Pascalによるデータ構造 (情報科学)

情 ★報 ★科 ★学

Pascalに

よる

デー タ構造 古東 馨 著

東京電機大学 出版局

まえがき

  プ ロ グ ラ ミ ング を初 め て 学 ぶ 人 に 対 す る忠 告 と して,「 プ ロ グ ラム を 書 くこ と は,小 説 を書 くこ とで あ る」 とい う例 え を よ く耳 に す る.小 説 もプ ロ グ ラ ム も正 確 に書 か な け れ ば な ら な い の は 当然 で あ るが,修 辞 上 の 善 しあ しだ けで 小 説 の 価 値 が決 ま る わ け で は な い よ う に,プ

ログ ラム も,表 現 の た め の 言 語 を超

え た 内容 が最 も大 切 とい え よ う.プ ロ グ ラ ミン グ言 語 を 習 得 してプ ログ ラ ミ ン グ に精 通 した つ も りに な る は早 計 で あ る し,逆 に,プ

ロ グ ラ ミ ング 言 語 を味 気

な い規 則(文 法)だ らけ の 言 葉 と敬 遠 した 人 で も,プ ロ グ ラ ミン グ(小 説)の お も しろ さ が 理解 で き る と もい え る.   本 書 は,計 算機 言 語 の 学 習 の た め の プ ロ グ ラ ミ ング を 終 え て,プ

ログ ラ ミ ン

グ 自身 を学 ぶ 入 門 書 とな る こ とを 目的 と して い る.内 容 は,計 算 機 の最 も基 本 的 な機 能 で あ るデ ー タの 検 索,整 列 の 計 算 方 法 を題 材 と して,プ

ロ グ ラム の 基

礎 とな るア ル ゴ リズ ム とそ の計 算 対 象 とな るデ ー タの 表 現 方法 を 中心 に,計 算 シ ス テ ム と して抽 象 的 に捕 え る考 え方,ア

ル ゴ リズ ム の 評 価,具

体的 なプ ログ

ラム へ の 実 装 とデ ー タ構 造 に つ い て解 説 して い る.   ま た本 書 は,著 者 の 講 義 内容 を基 に,１ 年 間 の 授 業 テ キス トと して も使 え る こ とを念 頭 に コ ンパ ク トに ま とめ て あ る.こ の ため,全 体 につ い て広 く述 べ る こ とを心 が け,細 部 に わ た り解 説 す る こ とを あ え て避 け て い る.特 に,ア ル ゴ リズ ムの 緒 性 質 の 論 理 的 ま た は 数 学 手 法 に よ る解析 は,よ

く知 られ て 身 近 な ア

ル ゴ リズ ム で も高 度 の 知 識 が 必 要 と され た り,未 解 決 問題 で あ っ た りす る こ と か ら,直 観 的 な,あ

るい は,例 え に よ る手 法 の 理 解 を優 先 して 解 説 した.幸

い

に も本 書 の 目的 ど お りに,プ ロ グ ラ ミン グ に 関 す る興 味 が 増 した読 者 は,さ

ら

に専 門 的 な本 に よ り理 解 を深 め る こ と を希 望 す る.   プ ロ グ ラ ミング 言 語 にはPascalを

用 い た.読 者 はPascalに

つ い て一 通 りの 知

識 が あ る もの と仮 定 して い るが,デ ー タ の構 造 を議 論 す る上 で 重 要 なPascalの

各 種 構 造 型 デ ー タ,お

よ び ポ イ ン タ 型 デ ー タ に つ い て は,復 習 の 意 味 で 第 ３章

に ま とめ て あ る.Pascalの

これ らの デ ー タ構 造 に つ い て の 知 識 が あ る読 者 は,

第 ３章 を とば して読 み 進 ん で い た だ い て さ しつ か え な い.   プ ロ グ ラ ミン グ の 対 象 は,近 年 ます ます 広 範 囲 に大 規模 に な りつ つ あ り,高 い生 産 性,信

頼 性 が 要 求 され て い る.そ れ に 伴 っ て基 本 的 な アル ゴ リズム や デ

ー タ構 造 を抽 象 的 な 計 算 シス テ ム と して と ら え る こ と,さ

らに,人 間 の 思 考 過

程 に あ った プ ロ グ ラ ム作 成技 法 や 計 算機 言 語 が 注 目 され て い る.本 書 が そ の よ う な プ ロ グ ラ ミ ン グへ の 入 門 と して 役 だ て れ ば,著 者 と しての 最 上 の 喜 び で あ る.な お,本 書 に 対 す る ご 意 見,感

想 等 お よせ い た だ け れ ば幸 い で あ る.

  最 後 に,本 書 の 草 稿 に 関 して,片 岡 一 夫 氏 を始 め,多

くの 方 々 か らお よせ い

た だ い た ご意 見 や 激 励 に 深 謝 す る.ま た,本 書 の 刊 行 に際 して は,東 京 電機 大 学 出 版 局 の 植 村 八潮 氏 に た いへ ん お 世 話 に な っ た こ と を感 謝 す る.

1987年 ５月

鳩 山 にて

古東

馨

目

１

次

プログラミングとその考え方

1.1プ

ロ グ ラ ム と そ の は た ら き 

１

1.2よ

い プ ロ グ ラ ム と は 

３

1.3プ

ロ グ ラ ム の 構 成 

５

1.4プ

1.3.1ア

ル ゴ リ ズ ム 

６

1.3.2デ

ー タ構 造 と型 

10

1.3.3実

装 プ ロ グ ラ ム 

11

ロ グ ラ ミ ン グ の 手 法 

12

1.4.1プ

ロ グ ラ ム の 読 み や す さ に つ い て 

12

1.4.2下

降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ と 上 昇 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ 

15

1.4.3下

降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ と そ の 例 

18

２

アルゴリズムの評価

2.1ア

ル ゴ リ ズ ム の 記 述 

29

2.2ア

ル ゴ リ ズ ム の 計 算 時 間 

34

2.2.1評

価 基 準 に つ い て 

34

2.2.2ア

ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 

35

2.2.3デ

ー タ 量 に 対 す る 計 算 時 間 

37

2.2.4計

算 時 間 の 解 析 の 例 

40

2.3ア

ル ゴ リ ズ ム の 改 善 

43

2.3.1演

算 の 回 数 の 減 少,短

時 間 演 算 へ の 置 き 換 え 

2.3.2計

算 し た 結 果 の 有 効 利 用 

45

2.3.3分

割 ・処 理 ・統 合 に よ る 計 算 時 間 の 縮 小 化 

47

３Pascalに 3.1デ

3.2.1配

3.3ポ

お ける構造型 のデ ータ

ー タ の 型 

3.2Pascalの

44

51 構 造 型 デ ー タ 

55

列 型 デ ー タ 

55

3.2.2レ

コー

ド型 デ ー タ 

58

3.2.3集

合 型 デ ー タ 

64

3.2.4フ

ァ イ ル 型 デ ー タ 

65

イ ン タ 型 デ ー タ  3.3.1LHS表

68

現 とRHS表

現 

69

3.3.2静

的 領 域 と 動 的 領 域 

70

3.3.3ポ

イ ン タ 型 デ ー タ 

71

４

線形 リス ト

4.1リ

ス ト型 の デ ー タ 

79

4.2リ

ス ト の 実 装 

82

4.3ス

4.2.1配

列 構 造 に よ る リ ス トの 実 装 

82

4.2.2リ

ン ク 構 造 に よ る リ ス トの 実 装 

86

タ ッ ク と キ ュ ー 

92

4.3.1特

殊 な リ ス ト 

92

4.3.2ス

タ ッ ク 

92

4.3.3ス

タ ッ ク の 応 用 例 

95

4.3.4キ

ュ ー 

101

4.3.5キ

ュ ー の 応 用 例 

105

５

木

構

造

5.1木

構造 のデー タ

111

5.2グ

ラ フ 構 造 と し て の 木 構 造 

116

5.3木

構 造 の 操 作 

119

5.4木

構 造 の 実 装 

126

5.4.1一 5.4.2ｎ-分 5.4.3配 5.5木

般 的 木 の 実 装 

126

木 の 実 装 

130

列 を 用 い た 平 衡 ｎ-分 木 の 実 装 

の 操 作 の 実 装 

131 133

６

整

列

6.1デ

ー タ の 処 理 と 整 列 

142

6.2整

列 に 関 す る 基 礎 

145

6.3挿

入 法 に よ る 整 列 

148

6.4入

6.5そ

6.3.1挿

入 法 に よ る整 列 の 基 本 

148

6.3.2基

本 的 挿 入 法 に よ る 整 列 ア ル ゴ リ ズ ム の 実 装 

150

6.3.3シ

ェ ル の 方 法 

152

れ 換 え 法 に よ る 整 列 

154

6.4.1入

れ 換 え 法 に よ る 整 列 の 基 本 原 理 

154

6.4.2バ

ブ ル ソ ー ト(bubble

sort)

155

6.4.3ク

イ ッ ク ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム の 原 理 と実 装 

157

の 他 の 方 法 に よ る 整 列  6.5.1選

択 法 に よ る 整 列 

161 161

6.5.2併

合 法 に よ る 整 列 

165

6.5.3複

合 ア ル ゴ リ ズ ム に よ る整 列 

171

７

検

索

7.1検

索 と は 

176

7.2順

次 検 索 

180

7.3２

分 検 索 

182

7.3.1配

列 構 造 の フ ァ イ ル に お け る ２分 探 索 

182

7.3.2２

分 木 構 造 の フ ァ イ ル に お け る ２分 探 索 

183

7.3.3２

分 検 索 法 の 計 算 時 間 の 解 析 

187

7.4最

適 ２分 木 検 索190

7.5デ

ィ ジ タ ル 検 索 

198

7.5.1デ

ィ ジ タ ル 検 索 木 

198

7.5.2ハ

ッ シ ュ 検 索 

201

８ 8.1い

記憶の方式と管理

ろ い ろ な 記 憶 方 式 

8.2Pascalに 8.3集

213

お け る 可 変 長 レ コ ー ドの 記 憶 方 式 

合型 の デ ー タ と ビ ッ トマ トリ ク ス 

8.4Pascalに

お け る 動 的 記 憶 領 域 と ヒー プ構 造 

付

214 218 224

録

付録 Ａ

アル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 と〓-記 法 

234

付録 Ｂ

置 換 の 反 転 数 の 解 析 

236

索

引 

243

[１] プ ログラミングとその考 え方

1.1

プログラムとそのはたらき

  は じめ に,「 計 算 機 の プ ロ グ ラ ム 」お よび 「プ ログ ラ ミ ング 」とは な ん で あ るか を考 え て み た い.数 学 事 典(岩 波 書 店)に よ る と,計 算 機 プ ロ グ ラム とは 「所 用 の 計 算 を 実 行 す る た め に こ れ らの 命 令 の 有 限個 を適 当 に 並 べ た列 」 とあ り,プ ロ グ ラ ミ ン グ とは 「プ ロ グ ラム を作 る作 業,す

な わ ち 目的 の 計 算 を単 位 の 命令

の 有 限 個 の 列 で 表 現 す る こ とで あ る」とあ る.こ の 記 述 は 抽 象 的 で あ り,ま た 数 学 的 に も厳 密 な もの で,こ れ だ け で,な

る ほ ど と納 得 の い く人 はプ ロ グ ラム

と は何 か を 知 っ て い る とい って い いの で は な い だ ろ うか.   引 き続 い た 説 明 に,「 各 命 令 は,制 御 装 置 の構 造 か ら定 ま る一 定 の 形 式 で 数 値 的 に表 現 され,計 算 に 先 立 っ て 記 憶 装 置 の 中 に 蓄 え られ る 」 と あ るの を 見 て もわ か る と お り,こ こ で は機 械 語 の プ ロ グ ラム の 説 明 を して い る.   プ ロ グ ラ ム とは,計 算 機 に 実 行 して も ら う計 算 の 方法 を計 算 機 に指 令 す る命 令 群 で あ る し,計 算 機 は機 械 語 しか 理 解 で きな いの で,厳 密 に は こ こ に書 か れ て い る とお りで あ る.   しか し,人 間 が 直 接機 械 語 の プ ロ グ ラ ム を書 か な くて も,ア セ ンブ リ言 語や 数 多 くの 標 準 化 さ れ た プ ロ グ ラ ミン グ言 語 を 用 い て書 い た プ ロ グ ラム を,計 算 機 内 に用 意 され て い る翻 訳 プ ログ ラム に 入 力 して,機 械 語 の プ ロ グ ラム に 変換

して 目的 の プ ロ グ ラ ム を得 る方 法 が機 械 語 の プ ロ グ ラ ミン グ よ り も一般 的 で あ る こ とは,読 者 諸 氏 の よ く知 る と ころ で あ ろ う.ア セ ンブ リ言 語 に始 ま り,問 題 向 き言 語 とか 高 級 言語 とか は,無 味 乾 燥 な機 械 語 の プ ロ グ ラ ミン グ を人 間 の 言 葉 に近 く,ま た機 械 に依 存 しな い 言 語 へ と発 展 させ て きた 結 果 で あ る と もい え る.   機 械 語 の プ ロ グ ラム が 機 械 へ の 指 令 を表 現 す るだ け もの で あ った の に対 し, Pascalの

よ うな 高 級 言 語 に よ るプ ロ グ ラム は,そ の 本 来 の 目的 で あ る機 械 へ の

指 令 を表 現 す る た め で は な く,人 と人 との 意 志 の伝 達 手 段 を 目的 と して も利 用 され て い る.た

とえ ば,複 雑 な仕 事 の 手 順 を仲 間 に 知 らせ るの に く ど くど と文

章 で 表 現 す る よ り も,Pascalの

プ ログ ラム で書 き示 した ほ うが 正 確 で わ か りや

す い とい う こ とが あ り得 る.   著 者 の 知 る限 りでの こ の よ う な仕 事 の 手 順 を記 述 して あ る例 は,料 理法 の 本 で あ る.誰 に で も同 じ味 の 料 理 が で き る よ うに,用

い られ る材 料(デ ー タ)の 記

述 に 始 ま り,料 理 の 手 順(計 算 の 方法)を あ い ま い な とこ ろ が な い よ う に正 確 に 記 述 す る.料 理 の 方 法 をPascalで ての 料 理 人 がPascalを

書 い た 本 な ど見 た こ と もな いが,も

し,す べ

自然 言 語 の よ う に理 解 で き る とす れ ば,料 理 法 の本 は 半

分 以 下 の 厚 さ に な り,も っ と正 確 な 記 述 が で き るの で は な いか と冗 談 半 分 に思 っ て い る. 図1・1に

示 さ れ た 三 つ の プ ロ グ ラ ム は,50個

図 1・1

の 数 の 和 を 求 め る機 械 語,ア セ

ン ブ リ語 お よ びPascalの

プ ロ グ ラ ム の 一 部 分 を 示 し た もの で あ る が,詳

と は と も か く機 械 語 よ り は ア セ ン ブ リ語 に よ る プ ロ グ ラ ム が,ま 語 よ り はPascalに

しい こ

た ア セ ンブ リ

よ る プ ロ グ ラ ム の ほ う が 読 み や す く は な い だ ろ う か.

  機 械 語 とア セ ン ブ リ語 との 相 違 は,前 者 が 単 な る 数 字 の 羅 列 で あ るの に対 し, 後 者 は命 令 や デ ー タ の 意 味 との連 想 づ け した 記 号 化 を用 い て 読 み や す くな っ て い る.し か し,双 方 の プ ロ グ ラ ム と もにプ ログ ラム を構 成 す る命 令 の 一 つ 一 つ が か な り微 細 な機 能 しか 持 っ て い な い た め に,プ ロ グ ラム か ら全 体 の 構 成 とか, 思 想 を理 解 す る こ とは 容 易 で は な い.   ま た,各 命 令 も機 械 特 有 の もの で わ れ わ れ が 日常 な じみ の な い もの ば か りで あ り,か つ機 械 が 異 な る と異 な っ た 言 語 で 記 述 しな け れ ば な らな い.こ して 高 級 言 語 は,よ

れ に対

りな じみ の あ る 単 語 や 表 現 を用 い書 か れ たプ ロ グ ラ ム も普

通 の 文 章 に近 い し,言 語 が標 準 化 さ れ て 異 な っ た機 械 に も共 通 の プ ロ グ ラ ミ ン グ が 可 能 で あ る.   プ ログ ラム 言 語 が 発 達 して くる と,機 械 的 な決 ま りき っ た 手 順 の 記 述 は機 械 に まか せ る こ とが で き る よ う に な り,プ ロ グ ラ ミ ング は,「 どの よ う」に計 算 す る か で は な く「何 を 」計 算 す るか を記 述 す る とい う意 味 あ いが 強 くな っ て くる.   現 代 の プ ロ グ ラ ム は,単

に機 械 へ の 指 令 伝 達 の た め ば か りで は な く,人 間 的

な 要 素 つ ま り人 間 の 思 考 の 表 現 とか,情 報 交 換 の 手 段 と して の機 能 も重 視 され て きつ つ あ る こ とに注 意 してプ ログ ラ ミン グ を 考 え な けれ ば な らな いで あ ろ う.

1.2

よいプログラムとは

  よ いプ ロ グ ラム とは どの よ うな プ ロ グ ラ ム を指 す の で あ ろ う か.プ

ログラム

と は,計 算 機 に仕 事 を させ る と きの 手 順 を書 き示 した もの で あ る か ら,そ れ が 正 し く書 か れ て い る こ とが 一 番 大 切 で あ る.   仮 に,こ の条 件 が満 た さ れ て い る もの とす れ ば,答

を得 るまでの計算時 間が

短 い こ と,プ ロ グ ラム が 作 動 す る た め に 必 要 と され る記 憶 領 域 が 小 さ い こ とな どが あ る.こ れ は,計 算 機 資 源 の 利 用 効 率 の 面 か らの評 価 方 法 で あ る.

  こ れ に対 して,プ

ロ グ ラ ム の 適 用 範 囲 が 広 い こ と,改 造 が しや す い こ と,プ

ロ グ ラ ム が 人 間 に と っ て読 み や す い こ とな どが よい プ ロ グ ラ ム の 条 件 と な る こ と もあ る.   これ らの 評 価 の観 点 を ま とめ る と, (１)

計 算機資源 の利用効 率の観点か らみ た評価

(２)

プ ロ グ ラ ム の 利 用 者 や 作 成 者 な どの 対 人 間 的 な 面 か ら見 た評 価

の 二 つ の 観 点 か らプ ログ ラ ム を評 価 して い る こ とが わ か る.こ の 二 つ の 評 価 方 法 は,異

な った 次 元 に 立 って い る の で,簡 単 に優 劣 を つ け る こ とが で きな い.

こ の 二 つ の 評 価 方法 につ い て も う少 し考 え て み よ う.   あ る人 が,数 多 くの場 合 に わ た っ て 同 じよ うな 計 算 を す る問 題 に対 してA, Bの 二 つ の プ ロ グ ラ ム の ど ち ら を 用 い た らよ いの か 考 慮 してい る もの と しよ う. Ａ の プ ロ グ ラム は一 つ の デ ー タ に対 して10秒,Ｂ

は20秒

で あ っ た とす る と,

Ａ の ほ うが 選 ば れ る で あ ろ う.   こ の 場 合,Ａ

も Ｂ も正 しい プ ロ グ ラ ム で あ る とい う仮 定 が あ る.つ ま り,プ

ロ グ ラ ム の 善 しあ しの 最 大 の また 当然 の 条 件 で あ る正 し く作 動 す る とい う こ と を前 提 とで きれ ば,計 算 機 資 源 の 利 用 効 率 だ け で プ ロ グ ラ ム の評 価 が で き る.   しか しな が ら,プ ロ グ ラ ム が 正 し く作 動 す る か ど うか とい う こ とは 以 外 に む ず か しい.た

とえ ば,プ

ロ グ ラム に入 力 デ ー タが あ る と き に は,適 用 で き る デ

ー タ の範 囲 ,必 要 と され る精 度,表 が,望

現 の 方法 な ど に制 限 が あ る の が普 通 で あ る

む 結 果 を得 る ため の 入 力 デ ー タの 条 件 を知 る こ とが,プ

ログ ラム を正 し

く作 動 させ るた め に 必 須 とな る.こ れ はプ ロ グ ラ ムの 仕 様 書 な どに書 か れ て い る が,十 分 で な い と きに はプ ロ グ ラム を読 む 必 要 が あ る.利 用 者 で な く,プ ロ グ ラ ム の 作 成 者 側 で あ る と き に は な お さ ら とな る.   以 後 の 議 論 に お い て は,計 算機 資 源 の 効 率 の 面 か らのプ ロ グ ラム の 善 しあ し を 問題 とす る場 合 をプ ログ ラム の 効 率(ま た はア ル ゴ リズ ム の 効 率)と 呼 び,対 人 間 的 な面 か ら見 た場 合 をプ ロ グ ラ ミングの 効 率 と呼 ん で 区 別 す るこ とに す る.   こ の 二 つ の 評 価 を統 一 的 に議 論 す る こ と はむ ず か か しい.一 般 的 に は,プ

ロ

グ ラ ム の 効 率 とア ル ゴ リズ ム の 効 率 とは 直 接 関 係 が な い とい え るが,ア ル ゴ リ

ズ ム の効 率 の よ いプ ログ ラム は,複 雑 かつ 技 巧 的 で プ ロ グ ラ ミ ン グが む ず か し くな り,逆 に 人 間 に読 み や す く,明 快 なプ ロ グ ラ ミン グ をす る と,プ ロ グ ラム の 寸 法 が 大 き く,時 間 の か か るプ ロ グ ラ ム とな って しま う傾 向 に あ る.   プ ログ ラム の 効 率 は,あ

る物 理 量 か ら数 値 的 に優 劣 が 比 較 で き るが,プ

ログ

ラ ミ ング の 効 率 は な か な か そ うは い か な い.こ の 両 者 の 関 係 をひ とつ の比 喩 で 表 せ ば,「プ ロ グ ラ ミ ング は 小 説 を 書 くの と同 じで あ る」とい う こ とが で き よ う. 無 制 限 に 誰 にで もわ か りや す い 文章 と い う もの は あ り得 な い.小 学 生 の語 彙 で な ん で も説 明 しよ う とす れ ば,表 現 す る概 念 の や さ しい言 葉 で の 定 義 が 必 要 と な る な ど,文 章 は長 く複雑 と な る.か

え っ て大 人 に はわ か りず ら くな る 可 能性

が あ る.   逆 に,専 門 用 語 な どの 高 度 の 意 味 を持 つ 単語 を用 い れ ば,文 章 は簡 潔 か つ 正 確 とな る.だ が,専 門 用 語 を理 解 で き る 人 に は わ か りよ くて も,知 ら な い 人 に は わ か りず ら い.   プ ロ グ ラ ミン グ で も,そ の 技 術 の 高 さや,扱

う内 容 が 専 門 的 に な れ ば,そ れ

に 応 じて 高 度 ま た は専 門 の プ ロ グ ラ ム 表 現(ア ル ゴ リズ ム)や デ ー タ の表 現(デ ー タ構 造)が

必 要 とな っ て く る.つ

ま り,プ ロ グ ラ ミン グ は計 算 機 言 語 だ け を

知 っ て い れ ば よ いの で は な く,少 な く と もあ る程 度 の ア ル ゴ リズ ム や デ ー タ構 造 の 知 識 が 不 可 欠 とな る.   どの よ うな 場 合 に どの ア ル ゴ リズ ム を用 い る か に は ア ル ゴ リズ ム の 評 価 が 必 要 で あ る し,ア ル ゴ リズ ム を多 く知 れ ば,そ れ だ け 書 か れ るプ ロ グ ラ ム も正確 で わ か りや す くな り,プ ロ グ ラ ミ ング も容 易 とな る.こ の よ うに,一 見 した と こ ろ で は異 な った 次 元 の プ ロ グ ラ ム 評 価 規 準 も 「よ い プ ロ グ ラ ム 」を作 る こ と で は 協 力 しあ って い る.

1. 3

プログラムの構成

  わ れ わ れ が 計 算 機 で 解 くべ き問 題 が 与 え られ た と き,ま ず 最 初 に しな け れ ば な ら な い こ とは,こ の 問題 が計 算 機 で 解 く対 象 に な る よ う に モ デ ル 化 す る こ と

で あ る.こ の モ デ ル は,一 般 に 数 学 的 モ デ ル(mathematical 象 モ デ ル(abstract

model)と

model),ま

たは抽

呼 ば れ て お り,解 くべ き問 題 を数 値 表 現 や 図 式表

現 な ど の 記 号 とそ の 記 号 間 の法 則 とで表 現 した もの で あ る.   た と え ば,宇

宙 空 間 を飛 行 す る ロ ケ ッ トの あ る時 刻 で の 位 置 を知 りた い とい

う問題 に対 して は,地 球 を原 点 とす る三 次 元 座 標 系 を仮 定 し,ロ ケ ッ トや 各 天 体 系 の 質 量,ロ ば,ロ

ケ ッ トの 噴 射 力 な ど と,引 力 の 法 則 や 運 動 方 程 式 が 与 え られ れ

ケ ッ トを含 め た 天 体 の 状 況 を 幾組 か の 数値 で 表 現 され た モ デル を作 る こ

とが で き る.   わ れ わ れ は,現 実 の 問題 を この モ デ ル の 上 に投 影 し,こ の モ デ ル の うえ で 問 題 の 解 を見 い だ そ う とす る.正 確 に は,解

そ の もの を求 め るの で は な く,ど の

よ う に した ら解 が 求 ま るか の 手 段 を見 つ け る こ とで あ る.こ の 解 を求 め る手法 は,ア

ル ゴ リズ ム と呼 ば れ て い る.

1.3.1 

アル ゴリズム

  ア ル ゴ リズ ム(algorithm)は,古

くは 四 則 演 算 に よ る計 算 の 手 順 の 意 味 に 用

い られ た り,単 に ユ ー ク リ ッ ドの互 除法 に よ る最 大 公 約 数 の 求 め 方 な ど を意 味 して い たが,現

在 で は計 算 の 手 順 全般 を意 味 す る.

  しか し,単 に計 算 の や り方 とい う よ りは制 約 が 強 く,計 算 機 関 連 の 記 述 に は 頻 繁 に 使 わ れ 重 用 な概 念 で あ るの で,単

にア ル ゴ リズ ム と訳 され て い る.

  アル ゴ リズ ム の 正 確 な 意 味 づ け に は,専 門 的 数 学*の 助 け を借 りな け れ ば な ら な い.む

しろ,ア ル ゴ リズ ム と い う言 葉 自体 が 数 学 の 専 門 用 語 で あ る とい うほ

うが 正 確 で あ る.し

か しな が ら,こ こ で は 正確 な数 学 的 な 定 義 をす る こ とが 目

的 で は な く,そ の概 念 を 平 易 に 理 解 す る だ け で 十 分 で あ る.   ア ル ゴズ ム とは,   (１)次

の(２)を 満 たす よ うな命 令 を有 限 個 並 べ て 表 現 した計 算 法 の 記 述 で あ

る. *  数 学 基 礎 論,計

算 の 理 論 な どの 分 野 の 数 学.

(２)各

命 令 は,そ れ が 実 行 され る すべ て の 状 況 に 対 して,あ い ま い さ が な く

明確 に記 述 され て い て,か つ,有 (３)命

限 時 間 で 実 行 され な けれ ば な ら な い.

令 の 実 行 順 序 は,特 に指 定 の な い 限 り,一 つ の 命 令 が 終 わ っ た後 は,

そ の 直 後 の 命 令 を実 行 す る もの とす る. (４)ア

ル ゴ リズ ム に は,必 要 に 応 じて計 算 の 初 期 値 と な るデ ー タ(ア ル ゴ リ

ズ ム の 入 力 と呼 ぶ)が あ って も よい.ま

た,少 な くと も一 つ の 計 算 結 果(ア

ル ゴ リズ ム の 出 力 と呼 ぶ)を 持 た な け れ ば な ら な い. (５)命

令 列 の 中 に は必 ず停 止 命 令 が あ り,計算 開 始 か ら有 限 回の 命令 の 実 行

の 後 に 必 ず 停 止 命 令 が 実 行 され る保 証 が な けれ ば な らな い. ア ル ゴ リズ ム の 条 件 の(５)の 代 りに (５')  命 令 列 の 中 には,必 で 置 き か え た も の,つ

ず停 止 命 令 が な けれ ば な らな い.

ま り ア ル ゴ リ ズ ム の 条 件 の う ち,有

に 停 止 す る 保 証 の な い 場 合 は,プ

ロ シ ジ ァ(procedure)と

限回の命令実行の 後 呼 ば れ る.す

べ ての

ア ル ゴ リ ズ ム は プ ロ シ ジ ァ で も あ る こ と は す ぐ に わ か る.   プ ロ シ ジ ァ と い う 用 語 も数 学 の 専 門 用 語 で,Pascalの じ綴 り で あ る の で ま ぎ ら わ し い.以 ぐ た め に,こ

下 の 議 論 で は,こ

手 順(procedure)と

同

の 二 つ が混 同 す るの を 防

こ で 定 義 し た プ ロ シ ジ ァ は 計 算 手 順 と 訳 し,Pascalの

ほ う は単 に

手 順 とす る こ と に す る. 【例 】

  与 え られ た整 数m(m>0)が

３の 公 倍 数 で あ るか否 か を判 定す る問 題 を考 えて

み よ う.

Procedure も しm=0 

A

Step

A1: 

な ら ば   Step

Step

A2:

m-3を

Step

A3:

Step  A1へ.

Step

A4: 

「ｍ は ３の 倍 数 で あ る 」と 出 力 す る.

Step

A5: 

計 算 を 停 止 す る.

計 算 し,そ

A4へ.

の 値 を 改 め て ｍ の 値 と す る.

(a)Procedure

A

(b)Algorithm

B

図1・2

  前 記 の計 算 の 手 順 は,有 限 の 命 令 数(５ ス テ ップ)で あ り,そ れ ぞ れ の 命 令 に は あ い ま い さ が な く有 限 時 間 で 実 行 で き る.入 力 は 非 負 の 整 数 ｍ,出 力 は「ｍ は ３の 倍 数 で あ る 」と い う文 章 で あ り,停 止 命 令 が あ る の で この 計 算 法 の 記 述 は 計 算 手 順 で は あ るが ア ル ゴ リズ ム で あ る とは い え な い.な ぜ な らば,ｍ 公 倍 数 の 場 合 に は 計 算 が 停 止 す るが,そ

が ３の

うで な い と きに は 永 久 に停 止 す る こ と

が な い.こ の 計 算 手 順 を

Algorithm ら ばStep

B

Step

B1: 

も しm=0な

Step

B2:

m-3を

Step

B3:

Step

Step

B4: 

「ｍ は ３の 倍 数 で あ る 」と 出 力 す る.

Step

B5: 

計 算 を 停 止 す る.

Step

B6: 

「ｍ は ３ の 倍 数 で は な い 」と 出 力 す る.

Step

B7: 

計 算 を 停 止 す る.

計 算 し,そ

B4へ.ま

たm<0な

らばStep

B6へ.

の 値 を 改 め て ｍ の 値 と す る.

B1へ.

と書 き 直 す こ と に よ っ て,与 え ら れ た 正 の 数 ｍ は ３ を 引 か れ る た び に 小 さ く な

っ て い き,必

ず ０か 負 の 数 と な り停 止 す る こ と が 保 証 さ れ て い る か ら ア ル ゴ リ

ズ ム で あ る こ と が わ か る.   計 算 機 プ ロ グ ラ ム に と っ て 重 要 な こ と は,そ の 計 算 の 方 法 が ご く特 殊 な 場 合* を 除 い て,計

算 が 終 了 し て 停 止 す る 保 証 が 必 要,つ

ま り,ア

ル ゴ リズム で な け

れ ば な ら な い こ と で あ る.   さ て,ア

ル ゴ リズ ム の 概 念 の 重 用 性 は わ か っ た と し て も,前

概 念 的 な 説 明 で は,与

に述 べ た よ うな

え られ た計 算 の 記 述 が ア ル ゴ リズ ム で あ るか 否 か を判 定

す る に は 十 分 と は い え な い.   前 例 で み る と,m=0を

判 定 す る こ と,m-3を

ャ ン プ す る こ と な ど は,有

限 時 間 で 計 算 で き る で あ ろ う か.ま

ま い さ が な い で あ ろ う か.ｍ た,ス

計 算 す る こ と,Step

が 整 数 の 範 囲 内 の 変 数 な ら ば,前

A4へ

た,記

とジ

述 にあい

の二 つ の 問 に は

yesと

答 え ら れ る.ま

テ ッ プ の 総 数 が 有 限 個 で あ れ ば,上 か ら順 にStep

A4で

あ る か 否 か を 調 べ る こ と が で き る の で,３ 番 目 の 問 に も肯 定 的 に答 え られ

る で あ ろ う.   結 論 を い え ば,ア

ル ゴ リズ ム で あ る か 否 か を 判 定 す る こ と は,数

証 明 す る よ う に,機

械 的 な 常 套 手 段 は な く,人

し,あ

い ま い さ の な い 記 述 と い う 意 味 で は,ア

ミ ン グ 言 語 を 用 い る の が も っ と も適 し て い る.こ 械 へ の 命 令 と し て だ け で な く,人 あ る こ と が わ か る.し

か し,プ

学の定理 を

間 の 知 能 に 頼 る しか な い.し

か

ル ゴ リズ ム の 記 述 に はプ ログ ラ の こ と か ら もプ ロ グ ラ ム が 機

間 ど う しの 情 報 伝 達 の 手 段 と し て も不 可 欠 で

ロ グ ラ ム よ りは概 念 的 な計 算 方 法 の 記 述 とい う

意 味 で は,自 然 言 語 や フ ロ ー チ ャ ー ト な ど の 計 算 図 式 に よ る 表 現 も 有 用 で あ る. 今 後,正

式 な ア ル ゴ リ ズ ム は プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 で 表 記 す る と し て,非

は 自 然 言 語 を 含 むPascal的

記 法,流 れ 図(フ ロ ー チ ャ ー ト:flow

適 宜 使 い 分 け る こ と に す る(第 ２章2.1節

*  計 算 手 順 は あ るが,ア

どで

参 照).

ル ゴ リズ ム は 発 見 さ れ て い な い 問 題 を解 くた め に,場

に 停 止 しな い こ と を覚 悟 の う え で,計

chart)な

公式 に

合 に よ って は永 久

算時 間 の 許 す 限 り計 算 して み る とい う よ うな 場 合 が あ り得

る.ア ル ゴ リ ズム が 存 在 す る か否 か が 不 明 な 問題 ば か りで は な く,計 算 手 順 は存 在 す るが ア ル ゴ リズム が 存 在 しな い こ とが わ か っ て い る問題 もあ る.

  1.3.2  デ ー タ 構 造 と 型   計 算 機 に して も ら う仕 事 に は,数 値 計 算,文 字 列 の 変 換,フ

ァ イル の 転 送,

な ん らか の モデ ル を表 現 す る記 号 の 集合 に対 す る操 作 な ど,枚 挙 にい と まが な い.わ れ わ れ は これ らを 総 称 して 「計 算 」と呼 ぶ こ とに す る.   そ れ ぞ れ の 計 算 に は,そ の 計 算 の 対 象 とな る種 々 な デ ー タ が 存 在 す る.あ る 数 の 自乗 を求 め る計 算 で は,そ の 対 象 とな るデ ー タ は 一 つ の 実 数 で あ り,地 球 上 の ２点 間 の 距 離 を求 め る問 題 の と きに は,あ

る １点 を表 現 す るデ ー タ は経 度

と緯 度 を表 す ２実 数 か らな って い る こ と もあ る.   また,あ る商 店 の 顧 客 の 名 簿 で は,１ 人 の デ ー タが20以 て い て,こ

内 の 文 字 で 表 現 され

れ を ア イ ウ エ オ 順 に並 び 換 え る問 題 も考 え られ る.も

っ と複雑 な例

は,１ 台 の 自動 車 が10以

内 の 文 字列 か ら な る愛 称,４ 桁 の 数 字 か らな る製 造年,

８文 字 か らな る型 式,塗

装 色 を表 す 記 号 で 表 現 され て い て総 計10000台

分のデ

ー タが あ る と き,そ れ ぞれ の項 目別 の 台 数 の統 計 を取 る問題 な どが 考 え られ る.   複 雑 な デ ー タ は,基

本 的 な デ ー タ の 構 成 要 素 を,組 織 的 に組 み 合 わ せ た"構

造"を 持 っ て い る.あ

る部 屋 の 環 境 は,気 温 と湿 度 を表 す 二 つ の 数 で 表 現 され

て い る もの とす れ ば,こ の デ ー タ は ２実 数 か らな る構 造 を持 って い る とい え る し,１ 台の 車 の デ ー タ の 例 で は,愛 称,製 造 年 月 日,形 式,塗

装色 の四つの よ

り基 本 的 な デ ー タ が こ の 順 序 で 並 ん で い る とい う構 造 を持 っ て い る.   また,同

じ よ う に ２実 数 か らな る部 屋 の 環 境 を表 す デ ー タ と前 述 の 地球 上 の

点 を表 す デ ー タ と は 同 じと い っ て よ いの で あ ろ うか.も ち ろ んNOで

あ る.デ ー

タ と しての 重 用 性 は,ど の よ うな構 造 で 表 現 され て い る か だ けで は な く,む し ろ 何 を表 現 して い る か に負 う と ころ が 大 きい.   デ ー タ構 造 と い う言 葉 は,こ の デ ー タの 二 つ の 面 に対 して 混 同 して 使 わ れ る こ と もあ る が,こ

こ で はデ ー タ が どの よ うな構 成 要 素 で表 現 され て い るか とい

う面 に対 して は,「 構 造 」とい う言 葉 を使 い,何

を表 現 して い るか とい う面 に対

して は,「 デ ー タ の 型 」ま た は 単 に 「型」とい う言 葉 を用 い るこ と に す る.   デ ー タが 単 に数 字 や 記 号 の集 ま り と して で は な く,そ の 意 味 解 釈 を含 め て考

え られ る と き,そ の デ ー タ上 に定 ま っ た操 作 や 演 算 が 考 え られ て い て,独 特 の 社 会 つ ま り「計 算 シ ス テ ム 」が 形 成 さ れ て い る.た

と えば,地 球 上 の １点 を 表 す

デ ー タの 集 ま りに 対 して は,２ 点 間 の距 離 とか,時 差 を計 算 す る方 法 が付 随 し て 考 え られ,ま

た,部 屋 の 湿 度 と気 温 を表 現 して い るデ ー タ で あ れ ば,快 適指

数 を計 算 す る方 法 が 付 随 した別 の 計 算 シ ステ ム を形 成 して い る.   デ ー タ の 型 は,単 タの 意 味,さ

に デ ー タの 成 り立 ち を示 して い る もの で は な く,そ の デ ー

らに は計 算 シ ス テ ム を示 す もの で あ る.こ

こで は,デ ー タの 構 造

とア ル ゴ リズ ム に つ い て考 え る こ と と し,デ ー タの 型 に つ い て は 第 ３章 で 触 れ る こ と に す る.

  1.3.3  実 装 プ ロ グ ラ ム   計 算 シ ス テ ム が 何 を計 算 す るか とい う抽 象 的 意 味 を記 述 して い るの に 対 して, ど の よ う に計 算 を す る の か の具 体 的 に記 述 もあ る.す な わ ち,デ の 記 憶 装 置 内 で どの よ うな構 造 に な っ て い るの か,ど

ー タ が計 算機

の よ うな 命 令 の順 序 で ど

の よ う な制 御 を す れ ば解 が 得 られ る の か の 記 述 で あ る.   どの よ う に計 算 す るか を 具 体 的 に記 述 した もの を 「実 装 」ま た は 「実 装 プ ロ グ ラ ム」と呼 ぶ こ と に す る.ま

た,そ の よ うな 記 述 をす る こ と を 「実 装 す る」とい

う.   プ ロ グ ラム を実 装 で の 主 要 な 問題 は,デ ー タ を どの よ うに 表 現 す るか,ま た, そ の デ ー タ を どの よ う に扱 っ て 解 答 を得 る の か,つ

ま り,デ ー タ構 造 と アル ゴ

リズ ム の 問 題 で あ る と い っ て よい.   デ ー タ構 造 とア ル ゴ リズ ム との 間 に は,密 接 な 関 係 が あ り,ア ル ゴ リズ ム は デ ー タ構 造 を抜 きに 考 え る こ とは で きず,ま

た,デ

ー タ構 造 もそ れ を扱 うア ル

ゴ リズ ム に適 した よ う に設 計 され な けれ ば な らな い か ら,互 い に 相 補 的 な 関係 に あ る.ゆ え に,デ ー タ構 造 とア ル ゴ リズ ム は一 体 と して 扱 わ れ る こ とが 多 い. 単 に デ ー タ構 造 とい っ て も,暗 黙 の 内 に ア ル ゴ リズ ム が 含 まれ て い た り,そ の 逆 の こ と もあ り う る.   実 際 の 問題 の 解 決 法 で は,何 重 もの 計 算 シ ス テ ム が 階 層 的 に 積 み 重 な って い

る こ とが 多 い.上 の 層 か らそ の 下 の 層 を見 た と き は実 装 的 で あ る計 算 の 記 述 も, さ らに 下 層 の 計 算 の 記 述 か ら見 れ ば計 算 シ ス テ ム的 で あ り,さ

らに 下 層 の 計 算

記 述 は そ の 実 装 とな っ て い る よ う に 見 え る こ と は 自然 な こ とで あ る.こ の こ と か ら,計 算 シ ス テ ム と して の 記 述 と実 装 記 述 との相 違 は絶 対 的 な もの で は な く, 多 分 に相 対 的 で あ る と い え る.   本 書 の 主 題 で あ るデ ー タ構 造 と アル ゴ リズ ム につ い て は,第

２章 以 下 で 順 次

検 討 さ れ る.   よい プ ロ グ ラ ム の 作 成 の た め に は,プ

ロ グ ラ ミ ング に関 す るい ろ い ろ な考 え

方 や 技 法 も重 要 で あ る が,本 書 の 内 容 を習 得 した う え で,さ

らに高度 のプ ログ

ラ ミ ン グ理 論や プ ロ グ ラ ミン グ工 学 の 範 囲 で あ る と考 え る.こ

こで は,プ

ログ

ラム の 階 層構 造 と階 層 的 プ ロ グ ラ ミン グ の概 念 につ い て お お まか に次 節 で 触 れ る.

  1.4 

プログラ ミングの 手法

  1.4.1  プ ロ グ ラ ム の 読 み や す さ に つ い て   「プ ロ グ ラ ム の 読 み や す さ」に は ２ とお りの 意 味 が あ る.そ の 一 つ は,プ ラ ムの 持 つ 意 味 に も多 少 関 連 す るが,主 み や す さ と,他 方 は,プ

ログ

と して プ ロ グ ラ ム リス トそ の もの の読

ロ グ ラム の 計 算 内 容 に関 連 した 意 味 の 理 解 しや す さ と

い う ２点 で あ る.こ の 項 で は,第

１の 意 味 で の読 み や す さを取 り扱 う こ と にす

る.   こ こ に述 べ る事 柄 は,す べ てPascalの

初 学 時 に指 摘 され た こ とで あ る.し か

しな が ら,初 級 の プ ロ グ ラ ミン グ で は,そ の 重 用性 が 実 感 され て い な い よ うで あ る.   とい うの は,そ の 時 代 で は プ ロ グ ラ ミ ン グ言 語 を 正確 に理 解 す る こ とに 重 点 が お か れ が ち で あ り,プ ロ グ ラム す る 問題 の 意 味 や 計 算 の メ カ ニ ズ ム は す で に よ く知 られ て い て,頭 の 中 で プ ロ グ ラ ム の 細 々 と した事 柄 まで 注 意 が 行 き届 い て い る か らで あ る.こ の場 合,プ ロ グ ラム は計 算 機 へ の 入 力 と して の み 扱 わ れ,

人 間 が 読 む べ き 対 象 と し て は 扱 わ れ に くい か ら で あ る.   だ が,プ

ロ グ ラ ム の 規 模 が 大 き く な り,新

し い 概 念 も 導 入 さ れ て く る と,プ

ロ グ ラ ム に 関 す る 事 柄 を す べ て 頭 の 中 に 記 憶 し て お く こ とが で き な く な っ て く る.ゆ

え に,プ

ロ グ ラ ム は 機 械 に 読 ま せ る だ け で は な く,作

成 の 途 中 で,ま

た

は 作 成 の 終 わ っ た 後 で も 作 者 自 身 を含 め た 人 間 に 繰 り返 し読 ま れ る と い う こ と に 注 意 して 書 か れ な け れ ば な ら な い.   英 文 の 構 成 要 素 が 単 語 と カ ン マ や ピ リオ ドな ど の 記 号 で 構 成 さ れ て い る よ う に,Pascalの

プ ロ グ ラ ム も,単 語 と記 号(双 方 合 わ せ て 字 句(token)と

か ら成 り立 っ て い る.記 順(procedure),関

号 と 綴 り の 定 め ら れ て い る 字 句 は 別 と して,変

数(function)な

で き る 字 句 が あ る.こ

呼 ぶ)と 数,手

どの 名 前 の よ うに プ ロ グ ラ マ が 自由 に選 択

れ らの 名 前 の選 び 方 が プ ロ グ ラ ム の 読 み や す さ に大 き な

影 響 を 与 え る.   結 論 を 先 に い え ば,そ 用 い る の が よ い.し

の 字 句 の 表 現 して い る 内容 を 容 易 に類 推 で きる綴 りを

か も,１

区 切 の 単 語 だ け で 対 象 を 限 定 せ ず に,2∼3の

修

辞 句 を探 して 順 に 限 定 の 範 囲 を 狭 め る 方 法 を と る ほ う が よ い.   た と え ば,支

出 の 総 額 を ｘ で 表 現 す る よ り は,total_costで

内 容 が わ か りや す い で あ ろ う.ま

た,そ

の 総 額 が 本 代 の 総 額,食

か ら成 っ て い た と き,cost1,cost2,… total _cost_of_foodと

表 現 した ほ うが 費 の 総 額,…

と す る よ り は,total_cost_of_books,

した ほ う が わ か りや す い で あ ろ う.文

字 数 が 多 くな っ た

た め に 生 ず る打 鍵 の 手 数 な ど 意 味 を取 り違 え て プ ロ グ ラ ム し て し ま っ た 後 で の デ バ ッ ギ ン グ の 手 数 に 比 較 し た な ら微 々 た る も の で あ る.   一 方,プ

ロ グ ラ ム 内 の 変 数 の 中 に は,常

道 的 な 技 巧 に 用 い ら れ,プ

の 本 質 的 意 味 と は 深 くか か わ っ て い な い 地 域 変 数 が あ る.た 数 の 総 和 を 求 め る と き のfor文 temp:=x;

と え ば,配

ロ グ ラム 列 内の

の 制 御 変 数 と か,ｘ と ｙ の 値 を 入 れ 換 え る と き;

x:=y;

y:=temp;

と す る が,こ の 場 合 の 作 業 変 数tempな

ど は,そ れ ぞ れ の 目 的 に 応 じて 定 ま っ た

変 数 名 を 用 意 し て お くの が よ い.for文

の 制 御 変 数 に は 常 にi,j,kを

ど が そ の 例 で あ る.こ

れ は,細

用 いるな

か い部 分 の 命 令 法 に必 要 以 上 の 気 を 払 わ な い で

済 む よ う に す る 逆 説 的 命 名 法 で あ る.   命 名 法 に 関 す る も う 一 つ の 問 題 は,使

用 す る 言 語 で あ る.最

近 は漢 字 を併 用

で き る プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 も出 現 して き つ つ あ る が,日 本 語 の ロ ー マ 字 表 現 は, 予 約 語 が 英 単 語 で あ るPascalで 見 解 で あ る か も しれ な い.こ

は 読 み づ ら い よ う で あ る.こ れ は 筆 者 の 個 人 的 こ で ク イ ズ を や っ て み よ う.次

の 文 を意 味 の 通 じ

る よ う に 読 ん で み て 欲 し い: To

be

to be

ten

made

to

be.

  こ の 文 は 多 分 に こ じ つ け で は あ る.ロ

ー マ 字 し か 読 め な い 小 学 生 に は 「飛 べ

飛 べ 天 ま で 飛 べ 」 と す ぐ に 読 め る で あ ろ う が,英 文 で あ る こ と に す ぐ気 が つ か な い で あ ろ う.こ マ 字 に よ る 変 数 名 を 用 い た も の と,英

語 を学 ん だ 人 に は ロ ーマ 字 の の 本 の プ ロ グ ラ ム 例 に は,ロ

ー

単 語 を 用 い た も の と用 意 し た の で ,ど

ち

ら が 読 み や す い か 体 験 し て み て 頂 き た い.要

は 書 く と き の 苦 労 よ りは,読

みや

す い こ と の ほ う を 優 先 す べ き で あ る と い う こ と で あ る.   次 に,文

章 間 の レ イ ア ウ トに つ い て 考 え て み よ う.も

段 区 切(indentation)で

あ る.こ

の 手 法 は,変

時 よ り よ く 守 ら れ て い る よ う で あ る.逆

数 な ど の 命 名 法 と 異 な り,初

に 段 区 切 を し な い と,文

あ る と す ら思 っ て い る 人 も い る ほ ど で あ る か ら,こ   最 後 に,注 釈(comment)に

っ と も有 名 な 手 法 は,

法 上 の 誤 りで

こ で は 省 略 す る.

つ い て 触 れ た い.注 釈 は,本

プ ロ グ ラ ム を 読 む た め の 補 助 的 情 報 と す べ き で あ る.プ か っ た 補 足 的 意 味 を 効 果 的 に 配 置 す る こ と に し,本

学

質 的 に は あ くまで も

ロ グ ラ ム に 盛 り切 れ な

質 的 あ るプ ロ グ ラ ミ ン グ に

対 し て 過 負 荷 と な ら な い よ う に 注 意 し よ う.   一 昔 前 に は 注 釈 が 多 す ぎ る こ と は な い と い わ れ た が,計 っ て プ ロ グ ラ ム 自 身 のreadabilityが

向 上 し,人

間の一時 に注意 の及ぶ 範囲 が

あ ま り広 く は な い こ と が わ か っ て き つ つ あ る 今 日 で は,注 プ ロ グ ラ ム は,冗   た だ し,プ

算機 言語の発達 に よ

釈 が 本 文 よ り も多 い

長 に す ぎ る と思 わ れ る.

ロ グ ラ ム の 冒 頭 な ど に,そ

の プ ロ グ ラ ム の マ ニ ュ アル な どの よ う

に 別 の 目 的 を 持 っ た ドキ ュ メ ン ト と して 注 釈 文 を 利 用 す る の は,こ な い.

の 限 りで は

  1.4.2  下 降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ と 上 昇 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ   プ ログ ラ ミ ング の 入 門 時 の 対 象 とす る問 題 は,比 較 的 単 純 で解 法 も既 知 で あ る よ うな もの が 多 い が,こ

の 段 階 をす ぎて 実 用 的 な 問題 と取 り組 む よ う に な る

と,プ ロ グ ラ ム の 寸法 が す ぐ さ ま膨 張 して,比 較 的 簡 単 な問 題 で も数 百 数 千 ス テ ップ の プ ロ グ ラ ム と な っ て くる.さ

ら に,専 門 的 な 仕 事 とな る と数 万 は お ろ

か 数 十 万 ス テ ップ を越 え る もの も珍 し くな い.   こ の よ う な大 きな プ ロ グ ラ ム とな る と問 題 の 解 析,プ ら試 計 算(test

run),誤

ロ グ ラ ム の 設 計 な どか

りの 訂 正(デ バ ッギ ン グ:debugging)ま

で の すべ ての 仕

事 は 人 １人 の 扱 い 得 る 能 力 の 限 界 を越 え て い る.数 多 くの 人 々 の 共 同作 業 に よ らな けれ ば 実 現 は 困 難 で あ る.こ の よ う なプ ログ ラム 生 産 の た め の 学 問 は,プ ロ グ ラム 工 学 と呼 ば れ る一 分 野 を 成 して い るが,本 な い の で,こ

こで は詳 し くは 触 れ な い.し

書 の 目的 とす る とこ ろ で は

か しな が ら,プ ロ グ ラ ミ ング と い う

仕 事 は対 象 が い か に 巨 大 とな っ て も,細 密 な と ころ ま で十 分 に 注 意 を 注 ぎ こ ま な け れ ば な らな い と い う本 質 か ら抜 け る こ とが で き な い の で,そ の 対 策 は重 要 とな る.   人 間 は 異 な っ た性 質 の 問 題 を 同 時 に処 理 す る こ と,ま た あ る一 つ の 限 られ た 問題 で も広 い範 囲 に思 考 を巡 らせ る こ とは 苦 手 で あ る.   た とえ ば,建 築 物 を 設計 す る場 合 を考 え て み て も,建 物 の 材 質 と強 度 の 問 題, 居 住 性 の 問題,外

観 的 デ ザ イ ンの 問 題 な ど を同 時 に考 え る こ とや,建

物 内の給

水 排 水 の 配 管 を全 域 的 に考 え る こ とは む ず か しい し,単 純 な 誤 りの 発 生 の 原 因 と な る.そ れ ぞれ の 問 題 を別 々 に扱 う こ と,各 フ ロ ア ー ま た は部 屋 単 位 の 配 管 と,建 物 全 体 の お お まか な もの と分 離 して 考 え た ほ うが や りや す い.し

か し,

別 々 に考 え られ た もの を ま とめ て 統 率 す る必 要 が 生 ず る.   こ の よ う に考 え て くる と,仕 事 が 必 然 的 に 階 層 化 さ れ て くる.前 例 で い え ば, 建 物 全 体 と して の 規模 や 機 能 の 設 計 か ら個 々の 部 屋 の 設 計 に い た る ま で の 数 多 くの レベ ル が 考 え られ る.   プ ログ ラ ミ ング に お い て も,そ の 問題 に よ っ て仕 事 が い くつ か の レベ ル に 階

層 的 に 分 割 す る こ と が で き る.こ か?,さ

の お の お の の レベ ル の ど こ か ら仕 事 を 始 め る

ま ざ ま 方 法 が あ る と思 わ れ る が 代 表 的 な も の と して,も

ベ ル か ら 順 に 上 の ほ う へ と進 め る 方 式 と,そ

っ と も下 の レ

の 逆 の上 の レベ ル か ら下 の ほ うへ

と 進 め る 方 式 と が 考 え ら れ る.前 者 を 上 昇 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ(bottom-up gramming),後

者 を 下 降 型 プ ログ ラ ミン グ(top-down

programming)と

pro呼 んで い

る.   一 般 的 に は,下 る が,そ

降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ の ほ う が 上 昇 型 よ り も優 れ て い る と い え

の 方 法 が 確 立 で き る ま で に は,長

い 経 験 と理 論 的 な 解 析 の 積 み 重 ね が

必 要 で あ っ た.   プ ロ グ ラ ム の 階 層 構 造 を 模 式 化 す る と,図1・3の プ ロ グ ラ ム は,ト

ップ レ ベ ル で は メ イ ン プ ロ グ ラ ム で あ り,そ

い る サ ブ プ ロ グ ラ ム(Pascalで

はprocedureま

レ ベ ル の プ ロ グ ラ ム を 構 成 し て い る.ま

トッ プ レベ ル

よ う に な る.図

第２ レベ ル

た,第

第 ３ レベ ル

図1・3

た はfunction)の

に お け る各

こ で引 用 され て それぞ れが 第 ２

３レベ ル のプ ロ グ ラ ム群 は 第 ２

第 ｎ レベ ル

レベ ル か ら引 用 され て い るプ ログ ラ ム群 で構 成 され て い る と い う よ う に順 次 定 義 さ れ る.一 つ の プ ロ グ ラ ム が 異 な っ た レベ ル に は 幾 つ か 現 れ る こ と は あ る. 下 降 型 プ ロ グ ラ ミン グ は,こ の 階 層 構 造 に お け る上 位 の レベ ル の プ ロ グ ラ ム か ら下 位 に 向 か っ て プ ロ グ ラ ミ ン グ を して 行 くの だ が,そ の た め に は幾 つ か の 問 題 点 が あ る.   そ の 第 １は,各

プ ロ グ ラ ム 単 位 の 寸法 を どの よ う に した ら よい か と い うこ と

で あ る.各 プ ロ グ ラ ム は一 つ の 概 念 で 表 す こ との で き る よ うな ま と ま っ た 計 算 の 単 位 で あ る こ とが 望 ま しい こ とは い う ま で もな い が,一

つ の概 念 が どの 程 度

の 範 囲 を カバ ー す れ ば よい の で あ ろ うか.   こ れ は,人 間 が 一 度 に考 え られ る思 考 の 範 囲 に 関 係 して い て,そ の 時 点 で 考 え て い る プ ロ グ ラ ム 全体 に 配 慮 が 行 き届 く よ うな 寸 法 とい う こ とに な る.人 間 が プ ロ グ ラ ミン グ時 に十 分 配 慮 の 行 き届 く範 囲 は,習 熟 度 や個 人 に よ り差 が あ るの は 当然 で あ る が,以 外 に小 さい よ うで あ る.   科 学 的 な 測 定 で は な く経 験 か らの概 算 で は,初 心 者 は お お よ そプ ログ ラム リ ス トの １ペ ー ジ(約60行)の こ と,プ

程 度 で あ る と言 わ れ て い る.こ の 値 が 概 算 値 で あ る

ログ ラ ミ ング 時 に は,参 考 資 料 とか メ モ そ れ に 既 に書 い た部 分 を見 る

こ とが で き る こ とな どか ら,厳 密 な 数 値 と して で は な くお お よ そ の 目安 と して １∼数 ペ ー ジ を一 つ の 分 割 さ れ た プ ロ グ ラ ム 単 位 とす るの が よい と され て い る.   そ の 第 ２は,下

降 型 プ ロ グ ラ ミン グ で は,そ

の レベ ル を構 成 す る下 位 の サ ブ

プ ロ グ ラム が まだ 現 実 に存 在 して い な い こ とで あ る.Pascalの の 場 合 は,こ

プ ログラ ミング

の 時 点 で は 引 用 され る手 順 ま た は 関 数 の 名 前 の 設 定,引 数 お よび

関 数 値 の 型 の 設 定,そ

して最 後 に その 手 順 ま た は 関 数 の 何 を計 算 す るの か の 仕

様 を 設 定 す るだ け で,下 位 レベ ル の細 か い 実 装 に 気 を使 わ な い で プ ロ グ ラ ミン グ を 進 め る こ とが で きる.   下 降 型 プ ロ グ ラ ミ ング法 が よ い プ ロ グ ラ ミ ン グ法 で あ る とい うこ とは,一 般 的 な 意 味 で あ って,い

か な る場 合 に も この 方 法 が最 適 で あ る と は限 らな い.あ

る状 況 で は,上 昇 型 プ ロ グ ラ ミン グ が 必 要 な こ と もあ る し,ま た あ る と きに は, 中 間 の レベ ル の 仕 様 が 固 定 して い る こ とに よ り,そ の レベ ル か ら上 下 へ とプ ロ

グ ラ ミ ン グ を進 め る こ と もあ り得 る.こ れ ら は,主

と して プ ロ グ ラ ム の計 算 と

して の機 能 そ れ 自身 の持 つ性 質 に よ るの で,副 次 的 な 読 みや す さが 犠 牲 にな る こ とは止 む を 得 な い が,そ

うで な い と き に は下 降 型 プ ロ グ ラ ミン グ法 に そ って

作 られ た プ ロ グ ラム は 誤 りが 少 な く また読 み や す い と い わ れ て い る.

