Polynomes, etude algebrique

Polynômes Étude algébrique par

Bernard RANDÉ Ancien élève de l’´École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis

1. 1.1

1.2

1.3

Propriétés formelles................................................................................ Polynômes à plusieurs indéterminées....................................................... 1.1.1 Présentation de A [ X 1, …, X n ] ........................................................... 1.1.2 Polynômes homogènes ..................................................................... 1.1.3 Fonctions polynomiales ..................................................................... 1.1.4 Dérivations partielles.......................................................................... Propriétés algébriques ................................................................................ 1.2.1 Propriétés lorsque A [ X ] est un anneau quelconque...................... 1.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre .............. 1.2.3 Le théorème de Hilbert sur les anneaux noethériens...................... Propriétés arithmétiques............................................................................. 1.3.1 Algorithme de division euclidienne dans A [ X ] .............................. 1.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes ............................... 1.3.3 Arithmétique dans A [ X ] ...................................................................

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2 3 3 4 5

— — — —

5 5 6 6

— —

6 7

—

8

1.4

Polynômes symétriques, antisymétriques de A [ X 1, …, X n ] ...................

—

12

2. 2.1

Polynômes irréductibles ........................................................................ Racines d’un élément de K [ X ] .................................................................. 2.1.1 Corps algébriquement clos................................................................ 2.1.2 Multiplicité des racines ...................................................................... 2.1.3 Résolution par radicaux ..................................................................... Cas des polynômes à coefficients réels..................................................... 2.2.1 Polynômes irréductibles de R [ X ] .................................................... 2.2.2 Racines de polynômes à coefficients réels....................................... Factorisation dans Q [ X ] ............................................................................

—

13

— — — — —

13 13 14 15 15

— —

15 16

—

16

2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de Q [ X ] ....................................

—

16

2.3.2 Critères d’irréductibilité dans Q [ X ] .................................................

—

17

2.2

2.3

es polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite. Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie

L

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POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des polynômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abstraite, la géométrie algébrique complexe. En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation, de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet d’un autre article. L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre commutative.

le 1 étant à la i ème place. La définition même du produit conduit aisément à l’égalité :

1. Propriétés formelles

α

Xi

1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées

1.1.1 Présentation de A [ X 1, …, X n ] Soit n un entier naturel. Un élément α de N n est un n-uplet ( α 1, …, α n ) . On utilisera la somme de deux tels n-uplets :

α + β = ( α 1, …, α n ) + ( β 1, …, β n ) = ( α 1 + β 1, …, α n + β n ) . On notera aussi :

α

X 1 1…X n

Les symboles X1, …, Xn sont appelés indéterminées. Les expressions ainsi construites sont appelées polynômes en les n indéterminées X1, …, Xn. On vérifie que, munie des lois précédentes, A [ X 1, …, Xn ] est une A -algèbre commutative : l’algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A . Lorsque n = 0, il n’y a pas d’indéterminée. On peut identifier l’algèbre en 0 indéterminée à A elle-même.

α

Soit X un symbole. On considère la famille ( X α ) α ∈ N n de symboles ; Xα n’est pas une puissance, mais un nouveau symbole. Considérons l’ensemble de toutes les expressions :

∑ ′ λα X 1

où (λα ) est une famille presque nulle d’éléments de A (que l’on désignera aussi sous le nom de scalaires). Cela signifie que tous les λα sont nuls, sauf un nombre fini d’entre eux.

( ∑ ′ λα X α ) ⋅ ( ∑ ′ µβ X β ) =

=

∑ ′ ( λα + µα ) X α

∑ ′   ∑

α+β = γ

α

… Xn

n

.

Le scalaire λα est appelé coefficient de X α.

■ Identifications canoniques Soient σ une permutation de [1, n] et P ∈ A [ X 1, …, Xn ] ; P peut aussi s’écrire, de façon unique :

rappelle qu’il s’agit donc d’une somme finie.

On définit, sur l’ensemble de toutes ces expressions, deux lois, par les égalités :

∑ ′ λα X α + ∑ ′ µα X α

1

Puisque A [ X 1, …, Xn ] est une A -algèbre, c’est aussi un A module. Ce qui précède exprime exactement que, en fait, A [ X 1, …, Xn ] est un A -module libre, admettant la base ( X α ) α ∈ N n .

∑ ′ λα X α ,

∑

= X α lorsque α = ( α 1, …, α n ) .

On utilisera tantôt l’une, tantôt l’autre notation.

Bien sûr, si n = 1, on a : α = α .

Le symbole

n

Par définition, un élément de A [ X 1, …, Xn ] peut donc s’écrire, de manière unique, sous la forme :

α = α1 + … + αn .

′

= X ( 0, … , α i , … , 0 ) ,

puis : α

Dans tout ce paragraphe 1.1, on désigne par ( A, +, . ) un anneau commutatif. Le neutre pour l’addition est noté « 0 », le neutre pour la multiplication est noté « 1 ». Le produit de deux éléments x et y de A sera, le plus souvent, noté xy.

i

;

λ α µ β  X γ  .

P =

∑ ′ λα

o

σ

α

Xσ

σ (1)

(1)

s’identifiant ainsi à un élément de A [ X σ

α

… Xσ ( 1 ),

σ (n)

(n)

,

…, X σ

(n) ]

.

Soit, d’autre part, m < n . Tout l’élément P de A [ X 1, …, Xn ] peut également s’écrire : βm + 1

βn

∑ ′ Lβ ( X1, …, Xm ) Xm + 1 … Xn

Les lois sont donc internes. On définit aussi une loi externe :

a ∑ ′ λα X α = ∑ ′ ( a λα ) X α . Tout particulièrement, notons :

X i = X ( 0, …, 1, …, 0 ) ,

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où β = ( β m + 1, …, β n ) et où, pour tout β, L β ( X 1, …, X m ) désigne un élément de A [ X 1, …, X m ] . Cette écriture, obtenue par regroupement de termes, est unique. Cela permet d’identifier les A -algèbres A [ X 1, …, Xn ] et A [ X 1, …, X m ] [ X m + 1, …, X n ] .

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

Exemple : pour n = 2, les quatre A -algèbres. A [ X 1, X 2 ] ; A [ X 2, X 1 ] ; A [ X 1 ] [ X 2 ] ; A [ X 2 ] [ X 1 ] peuvent être identifiées les unes aux autres. Voici les quatre écritures du même polynôme P :

P = X 13 X 2 + 2 X 12 X 22 + X 1 X 2 + X 12 ( dans A [ X 1, X 2 ] )

module ; une base de Hd est formée des monômes X α, avec |α| = d. Le nombre de ces monômes est égal à :

n ( n + 1 )… ( n + d Ð 1 ) card { ( α 1, …, α n ) ∈ N n | α 1 + … + α n = d } = ------------------------------------------------------- . d! Il en résulte que Hd est un A -module libre, de dimension égale à :

P = X 2 X 13 + 2 X 22 X 12 + X 2 X 1 + X 12 ( dans A [ X 2, X 1 ] )

n ( n + 1 )… ( n + d Ð 1 ) ------------------------------------------------------- . d!

P = ( 2 X 12) X 22 + ( X 13 + X 1 ) X 2 + X 12 ( dans A [ X 1 ] [ X 2 ] )

Un polynôme P de A [ X 1, …, Xn ] peut s’écrire, de façon unique :

P=

X 2 X 13 +

( 2 X 22 +

1)

X 12 +

X 2 X 1 ( dans A [ X 2 ] [ X 1 ] )

■ Identification de A à un sous-anneau de A [ X 1, …, X n ] L’élément X 0 (c’est-à-dire X 10… X n0 ) est le neutre multiplicatif de A [ X 1, …, Xn ] . On le note bien sûr « 1 ».

P =

où Pt est homogène de degré t ; le polynôme Pt est appelé partie homogène de degré t du polynôme P. En d’autres termes : A [ X 1, …, Xn ] =

Dans ces conditions, l’application : A → A [ X 1, …, Xn ] λ ° λ⋅1 est un isomorphisme de A sur un sous-anneau de A [ X 1, …, Xn ] . Cet isomorphisme nous permet d’identifier le scalaire λ avec le polynôme λ ⋅ 1 , que l’on notera donc λ. L’ensemble des λ ⋅ 1 est appelé aussi anneau des polynômes constants. ■ Exemples de calculs dans A [X1,…, Xn] Puisque A [ X 1, …, Xn ] est un anneau commutatif, on dispose des moyens de calcul les plus habituels : kÐ1

∑

a ∀k ∈ N X 1k Ð X 2k = ( X 1 Ð X 2 )

X 1j X 2k Ð 1 Ð j

b ( X1 + X2 ) k =

∑ Ck j

kÐj

X 1j X 2

Exemple : P = X 12 X 2 X 3 + X 22 X 32 Ð X 2 + X 3 + 1 Ainsi :

P 5 = 0 ; P 4 = X 12X 2 X 3 + X 22X 32 ; P 3 = 0 ; P 2 = 0

1.1.3 Fonctions polynomiales ■ Soit B une A -algèbre, commutative. Étant donné un polynôme

P, égal à

∑ ′ λα X α , et un n-uplet (x1, …, xn) de B n , on peut considé-

(formule du binôme).

k! c Notons, pour α ∈ N n, C kα l’entier ----------------------- lorsque α = k . α 1!… α n! Alors :

∑

α

Ck X

α

;

P1 = Ð X2 + X3 ; P0 = 1 .

P÷ ( x 1, …, x n ) =

j=0

( X1 + … + Xn ) k =

⊕ Ht . t>0

rer l’élément P÷ ( x 1, …, x n ) de B , défini par l’égalité :

j=0 k

∑ ′ Pt ,

∑ ′ λα x1α … xnα 1

n

.

On dit que l’on a donc substitué xi à Xi ou, encore, que l’on a évalué le polynôme P en le n-uplet (x1, …, xn). Le résultat de cette évaluation est parfois tout simplement noté P (x1, …, xn). Proposition 1.

(formule du multinôme).

α =k

Soient B une A -algèbre commutative et L’application : A [ X 1, …, X n ] → B P ° P÷ ( x 1, …, x n )

1.1.2 Polynômes homogènes Les polynômes tels que λα X α, qui jouent un rôle particulier, sont appelés monômes. Le degré du monôme X α est l’entier |α |. Plus généralement, on a la définition suivante. Définition 1. Soit P ∈ A [ X 1, …, Xn ] . On appelle degré total de P, et on note deg P, l’entier naturel : max { α | λ α ≠ 0 } lorsque P n’est pas nul et s’écrit : P = Si P = 0, on pose : deg P = – ∞.

( x 1, …, x n ) ∈ B n .

∑ ′λ α X α .

