n n~l [0, 1J et 9 est continue sur [O. 1]. En -1, la série diverge. D'après la remarque 2 ) précédente.
Finalement, 9 est continue sur 3)
• •
xn
sin(n
J -
1, 1].
a)
Wn = --n-
Pour Ixl < 1, la série
, . > 1, on a Pour Ixl
L+
n~l
l'lm
n---'-+x
!x,n
. (' ()) --]xr n = +X, or, la sUite SIn n a
(car aE iR\7TZ) , donc (Wn)nE
. .. Par ailleurs, les senes
converge, il en est de même de
'" ~
L
n~l .
nE
ne tend pas vers O. En conclusion
sin(n n
a)
et
'" (_l)n ~
sin(n n
Iwn],
xn
sin(n
9 que L ----n
Ainsi, 9 est continue sur [-1,
1].
a)
Iwnl ~
ne ten d pas vers
11 IXln)
°
p= 1.
a) = '" ~
sont convergentes, d'après la règle d'Abel (voir Chapitre IV, exemple Il résulte donc du théroème
(
sin n(a n
+
7T)
14)
. est uniformement convergente sur [ -1,
Il
284
Précis d'Analyse
Il
III - Séries entières d'une variable réelle Intégration - Dérivation A. Intégration
t.11
Soit
L anxn une
Pour tout
x
série entière
° < [xl
réel tel que
r (~
n=O antn) -
Jo
~
d'une variable
réelle de rayon P> O.
< p, on a :
dt xn+~ ~ = ~ n=oJo(" antn dt = ~ n=O an ,,~+.
C'est une conséquence immédiate de la convergence normale, donc uniforme de la série proposée sur [0, x] (cf. théorème 7).
t.12
Si
L anxn
est une série entière
d'une variable
réelle
de rayon
p, la série
n+l
L
entière an ~1 n+ ' qui est déduite de a le même rayon de convergence p.
L anxn par
intégration
terme
à terme,
x n+l
~
Si Pl est le rayon de convergence de
• •
L an --1 n+
:
lorsque P> 0, on a Pl ~P, en corollaire du théorème 11, lorsque P= 0, on a bien sûr Pl ~
O.
Supposons Pl> P, il existe alors des réels 'A et 'AI tels que P < 'AI< 'A< Pl. La série
L n+an1
'An+l étant convergente, il existe II-I E R+ tel que:
[--l'A' ~ n+ an n~ll
'i nE,~". ,
111
1
On en déduit:
,
'n
'inEf':J , lan'A
lan[ n+ln+1
I=--'A n+1 ,
Or, (n + 1)~
( 1) n+l
convergente, donc
[,,1.
'A
--'AI ( -'A')
n+l
~-(n+1)'AI
'A
(
'A
1) n+l
est, d'après la règle de d'Alembert, le terme général d'une série
Lian
l
'A' n est convergente : c'est en contradiction avec 'AI> p.
On en conclut que Pl =p.
o
Remarque
L
L
x n+l an--1 n+
Les deux séries anxn et ont le même intervalle ouvert de convergence, mais elles peuvent avoir des comportements différents au bord de cet intervalle. n-l n Par exemple,
,x--n L
n~l
diverge pour
x=
1 mais
,x L?
n~l
n- converge pour x = 1.
Chapitre 8 :
Séries
285
entières
Exemples - Travaux pratiques
exemple 6 .
1
l::EJ ···1.11
Monkerque Pour tout
x
1 1+ x
E J - 1. 1[, on a
~X
(série géométrique).
= L(-l)nxn n=O
Par application du théorème 11, on en déduit: ,·x dt +x . (n(1+X)=j . o -=L(-l) l+t n=O
\:fxEJ-1.1[,
n xn+1 +x --=L(-l) n+1 n=l
n 1Xn --. n n
On a vu, dans l'exemple 5, que la somme de la série entière
+x (_l)n-l L' n
J - 1. 1], donc
n=
+x ,n
l~ L 1 ':
=
1
."\.<1
x<1
xn
+:'>:
d'où, finalement
\:fx E J - 1. 1],
est continue sur
l~ t'n(l + x) = (n 2
=
n=
I)_l)n+l xn
(n(1 + x) = L (_l)n-l-;n=l
Remargue La validité de la formule précédente en
x
= 1 peut être établie directement, sans recours au
théorème 9. (voir chapitre IV, exemple 2)
exemple 7
~ Montmque
Vxe[-l,
Arctanx
Il 1
Pour tout x EJ - 1.1[, on a
X 2n+l 2n+ 1
+x = 2)-lt n=O
+x
L
(série géométrique).
~ +x~ = '(_ltx2n n=O
1
Par application du théorème 11, on en déduit:
·x
\:fx EJ - 1,1[,
La série
I)_l)n
Arctanx
+00
! --2
= Jo
l+t
+x = L(-l)n_n=O
x2n+l
2n+1
2n+l X
2n + 1
est uniformément convergente sur[O, l]et sur [-1, OJpar application de
la remarque 2) du théorème 9, donc'
De même'
dt
(_l)n+l
+x (_l)n +x x2n+1 -2n + 1 = hm x~l '(-1)n-2n + 1 = limArctanx x~l
L
n=O
x<1
L n=û
x<1
+00
'TI'
L -.2n+-- 1 = - -4 n=O
d'où, finalement
\:fx E [-1, 1J,Arctanx
'TI'
= -4
= L(-l)n_-
n=O
x2n+1 2n+ 1
286
Précis d'Analyse
Il
B. Dérivation L anxn
Etant donné une série entière d'une variable réelle
dA
•
La série dérivée première est
2...=
=
n anXn-l
2...= (n + l)an+lXn n~O
n~l
• La série dérivée deuxième est
2...=
n(n - 1)anxn-2
=
n~2
• Pour
pEN'
, la
2...=
(n + 2)(n + 1)an+2Xn
n~O
série dérivée p ième est: . n-p n(n - 1) ... (n - p + l)anx =
2...=
:
n~p
(n+ p)~ 2...=
n.
--,-
n~O
an+px
n
Théorèmes: t.13 1
[tE
Si une sene entière d'une variable réelle a pour rayon de convergence toutes ses séries dérivées ont aussi pour rayon de convergence p.
p,
En remarquant que
2...= anXn se déduit de 2...= n anxn-l par intégration terme à terme n~l n~l puis en appliquant le théorème 12, on voit qu'une série entière d'une variable réelle et
sa série dérivée première ont même rayon de convergence. La conclusion résulte alors de ce que la série dérivée k + 1) ième est la série dérivée r
première de la série dérivée k ième . D
4
Soit '> anxn une série entière d'une variable réelle de rayon P> 0,1 sa somme et, pour tout p E , Jp la somme de la série dérivée p ième . On a alors: V nE.
V
X E]-
p. P
LJpIX'
2...= +x dxP dP
(anxn)
=fPrxi
Relation que l'on peut écrire: VP
E
.
V
X E
J-
p. P [.
n=O
= cL\:P 2...= anxn ') dP ('+x ,n=O .
On dit encore que la dérivation s'effectue terme à terme.
! ,-o,'\.
[tE D'aprèslethéorème11,ona
JI étant continue. sur]-
JI;': 1 =
VXE]-p.p[.
p. p [, on en déduit
"
'. 0
Jl1tldr
j'IXi;'':!iiXJ ~ .
Une récurrence immédiate donne la conclusion pour les défivées p ièmes . D
t.15 j
La
sommeJ
vable sur]-
d'une série entière p, p
[et
V nE N,
L anXn
de rayon
p>
0 est indéfiniment déri-
ln)(O) an = --, n, -
C'est un corollaire du théorème 14.
t.16
Soit ~ anxn et L bnxn deux séries entières d'une variable réelle de rayons respectifs p et pl non nuls. Supposons 0 < p ~ pl. S'il existe 0:, 0 < 0: < P tel que: +x
V X E]- 0:.0: [.2...=
+x
anxn = 2...= bnxn n=O n=O
alors
V nE
'0. an
= bn.
Chapitre
287
8 : Séries entières +x
~
En effet. on a
V
x
EJ~
" ,. Donc, dapres le theoreme 15, oùf
est la fonction nulle sur J-
~ bn)xn = o.
LIan n=O
Œ. Œ [.
ln)(O) an - bn = ------n:!
V nE". Œ. Œ [,
donc
V n E!\J.
an - bn =
°
D
Application pratique Pour montrer qU'une fonction 9 : :=.-:=. est de classe ex au voisinage V d'un point a E?, il suffit d'exhiber une série entière dont la somme coïncide avec x f--'> g(a + x) sur \7.
Exemples - Travaux pratiques
~
i
•
exempleS
/
t
Montrer que g, prolongement par continuité de x ex sur JO. +x[. On a ici g(1I = 1. Le seul problème est bien sûr en 1,
x ~-; sur ]0, +co[ est de classe':""
f--'>
flu)=gll+uJ.
Onaainsi,pouruoFO.
flu)=
u
f
est donc de classe
Finalement
C':
VU
EJ - 1.1[.
flu)
+x[,
U
= Li.-l)n_-l .~ .. n=O
sur J - 1. l[ et 9 est de classe
9 E Cc': 1]0.
ex
1,1[,
. et f(O)=1.
-i---::-C
On déduit de ['exemple 6 que
u EJ -
Posons, pour tout
tnll + u)
n
n+
sur JO.2[,
:='i,
IV - Développement en série entière A. Fonctions développables
/
Définitions:
d.5
Soitf : :<-::: définie au voisinage de O. On dit que f est développable en série entière en 0 (ou à l'origine) si et seulement ,si il existe une série entière anzn de rayon p non nul et un
L
voisinage ~
d.6
U
de 0 tels que
Vz
E U.f(z)
On notera que l'on a nécessairement définition def.
Uc
=L
anzn n=O
Dp
n Def(f)
où
Def(f)
est l'ensemble de
Soitf : :(-C définie au voisinage de ZOo On dit que f est développable en série entière en ZO si et seulement si 9 : z ~ f(ZQ + z) est développable en série entière à l'~riS'iIl,e, donc si et seulement si il existe une série entière anzn de
L
+co-
et un voisinage
U
de
ZO
tel que
Vz
E
U.
fez)
= Lan n=O
(z - zof
288
Précis d'Analyse Il Exemple
1
f :iC-+iC,
z -+ 1 _ z est développable en série entière à l'origine. +x
En effet, pour tout
Z E iCtel
que Izi < 1, on a
=
f(z)
L
zn.
n=O
p.1 1
La définition 6 ramène tout problème de développement en série entière un problème de développement en série entière à l'origine.
à
Dans la suite, nous pourrons nous limiterà des développements à l'origine p.2
en série entière à l'origine, et defg.
Sif et g, fonctions de G
L'ensemble des fonctions développables en série entière à l'origine est donc une iC-algèbre (sous-algèbre des fonctions de [-i dans C définie au voisinage de 0). C'est un corollaire du théorème 6.
B. Développement des fonctions de ~ dans
te
Théorème: t.1? 1
Sif:
iR~C est développable
en série entière à l'origine,f
est de classe C=" au
-x n .
.. dOt " vOlsrnage e e ce tt e sene es t
""' ln)(O) ~ --, n.
C'est un corollaire du théorème 15. Définition : d.?
Etant donnéf
: R~C de classe
ex
au voisinage de a E?c, on appelle jnJ•
def en a, l," '. a sene entlere Dans le cas où a = 0,
t.18 1
t.19 1
L j'n'IO) __ n.,_xn
""' ~ ~.x
(ai (
série
- al n .
est dite série de Mac Lam'Ïn
f :
def.
Si lR-+iCest développable en série entière à l'origine (resp. en a), ce développement est unique: c'est la série de :'Iac Laurin de (resp. la série de Taylor de en a).
f
f
f :
à l'origine (resp. en a), toutes
Si iR-+iCest développable en série entière ses dérivées le sont également. Exemple de fonction de classe
ex non développable
en série entière
1
Considérons f : IR-+IRdéfinie par On établit, par récurrence, que
f(x)
= e-
f est de classe
-;?
sur
j'n,(x)=
où Pn est un polynôme (de degré 2n - 2).
~3n
X
?c
= O.
avec:
_l
P (xl
'inE~,'ixEW,
* 0 etflOl
si x
ex
e
.Y-.
j'nJ(O)=O
Chapitre 8:
Séries
289
entières
La série de Mac Laurin dej est donc la série nulle et il n'existe aucun voisinage de 0 sur
+x L --,-. n. _xn jn'(Ol
l
jlx) =
lequel on ait
(:;
puisque j ne s'annule qu'en
O.
n=O
1
Les conditions:
(<1
est de classe CX au voisinage de O)} et «la série de Mac Laurin
a un rayon non nul» ne sont donc pas suffisantes pour assurer que
j
dej
est développable
,::. en série entière à l'origine.
C. Développements obtenus par laformule de Mac Lanrin Soitj
: R-C de classe CX sur V =J - a, al, (a> 0), telle que la série de Mac Laurin
ait un rayon p non nul.
/
j 1. Utilisation de l'inégalité de Taylor-Lagrange
Xl/
l.....x
1
n-l Pour -_~ tout n E\,'
On sait que
et tout x E V, posons
Œ>
-
L k~O
'-'f n.
!Rnex)'! ~
Par définition, pour que qu'il existe
Rnex) =jex)
j
sup ~1.(n)et)1 c'est-à-dire
tE[O,X]
V n EN.V
x
E
IRnex)i
~
IX1,n n. IIjn)
lim Rnex) = 0 n-+:<:
Œ. Ci [,
Une condition suffisante est donc qu'il existe
En effet, on a alors V
;jk)eo) k.
J-
x
EJ-
Ci>
Ci,Ci [,
0, et M E IR+tels que: vn'ex)[
~ M
lim Rnex) = 0
Ci, Ci [,
n----i-+x.
an
car
M-, n,
est le terme général d'une série convergente.
2. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral
Ona Par définition, pour que qu'il existe
Ci>
0 tel que
Noter que l'on a
j
soit développable en série entière à l'origine, il V x E J-
Rnex) =
Ci, Ci [,
lim
n~+cc
l lx extt-1jn)et) ( ,\1
lx 0
f __
,\1
ex - t)n-l
jn)(t) dt = 0
dt
·0
Applications 1)
11~'x]
soit développable en série entière à l'origine, il faut et il suffit V x E J-
0 tel que
k
Cosinus +00
La série de Mac Laurin est
X2n
Le-l)n e2n)! n~O
de rayon p= +00.
290
Précis d'Analyse
l,
La condition suffisante du
s'applique. En effet:
IR,'if n EN,
'if x E
cos·n x = cos x + n2 ( ) ( 71)
+x Ainsi 2)
'if xE!R,
Il
cosx=
Icos(n) x\ ~ 1
donc
x 2n
L(-1)n(2n)! n=O
Sinus +x Comme ci-dessus, on obtient
'if
x
E IR.
x=
sin
2n+l
L (_l)n_x 'Ç'"'
n=O
3)
Exponentielle népérienne
+x xn
L---,
La série de Mac Laurin est
n=O
de rayon p= +:x..
n,
Pour tout x réel, l'inégalité de Taylor-Lagrange sur [O. x] donne [RnCx)! ~ La conclusion en résulte car pour tout
x
n.
Ixl,n
elxl.
. ln ~ n. tend vers 0 comme terme général
E K,
d'une série convergente.
L +-x,
x
'if
4)
x~
f:
(1
+ x)CY.
•
nE NX,
1.+x[,fn)(x)
-
f
La série de Mac Laurin de 1+
est
XE]
n!
=a (0:-1), ... ,(a ~n + 11(1+ x)o:-
L
... (0:-n+1) xn
n.
1
=
1
0:(ex-1)n.. ... (ex-n)j·x.0
Etant donné que p= 1. on se limite à
l\x _ t)n(1
Jo
Ix-tl 1+t
Or, 'if tE [0, x],
de rayon p= 1
1
+
~
X
(x - [ln(1 +
t)o:-n- dt 1
< 1 et on a :
r
t)o:-n-l dt = ./0 (.x. 1H t )n (1 + tf-1 dt
x-t
.
(étudier les variations de t '-7 1 + t)' donc: l
[RnCx)1 ~ 10:
A(x) = 1.!c:\1 +
où on a posé Pour tout
XE]
n
1. +:x.[, le reste intégral d'ordre n de la formule de Mac Laurin sur [0, x]
-
Rn(x)
n=O
est donc:
n=l
Pour tout
xn
sur] - 1. +:x.[.
'if XE]
+x a(a-1)
•
=
e:"
O:E :Ri
,
• f est de classe ex 'if
E!R;,
-
(ex
-1)···
t)',,-l dtl
1.1[, la (ex-1)· .. (a -n)j
(0:
-n)!
,n
'~'! A(x)
(A(x) ne dépend pas de n). Ixlln n. est, d'après le critère de d'Alembert
le terme général d'une série convergente, donc il tend vers 0, donc n-+x lim Rn(x) = On retiendra 'if XE]
-
1, 1[,
+x Œ(a-11"'(Œ-n+1) nl .
(1 + x)o: = 1 + 'Ç'"" Ln=l
xn
(rayon p= 1)
O.
Chapitre 8 :
D.
Séries
291
entières
de
Autres méthodes
développement
Intégration de développements
l,
connus
On applique les théorèmes 11 et 12,
1 Partant de
Vx",J-l,l[,
+x
l+x=LC-l)nxn, n=O
Cp=l)
on a déjà obtenu par cette méthode (voir exemple 6) :
+x V X EJ- 1. 1[,
n
(n(l + x) = L./ '\""' _l)n-
1x-n
n=l
On a vu que cette formule est encore valable pour est
V x EJ
x =
1. Une conséquence immédiate +C'0 xn t'n(1 - x) = n (p= 1)
L-
1. 1[,
-
(p= 1)
n=l
•
De manière analogue, on a obtenu (cf, exemple 7) :
+x
VX
2n+l
1,1[, Arctanx = '\""' L.(-ll n=O
",J -
-2--
.n X n+l
(p= 1)
Formule encore valable pour x = 1 et x = -1.
•
1
--2
Partant de V x'" J - 1,1[,
+x = L x2n, Cp= 1) et n=O
r~ 1-
t2
1 ,n _ - ~ L. n(n - 1),,d' , , (n - p + 2) xn-p+1 n=p-l
(p= 1)
x
~
On obtient
Argthx=
Jo
1-
+::>:=
x 2n+l
Argthx=L2n+1 n=O
VXEJ-l,1[,
2, Dérivation de développements
(p=l)
connus
On applique les théorèmes 1.13 et t.14,
1 •
Partant de
1
et
+:0
V x '" J - 1. 1[, 1 _ x =
n - (p _ 1)[ ~-l
_
1
dP-1
(
L xn, (p= 1) n=O
1x)
1 _
P E l'\J'''
on obtient:
V x EJ _ 1••1[ ,.
1 ou encore
+éXl
L.
. n = '\""' CP-1 n+p-lx n n=O
Remarque On peut obtenir ce résultat sur de t
>--+
iC
(utile pour les fractions rationnelles) soit par dérivation
1 ~ tz soit par récurrence et produit de séries entières.
292
Précis d'Analyse
3. Combinaison linéaire de développements
•
1 'if x E IR,
ch x =
"2
Il
connus
1 (eX
+ e-
shx="2
Xl
(eX -
e-X).
On en déduit: +cc
x E~.chx
=
L n=O
x 2n (2n)!
+00 x2n+1 (p=
+x)
'if x ElR,shx=
(2n+ 1)1 (p= +x)
~
1 •
'ifxE]-l,l[,
"2 [{n(1+x)-{n(l-x)]
Argthx=
On peut ainsi retrouver le développement de Argth à partir de ceux de x X>---'>
•
{n(l-
>---'>
{n(1 + x) et
x).
Il faut prendre garde au fait que lorsque l'on fait une combinaison linéaire de deux séries entières de même rayon de convergence, le rayon final est a priori supérieur ou égal à p, sur chaque exemple une étude supplémentaire sera alors nécessaire pour en donner la valeur précise.
Produit de développements
14.
connus
+:x::
•
'ifxE]-l,l[,
n
n - 1x ~
"\"' {n(l+x)=L...,(-I) n=l
1
1
(p=l)
+cc
1 +x = L(-I)nxn
(p= 1)
n=O
Onendéduit'ifXE]-I.I[,
1.
{n(1
+__x) =L...,(-I) ~ n=l
-
n 1(
1+'2+3+"'+-;:;: 1 1 1)
X
n
Le rayon de cette série est a priori supérieur ou égal à 1. Il suffit de constater que
(
1+ "2 + "3 + ... + 11 1 1 1)
ne tend pas vers 0 pour conclure que ce rayon est égal à 1.
5. Utilisation d'une équation différentielle Soitf : ~--+~
de classe ex- au voisinage de
O.
Supposons avoir exhibé une éqy,ation différentielle (E) et un intervalle ouvert l contenant o tels que la restriction de à soit l'unique solution de (E) sur vérifiant certaines conditions initiales.
f l
l
I:
anxn de rayon p> 0 dont la somme est Supposons avoir déterminé une série entière solution de (E) sur]- p, p [ vérifiant les mêmes conditions initiales. +cc
On a alors
'if x E l
n]-
p, p [,
f(x) = L
anxn
n=O
•
Considérons, par exemple, la fonction exponentielle exp est l'unique solution sur ~ de (E) : y Soit
I: anxn
-
exp:
x
y = 0 telle que f(O)
>---'>
e'. = 1.
une série entière de rayon p non nul.
Pour que sa somme S soit solution de (E) sur]-
p, p [. il faut et il suffit que
Chapitre 8 :
Séries
293
entières
+x
'if
x E]-
p. P
L
[.
+x
(n + l)an-i-lXn
=
n~O
L
c'est-à-dire, par unicité du dévelop-
anxn
n~O
pement en série entière quand il existe:
'if
(n + l)an+l
nE '\J,
=
(1).
an
Remarquons que la relation (1) permet de calculer p avant d'avoir déterminé la suite *. En effet, on obtient:
(an)'
an-i-lx.x
pour x"" 0,
--1 donc, pour tout x
anX n ,n-i-l
= n + .'
n+l
,""x'
E Ji , n~+co hm
a
1
anX n xn+ll
= 0
et p= +x. De (1), on déduit
'if
n E'\"
D'autre part, la condition
= 1 donne ao = 1.
SeO)
Ainsi. il existe une série entière et une seule de rayon p> 0 dont la somme S est solution +00 xn de rayon p= +oc. de (E) sur]- p. p [ et vérifie SeO) = 1, c'est
LIn. n~O
Conséquence:
'if
x
ER.
Remarque Il apparaît que la méthode est exploitable avec des équations différentielles linéaires (d'ordre n = 1,2 en général) : ao(x) yi ni + al (x) yi n-l) dont les coefficients ai(x),
+ ... +
an(x)
y = b(x)
0 ~ i ~ n, sont polynomîaux (simples) et dont on connaît
un développement en série entière à l'origine du second membre b(x).
Exemples - Travaux pratiques exemple 9 1
•
\
Déterminer
le développement
Méthode: On développe
f
(x)
=
à l'origine de
en série entière 1
f:
x
I-è>
Arcsinx .
puis on intègre.
V1-
x2
1
\
Le développement de u
I-è>
v1+u ~
s'éorit :
1 'ifuE]-l,l[,
_1
+x 2=1+L(-1) ..n~l
vI~=(l+u) +u
1
+x
L(-l)
n
... x 2n -
(2n)!
(p= 1)
1 On en déduit
'if XE]
'if XE]
-
-
1, 1[,
+x
n(n!)
(2n)!
L
1,1[,
Arcsinx =
2
2
lx J1'=t2 +x 2 L 1dto
n.!
n
~ 1 - x = n~O 2 2n (n.)! 2x2n Par application des théorèmes 11 et 12, on en déduit:
U
= n~O
1 un
2n
(p= 1)
'if U E] -
v~1 +
3x
2U
ou encore
1,1[,
nI x
x2n+l t2 = n~O 2(2n)! n(n!) 2 -2n +1
(p= 1)
294
Précis d'Analyse
e développement
fi: x ~ •
fa est de classe
AIctan
sur
CCXJ
Remarquons que 'VaE
J -
IR\
1_
(l+X
x
tan
2a)
l'origine
, /
V
de :
aEIR\ {(2k + 1)
TI,
k d'}
Xl, 1[.
{(2k + 1)
On peut donc limiter l'étude à
[0,
aE
k
TI,
fa+2TI = fa etf-a
E d'}, on a
= -fa.
TI [.
D'autre part, fo = 0 : on se limite finalement à aE
JO, TI [.
sin a
1
Pour tout x E J
à
en série entière
ex, 1[, on a fa(x) =2x - 2xcos a +1
-
Le développement de la fonction rationnelle f~ va s'obtenir en décomposant en éléments simple dans
iC (X)
:
1 (1-w x-e
a = (x_e[a) . sin( x_e-[a . ) = -2'l
fa1 (x)
e
1
Pour tout z E iC tel que Izi < 1, on a
x-e-
1) [a
e
l ( 1- iaxe[a
= 2i
fa(x)
-
1- -ia) xe-la
-
1
L +:0
1_ z =
zn n=O
donc 'V x E IR tel que [xl < 1 :
L
= 2i
f~(x)
xne(n+1)ia 1 (+00 n=O
L
-
xne-(n+l)ia +00 n=O
)
+00
L
=
xn sin(n + 1) a n=O Comme somme de deux séries de rayon 1, cette série a un rayon p~ 1. f~(x)
Puisque aE JO, TI [, la suite (sin n a)nE
ne tend pas 0, donc cette série diverge pour x = 1, et
finalement, p= 1. Par intégration, on obtient ensuite: +X'
'V x
EJ -
1,
1[, faC,)
X
n+l
n+ L --1
- faJO) =
n=O
+x
2
sin(n +
(p=
1)
n
Ln
fa(x) = a + ~x n=l
donc, avec aEJO,TI [, 'V x EJ - 1, 1[,
1)a
sin n a
a
En effet, ;
E ] 0, ;
[, donc
faCO)
= AIctan
La formule reste valable pour a= 0 et pour aE Pour aE J(2p - 1)
Ti,
(2p + 1) Ti
[,
on a
a
donc
'V x
EJ -
1. 1[,
fcJx) =
(tan
J-
; )
- 2'
Ti. 0[.
fa = fa-2pTI avec a -2p ••E J- ••.•• [, +:0
xn
2 - p •• + L n sin n a. n=l
Il
Chapitre 8:
295
/
Séries entières
1 exemple 11 1
Déterminer le développement en série entière à l'origine de f: x On a 1 + x - 2x2 = (1 - x)(l + 2x), donc] est définie sur ] -~.1
•
x
et, 'd
E I,
[ =
f--i>
tn(l + x-
2_~) .
I
](x) = (n(l - x) + (n(1 + 2x).
Du développement connu de x 'd XE]
-
f--i>
(n(1 + x), on déduit:
(n(l - x) =
1, 1[,
- L ~xn -n
1)
(p=
n~l
'd x E
donc 'd x E
] -2'1 21] '
tn(l + 2x) = L(-l)n-I-n~
] -2'1 2' 1[
](x) =
L
n +x n=l (_1)n-12n
(p= 2)
1
(2x)n
+::v n=l
1xn
-
(p= 2)
1
Noter que le rayon de la série somme est ici ~ = inf ( ~, 1) car les deux séries initiales ont des
1 2
rayons différents:
et 1.
exemple 12 1
•
Déterminer le développement en série entière à l'origine de ] est de classe
C::V
Nous allons développer
9 par
'd XE]- 1, 1[,
g(x) = ~. 1- x2
la méthode de l'équation différentielle.
1
x
1-x 9 (x) = --2
1-x + --2
f
Arcsinx
Donc 9 est l'unique solution sur] - 1. 1[ de (E) =0
y(O)
~ 1-x2 (1 -'~_
xy
=
l, vérifiant la condition
...~_..--_."
p, p] et vérifie 8(0) = 0, il faut et il suffit que: +00
+c:..;:;,
00=0
et
'dXE]-p,p[,
c'est-à-dire
00 = 0 et
(1-:l')Lnanxn-I-xLanxn=l n~O n~O +00
c'est-à-dire La relation
•
:l'Ji! -
L an :cn une série entière de rayon p> 0 et de somme 8.
Pour que 8 soit solution de (E) sur]-
•
(Arcsinx)2 .
Arcsinx
] (x) = 2g(x) avec
Pour tout XE] - 1,1[,
Soit
f--i>
sur] - 1, 1[. f
On a
]: x
00 = 0, 'd n
?
+CX:',
L(n + l)an+IXn - L(n + lfanxn+l'~ n~O n=O al = 1 et 'd n? 1, (n + l)an+1 - nan_l = 0
1,
'd x E]- p, P L
(n + l)an+1 = nan-l :
avec 00 = 0 donne
'd pEN, a2p = 0
avec al = 1 donne
'd pEN, a2p+1= 3 x 5 x
2 x x
22p(p 1)2 x 2p . x 2p + 1 = (2p + 1)!
1
296
Précis d'Analyse
. enfin, donne
•
Q2p+l 2p -= -2 1 Q2p-l P +
.
