Optik für Ingenieure: Grundlagen

Pedrotti · Pedrotti · Bausch · Schmidt Optik für Ingenieure F. Pedrotti · L. Pedrotti · W. Bausch · H. Schmidt Optik ...

Author: F. Pedrotti | L. Pedrotti | W. Bausch | H. Schmitt

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Pedrotti · Pedrotti · Bausch · Schmidt Optik für Ingenieure

F. Pedrotti · L. Pedrotti · W. Bausch · H. Schmidt

Optik für Ingenieure Grundlagen 3., bearbeitete und aktualisierte Auflage Mit 407 Abbildungen und 28 Tabellen

123

Prof. Dr. Frank L. Pedrotti S.J. Prof. Dr. Leno S. Pedrotti Prof. Dr. Werner Bausch i. R. Prof. Dr. Hartmut Schmidt*

St. Louis University, St. Louis, Missouri Center for Occupational Research and Development, Waco, Texas Fachhochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften Schöfferstr. 3 64295 Darmstadt * und Johann Wolfgang GoetheUniversität Fachbereich Physik 60325 Frankfurt am Main [email protected] [email protected]

Titel der amerikanischen Originalausgabe: Introduction to Optics, 2nd Edition, by Frank L. Pedrotti S.J. and Leno S. Pedrotti, © 1993 by Prentice Hall Inc., a Pearson Education Company, Upper Saddle River, New Jersey, USA 1. Aufl. der deutschen Übersetzung: © 1996 der deutschen Ausgabe by Prentice Hall Verlag GmbH 2. Auflage: © 2002 Springer-Verlag Heidelberg Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-22813-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-22813-6 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdr ucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2005 Printed in The Netherlands Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz und Herstellung: LE-TeX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: medionet AG, Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3141/YL - 5 4 3 2 1 0

Inhaltsverzeichnis

1

Was ist Licht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Erzeugung und Messung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Elektromagnetisches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lichttechnische Gr¨ oßen (Fotometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Optische Strahlungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Strahlungsdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 10 16 19 22 31

3

Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Das Fermatsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Umkehrung des Lichtweges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Brechung an einer ebenen Grenzﬂ¨ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Abbildung durch ein optisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ache – Vorzeichenkonvention . . . 3.7 D¨ unne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Kr¨ ummung von Wellenfronten und Brechwert von Linsen . . . . . . . 3.9 Newtonsche Abbildungsgleichung f¨ ur die Linse . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Reﬂexion an ebenen Spiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Reﬂexion an einer Kugeloberﬂ¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 43 47 51 51 53 58 64 70 72 73 76

4

Matrixmethoden der paraxialen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Die dicke Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die Matrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Translationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Die Brechungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Die Reﬂexionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 90 91 92 94

VI

Inhaltsverzeichnis

4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Die Matrizen f¨ ur dicke und d¨ unne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedeutung der Elemente der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele zur Systemmatrix und den Hauptpunkten . . . . . . . . . . . . Raytracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 97 100 103 107 109

5

Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Strahl- und Wellenaberrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Brechung an einer Kugelﬂ¨ ache (Seidelsche N¨aherung) . . . . . . . . . . ¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Oﬀnungsfehler ....................... 5.4 Koma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Verzeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 116 118 124 128 131 134 137

6

Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Blenden, Pupillen und Luken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Bildhelligkeit: Blenden und Pupillen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Hauptstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Gesichtsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Die Kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Lupen und Okulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Mikroskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Fernrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147 147 148 151 153 156 170 176 184 191

7

Optik des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Aufbau des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Das Auge als optisches Instrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Funktion des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Augenfehler und ihre Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Lasertherapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205 206 208 211 216 223

8

Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Eindimensionale Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Harmonische Wellen in komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Feldst¨ arke und Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 233 235 239 242 243 245 245 245

Inhaltsverzeichnis

VII

8.7.2 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.7.3 Intensit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.8 Doppler-Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen . . . . . . . . . . 9.3 Koh¨ arente und inkoh¨ arente Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Interferenz ebener Wellen beliebiger Frequenz und Richtung . . . . 9.5 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 260 261 267 268 270 271 274

10 Lichtinterferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Zweistrahlinterferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Doppelspaltinterferenz mit virtuellen Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Interferenzen gleicher Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Newton-Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Dickenmessung mittels Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281 282 286 291 293 299 301 303

11 Optische Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Das Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Anwendungen des Michelson-Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Modiﬁkationen des Michelson-Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Stokes-Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Vielstrahlinterferenz an einer Planplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Fabry-Perot-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Streifenproﬁl: Airy-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Aufl¨ osungsverm¨ ogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 Nutzbarer Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309 310 314 316 318 320 323 326 328 331

12 Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Zeitliche Koh¨ arenz und nat¨ urliche spektrale Linienbreite . . . . . . . . 12.5 Teilkoh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 R¨ aumliche Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

337 337 343 346 353 354 361 363

9

VIII

Inhaltsverzeichnis

13 Holograﬁe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Konventionelle und holograﬁsche Fotograﬁe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Hologramm einer Punktquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Hologramm eines ausgedehnten Gegenstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Eigenschaften des Hologramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Weißlicht-Hologramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Weitere Anwendungen der Holograﬁe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371 371 373 376 381 381 383

14 Matrixbeschreibung der Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren . . . . . . . 390 14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 15 Erzeugung von polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Dichroismus: Polarisation durch selektive Absorption . . . . . . . . . . . 15.2 Polarisation bei Reﬂexion an dielektrischen Oberﬂ¨achen . . . . . . . . 15.3 Polarisation durch Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Anisotropie der Brechzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Optische Aktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Spannungsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421 421 425 428 432 437 442 447 449

16 Fraunhofer-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1 Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Beugungsbedingte Strahldivergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Rechteck- und Kreisblenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Aufl¨ osungsverm¨ ogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Gitterbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

459 461 466 468 472 478 482

Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Gittergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nutzbarer Spektralbereich eines Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufl¨ osungsverm¨ ogen des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gittertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blaze-Technik f¨ ur Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterkopien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferenzgitter (holograﬁsche Gitter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

493 494 495 497 499 501 504 509 510 512

17 Das 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Inhaltsverzeichnis

IX

18 Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1 Fresnel-Kirchhoﬀsches Beugungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Kriterium f¨ ur Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Fresnel-Beugung an Kreisblenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Fresnelsche Zonenplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Fresnel-Beugung an Rechteckaperturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6 Die Cornu-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Babinetsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

519 520 524 526 529 533 535 538 546

19 Interferenz an Mehrfachschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Transfer-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Reﬂexion bei senkrechtem Einfall des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Reﬂexminderung durch zwei Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Reﬂexminderung durch drei Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Hochreﬂektierende Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

553 554 559 561 565 566

20 Fresnelsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 Die Fresnelschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Reﬂexion an optisch dichteren und d¨ unneren Medien . . . . . . . . . . . 20.2.1 Reﬂexion und Transmission bei n < n . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Reﬂexion und Transmission bei n > n . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Phasen¨ anderung bei Reﬂexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Evaneszente Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.6 Komplexe Brechzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.7 Metallreﬂexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

573 573 579 580 583 583 589 590 593 595

21 Grundlagen der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Einsteins Quantentheorie der Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Wesentliche Komponenten des Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Laserprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Eigenschaften des Laserlichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.1 Einfarbigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2 Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.3 Strahldivergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.4 Laserintensit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.5 Fokussierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Lasertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

601 602 609 613 618 618 623 626 630 633 638

X

Inhaltsverzeichnis

22 Eigenschaften von Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Die dreidimensionale Wellengleichung und elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Fresnel-N¨ aherung von Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Der Gaußsche Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Strahltaille und Wellenfront des Gaußschen Strahls . . . . . . . . . . . . 22.5 Stabile und instabile Laserresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme . . . . . . . . 22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

641

23 Laseranwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1 Laserwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Laser und Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Gegenw¨ artige Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

673 674 682 689

24 Faseroptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 24.2 Optische Ubertragungssysteme .............................. ¨ 24.3 Bandbreite und Ubertragungsrate ........................... 24.4 Lichtausbreitung in Fasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Erlaubte Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6 D¨ ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7 Signalverzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7.1 Modendispersion der Stufenindexfaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7.2 Gradientenindexfaser und deren Modendispersion . . . . . . . 24.7.3 Materialdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7.4 Wellenleiterdispersion und maximale Bitraten . . . . . . . . . . . 24.8 GRIN-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.9 Richtkoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

693 694 694 698 698 702 705 710 710 712 713 717 719 723

642 643 645 648 653 655 665

25 Fourier-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 25.1.1 Fraunhofer-Beugung und Fourier-Transformation . . . . . . . . 732 25.1.2 Ortsfrequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 25.1.3 Optische Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 25.1.4 Optische Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 25.1.5 Optische Abbildung als Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 ¨ 25.1.6 Systembeschreibung mit Hilfe der Ubertragungsfunktion . . 752 25.1.7 Modulations¨ ubertragungsfunktion der perfekten Abbildung 755 25.2 Fourier-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

Inhaltsverzeichnis

XI

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1 Nichtlineare Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Frequenzmischung und Brechzahlmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Der Pockels-Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5 Der Kerr-Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6 Faraday-Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.7 Akustooptische Eﬀekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

765 766 767 773 776 783 785 788 793

27 Optische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1 Deﬁnition der optischen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Mikroskopische Theorie der optischen Konstanten . . . . . . . . . . . . . 27.3 Optische Konstanten der Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.1 Dispersion von Gl¨ asern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.2 Optische Konstanten der Ionenkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4 Optische Eigenschaften der Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Plasmafrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

803 804 808 815 815 818 821 824

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

Vorwort zur 1. Auﬂage

¨ Das vorliegende Buch ist die Ubertragung des erfolgreichen amerikanischen Lehrbuches Introduction to Optics von Frank L. und Leno S. Pedrotti ins Deutsche. Der Originaltext wurde u ¨ berarbeitet, die deutschen DIN-Bezeichnungsund -Vorzeichenregeln verwendet und die Darstellung an die Voraussetzungen im deutschsprachigen Raum – so weit m¨ oglich – angeglichen. Einige Kapitel wurden um wichtige Aspekte, wie Modenstrukturen in Lichtwellenleitern und Lasern, Fl¨ ussigkristalle, systemtheoretische Ans¨atze und GRIN-Optik, erg¨anzt. ¨ Optik: Eine Einf¨ uhrung will einen m¨ oglichst umfassenden Uberblick u ¨ber die faszinierenden Teilbereiche der Optik geben. Vor 1960 (Vor-Laserzeit) war die Alltagserfahrung mit der Optik in der Regel auf den Gebrauch eines Fotoapparates, eines Fernglases, einer Lupe, eines Mikroskops oder lediglich einer Brille beschr¨ ankt. Heute begegnet uns t¨ aglich eine Vielzahl unterschiedlicher und teilweise komplexer optischer Systeme. Im Supermarkt werden an der Kasse die Strichcodes auf Waren durch Laserscanner erfasst. Kopierger¨at und Fax sowie Laserdrucker, CD-Abspielger¨ ate, Videokameras, Hologramme und Telekommunikation mit Lichtwellenleitern geh¨ oren zum normalen Umfeld. In den Medien werden uns die Leistungen und Grenzen der modernen Optotechnik, z.B. beim Hubble-Teleskop, vor Augen gef¨ uhrt. In Forschung, Entwicklung und in der industriellen Produktion dienen Laser, Optoelektronik, Faseroptik sowie Anwendungen der nichtlinearen Optik als wichtige Werkzeuge. Dieser Breite an aktuellen und zu erwartenden Anwendungen will das Buch gerecht werden. Neben den klassischen Feldern – geometrische Optik, Abbildungsfehler, optische Instrumente, Interferenz- und Beugungsph¨anomene – die in der Anwendung bei optischen Sensoren, der Beleuchtungsoptik und der Bildverarbeitung zunehmende Bedeutung haben, werden moderne Bereiche der Optik – wie Laser, Holograﬁe, Faseroptik, dielektrische Filme, Fourieroptik – dargestellt. Die Anforderungen an die mathematischen Vorkenntnisse des Lesers sind je nach optischem Teilgebiet sehr unterschiedlich, gute (Fach-)Abiturkenntnisse sind aber meist ausreichend. Mit einfachen 2 × 2- Matrizen kann man in der paraxialen

XIV

Vorwort

N¨ aherung die Abbildung durch optische Systeme, die Wirkung von Polarisationselementen, reﬂexmindernde Beschichtungen oder die Ausbreitung eines Laserstrahles (Gaußstrahles) berechnen. Im Gegensatz zum Original haben wir bei der Anwendung der Maxwell-Gleichungen auf die Vektoranalysis verzichtet. Dieses Buch will anhand von Beispielen und einfachen mathematischen Herleitungen die Grundlagen und Prinzipien der Optik verst¨andlich machen und eignet sich f¨ ur das Grundstudium und Selbststudium von Studierenden der Physik, Natur- und Ingenieurwissenschaften. Durch die Vermittlung von Prinzipien zum Entwurf optischer Ger¨ ate und die Behandlung weitergehender Themen ist es auch im Hauptstudium – insbesondere f¨ ur die ingenieurwissenschaftlichen Fachbereiche – wertvoll. Zu jedem Kapitel gibt es eine Sammlung von durchgerechneten ¨ Beispielen und Ubungen unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade, die der Vertiefung des Stoﬀes dienen. Die Idee, eine deutschsprachige Fassung des Buches der Br¨ uder Pedrotti zu er¨ stellen, er¨ oﬀnete sich in den Lehrveranstaltungen, d.h. Vorlesungen, Ubungen und Labors des Aufbaustudienganges Optotechnik und Bildverarbeitung“ an ” der Fachhochschule Darmstadt. Einer von uns (HS), hatte die Qualit¨aten des Pedrotti“ bereits w¨ ahrend der Arbeit in der Industrie sch¨atzen gelernt. Die ” ¨ beabsichtigten Anderungen besprachen wir im Sommer 1993 mit den Br¨ udern Pedrotti, die unser Vorhaben sehr positiv aufnahmen. Zu Beginn der Arbeit haben wir die amerikanische Ausgabe mehreren deutschen Kollegen u ¨ bersandt und sie um ihren Kommentar gebeten. In der 1. Auﬂage konnten wir noch nicht alle ¨ Anderungsvorschl¨ age ber¨ ucksichtigen. Die Erstellung eines so umfangreichen Buches ist nur mit kompetenter, professioneller Unterst¨ utzung m¨ oglich. Wir m¨ ochten deshalb den Fachkollegen f¨ ur ihre Anregungen und Korrekturhinweise, dem Verlagsleiter bei Prentice-Hall, Herrn Pakendorf, f¨ ur seine große Geduld und Frau Eckert f¨ ur das Schreiben des umfangreichen Manuskriptes danken. Der gr¨ oßte Dank gilt unseren Familien. Ohne ihr besonderes Verst¨ andnis f¨ ur den hohen u ¨ ber drei Jahre andauernden zeitlichen Aufwand f¨ ur dieses Buch w¨ are dieses Projekt nicht m¨oglich gewesen. Darmstadt, im Sommer 1996

Werner Bausch Hartmut Schmidt

Vorwort zur 3. Auﬂage

Die 2002 im Springer-Verlag erschienene 2. Auﬂage mit dem ge¨anderten Titel Optik f¨ ur Ingenieure: Grundlagen war bereits im Laufe des Jahres 2004 vergriﬀen. Bei der Neuauﬂage konnten wir die Fortschritte auf dem Gebiet der modernen Optik vor allem dadurch ber¨ ucksichtigen, dass wir die Fachkollegen in unserem Studiengang Optotechnik und Bildverarbeitung“ f¨ ur Anregungen zur Aktua” ¨ lisierung und Korrekturvorschl¨ age gewinnen konnten. Anderungsvorschl¨ age von Lesern der ersten beiden Auﬂagen versuchten wir ebenfalls zu ber¨ ucksichtigen. So ¨ wurden die umfangreichsten Anderungen und Erg¨anzungen in den Laserkapiteln (Laserdiode) und bei der Faseroptik vorgenommen. Bei der Neuauﬂage wurden insbesondere die fotograﬁschen Abbildungen verbessert und eine neue druckfertige Vorlage in LATEXerstellt. Diese umfangreiche Arbeit leistete Herr Daniel Reymann, Student unseres Studiengangs, mit hohem Einsatz und vielen eigenen Ideen und Vorschl¨agen, wof¨ ur wir ihm herzlich danken. Unser Dank gilt auch unseren Kollegen, den Herren Blendowske, Brinkmann, Dirks, Großkopf, Heddrich, Liesem, Rohlﬁng, Schoenes und Str¨obel, f¨ ur ihre Mitarbeit und Empfehlungen; weiterhin dem Springer-Verlag mit Frau HestermannBeyerle f¨ ur ihre fundierte Begleitung und Herrn Holzwarth f¨ ur seine Hilfe und Unterst¨ utzung beim Design des Buches. Besonderen Dank sagen wir unseren Familien, die wiederum Verst¨ andnis f¨ ur die zeitliche Inanspruchnahme hatten. In manchen Momenten hat mich (HS) Kalliope, die Muse der Wissenschaft, beﬂ¨ ugelt, die Arbeit voranzutreiben. Darmstadt, im Herbst 2004

Werner Bausch Hartmut Schmidt

Gr¨ oßen und Formelzeichen

a, a a aS , ap , aR A A α α α b B B B β β β χ c c0

c g , cp , cs

Objekt- und Bildweite Beschleunigung Bezugs-, Nah- und Fernpunktweite Fl¨ ache Aufl¨ osungsverm¨ ogen Streu-, Beugungs- und Abstrahlwinkel Keilwinkel zwischen Fl¨ achen D¨ ampfungskoeﬃzient von Fasern (Spalt-)Breite Beugungsverbreiterung ¨ Ubertragung-, Bitrate magnetische Induktion Drehwinkel (opt. Aktivit¨ at) Abbildungsmaßstab Spaltbeugungsparameter (16.10) elektrische Suszeptibilit¨ at Licht-, Wellengeschwindigkeit Vakuumlichtgeschwindigkeit (bisweilen nur c) Gruppen-, Phasen- und Schallgeschwindigkeit

C C d d dA , dE dopt ds D D D D∗ D(R) δ δ δ(x) ∆ ∆ ∆n ∆t e E

Kapazit¨at Kr¨ ummungsmittelpunkt Kreisblendendurchmesser Scheitelabstand von Fl¨achen Amplituden-, bzw. Energieeindringtiefe optischer Weg Skintiefe Brechwert einer Linse Gitterdispersion Schwellenempﬁndlichkeit Detektor Detektivit¨at ¨ optische Ubertragungsfunktion (OTF) Phasendiﬀerenz Ablenkungswinkel, Winkel zwischen Strahlrichtungen δ-, Dirac-Funktion Diﬀerenz, z.B. ∆x Gangunterschied relative Kern-MantelBrechzahldiﬀerenz Zeitdiﬀerenz, Pulsbreite Hauptpunktabstand von zwei optischen Systemen elektrische Feldst¨arke

XVIII Gr¨ oßen und Formelzeichen

E, Ee ε, ε , εr εg εp ε0 εr ε = ε0 εr f f f, f F F −1 Φ, Φe F/F 2 ϕ ϕ ϕ0 f12 g g g G/G γ γ12 γi Γ h

2

Beleuchtungs- und Bestrahlungsst¨ arke Einfalls-, Brechungs- und Reﬂexionswinkel Grenzwinkel der Totalreﬂexion Brewster-Winkel elektrische Feldkonstante des Vakuums Dielektrizit¨ atszahl Dielektrizit¨ atskonstante Frequenz Oszillatorenst¨ arke Objekt- und Bildbrennweite Fouriertransformation inverse Fouriertransformation Lichtstrom, Strahlungsﬂuss Spalt- oder Formfaktor/Funktion Phase Winkel bei Polarkoordinaten Nullphasenwinkel Faltungsintegral (25.24) Brechzahlexponent bei GRIN g-Parameter bei Laserresonatoren Gitterkonstante, (Doppel-)Spaltabstand Gitter-, Struktur-Faktor/Funktion Coddington-Formfaktor Koh¨ arenzgrad γ-Parameter bei Mehrfachschichten (19.4) Vergr¨ oßerung, Winkelvergr¨ oßerung Einfallsh¨ ohe eines Strahles

h h(X, Y ) H, He H, H H H Hm I I, Ie j j Jm (x) κ k, k k˜ = λ1 κ/κ k, K K, K K K K l l lK lt , lr L L, Le Lp (l)

Lp

Plancksches Wirkungsquantum Punktbildfunktion (PSF) Belichtung, Bestrahlung Hauptpunkte Hubble-Konstante magnetische Feldst¨arke Hermite-Polynom der Ordnung m Intensit¨at Lichtst¨ arke, Strahlst¨arke √ −1, imagin¨are Einheit Jones-Vektor f¨ ur Polarisationszust¨ande Bessel-Funktion m-ter Ordnung Absorptions-, Extinktionskoeﬃzient Kreiswellenzahl, Wellenvektor Wellenzahl Ortskreisfrequenz/-Vektor Blendenzahl Knotenpunkte fotometrisches Strahlungs¨aquivalent Absorptions-, Extinktionskonstante Kerr-Konstante L¨ange, Entfernung azimutale Modenzahl (Laserresonator) Kristallkoh¨arenzl¨ange (26.7) zeitliche bzw. r¨aumliche Koh¨arenzl¨ange L¨ange (Laserresonator) Leuchtdichte, Strahldichte Perioden-, Pitchl¨ange (24.36) Laguerre-Polynom der Ordnung p, l

Gr¨ oßen und Formelzeichen

λ, λ0 m

m m m M Me M, MWL µ µ0 µr n

n n, n /n no , nao N Nv NF ν O, O p p P P, P P p

Wellenl¨ ange, Vakuumwellenl¨ ange Ordnungszahl (m = 0, 1, . . ., Beugung) Modenzahl, Modenindex (Faseroptik) Modenzahl (x-Richtung, Laserresonator) Ruhmasse Modulation, (Streifen-)Konstrast speziﬁsche Ausstrahlung Material-, Wellenleiterdispersionskoeﬃzient Beweglichkeit magnetische Feldkonstante des Vakuums Permeabilit¨ atszahl Ordnungszahl (n = 1, 2, . . ., Beugung) Modenzahl (y-Richtung, Laserresonator) Brechzahl/komplexe Brechzahl ordentliche, außerordentliche Brechzahl Anzahl Anzahldichte (N/V )(18.35) Fresnel-Zahl Abbesche Zahl Objekt- und Bildpunkt auf der Achse radiale Modenzahl (Laserresonator) Impuls Leistung Objekt- und Bildpunkt außerhalb der Achse elektrische Polarisation elektrisches Dipolmoment

q q Q, q Qe r r r r, R R R/R Rn (f ) s s s, s sEH , sAH’ sEK , sAK’ S S S σ, σ t t t T T T

XIX

longitudinale Modenzahl (Laserresonator) komplexer Strahlparameter (Laserresonator) Ladung, Einzellladung Strahlungsenergie (Kr¨ ummungs-)Radius Reﬂexionsfaktor Ortsvektor, Verschiebungsvektor lineare und quadratische elektrooptische Konstante Kr¨ ummungsradius Wellenfront Ortsfrequenz/-vektor Radius der Zonenplatte Reﬂexionsgrad speziﬁsche Rotation (opt. Aktivit¨at) Kr¨ ummungsradius Resonatorspiegel (Laser) spektrale Strahlungsdichte Auslenkung spektrale Detektorempﬁndlichkeit Objekt- und Bildschnittweite Hauptpunktabst¨ande Knotenpunktabst¨ande Scheitelpunkt Poynting-Vektor Stokes-Vektor f¨ ur Polarisationszust¨ande Strahlwinkel zur optischen Achse Transmissionsfaktor Zeit Brennpunktabstand von optischen Systemen Temperatur Airy-Funktion Periodendauer

XX

Gr¨ oßen und Formelzeichen

T (R)

τ τ0 , τc ϑ Θ(R) θ θ θ u, u u, u U, UHW v v V V V V (λ)

¨ Modulations-Ubertragungsfunktion (MTF) Transmissionsgrad Koh¨ arenzzeit Polarisationswinkel ¨ Phasen-Ubertragungsfunktion (PTF) halber Strahl¨ oﬀnungswinkel (Gauß-Strahl) Winkel zwischen Polarisationsrichtungen Bragg-Winkel Aperturwinkel Unsch¨ arfekreisdurchmesser Spannung, Halbwellenspannung Geschwindigkeit Fresnel-Aperturkoordinate V -Faserparameter Verdet-Konstante Volumen spektraler Hellempﬁndlichkeitsgrad des Auges

w w, w W ω, ωp Ω Ω0 X, Y

x, y x , y ymin z z, z zR Z z

Strahltaillenradius (Gauß-Strahl) halber Feldwinkel, Sehwinkel Arbeit, Energie (Plasma-)Kreisfrequenz Raumwinkel Einheits-Raumwinkel Koordinaten in der Bildbzw. Beugungs-(Fourier)Ebene Koordinaten in der Objektbzw. Aperturebene Koordinaten in der Bildebene minimal aufl¨osbarer Abstand Lichtausbreitungsrichtung brennpunktbezogene Objekt- und Bildweite Rayleigh-L¨ange Wellenwiderstand komplexe Zahl

1 Was ist Licht?

Einleitung Das Verst¨ andnis der physikalischen Natur des Lichtes hat sich in der Wissenschaftsgeschichte faszinierend entwickelt. Seit dem Entstehen einer modernen Naturwissenschaft im 16. und 17. Jahrhundert hat man versucht, Licht mit den komplement¨ aren Modellen Teilchen“ oder Welle“ zu beschreiben, wobei ab” ” wechselnd eines der Modelle den Vorzug erhielt. Erst in unserem Jahrhundert erkannte man, dass Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften aufweist. Zahlreiche bedeutende Wissenschaftler versuchten, diesen Welle-TeilchenDualismus zu l¨ osen. Dies gelang schließlich durch die Entwicklung der Quantenelektrodynamik, eine der bedeutendsten und erfolgreichsten Theorien der modernen Physik. Im Folgenden wollen wir einige H¨ ohepunkte der Entwicklung der modernen Optik skizzieren. Hierbei m¨ ussen wir neben der Optik einige weitere Gebiete der Physik, vor allem die Elektrodynamik und die Atomphysik, mit einbeziehen. Dies zeigt, dass der Erkenntnisprozess zu einer Integration der physikalischen Teilgebiete f¨ uhrte, mit dem Ergebnis, dass Licht und subatomare Teilchen, wie die Elektronen, mit Hilfe derselben Modelle Materie“ oder Energie“ zu verstehen ” ” sind.

2

1 Was ist Licht?

Im 17. Jahrhundert war der prominenteste Vertreter der Teilchentheorie des Lichtes Isaac Newton (1643-1727), der Genius, der auch eine einheitliche Theorie der Mechanik und Gravitation schuf. In seiner Opticks“ betrachtet New” ton Licht als einen Strom sehr kleiner Teilchen, die von der Lichtquelle ausgesandt werden und sich geradlinig ausbreiten. Obwohl sich Newton oft vehement gegen physikalische Hypothesen aussprach, die nicht direkt durch Beobachtungen oder Experimente erh¨ artet waren, beharrte er auf seiner Teilchenhypothese. Wichtige Grundlage war f¨ ur ihn die Beobachtung, dass bei Licht scharfe Schatten entstehen k¨ onnen – im Gegensatz zu Wasser- und Schallwellen, die an Hindernissen gebeugt werden. Newton untersuchte auch jene Interferenzmuster, die heute als Newtonsche Ringe bezeichnet werden und die nicht einfach durch Teilchenstr¨ ome erkl¨ arbar sind. Er erweiterte daraufhin das Teilchenbild und erkl¨ arte diese Lichtmuster als ﬁts of easy reﬂection and easy transmission“, ” also eine Art periodische Teilchenbewegung aufgrund anziehender und abstoßender Kr¨ afte, die von den Materialien im Lichtweg ausge¨ ubt werden. Wegen Newtons u ¨ berragenden wissenschaftlichen Leistungen – vor allem in der Mechanik – konnte sich seine Betrachtung des Lichtes auch noch im 18. Jahrhundert durchsetzen.

Kurze Geschichte der Optik – Photonen- und Wellenmodell Christiaan Huygens (1629-1695), holl¨ andischer Physiker und Mathematiker und Zeitgenosse Newtons, entwickelte in seiner Abhandlung u ¨ber das Licht ( Tracta” tus de lumine“) 1690 die Hypothese, dass Licht eine Wellenbewegung darstellt, die sich, ausgehend von einer Quelle, in einem alles durchdringenden elastischen ¨ Medium, dem Ather, in alle Richtungen ausbreitet. Ihn beeindruckte die Beobachtung, dass sich zwei kreuzende Lichtstrahlen u ¨ berhaupt nicht beeinﬂussen, wie dies auch von Wasser- und Schallwellen bekannt ist. Mit Hilfe seiner Theorie entwickelte er das nach ihm benannte Huygenssche Prinzip und konnte hiermit Reﬂexion und Brechung sowie die Doppelbrechung von Kalkspat erkl¨aren. Fast genau 100 Jahre nach der Ver¨ oﬀentlichung von Newtons Opticks“ f¨ uhrte ” der Engl¨ ander Thomas Young (1773-1829) ein entscheidendes Experiment durch, ¨ das die Welleneigenschaften des Lichtes bewies und damit den Ubergang vom Teilchen- zum Wellenbild des Lichtes bewirkte. In seinem ber¨ uhmten Doppel¨ spaltexperiment wurde ein undurchl¨ assiger Schirm mit zwei kleinen Oﬀnungen ¨ mit dem monochromatischen Licht einer kleinen Oﬀnung beleuchtet. Die beobachteten Schatten“ bildeten ein komplexes Interferenzmuster ¨ahnlich dem von ” Wasserwellen. Die Erfolge der Wellentheorie setzten sich bis ins 20. Jahrhundert fort. Im ausgehenden 19. Jahrhundert mit seinem absoluten Vertrauen auf die aktuelle wissenschaftliche Erkenntnis gab es kaum Zweifel, dass das Licht – wie fast alle

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Gebiete der klassischen Physik – gut erforscht und verstanden war. Dies folgte aus zahlreichen Arbeiten, von denen nur einige erw¨ahnt seien: 1821 ver¨ oﬀentlichte Augustin Fresnel (1788-1827) die Ergebnisse seiner Experimente und Analysen, die Licht als Transversalwellen behandeln. Er zeigte, dass die Doppelbrechung von Kalkspat mit polarisiertem Licht verbunden ist. ¨ Vor ihm war man davon ausgegangen, dass die Lichtwellen des Fluids“ Ather ” notwendigerweise longitudinal sind, analog zu Schallwellen in einer Fl¨ ussigkeit, die keine transversalen Wellen transportiert. Mit Hilfe der Fresnelschen Gleichungen konnte er die Reﬂexion und Transmission polarisierten Lichtes an der Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei optischen Medien beschreiben. James Clark Maxwell (1831-1879) fasste die experimentellen Beobachtungen der Gebiete Elektrizit¨ at und Magnetismus in seinen 4 Maxwellgleichungen zusammen. Aus diesen folgte eine Voraussage f¨ ur die Geschwindigkeit elektromagneti¨ scher Wellen im Ather, die mit dem Messwert der Lichtgeschwindigkeit u ¨ bereinstimmte. Dies best¨ atigte die Modellvorstellung von Licht als elektromagnetischer Welle, die einen – besonders wichtigen – Ausschnitt des elektromagnetischen Spektrums darstellt. 1887 versuchten Albert Michelson und Edward Morley vergeblich, mit Hilfe eines optischen Interferenzexperiments die Bewegung der Erde ¨ relativ zum Ather festzustellen. Dies gab u.a. den Anstoß zu Albert Einsteins (1879-1955) spezieller Relativit¨atstheorie (1905), in der sich die Annahme eines ¨ Athers als u ussig erweist“; damit entf¨allt auch die Komplikation einer trans¨berﬂ¨ ” versalen Schwingung im Innern einer Fl¨ ussigkeit. Im 19. Jahrhundert entstand ein festes Fundament f¨ ur die Wellentheorie, das allerdings gegen Ende des Jahrhunderts wieder zu br¨ockeln begann, so dass der Welle-Teilchen-Disput neu entbrannte. Die Wellentheorie versagt bei der Erkl¨ arung der W¨ armestrahlung und der Wechselwirkung von Licht mit Materie, z.B. beim Photoeﬀekt. Im Jahre 1900 – also gerade an der Schwelle zum 20. Jahrhundert – berichtete Max Planck (1858-1947) in einer Sitzung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, dass er die Gesetze der Schwarzk¨orperstrahlung nur dann korrekt herleiten konnte, wenn er von der merkw¨ urdigen Annahme ausging, dass Licht in Energiepaketen und nicht als kontinuierliche Welle emittiert wird; damit waren die Quanten und die Quantenmechanik geboren. Nach Planck ist die Energie WPh eines Quants elektromagnetischer Strahlung proportional zur Frequenz f Quanten-, Photonenenergie

WPh = hf

(1.1)

mit h = 6,626 · 10−34 Ws2 , dem Planckschen Wirkungsquantum. Bei der Untersuchung des ¨ außeren Photoeﬀekts, der Ausl¨osung von Elektronen aus einer Metalloberﬂ¨ ache durch Licht, hatte Lenard 1902 entdeckt, dass die kinetische Energie der Elektronen nur von der Lichtfrequenz und nicht von der Lichtintensit¨ at abh¨ angt. Unterhalb einer Grenzfrequenz fg konnten keine Elektronen mehr

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1 Was ist Licht?

ausgel¨ ost werden. Einstein erkl¨ arte dies 1905 mit Hilfe von Plancks Gleichung als Wechselwirkung eines Stroms von Lichtquanten (Photonen) mit den Elektronen, die mit der sogenannten Austrittsarbeit WA im Metall gebunden sind. Die Photonen u ¨bertragen ihre gesamte Energie hf auf die Elektronen und werden dabei vernichtet. Die maximale kinetische Energie Wkin der austretenden Elektronen ist dann die Diﬀerenz von Photonenenergie und Austrittsarbeit: Wkin = hf − WA

(1.2)

F¨ ur Frequenzen f < fg = WA /h reicht die Photonenenergie nicht mehr zur ¨ Uberwindung der Bindungsenergie aus. Der D¨ane Niels Bohr (1885-1962) stellte 1913 bei der Erkl¨ arung der Emissions- und Absorptionsprozesse in H-Atomen folgende Bedingung auf: Bohrsche Frequenzbedingung

hfmn = Wm − Wn

(1.3)

wonach die Energie hfmn der absorbierten und emittierten Photonen gleich der Diﬀerenz der diskreten Energien Wm und Wn des Elektrons in den Schalen m und n ist. Hiermit konnte er das Linienspektrum des Wasserstoﬀs erkl¨aren. Das Korpuskelmodell des Lichtes kam 1922 auch Arthur Compton zu Hilfe, der hiermit die inelastische (Compton-) Streuung von R¨ontgenstrahlen an freien Elektronen erkl¨ arte. Entsprechend den klassischen Stoßgesetzen treﬀen hierbei R¨ontgenphotonen auf ruhende Elektronen und u ¨ bertragen hierbei einen Teil ihrer Energie – unter Erhaltung von Gesamtenergie und Gesamtimpuls. Diese Erfolge des Teilchenmodells zeigten, dass Licht als eine besondere Art von Materie anzusehen ist, der Energie und Impuls zugeordnet ist. Louis de Broglie (1892-1987) verallgemeinerte diese Erkenntnis und ver¨oﬀentlichte 1924 die Hypothese, dass (mikroskopische) Teilchen mit dem Impuls p auch Welleneigenschaften mit der Materiewellenl¨ange oder der de-Broglie-Wellenl¨ange

λ=

h p

(1.4)

aufweisen sollten, wobei h wieder die Plancksche Konstante ist. Erste Best¨atigungen seiner Hypothese erfolgten 1927-28 durch Clinton Davisson und Lester Germer in den USA und Sir George Thomson in England bei Experimenten, die sich nur als Beugung von Elektronen an Kristallgittern interpretieren ließen. Damit galt der Welle-Teilchen-Dualismus universell. Licht verhielt sich bei Ausbreitungs-, Interferenz- und Beugungsph¨anomenen wie Wellen; es konnte sich aber auch bei der Wechselwirkung mit Materie, z.B. beim Photoeﬀekt, als Teilchen verhalten. Auf der anderen Seite zeigten Elektronen in der Regel Teilcheneigenschaften, die z.B. beim punktf¨ ormigen Aufblitzen einer Szintillationsschicht

1 Was ist Licht?

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zu beobachten waren; in anderen F¨ allen – beispielsweise bei der Doppelspaltbeugung mit Hilfe eines Elektronenmikroskops – waren sie als Wellen zu betrachten. Dass sich Photonen und Elektronen sowohl als Teilchen als auch als Wellen verhalten, schien zun¨ achst ein unl¨ osbarer Widerspruch, da ja Teilchen und Wellen v¨ ollig verschiedene Eigenschaften sind. Allm¨ahlich wurde, insbesondere durch die ¨ Uberlegungen von Bohr klar, dass Photon und Elektron weder Teilchen noch Wellen sind, sondern komplexere und weitgehend unanschauliche Gebilde darstellen. Bohr formulierte hierf¨ ur das Prinzip der Komplementarit¨at. Bei der Erkl¨ arung physikalischer Ph¨ anomene versucht man nat¨ urlich, auf die gut bekannten Modelle Welle und Teilchen zur¨ uckzugreifen. Es zeigt sich jedoch, dass keines dieser beiden Modelle f¨ ur ein umfassendes Verst¨andnis des Photons oder Elektrons ausreicht. Wir m¨ ussen uns damit begn¨ ugen, festzustellen, dass in bestimmten Situationen wellen¨ ahnliche und in anderen teilchen¨ahnliche Eigenschaften vorherrschen. Wir kennen aber kein einfaches physikalisches Modell, das alle beobachteten Ph¨ anomene beschreibt. Quanten- oder Wellenmechanik befasst sich mit im Raum – mehr oder weniger – lokalisierten Teilchen und beschreibt somit sowohl Licht als auch Materie. In Verbindung mit der speziellen Relativit¨atstheorie gelten f¨ ur Impuls p, Wellenl¨ ange λ, Geschwindigkeit v und kinetische Energie Wkin als Funktion der Gesamtenergie W und (Ruh-)Masse m: √ W 2 − m2 c4 p= (1.5) c hc h =√ 2 p W − m 2 c4 m2 c4 pc2 v= =c 1− W W2

(1.6)

λ=

Wkin = W − mc2 = mc2 (γ − 1)

mit

γ=

(1.7) 1

(1.8) 2

1 − (v/c)

Hierbei ist c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, mc2 die Ruhenergie W0 und Wkin die Arbeit zur Beschleunigung eines anfangs ruhenden Teilchens auf die Geschwindigkeit v. Wir sehen, dass die kinetische Energie nicht mehr einfach durch 1 2 ur v c durch Reihenentwicklung 2 mv gegeben ist; dieser Ausdruck folgt erst f¨ von γ. Die relativistische Masse ergibt sich zu mrel = γm. Photonen unterscheiden sich von anderen Teilchen, wie Elektronen und Neutronen, wesentlich dadurch, dass sie keine Ruhmasse haben. Dann vereinfachen sich die obigen Beziehungen (1.5) bis (1.8) bei Verwendung von W = WPh = hf (s. (1.1)) zu:

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1 Was ist Licht?

p=

W hf h = = c c λ

(1.9)

λ=

hc c h = = p W f

(1.10)

pc2 =c W

(1.11)

v=

W = Wkin = hf

(1.12)

W¨ ahrend Teilchen mit endlicher Ruhmasse die Lichtgeschwindigkeit c nur asymptotisch f¨ ur W → ∞ erreichen, bewegen sich masselose Teilchen im Vakuum immer mit der konstanten Geschwindigkeit c. Die Energie eines Photons ist von seiner Geschwindigkeit unabh¨ angig, kinetische und Gesamtenergie stimmen u ¨berein! Beispiel 1.1 Relativistisches“ Elektron und Photon ” Elektronen (Ruhenergie W0 = 0,511 MeV) werden auf eine kinetische Energie von 2,5 MeV beschleunigt. Bestimmen Sie den relativistischen Impuls, die Wellenl¨ ange und die Geschwindigkeit der Elektronen. Ermitteln Sie die entsprechenden Gr¨ oßen f¨ ur ein Photon (γ-Quant) derselben Energie. L¨ osung Die Gesamtenergie ist die Summe von kinetischer und Ruhenergie: W = W0 + Wkin = 3,011 MeV = 4,82 · 10−13 Ws. Aus (1.5) folgt f¨ ur den Impuls p = 1,58 · 10−21 kg m/s. Die Materiewellenl¨ ange ist dann h λ = = 4,18 · 10−13 m = 418 fm1 p und die Geschwindigkeit v = 2,95 · 108 m/s bzw. v/c = 0,985. F¨ ur das Photon erhalten wir statt dessen mit m = 0: p = 1,61 · 10−21 kg m/s,

λ = 412 fm sowie v = c.

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen Elektron und Photon besteht darin, dass Elektronen der Fermi- und Photonen der Bose-Statistik gehorchen. Aus der Fermi-Statistik folgt die Einschr¨ ankung, dass sich zwei Elektronen in demselben wechselwirkenden System nie in demselben Quantenzustand beﬁnden, d.h. 1

fm = femto“-m = 10−15 m. ”

1 Was ist Licht?

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exakt gleiche physikalische Eigenschaften aufweisen d¨ urfen. In der Bose-Statistik gilt dieses Verbot nicht, so dass eine große Zahl von benachbarten Photonen mit gleichen Impulsen und Energien existieren kann. Dies ist in Lichtstrahlen der Fall, weshalb die Teilchennatur des Strahls im Allgemeinen unbemerkt bleibt und Licht als kontinuierliche elektromagnetische Welle zu beschreiben ist. Bei dieser Betrachtung erscheinen elektromagnetische Felder als eine spezielle Realisierung von Photonenzust¨ anden. Eine wesentliche Konsequenz der Wellennatur von Teilchen ist in Heisenbergs (1901-1970) Unbestimmheitsrelationen enthalten. Hiernach gehorchen Teilchen keinen deterministischen Bewegungsgleichungen, sondern die Theorie sagt nur Wahrscheinlichkeiten voraus. In der Wellenmechanik sind den Teilchen u ¨ ber die fundamentale Wellengleichung Wellenamplituden zugeordnet, deren Betragsquadrat proportional zu der Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen in einem bestimmten Zeitintervall in einem Raumbereich anzutreﬀen. Damit wird auch die Intensit¨at dieser Wellen, die ebenfalls proportional zum Amplitudenquadrat ist, ein Maß f¨ ur diese Wahrscheinlichkeit. F¨ ur große Teilchenzahlen gehen Wahrscheinlichkeiten in scharfe Werte u onnen dann f¨ ur die Bestrahlungsst¨arke Ee einer ¨ ber. Wir k¨ Lichtwelle im Teilchenbild schreiben Bestrahlungsst¨arke im Photonenbild

Ee =

N˙ hf A

(1.13)

2 mit [Ee ] = W/m . Hierbei ist N˙ /A die Photonenstromdichte (Einheit: Photoache triﬀt. Auf diese Weise lassen sich nen/(s ·m2 )), die auf die bestrahlte Fl¨ Interferenz- und Beugungsmuster auch im Teilchenbild erkl¨aren. Die Wellenamplituden bestimmen jeweils die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Auftreﬀen der Teilchen an den einzelnen Punkten der Bestrahlungsmuster. In der Quantenelektrodynamik, die die Prinzipien von Wellenmechanik und spezieller Relativit¨ atstheorie vereint und den Welle-Teilchen-Dualismus aufl¨ost, nimmt man an, dass Photonen nur mit Ladungen wechselwirken. Beispielsweise kann ein Elektron sowohl Photonen absorbieren als auch emittieren, wobei die jeweilige Wahrscheinlichkeit dem Ladungsquadrat proportional ist. Hierbei gilt f¨ ur die Bose-Teilchen des Lichtes kein Erhaltungssatz der Teilchenzahl. Elektronen und Photonen gehorchen denselben allgemeinen Prinzipien, wodurch wesentliche Unterschiede aufgehoben werden. Durch diese Vereinheitlichung wird Licht nur als eine andere Form von Materie betrachtet. Die von uns zugrunde gelegte Beschreibung beh¨alt die komplement¨aren Aspekte von Teilchen und Welle bei und beschreibt die experimentellen Beobachtungen durch das jeweils richtige“ Modell. Wir werden sehen, dass f¨ ur viele ” optische Ph¨ anomene (z.B. die Lichtbeugung), die in diesem Buch behandelt werden, das Wellenmodell des Lichtes angemessen ist. Das Photonenbild ist aber beim Verst¨ andnis der Lichtabsorption und Lichtemission sowie der Photonendetektoren unerl¨ asslich.

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1 Was ist Licht?

¨ Ubungen 1.1 Berechnen Sie die de Broglie-Wellenl¨ ange a) eines Golfballs mit 50 g Masse und einer Geschwindigkeit von 20 m/s, b) eines Elektrons mit 10 eV kinetischer Energie. 1.2 Die Empﬁndlichkeitsschwelle des menschlichen Auges liegt im g¨ unstigsten Fall bei etwa 100 Photonen/s. Das Auge ist bei einer Wellenl¨ ange von etwa 550 nm am empﬁndlichsten. Welche minimale Lichtleistung kann das Auge demnach detektieren? 1.3 Wie groß ist die Energie (in eV) von Photonen vom Rand des sichtbaren Spektrums bei 400 und 700 nm? 1.4 Bestimmen Sie Energie und Impuls eines Photons, dessen Energie gleich der Ruh¨ 1.5) ist. energie des Elektrons (s. Ub. 1.5 Zeigen Sie, dass die Ruhenergie des Elektrons 0,511 MeV betr¨ agt. 1.6 Ein Elektron durchf¨ allt eine Potentialdiﬀerenz von 1 MV. Zeigen Sie, dass man f¨ ur seinen Impuls schreiben kann: p = 1,422 MeV/c, wobei c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. 1.7 Beweisen Sie die folgende reduzierte Gr¨ oßengleichung f¨ ur den Zusammenhang zwischen Photonenergie und Wellenl¨ ange: 1240 nm WPh = eV λ 1.8 Beweisen Sie, dass f¨ ur v c die relativistische kinetische Energie Wkin = mc2 (γ − 1) in den klassischen Ausdruck Wkin = 12 mv 2 u ¨ bergeht. 1.9 Ein a) b) c)

Proton wird auf eine kinetische Energie von 2 GeV beschleunigt. Finden Sie: seinen Impuls, seine de Broglie-Wellenl¨ ange und die Wellenl¨ ange eines Photons mit der gleichen Gesamtenergie.

1.10 Bei senkrechter Einstrahlung liegt die Bestrahlungsst¨ arke der Sonne in Meeresh¨ ohe ur eine mittlere Wellenl¨ ange von 550 nm bei etwa 1 kW/m2 . Berechnen Sie hieraus f¨ die Photonenstromdichte bezogen auf 1 cm2 . 1.11 Zwei parallele Lichtstrahlen gleicher Leistung, aber unterschiedlicher Wellenl¨ ange, treﬀen auf eine Oberﬂ¨ ache. Zeigen Sie, dass hierbei das Verh¨ altnis der Photonenstr¨ ome gleich dem der Wellenl¨ angen ist.

2 Erzeugung und Messung von Licht

Einleitung Die elektromagnetische Strahlung von Strahlungsquellen kann unterschiedliche Wellenl¨ ange (oder Frequenz) und St¨ arke aufweisen. Die Einteilung aufgrund der Wellenl¨ ange wird durch das elektromagnetische Spektrum charakterisiert. ¨ Die Anderungen in der St¨ arke werden durch physikalische Begriﬀe beschrieben, die sich in den Gebieten der Radiometrie (Strahlungsphysik) und Fotometrie (Lichttechnik) entwickelt haben. Quellen und Detektoren der elektromagnetischen Strahlung klassiﬁziert man nach dem entsprechenden spektralen Bereich und nach der St¨ arke des erzeugten (Quellen) oder des nachgewiesenen Signals (Detektoren).

2.1 Elektromagnetisches Spektrum Eine elektromagnetische St¨ orung, die sich durch den Raum als Welle ausbreitet, nennt man monochromatisch, wenn sie nur ein sehr schmales Wellenl¨ angenband (∆λ ≈ 0) enth¨ alt oder polychromatisch, wenn sie viele Wellenl¨ angen, entweder diskret oder in Form eines Kontinuums, aufweist. Die Verteilung der Energie u ¨ ber die verschiedenen Teilwellen nennt man Spektrum der

10

2 Erzeugung und Messung von Licht

Strahlung. Das Adjektiv spektral beinhaltet die Wellenl¨angenabh¨angigkeit. Verschiedene Bereiche des elektromagnetischen Spektrums werden gesondert gekennzeichnet, wie z.B. Radiowellen, γ-Strahlung, Licht und ultraviolette Strahlung. Die meisten der gebr¨ auchlichen Bezeichnungen sind in Abb. 2.1 angegeben, in der das elektromagnetische Spektrum sowohl in Abh¨angigkeit von der Wellenl¨ ange λ als auch von der Frequenz f gezeigt wird. Diese beiden Gr¨ oßen h¨ angen u ¨ber die Wellengeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) c zusammen: Phasengeschwindigkeit einer Welle

c = λf

(2.1)

Die Strahlung, die in Abb. 2.1 angenommen wird, soll sich im Vakuum ausbreiten, ur die Welwo n¨ aherungsweise c0 = 3 · 108 m/s gilt. Gebr¨auchliche Einheiten f¨ −9 lenl¨ angen sind Nanometer (1 nm = 10 m) oder Mikrometer (1 µm = 10−6 m). Die Bereiche verschiedener Wellenl¨ angen sind nicht pr¨azise begrenzt. Die Gebiete k¨ onnen u ¨ berlappen, wie z.B. beim Kontinuum von der R¨ontgen- bis zur Gammastrahlung. In DIN 5031 sind die Wellenl¨angenbereiche genormt festgelegt. Der enge Bereich elektromagnetischer Wellen von ungef¨ahr 380 nm bis 780 nm verursacht einen Sinneseindruck im menschlichen Auge und wird deshalb als Licht bezeichnet. Diese sichtbare Region des Spektrums, die die Farben vom Roten (langwelliges Ende) bis zum Violetten (kurzwelliges Ende) beinhaltet, ist durch die unsichtbaren ultravioletten – 100 nm bis 380 nm – und infraroten – 780 nm bis 1 mm – Bereiche begrenzt. Diese drei Bereiche zusammen umfassen die optische Strahlung, die nach DIN 5031 von λ = 100 nm bis ca. 1 mm reicht.

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie) In der Strahlungsphysik besch¨ aftigt man sich mit der Messung elektromagnetischer Strahlung. In diesem Kapitel f¨ uhren wir die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen ein, die zur Charakterisierung des Energieinhaltes der Strahlung benutzt werden. Sp¨ ater diskutieren wir kurz einige der physikalischen Prinzipien, die in Messger¨ aten zur Messung von Strahlung genutzt werden. In der Praxis werden eine Vielzahl strahlungsphysikalischer Begriﬀe eingef¨ uhrt und eingesetzt. Wir f¨ uhren hier nur die gebr¨ auchlichsten an. Diese Gr¨oßen und die zugeh¨origen Einheiten sind in Tabelle 2.1 dargestellt. Die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen erscheinen mit dem Index e“ (ener” getisch), um sie von den ¨ ahnlichen lichttechnischen Begriﬀen zu unterscheiden. urfen Die Gr¨ oßen Strahlungsenergie Qe und Strahlungsﬂuss Φe einer Quelle bed¨

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie)

11

Abb. 2.1. Elektromagnetisches Spektrum als Funktion der Wellenl¨ ange im Vakuum und der Frequenz. Der kleine Bereich des sichtbaren Spektrums ist vergr¨ oßert herausgezeichnet

12

2 Erzeugung und Messung von Licht

keiner weiteren Erkl¨ arung. Die Strahlungsﬂussdichte auf einer Empf¨anger-Fl¨ache nennt man: Bestrahlungsst¨arke

Ee =

dΦe dA2

mit [Ee ] =

W m2

(2.2)

Tabelle 2.1. Radiometrische und fotometrische Gr¨ oßen Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen Benennung

Lichttechnische Gr¨ oßen

Zeichen

Einheit

Deﬁnition Benennung

Strahlungsenergie

Qe

Ws

Strahlungsﬂuss

Φe

W

Φe =

Strahlst¨ arke

Ie

W/sr

Ie =

2

Strahldichte

Le

Bestrahlungsst¨ arke

Ee

W/m2

speziﬁsche Ausstrahlung

Me

W/m2

W/(m sr) Le =

Zeichen Einheit

Lichtmenge

Q

lm s

dQe dt

Lichtstrom

Φ

lm

dΦe dΩ dIe dA1 cos ε

Lichtst¨ arke

I

cd = lm/sr

Leuchtdichte

L

cd/m2

Beleuchtungsst¨ arke

E

lx = lm/m2

Ee = Me =

dΦe dA2 dΦe,H dA1

Bestrahlung He Ws/m2 He = Ee dt Belichtung H lx s Anmerkung: Φe,H ist der Strahlungsﬂuss einer Strahlungsquelle in den Halbraum, dA1 = Fl¨ achenelement der Quelle, dA2 = Fl¨ achenelement des Empf¨ angers, s. Abb. 2.5 sr = sterad, lm = Lumen, cd = Candela, lx = Lux.

Die Strahlungsﬂussdichte einer Quelle, die den Strahlungsﬂuss dΦe,H vom Fl¨ achenelement dA1 in den Halbraum strahlt, bezeichnet man als: speziﬁsche Ausstrahlung

Me =

dΦe,H dA1

mit [Me ] =

W m2

(2.3)

Den durch eine Punktquelle in eine gegebene Richtung (s. Abb. 2.2) emittierten Strahlungsﬂuss Φe pro Raumwinkeleinheit dΩ nennt man: Strahlst¨arke

Ie =

dΦe dΩ

mit [Ie ] =

W sr

(2.4)

Die Strahlst¨arke Ie einer Kugel, die die Leistung Φe gleichf¨ormig in alle Richtungen abstrahlt, ist z.B. Φe /4π sr, da der Raumwinkel in diesem Fall 4π sr betr¨agt.

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie)

13

e Abb. 2.2. Die Strahlst¨ arke Ie = dΦ ist der Fluss pro Raumwinkeleinheit, dem hier dΩ die Kreisﬂ¨ ache dA zugeordnet wurde. Es gilt dΩ = dA/r2

¨ Die Anderung der Bestrahlungsst¨ arke mit dem Abstand von der Quelle (s. Abb. 2.3) ergibt sich, wenn man die Bestrahlungsst¨arke auf einer Kugelﬂ¨ache, die konzentrisch um die Punktquelle liegt, berechnet. Der Raumwinkel betr¨agt 4π und die Kugeloberﬂ¨ ache A = 4πr2 . Damit ist: Ee =

Φe Ie 4πIe = 2 = A 4πr2 r

(2.5)

Abb. 2.3. Bestrahlungsst¨ arke einer Punktquelle als Funktion des Abstandes. Der Fluss, der von der Punktquelle ausgeht, verteilt sich u oßere Fl¨ achen und ¨ ber zunehmend gr¨ bewirkt damit eine Bestrahlungsst¨ arke, die mit 1/r 2 abnimmt

Die Strahldichte Le gibt die Strahlst¨ arke der projizierten Quellenﬂ¨ache (eﬀektive Senderﬂ¨ ache) an, die senkrecht zur Beobachtungsrichtung steht. Sie ist mit

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2 Erzeugung und Messung von Licht

(2.4) gegeben durch: Strahldichte

Le =

dIe d2 Φe = dA1 cos ε dΩ dA1 cos ε

mit [Le ] =

W sr m2

(2.6)

Im Folgenden wollen wir die Bedeutung der Strahlst¨arke f¨ ur den besonderen Fall eines Lambertschen Strahlers diskutieren. Die Strahlst¨arke wird f¨ ur einen vorgegebenen Raumwinkel durch die feste Aperturblende AB in der Entfernung r von der strahlenden Oberﬂ¨ ache festgelegt, wie in Abb. 2.4 gezeigt. Die Blende kann z.B. die Eingangs¨ oﬀnung eines Messinstrumentes sein, das den gesamten ¨ Strahlungsﬂuss, der durch die Oﬀnung eintritt, misst. In Richtung der Normalen auf der Oberﬂ¨ ache beobachtet man bei ε die maximale Strahlst¨arke Ie0 . Bewegt man die Apertur auf einem Kreis (Kugeloberﬂ¨ache) mit dem Radius r, wobei man den Winkel ε vergr¨ oßert, so nimmt von der Beobachtungsrichtung aus gemessen die Strahlst¨ arke proportional zu cos ε ab: Abstrahlungscharakteristik eines Lambertschen Strahlers

Ie (ε) = Ie0 cos ε

(2.7)

Misst man die Strahldichte Le f¨ ur jeden Winkel ε, so ist diese konstant, weil f¨ ur jeden Winkel die Bestrahlungsst¨ arke durch die Fl¨ache A1 cos ε dividiert wird, so dass die Kosinusabh¨ angigkeit verschwindet: Le =

Ie (ε) Ie0 cos ε Ie0 = konst. = = A1 cos ε A1 cos ε A1

(2.8)

Abb. 2.4. a) Strahlungsﬂuss entlang einer Beobachtungsrichtung, die unter dem Winkel ε zur Normalen der abstrahlenden Oberﬂ¨ ache steht. Die strahlende Fl¨ ache ist gerastert, ihre Projektion gestrichelt gezeichnet. b) Strahlst¨ arke des Lambertschen Strahlers in Abh¨ angigkeit vom Abstrahlwinkel im Polardiagramm

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie)

15

Ist die Strahldichte einer strahlenden Oberﬂ¨ache unabh¨angig vom Beobachtungswinkel, so handelt es sich um einen Lambertschen Strahler. F¨ ur sogenannte Kugelstrahler gilt demgegen¨ uber I(ε) = konst. Die Gl¨ uhwendel einer Lampe wirkt in der Ebene, die die Achse der Wendel enth¨alt wie ein Lambertstrahler, in der Ebene senkrecht dazu wie ein Kugelstrahler. Als N¨ achstes zeigen wir, dass die Strahldichte f¨ ur einen Strahl, der sich in einem homogenen, nicht absorbierenden Medium ausbreitet, u ¨ berall denselben Wert aufweist. Abbildung 2.5 zeigt einen Strahl in solch einem Medium, wobei ¨ zur Ubersicht nur der zentrale Strahl gezeichnet ist und das schmale umgebende Strahlenb¨ undel, das durch die Fl¨ achenelemente dA1 und dA2 geht, nicht gezeigt wird. Der zentrale Strahl triﬀt relativ zu den Oberﬂ¨achennormalen unter den achen, so wie in Abb. 2.5 gezeigt. Der Raumwinkel Winkeln ε1 und ε2 , auf die Fl¨ ist dΩ1 = dA2 cos ε2 /r2 , wobei dA2 cos ε2 die Projektion der Fl¨ache dA2 darstellt. Nach (2.6) erh¨ alt man f¨ ur die Strahldichte L1 auf dA1 : Le1 =

d2 Φe1 d2 Φe1 = dΩ1 dA1 cos ε1 (dA2 cos ε2 /r2 ) dA1 cos ε1

(2.9)

In ¨ ahnlicher Weise erhalten wir bei Vertauschung von dA1 und dA2 in Abb. 2.5: Le2 =

d2 Φe2 d2 Φe2 = dΩ2 dA2 cos ε2 (dA1 cos ε1 /r2 ) dA2 cos ε2

(2.10)

Abb. 2.5. Nachweis der Erhaltung der Strahldichte in einem homogenen verlustfreien Material

In einem nicht absorbierendem Medium bleibt die Leistung im Strahlenb¨ undel konstant, das bedeutet dΦe1 = dΦe2 , so dass wir aus (2.9) und (2.10) schließen k¨ onnen, dass Le1 = Le2 ist. Daraus ergibt sich, dass die Strahldichte des Strahles immer gleich der Strahldichte der Quelle ist, es gilt dann Le1 = Le2 = Le0 . Betrachten wir als N¨ achstes Abb. 2.6 und untersuchen den Anteil der Strahlungsleistung, der das Fl¨ achenelement dA2 auf der Oberﬂ¨ache A2 vom Fl¨achen-

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.6. Beleuchtung einer Fl¨ ache durch eine andere strahlende Oberﬂ¨ ache. Jedes strahlende Fl¨ achenelement dA1 tr¨ agt zur Bestrahlung jedes bestrahlten Fl¨ achenelementes dA2 bei

element dA1 der Quellenﬂ¨ ache A1 erreicht. Die Verbindungslinie der Fl¨achenelemente hat die L¨ ange r12 und bildet mit den Oberﬂ¨achennormalen die Winkel ε1 und ε2 . Die Strahlungsleistung betr¨ agt d2 Φe12 . Mit (2.9) und (2.10) erh¨alt man: d2 Φe12 =

Le cos ε1 cos ε2 dA1 dA2 2 r12

und f¨ ur die Gesamtstrahlungsleistung auf der gesamten zweiten Oberﬂ¨ache aufgrund der Einstrahlung von der gesamten ersten Fl¨ache durch Integration Le cos ε1 cos ε2 dA1 dA2 (2.11) Φe12 = 2 r12 A1 A2 Hieraus ergibt sich f¨ ur die Abstrahlung in den Halbraum: Lambertscher Strahler Kugelstrahler

Φe = πIe0 Ω0

(2.12)

Φe = 2πIe0 Ω0

mit Ω0 = 1 sr als Einheits“-Raumwinkel. ” Da wir bei dieser Integration die Leistung und nicht die Amplituden addiert haben, nehmen wir stillschweigend an, dass die Strahlungsquelle inkoh¨arente Strahlung emittiert. In einem sp¨ ateren Kapitel werden wir uns ausf¨ uhrlicher mit der Addition inkoh¨ arenter und koh¨ arenter Strahlung besch¨aftigen.

2.3 Lichttechnische Gr¨ oßen (Fotometrie) Die strahlungsphysikalischen (radiometrischen) Gr¨oßen kennzeichnen die Strahlungsenergie bei allen Wellenl¨ angen. Bei der Fotometrie beschr¨ankt man sich

2.3 Lichttechnische Gr¨ oßen (Fotometrie)

17

auf den sichtbaren Anteil des optischen Spektrums. Die Radiometrie ist eine rein physikalische Messung, w¨ ahrend bei der Fotometrie die Empﬁndlichkeit des menschlichen Auges f¨ ur verschiedene Wellenl¨angen ber¨ ucksichtigt wird und man deshalb physiologisch-physikalische Messungen durchf¨ uhrt. Damit ber¨ ucksichtigt man, dass das menschliche Auge als Detektor keine konstante spektrale Empﬁndlichkeit aufweist; die Nachweisempﬁndlichkeit f¨ ur verschiedene Wellenl¨angen ist unterschiedlich. Betrachtet man drei Lichtquellen von gleicher Strahlungsdichte, die z.B. blaues, gelbes und rotes Licht aussenden, so wird die gelbe Lichtquelle viel heller erscheinen als die anderen. Benutzt man fotometrische Einheiten, so misst man die Eigenschaften der sichtbaren Strahlung so, wie sie dem normalen Auge erscheinen und nicht wie sie ein physikalischer Detektor nachweist. Da (gl¨ ucklicherweise) nicht alle menschlichen Augen identisch sind, hat man eine Standardempﬁndlichkeit festgelegt, die in Abb. 2.7 gezeigt ist. Hier ist die relative Helligkeitsempﬁndlichkeit des Auges gegen die Wellenl¨ange (spektraler Hellempﬁndlichkeitsgrad nach DIN 5031, Blatt 3) aufgetragen. Man sieht, dass die maximale Empﬁndlichkeit bei der gelb-gr¨ unen Wellenl¨ange von 555 nm auftritt. Dies gilt f¨ ur die Empﬁndlichkeit des Auges f¨ ur photopische Anpassung (Zapfensehen), also bei Tag. F¨ ur kleinere Beleuchtungsst¨arken, wenn das Auge auf skotopische Anpassung (St¨ abchensehen) adaptiert ist, verschiebt sich das Maximum der Kurve zum Gr¨ unen hin und liegt bei 507 nm. Der menschliche Farbeindruck ist eine Funktion der Beleuchtungsst¨arke, bei sehr niedrigen Beleuchtungsst¨ arken hat man keinerlei Farbeindruck mehr. Eine M¨oglichkeit dies nachzuweisen, ist der Vergleich der Farben von Sternen, wie sie dem Auge erscheinen, mit Farbfotograﬁen. Die Abh¨ angigkeit der Farbempﬁndung von einer minimalen Beleuchtung l¨ asst sich durch Projektion eines Farbdias auf einen Schirm mit sehr niedriger Stromst¨ arke der Projektorgl¨ uhlampe zeigen. Bei sehr kleinen elektrischen Str¨ omen erscheint das Farbdia auf dem Schirm schwarz-weiß, bzw. in Graut¨onen. Erst bei Steigerung der Stromst¨ arke u ¨ ber einen Grenzwert erh¨alt man ein farbiges Bild. Andererseits kann man sehr intensive Strahlung auch jenseits der Wellenl¨ angengrenze der Standard-Augenempﬁndlichkeit sehen. So ist die Infrarotstrahlung eines Gallium-Arsenid-(GaAs-) Halbleiterlasers bei ca. 900 nm als tiefes Rot wahrnehmbar. Die radiometrischen Gr¨ oßen h¨ angen mit den fotometrischen Gr¨oßen u ¨ ber die Augenempﬁndlichkeitskurve der Abb. 2.7 in der folgenden Weise zusammen: Einem Strahlungsﬂuss von 1 W bei der Peakwellenl¨ange 555 nm, wo die Augenempﬁndlichkeit f¨ ur Tagessehen maximal ist, entspricht ein Lichtstrom von 683 lm (Lumen). Dieser Wert gen¨ ugt der neuen Deﬁnition der Basiseinheit Candela; in der DIN 5031 ist noch 685 lm/W angegeben. Dann entspricht z.B. bei λ = 610 nm, wo die Augenempﬁndlichkeit 0,5 (oder 50%) betr¨agt, 1 W Strahlungsﬂuss einem Lichtstrom von Φ = 0,5·683 lm = 341,5 lm. Die Kurve zeigt, dass bei λ = 510 nm, im Blau-Gr¨ unen, der Helligkeitseindruck wieder auf 50% abgefallen ist. Fotometrische Einheiten entsprechen in ihrer Deﬁnition radiometrischen Einheiten. Dies

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.7. Standardisierter spektraler Hellempﬁndlichkeitsgrad des menschlichen Auges (DIN 5031). V (λ): Tagessehen (photopische Anpassung). V (λ): Nachtsehen (skotopische Anpassung). Der Lichtstrom Φ beschreibt den Helligkeitseindruck, z.B. Tagessehen: Φ = Km Φe V (λ), wobei Km = 683 lm/W der Maximalwert des fotometrischen Strahlungs¨ aquivalentes bei Tagessehen ist

ist in Tab. 2.1 gezeigt. Im Allgemeinen werden entsprechende Gr¨oßen durch die folgende Gleichung zueinander in Beziehung gesetzt fotometrische Gr¨ oße = K(λ) · radiometrische Gr¨oße

(2.13)

wobei K(λ) die absolute spektrale Empﬁndlichkeit f¨ ur monochromatische Strahlung der Wellenl¨ ange λ angibt. V (λ) ist der spektrale Hellempﬁndlichkeitsgrad f¨ ur ur das Nachtdas Tagessehen und V (λ) der spektrale Hellempﬁndlichkeitsgrad f¨ sehen, wie durch die DIN-Kurve angegeben; damit gilt f¨ ur die absolute spektrale Empﬁndlichkeit f¨ ur Tages- und Nachtsehen: Tagessehen Nachtsehen

K(λ) = Km · V (λ) mit Km = 683 lm W K (λ) = Km · V (λ) mit Km = 1699 lm W

(2.14)

2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler)

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wobei Km der Maximalwert des fotometrischen Strahlungs¨aquivalentes f¨ ur das f¨ ur das Nachtsehen ist. Tagessehen und Km Fotometrische (lichttechnische) Gr¨ oßen werden durch das vorangestellte Wort Licht- (Leucht-) gekennzeichnet und weisen die gleichen Formelzeichen wie die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen auf, nur der Index e“ wird weggelassen. Die ” Einheit des Lichtstroms Φ ist das Lumen, die Einheit der Lichtst¨arke I die Candela (cd), die der Leuchtdichte L ist Candela/m2 und die der Beleuchtungsst¨arke E ist Lux (lx = lm/m2 ). Beispiel 2.1 Strahlungsphysikalische und lichttechnische Gr¨ oßen einer Gl¨ uhlampe Eine Gl¨ uhlampe, die 10 W Strahlungsleistung abgibt, beﬁndet sich 2 m von einer Oberﬂ¨ ache entfernt. Die Oberﬂ¨ ache steht senkrecht zur Verbindungslinie zwischen der Gl¨ uhlampe und der Oberﬂ¨ache. Berechnen Sie die Bestrahlungsst¨ arke auf der Oberﬂ¨ ache. Ermitteln Sie die Beleuchtungsst¨arke unter der Annahme, dass die 10 W von einer roten Gl¨ uhbirne bei λ = 650 nm emittiert werden. L¨ osung 10 W W Bestrahlungsst¨ arke Ee = PA = 4π(2m) 2 = 0,2 m2 Aus der DIN-Kurve erh¨ alt man V (650 nm) ≈ 0,1. Damit ergibt sich die Beleuchtungsst¨ arke: E = K(λ) · Ee = Km · V (λ) · Ee : E = 683

lm lm W · 0,1 · 0,2 2 = 13,7 2 = 13,7 lx W m m

Damit w¨ urde man mit einem Radiometer 2 W/m2 und mit einem Fotometer 13,7 lx messen. Bei polychromatischer Strahlung sind die radiometrischen und fotometrischen Gr¨ oßen im Allgemeinen Funktionen der Wellenl¨ange. Diese Abh¨angigkeit kennzeichnet man durch Vorstellen des Wortes spektral und durch Zusatz des Index λ“ oder durch Hinzuf¨ ugen des Buchstabens λ in Klammern. Man gibt z.B. den ” e spektralen Strahlungsﬂuss durch Φeλ = dΦ dλ an. Der gesamte Strahlungsﬂuss ergibt sich dann durch Integration u ¨ ber den entsprechenden Wellenl¨angenbereich:

λ2

Φe =

Φeλ (λ) dλ λ1

2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler) Ein schwarzer Strahler ist ein idealer Absorber: Die gesamte Strahlung, die auf ihn einf¨ allt, wird unabh¨ angig von Einfallswinkel oder Wellenl¨ange vollst¨andig

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2 Erzeugung und Messung von Licht

absorbiert. Ein schwarzer Strahler ist auch eine ideale Strahlungsquelle: Keine Oberﬂ¨ ache, die dieselbe Temperatur wie der schwarze Strahler aufweist, kann im thermischen Gleichgewicht mehr Strahlung als dieser abgeben. In der Praxis realisiert man ihn durch eine geschw¨ arzte Oberﬂ¨ache oder durch einen Hohlraumstrahler mit schwarzen Innenﬂ¨ achen, der eine im Verh¨altnis zur inneren ¨ Oberﬂ¨ ache sehr kleine Oﬀnung aufweist. Ein einfaches Beispiel f¨ ur einen schwarzen Strahler ist eine Oberﬂ¨ ache, die durch die scharfen Kanten eines Stapels von Rasierklingen gebildet wird. Die Anordnung der Rasierklingenkanten absorbiert das einfallende Licht aufgrund der Vielfachreﬂexion fast vollst¨andig. Die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung Meλ ist durch Max Planck berechnet worden. Er fand, dass der Strahlungsprozess und der Absorptionsprozess quantisiert sein m¨ ussen. Das Ergebnis dieser Berechnung ergibt f¨ ur die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung 2πhc20 1 (2.15) Meλ = λ5 ehc0 /λkT − 1 wobei die physikalischen Konstanten h, c0 und k die Plancksche Konstante, die Vakuumlichtgeschwindigkeit und die Boltzmann-Konstante darstellen. Setzt man die bekannten Werte dieser Konstanten ein, so erh¨alt man das W 1 Plancksches 3,742 · 108 Meλ = (2.16) 5 2 14388/λT Strahlungsgesetz λ e − 1 m µm wobei man λ in µm (Mikrometer) und T in K (Kelvin) einsetzt. Meλ ist in Abb. 2.8 f¨ ur verschiedene Temperaturen dargestellt. Die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung nimmt bei jeder Wellenl¨ ange mit der absoluten Temperatur zu. Das Maximum der Kurven verschiebt sich mit zunehmender Temperatur zu k¨ urzeren Wellenl¨ angen und f¨ allt f¨ ur T = 5000 und 6000 K in den Bereich des sicht¨ baren Spektrums (gestrichelte vertikale Linien). Die Anderung der Wellenl¨ange λmax , bei der die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung maximal ist, mit der Temperatur ﬁndet man durch Diﬀerenzieren von Meλ nach λ und nachfolgendes Nullsetzen der entsprechenden Gleichung. Man erh¨alt: Wiensches Verschiebungsgesetz

λmax T =

hc = 2,8971 · 103 µm K 4,966k

(2.17)

Das Wiensche Verschiebungsgesetz ist durch die fett gestrichelte Kurve in Abb. 2.8 veranschaulicht. Integriert man die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung von (2.16) u angen, so erh¨ alt man die gesamte speziﬁsche spektrale Ausstrah¨ ber alle Wellenl¨ ache unter der Schwarzk¨ orperstrahlungskurve bei der Temperatur T : lung Me als Fl¨ Stefan-Boltzmann-Gesetz

Me = σ T 4

(2.18)

2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler)

21

Abb. 2.8. Spektrale Verteilung der Schwarzk¨ orperstrahlung f¨ ur vier verschiedene Temperaturen. Die vertikalen, gestrichelten Linien kennzeichnen das sichtbare Spektrum und die fett gestrichelte Linie, die die Maxima der vier Kurven verbindet, kennzeichnet das Wiensche Verschiebungsgesetz

wobei die Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,670 · 10−8 W/(m2 K4 ) ist. Die Strahlung von realen Oberﬂ¨ achen ist immer geringer als die einer Schwarzk¨orper - oder Planckschen Strahlungsquelle, was man durch die Angabe des Emisucksichtigt. Unterscheidet man nun zwischen der speziﬁschen sionsgrades εE ber¨ spektralen Ausstrahlung Meλ,p eines zu untersuchenden Probek¨orpers und der des schwarzen Strahlers Meλ,s bei gleicher Temperatur, so erhalten wir: εE (λ) =

Meλ,p Meλ,s

(2.19)

22

2 Erzeugung und Messung von Licht

Das Verh¨ altnis εE (λ) der spektralen Ausstrahlungen ist im Allgemeinen wellenl¨ angenabh¨ angig. In den Spezialf¨ allen, bei denen εE (λ) = konst. unabh¨angig von der Wellenl¨ ange ist, nennt man den Probek¨orper einen grauen Strahler . In diesem Fall ist die spektrale Ausstrahlung des Probek¨orpers immer proportional zu der des schwarzen Strahlers, und die Kurven unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor. So ist z.B. die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung eines heißen Wolframfadens sehr ¨ ahnlich der eines grauen Strahlers mit εE = 0,4 − 0,5. Die Schwarzk¨ orperstrahlung kann man zur Deﬁnition einer Farbskala in Einheiten der absoluten Temperatur benutzen. Die Farbtemperatur einer Probelichtquelle ist dann die Temperatur eines schwarzen Strahlers, der in seiner spektralen Verteilung Meλ dieser Quelle in einem bestimmten Spektralbereich so nahe wie m¨ oglich kommt. In diesem Sinne sagt man, dass z.B. eine Kerzenﬂamme eine Farbtemperatur von 1900 K aufweist, w¨ ahrend die Sonne eine typische Farbtemperatur von 5500 K besitzt.

2.5 Optische Strahlungsquellen Wir kennen nat¨ urliche Strahlungsquellen, wie z.B. das Sonnenlicht oder das Streulicht vom Himmel, oder k¨ unstliche Lichtquellen, wie z.B. Gl¨ uhlampen oder Gasentladungslampen. Das Licht der verschiedenen Quellen kann monochromatisch bzw. spektral kontinuierlich verteilt sein oder aus einzelnen Spektrallinien bestehen. Die Verteilung der Strahlungsenergie u ¨ ber die Wellenl¨ange bestimmt die Farbe des Lichtes und damit die Farbe der Oberﬂ¨achen, die man bei Beleuchtung mit diesem Licht sieht. Jeder der einen Fotoapparat benutzt, ist sich bewusst, dass die auf dem Film registrierte Farbe des Objektes von der Art der Lichtquelle, die man zur Beleuchtung benutzt, abh¨angt. Lichtquellen wandeln zugef¨ uhrte Energie nur teilweise in Strahlungsenergie um. Bei den Temperaturstrahlern wird die zugef¨ uhrte Energie zun¨achst in W¨armeenergie umgewandelt und dann vom erw¨ armten K¨ orper als Strahlung abgegeben. Bei den Lumineszensstrahlern wird die zugef¨ uhrte Energie sofort in innere Energie, z.B. eines Atoms durch Anregung gebundener Elektronen, umgewandelt. Die abgegebene Strahlung ist f¨ ur die jeweiligen Atome (Molek¨ ule) charakteristisch. ¨ Der folgende kurze, nicht vollst¨ andige Uberblick klassiﬁziert die Lichtquellen in folgender Weise: Nat¨ urliche Lichtquellen Sonnenlicht, Streulicht vom Himmel Temperaturstrahler schwarze Strahler Globarquellen Gl¨ uhlampen Hochintensive Lichtbogenquellen

2.5 Optische Strahlungsquellen

23

Lumineszenzstrahler Entladungslampen Leuchtstoﬀr¨ ohren Halbleiterdioden (LED) koh¨ arente Lichtquellen (Laser) Das Tageslicht besteht aus direkter Sonnenstrahlung und Streulicht vom Himmel. Das direkt von der Sonne kommende Licht hat eine spektrale Verteilung, die deutlich verschieden vom Streulicht des Himmels ist, das vorwiegend blaue Farbkomponenten aufweist. Die spektrale solare Bestrahlungsst¨arke ist in Abb. 2.9 dargestellt.

Abb. 2.9. Solare Bestrahlungsst¨ arke oberhalb der Erdatmosph¨ are bzw. auf Meeresniveau bei klarer Sicht und Sonne im Zenith

Die extraterrestrische solare Strahlung zeigt, dass sich die Sonne ann¨ahernd wie ein Schwarzk¨ orperstrahler mit der Temperatur 6000 K im Zentrum der Sonnenscheibe und ca. 5000 K am Rand verh¨ alt. Die Strahlung, die auf der Erdoberﬂ¨ ache eintriﬀt, wird durch die Absorption in der Erdatmosph¨are ver¨andert. Die gesamte Bestrahlungsst¨ arke Ee gerade außerhalb der Erdatmosph¨are ist die

24

2 Erzeugung und Messung von Licht

Solarkonstante mit 1355 W/m2 . Steht die Sonne im Zenith, so ist die Bestrahlungsst¨ arke auf einer horizontalen, ebenen Fl¨ache Ee = 1120 W/m2 . Dies gilt f¨ ur einen wolkenlosen Himmel. Man setzt die solare Strahlung gew¨ohnlich nicht als Lichtquelle im Labor ein, sondern verwendet Hochdruck-Xenonlampen mit geeigneten Filtern zur Simulation dieser Strahlung. K¨ unstliche optische Strahlungsquellen, die Licht aufgrund des Aufheizens von Materie, z.B. durch elektrischen Strom, emittieren, nennt man Temperaturstrahler. Die Strahlungsenergie wird u ¨ ber ein breites Kontinuum von Wellenl¨angen abgegeben. K¨ aufliche schwarze Strahler bestehen aus einem Hohlraum, der ein kleines Loch aufweist. Diese Anordnung hat einen konstanten, wellenl¨angenunabh¨ angigen Emissionsgrad, der fast gleich 1 ist. Solche Strahlungsquellen sind f¨ ur Betriebstemperaturen im Bereich von ﬂ¨ ussigem Stickstoﬀ (-196◦ C, 77 K) bis zu altlich. Eine Gl¨ uhlampe, die besonders im infraroTemperaturen von 300◦ C erh¨ ten Bereich n¨ utzlich ist, ist die sogenannte Nernstquelle. Diese Quelle besteht aus einem zylindrischen Rohr oder einem Stab aus Zirkon-, Yttrium- und Thoriumoxid, der durch elektrischen Strom geheizt wird. Der nutzbare Spektralbereich reicht vom Sichtbaren bis zu 30 µm. Die Nernstquelle verh¨alt sich wie ein grauer Strahler mit einem Emissionsgrad gr¨ oßer 0,75. Benutzt man als Stabmaterial gesintertes Siliziumkarbid, so erh¨ alt man den sogenannten Globarstrahler mit einem Emissionsgrad von 0,88 und der Charakteristik eines grauen Strahlers (s. Abb. 2.10).

Abb. 2.10. Infrarot-Strahlungsquelle (Globar) mit kontinuierlichem Spektrum von 1 bis 25 µm. Die Quelle besteht aus einem Siliziumkarbid-Widerstand von 6 mm Durchmesser bei ca. 1000 K

2.5 Optische Strahlungsquellen

25

Die Wolfram-Gl¨ uhfadenlampe ist eine h¨auﬁg benutzte Quelle f¨ ur optische Instrumente. Sie gibt kontinuierliche Strahlung im sichtbaren und infraroten Bereich ab. Diese Lampe gibt es in einer großen Auswahl von Gl¨ uhfadenformen und Ausf¨ uhrungen des Glaskolbens. Der Gl¨ uhfaden kann als Wendel oder als B¨ andchen ausgebildet sein. Ein ﬂaches Band liefert eine sehr homogene strahlende Oberﬂ¨ ache. Der Glaskolben besteht f¨ ur Anwendungen bei hoher Temperatur aus Quarzglas. Die Strahlung im sichtbaren Bereich ist der eines grauen Strahlers sehr ¨ ahnlich, der Emissionsgrad erreicht Werte von 1, wenn der Gl¨ uhfaden sehr eng gewendelt ist. Die fotometrische (lichttechnische) Emission h¨angt von der Gl¨ uhfadentemperatur und der elektrischen Stromst¨arke ab. Wenn die Lampe in Betrieb ist, dampft vom Gl¨ uhfaden immer etwas Wolfram ab und lagert sich auf der Innenseite des Glaskolbens ab. Man erh¨alt dort einen dunklen Film, der den Lichtstrom der Lampe u ¨ ber die Lebensdauer bis zu 20% vermindern kann. Dieser Prozess f¨ uhrt zu einem d¨ unneren Gl¨ uhdraht und erh¨oht damit den elektrischen Widerstand. F¨ ullt man den Glaskolben bei einem Druck von 0,8 bar mit einem chemisch nicht reaktiven Gas, gew¨ ohnlich Stickstoﬀ oder Argon, so kann man diesen Verdampfungsprozess verlangsamen. Dieses Problem hat man noch besser bei der Quarzhalogen- oder Wolframhalogen-Lampe durch Zusatz von Halogend¨ ampfen (Jod, Brom) zum Gas gel¨ ost. Der Halogendampf bewirkt in einem regenerativen Zyklus, dass der Glaskolben von Wolfram frei bleibt. Jod reagiert mit dem Wolframniederschlag auf dem Glas zum gasf¨ormigen Reaktionsprodukt Wolframjodid, das auf dem heißen Gl¨ uhdraht nur bei Standardbedingungen (hohe Temperaturen) wieder dissoziiert und dabei Wolfram und Jod freisetzt. Eine typische spektrale Bestrahlungskurve einer 100 W-Quarzhalogengl¨ uhlampe ist in Abb. 2.11 gegeben. Als hochintensive Punktstrahlungsquelle setzt man die Zirkon-Bogenlampe ein, wobei die elektrische Anschlussleistung zwischen 1 und 500 W variiert. Man benutzt eine Oxidkathode in einer Argonatmosph¨are und erzeugt zus¨atzlich Zirkondampf. Strahlung wird durch Gl¨ uhemission der schmelzenden Kathodenoberﬂ¨ ache sowie durch den angeregten Zirkondampf und das Argongas erzeugt. Sie wird durch ein kleines Loch von 0,1 bis 3 mm Durchmesser emittiert, das sich in der metallischen Anode beﬁndet. Die spektrale Verteilung entspricht der eines grauen Strahlers bei 3200 K. Eine Quecksilberdampf-Kurzbogenlampe mit uhrungen erreicht man Pel = 200 W liefert L = 40 000 cd/cm2, in anderen Ausf¨ Leuchtdichten bis L = 220 000 cd/cm2. Die Lampe entspricht einem grauen Strahler von 3000 K und liefert kontinuierliche Strahlung von 0,3 µm bis 2,5 µm. Bei der Wolframbogenlampe heizt eine Bogenentladung zwischen zwei Wolframelektroden die Elektroden in einer Atmosph¨are von Argon so weit auf, dass man eine spektrale Strahlungsverteilung ¨ahnlich der einer Wolframlampe von 3100 K erh¨ alt. F¨ ur hohe Leuchtdichten muss man andere Lampenkonstruktionen verwenden. Die ¨ alteste Quelle dieser Art ist die Kohle-Lichtbogenlampe, die immer noch als Projektorlampe eingesetzt wird. Der Hochstromlichtbogen entsteht zwischen zwei

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.11. Spektrale Strahlungsst¨ arke einer 10 W Quarzhalogenlampe, die kontinuierliche Strahlung von 0,3 bis 2,5 µm liefert

Kohlest¨ aben in Luft. Eine 200 A-Kohlebogenlampe hat eine maximale Leuchtdichte von 160 000 cd/cm2 mit einer spektrale Verteilung, die der eines grauen Strahlers von 6000 K ¨ ahnlich ist. Durch Einsatz verschiedener Materialien im Kern des Kohlestabes kann man einen großen Bereich von spektralen Verteilungen abdecken. Wenn man um den Lichtbogen herum den Gasdruck stark erh¨oht, erh¨ alt man eine Hochdruckbogenlampe und die Strahlung weist sowohl Linien als auch ein kontinuierliches Spektrum auf. Abbildung 2.12 zeigt eine solche Lampe mit Geh¨ause. Die gebr¨auchlichste dieser Lampen, die elektrische Anschlussleistungen von Pel = 50 W bis Pel = 50 kW aufweist, ist die Hochdruck-Quecksilberbogenlampe, die eine vergleichsweise geringe kontinuierliche Strahlung, aber starke Spektrallinien aufweist und eine gute Strahlungsquelle im Ultravioletten ist. Die Xenonlampe emittiert kontinuierliche Strahlung vom nahen Ultraviolett u ¨ber das Sichtbare bis zum na¨ hen Infrarot; die Quecksilber-Xenon-Bogenlampe liefert eine Uberlagerung des Quecksilberspektrums mit der kontinuierlichen Strahlung des Xenons und ein Xenon-Linienspektrum bei 0,8 µm bis 1 µm. Wie schon vorher beschrieben, ist die Farbqualit¨ at der Xenon-Lampe mit einer Farbtemperatur von 6000 K a¨hnlich der des Sonnenlichtes. Spektrale Emissionskurven der Xenon- und QuecksilberXenonlampe sind in den Abbildungen 2.13 und 2.14 gezeigt. Eine Xenon-Kurzbogenlampe mit 250 W elektrischer Anschlussleistung liefert Leuchtdichten bis zu 26 000 cd/cm2 . Die Wasserstoﬀ - und Deuterium-Bogenlampen sind vor allem f¨ ur die Ultraviolett-Spektroskopie geeignet, da sie im Ultravioletten ein kontinuierliches Spektrum bei hoher Leuchtdichte abgeben. Abbildung 2.15 zeigt die typische spektrale Emission einer Deuterium-Lampe, die ein linienfreies Kontinuum von 180 nm bis 400 nm liefert.

2.5 Optische Strahlungsquellen

27

Abb. 2.12. Kurzbogenlichtquelle: a) Kurzbogenlampe, b) Lampe mit r¨ uckseitigem Spiegel und vorgesetzter Optik im Geh¨ ause der Lichtquelle eingebaut

In der Gasentladungslampe, die zu den Luminiszenzstrahlern geh¨ort, ﬂießt u ¨ ber zwei Elektroden ein Strom durch das ionisierte Gas, das in einer Glasoder Quarzr¨ ohre eingeschlossen ist. Glas absorbiert ultraviolette Strahlung unterhalb ungef¨ ahr 400 nm, wogegen Quarz bis 180 nm durchl¨assig ist. Das elektrische Feld zwischen den Elektroden beschleunigt die Elektronen so hoch, dass sie die Gasatome ionisieren k¨ onnen. Als Elektronenquelle kann man eine geheizte Kathode (Gl¨ uhemission), ein starkes elektrisches Feld an der Kathode (Feldemission) oder den Stoß von positiven Ionen auf die Kathodenoberﬂ¨ache (sekund¨are ¨ Emission) einsetzen. Beim Ubergang der angeregten Gasatome in energetisch tiefer liegende Zust¨ ande wird Energie in Form von Strahlung (Photonen) frei. Betriebsbedingungen wie hoher Druck oder hohe Temperatur ergeben im Allgemeinen eine kontinuierliche spektrale Verteilung, zus¨atzlich zu den verbreiterur ten Spektrallinien des Gases. Man erreicht Leuchtdichten bis 1100 cd/cm2 f¨ Pel = 250 W. Bei niedrigem Druck und niedrigen Stromst¨arken treten scharfe Spektrallinien auf und der kontinuierliche Hintergrund wird sehr klein. Diese

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.13. Spektrale Emission einer Hochdruck-Xenon-Kurzbogenlampe

Abb. 2.14. Spektrale Emission einer Niederdruck-Quecksilber-Xenon-Bogenlampe

2.5 Optische Strahlungsquellen

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Abb. 2.15. Spektrale Emission einer Niederdruck-Deuterium-Bogenlampe bei 50 W

Betriebsbedingungen setzt man f¨ ur scharfe Spektrallinien in monochromatischen Quellen ein. Die Natriumentladungslampe liefert als Spektrallampe nur Strahlung in einem engen Bereich, der aus den gelben Spektrallinien bei 589,0 und 589,6 nm besteht. Monochromatische Strahlung bei Wellenl¨angen von 404,7 nm (violett), 534,8 nm und 546,1 nm (gr¨ un) und 577,0 und 579,1 nm (gelb) liefert die Quecksilber-Niederdruck-Gasentladungslampe. Mit anderen Gasen oder D¨ampfen erzeugt man Spektrallinien bei anderen Wellenl¨angen. F¨ ur hohe spektrale Reinheit ben¨ otigt man Gase, die isotopenrein sind. Blitzlampen sind intensive Strahlungsquellen f¨ ur sichtbare Strahlung und Strahlung in nahem Infrarot. Bei diesen Lampen wird durch die Entladung eines Kondensators mit hohem Strom eine kurzzeitige Gasentladung erreicht. Meistens benutzt man Xenon als F¨ ullgas. Blitzlampen f¨ ur den einmaligen Gebrauch liefern hochintensive Lichtblitze durch die schnelle Verbrennung von metallischer (Aluminium- oder Zirkon-) Folie oder Draht in einer reinen Sauerstoﬀatmosph¨are. In den Leuchtstoﬄampen erfolgt eine Quecksilberdampf-Gasentladung bei niedrigem Druck und niedrigen Stromst¨ arken. Die ultraviolette Strahlung der angeregten Quecksilberatome wird in der Leuchtstoﬀbeschichtung auf der Innenseite der Glasr¨ ohre durch Fluoreszenz in sichtbares Licht umgewandelt. Die spektrale Verteilung h¨ angt von den Eigenschaften des verwendeten Leuchtstoﬀs ab. Tageslicht-Lampen weisen z.B. eine Mischung von Zink-Beryllium-Silikat und Magnesium-Wolframat auf. Die Leuchtdiode (LED) hat sich in der Gegenwart (2004) von einer Lichtquelle niedriger Leuchtdichte zu einer Hochleistungslichtquelle entwickelt, deren optoelektrischer Wirkungsgrad vergleichbar mit dem der Hochdruckgasentladungen (z.B. Xe) ist. Das Licht wird – im Unterschied zu den vorher beschriebenen ¨ Quellen – in einem pn-Ubergang in Halbleitern erzeugt. Der Dioden-Chip be-

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2 Erzeugung und Messung von Licht

ﬁndet sich in einem gasdicht abgeschlossenen Geh¨ause. Wenn man eine kleine Spannung (einige Volt) in Durchlassrichtung der Diode anlegt, werden Photonen durch die Rekombination von Elektronen und L¨ochern in der Umgebung der pn-Grenzschicht erzeugt. Verf¨ ugbare LEDs reichen von der In-Ga-As-P-(IndiumGallium-Arsenid-Phosphid-) Infrarotdiode, die bei einer Wellenl¨ange von ca. 1,2 µm maximal emittiert, bis zur GaN-(Gallium-Nitrid-) Diode, die bei 400 nm violettes Licht abgibt. Die Leuchtdioden liefern eine spektrale Verteilung mit einer Halbwertsbreite (Wellenl¨ angendiﬀerenz in halber H¨ohe der spektralen Verteilung) von ∆λ = 35 nm im Infrarot (λ ≈ 900 nm) bis ∆λ = 6 nm im Violett ¨ (λ ≈ 400 nm), wie in Abb. 2.16 gezeigt. Andert man die Zusammensetzung des Halbleitermaterials, so kann man in einem weiten Spektralbereich Strahlung erzeugen. Eine LED kann auch – mit Abstrichen an der Farbqualit¨at – weißes“ ” Licht abgeben. Hierbei wird die kurzwellige Strahlung aus der pn-Schicht durch eine geeignete Fluoreszenzschicht auf dem Chip in Licht umgewandelt. H¨ochste Leuchtdichten werden mit D¨ unnﬁlm-LEDs erreicht. Sie haben nur eine d¨ unne, Licht erzeugende Schicht, die so nahe an der Oberﬂ¨ache ist, dass sie fast das gesamte, intern mit hohem Wirkungsgrad (> 100 lm/W) erzeugte, Licht nach oben abgeben. Die Leuchtdichten einer LED mit einer Fl¨ache von 350 µm × 350 µm erreichen Werte von 2,5 · 106 cd/m2 . Eine andere Klasse von LEDs, die OLEDs (organische LEDs, organische Verbindungen als lichtabgebende Schicht) wird f¨ ur die Anzeigen (Displays) in Mobiltelefonen oder anderen elektronischen Ger¨aten eingesetzt. Da diese Anzeigen d¨ unn sind, kann die Bauh¨ohe sehr gering sein.

Abb. 2.16. Spektren von Leuchtdioden

Der Laser ist eine sehr wichtige moderne Lichtquelle, die koh¨arente und monochromatische Strahlung bei sehr hoher Intensit¨at im ultravioletten, sichtbaren

2.6 Strahlungsdetektoren

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und infraroten Bereich abgibt. Wegen der zentralen Rolle, die der Laser als optisches Instrument spielt, wird er in den Kapiteln 21–23 ausf¨ uhrlich behandelt.

2.6 Strahlungsdetektoren Jede Vorrichtung, die eine messbare physikalische Antwort auf die einfallende Strahlungsenergie liefert, ist ein Detektor. Der gebr¨auchlichste Detektor ist nat¨ urlich das Auge, das einen subjektiven Eindruck liefert. Die im Folgenden diskutierten Detektoren erlauben eine quantitative und objektive Messung. Das Auge spielt beim menschlichen Sehen eine entscheidende Rolle und wird deshalb in Kapitel 7 ausf¨ uhrlich behandelt.

Abb. 2.17. a) Thermoelement, das aus verschiedenen Materialien (dunkle und helle Linien) aufgebaut ist, die an den Punkten T1 und T2 verbunden sind, wobei eine Temperaturdiﬀerenz an den Verbindungsstellen eine Spannung an den Enden ergibt. b) Reihenschaltung von Thermoelementen (Thermos¨ aule, Thermopile). Strahlung wird an den Verbindungsstellen T1 , die in thermischem Kontakt mit einem schwarzen Absorber sind, absorbiert; die Verbindungsstellen T2 sind von den Stellen T1 thermisch isoliert. c) Industrielle Ausf¨ uhrung, ¨ außerer Durchmesser ca. 3 mm. Die Thermoelemente (Antimon-Wismut) werden auf eine d¨ unne Folie im Vakuum aufgedampft

Die gebr¨ auchlichsten Detektoren kann man wie folgt klassiﬁzieren: Thermische Detektoren Thermoelemente und Thermos¨ aulen (Thermopiles) Bolometer und Thermistoren Pyroelektrische Detektoren Pneumatische oder Golay-Detektoren Quantendetektoren Vakuum-Photozelle, Photomultiplier (Sekund¨arelektronenvervielfacher)

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Photowiderstand Photoelement, Solarzelle Photodiode Fotograﬁscher Film Wenn die prim¨ are Antwort eines Detektors auf einfallende Strahlung ein Temperaturanstieg ist, so nennt man dieses Ger¨at einen thermischen Detektor. Die Empf¨ angerﬂ¨ ache ist gew¨ ohnlich ein d¨ unner, geschw¨arzter Metallstreifen oder ein Pl¨ attchen eines Halbleitermaterials, die u ¨ber alle Wellenl¨angen eﬃzient absorbieren. Ein Ger¨ at, in dem die Temperaturdiﬀerenz an zwei Verbindungsstellen verschiedener Metalle oder unterschiedlich dotierter Halbleiter eine Spannung erzeugt, nennt man Thermoelement (s. Abb. 2.17 a). Dieser Eﬀekt l¨asst sich durch die Reihenschaltung von Thermoelementen verst¨arken. Diesen Detektor nennt man Thermos¨aule (Thermopile, s. Abb. 2.17 b). Es gibt auch thermische Detektoren, bei denen ein Widerstandsk¨ orper insgesamt seine Temperatur ver¨andert und man diese Widerstands¨ anderung misst. In einer solchen Messvorrichtung wird als Messelement entweder ein Metall (Bolometer ) oder h¨auﬁger ein Halbleiter (Thermistor ) eingesetzt. Typischerweise benutzt man zwei geschw¨arzte empﬁndliche Elemente in benachbarten Zweigen einer Br¨ uckenschaltung, wobei ein Element der einfallenden Strahlung ausgesetzt ist und das andere abgeschirmt wird. Aufgrund der Widerstands¨ anderung tritt ein Br¨ uckenstrom auf, der zur Messung der Strahlung genutzt wird. Im pyroelektrischen Detektor bewirkt die Temperatur¨ anderung eine Ver¨ anderung der Oberﬂ¨achenladung von bestimmten Materialien, wie z.B. Lithiumtantalat (LiTaO3 ) oder Triglyzinsulfat (TGS), die den pyroelektrischen Eﬀekt zeigen. Der Detektor reagiert nur auf Strahlungs¨anderungen. Bei zeitlich konstanter Strahlung liefert er kein Signal. Die Golay-Zelle benutzt zum Nachweis die thermische Ausdehnung eines Gases. Die von einer geschw¨ arzten Membran absorbierte W¨ arme wird an das Gas in einer gasdichten Kammer weitergegeben. Der Druckanstieg im Gas ¨außert sich in einer Verformung der kammerbegrenzenden W¨ ande, die gew¨ ohnlich optisch, z.B. u ¨ ber die Reﬂexion an einem Spiegel, nachgewiesen wird (s. Abb. 2.18). Thermische Detektoren rea¨ gieren im Allgemeinen langsam auf Anderungen der einfallenden Strahlung. Bei schnellen Signalen, z.B. Pulsen mit Anstiegs- und Abfallszeiten im ms-Bereich, sind thermische Detektoren in der Regel u ¨berfordert und man benutzt die schnelleren Quantendetektoren. Das Zeitverhalten der Detektoren wird durch die Zeit¨ konstante τ charakterisiert. Diese gibt die Zeit an, die nach einer Anderung des Eingangssignals vergehen muss, bis das Ausgangssignal z.B. 63% des Endwertes erreicht. Quantendetektoren reagieren direkt auf die einfallenden Photonen der Strahlung. Die Photonen wirken direkt auf die Elektronen im Detektormaterial. Wenn dabei Elektronen aus der bestrahlten Oberﬂ¨ache ausgel¨ost werden, nennt man dieses Ger¨ at einen photoemissiven Detektor (¨außerer Photoeﬀekt). Typischerweise absorbiert eine photosensitive Oberﬂ¨ ache (Photokathode, enth¨alt meist Alkali-

2.6 Strahlungsdetektoren

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Abb. 2.18. Pneumatischer Golay-Infrarotdetektor

Metalle mit niedriger Austrittsarbeit f¨ ur Elektronen) Photonen, deren Energie hf gr¨ oßer als die Austrittsarbeit der im Metall gebundenen Elektronen ist. Werden die photoemittierten Elektronen durch eine positive Anode in einer evakuierten R¨ ohre gesammelt und als Strom in einem ¨außeren Kreis nachgewiesen, so nennt man diesen Detektor eine Vakuum-Photozelle. Wird das Signal intern durch sekund¨ are Elektronenemission verst¨ arkt, so ist dies ein Photomultiplier (s. Abb. 2.19). In diesem Fall werden die prim¨aren Photoelektronen beschleunigt, so dass bei einer Folge von St¨ oßen mit den Elektroden (Dynoden) der Strom durch die zus¨ atzlich aus den Dynoden ausgel¨osten sekund¨aren Elektronen (Sekund¨ arelektronenvervielfacher = SEV) verst¨arkt wird. Am Ausgang des Photomultipliers erh¨ alt man durch die lawinenartige Zunahme der Verst¨arkung ein hohes Ausgangssignal, das zum einfallenden Photonenstrom proportional ist. Der spektrale Bereich von Photomultipliern mit verschiedenen Photokathoden reicht unter Ber¨ ucksichtigung der Transmission des Fenstermaterials von λ = 160 nm (Sb-Cs) bis λ = 1200 nm (Ag-O-Cs).