Exemple : P = X 13 X 22 Ð 5 X 14 + 2 X 22 X 33 est de degré total égal à 5. Appelons Hd l’ensemble des polynômes de A [ X 1, …, Xn ] qui sont combinaison linéaire des monômes X α, avec |α| = d. Un élément de Hd est appelé polynôme homogène de degré (total) égal à d. Bien sûr, Hd est stable par combinaison linéaire : c’est donc un A -

est un morphisme d’algèbres. Cette proposition, qui résulte immédiatement des définitions, permet d’effectuer simplement des calculs sur des expressions polynomiales en un n-uplet donné : ces calculs s’effectuent tout simplement comme s’il s’agissait de polynômes. La commutativité de B , essentielle, peut être remplacée par la condition plus faible suivante : les xi commutent deux à deux. Exemples : a B = A ,n = 1. d

Soient x ∈ A et P ∈ A [ X 1 ] . Si P =

∑

α λ α X 1 , on a :

α=0

d

P÷ ( x ) =

∑

λα x α .

α=0

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POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

b B = A , n quelconque . Soient ( x 1, …, x n ) ∈ A n et P ∈ A [ X 1, …, X n ] . Si P = on a :

∑

P÷ ( x 1, …, x n ) =

α
∑

Notations.

λα X α ,

α
λ α x 1 α 1… x nα n .

c B = } p ( A ), n = 1, ( } p ( A ) étant l’algèbre des matrices carrées de taille p à coefficients dans A ). Bien sûr, B n’est pas commutative en général. On peut néanmoins appliquer ce qui précède pour n = 1 puisque, dans ce cas, la condition de la remarque est satisfaite. Lorsque P ∈ A [X ] , l’élément P÷ ( x ) est un « polynôme en la matrice x ». d B = A [ Y 1, …, Y m ] Soient P un élément de A [ X 1, …, X n ] et ( χ 1, …, χ n ) un n-uplet de polynômes en les indéterminées Y1, …, Ym. On peut alors considérer

●

∂P On note aussi -------- le polynôme Di (P ). ∂ Xi

Lorsque n = 1 (il y a donc une seule indéterminée), on note ∂P P ‘ plutôt que --------- . ∂ X1 ●

En considérant un élément de A [ X 1, …, X n ] comme un élément de A [ X 1, …, X i Ð 1, X i + 1, …, X n ] [ X i ] , on peut ramener un problème ∂P relatif à -------- à un problème relatif à P ‘. ∂ Xi Proposition 2.

P÷ ( χ 1, …, χ n ) ∈ A [ Y 1, …, Ym ] .

a. Si P et Q sont dans A [ X 1, …, X n ] , on a :

Dans le cas particulier où n = 1 et m = 1, on note aussi P o χ le polynôme P÷ ( χ ) . Cette notation provient de ce que, si x est un élément d’une A -algèbre, on a : P ( χ ) ( x ) = P÷ ( χ÷ ) ( x ) .

b. Si P est dans A [ X 1, …, X n ] , on a :

P÷ o χ÷ désignant la composée des applications P÷ et χ÷ . En d’autres termes, on dispose de l’égalité :

∀( i, j ) ∈ [ 1, n ] 2

P

χ

= P˜ ˜χ.

A [ X 1, …, X n ] → ^ ( B n, B ) P ° P÷

Plus généralement, si D est un sous-ensemble de B n , on peut considérer les applications polynomiales sur D, qui sont les restrictions à D des applications polynomiales sur B n .

1.1.4 Dérivations partielles Soient n un entier naturel et i ∈ [ 1, n ] . Posons : α

α

D i ( X 1 1… X n n ) = α i X 11… X

De façon équivalente, si P s’écrit :

∑ ′ Lα αi

i

( PQ )′ = ( α + β ) X α + β Ð 1

P ′Q + PQ ′ = α X α Ð 1X β + β X α X β Ð 1 . L’égalité est vraie dans ce cas. Par bilinéarité, elle est vraie pour P et Q quelconques. b De façon analogue, on peut supposer P dans A [ X 1, X 2 ] . Il suffit α α alors de vérifier l’égalité pour P = X 1 1X 2 2 et de conclure par bilinéarité. ◊ Notations. On note le polynôme ( D i 1 o … o D ik ) (P ) : ∂k P --------------------------∂ X i1 …∂ X ik La proposition 2, b, exprime que Di et Dj commutent. On peut donc donner une forme normalisée à l’expression d’une dérivée partielle en regroupant les dérivations partielles par rapport aux mêmes indéterminées. Ainsi : ∂3 P ∂3 P ∂3 P ---------------------------------- = ---------------------------------- = --------------------- , ∂ X1 ∂ X2 ∂ X1 ∂ X1 ∂ X1 ∂ X2 ∂ X 12 ∂ X 2

α α i Ð1 … Xn n i

On peut étendre, de façon unique, Di en un endomorphisme linéaire de A [ X 1, …, X n ] , appelé i -ième dérivation partielle ou dérivation partielle par rapport à Xi.

P =

a Il n’est pas restrictif de supposer n = 1, et donc d’étudier le cas où P et Q sont dans A [X ] . Si P = Xα et Q = X β :

et

est, d’après la proposition 1, un morphisme de la A -algèbre A [ X 1, …, X n ] vers la A -algèbre ^ ( B n, B ) des applications de B n vers B . Son image, l’ensemble des P÷ , est appelée algèbre des applications polynomiales de B n vers B .

α

( X 1, …, X i Ð 1, X i + 1, …, X n ) X iα i ,

le symbole « ∂ X 12 » remplaçant, au dénominateur, le symbole « ∂ X 1 ∂ X 1 ». ●

∂k P Si n = 1, on note P (k ) plutôt que ----------k . ∂ X1

Soit

P ∈ A [ X 1, …, X n ] , considéré comme un élément de

A [ X 1, …, X i Ð 1, X i + 1, …, X n ] [ X i ] :

on a :

D i (P ) =

∑ ′ αi Lα αi

i

( X 1, …, X i Ð 1, X i + 1, …, X n ) X αi i Ð1 .

Bien entendu, lorsque αi = 0, X iα i Ð1 n’est pas défini dans A [ X 1, …, X n ] . Cependant, α i X iα i Ð1 doit être compris comme étant égal à 0.

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∂ ∂P ∂ ∂P --------  -------- = --------  --------  ∂ Xj  ∂ Xi  ∂ X i  ∂ X j

Preuve. ◊

■ On considère à présent un entier n et une A -algèbre commutative B . L’application :

∀α ∈ N n

∂P ∂Q ∂(P Q ) ----------------- = -------- Q + P -------- . ∂ Xi ∂ Xi ∂ Xi

∀i ∈ [ 1, n ]

P =

∑ ′ Lα αi

αi

i

( X 1, …, X i Ð 1, X i + 1, …, X n ) X i

.

Le degré partiel de P par rapport à Xi est, par définition, le plus grand des entiers αi tels que L α i soit non nul. Le degré partiel du polynôme nul par rapport à Xi est – ∞ ; on note deg Xi P le degré partiel de P par rapport à Xi.

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

Appliquée à m = e, cette propriété montre que ad est nilpotent.

Exemple : soit P = X 13 X 22 + X 24 + 1 . On a : deg X1 P = 3 ; deg X2 P = 4 . Remarquons que le degré total de P est égal à 5. ■ Cas particulier. Lorsqu’il n’y a qu’une seule indéterminée, le degré partiel par rapport à cette indéterminée et le degré total sont égaux. On l’appellera degré du polynôme considéré. D’autre part, si P est de degré d > 0 , on peut écrire :

P =

∑ ak

Il faut vérifier que le résultat est vrai pour d = 0. Dans ce cas, on obtient a0 b0 = 1. Donc a0 est bien inversible. Si, réciproquement, a0 est inversible et a1, …, ad sont nilpotents, alors a1X + … + ad Xd est encore nilpotent, comme somme de nilpotents. Donc P, somme d’un inversible et d’un nilpotent, est inversible. b Si P est nilpotent, il existe k tel que P k = 0. En particulier, a dk = 0 , donc ad est nilpotent. Par conséquent, P – ad X d est nilpotent et, grâce à une hypothèse de récurrence sur deg P, a0, a1, …, ad – 1 sont nilpotents.

d

Xk

Donc P – ad Xd, différence entre un inversible et un nilpotent, est inversible. Il résulte d’une hypothèse de récurrence non formulée sur deg P que a0 est inversible ; a1, …, ad – 1 sont nilpotents.

,

k=0

avec a d ≠ 0 . Ce scalaire ad est appelé coefficient dominant du polynôme P. Lorsque ad = 1, on dit aussi que P est unitaire (ou encore normalisé). Remarquons, dans ce cas, l’inégalité évidente : deg ( P + Q ) < max ( deg P, deg Q ) .

Si a0, …, ad sont nilpotents, P est nilpotent comme somme de nilpotents. c Parmi tous les polynômes non nuls Q tels que PQ = 0, choisissons-en un de degré e minimal. On a, par considération du coeffie

cient de X d + e, ad be = 0 (si Q =

∑ bk X k ).

Par conséquent,

k=0

puisque (ad Q) P = 0 et que deg ( a d Q ) < e Ð 1 , on a : ad Q = 0.

1.2 Propriétés algébriques

Montrons par récurrence que ad – m Q = 0.

1.2.1 Propriétés lorsque A est un anneau quelconque

Supposons cette propriété vraie pour tous les indices < m , où m < d Ð 1 . On dispose de l’égalité :

∑

Dans ce paragraphe 1.2.1, A est un anneau commutatif.

Donc : a d Ð m Ð 1 b e + a d Ð m b e Ð 1 + … = 0 .

Proposition 3. d

Mais ad – m Q = 0, donc ad – m be – 1 = 0, et de même pour les termes suivants.

k=0

On a donc ad – m – 1 be = 0 et le même raisonnement que précédemment prouve que : ad – m – 1 Q = 0.

∑ ak X k .

Soit P ∈ A [X ] . On pose d = deg P et P =

a P est inversible dans A [X ] si, et seulement si, a0 est inversible dans A et a1, …, ad sont nilpotents. b P est nilpotent si, et seulement si, a0, a1, …, ad sont nilpotents. c P est un diviseur de 0 dans A [X ] si, et seulement si, il existe λ ∈ A \ {0} tel que λP = 0. Preuve. ◊ e a Supposons P inversible, d’inverse Q = ∑ b k X k , où e désigne le degré de Q. k=0 d+e

Ainsi :

∑  ∑

k = 0 i+j = k

∀k

Montrons par récurrence sur m que a dm + 1 b e Ð m = 0 . Cette propriété est vraie pour m = 0. Supposons-la vraie pour tous les indices < m , avec m < e Ð 1 . On a :

ai bj = 0

Par conséquent bi P = 0, ce que l’on voulait prouver. La réciproque est évidente.

Proposition 4.

Si P et Q sont dans A [X ] , on a : deg PQ = deg P + deg Q .

De plus, A [X ] est intègre. Alors, en posant :

car d + e Ð m Ð 1 > 1 . Donc :

d

ad be Ð m Ð 1 + ad Ð 1 be Ð m + … = 0 Multiplions cette égalité par a dm + 1 . On a, grâce à l’hypothèse de récurrence :

be Ð m = 0 ;

be Ð m + 1 =

Donc : a dm + 2 b e Ð m Ð 1 = 0 .