22p(
et le rayon de convergence de
= 1
p-Hoo Q2p-l 1)2
(2p fI)!
2:=
Q2p+1
hm --
donc
Il
est
x2p+1
p= 1.
Ainsi, il existe une série entière et une seule de rayon non nul et dont la somme vérife seo) = 0 et est solution de (E) sur l'intervalle ouvert de convergence. +00 22p(pl)2 Il s'agit de
:L:.: (2p p=o
On en déduit alors
'd XE]
+ ~)! x2p+1
g(x) = S(x)
'd XE] - 1,1[,
1,1[,
-
(p= 1)
(Arcsin x)2
=
2 Jo{X o
g(t)
et par intégration:
dt
=:L:.: +:0 22p+1( ln ... p=o
~'\11)2
x2p+2
(p=
1)
E. Sommation des séries entières Il s'agit, en utilisant les résultats établis dans le paragraphe précédent, d'exprimer la somme d'une série entière au moyen des fonctions usuelles. C'est le problème inverse de celui du d§Y~8Pftment
en_série~.eo!ières.
Exemptes -- Travaux pratiques exemple 13
nxn
+00
:L:.: (2n n=û
x
+ 1)!
E IR.
n •
Posons
Un(X) =
Pour tout
x
E IR , *
(2:: 1)! = 2n(2n + 3)
un(x)
1
Un+l(X)
et le rayon de convergence est
a
'd nE N,
donc
'd x E IR,
On
p=
hm
donc
Ixl
1
---
n-+x .
1
Un(x) Un+l(X)
=0 1
+x.
(2n + 1)! x ="2 (2n)! 1 (2n + 1) -- 1 n 1 ( xn
- (2n + 1)! xn)
Un(X) ="2
1 (+x ~
xn -(2n)!
1
U
S(x) = ~+00 (2nnxn + 1)! ="2
+x E
(2nxn +
1)!)
(toutes ces séries ont un rayon infini)
•
Pour
donc
x>
S(x)
0, en posant U = yIX:
="21
( ch U - Ilsh u)
E
U
1
E
2n -- ~ +x (2n2n+l) S(x) ="2 (+00 (2n)! + 1)!
= ~1
( ch yIX
--
shvix vix)
Chapitre 8:
donc
•
S(x) Pour
x
Séries
297
entières
="2
1 ( cos
On remarquera
="2
sin u)
= 0, il est immédiat que
-h
Sin-h) 1 ( cos v-x_
-u-
u -
SeO)
= 0
que ce calcul montre que la fonction
S(O)
=
0
{ S(x) S(x)
= =
~ (cos v=x ~ (ChVX-
S définie sur [R par:
Si~~) Si~)
_
est de classe e'X sur lR, ce quCfi;est pas une évidence
/
pour
x<
pour
x>O
0
a priori.
/
exemple 14 ,(
f
Calouler
~
_n_2_:_4_+ n_4_-_1
n2 + 4n
Pour tout
x
-
n+4
un(X) =
Posons
. :~
1xn n! donc
E [Rx, on
et le rayon de convergence
Pour tout n ~ 1,
est
p= +x.
un(x) = (n xn _ 1)! - (n + - 1)! - dx3 + 4)1 ) xn4)n! = (n Xn d3 ( (nxn+3
+'X n2 + S(x) = ~ n 4n + 4_
On en déduit
1 n! xn = ~ +'X
d3 (+'X (n xn _ 1)! - dx3 ~ (nxn+3 + 4)! )
(toutes ces séries ont un rayon infini)
+,x
+x'
n
'""' L -( X_ n=l n
n
Pour tout
x
E [R,
=
x e'x ~
Pour tout
x
E [R* , '\"' --'""' -n! (nxn+3 + 4)! = -x (+'X +x n=l n=5 xn)
= -x
1)1 = .
L
'""' X xLI n=O n.
1
L
1(
?-
x - -2 - -6 - -24 x2 x3 x4)
1 -
1 x -----1------ '0_ .. x 2 eX
d'où
d3 (+00 d7 ~
Finalement
.
'if
et, d'autre part,
x
(nxn+3 + 4)1 ) = eX E [R
*
,S(x) = e
S(O) = o.
(
x(
x1 - x23 + x36 x - -x + 2x 1 3
-
-
6 x4
) + x46
x36 + x4 6)
-
x2
x3
6
24
1 4:
- 4x6
+
4:
1
298
Précis d'Analyse
v •
Rayon de convergence:
[e critère de d'Alembert donne immédiatement
Posons
"il
x
IR,
E
S(x) =
L
n=O
(3n)!
Par dérivations successives, on obtient pour tout +C0 3n-l +::0 3n-2
S (x) l
=
XII _ (3n
D n=1
"""'
(x) = """' D
1)! ' S
n=1
S est donc la solution sur
IR; de
initiales y(O)
0, yll (0)
1, yi (0)
=
=
v)
(il., [h,
"iIXEIR;,
n=O
•
2)! ' S
l
(x)
D (3n n=1
"""'
=
: ylll
(E)
r3 - 1 = 0 et admet
E
C3 tel que
xE
"il
IR;,
X
3n
+cc
3)! = D (3n)! n=O """'
_
X
- Y = 0 vérifiant les conditions
donc pour racine
S(x)
=iI. eX+ [h
= =
7/
1,) eti.
é'<+ v ePx
= 001 On en tire
+) [h[h+)v +i v { il. iI.+[h+v iI.+i
\/
(_I)n
L 4n+l
3n-3
+::0
S(X)="3(eX+eiX:eiX)=S+"3e 1 . '. ·2
exemple 16 +::0
réel :
= O.
Les conditions initiales donnent alors
Etfina[ement
XII _ (3n
x
['équation différentielle
L'équation caractéristique de (E) s'écrit On en déduit qu'il existe
+x.
p=
x3n
+C0
iI.=[h=v="3 ~c
1
(vis)
2 -?':2 cos XT
eX
La série proposée converge d'après le critère spécial des séries alternées. 4n+l
•
Introduisons la série entière
L(-I)
n~O
nX
4n+
1
On établit facilement que son rayon est-EJjcritère
de d'Alembert).
Nous nous trouvons dans les conditions d'applications du théorème 9, remarque 2) : cette série converge uniformément sur [0, 1], sa somme S est donc continue sur [0, IJ et on a : +::0
(-lt
"""' D --4n + n=O
1
x<1
n=O
n+1
Pour
x<1
~_~.~..:.g, on a S(x)
donc S(x) =
lx --4 1 +dt t
. 0
S(I) = limS(x). x-1
c'est-à-dire
+x·
•
•
x4n+1
+00
= lim x~l ,,"",(-I)n-4 D
.x
=L n=O(_I)n fa
et ainsi
L 4n +C0 n=û
(_I)n +
1=
.x
+x
=.10L n=O(_I)nt4n
t4n dt
r
~0î xd Jo
1 +dt t4
= Jo/1
1 +dtt4
1
La décomposition en éléments simples de
1 1+ t4
1 -
--4 1+ t
t+V2
2v2 t2 + tv2 + 1
s'écrit:
1
--;='9
t-v2 ,
dt
2v2 C - tV2 + 1
(théorème 11)
Il
Chapitre 8:
299
Séries entières
/,1 c-t\/2+1 En posant t = - u, on obtient ·0 9 t-V2r"1 t + y/2
i'-l
dt =
Jo{1
-J
1+dt r±
2v2
dt Jo{1 1+r±
---dt tZ+tv'2+1
-1
{1
1
2t+ \/2
1 }.1
412 .1-1 tZ uY/2 + 1 +
1rn 4v2
[.tn \(9c + tv2 1
1 tn ~2-v2 '/ + \/2 1
On a utilisé
-1
4"
t+
(
2
\/2)
Z
-
+ -.'2\(2 A.Tctan(v2 + 1) + fuctan(
-
+x
-1
J2 -
1
1).J
"
v2 + II + 4v rn2
1 = -.--\/2+1
I:
+2 1
1; iATctan(h!2 .=]1 + 1) + 1)11 J -1 + ~ 2v2'
1
J2 -
D'où, finalement
dt
1 -
4v2rn
2v rn 2 tn(
u+V2 u 2 +u V22+1 du, d'où:
·0
1
(-lt
J2 + 1) + fuctan( J2 -
fuctan(
qui donne aussi
1
"
1) =
2
TI
-4n+ 1 = ~ 2V2 tn(1 + 12.).' + 4v2rn
n=O
/
/
f~:
Calculer
~. _ n=O
1
exemple 17
)
!I
1 •
Il est clair que la série proposée converge car
n
On a
'if
donc
+'X ~
EN.
,~
~, =
o,,~
1
1 (6n + 2)(6n + 5)
3"
1(
0<
6n + 2
I:(-1)
Introduisons alors la série entière
n~O
-
1
1 +x = "3 ~ (16n + 2 -
(Ç,~
,0\1Ç,~
1 1':\
< 36n2
6n + 5 1)
6n 1) +5
+x 3n (_I)n ="31 ~ +2
3n+2
n -x 3n+2
Nous nous trouvons dans les conditions d'application du théorème 9, remarque 2), cette série converge uniformément sur [0.1], sa somme S est donc continue sur [O. 1] et on a :
+x
(_I)n
'" L
-3n+ 2 = lim x-l
n=O
+x
~l
n=O
Comme dans l'exemple 16, pour Ixl < 1, on a
dou ,.
I: 3n+2 (-lt +00 n=O
Finalement
_
- Jo {1 ~l+t3
I: (6n +00 n=O
+
V3 = ~3 (~_
2)(6n 1 + 5)
~ (_I)n L n=O
tn2)
V3 -~(~-en2)
- 9
x3n+2
'"(_I)n __ L 3n+2 x3n+2 3n+2
=
r
Jo ~(_I)nt3n+1 L n=O
dt
300
Précis d'Analyse Il
v - Fonctions
usuelles d'une variable complexe
A. Fonctions exponentielles
complexes
zn
L 1n. +::0
d.8
La fonction
c~c,
exp:
z
f-?
est appelée fonction
n=O
exponentielle
complexe. +,x xn
On sait que, pour tout x réel,
=
eX
L l'n.
la fonction ainsi définie est donc un prolon-
n=O
gement de l'exponentielle réelle, ce qui permet de noter, pour tout Z
E C.
exp(z) =
eZ•
Propriétés: z
p.3
I
f-?
é est une fonction continue de C dans C-
(c'est la somme d'une série entière de rayon p= +cx:).
pA
i/If
EC2.é1é2
(Zl.Z2)
=eZ1+Z2
1
ii/
If Z E
C. eZ
iii / exp : Z iv /
v/If
f-?
If Z E C,
;'"
é est un morphisme
e-z
Z EC, If
p.5
0
=
1 e
n EZ.(é)n = enz
ex+iy = eX(cosy+
i
de é
sin
~i
.
+00
e!y - '"
- ~n=O
(.)n ~
+::0 (.
eiy =
L
- '"
n!
-
+00
n=O
2p
,
J2p
~ (2p)1
+::0
L
+ '"
n=O
+::0
argé
eReizJ
on a é = é"
= Im(z)
eiy
)2p+l
Ci
.y -(2-p-+-1J-·: 2p+l
"'(-lf-y& (2p)! + i"'(-lf-.!:!. L p=o
p=o
ilvient donc p.6
lél =
y)
Posons Z = x + iy, (x, y) E En revenant à la définition:
~
(C, x)
----z
et argument
1
du groupe (C, +) dans le groupe
Equation
eiy = cos y + i sin y
é=
D
aEC
1
~
Posons
Z
= x + iy. (x.
y) E [R2
D'après la propriété (5) é = a
équivaut
à é" = al. y = argial(mod 2 •.).
donc z = {niai + iarga + 2ik •., k EL'. Les solutions de cette équation sont appelées les logarithmes de a.
D
301
Chapitre 8 : Séries entières Application
é = é équivaut à é -z = 1 donc à
z! = Z
+ 2Uc TI, k EL,
le noyau de la fonction exponentielle est 2i ,Œ. p.7
Fonction exponentielle C'est par définition
1
imaginaire Cf: :::2-0.
de
x
é"
H
sur ("0. x) où "0= {z
Cf
est un morphisme
Cf
est surjectif mais non injectif:
(:::2, +.1
Ker
E
L,lzl = 1}
2 ,TZ.
Cf=
Exemples - Travaux pratiques exemple 18
1
•
_
classe el. Montrer Soit u : l ---'"QJ Théorème dederelèvement Pour a
E
I, on sait qu'il existe b
E
qu'il existe e : l
---'"IR
• •
j'X Ul(t) a -,-) u(t dt
w:I_C,xHu(x)e-L'IX)
el tel
que u =
ei8 .
[Rréalisant u(a) = eib.
Comme u ne s'annule pas, on dispose d'applications de classe
v:I-C,XHib+
de classe
v(a) = ib.
avec
avec
el définies par:
wl=(ul-ud)e-L'=O
et
w(a)=u(a)e-ib=1.
Donc west constante de valeur 1 et u = é'. Comme u est à valeurs dans dans i IR, Le résultat est obtenu avec l'application e = - iv.
QJ,
v est
à valeurs
Remarque Si u est de classe en, (n:3 1), alors 8 est de classe en; en effet, e/=
u
1
-i-.u
B. Fonctions circulaires et hyperboliques complexes Définition : d.9
Les applications
iz
cos SIn
ch
Z
de C dans - iz
H e +e ~ , -iz elZ - e
ZH~
ez + e -z
ZH
2
ZH
ez - e -z 2
iC:
=
n
n=O
z (2n)!
+::0
2n+l
L(-I) '\'"" n --z n=O +0:.'
L
n=O
sh
2n
+::0
'\'"" L(-I)
+'::0
L
Z
2n
(2n)!
2n+l
Z
n=O
sont respectivement appelées cosinus, sinus, cosinus hyberbolique et sinus hyperbolique. Ce sont des prolongements des fonctions réelles connues sous les mêmes dénominations.
302
Précis d'Analyse Il
Propriétés: Ce sont des applications
p.8
continues
de
1[:
dans iC.
1
p.9 cos iz = chz sin iz = ishz
'ï! z E iC. ch iz = cos z
sh iz = isin z
1
'ï!ZEc'
p.10
Toutes les formules de la trigonométrie dans le champ réel, restent valables.
p.11 1
p.12
1 1
ch z - sh z = e- Z cosz- isinz= e-iz
chz+ shz = eZ cos z + i sin z = eiz
1
ch2 z - sh2 Z = cos2 z + sin2 z =
circulaire
ou hyperbolique,
La propriété 9 permet de passer des formules de la trigonométrie lique aux formules de la trigonométrie circulaire ou inversement.
1
établies hyperbo-
Exemple On sait que cos(z + z') = cos z cos Zl
-
sin z sin
donc ch(z + z') = cos(iz + iz') = cos iz cos iz'
-
Zl
sin iz sin
izl
= ch zchZ + sh z sh
Zl
Théorème: 1.20
Pour tout (z, zo) E 1[:2, on a (1) cos z = cos zo Ç==? (2) sinz = sinzo Ç==? (3) chz=chzo Ç==? (4) shz = shzo Ç==?
lk!F
i / (1) s'écrit
: z = zo + 2k 71 ou z = zo + 2k 71 ou z=zo+2ik7T ou z = zo + 2ik 71 ou
kE71 kE71 kE71 kE71
z=-zo+2k7T
z =71-zo + 2k 71 z=-zo+2ik7T
z = i 71-zo + 2ik 71
eiz + e-iz = eizD+ e-izD, soit en posant X = eiz et XO = eizD:
X + X1 = XO + XO1
ou encore
X-')- X
(XO
+
1)
XO
+ 1= 0
1 Les racines de cette équation du second degré sont évidentes, il s'agit de XO et Ainsi(1) donne
eiz = zizDdonc z =
ZO + 2k
ou
••
eiz =
e- izDdonc z = -
XO .
ZO + 2k
71.
ii/ (2) s'écrit cos ( ; - z) = cos ( ; - zo) et donne donc: 71
71
2-z= 271
. ZO
+ 2k
71
2 - z = -2 +
ZO
71
SOit
.. + 2k 71 salt
1
z=
ZO
+ 2k ••
ou
z =•• -ZO + 2k' ••.
iii/ (3) s'écrit cos iz = cos izo et donne donc: iz = izo + 2k 71 soit z = ZO + 2ikl 71 ou iz = -izo + 2k 71 soit
z = -ZO + 2ik! ••.
iv/ (4) s'écrit sin iz = sin izo et donne donc: iz = izo + 2k •• soit
z=
iz =71 -izo + 2k •• soit
ZO
+ 2ikl 71 ou
z = i 71-ZO + 2i1c' ••.
D
Chapitre
303
8 : Séries entières
Corollaires: c.1
Les fonctions 2 ,,2.
1
c.2
cos et sin sont périodiques,
Les fonctions ch et sh sont périodiques,
l'ensemble
l'ensemble
de leurs périodes
est
de leurs périodes est 2i TiL.
1
c.3
cos z = 0
<==?
Z = ; Cmod,,)
1
,
sin z = 0
Z = 0 (mod'lT)
<==?
-
cA
ch z = 0
Z=
<==?
(mod
i ;
i ,,)
sh z = 0
,
Z = 0 (modi 'lT)
<==?
1
Définition : d.10
Tangente L
et tangente
•.. d ~d es lonctIons e vans
tangente
complexe
"ï/ZEu\ ~,
{
"ï/ZES\ {Ti
hyperbolique sin h sh . : tan = -cos et t = -h c sont respectIvement et tangente hyperbolique complexe. iC
')+leTi!leEL ~
,
"
tanz=.
}
i-2 +ikTi!leEL.
.
thz=
_ }
12
-12 =. L(e2ix
LCe eiz _+ee - iz )
eZ
+ ee-z - Z
eZ _
l' appe ees
1
e2iz -+1)
=-9z-e~ + 1 e2z - 1
Propriétés: p.13
taniz=ithz,
thiz=itanz
1
p. 14
tan z = tan zo th z = th zo
1
z = zo + le Ti
<==?
<==?
z = zo + ileTi
le EL le EL
Exemples - Travaux pratiques
exemple 19
1
Pom
.1)
z = x + ty, (x, yl
Ona d'où
~
Icoszl, ecenIsinzj. Ishzl E~', caloul fono, tionjchzl, de (x, y) :
cosz=cos(x+iy)=cosxchy-isinxshy Icoszl2 = cos2 xch2
y
+ sin2 xsh2
2)
Ona
sinz=cos(z-
;)
3)
Ona
chz = cos iz = cos(-y + ix)
4)
Ona
shz=-isiniz
d'où
d'où
y
= cos2 x + sh2
y
= ch2 y
-
sin2 x
ISinzI2=sin2x+sh2y=ch2y-cos2x d'où
Ichzl2 = cos2 y + sh2 x = ch2 x - sin2 y
Ishzl =sin2y+sh2x=ch2x-cos2y
304
Précis d'Analyse
20 sin z = V2, •
Soit z E C une solution, posons
:i (u-~)
sinz=
=V2
u = eiz, on obtient:
u2-2iV2u-1=O
,
.
Si U = Si
U
elZ
(z E C).
UE {iCV2+1),i(V2-1)}
d'où
(!I.
TI
= i( V2+ 1) = (V2+ l)e 2, alors il existe le
= eiz = i( V2 - 1), il existe
tel que
z =
2 +2k
TI
-i€n(V2+
1).
h E Z' tel que:
TI
Z =
E Z'
TI
2 + 2h TI -i€n(V2
2 + 2h TI +i€n(V2
- 1) =
+ 1)
On vérifie ensuite que toutes ces valeurs conviennent (on constate qu'elles sont conjuguées deux
à deux).
exemple 21 1
•
Résoudre
dans
sin 3 z + cos3 z =
et dans C l'équation
IR:
1.
Pour tout z E C, écrivons: sin3 z - cos3 z = sin2 z - sin3 z + cos2 Z - cos3 z
111-
sin3 z - cos3 z
=
(1 -
- sin z) +
cos2 z)(l
(1 -
- cos z)
sin2 z)(l
sin3 z - cos3 z = (1 - cos z)(l - sin z)(2 + sin z + cos z) Les solutions sont donc les complexes vérifiant: cos z =
1
ou
•
cos z =
1
•
sinz =
1
•
2 + sin z + cos z = 0 s'écrit
équivaut à
sin z =
1
2 + sin
ou
z + cos z = 0
2 TIZ'
z E
TI
équivaut à
2+2
z E
TIZ'
=
-V2
Z
= - 3TI + 2 h
sin (z+ :) et d'après l'exemple précédent, équivaut à : 3TI
z =
-4
+ 2k
TI
+i€n(V2 + 1), le EZ'
à l'origine •
ou
4
la fonctionf
TI -
: C~iC, z ~
itn( vln2 +
é
1),
h
E
Z'
sin z
Comme produit de deux fonctions développables en séries entières de rayon de convergence infini,
f est développable en série entière de rayon infini. 1
Ecrivons
fez)
..
1
+:0 = ----;[eC1+t)Z - eC1-l)z] = ----; 2L 2L '\"'
L
zn
[(1+ On - (1-
On] -n!
n=ü
De
(1 + 0 =
V2e(i
1 2i [(1 + On -
(1-
et On] =
(1 -
i) = V2e
ln
4
(v2)n sin
nTI
-ii, et
on déduit:
+x fez)
L
= '\"' (h)n n=O
sm . n -.TI zn 4
ni
Il
Chapitre 8 :
n ïT Notons que
j' \z
d,'ou
sin
+x -
'J
-
305
Séries entières
L p=o ,
-4-
1-
=
(-If
1~(;'2)p (-If v2
(-1)P22p , '4p+l (4 , p + 1"). z
si
n
si
n = 4p
si
n = 4p+2
si
n=4p+3
= 4p
1
+
~
l_lf22p+1
+ -(4--2-'-z P + J. 4p+2 +
(_1)P22p+1 ' (4 3)1
. z 4p+3
p +
VI - Exponentielle d'un endomorphisme,
d'une matrice Cette section ne concerne que le programme M' E désigne ici un :<-espace vectoriel normé de dimension finie
n~
1.
A. Définitions Définitions: d.11
L ~~est convergente,
Pour tout U E LIE), la série
sa somme est dite
t ~~ '·X'
de u et notée eU ou exp u:
exponentielle
eU
=
fl=O
Dans L(E), on a,
pour tout (u, v),
Il
u0 v
Donc, pour tout u E LIE) et tout kEN, La série réelle
L
convergence de
Il
Il
"'"
Il
uk
Il
u
v Il. u Ilk.
~ilk étant convergente, la majoration précédente assure l'absolue uk
L kl' donc sa convergence. (L(E)
Notons au passage que l'on obtient
Il eU Il "'" ell
_
est complet car de dimension finie.)
u Il k
df'12
dite exponentielle de A et notée ~ ou expA: i_~pour toute matrice A E .Vifl(IK), la série
•
1111
Il "'" Il
Si A ~
L~
Il
A Il est une norme d'algèbre sur pour tout A E
},/t fl(lK)
.Vifl(~)'
et tout kEN,
L1
~ = k. k=O est co::e~:nte,
sa somme est
on a : Il A k Il "'" Il A Il k
Comme en définition 11, la convergence de la série réelle
L
Il
~r
assure l'absolue
Ak
convergence, donc la convergence de J.:.
.,
L kl'
étant une base fixée de E, pour tout A tel que A = matCei) u.
(eih<;i<;fl
On a alors
\;f
n EN,
L Ak1 = m k=O
k.
mat Cei)
L;-
(mk=O k.k)
E .Vifl(IK),
il existe u
E
L(E) unique
306
Précis d'Analyse
Ak On peut donc aussi dire que la convergence de
:L TI
Il
k résulte de celle de
:L
%! :
~.. \
Lkf=%~t +00 Ak . n=O
Lkfuk)
ou
~
= mat(eil
eU
(+,00 k=O
Exemples Pour tout ÂE 1ft
Pour tout (ÂI, Â2"'"
f:
èIn
=
eÀ1n
(en particulier
eO
= ln),
E [Rn:
Ân)
exp [diag(ÂI, Â2,' . , ,Ân)] = diag (eÀ1,
eÀ2,
' . ,
,eÀn)
B. Théorèmes Théorèmes:
t.21
L'application exp : LCE)~ LCE), u 1--7 eU (resp. exp : .Vin(iK) A est continue sur LCE)(resp. sur . Vi n ([kC)). 1--7
1
• •
-
.Vin(iK),
~)
Soit u et v dans L(E) tels que Il u Il < R.11v Il < R, avec R E R+. On a alors
'ïI le E l'>r.
Il uk - vk Il "" le Rk-lll
u - v Il
La propriété est en effet vraie à l'ordre 1. Si on la suppose vraie à l'ordre le - 1, on obtient:
vk = uk-l
uk -
donc
0 (u - v) + (uk-l
Il uk - vk Il'''' Il uk-llili
- vk-l)
0 v
u - l'II + Il ule-l - l'le-III
Il l'II
et, d'après l'hypothèse de récurrence: Iluk-vkll
•
u - v Il : la propriété est récurrente.
Conséquence: Il eU
-
Il =
eV
1
c'est-à-dire
t.22
U E L(E)
(resp. t
1
u-v
""Rk-Illu_vll+(le_l)RIe-1
c'est-à-dire Il uk - vk Il "" le Rk-lll
1--7
L +x ~O
Il eU
-
u I~
k
v
eL'
""
kll
""
Il u -
u-
L'
L +x
L'
~l
Ile _ H
Rk-l
t!< La conclusion en résulte.
(resp. A E . Vin(!:)) étant fixé, l'application [ etA de r< dans .\'''Inl!:)) est continue sur >c,
1--7
eW
D
de
:<
dans
L(E)
C'est un corollaire du théorème 21,
t.23
Si u et .Vin(iK)),
1
~
(resp. on a:
v
Montrons que
A
et
E)
sont deux éléments permutables de (resp. tT"+B = tT" eB)
DE)
(resp. de
eUH' = eU eL'
Dm(u, v) =
L2m Iu+ k=O
1
le. V/(
-
L ~L (mL J.-:,- tend vers 0 quand
(' i=O m Ui)
,)=0 uj)
m tend vers +00, le théorème en résultera. ui J ui J ana Dmlu,v)= '\"' --'1" '\"' -L J. L J.
..
0
O$;i+j~2m
(Puisque u
0
0 .",
g~;.:~
u = u 0 u, on a pu développer (u + L-ile par la formule du binôme)
Chapitre 8 :
Séries
Ainsi
307
entières
m-l
m-l
U
le=O
2m-le
m-l
v ij
_, f +'-' L
L
j=m+l
j=O
~f
:!
bO (II U
v'Y j!
v )le _
La conclusion résulte alors de : ')m
lim
m~+:x:
1
L-. '.
Ule
2m-j
1
~,-, L k!
c'est-à-dire !jDmlu.
J
-;;-+L-;;L k. le L J. J. le=m+l j=m~l j=O
le=O
'iDmCU.
m-l
Ule 2m-le vl
Dm(u,V!=Li
2m-j
, L
k=m+l
(f~O
(f II~!I~)
~!II;)
FO
1" le
U
le=O
+, k!
V,,,)
,
ell u'HI
L"
=
el] u]1
el
vii
(f II~t)
(f
!=o Il~!II;) m~rrC0 )=0 m~~:x: On pourra faire le parallèle entre cette démonstration et l'étude du produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes (cf. chapitre 4 de ce tome, théorèmes 20 et 21). 1.24
Pour tout u E .cCE) Cresp. A E .VlnCIIi)), eU, Cresp. ~),
=
Ceurl
1
e-u
1.25
U
Cresp. A
E .cCE)
(resp.
t>---+
é" de
t
(resp. eO = ln).
t
étant fixée, l'application
E .VlnCc{))
R dans .VlnCK))
1
IdE
>-i>
U 0 etu
avecA
>---+
etu de IR dans .cCE)
est de classe el sur R de dérivée: (resp. t
>---+
AetA)
tleule
Considérons la série LA
avec:
= e-A)
Cresp. C~)-l
C'est un corollaire du théorème 23 avec eO =
est inversible
:t
>---+
~
tleAle
(resp.A
:t
>---+
~).
On a ici affaire à une série d'applications dérivables sur iR, à valeurs dans l'espace de Banach .cCE) (resp .. VlnCIIi)), convergente sur IRdont la série dérivée est normalement, donc uniformément, convergente sur tout segment [-a, a] de iR.
Remarque
'i U E
.cCE),
'i t E iR,'i kEN.
C. Calcul de exp(A) - A On suppose que
II
XA,
(tu)le 0 U = U 0 (tU) le, donc
U 0 etu = etu 0 u.
E Mn (Di)
polynôme caractéristique de A, est scindé dans iii [X] :
p
XA
CX) =
(À; -
X)mi,
CÀl. À2' ... , Àp) étant les valeurs propres distinctes de A.
i=l
Remarque Après avoir étudié deux cas particuliers, nous n'envisagerons ici que des méthodes utilisant une réduction effective de A. Nous verrons en Algèbre Il, (Réduction des endomorphismes et des matrices), un calcul ne nécessitant pas de réduction effective.