Abb. 2.19. Prinzip des Photomultipliers. Die Photonen treﬀen durch ein seitliches Fenster auf die Photokathode. Von der Photokathode emittierte Elektronen werden auf die n¨ achste Dynode beschleunigt und l¨ osen u oße von Dynode zu Dynode mehr ¨ ber St¨ sekund¨ are Elektronen aus. Der verst¨ arkte Strom wird auf der Anode nachgewiesen

34

2 Erzeugung und Messung von Licht

In der gasgef¨ ullten Photozelle nutzt man eine andere M¨oglichkeit der Verst¨arkung. Hierbei werden zus¨ atzliche Elektronen durch Ionisation des Restgases erzeugt. Im Fall von gen¨ ugend energetischen Photonen (λ < 550 nm) ist die Empﬁndlichkeit von photoemissiven Detektoren ausreichend, um einzelne Photonen zu z¨ ahlen. Dieser Detektortyp hat damit u ¨berragende Empﬁndlichkeit im sichtbaren und ultravioletten Spektralbereich. F¨ ur Wellenl¨ angen im Infraroten – jenseits ca. 1,2 µm – gibt es keine Photoemitter und man benutzt photoleitende Detektoren (Photowiderst¨ande). In diesen Detektoren werden Photonen in d¨ unnen Filmen oder im Volumen des Materials absorbiert und erzeugen dort zus¨ atzliche freie Ladungen in Form von ElektronLochpaaren (innerer Photoeﬀekt). Sowohl die negativen (Elektronen) als auch die positiven (L¨ ocher, Defektelektronen) Ladungen vergr¨oßern die elektrische Leitf¨ ahigkeit des Materials. Ohne Beleuchtung bewirkt eine angelegte Spannung einen kleinen Dunkelstrom im Messwiderstand. Bei Beleuchtung erniedrigen die zus¨ atzlichen Ladungstr¨ ager den Widerstand und man erh¨alt bei konstanter ¨außerer Spannung einen erh¨ ohten Photostrom, der proportional zum Photonenstrom ist. Als Material verwendet man CdS (Cadmiumsulﬁd) und CdSe (Cadmiumselenid) im Sichtbaren bzw. im nahen Infrarot (s. Abb. 2.20). Im ferneren Infrarotbereich werden PbS-(Bleisulﬁd, 0,8–3 µm) und PbSe-(Bleiselenid, 1–5 µm) Detektoren eingesetzt. Im Wellenl¨ angengebiet von 1–8 µm weisen die Halbleitermaterialien PbS, PbSe und PbTe (Bleitellurid) einen großen photovoltaischen Eﬀekt auf und haben eine gr¨ oßere Empﬁndlichkeit als die Thermos¨aule oder gew¨ohnliche Bolometer. Bei gr¨ oßeren Wellenl¨ angen (λ > 5 µm) muss man Photowiderst¨ande k¨ uhlen, um ausreichende Empﬁndlichkeit f¨ ur niederenergetische Photonen sicherzustellen. ¨ Der gebr¨ auchlichste photovoltaische Detektor ist ein pn-Ubergang in Form des Photoelementes, das ohne Fremdspannung betrieben wird. Das Photoelement ¨ besteht aus einem pn-Ubergang aus p-dotiertem und n-dotiertem Silizium. Die Dotierung bedeutet den Zusatz von geringen Mengen an Fremdmaterial zum ¨ Halbleiter, die entweder einen Uberschuss (n-Typ) oder einen Mangel (p-Typ) der Leitungselektronen bewirken. Im Grenzbereich zwischen diesen Materialien entsteht aufgrund der Diﬀusion der Ladungstr¨ager ein elektrisches Feld. Wenn in ¨ der Umgebung des pn-Ubergangs Photonen absorbiert werden, werden die erzeugten Elektron-LochElektron-Lochpaare durch dieses Feld getrennt und man erh¨alt eine ¨ außere Spannungs¨ anderung, den photovoltaischen Eﬀekt. Die Leerlaufspannung nimmt logarithmisch mit der Beleuchtungsst¨arke zu und geht gegen einen S¨attigungswert. Die Solarzelle und der Belichtungsmesser in der Fotograﬁe sind Anwendungen dieses Detektors. ¨ Betreibt man den pn-Ubergang mit einer Vorspannung (engl: BIAS) in SperrRichtung, so ist der Strom proportional zum einfallenden Photonenstrom (bzw. der Beleuchtungsst¨ arke). Man bezeichnet dieses Element als Photodiode. In der pin-Photodiode hat man zwischen der sehr d¨ unnen p-Schicht und der n-Schicht eine dickere (bis 1 mm) Schicht aus reinem, nichtdotierten (schwachdotierten)

2.6 Strahlungsdetektoren

35

Abb. 2.20. Spektrale Empﬁndlichkeit von Photowiderst¨ anden. a) CdS- Element, die maximale Empﬁndlichkeit liegt bei ca. 550 nm, in der N¨ ahe der maximalen Empﬁndlichkeit des Auges f¨ ur Tagessehen. b) CdSe-Element mit maximaler Empﬁndlichkeit bei ca. 740 nm, geeignet zum Nachweis der Strahlung im nahen Infrarot, z.B. einer Gl¨ uhlampe

Halbleitermaterial, das eigenleitend (engl.: intrinsic) ist. pin“ steht f¨ ur die Rei” henfolge der Schichten, p-dotiert–intrinsic–n-dotiert. Der Dunkelstrom (Strom mit ”BIAS”, ohne Bestrahlung) ist besonders klein. Wegen der dicken i-Schicht erreicht man eine hohe Quantenausbeute (Verh¨altnis von erzeugten Ladungstr¨ agern zu einfallenden Photonen). Die pin-Diode hat Grenzfrequenzen im GHzBereich. Bei der Lawinendiode (Avalanche-Photo-Diode, APD), die ¨ahnlich wie die pin-Diode aufgebaut ist, sorgt ein interner Verst¨arkungsmechanismus f¨ ur h¨ ohere Empﬁndlichkeit. Hierbei werden in der i-Schicht durch Stoßionisation zus¨ atzliche Ladungstr¨ ager erzeugt. Man verwendet auch zweidimensionale Matrixanordnungen (Arrays) von Photodioden als Bildgeber. Jedes Photodioden- oder MOS- (Metalloxid-Halbleiter-) Element der Matrix reagiert auf die einfallende Strahlung und liefert ein Pixel (picture element, Bildelement) am Ausgang. Bei der Belichtung speichert jedes der diskreten Elemente auf einem Siliziumchip die photoinduzierte Ladung in einem Potentialtopf“, der durch die angelegte Gatterspannung erzeugt wird. Die ” gespeicherte Ladung in jedem Pixel ist ein Maß f¨ ur die lokale Bestrahlungsst¨arke und wird zur elektronischen Aufzeichnung des Bildes abgefragt. Die Abtastung

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2 Erzeugung und Messung von Licht

und das Auslesen werden durch Ladungstransfer entlang Reihen solcher Elemente (CCD, charge coupled device, ladungsgekoppelte Elemente) oder durch Zufuhr von Ladung durch das darunterliegende Halbleitermaterial (CID, charge injection device) ausgef¨ uhrt. Durch sequentielles Lesen der gespeicherten Ladung rekonstruiert man die urspr¨ ungliche Bestrahlungsst¨arkeverteilung und ermittelt damit das Bild. CCDs in Matrixanordnung werden in Fernsehkameras oder in astronomischen Teleskopen und Spektrographen eingesetzt. Ein weiterer Photodetektor ist der fotograﬁsche Film oder die Fotoplatte. Es sind fotograﬁsche Emulsionen mit einer spektralen Empﬁndlichkeit verf¨ ugbar, die vom R¨ ontgenstrahlungsbereich bis in den nahen Infrarotbereich (ca. 1,2 µm) reicht. Das empﬁndliche Material ist eine Emulsion von Silberhalogenid-Kristallen oder -K¨ ornern. Ein einfallendes Photon l¨ ost ein Elektron des Halogen-Ions ab, das sich dann mit dem Silber-Ion vereinigt und ein neutrales Silberatom ergibt. Nach der Belichtung enth¨ alt die Emulsion vor der Entwicklung zun¨achst ein latentes Bild, eine Verteilung von reduzierten Silberatomen, die durch die empfangene Strahlungsenergie bestimmt ist. Das latente Bild wird durch den Entwickler verst¨ arkt und sichtbar gemacht. Die eingesetzten chemischen Reaktionen liefern weitere freie Elektronen, um den Reduktionsprozess fortzusetzen, wobei das latente Bild als Katalysator f¨ ur den weiteren Ablauf wirkt. Die Dichte der Silberatome und damit die Schw¨ arzung des Films ist sowohl von der Bestrahlungsst¨ arke als auch von der Belichtungszeit – also von der Bestrahlung – abh¨ angig. Damit hat der fotograﬁsche Film im Gegensatz zu anderen Detektoren den Vorteil der Integration eines Lichtsignals. Sogar schwache Strahlung kann durch den kumulativen Eﬀekt einer langen Belichtungszeit nachgewiesen werden. Unsensibilisierte Schichten von AgBr sind nur f¨ ur Licht mit λ < 490 nm empﬁndlich. Orthochromatische sensibilisierte Schichten sind f¨ ur λ ≤ 590 nm, also bis zum Gelb empﬁndlich. Panchromatische sensibilisierte Schichten weisen Licht im Bereich von λ = 380 − 700 nm nach. Die absolute spektrale Empﬁndlichkeit s eines Detektors kann man als das Verh¨ altnis von Ausgangs- zu Eingangssignal deﬁnieren, z.B. f¨ ur eine Photodiode: absolute spektrale Empﬁndlichkeit

sΦ (λ) =

Photostrom IPhoto = Strahlungsﬂuss Φe (λ)

(2.20)

Eingangsgr¨ oße ist der Strahlungsﬂuss oder die Bestrahlungsst¨arke. Das Ausgangssignal ist ein Strom oder eine Spannung. Detektor und zugeh¨origer Verst¨arker sollten ein Ausgangssignal liefern, das proportional zum Eingangssignal ist. Im Allgemeinen ist s von der Wellenl¨ ange abh¨angig. Ein nicht selektiver Detektor ist in seinem Ausgangssignal nur vom Strahlungsﬂuss abh¨angig, nicht von der Wellenl¨ ange. Thermische Detektoren benutzen eine geschw¨arzte Empfangsﬂ¨ache, die meist nicht selektiv ist. Die Eintrittsfenster von Detektoren wirken aufgrund der wellenl¨ angenabh¨ angigen Transmission selektiv.

2.6 Strahlungsdetektoren

37

Die Schwellenempﬁndlichkeit D eines Detektors ist das Reziproke der rausch¨aquivalenten (minimal detektierbaren) Strahlungsleistung, die man noise equivalent power (NEP) ΦN des Detektors nennt: Schwellenempﬁndlichkeit

D=

1 ΦN

(2.21)

F¨ ur den Vergleich verschiedener Detektoren benutzt man eine weitere Gr¨oße, die Detektivit¨at

√ ∗

D =

A∆f ΦN

(2.22)

Hierbei ist A die empﬁndliche Fl¨ ache des Detektors und ∆f die Frequenzbandbreite des Messverst¨ arkers. Die Grenzfrequenz eines Detektors ist die Frequenz, √ bei der die Empﬁndlichkeit s auf das 1/ 2-fache (−3 dB) des Wertes bei zeitlich konstanter Beleuchtung zur¨ uckgegangen ist. Die minimal detektierbare Leistung ist durch das Untergrundrauschen des Detektors begrenzt. Es gibt viele Quellen f¨ ur dieses Untergrundrauschen, z.B. statistische Fluktuation von Photonen (Strahlungsrauschen, Photonenrauschen), oder die thermische Bewegung von Ladungstr¨agern (Widerstands- oder JohnsonRauschen), die in allen Detektoren auftreten. Es gibt das Erzeugungs- und Rekombinationsrauschen aufgrund statistischer Fluktuationen der Anzahl der Ladungstr¨ ager in Photoleitern, das Schrotrauschen aufgrund der zuf¨alligen Emission von Elektronen in photoemissiven Detektoren und das Rauschen aufgrund von Temperaturﬂuktuationen in thermischen Detektoren.

¨ Ubungen 2.1 Berechnen Sie die Frequenzen elektromagnetischer Strahlung, die einen Sinneseindruck im normalen Auge hervorrufen. 2.2 Eine monochromatische Lichtquelle strahlt bei 500 nm mit einer Leistung von 500 W. a) Nur 2% der Gesamtleistung erreichen das Auge als Lichtstrom. Wie groß ist der Lichtstrom am Auge? b) Die Quelle strahlt gleichf¨ ormig in alle Raumrichtungen. Berechnen Sie die Strahlst¨ arke und die Lichtst¨ arke. c) Die strahlende Fl¨ ache der Quelle betr¨ agt 50 cm2 . Berechnen Sie die speziﬁsche Ausstrahlung. d) Wie groß sind Bestrahlungsst¨ arke und Beleuchtungsst¨ arke auf einem Schirm, der 2 m von der Quelle entfernt ist, wenn die Oberﬂ¨ ache senkrecht zum einfallenden Strahlungsﬂuss ist?

38

2 Erzeugung und Messung von Licht e) Der Schirm enth¨ alt eine Bohrung mit 5 cm Durchmesser. Wie groß sind Strahlungsﬂuss und Lichtstrom, die durch das Loch gelangen?

2.3 a) Ein 50 mW He-Cd-Laser emittiert bei 441,6 nm und ein 4-mW–He-Ne-Laser bei 632,8 nm. Benutzen Sie Abb. 2.7, um die relative Helligkeit der beiden Laserstrahlen gleichen Durchmessers auf einem weißen Papier zu vergleichen. Nehmen Sie Tagessehen an (photopische Sicht). b) Wie groß muss die Leistung eines Argonionen-Lasers sein, der bei 488 nm emittiert, damit die Helligkeit eines gr¨ unen 0,5-mW–He-Ne-Lasers bei 543,5 nm unter den Bedingungen von a) erreicht wird? 2.4 Eine Lampe, die 3 m direkt oberhalb eines Punktes P am Boden eines Raumes angebracht ist, erzeugt in P eine Beleuchtungsst¨ arke von 100 lm/m2 . a) Wie groß ist die Lichtst¨ arke der Lampe? b) Wie groß ist die Beleuchtungsst¨ arke auf einem anderen Punkt am Boden, der 1 m vom Punkt P entfernt ist? 2.5 Ein Parkplatz wird bei Nacht durch gleiche Lampen an der Spitze von zwei Masten, die 9 m hoch und 12 m voneinander entfernt sind, beleuchtet. Nehmen Sie an, dass die Lampen gleichm¨ aßig in alle Raumrichtungen strahlen. Vergleichen Sie die Beleuchtungsst¨ arke am Boden f¨ ur Punkte direkt unter der Lampe und in der Mitte zwischen beiden Lampen. 2.6 Eine kleine Quelle mit einer Lichtst¨ arke von 100 cd beﬁndet sich im Brennpunkt eines Kugelspiegels von 50 cm Bildbrennweite und 10 cm Durchmesser. Wie groß ist die mittlere Beleuchtungsst¨ arke eines parallelen Strahlenb¨ undels, das vom Spiegel reﬂektiert wird, wenn man einen Reﬂexionsgrad von 80% annimmt? 2.7 a) Die Sonne erscheint von der Erdoberﬂ¨ ache aus unter einem Winkel von 0,5◦ . Die Beleuchtungsst¨ arke ist bei senkrechtem Einfall ungef¨ ahr 105 lx. Bestimmen Sie die Leuchtdichte der Sonne. b) Bestimmen Sie die Beleuchtungsst¨ arke auf einer horizontalen Oberﬂ¨ ache unterhalb des halbkugelf¨ ormigen Himmels mit der gleichf¨ ormigen Leuchtdichte L. 2.8 Eine kreisf¨ ormige Scheibe mit dem Radius 20 cm und der gleichf¨ ormigen Leuchtdichte 105 cd/m2 beleuchtet eine kleine ebene Oberﬂ¨ ache von 1 cm2 , die 1 m vom Zentrum der Scheibe entfernt ist. Die kleine Oberﬂ¨ ache ist so orientiert, dass ihre Normale unter einem Winkel von 45◦ zu der Verbindungsachse zwischen den Zentren beider Oberﬂ¨ achen steht. Die Achse ist senkrecht zur kreisf¨ ormigen Scheibe. Wie groß ist der Lichtstrom, der auf die kleine Fl¨ ache einf¨ allt? 2.9 Leiten Sie das Wiensche Verschiebungsgesetz aus der Planckschen Formel f¨ ur die speziﬁsche Ausstrahlung der schwarzen Strahlers ab. 2.10 Leiten Sie das Stefan-Boltzmannsche Gesetz aus der Planckschen Formel f¨ ur die speziﬁsche Ausstrahlung der Schwarzk¨ orperstrahlung ab. (Hinweis: Benutzen Sie die Substitution x = hc/λkT , um die Integration zu vereinfachen.) 2.11 Das Maximum des solaren Spektrums liegt bei ungef¨ ahr 500 nm. Bestimmen Sie die Oberﬂ¨ achentemperatur der Sonne, wobei Sie annehmen, dass diese ein schwarzer Strahler ist.

2.6 Strahlungsdetektoren

39

2.12 a) Bei welcher Wellenl¨ ange zeigt ein schwarzer Strahler mit T = 6000 K die h¨ ochste speziﬁsche Ausstrahlung pro Wellenl¨ angeneinheit? ¨ b) Der schwarze Strahler werde durch eine Oﬀnung von 1 mm Durchmesser eines Hohlraumstrahlers von 6000 K realisiert. Bestimmen Sie die Leistung, die durch ¨ die Oﬀnung im Wellenl¨ angenbereich von 550 – 551 nm abgestrahlt wird. 2.13 Bei gegebener Temperatur ergibt sich λmax = 550 nm f¨ ur einen Hohlraumstrahler. Die Hohlraumtemperatur wird so weit erh¨ oht, bis sich die speziﬁsche Ausstrahlung verdoppelt. Wie groß ist die neue Temperatur und die neue Wellenl¨ ange maximaler Ausstrahlung λmax ? 2.14 Wie groß muss die Temperatur eines grauen Strahlers mit dem Emissionsgrad εE = 0,45 sein, um die gleiche speziﬁsche Ausstrahlung wie ein schwarzer Strahler bei T = 5000 K zu erreichen?

3 Geometrische Optik

Einleitung Die Ausbreitung von Licht muss nicht in jedem Fall als Wellenbewegung betrachtet werden. Wenn die Wellenl¨ ange des Lichtes vernachl¨assigbar klein gegen¨ uber den Abmessungen der Komponenten des optischen Systems ist, kann man in der N¨ aherung der geometrischen Optik arbeiten. Kann der Wellencharakter des Lichtes nicht vernachl¨ assigt werden, so spricht man von Wellenoptik. Die geometrische Optik ist ein Spezialfall der Wellenoptik. W ellenoptik −−−−→ geometrische Optik λ→0

Da die Wellenl¨ ange von Licht normalerweise sehr klein gegen¨ uber der Gr¨oße gebr¨ auchlicher Objekte ist, kann man das Verhalten eines Lichtb¨ undels, das durch Blenden¨ oﬀnungen verl¨ auft oder auf Hindernisse triﬀt, durch die geometrische Optik erkl¨ aren. Wir erinnern uns, dass die Beobachtung von scharfen Schatten Newton zu der Behauptung veranlasste, dass die oﬀensichtliche geradlinige Ausbreitung von Licht durch einen Strom von Lichtkorpuskeln besser erkl¨art wird als durch eine Wellenbewegung. Die Ausbreitung langwelliger Wellen, z.B. Wasser-

42

3 Geometrische Optik

oder Schallwellen, ist daf¨ ur bekannt, dass man eine deutliche Beugung um Hindernisse herum erkennen kann. Zur Zeit von Isaac Newton gab es schon erste Beobachtungen der Beugung von Lichtwellen. Der Jesuit Francesco Grimaldi hatte die feine Struktur am Rand eines Schattens bemerkt, die nicht durch die geradlinige Ausbreitung von Licht erkl¨ arbar war. Die Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung von Licht an der Kante eines Hindernisses wurde Beugung genannt. Innerhalb der N¨ aherung der geometrischen Optik betrachtet man Licht als Strahlen, die sich geradlinig von einer Quelle ausbreiten. Der Strahl ist dann der Weg, entlang dessen sich Lichtenergie von einem Punkt eines optischen Systems zu einem anderen Punkt ausbreitet. Der Strahl ist eine n¨ utzliche Konstruktionshilfe, aber eine abstrakte Vorstellung, da in der Praxis nat¨ urlich nur Lichtb¨ undel existieren. Diese kann man nie so weit einengen, dass sie mathematischen Linien entsprechen. Der Laserstrahl ist wahrscheinlich die beste N¨aherung eines Lichtstrahles. Wenn man jedoch eine Blenden¨oﬀnung, durch die der Laserstrahl verl¨ auft, sehr klein macht, beginnt der Strahl nach dieser Blenden¨oﬀnung eine charakteristische Beugungsverbreiterung zu zeigen. L¨ auft ein Lichtstrahl durch ein optisches System, das aus mehreren homogenen Medien besteht, so ist der optische Weg eine Abfolge von Richtungs¨anderungen mit dazwischen liegenden geradlinigen Abschnitten. Diese ergeben sich jedesmal, wenn Licht reﬂektiert oder gebrochen wird. Folglich sind die nachstehenden Gesetze grundlegend f¨ ur die geometrische Optik: Reﬂexionsgesetz Wird ein Lichtstrahl an der Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei homogenen Medien reﬂektiert, so bleibt der reﬂektierte Strahl in der Einfallsebene und der Reﬂexionswinkel aßig gleich groß wie der Einfallswinkel ε. εr ist betragsm¨ Reﬂexionsgesetz

εr = −ε

(3.1)

Die Einfallsebene ist durch den einfallenden Strahl und das Einfallslot deﬁniert. Das Einfallslot ist die Normale auf der Grenzﬂ¨ache im Einfallspunkt. Die Vorzeichenkonvention und die Bezeichnungsregeln werden im Kapitel 3.6 (Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache) ausf¨ uhrlich erkl¨art. Wie aus Abb. 3.1 ersichtlich, werden die Winkel relativ zum Einfallslot gemessen, wobei sich das Vorzeichen des Winkels aus der Richtung der k¨ urzesten Drehung des Bezugsschenkels (Lot) in die Strahlrichtung ergibt. Linksdrehungen des Bezugsschenkels ergeben ein positives Vorzeichen des Winkels, Rechtsdrehungen ein negatives. Diese Vorzeichen m¨ ussen f¨ ur die Zahlenwerte der Winkel benutzt werden. Sie sind in Abb. 3.1 deshalb nur als Erinnerung in Klammern (+) oder (−) angegeben.

3.1 Huygenssches Prinzip

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Brechungsgesetz von Snellius Wenn ein Lichtstrahl an der Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei homogenen, optisch isotropen Medien gebrochen wird, so bleibt der gebrochene Strahl in der Einfallsebene und der Sinus des Brechungswinkels ε ist direkt proportional zum Sinus des Einfallswinkels ε: sin ε = konst. (3.2) sin ε Beide Gesetze sind in Abb. 3.1 dargestellt. An der Grenzﬂ¨ache zwischen zwei transparenten Medien wird der einfallende Strahl partiell reﬂektiert und partiell transmittiert.

Abb. 3.1. Darstellung des Reﬂexions- und Brechungsgesetzes

3.1 Huygenssches Prinzip Der holl¨ andische Physiker Christiaan Huygens (1629-1695) betrachtete Licht als eine Serie von Wellenpulsen, die von jedem Punkt eines leuchtenden K¨orpers ¨ ausgehen. Die Ausbreitung sollte durch eine Relaiskette aus Atherteilchen er¨ folgen. Als Ather bezeichnete er ein elastisches Medium, das den ganzen Raum ausf¨ ullt. Im Rahmen dieses Modells betrachtete Huygens jeden Punkt einer sich ausbreitenden St¨ orung als Ausgangspunkt von neuen Pulsen, die zu der St¨orung beitrugen. Um zu zeigen, wie dieses Modell der Lichtausbreitung die Gesetze der geometrischen Optik erkl¨ art, schlug er folgendes Prinzip vor:

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3 Geometrische Optik

Jeder Punkt einer sich ausbreitenden Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen (Kugelwellen) gleicher Frequenz, Wellenl¨ange und Polarisation betrachtet werden, die sich selbst wieder mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten und deren Einh¨ ullende die neue Wellenfront festlegt.

Abb. 3.2. Huygenssches Prinzip f¨ ur eine ebene und f¨ ur eine Kugelwelle

In Abb. 3.2 wird dieses Prinzip auf eine ebene und eine Kugelwelle angewandt. In jedem dieser F¨ alle bestimmt der Streckenzug AB die anf¨angliche Wellenfront, und A B ist die neue Wellenfront zu einem sp¨ateren Zeitpunkt t. Der Radius jeder Elementarwelle (sph¨ arische Welle) ist c · t, wobei c die Geschwindigkeit des Lichtes im Ausbreitungsmedium ist. Nach Huygens ist ein Teil der Elementarwelle bei der Anwendung des Prinzips zu vernachl¨assigen. Andernfalls w¨ urde man die geradlinige Ausbreitung des Lichtes aus diesem Prinzip nicht ableiten k¨onnen. Dies l¨ asst sich aus Abb. 3.3 entnehmen, die die Ausbreitung einer sph¨arischen ¨ Welle beschreibt, die vom Punkt O ausgeht und auf eine Oﬀnung A1 B1 f¨allt. Unter der Annahme der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes bilden die Geraden OA und OB die scharfen Kanten des Schattens auf der rechten Seite der Blenden¨ oﬀnung. Einige der Elementarwellen, die von Punkten auf der Wellenfront (Bogen A1 B1 ) ausgehen, u ¨ berlappen jedoch im Bereich des Schattens. Folgt man Huygens, so werden diese nicht ber¨ ucksichtigt, und die neue Wellenfront endet an den Punkten A1 und B1 . Durch diese N¨aherung vermied Huygens – f¨alschlich – die Beugung von Licht in den Bereich des geometrischen Schattens. Huygens

3.1 Huygenssches Prinzip

45

vernachl¨ assigte auch die Wellenfront, die durch die r¨ uckw¨artige H¨alfte der Elementarwellen gebildet wird und in die entgegengesetzte Richtung l¨auft. Trotz der Schw¨ achen seines Modells, die sp¨ ater von Fresnel und anderen beseitigt wurden, konnte Huygens durch Anwendung dieses Prinzips die Gesetze der Reﬂexion und der Brechung ableiten.

Abb. 3.3. Huygensche Konstruktion f¨ ur eine Wellenfront, die auf ein Hindernis, in diesem Fall eine Blenden¨ oﬀnung, triﬀt

Abbildung 3.4 illustriert die Ableitung des Reﬂexionsgesetzes mit Hilfe der Huygensschen Konstruktion f¨ ur die Reﬂexion eines schmalen, parallelen Lichtb¨ undels. Das Huygenssche Prinzip muss hier modiﬁziert werden, um die Reﬂexion einer Wellenfront AC, die schr¨ ag auf eine ebene Grenzﬂ¨ache XY triﬀt, zu beschreiben. Der Einfallswinkel der Strahlen AD, BE und CF relativ zur Senkrechten P D (Einfallslot) ist ε. Punkte auf der Wellenfront AC kommen nicht gleichzeitig auf der Grenzﬂ¨ ache an. Dies muss man bei der Konstruktion der Elementarwellen, die die reﬂektierte Wellenfront bestimmen, ber¨ ucksichtigen. Wenn die Grenzﬂ¨ ache XY nicht vorhanden w¨ are, w¨ urde die Huygenssche Konstruktion die Wellenfront GI ergeben. Die reﬂektierende Fl¨ache bewirkt, dass w¨ahrend des gleichen Zeitintervalls, das der Strahl CF ben¨otigt, um von Punkt F nach I zu kommen, der Strahl BE zun¨ achst die Strecke EJ und nach der Reﬂexion zus¨atzlich eine Strecke der L¨ ange JH zur¨ ucklegt. Deshalb wird f¨ ur den reﬂektierten Anteil eine Elementarwelle um J mit dem Radius JH gezeichnet, die oberhalb der reﬂektierenden Oberﬂ¨ ache verl¨ auft. In gleicher Weise wird eine Elementarwelle mit dem Radius DG und dem Zentrum D gezeichnet, die die Ausbreitung

46

3 Geometrische Optik

Abb. 3.4. Ableitung des Reﬂexionsgesetzes (obere Abbildung) sowie des Brechungsgesetzes aus dem Huygensschen Prinzip

3.2 Das Fermatsche Prinzip

47

nach der Reﬂexion f¨ ur den unteren Teil des Strahlb¨ undels beschreibt. Die neue Wellenfront verl¨ auft tangential zu diesen Elementarwellen in den Punkten M und N und ist in der Abbildung als KI gezeigt. Ein repr¨asentativer reﬂektierter Strahl ist DL, der senkrecht zur reﬂektierten Wellenfront gezeichnet ist. Das Einfallslot P D benutzt man, um den Einfallswinkel und den Reﬂexionswinkel des Strahles zu deﬁnieren. Die Konstruktion zeigt, dass Einfalls- und Ausfallswinkel im Betrag gleich groß sind, wie in Abb. 3.4 angegeben. In Abb. 3.4 wird die Huygenssche Konstruktion f¨ ur das Brechungsgesetz gezeigt. Hierbei m¨ ussen wir unterschiedliche Geschwindigkeiten des Lichtes im oberen und unteren Medium ber¨ ucksichtigen. Wenn die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum c0 ist, dann beschreiben wir die Geschwindigkeit des Lichtes im oberen Medium durch den Quotienten c0 /n, wobei n eine Konstante ist, die das Medium charakterisiert und die als Brechzahl bezeichnet wird. Die Geschwindigkeit des Lichtes im unteren Medium betr¨agt c = c0 /n . Die Punkte D, E und F der einfallenden Wellenfront kommen an den Punkten D, J und I der ebenen Grenzﬂ¨ ache XY zu verschiedenen Zeiten an. Ohne die brechende Fl¨ache entsteht die Wellenfront GI, wenn der einfallende Strahl CF den Punkt I erreicht. W¨ ahrend des Fortschreitens des Strahles CF von F nach I in der Zeit t breitet sich der Strahl AD in dem unteren Medium aus, wo die Geschwindigkeit z.B. geringer ist. Betr¨ agt die Entfernung F I = DG = c · t, so konstruiert man eine Elementarwelle mit dem Radius c · t mit dem Zentrum D. Den Radius DM kann man wie folgt schreiben: n DG DM = c t = c = DG c n In gleicher Weise zeichnet man eine Elementarwelle mit dem Radius JN = (n/n )JH um den Punkt J. Die neue Wellenfront KI enth¨alt einen Punkt I auf der Grenzﬂ¨ ache und ist, wie in der Abbildung zu sehen, tangential zu den Elementarwellen in den Punkten M und N . Die geometrische Beziehung zwiur den einfallenden Strahl AD und den schen den Winkeln ε und ε , die sich f¨ gebrochenen Strahl DL ergibt, ist das Brechungsgesetz (Abb. 3.4): Snelliussches Brechungsgesetz

n sin ε = n sin ε

(3.3)

3.2 Das Fermatsche Prinzip Die Gesetze der geometrischen Optik k¨ onnen auch aus einer anderen fundamentalen Hypothese abgeleitet werden. Die grundlegenden Annahmen des Fermatschen Prinzips wurden bereits von Hero von Alexandria, der im 2. Jh. v. Chr. lebte,

48

3 Geometrische Optik

genannt. Nach seiner Vorstellung nimmt Licht immer den k¨ urzesten Weg zwischen zwei Punkten. F¨ ur die Ausbreitung zwischen zwei Punkten in demselben homogenen Medium ist dieser Weg selbstverst¨andlich die gerade Linie, die die beiden Punkte verbindet. In Abb. 3.5 ist die Ableitung des Reﬂexionsgesetzes u urzesten Weg ¨ ber das Fermatsche Prinzip dargestellt. Hier ist nun nach dem k¨ mit einer Reﬂexion am Spiegel gefragt. Die Abbildung zeigt drei m¨ogliche Wege von Punkt A zu Punkt B, wobei in den Punkten C und E bei der Reﬂexion oﬀensichtlich Ein- und Ausfallswinkel nicht entgegengesetzt gleich groß sind. Betrachten wir einen beliebigen Weg ACB. Wenn der Punkt A auf der Senkrechten AO so gew¨ ahlt wird, dass AO gleich OA ist, so sind die rechtwinkeligen Dreiecke AOC und A OC kongruent. Daraus folgt, dass AC gleich A C ist. Damit ist die Entfernung, die der Strahl vom Punkt A zum Punkt B u ucklegt die ¨ber C zur¨ urzeste Entfernung von A nach B gleiche wie von Punkt A zu B u ¨ ber C. Die k¨ ist oﬀensichtlich die gerade Linie A DB, so dass der Weg ADB die richtige Wahl ist und dem tats¨ achlichen Lichtweg entspricht. Aus elementaren geometrischen ¨ Uberlegungen (gleiche Scheitelwinkel) folgt, dass f¨ ur diesen Weg εr = −ε gilt. Die Forderung, dass A DB eine einfache gerade Linie sein muss, legt fest, dass der reﬂektierte Strahl in der Einfallsebene liegen muss. Hier ist es die Papierebene.

Abb. 3.5. Konstruktion zum Beweis des Reﬂexionsgesetzes aus dem Heroschen Prinzip

Der franz¨ osische Mathematiker Pierre de Fermat (1601 od. 1608-1665) generalisierte das Prinzip von Hero, um das Brechungsgesetz zu beweisen. Wenn der Endpunkt C – wie in Abb. 3.6 – unterhalb der Fl¨ache eines zweiten Mediums liegt, so muss der richtige Lichtweg nicht der k¨ urzeste geometrische Weg bzw. die gerade Linie AC sein, denn dies w¨ urde den Winkel des gebrochenen Strahles gleich dem Einfallswinkel machen und das empirisch festgestellte Brechungsgesetz verletzen. Fermat forderte deshalb, dass der Lichtstrahl von A nach C den Weg nimmt, auf dem er die k¨ urzeste Zeit braucht. Diese Generalisierung schließt das

3.2 Das Fermatsche Prinzip

49

Herosche Prinzip als Spezialfall ein. Wenn sich das Licht im zweiten Medium langsamer ausbreitet, wie in Abb. 3.6 angenommen, dann wird es an der Grenzﬂ¨ ache so gebrochen, dass es einen Weg bevorzugt, auf dem es das zweite Medium in k¨ urzerer Zeit durchl¨ auft. Damit wird die gesamte Laufzeit t von A nach C minimiert. Wir erhalten t=

BC AB + c c

Abb. 3.6. Beweis des Brechungsgesetzes aus dem Fermatschen Prinzip

wobei c und c die Geschwindigkeiten des Lichtes im ersten und im zweiten Medium sind. Benutzt man den Satz von Pythagoras und entnimmt die Entfernungen aus Abb. 3.6, so erh¨ alt man: z12 + h2 z22 + (b − h)2 + t= c c Da eine andere Wahl des Weges die Position des Punktes B und damit auch die Entfernung h ¨ andert, k¨ onnen wir die Zeit mit dt/dh = 0 minimieren: b−h dt h − 2 =0 = 2 2 dh c z1 + h c z2 + (b − h)2 Nach Abb. 3.6 k¨ onnen wir in der Formel die Winkel f¨ ur den einfallenden und gebrochenen Strahl einsetzen und erhalten:

50

3 Geometrische Optik

dt sin ε sin ε = − =0 dh c c Daraus entnimmt man, dass c · sin ε = c · sin ε ist. F¨ uhrt man die Brechzahlen der Medien durch die Relation c = c0 /n ein, so erhalten wir wieder das Brechungsgesetz n sin ε = n sin ε

(3.3)

Um die allgemeine G¨ ultigkeit des Fermatschen Prinzips zu erreichen, ist, wie zu¨ vor f¨ ur das Huygenssche Prinzip, eine Uberarbeitung n¨otig. Es gibt Situationen, in denen der tats¨ achliche Weg, den ein Lichtstrahl nimmt, nicht die minimale Zeit erfordert, sondern einer von vielen m¨ oglichen Wegen ist, f¨ ur die jedesmal die gleiche Zeit ben¨ otigt wird. Als Beispiel f¨ ur den zuletzt angegebenen Fall betrachten wir die Ausbreitung von Licht, das von einem Brennpunkt im Innern eines Ellipsoidspiegels u ¨ber eine unendliche Zahl von Wegen zum anderen Brennpunkt l¨ auft (s. Abb. 3.9 a). Da die Ellipse der Ort aller Punkte ist, f¨ ur den die Summe der Abst¨ ande von den zwei Brennpunkten konstant ist, erfordern alle Lichtwege die gleiche Zeit. Pr¨ aziser formuliert man: Fermatsches Prinzip: Der tats¨ achliche Weg, den ein Lichtstrahl bei seiner Ausbreitung zwischen zwei gegebenen Punkten in einem optischen System nimmt, ist so beschaffen, dass die optische Wegl¨ ange bei Variation des Lichtweges ein Extremum darstellt. ¨ Dies bedeutet, dass bei einer geringen Anderung des Lichtweges die optische Wegl¨ ange unver¨ andert bleibt. Die so deﬁnierten extremalen Wege nennt man station¨ ar“. Wellen, die sich auf Wegen eng benachbart zu den station¨aren“ ” ” Wegen ausbreiten, interferieren konstruktiv und dominieren deshalb die Lichtausbreitung. Die letzte Fassung des Fermatschen Prinzips beruht auf der Variationsrechnung. Die Variationsrechnung legt die Funktion fest, f¨ ur die ein bestimmtes Integral einen Extremwert annimmt. In der Optik ist dies das Integral u ¨ber die Zeitintervalle, die ein Lichtstrahl auf seinem Weg ben¨otigt1 : ds 1 n(s) ds = Extr. t= = c c0 Hierbei bedeuten n die Brechzahl, s den Weg und c, c0 die Lichtgeschwindigkeit im Medium bzw. im Vakuum. 1

Ein ¨ ahnliches Prinzip, das Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung, fordert in der Mechanik ein Minimum des bestimmten Integrals der Lagrange-Funktion (Diﬀerenz von kinetischer und potentieller Energie). Die Newtonschen Gesetze der Mechanik folgen hieraus.

3.4 Brechung an einer ebenen Grenzﬂ¨ ache

51

3.3 Umkehrung des Lichtweges Betrachten wir noch einmal die F¨ alle der Reﬂexion und Brechung, die in den Abb. 3.5 und 3.6 dargestellt sind. Wenn die Punkte A und B ausgetauscht werden, so dass nun B die Lichtquelle ist und A der Punkt, in dem wir das Licht beobachten, so sagt das Fermatsche Prinzip den gleichen Lichtweg voraus wie vorher. Dies bedeutet, dass jeder Lichtstrahl in einem optischen System immer den gleichen Weg zur¨ uck nimmt, wenn man den Lichtweg umkehrt. Dieses Prinzip ist sehr n¨ utzlich, wie wir in sp¨ ateren Kapiteln erkennen werden.

3.4 Brechung an einer ebenen Grenzﬂ¨ ache Betrachten wir den Lichtstrahl (1) in Abb. 3.7 a, der unter dem Einfallswinkel ε auf eine ebene Grenzﬂ¨ ache, die zwei transparente Medien trennt, auftriﬀt. Die beiden Medien haben die Brechzahlen n und n , wobei n > n gilt. Der Austrittswinkel des gebrochenen Strahls sei ε . Das Brechungsgesetz lautet: n sin ε = n sin ε

(3.3)

¨ Das Brechungsgesetz ergibt, dass beim Ubergang vom optisch dichteren zum op tisch d¨ unneren Medium (n > n ) der Strahl vom Lot weg gebrochen wird. Kehrt ¨ man den Lichtweg um, so sieht man, dass beim Ubergang vom optisch d¨ unneren zum optisch dichteren Medium der Strahl zum Lot hin gebrochen wird. Das Brechungsgesetz fordert, dass der Strahl (3), der senkrecht auf die Grenzﬂ¨ache triﬀt (Einfallswinkel ε = 0), ohne Richtungs¨anderung weiter l¨auft (Brechungsangig vom Verh¨ altnis der Brechzahlen). Die drei Strahlen in winkel ε = 0, unabh¨ Abb. 3.7 a gehen von einer Punktquelle unterhalb der Grenzﬂ¨ache z.B. im Wasser (n = 1,33) aus und gehen in ein oberes Medium, das eine kleinere Brechzahl hat (z.B. Luft, n = 1). Untersucht man, ob die drei Strahlen außerhalb des Wassers von einer scheinbaren Lichtquelle innerhalb des Wassers ausgehen k¨onnen, so geschieht dies durch r¨ uckw¨ artige Verl¨ angerung der Strahlen (1), (2) und (3) in Abb. 3.7 a durch gestrichelte Linien. Man erkennt, dass sich die drei Visierlinien nicht in einem Punkt schneiden. F¨ ur Strahlen, die unter einem kleinen Einfallswinkel auf die Grenzﬂ¨ ache fallen, ergibt sich jedoch ein eindeutiger Bildpunkt. F¨ ur kleine Einfallswinkel gilt die paraxiale N¨aherung: sin ε ≈ tan ε ≈ ε

(im Bogenmaß)

Ausgehend von (3.3) kann dann das Brechungsgesetz durch n tan ε = n tan ε gen¨ ahert werden. Entnehmen wir den Tangens aus Abb. 3.7 b, so erhalten wir:

52

3 Geometrische Optik

n

h h = n . s s

Abb. 3.7. Brechung und Totalreﬂexion an einer ebenen Grenzﬂ¨ ache

Der Bildpunkt entsteht im Abstand s von der Oberﬂ¨ache. Damit erh¨alt man die Bildschnittweite einer Planﬂ¨ache

s =

n s n

(3.4)

und den Bildversatz einer Planﬂ¨ache

OO =

n − n s n

(3.5)

3.5 Abbildung durch ein optisches System

53

Hierbei ist s die entsprechende Tiefe des Gegenstandes. Dies bedeutet, dass Objekte, die sich unter Wasser beﬁnden, bei Betrachtung von einer Stelle oberhalb der Wasseroberﬂ¨ ache n¨ aher an der Oberﬂ¨ache zu sein scheinen, als sie es tats¨ achlich sind. F¨ ur Wasser erh¨ alt man s = (1/1,33)s = 3/4s. Bei Betrachtung des Unterwasserobjektes mit dem Auge bekommt man auch dann ein scharfes oßer ist, d.h. wenn man ﬂach auf die Wasseroberﬂ¨ache Bild, wenn der Winkel ε gr¨ ¨ schaut. Dies liegt daran, dass die Oﬀnung der Pupille nur ein schmales B¨ undel von Lichtstrahlen f¨ ur die Entstehung des Bildes auf der Netzhaut durchl¨asst. Da diese Strahlen sich nur wenig in ihrer Richtung unterscheiden, scheinen sie von demselben Bildpunkt auszugehen. Die scheinbare Tiefe dieses Bildes ist jedoch nicht 3/4 der Objekttiefe wie f¨ ur paraxiale Strahlen und außerdem vom Beobachtungswinkel abh¨ angig. Strahlen, die unter einem großen Einfallswinkel auf die Grenzﬂ¨ache treﬀen, werden auch die Grenzﬂ¨ ache unter einem immer gr¨oßeren Ausfallswinkel (Brechungswinkel) verlassen, wie das in Abb. 3.7 c dargestellt ist. Ein kritischer Einur den Brechungswinkel ε = 90◦ erreicht. Daraus ergibt sich fallswinkel εg wird f¨ u ur n > n ): ¨ ber das Brechungsgesetz (f¨ sin εg =

n n sin 90◦ = n n

und hieraus der Grenzwinkel der Totalreﬂexion

εg = arcsin

n n

mit n > n

(3.6)

F¨ ur Einfallswinkel ε > εg wird der einfallende Strahl total reﬂektiert. Die Totalreﬂexion ist von gr¨ oßter Bedeutung f¨ ur die Ausbreitung von Licht in Glasfasern, wie dies in Kapitel 24 beschrieben wird. Wir sollten uns merken, dass dieser optische Eﬀekt nur dann auftritt, wenn n gr¨oßer als n ist, dies bedeutet, dass Licht aus dem optisch dichteren Medium auf eine Grenzﬂ¨ache zu einem optisch d¨ unneren Medium triﬀt.

3.5 Abbildung durch ein optisches System In diesem Abschnitt diskutieren wir den Begriﬀ der optischen Abbildung und geben die praktischen und theoretischen Gr¨ unde an, die bewirken, dass ein Bild nicht ideal ist. In Abb. 3.8 enth¨ alt der Bereich, der mit optisches System“ be” zeichnet wird, eine beliebige Anzahl von reﬂektierenden und/oder brechenden Oberﬂ¨ achen beliebiger Kr¨ ummung und Brechzahl, die die Richtung von Strahlen, die den Objektpunkt O verlassen, ¨ andern. Wir sehen daraus, dass jedes Medium homogen und isotrop ist und deshalb durch eine einzige Brechzahl charakterisiert werden kann. Wir erkennen aus der Abbildung, dass vom Objektpunkt O Strahlen in alle Richtungen des Objektraumes, der vor der ersten reﬂektierenden oder

54

3 Geometrische Optik

Abb. 3.8. Erzeugung eines Bildes durch ein optisches System

brechenden Fl¨ ache des optischen Systems liegt, ausgehen. Die Kugeloberﬂ¨achen, die normal zu den Strahlen verlaufen, nennt man Wellenfronten. Alle Strahlen, die von O ausgehen, erreichen eine Wellenfront in der gleichen Zeit. Im Objektraum divergieren die Strahlen, und die sph¨arischen Wellenfronten (Kugelﬂ¨ achen) werden gr¨ oßer. Wir nehmen nun an, dass das optische System die Strahlen so umlenkt, dass sich die Wellenfronten beim Verlassen des optischen Systems im Bildraum zusammenziehen und die Strahlen in einen einzigen Punkt konvergieren, den wir Bildpunkt O nennen. Aus dem Fermatschen Prinzip folgt, dass jeder Strahl, der von O ausgeht und bei O endet, die gleiche Zeit ben¨otigt. Diese Strahlen nennt man isochron (gleichzeitig). Weiterhin k¨onnen wir aus dem Prinzip der Lichtumkehr folgern, dass, wenn O der Objektpunkt ist, jeder Strahl seine Richtung umkehrt, dabei aber seinen Weg durch das optische System beibeh¨ alt und somit O der korrespondierende Bildpunkt wird. Die Punkte O und O nennt man deshalb konjugierte Punkte des optischen Systems. Jeder Strahl, der von O ausgeht und durch ein ideal abbildendes optisches System verl¨auft, geht auch wieder durch den Punkt O hindurch. Wenn man ein ausgedehntes Objekt abbilden will, muss diese Vorschrift f¨ ur jeden Objektpunkt und seinen konjugierten Bildpunkt gelten. In der Praxis sind die Bilder nicht ideal, d.h. Punkte werden nicht in Punkte abgebildet, da Lichtstreuung, Abbildungsfehler und Beugung auftreten. Einige der Strahlen, die von O ausgehen, erreichen O nicht, weil an den brechenden Oberﬂ¨ achen diﬀuse oder spiegelnde Reﬂexion auftritt und außerdem Streuung an Inhomogenit¨ aten in den transparenten Medien auftreten kann. Diese Schw¨achung des Lichtes vermindert die Helligkeit des Bildes. Es kann jedoch auch vorkommen, dass einige Strahlen, die von anderen Objektpunkten Ok (nicht in Abb. 3.8 gezeigt) ausgehen, durch O verlaufen und damit das Bild verf¨alschen. Wenn das optische System nicht f¨ ur alle m¨ oglichen Objektstrahlen eine eindeutige Beziehung zwischen Objekt- und Bildpunkten bewirkt, wie das f¨ ur die konjugierte Abbildung aller Objektpunkte n¨ otig ist, so sprechen wir von Abbildungsfehlern (Aberrationen). Die Aberrationen werden im Kapitel 5 behandelt. Jedes optische System verarbeitet nur einen Teil der Wellenfront, die vom Objekt ausgeht, deshalb kann das Bild nicht exakt scharf sein. Man erh¨alt ein unscharfes, beu-

3.5 Abbildung durch ein optisches System

55

gungsbegrenztes Bild. Beugung tritt immer auf, da Licht als Welle betrachtet werden muss. Nur in dem nicht erreichbaren Grenzwert der geometrischen Optik, wo λ → 0 gilt, w¨ urden Beugungseﬀekte vollst¨andig verschwinden. Ideal abbildende reﬂektierende Oberﬂ¨achen werden in Abb. 3.9 gezeigt. Objekt- und Bildpunkte k¨ onnen durch Umkehrung des Lichtweges vertauscht werden. Wir sehen, dass in Abb. 3.9 b das Bild virtuell ist. Dies bedeutet, dass das Bild nur durch r¨ uckw¨ artige (gestrichelte) Verl¨angerung der Strahlen entsteht. Das virtuelle Bild ist nicht auf einem Schirm auﬀangbar. In Abb. 3.9 c wird deutlich, dass die parallel reﬂektierten Strahlen ein Bild im Unendlichen erzeugen. In jedem Fall k¨ onnen wir zeigen, dass das Fermatsche Prinzip, das isochrone Strahlen zwischen Objekt- und Bildpunkten fordert, die geometrische Form der reﬂektierenden Fl¨ achen festlegt. Fragen wir uns nun nach der Gleichung f¨ ur eine geeignete brechende Oberﬂ¨ ache, die den Objektpunkt O in den Bildpunkt O u uhrt, wie in Abb. 3.10 gezeigt. Dort ist ein beliebiger Punkt P mit den Ko¨ berf¨ ordinaten y, z auf der zu beschreibenden Oberﬂ¨ache Σ angegeben. Wir fordern, dass jeder Strahl, der von O ausgeht, wie z.B. OP O , so gebrochen wird, dass auft. Ein anderer Strahl ist OSO , der senkrecht zur Oberﬂ¨ache er durch O verl¨ durch den Scheitel S verl¨ auft. Nach dem Fermatschen Prinzip sind diese Strahlen isochron. Da die Medien auf jeder Seite der brechenden Oberﬂ¨ache verschiedene Brechzahlen aufweisen, sind die isochronen Strahlen jedoch nicht von gleicher geometrischer L¨ ange. Die Laufzeit eines Strahles durch ein Medium der Dicke d mit der Brechzahl n ist: t=

nd d = c c0

Gleiche Laufzeiten bedeuten gleiche Werte des Produkts: optische W egl¨ ange = n d = Brechzahl × geometrischer W eg

(3.7)

In dem eben beschriebenen Problem fordert das Fermatsche Prinzip, dass nl1 + n l1 = nl2 + n l2 = konst.

(3.8)

ist, wobei die Entfernungen in Abb. 3.10 deﬁniert sind. Benutzt man die y, zKoordinaten des Punktes P , so erh¨ alt man f¨ ur die erste Summe in (3.8): 2 (3.8 a) n y 2 + z 2 + n y 2 + (l2 + l2 − z) = konst. Die Konstante in der Gleichung l¨ asst sich aus (3.8) f¨ ur ein gegebenes Problem berechnen. Gleichung (3.8 a) beschreibt ein kartesisches Ovaloid (Rotation eines Ovales um die z-Achse) wie in Abb. 3.11 a als Ausschnitt gezeigt. Bei den meisten Anwendungen m¨ ochte man jedoch das Bild in demselben optischen Medium wie das Objekt erhalten. Dieses Ziel wird durch eine Linse erreicht,

56

3 Geometrische Optik

Abb. 3.9. Fehlerfreie Abbildung durch reﬂektierende Oberﬂ¨ achen mit konjugierten Objekt- und Bildpunkten. In c) ist die Abbildung nur f¨ ur die dort gezeigten achsenparallelen Strahlen fehlerfrei!

Abb. 3.10. Fehlerfreie Abbildung. Brechende Oberﬂ¨ ache Σ, die den Objektpunkt O in den Bildpunkt O u uhrt ¨ berf¨

die die Lichtstrahlen an zwei Oberﬂ¨ achen bricht und damit ein Bild außerhalb der Linse erzeugt. Es ist deshalb von besonderem Interesse, die Oberﬂ¨achen zu bestimmen, die nach der ersten Brechung jeden Objektstrahl parallel zum anderen machen. Wenn solche Strahlen auf die zweite Oberﬂ¨ache fallen, k¨onnen sie erneut so gebrochen werden, dass sie ein fehlerfreies Bild erzeugen. Die entsprechenden Fl¨ achen sind in den Abbildungen 3.11 b und 3.11 c angegeben. Abh¨angig

3.5 Abbildung durch ein optisches System

57

Abb. 3.11. Abbildungsfehlerfreie Oberﬂ¨ achen. a) Das kartesische Ovaloid bildet O in O ab. b) Die hyperbolische Oberﬂ¨ ache bildet den Objektpunkt O ins Unendliche ab, wobei O in einem Brennpunkt liegt und n < n ist. c) Elliptische Oberﬂ¨ ache, die den Objektpunkt O ins Unendliche abbildet, wobei O in einem Brennpunkt liegt und n > n ist

von der relativen Gr¨ oße der Brechzahlen ist die brechende Oberﬂ¨ache entweder ein Hyperboloid (n < n ) oder ein Ellipsoid (n > n ). In Abb. 3.12 ist eine doppelt hyperbolische Linse gezeigt. Fehlerfreie Abbildung wird nur f¨ ur die Objektpunkte O auf der optischen Achse erreicht, die den korrekten Abstand zur der Linse haben. F¨ ur Punkte, die n¨aher an der Linse liegen, ist die Abbildung nicht ideal. Je gr¨ oßer das Objekt ist, um so ungenauer ist die Abbildung. Da die Bilder von ausgedehnten Objekten nicht frei von Abbildungsfehlern sind und hyperbolische Oberﬂ¨achen zudem schwierig herzustellen sind, macht man die Oberﬂ¨ achen meistens sph¨arisch (Kugelﬂ¨achen). Die sph¨arischen Aberrationen, die man so erzeugt, werden als Kompromiss akzeptiert, da

Abb. 3.12. Fehlerfreie Abbildung durch eine Linie mit asph¨ arischen (hyperbolischen Fl¨ achen)

58

3 Geometrische Optik

Kugeloberﬂ¨ achen wesentlich leichter und preiswerter herzustellen sind. F¨ ur optische Systeme, die hohen Anforderungen an die Abbildungsqualit¨at gen¨ ugen m¨ ussen, werden aber durchaus Linsen mit asph¨arischen Fl¨achen eingesetzt. In der weiteren Behandlung der geometrischen Optik konzentrieren wir uns auf den Fall von sph¨ arischen reﬂektierenden und brechenden Fl¨achen mit einem Kr¨ ummungsradius r. Der Spezialfall r → ∞ gilt f¨ ur die ebene Oberﬂ¨ache.

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention Die verwendeten Formelzeichen sind in einer Tabelle am Buchanfang angegeben. Basis f¨ ur die Bezeichnungsregelung ist die DIN 1335 . Punkte werden durch lateinische Großbuchstaben und Strecken durch lateinische Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Die Winkel sind mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet. Konjugierte Gr¨oßen, die nach Deﬁnition paarweise einander zugeordnet sind, werden mit dem gleichen Buchstaben beschrieben. Die bildseitige Gr¨oße wird zus¨ atzlich mit einem Strich ( ) markiert. So ist y eine Strecke in der Gegenstandsorige Strecke in der Bildebene. Demgegen¨ uber wird der ebene und y die zugeh¨ Objektbrennpunkt mit F , der Bildbrennpunkt mit F und die Objektbrennweite mit f und die Bildbrennweite mit f bezeichnet, wobei die objektseitige Gr¨oße zus¨ atzlich einen Querstrich tr¨ agt. Dies soll deutlich machen, dass F und F nicht konjugiert sind, d.h. sie sind nicht einander abbildbar, denn das Bild von F liegt nicht in F . Die Lichtrichtung verl¨ auft von links nach rechts. Blickt man in Lichtrichtung, so ist n die Brechzahl vor einer Grenzﬂ¨ache und n die Brechzahl hinter der Grenzﬂ¨ache. Strecken werden von einem Bezugspunkt (in den Zeichnungen als Punkt markiert) gemessen und sind durch einseitige Pfeile gekennzeichnet. Alle Strecken, die von einem Bezugspunkt aus nach rechts oder nach oben gemessen werden, sind positiv. Strecken, die von einem Bezugspunkt aus nach links oder nach unten gemessen werden, sind negativ. Zur Veranschaulichung sind teilweise in den Zeichnungen in Klammern zus¨ atzlich beigef¨ ugte Vorzeichen angegeben. Diese in Klammern angegebenen Vorzeichen sind nur eine Hilfe. Sie verdeutlichen, dass man beim Einsetzen eines Zahlenwertes diesen mit einem positiven oder negativen Vorzeichen versehen muss. Die Vorzeichen von Winkeln werden relativ zu einem Bezugsschenkel bestimmt. Bei den Schnittwinkeln σ, σ mit der optischen Achse ist der Strahl Bezugsachse. F¨ ur die Ein- und Ausfallswinkel ε, ε ist das Einfallslot Bezugsschenkel. Ein positives Vorzeichen ergibt sich, wenn man den Bezugsschenkel entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Zusammenfallen mit dem anderen Schenkel drehen muss ( Linksdrehung“). Die Winkelpfeile in den Zeichnungen zeigen vom ” Bezugsschenkel weg.

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention

59

Abb. 3.13. Bezeichnungsregeln f¨ ur die Vorzeichen von Strecken und Winkeln nach DIN 1335

Diese Vorzeichenregeln sind in den Abbildungen 3.13 und 3.14 (Kr¨ ummungsradius einer Kugelﬂ¨ ache) veranschaulicht. Beispiel 3.1 Vorzeichendeﬁnition Ein Gegenstand hat eine Gr¨ oße von 0,2 m. Man legt die z-Achse (Lichtrichtung) durch den Fußpunkt O des Gegenstandes. Es sei a die Gegenstandsweite und a die Bildweite. Hat der Gegenstand einen Abstand von 0,8 m von der eingezeichneten Ebene, so muss man in den Gleichungen a = −0,8 m einsetzen. F¨ ur den Kr¨ ummungsradius der Kugelﬂ¨ache in Abb. 3.14 w¨are r = +2,5 cm einzusetzen. Berechnet man z.B. f¨ ur den Schnittwinkel σ = +25◦ , dann muss in der entsprechenden Zeichnung (s. Abb. 3.13) der bildseitige Strahl von links nach rechts abfallend verlaufen. Bezugsschenkel ist stets der Strahl, der hier durch Linksdrehung zur Deckung mit der optischen Achse gebracht wird. Wir wenden uns nun der Behandlung der Brechung einer sph¨arischen Kugelﬂ¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r und dem Kr¨ ummungsradius C zu, wie sie in Abb. 3.14 dargestellt ist. Ein Strahl geht vom Objektpunkt O aus und wird vom Objekt aus gesehen an der konvexen Fl¨ache zum Punkt O hin gebrochen. Es gilt das Brechungsgesetz: n sin ε = n sin ε .

60

3 Geometrische Optik

Im Folgenden wird die Brechung in der sogenannten paraxialen N¨aherung behandelt. Dies bedeutet, dass nur achsennahe Strahlen zugelassen werden und damit Einfalls- und Brechungswinkel nur kleine Werte annehmen. Man entwickelt deshalb die Winkelfunktionen in eine Reihe: sin ε = ε − cos ε = 1 −

ε3 3! ε2 2!

+ +

ε5 5! ε4 4!

− ···

(3.9)

− ···

Bricht man diese Reihenentwicklung nach dem ersten Glied ab, so gilt: sin ε ≈ ε,

cos ε ≈ 1 und

tan ε =

sin ε ≈ε cos ε

(3.10)

Das Brechungsgesetz lautet dann: paraxiales Brechungsgesetz

n ε = n ε

(3.11)

Abb. 3.14. Strahlverlauf und Schnittweiten bei einer brechenden Kugelﬂ¨ ache

Aus der Abb. 3.14 l¨ asst sich in dem Dreieck CO P der Außenwinkel ϕ = σ + ε entnehmen. Aus Dreieck CP O berechnet man den Außenwinkel ε = ϕ− σ. Substituiert man ε und ε in (3.11), so erh¨alt man:

n(ϕ − σ) = n (ϕ − σ )

(3.12)

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention

61

Als N¨ achstes ersetzen wir die Winkel durch den Tangens des entsprechenden Winkels, wie sich das aus Abb. 3.14 entnehmen l¨asst, wobei die Entfernung SQ in der paraxialen N¨ aherung sehr klein ist und deshalb QC = r (QO = s, QO = s ) angenommen wird. Wir erhalten h h h h (3.13) n − = n − r s r s und hieraus die: Schnittweitengleichung einer Fl¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r n n n − n − = s s r

(3.14)

Die Gr¨ oße s ist die Bildschnittweite. Sie wird vom Scheitel S der gekr¨ ummten Fl¨ ache aus gemessen. s ist die Objektschnittweite und r der Kr¨ ummungsradius der brechenden Fl¨ ache. F¨ ur r → ∞ erh¨ alt man eine ebene brechende Fl¨ache und damit die Schnittweitengleichung einer ebenen Fl¨ache: n s (3.4) n wobei s die scheinbare“ Tiefe ist, wie wir sie im vorherigen Abschnitt bestimmt ” haben. Der Abbildungsmaßstab β = y /y eines ausgedehnten Objekts y l¨asst sich aus Abb. 3.15 entnehmen. F¨ ur den Strahl, der auf den Scheitel S f¨allt, gilt in der ur die Winkel paraxialen N¨ aherung nε = n ε . Wenn man weiterhin den Tangens f¨ einsetzt, so erh¨alt man: s =

n

y y = n s s

und den Abbildungsmaßstab β einer Fl¨ache

β =

y n s = y n s

(3.15)

Da y in diesem Falle positiv und y negativ ist, erkennt man, dass β einen negativen Wert annimmt. Allgemein l¨ asst sich daraus entnehmen, dass ein negatives Vorzeichen f¨ ur den Abbildungsmaßstab entgegengesetzte Orientierung von Gegenstand und Bild bedeutet. Im Falle einer ebenen brechenden Fl¨ache kann man (3.4) in (3.15) einsetzen und erh¨ alt damit β = 1. Deshalb haben die Bilder, die durch eine ebene brechende Fl¨ ache erzeugt werden, gleiche Gr¨oße und Orientierung wie das Objekt.

62

3 Geometrische Optik

Abb. 3.15. Deﬁnition des Abbildungsmaßstabes bei einer brechenden Kugelﬂ¨ ache

Werden bei der Abbildung mehrere Fl¨ achen durchlaufen, f¨ ur die β1 =

n1 s1 · , n1 s1

β2 =

n2 s2 · , n2 s2

...,

βl =

nl sl · nl sl

gilt, so ergibt sich der Abbildungsmaßstab einer Fl¨achenfolge

β =

y = β1 β2 . . . βl y

(3.16)

Setzt man in (3.15) (nach Abb. 3.14) f¨ ur s = h/σ und f¨ ur s = h/σ , so ergibt sich f¨ ur ein beliebiges System die Helmholtz-Lagrange-Invariante

y n σ = y n σ

(3.17)

Dies bedeutet, dass das Produkt aus Objekt- bzw. Bildgr¨oße, der Brechzahl und ¨ dem Strahlwinkel mit der Achse (Oﬀnungswinkel) f¨ ur den paraxialen Objektraum und den Bildraum eines beliebigen optischen Systems eine Erhaltungsgr¨oße ist. Beispiel 3.2 Brechung an Kugelﬂ¨ achen Wir wenden die eben gewonnenen Erkenntnisse auf die Brechung an sph¨arischen Fl¨ achen an. In Abb. 3.16 a ist ein Objekt in Luft 30 cm von einer konvexen sph¨ arischen Fl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r = 5 cm entfernt. Auf der rechten Seite der Grenzﬂ¨ ache beﬁndet sich Wasser (n = 1,33). Bevor wir repr¨ asentative Strahlen konstruieren, bestimmen wir zun¨achst die Bildschnittweite und den Abbildungsmaßstab des Bildes, indem wir (3.14) und (3.15) benutzen. Gleichung (3.14) wird zu: 1 1,33 1,33 − 1 − = s −30,5 cm 5 cm

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention

63

Wir erhalten s = 0,4 m. Das positive Vorzeichen zeigt an, dass das Bild auf der rechten Seite der Grenzﬂ¨ ache liegt. Auf der rechten Seite entsteht demnach im Schnittpunkt der Strahlen ein reelles Bild. Aus (3.15) erh¨ alt man: β =

1 · 40 cm = −1 1,33 · (−30,5) cm

Dies bedeutet, dass das Bild relativ zum Objekt invertiert ist und die gleiche Gr¨ oße wie dieses hat. Abbildung 3.16 a zeigt das Bild und einige repr¨asentative Strahlen. In diesem Beispiel erstreckt sich das Medium weit genug zur rechten Seite der sph¨ arischen Fl¨ ache, so dass das Bild innerhalb dieses Mediums entsteht und keine weitere Brechung auftritt. Wir wollen nun annehmen (s. Abb. 3.16 b), dass das zweite Medium eine dicke Linse mit der Scheiteldicke d = 10 cm ist, die eine zweite konkave sph¨arische Fl¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r2 = −5 cm hat. Die Brechung an der ersten Oberﬂ¨ache wird durch ¨ diese Anderung nicht beeinﬂusst. Innerhalb der Linse haben die Strahlen eine Richtung, die ein Bild im Abstand von 40 cm von der ersten Fl¨ache ergeben w¨ urde. Diese Strahlen werden jedoch von der zweiten Oberﬂ¨ache gebrochen und produzieren deshalb ein anderes Bild, wie in der Abbildung gezeigt. Das reelle Bild f¨ ur die Oberﬂ¨ ache (1) ist ein virtuelles Objekt f¨ ur die Oberﬂ¨ache (2), da dieses Objekt auf der rechten Seite der Oberﬂ¨ache (2) als gedachte (gestrichelte) Verl¨ angerung der Strahlen entsteht. F¨ ur die zweite Brechung erh¨ alt man somit aus (3.14) und mit s2 = s1 −d = ur das Umgebungsmedium Luft 40 cm − 10 cm = 30 cm sowie n2 = 1 f¨ 1 1,33 1 − 1,33 − = s2 30 cm −5 cm und damit s2 = 9,1 cm. Aus (3.15) ergibt sich der Abbildungsmaßstab zu β2 =

1,33 · 9,1 cm 2 ≈ = 0,4 1 · (30) cm 5

Das endg¨ ultige Bild hat also 2/5 der Gr¨oße des virtuellen Objektes und die gleiche Orientierung. F¨ ur den gesamten Abbildungsmaßstab gilt β = β1 ·β2 = −0,4. Relativ zu dem Originalobjekt hat das endg¨ ultige Bild 2/5 von dessen Gr¨ oße und ist invertiert. Das soeben gezeigte Verfahren l¨ asst sich f¨ ur die Brechung an einer beliebigen Fl¨ achenfolge generalisieren. Die einzelnen Brechungsvorg¨ange werden in der Reihenfolge, in der das Licht auftriﬀt, behandelt. Die Objektschnittweite des lten Schrittes ist durch die Bildschnittweite des (l − 1)-ten Schrittes bestimmt. Wenn das Bild des (l − 1)-ten Schrittes nicht vor der brechenden Fl¨ache entsteht, so dient das virtuelle Bild, das bei der gestrichelten Verl¨angerung der reellen Strahlen entsteht, als virtuelles Objekt f¨ ur den l-ten Schritt.

64

3 Geometrische Optik

Abb. 3.16. Beispiel f¨ ur die Brechung an sph¨ arischen Fl¨ achen a) Brechung durch eine einzelne sph¨ arische Fl¨ ache. b) Brechung durch eine dicke Linse. Die Indizes 1 und 2 beziehen sich auf die Brechungen an der ersten und zweiten Grenzﬂ¨ ache

3.7 Du ¨ nne Linsen Wir wenden nun die angegebene Methode bei der Ableitung der Abbildungsgleichung f¨ ur die d¨ unne Linse an. Wie auch im Beispiel zu Abb. 3.16 sind hier zwei Brechungen an Kugelﬂ¨ achen zu ber¨ ucksichtigen. Hierbei vereinfachen wir das optische System in der Weise, dass die Scheiteldicke der Linse im Vergleich zu den Gegenstands- und Bildweiten vernachl¨ assigt wird. Diese N¨aherung l¨asst sich f¨ ur viele praktische F¨ alle verwenden. Wir nehmen nun an, dass auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium mit der Brechzahl n1 ist und die Brechzahl des Linsenagt. Damit ist n1 = n2 und n1 = n2 = nL (s. Abb. 3.16). Zum materials nL betr¨ besseren Verst¨ andnis werden im Folgenden auch die Gleichungen ohne diese Vereinfachungen f¨ ur die Brechzahlen angegeben. F¨ ur die erste brechende Oberﬂ¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r1 gilt n1 n − n1 n1 − = 1 s1 s1 r1

oder

nL n1 nL − n1 − = s1 s1 r1

(3.18)

3.7 D¨ unne Linsen

65

und an der zweiten Grenzﬂ¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r2 erhalten wir: n2 n2 − n2 n2 − = s2 s2 r2

oder

n1 nL n1 − nL − = s2 s2 r2

(3.19)

Die zweite Objektweite ist gegeben durch s2 = s1 − d

(3.20)

wobei d die Scheiteldicke der Linse ist, die in der N¨aherung der d¨ unnen Linse u ¨ ber den Linsendurchmesser konstant ist. Bei zus¨atzlicher Vernachl¨assigung von d erh¨ alt man dann: s2 = s1

(3.21)

Wir setzen nun diesen Wert f¨ ur s2 in (3.19) ein und addieren (3.18) und (3.19): n1 n1 1 1 − + = (nL − n1 ) − s1 s2 r1 r2 angliche Gegenstandsschnittweite und s2 die endg¨ ultige Nun ist aber s1 die anf¨ Bildschnittweite; deshalb lassen wird die s-Indizes weg und schreiben einfach 1 1 1 nL − n1 1 (3.22) − = − s s n1 r1 r2 Die Bildbrennweite einer d¨ unnen Linse (d ≈ 0) deﬁnieren wir als die Schnittweite f¨ ur ein Objekt im Unendlichen und entsprechend die Gegenstandsbrennweite als Gegenstandsschnittweite f¨ ur ein Bild im Unendlichen. Wir erhalten mit s = f und 1/s = 0 aus (3.22) die 1 nL − n1 1 1 (3.23) = − Bildbrennweite einer d¨ unnen Linse f n1 r1 r2 Gleichung (3.23) ergibt die Brennweite f¨ ur eine Linse der Brechzahl nL und mit den Kr¨ ummungsradien r1 und r2 , wobei die Linse in einem Medium mit der Brechzahl n1 benutzt wird. In den meisten F¨allen beﬁndet sich die Linse aherung der d¨ unnen Linse (d ≈ 0) kann in Luft und es gilt n1 = 1. In der N¨ man die Schnittweiten, die von den Linsenscheiteln aus gemessen werden, durch Gegenstands- und Bildweite ersetzen. Damit ergibt sich mit (3.23) aus (3.22): Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse

1 1 1 − = a a f

(3.24)

Hierbei bezeichnet man a als Bildweite und a als Gegenstandsweite. F¨ ur reale, dicke Linsen werden die Brennweiten, sowie Bild- und Gegenstandsweiten relativ

66

3 Geometrische Optik

zu den Hauptpunkten und nicht zu den Linsenscheiteln gemessen (s. Kap. 4). ¨ F¨ ur prinzipielle Uberlegungen an einfachen optischen Systemen ist die N¨aherung durch d¨ unne Linsen als erste Absch¨ atzung n¨ utzlich. Wir untersuchen nun die Wirkung von Linsen auf ebene Wellenfronten (s. Abb. 3.17) und sehen, dass eine Positivlinse (Sammellinse, Bildbrennweite f > 0, Bildbrennpunkt F rechts von der Linse), die in der Mitte dicker ist als am Rand, eine konvergente Wellenfront erzeugt. Dagegen bewirkt eine Negativlinse (Zerstreuungslinse, Bildbrennweite f < 0, Bildbrennpunkt F links von der Linse), die in der Mitte d¨ unner als am Rand ist, dass die einfallenden parallelen Strahlen hinter der Linse divergieren. Der Anteil der Wellenfront, der durch den dickeren Teil der Linse geht, wird relativ zu anderen Lichtwegen verz¨ogert.

Abb. 3.17. Wirkung a) einer Sammellinse mit f > 0 und b) einer Zerstreuungslinse mit f < 0 auf ebene Wellenfronten

Die Konstruktionen des Abbildungsstrahlenganges f¨ ur Sammellinsen und Zerstreuungslinsen mit Hilfe dreier repr¨ asentativer Strahlen – Parallelstrahl (1), Brennpunktstrahl (2), Mittelpunktstrahl (3) – sind in der Abb. 3.18 angegeben. Man verwendet eine symbolische Darstellung der d¨ unnen Linse, die aus einer vertikalen Linie mit Pfeilen an den Enden besteht, wobei die Pfeile symbolisch die Form der Linse beschreiben. Der Parallelstrahl (1), der von der Spitze des Objektes ausgeht, verl¨ auft parallel zur optischen Achse und geht auf der rechten Seite der Linse durch den bildseitigen Brennpunkt. Bei Abb. 3.18 b verl¨auft der einfallende Parallelstrahl (1) nach dem Durchgang durch die Linse so weiter, als w¨ urde er, wie durch den gestrichelten Verlauf angedeutet, vom Bildbrennpunkt ur F herkommen. Den Brennpunktstrahl (2) kann man in entsprechender Weise f¨ beide Linsen konstruieren. Die zwei gezeichneten Strahlen sind ausreichend, um den Bildpunkt festzulegen. Zus¨ atzlich kann man jedoch den Mittelpunktstrahl (3) zeichnen, der ungebrochen durch den Mittelpunkt der Linse geht. Der mittlere Teil der Linse verh¨alt

3.7 D¨ unne Linsen

67

Abb. 3.18. Strahlendiagramme f¨ ur die Abbildung durch a) Sammellinse, b) Zerstreuungslinse

sich wie eine planparallele Platte, die die Richtung des einfallenden Strahles nicht ¨andert und wegen ihrer geringen Dicke den Strahl kaum parallel verschiebt. Konstruktionsstrahlen f¨ ur die optische Abbildung mit d¨ unnen Linsen (nach Abb. 3.18) (1) Parallelstrahl (2) Brennpunktstrahl (3) nicht gebrochener Mittelpunktstrahl

→ Brennpunktstrahl → Parallelstrahl

Bei der Konstruktion der Strahlenverl¨aufe sehen wir, dass mit Ausnahme des Mittelpunktstrahls jeder Strahl durch eine Sammellinse zur optischen Achse hin gebrochen wird, w¨ ahrend jede Brechung bei der Zerstreuungslinse von der optischen Achse weg erfolgt. Aus den Strahlendiagrammen ergibt sich, dass der Winkel w, unter dem die Objektstrecke y vom Mittelpunkt der Linse aus gesehen

68

3 Geometrische Optik

wird gleich dem Winkel w ist, unter dem die Bildstrecke y gesehen wird. Damit erh¨ alt man aus den ¨ ahnlichen Dreiecken f¨ ur das reelle Bild in 3.18 a oder f¨ ur das virtuelle Bild in 3.18 b den β =

Abbildungsmaßstab

y a = y a

(3.25)

Weitere Beispiele f¨ ur Strahlendiagramme von zwei Linsen, die hintereinander auf der optischen Achse angeordnet sind, werden in Abb. 3.19 gezeigt und in Beispiel 3.3 diskutiert. Beispiel 3.3 Zweilinsiges optisches System mit d¨ unnen Linsen Berechnen und beschreiben Sie das Zwischenbild und das Endbild f¨ ur ein zweilinsiges optisches System, wie es in der Abb. 3.19 a dargestellt ist. Hierbei sei f1 = 15 cm, f2 = −15 cm und der Abstand der beiden Linsen e = 60 cm. Der Gegenstand beﬁndet sich 25 cm vor der ersten Linse. L¨ osung Die erste Linse ist eine Sammellinse mit f1 = 15 cm. Der Gegenstand ist bei a1 = −25 cm. Aus (3.24) folgt die Bildweite: a1 =

a1 f1 −25 cm · 15 cm = = +37,5 cm a1 + f1 −25 cm + 15 cm

Wir erhalten den Abbildungsmaßstab: β1 =

a1 37,5 cm = = −1,5 a1 −25 cm

Das erste Bild (Zwischenbild) ist demnach reell und liegt 37,5 cm rechts von der ersten Linse. Relativ zum Gegenstand ist das Bild invertiert (weil β negativ ist), und das Zwischenbild ist 1,5-mal so groß wie der Gegenstand. Die zweite Linse ist eine Zerstreuungslinse: f2 = −15 cm. Das reelle Zwischenbild ist reelles Objekt f¨ ur die zweite Linse mit der Objektweite a2 = a1 − e = 37,5 cm − 60 cm = −22,5 cm. Wir sehen, dass es sich auf der linken Seite der Linse (2) beﬁndet. Dadurch ergibt sich: a2 =

a2 · f2 −22,5 cm · (−15 cm) = = −9 cm a2 + f2 −22,5 cm − 15 cm

β2 =

a2 −9 cm = = 0,4 a2 −22,5 cm

und

3.7 D¨ unne Linsen

69

Das Endbild ist virtuell, 9 cm links von der zweiten Linse, relativ zum Zwischenbild nicht invertiert (β2 ist positiv) und 0,4 mal so groß wie dieses. Die Gesamtvergr¨ oßerung ist durch β = β1 β2 = −1,5·0,4 = −0,6 gegeben. Hieraus ersieht man, dass das Endbild relativ zum Anfangsobjekt invertiert ist und 0,6-mal so groß ist wie dieses. Alle diese Eigenschaften sind qualitativ aus dem Strahlendiagramm der Abb. 3.19 a zu entnehmen.

Abb. 3.19. a) Erzeugung eines virtuellen Bildes durch ein optisches System, das aus einer Sammellinse (1) und einer Zerstreuungslinse (2) besteht. b) Erzeugung eines reellen Bildes O durch ein optisches System aus zwei Sammellinsen. Das Zwischenbild O ist bei a reelles und bei b virtuelles Objekt f¨ ur die zweite Linse

70

3 Geometrische Optik

3.8 Kru ¨ mmung von Wellenfronten und Brechwert von Linsen F¨ ur bestimmte Anwendungen kann eine andere Interpretation der Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse n¨ utzlich sein. Aus der Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse 1 1 1 − = a a f

(3.24)

und aus Abb. 3.20 erkennen wir, dass sich zum einen aus den Kehrwerten von Gegenstands- und Bildweite der Kehrwert der Bildbrennweite ergibt; zum anderen beschreiben die Kehrwerte von Gegenstands- und Bildweite die Kr¨ ummungsradien der Wellenfronten, die um den Gegenstand O und das Bild O zentriert sind. Eine ebene Wellenfront hat eine Kr¨ ummung von 0 (Kr¨ ummungsradius = ∞). Abbildung 3.20 zeigt Kugelwellen, die von einem Gegenstandspunkt O ausgehen und die die Kr¨ ummung V = 1/a beim Auftreﬀen auf die d¨ unne Linse haben. Wir sehen in Abb. 3.20 a, dass nach der Brechung die Wellenfronten auf den Bildpunkt O zulaufen, oder, wie in Abb. 3.20 b gezeigt, sich weiter ausdehnen und scheinbar vom virtuellen Bildpunkt O herkommen. Nach dem Durchgang ¨ durch die Linse ist die Kr¨ ummung der Wellenfronten V = 1/a Die Anderung ¨ der Kr¨ ummung beim Ubergang vom Gegenstandsraum in den Bildraum wird vom Brechwert D der Linse verursacht, der durch den Kehrwert der Bildbrennweite D = 1/f gegeben ist. Mit dieser Deﬁnition l¨asst sich (3.22) in folgender Weise schreiben: V−V =

1 = D f

(3.26)

Die Einheiten von V und V sind reziproke L¨angen. Wenn man die L¨ange in Metern misst, so ergibt sich f¨ ur die reziproken Werte die Einheit 1/m oder Dioptrie (dpt). Der Brechwert einer Linse mit einer Bildbrennweite von f = 2 m betr¨agt D = 5 dpt. Die oben genannte Darstellung betont mehr die Kr¨ ummung der Wellenfront oder die Konvergenz oder Divergenz der Strahlen als Gegenstands- oder Bildweiten. Daraus ergibt sich, dass der Grad der Konvergenz V der Strahlen auf der Bildseite zum einen durch den urspr¨ unglichen Grad der Konvergenz V auf der Objektseite und zum anderen durch den Brechwert 1/f der Linse bestimmt wird. Gleichung (3.26) kann auch auf den Fall der Brechung an einer einfachen Grenzﬂ¨ ache angewandt werden. In diesem Fall ergibt sich aus (3.14) f¨ ur den Brechwert der einzelnen Fl¨ ache D = (n − n)/r. Das Rechnen mit Brechwerten ist noch in einem anderen Fall n¨ utzlich. Wenn man d¨ unne Linsen sehr nahe zusammenbringt, so kann man wegen der verschwindenden Scheiteldicke dieses optische System als eine einzelne d¨ unne Linse be-

3.8 Kr¨ ummung von Wellenfronten und Brechwert von Linsen

71

¨ Abb. 3.20. Anderung in der Kr¨ ummung einer Wellenfront bei der Brechung durch eine d¨ unne Linse. a) Sammellinse, b) Zerstreuungslinse

trachten und die Brennweite der Kombination als Funktion der Einzelbrennweiur ein ten f1 , f2 , . . . der einzelnen Linsen berechnen. Wir k¨onnen beispielsweise f¨ zweilinsiges System folgende Abbildungsgleichungen angeben: 1 1 1 − = a1 a1 f1

und

1 1 1 − = . a2 a2 f2

Da f¨ ur den hier betrachteten Fall die beiden Linsen sehr nahe zusammenliegen, gilt a2 = a1 und damit ergibt sich bei Addition der zwei Abbildungsgleichungen 1 1 1 1 1 − = + = a2 a1 f1 f2 f

72

3 Geometrische Optik

Man sieht, dass die Summe der einzelnen reziproken Brennweiten das Reziproke der Gesamtbrennweite f des Paares ergibt. Verallgemeinert erh¨alt man: Gesamtbrennweite f¨ ur Hintereinanderschaltung von d¨ unnen Linsen ohne Zwischenraum 1 1 1 = + + . . . oder D = D1 + D2 + . . . (3.27) f f1 f2 Man sieht, dass sich die reziproken Brennweiten oder Brechwerte (D = 1/f ) der Linsen addieren.

3.9 Newtonsche Abbildungsgleichung fu ¨ r die Linse Misst man Gegenstands- und Bildweiten relativ zu den Brennpunkten einer Linse, wie durch die Abst¨ ande z und z in der Abb. 3.21 (Linse in Luft) angegeben, so erh¨ alt man die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung. Die Dreiecke 1 und unne 2 (bzw. 1 und 2 ), die sich durch die Brennpunktstrahlen und die d¨ Linse zu beiden Seiten der Linse ergeben, sind a¨hnlich (Strahlensatz). Deshalb gilt f¨ ur den Abbildungsmaßstab: −f −y = y −z

und

f y = −y z

(3.28)

Hieraus erh¨ alt man die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung

z · z = f · f

oder

z · z = −f 2

(3.29)

wobei f¨ ur den Fall gleicher Medien auf beiden Seiten der Linse f¨ ur die Gegenstandsbrennweite f = −f eingesetzt wurde. Diese Form der Abbildungsgleichung

Abb. 3.21. Ableitung der Newtonschen Abbildungsgleichung f¨ ur die d¨ unne Linse

3.10 Reﬂexion an ebenen Spiegeln

73

gilt auch f¨ ur dicke Linsen, da die Abst¨ ande von Gegenstand und Bild relativ zu den Brennpunktlagen und nicht zu Linsenoberﬂ¨achen gemessen werden. Aus (3.28) ergibt sich die Newtonsche Form des Abbildungsmaßstabes

β =

−f f −z = = z f z

(3.30)

3.10 Reﬂexion an ebenen Spiegeln Im Folgenden wollen wir die Erzeugung von Bildern durch ebene Spiegel diskutieren. Hierzu m¨ ussen wir zwischen der Reﬂexion an einer ideal ebenen Oberﬂ¨ache und der diﬀusen Reﬂexion an einer rauen Oberﬂ¨ache unterscheiden. Im ersten Fall gehorchen Strahlen, die auf die Oberﬂ¨ache treﬀen, dem Reﬂexionsgesetz (3.1) und aus einem einfallenden Parallelstrahlb¨ undel wird durch die Reﬂexion ein ausfallendes Parallelstrahlb¨ undel. Im zweiten Fall wird zwar das Reﬂexionsgesetz lokal in jedem Punkt befolgt, die mikroskopisch k¨ornige Oberﬂ¨ache erzeugt jedoch reﬂektierte Strahlen, die in verschiedene Richtungen verlaufen und damit als Ergebnis eine diﬀuse Streuung des einfallenden Strahlb¨ undels. Jede ebene Oberﬂ¨ ache erzeugt immer einen Anteil einer solchen diﬀusen Reﬂexion, da man in der Praxis keine ideal ebene Oberﬂ¨ ache herstellen kann. Aus der Winkelverteilung der reﬂektierten Strahlung kann man auf die Oberﬂ¨acheng¨ ute schließen. Im Weiteren werden wir ideale Reﬂexion voraussetzen. Betrachten wir die Reﬂexion eines einzelnen Lichtstrahles OP an der xyFl¨ ache in Abb. 3.22 a. Aufgrund des Reﬂexionsgesetzes bleibt der reﬂektierte Strahl P Q in der Einfallsebene, die durch die Fl¨achennormale im Auftreﬀpunkt des einfallenden Strahles und den einfallenden Strahl deﬁniert wird. Wenn man den Weg OP Q in seine xyz-Komponenten aufspaltet, so sieht man, dass durch die Reﬂexion die Richtung des Strahles OP bez¨ uglich der z-Richtung umgekehrt wird. Dies bedeutet, dass die z-Komponente invertiert wird. Wenn die Richtung des einfallenden Strahles durch den Einheitsvektor er1 = (ex1 , ey1 , ez1 ) gegeben ist, so erh¨ alt man aufgrund der Reﬂexion: er1 = (ex1 , ey1 , ez1 ) → er2 = (ex1 , ey1 , −ez1 ) Wenn ein Strahl nacheinander von drei exakt rechtwinklig zueinander angeordneten Ebenen (Tripelspiegel), wie z.B. in der Ecke eines W¨ urfels, reﬂektiert wird (s. Abb. 3.22 b), so ergibt sich er1 = (ex1 , ey1 , ez1 ) → er2 = (−ex1 , −ey1 , −ez1 )

74

3 Geometrische Optik

Tabelle 3.1. Zusammenstellung wichtiger Formeln zur Brechung und zur Abbildung Snelliussches Brechungsgesetz

n sin ε = n sin ε

(3.3)

paraxiales Brechungsgesetz

n ε = n ε

(3.11)

n d = Brechzahl × geometrischer W eg n εg = arcsin mit n > n n

(3.7)

optische Wegl¨ ange Grenzwinkel der Totalreﬂexion Schnittweitengleichung einer Fl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r

n n n − n − = s s r

Abbildungsmaßstab einer Fl¨ achenfolge

(3.4)

y n s = y n s

(3.15)

y = β1 β2 . . . βl y

(3.16)

Helmholtz-LagrangeInvariante Bildbrennweite einer d¨ unnen Linse

β = β =

y n σ = y n σ 1 nL − n1 = f n1

Gesamtbrennweite f¨ ur Hintereinanderschaltung von d¨ unnen Linsen ohne Zwischenraum Newtonsche Form der Abbildungsgleichung Newtonsche Form des Abbildungsmaßstabes

1 1 − r1 r2

(3.17)

1 1 1 − = a a f

Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse Abbildungsmaßstab

(3.14)

n s n

s =

Schnittweitengleichung einer ebenen Fl¨ ache Abbildungsmaßstab β einer Fl¨ ache

y a f = = a + f y a 1 1 1 = + +... f f1 f2

β =

z · z = f · f β =

(3.6)

oder

z · z = −f 2

−f f −z = = z f z

(3.23)

(3.24)

(3.25) (3.27)

(3.29)

(3.30)

3.10 Reﬂexion an ebenen Spiegeln

75

und der Strahl kommt exakt antiparallel zum einfallenden Strahl zur¨ uck. Eine Anordnung von mehreren solcher Tripelspiegel bewirkt die exakte R¨ uckspiegelung eines Strahlenb¨ undels, so z.B. Licht eines Autoscheinwerfers durch die Reﬂektoren am Straßenrand oder eines Laserstrahles von einem Reﬂektor auf der Mondoberﬂ¨ ache. Bei einem Tripelspiegel wird der reﬂektierte Strahl unabh¨angig von der Dreuber dem hung des Tripelspiegels um beliebige Achsen exakt um 180◦ gegen¨ einfallenden Strahl umgelenkt.

Abb. 3.22. Reﬂexion an ebenen Spiegeln a) Einfach-, b) Tripelspiegel

Die Abbildung durch ebene Spiegel ist in Abb. 3.23 a dargestellt. Ein punktf¨ormiges Objekt O sendet Strahlen auf einen Spiegel. Das Reﬂexionsgesetz stellt sicher, dass die Dreiecke ON P und O N P kongruent sind, so dass alle reﬂektierten Strahlen scheinbar von dem Bildpunkt O ausgehen. Dieser liegt auf der Normalen ON und die Bildweite O N ist im Betrag (ohne Vorzeichen) gleich der Gegenstandsweite ON . Das Auge sieht ein punktf¨ormiges Bild bei O genau in der gleichen Weise wie es einen realen punktf¨ormigen Gegenstand sehen w¨ urde, der in O angeordnet ist. Da es keinen realen Strahlenverlauf jenseits der Spiegeloberﬂ¨ ache gibt, ist das entstehende Bild virtuell. Man kann es vor dem Spiegel nicht auf einem weißen Blatt Papier auffangen, wie dies f¨ ur ein reelles Bild m¨ oglich w¨are. Alle Punkte eines ausgedehnten Objektes, z.B. die Pfeile in Abb. 3.23 b, werden durch einen ebenen Spiegel in der gleichen Weise abgebildet: Zu jedem Gegenstandspunkt gibt es einen Bildpunkt, der um soviel unterhalb der reﬂektierenden Fl¨ ache liegt, wie der Objektpunkt sich oberhalb der Fl¨ache beﬁndet. Die Verbindungslinie von Objekt- und Bildpunkt steht senkrecht auf der Oberﬂ¨ache. Wir stellen fest, dass die Lage des Bildes nicht von der Position des Auges abh¨angt.

76

3 Geometrische Optik

Abb. 3.23. Abbildung durch ebene Spiegel

Weiterhin zeigt Abb. 3.23 b, dass die Bildgr¨oße identisch zur Gegenstandsgr¨oße ¨ ist, dass also der Abbildungsmaßstab gerade gleich 1 ist. Die Anderung der Orientierung durch die Spiegelung wird in Abb. 3.23 c dargestellt, wobei hier der Spiegel nicht direkt unterhalb des Gegenstandes liegt. Zur Konstruktion des Bildes verl¨ angert man die Spiegelebene. Abbildung 3.23 d zeigt Vielfachbilder eines Gegenstandspunktes O, die sich durch zwei senkrecht zueinander stehende Spiegelﬂ¨ achen ergeben. Die Bilder O1 und O2 werden durch einfache Reﬂexion an den beiden Spiegeln gebildet, aber das dritte Bild O3 entsteht durch die nacheinander erfolgende Reﬂexion an beiden Spiegeloberﬂ¨achen.

3.11 Reﬂexion an einer Kugeloberﬂ¨ ache Kugelspiegel k¨ onnen entweder konkav oder konvex sein, je nachdem, ob der Kr¨ ummungsmittelpunkt C auf der gleichen Seite wie der Gegenstandspunkt O liegt oder auf der entgegengesetzten Seite. In Abb. 3.24 wird ein konkaver Spiegel gezeigt und die Abbildung des Objektpunktes O in den Bildpunkt O dargestellt. Bei einer Spiegelung wird der Lichtweg bez¨ uglich der z-Achse (optische Achse) umgekehrt, was auch in den Abbildungsgleichungen zu Vorzeichen¨ anderungen f¨ uhren w¨ urde. Deshalb faltet (= ˆ Spiegelung) man den Strahlengang an der Scheitelebene der Spiegelﬂ¨ache auf und erh¨alt dann einen Bild-

3.11 Reﬂexion an einer Kugeloberﬂ¨ ache

77

Abb. 3.24. Reﬂexion an einem sph¨ arischen Hohlspiegel. Es wird der normale“ und der ” aufgefaltete“ Strahlengang dargestellt. Mit der Auffaltung wird die Vorzeichen¨ ande” rung, die bei der Reﬂexion wegen der Umkehr der Lichtrichtung auftritt, beseitigt punkt OAuf (Auffaltung). Dies bedeutet eine Vorzeichenumkehr f¨ ur s und f . Das Auffaltungsverfahren hat bei der Berechnung des Strahlengangs in Laserresonatoren (s. Kap. 21) besondere Bedeutung. Es ergibt sich f¨ ur die

aufgefaltete Spiegelﬂ¨ ache : Schnittweitengleichung Brennweiten Abbildungsgleichung Abbildungsmaßstab

1

1 1 2 = = s rAuf fAuf rAuf r fAuf = und f Auf = 2 2 1 1 1 − = aAuf a fAuf y a β = = Auf y a sAuf

−

(3.31) (3.32) (3.33) (3.34)

78

3 Geometrische Optik

Bei Abbildung einer Objektstrecke y wirkt die aufgefaltete Spiegelﬂ¨ache wie eine d¨ unne Linse, d.h. s und sAuf kann man durch a und aAuf ersetzen. Das Reﬂexionsgesetz an der aufgefalteten Spiegelﬂ¨ ache lautet εAuf = ε. Abbildung 3.25 zeigt den Strahlenverlauf an einigen sph¨arischen Spiegeln ohne Auffaltung. Es gilt f¨ ur die nicht aufgefaltete Spiegelﬂ¨ ache : Schnittweitengleichung Brennweiten Abbildungsgleichung Abbildungsmaßstab

1 1 1 + = s s f r r und f = f = 2 2 1 1 1 + = a a f y a β = =− y a

(3.35) (3.36) (3.37) (3.38)

Abb. 3.25. Brennpunkte und Abbildung an sph¨ arischen Spiegeln ohne Auffaltung

In Abb. 3.26 wird die Bildkonstruktion f¨ ur einen Hohlspiegel und einen W¨olbspiegel gezeigt. Beispiel 3.4 Reﬂexion an Kugelspiegeln mit/ohne Auf faltung Ein 3 cm großer Gegenstand wird 20 cm vom Scheitel eines a) konvexen und b) konkaven Spiegels aufgestellt. Der Betrag der Brennweite ist jeweils 10 cm. Bestimmen Sie Lage und Abbildungsmaßstab des Bildes.

3.11 Reﬂexion an einer Kugeloberﬂ¨ ache

79

Abb. 3.26. Abbildung durch sph¨ arische Spiegel (ohne Auffaltung): a) Konkavspiegel (Hohlspiegel), verkleinertes reelles Bild, b) Konkavspiegel (Hohlspiegel), vergr¨ oßertes virtuelles Bild, c) Konvexspiegel (W¨ olbspiegel), verkleinertes virtuelles Bild, (1) Parallelstrahl, (2) Brennpunktstrahl, (3) Mittelpunktstrahl

L¨ osung = −10 cm, a = −20 cm. Aus a1) konvexer Spiegel, mit Auﬀaltung, fAuf 1 1 1 folgt: aAuf − a = fAuf afAuf −20 cm · (−10) cm = = −6,67 cm aAuf = a + fAuf −20 cm − 10 cm a −6,67 cm β = Auf = = 0,333 a −20 cm

80

3 Geometrische Optik

Das Bild nach Auffaltung liegt 6,67 cm links vom Scheitel des Spiegels, hat die gleiche Orientierung wie der Gegenstand und ist 1/3 so groß wie dieser. a2) konvexer Spiegel, keine Auﬀaltung, f = 10 cm, a = −20 cm. Hier folgt aus a1 + a1 = f1 : af −20 cm · 10 cm = a = = 6,67 cm a − f −20 cm − 10 cm a 6,67 cm β = − = − = 0,333 a −20 cm Das Bild liegt 6,67 cm rechts vom Scheitel des Spiegels, hat die gleiche Orientierung wie der Gegenstand und ist 1/3 so groß wie dieser. = 10 cm, a = −20 cm. Hier gilt: b) konkaver Spiegel, Auﬀaltung, fAuf af −20 cm · 10 cm Auf aAuf = = = 20 cm a + fAuf −20 cm + 10 cm a 20 cm β = Auf = = −1 a −20 cm Das Bild liegt 20 cm rechts vom Scheitel des Spiegels, hat die umgekehrte Orientierung wie der Gegenstand und ist genauso groß wie dieser.

¨ Ubungen Hinweis: Die Brechzahl von Wasser betr¨ agt 1,33, f¨ ur Glas wird, wenn nicht anders angegeben, n = 1,5 verwendet. 3.1 Berechnen Sie die Laufzeit eines Lichtstrahles, der die Entfernungen z1 im Medium der Brechzahl n1 , z2 im Medium der Brechzahl n2 , . . . sowie zm im Medium mit nm zur¨ ucklegt. Geben Sie das Ergebnis Ihrer Berechnung in Form einer Summe an. 3.2 Bestimmen Sie das kartesische Ovaloid f¨ ur die ideale Abbildung mit einer brechenden Fl¨ ache, wenn der Objektpunkt auf der optischen z-Achse 20 cm vom Scheitel der Oberﬂ¨ ache entfernt ist und der konjugierte Bildpunkt 10 cm innerhalb des zweiten Mediums liegt. Nehmen Sie f¨ ur das brechende Medium eine Brechzahl von 1,5 an, das a ur den Schnitt des ¨ußere Medium sei Luft. Bestimmen Sie die Gleichung f¨ Ovaloids mit der yz-Ebene, wobei der Koordinatennullpunkt im Objektpunkt liegt. Stellen Sie eine Tabelle mit den y- und z-Koordinaten der Fl¨ ache auf und zeichnen Sie die Fl¨ ache mit einigen Konstruktionsstrahlen. 3.3 Eine bikonvexe Linse hat einen Durchmesser von 5 cm und die Randdicke null. Ein Punktobjekt auf der optischen Achse erzeugt ein reelles Bild auf der entgegengesetzten Seite. Gegenstand und Bild sind 30 cm von der Mittelebene der Linse entfernt. Das Linsenmaterial hat eine Brechzahl von 1,52. Benutzen Sie den Satz von der Gleichheit der optischen Wege durch das Zentrum und den Rand der Linse, um die Dicke der Linse in der Mitte zu bestimmen.

3.11 Reﬂexion an einer Kugeloberﬂ¨ ache

81

3.4 Eine Glaskugel von 5 cm Durchmesser hat einen kleinen Kratzer auf ihrer Oberﬂ¨ ache. Man beobachtet den Kratzer durch das Glas entlang einer Achse durch den Mittelpunkt von einer Position direkt gegen¨ uber. An welcher Stelle erscheint der Kratzer und wie groß ist sein Abbildungsmaßstab? 3.5 An welcher Stelle vor einer sph¨ arischen brechenden Fl¨ ache muss man ein Objekt anordnen, damit die Brechung parallele Lichtstrahlen erzeugt? Wie groß ist die Brennweite einer einzigen brechenden Oberﬂ¨ ache? 3.6 Ein kleiner Goldﬁsch wird im Innern eines kugelf¨ ormigen Aquariums von 30 cm Durchmesser betrachtet. Bestimmen Sie die scheinbare Position und den Abbildungsmaßstab des Fischauges, wenn die tats¨ achliche Position a) im Zentrum der Kugel und b) in der Mitte der Sichtlinie vom Zentrum zum Rand ist. Nehmen Sie an, dass das Glas so d¨ unn ist, dass sein Einﬂuss auf die Brechung vernachl¨ assigt werden kann. 3.7 Ein kleines Objekt beﬁndet sich vor dem d¨ unnen, konvex–sph¨ arischen Glasfenster eines Wassertanks. Der Kr¨ ummungsradius der Fensterﬂ¨ ache ist 5 cm. Die innere hintere Seite des Tanks besteht aus einem ebenen Spiegel, der 25 cm vom Fenster entfernt ist. Bestimmen Sie Ort und Gr¨ oße des Bildes eines Objektes, das sich 30 cm vom Fenster entfernt außerhalb des Tanks beﬁndet. Die Brechung durch das Glas des Fensters kann vernachl¨ assigt werden. 3.8 Eine plankonvexe Linse hat eine Bildbrennweite von 25 cm und soll aus Glas der Brechzahl 1,52 hergestellt werden. Berechnen Sie den Kr¨ ummungsradius der Schleifund Polierwerkzeuge, die bei der Herstellung der Linse ben¨ otigt werden. 3.9 Berechnen Sie die Brennweite einer d¨ unnen Meniskuslinse, deren sph¨ arische Oberﬂ¨ achen die Kr¨ ummungsradien 5 und 10 cm haben. Die Brechzahl des Glases ist 1,5. Berechnen Sie eine Positiv- und eine Negativlinse. 3.10 Eine Seite eines Aquariums besteht aus einer großen Glaslinse (n = 1,5). Die Linse ist bikonvex mit Kr¨ ummungsradien vom Betrag 30 cm. Ein kleiner Fisch im Aquarium ist 20 cm von der Linse entfernt. Wo scheint sich der Fisch zu beﬁnden, wenn man ihn durch die Linse betrachtet? Wie groß ist der Abbildungsmaßstab? 3.11 Zwei d¨ unne Linsen haben Bildbrennweiten von −5 und +20 cm. Bestimmen Sie ihre resultierende Brennweite, wenn sie a) sich im optischen Kontakt beﬁnden und b) 10 cm voneinander entfernt sind. 3.12 Zwei identische d¨ unne plankonvexe Linsen mit Kr¨ ummungsradien vom Betrag 15 cm sind so angeordnet, dass ihre gekr¨ ummten Oberﬂ¨ achen im Scheitel aneinander¨ der Brechzahl 1,65 gef¨ ullt. stoßen. Der Zwischenraum zwischen den Linsen ist mit Ol Die Brechzahl des Glases ist 1,5. Bestimmen Sie die Brennweite der Kombination. ¨ (Hinweis: Betrachten Sie die Olschicht als d¨ unne Zwischenlinse.) 3.13 Ein Okular besteht aus zwei d¨ unnen Linsen von 20 mm Bildbrennweite im Abstand von 16 mm. a) Wo muss man ein kleines selbstleuchtendes Objekt positionieren, damit das Licht, das vom Objekt ausgeht, parallel gemacht wird?