  1.4.3  下 降 型 プ ログ ラ ミ ン グ と そ の 例   下 降 型 プ ロ グ ラ ミ ング上 達 の 秘 訣 は,ま ず 第 １に 問 題 を よ く理 解 す る こ とで あ る.こ の こ とは,い るが,プ

か な るプ ロ グ ラ ミ ン グ法 で あ っ て も変 わ りな い こ とで あ

ロ グ ラ ム の コ ー デ ィ ン グ に入 っ て か らプ ログ ラム の仕 様 が 変 わ る こ と

は プ ロ グ ラム の 信 頼 性,作 業 効 率 そ の 他 の す べ て の 面 か らみ て,も

っ と も避 け

な け れ ば な らな い こ とで あ る.   そ の 第 ２は,問 題 の 解 決 方 法 を何 回 も十 分 に吟 味 す る こ とで あ る.そ 第 ３と第 ４は な くて,第 グ:coding)が

して,

５ く らい にプ ロ グ ラ ミン グ言 語 で の 記 述(コ ー デ ィ ン

くる.問 題 が 与 え られ た と き,す

ぐ さ ま 端 末 機 に と りつ い て プ

ログ ラ ム 作 成 に か か りた くな る.   TSSの

端 末 は,考 え な が らプ ロ グ ラ ミ ング で き る環 境 で あ る と考 え て い る人

が 多 い.し か し,静 か な個 室 で 豊 富 な計 算 機 資 源 に 恵 まれ て い て も,計 算 機 と 対 面 す る と,あ や,機

る種 の 興 奮状 態 とな り,独 善 の 思 い 込 み に 陥 りや す い.ま

械 の 騒 音 や 人 の 出 入 りの 煩 雑 な環 境 は,プ

して

ログ ラ ム に 適 して い る とは い

え な い.   冷 静 な プ ロ グ ラ ミン グ の た め に は,コ ー デ ィ ン グ か ら離 れ て,問 題 の仕 様, 採 用 す る ア ル ゴ リズ ム に十 分 な る思 索 を巡 らす こ とが,よ

りよ きプ ロ グ ラム の

作 成 の た め の 早 道 で あ る.こ の こ とを端 的 に 表 現 す るマ ー フ ィー の 法 則 と して The the

sooner longer

you

start

it is going

coding

your

program,

to take.

  (プ ロ グ ラ ム コ ー デ ィ ン グ に と り か か る の が 早 け れ ば 早 い ほ ど, 完 成 ま で に よ り 多 くの 時 間 が か か る もの で あ る) と い う の が あ る が,こ

の よ う に い わ れ る の は,コ

ー デ ィ ン グ以 前 に よ く考 え る

こ とが な か な か む ず か しい か ら で あ ろ う.   下 降 型 の プ ログ ラ ミ ング の例 と して,数 多 くの メ ー カ ー で 製 造 され て い る あ る製 品 の 性 能 や 試 験 結 果 に基 づ い た順 位 に よる一 覧 表 を作 成 す るプ ロ グ ラ ム を 考 え て み よ う.   こ の 問 題 は,「数 多 くの メ ー カー で製 造 され て い る あ る製 品 の 試験 結 果 に基 づ く一 覧 表 を作 成 す る」とい う こ と で あ る が,こ れ だ け で は 大 体 の こ とは わ か っ て も,プ ロ グ ラ ミ ング に か か るだ け の十 分 な 情 報 は 含 ん で い な い.さ

ら に詳 し

い 問 題 の 記 述 が 必 要 で あ る.   プ ログ ラ ミ ング に必 要 な程 度 に詳 細 な 問 題 の 記 述 をプ ロ グ ラム の仕 様(specification)と 呼 ん で い る.プ ロ グ ラ ミン グ の 第 １段 階 は,こ

の 仕 様 を 正確 に理

解 す る こ とで あ る.し か しなが ら,問 題 の 提 出者 か らの 仕 様 が 完 全 で あ る こ と は あ ま り期 待 で き な い こ とが 多 く,と きに は問 題 の提 出 者 自身 が 正確 な仕 様 を 持 っ て い な い こ とす らあ る.問 題 の 提 出 者 とよ く相 談 して正 確 な 仕様 を作 り上 げ る こ とが 必 要 で あ る.   こ の 問 題 の仕 様 は,問 題 の提 出 者 との相 談 の うえ,与 る もの,順

位 づ け をす るた め の 評 価 の 方法,出

え られ るデ ー タ に 関 す

力 の 書 式 に関 す る もの と三 つ に

分 け て 次 の よ う に得 られ た もの とす る.

仕 様 １.入

製 品の総数

力 デー タ

100以

下

試験 デー タ内容 (１)動

作精 度

ｘ

0＜=x＜=100(整

数)

(２)最

大 出力

ｙ

0＜=y＜=100(整

数)

(３)耐

久時 間

ｔ

0＜=t＜=10000(整

(４)消

費電力

ｐ

(５)外

形 寸 法(W,L,H)

(６)仕

様勝 手

ｕ

５段 階 評 価

(７)デ

ザ イ ン

ｄ

５段 階 評 価

50＜=p＜=100(実 10＜=W,L,H＜=150(実

数) 数) 数)

 (５ 段 階 評 価

５:よ

い

４:や

や よい

３:普

通

２:や

や悪 い

１:悪

い)

  各 製 品 に 対 す る 評 価 結 果 は,製 品 認 識 番 号(５ 桁 整 数),メ ー カ ー 名(10文 x,y,t,p,w,l,h,u,dの

字),

順 で 空 白 で 区 切 ら れ た １ レ コ ー ドか ら な る テ キ ス ト型 の

フ ァ イ ル で 与 え ら れ る.

仕 様 ２.評 価 基 準   評 価 基 準 に は,以 下 の 関 数 で 与 え られ る ２種 類 あ り,ど ち らの 基 準 で計 算 す る か は,計 算 す る時 点 で選 択 で きる よ うに す る.も ち ろ ん,計 算 され た基 準 値 が 大 きい ほ ど よ い 製 品 と され る. 評 価 基 準 １:

評 価 基 準 ２:

仕 様 ３.書

  出力 書 式 は,順

式

位 と製 品 番 号 を １ペ ー ジに 印 字 す る もの と,順 位 順 にす べ て

の デ ー タ を 出 力 す る もの と ２種 類 あ り(図1・4)

,その 両 者 を 出 力 す る,ど ち らか

一 方 だ け を 出 力す るか の 選 択 が 可 能 で あ る こ と .   この プ ロ グ ラム は,主 計 算 部 分 が比 較 的 小 さ い の で,入 模 で 扱 う こ とが で き,プ

出 力 部 とほぼ 同 じ規

ロ グ ラ ム 全体 は デ ー タの 入 力 部,主 処 理 部,出

ら成 っ て い る と考 え られ る.さ

力部か

らに い くつ か の オ プ シ ョナ ル な機 能 が あ り,そ

れ らは そ れ ぞ れ の 関 連 処 理 の と こ ろで 指 示 され る よ りは,プ

ロ グ ラム の 開始 時

点 で 一 括 して 指 示 で き る ほ うが利 用 者 に は便 利 で あ ろ うか ら,プ 頭 に オ プ シ ョン指 定 部 を設 けて 図1・5の

ロ グ ラ ムの 先

構 造 図 式 の 第 １レベ ル の よ うな 四 つ の

ブ ロ ッ ク か らな る もの と しよ う.  プ ログ ラム の大 ま か な機 能 と平 行 して,こ の レベ ル で 扱 わ れ るデ ー タ の 大 ま か な構 造 も頭 に 浮 か ん で い る はず で あ る.た

とえ ば,こ の レベ ル で は 各 製 品 の

(ａ)書

式 １

(ｂ)書

式２

図1・4

集 ま りが 扱 われ て い るの で あ るが,個

々の 製 品 に 順 番 をつ け,そ の 順 に出 力す

る こ とが 要 求 さ れ て い る の で,順 番 の な い集 合 型 よ り も要 素 間 に順 番 が 明 確 に 定 義 され て い る 配 列 型 と した ほ うが よ い と考 え られ る.   ゆ え に,製

品 の 集 ま りは,配 列 型 の デ ー タ構 造 を採 用 す る こ と にす る.た だ

し,各 要 素 の デ ー タ構 造 は もっ と下 位 の レベ ル で 扱 わ れ る こ とに な るの で,こ の 時 点 で は まだ 定 義 され な い.た だ し,並 べ 換 え(整 列)を 行 う と きの 基 準(並 べ 換 え の 鍵)と な る評 価 値 も試 験 結 果 の デ ー タ と同 じひ とま とめ の構 造 に格 納 で き る よ うに す る こ と を念 頭 に お い て お く こ と にす る.細 部 が 未 確 定 で あ る に も

図1・5

図1・6

か か わ ら ず,そ

の 上 位 の レ ベ ル の デ ー タ 構 造 を 定 め て し ま う こ と に は,後

正 し な け れ ば な ら な い の で は な い か との 懸 念 が あ る か も 知 れ な い.し ロ グ ラ ム 構 造 が 適 切 に 設 計 さ れ て い れ ば,上

で修

か し,プ

の レベ ル で 定 め られ た構 造 が 下 位

の レ ベ ル で の 処 理 に 矛 盾 す る こ と の 心 配 は ほ と ん ど す る 必 要 が な い.   以 下 の 詳 細 は 省 略 す る が,同 様 に 各 レ ベ ル に つ い て 考 慮 し た 結 果,図1・5の よ う な 構 造 図 式 の 全 体 が 構 築 さ れ る.こ

の 構 造 図 式 の 最 下 位 の レベ ル は,な

ん

の 参 照 も し な い で コ ー デ ィ ン グ で き る 程 度 に 細 分 化 さ れ た 機 能 単 位 で あ る か, ま た は,既

に完 成 され て い て 作 る必 要 の な いプ ログ ラ ムパ ッケ ー ジ で あ るか の

ど ち ら か で あ る.   構 造 図 式 を 十 分 に 点 検,改 ロ グ ラ ム は 図1・6の

善 し た 後 で コ ー デ ィ ン グ に 移 る.第

よ う に な り,こ こ で は 配 列 要 素 の 型itemや

set_data,main_processing,listingは

未 定 義 と な っ て い る.し

１レベ ル の プ

手 順read_and か _し,各

手順 の

引 数 の 個 数 や 型 の イ ン タ フ ェ ー ス は こ の 時 点 で 定 ま っ て く る こ と に 注 意 し よ う. 以 下,構

造 図 式 に そ っ て 図1・7の

な る に従 っ て,一

よ う に コ ー デ ィ ン グ さ れ る.下 位 の 構 造 に

つ の プ ロ グ ラ ム 単 位 の 機 能 は 狭 く ま た 詳 し く な っ て ゆ き,上

位 の レベ ル で 未 定 義 の ま ま残 され て い た 手 順 や 関 数 お よび デ ー タ構 造 の 細 部 が 記 述 さ れ て ゆ く.quicksort(第

７章 参 照)と 出 力 部 の 第 ２ レ ベ ル 以 下 の コ ー デ

ィ ン グ は 紙 面 の 都 合 上 省 略 さ れ て い る.

(ａ) 図1・7(そ

の １)

(ｂ) 図1・7(そ

の ２)

(ｃ)

(ｄ) 図1・7(そ

[注 意]本 機(プ

の ３)

書 に お け るプ ロ グ ラ ム の リス トに は,本

文 と同 じ字 体 に よ る もの と,計 算 機 出 力 の 印 字

リ ン タ)に よ る もの と の ２種 類 が あ る.ど

word)は

ち ら の リ ス ト で も,Pascalの

太 字 体 に して 見 や す さ を図 っ て い る.計

で な い もの と字 体 を変 え る必 要 は な い.ま

予 約 語(reserved

算 機 へ の 入 力の 場 合 に は,予 約 語 と,そ

た,Pascalに

う

お け るポ イ ン タと フ ァイ ル 変 数 に は

↑記 号 が 用 い られ る.計 算 機 の 印 字機 に は ↑記 号 が 用 意 され て い な い もの が 多 く,そ の 場 合 は^記 号 が 代 用 さ れ る.本 書 で も,印 字 機 の プ ログ ラム リス トで は^記 号 が 使 用 さ れ て い る.

練習問題

第 １章

１.計

算 機 の プ ロ グ ラ ム 以 外 の 分 野 で,仕

事 の や りか たや 仲 間 ど う しの 意 志 の

疎 通 の た め に 用 い ら れ る 手 順 の 記 述 方 法 の 例 を あ げ よ.

２.あ

な た が プ ロ グ ラ ミ ン グ 時 に 用 い る 変 数 な ど の 命 名 法 や,あ

割 に 使 用 さ れ る 変 数 名,ま

た,プ

ロ グ ラ ム リス トを 見 や す くす る す る た め の レ

イ ア ウ トに 関 す る ノ ウ ハ ウ が あ れ ば,そ

３.以

る定 ま っ た役

下 に 示 し た 計 算 手 順 は,何

れ ら に つ い て 説 明 せ よ.

を 計 算 す る か.ま

た,こ

の計 算 手 順 は ア ル ゴ

リ ズ ム と な っ て い る か 否 か を 答 え よ.   Step-1 

与 え ら れ た 入 力 デ ー タ ｎ(４ 以 上 の 整 数)に 対 し,sqrt(n)を

計 算 し,

そ の 値 を ｒ と す る.   Step-2 

作 業 変 数 ｉを ３ に セ ッ トす る.

  Step-3 

も し ｎ が ｉで 割 り切 れ た ら'no'と 出 力 し て 停 止 す る.

  Step-4 

も しi≧rな

  Step-5 

ｉの 値 を ２増 加 し てStep-3へ

４.関 数f(x)と

そ の 導 関 数f'(x)が

の とす る),f(x)=0な

５.Pascalに

た,こ

出 力 し て 停 止 す る. も ど る.

与 え られ た と き(f'(x)は

連 続 関 数 で ある も

る 方 程 式 の 近 似 解 を 求 め る 方 法 と し て,ニ

ラ プ ソ ン(Newton-laphson)の 調 べ よ.ま

ら ば,'yes'と

ュー トン ・

方 法 が よ く知 ら れ て い る.こ の 解 を 求 め る 手 順 を

の 手 順 は ア ル ゴ リ ズ ム で は な い こ と を 示 せ.

は 複 素 数 型 の デ ー タ は 用 意 さ れ て い な い.そ

こで 複 素 数 型 を

complex=record x:real; y:real end;

とい う よ うに 直 交 座 標 系 で 表 現 す る場 合 と, complex=record r:real; theta:real end; と い う よ う に,半 あ る.複

径 と Ｘ 軸 と の な す 角 度 に よ る 極 座 標 系 の ２種 類 の 表 現 形 式 が

素 数 間 の 演 算 と し て 加 減 乗 除 を 考 え る こ と に す る.ど

も １複 素 数 が 二 つ の 実 数 に よ っ て 表 現 さ れ る.し

か し な が ら,同

ち らの 表 現 方法 じ複 素 数 型 の

数 シ ス テ ム を 表 現 し な が ら も 異 な っ た 型 の 表 現 と な る.   ２ 複 素 数x,yを

加 算 した 結 果 を値 とす る関 数addcomp(x,y),減

とす る 関 数compsub(x,y),同 (x,y)を

６.あ

算 の 結 果 を値

様 に乗 算,除 算 に 対 してcompmult(x,y),compdiv

そ れ ぞ れ の 表 現 形 式 に 合 わ せ て プ ロ グ ラ ム せ よ.

な た の 自 宅 か ら学 校 ま た は 勤 務 先 ま で ど の よ う し た ら 到 達 で き る か,階

層 的 な 箇 条 書 き に よ る 説 明 法 を 用 い て 記 述 せ よ.階   (１) 

自 宅 か ら徒 歩 で 三 鷹 駅 に 行 く.

  (２)  三 鷹 駅 か らJR中

と い う よ う に,ま え ば,上

層 的 な 記 述 と は,

央 線 の 電 車 に 乗 り,東 京 駅 で 下 車 し 八 重 州 口 に 出 る.

ず 大 ま か な 説 明 を し,そ

の 記 述 の(１)に

の 後 に 各 項 目 を さ ら に 詳 し く,た

つ い て は,

  (1-1) 

自 宅 前 の 幸 い 通 り を 北 に300m行

  (1-2) 

天 神 通 り との 交 差 点 を 右 に 曲 が り,東 に50mほ

  (1-3) と い う よ う に 階 層 化 す る 方 法 で あ る.

き, ど行 っ た と こ ろ で

と

[２] アル ゴ リズムの評価

2.1ア

ル ゴ リズム の記述

  ア ル ゴ リズ ム な どの 記 述 は,正 確 で あ い ま い さの な い こ とが 重 要 で あ る.一 般 に 用 い られ て い る記 述法 で,も

っ と もこの 要 求 に合 致 して い るの は,数 学 で

用 い られ て い る記 法 で あ ろ う.ゆ え に,ア ル ゴ リズ ム の 記 述法 に も多 くの 数 学 的 記 法 が 取 り入 れ られ て い る.   しか し,そ の ほ とん どは,数 学 を 少 しで も学 ん だ 人 々 に は 自明 な記 法 で あ る の で,こ

こ に 一 つ ず つ 紹 介 す る こ とな しに使 用 させ て 頂 く.簡 単 な例 を あ げ る

と, x+y*z x2-3.14＞z

string='abc'

な ど で あ る.た

だ し,最

後 の 例 で は 変 数stringの

か 否 か と い う命 題 を 表 現 し て お り,そ BASICで

のstringに'abc'を

あ ま り一 般 的 で は な い が,ア

値 が 文 字 列'abc'に 等 し い

の 値 は 真 ま た は 偽 で あ る.FOTRANや

代 入 せ よ と い う 意 味 で は な い こ と に 注 意 し よ う. ル ゴ リズ ム や プ ログ ラム に関 す る記 述 に しば し

ば 用 い ら れ る 記 号 と記 法 を 表2・1に

紹 介 し て お く.

  ア ル ゴ リ ズ ム の 記 述 と は 直 接 関 係 は な い が,あ

い まい さの 生 じや す い記 述 に

表2・1

記号

意

←

味

例

右辺の値 を計 算 しその値 を左辺の変数 に代入す る 〓右辺 と左辺 の変数 の値 を入れ換え る

〓α」

X←2+a X〓Y

実数値 を取 る数式αの値 を越 えない最 大の整数 を表す

〓3.5」=3 〓4.0」=4

「α〓

実数値 を取 る数式αの値 を以上の最 少の整数 を表す

「3.5〓=4 「4.0〓=4

対 す る 幾 つ か の 約 束 を 定 め て お こ う.最 つ い て 触 れ て お く.厳

密 な 議 論 は 第 ３章3.3節

図 に よ る 表 現 に 限 る こ と に す る.Ｘ る Ｘ に は,２

初 は変 数 とそ の値 に つ い て の 記 述 法 に で さ れ る が,こ

こで は主 と して

が あ る 変 数 を 表 し て い る と き,文

中 に表 れ

と お りの 意 味 が あ る.

  そ の 一 つ は 変 数 名 を 表 し,他

方 は 変 数 Ｘ の 値 を 表 し て い る 場 合 で あ る 「そ の

答 は 変 数 Ｘ に 格 納 さ れ て い る 」と い う場 合 は 前 者 で あ り,「 Ｘ を ４ で 割 っ て 四 捨 五 入 す る 」と い う 場 合 は 後 者 に な る.こ は,var(X),val(X)と

の 区 別 を厳 密 に す る 必 要 の あ る と き に

記 述 す る こ と に す る.

  前 の 二 つ の 例 文 は,「そ の 答 は,var(X)に ４で 割 っ て 四 捨 五 入 す る 」と な る.ま

格 納 さ れ て い る 」お よ び 「val(X)を

た,var(X)の

値 が'abc'で

あ る こ と を図

で 表 現 す る と,

と な る.Pascalで ル

ドX,Y,Zか

は,デ

ー タ が 階 層 的 に な っ て い る こ と が 多 い が,Ｒ

ら な る レ コ ー ド で,X,Y,Zの

値 が そ れ ぞ れ'a',123,trueで

が フ ィー あ る と

き は,

と な り,配 列A[1..3]の 図 的 表 現 は,

各 要 素 の 値 が そ れ ぞ れ3.14,365,1.732で

あ る と きの

と な る.   上 記 の 変 数 の 場 合 に 限 ら ず,一 い る の か,そ

般 的 に書 か れ て い る もの が そ れ 自身 を示 して

の 意 味 す る もの を 表 し て い る の か が 問 題 に な る こ とが た び た び 生

ず る.   た と え ば,Pascalのif文 if

は,

Boolean_expression

と表 現 さ れ た と き,if,then,elseの

then

statement

else

statement

単 語 と, Boolean_expresseion,statement

な ど の 単 語 と は 書 か れ た 意 味 が 異 な っ て い る.   前 者 はif文

の 構 成 要 素 そ の もの,つ ま りifやthenは

に 書 か れ る も の で 終 端 記 号(terminal

symbol)ま

そ の ま まプ ロ グ ラ ム の 中

た は 単 に 記 号(単 語)と 呼 ば れ

て い る.   後 者 は,そ

こ に 書 くべ き も の の 意 味 を 示 し て お り,超 記 号(meta-symbol)ま

た は メ タ 記 号(メ タ 単 語)と 呼 ば れ て い る.   上 記 の 例 で は,両

者 の 区 別 が な い の で メ タ 記 号 と終 端 記 号 と が 判 明 せ ず,正

確 な 意 味 を つ か む こ と が む ず か し い.こ う に,終

の ２種 類 の 記 号 を 正 し く区 別 で き る よ

端 記 号 に は ア ン ダ ー ラ イ ン を す る,"記

で く く る と か,終

端 記 号 に は 英 単 語,メ

号 で く く る,メ

タ 記 号 を<>

タ記 号 に は 日本 語 とい う よ う に言 葉 と

か 文 字 を 変 え る な ど の 方 法 を 取 っ て い る.   本 書 で は,終

端 記 号 を"記

号 で く く る 方 法 を 採 用 す る こ と に す る.前

のif

文 の 例 は, "if"

B

oolean_expression"then"

statement"else"

statement

と い う よ う に な る.   本 書 に お け る ア ル ゴ リ ズ ム の 記 述 法 は,大   そ の 第 １は,上

き く ３種 類 に 分 類 さ れ る.

記 の 数 学 的 また は約 束 され た 記 法 を 含 ん だ 自然 言 語 で 箇 条 書

さ れ た 一 連 の 命 令 ス テ ップ か ら 成 り,特

に 指 定 の な い 場 合 は 先 頭 の ス テ ップ か

ら 実 行 す る も の と す る.   第 ２の ア ル ゴ リ ズ ム の 記 述 法 は,フ 法 は,視

ロ ー チ ャ ー トに よ る もの で あ る.こ

覚 的 な わ か り や す さ が 特 徴 で,こ

の方

こ で は 主 と し て 以 下 に 述 べ る 第 ３の

図2・1

方 法 に よ る ア ル ゴ リ ズ ム 記 述 の 補 助 的 な 役 割 と して 使 用 さ れ る の み で あ る の で, 図2・1の

よ う な ご く基 本 的 な 構 成 要 素 の み で 記 述 す る こ と に す る.

  第 ３ の 記 述 方 法 は,Pascalの の で あ る.前

者 は,も

プ ロ グ ラ ム ま た は 擬Pascalプ

ロ グ ラム に よる も

っ と も正 確 で あ い ま い さ の な い 記 述 で あ る が,細

で 厳 密 な 記 述 を 必 要 と し な い 場 合 に は 適 当 で は な い.た

と え ば,あ

部 に ま

るプ ロ グ ラ

ム で 用 い ら れ て い る ア ル ゴ リ ズ ム を 記 述 す る の に プ ロ グ ラ ム 自身 で 示 さ な け れ ば な ら な い の は,ナ

ン セ ン ス で あ ろ う.か

と い っ て,第

さ が 多 す ぎ る と い う 場 合 に は,後 者 の 擬Pascalプ

１の 方 法 で は あ い ま い

ロ グ ラ ム が しば し ば 用 い ら れ

る.   擬Pascalプ

ロ グ ラ ム と は,あ い ま い さ の 入 り 込 ん で く る の を 避 け た い 部 分 に

は,Pascalの

文 章 を 用 い,既

し な い と こ ろ に は,自   た と え ば,擬Pascalプ Var

に わ か っ て い る こ とや あ ま り正 確 な 記 述 を 必 要 と

然 言 語 を 用 い た 折 衷 文 で 表 現 さ れ て い る. ロ グ ラ ム に お い て は,プ

V1,V2,…,Vn:integer;

ログラム中 に

の よ うな 自然 言 語 的 な 表 現 も許 され る.擬Pascal文

に は,正 式 な文 法 な ど は な

く,意 図 した 意 味 が あ る程 度 正確 に表 現 で きれ ば よい もの とす る.   二 つ の 正 整 数x,yの

最 大 公 約 数 を求 め る有 名 なユ ー ク リ ッ ドの互 除法 の アル

ゴ リズ ム を そ れ ぞ れ の 方 法 で 表現 す る と,図2・2の Step1:も

しx
Step2:z← Step3:も

あ れ ばx〓yを 〓x/y」

しx-yz=0な

Step4:x←y,y←zを

よ う にな る.

実 行 す る

を 実 行 す る ら ば,  ｙを 最 大 公 約 数 と し,ア

ル ゴ リズ ム を停 止 す る

実 行 し た 後,Step2へ

(ａ)自

(ｂ)フ

然 言 語 に よ る記 述

ロ ー チ ャ ー トに よ る 記 述

(ｃ)擬Pascalに

図2・2 

よ る記 述

３種類 の ア ル ゴ リズ ム 表 記 法

2.2   2.2.1評

アルゴリズムの計算時間 価基準 について

  第 １章 で 述 べ た よ う に,プ

ログ ラム の評 価 の 方法 に は 種 々 な評 価 基 準 が 考 え

られ る う え に,数 量 的 な 評 価 が む ず か しい もの や,相

異 な る基 準 間 の 数 量 的 関

係 が 明 確 で な い こ とな どか ら,総 合 して一 次 元 的 な評 価 は 困 難 で あ る.こ の 章 で は,ア ル ゴ リズ ムの 評 価 基 準 を も っ と も数 量 化 しや す い計 算機 資 源(計

算時

間 や 記 憶 容 量)の 立 場 か ら議 論 す る こ とに す る.   計 算 の 遂 行 に際 して,評 価 の 基 準 と な る 資源 の 主 た る もの は,計 算 時 間 と占 有 記 憶 領 域 で あ る.他 の評 価 基 準 に比 べ て数 量 化 が 容 易 で あ る この 二 つ の 間 で さ え も,一 方 を小 さ くす れ ば 他 方 が 増 大 す る とい う一 般 的 傾 向 は認 め られ て も, 数 値 的 な 等 価 交換(trade

off)の 関 係 を求 め る こ と はむ ず か しい 問 題 と な っ て

い る.   現 在 の 計 算機 で は,す べ ての 計 算 が フ ォ ン・ノイ マ ン(von

Neumann)方

式,ま

た は逐 次 計 算 型 と も呼 ばれ る方 式 で 直 列 的 に計 算 して い る.こ の 方 式 で は,あ る一 時 点 で は一 つ の デ ー タ しか ア ク セ ス で きな い た め に,占 有 記憶 領 域 が計 算 の 複 雑 さの 増 大 と と もに飛 躍 的 に大 き くな る こ とは 少 な く,大 多 数 の 場 合 が 入 力 デ ー タ の 量 と必 要 と され る記 憶 容 量 は線 形 の 関係 に お さ え られ る.   逆 に,逐 次 計 算 で あ るが ゆ え に,計 算 時 間 と 入 力 デ ー タの 量 との 関 係 は,計 算 内容 に よ っ て 大 幅 に 変 化 す る.立 場 を 変 え て み る と,フ

ォ ン・ノ イ マ ン型 の

計 算 機 で は,ア ル ゴ リズ ム の善 しあ しに よ って 大 きな 影 響 を受 け る の は,占

有

記 憶 容 量 よ りはむ しろ計 算 時 間 で あ る とい え る.   以 上 の 理 由 か ら,ア ル ゴ リズ ム の 第 １の評 価 基 準 は そ の計 算 時 間 とす る こ と が 一 般 的 とな っ て い る.現 在 研 究 段 階 に あ る並 列 計 算 を 主 とす る計 算 方 式 が 実 現 した暁 に は,計 算 に 必 要 と さ れ る処 理 機 の 数 や 記 憶 量 な どの 基 準 の 比 重 が 増 大 す るで あ ろ う.し か し,計 算 時 間 と処 理 機 の 数 や 記 憶 容量 との 間 の 等 価 交 換

を 求 め る こ と は,む

2.2.2ア

ず か し い 問 題 の 一 つ と して 残 る で あ ろ う.

ル ゴリズムの計算 時間

  ア ル ゴ リズ ムの 計 算 時 間 だ け を評 価 の 基 準 と して も,ま だ 多 くの 問 題 点 が 生 じて くる.ま ず,簡

単 な例 を幾 つ か あ げて み よ う.

  【 例 １】   あ るア ル ゴ リズ ム はＡ 計 算 機 で は10秒 かか り,Ｂ計 算機 で は12秒 か か った とす る.も う一 つ の ア ル ゴ リズ ム で は,同 じデ ー タに 対 しＡ計 算 機 で は14秒

か か り,

Ｂ計 算 機 で は ９秒 で あ っ た とす る.ど ち らの ア ル ゴ リズ ム が 優 れ て い るで あ ろ う か?   【例 ２】   同 じ問題 を解 くアル ゴ リズムA1,A2が 計 算 時 間 は ３秒 で あ り,A2で

あ る.10個 の デ ー タ に対 して はA1で の

の計 算 時 間 は ５秒 で あ っ た.ま た,50個

に 対 して はA1が60秒,A2が55秒

の デー タ

で あ った とす る とき,ど ち らの アル ゴ リズム が

優 れ て い るで あ ろ う か?   【 例 ３】   同 じ内 容 で表 現 の異 な る ２種 の デ ー タD1,D2あ ル ゴ リズ ムA1,A2が A2はD1に

あ る.A1はD1に

対 して は ８秒,D2に

り,二 つ の 同 じ問 題 を 解 くア

対 し10秒,D2に

対 して は15秒

か か っ た.

対 して は20秒 の 計 算 時 間 で あ っ た と き,ど ち ら

の ア ル ゴ リズ ム が優 れ て い るか?   そ れ ぞ れ の 例 に つ い て,こ れ だ け の 数値 で ア ル ゴ リズ ム の 優 劣 が つ け られ る と考 えて い る わ け で は な い が,   (１)ア

ル ゴ リズ ム を構 成 して い る演 算 に対 す る機 械 の 計 算 速 度 の 相 違

  (２)計

算 の デ ー タ量 に 対 す る計 算 量 の 変 化 の相 違

  (３)異

な った デ ー タ の 表 現 に対 す る計 算 量 の相 違

な どに対 して どの よ うな 評 価 を下 す か とい う問題 を提 起 して い る.   簡 単 な ア ル ゴ リズ ム の 具 体 例 を考 え よ う.以 下 の プ ロ グ ラム は,寸 法 ３の 配 列 Ｘ の 中 の 整 数 で最 大 の もの を求 め る アル ゴ リズ ム で,配 列 の 中 の ３整 数 は す

図2・3 

最 大 値 を求 め る簡 単 な ア ル ゴ リズ ム の 例

べ て異 な る もの とす る.   い ま,図2・3で MX5ま

与 え られ た最 大 値 を求 め る手 順 を 図 に示 され た よ うに,MX1∼

で に 分 割 す る と,各 部 分 の 実 行 回数 は MX1…1(1) MX2…3(n) MX3…2(n-1) MX4…

ａ

MX5…2(n-1)

とな る.MX4の

実 行 回 数 ａは 与 え られ た デ ー タの 配 置 に よ って 変 化 す る.そ れ

ぞ れ の 配 置 に 対 して ａの値 は X[1]<X[2]<X[3]…0 X[1]<X[3]<X[2]…1 X[2]<X[1]<X[3]…0

X[2]<X[3]<X[1]…1 X[3]<X[1]<X[2]…1 X[3]<X[2]<X[1]…2 と な り,そ

れ ぞ れ の 配 置 の 出 現 確 率 が 等 しけ れ ば,ａ

MX1,MX2,…,MX5の

の 値 は 平 均5/6で

実 行 時 間 を そ れ ぞれT1,T2,…,T5と

あ る.

す れ ば,こ の ア ル ゴ リ

ズムの平均 の実行時 間Ｔ は

T=T1+3*T2+2*T3+(5/6)*T4+2*T5 と な る.max_index=nと

し た と き の ａの 値 は,デ

ー タ の 起 こ り う るす べ て の

配 置 が 等 確 率 で あ る とす れ ば, 最 少回数

…

０

平均 回 数

…Hn-1

最 大回数

…n-1

標準偏差

…(Hn-Hn2)1/2 で あ る)

(た だ し, と な る こ と が 知 ら れ て い る(付 録 Ｂ参 照).

  こ の ア ル ゴ リズ ム の 解 析 結 果 は,ア ル ゴ リズ ム を実 行 時 間 で評 価 す る と きの 前 述 の 各 疑 問 に 対 して,ほ

ぼ 完 全 な解 答 を含 ん で い る.各 演 算 の計 算 速 度 の 相

違 に 対 して は,評 価 式 に 各 演 算 別 の項 を設 け た こ と に よ り,種 々の 演 算 速 度 の 機 械 に対 して も各 演 算 の 実 行 時 間 が わ か れ ば評 価 で き る.   デ ー タ の構 成 に起 因 す る計 算 量 の 変 化 に対 して は,統 計 的 見 地 か らの 評 価 を して い る.最 後 に,デ ー タ量 の 変 化 に対 して は,評 価 式 の 中の 各 項 が,デ

ータ

量(こ こ で の例 で は ｎ)を 表 す 変 数 の 関 数 と して表 現 さ れ て い る.前 例 で の デ ー タ量 を ｎ とす る と平 均 実 行 時 間T(n)は, T(n)=T1+n*T2+(n-1)*T3+Hn*T4+(n-1)*T5 と 表 現 さ れ る.

2.2.3デ

ー タ 量 に対 す る 計 算 時 間

アル ゴ リズ ム を 設計 す る際 に は,で

き るだ け一 般 化 を して 広 い適 用 範 囲 を持

つ よ う に 考 え る こ とが よ い ア ル ゴ リ ズ ム を 作 る 秘 訣 の 一 つ と さ れ て い る .よ ア ル ゴ リ ズ ム ま た は 一 般 的 な ア ル ゴ リ ズ ム は,プ 法 に よ っ て あ ま り 変 化 せ ず,繰

い

ロ グ ラム の 寸法 が デ ー タの 寸

り返 し計 算 の 回 数 に 影 響 を 与 え て い る.こ

の こ

とは ノ イマ ン型 の 計 算 アル ゴ リズ ム の 基 本 的 な 性 質 で あ る.   こ の 項 で は,こ

の デ ー タ の 寸 法 と計 算 時 間 と の 関 係 を も う 少 し詳 し く検 討 し

て み る こ と に す る.   い ま,同

目 的 の 二 つ の ア ル ゴ リズ ムA1,A2の

ｎ に 対 し て そ れ ぞ れT1(n),T2(n)と

平 均 計 算 時 間 が,デ

ー タの 寸 法

す る とき

T1(n)=45+12n+0.001・2n T2(n)=12+30・n2

と 与 え ら れ た と し た と き,ど   表2・2に

示 し た よ う に,こ の 二 つ の ア ル ゴ リ ズ ム は デ ー タ の 個 数 に よ っ て そ

れ ぞ れ の 優 劣 が 変 わ る.n=1の n=30の

の よ う な評 価 をす べ きで あ ろ うか .

と き はA2が

と き はA2が,  n=10,20の

と き はA1が,そ

して

勝 っ て い る. 表2・2

  デ ー タの 数 が 固 定 して い る場 合 の議 論 な らば,T1,T2の

値 が 少 な い ほ うが

優 れ た ア ル ゴ リズ ム とい う こ とが で き るが,一 般 に は アル ゴ リズ ムの 設計 段 階 で デ ー タの 数 が 定 まっ て い る こ とは少 な い.こ の よ う な場 合 に は,デ ー タ の 数 が 非 常 に大 きい 場 合 を想 定 して 評 価 す るの が 普 通 で あ る.   そ の 理 由 は,多

くの ア ル ゴ リズ ム の計 算 時 間 関 数 が デ ー タの 数 に対 して 線 形

以 上 の 増 加 率 を示 し,物 理 的 ま た は経 済 的 条 件 か らの 実 際 の 計 算 可 能 性 が 問題 と な る の は,デ

ー タ 数 が 大 き くな っ た と きで あ る.

  前 例 の場 合,計 算 時 間 の 単位 が秒 で あ っ た とす る とデ ー タ数10で

は アル ゴ リ

ズ ムA1は

３分 弱,A2は

数 が30と

な る と,Alは12日

る.A1,A2と で は,A2の

も に,適

約 ５分 で あ り),た い し て 困 難 な 状 況 に は な い が,デ 半,A2は7.5時

ー タ

間 と な り,そ の 差 は 大 き く な っ て い

用 デ ー タ 数 に 論 理 的 な 制 限 は な い.し

か し,実

ほ う が 広 い デ ー タ 適 用 範 囲 を 持 っ て い る こ と か ら,A2の

際 の計算

方 がA1よ

り

も 優 れ た ア ル ゴ リ ズ ム で あ る と い え る.   数 学 の 分 野 で 用 い ら れ て い る Ｏ 関 数(big-oh

function)が

デ ー タ数 を 固 定 し

な い 場 合 の ア ル ゴ リ ズ ム の 一 般 的 評 価 の 考 え 方 を 的 確 に 表 現 し て い る こ と か ら, こ の 関 数 に よ る ア ル ゴ リズ ム の 評 価 法 が 広 く用 い ら れ て い る.   Ｏ 関 数 は,実

数 を 引 数 と し実 数 を 値 と す る 関 数 の 中 で 引 数 が 非 常 に 大 き く な

っ た と き に,も

っ と も増 加 率 の 大 き い 項 が 等 し い 関 数 の 集 合 を 表 し て い る(詳

し く は 付 録 Ａ 参 照).   た と え ば,

f(x)=31x2+431x+560 g(x)=10334-568logx+0.095x2 h(x)=(x+x1/2)2+3.17x+607

図2・4

な どの 関 数 はす べ て最 大 増 加項 と してx2を もつ グル ープO(x2)に  表2・2の

例 で は,T1(n)はO(2n)に

属 し,T2(n)はO(n2)に

含 まれ て い る.

属 している.明 らか

にT1の 増 加 率 の ほ うが 大 き い こ とが わ か る.   代 表 的 な関 数 に 対 す る計 算 時 間 をn=10の 係 数 値 を 正 規 化 し た もの を図2・4に

と きに関 数値 が 等 し くな る よ うに

示 した.こ の 図 か らだ け で は,相 異 な る増

加 率 と係 数 との 関 係 は捕 え に くい で あ ろ うが,お

お よそ の 関 係 は つ か む こ とが

で き る で あ ろ う.   以 上 の 結 果 を ま とめ る と,一 般 的 な ア ル ゴ リズ ム の計 算 時 間 に よ る評 価 方法 は,次 の 順 番 で評 価 して最 初 に優 劣 が つ い た もの を採 用 す る もの とす る.   (１)平

均 計 算 時 間 の デ ー タの 寸 法 に 対 す る最 大 増 加 率 が 小 さ いほ ど よい.

  (２)最

大 増 加 率 の 係 数 が 小 さ い ほ ど よい.

  (３)計

算 時 間 の 分 散 が 小 さ い ほ ど よい.

  この 評 価 方 法 は,一

つ の 目安 で あ っ て絶 対 的 な もの で は な く,場 合 場 合 に よ

っ て評 価 順 序 が 入 れ 換 わ る こ と もあ る し,他 の 基 準 が取 られ る こ と もあ る.

  2.2.4計

算時間 の解析の例

  実 際 の具 体 例 に お け るア ル ゴ リズ ム の評 価 は,以 後 の 章 で 個 々 に学 ぶ の で, こ こで は 簡 単 な 一 例 だ け を示 す に と どめ る.   問題 とそ れ を解 くプ ログ ラム が 次 の よ うに 与 え られ て い る と き,こ のプ ロ グ ラ ムの 計 算 時 間 に つ い て解 析 して み よ う.

data_file=array[1..n]of record key:searching_key; cont:information end と い う構 造 の デ ー タ が あ る.x:searching_keyが (１)も

し,data_fileの

変 数posに

与 え ら れ た と き,

中 に ｘ と 等 し い 鍵 を 持 つ レ コ ー ドが 存 在 す る と き は,

そ の レ コ ー ドの 配 列 内 で の 位 置 を,

  (２)そ

う で な い と き に は,変

数posに

０ を 代 入 す る.

  こ の 問 題 を解 くプ ロ グ ラ ム の 一 例 は procedure

search(A:data_file;

var

pos:integer);

var i:1..n;

found:Boolean;

begin found

:=false;

pos

:=0;…(１)

while(i<=n)and(not

found)

do…(２)

begin pos

:=pos+1;…(３)

if A

[i].key=K

found

then…(４)

:=true…(５)

end; if i>n

then

pos

:=0

else

pos

: =i…(６)

end; の よ う に な り,こ の 手 順 の 実 行 部 分 の(1),(2),…,(6)の に そ れ ぞ れt1,t2,…t6の

各 行 を １回 実 行 す る の

時 間 が か か る も の と す る.ま

た,配

ドが 探 索 さ れ る 確 率 はA[1]がp1,A[2]がp2,…,A[n]がpnで   検 索 の ア ル ゴ リ ズ ム の 評 価 を す る と き に は,検 ァ イ ル 中 に あ る 場 合,す

列 中の各 レコー あ る.

索 す る 鍵 を持 つ レ コ ー ドが フ

な わ ち 検 索 に 成 功 す る 場 合 と,鍵

が フ ァ イル 中 に な い

場 合 す な わ ち 不 成 功 の 場 合 と 分 離 し て 考 え る の が 一 般 的 で あ る.   そ の 理 由 は,成

功 に 終 わ る 鍵 に 対 し て は,検

索 確 率 が 求 め ら れ て も,不

に 終 わ る 検 索 の 鍵 の 種 類 が ど の よ う な も の で あ る の か 不 明 で あ り,そ

成功

の 検 索確

率 が 求 め ら れ な い こ と に よ る.   しか し な が ら こ こ で は,不 成 功 の 場 合 の 確 率 も わ か っ て い る も の と して 扱 う. こ の よ う に 仮 定 し て お け ば,成

功,不

成 功 の 場 合 を分 離 し た 場 合 の 解 析 も,特

殊 例 と し て 扱 う こ と が で き る か ら で あ る.   こ の 場 合,成

功 に 終 わ る 確 率Psは

で あ り,不 成 功 に終 わ る場 合 の 確 率Puは Pu=1-Ps

で あ る.最 初 に,不 成 功 の 場 合 を解 析 して み よ う.不 成 功 の 場 合 に は,検 は フ ァ イル 内 の す べ て の レ コー ドの 鍵 と比 較 させ るの で,プ

索鍵

ロ グ ラム の 各 部 の

実 行 回 数 は, (１)…

１ 回

(２)…n+1回 (３)…

で あ る.(２)の

ｎ 回

実 行 回 数 がn+1回

た 後 に,i>nと

ｎ 回

(５)…

０

回

(６)…

１

回

とな っ て い る の は,ｎ 個 の レ コ ー ド と比 較 さ れ

な る こ と が,while文

理 式 はn+1回

(４)…

で 判 定 さ れ る.で

実 行 さ れ る こ と に な る.ゆ

え に,不

の 数 字 は 不 成 功 に 終 わ る 限 り一 定 で あ る.

  次 に,成

功 の 場 合 で あ る が,い

(１)…

,各 １

ｊ

索 鍵 が 配 列 の ｊ番 目 の レ コ ー ドの 鍵 と

部 の 実 行 回 数 は, 回

(２)…j+1回 (３)…

ま,探

回

の論

成功の場 合の計算 時間 は

と な り,こ

一 致 して い た とす る と

あ る か ら,while文

(４)…

ｊ回

(５)…

１ 回

(６)…

１ 回

と な り,計

算 時 間 は,

と な る.よ

っ て,全

と な る.各

レ コ ー ドの 検 索 さ れ る確 率 が 等 し い と き に は,

体 と し て の 平 均 計 算 時 間Tavは,

とな り,平 均 計 算 時 間 は

と な る. 成 功 の 場 合 だ け の 解 析 はT'avの

式 でPu=0

,Ps=1と

お け ば よ く,

平均計算 時 間: 最 短計算 時 間: 最 長計算 時 間: で あ る.ま

た 不 成 功 と な る と き は,先

に 求 め た よ う に,

計 算時 間: で一 定 で あ る.   平 均 計 算 時 間 を Ｏ-関 数 で表 現 す る と,成功 ・不 成 功 の どち らの 場 合 もO(n)と な っ て い る の で,検

索 す る フ ァイ ル の 大 きさ に 比例 した検 索 時 間 が か か る こ と

が わ か る.

2.3ア

ル ゴ リズムの 改善

  こ の 節 で は,ア ル ゴ リズ ム の計 算 速 度 か らみ た評 価 を中 心 に ア ル ゴ リズ ム の 改 善 方法 につ い て 考 え る.計 算 速 度 を早 くす る方 法 は,大

き く分 け て,次 の 二

つ に分 類 で き る.   (１)計

算 機 で よ り高 い効 率 が 得 られ る よ うな 計 算 原 理 を 開 発 す る.

  (２)ア

ル ゴ リズ ム を改 善 す る.

  最 初 の 方 法 は,計 算 の た め の 原 理 を改 善 す るの で あ るか ら,こ れ は単 にプ ロ グ ラ ミ ン グ に特 有 の 問題 で は な い.た

と え ば,数 学 の 分 野 に お い て,微 分 方程

式 を解 く問 題 を代 数 方程 式 に翻 訳 して,計 算 を簡 易 化 す る演 算 子法 な ど は そ の 典 型 的 な もの で あ る.   計 算 機 に密 接 した 数値 計 算 の分 野 に お い て,も う少 し専 門 的 な 例 で は あ るが, 周 期 関 数 の 調 和 解 析 が あ る.問 題 の 要 点 は,

な る級 数Ckを 計 算 す る こ とで あ るが,計 算 機 に よ る数値 計 算 が 実 用 され 始 め た 時 代 に は,f(t)の

部分 区 間 を二 次 方 程 式 で近 似 す るな ど して 上 式 の 数 値 積 分 を

い か に早 く正 確 に 実 行 す る か が い ろ い ろ工 夫 され た.   現 在 で は,時 系 列 解 析 法 に基 づ い たFFT(Fast 開 発 に よ り,精 度,速

Fourier

Transform)技

法の

度 と もに 大 幅 に改 善 され て い る.

  この 種 の 方 法 は,そ れ ぞ れ の 問題 に 固有 な解 決 方 法 を と らな け れ ば な らず, また 前 に も述 べ た よ う にプ ログ ラ ミン グ 以 前 の 問 題 で あ る.こ れ に対 して,第 ２の 方 法 は,計 算 の 原 理 的 な と こ ろ は 変 え ず に,計 算 量 を改 善 した り,多 少計 算 の 原 理 的 な と こ ろ を変 更 して も,そ れ は そ の 問 題 に特 有 で は な く普 遍 的 に適 用 で きる 手法 で あ る とこ ろ が 前 者 と異 な る点 で あ る.   以 下 に 幾 つ か の 具 体 的 な 方法 につ い て検 討 しよ う.

  2.3.1演

算 回数 の 減 少,短

時間演算への 置き換え

  計 算 時 間 の短 縮 の た め の 方法 は,究 極 的 に はす べ て こ の 方法 に分 類 され て し ま うが,こ こ で は特 にそ の 計 算 固 有 の 知 識 や 技 巧 を必 要 と しな い 常識 的 な もの, た とえ ば 乗 除 算 を で き るだ け少 な くす る こ とな どで あ る.   有 名 な例 では,数 式 の 中の2*xや4*yな

どは,x+x,y+y+y+yに

置 き換

え た ほ うが早 く実 行 さ れ る計 算 機 が 多 い.   ま た, …(１)

とい う よ うな 多項 式 の値 ｙ をあ る ｘ の値 につ いて 計 算 す る とき,(１)式 の ま まで計 算 す る よ りは …(２)

と して 計 算 す る と,(１)式で は 乗 算 を{n(n+1)/2}回

と加 算 ｎ 回 実 行 す るが,(２)式

で は 乗 算 ｎ 回,加 算 ｎ 回 と減 らす こ とが で き る.多 項 式 の 次 数 を ｎ とす る と,(１)式 で は 乗 算 の 実 行 回 数 がO(n2)で

あ る の に 対 し(２)式 で はO(n)と

な っ て い る.

  2.3.2計

算 した結果の有 効利用

  も っ と も簡 単 な 例 は,プ ロ グ ラ ム の 中 で 同 一 の 計 算 を 複 数 回 実 行 す る場 合 に, 一 度 計 算 した 内 容 を後 に利 用 で き る よ うに保 存 して お き

,以

後 の計 算 は しな い

で 済 ま す こ と に よ り計 算 時 間 が 節 約 で き る.   節 約 さ れ る 計 算 量 は,保

存 し て あ る 内 容 を 得 る た め に 費 や した 計 算 量 が 大 き

い ほ ど 大 き い.   た と え ば, if

getmax(A)>current_max

と い う よ う なif文 temp_max

then

current_max:=getmax(A);

が と き ど き見 ら れ るが,getmax(A)の

計 算 量 が 多 い と きに は,

:=getmax(A);

if temp_max>current_max

then

と す る こ と に よ っ てgetmax(A)を

current_max

:=temp_max;

２度 計 算 す る こ と が 避 け ら れ る.

  ま た, for

は,前

i :=1

to

10 do

S[i] 

:=Z*exp(-A*i);

に 計 算 し た 値 を 用 い て,

curr_S:=Z; delta:=exp(-A); for

i

:=1

begin

to

curr_S

10 do :=curr_S

S[i]:=curr_S と す れ ば,計

* end;

算 速 度 は 改 善 で き る.し

ロ グ ラ ム の 読 み や す さ は 損 な わ れ,プ も 生 じや す く な る.こ

delta;

か し,こ

の 方 法 を 過 度 に 適 用 す る と,プ

ロ グ ラ ム の 意 味 は 取 り に く くな り,誤

り

の あ た りの 効 果 を十 分 に 考 慮 して適 用 す る よ う に注 意 し

な け れ ば な ら な い.   次 の 例 は,も

う 少 し 高 レ ベ ル の 既 計 算 結 果 の 利 用 法 に つ い て 考 え る.実

プ ロ グ ラ ム や ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て は,後

章 に て 具 体 的 に 触 れ る の で,こ

際の こで

は そ の 考 え 方 の 一 例 を 示 す に と ど め る.   す べ て 重 さ の こ と な る ８個 の 宝 石 を 重 い 順 に 並 べ た い と考 え て い る.た だ し, 重 さ を 計 る 道 具 は 天 秤 ば か り し か な い も の と し よ う.   ま ず も っ と も重 た い もの を 見 つ け る の に,ス メ ン ト法 を 採 用 す る こ と に す る.そ

し て,も

ポ ー ツ な ど で 用 い ら れ る トー ナ っ と も 重 い もの を 取 り 除 い た 後,

残 りの も の に 対 し て 再 び 同 じ方 法 で 第 ２番 目 を み つ け る こ と に す る.最 ー ナ メ ン トの 結 果 が す る こ と は,両

,図2・5の

よ う に 得 ら れ た と す る.こ こ でa1とa2と

者 の 重 量 を 天 秤 で 比 較 す る こ と を 意 味 し,こ

う ち か ら再 度 トー ナ メ ン ト を 行 っ て も よ い が,こ

の勝負

の 例 で はa1の

が 重 か っ た こ と を 意 味 す る.２ 番 目 に 重 い も の を 求 め る の に,残 a5,a7,a8の

初の ト

ほう

りのa1,a2,…,

の た め に は ６回 の

天 秤 の 操 作 が 必 要 で あ る.

図2・5

  しか しな が ら,前 回 の トー ナ メ ン トの 結 果 を利 用 す れ ば,次 の 最 大 重 量 の も の はa6と 比 較 され た もの の 中 に あ る か ら, a4,a7,a5の 中 の どれ か で あ る こ とが わ か る.こ れ らの 中 か ら最 大 重 量 の もの を選 ぶ の に は,２ 回 の 天 秤 操 作 で 済 む こ とに な る.こ の 考 え 方 は,後 章 で学 ぶ ヒー プ ソー トの ア ル ゴ リズ ム の 主 要 な 鍵 とな っ て い る.

図2・6

  2.3.3分

割 ・処 理 ・統 合 に よ る 計 算 時 間 の 縮 小 化

  一 般 的 に,改 善 要 求 の 強 い ア ル ゴ リズ ム は デ ー タ数 ｎが 大 き くな る と,計 算 時 間 がO(n)に

比 べて 高 い増 加 率 を示 す ものに 多 い.計 算 時 間がO(log

n)に 属

す る よ う な もの は,一 応 は ｎ に対 し,増 加 関 数 で は あ るが 実 用 時 の 実 感 と して は,ほ

とん ど一 定 時 間 で 計 算 で き る とい っ て 過 言 で は な い.

  これ に比 べ て,個

々 の デ ー タ に対 して 計 算 す る こ とが 本 質 的 で あ る場 合 は,

ど う して も線 形(つ ま りO(n))以

上 の 増 加 率 とな って しま う こ とは 必然 で あ る.

こ の よ う に,デ ー タ 量 と と もに計 算 量 が増 加 す る よ うな場 合 に は,O(n)の ル ゴ リズ ム は得 られ な いまで もO(n

log log n)やO(n

ア

log n)で あるアル ゴ リ

ズ ム が 得 られ れ ば,ほ ぼ 最 適 と考 え て よ い.   与 え られ た アル ゴ リズム Ａ の デ ー タ 量 ｎに対 す る計 算 時 間T(n)の O(n)以

増 加 率 が,

上 で あ る もの と仮 定 す る.ｎ 個 の デ ー タ に対 しＡ を実 行 す るこ と と,

次 の 一連 の 操 作 を加 え た結 果 が 等 しい もの と仮 定 す る.   (１)ｎ

個 の デ ー タ に対 して アル ゴ リズ ムAPを

か らな るn/k個

施 してこれ を ｋ個 ず つの デ ー タ

の ブ ロ ック に分 割 す る.た だ し,ｋ は ｎに無 関 係 な定 数 で

あ る.   (２)お

の お の の ブ ロ ック に 対 して ア ル ゴ リズ ム Ａ を施 す.

  (３)(２)の

処 理 を受 けたn/k個

のブ ロックにアル ゴリズムAMを 適 用 して ｎ個 の

デ ー タ か らな る一 つ の ブ ロ ッ クへ の統 合 を行 う.   APの 計 算 時 間 をTP(n),AMの

と な る.第

計 算 時 間 をTM(n)と

２項 に 注 目す る と,T(k)は

間 は ｎ に比 例 す る時 間 す な わ ちO(n)と き い ほ う がO(T(n))よ

とす る と,Ａ

す れば,全 体 の実 行 時 間 は

ｎ に 無 関 係 で あ る か ら,こ の 項 の 計 算 時 な る.も

り も小 さ い,す

し,O(TP(n))とO(TM(n))の

なわち

で 計 算 す る の と同 じ結 果 を 得 る の に,(1),(2),(3)と

・統 合 に 分 け て 計 算 し た ほ う が ,計

大

算 時 間 の 増 加 率 を小 さ くで き る.

分割 ・ 処 理

  この よ うな 分 割 ・統 合 の ア ル ゴ リズ ム を う ま く見 つ け る た め の 組織 的 な手 法 は な く,APやAMは

Ａの 計 算 シ ス テ ム 依 存 して 設 計 され な け れ ば な らな いが,よ

り効 率 の よい アル ゴ リズ ム を求 め る と きの 一 つ の 常 套 手 段 とな って い る.   並 び 換 え(sorting)ア

ル ゴ リズ ム につ い て は,後 章 で 詳 し く触 れ る が,分 割

・処 理 ・統 合 の 具 体 的 な例 と して ク イ ッ ク ソー ト(quick

sort)の アル ゴ リズ ム

が あ げ られ る.整 列 の プ ロ グ ラ ム は,普 通 に な ん の 細 工 も しな いア ル ゴ リズ ム で は,デ ー タ の 数 ｎに 対 して 実 行 時 間 はO(n2)と

な っ て し ま う.

  問題 を簡 単 に す る た め に,ｎ 個 の 整 数 が 配列 に格 納 され て い て,こ れ を小 さ い順 に 整 列 させ る 問題 を想 定 す る.   ク ィ ッ ク ソ ー トの アル ゴ リズ ム の 要 点 は,整 列 させ るデ ー タ の 中か ら任 意 の 数 を選 び,そ

の 数 よ り も大 きい数 か らな るブ ロ ッ ク と小 さ な 数 か ら な る ブ ロ ッ

ク とに分 割 す る.こ の分 割 の ため の計 算 時 間 はO(n)で

可 能 で あ る こ とは 容 易 に

わ か る で あ ろ う.こ の 二 つ の ブ ロ ッ ク を別 々 に整 列 させ,そ

の 結 果 の ブ ロ ック

が 前 半 と後 半 と な る よ う に一 つ の ブ ロ ッ ク に統 合 す れ ば,目 的 の 整 列 した 数 の ブ ロ ッ クが 得 られ る.   連 続 した 領 域 に細 分 割 され た ブ ロ ック を統 合 す る に は,ブ

ロ ッ クの 数,ブ

ッ クの配 列 内で の 境 界 を変 更 す るだ けで あ るか ら,こ れ もO(n)以 で 可 能 で あ る.よ

と で き る.た

ロ

下 の計 算 時 間

っ て,ｎ が あ る定 数 ｋ よ り も大 きけ れ ば,

だ し,最

初 に 選 ん だ 数 の 期 待 値 は,全

数 の 平 均 値 と な る か ら,ブ

ロ ッ ク は ち ょ う ど ２分 さ れ る もの と仮 定 して い る.   実 際 の ク ィ ッ ク ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム で は,ｎ は な く,分

割 さ れ た ブ ロ ッ ク を さ らに分 割 す る とい う過程 を ブ ロ ッ クの 大 きさ

が ｋ に な る ま で 繰 り返 す.個 照).そ

個 の デ ー タ を ２分 す る だ け で

の 結 果,平

均O(n

の 繰 り返 しの 回 数 は,O(log log

n)の

n)と

な る(第 ６章 参

計 算 時 間 の 高 速 ア ル ゴ リズ ム が 得 ら れ る.

第 ２章

１.Pascalの

配 列 型 宣 言 文 に,必

練習問題

ず 出 現 す る 予 約 語 を 終 端 記 号 と し,そ の 他 の

構 成 要 素 を 適 当 な メ タ 記 号 と し て 用 い,配

２.与

え ら れ た 数 値 ｘ に 対 し,x50を

よ.た

だ し,乗

３.フ

ィ ボ ナ ッ チ 数 列F1,F2,…,Fn,…

列 型 宣 言 文 の 文 法 を 記 述 せ よ.

計 算 す る の に 必 要 な最 小 乗 算 回 数 を求 め

算 の 代 わ り に 加 算 を 用 い て は い け な い もの とす る.

は,

で 定 義 さ れ る 整 数 列 で あ る.ｉ が 与 え ら れ た と き にF1を を,自

然 言 語,流

４.正

則 な ｎ行 ｎ列 の 行 列 の 行 列 式 を 求 め る ア ル ゴ リ ズ ム(た

し法)を 擬Pascalの

５.n×nの   (１)行

れ 図,擬Pascalの

出 力 す る ア ル ゴ リズ ム

そ れ ぞ れ の 記 述 法 で 示 せ.

と え ば,掃

き出

記 述 法 で 示 せ.

行 列 間 演 算 に つ い て 以 下 の 問 い に 答 え よ. 列 の 積 演 算 は 要 素 間 の 和 演 算 と積 演 算 に よ り,次

の ように定義 され

て い る.

た だ し行 列A,B,C,はC=ABの 行 ｊ列 要 素 を 表 す も の と す る.

関 係 に あ り,cij,aij,bijは そ れ ぞ れ の 行 列 の ｉ

  行 列 の 積 の 計 算 に お け る要 素 間 の 和 演 算,積

演 算,行

列 式 の 回 数 を ｎの関 数

で 表 現 せ よ.   ま た,そ れ ぞ れ の 計 算 回 数 をで きる だ け簡 単 な Ｏ-記 法 を求 め よ.   (２)問

題 ４の 行 列 式 を求 め る一 方 法 に 注 目 し,そ の ア ル ゴ リズ ム の 中 で行

わ れ る四 則 演 算 そ れ ぞ れ の 回 数 を ｎの 関 数 で表 現 せ よ.