308
Précis d'Analyse
1. Deux cas particuliers
Il
"-
1
~ al A est nilpotente
d'indice
X
r
r ~ n, alors
On sait que 1 ~
~=~Ak
~
k=û Je!
A a une seule valeur propre
bl ÎI.
est alors d'ordre
n et on a
A
ÎI.
=ÎI.
In + N où N est nilpotente.
Das ce cas, In et N étant permutables, on obtient: n-l n-l Nk soit ~ = é1n . ~ = In '" -Je! ~ = eÀ ~ (A-
é
12.
A est diagonalisable
L k=û
k=û
ÎI.
In)k
Je!
.
1
Il existe Q E.2n (ni) telle que
Q-I AQ = diag(/-ll,
/-l2, ... , /-ln) où le n-uplet
(/-ll, /-l2, ... , /-ln) est formé des Îl.i, 1 ~ i ~ p, chaque Îl.i étant repété un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité: mi. On a alors ou d"
13.
V JeE N,
Q-IAQ
.....
--
= diag (/-lf, /-l~,""
{Q-.I.~ ~Q==cliag(.efL.~,#1.,_· = Q diag ( efL1 , efL2 , •. ..•,efLn) , efLn)
Cas général
/-l~)
Q-I
1
On sait que E =nin est somme directe des sous-espaces caractéristiques Fi, 1 ~ i ~ p,
(u-
de l'endomorphisme u canoniquement associé à A: Fi = Ker
Îl.i IdE) m,.
La détermination effective de ces sous-espaces permet de construire une matrice
Al A2 Q E.2n (ni) telle que
(0)
Q-I AQ = (0)
avec Vi
E
[l,p],AiE
} ..1m,(!;<). Ni = Ai-
Îl.i Imi
Ap
étant nilpotente d'indice Ti ~ mi.
(Q est la matrice de passage de la base canonique à une base obtenue comme « réunion »de bases des Fi).
_
On a alors
Q I~Q
~2
=
(0) [~l
(0)
eJ
. mi-1 et, d'après le deuxième cas particulier, é"i = eÀ' ~. k=O
(Ai-
Îl.i Im,)k le
1
co
Chapitre
309
8 : Séries entières
Exemples - Travaux pratiques L
//
j: •
Calculer
On a
exp
A
-3
pour
A= -; exempl~23
3
-5
V
\7/
-:] ["
E M3(~)
(x) = det(A - XIs) = X(1 - X)lX - 16)
XA
A est diagonalisable dans. \/(s(:=2)(trois valeurs propres distinctes).
On trouve
p-l AP = diag(O, 1, 16) avec'
p= D'où
~
= p diag(1, e, e16 )p-l, ~
j:
Calculer
• 1
~
="6 1 [
A=
pour
exemple 24
On trouve
1 1 -1 1 2]
[01 -1 1
XA
soit: 2e - 2e16 3 + 2e + e16 3 - 2e - e16
2e- 2e16 -2e 2e16 2e ++4e16
-2
3
3 - 2e _ e16 3-2e + 2e+ +2e16 e16
]
1
[S4 -1 -1 -1 -5]
? (X) = (2 - X)(X - 4)-.
Soit E = ~s et u E .c(E) tel que A = mat u,
B = (el. e?, es) étant la base canonique de E. On
B
.
~
trouve:
Ker(u - 2 IdE) = Vect(el + e2 + es) Ainsi dim Ker(u - 4 IdE) < 2:
,
Ker(u - 4 IdE) = Vect(el - e2 + es)
u n'est pas diagonalisable.
Pour trouver le sous-espace caractéristique Ker(u - 4 IdE)2, on calcule: (A -
4Id
-2 2 4
=
-2 2 [-2 2 44] D'où
Ker(u - 4 IdE)2 = Vect(el - e2 + es, el + e2).
Posonse~=el+e2+es,
e3=el+e2,
e~=el-e2+es,
(e~,e~,e3) est une base de E telle que: u(e~) = 2él, u(e~) = 4~, u(e3) = u(el) + u(e2) =
BI =
Donc
ITf3EJ-t
Alors
exp
u =
0 [2o
4 3 = 00 4O]~'
Finalement
é
=
[404013] ~
=
Q-l AQ donc
avec
~
=
_e2 - 5é -e2+7é [-e2+9é
Q
1 -1 1 11 [ 1 0
é
[e2ooé 0
[1 3] à
Q=
7el + e2 + 3es =
e2 +
e2-é
é
2e2 + 4é 2e2-6é 2e2-Sé]
1
01] 3é Q-l 0 ]
4e3 + 3e~
310
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types v/7
Ex. 8. 7
I:
Soit anzn une série entière de rayon de convergence p telle que V nE N, an E IR:. Que peut-on dire du rayon de convergence pl de la série entière
I: a~zn,
l=
(~IR)?
il o
Ex. 8. 2
I:
Pour tout n E N, on pose Sn =
L
que
ak,
que peut-on dire du rayon de convergence de
I: Snzn?
dx, nE N . *
1 [--+lR,x~
1
-.Slnx --. x
une suite à valeurs dans IR: telle diverge et telle que la série entière
I: bnxn
ait pour rayon
lim = S EIR. n~+x bn 1) On note: +:;0
f
Montrer que est prolongeable par continuité en O. Soit 9 ce prolongement, montrer que 9 est de classe CCO sur ]- TI, TI [.
f(x) =
;"
O.
+:"(>
anxn , g(x) =
L
bnxn.
n=O
f(x) Montrer que lim = S. ~;::;1 g(x)
1
Soit a E IR: étf E CX (] - a, al, IR) telle que:
L n=O
Ex. 8: 4
a, a[,fn)(x)
I: bn
an
V'
Ex. 8. 3
2)
Application: soit
Cl'E
IR:.
Montrer l'e;x:istencedans IR: de
+x
Montrer que: n
+c<:
~0i(1-
x)O:
VXE]-a,aLf(x)=L...,f
(5' calculer:
Soit (anhj une suite réelle telle que
///'
-
t'n(1 + x + ... + xn)
de la variable réelle x, de convergence 1.
k=O
V nE N, V XE]
n=l
TI2
=
2
--------
Soit (bn)N n
:]- TI,O[u]O,'iT
Ln
Ex. 8.8
Soit anzn une sér vergence p.
Soitf
1
+Cv
En admettant que
n.
"'"""" X n=O
ln)
x
(0).
L n=l
no:-1xn.
Ex. 8. 9 1)
Montrer que la fonction
Déterminer le rayon de convergence p de la série entière de la variable réelle x:
f :] - ;, ; [
"'"""" L... 1.3 ..... n, (2n + l)x. n~O
1
est l'unique solution sur
2)
tan x
--+ IR, X ~
]
-
'2' '2 TI
TI [
2n+1
Montrer que la fonction somme de
l'équation différenti~UEJL~~_~,,"V';' En déduire que est développable en série entière à l'origine.
f
Ex. 8.6
Ex. 8. 10 Soit (Un)p, la suite réelle définie par ua = 1 et n V nE N, Un+l =
En déduire, pour tout nE N.
bn='_l1+1 ~ xndx
'a
E IR.
est solution
En déduire une expression explicite de f.
L
UkUn_k
k=O
dx -x Calculer I(a) = ./,+1 -l(a-x ---)-V"1====:'2
f
d'une équation différentielle du premier ordre.
Calculer Un en fonction de
n.
Chapitre 8:
Séries
311
entières
Indications Ex. 8. 1 Distinguer
Ex. 8. 6
Ii a)
les cas 0'> 0 et 0'< O.
Utiliser pl = sup{ r E:Ki+ /
lim n---'--j-:x:
a~rn = O}
1
'if
n ~
1. an = Sn
L Snzn
a
- Sn- 1.
est le produit de Cauchy
de
-x
+x
=
n+l
L anzn
Ex. 8. 7
9 comme
le quotient de deux fonctions de ne s'annulant
ex avec un dénominateur sur J- ",,, [.
----du €n(l u- u)
l = __n+1 n_l1.0 Jo('1
€n(l u- u) du =
EX.8.4 Ecrire la formule de Taylor-Lagrange n
Sn(x) =
L
lim - J'l-" --du +x un-1 ,-0 0 n po' n==l
avec reste
= Sn(x) + Rn(x!.
:j(x)
intégral
-I(a)
xn
L
EX.8.3
pas
=
n=O a
par ~ zn.
Ecrire classe
I(-a)
ai > 1 et xi ~ 1.
Pour
Ex. 8.2
> 1,
a un sens pour
x
L
le
Ex. 8. 8
'k/lel(O)
1)
le=O
Montrer que lim x-1 g(x)
= +:x.
x<1
Rn(x) = fr'x (x - !Onj in+l!.,(r) dt. .0 n.
2)
Pour x EJO, al, la suite (Sn(X)) est croissante majorée.
Etablir alors que pour 0 < x < y <
Développer x f-7 (1 -
en série entière
xl-a
et appliquer
le 1).
a EX.8.9
Rn(x)
Rn(y)
o ~ n+r ~ n+r' x y lim n---'-+x
Rn(x) =
,
.'
pUiS en dedulre
que
0
Pour trouver
l'équation
différentielle,
partir des
relations:
(2n + 3)an+l = (n + l)an
Ex. 8. 5
(2n + 3)an+1X2n+2 = (n + 1)anX2n+2 Pour tout XE de
j
est
à
[
0,
2" [,la
série de Mac-Laurin
Ex. 8. 10
termes positifs.
Vérifier que la somme de cette série est solution
+.:<:;.
=
Introduirej(x)
L Unxn n=O
de
il = 1 + y
.2
sur
]
-
2' 2 . " ,,[
Montrer que
j(x)
second degré.
est solution d'une équation du
312
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types •
Cas où
1 Pour r E IRtel que
n anra = 0
lim
d'où
0 < r
n~+oo
Ceci montre que
et
on a
0 < rœ
lim
a~rn = O.
n~+oo
1 n--++oo lim
p/=sup{rEIR+
a~rn=O}
~p"'.
Pour r >p"', la suite ( anr ~ ) ~ ne tend pas vers zéro, la suite (a~rn) Finalement, •
pl
non plus. Donc ~.
=p"'. Noter que ce résultat est valable pour p= 0 : pl = 0 et pour p= +oc : pl =
+x .
Cas où a< 0
Supposons p> O.
1 Pour r E IRtel que r >p"', on a Ceci montre que
lim
n--++;x
n-.;..+(:x:::
a~rn =
+x.
~p"'. Voyons sur un exemple que l'inégalité peut être stricte:
pl
1
Zn
aZn = 2
n
lim anra = 0 et
r'"
,aZn+l
1 '" -'"
= 2Zn+1
donne
p= 2:' p = 2
l
'"
,p = 2
Le résultat précédent n'est évidemment pas valable pour p= 0 (0'" n'a pas de sens). Dans ce cas, tout est possible; exemples: aZn = (2n)Zn an = nn
,
donne
aZn = (2n)Zn
Notons
pl
_
aZn+l p= 0,
1 Zn+l
(2n + 1) pl
p=p = 0,
= +cc,
aZn+l = 1
donne
p= 0,
le rayon de convergence de
Soit alors z E iC tel que Izi
1
donne
L
pl
= 1.
L Snzn et supposons
p/~
0 .
Snzn est convergente ainsi que
n~O
donc, en notant que
L
Sn_lZn = z
n~l
'il n ~ 1, anzn = Snzn - Sn_lZn,
L
Snzn,
n~O
on conclut que
L anzn converge.
Ceci montre que p~p/. D'après ce qui précède, p= 0 exige En observant que
L zn,
pl
= O. Supposons maintenant p> 0 .
L Snzn n'est autre que le produit de Cauchy des deux séries entières L anZn et
E'n-éonclusion : on a dans tous les cas
Remarques
pour p~ 1 : la formule précédente donne
2)
pour p> 1 :
•
on peut avoir
p) (cf. théorème 5).
~-------------"'J
1)
•
&
inf(l, iJ;1(:c:p) ~p~~,
de rayons respectifs pet 1, on obtient
1
p = 1. Exemple: an =
pl
=p.
1n.1
alors
p= +oc
et
et pour tout
pl
=p. Exemple: aZn = 2Zn
n E "" ~, 8?n -
1
= -Z2n
SZn+l = 0
= e
1
1 on peut avoir
hm Sn
n----'-+::>:
aZn+l = - ~
2-n
donc
pl
= 2.
alors
p= 2
donc
p/=
1.
Chapitre 8 :
313
Séries entières
Ex. 8.3
,
x
6'
Au voisinage de 0, j(x) ~
•
on pose donc
= O.
glO)
u(x) = x - SlllX
Soit u définie sur R par
po
;1
~_
urx;=Oetu(O)=O VXER.
u est développable en série entière de rayon p= +x. :
+co
u(x) = 2)-lf+1
x2p-1
p=l
ex
elle est donc de classe
sur R. SlllX
•
Soit v définie sur ~ par
v(x) = -----:x-
pour x ;= 0 et v(O) = 1.
+x
+x.:
v est développable en série entière de rayon p=
V x ER
v(x) =
:2.) -If
x2p
U---
p=O
ex
elle est donc de classe Pour tout XE J-
sur R.
on a
'Ti, 'Ti [,
u . 9 = -V est egalement de classe eco sur J-
v(x) ;= 0, donc
'Ti, 'Ti [.
Ex. 8.4
x
•
La formule est vraie pour
•
Pour tout x E J - a, al, la formule de Taylor avec reste intégral donne: k n f(x)
= Sn(x) + Rn(x)
= O.
avec
Sn(x) = L "'""
De l'hypothèse
V nE N, V tE J - a, al.
ln)(t) ~
VnEN,VxEJO,a[, Pour tout x E JO,al. la suite (Sn(X)) il en résulte que (Rn (x))
la fonction fn+l) X f-i>
et
Rn(x) =
lx -ln+1)(t) (x - tt o
dt
n!
0, on déduit:
Rn(x)~O
d'où
Sn(x)~f(x)
est donc convergente car croissante et majorée (par f(x))
;
est également convergente.
V n E N, V X E J - a. al.
On a d'autre part,
1k; jlel (0) X
k=O
Rn(x) = ~
n+1 n.. 1.1 0
(1 -
u)nln+1)(xu)
du
étant croissante, (fln+2) positive), on en déduit que:
il
J
----n:iT = -;:;-r (1 - u) (xu) du Rn(x) n In+1) x n. 0
1
Pour tout x E JO,al. fixons y tel que
est croissante sur J - a, a[ \ {O}. .
0 < x < y < a, on a alors:
Rn(x) Rn(Y) o ~ ----n:iT ~ ----n:iT x y
donc
0 ~ Rn(x) ~
x Rn(Y) ( Y ) n+1
tend vers 0 donc Rn(x) tend vers 0 et Lorsque n tend vers +cx:, Rn(Y) admet une limite et ~ ( ) n+1 +co n f(x)
= n~rpco Sn(x) =
L n=O
:/n)(O).
Pour tout x E J - a, 0[, on a : 1 1n+1 IRn(x)1 = ~
1
~ hr (1 -
1n+1 du ~ _X__ ln+1)(O) 1
utln+1)(xu)
~
1
hr (1 -
u)n du
314
Précis d'Analyse
In+l
1
ainsi tE
C:+ l)!fn+l)(O),
IRn(x)1 ~
n!.!.~vRn(x)
donc
tn . ]0, aL la série de terme général ,fnJ(O) n. 't/
= 0, car on vient de voir que, pour tout
est convergente. n
+:;.;)
Finalement
Il
x E] - a, a[, 1(x) = L n~O
;fnl(O). n,
Ex. 8. 5
1)
Notons que 1 est solution sur
J
= ] - ;,
(E):!!
; [ de l'équation différentielle
=
1+ lf'.
1
Soit
'Il
une solution de (E) sur J, on a
't/ x E J, Arctan
il vient:
cp
(x) = x -
Xb ;
't/ x E J, x - .K{J E J
~ 1+
= cp
1
donc il existe
tel que
.K{J E ~
la fonction Arctan prenant ses valeurs dans
et donc
_\'.Q
On en déduit que 1 est l'unique solution de
=
° ; ainsi
(E) sur
J
= ]
2' 2 ' TI TI[
(x) = tanx.
cp
1.
p
2)
Def
=
+ 12, on déduit, pour tout p
1
E
.R0x
,jP+ll = L
C;fkJ/P-kJ
(formule de Leibniz).
k~O
Une récurrence immédiate donne alors
[0, ; [, 't/ p E R0,jP!(x)
't/ XE
~ O.
En écrivant la formule de Mac Laurin avec reste de Lagrange:
k
P
p+l
L
xki1 (k) (0)+ (px + 1)!1(p+1l.Cc) 1(x) = '\"' k~O on obtient
't/XE
[
0,;
0< c < x
.'t/pEN,L;jk!(0)~1Ix) k.
[pk
k~O
xk ce qui assure la convergence de la série de terme général positif -/e 1
Ainsi la série de Mac Laurin de
/ci(O).
1
a un rayon de convergence supérieur ou égal à ; • C'
soit
't/ x E J,
Posons, pour tout kEN,
ak = k!f
1
3)
j
/c
J
~x -/e L k~O
l/c
'(0).
(k
)(0 J, p
on a
ao
=
0,
al
=
1
et
't/
p ~ l,fp+ll(O)
=!p + ll!ap+l
=
C; k!a/clp - k)!ap_k
L k~O
p donc
't/
p ~
l, (p + l)ap+l
= L
akap_
/c.
/c~O
De 't/ x E
f
J,
on déduit alors
apxP ,
(x)
f
= p~l papxP-l
't/ x E 1.
,
1
f (t
d'après 1).
k~O a/cap_ le) xP,
Chapitre 8 : 4)
Séries
315
entières
Le raisonnement précédent montre que le rayon de convergence p de la série de Mac Laurin de
j
est supérieur ou égal à ~'.
Cette série est divergente pour ÎÏ
gente sur
[
= ;.
En effet si elle était convergente, on aurait
'n
Ii
TI'
':2 . ianxn
V X E []- 2
x
= anX
~ an ( 2) . n et la série serait normalement conver-
q,: x
- 2 . 2 ,donc la fonction " ,,]
et la fonction j, restriction de q, à
L anX '\' n
serait continue à gauche en
n=O
- 2 '2 ]
'-J>
admettrait une limite finie en 2
"
,,[
:2 TI
!
TI
p=; .
Donc; on a finalement Ex. 8. 6 1)
Pour
a
1 E;:;, posons
ja est [-1,
ja(X) = Ca , -
~'
x)
·1 Si a E [-1,
•
1-
l'ensemble de définition et de continuité de
x2
l[ \ {a}.
1
,
1-1 jaC>:)dx
1], l'intégrale
est divergente: jaCX) ~ a _ x pour x < a et
1 ja(x) ~ a _ x pour x> a.
Si a
•
il
[-1, 1], l'intégrale est convergente: au voisinage de l,jaC>:) = 0 ( )11_ x) , et
au voisinage de -l.fa(x) Remarquons que I(-a) Calcul de Posons
I(a)
2)
=
./.1 -1 (-a
x)·
{-1 (a
dx - x)V1-
x2 = JI
-2 .lar:0
.
t
pUiS t = an
e 2'
'1 1
.
2_ [ArctantJ_a_+-r~=--TI-' a-la
= __ va2-1
d~ a-1+t2(a+1)
va2-1 _
TI
a < -1,
on a donc
I(a) = -I(-a)
=
~
1
Avec al > 1, on a, pour tout x E [-1, 1
1 f·1-1 I(a) = n-1 ~ k=ü ak+1
En posant
a E]1, +x[ .
vient:
Calcul de bn.
d'où
= -I(a)
d_u - u)~
La remarque précédente permet de se limiter au cas où
x = cos e, eE [0, TIJ
I(a)= .la {Ti a-cose de Pour
= 0 ( J/+
~
xk
Rn = -----n -----a1 .-l(a-x)~
xn
fI
1J et tout
Tl
xk
xn
E l'\:r, a _ x = ~ k=ü ak+1 + an(a _ x)
1 fI-1 (a _ x)V1xndx
dx+ an.
dx
n-1
on obtient
x2
IRnl ~ ~[I(a)1
316
Précis d'Analyse
lim Rn = 0 et
donc
n-1 bk L k=O a
hl
lim
I(a) =
n--++oo
n--Ho;:;,
Il
+C0 bn = L n+1 n=O a
Remarque Nous venons de justifier, sans recours aux théorèmes généraux, l'intégration terme à terme sur
xn
+co
[-l,l]delasérie
fa(x)=L n=Oa n+1~'
1- x-
On peut procéder différemment: 1_e2
•
On sait que
•
Sur [-1+
f
I(a) = e~O. lim -1+e2 fa(x) dx. Xn
e2, 1-
e2], la série de terme général
Un(x) =
est normale-
a n+1Yl-X ~1
1 ment convergente car
'i XE
[-1+
11+e2
~.
xn dx
.1_e2
VI _ x2'
vn(e) = an+1 1-1+e2
Posons alors
xn dx
1_,2
= Ln=O an+1
/ -l+e- Ja(X)dx
1 •
1
+0;:; 1
1_82 On a donc
e2, 1- e2], un(x)1 ~ an+1 e
on a,
'i n EN,'ieE [0,1],
1
11+e2 ·1_e2
~
xn dx
~.
1
fI-1 ~ dx
=TI,
TI
donc
1
Vn(e)1 ~
a n+1'
convergente sur [0,1]
la série de fonctions de terme général Vn est donc normalement
; puisqu'il s'agit de fonctions continues sur [0,1], on en déduit que
+00
e f-7 L vn(e) n=O •
est continue sur [0, 1]. +x +x +:c bn I(a) = lim L vn(e) = L vn(O) = L n+1 e~O n=O n=O n=O a
Finalement
Ecrivons maintenant le développement en série entière de
'i
1, 1[,
CE] -
~
1
1-
+0;:;
= '\""'
c2
~
c f-7
1 r----;:;' y'l-c'"
(2n): 2n 9n 9C (n:)-
2-
n-O
1 -- E]O,
1ï
Pour a> 1, on a C = a
1[, donc: I(a) = y'a-~1
Comme d'autre part, I(a) =
L
=
+0;:;', TI C
y~1l-C~ 2
~
L
(2n).
2n+1
=1ï n=O22n( n,1)" C
+00
déduit:
'i n EN,
bncn+1, par unicité du développement en série entière, on n=O
1-
x2n x2 b2n = /1-1 ~d..'C 1 2n+1
bzn+1 = / -1 \ ~
= 2-n(n:t 9(2nJ: 9 1ï
1- x2 dx = 0,
(intégrale d'une fonction impaire sur [-1, 1]).
Chapitre 8 :
317
Séries entières
Ex. 8. 7
•
f est continue sur JO.1J
= tn(l + x X+ ... + xn)
Posonsf(x)
et
f(x)
~ 1, a
ce qui assure l'existence de J.
•
On a
1-
xn+1 =
Jo{1
donc
1·1 .0
tn(l -x ./.1 a
•
J
= ---
+ xn) = tn(l - xn+1)
dx-
tn(l _x xn+1)
----
u)
x)
'~o .
1 l·la
= --1 n+
,0
---t'n(1u- u)
du
du
hm ),.1-8 ---tn(1-
=
tn(l - x) ~ t'n(1 _ x) x 1
et
dx.
11 -----dx tn(l -x xn+1)
on obtient
u)
/1 ---[n(1x -
.,0
1'1 tn(l u0
De1,1----du tn(l- u . 0
-1)
est également convergente,
-----
n n+1
tn(l - x).
-
tn(1 - x) = dx est convergente (.~~ ----
eL\:
xn+1)
u = xn+1,
En posant d'où
tnil x - xl
-----
etona 1=
+ xn)il - x)
tnil + x +
donc V x E [0.1[,
L'intégrale
il + x +
u u)
a
du =
-
hm 11-8~ +x -un-1 du, e~O
•
0
n=l
n
un-1
en tenant compte de la convergence normale sur [0, 1- eJ (eEJO,1J) de la série entière ~ n",l
Il ---~ tn(l
on déduit
a
-n-'
L
du = - hm . ~ +:.: ---. (1-n2e)n u - u) ,-0 00 n=l n
L
est normalement convergente sur
Or, la série entière ~x 2 n"'l n sur
[-1, 1] et finalement
11 tn(l ua
J
=
du =- ~ +x 2n1 n=l
est donc continue
=-6.••. 2
2
n En conclusion:
u)
[-1, 1], sa somme
TI
6'
n+ 1
Ex. 8.8 1)
•
Montrons que hm x-l g(x) =
+x
(1).
x<1
no
Par hypothèse sur
L bn, à tout A>
no
On a
hm ~
x-+l
0, on peut associer no EN tel que
bkXk
=~
bk ~ 2A, il existe donc
'l, 1[, ~
+00 bkXk
~ A. Donc
k=O
Finalement
'lE ]0, 1[ tel que:
k=O no
V x E]1-
k=O
no
k=O
V A> 0, 3'1> 0, V x E]1-
~
~ k=O
no bkXk > ~ bkXk k=O
~ A.
'1,1[, g(x) ~ A : c'est (1).
bk ~ 2A.
318
Précis d'Analyse
•
Montrons
L bnxn
L anxn
p de
(2);
vérifie p~ 1
ayant pour rayon 1, pour tout x E!Ritel que [xl < 1, on a
lim , anxn = 0 (anxn = banbnxn et n~+:o lim n-++co n
donc
•
que le rayon de convergence
Il
lim
n---'-+x
bnxn = 0
an bn = S) (2) en résulte.
f(x) Supposons
lim
S
=
0 et montrons
que
lim -( _~~1 9 X ) = O.
an = 0 donc, à tout 8> 0, on peut associer
no E ~ tel que, pour tout n ~ no, on ait
n-HCO' bn 8
lanl "" 2:bn.
f
1[, n=TlD anxnl
V x EJO,
On en déduit,
1
f
n=TlDbnxn""
"" ;
ig(x),
TlD-1
pUIS .
2:8
"" g(x) +
g(x)
If(X)
ATlD
1
D'après
(1),
L
rani
n=O
n=O
anxn +
il existe T]EJO, 1[
L
anxnl n=TlD
""
x
V
tel que
ATlD
+ ;g(x»)
E]1-
T], 1[,0 "" ;~)
9x T], 1[, Ifix~
(V8E !Ri~)(3T]E!R~)(V x E]1-
Finalement
•
1
Lf(x) 1 =
L
=
+x
TlD-1
(écrire
ATlD
avec
1
"" ;.
<8) c'est-à-dire
X::-,' f((X» 9 X = o. lim
f(x) Cas général,
montrons
que
lim -( X ) = \~119
S. f
Posons
a~ = an - Sbn.
lim
on a
an - =0
n--++x bn
+x donc
. f(x) hm x<1 x--+1
c'est-à-dire
lim f(x)
Hl
g(x)
x<1
2)
= 0
- ()Sg(x) 9 X
=S
L
(""' a~xn =f(xJ n=O
- Sg(xJ),
.
Application
L +CO
On a
(1 -
xl-a
= 1+
n=l
Posons
bn = na-1
a (a +1)· .. (a +n - 1) xn n,
,
> 0, la série
L n~l
série de rayon p= 1.
1- a< 1et la série
bn diverge car
entière
pour rayon 1, (utiliser le critère de d'Alembert).
En posant
an =
Puis avec
a(a+1)
II
Un = n-1 k=l •
Au voisinage
~,
... (a+n-1)
( ,1 +--==-le )
de O. on a
; il vient
'
tn Un
tn(1 + x) = x +
II
n = ---cc nan-1(' an k=l
on a
-b
L tn ('
= n-1 k=l
CJ(,,?
J.
. 1 + : ')
L
n~l
1 + -le
a)
bnxn a
Chapitre 8 :
Séries
319
entières
il existe donc une suite
telle que
'V1c)e"
,1 +
("
{n
k) Π\
k + Vic avec
= +x
Œ
L
La série ') L'ic est convergente et, en notant F =
on a, quand
Vic,
n
tend vers +x,
lc=l
n-l
L
L'1c = \T
•
Par ailleurs
+ aGI.
Ic=l
n-l 1
"'" -k =.(n n+ '1," + c,III L
('1 constante d'Euler)
Ic=l
•
{n Un =Œ .(n n+ Œ,! + \' + oG)
d'où finalement,
ce qui donne
. hm -an n-+x bn
Un +~c ne, eŒ'i+,e et enfin
1
+x
D'après le 1), on a alors
L
~in~11- X)Π~-.
nŒ-lxn
= _e-Œ'ICi
n=l
x<1
eŒ'/+ . l'
=Œ
v
E [Fg~, c'est la conclusion.
Ex. 8. 9 n!
Posons De
an=l·S· x2
an+l _ n + 1 an - 2n + S
=
2"
et p=
+:~
PourxEJ~v2,\2[,ona: ln /-
l\xJ=Lan[' ""'" n=O
et la relation (2n + S)an+l = (n + l)an.
J2.