82

3 Geometrische Optik b) Welche Orientierung hat das Bild relativ zum Objekt? Ist das Bild vergr¨ oßert? Kl¨ aren Sie diese Fragen anhand einer Strahlenkonstruktion.

3.14 Eine d¨ unne Zerstreuungslinse und ein konkaver Spiegel haben Bildbrennweiten, die dem Betrage nach gleich sind. Drei halbe Brennweiten vor die Zerstreuungslinse wird ein Gegenstand positioniert. Der Spiegel beﬁndet sich in der Entfernung 3f auf der anderen Seite der Linse. Bestimmen Sie die Bildlage in der paraxialen N¨ aherung. a) Verwenden Sie ein Strahlendiagramm. b) Berechnen Sie die Lage und Gr¨ oße des Bildes. 3.15 Ein kleines Objekt ist 20 cm von der ersten Linse eines dreilinsigen Systems entfernt, das die Bildbrennweiten 10 cm, 15 cm und 20 cm aufweist. Der Abstand zwischen den ersten beiden Linsen ist 30 cm, der zwischen den letzten beiden 20 cm. Berechnen Sie die endg¨ ultige Bildlage relativ zur Position der letzten Linse sowie den Abbildungsmaßstab, wenn: a) alle drei Linsen Positivlinsen sind, b) die mittlere Linse eine Negativlinse ist, c) die erste und letzte Linse Negativlinsen sind. Zeichnen Sie f¨ ur jeden der F¨ alle ein Strahlendiagramm. 3.16 Eine d¨ unne konvexe Glaslinse hat eine Bildbrennweite von 30 cm in Luft. Bringt man die Linse in eine durchsichtige Fl¨ ussigkeit, so wird sie eine Negativlinse mit einer Bildbrennweite von f = −188 cm. Bestimmen Sie die Brechzahl der Fl¨ ussigkeit. 3.17 Auf einem Schirm m¨ ochte man ein vierfach vergr¨ oßertes Bild eines hellen Objektes erzeugen. Hierzu soll eine plankonvexe Linse mit n = 1,5 und r2 = −16 cm benutzt werden. Verwenden Sie die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung und bestimmen Sie den Abstand des Objektes und des Schirmes von der Linse. Hat das Bild ¨ die gleiche Orientierung wie das Objekt? Uberpr¨ ufen Sie Ihr Resultat anhand der gew¨ ohnlichen Abbildungsgleichung. 3.18 Drei d¨ unne Linsen der Bildbrennweiten 10 cm, 20 cm und −40 cm werden in optischen Kontakt gebracht und bilden eine Verbundlinse. a) Bestimmen Sie den Brechwert jeder einzelnen Linse und den Brechwert der Kombination. b) Bestimmen Sie den Kr¨ ummungsradius der Kugelwellen, die von einem Objektpunkt 12 cm vor dem System ausgehen und den Kr¨ ummungsradius der resultierenden Kugelwellen, die auf das Bild zulaufen. Ermitteln Sie aus dem Ergebnis die Bildweite in cm. 3.19 Eine Linse wird entlang der optischen Achse zwischen einem festen Objekt und einem festen Bildschirm bewegt. Die Entfernung l zwischen Gegenstand und Bild ist gr¨ oßer als die vierfache Bildbrennweite der Linse. Man ﬁndet zwei Stellungen der Linse f¨ ur die auf dem Schirm ein scharfes Bild entsteht, in einem Falle vergr¨ oßert und im anderen Falle verkleinert. Die beiden Linsenpositionen unterscheiden sich um die Entfernung e. Zeigen Sie, dass die Bildbrennweite der Linse durch f = (l2 − e2 )/4l

3.11 Reﬂexion an einer Kugeloberﬂ¨ ache

83

gegeben ist. Dies ist die Besselsche Methode, um die Brennweite einer Linse zu bestimmen. 3.20 Auf einem Schirm wird mit einer Linse das Bild eines Gegenstandes entworfen. Man h¨ alt die Position der Linse fest und bewegt sowohl den Gegenstand als auch das Bild in eine neue Position, die wieder ein scharfes Bild ergibt. Die zwei Gegenstandspositionen seien O1 und O2 und die Abbildungsmaßst¨ abe β1 und β2 . Zeigen Sie, dass die Bildbrennweite der Linse durch folgende Formel gegeben ist: f =

O1 O2 1/β1 − 1/β2

Dies ist die Abbesche Methode zur Bestimmung der Brennweite einer Linse. 3.21 Ermitteln Sie das Reﬂexionsgesetz mit Hilfe des Fermatschen Prinzips durch Minimierung des Weges eines beliebigen Strahles vom Quell- zum Aufpunkt. 3.22 Bestimmen Sie das Verh¨ altnis der Brennweiten von zwei identischen d¨ unnen plankonvexen Linsen, wobei die eine auf der ﬂachen Seite und die andere auf der gekr¨ ummten Seite verspiegelt ist. Das Licht f¨ allt jeweils auf die unverspiegelte Seite ein. 3.23 Zeigen Sie, dass bei der Abbildung durch eine d¨ unne Linse die minimale Entfernung ur welche Lage von Bild und Gegenstand von Gegenstand und Bild gleich 4f ist. F¨ ﬁndet man dies? 3.24 Ein Lichtstrahl durchl¨ auft eine Reihe von ebenen Grenzﬂ¨ achen, die alle parallel zueinander sind und Gebiete unterschiedlicher Dicke und Brechzahl voneinander trennen. a) Zeigen Sie, dass f¨ ur ein- und ausfallenden Strahl das Brechungsgesetz mit den Brechzahlen des ersten und letzten Gebietes gilt, so, als ob die dazwischenliegenden Gebiete nicht existieren. b) Berechnen Sie die Parallelverschiebung des auslaufenden relativ zum einlaufenden Strahl. 3.25 Ein paralleler Lichtstrahl f¨ allt auf eine plankonvexe Linse von 4 cm Dicke. Der Kr¨ ummungsradius der konvexen Seite betr¨ agt r = −4 cm. Die Brechzahl des Linsenmaterials betr¨ agt 1,5 und die Linse wird in Luft benutzt. Bestimmen Sie die Lage von objekt- und bildseitigem Brennpunkt der Linse. 3.26 Eine sph¨ arische Grenzﬂ¨ ache hat einen Kr¨ ummungsradius von r = 10 cm und trennt Materialien der Brechzahlen 1 und 4/3. Der Kr¨ ummungsmittelpunkt liegt auf der Seite mit der h¨ oheren Brechzahl. Bestimmen Sie die Brennweiten f¨ ur Licht, das von jeder Seite einf¨ allt. Wie a ¨ndert sich das Ergebnis, wenn die zwei Brechzahlen vertauscht werden? 3.27 Ein Flugzeug wird f¨ ur Luftaufnahmen zur Erstellung einer Landkarte eingesetzt. Der Maßstab der Karte soll 1:50 000 sein, das Kameraobjektiv hat eine Bildbrennweite von 150 cm. Bestimmen Sie die geeignete H¨ ohe f¨ ur die Luftaufnahme. 3.28 Bestimmen Sie die minimale H¨ ohe eines Wandspiegels, der es einer 1,80 m großen Person gestattet, sich vollst¨ andig zu sehen. Skizzieren Sie Strahlen, die vom Kopf

84

3 Geometrische Optik und von den F¨ ußen der Person ausgehen und bestimmen Sie eine geeignete Anordnung des Spiegels, so dass die Person ihr vollst¨ andiges Bild unabh¨ angig von ihrem Abstand vom Spiegel sehen kann.

3.29 Der Einfallswinkel eines Lichtstrahles, der auf die Mitte der obersten Fl¨ ache eines durchsichtigen W¨ urfels einf¨ allt, betr¨ agt 45◦ . Die Brechzahl des W¨ urfelmaterials ist 1,414. Skizzieren Sie den Strahlenverlauf durch den W¨ urfel. 3.30 Zur Bestimmung der Brechzahl einer transparenten Glasplatte benutzt man folgendes Verfahren: Ein Mikroskop wird zun¨ achst auf einen kleinen Kratzer in der oberen Oberﬂ¨ ache fokussiert (scharf gestellt) und die Position des Objektivs notiert. Bringt man das Objektiv des Mikroskops um 1,87 mm n¨ aher an die Glasplatte heran, so sieht man wieder ein scharfes Bild des Kratzers. Die Dicke der Platte ist 1,5 mm. Warum sieht man das zweite scharfe Bild und wie groß ist die Brechzahl des Glases? 3.31 Eine kleiner Lichtpunkt auf der unteren Fl¨ ache eines Glasquaders von 2,25 cm Dicke wird durch das Glas betrachtet. Die Strahlen des an der oberen Fl¨ ache total reﬂektierten Lichtes ergeben einen Kreis von 7,6 cm Durchmesser auf der unteren Fl¨ ache. Bestimmen Sie die Brechzahl des Glases. 3.32 Zeigen Sie, dass die Parallelverschiebung s eines Lichtstrahles, der eine planparallele Platte der Dicke d durchl¨ auft, durch d sin(ε − ε ) cos ε gegeben ist, wobei ε und ε Einfalls- und Brechungswinkel sind. Bestimmen Sie die Verschiebung, wenn d = 3 cm, n = 1,5 und ε = 50◦ ist. s=

3.33 Ein Maßstab von 1 m L¨ ange liegt entlang der optischen Achse eines konvexen Spieahere Ende 60 cm von der Spiegels der Bildbrennweite f = −40 cm, wobei das n¨ geloberﬂ¨ ache entfernt ist. Wie groß ist das Bild des Maßstabes? 3.34 Eine Halbkugel aus Glas ist auf der gekr¨ ummten Oberﬂ¨ ache versilbert. Im Glas beﬁndet sich auf der optischen Achse eine kleine Luftblase, die 5 cm von der ebenen Oberﬂ¨ ache entfernt ist. Der Kr¨ ummungsradius der sph¨ arischen Fl¨ ache betr¨ agt 7,5 cm. Wenn man entlang der optischen Achse auf die ebene Oberﬂ¨ ache schaut, so sieht man zwei Bilder der Luftblase. Warum entstehen sie und wo liegen sie? 3.35 Ein konkaver Spiegel entwirft auf einem Schirm ein Bild, das doppelt so groß wie der Gegenstand ist. Gegenstand und Spiegel werden dann so verschoben, dass das Bild dreimal so groß wie der Gegenstand wird. Wenn bei diesem Verfahren der Spiegel um 75 cm bewegt wird, wie weit muss man dann den Gegenstand bewegen? Wie groß ist die Brennweite des Spiegels?

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Einleitung In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit Methoden zur Analyse komplizierter optischer Systeme. Solche Systeme weisen mehrere brechende oder reﬂektierende Elemente auf, die hintereinander auf der optischen Achse angeordnet sind. Wir beginnen mit der Beschreibung der dicken Linse, wobei wir den Begriﬀ des Hauptpunktes bzw. der Hauptebene einf¨ uhren. Im Weiteren besch¨aftigen wir uns mit der Berechnung von optischen Systemen mit der Matrixmethode. Hierbei werden 2 × 2 Matrizen multipliziert, die die Komponenten des Linsensystems beschreiben. Mit diesem Verfahren kann man die Gesamtmatrix des optischen Systems ermitteln, aus der sich dann z.B. die Hauptpunkte berechnen lassen.

4.1 Die dicke Linse Betrachten wir zun¨ achst eine sph¨ arische dicke Linse. Die Linsenoberﬂ¨achen sind Kugelﬂ¨ achen, deren Kr¨ ummungsmittelpunkte auf der optischen Achse des optischen Gesamtsystems liegen (zentrierte Kugelﬂ¨achen). Die Scheiteldicke (Dicke entlang der optischen Achse) kann nicht vernachl¨assigt werden, wenn man die optische Abbildung mit dieser Linse berechnet. F¨ ur eine d¨ unne Linse sollte die

86

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Scheiteldicke d ≈ 0 sein. Ob eine Linse in die Kategorie d¨ unn“ oder dick“ ein” ” zuordnen ist, h¨ angt von der Genauigkeit ab, die bei der optischen Berechnung erforderlich ist. Die Abbildungseigenschaften der dicken Linse k¨onnen mit den Methoden, die in Kap. 3 behandelt worden sind, bestimmt werden: Das Bild eines gegebenen Objektes, das durch die Brechung an der ersten Fl¨ache erzeugt wird, wird zum Objekt f¨ ur die Abbildung durch die zweite Linsenﬂ¨ache. In der Gegenstandsweite f¨ ur die Berechnung der Abbildung durch die zweite Grenzﬂ¨ ache muss nun die Dicke der Linse ber¨ ucksichtigt werden. Das Bild, das durch die zweite Linsenﬂ¨ ache erzeugt wird, ist dann das endg¨ ultige Bild, das die dicke Linse entwirft. Die optische Abbildung durch eine dicke Linse kann auch so dargestellt werden, dass die Ermittlung von Lage und Gr¨oße der Bilder f¨ ur beliebige Objekte sehr ¨ ahnlich zum Verfahren f¨ ur die d¨ unne Linse erfolgt. Die Beschreibung einer dicken Linse durch Hauptpunkte, Knotenpunkte und Brennweiten ist sehr n¨ utzlich, da sie auch auf beliebig komplizierte optische Systeme anwendbar und dort besonders vorteilhaft ist. Man ﬁndet f¨ ur die dicke Linse drei ausgezeichnete Punktepaare (Kardinalpunkte), aus denen die abbildenden Eigenschaften abgeleitet werden k¨onnen. Die Ebenen, die in den Kardinalpunkten senkrecht zu den optischen Achsen stehen, nennt man Kardinalebenen 1 . Die sechs Kardinalpunkte (s. Abb. 4.1 und 4.2) sind: – der Objektbrennpunkt und der Bildbrennpunkt (F , F ) – die beiden Hauptpunkte (H, H ), – die Knotenpunkte (K, K ).

Abb. 4.1. Hauptpunkte H und H eines optischen Systems

Ein Strahl ausgehend vom Objektbrennpunkt F verl¨auft nach der Linse parallel zur optischen Achse (s. Abb. 4.1 a, Bild im Unendlichen“). Ein Strahl paral” lel zur Achse (Objekt im Unendlichen“) wird durch die Linse in der Weise ” 1

Diese Fl¨ achen sind tats¨ achlich leicht gekr¨ ummt, in der paraxialen N¨ aherung werden sie als Ebenen approximiert.

4.1 Die dicke Linse

87

Abb. 4.2. Knotenpunkte K, K eines optischen Systems

gebrochen, dass er durch den Bildbrennpunkt F verl¨auft (s. Abb. 4.1 b). Die Verl¨ angerungen des einlaufenden und des ausfallenden Strahles schneiden sich nach Deﬁnition in den Hauptebenen. Diese werden in den Hauptpunkten H und ur eine d¨ unne“ Linse fallen die zwei H von der optischen Achse durchstoßen. F¨ ” Hauptebenen zusammen. Man benutzt eine vertikale Linie, um diese Hauptebene darzustellen. Im Allgemeinen sind die beiden Hauptebenen voneinander getrennt, sie k¨ onnen sogar weit außerhalb des optischen Systems selbst liegen. Wenn die Lage der Hauptebenen bekannt ist, kann man den Abbildungsstrahlengang zeichnen. Die Strahlen, die durch die Brennpunkte verlaufen, ¨andern ihre Richtung am Schnittpunkt mit den Hauptebenen (s. Abb. 4.1). Der dritte Strahl, den man normalerweise in Strahlkonstruktionen f¨ ur d¨ unne Linsen anwendet, ist der Strahl durch den Mittelpunkt der Linse. Dieser Mittelpunktstrahl wird f¨ ur eine d¨ unne Linse weder abgelenkt noch parallel verschoben. Mit Hilfe der Knotenpunkte kann man diesen Strahl auch bei einer dicken Linse oder einem beliebigen optischen System konstruieren (s. Abb. 4.2). Jeder Strahl, der durch den Knotenpunkt K verl¨ auft, verl¨ asst das optische System parallel zum einfallenden Strahl, ist aber so verschoben, dass er aus dem zweiten Knotenpunkt K entspringt. Die Lagen aller sechs f¨ ur die Konstruktion wichtigen Kardinalpunkte sind in Abb. 4.3 gezeigt. F¨ ur die Vorzeichen der Strecken wird dieselbe Konvention wie in Kap. 3 benutzt: Strecken, die von links nach rechts gemessen werden, haben ein positives Vorzeichen und die von rechts nach links haben ein negatives Vorzeichen. F¨ ur die dicke Linse beschreiben die Entfernungen s1H und s2H die Positionen der Hauptpunkte relativ zu den Scheitelpunkten S1 und S2 , w¨ahrend f und f die Entfernungen der Brennpunkte von den Hauptpunkten angeben. Die Brennweiten werden also nicht von den Scheitelpunkten der Linse aus gemessen. Die gerichteten Strecken sind wieder durch einen dicken Punkt (Ursprung) und eine Pfeilspitze (Zielpunkt) dargestellt. Im Folgenden werden wir die paraxialen Grundgleichungen f¨ ur die dicke Linse ohne Beweis angeben. Obwohl die Ableitung nur einfache Algebra und Geometrie

88

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Abb. 4.3. Symbole, die zur Beschreibung der Kardinalpunkte der dicken Linse benutzt werden. Dies sind die Brennpunkte (F , F ), die Hauptpunkte (H, H ) und die Knotenpunkte (K, K ). Geometrische Bezugsgr¨ oßen sind die Scheitelpunkte S1 , S2 sowie die Kr¨ ummungsmittelpunkte C1 und C2

beinhaltet, ist sie etwas aufw¨ andig. Sp¨ ater in diesem Kapitel werden wir diese Gleichungen u ¨ ber die Matrixmethode relativ einfach ermitteln k¨onnen. Verwendet man die Symbole, die in Abb. 4.3 deﬁniert sind, und die Schnittweitengleichungen f¨ ur die Brechung an einer Fl¨achenfolge (s. Kap. 3), so erh¨alt man die Objektbrennweite der dicken Linse nL − n nL − n (nL − n) (nL − n ) d 1 = − − nr2 nr1 nnL r1 r2 f

(4.1)

und die: Bildbrennweite

f = −

n f n

(4.2)

Wir sehen, dass die zwei Brennweiten dann von gleichem Betrag sind, wenn die Linse nur von demselben brechenden Medium umgeben ist, so dass n = n ist. F¨ ur den Abstand der Hauptpunkte gilt: Abstand des objektseitigen Hauptpunktes

Abstand des bildseitigen Hauptpunktes

s1H =

nL − n fd nL r2

(4.3)

s2H = −

nL − n f d nL r1

(4.4)

4.1 Die dicke Linse

Der Abstand der Knotenpunkte ist gegeben durch: n nL − n Abstand des objektseitigen d f + s1K = 1 − Knotenpunktes n nL r2

Abstand des bildseitigen Knotenpunktes

s2K =

n nL − n 1− − d f n nL r1

89

(4.5)

(4.6)

Die Brechzahl der Medien auf beiden Seiten der Linse ist im allgemeinsten Fall verschieden. Dann gelten die allgemeine Abbildungsgleichung

f f + =1 a a

(4.7)

und der allgemeine Abbildungsmaßstab

β =

a n an

(4.8)

Hierbei sind die Gegenstands- und Bildweiten a und a sowie die Gegenstandsund Bildbrennweiten f und f relativ zu den entsprechenden Hauptebenen gemessen. F¨ ur den einfachen Fall einer Linse in Luft, mit n = n = 1, erh¨alt man s1H = s1K und s2H = s2K , objekt- und bildseitiger Hauptpunkt fallen mit dem entsprechenden Knotenpunkt zusammen. Weiterhin sind Bild- und Objektbrennweiten gleich groß und es gelten die Gleichungen, die wir bereits in Kap. 3 bei der Abbildung mit der d¨ unnen Linse kennengelernt haben: Abbildungsgleichung f¨ ur beidseitig gleiche Medien

Abbildungsmaßstab f¨ ur beidseitig gleiche Medien

1 1 1 − = a a f

β =

y a = y a

(3.24)

(3.25)

Beispiel 4.1 Brennweiten und Hauptpunkte der dicken Linse Bestimmen Sie die Brennweiten und die Hauptpunkte einer 4 cm dicken, biummungsradien konvexen Linse aus Glas mit der Brechzahl nL = 1,52 und Kr¨ von ±25 cm, wenn die Linse die Eintritts¨oﬀnung eines langen Zylinders, der ullt ist, abschließt. mit Wasser (n = 1,33) gef¨

90

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

L¨ osung Dicke Linse Aus (4.1) folgt: 1,52 − 1,33 1 1,52 − 1 (1,52 − 1) · (1,52 − 1,33) 0,04 m = − − 1 · (−0,25 m) 1 · (0,25 m) 1 · 1,52 −0,25 m · 0,25 m f Damit ist f = −0,357 m und der objektseitige Brennpunkt F liegt 35,7 cm links des Hauptpunktes H. Mit (4.2) erh¨alt man: 1,33 f = − (−0,357 m) = 0,475 m. 1 Der bildseitige Brennpunkt F liegt 47,5 cm rechts vom Hauptpunkt H . Mit (4.3) und (4.4) berechnet man: 1,52 − 1,33 · (−0,357 m) · 0,04 m = 0,00714 m = 7,14 mm 1,52 · (−0,25 m) 1,52 − 1 =− · 0,475 m · 0,04 m = −0,026 m = −26 mm 1,52 · 0,25 m

s1H = s2H

Der Hauptpunkt H liegt also 7,14 mm rechts des linken Linsenscheitels und H liegt 26 mm links des rechten Scheitels.

4.2 Die Matrixmethode Wenn das optische System aus mehreren Elementen besteht, z.B. den 4 oder 5 Linsen, die das Objektiv einer Kamera bilden, ben¨otigen wir ein allgemeines Verfahren, das die Berechnung der optischen Kenngr¨oßen dieses Systems erleichtert. Solange wir uns auf paraxiale Strahlen beschr¨anken, kann dies im Rahmen einer einfachen Matrixmethode erfolgen. Wir beschreiben im Folgenden das Verfahren zur Bildkonstruktion. Wir be¨ nutzen Matrizen, um Anderungen in der H¨ohe und im Winkel der Strahlen zu beschreiben, wenn sie beim Durchlaufen des optischen Systems aufeinander fol¨ gende Reﬂexionen und Brechungen erfahren. Wir werden zeigen, dass diese Anderungen in der H¨ ohe und in der Richtung eines Strahles im Rahmen der paraxialen N¨ aherung durch lineare Gleichungssysteme beschrieben werden, die sich in Matrixform schreiben lassen. Kombiniert man die Matrizen, die einzelne Brechungen und Reﬂexionen beschreiben, so l¨ asst sich ein gegebenes optisches System durch eine einzige Gesamtmatrix darstellen, aus der die wesentlichen Eigenschaften des zusammengesetzten optischen Systems abgeleitet werden k¨onnen. Diese Methode ist auch die Basis der Rechenmethoden zur Verfolgung eines Strahles durch ein optisches System beliebiger Komplexit¨ at.

4.3 Die Translationsmatrix

91

Abbildung 4.4 zeigt den Verlauf eines einzelnen Strahles durch ein optisches System. Der einfallende Strahl (Index E ) wird durch die Entfernung zE in der die erste brechende Fl¨ ache liegt, sowie durch seine H¨ohe hE und den Steigungswinkel σE relativ zur optischen Achse charakterisiert. In diesem System ¨andert sich der Steigungswinkel bei jeder Brechung, z.B. in den Punkten 1 − 5 und bei jeder Reﬂexion, z.B. im Punkt 6. Die H¨ ohe h des Strahles relativ zur optischen Achse ¨andert sich ebenfalls beim Durchlaufen des optischen Systems. Zur Beibehaltung der Vorzeichenkonventionen ist zus¨ atzlich der aufgefaltete Strahlengang (s. Kap. 3) bei der Reﬂexion am Spiegel 6 eingezeichnet. Wir wollen nun ein Verfahren entwickeln, mit dem wir H¨ohe und Steigungswinkel des Strahles an jeder Stelle des optischen Systems berechnen k¨onnen. F¨ ur gegebene Eingangsdaten hE , und σE beim Achsenpunkt T wollen wir die Ausgangsdaten hA und σA im Punkt T ermitteln.

Abb. 4.4. Verlauf eines Strahles durch ein optisches System. Der Strahl kann durch seine H¨ ohe h und den Steigungswinkel σ beschrieben werden. Auf der rechten Seite der Abbildung ist auch die Auffaltung des reﬂektierten Strahles (s. Kap. 3) eingezeichnet

4.3 Die Translationsmatrix Zun¨ achst wollen wir die Translation eines Strahles (s. Abb. 4.5) in einem homogenen Medium betrachten. Die in axialer Richtung zur¨ uckgelegte Entfernung wird durch l beschrieben; in den Punkten 0 und 1 ist die H¨ohe und die Steigung des Strahles durch die Parameter h0 und σ0 bzw. h1 und σ1 gegeben. Die Strahlh¨ ohen h0 bzw. h1 sollten nicht mit der Objektgr¨oße y bzw. der Bildgr¨oße y verwechselt werden. ur h, l Hier gilt σ1 = σ0 und h1 = h0 − l tan σ0 . Beim Einsetzen von Werten f¨ und σ muss man auf die Vorzeichen achten. Nimmt man als Beispiel Abb. 4.5, so h¨ atten die Zahlenwerte f¨ ur h, l positive und der f¨ ur σ ein negatives Vorzeichen. Diese Gleichungen kann man mit Hilfe der paraxialen N¨aherung tan σ0 ≈ σ0 umschreiben:

92

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

h1 = h0 · 1 + σ0 · (−l)

σ1 = h0 · 0 + σ0 · 1

(4.9)

In Matrixschreibweise erh¨ alt man dann folgende Gleichungen:

h1 1 −l h0 = 0 1 σ1 σ0

(4.10)

mit der

T=

Translationsmatrix

1 −l

(4.11)

0 1

Die Eingangsdaten (hE = h0 , σE = σ0 ) werden durch die Translationsmatrix in die Ausgangsdaten (hA = h1 , σA = σ1 ) transformiert.

Abb. 4.5. Translation eines Strahles

4.4 Die Brechungsmatrix Als N¨ achstes wollen wir die Brechung des Strahles an einer Kugelﬂ¨ache berechnen, die zwei Medien mit den Brechzahlen n und n voneinander trennt (s. Abb. 4.6). Wir berechnen wieder die Kenngr¨oßen des Strahles (h , σ ) nach der Brechung aus denen vor der Brechung (h, σ). Die Brechung geschieht in einem ¨ Punkt, deshalb tritt keine Anderung des Strahlabstandes zur Achse auf; es gilt h = h. F¨ ur die Winkel ergibt sich aus Abb. 4.6: h h − ε und σ = ϕ − ε = − ε r r Mit der paraxialen Form des Brechungsgesetzes n · ε = n · ε erhalten wir σ = ϕ − ε =

4.4 Die Brechungsmatrix

σ = −

n h ε+ = n r

n − n n r

h+

93

n σ n

und damit das lineare Gleichungssystem h = h · 1 + σ · 0 n − n σ = h + σ nn n r

(4.12)

oder in Matrixform

h σ

⎞ 1 0 h = ⎝ n − n n ⎠ σ n r n

und damit die: Brechungsmatrix f¨ ur Kugelﬂ¨ache

⎛

⎞ 1 0 B = ⎝ n − n n ⎠ n r n ⎛

(4.13)

Abb. 4.6. Brechung an einer Kugelﬂ¨ ache (sph¨ arische Fl¨ ache)

Strecken, die in Lichtrichtung orientiert sind, erfordern ein positives Vorzeichen f¨ ur den Zahlenwert, den man bei der Berechnung einsetzt, z.B. hat in Abb. 4.6 der Kr¨ ummungsradius, der von der sph¨ arischen Fl¨ache aus gez¨ahlt wird, einen positiven Zahlenwert. F¨ ur Strecken, die entgegengesetzt zur Lichtrichtung orientiert sind, muss ein negativer Zahlenwert eingesetzt werden. F¨ ur den Fall r → ∞ erh¨ alt man die Brechungsmatrix f¨ ur eine ebene Fl¨ache.

94

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

4.5 Die Reﬂexionsmatrix Zum Abschluss betrachten wir die Reﬂexion an einer sph¨arischen Fl¨ache, so wie sie in Abb. 4.7 gezeigt wird.

Abb. 4.7. Reﬂexion an einer Kugelﬂ¨ ache (sph¨ arische Fl¨ ache) ohne und mit Auffaltung

Wie in Kapitel 3 beschrieben, verwenden wir den aufgefalteten“ Strahlengang, ” bei dem die Lichtrichtung nicht durch die Reﬂexion umgekehrt wird. Aus der Schnittweitengleichung f¨ ur die aufgefaltete Spiegelﬂ¨ache 1 1 2 2 1 − = = =− s s f rAuf r

(3.31)

erh¨ alt man mit h = h und durch Einsetzen von s = h/σ und s = h/σ (s. Abb. 4.7) in der paraxialen N¨ aherung das Gleichungssystem2: h = h · 1 + σ · 0 σ = h −2 r +σ·1 2

In den Gleichungen ist bei s der Index Auf“ weggelassen. ”

(4.14)

4.6 Die Matrizen f¨ ur dicke und d¨ unne Linsen

95

oder in Matrixform

h

=

σ

1 0 −2 r

h

1

σ

und damit: Reﬂexionssmatrix f¨ ur die spiegelnde Kugelﬂ¨ache bei aufgefaltetem Strahlengang

1 0 R= (4.15) −2 r 1

4.6 Die Matrizen fu ¨ r dicke und du ¨ nne Linsen Wir leiten nun die Matrix ab, die die Wirkung einer dicken Linse auf einen Lichtstrahl beschreibt. Um allgemein zu bleiben, nehmen wir verschiedene Medien auf beiden Seiten der Linse an. Diese haben die Brechzahlen n und n (s. Abb. 4.8). Beim Durchgang durch die Linse erf¨ ahrt der Strahl zwei Brechungen und eine Translation. Dies sind Schritte, f¨ ur die wir schon zuvor die entsprechenden Matrizen abgeleitet haben. Ausgehend von der Abb. 4.8 w¨ahlen wir der Einfachheit halber eine Meniskenlinse mit zwei positiven Kr¨ ummungsradien und k¨onnen dann symbolisch schreiben:

h1

σ1

h3 σ3

σ0

f¨ ur die erste Brechung (Brechungsmatrix B1 = M1 ) und

h1

= M2

h0

= M1

h2 σ2

= M3

σ1 h2 σ2

f¨ ur die Translation (Translationsmatrix T = M2 ) und f¨ ur die zweite Brechung (Brechungsmatrix B2 = M3 )

oder insgesamt:

h3 σ3

= M3 M2 M1

h0

(4.16)

σ0

Es ist oﬀensichtlich, dass die dicke Linse durch die Matrix M = M3 M2 M1 dargestellt werden kann. Wir erinnern uns daran, dass die Multiplikation von Matrizen

96

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

assoziativ, aber nicht kommutativ ist. Deshalb muss die absteigende Ordnung dieses Matrizenproduktes erhalten bleiben. Die einzelnen Matrizen wirken auf den Lichtstrahl in derselben Reihenfolge und Art und Weise wie die entsprechenden optischen Ph¨ anomene – Brechung, Translation, Reﬂexion – den Lichtstrahl bei seinem Durchgang durch das System beeinﬂussen. Wir wenden dieses Resultat auf die dicke Linse in Abb. 4.8 an, deren Brechzahl ur die gesamte Linse n¨aherungsweise d betr¨agt. Die Medien nL und deren Dicke f¨ links und rechts von der Linse weisen unterschiedliche Brechzahlen n bzw. n auf. Wenn B f¨ ur eine Brechungsmatrix und T f¨ ur eine Translationsmatrix steht, ergibt sich f¨ ur die dicke Linse die zusammengesetzte Matrix M = B2 TB1 :

1 0 1 0 1 −d Strahlmatrix der Mdick = (4.17) n −nL nL nL −n n dicken Linse 0 1 n r2

n

nL r1

nL

Wir vereinfachen die Matrix f¨ ur den Fall einer d¨ unnen Linse (d = 0), die auf beiden Seiten von Medien mit der gleichen Brechzahl (n = n ) umgeben ist, und erhalten

1 0 1 0 1 0 (4.18) L= nL −n n n−nL nL 0 1 nr2 n nL r1 nL und nach Multiplikation der Matrizen: ⎛ L=⎝n

L −n

n

⎞

1

1 r1

−

1 r2

0 1

⎠

Abb. 4.8. Verlauf eines Strahles durch eine dicke Linse

(4.19)

4.7 Systemmatrix

97

Das Matrixelement in der ersten Spalte und zweiten Zeile kann man als Kehrwert der bildseitigen Brennweite der d¨ unnen Linse darstellen: nL − n 1 1 1 (3.23) = − f n r1 r2 Daraus ergibt sich die Strahlmatrix f¨ ur die d¨ unne Linse:

Strahlmatrix der d¨ unnen Linse

L=

1 0

1 f

(4.20)

1

Wie gew¨ ohnlich ist f positiv f¨ ur eine Sammellinse und negativ f¨ ur eine Zerstreuungslinse. In Tabelle 4.1 sind die bisher abgeleiteten Matrizen zusammengestellt.

4.7 Systemmatrix Wir verallgemeinern den obigen Formalismus und erhalten eine Matrixgleichung, die eine beliebige Anzahl K von Translationen, Reﬂexionen und Brechungen beschreibt:

hE hA = MK MK−1 . . . M2 M1 (4.21) σA σE Die Matrix f¨ ur das Gesamtsystem ist dann M = MK MK−1 . . . M2 M1

(4.22)

F¨ ur ein beliebiges optisches System erh¨ alt man so eine einfache 2 × 2-Matrix, die man Systemmatrix nennt. Beispiel 4.2 Systemmatrix der dicken Linse Bestimmen Sie die Systemmatrix f¨ ur die dicke Linse der Abb. 4.8, deren Matrix vor der Multiplikation durch (4.17) gegeben ist. Die dicke Linse hat die folgenden Parameter: r1 = 45 cm, r2 = −30 cm, d = 5 cm, nL = 1,6, n = n = 1.

98

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik Tabelle 4.1. Strahlmatrizen ⎛

Translationsmatrix

⎞

⎜ 1 −l ⎟ ⎟ T=⎜ ⎝ ⎠ 0 1

⎛ Brechungsmatrix Kugelﬂ¨ ache

⎜ B=⎜ ⎝

⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠

1

n −n n n r n

⎛ Brechungsmatrix ebene Fl¨ ache

⎜1 0 ⎟ ⎟ BE = ⎜ ⎝ ⎠ n 0 n

⎛ Matrix d¨ unne Linse

⎞

⎞

⎜ 1 0⎟ ⎟ L=⎜ ⎝ ⎠ 1 f 1 1 nL − n = f n

⎛

⎞

⎜ 1 0⎟ ⎟ Reﬂexionsmatrix R=⎜ ⎠ ⎝ aufgefalteter Kugel2 1 rAuf spiegel

1 1 − r1 r2

4.7 Systemmatrix

99

L¨ osung

Mdick =

oder schließlich: Mdick =

1

0

−1 50 cm

1,6

23 24 −7 1200 cm

1 −5 cm 0

− 258cm

1

0

1 1 120 cm 1,6

1

17 16

Die Systemmatrix wird gew¨ ohnlich in der symbolischen Form

AB Systemmatrix M= CD

(4.23)

dargestellt. Die Elemente A, B, C und D beschreiben spezielle Eigenschaften des optischen Systems, wie wir im Folgenden sehen werden. Beachten Sie, dass die Werte der Matrixelemente des Systems von der Wahl des Orts von Strahleingang und Strahlausgang abh¨ angen. F¨ ur den Fall der dicken Linse, den wir gerade berechnet haben, ist als Eingangsebene die linke Linsenoberﬂ¨ache und als Ausgangsebene die rechte Linsenoberﬂ¨ ache gew¨ahlt worden. Wenn man die Ein- bzw. die Ausgangsebene nach links oder rechts verschieben w¨ urde, m¨ usste die Systemmatrix entsprechende Translationsmatrizen enthalten, die die Entfernungen der Verschiebung angeben. Die Matrixelemente ¨andern sich und die Systemmatrix beschreibt nun das vergr¨ oßerte System. Unabh¨angig hiervon hat die Determinante der Systemmatrix eine wichtige Eigenschaft: det M = AD − BC =

nE nA

(4.24)

nE und nA sind die Brechzahlen des Eingangs- und Ausgangsmediums des optischen Systems. Die Determinanten aller Matrizen, die in Tabelle 4.1 angegeben sind, haben entweder die Werte n/n oder 1. Weiterhin gilt allgemein, dass die Determinante eines Produkts von Matrizen gleich dem Produkt der Determinanten ist. Symbolisch gilt: det M = det MK · MK−1 · MK−2 · . . . · det M2 · M1

(4.25)

Bei der Berechnung dieses Produkts fallen alle Brechzahlen der Zwischenmedien heraus und es bleibt nur das Verh¨ altnis nE /nA u ¨brig. Sehr oft sind nE und nA die Brechzahlen von Luft und damit ist det M = 1. Gleichung (4.24) dient der ¨ Uberpr¨ ufung der Systemmatrix.

100

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

4.8 Bedeutung der Elemente der Systemmatrix Wir untersuchen nun die Sonderf¨ alle, bei denen eines der Elemente in der Systemmatrix den Wert 0“ annimmt. In symbolischer Form erhalten wir aus (4.23) ”

hA AB hE = (4.26) σA σE CD Dies ist ¨ aquivalent zu den algebraischen Relationen: hA = AhE + BσE σA = ChE + DσE

(4.27)

Abb. 4.9. Spezialf¨ alle der Systemmatrix. a) F¨ ur D = 0 ist die Eingangsebene die objektseitige Brennebene des optischen Systems. b) F¨ ur A = 0 ist die Ausgangsebene die bildseitige Brennebene des Systems. c) F¨ ur B = 0 sind die Eingangsebene (= Objektebene) und die Ausgangsebene (= Bildebene) zueinander konjugiert, A = y /y gibt den Abbildungsmaßstab an. d) F¨ ur C = 0 ergibt ein paralleles Strahlenb¨ undel auf der Eingangsebene ein paralleles B¨ undel auf der Ausgangsebene, D = σA /σE gibt die Winkelvergr¨ oßerung an

4.8 Bedeutung der Elemente der Systemmatrix

101

Spezialf¨alle der Systemmatrix: a) D = 0 = ChE unabh¨ angig von σE . Da hE festgelegt ist, beIn diesem Fall ist σA deutet dies, dass alle Strahlen, die einen Punkt in der Eingangsebene ver auf der Ausgangsebene aufweisen, unabh¨angig lassen, denselben Winkel σA von ihrem Winkel in der Eingangsebene. Wie in Abb. 4.9 a gezeigt ist, f¨allt die Eingangsebene mit der objektseitigen Brennebene des optischen Systems zusammen. b) A = 0 Dieser Fall ist dem vorher beschriebenen sehr ¨ahnlich. Hier ist hA = BσE und angig von hE ist. Daraus folgt, dass Strahlen, die dies bedeutet, dass hA unabh¨ die Eingangsebene unter demselben Winkel verlassen, unabh¨angig von ihrer ohe hA auf der Ausgangsebene ankommen. H¨ ohe hE alle unter der gleichen H¨ Wie Abb. 4.9 b zeigt, ist die Ausgangsebene hier die bildseitige Brennebene des Systems. c) B = 0 Hier ist hA = AhE , unabh¨ angig von σE . Alle Strahlen, die von einem Punkt der H¨ ohe y = hE in der Eingangsebene ausgehen, kommen bei der gleichen H¨ ohe y = hA auf der Ausgangsebene an. Diese Punkte sind zueinander konjugierte Objekt- und Bildpunkte (s. Abb. 4.9 c), Eingangs- und Ausgangsebene sind konjugierte Ebenen des optischen Systems. Weiterhin gilt f¨ ur den Abbildungsmaßstab β = y /y = hA /hE = A. d) C = 0 Hier ist σA = DσE , unabh¨ angig von hE . Dieser Fall ist analog zum Fall c), wobei hier die Strahlh¨ ohen durch die Richtungen ersetzt sind. Parallele Eingangsstrahlen ergeben hier parallele Ausgangsstrahlen in einer anderen /σE = D die Winkelvergr¨oßerung. Ein Richtung. Weiterhin ergibt Γ = σA System, f¨ ur das C = 0 gilt, wird auch als afokales System bezeichnet, wie es z.B. beim Fernrohr realisiert ist. Das Fernrohr nimmt typisch parallele Strahlen eines weit entfernten Objektes durch das Objektiv auf, parallele Strahlen verlassen das Okular.

102

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Beispiel 4.3 Systemmatrix eines Kunststoﬀstabes Wir illustrieren den Fall c) durch ein Beispiel. Hierzu ordnen wir rechts von einem kleinen Objekt in einen Abstand von zE = 16 cm die linke Grenzﬂ¨ache eines sehr langen Kunststoﬀstabes an. Diese weist eine polierte Kugelﬂ¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r = 4 cm auf (s. Abb. 4.10). Die Brechzahl des Kunststoﬀmaterials betr¨ agt n = 1,5, der Stab beﬁndet sich in Luft. Wir fordern, dass das unbekannte Bild auf der Ausgangs-Referenzﬂ¨ache von der sph¨arischen Kugelﬂ¨ache aufweist. entsteht, die einen Abstand zA Wir wollen den Bildabstand zA und den Abbildungsmaßstab bestimmen. Die Systemmatrix besteht aus dem Produkt von 3 Matrizen: einer Translation T1 in Luft vom Objekt zum Stab, einer Brechung B an der sph¨arischen Oberﬂ¨ache und einer Translation T2 im Stabmaterial bis zum Bild. Wir erinnern uns daran, die Matrizen in der umgekehrten Form als Produkt zu schreiben, und erhalten M = T2 BT1 , also

M=

=

1 −zA

0

1,50−1 1 4 cm·1,50 1,50

0 1 1−

1

zA

12 cm 1 12 cm

−16 cm +

2zA

1

−16 cm

0

1

3

− 23

ist in den Matrixelementen enthalten. Wie vorher Die gesuchte Gr¨ oße zA beschrieben, ist f¨ ur den Fall B = 0 die Ausgangsebene die Bildebene. Damit 2z kann man den Bildabstand erhalten, indem man B = −16 cm+ 3A = 0 setzt. Hieraus folgt zA = 24 cm. Der Abbildungsmaßstab ist durch den Wert des Matrixelementes A gegeben: zA = −1. 12 cm Wir schließen hieraus, dass das Bild 24 cm innerhalb des Stabes entsteht, es ist invertiert und hat dieselbe Gr¨ oße wie das Objekt. Dieses Beispiel zeigt, wie die Systemmatrix benutzt werden kann, um auf einfache Art und Weise Lage und Gr¨ oße des Bildes zu erhalten. Man muss aber in jedem Fall pr¨ ufen, inwieweit man nicht einfacher und schneller mit den Formeln der Gaußschen Optik (s. Kap. 3) zum Ziel kommt. Der Vorteil der Matrixmethode liegt darin, dass man auch sehr komplizierte Systeme, die aus vielen Elementen bestehen, relativ einfach berechnen kann.

β = A = 1 −

4.9 Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems

103

Abb. 4.10. Beispiel f¨ ur die Matrixmethode, Abbildung durch einen Kunststoﬀstab

4.9 Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems Die Eigenschaften eines optischen Systems k¨onnen aus den Elementen A, B, C und D der Systemmatrix abgeleitet werden. In Abb. 4.11 verallgemeinern wir die Abb. 4.3, indem wir die Abst¨ ande der sechs Kardinalpunkte relativ zur Eingangsund Ausgangsebene E und A, die als Grenzen des berechneten optischen Systems festgelegt werden, deﬁnieren. Die Brennpunkte F und F sind um die Objekt- und Bildbrennweite f und f von den Hauptebenen und um die Brennpunktsabst¨ande f E und fA von der Eingangs- und Ausgangsebene entfernt. Die Abst¨ande sEH und sAH geben die relative Lage der Hauptpunkte und die Abst¨ande sEK und sAK die der Knotenpunkte an. Entfernungen, die von der Bezugsebene nach rechts gemessen werden, sind wieder positiv und nach links gemessene negativ. Haupt- und Knotenpunkte k¨ onnen durchaus auch außerhalb des optischen Systems liegen, d.h. außerhalb des Gebietes, das durch Eingangs- und Ausgangsebene deﬁniert ist. Wir leiten nun die Beziehung zwischen den Entfernungen, die in Abb. 4.11 deﬁniert sind, und den Systemmatrixelementen her. Wir betrachten hierzu die Abb. 4.12 a, die die Entfernungen f E , sEH und f herausgreift, die relativ zur Eingangsebene deﬁniert sind. Die Eingangskoordinaten eines gegebenen Strahles durch den Brennpunkt F sind (hE , σE ) und die Ausgangskoordinaten (hA , 0). Damit ergeben sich die Strahlgleichungen zu: hA = AhE + BσE σA

und

= 0 = ChE + DσE

oder

hE = −(D/C)σE

(4.28)

F¨ ur kleine Winkel k¨ onnen wir σE = hE /f E setzen. Damit ergibt sich: fE =

hE D =− σE C

In ¨ ahnlicher Weise erhalten wir mit σE = hA /f :

(4.29)

104

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Abb. 4.11. Lage der 6 Kardinalpunkte eines optischen Systems. Die Konstruktionsstrahlen, die zu den Knotenpunkten und den Hauptebenen geh¨ oren, werden ebenfalls angegeben

hA AhE + BσE AD = =B− , σE σE C nE 1 f = − AD−BC = − detC M = − C nA C f =

also (4.30)

Mit (4.29) und (4.30) erhalten wir den objektseitigen Hauptebenenabstand sEH : D nE 1 1 nE sEH = f E − f = − + −D (4.31) = C nA C C nA Aus der Abb. 4.12 b kann man ¨ ahnliche Beziehungen f¨ ur den bildseitigen Hauptebenenabstand sAH , Brennpunktabstand fA und Bildbrennweite f gewinnen. Die Ergebnisse der zuletzt genannten Berechnungen sind in Tabelle 4.2 dargestellt. Aus Abb. 4.12 c k¨ onnen wir die objekt- und bildseitigen Abst¨ande sEK und sAK der Knotenpunkte bestimmen. F¨ ur kleine Winkel σE gilt σE =

hE sEK

(4.32)

Eingangs- und Ausgangsstrahlen schneiden die optische Achse unter demselben Winkel. Aus den Gleichungen (4.27) erhalten wir mit σE = σA : σE = C hE + D σE

oder

hE 1−D = σE C

(4.33)

4.9 Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems

105

Abb. 4.12. a) Strahlkonstruktion zur Ableitung von objektseitigem Hauptebenenabstand sEH , Brennpunktabstand f E und Objektbrennweite f aus den Matrixelementen A, B, C und D. b) Strahlkonstruktion zur Ableitung von bildseitigem Hauptebenen abstand sAH , Brennpunktabstand fA und Bildbrennweite f aus den Matrixelementen. c) Strahlkonstruktion zur Ableitung der objekt- und bildseitigen Knotenpunktabst¨ ande sEK und sAK aus den Matrixelementen

106

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Kombinieren wir (4.32) und (4.33), so erhalten wir: sEK =

1−D C

(4.34)

Tabelle 4.2. Lage der Kardinalpunkte in Abh¨ angigkeit von den Elementen der Systemmatrix. Die Abst¨ ande sind f¨ ur die Objektseite auf die Eingangsebene und f¨ ur die Bildseite auf die Ausgangsebene bezogen. Die Ebenen werden vor Beginn der Berechnung deﬁniert, man kann diese z.B. in die Scheitelpunkte von Linsenoberﬂ¨ achen legen und erh¨ alt dann die Abst¨ ande relativ zu den Scheiteln. Die Brennweiten sind relativ zu ihren Hauptebenen deﬁniert. fE = −

D C

objektseitiger Abstand des Brennpunktes F

A C nE /nA − D = C

= fA

bildseitiger Abstand des Brennpunktes F

sEH

objektseitiger Abstand des Hauptpunktes H

A−1 C 1−D = C

sAH =

bildseitiger Abstand des Hauptpunktes H

sEK

objektseitiger Abstand des Knotenpunktes K

sAK =

A − nE /nA C

bildseitiger Abstand des Knotenpunktes K

nE /nA C 1 = C

f = f E − sEH = −

objektseitige Brennweite∗

f = fA − sAH

bildseitige Brennweite∗

A, B, C und D sind die Elemente der Systemmatrix (4.23) relativ zu den jeweiligen Hauptebenen

∗

In ¨ ahnlicher Weise ergibt sich: A − nE /nA (4.35) C Bei der Ableitung von (4.35) benutzten wir det M = AB − BC = nE /nA . Alle Resultate sind in Tabelle 4.2 zusammengefasst. Aus den Beziehungen, die dort aufgelistet sind, folgen die allgemeinen S¨ atze: sAK =

4.10 Beispiele zur Systemmatrix und den Hauptpunkten

107

1. Hauptpunkte und Knotenpunkte fallen zusammen (sEH = sEK und sAH = sAK ), wenn Eingangs- und Ausgangsmedien gleiche Brechzahlen besitzen. 2. Objekt- und Bildbrennweite eines optischen Systems sind von gleichem Betrag, wenn Eingangs- und Ausgangsmedien die gleichen Brechzahlen besitzen. 3. Der Abstand der Hauptpunkte ist immer gleich dem Abstand der Knotenpunkte: sEH − sAH = sEK − sAK .

4.10 Beispiele zur Systemmatrix und den Hauptpunkten Als Beispiel wollen wir ein optisches System betrachten, das aus zwei d¨ unnen Linsen in Luft besteht, die um den Abstand e voneinander entfernt sind (s. Abb. 4.13). Die Linsen haben die Bildbrennweiten f1 und f2 , die positiv oder negativ sein k¨ onnen.

Abb. 4.13. Zweilinsiges optisches System in Luft, der Abstand der beiden d¨ unnen Linsen betr¨ agt e

Wenn die Eingangs- und Ausgangsebene am Ort der Linsen liegen, so besteht ur die d¨ unnen Linsen und die Systemmatrix aus den zwei Matrizen L1 und L2 f¨ der Translationsmatrix T entsprechend der Entfernung e zwischen ihnen. Damit erh¨ alt man die Systemmatrix M = L2 TL1 oder: ⎛ M=⎝ ⎛ =⎝

1 1 f2

1 f2

⎞

⎠ 1 1 0

0

1 − fe 1 1 − fe + 1

⎛ −e ⎝ 1 1 1 f1 −e 1 f1

1−

e f2

⎞ 0

⎠

1 ⎞ ⎠

(4.36)

108

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Wir k¨ onnen die Gesamtbrennweite f dieses Systems aus der Systemmatrix M ableiten. Wegen f = 1/C gilt: 1 1 e 1 = + − f f1 f2 f1 f2

(4.37)

Weiterhin fallen der objektseitige Haupt- und Knotenpunkt bei der Entfernung sEH = sEK = (1 − D)/C von der ersten Linse und der bildseitige Haupt- und Knotenpunkt im Abstand sAH = sAK = (A − 1)/C von der zweiten Linse zusammen. Deshalb ist: sEH = sEK =

f e f2

und sAH = sAK = −

f e f1

(4.38)

Beispiel 4.4 Brennweiten und Hauptpunkte des Huygensschen Okulars Diese Ergebnisse wollen wir auf das Huygenssche Okular anwenden. Das Okular besteht aus zwei d¨ unnen positiven Linsen, die sich im Abstand e = (f1 + f2 )/2 beﬁnden. Wir nehmen f1 = 3,125 cm und f2 = 2,083 cm an. L¨ osung Aus (4.37) erhalten wir mit e = 2,604 cm f¨ ur f = 2,5 cm. Die Lupenver gr¨ oßerung ΓL = −aS /f ist deshalb 10-fach. Hierbei ist as = −0,25 m die Bezugssehweite bei Betrachtung mit dem Auge. Dies ist eine genormte Nahsehweite (s. Kap. 6 und 7), die f¨ ur normalsichtige Menschen (weder kurz- noch weitsichtig) typisch ist. Aus (4.38) erhalten wir sEH = 3,125 cm und sAH = −2,083 cm. Das optische System ist in Abb. 4.14 zusammen mit den Hauptpunkten und den Konstruktionsstrahlen gezeigt. Die einfallenden Objektstrahlen ergeben ein virtuelles Objekt O , das zwischen beiden Linsen liegt. Die divergenten Strahlen, die das System verlassen, ergeben ein vergr¨oßertes virtuelles Bild, das man sieht, wenn man in das Okular hineinschaut. Das Huygenssche Okular wird in Kapitel 6 ausf¨ uhrlich diskutiert. Beispiel 4.5 Brennweiten und Hauptpunkte einer dicken konvexplanen Linse Zum Abschluss wollen wir die Hauptpunkte einer halbkugelf¨ormigen Glaslinse bestimmen und ein Strahlendiagramm skizzieren (s. Abb. 4.15). Die Kr¨ ummungsradien der Linse sind r1 = 3 cm und r2 = ∞. Die Linse beﬁndet sich in Luft und das Linsenmaterial hat eine Brechzahl von nL = 1,5.

4.11 Raytracing

109

Abb. 4.14. Strahlenkonstruktion mit den Hauptpunkten f¨ ur das Huygenssche Okular

L¨ osung Die Eingangs- und Ausgangsebenen beﬁnden sich bei den Scheiteln der beiden Linsenﬂ¨ achen und damit ist M = B2 TB1 :

M=

=

1

0

1

−3 cm

0

1,5

0

1

2 3 1 6 cm

−2 cm

1

0

0,5 1 1,5·3 cm 1,5

1

wobei det M = 1 gilt. Mit den Beziehungen aus Tabelle 4.2 erhalten wir die Werte f E = −6 cm, fA = 4 cm, sEH = 0, sAH = −2 cm, f = −6 cm und f = 6 cm. Haupt- und Knotenpunkte der konvexplanen Linse fallen zusammen, sie sind in Abb. 4.15 mit H und H bezeichnet. Wir sehen, dass die objektseitige Hauptebene am Scheitel der konvexen Fl¨ache liegt und die bildseitige Hauptebene um zwei Drittel der Dicke der Linse von der planen Fl¨ ache entfernt ist. Allgemein l¨ asst sich f¨ ur die konvexplane Linse ableiten, dass, solange die Brechzahl des Mediums außerhalb der Linse u ¨ berall gleich ist, die eine Hauptebene immer am Scheitel der Kugelﬂ¨ache liegt und die andere um den Quotienten -d/nL von der planen Linsenﬂ¨ache entfernt ist. In Abb. 4.15 sind die Konstruktionsstrahlen unter Benutzung der Hauptund Knotenebenen f¨ ur ein beliebiges reelles Objekt y eingezeichnet. In diesem Fall zeigen die ausfallenden Strahlen ein virtuelles Bild y nahe dem Objekt, das genauso wie dieses orientiert und etwas vergr¨oßert ist.

4.11 Raytracing Die Annahme der paraxialen Strahlen vereinfacht die Beschreibung des Verlaufs von Lichtstrahlen durch ein optisches System erheblich, da keine Winkelfunktio-

110

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Abb. 4.15. Strahlenkonstruktion f¨ ur eine halbkugelf¨ ormige konvexplane Linse

Abb. 4.16. In einem keilf¨ ormigen Stab aus PMMA breitet sich ein Lichtb¨ undel mit ¨ einem Anfangs-Oﬀnungswinkel von 35◦ aus. Die Einfallswinkel auf die Grenzﬂ¨ ache werden immer kleiner. Kurz vor dem Stabende tritt das Licht seitlich aus dem Stab aus, so dass praktisch kein Licht den Stab am Ende verl¨ asst. Es sind nur Lichtstrahlen mit Intensit¨ aten oberhalb einer Schwelle angezeigt. Dieses Beispiel zeigt, dass es keinen Lichttrichter“ gibt. Die Raytracing-Berechnungen wurden mit OPTICAD“ durch” ” gef¨ uhrt.

4.11 Raytracing

111

nen in den Gleichungen auftauchen. F¨ ur viele Anwendungen ist diese N¨aherung ausreichend, da in einem optischen System das Bild in der Regel von Lichtstrahlen nahe der optischen Achse erzeugt wird. Wenn jedoch die Qualit¨at des Bildes verbessert werden soll, muss man Wege ﬁnden, die Abbildungsfehler zu vermeiden, die durch die Strahlen erzeugt werden, die mehr oder weniger von der idealen Annahme abweichen. Um den tats¨ achlichen Weg von individuellen Strahlen durch ein optisches System zu verfolgen, muss jeder Strahl verfolgt werden (traced), wobei man das Reﬂexions- und das Brechungsgesetz auf alle Komponenten des optischen Systems anwendet. Diese Technik nennt man Raytracing (Strahlverfolgung), da diese fr¨ uher von Hand, also graﬁsch mit Maßstab und Winkelmesser in einem stufenweise ablaufenden Prozess f¨ ur eine genaue geometrische Vorlage eines optischen Systems durchgef¨ uhrt wurde. Heute ist mit Hilfe von Rechnern die Berechnung des Strahlverlaufs einfach und schnell m¨oglich. Raytracing-Methoden sind oft auf meridionale Strahlen beschr¨ankt, dies sind Strahlen, die in einer Ebene liegen, die die optische Achse enth¨alt. An dieser Stelle wird auf das Verfahren nicht genauer eingegangen, da inzwischen eine Vielzahl von Raytracing-Programmen f¨ ur den Einsatz auf dem PC zur Verf¨ ugung stehen. Als Beispiel seien hier die Programme ”ASAP”, ”OPTICAD” und ”SIGMA 2100” genannt, die ein unbeschr¨ anktes (unconstrained, non-sequential) Verfahren einsetzen. Hierbei werden an jeder optischen Grenzﬂ¨ache die Intensit¨aten des reﬂektierten und des gebrochenen Strahles mit Hilfe der Fresnelgleichungen berechnet, wobei der Strahl im optischen System ohne Einschr¨ankung hin- und herlaufen kann. Bei einem anderen Typ von Programmen wird vorausgesetzt, dass das Licht das optische System nur in einer Richtung (z.B. von links nach rechts) durchl¨ auft.

¨ Ubungen 4.1 Eine bikonvexe Linse der Scheiteldicke 5 cm und der Brechzahl 1,6 hat Oberﬂ¨ achen mit den Kr¨ ummungsradien ±0,4 m. Die Linse wird mit einer Seite auf Wasser gelegt, die entgegengesetzte Oberﬂ¨ ache ist in Ber¨ uhrung mit Luft. Bestimmen Sie die Brennweiten und skizzieren Sie Brennpunkt- und Hauptpunktlagen. 4.2 Eine bikonkave Linse mit n = 1,53 hat Oberﬂ¨ achen mit den Brechwerten von 5 dpt und 8 dpt. Die Linse beﬁndet sich in Luft und hat eine Scheiteldicke von 3 cm. a) Bestimmen Sie die Lage der Brenn- und der Hauptpunkte. b) Ein Gegenstand beﬁndet sich 30 cm vom linken Scheitelpunkt der Linse entfernt. Bestimmen Sie die Lage des Bildes relativ zum Linsenzentrum. c) Berechnen Sie die paraxiale Bildweite in der N¨ aherung der d¨ unnen Linse. Wie groß ist der prozentuale Fehler gegen¨ uber genauer Berechnung (dicke Linse)? 4.3 Eine bikonkave Linse hat Kr¨ ummungsradien von -0,2 m und +0,1 m. Die Brechzahl betr¨ agt 1,5 und die Scheiteldicke 5 cm. Ein 2,5 cm großes Objekt beﬁndet sich 8 cm vom linken Scheitel der Linse entfernt. Bestimmen Sie Gr¨ oße und Lage des Bildes.

112

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

4.4 Eine bikonvexe Linse hat Oberﬂ¨ achen mit den Kr¨ ummungsradien ±0,1 m und eine Scheiteldicke von 2 cm. Die Brechzahl des Glases betr¨ agt nL = 1,61 und die Linse beﬁndet sich zwischen Luft und Wasser (nW = 1,33). Links von der Linse beﬁndet sich in 60 cm Abstand vom Scheitel ein Gegenstand von 5 cm Gr¨ oße. Bestimmen Sie die Hauptpunkte der Linse sowie Lage und Gr¨ oße des Bildes. 4.5 Eine hohle Glaskugel von 10 cm Radius wird mit Wasser gef¨ ullt. F¨ ur paraxiale Strahlen ist die Brechung aufgrund der d¨ unnen Glaswand zu vernachl¨ assigen. a) Bestimmen Sie die Hauptpunkte und fertigen Sie eine maßst¨ abliche Skizze an. b) Berechnen Sie f¨ ur ein kleines Objekt, das sich 20 cm von der Kugel entfernt beﬁndet, die Lage des Bildes und den Abbildungsmaßstab. ¨ c) Uberpr¨ ufen Sie Ihre Berechnungen durch eine maßst¨ abliche Skizze mit den Konstruktionsstrahlen. 4.6 Eine Reihe von Lichtstrahlen triﬀt auf die ebene Oberﬂ¨ ache einer Glashalbkugel in Luft mit 5 cm Radius und der Brechzahl n = 1,5. a) Ein Strahl triﬀt parallel zur optischen Achse und im Abstand von 1 cm von dieser auf die Glashalbkugel. Stellen Sie die Systemmatrix f¨ ur die Brechung an der Glaskugel auf und bestimmen Sie den Ausgangsabstand und den Ausgangswinkel des Strahles. b) Berechnen Sie die Systemmatrix f¨ ur ein neues System, dessen Ausgangsebene sich im Abstand zA von der Glashalbkugel beﬁndet. c) Benutzen Sie die neue Systemmatrix, um den Schnittpunkt des oben beschriebenen Strahles mit der optischen Achse zu bestimmen. 4.7 Eine Linse hat die folgenden Speziﬁkationen: r1 = 1,5 cm = r2 , Scheiteldicke d = 2 cm, n = 1,0, nL = 1,6 und n = 1,3. Bestimmen Sie die Hauptpunkte mit der Matrixmethode. Zeichnen Sie eine maßst¨ abliche Skizze der Linse und konstruieren Sie den Strahlenverlauf f¨ ur ein von Ihnen gew¨ ahltes Objekt. 4.8 Eine d¨ unne Positivlinse der Bildbrennweite f1 = 10 cm ist 5 cm von einer d¨ unnen Negativlinse der Bildbrennweite f2 = −10 cm entfernt. Bestimmen Sie mit der Matrixmethode die Bildbrennweite der Kombination und die Lage der Brennpunkte und Hauptebenen. Zeichnen Sie eine maßst¨ abliche Skizze des Systems und konstruieren Sie den Strahlenverlauf f¨ ur ein beliebiges Objekt, das sich vor dem System beﬁndet. 4.9 Eine Glaslinse von 3 cm Scheiteldicke hat eine konvexe Oberﬂ¨ ache mit einem Kr¨ ummungsradius von 5 cm und eine weitere konvexe Oberﬂ¨ ache mit einem Radius von −2 cm. Die erste Fl¨ ache ist auf der linken Seite in Kontakt mit Luft und die andere mit einer Fl¨ ussigkeit der Brechzahl 1,4. Die Brechzahl des Glases ist 1,5. Bestimmen Sie die Lage der Brennpunkte, der Hauptpunkte und die Brennweiten des Systems. Benutzen Sie die Matrixmethode. 4.10 a) Bestimmen Sie die Systemmatrix f¨ ur ein einfaches System, das aus einer d¨ unnen Linse der Bildbrennweite 10 cm besteht und f¨ ur das die Eingangsebene 30 cm vor und die Ausgangsebene 15 cm hinter der Linse liegt. b) Zeigen Sie, dass die Matrixelemente die bekannten Positionen der sechs Kardinalpunkte einer d¨ unnen Linse angeben. c) Warum ist in diesem Fall das Matrixelement B = 0? Was ist die besondere Bedeutung von A in diesem Fall?

4.11 Raytracing

113

4.11 Die Kristallkugel einer Wahrsagerin hat eine Brechzahl von 1,5 und einen Durchmesser von 20 cm. a) Bestimmen Sie mit der Matrixmethode den Ort der Hauptpunkte. b) An welcher Stelle wird Sonnenlicht durch die Kristallkugel fokussiert? 4.12 Eine dicke Linse hat eine konkave und eine konvexe Oberﬂ¨ ache mit betragsm¨ aßig gleichen Kr¨ ummungsradien von 5 cm. Sie hat eine Scheiteldicke von 1 cm, die Brechzahl betr¨ agt 1,5. Finden Sie: a) die Systemmatrix f¨ ur die Linse in Luft, b) die Hauptpunkte. Zeichnen Sie f¨ ur ein beliebiges Objekt das Strahlendiagramm. 4.13 Ein achromatisches Dublett besteht aus einer positiven Kronglaslinse der Brechzahl 1,52 und der Scheiteldicke 1 cm, die mit einer negativen Flintglaslinse der Brechzahl 1,62 und der Scheiteldicke 0,5 cm zusammengekittet ist. Alle Oberﬂ¨ achen haben einen Kr¨ ummungsradius vom Betrag 20 cm. Das Dublett soll in Luft benutzt werden. Bestimmen Sie: a) die Systemmatrixelemente f¨ ur die Ein- und Ausgangsebene im Scheitelpunkt der Linsenoberﬂ¨ achen; b) die Hauptpunkte; c) die Bildbrennweite der Kombination, wobei Sie die Linsengleichung (3.23) und die Gleichung zur Ermittlung der Bildbrennweite zweier Linsen in optischem Kontakt benutzen. Vergleichen Sie diese Berechnung von f , f¨ ur die d¨ unne Linsen angenommen sind, mit dem vorherigen Wert. 4.14 Vergr¨ oßern Sie das optische System der Abb. 4.15 so, dass ein Objektraum auf der linken und ein Bildraum auf der rechten Seite der Linse eingeschlossen ist. Die linke Linsenoberﬂ¨ ache habe von der neuen Eingangsebene im Objektraum den Abstand zE und die neue Ausgangsebene im Bildraum den Abstand zA von der Linse. a) Berechnen Sie die Systemmatrix f¨ ur das vergr¨ oßerte System. b) Untersuchen Sie das Matrixelement B, um die allgemeine Beziehung zwischen Gegenstands- und Bildweiten der Linse zu erhalten. Leiten Sie die allgemeine Beziehung f¨ ur den Abbildungmaßstab her. c) Berechnen Sie aus den Ergebnissen von b) die Bildentfernung und den Abbildungmaßstab f¨ ur einen Gegenstand, der sich 20 cm von der linken Seite der Linse beﬁndet. d) Welche Information kann man aus der Systemmatrix erhalten, wenn man die Matrixelemente A = D = 0 (s. Abb. 4.9)setzt? 4.15 Bestimmen Sie die Systemmatrix f¨ ur das Kameraobjektiv in Abb. 6.19 a (Cookesches Triplett). Das Licht triﬀt von der linken Seite her auf sechs sph¨ arische Oberﬂ¨ achen, deren Kr¨ ummungsradien r1 bis r6 sind. Die Dicken der drei Linsen sind d1 bis d3 und die Brechzahlen n1 bis n3 . Der Abstand in Luft zwischen den Linsenoberﬂ¨ achen betrage e1 und e2 . Skizzieren Sie das Linsensystem mit den Hauptpunkten. Wie weit hinter der letzten Oberﬂ¨ ache muss sich die Filmebene beﬁnden, um paraxiale Strahlen zu fokussieren?

114

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik Daten: r1 = 19,4 mm

d1 = 4,29 mm

e1 = 1,63 mm

n1 = 1,611

r2 = -128,3 mm

d2 = 0,93 mm

e2 = 12,90 mm

n2 = 1,5744

r3 = -57,8 mm

d3 = 3,03 mm

n3 = 1,6110

r4 = 18,9 mm r5 = 311,3 mm r6 = -66,4 mm 4.16 Berechnen Sie die Systemmatrix (Matrizen ausmultiplizieren) einer dicken Linse ausgehend von (4.17), aber ohne die Annahme der Bedingung n = n und d = 0. Bestimmen Sie die Matrixelemente A, B, C und D der dicken Linse. 4.17 Entnehmen Sie die Orte der Hauptpunkte mit Hilfe der Tabelle 4.2 aus den Matrixelementen der dicken Linse in Aufgabe 4.16 und veriﬁzieren Sie, dass f und f durch (4.1) und (4.2) gegeben sind. Best¨ atigen Sie außerdem, dass die Abst¨ ande s1H , s2H , s1K und s2K durch die Gleichungen (4.3) bis (4.6) gegeben sind.

5 Abbildungsfehler

Einleitung In den bisherigen Berechnungen der Abbildung durch ein optisches System haben wir ideale Verh¨ altnisse angenommen. Dies bedeutet, dass jedem Objektpunkt durch die Abbildung umkehrbar eindeutig ein Bildpunkt zugeordnet wird. Geometrische Figuren werden hierbei in ¨ ahnliche Figuren u uhrt. Eine Objek¨berf¨ tebene, die senkrecht zur optischen Achse steht, wird mit ortsinvariantem Abbildungsmaßstab u ¨ber die Ebene in eine achsensenkrechte Bildebene transformiert. Eine ideale Abbildung erh¨ alt man bei der Beschr¨ankung auf paraxiale Strahlen. Dies sind Strahlen, die nahe der optischen Achse verlaufen und kleine Winkel relativ zu dieser aufweisen. In diesem Fall nehmen auch Einfalls-, Reﬂexions- und Brechungswinkel kleine Werte an. Damit kann die Reihenentwicklung der Sinusund Kosinusfunktion f¨ ur σ (Schnittwinkel) oder ε (Einfallswinkel), gegeben durch ε5 ε3 + − ... ≈ ε 3! 5! ε4 ε2 + −... ≈ 1 cos ε = 1 − 2! 4! jeweils durch den ersten Term angen¨ ahert werden. Die Grenzen des Paraxialgebietes h¨ angen von der geforderten Genauigkeit ab. Sie sind nicht allgemein festgelegt. sin ε = ε −

116

5 Abbildungsfehler

Die Optik des Paraxialgebietes wird Gaußsche Optik genannt. Der Einschluss von Termen h¨ oherer Ordnung der Reihenentwicklung in den Berechnungen ergibt eine Abweichung von der idealen Abbildung mit zunehmendem Winkel. Diese Abweichungen werden als Abbildungsfehler (Aberrationen) bezeichnet. Wenn in der Reihenentwicklung der n¨ achste Term (z.B. ε3 in der N¨aherung f¨ ur sin ε) ber¨ ucksichtigt wird, so erh¨ alt man eine Theorie, die die Abbildungsfehler der dritten Ordnung enth¨ alt. Diese werden, wie auch die Fehler anderer Ordnung, durch die oft benutzten Kugelgrenzﬂ¨achen von optischen Elementen (Linsen, Spiegel) verursacht. Die Aberrationen verschwinden z.B. f¨ ur ebene Spiegel oder Linsen mit asph¨ arischen Grenzﬂ¨ achen. Die Abbildungsfehler dritter Ordnung sind durch den deutschen Mathematiker Ludwig von Seidel untersucht und klassiﬁziert worden und werden deshalb Seidelsche Aberrationen genannt. F¨ ur monochromatisches Licht gibt es f¨ unf Seidelsche Abbildungsfehler (geometrische Fehler): sph¨arische Aberration, Koma, Astigmatismus, Bildfeldw¨olbung und Verzeichnung. Ein zus¨ atzlicher Abbildungsfehler, die chromatische Aberration r¨ uhrt von den wellenl¨ angenabh¨ angigen Abbildungseigenschaften (Brechzahl n(λ), Dispersion der optischen Werkstoﬀe) des optischen Systems her. In diesem Kapitel erfolgt eine kurze Berechnung der Abbildungsfehler dritter Ordnung und eine qualitative Beschreibung jeden Fehlers zusammen mit den typischen Verfahren f¨ ur seine Vermeidung.

5.1 Strahl- und Wellenaberrationen Die Abweichung von der idealen Abbildung kann entweder durch die Strahl- oder die Wellenaberrationen beschrieben werden. In Abb. 5.1 sehen wir zwei Wellenfronten, die von einem optischen System ausgehen, das einen Objektpunkt O abbildet. Die Wellenfront W1 ist eine Kugelwellenfront, die ein ideales, punktf¨ormiur die tats¨achliche ges Bild in O ergibt. Die Wellenfront W2 ist ein Beispiel f¨ Wellenfront. Sie hat eine asph¨arische Approximation, deren Form aus exakten Berechnungen des Strahlengangs im optischen System f¨ ur einen gegebenen Objektpunkt folgt. Die Strahlen durch A und B, die senkrecht auf den zugeh¨origen Wellenfronten stehen, schneiden die paraxiale Bildebene nicht in demselben Punkt. Der Fehler in Richtung der optischen Achse, dargestellt durch die Entfernung LO , wird L¨angsabweichung (longitudinale Aberration) genannt, w¨ahrend der Fehler O OF senkrecht zur optischen Achse, der in der Bildebene gemessen wird, Querabweichung (transversale oder laterale Aberration) genannt wird.

5.1 Strahl- und Wellenaberrationen

117

Dies sind die Strahlaberrationen. Alternativ hierzu kann man die Aberration als Abweichung der deformierten Wellenfront von der idealen Wellenfront bei verschiedenen Abst¨ anden von der optischen Achse beschreiben. Am Ort des Punktes B ist die Wellenfrontaberration durch die Entfernung AB gegeben (s. Abb. 5.1). Wir sehen, dass die Strahlen, die zu den beiden Wellenfronten geh¨oren und die durch den Punkt S auf der optischen Achse verlaufen, auf der optischen Achse denselben Bildpunkt O treﬀen. Strahlen, die durch Punkte zwischen S und B gehen, treﬀen die Bildebene in anderen Punkten in der Umgebung von O und erzeugen ein unscharfes Bild als Folge der Aberration. Die maximalen Strahlaberrationen bestimmen die Gr¨ oße des Zerstreuungskreises der als unscharfes Bild eines Objektpunktes entsteht. Die Optimierung der Konstruktion eines optischen Systems zielt immer darauf ab, die Strahlaberrationen so weit zu reduzieren, dass sie ¨ ahnlich klein wie die unvermeidlichen Beugungserscheinungen werden.

Abb. 5.1. Strahl- und Wellenfrontaberrationen eines optischen Systems

Die Strahlaberration, die zur Wellenaberration AB geh¨oren, werden im Folgenden berechnet. Hierzu wird der Abstand AB = q in Abh¨angigkeit von der ¨ Gr¨ oße h der Apertur, die den bildseitigen Oﬀnungswinkel des Systems festlegt, ermittelt. Aus Abb. 5.2 ergibt sich, dass der Winkel α zwischen den tats¨achlichen und den idealen Strahlen, die von einem Punkt P in der H¨ohe h auf der Wellenfront ausgehen, gleich dem Winkel zwischen den Tangenten an die Wellenfronten ist. Die Wellenfronten, die durch das optische System geformt werden, breiten sich im Bildraum mit der Brechzahl n aus. Aus der Abb. 5.2 (s. Ausschnitt) entnimmt man den die inﬁnitesimale Wellenfrontaberration dq als optische Wegl¨ange im Bildraum: dq = n α dh

(5.1)

118

5 Abbildungsfehler

Der Diﬀerentialquotient dq/dh beschreibt die Kr¨ ummung der Wellenfront im Punkt P . Die Querabweichung ∆y in der y-z-Ebene, die von den Strahlen in der Nachbarschaft von P herr¨ uhrt, ergibt sich in N¨aherung zu: ∆y = αs =

Querabweichung

s dq n dh

(5.2)

Hierbei ist s die paraxiale Bildschnittweite der Wellenfront und α wurde aus (5.1) entnommen. In x-Richtung, senkrecht zur y-z-Ebene (Papierebene) erh¨alt man in ¨ ahnlicher Weise, wenn h nicht in der y-z-Ebene liegt: ∆x =

s dq n dhx

(5.3)

Die L¨ angsabweichung ∆z l¨ asst sich aus der Querabweichung ∆y berechnen: L¨angsabweichung

∆z =

s ∆y ∆y ≈ tan σ h

(5.4)

Abb. 5.2. Zusammenhang zwischen den Strahlaberrationen ∆y und ∆z in der y-z¨ Ebene und der Wellenaberration q. Der vergr¨ oßerte Bildausschnitt zeigt die Anderung ¨ dq der Wellenaberration als Folge der Anderung dh in der Aperturgr¨ oße

5.2 Brechung an einer Kugelﬂ¨ ache (Seidelsche N¨ aherung) Im Folgenden wollen wir die Brechung an einer einzelnen Kugelﬂ¨ache berechnen. Hierbei ber¨ ucksichtigen wir Winkelfehler bis zur 3. Ordnung. In Abb. 5.3 sehen

5.2 Brechung an einer Kugelﬂ¨ ache (Seidelsche N¨ aherung)

119

wir, wie ein beliebiger Strahl OQ, der von einem axialen Objektpunkt O ausgeht, durch eine sph¨ arische Fl¨ ache gebrochen wird, deren Kr¨ ummungsmittelpunkt C ist. Die Grenzﬂ¨ ache trennt zwei Medien mit den Brechzahlen n und n . Der gebrochene Strahl f¨ uhrt zu einem axialen Bildpunkt in O . Nach dem Fermatschen Prinzip sind in erster N¨ aherung die optischen Wegl¨angen der Strahlen OQO und OSO gleich. Es treten Strahlaberrationen auf, da sich die Strahlwegl¨angen ur unterschiedliche Lagen des Punktes Q auf der sph¨arischen Grenzﬂ¨ache OQO f¨ unterscheiden. Wir deﬁnieren die Aberration im Punkt Q als: q(Q) = (OQO − OSO )OW

(5.5)

Abb. 5.3. Brechung eines Strahles an einer sph¨ arischen Grenzﬂ¨ ache

Hierbei weist der Index OW darauf hin, dass die optische Wegl¨angendiﬀerenz1 zu berechnen ist, d.h.: q(Q) = (nl + n l ) − (n s − ns)

(5.6)

Benutzt man den Kosinussatz, so kann man die L¨angen l und l durch die Gr¨oßen, die in Abb. 5.3 deﬁniert sind, ausdr¨ ucken: l2 = r2 + (r − s)2 − 2r(r − s) cos ϕ

(5.7)

2

(5.8)

2

l = r + (r − s ) + 2r(r − s ) cos ϕ 2

Verwendet man die N¨ aherung 1

Bei der Ableitung werden die in Kapitel 3 beschriebenen Vorzeichenkonventionen benutzt. Die Teilabschnitte l und l des Lichtweges haben beide positive Vorzeichen.

120

5 Abbildungsfehler

cos ϕ ≈ 1 −

ϕ2 ϕ4 + 2! 4!

cos ϕ ≈ 1 −

h4 h2 + 2r2 24r4

(5.9)

so erh¨ alt man mit ϕ ≈ h/r: (5.10)

Setzt man (5.10) in (5.7) und (5.8) ein und formt um, so erh¨alt man: 2 1/2 h (r − s) h4 (r − s) l = −s 1 + − rs2 12r3 s2 2 1/2 h (r − s ) h4 (r − s ) − l = s 1 + rs2 12r3 s2

(5.11) (5.12)

Ersetzt man den Inhalt der eckigen Klammern in (5.11) und (5.12) durch x und x , so kann man die Quadratwurzel der Ausdr¨ ucke in den geschweiften Klammern durch die binomische Entwicklung n¨ ahern: (1 + x)1/2 ≈ 1 +

x x2 − 2 8

(5.13)

Damit gilt:

x x2 l ≈ −s 1 + − 2 8 2 x x l ≈ s 1 + − 2 8

(5.14) (5.15)

und somit: h2 (r − s) h4 (r − s) h4 (r − s)2 l = −s 1 + − − 2rs2 24r3 s2 8r2 s4 h2 (r − s ) h4 (r − s ) h4 (r − s )2 l =s 1+ − − 2rs2 24r3 s2 8r2 s4

(5.16) (5.17)

wobei Terme mit h6 und h8 vernachl¨ assigt sind. Die Gleichungen f¨ ur l und l werden in (5.6) eingesetzt und nach Umformung folgt die Wellenaberration:

5.2 Brechung an einer Kugelﬂ¨ ache (Seidelsche N¨ aherung)

121

2 1 1 − − s r (5.18) Der erste Term in h2 stellt die paraxiale N¨aherung dar. Die eckigen Klammern enthalten die Schnittweitengleichung (3.14) f¨ ur die Abbildung durch ein brechende Kugelﬂ¨ ache. Der h2 -Term ist somit gleich 0. Der Abbildungsfehler 3. Ordnung ist durch den Term in h4 gegeben. Die Bezeichnung 3. Ordnung“ bezieht sich ” auf die auftretende Potenz des halben Strahlb¨ undel¨oﬀnungswinkels u = h/s bei dq . Wenn h klein ist, so sind die der Berechnung der Querabweichung ∆y = ns dh Strahlen paraxial und die Aberration, die durch den h4 -Term gegeben ist, kann vernachl¨ assigt werden. Der Inhalt der eckigen Klammern, der bei dem Faktor angig von h. Dies zeigt, dass die Wellenaberration proporh4 steht, ist unabh¨ tional zur vierten Potenz der Strahlh¨ ohe (Durchstoßh¨ohe, Durchgangsh¨ohe) h – gemessen von der optischen Achse – ist: h2 q(Q) = 2

n n − s s

n − n r

n h4 − − 8 s

q = g h4

1 1 − r s

2

n + s

(5.19)

Hierbei ist g eine Proportionalit¨ atskonstante. Dies ist das Ergebnis unserer Berechnung f¨ ur axiale Objektpunkte. Wir werden das Resultat sp¨ater verallgemeinern und die Abbildungsfehler f¨ ur nicht axiale Objektpunkte berechnen. Wir haben die Aberration q(Q) als die Diﬀerenz der optischen Wegl¨angen f¨ ur die idealen und die tats¨ achlichen Strahlen berechnet, die sich aus der Wellenaberration AB in Abb. 5.1 ergeben. Die Abweichung AB der tats¨achlichen von der idealen Kugelwellenfront ist vom Abstand h von der optischen Achse und ¨ damit vom Oﬀnungswinkel des abbildenden Strahlenb¨ undels abh¨angig und wird ¨ als sph¨arische Aberration oder Oﬀnungsfehler bezeichnet.

Abb. 5.4. Vergleich von axialen und schiefen Strahlenb¨ undeln, die durch eine Eintrittspupille verlaufen

122

5 Abbildungsfehler

Bevor wir die sph¨ arische Aberration im Einzelnen untersuchen, wollen wir uns den anderen Abbildungsfehlern 3. Ordnung zuwenden. Dazu analysieren wir nichtaxiale Objektpunkte. In Abb. 5.4 sind zwei Strahlenb¨ undel gezeigt, deren ¨ Oﬀnungswinkel durch die als Eintrittspupille EP wirkende Aperturblende (s. Kap. 6.1) bestimmt wird. Ein Strahlenb¨ undel, das vom axialen Objektpunkt O ausgeht, ergibt ein unscharfes Bild um den paraxialen Bildpunkt O herum. Dieses Bild wird durch die sph¨ arische Aberration beeinﬂusst, wobei die St¨arke undels abh¨angt. der Aberration von der H¨ ohe h0 der Randstrahlen des Strahlenb¨ Das Strahlenb¨ undel ist symmetrisch zur optischen Achse OCO , wobei C der Kr¨ ummungsmittelpunkt der brechenden Fl¨ache ist. Weiterhin wird ein schiefes Strahlenb¨ undel gezeigt, das von einem außeraxialen Objektpunkt P ausgeht. Dieses B¨ undel ist nicht symmetrisch zur Achse OO , ohne die begrenzende Apertur EP w¨ are seine Symmetrieachse durch die Gerade P CP gegeben. Die H¨ohe hP der Strahlen des schiefen B¨ undels muss von der zuletzt genannten Achse aus gemessen werden, um die Aberrationen aus (5.19) ableiten zu k¨onnen. Wir erkennen, dass die Abweichung von der Symmetrieachse im Falle des schiefen B¨ undels viel gr¨ oßer ist. Das schiefe Strahlenb¨ undel f¨ uhrt zu st¨arkeren Aberrationen als ein entsprechendes Strahlenb¨ undel, das von axialen Objektpunkten ausgeht. Die Gr¨ oße von hP ist in hohem Maß von der Lage der Apertur abh¨angig. Letzere hat den geringsten Einﬂuss, wenn sie in der N¨ ahe des Kr¨ ummungsmittelpunktes C positioniert wird. Betrachten wir nun das außeraxiale Strahlenb¨ undel, das vom Objektpunkt P ur den Punkt ausgeht, wie in Abb. 5.5 gezeigt. Die Aberrationsfunktion qB (Q) f¨ Q auf der Wellenfront l¨ asst sich in folgender Form schreiben: qB (Q) = (P QP − P BP )OW = g(BQ)4 = g4B

(5.20)

In (5.20) messen wir die den Abstand des Strahles P QP relativ zur Achse P BP und nehmen an, dass die Punkte B, S und Q in einer vertikalen Ebene liegen, die die Wellenfront im Punkt S ann¨ahert. Man kann zeigen, dass diese N¨ aherung die Ergebnisse der Theorie der Abbildungsfehler in dritter Ordnung nicht ver¨ andert. Wir haben (5.19) benutzt und den Abstand BQ durch die Gr¨oße B ersetzt. In ¨ ahnlicher Weise kann man f¨ ur den Wellenfrontpunkt S ableiten: qB (S) = (P SP − P BP )OW = g(BS)4 = gb4

(5.21)

Bezieht man den Punkt Q auf die optische Achse SC, so l¨asst sich eine außeraxiale Aberrationsfunktion q(Q) deﬁnieren, die sich aus der Diﬀerenz der axialen Aberrationen bei Q und S berechnen l¨ asst: q(Q) = qB (Q) − qB (S) = g4B − gb4 = g(4B − b4 )

(5.22)

Wendet man den Kosinussatz auf das Detailbild in Abb. 5.5 an, so erh¨alt man:

5.2 Brechung an einer Kugelﬂ¨ ache (Seidelsche N¨ aherung)

123

Abb. 5.5. Abbildung eines außeraxialen Punktes P . Die Aberration f¨ ur einen beliebigen Punkt Q auf der Wellenfront kann auf die Symmetrieachse P BP oder die optische Achse OCO bezogen werden. Die gestrichelte Linie stellt eine gen¨ aherte Wellenfront in S dar. Das untere Bild zeigt eine Frontansicht eines Teiles der Wellenfront

2B = 2 + b2 + 2b cos θ Wenn man diesen Ausdruck f¨ ur B in (5.22) einsetzt, ergibt sich: q(Q) = g 4 + 42 b2 cos2 θ + 22 b2 + 43 b cos θ + 4b3 cos θ

(5.23)

Aus den a ¨hnlichen Dreiecken SBC und O P C in Abb. 5.5 erkennt man, dass die Entfernung SB = b proportional zur H¨ohe y des paraxialen Bildpunktes P u asst sich als ¨ ber der optischen Achse ist. Dies l¨ b = ky

(5.24)

schreiben, wobei k eine Proportionalit¨ atskonstante ist. Ersetzt man b in (5.23) alt man f¨ ur die Wellenaberration: durch ky , so erh¨ q(Q) = 0 C40 4 + 1 C31 y 3 cos θ + 2 C22 y 2 2 cos2 θ + 2 C20 y 2 2 + 3 C11 y 3 cos θ (5.25)

124

5 Abbildungsfehler

Die Koeﬃzienten C in (5.25) haben Indizes, die die Exponenten der Gr¨oßen y , und cos θ beschreiben. So geh¨ ort z.B. der Koeﬃzient 1 C31 zum Term y 3 cos θ, wobei y in der ersten, in der dritten und cos θ in der ersten Potenz auftritt. Der vorangestellte Index von 1 C31 soll die Potenz der objektabh¨angigen Gr¨oße angigen Gr¨oßen 3 und cos θ mit den nachgey von der Potenz der aperturabh¨ stellten Indizes von 1 C31 deutlicher unterscheiden. Die einzelnen Terme in (5.25) beschreiben Wellenfrontaberrationen, die zur Gesamtaberration des Bildes beitragen. dq , so Geht man zu den Strahlaberrationen u ucksichtigt ∆y ≈ d ¨ber und ber¨ y 2 erh¨ alt man die f¨ unf (monochromatischen) Seidelschen Aberrationen , die – wie aus (5.25) hervorgeht – additive Gr¨ oßen sind: Seidelsche Aberrationen

∆y ∼

3 cos θ

sph¨ arische Aberration

3 sin θ

y 2 (2 + cos 2θ)

Koma

y 2 sin 2θ

y 2 cos θ

Astigmatismus

y 2 cos θ

Bildfeldw¨ olbung

y 2 sin θ

y 3

Verzeichnung

0

∆x ∼

y 2 sin θ

Jede Aberration ist durch die Abh¨ angigkeit von y (Abweichung von axialer“ ” Abbildung), (Durchmesser der Apertur z.B. der brechenden Fl¨ache) und θ (Drehsymmetrie um die optische Achse) charakterisiert. Die N¨aherung 3. Ord” ur die Exponenten nung“ erkennt man daran, dass in den Produkten y m n f¨ ¨ proportional. m + n = 3 gilt. y und sind zum Seh- bzw. zum Oﬀnungswinkel Wir sehen, dass der erste Term, der die sph¨arische Aberration beschreibt, (5.19) entspricht, wobei die Gr¨ oße der Apertur kennzeichnet. Wir beschreiben nun die beobachtbaren Auswirkungen dieser Aberrationen und erl¨ autern die Verfahren zur Reduktion der Abbildungsfehler.

¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Oﬀnungsfehler Der Term 0 C40 4 in (5.25) beschreibt die sph¨arische Aberration. Dies ist der angt. Deshalb tritt die sph¨arische Aberration einzige Term, der nicht von y abh¨ auch f¨ ur axiale Objekt- und Bildpunkte auf, wie es f¨ ur eine einzelne Linse in der wird durch Strahlen erzeugt, die Abb. 5.6 a gezeigt wird. Der axiale Bildpunkt OE die Linse in gr¨ oßerem Abstand von der optischen Achse durchlaufen, w¨ahrend der paraxiale Bildpunkt O durch achsennahe Strahlen gebildet wird. Die Entfernung OE O auf der optischen Achse beschreibt die longitudinale sph¨arische Aberration 2

Born u. Wolf: Principles of Optics.

¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Oﬀnungsfehler

125

– L¨angsabweichung –, die proportional zu 2 ist. Die Entfernung O G in der paraxialen Bildebene gibt die entsprechende transversale sph¨arische Aberration – Querabweichung – an, die proportional zu 3 ist. Die Aberrationen h¨angen links von O liegt, wie hier außerdem von der Gegenstandsweite ab. Wenn OE f¨ ur den Fall einer Sammellinse gezeigt, so nennt man die sph¨arische Aberration ¨ positiv (sph¨ arische Uberkorrektion). F¨ ur eine Zerstreuungslinse beﬁndet sich OE auf der rechten Seite von O , und die sph¨ arische Aberration bezeichnet man als zwischen OE und O negativ(sph¨ arische Unterkorrektion). In einem Punkt OM auf der optischen Achse erh¨ alt man in der Praxis einen besten“ Brennpunkt. ” Das Bild an dieser Stelle hat den kleinsten Zerstreuungskreis. Benutzt man (5.2) und (5.4) f¨ ur die transversale und longitudinale Aberration, so kann man die entsprechenden sph¨ arischen Strahlaberrationen wie folgt erhalten: sph¨arische Querabweichung

∆y =

s dq s s dq 3 = 4 = 0 C40 cos θ n dh n dy n

und sph¨arische L¨angsabweichung

∆z =

2 s ∆y 0 C40 s =4 2 y n

Abb. 5.6. Sph¨ arische Aberration einer Linse mit dem Ergebnis a) unterschiedlicher Bildweiten und b) verschiedener Brennweiten. (Zur Veranschaulichung ist die Strahlkonstruktion f¨ ur eine d¨ unne Linse mit ihrer Hauptebene ohne den Strahlenverlauf in der Linse gezeichnet)

Beispiel 5.1 Sph¨ arische Strahlaberration Ein paralleles Strahlenb¨ undel triﬀt parallel zur Achse eines Glasstabes auf dessen sph¨ arische Eingangsoberﬂ¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r = 4 cm. Die Brechzahl des Glasstabes ist n = 1,6. Bestimmen Sie die longitudinale und die transversale sph¨ arische Strahlaberration f¨ ur Licht, das im Abstand h = 1 cm von der optischen Achse auf den Stab triﬀt.

126

5 Abbildungsfehler

L¨ osung F¨ ur große Schnittweiten s → −∞ wird (5.18) n¨aherungsweise: 2 1 h4 n 1 − q=− 8 s s r Um ∆z zu berechnen, muss man zun¨ achst die Ableitung 2 1 h3 n 1 dq − =− dh 2 s s r

dq dh

ermitteln:

Die Schnittweite s wie auch die Brennweite der Oberﬂ¨ache l¨asst sich aus der paraxialen Schnittweitengleichung (3.14) gewinnen: 1,6 1 0,6 − = s ∞ 4 cm Damit l¨ asst sich

dq dh

dq 1 cm3 =− dh 2

oder

s = 10,667 cm

berechnen:

1,6 10,667 cm

1 1 − 10,667 cm 4 cm

2 = −0,001831

10,667 cm s dq = (−0,001831) = −0,0122 cm n dh 1,6 s 10,667 cm ∆z = ∆y = (−0,0122 cm) = −0,130 cm h 1 cm

∆y =

Die Abb. 5.6 b zeigt die sph¨ arische Aberration, wenn sich der Gegenstand im Unendlichen beﬁndet. Die Strahlen durch Kreiszonen verschiedenen Durchmessers auf der Linse ergeben verschiedene Brennweiten, so dass f eine Funktion der Strahlh¨ ohe h ist. Die normalerweise angegebene Brennweite einer Linse gilt f¨ ur den Grenzfall h → 0. Diese Brennweite betr¨agt nach (3.23): 1 1 1 (5.26) = (n − 1) − f r1 r2 Gleichung (5.26) gilt f¨ ur eine d¨ unne Linse in Luft, wobei die Brechzahl des Linsenmaterials n betr¨ agt und die Kr¨ ummungsradien der Oberﬂ¨achen r1 und r2 sind. Aus (5.26) ergibt sich, dass eine gegebene Brennweite f durch verschiedene Kombinationen von r1 und r2 erzeugt werden kann. Verschiedene Paare von Kr¨ ummungsradien, die zu der gleichen Brennweite geh¨oren, k¨onnen einen großen Einﬂuss auf die sph¨ arische Aberration der Linse haben. Abbildung 5.7 zeigt die ¨ ¨ Anderung in der Form einer Linse, wenn die Durchbiegung durch Anderung der Kr¨ ummungsradien variiert wird und die Brennweite konstant bleibt.

¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Oﬀnungsfehler

127

Als Maß f¨ ur die Form der Linse benutzt man den Coddington-Formfaktor

γ=

r2 + r1 r2 − r1

(5.27)

wobei die u ur r1 und r2 verwandt wird. Gibt man ¨ bliche Vorzeichenkonvention f¨ z.B. die Brechzahl n = 1,5 und die Bildbrennweite f = 10 cm einer d¨ unnen Linse vor, so hat man die Freiheit, eine bikonvexe Linse mit dem Formfaktor γ = 0 (r1 = 10 cm, r2 = −10 cm), eine plankonvexe Linse mit γ = +1 (r1 = 5 cm) oder eine Meniskuslinse mit γ = +2 (r1 = 3,33 cm, r2 = 10 cm) zu verwenden. Diese Linsenformen sowie auch die spiegelbildlichen Formen mit den negativen Formfaktoren werden in der Abb. 5.7 gezeigt.

Abb. 5.7. Ausf¨ uhrungsformen von Einzellinsen identischer Brennweite. Der Coddington-Formfaktor, der unter jeder Linse angegeben ist, dient zur Klassiﬁzierung der Linsenform

Die sph¨ arische Aberration einer einzelnen sph¨arischen brechenden Fl¨ache ist durch (5.18) gegeben. Bei einer d¨ unnen Linse tragen beide Grenzﬂ¨achen zur sph¨ arischen Aberration bei. Die gesamte longitudinale sph¨arische Aberration einer d¨ unnen Linse kann man als Diﬀerenz a1 − a1 p darstellen, wobei ah die Bildh weite f¨ ur einen Strahl der H¨ ohe h und ap die paraxiale Bildweite ist. 1 1 1 h2 n3 n+2 2 2 − = 3 γ + 4(n + 1)pγ + (3n + 2)(n − 1)p + ah ap 8f n(n − 1) n − 1 n−1 (5.28) +a , f die Bildbrennweite und n die Brechzahl der d¨ unnen Hierbei ist p = aa −a Linse. ¨ Minimale aber nicht verschwindende sph¨arische Aberration (s. Ubung 5.11) erreicht man f¨ ur den Coddington-Faktor: γS = −

2(n2 − 1) p n+2

(5.29)

128

5 Abbildungsfehler

F¨ ur einen Gegenstand im Unendlichen ist γS = 0,71, wobei die Brechzahl der Linse n = 1,5 betr¨ agt. Dieser Formfaktor ist dem der plankonvexen Linse (γ = +1) ¨ahnlich. Deshalb werden in optischen Systemen oft plankonvexe Linsen – wobei die konvexe Seite den parallel einfallenden Strahlen zugewandt ist – eingesetzt, um die sph¨ arische Aberration zu minimalisieren. Im allgemeinen ist ein Minimum der sph¨ arischen Aberration gleichbedeutend mit gleich großer Brechung an den beiden Linsenﬂ¨ achen. Eine Verminderung der sph¨arischen Aberration l¨asst sich durch Linsenkombinationen erreichen, weil Positivlinsen und Negativlinsen sph¨ arische Aberration mit entgegengesetzten Vorzeichen erzeugen. Eine h¨auﬁge Anwendung dieser Technik ﬁndet man in den Doppellinsen (Dublett), die miteinander verkittet sind. Die Korrektur der sph¨arischen Aberration ist hierbei nur f¨ ur eine Linsenzone exakt. Die fehlerfreie Abbildung f¨ ur alle Linsenzonen l¨asst sich ¨ durch die aplanatische Abbildung (siehe Ubung 5.2), oder asph¨arische Fl¨achen erreichen.

5.4 Koma Die Koma 3 ist in (5.25) durch den Term 1 C31 y 3 cos θ gegeben, der eine außeraxiale Aberration (y = 0) beschreibt. Die Koma ist nicht rotationssymmetrisch ¨ um die optische Achse (cos θ = konst.) und nimmt mit dem Oﬀnungswinkel des Strahlb¨ undels stark zu. Die Koma ergibt kometenschweif¨ ahnliche Bildfehler. ¨ ¨ Schr¨ ankt man den Oﬀnungswinkel deutlich ein, was den Oﬀnungsfehler verkleinert, so bleibt wegen y = 0, ein Restfehler bestehen. Abbildung 5.8 a verdeutlicht die Aberration f¨ ur ein schr¨ ages B¨ undel paralleler Strahlen, das in einer vertikalen Ebene liegt und durch eine einzelne Linse gebrochen wird. Jede Kreiszone auf der Linse erzeugt ein kreisf¨ormiges Bild, das man komatischen Kreis nennt. Die Strahlen in einer vertikalen Ebene der Kreiszone des Strahlenb¨ undels ergeben ein Bild im oberen Teil jedes komatischen Kreises, w¨ ahrend Zonenstrahlen, die in einer horizontalen Ebene liegen, ein Bild im unteren Teil des komatischen Kreises erzeugen. Jedes andere Strahlenb¨ undel erzeugt Bilder, die den komatischen Kreis vervollst¨andigen. Die Kombination all dieser komatischen Kreise, die im Radius mit dem Zonenradius zunehmen, ergeben die kometenschweif¨ ahnliche Figur, die in der Abb. 5.8 b gezeigt ist und von der der Name dieser Aberration stammt. Tats¨achlich ergibt jede Zone einen unterschiedlichen Abbildungsmaßstab, so dass yc (Zentralstrahlen) nicht gleich arische Aberration kann auch die Koma als ye (Randstrahlen) ist. Wie die sph¨ eine positive Gr¨ oße (ye > yc ) oder als negative Gr¨oße (ye < yc ) auftreten. 3

Die Koma, nicht das Koma.

5.4 Koma

129

Abb. 5.8. a) Koma durch ein schr¨ ages, tangentiales B¨ undel paralleler Strahlen, das von einem weit entfernten, außeraxialen Objektpunkt ausgeht. Die Strahlen ergeben jeweils den obersten Punkt f¨ ur den zugeh¨ origen komatischen Kreis. b) Erzeugung eines schweif¨ ahnlichen Bildes durch eine Reihe von komatischen Kreisen. Die u ¨ brigen Bildpunkte jedes einzelnen Kreises werden durch windschiefe B¨ undel erzeugt, z.B. durch ein sagittales B¨ undel in der Ebene senkrecht zur y − z-Ebene. c) Nicht paraxiale Strahlen von einem Objektpunkt P nahe der optischen Achse erzeugen einen Bildpunkt P , der der Abbeschen Sinusbedingung gen¨ ugt

Ohne die gew¨ ohnlich benutzte paraxiale N¨aherung – Beschr¨ankung auf diejenigen Strahlen, die kleine Neigungswinkel zur optischen Achse aufweisen und nahe zu dieser sind – kann man zeigen, dass f¨ ur Objektpunkte nahe der optischen Achse jeder Strahl, der an einer sph¨ arischen Grenzﬂ¨ache gebrochen wird, die Abbesche Sinusbedingung erf¨ ullen muss. Zur Beseitigung der Koma ist die Abbesche Sinusbedingung eine notwendige Voraussetzung; bei fehlender sph¨arischer Aberration ist sie auch hinreichend.