６.ア ル ゴ リズ ム の 計 算 速 度 の 改 善 の 方 法 と して, (１)  前 の 計 算 結 果 を利 用 す る方 法 (２)  分 割 ・統 合 に よ る方法 の お の お の に つ い て 本 文 に な い例 を一 つ ず つ あ げ よ.

[３] Pascalに

3.1デ

お ける 構 造 型 の デー タ

ー タ の 型

  計 算 機 の 機 構 に つ い て 学 ん だ 方 は,既

に よ く知 っ て い る こ と で あ る が,計

機 内 部 の デ ー タ は す べ て ２進 数 で 表 現 さ れ て い る.た 'Ａ'と い う 文 字 は ８桁 の 数01000001で 場

合0000010011010010と

  しか し な が ら,逆

,ま た1234と

と え ば,ASCII符

号での

い う 数 は ２バ イ ト １語 の

表 現 さ れ て い る. に 計 算 機 の 内 部 に 記 憶 さ れ て い る 数 を 見 た だ け で は,そ

が ど の よ う な デ ー タ を 表 現 して い る の か は わ か ら な い.0100000101OllO10と う 数 は,文

字 の デ ー タ と み れ ば'AZ'と

い う こ と に な る.そ グ で は,計

算

の た め に,ア

れ い

い う ２ 文 字 を,整 数 と み れ ば16730と

セ ンブ リ語 な ど の 低 級 言 語 で の プ ロ グ ラ ミ ン

算 機 内 部 の お の お の の デ ー タ の 持 っ て い る 意 味 に 対 し て,プ

ログ ラ

マ が 責 任 を 持 た な け れ ば な ら な い.   た と え ば,'Ａ'が01000001で,'Ｂ'が01000010で っ て い る プ ロ グ ラ マ は,'Ａ'と

い う 文 字 デ ー タ を 整 数 の デ ー タ と み な し て,

整 数 １ を 加 え る こ と に よ っ て01000010を 'Ｂ'にあ た る 符 号 が 得 ら れ た こ と に な る   こ の よ う に,整

表 現 され て い る こ と を知

得 る こ と が で き る.こ

の 結 果,文

字

.

数 の 演 算 を 利 用 し て 文 字'Ａ'を 文 字'Ｂ'に 変 換 す る と い う

よ う な 芸 当 が で き る 代 わ り に,取

り扱 って い る デ ー タの 属 性 をプ ロ グ ラ ミン グ

を し て い る あ い だ 中,常   こ れ に 対 し て,ほ て い る.Pascalで

と ん ど の 高 級 言 語 で は,取 は,整

デ ー タ 型 の ほ か に,さ は,Pascalの

に 意 識 し て い な け れ ば な ら な い.

数 型,実

数 型,文

り扱 う デ ー タ が 型(type)を

字 型,論

理 型,数

持 っ

え上 げ型 の 単 純 な

ら に い くつ か の 構 造 型 の デ ー タ を 持 っ て い る.こ

の章で

構 造 型 と 呼 ば れ る 複 合 デ ー タ の 構 成 法 に つ い て の 復 習 と,計

算 シ

ス テ ム と して の デ ー タ 型 と の 関 連 に つ い て 学 ぶ こ と に す る.

第 １章 で デ ー タ 型 とは,あ

る構造 を持 っ た デ ー タ の 集 合 と,そ の う え に定 義

され て い る操 作 や 演 算 とで構 成 され る「計 算 シ ステ ム」で あ る と して い る.   Pascalに

お け る こ の よ う な デ ー タ 型 の 中 で 典 型 的 な もの は 整 数 型 の デ ー タ で

あ る.   こ の 型 の 計 算 の 例 と し て,正 の 整 数m,nの 法 で 求 め る 関 数 プ ロ グ ラ ム を 図3・1に

図3・1ユ

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの 互 除

示 し た.

ー ク リ ッ ドの 互 除 法

  こ の プ ロ グ ラ ム 中 の 整 数 演 算div,*,一

や 述 語 く,=の

意 味 に つ い て は,多

くの 人 々 がPascalを

学 ぶ 以 前 か ら慣 れ 親 し ん で い た もの ば か り で あ る.こ の プ

ロ グ ラ ム で 変 数gcd,

n, m,

rが 整 数 型 と し て 宣 言 さ れ て い る こ と は,こ

変 数 が 整 数 を 表 現 し て い る こ と だ け で は な く,演 =な

算 記 号+,-,*ま

れ らの

た 述 語 く,

どが どの よ うに 計 算 され る か を も定 め て い る.

  同 じ記 号 で も実 数 型 の 場 合 は 計 算 の 仕 方 は 違 っ て い る.つ は,単

ま り,デ ー タ の 型

に デ ー タの 集 合を指 示 す るだ け で な く,同 時 に そ の 集 合 の 要 素 また は他

の デ ー タ型 との 関連 を定 め た 演 算*で 構 成 さ れ る計 算 シス テ ム で あ る.

一 言 で い えば

,こ

の 場 合 の デ ー タの 型 とは

構 成要 素の集合

そ の 集 合 上 や 他 の 型 との 関 連

+

(デ ー タ)

した機 能(計 算 の 方法)

の 双 方 か らな る計 算 シ ス テ ム を代 表 す る言 葉 とい え る.   Pascalで 用 者 が,基

は,こ

の よ う な 「計 算 シ ス テ ム 」と 考 え ち れ る デ ー タ 型 の ほ か に,利

本 的 な デ ー タ を 複 合 さ せ て,さ

る よ う な 機 能 が 備 わ っ て い る.ま functionも

た,演

自 由 に 定 義 で き る が,こ

チ ッ ク に 関 連 づ け て,Pascalの

ら に 複 雑 な 構 造 の デ ー タ を構 成 で き

算 や 操 作 を 定 義 す るprocedureま

たは

れ ら の デ ー タ 型 と 演 算 ・操 作 と を シ ス テ マ

処 理 シ ス テ ム の 中 に新 しい 計 算 シ ス テ ム を意 識

さ せ る よ う な 機 能 は 備 わ っ て い な い.

  Pascalで 構 成 さ れ る構 造 型 は,計 算 シ ス テ ム とい う よ りは,よ

り複 雑 な構 造

の デ ー タ 単位 を作 る ため の機 能 と しての 働 きに と ど ま っ て い る.こ の よ うな デ ー タ を複 合 化 す る機 能 に と ど ま るデ ー タ型 に対 して,計 算 シ ス テ ム と して の デ ー タ型 は 「抽 象 デ ー タ型 」と呼 ば れ る こ と もあ る.   プ ロ グ ラ ム の 中 で は,ど の デ ー タ もそ の 意 味 を持 ち,そ

れ らの うえ に 施 され

る演 算 ・操 作 とで 計 算 シス テ ム を形 成 して い る.Pascalの

構 造 型 デ ー タ もそ の

例 外 で は な いが,ア

セ ンブ リ語 プ ロ グ ラ ム 中 の す べ て の デ ー タの 型 に対 す る責

任 が プ ロ グ ラマ また は利 用 者 に あ る よ うに,そ れ らの 計 算 シ ス テ ム と して の 面 で の 責 任 は,プ

ロ グ ラマ また は 利 用 者 が 負 わ な け れ ば な ら な い.簡 単 な例 を示

そ う.

type

matrix=array[1..10,1..10]of

で 定 義 さ れ た 配 列 は,100個 て い る が,100個

の 実 数 の 集 合 を 一 つ の デ ー タ と考 え る こ と を示 し

の 実 数 の 集 合 に ど の よ う な 意 味 が あ る か に つ い て は,言

て い な い.し か し な が ら,プ ロ グ ラ ム を し た 人 が,こ *  数 学 的 に,演

real;

算 と は'+'が

二 つ の整 数 に 対 し,一 つ の 整 数 を与 え る よ うに,同

中 で の 幾 つ か の 要 素 に対 し,同 シス テ ム の構 成法 は,述

れ を10×10の

及 し

実数の正 方 一 の 集 合(型)の

じ集 合(型)の 中 の １要 素 を対 応 づ け る もの と され る.し か し計 算

語 く が 二 つの 整 数 型 要 素 に 対 し一 つ の 論 理 型 要 素 を 与 え る よ う に,厳 密

に は 相 異 な る集 合 間 の 関 係 で あ り,演 算 とは い え な い機 能 も必 要 で あ る.こ の よ う な相 こ とな るデ ー タ集 合 間 の関 係 を も含 め て 考 え る こ と にす る.

こ で の 演 算 と は,こ

行 列 と み な し,行

列 の 間 の 和,差,積,ス

カ ラ 積,逆

行 列 な どの 演 算 をプ ロ グ

ラ ム し て 行 列 と して の 計 算 シ ス テ ム を 作 り上 げ れ ば,こ のmatrix型

は立 派 な計

算 シ ス テ ム と な る.   も うす こ し具 体 的 な 例 を 考 え て み よ う.Pascalに 要 素 の 順 序 数 に 関 す る 関 数(ord,succ,pred)と 〈=,〉=,〈,〉)だ

お け る 数 え 上 げ 型 で も,各

そ れ に よ る 順 序 関 係(=,〈

け し か 用 意 さ れ て い な い の で,こ

テ ム を構 成 で き な い.こ

〉,

れ だ け で は計 算 シ ス

の 列 挙 型 を 用 いて 勝 負 の 手 段 と して の ジ ャ ン ケ ン を模

式 化 して み よ う. ジ ャ ン ケ ン を構 成 す る 二 つ の デ ー タ 型 は, type

te kekka で あ る.こ

= (ishi, = (kachi,

kami, make,

hasami); aiko);

の 二 つ の デ ー タ 型 の 間 を 関 係 づ け る 機 能 は,

function janken(watashi, kimi : te) : kekka; begin

if watashi else

case ishi

= kimi : if

kami

hasami 

end

end;

then

watashi

:if

 :

if

janken

:=

aiko

of kimi

kimi

kimi

=kami

=

=

ishi

ishi

then

janken

else

janken:=kachi;

:=make

then

janken

:=

kachi

else

janken

:=

make;

then

janken

:=make

else

janken

:=

kachi

{case)

{janken}

と な り,teとkekkaと

の 関 係 は 関 数jankenに

の あ る こ と に な る で あ ろ う.ま た 関 数jankenも

よ っ て 組 織 化 され,は じ め て 意 味 デ ー タ の 表 現 の 方 法 に 大 き く依

存 して く る.

  以上 の 型 の議 論 か ら,プ ロ グ ラ ミン グ とは,計 算 シ ス テ ム,つ 織 化 が 大 変 重 要 で あ る こ とが わ か る.Pascalの

ま り,型 の 組

よ うに,プ ログ ラマ が デ ー タの

型 を 必 要 に応 じて 定 義 で き る言 語 の 場 合 は,デ ー タの 構 造 を定 め る と き は計 算 シ ス テ ム の こ と を十 分 に考 慮 してプ ロ グ ラ ミ ング しな けれ ば な ら な い,デ ー タ の構 造 を う ま く設 定 で き るか 否 か は シ ス テ ム 全体 の 善 しあ しに 影 響 す る .

  ま た,こ の よ う な機 能 は,第

１章 で学 ん だ よ う なプ ロ グ ラム の 階 層 化 だ け で

な く,デ ー タの 構 造 に 対 して も階 層 的 考 え 方 を導 入 し,末 端 の デ ー タ要 素 まで は意 識 せ ず に,高 い レベ ル の 階 層 で は,よ

り抽 象 的 な デ ー タ構 造 を扱 うプ ロ グ

ラ ミ ング が 可 能 で あ る.こ の よ うに,下 降 型 プ ロ グ ラ ミン グ は,単

にプ ログ ラ

ム の 階 層 化 だ け で は な く,そ こ で 扱 わ れ るデ ー タ に 関 して も階 層 を導 入 す る こ とが 必 要 で あ る.

3.2

Pascalの

構 造型 デー タ

  前 節 で 述 べ た よ う に,構 造 型 の デ ー タ は 単純 型 ま た は構 造 型 の デ ー タ を複 数 個 ひ とま とめ に組 織 化 して,あ

た か も一 つ の デ ー タの よ うに 扱 っ た り考 え た り

で き る よ うに す る手 法 を提 供 して い る.組 織 す るデ ー タ の性 質 や そ の 数 に対 す る制 限 か ら,配 列 型,レ

コー ド型,集

合 型,フ

ァイ ル 型 が あ る.集 合 型 以 外 の

構 造 型 が 主 と して 複 数 の デ ー タ の 複 合 化 の 手法 と して あ り,で

き上 が っ た新 し

い デ ー タ は計 算 シス テ ム と して与 え られ な い の に対 し,集 合 型 の デ ー タ は要 素 に特 別 な制 限 は な い もの の 各 種 集 合 演 算 を持 ち,前 節 で 述 べ た 抽 象 型 デ ー タ で あ る こ とに注 意 しよ う.

3.2.1 

配 列型デー タ

  配 列 型 の デ ー タ は,同 一 種 類 の デ ー タ を有 限 個 一 次 元 的 に順 序づ け した デ ー タ の 集 合 を ひ と ま とめ に した構 造 型 デ ー タで あ る.Pascalに

お け る配 列 型 の 定

義 は; 配 列 型 名

”=”

”array”

”[” 添 字 型 名 ”]” ”of”   要 素 の 型 名

で あ り,配 列 型 デ ー タ の 要 素 とな るデ ー タの 型 名(フ ァ イル 型 以 外 の 任 意 の 型) と要 素 の個 数 と その 順 序 を規 定 す る添 字 型 名(有 限 な 要 素 を持 つ 単 純 型)に よ り 構 成 さ れ て い る.   い ま,X1,X2,…,Xnの

同 じ型 の 変 数(た

と え ば,文

型 の デ ー タ Ｘ と し て 表 現 す る こ と を 考 え よ う.Ｘ

字 型 と す る)を 一 つ の 配 列

の お の お の の 要 素 は,単

純 型

図3・2 

配列型の デー タ

の 添 字 の 値 に よ り区 別 され る.便 宜 上 こ こで は添 字がindex=0..n-1な あ る もの と して お く.ま た,配 列構 造 の 図 的 表 現 方法 と して,図3・2の 配 列 名,そ の 配 列 の 持 つ要 素 の 集 合 を矩 形,さ 添 え字 と要 素 の 記 憶 領 域 を表 す 矩 形,そ

る型で よ うに

らに それ ぞ れ の 要 素 に付 随 した

して,各 要 素 の 記 憶 領 域 を示 す 矩 形 の

中 に そ の 値 を記 入 す る.

X:array[index]of

char

で 定 義 さ れ る 配 列 型 の デ ー タ Ｘ は,ｎ 個 の 文 字 変 数 を ひ と ま と め に し た もの で, 各 要 素 は 普 通 の 変 数 と 同 じ よ う に ラ ン ダ ム ・ア ク セ ス*が 可 能 で,Ｘ (0≦i≦n-1)と

でX[i]と

と添 え 字i

表 現 さ れ る.

  配 列 型 の デ ー タの 要 素の 間 に は,添 字 型 デ ー タ に よ っ て定 義 され た 順 序 以 外 に は な ん の 関 係 もな い.も ち ろ ん,プ

ログ ラマ が適 当 に意 味 づ け を し,構 造 化

して利 用 す る こ と は 自 由 で あ る.配 列 型 デ ー タ の も っ と も重 要 な特 徴 は,同

じ

型 の デ ー タの 集 合 を ひ と ま とめ に し,一 つ の デ ー タ と して扱 え る こ と と,個 々 の 要 素 の 識 別 に 配 列 型 デ ー タ 名 と添 字 型 デ ー タ を指 定 す る こ とに よ っ て可 能 な こ と で,個

々 の要 素 の 名前 を使 わ な い で よ い こ とに あ る.

  簡 単 な 例 で 配 列 型 の デ ー タ を 用 い る こ と の 効 果 を 示 し て み よ う.太 郎,次 花 子 の ３人 の ジ ャ ン ケ ン で 出 す 手 の 統 計 を 取 る と き に,そ 手 の 回 数 を 数 え る 手 順(procedure)を と 用 い た 場 合(図3・3(b))を

郎,

れ ぞ れ の 人 の 出 した

配 列 型 デ ー タ を 用 い な い 場 合(図3・3(a))

比 べ て み る.

*  主 記憶 装 置 ま た は補 助 記 憶 装 置 内 の デ ー タ を読 ん だ り,デ ー タを 記憶 装 置 に書 き込 む こ との 両 方 の操 作 を ま とめ て ア ク セ ス と呼 ぶ.書 ラ ム や 装 置 の 状 態 に依 存せ ず に,常 と よば れ る.

き込 み,読

み 出 しに 際 して,デ

ー タの 格 納 位 置,プ

に 一 定 時 間 で ア クセ ス 可 能 で あ る と き,ラ

ログ

ン ダム ・ア ク セ ス

(ａ)

(ｂ) 図3・3

  (ｂ)の ほ うが,そ れ ぞ れ の 人 の 出 した 手 の 回 数 を ま とめ て 一 つ の デ ー タ と し て 扱 う こ とに よ り,自 由 変 数 を使 用 せ ず に 必 要 な デ ー タ を す べ て 手 順 へ 渡 す こ とが で き る.さ ら に,配 列 型 の添 字 に数 え上 げ型teを

用 い た こ とに よ り,配 列

型 デ ー タ の 要 素 の 選 択 が 非 常 に う ま くい っ て い る.   配 列 型 の デ ー タ は,構 造 型 の デ ー タ の 内 で もっ と も基 本 的 な もの で あ る.計 算 機 の 主 記 憶 装 置 もバ イ ト単 位 の 要 素,絶 対 番 地 を添 字 集 合 とす る配 列 型 デ ー タ構 造 を持 っ て い る と考 え る こ と もで き,利 用 用 途 が広 く,万 能 か つ もっ と も 基 本 的 な デ ー タ構 造 と い う こ とが で き る. 配 列 の 定義 と して 配 列 名:”array”

”[” 添 字 型

１ ”,” 添 字 型

添 字 型 ｎ ”]” ”of”

型

２

”[” 添 字 型 ”]”

”of”

…

”'”

要素の 型名

の よ う に,高 次 元 の 配 列 も定義 で き るが,こ 配 列 名:”array”

２ ”,” …

れ は実 質 的 に は

１ ”]” ”array”

”of” ”[”

”array” 添 字

型

ｎ

”[” 添 字 ”]”

”of”

要素の型 名 の よ うに,一 次 元 の 配 列 の 複 合 形 の 定 義 と同 じこ と に な る.各 次 元 の配 列 要 素 の 型 とか,そ

れ らの 領 域 の 配 置 の 状 況 を考 え る と き に は,後 者 の 一 次 元 配列 の

複 合 形 と考 え るほ う が わ か りや す い で あ ろ う.

3.2.2 

レ コー ド型 デ ー タ

  レ コ ー ド型 の デ ー タ も配 列 型 の もの と同 様 に い くつ か の デ ー タ を ひ と ま とめ に して扱 え る よ う な構 造 型 の デ ー タ で あ るが,配

列 型 が 同 一 型 の要 素 で な け れ

ば な らな いの に対 し,レ コー ド型 は 各 要 素 の 型 を そ れ ぞ れ 自 由 に 変 えて 取 れ る よ うに した こ と,ま た さ らに 同 じ レ コー ド型 の デ ー タ(以 後,単 呼 ぶ)の

に レ コ ー ドと

間 で も,構 成 要 素 の 型や そ れ らの 数 が 異 な っ て い て も よい よ う に した

の が 最 大 の 相 違 点 で あ る.   レ コー ド型 で は,各 構 成 要 素 の格 納 され て い る記 憶 領 域 を フ ィー ル ドと呼 ん で い る.Pascalで

は,す べ て の記 憶 領 域 に 型 が 定 義 され て い な けれ ば な らな い

の で フ ィ ー ル ドに も 型 が あ る こ と に な る.フ 可 変 形 式 の もの と が あ る.固

ィー ル ドに は,固

定 形 式 の もの と

定 形 式 の フ ィ ー ル ド(固 定 フ ィ ー ル ド)は,こ

の レ

コ ー ド型 の デ ー タ の す べ て が 共 通 に 持 っ て い る フ ィ ー ル ドで あ る .   こ れ に 対 して,可

変 形 式 の フ ィ ー ル ド(可 変 フ ィ ー ル ド)は,各

デ ー タ が 場 合 場 合 に よ っ て 異 な っ た 型 の デ ー タ の 集 合,す ー ル ドを持 て る よ うに 設 定 され て い る Pascalに

レ コ ー ド型 の

な わ ち異 な っ た フ ィ

.

お け る レ コ ー ド型 の 定 義 は レ コー

で あ る.フ

ド型 名

”=”

”record”

  フ ィール

ド 定 義   ”end”

ィ ー ル ド定 義 は 固 定 フ ィ ー ル ド部 だ け の もの,可

変 フ ィ ー ル ド部 だ

方 の 形 式 の フ ィ ー ル ド部 を 持 つ もの が あ る.両

方 の 形 式 の フ ィー

け の も の,両

ル ド部 を 持 つ と き は,両

者 の 間 を ”;” で 区 切 り,固

ィ ー ル ド部 よ り前 に 書 か な け れ ば な ら な い.固

定 フ ィ ー ル ド部 を 可 変 フ

定 フ ィ ー ル ド部 は,固

フ ィ ー ル ドの 定 義 を ”;” で 区 切 っ た リ ス トで あ る.固

定形式の

定 形 式 の フ ィ ー ル ドは

フ ィ ー ル ド名 の リ ス ト ”:” 型 名 ま た は 型 の 指 定 で あ り(後 述 の 例 １参 照),可 ”case”

変 フ ィー ル ド部 は

フ ィ ー ル ド選 別 子 定 義 部   ”of”   可 変 フ ィ ー ル ド リ ス ト

可 変 フ ィ ー ル ド リ ス ト は,可 を 意 味 し て い る.可 選 別 定 数

で あ り,選

変 フ ィ ー ル ド を 一 つ 以 上 ”;” で 区 切 っ た リ ス ト

変 フ ィー ル ドは リス ト

”:”

別 定 数 リ ス トは,フ

”(” フ ィ ー ル

ド定 義

”)”

ィ ー ル ド選 別 子 定 義 部 で 指 定 さ れ た 型 の 定 数 を

” ,” で 区 切 っ た もの で あ る.

フ ィー ル ド選 別 子 定 義 部 は,二 つ の 場 合 が あ りそれ ぞ れ (１)タ

グ フ ィー ル

(２)型

名

ド名

”:”

型 名

と な っ て い る.   (１)の

場 合 は,選 別 子 定 義 部 は 一 つ の 固 定 フ ィ ー ル ド を 定 義 し て い る の と 同

じで あ る.た

だ,普

通 の 固 定 フ ィ ー ル ド と異 な る 点 は,こ

さ れ て い る 値 に よ っ て,そ

の フ ィー ル ドに格 納

の フ ィ ー ル ド に 続 く可 変 フ ィ ー ル ドが ど の よ う に 構

成 さ れ て い る か が 変 わ って くる(後 述 の例 ２参 照)   こ れ に 対 し,(２)の

場 合 は,レ

コ ー ドの 中 に は 可 変 フ ィ ー ル ドが ど の よ う に

構 成 さ れ て い る か の 情 報 は な い.た の 方 法 に よ っ て,可

だ,プ

ロ グ ラ ム の 中 で の フ ィ ー ル ドの 指 定

変 フ ィ ー ル ドの 構 成 を 指 定 で き る だ け で あ る(後 述 の 例 ３

参 照). 【例 １】

図3・4 

  図3・4に タ は20文 号,国

固 定 フ ィー ル ド定 義 例

示 さ れ た レ コ ー ド型 の 定 義 例 で は,bookcardと 字 の 代 表 著 者 名,そ

際 図 書 番 号(15文

っ て い る(図3・5参

の 他 の 著 者 の 有 無,50文

字),発

い る.レ

字 の 書 名,出

版社の 符

行 年 を 記 録 す る た め の 六 つ の フ ィ ー ル ドか ら な

照).

図3・5 

  こ の 場 合,bookcard型

い う型 名 を持 つ デ ー

固 定 フ ィー ル ド例

の レ コ ー ドは す べ て こ の 六 つ の 型 フ ィ ー ル ド を持 っ て

コ ー ド型 の デ ー タ の 各 要 素 を ア ク セ ス す る と き は,レ

コ ー ド型 の 変 数

と そ の フ ィ ー ル ド と の 間 に"."を

挿 入 し て 表 現 す る.上

レ コ ー ド変 数 Ｘ の 書 名 の 部 分 を 表 す に はX.titleと codeと

の 例 で は,あ

な り,図

書 番 号 はX

る本 の .ISBN

な る.

【 例 ２】   図3・6に

示 さ れ た 例 は,各

既 婚 者 で あ れ ば,配

人 の 氏 名,生

偶 者 の 氏 名,生

年 月 日,性

年 月 日 を,ま

別,既

婚 者 か 否 か,も

し

た 独 身 者 で あれ ば配 偶 者 に 関

す る フ ィ ー ル ドは あ っ て は な ら な い と し た と き の レ コ ー ド を 設 計 し た もの で あ る.重

要 な こ と は,す

て お い て,不 あ る.独

べ て の 人 の レ コ ー ドに 配 偶 者 に 関 す る フ ィ ー ル ドを 設 け

要 な と こ ろ は,空

欄 に して お くと い うの と は異 な っ て い る こ とで

身 者 の レ コ ー ド に 配 偶 者 の 名 前 を 記 録 す る と,計

に エ ラ ー を 指 摘 し て く れ る よ う で あ れ ば,デ

算 シ ス テ ム が 自動 的

ー タ の 誤 り が 生 じ に く く,信

頼 性

が 増 す こ と に な る.

図3・6

可 変 フ ィ ール ド定 義例

  この レ コー

ド は,四

つ の 固 定 フ ィ ー ル ド,可

変 フ ィー ル

可 変 フ ィー ル

ド を 持 た な い か の い ず れ か で あ る.

ドは 二 つ か あ る い は

  こ の 型 の ど の デ ー タ に も,full_name,birth_date,sex,marriedの ル

ド が あ り,marriedの

7(a)に

示 さ れ る よ う に,name_of

の 四 つ の フ ィー ル が"false"な

フ ィール

ドの 中 に"true"が

ら ば,図3・7(b)に

記 録 さ れ て い る 場 合 は,図3・

spouse,sp_barth_dateの

ド に 続 い て 配 置 さ れ て い る.も

フ ィー

し,marriedの

示 さ れ た よ う に,そ

フ ィ ー ル ドが 前 フ ィール

ドの 値

の レ コ ー ドは 可 変 フ ィ ー ル

(ａ)

(ｂ)

図3・7 

可 変 フ ィ ー ル ド例(そ

の １)

ドを 持 た な い こ と に な る. 【例 ３】   あ る商 店 に は,商

品 に貼 るた め の 価 格 票 の 内 容 が 次 の よ う に

Ａ ラ ベ ル:商

品 名,価

格,製

造年 月 日

Ｂ ラ ベ ル:商

品 名,単

価(円/㎏),重

Ｃ ラ ベ ル:商

品 名,容

量,価

格,産

の ３種 類 に 分 類 さ れ て い る.図3・8(a)は り,図3・8(b)は

さ,価

格

地 名 価 格 票 を レ コ ー ド型 と して の 定 義 で あ

価 格 票 を 印 字 す る 手 順 の プ ロ グ ラ ム 例 で あ る.

  こ の 例 の 場 合 は,お

の お の の 価 格 票 の レ コ ー ドデ ー タ が ど の よ う な 可 変 フ ィ

ー ル ド部 を持 つ か の 情 報 が そ の レ コ ー ドの 中 に な い .そ ル ド部 を ア ク セ ス す る と き に,ど ム の 中 で,そ

れ ゆ え に,可

変 フ ィー

の 型 の フ ィ ー ル ドが 選 ば れ る か は ,プ

ログラ

の フ ィ ー ル ドが どの よ う に 表 現 さ れ て い る か だ け で 決 ま る .

(ａ)

(ｂ) 図3・8

  こ の 例 で い う と,あ る レ コ ー ドデ ー タ に 対 して,フ ィ ー ル ド名 がTANKAで る フ ィ ー ル ドデ ー タ を ア ク セ ス した と き は,こ 表 現 し て い る も の と解 釈 さ れ る.ア

あ

の レ コ ー ドデ ー タ は Ｂ ラ ベ ル を

ク セ ス が 読 み 取 りの 場 合,実

際 にこの レコ

ー ドが Ｂ ラ ベ ル で あ る か 否 か と に か か わ ら ず Ｂ ラ ベ ル と解 釈 さ れ る の で

,プ

ロ

グ ラ マ の 責 任 に お い て 正 しい ア ク セ ス が さ れ る よ う にプ ロ グ ラ ム され て い な け れ ば な ら な い.

3.2.3

集 合型データ

  集 合 型 の デ ー タ は,数 の 計 算 の 世 界,す 演 算,述

な わ ち,集

合 と は と か,集

合

合 の う え に定 義 され て い る種 々の

語(+,-,*,in,=,＜,＞,＜=,＞=,＜

つ い て は,こ   た だ,一

学 で 学 ん だ よ う な 集 合 を 表 現 す る デ ー タ で あ る.集

＞)な

ど の 意 味 に

こ で 説 明 す る ま で も な い で あ ろ う. 般 の 数 学 の 概 念 と異 な る こ と は,一

す べ て の 集 合 元,つ

つ の 集 合 型 に は そ の 型 に属 す る

ま り 金 集 合 が 有 限 の 範 囲 に(実 際 の 場 合 は,各

処 理系 に よ

っ て 最 大 要 素 数 が 制 限 さ れ て い る)定 ま っ て い な け れ ば な ら な い こ と で あ る. よ っ て,そ

の 型 の 集 合 デ ー タ は,空

か を 表 現 す る こ と に な る.全

集 合 を含 め て 全 集 合 の 部 分 集 合 の 中 の どれ

集 合 の 要 素 が ｎ個 で あ れ ば,こ

集 合 型 の デ ー タ の 取 り得 る 集 合 の 種 類 は2nと

の 全 集 合 の う えの

な る.

  集合型 の定義 は 集 合 型 名="set""of"基 で あ り,基   図3・9の

底 型 は 列 挙 型,論

理 型,ま

底型の指 定 た は 部 分 型 の ど れ か で あ る.

例 は,引 数 と して 与 え られ た 非 負 の 整 数 を10進

字 の 種 類 を 求 め る 手 順 を プ ロ グ ラ ム し た も の で あ る.集 全 集 合 は 集 合[0,1,…,9]で

あ り,変 数shuruiは10種

数 表 現 した と きの 数

合 型suu_no_shuruiの

の 数 の 部 分 集 合(1024種)の

う え の 変 数 で あ る.   集 合 型 の デ ー タ は 他 の 言 語 で は あ ま り見 ら れ な い デ ー タ の 型 で あ る が,集 の 概 念 は 広 い 分 野 で の 計 算 の モ デ ル に 登 場 す る の で,便   ま た,集

合 型 の デ ー タ や 計 算 機 能 の 実 装 に お い て も,ビ

合

利 な デ ー タ 型 で あ る. ッ トマ ト リ ク ス(第 ８

図3・9

章8.3節

参 照)や 計 算 機 の 論 理 計 算 機 能 を 用 い て 効 率 の よ い シ ス テ ム と な っ て い

る の で,プ

  3.2.4 

ロ グ ラ ミ ン グ 時 に は 積 極 的 に 利 用 し た い デ ー タ の 型 で あ る.

フ ァイル型デー タ

  フ ァ イ ル 型 の 計 算 シ ス テ ム は,一

般 的 に 二 次 記 憶 装 置 に あ る デ ー タ(フ ァ イ

ル)と 主 記 憶 装 置 に あ る デ ー タ(バ ッ フ ァ デ ー タ)お よ び そ の 両 者 の 間 の 情 報 の 転 送 の 機 能 か ら成 り立 っ て い る.   フ ァ イ ル は,フ い る 構 造,い 対 し て,主

ァ イル 型 以 外 の 同 一 型 の デ ー タ が順 次 列 を成 して格 納 され て

わ ゆ る 順 編 成 フ ァ イ ル(sequential

記 憶 装 置 側 の デ ー タ は,フ

ら成 っ て い る(図3・10参   フ ァ イ ル の 特 徴 は,そ あ る が,要

file)を 表 し て い る .こ

れ に

ァ イ ル の １要 素 だ け を 格 納 で き る 領 域 か

照). の 構 成 要 素 が 同 一 の 型 を 持 つ こ と で は,配

素 の 数 を 指 定 せ ず に 幾 つ で も 格 納 で き る こ と と,配

ク セ ス で あ る の に 対 し フ ァ イ ル は 順 次 ア ク セ ス,つ

列 と同 様 で

列 が ランダムア

ま り 先 頭 の デ ー タ か ら順 に

読 み 出 す か ま た は 先 頭 か ら順 に 書 き 出 す か の ど ち ら か し か で き な い.

図3・10

  フ ァ イ ル 型 の デ ー タ を 扱 う 機 能 と し て は,get,put,reset,rewriteの の ほ か に,述

語eofが

手 順

あ る.

(ａ)get(f)実

行 前

(ｂ)get(f)実

行 後

図3・11

  resetは

フ ァ イ ル 名 を 引 数 に 持 ち,引

出 す こ と を 示 す.ま

た,rewriteは

フ ァ イ ル を 消 去 して,フ

数 で 示 され た フ ァ イ ル を以 後 順 次 読 み

同 様 に フ ァ イ ル 名 を 引 数 に 持 ち,今

ァ イ ル を 空 に す る と と も に,以

書 き 込 む こ と を 指 定 す る.resetを

行 っ た 後 はrewriteを

こ と だ け に し か 使 用 で き ず,rewriteを

行 っ た 後 は,順

まで の

後 そ の フ ァ イ ル に順 次 す る まで 順 次 読 み 出 す 次 書 き込 む こ とだ け に

しか 使 用 で き な い.   プ ロ グ ラ ム で の 最 初 のresetま

た はrewriteは

つ け る よ う に す る こ と を 勧 め る.eofは

省 略 で き る が,必 ず 書 く習 慣 を

フ ァ イル の す べ て の 要 素 を読 み つ く し

た 状 態 か 否 か を 判 定 す る た め の 述 語 で,読 外 はfalseの

フ ァ イ ル 名 を 引 数 に 持 ち,そ

の フ ァイ ル の 次 の要 素 の 値 を フ ァイ

ァ イ ル バ ッ フ ァ)に 複 写 す る.た と え ば,図3・11の

で 読 ん だ 状 態 で,get(f)を す る.読

れ以

値 を 取 る.

  手 順getは ル 変 数(フ

み つ く した 状 態 で はtrueを,そ

実 行 す れ ば,フ

フ ァ イ ル でcn-1ま

ァ イ ル 変 数 ｆ ↑の 内 容 はcnへ

と変 化

ん だ 内 容 は 変 数 ｆ ↑ と し て ア ク セ ス で き る.

  同 様 に,putは

そ の 時 点 で フ ァ イル 変 数 に格 納 さ れ て い るデ ー タ を今 まで 書

い た フ ァ イ ル の 最 後 に 追 加 す る(図3・12参

(ａ)put(f)実

照).

行 前

(ｂ)put(f)実

行 後

図3・12

  図3・13に

示 し た 例 は,入 力 か ら 三 つ ず つ の 整 数 を読 み 込 み,そ れ ら を ひ と ま

と め に して 一 つ の フ ァ イ ル 要 素 と し て フ ァ イ ル ｆ に 書 き込 み,そ

の後 その ファ

イ ル を 読 み 三 つ の 数 の 和 を 印 字 す る プ ロ グ ラ ム で あ る.   フ ァ イ ル 型 の 特 殊 な 例 と して,テ text=file

キ ス ト型 が あ る.テ

of char

で 定 義 さ れ る と 説 明 さ れ て い る が,テ い 手 順 や 関 数(writeln, は な く,テ

キ ス ト型 は

readln,

キス

eol)も

ト型 に は フ ァ イ ル 型 に は 適 用 で き な

あ り,単

な る 文 字 デ ー タの フ ァ イル で

キ ス ト型 の デ ー タ は 文 字 が 任 意 数 順 列 的 に 集 ま っ て 行 を 構 成 し,そ

の 行 が さ らに 順 列 的 に集 ま って フ ァ イル を構 成 す る とい う複 雑 な デ ー タの 構 成 に な っ て い る.   そ こ で,テ

キ ス ト型 の デ ー タ は フ ァ イ ル 型 の デ ー タ の 一 部 と 考 え る よ り も,

む し ろ デ ー タ の 構 成 や そ れ ら の う え に 定 義 さ れ て い る 機 能 も 異 な る 別 の 型 と考

図3・13

え る ほ う が よ い よ う で あ る.   本 書 で は,計

算 機 の 主 記 憶 内 で の デ ー タ 構 造 を 中 心 に 議 論 を し て い る の で,

こ こ で テ キ ス ト型 の デ ー タ に つ い て 十 分 に 解 説 す る だ け の 紙 面 は な い .し か し, テ キ ス ト型 はPascalを

マ ス タ ー す る と い う 意 味 で は 重 要 で あ る の で,他 の 参 考

書 な ど を も う 一 度 精 読 す る こ と を お 勧 め す る.

3.3

ポイ ンタ 型データ

  Pascalで し な が ら,ポ

は,上

で 述 べ た 種 々 の デ ー タ 型 の ほ か に,ポ

イ ン タ 型 が あ る.し

イ ン タ 型 の デ ー タ は 少 し 異 な る 扱 い が 必 要 で あ る.今

タ の ほ と ん ど は,変

数(格 納 場 所)と そ の 値(格 納 さ れ て い る デ ー タ の 値)の

お りの 意 味 に 用 い ら れ て き た.ポ

イ ン タ 型 の デ ー タ も,そ

お りの 意 味 を 持 つ が,そ の 値 は ポ イ ン タ 定 数NIL以 の で あ る の か 明 示 さ れ て い な い.ポ

か

まで の デ ー

の 例 に も れ ず,２

２と と

外 は具 体 的 に どの よ う な も

イ ン タ 型 の 変 数 の 値 は,ま

た変 数 で あ る と

解 釈 され て お り,ポ イ ンタ 型 整 数 型 変 数 とい う よ うに,そ の 値 の 変 数 の 型 が あ る な ど,複 雑 で あ る.   Pascalを 型 は,デ

学 ぶ 最 後 の 難 関 が,こ の ポ イ ン タ型 の 正 しい 理 解 で あ る.ポ イ ン タ

ー タ の 型 と い う見 地 よ りは,デ ー タ の 記 憶 領 域 へ の 配 置 に関 す る機 能

とい う観 点 か らみ る と,理 解 が 早 い よ うで あ る.こ の章 で は,こ の よ う な見 地 か ら ポ イ ン タ型 の デ ー タ を扱 う こ とに す る.

3.3.1

LHS表

  A,Bが,あ

現 とRHS表

現

る 型 た と え ば 整 数 型 の 変 数 と し た と き の 代 入 文; A:=B

の 意 味 を 考 え て み よ う.正 確 な 意 味 は 「Ｂ で 示 さ れ た'値'(va1(B))を れ た'格 納 場 所'(var(A))に

複 写 しな さ い 」と な る.同

Ａで示 さ

じ よ う に表 現 され た 変

数 Ａ と Ｂ は 異 な っ た 意 味 に 解 釈 さ れ て い る こ と に 注 意 し よ う.こ

の 相 違 は,Ａ

と Ｂが 代 入 記 号 の右 側 にお か れ て い るか 左側 に お か れ て い る か に よっ て 出 て来 た 解 釈 の 相 異 で あ る.   変 数 は,デ ー タ を 格 納 す る 場 所 に 付 け ら れ た 名 前 で あ る こ と は 前 に 述 べ た が, プ ロ グ ラ ム 中 の 変 数 に は ２ と お りの 解 釈 が あ る.そ う に 格 納 場 所 を 表 現 し て い る場 合 と,Ｂ

hand

side)表

  こ の よ う な 区 別 の 例 は,代

の例の Ａの よ

の よ う に そ の 変 数 に 格 納 さ れ て い る値

を 表 現 し て い る 場 合 で あ る.前 者 をLHS(left RHS(right

の 一 つ は,こ

hand

side)表

現 と い い,後 者 を

現 と い う. 入 文 の 左 辺 ・右 辺 に よ る もの の ほ か に,手

順や関

数 の 定 義 時 の 仮 引 数 の 中 に も見 ら れ る. procedure

ex_args(var

A:integer;B:integer);

で 示 さ れ た 関 数 見 出 しに含 まれ る仮 引 数 Ａ はLHS表 で あ る と い え る.ま

た,ア

か れ た ア ド レ ス が,jump命 る 場 合 と,add命

セ ン ブ リ語 を学 ん だ 人 は,命

現

令 の オ ペ ラ ン ド部 に 書

令 の よ う に,そ の ア ド レ ス つ ま り格 納 場 所 を 意 味 す

令 の よ う に,そ

す る 場 合 と が あ り,そ

現 で あ る し,Ｂ はRHS表

の ア ドレス で 示 さ れ た格 納 場 所 の 内容 を意 味

れ らの 区 別 は 命 令 の 種 類 で 決 ま る こ と を 知 っ て い る.

  この ２ とお りの 変 数 の 解 釈 方 法 は,あ わ れ るが,変

ま りな じみ の な い方 々 も あ る こ と と思

数 に対 して 常 に この ど ち らの 解 釈 で あ るか を意 識 して プ ロ グ ラ ム

す るこ とは,以 後 の ポ イ ンタ 型 の デ ー タ の 扱 い に お い て,意 味 の混 同 防 止 に大 変 役 立 つ と と もに,他

3.3.2

の 言 語 を学 ぶ と きに も統 一 的 に理 解 が深 ま るで あ ろ う.

静 的領 域 と動的領域

  プ ロ グ ラ ム の 中 で の さ ま ざ まな デ ー タ は,そ れ らの 名 前 す な わ ち格 納 場 所 に よ って 区 別 され て い る.で あ るか ら計 算 に使 用 さ れ るデ ー タ は,そ の 値 は 前 も っ て わ か ら な くて も型 を指 定 した 変 数 と して 宣 言 され,そ の 領 域 が 確 保 され て い な け れ ば ア ク セ ス す る こ と はで きな い.Pascalに

よ るプ ロ グ ラ ミン グ で途 中

で,予 期 せ ぬ 作 業 領 域 が 必要 に な っ て 変数 宣 言 部 に新 しい 変 数 を追 加 した経 験 はだ れ で も あ る こ とで あ ろ う.

図3・14

  この よ うに,プ

ログ ラ ミ ング 時 に計 算 に必 要 と され る デ ー タの 数 が 決 ま っ て

い る場 合 は よ いの だ が,必 要 とす るデ ー タ の 型 は わ か っ て い て も,そ の個 数 が 定 ま っ て い な い場 合 も あ る.こ の よ うな 場 合 の対 処法 の 一 つ は,必 要 数 の 最 大 値 また は そ のプ ロ グ ラ ム の 適 用 で き る最 大 デ ー タ 数 の 制 限値 を決 め てプ ロ グ ラ ム を作 る こ とで あ る.

  た と えば,不

定個 数 の 整 数 を読 み 込 ん で計 算 機 の 内部 に 取 り込 む た め に,図

3・14の よ う な プ ロ グ ラム した とす れ ば,10000個

以 下 の デ ー タ に は対 処 で き る

が,そ れ 以 上 の場 合 は適 用 で きな い.プ ロ グ ラ ム の 適 用 範 囲 を大 き くす る に は, 定 数maxindexを 合 に も,maxindexで

大 き く設 定 して お けば よいの だ が,ほ ん の 少 しの デ ー タ数 の 場 指 定 され た 数 のデ ー タ領 域 を用 意 しな けれ ば な らな い ので,

とて も不 経 済 で あ る.   こ の よ うな 不 便 さを解 消 す る ため に,プ

ログラムの実行の途 中で必要に応 じ

て幾 つ で も変 数 が 定 義 で き,ま た 不 要 に な っ た変 数 の 定 義 が解 消 で き る な らば, 大 変便 利 だ と思 わ れ る.   実 行 時 に 必 要 に応 じて割 り付 られ,ま よ う な領 域 を動 的領 域 とい い,今

た必 要 の な くな っ た 時 点 で 消 去 で き る

まで議 論 して きた よ う に,プ

ロ グ ラム の 中で

宣 言 に よっ て確 保 され る領 域 を静 的領 域 とい う.動 的 領 域 は大 変 便 利 な機 能 を 提 供 して い るの だ が,そ れ だ け に使 用 方 法 は複 雑 とな る こ とは 否 め な い.   まず 最 初 の 問 題 点 は,動 的 に割 り付 られ た デ ー タ領 域 を どの よ う に ア ク セ ス す る か とい う 問題 で あ る.実 行 時 に生 まれ た領 域 で あ る か ら,当 然 プ ロ グ ラ ム 中 に そ れ に対 応 す る変 数 名 は あ り得 ない.そ が 求 め られ る よ う に,動 的 変 数 のLHS表

こ で,計 算 に よ って あ る変 数 に値

現 を値 と して 取 る こ との で き る変 数,

つ ま り動 的 変 数 の 変 数 名 に あ た る もの を値 と して 持 つ こ との で き る変 数 を 考 え る.こ の よ うに して導 入 され た の が ポ イ ンタ 型 で あ る.

 3.3.3  ポ イ ン タ 型 デー タ  前 節 で 述 べ た よ う に,ポ イ ン タ 型 と は動 的 領 域 の 変 数 名 を値 とす る変 数(ポ イ ン タ)を 総 称 した 呼 び 名 で あ る.そ れ ぞ れ の ポ イ ン タ は,そ

の値 の 示 して い

る動 的 変 数 の 型 に よっ て,整 数 型 ポ イ ン タ,レ コ ー ド型 ポ イ ンタ,集 合 型 ポ イ ン タの よ うに,フ

ァイ ル 型(テ キ ス ト型 を含 む)以 外 の 任 意 の 型 の ポ イ ン タ が あ

る.   前 に も述 べ た よ うに,ポ

イ ンタ 型 の デ ー タ に また 型 が あ るの は,奇 妙 な感 じ

が す る か も しれ な い.こ れ は,整 数 型 ポ イ ン タの 意 味 が,あ

る動 的 変 数 を値 に

持 つ ポ イ ンタ の 示 す 動 的 変 数 の値 の 型 が 整 数 型 と い う こ と を簡 単 に表 現 して し ま っ た こ とに起 因 して い る.   ポ イ ン タ 型 は,計 算 シ ス テ ム を表 して い るの で は な く,動 的 変 数 の 配 置 に関 す る機 能 で あ る よ う に解 釈 で き る の で,ポ

イ ンタ 型 の デ ー タ 間 の 演 算 な どは 定

義 さ れ て い な い が,ポ イ ン タの 動 的 割 付 け に関 す る二 つ の 手 順new,disposeが 用 意 され て い る.ｘ を あ る 型,た

とえ ば整 数 型 の ポ イ ン タ と して 宣 言 され て い

る変 数 つ ま り静 的 変 数 とす る(図3・15参

照).

(ｂ)

(ａ)

(ｃ) 図3・15

  new(x)を

実 行 す る こ と に よ り,ポ イ ン タ ｘ の 型(こ の 場 合,整 数 型)の 変 数 が

一 つ 動 的 領 域 に確 保 さ れ る 変 数 名*が

.こ

の 変 数 に は 名 前 が な い が,仮

ｘ の 値 とな る(図3,15(b)参

照).名

に*と

前 と して の*は,プ

す る.こ

の

ログラマ に は

隠 さ れ て い て 知 る こ と は で き な い が,作

ら れ た 領 域 に 固 有 の も の で,他

のいか

な る 変 数 名 と も異 な っ た も の で あ る.プ

ロ グ ラ ム の 中 で,こ

のア ク

の 変 数*へ

セス は ｘ ↑で表 現 され ｘ ↑:=123を

実 行 す ると,図3・15(b)の

ように変 数*に

値 が 代 入 され る.   図3・15(b)の

状 況 は,動 的 変 数 に仮 の 名 前 を用 い て表 現 され て い るが,実 際

の 変 数 名 と仮 の 変 数 名 が 混 在 した り,動 的領 域 と静 的 領 域 との 区別 が わ ず らわ しい の で,図3・15(c)の

よ うにポ イ ンタ変 数 と動 的 変 数 との 関 係 を矢 印で 表 現

す る記 法 が 用 い ら れ る.こ の 表 現 で は,矢 印 で指 され た 先 の 変 数 は す べ て 動 的 変 数 で あ り,名 前 の つ いて い る 変 数 は,す べ て 静 的 変 数 と解 釈 す る.   注 意 す る こ と は,ポ

イ ン タ変 数 の 値 が 動 的 変 数 を示 して い るの で あ るか ら,

ポ イ ン タ変 数 と動 的 変 数 との 関 係 は,ポ

インタ変数の値 を変 えるこ とによって

変 化 す る こ とで あ る.

(ａ)実

行前

(ｂ)x:=y実

行 後

(ｃ)new(x)実

行 後

図3・16

  た とえ ば,図3・16(a)の

状 況 でx:=yを

変 化 し,ｘ ↑は ｙ ↑ と 同 じ456を と す る 動 的 変 数 は,も

よ うに

値 と す る 動 的 変 数 を 示 す こ と と な る.123を

値

はや ど こか ら もア クセ ス す る こ とが で きな い 迷 子 変 数 と

な っ て し ま う.同 じ よ う に,手 順new(x)を う に,ｘ

実 行 す る と,図3・16(b)の

実 行 し た 場 合 も,図3・16(c)の

↑は 新 し い 動 的 変 数 を 指 し,前 の123を

よ

値 に持 つ 変 数 は 迷 子 に な っ て

し ま う.   ポ イ ン タ 型 デ ー タ の 唯 一 の 定 数NILは,ポ 数 を 持 た な い こ と を 意 味 し て お り,ど NILを

図 式 表 示 す る 場 合,直

の 斜 線(図3・17参   ま た,ポ

接NILと

イ ン タが そ の 値 と して 指 す 動 的 変

の 型 の ポ イ ン タ に も 共 通 な 定 数 で あ る. 書 き 示 さ れ る ほ か に,変

数 を示 す 枠 内

照)で 表 現 さ れ る こ と が 多 い.

イ ン タ は 静 的 領 域 に だ け で な く,動

的 領 域 の 変 数 の 値 と して も取 る

(ａ)

(ｂ)

(ｃ) 図3・17

こ と が で き る.こ

れ を 応 用 した 例 と して,図3・17の

不定個 数の実数 デー タを

呼 み 込 ん で 格 納 す る プ ロ グ ラ ム(一 部)を 考 え よ う.   こ の プ ロ グ ラ ム を 図3・17(b)の

デ ー タ に 対 し て 実 行 し た と き,読 み 込 ま れ た

デ ー タ の 格 納 の さ れ 方 は,図3・17(c)の

よ う な 配 置 と な る.こ の 例 の よ う に,

次 々 と 新 し い 動 的 変 数 を 同 じtopと

い う 変 数 を 介 し て 作 っ た と し て も,静

数topか

べ て の 動 的 変 数 が 迷 子 に な らず に ア ク セ ス

ら 順 に た ど っ て 行 け ば,す

す る こ と が で き る.こ

の よ う に,ポ

的変

イ ン タ を順 に た ど って ゆ け ば ア ク セ ス で き

る構 造 を リ ン ク 構 造 と い う.   た と え ば,上

記 の 例 で 四 つ の 実 数 を 読 み 終 わ っ た 後 で,２

ク セ ス す る に は,こ

番 目の デ ー タ をア

の ポ イ ン タ で 綴 ら れ た 列 の ３番 目 で あ る こ と か ら

top↑.next↑.next↑.val と な る.ま た,一 般 的 に こ の 方 法 で 読 み 込 まれ た ｎ個 の デ ー タ が あ っ た と き に ｋ 番 目 の 実 数 デ ー タ を 得 る 関 数 は,図3・18の

よ う に プ ロ グ ラ ム す る こ とが で き る.

図3・18

  ア ク セ ス 可 能 な動 的 変 数 は,静

的 領 域 の ポ イ ン タ変 数 の値 が 直 接 ア クセ ス す

る こ とが で きる場 合 と,静 的 領 域 の ポ イ ンタ 変 数 か ら幾 つ か の 動 的 領 域 の ポ イ ン タ 変 数 を経 て ア クセ ス 可 能 な場 合 とが あ る.   前 者 の 場 合 を 直接 ア ク セ ス と呼 び,後 者 の 場 合 を間 接 ア クセ ス と呼 ぶ こ と に す る.動 的 変 数 は,そ の 名 称 を持 た な いの で,静 的 変 数 か ら直 接 また は間 接 に ア ク セ ス で きな け れ ば 記 憶 装 置 内 に 存 在 して い て も,使 用 す る こ とが で き な い. ゆ え に,以 後 ア クセ スの 必 要 で な い ポ イ ンタ 型 の デ ー タ は,手 順disposeを い て 記 憶 内 か ら消去 して お くの が よ い.

用

第 ３章

１.Pascalの か し,多

規 格 に は 文 字 列(string)型

くのPascal処

の デ ー タ 型 は 用 意 さ れ て い な い.し

理 系 で は 文 字 列 型 の 計 算 シ ス テ ム が 利 用 で き る .あ な た

が 利 用 し て い るPascal処 し,許

練 習問題

理 系 で は,文

さ れ て い る な らば,文

字 列 型 が 許 さ れ い て る か い る か 否 か.も

字 列 型 の デ ー タ 型 に 関 連 して 用 意 さ れ て い る 手 順

や 関 数 に つ い て そ の 機 能 を 調 べ よ.

２.次 の プ ログ ラ ム(部 分)に 問題 点(文 法 上 の 誤 りだ け で あ る とは 限 らな い) が あ れ ば,そ (１)

の 問 題 点 を指 摘 せ よ. type

color=[red,while,blue]; goods=record

red:(y:integer); blue:(z:integer) end;

(２)

type

R=record case

Boolean

of

true:(X:integer;Y:char);

false:(Z:real) end; ver

A:R;…

begin…

with

A

do

begin

Y:='a'; Z:=15.3; X:=123; writeln(X:5,Y) end;

３.フ

ァ イ ル 型 の 特 殊 な 例 と し て,テ

キ ス ト型(text

type)が

あ る.テ

型 の フ ァ イ ル が 普 通 の フ ァ イ ル 型 の デ ー タ と して 表 現 で き な い 点,実

キ ス ト

現 で きな

い 機 能 に つ い て 述 べ よ.

４.あ な た の 使 用 し て い るPascalで set of charの

は,set

定 義 が 可 能 で あ る と し て,二

印 字 す る プ ロ グ ラ ム を 実 装 せ よ.た

だ し,お

of charが

つ の 英 文 章 に 共 通 に表 れ る文 字 を の お の の 英 文 章 は,テ

１行 の デ ー タ(長 さ 不 定)と し て フ ァ イ ルinputか

５.計 算 機 言 語Algol-68に

お け るUNION型

使 用 で き る で あ ろ う か.

キ ス ト型 の

ら読 み 込 ま れ る もの と す る.

の デ ー タ 型 とPascalに

おける可 変 レ

コ ー ド型 の 比 較 を せ よ.

６.実 多項 式 の 非 零 の 項 を そ の次 数 と係 数値 との 対 で 表 現 し,多 項 式 は そ れ ら の 項 の 対 を降 べ き順 に並 べ た列 で 表 現 され て い る もの とす る.た

とえ ば,

な る多項式 は (8,1.5),(6,2.6),(3,13.6),(1,1.0),(0,32.1)…

と表 現 され る.こ の 多項 式 をプ ロ グ ラム 内 部 で は図3・19の 表 現 す る もの と して 以 下 の 問 い に 答 え よ.

…(１)

よ うな リンク構 造 で

(１) 

(１)の

よ う な 形 式 の 入 力 デ ー タ を 読 み 込 ん で,図3・19の

よ うな リンク

構 造 表 現 に 変 換 す る 手 順 を 実 装 せ よ.

図3・19

(２)  ２つ の リ ン ク構 造 表 現 の 多 項 式 を 引 き数 と し,そ れ らの積 を計 算 す る 手 順 を実 装せ よ.

[４] 線 形 リ ス ト

4.1

リス ト型 のデータ

  線 形 リス トま た は 単 に リス トは,別 名 線 形 デ ー タ構 造 と も呼 ば れ,一 つ の抽 象 的 な デ ー タ型 を意 味 して い る.以 後 の議 論 で は,単

に リス トと呼 ぶ こ と にす

る.   リス トは,い

くつ か の デ ー タ が 方 向性 を持 っ て 一 列 に連 結 され て い る構 造 を

い う.   あ る 要 素 ａ に 対 し,そ の 前 方 向 に 連 結 して い る 要 素 を ａ の 前 者(predesessor) と い い,後

方 向 に 連 結 し て い る 要 素 を 後 者(successor)と

後 者 の 関 係 で ひ と ま と め に し た デ ー タ を 意 味 す る.い

い う.リ

ス トは 前 者,

ま,a1,a2,…,anの

ｎ個 の

デ ー タ 要 素 に 対 し, a1は 前 者 を 持 た ず,a2を a2はa1を

anはan-1を

後 者 に持 つ.

前 者 に 持 ち,a3を

前 者 に 持 ち,後

後 者 に 持 つ.

者 を 持 た な い.

とい う関 係 を もつ リス トＬ は抽 象 的 に L=a1a2a3…an

と表 現 さ れ る.a1は

Ｌ の 先 頭(top),anは

Ｌ の 末 尾(tail)と

呼 ば れ,そ

れ ぞれ

a1=top(L),an=tail(L)と

表 現 さ れ る.

  リス トＬ の な か のakの

前 者 をpred(ak,L),後

者 をsucc(ak,L)で,ま

を 明 示 し な く て も明 ら か な と き は,pred(ak),succ(ak)と ス ト と い っ た と き に は,個 い る か だ け に 注 目 し,そ

た,Ｌ

表 す こ と に す る.リ

々 の 要 素 が な ん で あ り,そ

れが どんな順序で並 んで

れ が 計 算機 の 中 で どの よ うに 配 置 され て い るか は 問題

と しな い.   リス トは,一

見 し た と こ ろ 配 列 と 似 て い る よ う で あ る が,リ

ス トに は添 字 の

概 念 お よ び そ れ に 付 随 し た 記 憶 場 所 が 固 定 的 に 定 ま う て い な い.た

と え ば,

L=a1a2…an で あ る リス トで は,a2は

２番 目 の 要 素 で あ る が,Ｌ

の 先 頭 にa0を

加 える と

L=a0a1a2…an と な り,a2は そ の 格 納 位 置 お よ び 内 容 が 変 化 し て い な い 場 合 で も,３ 番 目 の 要 素 と な っ て し ま う.も

う一 つ の 大 き な 相 違 点 は,リ

ス トは 実 装 の 方 法 に つ い て は

何 も 規 定 し て い な い こ と で あ る.   リ ス ト間 に 施 さ れ る演 算 や 操 作 を考 え る と き,リ し て い な け れ ば な ら な い 場 合 と,そ

ス トの 構 成 要 素 の 型 が 一 致

う で な い 場 合 とが あ る .た

の 長 さ を 求 め る 場 合 に は リス ト 内 の 要 素 の 型 は 関 係 な い が,リ 和 を 求 め る と い う 場 合 は,各 定 義 か ら は,リ

と え ば,リ

ス ト

ス ト内 の 要 素 の

要 素 の 型 は 一 致 して い な け れ ば な ら な い .本

来の

ス ト内 の 要 素 の 型 が 一 致 し て い る か 否 か と い う 制 限 は な い が,

以 後 の 議 論 に お い て は,同

じ型 の 要 素 を 持 っ て い る も の と仮 定 して お く.

  抽 象 的 な デ ー タ 構 造 で あ る リス トは,こ の 型 に 特 有 な 操 作 ま た は 演 算 が あ る. こ れ ら の う ち で,基 作 が 考 え ら れ る が,そ

本 的 な も の を ７種 類 あ げ て お こ う .こ

れ 以 外 に も,数

々操

れ らの ほ と ん ど は 以 下 の ７種 類 の 操 作 を 組 み 合 わ せ る こ

と に よ っ て 実 現 で き る.   各 操 作 の 実 装 プ ロ グ ラ ム に は,こ

こ で は 触 れ な い.以

簡 単 な 記 述 と,そ れ ぞ れ の 操 作 の 名 称,イ

下 に,各

ン タ フ ェ ー ス を 明 ら か に す る た め に,

そ の 操 作 を 手 順 と し て プ ロ グ ラ ム した と き の 手 順 見 出 し(procedure が 示 さ れ て い る.こ

こ で は,統

操 作の意味の

一 性 を 考 慮 して,各

heading)

操 作 を 手 順 で 表 現 して い る

が,実

際 に は 関 数 と して 定 義 し た ほ う が 使 い や す い も の も あ る で あ ろ う.