+=..::.
f(x)
9n~1
= L(2n n=O
+ 1)anX2n,
n ~ 0, donne successivement:
+x
+x
L (2n + S)an+1X2n+2 = L (n + 1)anX2n+2 n=O n=O +x
+x
2
"'" ,9n L (2n + l)anx-
+~
,2n =X 2" "'" L (2n + l)anx n=O
n=l
+"2x "'" L anx 2n+l
n=O
2 1
X
1 (x) d'où
1
(x2
-
2)f(x)
+ 4(x)
(x2
-
2)y'
1
X
1 = '21 (x) + 21(x)
+2 = 0
apparaît comme l'unique solution sur
(E)
~
l =] - J2. J2[
+ À1}+ 2 = 0 vérifiant
y(O)
de l'équation différentielle
= O. (cf. Analyse
1, chapitre
11). À.
L'équation homogène associée (H)
(.>?
-2)y' + À1}=
0 a pour solution générale sur l
La méthode de variation de la constante conduit à la solution générale sur
x et la condition 1(0) = 0 donne
f-;>
1
V XE] -
[ 2 Arcsin
(
J2, J2L l(x)
:x
l:
h) + ~] =
~Arcsin
(
h)
f-;>
~
2-x2
320
Précis d'Analyse
1)
Supposons
que le rayon de convergence
L
p de la série entière
Unxn
soit non nul et posons
n;:'û +CX)
v X E]-
p, P [,f(x) = L
Unxn.
n=û
n
+CX::'
On a alors
V
E]-
x
p, P
[,f2(x)
=
L
UnXn
Un = L
avec
n=û
ukun_k = un+l
k=û
+.;:X)
donc
>if2(x) = L
Un+lXn+1 = f(x) - ua
xf2(x) - f(x) + 1=
c'est-à-dire
O.
n=û
1- vI Il en résulte
f
f(x)
devant être continue
V
2)
Considérons
etf(O) •
x
f(O)
en 0 avec
E]-
f
vI -
f
•
VXE
est développable
] -4'4 1 1[ '
fvérifiant
'
I-Vl-
est:
4x
VXE
calcul du 1) montre que:
] -ex;, 41[ par
est continue
f(x)
\j
nE N,
=
1
" 1- vI - 4x
si
x*-O
en O.
en série entière de rayon p=
f(x)=L
+00 n=û
=
+00
(2n _ 2)! xn
1 - 2 n=l
1
(2n)!xn
] -4'4 1 1[ ,xf 2 (x)-f(x)+1 ao
=
1
4:
L (n _1)'. n.
et
\j nE
N,
=O,enposant
n
an+l
=
L k=û
donc
=
f(O)
1 4x
vI - 4x d'où
=
définie sur que
4x
2x
=
= 1, la seule possibilité
p, P [\ {O},f(x)
donc la fonction
f(x)
ou
= 1. On vérifie facilement
x ~
1+ vI -
4x
2x
=
(2n)! Un = an = n!(n + 1)!
akan-k
an=
~I(~,
(2n)!
1\l,le
Il
Chapitre IX
Séries de Fourier
II- L'espace préhilbertien D Définitions: On note D le t::-espace vectoriel formé de l'ensemble des applications
d.1
f:
R~[:, 2 ,,-périodiques, continues par morceaux et qui vérifient pour
1" tout
x
réel:
fex)
=
2
lfex +
0) + fex
-
O)J
Remarques 1)
On rappelle quef
: R~C est continue par morceaux sif est continue par morceaux sur
tout segment [a, bJ de R. 2)
Si f : IR:~C est 2 "'périodique,
alors f est continue par morceaux si et seulement si f
est continue par morceaux sur [0.2 TI]. Dans ce cas, 3)
f n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité sur [0,2
Toute fonction droite notéefex
4)
Soitf:
f :R~C,
continue par morceaux admet en tout point
+ 0) et une limite à gauche notéefex
IR:~C, 2,,'périodique,
On lui associe une fonction]
x
TI].
de IR:une limite
- 0).
continue par morceaux. : R-+C de l'espace
D en posant,
pour tout réel x
]ex) = ~ [fex + 0) + fex - 0)] Sur tout segment [a, bJ de R,f etf
ne différent qu'en un nombre fini de points.
Quitte à changer f en f, on considère que la fonction f est dans D. 5)
Toute fonction f de l'espace
D est
bornée. On note
IIf
lico
= sup lfex)
1
XEIRi
6)
Soit 9 : R-+C, T-périodique, continue par morceaux.
On lui associe une fonctionf
de
D définie
par
V x ER,
fex)
=
9 ( 2T"x)
:
à
324
Précis d'Analyse
d.2
On définit
un produit
scalaire
~ ~C, Muni de ce produit d'une
fonctionJ
sur D par:
if, g)
scalaire,
>---+
(flg)
-21TI .i2'IT ](x) a
=
dx
g(x)
D est un espace préhilbertien
complexe, la norme
de D est notée IIJ IID, elle est définie par: IIJ II~ = 21~ Il
l0f
Il
r2'IT .Jo
Cette définition est justifiée par le fait que, si J
Lf(x)12 dx
E
D vérifie
r2'IT .la
lf(x)12 dx = 0, alors
J = 0 (fonction nulle de D). En effet, il existe une subdivision (tk)O~k~p de [0, 2 TI] telle que la restriction deJ à tout tkL 1 ~ k ~ p, admette un prolongement continu]k
intervalle ]tk-l'
Jk(tk-l)
donc tel que: Comme [tk-l,
+ 0) et
= J(tk-l
(k
.JItk-1 Lf(x)12 dx
= JIrt/(. tk_1 llk(x)12
sur [tk-l'
tk],
= J(tk - 0).
= 0, la fonction continue]k est nulle sur tk[ etJ(tk_l + 0) = J(tk - 0) = o. (1 ~ k ~ p)
tk], doncJ est nulle sur ]tk-l' J(tk) = ~[j(tk
CommeJ est dans D:
Jk(tk)
el.\::
+ 0) + J(tk - 0)] = 0 (1 ~ k ~ P - 1).
De plusJ étant 2 TI-périodique, to = 0, tp = 2 TI donneJ(tp + 0) =J(to + 0) etJ(O) =J(2
TI)
= ~ [J(tp -
0) + J(to + 0)]
=
O.
DoncJ est nulle sur [0,2 TI], et par 2 TI-périodicitéJ est nulle sur R
D
Théorèmes: t.1
orthonormale{~Tl)tlÊ Pour tout n E /l, on définit Alors (en)nd'
1
l0f
et on a
une fonction
est une famille
Chaque fonction
en:
IR---'.C,
(e le ) = p
q
2 1TI
.[.2'IT a
7L
X
de l'espace préhilbertien
D.
en(x) = einx est continue, 2TI-périodique
>---+
e q p. dx =
il _
en(x) = él.'(.
en de D par
orthonormale
1'(
{10
si
P
=q
D
1=
t,2 n Pour toute fonctionJ
l0f
n
de D et tout
Le sous-espace En = Vect(ekLn~k~n
de '\ :
L
(ekLf)12
IIJ II~
~
k=-n étant de dimension finie, il admet dans Dun
supplémentaire orthogonal. (ekL n~k~n étant une base orthonormée de En. la projection orthogonale de J sur En n est Sn(f)
=
L
(ekLf)ek,
(voir Algèbre Il, Espaces préhilbertiens).
k=-n
La décomposition J = Sn(f) + [J - Snlj)] théorème de Pythagore donnent alors: n d'où
Il SnCf)
L
il~ = k=-n
J(ekLf)12 ~
avec SnCf) E En,
lif~
lif !I~
= Il SnCf)
!i~ +
[J -
SnCJ)] E Efi et le - Sn(f)
li~
avec égalité si et seulement sif
E
En. [
Chapitre 9 : Séries de Fourier
325
Corollaire: c.1
Soitf E D ; les séries de termes généraux !(enlf)12 et l(e-nlf)f2 hm (e_n (1=0 genteset n~+x lim (enj)=O. n-+x
1
sont conver-
Théorème: t.3
Lemme de Lebesgue Soitf:
[a.
bJ -C, continue par morceaux. .
-
~
-
iL\:
,j'b a flx)e
[~~.:
Alors, t étant réel: iL\:
.
t2.1~v jba f(x)e
ci.\': = 0
dx = 0
Pour une démonstration, voir le chapitre VI de ce tome: Compléments sur l'intégrale, exemple 1
Corollaire: c.1
Les suites de termes généraux .j.b a
dx.
f(x)einx
convergent
.jb a
f(x)e
:
- inx cix.
.jba
cos n:, ci.\':.
flx)
.j'b a
sin nx dx
vers O.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 Polynômes trigonométriques est une famille libre de .FeR tC), elle engendre ments sont appelés polynômes trigonométriques. (en)nEZ
Que peut-on diTe des nombres n
fonction
Q: 1R~tC,
x
f--o'>
L
réels ou complexes ak cos
kx + bk sin kx
un sous-espace
dont les élé-
al, .... an. bl. ' ... bn tels que la soit constante?
k=l
•
Dans l'espace préhilbertien D, (en)nEiZ En écrivant
= ~
t
est une famille orthonormale, elle est donc libre.
(ak -
ibk) eikx
Si Q est constante, on a Q =Àeo
et donc
Q(x)
k=l
+ 1ak + ibk) e- ikx,
1 d'où on tire
Vk
Conclusion
al = ' .. = an = bl = .. , = bn = O.
E
[l,
Àeo =
n],
ak - ibk = ak + ibk =
2
L
O.
on constate que Q
E
D.
n
k=l
(ak -
ibk) ek
+ (ak + ibk)
e_k
326
1
Précis d'Analyse
Il
II - Séries de Fourier d.3
Coefficients de Fourier Soitf: IR-7C, 2 TI-périodique, continue par morceaux. On appelle coefficients de Fourier exponentiels de f les nombres complexes:
1 J.2'IT 0
Cn(J) = -2
f(x)e-mx
TI'
dx
.
(n EiL)
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques les nombres complexes: an(J)=-;:;;
1Il J2'IT 0
f(x)cosnx<:L'C,
bn(J)=-
1 'TI. 12'IT 0
f(x)sinnxdx
(nEN)
Remarque
àf
Si] est l'élément de D associé coefficients de Fourier.
d.4
d.5
(cf. définition 1, remarque
4»,]
et] ont les mêmes
Cn(J) = cnrj) = (enlf)
Série trigonométrique On appelle série trigonométrique associée à une famille (cn)nEZ: de C, la série de fonctions de .:F(IR, C) dont le terme général Un est défini par LlO = Co (fonction constante) et Un: IR-C, x f-7 Cnein.'( + c-ne-inx (n EN') Série de Fourier Soitf : IRi-C, 2TI-péliodique, continue par morceaux. On appelle série de Fourier def la série trigonométrique associée à la famille (cn(J») nEZ
des coefficients de Fourier
L
Elle est parfois notée
def·
Cn(J)einx.
nEZ:
Propriétés: Soitf
l p.2
: IR-C une fonction 2 TI-périodique, continue par morceaux etf
associé
On note (cn)z la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels (an)l\j, (bn)1\j les suites de ses coefficients de Fourier trigonométriques.
Les coefficients de Fourier de f sont liés par les relations: bn = ir,cn - C_nJ
an = Cn + C-n
En particulier Pour tout réel
ao =
2co et
En particulier
Cn = 2 1 an = -
.lCi+2" a: f(x)e - .
f(x) 1 j'"_•..• n
cos nx d'C.
Sif est une fonction réelle, alors Sif est paire
(n E
bo = O. tnX
Ci
TI
p.3
l'élément de D
àJ.
: an
=
--=
21'" Il • 0
f(x)
an =
O.
et
bn
cos m: d:c ')
Sif est impaire:
an
bn = :.l!
<:L'C
Ibn = --=" /'"
sont réels bn = O.
.,,, 1 .la
f(x)
sin nx d'C.
(n
-j(X) E 'o).
sin n:, clx
Chapitre
p;4
327
9 : Séries de Fourier
Le terme général de la série de Fourier def est: Un : ?:-=:, x;-+ cneiJlx + c_ne-irn: == an cos nx +
bn
sin
TV':
En particulier p.5
Les quatre suites complexes
,Ic- n j."
(Cn!'
(an).,.
convergent
(bn)I\J
vers
O.
1
~
p.6
Conséquence du Lemme de Lebesgue ou bien de
Cn
(-en!!)
==
dans D.
Soit A l'ensemble de convergence simple de la série de Fourier Sa fonction somme est définie par: S : A -·~.X;-+CO+LCne ~ "'"'
L'lX
n=l
+C-ne
sexY
On note par convention
-
inx
ou
S()' x
def.
b nS1nnx .
el{) ~, =='2+Lancosnx+ n=l
Cneinx
==
n=-C<)
L'ensemble A est stable par toute translation 2 'iT- péliodique.
x
x + 2k
f-7
11.
(k EZ), et S est
Théorèmes:
tA
On considère une série trigonométIique Un : ?:-=:, x;-+
Les propliétés
suivantes
de terme général: == an cos Tl.\: + bn sin
Cnein.x + c_ne-irn:
Tl.\:
sont équivalentes:
i / La série de terme général
Un
est normalement
ii/ Les séries de termes généraux
Cn
et
C-n
iii/ Les sélies de termes généraux
an
et
bn
convergente
sont absolument sont absolument
sur !);I. convergentes.
convergentes.
~ car Cn an == ==!Un(X): Cn +[Cn[ C-n car car iil == sup il donc et iii/ Cn-c-n) bnl oS (enIUn), ICnl +etoS! c_ ni + Ibnl il=?- bn Cn! oS [Un(X)1 ian! oS sup +[ani [c-n! XE?
XE?'
o t.5
Si la série trigonométrique de terme général converge uniformément sur !);l,alors: i/ sa sommef
est 21ï-périodique
x;-+
CneirL'(
+ c_ne-inx
et continue sur!);l
ii / la famille des coefficients de Fomier
~
Un:
exponentiels
de
f est
(cn);z.
i / Application du théorème de continuité d'une limiteuniforme de fonctions continues. ii/ Pour tout p
E Z,
la série de fonctions de terme général:
Vn : !);I--..;.iC, x f-7 Un(x)e-ipx
est uniformément convergente sur!);lcar n=N vn(x)1 == n=N un(x)I, d'où on déduit que la suite de ses restes d'ordre N converge uniformément vers 0 sur !);I. Le théorème d'intégration terme à terme s'applique: 1
cp(f)
==
(eplf)
==
1 211
~
Jo{27C (+GO ~ un(x)e-'PX .)
1
dx
~
==
+N ~(eplun)
==
cp
0
328
Précis d'Analyse Il t.6
l0f
1.1
On considère une famille réelle (Cn)nd' telle que les suites (cn)N et (c-n)N soient décroissantes et de limite nulle, alors la série trigonométrique associée sur tout segment inclus converge simplement sur ~\ 2 Tid' et uniformément dans ~\ 2 Tid'. Sa somme est continue sur ~\ 2 Tid'. La démonstration découle directement du lemme suivant
Si (cn)N est une suite réelle décroissante de limite nulle, alors la série de Zn: ~~iC. X Cneinx fonctions de terme général f--?>
converge simplement sur ~\ 2 Tid', uniformément sur exE ]0, Ti [. De plus sa somme est continue sur ~\ 2 Tid'.
l0f
[ex,
2
Ti -
pour tout
ex]
n
Soit An
(X) =
L
eiJex.
Pour tout X
An(x)
2 Tid', on a
E~ \
k~O
_ 2 _ ein~ sin(n + 1)'::: . x SIn -
2
donc
IAn(x)!
1
avec
~ M(x)
M(X)=-!.sm2xl' Par une transformation d'Abel, on obtient, pour tout (n, p) EN" x N : n+p
n+p
Sn,p(X)
=
L
Sn,p(x)
=
-CnAn_I(X)
k~n
CkeiJcx
=
L
ck (Ak(X)
k~n
- Ak-I
(x))
ChI)
Ak(x)
n+p-I
L
+
(Ck -
+ Cn+pAn+p(x).
k~n
donc
\Sn,p(X)!
(car pour tout kEN.
~ 2cnM(x)
ck ~
0 et
ck - ck+I ~
0)
Ilen résulte: i/V
x
E~\
ikx
2 Tid',
sup pEo donc
IL
in+p k~n Cke
L
n~TéXJ pEI~ su~ In+p k~n Ckeikx!
1
~ 2cnM(x)
= 0 (car n!:!:.T:", ck = 0) et la série ')' ckeik..c converge
1
d'après le critère de Cauchy (cf. Chapitre IV,théorème 4). ik..c
ii/V xE~\2Tid', IRn(x)\
et, pour tout x
E [ex,
2
Ti -
E
=
I+X
]
ex •
cke
on a 0 ~
1
~ 2cnM(x) M(x)
.~
M avec M = -- . 1 " SIn -
2
Donc
IIRnll~,27T-"] -
~ 2cnM,
vergence uniforme sur
[ex,
2
ce qui assure
Ti -
ex]
lim n---'-+x
de la série ')'
Rn;I~,27T-Ci] ~
= 0, et donc la con-
Zn.
Ceci étant vrai pour tout exE ]0, Ti L on en déduit que la somme est continue sur ]0. 2 donc aussi sur SR\ 2 TiL par périodicité.
Ti [,
o
329
Chapitre 9: Séries de Fourier
Exemples - Travaux pratiques
1
! Soitf 1
1
exemple2 E D.
Montrer
que la série de terme général
est absolument
~cn(f)
conver-
gente. Que peut-on dire des séries analogues?
de la convergence des séries de termes généraux 1, corollaire L'inégalitédu théorème 2ab'-S; 2). b2 donne a2 +
1
~cn(f)1
I: ~c-nif). I: ~an(f) n n
De même, les séries
'-S;
:2 et [cn(f)12 (utiliser cn(f) = (enlf) et le :2 + :cn(f)12. La conclusion résulte donc
I: ~bn(f) n
et
sont absolument convergentes.
1 Une relation telle que
an(f)
tn n
+~
est donc impossible.
exemple 3
Montrer 1
So;t
que la suite ( nbn(f») f ,~~~, 2 ••-périod;que,
,,;_ est bornée. ue par morceaux et monotone sur JO,2
COD•.t.• ID.'
Supposons f décroissante sur JO,2 " [ et considèrons
1 bn(f)=
bn(f) =
Ti
bn(f) = -"
n
k
r L(-l)f Jo E2n-1 k=O
~f 1Ti.JorEn [n-l
1 ·0 12TIf(x) Ti
1 2n-1 (hl)E
Par la relation de Chasles, on a
puis:
bn(f) =
O'-S;
bn(f)
'-S;
~f 1Ti.1o * [n-l
O'-S;
bn(f)
'-S;
-[[(0) - f(2
7T
La suite (nbn)N- est donc bornée.
n f(x) sin nxdx
) sinntdt
+t ) - f (2P+ -n-
Tl (2P)
Ti
Ti)J
car
2
n'TT
r
.J k*
Ti
(k~+t
Tl (2P
L k=O
-
1 Ti +t)]
f (2P+2)] -n-
sin ntdt
Ti
n sin nt dt = jê!. o
sin ntdt
2n
l;
Ti [.
sin nx dx
330
Précis d'Analyse
4 et de classe cP (p EN). tout n Er •
: cn(f)
Une intégration par parties donne, pour tout 2
TI
n de 7r :
l
.] °
cn(f) = --;- f(x)e-mx 1 ln
1
cn(f) = -;-cn(fl). ln
Ce qui se lit
(~)P Cn (fP») .
=
+ -;-
1 ln
2'IT
1·2'IT °
Relation encore valable sif
.
Le résultat demandé s'établit par récurrence.
x.
cn(f) = a ( ~p) quand [ni est cP par morceaux.
Remarque: On en déduit
d..,
f(x)e-LfD::
exemple 5
Soitf E D, (ak)i\j. (bk)N ses coefficients de Fourier. Montrer que, pour tout x réel et n E NX :
i
U
L
+ n
ale cos
kx +
blc sin
1c;1
.
----du.
1'IT
sin-
1)2 u 2
A partir des expressions
= ~
alc
tielle de la série de Fourier de
f
.l~+: fit)
Sn(X)
i
=
cos k(x 1 l'x+'IT [1 + L n X-'IT 1c;1
Sn(x) = TI
"2
L
Sn(x) = TI
1 J'IT-'IT (1-2 + kdn cos ku )
En découpant
r
j'IT -'IT = JO-'IT + Jo
Sn(x) = Avec
+ u) + f(x - u)) du
u
sm(2n+
Calculer
•
kx = ,... 91_Il 1'IT sin(2n +U 1)2 0 -----[f(x sin2
cos kt dt n +
L k;l
ak cos kx + blc sin
Ie-"I:
]
f(x + u) du
(avec t = x + u)
et en changeant u en -u dans J rO _,,' on obtient:
"2
!n'IT
[[(x + u) + flx -
2 sin ~ cos ku = sin(2k + 1)~ - sin(2k - 1)~
u)] du
la somme s'écrit:
u
1" 2:
L b1
sin(2n + 1)-
n
+
s'écrit:
- t) f(t)dt
cos ku 1 .0 (1 + L kd n ) TI
et analogues pour ble la somme par-
2
cos lru. =
u 2sin
2
pour tout u E ]0. ,,]
Il
Chapitre 9 :
331
Séries de Fourier
u donc
Sn(x)=
-21_Il.0l-;;
-----[f(x sinl2n . +U1).2
+ u) + J(x- u)] du
SIn -
2 U
.-;;sinl2n + 1'9 1 la . u ~ du ="
Le choix de J = 1 donne
sm2 car, dans ce cas, tous [es coefficients sont nuls excepté
f
= 2.
Go
I~~~ j
SoitJ E D définie par Jix) = ,,;x sur ]0,2" [. Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de f. Etudierexeq;re la convergence de la série de Fourier de f. 6
•
Voici [a représentation graphique de J
: iR--+lR,
2 'iT-périodique :
-;;ty 2"
-2 "
•
x
Montrons que J est impaire.
" -y Si x E IR\ 2 ,,2, il existe k E 2 et y E ]0, 2 On ade plus,
-x = ~2(k+
1)"
'Ti"
donc f(-x) Ainsi
=J(2" J(-x)=-J(x)
-y) =
~y
+2"
tels que x = 2k " +y donc J(x) = J(y) = -2-
'iT [
avec
-y
2"
•
'iT [
-y
--2-
pourxEh\\2'iT2.
° et
En conséquence, on aJ(O + 0) = -J(O - 0) doncJ(O) = par périodicité J(x) =
E]0,2
° pour x
E 2
'iT
2.
an = ° (n EN)
Comme J est impaire:
Par intégration par parties pour
bn = --
('iT
1 'iT
[
n E i~~
bn = 2l" 'iT
et
--
'iT-X 2
a
sinnxdx
:
-x)---
--
cosnon nx]
bn =-;:;.
1'iTln" a
"
Un:IR-IR,
La série de Fourier deJ a pour terme général
1
cosnxdx
slnnx
x
f-?>
--n-'
La suite (bnhJ* étant réelle, décroissante et de limite nulle, [e théorème 6 s'applique: la série de Fourier deJ converge simplement sur IR, (un(x) = sur 2'iT2), et uniformément sur [ex, 2 'iT- ex] pour tout (XE]0, 'iTl
°
Remarque: Le théorème de Jordan-Dirich[et +eXl
'iT-X -2-
(1. 7)
smnx D -nn=l
=~
va nous donner l'égalité :
.
pour
xE]O,2
'iT [.
332
Précis d'Analyse Il
III - Développement en série de Fourier d.6
On dit qu'une fonctionf développable
1
: ~-7~
,2 'ir-périodique, continue par morceaux
en série de Fourier
est
sif est somme de sa série de Fourier.
Théôrèmes :
t.7
Théorème
de Jordan-Dirichlet
1
Soitf
: ~-7C, 2'ir-périodique,
de classe el par morceaux.
i / Alors la série de Fourier de J converge sur ~ et pour tout réel x, on a :
1 2 [{(x + 0) +f(x - O)J=
i
+x
+
+:0
L an cosx + bn sinx = L n=l n=-x
cneinx
f
est continue sur ~, alors la série converge normalement ii / Si, de plus, et a pour somme la fonctionj. ~
Ici an, bn. Cn.C-n
sont les coefficients de Fourier def et:
+x
+x
"\""" L cne -inx = n=-,x i/ Soit Sn(x) la somme partielle d'ordre Sn(x) =
i
CO
+L "\"""cne inx + c_ne -inx n=l
n au point x
:
n
+
L ak cos kx + bk sin kx, D'après l'exemple 5, on a : k=l
u
.
Sn(x) = 21~" 10" ---[{(x+u) +J(x0 sin(2n+ . u1)2" SIn 2 Par différence, on obtient:
-21TI
,u
2 u)J du ,_1TI, J'" 0 sm(2n+l), u du = 1. SIn 2
1 Sn (x) -
2 [{(x + 0) +f(x u
O)J
=
~ [{(x + u) - f(x + 0) - f(x - u) - f(x - O)Jdu J'" 0 sin(2n. +u1)'9
sm2
f de classe
el par morceaux donne
l'existence des limites:
1
1 ex=
lim -[((x + u) - f(x + O)J et u........• ou u>O
. La fonction
sur ~
g:
[3= lim -[((x li-O u
[J0,
TI
'" -7,"--"
g(X) ',' =
f(x+u)-f(x+O)+f(x-u)-f(x-O) --------------,
u
2 sin si u *' 0 et g(O)
- u) - f(x - O)J
;.;>(\
=ex
2
+ [3,est alors continue par morceaux sur [0, TIl
Le lemme de Lebesgue appliqué à : Sn(x) - ~[((x + 0) +f(x - 0)] = ~ fa" glu) sin(2n + 1)~ du
s'écrit
Chapitre 9:
Séries
333
de Fourier
1 hI? ~ Sn(X) n-,x
-
+ 0) + f(x
-') [t(x -..
- 01J = 0
C'est le résultat du 1).
ii / Si f est continue sur Gi.,il existe une unique fonction de point oùf
est dérivable et h(xi="2
1 E~~ 1 !fCx+u)r :.J'
On montre que le résultat de l'exemple
h(x) =
f
u) - f(x)
]
D vérifiant + f(x-
f(x)
(x) en tout sinon.
1
4 s'applique:
cnCf) = -;Ln cn(h)
ce qui est le terme général d'une série absolument convergente, (exemple
2).
Le théorème 4 donne la conclusion. t.8
Egalité
de Parseval
Soitf
: R-C
, 2,,-périodique,
Alors
les séries de termes 1
gentes et: ~ t.g
continue
1
2
lanl2 , Ibnl2 ,lcnl2 ,lcnl2
dx =
+:x: l
12
1
lf(x)
par morceaux.
généraux
.)-
2" ·,0 Irr-"
-4- + L n=l CI{)
-
,2
1
b
anl 2+
sont conver-
+co
12
L
= n=-co ICnl'2
n
Conformément au programme, la démonstration est admise. Pour toutf
E D, la suite
converge vers
1
o
f
SnCf) des sommes partielles
de sa série de Fourier,
dans (D, II . n
~
Soitf
un élément de D. Alors SnCf) =
L
k=-n
ckCf)ek est sa projection orthogonale sur
En = Vect(ek)_no;;;ko;;;n (car ckCf) = (eklfJ)· La démonstration du théorème 2 a fait apparaître: ilb = Il SnCf) ilb + Iif - SnCf) Ilb L'égalité de Parseval s'interprète par
lim n-----+:x:
Donc
II SnCf) Ilb = Iif Ilb·
hm Iif - SnCf) IID = 0 n-+x
o
f
On dit que la série de Fourier de converge vers la norme de la moyenne quadratique.
f
en moyenne quadratique ou pour
Développement des fonctions T-périodiques Sif :[R~C est T-périodique et continue par morceaux, la fonction 9 : x est 2 ,,-périodique et continue par morceaux. , Les coefficients de Fourier de
f -2 1270 (TX TI )
anCf) = an(g) = T2 JorT f(u) bnCf) = bn(g) =
f ( ::
)
f sont par définition ceux de 9 :
cnCf) . = cn(g) = 2 ~".0
1
H>
cos
e- in"
dx = -T.o
1 J.T
feule
-
T
2i7Onu
du
2" nu du -T-
T 21·T .0
feu) sin -2 TITnu du Dans les conditions du théorème de Jordan-Dirichlet, on obtient, pour tout x réel:
1 (f(x "2
+ 0) + f(x - 0) ) =
L
+00 cnCf)e =-00
2i7Onx T
=
Cf) + L anCf) cos -T2 nx + bnCf) sin -T2 nx -2=1 CI{)
+:x:
TI
TI
334
Précis d'Analyse
Exemples - Travaux pratiques
exemple 7 l(x) = x(2 TI -x)
définie par
en série de Fourier.
1
+00
•
Une fonction de
1.
L
L4\ n=l n
+cü
pour tout x E ]0,2 TI [.
En déduire
1 Lz n=l n
n=O(2n + 1)
D est caractérisée
1
L
+Xl
4
les sommes des séries: +cü
L-
(_I)n-l
+=
n=a(2n + 1)
2
n=l
n
par sa restriction à ]0,2 TI [.