130

5 Abbildungsfehler

Zur Herleitung der Sinusbedingung muss man einen Zusammenhang zwi¨ schen dem Abbildungsmaßstab und dem Oﬀnungswinkel des abbildenden Strahlenb¨ undels herstellen. Mit dem Sinussatz und dem Brechungsgesetz (s. Abb. 5.8 c) gilt: sin ε sin u sin ε sin u = , = , n sin ε = n sin ε , r PC r P C y PC = und ny sin u = n y sin u y P C Hier bedeuten y und y die Objekt- und Bildgr¨oße und die Winkel u und u ¨ sind die halben Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels in den optischen Medien n und n . Berechnet man den Abbildungsmaßstab, so l¨asst sich die Abbesche Sinusbedingung in folgender Form schreiben: Abbesche Sinusbedingung

β =

y n sin u = y n sin u

(5.30)

Um die Koma zu vermeiden, muss der Abbildungsmaßstab bei der Brechung in ¨ allen Kreiszonen der Linse und damit f¨ ur alle Werte des halben Oﬀnungswinkels u bei der Abbildung gleich und damit die Sinusbedingung erf¨ ullt sein. Um die Sinusbedingung zu erf¨ ullen (β = konst.), sind die bei Strahlenkonstruktionen benutzten Hauptﬂ¨ achen im Allgemeinen nicht eben, sondern Kugelur OC = ∞ die ﬂ¨ achen mit ihren Mittelpunkten in O bzw. O . Allerdings ist f¨ objektseitige Hauptﬂ¨ ache H eine Ebene und H eine Kugelﬂ¨ache mit r = f . Die einzelnen Linsenzonen (unterschiedliches h) ergeben dann die gleiche Brennweite. Um die Koma zu minimieren, w¨ ahlt man wie bei der sph¨arischen Aberration eine geeignete Linsenform. Der Coddington Formfaktor (5.27), der minimale sph¨ arische Aberration erzeugt, ist ¨ ahnlich dem, der auch die Koma minimiert, so dass beide Aberrationen durch die Wahl von nur einer Linsenform erheblich reduziert werden k¨ onnen. Man kann zeigen, dass f¨ ur eine Linse keine Koma existiert, wenn: 2 2n − n − 1 a +a (5.31) γK = − keine Koma n+1 a − a Im vorigen Beispiel der Linse mit n = 1,5 und einem Objekt im Unendlichen erur minimale sph¨arische gibt (5.31) einen Wert von γK = 0,8, der nahe dem Wert f¨ ullt, Aberration γS = 0,7 ist. Ein optisches System, das die Sinusbedingung erf¨ nennt man aplanatisch. Aplanatische Linsen bilden kleine Gegenst¨ande in der N¨ ahe der optischen Achse ohne Koma ab.

5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung

131

5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung Eine aplanatische Optik weist immer noch zwei eng miteinander verkn¨ upfte Aberrationen auf, deren Wellenaberrationsterme zusammengef¨ u gt y 2 2 2 2 C22 cos θ+ + 2 C20 ) ergeben. Der erste Term erzeugt Astigmatismus und der zweite Term, der symmetrisch um die optische Achse ist, wird Bildfeldw¨olbung genannt. Beide Aberrationen nehmen in gleicher Weise mit dem Achsenabstand des Objektpunktes und mit der Gr¨ oße der Apertur der brechenden Fl¨ache zu. In der Abb. 5.9 a sind die Referenzebenen, die man bei der Diskussion des Astigmatismus oder der Koma verwendet, erl¨autert. Ein nicht auf der optischen Achse liegender Objektpunkt und die optische Achse deﬁnieren die Tangentialebene (Meridionalebene). Die Sagittalebene steht senkrecht auf der Tangentialebene. Der Hauptstrahl liegt als einziger Strahl in beiden Ebenen Die Abb. 5.9 a und 5.9 b illustrieren die astigmatischen Bilder eines außeraxialen Objektpunktes P durch ein tangentiales Strahlenb¨ undel im Schnitt tt und ein sagittales B¨ undel von Strahlen durch den Schnitt ss einer einzelnen Linse. Da diese senkrecht zueinander stehenden Strahlenb¨ undel in unterschiedlichen Entfernungen von der Linse fokussiert werden, sind die zwei Bilder Linien, die an den Positionen S und T f¨ ur das sagittale und das tangentiale B¨ undel entstehen. Die Brennlinie bei T liegt in der sagittalen und die Brennlinie bei S in der tangentialen Ebene. H¨ alt man einen Schirm senkrecht zum Hauptstrahl und bewegt ihn von S zu T , so werden die beobachteten Bilder auf diesem Weg von elliptischer Form sein. Ungef¨ ahr in der Mitte zwischen S und T wird der Brennﬂeck kreisf¨ormig, man erh¨ alt eine Kreisﬂ¨ ache geringster Verzerrung. Der Ort der Linienbilder S und T liegt f¨ ur verschiedene Objektpunkte P auf gekr¨ ummten Fl¨achen, wie in Abb. 5.9 c dargestellt. Die Abweichung der beiden Fl¨achen voneinander, entlang eines beliebigen Hauptstrahles zu einem gegebenen Objektpunkt, beschreibt die Gr¨ oße des Astigmatismus. Dieser ist ungef¨ ahr proportional zum Quadrat des Abstandes von der optischen Achse. Wenn die T -Fl¨ache links von der S-Fl¨ache zu ﬁnden ist, wie hier gezeigt, so nennt man den Astigmatismus positiv, im anderen Fall negativ. Wenn die Punkte P auf einer Kreislinie in einer Objektebene senkrecht zur optischen Achse liegen, so erh¨ alt man auf der T -Fl¨ache ein scharfes Bild. Gleichzeitig wird jedoch in der S-Fl¨ ache das Bild der Kreislinie unscharf sein und u ¨ berall die Breite der S-Brennlinie“ aufweisen. Andererseits werden Objektpunkte ent” lang radialer Linien des Objektkreises nur in der S-Fl¨ache scharfe radiale Bilder erzeugen (s. Abb. 5.9 e). Der Astigmatismus ergibt f¨ ur kreisf¨ ormige oder radiale Elemente ( Wagenrad ” mit Speichen“), die sich in der Objektebene beﬁnden, eine scharfe Abbildung in zwei unterschiedlichen Bildﬂ¨ achen.

132

5 Abbildungsfehler

Aus Abb. 5.9 c erkennen wir, dass zur Eliminierung des Astigmatismus die tangentialen und sagittalen Bildﬂ¨ achen (Bildschalen) zusammenfallen m¨ ussen. Wenn ¨ die Kr¨ ummung dieser Fl¨ achen durch die Anderung der Linsenform oder Abst¨ande so ver¨ andert wird, dass sie zusammenfallen, so erh¨alt man die sogenannte PetzvalFl¨ache. F¨ ur ein aplanatisches System erh¨ alt man auf dieser Fl¨ache punktf¨ormige Bilder von Punktobjekten. Ist diese Fl¨ ache gekr¨ ummt, so hat man zwar den Astigmatismus eliminiert, aber die Bildfeldw¨olbung bleibt bestehen. Um unter diesen Bedingungen eine scharfe Abbildung zu erhalten, muss man die Aufzeichnungsebene (Filmebene) in der Form einer Petzval-Fl¨ache kr¨ ummen. Die PetzvalFl¨ ache kann f¨ ur jedes optische System festgelegt werden, sogar wenn die T - und S-Fl¨ achen nicht zusammenfallen. Die Petzval-Fl¨ache ist im Gegensatz zu den T - und S-Fl¨ achen unabh¨ angig von der Linsenform oder der Position der Linse und h¨ angt nur von den Brechzahlen und Brennweiten der beteiligten Linsen ab. In der Theorie 3. Ordnung ist die Petzval-Oberﬂ¨ache um einen Faktor 3 weiter

5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung

133

Abb. 5.9. a) Astigmatische Linienbilder an den Positionen S und T eines außeraxialen Objektpunktes P durch tangentiale (tt ) und sagittale (ss ) B¨ undel von Lichtstrahlen. b) Fotograﬁe von astigmatischen Bildern, die durch eine Linse erzeugt werden, wie in Abb. 5.9 a gezeigt. Die Linienbilder in S und T werden durch Fluoreszenzschirme als Querschnitte der Strahlen sichtbar gemacht. c) Astigmatische Bildﬂ¨ achen einer Linse(Bildschalen). d) Astigmatische Abbildung von radialen und kreisf¨ ormigen Objekten. e) Einsatz einer Apertur, um die Bildﬂ¨ achen einer Linse einzuebnen“. Die Fl¨ ache ” zwischen den S- und T -Fl¨ achen, auf der ein sch¨ arferes Bild entsteht, ist durch eine gestrichelte Linie dargestellt

134

5 Abbildungsfehler

von der T -Fl¨ ache entfernt als von der S-Fl¨ache und liegt immer auf der Seite der S-Fl¨ ache, die in der T -Fl¨ ache abgewandt ist. Zwei Linsen haben eine ebene Petzval-Fl¨ache, wobei die Bildfeldw¨ olbung eliminiert wird, wenn folgende Bedingung erf¨ ullt ist: n1 f1 + n2 f2 = 0 F¨ ur die Petzval-Fl¨ ache einer Anzahl k d¨ unner Linsen in Luft gilt die Bedingung: Petzval-Summe

k 1 1 = n i fi rp

(5.32)

i=1

rp ist der Kr¨ ummungsradius der Petzval-Fl¨ache. F¨ ur kleine Werte der PetzvalSumme erh¨ alt man eine fast ebene Bildﬂ¨ ache. Die Einebnung des Feldes aufgrund dieser Bedingung kann nicht durch eine einzelne Linse bewirkt werden, l¨ asst sich aber durch den Einsatz einer Apertur (siehe Abb. 5.9 d) erreichen. Bei dieser Anordnung verlaufen die schiefen Hauptstrahlen, die durch die Apertur festgelegt werden, nicht durch das Zentrum der Linse. Die S- und T - astigmatischen Fl¨ achen sind nun entgegengesetzt gekr¨ ummt, und die Oberﬂ¨ ache geringster Verzerrung ist eben, wie dies in der Abbildung gezeigt ist. Diese preiswerte Methode zur Einebnung der Bildﬂ¨ache wird in einfachen Kameras benutzt. In anderen Anordnungen, bei denen die Petzval-Bedingung nicht ohne Aufgabe anderer Forderungen erf¨ ullt werden kann, verwendet man eine langbrennweitige Linse nahe der Bildebene. Die Linse wirkt der Bildfeldw¨olbung entgegen, ohne andererseits die Bildqualit¨at allzu sehr zu beeintr¨achtigen. In der Theorie der Abbildungsfehler 5. Ordnung kann man erreichen, dass sich die T - und S-Fl¨ achen in einem gewissen Abstand von der optischen Achse einander n¨ ahern und sogar schneiden. Man erreicht einen geringeren Astigmatismus in einer mittleren Brennebene. Im anastigmatischen Kameraobjektiv wird dies ausgenutzt.

5.6 Verzeichnung Wenn alle anderen vorher beschriebenen Seidelschen Aberrationen eliminiert werden, bleibt noch eine letzte, f¨ unfte Aberration u ¨brig, die Verzeichnung genannt wird und die in (5.25) durch den Term 3 C11 y 3 cos θ gegeben ist. Sogar wenn Gegenstandspunkte scharf in Bildpunkte abgebildet werden, zeigt sich die Ver¨ zeichnung als Anderung des Abbildungsmaßstabes von Objekten in unterschiedlichem Abstand von der optischen Achse. Wenn die Vergr¨oßerung mit dem Abstand von der Achse zunimmt, erh¨ alt man aus dem quadratischen Netz Abb. 5.10 a, das als Gegenstand dient, ein Bild, wie in Abb. 5.10 b gezeigt. Das Ergebnis nennt

5.6 Verzeichnung

135

Abb. 5.10. Abbildung: a) eines quadratischen Netzes, b) kissenf¨ ormige Verzeichnung, c) tonnenf¨ ormige Verzeichnung aufgrund unterschiedlicher Vergr¨ oßerung

man kissenf¨ormige Verzeichnung. Wenn andererseits die Vergr¨oßerung mit dem Abstand von der Achse abnimmt, erh¨ alt man ein Bild, wie in Abb. 5.10 c gezeigt, das man tonnenf¨ormige Verzeichnung nennt. Das Bild ist in jedem Fall scharf, aber verzeichnet. Solche Verzeichnungen werden durch Begrenzungen des Strahlb¨ undels durch Aperturen oder Linsenfassungen, die wie Aperturen wirken, hervorgerufen. Aus Abb. 5.11 a k¨ onnen wir diesen Eﬀekt entnehmen. Dort ist das Bild eines außeraxialen Punktes, das durch eine einzelne Linse erzeugt wird, gezeigt. Es sind zwei Strahlenb¨ undel dargestellt, jedes ist durch eine Apertur begrenzt, die sich (1) in einem gewissen Abstand von der Linse beﬁndet, w¨ahrend (2) nahe der Linse positioniert ist. Wenn die Apertur der Linse gen¨ahert wird, wird der Weg zur Linse k¨ urzer. Bei Position (1) sieht man, dass der Lichtweg vom Objekt zur Linse gr¨ oßer – und damit auch die Vergr¨oßerung kleiner – ist. Diese Abnahme der Vergr¨ oßerung aufgrund der Position der Apertur wird noch deutlicher, wenn der Objektpunkt weiter von der Achse entfernt ist, so dass das Bild eine tonnenf¨ ormige Verzeichnung aufweist. Bringt man die Apertur in den Bildraum der Linse, so kann man die Auswirkung dieser Maßnahme aus der gleichen Abbildung entnehmen, wenn man alle Strahlen und die Rolle von Gegenstands- und Bildweite vertauscht. In diesem Fall ist das Verh¨ altnis von Gegenstands- zu Bildweite kleiner und im Bild tritt die kissenf¨ ormige Verzeichnung auf. Wenn die Apertur sehr nahe an die Linse gebracht wird, tritt diese Verzeichnung nicht auf. Ein symmetrisches Dublett, das eine Apertur in der Mitte zwischen den beiden Linsen aufweist, ist aufgrund beider Eﬀekte frei von Verzeichnung f¨ ur den Abbildungsmaßstab β = −1. Die Auswirkung der Lage der Apertur auf die Verzeichnung wird in den Abb. 5.11 b, c und d gezeigt.

136

5 Abbildungsfehler

Abb. 5.11. a) Auswirkung einer Apertur auf die Verzeichnung eines Bildes durch eine Linse. Die Apertur bei Pos. (1) erzeugt mehr tonnenf¨ ormige Verzeichnung als in Position (2). Vertauscht man Gegenstand und Bild, so erzeugt dasselbe System kissenf¨ ormige Verzeichnung. b) Abbildung eines quadratischen Netzes durch eine Positivlinse. Beﬁndet sich die Apertur zwischen Gegenstand (hinten) und Linse, so tritt tonnenf¨ ormige Verzeichnung des Bildes auf. c) Abbildung eines quadratischen Netzes durch eine Positivlinse. Beﬁndet sich die Apertur nahe bei der Linse, so ist das Bild frei von Verzeichnung d) Bild eines quadratischen Netzes durch eine Positivlinse. Beﬁndet sich die Apertur zwischen Linse und Bild, so tritt kissenf¨ ormige Verzeichnung des Bildes auf

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

137

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler Die letzte Aberration, die wir diskutieren, ist nicht monochromatisch. Weder die N¨ aherung 1. Ordnung (Gaußsche oder paraxiale) noch die Theorie 3. Ordnung, mit der wir uns in den vorhergehenden Abschnitten besch¨aftigt haben, ber¨ ucksichtigten die Dispersion bei der Brechung. Bei normaler Dispersion, die wir im Folgenden behandeln werden, nimmt die Brechzahl mit zunehmender Wellenl¨ange ab. Jede Glasart ist durch den Verlauf der Funktion n(λ) gekennzeichnet. Aufgrund der Dispersion tritt eine zus¨ atzliche chromatische Aberration (C.A.) auf. Dies gilt auch f¨ ur die paraxiale Optik, bei der Bilder, die durch verschiedene Farben des Lichtes erzeugt werden, nicht zusammenfallen. Bei den monochromatischen Aberrationen dritter Ordnung (5.25) k¨onnen wir chromatische Eﬀekte durch die Ber¨ ucksichtigung der Wellenl¨ angenabh¨angigkeit jedes Koeﬃzienten in der Entwicklung ber¨ ucksichtigen. Die chromatische Aberration einer Linse ist in Abb. 5.12 a gezeigt. Da die Bildbrennweite f einer Linse von der Brechzahl des Glases abh¨angt, ist f auch eine Funktion der Wellenl¨ ange. Die Abbildung zeigt, dass parallel einfallende Lichtstrahlen f¨ ur das rote und violette Ende des sichtbaren Spektrums durch die Linse in verschiedenen Brennpunkten fokussiert werden. Wir sehen, dass ein Kegel violetten Lichtes einen Zerstreuungskreis um den roten Brennpunkt bei R erzeugt. F¨ ur weißes“ Licht werden die dazwischen liegenden Farben zwischen ” diesen beiden Punkten fokussiert werden. Die st¨arkere Brechung der k¨ urzeren Wellenl¨ angen bringt f¨ ur eine Positivlinse den violetten Brennpunkt n¨aher an die Linse. Abbildung 5.12 b zeigt die chromatische Aberration f¨ ur einen außeraxialen Objektpunkt und stellt die longitudinale chromatische Aberration und die transversale chromatische Aberration dar. Die longitudinale chromatische Aberration wird auch Farbl¨angsfehler genannt, da die Bilder f¨ ur verschiedene Farben nicht im gleichen Abstand zur Linse liegen. Die transversale chromatische Aberration – Farbvergr¨oßerungsfehler – kann als unterschiedliche Vergr¨ oßerung bei der Abbildung des Objektes durch verschiedene Farben interpretiert werden. Man beseitigt die chromatische Aberration durch den Einsatz mehrerer brechender Elemente entgegengesetzten Brechwertes. Gebr¨auchlich ist der so genannte Achromat, ein Linsensystem, das aus einer konvexen und einer konkaven Linse unterschiedlicher Glasarten besteht, die dicht hintereinander angeordnet oder auch verkittet sind. Die Dispersion der Komponenten ist bei geeigneter Auswahl der Glassorten umgekehrt proportional zum Brechwert. Dieses Linsensystem weist f¨ ur eine gegebene Brennweite eine verringerte chromatische Aberration u ¨ber einen betr¨ achtlichen Teil des sichtbaren Spektrums auf. Die Linsenform der einzelnen Linse ist f¨ ur die Achromatisierung ohne Bedeutung, man kann durch geeignete Wahl (Coddington-Faktor) zus¨atzlich monochro-

138

5 Abbildungsfehler

Abb. 5.12. Chromatische Aberration (C.A., u ur eine d¨ unne ¨bertrieben gezeichnet) f¨ Linse. Die Auswirkung a) auf die Brennweite und b) auf die longitudinalen und transversalen Abweichungen f¨ ur rotes (R) und violettes (V) Licht sind dargestellt.

matische Abbildungsfehler beheben. Bei vielen Achromaten sind die sph¨arische Aberration und die Koma f¨ ur eine mittlere Wellenl¨ange korrigiert und auch die Abbesche Sinusbedingung erf¨ ullt.

Abb. 5.13. Achromatisches Dublett, bestehend aus (1) einer bikonvexen Kronglaslinse verkittet mit (2) einer Negativlinse aus Flintglas. Die Bezeichnung der vier Kr¨ ummungsradien ist angegeben

Der Aufbau eines achromatischen Dubletts ist in Abb. 5.13 gezeigt. F¨ ur den Mittelpunkt des sichtbaren Spektrums im Gelben, wie er durch die Fraunhoferur die Brechwerte der Wellenl¨ ange λd = 587,56 nm gegeben ist, erh¨alt man f¨ beiden Linsen:

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

139

1 1 1 = (n1d − 1) − ≡ (n1d − 1)K1 f1d r11 r12 1 1 1 ≡ (n2d − 1)K2 = = (n2d − 1) − f2d r21 r22

D1d =

(5.33)

D2d

(5.34)

Hierbei sind die Kr¨ ummungsradien wie in Abb. 5.13 angegeben. nd bezeichnet die Brechzahl f¨ ur die Fraunhofer-d-Linie. Zus¨atzlich haben wir die Konstanten K1 und K2 f¨ ur die Linsengeometrie (Kr¨ ummungsradien) eingef¨ uhrt. In (4.32) haben wir bereits gezeigt, dass der Brechwert eines Dubletts zweier Linsen im Abstand e gegeben ist durch: 1 1 e 1 = + − f f1 f2 f1 f2

(5.35)

D = D1 + D2 − eD1 D2

(5.36)

oder

F¨ ur ein verkittetes Dublett d¨ unner Linsen ist der Abstand zwischen beiden Linsen e = 0, und die Brechwerte der Linsen werden einfach addiert. D = D1 + D2

(5.37)

Benutzt man (5.33) und (5.34), so erh¨ alt man: D = (n1 − 1)K1 + (n2 − 1)K2

(5.38)

Die chromatische Aberration verschwindet f¨ ur die Wellenl¨ ange λd , wenn der Brechwert unabh¨ angig von der Wellenl¨ ange ist, oder ∂D ∂λ d = 0. Angewandt auf (5.38) ergibt diese Bedingung: ∂n1 ∂n2 ∂D = K1 + K2 (5.39) ∂λ ∂λ ∂λ Die Dispersion ∂n ∂λ in der Umgebung von λd kann man durch die Werte bei den roten und blauen Fraunhofer-Wellenl¨ angen, λC = 656,3 nm und λF = 486,1 nm, ann¨ ahern: ∂n nF − nC (5.40) ≈ ∂λ λF − λC Die Dispersion der Gl¨ aser setzen wir in (5.39) ein und erweitern, so dass: ∂n1d n1F K1 = K1 ∂λ λF ∂n2d n2F K2 = K2 ∂λ λF

− n1C n1d − 1 D1d = − λC n1d − 1 (λF − λC )ν1d − n2C n2d − 1 D2d = − λC n2d − 1 (λF − λC )ν2d

(5.41) (5.42)

140

5 Abbildungsfehler

Hierbei haben wir (5.33) und (5.34) benutzt und die Abbesche Zahl νd eingef¨ uhrt. Diese ist deﬁniert als: νd ≡

Abbesche Zahl

nd − 1 nF − nC

(5.43)

n1d −1 wobei ν1d = n1F ur die Linse (1) bedeutet. −n1C die Abbesche Zahl f¨ Eine große Abbesche Zahl beschreibt ein brechendes Material geringer Disunen Bereich in der N¨ahe persion, nd ist die Hauptbrechzahl und liegt im gelbgr¨ der maximalen Empﬁndlichkeit des Auges. Die Brechzahldiﬀerenz nF − nC wird Hauptdispersion genannt. In neueren Katalogen benutzt man eine andere Abbesche Zahl

νe ≡

ne − 1 nF − nC

mit den Fraunhofer-Wellenl¨ angen λe = 546,07 nm, λF = 479,99 nm und λC = 643,85 nm. Setzt man (5.41) und (5.42) in (5.39) ein, so erh¨alt man als Bedingung f¨ ur verschwindende chromatische Aberration: ν2d D1d + ν1d D2d = 0 oder

D1d ν1d =− D2d ν2d

(5.44)

Da die Abbesche Zahl immer positiv ist, bedeutet dies, dass man eine Kombination aus einer Positiv- und einer Negativlinse bilden muss. Aus (5.37) und (5.44) kann man den Brechwert der einzelnen Elemente als Vielfaches des gew¨ unschten Brechwertes Dd der Kombination berechnen: 1 −ν1d = D1d = Dd f1 ν2d − ν1d

und D2d = Dd

ν2d ν2d − ν1d

(5.45)

F¨ ur die Kr¨ ummungsfaktoren K, die in (5.33) und (5.34) eingef¨ uhrt wurden, erh¨alt man: K1 =

D1d n1d − 1

und K2 =

D2d n2d − 1

(5.46)

Zur Vereinfachung w¨ ahlen wir die Linse (1) bikonvex (gleicher Betrag des Kr¨ ummungsradius f¨ ur beide Oberﬂ¨ achen). Zus¨atzlich m¨ ussen die Kr¨ ummungsradien der beiden Linsen an der Grenzﬂ¨ ache u bereinstimmen. Die Kr¨ ummungs¨ radien gen¨ ugen deshalb den Gleichungen: r11 =

2 , K1

r12 = −r21 ,

r21 = r12 ,

und r22 =

r12 1 − K2 r12

(5.47)

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

141

F¨ ur die Konstruktion eines achromatischen Dubletts entnimmt man die Brechzahlen und die Abbesche Zahl f¨ ur die benutzen Gl¨aser aus den Angaben des Herstellers, wie sie in Tabelle 5.1 dargestellt sind. Die Berechnung des achromatischen Dubletts l¨asst sich einfach durchf¨ uhren, indem man (5.45), (5.46) und (5.47) der Reihe nach anwendet. Benutzt man z.B. 520 636 Kronglas und 617 366 Flintglas, um einen Achromaten mit f = 15 cm zu konstruieren, so erh¨ alt man aus den Gleichungen folgende Kr¨ ummungsradien: r11 = 6,6218 cm; r12 = −6,6218 cm; r21 = −6,6218 cm; r22 = −223,29 cm. Unter Benutzung dieser Werte kann man mit (5.33) und (5.34) die Brennweiten f¨ ur jede der Fraunhofer-Linien berechnen. Diesen Fall ﬁnden sie in Tab. 5.1: Tabelle 5.1. Einzel- und Gesamtbrennweiten eines zweilinsigen Anchromaten f1 /cm

f2 /cm

f /cm

λd

6,3653

-11,0575

15,000

λC

6,3961

-11,1470

15,007

λF

6,2966

-10,8485

15,007

Abb. 5.14. Dublett mit verschiedenen Hauptebenen f¨ ur rotes und blaues Licht. a) Gleiche Brennweiten bewirken verbleibende longitudinale chromatische Aberration (Farbl¨ angsfehler). b) Gleiche Brennpunktlagen bewirken eine bleibende transversale chromatische Aberration (Farbvergr¨ oßerungsfehler)

Konstruiert man einen Achromaten als d¨ unne Linse, so sind die Brennweiten fast gleich und damit werden die longitudinale und die transversale chromatische Aberration gleichzeitig eliminiert. Die bildseitigen Hauptebenen f¨ ur eine dicke Linse oder ein optisches System aus mehreren Linsen m¨ ussen f¨ ur unterschiedliche Wellenl¨ angen nicht zusammenfallen, so wie dies f¨ ur eine d¨ unne Linse der Fall ist. Dann f¨ uhren gleiche Brennweiten bei einer dicken Linse nicht zu einem einzigen wellenl¨ angenunabh¨ angigen Brennpunkt auf der Achse, und die longitudinale chromatische Aberration bleibt bestehen (s. Abb. 5.14 a). Wenn die Brennweiten

142

5 Abbildungsfehler Tabelle 5.2. Auswahl optischer Gl¨ aser

Type

Katalog-

Abbesche

code∗

Zahl νD

nc

nd

nF

nd −1 nF −nC

656,3 nm

587,56 nm

486,1 nm

gerundet (nd − 1) 10νd Borkron (BK 7)

517 642

64,17

1,51432

1,51680

1,52238

Borkron

520 636

63,59

1,51764

1,52015

1,52582

Baritleichtkron

573 574

57,43

1,56956

1,57259

1,57953

Baritschwerkron 638 555

55,49

1,63461

1,63810

1,64611

Schwerﬂint

617 366

36,60

1,61218

1,61715

1,62904

Flint

620 380

37,97

1,61564

1,62045

1,63198

Schwerﬂint

689 312

31,15

1,68250

1,68893

1,70460

Schwerﬂint (SF 6)

805 255

25,46

1,79608

1,80518

1,82771

Quarzglas 458 678 67,83 1,45637 1,45846 1,46313 Beispiel: Borkron: nd = 1,5168; 1000(nd − 1) ≈ 517; νd = 64,17; 10νd ≈ 642 ergibt den Code: 517 642

∗

f¨ ur rotes und blaues Licht nicht u ¨bereinstimmen (s. Abb. 5.14 b), so verursacht und fR einen Unterschied im Abbildungsmaßstab und die die Diﬀerenz in fB transversale chromatische Aberration (Farbvergr¨oßerungsfehler) bleibt bestehen. Zur Beseitigung dieses Fehlers m¨ ussen die Hauptebenen f¨ ur die zwei korrigierten Wellenl¨ angen zusammenfallen. Eine weitere M¨ oglichkeit zur Vermeidung der chromatischen Aberration besteht darin, zwei getrennte Linsen aus derselben Glassorte (n1 = n2 = n) im Abstand e = 0 zu benutzen. Die Bedingung ∂D ∂λ = 0, angewandt auf (5.36) ergibt nun: ∂D ∂ 2 = (n − 1) (K1 + K2 ) − (n − 1) K1 K2 e = 0 ∂λ ∂λ Hieraus folgt der Linsenabstand zur: Achromatisierung eines zweilinsigen Systems

durch den Abstand e.

e=

f1 + f2 2

(5.48)

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

143

Dieses Verfahren benutzt man zur Achromatisierung zweilinsiger Okulare (Huygens oder Ramsden), die in Kapitel 6 vorgestellt werden.

¨ Ubungen 5.1 Veriﬁzieren Sie (5.18) durch Einsetzen von (5.16) und (5.17) in (5.6). 5.2 Die Bild- und Objektschnittweiten einer sph¨ arischen brechenden Oberﬂ¨ ache erf¨ ullen zus¨ atzlich zu (3.14) die Beziehung 1/s = −1/s + 1/r. Zeigen Sie, dass dann a) s = (n /n )s gilt und b) q(Q) f¨ ur die sph¨ arische Aberration in (5.18) verschwindet. c) Zeigen Sie, dass q(Q) auch f¨ ur s = r und f¨ ur Strahlen, die die sph¨ arische Oberﬂ¨ ache im Scheitel durchsetzen, verschwindet. Solche Bildpunkte nennt man aplanatische Punkte. d) Bestimmen Sie die aplanatischen Punkte f¨ ur eine sph¨ arische Oberﬂ¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius 8 cm, die zwei Medien mit den Brechzahlen 1,36 und 1,70 trennt. 5.3 Ein kollimierter Lichtstrahl f¨ allt auf die ebene Seite einer plankonvexen Linse der Brechzahl 1,5 und des Durchmessers 50 mm mit dem Kr¨ ummungsradius −40 mm. Bestimmen Sie die sph¨ arische Wellenaberration, sowie die longitudinale und die transversale sph¨ arische Strahlaberration. 5.4 Zeigen Sie, dass f¨ ur einen sph¨ arischen Konkavspiegel eine analoge Rechnung wie f¨ ur die brechende Kugelﬂ¨ ache folgende Aberration 3. Ordnung ergibt: 2 h4 1 1 q= − 4r r s wobei r f¨ ur den Kr¨ ummungsradius steht. 5.5 Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 5.4 und bestimmen Sie die Wellenaberration, die transversale und die longitudinale Aberration f¨ ur einen Kugelspiegel von 2 m Bildbrennweite und 50 cm Durchmesser, wenn dieser ein Bild eines weit entfernten punktf¨ ormigen Objektes entwirft. 5.6 In einem Spiegelteleskop wird ein Kugelspiegel mit dem Durchmesser d und der Bildbrennweite f = 3 m benutzt, wobei f /d = 3,75 gilt. a) Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 4 und ermitteln Sie die Gr¨ oße der sph¨ arischen Wellenaberration des Teleskops. b) Es wird eine Korrekturplatte nach Schmidt (siehe Kapitel 6) mit der Brechzahl 1,4 installiert, um die sph¨ arische Aberration zu korrigieren. Wie groß muss der Unterschied in der Plattendicke zwischen Zentrum und Rand sein? 5.7 Eine Linse mit dem Brechwert 4 dpt und dem Durchmesser 6 cm ergibt eine longitudinale sph¨ arische Aberration von 1 cm bei der Abbildung eines axialen Objektpunktes. Das Objekt ist 50 cm von der Linse entfernt. Bestimmen Sie: a) die transversale sph¨ arische Aberration und b) den Durchmesser des Brennﬂecks in der paraxialen Brennebene.

144

5 Abbildungsfehler

5.8 Bestimmen Sie f¨ ur eine d¨ unne Linse mit n = 1,5, r1 = 10 cm und r2 = −10 cm die longitudinale und transversale sph¨ arische Strahlaberration, wenn die einfallenden Strahlen parallel zur Achse durch einen unendlich schmalen Kreisring mit dem Radius h = 1 cm verlaufen. 5.9 Bestimmen Sie f¨ ur eine Linse die longitudinale sph¨ arische Strahlaberration als Funktion der Strahlh¨ ohe h, indem Sie die Gleichung f¨ ur die sph¨ arische Aberration einer d¨ unnen Linse aus Aufgabe 5.8 benutzen. Zeichnen Sie die longitudinale Strahlaberration als Funktion der Strahlh¨ ohe f¨ ur h = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 cm auf. Die Linse hat eine Brechzahl von 1,6 und die Kr¨ ummungsradien der Oberﬂ¨ achen sind r1 = 36 cm und r2 = −18 cm. Die einfallenden Lichtstrahlen sind parallel zur optischen Achse. 5.10 Eine bikonvexe Linse der Brechzahl 1,5 mit den Kr¨ ummungsradien 15 cm und −15 cm entwirft ein Bild eines axialen Objektpunktes, der sich 25 cm von der Linse entfernt beﬁndet, wobei die Strahlen durch einen unendlich schmalen Kreisring mit dem Radius h = 2 cm an der Linse verlaufen. Bestimmen Sie die longitudinale und die transversale sph¨ arische Strahlaberration (s. Aufg. 5.8). 5.11 Zeigen Sie mit (5.28), dass f¨ ur e = (1/ah ) − (1/ap ) und minimale sph¨ arische Aberration erf¨ ullt ist, wenn: γ=

de dγ

= 0 die Bedingung f¨ ur

2(n2 − 1)p n+2

wobei γ f¨ ur den Coddington-Formfaktor steht. 5.12 Eine Positivlinse mit der Brechzahl 1,5 und der Bildbrennweite 30 cm wird in ihrer Form so ver¨ andert, dass Coddington-Formfaktoren von 0,7 und 3,0 auftreten. Bestimmen Sie die entsprechenden Kr¨ ummungsradien der Linsenoberﬂ¨ ache. 5.13 Eine d¨ unne Positivlinse der Bildbrennweite 20 cm ist so ausgelegt, dass sie minimale sph¨ arische Aberration in der Bildebene, die 30 cm von der Linse entfernt ist, aufweist. Die Brechzahl der Linse ist 1,6. Bestimmen Sie die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberﬂ¨ achen. 5.14 Eine d¨ unne plankonvexe Linse mit 1 m Bildbrennweite und der Brechzahl 1,6 soll so orientiert sein, dass sie bei der Fokussierung eines kollimierten Lichtb¨ undels m¨ oglichst kleine sph¨ arische Aberration aufweist. Zeigen Sie, dass bei der richtigen Orientierung das parallele Licht auf die gekr¨ ummte Seite der Linse auff¨ allt und vergleichen Sie den Coddington Formfaktor f¨ ur beide Orientierungen mit dem Wert f¨ ur minimale sph¨ arische Aberration. 5.15 Ein paralleles Lichtb¨ undel wird mit einer Positivlinse bei minimaler sph¨ arischer Aberration fokussiert. Die Bildbrennweite betr¨ agt 30 cm. Das Glas hat eine Brechzahl von 1,5. Bestimmen Sie: a) den Coddington-Formfaktor, b) die Kr¨ ummungsradien der Linse. c) Wie a ndern sich die Antworten, wenn man die Linse zur Erzeugung eines kol¨ limierten Lichtstrahles bei punktf¨ ormiger Quelle benutzt? 5.16 Bearbeiten Sie Aufgabe 5.15, wenn die Linse kleine Koma aufweisen soll.

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

145

5.17 Eine Positivlinse der Bildbrennweite 20 cm wird zur Bildumkehr benutzt, d.h. die Linse ¨ andert die Orientierung des Bildes, ohne die Gr¨ oße zu ver¨ andern. Welche Kr¨ ummungsradien f¨ ur die Linsenoberﬂ¨ achen ergeben f¨ ur diese Anwendung minimale sph¨ arische Aberration? Die Brechzahl des Linsenmaterials ist 1,5. 5.18 Bearbeiten Sie Aufgabe 5.17, wenn die Linse die Koma reduzieren soll. 5.19 Die Bildfeldw¨ olbung einer Linse aus Kronglas (n = 1,5230) mit 20 cm Bildbrennweite soll verringert werden. Zu diesem Zweck wird eine zweite Linse aus Flintglas (n = 1,7200) hinzugef¨ ugt. Wie groß sollte ihre Bildbrennweite sein? Die angegebenen Brechzahlen beziehen sich auf Natriumlicht der mittleren Wellenl¨ ange 589,3 nm. 5.20 Ein Fernrohrobjektiv besteht aus einem Dublett aus einer Positivlinse (n1 = 1,5736, f1 = 3,543 cm) und einer Negativlinse (n2 = 1,6039, f2 = −5,391 cm), die zusammengekittet sind. a) Bestimmen Sie den Radius der Petzval-Oberﬂ¨ ache. b) Welche Bildbrennweite muss die Negativlinse aufweisen, um eine ebene PetzvalOberﬂ¨ ache zu ergeben? 5.21 Entwerfen Sie ein achromatisches Dublett aus 517 645 Kron- und 620 380 Flintglas, das eine Gesamtbildbrennweite von 20 cm aufweisen soll. Die Kronglaslinse soll bikonvex sein. Bestimmen Sie die Kr¨ ummungsradien der ¨ außeren Linsenoberﬂ¨ achen und die Bildbrennweite f¨ ur die d-, C-, und F -Fraunhofer-Linien. 5.22 Entwerfen Sie ein achromatisches Dublett mit 5 cm Bildbrennweite aus 638 555 Kron- und 805 255 Flintglas. Bestimmen Sie: a) die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberﬂ¨ achen, b) die Bildbrennweiten f¨ ur die d-, C- und F - Fraunhofer-Linien, c) die Brechwerte der einzelnen Elemente. d) Wird (5.44) erf¨ ullt? 5.23 Entwerfen Sie ein achromatisches Dublett von −10 cm Bildbrennweite aus 573 574Kronglas und 689 312-Flintglas. Die Kronglaslinse soll bikonvex sein. Bestimmen Sie: a) die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberﬂ¨ achen, b) die einzelnen Bildbrennweiten f¨ ur die Fraunhofer-d-Linie, c) die Gesamtbildbrennweiten der Linse f¨ ur die d-, C- und F -Fraunhofer-Linie.

7 Optik des Auges

Einleitung In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit der Optik des Auges. Zuerst untersuchen wir seine Struktur und Funktion. Im Anschluss daran betrachten wir die optischen Fehler in einem fehlsichtigen Auge und geben die normalerweise gebr¨ auchlichen Korrekturoptiken (Brillen, Kontaktlinsen) an. Zum Schluss dieses Kapitels werden chirurgische Verfahren beschrieben, die mit Laserstrahlung spezieller Intensit¨ at und Wellenl¨ ange durchgef¨ uhrt werden. Zusammen mit dem Gehirn stellen die Augen ein bemerkenswertes biooptisches System dar. Das Auge erzeugt Bilder von Gegenst¨anden in Entfernungen vom Zentimeterbereich bis ins Unendliche. Es verarbeitet Objekte, so ausgedehnt wie der Himmel u ¨ber uns oder es fokussiert auf ein Detail, so klein wie ein Stecknadel¨ ohr. Es passt sich an einen außergew¨ohnlichen Bereich von Intensit¨aten an, vom ﬂackernden Schein einer Kerze, die Kilometer entfernt in einer dunklen Nacht zu sehen ist, bis zum Sonnenlicht, das so hell ist, dass das optische Bild auf der Netzhaut gef¨ ahrliche Verbrennungen verursachen kann. Es unterscheidet zwischen subtilen Farbnuancen von tiefem Purpur bis zu tiefem Rot. Am Wichtigsten f¨ ur uns ist, dass das Auge den Raum um uns erfasst. In ihm lokalisiert es Gegenst¨ ande und macht uns die dreidimensionale Welt zug¨anglich.

206

7 Optik des Auges

7.1 Aufbau des Auges Anatomisch gesehen ist der Augapfel von fast exakt kugelf¨ormiger Gestalt und hat einen Durchmesser von ungef¨ ahr 22 bis 24 mm. Er liegt eingebettet in Fettgewebe in der Augenh¨ ohle und ist durch die Knochenw¨ande des Sch¨adels gesch¨ utzt. Optisch betrachtet ist das Auge eine Kamera, die das einfallende Licht eines Objektes als reelles Bild auf die r¨ uckw¨artige Fl¨ache des Augapfels fokussiert. Die grundlegenden Bestandteile des Auges sind in Abb. 7.1 dargestellt. Zun¨ achst wollen wir die Schl¨ usselelemente des Auges entlang der optischen Achse untersuchen und zwar in der Reihenfolge, in der sie auch von Lichtstrahlen bei der Bildentstehung durchlaufen werden. Licht tritt durch die Hornhaut in das Auge ein. Die Hornhaut ist ein durchsichtiges Gewebe ohne Blutgef¨ aße, aber mit vielen Zellen- und Nervenfasern. Sie hat einen Durchmesser von ungef¨ ahr 12 mm und ist im Zentrum ca. 0,6 mm dick und zum Rand hin etwas st¨ arker. Ihre Brechzahl ist 1,376. Beim Auftreﬀen auf die Grenzﬂ¨ ache Luft/Hornhaut, wo die Brechzahl sich von 1 auf 1,376 ¨andert, wird das Licht stark gebrochen. Die Hornhautgrenzﬂ¨ache sorgt f¨ ur 73% des Brechwertes des Auges. Unmittelbar hinter der Hornhaut beﬁndet sich die Vorderkammer, ein kleiner Raum, der mit einer w¨ assrigen Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt ist, die N¨ahrstoﬀe f¨ ur die Hornhaut enth¨ alt. Diese Fl¨ ussigkeit hat eine Brechzahl von 1,336, ¨ahnlich der von Wasser. Weil die Brechzahlen der Hornhaut und der Fl¨ ussigkeit in der Vorderkammer nahezu gleich sind, tritt nur eine geringe Brechung auf, wenn das Licht von der Hornhaut in die Vorderkammer eintritt. Den Abschluss der Vorderkammer bildet die Iris, eine Trennwand, die dem Auge seine charakteristische Farbe gibt und die Lichtmenge festlegt, die in das Auge eintritt. Die Menge und die Verteilung des Pigmentes in der Iris bestimmt, ob das Auge blau, gr¨ un, grau oder braun aussieht. Babies haben blaue Augen, weil noch keine Pigmente vorhanden sind. Damit u ¨ berwiegt die Rayleigh-Streuung. Die einstellbare ¨ Oﬀnung in der Iris, durch die das Licht hindurchtritt, nennt man Pupille. Die Iris enth¨ alt zwei S¨ atze von Muskeln, die die Gr¨oße der Pupille in Abh¨angigkeit vom Außenlicht ver¨ andern, so dass der Durchmesser von einem Minimum von ungef¨ ahr 2 mm an einem hellen Sonnentag bis zu einem Maximum von ungef¨ahr ¨ 8 mm bei sehr geringer Helligkeit ver¨ andert werden kann. Wenn Arzte das Innere des Auges untersuchen, benutzen Sie Medikamente, z.B. Atropin, um die Pupille zu vergr¨ oßern. Nach dem Durchgang durch die Pupille f¨allt das Licht auf die Augenlinse, ein transparentes Gebilde, ungef¨ ahr von Gr¨ oße und Form einer essbaren Linse. Die Augenlinse sorgt f¨ ur die Feinabstimmung im Abbildungsprozess. Ihre Form wird so ge¨ andert, dass f¨ ur einen Gegenstand in bestimmter Entfernung ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht. Die Form der Linse wird durch einen Ringmuskel kontrolliert, der durch Fasern mit der Peripherie der Linse verbunden ist. Wenn der Muskel entspannt ist, nimmt die Linse ihre ﬂachste Form an, die f¨ ur die geringste Brechung der einfallenden Lichtstrahlen sorgt. In diesem Zustand ist das

7.1 Aufbau des Auges

207

Abb. 7.1. Vertikaler Schnitt durch das Auge

Auge auf entfernte Objekte eingestellt. Wenn sich der Muskel zusammenzieht, ¨andert sich die Linsenform. Die vordere (der Hornhaut n¨ahere) Linsenﬂ¨ache wird st¨ arker gekr¨ ummt und sorgt f¨ ur eine st¨ arkere Brechung des Lichtes, die hintere Linsenﬂ¨ ache ¨ andert die Kr¨ ummung nur wenig. Die Linse wird dabei um 0,5 mm dicker, der Kr¨ ummungsradius der vorderen Fl¨ache ver¨andert sich von 10 mm auf 5,3 mm, was einer Zunahme des Brechwertes um 14 dpt entspricht. Im angespannten Zustand ist das Auge auf Nahobjekte eingestellt. Die Linse selbst ist ein komplexes, zwiebel¨ahnliches Gebilde, das durch eine elastische Membran zusammengehalten wird. Wegen der laminatartigen Struktur der Linse ist die Brechzahl nicht homogen. Nahe dem Zentrum der Linse und auf der Achse ist die Brechzahl ungef¨ ahr 1,41, nahe der Peripherie f¨allt sie bis auf 1,38 ab (GRIN-Element). Nach der Brechung an der Linse tritt das Licht in die Hinterkammer und danach in den Glask¨ orper ein, eine transparente, gelartige Substanz deren Brechzahl (1,336) wieder nahe der von Wasser ist. Der strukturlose Glask¨orper enth¨alt kleine Gewebeteilchen, die als schwebende Teilchen durch das Gesichtsfeld laufen. Man sieht sie besonders gut, wenn man auf eine strukturlose weiße Wand schaut. Nach der Durchquerung des Glask¨ orpers erreichen die Lichtstrahlen schließlich die innere, hintere Wand des Auges, die Netzhaut. Die Netzhaut (Retina) ist mit einer Struktur von Photorezeptoren, die man St¨abchen und Zapfen nennt, bedeckt. Die langen d¨ unnen St¨ abchen, deren Zahl mehr als hundert Millionen betr¨ agt, sind nahe der Peripherie der Retina dichter angeordnet. Sie sind besonders f¨ ur schwaches Licht empﬁndlich, k¨ onnen allerdings nicht zwischen Farben un-

208

7 Optik des Auges

terscheiden. Die gr¨ oßeren Zapfen, weniger als zehn Millionen in der Zahl, h¨aufen sich bevorzugt nahe dem Zentrum der Retina in einem Gebiet von ungef¨ahr 3 mm Durchmesser, das man Macula (gelber Fleck, Macula Lutea) nennt. Im Gegensatz zu den Eigenschaften der St¨ abchen sind die Zapfen f¨ ur helles Licht und Farben sehr empﬁndlich, funktionieren aber nicht so gut bei schwachem Licht. Mit den Photorezeptoren sind drei verschiedene Typen von Nervenzellen (amakrine, bipolare und multipolare Zellen) verbunden, die die visuellen Impulse vorverarbeiten und zum Sehnerv u ¨bertragen. Der Sehnerv ist die einzige Verbindung, die visuelle Informationen von der Netzhaut zum Gehirn u ¨bertr¨agt. Zus¨ atzlich zu den optischen Schl¨ usselkomponenten, auf die das Licht entlang der Sehachse triﬀt, enth¨ alt das Auge noch andere Komponenten, die wir kennenlernen wollen. Wie in Abb. 7.1 zu sehen, ist das Auge mit einer z¨ahen weißen Schicht umh¨ ullt, der Lederhaut (Sklera), die eine ¨außere feste H¨ ulle des Augapfels aus derbem Bindegewebe darstellt. Innerhalb der Lederhaut liegt die Aderhaut, die ungef¨ ahr 4/5 des Auges zur R¨ uckseite hin bedeckt und die die meisten der Blutgef¨ aße enth¨ alt, u ¨ber die das Auge ern¨ahrt wird. Noch weiter zum Inneren des Auges hin liegt die Netzhaut, auf der wir die St¨abchen und Zapfen ﬁnden. Im Zentrum des gelben Flecks (Macula), schl¨afenw¨arts des Sehnervenkopfes, liegt die Netzhautgrube (Fovea centralis), das Gebiet der gr¨oßten Sehsch¨arfe. Wenn es notwendig ist, dass man etwas sehr scharf und detailliert betrachtet – z.B. wenn man einen kleinen Splitter mit einer Nadel entfernt –, so bewegt sich das Auge kontinuierlich, so dass das Licht, das von dem abzubildenden Gegenstand kommt, pr¨ azise auf die Netzhautgrube f¨allt, ein st¨abchenfreies Gebiet von ungef¨ ahr 200 µm Durchmesser. Im Gegensatz hierzu ist ein anderes kleines Gebiet der Netzhaut, das am Austrittspunkt des Sehnervs liegt, vollkommen unempﬁndlich f¨ ur Licht. Dieser Fleck, der keinerlei Photorezeptoren aufweist, wird deshalb blinder Fleck genannt.

7.2 Das Auge als optisches Instrument Wie wir schon gesehen haben, ist das normale biologische Auge von kugelf¨ormiger Gestalt, wobei die Entfernung von der Hornhaut zur Netzhaut ca. 22 mm betr¨agt. Die optischen Oberﬂ¨ achen, die im Wesentlichen zum Brechwert des Auges beitragen, sind: 1. die Grenzﬂ¨ ache zwischen Luft und Hornhaut (gr¨oßter Brechwert), 2. die Grenzﬂ¨ ache zwischen Vorderkammerﬂ¨ ussigkeit und Linse und 3. die Grenzﬂ¨ ache zwischen Linse und Glask¨orper. Zusammengefasst kann man das Auge recht einfach als d¨ unne Positivlinse darstellen, die eine ¨ aquivalente Bildbrennweite von 17 mm in Luft im entspannten Zustand (auf unendlich eingestellt) oder die Bildbrennweite 14 mm in Luft im

7.2 Das Auge als optisches Instrument

209

angespannten Zustand (Nahsehen) aufweist. Im Bem¨ uhen, die optischen Eigenschaften des Auges klarer darzustellen, hat man optische Augenmodelle entwickelt. Ein Augenmodell (nach H. v. Helmholtz und L. Laurance) ist in Abb. 7.2 gezeigt. Das Augenmodell stellt den entspannten Zustand des Auges dar. F¨ ur das angespannte Auge ¨ andert sich der Kr¨ ummungsradius der Linsenvorderﬂ¨ache von r = 10 mm auf r = 5,3 mm. In Verbindung mit Abb. 7.2 gibt Tabelle 7.1 die wichtigen optischen Grenzﬂ¨ achen an. Sie weist auf deren Entfernung vom Scheitel der Hornhaut auf der optischen Achse, Kr¨ ummungsradien, Brechzahlen und die Brechwerte der optischen Oberﬂ¨ achen von Hornhaut und Linse hin. Wir sehen, dass die Werte der Brechzahlen f¨ ur unterschiedliche Teile des Auges wie auch die Kr¨ ummungsradien der Oberﬂ¨ achen nicht mit den Werten des biologischen Auges selbst u ¨bereinstimmen.

Abb. 7.2. Darstellung des Augenmodelles nach v. Helmholtz, modiﬁziert durch Laurance. Die Deﬁnition der Symbole ist in Tabelle 7.1 angegeben

210

7 Optik des Auges Tabelle 7.1. Konstanten des Augenmodelles

Optische Oberﬂ¨ ache oder Element

Deﬁnition Entfernung Kr¨ ummungs- Brechzahl des Symbols vom Scheitel radius der der Oberﬂ¨ ache Hornhaut /mm /mm

Brechwert /dpt

Hornhautscheitel

S1

–

+8∗

–

+41,6

Linse (Einheit)

L

–

–

1,45

+30,5

–

+12,3

∗∗

Frontﬂ¨ achenscheitel

S2

+3,6

+10

R¨ uckw¨ artiger Fl¨ achenscheitel

S3

+7,2

-6

–

+20,5

Auge (Einheit)

–

–

–

–

+66,6

Objektseitiger Brennpunkt

F

-13,04

–

–

–

Bildseitiger Brennpunkt

F

+22,38

–

–

–

Objektseitiger Hauptpunkt

H

+1,96

–

–

–

Bildseitiger Hauptpunkt

H

+2,38

–

–

–

Objektseitiger Knotenpunkt

K

+6,96

–

–

–

Bildseitiger Knotenpunkt

K

+7,38

–

–

–

Vorderkammer

VK

–

–

1,333

–

Glask¨ orper (Hinterkammer)

HK

–

–

1,333

–

Eingangspupille

EP

+3,04

–

–

–

Austrittspupille

AP

+3,72

–

–

–

∗ ∗∗

Die Hornhaut ist unendlich d¨ unn angenommen Wert f¨ ur das entspannte Auge. F¨ ur das vollst¨ andig akkomodierte Auge wird der Kr¨ ummungsradius der Frontﬂ¨ ache 5 mm

7.3 Funktion des Auges

211

7.3 Funktion des Auges Das Auge soll ein Abbild eines Objektes oder einer Szene auf der Retina erzeugen. Dies muss f¨ ur weit entfernte oder nahe Gegenst¨ande genauso wie in sehr hellem oder in schwachem Licht m¨ oglich sein. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden, muss das Auge spezielle Funktionen aufweisen. Das Auge akkommodiert, um nahe oder weit entfernte Objekte zu sehen. Das Auge adaptiert, um Lichtsignale unterschiedlicher Helligkeit zu verarbeiten. Durch das r¨ aumliche Sehen kann die dreidimensionale Orientierung im Raum erfolgen. Die Sehsch¨arfe des Auges bestimmt, ob es ein getreues, detailliertes Bild eines externen Objektes erzeugen wird. Im Folgenden diskutieren wir jede dieser Funktionen ausf¨ uhrlich. Akkommodation Das Auge akkommodiert abh¨ angig von der Entfernung eines Gegenstandes vom Auge, um ein scharfes Bild auf der Netzhaut (Retina) zu erzeugen. Bei einem entfernten Gegenstand entspannt sich der Ziliarmuskel (Ringmuskel weitet sich), der um die Linse herum angeordnet ist, und die Linse nimmt eine ﬂache Form an, wobei der Kr¨ ummungsradius der Linsenﬂ¨achen r1 = 10 mm und r2 = −6 mm betr¨ agt. Wenn sich der Gegenstand n¨ aher zum Auge beﬁndet, so zieht sich der Ziliarmuskel zusammen und die (jugendliche) Linse strebt (aufgrund ihrer Eigenelastizit¨ at) zur Kugelform hin. Dies f¨ uhrt zu kleineren Kr¨ ummungsradien urzeren Brennweite. Dies erh¨oht den (r1 = 5,3 mm und r2 = −5,3 mm) und einer k¨ Brechwert der Linse und damit k¨ onnen nahe Objekte scharf abgebildet werden. Beim normalen Auge – bevor der normale Alterungsprozess der Linse ihre Elastizit¨ at und die F¨ ahigkeit, sich zu verformen, raubt – sorgt die Akkommodation f¨ ur ein getreues Abbild auf der Retina, sowohl f¨ ur weit entfernte Objekte (im Unendlichen) als auch bei nahen Objekten in einem Abstand von ungef¨ahr 25 cm. Die Grenzeinstellungen der Akkommodationsf¨ahigkeit sind die Fernpunktweite aR und die Nahpunktweite aP . Tabelle 7.2 zeigt die Verringerung der Akkommodationsf¨ ahigkeit (Erh¨ ohung der Nahpunktweite) mit dem Alter (Mittelwerte). Tabelle 7.2. Verringerung der Akkommodationsf¨ ahigkeit mit dem Alter, aR = Fernpunktweite = −∞, aP = Nahpunktweite, (1/aR − 1/aP ) = Akkommodationsbreite Alter in Jahren

10

20

30

40

50

60

70

80

aP in cm

-7

-9

-12

-21

-60

-120

-120

-120

14,3

11,1

8,3

4,8

1,7

0,8

0,8

0,8

(1/aR − 1/aP ) in dpt

212

7 Optik des Auges

Adaption Als Adaption bezeichnet man die F¨ ahigkeit des Auges, Lichtsignale zu verarbeiten, die von sehr schwachem bis zu sehr hellem Licht reichen, einem Bereich von Strahlungsﬂ¨ ussen, die sich um den erstaunlichen Faktor von ungef¨ahr 109 −16 (10 W= ˆ 500 Photonen/s bis 10−7 W) unterscheiden. Der Lichtstrom (Photonenstrom), der in das Auge eintritt, wird zun¨achst durch die Iris mit ihrer einstellbaren Apertur, der Pupille, geregelt. Der große Bereich von Lichtstr¨omen, der durch das Auge verarbeitet wird, kann nicht allein durch die Ver¨anderung des Pupillendurchmessers (von 8 mm bis zu 2 mm; dies entspricht einem Faktor 16 im Lichtstrom) erreicht werden. Vielmehr sind Photorezeptoren in der Netzhaut, St¨ abchen und Zapfen, und ihre speziﬁsche Empﬁndlichkeit f¨ ur Licht f¨ ur die bemerkenswerte Adaption des Auges verantwortlich. Die Schl¨ usselkomponenten sind Pigmente, die in den St¨ abchen und in den Zapfen enthalten sind. Die St¨abchen, die f¨ ur das D¨ammerungssehen verantwortlich sind, enthalten ein Pigment, das Sehpurpur genannt wird. Die Zapfen sind f¨ ur Lichtsignale hoher Intensit¨ at und f¨ ur verschiedene Farben empﬁndlich. Sie enthalten drei verschiedene Sorten von Sehpigmenten, die rot-, gr¨ un- und blauempﬁndlich sind. Die zahlreichen d¨ unnen St¨ abchen (Gesamtzahl ca. 1,3 · 108 , Durchmesser ca. 2 µm) sind zusammengefasst mit einer Nervenfaser verbunden. Dies erm¨oglicht es, dass eines von hundert St¨ abchen eine einzelne Nervenfaser aktiviert. Die weniger zahlreichen und gr¨ oßeren Zapfen (Gesamtzahl ca. 7 · 106 , Durchmesser ca. 4 µm), die im Gebiet der Macula (gelber Fleck) angeordnet sind, sind einzeln mit einer Nervenfaser verbunden und wirken deshalb f¨ ur sich alleine. Die Aktivierung der Nervenfasern – der zentrale Prozess beim Sehen – h¨angt von chemischen Ver¨anderungen, die im Sehpigment stattﬁnden, ab. Wenn Licht auf die Photorezeptoren f¨ allt, wird das Sehpigment ausgebleicht. ¨ Die Anderung im Zustand des Sehpigmentes in den St¨abchen oder Zapfen ergibt ein elektrisches Ausgangssignal bzw. eine Nervenpulsrate. Diese elektrischen Impulse werden u ¨ ber den Sehnerv ins Gehirn u ¨bertragen. Wenn der Sehpurpur vollkommen ausgebleicht ist, werden die Photorezeptoren f¨ ur weitere Lichtsignale unempﬁndlich. Dann muss zun¨ achst eine Regeneration des Pigmentes in den St¨ abchen erfolgen, bevor sie wieder empﬁndlich werden. Das Sehpigment der St¨ abchen ist viel empﬁndlicher f¨ ur Licht als eines der drei Pigmente in den Zap¨ fen. Die Anderung vom D¨ ammerungssehen zum Sehen bei intensivem Licht besteht in dem Prozess der Adaption, bei dem die St¨abchenpigmente ausbleichen und damit die St¨ abchenrezeptoren unempﬁndlich werden. Das helle Licht wird dann von den weniger empﬁndlichen Zapfen weiter verarbeitet. Im Gegensatz dazu beinhaltet die Adaption von intensivem hellen Licht zu schwachem Licht die Regeneration des Pigmentes in den St¨abchen und die Wiederherstellung des Nachtsehens. Das St¨abchensehen ist wirksam bei Intensit¨ aten, die von Sternenlicht einer klaren, mondlosen Nacht bis zu Licht der Intensit¨ at des Viertelmondes reichen. Das Zapfensehen (die St¨abchen sind vollst¨andig

7.3 Funktion des Auges

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ausgebleicht und nicht mehr wirksam) reicht von Lichtintensit¨aten der D¨ammerung bis zum hellsten Sonnenlicht. Im Zwischenbereich zwischen Viertelmond und D¨ ammerung sind sowohl St¨ abchen als auch Zapfen aktiv. R¨ aumliches Sehen Die F¨ ahigkeit, die Tiefe oder Position von Gegenst¨anden im dreidimensionalen Raum abzusch¨ atzen, nennt man stereoskopisches Sehen. Beim Menschen kommen die beiden Sehnervstr¨ ange von den Augen im Gehirn in der N¨ahe des optischen Chiasmas zusammen. Vom optischen Chiasma f¨ uhren die Nervenfasern, die von der rechten H¨ alfte jedes Auges kommen, zur rechten Hirnh¨alfte. Nervenfasern aus der linken H¨ alfte jedes Auges enden in der linken H¨alfte des Gehirns. Obwohl also jede H¨ alfte des Gehirns ein Bild von beiden Augen erh¨alt, formt das Gehirn daraus ein einziges Bild. Die Verschmelzung dieser beiden getrennten Bilder durch das Gehirn in ein einziges Bild erlaubt das beid¨augige Sehen. Die geringen Unterschiede zwischen den Bildern des linken und des rechten Auges sind die Basis des r¨aumlichen Sehens beim Menschen. Es sei hier bemerkt, dass sogar das ein¨ augige Sehen eine gewisse Tiefenwahrnehmung erlaubt. Dies ist u ¨ber die Bildverarbeitung, die im Gehirn stattﬁndet (plausible Schlussfolgerungen), m¨oglich, d.h. man erkennt die Parallaxe, Abschattungen und die besondere Perspektive vertrauter Objekte, die r¨aumliches Sehen erm¨oglicht. Beid¨ augiges Sehen ohne Doppelsehen erreicht man, wenn die Bilder eines Objektes auf korrespondierende Punkte jeder Netzhaut der beiden Augen fallen. Betrachtet man einen Gegenstand oder eine Szene, so bewegen sich die Aug¨apfel in der Weise, dass die Bilder auf die Netzhautgrube jedes Auges fallen. Die meisten Menschen sind entweder links- oder rechts¨augig, was bedeutet, dass ein Auge das andere f¨ uhrt. Um zu bestimmen, welches das F¨ uhrungsauge ist, k¨onnen wir den folgenden einfachen Test durchf¨ uhren: Wir halten bei ausgestrecktem Arm den Daumen auf Augenh¨ ohe. Wir lassen beide Augen ge¨oﬀnet und richten den Daumen als Visierpunkt so aus, dass er vor der senkrechten Kante eines Bildes, einer T¨ ur, eines Fensters oder eines anderen Gegenstandes im Raum liegt. Wir lassen Arm und Daumen in dieser festen Position und schliessen jeweils ein Auge und halten das andere oﬀen. Das F¨ uhrungsauge ist das Auge, f¨ ur das in ge¨ oﬀnetem Zustand der Daumen auf der Visierlinie zum Referenzgegenstand hin bleibt. Sehsch¨ arfe Die Sehsch¨ arfe beschreibt die F¨ ahigkeit, Gegenst¨ande exakt (originalgetreu) zu sehen. Diese F¨ ahigkeit h¨ angt direkt vom Aufl¨osungsverm¨ogen ab. Man deﬁniert das Auﬂ¨osungsverm¨ogen des Auges als das Reziproke des minimalen Sehwinkels wmin , unter dem zwei Linien oder Punkte noch als getrennt erkannt werden.

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7 Optik des Auges

Das Aufl¨ osungsverm¨ ogen h¨ angt auch von der Gestalt der Objekte, dem Kontrast und der Beleuchtung ab. Im Normalfall werden zwei Punkte, die 75 µm voneinander entfernt sind, aus einem Abstand von 250 mm noch als getrennt erkannt. Dies entspricht ca. 4 Winkelminuten (4 ). In der Ferne sind es 0,5 bis 1 . Bei der Betrachtung von Nonien (Linien), z.B. auf einer Schieblehre, kann man noch ca. 6 bis 12 µm Unterschied in der Position der beiden Striche aus einem Abstand von 250 mm erkennen, das entspricht ca. 5 bis 10 Winkelsekunden osungsverm¨ ogen h¨ angt von der Form des Objektes ab, weil (5 − 10 ). Das Aufl¨ hierbei der Aufbau der Netzhaut (Mosaik) und die Bildverarbeitung des Gehirns mitwirken. Im Allgemeinen kann man sehr gut Asymmetrien feststellen, z.B. ob zwei Kreise konzentrisch oder nicht konzentrisch sind. Das Aufl¨osungsverm¨ogen des Auges oder die Sehsch¨ arfe l¨ asst sich auf eine weitere Weise messen. Den kleinsten Winkel, der durch Blockbuchstaben dargestellt wird, die von einer Tafel gelesen werden k¨ onnen, bezeichnet man als minimal lesbar“. Da die meisten von ” uns sich irgendwann einem Sehtest mit Hilfe von Sehtafeln unterziehen mussten, beschr¨ anken wir die Diskussion der Sehsch¨arfe hier auf die Bestimmung des Aufl¨ osungsverm¨ ogens aus den minimal lesbaren Pr¨ ufzeichen (Optotypen) auf Sehtafeln. Die Bestimmung der Sehsch¨ arfe wird nach der deutschen Fassung der Internationalen Normen DIN EN ISO 8596 und 8597 durchgef¨ uhrt (s. Deutsche Ophthalmologische Gesellschaft, www.dog.org/publikationen-sinnesphysiologie ur /quasiko kapitel1 102003.pdf). Der Teil 3 der DIN 58220 gilt weiterhin f¨ die gutachterliche Sehsch¨ arfebestimmung bei Fernblick. Das Normsehzeichen ist ausschließlich der Landolt-Ring in 8 Winkelstellungen. Die Leuchtdichte der Sehzeichen, des Pr¨ uﬀeldes, die Sch¨ arfe der Zeichen, die Abst¨ande der Zeichen voneinander und vom Rand des Pr¨ uﬀeldes, die Anzahl der Landoltringe mit geraden ¨ und schr¨ agen Oﬀnungen und die Pr¨ ufentfernungen sind festgelegt. Der Kehr¨ wert der schmalsten Oﬀnung im Landolt-Ring (gemessen in Bogenminuten des Sehwinkels), welche der Proband noch zweifelsfrei erkennen kann, ergibt den Zahlenwert der Sehsch¨ arfe (Visus). Menschen mit normalem Sehverm¨ogen k¨onnen im ¨ Durchschnitt noch Oﬀnungen, die bei gegebener Sehweite einem Sehwinkel von ¨ von 1 entsprechen, erkennen. Dies entspricht der Beobachtung einer Oﬀnung 1,46 mm aus 5 m Abstand und wird als ein Visus von 1 oder 100% deﬁniert. Eine ¨ Person, die die Oﬀnung nur unter einem Sehwinkel von 2 (1,46 mm aus 2,5 m Abstand) erkennen kann, hat einen Visus von 0,5 oder 50%. Abbildung 7.3 zeigt ¨ den normierten Landolt-Ring (Strichst¨ arke d, Oﬀnung d und Durchmesser 5d). Die historische Sehtafel wurde von dem holl¨andischen Augenarzt Hermann Snellen entwickelt. Nach Snellen sind die Buchstaben auf dieser so konstruiert, dass die Blockgr¨ oße eines Buchstabens, gemessen von oben nach unten oder von Seite zu Seite aus der Testentfernung unter einem Winkel von 5 gesehen wird. Die Linien innerhalb eines Buchstabens, so z.B. der vertikale Strich in dem Buchstaben T oder der horizontale Strich in dem Buchstaben H, sind alle so konstruiert,

7.3 Funktion des Auges

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dass die Breite jedes Striches aus der Testentfernung unter einem Winkel von 1 gesehen wird. Diese beiden Winkelwerte entnahm Snellen aus den Daten, die f¨ ur die Strichaufl¨ osung“ des Auges gelten. Nach Snellen kann das normale“ ” ” Auge gerade noch einen Buchstaben unter einem Sehwinkel von 5 aus einer Entfernung von 6 m aufl¨ osen (s. hierzu Abb. 7.4). In diesem Fall wird das Auge als normal“ bezeichnet, und die Sehsch¨arfe (Visus, Norm-Fernvisus) betr¨agt ” VF = 6 m/6 m = 100%.

Abb. 7.3. 3 Landolt-Ring mit Strichst¨ arke d

Auf der Sehtafel werden Snellen-Buchstaben verschiedener Gr¨oße benutzt, die der Messung der Sehsch¨ arfe dienen. Ein sehr großer Buchstabe ist f¨ ur ein normalsichtiges Auge unter einem Winkel von 5 bzw. 1 (Buchstabendetail) aus einer Testentfernung von z.B. 9 m lesbar. Die Gr¨ oße anderer Buchstaben wird proportional zur Testentfernung gew¨ ahlt. Sie erscheinen dann unter den Sehwinkeln von ur andere ausgew¨ ahlte Entfernungen, wie z.B. 60 m, 30 m, 24 m usw. 5 bzw. 1 f¨ bis zu 3 m. Wenn die Buchstaben von einer Testperson aus einer Testentfernung von 6 m (auch 5 m-Sehtafeln sind gebr¨ auchlich) gelesen werden, so misst man die Sehsch¨ arfe in Einheiten der Snellen-Br¨ uche. Der Z¨ahler des Snellen-Bruches bedeutet die festgelegte Testentfernung und der Nenner die Normentfernung, bei der der Buchstabe unter einem Winkel von 5 erscheint. Ist z.B. der große Blockbuchstabe E, der unter einem Winkel von 5 in einer Entfernung von 90 m erscheint, f¨ ur eine Testperson in 6 m Entfernung von dem Buchstaben gerade lesbar, so bezeichnet man die Sehsch¨ arfe als 6 m/90 m. Ein Snellen-Bruch von 6 m/90 m bedeutet, dass die Testperson schlecht sieht, da sie nur aus der kleinen Entfernung von 6 m das lesen kann, was eine normalsichtige Person aus einer Entfernung von 90 m scharf sieht. Die normale, durchschnittliche Sehsch¨arfe ist arfen von VF = 7,5 m/6 m = 1,25 (125%) VF =6 m/6 m = 1,0 (100%), aber Sehsch¨ sind m¨ oglich.

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7 Optik des Auges

Abb. 7.4. Konstruktion des Buchstabens H f¨ ur die Snellensche Sehtafel zur Messung der Sehsch¨ arfe. Der obere Teil der Abbildung zeigt einen Teil einer Sehtafel, die den Buchstaben H und einige andere Buchstaben enth¨ alt

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur Die paraxialen Abbildungsfehler bei der Lichtbrechung durch das Auge f¨ uhren zu drei gut bekannten Anomalien beim Sehen: Kurzsichtigkeit (My¨ opie), Ubersichtigkeit (Hyperopie, Weitsichtigkeit) und Astigmatismus. Die beiden ersten Defekte sind in der Regel auf einen abnorm geformten Augapfel zur¨ uckzuf¨ uhren, der in der axialen Richtung zu lang oder zu kurz ist. Jede Abweichung von der normalen L¨ ange bewirkt, dass die kombinierten brechenden Elemente, Hornhaut und Linse, kein scharfes Bild des Objektes auf der Netzhaut f¨ ur weit entfernte oder nahe Gegenst¨ ande erzeugen k¨onnen. Astigmatismus, der dritte Defekt, r¨ uhrt von einer gr¨ oßeren ungleichm¨aßigen oder asymmetrischen Kr¨ ummung von brechenden Fl¨ achen des Auges, oftmals der Hornhautoberﬂ¨ache, her. Der Astigmatismus ist auch beim normalsichtigen Auge bereits in leichter Form vorhanden. Dies macht eine gleichzeitige scharfe Abbildung von Lichtstrahlen, die auf das ganze Auge fallen, unm¨ oglich. Die Augenfehler treten einzeln oder auch in der Kombination mit Astigmatismus auf, sie sind jedoch durch entsprechende ¨ außere optische Elemente (Brille oder Kontaktlinsen) korrigierbar.

Abb. 7.5. Vergleich des normalsichtigen und kurzsichtigen Auges und optische Korrektur. In der Abbildung ist die Brechung durch die Augenlinse nicht gezeigt. Die Abk¨ urzungen haben folgende Bedeutung: N.N.P. = normaler Nahpunkt; M.N.P. = myoper Nahpunkt; M.F.P. = myoper Fernpunkt

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur 217

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7 Optik des Auges

Zur Beurteilung der Abweichung einer Fehlsichtigkeit von der Norm beziehen wir uns auf das normale“ Auge, das im linken Teil der Abb. 7.5 dargestellt ist. ” Durch die Akkommodation kann das normalsichtige Auge ein scharfes Abbild von Gegenst¨ anden erzeugen, die zwischen der Fernpunktweite aR , normalerweise aR = −∞ (vgl. Abb. 7.5 a) und der Nahpunktweite aP , normalerweise aP = −25 cm, f¨ ur einen jungen Erwachsenen liegen. Wenn das normale Auge auf das Unendliche fokussiert ist (entfernte Gegenst¨ande), so tritt paralleles Licht in das entspannte Auge ein und erzeugt ein scharfes Bild (s. Abb. 7.5 a). Wenn das Auge auf den Nahpunkt fokussiert ist, triﬀt divergentes Licht auf das angespannte Auge (vollst¨ andig akkommodiert) und erzeugt ein scharfes Bild auf der Netzhaut (s. Abb. 7.5 b). Kurzsichtigkeit (Myopie) Verglichen mit einem normalsichtigen Auge ist ein myopes oder kurzsichtiges Auge gew¨ ohnlich in axialer Richtung l¨anger, als die normale L¨ange von 22 mm. Als Folge hiervon (s. Abb. 7.5 c) erzeugt das kurzsichtige Auge ein scharfes Bild eines entfernten Objektes, das vor der Netzhaut liegt, und damit nat¨ urlich auf der Netzhaut ein unscharfes Bild. Mit dem nicht akkommodierten kurzsichtigen Auge werden erst dann scharfe Netzhautbilder erzeugt, wenn das Objekt vom Unendlichen aus die myope Fernpunktweite erreicht hat. Dies ist die gr¨oßte Weite, f¨ ur die scharfes Sehen (Abb. 7.5 d) m¨ oglich ist. Das myope Auge kann f¨ ur kleinere Gegenstandsweiten als die Fernpunktweite durch Akkommodation scharf sehen, sogar f¨ ur Punkte, die n¨ aher als der normale Nahpunkt (s. Abb. 7.5 e) sind. Da die Winkelvergr¨ oßerung mit der N¨ ahe zum Auge hin zunimmt, hat das myope Auge den Vorteil u berlegener Vergr¨ o ßerung f¨ ur Objekte, die nahe an das Auge gehalten ¨ werden. (Es kann daher f¨ ur einen Uhrmacher von Vorteil sein, wenn er kurzsichtig ist, zumindest w¨ ahrend der Arbeitsstunden.) Eine kurzsichtige Person hat einen kleineren Akkommodationsbereich (s. Tab.7.2) und im Vergleich mit einer normalsichtigen Person einen n¨ aheren Fernpunkt und einen n¨aheren Nahpunkt. Die ver¨ anderte Lage des Nahpunktes ist sicherlich ein Vorteil, der zu nahe liegende Fernpunkt ist jedoch ein entscheidender Nachteil und muss korrigiert werden. Die Kurzsichtigkeit wird durch Brillen mit Negativlinsen (Zerstreuungslinsen) korrigiert, die den myopen Fernpunkt in die normale Position (a = ∞) bringen. Abbildung 7.5 f zeigt die korrigierte Sicht von weit entfernten Gegenst¨anden. Wir erkennen, dass, soweit es die Optik des Auges selbst betriﬀt, das Licht von entfernten Objekten von dem eigenen myopen Fernpunkt auszugehen scheint. In ¨ ahnlicher Weise illustriert die Abb. 7.5 g die korrigierte Nahsicht f¨ ur partielle Akkommodation. Um einen Eindruck vom Brechwert der Negativlinsen zu bekommen, die man ben¨ otigt, um Kurzsichtigkeit zu korrigieren, betrachten wir das folgende Beispiel:

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur

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Beispiel 7.1 Brille zur Korrektur der Kurzsichtigkeit Eine kurzsichtige Person (ohne Astigmatismus) hat eine Fernpunktweite von aR = −100 cm und eine Nahpunktweite von aP = −15 cm. 1. Welche Korrekturlinsen sollte ein Augenarzt verschreiben oder ein Augenoptiker anpassen, um den myopen Fernpunkt ins Unendliche zu verschieben? 2. Kann die kurzsichtige Person mit dieser Korrektur ein Buch, das am normalen Nahpunkt mit aP = −25 cm gehalten wird, gut lesen? L¨ osung 1. Aus der Abb. 7.5 f und der Gleichung f¨ ur die d¨ unne Linse erhalten wir mit a → −∞ und a = −100 cm 1 1 1 − = a a f

oder

1 1 1 − = −100 cm ∞ f

Dies ergibt f = −100 cm. Die Linsen der Brille sollten deshalb eine urde eine Bildbrennweite von f = −100 cm haben. Der Augenarzt w¨ Brille mit einer Korrektur von −1,00 Dioptrien verschreiben. 2. Aus der Abb. 7.5 g und der Abbildungsleichung f¨ ur die d¨ unne Linse mit f = −100 cm und a = −25 cm erhalten wir die Bildweite a : 1 1 1 − = a −25 cm −100 cm Dies ergibt a = −20 cm. Wir sehen, dass das virtuelle Bild eines Gegenstandes, der bei a = −25 cm gehalten wird, durch die Brille in einem Abstand von 20 cm vor dem Auge erzeugt wird. Da die kurzsichtige Person Gegenst¨ ande bis zu einer Entfernung von a = −15 cm vom Auge scharf sehen kann, ist das virtuelle Bild des Gegenstandes, das durch die Linse bei a = −20 cm Entfernung erzeugt wird, ohne Schwierigkeiten zu sehen. Tats¨ achlich k¨ onnen wir aus der Abbildungsgleichung mit a = −15 cm (myope Nahpunktweite einer Person) und f = −100 cm die Objektweite a = −17,6 cm berechnen. Dies bedeutet, dass die kurzsichtige Person mit Brille selbst Objekte in einer Entfernung von 17,6 cm noch scharf sehen kann.

¨ Ubersichtigkeit (Hyperopie, Weitsichtigkeit) Das u urzer als das normalsich¨bersichtige oder hyperope Auge ist gew¨ohnlich k¨ tige Auge. W¨ ahrend das myope Auge zu viel Konvergenz in seinem optischen System hat und deswegen eine Zerstreuungslinse zur Korrektur der zu starken

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7 Optik des Auges

Brechung ben¨ otigt, hat das hyperope Auge eine zu geringe Konvergenz und erfordert eine Sammellinse, um die Brechung zu verst¨arken. Analog zu Abb. 7.5 zeigt Abb. 7.6 die Defekte und die Korrektur, die f¨ ur das weitsichtige Auge auftreten. In Abb. 7.6 a sehen wir das Licht von einem entfernten Objekt, das in das entspannte Auge eintritt und hinter der Netzhaut fokussiert wird, was ein verschwommenes Bild auf der Netzhaut ergibt. Abbildung 7.6 b zeigt, dass das hyperope Auge so akkommodieren kann, dass entfernte Gegenst¨ande scharf gesehen werden. In Abb. 7.6 c erkennt man, dass der hyperope Nahpunkt weiter entfernt als der normale Nahpunkt entfernt ist. Daraus ergibt sich, dass Gegenst¨ ande, die n¨ aher sind als der hyperope Nahpunkt, sogar bei voller Akkommodation nicht mehr scharf auf die Netzhaut abgebildet werden k¨onnen. Die Korrekturmaßnahme durch die Brille mit Positivlinsen ist in den Abb. 7.6 d und 7.6 e gezeigt. Das korrigierte Auge sieht jetzt entfernte Objekte ohne Akkommodation deutlicher und am normalen Nahpunkt beﬁndliche Gegenst¨ande sind bei voller Akkommodation ebenfalls scharf abgebildet. Wir wollen nun sehen, wie ein Augenarzt die Brechwerte der Brillenlinsen zur ¨ Korrektur der Ubersichtigkeit ermitteln k¨ onnte. ¨ Beispiel 7.2 Brille zur Korrektur der Ubersichtigkeit Die Nahpunktweite einer u ¨ bersichtigen Person wird zu aP,H = −150 cm bestimmt. Welche Korrekturlinsen werden ben¨otigt, damit diese Person Gegenst¨ ande in der normalen Nahpunktweite (aP = 25 cm) scharf erkennen kann? L¨ osung Aus Abb. 7.6 e und der Gleichung der d¨ unnen Linse mit a = −25 cm und a = −150 cm kann man die Bildbrennweite der Linse bestimmen: 1 1 1 − = −150 cm −25 cm f Die Berechnung ergibt f = 30 cm und hieraus den Brechwert D = 1/f = 3,3 m−1 . Mit einer Brille dieser St¨arke kann die weitsichtige Person nun auch Objekte in -25 cm Abstand vom Auge scharf sehen.

Astigmatismus Das astigmatische Auge hat in unterschiedlichen Meridianen eine ungleiche Kr¨ ummung der Oberﬂ¨ achen der brechenden Elemente, u ¨ berwiegend der Hornhaut. Der Kr¨ ummungsradius der Hornhautoberﬂ¨ache in zwei Ebenen, die die optische Achse enthalten, ist verschieden. Diese Asymmetrie f¨ uhrt zu verschiedenen Brechwerten und folglich zur Fokussierung des Lichtes in verschiedenen Entfernungen von der Netzhaut, dies bedeutet eine verschwommene Abbildung.

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur

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Abb. 7.6. Fehlfunktion des u ¨bersichtigen Auges und optische Korrektur. In der Abbildung ist die Brechung durch die Augenlinse nicht gezeigt. Die Abk¨ urzungen haben folgende Bedeutung: H.N.P. = hyperoper Nahpunkt, N.N.P. = normaler Nahpunkt

Wenn die zwei Ebenen orthogonal zueinander sind, so nennt man diesen Defekt regul¨aren Astigmatismus, eine Fehlsichtigkeit, die durch geeignete Brillen korrigiert werden kann. Wenn die beiden Ebenen nicht orthogonal sind, eine seltene Fehlsichtigkeit, die man irregul¨aren Astigmatismus nennt, ist diese Anomalie nicht einfach zu korrigieren. Der regul¨ are Astigmatismus wird durch das Anbringen eines Zylinderschliﬀs auf der r¨ uckseitigen Fl¨ache der entsprechenden Brillenlinse korrigiert. Nehmen wir z.B. an, dass der Brechwert in der vertikalen Ebene der Hornhaut um 1 Dioptrie gr¨ oßer ist als der Brechwert in der horizontalen Ebene. Dies bedeutet, dass die Hornhautoberﬂ¨ache st¨arker in der vertikalen Ebene gekr¨ ummt ist und dass vertikal orientierte Details eines Objektes n¨aher an der Hornhaut fokussiert werden als horizontal orientierte. Betrachten wir eine zylindrische Oberﬂ¨ ache mit einem Brechwert von −1 Dioptrie in der vertikalen“ Ebene. Da ein Zylinder keine Kr¨ ummung in Achsenrich” tung hat, weist diese Oberﬂ¨ ache keinen Brechwert in der horizontalen Ebene

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7 Optik des Auges

auf. Wenn man eine solche Oberﬂ¨ ache bei der Brillenlinse verwendete wird diese Linse die Fehlsichtigkeit, die durch die Hornhaut erzeugt wird, kompensieren und die Brechwerte in beiden Ebenen angleichen. Der korrigierte Astigmatisur die meisten von uns tritt mus erzeugt eine anamorphotische Abbildung 1 . F¨ ¨ Sehunsch¨ arfe durch Astigmatismus zusammen mit Kurzsichtigkeit oder Ubersichtigkeit auf. Die Kurzsichtigkeit selbst bewirkt ein unscharfes Bild von entfernten Objekten. Der Astigmatismus verst¨ arkt das Problem, indem er eine zus¨atzliche Unsch¨ arfe in einer Ebene hinzuf¨ ugt. Die Korrektur beider Fehlsichtigkeiten wird durch sph¨ arisch/zylindrische Linsen bewirkt. Die sph¨arische Oberﬂ¨ache dient zur Korrektur der Kurzsichtigkeit und die zylindrische zur Korrektur des Astigmatismus. Wenn Augen¨ arzte eine Brille zur Korrektur des myopen oder hyperopen Astigmatismus verschreiben, geben sie in der Regel drei Zahlen an. F¨ ur den myopen Astigmatismus k¨ onnten die drei Zahlen wie folgt lauten: −2,00; −1,00; 180◦ . F¨ ur den hyperopen Astigmatismus k¨ onnte die Brillenverschreibung so aussehen: +2,00; −1,50; 180◦ . Die erste Zahl bezeichnet den Brechwert der Kugelﬂ¨ache in den Einheiten dpt (m−1 ), die zweite Zahl den Brechwert der Zylinderﬂ¨ache in dpt und die dritte Zahl die Orientierung der Zylinderachse, wobei speziﬁziert wird, ob die Achse des Zylinders vertikal, horizontal oder dazwischen liegt. In der optometrischen Notation wird die horizontale Achse als 180◦ -Achse bezeichnet, oder einfach 180◦“ ” und die vertikale Achse als 90◦“. ” Abbildung 7.7 zeigt die optischen Bedingungen, die zu den Verschreibungen f¨ ur den myopen und hyperopen Astigmatismus geh¨oren. F¨ ur den Fall des myopen Astigmatismus, Abb. 7.7 a, ist die Hornhautoberﬂ¨ache oﬀensichtlich weniger stark in der horizontalen Ebene (Brechwert = 45,00 dpt) gekr¨ ummt als in der vertikalen (Brechwert = 46,00 dpt). Die myope Korrektur, die immer in der Ebene des kleinsten Brechwertes gemessen wird, betr¨agt in diesem Fall -2,00 dpt in der horizontalen Ebene. Die astigmatische Korrektur durch einen Zylinder mit horizontaler Achse (180◦ ) wird zu -1,00 dpt bestimmt. Abbildung 7.7 b zeigt die entsprechende Verschreibung f¨ ur den hyperopen Astigmatismus. Wir sehen, dass eine sph¨ arische Korrektur von 2,00 dpt ben¨otigt wird, um die Hyperopie zu beseitigen und eine zylindrische Korrektur von −1,50 dpt entlang der vertikalen Ebene (180◦ ) eingesetzt wird, um die Brechwerte in den beiden orthogonalen Ebenen anzugleichen. 1

Bei der anamorphotischen Abbildung fallen die bildseitigen Brennweiten zusammen. Die Brennweiten und damit die Lagen der Hauptebenen, sowie die Abbildungsmaßst¨ abe in Meridional- und Sagittalschnitt sind verschieden

7.5 Lasertherapie

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Abb. 7.7. Beispiel f¨ ur myopen und hyperopen Astigmatismus und die korrigierenden Brillenverschreibungen. a) Messung in der 180◦ -Ebene ergibt −2,00 dpt Myopie. Die Brillenverschreibung ist −2,00; −1,00; 180◦ . b) Messung in der 180◦ -Meridianebene ergibt +2,00 dpt Hyperopie. Die Brillenverschreibung ist +2,00 −1,50; 180◦ . Wenn der entsprechende Zylinderschliﬀ auf der R¨ uckseite des Brillenglases angebracht wird, reduziert die Korrektur von −1,00 dpt den Brechwert in der vertikalen Ebene von 46,00 dpt auf 45,00 dpt, macht deshalb die Brechwerte in den beiden Ebenen gleich und beseitigt den Hornhaut-Astigmatismus

7.5 Lasertherapie Nicht alle Fehlsichtigkeiten k¨ onnen mit den geeigneten Brillengl¨asern optisch korrigiert werden. Es gibt organische Defekte, die sogar eine Operation erfordern. Als ausgezeichnetes Hilfsmittel im Operationsraum hat sich der Laser (s. Kap. 21, 23) bew¨ ahrt und er wird bei der Behandlung von Augendefekten erfolgreich eingesetzt. Gepulste und kontinuierliche Laserstrahlen werden zur Zeit verwendet, um Glaukome (gr¨ uner Star), Netzhautblutungen, Degenerationen der Macula (gelber Fleck auf Netzhaut), Netzhautdefekte und tr¨ ube intraokulare Membranen zu behandeln. Der gr¨ une Star, eine Krankheit des Auges, die mit erh¨ohtem Fl¨ ussigkeitsdruck innerhalb des Auges einhergeht und allm¨ahlich zur Blindheit f¨ uhrt, wird mit dem Argon-Ionenlaser und dem Neodym-Yttrium-Aluminium-Granat(Nd:YAG) Laser behandelt. Die Behandlung besteht in der Reparatur der Defekte im Auge, die den erh¨ ohten Druck verursachen. ¨ Man benutzt den Laser, um verstopfte Oﬀnungen zu ¨oﬀnen oder um neue Kan¨ ale f¨ ur besseren Fl¨ ussigkeitsaustausch im Auge herzustellen. Der Laser wird auch f¨ ur die Behandlung der Retinopathia diabetica, einer Ursache f¨ ur Blindheit, eingesetzt. Um die organischen Fehler zu beheben, setzt man die thermische Energie des Laserstrahls ein, um Tausende von kleinen Brandwunden an der R¨ uckseite der Netzhaut anzubringen. Man verhindert dadurch das gef¨ahrliche Wachstum oder den Riss von neuen nicht ben¨ otigten Blutgef¨aßen (Neovaskularisation). Man benutzt die thermische Wirkung des Laserstrahls zur Koagulation der Netzhaut

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7 Optik des Auges

oder im Bereich von Netzhautl¨ ochern, um eine Netzhautabl¨osung zu verhindern. Diese Methode war die erste erfolgreiche Anwendung des Lasers in der klinischen Medizin. Der Excimer-Laser, der im tiefen Ultraviolett (λ ≈ 200 nm) Strahlung liefert, bietet technische Vorteile, um die Hornhaut in ihrer Form zu ver¨andern, wie z.B. zur Korrektur der Myopie (radiale Keratotomie). Der Nd:YAG-Laser wird am h¨ auﬁgsten in der Augentherapie eingesetzt, wobei z.B. interne Membranen zerst¨ ort werden. Nach der Operation des grauen Stars – Entfernung der Katarakt-behafteten Linse und Ersatz durch ein Plastikimplantat – kommt es vor, dass bestimmte Membranen, die die neue Linse an ihrem Platz halten, undurchsichtig werden und damit das Licht entlang der Sehachse blockieren. In einem Korrekturverfahren wird ein hochenergetischer Laserstrahl auf einen Punkt nahe der opaken Membran fokussiert. Aufgrund der enormen Leistungsdichten (Intensit¨ aten) im Laserstrahl erfolgt eine Ionisation des optischen Mediums, dem eine ¨ akustische Stoßwelle folgt. Der Uberdruck, der hierbei entsteht, zerreißt die Membran und gestattet den ungehinderten Durchgang des Lichtes, die Sicht ist wieder hergestellt. Die radiale Keratotomie und die Hinterkammer-Chirurgie werden in den folgenden Abschnitten ausf¨ uhrlicher behandelt. Radiale Keratotomie Bei der radialen Keratotomie f¨ uhrt man radiale Schnitte an der Hornhaut eines zu großen myopen Augapfels (s. Abb. 7.8) aus. Nachdem die Schnitte verheilt sind, wird die Hornhaut ﬂacher. Hierdurch l¨asst sich wieder normale oder fast normale Sicht des Auges herstellen. Dieses Verfahren, das nur von einem erfahrenen Augenarzt durchgef¨ uhrt werden kann, wurde 1972 in der Sowjetunion entdeckt. Man erz¨ ahlt, dass ein ziemlich kurzsichtiger Sowjetb¨ urger namens Boris Petrow in eine Keilerei auf einem Schulhof in Moskau verwickelt war. Dabei traf ein kr¨ aftiger Faustschlag seine dicken Brillengl¨aser und zerbrach diese in viele Teile. Einige dieser Glasst¨ ucke ritzten tats¨achlich die Hornhaut von Boris in einem regelm¨ aßigem radialen Muster, ohne jedoch die Hornhaut zu durchdringen. Der sowjetische Augenarzt N. Fjodorow, der den jungen Mann behandelte, hatte nicht viel Hoﬀnung, dass das Auge wieder heilen w¨ urde, obwohl die Schnitte nur oberﬂ¨ achlich waren. Erstaunlicherweise heilte jedoch die Hornhautoberﬂ¨ache mit allen Schrammen und wurde dabei ﬂacher, was das Verschwinden der Myopie bedeutete. Der junge Mann sah ohne Brille besser als jemals zuvor. Fjodorow erkannte die Bedeutung dessen, was er beobachtete und entschied sich, unter kontrollierten Bedingungen das zu wiederholen, was die Natur und eine Faust so unkontrolliert vollbracht hatten. Diese radiale Keratotomie wird nun mit einem speziellen Skalpell durchgef¨ uhrt. Die kurzfristigen Resultate waren sehr erfreulich. Ob die Operationen jedoch langfristig erfolgreich sind, muss sich im Laufe der Zeit erweisen. Es kommt vor, dass statt der Myopie nun Astigmatismus in verst¨ arkter Form auftritt.

7.5 Lasertherapie

225

¨ Abb. 7.8. Beseitigung der Myopie durch Anderung der Kr¨ ummung der Hornhaut mittels radialer Keratotomie. a) Frontansicht mit radialen Schnitten, b) Seitenansicht vor und nach den Schnitten

Heute wird bei dieser Methode ein Laser eingesetzt. Da die Hornhaut reichlich Wasser enth¨ alt, hat sie eine sehr große Absorptionskonstante f¨ ur Infrarotstrahlung bei 10,6 µm (CO2 -Laser) und ultraviolette Strahlung unterhalb 400 nm. Abbildung 7.9 gibt die relative Absorption von Laserlicht f¨ ur einige Wellenl¨angen beim Durchgang durch eine Schicht von 1 mm Dicke aus Wasser (gestrichelte Kurve) oder H¨ amoglobin (durchgezogene Kurve) an. Wir erkennen, dass bei 10,6 µm der Absorptionsgrad fast 100% betr¨agt, was bedeutet, dass die CO2 Laserstrahlung durch die Hornhaut stark absorbiert wird. Wir sehen auch, dass die Strahlung des Argonionen-Lasers oder des frequenzverdoppelten Nd:YAGLasers bei λ ≈ 500 nm im H¨ amoglobin stark absorbiert wird, was diese beiden zu ausgezeichneten Kandidaten f¨ ur die Photokoagulation macht. Der HochleistungsLaserstrahl wird fast vollst¨ andig durch das Hornhautgewebe absorbiert, kerbt die Hornhaut und erzeugt einen sauberen Schnitt oder eine trogf¨ormige Mulde, die ungef¨ ahr von der Breite des Laserstrahls ist. Das Laserskalpell“, das bei der ra” dialen Keratotomie benutzt wird, hat eine Breite von 50 bis 100 µm. CO2 -Laser kann man bis auf 50 µm fokussieren und Excimer-Laser sogar auf noch kleinere Durchmesser. Abbildung 7.10 zeigt einen histologischen Schnitt (100-fache Vergr¨ oßerung) eines Laserschnittes, der mit einem CO2 -Laser in der Hornhaut eines Kuhauges durchgef¨ uhrt wurde. Die mittlere Leistung des Laserstrahles betrug 0,5 W, dieser wurde auf einen Brennﬂeck von 50 µm fokussiert. In 20 Durchg¨angen f¨ uhrte der Laser einen Schnitt von ungef¨ ahr 60 µm Breite und 400 µm Tiefe aus.

226

7 Optik des Auges

Abb. 7.9. Absorption des Laserlichtes in Augengewebe. Die prozentuale Absorption ist f¨ ur eine Schichtdicke von 1 mm Wasser (gestrichelte Kurve) und 1 mm H¨ amoglobin (durchgezogene Kurve) angegeben. Wir erkennen, dass die Hornhaut bei 10,6 µm fast vollst¨ andig undurchl¨ assig und bei 1,06 µm gut durchl¨ assig ist

Wenn man die Breite des Laserstrahles geeignet einstellt und die Strahlleistung kontrolliert, sollte es m¨ oglich sein, saubere radiale Schnitte der gew¨ unschten Breite und Tiefe in der Hornhautoberﬂ¨ ache durchzuf¨ uhren. Ein solcher Vorgang ist mittels Mikroprozessoren steuerbar und w¨ urde genau die Anzahl und Art der Schnitte produzieren, die notwendig w¨ aren, die Myopie zu beseitigen, ohne einen Astigmatismus zu erzeugen. Mit dem Excimer-Laser kann man mittels Laserablation bei geringer thermischer Einwirkung die Hornhaut direkt abtragen. Bei der Ablation wird die chemische Bindung durch die hohe Energie des Photons (λ ≈ 200 nm) direkt aufgebrochen. Das Material wird nicht durch Zufuhr von W¨armeenergie verdampft. Schwachpunkt der Behandlung ist die genaue Vermessung des Brechwertes des Auges vor der Operation und die daraus folgende Art und Weise der Form¨ande-

7.5 Lasertherapie

227

Abb. 7.10. 100 fache Vergr¨ oßerung eines Laserschnittes in der Hornhaut eines Kuhauges. Die kleinste Skalenteilung betr¨ agt 5 µm

rung, die durchzuf¨ uhren ist. Insgesamt gesehen ergibt sich jedoch ein Hoﬀnungsschimmer f¨ ur Personen mit Kurzsichtigkeit. Vielleicht ist in einigen Jahren eine permanente Korrektur m¨ oglich. Hinterkammer-Chirurgie In einem anderen Verfahren, das man Hinterkammer-Chirurgie nennt, wird ein Nd:YAG-Laser benutzt, um undurchsichtige Membranen auf der optischen Achse des Auges, die nach einer Star-Operation“ und Ersatz der nat¨ urlichen Augenlin” se durch ein Kunststoﬃmplantat verbleiben k¨onnen, zu zerreissen. Der gepulste Nd:YAG-Laser emittiert einen Laserstrahl von λ = 1,06 µm, der durch die Hornhaut, den Glask¨ orper und die Linse praktisch ohne Absorption hindurchgeht (s. Abb. 7.9, geringe Absorption bei 1,06 µm). Der intensive Laserstrahl dringt in den vorderen Teil des Auges ein und wird unmittelbar hinter der Linse scharf fokussiert, ca. 4 mm von der Frontﬂ¨ ache der Hornhaut entfernt (s. Abb. 7.11). An dieser Stelle beﬁndet sich die tr¨ ube (opake) Membran, der hintere Teil der Kapsel, die vorher die tr¨ ube Linse enthielt und in dem sich nun eine Kunststoﬀlinse beﬁndet. Vor Einsatz der Laserchirurgie wurde die opake Membran mit chirurgischen Instrumenten entfernt. Zus¨ atzlich zu dem Trauma, das mit der Operation verbunden ist, war diese Art der Chirurgie des Augapfels immer mit dem Risiko des Eindringens von Fremdk¨ orpern und der erh¨ohten Gefahr von Infektionen verbunden. Diese Nachteile vermeidet man bei der Nd:YAG-Laser-Chirurgie, die ambulant am Patienten in einigen Minuten durchgef¨ uhrt wird. Die nicht invasive Laseroperation wurde durch D. Aron-Rosa in Paris und durch F. Frankhauser in Bern begr¨ undet. Die Hinterkammer-Chirurgie, wie sie zur Zeit durchgef¨ uhrt wird, benutzt einen fokussierten, kurzen Puls der 1,06 µm Laserstrahlung. Der

228

7 Optik des Auges

Abb. 7.11. Seitenansicht eines Nd:YAG-Laserstrahls, der auf die Linsenkapsel fokussiert ist

Puls wird von einem g¨ utegeschalteten Nd:YAG-Laser abgegeben und hat eine Energie von 1 bis 4 mJ und eine Pulsl¨ ange von einigen Nanosekunden. Bei einem modengekoppelten Laser ist die Pulsenergie ungef¨ahr die gleiche, aber die Pulsl¨ ange ist sehr viel k¨ urzer. Sie liegt ungef¨ahr im Bereich von Picosekunden. Bei solch kurzen Zeiten erreicht die Laserleistung sogar f¨ ur Pulsenergien von einigen mJ den Bereich von Megawatt oder h¨ oher. Beispiel 7.3 Bestrahlungsst¨ arken bei Laseroperationen Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke Ee (Leistungsdichte), die von einem Nd:YAG-Laser-Puls der Energie 4 mJ und der Pulsl¨ange 1 ns erzeugt wird, wenn der Puls auf einen kleinen Fleck von 30 µm Durchmesser fokussiert wird. L¨ osung Die L¨ osung berechnet sich wie folgt: P 4 · 10−3 J mit P = = 4 · 106 W A 1 · 10−9 s 3,14 · (30 · 10−6 )2 m2 πD2 ≈ = 7,065 · 10−10 m2 A= 4 4 W 4 · 106 W Ee = = 5,7 · 1015 2 −10 2 7,065 · 10 m m

Ee =

Das Beispiel zeigt, dass hohe Leistungen, die auf kleine Brennﬂecke von 5 − 50 µm Durchmesser fokussiert werden, Bestrahlungsst¨arken oder Leistungsdichten von 1016 W/m2 erzeugen. Hierbei treten sehr hohe elektrische Feldst¨arken auf, die zun¨ achst einen Durchschlag (Ionisation) im optischen Gewebe und die Bildung eines Plasmas bewirken. Die explosive Ausdehnung des Plasmas erzeugt

7.5 Lasertherapie

229

Abb. 7.12. Fokussierung des Laserlichtes zur Zerst¨ orung einer Membran bei der Linsenkapsel-Chirurgie. Je gr¨ oßer der Konvergenzwinkel des Strahles ist (ca. 17◦ , begrenzt durch die Pupillenapertur), desto gr¨ oßer ist der Strahldivergenzwinkel und um so geringer die Auswirkung der Laserstrahlung auf die Netzhaut. Die Außenbegrenzung des Laserstrahls ver¨ andert sich aufgrund der Beugung (s. Kap. 21)

eine starke Stoßwelle, die radial nach außen l¨auft und mechanisch die naheliegenden Membranen zerreißt. Weder die Laserstrahlung, die auf die Netzhaut triﬀt, noch die sich ausdehnende Stoßwelle richtet im Auge Schaden an (s. Abb. 7.12). Der Laserstrahl, der auf die Fokussierungslinse zul¨auft, ist durch vorgeschaltete Optik so aufgeweitet worden, dass die Strahldivergenz sehr klein ist (der Strahl ist hochkollimiert, s. Kap. 21). Aufgrund dieser experimentellen Anordnung konvergiert der Strahl in einem Punkt nahe der Membran, wobei er die Stoßwelle erzeugt, die schließlich zur mechanischen Zerst¨orung der Membran f¨ uhrt.