◊

Preuve. ◊ Supposons d’abord P et Q non nuls, de degrés d et e.

i+j = d+eÐmÐ1

a dm + 1

ak bi = 0

Dans ce paragraphe 1.2.2, on suppose que A est un anneau commutatif intègre.

En particulier : ad be = 0.

∑

Ainsi, on a : ∀k a k Q = 0 et, en particulier, puisque Q est non nul et qu’il existe i tel que b i ≠ 0 :

1.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre

a i b j X k = 1 .

Plaçons-nous dans le cas où d > 1 .

a dm + 1

ai bj = 0

i+j = d+eÐmÐ1

a d ⋅ a dm

b e Ð m + 1 = 0 ; etc.

P =

∑ ak X k, Q

e

=

0

∑ bk X k , 0

on a : d+e

PQ =

∑  ∑ 0

i+j = k

a i b j X k .

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POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

Le coefficient de X d + e dans PQ est ad be , non nul comme produit d’éléments non nuls. Donc : deg PQ = d + e .

de degré n, auxquels on ajoute 0. Il est facile de voir que dn (I ) est un idéal de A . D’autre part, la suite ( d k (I ) ) k > 0 est croissante, car, si

P appartient à I, XP appartient aussi à I.

■ Si P ou Q est nul, chacun des deux membres est égal à – ∞. En particulier, si P et Q sont non nuls, PQ est non nul. Donc A [X ] est intègre. ◊

■ Considérons, à présent, une suite croissante ( I n ) n > 0 d’idéaux de A [X ] . La suite ( d n ( I n ) ) n > 0 est alors croissante. En effet, on a :

Corollaire 1. A [ X 1, …, X n ] est intègre. Preuve. ◊ Cela résulte de l’identification de A [ X 1, …, X n ] à A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] et du fait que, par récurrence, A [ X 1, …, X n Ð 1 ] ◊ est intègre. Corollaire 2. Si P et Q sont dans A [ X 1, …, X n ] , alors : ∀i ∈ [ 1, n ] deg Xi PQ = deg Xi P + deg Xi Q .

deg PQ = deg P + deg Q . d

Écrivons P =

∑

Soit alors n > q . Montrons que, pour tout k :

e

P t et Q =

∑

Q t , où d, e sont les

degrés totaux de P, Q et où Pt , Qt sont des polynômes homogènes de degré t. Alors :

PQ =

∑  ∑

t = 0 i+j = t

dk ( I q ) = dk ( I n ) .

t=0

t=0

d+e

Il est clair que d p ( I p ) contient tous les d k ( I n ) , puisque, en posant r = max (k, n, p), on a :

■ Considérons, par ailleurs, les suites ( d 0 ( I n ) ) n > 0 , …, ( d p Ð 1 ( I n ) ) n > 0 . Elles sont toutes stationnaires, à partir d’un indice q que l’on peut supposer supérieur ou égal à p.

Si P et Q sont dans A [ X 1, …, X n ] , alors :

◊

La suite ( d n ( I n ) ) n > 0 est donc stationnaire, égale à d p ( I p ) .

dk ( I n ) ⊂ dr ( I n ) ⊂ dr ( I r ) = dp ( I p ) .

Proposition 5.

Preuve.

d n ( I n ) ⊂ d n ( I n + 1 ) car I n ⊂ I n + 1 , et d n ( I n + 1 ) ⊂ d n + 1 ( I n + 1 ) .

Premier cas : k > p . On a :

dk ( I q ) ⊂ dk ( I n ) ⊂ dp ( I p ) ⊂ dk ( I p ) ⊂ dk ( I q ) ,

P i Q d . d’où l’égalité.

Puisque A [ X 1, …, X n ] est intègre, P d Q e ≠ 0 . Donc : deg PQ = d + e. ◊

Deuxième cas : k < p Ð 1 . On a alors :

Proposition 6.

Soit P ∈ A [ X 1, …, X n ] . Il y a équivalence entre : a P est inversible dans A [ X 1, …, X n ] ; b P est un élément de A , inversible dans A . Preuve. ◊ Bien que ce résultat soit une conséquence de la proposition 3, le cadre usuel dans lequel nous nous plaçons mérite une démonstration directe. b ⇒ a est clair. a ⇒ b Soit Q l’inverse de P. On a :

dk ( I n ) = dk ( I q ) grâce à la constance de ( d k ( I n ) ) n > q . ■ Montrons , finalement, que I n = I q . On a I q ⊂ I n . Montrons par récurrence sur e = deg P que, si P ∈ I n , alors : P ∈ I q . Le résultat est supposé vrai pour les polynômes de degré < e Ð 1 . Soit P de degré e, appartenant à In. Puisque d e ( I n ) = d e ( I q ) , il existe Q ∈ I q tel que Q = a e X e + … lorsque ae est le coefficient dominant de P. Dans ces conditions :

deg (PQ) = 0

deg ( P Ð Q ) < e Ð 1

car 1 est de degré 0. Donc deg P = deg Q = 0. A.

En particulier, P ∈ A ; comme Q ∈ A , P est bien inversible dans

1.2.3 Le théorème de Hilbert sur les anneaux noethériens Rappelons qu’un anneau A est dit noethérien lorsque toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire. Un cas particulier d’anneau noethérien est celui d’un anneau principal. La plupart des anneaux usuels en algèbre élémentaire sont noethériens. Le théorème suivant montre que les anneaux de polynômes sur un anneau noethérien sont encore noethériens. Théorème 1 (Hilbert). Si A est un anneau noethérien, A [ X 1, …, X n ] est un anneau noethérien. Preuve. ◊ Grâce à l’identification de A [ X 1, …, X n ] avec A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] et un raisonnement par récurrence, on peut supposer n = 1. On appelle X l’unique indéterminée. Soit I un idéal quelconque de A [X ] . On note dn (I ) l’ensemble des coefficients dominants des éléments de I qui sont exactement

AF 37 − 6

et P Ð Q ∈ I n . Donc :

P Ð Q ∈ I q et P ∈ I q .

◊

Ainsi, la suite (In) est stationnaire à partir du rang q.

1.3 Propriétés arithmétiques 1.3.1 Algorithme de division euclidienne dans A [X ] Théorème 2. Soient A un anneau commutatif et N et D deux éléments de A [X ] . On suppose que D est non nul, et que son coefficient dominant est inversible dans A . 2 Il existe alors un unique couple ( Q, R ) ∈ A [X ] tel que :

N = DQ + R et

deg R < ( deg D ) Ð 1 .

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◊

________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

Preuve. ◊ Dire que X – α divise P, c’est affirmer l’existence d’un polynôme Q tel que P = (X – α)Q.

Preuve. ◊ a Unicité

ii ) ⇒ i ) est immédiat.

Si (Q, R) et (Q1, R1) sont solutions du problème, on a :

i ) ⇒ ii ) Effectuons la division euclidienne de P par X – α (c’est possible car 1 est inversible). On peut écrire :

D ( Q Ð Q 1 ) = R 1 Ð Rú .

P = (X Ð α)Q + R

Or deg ( R 1 Ð R ) < ( deg D ) Ð 1 et , si Q ≠ Q 1 , on a : deg D ( Q Ð Q 1 ) = deg D + deg ( Q Ð Q 1 )

où deg R < 0 , ce qui signifie que R ∈ A . Évaluant en α, on obtient R = 0. ◊

car le coefficient dominant de D est inversible. Donc :

Dans la suite de ce paragraphe, et jusqu’à la fin de l’article, on suppose que A est un anneau intègre.

deg D ( Q Ð Q 1 ) > deg D .

Proposition 8.

Soit A un anneau intègre. Si P ∈ A [X ] Ð { 0 } et si deg P < d , P admet au plus d racines. Preuve. ◊ Soit α1 une racine de P. On peut écrire :

Il y a contradiction. Il est donc nécessaire que Q = Q1, puis que R = R1. b Existence. Lorsque deg N < ( deg D ) Ð 1 , il suffit de prendre Q = 0, R = N. Raisonnons ensuite par récurrence sur deg N. On pose :

N = ak Xk + … D = b < X < + … avec b < inversible dans A. On construit deux suites ( Q i ) i ∈ [ < Ð 1, k ] et ( R i ) i ∈ [ < Ð 1, k ] de polynômes tels que :

P = ( X Ð α 1 ) Q avec deg Q < d Ð 1 . Une racine α de P, différente de α1, est nécessairement une racine ÷ ( α ) = 0 et α Ð α ≠ 0 . Comme, par récurrence, Q de Q car ( α Ð α 1 ) Q 1 (qui est non nul) admet au plus d – 1 racines, P admet bien au plus d racines. ◊ Ainsi, pour montrer que deux polynômes P et Q sont égaux, il suffit de montrer qu’ils prennent les mêmes valeurs en (d + 1) points distincts, où d > deg ( P Ð Q ) . En effet, dans ce cas, P – Q ne pourra appartenir à A [X ] Ð { 0 } , donc sera nul.

Supposons construits Qi et Ri . Posant Ri = λ X i + …, on définit :

Corollaire 1. Soit D un sous-ensemble infini de l’anneau intègre A . L’application P ° P÷ qui, au polynôme P de A [X ] , associe l’application polynomiale correspondante sur D, est injective. Ce corollaire 1, qui se prouve en remarquant que, si P÷ = 0 , P

R i Ð 1 = R i Ð λ b Ð<1 DX i Ð < .

admet une infinité de racines, donc est nul, admet une extension convenable dans le cas des polynômes à n indéterminées.

N = DQ i + R i , avec deg R i < i . C’est possible pour i = k , en prenant Qk = 0, Rk = N.

Corollaire 2. Soit D = D 1 × … × D n un produit d’ensembles infinis. L’application P ° P÷ qui, au polynôme P de A [ X 1, …, X n ] , associe l’application polynomiale correspondante sur D, est injective.

Alors :

N = DQ i + λ b Ð<1 DX i Ð < + R i Ð 1 = DQ i Ð 1 + R i Ð 1 avec deg R i Ð 1 < i Ð 1. Dans ces conditions, R < tient. En fait, λ

b Ð<1

Ð1

Preuve. ◊ Pour n = 1, il s’agit du corollaire 1. On suppose le résultat vrai à l’ordre n – 1. Soit P ∈ A [ X 1, …, X n ] tel que :

est le reste cherché et Q <

Ð1

, le quo-

X est le monôme de degré i Ð < de Q, qui se construit ainsi petit à petit en partant des termes de plus haut degré. Cet algorithme, appelé stathme de la division euclidienne, correspond à la division à la main. Exemple : N = 2 X 4 + X 3 Ð X + 2 ; D = X 2 + 2 X + 1 L’anneau A est ici égal à Z .