Ici 1(0) = 1(0 + 0) = 1(2 TI -0)] = O. Donc 1 est continue sur IR. La restriction de
1à
[O. 2 TI] est
1
La courbe représentative de
C= , donc
1
est
ex
par morceaux.
est formée d'arcs de paraboles: y TI2
-TI
TI
3TI
Calculons les coefficients trigonométriques de j.
•
1
est paire, donc bn = a (n E~)
et
ao = x(2 TI -x) dx = TI x2 2TI.a !nT< 2TI [
an = l(x) cos nx dx. 2TI. !nT< a -
-
ao = -4 3TI2
3
x3]
an = -2TIaj'T< x(2 TI -x) ..cos nx dx = --n"'.a 2 [x(2 TI -x) sin nx] a 'iT 4 !nT< (", -x) sin nX dx nTI an = -24 !nT< cos nxdx 4 [(TI -x) cos nx ] T< nTI a + -2nTI.a •
an =
-zn4
Développement en série de Fourier de j.
Comme
1 1
est continue sur
prouve que
IR
et de classe
el
par morceaux, le théorème de Jordan-Dirichlet
est développable en série de Fourier: 2
+cc
V x ERl(x)
=
ao "2
La convergence normale sur •
(n E ~")
IR
'\'
+ Dancosnx+ n=l
bnsinnx
=
2
snx·
+x
-3- - 4 L n=l ~ '"
co
est évidente.
Calcul des sommes de séries.
Exploitons l'égalité de Parseval :
-2
1'" ./.2" a
12
(x)dx=
-4 OÔ+
L--
+x n=l a~ + 2 b~
donne
8 ",4 15
4 ",4
+x
1
=g+8L4 n=l n
Il
Chapitre 9.:
335
Séries de Fourier
Pour p > 1, nous utiliserons les égalités: +:--= 1
nP =
n=l
1
+:':
L
---:i
n=ln
1 1;P +
-
.
1
+=-=
90
L
et
+x
L
1
f
au point x =
L '7 (3 =
n=l n-
n=l
n
° donne: +x 1
2
L -- ~
et donc
+x (_1)n-1
L
De même, x =11donne
96
=
lTi2
-:-:<:
n=O(2n + 1)
11
8
112
= 12
2
exempleS Déduire
de l'exemple
précédent
les sommes ~e séries:
1
1
Le L ~x
+x
l-l~ L--.~ +x
n=O l2n + Il
n=l n
•
1
+ 2P n=l nP
TI4 -±
n=O'2n+lJ
La somme de la série de Fourier de
~
1
+x
L
= n=O (2n + If
i2k)P
=
;p
ïï4
=
i2k
1
~x
Ainsi
k=l
L·· n=O i2n + 1
pour obtenir
1
~X
L L
6
n=O(2n + 1)
La convergence normale sur R de la série de Fourier de terme à terme, de définir une fonction 9 de D par:
9 : R-R.
x
f-7
lx ( jlt)
-32
-
. a
f
112) .
(exemple 7) permet, par intégration
dt
=
-4 L --3+x sinn nx n=l
9 est somme d'une série trigonométrique normalement convergente sur IRqui fournit directement les coefficients de Fourier trigonométriques de 9 :
Le calcul donne l'expression de 9 sur [0,211]
=
anlg)
4
° . bn(g)
g(x) = - ~(x3
= - 3'
(cf. théorème 5)
n
3 11x2 + 2112
-
x)
11
9 () -2
Le choix de x = -TI donne
+x L
d'où la somme
l-l)n
n=O(2n + 1)
3
puis
Le1
""
+x· n=l n
=
n=l n6
= -4
113
g:
{2" g2(x)dx 21 TI .la
229
-
L --- 2,-= -4 L --~ +x sinn3n+x ( + l)n1) n=l n=O(2n
,_
311X
+ 211
="21 ~+20 b~(g) 11
xt
dx =
-916 61.1 . (2u a
-9(4u 6 - 12u5 + 13u4 - 6u 3 + u2 ) du 2 11611 a
1 L-!,+x
d'où
12" -(x 91
. a
83
3 = 32
L'égalité de Parseval appliquée à 2 1~"
= - -7T
TI"
2
945
1 L---=+·x
TI6
et
n=O(')n -'- 1)6
'IT6
960
=
conduit à:
322
- 3u
+
u)
-92 TI 6 . 210 1
du
336
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types Montrer
qu'il existe
\/
EX.9.5
une suite
(an)nE N
réelle
Soit a>
et nE
0
1'\1.
On pose:
+co
telle que 'if
x
E IR. Isin xl =
Lan
sin2
nx.
ln =
.
1+00 sin(2n o Slnx+
-ax
dx
lim ln.
Calculer
/n=l
e
l)x
n-++·::x:,
Ex. 9. 6
__ Soitf
Ex.9.2IR), 2 'TT~Ùriodique, \ / E el(lR,
(x_k)2
L +CD
Etudierf:x~ dt =
telle que Jor2TI f(t)
1)
dt ~ fo2TI i2(t) dt.
Montrer que fo2TI f2(t)
2)
EX.9.3
Trouver
de
f:
1R-c1R,
x~
en série de Fourier
1)
(a>
ch a
t2
0).
t E]-
t
sin
nt
t = 2 L(-l)n+l_nn=l
'TT,'TT]par
= cos ex x avec exEIR\]:'.
(1)
'TT,'TT[,
+00
en série de Fourier la fonction
'TT,'TT],
'TT """"" n --2cos n =S+4L.}-) n=l n
et 'if
2)
f(x)
[+00
2
2 'TT-périodique définie sur]-
de Fourier def.
les coefficients
Vérifier 'if tE
1
cosx+
sur IR.
Ex. 9.7
EX.v/ Développer
f est de classe el que f est I-périodique.
Montrer
~
le développement
(bO)
Montrer que
Calculer
Dans quel cas y-a-t-il égalité?
__
k=-oo
O.
e--2~t-
(2)
Soit a> 0, montrer qu'il existe
f E e2([ 'TT,'TT],IR), n cos nt f(t) = L(-l) -2--2 n=l n +a -
En déduir~:
+00
/
....1)
;1~E IR\'TTZ,1 cotan
2)/'if x sin \~/
x
=
E]-
x =x
x
L
2x
+00
+
2
n=l x - n
2
9
Former
(1)
fiée par
'TT
En déduire
'TT,'TTL
II 1-
+00 n=l
(
une équation
3)
n
;
2
2) 'TT
(2)
Existence
+x L(-lt+I-2--2
n=l
différentielle
véri-
f. de f.
une expression et calcul de nsin
nt
n +
a
tE
[-
'TT,'TTl
Chapitre 9:
337
Séries de Fourier
Ex. 9.8 AL(R. C) est l'ensemble des fonctions]
: R~C
continues par morceaux sur IR.
2)
Etablir'i
Soit D l'ensemble des fonctions] E ciL Œ. C),
+:<:
2rr- périodique telles que
'\""' sm Lrl~l n
'i x Soit]
E P?.,f(x)
E D et
=
1[](x
2"
L
+ 0) + ](x -
xE]O,rr]:
. ll..-'C
-~
ll-X
,
O)J
la série de Fourier
Cn(j)ein-c
nE!!'
1
+x
def. 1)
-
3)
Montrer que 'i x ER
En déduire
"fï2
L?n~ = (3 rl~l
Indications Ex. 9.1
~+02
(12n+ 1-
Ex.9.5
=
1) 2n-1
-1
Remarquer que: . + 1)x = sin(2n Slnx
Ex. 9.2 Utiliser l'égalité de Parseval et les relations entre les coefficents de Fourier de] et de f.
e2ikx
En découpant l'intervalle d'intégration [0, en
Ex. 9.3
Ln
k~-n
U [2p
+CXJ[
TI,2(p + 1) TI], faire apparaître une
pE"
1
série de Fourier.
Ecrire cos x + ch
a = Ex.9,6
sna 1 (aelXe+ ea -
elXe+ e-a
-a)
et utiliser des développements en série entière pour obtenir] comme somme d'une série
Calculer cp (x) =
1+00 _ x e- U2.+2mxu
du
au moyen d'une équation différentielle.
trigonométrique. Il reste à prouver que c'est bien la série de Fourier de f. Ex, 9. 4 2)
Ex. 9. 7
Considérer
PourxE]O,rr[etaE]O,TIC, +00
la série
n~l
4-
(t2
~2.
pour montrer
2)
que] est de classe C2 sur IR.
2t
L -__ t - n
](t) -
Ex,9,8
'TT
s'intègre terme à terme sur [a, x].
1)
Considérer d'abord le cas
x
E [0,2
'TT].
338
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types f :x
f--?> Isinxl est continue sur tR1, de classe CI par morceaux, donc, d'après le théorème de Jordan-Dirichlet, la série de Fourier def converge en tout point x de ~, sa somme étant égale àfCx).
'tj nE N, bn(f) = 0
f est paire donc
O{)(f)=-
n~2
sinxdx=-
~r TI
2p 2 ('1 TI
Isinx[ = -TI + L ~ -TI Ainsi 'tj x E ~' +x 2 n=l [sinxl
2TI
L
+ TI
2 n=l +x (12n
8 +x Isinxl
--- +
(12n
sin2
+
1'iTo1"
sin2xdx=0
sin x cos nx dx = ~Ti Jo('" rL sinCn + l)x - sinCn - l)x] dx
Jo
n - 1 C_1)n-l_1)
+
TI
_
.ln'''' 0
al(f)=-
4TI
n +1 1 (1_C_1)n+l
-
a2p(f) =
Pour n pair:
2Il
2TI,aIr'"
an(f)
an(f)
an(f) = --;:::- fex) cos nxdx.
,
+ 1 - 2p 1) _ 1
1-
--2n -
1-
2n -
,pour
n impair:
.
1)"1
cos2nx
1) 1
- 4TI +x (12n n=l •
L
+
1-
a2p+1(f) =
O.
1) 1 sm. 9
2n _
nx
TIL
n=l 8 +x [sinxl
sin2
x
T1L~ n=l EX.9.2
Notons an(f), bn(f),
Ona:
TI
(resp. an(fl),
les coefficients de Fourier deI
bn(fl)),
[fCt). -nsmnt
an(f) = Jo/2'" f(t)cosntdt= .
1 (2", Iet)smntdt . 0 -;'./0
J 2",
. donc
TI
fCt) sin nt dt = - [
bn(f) = Jo/
1.
_/
anlj'I = -nbnU
)
fC [1
.2",
(resp. def).
.
1
·2"
cos
-n cos nt J 2" +;. Jo/
nt dt
0
1 .,
donc
f etf
nan If )
étant continues, on a, d'après l'égalité de Parseval :
~ .la/2'" f2Ct)dt jJ
~ .l2" /2(t)
dt
=
=
f
n==l
ra~(f) + b~(f)] ~
1 .l2'IT 0
f2Ct)dt /
f
a'6t) + n=l
+:.: TI
br.lf) =
L ~
CcarO{)lf) = ~Ti .la/2'" jiridt
=
01
[a~(fl) + b;(fll]
n-? !r aTi(j) ? + brMl[ 9 l
n=l' CcarO{)(f)
J
1 Jo/2"fCt)dt
=T1
=
1 (JI / 2 TI) -
TI
fi 0))
=Oî
nx
Chapitre 9 :
339
Séries de Fourier
Cas d'égalité
La relation
dt = Jor2TIf2(t)
Jo/2TI f2(t)
dt
s'écrit:
+;x;
:2)n2 n~2
- 1) [a~(f) + b~(f)]
f étant de classe el,
0
=
donc
'd n ~ 2. an(f)
bn(f)
=
=
O.
elle est développable en série de Fourier et on a alors:
m
'd x E 1R,f(x)
=
ao2
f(x)
=
al
+x
+
L [an(fJ
l
.
n~l
cos nx + bn(f) sin nxj
(f) cos x + bl (f) sin
x
/2
Ainsi, l'égalité 10·2TI f2 = Jor2TI nécessite f de la forme x La réciproque est évidente: on a alors: 2
2
12TI o f
2
+
=TI (À
102TI o
et
fL)
f
cos x+
~À
'2
fL
2 =TI (À
sin x. 2
+
fL )
Ex. 9. 3
1 Pour tout x
E
IR,
2eix
=
h cos x + cal
+ 2e
l">C
ch a + e2ix .
Sachant que
1+2eix ch a+ e2ix = (é'é + ea) (eix + e-a),
donne
1__
. ECrivons
ea lX
e
+e
une décompostion en éléments simples
e +e e +e s a = -hl (lXea a _ lXe-a_a).
a =
1
1+ e
ix
+ cc.
.e
-a =
L(-l)
n nix -na e .e
n~O
(somme d'une progression géométrique dont le module de la raison est -Œ
ECrivons .• de meme e
On en déduit
-Œ
ix e -a +e
cosx + cha
1
-ÎX
e· -a e -ix 1+e .e
=
= sha 1
[eix-al
0
= ~()n-l -1 n~l
e -nix . e-na
enlX + e-nlX) [1 + L(_l)ne-na( +00 .. n~l 1 +00 2(_1)ne-na
1 -. -
= sh
= e-a < 1)
+X'
a+
L -
]
cos nx
n=l
Il reste à prouver que l'on a bien obtenu la série de Fourier def. bp(f) = 0 et
Puisque f est paire, pour tout pEN, ap(f) = -
2TI
f(t) 1TI 0
cos px dx = --hTI
2 sa.
1+2
loTi 0 (+00
L n=l
(_l)n e- na cos nx
)
cos px dx
340
Précis d'Analyse
Comme la série de terme général Un : IR--+R x vergente sur IR (II
U lico
=
e- na),
e- na cos nx cospx
(_l)n
f--3>
Il
est normalement con-
l'intégration précédente s'effectue terme à terme et on obtient:
ap(J) = --;;;:sna cos px dx +--h- 4 '!T s2 a l'1T 0 '!T S
~(_l)ne-na +co a n=l
cos nxcospxdx
.1o'1T 0
2 donc
a (-lJP e- pa
ap(J) = -h s
pour tout pEN.
Ainsi, on a bien obtenu le développement de
f en série de Fourier. ----
Remarque: ce développement donne les intégrales
dx= --(-1) en na sh a
.1o'1T 0 coscos x +nxch a
'!T
EX.9.4
f
étant paire, nous avons:
'
f
'!Tan(J)=2
et
l'1T o cosexxcosnxdx=(-l)
2
n2
ex ex
sin -n'!Tex
est de classe CI par morceaux, donc le théorème de Jordan-Dirichlet s'applique:
L)-l)
sin '!Tex + ~ '<1x E IR,j(x) = -~Il ex n=l 1)
1 '
(avec 2)
x
='!Tex, exÈ
l'
cotan
'!Tex=
2
'!Tex
2
0,
E ]
Pour tout n "" 1,
sup
n2
'1T
2
-
r -2tn 9
tECa,'1T-a]
2'!T
2 2 '!T
(ex
ex
2
-n)
x
È
'!T1')
tel que a
x
<
E]O,
-a
<TI
'!T [,
(donc a
x et a
<
<TI
-x).
'!T [
1
et
+x +~ n=l
'!T
(2) est vraie pour x = 0, il reste donc à la vérifier pour x Un tel x étant fixé, soit a
(0)
(1)
0
x - n
n=l
équivaut à
cos nx
-n)
2x
+x 2
x
ex sin '!Tex 2 2 '!T (ex
1
pour x ='!T,le développement (0) donne
d'où
n 2
2
TI
2
~ 1
9
n-
9
TI- 2 -(TITI
-a) 2
2TI
-.22' n
( 'TI -Π)2 +oc
'TT
2t t
On en déduit que la série de terme général Un
f--3>
t2
-n 2
TI
~ est normalement donc
uniformément convergente sur [a, TI -a] et d'après (1) :
lx (
cotan t - -
1) t
a
..
+x
2
en --sIn x - en --slna = '\'" Lfn
c'est-à-dire
a
X
en ~
x
sinx
- en -
n=l
aL= ""n=l en
sin a
+::xJ
dt = ~2 +x j'xa t n=l' 2
n,,-x 0 9
n-
TI-
1 - -.22 (
n x2)
'7T
~ dt
2
2t n
TI
2 0
-a-
L n=l
- '\'" (n +x
("
1 - --22 n a2)
(2.0)
'TT
(ces deux séries sont convergentes)
Etudions maintenant la série de fonctions de terme général
Un :
t
f--3>
2'" (n ( 1 - n 2t~2) .
Chapitre 9 :
341
Séries de Fourier
[0, b], tn 1 - ~ n t2)TI
Soit b fixé, b E ]0, TI [, V tE
1
or
Cf
donc
en
(t) = -
(1-
len
" 1- n2t2'_2)
(
n::2)
1- ~ n
en
et puisque
1
(1- ):2) - ~, n
hm
Ainsi,
L
a~O +:0 n=l
(2.0)
la relation
en
1
a~O
-xsinx
en
L
=
+00 n=l
II 1- 22
en (
x
Slnx
=
.
L Vn converge normalement sur
lim en --
= 0 et puisque
n a2) TI
donnne
1 - ~n TI t2)
1
1 - 22
(
-x-
d'où on déduit
TI
b2)
(
(
on en déduit que
b2TI [0, b] et donc que sa somme est continue. 1
1
est croissante sur [0, b]
lin
~
= - en
(
+00 ( n=l
n
2TI
)
sina a
=
°
22 x2)
1-
n
TI
.
EX.9.S
La fonction]n
que V x
ER
:x
n
e2ikx k=-n
sin(2n + l)x .. , • est donc prolongeable par continUite sur Slnx
>--7
l{n(X)!
ei(2n+l)x -e - i(2n+1)x eIX - e -lX
sin(2n + l)x Slnx
Pour tout XE IR1\TIZ,on a
"
.
R Ti-periodique
et telle
1.
~ 2n+
On en déduit que V x ER lt'n(x)e-axl une intrégale absolument convergente.
L'
~
dx =
n, e2[kxe-ax De plus, In = Jo{+oo o k=-n
(2n + l)e-ax
1
"2.Jo(+co 0
et donc que In = fo+x ]n(x)e-ax
Ln
dx est
e[kue . _ au 2 du
k=-n
au
A ce stade, introduisons l'application g, 2 TI-périodique, définie sur [0, 2 TI [par découpons [0, +cc[ en
g( u) = e-
U [2p TI,2(p + 1) TI] pour faire apparaître la série de Fourier de g. pE~~
On obtient ainsi
In =
"2
L L
1 n=O +:0 (nk=-
J~
n' (2(p+1J-rr, 2p'IT
eiku-"""2
au)
du
Le changement de variable u = 2p TI +v donne: e
12(P+1)'ITiku2p'IT
2
au
du=e-P"
+00
a- j'2'IT 0
a~
TI
DI-a p=O
donc In =TI Sn '\"" e- p •• =
9 étant C1 par morceaux,
lim
n~+~,
Sn = g(O
-
e
2
ikv- au
Sn
e
..
_
avec
dv=2TIe-P
"Ck(g) a-
n Sn = '\"" k=-n
D
Ck(9).
le théorème de Jordan-Dirichlet s'applique:
+ 0) +2 g(O
1
- 0) = -2 (a'IT) 1 + e-,
donc
a TI n~+co hm In = -2TI cath-2
"""2
et
342
Précis d'Analyse
Il
Remarque:
1 ln =
donne
2"
L
1 Jo(+oo
ln =
L'expression
n e iku- au 2 du k=-n
2"
n
n
L
L a-
[eiku- '1U] +:0 0
_1_
k=-nik_~
2
1
k=-n
2ik
1,L
2a
n
D'où en regroupant
les termes conjugués
2a a - -2' a 2 + 4k 2 +:0 2k
Puisque
En comparant
ln =
Ci
+ k=l a2 + 4k
1
2a
L a2 + 4k ,9 converge
la série
au résultat trouvé initialement,
f
~ +
k=l
hm ln = -a n-HX
et on a
+'La
2a
+00
k=l
2
+4k
2
on en déduit:
2 2a 2 = ; cath a; a + 4k
EX.9.6 1)
f
Etude de la fonction
(X-ki2
Etudions
la série de fonctions
Pour tout
x
uk: ~~~, x f-7
de terme général
+x, on
réel fixé, quand k tend vers
=
Uk(X)
0
(1~2)
e-
-2-t-
a :
u_ k(x) =
et
:2)
0 (
Uk(X) et u_ k(X) sont convergentes.
donc les séries de termes généraux
+%
On définit alors la fonction
J:
x
IR--+R
f-7 UO(x) +
L
+ U_k(X»)
(Uk(X)
k=l
+x;
J(x) =
qui s'écrit aussi
J
L
_ (x_k)2
e2-t
k=-x·
est de classe CI sur IR en établissant
Montrons
que
fonctions
de termes généraux
Pour k>
a, on a:
u~ et u~ k
V x E [-a.
a], uk(x)1 =
donc, quand k tend vers de
L u;( sur [-a,
u~ k
Calcul des coefficients De la relation Pour
n
car
u_ k(X) =
de Fourier de
Uk(X + 1)
E 7l, on pose
La convergence
. Il uf( lit-
-t-e x - k - u:-Id
a.a] = 0 (~)k-
~ 1
des séries de
O.
-t-e a+k -
2t (a-k)2
, ce qui assure la convergence
a],
Même résultat pour 2)
+x,
1
convergence
a>
tout
2r
1
1
l'uniforme
a, a] pour
sur [-
Cn
normale
= =
f on déduit
Uk_l(X),
il
. 0
Uk( -x).
J(x)e
-2i'7illX
donc uniforme
J(x
+ 1) = J(x)
dx
uniforme
sur [O. 1] permet d'écrire:
+x e ----zt-2iï7rLX"
0, = fo'
c~x
_'>:-k?
:J est I-périodique.
)
dx =
Lire
k=_x'O
,1
Ix_k2.
- ----zt-21'7iT1XeL\:
normale
Chapitre 9:
Séries
ou Cn -
Ley '"
+00
d"
1
V2t J~+~
. la fonction
. 9'-
.+x';
--( ·~-x
k-1 -2I+2,,,nYd
Cn =
. Introduisons
il._
k
- 1(=-00
ou encore
343
de Fourier
e
x
(poser y =
k - x)
du .
e-u2+2i"nu,/2r
~ ~ 'l': L-i-'~,
y
-2rT~",nYd
H> .;.+x _ xe'
du
_u2~2i nxu
ev
et la suite de fonctions La classe el
(x, u)
sur 1R2 de
l'intégrale
donne la classe CI sur
H> e-u2+2in.XU
(x) =
En introduisant
x H> j"-N e-u2+2in:Ül du
CfN: R~C,
absolument
convergente
ce qui prouve que la suite (
Cf!x= !( )
Cf!est donc de classe CI sur
j+x. -00 2'Lnue-u
Cf!!(x) = -2n2x
On en déduit Cf!(x) = Comme
Cn
= V2t
(équation
Cf'
Cf'
IR
2+2inxu d U=Lne [?.
Cf!(x)
g(x) = j+oo -00 2inue-u
V2t),
uniformément
(0) = .l+~
Cf
(x-
L
e -----zr
k=-,x
k)2
=
de Fourier de]
n=-(X)
s'applique: ?'
L
Cne2l.Tr= =
:
(n EZ)
+'00
.
L
j+X. e -u2 +2inxu d u .-x
e-u2 du = .JIT.
de Jordan-Dirichlet
+,X
2
du premier ordre)
Cn = V2Ti t e-2n2,,2t +x
vers 9 sur IR.
on obtient les coefficients
] étant de classe CI sur IR, le théorème
. +2,nxu dx, on a:
= 2ne- N2
]+C0 -oc.-nx2
-u"-2inxu
avec
du
u2
2
avec Cf!! =9
linéaire homogène
(0)e-n2x (Ti
avec:
CfN
. (N ue _u2 +2inxu du 2mLN
! (x)1 ,s;4n lN(+oo ueIg(x)- Cf!N La fonction
de
!Pi
•
t e-2n-,,2t+2'''=
V2Ti
n=-'::G'
Ex. 9. 7 1)
La fonction
9 : IR---+IR, 2 Ti-périodique
de classe CI par morceaux. De même,
Dirichlet,
2)
: IR---+IR, 2 Ti-périodique,
gl
sur IR et dérivable
morceaux
et telle que 'if
on obtient
telle que 'if
E [-
t
Ti.,TiJ, g(O = t2 est continue
sur IR,
en série de Fourier, ce qui donne
(1).
= t est continue
par
E J-
Ti, TiJ, g(O
du théorème
de Jordan-
convergente
sur IR, d'ou
(2).
on déduit l'existence
t
E [-
+ 1) Ti}. Par application
sur IR\ {(2k
cos nt
, . , , La sene de terme general Un : t H> (_l)n
Pour tout
t
Elle est donc développable
et la continuité
-2 n --2 +a
, est normalement
de f.
Ti, Ti], formons:
t2 Ti2 h(t)=](t)-4+T2=L(-1)n+1
+00
n=l
a2 cos nt 22 n (n
2
+a )
d'après
(1)
2
. et SOit
un(t):
On vérifie que séquent]
tH>
I:
Un,
n a cos nt
(-1) n2 (n 2 + a2 )
I:
U~,
I:
U~ sont normalement
sont de classe C2 sur [-
Ti, Ti].
convergentes
sur
IR
donc
h et
par con-
344
Précis d'Analyse
1 On obtient
a2 cos nt
+00
- "2 = ~(_l)rt
fl/(t)
2
n +a
rt=l
2 2 = a J(t)
est solution de
doncf
If -
1 a2y = "2
1 = - ~+
d'où on déduitf(t)
doncf(t)
=
1 --2+ 2a
Àchat. +00
3)
2
~ n=l
Dej'U)=ail.sht=L)-l)
.
n a 2SIn nt2 +2,ondéduitf('lT)=aÀsha'lT=2 t l n(n + a )
'11
1
'11 À= ~ as h '11a et enfin f(t)
d'où
étant paire, il vient fL= a
Àch at+ fLsh at,f
2a
'11chat = 2 as h a '11- 2a
-2
Le calcul précédent a donné, pour tout t E [- '11,'11]:
+x
f d'où,d'après (2),1'(t)
1
2
.
at~ _- "2t + L ~ . /-1) n a 2sm nt2 (t) _- .,'11sh h sa" rt=l n(n + a )
= ~(_l)n+l
__
+00 rt=l
1- -2--2 n a2] +a
sinn nt
[
E [0,2
'11].
= ~(-l)n+1-2--2 +'00 n sin n=l + ant
EX.9.8 1)
•
Envisageons d'abord le cas où
x
On sait (voir théorème 9) que dans l'espace
D muni de
la norme de la moyenne quadratique
la suite (Sn)r\j des sommes partielles de la série de Fourier de f, converge vers f : n
D
Sn(x) = '"
k=- n
Pour tout
x
[0,2
E
IrJo
'11],
ck(f)e ikx
'n~~"
1
fox
r
fU) dt - Jo
f - fox
Sn IID = a
on a les majorations successives:
r
Sn(t) dtl ~ Jo
lfU) - Sn(t)1 dt ~ Jo(2Ti lf(t) - Sn(t)1 dt 1
.fo2Ti lf(t) - Sn(t)! dt ~ (2'11 .102Ti lf(t) - Sn(t)i2 dt)
Donc
Iif -
Sni ~ ~
'2
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Ilf - SnilD
lim Jo(" Sn = .Jo(Xf et il résulte du rappel que n-++oo Puisque
~n ck(f) lx Sn = k=-n a
.InX a
eikt dt, ce résultat se lit encore: .x
+00
n~x •
Soit maintenant
Alors avec p =
E
x
eint dt = fa
cn(f) fa
réel quelconque.
2'11
(x)
X
' X = 2p'lT +x . où x E 1
1
[0.2" [.
f
Chapitre 9:
345
Séries de Fourier
f étant 2To-périodique, on a :
lxf
, 0
=
I:: l2Ck+lhr p-l k=O ' 2krr
+
f lX2p •• f = p '1'2.. 0
l
L'étude du premier cas donne
donc
+x
-Xl
lf
I::
Xl
et que
2)
J0
Cn(f)
eÙ1t
dt
eÙ1r dt
x eint dt = 10
10
j0
cn(f)
.Xf
En constatant que
lx1f,
' 0
.Xl
= 2p Toco(f) + n=-x
o
co(f)+
To
.Xl
f = n=-x I::
,0
+x
x
f = 2p l,xi 0
+
2p To+ fa
pour n
eÙ1t dt
;fi.
°
X
dt = fo
f = n=-oo I:: +00 cn(f)
dt = x,
l00 X eint
on conclut à
Jo(X o
dt.
