Polinomios Ortogonales

DECIMOCUARTA ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS

P OLINOMIOS O RTOGONALES Guillermo T. López Lagomasino Héctor E. Pijeira Cabrera

MÉRIDA, 9 AL 15 DE SEPTIEMBRE DE 2001

´ pez Lagomasino Guillermo Lo ´ctor Pijeira Cabrera He

Polinomios Ortogonales

XIV Escuela Venezolana de Matem´ aticas 2001 Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes M´erida, Venezuela Edici´ on revisada 2012.

XIV Escuela Venezolana de Matem´ aticas 2001 Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes M´erida, Venezuela

Polinomios Ortogonales

Guillermo T. L´ opez Lagomasino Departamento de Matem´aticas Universidad Carlos III de Madrid Legan´es, Espa˜ na.

H´ ector E. Pijeira Cabrera Departamento de Matem´aticas Universidad Carlos III de Madrid Legan´es, Espa˜ na.

Clasificaci´on seg´ un A.M.S. Primaria: 42Cxx, 41A2x; Secundaria: 26Cxx, 33Cxx. Edici´on revisada 2012.

A Mar´ıa Elena A Marcela

´Indice general Pr´ ologo

III

1. Polinomios Ortogonales sobre R 1.1. Sistemas de Polinomios Ortogonales. 1.2. Polinomios ortogonales cl´asicos. . . . 1.2.1. Polinomios de Jacobi . . . . . 1.2.2. Polinomios de Laguerre. . . . 1.2.3. Polinomios de Hermite. . . . 1.3. Esbozos de una teor´ıa . . . . . . . . 1.4. Recurrencia y ceros . . . . . . . . . . 1.5. F´ ormula de cuadratura. . . . . . . . 1.6. F´ ormula de sumaci´ on . . . . . . . . . 1.7. Polinomios de segundo tipo . . . . .

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1 1 5 6 7 8 9 16 21 23 26

2. Aproximaci´ on Racional 2.1. Fracciones Continuas . . . . . . . . 2.2. Teorema de Markov . . . . . . . . 2.3. El problema de momentos . . . . . 2.4. Teorema de Stieltjes . . . . . . . . 2.5. Aproximantes de Pad´e. . . . . . . . 2.6. T´ opicos especiales . . . . . . . . . 2.6.1. Medidas arm´ onicas . . . . . 2.6.2. Funci´ on de Green . . . . . . 2.6.3. Capacidad de un compacto 2.7. Teorema de Carleman . . . . . . .

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29 29 30 34 35 37 38 41 42 44 45

I

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3. Ortogonalidad en el c´ırculo unidad 3.1. Propiedades generales. . . . . . . . . . 3.2. Funci´ on y polinomios de segundo tipo 3.3. Asint´ oticas de car´acter integral . . . . 3.4. Asint´ otica del cociente . . . . . . . . .

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49 49 53 57 66

4. Asint´ otica en el eje real. 71 4.1. Relaci´ on entre polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . 71 4.2. Aplicaci´ on a los aproximantes de Pad´e . . . . . . . . . . . 77 5. Teor´ıa de Szeg˝ o 5.1. Asint´ otica fuerte en el c´ırculo unidad. . 5.2. Asint´ otica fuerte en el eje real. . . . . . 5.3. Asint´ otica comparativa . . . . . . . . . . 5.4. Asint´ otica comparativa en el c´ırculo . . 5.5. Asint´ otica comparativa en un segmento

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85 86 91 92 93 96

6. Asint´ otica logar´ıtmica 97 6.1. Algunas nociones de Teor´ıa de Potencial . . . . . . . . . . 97 6.2. Polinomios extremales con la norma uniforme . . . . . . . 100 6.3. Polinomios ortogonales en norma cuadr´atica. . . . . . . . 105 7. Problemas propuestos

115

Bibliograf´ıa

119

Pr´ ologo Estas notas tienen como objetivo brindar una gu´ıa para los estudiantes que matriculen el curso de igual nombre que impartimos los autores en la XIV edici´ on de la Escuela Venezolana de Matem´aticas 2001. De este modo queremos alertar a los posibles lectores que su contenido est´a sesgado, en primer lugar por nuestros gustos y en segundo por el material que hemos decidido impartir en las 20 horas de que disponemos. Luego, estos apuntes no deben entenderse como un libro sobre la teor´ıa de polinomios ortogonales, ni siquiera sobre aquello que pudiera considerarse como aspectos esenciales. Apenas pretendemos brindar una panor´ amica sobre las propiedades asint´oticas m´as importantes de los polinomios ortogonales con respecto a medidas soportadas en el eje real y en la circunferencia unidad, as´ı como su incidencia en el estudio de la aproximaci´ on de funciones anal´ıticas mediante fracciones racionales. La lectura del texto requiere como base de los conocimientos de un curso b´ asico de an´ alisis complejo y nociones de teor´ıa de la medida e integraci´ on. Debemos confesar que hemos preparado estas notas con cierta premura. Esto no ha sido culpa de los organizadores de la Escuela que nos advirtieron con mucha antelaci´ on sobre la necesidad de editar este material, sino por nuestras m´ ultiples obligaciones. Pedimos de ustedes cierta comprensi´ on y que nos disculpen los fallos que puedan encontrar, de los cuales los autores asumimos entera responsabilidad. Queremos agradecer a Dolores Barrios de la Universidad Polit´ecnica de Madrid y a Alfredo Fundora de la Universidad de Matanzas, sin cuya colaboraci´ on no hubiese sido posible tener listo a tiempo la edici´on final de estos apuntes. Por u ´ltimo, agradecemos a los organizadores de la Escuela su gentileza por habernos invitado a tomar parte de la misma y publicar este material. Los Autores

III

Cap´ıtulo 1

Polinomios Ortogonales sobre R 1.1.

Sistemas de Polinomios Ortogonales.

Sea µ una medida finita de Borel cuyo soporte supp(µ) est´a contenido en un subconjunto cerrado E del eje real y est´a formado por una cantidad infinita de puntos (supp(µ) ⊂ E ⊂ R). Si E es un conjunto no acotado, supondremos adem´ as que xn ∈ L1 [µ] para todo n ∈ Z+ . Al espacio de las medidas soportadas en E con las propiedades anteriores lo denotaremos por M(E). Denotemos por P al espacio vectorial de todos los polinomios y por Pn el espacio vectorial de todos los polinomios de grado a lo sumo n. Sean h·, ·i el producto interior definido sobre P por Z hp, qi = p(x) q(x) dµ(x), para todo p, q ∈ P (1.1) E

y la correspondiente norma sZ kpkL2 [µ] =

|p(x)|2 dµ(x),

para todo p ∈ P.

(1.2)

E

A los efectos de esta teor´ıa y sin p´erdida de generalidad, consideraremos b´ asicamente tres casos fundamentales que corresponden a E = [−1, 1], E = R+ y E = R. En general, los resultados que se obtienen para cualquier otra realizaci´ on de E son reducibles a una de ´estas. 1

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

2

´ n 1.1 Se dice que {pn (z)}∞ Definicio on de polinomios n=0 es una sucesi´ ortogonales con respecto a la medida µ ∈ M(E) si: 1. Para todo n ∈ Z+ se cumple que gr(pn (z)) = n. 2. 

Z hpn , pm i =

pn (x) pm (x) dµ(x) E

6= 0 si n = m , = 0 si n 6= m .

(1.3)

Si se impone adem´ as la restricci´ on de que para todo n ∈ Z+ la norma de pn (z) sea igual a uno (kpn kL2 [µ] = 1), entonces {pn (z)}∞ n=0 se llama sucesi´ on de polinomios ortonormales con respecto a µ. Por otro lado, si para todo n ∈ Z+ el coeficiente principal de pn (x) es igual a uno, entonces {pn (z)}∞ on de polinomios n=0 se llama sucesi´ ortogonales m´ onicos con respecto a µ (pn (z) = z n + · · ·). No es dif´ıcil ver que (1.3) es equivalente a la condici´on Z k hpn , x i = pn (x) xk dµ(x) = 0 para k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 . (1.4) E

Notemos que dada µ las relaciones (1.4) forman un sistema de n ecuaciones con n + 1 inc´ognitas (los coeficientes del polinomio), que determinan, dado el car´acter de producto interior de (1.1), el polinomio ortogonal pn (z) salvo en una constante multiplicativa que puede depender de n, luego entonces: ´ n 1.1.1 Si {pn (z)}∞ Proposicio on de polinomios orton=0 es una sucesi´ gonales con respecto a µ ∈ M(E), entonces para toda familia de constantes no nulas {κn } se tiene que {κn pn (z)}∞ en una sucesi´ on n=0 es tambi´ de polinomios ortogonales respecto a µ. Consecuentemente se tiene que: Si {pn (z) = γn z n +· · ·}∞ n=0  es una sucesi´on de polinomios orpn (z) ∞ togonales, entonces es una sucesi´on de polinomios γn n=0 ortogonales m´ onicos.

1.1. SISTEMAS DE POLINOMIOS ORTOGONALES.

3

Si  {qn (z)}∞ es una sucesi´on de polinomios ortogonales entonces n=0  ∞ qn (z) es es una sucesi´on de polinomios ortonormales. kqn kL2 [µ] n=0 Finalmente veamos el siguiente resultado que garantiza la existencia y unicidad de sucesiones de polinomios ortonormales asociados a una medida. Teorema 1.1 (Existencia y Unicidad) Para cada medida µ de la clase M(E) existe una u ´nica sucesi´ on de polinomios p0 , p1 , . . . , pn , . . . tal que: 1. pn (z) es de grado exactamente igual a n (gr(pn ) = n). 2. γn , el coeficiente principal de pn (z) = γn z n + · · ·, es positivo. 3. Se cumplen las relaciones  Z 0 si n 6= m , hpn , pm i = pn (x) pm (x) dµ(x) = δn,m = 1 si n = m . E

(1.5)

´ n. Demostracio Existencia. Procedemos por inducci´on. Obviamente, las propieda1 des indicadas se cumplen para p0 (z) = p . µ(E) Supongamos ahora que existen k + 1 polinomios p0 , p1 , · · · , pk (k ∈ Z+ ) que cumplen las tres condiciones del teorema para n, m ≤ k y construyamos el polinomio de grado k + 1 pbk+1 (z) = z k+1 −

k X i=0

Z ai pi (z),

donde ai =

xk+1 pi (x) dµ(x).

E

Luego, Z E

pbk+1 (x) pi (x) dµ(x) = ai − ai = 0 i = 0, · · · , k .

Como pbk+1 6≡ 0 y µ ∈ M(E) se tiene que Z (b pk+1 (x))2 dµ(x) = I > 0. E

4

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

Tomemos entonces pk+1 (x) = √1I pbk+1 (x), es f´acil verificar que el sistema p0 , p1 , · · · , pk+1 cumple las tres condiciones del teorema para n, m ≤ k + 1 con lo que se garantiza la existencia. Unicidad. Supongamos que hay dos sucesiones de polinomios, {pn } y {qn }, que cumplen las tres condiciones del teorema. Como {q0 , . . . , qn } es base de Pn , existen constantes a0 , a1 , · · · , an tales que pn (z) =

n X

ai qi (z) .

i=0

Por ortogonalidad se tiene que 0 = hpn , qj i = aj . Luego pn (z) = an qn (z). Pero 1 = hpn , pn i = a2n de modo que an = 1 o an = −1, el segundo valor no es admisible, luego pn ≡ qn .  Observemos que en una sucesi´on de polinomios ortonormales siempre se cumple que 1 p0 (z) = p . µ(E)

´ n 1.1.2 (Norma cuadra ´ tica m´ınima) Sean Pn (z) el poProposicio linomio ortogonal m´ onico con respecto a la medida µ en E de grado n y Qn (z) cualquier otro polinomio m´ onico de grado n con coeficientes reales, entonces kQn kL2 (µ) ≥ kPn kL2 (µ) . La igualdad se cumple u ´nicamente si Qn ≡ Pn . ´ n. Sea Qn (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , donde an−1 , Demostracio an−2 , · · · , a0 ∈ R. Es claro que Qn = Pn + Rn−1 donde Rn−1 es un polinomio de grado a lo sumo n − 1, por ortogonalidad se tiene que hQn , Qn i = hPn , Pn i + hRn−1 , Rn−1 i ≥ 0 , lo cual implica la desigualdad. Obviamente, la igualdad se cumple si y solo si Rn−1 ≡ 0.  La siguiente secci´ on contiene los ejemplos m´as conocidos de polinomios ortogonales con soporte en R.

´ 1.2. POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS.

1.2.

5

Polinomios ortogonales cl´ asicos.

Las familias de polinomios ortogonales sobre la recta real m´as estudiadas y con un extenso campo de aplicaciones son los llamados polinomios ortogonales cl´ asicos. En este grupo se incluyen los conocidos como polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi (con los casos especiales de Legendre, Chebyshev y Gegenbauer). La literatura escrita sobre el tema es inmensa, aunque nosotros nos limitaremos a citar los textos [37], [9] y [7] para los interesados en ampliar sobre el tema. Las caracter´ısticas fundamentales que distinguen a estas familias de las restantes familias de polinomios ortogonales son sus propiedades diferenciales, de ellas las dos m´ as relevantes son: Constituyen soluciones de una ecuaci´on diferencial de segundo orden del tipo α(x) y 00 (x) + β(x) y 0 (x) + αn y(x) = 0 , donde α(x), β(x) son polinomios fijos para cada familia, independientes de n y con grados respectivos dos y uno. El en´esimo polinomio es soluci´ on de la ecuaci´on con el correspondiente valor de αn . Pueden ser generados mediante una f´ormula que contiene derivadas de orden n, conocida como f´ ormula de Rodrigues. A saber, Pn (x) =

dn 1 [ω(x)ρn (x)] , κn ω(x) dxn

donde κn es independiente de x, ω(x) es no negativa e integrable en cierto intervalo de la recta real y ρ(x) es un polinomio independiente de n, de grado a lo sumo dos. Tanto κn , ω(x) como ρ(x) son espec´ıficos para cada familia. Como este material esta dedicado al estudio de las propiedades generales que dependen de la ortogonalidad, aqu´ı solo haremos algunos comentarios y un breve resumen de las propiedades que distinguen a los polinomios ortogonales cl´ asicos dentro de la teor´ıa de funciones especiales.

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

1.2.1.

Polinomios de Jacobi de tipo (α, β).

Despu´es de Newton la astronom´ıa se hizo m´as exacta y fue necesario tener en cuenta en los c´alculos que la Tierra no ten´ıa esfericidad perfecta. Para expresar esto se requer´ıan nuevas funciones. As´ı, en la memoria cl´ asica de A.M. Legendre, sobre el movimiento de los planetas [21] se introdujeron los polinomios que hoy llevan su nombre (α = β = 0). Con anterioridad J.L. Lagrange (1736-1813) ya hab´ıa utilizado la relaci´on de recurrencia que les define. Estos polinomios se obtienen como caso particular de los llamados polinomios de Jacobi que fueron introducidos por ´este en 1859 en el trabajo [17]. Esta familia de polinomios cumple las siguientes relaciones de ortogonalidad Z 1 (α,β) Pn(α,β) (x) Pm (x) dµ(x) = −1

2α+β+1 Γ(n + α + 1) Γ(n + β + 1) = n! (2n + α + β + 1) Γ(n + α + β + 1)  0  

n = m, n 6= m ,

donde dµ(α,β) (x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1], α > −1 y β > −1 . Pueden generarse a partir de la f´ormula de Rodrigues Pn(α,β) (x) =

i 1 dn h α+n β+n , (1 − x) (1 + x) (−2)n n! (1 − x)α (1 + x)β dxn

de donde se deduce, utilizando la f´ormula de Leibniz, la siguiente f´ormula expl´ıcita Pn(α,β) (x) =

  n  1 X n+α n+β (x − 1)k (1 + x)n−k . 2n n−k k k=0

(α,β)

N´ otese que si κn

(α,β)

es el coeficiente principal de Pn κ(α,β) = n

Pn(α,β) (−x)

n

= (−1)

1 2n



(x) se tiene que

 2n + α + β , n

Pn(β,α) (x)

Pn(α,β) (1)

  2n + α = . n

´ 1.2. POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS.

7

El polinomio de Jacobi de orden n es soluci´on de la ecuaci´on diferencial (x2 − 1) y 00 (x) + [(2 + α + β)x + α − β] y 0 (x) − n [n + 1 + α − β] y(x) = 0 . Dentro de los polinomios de Jacobi hay subfamilias de polinomios ortogonales de inter´es especial, estas son: Polinomios de Gegenbauer. Tambi´en llamados polinomios ultraesf´ericos, corresponden al caso sim´etrico en que α = β. Los restantes ejemplos que se mencionan a continuaci´on son casos particulares de estos polinomios Polinomios de Chebyshev de primer tipo. Cuando α = β = − 21 , a estos polinomios est´ a dedicada la pr´oxima secci´on. Polinomios de Chebyshev de segundo tipo. Cuando α = β = 21 . Polinomios de Legendre Cuando α = β = 0.

1.2.2.

Polinomios de Laguerre.

Los polinomios de Laguerre (α = 0), aparecieron por primera vez en el siglo XVIII en los trabajos de N.H. Abel y J.L. Lagrange. Mas tarde fueron estudiados por P.L. Chebyshev en [5] y finalmente por E.N. Laguerre en [19]. La generalizaci´on (α > −1) fue tarea inicialmente de Y.K. Sokhotsky y posteriormente de N.Y. Sonin a fines del siglo XIX. Esta familia de polinomio satisface las siguientes relaciones de ortogonalidad  Z ∞  Γ(n + α + 1) n = m, Lαn (x) Lαm (x) dµ(x) = n!  0 0 n 6= m , donde dµ(x) = xα e−x dx , x ∈ R+ y α > −1 . Pueden generarse a partir de la f´ormula de Rodrigues Lαn (x) =

ex dn  −x n+α  e x , n! xα dxn

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

de donde se deduce, utilizando la f´ormula de Leibniz, la siguiente f´ormula expl´ıcita  n  X n + α (−x)k α Ln (x) = . n−k k! k=0

(−1)n N´ otese que καn , el coeficiente principal de Lαn (x), es igual a . n! Adem´ as, el en´esimo polinomio de Laguerre es soluci´on de la ecuaci´on diferencial x y 00 (x) + (α + 1 − x) y 0 (x) + n y(x) = 0 .

1.2.3.

Polinomios de Hermite.

Los polinomios de Hermite los encontramos por primera vez en el c´elebre “Tratado de Mec´ anica Celeste” de P.S. Laplace, publicado en 5 vol´ umenes en un peri´ıodo que comprende 26 a˜ nos (1799-1825); despu´es fueron estudiados por P.L. Chebyshev en [5] y finalmente por C. Hermite en [15]. Ellos cumplen las siguientes relaciones de ortogonalidad  √ n Z ∞ π 2 n! n = m , Hn (x) Hm (x) dµ(x) = 0 n 6= m , −∞ 2

donde dµ(x) = e−x dx , x ∈ R. Pueden generarse a partir de la f´ormula de Rodrigues dn h −x2 i e . dxn De lo anterior se deduce la f´ormula expl´ıcita Hn (x) = (−1)n ex

2

n

[2] X (−1)k (2x)n−2k , Hn (x) = n! (n − 2k)! k! k=0

donde [x] (parte entera de x) denota al mayor entero que no excede a x. N´ otese que κn , el coeficiente principal de Hn (x), es igual a 2n . El en´esimo polinomio de Hermite es soluci´on de la ecuaci´on diferencial y 00 (x) − 2x y 0 (x) + 2n y(x) = 0 ,

1.3. ESBOZOS DE UNA TEOR´IA

1.3.

9

Esbozos de una teor´ıa

El estudio del comportamiento anal´ıtico de las sucesiones de polinomios ortogonales con respecto a clases de medidas generales requiere de un espectro variado de m´etodos de la teor´ıa geom´etrica de funciones de variable compleja, la teor´ıa de operadores, el an´alisis funcional, la teor´ıa de la medida y la teor´ıa de potencial, entre otros. Esto obliga a introducir de forma frecuente un gran n´ umero de conceptos y resultados auxiliares que pueden enmascarar el objeto de estudio para el lector novato. En este apartado como pre´ ambulo del material tratado en el texto, estudiaremos el comportamiento anal´ıtico de los polinomios de Chebyshev de primer tipo; debido a que nos bastaran como herramientas auxiliares unas cuantas f´ ormulas trigonom´etricas bien conocidas. Los Polinomio de Chebyshev de primer tipo y grado n, Tn (x), ya fueron introducidos en el apartado 1.2.1 como caso particular de los po(α,β) linomios de Jacobi Pn (x) para α = β = − 21 . Para mayor comodidad aqu´ı los llamaremos simplemente polinomios de Chebyshev. Formalmente vamos a definirlos mediante la siguiente f´ormula y a partir de ella iremos deduciendo sus propiedades. Se tiene

Tn (z) =

[ n2 ]   X n k=0

2k

z n−2k (z 2 − 1)k .

(1.6)

Por ejemplo, T0 (z) = 1, T1 (z) = z, T2 (z) = 2z 2 − 1, 3 4 2 T3 (z) = 4z − 3z, T4 (z) = 8z − 8z + 1, T5 (z) = 16z 5 − 20z 3 + 5z. Denotemos por κn el coeficiente principal de Tn (z) = κn z n + · · ·, de (1.6) es claro que

κn =

[ n2 ]   X n k=0

2k

= 2n−1 6= 0 .

(1.7)

Por lo tanto, Tn (z) es de grado exactamente n y el correspondiente polinomio de Chebyshev m´ onico de grado n, Tn (z), est´a dado por Tn (z) =

Tn (z) , 2n−1

n ≥ 1.

(1.8)

10

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

Veamos ahora algunas de las propiedades caracter´ısticas de estos polinomios. ´ n 1.3.1 Tenemos que Proposicio • Tn (z) = cos(n arc cos z) , z ∈ [−1, 1] , √ √ (z + z 2 − 1)n + (z − z 2 − 1)n • Tn (z) = , 2

(1.9) z ∈ C . (1.10)

´ n. Consideremos el n´ Demostracio umero complejo eiθ = cos θ +i sin θ , θ ∈ R. Denotemos x = cos θ e y = sin θ. Luego y 2 = 1 − x2 . Entonces por la f´ ormula de DeMoivre y la f´ormula del binomio de Newton cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))n = (x + iy)n n   X n n−k x (iy)k , = k k=0

igualando las partes reales de las expresiones en los extremos de la igualdad anterior se tiene que para x ∈ [−1, 1]

cos(nθ) =

[ n2 ]   X n k=0

2k

xn−2k (x2 − 1)k , n = 0, 1, · · · .

(1.11)

Ahora, (1.9) se tiene directamente de hacer la sustituci´on θ = arc cos z en la igualdad anterior. Mientras que de la identidad  1  inθ cos(n θ) = e + e−inθ , 2 haciendo θ = arc cos(z), se deduce inmediatamente (1.10). La rama de √ la ra´ız cuadrada se toma de modo que |z + z 2 − 1| > 1 cuando z ∈ C \ [−1, 1]. De la f´ ormula de DeMoivre se tiene que Tn (x) = cos nθ = =

1 inθ 1 (e + e−inθ ) = [(x + iy)n + (x − iy)n ] 2 2 i p p 1h n (x + x2 − 1) + (x − x2 − 1)n , 2

1.3. ESBOZOS DE UNA TEOR´IA

11

con x ∈ [−1, 1] . En esta cadena de igualdades, la primera expresi´on y la u ´ltima son polinomios id´enticos para x ∈ [−1, 1]. Por el principio de prolongaci´on anal´ıtica son iguales para todo punto del plano complejo.  ´ n 1.3.2 (Localizacio ´ n de Ceros) Si n ≥ 1 el polinomio Proposicio Tn (z) tiene n ceros simples en los puntos   (2k + 1) π zk = cos , k = 0, 1, 2, · · · , n − 1, 2n contenidos en [−1, 1] (n´ otese que los ceros de Tn (z) y Tn+1 (z) se intercalan).

´ n. Es consecuencia inmediata de (1.9) y el teorema funDemostracio damental del ´ algebra.  ´ n 1.3.3 Para los polinomios m´ Proposicio onicos de Chebyshev se cumple que 1 kTn k[−1,1] = sup |Tn (z)| = n−1 , n ≥ 1 2 z∈[−1,1]   kπ y el m´ aximo se alcanza en los puntos xk = cos , k = 0, 1, 2, · · · , n, n contenidos en [−1, 1].

´ n. Es consecuencia inmediata de las f´ormulas (1.8) y Demostracio (1.9).  ´ n 1.3.4 (Ortogonalidad) Para todo m, n ∈ Z+ , los poProposicio linomios de Chebyshev cumplen que  n = m = 0,  Z 1  π, π dx , n = m > 0, hTn , Tm i = Tn (x) Tm (x) √ = (1.12) 1 − x2  −1  2 0, n 6= m .