R4 = N

2X 4 + X 3 Ð X + 2

R3

Ð 3X 3 Ð 2X 2 Ð X + 2

R2

4X 2 + 2X + 2

R1 = R

∀( x 1, …, x n ) ∈ D

iÐ<

X 2 + 2X + 1 2X 2 2X 2 Ð 3X

D Q3

On peut écrire :

P =

∑ Li ( X1, …, Xn Ð 1 ) Xni

et considérer ainsi P comme un élément de B [ X n ] , avec B = A [ X 1, …, X n Ð 1 ] . Fixons ( x 1, …, x n Ð 1 ) ∈ D 1 × … × D n Ð 1 . On a donc : ∀x n ∈ D n

∑ Li ( x1, …, xn Ð 1 ) xni

1.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes Définition 2. Soit P ∈ A [X ] . On dit que l’élément α de A est racine de P lorsque P÷ ( α ) = 0 . Proposition 7.

Si A est un anneau commutatif, il y a équivalence entre : i) α est racine de P ; ii) X – α divise P.

= 0 .

i

Q2

2 X 2 Ð 3 X + 4 Q1 = Q

,

i

Cela exprime que le polynôme Ð6 X Ð 2

P÷ ( x 1, …, x n ) = 0 .

∑ Li ( x1, …, xn Ð 1 ) Xni

admet une

i

infinité de racines, à savoir tous les éléments de Dn ; il est donc nul. Par conséquent : ∀i

L i ( x 1, …, x n Ð 1 ) = 0 .

Cela étant réalisé pour tout (x1, … ,xn – 1) dans D 1 × … × D n Ð 1 , l’hypothèse de récurrence entraîne que tous les Li sont nuls. Donc P = 0. ◊ Il ne faudrait pas croire qu’un polynôme P ∈ A [ X 1, …, X n ] tel que P÷ s’annule sur un ensemble infini quelconque est nécessairement nul. Par exemple, si n = 2, l’ensemble des (x1, x2) de R 2 tels que x1 = 0 est infini (c’est une droite !). Pourtant X1 n’est pas le polynôme nul.

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AF 37 − 7

POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

1.3.3 Arithmétique dans A [X ]

Soit, réciproquement, N un élément de I. Puisque D ≠ 0 , il existe ( Q , R ) ∈ K [X ] 2 tel que :

N = DQ + R avec deg R < ( deg D ) Ð 1 .

1.3.3.1 Rappels de vocabulaire Dans ce paragraphe, nous rappelons le langage de la divisibilité dans un anneau commutatif intègre B .

Or : R = N Ð DQ ∈ I , puisque N ∈ I et DQ ∈ I . Comme deg R < deg D, on a :

■ On appelle idéal (principal) engendré par l’élément a de B l’ensemble, noté a B , des multiples de a :

a B = { ab } b ∈ B . On dit que a divise c, et on note a c , lorsqu’il existe b dans B tel que c = ab. Autrement dit :

a c ⇔ c ∈ aB ⇔ cB ⊂ aB . On dit que les éléments a et c sont associés lorsqu’ils se divisent mutuellement. On a :

a et c sont associés ⇔ c B = a B . Notons U ( B ) l’ensemble des éléments inversibles de B ; il s’agit d’un groupe multiplicatif. On dispose de l’équivalence :

c B = a B ⇔ ∃ λ ∈ U ( B ) a = λb ⇔ ∃ µ ∈ U ( B ) b = µa . ■ Soit p un élément de B . On dit que p est irréductible lorsque p ∉ U ( B ) et que :

p = ab ⇒ p associé à a ou p associé à b .

R = 0 , puis N = DQ .

◊

Ce théorème permet d’appliquer à K [X ] l’arithmétique usuelle, c’est-à-dire celle à laquelle on est accoutumé dans l’anneau des entiers relatifs. Soit I un idéal de K [X ] . Le théorème 3 assure qu’il existe un polynôme ∆ tel que I = ∆ K [X ] . Un tel polynôme ∆ est appelé un générateur de I. Il n’est pas unique : les générateurs de I sont les éléments associés à ∆. Si I ≠ { 0 } , ∆ n’est pas le polynôme nul. Soit λ son coefficient 1 dominant ; --- ∆ est alors unitaire et, précisément, c’est l’unique polyλ nôme unitaire qui engendre I. On parlera, par abus de langage, du générateur de I, le contexte devant rendre clair ce choix. Bien entendu, si I = {0}, son seul générateur est le polynôme nul. Remarquons, d’autre part, qu’un générateur de I est caractérisé par le fait que c’est l’élément non nul de I de plus petit degré. ■ Soit ( Q i ) i ∈ I une famille d’éléments de K [X ] . L’idéal

∑ Qi K [X ] ,

i∈I

∑ ′ Qi Ui , où (Ui ) décrit l’ensemble des familles

Cette dernière condition équivaut à dire que p n’est divisible que par les inversibles et les éléments qui lui sont associés.

formé des sommes

■ Soient a et b deux éléments de B . On dit qu’ils sont premiers entre eux lorsque :

presque nulles de polynômes, est un idéal principal. Soit ∆ un générateur de cet idéal. On dit que ∆ est un plus grand commun diviseur de la famille ( Q i ) i ∈ I , en abrégé :

d a et d b ⇒ d ∈ U ( B ) .

i∈I

∆ = pgcd ( Q i ) i ∈ I .

En d’autres termes, ils admettent les inversibles pour seuls diviseurs communs.

Le plus souvent, on prend un générateur particulier : l’unique

■ Soit ( a i ) i ∈ I une famille d’éléments de B . L’idéal engendré par

générateur unitaire lorsque

cette famille est, par définition, le plus petit idéal de B contenant

pgcd sont associés à celui-ci.

{ a i } i ∈ I . On le note

∑ ai B . Il est égal à :

i∈I

  .  ∑ ′ ai bi  i ∈ I ( b ) ∈ B ( I )

■ Caractérisation d’un pgcd Pour que ∆ soit un pgcd de la famille ( Q i ) i ∈ I , il faut et il suffit qu’il vérifie la double condition : ∀i ∈ I

i

Comme d’habitude, il s’agit de sommes finies. 1.3.3.2 Étude de K [X ] ( K corps) Dans tout ce paragraphe, K est un corps. Puisque tout élément non nul de K est inversible, le théorème 2 s’applique dès que D n’est pas le polynôme nul. Cela a une conséquence importante. Théorème 3. K [X ] est un anneau principal. Preuve. ◊ Il s’agit de prouver que tout idéal I de K [X ] est principal, c’est-à-dire qu’il est de la forme D ⋅ K [X ] = { DQ } Q ∈ K [X ] , pour un certain polynôme D. On peut évidemment supposer I ≠ { 0 } . Soit D un polynôme de I Ð { 0 } qui est de plus petit degré. On a, bien sûr, l’inclusion D ⋅ K [X ] ⊂ I , puisque D ∈ I .

AF 37 − 8

∑ QI K [X ] ≠ { 0 } , et 0 sinon. Tous les

I∈I

∀i ∈ I

si

∆ Qi ; D Q i , alors D ∆ .

Autrement dit, pour la relation de divisibilité, ∆ est un « plus grand élément » de l’ensemble des diviseurs communs aux Qi ; cette dénomination est quelque peu abusive, dans la mesure où la relation de divisibilité dans K [ X ] est une relation de préordre, et pas une relation d’ordre. On peut remarquer aussi qu’un pgcd de la famille ( Q i ) i ∈ I est un polynôme de plus grand degré qui divise tous les Qi, ce qui justifie autrement cette dénomination. ■ Relation de Bezout Soit ∆ = pgcd ( Q i ) i ∈ I . Il existe alors une famille presque nulle ( U i ) i ∈ I de polynômes telle que :

∆=

∑ ′ Qi Ui .

i∈I

Cette relation exprime que ∆ ∈

∑ Qi K [ X ] .

i∈I

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

On dit que la famille des ( Q i )

i∈I

est formée d’éléments premiers

entre eux dans leur ensemble lorsque : 1 = pgcd ( Q i )

i∈I

●

Division euclidienne de R1 par R2 :

. On a

XÐ1 R 1 = --------------- R 2 + R 3 , avec R 3 = Ð X 2 Ð X Ð 1 3

l’équivalence suivante : 1 = pgcd ( Q i )

i∈I

⇔ ∃ ( Ui )

i∈I

1=

∑ ′ Qi Ui .

●

Division euclidienne de R2 par R3 :

R 2 = Ð 3 X R 3 + R 4 , avec R 4 = 0 .

i∈I

L’implication de gauche à droite n’est rien d’autre que la propriété générale d’un pgcd dans un anneau principal ci-dessus.

Donc ∆ = pgcd (N, D) = – R3 = X 2 + X + 1 (on a pris un pgcd de coefficient dominant égal à 1).

L’implication de droite à gauche résulte du fait que, si 1∈

∑ Qi K [ X ] , alors ∑ Q i K [ X ]

i∈I

= K[X] .

i∈I

Les propriétés du pgcd dans K [ X ] sont celles vérifiées dans tout anneau principal. Nous ne les rappellerons pas en détail. Un point important est que le stathme de division euclidienne permet des calculs effectifs de pgcd, ainsi que des coefficients de Bezout, c’està-dire des polynômes Ui. Pratiquement, on se limite à deux polynônes, puis on utilise la propriété d’associativité suivante : pgcd ( Q 1, …, Q n ) = pgcd ( pgcd ( Q 1, …, Q n Ð 1 ), Q n ) .

En détaillant les calculs, on peut obtenir un couple de coefficients de Bezout. Initialisons :   M0 =  1 0 N   0 1 D 

Tant que R i ≠ 0 , posons R i Ð 1 = R i Q i + R i + 1 (division euclidienne). On peut écrire : R0 = U0 N + V0 D et si, par récurrence :

Ri = Ui N + Vi D ,

■ Algorithme d’Euclide L’algorithme d’Euclide permet de déterminer le pgcd de deux polynômes et, en outre, de déterminer deux polynômes coefficients d’une relation de Bezout. Notation Soit D un polynôme non nul. On désigne par N mod D le reste de la division de N par D ; on lit ceci « N modulo D ». On remarque que, si D ≠ 0 :

alors :

Ri + 1 = Ui Ð 1 N + Vi Ð 1 D Ð Ui Qi N Ð Vi Qi D Ri + 1 = ( Ui Ð 1 Ð Ui Qi ) N + ( Vi Ð 1 Ð Vi Qi ) D = Ui + 1 N + Vi + 1 D  0 1  Introduisons la matrice : P i =   . Ainsi :  1 ÐQi   Ui  U  Vi Ri  V R   = Pi  i Ð 1 i Ð 1 i Ð 1   Ui + 1 Vi + 1 Ri + 1   Ui Vi Ri 

pgcd ( N, D ) = pgcd ( D, N mod D ) . En effet, un diviseur de N et D divise aussi N mod D, qui est de la forme N – QD. De même, un diviseur de D et de N mod D divise N. Cela fournit l’algorithme suivant ; on pose R0 = N, R1 = D. Tant que Ri est non nul, on pose :

ou encore : Mi = Pi Mi – 1. En particulier, si R n ≠ 0 et R n + 1 = 0 , on aura :

R n = pgcd ( N, D ) = U n N + V n D .

R i + 1 = R i Ð 1 mod R i . Ainsi, pgcd (Ri, Ri +1) est un invariant.