¨ Ubungen 7.1 Aus Tabelle 7.1 l¨ asst sich entnehmen, dass der Kr¨ ummungsradius der Hornhaut des Auges 8 mm betr¨ agt. Nehmen Sie die Hornhaut als eine d¨ unne Grenzﬂ¨ ache (deren eigene Brechung vernachl¨ assigt werden kann) an, die auf einer Seite von Luft und auf der anderen Seite von einem Glask¨ orper begrenzt wird. Bestimmen Sie den Brechwert der Hornhautgrenzﬂ¨ ache. 7.2 Betrachten Sie die nicht akkommodierte Linse des Auges als eine isolierte Einheit, die die Kr¨ ummungsradien und Brechzahlen des Prinzipauges“ in Tabelle 7.1 hat. ” a) Berechnen Sie die Bildbrennweite und den Brechwert f¨ ur eine d¨ unne Linse (= Augenlinse) in Luft.

230

7 Optik des Auges b) Berechnen Sie die Bildbrennweite und den Brechwert f¨ ur die tats¨ achliche Umgebung der Linse, die auf beiden Seiten von einer Fl¨ ussigkeit mit einer Brechzahl von 1,33 umgeben ist. Rechnen Sie in der N¨ aherung der d¨ unnen Linse. c) Berechnen Sie die Bildbrennweite und den Brechwert f¨ ur die Augenlinse, indem Sie diese als dicke Linse der Dicke 3,6 mm behandeln. (Benutzen Sie die Matrixmethode aus Kap. 4.)

7.3 Entnehmen Sie aus Tabelle 7.1 und Abb. 7.2 die Werte f¨ ur die Brechzahl und die Abst¨ ande der Elemente des nicht akkommodierten Prinzipauges. Bestimmen Sie die Entfernung des Bildes von der Hornhaut f¨ ur: a) einen Gegenstand im Unendlichen, b) einen Gegenstand in der Entfernung von a = −25 cm vom Auge. Berechnen Sie die Abbildung durch sph¨ arische Oberﬂ¨ achen in einer dreistuﬁgen ¨ Kette von Brechungen. Nehmen Sie f¨ ur den Teil b) dieser Ubung an, dass das voll akkommodierte Auge folgende Daten hat: Die Frontﬂ¨ ache der Linse ist st¨ arker gekr¨ ummt, Kr¨ ummungsradius +6 mm (statt vorher + 10 mm), die r¨ uckw¨ artige Oberﬂ¨ ache beh¨ alt den Kr¨ ummungsradius von −6 mm. Dies bewirkt, dass die Scheiteldicke der Linse auf 4 mm anw¨ achst und die Entfernung von der Hornhaut zur Frontoberﬂ¨ ache der Linse auf 3,2 mm verk¨ urzt wird. 7.4 Verwenden Sie die Matrixmethode, um die Systemmatrix f¨ ur das nicht akkommodierte Prinzipauge“ aus Tabelle 7.1 und Abb. 7.2 zu ﬁnden. ” a) Bestimmen Sie die Matrixelemente der Systemmatrix, wobei sich das System von der ersten brechenden Fl¨ ache der Hornhaut bis zur letzten Brechung an der zweiten Linsenﬂ¨ ache erstreckt. b) Bestimmen Sie aus den Matrixelementen die objektseitigen und bildseitigen Brennpunkte und die entsprechenden Hauptpunkte, jeweils relativ zur Hornhautoberﬂ¨ ache. Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Entfernungen, die in Abb. 7.2 angegeben sind. 7.5 Stellen Sie eine Snellensche Sehtafel f¨ ur eine Testentfernung von 1,50 m her. Die Tafel soll Reihen von Buchstaben enthalten, die Sehsch¨ arfen von 6/90, 6/30, 6/18, oße der Blockbuchstaben und die Breite 6/6 und 6/5 testet. Bestimmen Sie die Gr¨ der Buchstabenstriche (in cm) f¨ ur jede Reihe der Buchstaben. 7.6 Eine weitsichtige Person hat keinen astigmatischen Defekt am Auge und eine Nahpunktweite von aP,W = −125 cm. Die Korrektur durch eine Brille erfordert, dass diese Person Objekte in der normalen Nahpunktweite aP = −25 cm sieht. a) Wie groß m¨ ussen die Brechwerte der Korrekturlinsen der Brille sein? b) Kann die Person bei Benutzung der Brille ein weit entferntes Objekt auf die Netzhaut fokussieren? 7.7 Eine Person hat eine Fernpunktweite von aR = −50 cm und eine Nahpunktweite von aP = −15 cm. Wie groß muss der Brechwert der Linsen einer Brille sein, um die korrekte Fernpunktweite zu ergeben? Wo liegt der Nahpunktweite, wenn die Brille benutzt wird? 7.8 Bestimmen Sie aus Abb. 7.9, welche Laser f¨ ur folgende Operationen geeignet sind: a) Photokoagulation von blutenden Gef¨ aßen auf der Netzhaut. b) Thermisches Schneiden von Hornhautschichten.

7.5 Lasertherapie

231

c) Fokussierung von Licht im Glask¨ orper ohne Absorption w¨ ahrend des Durchgangs durch die Hornhaut, die Linse und die zugeh¨ origen Blutgef¨ aße. 7.9 Entnehmen Sie aus den folgenden Brillenverschreibungen, welche Augenfehler vorliegen: a) −1,5, −1,5, Achse 180◦ b) −2,0 c) +2,0 d) +2,0, −1,5, Achse 180◦ 7.10 In Abb. 7.10 ist ein CO2 -Laser gezeigt, mit dem Einschnitte in die Hornhaut ausgef¨ uhrt werden. Der Laser hat eine mittlere Leistung von 5 W und die Strahldivergenz (voller Strahl¨ oﬀnungswinkel) betr¨ agt 2,2 mrad. Nach dem Austritt aus dem Lasergeh¨ ause wird der Strahl durch einen 5×-Strahlaufweiter geschickt und dann durch eine Germaniumlinse der Bildbrennweite 3,3 cm auf die Hornhaut fokussiert. a) Warum benutzt man Germanium und nicht Glas als Linsenmaterial? b) In Kapitel 21.4 wird die Fokussierbarkeit des Lasers diskutiert und gezeigt, dass die Strahldivergenz des aufgeweiteten Laserstrahles gleich der Divergenz des einfallenden Laserstrahles dividiert durch den Strahlaufweitungsfaktor ist. Wie groß ist die Strahldivergenz des CO2 -Laserstrahles nach dem Durchgang durch den 5×-Strahlaufweiter? c) Bestimmen Sie den Durchmesser d des Brennpunktes auf der Hornhaut. Benutzen Sie die N¨ aherungsformel d = f 2θ, wobei f die Bildbrennweite und θ der halbe Strahl¨ oﬀnungswinkel des aufgeweiteten Strahles ist. (s. Kap. 21.4 zur Erl¨ auterung der Gleichung d = f 2θ). d) Wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke des fokussierten CO2 -Laserstrahls auf der Hornhaut? 7.11 F¨ ur eine Vorderkammeroperation, wie sie in diesem Kapitel beschrieben wurde, sind folgende Daten typisch: Laser: Nd:YAG Wellenl¨ ange: 1,06 µm Pulsl¨ ange: 10 ns Energie pro Puls: 10 mJ Strahldivergenz am Ort der fokussierenden Linse: 0,1 mrad Brechwert der fokussierenden Linse: 20 dpt. a) Wie groß ist die mittlere Leistung pro Puls? b) Wie groß ist der Durchmesser des fokussierten Nd:YAG-Laserstrahls auf der ¨ Membran im Inneren des Auges? (s. Ubung 7.10). c) Das einfallende Licht triﬀt ohne Verluste auf die Membran, wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke auf dieser? 7.12 Wenn man mit dem Laser arbeitet, wird man ermahnt, nie in den Strahl zu ” blicken“. Bei der Arbeit mit einem Helium-Neon-Laser (Milliwatt-Leistung) ist man versucht, diese Vorsichtsmaßnahme zu vernachl¨ assigen. Sogar wenn die Leistung im Laserstrahl gering ist, kann die Abbildung durch das Auge doch den Strahl so auf die Oberﬂ¨ ache der Netzhaut fokussieren, dass eine hohe Bestrahlungsst¨ arke auftritt. Um sich diesen Eﬀekt klar zu machen, betrachten wir einen 4 mW He-Ne-Laser, der einen kollimierten Strahl von 7 mm Durchmesser bei 632,8 nm abgibt, wobei die Strahldivergenz 1,5 mrad betr¨ agt.

232

7 Optik des Auges a) Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke unmittelbar nach dem Austritt aus dem Lasergeh¨ ause. b) Nehmen Sie an, dass der Strahl vollst¨ andig ein dunkel“ adaptiertes Auge triﬀt ” (Pupillendurchmesser 7 mm), das in den Strahl blickt und auf Unendlich akkommodiert ist. N¨ ahern Sie das Auge als eine einfache d¨ unne Linse von 17 mm Bildbrennweite (in Luft) und bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke im Brenn¨ ﬂeck auf der Netzhautoberﬂ¨ ache. (Benutzen Sie Ubung 7.10 c, um die Gr¨ oße des Brennﬂecks zu berechnen.) c) Um welchen Faktor erh¨ oht die Fokussierung durch das Auge die Bestrahlungsst¨ arke? Wie denken Sie u ¨ ber die Ernsthaftigkeit der Ermahnung, nicht in den Strahl zu blicken?

8 Wellengleichungen

Einleitung In diesem Kapitel wird zun¨ achst die mathematische Beschreibung der allgemeinen Wellenausbreitung formuliert und dann auf den wichtigen Spezialfall der harmonischen Welle eingegangen. Daran anschließend werden harmonische elektromagnetische (Licht-)Wellen und ihr Energietransport untersucht.

8.1 Eindimensionale Wellengleichung Die allgemeinste mathematische Beschreibung einer dispersionsfreien laufenden Welle und die ihr zugrunde liegende Diﬀerentialgleichung l¨asst sich auf folgende Weise bestimmen: Man betrachtet zun¨ achst einen eindimensionalen Wellenpuls beliebiger Form, der in einem Koordinatensystem O (s , x ) durch die Auslenkung s = f (x ) (s. Abb. 8.1 a) beschrieben wird. Dieses O -System bewege sich zusammen mit dem Puls mit der Geschwindigkeit c relativ zu einem ruhenden System O entlang der x-Achse nach rechts (s. Abb. 8.1 b). Bei dieser Bewegung soll die Form des Pulses unge¨ andert bleiben. Dann kann man einen beliebigen Punkt P entweder durch Angabe der Koordinate x im System O oder durch Angabe von

234

8 Wellengleichungen

x in O festlegen, wobei x = x − ct. Die s-Koordinaten sind identisch. Damit kann der Puls vom Standpunkt des ruhenden Systems O durch s = s = f (x ) = f (x − ct) beschrieben werden. Bei Bewegung nach links ¨andert sich das Vorzeichen von c ur t = 0) f¨ ur die und wir erhalten (mit der Anfangsbedingung x = x f¨ laufende Welle

s = f (x ± ct)

− rechtslaufende Welle: positive x-Richtung

(8.1)

+ linkslaufende Welle: negative x-Richtung

Die ursp¨ ungliche beliebige Form des Pulses wird nicht ver¨andert, sondern in der Zeit t lediglich um ct entlang der x-Achse verschoben. Die Wellenfunktion f ist beliebig, so dass z.B. s = A sin(x − ct),

s = A · (x + ct)2

und s = A e(x−ct)

laufende Wellen darstellen. Nur die erste Welle ist jedoch periodisch.

Abb. 8.1. Ausbreitung eines Wellenpulses. a) Der Wellenpuls erscheint im mitbewegten O -System station¨ ar. b) Im ruhenden O-System bewegt er sich mit der Geschwindigkeit c

8.2 Harmonische Wellen

235

Als N¨ achstes soll die partielle Diﬀerentialgleichung aufgestellt werden, der die durch (8.1) beschriebenen Wellenfunktionen gen¨ ugen. Wir schreiben s = f (x ) mit

x = x ± ct

∂x so dass bei partieller Diﬀerentiation ∂x ∂x = 1 und ∂t = ±c. Mit Hilfe der Kettenregel erh¨ alt man hiermit f¨ ur die 1. Ableitung nach der Zeit t:

∂f ∂x ∂f ∂s = = ±c ∂t ∂x ∂t ∂x und f¨ ur die 2. Ableitung: ∂ 2f ∂ ∂s ∂s ∂x ∂f ∂ ∂ ∂ 2s = ±c (±c) = c2 2 = = 2 ∂t ∂t ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x Bei Ableitung nach dem Ort ist ∂ 2f ∂ 2s = ∂x2 ∂x 2 Gleichsetzen der beiden Ergebnisse f¨ ur Wellengleichung

∂ 2f ∂x2

f¨ uhrt dann zu der eindimensionalen

∂ 2s 1 ∂ 2s = ∂x2 c2 ∂t2

(8.2)

Jede – auch nach ihrer physikalischen Natur – beliebige Welle der Form (8.1) muss ullen. Zur Beantwortung mithin auch die Wellen(diﬀerential)gleichung1 (8.2) erf¨ der Frage, ob eine vorgegebene Funktion von x und t eine laufende Welle darstellt, muss man also nur best¨ atigen, dass sie entweder von der allgemeinen Form (8.1) ist oder der Wellengleichung (8.2) gen¨ ugt.

8.2 Harmonische Wellen Von besonderer Bedeutung sind harmonische Wellen, die durch Sinus- oder Kosinusfunktionen beschrieben werden: ⎧ ⎨sin [k(x ± ct)] s(x, t) = sˆ · (8.3) ⎩ cos [k(x ± ct)] 1

Man bezeichnet mit Wellengleichung h¨ auﬁg sowohl die Wellen-Diﬀerentialgleichung als auch die Gleichung s(x, t), die wir Wellenfunktion nennen.

236

8 Wellengleichungen

¨ sˆ, die Amplitude, und k sind Konstanten, bei deren Anderung die harmonische Welle erhalten bleibt. Solche Wellen sind periodisch und wiederholen sich beliebig oft; sie werden h¨ auﬁg durch unged¨ ampft harmonisch schwingende Oszillatoren erzeugt. Sinus- und Kosinusfunktionen bilden einen vollst¨andigen Satz von Eigenfunktionen mit der Konsequenz, dass jede beliebige periodische – z.B. rechteckf¨ ormige – Wellenform durch eine Linearkombination solcher Funktionen (8.3) mit Hilfe einer Fourier-Reihe (s. Kap. 12.1) beschrieben werden kann. Wegen sin x = cos(x − π/2) unterscheiden sich die beiden Funktionen (8.3) nur durch eine Phasenverschiebung von π/2. Es ist deshalb im Folgenden ausreichend, nur eine der Funktionen zur Beschreibung heranzuziehen. Hier wird die Sinusschreibweise verwendet.

Abb. 8.2. R¨ aumliche und zeitliche Ausbreitung einer Sinuswelle. a) Sinuswelle zu einem festen Zeitpunkt (Momentaufnahme, Sinuslinie mit Wellenl¨ ange λ). b) Sinuswelle an einem festen Ort (Schwingung mit Periodendauer T )

In Abb. 8.2 ist der Ausschnitt einer Sinuswelle sˆ sin(k(x + ct)) dargestellt. Abb. 8.2 a ist die Darstellung zu einem festen Zeitpunkt, also eine Momentaufnahme (Schnappschuss) der Welle, Abb. 8.2 b gilt an einem festen Ort, wo man eine Schwingung beobachtet. In Abb. 8.2 a ist die Periodizit¨atsl¨ange, die Wellenl¨ange λ, eingezeichnet. Wegen dieser Periodizit¨at f¨ uhrt eine Vergr¨oßerung beliebiger x um λ zu demselben s-Wert. Da die Sinusfunktion mit 2π periodisch ist, gilt dementsprechend f¨ ur einen festen Zeitpunkt t: sin (k(x + λ) + kct) = sin(kx + kct + 2π) Der Vergleich der Argumente f¨ uhrt auf kλ = 2π und damit zu der wichtigen Kreiswellenzahl

k=

2π λ

(8.4)

k ist der Betrag des Wellenvektors k (s. Kap. 8.5) und wird auch als Ausbreitungskonstante bezeichnet. Entsprechend tritt an einem festen Ort x eine mit

8.2 Harmonische Wellen

237

der Periodendauer T periodische Schwingung (s. Abb. 8.2 a) auf. Hier f¨ uhrt die Periodizit¨ at zu sin [kx + kc(t + T )] = sin(kx + kct + 2π) Mithin wird kcT = 2π und die Geschwindigkeit c = 2π/kT . Hieraus erhalten wir nach Einf¨ uhrung der Frequenz

f=

1 T

(8.5)

mit (8.4) die Phasengeschwindigkeit

c = λf

(8.6)

Diese Beziehung ist in der Optik auch deshalb von großer Bedeutung, weil im Allgemeinen eine direkte Messung der Lichtfrequenz von etwa 500 THz nicht m¨oglich ist. Sie muss mit Hilfe von (8.6) aus den Messwerten von c und λ berechnet werden. Zur Beschreibung von Schwingungen verwendet man meist die zu k analoge Kreisfrequenz

ω=

2π = 2πf T

(8.7)

Mit f = c/λ ergibt sich der Zusammenhang mit der Kreiswellenzahl: ω = kc. In der Spektroskopie ist zus¨ atzlich die Wellenzahl k˜ = k/2π = 1/λ gebr¨auchlich. Aufgrund der angegebenen Zusammenh¨ange zwischen den Wellenparametern sind f¨ ur harmonische Wellen mehrere verschiedene Schreibweisen m¨oglich und u ¨ blich2 : ω s = sˆ sin [k(ct ± x)] = sˆ sin ωt ± x c x t ˜ ± = sˆ sin 2π f t ± kx s = sˆ sin 2π T λ

(8.8) (8.9)

Um beliebige Anfangsauslenkungen (bei t = 0 und z.B. x = 0) wiedergeben zu k¨ onnen, m¨ ussen wir in obigen Gleichungen noch einen Nullphasenwinkel 3 ϕ0 2

3

Ausgehend von (8.3) und sin(−α) = − sin α h¨ atte s bei einer rechtslaufenden Welle ein negatives Vorzeichen. Dies wird jedoch durch einen entsprechenden Nullphasenwinkel kompensiert. Diese Bezeichnung entspricht einer DIN-Empfehlung, wir verwenden auch Phasen” verschiebung“.

238

8 Wellengleichungen

einf¨ uhren. Wir kommen dann zu der hier gew¨ahlten Ingenieurschreibweise“ der ” Gleichung einer eindimensionalen harmonischen Welle

s = sˆ sin(ωt ± kx + ϕ0 )

(8.10)

wobei wieder –“ eine Welle in positiver x-Richtung beschreibt. Das Argument ” des Sinus bezeichnet man als Phase ϕ: ϕ = ωt ± kx + ϕ0

(8.11)

die bei einer Welle zeit- und ortsabh¨angig ist, da eine harmonische Welle ein r¨ aumlich und zeitlich periodischer Vorgang ist, der sich mit der Wellengeschwindigkeit ausbreitet. Betrachtet man bei einer Welle einen Punkt konstanter Auslenkung s = sˆ sin ϕ, wie er von einem mitbewegten Beobachter in O registriert wird, so muss die Phase konstant sein und mit (8.11) gelten: dϕ = ωdt ± kdx = 0 Damit hat man eine weitere M¨ oglichkeit zur Bestimmung der Phasengeschwindigkeit

c=

dx ω = ∓ = ∓λf dt k

(8.12)

Dies best¨ atigt noch einmal, dass c > 0, wenn ϕ = ωt − kx, also eine Welle in positiver x-Richtung vorliegt. ussen die Anfangsbedingungen Zur Bestimmung des Nullphasenwinkels ϕ0 m¨ f¨ ur Auslenkung (s(t = 0) = s0 ) und Schnelle (v0 = ds dt t=0 ) z.B. bei x = 0 ur bekannt sein. Dann folgt aus (8.10): s0 = s(0,0) = sˆ sin ϕ0 und wir erhalten f¨ den Nullphasenwinkel4 s 0 ϕ0 = arcsin bei v0 > 0 sˆ H¨ auﬁg ist die genaue Kenntnis von ϕ0 nicht erforderlich und wir k¨onnen (8.10) mit ϕ0 = 0 vereinfachen. 4

Diese Formel wird erst durch die zus¨ atzliche Angabe v0 > 0 eindeutig, da bei gleichem s0 die Steigung der s(t)-Kurve positiv (v0 > 0) oder negativ sein kann. Bei v0 < 0 ist ϕ0− = π − ϕ0+ .

8.3 Komplexe Zahlen

239

Beispiel 8.1 Seilwelle Die Auslenkung einer laufenden Seilwelle ist gegeben durch: t x π s(x, t) = 3,5 cm sin 10π − 3π + s m 4

(∗)

Bestimmen Sie Wellenl¨ ange, Frequenz, Phasengeschwindigkeit und Nullphasenwinkel. Berechnen Sie außerdem die Auslenkung bei x = 10 cm f¨ ur t = 0 und t = 1,5 s. L¨ osung Durch Vergleich mit (8.10) ﬁndet man direkt: k = 3π rad/m, ω = 10π rad/s und ϕ0 = π/4. Damit wird dann λ = 2π/k = 2/3 m und f = ω/2π = 5 Hz. Die Phasengeschwindigkeit ergibt sich zu c = λf = 3,33 m/s mit positivem Vorzeichen, d.h. man hat eine Welle in positiver x-Richtung. Man kann auch in (∗) ϕ = konst. setzen und bilden: dϕ = 0 = 10π · dt − 3π · dx dann wird ebenfalls c = dx/dt = 10π/3π = 3,33 m/s. Die Auslenkungen sind: s(x = 0,1 m; t = 0) = 3,5 cm · sin(−0,3π + π/4) = −0,55 cm und s(0,1 m; 1,5 s) = 3,5 cm · sin(15π − 0,3π + π/4) = 0,55 cm. (Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner in den rad-Modus“ umzuschalten!) ”

8.3 Komplexe Zahlen Die Beschreibung von harmonischen Schwingungen und Wellen wird durch die Verwendung der komplexen Darstellung wesentlich vereinfacht. Wir fassen deshalb das Wichtigste zu den komplexen Zahlen noch einmal zusammen: Eine komplexe Zahl5 z wird durch die Summe ihrer Real- (Re) und Imagin¨arteile (Im) festgelegt: komplexe Zahl

z = Re(z) + j Im(z) = x + j y

(8.13)

√ x und y sind reelle Zahlen und j = −1, die imagin¨are Einheit 6 . Nach Abb. 8.3 ist z ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene, der auch durch die Polarkoordinaten (z, ϕ) festgelegt werden kann. Hiermit deﬁniert man einen Vektor, der vom Ursprung zu dem Punkt z weist und den man meist als komplexen Zeiger z bezeichnet. Sein Betrag ist nach Pythagoras z = |z| = x2 + y 2 . 5 6

Komplexe Gr¨ oßen, wie z.B. z, E, . . . werden durch Unterstreichen gekennzeichnet. Wir w¨ ahlen die in der Technik u ¨bliche Schreibweise mit j statt i.

240

8 Wellengleichungen

Abb. 8.3. Graﬁsche Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene mit reeller (Re) und imagin¨ arer (Im) Achse

Mit x = z cos ϕ und y = z sin ϕ wird dann (8.13): z = z(cos ϕ + j sin ϕ) Mit Hilfe der ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ

Eulerschen Formel

(8.14)

erhalten wir daraus die wichtige Darstellung in z = z ejϕ

(8.15)

x2 + y 2 y Im(z) ϕ = arg z = arctan = arctan x Re(z)

(8.16)

Polarkoordinaten

mit Betrag und Argument: Betrag Argument

z = |z| =

Die zu z konjugiert komplexe Zahl z ∗ erh¨ alt man einfach durch Ersetzen von j durch −j: z ∗ = x − j y = z e−jϕ

(8.17)

Hiermit kann der Betrag einer komplexen Zahl einfach berechnet werden, denn es gilt das

8.3 Komplexe Zahlen

Betragsquadrat

z · z ∗ = (z ejϕ )(z e−jϕ ) = |z|2

241

(8.18)

Einige wichtige Rechenregeln: Addition/Subtraktion

z = z 1 ± z 2 = (x1 ± x2 ) + j (y1 ± y2 )

(8.19)

Multiplikation

z = z 1 · z 2 = z1 z2 ej(ϕ1 +ϕ2 )

(8.20)

= (x1 x2 − y1 y2 ) + j (x1 y2 + x2 y1 )

Die Multiplikation kann man also durch eine Drehstreckung 7 veranschaulichen. Aus (8.3) folgt die wichtige Beziehung: Re(z 1 ± z 2 ) = Re(z 1 ) ± Re(z 2 )

(8.21)

Bei der Multiplikation ist hingegen: Re(z 1 · z 2 ) = Re(z 1 ) · Re(z 2 )

(8.22)

Dies ist bei der komplexen Beschreibung von Wellen von großer Bedeutung. ange 1 (Einheitskreis), der – entgegen dem Uhrzeigerejϕ ist ein Zeiger der L¨ ur einige spezielle sinn – um ϕ von der x-Achse gedreht wurde. Damit kann ejϕ f¨ j-Werte leicht angegeben werden (s. Abb. 8.4).

Abb. 8.4. Wichtige Werte von ejϕ

7

Der neue Zeiger z ejϕ ist in seiner L¨ ange gestreckt oder gestaucht (z = z1 · z2 ) und im Winkel gedreht (ϕ = ϕ1 + ϕ2 ).

242

8 Wellengleichungen

8.4 Harmonische Wellen in komplexer Darstellung Ausgehend von z = z ejϕ und (8.10) erh¨ alt man f¨ ur die komplexe Darstellung einer eindimensionalen s = sˆ ej(ωt±kx+ϕ0 ) = sˆ ej(ωt±kx)

harmonischen Welle

(8.23)

Hierbei ist es vorteilhaft, die sˆ = sˆ ejϕ0

komplexe Amplitude

(8.24)

einzuf¨ uhren, die dann den Nullphasenwinkel enth¨alt. Nach der Eulerschen Formel beschreiben dann sowohl der Realteil von (8.23) Re(s) = sˆ cos(ωt ± kx + ϕ0 )

(8.25)

als auch der Imagin¨ arteil ebene Welle

Im(s) = sˆ sin(ωt ± kx + ϕ0 )

(8.26)

harmonische Wellen. Die komplexe Beschreibung umfasst mithin sowohl die Beschreibung mit Hilfe des Sinus als auch des Kosinus. Wir treﬀen die Vereinbarung, dass die – physikalisch nat¨ urlich nur im Reellen existierende – Welle in der Regel durch die Sinusdarstellung beschrieben wird, dass also bei Angabe von s nach (8.23) der Imagin¨ arteil (8.26) gemeint ist. Die komplexe Beschreibung ist mathematisch einfacher, da sich die Anwendung von Additionstheoremen er¨ ubrigt und mit Exponentialfunktionen leichter als mit trigonometrischen Funktionen zu rechnen ist. Dies wird am Beispiel der Diﬀerentiation und Integration von (8.23) besonders deutlich: ∂ ∂s s ej(ωt−kx) = jωs (8.27) = sˆe−jkx ejωt = j ωˆ ∂t ∂t 1 1 −jkx s dt = sˆ e ejωt dt = sˆ ej(ωt−kx) = s (8.28) jω jω Diﬀerentiation ist hiernach gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit jω, Integration mit einer Division durch jω. Die Ausgangszeiger werden in ihrer L¨ange ver¨ andert und um ±π/2 gedreht. Sie sollten unbedingt beachten: Da entsprechend (8.22) Im(z 1 · z 2 ) = Im(z 1 ) · Im(z 2 ) ist, darf die komplexe Schreibweise bei Auftreten von Produkten und Potenzen – also insbesondere auch in der nichtlinearen Optik (s. Kap. 26) – nicht angewendet werden!

8.5 Ebene Wellen

243

Sie m¨ ussen hier mit der Sinusdarstellung oder sin x =

ejx − e−jx 2j

rechnen.

8.5 Ebene Wellen Die Gleichung einer harmonischen Welle soll auf eine beliebige Ausbreitungsrichtung im Raum verallgemeinert werden. F¨ ur eine Welle in positiver x-Richtung folgt aus (8.10) f¨ ur eine Momentaufnahme der Auslenkung zum Zeitpunkt t = 0 (und ϕ0 = π): s = sˆ sin kx

(8.29)

Abb. 8.5. Ebene Wellen, die sich entlang der x-Achse ausbreiten. y-z-Ebenen (bei x = konst.) sind Ebenen konstanter Phase

F¨ ur konstantes x ist die Phase ϕ = kx = konst. Punkte gleicher Phase (und Auslenkung) liegen dann bei einer r¨ aumlichen Welle auf Fl¨achen, die man als Wellenfronten bezeichnet und die hier y-z-Ebenen darstellen (s. Abb. 8.5). Deshalb spricht man hier von ebenen Wellen. Die Phase eines beliebigen Raumpunktes, der durch einen Vektor r festgelegt ist, stimmt dann mit der des Punktes x = r cos θ u ¨berein (s. Abb 8.6 a) und aus (8.29) folgt s = sˆ sin(kr · cos θ). Dieses

244

8 Wellengleichungen

Ergebnis l¨ asst sich einfacher interpretieren, wenn man k = 2π/λ einem Wellenvektor k zuordnet, dessen Richtung mit der Ausbreitungsrichtung der Welle u ¨ bereinstimmt und damit senkrecht auf der Wellenfront steht. Hiermit kann die Ebene konstanter Phase bei beliebiger Ausbreitungsrichtung (s. Abb. 8.6 b) festgelegt werden durch: k · r = kr cos θ = kx x + ky y + kz z

(8.30)

und wir erhalten f¨ ur eine in k-Richtung fortschreitende ebene Welle

s = sˆ ej(ωt−k·r)

(8.31)

Abb. 8.6. Ausbreitung ebener Wellen in unterschiedlichen Richtungen, die durch den Wellenvektor k festgelegt sind. a) k zeigt in Richtung der x-Achse, b) k in beliebiger Richtung. Die Ebenen konstanter Phase sind durch k · r = konst. festgelegt

Es l¨ asst sich leicht best¨ atigen8 , dass die Gleichung der dreidimensionalen Welle (8.31) der partiellen Diﬀerentialgleichung (Wellengleichung) ∂ 2s ∂ 2s 1 ∂ 2s ∂ 2s + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2

(8.32)

gen¨ ugt. Betrachtet man die r¨ aumlichen Ableitungen als Operatoren, so kann man hierf¨ ur auch schreiben: 8

Mit Hilfe von

∂s ∂s ∂ 2s ∂ 2s = −kx2 s. = jωs; 2 = −ω 2 s; = −jkx s; ∂t ∂t ∂x ∂x2

8.7 Elektromagnetische Wellen

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

s=

245

1 ∂ 2s c2 ∂t2

und erh¨ alt mit Hilfe des Laplace Operators9 : Laplace-Operator

=

∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z

(8.33)

einen einfachen Ausdruck f¨ ur die dreidimensionale Wellengleichung

s =

1 ∂ 2s c2 ∂t2

(8.34)

8.6 Kugelwellen Von einem Punkt ausgehende harmonische Wellen breiten sich in einem isotropen Medium in allen Raumrichtungen gleich schnell aus. Dann sind die Fl¨achen gleicher Phase, die Wellenfronten, Kugelﬂ¨ achen mit dem Ort der Quelle als Zentrum. Diese Kugelwellen k¨ onnen durch eine ¨ahnliche Gleichung wie die ebenen Wellen beschrieben werden. Die Amplitude nimmt jedoch mit wachsendem Abstand proportional mit 1/r ab, da die Energie der Welle auf eine immer gr¨oßere Kugelﬂ¨ ache verteilt wird. Damit gilt f¨ ur die Kugelwelle

s=

sˆ1 j(ωt−k·r) e r

(8.35)

Die Intensit¨ at I (= Leistung pro Fl¨ ache) der Welle ist abh¨angig vom Amplitudenquadrat und nimmt dann mit 1/r2 ab. Damit bleibt die durch eine Kugelﬂ¨ache (A = 4πr2 ) transportierte Gesamtleistung I · A konstant. Die Bedeutung von sˆ1 muss jeweils genau festgelegt werden. Es kann nicht die Amplitude bei r = 0 ur einen passend gew¨ahlten sein, da diese f¨ ur r → 0 divergiert. sˆ1 muss vielmehr f¨ Referenzabstand (r = r1 ) als sˆ1 = sˆ(r1 ) · r1 deﬁniert werden.

8.7 Elektromagnetische Wellen 8.7.1 Feldst¨ arke und Geschwindigkeit Die bisher diskutierten Gleichungen f¨ ur harmonische Wellen beschreiben ganz allgemein jede wellenartige St¨ orung, die sich sinusf¨ormig ¨andert, also z.B. Wellen 9

= ex ∂ + ey ∂ + ez ∂ . Es gilt = ∇2 mit dem Nablaoperator ∇ ∂x ∂y ∂z

246

8 Wellengleichungen

auf einer Saite, Wasser- oder Schallwellen. Bei einer speziellen Welle hat s die Bedeutung einer bestimmten physikalischen Gr¨oße und ist z.B. der Wechseldruck in einer Schallwelle. F¨ ur elektromagnetische Wellen, zu denen auch das Licht geh¨ ort, steht s entweder f¨ ur das ver¨ anderliche elektrische Feld der elektrischen oder f¨ Diese Feldst¨arke E ur das magnetische Feld der magnetischen Induktion B. Felder sind in der Welle untrennbar gekoppelt.

magAbb. 8.7. a) Ebene elektromagnetische Welle in x-Richtung. Elektrisches Feld E, netische Induktion B und Wellenvektor k bzw. Geschwindigkeit c stehen jeweils senk =B × c (8.39) recht aufeinander. b) Dreibein der Vektoren mit E

Abbildung 8.7 veranschaulicht eine ebene elektromagnetische Welle. Die L¨ osung der Maxwellschen Gleichungen, die die Wellenausbreitung beschreiben,

8.7 Elektromagnetische Wellen

247

und B-Feld ergibt, dass Ezueinander und zur Ausbreitungsrichtung und damit zum Wellenvektor k senkrecht stehen. Wir schreiben ˆ j(ωt−k·r) =E e E ˆ j(ωt−k·r) =B B e

elektromagnetische Welle

(8.36) (8.37)

ˆ und B ˆ die Amplituden der Felder E und B darstellen. Man sieht, dass wobei E E und B identische Wellenvektoren und Frequenzen haben und sich somit mit derselben Geschwindigkeit und Wellenl¨ ange ausbreiten. Im so genannten Fernfeld sind sie (in verlustfreien Medien) außerdem in Phase. Dar¨ uber hinaus sind die beiden Felder streng proportional zueinander: E = cB

(8.38)

und bilden ein Dreibein (s. Abb. 8.7 b) entsprechend der =B × c E

Verkn¨ upfung

(8.39)

mit der zu k parallelen 1 c= √ εµ

Ausbreitungsgeschwindigkeit

(8.40)

Hierbei ist ε = εr ε0 die Dielektrizit¨atskonstante mit der Dielektrizit¨atszahl εr und As der elektrischen Feldkonstante ε0 = 8,8542 · 10−12 Vm sowie µ = µr µ0 mit der Vs . Permeabilit¨ atszahl µr und der magnetischen Feldkonstante µ0 = 4π · 10−7 Am Im Vakuum (mit εr = µr = 1) breitet sich die Welle dann nach (8.40) frequenzunabh¨ angig mit der c0 = √

Vakuumlichtgeschwindigkeit

m 1 = 2,998 · 108 ε0 µ0 s

(8.41)

aus. F¨ ur den Zusammenhang zwischen c, der Geschwindigkeit in einem Medium, und c0 folgt aus (8.40) und (8.41): Lichtgeschwindigkeit

c= √

c0 c0 ≡ εr µr n

mit Brechzahl n

(8.42)

Die in der Optik gebr¨ auchliche Brechzahl n ist hiernach u ¨ ber die Maxwell-Relation

n=

√

εr µr ≈

√

εr

(8.43)

248

8 Wellengleichungen

mit den in der Elektrodynamik verwendeten Gr¨oßen verkn¨ upft. Bei den hohen Frequenzen der Optik ist bei fast allen Stoﬀen µr ≈ 1; εr und damit n sind frequenzabh¨ angig, was man als Dispersion bezeichnet. So hat z.B. Wasser bei Gleichfeldern und kleinen Frequenzen εr = 81, woraus mit (8.42) folgt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ≈ c0 /9. Bei Lichtfrequenzen gilt hingegen εr = 1,8 und nach (8.43) ist n ≈ 4/3, also c ≈ 34 c0 . 8.7.2 Maxwellsche Gleichungen Um die oben gemachten Aussagen zu veranschaulichen, stellen wir uns in einem Dielektrikum einen elektromagnetischen Wellenpuls konstanter H¨ohe mit den Feldst¨ arken E und B vor, der in x-Richtung mit der Geschwindigieit c fortschreitet und bei x = ct abrupt auf null geht. Mit der Welle bewegt sich ein Beobachter 1, der u ¨ber eine Glimmlampe zur Messung der elektrischen Feldst¨arke und eine kleine Hallsonde zur B-Messung verf¨ ugt. Beﬁndet er sich links vom Pulsende, so registriert er konstante Werte der Feldst¨arken. Ein Beobachter 2 auf der x-Achse (bei x) ist mit den gleichen Instrumenten ausgestattet. Er beobachtet die Feldst¨ arken E und B ab dem Moment, wo ihn die Welle passiert. Zur Pr¨ ufung seiner Messergebnisse verkn¨ upft er die Feldgr¨oßen u ¨ ber die Maxwellgleichungen. Nach dem Induktionsgesetz (2. Maxwellgleichung) hat ein zeitlich ver¨anderlicher magnetischer Fluss Φ ein elektrisches Feld zur Folge: ! · ds = −Φ˙ = − B · dA 2. Maxwell-Gleichung (8.44) E dt Der ruhende Beobachter 2 w¨ ahlt bei der Anwendung von (8.44) das Integrationsgebiet so, dass der linke Rand noch die Glimmlampe am Ort x enth¨alt und der rechte Rand bei x + ∆x noch nicht von der Welle erreicht wurde. Wir erhalten = ∆yc dt · ez : = Bez und dA dann nach Abb. 8.8 a mit B !

· ds = E(x + ∆x) ∆y − E(x) ∆y = −E(x) ∆y = −B · dA = −Bc ∆y E dt

und damit die Best¨ atigung von (8.38): E = cB (8.38) und B tats¨achlich senkrecht aufeinander Außerdem haben wir gezeigt, dass E stehen (s. (8.39)). Eine weitere Verkn¨ upfung der Feldst¨arken erfolgt u ¨ ber das Durchﬂutungsgesetz (1. Maxwell-Gleichung), wonach ein sich zeitlich ver¨andernder elektrischer Fluss Φ˙ e (Verschiebungstrom) ein magnetisches Feld hervorruft: ! · dA · d A = εE · ds = Φ˙ e = D 1. Maxwell Gleichung (8.45) H dt dt

8.7 Elektromagnetische Wellen

249

Abb. 8.8. In x-Richtung fortschreitender elektromagnetischer Wellenpuls der H¨ ohe E und B, der bis x = ct gelangt ist, und von einem mitbewegten (1) und ruhenden Beobachter (2) untersucht wird. Integrationswege des am Ort x ruhenden Beobachters: a) zum Induktionsgesetz (B-Puls) und b) zum Durchﬂutungsgesetz (E-Puls)

250

8 Wellengleichungen

= εE die elektrische Erregung oder Verschiebungsdichte; da wir Hierbei ist D uns in einem Dielektrikum beﬁnden, kann kein Leitungsstrom auftreten. Aus Abb. 8.8 b folgt dann mit H(x + ∆x) = 0: ! · ds = 0 · ∆z + H · ∆z = εE dA = εEc ∆z H dt und somit H = εEc

(8.46)

Nach (8.38) ist andererseits H=

B E = µ µc

Gleichsetzen von (8.46) und (8.47) liefert dann c = (8.40).

(8.47) √1 , εµ

also die Best¨atigung von

8.7.3 Intensit¨ at Eine elektromagnetische Welle u agt elektrische und magnetische Feldener¨bertr¨ gie. Die Energiedichte (Energie/Volumen) we des elektrischen Feldes ist – wie beim geladenen Kondensator – gegeben durch we =

1 ε · E2 2

(8.48)

Beweis: Wir bestimmen die Energiedichte des elektrostatischen Feldes eines geladenen Plattenkondensators: Bekanntlich ist die im Feld gespeicherte potentielle Energie: at C = ε A , wobei A = Fl¨ ache und d = Plattenabstand. Wpot = 12 CU 2 mit der Kapazit¨ d · E 2 d2 = 12 εE 2 Ad. Mit dem F¨ ur die Spannung gilt U = Ed. Damit wird Wpot = 12 εA d Volumen V = Ad erh¨ alt man hieraus f¨ ur die Energiedichte w = Wpot /V gerade (8.48).

In Analogie zur magnetischen Feldenergie einer Spule gilt f¨ ur den magnetischen Anteil wm =

1 1 B2 µH 2 = 2 2 µ

mit der magnetischen Feldst¨arke H: H=

B µ

(8.49)

8.7 Elektromagnetische Wellen

251

Ersetzt man in (8.48) E 2 nach (8.38) durch c2 B 2 = B 2 /εµ, so sieht man, dass elektrisches und magnetisches Feld gleich viel Energie transportieren. Die gesamte Energiedichte w = 2we = 2wm wird dann: EH (8.50) c Bei der Herleitung wurde im 2. Term εE (mit (8.38) und (8.40)) durch εBc = H/c ersetzt. w = εE 2 = µH 2 = εc EB =

Abb. 8.9. Energieﬂuss in einer Welle. In der Zeit ∆t tritt durch die Fl¨ ache A gerade die in dem Quader des Volumens Ac∆t enthaltene Energie ∆W

Als N¨ achstes soll die von der elektromagnetischen Welle transportierte Leistung untersucht werden (s. Abb. 8.9). In der Zeit ∆t wird durch eine Referenzﬂ¨ache A gerade die Energie ∆W = w∆V transportiert, die in einem Quader vom Volumen ∆V und der Kantenl¨ ange c∆t enthalten ist. Damit wird die transportierte Leistung P : P =

w∆V w(Ac∆t) ∆W = = = wcA ∆t ∆t ∆t

(8.51)

Die zeitabh¨ angige Intensit¨ at S = P/A – also Leistung pro Fl¨ache (in W/m2 ) – ist somit S = wc

(8.52)

Wie zu erwarten, h¨ angt damit die St¨ arke (Intensit¨at) einer Welle nicht nur von der in einem Volumenelement beﬁndlichen Energie – der Energiedichte w – ab, sondern auch von der Geschwindigkeit, mit der diese Energie zur bestrahlten Fl¨ ache transportiert wird. Mit (8.50) wird dies f¨ ur die elektromagnetische Welle: S = EH = εcE 2

(8.53)

252

8 Wellengleichungen

× B) ﬂießende EnerIntensit¨ at – als in Ausbreitungsrichtung (= Richtung von E giestromdichte – wird als ×B =E ×H = εc2 E S

Poynting-Vektor

(8.54)

bezeichnet. Die elektrischen und magnetischen Felder des sichtbaren Lichtes schwingen mit etwa 500 THz so extrem schnell, dass es keinen Detektor gibt, der diesen Schwingungen folgen kann. Alle optischen Detektoren registrieren deshalb die u ¨ ber viele Perioden gemittelte mittlere Intensit¨at I, diese bezeichnen wir im Folgenden als Intensit¨at, obwohl Energiestromdichte oder Bestrahlungsst¨arke exaktere Bezeichungen w¨ aren. Mit (8.53) und (8.11) ist dann an einem festen Ort ˆ 2 sin2 (ωt + ϕ0 ) I = S = εcE

(8.55)

Zeitmittelung des sin2 u ¨ber eine oder mehrere Perioden ergibt die Intensit¨at

I=

1 10 2

und mit (8.50)

ˆ2 1 ˆ2 1 ˆ 2 1 B 1ˆˆ = µcH = c E H = εcE 2 2 2 2 µ

(8.56)

Die Intensit¨ at – die Leistung pro Fl¨ ache – h¨angt quadratisch von den Feldgr¨oßen ab, deshalb spricht man bei den o.g. tr¨ agen Sensoren der Optik auch von quadratischen Detektoren. Beachten Sie, dass elektrischer und magnetischer Energieanteil immer gleich groß sind. Bei Wechsel des Mediums bleibt mithin das Produkt E · H bei gleicher Intensit¨ at unge¨ andert; die Feldst¨arken ¨andern sich aufgrund der Materialkonstanten εr und µr , die in die Energiedichte und die Geschwindigˆ in Materie (bei µr = 1 und keit eingehen. Wie aus (8.56) ersichtlich ist, wird E ˆ oßer als im Vakuum. εr > 1) kleiner und B gr¨ Bei Verwendung der komplexen Schreibweise ist die Intensit¨at gegeben durch: I=

1 ˆ ˆ ∗ 1 ˆ ˆ∗ E · H = εc E · E 2 2

(8.57)

Beispiel 8.2 Laserstrahl Ein Laserstrahl mit 2 mm Durchmesser transportiert eine Lichtleistung von 6 kW. Bestimmen Sie die Intensit¨ at und die Amplituden von elektrischer Feldst¨ arke und magnetischer Induktion (im Vakuum).

10

Es gilt sin2 ωt =

1 2

−

1 2

cos 2ωt und damit sin2 ωt =

1 T

T 0

sin2 ωt dt = 12 .

8.8 Doppler-Eﬀekt

253

L¨ osung P GW Die Intensit¨ at ist I = PA = πr 2 = 1,9 m2 . Damit wird √ ˆ E 2I ˆ ˆ= 2µ0 c0 I = 1,2 MV E ε0 c0 = m und B = c0 = 4 mT. Die elektrische Feldst¨ arke erreicht damit fast die Durchschlagsfeldst¨arke der Luft bei Normaldruck von etwa 3 MV m .

8.8 Doppler-Eﬀekt Der durch die Beobachtung bei Schallwellen vertraute Doppler-Eﬀekt ﬁndet seine Entsprechung bei Lichtwellen – mit einem wichtigen Unterschied: Bei Schallwellen unterscheidet man zwischen der Frequenz¨anderung bei bewegtem Sender, die auf einer Wellenl¨ angen¨ anderung beruht, und der Frequenz¨anderung bei bewegtem Beobachter aufgrund ge¨ anderter Schallgeschwindigkeit. Die beiden Eﬀekte sind physikalisch verschieden und f¨ uhren zu unterschiedlichen Gleichungen f¨ ur die Berechnung der Frequenz¨ anderung. Dies steht im Gegensatz zum DopplerEﬀekt bei elektromagnetischen Wellen. Schallwellen breiten sich nur in einem Medium aus, w¨ ahrend Licht auch im Vakuum fortschreitet. Wenn das Ausbreitungsmedium wegf¨ allt, entf¨ allt auch der Unterschied zwischen bewegtem Sender und Empf¨ anger; es gibt nur noch noch eine relative Bewegung zwischen beiden, die dann auch die Frequenz¨ anderung des Lichtes bestimmt. Die spezielle Relativit¨ atstheorie beschreibt die dopplerverschobene Wellenl¨ange λ im Vakuum durch: " # # 1− v c0 f λ # = (8.58) = $ v λ f 1 + c0 v ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Beobachter, wobei gilt: v > 0 bei Ann¨aherung und v < 0 bei Entfernung der beiden. F¨ ur v c erh¨alt man aus obiger Gleichung dasselbe Ergebnis wie bei bewegtem Schallempf¨anger:

Erweitern von (8.58) mit

v λ =1− λ c 1+

v c0

ergibt die verschobene Frequenz f : 1 + vc f =f 2 1 − cv0

Doppler-Eﬀekt

(8.59)

(8.60)

254

8 Wellengleichungen

Der Nenner ist eine Folge der relativistischen Zeitdehnung ( bewegte Uhren gehen ” langsamer“), er f¨ uhrt dazu, dass auch bei Bewegung quer zur Verbindungslinie ein – in der klassischen Physik nicht bekannter – transversaler Doppler-Eﬀekt zu erwarten ist. F¨ ur v c wird der Nenner gleich 1 und es verbleibt eine Frequenz¨ anderung wie bei bewegtem Schallempf¨anger. Die Gleichung (8.60) gilt mit ur die Doppler-Verschiebung in einem Medium der Brechzahl n. c = cn0 auch f¨ Der Doppler-Eﬀekt hat eine Reihe von wichtigen Anwendungen. In der Astronomie wird er zur Bestimmung der Geschwindigkeit von Sternen und Quasaren herangezogen. Man beobachtet immer eine Rotverschiebung, also eine Zunahme der Wellenl¨ ange aufgrund einer Bewegung von uns weg. Der amerikanische Astronom E. Hubble stellte fest, dass die Rotverschiebung mit der Entfernung d der Objekte zunimmt und die Fluchtgeschwindigkeit gegeben ist durch: Hubble-Eﬀekt

v = Hd

(8.61)

H bezeichnet man als Hubble-Konstante. Eine Doppler-Verbreiterung von Spektrallinien tritt wegen der statistischen (W¨ arme-)Bewegung der lichtemittierenden Gasatome auf. Sie kann zur Temperaturmessung in heißen Gasen und Plasmen herangezogen werden. In der Spektroskopie ist sie ein unerw¨ unschter Eﬀekt, da sie zu einer Frequenzunsch¨arfe f¨ uhrt. In der Messtechnik wird der Doppler-Eﬀekt zur ber¨ uhrungslosen Geschwindigkeitsmessung (z.B. bei Walzstraßen) herangezogen. Beachten Sie, dass hier h¨auﬁg in Reﬂexion gearbeitet wird. Hierbei bewegt sich das Spiegelbild mit der doppelten Geschwindigkeit und in (8.60) tritt bei v c die doppelte Frequenz¨anderung auf: v Doppler-Eﬀekt bei Reﬂexion ∆f = 2 f (8.62) c Beispiel 8.3 Doppler-Eﬀekt Licht von einer weit entfernten Galaxie zeigt eine Verschiebung der gr¨ unen Spektrallinie des Sauerstoﬀs von 513 nm auf 525 nm. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Galaxie relativ zur Erde und in welcher Entfernung beﬁndet sie sich? (H ≈ 2 · 10−18 s−1 ).

8.8 Doppler-Eﬀekt

255

L¨ osung Wir nehmen zun¨ achst an, dass v c und verwenden (8.59). Sollte ein Wert f¨ ur v auftreten, der der getroﬀenen Annahme nicht gen¨ ugt, so m¨ usste die Rechnung mit der komplizierteren – aber relativistisch exakten – Gleichung (8.60) wiederholt werden. Mit λ = 513 nm und λ = 525 nm erh¨alt man aus

(8.59): v = c0 1 − λλ = −0,0234 c0 = −7 020 km/s. Die Zunahme von λ und das negative Vorzeichen von v zeigen, dass sich die Galaxie von der ¨ Erde wegbewegt. Ihr Abstand (s. Ubung 8.21) ist d = v/H = 3,5 · 1021 km = 3,7 · 108 Lichtjahre.

¨ Ubungen 8.1 Auf einem Seil breitet sich in negativer x-Richtung ein Puls aus, der bei t = 0 2 die Gaußform s = a e−bx aufweist. Skizzieren Sie den Puls mit a = 10 cm, b = −2 0,05 cm f¨ ur den Zeitpunkt t = 0 und geben Sie die Wellenfunktion f¨ ur eine Geschwindigkeit vom Betrag 3 m/s an. 8.2 In der Mitte einer gespannten Saite wird bei t = 0 die folgende Auslenkung beobachtet: 4 mm (0,5x/cm)2 + 1 a) Formulieren Sie die Wellenfunktion f¨ ur eine mit 25 m/s in die negative x-Richtung laufende Welle. b) Skizzieren Sie die Wellenpulse f¨ ur t = 0; 2 und 5 s. (Beachten Sie, dass sich die Welle in die positive und negative x-Richtung ausbreitet.) s(x, 0) =

8.3 Untersuchen Sie die folgenden mathematischen Ausdr¨ ucke und kl¨ aren Sie, a) ob es sich um laufende Wellen handelt b) falls a) zutriﬀt, wie groß Betrag und Richtung der Geschwindigkeit ist: 1. s(z, t) = A sin2 [4π(2t/s + 2z/m)] 2. s(x, t) = A(5x/m − 5t/s)2 3. s(x, t) = BxA2 −t 8.4 Falls der folgende Ausdruck eine laufende Welle darstellt, so geben Sie Gr¨ oße und Richtung der Geschwindigkeit an (Einheiten: x in m, t in s): 2

2

0,1 m · ex −20xt+100t x − 10t 8.5 Eine harmonische Welle breitet sich in der negativen z-Richtung aus, hat eine Auslenkungs-Amplitude von 2 (willk¨ urliche Einheiten), eine Wellenl¨ ange von 1 m und eine Periodendauer von 3 s. Am Ursprung ist zum Zeitpunkt t = 0 die Auslenkung null und die Schnelle s˙ > 0. Wie lauten die Wellenfunktionen, die explizit s=

256

8 Wellengleichungen a) b) c) d)

Wellenl¨ ange λ und Periodendauer T , Kreiswellenzahl k und Phasengeschwindigkeit c, Kreiswellenzahl k und Kreisfrequenz ω enthalten? Wie lautet die Welle in komplexer Schreibweise?

8.6 a) Geben Sie f¨ ur t = 0 die Gleichung einer harmonischen Welle an, die sich in negativer x-Richtung ausbreitet, eine Amplitude von 5 m, eine Wellenl¨ ange von 50 m und ϕ0 = 0 aufweist. b) Durch welchen Zusammenhang wird die Auslenkung der obigen Welle bei t = 4 s beschrieben, wenn sie sich mit 2 m/s ausbreitet? 8.7 Eine harmonische Welle hat die Auslenkung s = 10 cm · sin(628x/cm − 6,28t/s). Bestimmen Sie Amplitude, Wellenl¨ ange, Frequenz, Periodendauer, Kreisfrequenz, Kreiswellenzahl und Geschwindigkeit der Welle. 8.8 Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der konstanten Phase die Phasengeschwindigkeiten der folgenden Wellen in Abh¨ angigkeit von den Konstanten A, B, C und D. F¨ uhren Sie außerdem eine Dimensionsbetrachtung f¨ ur diese Gr¨ oßen durch: a) f (y, t) = A · (y/m − t/s)2 b) f (x, t) = A · (Bx + Ct + D)2 2 2 2 c) f (z, t) = A · eBz +BC t −2BCzt 8.9 Eine in +x-Richtung laufende harmonische Welle hat f¨ ur t = 0 bei x = 0 die Auslenkung 13 Einheiten und -7,5 Einheiten bei x = 3λ/4. Formulieren Sie die Gleichung der Welle f¨ ur t = 0. (Angabe in reeller und komplexer Form, Angabe der komplexen Amplitude). 8.10 a) Beweisen Sie: Falls bei einer linkslaufenden Sinuswelle bei t = 0 die maximale positive Auslenkung bei x0 auftritt, so ist der Nullphasenwinkel: π x0 − 2π 2 λ b) Bestimmen Sie ϕ0 f¨ ur λ = 10 cm und x0 = 0; 5/6; 2,5; 5 und −0,5 cm. c) Welche Phasenwinkel w¨ urden mit den Werten von b) auftreten, wenn man eine Kosinuswelle zugrunde legt? 8.11 Finden Sie f¨ ur eine dreidimensionale ebene Welle die f¨ ur k·r zutreﬀenden Ausdr¨ ucke, wenn die Ausbreitungsrichtung a) die positive z-Achse ist, b) entlang der Linie x = y, z = 0 liegt und c) senkrecht zur Ebene x + y + z = konst. steht. ϕ0 =

8.12 Beweisen Sie f¨ ur eine komplexe Zahl z: z + z∗ a) Re(z) = 2 z − z∗ b) Im(z) = 2j ejϕ + e−jϕ c) cos ϕ = 2 ejϕ − e−jϕ d) sin ϕ = 2j

8.8 Doppler-Eﬀekt

257

8.13 Wird eine komplexe Wellenfunktion mit j, 1/j oder −1 multipliziert, so ist dies gleichbedeutend mit einer Phasenverschiebung um π/2, −π/2 bzw. π. Beweisen sie dies. 8.14 Die gegenl¨ auﬁgen Wellen s1 = sˆ ej(ωt+kx) und s2 = sˆ ej(ωt−kx+π) werden u ¨ berlagert. Zeigen Sie, dass f¨ ur die resultierende Welle gilt: s = Im(s1 + s2 ) = 2ˆ s sin kx · cos ωt Es handelt sich um eine stehende Welle (s. Kap. 9). 8.15 Die Intensit¨ at des Sonnenlichts betr¨ agt an der Erdoberﬂ¨ ache etwa 1 kW/m2 (Solarkonstante). a) Finden Sie die zu diesem Wert geh¨ origen Amplituden des E- und B-Feldes. b) Berechnen Sie die hiermit gekoppelte Photonenﬂussdichte (s. Kap. 1), also die Zahl der Photonen pro m2 und s unter der Annahme, dass die mittlere Wellenl¨ ange an der Erdoberﬂ¨ ache 700 nm betr¨ agt. 8.16 F¨ ur eine Lichtwelle in Glas der Brechzahl 1,5 ﬁndet man eine Amplitude des EFeldes von 100 V/m . Wie groß sind die Amplituden des B- und H-Feldes und die Intensit¨ at? 8.17 a) Das Licht einer 100 W-Lampe mit einer Strahlungsausbeute von 10% breitet sich gleichm¨ aßig in alle Raumrichtungen aus. Ermitteln Sie Bestrahlungsst¨ arke ˆ und B ˆ in 10 m Entfernung. sowie E b) Vergleichen Sie die Werte mit denen eines 2- kW-Laserstrahles, der auf einen Fleck von etwa 100 µm2 fokussiert wird. √ 8.18 Warum muss bei einer Zylinderwelle die Amplitude mit 1/ r und ihre Intensit¨ at mit 1/r abnehmen? 8.19 Beim Doppler-Eﬀekt ist die verschobene Wellenl¨ ange λ durch (8.58) gegeben. Leiten Sie hieraus (8.59) f¨ ur v c her. 8.20 Wie schnell m¨ ussen Sie sich einer auf rot (λ bei 640 nm) stehenden Verkehrsampel n¨ ahern, damit sie Ihnen gr¨ un (540 nm) erscheint? Rechnen Sie mit der f¨ ur v c geltenden N¨ aherung und relativistisch exakt. 8.21 Ein Quasar am Rande des noch beobachtbaren Universums zeigt eine so starke Rotverschiebung, dass die ultraviolette Lyman-α-Linie (λ = 121,6 nm) des Wasserstoﬀs auf den 4,8-fachen Wert ins Sichtbare verschoben wird. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit, wenn die Verschiebung durch den Doppler-Eﬀekt hervorgerufen wird? Wie weit ist der Quasar von uns entfernt, wenn die Hubble-Konstante H ≈ 2 · 10−18 s−1 ? (Angabe auch in Lichtjahren.) 8.22 Sch¨ atzen Sie die Doppler-Verbreiterung der roten Heliumlinie (λ = 706,52 nm) bei T = 1 000 K ab. Der Eﬀektivwert der thermischen Geschwindigkeit ist gegeben durch: 3RT veﬀ = M kg Nm R ist die allgemeine Gaskonstante R = 8,314 · 103 kmol·K und M (= 4 kmol ) die (Kilo-)Molmasse.

9 Interferenz von Wellen

Einleitung In Kapitel 8 wurden die Eigenschaften einer (harmonischen) Welle diskutiert. H¨ auﬁg werden sich jedoch zwei oder mehrere Wellen in einem Beobachtungspunkt u ¨ berlagern oder entlang derselben Richtung ausbreiten. Wir werden zun¨achst die ¨ Uberlagerung gleichfrequenter und gleichgerichteter harmonischer Wellen unterschiedlicher Amplitude und Phase untersuchen und feststellen, dass wieder eine harmonische Welle gleicher Frequenz entsteht. Bei der Berechnung der resultierenden Intensit¨ at von koh¨ arenten und inkoh¨arenten Teilwellen ergeben sich wichtige Unterschiede. Daran anschließend werden stehende Wellen behandelt, die bei der Superposition gegenl¨ auﬁger Wellen auftreten. Es folgt die Untersuchung der Interferenz von ebenen Wellen, die sich unter beliebigen Winkeln kreuzen. Zum Schluss wird auf die Gruppengeschwindigkeit – die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Einh¨ ullenden einer Gruppe von harmonischen Wellen unterschiedlicher Frequenz – und deren Zusammenhang mit der so genannten Wellendispersion eingegangen.

260

9 Interferenz von Wellen

9.1 Superpositionsprinzip ¨ Bei der Uberlagerung von Wellen interessiert die momentane Gesamtauslenkung s = s(r, t) in einem Punkt, wenn dort gleichzeitig zwei Wellen mit den Einzelauslenkungen s1 und s2 eintreﬀen. In linearen Medien gilt hierbei das Superpositionsprinzip, das besagt, dass die gesamte Auslenkung einfach gleich der Summe der Einzelauslenkungen ist, dass sich die Wellen also gegenseitig nicht st¨oren: Superpositionsprinzip

s = s1 + s2

(9.1)

¨ Bei der experimentellen Uberpr¨ ufung der aus diesem Prinzip gefolgerten Ergebnisse stellt man fest, dass dieses f¨ ur elektromagnetische Wellen im Vakuum exakt gilt, in Medien jedoch nur bei kleinen Lichtintensit¨aten in der sogenannten linearen Optik. Das Prinzip (9.1) l¨ asst sich auch mathematisch formaler formulieren: Falls s1 und s2 unabh¨ angige L¨ osungen der Wellengleichung (8.34) 1 ∂ 2s · c2 ∂t2 sind, so ist auch die Linearkombination s =

s = as1 + bs2

(9.2)

eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung. a und b sind hierbei willk¨ urliche Konstanten1 . ¨ Die Uberlagerung von elektromagnetischen Wellen kann durch die Vektoraddition der elektrischen oder magnetischen Felder ausgedr¨ uckt werden: 2 =E 1 + E E

=B 1 + B 2 und B

Hierbei ist die Richtung der Einzelvektoren zu beachten. Vektoren, die senkrecht oder parallel zueinander stehen, f¨ uhren zu unterschiedlichen Ergebnissen; dies ¨ werden wir bei der Uberlagerung von polarisiertem Licht best¨atigen. Hier betrachten wir zun¨ achst die elektromagnetischen Felder als Skalare. Diese skalare N¨ aherung ist nur f¨ ur parallele E-Vektoren streng g¨ ultig; sie wird jedoch auch h¨ auﬁg bei ann¨ ahernd parallelen Feldern sowie bei unpolarisiertem Licht ange wendet, bei dem das E-Feld durch zwei orthogonale, inkoh¨arente Komponenten beschrieben werden kann. In Medien treten bei der Wechselwirkung mit Licht sehr hoher Intensit¨at nichtlineare Eﬀekte auf und das Superpositionsprinzip ist nicht mehr exakt g¨ ultig. 1

In der Systemtheorie bezeichnet man ein System, dessen Antwortgr¨ oße s dieses Verhalten zeigt, als lineares System.

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen

261

(9.2) enth¨ alt dann auch Produktterme (∼ s1 · s2 , ∼ s21 . . .), die u.a. zu Frequenzmischung und Frequenzverdopplung f¨ uhren. Diese nichtlineare Optik (s. Kap. 26) hat sich seit der Erﬁndung des Lasers zu einem wichtigen Zweig der modernen Optik entwickelt.

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen In Kapitel 8 wurde gezeigt (s. (8.23) und (8.36)), dass eine ebene harmonische Welle, die in positiver x-Richtung fortschreitet, beschrieben wird durch: harmonische ebene Welle

ˆ1 ej(ωt−kx+ϕ01 ) ≡ E ˆ ej(ωt−kx) E1 = E 1

(9.3)

Hierbei ist ω = 2πf die Kreisfrequenz, k = ω/c = 2π/λ die Kreiswellenzahl und ˆ die E 1 komplexe Amplitude

ˆ = Eˆ1 ejϕ01 E 1

(9.4)

¨ die den Nullphasenwinkel ϕ01 enth¨ alt. Die Uberlagerung von zwei gleichfrequenten ebenen Wellen gleicher Ausbreitungsrichtung und unterschiedlicher Amplituˆ2 ergibt den Feldst¨ arkeverlauf den Eˆ1 und E ˆ1 ej(ωt−kx+ϕ01 ) + E ˆ2 ej(ωt−kx+ϕ02 ) E = E1 + E2 = E

(9.5)

Bei dieser Beschreibung ist die Ortskoordinate x des Beobachtungspunktes in einem Koordinatensystem festgelegt, dessen Ursprung beliebig w¨ahlbar ist. Die – im Allgemeinen unterschiedlichen – Wege von den Sendern zum Nullpunkt, die zu Phasenverschiebungen der beteiligten Wellen f¨ uhren, werden durch die ucksichtigt. In Kapitel 10 wird eine andere Nullphasenwinkel ϕ01 und ϕ02 ber¨ Beschreibung verwendet, bei der die ortsabh¨angigen Phasen der Wellen durch die Abst¨ ande x1 und x2 von den Sendern zum Beobachtungspunkt festgelegt wird. Da Sender und Koordinatensystem in der Regel ortsfest sind, unterscheiden sich die beiden Darstellungen nur um einen konstanten Phasenwinkel. Mit Hilfe der komplexen Amplituden k¨ onnen wir (9.5) folgendermaßen umschreiben: ˆ ej(ωt−kx) + Eˆ ej(ωt−kx) = E ˆ +E ˆ ej(ωt−kx) E=E 1 2 1 2 (9.6) j(ωt−kx) j(ωt−kx+ϕ0 ) ˆ ˆ ≡ Ee =Ee oder in reeller Schreibweise: ebene Gesamtwelle

E = Im(E) = Eˆ sin(ωt − kx + ϕ0 )

(9.7)

262

9 Interferenz von Wellen

¨ Der Vergleich von (9.6) mit (9.3) zeigt uns, dass nach der Uberlagerung eine Welle derselben Frequenz und Kreiswellenzahl vorliegt. Ihre komplexe Amplitude – also Amplitude und Nullphasenwinkel – ist jedoch ge¨andert: ˆ +E ˆ =E ˆ1 ejϕ01 + Eˆ2 ejϕ02 ˆ = Eˆ ejϕ0 = E E 1 2

(9.8)

ˆ und ϕ0 aus den entsprechenden Werten der Einzelwellen beUm Amplitude E rechnen zu k¨ onnen, verwenden wir das Zeigerdiagramm (s. Abb. 9.1) der komplexen Amplituden und erhalten f¨ ur den resultierenden Nullphasenwinkel: tan ϕ0 =

ˆ ) ˆ2 sin ϕ02 ˆ ˆ ) + Im(E Im(E) Im(E Eˆ1 sin ϕ01 + E 1 2 = = ˆ ˆ ) + Re(Eˆ ) ˆ2 cos ϕ02 ˆ1 cos ϕ01 + E Re(E) Re(E E 1 2

(9.9)

¨ Abb. 9.1. Zeigerdiagramm f¨ ur die Uberlagerung von 2 harmonischen Wellen mit den ˆ und E ˆ . a) Zeigeraddition. b) Komponentenzerlegung komplexen Amplituden E 1 2

ˆ kann (s. Abb. 9.1 b) aus E ˆ 2 = Re(E) ˆ 2 + Im(E) ˆ 2 oder mit Hilfe Der Betrag von E des Kosinussatzes berechnet werden. Formal folgt aus (9.8): ˆE ˆ2 ejϕ02 E ˆ2 e−jϕ02 ˆ2 = E ˆ ∗ = Eˆ1 ejϕ01 + E ˆ1 e−jϕ01 + E E (9.10) ˆ 2 + 2E ˆ1 E ˆ2 cos(ϕ02 − ϕ01 ) ˆ2 + E =E 1 2 Mit der Phasendiﬀerenz der Teilwellen

δ = ϕ02 − ϕ01

(9.11)

ˆ 2 (nach (8.52)) ergibt sich hieraus die Gesamtintenund der Intensit¨ at I = 12 εcE sit¨at bei Interferenz von zwei Wellen der Einzelintensit¨aten I1 und I2 : Gesamtintensit¨at (9.12) I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen

263

Die Intensit¨ at ist also nicht einfach die Summe der Einzelintensit¨aten, sondern weist zus¨ atzlich einen Interferenzterm auf, der von der Phasenbeziehung zwischen den Teilwellen bestimmt wird. F¨ ur den wichtigen Spezialfall gleicher Amplituden und Intensit¨ aten (I1 = I2 ) folgt dann: δ (9.13) 2 Bei der Interferenz von Wellen sind zwei Grenzf¨alle besonders interessant: I = 2I1 (1 + cos δ) = 4I1 cos2

a) Konstruktive Interferenz Hier sind die beiden Wellen in Phase, ihre Wellenberge fallen zusammen (s. Abb. 9.2 a). Dann muss die Phasendiﬀerenz ein ganzzahliges Vielfaches von 2π sein: konstruktive Interferenz

δ = m 2π

m = 0, ±1, ±2, . . .

mit

(9.14)

Die Nullphasenwinkel von Gesamtwelle und Teilwellen stimmen u ¨ berein und Amplitude (9.8) sowie Intensit¨ at erreichen ihre Maximalwerte: ˆ1 + E ˆ2 ˆmax = E E Imax = I1 + I2 + 2

(9.15) I1 I2

(9.16)

Bei gleichen Amplituden und Intensit¨ aten der Teilwellen beobachtet man eine Verdopplung der Amplitude, aber die vierfache(!) Intensit¨at. Die konstruktive Interferenz ist in Abb. 9.2 a anhand einer Momentaufnahme veranschaulicht. Nach (9.7) gilt bei t = 0 und ϕ0 = π f¨ ur den r¨ aumlichen Verlauf der Gesamtwelle: 2π ˆ E = Emax sin x (9.17) λ b) destruktive Interferenz Hier sind beide Teilwellen gegenphasig, d.h. Wellenberg triﬀt auf Wellental (s. Abb. 9.2 b). Dies ist der Fall, wenn die Phasendiﬀerenz: destruktive Interferenz

δ = (2m + 1)π

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(9.18)

Dann wird cos δ = −1 und wir beobachten (s. Abb. 9.2 b) die Minimalwerte: ˆ1 − E ˆ2 ˆmin = E E und

264

9 Interferenz von Wellen

¨ Abb. 9.2. Uberlagerung von zwei gleichfrequenten in positiver x-Richtung laufenden ebenen Wellen unterschiedlicher Phasendiﬀerenz δ mit dem Amplitudenverh¨ altnis ˆ 2 /E ˆ1 = 0,8 und Nullphasenwinkel ϕ01 = π, d.h. E1 = −E ˆ1 sin(ωt − kx). MomentaufE ˆmax = 1,8 E ˆ1 ; b) destruktive nahmen bei t = 0. a) konstruktive Interferenz, δ = m2π, E ˆmin = 0,2 E ˆ1 ; c) δ = π/3 + m2π, E ˆ = 1,56 E ˆ1 , ϕ0 = 0,46 rad Interferenz δ = (2m+ 1)π, E

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen

Imin

= I1 + I2 − 2 I1 I2

265

(9.19)

Bei gleichen Amplituden tritt v¨ ollige Ausl¨ oschung auf. ¨ Die obigen Ergebnisse lassen sich leicht auf die Uberlagerung von N Wellen (s. Abb. 9.3) erweitern. Wir schreiben ˆ1 ejϕ01 + Eˆ2 ejϕ02 + E ˆ3 ejϕ03 + . . . ˆ = Eˆ ejϕ0 = E E

(9.20)

und trennen Realteil ˆ =E ˆ cos ϕ0 = Re(E)

N

ˆi cos ϕ0i E

i=1

und Imagin¨ arteil ˆ sin ϕ0 = ˆ =E Im(E)

N

ˆi sin ϕ0i E

i=1

¨ Abb. 9.3. Zeigerdiagramm f¨ ur die Uberlagerung von 4 gleichfrequenten Wellen

Hieraus folgt f¨ ur den Nullphasenwinkel: Nullphasenwinkel

%N ˆ ˆ Im(E) i=1 Ei sin ϕ0i tan ϕ0 = = %N ˆ ˆi cos ϕ0i Re(E) E i=1

F¨ ur den Betrag der Gesamtamplitude gilt:

(9.21)

266

9 Interferenz von Wellen

ˆ 2 + Re(E) ˆ 2 ˆ 2 = Im(E) E

N 2 N 2 ˆi sin ϕ0i = + E Eˆi cos ϕ0i

Amplitude

i=1

(9.22)

i=1

ˆ ∗ berechnen Um die zu (9.10) analoge Form zu erhalten, m¨ ussen wir mit (9.20) Eˆ E und erhalten: Gesamtamplitude

ˆ2 = E

N i=1

ˆ2 + E i

N N

ˆj cos(ϕ0j − ϕ0i ) ˆi E 2E

(9.23)

j>i i=1

Die Notation j > i stellt sicher, dass Terme mit i = j, die bereits in der ersten Summe ber¨ ucksichtigt wurden, und solche mit i < j, die vom Faktor 2 erfasst werden, unber¨ ucksichtigt bleiben. Die Summe von N harmonischen gleichfrequenten und gleichlaufenden Wellen ergibt wieder eine harmonische Welle (9.7) derselben Frequenz aber ge¨ anderter Phase (9.21) und Amplitude (9.22) und (9.23). ˆ∗ = E ˆ1 e−jϕ01 + E ˆ2 e−jϕ02 +. . . f¨ Beweis von (9.23): Multiplikation von (9.20) mit E uhrt 2 2 2 j(ϕ02 −ϕ01 ) −j(ϕ02 −ϕ01 ) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +. . . = E1 + E2 +2E1 E2 cos(ϕ02 − +e zu: E = E1 + E2 + E1 E2 e ϕ01 ) + . . . und damit zu den ersten Gliedern von (9.23), die restlichen Terme ergeben sich analog.

Beispiel 9.1 Interferenz von 3 ebenen Wellen Am Ort x = 0 interferieren drei rechtslaufende Wellen mit dem Feldst¨arkeverlauf: E1 = 7 sin(ωt + π/3), E2 = 12 cos(ωt + π/4) und E3 = 20 sin(ωt + π/5). Bestimmen Sie die resultierende Amplitude sowie den Phasenwinkel ϕ0 und geben Sie die Wellenfunktion an. (Angabe der Feldst¨arkeamplituden in kV/m.) L¨ osung Um eine konsistente Beschreibung der Nullphasenwinkel zu erreichen, muss zun¨ achst mit cos ϕ = sin(ϕ + π/2) die Kosinus- in eine Sinuswelle umgewandelt werden: E2 = 12 sin(ωt + 3π/4). Dann wird mit (9.22): π π 2 3π 2 ˆ + 12 sin + 20 sin E = 7 sin 3 4 5 π π 2 3π + 7 cos + 12 cos + 20 cos 3 4 5 = 26,32 + 11,22 = 817

9.3 Koh¨ arente und inkoh¨ arente Sender

267

ˆ = 28,6 kV/m. und E Dasselbe Ergebnis muss nat¨ urlich aus (9.23) folgen: ˆ 2 = 72 + 122 + 202 + 2 7 · 12 · cos 3π − π + 7 · 20 · cos π − π + E 4 3 5 3 π 3π − = 817 + 12 · 20 · cos 5 4 Nach (9.21) ist ϕ0 = arctan(26,3/11,2) = 1,17 rad = 0,37π. Die resultierende harmonische Welle wird dann durch 28,6 kV/m · sin(ωt − kx + 1,17 rad) beschrieben.

9.3 Koh¨ arente und inkoh¨ arente Sender Bei der Herleitung von (9.12) waren wir von harmonischen Wellenz¨ ugen ausgegangen. Diese verlaufen u unge, sie ¨ber beliebig lange Zeiten ohne Phasenspr¨ sind damit ideal koh¨ arent und exakt monofrequent2. Folglich haben zwei oder mehr Teilwellen immer eine feste Phasenbeziehung zueinander und in (9.12) tritt bei der Ermittlung der mittleren Intensit¨ at ein zeitunabh¨angiger Mittelwert auf: cos δ = cos δ = konst. Bei konstruktiver Interferenz war cos δ = 1 und bei gleichˆ = 2E ˆ1 . Entsprechend interferieren N gleichphasige koh¨arente starken Wellen E Wellen gleicher Amplitude, bei denen alle Zeiger parallel stehen, zur Gesamtamplitude ˆ1 Eˆ = N E

(9.24)

I = N 2 I1

(9.25)

und zur Gesamtintensit¨ at

Bei konstruktiver Interferenz der Strahlung N identischer koh¨arenter Sender addieren sich die Amplituden der Wellen und die resultierende Intensit¨at ist at. das N 2 -fache der Einzelintensit¨ Hat man eine große Zahl von Teilwellen gleicher Amplitude, aber unterschiedlicher Phase, so muss man zwei F¨ alle unterscheiden: 2

Nach der Unsch¨ arferelation (12.31) ist das Produkt aus Frequenz- und Zeitunsch¨ arfe ∆f · ∆t ≈ 1. Bei einem unendlich ausgedehnten Wellenzug gilt dann ∆f = 0.

268

9 Interferenz von Wellen

1. Die Einzelwellen, die z.B. von vielen Radioantennen emittiert werden, verlaufen harmonisch, ihre Phase ϕ0i ist mithin zeitlich konstant, in Bezug auf die anderen Sender aber statistisch verteilt. In diesem koh¨arenten Fall gibt es – bei hinreichend großem N – im statistischen Mittel zu jedem Zeiger i einen Zeiger j entgegengesetzter Richtung und die resultierende Welle verschwindet. 2. Die Phase der Einzelsender schwankt zeitlich statistisch. Dies ist bei der Lichtemission der Fall. Licht emittierende Atome senden nur kurz zusammenh¨ angende – und folglich nur ann¨ ahernd harmonische – Wellenz¨ uge aus, deren Dauer selbst bei monochromatischen“ Spektrallampen nur ca. 1 ns be” tr¨ agt. Der Zeitpunkt der Emission schwankt statistisch. Wellen von 2 Atomen – und damit erst recht von 2 Lampen – sind also inkoh¨arent, sie haben keine feste Phasenbeziehung. In (9.12) wird cos δ = 0, da der Kosinus im zeitlichen Mittel alle Werte zwischen +1 und −1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt, der Interferenzterm verschwindet und die Intensit¨aten sind additiv: I = 2I1 . Bei einer großen Zahl von N inkoh¨arenten Teilwellen k¨onnen wir uns vorstellen, dass sich die Interferenzterme von jeweils 2 Teilwellen herausmitˆ 2 = N · Eˆ2 und die Gesamtintensit¨at: teln. F¨ ur N Sender wird daraufhin E 1 I = N I1

(9.26)

Dieses Ergebnis wird auch aus (9.23) verst¨andlich, wo die Kosinusterme unter der Doppelsumme wieder mit gleicher Wahrscheinlichkeit positive und % negaˆ2 = ˆ2 = E tive Werte annehmen, im Zeitmittel verschwinden und somit E i ˆ12 verbleibt. NE ¨ Bei der Uberlagerung inkoh¨ arenter Wellen ist die Gesamtintensit¨at die Summe der Einzelintensit¨ aten. Konstruktive Interferenz kann zu sehr hohen Intensit¨aten f¨ uhren, so ist z.B. die Intensit¨ at von 100 gleichstarken koh¨ arenten Sendern das Hundertfache von 100 gleichstarken inkoh¨ arenten Sendern.

9.4 Interferenz ebener Wellen beliebiger Frequenz und Richtung In den folgenden Abschnitten wird die Interferenz von ebenen Wellen untersucht, die sich in Frequenz und Ausbreitungsrichtung unterscheiden k¨onnen. Die Ergebnisse sollen – zur Verminderung des Rechenaufwandes – als Spezialf¨alle eines allgemeinen Ansatzes hergeleitet werden.

9.4 Interferenz ebener Wellen beliebiger Frequenz und Richtung

269

Zwei ebene harmonische Wellen unterschiedlicher Frequenz (f1 = f2 ), Richtung (k1 = k2 ) und Amplitude ergeben in einem Punkt P , der durch einen Ortsvektor r festgelegt ist, zum Zeitpunkt t die elektrische Feldst¨arke: ˆ1 ej(ω1 t−k1 ·r+ϕ01 ) +Eˆ2 ej(ω2 t−k2 ·r+ϕ02 ) ≡ E ˆ1 ejα1 +E ˆ2 ejα2 (9.27) E = E 1 +E 2 = E Die Phase der Teilwelle i (mit i = 1, 2) ist somit αi (r, t) = ωi t − ki · r + ϕ0i

Phase der Welle i

(9.28)

und die Wellen weisen eine zeit- und ortsabh¨angige Phasendiﬀerenz δ auf: δ(r, t) = α2 − α1 = (ω2 − ω1 )t − (k2 − k1 ) · r + ϕ02 − ϕ01

(9.29)

Aufgrund dieser Zeitabh¨ angigkeit kann sich dann keine station¨are Interferenz ausbilden. ˆ2 = F¨ ur die weitere Untersuchung soll (9.27) umgeformt werden: Wir setzen E j(α1 +α2 )/2 ˆ ˆ E1 + ∆E und klammern e aus: ˆ1 ej(α1 +α2 )/2 ej(α2 −α1 )/2 + e−j(α2 −α1 )/2 + ∆E ˆ ejα2 E=E ˆ1 cos α2 − α1 ej(α1 +α2 )/2 + ∆E ˆ ejα2 = 2E 2

(9.30)

¨ Bei Ubergang zur reellen Schreibweise (E = Im(E)) wird dies

α2 − α1 α1 + α2 ˆ sin α2 sin + ∆E 2 2 ˆ r, t) sin α1 + α2 + ∆Eˆ sin α2 = E( 2

ˆ1 cos E = 2E

(9.31)

mit der Interpretation: ¨ Bei Uberlagerung von zwei laufenden Wellen unterschiedlicher Frequenz und Richtung entsteht eine Welle, deren Phase gleich dem Mittelwert der Phasen 2 der Einzelwellen ( α1 +α ) ist, mit einer von der Diﬀerenz der Einzelphasen be2 ˆ r, t): stimmten zeit- und ortsabh¨angigen Amplitude E( ˆ r, t) = 2E ˆ1 cos α2 − α1 = 2E ˆ1 cos δ(r, t) Gesamtamplitude E( (9.32) 2 2 ˆ2 = E ˆ1 + ∆E) ˆ verbleibt eine durch die InBei ungleichen Teilamplituden (E terferenz v¨ ollig unbeeinﬂusste laufende Welle der Phase α2 und Amplitude ∆Eˆ (letzter Summand in (9.31)).

270

9 Interferenz von Wellen

9.5 Stehende Wellen Stehende Wellen treten bei der Interferenz gegenl¨auﬁger Wellen auf, die meist durch Reﬂexion laufender Wellen realisiert werden. Wir setzen gleichfrequente Wellen (ω1 = ω2 = ω) gleicher Amplitude voraus und fordern, dass sich Welle 1 in +x- und Welle 2 in −x-Richtung ausbreitet, dass also: k1 ·r = kx und k2 ·r = −kx. Dann folgt aus (9.29) und (9.31) f¨ ur die Beschreibung der stehenden Welle: ˆ ˆ cos(kx + ϕ0x ) · sin(ωt + ϕ0t ) ≡ E(x) sin(ωt + ϕ0t ) E = 2E

(9.33)

(ϕ0x und ϕ0t sind Nullphasenwinkel, die die Rand- und Anfangsbedingungen ber¨ ucksichtigen). Das Ergebnis zeigt, dass es sich bei der stehenden Welle nicht um eine Welle (bei der die Phase, das Argument des Sinus, zeit- und ortsabh¨angig ist), sondern um eine Schwingung (nur zeitabh¨angige Phase) mit ortsabh¨angiger ˆ Amplitude E(x) handelt. Mit k = 2π/λ und ϕ0x = −π/2, sowie ϕ0t = π/2 folgt aus (9.33) f¨ ur die in Abb. 9.4 dargestellte 2π ˆ E(x, t) = 2E sin x · cos ωt (9.34) stehende Welle λ mit der ortsabh¨ angigen Amplitude: ˆ ˆ sin E(x) = 2E

2π x λ

(9.35)

Eine stehende Welle weist als Knoten bezeichnete Punkte auf, an denen Ampliˆ tude E(x) und damit Feldst¨ arke E immer null sind. Solche Knoten treten nach (9.35) f¨ ur 2πx/λ = mπ auf, also bei den Koordinaten: Knotenlage bei ϕ0x = − π2 :

x=m

λ 2

mit

m = 0, 1, 2, . . .

(9.36)

Knoten liegen somit immer im Abstand einer halben Wellenl¨ange. Die Extrema der Amplitude bezeichnet man als B¨auche, ihr Abstand betr¨agt ebenfalls λ/2, w¨ ahrend Knoten und Bauch nur um λ/4 voneinander entfernt sind. Extrema der Auslenkung beobachtet man zu den Zeitpunkten: T mit m = 0, 1, 2, . . . (9.37) 2 Dies ist Ihnen vom schwingenden Pendel bekannt, bei dem in einer Periode zwei Extrema und zwei Nulldurchg¨ ange auftreten. Ein wesentliches Kennzeichen einer Welle, der Energietransport, geht in der stehenden Welle verloren. Die Energie ist zwischen den Knoten gespeichert und t=m

9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen ”

271

Abb. 9.4. Stehende Wellen. a) Typischer Fall f¨ ur das Entstehen einer stehenden Welle ¨ bei Uberlagerung einer rechtslaufenden und durch Reﬂexion gebildeten linkslaufenden Welle. b) Feldst¨ arkeverlauf einer stehenden Welle zu verschiedenen Zeitpunkten. Die durchgezogenen Kurven zeigen die Extremalwerte mit den B¨ auchen. In den Knoten (K) ist E immer Null

h¨ alt die Schwingung aufrecht. Erzeugung der stehenden Welle durch Mehrfachreﬂexion, z.B. in einem Laserresonator, f¨ uhrt zu Reﬂexionsverlusten an den Endspiegeln; zus¨ atzliche Absorptionsverluste in dem Medium bewirken unterschiedliche, ortsabh¨ angige Amplituden der hin- und r¨ ucklaufenden Wellen. Dann kann in den Knoten keine vollst¨ andige destruktive Interferenz auftreten und die B¨auche haben unterschiedliche H¨ ohe. In diesem Fall l¨asst sich die entstehende Welle als ¨ Uberlagerung einer stehenden und einer laufenden Welle beschreiben, die die Energie zum Auskoppelspiegel transportiert.

9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen ” Von besonderem Interesse (z.B. bei der Herstellung von Sinusgittern mit Hilfe von Zweistrahlinterferenz) ist die Superposition von Wellen gleicher Frequenz (gleicher Amplitude), aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung, deren Wellenvekauﬁg kleinen – Winkel 2θ einschließen (s. Vektordiagramm toren k1 und k2 den – h¨ Abb. 9.5 a). In einem rechtwinkligen Koordinatensystem, bei dem die x-Achse in Richtung der Winkelhalbierenden der Einfallsrichtungen zeigt, erh¨alt man unter Verwendung von (9.31) (mit α1 = −k1 ·r = −kx x+ky y, α2 = −k2 ·r = −kx x−ky y ˆ = 0 sowie Abb. 9.5 b) f¨ und ∆E ur die resultierende Welle

272

9 Interferenz von Wellen

2 schr¨aglaufende Wellen wobei k =

k2 k1 + 2

k⊥ = ky = k sin θ =

ˆ1 cos(k⊥ y) · sin(ωt − k x) E = 2E

mit k = kx = k cos θ =

2π λ

sowie k⊥ =

(9.38) k1 k2 − 2

mit

2π . λ⊥

Abb. 9.5. Schr¨ aglaufende ebene Wellen. a) Zwei Teilstrahlen mit den zugeh¨ origen Wellenfronten und Wellenvektoren, die unter dem Winkel 2θ in Punkt P zusammentreﬀen. b) Diagramm der k-Vektoren. Die Summe der Einzelvektoren beschreibt die laufende Welle in x-Richtung (die parallel zur Winkelhalbierenden liegt) und ihre Diﬀerenz die stehende Welle in y-Richtung

9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen ”

273

¨ Das Ergebnis der Uberlagerung von 2 schr¨ aglaufenden Wellen ist mithin eine in Richtung der Winkelhalbierenden (k - bzw. x-Richtung) laufende Welle mit dem Wellenvektor k und der Wellenl¨ ange λ =

λ cos θ

(9.39)

und eine hierzu senkrechte stehende Welle mit dem Wellenvektor k⊥ und der Wellenl¨ange der stehenden Welle

λ⊥ =

λ sin θ

(9.40)

Abbildung 9.5 b verdeutlicht das Entstehen der stehenden Welle aufgrund der antiparallelen y-Komponenten der Wellenvektoren. In Abb. 9.6 a ist der Ver-

Abb. 9.6. a) Momentaufnahme des Amplitudenquadrats der elektrischen Feldst¨ arke bei der Interferenz schr¨ aglaufender Wellen. b) Moir´e-Muster (Verdrehungs-Moir´e) bei unterschiedlichen Verdrehungswinkeln 2θ der Liniengitter

274

9 Interferenz von Wellen

ˆ 2 bei einer Momentaufnahme der Teil- und Gelauf der Amplitudenquadrate E samtwellen dargestellt. Die entstehenden Strukturen lassen sich mit Liniengittern nachbilden, man bekommt die in Abb. 9.6 b dargestellten Moir´e-Muster . In Abb. 9.6 b ist auch der Einﬂuss des Verkippungswinkels 2θ auf die Wellenl¨angen der fortschreitenden und stehenden Welle zu erkennen. Die Registrierung eines solchen Interferenzfeldes mit einem Film oder fotorefraktiven3 Kristall ergibt ein Intensit¨ ats- oder Phasengitter mit Sinusverlauf, bei dem der Gitterabstand g auche einer stehenden Welle ist, also: gleich dem Abstand λ⊥ /2 der B¨ λ (9.41) 2 sin θ Die Gitterkonstante steigt bei Verringerung des Kippwinkels. Solche Gitter haben bei der Erkl¨ arung der Holograﬁe und als HOE4 große Bedeutung (s. Kap. 17.8). g=

Beispiel 9.2 Holograﬁsches Gitter Der aufgeweitete Strahl eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) passiert einen Strahlteiler. Die entstehenden Teilstrahlen schließen in Luft einen Winkel von 8◦ ein und interferieren in einer Fotoschicht der Brechzahl n , die senkrecht zur Winkelhalbierenden der Strahlen steht. Wie groß ist der Abstand der Interferenzstreifen in Luft und in der Schicht? L¨ osung λ0 λ0 Nach (9.41) gilt in Luft (mit 2θ = 8◦ ): g = 2 sin θ ≈ sin 2θ = 4,5 µm und in 0 dem Fotomedium g = n 2λsin θ . Da nach dem Brechungsgesetz sin θ = n sin θ , wird der Einﬂuss der kleineren Wellenl¨ange des Mediums gerade durch die Brechung zum Lot hin kompensiert und die Gitterkonstanten stimmen u ¨ berein.

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit In der Optik ist die Superposition von Wellen gleicher oder vergleichbarer Amplitude aber (wenig) unterschiedlicher Frequenz von großer Bedeutung. Aufgrund der Dispersion breiten sich solche Wellen (in Medien) mit unterschiedlicher Ge¨ schwindigkeit aus. Die Uberlagerung von Wellen, deren Wellenfronten mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit fortschreiten, f¨ uhrt zu einer periodischen ¨ Anderung der Gesamtamplitude. Ein Punkt maximaler Gesamtamplitude breitet sich dann auch mit einer anderen Geschwindigkeit, der Gruppengeschwindigkeit, 3 4

Medium (z.B. Lithium-Niobat), das bei Belichtung seine Brechzahl ¨ andert. HOE = H olograﬁsch-Optische-E lemente.

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

275

aus, w¨ ahrend die Maxima der Teilwellen mit der Phasengeschwindigkeit fort¨ schreiten. Die wesentlichen Ergebnisse k¨ onnen schon an der Uberlagerung von 2 Wellen demonstriert werden. Wir setzen bei Anwendung von (9.31) zwei in x-Richtung fortschreitende Welˆ = 0) voraus len (mit den Phasen αi = ωi t − ki x + ϕ0i ) gleicher Amplitude (∆E und w¨ ahlen die Nullphasenwinkel so, dass aus (9.31) ein Kosinusprodukt folgt: ˆ cos (ωg t − kg x) · cos (ωp t − kp x) = E(x, ˆ t) cos (ωp t − kp x) E = 2E

(9.42)

1 1 2 2 mit ωg = ω2 −ω , kg = k2 −k und ωp = ω1 +ω , kp = k1 +k . 2 2 2 2 ˆ t) = Gleichung (9.42) beschreibt eine Welle, bei der die Amplitude E(x, ˆ · cos (ωg t − kg x) nunmehr zeit- und ortsabh¨angig ist, allerdings mit – ge2E gen¨ uber den Einzelwellen – stark vergr¨ oßerten zeitlichen und o¨rtlichen Periodenl¨ angen, da h¨ auﬁg gilt: f1 ≈ f2 und damit ωp ωg und somit auch kp kg . In Abb. 9.7 sind f¨ ur einen festen Ort der Verlauf von niederfrequenter Amplitude ˆ t) und hochfrequentem Schwingungsterm (cos(ωp t − kp x)) sowie der durch E(x, Produktbildung entstehende Gesamtverlauf (9.42) einer amplitudenmodulierten Schwingung wiedergegeben. Man beobachtet das von der Bewegung zweier gekoppelter Pendel oder von zwei leicht verstimmten Stimmgabeln bekannte Ph¨anomen der Schwebung. Aus Abb. 9.7 b ist ersichtlich, dass die Gesamtschwingung mit der doppelten Frequenz der Einh¨ ullenden oszilliert, man erh¨alt damit die

fs = 2fg = f2 − f1

Schwebungsfrequenz

(9.43)

Wie erw¨ ahnt, breiten sich in einem Medium Lichtwellen unterschiedlicher Wellenl¨ ange im Allgemeinen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus. Selbst das als monochromatisch bezeichnete Laserlicht besteht aus einem – wenn auch schmalen – Wellenl¨ angenband um die mittlere Wellenl¨ange. F¨ ur zwei beliebige Wel¨ lenl¨ angen dieses Bandes l¨ asst sich die oben behandelte Uberlagerung der Teilwelur len vornehmen und die Geschwindigkeit c = ωk berechnen. Man erh¨alt dann f¨ die Phasengeschwindigkeit des hochfrequenten (ωp ) Anteils von (9.42) Phasengeschwindigkeit

cp =

ωp ω1 + ω2 ω = ≈ = λf kp k1 + k2 k

(9.44)

wobei benachbarte Frequenzen vorausgesetzt wurden, so dass ω1 ≈ ω2 = ω und entsprechend k1 ≈ k2 = k. Die Einh¨ ullende, der niederfrequente Anteil von (9.42), schreitet mit der Gruppengeschwindigkeit

cg =

ωg ω2 − ω1 dω = ≈ kg k2 − k1 dk

(9.45)

276

9 Interferenz von Wellen

Abb. 9.7. a) Verlauf der Kosinusterme Amplitude“ (cos(ωg t − kg x)) und Schwin” ” gung“ (cos(ωp t − kp x)) (s. (9.42)) als Funktion der Zeit f¨ ur fp = 10 · fg und die Orte x = x0 = 0, λg , . . . sowie ebenso als Funktion des Ortes f¨ ur die Zeiten t = 0, T, . . . b) Amplitudenmodulierte Gesamtwelle (9.42). c) Schwebung bei Liniengittern (VerlaufsMoir´e).

¨ fort. Die diﬀerentielle Anderung setzt wieder kleine Unterschiede der entsprechenden Gr¨ oßen voraus. Gruppen- und Phasengeschwindigkeit m¨ ussen nicht gleich groß sein. F¨ ur cp > cg laufen die hochfrequenten Wellen nach rechts unter der ” urde eine solche Relativbewegung verEinh¨ ullenden hindurch“, nur f¨ ur cp = cg w¨ schwinden. Dies l¨ asst sich auch mit einem Oszilloskop demonstrieren, bei dem die Frequenz fa der horizontalen Ablenkspannung nicht mit der Frequenz f1 eines Eingangssignals u ¨bereinstimmt. Ist f1 etwas kleiner als fa , so sieht man den Wellenzug langsam nach rechts laufen, seine Geschwindigkeit steigt mit der Frequenzdiﬀerenz fa − f1 an. Mit einem zus¨atzlichen zweiten Signal mit f2 f1 beobachtet man eine sich langsam (∼ fa − (f1 − f2 )) nach rechts bewegende

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

277

Schwebungsﬁgur, die von einer im linken Knoten entstehenden hochfrequenten Welle u ¨ berholt wird, deren Geschwindigkeit proportional zu fa − 12 (f1 + f2 ) ist. asst sich ein Zusammenhang zwischen Gruppen- und PhasenMit ω = cp k l¨ geschwindigkeit herstellen: k dn λ dn Gruppen- und Phasen= cp 1 + · (9.46) cg = cp 1 − · geschwindigkeit n dk n dλ

d(kc )

Beweis: Nach ist cg = dω = dkp , bei Anwendung der Produktregel wird dies dk (9.45) dc dc c c = − np · dn = np · dn · λ . Der cg = cp + k dkp (∗). Wegen cp = cn0 ist dkp = − nc02 · dn dk dk dλ k letzte Schritt folgt aus k =

2π λ

wegen

dk k

= − dλ . Einsetzen in (∗) ergibt (9.46). λ

Im Vakuum verschwindet die Dispersion, dann ist dn = 0, Phasen- und Grupdλ pengeschwindigkeit werden unabh¨ angig von der Wellenl¨ange und sind immer gleich groß. In Medien mit normaler Dispersion ist dn dλ < 0 und mithin cg < cp . Wie bereits erw¨ ahnt, k¨ onnen diese Ergebnisse auch auf ein Kontinuum von Teilwellen aus einem schmalen Frequenzband u ¨ bertragen werden. Auch hier gibt es die Phasengeschwindigkeit, mit der die Teilwelle der Mittenfrequenz fortschreitet und die Gruppengeschwindigkeit des gesamten Wellenpulses. Letztere bestimmt die Geschwindigkeit, mit der die Energie der Welle transportiert wird, und ist die mit einem Detektor direkt messbare Gr¨oße. Bei einer amplitudenmodulierten Radiowelle w¨ urde man die Gruppengeschwindigkeit als Signalgeschwindigkeit bezeichnen. Lichtpulse in Lichtwellenleitern werden aufgrund der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten der beteiligten Teilwellen verbreitert; damit wird ¨ die Ubertragungskapazit¨ at f¨ ur Informationen begrenzt. Die Wellenmechanik beschreibt ein lokalisiertes Elektron durch ein schmales Wellenpaket, das sich in harmonische Materiewellen aufspalten l¨ asst. Die Geschwindigkeit des Elektrons ist durch die Gruppengeschwindigkeit der beteiligten Wellen gegeben. Ein interessantes Beispiel f¨ ur den Unterschied zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit liegt bei schr¨ aglaufenden Wellen vor. Die Phasengeschwindigkeit folgt aus (9.38) oder cp = λ f und (9.39) zu: c (9.47) cos θ Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Einzelstrahl in x-Richtung fortpﬂanzt, also die x-Komponente von c: cp =

cg = c cos θ

(9.48)

Das Produkt der beiden Geschwindigkeiten ist winkelunabh¨angig: cp cg = c2

(9.49)

278

9 Interferenz von Wellen

¨ Ubungen 9.1 Zwei ebene Wellen sind gegeben durch: E1 =

ˆ 5E x 3m

−

2 4 st

und +2

E2 =

ˆ −5E x 3m

+ 4 st − 6

2

+2

a) Beschreiben Sie die Bewegung dieser Wellen. ¨ b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Uberlagerung der Wellen u ¨ berall null? c) An welchem Punkt x0 l¨ oschen sich die Wellen immer aus? 9.2 a) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der folgenden in +x-Richtung laufenden harmonischen Mikrowellen der Frequenz f = 1 GHz und ihrer Resultierenden: π ˆ2 = 7 V , ˆ1 = 2 V , E E ϕ01 = 0 ϕ02 = m m 4 b) Beschreiben Sie die resultierende Welle (im Vakuum) in komplexer und Sinusform. 9.3 Finden Sie die Resultierende von 2 Einzelseilwellen mit den Amplituden 3 und 4 mm und den Nullphasenwinkeln 30◦ und 90◦ , wenn ihre Geschwindigkeit 2 m/s und die Frequenz 2 Hz betr¨ agt. 9.4 Zwei entlang der x-Achse laufende Wellen haben am Ort x = 0 den zeitlichen Verlauf: s1 = 5 mm · sin(ωt + π/2) und s2 = 7 mm · sin(ωt + π/3), ihre Phasen¨ geschwindigkeit ist c. Geben Sie die Gleichung der durch Uberlagerung erzeugten Welle an. 9.5 An einem festen Ort (in Luft) beobachtet man f¨ ur drei in negativer x-Richtung laufende Wellen den folgenden zeitlichen Verlauf des E-Feldes: E1 = 1V/m·sin(ωt− 10◦ ), E2 = 3 V/m·cos(ωt+100◦ ) und E3 = 2 V/m·sin(ωt−30◦ ). Die Periodendauer betr¨ agt 10 ns. Wie lautet die Beschreibung des E-Feldes der resultierenden Welle, wenn die einzelnen E-Vektoren parallel liegen? (Beachten Sie die Umrechnung von Grad in rad.) 9.6 100 Antennen emittieren identische Wellen mit dem zeitlichen Verlauf E = 0,02 V/m· sin(ωt + ϕ0 ). Die Wellen interferieren an einem festen Ort. Welche Amplitude hat die resultierende Welle, wenn am Empf¨ anger: a) alle Wellen in Phase sind (koh¨ arente Sender), b) die Phasenbeziehungen zuf¨ allig verteilt sind? 9.7 Zwei gleichfrequente ebene Wasserwellen schwingen in z-Richtung. Ihre Auslenkung ist gegeben durch: x t +π s(x, t) = 5 mm · sin 150 + 6 s cm y π t + s(y, t) = 2 mm · sin 150 + 6 s cm 2 Berechnen Sie die Auslenkung am Punkt x = 5 cm und y = 2 cm.