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

12

´ n. (Ejercicio propuesto.) Demostracio



De (1.12) es claro que

kTn kL2 (µ)

 √ π, n = m = 0,    r = π    , n = m > 0. 2

En consecuencia, los polinomios ortonormales de Chebyshev, es decir con norma igual a uno, son r 1 2 t0 (z) = √ T0 (z) , tn (z) = Tn (z) . (1.13) π π

´ n 1.3.5 (Fo ´ rmula de recurrencia) Para todo z ∈ C y Proposicio n > 1 se cumplen las siguientes f´ ormulas de recurrencia: •

Tn+1 (z) = 2z Tn (z) − Tn−1 (z),

T0 (z) = 1 y T1 (z) = z (1.14)

• Tn+1 (z) = z Tn (z) − 14 Tn−1 (z), T0 (z) = 1 y T1 (z) = z (1.15) ´ n. Para z ∈ [−1, 1] con z = cos(θ), de la identidad Demostracio 2 cos(θ) cos(n θ) = cos((n + 1)θ) + cos((n − 1)θ) , se tiene (1.14) con n ≥ 1. Para todo C, se obtiene usando nuevamente el principio de prolongaci´on anal´ıtica. Obviamente, (1.15) es consecuencia de (1.8) y (1.14).  Alrededor de 1852, P.L. Chebyshev, comenz´o a interesarse por el estudio de diversos mecanismos articulados de una m´aquina de vapor, mediante los que se realiza la transformaci´on del movimiento de traslaci´on rectil´ınea de los ´embolos o pistones en el movimiento circular del volante o rueda. En muchos de estos mecanismos el punto de contacto entre el v´ astago del ´embolo y las partes giratorias se ve sometido a diversas fuerzas que alteran su movimiento rectil´ıneo. Esto hace que se produzcan

1.3. ESBOZOS DE UNA TEOR´IA

13

desviaciones con car´ acter de pulsaciones, las que tienen una influencia negativa en el buen funcionamiento de la m´aquina. Todo ello conduce al problema matem´ atico de determinar el movimiento de un punto M, como una funci´ on que posee una desviaci´on m´ınima de cero en un intervalo. Aqu´ı tienen su motivaci´ on los trabajos sobre las propiedades de los polinomios de m´ınima desviaci´on que contribuyeron a desarrollar las ideas b´ asicas de la teor´ıa general de polinomios ortogonales, la teor´ıa de momentos y los m´etodos de cuadratura. Chebyshev posteriormente aplic´o sus resultados a la resoluci´on de ecuaciones algebraicas, la interpolaci´ on, problemas de cuadraturas y problemas geod´esicos entre otros. Como puede observarse en la proposici´on 1.1.2, el en´esimo polinomio ortogonal m´ onico con respecto a una medida µ es el polinomio m´onico de grado n con menor norma cuadr´atica (k · kL2 [µ] ). La propiedad m´as trascendental de los polinomios de Chebyshev de primer tipo es que tambi´en cumplen la afirmaci´ on anterior con respecto a la norma uniforme (k · k[−1,1] ) como expresa el siguiente resultado: ´ n 1.3.6 (Norma uniforme m´ınima) Cualquiera sea el poProposicio linomio m´ onico con coeficientes reales Pn de grado n, donde n ≥ 1, se cumple que kPn k[−1,1] ≥ kTn k[−1,1] y la igualdad se cumple u ´nicamente si Pn = Tn . Notemos que el resultado significa que de todos los polinomios m´onicos de grado n en [−1, 1] el de Chebyshev tiene la norma uniforme menor. En otras palabras Tn es el polinomio de grado n de desviaci´on m´ınima del cero en [−1, 1] con la m´etrica uniforme. ´ n. Sea Pn 6= Tn con Pn (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , Demostracio donde an−1 , an−2 , · · · , a0 ∈ R. Es claro que Pn = Tn + `n−1 donde `n−1 es un polinomio de grado a lo sumo n − 1. Supongamos que kPn k[−1,1] < kTn k[−1,1] y sean los n´ umeros xk , k = 0, · · · , n, como en la proposici´on 1.3.3. Entonces (−1)k `n−1 (xk ) = Pn (xk ) − n−1 . 2

14

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

de donde (−1)k `n−1 (xk ) = (−1)k Pn (xk ) − |Tn (xk )| < 0 , en virtud de la desigualdad anteriormente supuesta. Esto significa que `n−1 es un polinomio que cambia de signo al menos n + 1 veces en [−1, 1]. Por el Teorema de Rolle tendr´a al menos n ceros, pero su grado es n − 1, luego `n−1 ≡ 0. Consecuentemente Pn ≡ Tn , lo que contradice la suposici´on inicial.  Como se ha comentado, la mayor parte del texto se dedica al estudio del comportamiento asint´otico de sucesiones de polinomios ortogonales con respecto a una clase amplia de medidas. Esto resulta ser un problema relativamente complejo. Por ello, se desarrolla a continuaci´on el caso particular de los polinomios de Chebyshev, para ilustrar el tipo de relaciones asint´ oticas que pretendemos obtener. Obs´ervese que los polinomios de Chebyshev poseen un comportamiento asint´ otico diferente dentro y fuera del intervalo de ortogonalidad [−1, 1]. Por un lado, es claro que para z ∈ [−1, 1], cuando n crece, Tn (z) tiene un comportamiento oscilatorio debido a que sus ceros se encuentran en el intervalo [−1, 1]. Fuera del intervalo se cumplen las siguientes relaciones. ´ n 1.3.7 (Comportamiento asinto ´ tico) Se cumple que: Proposicio Asint´ otica fuerte l´ım

n→∞

1 Tn (z) √ = , 2 n 2 (z + z − 1)

z ∈ C \ [−1, 1].

(1.16)

Asint´ otica del cociente p Tn (z) = z + z2 − 1 , n→∞ Tn−1 (z) l´ım

Asint´ otica de la ra´ız en´esima p l´ım |Tn (z)|1/n = |z + z 2 − 1| , n→∞

z ∈ C \ [−1, 1].

z ∈ C \ [−1, 1].

(1.17)

(1.18)

Estos l´ımites tienen lugar uniformemente sobre subconjuntos compactos de C \ [−1, 1].

1.3. ESBOZOS DE UNA TEOR´IA

15

√ ´ n. Obs´ervese que la funci´on ϕ(z) = z + z 2 − 1 es la Demostracio representaci´ on conforme √ de C \ [−1, 1] en {w : |w| > 1} tal que ϕ(∞) = ∞, ϕ0 (∞) > 0 y z − z 2 − 1 = 1/ϕ(z). Luego, √ z − z2 − 1 1 √ = 2 , 2 ϕ (z) z+ z −1

z ∈ C \ [−1, 1] .

Sea K un subconjunto compacto de C \ [−1, 1]. Luego, ϕ(K) es un subconjunto compacto de {w : |w| > 1} y supz∈K |ϕ21(z)| < 1. De (1.10) y los razonamientos anterioresse obtiene de manera inmediata el llamado comportamiento asint´ otico fuerte. O sea, l´ım

n→∞

1 Tn (z) √ = , 2 n 2 (z + z − 1)

z ∈ C \ [−1, 1].

(1.19)

Consecuencia directa de esta f´ ormula es que p Tn (z) = z + z2 − 1 , n→∞ Tn−1 (z) l´ım

z ∈ C \ [−1, 1].

(1.20)

Finalmente, de la conocida propiedad de convergencia de los promedios de una sucesi´ on convergente se llega al comportamiento asint´ otico de la ra´ız en´esima de la sucesi´ on de polinomios l´ım |Tn (z)|1/n = |z +

n→∞

p z 2 − 1| ,

z ∈ C \ [−1, 1].

(1.21)

 Como muestra la proposici´ on anterior, la asint´otica fuerte implica la asint´otica del cociente y ´esta a su vez la asint´otica de la ra´ız en´esima. Esto sucede con independencia de la familia de polinomios que se considere. Las afirmaciones rec´ıprocas obviamente no son ciertas. La teor´ıa asint´otica de polinomios ortogonales trata de identificar clases de polinomios (o de medidas) para las cuales una u otra forma de relaci´on asint´otica tiene lugar. Todos los resultados anteriores pueden ser extendidos al caso de un intervalo real finito [a, b] mediante la aplicaci´on que transforma biun´ıvocamente [a, b] en [−1, 1] dada por f (x) = 2x−a−b b−a .

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

16

1.4.

F´ ormula de recurrencia y localizaci´ on de ceros

La posibilidad de expresar un polinomio Qn de grado n como combinaci´ on lineal de los n + 1 primeros t´erminos de una sucesi´on de polinomios ortogonales {Pk (z)}, k ∈ Z+ , ya fue utilizada en la demostraci´on del teorema 1.1. Retornemos a esta idea para analizarla con m´as detalles. ´ rmula de recurrencia a tres te ´rminos) Sea la Teorema 1.2 (Fo ∞ medida µ ∈ M(E) y {pn }n=0 el sistema de polinomios ortonormales asociado. Entonces zpn (z) = an+1 pn+1 (z) + bn pn (z) + an pn−1 (z) , donde

γn−1 an = > 0, γn

Z bn =

n ≥ 1,

xp2n (x)dµ(x),

(1.22)

n≥1

E

y γn es el coeficiente principal de pn .

´ n. Demostracio Obviamente existen constantes reales c0 , c1 , · · · , cn tales que n

X γn pn+1 (z) + ck pk (z) . zpn (z) = γn+1 k=0

Si j < n − 1,

gr (zpj (z)) ≤ n − 1 y en consecuencia Z Z 0 = xpn (x)pj (x)dµ(x) = cj p2j (x)dµ(x) = cj .

Luego zpn (z) =

γn pn+1 (z) + cn pn (z) + cn−1 pn−1 (z) . γn+1

Multiplicando esta relaci´on por pn (z) e integrando obtenemos Z xp2n (x)dµ(x) = cn = bn ,

(1.23)

1.4. RECURRENCIA Y CEROS

17

y si multiplicamos (1.23) por pn−1 (z) e integramos se tiene que Z Z γn−1 p2n (x)dµ(x) = an . cn−1 = xpn (x)pn−1 (x)dµ(x) = γn  No es dif´ıcil verificar que en t´erminos de la sucesi´on de polinomios ortogonales m´ onicos Pn la f´ ormula de recurrencia adopta la forma zPn (z) = Pn+1 (z) + bn Pn (z) + a2n Pn−1 (z) .

(1.24)

De hecho, la f´ ormula de recurrecia caracteriza las sucesiones de polinomios que son ortogonales con respecto a alguna medida soportada en el eje real. Este hecho es conocido como Teorema de Favard. Teorema 1.3 (Teorema de Favard) Sea {pn } una sucesi´ on de polinomios generada por una relaci´ on de recurrencia de tipo (1.22) con 0 an > 0 , bn ∈ R y condiciones iniciales p0 (z) ≡ a10 y p1 (z) = z−b a1 a0 tiene una medida asociada con respecto a la cual dicho sistema es ortonormal. El teorema fue enunciado por J.A. Favard en [8], aunque ya hab´ıa sido dada de forma expl´ıcita por M. H. Stone [34]. Pueden ver una demostraci´ on en [7]. Una consecuencia inmediata de la f´ormula de recurrencia es la siguiente. ´ n 1.4.1 Dos polinomios ortogonales consecutivos no pueden Proposicio tener ceros comunes. ´ n. Sea {Pn }∞ Demostracio on de polinomios ortogonales n=0 una sucesi´ m´onicos y supongamos que existe z0 tal que Pn+1 (z0 ) = Pn (z0 ) = 0, luego por (1.24) Pn−1 (z0 ) = 0. Usando la f´ormula de recurrencia repetidamente se llega a que P0 (z0 ) = 0, lo cual es absurdo pues P0 (x) ≡ 1.  Sea µ ∈ M(E), con soporte (supp(µ)) formado por una cantidad infinita de puntos y {Pn }∞ on de polinomios n=0 la correspondiente sucesi´ ortogonales m´ onicos asociados. Denotemos por C0 (supp(µ)) al menor intervalo que contiene a supp(µ) (es decir la envoltura convexa del soporte).

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

18

´ n 1.4.2 Si Pn es el en´esimo polinomio ortogonal m´ Proposicio onico respecto a µ ∈ M(E), entonces Pn tiene n ceros simples en el interior de C0 (supp(µ)) (con la topolog´ıa de R). ´ n. Sean x1 , x2 , . . . , xm los ceros de Pn en el interior de Demostracio C0 (supp(µ)), donde Pn cambia de signo. Supongamos que m < n. Por ortogonalidad Z Y m (x − xi ) Pn (x) dµ(x) = 0 . (1.25) E i=1

Qm

Pero i=1 (x − xi )Pn (x) no cambia de signo en C0 (supp(µ)) luego su integral debe ser distinta de cero. Esta contradicci´on indica que m = n.  ´ n 1.4.3 (Separacio ´ n de ceros) Sean Pn y Pn+1 dos poProposicio linomios ortgonales consecutivos respecto a µ ∈ M(E), supongamos que sus correspondientes ceros est´ an ordenados de forma tal que: xn,n < xn,n−1 < · · · < xn,1 , xn+1,n+1 < xn+1,n < · · · < xn+1,1 . Entonces xn+1,k+1 < xn,k < xn+1,k ,

n = 1, 2, . . . y k = 1, 2, . . . , n

(1.26)

(es decir los ceros de polinomios ortogonales consecutivos se intercalan).

´ n. Sin p´erdida de generalidad consideremos la sucesi´on Demostracio {pn } de polinomios ortonormales respecto a µ. En virtud del teorema de Bolzano, es claro que (1.26) equivale a decir que para todo n ≥ 1 se cumple sg(pn−1 (xn,k )) = (−1)k+1 , 1 ≤ k ≤ n (1.27) donde sg(x) denota la funci´on signo de   1 0 sg(x) =  −1

x definida por x > 0, x = 0, x < 0.

1.4. RECURRENCIA Y CEROS

19

Por ello, el resto de la demostraci´on se dedica a probar (1.27). Recordemos que P0 (z) es una constante positiva, luego (1.27) se cumple para n = 1 y k = 1. Supongamos ahora que tambi´en se cumple para un n dado (n ≥ 1) y probemos que entonces sg(pn (xn+1,k )) = (−1)k ,

1 ≤ k ≤ n + 1.

(1.28)

Seg´ un la f´ ormula de recurrencia (1.22) pn+1 (xn,k ) = −

an an pn−1 (xn,k ) , donde > 0, an+1 an+1

luego sg(pn+1 (xn,k )) = (−1)k . Para valores de x grandes en valor absoluto el signo de pn (x) est´ a determinado por el signo de γn xn y se cumple sg(pn+1 (+∞)) = 1 sg(pn+1 (−∞)) = (−1)n+1 . (1.29) Luego pn+1 tiene al menos un cero en cada uno de los n+1 intervalos abiertos ] − ∞, xn,n [; ]xn,n , xn,n−1 [; · · · ; ]xn,2 , xn,1 [; ]xn,1 , ∞[ y como pn+1 tiene exactamente n + 1 ceros, se sigue que: x1,n+1 > x1,n > x2,n+1 > · · · > xk,n+1 > xk,n > xk+1,n+1 > · · · · · · xn,n+1 > xn,n > xn+1,n+1 . Como en [xk,n+1 , ∞[ el polinomio pn cambia de signo exactamente k − 1 veces (en los puntos xk−1,n , xk−2,n , · · · , x1,n ) de (1.29) se deduce (1.28).  Como comentamos en el apartado anterior, uno de nuestros objetivos (z) es estudiar el comportamiento asint´otico del cociente PPn+1 , por ello n (z) examinaremos ahora algunas consecuencias de los resultados anteriores relacionados con el. n o ´ n 1.4.4 Si supp(µ) es compacto, la sucesi´ Proposicio on PPn+1 ,n∈ n Z+ , est´ a uniformemente acotada superior e inferiormente en subconjuntos compactos de C \ C0 (supp(µ)) .

20

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

´ n. En efecto, usando la proposici´on anterior es f´acil comDemostracio probar que fijado un compacto K ⊂ C \ C0 (supp(µ)) se tiene que: n+1 Y z − x n+1,k D2 Pn+1 (z) k=1 = 0 < d ≤ < +∞ , ≤ n Pn (z) Y d z − xn,k k=1 donde d =

m´ın |x − y| supp (µ))

y D=

x∈C0 ( y∈K

m´ax

x,y∈C0 (supp (µ))

S

|x − y| . K



La acotaci´ on uniforme superior de una familia de funciones es de suma importancia. Esto implica que constituye un conjunto relativamente compacto con la topolog´ıa de la convergencia uniforme sobre compactos y, por lo tanto, para probar la convergencia es suficiente demostrar que toda subsucesi´ on convergente tiene el mismo l´ımite. Sin dudas, dicho l´ımite si existe est´ a ´ıntimamente relacionado con el comportamiento de las sucesiones {an }, {bn }, n ∈ Z+ de (1.22). En el caso de los polinomios ortonormales de Chebyshev examinado anteriormente, para todo n se tiene que an = 12 , bn = 0 y pn+1 (z) pn (z)

⇒

ϕ(z) = z +

p z2 − 1 ,

(1.30)

n→∞

donde la convergencia es uniforme sobre subconjuntos compactos de C \ [−1, 1] , ϕ(∞) = ∞ y ϕ0 (∞) > 0. Veamos ahora que (z) Si an → 12 , bn → 0 y el cociente pn+1 ımite cuando pn (z) tiene l´ n → ∞ entonces dicho l´ımite tiene que ser igual a ϕ(z).

En efecto, de la f´ ormula de recurrencia (1.22) se tiene que   pn−1 (z) 1 1 pn+1 (z) + bn + an−1 −→ l(z) + l(z) , z = an+1 pn (z) pn (z) n→∞ 2 donde l(z) es el l´ımite de p z + z2 − 1 .

pn+1 (z) pn (z) .

Despejando l(z) se tiene que l(z) =

´ 1.5. FORMULA DE CUADRATURA.

21

Por otro lado, si (1.30) se cumple, entonces 1 pn+1 (z) γn+1 = = z→∞ z pn (z) γn an l´ım

−→ n→∞

2.

Adem´ as, de la f´ ormula (1.22) se tiene que bn = z − an+1

1.5.

pn+1 (z) pn−1 (z) − an pn (z) pn (z)

−→ n→∞

1 1 z − (ϕ(z) + ) = 0. 2 ϕ(z)

F´ ormula de cuadratura.

Las f´ ormulas de cuadratura num´erica consisten en aproximar el valor de la integral de una funci´ on f Z I(f ) = f (x)dµ(x) mediante una suma finita de t´erminos de la forma In (f ) =

n X

αk f (xk ) ,

k=1

donde {x1 , x2 , . . . , xn } son los nodos y {α1 , α2 , . . . , αn } los coeficientes de cuadratura. Como puede observarse en este apartado, existe una estrecha conexi´ on entre la f´ ormula de cuadratura y la interpolaci´on polinomial, por ello a continuaci´ on recordaremos algunos conocimientos del t´opico. Si f es una funci´ on definida al menos en los n nodos {x1 , x2 , . . . , xn }, distintos dos a dos, se llama polinomio de interpolaci´ on de Lagrange asociado a f y al conjunto de nodos anterior, al polinomio de grado n − 1 dado por la expresi´ on Ln−1 (z) =

n X

f (xk ) `n (z, xk ) ,

(1.31)

k=1

donde los polinomios fundamentales de interpolaci´ on `n (z, xk ) vienen dados por las f´ ormulas An (z) `n (z, xk ) = 0 An (xk ) (z − xk )

,

An (z) =

n Y

(z − xk ).

k=1

(1.32)

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

22

Notemos que `n (z, xk ) es un polinomio en z de grado a lo sumo n−1, no depende de f y  1 j = k, `n (xj , xk ) = δj,k = (1.33) 0 j 6= k. Por construcci´ on es claro que Ln−1 (xk ) = f (xk ) para todo k, 1 ≤ k ≤ n. ´ rmula de cuadratura de Gauss–Jacobi) Sean Teorema 1.4 (Fo Pn (z) el en´esimo polinomio ortogonal m´ onico respecto a µ ∈ M(E) y sus ceros {xn,1 , xn,2 , · · · , xn,n } . Entonces para todo polinomio de grado menor o igual que 2n − 1, P2n−1 (z), se tiene que Z P2n−1 (x)dµ(x) = E

n X

λn,i P2n−1 (xn,i ),

(1.34)

i=1

donde los λn,i se llaman coeficientes de Christoffel y est´ an dados por Z  λn,i = E

Pn (x) 0 Pn (xn,i ) (x − xn,i )

2 dµ(x) > 0 .

(1.35)

La f´ ormula de cuadratura (1.34) fue enunciada inicialmente para los polinomios de Legendre por K.F. Gauss en 1816 y posteriormente probada por Jacobi en [18]. La demostraci´on general se debe a Stieltjes [32]. ´ n. Sea Ln−1 el polinomio de Lagrange que interpola a Demostracio P2n−1 (z) en los n ceros del polinomio ortogonal m´onico Pn , es decir Ln−1 (z) =

n X i=1

P2n−1 (xn,i )

Pn (z) . Pn0 (xn,i )(z − xn,i )

Entonces P2n−1 (z) − Ln−1 (z) = Pn (z) qn−1 (z) , donde qn−1 es un polinomio de grado menor o igual a n − 1. Por la ortogonalidad Z Z (P2n−1 (x) − Ln−1 (x))dµ(x) = Pn (x) qn−1 (x)dµ(x) = 0 , E

E

´ ´ 1.6. FORMULA DE SUMACION

23

de donde Z Z n X P2n−1 (x)dµ(x) = P2n−1 (xn,i ) E

=

i=1 n X

Pn (x) 0 E Pn (xn,i )(x −

xn,i )

λn,i P2n−1 (xn,i ) .

dµ(x) (1.36)

i=1

Aplicando ahora la f´ ormula (1.36) para el caso particular  P2n−1 (z) =

Pn (z) 0 Pn (xn,i )(z − xn,i )

2

de (1.33) se obtiene (1.35).

1.6.



F´ ormula de sumaci´ on de Christoffel-Darboux.

´ rmula de sumacio ´ n de Christoffel-Darboux) Teorema 1.5 (Fo Sea µ ∈ M (E) y consideremos la sucesi´ on {pn }∞ n=0 de polinomios ortonormales correspondientes. Entonces Kn (x, t) =

n X k=0

pk (x)pk (t) = an+1

pn+1 (x)pn (t) − pn (x)pn+1 (t) . (1.37) x−t

La f´ ormula de sumaci´ on para los polinomios de Legendre fue publicada primeramente por Chebyshev en [4] y despu´es por E.B. Christoffel, el caso general se debe a G. Darboux. ´ n. Usando la f´ Demostracio ormula de recurrencia (1.22) tenemos que ak+1 pk+1 (x) pk (t) = (x − bk ) pk (x) pk (t) − ak pk−1 (x) pk (t) , ak+1 pk+1 (t) pk (x) = (t − bk ) pk (t) pk (x) − ak pk−1 (t) pk (x) . Restando ambas expresiones y reordenando, obtenemos ak+1 (pk+1 (x)pk (t) − pk+1 (t)pk (x)) − ak (pk (x)pk−1 (t) − pk (t)pk−1 (x)) = = (x − t)pk (x)pk (t) .

24

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

Sumando estas identidades desde k = 1 hasta n y agregando la identidad (x − t)p0 (x)p0 (t) = τ02 (x − t) = a1 [p1 (x)p0 (t) − p1 (t)p0 (x)] , obtenemos (1.37).



Tomando l´ımite en (1.37) cuando x → t se obtiene el siguiente resultado: ´ rmula de sumacio ´ n) Corolario 1.1 (Forma confluente de la fo Bajo las condiciones del teorema anterior se cumple que: Kn (t, t) =

n X

(pk (t))2 = an+1 (p0n+1 (t)pn (t) − p0n (t)pn+1 (t)) .

(1.38)

k=0

La f´ ormula de sumaci´on (1.37) es de gran utilidad en la teor´ıa de convergencia de series de Fourier pues permite escribir en forma compacta las sumas parciales de una serie. Dada la funci´on f , sea ∞ X hf, pk ipk (x) , S(x) = k=0

la correspondiente serie de Fourier asociada al sistema ortonormal {pn }∞ n=0 y Sn (x) su suma parcial en´esima

Sn (x) =

n X

hf, pk ipk (x)

k=0

=

n X

Z pk (x)

k=0

Z =

f (t) E

f (t)pk (t)dµ(t) E

" n X

# pk (x)pk (t) dµ(t)

k=0

Z =

f (t)Kn (x, t)dµ(t)   Z pn+1 (x)pn (t) − pn (x)pn+1 (t) = an+1 f (t) dµ(t) . x−t E E

´ ´ 1.6. FORMULA DE SUMACION

25

Por la ortonormalidad del sistema, se tiene que Z Z Kn (x, t)dµ(t) = [p0 (t)]2 dµ(t) = 1 . E

E

Entonces Z f (x)−Sn (x) = an+1 E

f (x) − f (t) [pn+1 (x)pn (t) − pn (x)pn+1 (t)] dµ(t) . x−t

En particular,

Z f (x) − f (t) |f (x) − Sn (x)| ≤ |an+1 | |pn+1 (x)| pn (t)dµ(t) x−t E Z  f (x) − f (t) +|pn (x)| pn+1 (t)dµ(t) x−t E    f (x) − f (t) = |an+1 | |pn+1 (x)| , pn x−t    f (x) − f (t) , pn+1 . +|pn (x)| x−t 

Sea supp(µ) un compacto. Si para un cierto x se cumple que f (x) − f (t) ∈ L2 [µ] , x−t la sucesi´ on de sus coeficientes de Fourier tiende a cero. En dicho caso la sucesi´ on {|an+1 |} , n ∈ Z+ , est´a acotada. En efecto, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwartz se obtiene Z |an | = xpn (x)pn−1 (x)dµ(x) E sZ sZ p2n (x)dµ(x)

≤ M E

donde M =

m´ ax

x∈supp (µ)

E

p2n−1 (x)dµ(x) ≤ M ,

|x|. Si µ es tal que {|pn (x)|} , n ∈ Z+ , est´a acotada

en x, se deduce que Sn (x)

⇒

n→∞

f (x) .

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

26

1.7.

Polinomios de segundo tipo

´ n 1.2 Se llama polinomio de segundo tipo asociado a µ ∈ Definicio M(E) al polinomio Z Pn (x) − Pn (t) Hn (x) = dµ(t) , x−t donde {Pn }, n ∈ N, es la familia de polinomios ortogonales m´ onicos con respecto a µ. La siguiente proposici´on nos describe algunas propiedades de Hn (z) que ser´ an utilizadas en lo que sigue. ´ n 1.7.1 Dada µ ∈ M(E) se cumple que: Proposicio n

X λn,i Hn (z) 1. = ; Pn (z) z − xn,i i=1 cientes de Christoffel.