La fonctionf:
IR-+IR, 2 'TT-périodiquetelle que :f(O) =
° et
'TT
V x E]O, 2 'TT[,f(x)
-x
= -2-
est élément de D et est somme de sa série de Fourier, d'après le théorème de Jordan-Dirichlet: =~ n=l
V X E IR,f(x)
sin nx n
En appliquant le résultat du 1), on obtient donc:
V x E IR, ('" f(t) Jo
+x donc, pour 3)
x
E
[0,2
To],
1-
I:: n=l
La formule précédente au point
2
+00
~
=""4
1
+00
+00
cos nx
c'est-à-dire
1
2x
x2
-
1
+0;:
I:: 2 = I:: 2 n=l n n=O(2n + 1)
n=l _l_-_c_o_s_nx_ n
'TT
=
2
_sl_'~_n_t dt = ~
4
=1ï donne:
1ï2
(2k + 1)2
Avec
n=l Jo
n
x
t'
dt = ~
~
(2n + 1)2
'TT2
=8
1+00 1 +
=1
I:: 2' on en déduit n=l n
346
Précis d'Analyse
Il
Exercices proposés EX.9.6
Soit
a E IR,
1
al < 1.
Développer en série de Fourier
1)
Développer en série de Fourier la fonction:
f: 2)
f:
- acosx (~I_a_si_n_x_)
IR-+IR, x H> Arctan
E = {g E et
Ex. 9.2 +0,:)
=
t H>
IR~IR,
CO (IR, IR), 9
n l'application
•
SIn nx
L --n
x
\;/ 9 E E,\;/
1)
Calculer f(x)
2)
Soit 9 : IR-+IR, impaire, 2 TI-périodique, continue telle que
Isin tl.
Soit 2T1-périodique}
définie sur Epar:
EIR,
n=O
\;/x \;/x
Q (g)(x) =
[1, TI],
En utilisant g, montrer que
'""-=L6 +cc sin 2 n
+x: sin
n2
n=l
+x: sin2
L --4-n
Calculer
Ex. 9. 7
n
Montrer que y" + y eit = solutions de période 2 TI.
n
n=l
Trouver les fonctionsf
\;/ x
l_x2
1+ x
En déduire pour
R.j(2x) = 2 sin;~((x). Ex. 9.9
2+ TIL (TI
Fourier de la fonction
E
- 2xcos r
CiE IR \
g01 :
t
E CX:(IR, !Rn,
2 TI-périodiques telles que
Développer en série entière à l'origine 2
(E) admet des
Ex.9.8
EX.9.3
x H>
°
Préciser l'ensemble de ces solutions.
n
n=l
ft : IR~IR,
Trouver les fonctions la série de
)
1
f
E
ex: (]~. Cl,
2 TI-périodiques pour lesquelles il existe et
1'"
Développer en série de Fourier
f
et 9 :
l'vI
Î\.
E
C / z' "" 1}, U un ouvert de
contenant D etf
f(x) = éOS x cos(sin x), g(x) = eCos x sin (sin x) En déduire ln =
j"
eCos
t cos(sin t + nt) dt
Développer
=
02f
--9
oX-
éJ2f
+~
ély~
=
° dans D. d 8 en fonction des coef-
fic'Ients de Fourier de 9 : 8H> fi
L -n1 +x:
f(8)
=
Calculer Jo{2Ti f2(rei8)
Ex. 9.5 Calculer
f
cosn 8 sin
n=l
f en série de Fourier.
n
8.
1R2
E e2(u. Rl. On suppose que
f est harmonique, c'est-à-dire que
t cos(sin t - nt) dt et
n.
Ex. 9. 10 Soit D = {z
EX.9.4
{2Ti Jn = Jo
IR~
H>
En déduire pour nE N, ln = a 2- cos V33 nt cos t dt
/,2" ·0
Î\.E
tels que
1\,f E R::
\;/ nE N, \;/ X ER, Vni(z)j ""
eCos
Og(t) dt
leurs propres et sous-espaces propres de n.
= -'f(I), g(x) = f(x).
E [0, IJ, g(x) E
;:>(X -
Montrer que nE:J; (E). Trouver les va-
eiB
).
Chapitre X
Equations différentielles Compléments
1
1- Equations linéaires E désigne un IK-espace vectoriel normé de dimension finie
n~
1.
A. Etude theorique
Il.
Définitions
1
Aux applications continues a : J -:1; (E), b : J ~ E on associe l'équation différentielle, dite linéaire du premier ordre: (L): x' = a(t) . x + b(t)
d.1 1
d.2
On appelle équation homogène associée à (L) l'équation différentielle: (H) : x' = a(t) . x
1
Remarques 1) 2)
L'image du vecteur x de E par l'endomorphisme a(t) est, ici, notée a(t) . x. Le théorème
2 suivant
assure l'existence de solutions de (L) et de (H) sur l'intervalle I.
On note alors SeL) et S(H) l'ensemble des solutions sur
t.1
1
de (L) et (H) respectivement.
3)
On rappelle qu'une solution de (L) est une application dérivable J : J -i- E telle que:
4)
On constate que toute solution de (L) est de classe CI sur J.
'if
12.
J
Théorèmes
t E J,f(t)
= a(t)J(t)
+ b(t)
1
Théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire Pour tout (ta, XO) E J x E, l'équation problème de Cauchy en (ta, XO).
(L)
admet une unique solution
au
Démonstration admise. 'Ce résultat s'applique aussi à l'équation (H). Les solutions de (L) sur
J
sont maximales.
348
Précis d'Analyse Il t.2
Structure
de l'ensemble
il L'ensemble
isomorphe
des solutions
5tH) des solutions
de (H) est un sous-espace
vectoriel de C1(I, E)
de
affine de
à E.
iil L'ensemble SeL) des solutions direction 5tH).
(L)
est un sous-espace
C1(I, E),
de
lBf' i! Il est clair que 5tH) est un sous-espace de C1CI, E). Pour iD E l fixé, le théorème 1 indique que l'application x H> x(iD) est un isomorphisme de 5tH) sur E. ii! L'existence de solutions de (L) sur on vérifie que] - g E 5tH).
l
donne
SeL)
*0, si] et g sont deux d'entre elles, D
t.3
Base de S(H)
il
Soit
êJt=
(hl, ... , hn) un n-uplet de solutions
Pour tout t êJt (t) =
ii 1 Si
êJt
(al,""
t.4
(hl (t), ....
de (H).
de 5tH) est égal au rang du système
h =a1 hl + ... + an hn.
tel que
an) E llin
Pour tout] de manière lBf'
êJt
est une base de 5tH), pour toute solution h de (H), il existe
Soit Jt= (hl,""
1
le rang du système hn(t)) de E.
E I,
hn) une base de SCH) et k E {O,l}. E Cle(I, E),
unique par
il existe n applications U1, ... , Un de Cle(I, iii), définies ] = u1 hl + ... + unhn
Introduisons une base J',= (e)l'0oS;n de E et les applications coordonnées de] dans n
cette base:
'i tE
I,f(t)
= L,Jj(t)ej
'i j E [1. n].Jj
,
j=l
E
CleCI,E)
D'après le théorème 3, pour tout t E I, Jt (t) = (h1(t),. " hn(t)) est une base de E, la matrice de passage de J', à ';JC (t) est inversible, on la note: W(t) = matJ) (h1Cr) .....
hnCt))
On dispose ainsi d'applications de classe C1 de l dans 52n (X) : W: rH> W(t) et vr1: t'-+ [W(tl]-l Pour tout t E l fixé, l'existence et l'unicité de (U1(tl .... , unit)) changement de coordonnées, dont l'écriture matricielle est:
... [ UnIr) u1: (t)]
=
correspond à un
[IV(t!r1 [Nt)] :. ]nCt)
Les n-applications U1, ... , Un de l dans K ainsi définies sont de classe t.5
Méthode de variation
il L'application] si
des constantes
Avec les notations
= u1hl + ... +unhn est solution de l'équation
u~hl + ... + u~hn
Cie
du théorème
b
E
C°iT.E) s'écrit de façon unique:
b = V1h1 + ... + Vnhn La condition du il s'exprime
donc par:
L) E CoU. E)
'i jE
4.
(L) si et seulement
= b.
iil D'après le théorème 4, l'application
D
[l, n], uJ =
L).
Chapitre 10: lfiF
349
Equations différentielles Compléments
i / Sachant que hl,' .. , hn sont solutions de (H), la dérivée de j s'écrit
\;J
tE I,f'(t)
= u~(t)h1(t) + ... + u~(t)hn(t)
+ a(t)
= u1h1 + ... + unhn
.j(O
D'autre part.] est solution de (L) si et seulement si : \;J t E I,J'(t)
= aU) .j(t)
+ b(t)
ii / Le résultat, conséquence directe de ce qui précède, signifie que la connaissance d'une base de S(H) ramène la résolution de l'équation (L) à des calculs de primitives.
13,
Système différentiel
1
Il s'agit de l'écriture matricielle de l'équation linéaire (L). Etant donnée une base '& = (eJ)l"'0~n de E, aux applications a et b sont associées les applications A: I -dtn (IK) et B: I -+Altn,l (IK), où, pour tout t E I, A(t) et B(t) sont les matrices de a(t) et b(t) dans la base '&.
X'
On appelle alors système différentiel l'équation différentielle notée: dont les fonctions inconnues X sont à valeurs dans
.AJtn.1
= A(t)X + B(t)
(IK).
Inversement, à un tel système différentiel on associe canoniquement une équation différentielle linéaire sur IKn au moyen de la base canonique de IKn. Les théorèmes précédents s'appliquent (mutatis mutandis) aux systèmes différentiels.
Exemples - Travaux pratiques exemple 1 esou ••• re e sys eme
(Effectuer dans t' le vsystèm; I-~'~ par ·dlu =.xe-f, = dif"" ye-t •
Ici, E =1R.2
e systeme
L
'
et
Y 1 =x+2ty+tsmt
leren le :
.
det fonctions ).homogène t' 1 {Xl le =changement 2tx - Y + tcos
inconnues
défini
I =IR..
omogene associe est
h'
.,
SIn [c~s]
et h2 de (H) sUivantes: .
\;J
{Xly
1
- Y = x2tx+ 2ty
{u;v == -uv
Le changement indiqué donne Les deux solutions
(H)
[- COS Sin]
et
t E IR., h1(t) =
de ce système fournissent les deux solutions t2. e [et2
h2(t) =
SIn t cast]
t2
hl
COSt Sint]
eet2 [ __
Comme elles sont indépendantes, (hl, h2) est une base de S(H). La méthode de variation des constantes consiste telles que
j = W1h1 + W2h2
On constate que
[t t
à trouver deux applications
W1 et W2 de C1(IR.,IR.)
soit solution du système.
smt t] = te-t2 h1(t) et, par conséquent, c~s
w~(t) = te-t2
Il existe donc (a, [3) E 1R.2tel que:
j(t)
=
( a --2e-t 1
2)
h1(t)+
[3
h2(t) {
2
1 1
= (a COSt-- [3 sin t)et 2 --"2 cos t Y = (a sin t+ [3 cos t)et --"2 sin t
X
,
w~U) = 0
350
Précis d'Analyse
exemple 2
•
.
nue Z;=.X +ty . Retrollyerl\'l ~ésultat de l'exemple précédent en utilisant la nouvelle fonction inconLe système devient, par le changement indiqué, l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 suivante (L) Zl;= (2t + Oz + teit Le nouveau changement de fonction inconnue défini par z ;= ueit transforme l'équation en ul ;= 2tu+ t.
IR-C.
L'équation homogème a pour solution générale
t
f-JoÀ
et"
C)
(ÀE
Une solution particulière est t f-Jo - 2' 1 D'où la solution générale de (L): IR~C, t f-Jo (, ~ et2 - 21) Le couple formé des parties réelle et imaginaire donne la solution trouvée précédemment.
e't
B. Equations linéaires à coefficients constants Etude théorique.
(Programme M')
Il s'agit des équations (L) : Xl ;= a
Il, Etude de •
(H) - Cas particulier
(H):
Xl
;= a
.x
où
a
E 5t (E) et b E CCI,
Plaçons-nous dans le cas où E ;=en et où l'endomorphisme a n'a qu'une seule valeur À IdE est nilpotent. propre À. On sait alors que l'endomorphisme c;= Notons r son indice:
•
. x + b(t),
1
1
Il
0,
cr;=
*
cr-1
a-
O.
Soit u une solution de (H) sur IR ; introduisons l'application v définie par: v = e-fJu ~ u = eÀ[v Alors
d = a·
u
eM(d +
donne
À
v) = eÀta . v.
Ainsi, l'est solution sur IRde l'équation
1,/
= c·
Id
Une récurrence immédiate montre que l'est de classe Cc~ et que Il existe donc r vecteurs de E, \;f [
L'O.VI
v ri = cr . V = O.
L'r-l tels que:
.....
E:=2.vi [1 = Vo +
[q + ...
Par identification, on prouve que l'est solution de
y
+ [r-lVr_l = c·
Id
si et seulement si :
1 \;fleE On trouve donc:
[1.r-1].L'le=7Cc'Vle-l
L
le: c . Vo (...IdE Hc + ... + ir{-l_ 11: c r - l') . Vo = ~ ~o [le le
vtt) =
r-l
et
u(t) =
e
H, L [/(
Cile
où on a posé
1 ,. Ci/(=
le: c" .
Vo E
E.
le=O
Remarques 1)
2)
Etant donné que l'on a r "" n, ce calcul montre que l'ensemble des solutions - sur :=2 - de l'équation y = c· Id est un sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients dans E, de degré inférieur ou égal à n - 1. Le calcul précédent donne: \;f
[E:=2. dr)
=
etC . l'o.
W.[I =
e[ c+Àld",'
. Va
=
eW . va
Chapitre 10:
351
Equations différentielles Compléments
2, Cas général
1
Toujours avec E =Cn, on désigne par J'l, .... Àq les valeurs propres distinctes de a, par NI, ... ,Nq les sous-espaces caractéristiques correspondants; chacun est stable par a, et, pour tout) E [1, q], a induit un endomorphisme Oj de Nj, l'endomorphisme Cj = Oj-
Àj Idj'S est nilpotent ; soit
Tj
son indice,
,pq les projecteurs associés à la somme directe
On note Pl,'"
Soit U une solution sur R de l'équation Onpose
V)E
[l.q].
Uj=Pj'u
E = NI
(doncu=ul+'
EB
Nq.
'+Uq),
On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par où
EB '"
a, x
=
Xl
v=
VI
+ ... +
Vq
Vj = e-À.jtUj,
On vérifie que V) E [1, q], uJ = Oj' Uj' vJ = Cj' Vj' D'après l'étude précédente, il existe alors y = YI + . , . + Yq E E tel que:
V
tE
IR, vit)
=
_ l)! ( IdNj +tCj + ' .. + (Tj0-1
Cjr r
1) , Yj
1J-l On en déduit
V t E IR,Uj(t) =
L
èjt
tk
Œjk
l\Tj
=
où on a posé
k=O
Remarques 1)
Pour tout) E [1, q], on a valeur propre Àj,
dim
T) ~
où
1T1j
1T1j
est l'ordre de multiplicité de la
On peut donc écrire V tE:Ri, uit) = eÀ.jtPj(t) où Pj est un polynôme à coefficients dans Nj (donc dans E) de degré inférieur ou égal à 1T1j - 1. q
Alors 2)
V t E IR,u(t) =
L j=l
eÀ.jtPj(t)
Le calcul précédent donne, pour tout) E [1, q] : V tE IR,Vj(t) = etc) . Yj
3, Utilisation d'exponentielle
donc
V t E IR,u(t) = eta , y
d'endomorphisme;
Etude de
(H)
et
(L)
Rappels et notations Pour tout t E IR,on note eta l'endomorphisme exp(ta), On rappelle que a et eta commutent, que l'application avec (eta) 1 = a 0 eta
Etude de (H) •
Xl
=
De plus, eta est inversible avec
( eta)
H>
eta est dérivable,
-1 = e- ta
a .x
Soit U une solution de (H) sur IR ; par dérivation il vient: (e-ta,u)1 Il existe donc ua E E tel que Ainsi, on a nécessairement Il convient alors de
•
1R~;:e (E), t
vérifier
=e-ta·ul_e-taoa,u=O V t E IR, e-ta
u: IR~ E, t
H>
,u
= ua.
eta . ua,
qu'il s'agit d'une solution de (H) sur IR,
Pour tout (ID, X(J) E IR xE, l'unique solution au problème de Cauchy en ce point est IR--+
E, t
H>
e(t- to)a . X(J.
352
Précis d'Analyse
Xl ;::
Soit
u une solution
a . x + b(t)
de (L) sur I.
Introduisons l'application v définie par Elle est dérivable et Pour
ID
v' = e-ta.
d'où
v = e-ta
ul - e-ta
.
u ~
a· u =
0
e-ta.
u = éa.
v.
b(t)
E I, on obtient:
it it
'if tE I, v(t) =
•
Il
uCt) = eta .
(va +
(va E E, Va = v(ID»
b(s) ds+va
. b(s) dS) .
e-sa
E, l'unique solution au problème de Cauchy en ce point est:
Pour tout (ID, xo) EIx I
e-sa.
r-+
E,
t>-+ eCt-tJla.
XO
{t eCt-s)a. + Jt{j
b(s) ds
C. Systèmes dffférentiels à coefficients constants Etude pratique Il s'agit des systèmes: où
Il,
A
A E Jin (iii)
et
est diagonalisable Il existe alors P
E 52n
Xl = AX + B(t)
(L):
.
(H):
Xl = AX
B : I r-+Jtn.l (iii) est continue.
1
p-l
(lK) tel que
AP = D = diag(ÂI .... ,Ân)
On effectue le changement de fonction inconnue défini par:
y
=
p-l X
~
X
=
py
qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels: (LI) : yi = DY + P-IB(t)
(Hl) : yi = DY . Chaque ligne de (LI) est une équation différentielle linéaire du premier ordre Yi =Âi Yi
+ Ciet)
dont la solution générale s'écrit:
'if
tE I. Yi =[3i
èt+
'Yi (t)
La solution générale de (L) s'obtient par X = pY.
Remarques 1)
En notant CI, C2, ... ,Cn les colonnes de P (ou vecteurs propres de A), la solution générale de (H) s'écrit: t r-+[3l e'" t CI + [32 e"2 t C2 + ... + [3n e"" t Cn
2)
Il est visible que l'ensemble S(H) des solutions de (H) est un espace vectoriel de dimension n (formé de fonctions de classe eX)
3)
Noter que la résolution du système (H) peut se faire pour I =R et qu'elle n'exige pas le calcul de p-l.
4)
L'ensemble SeL) des solutions de (L) est un sous-espace affine de direction S(H).
5)
Dans le cas où
iii = IR. et A
diagonalisable dans Jln
elu.
Jln.l (X» de
C::::).
Si X est une solution de (L) à valeurs dans Jln.l C::::l,les applications Rerx) et Im(X) (obtenues en considérant les applications parties réelles et imaginaires de chaque ligne) sont solutions de (L) à valeurs dans Jln.l (::2). 6)
Pour tout (ID,Xo) E Ix Jln.l (l<), il Y a unicité au problème de Cauchy en ce point.
Chapitre 10:
Cas général
12.
353
Equations différentielles Compléments
1
Si le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé (ce qui est le cas en considérant
(0), il existe P E 52n (}i) tel que p-1 AP = T : matrice triangulaire supérieure. On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par:
A dans JLtn
Z = p-1 X ~
X = PZ
qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels: (Lz) : ZI=TZ+P-1B(t) (H2) : Zl = TZ La dernière ligne de (Lz) est une équation différentielle linéaire du premier ordre
z~ =Ân Zn + Cn(t) Une fois fixée une solution de cette équation, la ligne précédente devient une équation différentielle de fonction inconnue Zn-1. De proche en proche, chaque ligne apparaît comme une équation différentielle du premier ordre (une seule fonction inconnue pour chacune). On obtient ainsi la solution générale du système (Lz) (éventuellement l'unique solution au problème de Cauchy en un point arbitraire (to, 2{) E Ix Mn.1 (IK».
3. Utilisation des résultats de l'étude théorique On s'intéresse à (H). q
•
J
La solution générale de (H) s'écrit
f-'7
L
eÀjt
Ij(t)
)=1
où Â1,' .. ,Âq sont les valeurs propres de A et les Ij des fonctions polynômes, à coefficients dans JvLn.1 (e), telles que Y J E [1, q TI, deg Ij ~ TTlj - 1 (TTlj étant l'ordre de multiplicité de Âj). On peut alors déterminer les Ij en procédant par identification. D'après l'étude théorique, chaque fonction t on déterminera donc séparemment
•
1
M'
1
Pl, P2,'
f-'7 eÀjt
Ij(t)
est solution de (H) sur IR
.. ,Pq .
Le calcul de etA donne une autre méthode de résolution de (H) .
Exemples - Travaux pratiques exemple 3
• esou'd' re 1e syst'eme dif""leren t'le1ree '1
. t { Xl./ =x+y+2smt = 3x - y + cos
~'
•
Le systeme . s".ecrit La résolution de ul =
{
Xl -
yi ./ !:J
=
2u + cos t -
!:J
2(x - y) + .cos t - 2 sin t x+y+.2smt 2 sin t (équation linéaire scalaire d'ordre 1) donne
u =Â e2t + sin t Le système équivaut donc à
Â
{X-if
ri = 2y+ Â ~t + 3 sin -. 3 y =)0.~~ fL)e2t_ S(cos t + 2 sint) d'où
La résolution de
:
t
e2t + sin t
2y+
Â
e2t
+ 3 sin t
donne:
1
x = (Ât+ fL + Â)e2t-S(3 cos t + sin t) Moralité: il peut être utile de regarder le système proposé avant de se lancer dans les calculs.
354
Précis d'Analyse
4
exerTlple
différentiel
réel X' = AX
A =
où
-1
2
1
E Al3 (IR)
1 [ 1 0 1 0] •
Donnons deux méthodes de résolution. 1)
Cherchons l'ensemble Sc des solutions à valeurs dans C, (il contient S:;o, ensemble des solutions à valeurs dans IR). Le polynôme caractéristique de A est (2 - T) [(T - 1)2 + 1]. Les valeurs propres complexes de A sont 2. 1 + i. 1 - i.
Le"ect,""
pCOp'"aooociè"o"""pect;"meot,
~ =
[U ,'2 =
[J ,0," [-:']
1 -[ -f. [
1 i. Nous avons p-l AP = D = diag(2, 1 + i, 1 - il. [1 1 1] Le changement de fonction inconnue défini par X = py donne le nouveau système:
Posons P =
yi = DY
~ =
(1 +
{yiY3 = 2Yl = (1-
i:92 [IY3
Il existe donc ((jl, (j2, (j3) E C3 tel que: Yl =~l e2t { Y3 Y2 =(j3 =(j2 e(le(l+i)tOt
i
x2 =(jl e2t + (j2 e(l+O.t - i (j3 e(l- 0 t {Xlx3 =(jl ell+ilt+ =(jl e2t+ e2t - (j2 i (j2 e(l+i)t ~3 + ell-i1t (j3 e(l- i) t
{==?
i
En écrivant X =~l e2tcl + (j2 e(1+Otc2+ (j3 ell-iltc3' espace vectoriel de dimension 3 dont une base est (Vl. v2. Vl(t) = e2tq
,
V2(t) = e(l+Otc2
.
on constate que S:; est un Cdonnée par:
U3)
V3(t) = e,l-iltc3
= V2(r)
Une autre base de S:; est (Ul' U2. U3) donnée par:
ul(t)=è2tq.
U2(t) =Re (V2(t))
=et
-sint, SIn t ] [COS
u3(rJ=Im
=et
cast cost t ] [ - sin
Cette base étant formée de solutions à valeurs réelles. S:=, est l'ensemble des combinaisons linéaires réelles de Ul. U2. U3 donc S:= est un ?c-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est (Ul . U2, us). La solution générale du système différentiel réel proposé est donc:
X=cqe2t 2)
1 +Œ2et -~int +0'3é cast (0'1.0'2.0'3)E cost t ] 1 SIn tt ] [ 1] [ cos [ - sin En utilisant les parties réelles et imaginaires des vecteurs c2 et c3, on obtient une base d'un
plan de 1R3stable par A. Introduisons donc les matrices: Q =
1
0
[11 01
1 -10]
B = Q-l AQ =
0
[20
1 -10
1 1 0]
Le changement de fonction inconnue défini par X = QZ donne le nouveau système:
Z' = BZ {==?
~ = 22 + 23 { 23 2i = 221 -22 + 23
Il
Chapitre 10:
355
Equations différentielles Compléments
La première ligne est une équation différentielle dont la solution générale est: 21 : iR-R,
L'application
w =
22
+
vérifie
ÎZs
Il existe donc ÀE iCtel que Avec
V tER
t
f-70: e2t
wl = (1 ~ Ow, = Àe1l-iit,
w(t)
29 - = Re(w) = et(~ cos t+ '/ sin t) 2S = Im(w) = et('/ cos t- f5 sin t)
\ = f-'R' +t ,/, on 0 b'tient:
JI.
La solution du système proposé s'obtient par X = QZ : Xl X2
On retrouve le résultat du
= 0: e2t + é(f5 cos t+ '/ sin t) = 0: e2t + etc - f5 sin t+ '/ cos t)
Xs =0: e2t + é(f5 sin t- '/ cos t) X = 0: Ul + f5 u2 + '/ uS·
1):
exemple 5
• 1
Résoudre
le système différentiel
d'ordre
2
{Xiiyll
= Xl + y' _ =x +yl-x
y
Voyons deux méthodes différentes pour étudier ce système. 1)
A ce système correspond un système différentiel d'ordre 1 sur l
X = AX
,y
ou
X =
X
1
[Xyi
rr;g4
0001 0 -1
A =
[0-1
0
:
1
1
1
0] 1
Le polynôme caractéristique de A est (T - l)s(T + 1). On constate que A - I4 est de rang 2; A n'est donc pas diagonalisable. Désignons par JJ = (el, e2, eS, e4) la base canonique de rr;g4. En cherchant les vecteurs propres de A, nous sommes amenés à introduire les vecteurs suivants: V2 = el + e2 + eS + e4 ~=-~+~ { Vl V4 = el + - eS e2 - eS + e4
= V2 A~=~+~ AVl = Vl AV4 - V4 AV2
1 0 -1 B = p-l AP = 0 1 0 -1 0 1 [1o 1 -11 1] [10 Le changement de fonction inconnue défini par X = PY donne le
On en déduit
P=
0 1
yi = BY
Y7 = Y2 + ys Ys = Ys {yiY~ == Yl -Y4
(t f5~ + (52)et YS =f5s e { Yl Y4 =f5l =f54 et e-t Y2 =
t t {xY = (t f5s + f5l + f52 - f5s)et+ f54 e-t (52)e - f54 e-
ou
d" 2)
ou
1 1 0 0 1 0 0 0 -10] nouveau système:
Le changement de fonctions inconnues défini par
(u = x +
y, v
=x -
y) donne le nouveau
orme e eux equatlons mealres sca aires or re vIl -v 2ul +u = = 00 f ' d d ' . 1'" l' d' d 2 à coefficients constants (voir Analyse 1, chapitre Il). . " ,. u = (0' t+ 0' )e Leurs solutions generales s'eCrivent 1t 2 _t { v = aS e + 0'4 e t f..--' On retrouve alors la solution du 1). systeme
,
{ ul
-
356
Précis d'Analyse
Il
exemple 6 ne
•
différentiel réel
(H): Xi
où
= AX
A =
-1
2 2
3 [ -1° 21 21
Donnons deux méthodes de résolution. 1)
Le polynôme caractéristique de A est On pose
BI = A -
l=
-1 -1 [-1
1 21
-(T - l)(T - 2)2 Bz = A - 21 =
2 2 2]
-1 [-2-1
° 21
2 1 2]
Comme Bz est de rang 2, la matrice A n'est pas diagonalisable. Cherchons la solution générale de (H) en calculant la matrice exp(tA). et a l'endomorphisme de E de matrice A Notons (el, ez, e3) la base canonique de E = 1R13 dans cette base. Le calcul donne
B~ = (A - 21)z =
0
0
0
-1 21 1
[0o -2 Les sous-espaces caractéristiques de A sont:
•
NI
la droite vectorielle engendrée par wl = 2el + es
•
Nz
le plan d'équation
-y
+
z=
0 dont une base est (wz, ws) avec Wz = el,
L'endomorphisme al de NI induit par a est IdNi ; ici
a a pour
L'endomorphisme az de Nz induit par
CI = al - IdN1 =
W3 = ez + e3
O.
matrice dans la base (W2. ws):
4 A z = [ -1 0 4] Posons Cz = A9 - 2h =
~
d'où et
Nous avons
~ [-2 -1 4] 2.
exp( tCz) = 1z + tCz =
C; = 0 ;
"
9
[1--t 2 t
+t2t ] 14
exp(tAz) = exp[2tIz + tCz] = eZt. exp(tCz),
La matrice de l'endomorphisme exp(ta) dans la base (WI. U'z. U's) est donc:
o [ e[
(1 - reZt 02t)eZ[
il.. +4teZ.[ 2tleZt 0]
Le changement de base donne la matrice: exp(tA) =
L'pp,;,atloo ~~U!', t ~ 2)
_te2t [(1 -_ te2t 2t)eZt
~p(tA),
[~]
eZ[ eZt _ et 2e2t - 2er
2te2t + 2te2t+ 2é] (4t -e[ 2)e2t
copc',,"e '"'01"'0' ,','cole de (Hl
La solution générale de (H) est a priori de la forme:
t
f---;>
[X] zY
=
et
bl [al] cr
+ e2t [ta2 toz 03 tcz ++ Cs as]
Chapitre 10:
•
357
Equations différentielles Compléments
00 dètocmtoe
a, , b; , c, poo, q"'
t ~ e'
bl
On est conduit au système
=
-al
[E] +
2bl
,ott ,,' """ +
2q
{alel == -al 2bl ++ 2q bl + 3el dont la solution générale est al = 2 À , bl = 0 ,
•
L'écriture précédente met en évidence une base de (H).