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

279

9.8 Zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit besteht der Zusammenhang: dcp dλ a) Beweisen Sie diese Beziehung und geben Sie cg auch als Funktion von n und ω an. b) Stellen Sie fest, ob die Gruppengeschwindigkeit in Medien mit normaler Dispersion dn oßer oder kleiner als die Phasengeschwindigkeit ist. dλ < 0 gr¨ cg = cp − λ ·

9.9 Die Abbesche Zahl ist deﬁniert als νd = (nd − 1)/(nF − nC ), wobei sich C, d und F auf die Fraunhofer-Wellenl¨ angen λC = 656,3 nm, λd = 587,6 nm und λF = 486,1 nm beziehen. Sch¨ atzen Sie die Gruppengeschwindigkeit f¨ ur ein Glas mit der Abbezahl 30 und nd = 1,50 ab. 9.10 Die Brechzahl von Glas kann n¨ aherungsweise durch die empirische Cauchy-Beziehung n = A + λB2 beschrieben werden. Berechnen Sie hiermit Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bei λ = 500 nm f¨ ur ein Glas mit A = 1,40 und B = 2,5 · 104 nm2 . 9.11 Zwischen Dielektrizit¨ atszahl εr und Brechzahl n besteht die Relation: εr = n2 . a) Beweisen Sie, dass dann die Gruppengeschwindigkeit ω dεr c0 1− · cg = √ εr 2εr dω b) Bei Gasen ﬁndet man die empirische Beziehung: A ω02 − ω 2 Hierbei sind A und ω0 f¨ ur das Gas charakteristische Konstanten. Falls der zweite Term klein ist, kann man f¨ ur die Gruppengeschwindigkeit schreiben: Aω 2 cg ≈ c0 1 − 2 (ω0 − ω 2 )2 Wieso ? εr = 1 +

9.12 a) Beweisen Sie die folgende Beziehung f¨ ur die Gruppengeschwindigkeit: dcp dλ b) Berechnen Sie hiermit cg f¨ ur ein Medium, in dem cp = A + Bλ. Erkl¨ aren Sie das Ergebnis. cg = cp − λ ·

9.13 Bei Wasserwellen k¨ onnen zwei Grenzf¨ alle unterschieden werden: Bei großer Wassertiefe und Wellenl¨ ange – also auf dem hohen Meer – wird die R¨ uckstellkraft der schwingenden Teilchen durch die Schwerkraft hervorgerufen. Man spricht von Schwerewellen mit der Phasengeschwindigkeit cp = gλ (mit g = 9,81 m/s2 ). Wel2π len kleiner Wellenl¨ ange – die Oberﬂ¨ achenwellen – werden aufgrund der Oberﬂ¨ achen2πσ spannung σ vorw¨ artsgetrieben, hier ist cp = mit = Dichte des Wassers. λ

Zeigen Sie, dass f¨ ur Schwerewellen cg = gilt.

cp 2

und f¨ ur Oberﬂ¨ achenwellen cg =

3 c 2 p

280

9 Interferenz von Wellen

9.14 Monochromatisches Laserlicht triﬀt senkrecht auf einen ebenen Spiegel, der sich mit der Geschwindigkeit v entfernt. Welche Schwebungsfrequenz beobachtet man ¨ bei Uberlagerung von emittiertem und reﬂektiertem Strahl? x 9.15 Auf einer Saite breiten sich die gegenl¨ auﬁgen Wellen s1,2 = 7 mm·sin 200π ts ∓ 2 m aus. Untersuchen und skizzieren Sie die resultierende Welle und geben Sie deren Amplitude, Wellenl¨ ange, Frequenz und Geschwindigkeit an. 9.16 In einem Kundtschen Rohr bildet sich eine stehende Schallwelle aus, deren Auslenkung durch πx t s = 3 µm · sin · cos 560π 0,6 m s gegeben ist. a) Bestimmen Sie Amplitude, Frequenz, Wellengeschwindigkeit und Wellenfunktion der erzeugenden laufenden Wellen. b) Wie groß ist der Knotenabstand? c) Berechnen Sie Auslenkung, Schnelle und Beschleunigung eines Teilchens bei x = 2 cm f¨ ur t = 0,22 s. 9.17 Schreiben Sie zwei gegenl¨ auﬁge gleichfrequente Wellen in komplexer Notation auf ¨ und zeigen Sie, dass deren Uberlagerung eine stehende Welle ergibt.

6 Optische Instrumente

Einleitung In diesem Kapitel werden wir die Methoden der geometrischen Optik, die wir vorher entwickelt haben, bei der Diskussion verschiedener optischer Instrumente einsetzen. Das Kapitel beginnt mit einer Einf¨ uhrung in die Wirkung von Blen¨ den, Pupillen und Luken, die den Oﬀnungswinkel der Lichtb¨ undel begrenzen, die von optischen Instrumenten verarbeitet werden. Blenden bestimmen z.B. die Helligkeitsverteilung in der Bildebene, die Bildsch¨arfe“ oder den Bildausschnitt. ” Folgende optische Instrumente werden behandelt: Prisma, Kamera, Lupe, Okular, Mikroskop und Fernrohr.

6.1 Blenden, Pupillen und Luken Bisher haben wir Verfahren untersucht, die den Verlauf von Strahlen durch ein optisches System Schritt f¨ ur Schritt durch die Formeln der Gaußschen Optik (Kapitel 3) oder die Matrixmethode (Kapitel 4) beschreiben. Dies waren Konstruktionsmethoden f¨ ur die optische Abbildung, wir sprechen vom Abbildungsstrahlengang, der durch die Konstruktionsstrahlen deﬁniert ist. Nicht jeder Strahl, der von einem Objektpunkt ausgeht und in ein optisches System eintritt, tr¨agt jedoch zum Bild bei. Abh¨ angig vom Ort des Objektpunktes und dem Neigungswinkel des Strahls bez¨ uglich der optischen Achse kann dieser Strahl aufgrund des Durchmessers der optischen Bauelemente (Linsen, Spiegel, Blenden) blockiert werden. Ein ¨ Objektpunkt wird deshalb durch Lichtb¨ undel abgebildet, deren Oﬀnungswinkel durch die optischen Bauelemente begrenzt ist (s. Abb. 6.1).

148

6 Optische Instrumente

Blenden werden u.a. zur Verbesserung der optischen Abbildung eingesetzt. Im Kap. 5 haben wir gesehen, dass Blenden zur Verringerung der sph¨arischen Aberration, des Astigmatismus und der Verzeichnung benutzt werden k¨onnen. In anderen Anwendungen setzt man Blenden ein, um das Bild scharf zu begrenzen, wie man z.B. beim Hineinblicken in das Okular eines optischen Instrumentes erkennt. Man benutzt Blenden, um st¨ orende Lichtstreuung an optischen Komponenten abzuschirmen. Blenden sind immer gegenw¨artig, da jede Linse einen endlichen Durchmesser hat und deshalb als Blende im System wirkt. Blenden beeinﬂussen die Eigenschaften eines optischen Systems in entscheidender Weise. Die Verringerung des Durchmessers einer einzelnen Linse kann zur Reduktion der Abbildungsfehler f¨ uhren, wobei dann oﬀensichtlich das Bild, das von der Linse entworfen wird, geringere Helligkeit aufweist. In diesem Kapitel untersuchen wir, wie die Sch¨arfentiefe der Abbildung durch ein optisches System vergr¨ oßert wird, wenn man den wirksamen Durchmesser der Linse verringert. Der Linsendurchmesser bestimmt durch die unvermeidbaren Beugungserscheinungen (s. Kap. 16) auch bei aberrationsfreier Optik die Aufl¨osung im Bild. Zus¨atzlich deﬁnieren Blenden den Feldwinkel ( Blickwinkel“, Gesichtsfeld“) und damit die ” ” Ausdehnung des Objektfeldes, das im Bild erscheint. 6.1.1 Bildhelligkeit: Blenden und Pupillen Aperturblende (AB) Aperturblende nennt man die k¨ orperliche Blende in einem optischen System, ¨ die den Oﬀnungswinkel 2u des abbildenden Strahlenb¨ undels begrenzt, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht (s. Abb. 6.1 a). Die Helligkeit des Bildes wird durch die Aperturblende festgelegt. Die Blende“ ” der Kamera oder die Iris des menschlichen Auges sind Beispiele f¨ ur Aperturblen¨ den. Ein anderes Beispiel ist das Fernrohr, in dem die Oﬀnung (Durchmesser) der Objektivlinse als Aperturblende festlegt, wie viel Licht vom Fernrohr aufgenommen wird. Die Aperturblende ist jedoch nicht immer identisch mit der ersten Komponente eines optischen Systems. In Abb. 6.1 a bestimmt die Blende AB vor ¨ der Linse als Aperturblende den Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das durch die Linse verarbeitet werden kann. Wenn jedoch das Objekt OP n¨aher an die AB herangef¨ uhrt wird, kann schließlich die Linsenfassung die begrenzende Apertur ¨ werden. In diesem Fall ist der Oﬀnungswinkel des B¨ undels, das von der Linsenfassung begrenzt wird, kleiner als der von der Blende vor der Linse vorgegebene Winkel, so dass die Linse als Aperturblende wirkt.

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

149

Abb. 6.1. Begrenzung von Strahlenb¨ undeln durch verschiedene Kombinationen von Sammellinse und Aperturblende (AB)

150

6 Optische Instrumente

Eintrittspupille (EP ) Die Eintrittspupille ist das Bild der Aperturblende, wenn man von der Objektseite in das optische System blickt. In Abb. 6.1 a ist dies die Aperturblende AB selbst, in diesem Falle sind also AB und EP identisch. Dies ist aber nicht der allgemeine Fall, wie wir aus Abb. 6.1 b erkennen. Hier steht die Aperturblende hinter der Linse, wie in den meisten fotograﬁschen Kameras. Welche Komponente wirkt nun b¨ undelbegrenzend? Es ist die ¨ Komponente, deren Gr¨ oße den Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von O ausgeht, begrenzt. In der Abbildung ist die Eintrittspupille durch die gestrichelte Linie, die mit EP bezeichnet ist, markiert. Strahlen, die von O auf diese virtu¨ elle Blende zulaufen, haben einen kleineren Oﬀnungswinkel als Strahlen, die auf die Begrenzung der Linse fallen. Strahlen, die von O aus auf den Rand der EP zielen, werden durch die Linse so gebrochen, dass sie gerade am Rand der realen Aperturblende vorbeigehen. Dies gilt, weil AB und EP zueinander konjugiert sind. Die Randpunkte der EP sind die Bilder der Randpunkte der AB. In Abb. 6.1 c wird ein weiteres Beispiel gezeigt, bei dem die Blende vor der Linse steht und als Aperturblende f¨ ur das System wirkt. Dieser Fall ist von Abb. 6.1 a verschieden, weil die Blende innerhalb der Brennweite der Linse liegt. Trotzdem wirkt die Blende als Aperturblende f¨ ur das System, weil sie – und nicht die Linse – b¨ undelbegrenzend wirkt. Weiterhin ist sie die EP des Systems, da sich kein weiteres abbildendes Element zwischen der Aperturblende und dem Objekt beﬁndet. Austrittspupille (AP ) Die Eintrittspupille eines optischen Systems ist das Bild der Aperturblende, das man von der Objektseite aus im optischen System sieht. Von der Bildseite des optischen Systems aus sieht man ein anderes Bild der Aperturblende, das den ¨ undels begrenzt. Oﬀnungswinkel 2u des austretenden Strahlenb¨ Die Austrittspupille ist das Bild der Aperturblende, wenn man von der Bildseite in das optischen Systems blickt. Die Austrittspupille ist folglich das Bild der Aperturblende, das durch die abbildenden Elemente zwischen der Blende und dem Bild des Objektes erzeugt wird. Die Aperturblende in Abb. 6.1 b ist auch Austrittspupille des Systems, da sie das letzte optische Bauteil im Strahlverlauf ist. Die Austrittspupille ist zur Aperturblende konjugiert, die Ebenen AP und AB sind hier zueinander konjugierte Ebenen. Die AP ist immer zur EP konjugiert, d.h. die AP ist das Bild der EP . In Abb. 6.1 a ist die AP das reelle Bild der EP ; in Abb. 6.1 c ist sie ein virtuelles

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

151

Bild. Wir sehen, dass in jedem Fall die Strahlen, die den Rand der Eintrittspupille treﬀen, auch den Rand der Austrittspupille ber¨ uhren. In dem System der Abb. 6.1 a erh¨ alt man auf einem Schirm, den man an den ¨ Ort der Austrittspupille bringt, ein scharfes Bild der kreisf¨ormigen Oﬀnung der Aperturblende. In einem optischen System, wie z.B. dem Okular, ist es wichtig, die Austrittspupille in Bezug auf Lage und Durchmesser mit der Pupille des ¨ ¨ Auges in Ubereinstimmung zu bringen. Die Austrittspupille begrenzt den Oﬀ nungswinkel 2u der Strahlen, die einen Bildpunkt ergeben. 6.1.2 Hauptstrahl Der Hauptstrahl eines von einem Objektpunkt ausgehenden Lichtb¨ undels zielt auf die Mitte der Eintrittspupille. Der Hauptstrahl verl¨asst das optische System in der Richtung, die durch die Mitte der Austrittspupille und den konjugierten Bildpunkt festgelegt ist. Der Hauptstrahl ist repr¨ asentativ f¨ ur das abbildende Lichtb¨ undel. Die Eintrittspupille ist das Bild der Aperturblende und zur Austrittspupille konjugiert, deshalb muss der Hauptstrahl real durch die Mitte der Aperturblende verlaufen. Untersuchen Sie dieses Verhalten in allen drei Systemen der Abb. 6.1. Sie erkennen, dass der Hauptstrahl im Strahlenb¨ undel, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht, mit der optischen Achse u ¨ bereinstimmt.

Abb. 6.2. Begrenzung von Lichtstrahlen in einem optischen System, das aus zwei Positivlinsen und einer Blende besteht

152

6 Optische Instrumente

Als N¨ achstes betrachten wir ein System, das etwas komplizierter als das von Abb. 6.1 ist. Nat¨ urlich kann die einzelne Linse der Abb. 6.1 f¨ ur ein komplettes optisches System stehen, wobei die Strahlenwege durch die Hauptpunkte festgelegt sind. In Abb. 6.2 wird ein System dargestellt, das aus zwei Linsen L1 und ussen L2 mit einer Blende AB zwischen den beiden Linsen besteht. Zun¨achst m¨ wir folgende Frage beantworten: Welches Element wirkt als die b¨ undelbegrenzende Aperturblende des Gesamtsystems? Hierzu bestimmen wir, welches Element des gegebenen Systems – in diesem Fall AB, L1 oder L2 – die Eintrittspupille festlegt, die vom Objektpunkt aus gesehen das Strahlenb¨ undel mit dem kleinsten ¨ Oﬀnungswinkel deﬁniert. Um zu entscheiden, welches Element die Aperturblende ist, bestimmt man die Eintrittspupille jedes Elementes: L2 :

Durch ein Konstruktionsstrahlendiagramm oder eine Berechnung l¨asst oﬀnung L2 , das durch L1 erzeugt wird, sich das Bild L2 der Linsen¨ ermitteln. In Abb. 6.2 ist Lage und Gr¨oße dieses Bildes gezeigt. AB: Das Bild der Blende AB, das durch L1 entworfen wird, ist virtuell, es ist mit AB1 bezeichnet. L1 : Da die Linse L1 das erste Systemelement ist,wirkt sie auch als Eintrittspupille. Die drei Pupillen L2 , L1 und AB1 werden als N¨achstes vom axialen Objektpunkt ur ein B¨ undel von O aus den kleinsten O aus betrachtet. Daraus, dass AB1 f¨ ¨ Oﬀnungswinkel aufweist, schließen wir, dass die Blende AB die Aperturblende und AB1 die Eintrittspupille des Systems ist. Wenn die Aperturblende ermittelt ist, wird sie durch die rechts beﬁndlichen optischen Elemente abgebildet und deﬁniert die Austrittspupille. In unserem Fall wird AB durch L2 in AB2 abgebildet. In Abb. 6.2 ist der Hauptstrahl zusammen mit zwei Randstrahlen, die von den Randpunkten O und P des Objektes ausgehen und auf den Rand der Eintrittspupille zielen, gezeichnet. Wir sehen, dass der Hauptstrahl real durch die Mitte der Aperturblende AB verl¨ auft, auf die Mitte der Eintrittsspupille EP zielt und aus der Mitte der AP kommt. Der Hauptstrahl – oder seine Verl¨ angerung – schneidet die optische Achundel, das vom Objektpunkt se in den Ebenen AB, AB1 und AB2 . Das Strahlenb¨ ¨ O oder P ausgeht und dessen Oﬀnungswinkel durch die Eintrittspupille AB1 begrenzt wird, durchl¨ auft gerade noch die Austrittspupille AB2 . Das reelle Bild des ultige Objektes, das durch L1 erzeugt wird, ist durch O P bezeichnet. Das endg¨ Bild des Objektes, das durch L2 erzeugt wird, ist virtuell, da die Strahlen, die durch O oder P verlaufen, rechts von L2 divergieren.

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

153

6.1.3 Gesichtsfeld Feldblende (F B) ¨ Der Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht, wird durch die Eintrittspupille begrenzt, die damit die Helligkeit des Bildes bestimmt. Eine weitere Kenngr¨oße eines optischen Systems ist die Gr¨oße des abgebildeten Objektfeldes. Hierzu gibt es zwei M¨ oglichkeiten. Man kann zum einen f¨ ur eine bestimmte Objektweite den Durchmesser (oder bei einem Rechteckfeld Breite und H¨ohe) direkt angeben, zum anderen kann man den Feldwinkel 2w als Kenngr¨oße nennen. w ist der Winkel zwischen der optischen Achse und dem Hauptstrahl, der von einem Randpunkt des vom optischen System h¨ochstens abbildbaren Objektfeldes ausgeht und auf die Mitte der Eintrittspupille zielt, und w der entsprechende bildseitige Winkel f¨ ur den Hauptstrahl, der aus der Richtung der Mitte der Eintrittspupille auf einen Randpunkt des Bildfeldes zul¨auft. Das Element, das die Gr¨ oße des vom optischen System abbildbaren Objektfeldes bzw. den Feldwinkel festlegt, nennt man Feldblende. Ein sehr einfaches Beispiel f¨ ur die Einschr¨ ankung des Feldes ist ein Blick durch ein Fenster. Die Feldblende einer Kamera ist das Filmformat, das die Gr¨oße des Filmbildes begrenzt, sie liegt hier in der Bildebene. Bei einem Diaprojektor ist der Diarahmen eine Feldblende, die sich in der Objektebene beﬁndet und damit den projizierten Ausschnitt des Filmes deﬁniert. Linsen k¨onnen ebenfalls als Feldblenden wirken, wie weiter unten gezeigt wird. Um zu sehen, wie eine Feldblende wirkt, betrachten wir Abb. 6.3. In Teil a) besteht das optische System aus einer einzelnen Linse und einer Blende, die sich vor der Linse beﬁndet. Strahlenb¨ undel, die von einem axialen Objektpunkt O ¨ ausgehen, sind im Oﬀnungswinkel durch die Blende beschr¨ankt. Sie werden durch ur einen außeraxialen Punkt die Linse zum Punkt O fokussiert. Das Gleiche gilt f¨ allen ist die Linse groß genug, um das auftreﬀende P und sein Bild P . In beiden F¨ Strahlenb¨ undel vollst¨ andig zu verarbeiten. Wenn die Objektebene gleichm¨aßig hell ist und die Blende durch ein kreisf¨ ormiges Loch gebildet wird, dann ist die Bestrahlungsst¨ arke innerhalb eines Kreises mit dem Radius O P in der Bildebene homogen. Der Hauptstrahl, der von P ausgeht, durchl¨auft alle Elemente des optischen Systems ohne Einschr¨ ankung. Der Punkt P liegt oﬀensichtlich im Objektfeld. Dieses wird vom Feldwinkel 2w, der durch den Linsendurchmesser deﬁniert ist, festgelegt. Betrachtet man nun Objektpunkte, die weiter von der optischen Achse entfernt sind, so wird ein Teil der Strahlen aus solchen Punkten – nach Durchlaufen der Blende – die Linse verfehlen. Dies gilt z.B. f¨ ur Punkt P2 im Teil b) der Abb. 6.3, wobei das gleiche optische System wie in a) vorliegt. P2 ist so gew¨ahlt, dass der Haupt- oder zentrale Strahl des B¨ undels gerade den oberen Rand der

154

6 Optische Instrumente

Abb. 6.3. Die Abbildungen a) und b) zeigen f¨ ur dasselbe optische System die Wirkung der Linsen¨ oﬀnung als Feldblende. In a) wird der Punkt P ohne Einschr¨ ankung abgebildet. In b) tritt Vignettierung (Abschattung, geringere Helligkeit im Bildpunkt P2 ) auf und der Punkt P3 wird nicht mehr abgebildet. Abb. c) ist ein Beispiel f¨ ur ein komplizierteres optisches System, wobei die durch die Hauptstrahlen und die Feldblende F B deﬁnierten Feldwinkel 2w bzw. 2w in Objekt- und Bildraum dargestellt sind. In diesem Fall sind die Pupillen und Luken reelle Bilder der Apertur- und der Feldblende

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

155

Linse verfehlt. Ungef¨ ahr die H¨ alfte des Strahlenb¨ undels geht verloren, dies bedeuahr halb so viel Licht empf¨angt wie die Punkte tet, dass der Bildpunkt P2 ungef¨ O und P1 . Betrachtet man die Bildebene, so nimmt die Helligkeit mit zunehmender Entfernung von der optischen Achse ab. Diese teilweise Abschattung der ur außeraxiale Objektpunkte ¨außeren Teile eines Bildes durch eine Blende, die f¨ auftritt, nennt man Vignettierung. Starke Vignettierung erzeugt ein Bild eines punktf¨ ormigen Objektes, das astigmatisch aussieht. Schließlich w¨ahlen wir einen Objektpunkt P3 so, dass alle Strahlen, die durch die Blende gehen, die Linse vollst¨ andig verfehlen. Im betrachteten Fall wirkt die Linsen¨oﬀnung als Feldblende. Wenn der Rand des Bildfeldes scharf begrenzt werden soll, ist es sinnvoll, die Feldblende in die Bildebene zu bringen, so dass sie mit dem Bild zugleich scharf ist. Ein einfaches Beispiel einer solchen Feldblende ist die Maske in der Filmebene einer Kamera. Die Begrenzung des Feldwinkels durch eine Blende ist sinnvoll, wenn z.B. die Abbildung durch achsenferne Strahlen wegen der Bildfehler mindere Qualit¨ at aufweist oder wenn die Vignettierung die Beleuchtungsst¨arke in den achsenfernen Teilen des Bildes reduziert. Eintrittsluke (EL) Die Eintrittsluke ist das Bild der Feldblende, das auf der Objektseite durch alle optischen Elemente, die links von ihr liegen, erzeugt wird. Die Eintrittsluke begrenzt den Feldwinkel des Systems. Wenn die Feldblende in der Bildebene liegt, ﬁndet man die Eintrittsluke in der konjugierten Objektebene. Die Eintrittsluke legt die Ausdehnung des Objektfeldes in vertikaler und horizontaler Richtung fest. Austrittsluke (AL) Die Austrittsluke ist das Bild der Feldblende von der Bildseite des optischen Systems her gesehen. In der Abb. 6.3 c sind die Feldblende und Ein- und Austrittsluke f¨ ur ein komplizierteres optisches System dargestellt, das aus zwei Linsen und zwei Aperturblenden besteht. Die erste Blende ist die Aperturblende des Systems, aus der die Eintrittspupille durch Abbildung mit der Linse L1 und die Austrittspupille durch Abbildung mit der Linse L2 erzeugt wird. Die zweite Blende ist die Feldblende mit den entsprechenden Bildern: der Eintrittsluke auf der linken Seite und der Austrittsluke auf der rechten Seite. Der Feldwinkel im Objektraum kann durch den Winkel 2w beschrieben werden, dessen Scheitel in der Eintrittspupille liegt und der durch die Eintrittsluke begrenzt wird. In gleicher Weise kann der Feldwinkel im Bildraum durch 2w angegeben werden. Wir sehen, dass der Feldwinkel des optischen Systems durch die Eintrittsluke bzw. die Feldblende festgelegt wird. Da EL und AL beide Bilder der Feldblende F B sind, liegen sie in zueinander

156

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konjugierten Ebenen. Deshalb laufen die eingezeichneten Hauptstrahlen genau an den R¨ andern von Eintrittsluke, Feldblende und Austrittsluke vorbei. Zusammenfassung wichtiger Begriﬀe Helligkeit Aperturblende:

Die in einem optischen System physikalisch vor¨ handene Blende, die den Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels begrenzt, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht und noch durch das System verarbeitet wird.

Eintrittspupille:

Das Bild der Aperturblende von der Objektseite des optischen Systems aus gesehen.

Austrittspupille:

Das Bild der Aperturblende von der Bildseite des optischen Systems aus gesehen.

Feldwinkel Feldblende:

Die physikalisch vorhandene Blende, die den Feldwinkel 2w eines optischen Systems begrenzt. w ist der Winkel zwischen der optischen Achse und einem Hauptstrahl, der von einem Randpunkt des vom optischen System gerade noch abbildbaren Objektfeldes ausgeht und auf die Mitte der Eintrittspupille zielt.

Eintrittsluke:

Das Bild der Feldblende von der Objektseite des optischen Systems aus gesehen.

Austrittsluke:

Das Bild der Feldblende von der Bildseite des optischen Systems aus gesehen.

6.2 Prismen Ablenkung durch ein Prisma Die obere H¨ alfte einer bikonvexen sph¨ arischen Linse erzeugt in der paraxialen N¨ aherung ein Bild eines axialen Objektpunktes, wie das in Abb. 6.4 gezeigt ist. Wenn die Linsenoberﬂ¨ ache vom Rand der Linse aus vollst¨andig eben fortgesetzt wird, erh¨ alt man ein Prisma und die paraxialen Strahlen bilden keinen konjugierten Bildpunkt. Es ist trotzdem hilfreich, in einigen F¨allen ein Prisma als H¨alfte einer konvexen Linse anzusehen.

6.2 Prismen

157

Abb. 6.4. Die Strahlablenkung durch eine H¨ alfte einer bikonvexen Linse ist der Wirkung eines Prismas ¨ ahnlich

Im Folgenden leiten wir Beziehungen ab, die den Verlauf eines einzelnen Lichtstrahles durch ein Prisma beschreiben. Die Brechung an jeder Oberﬂ¨ache ist durch das Brechungsgesetz gegeben. Die St¨arke der Brechung ist abh¨angig von der Brechzahl des Prismenmaterials und deshalb auch eine Funktion der Wellenl¨ ange des einfallenden Lichtes. ¨ Die Anderung der Brechzahl und der Lichtgeschwindigkeit mit der Wellenl¨ange nennt man Dispersion, sie wird sp¨ater ausf¨ uhrlich behandelt. Zun¨achst nehmen wir monochromatisches (einfarbiges) Licht an, dem aufgrund des Prismenmaterials eine bestimmte Brechzahl zugeordnet ist. Die Winkel, die den Verlauf des Strahles durch das Prisma beschreiben, sind in Abb. 6.5 deﬁniert.

Abb. 6.5. Verlauf eines beliebigen Strahls durch ein Prisma

Der Einfallswinkel und der Brechungswinkel an jeder Prismenoberﬂ¨ache sind relativ zu den Einfallsloten (Oberﬂ¨ achennormalen beim Ein- und Austrittspunkt) gemessen. Die Gesamtwinkelablenkung δ aufgrund der Brechung durch das gesamte Prisma ist die Summe der Winkel¨ anderungen δ1 und δ2 an der ersten und der zweiten Oberﬂ¨ ache. Das Brechungsgesetz ergibt f¨ ur die beiden Oberﬂ¨achen eines Prismas in Luft:

158

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n1 sin ε1 = n1 sin ε1 n2 sin ε2 = n2 sin ε2

mit n1 = 1, n1 = n gilt mit n2 = n, n2 = 1 gilt

sin ε1 = n sin ε1 n sin ε2 = sin ε2

(6.1) (6.2)

Aus der Zeichnung ergeben sich die folgenden geometrischen Beziehungen f¨ ur die Winkel: δ1 = ε1 − ε1 δ2 = ε2 − ε2 α = ε1 − ε2

(6.3) (6.4) (6.5)

Benutzt man (6.1) bis (6.5) zur Programmierung eines Rechners, so kann man leicht die Reihe von Rechenoperationen durchf¨ uhren, die schließlich den Ablenkwinkel δ ergeben. Wenn der brechende Winkel und die Brechzahl n des Prismenmaterials gegeben sind, so erh¨ alt man durch stufenweise Berechnung eines Strahles mit dem Einfallswinkel ε1 folgende Beziehungen: sin ε1 (6.6) ε1 = arcsin n δ1 = ε1 − ε1 ε2 = ε1 − α ε2 = arcsin(n sin ε2 )

(6.3) (6.7) (6.8)

δ = δ1 + δ2 = ε1 − ε1 + ε2 − ε2 = α + ε2 − ε1 oder mit

(6.9)

ε2 = arcsin(cos α sin ε1 − sin α n2 − sin2 ε1 )

Hieraus ergibt sich die Strahlablenkung δ: Strahlablenkung δ f¨ ur ein Prisma in Luft mit brechendem Winkel α, Brechzahl n, Einfallswinkel ε1 und Ausfallswinkel ε2 δ = α + ε2 − ε1

= α − ε1 + arcsin(cos α sin ε1 − sin α n2 − sin2 ε1 )

(6.10)

¨ Die Anderung des Ablenkwinkels δ mit dem Einfallswinkel ist in Abb. 6.6 f¨ ur u r ε1 = α = 30◦ und n = 1,5 gezeigt. Wir sehen, dass die minimale Ablenkung f¨ 23◦ auftritt. Die Brechung durch ein Prisma bei minimaler Ablenkung δmin wird oft im Experiment eingesetzt. Wir sehen, dass f¨ ur minimale Gesamtablenkung der Lichtstrahl symmetrisch (s. Abb. 6.7) durch das Prisma verl¨auft. In diesem Fall vereinfachen sich die geometrischen Beziehungen mit ε2 = −ε1 = −ε1 sym und ε1 = −ε2 zu

6.2 Prismen

159

Abb. 6.6. Gesamtablenkung δ als Funktion des Einfallswinkels f¨ ur einen Lichtstrahl ur durch ein Prisma mit α = 30◦ und n = 1,5. Die minimale Gesamtablenkung tritt f¨ einen Einfallswinkel von ε1 = 23◦ auf

δmin = −2 ε1sym − 2 ε2

(6.11)

und aus (6.5) ergibt sich α = −2 ε2 . Damit erhalten wir: δmin = α − 2 ε1sym und aus (6.1) mit sin ε1sym = n sin α/2: α α − δmin sin = n sin 2 2

(6.12)

(6.13)

bzw. Prisma, minimale Gesamtablenkung

δmin = α − 2 arcsin(n sin α/2)

(6.14)

160

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Aus (6.13) folgt: Bestimmung der Brechzahl n des Prismenmaterials aus der minimalen Strahlablenkung δmin sin (α−δ2min ) (6.15) n= sin α2

Abb. 6.7. Verlauf eines Strahles durch ein Prisma f¨ ur minimale Gesamtablenkung

Gleichung (6.15) erm¨ oglicht die Berechnung der Brechzahl n des Prismenmaterials, wenn man den brechenden Winkel α und den Winkel δmin der minimalen Gesamtablenkung kennt. Eine wichtige N¨ aherung von (6.15) ergibt sich f¨ ur den Fall von kleinen Prismenwinkeln und entsprechend kleiner Gesamtablenkung. N¨ahert man den Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß, so erh¨alt man: δmin ≈ −α (n − 1)

(6.16)

◦

F¨ ur einen brechenden Winkel von α = 15 betr¨agt die Abweichung aufgrund von (6.16) ungef¨ ahr 1% vom exakten Wert. F¨ ur α = 30◦ betr¨agt der Fehler 5%.

Abb. 6.8. Typische Dispersionskurve und daraus folgende Farbzerlegung von weißem Licht bei der Brechung durch ein Prisma

6.2 Prismen

161

Dispersion Gleichung (6.10) gibt die Gesamtablenkung eines monochromatischen Lichtstrahls durch ein Prisma als Funktion der Brechzahl an. Die Brechzahl h¨angt jedoch von der Wellenl¨ ange ab, deshalb ist es sinnvoll, f¨ ur diese Gr¨oße n(λ) zu schreiben. Dies bedeutet, dass die Gesamtablenkung δ von der Wellenl¨ange des einfallenden Lichtes bestimmt wird und verschiedene Wellenl¨angenkomponenten des einfallenden Lichtes durch die Brechung im Prisma voneinander getrennt wer = 0 und die Aufspaltung eines Lichtden. Eine typische Dispersionskurve dn dλ strahles in seine verschiedenen Farbkomponenten sind in Abb. 6.8 gezeigt. Wir sehen, dass k¨ urzere Wellenl¨ angen gr¨ oßere Brechzahlen und damit kleinere Lichtgeschwindigkeiten im Prismenmaterial aufweisen. Violettes Licht wird deshalb durch die Brechung im Prisma am st¨ arksten abgelenkt. Die Dispersion, die in der Kurve in Abb. 6.8 gezeigt ist, wird normale“ Dispersion genannt; sie ist ” materialabh¨ angig. Eine empirische Beziehung, die die Kurve approximiert, wurde von Cauchy angegeben. n(λ) = A0 +

A2 A3 + 4 + ... λ2 λ

(6.17)

Abb. 6.9. Charakteristische Strahlverl¨ aufe, die die Winkeldispersion als Diﬀerenz der Ablenkwinkel δF −δC f¨ ur zwei Fraunhofer-Wellenl¨ angen λF und λC sowie die Ablenkung δd f¨ ur die mittlere Wellenl¨ ange zeigen

wobei A0 , A2 , A3 , . . . empirische Konstanten (s. (27.41)) sind, die sich aus einem Fit an die Daten eines bestimmten Materials ergeben. Oft sind die beiden ersten Terme dieses Ausdrucks ausreichend, um eine vern¨ unftige N¨aherung zu ergeben. Dies bedeutet, dass man nur experimentelle Ergebnisse der Brechzahl f¨ ur zwei bestimmte Wellenl¨ angen ben¨ otigt, um A0 und A2 zu bestimmen und damit die Dispersionskurve zu n¨ ahern. F¨ ur die Steigung der Dispersionskurve ergibt sich dann aus Cauchys Formel dn/dλ ≈ −2A2 /λ3 . Die Dispersion wird in Kap. 27 ausf¨ uhrlicher behandelt.

162

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dδ Es ist wichtig, dass man die Winkeldispersion dλ (Farbzerlegung) von der dδ dδ dn Ablenkung δ unterscheidet. Es gilt: dλ = dn · dλ . Man erkennt, dass die Windδ und der Eigenschaft keldispersion beim Prisma von der geometrischen Gr¨oße dn dn des Prismenmaterials abh¨ a ngt. Obwohl Prismenmaterialien großer Brechzahl dλ n eine große Ablenkung bei gegebener Wellenl¨ange erzeugen, muss die Dispersion oder die Aufspaltung benachbarter Wellenl¨angen nicht entsprechend groß sein. Abbildung 6.9 zeigt den Unterschied. Historisch wurde die Dispersion durch die Brechzahlen bei drei Wellenl¨ angen in der Mitte und am Rand des sichtbaren Spektrums charakterisiert. Diese Wellenl¨angen nennt man Fraunhofer-Linien. Diese ﬁndet man als Absorptionslinien im solaren Spektrum, das J. v. Fraunhofer untersucht hat. Die Wellenl¨ angen der Linien sind zusammen mit den Brechzahlen f¨ ur gebr¨ auchliche Gl¨ aser in Tab. 6.1 gegeben. Die F - und C-Linien r¨ uhren von der Absorption durch Wasserstoﬀatome her; die D-Absorptionslinie kommt von der Absorption durch Natriumatome in der ¨außeren Atmosph¨are der Sonne. Da die gelbe Natrium-D-Linie ein Dublett ist (589,0 und 589,6 nm), wird in Berechnungen die mittlere Wellenl¨ ange 589,3 nm benutzt. Sp¨ater hat man die monochromatischere d-Linie des Heliums bei 587,56 nm eingesetzt, um das Zentrum des sichtbaren Spektrums zu charakterisieren. Heute wird oft die gr¨ une e-Quecksilberlinie bei 546,07 nm verwandt, die nahe am Maximum der Augenempﬁndlichkeit (s. Abb. 2.7) liegt.

Tabelle 6.1. Fraunhofer-Linien und Brechzahlen f¨ ur gebr¨ auchliche Gl¨ aser λ/nm

Linie

Brechzahl n Kronglas BK 7

Flintglas SF 12

486,1

F , blau, Wasserstoﬀ

1,5224

1,7046

587,6

d, gelb, Helium

1,5168

1,6891

589,3

D, gelb, Natrium

1,5167

1,6889

656,3

C, rot, Wasserstoﬀ

1,5143

1,6825

Abbesche Zahl νd

64,17

31,15

F¨ ur die weitere Rechnung beschr¨ anken wir uns auf ein schmales Prisma bei dem der brechende Winkel α klein ist, so dass sin α ≈ α gilt. Bei minimaler Strahlablenkung f¨ ur die d-Linie erh¨ alt man f¨ ur das Verh¨altnis der Winkelaufangen verglichen mit der Ablenkung δd spreizung δF − δC der F - und C-Wellenl¨ der d-Wellenl¨ ange, wie in Abb. 6.9 gezeigt, aus (6.16): nF − nC δF − δC = δd nd − 1

6.2 Prismen

163

Das Verh¨ altnis von mittlerer Ablenkung zu mittlerer Winkelaufspreizung nennt man Abbesche Zahl (s. Kap. 5): νd =

δd nd − 1 = δF − δC nF − nC

(6.18)

In Tabelle 6.1 betr¨ agt die Abbesche Zahl f¨ ur Kronglas BK 7 νd = 64,17 und f¨ ur Flintglas SF 12 νd = 31,15. Wegen des Nenners (nF − nC ) bedeutet die hohe klein) und die niedrige Abbesche Zahl f¨ ur das Kronglas niedrige Dispersion ( dn dλ dn Abbesche Zahl f¨ ur das Flintglas hohe Dispersion ( dλ groß). Prismenspektrometer Bei diesem Instrument benutzt man ein Prisma als dispersives Element, wobei der brechende Winkel des Prismas und die Winkelablenkung f¨ ur verschiedene Wellenl¨ angen bekannt sind. Seine wesentlichen Komponenten sind in Abb. 6.10 gezeigt. Das zu analysierende Licht wird auf einen engen Spalt S fokussiert, dann durch die Linse L kollimiert und durch das Prisma P gebrochen, das h¨auﬁg auf einem drehbaren Tisch befestigt ist. Lichtstrahlen bestimmter Wellenl¨ange verlassen das Prisma nach der Brechung parallel und k¨onnen durch ein Fernrohr, das auf Unendlich eingestellt ist, beobachtet werden.

Abb. 6.10. Komponenten eines Spektroskops, S = Eintrittsspalt, L = Kollimatorlinse, P = dispergierendes Prisma

Bei der Drehung des Fernrohres bez¨ uglich des Prismentisches beobachtet man bei richtig eingestellter Optik ein scharfes Bild des Spaltes f¨ ur jede Wellenl¨angenkomponente. Die Ablenkung δ wird relativ zur Fernrohrposition bei der Beobachtung des Spaltes ohne das Prisma gemessen. Benutzt man das Instrument f¨ ur Beobachtungen ohne die Winkelverschiebung der Spektrallinien zu messen, so nennt man es Spektroskop. Verwendet man zus¨ atzliche Instrumente, um das Spektrum aufzuzeichnen, z.B. einen fotograﬁschen Film in der Brennebene eines Objektivs, so nennt man das Instrument einen Spektrographen. F¨ ur ein Prisma aus einer

164

6 Optische Instrumente

bestimmten Glassorte ist der nutzbare Wellenl¨angenbereich durch den Transmissionsbereich des Glases festgelegt. Um z.B. einen Spektrographen f¨ ur das Ultraviolette aufzubauen, verwendet man Prismen aus Quarz (SiO2 ) und Kalkspat (CaF2 ). Strahlung im infraroten Bereich kann man mit Prismen untersuchen, die aus Alkalihalogeniden (NaCl, KCl) oder Saphir (Al2 O3 ) bestehen. Farbauf l¨ osung Wenn die Wellenl¨ angendiﬀerenz zwischen zwei Komponenten eines Lichtstrahles, der auf ein Prisma einf¨ allt, sehr klein wird, kann das Prisma diese schließlich nicht mehr aufl¨ osen. Die Aufl¨ osung eines Prismenspektrographen ist eine Kenngr¨oße, die wir in diesem Abschnitt bestimmen wollen. Betrachten wir zwei Spektrallinien auf dem fotograﬁschen Film eines Prismenspektrographen. Diese Linien sind Bilder des Spaltes, das bedeutet, dass man f¨ ur eine genaue Wellenl¨angenmessung den Eintrittsspalt so schmal wie m¨ oglich einstellen sollte, vorausgesetzt es erfolgt immer noch eine ausreichende Belichtung des Filmes. F¨ ur kleine Spaltbreiten ﬁndet man, dass das Bild einer – exakt monochromatischen – Spektrallinie eine Breite aufweist, die von der Gr¨ oße der kollimierenden Linse oder der Gr¨oße der Prismenﬂ¨ ache abh¨ angt. Dieses Ph¨ anomen r¨ uhrt von der Beugung des Lichtes her, die wir in einem anderen Kapitel behandeln werden. Da die Linienbilder aufgrund der Beugung eine nicht weiter reduzierbare Breite haben, ﬁndet man bei abnehmenden ∆λ, dass sich die Linien so weit u ¨ berlappen, dass sie nicht mehr unterscheidbar sind. Man erreicht den Grenzwert f¨ ur die Aufl¨osung des Instrumentes. Keine weitere Vergr¨ oßerung der Bilder kann eine h¨ohere Aufl¨osung erzeugen, mit der man die nahe nebeneinander liegenden Spektrallinien unterscheiden kann. Betrachten wir Abb. 6.11 a, in der ein monochromatisches paralleles Lichtb¨ undel auf ein Prisma so einf¨ allt, dass es die Prismenoberﬂ¨ache vollst¨andig ausf¨ ullt. Aus dem Fermatschen Prinzip folgt, dass der Strahl F T W isochron (gleichzeitig) zu dem Strahl GX ist, da sie auf den gleichen ebenen Wellenfronten GF und XW beginnen und enden. Die Berechnung der optischen Wege ergibt F T + T W = GX = n1 b wobei b die Basisl¨ ange des Prismas und n1 die Brechzahl des Prismas bei der Wellenl¨ ange λ1 ist. Wenn eine zweite benachbarte Wellenl¨angenkomponente λ2 mit λ2 − λ1 = ∆λ im einfallenden Strahl vorhanden ist, geh¨ort zur Komponente λ2 die Brechzahl n2 = n1 − ∆n. Bei normaler Dispersion ist ∆n eine kleine positive Gr¨ oße. Die auslaufenden Wellenfronten der beiden Komponenten, die in Abb. 6.11 b gezeigt sind, sind also durch eine kleine Winkeldiﬀerenz ∆δ getrennt und werden deshalb in verschiedenen Punkten der Brennebene des Objektives fokussiert. Das Fermatsche Prinzip ergibt angewandt auf die zweite Komponente λ2 :

6.2 Prismen

165

Abb. 6.11. Konstruktionsdiagramme zur Bestimmung der chromatischen Aufl¨ osung eines Prismas. a) Brechung von monochromatischem Licht. b) Brechung von zwei Wellenl¨ angenkomponenten, die sich um ∆λ unterscheiden

F T + T W = F T + T W − ∆s = (n1 − ∆n) b Subtrahiert man die beiden letzten Gleichungen, so erh¨alt man ∆s = b ∆n oder

∆s = b

dn dλ

(6.19)

∆λ

(6.20)

Gleichung (6.20) zeigt den Zusammenhang zwischen Wegl¨angendiﬀerenz ∆s und Wellenl¨ angendiﬀerenz ∆λ. Man kann auch die Ablenkungsdiﬀerenz einf¨ uhren ∆s b dn ∆δ = = ∆λ (6.21) h h dλ wobei h die Strahlbreite ist. Wir wenden nun das Rayleigh-Kriterium an, welches den Grenzwert der Aufl¨ osung f¨ ur beugungsbegrenzte Bilder liefert. Dieses Kriterium wird in der sp¨ ateren Behandlung der Beugung erl¨autert und angewendet, wobei gezeigt wird, dass die minimale Winkeldiﬀerenz ∆δ zweier Wellenfronten, bei der die Bilder gerade aufl¨ osbar sind, gegeben ist durch:

166

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λ h Kombiniert man (6.21) und (6.22), so erh¨ alt man λ b dn = ∆λ h h dλ ∆δ =

(6.22)

oder f¨ ur die minimale unterscheidbare Wellenl¨angendiﬀerenz: λ ∆λmin = dn b dλ Man deﬁniert nun das Auﬂ¨osungsverm¨ogen Prisma

A=

dn λ = b ∆λmin dλ

(6.23)

(6.24)

wobei (6.23) benutzt wird. Bei vorgegebener Dispersion aufgrund der Glassorte kann man die Aufl¨ osung eines Prismas durch Vergr¨oßerung der Basis b erh¨ohen. Diese Technik f¨ uhrt bald zu sehr großen und schweren Prismen. dn/dλ kann man z.B. aus der Cauchy-Formel (6.17) und den Daten des Prismenmaterials berechnen. Beispiel 6.1 Auf l¨ osungsverm¨ ogen Prisma Bestimmen Sie das Aufl¨ osungsverm¨ ogen und die minimal aufl¨osbare Wellenl¨ angendiﬀerenz f¨ ur ein Prisma der Basisl¨ange 5 cm, das aus Flintglas besteht. L¨ osung Wir k¨ onnen mit Hilfe von Tab. 6.1 den Mittelwert der Dispersion f¨ ur λ = 550 nm n¨ aherungsweise berechnen: 1,7046 − 1,6891 nF − nd ∆n = = = −1,5271 · 10−4 nm−1 ∆λ λF − λd 486,1 nm − 587,6 nm Damit ergibt sich das Aufl¨ osungsverm¨ogen zu: dn A = b = 0,05 · 109 nm · 1,5271 · 10−4 nm−1 = 7636 dλ Die minimale aufl¨ osbare Wellenl¨ angendiﬀerenz im Gebiet um 550 nm ist damit: ∆λmin =

λ 550 nm = ≈ 0,072 nm = 72 pm A 7636

6.2 Prismen

167

Obwohl Gitterspektrographen eine h¨ ohere Aufl¨osung erreichen, nutzen sie im Allgemeinen den angebotenen Strahlungsﬂuss weniger gut. Außerdem erzeugen sie f¨ ur dieselbe Wellenl¨ ange Bilder h¨ oherer Beugungsordnung, was sehr st¨orend ist, wenn man eine Quelle mit einer breiten spektralen Verteilung untersucht. Die Beugungsbilder verschiedener Ordnung u ¨ berlappen dann, und die Wellenl¨ange ist nicht unmittelbar zuzuordnen. Gitterspektrographen werden sp¨ater beschrieben. Prismen f¨ ur spezielle Anwendungen Prismen lassen sich so kombinieren, dass man insgesamt ein achromatisches Verhalten bekommt. Dies bedeutet, dass die Winkeldispersion f¨ ur zwei gegebene Wellenl¨ angen verschwindet und die Ablenkung bestehen bleibt. Andererseits kann man ein Geradsichtprisma verwenden, um verschwindende Ablenkung f¨ ur eine bestimmte Wellenl¨ ange zu erreichen, wobei die Winkeldispersion erhalten bleibt. Prinzipskizzen dieser Kombinationen zweier Prismen sind in Abb. 6.12 gezeigt. Die Anordnung von Prismen in Abb. 6.12 a ist so gew¨ahlt, dass ein Prisma die Winkeldispersion des anderen gerade aufhebt, man kann aber auch die Prismen so zusammensetzen, dass man doppelte Winkeldispersion erreicht.

Abb. 6.12. Achromatisches und nichtablenkendes Prisma

In Spektrometern verwendet man Prismen, die f¨ ur unterschiedliche Wellenl¨ angen – bei Drehung des Prismas – eine konstante Ablenkung erzeugen. Ein Beispiel ist das Pellin-Broca-Prisma, das in Abb. 6.13 dargestellt ist. Ein kollimiertes Lichtb¨ undel tritt in das Prisma durch die Fl¨ache AB ein und verl¨asst das uglich der Prisma durch die Fl¨ ache AD, wobei der austretende Strahl um 90◦ bez¨ Richtung des eintretenden Strahles abgelenkt ist. Die gestrichelten Linien sind nur hinzugef¨ ugt, um die Wirkung des Prismas zu verstehen. Ein Teilstrahl vorgegebener Wellenl¨ ange durchl¨ auft das Prisma mit minimaler Ablenkung, wobei die Lichtstrahlen innerhalb des Prismas parallel zur Prismenbasis AC verlaufen. An der Fl¨ ache BC tritt Totalreﬂexion auf, die den Lichtstrahl in den Prismenabschnitt ADC weiterleitet, wo die weitere Ausbreitung wieder unter der Bedingung

168

6 Optische Instrumente

Abb. 6.13. Pellin-Broca-Prisma f¨ ur konstante Ablenkung

der minimalen Ablenkung erfolgt. Da der Prismenabschnitt BEC nur als Spiegel dient, verl¨ auft der Strahl mit minimaler Ablenkung durch die Abschnitte AEB und ADC, die zusammen ein Prisma mit einem brechenden Winkel von 60◦ ergeben. Die Spektrallinie wird im Brennpunkt F der Linse L registriert. Das Prisma wird auf dem Prismentisch gedreht (um eine Achse, die senkrecht zur Papieroberﬂ¨ ache steht). Bei der Rotation tritt f¨ ur verschiedene Wellenl¨angen im einfallenden Strahl die Bedingung minimaler Ablenkung auf, was einen Brennpunkt in F ergibt. Die Drehung des Prismas kann in Winkelgraden oder noch g¨ unstiger in Wellenl¨ angen kalibriert werden. Reﬂektierende Prismen Prismen, bei denen Totalreﬂexion auftritt, werden h¨auﬁg in optischen Systemen benutzt, um die Richtung der optischen Achse oder die Orientierung von Bildern zu a urlich k¨ onnen Prismen alleine keine Bilder erzeugen. Wenn man sie ¨ndern. Nat¨ in Verbindung mit abbildenden Elementen benutzt, kollimiert man das Licht vor dem Eintritt in das Prisma und l¨ asst es senkrecht auf die Prismenoberﬂ¨ache einfallen, um prismatische Bildfehler zu vermeiden. Man kann statt Reﬂexionsprismen auch ebene Spiegel einsetzen, aber die reﬂektierenden Prismenoberﬂ¨achen sind leichter vor Verschmutzung zu sch¨ utzen, und die Totalreﬂexion ergibt einen h¨oheren Reﬂexionsgrad. Ein weiterer, wichtiger Vorteil ist die mechanische Stabilit¨ at der Winkel von Prismenoberﬂ¨ achen.

6.2 Prismen

169

¨ Abb. 6.14. Anderung der Bildorientierung durch Prismen. a) Rechtwinkliges Prisma. b) Dove-Prisma. c) Penta-Prisma mit pentagonaler Schnittﬂ¨ ache d) Porro-Prisma.

170

6 Optische Instrumente

6.3 Die Kamera Der einfachste Typ einer Kamera ist die Lochkamera (s. Abb. 6.15 a). Lichtstrahlen eines Objektes treten durch ein kleines Loch in einen lichtdichten Kasten ein und treﬀen auf einen fotograﬁschen Film. Vor dem kleinen Loch kann noch eine einfache Anordnung, die als Verschluss dient, angebracht sein, z.B. ein St¨ uck schwarzes Klebeband. Dann wird ein Bild des Gegenstandes auf die r¨ uckw¨artige Seite des Kastens projiziert, auf der sich der Film beﬁndet. Wie schon vorher festgestellt, wird ein idealer Bildpunkt so deﬁniert, dass jeder Strahl eines Objektpunktes, der durch das optische System verarbeitet wird, den konjugierten Bildpunkt triﬀt. Eine Lochkamera fokussiert nicht und nutzt nur wenige Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen. Wegen des geringen Durchmessers des Loches, wird jedoch jeder Punkt des Bildes nur durch Strahlen getroﬀen, die ann¨ ahernd von demselben Punkt des Objektes ausgehen, wie in Abb. 6.15 b gezeigt. Von jedem Objektpunkt gehen B¨ undel von Strahlen aus, die durch das Loch begrenzt sind und deshalb ein kleines kreisf¨ormiges Bild auf ¨ dem Schirm erzeugen, so wie in Abb. 6.15 a zu sehen. Die Uberlappung dieser Kreise als Bilder der konjugierten Objektpunkte ergeben ein Bild, dessen Sch¨arfe vom Durchmesser jedes einzelnen Kreises abh¨angt. Wenn die Durchmesser zu groß sind, erh¨ alt man ein unscharfes Bild. Reduziert man die Gr¨oße des Loches, dann wird das Bild sch¨ arfer, bis eine bestimmte Gr¨oße erreicht ist. Verkleinert man den Durchmesser weiter, dann werden die Bilder jedes Objektpunktes aufgrund der Beugung wieder breiter und das Bild verschwimmt. Im Experiment ﬁndet man, dass die g¨ unstigste Lochgr¨ oße ungef¨ahr 0,5 mm betr¨agt, wenn der Abstand zwischen Loch und Filmoberﬂ¨ ache ungef¨ahr 25 cm ist. Das Loch sollte ideal kreisf¨ ormig in eine m¨ oglichst d¨ unne Folie gestanzt werden. Ein g¨ unstiger Aufbau ist ein Loch in einer Aluminiumfolie, die durch eine große Blende getragen wird. Der Hauptvorteil einer Lochkamera besteht darin, dass man nicht fokussieren, also die Brennweite der Linse den gegebenen Bild- und Gegenstandsweiten anpassen muss. Damit werden alle Gegenst¨ande unabh¨angig von ihrem Abstand zur Kamera auf dem Schirm scharf abgebildet, die Sch¨arfentiefe wird sehr groß. Der Nachteil dieser Kamera besteht darin, dass das Loch nur wenig Licht durchl¨ asst und deshalb die Belichtungszeiten sehr lang sind. Diese Beschr¨ankung wird jedoch heute durch den Einsatz empﬁndlicher CCD-Empf¨anger ausgeglichen, die es erlauben, die Lochkamera f¨ ur technische Anwendungen einzusetzen. Die Lochkamera ist nicht f¨ ur die Abbildung bewegter Objekte geeignet. Die Entfernung vom Loch zur Bildebene, deren Bildformat als Feldblende wirkt, beeinﬂusst die Sch¨ arfe des Bildes und den Feldwinkel. Verkleinert man die Entfernung zur Bildebene, so wird der Feldwinkel und bei gleicher Entfernung zum Objekt das Objektfeld gr¨ oßer. Bei unver¨ andertem Bildformat wird dann die Gr¨oße eines bestimmten Objektes in der Szene abnehmen. Die Bildkreise werden ebenfalls kleiner.

6.3 Die Kamera

171

Abb. 6.15. Abbildung durch eine Lochkamera

Abb. 6.16. Einfache Kamera

Vergr¨ oßert man das Loch der Kamera so weit, dass man eine Sammellinse einsetzen kann, dann erh¨ alt man die grundlegenden Elemente einer gew¨ohnlichen Kamera (s. Abb. 6.16). Vorteile dieser Modiﬁkation sind zum einen eine Erh¨ohung der Helligkeit des Bildes und zum anderen eine Erh¨ohung der Bildsch¨arfe. Der ¨ Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von einem Objektpunkt ausgeht, ist wegen des gr¨ oßeren Durchmessers der Linse entsprechend gr¨oßer, dies erh¨oht die Beleuchtungsst¨ arke in der Bildebene. Der Abstand der Linse zur Bildebene ist nun durch Objektweite und die Bildbrennweite der Linse festgelegt. F¨ ur weit entfernte Objekte liegt die Bildebene ann¨ahernd in der Brennebene der Linse. F¨ ur n¨ ahere Objekte liegt das Bild weiter von der Linse entfernt. Da die Bildebene im Allgemeinen durch die Filmebene festgelegt ist, erzeugt man ein schar¨ fes Bild durch Anderung des Abstandes der Linse vom Film, dies bedeutet das Fokussieren (Scharfstellen) des Kameraobjektivs. Die Extrema der m¨oglichen Linsenpositionen bestimmen die kleinste und gr¨oßte Entfernung eines Objektes,

172

6 Optische Instrumente

die die Kamera verarbeiten kann. Nahaufnahmen werden dadurch erm¨oglicht, dass man die Linse durch eine andere mit k¨ urzerer Brennweite ersetzt oder eine Vorsatzlinse verwendet. Die Bildbrennweite des Objektivs (Linsenkombination) bestimmt bei festgelegtem Filmabstand zum Objektiv und Bildformat des Filmes das Objektfeld (bzw. Feldwinkel = Sehwinkel ), das die Kamera verarbeitet. Im Allgemeinen ist der Abbildungsmaßstab proportional zur Brennweite des Objektivs. Ein Weitwinkelobjektiv hat eine kurze Brennweite und einen großen Feldwinkel. Ein Teleobjektiv ist ein System großer Brennweite, das einen großen Abbildungsmaßstab (hohe Vergr¨ oßerung) auf Kosten des Feldwinkels erm¨oglicht. Beim Teleobjektiv vermeidet man eine entsprechende große Baul¨ange der Kamera indem man eine Positivlinse im gewissen Abstand von einer zweiten Negativlinse anordnet, so dass die Kombination weiterhin eine Sammellinse darstellt. Dabei ist der Abstand der Frontlinse zur Filmebene geringer als die Brennweite, d.h. der bildseitige Hauptpunkt H liegt vor der Frontlinse. Ein weiteres wichtiges Element der Kamera ist die Blende, die den Lichtstrom, der den Film erreicht, bestimmt. In den meisten Kameras ist diese Blende ver¨ anderlich und mit der Belichtungszeit gekoppelt, um insgesamt die Belichtung des Filmes zu bestimmen. In den nachfolgenden Betrachtungen wird als Objekt ein isotroper Strahler mit großer Abstrahlﬂ¨ache vorausgesetzt. Die Bestrahlungsst¨ arke (Intensit¨ at) in der Bildebene ist proportional zur Fl¨ache der Blende und umgekehrt proportional zur Fl¨ ache des Bildes. In Abb. 6.17 wird eine kreisf¨ ormige Blende angenommen, die den Durchmesser D eines parallelen Strahlenb¨ undels deﬁniert, das von der Linse verarbeitet werden kann. Das Licht soll homogen u ¨ber eine entsprechende kreisf¨ormige Fl¨ache des Durchmessers d in der Bildebene verteilt sein, dann gilt f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke: Ee ∼

Fl¨ ache des durchgelassenen Strahlenb¨ undels D2 = 2 Fl¨ ache des Bildes d

(6.25)

Abb. 6.17. Bestrahlungsst¨ arke in der Bildebene. Die Blende (nicht gezeigt) bestimmt den nutzbaren Durchmesser D der Linse

6.3 Die Kamera

173

Wie in Abb. 6.17 zu sehen, ist die Bildgr¨ oße proportional zur Bildbrennweite der Linse, damit ergibt sich: Ee ∼

D f

2 (6.26)

F¨ ur optische Systeme mit großer, frei bestimmbarer Objektweite (Fernrohr- und Fotoobjektive) speziﬁziert man die Blendenzahl

k≡

f DEP

(6.27)

wobei DEP der Durchmesser der Eintrittspupille ist. Die Blendenzahl nimmt also mit kleiner werdender Eintrittspupille zu. Bei der Kamera verwendet man nach ¨ DIN 4521 die relative Oﬀnung 1/k, statt z.B. k = 5,6 ergibt sich 1 : 5,6. Die Bestrahlungsst¨ arke ist: 1 (6.28) k2 In vielen Kameras benutzt man Blenden¨ oﬀnungen, durch die man die Bestrahlungsst¨ arke um Faktoren von 2 ¨ andern kann. Die entsprechenden Blendenzahlen √ bilden dann eine Folge, wobei aufeinanderfolgende Glieder im Verh¨altnis 1 : 2 stehen (s. Tab. 6.2). Gr¨ oßere Blendenzahlen entsprechen kleineren Beleuchtungsst¨ arken. Da die Gesamtbelichtung des Filmes durch das Produkt aus Strahlungsﬂuss und Belichtungszeit gegeben ist, kann man bei gegebener Beleuchtung verschiedene Belichtungszeiten und Blenden w¨ahlen. Wird eine fotograﬁsche Aufnahme mit einem bestimmten Film – dessen Empﬁndlichkeit durch die DINoder die ASA-Zahl beschrieben wird – mit einer Belichtungszeit von 1/50 Sekunde und einer Blendenzahl k = 8 gemacht, so kann man statt dessen auch eine Belichtungszeit von 1/100 Sekunde und eine Blendenzahl von k = 5,6 benutzen, was dieselbe Gesamtbelichtung ergibt. F¨ ur die Wahl von Belichtungszeit und Blendenzahl sind noch andere Kriterien wichtig. Die Belichtungszeit muss kurz genug sein, um eine bewegte Szene ohne Unsch¨ arfe aufnehmen zu k¨ onnen. Die Wahl der Blendenzahl k ¨andert eine weitere Eigenschaft des Bildes, die Sch¨arfentiefe. Um diese Gr¨oße pr¨azise zu deﬁnieren, benutzen wir Abb. 6.18, die einen axialen Objektpunkt in der Entfernung a0 (Einstellentfernung am Objektiv) von einer Linse zeigt, der in einen Bildpunkt im Abstand a0 abgebildet wird. Alle Objektpunkte der Objektebene werden so exakt in die Bildebene abgebildet, wenn man von Linsenfehlern und Beugung absieht. Objektpunkte, die n¨ aher zur Linse oder weiter entfernt liegen, ergeben Bilder, die entweder weiter entfernt oder n¨aher zur Bildebene abgebildet werden. Deshalb zeigt ein ebener Film, der sich in der Entfernung a0 von der Linse beﬁndet, nicht nur scharfe Bildpunkte, sondern auch unscharfe Bildscheibchen Ee ∼

174

6 Optische Instrumente

(Kreisﬂ¨ achen), abh¨ angig von der Entfernung der Objektpunkte zur Linse. Bei kleinem Durchmesser der Unsch¨ arfekreise ist wegen des begrenzten Aufl¨osungsverm¨ ogens des Auges das Bild bei Betrachtung noch ausreichend scharf. Geht man vom Aufl¨ osungsverm¨ ogen des Auges (s. Kap. 7, ca. 3 Winkelminuten) aus, so erh¨ alt man z.B. f¨ ur das Bildformat 24 mm × 36 mm bei Betrachtung im Abstand ur den zul¨assigen der Formatdiagonalen einen Durchmesser von u = 0,03 mm f¨ Unsch¨ arfekreis. Tabelle 6.2. Standardisierte Blendenzahlen Blendenzahl k

k2

relative Bestrahlungsst¨ arke Ee ∼ k−2

1

1

1

1,4

2

1/2

2

4

1/4

2,8

8

1/8

4

16

1/16

5,6

32

1/32

8

64

1/64

11

128

1/128

16

256

1/256

22

512

1/512

Zur Berechnung der vorderen und hinteren Grenzabst¨ande av und ah , bei denen die Unsch¨ arfe gerade den maximal zul¨ assigen Wert von u erreicht, denken uck in die Obwir uns in Abb. 6.18 den Unsch¨ arfekreis-Durchmesser u als u zur¨ jektebene in der Einstellentfernung a0 abgebildet. Mit der Abbildungsgleichung und dem Strahlensatz (s. Abb. 6.18) ergibt sich

und aus

β =

f u = a0 + f u

(6.29)

av =

a0 DEP DEP − u

(6.30)

−av DEP = −u av − a0

6.3 Die Kamera

175

Abb. 6.18. Strahlendiagramm zur Verdeutlichung der Sch¨ arfentiefe. Objekt- und Bildraum werden nicht im gleichen Maßstab gezeigt

Verwendet man noch k = f /DEP und ersetzt den Unsch¨arfekreis-Durchmesser u durch u , so erh¨ alt man f¨ ur die Grenzen des Sch¨arfentiefebereichs: Sch¨arfentiefebereich: a0 f 2 f 2 − u k(a0 + f ) a0 f 2 ah = 2 f + u k(a0 + f ) av =

vordere Grenze hintere Grenze

(6.31) (6.32)

F¨ ur viele Kameraaufnahmen gilt f |a0 | mit a ≈ f und man kann (6.31) und (6.32) vereinfachen zu 1 u k 1 = − 2 av a0 f

und

1 1 u k = + 2 ah a0 f

1 1 2 + = , und f¨ ur ah = −∞ erh¨alt man av = a0 /2. Dies av ah a0 bedeutet, dass f¨ ur einen Sch¨ arfetiefebereich, der bis Unendlich reicht, die vordere Sch¨ arfegrenze bei der halben Einstellentfernung liegt (Anwendung im Fixfokusobjektiv). Die meisten Kameras sind mit einer Sch¨arfetiefenskala versehen, von der die entsprechenden Werte von |ah | und |av | abgelesen werden k¨onnen, wenn man die Einstellentfernung a0 und die Blendenzahl k gew¨ahlt hat. Wie sich aus (6.31) Dann ergibt sich

176

6 Optische Instrumente

und (6.32) ergibt, ist der Sch¨ arfentiefebereich f¨ ur kleine Blenden¨oﬀnungen (große k-Zahl), kurze Bildbrennweiten und große Gegenstandsentfernungen groß. An ein Kameraobjektiv werden hohe Anforderungen gestellt. Das Objektiv muss einen großen Feldwinkel haben, der in der Gr¨oßenordnung von 35◦ bis ur ein Normalobjektiv liegt und bis zu 120◦ f¨ ur ein Weitwinkelobjektiv 65◦ f¨ sein kann. Kameraobjektive m¨ ussen auch lichtstark sein, d.h. eine große rela¨ tive Oﬀnung aufweisen. Das Bild muss u ¨ ber die ganze Ebene des Filmes frei von Abbildungs- und Farbfehlern sein. Da eine Korrektur eines Abbildungsfehlers h¨ auﬁg eine Verschlechterung des Bildes aufgrund eines anderen Fehlers bewirkt, sind die meisten Objektive Kompromisse in der Linsenauslegung. Der Aufwand f¨ ur den Entwurf eines Objektivs, das dem Lastenheft entspricht, ist durch den Einsatz von Rechnerprogrammen stark verringert worden. Die Forderungen an ein fotograﬁsches Objektiv k¨ onnen selten durch eine einzelne Linse erf¨ ullt werden. In Abb. 6.19 a sind Objektive unterschiedlicher Qualit¨at dargestellt: von der Einzelelement-Meniskenlinse mit Vorderblende, die man manchmal noch in einer sehr einfachen Kamera ﬁndet, bis zum vierlinsigen Tessar-Objektiv. Der Einsatz von symmetrischen Linsensystemen relativ zur Blende ist ein Kennzeichen guter Objektive. Bei solchen Anordnungen kann eine Linsengruppe die Fehler der anderen aufheben, so dass die Qualit¨ at des Bildes durch die Vermeidung von sph¨ arischen Abbildungsfehlern, Astigmatismus, Koma, Verzeichnung und Farbfehlern erh¨ oht wird. Das viellinsige Objektiv einer 35 mm-Kamera ist in einem Schnittbild gezeigt (s. Abb. 6.19 b).

6.4 Lupen und Okulare Die Lupe ist im Wesentlichen eine Positivlinse, die man z.B. verwendet, um Kleingedrucktes zu lesen, man nennt sie auch Leseglas. In der Regel benutzt man eine einfache konvexe Linse, aber es wird auch ein Dublett oder ein Triplett eingesetzt, was eine wesentlich h¨ ohere Bildqualit¨ at bei hohen Vergr¨oßerungen oder großen Durchmessern ergibt. Abbildung 6.20 zeigt das Arbeitsprinzip einer einfachen Lupe. Ein kleines Objekt der Gr¨ oße y beﬁndet sich in Abb. 6.20 a in der Bezugsweite aS = −25 ur das Auge. cm. Bei dieser Lage erscheint das Objekt unter dem Sehwinkel wS f¨ Um ein gr¨ oßeres Bild auf der Netzhaut zu erzeugen, benutzt man die Lupe und das Objekt kann nun in einen kleineren Abstand (s. Abb. 6.20 b) gebracht werden, wobei es gerade innerhalb der Bildbrennweite der Linse liegt. In dieser Lage sieht das Auge ein virtuelles Bild unter einem gr¨oßeren Winkel wS . Die Winkelvergr¨ oßerung Γ eines optischen Instrumentes, das direkt mit dem Auge zusammenwirkt, deﬁniert man als Winkelvergr¨oßerung

Γ =

tan wS , tan wS

(6.33)

6.4 Lupen und Okulare

177

Abb. 6.19. a) Aufbau von Kameraobjektiven. b) Schnittbild einer 35 mm-Kamera, die ein viellinsiges Objektiv aufweist

178

6 Optische Instrumente

Abb. 6.20. Vergr¨ oßerung der Lupe. Sehwinkel a) ohne und b) mit Lupe

wobei wS der Sehwinkel ohne und wS der Sehwinkel mit Instrument ist. y ur die Damit erh¨ alt man aus Abb. 6.20 mit tan wS = −y aS und tan wS = eA −aL f¨ Vergr¨ oßerung einer Lupe Γ = −

y −aS · y eA − aL

hieraus folgt mit dem Abbildungsmaßstab β = chung: Γ = −

y y

(6.34) =

aL a

und der Abbildungsglei-

f − aL aS · eA − aL f

(6.35)

Betrachtet man das Bild im Unendlichen, so ist aL = −∞ Lupenvergr¨oßerung

ΓL = −

aS −0,25 m 0,25 m =− = f f f

(6.36)

6.4 Lupen und Okulare

179

Im anderen Extrem betrachtet man das virtuelle Bild in der Bezugssehweite ur das auf Nahsehen des Auges und damit ist aL − eA = aS und man erh¨alt f¨ akkommodierte Auge die Vergr¨ oßerung ΓL = 1 −

aS + eA eA = ΓL + 1 − f f

(6.37)

Beispiel 6.2 Vergr¨ oßerung Lupe Eine Lupe hat die Bildbrennweite f = 20 cm. Wie groß ist die Lupenvergr¨ oßerung und die Vergr¨ oßerung bei Akkommodation auf die Bezugssehweite ur die Augenabst¨ ande eA1 = 10 cm und eA2 = 0 cm? aS f¨ L¨ osung Gleichung (6.36) ergibt f¨ ur die Lupenvergr¨oßerung ΓL = −

aS −0,25 m =− = 1,25 f 0,2 m

ur die Bei Nah-Akkommodation erh¨ alt man mit (6.37) f¨ ur eA1 = 10 cm f¨ Vergr¨ oßerung: Γ = 1 −

−0,25 m + 0,1 m = 1,75 0,2 m

und f¨ ur eA2 = 0 cm: Γ = 1 −

−0,25 m = 2,25 0,2 m

Die tats¨ achliche Vergr¨ oßerung h¨ angt vom jeweiligen Beobachter ab, der die Lupe solange bewegen wird, bis er das virtuelle Bild bequem sehen kann. F¨ ur kleine Brennweiten unterscheiden sich (6.36) und (6.37) nur unerheblich; man benutzt zur Angabe der Vergr¨ oßerung h¨ auﬁg allein (6.36). Einfache Lupen haben Vergr¨ oßerungen im Bereich von 2× bis 10×, beim Entwurf der Linsen f¨ ur hohe Vergr¨ oßerungen muss man jedoch die Abbildungs- und Farbfehler korrigieren. Benutzt man Lupen, um das Auge bei der Betrachtung von Bildern zu unterst¨ utzen, die durch ein weiteres optisches System erzeugt werden, so nennt man diese Okulare. Zum Beispiel dient das reelle Bild, das durch die Objektivlinse eines Mikroskops entworfen wird, als Objekt, das man durch das Okular betrachtet, wobei die Vergr¨ oßerung des Okulars zur Gesamtvergr¨oßerung des Instruments beitr¨ agt. Um qualitativ hochwertige Abbildungen zu erhalten, benutzt man Okulare, die korrigiert sind, vor allen Dingen reduziert man den Farbquerfehler (s. Kap. 5). Hierzu verwendet man meist zwei Linsen. Wir haben bereits fr¨ uher ge zeigt, dass die wirksame Brennweite f (relativ zu den Hauptebenen gemessen)

180

6 Optische Instrumente

von zwei d¨ unnen Linsen, die in dem Abstand e voneinander entfernt sind, gegeben ist durch: 1 fOk

=

1 1 e + − f1 f2 f1 f2

(6.38)

wobei f1 und f2 die Bildbrennweiten der einzelnen Linsen sind. Mit der Formel f¨ ur die Bildbrennweite d¨ unner Linsen erh¨ alt man bei gleicher Glassorte der Linsen und Luft als Umgebungsmedium 1 = (n − 1) f1 und 1 = (n − 1) f2

1 1 − r11 r12

1 1 − r21 r22

≡ (n − 1) K1

(6.39)

≡ (n − 1) K2

(6.40)

Die Ausdr¨ ucke in Klammern enthalten die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberurzt. Setzt man (6.39) ﬂ¨ ache und sind durch die Konstanten K1 und K2 abgek¨ und (6.40) in (6.38) ein, so erh¨ alt man: 1 fOk

= (n − 1)K1 + (n − 1)K2 − e(n − 1)2 K1 K2

(6.41)

Um den Farbquerfehler zu korrigieren, ist es erforderlich, dass die Bildbrennweite der Linsenkombination unabh¨ angig von der Brechzahl wird oder d (1/fOk ) =0 dn

Aus (6.41) erh¨ alt man: ) d (1/fOk = K1 + K2 − 2eK1 K2 (n − 1) = 0 dn Diese Bedingung l¨ asst sich erf¨ ullen, wenn die beiden Linsen im Abstand ec angeordnet sind, wobei: 1 1 1 ec = + 2 K1 (n − 1) K2 (n − 1)

Wegen (6.39) und (6.40) gilt dann: Bedingung f¨ ur verschwindenden Farbquerfehler

ec =

1 (f + f2 ) 2 1

(6.42)

6.4 Lupen und Okulare

181

Diese Bedingung gilt unabh¨ angig von der Linsenform. Durch die Wahl geeignet gekr¨ ummter Linsenoberﬂ¨ achen kann man noch andere Abbildungsfehler korrigieren1 .

Abb. 6.21. Huygenssches Okular

Abb. 6.22. Ramsden-Okular

Sowohl das Huygenssche als auch das Ramsden-Okular (s. Abb. 6.21 und 6.22) sind entsprechend (6.42) konzipiert. Bei beiden Systemen sind plankonvexe Linsen im Abstand der H¨ alfte der Summen der Bildbrennweiten angeordnet. In Abb. 6.21 betr¨ agt die Bildbrennweite der Feldlinse F L ungef¨ahr das 1,7-fache der 1

Der Farbl¨ angsfehler bleibt, weil die Hauptebenen des Systems nicht zusammenfallen. Siehe Abb. 5.14 und die Diskussion hierzu.

182

6 Optische Instrumente

Bildbrennweite der Augenlinse AL. Das prim¨are Bild, das das Okular verarbeitet, ur die Feldlinse. Die Feldlinse entwirft ist in diesem Fall das virtuelle Objekt (y ) f¨ ein reelles Bild (y ), das man durch die Augenlinse betrachtet. Wenn das reelle Bild in die Brennebene der Augenlinse f¨ allt, betrachtet man das vergr¨oßerte Bild im Unendlichen, wobei sich das Auge am Ort der Austrittspupille beﬁndet. Wir sehen, dass das Huygenssche Okular nicht als gew¨ohnliche Lupe genutzt werden kann. F¨ ur quantitative Messungen mit dem Okular verwendet man ein Fadenkreuz oder eine Strichplatte mit einem Maßstab. Damit diese Messvorrichtungen in die Bildebene des Messobjektes scharf abgebildet werden, muss man das Fadenkreuz in der Brennebene der AL anordnen. Dies erreicht man, indem man das Fadenkreuz an der Aperturblende anbringt (s. Abb. 6.23 a). Das Bild des Fadenkreuzes hat nicht die gleiche Qualit¨ at wie das des Gesamtokulars, da nur die Augenlinse alleine f¨ ur die Abbildung verantwortlich ist.

Abb. 6.23. Aufbau a) des Huygensschen und b) des Ramsden-Okulars

Diesen Nachteil vermeidet man im Ramsden-Okular (s. Abb. 6.22), bei dem sich sowohl das prim¨ are als auch das Zwischenbild vor der Feldlinse beﬁnden. Bei diesem Okular haben die Linsen dieselbe Bildbrennweite f und sind entsprechend (6.42) im Abstand f angeordnet. Im Idealfall treten parallele Strahlen aus dem Okular aus, was ein vergr¨ oßertes virtuelles Bild im Unendlichen ergibt, wenn das reelle Objekt y sich am Ort der ersten Linse beﬁndet. An diese Stelle bringt man auch eine Strichplatte. Ein Nachteil dieser Anordnung besteht darin, dass die Oberﬂ¨ ache der Linse ebenfalls scharf mit dem unter Umst¨anden darauf beﬁndlichen Staub oder Schmutz abgebildet wird. Zur Abhilfe wird der Abstand ur der Linsen geringf¨ ugig gr¨ oßer als f eingestellt, die Strichplatte beﬁndet sich f¨

6.4 Lupen und Okulare

183

eine scharfe Abbildung etwas vor der Feldlinse. F¨ ur diese Anordnung ist jedoch die Bedingung (6.42) nicht mehr exakt erf¨ ullt, es treten Farbquerfehler auf. Eine Modiﬁkation des Ramsden-Okulars, bei der Farbfehler fast vollst¨andig eliminiert werden, ist das Kellner-Okular, bei dem die Ramsden-Augenlinse durch ein achromatisches Dublett ersetzt wird. Beispiel 6.3 Huygenssches Okular Bei einem Huygensschen Okular werden zwei Linsen mit den Bildbrennweiten f1 = 6,25 cm und f2 = 2,5 cm eingesetzt. Bestimmen Sie den optimalen des Linsenabstand zur Reduktion des Farbquerfehlers, die Bildbrennweite fOk Okulars und die Lupenvergr¨ oßerung. L¨ osung Der optimale Linsenabstand ist gegeben durch: 1 1 (f + f2 ) = (6,25 cm + 2,50 cm) = 4,375 cm 2 1 2 Die Bildbrennweite ergibt sich aus: ec =

1 fOk

=

1 1 ec 1 1 4,375 cm + − = + − f1 f2 f1 f2 6,25 cm 2,50 cm 6,25 cm · 2,5 cm

Damit erh¨ alt man fOk = 3,57 cm. Die Lupenvergr¨oßerung betr¨agt

ΓL = −

aS 0,25 m = ≈7 fOk 0,0357 m

Auf dem Okular wird vom Hersteller 7×“ f¨ ur die Lupenvergr¨oßerung ” angegeben. Bei der Konstruktion von Okularen entwirft man m¨oglichst eine Austrittspupille, die nicht viel gr¨ oßer als die Augenpupille ist, damit man kein Licht verliert. Wir erinnern uns daran, dass die Austrittspupille das Bild der Eintrittspupille ist, das durch das Okular entworfen wird, und dass das Verh¨altnis der Durchmesser von Eintritts- zu Austrittspupille gleich der Vergr¨oßerung ist. Da die Eintrittspupille durch die vorangehenden Elemente des optischen Systems bestimmt wird (Durchmesser der Objektivlinse in einem einfachen Teleskop), begrenzt diese Forderung die Vergr¨ oßerung des Okulars und setzt damit eine untere Grenze f¨ ur die Brennweite. Die wichtigen Eigenschaften eines Okulars sind in den folgenden Angaben enthalten: 1. Lupenvergr¨oßerung Gebr¨ auchliche Werte sind 4× bis 25×, was Bildbrennweiten von 6,25 cm bis 1 cm entspricht.

184

6 Optische Instrumente

2. Augenabstandsweite Dies ist die Entfernung von der Augenlinse zur Austrittspupille. Okulare haben Augenabst¨ ande im Bereich von 5 bis 25 mm. 3. Sehfeldzahl oder Bildfeldwinkel Die Sehfeldzahl kennzeichnet den Durchmesser 2y des Zwischenbildes, welches das Okular verarbeiten kann. Die Sehfeldzahl liegt im Bereich von 5 bis 30 mm. Den Bildfeldwinkel 2w ermittelt man aus der Gleichung: tan w =

y fOk

6.5 Mikroskope Die Vergr¨ oßerung von kleinen Objekten, die man durch einfache Lupen erreicht, l¨asst sich durch ein Mikroskop erheblich steigern. In der einfachsten Form besteht dieses Ger¨ at aus zwei Positivlinsen, einer Objektivlinse von kleiner Brennweite, die nahe dem Objekt ist und einer Lupe, die als Okular dient. Das Okular blickt“ hierbei auf das reelle Zwischenbild, das durch das Objektiv erzeugt wird. ” In Abb. 6.24 sieht man, dass bei einer Objektlage außerhalb der Brennweite f Ob des Objektivs ein reelles Bild O innerhalb des Mikroskops entsteht. Nach dem Zwischenbild erreichen die Lichtstrahlen das Okular. Bei Beobachtung mit dem Auge richtet man es so ein, dass das Zwischenbild gerade innerhalb der Objektbrennweite des Okulars entsteht. Beﬁndet sich das Auge nahe dem Okular, so sieht man ein virtuelles Bild, das umgekehrt und stark vergr¨oßert ist. Die Objektivlinse dient als Eintrittspupille des optischen Systems. Das Bild der Objektiv¨ oﬀnung, das durch das Okular erzeugt wird, ist die Austrittspupille. Am Ort der Austrittspupille ist die Bestrahlungsst¨arke maximal, dies ist deshalb die optimale Position f¨ ur die Eintrittspupille des Auges. Eine spezielle Blende, die als Feldblende wirkt, beﬁndet sich am Ort des Zwischenbildes. Das Auge sieht dann beide scharf abgebildet, was dem Bildfeld eine scharf deﬁnierte Grenze gibt. Benutzt man das Mikroskop zusammen mit einer Kamera, so ben¨otigt man ein reelles Endbild. In diesem Fall liegt das Zwischenbild außerhalb der Okularbrennweite f Ob Gesamtvergr¨ oßerung Betrachtet man das Endbild mit dem Auge, so kann man die Vergr¨oßerung des Mikroskops wie im Falle der Lupe deﬁnieren. Die Winkelvergr¨oßerung f¨ ur ein Bild im Unendlichen (Auge ist auf Unendlich“ akkommodiert) ist mit (6.36) ” aS 0,25 m =− = (6.43) ΓM ft ft

6.5 Mikroskope

185

Abb. 6.24. Abbildungsstrahlengang im Mikroskop

wobei ft f¨ ur die Gesamtbrennweite beider Linsen steht, die sich im Abstand tme beﬁnden. Den Abstand von Objektiv und Okular bezeichnet man als mechanische alt man: Tubusl¨ange tme . Aus (6.38) erh¨ 1 1 1 tme = + − ft fOb fOk fOb fOk

(6.44)

Setzt man (6.44) in (6.43) ein, so ergibt sich: =− ΓM

+ fOk − tme ) aS (fOb fOb fOk

(6.45)

Mit Hilfe der Abbildungsgleichung f¨ ur die d¨ unne Linse k¨onnen wir f¨ ur die Objektivlinse das Verh¨ altnis von Bild- zu Gegenstandsentfernung angeben − tme f + fOk aOb = Ob aOb fOb

(6.46)

F¨ ur d¨ unne Linsen gilt hierbei (nach Abb. 6.24): aOb = tme +f Ok = tme −fOk . F¨ ur dicke Linsen ist diese Beziehung nicht g¨ ultig, da man den Abstand zwischen jeweiliger Hauptebene und entsprechender Linsenoberﬂ¨ache ber¨ ucksichtigen muss. Mit (6.45) folgt dann aus (6.46) = ΓM

aOb −aS · aOb fOk

und man erh¨ alt: Vergr¨oßerung des Mikroskops

= βOb ΓOk ΓM

(6.47)

186

6 Optische Instrumente

Die Gesamtvergr¨ oßerung ist also gerade das Produkt der Vergr¨oßerungen von und Okular ΓOk , sofern man das Bild im Unendlichen betrachtet. Objektiv βOb Mit der Newtonschen Formel (3.35) f¨ ur den Abbildungsmaßstab des Objektivs ergibt sich: =− βOb

zOb t =− fOb fOb

(6.48)

wobei der Abstand t zwischen den Brennpunkten FOb und F Ok als optische Tubusl¨ange bezeichnet wird. Die Vergr¨ oßerung des Mikroskops l¨asst sich dann folgendermaßen schreiben: = ΓM

t aS fOb fOk

(6.49)

In vielen Mikroskopen benutzt man standardm¨aßig eine mechanische Tubusl¨ange und fOk sind jeweils eﬀektive Brennweiten tme = 0,16 m. Die Brennweiten fOb von vielelementigen Linsensystemen, die bez¨ uglich der Abbildungsfehler korrigiert sind. Beispiel 6.4 Mikroskop = 1,9 cm Ein einfaches Mikroskop hat ein Objektiv mit der Brennweite fOb und ein Okular mit fOk = 5 cm. Die mechanische Tubusl¨ange sei tme = 16,4 cm, beide Linsen sind d¨ unn“, d.h. Linsenﬂ¨achen und Hauptebenen fallen ” zusammen. Bestimmen Sie die Vergr¨ oßerung des Mikroskops. L¨ osung − fOk = 16,4 cm − 1,9 cm − 5 cm = 9,5 cm und t = tme − fOb = ΓM

t aS fOb fOk

=

0,095 m · (−0,25 m) = −25 0,019 m · 0,05 m

Numerische Apertur F¨ ur ein lichtstarkes Objektiv, das helle Bilder erzeugt, sollte der Durchmesser der Objektivlinse so groß wie m¨ oglich sein. Mit zunehmender Vergr¨oßerung nehmen jedoch die Brennweite und damit der Durchmesser der Objektivlinse (s. (3.23)) ¨ sowie der Oﬀnungswinkel f¨ ur vom Objekt ausgehende Lichtb¨ undel ab. In Abb. 6.25 ist die Lichtb¨ undelbegrenzung durch die Objektivlinse eines Mikroskops dargestellt. Auf der rechten Seite beﬁndet sich Luft zwischen Linse und ¨ Der Strahl, der vom ObDeckglas, im Zwischenraum auf der linken Seite ist Ol. jektpunkt O aus durch das d¨ unne Deckglas und die Luft bis zum Rand des Ob¨ jektivs geht, deﬁniert mit der optischen Achse den halben Oﬀnungswinkel uL des

6.5 Mikroskope

187

¨ Abb. 6.25. Mikroskopobjektiv, Funktionsweise einer Ol-Immersionslinse

Lichtb¨ undels, das von der Linse verarbeitet werden kann. Wegen der Brechung an der Glas–Luft-Grenzﬂ¨ ache k¨ onnen Strahlen, die einen gr¨oßeren Einfallswinkel als uL haben, die Linse nicht erreichen. Zur Abhilfe bringt man eine transparen¨ zwischen Deckglas und Objektivlinse (s. linke Seite der te Fl¨ ussigkeit, z.B. Ol, Abb. 6.25), deren Brechzahl so nahe wie m¨oglich an der des Glases liegt. Damit oglich. Typischerweise erreicht man bei einer ist ein gr¨ oßerer Halbwinkel uOl ¨ m¨ ¨ nOl ¨ Brechzahl des Deckglases von 1,522 f¨ ur Ol ¨ = 1,516. Ein großer Oﬀnungswinkel ergibt eine hohe Beleuchtungsst¨ arke in der Bildebene. Kenngr¨oße f¨ ur die B¨ undelbegrenzung ist die numerische Apertur Mikroskopobjektiv

AN = n sin u

(6.50)

Aufgrund des Brechungsgesetzes ist die numerische Apertur eine Invariante im Objektraum. F¨ ur Luft mit nL = 1 und ng f¨ ur die Brechzahl des Deckglases erhalten wir AN = ng sin uL = sin uL ¨ und beim Einsatz eines Ol-Immersionsobjektivs: AN = ng sin uOl ¨ = nOl ¨ sin uOl ¨

F¨ ur Luft ist der Maximalwert der numerischen Apertur 1. Wenn man jedoch den ¨ der Brechzahl nOl ullt, ist eine maximale numerische Objektraum mit einem Ol ¨ f¨ oglich. In der Praxis ist der Grenzwert ungef¨ahr Apertur bis zum Wert von nOl ¨ m¨ 1,4. Wie bereits vorher gezeigt, ist die Bildhelligkeit (Beleuchtungsst¨arke) umgekehrt proportional zum Quadrat der Blendenzahl k. Hier ist die Bildhelligkeit proportional zu A2N . Die numerische Apertur ist ein wichtiger Auslegungsparameter, da sie sowohl die Aufl¨ osung als auch die Sch¨arfentiefe der Linse festlegt.

188

6 Optische Instrumente

Die Aufl¨ osung ist proportional zur numerischen Apertur, w¨ahrend die Sch¨arfentiefe umgekehrt proportional zu A2N ist. In Mikroskopen werden meist Objektive mit numerischen Aperturen im Bereich von 0,08 bis 1,3 eingesetzt. Biologische Pr¨ aparate werden normalerweise mit einem Deckglas von 0,17 bis 0,18 mm Dicke versehen. F¨ ur Objektive mit numerischer Apertur gr¨oßer als 0,3 ¨ hat das Deckglas – wenn man keine Olimmersion benutzt – zunehmenden Einﬂuss auf die Bildqualit¨ at, da es eine gr¨ oßere sph¨arische Aberration bewirkt. Deshalb muss ein biologisches Objektiv die Aberration durch das Deckglas kompensieren. Im Gegensatz hierzu wurde ein metallurgisches Objektiv ohne solche Kompensationsm¨ oglichkeit entworfen. Bei niedrigen Vergr¨oßerungen mit Brennweiten im Bereich von 8 bis 64 mm benutzt man achromatische Objektivlinsen. Diese Objektivlinsen sind normalerweise f¨ ur die Fraunhofer-C-(rot) und F -(blau) Wellenl¨ angen chromatisch und dar¨ uber hinaus bei der Fraunhofer-Wellenl¨ange d (gelbe Heliumlinie) sph¨ arisch korrigiert. Bei h¨ oheren Vergr¨oßerungen benutzt man f¨ ur Objektivlinsen mit Brennweiten im Bereich von 4 bis 16 mm Fluss-Spatlinsen (CaF2 ), die zusammen mit Glaselementen eine bessere Korrektur im Bereich des sichtbaren Spektrums bewirken. Wenn die Korrektur fast ideal ist, nennt man diese Objektivlinsen apochromatisch. Da bei hohen Vergr¨oßerungen die Korrektur besonders wichtig ist, sind Apochromate gew¨ohnlich Objektive mit Brennweiten im Bereich vom 1,5 bis 4 mm. Mit Hilfe moderner Techniken und Materialien kann man Objektivlinsen mit ebenem Bildfeld anfertigen. Diese Linsen nennt man Anastigmaten, wobei neben der anastigmatischen Ebnung des Bildfeldes ¨ auch die Oﬀnungsund Farbfehler korrigiert sind. Bei h¨oheren Vergr¨oßerungen wird das Objektiv als Immersionsobjektiv ausgelegt. Bei Immersionsmikroskopen ¨ durch Glyzerin und die optiersetzt man im Ultravioletten gew¨ ohnlich das Ol schen Glaselemente durch Fluss-Spat- oder Quarzelemente, da diese bei k¨ urzeren Wellenl¨ angen eine h¨ ohere Transmission aufweisen. Diese Diskussion sollte zeigen, dass qualitativ hochwertige Mikroskope oft nur f¨ ur einen speziellen Einsatz nutzbar sind. Die Auslegung eines Objektivs oder eines Okulars ist direkt mit der Funktion anderer optischer Elemente im Instrument verkn¨ upft. Deshalb ist es im Allgemeinen nicht m¨oglich, Objektive und Okulare zwischen verschiedenen Mikroskopmodellen auszutauschen, ohne dass die Leistung des Mikroskopes schlechter wird. Die Abb. 6.26 zeigt die optischen Komponenten in eines Standard-Mikroskops und den Lichtweg im Instrument. Zur Beleuchtung des Objektes im Mikroskop ist es bei geringen Vergr¨ oßerungen ausreichend, das Umgebungslicht oder das Licht einer Lampe mit einem Spiegel in den Abbildungsstrahlengang zu bringen. Zun¨ achst muss man Hell- und Dunkelfeldbeleuchtung unterscheiden. Bei der Hellfeldbeleuchtung ist bei der Betrachtung durch das Okular das objektfreie Feld hell, bei Dunkelfeldbeleuchtung ist das objektfreie Feld dunkel. Licht, das an der Objektstruktur gebeugt oder gestreut wird, bewirkt entsprechend eine Verdunkelung oder eine Aufhellung in der Bildebene. F¨ ur undurchsichtige Objekte benutzt man die Auf lichtbeleuchtung, f¨ ur durchsichtige die Durchlichtbeleuchtung.

6.5 Mikroskope

189

Abb. 6.26. Standardmikroskop mit K¨ ohlerscher Beleuchtung

Bei hohen Vergr¨ oßerungen muss man spezielle Beleuchtungsysteme einsetzen; man trennt dann den Abbildungs- und den Beleuchtungsstrahlengang, wie dies in Abb. 6.26 gezeigt ist. Die Gl¨ uhwendel der Lampe besitzt meist eine inhomogene Verteilung der Leuchtdichte, dies w¨ urde bei einer einfachen Anordnung zu einer ungleichm¨ aßigen Beleuchtungsst¨ arke in der Ebene des Pr¨aparates f¨ uhren. Deshalb benutzt man am Mikroskop oft die K¨ohlersche Beleuchtung mit einem verﬂochtenen Abbildungs- und Beleuchtungsstrahlengang. In Abb. 6.28 ist als erstes Element nach der Lampe die Kollektorlinse gezeigt, die die Gl¨ uhwendel in die Brennebene der Kondensorlinse abbildet. Die Leuchtfeldblende beﬁndet sich direkt hinter dem Kollektor und wird vom Kondensor in die Objektebene abge-

190

6 Optische Instrumente

Abb. 6.27. Verﬂochtener Strahlengang im Mikroskop mit K¨ ohlerscher Beleuchtung

6.6 Fernrohre

191

bildet. Die Einstellung dieser Irisblende bestimmt den Durchmesser des ausgeleuchteten Objektfeldes. In der Kondensorbrennebene liegt eine weitere Irisblende, die als Aperturblende die Beleuchtungsst¨arke in der Objektebene festlegt. Der telezentrische Strahlengang auf der Bildseite des Kondensors, bei dem parallele Strahlen die Kondensorlinse verlassen, sichert f¨ ur alle Punkte des Objektfeldes dieselbe Beleuchtungsst¨ arke. Die Lage der Eintrittspupille (EP ) in der Brennebene der Linse ist typisch f¨ ur den telezentrischen Beleuchtungsstrahlengang, der auch h¨ auﬁg in Strichcodelesern eingesetzt wird. Der zus¨atzliche Vorteil dieses Prinzips zeigt sich bei Beobachtung des Strichcodes mit derselben Optik (Umkehrung des Strahlenganges). Abstands¨ anderungen des Strichcodes relativ zur ¨ abbildenden Linse ergeben keine Anderungen der Vergr¨oßerung, da sich in der bildseitigen Brennebene der Linse eine Aperturblende (Austrittspupille) beﬁndet.

6.6 Fernrohre Die Fernrohre werden in Linsenfernrohre (Refraktoren) und Spiegelteleskope eingeteilt, je nachdem, ob Linsen oder Spiegel zur Erzeugung des Bildes eingesetzt werden. Zus¨ atzlich gibt es sogenannte katadioptrische Systeme, in denen brechende und reﬂektierende Oberﬂ¨ achen kombiniert sind. Fernrohre (Teleskope) unterscheidet man auch danach, ob das Bild invertiert ist oder ob man mit dem Auge oder mit fotograﬁschen Methoden beobachtet. Linsenfernrohre (Refraktoren) Die Abbildungen 6.28 und 6.29 zeigen zwei Typen von Linsenfernrohren, die ein invertiertes bzw. ein aufrechtes Bild erzeugen. Das Kepler-Fernrohr (s. Abb. 6.28) nennt man auch astronomisches Fernrohr, da die Bildorientierung bei astronomischen Objekten unwichtig ist. Das Galilei-Fernrohr in Abb. 6.29 erzeugt ein aufrechtes Bild, da im Okular eine Linse mit negativer Bildbrennweite (Zerstreuungslinse) eingesetzt wird. In jedem Fall werden nahezu parallele Lichtstrahlen eines weit entfernten Objektes durch eine Objektivlinse mit positiver Bildbrennweite (Sammellinse) gesammelt, die ein reelles Bild in ihrer Bildbrennebene erzeugt. Die Objektivlinse ist im Durchmesser gr¨ oßer als die Augenpupille und damit lichtst¨arker als das bloße Auge, so dass auch weit entfernte und damit lichtschw¨achere Sterne beobachtet werden k¨ onnen. Die Objektivlinse ist meist eine Dublett-Linse, die bez¨ uglich der chromatischen Aberration korrigiert ist. Das durch das Objektiv erzeugte reelle Zwischenbild wird durch das Okular beobachtet, das in den Abbildungen als Einzellinse gezeichnet ist. Das Zwischenbild, das in oder nahe der Brennebene des Okulars entsteht, dient als reelles Objekt f¨ ur das Okular im astronomischen Fernrohr und als virtuelles Objekt im Falle des Galilei-Fernrohres. Das einfallende Parallelstrahlb¨ undel von einem weit entfernten Objektpunkt (a = −∞ oder |a|

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6 Optische Instrumente

Abb. 6.28. Astronomisches oder Kepler-Fernrohr

Abb. 6.29. Terrestrisches oder Galilei-Fernrohr fOb ) verl¨ asst das Fernrohr wieder als Parallelstrahlb¨ undel. Bringt man das Auge in die N¨ ahe des Okulars, so beobachtet man ein Bild im Unendlichen. Das Objekt erscheint dem nackten“ Auge unter dem Sehwinkel wS und nach dem Okular ” unter dem Winkel wS . Aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken in der Abbildung ergibt sich:

Winkelvergr¨oßerung Fernrohr, Objekt im Unendlichen ( afokale“ Einstel” lung) ΓF ∞ =

tan wS f = − Ob tan wS fOk

(6.51)

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das Bild f¨ ur fOk > 0 (s. Abb. 6.28) < 0. In jedem invertiert ist. Ein aufrechtes Bild erh¨ alt man in Abb. 6.29 mit fOk Fall ist die L¨ ange e dieses Fernrohres f¨ ur d¨ unne Linsen gegeben durch:

6.6 Fernrohre e = fOb + fOk

193

(6.52)

< 0 eine kleine Baul¨ange; diesen Vorteil nutzt Ein Galilei-Fernrohr hat wegen fOk man im Opernglas. Zur Erzeugung eines aufrechten Bildes modiﬁziert man das astronomische Fernrohr durch den Einsatz einer dritten Positivlinse, deren Funktion darin besteht, das Zwischenbild zu invertieren. Diese Maßnahme verl¨angert aber das Fernrohr um mindestens das Vierfache der Bildbrennweite der Zusatzlinse. Eine Bildaufrichtung ohne zus¨ atzliche Baul¨ange erreicht man in Prismenfernrohren mit einem gefalteten Strahlengang durch den Einsatz von Umkehrprismen, wie bereits vorher beschrieben. F¨ ur jedes Fernrohr ist die Objektiv¨ oﬀnung Aperturblende und gleichzeitig Eintrittspupille (EP ). Das Bild der Aperturblende hinter dem Okular ist die Austrittspupille (AP ). Beim astronomischen Fernrohr liegt die Austrittspupille gerade außerhalb des Okulars und wird so ausgelegt, dass sie der Gr¨oße der Pupille des Auges entspricht. Ein Fernrohr sollte die Austrittspupille in gen¨ ugendem Abstand vom Okular aufweisen, um einen bequemen Augenabstand einhalten zu k¨ onnen. Eine bequemere Beobachtung erreicht man auch durch eine Austrittspupille von geringf¨ ugig gr¨ oßerem Durchmesser als die Augenpupille, so dass ¨ eine Anderung des Augenabstandes weniger kritisch ist. Wir sehen, dass beim Galilei-Fernrohr die Austrittspupille innerhalb des Okulars liegt, wo sie dem Auge nicht zug¨ anglich ist. Dies f¨ uhrt zu einem geringeren Feldwinkel, dem sogenannten Schl¨ ussellocheﬀekt“ des Galilei-Fernrohrs. Wir sehen, dass man beim Kepler” Fernrohr am Ort des Zwischenbildes eine Feldblende einsetzen kann, w¨ahrend dies f¨ ur das Galilei-Fernrohr nicht m¨ oglich ist. Der Durchmesser der Austrittspupille DAP h¨angt sehr einfach mit dem Durchmesser der Objektivlinse DEP u ¨ ber die Vergr¨oßerung zusammen. Aus Abb. 6.28 erh¨ alt man mit a = −∞:

DAP DEP = fOb f Ok und damit Vergr¨oßerung Fernrohr

ΓF ∞ =

DEP DAP

(6.53)

Der Index F“ steht f¨ ur Fernrohr“. Es gilt DAP < 0, wenn die Eintrittspupille ” ” (= Aperturblende) durch ein Positivokular als reelle Austrittspupille abgebildet wird. Damit ist der Durchmesser des Strahlenb¨ undels, das die Objektivlinse oßer als der Durchmesser des Strahlenb¨ undels, ausf¨ ullt, um den Faktor |ΓF ∞ | gr¨ das durch die Austrittspupille verl¨ auft. Wir sehen, dass deshalb noch nicht die Beleuchtungsst¨arke des Bildes im selben Verh¨altnis gr¨oßer wird, da die Bildgr¨ oße um den gleichen Faktor |ΓF ∞ | zunimmt. Die Beleuchtungsst¨arke des Bildes

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6 Optische Instrumente

kann nicht gr¨ oßer als die speziﬁsche Ausstrahlung (s. Kap. 2) des Objektes sein, tats¨ achlich ist das Bild wegen der nicht vermeidbaren Lichtverluste aufgrund der Reﬂexion an den Linsenoberﬂ¨ achen weniger hell.