(λn,i > 0) , donde los λn,i son los coefi-

2. Los n − 1 ceros de Hn son simples y se intercalan entre los ceros de Pn .   Hn (z) es normal en C \ C0 (supp(µ)). 3. La familia Pn (z) ´ n. Demostracio Los ceros de Pn son simples, luego n

Hn (z) X bn,i = ; Pn (z) z − xn,i i=1

bn,i = l´ım (z − xn,i ) z→xn,i

Hn (z) . Pn (z)

Usando la expresi´ on l´ımite de bn,i y la definici´on de Hn se obtiene de manera inmediata que bn,i = λn,i (coeficientes de Christoffel). Que los ceros de Hn son simples y se intercalan entre los ceros de Pn se deduce de la positividad de los coeficientes λn,i y el teorema de Bolzano. Por u ´ltimo si fijamos un compacto K ⊂ C \ C0 (supp(µ)) tenemos que n n X λn,i 1 X 1 λn,i = µ(E) , d = m´ın |x − y| , ≤ x∈supp (µ) z − xn,i d d i=1

i=1

y∈K

1.7. POLINOMIOS DE SEGUNDO TIPO

ya que en virtud de la f´ ormula de cuadratura

27 n X i=1

Z dµ(t) .

λn,i = E



28

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE R

Cap´ıtulo 2

Aplicaci´ on a la Aproximaci´ on Racional 2.1.

Fracciones Continuas

Los primeras investigaciones referidas a clases generales de polinomios ortogonales est´ an asociadas el estudio de la aproximaci´on racional mediante determinados tipos de fracciones continuas. Estas fueron realizadas de manera independiente por el matem´atico ruso P. L. Chebyshev [6] y el matem´ atico holand´es T. J. Stieltjes [33], quien introdujo en [32] el concepto de ortogonalidad respecto a una medida general. Se llama fracci´ on cont´ınua a una expresi´on de la forma β1

α0 + α1 +

,

β2 α2 + . .

.

+

βn αn + . .

(2.1)

.

donde αn y βn denotan n´ umero complejos. Su valor (si existe) se entiende como el l´ımite en n de la sucesi´ on de fracciones parciales, cuyo t´ermino en´esimo viene dado por β1

α0 + α1 +

.

β2 α2 + . . . 29

+

βn αn

(2.2)

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

30

Efectuando las operaciones indicadas en (2.2), la fracci´on parcial sn en´esima se reduce al cociente de dos n´ umeros complejos . La conexi´on tn con los polinomios ortogonales viene dada por el hecho que las sucesiones ∞ {sn }∞ ormulas de recurrencia an´alogas a (1.24). n=0 y {tn }n=0 satisfacen f´ ∞ ´ n 2.1.1 Las sucesiones {sn }∞ Proposicio n=0 y {tn }n=0 cumplen

t0 = 1,

t1 = α1 ,

s0 = α0 ,

s1 = α0 α1 + β1

(2.3)

y para todo n ≥ 2 tn = αn tn−1 + βn tn−2

y

sn = αn sn−1 + βn sn−2 .

(2.4)

Este resultado es f´ acil probar por inducci´on y se propone como ejercicio al lector en el problema 8. Tomemos en particular la fracci´on continua (2.1) correspondiente a los valores αk = z − bk , βk = −a2k , donde ak y bk son las sucesiones de coeficientes de las f´ormulas de recurrencia (1.24) para los polinomios ortogonales m´ onicos respecto a µ. La fracci´on parcial correspondiente tendr´ a la forma Sn (z) = z − b0 − Tn (z)

a21 z − b1 −

.

a22

(2.5)

z − b2 + . . .

a2n z − bn Luego, Sn (z) y Tn (z) son polinomios que cumplen las relaciones (2.4), que en este caso coinciden con la relaci´on (1.24). Recordemos que tanto los polinomios ortogonales m´onicos respecto a µ como los asociados de segundo tipo se definen mediante dicha relaci´on de recurrencia con condiciones iniciales propias. Entonces −

Pn (z) ≡ Tn (z)

2.2.

y

Sn (z) ≡ Hn (z) .

Teorema de Markov

En la clase de las funciones holomorfas en una vecindad de z = ∞ las llamadas funciones de Markov ocupan un lugar destacado. Su relevancia est´ a dada, entre otras razones, porque muchas funciones elementales

2.2. TEOREMA DE MARKOV

31

pertenecen a dicha subclase, adem´as juegan un rol central en la teor´ıa espectral de operadores autoadjuntos y en la teor´ıa de polinomios ortogonales. ´ n 2.1 Sea µ una medida positiva de Borel con soporte conDefinicio tenido en el intervalo [−1, 1], se llama funci´ on de Markov asociada a µ a Z dµ(x) µ b(z) = . (2.6) [−1,1] z − x Claramente, esta funci´ on es holomorfa en C \ [−1, 1] (b µ(z) ∈ H(C \ [−1, 1])). N´ otese que µ b no es m´ as que la transformada de Cauchy de µ. Veamos algunos ejemplos. 1. Si el soporte de µ contiene solamente un n´ umero finito de puntos x1 , x2 , · · · , xn con pesos y1 , y2 , · · · , yn respectivamente, entonces µ b(z) es la fracci´ on racional µ b(z) =

n X k=1

yk , z − xk

yk > 0

µ b(z) ∈ H(C \ {x1 , x2 , · · · , xn }) .

2. Sea dµ(x) = dx con soporte [−1, 1], entonces   Z 1 dx z−1 µ b(z) = = log ∈ H(C \ [−1, 1]) . z+1 −1 z − x 3. Sea dµ(x) = µ b(z) = √

1 π

√

π Z 1

−1

dx con soporte [−1, 1], entonces 1 − x2 dx 1 √ =√ ∈ H(C \ [−1, 1]) , 2 2 (z − x) 1 − x z −1

z 2 − 1 > 0 para z > 1.   1+x α 4. Sea dµ(x) = sin (π α) dx , α ∈] − 1, 1[ con soporte 1−x [−1, 1], entonces    Z 1 1 + x α dx z+1 α µ b(z) = sin (π α) = − 1, (z − x) z−1 −1 1 − x   z+1 α > 0 para z > 1. Note que µ b(z) ∈ H(C \ [−1, 1]) . donde z−1 donde

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

32

La relaci´ on entre funciones de Markov, polinomios ortogonales y polinomios de segundo tipo viene dada en el siguiente resultado. ´ n 2.2.1 Sea µ ∈ M(E), E ⊂ R, entonces Proposicio Z Z Pn (t) dµ(t) Pn2 (t) dµ(t) Hn (z) = = . µ b(z) − Pn (z) Pn (z) z − t Pn2 (z) z − t ´ n. Demostracio Z Hn (z) =

Pn (z) − Pn (t) dµ(t) = Pn (z)b µ(z) − z−t

Z

Pn (t)dµ(t) . z−t

Dividiendo por Pn (z) y despejando obtenemos la primera igualdad. La segunda es consecuencia del hecho que por la propiedad de ortogonalidad Z Pn (z) − Pn (t) Pn (t) dµ(t) = 0 . z−t  Teorema   2.1 (Teorema de Markov) Sea supp(µ) compacto, entonHn ces converge uniformemente a µ b sobre cada subconjunto compacPn to de C \ C0 (supp(µ)). ´ n. De la segunda igualdad de la proposici´on 2.2.1 se tiene Demostracio que   Hn (z) 1 µ b(z) − =O , z → ∞. Pn (z) z 2n+1 Consideremos lρ = {z : |ϕ(z)| = ρ} , donde ϕ es la representaci´on conforme de C \ C0 (supp(µ)) en [|w| > 1] 0 tal que √ ϕ(∞) = ∞, ϕ (∞) > 0 (si C0 (supp(µ)) = [−1, 1], ϕ(z) = z + z 2 − 1). L´ ogicamente, Hn (z) Pn (z) ∈ H(C \ C0 (supp(µ))) , 2n+1 ϕ (z)

µ b(z) −

2.2. TEOREMA DE MARKOV

33

pues ϕ tiene un cero simple en z = ∞. Por otro lado, Hn (z) µ b(z) − Pn (z) Clρ ≤ sup , 2n+1 ϕ (z) ρ2n+1 z∈lρ   Hn (z) , n ∈ N , est´a uniformemente acotada sobre pues como vimos Pn (z) compactos. Por el principio del m´aximo, esta acotaci´on es v´alida en todo Dρ = {z : |ϕ(z)| < ρ}. Sea K compacto de C \ C0 (supp(µ)). Tomando ρ lo suficientemente cerca de 1 se tiene que K ⊂ Dρ y por lo tanto para z∈K Hn (z) sup µ b(z) − ≤ Pn (z) z∈K

Clρ sup |ϕ(z)|2n+1 ρ2n+1 z∈K   kϕkK 2n+1 = Clρ −→ 0, n→∞ ρ

lo cual prueba la afirmaci´ on.

(2.7) 

Notemos que adem´ as, podemos estimar la velocidad de convergencia. En efecto, tomando la ra´ız 2n en (2.7) se tiene

1/2n

kϕkK Hn (z)

b(z) − l´ım sup µ ≤ ,

P (z) ρ n n K para cada ρ lo suficientemente cerca de 1. Finalmente, haciendo ρ tender a 1 obtenemos que

1/2n

Hn (z)

≤ kϕkK < 1 . (2.8) l´ım sup µ b(z) − Pn (z) K n n o n Si supp(µ) no est´ a acotada, la familia H , n ≥ 0 , sigue siendo Pn normal pero en esta ocasi´ on la interpolaci´on tiene lugar en un punto donde µ b no es anal´ıtica. En consecuencia, el estudio de la convergencia depender´ a de que se cumplan hip´otesis adicionales, en este caso relacionadas con el llamado problema de momentos que estudiaremos en la siguiente secci´ on.

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

34

2.3.

El problema de momentos

La primera ocasi´ on en que se utiliz´o el t´ermino problema de momentos fue en la memoria cl´asica de T.J. Stieltjes [36] (publicada p´ostumamente entre 1894 y 1895), dedicada al estudio de las fracciones continuas. Dada una medida µ soportada en R se llama momento en´esimo de µ al valor Z ∞ xn dµ(x), l = 0, 1, 2, . . . . (2.9) cn = 0

En t´erminos generales el problema de momentos se puede enunciar como sigue. Dada una sucesi´ on infinita de n´ umeros {ck }∞ lk=0 , encontrar una medida positiva µ con soporte en R tal que se cumplan las relaciones (2.9). En general, una tal medida no tiene por qu´e existir y en caso de que exista no tiene por qu´e ser u ´nica. As´ı, el problema de momentos consta de dos partes. A saber: 1. Encontrar condiciones necesarias y/o suficientes que garanticen la existencia de soluci´on al problema de momentos. En caso de que exista, se dice que el problema de momentos est´ a definido. 2. En caso de estar definido, encontrar condiciones necesarias y/o suficientes para la unicidad de la soluci´on. Si dicha soluci´on es u ´nica se dice que el problema de momentos est´ a determinado. La teor´ıa de momentos trata tres casos fundamentales. Estos son respectivamente cuando la soluci´on se busca entre las medidas de soporte acotado, en [0.+∞), o en todo R. Como referencia usual para un estudio detallado de estos t´ opicos se remite al lector a los textos [2] y [35]. A los efectos de estas notas, solo tiene inter´es la determinaci´on del problema pues la existencia de soluci´on siempre la tendremos garantizada. Si la medida µ que resuelve el problema de momentos tiene soporte compacto, el problema de momentos autom´aticamente est´a determinado. Esto es consecuendia directa de dos teoremas fundamentales del an´ alisis. Ellos son, el teorema de Weierstrass que garantiza que los polinomios son densos en el espacio de funciones continuas definidas en

2.4. TEOREMA DE STIELTJES

35

un intervalo, y el teorema de dualidad de Riesz que asegura que la medida de Borel que representa un funcional es u ´nica si dicho funcional est´a definido sobre el espacio de las funciones continuas. En la secci´ on siguiente veremos como la determinaci´on del problema de momentos juega un papel importante en la obtenci´on de un teorema an´ alogo al de Markov en el caso de funciones definidas mediante la transformada de Cauchy de medidas con soporte no acotado. Al final del cap´ıtulo demostraremos una condici´on suficiente para la determinaci´on del problema de momentos para medidas soportadas en [0, +∞).

2.4.

Teorema de Stieltjes

Finalmente, estamos en condiciones de enunciar y probar el teorema an´alogo al de Markov para el caso no acotado. Para ello introduzcamos primeramente las funciones de Stieltjes. ´ n 2.2 Sea µ una medida positiva de Borel con soporte conteDefinicio nido en el intervalo [0, +∞), se llama funci´ on de Stieltjes asociada a µ a la funci´ on Z dµ(x) µ b(z) = . (2.10) [0,+∞) z − x Obviamente, µ b(z) es holomorfa en C \ [0, +∞). Teorema 2.2 (Teorema de Stieltjes) Sea µ una medida de la clase M([0, +∞)) y {cn }∞ on de sus momentos. Si el problema de n=0 la sucesi´ momentos para {cn }∞ est´ a determinado entonces n=0 Z +∞ Hn (z) dµ(x) ⇒ µ b(z) = , (2.11) Pn (z) n→∞ z−x 0 uniformemente sobre cada subconjunto compacto K ⊂ (C\C0 (supp(µ))), donde µ es la medida soluci´ on del problema de momentos. ´ n. Sea µ la medida que resuelve de manera u Demostracio ´nica el problema de momentos para la sucesi´on {cn }∞ y n=0 Pn (x) =

n Y i=1

(x − xn,i )

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

36

el polinomio ortogonal m´onico de grado n con respecto a µ. Construyamos la medida n X µn = λn,i δxn,i , i=1

donde δxn,i denota la delta de Dirac soportada en el punto xn,i y los λn,i son los coeficientes de Christoffel. Por la f´ormula de cuadratura se tiene que para todo n ∈ N Z n X kµn k = λn,i = dµ(t) = kµk . i=1

Luego, la sucesi´ on de normas kµn k, n ∈ N,) est´a uniformemente acotada. ∗ Probemos ahora que µn converge d´ebilmente a µ (µn −→ µ, cuando n → ∞) en el sentido de la convergencia *-d´ebil de medidas. Debemos probar que para toda funci´on continua g en [0, +∞) e integrable respecto aµ Z Z g(x)dµn (x)

−→ n→∞

g(x)dµ(x).

Por el teorema de Banach-Alouglu el conjunto M([0, +∞)) es d´ebilmente compacto (ver [30, p´ag. 66]), luego basta probar que toda subsucesi´ on convergente de {µn }∞ n=o converge a µ. ∗ Supongamos que µn −→ ν, n ∈ Λ ⊂ N, entonces para todo k fijo y 2n − 1 ≥ k, de la f´ ormula de cuadratura se deduce que Z Z Z n X ν k k k λn,i xn,i = x dδn (x ) = x dµ(x) −→ xk dν(x) . i=1

O sea µ y ν tienen los mismos momentos y por lo tanto ν = µ. ∗ Luego µn −→ µ, n → ∞, y como para cada z ∈ C \ [0. + ∞) fijo la funci´ on (z − t)−1 es continua e integrable respecto a x en [0. + ∞) Z n dµn (t) Hn (z) X λn,i = = −→ µb(z) , (2.12) Pn (z) z − xn,i z − t n→∞ i=1

puntualmente en Cn\ [0. +o∞). n (z) Por otro lado, H , n ≥ 0 , est´a uniformemente acotada sobre Pn (z) cada subconjunto compacto K ∈ C \ [0, +∞), ya que si z ∈ K se tienen que

´ 2.5. APROXIMANTES DE PADE.

37

n Hn (z) X λn,i kµk ≤ ≤ , Pn (z) |z − xn,i | d

d=

m´ın |x − y| .

Finalmente de (2.12) y (2.13) se deduce (2.11).

2.5.

(2.13)

x∈[0,+∞) y∈K

i=1



Aproximantes de Pad´ e.

Supongamos que f (z) posee un desarrollo formal en serie de potencias en el infinito de la forma X cn , cn ∈ C. (2.14) f (z) ≈ zn n≥0

´ n 2.3 Llamaremos apr´oximante de Pad´e de tipo [n, m] en el Definicio punto z = ∞ a una fracci´ on racional de la forma Rn,m (z) =

Sn,m (z) n−m z Tn,m (z)

,

que cumple 1. gr(Sn,m ) ≤ n,

gr(Tn,m ) ≤ m,

Tn,m 6≡ 0, .

2. z n−m Tn,m (z)f (z) − Sn,m (z) ≈ O(

1 z m+1

).

´ n 2.5.1 (existencia y unicidad) Sean n, m n´ Proposicio umeros enteros fijos tales que n ≥ m ≥ 0 . Existe una u ´nica funci´ on racional Rn,m (z) que cumple las condiciones 1 y 2 de la definici´ on anterior.

´ n. Notemos que al sustituir (2.14) en el miembro izquierDemostracio do de 3 y comparar con el derecho, se tiene un sistema de ecuaciones lineal homog´eneo con de m + n + 2 inc´ognitas (los coeficientes de Sn,m y Tn,m ) y m + n + 1 ecuaciones. Es conocido que un sistema de esta naturaleza siempre tiene soluci´ on no trivial y para una tal soluci´on Tn,m 6≡ 0. Con lo que queda probada la existencia de Rn,m (z).

38

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

0 0 Para probar la unicidad supongamos que Tn,m y Sn,m son los polinomios asociados a otra soluci´on del sistema homog´eneo determinado por las condiciones 1–2. Entonces 1 0 0 z n−m Tn,m (z)f (z) − Sn,m (z) = O( m+1 ). z 0 (z). Multipliquemos esta relaci´on por Tn,m (z) y la relaci´on 2 por Tn,m Restando una expresi´ on de la otra tenemos que

1 0 0 (Tn,m Sn,m − Tn,m Sn,m )(z) = O( ). z 0 (z)S 0 Esto s´ olo se cumple si Tn,m n,m (z) − Tn,m (z)Sn,m (z) ≡ 0, o lo que es lo mismo 0 Sn,m (z) Sn,m (z) ≡ 0 . Tn,m (z) Tn,m (z)

 De la unicidad se deduce que si f (z) = µ b(z) es una funci´on de Markov Hn (z) o de Stieltjes y m = n se tiene que Rn,n (z) ≡ . Luego para µ b(z) Pn (z) los teoremas de Markov y Stieltjes se pueden enunciar en t´erminos de los apr´ oximantes de Pad´e. Seg´ un lo visto en la secci´on 2.1, tambi´en se pueden enunciar en t´erminos de fracciones cont´ınuas.

2.6.

T´ opicos especiales de an´ alisis complejo

Como hemos visto la determinaci´on del problema de momentos juega un papel importante en la convergencia de los aproximantes de Pad´e. Necesitamos un criterio suficiente que permita garantizar la unicidad de la medida a partir de la sucesi´on {cn } , n ≥ 0 . El teorema de Carleman resuelve este problema, pero para su demostraci´on necesitamos algunos resultados auxiliares que se estudian en esta secci´on. En la teor´ıa de funciones arm´onicas el problema de Dirichlet es de suma importancia. Se formula de la manera siguiente. Sean D una regi´ on del plano complejo ampliado (D ⊂ C) y v(ξ) una funci´ on continua en la frontera de D (∂D). Hallar S una funci´ on u(z) arm´ onica en D y continua en D = D ∂D, tal que u(ξ) ≡ v(ξ) para todo ξ ∈ ∂D.

´ 2.6. TOPICOS ESPECIALES

39

La conocida f´ ormula de Poisson [1, p´ag. 165–167] resuelve el problema cuando D es un disco, pero en general para una regi´on arbitraria es un problema dif´ıcil. Nosotros estudiaremos dos soluciones de inter´es para nuestros prop´ ositos y que est´an relacionadas con las funciones subarm´ onicas. ´ n 2.4 Sea D una regi´ Definicio on del plano complejo ampliado, una funci´ on u(z) continua en D se llama subarm´onica en D si satisface la desigualdad Z 2π 1 u(z0 ) ≤ u(z0 + r eiθ ) dθ , 2π 0 para todo disco |z − z0 | ≤ r contenido en D. Claramente toda funci´ on arm´onica es subarm´onica, pues es conocido (ver [1, p´ ag. 234]) que una funci´ on u(z) real y continua en una regi´on D es arm´ onica en D si y solo si Z 2π 1 u(z) = u(z0 + reiθ )dθ . (2.15) 2π 0 donde el disco |z−z0 | ≤ r est´ a contenido en D. Este resultado es conocido como propiedad del valor medio para funciones arm´ onicas El principio del m´ aximo de funciones subarm´onicas juega un papel central en la teor´ıa de funciones holomorfas y la teor´ıa de potencial. Presentamos a continuaci´ on una generalizaci´on del mismo que nos ser´a de utilidad para estimar cotas de funciones holomorfas si conocemos sus valores en la frontera. ´ ximo generalizado) Sea u(z) una Teorema 2.3 (Principio del ma funci´ on subarm´ onica y acotada en una regi´ on D. Supongamos que para cada ξ en la frontera de D (ξ ∈ ∂D) l´ım sup u(z) ≤ M z−→ξ z∈D

salvo a lo sumo para un n´ umero finito de puntos ξ ∈ ∂D. Entonces sup |u(z)| ≤ M . z∈D

40

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

´ n. Sin p´erdida de generalidad es posible suponer que la Demostracio regi´ on D no contiene al ∞. Sean a1 , a2 , . . . , an los puntos excepcionales de la frontera y H el di´ametro de la frontera de D. Tomando  > 0 arbitrario y considerando la funci´on v(z) = −M + u(z) − 

n X

log

k=1

H . |z − ak |

Esta funci´ on es subarm´onica y est´a acotada superiormente en D. Para todo ξ ∈ ∂D l´ım sup v(z) ≤ 0 z−→ξ z∈D

y por el principio del m´aximo para funciones subarm´onicas se obtiene que ∀z ∈ D , v(z) ≤ 0. O sea u(z) ≤ M + 

n X k=1

log

H , |z − ak |

z ∈ D.

Haciendo  → 0 obtenemos u(z) ≤ M .



Adem´ as, haremos uso del siguiente teorema de unicidad Teorema 2.4 Sea D una regi´ on cuya frontera D esta formada por un n´ umero finito de curvas cerradas de Jordan. Supongamos que est´ a dada una funci´ on u ¯(z) en ∂D que es continua salvo en un n´ umero finito de puntos. Entonces existe una u ´S nica funci´ on u(z) arm´ onica y acotada en D, que es continua en D = D ∂D salvo en un n´ umero finito de puntos y tal que en los puntos de continuidad ξ ∈ ∂D u(ξ) = u(ξ) . Para la demostraci´on ver [12]. El teorema anterior admite sustancial extensi´ on, pero a los efectos de las aplicaciones que veremos este enunciado nos satisface. Igualmente necesitaremos el siguiente resultado, que es una consecuencia directa de la f´ ormula de Poisson [1, p´ag. 165–167] y la propiedad del valor medio (f´ ormula (2.15)).

´ 2.6. TOPICOS ESPECIALES

41

Teorema 2.5 (Teorema de Harnack) Sea {un }∞ on de n=0 una sucesi´ funciones arm´ onicas en una regi´ on D, tales que un+1 (z) ≥ un (z)

para todo n ∈ Z+ y z ∈ D .

Entonces {un }∞ n=0 converge uniformemente sobre cada subconjunto compacto contenido en D a una funci´ on arm´ onica en D o tiende a +∞ en cada punto de D. Para la demostraci´ on ver [1, p´ag. 235–237] o [12, p´ag. 21].

2.6.1.

Medidas arm´ onicas

Veamos ahora, una de las soluciones de problemas de Dirichlet que nos interesan, las medidas arm´ onicas. ´ n 2.5 Sean D una regi´ Definicio on como la considerada en el teorema anterior y α ⊂ ∂D la uni´ on de un n´ umero finito de arcos. Se llama medida arm´ onica del conjunto α en la regi´on D a la funci´ on arm´ onica w(z, α, D) en D que se obtiene como soluci´ on del problema de Dirichlet tomando en ∂D la funci´ on  1, si ξ ∈ α , u(ξ) = 0, si ξ ∈ ∂D \ α . Usando el principio generalizado del m´aximo no es dif´ıcil deducir las siguientes propiedades de las medidas arm´onicas. 1. 0 ≤ w(z, α, D) ≤ 1,

z ∈ D;

si

n [

αi = ∂D .

i=1

2. Si

n [

αi = ∂D y αi

\

αj = ∅ para i 6= j, entonces

i=1 n X

w(z, αi , D) ≡ 1,

z ∈ D.

i=1

3. Si α ⊂ β entonces w(z, α, D) ≤ w(z, β, D) ,

z ∈ D.

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

42

La demostraci´ on de estas propiedades se propone como ejercicio en el problema 9. El siguiente resultado muestra la utilidad de las medidas arm´ onicas. Teorema 2.6 (Teorema de las dos constantes) Sea f una funci´ on holomorfa y acotada en una regi´ on D que est´ a limitada por un n´ umero finito de curvas cerradas de Jord´ a n. Supongamos que ∂D = S T α1 α2 ; α1 α2 = ∅ y l´ım |f (z)| ≤ Mi ,

z−→ξ ξ∈αi

i = 1, 2, · · · .

Entonces w(z,α1 ,D)

|f (z)| ≤ M1

w(z,α2 ,D)

M2

.

´ n. Consideremos la funci´on Demostracio u(z) = log |f (z)| − w(z, α1 , D) log M1 − w(z, α2 , D) log M2 , que es subarm´ onica en D. Aplicando a u el principio del m´aximo generalizado y despejando |f (z)| se obtiene lo deseado. 

2.6.2.