  (１) 

リ ス ト Ｌ の 先 頭 の 要 素 を 変 数 ａ の 値 と し て 持 ち 帰 る. procedure

  (２) 

car(L:list;var

リ ス トL1の procedure

  (３) 

a:item);

先 頭 の 要 素 を 取 り除 き,残 りの リス トをL2と cdr(L1:list;var

L2:list);

リ ス ト Ｌ の 先 頭 に 要 素 ａ を 付 け 加 え る. procedure

  (４) 

cons(a:item;var

L:list);

リ ス ト Ｌ の 長 さ を 変 数 Ｎ の 値 と し て 持 ち 帰 る. procedure

  (５)

length(L:list;var

N:integer);

長 さ ０の リ ス トを Ｌ の 値 と し て 持 ち 帰 る. procedure

  (６) 

nulllist(var

リス トL1の

procedure   (７) 

し て 取 りだ す(元 の リ ス トは 変 化 し な い).

sublist(L1:list;

リ ス トL1の

ス トL1は

L);

先 頭 か ら ｉ番 目 の 要 素 か ら ｊ番 目 の 要 素 ま で の 間 の サ ブ ・リ

ス トを 一 つ の リ ス トL2と

i,j:

末 尾 に リス トL2の

変 化 す る が,L2は

procedure

concat(var

っ て い れ ば,実

図4・1の   以 上,リ

var

L2:list);

先 頭 を連 結 して,一 つ の リス トにす る(リ

L1:list;

L2:list); 本操 作 の 機 能 と イ ン タ フ ェ ー ス が 定 ま

際 に そ れ ら が 実 装 さ れ て い な くて も,そ

ム を 作 っ て い く こ と,い   例 と し て,リ

integer;

変 化 しな い).

  こ れ ら リ ス トに 関 す る 操 作 機 能 は,基

わ ゆ る,下

れ ら を用 い たプ ロ グ ラ

降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ が 可 能 と な る.

ス ト 中 の 重 複 し た 要 素 を取 り除 い た リス トを 値 と す る 関 数 は,

よ う に 実 装 で き る. ス トの デ ー タ 構 造 お よ び リ ス ト上 の い ろ い ろ な 操 作 演 算 に つ い て 述

べ て き た が,リ

ス ト型 の デ ー タ も ま た 配 列 型 や レ コ ー ド型 と 同 じ よ う に,リ

ト 自 身 の 表 現 し て い る 意 味 に つ い て は 強 く規 定 さ れ い な い.あ の 商 店 の 顧 客 の 一 覧 表 で あ っ た り,あ た り,な

して 持 ち 帰 る.

ス

る場 合 は ど こか

る プ ロ グ ラ ム の 入 力 文 字 列 を表 現 し て い

ど い ろ い ろ な 利 用 方 法 が 考 え ら れ る.

  しか し,ど

の 利 用 法 に お い て も,そ

れ らの デ ー タ に 適 用 さ れ る 操 作 は,前

に

図4・1

示 した基 本 操 作 の組 み 合 せ で 作 る こ とが で き る.で あ るか ら リス ト型 は,単 デ ー タの 表 現 法 とか 実 装 の 方 法 な ど と は異 な っ て,同

に

じ計 算 シ ス テ ム を持 つ も

の の 全 体 を 表現 した もの と考 え た ほ うが 妥 当 で あ ろ う.

4.2

リ ス トの 実 装

4.2.1  配 列 構 造 に よ る リス トの 実 装 リ ス トL=a1a2…anを

配 列L:array[1..maxlength]of

itemに

実 装 す る に は,

a1をL[1]に,a2をL[2]に,…,anをL[n]に

と い う よ う に,リ

順 々 に 配 列 に 格 納 す る 方 法 が あ る(図4・2).リ 頭 の 位 置 と一 致 し て い る が,末

ス トの 先 頭 か ら

ス トの 先 頭 の 位 置 は,配

列 の先

尾 は リ ス トの 長 さ に よ っ て 格 納 位 置 が 変 わ る.

リ ス トの 末 尾 が 配 列 の ど の 位 置 に あ る か を 示 す た め に,図4・2のtailの リ ス トの 長 さ を 示 す 変 数 を 用 意 す る.tailの

よ う に,

値 に よっ て 示 され た 配 列 の 位 置 か

ら配 列 の 最 後 ま で は 空 領 域 と呼 ば れ て い る.配 列 の 寸 法maxlengthは,こ

の配

列 で 表 現 で き る リ ス トの 最 大 長 を 表 す 数 値 で あ る.

図4・2

  配 列 を 利 用 し て 実 装 さ れ た リ ス ト上 の 基 本 関 数length,element,nulllistお よ びinsertの

特 殊 な 例 と し て リ ス トの 最 後 に 新 し い 要 素 を 加 え る 機 能 の プ ロ グ

ラ ム は 簡 単 な の で,こ

こ で 述 べ る ま で も な い で あ ろ う.

  簡 単 な よ う で 注 意 を 要 す る の は,deleteやinsertで 去 ま た は 挿 入 し た と き,そ

列

の 二 つ の 関 数 の プ ログ

示 す.

  配 列 を 利 用 し た リ ス トの 実 装 に は,さ の 機 能 は,あ

方 と も要 素 を 除

の 位 置 か ら後 部 の 要 素 の 順 番 が 変 わ る た め に,配

内 で の 格 納 位 置 を 移 動 す る 必 要 が 生 じ る た め で あ る.こ ラ ム 例 を 図4・3に

あ る.双

ら に 大 き な 問 題 が あ る.関

数sublist

る リ ス トの 一 部 分 と 同 じ要 素 を持 つ リ ス トを 作 る こ と で あ る が,

値 と な る リ ス ト は も と の リ ス トの 一 部 分 を 共 有 す る の で は な く,そ

の一部分 を

図4・3

複 写 して 新 しい リス トを作 るこ とだ と解 釈 す る こ と に し よ う.そ うす る と,関 数sublistの 値 とな る リス トの 配 列 名 は ど う な るの で あ ろ う.配 列 が 実 行 時 に 必 要 な だ け新 し く定 義 して 作 りだ せ る,い わ ゆ る動 的 配 列 の 機 能 を持 って い る 言 語 の 場 合 は よいの だ が,FORTRANの

ように 静 的 配 列 だ け しかな い言 語 で の

プ ロ グ ラム で は,実 行 時 に作 られ る リス トの 数 を予 想 して そ の 数 だ け配 列 を 用 意 しな け れ ば な らな い.し か し,実 際 に は 必 要 な 配 列 数 が予 測 で き る場 合 は少 な い で あ ろ う.   も う一 つ の 問 題 点 は,大 きな領 域 を犠 牲 に して十 分 な 数 の 配 列 を用 意 して も,

そ の う ち の 一 つ の リ ス トが 最 大 長 の 制 限 を超 え て あ ふ れ(over-flow)が 場 合 は,ほ

か の 配 列 で ど ん な に た く さ ん の 空 領 域 が あ っ て も,プ

生 じた

ログラム は中

断 し て し ま う こ とで あ る.

図4・4

  こ の 問 題 の 解 決 法 の 一 つ は,図4・4の ス トLIST1,LIST2,…,LISTkを -list)

.こ

き な 配 列 と し てmultilist,使

トの 位 置 情 報 の た め の 配 列listsお

よ び そ の 時 点 で 使 用 さ れ て い る リ ス ト数 を

列 名 で 区 別 さ れ る の で は な く,配

配 列 要 素 は,配

列multilist上

プ ロ グ ラ ム の 記 法 で ま と め る と,

lrange:1..maxlength; multilist:array[lrange]of

item;

lists:array[1..maxlist]of record と な る.

hd,tl:lrange

列listsの

で の.LISTiの

と の 位 置 が 示 す フ ィ ー ル ド を 持 つ レ コ ー ドで あ る.   以 上 をPascalの

用 されて い る リス

ら構 成 さ れ て い る.

  そ れ ぞ れ の リ ス ト は,配 対 応 し て い て,listsの

き な一 つ の 配 列 に 複 数 の リ

格 納 して し ま う 方 法 で あ る(マ ル チ リス ト:multi

の 図 の 例 で は,大

表 し て い る 変 数nlistか

よ う に,大

end;

添 字が

先 頭 と末 尾

  こ の 例 の 場 合 も,使 用 で き る リス トの 数 はmaxlistの 前 述 の よ う に,多

くの 配 列 を 用 意 す る 必 要 が な く配 列listに

い の で,maxlistを

お い て,lists[i].tl=list[i+1].hdと

列multilistの

ど こ か に 空 領 域 が あ れ ば,幾

lists[i].tl<lists[i+1].hdと る.multilist上

4.2.2 

要 す る領 域 も 少 な

大 き く取 っ て も領 域 の む だ 使 い は 無 視 で き る.

  ま た,LISTiに も,配

値 で 制 限 さ れ て い る が,

な り あ ふ れ が 生 じて つ か の リ ス トを 移 動 し て,

な る よ うに 移 動 して 対 処 す るこ とが 可 能 で あ

に 空 領 域 が ま っ た く な く な っ た 時 点 で 真 正 の あ ふ れ が 生 ず る.

リ ン ク 構 造 に よ る リス トの 実 装

  リ ン ク 構 造 と は,ポ 造 の 総 称 で あ る.リ

イ ン タ*を 用 い て,デ

ー タ 間 の 関 係 を表 現 した デ ー タ構

ン ク構 造 で リス ト を 表 現 す る に は,お

の お の の リ ス トの 要

素 を デ ー タ 要 素 本 来 の 情 報 を 格 納 す る フ ィ ー ル ド と,リ

ンク構 造 を示 す 幾 つ か

の ポ イ ン タ フ ィ ー ル ドか ら な る レ コ ー ドで 表 現 す る.た

と え ば,一

つ のポイ ン

タ を 持 つ リ ス トの 要 素 は pitemrec=↑itemrec; itemrec=record inf:item; next:pitemrec end

で 表 現 さ れ る.ま

た,一

つ の リス トは,そ

の リ ス ト構 造 を 示 す デ ー タ の 一 部,

一 般 に は リ ス トの 先 頭 の 要 素 へ の ポ イ ン タ で 表 現 さ れ る .   リス トL=a1a2…anはpitemrec型

の デ ー タ で 表 現 され,図4・5の

よ うな リン

ク 構 造 と な る.   リ ン ク 構 造 に よ っ て 実 装 さ れ た リ ス トの 操 作 性 に つ い て 考 え る と,非

常に多

く の 点 で 配 列 構 造 に よ る リス トの 場 合 と 対 照 的 で あ る.

*  この 場 合 の ポ イ ン タ は,Pascalの

ポ イ ン タ型 の デ ー タ と い う狭 い 意 味 で は な く,変 数 の 値 が 格

納 位 置(変 数)を 表 現 して い る もの の 総 称 で あ る.

図4・5

■要 素の アクセ ス

  配列 上 の リス トの 場 合,お

の お の の 要 素 は 配 列 の １要 素

で も あ る の で,ラ ン ダ ム ア ク セ ス が 可 能 で あ っ た が,リ ン ク構 造 の リス トで は, リス トの 先 頭 とか 直 前 に ア クセ ス した位 置 か ら順 に リン ク を た ぐっ て ゆ き,目 的 の 要 素 に 到 達 して は じめ て その 要 素 へ の 情 報 の ア クセ ス が 可 能 と な る. ■要 素 の 挿 入 と除 去

 配 列 に よ る リス トで の 要 素 の 挿 入 ・除 去 は,前

べ た よ う に,他 の 要 素 の格 納 位 置 の変 更 を伴 う.そ れ に比 較 して,リ に よ る リス トは,図4・6に

に も述

ン ク構 造

示 す よ う に,要 素 Ｙの 除 去 につ いて はpred(Y)す

(ａ)  リス トの 要 素 の 除 去

(ｂ)  リス トの挿 入 図4・6

な

わ ち Ｘ の ポ イ ン タ をsucc(Y)=Zへ

と付 け 換 え(点 線),ま た 同 図(ｂ)の

間 に Ｙ'を 挿 入 す る に は Ｘ の ポ イ ン タ を Ｙ'に,Ｙ'の

Ｘ とＺの

ポ イ ン タ を Ｚ に(点 線)つ

け 換 え る だ け で 済 ん で し ま う の で 簡 単 で あ る. ■ リ ス トの 統 合 と 分 割 い が,こ

  リス トの 統 合 と分 割 は,基

本 操 作 に含 まれ て は い な

れ は 基 本 操 作 の 組 み 合 わ せ に よ っ て 実 装 可 能 で あ る か ら で,リ

操 作 と し て は 重 要 な機 能 で あ る.front(L,n),rear(L,n)を

ス トの

そ れ ぞ れ リス ト Ｌ

の 先 頭 か ら ｎ 番 目 ま で の サ ブ リス ト,(n+1)番

目 か ら 末 尾 ま で の サ ブ リ ス トと

す る と Ｌ をL1=front(L,n),L2=rear(L,n)に

分 割 す るに はL1を

ＬにL2を

目 の 要 素 の ポ イ ン タ の 値 に,そ し て ｎ番 目 の 要 素 の ポ イ ン タ をnilに (図4・7(a)参

照),ま た 二 つ の リス トL1とL2を

の よ う に,L1の

末 尾 の 要 素 の ポ イ ン タnilをL2に

ｎ番

すれ ば よ く

統 合 して Ｌ を 作 る に は,図4・7(b) し,L1を

Ｌに代 入 す る だ け で

よ い こ と に な る.

(ａ)  リス トの 分割

(ｂ)  リス トの 統 合 図4・7

[注 意]  リン ク構 造 の 利 点,欠 点 につ い て い ろ い ろ 学 ん で きた が,リ ン ク構 造 で 便 利 だ と い われ て い る機 能 に も落 穴 が あ る.そ れ は,一 般 的 に は 側 面 効 果(side effect)と 呼 ば れ て い る 現 象 で,目 的 とす る答 え を得 る 過程 で プ ログ ラ ム の 内 部 状 態 とか 、 デー タ の 一 部 を変 形 して しま う こ と で あ る.た

とえ ば,図4・7(a)の

場 合,L1とL2を

得 る 過程 で,引

割 の 終 わ っ た 時 点 で の Ｌ の値 は,元

の もの とは 異 な って い る.(ｂ)の

の 前 と後 で は 値 が 変 化 して い る.こ

の よ うに,リ

十 分 注 意 す る必 要 が あ る.

数 の Ｌ は変 え られ て分 例 で はL1が や は り統 合

ン ク構 造 で は側 面 効 果 が 起 きや す い の で,

図4・8

  リ ン ク構 造 を 用 い て 実 装 さ れ た リ ス ト間 の 基 本 的 な 関 数 の 幾 つ か の プ ロ グ ラ ム 例 を 図4・8に

示 し た.リ

ン ク構 造 で の リス トの 実 装 の 場 合 に は ,リ ス トが ポ

イ ン タ 型 の デ ー タ で あ る の で,配 さ れ て い な い の で,す つ い て は,読   さ て,今

列 の と き の よ う に リ ス トが 関 数 値 と し て 制 限

べ て が 関 数 と し て プ ロ グ ラ ム 可 能 で あ る .残

りの 関 数 に

者 の 方 々 の 演 習 と し て 残 し て お く. ま で 学 ん で き た リ ン ク 構 造 の リ ス トは,各

者 へ の ポ イ ン タ だ け で あ る た め に,リ

要 素 の レ コ ー ド内 に は 後

ス ト内 の 要 素 を ア ク セ ス す る の に 先 頭 か

ら 末 尾 の ほ うへ リ ン ク を た ど っ て い く方 法 し か 取 れ な い.と

い う こ と は,リ

トと し て も っ と も基 本 的 で あ る,あ る 要 素 ａ の 前 者 を 求 め る 関 数pred(a)は ら 直 接 求 め る こ と は で き ず,リ

ス ａか

ス トの 先 頭 か ら 順 に 後 者 と して ａ を 持 つ 要 素 を

探 索 し て い く以 外 に 方 法 は な い.   こ の 一 方 向 性 の 不 便 を 解 消 す る た め に,リ

ス トの 要 素 の レ コ ー ドを

pitemrec=↑itemrec;

itemrec=record inf:item; pre,suc:pitemrec end; と し前 者,後

者 へ の 双 方 の ポ イ ン タ を 持 つ よ う に す る .こ

リ ン ク し た リ ス ト を 二 重 結 合 リ ス ト(double a1a2…anは

図4・9の

linked

の よ う に,二

list)と い い,リ

方向 に

ス トL=

よ う に 表 現 さ れ る.

図4・9

【 例 】

 あ るチ ェ ー ン店 の 本 店 に,各 支 店 か ら毎 日の売 上 伝 票 が 集 ま っ て くる.伝 票 に は,図4・10の

よ うに支 店 番 号 とその 日の売 上 高 が千 円 単 位 で記 入 されて い る.

この モ デ ル と して,支 店 番 号 と売 上 高 の 二 つ の 数 か ら成 る レ コ ー ドを 入 力 装 置

か ら不 定個 数 読 み 込 ん で,伝 票 の 束 を表 現 す る二 重 結 合 リス トを 作 り出 す 手 順 をプ ロ グ ラ ム した例 を図4・11に

示 して あ る.

図4・10

図4.11

4.3  ス タ ッ ク と キ ュ ー

4.3.1 

特 殊 な リス ト

  リ ス ト構 造 に お い て は,便,不 で き る.ま

た,リ

対 し て も,そ

便 の 差 は あ っ て も,ど

ス トへ の 要 素 の 挿 入,除

去 お よ び リ ス トの 分 割 な ど の 操 作 に

の 操 作 位 置 に は 制 限 が な い.し

法 を 制 限 し特 殊 化 す る こ とで,一

の 要 素 に で もア ク セ ス

か し,こ

の ア クセ ス位 置 や その 方

般 性 が 狭 ま り使 い 勝 手 が よ く な る と い う こ と

が あ り う る.   た と え ば,中 こ れ に 反 し て,西 る.リ

華 料 理 で は １種 類 の 包 丁 で す べ て の 料 理 を こ な す そ う で あ る. 洋 料 理 で は,そ

の 用 途 に応 じて千 差 万 別 の 道 具 が 使 わ れ て い

ン ゴ の 芯 を 取 る 専 用 の 包 丁 な ど は そ の 例 で あ る.中

で リ ン ゴ の 芯 が 取 れ る か ど う か は 別 に し て,そ が,専

華料理の大 型の包丁

の 使 用 法 に は 工 夫 と熟 練 が い る

用 の 道 具 は 使 い 手 が 多 少 無 器 用 で も,け っ こ う使 い こ な せ る も の で あ る.

  リ ス トの 機 能 を 制 限 し,特 (queue)が

あ る.こ

殊 用 途 化 し た も の に ス タ ッ ク(stack),キ

の 節 で は,こ

ュー

れ ら の 特 殊 リ ス トに つ い て の 基 本 操 作,実

装

の 方 法 お よ び 用 途 に つ い て 検 討 す る こ と に し よ う.

4.3.2 

スタ ック

  ス タ ッ ク は,別 (Last

In First

か で き な い が,使

名 プ ッ シ ュ ダ ウ ン リ ス ト(pushdown Out

List)と

list)と かLIFOリ

ス ト

呼 ば れ,リ ス トに 比 べ て 非 常 に 制 限 さ れ た 操 作 し

用 目的 に よ っ て は便 利 な デ ー タ構 造 とな る.

  ス タ ッ ク の 特 長 は,デ

ー タ の 挿 入,除

去 の 位 置 が 制 限 さ れ て い る こ と と,そ

の 挿 入,除 去 の 操 作 と ア ク セ ス の 操 作 とが 不 可 分 に 結 合 さ れ て い る こ と に あ る . ス タ ッ ク に 情 報 を 書 き 込 む に は,ス そ こ に 情 報 を 書 き 込 む と い う,一

タ ッ ク の 先 頭 に 新 し い レ コ ー ド を 挿 入 し,

連 の 定 ま っ た 操 作 しか で き な い .ま

た,ス

タ

ッ ク か ら要 素 の 情 報 を 得 る に は,ス タ ッ ク の 先 頭 の 要 素 し か 読 む こ と は で き ず ,

し か も,読

ん だ 後 に は,こ

の 先 頭 の 要 素 は ス タ ック か ら 自動 的 に 除去 され て し

ま う.   こ のwirite-insertの

操 作 を プ ッ シ ュ ダ ウ ン(pushdown)と

の 操 作 を ポ ッ プ ア ッ プ(pupup)と

呼 び,  read-delete

呼 ぶ.ス タ ッ クS=a1a2…anに

む プ ッ シ ュ ダ ウ ン 操 作 を 実 行 す る と,S=aa1a2…anと

要 素 ａ を書 き込

な り,先 頭 は ａ と な り 全

体 の 長 さ が １だ け 増 え る.   ま た,S=a1a2…anか =a2a3…a

ら情 報 を 読 む に は,a1だ

nと な り,先

け を 読 む こ とが で き,同 時 にS

頭 の 要 素 が 除 去 さ れ て 一 つ 短 くな る.こ

の よ う に,ス

ッ ク は 書 き 込 ん だ 順 番 と 逆 の 順 番 で しか 読 み 出 せ な い こ と か ら,LIFOの

タ

名 が与

え られ て い る で あ る.   ス タ ック の二 つ の 操 作 を procedure

pushdown(x:item;var 

procedure

popup(var 

S:stack);

x:item;var

S:stack);

と二 つ の 引 数 を持 つ 手 順 で 表 す こ と に す る.   pushdownは

要 素 の 変 数 ｘ の 内 容 を ス タ ック にプ ッ シ ュ ダ ウ ン す る.ｘ の 値 は 変

化 しな い.popupは

ス タ ッ ク の 先 頭 の 要 素 を 読 み 出 し,そ の 値 を ｘ に 複 写 し て か

ら 除 去 す る.

図4・12

  配 列 を 用 い た ス タ ッ ク の 実 装 は,図4・12の

よ うに 要 素 の 型 の 配 列 Ｓ とス タ ッ

ク の 先 頭 の 位 置 を 表 す 配 列 イ ン デ ク ス の 型 変 数topSと   ス タ ック へ の ２種 類 の 操 作pushdownとpopupは

で 実 現 さ れ る.

図4・13の

よ うに 実 装 され る.

図4・13

(ａ)  pushdown(x,S)

(ｂ)  popup(x,S) 図4・14

図4・15

  リ ン ク 構 造 に よ る ス タ ッ ク の 実 装 は,ス イ ン タ と して 表 現 で き(図4・14),二 装 さ れ る.注 popupの

意 す る こ と は,ス

タ ッ ク 自信 が 先 頭 の レ コ ー ドへ の ポ

つ の ス タ ッ ク へ の 操 作 は 図4・15の

ように実

タ ッ ク は 先 頭 の 要 素 し か ア ク セ ス で き な い し,

操 作 で も次 のtopはpred[S]に

よ り求 め られ る の で,先 頭 か ら末 尾 の 方

向 へ の リ ン ク が あ れ ば よ く,二 重 結 合 リ ス トを 用 い る 必 要 性 が な い こ とで あ る.

4.3.3 

ス タ ック の 応 用 例

  数 式 に お け る項 と演 算 子 との 関 係 を表 現 す る に は,３ 種 類 の 方法 が あ る.そ れ らは,そ

の 関 係 を 言 葉 で 表 現 す る 言 語 の 性 質 に依 存 す る と思 わ れ る.こ

こで

は,1+2を

無 理 に 日 本 語 で 表 現 す る と, "た す こ と の １ と ２" … …+1

,2…

"１ た す ２"

… …1+2…

"１

… …1

と ２ を た す"

… 前 置(prefix)表 … 中 置(infix)表

,2+…

… 後 置(postfix)表

現 現 現

の よ う に な り,こ の 言 葉 の 順 序 で 数 式 と して表 現 した もの と,そ の 名称 との 対 応 を示 して あ る.   日本 語 で の 前 置 表 現 は不 自然 だ が,ポ ー ラ ン ド語 で は項 と演 算 を表 す 動 詞 が この 順 序 で あ る の で,ポ

ー ラ ン ド式 表 現 と も呼 ば れ て い る.英 語 で は 中 置 表 現

で,日 本 語 で は後 置 表 現 が も っ と も自然 で あ ろ う.し か し,日 本 式 とは 呼 ば ず に,逆

ポ ー ラ ン ド式 表 現 と呼 ば れ て い る.

  さて,一

般 の 数 式 は 中置 表 現 で あ るが,計 算 機 で 数 式 を 計 算 す るに は,後 置

表 現 が 多 く使 わ れ る.後 置 表 現 で は,数 式 が 括 弧 な しで表 現 で きる だ け で は な く,例 ２の よ う に ス タ ッ ク を 用 い て う ま く数 式 の値 を求 め る こ とが で き るか ら で あ る. 【 例 １】

  加 減 乗 除 だ け か らな る中 置 表 現 の 数 式 をス タ ッ ク を 用 い て後 置表 現 に変 換 す るPascalの

プ ロ グ ラ ム を考 え よ う.た だ し,数式 はA∼Zの

な る変 数 と,+,=,*,/の

う ちの １文 字 か ら

四 則 演 算 記 号 お よ び 左 右 の 括 弧(,)だ

な り,入 力 レ コー ドの １行 に書 か れ て い て,誤

けか ら

りは な い もの とす る.ま た,演

算 に は優 先 順 位 が な く,優 先 順 位 をつ け る に は すべ て 括 弧 をつ け な け れ ば な ら な い もの とす る.

図4・16(そ

の １)

図4・16(そ

の ２)

図4・16(そ

  図4・16の

の ３)

プ ロ グ ラ ム の 考 え 方 は,基 本 的 な 中 置 表 現

左 側 変 数 」 に 対 し,右

「右 側 変 数

側 変 数 は 読 み 込 ん だ ら そ の ま ま 出 力 し,演

ッ ク に プ ッ シ ュ ダ ウ ン し,後

演算記号 算記 号はスタ

に 右 側 変 数 を 読 み 込 ん で 出 力 し て か ら,演

算 記号

を ポ ップ ア ッ プ し て 出 力 す る.も

し,右

側 また は左 側 の 変 数 の と こ ろ が括 弧 で

く く ら れ た 数 式 で あ る と き は,そ

の 式 が 左 右 ど ち らで 出 現 した か を ス タ ッ クに

記 録 す る.   そ し て,新

た な 数 式(括 弧 内)を 出 力 し た 後,ポ

た 左 右 ど ち ら か の 変 数 を 処 理 し た も の と して,数

ップ ア ッ プ し,記

式 の 処 理 を 続 け る.も

力 時 に １行 の 終 わ りが 検 出 さ れ れ ば 処 理 を 終 わ る.図 popupは

図4・15の

録 されてい し,入

中 の 手 順,pushdownと

もの と 同 じ もの で あ る の で,こ の プ ロ グ ラ ム の 中 で は 省 略 さ

れ て い る.   図4・17に れ て い る.

幾 つ か の 入 力 数 式 と,そ れ に 対 す る こ の プ ロ グ ラ ム の 出 力 例 が 示 さ

図4・17

【例 ２ 】   上 の 例 １ で 求 め た 後 置 表 現 の 数 式 の 値 を 求 め る プ ロ グ ラ ム も,ス い る と 簡 単 明 り ょ う に な る.ア   Step-1.も

し,数

み 込 む.そ Step-2.も

式 が 終 わ り な ら ば,終

も な け れ ば,数

し て,Step-1へ

の 場 合 は,ａ

戻 る.

が 変 数 で あ る か ら,こ

し て,Step-1へ

の 結 果 を ス タ ッ クに

の 変 数 の 値 を求 め て ス タ ッ ク

戻 る.

の ア ル ゴ リ ズ ム が 終 わ っ た と き,数

式 の 値 は ス タ ック の 先 頭 に格 納

さ れ て い る.こ の ア ル ゴ リズ ム を プ ロ グ ラ ム し た の が 図4・18で,こ evalは

式 を １文 字 読

タ ッ ク か ら 続 け て 二 つ の 値 を取 り出

の 記 号 の 演 算 を そ の ２値 に 対 し て 行 い,そ

に 記 録 す る.そ と な る.こ

了.さ

れ を ａ と す る.

記 録 す る.そ   Step-3.こ

ル ゴ リズ ム は,

し,ａ が 演 算 記 号 な ら ば,ス

し,そ

タ ッ ク を用

の 中の関数

変 数 を 引 数 と し,そ の 変 数 の 持 つ 値 を 関 数 値(実 数 型)と す る もの と す る.

図4・18(そ

の １)

図4・18(そ

の ２)

  4.3.4 

キ ュー

  キ ュ ー(queue)は

別 名FIFOリ

リ ス ト と も 呼 ば れ る.ス た の に 対 し,キ れ て い る.ス

ス ト(First

ュ ー は 書 き 込 み は 先 頭 に だ け,読

タ ッ ク の 場 合 と 同 じ よ う に,書

追 加 さ れ た 後 に そ こ に 書 き 込 ま れ,読 読 み 出 さ れ た 後,そ

Out

list)と か,待 ち 行 列

み 出 しは末 尾 に だ け と制 限 さ

き 込 む と き は,先

み 出 す と き は,末

頭 に １ レ コー ド

尾 の レ コ ー ドの 内 容 が

の レ コ ー ド は 削 除 さ れ る.

  つ ま り,キ ュ ー をQ=a1a2…anと a2…anと

In First

タ ッ ク が リ ス トの 先 頭 に だ け 読 み 書 き が 制 限 さ れ て い

す る と き,Ｑ に 要 素 ａ を 書 き込 む と,Q=aa1

な り,元 の Ｑ か ら情 報 を 読 み 出 す とanが

取 り出 さ れ,Q=a1a2…an-1

と な る.   キ ュ ー はFIFOの

名 の よ う に,キ ュ ー に 記 録 さ れ た 順 番 で しか 読 み 出 す こ と が

で き な い.ま

くの 理 髪 店 で み られ る よ う に,次

た,多

店 で 一 番 長 く待 っ た,つ

ま り,待

に サ ー ビ ス を 受 け る の は,

っ て い る人 達 の 中 で 最 初 に きた 人 で あ る こ と

か ら 待 ち 行 列 と い う 名 前 が つ い た の で あ ろ う.

図4・19

  配 列 上 で の キ ュ ー の 実 装 は,図4・19の 数topQ,tailQと

a:item;var

列 Ｑ と先頭 と末 尾 を表 す 変

か ら 構 成 さ れ る.

  キ ュ ー へ の 二 つ の 操 作,writequeue(a:item;var (var

よ う に,配

Q:queue)は

図4・20の

Q:queue),readqueue よ う に な る.  top

Q=maxlengthに

図4・20

な っ て し ま っ た 見 か け 上 の オ バ ー フ ロ ー に 対 し て の 扱 い は,tailQ=1と う に 再 配 置 す る 方 法 と,Q[maxlength]とQ[1]が

なるよ

つ な が っ て 輪 を 成 して い る よ う

に プ ロ グ ラ ム 上 で 考 慮 す る 方 法 と ２種 類 あ る が,こ こ で は 後 者 を採 用 し て い る.

  リ ン ク構 造 を 用 い た キ ュ ー の 実 装 は,ス は 大 分 異 な る.キ セ ス 点,つ ず,キ

タ ッ ク と似 て い る が,リ

ュ ー は 二 つ の ア ク セ ス 点 を 持 つ の で,ス

ま り,先

ン クの 構 造

タ ック の よ う に ア ク

頭 の ポ イ ン タ だ け で ス タ ック 全 体 を表 現 す る よ う に は ゆ か

ュ ー は 二 つ の ポ イ ン タ の 対 で 表 現 さ れ る.

  二 つ の 操 作 の う ち,writequeue(a:item:var   (１)

newitemrecordに

Q:queue)の

よ っ て 示 さ れ る新 し い 領 域 を 生 成 す る.

  (２)  newitemrecord↑.inf 

←   aを 実 行 す る.

  (３)  pred[Q.topQ]=newitemrecordと   (４)  Q.topQ 

な る よ う に リ ン ク す る.

←   newitemrecordを

で あg,readqueue(var   (１)

動作 は

実 行 す る.

a:item;var

Q.tailQ=Q.topQで

Q:queue)の

あ れ ば,ア

ン ダ ー フ ロ ー 誤 り.

  (２)  a  ←   Q.tailQ↑.infを

実 行 す る.

  (３)  oldtailQ 

Q.tailQ 

←   Q.tai1Q, 

  (４)  dispose[oldtailQ]を

動 作は

←   pred[Q.tailQ]を

実 行 す る.

実 行 す る.

と な る.   こ こ で 注 意 す る の は,ス 置 がSUCC関

タ ッ ク の 場 合 は,時

間 の 経 過 と と も にア クセ ス の 位

数 の 向 き で(先 頭 か ら 末 尾 へ 向 か う)変 化 し て い っ た の に 対 し,キ ュ

ー の 場 合 は ,関

数predの

キ ュ ー に お い て も,二

向 き で あ る こ と で あ る.双

重 結 合(double

linked)リ

方 向 へ の 変 化 は な い の で,

ス トを 使 う 必 要 は な い が,リ

ス トの 末 尾 か ら 先 頭 の 向 き に リ ン ク 結 合 が 行 わ れ て い な け れ ば な ら な い.こ こ と は,キ ュ ーQ=a1a2…anを

表 現 す る の に,図4・21の

図4・21

の

よ う な リ ン ク構 造 に し

図4・22

な け れ ば な らな い こ と を意 味 して い る.   こ の よ う な リ ン ク構 造 の場 合 の 二 つ の操 作 を実 現 す るプ ログ ラム は,図4・22 の よ うに な る.

  4.3.5  キ ュー の 応 用 例   あ る 問 屋 で は,製 造 業 者 か ら入 荷 じた 商 品 を倉 庫 に保 管 し,小 売 業 者 に は 倉 庫 に あ る古 い商 品 か ら売 る こ と に して い る.倉 庫 の 入 荷,出

荷の要求 の記録 を

下 記 の よ う な仕 様 で 印 字 す るプ ロ グ ラ ム を作 りた い.   そ れ ぞ れ の要 求 は,図4・23(a)の

よ うに,入 荷 の 要 求 に対 して は ‘+'記号

と ５桁 か ら な る製 造 番 号 お よび 個 数 か ら な る レ コー ドが 入 力 され る.こ の 店 で は,入 荷 した製 品 全 部 に 製 造 番 号 の後 ろ に ３桁 の 通 し番 号 を加 え て 製 品 番 号 と し て い る.出 荷 要 求 に 対 して は,‘-'記 号 と小 売 業 者 のID番 列),お

よび個 数 が 入 力 され る.

(ａ)  入 力 の 例

(ｂ)  出力 の 例

図4・23

号(５ 桁 の 文 字

  こ れ ら の 要 求 の 記 録 の 出 力 は,図4・23(b)の

よ う に 左 側 に 入 荷 の 記 録,右 側

に 出 荷 の 記 録 を 印 字 す る も の と す る.た

庫 に は1000個

で き,オ

ー バ ー フ ロ ー,ア

だ し,倉

ン ダ ー フ ロ ー は な い も の と して よ い.こ

ュ ー を 用 い た プ ロ グ ラ ム の 例 は 図4・24の

図4・24(そ

よ う に な る.

の １)

の 商 品 を格 納 の 問題 の キ

図4・24(そ

の ２)

第 ４章 練習問題

１.図4・4に

示 さ れ た 配 列 上 の マ ル チ リ ス トの 基 本 操 作 と な る 各 関 数 を プ ロ グ

ラ ム せ よ-

２.式 (１)       ax3 

+  bx  +  c

(２)

(３)

を 後 置 表 現 お よ び 前 置 表 現 せ よ.た

だ し,xpはx,p#と

表 し,同

じ優 先 順 位 の

よ う な 配 列 上 の マ ル チ ス タ ッ ク を 用 い る 計 算 で,必

要 と され る ス

演 算 は 左 側 か ら 計 算 す る も の と す る.

３.図4・4の

タ ッ ク の 数 ｎ は 変 わ ら な い も の とす る.ｎ フ ロ ー した と き,そ

個 の ス タ ッ クの 丙 の 一 つ が オ ー バ ー

の ス タ ッ ク だ け を 配 置 し直 し て 対 処 す る よ り も,以

ー バ ー フ ロ ー が な る べ く起 こ ら な い よ う に 配 置 を し直 す ほ う が,効

,す

後 のオ

べ て の ス タ ッ ク を以 下 の 方法 で

率 の よ い こ と が 経 験 的 に わ か っ て い る.

  そ の 方 法 は,各

ス タ ッ ク の 後 部 の 使 用 可 能 な 領 域 の 寸 法 を,次

の ように配分

し直 す こ と で あ る 。   (１)全

空 き領 域 の ａ%は

  (２)残

り の(100-a)%は,そ

各 ス タ ッ ク に 均 等 に 分 配 す る. の時 点 での 各 ス タ ックの 長 さ に比例 す る よ う

に 配 分 す る. す な わ ち,全 空 き 領 域 の 寸 法 を Ｓ とす る と,ｉ 番 目 の ス タ ッ ク の 長 さ はlists[i]・ T-lists[i]・Hと

な り,こ

の ス タ ッ ク に 配 分 さ れ る利 用 領 域 の 寸 法 は

で 与 え られ る.ａ の 値 は ス タ ッ ク の 利 用 方 法 に よ っ て 多 少 異 な る が 一 般 に1020%で

あ る.

  オ ー バ ー フ ロ ー が 生 じ た と き の 再 配 置 手 順(procedure)を

４.図4・8に

示 さ れ た プ ロ グ ラ ム で,再

プ ロ グ ラ ム せ よ.

帰 的 に プ ログ ラ ム され て い る もの は そ

れ と 同 じ機 能 を 持 つ 繰 返 し的 プ ロ グ ラ ム へ,ま

た,繰

返 し的プ ロ グ ラ ム は 再 帰

的 プ ロ グ ラ ム に 書 き 換 え な さ い.

５.105ペ

ー ジ の キ ュ ー の 応 用 例 で,在

能 で あ る こ と を,ま

た,倉

庫 数 以 上 の 要 求 が あ っ た と きは 出荷 不

庫 の 最 大 収 納 量 が1000と

し て,在

庫量が最大値 を

超 え る入荷 要 求 に対 して 受 け入 れ 不 能 で あ る こ と を印 字 す る よ う にプ ロ グ ラム を 修 正 せ よ.

６.図4・25の

よ う に,線 形 リス トのtailのsuccessorと

し て,headへ

接 続 し て 得 ら れ る リ ス ト を 環 状 リ ス ト(circular list)と

い う .環

ポイ ンタ 状 リス トは

要 素 を 同 じ順 番 で 何 回 も ア ク セ ス す る 場 合 な ど に は 便 利 な デ ー タ 構 造 で あ る . 一方

,危

険 な デ ー タ 構 造 で も あ る.た

と え ば,環

状 の 周 の 長 さ を求 め る の に,

普 通 の 線 形 リ ス トの 長 さ を 求 め る 関 数 を 用 い る と,永

久 ル ー プ に 入 り計 算 が 終

わ ら な い こ と が 生 ず る.

図4・25

  環 状 リ ス トの 基 本 的 な 操 作 で あ る 以 下 の こ と を 実 装 せ よ. ■ デ ー タ 読 み 出 し    環 状 リ ス ト Ｌ の 指 し て い る セ ル の 内 容 を ｘ に 複 写 し,Ｌ を 現 時 点 の セ ル のsuccessorと procedure

す る.

readclist(var

L:clist;var

x:item)

■ デ ー タ の 書 き 込 み    現 時 点 の Ｌの 指 し て い る セ ル の 前 に 新 しい セ ル を挿 入 し,そ

の 内 容 を ｘ と す る. procedure

writeclist(var

L:clist;x:item)

■ 周 の 長 さ を 求 め る    環 状 リス ト Ｌ の 周 の 長 さ を 求 め,整 の 値 を セ ッ トす る. procedure

lengthclist(L:clist;var

length:integer)

数 変 数lengthに

そ

[５] 木

5.1

構

造

木構造のデータ

  組 織 化 され た デ ー タ の 多 くに は,構 成 デ ー タ 間 に 階 層構 造 が み られ る.た

と

え ば,全 国 の 市 町 村 の 名 称 を集 め た デ ー タ を考 え て み よ う.こ れ らの 名 前 を た だ で た らめ に並 べ る よ りは,組 織 的 に ま とめ た ほ うが,デ

ー タ と して の 使 い勝

手 は よ い こ とは い う まで もな い.名 前 を ア イ ウ エ オ 順 にす る こ と も一 つ の 方法 で あ る.こ れ は一 次 元 的構 造 を持 つ リス トで表 現 で き る.こ の場 合 は,個

々の

デ ー タ は ど れ も対 等 で あ り,階 層構 造 を な して いな い.一 方,市 町 村 名 を都 道 府 県 ご とに ま とめ,さ

ら に そ の都 道 府 県 名 を地 方 ご とに ま とめ る と い う組織 化

も考 え られ る.こ の 場 合 は,同

じ名 前 と して の デ ー タ で も地 方 名,県

名,市 町

村 名 とい う よ う に分 類 され,地

方 名 は県 名 の 集 ま りを表 し,県 名 は 市 町 村 名 の

集 ま りを表 す よ うに デ ー タ 間 に 包 含 関 係 が あ り,階 層 構 造 が生 ず る.   組 織 化 され た デ ー タ に お い て は,デ

ー タ 間 の 階 層 構 造 と選 択 分 岐 ま た は統 合

と は深 い 関係 に あ る.こ の よ う な デ ー タの 階 層 化 とそ れ らの 処 理 を含 め た抽 象 的 デ ー タ の 型 の 一 つ に 木(tree)構

造 が あ る.

  木 構 造 は,各 階 層 に お け るデ ー タ要 素 と,そ れ らの 間 の 階 層 を表 現 す る関 係 と で構 成 され て い る.一 般 的 に,デ ー タ要 素 の 集 ま り と,そ れ らの うえ の 関 係 (２項 関 係)を 表 現 す るデ ー タ構 造 と して,グ

ラ フが あ る.木

もグ ラ フ の 一 種 で

あ る か ら,木

に 関 す る議 論 に は,グ

ラ フ 理論 の 用 語 が 使 わ れ るの が 普 通 で あ る

(グ ラ フ と し て の 木 に つ い て は,5.2節

を 参 照).

  木 Ｔ は:

T=(V,E) と 表 現 さ れ,Ｖ は,頂 点(nodeま

た はvertex)と

り ,Ｅ は 弧(edgeま

呼 ば れ,頂

た はarc)と

ａ と ｂ に 対 し,(a,b)が

点 と 頂 点 と の 対 の 集 合 で あ る.頂 点

Ｅ に 含 ま れ て い れ ば,「 点 ａ の 子 は ｂ で あ る 」,ま た は

簡 単 に,「 ａ か ら ｂ へ の 弧 が あ る 」 と い う.こ 子 の 関 係 を 導 入 し た 組 織 的 デ ー タ で,厳   (１)基

本:た

呼 ばれ る デ ー タ要 素 の 集 合 で あ

の よ う に 木 は,デ

ー タ要 素 間 に 親

密 に は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

だ 一 つ の 頂 点 か ら な る デ ー タ は 木 で あ る.こ

の と き,こ

だ 一 つ の 頂 点 を構 城 し て い る デ ー タ 要 素 は こ の 木 の 根(root)で   (２)帰

納:T1,T2,…,Tnの

え,こ

の 新 し い 頂 点 か ら,そ

r2),…,(rn+1,rn)で 頂 点rn+1は,新   (３)限

定:す

あ る と い う.

そ れ ぞ れ が 木 で あ り,r1,r2,…,rnは

の 木 の 根 で あ る と す る と き,そ

の た

それぞれ

れ ら の ど の 木 に も 含 ま れ な い 頂 点rn+1を れ ぞ れ の 木 の 根 へ 向 か う 弧(rn+1,r1)

加

,(rn+1,

結 ん で 一 つ に ま と め た デ ー タ も ま た 木 で あ る.ま

た,

し く作 ら れ た 木 の 根 と な る. べ て の 木 は 上 の(１)を

も と に,(２)を

有 限 回適 用 して 得 ら

れ る も の に 限 る.   こ の 定 義 の 方 法 は,一

見 した と こ ろ 正 し く木 を 定 義 し て い る の か ど う か と疑

い を 持 つ か も知 れ な い が,よ

く考 え る と非 常 に う ま い 定 義 法*で あ る こ と が わ

*  こ の よ うな 定 義 法 は,帰 納 的 定 義 法 と呼 ば れ,基 的 帰 納 法 に 似 て,基

本,帰

され た もの が 存 在 す れ ば,新

定 の ３部 か ら成 る.こ れ は数 学

の よ うに して,上

し,す で に定 義

しい 対 象 が作 れ る こ とを示 して い る.こ の 仮 定 は,基 本 部 で す で に

定 義 さ れ た 対 象 の あ る こ との 保 証 が 得 られ て い るの で,次 る.こ

納,限

本 で もっ と も基 本 的 な定 義 対 象 を定 め て い る.帰 納 で は,も

々 と新 しい 対 象 を定 義 す る こ とが で き

限 の な い個 数 の 対 象 物 の 集 合 を定 義 で きる.(３)の

限 定 は,(１)と(２)

が 十 分 条 件 を 述 べ て い るの に対 し,こ の 二 つ の 条 件 を満 た さ な い もの の 存 在 を否 定 す る こ とに よ って 必 要 十 分 と して い る.   限 定 につ い て の わ か りや す い 例 をあ げ れ ば,「 犬 は ほ 乳 類 で あ る」 「猫 は ほ 乳 類 で あ る」 … … な どの 記 述 だ け で は,た

と えほ 乳 類 に含 まれ るす べ ての 動 物 に 対 して記 述 した と して も,ほ 乳 類

の 定 義 と して は 不 備 な 点 が 残 る.鶏 が ほ乳 類 か ど うか 判 定 で き な い か ら で あ る.最 後 に,「 こ れ で す べ て で ほ か に は あ りませ ん 」 と い う保 証 が な け れ ば な ら な い.  

帰納 的 に実 行 さ れ るプ ログ ラム を帰 納 的 プ ロ グ ラム,ま

た は再 帰 的 プ ロ グ ラム と い う.

か る.   また,図

式 で 表 現 され た 木 は,そ の 名 前 の 由 来 を示 す と と もに,直 感 的 な デ

ー タ の構 造 の 理 解 を助 け るの で ,広

く利 用 さ れ て い る.図 式 で 木 を表 現 す る に

は,頂 点 を 点 で,頂 点 間 を関 係 づ け る弧 は頂 点 を表 す 点 の 間 の 線 で 表 現 す る.   例 と して,

な る 木 を 図 式 で 表 現 す る と,図5・1(a)の

よ う に な る.こ の 木 の 根 は,頂 点 ａ で

あ る.   ま た,Ｔ が 木 で あ る こ と を 定 義 に し た が っ て 示 す に は,図5・1(a)で 図 式 が 木 で あ る た め に は,(２)よ と に な る.頂

り図5・1(b)の

点 ｂ だ け か ら な る 図 式 は(１)よ

  も う 一 方 の 頂 点c,d,e,fか

式 は

１)に

よ り,木 で あ り,頂 点d,fか

ら な る 図 式 が 木 で あ る こ と か ら,木

(ａ)

２つ の 図 式 が 木 で あ れ ば よ い こ り,木

で あ る こ と が 保 証 さ れ る.

らな る 図 式 は,図5・1(c)の

こ と が わ か れ ば 木 で あ る こ と が(２)に

示 され た

２つ の 図 式 が 木 で あ る

よ り保 証 さ れ る.頂 点 ｅ だ け か ら な る 図 ら な る 図 式 は 図5・1(d)の

頂 点 ｆだ け か

で あ る こ と が 確 か め られ る.

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

(ｅ)

図5・1

  図5・1(a)∼(d)の

図 式 表 現 は,木 の 根 が 下 に あ り,上 へ と伸 び て ゆ く の で,

植 物 の 木 と の 連 想 が あ る.し は,図5・1(e)の

か し,計

算 機 科 学 に お け るデ ー タ構 造 と して の木

よ う に 上 下 を 逆 に し て 描 か れ る の が 普 通 で あ る.そ れ は,木 構

造 の 根 に 近 い ほ う が 上 位 の 階 層 に あ る こ と か ら,図

で も上 位 に 置 く こ と に し て

い る もの と 思 わ れ る .   リ ス トの 場 合 と 同 じ よ う に,木

で も頂 点 の 間 の 関 係 を 表 す 関 数 を 二 つ 導 入 し

よ う.頂 点 ａの 親 をparent(a),頂

点 ａの 子 供 の 集 合 をchildren(a)で

表 すこ と

に す る.   図5・1の

木 で は, parent(a)=φ,parent(b)=a,parent(c)=a,

parent(d)=c,parent(e)=c,parent(f)=d また children(a)={b,c},children(b)=φ,children(c)={d,e}, children(d)={f},children(e)=φ,children(f)=φ

と な る.   こ の 例 か ら も わ か る よ う に,根

で あ る頂 点 は 親 を 持 た な い し,そ

て の 頂 点 は 根 の 子 孫 と な っ て い る.逆 供 を持 っ て い な い.こ に は,根

に,頂

点b,e,fは

の よ う な 頂 点 は,葉(leaf)と

は た だ 一 つ しか な く,葉

の木のすべ

親 を 持 っ て い る が,子

呼 ば れ て い る.空

で あ る 頂 点 に は 制 限 が な い が,必

で な い木

ず一つ以上

は あ る こ と が 容 易 に わ か る.   こ こ で 幾 つ か の 木 に 関 す る 用 語 に つ い て 説 明 して お こ う. ■ 部 分 木(subtree)あ

る 木 の 頂 点 ｖ に 対 し,children(v)に

を 根 と す る 木 を ｖ の 部 分 木 と い う.図5・1の 点 と す る 木({d,f},{(d,f)})と ■ 深 さ(level)木

例 で は,頂 点 ｃ の 部 分 木 は ｄ を 頂

ｅ を 根 と す る 木({e},φ)の

の 頂 点 の 深 さ は,次

二 つ で あ る.

の よ うに 定 義 され る.

 

(１)木

の 根 で あ る 頂 点 の 深 さ は ０で あ る.

 

(２)あ

る 頂 点 の 深 さ が ｋ で あ る と き,そ

はk+1で

含 まれ る頂 点

の 頂 点 を子 供 で あ る頂 点 の深 さ

あ る.

  ま た,木 の 深 さ は そ の 木 に 含 ま れ る 頂 点 の 深 さ の 最 大 値 で 与 え ら れ る.   図5.1で

頂 点 ｄ の 深 さ は ２,こ

■ 順 序 木(ordered

tree)一

の 木 の 深 さ は ３ と な っ て い る.

般 的 な 木 の 定 義 で は,頂 点 ｖの 子 供children(v)

は 集 合 で 与 え ら れ た.し

か し,子

(v)は

供 の 順 列 で 定 義 す る.こ

集 合 で は な く,子

  図5・2(a)(b)の tree)で

は,二

供 達 の 間 の 順 序 を 問 題 に す る と き はchildren

木 で,children(a)={b,c,d}と

の よ う な 木 を順 序 木 と い う. 考 え る非 順 序 木(un-ordered

つ の 木 は 同 等 と な る.  順 序 木 と 考 え る と,図(ａ)の

children(a)=(b,c,d),図(ｂ)の (b,c,d)≠(d,c,b)と

木 で はchildren(a)=(d,c,b)と

木 で は, な る の で,

な り 異 な る 木 と な る.

  わ れ わ れ が デ ー タ 構 造 と して 扱 う 木 は,順 序 木 の 場 合 が ほ と ん ど で あ る の で, 今 後 特 に 非 順 序 木 で あ る こ と の 指 定 が な い 限 り順 序 木 で あ る と し て お こ う.

(ａ)

(ｂ)

(ｄ)

(ｃ)

図5・2

■ ｎ-分 木(n-ary

tree)順

ｎ 個 の 部 分 木(空

部 分 木 を 許 す)を

  図5・2(c),(d)を え る と,図(ｃ)の

序 木 の 特 別 な 場 合 と して,お の お の の 頂 点 が 常 に 持 つ と き,こ

の 木 を ｎ-分木 と い う.

順 序 木 と す る と互 い に 同 等 で あ るが,そ れ ぞ れ ３-分 木 と考 木 に お い て はchildren(a)=(b,ε,c),図(ｄ)の

木 に おいて は

children(a)=(ε,b,c)で

あ る か ら,こ の 二 つ の 木 は 同 等 で は な い.た

だ し,

εは 空 木 を 表 す も の と す る.   ま た,ｎ-分

木 の う ち で,葉

で な い 頂 点 は す べ て 空 で な い 部 分 木 を 持 ち,ま

た

葉 で あ る ど の 頂 点 も深 さ の 差 が 高 々 １以 下 で あ る よ う な 木 を 平 衡 木(ballanced tree)と

い う.

■ 先 祖(ancestor)と た 親,…

子 孫(decendant)あ

… を 総 称 し て 先 祖 と い う.逆

頂 点 を み た 場 合 を 子 孫 を い う.根 の 先 祖 で あ り,葉

5.2

る 頂 点 の 親,そ に,あ

の ま た 親,そ

の ま

る頂 点 の先 祖 で あ る頂 点 か らそ の

で あ る頂 点 は 自分 自 身 を 除 い て す べ て の 頂 点

は 子 孫 を 持 た な い 頂 点 で あ る と い え る.

グラフ構造としての木構造

  こ の節 で は,木 が グ ラ フ構 造 の 特 殊 な例 で あ る との視 点 か ら,少

し解 説 を加

え るこ とに す る.グ ラ フ に関 す る デ ー タ構 造 や アル ゴ リズ ム は,多 岐 に わ た り 研 究 さ れ て い る.こ の こ とは,グ

ラ フ構 造 が 高 度 に抽 象 化 され た デ ー タ構 造 で

あ る こ と を示 す もの で あ るが,こ

こ で 扱 う に は あ ま りに も多 くの 内 容 が あ りす

ぎ る.グ ラ フ の ア ル ゴ リズ ム は,そ れ だ け で 本 書 よ り も大 部 な本 に な っ て い る ほ ど で あ る.   こ こで は,グ ラ フ と しての 木 構 造 の よ く知 られ て い る事 柄 や 計 算機 科 学 に深 く関 わ っ て い る木 構 造 の 性 質 に つ い て,ご

く簡 単 に紹 介 す る に と どめ る の で,

さ ら に深 くま た は 広 くグ ラ フ一 般 に関 す る事 柄 に興 味 の あ る読 者 は,他 の 書 籍 を参 照 して も らい た い.   グ ラ フ は,前 節 の木 と同 じ よ う に,頂 点 の集 合 Ｖ と項 点 間 の関 係 を表 現 す る 弧 の 集 合 Ｅ とで, G=(V,E) と 定 義 さ れ る.   二 つ の 頂 点a,bに た は,弧(a,b)が

対 し,弧(a,b)と

弧(b,a)は

同 じ意 味 に 解 釈 さ れ る と き,ま

存 在 す る と き は,い つ で も 弧(b,a)も

存 在 す る こ とか ら,弧(a,

b)と

弧(b,a)は,一

graph)と

つ の 弧 と 考 え られ る よ う な グ ラ フ を 無 向 グ ラ フ(undirected

い い,そ

う で な い と き は,有

  ま た,二 つ の 項 点a,bに a1=a,an=b)は

向 グ ラ フ(directed

graph)*と

対 し,弧 の 列(a1,a2)(a2,a3)…(an-1,an)(た

ａ か ら ｂへ の 道(path)と

■ 無 向 木(undirected が 存 在 し,ま

ラ フ と し て 見 た と き に 有 向 で あ る か,無

ラ フ に 含 ま れ る 任 意 の ２ 点 間 に は,必

た そ の 道 は た だ 一 つ しか な い と き,こ graph)グ

 

ず道

の グ ラ フ は 木 と 呼 ば れ る.

ラ フ の 頂 点 の 中 に 特 殊 な １頂 点(根)が

そ の 頂 点 か ら そ の 他 の 任 意 の 頂 点 へ の 道 が 必 ず 存 在 し,そ な い と き,こ

さ が ２以 上

な っ た 定 義 が さ れ る. tree)グ

■ 有 向 木(directed

い い,長

い う.

  グ ラ フ の 特 殊 な 場 合 で あ る 木 は,グ 向 で あ る か に よ っ て,異

だ し,

い う.道 に 含 まれ る 弧 の 数 を道 の 長 さ と

い う .始 点 と 終 点 の 頂 点 が 等 し い 長 さ １の 道 を 環(loop)と の 場 合 は 環 路(cycle)と

い う.

あ り,

の 道 は た だ 一 つ しか

の グ ラ フ は 木 と呼 ば れ る.

【 例 】

  四 つ の 都 市A,B,C,Dの

間 に は,A-C間,B-C間,C-D間

い る.こ の 状 況 を モ デ ル 化 し て,図5・3(a)の

に道 路 が ひ か れ て

よ う な グ ラ フ を 考 え よ う.こ の グ

ラ フ は,無 向 グ ラ フ と し た ほ うが 妥 当 で あ ろ う .な ぜ な ら ば,A-C間 す な わ ちC-A間

の 道 路 で も あ る か ら で あ る .こ

の道 路 は

の グ ラ フ は,

と表 現 され る無 向 木 で あ る. 次 に,行 列

を 考 え よ う.こ

の 行 列 は,行

*  数学 的 に は,弧

列,行

ベ ク トル,行

列 要 素 ス カ ラ と分 類 さ れ て お

の 集 合 は頂 点 Ｖ上 の 二 項 関係 Ｅで あ り,こ の 関 係 Ｅが .

す な わ ち 対 称 律 を満 たす と きは,無

向 グ ラ フ とな り,満 た さな い と き は,有

向 グ ラ フ とな る.

(ｂ)

(ａ)

図5・3

り,そ れ らを グ ラ フ の頂 点,そ れ らの 間 の 関係 を弧 で表 せ ば 図5・3(b)の

よ うに

な る.こ の グ ラ フ は木 を成 し,そ の 木 は有 向 木 で あ る と考 え るの が 妥 当 で あ る.   グ ラ フ と して の 木(無 向 木)は,い

ろ い ろ に定 義 で き る.以 下 の 定 義 は,い

ず れ も同 等 で あ る.そ れ ぞ れ,異 な った 視 点 か らの木 の性 質 を よ く表 して い る.   (１)グ

ラ フの 中の 任 意 の ２頂 点 間 に は 必 ず 道 が存 在 す る と き,そ の グ ラ フ

は連 結 して い る とい わ れ る.頂 点 の 数 と弧 の 数 を それ ぞ れp,qと p=q+1が   (２)あ

す る とき,

成 り立 つ 連 結 グ ラ フ は木 で あ る. る頂 点 か ら同 じ弧 を通 らず に 元 の 頂 点 へ 戻 る道 が あ る と き,こ の グ

ラ フ を環 路(cyclic)グ

ラ フ と い う.環 路 の な い グ ラ フで,p=q+1が

成

り立 つ グ ラ フは 木 で あ る.   (３)環

路 の な い グ ラ フ で 任 意 の ２頂 点 間 を 弧 で 結 ん だ と き,必 ず 環 路 が で

きて し ま うグ ラ フ は木 で あ る.   特 に,有 向 木 にだ け注 目 して,こ 手法,た

とえ ば デ ー タ検 索,数

語 の 処 理 な ど には,ス

の 章 を設 け た理 由 は,数

多 くの計 算 処 理 の

式 な どの表 現 法 とそ の 数値 化 処 理,計

算機 用 言

タ ック と組 み 合 わせ た木 構 造 が 非 常 に 多 く登 場 し,そ の

威 力 を発 揮 して い る.こ の こ とは 偶 然 の一 致 で は な く,計 算機 言 語 や 計 算 の 理 論 と呼 ば れ る分 野 にお い て 理 論 的 に説 明 され て い るが,こ 味 の あ る 人 は計 算 の 理 論

* 

た と え ば,UllmanとHopcroft共 な ど.