•
On retrouve le résultat de la première méthode en posant: À=~Yo+ZO
c'est-à-dire
,
~ Résoudre le système différentiel L/'/
Yo = v
,
ZO = À + v.
YIl = 2x+2y+ { Xii 3x + y + ete2t
Le polynôme caractéristique de la matrice A = [~ Les calculs de diagonalisation donnent: p =
v=Yo
.r/
exemple 7,
•
q=À
1-L=-X()+2ZO,
I-L+2 v
X() = 2 À -
de (H)
[1-2 l' 1]
p-l
= ~3
~] est
2 -1] 1 [1
A une solution (x, y) sur ~, on associe les applications
T2 - 5T
+ 4 = (T - l)(T - 4)
p-1AP = [~ X = x - y
et
~]
Y = 2x + y (d'après
les lignes de p-l). Ainsi, (X, Y) est solution du système (formé d'équations différentielles) :
4Y+ +et2et + e2t {XIIyll = =X _ e2t
X La solution générale est
= aet + be-t + -tet __ e2t 2 3
{IlY = ce2t + de-2t
i 1
On conclut à l'aide des relations {X
t 2 + 4e2t - set
= S(-2X -(X + Y) + Y)
y =
avec (a, b, e, d) E ~4.
358
Précis d'Analyse
Il
D. Equations Linéaires scalaires d'ordre deux
Il s'agit des équations différentielles: (L) : Xii + a(t)xl + b(t)x = c(t)
(H) : Xii + a(t)xl + b(t)x = 0
où a, b, c sont des applications continues de l dans
K la fonction inconnue (de la variable
K
à valeurs dans
t) étant
Remarque Nous nous proposons ici de préciser les propriétés de ces équations en liaison avec l'étude des systèmes différentiels. Le cas des équations à coefficients constants a été traité en Analyse 1.
l,
Système différentiel
Avec E
d'ordre
un associé
= 1K2,éventuellement identifié à e:
JL2.1 ([Ii), on dispose de la bijection:
C2(I, IK) ~ CI(I, E).
x
r--i>
X = [:1]
Aux équations différentielles (L) et (H) correspondent les systèmes différentiels:
(LI) : Xl = A(t)X + B(t) où
A:I~'i(E),tr--i>
-~(t)] ,
[-~(t)
(Hl) : Xl = ACt)X B:I--+E,tr--i>
[c~t)]'
Théorèmes: t.6
Théorème
de Cauchy-Lipschitz-linéaire
Pour tout (ta, X() , xb) E Ix 1K2,il existe une solution de (H» au problème de Cauchy en ce point.
1
lIE'
unique
sur l de (L) (resp.
Le théorème 1 assure l'existence d'une solution F de (LI) ou de (Hl): vérifiant
F( ta) = [:~].
Par la bijection réciproque de e, on obtient une solutionf de (L) ou de (H): vérifiant
F E CI(I, E)
f(ta)
= X{J.f(t{j)
= xh·
f
E C2(I,
IK)
o
Désormais, on entend par solution de (L) ou de (H), les solutions sur l'intervalle l de définition de ces équations.
t. 7
Structtlréd,es L'ensemble
solutions
de (L) et de (H)
S(H) des solutions
sion 2 du IK-espace vectoriel L'ensemble SeL) des solutions direction S(H).
lIE'
Conséquence du théorème 2.
de (H) est un sous-espace vectoriel
de dimen-
C2([. :<).
de (L) est un sous-espace
affine de C2(I, IK) de
Chapitre 10:
359
Equations différentielles Compléments
Méthode de variation des constantes
12,
1
Des deux théorèmes précédents, on déduit :
•
Pour tout to E
l,
l'application suivante est un isomorphisme: ~:K:2. h>-> (h(to),
S(H)
•
Soit hl et h2 deux solutions de (H), pour tout tEl,
. de la matrice:
•
(t) = [ hl hî (t)
W(t)
Soit (hl, h2) une base de (H) : pour tout]
Ce qui fournit
uî hl + ub,h2 =
le rang de (hl, h2) est égal au rang
E Jt2 (X)
h2(t)) hf.z(t)
E C2([, X), il existe un unique couple (Ul, U2)
] = ul hl + u2h2
d'applications de ClU, iK) tel que:
•
h/(to))
,
f=
(1)
ul hî + u2 h!;,
O.
Avec les notations et les hypothèses précédentes, on peut énoncer: ]
E C2([, iK) est une solution de (L) si et seulement si le couple (Ul, U2) qui vient de lui
uîhi+u2h2±
être associé par (1) vérifie:
=c
(2)
Les deux dernières équations forment un système linéaire aux inconnues uJ., ub, dont la solution est
uî = - -
,
h2c W
ub,
= hIC W
où
w = det
, [hlhl
1
h2) h2
La solution générale de (L) s'écrit:
+ bh2(t)
t>-> ahl(t)
à
3, Méthode ramenant
c(u) ('t w(u) +.Jû)
(hl(U)h2(t)
- h2(U)hl(t))
du
une équation du premier ordre
Théorème: t.8
Si
du premier
est solution solution
de (H) ne s'annulant ordre (LI) (resp. (H'))
de (L) (resp. de (H))
de (LI) (resp (HI))
sur
pas sur J, il existe une équation telle que, pour tout]
si et seulement
si gl dérivée
E C2([, iK),]
de 9
=]
est
I.
On retiendra que le changement de fonction inconnue défini par x = y
Cette méthode a été exposée dans le cadre des équations à coefficients constants (Analyse 1,chapitre XI, propriété 11). Le calcul est strictement identique: ] est solution de (L) (resp. de (H)) z +z 1
(
si et seulement si h = gl est solution sur Ide:
a(t) + 2
=
(resp, = 0)
360
Précis d'Analyse
Travaux pratiques "--~"",,,,~-
ex:§mpl~ 8 n-cl'une série entière
les solutions développables en série entière de l'équation différentielle (H) : txll + 2Xl - tx = 0
déduire les autres solutions. 1
•
1)
Soit
L
une série entière de rayon p> 0 et de sommeJ.
antn
n~O
J
est solution de (H) sur
J-
p, p [ si et seulement si :
L
n(n - l)antn-l
+x
'ri
t EJ-
p, P [,
+x
+2
n=O
L
+x
nantn-l
-
n=O
L
= 0
antn+l
n=O
+x
soit
al +
L
[en
+ 2)(n + 3)an+2
- an] tn+l
= 0
n=O
ou encore
al
= 0 et
'ri n ~ 0, (n
+ 2)(n + 3)an+2
- an
=0
(Ji)
La relation (:zR) et le critère de d'Alembert donnent p= +x. Donc la somme d'une série entière dont les coefficients vérifient (Ji) est solution de (H) sur R Î\
De (211),on déduit
'ri nE!\!,
= 0,
a2n+l
a2n
=
(2n + 1))
(avec Î\= ao).
Ainsi les solutions de (H) développables en série entière sont les fonctions: +x
f\ : t f-'>Î\ . 2)
L
n=O
sh t
t2n (2n + 1)!
c'est-à-dire
f\(t) = Î\
-t-'
L'équation (H) satisfait aux conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire sur les intervalles J - x, O[ et JO, +x[. Transformons (H) par le changement de fonction inconnue défini sur J -
x.
O[ ou sur JO,
+x [
sh t
par
x=
y-t-.
On trouve que x est solution de (H) si et seulement si yi! sh
ch t
Î\
d'où on déduit yi =
-2sh t . Y = a-h s t+b x
Les solutions de
puis
~x
(H) sur [Fg+ ou sur c~_
sont:
On vérifie que les solutions sur R sont: t
f-'>
t + 2y ch t = 0
ch t
sh t
x
a-t- + b-.-t
ch t
sh t + b-t-
=
t f-'> a-tsh t
(a.b)
E
b-t-,
exemple 9
I~)
forme t f-'> Itl"', CiE R 2) Trouver En déduire résolution de (L) : t2:/1différe.ntielle 20/ + 2x =(H,) t4 cos t - -1. 2e x les la solutions de l'équation : t2x//
•
1)
1
-
+ 2x =
0 de la
(H) est une équation d'Euler. Elle vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-
linéaire sur les intervalles
Il
=J -
x,
O[ et
h =JO. +x[.
Il
Chapitre 10:
361
Equations différentielles Compléments
On trouve que sur chacun de ces intervalles, les solutions de la forme suggérée par l'énoncé sont t tl et t 1t12. On en déduit que les fonctions hl : t solutions de (H) sur IR (et a fortiori sur h et 12)' è--3>
2)
è--3>
1
è--3>
t et h2 : t
è--3>
t2 sont
La méthode de superposition des solutions, (voir Analyse l, chapitre 11, propriété 9), peut s'appliquer avec pour seconds membres L'équation (LI) associée à
CI
=
-1 et
= t4 cos t.
C2
q admet sur !}~ la solution t
1 -"2'
è--3>
Pour l'équation (Lz) associée à c2, appliquons la méthode de variation des constantes. On trouve Pour tout
1
f
hl ~ h2/ = t2. h~
E C2(Ik'
f = uhl + Vh2
,1' =
1 ou 2,
k =
IR),
uh~ + v~
etf
il existe un unique couple (u, v)
E
CI(Ik'
IR)
tel que
est solution de (Lz) sur 1k si et seulement si :
tul + t2d = 0
ul + 2td = t2 cos t
,
On en déduit successivement: ul = - t2 cos t
d = t cos t
u = - t2 sin t - 2 t cos t + 2 sin t +
À
= 2tsin t - t2 cos t+
f(t)
v = t sin t + cos t +
,
t+
À
fL
fL
t2
1 D'où les solutions sur 1k, k E {1, 2} : t
t+
è--3>À
fL
t2 -
"2
+ 2t sin t - t2 cos t.
On pourra vérifier que ce sont aussi les solutions sur IR. Donc l'ensemble des solutions de (L) sur
IR
est aussi un sous-espace affine de dimension 2 de
C2(1R, IR),
ce que ne permet
pas de prévoir le théorème de Cauchy-Lipschitz.
exemple 10 Soit!
un intervalle
de IR, p E CoU, Ili), q E C°(I, [k;), (E) :
1)
Soitf une solution non nulle de (E) sur 1, montrer lest fini (éventuellement vide) ou dénombrable.
2)
Soitf
et 9 deux solutions
•
1)
que le système
Cf,
Montrons que Z = {x E 1/f(x) Supposons Z ,,=0 et soit
XO
~ py + qy = O.
que l'ensemble
f
9 (x) g~X)1
x = ~((X))
1, WCf, g)(x)
1
= 0
g) est lié .
= O} est vide ou formé de points isolés. E Z (donc f(O)
= 0). Si
XO
est point d'accumulation de Z, il
existe une suite (Zn)è\j de points deux à deux distincts de Z telle que alors:
fl() XO =
des zéros de
de (E) sur 1 telles que:
'if XE
MQlltrer
~t+
XO
= n-++co lim Zn et on a
l'lm f(zn) ----- - f(xo) n-dCO Zn - XO
Ainsif(xo) = o,1'(XO) = 0 et par unicité pour le problème de Cauchy en xo,f qui est exclu. Le point XO est donc isolé. On en déduit que pour tout intervalle compact
[a, b] cI,
Z ()
l
(en effet, s'il était infini, il admettrait un point d'accumulation Bolzano-Weierstrass, et par continuité def
sur [a, b] cI,
est nulle, ce
est fini (ou vide). XO
d'après le théorème de
on auraitf(xo)
= 0)
Or 1 est réunion finie ou dénombrable d'intervalles compacts [a, b], donc Z () 1 est dénombrable ou vide.
362
Précis d'Analyse
Il
2)
•
Premier cas: I est un intervalle compact [a, b] Si Z Îl I est non vide, il existe une subdivision (ale)ooSleoSn de [a, b] (ao = a, an = b) telle que Z Îl I c {aic/O ~ le ~ n}, 1
!l - j-
Sur Ile = ]ale, alc+l[, 9 est solution de Par continuité de 91 etf
j
y = 0
d'où
9 = Ale j, (AIeE IK).
en ale, on obtient AIe-l f (ale) = Ale f(aiJ
étant non nulle,f(O) = 0 exige f (ale)
1=
pour tout
le E
n-l]
[1,
0 donc AIe= AIe-l
Ainsi il existe AE IK,\;/ le E [0, n - 1], AIe= 1 Ce résultat est évident si Z Îl est vide.
d'où
9 = Aj.
I
•
Cas général Le premier cas montre qu'il existe AE IK tel que, pour tout [a, b] E
l, 9
sur [a, bl
= Aj
Il en résulte clairement 9 = Aj sur I.
II - Equations non linéaires Théorèmes de Cauchy - Lipschitz Théorèmes:
t.g
Théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre un Soit il un ouvert de etj : il--;-[R; une application de classe el, Pour tout point C\'{), yo) de il, l'équation différentielle d'ordre un (E) : yi =j(x, y) admet une unique solution maximale I -"2 vérifiant 'P (X{)) = yo, l'intervalle I est ouvert. <.?
t.10
:
Théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux
etj: il-"2 une application de classe el, Soit il un ouvert de Pour tout point (XO' Yo, yS) de il, l'équation différentielle d'ordre deux (E) : yll =j(x, y. yi) admet une unique solution maximale 'P : I-"2 vérifiant 'P (X{)) = Yo, (/ C\'{)) = yS, l'intervalle I est ouvert. ~
Les démonstrations de ces théorèmes sont hors programme.
Remarques 1)
Rappelons qu'une solution pour tout x El:
<.?
:
I
-:=i
de (El : yi = j(x. y) avec
(x, 'P(x)) En et ,/ (xl = j (x.
<.?
IXi)
.
Donc
Cette remarque s'applique aussi à l'ordre deux où on obtient 2)
Dans le cas de l'équation (E) : yi = jfx. yJ avec jE elm.
<.?
:=i),
<.?
j
E
elen.:R) vérifie
est de classe e2 sur I.
de classe e3 sur I. par tout point
C\'{). YO)
de
il «passe »une solution et une seule, les courbes intégrales ne se coupent donc jamais. Dans le cas de l'équation (E) : yf = jex. y.
yi avec j
E elm.
:=i),
par tout élément
de n, (appelé élément de contact), ::passe une solution ; deux courbes intégrales passant par le point C\'{). yO i ont des tangentes distinctes en ce point.
(X{). Yo. yS)
3)
il /
L'ensemble (Ix. y) E j(x. yi = O} est le lieu des points à tangente ii horizontale) courbes intégrales de (E) : y = j(x. y).
des
Chapitre 10:
363
Equations différentielles Compléments
Pour obtenir une équation de l'ensemble des points d'inflexion, annuler:
y
1
=
aj aj x (x. y) +j(x, y)-a y (x, y)
-d'
= 0
La représentation graphique de ces deux ensembles permet de dessiner les courbes intégrales à l'aide du signe de !ci et de yi. 4)
Lorsque la fonction nulle est solution de l'équation:
•
(E) :
y =j(x, y) avecj
•
(E) :
yi
S)
=j(x, y, y) avecj
'if
x
Si
n = R2 et y
E
E Cl(Q, IR), pour toute autre solution
J, ( j(x),f
1(x))\ et
CI, cp)
pour toute autre solution
E ClCQ,IR),
:'if
x E J,f(x)
et
O.
cp),
CI,
(0, 0).
:]a, b[ -IR; est une fonction croissante, solution maximale de (E) :
yi =j(x, y), alors lim x-b y(x) = +X. x
En effet, envisageons le cas d'une limite finie e = lim y(x), (seule autre possibilité pour x--+b x
une fonction croissante), alors y admet un prolongement dérivable en b par y(b) = e, yi
(b) =j(b,
e).
-R
Comme (b, e) E n, (ici n=1R;2), la solution maximale z : J de (E) passant par (b, e) prolonge strictement y , ce qui est contradictoire pour une solution maximale. 6)
Dans tout ce qui suit, pour simplifier le langage, on convient que l'expression: solution de (E), signifie en fait que:
cp
cp
est
est solution maximale de (E).
Exemptes - Travaux pratiques exemple 11 Etude de l'équation
différentielle
y
Déterminer les solutions constantes sont strictement monotones.
2)
OIl considère la solution Mqntrer
que
cp(x)
='17 -
Tro1.lver l'expression Dessiner 3) •
(E) :
1)
Mq;ntrer
sa courbe
de (E) et montrer
vérifiant
cp (0)
cp(x)
;
A-t-elle
retrouver
1)
CI
précédent
par le calcul.
un centre de symétrie? non rectilignes
Le théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre un s'applique: est de classe sur R.
solutions
= ;.
le résultat
que toutes les courbes intégrales
j
que les autres
cp(-x).
de crs.
R_R
cp:
= sin y.
sont isométriqt1e~à(~,
j :R2 -IR. (x, y)
>-'>
sin y
Nous venons de montrer que toutes les solutions maximales sont définies
Solutions constantes de (E)
Yk:
R-IR, x
>-'>
k'17
(k E Z).
Pour toute autre solution, sin y ne s'annule pas, (les courbes intégrales sont deux à deux disjointes, cf. Remarques 2) ). Chaque courbe est tracée dans une bande: k 2)
Comme
cpl
(-x) = sin
cp (-x)
= sin
['17 -
'17< Y < (k
cp (-x)]],
+ 1)
'17.
la fonction e : iR1-1R, x
>-'>
'17 -
cp (-x)
'17
est aussi solution de (E) et vérifie e (0) =
2"'
L'unicité d'une telle solution exige e = cp.
364
Précis d'Analyse
D'après
à valeurs
1), la fonction cpest
dans
_______________________ Til~
]0,7T [.
_
D'où le calcul: cp 1
tntan2
(
cp(x) = 2 Arctan
Le point A Soit
u
montre qu'il existe a
E
IR tel que
Par unicité pour le problème
\[F
•
si p est impair (p = 2k + 1), iS,±"
a T + 2k
tel que
E ~
(a) = p
\[F
=
c]p
(p + 1)
7T
cp(x).
-
\[F
(IR)
TI,
7T [
et le calcul
+ ;.
TI
x
est la fonction
courbe
\[F
f-i>
2k
TI
+
x
f-i>
2k
est la fonction
Cf
(x - a), TI
+
TI -
Cf
(x - a).
de \[F, se déduit de '€, soit dans une translation
intégrale
soit dans le produit d'une translation
TI ),
cp (-x)
de Cauchy:
si p est pair (p = 2k),
vecteur
x
iS.
de
p
il existe
•
On en déduit que
pour u> 0, on obtient
est centre de symétrie
7T)
une solution quelconque,
\[F
iS
o
2 - Arctan
2
0,
)1
7T
Li =
(
tntan2=x
eX
1 Avec Arctan
3)
cp
CP.
1= sincp =
de vecteur
a T + (2k + 1)
de
'Ti )
par rapport à Ox.
et de la symétrie
exemple 12 Décrire
les courbes
La fonction
Arcsin
intégrales
: [-1.
de CE) :
1] ~
-
•
['Ti
] -
1, 1[. Le signe de Arcsin.\.y (E) : yi = f(x,
Ecrivons
Y
2' 2
= Arcsinxy
est continue,
bijective.
impaire,
de classe
'Ti]
est celui de
e
1
sur
xy.
: D-IR, (x, y)
y) avec f
.
A.rcsin.\.y,
f-i>
D étant l'ouvert de }il'" défini par
Ixyl < 1. Le théorème
de Cauchy - Lipschitz
Pour tout (XO, Yo)
s'applique
if
est
D, il existe une unique solution
E
el
sur D).
maximale:
ç : J -2, vérifiant
Cf
(XO) = Yo,
J est ouvert. 1) La fonction
nulle est solution
autre solution Soit cp : J
ne s'annule
sur J (symétrie \[F:
x
f-i>
-J = {x Si de
° Cf
E
cp(-
par rapport
x)
E IR
I-x
\[F
E Cf
I}
.~. /'-. -_/()~'"
par rapport à
2) ).
lf\
O. ç (0)),
)
01
'.
1
Ox) .
est paire; en effet. les courbes
ont un point commun
T
-.
sur - J, avec
y.
~
4) ).
(Oy).
(symétrie
co'rncident donc (Remarques
À.
alors - cp est solution
à
est solution
J, la fonction
et de
pas (Remarques
l'une d'elles;
....-,.IR
de CE) sur 2. Toute
elles
,,! "~
x';
<'
j
.~./
~
1
1
">
//-
----
Il
Chapitre 10:
Le lieu des points à « tangente horizontale
2)
365
Equations différentielles Compléments
est l'axe Oy ; yi a le signe de KY.
»
1
Les courbes ont une concavité constante car s'annule pas (Remarques 3) ).
dl
JY1-+ KYx2y2
==
a le signe de y qui ne
3) Toute solution non nulle est définie sur un intervalle] - b, b[
y
avec b E IR,elle admet un prolongement dérivable sur [- b, b], elle est paire. Soit
'P
une solution sur la, b[.
Supposons 0 par 'li': x ~ 'P
la, b[ (b
r ----C/1'"
Yo b'
la, b[. Quitte à remplacer 'P par - 'P eVou 'P (-x), on peut supposer ° < a < b et 'P> ° sur
,-_
1
il
o
1
1
_
x
XDbl Yo
E IR+).
Alors on a 'PI>
° sur la, b[ ; 'P est strictement croissante.
a:3
En supposant
0, on constate
que 'P est prolongeable sur [a, b[ par une fonction de classe CI sur [a, b[ et vérifiant (E) sur [a, b[. Ceci contredit le caractère maximal de
'P,
donc 0 E]a, b[ et d'après 1),
'P
est définie sur
] - b, b[ et paire. Soit maintenant,
x
Pour tout 'P
de
XO E]O,
]XO,
b[ et
=='P(XO)·
yO
b[, on a KYo
< x 'P (x) < 1 donc
est croissante et majorée par -
1
sur
XO
(b, b/) n'appartient pas à D sinon
'P
]XO, b[,
x<
bl == -b
1
et b est fini:
Yo
il existe donc bl
==
b ~ -
1
Yo
lim
x~b
'P
(x). Le point
serait strictement prolongeable par la solution maximale
1
passant par (b, b/) donc
-
TI
et
lim x~b
'PI (x) == -2 .
exemple 13
I(E):.~= •
tan y.
_
Thouverla
solution
y(l)
qui vérifie
==
:
•
Pour appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz, introduisons l'ouvert D de
D==]O,+oo[x ] - ;, L'équation
; [. L'application]:
d == ta;
(El):
et {(x, 'P(x)/x
E
(x, y) ~
_ta_;_yest de classe CI.
y admet une unique solution maximale
'P: J -+IR
vérifiant
'P(1)
== :
I} cD.
La détermination de
ne pose pas de problème:
'P
\;f X E J,
il
D-R
1R2 :
existe donc un réel
il.
-x- 'P) (sin
tel que sin
'P ==il.
1 ==
1
x2
x
[1
x, et 'P (1)
cos
'P
==:
'P -
SIn .]
'P
==
°
donne
x d'où
'P(x)
==
Arcsin
V2 ce qui exige J c]O, V2[.
Il est facile de vérifier que [0,
V2[ --+R x ~
Arcsin
x V2
1 est solution de (E) avec
'PI
(0)
==
V2'
366
Précis d'Analyse
Les solutions
sur!Y
tany
(El) : yi = -- x
de l'équation
=] - 00,
O[x
2' 2
]
7T
y = Arcsin
même façon:
Une telle solution
Il
4Y 2 j ---s'obtiennent
de la
-V2
7T[
1
x
Àx,
prolonge
la fonction
précédente
'1'
si et
1
seulement
h
si À=
x (y x--;-o ~
À
x et
Conclusion:
'1' (x) x.:::. 0
la solution
h) maximale
de (E) vérifiant
h, h[ -[R{, x
y: ] -
= ;
y(l)
est:
x
h
1-7 Arcsin
exemple 14
_ y(O) = 1.
~: 1
•
En déduire yyll = 1toutes + y12. les Trouver autres lasolutions solution de (E) (.E) . sur 1)
Remarques
Soit y : l
sur l'équation
--+[R{
.,.
ramene a resou 2)
Application
d
re y
Il
=
du théorème
qui vérifie
(E)
une solution de (E), alors
sont aussi des solutions.
[R{
yl(O) = O.
Observons
x 1-7 --y(x)
, X 1-7 y(x-
x
IJ.) et
(E), y ne s'annule
que, d'après
I-7À y ( ~ )
pas, on est en fait
1 + y2 -2-' de Cauchy - Lipschitz
d'ordre deux 19
Avec l'ouvert 0=
[R{
x
[R{x
x
];g
el sur D, pour tout
de classe
de
et la fonctionj:
[R{3
D-R,
(x, y. yi) 1-7
1
Yo, Yo) E D, il existe une unique solution
<-'
+yy ~, maximale
de
sur E, donc, d'après
les
12
(E)
:y
Il
1+ y
= --y-,
Il est visible remarques
. 'f' t·) ven lan cplxa
que la solution préliminaires,
demandée
.
cp
la solution
x-
= Yo'
est x 1-7 ch x, définie
on constate
= yO
px
IJ.
ch -À-
(maximale) cp(XO)
par identification,
1
-'<0)
toute fonction:
'lJtÀ.f-l' X 1-7À
Soit alors
1 (.
= Yo, cp
(ÀE
cù,
est solution
IJ.E
telle que: '
=
que pour À=
~
,
Yo
(-'
19
et
Yo· Yo) E D Yo Argshyo IJ.=
VI + yola fonction
'lJtÀ'f-l vérifie
aussi 'lIÀ.f-l
Donc par unicité pour le problème
sur E
(XO)
= Yo
et 'lI~'f-l
r----'2
-'<0 --
, V'
<-'<0)
1+ Yo
= !lo'
de Cauchy, on a cp='lI".f-l et cp est solution sur ~,
Chapitre 10:
367
Equations différentielles Compléments
exemple 15 Soit l'équation
_
différentielle
non nulle et Z = {x E
l)
Montrer
Yi/ -2y/2-1'
(E):
Il
= 0,
que si Z est non vide, c'est un intervalle
Pour ce faire, vérifier,
maximale
des zéros de
.fub ('P
en considérant
on a [a, b] c Z. 1
•
2)
En utilisant
3)
Donner
1)
'l'= ~,
cp
relever
toutes les solutions
une contradiction.
+3
[a, b]
c.p'2
c Z,
pour~.?
de (E) . =
étant solution de (E) sur 1, on a (cp
Qu'en résulte-t-il
étant continue positive, il en résulte et Z est un intervalle.
'P2
cp
2
+3
j.ba
donc 'P'2=
/2 +3
0 et donc
'2 = [
0 sur
'P=
b]. Ainsi,
[a,
Z est un fermé de 1 car c'est l'image réciproque de {O} par la fonction continue 'P. 2)
Puisque 'P est non nulle, on a Z '* 1 et l'un des deux intervalles complémentaires de Z dans 1 est non vide. Par exemple, b = sup Z < sup 1 =
. .
On en dedult que
]b, C[, 'l'I (x) ='l'
\;f XE
et il existe /-l réel tel que Arctan'fl Finalement, il existe À. réel tel que:
C
2.
(x) + l
(x) = x-
et alors
\;f x E
'l'2
,
et
+1
=
'fi (x) = ~(~}
À.
\;fxE]b,c[,
(x)
'* o.
C[, c.p(x)
'l'I (x)
d'ou
/-l donc
]b,
1
= tan(x-
/-l).
-2'2
X-/-lE ]
'TI'
'TI' [
À.
Z étant fermé dans 1, on a b E Z donc
x-
cos(
/-l
) = 0,
En conclusion, Z = O.
Le calcul précédent fournit la solution générale de (E) : /-l-2' ]
/-l +2 'TI'
--!-IR\,
x ~ --.-
'TI' [
À.
Les exemples précédents font apparaître dans l'étude de l'équation différentielle des étapes précises; essayons de les distinguer dans le paragraphe suivant.
Plan d'étude d'une équation différentielle d = (x,
LI)
1)
Remarques sur l'équation elle-même
•
reconnaître un type classique (équation incomplète en x ou en y, homogène, de Bernouilli, de Riccati ... )
•
signaler les solutions qui se déduisent d'une autre, (x ~ y(x-
/-l)
x ~
y(-x)
,
x
~À. y ( ~) ... ) ainsi que les transformations géométriques correspondantes liant les courbes intégrales, (translation, symétrie, homothétie· .. )
•
Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz en précisant un ouvert il de
(x, y)
~
f(x,
y) est de classe
el.