Funci´ on de Green

La otra soluci´ on del problema de Dirichlet que reviste singular importancia para nosotros es la funci´on de Green. ´ n 2.6 Sea D una regi´ Definicio on limitada por un n´ umero finito de curvas cerradas de Jordan y ξ ∈ D. Se llama funci´on de Green para la regi´ on D con singularidad en ξ y la denotaremos g(z, ξ) a la funci´ on que satisface las siguientes propiedades: 1. es arm´ onica en D \ {ξ} . 2. l´ım g(z, ξ) = +∞ de forma tal que en una vecindad reducida de ξ z→ξ

la diferencia 1 |z − ξ| se mantiene acotada. Si se toma ξ = ∞ cuando D es una regi´ on no acotada con ∂D acotada, la condici´ on anterior se sustituye por el hecho que se mantenga acotada en una vecindad reducida de ξ = ∞ la funci´ on g(z, ∞) − log|z|. g(z, ξ) − log

´ 2.6. TOPICOS ESPECIALES

43

3. l´ım g(z, ξ) = 0 . z−→ξ ξ∈∂D

Para el caso acotado es f´ acil ver que la construcci´on de la funci´on de Green es equivalente a hallar la soluci´on h(z, ξ) al problema de Dirichlet 1 con valores frontera − log |z−ξ| y entonces tomar g(z, ξ) = h(z, ξ) + log

1 . |z − ξ|

(2.16)

Con ayuda de la funci´ on de Green se puede expresar la soluci´on de cualquier problema de Dirichlet en forma integral. En efecto, sea D una regi´ on acotada con las caracter´ısticas anteriores ξ ∈ D, D = D \ {z : |z − ξ| = }, donde  > 0 es lo suficientemente peque˜ no, y u la soluci´ on del problema de Dirichlet para una funci´on que tambi´en denotaremos u dada en ∂D. Por la f´ormula de Green se tiene   Z Z Z ∂g ∂u u (u4g − g4u)dxdy = − 0= −g ds , ∂η ∂η ∂D D ∂ donde ∂η denota la normal interior a D , 4 denota el operador laplaciano y ds el diferencial de la longitud de arco. Luego   Z ∂g ∂u 0= u −g ds = ∂η ∂η ∂D Z Z Z ∂g ∂u ∂g u ds − g ds . = u ds + |z−ξ|= ∂η |z−ξ|= ∂η ∂D ∂η

Ahora bien Z l´ım

→0 |z−ξ|=

u

∂h ds = 0 y ∂η

Z l´ım

→0 |z−ξ|=

g

∂u ds = 0 , ∂η

donde h es la funci´ on de la expresi´on (2.16). Por lo tanto Z 1 ∂ log |z−ξ| ∂g u ds = − l´ım u ds →0 |z−ξ|= ∂η ∂D ∂η Z ∂ log r = l´ım u ds →0 |z−ξ|= ∂r Z ds = l´ım u = 2πu(ξ) . →0 |z−ξ|= |z − ξ|

Z

44

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

As´ı, hemos obtenido la llamada f´ ormula de Green que expresa los valores de la funci´ on u(z) en la regi´on D en t´ermino de sus valores en la frontera ∂D mediante la expresi´on Z 1 ∂g u(ξ) = u(z) ds . (2.17) 2π ∂D ∂η

2.6.3.

Capacidad de un compacto

Sea K un compacto del plano complejo, su complemento K c se puede expresar como la uni´ on numerable de regiones. Denotemos por D∞ la componente conexa de K c que contiene el punto ∞. No es dif´ıcil probar que dicha componente conexa se puede expresar como la uni´on numerable de regiones Dn limitada cada una de ellas por un n´ umero finito de ∞ [ curvas cerradas de Jordan tales que Dn+1 ⊃ Dn y Dn = D∞ . Denoi=1

temos por gn (z, ∞) la funci´on de Green asociada a Dn . Esta funci´on es arm´ onica en Dn \ {∞} y existe l´ım g(z, ∞) − log |z| = γn .

z→∞

Al valor γn se le llama constante de Robin de la regi´on Dn (o del compacto (Dn )c ). De manera que gn (z, ∞) = log |z| + γn + un (z) , donde un es arm´ onica en Dn y un (z) → 0, cuando z → ∞. Es f´acil verificar, usando el principio del m´aximo, que gn+1 (z, ∞) ≥ gn (z, ∞) ,

γn+1 ≥ γn .

De acuerdo con el teorema de Harnack (teorema 2.5) se tiene que γn + un (z) ⇒ ∞ , n → ∞ , en D∞ o converge uniformemente a una funci´on arm´ onica γ + u(z) en D∞ tal que u(∞) = 0. En el segundo caso a γ se le llama constante de Robin de D∞ (o del compacto K). El valor CapK = e−γ recibe el nombre de capacidad del compacto K y g(z, ∞) = log |z| + γ + u(z) funci´ on de Green generalizada de la regi´ on D∞ o del compacto K.

2.7. TEOREMA DE CARLEMAN

2.7.

45

Teorema de Carleman

Sea f una funci´ on holomorfa y acotada en el disco [|z − 1| < 1]. Supongamos que |f (z)| ≤ Mn |z|n , n ∈ N , (2.18) donde Mn es constante. El problema de Watson consiste en encontrar condiciones sobre la sucesi´ on {Mn } , n ≥ 0 , que permitan asegurar que f ≡ 0. Este problema se puede enunciar an´alogamente para un semiplano. Por ejemplo, haciendo z = 1ξ , el disco [|z − 1| < 1] se transforma en <ξ > 12 y la condici´ on (2.18) adopta la forma   1 Mn |F (ξ)| = |f |≤ n. ξ |ξ| Para este problema se tiene lo siguiente. Teorema 2.7 (Teorema de Carleman) Sean {λn } y {βn } dos sucesiones estrictamente crecientes de n´ umeros positivos y l´ım λn = ∞ .

n→∞

Entonces toda funci´ on holomorfa y acotada F en {z :
´ n. Sin p´erdida de generalidad supongamos que a > 0 y Demostracio sea M = sup {|F (z)| : < z ≥ a}. 0

Sobre la recta < z = a tomemos los puntos xν , xν de ordenadas eβν y 0 −eβν (ν = 1, 2, · · · , n) respectivamente.

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

46

0

0

Sobre los segmentos de recta [xν , xν+1 ] y [xν , xν+1 ] de (2.19) se obtiene la acotaci´ on log |F (z)| ≤ −λν ,

1 ≤ ν ≤ n − 1, 0

y sobre los segmentos infinitos (xn , a + i∞), (xn , a − i∞) log |F (z)| ≤ −λn . 0

Finalmente, sobre el segmento [x1 , x1 ] se tiene que log |F (z)| ≤ log M . 0

Mediante θν y θν denotemos las medidas arm´onicas en a 0 0 correspondientes a los segmentos [xν xν+1 ] y [xν xν+1 ] respectivamente, 0 ν = 1, . . . , n − 1. An´ alogamente θn y θn denotan las medidas arm´onicas 0 0 de [xn , a + i∞), [xn , a − i∞) y θ0 la de [x1 , x1 ]. Denotemos Ψ(z) = −θ0 log M +

n X

0

λν (θν + θν )

ν=1

y consideremos la funci´on u(z) = log |F (z)| + Ψ(z) . Esta funci´ on cumple las hip´otesis del principio del m´aximo generalizado en < z > a y es menor o igual que 0 sobre la frontera. Luego u(z) ≤ 0 ,


Supongamos que F 6≡ 0, entonces existe al menos un b > 0 tal que F (a + b) 6= 0. En particular, n

X eβ1 2 +2 λν θν (a + b) ≤ 0 . (2.20) log |F (a + b)| − (log M ) arctan π b ν=1

Denotemos mediante ρν a la distancia de xν al punto a + b. Teniendo en cuenta el significado geom´etrico de las medidas arm´onicas θν (ver el problema (10) podemos obtener cotas de los t´erminos en la suma en

2.7. TEOREMA DE CARLEMAN

47

(2.20). En efecto, hallando mediante dos formas distintas el ´area del tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos xν , xν+1 y a + b se tiene que ρν ρν+1 sin πθ(a + b) = e(βν+1 − βν )b, Por lo tanto πθν (a + b) ≥

ν = 1, . . . , n − 1 .

eb(βν+1 − βν ) . ρν ρν+1

Ahora bien s p ρν = b2 + e2 βν2 = eβν

b2 1 + 2 2 ≤ eβν e βν

s

βν b2 1+ 2 2 = β1 e β1

q b2 + e2 β12 .

Luego ebβ12 θν (a + b) ≥ π(b2 + e2 β12 )



βν+1 − βν βν+1 βν

 ,

ν = 1, . . . , n − 1 .

(2.21)

Para ν = n, en forma an´ aloga se obtiene que θn (a + b) ≥

1 ebβ12 . 2 2 2 π(b + e β1 ) βn

(2.22)

De (2.20)-(2.22) se concluye que 2 eβ 2 log |F (a + b)| − (log M ) arctan 1 + π b "n−1  #  X 1 1 λn 2ebβ12 λν − + ≤ 0. + βν βν+1 βn π(b2 + e2 β12 ) ν=1

Reagrupando las sumas y despejando la misma llegamos a   n X λν − λν−1 2 eβ12 π(b2 + e2 β12 ) . ≤ − log |F (a + b)| + log M arctan βν π b 2eDβ12 ν=1

Como F (a + b) 6= 0 el miembro derecho est´a acotado. Esto contradice la hip´otesis de que la serie del miembro izquierdo es divergente.  Aplicando el resultado anterior a la determinaci´on del problema de momentos se tiene

´ RACIONAL CAP´ITULO 2. APROXIMACION

48

Teorema 2.8 (Corolario del teorema de Carleman) Sea {cn }, n ≥ 0 , una sucesi´ on de momentos correspondiente a una medida µ soportada en [0, +∞). Supongamos que X

1 √ = ∞. cn

2n

n≥1

Entonces la medida µ ∈ M ([0, +∞)) es u ´nica. ´ n. Supongamos que µ y µ1 pertenecientes a M ([0, +∞)) Demostracio tienen iguales momentos y consideremos la funci´on Z Z dµ(t) dµ1 (t) F (z) = µ b(z) − µ b1 (z) = − . z−t z−t Es f´ acil verificar que n−1

X tγ 1 tn 1 = + , z−t z γ+1 z n z − t

z 6= t .

γ=0

Luego, si < µ ≥ a > 0, haciendo cambio de variables −u2 = z, obtenemos que Z tn dµ(t) c 1 √ √ ≤ 2 n 2n . |F (−u2 )| ≤ 2n |u| a |u| |u + i t||u − i t| c  1 n λn se Aplicando el teorema de Carleman con λn = 2n y βn = a2 obtiene que X 1 √ = ∞ ⇒ F ≡ 0. 2n e n n≥1

1 Pero las combinaciones lineales de la forma z−t con z ∈ R \ [0, +∞) son densas en el espacio de las funciones continuas en C[0, +∞] que se anulan en el infinito (respecto de la variable t). Por el teorema de Riesz concluimos que µ = µ1 . 

Cap´ıtulo 3

Polinomios ortogonales en el c´ırculo unidad. Aparte de los polinomios ortogonales con respecto a medidas soportadas en el eje real, los polinomios ortogonales con respecto a medidas soportadas en el disco unidad tambi´en juegan un papel destacado en la teor´ıa general de polinomios ortogonales. En este cap´ıtulo, estudiaremos las propiedades b´ asicas de estos las cuales nos ser´an de gran utilidad.

3.1.

Propiedades generales.

Sea Γ = [|z| = 1], mediante M(Γ) denotamos al conjunto de las medidas positivas de Borel sobre Γ cuyo soporte contiene una cantidad infinita de puntos. Si σ ∈ M(Γ), de manera an´aloga al teorema 1.1, podemos encontrar un sistema u ´nico {ϕn (z)} de polinomios ortonormales con respecto a σ con coeficiente de mayor grado positivo. O sea 1 2π



Z ϕn (z)ϕm (z)dσ(z) = δn,m = Γ

0 si n 6= m , 1 si n = m .

(3.1)

Emplearemos la notaci´ on Φn para denotar al correspondiente polinomio m´onico de grado n. Como ϕn = αn Φn con αn > 0, es f´acil ver que 1 αn = . kΦn kL2 [σ] Si Pn es un polinomio de grado n cualquiera, llamaremos polinomio 49

50 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD rec´ıproco de Pn al polinomio Pn∗ (z)

    1 1 n = z Pn . = z Pn z z n

(3.2)

Observe que Pn∗ tiene los coeficientes invertidos y conjugados respecto a Pn . En particular, el coeficiente de mayor grado de Pn∗ es el t´ermino 1 independiente de Pn . Como para |z| = 1 se cumple que z = , de (3.2) z se sigue que Pn∗ (z) = z n Pn (z) = z n Pn (z) . (3.3) Notemos que salvo un factor constante el polinomio ϕn se caracteriza por las siguientes relaciones an´alogas a (1.4) Z z ν ϕn (z)dσ(z) = 0; ν = 0, 1, · · · , n − 1 . (3.4) Γ

De (3.2)–(3.3) y lo anterior obtenemos Z ν Z Z z n 1 1 1 ϕ ( )dσ(z) = z ϕn ( )dσ(z) = z n−ν ϕ∗n (z)dσ(z) , 0= ν n z n z Γ z Γ Γ z donde ν = 0, 1, . . . , n − 1 . Por lo tanto, salvo una constante multiplicativa, ϕ∗n (polinomio rec´ıproco correspondiente al n–´esimo polinomio ortonormal ϕn ) se caracteriza por las relaciones Z z ν ϕ∗n (z) dσ(z) = 0, ν = 1, 2, . . . , n . (3.5) Γ

En la secci´ on 1.4 vimos que los polinomios ortogonales sobre R satisfacen una relaci´ on de recurrencia a tres t´erminos. Tal relaci´on en general no se cumple para polinomios ortogonales en el plano complejo, pero en el caso del c´ırculo unidad se cumplen las dos relaciones de recurrencia que siguen. ´ n 3.1.1 Bajo las condiciones anteriores tienen lugar las siProposicio guientes f´ ormulas de recurrencia: αn ϕn+1 (z) = αn+1 z ϕn (z) + ϕn+1 (0) ϕ∗n (z) ,

(3.6)

αn ϕ∗n+1 (z) = αn+1 ϕ∗n (z) + ϕn+1 (0) zϕn (z) .

(3.7)

3.1. PROPIEDADES GENERALES.

51

´ n. Obviamente, Demostracio αn ϕn+1 (z) − αn+1 zϕn (z) es un polinomio de grado ≤ n. Por otro lado, para ν = 1, 2, . . . , n tenemos Z Z ν z [αn ϕn+1 (z) − αn+1 zϕn (z)]dσ(z) = −αn+1 z ν−1 ϕn (z)dσ(z) = 0 . Γ

Γ

Luego αn ϕn+1 (z) = αn+1 zϕn (z) + cn ϕ∗n . Para hallar la constante cn evaluemos para z = 0, de donde αn ϕn+1 (0) = αn cn . O sea cn = ϕn+1 (0) . La segunda identidad se obtiene de la primera aplicando la definici´on del polinomio rec´ıproco, (3.2)–(3.3), en ambos miembros.  Los coeficientes principales de polinomios ortonormales consecutivos est´an relacionados mediante la siguiente f´ormula. ´ n 3.1.2 Se cumple que Proposicio 2 αn+1 − αn2 = |ϕn+1 (0)|2 .

(3.8)

´ n. Multiplicando por z −n−1 ambos miembros de (3.6) e Demostracio integrando se obtiene Z Z αn αn+1 z n+1 ϕn+1 (z)dσ(z) = z n ϕn (z)dσ(z)+ 2π Γ 2π Γ Z ϕn+1 (0) + zϕn (z)dσ(z) . 2π Γ Es decir αn αn+1 ϕn+1 (0) = + αn+1 αn 2π

Z zϕn (z)dσ(z) = Γ

αn+1 |ϕn+1 (0)|2 − , (3.9) αn αn αn+1

52 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD ya que de acuerdo con (3.6)–(3.7) 1 2π

Z

Z ϕn+1 (0) zϕn (z)dσ(z) = − ϕ∗n dσ(z) α 2π n+1 Γ ZΓ ϕn+1 (0) ϕn+1 (0) = − z n ϕn (z)dσ(z) = − . αn+1 2π Γ αn+1 αn

La relaci´ on (3.9) es equivalente a la que queremos probar.



En el c´ırculo unidad el n´ ucleo reproductor tambi´en tiene una expresi´ on simple, an´ aloga a la f´ormula de Christoffel-Darboux para la recta real. ´ rmula de sumacio ´ n para el c´ırculo unidad) Si Teorema 3.1 (Fo ∞ {ϕn }n=0 es una sucesi´ on de polinomios ortonormales en el c´ırculo unidad, entonces Kn (x, y) =

n X

ϕk (x)ϕk (y) =

k=0

=

ϕ∗n (x)ϕ∗n (y) − xyϕn (x)ϕn (y) 1 − xy

(3.10)

ϕ∗n+1 (x)ϕ∗n+1 (y) − ϕn+1 (x)ϕn+1 (y) . 1 − xy

La demostraci´ on se propone como ejercicio en el problema 16. El siguiente resultado es una consecuencia directa del teorema anterior. ´ n 3.1.3 Todos los ceros de ϕn (z) est´ Proposicio an contenidos en el c´ırculo |z| ≤ 1. ´ n. En efecto, si |z| < 1 entonces Demostracio α02 ≤ Kn (z, z) =

n X k=0

|ϕn (z)|2 =

|ϕ∗n (z)|2 |ϕ∗n (z)|2 − |zϕn (z)|2 ≤ . 1 − |z|2 1 − |z|2

Luego |ϕ∗n (z)|2 ≥ (1 − |z|2 )α02 > 0 .

(3.11)

Por lo tanto ϕ∗n tiene todos sus ceros en |z| ≥ 1, lo que equivale a la tesis de la proposici´ on. 

´ Y POLINOMIOS DE SEGUNDO TIPO 3.2. FUNCION

3.2.

53

Funci´ on y polinomios de segundo tipo

1 Sean c0 = 2π

Z dσ(z) , σ ∈ M(Γ) y Γ

1 F (z) = 2πc0

Z

ξ+z dσ(ξ) . ξ−z

Γ

´ n 3.1 Se llama polinomio de segundo tipo asociado a σ ∈ Definicio M(Γ) al polinomio Z 1 ξ+z ψn (z) = [ϕn (ξ) − ϕn (z)]dσ(ξ) . 2πc0 Γ ξ − z donde {ϕn }, n ∈ N, es la familia de polinomios ortonormales con respecto a σ. Es f´ acil ver que ψn es un polinomio de grado n. Adem´as, de la definici´on anterior se deduce que Z 1 ξ+z ϕn (z)F (z) + ψn (z) = ϕn (ξ)dσ(ξ) . (3.12) 2πc0 Γ ξ − z o lo que es equivalente ϕ∗n (z)F (z)

−

ψn∗ (z)

zn = 2πc0

Z Γ

ξ+z ϕn (ξ)dσ(ξ) , ξ−z

(3.13)

´ n 3.2.1 Se cumplen las f´ Proposicio ormulas c0 [ψn (z)ϕ∗n (z) + ϕn (z)ψn∗ (z)] = 2z n ,  c0 <

ψn∗ (z) ϕ∗n (z)

 =

1 |ϕ∗n (z)|2

z ∈ C, ,

(3.14)

|z| = 1 . (3.15)

´ n. Multiplicando (3.13) por ϕn , (3.12) por ϕ∗n y restando Demostracio estas relaciones se obtiene que Z 1 ξ+z ∗ ∗ c0 [ψn (z)ϕn (z) + ϕn (z)ψn (z)] = Ωn (ξ, z)dσ(ξ) , (3.16) 2π Γ ξ − z

54 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD donde Ωn (ξ, z) = ϕn (ξ)ϕ∗n (z) − z n ϕn (ξ)ϕn (z) = = ϕn (ξ)ϕ∗n (z) − z n ϕ∗n (ξ)ϕ∗n (z) + z n [ϕ∗n (ξ)ϕ∗n (z) − ϕn (ξ)ϕn (z)]

=

n−1 ξn − zn z n (ξ − z) X ∗ ϕn (ξ)ϕn (z) + ϕk (z)ϕk (ξ) . ξn ξ

(3.17)

k=0

En la u ´ltima igualdad se emplea que |ξ| = 1 y la f´ormula de ChristoffelDarboux. Ahora bien Z Z ξ + z ξn − zn zn 1 zn 1 ϕ (ξ)dσ(ξ) = ϕ (ξ)dσ(ξ) = . (3.18) n n 2π Γ ξ − z ξ n 2π Γ ξ n αn Por otro lado Z Z n−1 n−1 X ξ+z X 1 1 ϕk (z) ξϕk (ξ)dσ(ξ) ϕk (z)ϕk (ξ)dσ(ξ) = 1 + z 2π Γ ξ 2π Γ k=0

k=0

= 1−z

n−1 X

ϕk (z)

k=0

= 1−

n−1 X k=0

= 2−

ϕk+1 (0) αk αk+1

ϕ∗k+1 (z) ϕ∗k (z) − αk+1 αk

ϕ∗n (z) . αn



(3.19)

Uniendo las relaciones (3.16), (3.17), (3.18) y (3.19) se obtiene (3.14). Veamos ahora que (3.15) se deduce de (3.14). En efecto, si |z| = 1 entonces 2z n = c0 [ψn (z)ϕ∗n (z) + ϕn (z)ψn∗ (z)] = c0 [z n ψn∗ (z)ϕ∗n (z) + z n ϕ∗n (z)ψn∗ (z)] . O sea 2 = 2c0 <{ψn∗ (z)ϕ∗n (z)} . Luego  c0 <

ψn∗ (z) ϕ∗n (z)

(

 = c0 <

ψn∗ (z)ϕ∗n (z) |ϕ∗n (z)|2

) =

1 |ϕ∗n (z)|2

.

(3.20) 

´ Y POLINOMIOS DE SEGUNDO TIPO 3.2. FUNCION

55

´ n 3.2.2 (Localizacio ´ n de ceros) Todos los ceros del poProposicio linomio ϕn (z) est´ an contenidos en el c´ırculo |z| < 1.

´ n. Por la relaci´ Demostracio on (3.14) resulta obvio que ϕn no tiene ceros de m´ odulo 1. Luego, de la proposici´on (3.1.3) se sigue que todos sus ceros est´ an en |z| < 1.  ´ n 3.2.3 Se tiene que Proposicio   ψn∗ F − ∗ (z) = O(z n+1 ) , ϕn M´ as a´ un

ψn∗ (z) ϕ∗n (z)

⇒

F (z);

z → 0,

|z| < 1 .

K ⊂ [|z| < 1] .

n→∞

´ n. En efecto Demostracio c0 [ϕ∗n (z)F (z)

−

ψn∗ (z)]

= = = =

Z zn ξ+z ϕn (ξ)dσ(ξ) 2π Γ ξ − z   Z zn 2z 1+ ϕn (ξ)dσ(ξ) 2π Γ ξ−z Z 2z n+1 ϕn (ξ) dσ(ξ) 2π Γ ξ−z O(z n+1 ) , z → 0 .

Por otro lado, ϕ∗n no tiene ceros en |z| ≤ 1, luego F (z) −

ψn∗ (z) = O(z n+1 ) , ϕ∗n (z)

z → 0.

Haciendo uso de la representaci´ on integral del resto se tiene F (z) −

n+1 ψn∗ (z) ∗ −1 2z = ϕ (z) n ϕ∗n (z) 2πc0

Z Γ

ϕn (ξ) dσ(ξ) . ξ−z

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce que

56 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD

∗ F (z) − ψn (z) ≤ ∗ ϕn (z)

2|z|n+1 |ϕ∗n (z)|−1 c0 dist(z, Γ) s Z 1 · dσ(ξ) 2π Γ √

=

s

1 2π

Z

|ϕn (ξ)|2 dσ(ξ) ·

Γ

2|z|n+1 . c0 dist(z, Γ)|ϕ∗n (z)|

Ahora bien, usando (3.11) se tiene que ∗ 2|z|n+1 F (z) − Ψn (z) ≤ √ ϕ∗n (z) α0 c0 (1 − |z|2 )1/2 dist(z, Γ)

⇒

0,

K ⊂ [|z| < 1] .

n→∞

 En el circulo unidad tenemos el siguiente an´alogo de la f´ormula de cuadratura. ´ n 3.2.4 Para todo ν = 0, ±1, . . . , ±n se tiene Proposicio Z Z 1 zν 1 |dz| = z ν dσ(z) , z = eiθ . 2π Γ |ϕ∗n (z)|2 2π Γ ´ n. Seg´ Demostraci o un vimos en la proposici´on 3.2.3 los coeficientes de ∗ ψn Taylor de ϕ∗ y F en el punto z = 0 coinciden hasta el de grado n. Luego n

∞ X c0 c0 ψn∗ (z) (n) n = + c1 z + · · · + cn z + ck z k , 2 ϕ∗n (z) 2 k=n+1

1 −k dσ(z) . donde ck = 2π Γz De manera que tomando c−k = ck , para |z| = 1 obtenemos "  ∗   ∗ # ψn (z) c0 ψn∗ (z) ψn (z) 1 c0 < = + = ∗ ∗ ∗ ∗ ϕn (z) 2 ϕn (z) ϕn (z) |ϕn (z)|2

R

=

n X k=−n

ck z k +

X |k|>n

(n)

ck z k .

´ ´ 3.3. ASINTOTICAS DE CARACTER INTEGRAL

57

Sea ν = 0, 1, . . . , n , entonces Z Z 1 z −ν dθ 1 z −ν dσ(z) . = cν = 2π Γ |ϕ∗n (z)|2 2π Γ Para ν = −n, . . . , −1 conjugar la igualdad anterior.

3.3.



Propiedades asint´ oticas de car´ acter integral

En lo sucesivo la notaci´ on µn → µ , n → ∞ , referida a sucesiones de medidas denota la convergencia en la topolog´ıa estrella d´ebil. O sea si µn ∈ M(Γ) , µ ∈ M(Γ) entonces para todo f ∈ C(Γ) Z Z l´ım f dµn = f dµ . n

Γ

Γ

Lema 3.1 Sea σ ∈ M(Γ), entonces |dz| |ϕn (z)|2

−→ n→∞

´ n. En efecto Demostracio Z Z z ν |dz| = z ν dσ(z), 2 |ϕ (z)| n Γ Γ

dσ .

ν = 0, ±1, ±2, . . . , ±n .

Mediante Tm (θ) denotamos un polinomio trigonom´etrico de grado m. Haciendo uso de las f´ ormulas de DeMoivre, Tm se puede expresar en potencias de z = eiθ entre −m y m. Luego para todo n ≥ m Z Z Tm (θ)|dz| = Tm (θ)dσ(z) . 2 Γ |ϕn (z)| Γ Por lo tanto, el l´ımite en n es igual al miembro derecho. Ahora bien, los polinomios trigonom´etricos son densos en el espacio C(Γ) con la topolog´ıa de la convergencia uniforme. Fijemos f ∈ C(Γ) y  > 0 arbitrario. Existe Tm (θ) con m lo suficientemente grande tal que |f (z) − Tm (θ)| ≤  ,

z = eiθ ∈ Γ .