こ で は触 れ な い.興

オ ー トマ トン理 論 の 分 野 の 入 門 書*を 参 照 さ れ た い.

著(野 崎,木

村

他 訳)"言

語 と オ ー トマ ト ン",サ

イ エ ンス 社

5.3

木構 造の 操作

  一 般 的 に 木 構 造 デ ー タ の 処 理 は,頂 対 し て 行 わ れ る.そ が,各

点 の 部 分 に 格納 され て い るデ ー タ要 素 に

の 処 理 の 種 類 は,多

岐 に わ た って い るの で 特 定 は で き な い

頂 点 に 対 し て 順 に 処 理 を 施 す と い う 場 合 が しば し ば 生 ず る.こ の 順 序 は,

当 然,木

の 構 造 に 関 係 し て 定 め ら れ る で あ ろ う.こ

す る と,次

の 順 序 に関 す る 手 順 を大 別

の ３種 に な る.

  こ れ ら は 木 の 走 査(traversing)と だ け で は な く,あ

呼 ば れ て い て,木

る 条 件 を満 た す ま で,項

全 体 に わ た る処 理 の 場 合

点 を 順 次 処 理 す る よ う な 場 合 で も,

こ の ３種 の 走 査 法 の い ず れ か の 応 用 と な っ て い る.   木 の 走 査 処 理 に お い て は,頂 点 Ｖ に 適 用 さ れ る 処 理 をF(V)で Ｔ の 走 査 方 法 は,次

表 現 す る と,木

の よ う に な る.

■ 先 行 順 走 査(preorder

traversing)ま

ず,最

を 適 用 し,次 に ｒの 部 分 木 を 左 か らT1,T2,…,Tnの

初 に Ｔ の 根 ｒに 対 し,F(r) 順 に 処 理 し,こ の 木 の 走 査 を

終 了 す る. ■ 中 間 順 走 査(inorder

traversing)ま

と も左 に 位 置 す る 部 分 木T1を て か らT2,T3,…Tnの

Tnを

処 理 して か ら,次 に Ｔ の 根 ｒに 戻 りF(r)を

順 に 処 理 を し,こ

■ 後 行 順 走 査(postorder

ず 最 初 に Ｔ の 根 の 部 分 木 の 内 で もっ 実行 し

の 木 の 走 査 を 終 了 す る.

traversing)最

初 は Ｔ の 根 ｒを通 過 してT1,T2,…,

こ の 順 番 で 処 理 した 後,ｒ に 戻 っ てF(r)を

適 用 して この 木 の 走 査 を終 了 す

る.   こ の 走 査 方 法 は 帰 納 的 に 記 述 さ れ て い る の で,実 み よ う.図5・4の か.先

木 に お い て,関

行 順 走 査 の 場 合 は,ま

す る,そ の 次 に,ｂ

の 次 に は,ま

数 Ｆが どの よ うな 順 番 で適 用 され る で あ ろ う

ず こ の木 の 根 で あ る頂 点 ａ に対 して 関 数 Ｆ を適 用

ず 左 端 の 部 分 木 の 根 で あ る ｂ に 対 して Ｆ を 適 用 す る.そ

の 左 端 の 部 分 木,つ

  同 様 に し てd,jの

例 で そ の 動 き を再 確 認 し て

ま り,ｄ

を 根 と す る木 を 先 行 順 走 査 す る.

順 で Ｆ を 適 用 し,次 に ｄ の ２番 目 の 部 分 木 でe,f,lの

順 で処

図5・4

理 さ れ,ｂ

を 根 と す る 部 分 木 の 走 査 が 終 了 す る.次

に,ａ

の ２番 目 の 部 分 木 と

し て ｃ を 根 と す る木 の 走 査 がc,g,m,r,s,n,h,i,o,p,t,qの 木 の 先 行 順 走 査 を 終 わ る.そ

順 で 処 理 さ れ,こ の

の 他 の 走 査 順 に 対 し て も 同 様 で あ る.３

種 の走 査

で Ｆ が 適 用 さ れ る 順 番 を 示 す と, 先 行 順 走 査:abdjkeflcgmrsnhioptq 中 間 順 走 査:jdkbeflarmsgnchoiptq 後 行 順 走 査:jkdelfbrsmnghotpqica と な る.

【例 １】

先行順 走査の応用

  与 え ら れ た 単 語 ｘ が,Pascalで に,予

約 語 を 図5・5の

使 用 され る予 約 語 で あ るか 否 か を調 べ るた め

よ う に 木 構 造 で 表 現 し た と き,与

す る 対 象 で あ る 木 の 根 ｒ を 引 数 と して,ｘ そ う で な い と き に はfalseを

え ら れ た 単 語 ｘ と探 索

が 予 約 語 で あ っ た と き に はtrueを,

値 とす る 関 数word_matchingは,図5・6の

よ うに

プ ロ グ ラ ム さ れ る.   こ の プ ロ グ ラ ム 中 でget_1_subtree,get_r_subtreeは,引 右 部 分 木 の 根 を値 と す る 関 数 で あ り,null_treeは た,頂

数 ｒの 左 部 分 木, 空 木 を 表 す もの とす る .ま

点 の デ ー タ 構 造 は い くつ か の フ ィ ー ル ドか ら な る レ コ ー ドで,頂

予 約 語 は ｒ ↑.reservedwordで

ア ク セ ス で き る も の と す る.

点 ｒの

図5・5

図5・6

  この例 で は,頂 点 に対 す る処 理(予 約 語 を比 較 す る こ と)は,比 とな っ た 時 点 で 走 査 を停 止 す るが,そ   また,こ の 例 の 場 合,同

較 結 果 がyes

れ まで は 先 行 順 の走 査 を して い る.

じ頂 点 に 対 す る関 数 で,中 間 順 走 査 法 ま た は後 行順

走 査法 を適 用 して も正 しい解 答 を得 るプ ロ グ ラ ム と な る.し か しな が ら,こ の 問 題 に関 して は三 つ の 探 索 法 の う ちで 先 行 順 走 査 法 が もっ と も効 率 が よい.た だ し,後 で 学 ぶ ２分探 索 法 の よ う に,木 の 構 造 を工 夫 す る こ とに よ り,さ らに 効 率 の よい 方 法 も考 え られ て い る.

中間 順走査の応用

【例 ２】

  図5・7(a)に

示 した よ うな迷 路 が あ る.こ の 種 の 迷 路 は環 状 の通 路 が な く,あ

る地 点 で の 分 岐 路 は最 大 ２で あ る もの とす る と,図5・7(b)の 口 を根,袋

小 路 と出 口 を葉,分

よ うに,迷 路 は 入

岐 点 を内 部 頂 点 とす る木 構 造 で 表 現 す るこ とが

で き る.

(ｂ)

(ａ)

図5・7

  この よ う な迷 路 の 入 口か ら入 って 出 口へ と 出 る確 実 な 方 法 と して は,ど ち ら か の 手 を壁 に つ け な が ら歩 い て 行 く と,い ら れ て い る.図5・7(a)に

は,右

つ か は 出 口へ と到 達 で きる こ とが 知

手 を 壁 に つ け な が ら歩 い た 軌 跡 が 示 さ れ て い

る.

  この 種 の 迷 路 が 与 え られ た と き,上 に 述べ た 方 法 で 出 口 まで 到 達 す る過 程 を 模 倣 す るプ ロ グ ラ ム は 中間 順走 査法 を応 用 して 図5・8の

よう に書 くこ とが で き

る.こ の プ ログ ラ ム で は,出 口 を求 め て迷 路 の 中 を歩 くさ ま を模 倣 す るだ けで, 正 しい通 路 を 求 め て 出 力 す る もの で は な い.

図5・8

  この プ ロ グ ラ ム で の 中 間 順 走 査 法 で の頂 点 に対 す る処 理 関 数 Ｆは,訪 れ た 頂 点 が 出 口で あ るか い な か を検 証 す る こ とで あ る.  走 査 の 途 中 で解 が 得 られ る よ う な問 題 に 対 し,再 帰 的 プ ロ グ ラ ム で は Ｆが 何 回 か 再 帰 的 に呼 ば れ た とこ ろ で,求 め る解 答 が 得 られ た と して も,正 常 に終 了 す る ため に は,も

との 最 上 位 の 関 数 ま で戻 る こ とが 必 要 で あ る.前 の 例 で は,

解 が 得 られ た 後 に 残 りの 木 の走 査 は しな い もの の,深 い レベ ル で 得 られ たtrue と い う値 を トップ レベ ル の 関数 まで 受 け継 い で,最 終 的 に は トップ レベ ル の 関 数 の 値 と して 計 算 され な け れ ば な らな い.   この プ ログ ラ ム例 で は,再 帰 的 プ ログ ラ ミン グ を 用 い て い な い の で,結 果 の 判 明 した時 点,す

な わ ち出 口の 見 つ か っ た と こ ろ で即 座 に 計 算 を停 止 で き る.

しか しな が ら,再 帰 的 プ ロ グ ラム で は,各 関 数 呼 び 出 し レベ ル で の 計 算 位 置, デ ー タ が 計 算 シス テ ム 内 の ス タ ッ ク に保 存 され て い る の で,も 戻 る こ とが で き るが,こ

との 計 算 環 境 に

の プ ロ グ ラ ム で は 自分 の 中 に ス タ ッ ク を用 意 し,上 の

レベ ル の環 境 が 復 元 で きる よ うに,根 か ら現 時 点 まで の 履 歴 を保 存 す るこ とが 必 要 に な る. 【 例 ３】

後 行順走 査の応 用

数 式20-30×((50/25)+(100/4))図5・9(a)の

ように 木 構 造 で 表 現 さ れ る.

(ａ)

(ｃ)

(ｂ)

(ｄ)

図5・9

(ｅ)

(ｆ)

こ の よ う に,木 の 葉 に 当 た る頂 点 に は 整 数 値 が,そ の 他 の 内部 頂 点 に は 演 算 記 号 が 格 納 され て い る木 が 与 え られ て,そ の 数 式 の値 を計 算 す る と い う 問題 で あ る.後 行 順 走 査 を適 用 す れ ば,図5・9(b)か

ら(ｆ)の 順 に それ ぞ れ の数 式 の 部 分

の 値 が 求 め られ て,最 後 の根 に格 納 され て い る値 が 求 め る解 答 と な っ て い る.

木構 造の 実 装

5.4

  木 構 造 の 実 装 も,線 形 リス ト と同 じよ う に,配 列構 造 に よ る もの,リ

ン ク構

造 に よ る もの,ま た は,そ の 両 者 の 組 合 せ に よ る もの な ど,非 常 に 多 くの 実 装 の 方法 が 考 え られ て い る.   配列 を用 い た 木構 造 の 実 装 は,走 査 の 容 易 さ よ り も記 憶 領 域 の 節 約 を 目 的 と す る場 合 が 多 い.リ

ン ク構 造 に よ る実 装 は,処 理 途 中 で木 の構 造 が 変 化 して 行

く よ う な場 合 とか,各 頂 点 の 子 供 の 数 が 不 定 数 で あ る と き に利 用 され る.

5.4.1

一般 的木の実装

  一般 的 な 木 の 実 装 で 問題 とな るの は,各 頂 点 か ら子 供 の 頂 点 へ の 分 岐 数 が 定 ま っ て い な い こ とで あ る.以 下 の 実 装例 で は,こ の よ う な 問題 を どの よ う に解 決 して い る か注 意 して い た だ き た い.   【実 装 １】   この 実 装 法 は配 列 を 用 い て い る.木 は 頂 点 を表 現 す る レコ ー ドの 配 列 で; type node_range=1..maxnode; node=record inf:content; parent:node_range end;

tree=array[node_range]of

node:

の よ うに 表 現 さ れ る.各 項 点 を表 現 す る配 列 要 素 は,頂 点 に付 随 した 情 報 を 格 納 す るフ ィー ル ドinfと そ の頂 点 の 親 を表 す 配 列 要 素 の 添 字 を格 納 す る た め の フ ィール ドparentと また,同

の 二 つ の フ ィー ル ドか ら成 る レ コー ドで 表 現 さ れ て い る.

じ親 を持 つ頂 点 ど う しで は,そ の 頂 点 の 格 納 位 置 を示 す添 字 が 小 さい

ほ ど左 に 位 置 す る もの とす る.図5・10(a)に

示 され た木 は,こ の 実 装法 で は 同

図(ｂ)の よ うに な る.

(ａ)

(ｃ)

(ｂ)

図5・10

  木 の 処 理 に お い て,ほ 査 に対 して は,弧

とん どの 場 合 が根 か ら葉(親

か ら子 供)の

方向への走

の情 報 を用 い る が,逆 方 向 の 走 査 に 対 して は,後

に述 べ る よ

う に ス タ ッ ク な どの 木構 造 とは別 の デ ー タ構 造 を利 用 して,子 供 方 向 か ら親 の 方 向 の 頂 点 の 巡 回 が 行 わ れ るの が普 通 で あ る.一 般 的 に弧 の 情 報 は 親 の 頂 点 の レ コー ドに格 納 して あ るの が 普 通 で あ るが,こ

の場 合 は 一 つ の 親 頂 点 につ なが

る子 供 は 不 定 個 あ るの で レコ ー ドの 寸法 も一 定 とは な らな い.   しか しな が ら,図5・10(b)の

実 装法 にお い て は,各 頂 点 が 唯 一 の 親 を持 つ こ

と を利 用 して,子 供 か ら親 方 向の 弧 の 表 現 をす る こ と に よ っ て頂 点 の レ コー ド 長 を一 定 に で き,実 装 が 容 易 に な る.そ の 代 わ り,操 作 性 は非 常 に 悪 くな る こ と に な る. 【実 装 ２】

  この 実 装 法 は,配 列構 造 と リ ン ク構 造 の 組 合 せ に よ って い る.配 列 の 構 造 自 身 は,実 装 １と大 差 な いが 頂 点 の レ コー ドのchildrenの

フ ィー ル ドは その 頂

点 の 子 供 を左 か ら順 に結 合 した リス トへ の ポ イ ン タ に な っ て い る.こ

うす る こ

と に よ り,弧 の 表 現 が 親 か ら子供 の 方 向 に な る の で,前 の 実 装法 と比 較 す る と 構 造 的 に は 複 雑 とな っ て い るが,操 作 性 は大 分 改 善 され る.

図5・10(a)の

木 を こ の 実 装 法 で 表 現 す る と 同 図(ｃ)の

よ う に な る.

【実 装 ３ 】

  リ ン ク構 造 を用 い た木 の 実 装 法 は,直 感 的 で は あ るが,や

は り,不 定個 数 の

子 供 の 表 現 に は 工 夫 が 必要 で あ る.   以 下 の 例 で は,実 装 ２ と同 じ よ うに,各 頂 点 に 子 供 の リス トを持 つ よ うに し て い る.デ ー タ の構 造 は,

で あ り,図5・11は   こ の 場 合,木

図5・10(a)の

木 を,こ の 実 装 方 法 で 表 現 した もの で あ る.

は そ の 根 へ の ポ イ ン タ で 表 現 さ れ て い る.

図5・11

5.4.2

ｎ-分 木 の 実 装

  ｎ-分木 と一 般 の 木 との 実 装上 の相 違 は,各 頂 点 の 持 つ 部 分 木 の 数 が ｎ以 下 で あ る こ とか ら,頂 点 を表 す レ コー ド内 に そ の 頂 点 の 子供 の デ ー タ を含 め て も固 定 長 に す る こ とが で きる こ とで あ る.こ の 相 違 は,実 装 の 簡 易 化 に大 き く貢 献 す る.配 列 を 用 い た 実 装 は; type

node_range=1..maxnode; node=record inf:content; subtree1,subtree2,…,subtree_n:node_range

end;

な る構 造 で 表 現 され る.た だ し,木 の 根 は最 初 の 添 字 の頂 点 で あ る と して お く.   また,リ

ン ク構 造 に よ る実 装 は;

type tree=↑node;

node=record inf:content; subtree1,subtree2,…,subtree_n:tree

end; と表 現 さ れ る.

  配 列 お よ び リン ク構 造 を用 い た 実 装 は,各 頂 点 か らの 分 岐 数 が 固 定 され た こ と に よ り,一 般 的 な木 の 実 装 よ り も簡 易 化 さ れ て は い るが,考

え方 は ま っ た く

同 じで あ る こ とが わ か る.   ま た,配 列 を利 用 した 実 装 で は,他 の構 造 の 実 装 の と き と同 じ よ う に,要 素 す なわ ち木 の 場 合 は頂 点 が 動 的 に 除 去,挿

入 され る よ う な操 作 で は 効 率 が 悪 く

な る こ とは,容 易 に想 像 で き よ う.図5・12(a)の ぞ れ 同 図(b),(c)の

よ う に実 装 さ れ る.

３分 木 は,上 の構 造 で,そ れ

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図5・12

5.4.3

配 列 を 用 い た平 衡 ｎ-分 木 の 実 装

  深 さ ｐ の 平 衡 ｎ-分 木 に 対 し,根(深 n+1.深 考 え る.ｉ

さ ０)に １,深 さ １の 頂 点 の 左 か ら2,3,…,

さ ２ の 頂 点 も 同 様 に,n+2,…,n2+n+1と と 番 号 づ け ら れ た 頂 点 の 深 さ ｋ と,そ

ｊ番 目 と す る と ｋ は;

を 満 た す ｋ で 与 え ら れ,ｊ

は;

番 号 づ け を した 場 合 を の 深 さ の 頂 点 を左 か ら数 え て

j=i-(nk-1)/(n-1) と して 得 ら れ る.こ の と き,頂 点 ｉの 子 供 で も っ と も左 に あ る 頂 点 はk+1の さ で 左 か ら 数 え てn(j-1)+1番

深

目 に あ る こ と に な る.こ の こ とか ら,頂 点 ｉの

子 供 の 頂 点 は 左 か ら 順 に;

と番 号 付 け られ る こ と に な る(第 ５章 練 習 問題 ６参 照).ゆ え に,平 衡 ｎ-分木 で は,頂 点 に上 述 の よ うな 番 号 づ け をす る こ とを 定 め て お けば,頂 点 の 番 号 を知 るこ と に よ っ て計 算 で そ の 子 供 の番 号 を求 め る こ とが で き る.   こ の場 合 の 実 装 は,ｎ

と木 の 深 さの値 さ え決 まれ ば,各 頂 点 の 情 報 を配 列 の

その 頂 点 に 与 え られ た 番 号 の 位 置 に格 納 す るだ け で,弧 の情 報 は な くと もよ い こ とに な る.   ま た,図5・5の

よ うに最 大 の 深 さ の頂 点 をす べ て左 に 寄せ て配 置 す る こ とが

で きれ ば,配 列 は頂 点 の個 数 だ け用 意 す れ ば よ く,さ ら に記 憶 領 域 の 効 率 的 利 用 が で き る.   こ こ に紹 介 した 実 装 方 法 は,原 理 的 に は,ｎ-分 木 に一 般 に 共 通 して 適 用 で き るが,平 衡 した 木 で な い場 合 は,記 憶 領 域 の む だ 使 い とな るの で,平 衡 性の 悪 い ｎ-分木 の 場 合 に使 用 さ れ る こ と は ほ とん どな い.

図5・13

例 と し て,図5・5の う.Pascalの

深 さ ５の 平 衡 ２分 木 を こ の 方 法 で 実 装 す る こ と を 考 え よ

予 約 語 は35個

tree=array

あ り,そ

れ ぞ れ10文

字 以 内 で あ る か ら;

[1..35] of

packed array [1..10] of char; な る 配 列 に 図5・13の

よ う に 実 装 で き る.こ の 木 のelseを

部 分 木 の 根 は,弧

の 情 報 が な く て も,elseの

2・9+1=19か

らT[19]のnilを

5.5

格 納 して い る頂 点 の 右

頂 点 の 添 字 が ９ で あ る こ と か ら,

持 つ 頂 点 と 知 る こ と が で き る.

木の操作の実装

  木 構 造 デ ー タ に対 す る操 作 は,そ の 処 理 の 目的 が 多 岐 に わ た っ て い るが,そ れ らを総 合 す る と,先 行 順 処 理,中

間 順 処 理,後

行 順 処 理 の どれ か,ま

た は,

そ の 変 形 と して 分 類 で き る こ とは 前 に述 べ た.こ れ らの操 作 は,次 に 示 した ３ 種 の 関 数 の 組 合 せ で表 現 で き る; (１)F(x):頂

点 ｘ 内 の 情 報 に 対 す る 処 理.

(２)next_subtree(x):頂

点 ｘ の 部 分 木 の 内 で,未 処 理 の もの を 与 え る.

(３)parent(x):頂 F(x)の

点 ｘ の 親 頂 点 を 与 え る.

実 装 は,木 が 何 を 表 現 して い る か,ど の よ う な 処 理 を し よ う と して い

る か に よ っ て,千 差 万 別 で あ る.こ

こ で は,た だ 抽 象 的 にF(x)と

な 実 装 に つ い て は議 論 し な い が,F(x)の

し て,具 体 的

値 は 頂 点 ｘ を 処 理 した 後 の 頂 点 の 値 で,

ｘ と 同 じ型 を 待 つ も の と す る.   next_subtree(x)の

値 は 部 分 木 の 根 で あ り,ｘ と 同 じ型 で あ る.ｘ の 未 処 理

の 部 分 木 が な い 場 合 は,定 が 複 数 の 場 合 に,ど

数 木null_tree(空

れ を 値 と し て 取 る か は,特

の 未 処 理 部 分 木 の 内 で,も

(１)頂

に,こ

処 理の 部分木

と わ りの な い 場 合 は,ｘ

っ と も 左 に 位 置 す る も の と し て お く.

  関 数next_subtreeとparentは,そ が で き る け れ ど,実

木)を 値 と す る.未

れ ら の 機 能 上 か ら は,明 確 に 区 別 す る こ と

装 に 関 して は,多

点 ｘ の 部 分 木 の 内 で,ど

く機 能 を 共 有 し て い る.そ

れ が 処 理 済 み で,ど

の 理 由 は,

れが未処理 で あるか を

どの よ うに して知 る か? (２)一

般 の 木 構 造 で は,任 意 の 頂 点 の 子 供 は簡 単 に求 め られ るが,子 供 か

ら親 を求 め る こ とは,容 易 で は な い. の ２点 の 問 題 に 対 す る解 決 方 法 に 多 くの 類 似 点 が あ る か らで あ る.  こ れ らの 問題 の 解 決 方法 の 一 つ は,木 構 造 自身 に これ らの情 報 を組 み 込 む こ とで あ る.た

と え ば,３ 分 木 の 頂 点 の構 造 を;

record inf:contents;

subtreel,subtre2,subtree3:tree; processed:integer; parent:tree end; と す れ ば,あ

る 頂 点 レ コ ー ドのprocessedフ

ィ ー ル ド を ０ に 初 期 設 定 して お き

部 分 木 を 一 つ 処 理 す る ご と に こ の 値 を 一 つ ず つ 増 加 し て お け ば,next_subtree の 値 は 容 易 に 求 め る こ と が で き,ま

た,親

の 情 報 を 持 っ て い る の で,parentの

値 を 得 る 問 題 も た や す く解 決 す る.   し か し,こ

の 解 決 方 法 は,記

憶 容 量 の 不 経 済 性 と,後

に述 べ る巧 妙 な 方 法 が

あ る こ と か ら あ ま り利 用 さ れ て は い な い.   ２番 目 の 方 法 は,木

構 造 の 中 に こ れ ら の 情 報 を持 つ の で は な く,プ

の 中 に こ れ らの 情 報 を 格 納 す る機 能 を 組 み 込 む 方 法 で あ る.プ 現 在 走 査 中 の 頂 点 を 表 現 す る 変 数current_nodeと,そ

ログラムの中 に

の 頂 点 の どの 部 分 木 まで

処 理 し終 わ っ て い る か を 表 現 す る 変 数lastprocessed_subtreeが

あ れ ば,木

ど の よ う に 実 装 され て い る に して も,関 数next_subtree(current-node)を す る こ と は 可 能 で あ る(lastprocessed_subtreeは

ロ グ ラム

が 計 算

関 数next_subtreeの

自由 変

数 と し て 参 照 さ れ て い る もの と す る).   説 明 を わ か りや す くす る た め に,図5・14の 中 で,頂

２分 木 を 中 間 順 に 処 理 して い る途

点 ｆ に 始 め て 到 達 し た 状 況 に あ る も の と仮 定 し よ う.こ

の 変 数 は;

の と きの 二 つ

current_node=f,lastprocessed_subtree=null と な っ て い る は ず で あ る.た は(null,left,right)の

だ し,２

分 木 の 場 合 は,lastprocessed_subtree

内 の ど れ か で あ る と す る.こ

は,next_subtree(f)を

の 時 点 に 続 く処 理 の 進 行

計 算 して 次 の 頂 点 で あ る ｋ を 得 て,ｋ

木 へ と 処 理 の 対 象 と な る 頂 点 が 移 っ て 行 く こ と に な る.こ

を根 とす る部 分

の こ と は,

current_node:=k;lastprocessed_subtree:=null;

を 実行 す る こ とを 意 味 す る が,ｋ

を根 とす る部 分 木 が す べ て処 理 し終 わ っ た 後

に,再 び 頂 点 ｆに 戻 っ た と き, current_node=f,lastprocessed_subtree=left と な っ て い な け れ ば な ら な い.こ

の た め に は,処 理 が 頂 点 ｆか ら ｋ に 移 る 前 に,

再 び こ の 頂 点 に 戻 る と き の こ と を 考 慮 し て,current_node,lastprocessed_sub treeの

値 を 保 存 して お か な け れ ば な ら な い.再

で に 処 理 済 み と な っ て い る は ず で あ る か ら,こ

び 戻 っ た と き は,部

分 木 ｋはす

の 記 録 は;

current_node=f lastprocessed_subtree=left と す べ き で あ る.

以上 の 事 柄 か ら,記 録 してお か な け れ ば な らな い 情 報 は い か な る もの か と考 え る と,将 来 再 び 訪 れ る可 能 性 の あ る頂 点 の 名 称 と,将 来 訪 れ た と き に最 新 の

図5・14

処 理 済 み と な る で あ ろ う部 分 木 で あ る.図5・14の

頂 点 ｆを走 査 中で あ る と きに

は,頂 点 ａ に対 して, curren_node=a,lastprocessed_subtree=left; 頂 点 ｃに対 して は, current_node=c,lastprocessed_subtree=left;

で な け れ ば な ら な い.   さ ら に,頂

点 ａ に 対 す る 記 録 は,頂

点 ｃ の 記 録 よ り も先 に 作 ら れ,頂

点 ｃの

記 録 が 不 要 に な っ て 除 去 さ れ る ま で は,ａ の 記 録 が ア ク セ ス さ れ る こ と は な い.   以 上 の こ と か ら,こ

れ ら の 記 録 は,二

つ の 頂 点 が 各 レ コ ー ド に格 納 で き る よ

う な ス タ ッ ク 構 造 が 適 し て い る こ と に な る. ス タ ッ ク が 図4・14の

よ う な リ ン ク 構 造 で;

type stack=↑item;

side=(null,left,right); item=record c_node:tree; processed:side; next_item:stack end; の よ う に,ま

た,そ

の ス タ ッ ク 上 の 操 作pushdown, 

る も の と す れ ば,rtを

popupも

根 とす る木 の 中 間 走 査 の 手 順 は 図5・15の

る.

図5・15(そ

の １)

別 に 実 装 され て い よ うに 実 装 で き

図5・15(そ

の ２)

  さて,最 後 に 紹 介 す る方法 は,原 理 的 に は 前 述 の ス タ ッ ク を用 い る方法 と同 じで あ るが,Pascalの

プ ログ ラム を実 行 す る メ カ ニ ズ ム を 巧 妙 に利 用 す る方 法

で あ る.   Pascalの

プ ロ グ ラム の あ るブ ロ ッ ク を計 算 して い る途 中 で,手 順 や 関 数 の 引

用 に よ りさ らに １レベ ル 深 い ブ ロ ッ ク に実 行 の 制 御 が 移 る と き,そ の 手 順 ま た は 関 数 を計 算 し終 わ った 後 で,再 び 元 の ブ ロ ッ クで の 計 算 を続 け て 実 行 で き な け れ ば な らな い.   こ の た め に,元 の ブ ロ ック 内 で,新 と同 じ変 数 名 が あ る場 合,元

しいブ ロ ッ クで 定 義 され て い る地 域 関 数

の ブ ロ ック の そ れ らの 変 数 の 値 は,再 び そ の ブ ロ

ック に 制 御 が戻 る ま で保 存 され て い な け れ ば な ら な い.こ れ らの 変 数値 の 保 存 に は,ス

タ ック が 利 用 され るの が 普 通 で あ る.

  こ こ で 論 じ る木 の 処 理 に必 要 とされ る ス タ ッ ク を,こ のPascal実 用 意 され た ス タ ッ ク,お よび そ の ス タ ックに 対 す るpushdown,popupの 新 しい手 順 ま た は 関 数 の 引 用,手

行の ために 操 作 も,

順 また は関 数 か らの 戻 り時 の 処 理 で 代 用 し よ

う とい う もの で あ る.   具 体 的 に は,一 連 の保 存 した い状 態 の 中 で の 処 理 を一 つ の 手 順 また は 関 数 で 記 述 し,そ れ よ り も深 い レベ ル へ の状 態 の 変 化 に は,そ の 手 順 ま た は関 数 の 再 帰 的 引 用,ま

た そ れ よ り も浅 い レベ ル へ の 帰 還 に は手 順 また は 関 数 の終 了 と し

て 実 装 す れ ば よい.   一 つ の 手 順 ま た は 関 数 の 中で,そ

れ 自身 を引 用 す れ ば,そ の 引 数 で あ る変 数

とそ の ブ ロ ック の 地 域 変 数 は新 しいブ ロ ック で も定 義 さ れ て い るの で,古 い 値 は 必 ずpushdownさ popupさ

れ るこ とに な る.引 用 した手 順 が 終 わ れ ば,そ れ らの 変 数 は

れ て元 の 値 に戻 る.

  例 と して,ｎ-分 木 の 中 間順 走 査 を再 帰 的 手 順 を 用 い て実 装 す る と,一 つ の 頂 点 の 処 理 を す る間 の 状 態 を保 存 しな け らば な らな い の で,こ れ が 手 順 の 処 理 範 囲 を決 め る.こ の 場 合 の 記 憶 しな け らば な ら な い情 報 は,処 理 して い る頂 点, 処 理 済 みの 部 分 木,ま

た は,次 に処 理 す べ き頂 点 の二 つ で あ る.こ の 例 で は,

前 者 を 引数 と し,後 者 を地 域 変数 とす れ ば,

procedure var

inorder_traversing(var

x:tree);

y:tree;

begin if x<>nil

then

begin

y :=next_subtree(nil); inorder_traversing(y); x:=F(x); y :=next_subtree(y) while

y<>nil

do

begin

inorder_traversing(y);

y :=next_subtree(y) end end

end; と な る.

{end of inorder_traversing}

第 ５章

１.木 の 帰 納 的 定 義 に従 って,空

練習問題

で な い木 に は根 が た だ 一 つ,ま

た,葉 が 一 つ

以上 あ る こ とを証 明 せ よ.

２.木 構 造 を 図 で は な く式,ま

た は 文 章 で 表 現 す る方法 を調 べ,そ の 表 現 を入

力 し,リ ン ク構 造 の 木 を作 る手 順(procedure)を 言 語Lispの

実 装 せ よ(ヒ ン ト:プ ログ ラム

Ｓ-式 表 現 な どが その 一 例 とい え る).

３.あ る ２進 木 の 相 異 な る ２種 類 の走 査 順 が与 え られ れ ば,そ の 木 の構 造 は一 意 に定 ま る.３ 種 類 の 走 査 順 の 内 か ら任 意 の ２種 類 を選 び,そ

れ らの頂 点 の 走

査 順 番 か ら木 を得 る ア ル ゴ リズ ム を示 せ.

４.後 行 走 査 の 応 用例(p125)の

数 式 を順 次 評 価 す る(値 を 求 め る)プ

を実 装 せ よ.た だ し,数 式 は,整 数 と+-*/の

ログラム

演 算 記 号 と左 右 の 括 弧(,)か

らな っ て お り,80文 字 以 内で １レ コー ドの テ キ ス トフ ァ イ ル に不 定 個 数 あ る も の とす る.

５.リ ンク構 造 の ２-進 木 を複 写 す る ア ル ゴ リズ ム を考 え よ.そ の ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 は複 写 す る木 の頂 点 数 が 同 じで も木 の 構 造 に依 存 す るか.依 存 し な い場 合 は,頂 点 数 に 対 す る,ま た,依 存 す る場 合 は最 も効 率 の 悪 い 場 合 を想 定 して頂 点 数 ｎ に対 す る計 算 時 間 のO(n)表

現 を求 め よ.

６.配 列 上 に格 納 さ れ た 平 衡 ｎ-分 木 に お い て,頂 点 ｉの 子 供 の 項 点 は 左 か ら 順に

(i-1)n＋2,(i-1)n+3,…,in+1

と な る こ と を 証 明 せ よ.

[６] 整

6.1

列

データの処理と整列

  電 子 計 算 機 で 行 わ れ る計 算 に は 、 数 少 な い デ ー タ に対 して 多 くの 演 算 を繰 り 返 す こ と よ り も,数 多 くの デ ー タ に対 して 同 じ よ うな 演 算 を適 用 す る こ との ほ うが 多 い.   多 くの デ ー タ を扱 うプ ロ グ ラ ム の 中 で は,そ れ ぞれ の デ ー タ は どの よ うに 区 別 され て い るの で あ ろ うか.

図6・1

  もっ と も簡 単 な の は,個 々 の デ ー タ を 区 別 す る必 要 が な く,全 体 と して の 情 報 が あれ ば よい場 合 で あ る.た

と えば,実

数 の 集 合 に対 し,そ れ らの総 和 を求

め る よ うな場 合 に は,個 々 の デ ー タ は そ れ ぞ れ の 値 な どの性 質 に関 係 な く全 体 で 幾 つ の デ ー タ が あ るか が わ か っ て い れ ば,そ れ らを どん な 順 番 で も よい か ら 一 列 に並 べ 順 に 加 えて い け ば ,求 め る答 え が 得 られ る.ま た,処 理 す るデ ー タ

の 順 序 が あ らか じめ わ か っ て い て,そ の 順 序 に並 べ られ た デ ー タ が 与 え られ て い る場 合 も前 同様 で あ る.   こ の よ う に,デ processing)と

ー タ を そ の 順 番 に 処 理 し て ゆ く方 法 を 順 次 処 理(sequential い う.順 次 処 理 の 方 法 を模 式 化 す る と,図6・1の

ー タ の 先 頭 か ら一 つ の デ ー タ を 取 り 出 し処 理 を 加 え,そ る こ と が な け れ ば 廃 棄 さ れ,さ

よ うに未 処 理 デ

の デ ー タ は再 度 使 わ れ

も な け れ ば 既 処 理 デ ー タ と し て 前 と 同 じ順 番 に

保 存 さ れ る.

  次 に,デ ー タ に は処 理 順 序 定 ま っ て い る の で あ るが,デ

ー タ が その 順 序 で は

与 え られ て い な い 場 合 が あ る.こ の場 合 に は,二 つ の 方法 が 考 え られ る.

(ｂ)

(ａ)

図6・2

  そ の 一 つ は,デ ー タ を必 要 とす る た び に そ の デ ー タ を探 し求 め て,処 方法 で あ り(図6・2(a)),他

理す る

方 は まずす べ て のデ ー タを処 理 の 順 序 に 整 列 させ

て か ら順 次 処 理 を す る 方法 で あ る(図6・2(b)).   ど ち らの 方 法 が よ い で あ ろ うか.フ

ロー チ ャ ー トか らみ る と,後

者 のほう

が 簡 単 で プ ロ グ ラム も階層 的 に作 りや す い し,ま た,ア ル ゴ リズ ム の 効 率 か ら み て も,第

２章 で議 論 した よ う に,次 々 に 必 要 なデ ー タ を選 ぶ 際 に,以 前 の 選

択 の 際 の 計 算 結果 を利 用 す る こ とが で き る場 合 が 多 い こ とな ど を考 え る と後 者 の ほ うが 優 れ て い る.

図6・3

  最 後 の 例 は,計 算 に必 要 なデ ー タ が,あ

らか じめ わ か っ て い な い で 処 理 す る

時 点 で 判 明 す る場 合 で あ る.こ の 場 合 に は,図6・2(a)の い.あ

方法 を採 らざ る を得 な

らか じめ 処 理 の順 に並 べ て お け な い の で あ る か ら,必 要 な デ ー タ が 定 ま

っ て か らい か に早 く抽 出 で き るか とい う こ とが 問題 とな る.探 順 序 関 係 が定 義 さ れ て い れ ば,図6・3の

し求 め る基 準 に

よ う に探 索 の 対 象 とな る デ ー タ を探 し

求 め る基 準 の 順 序 に 整 列 させ て お くと,デ ー タ を探 す 際 の 効 率 を よ くす る こ と が で き る.  上 記 の 三 つ の場 合 を ま とめ る と,多 数 の デ ー タ集 合 か ら,デ ー タ を抽 出 す る と き,選 択 の基 準 に順 序 が 定 義 され て い る場 合 に は,デ ー タ を そ の順 に並 べ て お くと便 利 で あ る こ とが わ か る. 単 にデ ー タ の抽 出だ け で は な く, (１)同 (２)

(３)デ

種 類 の デ ー タ は ひ と ま と め に す る.

デ ー タ集 合 か ら特 定 の 要 素 を抽 出 す る. ー タ集 合 ど う しが等 しい か 否 か を検 証 す る.

と い う よ う な,種 々の デ ー タ操 作 の 中 で 最 も基 本 的 な もの に対 して も整 列 した デ ー タ は威 力 を発 揮 す る.   統 計 的 な 資 料 に よ る と,汎 用 の 計 算 機 の計 算 時 間 の うち の25%以 タ の 整 列 に 費 や され て い る とい わ れ るほ どで,こ 度 で 使 用 さ れ て い るか,ま

上 は,デ ー

の こ とは 整 列 が い か に 高 い頻

た 次 節 で 議 論 す る よ う に整 列 自身 が いか に時 間 の か

か る計 算 で あ るか を示 す もの で あ る.   そ の ため に,種 々 の 効 率 向 上 の ため の 工 夫 が こ ら され,多

くの ア ル ゴ リズ ム

が 考 案 され て い る.こ れ らの ア ル ゴ リズ ム を学 ぶ こ と も大 切 で あ るが,こ

れら

の 考 え方 の 糸 口は,ア ル ゴ リズ ム 改 善 の手 段 を議 論 す る う え で は大 層 有 益 で あ る.

6・2

整列に関する基礎

  デ ー タ の 整列 の 問 題 を一 般 化 す る た め に,対 象 とな るデ ー タ の表 現 方 法 を 定 め て お こ う. 最 初 に 整 列 の 対 象 と な る 個 々 の デ ー タ を レ コ ー ド(record)と る.こ

こ で の レ コ ー ドは,Pascalの

と して こ の 用 語 を 用 い る が,特

レ コ ー ド型 デ ー タ よ り は抽 象 化 さ れ た 概 念

に 区 別 す る必 要 は な い.

個 々 の レ コ ー ドは 幾 つ か の フ ィー ル ド(feild)に そ の う ち の 一 つ は,整

呼ぶ こ とにす

分 け ら れ て い る(図6・4(a)).

列 の 基 準 と な る 情 報 が 格 納 さ れ て い る は ず で あ る.整

の 基 準 と な る デ ー タ を 整 列 の 鍵(key)と

呼 ぶ こ と に す る.

鍵 は た だ 一 つ の フ ィ ー ル ドに 格 納 さ れ て い る と は 限 ら な い が,以 は た だ 一 つ の フ ィー ル ドに 格 納 さ れ て い る もの と仮 定 す る.ま

R.key, と 記 述 す る こ と に す る.

R.inf

後 の議 論 で

た,鍵

ィ ー ル ドは,ひ と ま と め に し て 情 報 フ ィ ー ル ド と呼 ぶ(図6・4(b)).レ の 鍵 部 お よび 情 報 部 を そ れ ぞ れ

列

以 外の フ コ ー ドＲ

(ａ)

(ｂ) 図6・4

  レ コ ー ドの 数 を ｎ と した と き,各 レ コ ー ドに ０か らn-1ま を ふ っ た 集 合 を フ ァ イ ル(file)と フ ァ イ ル 型 と は 異 な る.こ ー ドの 集 合 を 意 味 し,フ

呼 ぶ.こ

で 一 次 元 的 に番 号

こ で の フ ァ イ ル は,Pascalに

こ で の フ ァ イ ル は,一

おけ る

次 元 的 順 序 関 係 を持 っ た レ コ

ァ イ ル と い う よ り は む しろ 線 形 リ ス ト と い っ て よ く,

レ コ ー ド ま た は レ コ ー ド間 の 構 造 や そ の 記 憶 場 所 に は,特 注 意 す べ き で あ る*.R0,R1,…,Rn-1か

別 な 規 定 は な い点 に

らな る フ ァイ ル Ｆ は

F=R0R1…Rn-1

と表 現 さ れ る.

  整 列 の 問 題 で,フ 合,つ

ァイ ル の す べ て の レ コー ドが ラ ン ダ ム にア ク セ ス で き る場

ま り,す べ て の レ コー ドが 主 記 憶 装 置 に格 納 され て い る場 合 と,各 時 点

で は あ る 限 られ た範 囲 の レ コー ドしか ア ク セ ス で きな い 場 合 ,つ

ま り,フ ァイ

ル が 大 きす ぎて 二 次 記 憶 装 置 に あ り,整 列 の デ ー タ が 主 記 憶 領 域 に は一 部 しか 格 納 で きな い よ うな 場 合 が あ る.前 者 の よ うな 場 合 の整 列 を内 部 整 列(internal sort)と い い,後 者 を外 部 整 列(external 整 列 に つ い て学 ぶ こ とに す るの で,特

sort)と い う.本 書 で は,主 と して 内 部 に こ とわ りの な い 限 り整 列 とい っ た ら内

部 整 列 を意 味 して い る.   整 列 させ る フ ァイ ル の お の お の の レ コ ー ドの 鍵 部 は,整 列 の基 準 とな る順 序 が 定 義 さ れ て い な け れ ば な らな い .順 序 を定 め る こ と を数 学 の 言 葉 を借 りて正 確 に 定 義 す る と,鍵 の 集 合 Ｋ の上 に次 の条 件 を満 足 す る関 係 〓 が定 め られ て い る こ とで あ る.

* 

フ ァ イ ル の 概 念 と し て は,こ

タ は,順

次 フ ァ イ ル(sequential

の 章 で の も の の ほ う が 一 般 的 で,Pascalに file)と

呼 ば れ る フ ァ イ ル の 一 種 で あ る.

お け る フ ァ イル 型 デ ー

ａ と ｂが 〓の 関 係 に あ るこ と をa〓bと

書 くこ とに す る と

(１)任

意 の Ｋ の 元 ａ に 対 し,a〓aが

成 り立 つ.

(２)任

意 の Ｋ の 元a,bに

対 し,a〓b,b〓aが

(反 射 律) 成 り立 て ば,a=bが

立 つ.

(３)

成 り

(反 対 称 律) 任 意 の Ｋ の 元a,b,cに

対 し,a〓b,b〓cが

成 り 立 て ばa〓cが

立 つ. (４)任

成 り

(推 移 律) 意 の Ｋ の 元a,bに

対 し,a〓bま

た はb〓aが

成 り立 つ.

  上 の 四 つ の 条 件 を満 た す関 係 を,順 序 関 係 ま た は全 順 序 関係 とい う.た ば,実 数 や 整 数 の 集 合 上 の大 小 関 係 は順 序 関係 で あ るが,ジ

とえ

ャ ンケ ンの 三 つ の

手 の 間 の 「あ い こ ま た は よ り強 い 」 とい う関係 は順 序 関係 で は な い.   なぜ な らば,「 Ａ は Ｂ よ りも強 い 」 とい う関 係 をA〓Bと れ ば,石

〓紙,紙

〓 ハ サ ミで あ る が 石 〓ハ サ ミ と は な らず,推

な い か らで あ る.ま た,あ 係 は,(1)∼(3)の

記 述 す る もの とす 移 律 を満 た さ

る集 合 の部 分 集 合 の 族 に お け る部 分 集 合 間 の 包 含 関

条 件 は満 足 す るが(４)を 満 た さな いの で 順 序 関係 とは い え な

い.

  条 件(1)∼(4)の

す べ て を満 足 して い る関 係 が 定 義 され て い る集 合 は,ど の よ

うな 集 合 で も整 列 の 鍵 集 合 とな り う る し,ま た(1)∼(4)の

どれ か 一 つ で も満

た さ な い よ うな 関 係 で は整 列 の鍵 とす る こ と は で きな い.  い ま,「 よ り小 さい か ま た は 等 し い」 とい う順 序 関 係 と双 対 関 係 に あ る 「よ り大 きい か また は等 しい 」 とい う関 係 を考 え る と,こ れ も ま た順 序 関 係 で とな る,一 般 に あ る順 序 関 係 の 双 対 関係 もま た順 序 関 係 とな る こ とが わ か っ て い る の で,整

列 問 題 で昇 順 か 降 順 か に こだ わ る こ とな く,ど ち らか 一 方 だ け で議 論

して も一 般 性 を 欠 くこ と は な い.   また,フ

ァイ ル の 中 に は等 しい 鍵 が 複 数 個 あ る場 合 が考 え られ る.こ の 場 合

ほ とん ど の ア ル ゴ リズ ム で は,そ れ らの 間 の順 番 は別 の 要 因 か ら固定 さ れ て い る.た

とえ ば,こ れ らの 鍵 の等 しい レ コ ー ド間 で は,元 の フ ァ イル で の 順 番 が

保 存 され る よ うに 整 列 させ られ る とい う よ う に.こ の こ と は,同

じ鍵 で もな ん

らか の 順 序 が つ け られ て い る と考 え る と,元 か らす べ て の鍵 は 異 な っ て い る と

仮 定 して も よい.以 後 の議 論 で は,常

に昇 順 に 整 列 させ るこ と と フ ァ イ ル 内 の

す べ て の鍵 は相 異 な っ て い る もの と仮 定 して お く.   個 々 の アル ゴ リズ ム につ いて の検 討 に 入 る前 に,整 列 の 基 本 的 性 質 を調 べ て お こ う.フ ァ イル 中 の 二 つ の レ コー ドRiとRjを

入 れ 換 え る労 力 を単 位 とす る

と,無 作 為 に並 べ られ た レ コー ドの フ ァ イル を整 列 させ る の に 必 要 な労 力 の平 均 値 は,フ ァ イル の 寸 法 を ｎに対 してO(n2)で

あ る こ とが計 算 で き る(付 録 Ｂ参

照).こ の こ とは,整 列 の ア ル ゴ リズ ム に な ん の 細 工 も しな け れ ばO(n2)以

上の

労 力 を 必 要 とす る こ と を意 味 して い る.

6.3

挿入法による 整列

6.3.1

挿入法 による整列 の基本

  挿 入 法 に よ る整 列 は,別 名 ブ リッ ジ プ レー ヤ ーの 方 法 と も呼 ば れ,そ の 基 本 的 考 え 方 は トラ ンプ ゲ ー ム な どで 行 わ れ て い る よ うに,す で に整 列 させ られ て い る デ ー タ集 合 の 中 に新 た に 正 しい 順 番 に な る よ う に挿 入 す る とい う とこ ろ に

図6・5

図6・6

あ る.

  た と え ば,図6・5の

よ う な16個

整 列 さ せ る に は,図6・6の Finか

よ う に,ま

ら最 初 の レ コ ー ド227を

目 の レ コ ー ド546を さ れ た 位 置),そ   同 様 に985を のFoutが

の ３桁 の 整 数 か ら な る フ ァ イ ル を 挿 入 法 で ず 最 初 に 出 力 フ ァ イ ルFout=φ

取 り出 しFout=(227)と

取 り出 し,Foutの

す る.次

と お き,

にFinか

ど の 位 置 に 挿 入 す べ き か を 計 算 し(^で 示

こ に 挿 入 す る. 取 り 出 し … … と い う よ う に 順 次 計 算 し,Fin=φ

とな っ た時 点 で

求 め る フ ァ イ ル で あ る.

以 上 を ま と め る と,

――挿 入 法 に よ る整 列 の 基 本 アル ゴ リズ ム ― ― Step1:Fout←

Step2:も

Step3:Finの Step4:Foutに Step5:Step2へ

と な る.

ら ２番

φ.

しFin=φ

な ら ば,Foutを

出 力 し て 停 止 す る.

先 頭 の レ コ ー ドを 除 去 し,そ

の レ コ ー ドを Ｒ と す る.

お け る Ｒ の 位 置 を み つ け 挿 入 す る. 戻 る.

6.3.2   ま ず,最

基 本的挿入法 によ る整 列アル ゴリズムの実装 初 に 配 列 型 の フ ァ イ ル の 場 合 を 考 え て み る.配

を 挿 入 法 で 配 列Foutに

列Finに

整 列 さ せ る手 順 を 実 装 し た の が 図6・7で

あ るデ ー タ あ る.

  配 列 型 の フ ァ イル は,ラ ン ダ ム ア クセ ス が で き る利 点 が あ る が,新 しい レ コ ー ドを挿 入 す る と き に は ,挿 入 点 か ら後 の レ コ ー ドの位 置 を一 つ ず つ ず ら して 挿 入 され る レコ ー ドの 格 納 場 所 を確 保 す る必 要 が あ る.   この 点 を考 慮 して,図6・7の

ア ル ゴ リズ ム で は,Foutの 末 尾 か ら先 頭 の 方 向

に レコ ー ドの鍵 の 比 較 を行 っ て 同 時 に移 動 が で き る よ う に な っ て い る点 に 注 意 して い た だ きた い.

図6・7

  次 の 実 装例 は,リ イ ル は図6・8の

ン ク構 造 の フ ァイ ル に対 す る もの で あ る.入 力 とな るフ ァ

よ うな構 造 で あ り,Foutに 並 べ 換 え の終 わ った 同 形 式 の フ ァ イ

ル を 出力 す る.こ の 場 合 は,フ 実 装 され た手 順 は 図6・9に

ァ イル の 寸 法 を表 す 引 数 は 必 要 で は な い . 示 され て い る.

図6・8

図6・9

  この 二 つ の ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 を レ コー ドの 鍵 の 比較 の 回数 だ け に注 目 し １回 の 比 較 を 単 位 と して表 現 して み よ う.  双 方 の 手 順 中 で レ コ ー ドの鍵 ど う しの比 較 は(２)で 示 さ れ た 文 が １回 実 行 さ れ るご と に １単位 時 間 が 消 費 され る.現 在Foutの 寸 法 が ｉで あ る時 点 を仮 定 す

る と,双

方 の(２)のWHILE文

り,(１)の

が 実 行 さ れ る 平 均 値 は,Foutの

文 に よ る繰 り返 し は,ｉ

が １か らn-1ま

長 さの半 分 で あ

で とな るの で総 比較 回数

Tins.sortは,

とな り,双 方 の ア ル ゴ リズ ム と も に計 算 増 加 率 はO(n2)の

6.3.3 

計 算 時 間 で あ る.

シェルの方法

  挿 入 法 の 欠 点 は,配 列 型 の デ ー タ構 造 を用 い る と き,挿 入 す る レ コー ドの場 所 を確 保 す るた め にす で に 整 列 の終 え た部 分 の レ コ ー ドを移 動 しな け れ ば な ら な い 点 に あ る.単

に挿 入 場 所 を みつ け るだ け で あ る な らば,２ 分 探 索 法(p183

参 照)を 用 い れ ばO(logn)で

可 能 で あ る.

  逆 に挿 入 の 容 易 な リ ンク構 造,た

とば最 適 化 した ２分 木 を用 い る と,や は り

図6・10

O(log

n)で

挿 入 点 を 見 い だ す こ と が で き,挿 入 も簡 単 に 行 え る.し か し な が ら,

レ コ ー ド を 追 加 し て し ま っ た 後 の 木 は,す 最 適 化 す る の に はO(n2)の

で に 最 適 な 木 で は な く な り,そ

時 間 が か か っ て し ま う(p195参

  配 列 型 の 入 力 フ ァ イ ル を 幾 つ か に 分 割 す る と,移 を 利 用 す る 改 善 法 がD.Shellに

れ を

照).

動 の 回 数 は少 な くな る こ と

よ っ て 考 え ら れ た.こ

の 方 法 は,入

を分 割 す る代 わ り に,配 列 の 要 素 を1,1+h,1+2h,…

力 フ ァ イル

とい う よ う に ｈ個 お き に

取 って １ブ ロ ック と考 え,2,2+h,2+2h,…;…;(h-1),(h-1)+h,(h-1)+ 2h,…

と い う ｈ個 の ブ ロ ッ ク ご と に 整 列 を 行 う.

  次 に,よ り小 さ い ｈ の 値 で 同 様 な こ と を 繰 り返 し,h=1と 最 後 に 整 列 した フ ァ イ ル が 得 ら れ る.こ

で 表 す こ と に す る.図6・5のFinに

な る ま で 続 け る と,

の と きの ｈの 取 る値 の順 番 を

対 し

H:h4=8,h3=4,h2=2,h1=1 と す る と,h=8に

対 して は,

B41=(227,340)→(227,340) B42=(546,876)→(546,876) B43=(985,308)→(308,985)

B47=(075,124)→(075,124)

とな り,右 辺 の 矢 印 は書 くブ ロ ッ ク を整 列 させ た後 の ブ ロ ック を示 して い る.   h3=4,h2=2,h1=1と い る.そ

して 同様 な こ とを繰 り返 す状 況 が 図6・10に

示 され て

こで は,一 つ の 孤 で 結 ば れ た 要 素 が 一 つ の ブ ロ ッ ク を成 して い る.

  こ の ア ル ゴ リズ ムの 特 徴 は,実 際 に は一 次 元 的 に 配 置 され て い るデ ー タ を ｈ 個 お きに 取 る こ とに よ って 実 質 的 に は ｈ個 の ブ ロ ッ ク に分 割 を し,デ ー タ 数 を 少 な く して 整 列 させ,そ

れ ら を統 合 す る と き に は,実 質 的 に は な に もせ ず に元

の 一 次 元 的 に配 置 され た １組 の デ ー タ と考 え る こ とに あ る.   こ の ア ル ゴ リズ ム は,大 変 巧 妙 で 計 算 効 率 を 高 め る こ とは わ か って い る が, ご く特 殊 な 場 合 を 除 い て そ の 動 作 の 解析 に成 功 して い な い.シ

ェル の アル ゴ リ

図6・11

ズ ム の 実 装 例 を 図6・11に

示 す.

6.4  入 れ換え法 による整 列 6.4.1 

入 れ換え法 による整列の基本 原理

  入 れ 換 え法 に よ る整 列 は,そ の 名 の とお り,並べ た い順 序 に な い 二 つ の レ コー ド(こ の 二 つ の レ コー ドは反 転 に あ る とい う)の 位 置 を 入 れ 換 え る とい う操 作 が 基 本 と な っ て い る.た

とえ ば,左 か ら小 さ い順 に並 べ た い 場 合 に,あ

る二 つ の

レ コー ドの 左 側 の レコ ー ドの 鍵 が,右 側 の そ れ よ り も大 き い と き,こ の二 つ の レ コー ドを 入 れ 換 え る こ とで あ る.こ の 入 れ 換 えの 動 作 をフ ァ イル の 中 に 反 転 (付 録 Ｂ参 照)が な くな る まで 繰 り返 せ ば,整 列 が 終 了 す る.

  反 転 を見 つ け る方 法,ま

た反 転 に あ る レ コー ドが な くな っ た こ とを確 認 す る

方 法 の 相 違 に よ り,い ろ い ろ な ア ル ゴ リズ ム が 考 え 出 され て い る.   幾 つ か の 方法 を紹 介 し よ う.並 べ 換 え る フ ァ イル を F0=R00R01…R0,n-1

と し て,こ

れ を レ コ ー ドの 鍵 の 小 さ い 順 に 整 列 させ る も の と す る.も

純 で わ か りや す い 方 法 は,ま ん で,R0よ

ず,R0を

固 定 し て 他 方 をR1,R2,…,Rn-1と

り も 小 さ い 鍵 を 持 つ レ コ ー ド をR0と

っ と も単 順次 選

入 れ 換 え て得 られ た フ ァ イル

F1=R10R11…R1,n-1

はR10が

最 小 の 鍵 を持 つ レ コー

R13,…,R1

,n-1と 順 次 比 較

ド と な っ て い る.次

に,R11を

固 定 し て,R12,

し 入 れ 換 え を し て,

F2=R20R21…R2,n-1

を 得 た と す れ ば,R21はR22,R23,…,R2,n-1の

中 で 最 小 の 鍵 を 持 つ レ コ ー ドつ ま

り,全 体 で ２番 目 の も の と な る.こ の 方 法 をn-1回 べ ら れ た フ ァ イ ル が 得 ら れ る.ア Step

1:For

i:=0

Step

2:For

j:=i+1

Step

3:If

Ri＞Rj

to

then

  こ こ でRi←

→RjはRiとRjと

ズ ム は,Step

3のif文

Ri←

さ い順 に並

ル ゴ リズ ム は

n-2 to

繰 り返 せ ば,小

do n-1

Step do

Step

2

and

then

terminate.

3.

→Rj.

を 入 れ 換 え る こ と 表 現 し て い る.こ の ア ル ゴ リ

で 入 れ 換 え の 行 わ れ る 回 数 は,比 較 の 回 数 よ り も少 な い

の で,こ の ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 の オ ー ダ は 比 較 の 回 数 に よ り定 ま りO(n2) と な る こ と が 容 易 に わ か る.

6.4.2 

バ ブ ル ソ ー ト(bubble

sort)

  前 の ア ル ゴ リズ ム と同 じ よ う な簡 単 で わ か りや す い ア ル ゴ リズ ム と して バ ブ ル ソ ー トが あ る.ア ル ゴ リズ ム を簡 単 に 紹 介 し よ う.前 例 と同 じよ うに整 列 さ せ るフ ァ イル F0=R00R01…R0,n-1

に 対 し,ま ず 最 初 に ｎ 番 目 の レ コ ー ド とn-1番

目 の レ コ ー ド と を 比 較 し,反 転

で あ れ ば 入 れ 換 え を行 い,そ n-1番

うで な けれ ば そ の ま ま入 れ 換 え を行 わ な い.次

目の レ コー ドとn-2番

は

目の レ コー ドとを比 較 し… …,と い うように ２番

目 と １番 目の レ コー ドまで 比較 入 れ 換 え を行 う.こ の 時 点 でR0に は ち ょう ど泡 が 浮 か び上 が っ て くる よ うに,こ の レ コー ドの 中 で 最 小 の鍵 を持 つ レコ ー ドが 浮 か び上 が っ て きて い るは ず で あ る.   次 の ス テ ップ で は,前 と同 じよ うに ｎ番 目 とn-1番

目の レ コー ドを比 較 す る

こ とか ら始 め て,前 の ス テ ップ で 入 れ 換 えの 起 こ っ た最 後 の位 置 の 直 後,す わ ち前 の 回で の 最 後 に起 こ っ た入 れ 換 え の位 置 が,ｋ 番 目 とk-1番 ドとの 間 で あ っ た な らば,k+1番 これ で,第

目の レコー

目 と ｋ番 目の と ころ まで比 較 入 れ換 え を行 う.

２ス テ ップ が 終 わ る.