1R\2
sur lequel
La frontière de il donne les points éventuels de raccordement.
368 2)
Précis d'Analyse
Il
Calcul Au besoin en se limitant à une résolution locale de façon à ne soulever aucune difficulté théorique, appliquer la méthode (exposée en Analyse 1)associée au type de l'équation différentielle.
3) • • 4) •
5)
Premier bilan A l'aide du calcul précédent, présenter des solutions de (E). Indiquer les solutions qui s'en déduisent (synthèse de 1) et 2)). Analyse En considérant une solution
6)
Courbes intéqrales Dessiner une courbe intégrale de chaque type rencontré en 5). Les lieux des points à tangente horizontale et des points d'inflexion peuvent être utiles au tracé des courbes.
7)
Résolution du problème de Cauchy En chaque point 6)).
(XO, YO)
du plan, indiquer les courbes intégrales qui y passent (utiliser 1), 5) et
Remarques •
La séquence 1),2),3) ne constitue qu'une résolution partielle de l'équation.
•
L'analyse 4) est souvent délicate.
•
L'étude de certaines équations se fait parfois sans résolution, les étapes 1),4),6) sont seules concernées.
exemple 16
~
~ étudier s'inspirant l'équation du plan différentielle d'étude précédent, (E) : x2y' + 1
•
i
= 2_
1) Remarques sur l'équation elle-même (E) est une équation homogène; c'est aussi une équation de Bernouilli.
La fonction nulle est solution sur M, ainsi que l'identité x
f--'>
x.
Si y : l --+IFR est une solution, pour tout ÀE ~x. x '--'7À y (x) )\. est aussi solution de (E). La famille des courbes intégrales est invariante par homothétie de centre O. Théorème de Cauchy - Lipschitz . Il s'applique sur l'ouvert n= sur ni = IFR=- x
* IFR+
x
IR
J:
avec
~ D-:t.
(x. y) '--'7
2,\.1} -
9
x-
l ..
,ainSI que
IFR.
Puisque si y est solution de (E), surn.
X '--'7
-y(
-x)
est aussi une solution, on peut se limiter à l'étude
2) 4) Calcul et analyse ?
Soit y:
l -IR une solution non nulle de (E)
1
y
=
2,\.1} -
x2
y- sur
l c JO. +x[.
Chapitre 10:
369
Equations différentielles Compléments
Alors la fonction
l -7[J;t
t:
xt
y =
est dérivable.
X f-'> y(x)
x
,
yi =
xtl + t = 2t -
?
xtl = t(l - t)
Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique à nouveau sur
n pour
l'équation différentielle
e = t(l x- t)
(Et) :
Les fonctions constantes tl : x f-'> 0 et t2 : x f-'> 1 sont solutions de (Et) (donc (E) admet les solutions YI : x f-'> 0 et Y2 : x f-'> x qui sont définies sur IR). Pour toute autre solution, toujours d'après le théorème de Cauchy - Lipschitz, t(l - t) ne s'annule pas, le calcul se poursuit: e e tl x = t(l - t) = T + t
1
1-
t il existe un réel
À
1_ t =
non nul tel que
x 1\
x t = x+
donc
À'
Distinguons les trois cas possibles:
t 0 < t < 1, 1 _ t =
L)
:
M)
:1< t
x 1\ x
t , -t - 1 = - /-L
-t
x avec
À>
0 ,
t = x+
avec
/-L>
0,
t = ~x-
À
YI..
x2 = x+ À
YiL
= --
x
i =]0,
x2 /-L
1=]
x-
/-L
x x x2 N) :t<0 '1 _ t = avec v> 0 , t= v Yv = v Etude des raccords en x = O. Seuls les cas (L) et (N) sont candidats.
v
x-
0
Les solutions définies sur un intervalle de] -
x
y(O)
d (0)
x, O[ se déduisent des précédentes
(symétrie par rapport à 0), celles qui se prolongent en quelconque des solutions YI.., Yv ou y = O. f-'>
= 0,
-y(-x)
0
+x[
I=]O,v [
x-
Les fonctions YI.. et Yv admettent un prolongement dérivable tangente en à Ox).
/-L,
+oo[
= 0 (courbes par
se raccordent avec une
5) 6) Synthèse et courbes intéqrales 2
y
Dessinons l'hyperbole y = ~1 xdont les branches sont des courbes intégrales. Cf:;
:
A une homothétie de centre (E) sont:
sur
IR,
x
f-'>
0 ,
sur] - 00, 1[,
0 près, les solutions
X f-'> X , X f-'> {
x
f-'>
~,x x -2
f-'>
oX ~ si1x?si 0 x
~
maximales de
0
x2 si 0 0~ x ~ 1 {O-si x ~ x-1
x2 x_ 1
x
sur ]1, +00[, x f-'> 7) Résolution du problème de Cauchy Soit Mo = (XO, Yo) un point du plan. Si XO =
yO "*
0, Mo est sur la droite
y
= x, seule courbe intégrale passant par Mo.
Cherchons où doit se trouver Mo pour qu'une fonction de Cauchy en Mo. Les conditions sont: x5 Yo = --
et
0
donc
YiL
du type (M) soit solution au problème
XO(YO
-
/-L= -----
XO+/-L
La même étude peut se faire pour chaque type de solution.
~
XO)
et
Yo
>0
370
Précis d'Analyse
1/
Exercices-types Ex. 10.6
10. 1
Soit q E
+x[,
CO([O,
IFR)
telle que
(E) : yi = ~ + x. Courbes intégrales.
rx
Iql
.10
Dessiner le lieu des points à tangentes horizontales et celui des points d'inflexion.
1)
converge.
1)
f étant une solution bornée sur [0, +x[, de (L) : !JI + qy = 0, étudier limf. +,x
2)
2)
Dans chaque région délimitée par les courbes précédentes, indiquer le signe de yi et de !JI.
Montrer que (L) a des solutions bornées. 3)
En déduire le tracé des courbes intégrales.
Ex. 10.2
Ex. 10. 7
Résoudre l'équation différentielle (H) : X2!J1
4xyl
-
+ (x2 + 6)y = O.
(E):
Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des solutions sur IFR ?
x+ Y x-y
1
y = --.
la solution maximale vérifiantf(O) En déduire les autres solutions.
Trouver
= O.
Reconnaître les courbes intégrales.
Ex. 10.3
Ex. 10. 8 Soit A la matrice
o 4
0 2
2
4
0
(E) : _,-yi = 1 -
0
[4o 20 20 40]
2)
Déterminer les solutions maximales définies sur cLS:.
l
3)
dx dt =AX
En déduire toutes les solutions de (E).
(1)
Ex. 10.9
Calculer exp A.
2)
Ex. 10.4 Soit
Symétrie des courbes intégrales.
Résoudre le système différentiel
1)
(E) : yi + .'-y + y2 = O.
Montrer qu'aucune solution ne s'annnule sauf une.
1)
ŒiJ dérivable sur LS.Démon-
2)
Exprimer toutes les solutions positives
trer l'équivalence des propriétés suivantes: (i)
(ii)
V
V
x
= ln et
V
(x, y) E 1FR2, E IFR, det[
x
E!FR.
(x)]
oF
(x
+
(x) =
y) =
(0)
(x)
Y
(x).
de (El.
3)
Etudier les branches infinies des courbes intégrales.
y (y) et
Ex. 10. 10
O.
Soit y : Ex. 10.5
férentielle
Soit (E) : yi = ~ + x et soitf
la solution maxi-
male telle quef(O) = O. 1)
Montrer que entière.
2)
Montrer que majoré.
1.
1)
f est développable en série
ylO!
=
l
-LS la solution de l'équation dif(E): 2!J! = 1 - 31 telle que
O. !/(Oi
= O.
1)
Justifier son existence et vérifier que y est une fonction paire,
2)
Décrire cette solution lorsque x ou.
f est définie sur un intervalle 3)
E
[O. a]
a= /.1 .. .~~du ··0 vw1-
Montrer que y est définie sur LSet périodique,
Chapitre 10:
371
Equations différentielles Compléments
Indications Ex. 10. 7
liml
Exploiter le théorème de Cauchy - Lipschitz;
1)
Montrer d'abord que
2)
Supposer que YI et Y2 sont deux solu-
introduire t = }L.
tions bornées et étudier z = YiY2 - Y~YI
Utiliser des homothéties de centre O.
+rx;,
existe.
Reconnaître l'équation polaire des courbes in-
Ex.
Chercher les solutions développables en série entière. Ex.
2)
x
tégrales. Ex. 10. 8
Equations à variables séparables.
3
Ex.
Exprimer de deux façons la solution aux conditions initiales xl (0), X2(0), X3(0),
Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz.
X4(0).
Reconnaître une équation de Bernouilli ;
1
10. 4
poser z = -. Y
Utiliser les propriétés de l'exponentielle de maEx. 10. 10
trice vues dans le chapitre VIII. 1)
Ex. 10.5 1)
Procéder par identification
Considérer la fonction x 2)
(~n=ü anxn)
1
= X + (~n=ü anxn)
Si x ~ 1, il ~ ~ + 1.
3)
>--'7
y(-x).
Multiplier les deux membres de (E) par yi
2
et vérifier que la suite (an)i\j est bornée.
2)
Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux.
Etudier la fonction
372
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types 1)
Pourtoutx~O,onaf(x)=f(O)+
rfl=f(O).Jo
Posons M = Iif II~:+:;O[,alors, V x
E
donc la convergence de 1+00 Iql
donne celle de
et il en résulte que
t"
lim+ cc' Jo
x----:-
[0, +00[,
Si e était non nul, on aurait Donc e= liml = O. +cx:.'
1
q(x)f(x)
. 1
l+x
'-S
x.!.i:~"0
=f(O) +
.fox
l
L'ensemble @L des solutions bornées de
M Iq(x)1
Iqfl ,
e= lim, +CX)
existe, donc qu'il existe
qf
Notons maintenant que V x ~ OJ(x)
2)
rqf .Jo
l.
rl.
.Jo
= ±oo (avec le signe de e) etf
L est un sous-espace
serait non bornée.
vectoriel de SeL).
Si YI et Y2 sont deux éléments de (@Û on a YI Y2 - Y~ YI = 0 c'est-à-dire (Y~ Y2 - Y~ YI On en déduit que YlY2 - Y2Yl est constante sur [0,
+x[,
i = O.
or d'après le 1), lim +x Y~Y2 - Y~Yl = 0,
donc cette constante est nulle. Ainsi, on a sur [0, +00[, Y~Y2 - Y~Yl = 0 et le couple (YI, Y2) est lié. On en déduit dim @L'-S 1, donc SeL) \:zAL est non vide, c'est-à-dire qu'il existe des solutions non bornées. Ex. 10.2 L'équation (H) vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire sur les intervalles
h
= ] - 00, O[
et
I2
= ]0, +00[.
Chacun des espaces Sle(H) : ensemble des solutions de (H) sur Ile, (k = 2. Cherchons les solutions développables en série entière. Soit
L
1ou 2), est de dimension
anxn une série entière de rayon p> 0 et de somme f.
n~O
f
est solution de (H) sur ]-
p, p [ si et seulement si :
+x V X
E]-
p, P [,
L(n
+x
- 2)(n -
3)anxn
+
L
n=O
donc si et seulement si ao = 0, al = De la relation
v
° et V n ~
4,
(n - 2)(n -
3)Œn + Œn-2 = 0 (d'L).
on déduit: p= +00 et
(d'L) \-1
anXn = 0
n=O
n ""~ 1,
_ (l)n-l -
Œ2n -
(2nŒ2_
_
2)1
Œ2n+l -
(l)n-l -
(2nŒ3-
l)!
Il en résulte que les solutions développables en série entière sont les fonctions: f =Àfl + fl.f2 +X'
avecfl(x)
(À, fl.) E
= '\"" L...,.(-I) n-l (2nx - 2)'; = x 2 cosx
=1
chacun des couples (1l!hJ2IIk)'
lRP
+:c
2n
(k =
,
'. f2(X)
=
'\"" L...,.(-I).n-l
=1
2n+l
2n-
(1 X
. 1). = X 2 smx
1ou 2), est libre et constitue donc une base de Sk(H).
Ainsi Sle(H) est l'ensemble des fonctions x f-'>À,..? cosx+
fl.
x2 sinx
(À. fl.)
E :;;g2.
Chapitre 10:
373
Equations différentielles Compléments
On vérifie facilement que toute fonctionf f(x) =À. x2 cosx+ est solution sur R
x2 sinx
fL
telle que:
si x "" 0
L'espace SIR(H) des solutions de (H) sur
IR
, f(x)
=À.I
x2 cosx+
fLl
x2 sinx
si x ~ 0
est donc de dimension 4, une base en est Cfr,J2,JS,J4)
avec:
fl(X)
= x2 cosx si x "" 0, fl(X) = 0 si x ~ 0, f2(X) = 0 si x "" 0, f2(X) = x2 cosx si x ~ 0
fs(x)
= x2 sinx si x "" 0, fs(x) = 0 si x ~ 0, f4(X) = 0 si x "" 0, f4(X) = x2 sinx si x ~ 0
1)
Xs Xs = 2XI + 4xs Posons X = [~~]. Le système (1) s'écrit: { x~ = 4XI + 2xs X4 Le système (1') est équivalent à:
= =
{Xlxl -+ X3 Xs
On en déduit et
6(XI -+ xs) 2(XI xs)
u = ét
= ex e6t +
Xl
v = fL e2t
À.
[3
e2t
,
Xs
= ex e6t~
On a de même pour le système (1") 2)
d == 2v 6u
c'est-à-dire
{ Ul
(avec
u = Xl
+ Xs , v = xl - xs)
(À., fL) E 1R2 [3
e2t
(ex,
[3) E 1R2.
X2 = 'f e6t+ 8 e2t , X4 = 'f
ét_
8 e2t
La solution du système (1) aux conditions initiales Xl (0), X2(0), xs(O), X4(0) s'écrit:
on en déduit
10.4 1)
(H)
Posons
cpl
(0) = A
E
.Mn(lR) ; la fonction vectorielle
n2 sur (1) et vérifie de plus
.Mn (IR) (de dimension cpl
=A
cp
IR), cp
cp,
à valeurs dans l'espace vectoriel
est solution de l'équation différentielle linéaire et homogène
(0) =
ln.
On sait qu'une telle équation différentielle admet une solution unique, pour les conditions initiales imposées, de la forme
cp:
x
f-c>
exp(xA).
D'après les propriétés de l'exponentielle de matrices
\j
(x, y) E 1R2, exp (x + Y)A) = exp(xA) exp(yA) La proposition (ii) en résulte.
(voir
et
chapitre VIII), on a : exp(xA) E 52n (IR).
374
Précis d'Analyse
Il
2) On a, pour x E 1R1:
0)
=
Fixons alors x E lR1. On a pour h E lR1
et
+ h)h
=
=
on obtient immédiatement
1R1,
:
En passant à la limite lorsque
(x + h) =
() x
h tend vers
(x)
=
(x)
(h) =
(x)
()
x
0,
=
(h)
1R1,
on en déduit:
(0)
Ex. 10.5 Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique en tout point de de f : l 1)
--+1R1
ce qui justifie l'existence et l'unicité
1R12,
telle que f(O) = 0 avec l ouvert, (f solution maximale).
Considérons une série entière de rayon de convergence p> 0 de somme:
+x 9 :
J-
p, p [ ~1R1,X
anxn
>-+ ~
n=ü
Examinons les conditions nécessaires pour que 9 soit solution de (E) sur
J-
p, p [ :
+X'
g(O) = 0
,
g'(x)
= g2(x) + x
ao = 0
,
,
al = 2
,
g'(X)
= ~(n
+ l)an+IXn
n=ü
et par produit de séries entières:
gZ(x)
=
f
n=Z
('I3 k=l akan-k)
xn
d'où par identification de séries entières de rayon non nul:
1 ao = 0,
al = 0,
az = 2'
1 n-l = n+ 1 ~
an+l
(n ~ 2)
akan-k'
k=l
Ces relations déterminent une unique suite (an)~,~. Comme
0 ~ an ~ 1, (par récurrence), le rayon de la série entière ;: anxn vérifie p~ 1 et
le calcul précédent prouve que 9 est solution de (E) sur D'après le théorème de Cauchy - Lipschitz, entière. 2)
f
Supposons l'intervalle
l non majoré et exploitons
Sur [1, xJ el,
~ f2(x)
j'ex)
Arctanf(x)
+ 1,
l'inégalité
j'+ 1 ~ 1, f-2--
- Arctanf(1)
J-
p, p [
prolonge g, donc
~
x~
f
est développable en série
1 dans yi = ~ + x.
9 .'
j'(t)+ 1 l r(t)
JX
x-
1
,
x ~
dt ~
.JXl
dt
1+ ;
Ceci exige que l soit majoré. Soit b la borne supérieure de l. Alors
limf(x) x-b
=
+:x.
x
En effet, f est croissante sur [0, b[ et s'il existe une limite c = limf(x), x-b
la solution de (E)
.wb
passant par le point (b, c) prolonge strictement f, solution maximale.
ce qui est impossible puisque (I,f)
est
Chapitre 10:
375
Equations différentielles Compléments
Ex. 10.6 Cet exercice prolonge le précédent. Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique en tout point de [R;2,les courbes intégrales sont donc disjointes. Lieu des points à tangentes horizontales: if: y2 + x = 0
1)
Lieu des points d'inflexion: il se déduit du calcul Y
La courbe
Cf?
1
= 2yy +
1 = 2y 3 + 2xy
+1
est une parabole asymptote à la courbe
En traversant if, if et
Il
d
change de signe, de même pour
ce: x = -y
.2
1
- 2y
C(i.
et yll
C(i
définissent quatre régions, la figure ci-après indique le signe de (d, yll) dans chaque
C(S
région. Le tracé des courbes intégrales se fait à l'aide des signes de yi et yll (croisance et concavité).
2)
L:exercice 5 montre que chaque courbe intégrale admet "à droite" à une asymptote d'équation = b.
x
10.7
n: y - x > 0 et ni: y l, tracée dans n et posons
Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique sur chaque ouvert Notons y : l
Sur
l
ou
---+[R;
la solution maximale de (E) vérifiant y(ü) =
l =l
ll, la fonction t : x d = (xt/
donc
il
existe
j.,l
l
II = l (1]0, +x[
,
!t x est dérivable, le calcul donne:
= xtl + t =
1+ t 1_ t
1
1+ t
2
xt=l_t
1 1-t.e2
- =
x
1+ t
et Àll réels non nuls tels que:
Ile pourxE
---+
(1] - 00, O[
:x=À
Arctan
t
--~-VI + t2
eArctan t
et pour
x
E
II : x = ÀII ~ 1+ t2
donc ÀI <
Ü
et
x
< O.
376
Précis d'Analyse
o De t = Ji, on déduit t(x)
x
lim t(x) = -co x_o
d'où
y
e 1
x
~O 'If
1
ni
x
lim t(x) = +oc x~o
,
x<û
puis À
n
~ 1
x-+O
Il
'If
-2
~ x
'11.11
t(x)1 x_o x
d'oùÀ/=-e~,
e2
t(x) x:o x X>Û
ÀII=e-~
Exprimons la solution sous forme paramétrée à l'aide de 6 = Arctan t. TI
En notant que y - x > 0 donne, pour x < 0, t < 1 donc TI
TI
-2
<6<
4' et pour x>
0, t> 1 donc
TI
4 < 6 < 2' on obtient les paramétrages : X
=
{ y =
TI
-e:~+e cos 6
-e2~+e
TI
--<6<-
2
sin 6
4
x
et {
=
y=e
TI
ee--::-"-cos 6
-
4
2sin6
e
TI
<6<-
2
TI
Changeons à nouveau de paramètres: y = e'f cos \fl
y =
\fl= ;+6
cos a
a=6-;
et 3TI
{X
eŒ
TI
lx-4 = _eŒ
= -e'f sin \fl 0<\fl<4"
d'où une représentation polaire de la courbe: 1
où
Il (\fl) = -
sin \fl
T + cos \p j
M =
0 + é0_'. u (\p),
\pE
]
-4' 4"3 TI
TI [
.
Courbes intégrali?s La courbe de la solution (l, y) est une spirale logarithmique limitée à deux tangentes verticales.
L'équation étant homogène, pour tout ÀE IMx,
x
>--+
À y ( ~)
est solution de (E) sur
X
lÀ = {x E lM / >:. E I}, en particulier x >--+ -y( -x) est solution sur par symétrie par rapport à O. de l'étude sur
n
La frontière commune de
n et ni est la droite y
-l
=L
l,
l'étude sur
fi se déduit
= x, lieu des points à tangentes verticales des courbes
intégrales (pas de raccord possible). Noter que le lieu des points à tangentes horizontales est y + x =
O.
Chapitre 10:
377
Equations différentielles Compléments
Ex. (E) est une équation à variables séparables.
1)
Notons l'existence de deux solutions constantes sur Si Y est solution de (E) sur J, z : x 2)
La fonction]
1-
y) --yx
: (x,
Pour tout 'P (X(J)
Pour
=
est de classe CI sur
(X(J, YO) E
n,
n, à
y =
1
et y =
est solution sur J' = {x
2
f-'>
- Lipschitz s'applique, sur
y( -x)
f-'>
!FR:
n = !FR: x 1
l'équation (E') : y' = ~.
-1.
E!FR / -
!FR,donc
X E
I}.
le théorème de Cauchy
2
x
il existe une unique solution maximale de (E')
'P: J -+!FR vérifiant
Yo
=
YO
(ou
1
il ne peut s'agir que des solutions constantes (restreintes à
-1),
, une telle solution, alors
-+!FR
Dans le cas ~
les
1ou -1.
autres solutions ne prennent donc jamais la valeur Soit 'P: J
!FR:);
1
~
1- 'P
= -
x
1<'P< 1,il existe un réel À> ° tel que: 1 "2
1+ 'P
x
en1- 'P = en1\
Dans le cas
et
1, il existe
1 +1 =en-x -en-2 'P-1
°
f-L> tel que:
et
f-L
Les solutions non constantes de (E') sont donc: (1) : ] f-L,+oo[ -+IFR, x
f-'>
-2--2 x-f-L x2+f-L2
-
avec 'Pl (x) = -2--
= 'P2 (x)1\
avec 'P2 (x) = x2-1 x2 +
= 'Pl
(x)f-L
y
x-1 x2+1
définie sur ]1, +oo[ x2_ (2) : ]0,
+00 [-+
(3):
f-L
x
IFR,
~X
f-'>
+
À2 1\
x2+ f-L2 ]0,
[-+IFR, X f-'> ~
x-f-L
définie sur
= 'P3
-
(x)
avec 'P3 (x) = ~
1
xx2+1 - 1
f-L
--n----i~--nn---~
]0, l[ (3)i:
3)
Les solutions maximales de (E') définies sur X f-'> y(
-x).
J c!FR"'-- se déduisent des précédentes
par
Les courbes intégrales correspondantes sont symétriques des précédentes par
rapport à l'axe Gy. Les solutions maximales de (E) définies sur un intervalle K contenant 0 proviennent du raccord
-1
de 'P2 ( ~) ou 'P3 ( : ) ou y = pour x> 0 et de 'P2 ( - ~, ) ou 'P3 ( pour x < avec en les valeurs y(O) = et 11 (0) = O.
°
°
-1
:,)
ou y =
-1
378
Précis d'Analyse
Il
Sans tenir compte des symétries par rapport à Oy, voici les courbes possibles:
__n n n m
}l ~
_m nm m nn mll ~
x y=-l
---
-1
------------
y
1
x
1
!i
+nn __
o
x
o y=-l
'P3(
-;J
(j;3(~)
ec
,
'P3(~)
ec
ec
'!d-;) ec
Ex. 10, 9 (E) est une équation de Bernouilli. La fonction nulle est solution sur R Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique sur !RiZ: y' = -xy car la fonctionf:
(x, y)
!Riz~R
>-+
J est de classe
-xy -
CI
-
J
sur !RiZ,
Si Y : J ~!Ri est une solution non nulle de (E), alors y ne s'annule pas, De plus, 1
solution sur
-J (symétrie par rapport à 0),
La fonction z = ~ est dérivable x2
On en déduit
(Zl =
Jé2.x
z =À e 2 + e 2 .la(
L'équation (E) peut alors s'écrire
~l)
et vérifie
>-+
-y( -x) est
+ :: + 1 = O.
Y9
y~
y
z' - xz = 1 (équation linéaire),
[2
e-
2 dt .x
Introduisons la fonction 9 : !Ri-1Ri, x
x
>-+
t2
( e- 2 dt . .la
Elle est impaire, croissante, de classe C''' et bornée:
x-+x lim
rx
g(x) = .la
f
/11ÎÏ
e- ~ dt
= \V /2"
g(C)I=
Il
]-V2'V2 ,,-- [
Comme la fonction z : x >-+ e (ÎI. +g(.>::)) ne s'annule pas sur J, suivant la valeur du réel ÎI., plusieurs types de solutions de (E) se présentent, décrivons celles qui sont strictement positives,
Chapitre 10:
Equations
•
avec
différentielles
r:; 2 > 0, on obtient
fL=À - V
SiÀ>~
hfJ-
:
379
Compléments
x
f-7
une solution sur lR1:
·x f1.
•
f2
+.lx e-z
dt
est solution sur 1R1. SiÀ=~
• Si
'
-yr:; 2 <À< Yr:; 2 avec
Courbes Etudions
À=
-g(a),
on obtient une solution sur]
a,
+=[ :
intégrales les branches
infinies: x-2
•
Toutes ces solutions
•
Une double intégration
.jx-x ~e _ d'où
vérifient
y(x)
x-----+x'
Ke - 2
lim y(x) = O.
donc
X---':-+X'
par parties donne:
f dt = e_~ (1 + 3x1 + 0 ( 3x1)) 2
ho(x) = -x - ~ + 0
2
( ~)
quand
-;:
: quand
x
tend vers -:x:;, la droite y
x
Lieu des points
à
tangentes
horizontales:
la droite
x + y = O.
x
tend vers -DC
= -x
est asymptote.
380
1)
Précis d'Analyse
Il
Application du théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux:
~3-+R
f:
f
(x, y, y) ~
à (1 -
3y2)
est de classe el. Il existe une unique solution maximale y : = 0 ; J est ouvert.
vérifiant y(O) = 0 et
J -+~
yi (0)
Soitt={xE~/-xEI}
z:t-+Rx~y(-x).
et
t,
On vérifie que z est solution de (E) sur Cauchy - Lipschitz, il en résulte que z = y, Ainsi y est une fonction paire. 2)
avec z(O) =
t=
Une première intégration se fait en multipliant par
= yi
2yyl
- 3Jy
donne
y/2
i
(0) = 0, d'après le théorème de
J.
y :
=Y-
y3
(car y(O)
= yl(O) = 0)
Comme y(l - J) ~ 0, y(I) est un intervalle inclus dans J - cx;, -lJ contient 0, on a finalement y(I) [0, 1].
u
c
Comme yI! (0) = et donc
-21,
on a y (x)
~ :::2' x-+o
il existe donc a>
° tel que, pour tout x
[0,1], et puisqu'il
E JO, a
L yi (x) > 0
1
J y(1-y2) Y
yl(x)=Vy(1-y2), Sachant que l'intégrale
a=
=1
du Vu(l°Iy (t) >
101 o
En choisissant a= sup{x ~ majorée donc 13=X---;-Œ lim y(x) existe.
,
r --;====-
dt =
yi (t)
Jo
·0 Jy(t)(1-y2(t)) est convergente, on a
aoS;
u2)
0
-----;===du Vu(1-u2)
=a
a.
0 pour tout t E JO, xE}, y est croissante sur [0, a [,
Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique au point xo =a, Yo aE J (ouvert), y se prolonge au-delà de a. Comme a est une borne supérieure, on a yi (a) = 0, y(a) = Ce dernier point tient à la croissance stricte de la fonction: h: [0, 1J -
IoY(Œ)
.
[0, a], Y ~ X = h(Y) =
=13,y~ = Vf3 (1-
1et a=
(32)donc
a.
jyo Vu(1du
_ u2)
1 dérivable sur JO, 1[: hl (Y) = \ /
Y(l-
y2) ; h est une bijection.
Ainsi, pour x E [0, a], y(x) est donné par x =
loyiX) o
----==== du u2) Vu(1-
= h y(x)
()
autrement dit
y(x) = h-l(x). Ay
~····~i~·····~ 10
a
2a
x
La fonction y est désormais connue sur [-a, a] (y est paire). Elle se prolonge au-delà puisque (E) a une solution au point C'CQ = a, Yo = 1, Yo = 0). La fonction z : x ~ y(x - 2a) est solution de (E) (équation incomplète en x) , elle vérife = yl(-a) = O. z(a) = y(-a) = y(a) = 1,i(a) Par unicité du problème de Cauchy en (xo. Yo. y~) = (a. 1, 0), les fonctions y et z sont identiques: y(x) = y(x - 2a). Ainsi y est définie sur ~ et de période 2a.