58 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD Z Sea n ≥ m, Zentonces f (z) |dz| |ϕn (z)|2 − f (θ)dσ(z) = Γ Γ Z Z Z Z f (z) |dz| T (θ) |dz| m f (z)dσ(z) T (θ)dσ(z) − = − + m 2 2 Γ Γ |ϕn (z)| Γ |ϕn (z)| Γ Z |f (z) − Tm (θ)|

≤ Γ

|dz| + |ϕn (z)|2

Z |f (z) − Tm (θ)|dσ(z) ≤ 2σ(Γ) . Γ

Como  > 0 es arbitrario queda probado el lema. Denotemos M0 (Γ) = {σ ∈ M(Γ) : σ 0 > 0



casi donde quiera en Γ} ,

donde σ 0 denota la derivada de Radon Nikodym de σ respecto a la medida de Lebesgue en Γ (ver [31]). Lema 3.2 Sea σ ∈ M0 (Γ), entonces 2 Z  q 0 |ϕn (z)| σ (z) − 1 |dz| Γ

Z 0 |ϕn (z)|2 σ (z) − 1 |dz| Γ

Para todo f ∈ L∞ [σ] Z 0 f (z)|ϕn (z)|2 σ (z)|dz| Γ

Z

2

f (z)|ϕn (z)| dσ(z) Γ

−→ n→∞

0,

(3.21)

−→ n→∞

0.

(3.22)

−→ n→∞

Z

−→ n→∞

Z

f (z)|dz| ,

(3.23)

f (z)|dz| .

(3.24)

Γ

Γ

´ n. Primeramente probemos que la condici´on σ 0 > 0 casi Demostracio dondequiera en Γ es equivalente al hecho que |dz| es absolutamente continua con respecto a dσ lo cual denotaremos escribiendo |dz|  dσ . En efecto, si |dz|  dσ entonces existe g ∈ L1 [σ] tal que |dz| = g(z)dσ(z) = g(z)σ 0 (z)|dz| + g(z)dσs (z) .

´ ´ 3.3. ASINTOTICAS DE CARACTER INTEGRAL

59

La segunda igualdad es consecuencia de la descomposici´on de Radon de una medida (ver [31]) y σs denota la parte singular de σ respecto a |dz|. Luego g(z) = 0 en supp(σs ) y g(z)σ 0 (z) = 1 casi dondequiera. Por lo tanto, σ 0 es mayor que 0 casi dondequiera. Por otro lado, supongamos que σ 0 > 0 casi dondequiera. Para demostrar que |dz|  dσ es suficiente probar que σ(E) = 0 implica que la medida de Lebesgue de E vale cero (|E| = 0). Ahora bien Z Z Z 1 |dz| = |dz| = |E| = σ 0 (z)|dz| 0 σ (z) 0 0 E\[σ =0] E\[σ =0] E Z 1 ≤ dσ(z) . 0 E\[σ 0 =0] σ (z) Definimos g(z) =

  0 

Entonces

si σ 0 (z) = 0 , 1

σ 0 (z)

si σ 0 (z) 6= 0 .

Z |E| ≤

g(z)dσ(z) = 0

si σ(E) = 0 .

E

Por lo tanto |dz|  dσ. En particular, si f ∈ L∞ [σ] entonces f ∈ L∞ [|dz|] . Ahora, (3.23) es inmediato a partir de (3.22). Para probar (3.24) a partir de (3.23) basta demostrar que para f ∈ L∞ [|dz|] se tiene que Z l´ım f (z)|ϕn (z)|2 dσs (z) = 0 . n

Γ

Para ello empleemos que dσs = dσ − σ 0 (z)|dz| . Usando (3.23) con f ≡ 1 tenemos que Z Z Z 2 2 |ϕn (z)| dσs (z) = |ϕn (z)| dσ − |ϕn (z)|2 σ 0 (z)|dz| Γ Γ Γ Z = 2π − |ϕn (z)|2 σ 0 (z)|dz| −→ 0 . Γ

n→∞

60 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD Por otro lado, si f ∈ L∞ [σ], entonces Z Z 2 f (z)|ϕn (z)| dσs ≤ kf ksupp (σ) |ϕn (z)|2 dσs Γ

Γ

−→ n→∞

0.

La relaci´ on (3.22) se deduce de (3.21) pues p p |ϕn (z)|2 σ 0 (z) − 1 = |ϕn (z)| σ 0 (z) − 1 |ϕn (z)| σ 0 (z) + 1 y aplicando la desigualdad de H¨older obtenemos que sZ Z  2 p 2 0 |ϕn (z)| σ (z) − 1 |dz| ≤ |ϕn (z)| σ 0 (z) − 1 |dz| · Γ

Γ

sZ  2 p · |ϕn (z)| σ 0 (z) + 1 |dz| . Γ

La primera integral del miembro derecho tiende a 0 seg´ un (3.21). Veamos que se mantiene acotada. En efecto Z la segunda 2 p |ϕn (z)| σ 0 (z) + 1 |dz| = Γ

Z

Z

Z p 0 = |ϕn (z)| σ (z)|dz| + 2 |ϕn (z)| σ (z)|dz| + |dz| Γ sZ Γ sZ Γ Z Z 2 2 0 ≤ |ϕn (z)| dσ(z) + 2 |ϕn (z)| σ (z)|dz| |dz| + |dz| 2 0

Γ

Γ

Γ

≤ 4π + 4π = 8π . Finalmente, probemos (3.21). Obs´ervese que Z  Z 2 √ √ 0≤ |ϕn | σ 0 − 1 |dz| ≤ 4π − 2 |ϕn | σ 0 |dz| . Γ

Γ

Para demostrar (3.21) basta entonces que Z √ l´ım inf |ϕn | σ 0 |dz| ≥ 2π , n

Γ

en cuyo caso tenemos que Z l´ım n

Γ

√ |ϕn | σ|dz| = 2π .

Γ

´ ´ 3.3. ASINTOTICAS DE CARACTER INTEGRAL

61

Sea f continua y no negativa en Γ. De la desigualdad de CauchySchwarz se sigue que !4 Z 4 1 Z
1
1 f4 1/2 0 4 0 4 fσ σ |dz| = |dz| ≤ 1 |ϕn | Γ Γ |ϕn | 2 Z Γ

!2  Z Z 2 2 1 Z √ √ f |dz| f2 0 0 |ϕn | σ |dz| |dz| |ϕn | σ |dz| ≤ 2π . 2 |ϕn | Γ |ϕn | Γ Γ

Aplicando el lema 3.1 obtenemos que Z 4 Z 2 Z √
1 0 4 0 fσ |dz| ≤ 2π f dσ l´ım inf |ϕn | σ |dz| . Γ

Γ

Γ

En otras palabras   l´ım inf

1 2π

Z

2 √ 0 |ϕn | σ |dz| ≥ sup

Γ

4 Z
1 1 0 4 fσ |dz| 2π Γ   Z = A. 1 f dσ 2π Γ

Basta probar que A ≥ 1. Para ello necesitamos los siguientes lemas cuya demostraci´ on pueden encontrar en [25]. Lema 3.3 Sea µ ∈ M(Γ) entonces existe una sucesi´ on de funciones hn continuas en Γ (hn ∈ C(Γ)) tales que: a. 0 < hn (x) ≤ 1 para todo x ∈ Γ. b. hn (x)

−→ n→∞

Z c.

hn dµs Γ

1 casi dondequiera en Γ.

−→ n→∞

0.

Lema 3.4 Sea µ ∈ M(Γ) y g ∈ L1 [µ] tal que 0 ≤ g ≤ M . Entonces existe una sucesi´ on gn ∈ C(Γ) tal que: a. 0 < gn ≤ M para todo x ∈ Γ. b. gn

−→ n→∞

g casi dondequiera en Γ.

62 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD 1 , {gm } y {hk } como en los resultados anteriores. + Entonces para cada m y k Tomemos g =

σ0

  l´ım inf n

1 2π

√ |ϕn | σ 0 |dz|

Z

2 ≥

Γ

4 Z
1 1 0 4 hk gm σ |dz| 2π Γ   Z . 1 hk gm dσ 2π Γ

Tomando l´ımite en k obtenemos   l´ım inf n

2 √ 0 |ϕn | σ |dz| ≥

Z

1 2π

Γ

4 |dz| Γ  . Z 1 0 gm σ |dz| 2π Γ

1 2π 

Z

gm σ 0


1 4

Haciendo ahora tender m a infinito se llega a

 l´ım inf n

1 2π

Z

√ |ϕn | σ 0 |dz|

1 2π 

2 ≥

Γ

Z  Γ

1 2π

σ0 σ0 + 

Z Γ

!4

1 4

|dz|

 σ0 |dz| σ0 + 

,

para cada  > 0 . Finalmente, haciendo  → 0 se obtiene que  l´ım inf n

1 2π

Z |ϕn |

√

2

σ 0 |dz|

≥ 1.

Γ

 Sea 1 gn (z) = 2π

Z

ϕn (ξ) dσ(ξ) . z−ξ

Γ

De las condiciones de ortogonalidad se tiene que 1 ϕn (z)gn (z) = 2π

Z Γ

|ϕn (ξ)|2 dσ(ξ) . z−ξ

´ ´ 3.3. ASINTOTICAS DE CARACTER INTEGRAL

63

Corolario 3.1 Sea σ ∈ M0 (Γ) entonces ( ϕn (z)gn (z)

⇒

n→∞

0 1 z

cuando |z| < 1 , cuando |z| > 1 ,

en cada subconjunto compacto de la regi´on indicada. ´ n. En efecto, la sucesi´on {ϕn gn }, n ∈ N, est´a uniforDemostracio memente acotada sobre cada compacto contenido tanto en {z : |z| < 1} como en {z : |z| > 1} pues |ϕn (z)gn (z)| ≤

1 , dz

donde dz = ´ınf |z − w| . w∈Γ

Luego la convergencia uniforme se deduce de la puntual. Aplicando 1 (3.24) a fz (ξ) = z−ξ obtenemos

ϕn (z)gn (z)

−→ n→∞

1 2π

Z Γ

1 |dξ| = z−ξ

(

0 1 z

cuando |z| < 1 , cuando |z| > 1 .

 El siguiente lema juega un papel fundamental en el desarrollo de la pr´oxima secci´ on . Lema 3.5 Sea σ ∈ M0 (Γ) entonces 2 Z ϕ (z) n − 1 |dz| Γ ϕn+1 (z)

−→ n→∞

0.

(3.25)

´ n. La demostraci´on es an´aloga a la del lema 3.2. La reDemostracio laci´on 3.25 se deduce mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz y de 2 Z  ϕn (z) − 1 |dz| ϕn+1 (z) Γ

−→ n→∞

0.

(3.26)

64 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD Ahora bien, desarrollando el cuadrado tenemos que 2 Z  ϕn (z) 0 ≤ ϕn+1 (z) − 1 |dz| Γ Z Z Z ϕn (z) |ϕn (z)|2 |dz| |dz| + |dz| − 2 = 2 Γ Γ ϕn+1 (z) Γ |ϕn+1 (z)| Z ϕn (z) |dz| . = 4π − 2 Γ ϕn+1 (z) Luego, basta probar que Z ϕn (z) |dz| ≥ 2π , l´ım inf n ϕn+1 (z) Γ

de donde se deduce que Z ϕn (z) |dz| = 2π . l´ım n ϕn+1 (z) Γ

Sea f ∈ C(Γ) positiva. Aplicando la desigualdad de Cauchy dos veces obtenemos (para simplificar la notaci´on eliminamos z en las funciones) !4 4 Z 1 1 Z 1 1

2 4 1 f |ϕ | n σ 0 4 |ϕn+1 | 2 |dz| = f σ 0 4 |dz| 1 1 Γ |ϕn+1 | 2 |ϕn | 2 Γ Z ≤ Γ

Z ≤ Γ

|ϕn | |dz| |ϕn+1 |

2

|ϕn | |dz| |ϕn+1 |

2 Z

Z ≤ 2π Γ

Z Γ

Γ

!2 1 1
f2 σ 0 2 |ϕn+1 ||dz| |ϕn |

f |dz| |ϕn |2

Z

σ 0 |ϕn+1 |2 |dz|

Γ

2 Z |ϕn | f |dz| |dz| . 2 |ϕn+1 | Γ |ϕn |

Tomando l´ımite inferior en ambos miembros y aplicando el lema 3.1 obtenemos la desigualdad  Z 4  Z 2 Z
1 1 1 |ϕn | 1 0 4 , fσ |dz| ≤ f dσ l´ım inf |dz| n 2π Γ 2π Γ 2π Γ |ϕn+1 |

´ ´ 3.3. ASINTOTICAS DE CARACTER INTEGRAL  y como vimos anteriormente sup f ∈C(Γ) f >0

65

4 Z
1 1 0 4 fσ |dz| 2π Γ  Z  ≥ 1. 1 f dσ 2π Γ



El siguiente lema es clave en lo que sigue. Lema 3.6 Sea σ ∈ M(Γ) entonces Z Z 1 1 2 0 |ϕn | σ − 1 |dz| + |ϕn |2 dσs . |Φn+1 (0)| ≤ 2π Γ 2π Γ Por lo tanto, si σ ∈ M0 (Γ) se tiene que Φn+1 (0)

−→ n→∞

0.

´ n. Seg´ Demostracio un la f´ ormula de recurrencia tenemos αn ϕn+1 (z) = αn+1 zϕn (z) + ϕn+1 (0)ϕ∗n (z) . Comparando el m´ odulo de ambos miembros para |z| = 1 se sigue que αn2 |ϕn+1 (z)|2 = 2 αn+1 |z|2 |ϕn (z)|2 + |ϕn+1 (0)|2 |ϕ∗n (z)|2 + 2<(αn+1 zϕn (z)ϕn+1 (0)ϕ∗n (z)) ,

de donde αn2 |ϕn+1 (z)|2 = 2 αn+1


1 + |Φn+1 (0)|2 |ϕn (z)|2 + 2|ϕn (z)|2 ρn (z) ,

con ρn (z) = <

zϕn (z)Φn+1 (0) ϕ∗n (z)

! .

Integrando ambos miembros respecto a σ/2π se obtiene
2 αn2 = 1 + |Φn+1 (0)|2 + 2 2π αn+1 Como 1−

Z

|ϕn (z)|2 ρn (z)dσ(z) .

Γ

αn2 = |Φn+1 (0)|2 , 2 αn+1

66 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD finalmente llegamos a 1 |Φn+1 (0)| = − 2π 2

Z

|ϕn (z)|2 ρn (z)dσ(z) .

Γ

Ahora bien 1 2π

Z ρn (z)|dz| = 0

y

|ρn (z)| ≤ |Φn+1 (0)| .

Γ

Por lo tanto Z 1 |ϕn (z)| σ (z)ρn (z)|dz| + ρn (z)|dz| 2π Γ Γ Z 1 − |ϕn (z)|2 ρn (z)dσs 2π Γ Z Z
1 1 2 0 = 1 − |ϕn (z)| σ (z) ρn (z)|dz| − |ϕn (z)|2 ρn (z)dσs 2π Γ 2π Γ Z Z |Φn+1 (0)| |Φn+1 (0)| 2 0 ≤ |ϕn (z)| σ (z) − 1 |dz| + |ϕn (z)|2 dσs (z) . 2π 2π Γ Γ Dividiendo ambos miembros por |Φn+1 (0)| obtenemos la desigualdad deseada.  1 |Φn+1 (0)| = − 2π 2

3.4.

Z

2 0

Asint´ otica del cociente de polinomios ortogonales

Teorema 3.2 Las siguientes propiedades son equivalentes: 1.

Φn (0)

−→ n→∞

0,

(3.27)

2.

αn αn+1

−→ n→∞

1,

(3.28)

3.

zΦn (z) Φn+1 (z)

n→∞

Φ∗n+1 (z) Φ∗n (z)

n→∞

4.

⇒

1,

{z : |z| ≥ 1} ,

(3.29)

⇒

1,

{z : |z| ≤ 1} ,

(3.30)

donde la convergencia de (3.29) y (3.30) es uniforme en el conjunto indicado a la derecha.

´ 3.4. ASINTOTICA DEL COCIENTE

67

´ n. En efecto, como Demostracio 1−

αn2 = |Φn+1 (0)|2 , 2 αn+1

se tiene que (3.27) y (3.28) son equivalentes. Ahora, de la f´ormula de recurrencia tenemos Φn+1 (z) = zΦn (z) + Φn+1 (0)Φ∗n (z), luego para |z| = 1 Φn+1 (z) Φn+1 (0)Φ∗n (z) = |Φn+1 (0)| . zΦn (z) − 1 = zΦn (z) Por lo tanto, (3.29) y (3.27) son equivalentes para |z| = 1. Por el principio del m´aximo, adem´ as se tiene que Φn+1 (z) Φn+1 (z) zΦn (z) − 1 ⇒ 0 ⇔ zΦn (z) − 1 ⇒ 0 n→∞ n→∞ uniformemente en {z : |z| = 1} uniformemente en {z : |z| ≥ 1} . (Recu´erdese que Φn no tiene ceros en {z : |z| ≥ 1} y al ser Φn+1 de n+1 (z) igual grado que zΦn en {z : |z| = 1} la funci´on ΦzΦ es holomorfa.) n (z) Por u ´ltimo, dado que   1 n+1 z Φn+1 ∗ Φn+1 (z) z =   , Φ∗n (z) 1 z n Φn z es f´acil ver que (3.29) y (3.30) son equivalentes.



Corolario 3.2 Si σ ∈ M0 (Γ) entonces se cumplen las relaciones (3.29) –(3.30) del teorema anterior. ´ n. Aplicar a la desigualdad del lema (3.6) las relaciones Demostracio (3.22)–(3.24) del lema (3.2).  Ahora probemos lo siguiente.

68 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD ´ n 3.4.1 Si σ ∈ M0 (Γ) entonces Proposicio Φn (z) Φ∗n (z)

⇒

0,

K ⊂ {z : |z| < 1} .

n→∞

´ n. De las relaciones de recurrencia tenemos Demostracio Φn (z) zΦ ∗ (z) + Φn+1 (0) Φn+1 (z) zΦn (z) + Φn+1 (0)Φ∗n (z) n λn+1 (z) = ∗ = = = Φn (z) Φn+1 (z) Φ∗n (z) + Φn+1 (0)zΦn (z) 1 + Φn+1 (0)z Φ ∗ (z) n

=

zλn (z) + Φn+1 (0) 1 + Φn+1 (0)zλn (z)

.

Se tiene que |λn (z)| ≤ 1 , {z : |z| ≤ 1}, luego la familia es normal en el disco abierto [|z| < 1], por lo tanto, la convergencia uniforme se deduce de la convergencia puntual en un conjunto de puntos con punto de acumulaci´ on en dicho disco. Sea z tal que |z| < 1/4. Entonces |1 + Φn+1 (0)zλn (z)| ≥ 1 −

1 3 = , 4 4

por ello en {z : |z| < 41 } 1 4 1 4 |λn+1 (z)| ≤ |λn (z)| + |Φn+1 (0)| < |λn (z)| + |Φn+1 (0)| . 3 3 2 3 Fijemos  > 0 . Sea N ∈ N tal que para n > N, 1 |λn+1 (z)| ≤ |λn (z)| +  , 2

|Φn+1 (0)| ≤ 2 . Luego

n>N.

Aplicando sucesivamente esta desigualdad obtenemos 1 |λn (z)| ≤ |λn−1 (z)| +  ≤ 2

 2 1  |λn−2 (z)| + +  ≤ · · · 2 2

 n−N  2  n−N −1 1  1 1 |λN (z)| +  + +  + ... +  , ≤ 2 2 2 2

n>N.

´ 3.4. ASINTOTICA DEL COCIENTE

69
1 n−N 2

≤ . Luego, si n ≥ N1 y

=+

1 1−

Para todo n ≥ N1 > N se tiene que |z| < 14 se tiene |λn (z)| ≤  + 

X  1 k k≥0

2

1 2

= 3 .

Como  > 0 es arbitrario, la desigualdad anterior implica que en {z : |z| < 41 } se tiene λn (z) −→ 0 puntualmente. En consecuencia n→∞

λn (z)

⇒

0,

n→∞

uniformemente en subconjuntos compactos de {z : |z| < 1} .



Obs´ervese que Φ∗n (z) Φn (z) ⇒ 0 ⇔ ⇒ 0 Φ∗n (z) n→∞ Φn (z) n→∞ en {z : |z| < 1} en {z : |z| > 1} , ya que      1 1 z Φn Φn ∗  Φn (z) z z    =   = .  1 Φn (z) 1 ∗ ∗ n Φ z Φn n z z n

(3.31)

70 CAP´ITULO 3. ORTOGONALIDAD EN EL C´IRCULO UNIDAD

Cap´ıtulo 4

Propiedades asint´ oticas en el eje real. 4.1.

Relaci´ on entre los polinomios ortogonales en el c´ırculo y en un segmento.

Sea µ ∈ M([−1, 1]), definamos  −dµ(cos θ) , 0 ≤ θ ≤ π , dσ(z) = dµ(cos θ) , π ≤ θ ≤ 2π ,

z = eiθ .

O sea si E est´ a contenido en el semidisco superior entonces σ(E) = µ{x ∈ [−1, 1] ;

x = cos θ ;

z = eiθ ∈ E}

y en el semidisco inferior σ es sim´etrica con respecto al semidisco superior. Denotemos por pn el en´esimo polinomio ortonormal con respecto a µ y ϕn el en´esimo polinomio ortonormal con respecto a σ/2π. Lema 4.1 Se cumple que: a. Los coeficientes de ϕn son reales. b. 1 1 pn (x) = √ [1 + Φ2n (0)]− 2 z −n [ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z)] , 2π   1 1 donde x = z+ . 2 z

71

(4.1)

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

72

´ n. Para probar lo primero basta verificar que Demostracio ϕn (z) = ϕn (z) . En efecto, haciendo el cambio de variable z por 1/z, de (3.1) obtenemos δn,m

1 = 2π

Z ϕm (z)ϕn (z)dσ(z) = Γ

=

      Z 1 1 1 1 ϕm ϕn dσ 2π Γ z z z Z 1 ϕm (z)ϕn (z)dσ(z) . 2π Γ

Usando que dσ(z) = dσ(z) y que δn,m es real, conjugamos la ecuaci´on anterior y obtenemos que Z Z 1 1 δn,m = ϕm (z)ϕn (z)dσ(z) = ϕm (z)ϕn (z)dσ(z) . 2π Γ 2π Γ Esto quiere decir que {ϕn (z)}, n ∈ N, es ortonormal a dσ y como αn > 0 concluimos que ϕn (z) = ϕn (z) . Para probar la segunda relaci´on basta demostrar que el miembro derecho es el polinomio ortonormal en´esimo respecto a µ con coeficiente principal mayor que cero. Ante todo verifiquemos
que as´ı definido z1n [ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z)] es un polinomio en x = 21 z + z1 de grado n. Sea ϕ2n (z) = a0 z 2n + a1 z 2n−1 + . . . + a2n , entonces ϕ∗2n (z) = a0 + a1 z + . . . + a2n z 2n . Luego si z = eiθ se deduce que 1 [ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z)] = zn     1 1 n n−1 = (a0 + a2n ) z + n + (a1 + a2n−1 ) z + n−1 + z z + . . . + (an + a2n−n ) = 2(a0 + a2n ) cos(nθ) + 2(a1 + a2n−1 ) cos((n − 1)θ) + · · · + 2an = 2(a0 + a2n )Tn (x) + 2(a1 + a2n−1 )Tn−1 (x) + · · · + 2an , donde x = 12 (eiθ + e−iθ ) y Tk (x) es el k–´esimo polinomio de Chebyshev de primer tipo. Luego, en efecto tenemos un polinomio de grado n.

´ ENTRE POLINOMIOS ORTOGONALES 4.1. RELACION

73

Probemos que es ortogonal a todo polinomio de grado a lo sumo n − 1. Es suficiente comprobar que Z 1 1 0= [ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z)] Tk (x)dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1 , z = eiθ . n z −1 Ahora bien Z 1 −1

ϕ2n (z) 1 Tk (x)dµ(x) = n z 2

Z 0

π

  1 ϕ2n (z) k z + k dσ(z) zn z

y Z

1

−1

ϕ∗2n (z) Tk (x)dµ(x) = zn = =

  Z 1 π z 2n ϕ2n ( z1 ) k 1 z + dσ(z) 2 0 zn zk   Z 1 1 1 π n k z ϕ2n ( ) z + k dσ(z) 2 0 z z   Z 0 1 ϕ2n (z) k 1 z + k dσ(z) . 2 −π z n z

Por lo tanto, para todo k = 0, 1, . . . , n − 1 , Z 1 Z i h ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z) 1 π k−n −k−n dσ(z) T (x)dµ(x) = ϕ (z) z + z 2n k zn 2 −π −1 = 0 Por otro lado, ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z) 2 dµ(x) = zn −1 Z π ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z) 2 dσ(z) = zn 0 Z Z 1 1 2 |ϕ2n (z)| dσ(z) + |ϕ∗ (z)|2 dσ(z) + = 2 Γ 2 Γ 2n Z  ∗ +< ϕ2n (z)ϕ2n (z)dσ(z) Γ (Z " # ) ϕ2n (0)ϕ2n (z) = 2π + < ϕ2n (z) + l2n−1 (z) dσ(z) α2n Γ   2πϕ2n (0) = 2π + < = 2π[1 + Φ2n (0)] . α2n

Z

1

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

74

Con esto concluimos la demostraci´on de la f´ormula.