  こ の 時 点 で,最 後 に入 れ 換 え の あ った と こ ろ よ り上 の 部 分 は,す て い る.そ

な

して,同

じよ うに次 の ス テ ップ へ と進 み,入

で に整 列 し

れ 換 えの 起 こ らな くな

る まで 次 々 に ス テ ップ を繰 り返 せ ば,す べ ての レ コー ドは順 に整 列 し終 った こ とに な る.   この ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 は,前 の アル ゴ リズ ム と同 じ よ う にO(n2)で あ るが,前

者 が,１

は

ス テ ップ の デ ー タ の走 査 が 単 に 残 りの レコ ー ドの 内 か ら最

小 の もの を見 つ け るだ け で,次 の ス テ ップ の 走 査 に は前 の 走 査 の 結 果 が な ん ら 利 用 さ れ て い な い.こ れ に反 して,バ ブ ル ソー トで は最 後 に 浮 か び 上 が っ て く るの が 残 りの レ コ ー ドの 中で 最 小 の もの で あ るが,最

小 の レコ ー ドが 見 つ か る

まで に行 わ れ た入 れ 換 え操 作 は,次 の ス テ ップ で の 労 力 を軽 減 して い る.   以 上 の 理 由 か ら,同 じO(n2)の

アル ゴ リズ ム で は あ って も,前 の ア ル ゴ リズ

ム よ り はバ ブ ル ソー トの ほ うが 優 れ て い る こ とが わ か る.簡 単 な 整 列 の プ ログ ラ ム を作 る と き に,ど あ る が,同 た い.も

う い う わ け か前 者 の ア ル ゴ リズ ム を使 う人 が 多 い よ うで

じ程 度 に簡 単 で よ り効 率 の よいバ ブ ル ソ ー トを使 用 す る こ とを勧 め

ち ろ ん,こ

れ らの ア ル ゴ リズ ム の 実 装 が 簡 単 だ か ら とい って も,多 数

回 の 使 用 が 予 測 され るプ ロ グ ラム の アル ゴ リズ ム と して は適 当 で は な い.こ の よ うな場 合 に は,後 述 の もう少 し複 雑 な ア ル ゴ リズ ム に よ っ て よ り高 い効 率 が 得 られ るの で,そ

ち らを採 用 す べ きで あ る.

図6・12

6.4.3 

bubble

sort

program

ク イ ッ ク ソ ー トの ア ル ゴ リズ ム の 原 理 と 実 装

  入 れ 換 え法 に よ る整 列 の 計 算 時 間 の短 縮 方 法 の 一 つ と して,前

に計 算 した 結

果 を利 用 す る方 法 と してバ ブ ル ソ ー トを紹 介 した が,さ ら に有 効 な 方法 と して, デ ー タ分 割 法 に よ る高 速 化 を図 っ た ア ル ゴ リズ ム と して 有 名 な の が ク イ ック ソ ー ト(quick sort)で あ る.   デ ー タ分 割 法 に よ るア ル ゴ リズ ム の 改 善 法 を,整 列 の ア ル ゴ リズ ム に適 用 す る場 合 を 想 定 して復 習 す る と, (１)デ

ー タ の ブ ロ ックへ の分 割

(２)各

ブ ロ ッ ク ご との 整 列 の 処 理(主 処 理)

(３)ブ

ロ ック の統 合

で あ っ た.   ク イ ッ ク ソ ー トの 場 合 は,主

と し て 第 １ス テ ップ の デ ー タ 分 割 の と こ ろ に ア

ル ゴ リズ ム の よ さ の 秘 密 が か く さ れ て い る .ま 説 明 し よ う.

ず,最

初 に分 割 の 方法 につ い て

い つ もの よ う に,整 列 の対 象 と な る フ ァイ ル を F0=R00R01…R0

と す る.こ ドをRpと

の フ ァ イ ル の 中 か ら 任 意 に 一 つ の レ コ ー ド を取 づ出 す .こ し よ う.Rpと

レ コ ー ドはRpの を 行 う.そ

,n-1

残 りの 各 レ コ ー ド と を 比 較 し,Rpよ

左 側 に,大 き な 鍵 を持 つ レ コ ー ドは 右 側 に な る よ う に 入 れ 換 え

の 結 果 得 ら れ た フ ァ イ ル は, F1=R10R11…R1

,k-1RpR1,k+1…R1,n-1

の よ う に な る.F1の るF12=R1,k+1…R1

う ち,Rpよ

り も左 に あ るF11=R10R11…R1

,n-1の 二 つ の サ ブ フ ァ イ ル は,も

れ てF'11,F'12と

な っ た と す れ ば,こ

F'12と す る と,フ   つ ま り,F0を

,k-1と,右

にあ

しそ れ ぞ れ が 整 列 させ ら

れ ら を 統 合 し て,一

つ の フ ァ イ ルF'11Fp

ァ イ ル は 求 め る整 列 の 済 ん だ フ ァ イ ル と な る.

整 列 さ せ る と い う 問 題 は,(１)上

に 分 割 す る こ と,(２)F11とF12の と,(３)こ

の レコー

りも小 さ い鍵 を持 つ

の よ う に二 つ の サ ブ フ ァイ ル

二 つ の サ ブ フ ァ イ ル を そ れ ぞ れ 整 列 させ る こ

れ ら の サ ブ フ ァ イ ル と選 ば れ た レ コ ー ド を 適 当 な 順 番 に 並 べ て 一 つ

の フ ァ イ ル に す る と い う 問 題 に 変 換 で き た こ と に な る.   F11とF12の

整 列 に対 し て も,こ

の 整 列 問 題,F12か 返 し て ゆ く と,最

らF121とF122の

の 考 え 方 を 適 用 す れ ば,F11か

らF111とF112

整 列 問 題 と に 置 き 換 え ら れ る.こ

れ を繰 り

後 に は 分 割 さ れ た サ ブ フ ァ イ ル が た だ 一 つ の レ コ ー ドか ら な

る フ ァ イ ル と な る.た

だ 一 つ の レ コ ー ドか ら な る フ ァ イ ル は,す

ん だ フ ァ イ ル と み な さ れ る の で,そ

でに整列の済

れ まで分 割 を進 めて しま えば実 際 にサブ

フ ァ イ ル を 整 列 さ せ る 必 要 は な く な っ て し ま う(図6・13参

照).

  さて,こ の 方 法 で の 計 算 時 間 は どの よ う に な って い る で あ ろ う か.精 密 な 解 析 につ い て は,他

の 文 献 を参 照 して い た だ く と して,こ

こでは半分直感 に頼 る

計 算 時 間 の 解 析 を試 み る.   ア ル ゴ リズ ム の 中で,も っ と も頻 繁 に 実行 され る演 算 は 二 つ の レ コー ドの鍵 の 比 較 回 数 で あ り,こ れ が 計 算 時 間 の オ ー ダ に も っ と も影 響 を与 え る .こ の 比 較 回 数 の 平 均 値 を求 め て み よ う.   最 初 の ス テ ッ プ で の 比 較 の 回 数 は,Fpと

他 のn-1こ

の レ コ ー ドと を 比 較 す る

図6・13

の で,そ

の 回 数 はn-1(≒n)回

で あ る .括 弧 の 中 の 値 は,ｎ が 十 分 大 き い 場 合

の 近 似 値 で あ る .こ の 近 似 値 を 用 い て も計 算 時 間 の Ｏ 関 数 は 変 わ ら な い こ と は 容 易 に わ か る.そ

し て,Fpは

そ れ ぞ れ(n-1)/2(≒n/2)で

任 意 に 選 ん だ の で,F11とF12の あ る.n/2の

長 さの フ ァイ ル ２個 を さ らに 分 割 す る

の に 必 要 な 比 較 の 回 数 は,((n/2)-1)＊2≒nと に は お お よ そ ｎ 回 の 比 較 回 数 が 必 要 と さ れ る.各 ド に な る ま で に は,log2(n)レ 較 回 数 はO(n

log n)回

の 取 り方 で 定 ま り,そ

な る.つ ま り,１ レベ ル の 分 割 サ ブ フ ァイ ル が 唯 一 の レ コー

ベ ル の 分 割 が 必 要 で あ る か ら,全

体 と して の 比

と な る.サ ブ フ ァ イ ル の 統 合 分 割 は,配 列 の 添 え 字 区 間

の 操 作 回 数 は 統 合 ブ ロ ッ ク の 数 に 比 例 し,比

も小 さ い オ ー ダ で あ る.ゆ と な る こ と が わ か る.

長 さの 期 待 値 は

え に,こ

の ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 はO(n

較 回数 よ り log

n)

  ク イ ック ソー トの ア ル ゴ リズ ム を 実 装 す るの に は,大

き く分 け て二 つ の 方 法

が あ る.読 者 自身 もす で に お 気 づ きの こ と と思 うが,こ

の ア ル ゴ リズ ム は 再 帰

的 に考 え,か つ 記 述 す る と非 常 に簡 単 に な る.   実 装 方法 の 一 つ は再 帰 的 プ ロ グ ラ ム と して 実 装 す る もの で,簡 単 で か つ わ か りや す い.   も う一 つ の 実 装 方 法 は,大

き な デ ー タ に適 用 さ れ,ま た 使 用 頻 度 の 高 い ア プ

リケ ー シ ョンプ ロ グ ラ ム パ ッケ ー ジな どの 整 列 プ ロ グ ラ ム に 多 く見 られ る もの で,再

帰 的 プ ロ グ ラ ミ ング を用 い ず に,自

らの プ ロ グ ラ ム 内 の ス タ ック を用 い

て 必 要 最 小 限 の デ ー タ をス タ ッ クす る こ とで ス ピー ドア ップ を図 っ て い る.見 た 目 に は相 当複 雑 な ア ル ゴ リズ ム に見 え るが,考

え方 は 同 じで あ る.

  ま た,分 割 時 の 分 岐 点 とな る レコ ー ドの 選 択 方 法 に も,ブ ロ ッ クの 最 初 の レ コー ドを取 る方 法,ブ

ロ ッ クの 真 ん 中 に 位 置 す る レコ ー ドを取 る方 法 な どが あ

図6・14

quick

sort

program

る.被 分 割 ブ ロ ック の レ コ ー ドの 配 置 が統 計 的 に ラ ン ダム で あ れ ば,ど も同 じで あ るが,実

ち らで

際 に は整 列 の 済 ん で い た フ ァ イル を 多 少修 正 し,再 度 整 列

す る な ど とい う場 合 が 多 いの で,後 者 の よ うな 中 点 の レコ ー ドを取 る方 法 が 取 られ る.   ブ ロ ック の最 初 の レ コー ドを分 岐 レ コー ドに選 ぶ 方法 を取 っ た場 合,す 整 列 の済 ん だ フ ァイ ル に 適 用 す る と,最 悪 の 効 率 と な り,O(n2)の な っ て し ま う.ま た,同

でに

計算 時 間 と

じ値 の 鍵 が 比 較 され た と きに は,そ の 二 つ の レ コ ー ド

を入 れ換 え た ほ うが早 い アル ゴ リズ ム とな り,そ の よ うな 実 装 が され て い る も の が 多 い こ と に も注 意 が 必 要 で あ る. 図6・14に

6.5 6.5.1

再 帰 的 プ ロ グ ラ ミン グの 実 装例 を示 す.

その他の方法による整列 選 択法 による整 列

  選 択 法 に よ る整 列 の 基 本 は,す べ ての デ ー タ の 中か ら最 小 の 鍵 を持 つ レコ ー ドを探 し出 して,そ

れ を新 しい フ ァ イル の第 １番 目 に配 置 し,次 に 残 りの 中 か

ら最 も小 さ い鍵 を持 つ レ コ ー ドを探 し出 して,そ れ を ２番 目 に配 置 す る.以 下 同様 に順 次 並 べ て行 く方 法 で あ る.   こ の 手 法 の 計 算 時 間 は,ｋ 個 の デ ー タ の 中 か ら最 小 の もの を見 つ け るの に平 均k/2回

の 鍵 の 比 較 を しな け れ ば な らな い の で,全 体 で

と な りO(n2)と

な る こ と が 容 易 に わ か る.よ

リ ズ ム で は あ ま り よ い と は い え な い が,こ が あ る.も

っ と も よ く知 ら れ て い る の は,ヒ

っ て,基

本 原 理 そ の ま まの ア ル ゴ

の 方 法 に も改 善 さ れ た ア ル ゴ リズ ム ー プ ソ ー ト(heap

sort)と

呼ばれ

る ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

  こ の ア ル ゴ リズ ム で の 計 算 時 間 の 高 速 化 は,以 前 の ス テ ップ の 計 算 結 果 を利 用 す る 方法 で あ る.前 の 計 算 結 果 を利 用 で きる よ うに す る た め に,フ 中 か ら最 小 の 鍵 を持 つ レ コー ドを探 し求 め る方 法 に工 夫 が して あ る.

ァイルの

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

図 6・15   多 くの デ ー タ の 中 か ら も っ と も強 い(も っ と も 小 さ い)も の を 求 め る 方 法 と し て よ く知 ら れ て い る の は トー ナ メ ン ト法 で あ る.簡 メ ン ト勝 ち 抜 き表 の 例 を 図6・15(a)に ドが 求 め る 最 強(最

小)の

ち 残 っ た デ ー タ の 中 に,２ が 高 い.こ

単 な デ ー タ 集 合 で の トー ナ

示 した.こ の 表 の 頂 上 に 位 置 す る レ コ ー

も の で あ る こ と は い う ま で も な い.上

の ほ う ま で勝

番 目 に 強 い も の が あ る と は 限 ら な い が,そ

の 結 果 を う ま く利 用 す る こ と に よ り,効

の可能性

率 を上 げ よ う とい うの が ヒ

ー プ ソ ー トの 着 眼 点 で あ る .

  まず 最 初 に,ト ー ナ メ ン ト表 を少 し改 良 しよ う.ト ー ナ メ ン ト表 で は上 位 の 位 置 に勝 者 を 記 入 す る が,こ で き る.さ らば,勝

こ に敗 者 を記 入 す るこ とに して も同 じ こ とが 表 現

ら に よ い こ とに,同

じデ ー タ が 何 回 も 出現 す る こ とが な く(な ぜ な

ち抜 き戦 で は各 デ ー タ は １回 しか 負 け な い か ら),ま た優 勝 者 は 最 後

に 負 け た もの とす れ ば,ｎ 個 の デ ー タ に 対 して ｎ個 の記 入 場 所 が あ れ ば よ い. 前 の 例 を この 方法 で表 現 す る と図6・15(b)の

よ う にな る.

  さ て,す で に気 づ か れ た か も しな いが,図6・15(b)の

トー ナ メ ン ト表 は勝 者

の 頂 点 近 くの 変 形 を 除 け ば,広 義 の 平衡 ２分 木 とな っ て い る.総 数 の わ か って い る 多 くの デ ー タ を,効 率 よ く格 納 す るの に よ い方 法 は,配 列構 造 を 用 い る こ とで あ る こ とは す で に 述 べ たが,木 構 造 の 実 装 に も第 ５章5.4節

の配 列 で 述 べ

た よ うに配 列 を用 い て 実 装 す る方 法 が あ る.勝 者 の 頂 点 の部 分 で の 変 則 を トー ナ メ ン ト表 の解 釈 を多 少 変 えて,図6・15(c)の

よ うに木 の左 側 の 部 分 木 の根 を

一 つ ず つ 左 下 に ず ち して平 衡 ２分 木 とす る.こ の よ うに,平 衡 ２分 木 を配 列 を 用 いて 実 装 した ものを ヒー プ(heap)*と

い う.配列 名 Ａ の配 列 に図6・15(c)の

分 木 を実 装 した状 態 を図6・15(d)に

示 した(第 ５章練 習 問 題 ６参 照).

  さ て,ヒ

ー プ ソ ー ト は 二 つ の 操 作 か ら な っ て い る.そ

の 一 つ は,ト

２

ーナ メ ン

ト表 の 頂 点 の レ コ ー ド(残 りの デ ー タ の 内 最 小 の も の)を 取 り 出 し て 出 力 フ ァ イ ル に 並 べ,そ

の 代 わ り に,ま

く こ と で あ る.二

つ 目 は,ト

だ トー ナ メ ン ト表 に な い レ コ ー ドを 表 の 頂 点 に 置 ー ナ メ ン ト表 の 頂 点 が 入 れ 替 わ っ た と き に,新

い 頂 点 の レ コ ー ドを 適 当 な 位 置 に 配 置 し直 し て,正 こ と で あ る.こ   図6・16は

しい トー ナ メ ン ト表 とす る

の 二 つ 目 の 操 作 を シ フ テ ィ ン グ(shifting)と トー ナ メ ン ト表 の 勝 者075を

れ 換 え た も の を,正 入 者(丸 印)は,そ

し

呼 ん で い る.

取 り出 し,ト ー ナ メ ン ト表 外 の340と

入

し い 表 に 変 換 す る シ フ テ ィ ン グ の 過 程 を 示 す 例 で あ る.新

の 子 孫(最 大 二 つ)で そ れ よ り も小 さ い も の が あ る 限 り,そ

(ａ)

(ｂ)

の

(ｃ)

図 6・16 *  ヒー プ に は,堆 積 物 とい う意 味 が あ る.デ ー タ を集 め た もの とで も い う意 味 で 用 い られ た 名 称 で あ ろ うか.第

９章 で もヒー プ とい うデ ー タ構 造 が 出 て く るが,こ

あ って も異 な っ た デ ー タ構 造 で あ る.多 で は な い.

分,別

こで の ヒ ープ と 同 じ名 前 で は

々に 命 名 され た もの で あ ろ うが,そ

の由来は定か

小 さ い ほ う と(二 つ と も よ り小 さ い と き は 二 つ の 内 の 小 さ い ほ う と)入 れ 替 わ る と い う の が,表

を 正 し く直 す 方 法 で あ る.

  さ て,ヒ ー プ ソー トの 実 装 で は,デ ー タの 配 置 が 工 夫 され て い る.い ま ま で の い ろ い ろ な整 列 ア ル ゴ リズ ム の 実 装 の と き に見 られ た よ う に,入 力 フ ァ イル と出 力 フ ァ イル は 配 列 型 の デ ー タ で あ り,そ れ ら は一 つ の 配列 を共 用 して い る. そ れ ば か りで は な く,途 中 で使 用 され る トー ナ メ ン ト表 の ２分 木 も ヒー プ の 形 式 で,ま

た,ト

ー ナ メ ン ト表 に まだ 組 み 入 れ られ て い な いデ ー タや,ト

ーナ メ

ン ト表 の 頂 点 か ら取 り出 して並 べ た 出 力 フ ァ イル の １部 分 さ え も,み な 同 じ一 つ の 配 列 内 で 処 理 され て い る.   た だ 注 意 す る こ と は,ヒ べ た い 順 番 と 逆 の,す

ー プ ソ ー トの シ フ テ ィ ン グ の ア ル ゴ リ ズ ム で は,並

な わ ち 小 さ い 順 に 並 べ た い と き に は,大

プ の 頂 点 に く る よ う に プ ロ グ ラ ム す る.こ ー プ の 先 頭 に 出 て く る が ,こ の よ う に す る の は,メ

う す る と,も

きい もの が ヒ ー

っ と も大 き い も の が ヒ

れ を 取 り出 し て 配 列 の 後 ろ 側 か ら並 べ て く る(こ

モ リ の 使 用 方 法 と も 関 連 し て い る)手 法 を 取 っ て い る か

ら で あ る.   ヒ ー プ ソ ー トの 計 算 時 間 の 解 析 は 練 習 問 題 とす る が,結 O(nlogn)で

あ る こ と が 知 られ て い る.し

イ ッ ク ソ ー トよ り も効 率 が よ く な い(ク 均 で 約 ２倍)の で は あ る が,ヒ ル に も,常 にO(nlogn)の

か しな が ら,同

論 だ け を述 べ る と, じO(nlogn)の

イ ッ ク ソ ー トの 計 算 時 間 と比 較 して 平

ー プ ソ ー トの ほ う は,ど

の よ う な配 置 の フ ァ イ

計 算 時 間 で あ る こ と の 利 点 と,二

デ ー タ に 対 す る 外 部 整 列(external

sort)に

高 い ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.図6・17に

ク

次 記憶 装 置 内の

も 適 用 で き る こ とか ら,利 用 価 値 の

ヒ ー プ ソ ー トの 実 装 例 を 示 す .

図 6・17(そ

の １)

図 6・17

6.5.2

(そ の ２)

併合法 による整列

併 合 法 に よ る整 列 は,す で に 整 列 の 済 ん で い る い くつ か の フ ァ イ ル を,一 つ の 整 列 の 終 えた フ ァ イル へ の併 合 す る手法 を応 用 して 整列 を行 う.   複 数 の 整 列 した フ ァ イル を併 合 す る一 方 法 は,図6・18に

示 す よ う に,各 フ ァ

イ ル の 先 頭 の レ コー ドを取 り出 して,そ れ らの 中 で トー ナ メ ン トで そ れ らの 中 の 勝 者 を取 り出 す.こ

れ は,す べ て の フ ァ イル 中 で最 小 の 鍵 を持 つ レ コ ー ドで

(１)

各 フ ァ イ ルの 先 頭 レ コー ド間 で の トー ナ メ ン ト 勝 者 は 出 力 リス トの 先 頭 へ 移 動 す る

(２)

(１)のRvの

代 わ りに,File

取 り出 し,ト

kの

次 の レ コー

ー ナ メ ン ト表 の 先 頭 に 置 き,シ

テ ィ ン グ を 行 う と,次

ドを フ

の 出 力 リス トへ の レ コー

ドが 得 ら れ る

図 6.18 あ る.勝

者 を取 り 出 し,出

  次 に,先

力 リ ス トに 並 べ る .

の 勝 者 を 出 し た フ ァ イ ル の ２番 目 の レ コ ー ド を トー ナ メ ン ト表 の 先

頭 に 入 れ て,ト

ー ナ メ ン ト表 を シ フ テ ィ ン グ す る.そ

ー ドは 全 体 で ２番 目 の 鍵 を 持 つ レ コ ー ドで あ る

.こ

の 結 果,先

頭 に くる レ コ

れ を取 り 出 し て 出 力 リス ト

に 並 べ る.

  以 下 同 様 に して,す べ て の フ ァ イル が 空 に な る まで 続 け れ ば,各 時 点 で の 勝 者 を順 に並 べ て 一 つ の 整 列 した フ ァ イル へ と併 合 で き る.こ こ で の トー ナ メ ン ト法 に は,前 節 の ヒー プ ソ ー トが 応 用 され て い る. 少 し横 道 に そ れ る が,外

部 整 列(external

sort)に

ヒ ー プ ソ ー トが 役 立 つ と述

べ た が,そ わ ち,併

の 具 体 的 な方 法 が,こ

の フ ァ イ ル の 併 合 法 に示 唆 さ れ て い る.す な

合 法 で の 入 出力 各 フ ァイ ル は,順 次 ア ク セ ス しか され て い な い.こ

の

こ と は外 部 フ ァ イ ル で あ っ て も よい こ とを 意 味 して い る.   さ て,こ

こで の併 合 法 に よ る整 列 は,内 部 整 列 で あ るか ら,ア ク セ ス の 方 法

に と らわ れ る こ とが な い.ま た そ の た め に,ヒ ー プ ソー トの 助 け を借 りな け れ ば な らな い の な ら,最 初 か ら ヒー プ ソ ー トを使 っ た ほ うが よい こ とは 明 らか で あ る.   い ま,併

合 す る フ ァ イ ル が 二 つ の 場 合 を 考 え る と,ト

め る と こ ろ は,二

つ の レ コ ー ドの 鍵 を １回 比 較 す る だ け で よ い.そ

させ る フ ァ イ ル を,た らの フ ァ イ ル は,す き,一

ー ナ メ ン トの 勝 者 を 求 こ で,整

列

だ 一 つ の レ コ ー ドだ け か ら な る フ ァ イ ル に 分 割 し(こ れ

で に 整 列 した フ ァ イ ル で あ る),そ

つ の フ ァ イ ル に な る ま で 併 合 を 続 け れ ば,整

れ を二 つ ず つ併 合 して 行 列 が 終 了 す る(図6・19参

照).

  こ の整 列 の ア ル ゴ リズ ム の計 算 時 間短 縮 の 着 眼 点 は,す で に明 らか な よ う に, 分 割 法 で あ る.し か し,今 まで に 出現 した 分 割 法 が,ク イ ッ ク ソ ー トの よ う に, 分 割 時 に主 要 な 計 算 処 理 が あ り,分 割 され た 部 分 フ ァ イル を一 つ に併 合 す るの に は 計 算 労 力 を使 っ て い な い の に対 し,こ の 方法 は,分 割 は 非 常 に簡 単 で あ る が,部 分 フ ァイ ル の 併 合 時 に 主 要 な処 理 をす る 点 が,他 の もの と対 照 的 で あ る.

図 6・19

  次 に,こ の 併 合 法 に よ る整 列 の 計 算 効 率 に つ いて,例

に よ っ て 直観 的 な方 法

で 考 察 して み よ う.   最 初 に,二

つ の フ ァ イ ル の レ コ ー ド数 の 和 が 一 定 で あ る と き,こ

イ ル を 併 合 す る の に も っ と も 効 率 の よ い の は,そ

れ らの フ ァ

れ ぞ れ の レ コ ー ド数 が ど の よ

う に な っ て い る と き で あ る か を 考 え て み よ う.   総 数 を ｎ と し,一 方 の フ ァ イ ル の レ コ ー ド数 を ｋ と す れ ば,他 方 はn-kで

あ

る.い ま,長 さ ｎ の 順 に 並 べ ら れ た フ ァ イ ル を 得 る ま で の 計 算 時 間 がf(n)で

あ

る と す る と,関

数 ｆの オ ー ダ は

O(f(n))>O(n) で あ る(逐 次 計 算 方 式 で は,線 形 の オ ー ダ 以 下 の 整 列 アル ゴ リズ ム は,存 在 しな い).こ の 条 件 の 下 で は,二 つ の フ ァ イル の 長 さ が 等 しい と き に,計 算 時 間 が 最 小 とな る こ とが 証 明 で き る(第 ６章 練 習 問 題 ６参 照).   こ の 結 果 は,フ

ァ イ ル を併 合 す る と き に は,フ

ァ イル の 大 きさ が で き るだ け

等 しい もの ど う しで 併 合 す る の が 得 策 で あ る こ と を 意 味 し て い る.も

っ と も小

さ い フ ァ イ ル の 長 さ は １で あ る か ら,フ ァ イ ル の サ イ ズ は 併 合 さ れ る ご と に1, 2,4,…,2k-1,2kと

増 加 し て 行 く.同

じ長 さ の フ ァ イ ル を す べ て 併 合 し て,倍

長 さ の フ ァ イ ル に す る 過 程 を １段 階 と す れ ば,整 ｎ で あ る か ら,こ

の

列 させ る フ ァイ ル の 大 き さが

の フ ァ イ ル を た だ 一 つ の レ コ ー ドか ら な る サ ブ フ ァ イ ル に 分

割 して,最 後 に 一 つ の 整 列 し た フ ァ イ ル に な る ま で に は,log2n段

階 の処 理 が 必

要 と さ れ る.   さ て,１

段 階 で の レ コ ー ドの 鍵 の 比 較 回 数 を 考 え よ う.い

ま併 合 す る前 の 各

フ ァ イ ル の 長 さ が ｋ で あ る と す る と,フ ァ イ ル の 数 はn/kで ル 二 つ を 一 つ に 併 合 す る の に 必 要 と す る鍵 の 比 較 回 数 は2k-1回 n/k個

の フ ァ イル を2kの

長 さ の フ ァイ ル に 併 合 す る に はn/(2k)回

あ る.こ の フ ァ イ で あ る.ま た, の併 合が 必要

で あ る.よ っ て,こ の 段 階 で の 併 合 に 必 要 な 比 較 の 回 数 は(2k-1)n/(2k)と りO((2k-1)n/(2k))=O(n)で,各 がlog2nで

段 階 で一 定 の オー ダで あ る.全 体 の 段 階 数

あ る か ら,こ の ア ル ゴ リ ズ ム の 計 算 時 間 はnlognの

図6・20(b)は,リ

な

ン ク 構 造 の 線 形 フ ァ イ ル を,併

オ ー ダ と な る.

合 法 に よ る整 列 の アル ゴ リ

ズ ム の 再 帰 的 プ ロ グ ラ ミ ン グ に よ る 実 装 例 で あ る.こ ル を 表 現 す る の に,図6・20(a)の

こ で は,複

数個 の フ ァ イ

よ うな フ ァ イル の 集 合 をフ ァ イル の ポ イ ン タ

の リ ス トで 表 現 し て い る.   こ の よ う に,ポ

イ ン タ 型 の デ ー タ 構 造 に は,再

帰 的 プ ロ グ ラ ミング が わ か り

や す くで き上 が っ た プ ロ グ ラ ム も簡 単 で 読 み や す い .し ロ グ ラ ム の 実 行 に は,そ

か し な が ら,再

帰 的プ

の プ ロ グ ラ ム ブ ロ ッ クの 地 城 変 数 を すべ て ス タ ッ ク に

プ ッ シ ュ ダ ウ ン す る の で,実

行 効 率 を 考 慮 す る と き に は,必

だ け の ス タ ッ キ ン グ で 済 む よ う に,繰

り返 し型 の プ ロ グ ラ ム に 書 き直 す よ う に

し た ほ う が 高 速 と な る.

(ａ)

図 6・20

要最小 限のデー タ

(そ の １)

(ｂ)

図 6・20(そ

の ２)

6.5.3

複 合ア ルゴ リズム による整 列

  前 節 ま で に種 々 の 整 列 ア ル ゴ リズ ム を学 ん で きた が,効 ム の ほ とん ど は分 割 法 に よ る高 速 化 を図 っ て い る.そ

率 の よ い ア ル ゴ リズ

して,そ れ らの ア ル ゴ リ

ズ ム で は,分 割 は フ ァ イル が た だ 一 つ の レコ ー ドか ら な るフ ァ イル に な る まで 続 け られ,そ の 結 果,第

２章2.3節

で 述 べ た分 割 ・処 理 ・統 合 の ３段 階 の うち,

本 来 の 機 能 で あ る 第 ２段 階 の処 理 を省 略 で き る よ う に考 慮 され て い る.   しか しな が ら,工 夫 を こ ら した ア ル ゴ リズ ム は大 き な フ ァイ ル に対 して は, 大 変 大 きな 効 果 が あ るが,小

さ な フ ァ イル に対 して は,む

リズム の ほ うが 効 率 が よ い.つ て ０関 数 を 用 い た が,こ

しろ,簡 素 な アル ゴ

ま り,お お よ その アル ゴ リズ ム の 評 価 関 数 と し

れ は レ コー ド数 ｎの フ ァ イル の整 列 に要 す る時 間 関 数

f(n)の 項 の 中 で もっ と も大 きな ｎのべ き乗 を表 現 して い る.も ち ろ ん,こ の こ と は 単 一 の ア ル ゴ リズ ム ど う しの 優 劣 を云 々 す るに は,も っ と もよ い評 価 基 準 で あ る.だ が,小

さい 寸法 の フ ァ イル に対 して は,各 項 の べ き乗 の 大 き さ よ り も

む しろ係 数 の 大 き さの ほ うが 問題 と な っ て く る.複 雑 な ア ル ゴ リズ ム で は,定 数項 や,小

さ なべ き乗項 の係 数 が 大 き くな る傾 向 に あ るの で,簡

ズ ム の ほ うが,短

単なアル ゴ リ

い 計 算 時 間 とな っ て く る.

  以 上 の 結 果 を簡 単 に グ ラ フ で表 現 す る と,図6・21の

よ うな 傾 向 と な る.分 割

法 に よ り改 善 され た ア ル ゴ リズ ム で は,実 際 に は整 列 を行 わず に,分 割 また は 統 合 をす る時 間 と な っ て い る.フ

ァイ ル が あ る程 度 小 さ くな る と,改 善 され た

アル ゴ リズ ム よ り も簡 単 な ア ル ゴ リズ ム の ほ う が速 くな るの で あ るか ら,分 割 は こ の 寸 法 に 達 した 時 点 で 停 止 し,各 部分 フ ァ イル は 簡 単 な ア ル ゴ リズ ム で整 列 を 行 っ た ほ うが 得 策 とな る.つ

ま り,分 割法 に よる 高 速 化 ア ル ゴ リズ ム は,

第 ２章2.3節

で示 した よ うに,３

ス テ ップ と し,分 割 した 部 分 フ ァ イル の 整 列

は簡 単 な,た

とえ ば,バ

  で は,図6・21で

ブ ル ソー トの よ うな もの を使 用 す べ きで あ る.

の 高 速 化 アル ゴ リズ ム と簡 単 な アル ゴ リズム の 計 算 時 間 の グ

ラ フ が交 差 して等 し くな るの は,フ ァイ ル の レ コ ー ド数ncが 幾 つ の と きで あ ろ うか.こ れ は,使 用 す る計 算機 や,順 序 比 較 の 計 算 の 方法,フ

ァイ ル や レ コ ー

ドの 実 装 方 法 な ど に依 存 す るの で い ちが い に は明 言 で きな い が,筆 者 の 実験 に よ る と,レ コ ー ドが整 数 だ けか らな る フ ァ イル 場 合 で,10∼20個 以 上 で は高 速 化 ア ル ゴ リズ ム が 有利 で,そ

の レ コ ー ド数

れ 以 下 の レ コ ー ド数 の フ ァ イル に 対

して は,簡 単 な アル ゴ リズ ム の ほ う に分 が あ る よ うで あ る.市 販 の 整 列 ア ル ゴ リズ ム で もこ の 数 は 利 用 者 が場 合 場 合 に よ っ て,自 由 に 与 え られ る よ う に な っ て い る もの もあ る.

図6・21

第 ６章

１.相

異 な る ｋ個 の 要 素 の 置 換(順

練習問題

列)を

す べ て 求 め る で き るだ け速 い ア ル ゴ

リ ズ ム を探 し 出 し て 実 際 に 計 算 し て み よ(ヒ ム と して は,TrotterのACM

２.シ

Collected

ェ ル の 方 法 に よ る 整 列 で,ブ

ン ト:高

Algorithms

速 置 換 生 成 ア ル ゴ リズ

No.115(1962)な

ロ ッ キ ン グ 間 隔 の 数 列H:h1,h2,…,hnを,

20=1,21,22,…,2n-1:30=1,31,32,…,3n-1;40=1,41,42,…,4n-1と 算 時 間 が ど の よ う に 変 化 す る か,実

３.バ

ブ ル ソ ー ト は,フ

し た と き,計

際 に 計 算 す る こ と に よ り 比 較 せ よ.

ァ イ ル の 一 端 か ら も う 一 方 の 端 に 向 か っ て 隣 接 した 反

転 関 係 に あ る 要 素 を 入 れ 換 え て ゆ き,最

後 に 入 れ 換 え の あ っ た 点 が,次

の 対 象 と な る フ ァ イ ル の 端 を 定 め る と い う走 査 手 順 を,フ な る ま で 繰 り返 す.こ

どが あ る).

の と き,6.4.2項

ァイ ル の 寸 法 が ０に

の バ ブ ル ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム で は,

反 転 して い る 要 素 の テ ス トは 常 に 定 ま っ た 端 か ら 行 わ れ て い る が,一 固 定 して い る 必 要 は な い.た 22は0∼9の ゆ き,次

と え ば,２

の走査

般 的には

つ あ る端 を 交 互 に 替 え て も よ い.図6・

数 か ら な る フ ァ イ ル を 最 初 は 下 端 か ら上 端 に 向 か っ て 比 較 を して の 走 査 で は 上 端 か ら 下 端 に 向 か っ て と い う よ う に 交 互 に し て い る.こ

の よ う な 整 列 法 を カ ク テ ル シ ェ ー カ ー ソ ー ト と 呼 ん で い る.以

下 の 問 い に答 え

よ. (１)  カ ク テ ル シ ェ ー カ ー ソ ー ト とバ ブ ル ソ ー ト と を 比 較 し て,そ れ ぞ れ の   長 所 短 所 を 述 べ よ. (２)  カ ク テ ル シ ェ ー カ ー ソ ー ト手 順 を 実 装 せ よ.

図6・22

４.ク

ィ ック ソー トの アル ゴ リズ ム につ い て,次

  (１)整

列 の 対 象 とな るフ ァ イル 中 に,同

の各 問 に 答 え よ.

じ値 の検 索 鍵 を持 つ レ コー ドが あ

る場 合 を 想 定 しよ う.ク イ ッ ク ソ ー トの アル ゴ リズ ム の 中 で,同

じ値 の 鍵

を比 較 した 時 に は,そ れ らの 要 素 は 入 れ 換 え た 方 が,計 算 速 度 が 上 が る. そ の 理 由 を考 え よ. (２)サ

ブ ブ ロ ッ クへ の 分 割 の 境 界 と な るべ く選 ば れ る要 素Rpを,常

す るブ ロ ッ クの 先 頭 の要 素 に選 ん だ 場 合,す

に分 割

で に 整列 の 済 ん で い るフ ァ イ

  ル に対 して この アル ゴ リズ ム を適 用 す る とO(n2)の 計 算 時 間 が か か る こ と を 証 明 せ よ.

５.ヒ

ー プ ソ ー ト と併 合 法 に よ る ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム を 組 み 合 わ せ て,複

個 の 順 次 ア ク セ ス フ ァ イ ル を,一

数

つ の 順 次 ア ク セ ス フ ァ イ ル へ と整 列 さ せ る外

部 ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム を 考 え よ.

６.デ ー タの 寸 法 を ｎ と し,この デ ー タ に対 す る計 算 時 間 がf(n)(O(f(n))>O(n) と す る)で あ る ア ル ゴ リ ズ ム が あ る.こ の デ ー タ をn1個

とn2個(n1+n2=n)の

デ ー タ に分 割 して,そ

れ ぞ れ に こ の ア ル ゴ リズ ム を適 用 し,併 合 す る と同 じ結

果 が 得 られ る とい う.こ の と き の計 算 時 間g(n)は g(n)=k・n+f(n1)+f(n2)(k:定

と な る も の と した と き,g(n)を

数)

最 小 に す るn1,n2を

求 め よ.

[７] 検

7.1

検

索

と

索

は

  この 章 の 主題 を 一 言 で表 現 す れ ば,「 情 報 の 記 憶 お よび 検 索 の 方法 」 とい う こ とが で き る.情 報 を どの よ う に記 憶 装 置 内 に格 納 して お くの か,ま

た,そ の

中 の 必 要 な デ ー タ を どの よ うに して 見 つ け だ す の か とい う こ とで あ る.   わ れ わ れ は,プ

ロ グ ラム をで きる だ け 一 般 的 に 作 りた い と願 っ て い る.そ の

た め に は,個 々 の プ ログ ラム は あ る特 殊 な 状 況 を想 定 して作 る よ り も,で き る だ け一 般 化 す る こ と を考 え る.   こ こで は,入

力 デ ー タ を得 る 方法 に注 目 して み よ う.デ ー タ も,個 々の 計 算

に対 して,そ の 解 法 に 合 わ せ て 用意 され る こ と もあ るが,計 算 が 巨大 と な りシ ス テ ム 化 され て くる と,入 力 デ ー タ を準 備 す る こ と と,こ れ を 用 い て 計 算 す る こ とが 分 業 化 して くるの は 必然 的 な傾 向 で あ る.   そ うな る と,デ ー タ を準 備 す る側 は,個 々 の 計 算 に と らわ れ ず デ ー タ の表 現 して い る現 象 や 状 況 を正 確 に 記 述 す る よ うな デ ー タ の 収 集 を し よ う とい う捕 え 方 を す る し,デ ー タ を使 用 す る側 は,そ の よ うに して 集 め られ たデ ー タ の 中 か ら必 要 な もの だ け を選 び 出 して 使 う とい う こ と にな る.そ

こで,多

くの デ ー タ

集 合 の 中 か ら必 要 とす るデ ー タ を探 し出 す こ と,す な わ ち,情 報 の検 索 が 重 要 な意 味 を な して く る.

  さ て,デ ー タ の検 索 で は,ど の よ うな こ とが 問題 と な る で あ ろ うか.た

とえ

ば,現 在 販 売 さ れ て い る 出版 物 の デ ー タ か ら あ る特 定 の 本 を検 索 す る と きに, 本 文 を 記 憶 して い て,そ い.書

の文 と一 致 す る もの を見 つ け よ うな ど とい う人 は い な

名 とか著 者 名 な どの 手 が か りか ら検 索 す るの が 普 通 で あ る.つ ま り,書

名 は 多 少 の 文 学 的(?)な

情 報 を含 む で あ ろ うが,他

の 本 と区別 す る ため,つ

ま

り,検 索 の 手 が か り とな るた め につ け られ て い る と もい え る.   わ れ わ れ の使 用 す るデ ー タ 集 合 は,単

に そ れ が 持 っ て い る内 容 情 報 だ け で は

な く,そ の 情 報 が検 索 しや す い よ うに検 索 の 手 が か り と して の 情 報 を も含 ん で い る.こ の ２種 類 の 情 報 は,明 確 に 区 別 で き る と は限 らな い.本 の 著 者 名 な ど は,重 要 な 主情 報 の 一 つ で あ る に もか か わ らず,同 時 に検 索 の 鍵 と して も大 き な役 割 を果 た して い る.   しか しな が ら,問 題 を一 般 化 して 扱 う た め に,以 下 の論 にお い て は,検 索 の た め の 鍵 情 報 と,本 来 の デ ー タ の表 現 して い る情 報 と を区 別 して扱 う こ とにす る.検 索 され るべ き個 々 の デ ー タ を抽 象 的 に record

key:searchkey; cont:contents end で 定 義 され る レ コ ー ド と考 え る(図7.1参 報 を,contは,そ

照).こ

の デ ー タ の 持 つ 内 容 情 報 で,そ

型searchkey,contentsは

こ でkeyは,検

索 の た め の鍵 情

れ ぞ れ の フ ィ ー ル ドの デ ー タ

特 定 さ れ た デ ー タ 型 で は な く,形 式 的 な 意 味 し か 持

た な い も の と し て お く.

図7・1

  この レコ ー ドの 形 式 は,前 章 で扱 った 整 列 問題 の デ ー タ要 素 と同 じで あ るが, 整 列 の た め の 鍵 が,順 序 関 係 の 定 義 され て い る集 合 で な け れ ば な らな か っ た の に対 して,探 索 の た め の 鍵 は,必 ず し も順 序 が 定 義 さ れ て い る必 要 は な い.た だ し,個 々 の レ コー ドが 鍵 だ け で 区 別 認 識 が で き る よ うに,す べ て の レ コ ー ド デ ー タ に は 異 な る鍵 が 割 り振 られ て い る もの と仮 定 して お く.ま た,レ

コー ド

の 集 合 を抽 象 的 な意 味 で の フ ァイ ル と呼 ぶ こ とに す る.   検 索 に対 して も,整 列 の と き と同 じよ う に,フ

ァイ ル 全 体 が 主 記 憶 装 置 内 に

格 納 可 能 な 場 合 の 内 部検 索(internal search)と,フ

ァ イル 全 体 が 主 記 憶 装 置 に

入 りき れ な い で 二 次 記 憶 装 置 内 に あ る場 合 の 外 部 検 索(external 区別 され るが,本

search)と に

章 で は 主 と して 内部 検 索 を扱 う こ と にす る.

  また,た だ 一 般 的 に 検 索 と呼 ば れ て い る機 能 に もい ろ い ろ な定 義 が あ るか ら, こ こで は ご く基 本 的 な機 能 で検 索 と定 義 を して お こ う)ま ず最 初 に,対 象 とな る デ ー タ 群 つ ま りフ ァイ ル に は,二 つ の 場 合 が 考 え られ る.   そ の一 つ は,フ

ァ イル が 常 に一 定 数 の レコ ー ドを持 っ て お り,ア ク セ ス の 頻

度 な どの 統 計 的 な 性 質 も変 わ らな い場 合 で あ り,他 方 は,フ 索 頻 度 な どの 統 計 的 な値 が,ア

クセ ス の 状 況 に よ って 変 化 す る場 合 で あ る.前

者 の よ うな フ ァイ ル を静 的 フ ァイ ル(static file),後 namic

file)と 呼 ぶ.以

後,特

ァ イル の 数 や,検

者 を動 的 フ ァ イル(dy

に こ とわ りの な い場 合 は,検

索 の 対 象 とな っ て

い るの は 静 的 フ ァ イル で あ る もの とす る.   今 まで は,検 索 す る こ とは 対 象 の フ ァイ ル の 中 か ら必 要 な 情 報 を取 り出 す こ と と して い た が,実 際 に は そ の情 報 自身 が 欲 しい の で は な く,そ れ が フ ァイ ル 中 に存 在 す る か否 か,ま

た は,ど

こ に格 納 され て い るか な どの 情 報 を知 るた め

に検 索 を行 う こ と も あ り う る.そ こで,検 索 す る と い う こ とは,次 の 二 つ の情 報 を求 め る こ と と定 義 す る. ■success検 ■position求

索 の結 果 求 め る レコ ー ドが フ ァ イル 内 に 存 在 した か 否 か. め る レ コー ドの 位 置.

 successは 検 索 に成 功 した か 失 敗 で あ っ た か を表 現 す る もの で,型 な い が,Boolean型

と考 え て よい. positionは,検

は特 定 し

索 に成 功 した と きに の み 定

義 され,フ

ァイ ル 内 の 位 置 を表 現 す る変 数 で あ る.検 索 アル ゴ リズ ム が 実 装 さ

れ る と きに は,こ

れ らの 二 つ の 情 報 は一 つ に ま とめ る こ とが 可 能 で あ る.た

と

え ば,フ ァ イ ル が 正 の整 数 の 添 え字 を持 つ 配 列 で あ る と き,success=falseで あ る こ と をposition=0で

表 現 す る もの とす れ ば,検 索 の 結 果 はpositionだ

け

で 十 分 で あ る.し か しなが ら,こ の 時 点 で は,こ の ２種 の 情 報(変 数)の 型 を特 定 した くな い の で,別

々 に扱 うこ と にす る.

  さ て,検 索 シ ス テ ム を設 計 す る う えで,ど

の よ うな 問 題 が 生 じて くるで あ ろ

うか.   (１)検

索 に要 す る時 間 を で き るだ け短 くす る.

  (２)内

容 の情 報 に比 較 して フ ァイ ル をで き るだ け小 さ くす る.

  (３)検

索 の た め の 鍵 を簡 単 か つ 覚 えや す くす る.

な ど が あ る.こ れ ら は,互 い に相 反 す る要 求 とな る こ と もあ り,場 合 場 合 に よ っ て優 先 順 位 も変 わ る で あ ろ うが,一 般 に は(１)の 検 索 時 間 の短 縮 が もっ と も 重 要 な 項 目で あ る.い ろ い ろな デ ー タ構 造 を利 用 した り,フ ァ イル を あ る順 序 に 整 列 させ て お くの は,フ ァ イル の要 素 の 素 早 い検 索 を可 能 に す るた め で あ る.   前 章 で 学 ん だ よ うに,整 列 は時 間 の か か る仕 事 で あ るが,静 対 す る検 索 で あ れ ば,フ

的 な フ ァ イル に

ァ イル 作 成 時 に １回 整 列 させ て お け ば,以 後 の 検 索 で

の 高 速 化 を 図 る こ とが で き る.個 々 の検 索 で 節 約 で きる時 間 は 少 な く と も,１ 回 作 成 され た フ ァ イル に対 す る検 索 回 数 は 非 常 に膨 大 な もの とな るの で,整 列 に か か っ た 時 間 以 上 の 節 約 が 可 能 で あ る し,ま た,た

と えそ うで な く と も,検

索 時 間 の 短 縮 は利 用者 の サ ー ビ ス 向上 に大 き く貢献 す る.   第 ２の 項 目は,検 索 の対 象 とな る フ ァ イル が 非 常 に大 き くな る場 合 に特 に 重 要 な項 目 とな る.与 え られ た計 算機 資 源 で要 求 され て い る検 索 シ ス テ ム の構 成 が 可 能 で あ る か否 か,ま

た は フ ァ イル を縮 小 す る こ とに よ っ て 内部 検 索 が 可 能

とな り,ひ い て は大 幅 な検 索 時 間 の 縮 小 が 可 能 とな るか な どの 問題 解 決 の 有 効 な 手 段 で あ る.   一 例 と して100万 そ れ ぞ れ に20ビ

以 下 の 素数 の フ ァイル を考 え る.素 数 の 数 は78498個

ッ トの格 納 領 域 が 必 要 で あ る とす る と,フ

あ り,

ァイル の大 き さ は,

1569960ビ

ッ ト と な る.素 数 が す べ て 奇 数 で あ る*1こ と を 利 用 す る と約500000

ビ ッ ト に で き る こ と が 知 ら れ て い る.ま な り,そ の1/2が64未

た,100万

以下 の素数 間の差 は偶 数 と

満 で あ る こ と を 利 用 す る と,471000ビ

ッ ト以 下 に で き

る*2.

  こ の よ うに フ ァ イル を圧 縮 す る と,当 然検 索 時 間 が大 き くな る が,必 要 とす る フ ァ イル が 実現 で き るか否 か,ま

た は 内 部 フ ァ イル で 実現 で き るか否 か が 問

わ れ て い る場 合 に は,い か に 有 効 か が 知 れ るで あ ろ う.

7.2順

次

検

索

  検 索 と して も っ と も簡 単 な方 法 は,し の 鍵 とを比 較 し,等

らみ つ ぶ しに探 し求 め る鍵 と レ コ ー ド

しい鍵 の 有 無 を調 べ る方 法 で あ る.フ

ァ イル が順 次 フ ァイ

ル で あ る と きは,こ の し らみ つ ぶ しの 順 番 は フ ァ イル の レ コー ド順 とな る.探 し求 め る情 報 の 鍵 を Ｋ と し,フ ァ イル を

とす る と,順 次 検 索 の ア ル ゴ リズ ム は ― ― 順 次 検 索 の ア ル ゴ リ ズ ム ――   Step

1:Set

  Step

2:lf

i

←

Ri.key=K

          terminate   Step

3:If

0. then the

i=n-1

set

success

←

true,position

←

iand

algorithm. then

set

success←false

and

terminate

the

          algorithm.   Step

4:Set

i

←i+

1

and

goto

Step

  順 次 検 索 は 直 観 的 で わ か り や す い が,ア あ ま り よ い 方 法 と は い え な い.こ

*1数 *2

Art

Wesiey(1973)よ

り.

of

ル ゴ リ ズ ム の 効 率 の 面 か ら 見 る と,

の 検 索 ア ル ゴ リズム で最 も実 行 回数 の 多 いの

学 で は ２ を 素 数 と し な い.計 D.Knuth:The

2.

算 機 に 関 連 し た 分 野 で は,２

Computer

Programming

Vol

も素 数 とす る こ とが 多 い

.3 Sorting

and

.

Searching,Addison

は,Step

2に お け るRi.key=Kの

値 を計 算 す る こ とで あ る.そ こで,こ の ア

ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 の 評 価 には,こ の 鍵 の 比較 回 数 を用 い る こ とに す る.   ア ル ゴ リズ ム の 評 価 の基 準 と な る数 量 と して,も 時 間 で あ る.そ

こで,統 計 的 な 仮 説 と して,フ

検 索 され る確 率 は ど れ も等 し く1/nで

っ と も重 要 な の が 平均 計 算

ァ イル の 中 の 個 々 の レ コー ドが

あ る とす る.し か し,こ の 仮 説 は検 索 が

成 功 に終 わ る場 合 を想 定 して い るが,検 索 が 不 成 功 に終 わ る場 合 も考 え な け れ ば な らな い.だ

が,検 索 が 不 成 功 に終 わ る の は,そ の よ うな 検 索 が 行 わ れ る こ

とが 予 測 で き な い か らで あ り,統 計 的 な仮 定 を立 て に くい.ま

た,検 索 鍵 を照

合 して検 索 す る場 合 に は,検 索 の 対 象 が フ ァイ ル に存 在 す る と き と,そ うで な い と きに は ア ル ゴ リズ ム の 中 で の 扱 い が 異 な る こ とが 多 い.そ

こで,以 後 の検

索 鍵 の 比 較 法 に よ る検 索 の 場 合 に は,検 索 の 結 果 が 成 功 で あ った か,不 成 功 で あ っ た か に よ っ て 別 々 に扱 うこ とに す る.   ま ず最 初 に,成 功 に終 わ る場 合,最 初 の レコ ー ドが 検 索 され て い る レ コー ド で あ る と き は,鍵 の 比 較 は １回,２ 番 目の レコ ー ドの 場 合 は ２回,…,最

後の

レ コ ー ドで あ る と き は,ｎ 回 とな りそ の 平 均 は,

と な り,不 成 功 に終 わ る と きは,常

に ｎ個 の レコ ー ドす べ て と比較 さ れ た 後 の

時 点 で 結 論 が 出 され る.ゆ え に,常 に一 定 回数 の 比 較 が行 わ れ て,

と な る.ゆ

え に

で あ る.ま た最 小 の場 合 と最 大 は

で あ る こ とは 容 易 に わ か る.   この 検 索 の 方 法 は,探

し求 め る レ コー ドの 鍵 を フ ァ イル 中 の レ コー ドの鍵 と

比較 す る こ と に よっ て い て,フ

ァイ ル や検 索 の アル ゴ リズ ム に特 別 の 工 夫 を こ

らす こ とな く,た だ 直 観 的 な 方法 に よ って い る.こ の 場 合,検

索 に要 す る時 間

は フ ァ イル の大 き さ に比 例 す る.つ ま り,な ん の 工 夫 もな い検 索 は,対 象 とな る デ ー タの 大 き さに 比例 す る とい う至 極 あ た りま えの 結 論 を得 た.   しか し,各 種 の デ ー タ ベ ー ス*が 多 くの 人 々 に使 用 さ れ る よ うに な っ た現 状 で は,フ

ァ イル の大 き さ に比 例 す るア クセ ス タ イ ム で は 実 用 的 使 用 にた え られ

な い.そ

こ で フ ァイ ル の 大 き さに あ ま り依 存 しな い検 索 ア ル ゴ リズ ム が要 請 さ

れ る よ う に な る.

7.3 

２

分

検

索

  検 索 の鍵 が,た だ 等 しい か 否 か とい う こ とだ け しか判 定 で き な い もの とす る と(検 索 の た め だ け な らば,こ

の性 質 だ け で十 分 で あ る),鍵

を比 較 す る こ とに

よ る検 索 の 手 段 と しは,前 節 の し らみ つ ぶ し法 しか な い.し か し,検 索 鍵 に順 序 関 係 が 定 義 され て い る と,そ の 順 序 関 係 を利 用 して,よ

り速 い検 索 速 度 の ア

ル ゴ リズ ム が 考 え られ る.   実 際 の検 索鍵 の 場 合,鍵 く らで も あ る.た

の 意 味 の うえ で は 順 序 関 係 に な っ て い な い もの は い

と え ば 形 状 を検 索 の 鍵 に した 場 合 に 「円 形 」,「長 方 形 」,

「正 方 形 」,「三 角形 」,…の 形 状 間 に は,順 序 関 係 は 存 在 しな い.し

か しなが

ら,す べ て の鍵 は,計 算 機 の 内 部 で は ２進 数 で 表 現 され て い るの で あ る か ら, 鍵 の 意 味 に無 関 係 で よい の な らば,常

に順 序 関 係 が 定 義 され て い る と考 え て よ

い.た だ 注 意 す る こ と は,こ れ らの 計 算 機 内部 表 現 を用 い た順 序 関 係 は,計 算 機 また は使 用 す る ソ フ トウ ェ ア に よ って 定 義 が 変 わ る可 能 性 が あ る こ とで あ る.

7.3.1  配 列 構 造 の フ ァ イル に お ける ２分 探 索   フ ァイ ル Ａ は,配 列 構 造 の リス トに検 索 鍵 の 小 さ い順 に整 列 して い る もの と す る.い ま,探 索 す る情 報 の 鍵 を Ｋ と し,探 索 す る フ ァ イル の 範 囲 を添 字 の 上

*  デ ー タベ ー ス(database)と

は,多 くの 情 報 を蓄 え た フ ァイ ル(複 数 の 場 合 もあ る)と そ の フ ァ イ

ル の 検 索 や デ ー タの 修 正 除 去 な どの 管 理 プ ロ グ ラ ム とか らな る ソフ トウ ェア シ ス テ ム で あ る.

限topと

下 限bottomで

表 現 す る も の と す る.２

分 探 索 法 の ア ル ゴ リズ ム の 要

旨 は,   (１)  も しtop
ら ば,success←falseと

  (２)  フ ァ イ ル の 中 間 の 位 置(top+bottom)div   (３)  も しA[middle].key=Kな

し て 終 了. 2を 求 めmiddleと

す る.

らば,success←true,position←middle

と して 終 了.   (４)  も しA[middle].key>Kな

ら ば,求 め る レ コ ー ドが こ の フ ァ イル に あ る

と す れ ば,こ の 区 間 の 前 半 に あ る は ず で あ る か らtop←middle-1と

し,

こ の 新 区 間 で 再 度 こ の ア ル ゴ リズ ム を 繰 り返 す.   (５)  も しA[middle].key
ら ば,求 め る レ コ ー ドが この フ ァ イ ル に あ る

と す れ ば,こ の 区 間 の 後 半 に あ る は ず で あ る か らbottom←middle+1と し,こ

の 新 区 間 で 再 度 こ の ア ル ゴ リズ ム を 繰 り返 す.

  こ の ア ル ゴ リズ ム の 実 装 例 を 図7・2に

示 し た.

図7・2

  7.3.2 

２分 木 構 造 の フ ァイ ル にお ける ２分 探 索

  リン ク構 造 を利 用 した 線 形 リス トは,リ ス トの 中間 点 を求 め る こ とは 不 得 意 で あ るか ら,２ 分 探 索 に は 適 した デ ー タ構 造 と は い え な い.し か し,そ れ に代

図7・3

わ っ て リンク構 造 の ２分 木 は,ま さ に ２分 探 索 に最 適 な デ ー タ構 造 で あ る.   ２分 探 索 に使 用 され る ２分 木 は,図7・3に 部 分 木 へ の ポ イ ン タ,探 索 鍵,内

示 した よ うに,木 の 頂 点 は左 右 の

容 情 報 の フ ィー ル ドか ら成 って お り,木 の 各

頂 点 は 中 間順 走 査 の 順 に 整 列 して い る もの とす る. ―― ２分 木 構 造 に お け る検 索 アル ゴ リズ ム― ― Step

1:も

Step 2:も

し検 索 木 が 空 で あ れ ば 検 索 は 「不 成 功 」 と して停 止 す る. しK=Krootで

あ れ ば,検 索 は 「成 功 」と して 停 止 す る.た だ し,

図7・4

Krootは 検 索 木 の 根 の レ コ ー ドの 鍵 と す る.   Step

3:も

しK
ら ば,根

の 頂 点 の 左 部 分 木 に 対 し検 索 を 続 け る.

  Step

4:も

しK>Krootな

ら ば,根

の 頂 点 の 右 部 分 木 に 対 し検 索 を 続 け る.

こ の ア ル ゴ リ ズ ム の 実 装 例 を 図7・4に

示 す.

  こ の よ う な ２分 探 索 木 を 作 る 方 法 は,以

下 の よ う に 示 さ れ る.こ

こ で は,頂

点 と な る レ コ ー ド を 鍵 の 順 に整 列 させ て そ の 順 番 で 頂 点 を 区 別 す る もの とす る. た と え ば,図7・5で

頂 点 に 記 入 さ れ た 数 が ｋ で あ る と す る と,こ

の頂 点 に は ｋ

番 目 の 鍵 を持 つ レ コ ー ドが 格 納 さ れ て い る こ と を 意 味 す る.

図7・5

― ― ２分 木 を 作 る ア ル ゴ リ ズ ム ― ― Step

1:対

象 と す る レ コ ー ドの 数 が ０で あ っ た ら,求 め る 木 は 空 木 と な る. ０で な い と き に は,Step

2以 下 を 実 行 す る.

Step

2:要

素 とな る レ コー ドを その 鍵 の 順 に並 べ る.