Abb. 6.30. Schnittbild eines binokularen Fernglases, man erkennt das mehrlinsige Objektiv sowie die Okularlinse und das Prisma zur Bildumkehr

Zwei¨ augige Fernrohre (binokulare Fernrohre, s. Abb. 6.30) erlauben eine bequemere Betrachtung, da beide Augen daran beteiligt sind. Zus¨atzlich erlaubt der Einsatz von Porro-Prismen, den Abstand zwischen den Objektivlinsen gr¨oßer zu machen als den Abstand zwischen den Augenpupillen, was den stereoskopischen Eﬀekt durch das zwei¨ augige Sehen vergr¨ oßert. Weiterhin werden durch die Prismen aufrechte Bilder erzeugt. Die Bezeichnung 6 × 30“ f¨ ur Binokulare bedeutet, ” dass die Vergr¨ oßerung 6-fach und der Durchmesser der Objektivlinse (Eintrittspupille) 30 mm ist ( ΓF ∞ × DEP“). Aus (6.53) schließen wir, dass die Austritts” ¨ pupille f¨ ur dieses Binokular 5 mm betr¨ agt, was in guter Ubereinstimmung mit dem normalen Pupillendurchmesser ist. F¨ ur n¨achtliche Beobachtungen, wo die Pupillen etwas gr¨ oßer sind, ist ein binokulares Fernglas mit der Speziﬁkation

6.6 Fernrohre

195

7 × 50“ vorzuziehen, bei dem die Austrittspupille einen Durchmesser von ca. ” 7 mm aufweist. Beispiel 6.5 Feldstecher Bestimmen Sie den Augenabstand, den Bildfeldwinkel und den Sehfelddurchmesser eines 6 × 30“-Feldstechers. Die Bildbrennweite der Objektivlinse ist ” = 15 cm und der Okularlinsendurchmesser DOk = 1,5 cm. fOb L¨ osung Die Bildbrennweite des Okulars ergibt sich aus (6.51) =− fOk

fOb 15 cm =− = 2,5 cm ΓF ∞ −6

Der Augenabstand ist die Entfernung von der Okularlinse zur Austrittspupille. Die Austrittspupille ist das Bild der Objektiv¨oﬀnung, wenn man durch die Okularlinse sieht. Damit ergibt sich der Augenabstand als Bildweite a der Austrittspupille: a f e fOk (fOb + fOk ) fOk = = + f ) − f a + f e − fOk (fOb Ok Ok (15 cm + 2,5 cm) · 2,5 cm = = 2,92 cm 15 cm

a =

F¨ ur eine Objektebene im Abstand von a0 = −1000 m erh¨alt man mit tan wBf =

−DOk −1,5 cm = = −0,0429 2e 2 · 17,5 cm

den Bildfeldwinkel 2wBf = 4,9◦ ; oder den Sehfelddurchmesser y = 2a0 tan wBf =

a0 · (−DOk ) 1000 m · 0,015 m = = 85 m e 0,15 m + 0,025 m

Spiegelteleskope Objektivlinsen mit großem Durchmesser bewirken eine gr¨oßere Lichtst¨arke und eine gr¨ oßere Aufl¨ osung des Fernrohres. Es ist sehr schwierig, große homogene Linsen ohne optische Fehler herzustellen und – wegen des hohen Gewichts – heikel, diese mechanisch stabil zu befestigen. Diese Probleme sowie die chromatische Aberration lassen sich durch den Einsatz gekr¨ ummter Spiegelﬂ¨achen, wie z.B. beim 8 m-Spiegelteleskop der ESA in Chile, vermeiden. Große Spiegelteleskope werden normalerweise zur Untersuchung weit entfernter, lichtschwacher astronomischer

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6 Optische Instrumente

Abb. 6.31. Basistypen von Spiegelteleskopen. a) Newtonsches Teleskop. b) CassegrainTeleskop. c) Gregory-Teleskop

Objekte eingesetzt, deshalb registriert man h¨auﬁg das Bild durch eine Fotograﬁe mit großer Belichtungszeit. Das Prinzip einiger Spiegelteleskope ist in Abb. 6.31 gezeigt. Beim Newtonschen Spiegelteleskop verwendet man einen parabolisch geformten Spiegel, um alle parallel einfallenden Strahlen in denselben Brennpunkt Fp zu fokussieren. Vor dem Brennpunkt setzt man einen ebenen Spiegel in den Strahlengang, um die konvergierenden Strahlen in einem zweiten Brennpunkt Fs nahe der Wand des Fernrohres zu fokussieren. Am Rand beﬁndet sich ein Okular zur Betrachtung des Bildes. Der Einsatz eines parabolischen Spiegels vermeidet sowohl die chromatische als auch die sph¨ arische Aberration, aber die Koma ist f¨ ur außeraxiale Objektpunkte weiterhin vorhanden, wodurch das nutzbare Bildfeld stark ein-

6.6 Fernrohre

197

geschr¨ ankt wird. Das Hale-Teleskop ist so groß, dass der Beobachter auf einer speziell montierten Plattform direkt hinter dem prim¨aren Fokus Fp sitzen kann (s. Abb. 6.32). Nat¨ urlich reduziert jedes Hindernis innerhalb des Teleskops die Lichtmenge, die zum Bild beitr¨ agt. Beim Cassegrain-Teleskop (s. Abb. 6.31 b) ist der sekund¨ are Spiegel von hyperbolisch konvexer Form und reﬂektiert das ¨ Licht vom prim¨ aren Spiegel durch eine Oﬀnung im prim¨aren Spiegel in einen sekund¨ aren Fokus, wo man es bequem beobachten und aufzeichnen kann. Die hyperbolische Oberﬂ¨ ache bewirkt eine ideale Abbildung zwischen den Punkten des prim¨ aren und des sekund¨ aren Fokus, da sie die Brennpunkte des Hyperboloids sind. Eine solch ideale Abbildung ist auch m¨oglich, wenn man den sekund¨aren Spiegel konkav-ellipsoid macht, wie im Gregory-Teleskop (s. Abb. 6.31 c). Der are (Fs ) Brennpunkt dieses Teleskops sind nun die prim¨ are (Fp ) und der sekund¨ Brennpunkte des Ellipsoids.

Abb. 6.32. Hale-Spiegelteleskop (5 m). Man sieht den Beobachter in einem K¨ aﬁg in der N¨ ahe des prim¨ aren Fokus sowie die reﬂektierende Oberﬂ¨ ache des 5 m-Spiegels

Das Schmidt-Teleskop Das beste katadioptrische Teleskop wurde von Bernhardt Schmidt entworfen. Er vermied die sph¨ arische Aberration des prim¨aren sph¨arischen Spiegels durch den

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6 Optische Instrumente

Abb. 6.33. Schmidt-Teleskop

Einsatz einer d¨ unnen brechenden Korrekturplatte im Teleskop. Um diesen Aufbau zu verstehen, betrachten wir Abb. 6.33. Der konkave prim¨are Reﬂektor in a) empf¨ angt schmale B¨ undel paralleler Strahlen aus verschiedenen Richtungen. Jedes Strahlenb¨ undel geht durch eine Blende, deren Zentrum im Kr¨ ummungsmittelpunkt des prim¨ aren Spiegels liegt. Die Achse jedes Strahlenb¨ undels betrachte man als optische Achse, es gibt keine außeraxialen Objektpunkte und deshalb tritt keine Koma und kein Astigmatismus f¨ ur dieses System auf. F¨ ur

6.6 Fernrohre

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kleine Strahlenb¨ undel besteht jedes dieser B¨ undel aus paraxialen Strahlen, die in gleicher Entfernung vom Spiegel fokussiert werden. Diese Entfernung ist gleich der Bildbrennweite oder gleich dem halben Kr¨ ummungsradius des Spiegels. Die Bildpunkte liegen auf der Kugeloberﬂ¨ ache, die durch die gestrichelte Linie beschrieben ist. F¨ ur Strahlenb¨ undel mit großem Querschnitt, wie in b) gezeigt, tritt sph¨ arische Aberration auf, die eine kleinere Brennweite f¨ ur Randstrahlen bewirkt. Schmidt entwarf eine durchsichtige Korrekturplatte, die sich am Ort der Blende beﬁndet. Diese Platte wirkt am Rand als Negativ- und im Zentrum als ¨ Positivlinse und kompensiert den Oﬀnungsfehler. Die Brennpunkte aller einfallenden Strahlenb¨ undel liegen dann auf der sph¨arischen Brennﬂ¨ache, wie in c) gezeigt. Das Schmidt-Teleskop ist deshalb bez¨ uglich Koma, Astigmatismus und sph¨arischer Aberration korrigiert. Da sich die Korrekturplatte am Ort des Kr¨ ummungsmittelpunktes des Spiegels beﬁndet, ist die Abbildung paralleler Strahlenb¨ undel verschiedener Neigung gleich. Die verbleibenden Aberrationen sind durch die Fehler bei der Herstellung der Korrekturplatte verursacht. Ein Nachteil des SchmidtTeleskops ist das kugelf¨ ormig gew¨ olbte Bildfeld. Damit m¨ ussen die fotograﬁschen Filme oder Platten entsprechend geformt sein, oder man muss das Feld durch eine Linse vor der Aufnahmeﬂ¨ ache ebnen“. Wir sehen weiterhin, dass die Kor” rekturplatte sich am Ort der doppelten Brennweite des Spiegels beﬁndet, damit ist dieses Teleskop doppelt so lang wie die vorher beschriebenen Teleskope (s. Abb. 6.31).

¨ Ubungen 6.1 Ein Objekt hat eine Gr¨ oße von y = 2 cm, gemessen von der optischen Achse aus. Das optische System besteht aus einer Blende von 2 cm Durchmesser und einer d¨ unnen konvexen Linse der Bildbrennweite 5 cm mit 5 cm Durchmesser. Das Objekt ist 10 cm und die Blende 2 cm vom Scheitel der Linse entfernt. Bestimmen Sie die Position und Gr¨ oße von Eintritts- und Austrittspupille und des Bildes. Fertigen Sie eine Skizze des optischen Systems an und zeichnen Sie von der Spitze des Objektes den Hauptstrahl und die zwei Randstrahlen durch das optische System zum konjugierten Bildpunkt. ¨ 6.2 Wiederholen Sie Ubung 6.1 f¨ ur ein Objekt von 4 cm Gr¨ oße mit einer Aperturblende von 2 cm Durchmesser und einer d¨ unnen konvexen Linse der Bildbrennweite 6 cm und 5 cm Durchmesser. Das Objekt ist 14 cm von der Linse entfernt und die Aperturblende liegt in 2,5 cm Entfernung auf der Bildseite der Linse. ¨ 6.3 Wiederholen Sie Ubung 6.1 f¨ ur ein Objekt von 2 cm Gr¨ oße, einer Blende von 2 cm Durchmesser und einer d¨ unnen konvexen Linse von 6 cm Bildbrennweite und einem Durchmesser von 5 cm. Das Objekt beﬁndet sich 14 cm und die Aperturblende 4 cm vor der Linse. 6.4 Ein optisches System besteht aus folgenden Komponenten (von links nach rechts):

200

6 Optische Instrumente 1. Gegenstandsebene, 2. d¨ unne Linse L1 , 40 cm von der Gegenstandsebene entfernt, 3. Aperturblende AB, 20 cm weiter als L1 , 4. d¨ unne Linse L2 , 10 cm weiter als AB, 5. Bildebene. Die Linse L1 hat eine Bildbrennweite von 13,3 cm und einen Durchmesser von 2 cm; die Linse L2 hat eine Bildbrennweite von 6,6 cm und einen Durchmesser von 2 cm; ¨ die Blende B hat eine Oﬀnung von 0,5 cm Durchmesser. Alle Komponenten sind auf der optischen Achse zentriert: a) Skizzieren Sie das System maßst¨ ablich. Bestimmen Sie: b) den Ort der Bildebene, c) die b¨ undelbegrenzende Aperturblende und die Eintrittspupille, d) die Austrittspupille, e) die feldbegrenzende Blende, die Eintrittsluke und die Austrittsluke, f) den Bildfeldwinkel des Systems.

6.5 Zeichnen Sie f¨ ur ein Prisma mit dem brechenden Winkel α = 60◦ und der Brechzahl 1,52 den resultierenden Ablenkwinkel als Funktion des Eintrittswinkels auf. 6.6 Ein paralleler Strahl weißen Lichts durchl¨ auft ein gleichseitiges Glasprisma bei minimalem Ablenkwinkel. Wie groß ist der Winkelabstand der roten (nr = 1,525) und blauen (nb = 1,535) Lichtstrahlen, die das Prisma verlassen? ur Kron- und 6.7 a) Ermitteln Sie n¨ aherungsweise die Cauchy-Konstanten A0 und A2 f¨ Flintglas, indem Sie die Daten f¨ ur die C und F Fraunhofer-Linien aus Tab. 6.1 benutzen. Berechnen Sie die Brechzahl der Fraunhofer d-Linie unter Benutzung dieser Konstanten und der Cauchy-Reihe (6.17) f¨ ur zwei Reihenglieder. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Werten, die in der Tabelle gegeben sind. b) Berechnen Sie die Dispersion in der Umgebung der Fraunhofer d-Linie f¨ ur beide Glassorten, indem Sie die Cauchy-Beziehung verwenden. c) Berechnen Sie das Farbaufl¨ osungsverm¨ ogen von Kron- und Flintprismen in der Umgebung der Fraunhofer d-Linie, wenn die Basisl¨ ange des Prismas 75 mm betr¨ agt. Berechnen Sie das minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angenintervall in diesem Gebiet. 6.8 Ein gleichseitiges Prisma aus Flintglas wird f¨ ur ein Spektroskop eingesetzt. Die ¨ Anderungen der Brechzahl mit der Wellenl¨ ange sind in der folgenden Tabelle gegeben:

λ/ nm

n

656,3

1,63461

587,6

1,63810

486,1

1,64611

6.6 Fernrohre

201

Bestimmen Sie: a) den minimalen Ablenkwinkel f¨ ur Natriumlicht von 589,3 nm, b) die Abbesche Zahl des Prismenmaterials, c) die Cauchy-Konstanten A0 und A2 im Gebiet großer Wellenl¨ angen. Berechnen Sie mit Hilfe der Cauchy-Beziehung die Dispersion des Prismas bei 656,3 nm, d) die minimale Basisl¨ ange eines Prismas, wenn es die Wasserstoﬀ-Dublettlinien bei 656,2716 nm und 656,2852 nm aufl¨ osen soll. Ist dies ein realistisches Beispiel? 6.9 Ein gleichseitiges Prisma liefert bei Messungen in einem Spektrometer folgende minimale Ablenkwinkel: C-Linie: 38◦ 20’; d-Linie: 38◦ 33’; F -Linie: 39◦ 12’. Bestimmen Sie die Abbesche Zahl des Prismas. 6.10 Die Brechzahlen f¨ ur bestimmte Kron- und Flintgl¨ aser sind: Kronglas: Flintglas:

nC = 1,527, nd = 1,530, nC = 1,630, nd = 1,635,

nF = 1,536 nF = 1,648

Die beiden Glassorten sollen f¨ ur ein Geradsichtprisma (bestehend aus zwei Prismen) f¨ ur die d-Wellenl¨ ange eingesetzt werden. Der brechende Winkel des Flintglasprismas betr¨ agt 5◦ . Bestimmen Sie den brechenden Winkel des Kronglasprismas und den Unterschied in den Ablenkwinkeln f¨ ur einen d- und einen F -Strahl. Nehmen Sie an, dass beide Prismen eine kleine Basisl¨ ange aufweisen und symmetrischer Strahlengang vorliegt. 6.11 Ein achromatisches d¨ unnes Prisma f¨ ur die C- und F -Fraunhofer-Linien soll aus Kron- und Flintgl¨ asern, wie in Tabelle 6.1 beschrieben, hergestellt werden. Das Kronglasprisma hat einen brechenden Winkel von 15◦ . Bestimmen Sie: a) den brechenden Winkel des Flintglasprismas, b) die verbleibende mittlere Abweichung f¨ ur die d-Fraunhofer-Linie. 6.12 Eine Lambertsche Oberﬂ¨ ache hat die Form eines Quadrates der Seitenl¨ ange 5 cm. Die Fl¨ ache strahlt eine Gesamtleistung von 25 W in den vorderen Halbraum (2π sr) aus. Eine Kamera mit einem Objektiv von 4 cm Brennweite und Blendenzahl k = 8 wird zur Fotograﬁe des Objektes benutzt, wobei dieses 1 m von der Linse entfernt ist. a) Bestimmen Sie die speziﬁsche Ausstrahlung, die Strahlst¨ arke und die Strahldichte des Objektes (s. Tab. 2.1). b) Bestimmen Sie den Strahlungsﬂuss, der auf den Film in der Kamera triﬀt. c) Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke auf dem Film. 6.13 Untersuchen Sie die Eigenschaften von (6.31) und (6.32), die die Abh¨ angigkeit der Sch¨ arfentiefe von der Gr¨ oße der Blende, der Brennweite und der Gegenstandsweite angibt. Erstellen Sie eine entsprechende graphische Darstellung mit einem Rechner oder mit Bleistift und Papier. 6.14 Eine Kamera wird zur Fotograﬁe von drei Reihen von Studenten in einer Entfernung von 6 m benutzt, wobei auf die mittlere Reihe scharf eingestellt ist. Nehmen Sie an, dass die Unsch¨ arfe aufgrund von Objektpunkten in der ersten und dritten Reihe kleiner sein soll als die Gr¨ oße eines typischen Silberkorns der Emulsion, z.B. 1 µm.

202

6 Optische Instrumente Bei welcher kleineren oder gr¨ oßeren Gegenstandsweite als der der mittleren Reihe erh¨ alt man eine zu große Unsch¨ arfe, wenn die Kamera eine Brennweite von 50 mm hat und die Blende auf k = 4 eingestellt ist?

6.15 Ein Teleobjektiv besteht aus der Kombination zweier d¨ unner Linsen, die eine Bildbrennweite von +20 cm und -8 cm aufweisen. Die Linsen haben einen Abstand von 15 cm voneinander. a) Bestimmen Sie die Bildbrennweite der Kombination, die Entfernung von der Negativlinse zur Filmebene und die Bildgr¨ oße eines weit entfernten Objektes, das von der Kamera aus gesehen unter einem Winkel von 2◦ erscheint. b) Ermitteln Sie die gleichen Gr¨ oßen und die Lage der Hauptebenen, indem Sie die Matrixmethode aus Kapitel 4 benutzen. 6.16 Ein Kameraobjektiv mit 5 cm Bildbrennweite und einer Blendeneinstellung von k = 4 wird auf ein Objekt in 1,80 m Abstand fokussiert. Bestimmen Sie die Sch¨ arfentiefe, wenn der maximale Durchmesser des Unsch¨ arfekreises zu 0,05 mm angenommen wird. 6.17 Die Sonne erscheint von der Erdoberﬂ¨ ache aus gesehen unter einem Winkel von 0,5◦ , wobei bei senkrechtem Auffall eine Beleuchtungsst¨ arke von 105 lx (Lux) typisch ist. Wie groß ist die Beleuchtungsst¨ arke f¨ ur ein Bild der Sonne, das durch eine Linse von 5 cm Durchmesser und der Bildbrennweite 50 cm erzeugt wird? 6.18 a) F¨ ur ein Kameraobjektiv wird eine bikonvexe Linse der Bildbrennweite 15 cm benutzt. Wie groß ist ein Bild einer 1,80 m großen Person in 30 m Abstand, das auf dem Film erzeugt wird? b) Die bikonvexe Linse wird durch ein Teleobjektiv, bestehend aus einer bikonvexen Linse von 12 cm Bildbrennweite und einer konkaven Linse, ersetzt. Die konkave Linse beﬁndet sich an der Stelle der zuerst genannten Linse und die konvexe Linse ist 8 cm davor. Wie groß muss die Bildbrennweite der konkaven Linse sein, damit weit entfernte Gegenst¨ ande scharfe Bilder bei der gleichen Lage der Filmebene wie zuvor ergeben? Wieviel gr¨ oßer ist das Bild der Person, wenn man das Teleobjektiv benutzt? 6.19 Das Objektiv einer Kleinbildkamera (Filmformat 24×36 mm) weist die Beschriftung 50 mm, 1:1,8“ auf. ” a) Wie groß ist der maximale Blendendurchmesser? b) Bestimmen Sie, beginnend mit der maximalen Blenden¨ oﬀnung, die n¨ achsten drei k-Zahlen, die es erm¨ oglichen, die Beleuchtungsst¨ arke jeweils auf 1/3 zu reduzieren. c) Welche Blendendurchmesser entsprechen diesen k-Zahlen? d) Bei maximaler Blenden¨ oﬀnung und einer Belichtungszeit von 1/100 Sekunde wird ein Bild aufgenommen. Welche Belichtungszeiten sind f¨ ur jeden der anderen Blendendurchmesser n¨ otig, damit die gleiche Strahlungsenergie den Film triﬀt? 6.20 Die in (6.36) angegebene Vergr¨ oßerung gilt auch f¨ ur das zweilinsige Okular, wenn die Bildbrennweite der Kombination (s. (6.38)) benutzt wird. Zeigen Sie, dass die Vergr¨ oßerung eines Zweilinsen-Okulars, das der Bedingung f¨ ur verschwindende chromatische Aberration gen¨ ugt, f¨ ur ein Bild im Unendlichen durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

6.6 Fernrohre

203

Γ = 12,5 cm(1/f1 + 1/f2 ) 6.21 Ein Vergr¨ oßerungsglas besteht aus zwei d¨ unnen plankonvexen Linsen von jeweils 3 cm Bildbrennweite, die 2,8 cm voneinander entfernt sind. Finden Sie: a) die Bildbrennweite des Gesamtsystems, b) die Vergr¨ oßerung f¨ ur ein Bild, das im Nahpunkt des Auges erzeugt wird. 6.22 Das Objektiv eines Mikroskops hat eine Bildbrennweite von 0,5 cm. Es entwirft das Zwischenbild 16 cm vom bildseitigen Brennpunkt der Objektivlinse entfernt. a) Welche Gesamtvergr¨ oßerung hat das Mikroskop, wenn ein Okular mit der Beschriftung 10× benutzt wird? b) In welcher Entfernung vom Objektiv beﬁndet sich der beobachtete Objektpunkt? 6.23 Ein einfaches Mikroskop besitzt ein Objektiv und ein Okular, beides d¨ unne Linsen der Bildbrennweiten 1 cm und 3 cm. Ein Objekt beﬁndet sich 1,2 cm vor der Objektivlinse. Das virtuelle Bild, das vom Okular erzeugt wird, ist scheinbar 25 cm vom Auge entfernt. Berechnen Sie: a) die Gesamtvergr¨ oßerung des Mikroskops, b) den Abstand der Linsen. 6.24 Zwei d¨ unne bikonvexe Linsen, die 25 cm voneinander entfernt sind, bilden ein Mikroskop, dessen Gesamtvergr¨ oßerung 20 betr¨ agt. Die Bildbrennweite der Okularlinse betr¨ agt 4 cm. Bestimmen Sie die Bildbrennweite der anderen Linse. 6.25 Ein Fernrohr enth¨ alt eine Strichplatte – dies ist eine Glasplatte, auf der ein Maßstab eingeritzt ist – in der gemeinsamen Brennebene von Objektiv und Okular. Die Strichplatte ist damit ebenso scharf wie durch das Fernrohr betrachtete Gegenst¨ ande. Das Fernrohr wird auf einen Telefonmast in 30 m Entfernung scharf eingestellt. Die Bildbrennweite des Objektivs betr¨ agt 20 cm. Wie groß ist das Bild des Mastes auf der Millimetereinteilung der Strichplatte? 6.26 Ein Fernglas tr¨ agt die Markierung 7 × 35“. Die Bildbrennweite des Objektivs ” betr¨ agt 14 cm und der Durchmesser der Feldlinse des Okulars 1,8 cm. Bestimmen Sie: a) die Vergr¨ oßerung eines entfernten Gegenstandes, b) die Bildbrennweite des Okulars, c) den Durchmesser der Austrittspupille, d) den Abstand der Austrittspupille von der Augenlinse, e) den Durchmesser des Objektfeldes in einer Entfernung von 300 m vom Fernglas. 6.27 a) Zeigen Sie, dass bei Betrachtung des Endbildes eines astronomischen Fernrohrs in endlichem Abstand die Vergr¨ oßerung durch folgenden Term gegeben ist: ΓOk fOb a wobei ΓOk der Abbildungsmaßstab des Okulars und a die Entfernung vom Okular zum Endbild ist.

Γ =

204

6 Optische Instrumente b) F¨ ur solch ein Fernrohr benutzt man z.B. zwei Sammellinsen mit Bildbrennweiten von 30 cm und 4 cm. Bestimmen Sie die Vergr¨ oßerung, wenn das Bild im Unendlichen oder in der Bezugssehweite a = aS = −25 cm betrachtet wird.

6.28 Der Mond erscheint bei Beobachtung ohne Fernrohr unter einem Winkel von 0,5◦ . Die Bildbrennweiten der Objektiv- und Okularlinsen eines terrestrischen Fernrohrs sind 20 und 5 cm. Bestimmen Sie den Durchmesser des Bildes des Mondes, wenn man diesen durch das Fernrohr in der Bezugssehweite aS = −25 cm betrachtet. 6.29 Ein Opernglas benutzt ein Objektiv und ein Okular mit Bildbrennweiten von 12 cm und -4 cm. Bestimmen Sie die L¨ ange (Linsenabstand) des Instrumentes und seine Vergr¨ oßerung f¨ ur einen Betrachter, dessen Augen auf das Bild a) im Unendlichen und b) auf die Bezugssehweite aS = −25 cm akkommodiert sind. 6.30 Ein astronomisches Teleskop wird f¨ ur die Projektion des Mondes auf einen Schirm benutzt, wobei dieser 25 cm von einem Okular von 5 cm Bildbrennweite entfernt ist. Wie weit muss das Okular aus seiner normalen Lage verschoben werden? 6.31 a) Das Ramsden-Okular eines Teleskops besteht aus zwei Positivlinsen der Bildbrennweiten 2 cm, die sich im Abstand von 2 cm beﬁnden. Berechnen Sie die Vergr¨ oßerung, wenn das Bild im Unendlichen betrachtet wird. b) Das Objektiv des Fernrohrs ist eine Positivlinse der Bildbrennweite 30 cm mit dem Durchmesser 4,5 cm. Bestimmen Sie die Gesamtvergr¨ oßerung des Fernrohrs. c) Geben Sie Lage und Durchmesser der Austrittspupille an. d) Der Durchmesser der Feldlinse des Okulars betr¨ agt 2 cm. Bestimmen Sie den Bildfeldwinkel des Fernrohrs. 6.32 Zeigen Sie, dass die Winkelvergr¨ oßerung eines Newtonschen Spiegelteleskops f¨ ur das Bild im Unendlichen durch das Verh¨ altnis von Objektiv- zu Okularbrennweite gegeben ist, so wie dies auch beim Linsenfernrohr der Fall ist. 6.33 Der Prim¨ arspiegel eines Cassegrain-Spiegelteleskops hat eine Brennweite von 3,60 m. Der konvexe Sekund¨ arspiegel ist 3 m vom Prim¨ arspiegel entlang der optischen Achse entfernt und entwirft das Bild eines entfernten Gegenstandes im Scheitel des prim¨ aren Spiegels. Ein Loch im Spiegel gestattet die Betrachtung des Bildes durch ein Okular von 10 cm Brennweite, das sich genau hinter dem Spiegel beﬁndet. Berechnen Sie die Brennweite des konvexen Spiegels und die Winkelvergr¨ oßerung des Instrumentes.

10 Lichtinterferenz

Einleitung In diesem Kapitel werden wir Experimente zur Interferenz von zwei oder mehreren Lichtwellen behandeln und die Voraussetzungen diskutieren, unter denen sich Interferenz beobachten l¨ asst. Von besonderem Interesse sind die Grenzf¨alle der Verst¨ arkung oder konstruktiven Interferenz und der Abschw¨achung oder ¨ destruktiven Interferenz der u sich die Interferenz¨ berlagerten Wellen. Andern bedingungen r¨ aumlich, so treten Interferenzmuster auf. Bekanntestes Beispiel sind die Interferenzstreifen des Youngschen Doppelspaltversuchs, mit dem die ¨ Wellennatur des Lichtes bewiesen wurde. An d¨ unnen Seifenh¨auten oder Olﬁlmen beobachtet man Interferenzfarben, da f¨ ur ein Wellenl¨angenintervall des weißen Lichtes Verst¨ arkung und ein anderes Abschw¨achung auftritt. Alle diese Interferenzph¨ anomene lassen sich mit dem Wellenmodell des Lichtes erkl¨aren.

282

10 Lichtinterferenz

10.1 Zweistrahlinterferenz In Kap. 9 wurde die Interferenz skalarer Wellen in komplexer Schreibweise be¨ handelt. Wir untersuchen nun die Uberlagerung von zwei Wellen unter Ber¨ ucksichtigung des Vektorcharakters des elektrischen Feldes und verwenden die reelle Beschreibung. Im Raumpunkt P , der durch den Ortsvektor r festgelegt ist, sollen die von zwei Quellen ausgehenden gleichfrequenten ebenen Wellen ˆ 1 sin(ωt − k1 · r + ϕ01 ) 1 = E E ˆ 2 sin(ωt − k2 · r + ϕ02 ) 2 = E E

(10.1)

¨ interferieren. Nach dem Uberlagerungsprinzip wird die resultierende Feldst¨arke im Punkt P : 1 + E 2 P = E E Wir hatten gesehen, dass die quadratischen“ Detektoren der Optik nur das zeit” gemittelte Quadrat der Feldst¨ arken und damit die Intensit¨at I = εcE 2 (8.53) nachweisen k¨ onnen. Wir erhalten deshalb 1 + E 2 )2 = εc E 2 2 = εc(E 2 + E 2 + 2E 1 · E I = εc E (10.2) 1 2 P und schreiben f¨ ur die Intensit¨ at I = I1 + I2 + I12

(10.3)

I1 und I2 sind die Intensit¨ aten der Einzelwellen und I12 ist der wichtige Interferenzterm 2 1 · E I12 = 2εcE

(10.4)

der zeigt, dass bei der Interferenz nicht einfach die Intensit¨aten addiert werden. Der Interferenzterm h¨ angt von der Phasenbeziehung und Polarisation der Teil1 ⊥ E 2 , d.h. ur E wellen ab. Bei linear polarisiertem Licht verschwindet I12 f¨ wenn die Schwingungsebenen senkrecht aufeinander stehen, und wird maximal, 2 ist. Koh¨ 1 E arentes unpolarisiertes Licht ist interferenzf¨ahig, da es in wenn E zwei orthogonale Komponenten zerlegt werden kann, die bei den interferierenden Teilwellen jeweils parallel stehen. Damit reduziert sich der Interferenzterm 2 auf das Resultat 1 E f¨ ur unpolarisertes Licht und polarisiertes Licht mit E der skalaren Theorie (s. Kap. 9), falls nicht die Wellenfronten zus¨atzlich verkippt sind, d.h. es muss gelten: k1 k2 . Zur Berechnung von (10.4) bestimmen wir zun¨ achst mit (10.1)1 : 1

und dem Additionstheorem 2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β).

10.1 Zweistrahlinterferenz

283

& ˆ ˆ 1 · E 2 = εc E 2E · E · r − k · r + ϕ − ϕ cos k 1 2 2 1 01 02 + ' − cos 2ωt − (k1 + k2 ) · r + ϕ01 + ϕ02 Bei Zeitmittelung verschwindet der zeitabh¨angige Term. Wir f¨ uhren die Phasendiﬀerenz δ der Teilwellen ein: δ = k2 · r − k1 · r + ϕ01 − ϕ02

(10.5)

und erhalten den Interferenzterm: ˆ ˆ I12 = εcE 1 · E 2 cos δ F¨ ur parallele E-Vektoren folgt hieraus das bereits bekannte Ergebnis (9.12) f¨ ur die Intensit¨ at der Zweistrahlinterferenz Intensit¨at der Zweistrahlinterferenz (10.6) I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ

Abb. 10.1. Zweistrahlinterferenz im Beobachtungspunkt P , der durch einen Ortsvektor r festgelegt ist. Die ortsabh¨ angigen Phasen, mit denen die Teilwellen in P eintreﬀen, werden – bei Welle 1 – durch k1 · r1 = k1 r1 bestimmt. Bei Welle 2 gilt k2 r2 mit r2 = r2 + r2 sowie einer evtl. zus¨ atzlichen Phasenverschiebung bei der Reﬂexion

Zur Ermittlung der Phasendiﬀerenz (10.5) ist es vorteilhaft, die ortsabh¨angige Phase der Wellen nicht durch den Ortsvektor r, sondern durch die Abst¨ande r1,2 des Aufpunktes P von den Quellen Q1,2 auszudr¨ ucken (s. Abb. 10.1). (Wegen

284

10 Lichtinterferenz

k1 · r = k1 · r1 + k1 · ∆r1 unterscheiden sich dann die Phasen k1 · r und k1 · r1 nur um einen konstanten Betrag k1 · ∆r1 ). F¨ ur Kugelwellen ist k1,2 r1,2 und wir erhalten aus (10.5): δ = k2 r2 − k1 r1 + ∆ϕ

(10.7)

ur synchron schwingende mit den Kreiswellenzahlen k1,2 = cω0 n1,2 = k0 n1,2 . F¨ Sender ist nun ∆ϕ = 0, falls nicht zus¨ atzliche Phasenverschiebungen – z.B. durch Reﬂexion – auftreten. Anschaulicher als die Phasendiﬀerenz ist der Gangunterschied ∆ der interferierenden Teilstrahlen. Hierunter versteht man die Wegstrecke im Vakuum, die der Phasendiﬀerenz δ entspricht, d.h. Phasendiﬀerenz ↔ Gangunterschied

δ = k0 ∆ =

2π ∆ λ0

(10.8)

Hiermit folgt dann aus (10.7) (nach Division durch k0 ) f¨ ur den Gangunterschied Gangunterschied

∆ = n 2 r 2 − n 1 r 1 + ∆

(10.9)

Hierbei ist der optische Weg

dopt = n · r

(10.10)

gleich dem Produkt von geometrischem Weg und Brechzahl. Der optische Weg ber¨ ucksichtigt den Einﬂuss unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeiten (c = c0 /n) auf die Phasenverschiebung. Damit kommen wir zu der Formulierung von (10.9): Der Gangunterschied ∆ von zwei Teilwellen ist gleich der Diﬀerenz der optiunge bei schen Wege plus einem konstanten Beitrag ∆ durch evtl. Phasenspr¨ Reﬂexion und unterschiedliche Phasenlage der Sender. Die Beziehung f¨ ur den Gangunterschied folgt auch direkt aus der Laufzeitdiﬀerenz ∆t der Teilstrahlen: r2 r1 − c0 = n 2 r 2 − n 1 r 1 c2 c1 dabei ist t1 die Laufzeit auf Weg 1 und c0 ∆t die der Laufzeitdiﬀerenz entsprechende Wegstrecke im Vakuum. Wir hatten bereits in Kap. 9 die wichtigen Grenzf¨alle der Interferenz diskutiert: a) konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die interferierenden Teilwellen in Phase sind, wenn also ∆ = c0 ∆t = c0 (t2 − t1 ) = c0

10.1 Zweistrahlinterferenz

Phasendiﬀerenz und Gangunterschied

δ = m · 2π ∆ = mλ

mit m = 0, ±1, ±2, . . .

285

(10.11)

Wegen cos δ = 1 tritt dann nach (10.6) die maximale Intensit¨at auf: Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2

(10.12)

b) destruktive Interferenz Hier schwingen die Teilwellen gegenphasig; folglich gilt Phasendiﬀerenz und Gangunterschied

δ = (2m + 1)π ∆ = (2m + 1) λ2

mit m = 0, ±1, ±2, . . . (10.13)

und man beobachtet die minimale Intensit¨at: Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2

(10.14)

Sind die interferierenden Wellen gleich stark (I1 = I2 = I0 ), so hat man nach (10.6) den Intensit¨ atsverlauf Intensit¨atsverlauf f¨ ur gleiche Teilintensit¨aten

I = 4I0 cos2

δ 2

(10.15)

Bei konstruktiver Interferenz tritt die vierfache Intensit¨at (Imax = 4I0 ) der Einzelwelle auf, w¨ ahrend bei destruktiver Interferenz v¨ollige Ausl¨oschung (Imin = 0) zu beobachten ist (s. Abb. 10.2). Mittelt man u ¨ ber wenigstens eine r¨aumliche Peur riode, so wird die mittlere Intensit¨ at I = 2I0 . Dieses Ergebnis ist repr¨asentativ f¨ Interferenz- und Beugungsph¨ anomene: Liegt die Energiedichte an einigen Stellen unterhalb des Durchschnittswertes, dann ist sie an anderen Punkten dar¨ uber und das gesamte Interferenzmuster erf¨ ullt den Erhaltungssatz der Energie. Zur Beschreibung des Kontrasts der Interferenzstreifen f¨ uhrt man den Strei−Imin ein. Nach Einsetzen erh¨alt man fenkontrast oder die Modulation M = IImax max +Imin den √ Imax − Imin 4 I1 I2 Streifenkontrast M= = (10.16) Imax + Imin 2(I1 + I2 ) mit den Spezialf¨ allen M = 1 f¨ ur I1 = I2 (s. Abb. 10.2 b) und M = 2 I2 I1 .

I1 I2

f¨ ur

286

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.2. Zweistrahlinterferenz. Intensit¨ at der Interferenzstreifen als Funktion der Phasendiﬀerenz δ und des Gangunterschieds ∆. a) ungleiche Intensit¨ aten der Teilwellen (I1 = I2 ). b) gleiche Intensit¨ aten (I1 = I2 = I0 ). In b) ist der Streifenkontrast erh¨ oht, da die Untergrundhelligkeit Imin verschwindet.

10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch Das f¨ ur die Wellentheorie des Lichtes entscheidende Interferenzexperiment wurde 1802 von Thomas Young durchgef¨ uhrt und ist in Abb. 10.3 schematisch wiedergegeben. Monochromatisches Licht passiert zun¨achst eine kleine Kreisblende Q, um eine ann¨ ahernd punktf¨ ormige und damit r¨aumlich koh¨arente Lichtquelle zu realisieren. Auf die Verwendung dieser Blende kann heute verzichtet werden, da man in der Regel r¨ aumlich und zeitlich koh¨arentes Laserlicht einsetzt. Das Licht f¨allt anschließend auf zwei nah benachbarte L¨ocher Q1 und Q2 , zwei koh¨arente punktf¨ ormige Lichtquellen, von denen Kugelwellen ausgehen, deren Interferenz auf einem Schirm im Abstand s beobachtet werden kann. Diese Quellen werden im Experiment meist durch schmale, parallele L¨angsspalte (senkrecht zur Zeichenebene) ersetzt, um ein lichtst¨ arkeres Beugungsbild zu erhalten. Man hat dann entlang der L¨ angsrichtung der Spalte eine sehr große Zahl von Punktquellen, die nicht koh¨ arent sein m¨ ussen. In der y-z-Ebene gelten die Interferenzbedingungen der Punktquellen, w¨ ahrend in x-Richtung fast keine Beugungsverbreiterung auf-

10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch

287

Abb. 10.3. Schema des Youngschen Doppelspaltexperiments. Q ist die punktf¨ ormige Lichtquelle, die Aperturen Q1 und Q2 sind in der Regel Spalte, die senkrecht auf der Papierebene stehen. Damit beobachtet man die Interferenz von Zylinderwellen

tritt (siehe Kap. 16.3). Der Beobachtungspunkt P ist um r1 = Q1 P und r2 = Q2 P von den Spalten entfernt. Aus (10.9) folgt dann f¨ ur den Gangunterschied ∆ = r2 − r1

(10.17)

Damit sich die von Q1 und Q2 ausgehenden Wellen u ¨ berlappen und der Abstand der Interferenzstreifen groß wird, soll der Spaltabstand g sehr klein gegen den Schirmabstand s sein (wir untersuchen damit Fraunhoferbeugung, s. Kap 16). In diesem Fall ergibt sich f¨ ur ∆ ein einfacher Ausdruck: Schl¨agt man um P einen Kreis mit dem Radius Q1 P , so schneidet dieser die Gerade Q2 P bei N ; folglich ahert man Q1 N durch eine Gerade an, so erh¨alt man ein wird ∆ = Q2 N . N¨ rechtwinkliges Dreieck mit ∆ = r2 − r1 ≈ g sin α

(10.18)

wobei – wegen OP ⊥ Q1 N – α durch den Winkel zwischen optischer Achse und Gerade OP , den Beugungswinkel α, ersetzt werden kann. Mit der Bedingung ∆ = mλ f¨ ur konstruktive Interferenz hat man f¨ ur die Beugungsmaxima Beugungsmaxima

sin αmax = m

λ g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(10.19)

und bei destruktiver Interferenz (mit ∆ = (2m + 1)λ/2) f¨ ur die Beugungsminima

288

10 Lichtinterferenz

Beugungsminima

sin αmin = (2m + 1)

λ 2g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . . (10.20)

Wenn die beiden Spalte gleich groß sind, haben die ausgehenden Wellen gleiche Amplitude und die Intensit¨ at der interferierenden Wellen ist im Beobachtungspunkt P durch (10.15) gegeben. Wir hatten vorausgesetzt, dass nur kleine Beugungswinkel auftreten und die Beobachtungspunkte P nahe an der optischen Achse liegen, dann wird sin α ≈ tan α = y/s. Mit δ = 2π∆/λ und ∆ = g sin α = gy/s kann man dann die Intensit¨ at (10.15) in Abh¨angigkeit von y angeben: πgy δ = 4I0 cos2 2 λs Damit liegen die Interferenzmaxima entsprechend (10.19) bei I = 4I0 cos2

λs mit g und haben die konstanten Abst¨ ande ymax = m

m = 0, ±1, ±2, . . .

(10.21)

(10.22)

λs (10.23) g Die Minima weisen dieselben Abst¨ ande auf und liegen zwischen den Maxima. Abbildung 10.4 zeigt die auf dem Beobachtungsschirm gemessene Intensit¨atsverteilung. Das Ergebnis (10.23) ist f¨ ur alle Beugungsexperimente repr¨asentativ: Der Abstand der Interferenzstreifen steigt mit der Wellenl¨ange und dem Abstand von ¨ den beugenden Oﬀnungen an, wird aber mit zunehmendem Spaltabstand kleiner. Die Messung von ∆y kann somit zur Bestimmung von Wellenl¨angen und Spaltabst¨ anden herangezogen werden. Der Doppelspalt-Versuch l¨ asst sich bei großen Schirmabst¨anden auch als Interferenz schr¨aglaufender ebener Wellen (s. Abb. 9.5) interpretieren: Ein Beobachter bei y = 0 sieht um den Winkel 2θ = g/s verkippte Wellenfronten auf sich zukommen und registriert in y-Richtung Maxima, deren Abstand ∆y gleich dem Abstand λy /2 = λ/2θ (s. (9.41)) der Wellenb¨auche der stehenden Welle sein ¨ muss. Nach Einseten von 2θ = g/s erh¨ alt man dann die georderte Ubereinstimmung mit (10.23). ∆y =

Beispiel 10.1 Doppelspalt Koh¨ arentes Licht triﬀt auf zwei identische und parallele Spalte im Abstand g = 0,2 mm. Auf einem 1 m entfernten Schirm werden Interferenzstreifen mit einem Abstand von 3,29 mm beobachtet. Beschreiben Sie die Bestrahlungsst¨ arke in der Schirmebene, wenn der Beitrag eines Spaltes gleich I0 ist. Wie groß ist die Wellenl¨ ange des Lichtes? Welcher Streifenkontrast liegt vor? Geben Sie weiterhin die Ergebnisse f¨ ur den Fall an, dass einer der Spalte doppelt so breit ist wie der andere.

10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch

289

Abb. 10.4. Intensit¨ at der Doppelspaltinterferenz als Funktion des normierten Abstang des y λs von der optischen Achse. Beugungsmaxima treten bei ganzzahligen Abstandswerten auf, die mit der Beugungsordnung m u ¨bereinstimmen

Abb. 10.5. Interferenz des Lichtes aus zwei koh¨ arenten Punktquellen. Man beobachtet abwechselnd helle und dunkle Interferenzstreifen. Helligkeit entsteht in Richtungen, in denen Wellenberg (durchgezogene Kreise) auf Wellenberg triﬀt. Treﬀen Berge auf T¨ aler (gestrichelt), so entsteht destruktive Interferenz und damit Dunkelheit

290

10 Lichtinterferenz

L¨ osung 2·10−4 m·3,29·10−3 m = 658 nm. Mit Wir erhalten aus (10.23): λ = g∆y s = 1m y . Bei gleichen Intensit¨aten der (10.21) ergibt sich I = 4I0 cos2 955 mm Einzelspalte ist der Streifenkontrast M = 1. Wird die Breite des Spaltes 2 ˆ1 mit ˆ 2 = 2E verdoppelt, so wird die von diesem durchgelassene Amplitude E der Intensit¨ at I2 = 4I1 . Der Abstand der Streifen bleibt derselbe, da der Spaltabstand g = konst. Wir erhalten aus (10.12) und (10.14): Imax = 9I1 und Imin = I1 . Der Kontrast wird atsverlauf ist)nach M = 0,8.Der Intensit¨ ( y . (10.6): I = 5I1 + 4I1 cos δ = I1 1 + 8 cos2 2δ = I1 1 + 8 cos2 955 mm

¨ Abb. 10.6. Bildung heller Interferenzstreifen bei Uberlagerung des Lichtes aus zwei koh¨ arenten Punktquellen. Die Abst¨ ande von den Quellen Q1 und Q2 zu einem Punkt P benachbarter Streifen unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache der Wellenl¨ ange. Im Dreidimensionalen entstehen Hyperboloide, die um die y-Achse rotationssymmetrisch sind

10.3 Doppelspaltinterferenz mit virtuellen Quellen

291

Eine andere M¨ oglichkeit zum Verst¨ andnis der Bildung heller und dunkler Interferenzstreifen durch konstruktive bzw. destruktive Interferenz wird durch Abb. 10.5 erkl¨ art: Wellenberge und -t¨ aler der von Q1 und Q2 ausgehenden Kugelwellen laufen auf den oben beﬁndlichen Schirm zu. Entlang der mit H (Helligkeit) bezeichneten Linien sind die Teilwellen in Phase (Berge fallen auf Berge und T¨aler auf T¨ aler) und f¨ uhren zu konstruktiver Interferenz. D-Linien (Dunkelheit) entsprechen destruktiver Interferenz, bei der Berge auf T¨aler treﬀen. Ginge hierbei von den Quellen (Einzelspalten) nur jeweils eine Elementarwelle aus (dies ist bei Spaltbreiten der Fall, die kleiner als eine Wellenl¨ange sind, s. Kap. 16.1), so w¨ urden im ganzen umgebenden Raum (sehr lichtschwache) Interferenzlinien auftreten. Bei zunehmender Spaltbreite wird die Beugung am Einzelspalt reduziert und man beobachtet verst¨ arkte Helligkeit in Vorw¨artsrichtung. Die Interferenzbedingung f¨ ur helle Ringe ist wieder (s. Abb. 10.6): r2 − r1 = mλ

(10.24)

Sie legt im Raum Hyperbelﬂ¨achen fest, da die Bedingung r2 − r1 = konst. Hyperbeln beschreibt. In der in Abb. 10.6 wiedergegebenen Anordnung ist das Interferenzfeld rotationssymmetrisch um die y-Achse. Stellt man dann einen Beobachtungsschirm (bei y = 0) senkrecht zur y-Achse, so beobachtet man konzentrische Interferenzringe, w¨ ahrend in Ebenen, die senkrecht zur z-Achse stehen, Interferenzstreifen aquidistant und gerade verlaufen. Da sich die auftreten, die f¨ ur x2 + y 2 z 2 ¨ Interferenzen u ¨ ber den ganzen Raum erstrecken, spricht man hier von nichtlokalisierten Interferenzstreifen.

10.3 Doppelspaltinterferenz mit virtuellen Quellen Interferenzeﬀekte k¨ onnen bisweilen auch f¨ ur eine einzige Lichtquelle beobachtet werden. Hier werden durch Reﬂexion oder Brechung virtuelle koh¨arente Quellen erzeugt, die zusammen oder mit der Originalquelle ein Interferenzmuster erzeugen. Die Abbildungen 10.7 bis 10.9 erl¨autern dies an drei Beispielen. Diese sind nicht nur von historischer Bedeutung, sondern sollen uns die Vielfalt an – bisweilen unerwarteten – Interferenzeﬀekten vor Augen f¨ uhren. In Abb. 10.7 interferieren auf dem Schirm die von der Quelle Q direkt ausgehenden Teilwellen mit denen aus der virtuellen Quelle Q , die durch Reﬂexion an der Spiegelebene SS erzeugt wird. Man bezeichnet dies als den Lloydschen Spiegelversuch. Mit g = 2h (h = H¨ohe der Quelle u ¨ber dem Spiegel) wird dann das Ergebnis durch uhrt, (10.21) und Abb. 10.4 beschrieben. Wenn der Schirm den Spiegel bei S ber¨ beobachtet man dort einen dunklen Fleck. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass die Welle bei Reﬂexion einen Phasensprung von π erf¨ahrt. Wir m¨ ussen dann alλ so bei der genauen Analyse in (10.17) ∆ = r2 − r1 + 2 schreiben, um diesen Phasensprung zu ber¨ ucksichtigen.

292

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.7. Interferenz beim Lloydschen Spiegelversuch. Koh¨ arente Quellen sind die Punktquelle Q und ihr Spiegelbild Q im Abstand g = 2h

Abb. 10.8. Interferenz beim Fresnelschen Spiegelversuch. Koh¨ arente Quellen Q1 und Q2 sind die virtuellen Bilder der Punktquelle Q, die von den beiden ebenen – um die Achse O leicht verkippten – Spiegeln S1 und S2 gebildet werden. Der Beobachtungsschirm darf nicht von direktem Licht getroﬀen werden.

Eine a ¨hnliche Anordnung ist beim Fresnelschen Spiegelversuch gegeben. Zwei leicht gekippte Spiegel S1 und S2 erzeugen aus der Punktquelle Q die beiden unge heben sich hier virtuellen Quellen Q1 und Q2 durch Reﬂexion. Phasenspr¨ auf. Der Abstand der Quellen g kann aus Abb. 10.8 entnommen werden, die Lage der Interferenzstreifen ist durch (10.22) gegeben. Beim Fresnelschen Biprisma erzeugt man die beiden virtuellen Quellen Q1 und Q2 durch Brechung (s. Abb. 10.9). Der Prismenwinkel ist hier sehr klein und liegt im Bereich von etwa 1◦ . Zur Berechnung des Abstandes g wird ein Strahl

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten

293

Abb. 10.9. Interferenz mit dem Fresnelschen Biprisma. Die koh¨ arenten Quellen Q1 und Q2 entstehen bei der Lichtbrechung in den beiden H¨ alften des Prismas als virtuelle Bilder der Quelle Q

betrachtet, der das Prisma symmetrisch (d.h. Einfallswinkel = Ausfallswinkel) durchsetzt. In diesem Fall ist erh¨ alt man den minimalen Ablenkwinkel βm = (n − 1)α (s. (6.16)) und aus Abb. 10.9 den virtuellen Spaltabstand beim Biprisma

g ≈ 2 d βm = 2 d α(n − 1)

(10.25)

Die Lage der Interferenzringe wird dann wieder durch (10.22) festgelegt.

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten ¨ Die bekannten Farberscheinungen von d¨ unnen Olﬁlmen auf Wasser und bei Seifenblasen sowie die brillanten Farben von Perlen (Perlmutt), Pfauenfedern und Schmetterlingsﬂ¨ ugeln werden durch Lichtinterferenz an einzelnen oder mehreren d¨ unnen (meist transparenten) Schichten hervorgerufen. Die Entstehung und Beobachtung der Farben wird durch zahlreiche Parameter, wie Gr¨oße und Spektralbreite der Lichtquelle sowie Form und Reﬂexions- und Absorptionsverm¨ogen der Schichten, beeinﬂusst. Zun¨ achst untersuchen wir die Interferenz an einer d¨ unnen transparenten und ¨ auf Wasser, planparallelen Schicht der Brechzahl ns , die z.B. durch einen Olﬁlm

294

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.10. Zweistrahlinterferenz an einer d¨ unnen Schicht. Strahlen, die an der Oberund Unterseite der ebenen Schicht reﬂektiert werden, werden mit Hilfe einer Linse L in P zur Interferenz gebracht

eine Oxidschicht auf Metallen (→ Anlauffarben) oder eine Aufdampfschicht auf Glas (→ Entspiegelung) gebildet wird (Abb. 10.10). Ein bei A auf die Oberﬂ¨ache treﬀender Strahl wird in einen reﬂektierten und gebrochenen Teilstrahl aufgespalten. Diese der Interferenz (an d¨ unnen Schichten) vorausgehende Strahlteilung bezeichnet man auch als Amplitudenteilung. Bei Experimenten wie dem Doppelspaltversuch werden hingegen verschiedene Bereiche einer Wellenfront u ¨ berlagert, man spricht dann von Wellenfrontteilung. Der gebrochene Strahl wird (ganz oder teilweise) an der Unterseite bei B reﬂektiert und verl¨asst bei C die Schicht (nach erneuter Brechung) in der Richtung des bei A reﬂektierten Strahles. Der bei C reﬂektierte Anteil erf¨ ahrt in der Schicht Mehrfachreﬂexionen, die zu vielen parallel austretenden Strahlen und damit zur Vielstrahlinterferenz f¨ uhren (s. Kap. 11.5). Hier wird zun¨ achst schwache Reﬂexion vorausgesetzt; dann gen¨ ugt es, nur die Interferenz von zwei Teilwellen zu betrachten. Die bei A und C austretenden Parallelstrahlen werden durch eine Sammellinse (h¨auﬁg das Auge) in P zur Interferenz gebracht. Da die Wellen unterschiedliche Wege zur¨ ucklegen, weisen sie in P einen Gangunterschied ∆ auf. Bei senkrechtem Lichteinfall, wo Strahl 2 die Dicke d zweimal zus¨ atzlich durchlaufen muss, gilt nach (10.9) f¨ ur den Gangunterschied bei: Reﬂexion an einer Schicht

∆ = 2ns d + ∆r

(10.26)

Hierbei ist d die Schichtdicke, ns ihre Brechzahl und ∆r der durch die Reﬂexionen eventuell zus¨ atzlich erzeugte Gangunterschied. Treten beide Reﬂexionen nur am unneren Medium (n1 > optisch dichteren (n1 < ns < n2 ) oder nur am optisch d¨ ns > n2 ) auf, so ist ∆r = 0. Ist hingegen eine Reﬂexion am dichteren und die

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten

295

andere am d¨ unneren Medium, so wird ∆r = λ2 . Dies f¨ uhrt z.B. dazu, dass bei zwei Schichten trotz gleicher optischer Dicke bei der einen konstruktive und bei der anderen destruktive Interferenz vorliegen kann Eine wichtige Anwendung der Interferenz ist die Entspiegelung optischer Fl¨ achen (Brillengl¨ aser, Linsen) durch reﬂexmindernde Schichten. Hier ist meist unge auftreten. Um die n1 = 1 (Luft) und ns < n2 , so dass keine Phasenspr¨ st¨ orende Reﬂexion durch Interferenz zu unterdr¨ ucken, m¨ ussen zwei Bedingungen erf¨ ullt sein: 1. Phasenbedingung: Die Teilwellen m¨ ussen f¨ ur destruktive Interferenz gegenphasig verlaufen und damit den Gangunterschied ∆ = 2ns d = λ/2 (oder ungerade Vielfache hiervon) aufweisen. Dann muss die Dicke mindestens den Wert λ/4-Schicht

d=

λs λ0 = 4ns 4

(10.27)

haben. Man spricht von einer λ/4- Schicht“. ” 2. Amplitudenbedingung: Die Teilwellen m¨ ussen f¨ ur vollst¨andige Ausl¨oschung zus¨ atzlich gleiche Amplituden aufweisen. In Kap. 19 wird gezeigt, dass an der Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei Medien 1 und 2 der Reﬂexionsfaktor r, das Verh¨ altnis von reﬂektierter zu einfallender Amplitude, gegeben ist durch r12 =

n1 − n2 n1 + n2

(10.28)

Zur Erf¨ ullung der Amplitudenbedingung muss an den Grenzﬂ¨achen 1 → s und s → 2 gelten: r1s = rs2 . Hieraus folgt nn1s = nn2s und damit Brechzahl einer λ/4-Schicht

ns =

√

n1 n2

(10.29)

√ F¨ ur n1 = 1 (Luft) ist dann ein Material mit der Brechzahl ns = n2 zu w¨ ahlen. Da im Allgemeinen noch zus¨ atzliche Faktoren wie H¨arte (Kratzfestigkeit), ann¨ ahernd gleiche thermische Ausdehnungskoeﬃzienten von Schicht und Tr¨ ager sowie Alterungsbest¨ andigkeit zu ber¨ ucksichtigen sind, steht meist kein Stoﬀ zur Verf¨ ugung, der die Amplitudenbedingung exakt erf¨ ullt. Um die Reﬂexion von weißem Licht mit nur einer Schicht zu mindern, muss man die Dicke d so w¨ ahlen, dass die Reﬂexminderung f¨ ur die Mitte des sichtbaren√Spektrums (550 nm) auftritt. F¨ ur eine Glaslinse mit n2 = 1,5 ist dann ns = 1,5 ≈ 1,22 und die Schichdicke d = λ0 /(4ns ) = 112 nm. Einen guten Kompromiss stellt Magnesiumﬂuorid (MgF2 ) mit ns = 1,38 dar. Da die Reﬂexminderung bei einer einzigen Schicht f¨ ur den blauen und roten Grenzbereich des Spektrums schlechter als in der Mitte ist, erscheint die entspiegelte Linse im reﬂektierten Licht

296

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.11. Dielektrischer Spiegel aus Schichten abwechselnd hoher (h) und niedriger (n) Brechzahl. Jede Schicht hat eine optische Dicke von λ0 /4 und eine geometrische Dicke von λ0 /4nh,n

farbig. In der Praxis erh¨ alt man durch Dreifachschichten unterschiedlicher Dicke und Brechzahl eine befriedigende, u ¨ ber das ganze sichtbare Spektrum reichende Reﬂexminderung (s. Kap. 19). Neben der Entspiegelung k¨ onnen Schichten auch zur dielektrischen Verspiegelung durch Vielfachschichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl verwendet werden (Abb. 10.11). Haben die Schichten alle die gleiche optische Dicke atzlichen Phasensprungs alle reﬂektierten λ0 /4, so interfererieren wegen des zus¨ Wellen der entsprechenden Wellenl¨ ange konstruktiv und man erh¨alt einen schmalbandigen Spiegel mit einem – von der Anzahl der Schichten abh¨angigen – unter Umst¨ anden sehr hohen Reﬂexionsgrad. Durch Variation der Schichtparameter lassen sich mit Vielfachschichten schmal- und breitbandige Ent- und Verspiegelungen erzielen (s. Kap. 19). Die Interferenz an Einfachschichten soll nun f¨ ur einen beliebigen Einfallswinkel ε analysiert werden (Abb. 10.12). Um die Wegdiﬀerenz zwischen den Strahlen 1 und 2 zu berechnen, wird auf Strahl 1 (im Punkt D) eine Senkrechte durch den Austrittspunkt C von Strahl 2 gezeichnet. Ab den Punkten C und D verlaufen die Strahlen in demselben Medium parallel, sie erfahren also keine zus¨atzlichen Gangunterschiede. Dann ist der Gangunterschied (ohne Phasensprung) gleich der Diﬀerenz der optischen Wege zwischen ABC = AB + BC und AD, also

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten

297

Abb. 10.12. Interferenz an einer Einzelschicht der Brechzahl ns mit Licht, das unter einem beliebigen Einfallswinkel ε einf¨ allt, an Ober- und Unterseite teilweise reﬂektiert wird und damit Amplitudenteilung erf¨ ahrt. Mehrfachreﬂexion wird vernachl¨ assigt

∆w = ns ABC − n1 AD Hieraus folgt f¨ ur einen unter dem Winkel ε einfallenden Strahl der Gangunterschied

∆w = 2ns d cos ε

(10.30)

Hierbei ist d die Schichtdicke und ε der Brechungswinkel, den wir direkt mit Hilfe des Brechungsgesetzes berechnen k¨ onnen. H¨auﬁg nutzt man auch die etwas umst¨ andlichere Beziehung ns cos ε =

n2s − n21 sin2 ε.

Beweis von (10.30): Nach Abb. 10.12 ist AB = d/ cos ε und damit ns ABC = 2dns / cos ε . Weiterhin ist AC = 2d tan ε und AD = AC sin ε = 2d tan ε sin ε = 2dns sin2 ε /(n1 cos ε ) da tan ε = sin ε / cos ε und sin ε = ns sin ε /n1 . Hiermit wird ∆w = ns ABC − n1 AD = 2dns (1 − sin2 ε )/ cos ε = 2dns cos ε .

F¨ ur senkrechten Lichteinfall (ε = ε = 0) wird wieder ∆w = 2ns d (s. (10.26)). Ber¨ ucksichtigen wir in (10.30) mit ∆r den Gangunterschied durch Phasenspr¨ unge, so erhalten wir die bekannte Bedingung f¨ ur konstruktive und destruktive Interferenz: ⎧ ⎨mλ mit m = 0, 1, 2, . . . (10.31) ∆w + ∆r = ⎩ (2m + 1) λ2

298

10 Lichtinterferenz

Falls f¨ ur einen unter ε einfallenden Strahl z.B. die Bedingung f¨ ur konstruktive Interferenz erf¨ ullt ist, gilt diese Bedingung f¨ ur alle unter diesem Winkel einfallenden Strahlen, die von einer ausgedehnten Lichtquelle ausgehen. Diese besteht aus unabh¨ angigen und damit inkoh¨ arenten Punktquellen Q1 − Q3 , die alle zur Intensit¨ at im Punkt P beitragen. Wegen der Inkoh¨arenz verschiedener Quellen sind Interferenzen nur zwischen Strahlpaaren (z.B. (a), (b) in Abb. 10.13)) aus oglich. Die Interferenz verschwindet, wenn die Apertur der derselben Quelle Qi m¨ Linse, die die Strahlen in P vereinigt, zu klein ist, um beide Teilwellen (a) (b) durchzulassen. Dies kann z.B. auch bei großer Filmdicke und damit großem Abstand zwischen (a) und (b) aufgrund des begrenzten Pupillendurchmessers des beobachtenden Auges auftreten. Ohne fokussierende Linse sind diese virtuellen Interferenzstreifen nicht beobachtbar. Man bezeichnet sie auch als lokalisierte Streifen, da sie im Unendlichen (oder im Brennpunkt einer Linse) lokalisiert sind, im Gegensatz zu den nichtlokalisierten Streifen (Abb. 10.6), die u ¨berall im Raum beobachtbar sind. Die in Abb. 10.13 gezeigte Anordnung f¨ uhrt zu den sogenannten Haidinger-Ringen. Man spricht meist von Interferenzkurven gleicher Neigung, da zur Interferenz alle unter den gleichen Winkeln ein- und austreten¨ den Wellen beitragen. Anderung des Einfallswinkels f¨ uhrt wegen (10.30) zu einer Verschiebung der Interferenzmuster.

Abb. 10.13. Interferenz an einer dielektrischen Schicht unter Verwendung einer ausgedehnten Lichtquelle. Die Interferenzstreifen gleicher Neigung“ entstehen in der Brenn” ebene einer Linse

Streifen gleicher Neigung k¨ onnen nicht mit einer Punkt- oder wenig ausgedehnten Lichtquelle beobachtet werden, da die Teilstrahlen unter unterschiedlichen Winkeln auf die Schicht fallen (s. Abb. 10.14). Man sieht hier Interferenzstreifen anderer Art. Da die von den beiden Oberﬂ¨achen zum Beobachtungspunkt

10.5 Interferenzen gleicher Dicke

299

Abb. 10.14. Interferenz an einer dielektrischen Schicht der Dicke d mit Hilfe einer Punktquelle. Die Interferenzen entsprechen denen von zwei Punktquellen (s. Abb. 10.6). Brechung wurde vernachl¨ assigt. Bei Ber¨ ucksichtigung der Brechzahl ist der Abstand g ¨ 10.22) der beiden virtuellen Lichtquellen Q1 und Q2 gleich 2ns d + λ0 /2 (s. Ub.

P reﬂektierten Teilwellen nach den Spiegelgesetzen aus zwei virtuellen Quellen Q1 und Q2 (s. Abb. 10.14) zu kommen scheinen, kann die Interferenz als solche von zwei Punktquellen (s. Abb. 10.6) verstanden werden. Dann lassen sich auf einem Schirm, z.B. mit Quecksilber- oder divergentem Laserlicht, nichtlokalisierte Interferenzstreifen in beliebigem Abstand oberhalb der Schicht nachweisen. Der Vergleich der Abb. 10.14 und 10.6 zeigt, dass im vorliegenden Fall Interferenzringe entstehen.

10.5 Interferenzen gleicher Dicke Bei einer Schicht variabler Dicke d variiert der Gangunterschied ∆ = 2ns d cos ε auch bei konstantem Einfallswinkel. Bei senkrechtem Einfall sind dann in der Schichtebene helle und dunkle Streifen zu sehen, die man als Fizeau-Streifen oder Interferenzkurven gleicher Dicke bezeichnet, da zur Interferenz im Punkt P alle Teilwellen beitragen, die von Bereichen gleicher Dicke ausgehen. Abb. 10.15 a zeigt eine Beobachtungsm¨ oglichkeit, bei der ein zus¨atzlicher Strahlenteiler die Beobachtung bei senkrechter Inzidenz erm¨ oglicht. Hier ist wieder ∆ = 2ns d + ∆r mit ∆r = 0 oder λ/2. Experimentell kann die Interferenz gleicher Dicke einfach mit monochromatischem Licht und zwei Mikroskopdeckgl¨asern beobachtet werden, zwischen die am Rand z.B. ein Haar geklemmt ist (Abb. 10.15 b). Die Fizeau-Streifen entstehen an der d¨ unnen Luftschicht, wobei bei der unteren Reﬂexion zus¨ atzlich ein Phasensprung von λ/2 auftritt. Da die Dicke d linear mit x variiert, sieht man im reﬂektierten Licht abwechselnd virtuelle helle und dunkle, ¨aquidistante lokalisierte Streifen, die sich nicht auf einen Schirm projizieren lassen. Bei Beobachtungen in der Natur triﬀt meist weißes Tageslicht auf Schichten ¨ (z.B. Olﬁlme auf Wasser, Seifenh¨ aute) variabler Dicke (s. Abb. 10.16). Hierbei

300

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.15. Interferenzen gleicher Dicke an einer keilf¨ ormigen Schicht. a) Versuchsaufbau mit Hilfe eines Strahlenteilers. b) Luftkeil, der von zwei Mikroskopdeckgl¨ asern gebildet wird. Der Abstand der Interferenzstreifen betr¨ agt ∆x = λ2 Dl

tritt – aufgrund von Einfallswinkel und Dicke – konstruktive Interferenz nur f¨ ur einen – meist kleinen – Bereich des Films und ein begrenztes Band von Wellenl¨ angen auf. Wird z.B. rotes Licht in m-ter Ordnung verst¨arkt und liegen die l¨angeren und k¨ urzeren Wellenl¨ angen, f¨ ur die Verst¨arkungen in der Ordnung m−1 und m + 1 auftreten, außerhalb des sichtbaren Bereichs, so erscheint das reﬂektierte Licht rot. Dies kann bei niedrigen Ordnungen – also bei d¨ unnen Filmen – auftreten. Man beobachtet die Farben d¨ unner Bl¨attchen“. ”

Abb. 10.16. Interferenz an einer Schicht variabler Dicke, die durch eine ausgedehnte ¨ Lichtquelle beleuchtet wird. Anderung von Filmdicke und Einfallswinkel bestimmen den Wellenl¨ angenbereich, der durch Interferenz verst¨ arkt wird

10.6 Newton-Ringe

301

10.6 Newton-Ringe Fizeau-Streifen eignen sich – als Kurven gleicher Dicke – gut zum Nachweis kleiner Dickenvariationen. Abb. 10.17 a zeigt eine praktische Anwendung bei der Pr¨ ufung der Qualit¨ at der sph¨ arischen Fl¨ ache einer Linse mittels der entstehenden Newton-Ringe. Der Luftspalt zwischen der Linsenﬂ¨ache und einer optisch planen Fl¨ ache wird mit dem senkrecht einfallenden monochromatischen Licht einer Natrium- oder Quecksilberlampe (mit Filter) beleuchtet. F¨ ur eine perfekte Kugelﬂ¨ ache ergeben sich konzentrische Interferenzkreise um den Ber¨ uhrpunkt P mit einem dunklen Ring in der Mitte, da f¨ ur d → 0 Ausl¨oschung aufgrund des Phasensprungs auftritt. Abweichungen von der Kreisform weisen auf Fehler der Kugelﬂ¨ ache hin. Die Anordnung eignet sich auch zur Messung von Kr¨ ummungsradius und Brennweite der Linse mit Hilfe des Radius der Interferenzringe. Nach Abb. 10.17 b und dem Satz von Pythagoras erh¨alt man f¨ ur den Zusammenhang zwischen Kr¨ ummungsradius r und dem Radius m der Interferenzringe ucksichtigung, dass dm , r2 = 2m + (r − dm )2 . Ausmultiplikation und Ber¨ ergibt: r=

2 2m + d2m ≈ m 2dm 2dm

(10.32)

Wertet man dunkle Ringe aus, so muss bei Ber¨ ucksichtigung des Phasensprunges gelten: 2dm + λ/2 = (2m + 1)λ/2, also dm = mλm /2. Mit (10.32) erh¨alt man f¨ ur den Kr¨ ummungsradius der Linse

Abb. 10.17. a) Versuchsaufbau zur Beobachtung von Newton-Ringen. Interferenzen gleicher Dicke entstehen an dem Luftspalt zwischen Linse und Basisplatte. b) Geometrie zur Berechnung des Radius der Newton-Ringe

302

10 Lichtinterferenz

r=

2m mλ

(10.33)

Beispiel 10.2 Radien der Newton-Ringe Eine plankonvexe Linse (n = 1,523) mit einem Brechwert von 0,125 Dioptrien wird mit der konvexen Seite auf eine optisch plane Platte gelegt. Mit einem Messmikroskop vermisst man die Interferenzringe f¨ ur Na-Licht (λ = 589,3 nm). Welchen Radius misst man f¨ ur den 1. und 10. dunklen Ring? L¨ osung Der Brechwert einer Linse ist durch f1 = (n − 1) r11 − r12 gegeben. Mit f = 8 m, n = 1,523 und r2 → ∞ wird r1 = 4,184 m. Aus (10.33) folgt: 2m = mrλ und damit 1 = 1,57 mm und 10 = 4,94 mm. Wegen des Energieerhaltungssatzes m¨ ussen dunklen Interferenzringen in Reﬂexion helle Ringe in Transmission entsprechen, die Ringsysteme sind somit komplement¨ ar mit einem hellen zentralen Fleck bei der Transmission (Abb. 10.18). Weiterhin ergibt sich im durchgehenden Licht ein wesentlich schlechterer Kontrast: An einer Fl¨ ache werden etwa 20% der Amplitude reﬂektiert und damit bei konstruktiver Interferenz in Reﬂexion nahezu 40% der einfallenden Amplitude entsprechend 16% der Intensit¨ at austreten. Der Reﬂexionsgrad variiert damit

Abb. 10.18. Fotograﬁen von Newton-Ringen. Ringe in a) reﬂektiertem und b) transmittiertem Licht sind komplement¨ ar. In Reﬂexion tritt ein wesentlich besserer Kontrast auf

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz

303

zwischen zwischen 0 und 16%, der Transmissionsgrad nur zwischen 84% und 100%. Ironischerweise sind die beschriebenen Ringe, deren Verst¨andnis die Wellennatur des Lichtes voraussetzt, nach dem bekanntesten Verfechter der Korpuskeltheorie des Lichtes, Isaac Newton, benannt. Wahrscheinlich bestimmte Newton mit ihrer Hilfe zum ersten Mal die Lichtwellenl¨ange, interpretierte sie jedoch als Abstand zwischen den easy ﬁts of reﬂection“ der Lichtteilchen. ”

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz Interferenzen gleicher Dicke werden als empﬁndliche optische Messmethode zur Dickenmessung genutzt. Abbildung 10.19 zeigt eine Messanordnung, mit der die Dicke d einer Schicht F gemessen wird, die auf einem Tr¨ager T aufgedampft ¨ wurde. Uber einen Lichtleiter L wird monochromatisches Licht aus der Lichtquelle LQ auf einen Teilerw¨ urfel ST gef¨ uhrt, der einen Teilstrahl zu einem ebenen Spiegel S und den anderen zum Messobjekt lenkt. Nach Reﬂexion werden beide Teilstrahlen im Mikroskop M S u ¨berlagert. Zum einfacheren Verst¨andnis kann man den am Spiegel S reﬂektierten Strahl auch von dem virtuellen Spiegelbild S ausgehen lassen. Man sieht dann deutlich, dass das Interferenzmuster durch

Abb. 10.19. Anordnung zur Messung der Schichtdicke d mit Hilfe von Interferenzstreifen, die durch Wellen entstehen, die an der Oberseite de Schicht F und dem Substrat T reﬂektiert werden

304

10 Lichtinterferenz

die Interferenz an der Luftschicht zwischen S und F (bzw. T ) erzeugt wird. S l¨ asst sich verschieben, um die optischen Wege etwa gleich zu machen, und auahernd parallel zur Schichtoberﬂ¨ache wird. Bei ßerdem kippen, so dass S ann¨ leichter Verkippung beobachtet man Interferenzstreifen gleicher Dicke an dem Luftkeil zwischen S und F , auf den das Mikroskop fokussiert wird. Beim praktischen Einsatz des Ger¨ ates bilden Spiegel und Prismen ein Modul, das in ein Mikroskop gesetzt wird. Schicht und Substrat erzeugen zwei gegeneinander verschobene Streifensysteme, wie sie in Abb. 10.20 a wiedergegeben sind. Aus deren

Abb. 10.20. a) Fotograﬁe der Interferenzstreifen, die mit einer Messanordnung nach Abb. 10.19 erzeugt wurden. Die trogartige Vertiefung entstand beim Aufdampfen der Schicht als Schatten“ eines d¨ unnen, geraden Drahtes. b) Skizze der linken Seite des ” Fotos. Das Streifenmuster ist an der Kante des Troges um den Betrag ∆x (s. (10.34)) verschoben

Abstand x und Verschiebung ∆x kann die Dicke d bestimmt werden. Die Lage der Maxima ist durch ∆ = 2d + ∆r = mλ festgelegt; hiernach entspricht ¨ dem Ubergang von der Ordnung m nach der Ordnung m + 1 immer eine Di-

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz

305

cken¨ anderung ∆d = λ/2, da bei der Diﬀerenzbildung eventuelle Phasenspr¨ unge d = herausfallen. Der Streifenverschiebung ∆x ist dann – entsprechend ∆x x λ/2 – folgende Probendicke d zugeordnet: ∆x λ (10.34) x 2 x, der Abstand der Beugungsmaxima, und ∆x, die Streifenverschiebung der Maxima, k¨ onnen direkt mit dem Okularmikrometer eines Messmikroskops oder einer CCD-Kamera gemessen werden; aus (10.34) folgt dann die Probendicke d. Verwendung monochromatischen Lichtes liefert keine eindeutigen Ergebnisse, da z.B. f¨ ur ∆x = 0,5x und ∆x = 1,5x dasselbe Interferenzbild auftritt. Man hat zwei M¨ oglichkeiten, dies zu umgehen: Die erste Methode verwendet zus¨atzlich weißes Licht, bei dem nur bei m = 0 weiße und sonst farbige Streifen auftreten. Damit hat man einen eindeutigen Bezugspunkt, auf den man dann die mit monochromatischem Licht gemessenen x-Werte beziehen kann. Bei der zweiten ¨ Methode verwendet man Schichten mit abgeﬂachten Kanten, bei denen der Ubergang von dem Streifensystem des Substrats zu dem der Schicht allm¨ahlich erfolgt und damit, wie in Abb. 10.20 a, genau verfolgt werden kann: Dieser allm¨ahliche ¨ Ubergang kann bei einer stufenf¨ ormigen Kante durch Aufdampfen einer Metallschicht (z.B. aus Silber oder Aluminium) erzielt werden, die Stufenh¨ohe bleibt hierbei meist dieselbe. Die Beschichtung hat den zus¨atzlichen Vorteil, dass unterschiedliche Reﬂexionsgrade von Schicht und Substrat beseitigt und an das Reﬂexionsverm¨ ogen des Spiegels S angepasst werden. Das Verfahren ist damit auch bei transparenten und schlecht reﬂektierenden Proben anwendbar. Die Metallisierung bewirkt außerdem Vielfachreﬂexion, was zu sch¨arferen Interferenzstreifen f¨ uhrt (Tolansky-Methode). d=

¨ Ubungen 10.1 Zwei ebene Lichtwellen gleicher Polarisationsrichtung werden beschrieben durch ˆ1 sin ωt − k1 · r + π E1 = E 5 π ˆ E1 = E2 sin ωt − k2 · r + 6 ˆ1 = 3 kV/m und E ˆ2 = 4 kV/m. Die Strahlen interferieren in einem Punkt, zu mit E dem Strahl 1 einen der Phasenverschiebung π/3 entsprechenden l¨ angeren optischen Weg zur¨ ucklegt als Strahl 2. Berechnen Sie: a) die Intensit¨ aten der Einzelstrahlen, b) den Beitrag des Interferenzterms I12 , c) die Gesamtintensit¨ at und d) den Streifenkontrast.

306

10 Lichtinterferenz

ˆ1 = 1,6 kV/m und E ˆ2 = 2,8 kV/m 10.2 Zwei harmonische Lichtwellen der Amplituden E interferieren auf einem Schirm. Wie groß ist der Streifenkontrast, wenn die Vektoren der elektrischen Feldst¨ arke a) parallel und b) senkrecht zueinander stehen? 10.3 Zwei interferierende Strahlen weisen ein Amplitudenverh¨ altnis von 2:1 auf. Welcher Streifenkontrast wird beobachtet? Wie groß muss das Amplitudenverh¨ altnis bei Kontrast M = 0,5 sein? 10.4 a) Beweisen Sie, dass bei Zweistrahlinterferenz mit dem Intensit¨ atsverh¨ altnis der Teilstrahlen von N : 1 der Streifenkontrast gegeben ist durch: √ 2 N M= N +1 b) Welche Intensit¨ atsverh¨ altnisse entsprechen M = 0,96; 0,9; 0,8 und 0,5? 10.5 Licht der gr¨ unen Hg-Linie bei λ = 546,1 nm passiert einen engen horizontalen Spalt, der sich 1 mm u ¨ ber einem ebenen, waagerechten Spiegel beﬁndet (Lloydscher Spiegelversuch). Beschreiben sie qualitativ und quantitativ, was auf einem 1 m entfernten Schirm zu beobachten ist. 10.6 Ein Doppelspalt wird von Licht der bekannten Wellenl¨ ange λ1 = 436 nm und der unbekannten Wellenl¨ ange λ2 beleuchtet. Man beobachtet, dass das 4. Beugungsminimum von λ1 mit dem Maximum 3. Ordnung der Wellenl¨ ange λ2 zusammenf¨ allt. Wie groß ist λ2 ? 10.7 Bei einem Youngschen Doppelspaltversuch betr¨ agt der Abstand der engen Spalte 0,2 mm. Auf einem 1,5 m entfernten Beobachtungsschirm registriert man bei Einstrahlung von monochromatischem Licht 34,73 mm Abstand zwischen den Beugungsminima +5. und −5. Ordnung. Bestimmen Sie die Lichtwellenl¨ ange. 10.8 Die Beugung am Doppelspalt liefert ein Beugungsmuster mit 5,6 mm Abstand zwischen aufeinander folgenden Minima. Der Abstand Doppelspalt–Beobachtungsebene betr¨ agt 10 m, der Abstand der Spalte 1 mm. Skizzieren Sie den experimentellen Aufbau. Welche Wellenl¨ ange liegt vor? 10.9 Licht der Wellenl¨ ange λ = 600 nm wird an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstand g = 0,5 mm gebeugt. a) Welchen Schirmabstand muss man w¨ ahlen, um einen Abstand von 1 mm zwischen den Beugungsminima zu erhalten? b) Einer der Spalte wird mit einer d¨ unnen Glasplatte (Dicke d = 15 µm, n = 1,5) abgedeckt. Warum und um welchen Betrag verschiebt sich hierbei das Beugungsbild in lateraler Richtung? Welchen Gangunterschied muss die Glasplatte erzeugen, damit die Beugungsmaxima gerade an die Stellen der halben Maximalintensit¨ at geschoben werden? 10.10 Weißes Licht (400–780 nm) beleuchtet einen Doppelspalt mit 1,25 mm Spaltabstand. Das Beugungsbild wird auf einem 1,5 m entfernten Schirm registriert. 3 mm von der nullten Ordnung triﬀt das gebeugte Licht – durch ein kleines Loch in dem Schirm – auf den Eintrittsspalt eines Spektrometers. Warum und bei welchen Wellenl¨ angen beobachtet man in dem registrierten Spektrum dunkle Linien? 10.11 Licht einer Na-Spektrallampe (mit λ = 589,3 nm) wird mit einer Kondensorlinse auf einen Kollimatorspalt abgebildet und triﬀt dann auf ein Fresnelsches Biprisma

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz

307

aus Glas (n = 1,50). Das Interferenzmuster wird auf einem Schirm, der vom Prisma doppelt so weit wie der Spalt entfernt ist, beobachtet. Der Streifenabstand betr¨ agt 0,3 mm. Bestimmen Sie den Prismenwinkel. 10.12 Die Ber¨ uhrungslinie von zwei ebenen Spiegeln ist die Drehachse f¨ ur eine kleine Verkippung der Spiegel. Um diesen Drehwinkel in einem Experiment nach Art des Fresnelschen Spiegelversuchs zu bestimmen, l¨ asst man Na-Licht (589,3 nm) aus einem Spalt, der parallel zur Ber¨ uhrungslinie in 50 cm Entfernung angeordnet ist, auf die Spiegel fallen. In 1 m Abstand registriert man auf einem Schirm, dessen Normale parallel zur Richtung des reﬂektierten Strahls liegt, das Interferenzbild mit 0,5 mm Abstand der hellen Streifen. Wie groß ist der Verkippungswinkel? 10.13 Der Prismenwinkel eines sehr d¨ unnen Prismas (n = 1,5) wird mit der Methode des Fresnelschen Biprismas durch Interferenz bestimmt. Hierbei ist das Verh¨ altnis der Abst¨ ande Spalt – Prisma und Prisma – Beobachtungsschirm gleich 1:4. Mit gr¨ unem Hg-Licht (λ = 546,1 nm) registriert man 20 dunkle Interferenzlinien auf 5 mm L¨ ange. Welcher Prismenwinkel liegt vor? ¨ 10.14 Weißes Licht triﬀt senkrecht auf einen d¨ unnen Olﬁlm (n = 1,3) auf einer Glasplatte. Reﬂexionsminima werden im Sichtbaren bei 525 nm und 675 nm registriert. ¨ Bestimmen Sie die Dicke des Olﬁlms und die Interferenzordnungen. 10.15 Eine Entspiegelungsschicht aus MgF2 (n = 1,38) auf Glas weist bei λ = 580 nm und senkrechter Lichtinzidenz minimale Reﬂexion auf. F¨ ur welche Wellenl¨ ange wird bei einem Einfallswinkel von 45◦ destruktive Interferenz beobachtet? 10.16 Auf eine Linse der Brechzahl 1,78 soll eine Antireﬂexschicht f¨ ur die Wellenl¨ ange 550 nm aufgebracht werden. Ermitteln Sie Brechzahl und Dicke der Schicht. 10.17 Der Reﬂexionsgrad ist das Verh¨ altnis von reﬂektierter zu einfallender Leistung, wobei die Leistung proportional dem Quadrat der Feldst¨ arkeamplituden ist. a) Berechnen Sie den Reﬂexionsgrad bei senkrechtem Einfall f¨ ur eine Oberﬂ¨ ache der Brechzahl 1,4 in Luft und eine Wellenl¨ ange von 500 nm. b) Welche Dicke muss eine reﬂexmindernde Schicht dieses Materials auf Glas der Brechzahl 1,6 haben? c) Wie groß ist dann der Reﬂexionsgrad? 10.18 In einem senkrechten Rechteckrahmen beﬁndet sich eine Seifenhaut (n = 1,33), die mit Laserlicht (λ = 632,8 nm) senkrecht beleuchtet wird. Man beobachtet 15 waagrechte Interferenzstreifen pro cm. Begr¨ unden Sie, warum die Haut keilf¨ ormig verl¨ auft und geben Sie den Keilwinkel an. 10.19 Ein Parallelstrahl weißen Lichts (400–780 nm) triﬀt unter 45◦ auf zwei parallele Glasplatten, die durch einen Luftspalt von 10 µm getrennt sind. Das reﬂektierte Licht wird mit einem Prismenspektroskop untersucht. Wie viele dunkle Linien sieht man in dem Spektrum? 10.20 Zwischen zwei aufeinander liegende Mikroskopdeckgl¨ aser wird an einem Rand eine d¨ unne Folie geschoben, so dass sich ein Luftkeil bildet. L¨ asst man Na-Licht (λ = 589 nm) senkrecht auffallen, so beobachtet man genau 40 dunkle Linien zwischen den Kanten, die sich ber¨ uhren, bis zur Kante der Folie. Welche Dicke hat die Folie? Warum sieht man an der Glaskante einen dunklen Streifen?

308

10 Lichtinterferenz

10.21 Zwei aufeinander liegende ebene Glasplatten ber¨ uhren sich entlang einer Seite. Parallel zu dieser Seite ist in 20 cm Abstand ein Draht von 50 µm Durchmesser geschoben, so dass ein Luftkeil gebildet wird. Bei senkrechtem Einfall von gr¨ unem Quecksilberlicht (λ = 546,1 nm) beobachtet man Interferenzen gleicher Dicke. Welchen Abstand haben die dunklen Streifen? Wie viele Streifen liegen zwischen Kante und Draht? 10.22 Triﬀt Licht aus einer Punktquelle auf eine d¨ unne Schicht (Brechzahl n, Dicke d), so kann die Interferenz durch Einf¨ uhrung von zwei virtuellen Quellen im Abstand g erkl¨ art werden. Zeigen Sie, dass bei nahezu senkrechtem Einfall g = 2nd + λ/2. 10.23 Zur Bestimmung des Kr¨ ummungsradius einer sph¨ arischen Linse wird die Messmethode der Newton-Ringe verwendet und die sph¨ arische Fl¨ ache auf eine ebene Platte gelegt. Wie groß ist deren Kr¨ ummungsradius, wenn (bei Hg-Licht mit λ = 546,1 nm) der Durchmesser des 10. hellen Ringes 7,85 mm betr¨ agt? ¨ der Brechzahl n zwi10.24 Newton-Ringe werden einmal ohne und einmal mit einem Ol schen Linse und Basisplatte betrachtet. Zeigen Sie, dass f¨ ur das Radienverh¨ altnis von Ringen gleicher Ordnung n¨ aherungsweise gilt: √ Luft = n Ol ¨ 10.25 Eine Anordnung zur Beobachtung von Newton-Ringen wird mit Licht beleuchtet, das aus zwei benachbarten Spektrallinien (mit λ1 = 546 nm und λ2 ) besteht. Welchen Wert hat λ2 , wenn der 11. helle Ring zur Wellenl¨ ange λ1 mit dem 10. von λ2 zusammenf¨ allt? Geben Sie den Ringradius und die Dicke der Luftschicht an dieser Stelle an, wenn der Kr¨ ummungsradius der sph¨ arischen Fl¨ ache 1 m betr¨ agt. 10.26 Auf der Fotograﬁe des mit einem Interferenzmikroskop (bei λ = 546,1 nm) gewonnenen Streifenmusters registriert man einen Streifenabstand von 1 mm. Diese Streifen werden an einer Objektkante um 3,4 mm lateral verschoben. Welche H¨ ohe hat diese Kante, bei der es sich z.B. um eine Aufdampfschicht handelt?

11 Optische Interferometrie

Einleitung Optische Interferometer sind Instrumente, die durch optische Wegl¨angenunterschiede bedingte Lichtinterferenzen vielf¨ altig nutzen. Diese allgemeine Deﬁnition, die man noch auf akustische und andere nichtoptische Wellen erweitern kann, ber¨ ucksichtigt die Vielfalt in Bauart und Anwendung dieser Ger¨ate. In diesem Kapitel werden vornehmlich Michelson- und Fabry-Perot-Interferometer und einige der zahlreichen Anwendungen diskutiert. In Interferometern werden aus einem Prim¨ arstrahl durch Strahlteilung zwei oder mehrere koh¨arente Teilstrahlen erzeugt, die nach Durchlaufen unerschiedlicher optischer Wege u ¨berlagert werden und ein Interferenzmuster erzeugen. Zur Klassiﬁzierung von Interferometern kann man die Methode der Strahlteilung heranziehen: Interferometer mit Wellenfrontteilung verwenden Teile derselben Wellenfront, Beispiele sind der Doppelspaltversuch von Young und dessen Abwandlungen wie der Lloydsche Spiegelversuch und das Fresnelsche Biprisma (s. Kap. 10). Interferometer mit Amplitudenteilung verwenden Strahlenteiler, die den Ursprungsstrahl in zwei Teile aufspalten. Dies ist im Michelson-Interferometer der Fall, wo die Teilung meist durch einen teilreﬂektierenden dielektrischen oder Metallspiegel erfolgt; weitere M¨oglichkeiten sind die reduzierte Totalreﬂexion in Teilerw¨ urfeln sowie Doppelbrechung und Beugung. Eine andere Klassiﬁkation unterscheidet zwischen Zweistrahl-Interferometern,

310

11 Optische Interferometrie

wie dem von Michelson, und Vielstrahl-Interferometern vom Typ des FabryPerot.

11.1 Das Michelson-Interferometer 1881 setzte Albert Michelson (1852–1931) zum ersten Mal ein Interferometer ein, das die Entwicklung der modernen Physik entscheidend mitbestimmte. Dieses einfache und vielseitige Instrument wurde z.B. als experimenteller Test der G¨ ultigkeit der speziellen Relativit¨ atstheorie verwendet, mit ihm wurde die Hyperfeinstruktur von Spektrallinien entdeckt, die Gezeitenwirkung des Mondes untersucht und die Festlegung der L¨ angeneinheit Meter erm¨oglicht. Michelson selbst leistete auf zahlreichen Anwendungsgebieten Pionierarbeit. Abbildung 11.1 a gibt das Schema eines Michelson-Interferometers wieder. Der von einer ausgedehnten Lichtquelle L ausgehende Strahl 1 wird durch einen an der Oberseite halbverspiegelten Strahlenteiler ST (z.B. dielektrischer Spiegel auf Glas) geteilt, wir haben also ein Interferometer vom Typ Amplitudenteilung“. ” Reﬂektierter Strahl 2 und durchgehender Strahl 3, die m¨oglichst gleiche Amplitude aufweisen sollten, werden dann von gut reﬂektierenden Spiegeln S1 und S2 zur¨ uckgeworfen und treﬀen nochmals auf den Strahlenteiler. Der durchgelassene Anteil von 2 und der reﬂektierte Anteil von 3 verlassen das Interferometer als Welle 4, die nunmehr aus Teilwellen besteht, die im Allgemeinen unterschiedliche optische Wege zur¨ uckgelegt haben und damit gegeneinander phasenverschoben sind. An mindestens einem der Spiegel sind mechanische oder piezoelektrische Justierungen angebracht, so dass die Oberﬂ¨achen von S1 und S2 senkrecht zueinander ausgerichtet werden k¨ onnen. Einer der Spiegel kann außerdem – auf Bruchteile einer Wellenl¨ ange genau – entlang der Strahlachse verschoben werden. Auf diese Weise l¨ asst sich der Gangunterschied zwischen den Teilstrahlen 2 und 3 kontinuierlich ver¨ andern. Machen Sie sich klar, dass Strahl 3 den Strahlenteiler dreimal, 2 ihn jedoch nur einmal durchsetzt, so dass deren optische Wege – bei gleicher geometrischer Wegl¨ ange – verschieden werden. Dies kann bei Interferenz mit weißem Licht zu Gangunterschieden f¨ uhren, die gr¨oßer als die Koh¨ arenzl¨ ange sind. Eine Kompensation ließe sich durch Verschiebung von S2 erreichen, wegen der Dispersion allerdings nur f¨ ur eine Wellenl¨ange. Um die Verschiebung Wellenl¨ angen unabh¨ angig zu kompensieren, wird zus¨atzlich in Strahl 2 eine zum Strahlenteiler parallele Kompensationsplatte K eingeschoben, die mit diesem in Material und Dicke identisch ist. Kleine Verkippungen dieses Kompensators bewirken optische Wegl¨ angen¨ anderungen, die eventuell verbleibende Gangunterschiede ausgleichen. Das Michelson-Interferometer hat zwei zueinander senkrechte Strahlenachsen. Leichter verst¨ andlich ist ein a ¨quivalentes optisches System mit nur einer Achse, das die virtuellen Bilder L der Lichtquelle und S1 des Spiegels S1 verwendet, die bei Spiegelung an dem Strahlenteiler ST entstehen. Diese Spiegelbilder ergeben

11.1 Das Michelson-Interferometer

311

Abb. 11.1. Michelson-Interferometer. a) Aufbau aus ausgedehnter Lichtquelle L, Strahlenteiler ST , feststehendem (S1 ) und verschiebbarem Spiegel (S2 ) sowie Kompensationsplatte K. b) ¨ aquivalenter optischer Aufbau nach Spiegelung von L und S1 an ST . ∆w = 2d cos ε ist der Wegunterschied der Teilstrahlen

sich einfach durch eine +90◦ -Drehung (entgegen dem Uhrzeigersinn) der waagrechten Achse L − S1 um den Durchstoßpunkt D. Das Bild L wird anschließend erneut an den den Spiegeln S1 und S2 gespiegelt, man erh¨alt damit die beiden virtuellen Lichtquellen L1 und L2 (s. Abb. 11.1 b). Ist d der Abstand von S1 und S2 , so wird der Abstand der Bilder L1 und L2 gleich 2d. Das Licht aus einem Punkt Q der Lichtquelle L wird an den Spiegeln S1 und S2 , die im Abstand d parallel zueinander stehen, reﬂektiert und scheint von den virtuellen Punktquellen Q1 und Q2 mit dem Abstand 2d zu kommen. Der Gangunterschied der austretenden Strahlen ist dann (s. Abb. 11.1 b) Gangunterschied

∆ = ∆w + ∆r = 2d cos ε + ∆r

(11.1)

wobei ε der Winkel des Einfallsstrahls relativ zur optischen Achse ist und ∆r eventuelle Gangunterschiede durch Reﬂexion erfasst. Verl¨auft der Einfallsstrahl senkrecht zu den Spiegeln, so ist ε = 0 und der Gangunterschied der Wege uber dem anderen wird ∆w = 2d, da der Abstand d, um den ein Spiegel gegen¨

312

11 Optische Interferometrie

verschoben ist, vom Licht zweimal – vor und nach der Reﬂexion – durchlaufen wird. Konstruktive Interferenz mit ∆ = mλ tritt dann (ebenso wie destruktive Interferenz) f¨ ur jede zus¨ atzliche Verschiebung um ∆d = λ/2 auf. Das optische System von Abb. 11.1 b entspricht einer Luftschicht zwischen planparallelen Platten, die von einer ausgedehnten Lichtquelle beleuchtet wird. Es handelt sich hier um Interferenzen gleicher Neigung (s. Kap. 10.4), die bei Betrachtung mit dem Auge oder einem auf ∞ fokussierten Teleskop als Ringsystem beobachtbar sind. Bei Interferenz von Teilwellen gleicher Amplitude ist die Gesamtintensit¨at (10.15) δ (11.2) I = 4I0 cos2 2 wobei entsprechend (10.8) zwischen Phasendiﬀerenz δ und Gangunterschied ∆ der Zusammenhang besteht: ∆ (11.3) λ Aufgrund der Reﬂexion entsteht zwischen Strahl 2 und 3 ein zus¨atzlicher Gangunterschied von ∆r = λ/2, da Strahl 2 zwei Reﬂexionen (an S2 und ST ) mit Phasensprung erleidet und Strahl 3 nur einmal (an S1 ) mit Phasensprung reur dunkle Streifen (destruktive ﬂektiert wird1 . Dann gilt mit (11.1) und (10.13) f¨ Interferenz): ∆ = 2 d cos ε + λ/2 = (2m + 1)λ/2 oder: δ = k∆ = 2π

dunkle Ringe

2d cos ε = mλ

mit m ≈ mmax =

2d λ

(11.4)

mit der Ordnungszahl m. Ist d gerade so gew¨ahlt, dass im Zentrum des Ringsystems (d.h. bei ε = 0) Ausl¨ oschung vorliegt, so ist die zugeh¨orige Ordnungszahl 2d (11.5) λ und wird im Allgemeinen sehr große Werte annehmen (mmax = 105 bei d = 3 mm und λ = 600 nm). Wegen m ∼ cos ε nimmt die Ordnung der Interferenzringe mit zunehmender Entfernung vom Zentrum ab! Mit der Ringzahl alt man dann eine Indizierung, die von innen nach außen p = mmax − m erh¨ zunimmt. Mit (11.4) und (11.5) ergibt sich hiermit f¨ ur dunkle Ringe: mmax =

dunkle Ringe

1

2d(1 − cos ε) = pλ mit Ringzahl

p = 0, 1, 2, . . .

(11.6)

Dieses Ergebnis geht von einer dielektrischen Verspiegelung von ST aus, die optisch d¨ unner als Glas ist. Ist diese Annahme nicht erf¨ ullt, so behalten die wesentlichen Gleichungen – wie (11.8) – ihre G¨ ultigkeit, da bei der Messung nur Streifenverschiebungen registriert werden.

11.1 Das Michelson-Interferometer

313

Abb. 11.2. Verschiedene Indizierungen der Interferenzringe. m = Interferenzordnung, p = mmax − m = Ringzahl (vom Zentrum aus gez¨ ahlt)

mit p = 0 im Zentrum. Abbildung 11.2 erl¨autert die Verh¨altnisse f¨ ur den Fall m = 100. Nach Abb. 11.1 b ist einem Punkt (oder Kreis) im Ringsystem ein fester Einfallswinkel ε zugeordnet. Entsprechend (11.4) muss dann bei Zunahme des Abstands d – wegen cos ε = konst. – auch die Ordnung m zunehmen. Ein dunkler (oder heller) Ring der Ordnung m geht folglich f¨ ur eine Verschiebung von ∆d = λ/2 in einen der Ordnung m + 1 u ¨ ber. Man beobachtet bei kontinuierlich wachsendem Spiegelabstand, wie immer neue Ringe aus dem Zentrum herausquellen und nach außen wandern und den umgekehrten Eﬀekt mit schrumpfenden Ringen bei Abstandsabnahme. Diese Beobachtung ist also nicht vom Betrag des Abstandes abh¨ angig, so dass bei Bewegung des Spiegels S2 nach unten die Ringe zun¨ achst nach innen wandern und sich der Eﬀekt nach Erreichen von d = 0 umkehrt. Der Winkelabstand ∆ε von zwei Ringen, die sich um ∆m Ordnungen unterscheiden, ist nach (11.4) (wegen d(cos ε) = − sin ε dε): λ ∆m (11.7) 2d sin ε Dies bedeutet, dass f¨ ur vorgegebenes ∆m die Ringe um so weiter auseinander liegen, je kleiner der Wegunterschied 2d wird. F¨ ur den Grenzfall d = λ/2 wird (s. (11.4)) m = cos ε, die Ordnungszahl also immer ≤ 1; das gesamte Blickfeld enth¨ alt somit nur einen Ring. Registriert man die Interferenzringe an einem festen Ort nahe oder in dem Zentrum des Ringsystems, so folgt aus (11.4) nach Bildung des totalen Diﬀerentials (f¨ ur ∆ε = 0 und cos ε = 1): ∆ε = −

Streifenz¨ahlung

∆m =

2∆d λ

(11.8)

314

11 Optische Interferometrie

Durch Abz¨ ahlung der den Beobachtungspunkt durchlaufenden Ringe kann man dann entweder die Wellenl¨ ange (bei bekanntem ∆d) oder (bei bekanntem λ) die Verschiebung ∆d, z.B. die L¨ ange eines Endmaßes, ermitteln. Beispiel 11.1 Michelson-Interferometer In einem Michelson-Interferometer werden mit monochromatischem Licht Ringe beobachtet. Wenn der bewegliche Spiegel um 0,73 mm verschoben wird, registriert man, dass 300 Ringe im Zentrum verschwinden. Wie groß ist die Wellenl¨ ange des Lichtes? Um wie viel verschieben sich die Ringe, wenn ein Glaspl¨ attchen mit der Dicke dg = 5 µm und Brechzahl ng = 1,51 in einen Interferometerarm gebracht wird? (Der Lichtstrahl soll senkrecht auf die Glasﬂ¨ ache treﬀen). L¨ osung ∆d = 2·0,73 Aus (11.8) folgt λ = 2 ∆m 300 mm = 487 nm. Da die Ringe im Zentrum verschwinden, liegt eine Verringerung des Spiegelabstandes vor. Durch die Glasplatte wird der optische Weg in einem Arm vergr¨oßert und man erh¨alt den Gangunterschied ∆ = 2(ng − 1) dg . Mit ∆ = ∆m λ erh¨alt man ∆m = 10,5 Ringe.