Denotemos M0 [−1, 1] al conjunto de todas las medidas de Borel soportadas en [−1, 1] tales que µ0 > 0 casi dondequiera en [−1, 1]. Teorema 4.1 (Rakhmanov [26]–[27]) Sea µ ∈ M0 [−1, 1], entonces p pn+1 (x) ⇒ x + x2 − 1, pn (x) n→∞ uniformemente sobre subconjuntos compactos K ⊂ C \ [−1, 1] . Adem´ as, γn+1 −→ 2 , γn n→∞ donde γn es el coeficiente principal de pn . ´ n. Seg´ Demostracio un el lema anterior, as´ı como el corolario 3.2 y la proposici´ on 3.4.1 del apartado 3.4 tenemos p 1 + Φ2n (0) z n ϕ2n+2 (z) + ϕ∗2n+2 (z) pn+1 (x) = p pn (x) 1 + Φ2n+2 (0) z n+1 ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z)

=

(z) ϕ∗ p 1 + 2n+2 1 + Φ2n (0) ϕ2n+2 (z) ϕ2n+2 (z) p ∗ z 1 + Φ2n+2 (0) ϕ2n (z) 1 + ϕ2n (z) ϕ2n (z)

⇒

z;

n→∞

donde la√convergencia es uniforme sobre cada compacto K ⊂ [|z| > 1] y z = x + x2 − 1. Para probar lo segundo obs´ervese que pn (x) x→∞ xn 1 1 = l´ım p [ϕ (z) + ϕ∗2n (z)] n z n 2n z→∞ x 2π(1 + Φ2n (0))

γn =

=

=

l´ım

2n

p l´ım 2π(1 + Φ2n (0)) z→∞ α2n 2n

p 1 + Φ2n (0) √ . 2π

  1 ϕ2n (z) ϕ∗2n (z)
n + z 2n z 2n 1 + z12

´ ENTRE POLINOMIOS ORTOGONALES 4.1. RELACION

75 

´ n 4.1.1 Sea µ ∈ M0 [−1, 1], entonces los coeficientes de la Proposicio f´ ormula de recurrencia xpn (x) = an+1 pn+1 (x) + bn pn (x) + an pn−1 (x) satisfacen an

−→ n→∞

1 2

y

bn

−→ n→∞

0.

´ n. Recordemos que Demostracio γn−1 ; an = γn

Z

1

bn = −1

x p2n (x)dµ(x) .

Por lo tanto, del teorema anterior tenemos que an → 12 , n → ∞.. Sea |z| = 1 y x = 12 (z + z −1 ), entonces ϕ2n (z) + ϕ∗2n (z) 1 p zn 2π(1 + Φ2n (0)) h i 1 z −n ϕ2n (z) + z n ϕ2n (z) = p 2π(1 + Φ2n (0)) s  2 = < z −n ϕ2n (z) . π(1 + Φ2n (0))

pn (x) =

Como Φ2n (0) → 0,

n → ∞, obtenemos que r 2  −n pn (x) = < z ϕ2n (z) + o (|ϕ2n (z)|) , π

donde o(·) es uniforme respecto a z cuando n → ∞. Luego pn+1 (x) + pn−1 (x) = r 2  −n−1 < z ϕ2n+2 (z) + z −n+1 ϕ2n−2 (z) +o (|ϕ2n+2 (z)|)+o (|ϕ2n−2 (z)|) . π Adem´ as, ϕ2n±2 (z) = z ±2 ϕ2n (z) + o (|ϕ2n (z)|) . Por lo tanto,

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

76

pn+1 (x) + pn−1 (x) = r  2 = 2x< z −n ϕ2n (z) + o (|ϕ2n (z)|) = 2xpn (x) + o (|ϕ2n (z)|) . π Luego Z xpn (x)pm (x)dµ(x) = =

Z 1 pn+1 (x)pm (x)dµ(x) + 2 Z Z 1 1 pn−1 (x)pm (x)dµ(x) − o (|ϕ2n (z)|) pm (x)dµ(x) . 2 2

Para m = n + 1 obtenemos an+1 , para m = n − 1 obtenemos an y si m = n se tiene bn . El resultado es ahora consecuencia inmediata del hecho que sZ sZ Z |ϕ2n (z)|2 dµ(x)

|ϕ2n (z)pn (x)| dµ(x) ≤

|pn (x)|2 dµ(x)

s Z √ 1 ≤ |ϕ2n (z)|2 dσ(z) ≤ π . 2 Γ  Corolario 4.1 Si µ ∈ M0 [−1, 1] entonces para toda funci´ on continua f ∈ C[−1, 1] se tiene que Z Z dx 1 2 0 f (x) √ f (x)pn (x)µ (x)dx −→ n→∞ π 1 − x2 y Z

f (x)p2n (x)dµ(x)

En particular, pn (z)gn (z)

−→ n→∞

−→ n→∞ Z

gn (z) =

√

1 π

Z

f (x) √

1 donde z2 − 1

pn (x)dµ(x) . z−x

dx . 1 − x2

´ A LOS APROXIMANTES DE PADE ´ 4.2. APLICACION

77

´ n. La segunda parte es consecuencia de la f´ormula Demostracio Z 2 pn (x)dµ(x) , pn (z)gn (z) = z−x 1 aplicando el resultado anterior para f (x) = z−x . Para probar la primera parte es suficiente demostrarla para f (x) = xm y aplicando el teorema de Weierstrass se extiende a toda funci´on continua. Para demostrarlo para xm hay que hacer uso de la f´ormula de recurrencia para descomponer xm pn (x) en suma de polinomios ortogonales y luego aplicar la proposici´ on 4.1.1. Los detalles los dejamos al lector (para m´as detalles ver el teorema de la p´ agina 45 de [24]).

4.2.

Aplicaci´ on a la convergencia de los aproximantes de Pad´ e

Sea µ ∈ M[−1, 1] y f (z) = µ b(z) + r(x) , donde r(z) es una fracci´ on racional cuyos ceros y polos est´an en C \ [−1, 1]. Estudiaremos la convergencia de Rn (f ) a f en C \ [−1, 1], donde Rn (f ) es el aproximante de Pad´e definido en el cap´ıtulo 2. Como para cualquier constante C se cumple Rn (f + C) = Rn (f ) + C , podemos suponer sin p´erdida de generalidad que r(∞) = 0. O sea, r(z) = s(z)/t(z), donde el grado de s es ≤ d − 1. Antes de enunciar el teorema principal de esta secci´on veamos el siguiente resultado auxiliar. Lema 4.2 Sea µ ∈ M[−1, 1] y f = µ b + r. Entonces para todo n lo suficientemente grande Rn (z) =

Pn−1 (z) , Qn (z)

donde Pn−1 y Qn son un par arbitrario de polinomios tales que gr(Pn−1 ) ≤ n − 1 , gr(Qn ) ≤ n , Qn ≡ / 0 y satisfacen las relaciones Z 1 a. xk Qn (x)t(x)dµ(x) = 0, k = 0, 1, . . . , n − d − 1 . −1

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

78 Z

1

b. −1

Qn (z)t(z) − Qn (x)t(x) dµ(x) + Qn (z)s(z) − Pn−1 (z)t(z) ≡ 0 . z−x

Luego Z

1

f (z) − Rn (z) = −1

Qn (x)t(x) dµ(x) = Qn (z)t(z) z − x

Z

1

−1

h(x)Qn (x)t(x) dµ(x) , h(z)Qn (z)t(z) z − x

donde h es un polinomio arbitrario de grado menor o igual que n − d. ´ n. Es f´acil verificar que las condiciones a. y b. establecen Demostracio un sistema lineal homog´eneo de 2n ecuaciones en las 2n + 1 inc´ognitas formadas por los coeficientes de los polinomios Qn y Pn−1 . Luego, siempre hay soluci´ on no trivial. Para una soluci´on no trivial obviamente Qn 6≡ 0 pues de serlo por b. tambi´en Pn−1 ser´a id´enticamente cero. Podemos suponer que Qn es m´onico. Basta verificar que se satisfacen las condiciones de interpolaci´on. De b. se tiene que Z 1 Qn (x)t(x)dµ(x) Qn (z)t(z)b µ(z) + Qn (z)s(z) − Pn−1 (z)t(z) = . (4.2) z−x −1 O sea Z

1

Qn (z)f (z) − Pn−1 (z) = −1

Qn (x)t(x) dµ(x) . t(z) z−x

Por otro lado, si gr (h) ≤ n − d, entonces Z 1 h(z) − h(x) 0= Qn (x)t(x)dµ(x) , z−x −1 de donde Z

1

h(z) −1

Qn (x)t(x)dµ(x) = z−x

Z

1

−1

h(x)Qn (x)t(x)dµ(x) . z−x

(4.3)

De (4.2) y (4.3) se obtiene que   Z 1 h(x)Qn (x)t(x) dµ(x) 1 Qn (z)f (z) − Pn−1 (z) = =O , z n+1 −1 h(z)Qn (z)t(z) z − x (basta tomar h(z) = z n−d en la integral). Esto implica que Qn y Pn−1 coinciden con los polinomios que satisfacen la definici´on del aproximante de Pad´e Rn . 

´ A LOS APROXIMANTES DE PADE ´ 4.2. APLICACION

79

Ahora probaremos el siguiente resultado que se debe a A. A. Gonchar en [13]. La demostraci´ on que presentamos ha sido modificada seg´ un el esquema aplicado en [23] donde se prueba un teorema an´alogo para cuando la medida est´ a soportada en un conjunto no acotado. Teorema 4.2 Sea µ ∈ M0 [−1, 1] entonces para todo subconjunto compacto K, contenido en C \ ([−1, 1] ∪ {z : r(z) = ∞}), se tiene que: p a. kf − Rn kK 1/n −→ sup |z − z 2 − 1| . n→∞

z∈K

b. Para todo n lo suficientemente grande gr(Qn ) = n, cada polo de r “atrae” tantos ceros de Qn como el orden de su multiplicidad y el resto de los ceros de Qn se concentran en el intervalo [−1, 1].

´ n. Del lema 4.2–a. tenemos que Demostracio Qn (z)t(z) = λ∗n,0 Ln+d (z) + λ∗n,1 Ln+d−1 (z) + . . . + λ∗n,2d Ln−d (z) , donde Ln (z) = z n + . . . es el n–´esimo polinomio ortogonal m´onico con respecto a µ. Denotemos λn =

1 2d X

.

|λ∗n,i |

i=0

Se tiene que λn < ∞ pues Qn 6≡ 0. Denotemos λn,k = λ∗n,k λn . Tenemos que Ψn (z) =

Hn+d (z) λn (Qn t)(z) Ln+d−1 (z) = = λn,0 + λn,1 + ... Ln+d (z) Ln+d (z) Ln+d (z) . . . + λn,2d

Ln−d (z) . Ln+d (z)

Como µ ∈ M0 [−1, 1] entonces Ln+d−k (z) Ln+d (z)

⇒

n→∞

 k 2 = ψk , ϕ

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

80

√ donde ϕ(z) = z + z 2 − 1 es la representaci´on conforme de C \ [−1, 1] en {w : |w| > 1} tal que ϕ(∞) = ∞ y ϕ0 (∞) > 0. Luego, la familia {Ψn }, n ∈ N, est´ a uniformemente acotada sobre cada compacto contenido en C \ [−1, 1]. Toda subsucesi´on convergente de {Ψn } converge a una funci´ on que es un polinomio en ψ de grado a lo sumo 2d. Dado que ψ es inyectiva en C \ [−1, 1] dicho polinomio tiene a lo sumo 2d ceros en dicha regi´ on, de aqu´ı se concluye que en cada compacto K ⊂ C \ [−1, 1] para todo n lo suficientemente grande el n´ umero de ceros de Qn en K es a lo sumo d. Sea K ⊂ C \ [−1, 1] un compacto y Kδ una δ vecindad compacta de 0 K enteramente contenida en C \ [−1, 1]. Denotemos gn (z) = z d + . . . el polinomio cuyos ceros son los ceros de Hn+d contenidos en Kδ (d0 ≤ 2d). Tenemos que Z

(Qn t)(x) dµ(x) (Qn t)(z) z − x Z Hn+d (x) dµ(x) = gn (z) Hn+d (z) z − x

gn (z)(f − Rn )(z) = gn (z)

2d

Ln+d (z) X Ln+d−i (z) = gn (z) In,i (z) , λn,i Hn+d (z) Ln+d (z) i=0

donde Z In,i (z) =

Ln+d−i (x) dµ(x) . Ln+d−i (z) z − x

Ahora bien, In,i (z) = (b µ − Rn+d−i )(z)

⇒

0;

K ⊂ C \ [−1, 1]

n→∞

y 

Ln+d (z) gn (z) Hn+d (z)

 n ∈ N,

,

est´ a uniformemente acotada en Kδ . Luego gn (z)(f − Rn )(z)

⇒

n→∞

Tenemos que para todo  > 0

0,

z ∈K.

´ A LOS APROXIMANTES DE PADE ´ 4.2. APLICACION

81

Cap {z ∈ K : |(f − Rn )(z)| ≥ } =   |gn (z)||(f − Rn )(z)| = Cap z ∈ K : ≥ |gn (z)| 

1

gn (f − Rn ) d0

−→ 0. ≤

n→∞  K Luego, hemos probado que la sucesi´on {Rn } , n ≥ 0 , converge a f en capacidad sobre cada subconjunto compacto K de C \ [−1, 1]. Para concluir la demostraci´ on hacemos uso del siguiente resultado de A.A. Gonchar muy u ´til en el estudio de la aproximaci´on de funciones anal´ıticas mediante fracciones racionales. La demostraci´on pueden verla en [14]. Lema 4.3 ([14, A.A. Gonchar]) Sea {Ωn } una sucesi´ on de funciones meromorfas en una regi´ on D, tales que Ωn converge en capacidad sobre cada compacto K ⊂ D. a. Si para cada n, Ωn es anal´ıtica en D, entonces l´ım Ωn (z) = n→∞

Ω(z) ∈ H(D) y la convergencia es uniforme sobre cada compacto K ⊂ D. b. Si para cada n, Ωn es meromorfa en D con no m´ as de k polos entonces Ω es meromorfa en D con no m´ as de k polos. c. Si para cada n, Ωn es meromorfa en D con no m´ as de k polos y Ω tiene exactamente k polos en D, entonces para todo n lo suficientemente grande Ωn tiene exactamente k polos, cada polo de Ω en D atrae tantos polos de Ωn como el orden de su multiplicidad y en D0 = D \ {polos de Ω} se tiene que Ωn

⇒

Ω,

K ⊂ D0 .

n→∞

Por lo tanto, queda demostrado que Rn

⇒

f,

K ⊂ C \ ([−1, 1] ∪ {polos de f})

n→∞

y parte de la afirmaci´ on b. del teorema.

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

82

De b. falta verificar que gr (Qn ) = n para todo n lo suficientemente grande. De la informaci´on obtenida sobre el comportamiento de los polos de Rn concluimos que toda subsucesi´on convergente {Ψn }, n ∈ Λ ⊂ N, tiene la expresi´ on 2d X

λi ψ i (z) = C

i=0

d Y

(ψ(z) − ψ(bi ))2 ,

|C| ∈ (0, +∞) ,

i=1

donde b1 , . . . , bd son los polos de f en C[−1, 1]. En particular, Ψn (∞) = λn,0 = λn λ∗n,0

−→ n→∞

C

d Y

!2 ψ(bi )

6= 0 .

(4.4)

i=1

Como el coeficiente de mayor grado de Qn es 1, obviamente λ∗n,0 puede tomar solo dos valores: 0 (si gr (Qn ) < n) o 1(si gr (Qn ) = n). Pero como la familia {Ψn } es compacta, de (4.4) se tiene que para todo n lo suficientemente grande λ∗n,0 = 1; o sea, gr (Qn ) = n. Adem´as, l´ım inf λn > 0 . n

 Qn t , n ∈ N, tambi´en es normal. Luego, la familia Ln+d Ahora, aplicando los mismos razonamientos anteriores obtenemos que 

2d

X (Qn t)(z) Ln+d−i (z) =1+ λ∗n,0 Ln+d (z) Ln+d (z) i=1

⇒

n→∞

 d  Y ψ(z) 2 , 1− ψ(bi ) i=1

K ⊂ C \ [−1, 1] . O sea Qn (z) Ln (z)

⇒

n→∞

(2ϕ(z))−d

d Y (ϕ(z) − ϕ(bi ))2 i=1

z − bi

,

K ⊂ C \ [−1, 1] .

Para probar que el l´ımite en el lema (4.3)-a. existe y que es igual al valor dado, obs´ervese que es v´alida la siguiente representaci´on para el resto.

´ A LOS APROXIMANTES DE PADE ´ 4.2. APLICACION

83

(f − Rn )(z) = Z (Qn t)(x) dµ(x) = (Qn t)(z) z − x 2d

=

X 1 Ln+d (z) Ln+d (z) gn+d−i (z) λ∗n,i Ln+d−i (z) 2 (Qn t)(z) Ln+d (z) Ln+d−i (z) γn+d−i i=0

=

Ln+d (z) 1 2 (Qn t)(z) ln+d (z)

2d X

λ∗n,i

i=0

γ2 Ln+d (z) ln+d−i (z)gn+d−i (z) 2n+d . Ln+d−i (z) γn+d−i

Ahora bien 2d 2 Ln+d (z) X ∗ Ln+d (z) γn+d λn,i ln+d−i (z)gn+d−i (z) 2 (Qn t)(z) Ln+d−i (z) γn+d−i i=0

⇒

ϑ(z) ,

n→∞

(4.5) donde

d Y

ϑ(z) =

(1 − ϕ(bi )ϕ(z))2

i=1

2 d  p Y ψ(z) z2 − 1 1− ψ(bi ) i=1

y la convergencia es uniformemente sobre compactos K ⊂ C \ [−1, 1]. Por otro lado, sobre cada compacto K ⊂ C \ [−1, 1]

1

l´ım n→∞ ln+d

1/n

= kz −

p z 2 − 1kK .

(4.6)

K

De (4.5) y (4.6) se obtiene la afirmaci´on a. del lema 4.3.



84

´ CAP´ITULO 4. ASINTOTICA EN EL EJE REAL.

Cap´ıtulo 5

Teor´ıa de Szeg˝ o El matem´ atico h´ ungaro Gabor Szeg˝o [1895–1985], desarroll´o una amplia labor creativa en la teor´ıa de polinomios ortogonales. Su obra cient´ıfica consta de alrededor de 130 art´ıculos de investigaci´on y varios libros de gran influencia, especialmente [37]. Bas´ andose en que G = C \ [−1, 1] es simplemente conexo y en virtud del conocido teorema de Riemann (recintos simplemente conexos son conformemente equivalentes) existe una transformaci´on conforme de G en el exterior del c´ırculo unidad, Szeg˝o sistematiz´o un m´etodo para el estudio del comportamiento asint´otico fuerte de sucesiones de polinomios ortogonales sobre [−1, 1] que a grandes rasgos consiste en lo siguiente: Se introducen los polinomios ortogonales en el c´ırculo unidad y se estudia su comportamiento asint´otico fuerte haciendo uso de la teor´ıa de funciones arm´ onicas en el c´ırculo unidad. Utilizando la relaci´ on directa entre polinomios ortogonales en el c´ırculo y polinomios ortogonales en [−1, 1] se transfieren los resultados obtenidos en el c´ırculo al intervalo [−1, 1]. La ampliaci´ on del m´etodo para dominios no simplemente conexos tiene dificultades suplementarias. Las dos primeras secciones de este cap´ıtulo corresponden a la teor´ıa est´andar de Szeg˝ o, donde estudiamos el comportamiento asint´otico relativo de una sucesi´ on de polinomios ortogonales respecto a una medida σ sobre el c´ırculo unidad Γ, con relaci´on a una sucesi´on de polinomios ortogonales respecto a la medida de Lebesgue en Γ. 85

˝ CAP´ITULO 5. TEOR´IA DE SZEGO

86

A partir de la secci´on 5.3 estudiaremos la extensi´on de la anterior teor´ıa para determinar el comportamiento asint´otico relativo de dos sucesiones de polinomios ortogonales asociados a las medidas σ1 y σ2 respectivamente, bajo ciertas restricciones.

5.1.

Asint´ otica fuerte en el c´ırculo unidad.

Sean D = {z : |z| < 1}, Γ la circunferencia unidad y Z |f (rz)|p |dz| . Mr,p (f ) = Γ

´ n 5.1 Decimos que una funci´ Definicio on f holomorfa en D,f ∈ H(D), est´ a en el espacio de Hardy Hp (D), si l´ım sup Mr,p (f ) < +∞,

0 < r < 1,

r→1

Para m´ as detalles sobre las propiedades que usaremos de las funciones en Hp (D) ver [30]. Supongamos que h es una funci´on tal que log h ∈ L1 [Γ], entonces se define la funci´ on de Szeg˝ o Sh (z) mediante la f´ormula  Z  1 ξ+z Sh (z) = exp log h(ξ) |dξ| (5.1) 4π ξ−z y la funci´ on interior de Szeg˝ o Sh∗ (z) como Sh∗ (z)

1 = Sh ( ) = exp z



−1 4π

Z

ξ+z log h(ξ) |dξ| ξ−z



= Sh−1 (z) .

(5.2)

Nuestro objetivo es obtener una f´ormula que compare asint´oticamente el comportamiento de los polinomios ϕn ortonormales con respecto a una medida σ ∈ M(Γ) con la sucesi´on de polinomios z n ortonormales con respecto a la medida |dξ|. 1 } , n ∈ N, est´ a uniformeϕ∗n mente acotada sobre cada subconjunto compacto de D. Lema 5.1 Sea σ ∈ M(Γ). La sucesi´ on {

´ 5.1. ASINTOTICA FUERTE EN EL C´IRCULO UNIDAD.

87

´ n. De acuerdo con la f´ormula integral de Cauchy y la Demostracio desigualdad de Cauchy-Schwartz tenemos que Z Z 1 1 dξ 1 1 |dξ| = 1 ≤ ϕ∗ (z) ∗ ∗ 2π Γ ϕn (ξ) ξ − z 2π Γ |ϕn (ξ)| |ξ − z| n s Z s Z |dξ| 1 1 1 1 dσ(ξ) , ≤ = ∗ 2 dz 2π Γ |ϕn (ξ)| dz 2π Γ donde dz = ´ınf |z − w|.



w∈Γ

Denotemos S(Γ) = {σ ∈ M(Γ) : log σ 0 ∈ L1 [Γ]}. Teorema 5.1 (Szeg˝ o) Sea σ ∈ S(Γ), entonces ϕ∗n (z)

⇒

n→∞

Sσ−1 0 (z) ,

(5.3)

uniformemente sobre cada subconjunto compacto K ⊂ D. ´ n. Recordemos que ϕ∗n no tiene ceros en D. Es f´acil veDemostracio rificar que Sσ0 (z) tampoco se anula en D. Luego, (5.3) es equivalente a probar que 1 ⇒ Sσ0 (z), K ⊂ D . (5.4) ∗ ϕn (z) n→∞   1 , n ∈ N, es normal, para probar Por otro lado, como la familia ϕ∗n (z) (5.4) es suficiente demostrar que para toda sucesi´on Λ ⊂ N tal que 1 ϕ∗n (z)

⇒

K ⊂ D,

SΛ (z),

n∈Λ

se tiene que SΛ (z) = Sσ0 (z) . Sea Λ una tal sucesi´ on de ´ındices. Para empezar probemos que SΛ ∈ H2 (D) y SΛ 6≡ 0 en D. Para probar lo segundo basta verificar que en alg´ un punto SΛ 6= 0 pues las funciones ϕ1∗ nunca se anulan en el interior n

˝ CAP´ITULO 5. TEOR´IA DE SZEGO

88

del disco (por lo tanto, por el teorema de Hurwitz la funci´on l´ımite uniforme es o bien id´enticamente nula o no se anula nunca). Sea 0 < r < 1, tenemos que Z Z Z 1 |dξ| 2 |SΛ (rξ)| |dξ| = l´ım |dξ| ≤ l´ım = kσk . ∗ (rξ)|2 ∗ (ξ)|2 n∈Λ n∈Λ |ϕ |ϕ |ξ|=1 Γ |ξ|=1 n n Luego SΛ ∈ H2 (D). Aplicando la desigualdad de Jensen obtenemos 

1 ∗ ϕn (0)

1 2π

2

1 1 = 2 = αn 2π

Z

|Φn (ξ)|2 dσ(ξ) ≥

Γ

Z

|Φ∗n (ξ)|2 σ 0 (ξ)|dξ|  Γ Z
1 ∗ 2 0 log |Φn (ξ)| σ (ξ) |dξ| ≥ exp 2π  ZΓ  Z 1 1 ∗ 2 0 = exp log |Φn (ξ)| |dξ| + log σ (ξ)|dξ| 2π Γ 2π Γ  Z  1 0 = exp log σ (ξ)|dξ| . 2π Γ ≥

Por lo tanto 1 SΛ (0) = l´ım ∗ ≥ exp n∈Λ ϕn (0)



1 4π

Z

 log σ (ξ)|dξ| = Sσ0 (0) > 0 . 0

(5.5)

Γ

Ahora bien las funciones SΛ (z) y Sσ0 (z) son anal´ıticas y distintas de cero en D. Luego log SΛ (z) y log Sσ0 (z) tambi´en son anal´ıticas en dicha regi´ on. Sus partes reales son iguales a log |SΛ (z)| y log |Sσ0 (z)| respectivamente. Si log |SΛ (z)| = log |Sσ0 (z)| ,

(5.6)

sus arm´ onicas conjugadas y por lo tanto las propias funciones log SΛ (z) y log Sσ0 (z) pueden diferenciarse a lo sumo en una constante. Por lo tanto, si se prueba (5.6) para demostrar que SΛ (z) = Sσ0 (z) bastar´ıa verificar que log SΛ (0) = log Sσ0 (0) .

´ 5.1. ASINTOTICA FUERTE EN EL C´IRCULO UNIDAD.

89

Como se tiene (5.5) es suficiente obtener la desigualdad log SΛ (0) ≤ log Sσ0 (0) .