Step

3:こ

の 木 の根 を

Step

4:項

点 の レ コ ー ドよ り 小 さい 鍵 を持 つ 「n/2〓-1の

「n/2〓

の レ コ ー ドと す る. レ コ ー ドに 対 して

この ア ル ゴ リズム を適 用 し,そ の 木 をStep

2で 作 っ た根 の左 部 分 木

とす る.   Step

5:頂

点 の レコ ー ドよ り大 きい鍵 を持 つ 〓n/2」 の レ コー ドに対 して,こ

の アル ゴ リズ ム を適 用 し,そ の 木 をStep2で

作 っ た根 の右 部 分 木 と

す る.こ の 時 点 で木 は 完 成 して い るの で ア ル ゴ リズ ム を停 止 す る.   この アル ゴ リズ ム の 実 装例 を図7・6に

示 す.こ の プ ロ グ ラム で は探 索鍵 の 順

に並 べ 替 え られ た レ コー ドが 格 納 さ れ て い る 配列 Ａ か ら,各 レ コ ー ドに左 右 の 部 分 木 へ の ポ イ ン タ を 加 えて探 索 木 の構 造 に 変 換 す る もの で あ る.   以上 で ２分 検 索 法 に お け る フ ァイ ル の 実 装 に,配 列 構 造 と木 構 造 との ２種 を 示 した が,実

際 問題 で ２分 検 索 を適 用 す る の は,配 列 構 造 に対 して の こ とが 多

図7・6

い.木 構 造 は,配 列 構 造 に 比 較 して 自由 度 が 大 きい の で,次 節 で述 べ る最 適 検 索 木 を 用 い るほ うが 有 利 で あ る.

  7.3.3 

２分 検 索 法 の 計 算 時 間 の 解 析

  ２分 検 索 法 ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 の 解析 に は,２ 分 木 構 造 の 場 合 を想 定 し た ほ うが 考 え や す い.前 に紹 介 した ２分 木 に,検 索 が 不 成 功 に終 わ る個 々 の 場 合 を配 慮 して,図7・7の

よ う な ２分 木 の モ デ ル を考 え る.こ の ２分 木 は ２種 類

の 頂 点 を持 っ て い る.丸 い頂 点 は 葉 で な い もの で(内 頂 点:internal ぶ),フ

nodeと

呼

ァイ ル 内 の各 レ コー ドを表 現 して い る.

  これ ら は,中 間 順 走 査 の順 に整 列 して い る.葉 で あ る頂 点(外 頂 点:external nodeと

呼 ぶ)は,検 索 時 に そ れ ら に到 達 す る と不 成 功 と され る頂 点 で,内 頂 点 ｎ

の 左 に 接 続 して い る外 頂 点 探 索 鍵 Ｋ がkeyn-1
区 間 に あ る こ と を,

ま た右 に接 続 して い る外 頂 点 は,探 索 鍵 Ｋがkeyn
区間 にあ るこ

とを意 味 して い る.   検 索 に成 功 す る場 合 の それ ぞ れ の 検 索 鍵 の 出 現 確 率,つ が 終 了 す る確 率 は 等 し く,ま た 不 成 功 に 終 わ る場 合,つ

図7・7

ま り各 内 頂 点 で検 索 ま り各 外 頂 点 で検 索 が

終 了 す る確 率 も等 しい もの とす る.   まず,最 初 に 図7・7の と き,外 頂 点 の 数 はn+1と

２分 木 の性 質 を調 べ て お こ う.内 頂 点 の 数 が ｎで あ る な る こ とは 容 易 に わ か る.い ま あ る頂 点 ｖで検 索

が 終 了 した とす る と,そ こ に 到 達 す る ま で に 実 行 さ れ た 鍵 の 比 較 回 数compv は, (１)

と な る.こ

こ でVrは

木 の 根 を 表 現 し て い る.い

ま,

と す る と, (２) と な る. (２)式 の 証 明: (ⅰ)n=0の

ときCOMPext=COMPint=0で

あ るか らCOMPext=COMPext+2n

は 成 り立 っ て い る. (ⅱ)内 頂 点 の 数 が ｎ の と きCOMPext=COMPint+2nが す る.こ

の と き,任 意 の 外 頂 点 を 内 頂 点 に 図7・8の

頂 点 は 一 つ 増 え る.ま

成 り立 っ て い る と仮 定 よ う に 変 え た と き,内

た 元 の 外 頂 点 の 根 か ら の 道 の 長 さ を ｋ と す れ ば,外

頂 点 の 道 の 長 さ の 総 和 は ｋ で あ る もの が 一 つ 減 り,k+1で つ 増 え る.内

頂 点 に 関 し て は,元

あ る ものが 二

の 外 頂 点 が 内 頂 点 と な っ た の で ｋ増 加

す る. こ れ ら を 以 下 に ま と め る と,

と な り,や

は り (２')

が 成 り 立 つ.

(証 明終)

図7・8

  図7・7の

２分 木 が 先 に 示 し た ア ル ゴ リ ズ ム に よ っ て 作 ら れ た と す る.

q=「log2(n+1)〓

とす れ ば,外 頂 点 は ｑ レベ ル に2(n+1)-2q頂

ル に2q-(n+1)頂 +1で

点,(q-1)レ

点 あ る(第 ７章 練 習 問 題 ２参 照).「log2(n+1)〓=log2n」

あ る か ら,(1),(2)よ

り,

と な り,平 均 値 は

で あ り,と

も にO(log

n)の

平 均 計 算 時 間 と な る .以

検索 成功の場合   :

上 ま と め る と,

最 小 時 間    １ 最 大 時 間     log2n 平 均 時 間     log2n-1+(log2n+2)/n

検 索不成功 の場合:

最 小 時 間     log2n-1 最 大 時 間     log2n 平 均 時 間     log2n

と な る.

ベ

7.4 

最 適 ２分 木 検 索

  前 節 で学 ん だ ２分 検 索 は,フ

ァ イル 中 の お の おの の レ コ ー ドの 検 索 され る確

率 が すべ て 等 しい とい う仮 定 の も と に そ の 効 果 を発 揮 す る.一 般 的 に は,各 レ コー ドの 検 索 さ れ る確 率 は等 しい とは 限 らな い .た に 空 白(_で 示 す 〉を 加 えた27文

と えば,英

文 中の Ａ か ら Ｚ

字 の アル フ ァベ ッ トの 出現 確 率 は,表7・1の

よ

うに 各 文 字 に よ っ て大 き な差 が あ る.

表7・1 

ア ル フ ァベ ッ ト頻 度 表

  こ れ らの 文 字 を ２分 検 索 法 に よ る検 索 木 は 図7・9(a)の 索 の場 合 の 平 均 鍵 比 較 回 数 は4.22回

よ う に な り,成功 検

とな る.

  この 場 合 の 検 索 木 の 改 善 方法 と して,頻 度 の 高 い 文 字 を検 索木 の 根 に 近 い 位 置 に配 置 す る方 法 が 考 え られ る.こ の 方 法 で検 索 木 を作 る と,図7・9(b)の に な り,鍵 の 平 均 比 較 回 数 は3.997回 の もの と同 じ(本 章7.3節

よう

とな り,検 索 の ア ル ゴ リズ ム は ２分検 索

の ２分 木 に対 す る検 索 アル ゴ リズ ム,お よび 図7・4参

(ａ)中

間 分 割 法 に よ る検 索 木

(ｂ)頻

度 優 先 法 に よ る検 索 木

図7・9

照)で あ るの に もか か わ らず 計 算 時 間 は大 分 改 善 され て い る.   こ の よ う に,同 わ っ て くる.で

じア ル ゴ リズ ム で あ って も検 索 木 が 異 な れ ば 計 算 の効 率 も変

は,ど の よ う な構 造 の検 索 木 で あ れ ば もっ と も効 率 が 高 くで き

るで あ ろ うか.最

適 木 は 求 め る こ とが で き るの で あ ろ うか.

  最 適 木 を求 め る アル ゴ リズ ム の 検 討 に 入 る前 に,最 適 とい う基 準 は,今 と同 じ よ う に,与

まで

え られ た検 索 確 率 で 各 レ コー ドが ア クセ ス され た と きの平 均

鍵 比 較 回 数 が 最 小 と な る検 索木 を最 適 ２分 検 索 木 と呼 ぶ こ とに して お こ う.   検 索 の 対 象 とな る レ コ ー ド数 を ｎと し,そ れ ぞ れ の レ コ ー ドは 木 の 内頂 点 と して表 現 され る.内 頂 点 は,そ の 検 索 鍵 の 小 さ い順 にIN1,IN2 れ ぞ れ の 頂 点 が 検 索 され る確 率 をp1,p2,…,pnと

,…,INnと し,そ

す る.こ の と き,外 頂 点n+1

個 をEN0,EN1,EN1,…,ENnと

し,そ れ ぞ れ の 外 頂 点 の 表 現 して い る 区 間 に 検 索 鍵

の 落 ち る 確 率 をq0,q1,q2,…,qnと

す る.こ

の とき

が 成 り立 つ.   最 適 化 の 目標 で あ る鍵 の 比較 回 数 Ｃ は

と表 現 さ れ る.た だ し,上 式 で のlevel[N]は

頂 点 Ｎ の レベ ル を 表 現 して い る.

  Ｃ を最 小 に す る ア ル ゴ リズ ム の 実 現 の基 本 原 理 は,「 最 適 な ２分 検 索 木 の い か な る部 分 木 も ま た そ れ 自身 で 最 適 とな って い る」 とい う事 実 で あ る.こ の こ と は,も

し,最 適検 索 木 の あ る部 分 木 が最 適 と は な っ て い な い と仮 定 す る と,

そ の 部 分 木 を最 適 な部 分 木 で 置 き換 え て で き る検 索 木 は,最 適 検 索 木 よ りも少 な い平 均 比 較 回 数 とな り,こ れ は,元 の 木 が最 適 で あ る こ とに 矛 盾 す るこ とか ら明 らか で あ る.こ の 事 実 を利 用 して,小

さい最 適 部 分 木 か ら よ り大 きな最 適

部 分 木 を順 次 得 る方 法 を考 え る こ と に あ る.   Tk,m(k＜m)は

内 頂 点INk,INk+1,…,INmと,外

な る部 分 木 を表 現 して い る.w(k,m)は

頂 点EN0,EN1,EN2,…,ENmか

ら

こ の 部 分 木 に 検 索 走 査 が 入 っ て く る確 率

で,

で 表 さ れ,c(k,m)は

こ れ らの 部 分 木 の 中 で 最 適 な もの の 鍵 比 較 回 数 の 平 均 を表

現 す る も の と す る(図7・10(a)参

照).c(k,m)は,外

頂 点 で は鍵 が 比 較 す る

こ と が な い の で, c(k,k)=0 で あ り,こ の 部 分 木 の 根 と な り う る 頂 点 はINk+1か で,そ

らINmま

で の うちの いず れ か

の 中 で 比 較 回 数 の 平 均 値 が 最 小 と な る も の で,

とな る.な ぜ な らば,い

ま この 部 分 木 の 根 がIN1で あ る とす る と,検 索 走 査 が

こ の 部 分 木 に入 っ て くれ ば,IN1で 確 率 はw(k,m)で

必 ず １回 の鍵 の 比 較 が 行 わ れ る の で,そ

の

あ る.IN1で の比 較 で 成 功せ ず に,さ らに検 索 が 続 く場 合 はIN1

(ａ)

(ｂ)

図7・10

の 左 ま た は 右 部 分 木 へ と検 索 走 査 が 移 っ て 行 く.そ 合 の 平 均 比 較 回 数 を,c(k,1-1),c(1,m)と

れ ぞれの部分木 の最適 な場

す れ ば,こ の 部 分 木 で の 平 均 比 較 回

数 は w(k,m)+c(k,1-1)+c(1,m) と な る(図7・10(b)参 あ る か ら,Tk,mの

照).こ の 部 分 木 の 根 とな りう るの はINk,INk+1,…,INmで 中 で 最 適 部 分 木 と な る の はc(k,m)が

と な る と き で あ る.以

上 を ま とめ て

c(k,k)=0 … … …(３)

と な り,こ

の 二 つ の 式 が 最 適 ２分 木 を 得 る ア ル ゴ リズ ム を 表 現 し て い る.し

し,こ の 式 の 表 現 して い る と お り に 再 帰 的 に プ ロ グ ラ ム す る と,同 し てc(k,m)を てのk,mに

か

じk,mに

対

何 回 も計 算 す る こ と と な り,途 方 も な く計 算 時 間 が か か る.す べ 対 してc(k,m)を

保 存 して お く記 憶 場 所 を 用 意 して お くと効 率 を上 げ

る こ と が で き る.   c(k,m)の

計 算 回 数 は,0≦k≦n,1＜kで

あ る す べ て の 組 合 せ に 対 して で

あ る か ら,必 要 とす る 記 憶 容 量 は(n-1)n/2≒n2/2でO(n2)の ま た,(３)式 ゆ え に,全

を 計 算 す る 回 数 は 与 え ら れ たk,mに

オ ー ダ とな る.

対 し てm-k+1回

で あ る.

体 と して

で あ り,c(k,m)を

記 録 し て お い た と し て も こ の ア ル ゴ リズ ム で はO(n3)の

計算

時 間 が か か る.   実 際 に 用 い ら れ て い る ア ル ゴ リズ ム は,こ の 方 法 の 詳 し い 説 明 と 解 析 は 省 略 し,そ

の 手 法 を さ ら に 改 良 して い る.そ

の着 眼 点 の 定 性 的 説 明 に と どめ て お こ

う.   い ま,図7・11(a)のTi,j-1内

頂 点INrを

こ の 右 端 の 外 頂 点ENj-1を (b)の

根 と す る 最 適 部 分 木 で あ る と す る.

内 頂 点 に 変 え て,二 つ の 外 頂 点 を 付 け 加 え,図7・11

よ う な 最 適 部 分 木 を 求 め る と,そ の 根INr'は,元

移 動 す る の で,r≦r'が

成 立 す る こ と 容 易 に わ か る.

  こ の 事 実 を 利 用 し て,頂 求 め る と き に は,(３)式

の 根 の 位 置 よ り も右 に

点 の 少 な い 部 分 木 に新 た に 頂 点 を追 加 した最 適 木 を で の 最 小 点 を 求 め る た め に 探 す 根 と な る頂 点 の 範 囲 が

縮 小 で き る.   図7・11(c)のTi,j-1,Ti+1,jが INr'で

あ る と す る と,INr≦INr'で

と も に 最 適 部 分 木 で あ り,そ れ ぞ れ の 根 がINr, あ る.こ

の 二 つ の 最 適 部 分 木 を もとに して,

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図7・11

Ti,jの最 適 な もの を求 め る とき,根 ｒ"を求 め るため の(３)式 のminを

探 す範 囲 は

ｒと ｒ'の間 の範 囲 に縮 小 す る こ とが で き る.こ の 改 善 を加 え る と最 適 ２分 探 索 木 を求 め る アル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 はO(n2)に   図7・12は,以

改 善 で き る.

上 の ア ル ゴ リズム の 設 計 法 に従 っ て実 装 され た最 適 ２分 探 索 木

を 求 め る手 順 で あ る.こ の プ ロ グ ラム で の デ ー タの 表 現 は; 配 列  p[i] 

(1≦i≦n):内

頂点へ の検索確率

配 列  q[i] 

(0≦i≦n):外

頂点 への検索確率

配 列   r[i,j] 

(0≦i<j≦n):部

分 木Ti,jの 根 で あ る 頂 点 番 号

配 列w[i,j] 

(0≦i≦j≦n):部

分 木Ti,jが 検 索 さ れ る 確 率

配 列c[i,j] 

(0≦i≦j≦n):部

分 木Ti,jで

で あ り,Ti,jの はi=jの

頂 点 間 の 関 係 は す べ てr[i,j]に

と き は 空 木 で あ り,i＜jの

の 根 はr[i,r[i,j]-1]で,右

の平均比較回数

含 ま れ て い る.す

場 合,頂

点 はr[i,j]で,r[i,j]の

部 分 木 の 根 はr[r[i,j],j]で

図7・12(そ

の １)

な わ ちTi,j 左 部分木

表 現 さ れ て い る.

図7・12(そ

  こ の プ ロ グ ラム に,表7・1の

の ２)

デ ー タ を 与 え て(q(i)=0,0≦i≦nと

す る),英

字 ア ル フ ァ ベ ッ トの 各 文 字 へ の 最 適 ２分 検 索 木 を計 算 し て み る と,図7・13の

よ

う に 求 め る こ と が で き る.   こ の と き の 平 均 比 較 回 数 は3.285と

な り,図7・9の

さ くな っ て い る こ と が わ か る で あ ろ う.

図7・13

二 つ の 場 合 よ り もか な り小

7.5  デ ィジタル検 索   検 索 鍵 が 与 え られ た と き,そ れ と等 しい鍵 を持 つ レ コー ドの 有 無 を調 べ,も しあ る とす れ ば,そ

の 位 置 を見 つ け 出 す とい うの が,検

索 の 定 義 で あ っ た.

  前 節 ま で の 検 索 の 方 法 は,な ん らか の順 番 に従 っ て 順 に レ コー ドを取 り出 し, そ の レ コ ー ドの 鍵 と照 合(matching)す

る手法 を取 っ て い る.こ の 方 法 で は,検

索 が 成 功 で あ るか 不 成 功 で あ る か の 判 定 が さ れ て か ら,レ コ ー ドの位 置 が 確 定 した.   こ れ に対 して,検

索 鍵 を表 現 して い る符 号 か ら直 接 また は代 数 的 な計 算 をす

る こ と に よっ て 検 索 の 対 象 とな る位 置 を求 め る方法 が あ る.そ の 位 置 に レ コー ドが あ れ ば,検 索 は 成 功 で あ り,な け れ ば 不 成 功 と な る.こ の よ うな検 索 方 法 を デ ィジ タ ル 検 索(digital

7.5.1 

search)と

呼 ん で い る.

デ ィ ジ タ ル 検 索木

 検 索 に便 利 な木 構 造 をデ ィジ タ ル検 索 に取 り入 れ た例 と して有 名 な の が デ ィ ジ タ ル 検 索 木(trie構

造*)で あ る.

  デ ィ ジ タル 検 索 木 は,文 字 とか 数 字 とか の 記 号 の 不 定 長 の 列,つ

ま り,単 語

ま た は 短 文 を鍵 とす る検 索 に適 して い る.鍵 が ｎ種 類 の 記 号 の 列 か らな って い る とす る と,trie構

造 は 本 質 的 に は ｎ分 木 の 構 造 と な っ て い る.鍵 の 照 合 に よ

る木 の 検 索 と本 質 的 に異 な る とこ ろ は,あ

る頂 点 か ら次 の 頂 点 へ と検 索 が 移 っ

て行 くと きの 次 の 頂 点 を選 ぶ 基 準 が,鍵 の 照 合 で 決 まる の で は な く,鍵 を構 成 して い る符 号 列 に よ って 決 ま る こ とで あ る.た

と え ば,英 単 語 が 検 索 の 鍵 で あ

る場 合 の デ ィ ジ タ ル検 索 木 を考 え て み よ う.   各 頂 点 は 図7・14の

*  E.Fredkinが はtreeと

よ う に,検 索 す る内 容 と次 の 検 索 の ため の ポイ ンタ配 列 か

提 唱 した 方法 で,名 前 の 由来 はretrievalの

同 じで あ っ た が,混

中 のtrieを

同 を避 け るた め に近 年 で はpieと

取 った もの で あ る.発 音

発 音 す る よ うに な った.

(ａ)デ

ィジ タル 検 索 木 の 頂 点 の 定 義 例

(ｂ)デ

(ｃ)デ

ィ ジ タル 検 索 木 の 頂 点

図7・14デ

ィ ジ タル検 索 木 の 例 ィジ タ ル 検 索 木

ら な っ て い て,配 列 の添 え字 は鍵 の 記 号 とな って い る.   図7・14(c)の

検 索 木 で,単 語treeを 鍵 とす る レ コー ドを検 索 す るた め には,

最 初 に検 索 木 の 根 に お い て最 初 の 文 字 ｔの フ ィー ル ドの ポ イ ンタ を た ど り,次 の 頂 点 で 文 字 ｒに 対 す る ポ イ ン タ を,と い う よ う に続 け て,最 後 の ｅで 到 達 し た頂 点 の 中 に情 報 が 格 納 され て い れば,検 索 鍵treeに 対 す る検 索 は成 功 とな る. も し,途 中 で ポ イ ン タ列 が と ぎれ て しま っ た り,到 達 した 頂 点 内 に 情 報 の な い 場 合 は不 成 功 に終 わ っ た こ と に な る.   デ ィジ タ ル 検 索 木 の 特 徴 は,検 索 の アル ゴ リズ ム が 簡 単 で か つ 効 率 が よ い こ とで あ るが,記 憶 容 量 の 非経 済 性 が 欠 点 で あ る.実 用 化 され て い るデ ィジ タ ル 検 索 木 で は,不 要 な 深 さ まで の検 索 を避 け るた め に,鍵 の 照 合 法 と組 み 合 わせ て 記 憶 容 量 の 縮 小 化 を図 っ て い る.   図7・14(c)の

例 の場 合,各 頂 点 の レコー ドに も鍵 の フ ィール ドを設 け てお き,

ポ イ ン タ の と ぎれ た 頂 点 で鍵 の 照 合 を行 う.こ の例 で,先 頭 のtrま で が 同 じで あ る鍵 が,trueとtreeし

か な い 場 合,truま

treま で 検 索 す れ ばtreeの

で検 索 す れ ばtrueの

レ コ ー ドに,

レ コー ドに到 達 す る よ うにで き る(図7・15参

照).こ

の よ う な検 索 枝 の縮 小 の ほ か に,検 索 木 を配 列 構 造 に す る な ど の 方法 に よ り記 憶 容 量 の縮 小 化,お

よび 長 い鍵 に対 す る 高 速 化 を図 っ て い る.

図7・15

  7.5.2  ハ ッ シ ュ 検 索   検 索 鍵 か ら高 速 か つ一 定 時 間 で そ の レ コー ドの 格 納 位 置 が計 算 で きれ ば検 索 自体 が ラ ン ダム ア ク セ ス の機 能 を持 つ よ う に で き る.こ の よ うな 高 速 ラ ンダ ム ア ク セ ス検 索 で,な

お か つ検 索 され る レ コー ドの 数 が 刻 々 変化(多

単 調 に 増 加 す る)す る よ う な動 的検 索 の 場 合 に は,ハ ッ シ ュ(hash)法

くの 場 合 は が用 い ら

れ る こ とが 多 い,   ハ ッ シ ュ法 で は,検 索 鍵 Ｋ に 対 して そ の 鍵 を持 つ レ コー ドは,ラ セ ス フ ァイル 内 のh(K)の

ンダムアク

位 置 に格 納 され てい る,ｈ は検 索 鍵 の集 合 を定 義 域 と

し,フ ァ イル の 位 置(番 地)を 値 域 とす る関 数 で,ハ ッ シ ュ関 数 と呼 ば れ て い る. ハ ッ シ ュ関 数 に要 求 され る特 性 は ,関 数 値 の計 算 時 間 が で き る だ け 速 い こ と, 関 数 の 引 数 に よ っ て計 算 時 間 が 変 わ らな い こ とな どの ほ か に,も っ と も重 要 な こ とは,           if K1≠K2,  then h(K1)≠h(K2) で あ る こ とで あ る.つ ま り,異 な る鍵 を持 つ レ コ ー ドは 異 な る位 置 に格 納 され な け れ ば な ら な い こ とで あ る.し か しな が ら,フ

ァイ ル の 大 きさＭ に対 して 鍵

の 種 類 Ｎ は あ らか じめ わ か って い な いの が 普 通 で あ るか ら,ま たM>Nで

あっ

て さえ も,Ｎ が 統 計 的 に 大 きな場 合 の 数 を持 つ と きは,異 な っ た鍵 が 異 な った 位 置 に 対 応 させ るの は む ず か しい.   そ の 事 実 を示 す 例 と して,簡 単 な ク イ ズ に 挑 戦 して い た だ こ う.「 何 人 か の 人 を無 作 為 に抽 出 した と き,こ れ らの 人 々の 誕 生 日が す べ て 異 な る確 率 が ５割 以 下 とな る 人 数 は幾 人 で あ るか 」 とい う問 題 で あ る.こ れ は,バ ドッ ク ス(birthday

paradox)と

ー ス デ イパ ラ

呼 ば れ て い る が,人 間の この 種 の 問 題 に対 す る

直 感 の 不 確 か さ を突 い て い る.   答 は23人 で,そ の ときの確 率 は0.4927で 合 で も,ハ

あ る.つ ま り,M=365でN=23の

場

ッシ ュ関 数 が ラ ン ダム な 写 像 をす れ ば,格 納 位 置 が 重 な る可 能 性 は

５割 を超 え て し ま うの で あ る.こ の 異 な る鍵 の 格 納 位 置 の 重 な りへ の 対 処 は, 避 け て通 れ な い 問題 だ が,後

で 詳 し く触 れ る こ とに して,ま

ず最 初 はハ ッシ ュ

関 数 に つ い て 検 討 す る.   検 索 鍵 は ハ ッ シ ュ 関 数 の 引 数 と す る と き は,計 と し て 扱 わ れ る.検 (Pascalに

算 機 内 部 表 現 な ど に よ り整 数

索 鍵 Ｋ を整 数 表 現 し た 値 を,order(K)で

お け るord関

数 と 同 じ よ う な 動 作 を す る が,異

表 す ことにす る な っ た 関 数 で あ る).

探 索 鍵 の 集 合 の 大 き さ は,フ

ァ イ ル の 寸 法 に 比 べ て 一 般 的 に 大 き い.そ

以 下 の 議 論 で はorder(K)は

整 数 全 体 に わ た っ て 変 化 す る も の と し て お く.

  ハ ッ シ ュ 関 数 は,計

算 の 高 速 化 の た め に簡 単 な 算 術 演 算 だ け で 実現 され て い

る.整 数 全 体 を ０ か らM-1の 算 で あ る.こ

の と き,ハ

間 の 整 数 に 写 像 す る もっ と も簡 単 な機 能 はmod演 ッ シ ュ関 数 は

          h(order(K))≡order(K)mod と 定 義 で き る.こ

こ で,

M

の 場 合 の Ｍ の 選 び 方 は,以

下 に 箇 条 書 き した よ うな 注 意 が 必

要 で あ る.   (１)Ｍ

を 計 算 機 の 基 数(２ 進 計 算 機 の と き は2,10進

に 選 ぶ べ き で は な い.そ

の 理 由 は,ハ

の と き は10)の

べ き乗

ッ シ ュ関 数 値 が 鍵 の尾 部 だ け で 決 ま

っ て し ま う か ら で あ る.   (２)基

数 が10の

と き は,Ｍ

る 数 の 関 数 値 と,鍵

は ３の 倍 数 で な い ほ う が よ い,な

ぜ な ら ば,あ

の 一 部 の 文 字 を 入 れ 換 え た場 合 の 関 数 値 との 差 が ３の

倍 数 と な る か ら で あ る.   (３)一

般 に,Ｍ は γk≠ ±a(mod

の 約 数 で な い ほ う が よ い.こ

M)(γ

は 計 算 機 の 基 数, ｋ と ａ は 小 さな 数)

の こ と か ら,Ｍ

は γの べ き 乗 の ど れ か と近 く

な い 素 数 とす る の が よ い.   (４)order(K)の part1,part2,…

値 はL,  L+d,  と かtypeA,typeB,…

L+2d,…,L+ndと

が あ る か ら で あ る.こ

な る傾 向 に あ る.こ れ は

と い う よ う な 名 称 が つ け られ る 可 能 性

の 問 題 の 対 策 と し て は,ｄ

とＭ が 素 の 関係 に な る よ

う に す れ ば よ い. と な る.こ の(1)∼(4)の

注 意 か ら,ｈ は 引 数 の あ ら ゆ る 近 さ と か 類 似 性 が 関 数

値 に 影 響 し な い も の で あ っ て 欲 し い こ と に な る.つ

ま り,関

数 値 が,引

数 のあ

ら ゆ る 近 さ の 概 念 か ら の 独 立 で あ る こ と(ラ ン ダ ム 性)が 重 要 と な る.ハ

ッシ ュ

(hash:切

り刻 ん で か き混 ぜ る)と 言 う名 もこの ラ ン ダ ム性 に起 因す る もの と思

わ れ る.ま

た,こ の 概 念 は疑 似 乱 数 の 生 成 の 条 件 と似 て い る.合 同法 に よ る一

様 乱 数 の 生 成 方法 と同 じよ う に,M=2mと

し,

h(order(K))≡(a・order(K)mod(2r-1-1))div 

2r-m

とす る方 法 が 前 述 の ハ ッ シ ュ 関数 よ り もよ い独 立 性 を示 す もの と して利 用 され て い る.こ

こで の ａは 合 同 法 に よ る一様 乱 数 に 用 い られ る定 数 で,ｒ

は計算機

の １語 の 長 さ(ビ ッ ト長)で あ る.上 式 で の 除算 は 被 除 数 の 上 位 ｍ ビ ッ トを取 る こ と表 現 して お'),実 て い な いPascalで

際 に 除算 は行 わ れ な い(た だ し,ビ ッ ト演 算 が 用 意 され

は,除 算 を行 わ な けれ ば な らな いの で 高 速 化 は む ず か し くな

る).   先 に 述 べ た ハ ッシ ュ検 索 で の も う一 つ の 大 きな 問 題 点 は,異 同 じ格 納 位 置 が 与 え られ て し ま う こ とで あ る.つ h(order(K1))=h(order(K2)) 

な る鍵 に 対 して

ま り,

  (K1≠K2)

とな って し ま う場 合 に い か に対 処 す る か とい う問 題 で あ る.こ の 問 題 は,ハ シ ュ法 の 衝 突(collision)問

題 と呼 ば れ て い る.前

に も述 べ た とお り,ハ

ッ

ッシ

ュ法 は 動 的 検 索 に 用 い られ る こ とが 多 い.   そ こで,こ 有 無 を調 べ,も

こ で の 検 索 の 定 義 を 「与 え られ た 鍵 に対 応 す る レ コー ドの 記 録 の しあ っ た場 合 は そ の レコ ー ドの 格 納 位 置 を,な か っ た場 合 は記

図7・16

録 す べ き 情 報 を 求 め て そ れ を レ コ ー ドに 形 成 し適 当 な 格 納 位 置 に 挿 入 し・ そ の 後 に そ の 位 置 を 持 ち 帰 る 」 と し て お こ う.   衝 突 問 題 の 対 処 の 方 法 に は,動 して い る.そ

の 方 法 に は,大

的 に レ コ ー ドの 記 録 す る ア ル ゴ リ ズ ム に 関 連

き く分 け て ２種 類 の 方 法 が あ る.

  そ の 一 つ は,開 か れ た ハ ッ シ ュ(open

hashing)法

と 呼 ば れ て い る も の で,基

本 的 に は 検 索 を純 粋 に ハ ッ シ ュ 法 だ け に 頼 ら ず に 鍵 の 照 合 法 を 併 用 す る 方 法 で あ る.ハ 表 で,ハ

ッ シ ュ さ れ る フ ァ イ ル は 鍵 と 情 報 を 格 納 し た レ コ ー ドへ の ポ イ ン タ の ッ シ ュ テ ー ブ ル(hash

  レ コ ー ドは,同 (linear HTと

linked

table)と

呼 ば れ る 配 列 構 造 で あ る こ と が 多 い.

じハ ッ シ ュ 関 数 値 を持 つ レ コ ー ドの 線 形 リ ン ク 結 合 リ ス ト list)を 形 成 し て い る(図7・16参

す れ ば,こ

らば,そ の 鍵 に 対 応 す る レコー ドは 存 在 しな

た に レ コ ー ド を形 成 し そ の レ コ ー ドへ の ポ イ ン タ をpntと

と,HT[h(order(K))]:=pntと

す る

す る.

  (2)HT[h(order(K))]で

与 え られ た リン ク結 合 リス トの 先 頭 か ら順 次 鍵 を比

較 しな が ら巡 回 し て ゆ き,鍵 り,さ

ッシュテーブル の名 を

の検索 の手順 は

  (1)HT[h(order(K))]=nilな い の で,新

照).ハ

も な け れ ば,(１)の

の 一 致 す る レ コ ー ドが あ れ ば 検 索 は 成 功 で あ

場 合 と 同 じ よ う に 新 し い レ コ ー ド を 形 成 し て,

同 じハ ッ シ ュ 値 を 持 つ リ ン ク 結 合 リス トの ど こ か に(多

くの 場 合 は 先 頭 に)

挿 入 す る. と な る.こ

の 方 法 の 特 徴 は,実

際 に 格 納 さ れ る レ コ ー ドの 数(鍵

は な い)が

ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル の 寸 法 よ り も大 き な 場 合,ま

い な い 場 合 な ど に は 便 利 で あ る が,レ の 長 さ が 長 く な る と,効   図7・17は,こ ム の 中 でHTは

の種類 の数で

た は上 限 が 定 ま っ て

コ ー ドが 増 え 過 ぎ て り ン ク構 造 の リス ト

率 が 悪 くな る.

の 開 か れ た ハ ッ シ ュ 法 の 実 装 例 で あ る.た だ し,こ の プ ロ グ ラ ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル 名,getrecordは

検 索 鍵 を 引 数 と し,そ

の検

索 鍵 に 対 応 す る 新 し い レ コ ー ド を 形 成 し値 と す る 関 数 で あ る もの と す る.   開 か れ た ハ ッ シ ュ 検 索 の 効 率 に つ い て 考 え よ う.   ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル の 寸 法 Ｍ,格

納 さ れ て い る レ コ ー ド数 を Ｎ す る と,リ

ンク

構 造 リス トの 平 均 の 長 さ はN/Mと

な るか ら平 均 計 算 時 間 Ｔ は

T=th+tc

とな る.た だ し,thは ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル を検 索 す る の に要 す る 時 間 で あ り,こ れ は Ｎ に依 存 しな い 一 定 時 間 で あ る.ま た,tcは

リン ク構 造 リス トを順 次検 索

す る場 合 の 平 均 時 間 で,前 章 で 学 ん だ よ うに,検 索 に成 功 す る場 合 は リス トの 平 均 長 の1/2,つ

まりN/(2M)回

鍵 を照 合 す る時 間 が 必 要 で,不 成 功 の場 合 は

図7・17

N/M回

の 照 合 時 間 と な る.

  こ の こ と か ら,Ｎ

の 大 き さ が Ｍ と ほ ぼ 同 じ程 度 か そ れ 以 下 の と き は,一

間 で 検 索 で き る と い っ て よ い が,Ｎ が 増 加 す る に 従 っ てO(N)と ア ク セ ス と は い え な くな っ て き て,他 のO(log

N)の

定時

な り,ラ ン ダ ム

検 索 方 法 よ り も効 率 が 低 下

し て し ま う.   第 二 の 方 法 は 閉 じ ら れ た ハ ッ シ ュ 法(closed

hashing)と

レ コ ー ド は す べ て ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル の 中 に 記 憶 さ れ る.こ

呼 ば れ,検 索 さ れ る の 場 合 は,記

憶 され

る レ コ ー ド数 は ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル の 寸 法 Ｍ よ り も 少 な く な け れ ば な ら な い.こ の 場 合,衝 す る.こ

突 が 起 こ っ た と き に は,テ

ー ブル の 空 い て い る ど こか の 場 所 に格 納

の よ う な 位 置(番 地)の 割 り振 り方 を 空 域 割 り振 り(open

addressing)

と 呼 ん で い る.   こ こ で は ２種 類 の 方 法 を 紹 介 す る.そ 法 と 呼 ば れ,以

の 一 つ は,順

次 検 証(linear

probing)

下 の デ ー タ 構 造 と ア ル ゴ リ ズ ム で 表 現 さ れ る.

type

table_range=0..(M-1); item=record key:searching_key; cont:searching_information; end; hash_table=array 

[table_range]of

item;

var

HT:hash_table; K:searching_key; 空 域 割 り振 り法 に よ る ハ ッ シ ュ 検 索 ア ル ゴ リ ズ ム １ Step 

1:Set

Step 

2:If

Step  3:If

pos←h(ord(k)). HT[pos].key=K HT[pos]is

then empty

then

terminate there

are

K.Compute

successfully, no

records

associated

to

a record associated to K

and put it at HT else

set

  こ の 方 法 は,ア

pos←(pos+1)mod

M

and

[pos],

goto

Step2.

ル ゴ リ ズ ム が 簡 単 で 格 納 さ れ て い る レ コ ー ド数 が ハ ッ シ ュ テ

ー ブ ル の 寸 法 に 比 較 し て 少 な い と き は 有 効 な 方 法 で あ る が ,レ くな っ て く る と,ハ

コ ー ド数 が 大 き

ッ シ ュ テ ー ブ ル の 中 に 連 続 し た 使 用 領 域 が 大 き くな り,も

っ と も効 率 の 悪 い 順 次 検 索 の 傾 向 を 帯 び て く る.   第 ２の 方 法 は,再

ハ ッ シ ュ(rehashing)法

と呼 ば れ て い る も の で,空

振 り法 に よ る ハ ッ シ ュ 検 索 ア ル ゴ リズ ム １のStep3のelse部 else

set

と 変 え る だ け で,そ

pos←h'(pos)and

goto

域 割 り

分 を

Step2.

の 他 は デ ー タ 構 造 を 含 め て 同 じ で あ る.

  ｈ'は 再 ハ ッ シ ュ 関 数 と 呼 ば れ る ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル の 添 え 字 領 域 を 定 義 域,値 域 とす る 関 数 で あ る.こ

の 関 数 に 求 め ら れ る 性 質 は,ハ

え て,Step2, 

ル ー プ でposが

Step3の

長 く し な け れ ば な ら な い こ と で あ る.一

ッ シ ュ 関 数 の 性 質 に加

同 じ値 に 戻 っ て く る 周 期 を で き る だ け 般 に 多 く用 い られ て い る再 ハ ッ シ ュ関

数 は

h'(pos)=(pos+c)mod の 形 式 と な っ て い る.Ｍ か な るc(<M)に と は,ハ

M

が 素 数 で あ る と き に は,フ

対 し て も周 期 がMで

ェ ル マ ー の 定 理 に よ りい

あ る こ とが 証 明 で き る.周 期 が Ｍ で あ る こ

ッ シ ュ テ ー ブ ル に 一 つ で も 空 き 領 域 が あ れ ば,新

た な レ コ ー ドを格 納

す る こ と が で き,記 憶 領 域 の 有 効 な 利 用 が 可 能 で あ る こ と を 示 して い る.ま た, 前 述 の 順 次 検 証 法 は,こ

の 再 ハ ッ シ ュ 関 数 でc=1と

した場 合 に 当 た って い る

こ と は 容 易 に わ か る で あ ろ う.   閉 じ られ た ハ ッ シ ュ 法 の 場 合,ハ た さ れ て し ま う と,オ

ッ シ ュ テ ー ブ ル が レ コ ー ドで い っ ぱ い に 満

ー バ ー フ ロ ー と な り,さ

ら に新 た な レ コー ドを追 加 す る

こ と が で き な くな る の で,ア

ル ゴ リズ ム に も オ ー バ ー フ ロ ー の 検 出 ル ー チ ン を

備 え な け れ ば な ら な い が,テ

ー ブ ル の 充 足 率 が １ に 近 く な る と,検

極 端 に 悪 く な る の で,そ て い る こ と が 望 ま し い.

の よ う な 状 況 に な ら な い よ う に,あ

索の効率 は

らか じめ 設 計 さ れ

  再 ハ ッ シ ュ 法 の 検 索 時 間 を 解 析 し て み よ う.い が Ｍ で あ り,Ｎ

ま,ハ

ッ シュ テ ー ブ ル の 寸法

個 の レ コ ー ドが す で に テ ー ブ ル 内 に あ り, n+1番

目の 新 しい

レ コ ー ド を 挿 入 す る 場 合 を 考 え る.   最 初 の ハ ッ シ ン グ で 空 き領 域 に 当 た る確 率P1は(M-N)/Mで 確 率 はN/Mで

あ り,衝 突 とな る

あ る.最 初 に 衝 突 を 起 こ し,次 の 再 ハ ッ シ ュ で 空 き領 域 と な る場

合 を 考 え る.   再 ハ ッ シ ュ で は,前

に ア ク セ ス し た レ コ ー ドに は 当 た ら な い こ と が 保 証 さ れ

て い る の で,対 象 と な る テ ー ブ ル の 総 数 はM-1,レ

コ ー ド数 はN-1で

ら,空 き 領 域 に 当 た る確 率p2は(N/M)((M-1-N+1)/(M-1))で   以 下 同 様 に し て,ｉ

あ るか あ る.

回 目 に 空 き 領 域 の 当 た る 確 率Piは,

とな り,１ 回 の ハ ッ シ ング ご と に １回 の鍵 の 照 合 を行 う の で 平均 比較 回 数 は

よっ て,不

成 功 に終 わ る検 索 の 場 合 の 平 均 比 較 回 数 が求 め られ た.

  検 索 に 成 功 す る場 合 は,お の お の の レコ ー ドを検 索 す る確 率 が 等 しい もの と 仮 定 す る.あ

る レ コー ドを検 索 す る と きは,そ の レ コー ドを書 き込 ん だ と き と

同 じ回数 鍵 の 比 較 を行 うの で,平 均 比 較 回 数 は

こ こ で,

(γ:オ

で あ る か ら,

と な る.

イ ラ ー(Euler)の

定 数)

図7・18

  充 足 率 ａ に 対 す る 平 均 鍵 比 較 回 数 を グ ラ フ に す る と,図7・18の こ の グ ラ フ か ら わ か る よ う に,成

功 検 索 の 場 合 に はa<0.8で

シ ュ の 回 数 は 少 な く実 用 的 で あ る が,α>0.8と 不 成 功 の 場 合 は,そ

の 境 界 は0.6∼0.7の

よ う に な る. あ れ ば,再

ハ ッ

な る と急 速 に 効 率 が 悪 く な る .

近 辺 に あ る よ う で あ る.

第 ７章 練習問題

１.第

７章7.1節

の 説 明 文 に あ る1000000以

で あ る こ と を 利 用 し て,こ

下 の 素 数 の 間 隔 の1/2が64以

下

れ らの 素 数 を で き る だ け 少 な い 記 憶 容 量 で 記 録 す る

方 法 を 考 え よ.

２.各

頂 点 の 検 索 確 率 が 等 しい 最 適 ２分 検 索 木 の 内 点 の 数 が ｎ で あ る と き,外

点 の 数 はn+1で

あ る こ と を 示 しな さ い.ま たn+1個

ベ ル に2q-(n-1)頂

点,ｑ-レ ベ ル に2(n+1)-2q項

だ し,q=〓log2n」

で あ る.

３.３

点 と な る こ とを 証 明 せ よ.た

種 類 の 検 索 鍵 を持 つ ２分 検 索 木(検 索 鍵A,B,C間

あ る)に

の 外 点 の うち,(q-1)-レ

に はA
る関 係 が

つ い て 以 下 の 問 い に 答 え よ.

  (１)内

頂 点A,B,Cを

  (２)各

頂 点 で 検 索 鍵 を 比 較 す る 回 数 を,検

内 頂 点A,B,Cで

持 つ 検 索 木 の す べ て を 示 せ. 索 に 要 す る コ ス ト と す る と き,

成 功 検 索 と な る確 率 を そ れ ぞ れPA,PB,PCと

外 頂 点 で 不 成 功 とな る確 率 は それ ぞ れq
し,４ 種 類 の 各

す る と き,(１)で

求

め た 各 木 の コ ス ト を 求 め よ.

４.英

文 字 の ア ル フ ァ ベ ッ ト26文

字 か らな る単 語 用 の デ ィ ジ タル 検 索 木 を設 計

し そ れ に あ っ た 検 索 ア ル ゴ リ ズ ム を プ ロ グ ラ ム し な さ い.

５.配

列 構 造 の フ ァ イ ル 上 の ２分 検 索 で,検

索 対 象 範 囲 の 中 点 を 求 め る の に,

範 囲 の 上 限 と 下 限 の 和 を ２で 割 る と い う 整 数 上 の 除 算 を し な け れ ば な ら な い. 検 索 ア ル ゴ リズ ム の 中 で こ の 除 算 に 費 や す 時 間 の 比 率 が 大 き い こ と か ら,除

算

を 用 い ず に,加

減 算 だ け で 同 等 の 効 果 を も た ら す 方 法 の 一 つ に,フ

検 索(Fibonacci 参 照)に

search)が

あ る.こ

れ は フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列(第

基 づ い た 検 索 木 を 用 い る.フ

ィボ ナ ッチ

２章 練 習 問 題 ３

ィボ ナ ッチ検 索 木 は次 の よ う に 定 義 され

る.   (ａ)(基

本)０ 次,１ 次 の フ ィ ボ ナ ッ チ 検 索 木 は,図7・19(a)の

よ う に,そ れ

ぞ れ 単 一 の 外 頂 点 か ら な る木 で あ る.   (ｂ)(帰

納)(k-1)次,(k-2)次

の フ ィ ボ ナ ッ チ 検 索 木 が 与 え られ た と き,ｋ

次 の フ ィ ボ ナ ッ チ 検 索 木 は,図7・19(b)の

(ａ)

よ う に 与 え ら れ る.

(ｂ)

図7・19

(１)次

の フ ィ ボ ナ ッ チ 検 索 木 を 示 せ.

(２)フ

ィ ボ ナ ッ チ 検 索 木 に お い てFjが

検 索鍵 と して与 え られ た ときの 検 索

ア ル ゴ リズ ム を 示 せ.

６.ほ と ん どの 計 算 機 に は,初 期 値 を指 定 で き る*乱 数 生 成 関 数 が 用 意 され て い *乱

数生 成 関 数 に は,２ 種 類 の 引 数 を持 つ もの が あ る.そ の 一 つ は,合 同 式 の 乗 数(203ペ

合 同 式 のorder(K)に

ー ジの

あ た る)の 初 期 値 の 指 定 で あ り,他 の 一 つ は 乱数 生 成の そ の 乗数 を乱 数 生 成

ご と に変 化 させ るか 否 か の指 定 を す る引 き数 で あ る.乗 の １回だ け指 定 す る か,ま

た は,引

数 を 毎 回 変 化 させ る場 合 は,乗 数 は最 初

き数 は ま っ た く指 定 しな い で よ い.こ の 問 題 の 場 合 は,乗

と して は検 索 鍵 の 数値 符 号 を毎 回指 定 す る 方法 を取 る.

数

る.こ の 乱 数 生 成 関 数 を用 い て0..999の

区 間 の値 域 を持 つ ハ ッ シ ュ関 数 を設 計

・実 装 し,そ の性 能 を ラ ン ダム に選 ん だ検 索 鍵 や,頭

部 や 尾 部 が 同 じ類 似 度 の

高 い検 索鍵 な どの テ ス トデ ー タ に よる性 能 試 験 を して み よ.

７.検

索 鍵 に 順 序 が つ け ら れ な い レ コ ー ド,ま

化 す る よ う な 場 合 も考 え ら れ る.こ 定 性 検 索(nondeterministic 一 つ に 深 さ 優 先 検 索(depth デ ー タ 構 造 に つ い て 調 べ よ.

た は 検 索 の 途 中 で 検 索 目標 が 変

の よ う な 検 索 を 行 う 方 法 は,一

search)と

呼 ば れ る.木

first search)が

般 的に非決

構 造 上 の 非 決 定性 検 索 の

あ る .そ の 検 索 方 法,使

用 され る

[８] 記憶の方式 と管理

8.1い

ろ いろ な記憶方式

  計 算 機 を構 成 して い る記 憶 装 置 は,主 記 憶 装 置 で あれ 補 助 記 憶 装置 で あ れ, 基 本 的 に は あ る一 定 の大 き さか らな る単 位 記 憶 要 素 で 構 成 され て い る.お の お の の 記 憶 要 素 は,番 地(実 際 の 場 合 は複 数 の 番 号,た と きに は,ボ

リュ ー ム番 号,シ

リン ダ番 号,ト

ラ ッ ク番 号,セ

つ の 番 号)で 認 識 区別 さ れ る.ア ク セ ス の 方 法 は,そ な る で あ ろ うが,お

と え ば,磁 気 デ ィス ク の ク タ ー番 号 の 四

れ ぞ れ の機 器 に よ っ て 異

お まか に は配 列 構 造 に似 た構 造 で あ る.こ の 章 で の 以 下 の

議 論 で は,こ の よ う に番 地 で 区 別 され る記憶 装 置 の構 造 を基 本 構 造 と呼 ぶ こ と に す る.   ハ ー ドウ ェ ア の 面 か らは,ほ ウ ェア の面 か ら見 る と,さ   た とえ ば,あ

とん どの 記 憶 装 置 が基 本構 造 で あ るが,ソ

フト

ま ざ まな 種 類 の 記 憶 方 式 が利 用 さ れ て い る.

る一 定 数 以 下 な らば,任 意 の 数 の 文 字 を格 納 で き る可 変 長 レ コ

ー ド,検 索 鍵 に よ る ア ク セ ス が 可 能 で あ る索 引 フ ァイ ル,Lispに

見 られ る よ う

な あ る特 定 の 記 憶 単 位 の 構 造 を持 った 記 憶 構 造,必 要 な と き に必 要 な 量 の 記 憶 要 素 が 取 れ,ま

た そ の 記 憶 要 素 が 不 要 に な っ た と きに は捨 て 去 る こ とが で きる

動 的 記 憶 構 造 な どで,そ れ ぞれ の 目的 に応 じて使 い分 け られ て い る.   基 本構 造 の 記 憶 装 置 の ほ か に,ス

タ ッ ク,キ

ュー 程 度 の 簡 単 な構 造 の ハ ー ド

ウ ェ ア を用 意 して い る計 算 機 もあ るが,先 は,ソ

に あ げ た い ろ い ろ な 方式 の 記 憶 構 造

フ トウ ェ ア の 助 け を借 りて基 本 構 造 の記 憶 装 置 の う えで 実現 され た もの

で あ る.た と え ば,UNIX*の

シス テ ム で は 実 際 の デ ィス ク ア クセ ス は512バ

の 固 定 した 単 位 で 行 わ れ,種

イト

々 の フ ァ イル の特 徴 はバ ッフ ァ上 の取 り扱 い で そ

れ ぞ れ の機 能 を実 現 して い る.   これ らの 記 憶 方 式 や そ の 管 理 方法 に は,多 応 用 され て い て 興 味 深 くあ る が,詳

くの デ ー タ構 造,ア ル ゴ リズ ム が

し く取 り上 げ る に は専 門 的 す ぎ本 書 の 範 囲

を超 え るの で,詳 細 は 別 の 文 献 を参 照 して い た だ き た い.し か し,Pascalで

プ

ロ グ ラ ミン グ す る に あ た り,そ の 処 理 方法 を知 っ て い る と,そ の 言 語 機 能 を十 分 に 引 き出 す こ とが で き るの は い う まで もな い こ とで あ る.こ の 章 の 目的 は, Pascalの

各 種 の 記 憶 方 式 や その 管 理 方法 を知 り,よ り よい プ ロ グ ラ ミン グの 助

け とす る こ と な ど を取 り上 げ て 検 討す る こ と に あ る.   た だ注 意 す るこ と は,Pascalは

プ ロ グ ラ ム言 語 の 規 約 で あ っ て,そ の処 理 方

法 につ い て は 規 定 して い な い.結 果 さ え正 しけれ ば,計 算 の 方法 が ど うで あ ろ う と 自由 で あ る.以 下 に述 べ る実 装 の 方 法 は,厳 密 に はPascalの

処理系 実装の

一 例 にす ぎな い.ま た,記 憶 方 式 の 実 装 は 主 記 憶 装 置 内 の バ ッフ ァ上 の 処 理 方 式 に還 元 され る こ とが 多 い の で,以 下 の議 論 で は主 記 憶 装 置 上 の 処 理 に 限 定 し て 考 える もの とす る.

8.2Pascalに   Pascalの

おける可 変長 レコー ドの 記憶方 式

レ コー ド型 の デ ー タ は,一 般 的 に 固 定 フ ィー ル ド部 と可 変 フ ィー ル

ド部 か ら成 る.固 定 フ ィー ル ド部 だ け か ら成 る レ コー ドの 場 合 に は,各

レ コー

ドの 寸 法 は一 定 と な り,コ ンパ イル 時 の 記 憶 領 域 割 り付 け の 問 題 は 生 じな い. 可 変 長 の レ コ ー ドを用 い る利 点 は,ま ず 第 １に記 憶 領 域 の有 効 な利 用,第 場 合場 合 に よ っ て 異 な る構 成 の デ ー タ を適 切 に表 現 し,誤 *  UNIXは,米

国 ベ ル 電 話 会 社 の 登 録 商標 で あ る.

２に

りの 指 摘 が た や す い

よ うに す る こ と に あ る.シ ス テ ム の大 き さ を気 に しな い利 用 者 に は む しろ第 ２ の利 点 の ほ うが 重 要 か も しれ な い. 例 と して,次

の よ うな 仕様 の 個 人 レ コー ドを 考 え よ う.

図8・1個

人 レ コ ー ド仕 様

  こ の個 人 レ コー ドを固 定 フ ィー ル ド部 だ け か らな る レ コー ドで表 現 す る と, 図8・2(a)の

よ うに な り,どの よ うな場 合 に も空欄 の フ ィール ドが 生 じて 記 憶 領

域 の む だ 使 い とな る.   可 変 フ ィー ル ド部 を 導 入 す る と,図8・2(b)の

よ うに むだ な領 域 が な くな り,

非 常 に効 率 的 な 記 憶 利 用 が で きる.し か しなが ら,場 合 場 合 に よっ て 可 変 部 の 寸 法 が 変 わ る よ う な と き に は問 題 が あ る.可 変 部 を持 つ レ コー ド型 の 変 数 に対 す る領 域 の 割 り付 け は,コ 判 明 して い な い の で,各

ンパ イル 時 に どの 寸 法 の 可 変 要 素 が 格 納 され るか が

可 変 要 素 に対 応 で き る よ うな 記 憶 の 割 り付 け を しな け

れ ば な らな い.   こ の 問 題 の 解 決 方 法 の ヒ ン トは,Pascalの

文 法 の 以 下 に 示 す 項 に あ る.可 変

要 素 の 解 釈 は紛 ら わ し く覚 え に くい の で,少

し詳 し く触 れ る こ とにす る.規 約

(ａ)固

(ｂ)可

定 フ ィ ー ル ド に よ るpersonレ

変 フ ィ ー ル ド付 きpersonレ

コー ド

コー ド

図8・2

に よ る と,「 レ コ ー ド型 の デ ー タ の ア ク セ ス(書 に は,そ た,レ

き 込 み,読

み 出 し)を す る と き

の 可 変 部 が ど の 形 式 の も の で あ る か 確 定 して い な け れ ば な ら な い.ま

コ ー ドの 変 化 形 が 再 定 義 さ れ る と,以 前 の フ ィ ー ル ドデ ー タ は 消 失 す る 」

と な っ て い る.   た と え ば,図8・2(b)の

レ コ ー ド変 数 Ｘ に 対 し,

X.state:=married; X.name

X.date

…

_of_spouse:=’Hanako’

…

_of_sp_birth.yy:=61;

…

…(２)

}

… … …(３)

X.date_of_sp_birth.mm:=1; X.date_of_sp_birth.dd:=15; の 順 で 実 行 す る と き に は 問 題 が な い が(2),(3),(1)の

順 で 実 行 す る と,こ の

文 の 実 行 の 直 前 の 時 点 で の Ｘ の 変 化 形 がmarriedに り と な り,marriedで

… …(１)

あ っ た 場 合 に は(2),(3)の

な っ て い な い 場 合 に は,誤 実 行 は 以 前 に確 定 した Ｘ に対

す る 連 れ 合 い の 名 前 と そ の 生 年 月 日 の フ ィ ー ル ドへ の 代 入 と な り,そ

の直後 Ｘ

の 変 化 形 を 定 義 す るstateフ

前 のＸの

ィ ー ル ドへ の 代 入 が 実 行 さ れ た の で,以

フ ィ ー ル ド情 報 は 消 失 す る.つ name

_of_spouseお

ま り,(2),(3)の

よ びdate_of_sp_birthの

実 行 は 無 意 味 と な り,Ｘ

フ ィー ル ドは,(１)の

の

実行後ではま

だ 未 定 義 と な っ て い る.   レ コ ー ド選 択 子 が 一 つ の フ ィ ー ル ドを 形 成 して い な い 以 下 の 例 の よ う な 場 合 に は,少

し 状 況 が 変 わ っ て く る. type

coordinate_system=(rectangle,polar); coordinate=record case

coordinate_system

of

rectangle:(x,y:real); polar:(r,alpha:real) end;   レ コ ー ド選 択 子 が フ ィ ー ル ド に な っ て い な い 場 合 は,ア ル ド名 の 出 現 が,レ coordinate_system型

ク セ ス され る フ ィー

コ ー ドが ど の 選 択 要 素 と な る か を 定 義 す る . の 変 数 Ｃ に 対 し て,

C.x:=1.0; C.y:=2.3; を実 行 す る と,最 初 のC.xの

出 現 で Ｃが 直 交 座 標 系 と定 め られ,こ の二 つ の 代

入 文 で座 標 値 が 定 ま る.

C.x:=1.0; C.alpha:=3.14159/6.0; を 実 行 す る と,最 初 のC.xの

出現 で Ｃが 直 交 座 標 系 と定 め られ,そ の ｘ座 標 は

1.0と な る が,次 の 文 のC.aiphaは

極 座 標 を定 義 す るの で,前 の 座 標 系 は 無 効

とな り,極 座 標 の 角 度 だ け の 値 が 確 定 して い る こ とに な る.   以 上 に述 べ た 可 変 レコ ー ド部 の 解 釈 法 は,可 変 部 を含 む レ コ ー ドの 記 憶 領 域 の 割 り付 け は,各 可 変要 素 の 中 で最 大 の 寸法 に取 れ ば よ い こ とを示 唆 して い る.   図8・1の

レ コー ドの例 で は,stateフ ィ ール ドの値 がmarriedで

大 とな るの で,person型

あ る と きに最

の 変 数 は こ の 場 合 の 寸 法 で割 り付 け てお け ば,ど の 場

合 の 変 化 に も対 応 で き る.お の お の の 可 変 要 素 の場 合 の 記 憶 割 り付 け はstate =marriedの

と きの 寸 法 で ,そ れ ぞ れ 適 当 な フ ィー ル ド境 界 に よ っ て図 の よ う

に 配 置 され る(点 線 部 は未 使 用 で あ る).可 変 部 の フ ィー ル ドの デ ー タの 型 お よ び フ ィー ル ドの 境 界 は,そ れ ぞ れ の 可 変要 素 で 異 な っ て い るが,ど

の変化形 の

可 変 要 素 で あ る か は,そ れ ぞ れ の フ ィール ドの 値 を代 入 す る前 に 定 ま る の で, フ ィール ド境 界 を混 同 す る こ とは な い.こ の よ うな記 憶 領 域 の 割 り付 け は,多 少 の 空欄 は 生 ず る もの の,図8・2(a)の

場 合 に比 べれ ば記 憶 領 域 の 節 約 が で き

る こ と と,不 要 な フ ィー ル ドの 存 在 を な くす こ とに よ って フ ィール ドの 型 の 適 合検 査 が 可 能 と な る こ とが わ か る.

8.3集   Pascalに た と えば,普

合 型のデ ータ と ビッ トマ トリクス お け る集 合 型 の デ ー タ は,一 般 の 集 合 と少 し異 な る とこ ろ が あ る. 通 に は,整 数 の 集 合,虫

の 集 合,あ

る い は 赤 い 色 を した もの の 集

合 な ど とい う よ う に集 合 を定 義 で き る.こ の場 合 重 要 な こ とは,集

合が正 し く

定 義 され る た め に は,ど の よ う な もの で もそ の 集 合 の 要 素 で あ るか 否 か が 判 定 で き る よ う で な け れ ば な らな い.こ 念 また は 用 語(上 の例 で は,整

の た め に は,み ん なが 共 通 に持 っ て い る概

数 と か 虫 とい う もの が み な に共 通 した概 念 で あ

る と して い る)を 用 い た り,そ の 要 素 に 共 通 し た性 質 を述 べ た り して す る 方法 が 多 く取 られ る.こ の よ うな 方 法 の ほ か に,あ

ま りな じみ の な い 方法 で あ るか

も しれ な い が,そ の 集 合 に含 まれ る要 素 をす べ て示 す こ と も立 派 な 集 合 の 定 義 とな る.こ の 方法 は,無 余地 が な いの で,ど

限 集 合 に は不 可 能 な 方 法 で あ るが,曖 昧 さの 入 り込 む

うせ 有 限個 の もの しか扱 え な い計 算 機 に は 都 合 が よ い.