L’algorithme peut se reformuler ainsi :

En outre, deg Ri + 1 < deg Ri pour i > 1 . L’algorithme se termine donc au bout d’un nombre fini d’étapes.

  M0 =  1 0 N  ; R0 = N ; R1 = D .  0 1 D

De plus, si Rn est le dernier reste non nul, on a : pgcd ( R n , R n + 1 ) = pgcd ( R n , 0 ) = R n , donc pgcd (N, D) = Rn : le pgcd est le dernier reste non nul . De plus, n < deg R 1 = deg D . Le nombre de divisions successives est inférieur ou égal à deg D. Bien entendu, par une comparaison des degrés, on peut choisir D de telle sorte que :

R0 = N ; R1 = D .

Tant que R i ≠ 0 , soit Qi le quotient euclidien de Ri – 1 par Ri. Alors :  Ui Vi Ri  0 1   = 1 ÐQi  Ui + 1 Vi + 1 Ri + 1 

 Ui Ð 1 Vi Ð 1 Ri Ð 1     Ui Vi Ri 

Résultat : R n = pgcd ( N, D ) . Rn = Un N + Vn D

deg D = min (deg N, deg D). Exemple : Le corps de base est Q . On cherche le pgcd des polynômes :

N = X 6+ X 5+ X 4 Ð 2 X 2 Ð 2 X Ð 2 D = X 4Ð X 2Ð 2X Ð 1 ●

Division euclidienne de R0 = N par R1 = D :

R 0 = ( X 2 + X + 2 ) R 1 + R 2 , avec R 2 = 3 X 3 + 3 X 2 + 3 X .

Complexité de l’algorithme d’Euclide. Il se trouve que, parmi les algorithmes de calcul de pgcd n’utilisant que des divisions euclidiennes, l’algorithme d’Euclide précédent est optimal. Dans le pire des cas, il nécessite (1 + deg D) divisions euclidiennes. ■ Factorialité de K [X ] Notons 3 l’ensemble des polynômes irréductibles de K [X ] qui sont unitaires. Tout polynôme irréductible est ainsi associé à un polynôme de 3.

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AF 37 − 9

POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

Le fait que K [X ] est principal a pour conséquence la factorialité de K [X ] : tout polynôme Q non nul de K [X ] peut s’écrire :

Q = λ

∏′P

αP

qui résulte de l’égalité : ∀P ∈ 3 min (v P ( Q 1 ), v P ( Q 2 ) ) + max (v P ( Q 1 ), v P ( Q 2 ) )

, = vP ( Q1 ) + vP ( Q2 ) .

P∈3

où λ est un élément non nul de K , αP un entier naturel, les αP étant nuls sauf pour un nombre fini de polynômes P (ce qui est rappelé par le symbole Π’, qui indique que le produit porte sur un nombre fini de polynômes). En outre, cette écriture est unique. En d’autres termes, la famille ( α P ) P ∈ 3 ne dépend que de Q.

Q.

On note : αP = vP (Q ). Cet entier est appelé valuation P-adique de

De cette façon, le calcul du ppcm se ramène au calcul du pgcd, que l’on obtient à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Exemple : Reprenons l’exemple de :

N = X 6 + X 5 + X 4 Ð 2 X 2 Ð 2 X Ð 2 et D = X 4 Ð X 2 Ð 2 X Ð 1 . On a vu que ∆ = pgcd ( N, D ) = X 2 + 1 . Il en résulte que :

On peut donc écrire :

Q = λ

∏′P

vP ( Q )

ND D ppcm ( N, D ) = ---------- = N ----- . ∆ ∆

.

P∈3

Une division euclidienne fournit :

Notons que λ n’est rien d’autre que le coefficient dominant de Q.

D ---- = X 2 Ð X Ð 1 . ∆

Il est facile de caractériser la relation de divisibilité. Si Q1 et Q2 sont deux polynômes non nuls, on a : Ainsi :

Q1 Q2 ⇔ ∀ P ∈ 3 vP ( Q1 ) < vP ( Q2 ) .

ppcm ( N, D ) = ( X 6 + X 5 + X 4 Ð 2 X 2 Ð 2 X Ð 2 ) ( X 2 Ð X Ð 1 ) .

On peut aussi calculer le pgcd d’une famille (Qi) de polynômes non nuls : ∀ P∈3

v P ( pgcd ( Q i ) ) = min v P ( Q i ) i∈I

Cette méthode est plus théorique que pratique. En effet, la détermination de vP (Q ) est un problème difficile. ■ ppcm d’une famille de polynômes Soit ( Q i ) i ∈ I une famille de polynômes. L’idéal

∩ Qi K [X ]

i∈I

est un

idéal principal de K [ X ] . Un générateur µ de cet idéal est appelé plus petit commun multiple de la famille ( Q i ) i ∈ I . On note :

µ = ppcm ( Q i ) i ∈ I . On le choisira souvent unitaire, lorsque

∩ Qi K [X ] ≠ { 0 } .

i∈I

Un polynôme µ est caractérisé par la double condition : ∀ i ∈ I µ Qi ; ∀ i ∈ I m Q i , alors µ m .

si

Un ppcm de la famille ( Q i ) i ∈ I est donc un plus petit élément (pour la relation de divisibilité) de l’ensemble des diviseurs communs aux Qi. C’est, dans le cas particulier où I est un ensemble fini, un diviseur de

∏ Qi .

On suppose dans tout ce paragraphe que A est un anneau factoriel. On notera 3 une famille représentative des irréductibles de A , c’est-à-dire telle que tout irréductible de A est associé à un élément et un seul de la famille 3. On notera aussi U ( A ) le groupe des inversibles de A . Rappelons que, par définition, un anneau factoriel est aussi intègre. Définition 3. Soient Q ∈ A [X ] et Q =

∑ ′ qi X i . On appelle

i∈N

contenu de Q, et on note c (Q ), un pgcd de la famille ( q i ) i ∈ I . Exemple : a A = Z ; Q = 6 X 3 + 2 X Ð 4 . On a alors : c (Q ) = 2. b A = Q [ X 1 ] ; Q = X 12 X 3 + 2 X 1 X 2 + 3 X 14 X . Dans Q [X 1 ], pgcd ( X 12, 2 X 1, 3 X 14 ) = X 1 . Donc : c (Q) = X1. Bien entendu, c (Q ) n’est pas unique : deux contenus sont associés. Nous disposons des propriétés suivantes :

i∈I

Notons aussi qu’un ppcm de la famille ( Q i ) i ∈ I est un polynôme de plus petit degré qui divise tous les Qi. Pour calculer le ppcm de la famille ( Q i ) i ∈ I , où I est fini ([I = [1, n]), on utilise l’associativité du ppcm : ppcm ( Q 1, …, Q n ) = ppcm ( ppcm ( Q 1, …, Q n Ð 1 ), Q n ) de façon à se ramener à deux polynômes non nuls Q1 et Q2. On utilise ensuite la formule : pgcd ( Q 1, Q 2 ) ⋅ ppcm ( Q 1, Q 2 ) = Q 1 Q 2

AF 37 − 10

1.3.3.3 Étude de A [X ] ( A anneau factoriel)

a c(Q) = 0 ⇔ Q = 0 ; b si λ ∈ A , alors c ( λQ ) = λc ( Q ) ; c si λ divise tous les coefficients de Q, on peut écrire :

Q = λ Q 1 où

Q 1 ∈ A [X ] ;

d en particulier, pour tout polynôme Q, on peut écrire :

Q = c ( Q ) Q1 . En outre, c (Q) = c (Q ) c (Q1) d’après la propriété c. Si donc Q ≠ 0 , on a : c (Q1) = 1.

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On appelle polynôme primitif un polynôme de contenu égal à 1. Tout polynôme peut donc s’écrire sous la forme :

Q = c (Q ) Q 1 , où Q1 est un polynôme primitif (dans le cas où Q = 0, Q1 n’est pas unique, mais on peut toujours prendre Q1 = 1).

et où pgcd (µ, λ’) = 1 (c’est-à-dire que l’on a pris une forme irréductic ( Q1 ) ble de la fraction ----------------- ). λ

α De même : S = ----- S 2 , avec S2 primitif et pgcd (α, β ’) = 1. β′ Donc :

Proposition 9.

αµ P = QS = ---------- Q 2 S 2 λ′β′

Soient Q et S deux polynômes de A [X ] . Alors : c (QS) = c (Q) c (S)

Supposons à présent ces polynômes non nuls. On peut écrire :

Q = c (Q) Q1 et S = c (S) S1,

Il en résulte :

λ ′ β ′ = αµ c ( Q 2 S 2 ) = αµ . Mais pgcd ( λ ′ β ′, αµ ) = 1 . Donc : λ ′ β ′ ∈ U ( A ) et αµ ∈ U ( A ) . Ainsi : P = k Q 2 S 2 où k ∈ U ( A ) .

où Q1 et S1 sont de contenu 1. Alors :

Puisque P est irréductible dans A [X ] , on a, par exemple, deg Q2 = 0.

QS = c (Q) c (S) Q1 S1

Donc deg Q = 0, et Q est inversible dans K .

et c (QS) = c (Q) c (S) c (Q1S1). Tout revient donc à montrer que Q1S1 est primitif lorsque Q1 et S1 le sont. Soit p ∈ 3 . On sait que l’anneau quotient A ⁄ p A est intègre. Notons Q ∈ A ⁄ p A [X ] le polynôme

λ ′ β ′ P = αµ Q 2 S 2 .

ou encore

Preuve. ◊ Puisque A [X ] est intègre, la propriété est vraie lorsque Q ou S est nul.

∑ qi X i , lorsque

i∈I

Q =

∑ qi X i

i∈I

et lorsque q i désigne la classe de qi dans A ⁄ p A . On obtient alors :

Q1 S1 = Q1 S1 Mais Q 1 ≠ 0 car p ne divise pas tous les coefficients de Q1. De même S 1 ≠ 0 . Comme A ⁄ p A [X ] est intègre, Q 1 S 1 ≠ 0 . En particulier, c (Q1S1) n’est divisible par aucun irréductible de A . C’est donc un inversible de A et : c (Q1S1) = 1. ◊ Cette proposition 9 est due à Gauss. Considérons le corps des fractions K de l’anneau intègre A . Tout élément de A [X ] peut donc être considéré comme un élément de K [X ] . Nous allons caractériser les polynômes irréductibles de A [X ] à l’aide des éléments irréductibles de A et des polynômes irréductibles de K [X ] . Proposition 10.