(5.7)

En fin, para concluir la demostraci´on del teorema necesitamos verificar (5.6) y (5.7). Denotemos el n´ ucleo de Poisson por   1 − |z|2 ξ+z , |ξ| = 1 . P (z, ξ) = = < |ξ − z|2 ξ−z Aplicando nuevamente la desigualdad de Jensen tenemos  Z  1 1 1 2 |SΛ (z)| = l´ım ∗ = l´ım exp P (z, ξ) log ∗ |dξ| n∈Λ |ϕn (z)|2 n∈Λ 2π Γ |ϕn (ξ)|2  Z  1 |dξ| ≤ l´ım P (z, ξ) ∗ n∈Λ 2π Γ |ϕn (ξ)|2 Z 1 = P (z, ξ)dσ(ξ) . (5.8) 2π Γ Ahora bien, por el teorema de Fatou (ver [30]), tomando z = rξ0 , 0 < r < 1, |ξ0 | = 1, se tiene que Z 1 l´ım P (rξ0 , ξ)dσ(ξ) = σ 0 (ξ0 ) , casi dondequiera en Γ . r→1 2π Γ Como SΛ (z) ∈ H2 , tambi´en existe el siguiente l´ımite para casi todo ξ0 , |ξ0 | = 1, l´ım SΛ (rξ0 ) = SΛ (ξ0 ) . r→1

Luego, de la desigualdad (5.8) obtenemos que |SΛ (ξ0 )|2 ≤ σ 0 (ξ0 ) ,

casi dondequiera en

Γ.

Entonces Z 1 P (z, ξ) log |SΛ (ξ)|2 |dξ| 4π Γ Z 1 ≤ P (z, ξ) log σ 0 (ξ)|dξ| 4π Γ = < {log Sσ0 (z)} . (5.9)

< {log SΛ (z)} = log |SΛ (z)| =

˝ CAP´ITULO 5. TEOR´IA DE SZEGO

90

Esta desigualdad para z = 0 nos da (5.7). Por lo tanto, log |SΛ (0)| = log SΛ (0) = log Sσ0 (0) = log |Sσ0 (0)| . Como las funciones log |SΛ (z)| y log |Sσ0 (z)| son arm´onicas y en el punto interior z = 0 coinciden, de la desigualdad (5.9) concluimos que log |SΛ (z)| = log |Sσ0 (z)| . De modo que (5.6) tambi´en es cierto concluyendo as´ı la demostraci´on.  La siguiente consecuencia del teorema anterior es de gran utilidad. Corolario 5.1 Bajo las hip´ otesis del teorema anterior tenemos que ϕn (z) zn

⇒

Sσ0 (z),

K ⊂ [|z| > 1] .

n→∞

En particular αn

−→ n→∞

1 Sσ0 (∞) = exp{− 4π

Z

log σ 0 (z)|dz|} .

´ n. En efecto, Demostracio z n ϕ∗n ( z1 ) ϕn (z) 1 = = ϕ∗n ( ) n n z z z

⇒

n→∞

1 Sσ−1 0 ( ) = z

(

) Z 1 ξ + 1 z = exp − log σ 0 (ξ) |dξ| 4π ξ − z1 ( ) Z 1 1 + 1 ξ z = exp − log σ 0 (ξ) 1 1 |dξ| 4π ξ − z  Z  ξ+z 1 0 = exp |dξ| = Sσ0 (z) . log σ (ξ) 4π ξ−z 

´ 5.2. ASINTOTICA FUERTE EN EL EJE REAL.

5.2.

91

Asint´ otica fuerte en el eje real.

Definimos S[−1, 1] =

 µ ∈ M[−1, 1] :

Z

 log µ0 (x) √ dx > −∞ . 1 − x2

Es f´acil verificar que µ ∈ S[−1, 1] y σ ∈ S(Γ) son condiciones equivalentes donde σ es la medida imagen por µ en Γ introducida al inicio del cap´ıtulo 4. En efecto Z Z 2π 1 1 log σ 0 (z)|dz| = log(µ0 (cos θ)| sin θ|)dθ 2π Γ 2π 0 Z 1 π = log(µ0 (cos θ)| sin θ|)dθ π 0 Z Z 1 −1 dx 1 π 0 = − log µ (x) √ log | sin θ|dθ + π 1 1 − x2 π 0 Z 1 1 dx = log µ0 (x) √ − log 2 . π −1 1 − x2 Tenemos la siguiente versi´ on del corolario 5.1 en [−1, 1]. Teorema 5.2 (Szeg˝ o) Sea µ ∈ S[−1, 1], entonces l (x) √n (x + x2 − 1)n

⇒

n→∞

1 √ S(z), 2π

1 x= 2

  1 z+ , z

uniformemente en cada subconjunto compacto de C \ [−1, 1]. ´ n. Como vimos, de la hip´otesis se infiere que σ ∈ S(Γ). Demostracio Ahora bien, haciendo uso del lema 4.1 tenemos que ϕ∗ (z) 1 + 2n ln (x) ϕ2n (z) ϕ (z) p 2n = . 2n √ zn z 2π 1 + Φ2n (0) Por lo tanto, aplicando el corolario 5.1 obtenemos ln (x) ⇒ √1 Sσ0 (z), K ⊂ C \ [−1, 1] , z n n→∞ 2π √ como z = x + x2 − 1 queda as´ı probado el teorema.



˝ CAP´ITULO 5. TEOR´IA DE SZEGO

92

5.3.

Asint´ otica comparativa de sucesiones de polinomios ortogonales.

Sea σ1 ∈ M(Γ) , h ∈ L1 [σ1 ] , y σ2 = hdσ1 . Consideremos las sucesiones {ϕn (σ1 , z)} y {ϕn (σ2 , z)} , n ≥ 0 , ortonormales con respecto a σ1 y σ2 respectivamente. Queremos hallar ϕn (σ2 , z) ϕn (σ1 , z)

⇒

D(z),

[|z| > 1] ,

n→∞

bajo las condiciones m´as generales posibles respecto a h. Si σ2 , σ1 ∈ S(Γ) el problema evidentemente tiene soluci´on para todo h tal que log h ∈ L1 [Γ] tomando D(z) = Sh (z). Ahora bien para la existencia de Sh (z) no es necesario que log σ1 ∈ L1 [Γ]. Luego, el problema tiene inter´es cuando log σ1 6∈ L1 [Γ]. Definimos L∗∞ [σ] = {h ∈ L1 [σ] : existe un polinomio Q tal que |Q|h±1 ∈ L∞ [σ]} . Denotemos Kn (σ, z, ξ) =

n X

ϕk (σ, z)ϕk (σ, ξ)

k=0

y wn (σ, z) =

1 . Kn (σ, z, z)

Lema 5.2 Sea σ ∈ M0Γ y h ∈ L∗∞ [σ], entonces para todo f ∈ C(Γ) se tiene que 2 Z Z 2 ϕn (hdσ, ξ) f (ξ)|Q(ξ)| |dξ| −→ f (ξ)|Q(ξ)|2 h−1 (ξ)|dξ| n→∞ ϕn (dσ, ξ) y 2 Z Z 2 ϕn (dσ, ξ) f (ξ)|Q(ξ)| |dξ| −→ f (ξ)|Q(ξ)|2 h(ξ)|dξ| . n→∞ ϕn (hdσ, ξ) ´ n. Supongamos que gr (Q) = k, donde |Q|h±1 ∈ L∞ [σ] y Demostracio Tm (θ) es un polinomio trigonom´etrico de grado m. Obviamente |Q|2 Tm es un polinomio trigonom´etrico de grado ≤ m + k, entonces Z |Q(ξ)|2 Tm (θ)|ϕn−m−k (hdσ, ξ)|2 |dξ| = |ϕn (dσ, ξ)|2

´ 5.4. ASINTOTICA COMPARATIVA EN EL C´IRCULO Z

|Q(ξ)|2 Tm (θ)|ϕn−m−k (hdσ, ξ)|2 dσ(ξ)

Z

|Q(ξ)|2 Tm (θ)|ϕn−m−k (hdσ, ξ)|2 hdσ(ξ) h(ξ)

Z

|Q(ξ)|2 Tm (θ)h−1 (ξ)|dξ| .

= =

−→ n→∞

93

Pero bien Z Z 2 2 |Q(ξ)|2 Tm (θ) |ϕn−m−k (hdσ, ξ)| |dξ| − |Q|2 Tm (θ) |ϕn (hdσ, ξ)| |dξ| ≤ |ϕn (dσ, ξ)|2 |ϕn (dσ, ξ)|2 ϕn−m−k (hdσ, ξ) 2 ϕn (hdσ, ξ) ≤ |Q(ξ)| |Tm (θ)| 1 − ϕn−m−k (hdσ, ξ) |dξ| ϕn (dσ, ξ) ϕn (hdσ, ξ) · ≤ m´ ax |Tm (θ)| m´ ax 1 − ϕn−m−k (hdσ, ξ) θ∈[0,2π] |ξ|=1 2 Z 2 ϕn−m−k (hdσ, ξ) · |Q(ξ)| 0. |dξ| −→ n→∞ ϕn (dσ, ξ) Z

2

Por lo tanto Z ϕn (hdσ, ξ) 2 2 |dξ| |Q| Tm (θ) ϕn (dσ, ξ)

−→ n→∞

Z

|Q|2 h−1 Tm (θ)|dξ| .

Para tener la primera parte del lema basta observar que toda funci´on continua en Γ se puede aproximar uniformemente mediante polinomios trigonom´etricos. La otra relaci´ on se demuestra an´alogamente. 

5.4.

Asint´ otica comparativa de polinomios ortogonales en el c´ırculo

Teorema 5.3 Sea σ ∈ MΓ0 y h ∈ L∗∞ [σ] entonces a.

b.

c.

ϕn (hdσ, z) ϕn (dσ, z)

n→∞

Kn (hdσ, z, ξ) Kn (dσ, z, ξ)

n→∞

wn (hdσ, z) wn (dσ, z)

n→∞

⇒

Sh (z)

⇒

Sh (z)Sh (ξ) K ⊂ [|z| > 1] × [|ξ| > 1] .

⇒

|Sh (z)|−2

K ⊂ [|z| > 1] .

K ⊂ [|z| > 1] .

˝ CAP´ITULO 5. TEOR´IA DE SZEGO

94

donde en todos los casos la convergencia es uniforme sobre cada subconjunto compacto K contenido en el conjunto que se indica. ´ n. Para simplificar la notaci´on tomemos ϕn (z) = ϕn (dσ, z) Demostracio y ψn (z) = ϕn (hdσ, z). Podemos suponer que el polinomio Q tal que |Q|h±1 ∈ L1 [σ] no tiene ceros en [|z| < 1]. Luego (Qψn∗ )(z) ∈ H([|z| ≤ 1]) y ϕ∗n (z)

(Qψn∗ )(z) 6= 0; ϕ∗n

|z| < 1 .

De acuerdo con la f´ ormula de Poisson tenemos que Z Qψn (ξ) 2 (Qψn∗ )(z) 2 1 P (z, ξ)|dξ| . = log log ϕ∗n (z) 2π Γ ϕn (ξ) Usando la desigualdad de Jensen encontramos que Z Qψn (ξ) 2 (Qψn∗ )(z) 2 1 ≤ P (z, ξ)|dξ| . ϕ∗n 2π Γ ϕn (ξ) Por lo tanto, aplicando la primera relaci´on del lema anterior llegamos a Z (Qψn∗ )(z) 2 1 l´ım sup |Q|2 h−1 P (z, ξ)|dξ| . (5.10) ≤ ϕ∗n (z) 2π Γ n  ∗ ψn En particular, de aqu´ı se tiene que la familia es normal. ϕn Consideremos una subsucesi´on de ´ındices Λ ⊂ N arbitraria tal que ψn∗ (z) ϕ∗n (z)

⇒

SΛ (z) ,

|z| < 1 .

n∈Λ

Debemos probar que SΛ (z) ≡ Sh−1 (z). Ante todo verificaremos que QSΛ (z) ∈ H2 (D). Si 0 < r < 1 tenemos 2 Z Z Qψn∗ 1 1 2 (rξ) |dξ| |QSΛ (rξ)| |dξ| = l´ım ∗ n∈Λ 2π 2π Γ ϕn Z Qψn∗ 2 1 ≤ l´ım ϕ∗ (ξ) |dξ| n∈Λ 2π n Z 1 |Q(ξ)|2 = |dξ| . 2π h(ξ)

´ 5.4. ASINTOTICA COMPARATIVA EN EL C´IRCULO

95

Luego, en efecto QSΛ ∈ H2 ([|z| < 1]). Ahora bien por (5.10) si |ξ0 | = 1 y 0 < r < 1 Z 1 2 |QSΛ (rξ0 | ≤ |Q(ξ)|2 h−1 (ξ)P (rξ0 , ξ)|dξ| . 2π Usando el Teorema de Fatou y el hecho que QSΛ ∈ H2 obtenemos, tomando el l´ımite seg´ un r tiende a 1, que |(QSΛ )(ξ0 )|2 ≤ |Q(ξ0 )|2 h−1 (ξ0 )

casi dondequiera en

Γ.

O sea, |SΛ (ξ0 )|2 ≤ h−1 (ξ0 )

casi dondequiera en

Γ.

(5.11)

Usando la otra relaci´ on del lema, mediante razonamientos an´alogos a los anteriores llegamos a |SΛ−1 (ξ0 )|2 ≤ h(ξ0 )

casi dondequiera en

Γ.

(5.12)

Γ.

(5.13)

En fin, (5.11) y (5.12) implican que |SΛ (ξ)|2 = h−1 (ξ)

casi dondequiera en

Como log(h) ∈ L1 y log |SΛ (ξ)| es arm´onica en [|z| < 1] se tiene Z 1 < {log SΛ (z)} = log |SΛ (z)| = P (z, ξ) log |SΛ (ξ)||dξ| 2π Γ Z 1 = P (z, ξ) log h−1 (ξ)|dξ| 4π Γ  = log |Sh−1 (z)| = < log Sh−1 (z) . αn (hdσ) > 0 y Sh−1 (0) > 0, las partes imaginarias n∈Λ αn (dσ) de log SΛ y log Sh−1 tambi´en coinciden. Por lo tanto, SΛ (z) ≡ Sh−1 (z) . Como SΛ (0) = l´ım

De manera que

ψn∗ ϕ∗n

⇒

n→∞

Sh−1 ,

[|z| < 1] ,

lo cual es equivalente a la primera relaci´on que dese´abamos probar.

˝ CAP´ITULO 5. TEOR´IA DE SZEGO

96

Para demostrar la segunda relaci´on del teorema usamos la f´ormula de Christoffel-Darboux Kn (σ, z, ξ) =

ϕ∗n+1 (σ, z)ϕ∗n+1 (σ, ξ) − ϕn+1 (σ, z)ϕn+1 (σ, ξ) 1 − zξ

.

De modo que Kn (hdσ, z, ξ) Kn (dσ, z, ξ)

=

⇒

∗ ∗ (ξ) ψn+1 (z) ψn+1 −1 ψn+1 (z)ψn+1 (ξ) ψn+1 (z) ψn+1 (ξ)

ϕn+1 (z)ϕn+1 (ξ) ϕ∗n+1 (z) ϕ∗n+1 (ξ) −1 ϕn+1 (z) ϕn+1 (ξ) Sh (z)Sh (ξ) ,

n→∞

La tercera relaci´ on es inmediata a partir de la segunda haciendo ξ = z. 

5.5.

Asint´ otica comparativa de polinomios ortogonales en un segmento del eje real.

Teorema 5.4 Supong´ amos que µ ∈ M0 ([−1, 1]) y h ∈ L∗∞ [σ] donde σ es la medida imagen de µ sobre la circunferencia unidad. Entonces   ln (gdµ, x) 1 1 ⇒ Sh(z); K ⊂ C \ [−1, 1], x = 2 z + z , ln (dµ, x) n→∞ donde h(z) = g(x). ´ n. Tenemos que Demostracio ϕ∗2n (hdσ, z) p ϕ2n (hdσ, z) ln (gdµ, x) 1 + Φ2n (dσ, 0) ϕ2n (hdσ, z) p = ∗ ϕ (dσ, z) ln (dµ, x) ϕ2n (dσ, z) 1 + Φ2n (hdσ, 0) 1 + 2n ϕ2n (dσ, z) 1+

Como σ 0 > 0 casi dondequiera y h ∈ L∗∞ [σ], aplicando el teorema anterior obtenemos que   ln (gdµ, x) 1 1 ⇒ Sh(z); K ⊂ C \ [−1, 1], x = 2 z + z . ln (dµ, x) n→∞ 

Cap´ıtulo 6

Asint´ otica logar´ıtmica 6.1.

Algunas nociones de Teor´ıa de Potencial

Nuestro objetivo en este cap´ıtulo es mostrar algunos resultados relativos a la asint´ otica logar´ıtmica o de la ra´ız en´esima de polinomios ortogonales. Desde el punto de vista moderno, este tipo de relaci´on asint´otica est´a estrechamente vinculado con la aplicaci´on de m´etodos de la teor´ıa de potencial al estudio de sistemas de polinomios que satisfacen relaciones extremales. La referencia b´asica aqu´ı es el libro de Stahl y Totik “General Orthogonal Polynomials” (ver [31]). Para empezar repasaremos los resultados esenciales que necesitamos de la Teor´ıa de Potencial, algunos de los cuales ya fueron introducidos en cap´ıtulo 2. Para que una propiedad extremal de un polinomio en un conjunto (por ejemplo, la de minimizar la norma uniforme o la de minimizar la norma en alg´ un espacio L2 ) tenga repercusi´on sobre los valores del polinomio en todo C es necesario que dicho conjunto sea lo suficientemente “grande”. Dado que los polinomios son funciones enteras una buena forma para medir el tama˜ no de un conjunto resulta ser su capacidad logar´ıtmica (que en lo sucesivo llamaremos simplemente capacidad). Hay muchas formas equivalentes de definir la capacidad: a trav´es del di´ametro transfinito, la constante de Chebyshev, la constante de Robin y la energ´ıa. Para abreviar nos centraremos en la idea de energ´ıa. La relaci´on entre estos conceptos pueden verla en [29] adem´as de un estudio detallado del potencial logar´ıtmico. Sea E un compacto del plano complejo C. Denotamos por M(E) 97

98

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

al espacio de todas las medidas finitas de Borel µ soportadas en E (supp(µ) ⊂ E). (Todas las propiedades que emplearemos de la teor´ıa de la medida e integraci´on pueden encontrarlas en [30].) Denotamos kµk = µ(E). Es f´ acil ver que Z Z 1 1 I(µ) = log dµ(z) dµ(ζ) ≥ kµk2 log , |z − ζ| d donde d = m´ ax{|z − ζ| : z, ζ ∈ E}. El valor I(µ) recibe el nombre de energ´ıa asociada a µ. De la desigualdad anterior, se tiene que I(E) = ´ınf I(µ) ≥ log kµk=1

1 > −∞ . d

´ n 6.1 Se llama capacidad del compacto E al valor Definicio Cap(E) = e−I(E) . Hay conjuntos de capacidad cero. Por ejemplo, si E est´a formado por una cantidad numerable de puntos, entonces toda medida unitaria (probabilidad) en E tiene al menos un punto con masa (de lo contrario por la propiedad σ-aditiva, se tendr´ıa que kµk = 0). Es f´acil ver que la energ´ıa de toda medida con al menos un punto de masa vale infinito; luego, todo conjunto numerable tiene capacidad cero. Hay conjuntos no numerables de puntos de capacidad cero, pero de la definici´on se deduce que la u ´nica medida soportada en un conjunto de capacidad cero con energ´ıa finita es la medida cero (en particular, la medida planar de Lebesgue restringida a un conjunto de capacidad cero tiene medida cero). ´ n 6.2 Dado µ ∈ M(E), se llama potencial (logar´ıtmico) de Definicio µ a la funci´ on Z 1 p(µ; z) = log dµ(ζ) . |z − ζ| E El siguiente resultado se conoce como Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Potencial. Pueden ver su demostraci´on en [29]. Teorema 6.1 Sea E un compacto de C tal que Cap(E) > 0. Entonces, existe una u ´nica medida unitaria µ tal que I(µ) = I(E) .

6.1. ALGUNAS NOCIONES DE TEOR´IA DE POTENCIAL

99

Esta medida est´ a caracterizada por una cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes: a. Existe una constante w tal que  ≤w, z∈C, p(µ; z) = = w , z ∈ E \ e , Cap(e) = 0 . b. m´ın p(µ; z) = m´ ax m´ın p(µ; z) . z∈E

kµk=1 z∈E

La medida µ recibe el nombre de medida de equilibrio del compacto E y la constante w, constante de equilibrio. Como la medida de equilibrio tiene energ´ıa finita y C(e) = 0, entonces µ(e) = 0. Del teorema anterior y de la definici´ on de la capacidad se deduce que Z 1 log = I(E) = p(µ; z) dµ(z) = w . (6.1) Cap(E) E Dado un subconjunto compacto E del plano complejo C, denotamos ˆ a la uni´ E on de E y de todas las componentes conexas acotadas de ˆ denota la componente conexa no su complemento. Luego, Ω = C \ E acotada del complemento de E. ´ n 6.3 Se llama funci´ Definicio on de Green de Ω (o tambi´en de E) con singularidad en el infinito a la funci´ on gΩ (z; ∞) = w − p(µ; z) , donde w y µ son la constante y la medida de equilibrio respectivamente. De la propia definici´ on (tenga presente que µ es unitaria) resulta que l´ım gΩ (z; ∞) − log |z| = w = log

z→∞

1 . Cap(E)

La funci´ on de Green de Ω es la u ´nica funci´on con las siguientes propiedades: gΩ (z; ∞) es arm´ onica en Ω; gΩ (z; ∞) − log |z| es arm´ onica en una vecindad de z = ∞;

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

100

gΩ (z; ∞) sobre la frontera de Ω vale cero salvo en un conjunto de capacidad cero. De la definici´ on, es f´acil verificar que la funci´on de Green cumple dichas propiedades. La unicidad es consecuencia inmediata del siguiente principio generalizado del m´aximo (ver [12] o [29]. Teorema 6.2 Sea G una regi´ on (conjunto abierto y conexo) de C y u una funci´ on subarm´ onica y acotada superiormente definida en G, tal que l´ım sup u(z) ≤ m z→ζ

para todo ζ en la frontera de G salvo en un conjunto de capacidad cero. Entonces u(z) ≤ m para todo z ∈ G. Para aplicar esta versi´on del principio del m´aximo es importante saber apriori que la funci´on subarm´onica est´a acotada superiormente, aunque inicialmente no sepamos el valor de dicha cota. Hallar la funci´ on de Green de una regi´on Ω equivale a resolver el siguiente problema generalizado de Dirichlet. Dada una funci´on u definida en la frontera de Ω y continua salvo en un conjunto de capacidad cero, hallar una funci´ on arm´onica en Ω que admita extensi´on continua hasta la frontera y que coincida con u salvo en un conjunto de capacidad cero. Se dice que la regi´ on es regular para el problema de Dirichlet si la extensi´on continua a la frontera coincide con u en todo punto. La construcci´on de la funci´ on de Green a trav´es de la soluci´on del problema de Dirichlet la pueden encontrar en [12].

6.2.

Polinomios extremales con la norma uniforme

Sea E un subconjunto compacto del plano complejo y f una funci´on continua definida en E. Denotamos kf kE = m´ax |f (z)| . z∈E

6.2. POLINOMIOS EXTREMALES CON LA NORMA UNIFORME101 Como antes, Ω denota la componente conexa no acotada del complemento de E. El siguiente resultado es conocido como Lema de Bernstein–Walsh. Su importancia radica en que nos permite controlar el crecimiento de un polinomio en el plano complejo si conocemos su norma uniforme sobre un compacto de capacidad mayor que cero. Lema 6.1 Sea E un compacto tal que Cap(E) > 0 y Pn un polinomio m´ onico de grado n. Entonces 1/n

kPn kE

≥ Cap(E)

(6.2)

≤ exp gΩ (z; ∞) ,

(6.3)

y 

|Pn (z)| kPn kE

1/n

para todo z ∈ Ω. ´ n. Consideremos la funci´on Demostracio vn (z) =

|Pn (z)| 1 log − gΩ (z; ∞) . n kPn kE

Como el logaritmo del m´ odulo de una funci´on anal´ıtica es una funci´on subarm´ onica, de las propiedades de la funci´on de Green se tiene que vn (z) es subarm´ onica en Ω y arm´onica en una vecindad del infinito (el primer sumando en la definici´ on de vn tiene en el infinito igual singularidad que la funci´ on de Green, o sea log |z|). Adem´as, vn est´a acotada superiormente en Ω ∪ {∞} y l´ım sup vn (z) ≤ 0 z→z0

para todo z0 en la frontera de Ω salvo a lo sumo en un conjunto de capacidad cero. Por el principio generalizado del m´aximo se tiene que vn (z) ≤ 0 , z ∈ Ω ,

(6.4)

lo cual implica (6.3). Por otro lado, haciendo z → ∞ en (6.4) se deduce que 1 1 −w ≤0. (6.5) vn (∞) = log n kPn kE

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

102

Esta relaci´ on equivale a (6.2) teniendo en cuenta (6.1).



Veamos ahora la relaci´on entre la asint´otica de la ra´ız en´esima de los polinomios y su norma uniforme. Teorema 6.3 Sea E un compacto tal que Cap(E) > 0 y {Pn } una sucesi´ on de polinomios m´ onicos (gr(Pn ) = n) cuyos ceros est´ an en un compacto F . Las dos relaciones siguientes son equivalentes: 1/n

l´ım sup kPn kE

≤ Cap(E)

(6.6)

n→∞

y  l´ım

n→∞

|Pn (z)| kPn kE

1/n = exp gΩ (z; ∞) ,

(6.7)

donde en (6.7) el l´ımite es uniforme sobre cada subconjunto compacto de Ω \ F . ´ n. Observemos primero que la desigualdad (6.2) implica Demostracio que 1/n l´ım inf kPn kE ≥ Cap(E) . n→∞

Luego, (6.6) equivale a 1/n

l´ım kPn kE

n→∞

= Cap(E) .