  数 学 の 分 野 で は,集 合 を扱 う と きに考 え う るす べ ての 要 素 の 集 合 を定 め,そ れ 以 外 の 要 素 の 存 在 は 考 え な い もの とす る場 合 が あ る.整 数 の 集 合 の 議 論 の 中 で,小 金 虫 は整 数 集 合 に含 まれ るか と い う質 問 に は否 と答 え られ る けれ ど も, その 質 問 は場 違 い の感 が あ る.そ の た め に,考 え う る土 俵 と して の 要 素 の集 合 を定 め る の で あ る.こ の よ う に,考 え る対 象 に な る要 素 全 体 の集 合 を普 遍 集 合 (universal

set)と 呼 ん で い る.

  Pascalで の 集 合 型 は,ま ず こ の 普 遍 集 合 を,そ の 普 遍 集 合 に含 まれ るす べ て の要 素 を明 示 す る こ と に よ っ て 定 義 さ れ,そ の 要 素 の 範 囲 内 で の 集 合,つ 普 遍 集 合 の 部 分 集 合 族 が,そ

まり

の 集 合 型 の デ ー タ とな る.普 遍 集 合 は た だ一 つ で

は な く幾 つ で も定 義 で き る が,異 な る普 遍 集 合 の 間 には 共 通 な要 素 が あ っ て は な らず,ま

た 異 な る普 遍 集 合 の 集 合 ど う しは,ど

ち ら も集 合 を表 現 して い る も

の の 型 の 異 な った デ ー タ と さ れ る.   さ て,こ の よ う な集 合 を記 憶 領域 内 に どの よ うに表 現 す る の が よ い で あ ろ う か.集 合 を表 現 す る デ ー タ構 造 と して,ま ず は配 列 構 造 と リ ン ク構 造 リス トの 二 つ が あ げ られ る.リ

ン ク構 造 リス トに よ る集 合 を表 現 す る に は,各 要 素 を線

形 に格 納 した構 造 が 考 え られ る.た と えば,集 合S={a,b,d,e}を 図8・3(a)左

の ような方 法 であ り,配列構 造 では,図8・3(a)右

が まず 最 初 に思 い 浮 か ぶ.こ

表 現す るには の ような表 現 方法

れ らの 実 装 方法 の 優 劣 を議 論 す る に は,集 合 デ ー

タの 計 算 シス テ ム を考 慮 しな け れ ば な らな い.集 合 に対 す る演 算 は,   (１)集

合 に要 素 を加 え る.

  (２)集

合 か ら要 素 を取 り去 る.

  (３)集

合 ど う しが 等 しい か否 か を判 定 す る.

  (４)集

合 の 中の 要 素 の 数 を 数 え る.

  (５)集

合 間 の 和,積,差

な ど が 代 表 的 な もの で あ る.こ と は で き て も,互

を 求 め る. れ らの どれ か 一 つ の 操 作 の 計 算 速 度 を上 げ る こ

い に 相 反 す る 関 係 に あ る こ と も あ り,こ

れ らす べ て の 操 作 に

対 し て 効 率 の よ い デ ー タ 構 造 を 見 つ け る こ と は 簡 単 で は な い.   た と え ば,集 合S={a,b,d,e}に

要 素 ｃ を 加 え る とい う(１)の 演 算 は,前 述 の 二

(ａ)配

列 構 造 と リ ン ク 構 造 に よ る{a,b,d,e}

(ｂ){a,b,d,e}∪{C}(そ

の １)

(ｃ){a,b,d,e}U{c}(そ

の

図8・3

２)

つ の デ ー タ構 造 に対 して 図8・3(b)の

よ うに,リ ン ク構 造 リス トの 場 合 は リス ト

の 先 頭 に,配 列 構 造 な らば,末 尾 に挿 入 す るの が もっ と も効 率 の よい 方法 で, 集 合 の 寸 法 に 関 係 な く一 定 時 間 で 計 算 で き る.し か しな が ら,こ の 演 算 を した 後 で,集 合 Ｓが 集 合S'={a,b,c,d,e}と

等 しいか否 か を判 定 す る(３)の 演 算 をす

る場 合 に は,要 素 を加 え る とき に要 素 の 順 番 を考 え な か った こ とが集 合 間 の 等 価 性 を判 定 す る計 算 効 率 を 下 げ て い る.   集 合 内の 要 素 が,図8・3(c)の

よ うにabc順

に な るよ うな位 置 に挿 入 す る もの

とすれ ば,(１)の 演 算 は挿 入 され る集 合 の 大 きさ Ｎに比 例 したO(N)の とな るが,(３)の

計算 時間

演 算 時 間 は は るか に改 善 され る.な ぜ な らば,以 前 は 集 合S,

S'が 等 しい こ と を調 べ るに は,Ｓ の 任 意 の 要 素 がS'に 含 まれ て い る こ と,お よ び Ｓ'の任 意 の 要 素 が Ｓ に 含 まれ て い る こ とを示 さな け れ ば な らな い.こ の た め に は,O(N2)の

計 算 時 間 が か か る.集 合 内 の 要 素 が整 列 して い れ ば,先 頭 か ら順

に互 い の 要 素 を 比較 して行 くだ けで 集 合 の 等 価 性 を 判 定 で き,O(N)の 間 とな る.(1),(3)の

計 算時

演 算 の 比 重 が等 しい もの と し,こ れ 以 外 の演 算 は考 慮

しな い もの とす れ ば,要 素 を整 列 させ て お く方 法 の ほ うが総 合 的 に優 れ て い る こ とは 明 らか で あ る.   リ ン ク結 合 に よ る デ ー タ構 造 は,複 雑 な構 造 に適 す るが,ア

ク セ ス の 自 由度

が 少 な い.集 合 型 の デ ー タ は 比 較 的 簡 単 な構 造 で ア クセ ス の 速 さが 問題 とす る か ら,リ ン ク構 造 に よ る集 合 の 表 現 は普 遍 集 合 の 定 ま って い な い よ うな 場 合 に は よい 点 もあ るが,一 般 的 に あ ま り適 して い る とは い え な い.   配 列 型 の構 造 は,挿 入操 作 に対 して 欠 点 が あ る こ と は第 ４章 で述 べ た.も

し

扱 っ て い る集 合 の 普 遍 集 合 が 定 まっ て い るの な らば,ど の 集 合 変 数 も普 遍 集 合 の 要 素 の 数 だ けの 寸 法 が 必 要 で あ る.ど うせ 普 遍 集合 の 要 素 数 の格 納 場 所 が 必 要 な らば,格 納 場 所 と要 素 との 関係 を画 一 的 に １対 １の 対 応 づ け る こ とが で き る.   つ ま り,配 列 の 中 に は そ の 集 合 の 要 素 を格 納 す るの で は な く,す べ て の 要 素 の 包含 関 係 を要 素 に持 つ 配 列 を考 え て も配 列 の 寸 法 が 前 者 の構 造 の 場 合 よ りも 大 き くな る こ とは な い.ま

た,要 素 の 情 報 とは,そ の 配 列 の表 現 して い る 集 合

に 含 ま れ る か 否 か で 十 分 で あ る か ら １ ビ ッ トで 足 り る の で,他

の どの よ う な要

素 を 格 納 す る よ り も記 憶 領 域 の 経 済 性 が あ る.   例 と して,普

遍 集 合 が{a,b,c,d,e,f}で

あ る 集 合 型 の デ ー タ を 考 え て み よ う.

この 集 合 型 の デ ー タ が

type elements=(a,b,c,d,e,f); set_a_f=packed

array[elements]

で 定 義 さ れ る と き,集 合{a,c,e},φ,{b,c,e,f}は a_f型

of Boolean;

そ れ ぞ れ 図8・4の

よ う にset_

の 配 列 で 表 現 さ れ る.

(ａ)｛a,c,e｝

(ｂ)φ

(ｃ)   ｛b,  c,  e, f}

図8・4

  さ て,こ

の 構 造 で の 各 種 集 合 演 算 の 効 率 は ど う で あ ろ う か.図8・5は

集 合 演 算 の う ち,(1),(4),(5)の (3),(5)は

積 演 算 を 実 装 した もの で,(１)は

前述 の

一 定 時 間 で,

集 合 の 大 き さ に 比 例 す る 時 間 で 計 算 で き,今 ま で の ど の 実 装 法 よ り

も優 れ て い る こ と が わ か る.   集 合 を 表 現 し て い る 配 列 の 各 要 素 は 論 理 型 の デ ー タ で あ り),trueを を ０で 表 現 す れ ば,ｎ

１,  false

要 素 の 普 遍 集 合 を 持 つ シ ス テ ム で の 集 合 を 表 す 配 列 は,

ｎ桁 の ２進 数 と な る.   こ の と き,集

合 間 の 和,積,排

他 和,補

集 合 演 算 な ど の 計 算 を す る こ と は,

二 つ の 同 じ 長 さ の ２進 数 の 各 桁 ご と の 論 理 和,論 を 取 る こ と と な る.た と え ば,図8・4の を 計 算 す る に は,

理 積,論

理 排 他 和,論

理否 定

普 通 の 集 合 シ ス テ ム で{a,c,e}U{b,c,e}

図8・5

と な り,結

果 は{a,b,c,e,f}と

とな り,結 果 は{c,e}と

求 ま る.ま

た,{a,c,e}∩{b,e,e,f}は,

求 め られ る.た だ し,+,× 演 算 は各 桁 の論 理 和,論

理

積 を取 る こ と を表 現 して い る.   ２進 数 の論 理 演 算 は,計 算機 の も っ と も得 意 とす る演 算 で,他 して 非 常 に 高 速 度 で計 算 す る こ とが で き,集 合 の 和,積,排

の 演 算 に比 較

他 和,補

集合 な ど

の計 算 に適 用 で きる.こ の よ うな 格 納 内容 が 論 理 型 の デ ー タ で あ る配 列,特 極 限 まで 高 密 度 に圧 縮 され た(packed)も

に

の を ビッ トマ トリク ス(bit matrix)と

呼 ん で い る.   ビ ッ トマ トリク ス を用 い た 集 合 の 実 装 は,計 算 の 高 速 性,比

較 的 小 さな普 遍

集 合 の 集 合 の 場 合 に は,記 憶 の有 効 利 用 が 可 能 で あ るな ど の利 点 が あ る代 わ り に,非 常 に大 き な普 遍 集 合 を持 つ 集 合 の 表 現 に 対 して は,記 憶 の 利 用 効 率 は 悪 くな る.そ の 理 由 は,普 遍 集 合 が 大 き くな っ て も計 算 対 象 とな る集 合 の 大 き さ は,そ れ につ れ て大 き くな らな い傾 向 に あ る か らで あ る.   Pascalの

集 合 型 に 関 す る い ろ い ろ な規 約 は,ビ ッ トマ ト リク ス を用 い て集 合

を表 現 しや す くな っ て い る.む

しろ,ビ

ッ トマ ト リク ス に よる 実 装 を意 識 して

規 約 を作 っ た と い え な く もな い.ゆ え に,Pascalで

の プ ロ グ ラ ミ ング で は,集

合 型 の デ ー タ をで き るだ け多 く利 用 す る こ とが,効 率 の よ いプ ログ ラム を作 る ヒ ン トに な っ て い る.し か し,多 くの 処 理 系 で普 遍 集 合 の 寸法 に上 限 が あ るの で,注

意 す る 必 要 が あ る.

8.4Pascalに   Pascalに

おける動 的記憶領 域 とヒー プ構 造

は,ポ イ ンタ 型 の デ ー タ とポ イ ン タ 型 の デ ー タ に関 す る操 作 を含 め

た 動 的 記憶 シ ス テム が あ る こ とは,す で に 第 ３章 で 述 べ た.利 用 者 に と って 動 的 な 変 数 は,必 要 な と き に 自 由 に生 成 した り,ま た 不 要 とな っ た と き に は消 去 した りで き る便 利 な性 質 を持 っ た記 憶 領 域 で あ るが,実

際 に は基 本 構 造 の 記 憶

装 置 上 に 配 置 さ れ て お り,利 用者 の 考 え て い る構 造 と実 際 の 基 本構 造 との 間 に, 記 憶 領 域 を管 理 す る ソ フ トウ ェ アが 介 在 して い る.こ の 節 で は,基 本 構 造 の 記 憶 とPascalの

動 的 記 憶 との 関 係,お よ び そ の 記 憶 領 域 の 管 理 方 法 につ い て学 ぶ

こ と に す る.   Pascalの

動 的 記 憶 は,ポ イ ン タの ため の 領 域 で あ る ヒー プ(heap)と

記 憶 領 域 と,プ

ログ ラム ブ ロ ッ クの 地 域 変 数(local

variable)な

呼 ばれ る

どの 動 的記 憶

領 域 割 り当 て の た め の ス タ ッ ク領 域 との ２種 類 の 記 憶 領 域 が あ り,こ れ らが 一

つ の領 域 を分 か ち あ っ て 実 装 され て い る こ とが 多 いが,こ

こでは不必要 な複雑

さ を避 け る た め に,ヒ ー プ の た め だ け に一 つ の 固 定 領 域 が 与 え られ て い る もの と して お く.   動 的 割 り付 け に対 す る問題 点 を も う少 し具 体 的 に述 べ て み よ う.Ｐ

をあ る型

の ポ イ ン タ 変 数 とす る と き,

new(P) に よ っ て Ｐ ↑で表 現 さ れ る変 数 領 域 が確 保 され るが,こ の 領 域 は どの よ う に, あ るい は ど こ に確 保 され るの で あ ろ うか.ま

た,

dispose(P) に よ っ て使 用 され な くな っ た領 域 が,再 プ ロ グ ラマ は 苦 労 してdisposeを

び利 用 さ れ るこ とが な いの で あ れ ば,

用 い る意 味 が な い.  dispose手 順 を生 か す た め

に は,不 要 に な っ た領 域 の 再 利 用 を考 慮 しな けれ ば な らな い.そ

の 実 現 に は,

どの よ うな 方 法 が 用 い られ て い るの で あ ろ うか.   基 本 的 に は,あ

らか じめ 大 きな利 用 域 を用 意 して お き,必 要 に な っ た 時 点 で

必 要 な だ け の 領 域 を 割 愛 して使 用 す る とい う原 理 で あ る.記 憶 領 域 を使 い捨 て に す る な らば,端

か ら順 次 使 用 して い く方法 が 取 れ るが,計 算 が 進 む につ れ て

不 要 とな っ た 領 域 が 増 加 し,記 憶 領 域 の 利 用 効 率 が悪 くな る.   そ こ で,不 要 とな った 領 域 は再 度 使 用 で き る よ うに,未 使 用 の 領 域 を一 つ の リス トに 結 合 し,新

し く領 域 が 必要 とさ れ る と きは そ の リス トか ら取 り出 して

使 用 し,不 要 に な った とき に は,そ の 領 域 を元 の 未使 用 領 域 リス トに 戻 す こ と に よ り,用 意 した領 域 す べ て を有 効 に利 用 で き る よ うな 記 憶 領 域 管 理 シ ス テ ム

図8・6

が 考 え ら れ て い る.   簡 単 な 例 を 考 え て み よ う.図8・6の ドの 線 形 リス トで あ り,Availは

よ う に,intlstは

整 数 を格 納 した レ コー

こ の 整 数 の リ ス トの 要 素 と な り う る 空 き領 域

を 一 つ の リス トに ま と め た も の で あ る と す る.   intlstの   ま ず,新

先 頭 に348を

格 納 し た 新 し い 要 素 を 挿 入 す る こ と を 考 え る.

し い レ コ ー ドの た め の 領 域 は,new(intcell)(た

だ し, intcellは

整 数 リ ス トの 要 素 の レ コ ー ドへ の ポ イ ン タ 変 数 で あ る)を 実 行 す る こ と に よ り 得 ら れ る の で あ る が,そ の 内 幕 は,図8・6の の レ コ ー ド を 除 去 し,そ さ れ る.そ

点 線 で 示 し た よ う に,Availの

の レ コ ー ドへ の ポ イ ン タ をintcellと

先頭

す る こ とで 実 現

の 後 さ ら に, intcell 

↑.value:=348;

intcell 

↑.next:=intlst;

intlst:=intcell

と す る こ と に よ り,目

的 が 達 成 で き る.逆

に,dispose(intcell)を

実行す るこ

と は, intcell  ↑.next:=Avail; Avail:=intcell

を実 行 した こ と に相 当 す る処 理 が 行 わ れ れ ば よい.   上 の例 で は,一 つ 問題 が あ る.そ れ は,リ ス ト処 理 言 語Lispの 域 が,常

よ う に動 的 領

に 同 じ寸 法 の 領 域 を 単位 と して利 用 され れ ば よい の で あ るが,Pascal

の よ う に い ろ い ろ な 寸 法 の 記 憶 単 位 が 許 さ れ て い る場 合 は,Avai1の

要素 の寸

法 が 同 一 で あ って は う ま くゆ か な い.   こ の 問 題 の 解 決 方法 は,Availの

要 素 とな る空 き領 域 を可 変 寸 法 と し,格 納

す べ き情 報 の 寸 法 に 適 した もの を利 用 す れ ば よ い.各 要 素 に は,可 変 寸 法 な ど の た め の 付 随 情 報 が 必 要 とな るが,そ   Availリ

の例 が 図8・7に

示 され て い る.

ス トの 各 要 素 は,一 つ の レ コー ドの た め の 領 域 とい う よ りは,連 続

した 空 き領 域 を意 味 す る こ とか ら,以 後 は ブ ロ ッ ク と呼 ぶ こ と にす る.こ の よ

図8・7

図8・8

う な 可 変 ブ ロ ッ ク か ら な る 動 的 記 憶 領 域 を ヒ ー プ(heap)と   図8・8は

動 的 領 域 に,そ れ ぞ れ16,18,64バ

呼 ん で い る.

イ トの 情 報 がX,Y,Zに

格 納 され

て い る 様 子 を わ か りや す い よ う に 簡 単 な 図 で 示 し た も の で あ る.   空 き 領 域 を 表 すAvailリ

ス ト使 用 前 の 初 期 状 態 は,す

ロ ッ ク と し た 長 さ １の リ ス トで あ る.新

べ て の 領 域 を一 つ の ブ

し い 領 域 が 必 要 な と き は,Availリ

トの 中 の ブ ロ ッ ク で 必 要 とす る 寸 法 以 上 の も の を 見 つ け て,そ 必 要 な だ け の 領 域 を 削 除 し て 使 用 す る.残 を 形 成 し てAvailに   図8・9の

りの 部 分 は,新

ス

のブ ロックか ら

た な未 使 用 ブ ロ ッ ク

挿 入 さ れ る.

例 で は,新 し く50バ

イ ト必 要 と され た と き に180バ

イ トの 未 使 用 プ ロ

図8・9

ック か ら50バ

イ ト分 削 除 して使 用 し,残 りの130バ

イ トが ま た 未 使 用 ブ ロ ッ ク

と して 残 さ れ る状 況 を示 して い る.   この よ う な方 法 を取 る と,今 まで の 問題 は す べ て う ま く解 消 で き る.し か し, 使 用済 み の ブ ロ ッ クが 未 使 用 ブ ロ ック リス トに回 収 され て も,再 度 使 用 され る と きに は,そ れ と同 等 か また は そ れ以 下 の 寸 法 の 情 報 しか 蓄 え る こ とが で きな い の で,使 用 す る回 数 が 重 な る につ れ て,ブ

ロ ック は だ ん だ ん 細 分 化 され て 行

き,最 後 に は未 使 用 領 域 の 総 計 が 十 分 あ るの に もか か わ らず,必

要 とす る寸法

の 領 域 が 取 れ な くな る とい う新 た な 問題 が 生 じて くる.   こ の ブ ロ ッ ク の細 分 化 へ の 対 策 に は,数 多 くの 方 法 が 考 案 さ れ て い るが,こ こ で は そ の う ち の2,3の

方 法 の概 略 を紹 介 す るに と どめ る.

  まず最 初 に考 え られ る対 策 は,disposeに

よ っ て あ る領 域 が 回 収 さ れ る と き

に,そ の 領 域 の 前 後 が 未 使 用 の 領 域 で あ れ ば,そ れ ら を ま と め て 一 つ の ブ ロ ッ ク を再 編 成 す る こ とで あ る.読 者 の 中 に は,い

ま ま で の 説 明 の 限 りで は未 使 用

の ブ ロ ック は一 つ の リス トに つ なが れ て い る し,使 用 中 の 領 域 は 他 の 変 数 か ら ア ク セ ス で き る の で,使

用/未 使 用 タ グ は 不 要 で は な い か と思 わ れ る 人 が い る

こ とで あ ろ う.し か し,も

し使 用/未 使 用 タ グ が な か っ た ら,あ

が 未 使 用 領 域 で あ るか 否 か を調 べ る に は,Availリ

る領 域 の 前 後

ス トに あ る か否 か を チ ェ ッ

ク しな け れ ば な らず,大 変 な労 力 を要 す る.こ の テ ス トに 簡 単 に答 え られ る よ

う にす るの が,使 略 され たが,各

用/未 使 用 タ グ の働 きの 一 つ で あ る.ま た,前 の 説 明 で は 省

ブ ロ ッ ク の 先 頭 の 位 置 に,ブ

ロ ック境 界 の 記 号 を書 き込 ん で お

く こ と も必 要 な こ と で あ る.   も う一 つ の 方法 は,さ

ら に積 極 的 に 未 使 用 領 域 を統 合 す る もの で,細 分 化 の

た め に新 しい領 域 が 取 れ な くなっ た時 点 で,図8・10の 置(compaction)を

よ うに 各 ブ ロ ックの 再 配

行 う方法 で あ る.こ の 方 法 は 一 見 簡 単 な よ う で あ るが,使 用

中 で あ る各 変 数 か らの ア クセ ス ポ イ ンタ をす べ て 付 け換 え な け れ ば な らな い. 一 般 に は ,動 的 領 域 側 か ら そ こ へ き てい る ポ イ ン タの 元 を知 る こ とは で き な い の で,こ

の 作 業 は簡 単 で はな い.

図8・10

  簡 単 で 実 用 的 な 方 法 の 一 つ に,い お き,必

要 と す る 領 域 以 上 で 最 小 の もの を 使 い 細 分 化 しな い 方 法 が あ る.こ

場 合 は,ど が,こ

ろ い ろ な 寸 法 の 未 使 用 ブ ロ ック を用 意 して の

の よ う な 寸 法 の ブ ロ ッ ク を 用 意 し て お くか が む ず か し い 問 題 で あ る

こ で の 議 論 は 省 略 す る.

  最 後 に 紹 介 す る 方 法 は,廃 品 回 収 法(gabage の 説 明 に 入 る 前 に,Pascalで

collection

の プ ロ グ ラ ミ ン グ でdisposeを

method)で

あ る.こ

使 う と きの 注 意 を

し て お こ う.   い ま,Ｐ

が あ る 型 の ポ イ ン タ 変 数 で あ る と す る.動

的 変 数 は ポ イ ンタ 変 数 の

値 とな って い る の で,Ｐ す るかnew(P)を

の値 を変 更 す る こ と,す な わ ち, Ｐ に新 しい値 を代 入

実 行 す る と,Ｐ の 以 前 の値,す な わ ち,ポ イ ンタ Ｐの 指 して い

た動 的 変 数 は,Ｐ 以 外 か らの ア ク セ ス 経 路 が な か っ た と きに は,ま だ 動 的 領 域 で 使 用 中で あ る に もか か わ らず,ど

の よ うな 方法 に よ っ て もア ク セ ス す る こ と

が で き な くな っ て しま う.ゆ え に,Ｐ の 指 して い る動 的 変 数 が 不 要 に な っ た と きに は,Ｐ に新 しい値 を代 入 す る前 にdispose(P)を こ の こ とは,プ

実 行 しな け れ ば な らな い.

ロ グ ラ マ の 責 任 で 成 され な け れ ば な らな い.

  廃 品 回収 法 は,プ

ロ グ ラマ に 不 要 に な っ た 変 数 回収 の 責 任 を負 わせ ず,未

使

用 リス トが 不足 した時 点 で シ ス テ ム が 自動 的 に不 要 に な った 領 域 を回 収 す る方 法 で あ る.シ ス テ ム が 下 す 要/不 要 の 判 定 は,各 変 数 領 域 が そ の 時 点 で ア クセ ス 可 能 で あ るか 否 か で あ る か ら,廃 品 回収 方法 を取 っ て い る処 理 系 で は,不 要 に な っ た 変 数 は ど ん どん ア ク セ ス 迷 子 に す る ほ うが よい こ とに な る.廃 品 回 収 法 を実 現 す る に は,再 配 置 法 よ り もさ らに 複 雑 な処 理 手 順 が 必 要 で あ る.残 念 な が ら,Pascalの

処 理 系 は,こ の機 能 を備 えて い な い.

第 ８章

1.変

練習問題

数 の 記 憶 領 域 割 り 当て につ い て 以 下 の 問 い に 答 え よ.

(１)整 tempを

数 型 の 変 数x,yの

内容 を入 れ換 え る と きの 常 套 手 段 と して,作 業 領 域

用 いて temp←x; x←y, x←temp;

とプ ロ グ ラ ム す れ ば よ い.同

じ こ と を 行 う,作 業 領 域tempを

節 約 して

x←x-y, y←y+x; x←y-x;

 

と した と き,一 見 正 しい よ うで は あ る が こ の プ ロ グ ラム は 常 に 正 し くは動 作 しな い.そ

の 理 由 を 考 え よ(ヒ

ン ト:異 な る 名称 は異 な る記 憶 配 置 を表

現 して い る とは 限 ら な い こ と に注 意 し よ う).   (2)(1)の

ヒ ン トに あ る よ う に,Pascalプ

ログ ラム 中 で異 名 で あ るに もか か

わ らず 同 じ記 憶 配 置 とな る具 体 例 を示 せ.

２.普 遍 集 合 の 大 き さが ｎで 制 限 さ れ て い る場 合 に,k-集 て最 大knの

要 素 を持 つ 集 合 を表 現 で き る.た

合 をひ と ま とめ に し

とえ ば,

type n_elements=[x1,x2,…,xn]; small_set=set

of

n_elements;

large_set=array[1..k]of

と い う よ う に 定 義 で き る.large_set型

small_set;

の 集 合 上 の 和,積,お

よ び,一

般 の集

合 にお け る述 語inあ た る演 算 をプ ログ ラム せ よ.

３.集 合 演 算 と して (１)  一 つ の 要 素 を集 合 に 加 え る. (２)  一 つ の 要 素 を集 合 か ら取 り除 く. (３)  あ る要 素 が 集 合 に含 まれ て い るか否 か を判 定 す る. の ３種 類 しか使 用 しな い集 合 シス テ ム に 適 す ビ ッ トマ ト リクス 以 外 の デ ー タ構 造 を考 え よ.

４.動 的 記 憶 の 管 理 方法 の 原 理 を 学 習 す る た め に,Pascalで

プ ログラムで きる

モ デ ル を以 下 の よ う に考 え た.   動 的 記 憶 領 域 は す べ て 同 じ記 憶 単位(セ ル:cell)で

構 成 され て お り,こ の 領

域 は 常 に こ の セ ル 単 位 で 利 用 され る もの とす る.セ ル お よび 動 的 記 憶 領 域 は type

pcell=↑cell; cell=record case

Boolean

of

true:(data:integer;next:pcell); false:(pointer,next:pcell) end; dynamic_area=array[1..d

size]of

で 定 義 さ れ て い る も の と す る.以   (１)こ

cell;

下 の 問 い に 答 え よ.

の モ デ ル に お け る ヒ ープ の 走 査newとdisposeをPascalの

手 順 でプ ログ

ラ ム せ よ.   (２)こ

の 動 的 領 域 に あ る 使 用 中 の デ ー タ は す べ て 図8・11に

係 で 線 形 リス トactiveか こ の 場 合 の 廃 品 回 収(gabage

示 した よ う な 関

ら ア ク セ ス で き る よ う に な っ て い る もの とす る. collection)を

す る 手 順 を プ ロ グ ラ ム せ よ.

図8・11

付

付録Ａ

録

アルゴリズムの計算時間と Ｏ-記法

  ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 は,与

え られ た デ ー タ の 数 に依 存 して い る場 合 が 多

々 あ る.与 え られ た デ ー タ の 個 数 をn(n=1,2,…)と

す る と きの 計 算 時 間 をT(n)

で 表 す こ と に す る.   い ま,２ つ の ア ル ゴ リズ ムA1,A2の

計 算 時 間 がTl(n),T2(n)で

あ る と き,ア ル

ゴ リズ ム の性 能 は デ ー タの 数 が 大 き くな っ た 場 合 の 優 劣 で 評 価 され る こ とが 多 い.つ

ま り,

が １ よ り も大 き い か 否 か が 問 題 と さ れ る .   し か し な が ら,T1(n),T2(n)の 合 が 多 い の で,お

正 確 な 関 数 表 現 を求 め る こ とが む ず か し い 場

お よ そ の 評 価 が つ け ら れ れ ば よ い と い う考 え 方 に 基 づ い て,

数 学 で 用 い ら れ て い る ラ ン ダ ウ(Landau)の

Ｏ-記 法 が 使 用 され る.ま ず 最 初 に,

ラ ン ダ ウ の 記 法 に つ い て 述 べ る.   二 つ の 関 数f(x),g(x)は 値 が 無 限 大 に な る もの と す る.

と も に 実 数 を 定 義 域,値 域 と し,x→aで

ともに関 数

の 値 が ０に 収 束 す る と き,x→aでf(x)はg(x)よ

りも低 位(lower

とい い,無 限 大 に 収 束 す る と き,x→aでf(x)はg(x)よ で あ る と い う.ま order)で

た,そ

り も高 位(higher

の 極 限 値 が あ る 定 数 に 収 束 す る と き に は,同

あ る と い い,f(x)∼ag(x)と

  f(x)∼ankで

order)で

ある

order) 位(same

記 述 す る.

あ る と き,f(x)の

位 数 は ｋ で あ る と 定 義 す る.位 数 の 記 述 を

簡 単 に す る た め に ラ ン ダ ウ の 記 法 が 用 い ら れ て い る.   ラ ンダ ウ記 法 は Ｏ(big

oh)とo(small

oh)の

２種 類 が あ る.f(x),g(x)が

同

位 であれ ば

と記 述 す る.ま

た,x→aの

と きf(x)がg(x)よ

り も高 位 で あ る こ と を

と記 述 す る.   こ の ラ ン ダ ウ の 記 法 を ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 の概 算 を表 現 す る の に 用 い る と き に は,計

算 時 間 の 関 数 の 定 義 域 が デ ー タ の 関 数 で あ る か ら,常

に 自然 数 と

な り,変

数 の 収 束 点 は い つ も∞ に 取 ら れ る こ とが 暗 黙 の う ち に わ か っ て い る か

ら,Ｏ-記

法 に お け るx→

∞ の 記 述 は 省 略 さ れ る こ と が 多 い.

  あ る 問 題 を 解 く ア ル ゴ リ ズ ムA1,A2の ぞれT1(n),T2(n)で

ｎ個 の デ ー タ に 関 す る 計 算 時 間 が そ れ

あ る と き,O(T1(x)),O(T2(x))の

の い ず れ か に よ っ て そ れ ぞ れ,A1の

計 算 時 間 はA2の

両 者 の 関 係 が>,=,< そ れ よ り も 高 位,同

位,低

位 で あ る と い わ れ る.   位 数(order)は

数 学 的 用 語 で あ る が,わ

な い が お お よ そ の 値 」 と解 釈 で き る.た

と い う 式 は,デ

と えば

ー タ の 数 ｎ が 多 く な る と,だ

る こ と を 意 味 し て い る.注

意 す る こ と は,上

左 辺 の 関 数 の お お よ そ の 値 は,右

か りや す く い え ば 「あ ま り正 確 で は

い た いn3に

比 例 した 計 算 時 間 と な

の 式 で 用 い ら れ て い る'='記

号 は

辺 の Ｏ 記 号 の 中 の 関 数 と同 じで あ る とい う意

味 に 用 い ら れ て い る の で あ る か ら,

とい う よ うな 記 法 は意 味 が な い.  ラ ン ダ ウの 記法 に関 して,次 の性 質 が あ る.

  この よ う な 変換 式 を通 して,で

き るだ け簡 単 な 同 位 の 関 数 を求 め る こ とが で

き る. 【例 １】 を簡 単な Ｏ-表現 に変換 してみ る(γは定 数 と す る).

【例 ２】

付録 Ｂ

置換の反転数の解析

整 列 の ア ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 の 解析 を行 う場 合,ア

ル ゴ リズ ム の 中 にデ ー

タ の 配 置状 況 に よ って 計 算 回 数 の 異 な る と こ ろが あ る.整 列 デ ー タ と して,１ か ら ｎ まで の 数 の 置 換 を考 え る.置 換 とは １か ら ｎ まで の 数 を任 意 の 順 序 で並

べ た も の で,こ

の 数 列 を 整 列 さ せ る べ き フ ァ イ ル と み な し ,個

た め の 鍵 と 考 え る.ま

た,フ

ァ イ ル を 構 成 し て い る レ コ ー ドは 整 列 鍵 の み か ら

成 っ て い る もの と す る.Algorithm-1は,置 123…nと

々の 数 を整 列 の

換a1a2…anが

与 え ら れ た と き に,

な る よ う に 整 列 させ る た め の ア ル ゴ リ ズ ム で あ る . ―

Step-1:lastchanged

Algorithm

A-1―

←n

Step-2:while

lastchanged>0

do Step-3

to Step-4

and then

terminate. Step-3:last

←lastchanged lastchanged

Step-4:for

←0.

i:=1

Step-5:

and

to last-1

if ai>ai+1

do

Step-5.

then do Step-else

do nothing.

Step-6:ai〓ai+1,lastchanged←i.

こ の ア ル ゴ リズ ム の 中 のStep-6の 化 す る.デ

実 行 回 数 は,与 え られ た デ ー タ に依 存 し て 変

ー タ が す で に整 列 し て い る 場 合 に 最 低 と な り0回,最

逆 に 並 ん で い る と き でn(n-1)/2回

で あ る.各

高 は デ ー タが

置 換 が デ ー タ と して 与 え ら れ る

確 率 が 等 しい とす る と平 均 実 行 回 数 は ど う な る で あ ろ う か.   入 れ 換 え 法 に よ る 整 列 の ア ル ゴ リ ズ ム の デ ー タ 依 存 す る 部 分 の 実 行 回 数 を解 析 す る の に,「 反 転(inversion)」   置 換a1a2…anの あ る と い う.整

の 概 念 を 導 入 す る と考 え や す い.

中 で,ai>aj(i<j)で

あ る と き,aiとajは

列 させ る と い う こ と は,反

置 換 に 対 し て,そ

の 反 転 表(inversion

反 転の位置 関係 に

転 の な い 置 換 を 求 め る こ とで あ る .

table)を

次 の よ う に定 義 す る.

  置 換a1a2…anの 反 転 表 は ｎ個 の 整 数 列b1b2…bnで あ り そ れ ぞ れ のbiは,a1a2 …a nの 中 で 数 ｉの 左 側 に 位 置 す る ｉ よ り も大 き な 数 の 個 数 で あ る .   た と え ば,９

元の置換

198627543 につ いては  

１の 左 側 に は １ よ り も大 き な 数 は な い の で,b1=0,

２の 左 側 に は ２ よ り)も大 き な 数 は9,8,6と

３個 あ る の で,b2=3

,

９ の 左 側 に は ９ よ り も 大 き な 数 は な い の で,b9=0, と な り,反

転 表 は, 036542210

と な る.反

転 表 の 定 義 か ら明 ら か な よ う に

が 常 に 成 り立 っ て い る.ま a1a2…anに

た,biとbj(i≠j)は

対 し て 反 転 表b1b2…bnは

し てa1a2…anも

ま っ た く独 立 に 値 を 取 る.置 換

一 意 に 定 ま り,ま た 逆 に,b1b2…bnに

対

一 意 に 定 ま る.

  な ぜ な ら ば,b1b2…bnが 数 列a1a2…anはb1b2…bnを

与 え ら れ た と き,Algorithm

A-2に

よっ て得 られ る

反 転 表 と す る 置 換 と な っ て い る か ら で あ る. ―

Step-1:permutation←

Algorithm

A-2―

φ.

Step-2:for Step-3:数

ｎ 元 の 置 換 に 対 す る 反 転 表 で は,

i:=n 列

1 do Step-3.

permutation=a1a2…a1-1の

入 し,そ

  こ の こ と か ら,置

downto

左 か らbiとbi+1番

の 結 果 の 数 列 を 改 め てpermutationと

換 と反 転 表 と は １対 １の 関 係 に あ り,ア

目 の 間 に ｉを 挿

す る.

ル ゴ リズ ムの 解 析

な ど で は 置 換 を 扱 う よ り も反 転 表 の ほ う が 扱 い や す い こ と が 多 い.置 anの 反 転 表 をb1b2…bnと

す る と き,  In=Σbiを

換a1a2…

そ の 置 換 の 反 転 数 と い う.

反 転 数 を 用 い る こ と に よ り解 析 が し や す く な る例 を 三 つ 示 そ う. 【例 １】   置 換 は,相

ｎ元 の 置 換 の 総 数 異 な る 要 素 の 順 列 の 数 で あ る か ら ｎ!と お りで あ る こ と は よ く知

ら れ た 事 実 で あ る が,反

転 表 の 性 質 か ら も た や す く導 出 で き る.

反 転 表 の 要 素biの 取 り う る 場 合 の 数 は,0≦bi
あ るか らn-iと

おり

他 の 要 素 と 独 立 な 数 で あ る か ら,反 転 表 の 取 り

う る場 合 の 数 は

で,反 転 表 と置 換 とは １対 １の 関 係 が あ るの で,ｎ

元 の 要 素 か らな る置 換 の 総

数 は ｎ!と な る.   【 例 ２】

ア ル ゴ リズ ムA-1に

  アル ゴ リズ ムA-1のStep-6を

お け るStep-6の

平 均 実行 回 数

１回実 行 す る と,互 い に反 転 の 位 置 関係 に あ

る隣 り合 わ せ の １組 の デ ー タ が 入 れ替 わ っ て,全 体 と して の反 転 数 が 一 つ 減 少 す る.つ ま り,Step-6の に,Step-6の

実 行 回 数 は与 え られ た置 換 の 反 転 数 に等 しい.ゆ

え

平 均 実 行 回 数 は ｎ!個 の 置 換 の 反 転 数 の 平 均 値 と一 致 す る.

  お の お の の 置 換 が デ ー タ と して 与 え られ る確 率 が 等 しい とす る と,置 換 の 平 均 反 転 数mean(In)は mean(In)=n(n-1)/4…

… …(１)

と な る こ と を 数 学 的 帰 納 法 で 示 す. ■基 本

元 の 数 が １の と き は 反 転 は 生 じな い の でmean(Ｉ)は

は(１)式 ■ 帰納

の ｎ に １ を 代 入 し た と き の 値 で あ り,(１)式 元 の 数 が ｎの と き(１)式

置 換 に 対 す る 反 転 表 がb1b2…bn+1で

は 成 立 す る.

が 成 り立 っ て い る と仮 定 す る.(n+1)元 あ る とす る と,0≦b1≦nで

bn+1は

ｎ 元 の 置 換 の 反 転 表 と な っ て い る.b1の

bn+1は

ｎ!と お り で あ るの で,b1=i(0≦i≦n)の

は,帰

納 法 の 仮 定 を 用 い て,

の

あ り,b2b3…

そ れ ぞ れ の 値 に 対 し て,b2b3… すべ ての 場 合 の 反 転 数 の 総 和

と な る.b1の 取 る 値 の そ れ ぞ れ の 確 率 は 等 し い の で,(n+1)元 の 平 均mean(In+1)は

０で あ る.こ れ

の置換の反転 数

とな り,(１)式 の ｎに(n+1)を

代 入 した もの とな る.(証

  以 上 の 結 果 か ら,ｎ 元 の置 換 の 平 均 反 転 数 はn(n-1)/4で た.こ の こ とは,反 列 に は,O(n2)回  

【例 ３】

明 終) あ るこ とがわ か っ

転 数 が 一 つ ず つ減 少 す る よ うな基 本 的 入 れ 換 え法 に よ る整

の 入 れ 換 えが 必 要 で あ る こ とが 結 論 され る.

順 次 比 較 法 に よ る最 大値 を求 め るア ル ゴ リズ ム で の 最 大 値 置 き換 え数

  ｎ個 の 相 異 な る 自然 数 の 中 か ら最 大(ま

た は最 小)の 数 を選 び 出 す アル ゴ リ

ズ ム の デ ー タ に依 存 す る部 分 の 解 析 をす る.   与 え られ た デ ー タ は す べ て異 な る数 で あ る か ら,ｎ 個 の デ ー タ は ｎ元 の 置換 で モ デ ル 化 で き る.a1a2…anが る ア ル ゴ リズ ム はAlgorithm

与 え られ た と き,こ の 中か ら最 大 の 要 素 を求 め A-3を

採 用 す る もの とす る.

Algorithm

A-3―

Step-1:max←-1.

Step-2:for

i:=1

Step-3:if

ai>max

to n do Step-3

and

then do Step-4

then terminate.

else do nothing.

Step-4:max←aj.

  こ の ア ル ゴ リ ズ ム の 実 行 数 が,入 Step-2の

力 デ ー タ に 依 存 す る 部 分 はStep-4で

繰 返 し制 御 変 数 ｉの 値 が ｋ の と き,Step-4が

akの 左 側 にakよ

あ る.

実 行 され る た め の 条 件 は,

り も大 き な 数 が な い こ とで あ る.こ の こ と は,置 換a1a2…anの

反 転 表b1b2…bnの

要 素 で あ るbkが

bk=0 で あ る こ と を 意 味 し て い る.す す る 数 がAlgorithm

A-3中

な わ ち,b1b2…bnの で 変 数maxに

  た と え ば, 145269738

に対 す る反 転 表 は 025000110 で あ る か ら,maxに

代 入 され るの は

中 で ０で あ る位 置 に対 応

代 入 さ れ る こ と を 意 味 し て い る.

1,4,5,6,9 の 順 で あ り,Step-4の

実 行 回 数 は ５ と な る.

  b1の 取 り う る 数 は,0≦b1≦n-1で の でb1=0と b2=0と る.よ

な る確 率 は1/nで

あ る.そ れ ぞ れ の 値 を 取 る 確 率 は 等 しい

あ る.同

な る確 率 は1/(n-1).一 っ てb1b2…bnの

と な る.た

般 に,bi=0と

あ る か ら,

な る確 率 は,1/(n-i+1)で

あ

中 に ０が 幾 つ あ る か と い う 期 待 値 は

だ し,Hn=1/1+1/2+1/3+…+1/nで

  Hn=Inn+γ+o(1/n)(γ で,Step-4の

様 に し て,0≦b2≦n-2で

あ る.

は オ イ ラ ー の 定 数)で あ る こ とが 知 ら れ て い るの

平 均 実 行 回 数 はO(log

n)の

オ ー ダ と な る こ とが わ か る.

索 引 ■ ア行

弧   112 コ ー デ ィ ン グ   18

ア クセ ス  56 あふ れ   85

後 行 順 走 査   119

誤 りの 訂正   15 ア ル ゴ リズ ム  6

構 造   111

ア ル ゴ リズ ムの 改 善  43

後 置   96

ア ル ゴ リズ ムの 記 述  29 ア ル ゴ リズ ムの 計 算 時 間  35

根   112

後 者   79 構 造 型   53,55

■サ行

■ カ行 鍵   145

再 帰 的プ ログ ラ ム  112

下 降 型プ ロ グ ラ ミング  16

再 配 置  229 再 ハ ッシ ュ  207

型  10 環   117 環 状 リス ト  110 関 数  13 間接 ア クセ ス  75 環 路  117 環 路 グ ラ フ  118 外 頂 点  187

シ ェル の 方法   152 試 計 算   15 子 孫   116 シフ テ ィング  163 集 合型  55

外 部検 索   178

終 端 記号   31 照 合   198

外 部整 列   146,164,166

衝 突 問題   203

木111,117

仕 様   19 字 句  13

記 号(単 語)  31 帰 納 的 定 義 法   112

実 装   11 実 装 プ ロ グ ラム  11

キ ュ ー   92

順 次関 係   147

逆 ポ ー ラ ン ド式 表 現   96

順 次検 索   180 順 次検 証 法  206

ク イ ッ ク ソ ー ト  157 空 域 割 り振 り  206

順 次処 理   143 順 次 フ ァ イル  146

空 領 域   83

順 序木  114

グ ラ フ  111

順 編成 フ ァイル   65 上 昇型 プ ログ ラ ミング   16

計 算 シス テ ム  52 計 算 時 間 の解 析   40

情 報 フ ィー ル ド  145

検 索   176

数 学的 モ デ ル  ６ ス ッタ ク92

静 的 フ ァイル  178

動 的 フ ァ イル   178

静 的 変数  72

動 的 変数   73

静 的領 域   71 整 列  142

動 的領 域   71

線形 デー タ構 造   79

■ナ行

線 形 リンク 結合 リス ト  204 先 行順 走 査   119

内項 点  187

先 祖  116 選択 法   161

内部 整 列   146

先 頭  79

二重 結合   103

前 者  79 全 順序 関係   147

二重 結 合 リス ト  90

前 置  96

■ハ行

内部検 索   178

２ 分 検 索   182

走 査  119

葉   114

挿 入法 に よ る並 べ 換 え  148 側 面 効果   88

廃 品 回 収 法   229 配 列 型   55

■タ行

配 列 構 造   82 ハ ッ シ ュ 関 数  201

段 区切   14

ハ ッ シ ュ検 索   201 ハ ッ シ ュ テ ー ブ ル   204

地 域 変数  224

ハ ッ シ ュ 法201

逐次 計 算 型  34

ハ ッ シ ュ 法 の 衝 突   203

注釈   14

バ ー ス デ ィパ ラ ド ッ ク ス   201

抽 象 デー タ型   53 抽 象 モ デル  ６

バ ブ ル ソ ー ト  ヱ55

中 間順 走 査   119 超記 号   31

ヒー プ   163,224,227

頂 点  112

非 決 定 性 検 索   212

直接 ア クセ ス  75

評 価 基 準   34

ヒー プ ソ ー ト  161

表 現   69 手 順   13

開 か れ た ハ ッ シ ュ 法   204

手 順 見 出 し  80

ビ ッ トマ ト リ ク ス  218,224

デ ー タ構 造   10 デ ー タ の 型   51

フ ァ イ ル   146

デ ー タ の 集 合   52

フ ァ イ ル 型  55

デ ー タ 量   37

フ ィ ボ ナ ッ チ 検 索   210

デ ィ ジ タル 検 索   198

フ ォ ン ・ノ イ マ ン 方 式   34

デ ィ ジ タル 検 索 木   198

深 さ  114

デ バ ツ ギ ン グ  15

深 さ 優 先 検 索   212 普 遍 集 合   218,219

トー ナ メ ン ト法   162

フ ロ ー チ ャ ー ト  ９

等 価 交 換   34

部 分 木   114

閉 じ ら れ た ハ ッ シ ュ 法   206

ブ リ ッ ジ プ レ ー ヤ ー の 方 法  148

プ ッ シ ュ ダ ウ ン  93 プ ッ シ ュ ダ ウ ン リ ス ト  92 プ ロ グ ラ ミ ン グ の 手 法   12 プ ロ シ ジャ   ７

問題   203 ■ ヤ,ラ

行

有 向 木   117 有 向 グ ラ フ  117

平 衡 木   1１6 併 合 法  165

ラ ン ダ ウ の 記 法   234

変数  13

ラ ン ダ ム ・ア ク セ ス   56

ポ ー ラ ン ド式 表 現   96

リ ス ト型   79

ポ イ ン タ 型   68

リ ス トの 実 装   82

ポ ッ プ ア ッ プ   93

リ ン ク構 造   75,86

■ マ行

レ コ ー ド  145

マ ー フ ィ ー の 法 則   18

レ コ ー ド型   55

待 ち行 列 リス ト   101 末 尾   79 マ ル チ リ ス ト  85

■英字 FIFOリ

道   117

LHS 

ス ト   101 69

LIFO 

93

無 向木  117 無 向 グ ラ フ  117 メ タ記号   31

LIFOリ

ス ト  92

メ タ単語  31

RHS 

n-分 木   115 Ｏ関 数   39 69

〈著 者 紹 介 〉

古 東  馨 学

歴

  東 京電機 大学 大 学 院博 士 課程 満 期 退学(1973年) 工学博士

職 歴  東京電機大学理工学部数理学科助教授

Pascalに

よ るデ ー タ 構 造

ｩKaoru

1987年

６月30日

  第 １版 １刷 発行

1991年

３月20日

  第 １版 ３刷 発 行

著 者

発行者

Kotoh

  古

1987

東 

馨

学校法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者廣 川 利 男

発行所 東 京 電 機 大 学 出版 局 著者承認

〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2

検 印省略

振 替

口 座

東

京6-71715

電 話03(3294)1551(代)

Printed in Japan 印刷    (有)バ リエ社 *本

製 本  (株)徳 住 製本 所

書 の 内 容 の 一 部 あ る いは 全 部 を無 断 で複 写 複 製(コ

ピー)す

る こ とは,法 律 で認 め られ た場 合 を除 き,著 作 権 お よび 出 版 権 の 侵 害 と な ります の で ご注 意 下 さ い. *落

丁 ・乱 丁 本 は お 取 替 え い た します. ISBN

4-501-51230-X

情 報 処 理 ・プ ログ ラ ミング プ ロ グ ラ ム例 に よ る

コ ン ピ ュ ー タ 学 習 シ リー ズ

FORTRANの

FORTRANの

入門

学び方   高宮英郎 著 A5判148頁

若 山芳三郎 著 A5判216頁 コ ンピ ュー タ とプ ロ グ ラ ミ ング/整 数 の計 算

初 めて コ ン ピユ ー タ を学 ぶ 人 を考 慮 して,フ

/判 断 と繰 り返 し/実 数 の 計 算/大 量 のデ ー

ォー トラ ンの 初 歩 か ら応 用 ま で を,わ か りや

タ の取 扱 い/副

す く効 率 よ く役 立 つ よ うに解 説 し た.

プ ログ ラム/文

法

プロ グ ラム例 に よ る

初めてのCOBOL   BASIC対

応

COBOLの

入門

  仲野成憲 著 A5判200頁 事 務 系 ビ ジ ネ ス マ ンやOLで

初 め てCOBOL

を学 ぼ う とい う人 を対 象 に,難 説 を避 け,本

しい文 法 の解

質 を理 解 で き る よ うに解 説 した

実務例解

    佐藤清 著 A5判180頁 プ ロ グ ラ マー 教 育 の ベ テ ラ ンが平 易 に解 説 コ ンピ ュー タ言 語 とプ ログ ラ ミ ング/各 部 の 構成/プ

ロ グ ラ ミング 技 法

コ ン ピ ュー タ 学 習 シ リ ー ズ

COBOLテ

ク ニ ック

COBOLの

    佐藤清 著 A5判234頁

演習 日本 ソフ トウ ェア 著 A5判112頁

実 務例 に よ りCOBOLの プ ログ ラ ミ ング技 法 が 身 に つ く よ うに 解 説 して ある た め,実 務 学

COBOLの

習 書 と して 最適 で あ る.

よ リプ ロ グ ラ ミング 技 法 が マ ス タ ー で きる. コ ン ピ ュー タ 学 習 シ リ ー ズ

コ ン ピ ュ ー タ 学 習 シ リー ズ

COBOLの

文 法 につ い て ひ と とお りの知 識 が

ある人 を対 象 に,数 多 くの 問題 を解 くこ とに

コ ン ピ ュー タ処 理 の

学び方

   基礎知識

  溝 口貞 彦 著 A5判172頁

日本 ソ フ トゥ ェァ 著 A5判112頁

コ ン ピ ュー タ の知 識 の ない 人 に も理 解 で きる よ うに,コ

ボ ル の基 礎 とな る考 え方,命

使 い 方,プ

ログ ラム の書 き方 を解 説 した.

令の

コ ン ピ ュ ー タ 学 習 シ リー ズ

コ ン ピュー タ に よ りデ ー タ処 理 の 基本 を初 心 者 を対 象 に や さ し く解 説 した.

数 学 と コ ン ピ ュー タ

フ ロ ー チ ャ ー トの か き 方   溝 口貞彦 著 A5判150頁 プ ロ グ ラ ム の組 立 て 方 や 流 れ を豊 富 な 図 とや さ しい実 例 に よ り解 説 し,フ ロ ー チ ャ ー ト的 思 考 を養 え る よ うに 指 導 した ロ ング セ ラー.

*定

価,図

シ リー ズ      田 島一 郎 監 修/片 桐 重 延 編 修 全 ８巻 別 冊 ２

A5判

平 均160頁

情報教育のためのコンピュー タを利用す る立 場で の入門書.例 題,問,練 習問題 を豊富 に 入れた.教 科書 ・参 考書 として最適.

書 目録 の お 問い 合 わせ ・ご要 望 は 出版 局 まで お願 い致 します.

マ イ コ ン/IG 例解Z80マ

イコンの ハ ー ドと ソ フ ト

図解 マイ コン

イ ン タフ ェー ス の基 礎

倉石源三郎 著 A5判272頁 マ イ コ ン とは/基 礎 数学/デ メモ リIC/CPU/命

ィ ジ タ ルIC/

令 と プ ロ グ ラ ム/入

力 イ ン タ フ ェー ス/パ

出

ソ コ ン/OS

五 島/田 中/中 村 著 A5判200頁 イ ン タ フ ェー ス を理 解 す る た め の 基礎 知 識 や バ ス タイ ミング ・A/D・D/Aを 具 体 的 回路 図.波

図解 マイコン    は じ め て の パ ソ コ ン 計 測 ・制 御

図 解16ビ

/イ

シ ン語 プ ログ ラ ム オ ペ ァ ンプ/Z80

ン タ フ ェー ス/計 測 の応 用/制

御の応用

あ な た な らわ か る

ッ トマ イ コ ン

68000と

フ ァ ミ リの 活 用

関 根 慶 太 郎 監 修   日立 マ イ コ ン 著

天 良和 男/矢 野越夫 著 A5判240頁 計 測 と制 御 の基 礎 知識/マ の基 本/デ ィ ジタ ルICと

形 写 真 で や さ し く図 解.

A5判240頁 16ビ

ッ トマ イ コ ン シ ス テ ム の世 界 を理解 す

る た め に,68000の

最 新 周 辺LSIを

解説

図解 マ イ コ ン の基 礎

ICの

基 礎   ２訂版

  吉本久泰 著 A5判172頁

岩崎臣 男 他著 A5判220頁

マ イ コ ンに対 す る コ ンプ レ ッ クス を取 り除 き

半 導 体 の 理 論/半

興 味 を もっ て取 り組 め る よ うに,基

/IC内

回 路 素子/ア

/OPア

ンプ/デ

と動 作,プ

礎,構

造

ログ ラム に つ い て や さ し く解 説.

デ ィ ジ タルICの

中心 と

した シ ス テ ム の設 計 と構 成 に つい て 解説.

すべて

導 体 素 子/IC概 ナ ログICの

ィ ジ タルIC/メ

ア ナ ログICの

論/製

法

基本回路 モ リIC

すべて

ゲ ー トか ら マ イ コ ン ま で

オ ペ ア ン プ か らス イ ッチ ドキ ャ パ シ タ ま で

          白土 義 男 著 AB判312頁 ２色 刷

         白土 義 男 著 AB判344頁   ２色 刷

デ ィ ジ タルICの 基 本 回 路 か ら応 用 回 路,カ ウ ンタ や 周辺 素 子,イ ン タ フ ェー ス,メ モ リ,

オ ペ ア ンプ の 基 本 か ら増 幅 回 路,イ ン タ フ ェ ー ス,A/D ,D/Aさ ら に特 定 用 途 のIC

CPU,マ

な ど,最 新ICを

イ コ ン回 路 ま で す べ て を解 説.

ポ イ ン トス タ デ ィ

図解 デ ィジ タ ルICの

基礎

図 解 した.

ポ イ ン トス タ デ ィ

図解 リ ニ ヤICの

  白土 義男 著 A5判208頁 基 礎/論

理 回 路/シ

イ ブ レー タ/FF/カ タ フ ェー ス/DA変

ュ ミ ッ ト回路/マ

ル チバ

ウ ン タ/表 示 器/イ 換/ICメ モ リ/LSI

*定 価,図

ン

基 礎,   白土義 男 著 A5判178頁

種 類 と構 造/オ 路/応

ペ ア ンプ の 基 礎 回 路/演

用 回 路/オ

ー デ ィオ 回 路/電

イ ン タフ ェー ス/高

周 波 回 路/特 殊 用 途

書 目録 の お 問い 合 わ せ ・ご要 望 は 出版 局 まで お 願 い 致 し ます .

算回

源 回 路/

プ ログ ラ ミン グ 高校生のための

高校生 のための

基礎BASIC

応 用BASIC        B5判104頁

パ ソ コ ンの し くみ/パ と判 断/見

ブ ル ー チ ン/プ FMシ

ソ コ ン の操 作/繰

や す い 出 力 方 法/関

返 し

数/配 列/サ

口絵 カ ラー/図 ス クの 活 用/応 方 程 式,デ

ロ グ ラ ムの 保 存 と利 用

ー タ処 理,他)

BASICの

ログ ラ ムの 急 所

中 心 モ デ ル に,キ ー ボー ドで の入 力

か ら グ ラ フの 作 成,プ

ロ グ ラ ム例,ミ

ス の発

入門 高宮英郎/黒 田正文 著 A5判208頁

          高宮英郎 著 AB判204頁   カ ラー版 FM-7を

形の 描 き方/フ ロ ッ ピー デ ィ 用 プ ロ グ ラ ム(カ レ ンダ ー,

プ ログ ラ ム 例 に よ る

リー ズ

BASICプ

        秋冨勝 他 著 B5判106頁 ２色 刷

秋冨勝 他著 ２色 刷

豊 富 な プ ロ グ ラ ム例 に よ り解 説 す る. BASICの 基 礎/算 術 式/入 出 力文/制

御文

見 ま で急 所 を カ ラ ー刷 で見 や す く解 説.

/ル ー プ(繰 り返 し)/配 列/サ

実例による マ イ コ ン の

パーソナルコンピュータ 操 作 法 と

プ ロ グ ラ ミン グ

プ ログ ラ ミン グの 基 礎

若山芳三郎 著 AB判176頁 100本 を こ え る プ ロ グ ラ ム例 とカ ラー 写 真 で BASIC文 法 を学 び,さ らに 数 多 くの練 習 問題 で,プ

ロ グ ラ ミン グ テ ク ニ ッ クを修 得 す る.

大井/笠 原/安 田/脇 A5判240頁 操 作 法/BASICの

著

基本 文 法/統 計 処 理 の 基

礎 とそ の 応 用/デ ー タ フ ァイ ル の 取 扱 い/グ ラ フ ィ ック処 理/シ ミュ レー シ ョン

応 用MSX

入門MSX

若 山芳三郎 著 A5判206頁

若 山芳三 郎 著 A5判200頁 話 題 のMSX入 門 の決 定版.MSXで もパ ソ コ ン本 来 の 楽 しみ を理 解 で きる よ うに 基 本 を て い ね い に解 説 した.

よ る デー タ 構 造     古東馨 著 A5判256頁

プ ログ ラ ミング/ア

パ ソ コ ン ミュー ジ ック,パ

ソ コ ング ラ フ ィ ッ

ク,フ ァイル 処 理 等,MSXで る よ う に や さ し く解 説 した.

最 大 限 楽 しめ

スプライ ン関数 入門

情 報 科 学 セ ミナ ー

Pascalに

ブプ ログ ラム

ル ゴ リズ ム の評 価/構

造

情報処理 の新 しい手法   桜井 明 編著 A5判184頁 定 義 と基 本 的 性 質/最

も滑 らか な補 間 の 問題

型 の デ ー タ/線 形 リス ト/木 溝 造/並 べ 換 え

/線 形 汎 関 数の 近 似/差

/検 索/記

/自 然 ス プ ラ イ ン と平 滑 化 スプ ラ イ ン/応

憶 の 方 式 と管 理/Ｏ-記 *定 価,図

法

分 商 とＢ-スプ ラ イ ン

書 目録 の お 問 い 合 わせ ・ご要 望 は 出版 局 ま で お願 い 致 し ます.

用