Soit P ∈ A [X ] Ð A où A est un anneau factoriel. Il y a équivalence entre : a P est un irréductible de A [X ] ; b P est primitif et P est un irréductible de K [X ] .

b ⇒ a Supposons que P puisse s’écrire :

P = QS où Q ∈ A [X ] et S ∈ A [X ] . Puisque P, Q, S sont dans K [X ] , on a, par exemple, deg Q = 0. Donc Q ∈ A ; notons Q = λ. Alors c (P ) = λ c (S ). Comme λ divise un inversible de A , λ est inversible. Cela prouve finalement que Q est irréductible. ◊ La proposition 10 caractérise les polynômes non constants de A [X ] qui sont irréductibles dans A [X ] ; quant aux polynômes constants, il est facile de voir qu’ils sont irréductibles si, et seulement si, ils sont irréductibles comme éléments de A . Théorème 4. Si A est un anneau factoriel, alors A [X ] est encore factoriel. Preuve. ◊ Soit R un élément de K [X ] . On peut toujours écrire :

λ R = --- S , où ( λ, µ ) ∈ A 2 et S ∈ A [X ] . µ On peut, en outre, supposer c (S) = 1. Si, de plus, R est irréductible dans K [X ] , S est aussi irréductible dans K [X ] , car il est associé (dans K [X ] ) à R. Donc S, étant primitif, est irréductible dans A [X ] . ■ Existence d’une décomposition en facteurs irréductibles dans A [X ] Soit Q ∈ A [X ] . C’est un produit d’irréductibles de K [X ] , car K [X ] est principal (§ 1.3.3.2), donc factoriel. Par conséquent, on peut écrire :

α Q = --- Q 1 β

Preuve. ◊ a⇒b Puisque P = c (P ) P1, où P 1 ∈ A [X ] , on a nécessairement c (P) ∈ U(A) . Supposons que P puisse s’écrire :

P = QS où Q ∈ K [X ] et S ∈ K [X ] . Un polynôme Q de K [X ] peut s’écrire, après réduction à un dénominateur commun :

Soit :

1 Q = --- Q 1 où Q 1 ∈ A [X ] , λ

λ∈A .

µ Q = ----- Q 2 où Q 2 ∈ A [X ] , λ′

Q 2 est primitif ,

où ( α, β ) ∈ A 2 et Q1 est un produit d’irréductibles de A [X ] .

α En particulier, c (Q1) = 1, donc α = β c (Q). Ainsi, --- ∈ A . Puisque A β α est factoriel, --- est un produit d’irréductibles de A , donc, évidemβ ment, de A [X ] . L’existence d’une décomposition est ainsi assurée. ■ Unicité d’une décomposition en facteurs irréductibles dans A [X ] Supposons l’égalité :

Q =

αi

∏ ′ Pi

i∈I

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AF 37 − 11

POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

où les Pi sont des irréductibles de A [X ] . On peut écrire : α Q = a ∏ ′ Pi i i∈I

∏′

où a désigne le produit

αi

Pi

, les éléments Pi intervenant dans

i∈IÐJ

ce produit correspondant aux polynômes constants, c’est-à-dire aux éléments de A . D’après l’unicité d’une décomposition dans K [X ] , on a nécessairement lorsque v Pi désigne la valuation Pi – adique

Proposition 11.

Soit A un anneau, de caractéristique différente de 2. Soit P ∈ A [ X 1, …, X n ] . Il y a équivalence entre : a P est antisymétrique. b Il existe T symétrique tel que : P = VT Preuve. ◊ b ⇒ a On a, d’après les propriétés de la substitution (§ 1.1.3) :

dans K [ X ] :

P σ = V σ Q σ = ε ( σ ) VQ = ε ( σ ) P .

α i = v Pi ( Q ) puisque Pi est aussi un irréductible de K [X ] . De plus :

c (Q) = a αi

∏′

car c (Pi) = 1. Donc

Pi

est une décomposition de a en facteurs

a ⇒ b Considérons P ∈ A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] et

S = ( X n Ð X 1 )… ( X n Ð X n Ð 1 ) ∈ A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] . Puisque le coefficient dominant de S est 1, on peut appliquer le théorème 2 et diviser P par S :

i∈IÐJ

irréductibles dans A , décomposition unique d’après la factorialité de A . L’unicité est ainsi montrée. ◊ On peut donc appliquer, dans A [X ] , les règles usuelles de l’arithmétique, pour autant qu’elles relèvent de la factorialité. Cependant, l’égalité de Bezout, et plus généralement les propriétés liées à la principalité, ne sont plus vérifiées en général dans A [X ] .

P = SQ + R ; deg

Xn R


Pour i ∈ [ 1, n Ð 1 ] , on a :

P ( X 1, …, X i , …, X n Ð 1 , X i ) = Ð P ( X 1, …, X i , …, X n Ð 1, X i ) car P τ = Ð P τ , où τ est la transposition (i, n). Donc : P ( X 1 , …, X i , …, X n Ð 1 , X i ) = 0 . Il en résulte que :

1.4 Polynômes symétriques, antisymétriques de A [ X 1, …, X n ] Définition 4. Soient σ ∈ S n , groupe des permutations de [1, n], et P ∈ A [ X 1, …, X n ] . On pose :

P σ = P ( X σ ( 1 ) , …, X σ ( n )) .

R ( X 1 , …, X i , … , X n Ð 1 , X i ) = 0 puisque S ( X 1 , …, X i , …, X n Ð 1, X i ) = 0 . Le polynôme R, considéré comme un élément de A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] , admet les (n – 1) racines X1, …, Xn – 1. Comme il est de degré inférieur ou égal à (n – 2), il est nul. Ainsi : P = SQ. Soit σ une permutation telle que σ (n) = n. On a :

a Le polynôme P est dit symétrique lorsque : ∀σ ∈ S n

Pσ = P .

b Le polynôme P est dit antisymétrique lorsque : ∀σ ∈ S n

Pσ = ε ( σ ) P .

Rappelons que ε (σ ) désigne la signature de σ ; ε (σ ) vaut 1 ou – 1, selon que σ est une permutation paire ou impaire.

Sσ = S . Qσ = ε ( σ ) Q .

Donc :

On peut appliquer une hypothèse de récurrence à Q ∈ A [ X n ] [ X 1, …, X n Ð 1 ] , antisymétrique par rapport aux (n – 1) dernières indéterminées. Ainsi, il existe T tel que : Q = V1 T, avec V 1 =

∏

( X i Ð X j ) . Donc :

nÐ1>i>j>1

P = SV 1 T = VT .

Exemple : Soit :

V =

1 X1

1 X2

… …

1 Xn

…

X nn Ð 1

:

X n1 Ð 1

X n2 Ð 1

De plus :

V σ T σ = P σ = Ð P ⇒ VT σ = VT ⇒ T σ = T . ∈ A [ X 1, …, X n ]

Les propriétés du déterminant prouvent que V est antisymétrique. Ce polynôme est appelé polynôme de Vandermonde. On peut l’expliciter :

V =

∏

n>i>j>1

( Xi Ð Xj ) .

(n Ð 1)n C’est un polynôme homogène, de degré --------------------- . On a aussi : 2 deg Xi V = n Ð 1 .

AF 37 − 12

Donc T est nécessairement symétrique.

◊

Grâce à la proposition 11, l’étude des polynômes antisymétriques se ramène, lorsque la caractéristique de A est différente de 2, à l’étude des polynômes symétriques. Lorsque A est de caractéristique 2, on a – P = P, donc les polynômes antisymétriques et symétriques sont les mêmes. Nous introduisons les polynômes symétriques élémentaires S1, …, Sn suivants : n

S1 = X1 + … + Xn =

∑ Xi i=1

S2 = X1 X2 + … + X1 Xn + X2 X3 + … + X2 Xn + … + Xn Ð 1 Xn

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

∑

soit S 2 =

1 < i1 < i2 < n

Il est certain que α 1 > α 2 > … > α n . En effet, on a, pour toute permutation σ ∈ S n :

X i1 X i2

( α σ ( 1 ) , …, α σ ( n ) ) < ( α 1, …, α n ) ,

et, plus généralement :

∑

Sk =

1 < i1 < i2 < … < ik < n

X i1 X i2 … X ik

α

α

puisque λ X σ 1( 1 ) … X σ (nn ) figure aussi dans l’expression de P. On peut alors déterminer des entiers naturels β1, …, βn tels que :

Ainsi :

Sn Ð 1 = X1 X2 … Xn Ð 1 + X1 X2 … Xn Ð 2 Xn + … + X2 X3 … Xn Sn = X1 X2 … Xn .

β1 + … + βn = α1 ; … ; βn = αn .

;

Proposition 12.

β

β

Le polynôme R Ð λ S 1 1… S n n est encore symétrique, et son monôme maximal est strictement inférieur à (α1, …, αn).

On a, dans A [ X 1, …, X n ] [T ] : ( T Ð X 1 ) ( T Ð X 2 )… ( T Ð X n ) = T n Ð S 1 T n Ð 1 + S 2 T n Ð 2 + … + ( Ð1 ) k Sk T n Ð k + … + ( Ð1 ) n Sn . Cette proposition résulte d’un simple calcul. Évaluée en un nuplet (x1,…, xn) de A , l’égalité précédente permet d’exprimer les coefficients Ð s 1, s 2, …, ( Ð 1 ) k s k, …, ( Ð 1 ) n s n d’un polynôme de A [T ] , connaissant la liste (x1,…, xn) de ses racines. Pour cette raison, on parle souvent de fonctions symétriques élémentaires des racines. Il est clair que S1,…, Sn sont des polynômes symétriques de A [ X 1, …, X n ] : il suffit de substituer ( X σ ( 1 ), …, X σ ( n ) ) à (X1, …, Xn) dans le membre de gauche de l’égalité qui précède. De plus, Sk est un polynôme homogène de degré k, qui est de degré 1 par rapport à chacun des Xi . Soit U un polynôme en n indéterminées, à coefficients dans A . Le polynôme U (S1, …, Sn) est manifestement un polynôme symétrique de A [ X 1, …, X n ] . Le théorème ci-dessous affirme que la réciproque est vraie. Théorème 5. Soit P ∈ A [ X 1, …, X n ] , symétrique. Il existe un unique polynôme U, à n indéterminées et à coefficients dans A , tel que P = U (S1, …, Sn). α

α

Preuve. ◊ Sur les monômes X 1 1… X n n , on met l’ordre lexicographique ( α 1, …, α n ) > ( β 1, …, β n ) défini par :

On conclut alors par une hypothèse de récurrence (qui utilise le fait que l’ordre lexicographique est un bon ordre sur N n ). ◊ La démonstration précédente est constructive.

P = X 31 + X 32 + X 33Ð X 21 X 2 Ð X 12 X 3 Ð X 22 X 3 Ð X 1 X 22 Ð X 1 X 32 Ð X 2 X 23 . 3

Le monôme maximal est X 1 . On a :

S 31 = X 31 + X 32 + X 33 2

2

2

2

2

2

+ 3 ( X 1 X2 + X 1 X3 + X 2 X3 + X1 X 2 + X1 X 3 + X2 X 3) + 6 X1 X2 X3 Donc :

P Ð S 13 = Ð 4 ( X 12X 2 + X 21 X 3 + X 22 X 3 + X 1 X 22 + X 1 X 32 + X 2 X 23) Ð 6 X 1 X 2 X 3 2

Le plus grand monôme est ensuite Ð 4 X 1 X 2 . On calcule :

S1 S2 = ( X1 + X2 + X3 ) ( X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 ) Donc :

P Ð S 31 + 4 S 1 S 2 = 6 X 1 X 2 X 3 . Enfin, X1 X2 X3 = S3. D’où :

P = S 31 Ð 4 S 1 S 2 + 6 S 3 .