Ahora bien, en (Ω ∪ {∞}) \ F , las funciones vn son arm´onicas y est´an acotadas superior e inferiormente. Luego, la familia {vn } es normal (o sea, de toda sucesi´ on de elementos de dicha familia se puede extraer una subsucesi´ on que converge uniformemente en cada subconjunto compacto de (Ω ∪ {∞}) \ F ). Sea {vn }n∈Λ , Λ ⊂ N, una subsucesi´on convergente. Como vn (z) ≤ 0 , z ∈ Ω ∪ {∞} , entonces v(z) = l´ım vn (z) ≤ 0 , z ∈ (Ω ∪ {∞}) \ F . n∈Λ

Por otro lado, de (6.5) y (6.6), se tiene vΛ (∞) = l´ım vn (∞) = 0 . n∈Λ

6.2. POLINOMIOS EXTREMALES CON LA NORMA UNIFORME103 Luego, por el principio del m´ aximo aplicado a la funci´on arm´onica vΛ , obtenemos que vΛ (z) ≡ 0, z ∈ (Ω∪{∞})\F. Como toda subsucesi´on convergente de la familia normal {vn } converge a la funci´on id´enticamente cero, la sucesi´ on completa converge a cero. Esto equivale a (6.7). Probemos que (6.7) implica (6.6). Seg´ un hemos visto, (6.7) es equivalente a que l´ım vn (z) = 0 n→∞

uniformemente sobre cada subconjunto compacto de (Ω ∪ {∞}) \ F . En particular, l´ımn→∞ vn (∞) = 0. Como vn (∞) =

1 1 log −w , n kPn kE

de inmediato se sigue (6.6).



La sucesi´ on de polinomios m´ as apropiada para que (6.6) tenga lugar es aquella que minimiza la norma uniforme en E. ´ n 6.4 Sea E un compacto del plano complejo (no necesariaDefinicio mente de capacidad mayor que cero). Se llama polinomio m´onico de Chebyshev de grado n asociado a E al polinomio Tn (z) = z n + · · · que verifica kTn kE = ´ınf {kP kE : P (z) = z n + · · ·} . P

Se llama polinomio m´ onico de Chebyshev de grado n con ceros en E asociado a E a un polinomio cualquiera Tn∗ (z) = z n + · · · con ceros en E que cumpla kTn∗ kE = ´ınf {kP k : P (z) = z n + · · ·} , P

donde el ´ınfimo, en esta ocasi´ on, se toma solamente sobre todos los polinomios m´ onicos cuyos ceros se encuentran exclusivamente en el conjunto E. La existencia para cada n del polinomio de Chebyshev (o del de Chebyshev con ceros en E) no es dif´ıcil de probar usando que el espacio de los polinomios de grado menor o igual a n tiene dimensi´on finita y por lo tanto en ´el todas las normas son equivalentes. Tambi´en es cierto

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

104

(pero no tan f´ acil de probar) que el polinomio m´onico de Chebyshev es u ´nico (no as´ı si pedimos que sus ceros est´en en E). La demostraci´ on del siguiente teorema la pueden encontrar en [12] y [29]. Teorema 6.4 Sea E un compacto arbitrario del plano complejo. Entonces 1/n 1/n l´ım kTn kE = l´ım kTn∗ kE = Cap(E) . n→∞

n→∞

Este teorema garantiza que, cualquiera sea el compacto E de capacidad mayor que cero, existen sucesiones de polinomios para las cuales (6.7) tiene lugar. ´ n 6.5 Sea P (z) = Definicio normalizada asociada a P a

Qn

i=1 (z

− zi ). Se llama medida contadora n

1X νP = δ zi , n i=1

donde δzi denota la medida de Dirac con masa unidad en el punto zi . Se tiene que n

1 1X 1 1 log = log = n |P (z)| n |z − zi | i=1

Z log

1 dνP (ζ) = p(νP ; z) . |z − ζ|

Denotemos νn = νPn . Tomando logaritmo en ambos miembros de (6.7), y usando la conexi´on entre la funci´on de Green y la medida de equilibrio, se tiene que (6.7) se puede escribir como l´ım p(νn ; z) = p(µ; z)

n→∞

uniformemente en cada subconjunto compacto de C \ (E ∪ F ). Si el complemento del compacto E es conexo y su interior es vac´ıo o (E = ∅) y F es un compacto con una cantidad infinita de puntos, se tiene que la familia de funciones   1 log , z ∈ C \ (E ∪ F ) |z − ζ|

´ 6.3. POLINOMIOS ORTOGONALES EN NORMA CUADRATICA.105 es total en el espacio de las funciones continuas en E (en la variable ζ) con la norma uniforme; o sea, con dicha norma las combinaciones lineales de tales funciones son densas en el espacio de las funciones continuas se˜ nalado. Como conclusi´ on se obtiene el siguiente resultado. Teorema 6.5 Bajo las hip´ otesis del Teorema 6.3, supongamos adicioo c nalmente que E = ∅ y E es conexo. Entonces (6.6) y (6.7) equivalen a que l´ım νn = µ , n→∞

donde la convergencia es en la topolog´ıa estrella d´ebil de medidas.

6.3.

Polinomios ortogonales en norma cuadr´ atica.

Sea µ una medida de Borel de soporte compacto, supp(µ) su soporte, y C0 (supp(µ)) la envoltura convexa del mismo. Denotemos por Qn el polinomio ortogonal m´ onico de grado n con respecto a µ. O sea Z z k Qn (z) dµ(z) = 0 , k = 0, . . . , n − 1 , con coeficiente conductor de Qn igual a 1. Adem´as, supondremos que supp(µ) contiene una cantidad infinita de puntos, de modo que Qn est´a definido un´ıvocamente, gr (Qn ) = n, y Z 2 kQn k2 = |Qn (z)|2 dµ(z) > 0 . Como es sabido, los ceros de los polinomios ortogonales se encuentran en C0 (supp(µ)). En este ep´ıgrafe el papel de E y F lo juegan supp(µ) y C0 (supp(µ)) respectivamente. Si supp(µ) ⊂ R entonces la ortogonalidad considerada coincide con la usual; adem´as, el interior de supp(µ) es el conjunto vac´ıo y el complemento es conexo. En todo lo que sigue supondremos que Cap(supp(µ)) > 0.

Lema 6.2

1/n

l´ım inf kQn ksupp(µ) ≥ Cap(supp(µ)) . n→∞

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

106

´ n. Esto es consecuencia inmediata de la desigualdad (6.2). Demostracio  Lema 6.3

1/n

l´ım sup kQn k2

≤ Cap(supp(µ)) .

n→∞

´ n. En efecto, si Tn denota el polinomio m´onico de ChebysDemostracio hev de grado n, por ser Qn el polinomio que minimiza la norma cuadr´atica entre todos los polinomios m´onicos de grado n tenemos que Z Z kQn k22 = |Qn (z)|2 dµ(z) ≤ |Tn (z)|2 dµ(z) ≤ kµkkTn k2supp (µ) . Luego, del teorema 6.4 se sigue la tesis. Lema 6.4 kQn k2 kQn ksupp(µ)

l´ım sup n→∞

 !1/n ≤1.

´ n. Es una consecuencia inmediata de los dos lemas anteDemostracio riores.  Teorema 6.6 Sea µ tal que l´ım inf n→∞

kQn k2 kQn ksupp(µ)

!1/n ≥1.

(6.8)

Entonces 1/n

l´ım kQn k2

n→∞

1/n

= l´ım kQn ksupp(µ) = Cap(supp(µ)) n→∞

(6.9)

y  l´ım

n→∞

|Qn (z)| kQn k2

1/n = l´ım

n→∞

|Qn (z)| kQn ksupp(µ)

!1/n = exp{gΩ (z; ∞)} ,

(6.10) donde Ω = C \ supp(µ) y la convergencia es uniforme sobre cada subconjunto compacto de C \ Co(supp(µ)).

´ 6.3. POLINOMIOS ORTOGONALES EN NORMA CUADRATICA.107 ´ n. La hip´ Demostracio otesis implica que para todo  > 0 existe n0 tal que para todo n ≥ n0 kQn k2 ≥ (1 − )n kQn ksupp (µ) . El lema 6.2 y esta desigualdad nos dan que 1/n

l´ım inf kQn k2

≥ (1 − )Cap(supp(µ)) .

n→∞

Haciendo tender  a cero concluimos que 1/n

l´ım inf kQn k2 n→∞

≥ Cap(supp(µ)) .

Esta desigualdad junto con el lema 6.3 nos dan una de las igualdades de (6.9). La otra igualdad en (6.9) se obtiene de forma totalmente an´aloga usando primero el lema 6.3 en la desigualdad de partida y luego el lema 6.2. De (6.9) y el teorema 6.3 se concluye directamente que la segunda igualdad en (6.10) tiene lugar. La primera igualdad se sigue de esta y del hecho que la hip´ otesis y el lema 4 nos dicen que l´ım

n→∞

kQn k2 kQn ksupp (µ)

!1/n =1.

 Se dice que µ ∈ Reg (para m´as detalles ver pag. 61 de [31]) si y s´olo si 1/n

l´ım kQn k2

n→∞

= Cap(supp(µ)) .

Queremos hacer notar que del teorema 6.6 se infiere que la condici´on (6.8) implica que µ ∈ Reg. En caso de que supp(µ) sea regular con respecto al problema de Dirichlet se tiene que (6.8) es equivalente a que µ ∈ Reg (ver teorema 3.2.3 en [31]). Para concluir, demos una condici´on suficiente en t´erminos de la medida que implica (6.8) y, por lo tanto, la asint´otica de la ra´ız en´esima. Antes de enunciar el resultado correspondiente necesitamos un u ´ltimo resultado auxiliar. En lo que sigue m(B) denota la medida de Lebesgue de un conjunto medible B.

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

108

Lema 6.5 Sea [a, b] un intervalo del eje real (que no se reduce a un punto) y sea e una uni´ on finita de intervalos abiertos con medida de Lebesgue m(e) < b − a. Entonces, cualquiera sea x ∈ [a, b] g[a,b]\e (x; ∞) ≤ g[a,b−m(e)] (b; ∞) . ´ n. Sea Tn el en´esimo polinomio de Chebyshev respecto Demostracio al conjunto ∆ = [a, b] \ e con ceros en ∆. Seg´ un los teoremas 6.3 y 6.4 tenemos que   |Tn (z)| 1/n l´ım = exp g∆ (z; ∞) . n→∞ kTn k∆ Denotemos mediante x1 , . . . , xn los n ceros de Tn y x∗k = a + m(∆ ∩ [a, xk ]), k = 1, . . . , n. Sea Tn∗ (z) =

n Y

(z − x∗k ) .

k=1

Es f´ acil verificar que |Tn∗ (b)| ≥ |Tn (b)| y kTn∗ k[a,b−m(e)] = |Tn∗ (τn∗ )| ≤ |Tn (τn )| ≤ kTn k∆ , donde x∗k ≤ τn∗ ≤ x∗k+1 , τn ∈ ∆, m([ak , τn ] ∩ ∆) = |τn∗ − x∗k |. De estas desigualdades y el Lema de Bernstein-Walsh obtenemos |Tn (b)| ≤ |Tn∗ (b)| ≤ kTn∗ k[a,b−m(e)] exp{ng[a,b−m(e)] (b; ∞)} ≤ kTn k∆ exp{ng[a,b−m(e)] (b; ∞)} . En consecuencia, 

|Tn (b)| kTn k∆

1/n ≤ exp g[a,b−m(e)] (b; ∞) .

Tomando l´ımite en n en la desigualdad anterior se obtiene que g∆ (b; ∞) ≤ g[a,b−m(e)] (b; ∞) .

(6.11)

Hemos probado la desigualdad indicada en este lema para el extremo b del intervalo. El caso general lo reduciremos al ya demostrado. Basta

´ 6.3. POLINOMIOS ORTOGONALES EN NORMA CUADRATICA.109 probar la desigualdad deseada para x ∈ ([a, b] \ ∆), ya que si x ∈ ∆ el miembro izquierdo de la desigualdad vale cero y por tanto la misma es evidente. Como ∆ es la uni´ on finita de intervalos cerrados, dicho conjunto es regular para la soluci´on del problema de Dirichlet y, por lo tanto, g∆ (z; ∞) es una funci´ on continua en todo C. Sea x0 ∈ ([a, b] \ ∆) tal que g∆ (x0 ; ∞) = sup g∆ (x; ∞) . [a,b]\∆

Denotemos ∆1 = [a, x0 ] , ∆2 = [x0 , b] , E1 = ∆ ∩ ∆1 , E2 = ∆ ∩ ∆2 . Como

m(E1 ) + m(E2 ) x0 − a b − x0 =1= + , m(∆) b−a b−a

es obvio que una de las dos desigualdades siguientes es v´alida x0 − a m(E1 ) b − x0 m(E2 ) ≤ ´o ≤ . b−a m(∆) b−a m(∆) Supongamos que la primera de estas desigualdades es correcta; luego, a + (x0 − a)m(∆)/m(E1 ) ≤ b .

(6.12)

Usando (6.11), (6.12), y la invarianza de la funci´on de Green ante transformaciones afines (ver [12]) obtenemos g∆ (x0 ; ∞) ≤ gE1 (x0 ; ∞) ≤ g[a,a+m(E1 )] (x0 ; ∞) = g[0,m(E1 )] (x0 − a; ∞) = g[0,m(∆)] ((x0 − a)m(∆)/m(E1 ); ∞) = g[a,a+m(∆)] (a + (x0 − a)m(∆)/m(E1 ); ∞) ≤ g[a,a+m(∆)] (b; ∞) . En el caso en que la segunda desigualdad se˜ nalada en el p´arrafo anterior es la que se cumple se procede de forma totalmente an´aloga pero trabajando con el conjunto E2 . Con esto concluimos la demostraci´on del lema. 

Teorema 6.7 Supongamos que supp(µ) ⊂ R es regular respecto al problema de Dirichlet, y µ0 > 0 casi dondequiera en supp(µ). Supongamos

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

110

adem´ as que existe una sucesi´ on creciente {En } de subconjuntos compactos de supp(µ) (En ⊂ En+1 ⊂ supp(µ)), cada uno de ellos formado por un n´ umero finito de intervalos cerrados y acotados, tal que l´ımn→∞ Cap(En ) = Cap(supp(µ)). Entonces (6.9)-(6.10) tienen lugar.

´ n. Dado el teorema 6.6, basta probar (6.8). Sea Demostracio en = {x ∈ supp(µ) : |Qn (x)| > nkQn k2 } . Entonces, kQn k22

Z ≥

|Qn (x)|2 dµ(x) ≥ n2 kQn k22 µ(en ) .

en

Luego, l´ım µ(en ) = 0 .

n→∞

(6.13)

Denotemos por m la medida de Lebesgue restringida a supp(µ). Obviamente, la medida µ0 dx es absolutamente continua respecto a µ pues la medida de todo conjunto boreliano en supp(µ) respecto a la primera de estas medidas es menor o igual que con respecto a la segunda de ellas. La medida m a su vez es absolutamente continua con respecto a µ0 dx. Para ver esto, basta observar que dm = gµ0 dx , donde g ∈ L1 (µ0 dx) est´a definida como sigue  1/µ0 (x) , si µ0 (x) > 0, g(x) = 0 , si µ0 (x) = 0. Por el car´ acter transitivo de la continuidad absoluta de medidas, m es absolutamente continua con respecto a µ y de (6.13) se tiene que l´ım m(en ) = 0 .

n→∞

Aplicando el Lema de Bernstein-Walsh obtenemos |Qn (x)| ≤ nkQn k2 exp{ngC\(supp (µ)\en ) (x; ∞)} ,

(6.14)

´ 6.3. POLINOMIOS ORTOGONALES EN NORMA CUADRATICA.111 de modo que 

kQn ksupp (µ) kQn k2

1/n

≤ n1/n exp{

sup x∈supp (µ)

gC\(supp (µ)\en ) (x; ∞)} . (6.15)

Luego, para concluir la demostraci´on basta verificar que l´ım gC\(supp (µ)\en ) (x; ∞) = gC\supp (µ) (x; ∞) ,

n→∞

uniformemente en supp(µ). Denotemos gm (z; ∞) = gC\Em (z; ∞). Por hip´otesis los compactos Em , al igual que supp(µ), son regulares respecto al problema de Dirichlet, luego las funciones de Green correspondientes son continuas en todo C. Adem´ as, por ser los compactos Em crecientes las funciones de Green asociadas decrecen mon´ otonamente en cada punto de C a una funci´on g0 (z; ∞) que es arm´ onica en C \ supp(µ), que en el infinito tiene por singularidad a log |z| y siempre es mayor o igual a cero. Finalmente, 1 1 − =0. n→∞ CapEn Capsupp(µ)

g0 (∞; ∞) − gC\supp (µ) (∞; ∞) = l´ım

Aplicando el principio del m´ınimo para funciones arm´onicas en la regi´on C \ supp(µ) concluimos que g0 (z; ∞) ≡ gC\supp (µ) (z; ∞) , z ∈ C , y la convergencia de las funciones gm a g0 es uniforme en cada subconjunto compacto de C \ supp(µ). Adem´as, la funci´on g0 (z; ∞) es continua en todo C ya que coincide con gC\supp (µ) (z; ∞). Luego, las funciones gm convergen uniformemente a g0 tambi´en en supp(µ) ya que seg´ un el teorema de Dini el l´ımite decreciente de funciones continuas sobre un compacto que convergen a una funci´on continua en dicho compacto convergen uniformemente. Fijemos un ε > 0 arbitrariamente peque˜ no. Tomemos m suficientemente grande para que gm (x; ∞) = gm (x; ∞) − g0 (x; ∞) ≤ ε , x ∈ supp(µ) . Fijemos tambi´en m.

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

112 Denotemos

gm,n (z; ∞) = gC\(Em \en ) (z; ∞) . La funci´ on gm,n (z; ∞) − gm (z; ∞) es arm´onica en C \ Em y continua en todo C. Aplicando el principio del m´aximo en la regi´on C \ Em , obtenemos que una cota superior de esta funci´on en Em es cota superior de la misma en todo C. Como gm (z; ∞) ≡ 0 en Em acotemos superiormente la funci´ on gm,n en Em . Para cada m, n fijos la funci´on gm,n es continua en Em . Supongamos que dicha funci´ on alcanza su m´aximo en Em en un cierto punto x0 . Este punto necesariamente se encuentra en uno de los N intervalos [ai , bi ] que componen el compacto Em . Como [ai , bi ] \ en ⊂ Em \ en tenemos que gm,n (x0 ; ∞) ≤ g[ai ,bi ]\en (x0 ; ∞) . Por otro lado, seg´ un el lema 6.5 tenemos que cualquiera sea x ∈ [ai , bi ] g[ai ,bi ]\en (x; ∞) ≤ g[ai ,bi −m(en )] (bi ; ∞) . Como l´ımn→∞ m(en ) = 0 y el n´ umero de intervalos que componen Em es finito, concluimos que, fijado m y para todo n lo suficientemente grande, sup gm,n (x; ∞) < ε . x∈Em

Luego, sup x∈supp (µ)

gm,n (x; ∞) <

sup x∈supp (µ)

gm (x; ∞) + ε < 2ε .

Como Em \ en ⊂ supp(µ) \ en , de la u ´ltima desigualdad se tiene que sup x∈supp (µ)

gC\(supp (µ)\en ) (x; ∞) ≤

sup x∈supp (µ)

gm,n (x; ∞) < 2ε .

De modo que l´ım sup

sup

n→∞ x∈supp (µ)

gC\(supp (µ)\en ) (x; ∞) ≤ 2ε .

Haciendo ε → 0 se llega a que l´ım sup

sup

n→∞ x∈supp (µ)

gC\(supp (µ)\en ) (x; ∞) = 0 .

´ 6.3. POLINOMIOS ORTOGONALES EN NORMA CUADRATICA.113 Que el l´ımite inferior de esas mismas cantidades es mayor o igual a cero es trivial; por lo tanto, el l´ımite existe y es igual a cero con lo cual concluimos la demostraci´ on.  Como caso particular del teorema 6.7 tenemos el siguiente resultado. Corolario 6.1 Supongamos que supp(µ) est´ a formado por un n´ umero finito de intervalos cerrados y acotados de la recta real y µ0 > 0 casi dondequiera en supp(µ). Entonces (6.9)-(6.10) tienen lugar.

114

´ CAP´ITULO 6. ASINTOTICA LOGAR´ITMICA

Cap´ıtulo 7

Problemas propuestos Problema 1 Pruebe la propiedad de intercalamiento de ceros de los polinomios ortogonales haciendo uso de la f´ ormula de cuadratura. S Problema 2 Supongamos que C0 (supp(µ)) = [a, b] [c, d], donde a, b, c, d ∈ R y a < b < c < d. ¿Cu´ antos ceros de Pn pueden caer en ]b, c[?. Problema 3 Sea µ ∈ M(E) y supongamos que Z 0= xk pn (x) dµ(x), 0 ≤ k ≤ n − d − 1 n, d ∈ Z+ , d < n . (7.1) E

Probar que pn tiene al menos n − d ceros distintos en C0 (E). Problema 4 Encuentre una f´ ormula de cuadratura para polinomios que cumplan propiedades de ortogonalidad incompleta como en el problema anterior. ¿Que puede decirse del intercalamiento de ceros de tales polinomios? Problema 5 Sean µ ∈ M(E), {pn }∞ on de polinomios n=0 una sucesi´ ortogonales respecto a µ, cuyos ceros {xk }nk=1 est´ an ordenados de forma tal que x1 < x2 < · · · < xn . Pruebe que cualquiera sea el polinomio qn de grado a lo sumo n se cumple que Z xqn2 (x)dµ(x) ≤ xn x1 ≤ ZE 2 qn (x)dµ(x) E

115

CAP´ITULO 7. PROBLEMAS PROPUESTOS

116

Problema 6 Sean µ ∈ M(E), {Pn }∞ on de polinomios orn=0 la sucesi´ ∞ togonales m´ onicos respecto a µ y {Hn }n=0 la respectiva sucesi´ on de polinomios de segundo tipo asociados. Pruebe que: a) {Hn }∞ on de recurrencia (1.24). n=0 satisface la relaci´ b) Los polinomios ortogonales y los de segundo tipo asociados est´ an relacionados mediante Pn (z) Hn+1 (z) − Hn (z) Pn+1 (z) = kPn k2L2 [µ] . c) Las siguientes parejas de polinomios no tienen ceros comunes: {Pn (z), Hn (z)}, {Pn (z), Pn+1 (z)}, {Hn (z), Hn+1 (z)}. Problema 7 Sean µ ∈ M(E) y {pn }∞ on correspondiente n=0 la sucesi´ n X pk (x)pk (t) como de polinomios ortonormales. Tomemos Kn (x, t) = k=0

en (1.37) el n´ ucleo asociado. Pruebe que: a) Para todo polinomio qn de grado n se cumple que Z qn (x) Kn (x, t)dµ(x) = qn (t) . E

En virtud de esta propiedad a Kn (x, t) se le llama frecuentemente n´ ucleo reproductor de orden k para {pn }∞ n=0 . b) Para todo polinomio qm de grado m, con m ≤ n − 1, se cumplen que Z qm (x) Kn (x, t) (x − t) dµ(x) = 0 . E

En particular, note que para cada valor fijo de t Z Km (x, t) Kn (x, t) (x − t) dµ(x) = 0 . E

Problema 8 Demuestre la proposici´ on 2.1.1.

117 Problema 9 Sean D una regi´ on cuya frontera D esta formada por un n´ umero finito de curvas cerradas de Jordan, α ⊂ ∂D la uni´ on de un n´ umero finito de arcos y w(z, α, D) la medida arm´ onica del conjunto α en la regi´ on D. Pruebe que: 1. 0 ≤ w(z, α, D) ≤ 1,

z ∈ D;

si

n [

αi = ∂D .

i=1

2. Si

n [

αi = ∂D y αi

\

αj = ∅ para i 6= j, entonces

i=1 n X

w(z, αi , D) ≡ 1,

z ∈ D.

i=1

3. Si α ⊂ β entonces w(z, α, D) ≤ w(z, β, D) ,

z ∈ D.

Problema 10 Sea D = [=z > 0] y α un segmento del eje real, entonces ´ngulo con el cual se ve el segmento α w(z, α, D) = ϕ(z) π donde ϕ(z) es el a desde el punto z. Para probarlo demuestre que ϕ as´ı definida es arm´ onica en D y satisface el problema de Dirichlet correspondiente. T Problema 11 Sea D = [|z| < 1] [=z > 0] y α la parte semicircular de la frontera, entonces w(z, α, D) =

2 (π − ϕ(z)) , π

donde ϕ es la funci´ on definida en el ejercicio anterior tomando como segmento el intervalo [−1, 1]. Problema 12 Probar usando el principio del m´ aximo que CapK y g(z, ∞) no dependen de la sucesi´ on Dn que se tome. Problema 13 Si K1 ⊂ K2 entonces CapK1 ≤ CapK2 . Pruebe que si K c es simplemente conexo entonces g(z, ∞) = log |ϕ(z)| , donde ϕ : K c → [|w| > 1] es una representaci´ on conforme tal que ϕ(∞) = ∞.

118

CAP´ITULO 7. PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 14 Pruebe que: a. Cap({z : |z| < R}) = R. b. Cap({x : a ≤ x ≤ b}) =

b−a 4

.

c. Sea ER = [|Pn (z)| ≤ Rn ], donde Pn (z) = z n + . . . . Entonces CapER = R. d. Dado el conjunto E se tiene que Cap aE + b = |a|CapE , a 6= 0 y b ∈ C donde aE + b = {w : w = az + b , z ∈ E} . Problema 15 Pruebe que basta pedirle a la sucesi´ on {βn } , n ≥ 0 , para la cual se cumple (2.19) que sea creciente (no obligatoriamente de forma estricta) para que la tesis del teorema de Carleman tenga lugar. Problema 16 Pruebe la f´ ormula de sumaci´ on de Christoffel-Darboux para el circulo unidad (proposici´ on 3.1). Sugerencia. Utilice las proposiciones 3.1.1 y 3.1.2 y la idea de la demostraci´ on de la f´ ormula an´ aloga para polinomios ortogonales en el eje real. . Problema 17 Sean ψn (z) y ϕn (z) como en la definici´ on 3.1. Pruebe que ψn (z) ⇒ F (z); K ⊂ {z : |z| > 1} . ϕn (z) n→∞

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