α 1 > β 1 ou ( ( α 1 = β 1 et α 2 > β 2 )… ou ( α n > β n )… ) . Pour cet ordre, cherchons le plus grand monôme de Sk : c’est manifestement X1 … Xk. β

2. Polynômes irréductibles

β

β

Le plus grand monôme de S 1 1 S 2 2 … S n n est donc : β

β

β

X 1 1+ … + βn X 2 2+ … + βn … X n n . ■ Unicité Par différence, il s’agit de montrer que si :

P ( X 1, …, X n ) = Q ( S 1, …, S n ) = 0 dans A [ X 1, …, X n ] , Q est le polynôme nul. Supposons le contraire, β

β

et soit λ le coefficient non nul de S 1 1… S n n , où (β1, …, βn) est choisi de telle façon que ( β 1 + … + β n , β 2 + … + β n , …, β n ) soit maximal pour l’ordre lexicographique introduit ci-dessus. Il faut seulement remarquer qu’il existe un unique tel monôme, car la donnée de ( β 1 + … + β n , …, β n ) détermine celle de ( β 1, …, β n) . On voit alors que λ est le coefficient du plus grand monôme de P, donc est nul : d’où la contradiction. ■ Existence

α

α

Puisque, lorsque l’anneau A est factoriel, l’étude de la divisibilité se ramène à la décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles, il est essentiel de pouvoir déterminer les polynômes irréductibles d’un anneau de polynômes. Cette question ne peut pas être abordée sans une connaissance préalable de A . Très souvent, A sera d’ailleurs un corps. Nous discuterons donc des polynômes irréductibles en relation étroite avec l’anneau A .

Soit λ X 1 1 … X n n le plus grand monôme de P ∈ A [ X 1, …, X n ] , avec λ ≠ 0 .

2.1 Racines d’un élément de K [X ] Dans ce paragraphe 2.1, K désigne un corps.

2.1.1 Corps algébriquement clos Dans K [X ] , un polynôme de degré 1 est toujours irréductible, car un diviseur non constant est aussi de degré 1, donc est associé au polynôme initial.

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AF 37 − 13

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Lorsque m ( α ) > 2 , on dit que α est racine multiple de P : double lorsque m (α) = 2, triple lorsque m (α) = 3, etc.

Définition 5. On dit qu’un corps est algébriquement clos lorsque les polynômes irréductibles sont ceux de degré un. Autrement dit, il n’y a pas d’autre polynôme irréductible que ceux qui sont de degré 1.

De façon générale, m(α) est appelé ordre de multiplicité de α dans P. Proposition 14.

Soit P ∈ K [X ] Ð { 0 } . Il y a équivalence entre :

Proposition 13.

a m(α) > 2 ; b P ( α ) = P ′( α ) = 0 .

Soit K un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a K est algébriquement clos ;

Preuve. ◊

b tout polynôme P de K [X ] , non constant, admet au moins une racine ; c tout polynôme P de K [X ] , non nul, peut s’écrire :

λ

∏ ′ ( X Ð α )m(α)

a ⇒ b Si P = ( X Ð α ) 2 Q , on a :

P ′ = 2 ( X Ð α ) Q + ( X Ð α )2 Q ′ .

où m ( α ) ∈ N et λ ∈ K Ð { 0 } .

Donc : P ( α ) = P ′ ( α ) = 0 .

α∈K

b ⇒ b . Si P (α) = 0, on peut écrire :

Preuve. ◊ a ⇒ c : P admet une décomposition en facteurs irréductibles unitaires, de la forme X – α, α ∈ K . Le nombre m (α) n’est rien d’autre que la valuation (X – α) – adique de P. c ⇒ b est clair, car deg P =

∑ ′ m ( α ) , donc au moins un des

α∈K

m (α) est supérieur ou égal à 1. b ⇒ a : si P est irréductible (donc non constant), il admet une racine α, donc est associé à X – α. Il est par conséquent de degré 1.

P = (X Ð α)R avec P ′ = ( X Ð α ) R ′ + R , donc R ( α ) = 0 . Ainsi, R est divisible par X – α. ◊ Pour déterminer m (α) de façon générale, remarquons que la famille ( ( X Ð α ) i ) i ∈ N est une base de K [X ] , car la matrice de cette famille dans la base canonique ( X i ) i ∈ N est triangulaire supérieure, avec des 1 sur la diagonale. Un polynôme P de K [X ] peut donc s’écrire, de façon unique :

P =

◊

Un exemple fondamental est donné par le théorème suivant.

Soit j = min { ( i ∈ N )

Théorème 6. Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.

P =

z → +∞

Si, par l’absurde, P ne s’annule pas dans C , l’application 1 z ° ------------- , continue et tendant vers 0 à l’infini, est bornée sur C . P (z) Comme elle est holomorphe, elle est constante sur C , ce qui est une ◊ contradiction.

λ i ≠ 0 } , lorsque P ≠ 0 . Alors :

∑ λi ( X Ð α ) i

et λ j ≠ 0 .

i>j

Clairement, (X – α ) j divise P et le quotient

Preuve. ◊ Soit P ∈ C [X ] , non constant. On a :

P (z) → + ∞

∑ ′ λi ( X Ð α ) i .

i∈N

∑ λi ( X Ð α ) i Ð j

ne

i>j

s’annule pas en α (puisque λ j ≠ 0 ). Donc ce quotient n’est pas divisible par X – α, et finalement :

m (α) = j . λi.

◊

Pour déterminer m (α), il suffit donc de déterminer les coefficients Cas particulier : α = 0.

Ce théorème explique l’usage fréquent que l’on fait du corps des complexes pour des calculs qui, a priori, sont destinés à des polynômes à coefficients réels.

La valuation X – adique de P est appelée valuation (tout court) de P.

Abstraitement, on peut plonger un corps quelconque dans un corps algébriquement clos.

Soient K un corps de caractéristique nulle et P ∈ K [X ] . Alors :

Proposition 15 (formule de Taylor).

P (Y + Z ) = Théorème 7. Soit K un corps. Il existe un sur-corps L de K qui est algébriquement clos.

Preuve. ◊ Par linéarité, il suffit de le vérifier sur les monômes Xk. Dans ce cas :

P (i ) = k ( k Ð 1 ) … ( k Ð i + 1 ) X k Ð i si k > i , P (i ) = 0 sinon. Donc :

P

Soit α ∈ K . On note m (α) la valuation (X – α) – adique du polynôme P de K [X ] , supposé non nul. Ainsi, m (α) est la plus grande puissance de X – α qui divise P. Bien entendu, en général, α n’est pas racine de P, ce qui signifie que m (α) = 0. Lorsque m (α) = 1, on dit que α est racine simple de P.

AF 37 − 14

Zi .

i∈N

La construction générale de ce corps L n’est pas effective bien que, dans certains cas particuliers, un tel corps L puisse être explicité : par exemple, lorsque K = R et L = C .

2.1.2 Multiplicité des racines

P (i )( Y )

∑ ---------------i!

(i )(Y )

∑ -----------------i!

Zi =

i∈N

k ( k Ð 1 )… ( k Ð i + 1 )

∑ ----------------------------------------------------i!

Y k Ð i Zi

i
=

∑ Cki

Yk Ð i Zi = ( Y + Z )k = P ( Y + Z ) .

i=0

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◊

________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

Il en résulte que, lorsque K est de caractéristique nulle, on a :

P (X) =

P

(i )( α )

∑ ------------------i!

p Imposons uv = Ð --- ; u et v doivent satisfaire : 3

( X Ð α )i ,

u 3 + v 3 = Ðq .

i∈N

formule obtenue en évaluant la formule précédente en (α, X – α). Ainsi :

P (i )( α ) λ i = ------------------- . i! Corollaire. m ( α ) = min { i

P

(i )

p Réciproquement, si uv = Ð --- et u 3 + v 3 = – q, alors u + v est 3 racine de P. Nécessairement :

(α) ≠ 0} .

 u 3 + v 3 = Ðq   p3  u 3 v 3 = Ð -----27 

En d’autres termes, m (α ) est l’unique entier m tel que :

P(α) = … = P

(m Ð 1)

(α) = 0 ; P

(m)

(α) ≠ 0 .

On remarquera que cette caractérisation montre que, si α est d’ordre multiplicité m pour P, α est d’ordre de multiplicité m – k pour ( P k ) (k = 0, …, m). Une telle caractérisation ne s’applique pas aux corps de caractéristique non nulle.

2.1.3 Résolution par radicaux Dans certains cas, on peut déterminer les racines d’un polynôme à l’aide de formules explicites, qui font cependant intervenir des radicaux. On notera n a un élément b de K tel que bn = a. Bien entendu, l’existence d’un tel élément n’est pas toujours assurée. Équation de degré 2 Soit P = X 2 + p X + q . On suppose que K n’est pas de caractéristique 2. On peut écrire :

p 2 p2 P =  X + ---  + q Ð ------ . 2 4 Posons ∆ = p2 – 4q. Soit δ, s’il en existe, une racine carrée de ∆. Ainsi :

p 2 δ 2 p+δ pÐδ P =  X + ---  Ð  ---  =  X + ------------   X + ------------  . 2 2 2 2 Autrement dit, la liste des racines de P est : Ðp+ ∆ ÐpÐ ∆ ---------------------- , --------------------- . 2 2 Équation de degré 3 Soit P = X3 + a X 2 + b X + c. Le polynôme P peut s’écrire : 2 3 a3  X + --a-  +  b Ð a-----  X + c Ð ----- ,   3 3  27

p3 donc u 3 et v 3 sont racines de Y 2+ qY Ð ------ . 27 D’après l’étude de l’équation de degré 2 :    4p 3 4 p 3 Ð q + q 2+ --------- Ð q Ð q 2+ ---------  u 3∈  27 27  ----------------------------------------, ----------------------------------------  2 2   (on a supposé ici K de caractéristique différente de 2). Il y a donc éventuellement 6 valeurs de u qui répondent à cette p dernière condition, v étant alors nécessairement égal à Ð ------- (pour 3u u ≠ 0 ). Le choix des valeurs de u qui donnent effectivement lieu à une racine de P est plus délicat. Nous nous contenterons de ces remarques. Les formules ainsi obtenues sont appelées formules de Cardan.

2.2 Cas des polynômes à coefficients réels 2.2.1 Polynômes irréductibles de R [X ] Soit P ∈ R [X ] Ð { 0 } . On peut considérer sa décomposition en facteurs irréductibles dans C :

P = λ

Quitte à effectuer une translation sur la variable, on peut donc supposer que :

P = X3 + p X + q . Cherchons les racines de P sous la forme :

x = u+v . Alors : 0 = x 3 + px + q = u 3 + v 3 + ( u + v ) ( p + 3 uv ) + q .

∏ ′ ( X Ð α ) m ( α ) où

α∈C

λ ∈ R Ð {0} .

Notons P le polynôme conjugué de P, c’est-à-dire celui qui est obtenu à partir de P en conjuguant ses coefficients. Alors :

P = P = λ

a lorsque K n’est pas de caractéristique 3 ; P  X Ð ---  s’écrit donc :  3 a2 ab 2 a 3 X 3 +  b Ð -----  X Ð ------ + --------- + c . 3 3 27

,

∏′

( X Ð α ) m (α)

α∈C

Il résulte immédiatement de l’unicité de la décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles que m ( α ) = m ( α ) . Cette égalité ne nous apporte rien si α ∈ R . En revanche, si α ∈ C Ð R , on constate que les ordres de multiplicité de α et α sont égaux. On peut ainsi, en regroupant les racines non réelles, écrire :

P = λ

∏ (X Ð α) ∏

α∈R

( X 2 Ð ( α + α ) X + αα ) m ( α ) .

α∈CÐR

Les polynômes X 2 Ð ( α + α ) X + αα sont dans R [X ] . Il résulte de cela que les polynômes irréductibles de R [ X ] sont, ou bien les polynômes de degré 1, ou bien les polynômes de degré 2 sans racine réelle.

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On peut compléter cette étude en remarquant que le polynôme X2 + pX + q a une racine réelle si, et seulement si, p 2 Ð 4 q > 0 (cela résulte de l’étude de l’équation de degré 2, paragraphe 2.1.3). Les polynômes irréductibles de R [ X ] qui ne sont pas de degré 1 sont donc ceux de la forme X2 + pX + q , avec p 2 – 4q < 0. Exemple : P = X 4 + 1 n’est pas irréductible dans R [X ] . Pour le décomposer en facteurs irréductibles, on peut procéder comme précédemment. Les racines complexes de P sont : e i π ⁄ 4, e Ð iπ ⁄ 4 , e 3 i π ⁄ 4, e Ð3i

π⁄4

.

a Entre deux racines de P, il existe une racine de P ’. b Si P est scindé dans R [ X ] , alors P ‘ est scindé dans R [ X ] . Preuve. ◊ a C’est une application du théorème de Rolle. k

b Soit P = λ ∏ ( X Ð α i) m ( α i ), avec α 1 < α 2 < … < α k , et m ( α i ) > 1 , i=1

pour tout i ∈ [ 1, k ] . k

π 3π Donc : X + 1 =  X 2 Ð 2 cos ---- X + 1  X 2 Ð 2 cos -------- X + 1    4 4 4

= ( X 2 Ð 2 X + 1 ) ( X 2+ 2 X + 1 ) On peut aussi procéder directement :

Alors P ’ est divisible par

∏ ( X Ð α i) m ( α

i

)Ð 1

, d’après le para-

i=1

graphe 2.1.2. De plus, il existe β i ∈ ] α i , α i + 1 [ (pour i = 1, …, k – 1) tel que k

X 4 + 1 = ( X 2+ 1 ) 2 Ð 2 X 2 = ( X 2 Ð 2 X + 1 ) ( X 2+ 2 X + 1 ) , et remarquer que X 2 Ð 2 X + 1 et X 2+ 2 X + 1 sont irréductibles,

P ′( β i ) = 0 . Donc P ‘ est divisible par

∏ ( X Ð α i) m ( α i=1

i

)Ð 1

kÐ1

∏ ( X Ð β i)

i=1

et, compte tenu des degrés, est associé à ce dernier polynôme.

◊

car ils n’ont pas de racine réelle ( X 4 + 1 n’en a déjà pas). Bien entendu, il n’est pas possible en général de mener de tels calculs explicitement, puisque les racines complexes d’un polynôme quelconque ne peuvent être exprimées exactement.

2.2.2 Racines de polynômes à coefficients réels Les outils de l’analyse réelle permettent d’étudier les racines réelles d’un élément de R [ X ] . Citons les plus élémentaires.

2.3 Factorisation dans Q [X ] 2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de Q [X ] Proposition 18.

Soit P ∈ Z [X ] . On pose : d

∑ pi X i , où

P =

Proposition 16.

Soit P ∈ R [ X ] Ð { 0 } . a Soient a et b tels que a < b et P ( a ) P ( b ) ≠ 0 , et : k =

∑

m(α) .

a<α
Alors ( Ð 1 ) k et P ( a ) P ( b ) ont même signe. b Soient a et b tels que a < b et P (a) P (b) < 0 ; P admet une racine dans ]a, b[. c Si P est de degré impair, il admet au moins une racine réelle. Preuve. ◊ a Notons A = { α ∈ ] a, b [ P ( α ) = 0 } . Grâce à la décomposition en facteurs irréductibles dans R [ X ] , on peut écrire : P=

∏

( X Ð α ) m ( α )⋅ Q ,

∏ [ ( a Ð α ) ( b Ð α ) ] m (α )

Q(a) Q(b)

α∈A

∏

[ ( a Ð α ) ( b Ð α ) ] m (α ) ,

α∈A

∑ m (α )

c’est-à-dire ( Ð 1 ) α ∈ A

a

p 0 et b

pd .

Preuve. ◊ On écrit :

a P  ---  = b

d

∑ pi i=0

ai ----i = 0 , b

d

∑ pi

donc

a i b d Ð i = 0 . En particulier, a divise p0bd et, étant pre-

mier avec b, divise p0. De même, b divise pd.

où Q est de signe constant dans [a, b]. Alors :

Le signe de P (a) P (b) est égal à celui de

a Si α = --- est racine de P, a et b étant deux entiers tels que b pgcd (a, b) = 1, alors :

i=0

α∈A

P(a) P(b) =

d = deg P

i=0

.

b Si P (a) P (b) < 0, k est impair, donc non nul. c Si P est de degré impair, il ne peut être un produit de polynômes de degré 2. L’un au moins des facteurs irréductibles dans la décomposition de P est de degré 1. ◊

◊

La recherche des racines rationnelles d’un élément de Q [X ] est donc résolue par une simple recherche de diviseurs, puisqu’un tel polynôme peut s’écrire λP, où λ ∈ Q et P ∈ Z [X ] . 3 5 4 3 Exemple : Soit Q = X 5 Ð --- X + 2 X 3 Ð --- X 2 Ð --- X + 1 . 2 2 2 On cherche ses racines rationnelles, soit encore celles de a 4 2 X 5Ð 5 X + 4 X 3 Ð 3 X 2 Ð 3 X + 2 . Une telle racine, de la forme --- , est b nécessairement telle que :

a | 2 ; b | 2. On

peut

supposer

b > 0.

Donc

b

=

1

ou

2,

puis

Proposition 17.

1  1 a  1 --- ∈  Ð 1, Ð -----, Ð 2, 2, ---, 1  . On vérifie alors que --- et 2 seuls convien2  2 b  2

Soit P ∈ R [X ] Ð { 0 } .

nent.

Notons aussi l’utilisation du théorème de Rolle.

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Supposons Q = Q1 Q2, avec deg Q 1 > 1 et deg Q 2 > 1 . Alors :

Après une division euclidienne, on obtient finalement : 1 Q = ( X Ð 2 )  X Ð --- ( X 3+ X + 1 ) , 2

Q = Q1 Q2 .

où X 3 + X + 1 n’a pas de racine rationnelle. Il en résulte que

X3

+ X + 1 est irréductible dans Q [X ] , puisque, s’il

existe un diviseur D de X 3 + X + 1 non associé à X 3 + X + 1 et non inversible, il est de degré 1 ou 2. Par conséquent, l’un des polynômes

X 3+ X + 1 D et --------------------------- est de degré 1, ce qui entraîne que X 3 + X + 1 admet D une racine rationnelle. On a ainsi obtenu la décomposition de Q en facteurs irréductibles dans Q [X ] . Corollaire. Soit P ∈ Z [X ] , unitaire. Une racine rationnelle de P est nécessairement entière. Preuve. ◊ Avec les notations de la proposition 18, b divise 1. Donc

a --- ∈ Z . b

◊

deg Q = deg Q 1 + deg Q 2 et deg Q = deg Q

Mais qd ≠ 0 .

puisque

Donc, comme deg Q 1 < deg Q 1 et deg Q 2 < deg Q 2 , on a : deg Q 1 = deg Q 1 > 1 et deg Q 2 = deg Q 2 > 1 . Donc Q est réductible dans Z ⁄ p Z [X ] , ce qui est contraire à l’hypothèse. ◊ La mise en œuvre de ce test nécessite l’étude des polynômes irréductibles de Z ⁄ p Z [X ] . Proposition 20 (critère d’Eisenstein).

Soient Q ∈ Z [ X ] , primitif et p un nombre premier divisant tous les coefficients de Q sauf le coefficient dominant, tel que p2 ne divise pas le terme constant. Le polynôme Q est alors irréductible dans Z[X] . d

Preuve. ◊ Posons Q =

2.3.2 Critères d’irréductibilité dans Q [X ]

i=0

Une idée très élémentaire pour étudier l’irréductibilité d’un polynôme de Q [X ] consiste à réduire un polynôme convenable modulo un nombre premier p bien choisi. On utilisera alors le fait que, p étant premier, Z ⁄ p Z est un corps. On se ramène tout d’abord à un polynôme à coefficients entiers en multipliant le polynôme donné par un dénominateur commun. On supposera donc dans la suite que Q ∈ Z [X ] , et que c (Q) = 1, ce qui n’est pas restrictif. D’après la proposition 10, on sait que Q est irréductible dans Q [X ] si, et seulement si, il est irréductible dans Z [X ] . Proposition 19.

d

◊

Q désigne

∑ qi X i i=0

d = deg Q).

Supposons que Q = Q 1 Q 2 avec

Q 1 = α X d1 + … + α ′ , d 1 > 1 et Q 2 = β X d2 + … + β ′ , d 2 > 1 .

Dans Z ⁄ p Z [X ] , il vient :

Q = Q1 Q 2 . d

Or Q =

∑ qi Xi

= q d X d et q d ≠ 0 , sinon p divise tous les qi,

i=0

donc c (Q ). Il en résulte que Q 1 et Q 2 divisent X d, donc sont de la

Soient Q ∈ Z [X ] , primitif, et p un nombre premier ne divisant pas le coefficient dominant de Q. Si Q ∈ Z ⁄ p Z [X ] est irréductible, alors Q est irréductible dans Z [X ] . Preuve.

∑ qi Xi .

forme α X d1 et β X d 2 . Par conséquent p α ′ et p β ′ , donc p 2 α ′ β ′ . Or α ’β ’ est le terme constant de Q. C’est une contradiction. ◊

d

lorsque

Q =

∑ qi Xi i=0

(avec

Exemple : X 5 + 2X + 2 est irréductible dans Z [X ] (donc dans Q [X ] ), car le nombre premier p = 2 satisfait aux conditions de la proposition 20.

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Polynôme irréductible § 2.2 Rolle § 2.2.1 Irréductibilité § 2.3.2 Eisenstein § 2.3.2

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