11.2 Anwendungen des Michelson-Interferometers Die in Abb. 10.19 wiedergegebene Methode der Dickenmessung d¨ unner Schichten beruht auf dem Michelson-Interferometer. Das Interferometer l¨asst sich auch zur Messung der Brechzahl von Gasen verwenden. Hierzu bringt man in Strahl 3 (s. Abb. 11.1 a) eine evakuierbare Messzelle mit planparallelen Fenstern, die das zu vermessende Gas bei bekanntem Druck und vorgegebener Temperatur enth¨alt. Nach Auspumpen der Zelle auf einen vernachl¨assigbaren Druck werde die Ringverschiebung ∆m registriert. Ist l die L¨ ange der Zelle, so ¨andert sich wegen des ¨ Ubergangs der Brechzahl von n nach 1 (Vakuum) der optische Weg um ∆d = nl − l = l(n − 1)

(11.9)

Mit (11.8) folgt f¨ ur die Brechzahl: Brechzahlmessung

n=1+

λ ∆m 2l

(11.10)

Eine weitere interessante Anwendung des Michelson-Interferometers ist die Bestimmung der kleinen Wellenl¨ angendiﬀerenzen benachbarter Spektrallinien (der Wellenl¨ angen λ und λ = λ − ∆λ). Jede Wellenl¨ange hat ihr eigenes Ringsys¨ tem, deren Uberlagerung zu Intensit¨ ats-Schwebungen f¨ uhrt. Unterscheiden sich

11.2 Anwendungen des Michelson-Interferometers

315

Interferenzordnungen m und m der beiden Ringsysteme um eine ganze Zahl N , so entsteht ein kontrastreiches scharfes Interferenzmuster, w¨ahrend das Muster f¨ ur m − m = N + 1/2 verwaschen wird. Bei Koinzidenz (m = m + N ) gilt nach (11.4) f¨ ur einen Spiegelabstand d1 und ε → 0 (d.h. Beobachtung in der N¨ ahe des Ringzentrums): 2d1 = m1 λ = m1 λ = (m1 + N )(λ − ∆λ) ≈ m1 λ + N λ − m1 ∆λ

(11.11)

wobei N ∆λ wegen N m vernachl¨ assigt wurde. Hieraus folgt f¨ ur die Koinzidenzbedingung bei Spiegelabstand d1 : ∆λ (11.12) λ Vergr¨ oßert man den Abstand auf d2 , so tritt an dem gleichen Beobachtungspunkt (und damit Winkel ε) dann Koinzidenz auf, wenn die Diﬀerenz N um 1 vergr¨oßert wurde, wenn also in (11.11) gilt m2 λ = (m2 + N + 1)λ . Wir erhalten dann anstelle von (11.12): N λ = m1 ∆λ = 2d1

∆λ (11.13) λ Diﬀerenzbildung von (11.13) und (11.12) f¨ uhrt dann mit der Spiegelverschiebung ∆d = d2 − d1 auf die (N + 1)λ = m2 ∆λ = 2d2

Wellenl¨angendiﬀerenz

∆λ =

λ2 2∆d

(11.14)

Mit dieser Methode wird in Physikpraktika h¨auﬁg der Abstand der gelben Na-D-Linien (λ = 589,59 nm, λ = 589,00 nm) ermittelt. Die bisherige Diskussion des Michelson-Interferometers ging von Interferenzen gleicher Neigung aus. Dies setzte voraus, dass in Abb. 11.1 a S1 und S2 exakt senkrecht und somit S1 und S2 in Abb. 11.1 b exakt parallel zueinander angeordnet sind. Wird der Spiegel S1 leicht gegen S2 verkippt, so dass in Abb. 11.1 b zwischen S1 und S2 ein Luftkeil entsteht, so sieht man auf dem Spiegel S1 lokalisierte gerade Interferenzstreifen gleicher Dicke, die parallel zur Kippachse von S1 und S2 verlaufen. Bei großen Keilwinkeln beobachtet man als Interferenzkurven Hyperbelb¨ ogen. Wie in Kapitel 10 erl¨autert, treten bei einer ann¨ahernd punktf¨ ormigen Lichtquelle reelle, nichtlokalisierte Streifen auf, die von zwei virtuellen Bildern Q1 und Q2 der Quelle stammen. Diese Streifen lassen sich leicht mit Laserlicht demonstrieren, das mit einer kurzbrennweitigen Linse vor dem Strahlenteiler fokussiert wird. Abb. 11.3 ist die Fotograﬁe von Kurven gleicher Dicke, die durch eine Kerzenﬂamme in einem Interferometerarm verzerrt werden, da aufgrund der Temperaturunterschiede die Brechzahl von Luft und damit die optische Wegl¨ ange ver¨ andert wird.

316

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.3. Deformation der Interferenzstreifen gleicher Dicke aufgrund von Brechzahl¨ anderungen in der Umgebung einer Kerzenﬂamme

11.3 Modiﬁkationen des Michelson-Interferometers Obwohl es zahlreiche M¨ oglichkeiten gibt, einen Lichtstrahl aufzuspalten und nach dem Durchlaufen verschiedener Lichtwege wieder zu u ¨berlagern, betrachten wir nur zwei Methoden, die als Modiﬁkationen des Michelson-Interferometers angesehen werden k¨ onnen. Das Twyman-Green-Interferometer (s. Abb. 11.4 a) verwendet eine punktf¨ ormige Lichtquelle Q im Brennpunkt einer Kollimatorlinse L1 , so dass alle Strahlen parallel zur optischen Achse (cos ε = 1) einfallen und beim Austritt durch die Linse L2 in einem Punkt P , an dem sich z.B. das Auge beﬁndet, fokussiert werden. Statt der Interferenzstreifen gleicher Neigung treten nun – bei leicht verkippten Spiegeln – Streifen gleicher Dicke auf. Im Grenzfall exakt paralleler Spiegel und ebener Wellenfronten w¨ urde sich bei P nur ein Punkt ergeben. Bringt man in ein solch hochwertiges Interferometer Pr¨ uflinge, wie z.B. das Prisma in Abb. 11.4 b, so kann man deren Qualit¨at pr¨ ufen. Spiegel S1 wird um den Ablenkwinkel gekippt, so dass wieder die Interferenzen von Abb. 11.4 a auftreten. Oberﬂ¨ achenfehler oder Brechzahlvariationen des Prismas bewirken eine Verformung der Wellenfronten und eine entsprechende Ver¨anderung des Interferenzbildes. Bei der Pr¨ ufung sph¨ arischer Linsen, z.B. auf Linsenfehler wie

11.3 Modiﬁkationen des Michelson-Interferometers

317

die sph¨ arische Aberration, verf¨ ahrt man entsprechend, man ersetzt jedoch Spiegel S1 durch einen Konvexspiegel K, damit die in der Linse gebrochenen Strahlen wieder in ihrer Einfallsrichtung reﬂektiert werden (s. Abb. 11.4 c).

Abb. 11.4. Twyman-Green-Interferometer. a) Aufbau mit punktf¨ ormiger Lichtquelle Q und Kollimatorlinse L1 . Die Spiegel S1 bzw. S2 sind leicht gekippt, so dass Interferenzen gleicher Dicke auftreten. b) Qualit¨ atspr¨ ufung eines Prismas P r, S1 ist um den Ablenkwinkel gekippt. c) Pr¨ ufung einer Linse L unter Verwendung eines Konvexspiegels

Abb. 11.5. Mach-Zehnder-Interferometer mit Strahlenteiler ST und den Umlenkspiegeln S1 und S2 . Die bei dem teildurchl¨ assigen Spiegel S3 nach oben austretenden Strahlen sind nicht gezeichnet

318

11 Optische Interferometrie

Beim Mach-Zehnder-Interferometer (s. Abb. 11.5) wird der einfallende Strahl ebenfalls durch einen Strahlenteiler ST geteilt. Die Teilstrahlen werden dann aber durch die Spiegel S1 und S2 lediglich um 90◦ umgelenkt und mit Hilfe des halbdurchl¨ assigen Spiegels S3 u ¨ berlagert. Hier stimmen die optischen Wege von 1 und 2 bei gleicher geometrischer Wegl¨ ange und gleichen Teilerspiegeln u ¨ berein, eine Kompensationsplatte er¨ ubrigt sich somit. Dieses Interferometer kann z.B. bei Str¨ omungsuntersuchungen im Windkanal eingesetzt werden, wo Variationen des statischen Drucks zu Brechzahl¨ anderungen und entsprechenden Streifenverschiebungen f¨ uhren. Das Mach-Zehnder-Interferometer hat den Vorteil, dass man durch kleine Drehungen der Spiegel (z.B. S3 ) erreichen kann, dass die dann leicht divergent austretenden Teilstrahlen scheinbar von einem Punkt des Objekts kommen. Bei Verwendung einer Abbildungslinse k¨onnen dann Testobjekt und die Interferenzstreifen auf dem Objekt gleichzeitig scharf abgebildet werden. Beim Michelson-Interferometer waren hingegen die Interferenzstreifen auf dem Spiegel lokalisiert. Die bislang diskutierten Interferometer basierten auf Zweistrahlinterferenz mit Amplitudenteilung. Um die Vielstrahlinterferenz des Fabry-PerotInterferometers zu verstehen, wollen wir zun¨achst die Vielfachreﬂexionen an einer transparenten, planparallelen Platte untersuchen.

11.4 Stokes-Beziehungen Sir George Stokes (1819–1903) stellte Beziehungen zwischen den an einer ebenen, brechenden Grenzﬂ¨ ache reﬂektierten und durchgelassenen Teilwellen und der einfallenden (ebenen) Welle auf. Wir deﬁnieren f¨ ur eine einfallende Welle der ˆ den komplexen elektrischen Feldst¨ arke E e und Amplitude E Reﬂexionsfaktor

r=

ˆ Er E = r ˆ Ee E e

(11.15)

und entsprechend den Transmissionsfaktor

t=

Et Eˆ = t ˆ Ee E e

(11.16)

ˆ wird dementsprechend in den reﬂektierten Anteil Die einfallende Amplitude E e ˆ ˆ aufgespalten. F¨ ˆ ur einen E r = rE e und die durchgelassene Amplitude Eˆ t = tE e aus Medium 2 kommenden Strahl verwenden wir die gestrichenen Gr¨oßen r und t . Als Reﬂexionsgrad bezeichnet man das Verh¨altnis von reﬂektierter zu einfallender Leistung P , also Reﬂexionsgrad

=

Pr = r2 Pe

(11.17)

11.4 Stokes-Beziehungen

319

Abb. 11.6. Einfallende (Index e), reﬂektierte (r) und transmittierte (t) Teilstrahlen an einer Grenzﬂ¨ ache zur Herleitung der Stokes-Beziehungen

Dann gilt f¨ ur den Transmissionsgrad2 Transmissionsgrad

τ=

Pt Pe

(11.18)

Ausgehend von Abb. 11.6 a muss nach dem Prinzip der Umkehrbarkeit des Lichtweges (Invarianz gegen Zeitumkehr) auch der in Abb. 11.6 b wiedergegebene Fall mit zwei einfallenden Strahlen g¨ ultig sein. Er f¨ uhrt jedoch wegen der zus¨atzlichen Reﬂexion und Transmission der einfallenden Wellen zu der in Abb. 11.6 c wiedergegebenen Realisierung. Gleichsetzen der Amplituden der Abb. 11.6 b und Abb. 11.6 c ergibt f¨ ur ˆ ˆ = (r2 + t t)E Medium 1: E e e ˆ Medium 2: 0 = (r t + tr)E

e

Hieraus folgen dann die Stokes-Beziehungen zwischen den Transmissions- und Reﬂexionsfaktoren Stokes-Beziehungen

tt = 1 − r2 r = −r

(11.19) (11.20)

Beachten Sie, dass die Gr¨ oßen r und t winkelabh¨angig sind (s. Kap. 20.4) und deshalb die obigen Gleichungen zu verstehen sind als t(ε) t (ε ) = 1 − r2 (ε) und upft. r(ε) = −r (ε ). Die Winkel ε und ε sind u ¨ ber das Brechungsgesetz verkn¨ 2

Im Allgemeinen gilt nicht τ = t2 (s. Kap. 20). Entsprechend der Deﬁnition sind r und t komplexe Gr¨ oßen. In Kap. 20 wird gezeigt, dass sie f¨ ur eine dielektrische Grenzﬂ¨ ache reell sind, ein evtl. Phasensprung bei Reﬂexion kann durch ein negatives Vorzeichen von r erfasst werden.

320

11 Optische Interferometrie

Nach (11.20) ist r = −r = r ejπ , dies bedeutet, dass der Betrag der reﬂektierten Amplituden – und damit die Intensit¨aten – gleich sind, die Phasen aber um π gegeneinander verschoben sind. Dies ist Ausdruck der Tatsache, dass beim ¨ Ubergang vom optisch d¨ unneren ins dichtere Medium – in Analogie zur Reﬂexion einer Seilwelle am festen Ende – ein Phasensprung auftritt, beim umgekehrten Vorgang aber nicht (s. Fresnel-Gleichungen in Kap. 20.4).

11.5 Vielstrahlinterferenz an einer Planplatte In Kapitel 10.4 wurde die Reﬂexion an einer Planplatte in der Zweistrahln¨aherung untersucht, jetzt wollen wir Mehrfachreﬂexionen ber¨ ucksichtigen. Wir betrachten eine planparallele Platte der Dicke d, auf die unter einem Winkel ε ein schmales Lichtb¨ undel der Amplitude Eˆ e triﬀt (s. Abb. 11.7). r und t sind die ur eine Reﬂexions- und Transmissionsfaktoren f¨ ur eine a¨ußere und r und t die f¨ innere Fl¨ ache. F¨ ur jeden Abschnitt des Strahls kann die neue Amplitude durch Multiplikation der vorherigen mit den jeweiligen Reﬂexions- und Transmissionsfaktoren berechnet werden. An der Ober- und Unterseite der Platte treten zahlreiche Parallelstrahlen aus, die in der Brennebene einer Sammellinse interferieren. Bei großer Koh¨ arenzl¨ ange des Lichtes und/oder kleiner Plattendicke sind hierbei die Teilstrahlen, die aus demselben Einfallsstrahl hervorgehen, koh¨arent. ¨ Wir untersuchen die Uberlagerung der an der Oberseite der Platte reﬂektierten Strahlen. Die Phasendiﬀerenz 3 δ zwischen benachbarten Strahlen wurde bei der Zweistrahlinterferenz berechnet (10.30): Phasendiﬀerenz

δ = k∆ mit

∆ = 2ns d cos ε

(11.21)

F¨ ur die komplexen Amplituden der Teilwellen erhalten wir aus Abb. 11.7: ˆ Eˆ 1 = rE e ˆ ˆ E 2 = tt r E e e−jδ ˆ e−j2δ . . . Eˆ = tt r3 E 3

(11.22)

e

F¨ ur die n-te (mit n > 1) reﬂektierte Welle gilt dann: ˆ = tt r(2n−3) Eˆ e−j(n−1)δ E n e Nimmt man eine beliebig große Platte (mit unendlich vielen Teilwellen) an, so ˆ : wird die resultierende Amplitude E r 3

Eventuelle Phasenspr¨ unge sind hier in den Vorzeichen von r und r enthalten.

11.5 Vielstrahlinterferenz an einer Planplatte

321

Abb. 11.7. Reﬂektierte und transmittierte Strahlen bei Vielfachreﬂexion an einer planparallelen Platte der Dicke d und Brechzahl ns

Eˆ r =

∞

ˆ + ˆ = rE E n e

n=1

ˆ =E e

∞

ˆ r(2n−3) e−j(n−1)δ tt E e

n=2 ∞ −jδ (2n−4) −j(n−2)δ

r + r tt e

r

e

(11.23)

n=2

Der letzte Summenterm ist von der Form einer geometrischen Reihe ∞

xn−2 = 1 + x + x2 + . . .

n=2 2 −jδ

wobei x = r e . Wegen |x| < 1 konvergiert die Reihe gegen den Wert 1/(1 − x). Damit wird die resultierende Amplitude: −jδ ˆ = Eˆ r + tt r e E r e 1 − r2 e−jδ Bei Anwendung der Stokes-Beziehungen (11.19) und (11.20) erh¨alt man dann

322

11 Optische Interferometrie

(1 − r2 )r e−jδ ˆ ˆ Er = Ee r − 1 − r2 e−jδ und nach Vereinfachung: −jδ ˆ r(1 − e ) Eˆ r = E e 1 − r2 e−jδ

(11.24)

ˆ 2 – das Zur Berechnung der reﬂektierten Leistung ermitteln wir – wegen Pr ∼ E r Betragsquadrat 1 − e−jδ 1 − ejδ ˆe2 r2 ˆr2 = Eˆ Eˆ ∗ = E E r r 1 − r2 e−jδ 1 − r2 ejδ Nach Ausmultiplikation und Verwendung der Beziehung 2 cos δ = ejδ + e−jδ sowie des Reﬂexionsgrades = r2 einer Seite der Planplatte wird die reﬂektierte Leistung Planplatte

Pr =

2(1 − cos δ) Pe 1 + 2 − 2 cos δ

(11.25)

wobei Pe die einfallende Leistung ist. Nach analoger Rechnung erhalten wir f¨ ur die transmittierte Leistung Planplatte

Pt =

(1 − )2 Pe 1 + 2 − 2 cos δ

(11.26)

Die Gle´ıchung (11.26) h¨ atte man auch direkt mit der aus dem Energieerhaltungssatz folgenden Beziehung Pr + Pt = Pe

(11.27)

und (11.25) herleiten k¨ onnen. Aus (11.25) folgt, dass die Reﬂexion f¨ ur cos δ = 1 verschwindet und somit ¨ in Ubereinstimmung mit (11.26) und (11.27) die gesamte einfallende Leistung durchgelassen wird. Wir erhalten demnach: Reﬂexionsminima bzw. Transmissionsmaxima ⎧ ⎨δ = m2π bzw. Pr = 0 bzw. Pt = Pe bei ⎩ ∆ = 2ns d cos ε = mλ

(11.28)

Diese Bedingung ist uns von der Zweistrahlinterferenz bekannt (s. (10.30) u. ur ein Reﬂexi(10.31) mit ∆r = λ/2). Aus Abb. 11.7 und (11.22) folgt, dass f¨ onsminimum alle Strahlen mit n ≥ 2 in Phase sind und – wegen r = −r – zum

11.6 Fabry-Perot-Interferometer

323

ersten Strahl gegenphasig schwingen. Da die Gesamtreﬂexion verschwindet, l¨oscht sich demnach der erste Strahl mit der Summe aller anderen aus. Bei der Zweistrahlinterferenz hatten wir vorausgesetzt, dass sich schon der erste und zweite Strahl ausl¨ oschen, dann m¨ ussten aber deren Amplituden ann¨ahernd gleich groß sein. Nach (11.22) ist ihr Amplitudenverh¨ altnis ˆ ˆ tt r E E 2 e = = −(1 − r2 ) ˆ ˆ r E E 1 e

(11.29)

achlich gegen −1 geht. Das negative Vorzeichen zeigt, dass was f¨ ur kleine r2 tats¨ die Teilwellen gegenphasig schwingen: Bei einer Glasplatte (ns = 1,5) in Luft ist der Reﬂexionsgrad bei senkrechtem Lichteinfall: = r2 = 0,04. Damit l¨oscht der zweite Strahl bereits 96% des ersten Strahls aus und die Zweistrahln¨aherung ist gerechtfertigt. F¨ ur cos δ = −1 oder δ = (2m + 1)π

und ∆ = 2ns d cos ε = (2m + 1)

λ 2

(11.30)

ergeben sich (s. (11.25)): Reﬂexionsmaxima

Pr =

4 Pe (1 + )2

(11.31)

Der Nenner von (11.26) hat in diesem Fall seinen gr¨oßten Wert, so dass (wie auch aufgrund von (11.27) zu erwarten) Transmissionsminima

Pt =

1− 1+

2 Pe

(11.32)

auftreten.

11.6 Fabry-Perot-Interferometer Das Fabry-Perot-Interferometer nutzt die Vielstrahlinterferenz an Planplatten im durchgehenden Licht. Dieses Instrument ist wohl das Interferometer mit dem gr¨ oßten Anwendungsbereich. Es wird zur hochgenauen Wellenl¨angenmessung, zur Analyse der Hyperfeinstruktur von Spektrallinien, zur Bestimmung der Brechzahl von Gasen sowie als Laserresonator verwendet; optische Schaltelemente f¨ ur optische Rechner k¨ onnten mit nichtlinearen Fabry-Perots“ realisiert werden. ” Abbildung 11.8 zeigt eine typische Anordnung: Zwei dicke Glas- oder Quarzplatten schließen eine planparallele Luftplatte“ ein, an der die Vielfachreﬂexion ”

324

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.8. Fabry-Perot-Interferometer mit ausgedehnter Lichtquelle LQ. In der Brennebene der Linse L beobachtet man Interferenzen gleicher Neigung der von den Punkten Qi ausgehenden Teilwellen

erfolgt. Demzufolge sind die inneren Oberﬂ¨achen der Glasplatten von entscheidender Bedeutung. Sie sind bis zu einer Planheit besser λ/50 poliert und durch dielektrische oder auch Silber- und Aluminiumschichten zu etwa 95% hochreﬂektierend. Silberschichten mit einer Dicke von etwa 50 nm eignen sich f¨ ur Wellenl¨ angen gr¨ oßer 400 nm. Im Ultraviolett verwendet man Aluminiumschichten. Die ¨ außeren Glasﬂ¨ achen sind gegen die zueinander parallelen inneren Fl¨achen leicht (um Winkelminuten) verkippt, um st¨orende Interferenzen an den Außenﬂ¨achen zu vermeiden. Die Dicke d der Luftschicht bestimmt – wie unten gezeigt – entscheidend die Leistungsf¨ ahigkeit des Interferometers. Bei festem Plattenabstand spricht man auch von einem Etalon. Wir verfolgen zun¨ achst einen von einem Punkt Q der ausgedehnten Lichtquelle ausgehenden Strahl, der unter ε, dem Winkel zur optischen Achse, einf¨allt (s. Abb. 11.8); er erzeugt im Punkt P der Brennebene einer Sammellinse L Vielstrahlinterferenz. Hierbei unterscheiden sich benachbarte Teilstrahlen durch zwei zus¨ atzliche Reﬂexionen, so dass sich die Phasenspr¨ unge aufheben. Der geometrische Wegunterschied ist f¨ ur alle Nachbarstrahlen gleich – und stimmt mit dem von zwei reﬂektierten Strahlen (11.21) u ¨berein. Folglich haben wir in Transmission konstruktive Interferenz oder helle Ringe f¨ ur: helle Ringe

∆ = 2d cos ε = mλ

(11.33)

¨ In Ubereinstimmung mit (11.28) ist dies auch die Bedingung f¨ ur ein Reﬂexionsminimum. F¨ ur festes d wird die Interferenzbedingung (11.33) nur f¨ ur bestimmte Einfallswinkel ε – aber Strahlen aus beliebigen Punkten Qi (s. Abb. 11.8) der ausgedehnten Lichtquelle – erf¨ ullt und man beobachtet die bekannten konzentrischen Interferenzringe gleicher Neigung. Wird zus¨atzlich bei ausgedehnter Lichtquelle eine Kollimatorlinse am Eingang verwendet (s. Abb. 11.9 a), so wird jeder Punkt der Lichtquelle gerade in einen zugeordneten Bildpunkt auf dem Schirm

11.6 Fabry-Perot-Interferometer

325

Abb. 11.9. a) Fabry-Perot-Interferometer mit einer ausgedehnten Lichtquelle und Kollimatorlinse L1 bei festem Plattenabstand. Auf dem Beobachtungsschirm wird ein kreisf¨ ormiges Interferenzmuster registriert, das auf dem Foto wiedergegeben ist. Punkte Q der Lichtquelle werden in Punkte P u uhrt. b) Fabry-Perot“ mit einer Punkt¨ berf¨ ” lichtquelle Q und variablem Plattenabstand. Im Brennpunkt der zweiten Linse ist ein Detektor D platziert, dessen Ausgangssignal bei Variation des Plattenabstandes um ∆x schematisch wiedergegeben ist

(z.B. Fotoplatte) abgebildet. Abb. 11.9 b zeigt eine Anordnung mit punktf¨ormiger Lichtquelle. Hier treﬀen alle Strahlen unter demselben Winkel (hier ε = 0) auf das Interferometer und werden auf den Detektor fokussiert. Bei kontinuierlicher Variation des Plattenabstandes d registriert der Detektor das Interferenzmuster als Funktion der Zeit in Form eines Interferogramms. Sendet die Lichtquelle zwei benachbarte Wellenl¨ angen aus, so liefert die Anordnung der Abb. 11.9 a ein doppeltes Ringsystem, w¨ ahrend man mit der Variante der Abb. 11.9 b bei Abstands¨ anderung zwei Intensit¨ atsmaxima registriert.

326

11 Optische Interferometrie

11.7 Streifenproﬁl: Airy-Funktion Den Verlauf der am Empf¨ anger gemessenen Bestrahlungsst¨arke als Funktion der Phasendiﬀerenz bezeichnet man als Streifenproﬁl. Die Sch¨arfe der Linien bestimmt nat¨ urlich letztlich das Aufl¨ osungsverm¨ogen des Instruments. Ausgehend von (11.26) erh¨ alt man unter Verwendung der Beziehung δ 2 cos δ = 1 − 2 sin 2 f¨ ur den Intensit¨ats-Transmissionsgrad 4 des Fabry-Perot, die so genannte T =

Airy-Funktion

1 It = 4 Ie 1 + (1−) sin2 2δ 2

(11.34)

wobei der Reﬂexionsgrad einer Spiegelﬂ¨ ache ist und die Phasendiﬀerenz (s. (11.21) und (11.33)) bei einer Luftplatte“ durch ” 4πd cos ε δ= λ gegeben ist. Mit Hilfe des von Fabry deﬁnierten Finesse-Koeﬃzienten K (s. Abb. 11.10) K=

2r 1 − r2

2 =

4 (1 − )2

(11.35)

kann die Airy-Funktion kompakter geschrieben werden: T =

1 1 + K sin2 δ2

(11.36)

Bei konstruktiver Interferenz (mit cos δ = 1 und sin(δ/2) = 0) ist maximale Transmission zu erwarten. Aus (11.36) folgt dementsprechend5 Tmax = 1. Destruktive Interferenz (bei cos δ = 0 und sin(δ/2) = ±1) ergibt die minimale Transmission: Tmin = 4

5

1 1+K

In (11.26) ist das Leistungsverh¨ altnis Pt /Pe bei beliebigem Einfallswinkel eines Parallelstrahls angegeben. Beim Fabry-Perot hat man ann¨ ahernd senkrechten Lichteinfall, so dass die Querschnittsﬂ¨ achen von ein- und austretendem Strahl – trotz Mehrfachreﬂexion – u ur die entsprechenden ¨ bereinstimmen. Gleichung (11.26) gilt dann auch f¨ Intensit¨ aten. Es war ein verlustfreies Medium vorausgesetzt.

11.7 Streifenproﬁl: Airy-Funktion

Abb. 11.10. Verlauf des Ringkontrastes K und der Finesse F = des Reﬂexionsgrades

π 2

√

327

K als Funktion

Die Gr¨ oße K wurde zun¨ achst als Abk¨ urzung eingef¨ uhrt. Man pr¨ uft leicht nach, dass K die Gleichung erf¨ ullt K=

Itmax − Itmin Itmin

(11.37)

und damit (anders als u ¨ blich, s. (10.16)) den Kontrast der Ringe beschreibt. Der Koeﬃzient K h¨ angt empﬁndlich vom Reﬂexionsgrad ab, denn wenn von 0 bis 1 variiert, ¨ andert sich K von 0 bis ∞ (s. Abb. 11.10). Dies wirkt sich auf den Verlauf der Airy-Funktion T aus, die in Abb. 11.11 als Funktion der Phasendiﬀerenz mit Reﬂexionsgrad und Kontrast K als Parameter dargestellt ur δ = m 2π und Tmin = 1/(1 + K) ist. Bei allen Kurven ist Tmax = 1 f¨ ur beliebige Reﬂexionsgrade zu bei δ = (m + 1/2) π. W¨ ahrend Tmax = 1 f¨ beobachten ist, ist Tmin nie exakt null, sondern n¨ahert sich diesem Wert erst f¨ ur → 1. Steigendes f¨ uhrt zu immer sch¨arferen Linien und einem immer breiteren, nahezu unbestrahlten Bereich zwischen den Linien. F¨ ur einen u ¨blichen Wert von = 0,95 nimmt K den Wert 1520 an und die Halbwertsbreite der Ringe betr¨ agt weniger als ein Viertel des Wertes bei = 0,80. Zum Vergleich ist auch (gestrichelt) der normierte Streifenverlauf (I/Imax = cos2 δ/2, s. (11.2)) bei der Zweistrahlinterferenz eines Michelson-Interferometers gezeigt.

328

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.11. Streifenproﬁl des Fabry-Perot. Durchl¨ assigkeit oder Airy-Funktion T als Funktion der Phasendiﬀerenz δ mit den Kurvenparametern: Reﬂexionskoeﬃzient r, Reﬂexionsgrad = r 2 , Ringkontrast K und Finesse F (s. (11.41)) Kurve 1: r = 0,2; = 0,04; K = 0,17; F = 0,65. Kurve 2: 0,5; 0,25; 1,8; 2,1. Kurve 3: 0,9; 0,81; 90; 14,9. δ1/2 gibt die Halbwertsbreite der Kurve 3 an. Die gestrichelte Kurve 4 entspricht dem Michelson-Interferometer (Zweistrahlinterferenz) mit δ1/2 = π

11.8 Auf l¨ osungsverm¨ ogen F¨ allt auf ein Fabry-Perot Licht mit zwei benachbarten Wellenl¨angen, dann tritt ein doppeltes Ringsystem auf, eines f¨ ur jede Wellenl¨ange. F¨ ur eine Interferenzordnung m registriert man somit in radialer Richtung zwei mehr oder weniger deutlich getrennte Maxima (s. Abb. 11.12 f¨ ur den Fall gleicher Intensit¨at der Teilwellen). In Abb. 11.12 a ist der Verlauf der Maxima f¨ ur die Wellenl¨angen λ und λ + ∆λ einzeln gezeichnet, die Messung liefert die (gestrichelte) Summenkurve. Man erkennt, dass unterhalb eines minimalen Wellenl¨angenabstandes ∆λmin die beiden Maxima nicht mehr aufgel¨ ost werden k¨onnen. Es gibt verschiedene Aufl¨ osungskriterien zur Erkennbarkeit der Maxima und Ermittlung von ∆λmin . Das Rayleigh-Kriterium fordert eine Einsattelung von mindestens 20% (genauer Tmin = 8/π 2 · Tmax ) zwischen den Maxima. Das ebenfalls nach Rayleigh be-

11.8 Aufl¨ osungsverm¨ ogen

329

Abb. 11.12. a) Verlauf der Bestrahlungsst¨ arke in den Fabry-Perot Ringen bei zwei Wellenl¨ angenkomponenten etwa gleicher Eingangsintensit¨ at. Beobachtet wird die Gesamtintensit¨ at (gestrichelt), die an der Rayleigh-Grenze eine Einsattelung von 20% aufweisen muss. b) Ermittlung der Ringbreite: Halbwertsbreite δ1/2 des Peaks und zugeh¨ orige Diﬀerenz δc . Es gilt δc = δ+ − m 2π und δ1/2 = 2δc

nannte und bekanntere Kriterium zur Aufl¨osung bei Spalt- und Gitterbeugung (s. Kap. 16 u. 17) ist hier nicht anwendbar. Wir fordern vereinfachend, dass in dem Ringsystem der Mindestabstand von zwei Maxima gleicher Ordnung gleich dem Abstand sein muss, der der Halbwertbreite δ1/2 = 2δc der Einzelmaxima entspricht (s. Abb. 11.12). Wir ermitteln zun¨achst δc : Am m-ten Maximum muss f¨ ur δ+ = m2π + δc gelten: T (δ+ ) = 1/2; dann hat der Nenner√von T (11.36) den Wert 2, woraus folgt: K sin2 (δ+ /2) = 1 und sin(δ+ /2) = 1/√ K. Da in der Umgebung √ der Maxima | sin δ+ | 1 gilt, wird δ+ = m2π + 2/ K und damit δc = 2/ K. Die Halbwertsbreite der Interferenzmaxima ist folglich gleich: Halbwertsbreite

4 δ1/2 = 2δc = √ K

(11.38)

Um die zugeh¨ orige Wellenl¨ angendiﬀerenz ∆λmin zu bekommen, berechnen wir zuerst die Diﬀerenz6 ∆λn , die erforderlich ist, um in Abb. 11.11 eine Verschiebung um eine ganze Beugungsordnung – entsprechend ∆δ = 2π – zu erzielen, f¨ ur die also: m(λ + ∆λn ) = (m + 1)λ 6

Nutzbarer Spektralbereich, s. Kap. 11.9.

330

11 Optische Interferometrie

Dies ist oﬀensichtlich f¨ ur ∆λn = ∆λmin aus der Proportion

λ m

der Fall. Ausgehend hiervon k¨onnen wir

δ1/2 ∆λmin = ∆λn 2π gewinnen und erhalten mit (11.38) und ∆λn = λ/m: 2π π√ λ =m =m K ∆λmin δ1/2 2

(11.39)

Unter dem spektralen Aufl¨ osungsverm¨ ogen A eines Spektrometers versteht man allgemein: A=

λ ∆λmin

(11.40)

Durch Einf¨ uhrung der Finesse

√ r π√ K=π =π F = 2 1 − r2 1−

(11.41)

kann man das Auf l¨osungsverm¨ogen des Fabry-Perot-Interferometers mit (11.39) bis (11.41) in eine einfache Form bringen: Auf l¨osungsverm¨ogen

A=

λ = mF ∆λmin

(11.42)

Ein hohes Aufl¨ osungsverm¨ ogen erreicht man demnach f¨ ur eine hohe Finesse F und f¨ ur große Ordnungszahlen m, also im Zentrum des Ringsystems, und großen Plattenabstand, da nach (11.33): 2d (11.43) λ Die G¨ ute eines Perot-Fabry h¨ angt entscheidend von dem Reﬂexionsgrad der Platten und der Finesse ab, die ihrerseits die Linienbreite bestimmt. Der Vergleich von (11.39) und (11.41) f¨ uhrt zur gebr¨ auchlichsten Deﬁnition der Finesse: Fialtnis von Phasenwinkelabstand 2π benachbarter nesse F = 2π/δ1/2 ist das Verh¨ Maxima zu Halbwertsbreite δ1/2 eines Ringes. Damit gilt dann auch: mmax =

Finesse ist das Verh¨ altnis von Linienabstand benachbarter Linien zur Halbwertsbreite einer Linie. Wir fassen zusammen:

11.9 Nutzbarer Spektralbereich

2π Linienabstand = δ1/2 Linienbreite r A π√ K=π = = 2 2 1−r m

331

F = Finesse

(11.44)

Beispiel 11.2 Fabry-Perot Gegeben sei ein Fabry-Perot-Interferometer mit dem Plattenabstand 1 cm und dem Reﬂexionsgrad = 0,90. Man bestimme f¨ ur eine Wellenl¨ange von 500 nm die maximale Beugungsordnung, den Kontrast, die Finesse sowie das minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angenintervall, das Aufl¨osungsverm¨ogen und den nutzbaren Spektralbereich (s. (11.45)). L¨ osung √ = 40 000 ≈ m; Reﬂexionsfaktor r = = 0,95; Wir erhalten: mmax = 2d λ √ 4 π Kontrast K = (1−) K = 30,6; Aufl¨osungsverm¨ogen 2 = 380; Finesse F = 2 λ λ = mF = 1,2 · 106 ; ∆λmin = A = 0,42 pm und nutzbarer A = ∆λ λ Spektralbereich ∆λn = m = 12,5 nm.

Gute Fabry-Perot-Interferometer weisen Aufl¨osungsverm¨ogen von etwa 106 bis 2 · 107 auf. Damit erreicht man Werte, die die Leistungen von Beugungsgittern und Prismen um ein bis zwei Gr¨ oßenordnungen u ¨ bertreﬀen. Abbildung 11.13 gibt das Ringsystem der gr¨ unen Quecksilberlinie wieder und zeigt deren Feinstruktur.

11.9 Nutzbarer Spektralbereich Da sich die Ringsysteme verschiedener Wellenl¨angen u ¨ berlagern, k¨onnen an einem Punkt Ringe unterschiedlicher Wellenl¨ ange und Ordnung auftreten und damit die Messung der Wellenl¨ angen erschweren oder verhindern. Dies l¨asst sich durch Einschr¨ ankung des untersuchten Spektralbereiches verhindern. Wir betrachten zwei ur kleine ∆λ sind die beiden aufgel¨osten Wellenl¨ angen λ1 und λ2 = λ1 + ∆λ. F¨ (es gilt also ∆λ > ∆λmin ) Ringsysteme in jeder Ordnung dicht beisammen und eindeutig unterscheidbar. Bei Steigerung von ∆λ steigt auch der Abstand der Ringe gleicher Ordnung; wenn er gleich dem Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Ordnungen einer Wellenl¨ ange wird, ist keine Eindeutigkeit mehr gegeben. ur den Grenzfall, dass die LiWir berechnen den Wellenl¨ angenunterschied ∆λn f¨ nie m-ter Ordnung der Wellenl¨ ange λ2 auf die Ordnung m + 1 von λ1 f¨allt. Da in (11.33) d und cos ε u ¨ bereinstimmen, muss gelten mλ2 = (m + 1)λ1

332

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.13. Fabry-Perot-Ringe bei der gr¨ unen Quecksilberlinie (λ = 546,1 nm), die die Feinstruktur der Spektrallinie wiedergeben

Mit λ2 = λ1 + ∆λn gilt dann: nutzbarer Spektralbereich

∆λn =

λ1 m

(11.45)

∆λn bezeichnet man als nutzbaren oder freien Spektralbereich, es ist der Betrag, um den die Wellenl¨ ange ge¨ andert werden muss, damit die m-te Ordnung der ur λ1 zusammenf¨allt. Da m ≈ 2d/λ, Wellenl¨ ange λ1 +∆λn mit der Ordnung m+1 f¨ gilt auch λ2 (11.46) 2d Machen Sie sich unbedingt klar: ∆λmin ist der kleinste Abstand, den zwei Wellenl¨ angen haben d¨ urfen, damit sie noch getrennt oder aufgel¨ost werden k¨onnen. Er wird klein (und damit das Aufl¨ osungsverm¨ogen A groß), wenn in hoher Ordnung mit guter Finesse gearbeitet wird (s. (11.42)). Ist ∆λ > ∆λmin , sind also zwei Linien deutlich erkennbar, so kann der Nachweis erschwert werden, wenn sie zu weit – und zwar um mehr als ∆λn – voneinander entfernt sind. Man erkennt, dass eine hohe Beugungsordnung m zwar die Aufl¨osung steigert, jedoch den Spektralbereich einengt. Im Bsp. 11.2 war ∆λn nur 12,5 pm! Ein gutes Spektrometer sollte ein m¨ oglichst großes Verh¨ altnis ∆λn /λmin aufweisen! Mit (11.42) und (11.45) erh¨ alt man f¨ ur das Verh¨ altnis von nutzbarem Spektralbereich zu minimal nachweisbarem Wellenl¨ angenbereich gerade die Finesse: ∆λn =

11.9 Nutzbarer Spektralbereich

333

Abb. 11.14. a)Verwendung eines Fabry-Perot-Etalons in Verbindung mit einem Prismen-Spektrografen. Das Fabry-Perot hat ein hohes Aufl¨ osungsverm¨ ogen, das Prisma einen großen nutzbaren Spektralbereich. b) Feinstruktur von Spektrallinien, die mit einer Anordnung nach a) aufgel¨ ost wurde

∆λn =F ∆λmin

(11.47)

Die Finesse ist damit als G¨ utezahl des Fabry-Perot geeignet. Der Nachteil des unter Umst¨ anden extrem kleinen nutzbaren Spektralbereiches kann durch Kombination mit einem weiteren Spektrometer umgangen werden. So kann man z.B. zwei Etalons – das eine mit großem freiem Spektralbereich ∆λn und das andere mit großem Aufl¨ osungsverm¨ ogen A – hintereinander schalten. Eine andere M¨oglichkeit ist die Kombination mit einem (Prismen-) Spektrografen (s. Abb. 11.14 a). Falls das einfallende Licht aus einzelnen spektralen Komponenten mit einer Fein¨ struktur besteht, ergibt sich eine un¨ ubersichtliche Uberlagerung der Ringsysteme der einzelnen Komponenten. Nach Trennung der einzelnen Komponenten mit einem Prisma (mit relativ weit ge¨ oﬀnetem Eintrittsspalt) erscheint jedes Wellenl¨ angenintervall der Quelle als breites Bild des Spaltes mit den der Feinstruktur der jeweiligen Farbe entsprechenden Interferenzlinien (s. Abb. 11.4 b).

334

11 Optische Interferometrie

¨ Ubungen 11.1 Wird der Spiegel eines Michelson-Interferometers um 114 µm verschoben, so registriert eine Fotodiode 523 Interferenzmaxima. Welche Wellenl¨ ange hat das verwendete Licht? 11.2 Ein Michelson-Interferometer wird mit gr¨ unem Hg-Licht (λ = 546,1 nm) beleuchtet. Auf einem Schirm treten gerade Interferenzstreifen auf. Man misst 11 helle Streifen pro cm. Wie erkl¨ aren Sie dies? Welche Gr¨ oße l¨ asst sich aus den angegebenen Messwerten ermitteln? 11.3 Ein d¨ unnes Bl¨ attchen aus Flussspat (CaF2 , n = 1,434) wird so in einen Arm eines Michelson-Interferometers geschoben, dass es senkrecht auf dem Lichtstrahl steht. F¨ ur Licht der Wellenl¨ ange 632,8 nm beobachtet man eine Verschiebung des Interferenzmusters um 35 Streifen. Welche Dicke hat das Bl¨ attchen? 11.4 Bei einem Michelson-Interferometer sieht man einen zentralen dunklen Fleck, der von konzentrischen hellen und dunklen Ringen umgeben ist. Ein Arm des Interferometers ist 2 cm l¨ anger als der andere, das verwendete Licht hat 500 nm Wellenl¨ ange. Ermitteln Sie die Interferenzordnungen a) des zentralen Flecks und b) des 6. dunklen Ringes (vom Zentrum aus gez¨ ahlt). 11.5 Die Brechzahl eines Gases soll mit Hilfe eines Michelson-Interferometers bestimmt werden. Hierzu beﬁndet sich in einem Arm des Interferometers eine evakuierte Zelle der L¨ ange l, in die vorsichtig das zu messende Gas eingelassen wird. a) Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung der Brechzahl n (bei Atmosph¨ arendruck) auf. Parameter: l, λ sowie N = Zahl der an einer Fotodiode vorbeilaufenden Interferenzmaxima. b) Wie viele Interferenzstreifen werden bei Kohlendioxid (n = 1,00045 bei p = 1013 mbar) registriert, wenn λ = 632,8 nm und l = 10 cm? 11.6 Ein Michelson-Interferometer arbeitet mit dem Licht eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) und ist f¨ ur einen maximalen Gangunterschied von 20 µm justiert. Welchen Winkel schließt a) der erste beobachtbare Ring und b) der zehnte Ring mit der optischen Achse ein? (Z¨ ahlung vom Zentrum aus.) 11.7 Um die G¨ ute einer polierten Oberﬂ¨ ache zu pr¨ ufen, setzt man sie an die Stelle eines der Spiegel im Michelson-Interferometer. Mit He-Ne-Licht wird ein Interferenzmuster registriert, das u ache eine Streifenverzerrung von weniger ¨ ber die gesamte Oberﬂ¨ als ein Viertel des Streifenabstandes aufweist. Wie groß ist die maximale Tiefe von Polierfehlern? 11.8 Der Laserstrahl eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm, Leistung P = 1 mW, Strahldurchmesser = 1 mm) triﬀt unter 45◦ auf eine d¨ unne Schicht der Brechzahl 1,414 und wird mit einem Reﬂexionsfaktor |r| = 0,280 (mehrfach) reﬂektiert. Berechnen Sie: a) die Amplitude des E-Vektors der einfallenden Welle, b) den Austrittswinkel des gebrochenen Strahls, c) die Gr¨ oße von r und tt mit Hilfe der Stokes-Beziehungen, d) die Amplituden der E-Vektoren der ersten drei reﬂektierten Strahlen sowie den zugeh¨ origen Reﬂexionsgrad,

11.9 Nutzbarer Spektralbereich

335

e) analog zu d) die Amplituden und den Transmissionsgrad der ersten zwei durchgehenden Strahlen, f) die minimale Dicke der Schicht, bei der sich die reﬂektierten Strahlen ausl¨ oschen, wenn sie mit einer Linse in einem Punkt fokussiert werden. 11.9 Licht triﬀt nahezu senkrecht auf eine Glasplatte (n = 1,52). a) Zeigen Sie mit Hilfe von (10.28), dass die Reﬂexions- und Transmissionsfaktoren der jeweils ersten drei reﬂektierten und durchgehenden Wellen gegeben sind durch 1.

2.

3.

r

0,206

0,198

0,0084

t

0,957

0,041

0,0017

b) Zeigen Sie weiterhin, dass der Streifenkontrast (s. auch Aufg. 10.4) der beiden ersten reﬂektierten Strahlen bei 0,999, der der durchgehenden hingegen nur bei 0,085 liegt. 11.10 Die Platten eines Perot-Fabry-Interferometers haben einen Reﬂexionsfaktor von r = 0,91. Es soll zur Trennung des Hα -Dubletts (λ = 656,3 nm, ∆λ = 136 pm) des Wasserstoﬀspektrums verwendet werden. Wie groß m¨ ussen Aufl¨ osungsverm¨ ogen und Plattenabstand mindestens sein? 11.11 Die Modenstruktur eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) soll mit einem Fabry-Perot aufgel¨ ost werden. Der Frequenzabstand der Moden betr¨ agt 150 MHz. Die Platten haben einen Reﬂexionsgrad von 0,999 und sind durch einen Luftspalt getrennt. a) Welche Finesse muss das Instrument haben? b) Welches Aufl¨ osungsverm¨ ogen ist erforderlich? c) Wie w¨ ahlen Sie den Plattenabstand? d) Wie groß sind dann nutzbarer Spektralbereich und minimal aufl¨ osbares Wellenl¨ angenintervall? 11.12 Ein Fabry-Perot-Etalon besteht aus einer Planplatte hochbrechenden Materials (n = 4,5) mit 2 cm Dicke. Die verspiegelten Oberﬂ¨ achen haben einen Reﬂexionsgrad von 0,9. Bestimmen Sie f¨ ur einen Wellenl¨ angenbereich um 545 nm: a) die h¨ ochste Interferenzordnung, die in dem Interferenzmuster auftritt, b) das Verh¨ altnis Tmax /Tmin , also von maximalem zu minimalem Transmissionsgrad, c) das Aufl¨ osungsverm¨ ogen. 11.13 Ein Wellenl¨ angendublett bei λ = 490 nm ist um ∆λ = 5,5 pm getrennt und wird mit einem Fabry-Perot untersucht, dessen Plattenabstand variiert werden kann. Bei welchem Abstand f¨ allt die m-te Ordnung der einen Komponente mit der m + 1-ten Ordnung der anderen zusammen? 11.14 Der Reﬂexionsgrad eines Fabry-Perot betr¨ agt 60%. Ermitteln Sie das Verh¨ altnis von maximal zu minimal durchgelassener Intensit¨ at. 11.15 Weißes Licht passiert ein Fabry-Perot-Interferometer der in Abb. 11.9 b gegebenen Bauart und wird mit einem Spektrometer nachgewiesen. Man beobachtet eine Reihe von hellen Spektralbanden. Wird zur Kalibrierung gleichzeitig das Licht einer HgLampe in das Spektrometer eingestrahlt, so registriert man zwischen der violetten

336

11 Optische Interferometrie (435,8 nm) und gr¨ unen (546,1 nm) Linie des Quecksilbers 150 helle Banden. Welchen Plattenabstand hat das Etalon?

¨ 11.16 Wenden Sie die Uberlegungen, die zur Berechnung der Finesse eines Fabry-Perot gef¨ uhrt haben, auf ein Michelson-Interferometer an. Ermitteln Sie mithin die Finesse als Verh¨ altnis von Phasenwinkel-Abstand benachbarter Interenzmaxima zu Halbwertsbreite. 11.17 Betrachten Sie ein Mach-Zehnder-Interferometer (s. Abb. 11.5), dessen Strahlenteiler und Spiegel S3 einen Transmissionsgrad von 80% aufweisen und 20% des Lichtes reﬂektieren. Vergleichen Sie den Streifenkontrast der beiden (eingezeichneten) waagrecht austretenden Strahlen (1 + 2) mit dem von zwei Strahlen, die aus dem Spiegel S3 nach oben – also parallel zu dem einfallenden Strahl 2 – austreten.

13 Holograﬁe

Einleitung Die Holograﬁe verdankt ihren Erfolg dem Laser. Das holograﬁsche Prinzip wurde zwar bereits im Jahr 1948, bevor es einen funktionierenden Laser gab, von dem Wissenschaftler Dennis Gabor (1900-1979) erfunden, die vielf¨altigen Anwendungen der Holograﬁe sind jedoch erst durch den Einsatz des Lasers m¨oglich geworden. E. Leith und J. Upatnieks verwendeten an der Universit¨at von Michigan 1962 zum ersten Mal Laserlicht f¨ ur die Holograﬁe und setzten dabei gleichzeitig die oﬀ-axis“ Beleuchtungstechnik ein, die wir sp¨ater erkl¨aren werden. ” Die dreidimensionale“ Fotograﬁe, die durch Holograﬁe m¨oglich wurde, hat ” auch großes Interesse im nichtwissenschaftlichen Bereich geweckt. Heute ﬁndet man Anwendungen der Holograﬁe in der Kunst, in der Werbung oder auch bei der Herstellung von f¨ alschungssicheren Gegenst¨anden wie Scheckkarten, Ausweisen usw.

13.1 Konventionelle und holograﬁsche Fotograﬁe Wir wissen, dass die konventionelle Fotograﬁe ein zweidimensionales Abbild eines dreidimensionalen Objektes liefert, wobei die Teile des Gegenstandes scharf abgebildet werden, die in den Sch¨ arfentiefebereich der Abbildung fallen. Dies bedeutet, dass eine Fotograﬁe nicht den Eindruck von r¨aumlicher Tiefe oder Parallaxe liefert, den wir bei der Betrachtung des realen Objektes haben. Das holograﬁsche Aufnahmeverfahren ergibt ein Bild“, das diese Eigenschaften aufweist. Das Ho” logramm speichert die Wellenfront, die vom Objekt ausgeht und die vollst¨andige optische Information u ¨ber den Gegenstand enth¨alt. Bei der Betrachtung eines

372

13 Holograﬁe

Hologramms wird diese Wellenfront wieder rekonstruiert und wir k¨onnen den Gegenstand durch das Fenster“ des Hologramms originalgetreu r¨aumlich sehen. ” Die wieder hergestellte Wellenfront liefert uns Tiefenwahrnehmung und Paralla¨ xe, so dass wir auch durch Anderung des Blickwinkels hinter ein Objekt sehen k¨ onnen. Die rekonstruierte Wellenfront kann wie die urspr¨ ungliche Wellenfront durch eine Linse ver¨ andert werden. Das Hologramm enth¨alt, was der Name auch vom griechischen Ursprung (holos = ganz) her bedeutet, eine vollst¨andige Aufzeichnung des Gegenstandes. Die erstaunlichen Eigenschaften des Bildes, das durch ein Hologramm erzeugt wird, werden durch die Aufzeichnung von Phase und Amplitude der Wellenfront erm¨ oglicht. Optische Detektoren (quadratische Detektoren, s. Kap. 18) und damit auch fotograﬁscher Film sind nur f¨ ur die Strahlungsenergie, die auf sie triﬀt, empﬁndlich. Bei einer entwickelten Fotograﬁe ist z.B. die Schw¨arzung in jedem Punkt der Emulsion eine Funktion der erhaltenen Strahlungsenergie. Registriert man alleine die Strahlungsenergie, so geht Richtung und Form der Wellenfront, die von einem Gegenstand im Raum ausgeht, und damit der r¨aumliche Eindruck des Objekts verloren. Die Interferenz von Lichtwellen erm¨oglicht die Aufzeich¨ nung der Form der Wellenfront. Wir erinnern uns, dass Wellen, die bei der Uberlagerung eine maximale Amplitude ergeben, in Phase (konstruktive Interferenz) und bei einer minimalen Amplitude (destruktive Interferenz) gegenphasig sind. ¨ Uberlagert man die Lichtwelle, die von einem Objekt ausgeht, mit einer Referenzwelle, dann enth¨ alt das entstehende Interferenzmuster Informationen u ¨ber die Phasenbeziehung jedes Teils der Wellenfront relativ zur Referenzwelle. Man kann die Referenzwelle auch als Tr¨agerwelle ansehen, die durch die Signalwelle, die vom Objekt ausgeht, moduliert wird. Die eben angewandten Begriﬀe benutzt ¨ man auch bei der Informations-Ubertragung durch Radiowellen. Bei der konventionellen Fotograﬁe verwendet man ein Objektiv, um ein Abbild des Gegenstandes auf dem Film zu erhalten. Das Licht, das von einem einzigen Punkt des Gegenstandes ausgeht und auf die Linse triﬀt, wird auf einen einzelnen konjugierten Bildpunkt fokussiert. Die Bildpunkte sind den Objektpunkten eindeutig zugeordnet (konjugiert). Im Gegensatz hierzu wird ein Hologramm ohne Einsatz von Linsen oder anderen fokussierenden Elementen hergestellt. Das Hologramm ist ein mikroskopisch kleines kompliziertes Interferenzmuster und damit kein Abbild des Gegenstandes. Jeder Punkt des Hologrammes empf¨angt Licht von jedem Punkt des Gegenstandes, oder, in anderer Weise beschrieben, jeder Gegenstandspunkt beleuchtet das gesamte Hologramm. Es gibt keine eindeutige Beziehung zwischen den Objektpunkten und Punkten auf dem Hologramm. Wie erw¨ ahnt, ist das Hologramm die Aufzeichnung der vollst¨andigen Signalwelle.

13.2 Hologramm einer Punktquelle

373

13.2 Hologramm einer Punktquelle Wir beginnen zun¨ achst mit einem einfachen Beispiel, dem Hologramm einer Punktquelle. In Abb. 13.1 a wird gezeigt, wie ebene Wellenfronten einer koh¨arenten monochromatischen Referenzwelle eine fotograﬁsche Platte beleuchten. Zus¨ atzlich treﬀen von einem Objektpunkt O ausgehende Kugelwellen auf die Platte. Nach der Umkehrentwicklung zeigt die fotograﬁsche Platte eine Reihe von konzentrischen hellen und dunklen Interferenzringen mit dem Punkt X als Zentrum. Wenn die optische Wegdiﬀerenz ∆ = OP − OX eine ganze Anzahl von Wellenl¨ angen betr¨ agt, f¨ allt der Punkt P auf solch einen Ring. Hierbei triﬀt die Front der ebenen Referenzwelle in P gleichphasig mit dem Objektlicht auf. Die entwickelte Platte nennt man Gaborsche Zonenplatte – oder Zonenlinse – mit kreisf¨ ormigen Zonen unterschiedlicher Lichtdurchl¨assigkeit, deren Transmissionsgrad vom Radius abh¨ angt. Die Gaborsche Zonenplatte ist eine Sinuszonenplatte, da die Schw¨ arzung sich mit cos2 (Cr2 ) – also abh¨angig vom Radius r der Zonen – ¨ andert1 . Die Sinuszonenplatte ist das Hologramm des Punktes O. Das Hologramm selbst besteht aus Interferenzringen, die kein normales Bild des Objektes ergeben. Das Objekt l¨ asst sich jedoch rekonstruieren (s. Abb. 13.1 b), wenn man das Hologramm in die Referenzwelle bringt, ohne dass sich das Objekt O an der vorigen Position beﬁndet. Gerade so wie das Licht, das zun¨achst vom Punkt O ausging, mit der Referenzwelle interferierte und die Zonenringe ergab, wird nun die Referenzwelle durch die Beugung an der Zonenplatte so ver¨andert, dass scheinbar vom Punkt O Kugelwellen ausgehen. Der Punkt O ist damit ein virtuelles Bild des urspr¨ unglichen Gegenstandspunktes O, den man bei der Rekonstruktion sieht, wenn man in das Hologramm hineinschaut. Die Bedingungen zur Wiederherstellung der Signalwelle werden auch durch einen zweiten Punkt auf der Ausgangsseite des Hologramms erf¨ ullt. Dieser Punkt O liegt symmetrisch ullt die zur Filmebene. Die Entfernung von O zu den Zonen auf der Platte erf¨ gleichen geometrischen Beziehungen wie die entsprechende Entfernung von O zu den Zonen. Damit konvergiert das gebeugte Licht zum Punkt O , einem reellen Bild des Objektpunktes O. Wenn man bei der Herstellung des Hologramms den Objektpunkt weiter von der Platte entfernt anordnet, so vergr¨oßern sich die Zonenradien. F¨ ur einen Objektpunkt außerhalb der optischen Achse, der sich im Unendlichen beﬁndet, sind die Zonen parallele Interferenzstreifen. Dieses Hologramm ist ein holograﬁsches Gitter, das man auch durch die Aufzeichnung der ¨ Uberlagerung von zwei ebenen Wellen, die aus verschiedenen Richtungen auf die Platte einlaufen, erh¨ alt. Das holograﬁsche Gitter wird ausf¨ uhrlich in Kap. 17 diskutiert. Die Beispiele von kreisf¨ ormigen und geraden Beugungsstreifen, die wir bisher diskutiert haben, sind Spezialf¨ alle der Interferenz bei zwei Punktquellen, von 1

Genauer gilt, dass die Transmission durch die Funktion A + B cos2 (Cr2 ) gegeben ist, ¨ wobei A, B und C Konstanten sind (s. Ubung 13.1).

374

13 Holograﬁe

denen eine im Unendlichen liegt. Wenn der Objektpunkt O durch einen ausgedehnten Gegenstand ersetzt wird, dann erzeugt jeder Punkt des Gegenstandes sein eigenes Gaborsches Zonenmuster auf dem Film. Das Hologramm ist ein kompliziertes Interferenzmuster, in dem Amplitude und Phase der vom Gegenstand ausgehenden Wellenfront codiert sind. Bei der Rekonstruktion (Wiederherstellung) erzeugt jeder Satz von Zonen seine eigenen reellen und virtuellen Bilder und damit wird das Originalobjekt wieder hergestellt. Gew¨ohnlich betrachtet man das virtuelle Bild, indem man in das Hologramm hineinschaut. Abbildung 13.1 b zeigt, dass bei der Betrachtung des virtuellen Bildes auf diese Weise auch unerw¨ unschtes Licht von der Rekonstruktion des reellen Bildes und vor allem auch intensives, ungebeugtes Licht empfangen wird. Leith und Upatnieks beseitigten diese St¨ orung durch Einsatz einer Technik, bei der man die Referenzwelle unter einem anderen Einfallswinkel auf den Film einfallen l¨asst, so dass die Richtungen der rekonstruierten Wellenfronten f¨ ur das reelle oder virtuelle Bild und der ungebeugten Wellen verschieden sind. Die zwei Grundtypen von Hologrammen, die wir bisher diskutiert haben, sind die Gaborsche Zonenplatte und das holograﬁsche Gitter. Wenn die Zonenplatte oder das Gitter eine rechteckf¨ ormige ( bin¨ are“, s. Kap. 18) Transmissionsfunk” tion aufweisen, die zwischen Minima und Maxima wechselt, dann erh¨alt man mehrfache Beugungsbilder. Das bekannte Beugungsgitter dieses Typs produziert i.A. Beugungsordnungen mit m = 0, ±1, ±2, . . . bis zum maximal m¨oglichen Beugungswinkel. Eine Zonenplatte mit dieser Art Transmissionscharakteristik nennt man Fresnelsche Zonenplatte, sie weist schwarze“ undurchl¨assi” ge Ringe auf und erzeugt mehrere Brennpunkte entlang der optischen Achse. Wenn das Gitter bzw. die Kreiszonen eine Sinuscharakteristik“ aufwei” sen, das bedeutet, wenn das Transmissionsproﬁl einer cos2 (Kx) (Gitter) oder cos2 (Cr2 )(Sinuszonenplatte)Funktion folgen, k¨onnen bei der Rekonstruktion neben der 0. Ordnung nur Bilder ±1. Ordnung auftreten. Bei der Sinuszonenplatte sind die zwei Bilder erster Ordnung das vorher diskutierte reelle und virtuelle Bild. Bei der Erzeugung von Hologrammen (s. Abb. 13.1 a) wird die Bestrahlungsst¨ arke auf dem Film f¨ ur Punkte destruktiver Interferenz ¨außerst geringe Werte aufweisen, wenn Signal- und Referenzwelle gleiche Amplitude haben. Die Filmemulsion reagiert nicht linear auf die Bestrahlungsst¨arke, so dass der entwickelte Film eine verzerrte cos2 (Cr2 )-Transmission aufweist wird und damit h¨ohere Beugungsordnungen auftreten k¨ onnen. Zur Abhilfe steigert man die Intensit¨at der Referenzwelle so weit, bis die Bestrahlungsst¨arke auf der Emulsion so hoch ist, dass der Film eine lineare Nachweischarakteristik aufweist. Man erzeugt folgende Transmission t = t0 + tˆcos2 (Cr2 ) und Bilder h¨ oherer Ordnung werden eliminiert.

13.2 Hologramm einer Punktquelle

375

¨ Abb. 13.1. Das Hologramm einer Punktquelle O wird durch die Uberlagerung mit einer Referenzwelle in a) erzeugt und in b) benutzt, um die Wellenfront zu rekonstruieren. Bei der Rekonstruktion erh¨ alt man zwei Bilder O (virtuell) und O (reell) sowie ungebeugtes Licht

Wie wir gerade erkl¨ art haben, ist es sinvoll, die Amplitude der Referenzwelle etwas gr¨ oßer als die mittlere Amplitude der Signalwelle, die vom Objekt ausgeht, zu w¨ ahlen, so dass die Referenzwelle durch das Signal – auf dem Film nachweisbar ¨ ¨ – moduliert wird. Anderungen in der Signalst¨arke bewirken dann Anderungen ¨ im Kontrast der Beugungsstreifen, wogegen Anderungen in der Phase verursacht ¨ durch eine Verformung der Wellenfront der Signalwelle, Anderungen im Abstand der Streifen verursachen.

376

13 Holograﬁe

Auf dem Hologramm ist im Kontrast die Amplitude und im Abstand der Interferenzstreifen die Phase und damit die Richtung und Form der Signalwelle, die vom Objekt ausgeht und den r¨ aumlichen Eindruck ergibt, codiert.

13.3 Hologramm eines ausgedehnten Gegenstandes Die holograﬁsche Technik mit einer oﬀ-axis“ Referenzwelle ist in Abb. 13.2 a ” gezeigt. Der Laserstrahl hat in der Regel keine homogene Intensit¨atsverteilung. Zur Verbesserung der Strahlqualit¨ at benutzt man ein Raumﬁlter, bei dem sich im Brennpunkt einer Sammellinse des Strahlaufweitungssystems (s. Kap. 21, ¨ Abb. 21.20) eine Blende mit sehr kleiner Oﬀnung (Durchmesser ≈ µm) beﬁndet. Der aufgeweitete Strahl wird durch einen Strahlteiler ST aufgespalten und man erh¨ alt zwei zeitlich koh¨ arente Wellenz¨ uge. Die Referenzwelle ER wird durch zwei ebene Spiegel S1 und S2 , wie in der Abbildung gezeigt, auf die fotograﬁsche Platte umgelenkt. Die Beleuchtungswelle wird als Signalwelle ES diﬀus vom Objekt reﬂektiert. Die Signalwelle weist aufgrund der Struktur der Objektoberﬂ¨ache verformte Wellenfronten auf. Sie triﬀt auf den Film, wo sie mit der Referenzwelle interferiert und das Hologramm erzeugt. In der Filmebene gilt f¨ ur die Referenzwelle: ˆR ej(ωt+ϕ) ER = E

(13.1)

ˆR (x, y) der Referenzwelle sei u Die Amplitude E ¨ ber die ebene Wellenfront konstant. Der Phasenwinkel ϕ(x, y) ist vom Winkel α zwischen der Filmebene und der Front der Referenzwelle (s. Abb. 13.2 b) abh¨angig. Wenn der obere Rand der Referenzwelle den Film bei x = 0 triﬀt, dann ist ϕ eine lineare Funktion von x u ¨ ber die Filmebene mit 2π 2π ϕ= ∆=− x sin α (13.2) λ λ ˆ ohne die Zeitabh¨angigIm Folgenden wird nur die komplexe Wellenamplitude E keit der Welle betrachtet. ˆR ejϕ ˆ =E E R

(13.3)

Wenn die Referenzwelle abgeschaltet ist, w¨ urde der Film nur durch die vom Objekt ausgehende Signalwelle belichtet werden: ˆS ejθ ˆ =E E S

(13.4)

13.3 Hologramm eines ausgedehnten Gegenstandes

377

Abb. 13.2. a) Holograﬁsche oﬀ-axis“ Aufzeichnung b) Orientierung des Films relativ ” zur Referenzwelle (Ausschnitt)

ˆS (x, y) die Amplitude des reﬂektierten Lichtes in den Punkten x, y des wobei E Filmes bedeutet und θ = θ(x, y) eine komplizierte Funktion ist, die die Ortsabh¨ angigkeit der Phase des Lichtes, das den Film von verschiedenen Teilen des Objektes aus erreicht, beschreibt. W¨ are die Signalwelle alleine vorhanden, dann w¨ urde der Film nur aufgrund der Intensit¨at (= speziﬁsche Ausstrahlung) IS der vom Objekt ausgehenden Signalwelle geschw¨arzt. Damit ergibt sich, wobei der Einfachheit halber die Konstanten f¨ ur die Umrechnung von Quadraten der Feldamplitude in Intensit¨ aten weggelassen sind: 2 2 ˆ ˆ∗ E ˆS (x, y) ˆ = E = E IS ∼ E S S S

(13.5)

378

13 Holograﬁe

Die Intensit¨ at IS enth¨ alt also keine Information u ¨ ber die Phase der Signalwelle. ¨ Andert man die Anordnung und ist die Referenzwelle ebenfalls vorhanden, dann ˆ in jedem Punkt des ist – in skalarer N¨ aherung – die resultierende Amplitude E F Filmes gegeben durch ˆ +E ˆ ˆ =E E F R S so dass 2 ∗ ˆ ˆ ˆ ˆ∗ ˆ +E E IF ∼ E R S F = ER + ES Man erh¨ alt: ˆ E ˆ ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ ˆ∗ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ∗ ˆ ˆ ∗ ˆ∗ IF ∼ E R R + E S E S + E R E S + E S E R = ER + ES + E R E S + E S E R (13.6) Die rechte Seite von (13.6) ist eine Funktion von x und y und variiert deshalb von Punkt zu Punkt in der Filmebene. Die letzten beiden Terme enthalten nun die wichtige Phaseninformation der Funktion θ(x, y). Explizit erhalten wir ˆ2 + E ˆ2 + E ˆR EˆS e−j(θ−ϕ) + E ˆR E ˆS ej(θ−ϕ) IF ∼ E R S

(13.7)

Durch geeignete Aufnahmebedingungen kann man erreichen, dass die Amplitudentransmission des entwickelten Filmes proportional zu IF ist. Um das Bild der aufgenommenen Objektszene zu rekonstruieren, bringt man das Hologramm wieder in die Referenzwelle, genau so wie bei der Aufnahme des Hologramms (s. Abb. 13.2 a). Nat¨ urlich ist jetzt der Gegenstand entfernt. Beleuchtet man nun das Hologramm mit der Referenzwelle, so wird aufgrund der zu IF proportionalen Transmission des Hologramms sowohl die Amplitude als auch die Phase der einlaufenden Welle moduliert. Wie zuvor gilt f¨ ur die einfallende Referenzwelle vor dem Hologramm: ˆR ejϕ ˆ =E E R

(13.3)

Bis auf Konstanten kann man nun die austretende modulierte Welle durch die ˆ beschreiben komplexe Wellenamplitude hinter dem Hologramm E H ˆ2 + E ˆ2 E ˆ 2 j(2ϕ) EˆS e−jθ ˆ ∼ IF E ˆ = E ˆ jθ ˆ + Eˆ 2 E (13.8) E H R R R S R S e + ER e wobei wir (13.7) und (13.3) miteinander multipliziert haben. Wir interpretieren nun die drei Terme in (13.8) als Rekonstruktion von drei verschiedenen Wellenfeldern durch das Hologramm. Jede Welle ist auch in Abb. 13.3 gezeigt. Der erste Term Rekonstruktion Referenzwelle, 0. Beugungsordnung ˆ2 + E ˆ2 E ˆ 2 + Eˆ 2 E ˆ = E ˆR ejϕ ˆ ∼ E (13.9) E H1 R R S R S

13.3 Hologramm eines ausgedehnten Gegenstandes

379

beschreibt die Referenzwelle, die lediglich in der Amplitude, aber nicht in der Phase ver¨ andert ist. Diese Welle geht ohne Ablenkung durch das Hologramm hindurch. In Analogie zum holograﬁschen Gitter entspricht diese Welle der Beugung 0. Ordnung. Der zweite Term ist Rekonstruktion Signalwelle, virtuelles Bild, 1. Beugungsordnung ˆ 2 ˆ jθ ˆ E H2 ∼ ER ES e

(13.10)

ˆ 2 die Signalwelle. Diese Welle und beschreibt bis auf den unwesentlichen Faktor E R stellt die rekonstruierte Wellenfront des Objektes dar, die unter dem Winkel α relativ zur Referenzwelle ausl¨ auft. Die Welle scheint vom Objekt zu kommen. Sie divergiert“ so, als w¨ urde sie von einem virtuellen Bild hinter dem Hologramm ” ausgehen. Dieses virtuelle Bild sehen wir normalerweise bei der Betrachtung eines Hologramms. Der dritte Term ist gegeben durch Rekonstruktion konjugierte Signalwelle, reelles Bild, -1. Beugungsordnung ˆ 2 j(2ϕ) E ˆS e−jθ ˆ E H3 ∼ ER e

(13.11)

und stellt die konjugierte Signalwelle dar, die zus¨atzlich in der Phase ver¨andert ist. Diese Welle rekonstruiert die Signalwelle von (13.4) unter Phasenumkehrung. Aufgrund der Phasenumkehr (θ → −θ) werden nun vorher divergierende Wellen konvergent und man erh¨ alt ein reelles Bild auf der Betrachtungsseite des Hologramms. Das Bild wird pseudoskopisch genannt, d.h. Erh¨ohungen und Vertiefungen des Gegenstandes erscheinen vertauscht. Der Phasenterm ej(2ϕ) ergibt im Vergleich zu (13.3) eine Winkelverschiebung der Bildrichtung um 2α relativ zur Normalen der Filmebene. Die oﬀ-axis Anordnung (s. Abb. 13.2 a) erzeugt ein Hologramm, bei dem die beiden rekonstruierten Signalwellen erster Ordnung und die Welle 0. Ordnung verschiedene Ausbreitungsrichtungen haben. Das virtuelle Bild kann damit ohne St¨ orung durch andere Wellen beobachtet werden. Das Hologramm, das von einem ausgedehnten Objekt hergestellt wird, zeigt die gleichen wesentlichen Merkmale wie das Hologramm eines punktf¨ormigen Objektes. Wir erinnern uns daran, dass bei der Aufzeichnung des Hologramms – außer bei der Strahlaufweitung – keine Linse benutzt wird und der Einsatz der Referenzwelle die wesentliche Voraussetzung darstellt. Das bei der Herstellung des Hologramms benutzte Licht muss ausreichende zeitliche Koh¨arenz haben, so dass der Gangunterschied zwischen Signal- und Referenzwelle die Koh¨arenzl¨ange nicht u ¨berschreitet. Das Licht muss ebenfalls ausreichende r¨aumliche Koh¨arenz aufweisen, so dass das Strahlenb¨ undel u ¨ ber das gesamte Objekt koh¨arent ist. Nat¨ urlich muss das holograﬁsche Aufnahmesystem extrem vibrationsarm aufgebaut sein, d.h. mechanisch stabil bis auf Bruchteile der Wellenl¨ange des Lichtes.

380

13 Holograﬁe

Abb. 13.3. Rekonstruktion des Hologramms, das mit der Anordnung in Abb. 13.2 a aufgenommen wurde

Die letzte Voraussetzung kann man einfacher erf¨ ullen, wenn man hochenergetische Laserpulse von sehr kurzer Dauer wie ein Blitzlicht benutzt, um unerw¨ unschte Bewegungen einzufrieren“. ” Eine dreidimensionale Betrachtung des Objektes wird erm¨oglicht, wenn man den holograﬁschen Film in zylindrischer Form um das Objekt anordnet, wie in Abb. 13.4 gezeigt.

Abb. 13.4. Aufzeichnung eines 360◦ -Hologramms durch einen zylindrischen Film

Der Film wird durch die Referenzwelle und durch Streulicht vom Objekt beleuchtet. Betrachtet man das Hologramm ohne Objekt unter den gleichen Beleuchtungsbedingungen, so kann man in diesem Beispiel einen Fisch von allen Seiten beobachten.

13.5 Weißlicht-Hologramme

381

13.4 Eigenschaften des Hologramms Wie schon vorher beschrieben, erh¨ alt das vollst¨andige Hologramm Licht von jedem Objektpunkt. Infolgedessen enth¨ alt jeder Teil des Hologramms Information des gesamten beleuchteten Objekts. Schneidet man das Hologramm in kleine Teile, so ist jeder Teil Hologramm des ganzen Objektes, wobei jedoch die Verkleinerung des Hologramms die Aufl¨ osung des Bildes und das Gesichtsfeld einschr¨ ankt. Dieses Verfahren entspricht im Wesentlichen dem Blick durch eine kleine Blende, die sich vor einem Fenster beﬁndet. Man betrachtet die gleiche Objektszene, jedoch mit variierender Perspektive, wenn man die Blende in verschiedene Abschnitte des Fensters bewegt. Jede Ansicht ist vollst¨andig, sie zeigt sowohl Tiefe als auch Parallaxe. Eine weitere interessante Eigenschaft eines Hologramms besteht darin, dass ein Kontaktabzug, der die optisch durchl¨assigen und undurchl¨ assigen Bereiche vertauscht, die gleichen Eigenschaften wie das Originalhologramm aufweist. Das Negativ“ eines Hologramms ver¨andert weder den ” Streifenkontrast noch den Abstand und modiﬁziert deshalb nicht die gespeicherte Information. Weiterhin kann ein Hologramm mehrere unterschiedliche Aufnahmen enthalten, wobei jede unter einem anderen Winkel des Films relativ zur Referenzwelle und eventuell mit verschiedenen Lichtwellenl¨angen aufgenommen wird. Bei der Rekonstruktion erscheint jede Objektszene im eigenen Licht, wenn man sie entlang der Aufnahmerichtung der Originalszene betrachtet, ohne dass St¨ orungen durch die anderen Bilder auftreten.

13.5 Weißlicht-Hologramme Betrachtet man das Hologramm von Abb. 13.3 mit einer Referenzwelle anderer Farbe als derjenigen, die man bei der Herstellung benutzt hat, so sieht man das Bild des Fisches unter einem anderen Winkel. Wie das holograﬁsche Gitter wirkt das Hologramm als dispersives Element. Benutzt man weißes Licht f¨ ur die Rekonstrultionswelle, so u ¨ berlappen die kontinuierlich verschobenen Bilder f¨ ur die verschiedenen spektralen Gebiete des Lichtes und erzeugen ein farbiges verschwommenes Bild. In einem zweistuﬁgen Verfahren kann man ein Hologramm herstellen, das die m¨ oglichen Ansichten des Objektes auf einen Blick ¨ durch einen horizontalen Spalt beschr¨ ankt, hierdurch wird die st¨orende Uberlagerung der Bilder vermindert. Bei der Rekonstruktion in weißem Licht erh¨alt man ein Regenbogen-Hologramm, das virtuelle Bild erscheint nun in verschiedenen Farben. Die jeweils sichtbare Farbe h¨angt von der Beobachtungsrichtung des Hologramms ab. Bei Drehung des Hologramms um 180◦ erkennt man bei intensiver Betrachtung das pseudoskopische Bild, bei dem Vertiefungen und Erhebungen des Objektes vertauscht erscheinen. Dreht man das Hologramm um uber der Lage, in der man den Regenbogeneﬀekt erh¨alt, so beobachtet 90◦ gegen¨ man bei leichtem Kippen des Hologramms ein Bild, das nicht mehr r¨aumlich ist.

382

13 Holograﬁe

Man betrachtet das Hologramm meist in reﬂektiertem Licht, da die R¨ uckseite des Hologramms mit einer d¨ unnen Aluminiumschicht versehen ist, die als Spiegel zur Reﬂexion des weißen Lichtes zur¨ uck durch das Hologramm dient. Ist die Dicke der Filmemulsion groß gegen¨ uber dem Streifenabstand, so erh¨alt man ein Volumenhologramm. Die Interferenzstreifen sind nun Interferenzﬂ¨achen innerhalb der Emulsion, die sich wie die Netzebenen eines Kristalls bei der Beugung von R¨ ontgenstrahlen verhalten, d.h. wie ein dreidimensionales Gitter. Im Gegensatz zu zweidimensionalen Hologrammen zeigen Volumenhologramme, wenn man sie mit weißem Licht beleuchtet, Bilder in der Farbe der Aufnahmewellenl¨ ange. Das Hologramm wirkt also als schmalbandiges Farbﬁlter. Hierzu betrachten wir die Bildung von eng benachbarten Interferenzﬂ¨achen innerhalb einer dicken Emulsion, indem wir koh¨ arente Objekt- und Referenzwellen unter dem gr¨ oßtm¨ oglichen relativen Winkel von 180◦ benutzen, wie in Abb. 13.5 gezeigt.

Abb. 13.5. Bildung einer stehenden Welle in einem Volumenhologramm, in dem zwei ebene Wellen – Referenz- und Signalwelle – einander entgegenlaufen

F¨ ur ebene Wellen entsteht eine stehende Welle, deren Ebenen maximaler Intensit¨ at im Abstand von λ/2 senkrecht zu den Strahlrichtungen stehen (s. Abb. 13.5). In den B¨ auchen erh¨ alt man nach der Filmentwicklung Bereiche, die fast ausschließlich freies Silber aufweisen und als partiell reﬂektierende Ebenen wirken. Nat¨ urlich muss die Emulsion – wie immer in der Holograﬁe – hochaufl¨osend sein, um detailgetreu aufzuzeichnen. Beleuchtet man nun aus der Richtung der Referenzwelle mit weißem Licht, so reﬂektiert das entwickelte Hologramm von jeder Silberebene partiell Licht; aber nur das Licht der Wellenl¨ange, das bei der Erzeugung des Hologramms benutzt wurde, wird durch konstruktive Interferenz verst¨ arkt. Die Physik dieses Prozesses ist die gleiche wie bei der R¨ontgenstrahlbeugung an Kristallebenen, die durch die Bragg-Gleichung beschrieben wird (s. Abb. 13.6):

13.6 Weitere Anwendungen der Holograﬁe

Bragg-Gleichung

2d sin θB = nλ

383

(13.12)

Hierbei ist d der Ebenenabstand und θB der Braggwinkel. Beleuchtet man ein Volumenhologramm unter einem Winkel θB , so wird nur die Wellenl¨ange, die die Bragg-Gleichung lokal erf¨ ullt, verst¨ arkt und erscheint als reﬂektierter Strahl. F¨ ur d = λ/2 erh¨ alt man den Spezialfall gegenl¨auﬁger Wellen (θ = 90◦ ). Je dicker die Emulsion und je gr¨ oßer die Anzahl der beitragenden reﬂektierenden Ebenen ist, um so selektiver wird das Hologramm f¨ ur eine Wellenl¨ange sein. Stellt man ein Volumenhologramm durch Mehrfachbelichtung einer Objektszene in jeder der drei Grundfarben her, so kann der Rekonstruktionsprozess mit Weißlichtbeleuchtung ein dreidimensionales Bild in den Originalfarben erzeugen.

Abb. 13.6. Konstruktive Interferenz von Wellen, die an Ebenen des Abstandes d reﬂektiert werden und der Bragg-Gleichung nλ = 2d sin θB gen¨ ugen

13.6 Weitere Anwendungen der Holograﬁe Die Holograﬁe bietet eine große Vielfalt von faszinierenden Anwendungen, von denen wir nur einige wenige kurz beschreiben. Wir nehmen an, dass das Hologramm des Fischmodelles in Abb. 13.3 und das Fischmodell selbst exakt in die Originalposition wie bei der Aufnahme gebracht werden und außerdem die gleiche Referenzwelle das Objekt beleuchtet. Bei Betrachtung durch das Hologramm wird das virtuelle Bild dem Gegenstand selbst u ¨ berlagert und beide werden unter derselben koh¨ arenten Beleuchtung betrachtet. Wenn kein Unterschied zur Aufnahme des Hologramms besteht, so scheint in der Ansicht nur das Objekt oder das Hologramm vorhanden zu sein. Nehmen wir nun an, dass das Modell des ¨ Fisches (Fischﬁgur) einige kleine Anderungen in der Form aufweist, z.B. durch

384

13 Holograﬁe

W¨ armeausdehnung; dann sind die Oberﬂ¨ ache des Objektes und das holograﬁsche Bild geringf¨ ugig gegeneinander verschoben und das Licht, das von beiden Bildern kommt, interferiert, wobei Interferenzstreifen entstehen, die die Form¨anderung an bestimmten Stellen des Objektes verdeutlichen. Diese Technik – die holograﬁsche Interferometrie – wendet man z.B. an, um Punkte maximaler mechanischer Dehnung sichtbar zu machen, so z.B. im Falle der Druckerh¨ohung in einem Automobilreifen. Die hohe Empﬁndlichkeit dieser Technik wurde auch in holograﬁschen Aufzeichnungen von Konvektionsstr¨ omen um heiße Gl¨ uhf¨aden, Kompressionswellen um eine Gewehrkugel oder um den Fl¨ ugel einer sich bewegenden Fruchtﬂiege gezeigt. Eine andere Anwendung der Holograﬁe ﬁndet man in der Mikroskopie. Betrachtet man Zellproben oder andere mikroskopisch kleine Objekte unter konventioneller hoher Vergr¨ oßerung, so ist die Sch¨arfentiefe sehr klein. Diese Einschr¨ ankung kann man umgehen, wenn man statt einer konventionellen Fotograﬁe ein Hologramm erzeugt, das in einer Aufnahme alle gew¨ohnlichen Fotograﬁen enth¨ alt, wenn man sukzessive u ¨ ber die Tiefe der lebenden Probe hinweg abbildet. In dem Bild, das man durch das Hologramm erh¨alt, kann man nach Belieben auf jede Tiefe innerhalb eines gleichbleibenden Blickfeldes akkommodieren. Wenn man ein Hologramm mit einem Mikroskop herstellt, so beleuchtet man die Probe mit Laserlicht, von dem die Referenzwelle außerhalb des Mikroskops abgespalten und direkt auf die fotograﬁsche Platte geleitet wird, wo es der Signalwelle, die durch das Mikroskopobjektiv erzeugt wird, u ¨berlagert wird. Bei Rekonstruktion mit Licht der Wellenl¨ ange λR > λA , wobei die Wellenl¨ange λA bei der Aufnahme des Hologramms verwandt wurde, erfolgt eine Vergr¨oßerung mit dem Abbildungsmaßstab Abbildungsmaßstab Hologramm

β=

a λR a λA

(13.13)

wobei a der Gegenstandsabstand (Gegenstand zum Film) und a der entsprechende Bildabstand (Bild vom Hologramm) ist. Hierbei sind Gegenstands- und Bildabstand im Betrag gleich, wenn die Referenz- und Rekonstruktionswellen eben sind. Gleichung (13.13) impliziert z.B., dass bei der Herstellung eines Hologramms mit Laser-R¨ ontgenstrahlung und der Betrachtung unter sichtbarem Licht prinzipiell Vergr¨ oßerungen bis zu 106 erreicht werden k¨onnen. Diese M¨oglichkeit hat viel zum Interesse an der Entwicklung von R¨ontgenlasern beigetragen. R¨ ontgenstrahl-Hologramme k¨ onnten sehr detaillierte dreidimensionale Bilder von mikroskopischen Objekten, wie kleinen Viren oder DNA-Molek¨ ulen zeigen. Die M¨ oglichkeit, ein Hologramm unter einer anderen Wellenl¨ange zu betrachten als bei der Herstellung verwandt, bietet noch andere interessante M¨oglichkeiten. Man k¨ onnte Ultraschallwellen-Hologramme als Ersatz f¨ ur medizinische R¨ ontgenaufnahmen benutzen oder ein Radarhologramm mit sichtbarem Licht betrachten. Tats¨ achlich hat Gabor in seiner Originalarbeit vorgeschlagen, ein

13.6 Weitere Anwendungen der Holograﬁe

385

Elektronenwellen-Hologramm mit sichtbarem Licht zu rekonstruieren und auf diese Weise Atome sichtbar zu machen. Der Hinweis auf Ultraschall-Hologramme impliziert, dass die Wellen, die ein Hologramm erzeugen, nicht unbedingt elektromagnetischer Natur sein m¨ ussen. Da Ultraschallwellen Objekte durchdringen k¨onnen, die f¨ ur sichtbares Licht undurchsichtig sind, k¨ onnen Hologramme, die durch Ultraschallwellen erzeugt werden, zus¨ atzliche Informationen liefern. Solche Hologramme k¨onnte man z.B. vom menschlichen K¨ orper und bei arch¨ aologischen Untersuchungen von Gr¨abern herstellen. Abbildung 13.7 zeigt eine andere Anwendung der Ultraschallholograﬁe, bei der Objekte unterhalb der Ozeanoberﬂ¨ ache erkannt werden. G1 und G2 stellen zwei phasengekoppelte Generatoren dar, die koh¨arente Ultraschallwellen ausstrahlen. Die Wellenfront, die von G2 ausgeht, wird durch ein Unterwasserobjekt deformiert und interferiert mit der ungest¨ orten Referenzwelle von G1 . Die Deformationen der Wasseroberﬂ¨ ache stellen ein akustisches Hologramm dar. Beleuchtet man dieses Gebiet mit monochromatischem Licht, so kann man das Licht, das von den Deformationen gestreut wird, fotograﬁeren. Die Betrachtung des so aufgenommenen Hologramms liefert ein Bild des Unterwasserobjektes.

Abb. 13.7. Ver¨ anderungen der Wasseroberﬂ¨ ache aufgrund von zwei koh¨ arenten Ultraschallwellen, von denen eine – die Signalwelle – durch ein Unterwasserobjekt deformiert wird

Holographische Datenspeicher bieten interessante M¨oglichkeiten. Da das Speichervolumen von Daten durch die holograﬁsche Technik auf Dimensionen in der Gr¨ oße von Lichtwellenl¨ angen reduziert wird, kann man Volumenhologramme benutzen, um riesige Informationsmengen aufzuzeichnen. Dreht man das Hologramm, so kann man weitere Aufnahmen ausf¨ uhren. Anstelle dicker Fotoemulsionen kann man fotorefraktive Kristalle wie Lithiumniobat einsetzen. Theoretisch ist es m¨ oglich, B¨ ucher einer sehr großen Bibliothek in einem Kristall der Gr¨oße eines Zuckerw¨ urfels zu speichern. Die Daten k¨onnen nat¨ urlich auch in digitaler Form aufgezeichnet und von einem Rechner gelesen werden, so dass der holograﬁsche Speicher auch als Massenspeicher eingesetzt werden k¨onnte. In Verbindung mit der Daten¨ ubertragung durch optische Fasern k¨onnte dann die Informati-

386

13 Holograﬁe

onsverarbeitung, Speicherung und der Abruf von Daten durch Licht erfolgen. Ein faszinierender Vorteil des holograﬁschen Datenspeichers liegt in seiner Zuverl¨ assigkeit. Da jede Dateneinheit durch das ganze Volumen des Hologramms aufgezeichnet wird, kann die Besch¨ adigung eines Teiles des Hologramms nur das Signal-/Rauschverh¨ altnis des wiederhergestellten Bildes verringern. Die Information geht nie vollst¨ andig verloren, wie das bei anderen Speichermethoden der Fall ist, wo jedes Bit der Information seine eigenen Speicherkoordinaten aufweist. Umgekehrt kann man mit Rechnern synthetische Hologramme erzeugen, die dreidimensionale Objekte originalgetreu darstellen. Der Gegenstand wird mathematisch durch die Angabe seiner Koordinaten und der Intensit¨at in allen Oberﬂ¨ achenpunkten beschrieben. Der Computer berechnet die komplexe Ampli¨ tude, die bei Uberlagerung von Objekt- und Referenzwelle entsteht und damit das Hologramm, das auf einem h¨ ochstaufl¨osenden Fotodrucker ausgegeben wird und gegebenenfalls fotograﬁsch auf den geeigneten Abstand der Beugungsstreifen verkleinert werden kann. So l¨ aßt sich z.B. eine ideale asph¨arische Wellenfront synthetisch erzeugen und damit die Kontur eines asph¨arischen Spiegels u ufen. ¨ berpr¨ Hologramme kann man auch zur Mustererkennung verwenden. Man m¨ochte z.B. wissen, ob ein bestimmter Text ein vorgegebenes Wort oder einen Buchstaben enth¨ alt. Die Signalwelle der Vorlage, die untersucht wird, leitet man durch ein Hologramm des Buchstabens oder des Wortes, das erkannt werden soll. Der identiﬁzierte Buchstabe oder das Wort wird durch einen hellen Fleck am Ort des Buchstabens/Wortes im Text angezeigt. Das Hologramm wirkt hier als ein spezielles Filter, das nur das r¨ aumliche Spektrum durchl¨asst, das bei der Aufzeichnung vorlag. Diese Technik kann man z.B. f¨ ur das holograﬁsche Lesen von Mikroﬁlmen anwenden. Man hat auch vorgeschlagen, robotisches Sehen in dieser Weise nachzubilden. Hologramme, die Licht umlenken, kann man als preiswerte optische Elemente anstelle von Linsen oder Spiegeln (HOE = holograﬁsch optische Elemente) einsetzen. Eine verbreitete Anwendung sind die sogenannten Scanner, mit denen der Strichcode auf Waren gelesen wird. Hierbei benutzt man eine rotierende Scheibe, die verschiedene holograﬁsche Linsen“ aufweist. Durch dieses Verfahren sorgt ” man beim Laserscannen f¨ ur eine Vielzahl von Strahlwinkeln, so dass man den Produktcode auch bei ungezieltem Vorbeif¨ uhren am Scanner lesen kann.

¨ Ubungen ¨ 13.1 Benutzen Sie (10.6) f¨ ur die Uberlagerung von zwei Wellen verschiedener Intensit¨ at und zeigen Sie, dass das Bestrahlungsmuster einer Gaborschen Zonenplatte (das Hologramm einer Punktquelle) n¨ aherungsweise durch I = A + B cos2 (Cr2 ) (13.14) √ √ gegeben ist, wobei A = I1 + I2 − 2 I1 I2 , B = 4 I1 I2 und C = π/(2|a|λ). Hierbei sind I1 und I2 die Intensit¨ aten der Referenz- und des Signalwelle, a der Abstand des

13.6 Weitere Anwendungen der Holograﬁe

387

Objektpunktes vom Film, r der Zonenradius und λ ist die Wellenl¨ ange des Lichtes. Nehmen Sie n¨ aherungsweise an, dass die Wegdiﬀerenz zwischen den zwei Wellen viel kleiner als a ist, so dass wir nur auf die inneren Zonen des Hologramms blicken. √ 13.2 a) Zeigen Sie, dass der Kontrast der Interferenzstreifen durch 2 N /(N + 1) gegeben ist, wenn das Verh¨ altnis der Intensit¨ aten von Referenz- zu Signalwelle durch den Faktor N gegeben ist. b) Wie groß ist der Streifenkontrast in einem Bereich, in dem die Intensit¨ at der Referenzwelle dreimal gr¨ oßer ist als die der Signalwelle? 13.3 Man m¨ ochte ein Hologramm eines sich bewegenden Objektes mit Hilfe eines 1 nsLaserpulses der Wellenl¨ ange 633 nm herstellen. Was ist die h¨ ochste zul¨ assige Geschwindigkeit der Bewegung, damit sich das Objekt w¨ ahrend der Aufnahme nicht mehr als λ/10 bewegt? 13.4 Bei der Aufzeichnung eines Hologramms benutzt man einen Strahlenteiler, der ein Amplitudenverh¨ altnis von 8:1 f¨ ur Referenzwelle und Signalwelle auf der Emulsion einstellt. Wie groß ist das Verh¨ altnis von maximaler zu minimaler Intensit¨ at auf der Emulsion? 13.5 Wir nehmen an, dass die theoretische Grenze f¨ ur die Speicherung eines Bit an Information im Hologramm ein Volumen von λ3 erfordert. Bestimmen Sie die Speicherkapazit¨ at von 1 mm3 Hologrammvolumen f¨ ur λ = 492 nm und die Brechzahl n = 1,3. 13.6 Man benutzt einander entgegenglaufende monochromatische Strahlen von kollimiertem koh¨ arentem Laserlicht von 500 nm Wellenl¨ ange zur Herstellung eines Volumenhologramms (s. Abb. 13.5). a) Bestimmen Sie den Abstand der Silberebenen innerhalb der entwickelten Emulsion (n ≈ 1). b) Welche Wellenl¨ ange des weißen Lichtes wird verst¨ arkt, wenn dieses senkrecht auf das Hologramm einf¨ allt? c) Wiederholen Sie den Teil b) der Aufgabe, wenn der Einfallswinkel (relativ zur Normale) 30◦ betr¨ agt. 13.7 Zwei Strahlen mit ebenen Wellenfronten und der Wellenl¨ ange 633 nm schneiden sich unter einem Winkel von 120◦ und treﬀen auf eine fotograﬁsche Emulsion (n = 1). a) Skizzieren Sie diese Anordnung und zeigen Sie die Orientierung der Ebenen konstruktiver Interferenz innerhalb der Emulsion. b) Bestimmen Sie den Ebenenabstand im entwickelten Volumenhologramm. c) Bei welchem Einfallswinkel relativ zu den Silberebenen wird eine Wellenl¨ ange von 450 nm in Reﬂexion verst¨ arkt? 13.8 Man verwendet Licht von 430 nm Wellenl¨ ange als blaue Komponente eines Weißlichthologramms (s. Abb. 13.5). Wenn die Schrumpfung der Emulsion w¨ ahrend des Entwicklungsprozesses 15% betr¨ agt, welche Wellenl¨ ange wird dann bei der Rekonstruktion durch die Interferenzstreifen des blauen Lichtes verst¨ arkt? Wie ver¨ andert dies das holograﬁsche Bild bei Betrachtung mit weißem Licht? 13.9 Ein Hologramm wird mit ultraviolettem Licht der Wellenl¨ ange 337 nm hergestellt und mit rotem Licht der Wellenl¨ ange 633 nm betrachtet.

388

13 Holograﬁe a) Die urspr¨ ungliche Referenzwelle und die Rekonstruktionswelle sind beide eben, wie hoch ist die Vergr¨ oßerung des holograﬁschen Bildes verglichen mit dem Originalobjekt? b) Welche Vergr¨ oßerung w¨ urde man erhalten, wenn man zur Herstellung des Hologramms koh¨ arente R¨ ontgenstrahlung von 0,1 nm Wellenl¨ ange benutzen w¨ urde?

13.10 a) Zeigen Sie, dass die rekonstruierte Wellenfront des Hologramms einer Punktquelle sowohl das reelle als auch das virtuelle Bild erzeugt, wie dies in Abb. 13.1 b gezeigt ist. Bestimmen Sie zun¨ achst die Bestrahlungsst¨ arke auf dem Film auf¨ grund der Uberlagerung einer ebenen und einer Kugelwelle. Finden Sie dann die Amplitude des Lichtes, das von dem entwickelten Film durchgelassen wird, wenn dieser mit der Referenzwelle beleuchtet wird. Interpretieren Sie die Terme wie bei der Diskussion des Hologramms eines dreidimensionalen Objektes. b) Zeigen Sie, dass auf einem Film die Phasenverz¨ ogerung einer auslaufenden (= divergierenden) Signalkugelwelle im Abstand y von der optischen Achse durch πy 2 /λd gegeben ist, wobei d der Abstand der Punktquelle vom Film ist. Dieses Ergebnis erh¨ alt man f¨ ur y d. Zeigen Sie, dass die Vorzeichenumkehr des Phasenwinkels einer einlaufenden (= konvergierenden) Kugelwelle entspricht, die ein reelles Bild bei der Rekonstruktion ergibt.

12 Koh¨ arenz

Einleitung Koh¨ arenz beschreibt die zeitliche und r¨ aumliche Korrelation der Phasen von Wellen. Teilwellen mit zuf¨ allig schwankenden Phasenbeziehungen sind inkoh¨arent, solche mit zeitunabh¨ angigen Phasendiﬀerenzen koh¨arent. Koh¨arenz als Voraussetzung f¨ ur visuell beobachtbare station¨ are Interferenzmuster wurde bei der Lichtinterferenz in Kap. 10 diskutiert. In Kapitel 9 wurde der Einﬂuss der Koh¨arenz auf die Intensit¨ at interferierender Wellen behandelt. Wir sahen, dass sich bei konstruktiver Interferenz koh¨ arenter Wellen die Amplituden addieren, bei inkoh¨arenten Wellen hingegen die Intensit¨ aten. In diesem Kapitel wird die Koh¨arenz genauer untersucht und unterschieden zwischen der zeitlichen oder longitudinalen Koh¨arenz, die die Spektralverteilung der Lichtquelle beschreibt, sowie der r¨aumlichen oder lateralen Koh¨arenz, die mit der Gr¨oße der Quelle zusammenh¨angt. Außerdem wird mit dem Korrelationsgrad ein quantitatives Maß f¨ ur die in optischen Interferenzexperimenten immer gegebene Teilkoh¨arenz gefunden. Wir beginnen mit einer kurzen Behandlung der Fourier-Methoden, die in diesem Kapitel ben¨ otigt werden.

12.1 Fourier-Reihen In Kapitel 9 wurde gezeigt, dass die Addition von beliebig vielen harmonischen Wellen gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Amplituden und Nullphasenwinkel wieder eine harmonische Welle derselben Frequenz ergibt. Unterscheiden sich

338

12 Koh¨ arenz

die Wellen außerdem in der Frequenz, so entsteht (bei rationalen Frequenzverh¨altnissen) eine periodische aber anharmonische Welle beliebiger Form f (t), wie z.B. die in Abb. 12.1 dargestellte. Die Fourier-Synthese harmonischer Wellen erzeugt eine beliebige Vielfalt von periodischen Wellenformen. Der umgekehrte Prozess der Fourier-Analyse zerlegt einen periodischen Vorgang in seine harmonischen Komponenten.

Abb. 12.1. Anharmonische periodische Funktion mit der Periodendauer T

Die Zerlegung einer periodischen anharmonischen Welle in eine Reihe von harmonischen Wellen setzt die Erf¨ ullung der Dirichletschen Bedingung voraus: Ist f (t) eine periodische Funktion der Periodendauer T , die in ihrem Periodenintervall st¨ uckweise monoton und beschr¨ ankt ist, so konvergiert ihre Fourier-Reihe ∞

fr (t) = Fourier-Reihe

a0 (an cos nωt + bn sin nωt) + 2 n=1

(12.1)

∞

a0 cn sin(nωt + ϕn ) + fr (t) = 2 n=1

(12.2)

(t−0) f¨ ur jedes reelle t gegen f (t+0)+f . Die Konvergenz erfolgt im quadratischen Mittel, 2 d.h. der mittlere quadratische Fehler wird minimiert und f¨ ur N → ∞ gilt:

T

|f (t) − fN (t)|2 dt → 0 wobei man fN = bezeichnet.

a0 2

+

%N n=1

(12.3)

0

cn sin(nωt + ϕn ) als N -te Partialsumme der Fourier-Reihe

Die Funktion f (t) hat die Periodendauer T und damit die Kreisfrequenz ω = 2π/T , (12.1) beschreibt das Auftreten von Teilwellen der Kreisfrequenzen ωn = nω mit den Amplituden an bzw. bn . Eine gleichwertige Beschreibung (12.2) ist

12.1 Fourier-Reihen

339

die Verwendung jeweils einer – dann aber phasenverschobenen – Teilwelle mit ωn und der Amplitude cn . Die Verkn¨ upfung der beiden Darstellungen erfolgt u ¨ber (s. (12.12)): an (12.4) cn = a2n + b2n und tan ϕn = bn Die Fourier-Koeﬃzienten an lassen sich aus (12.1) nach Multiplikation mit cos und Integration u ¨ber eine Periodendauer T berechnen. Wir geben zun¨achst nur das Ergebnis an und werden es sp¨ ater u ¨ ber die komplexen Fourier-Koeﬃzienten beweisen: 2 an = T

T

f (t) cos nωt dt

(12.5)

f (t) dt

(12.6)

f (t) sin nωt dt

(12.7)

0

mit dem Spezialfall 2 a0 = T

T 0

und entsprechend f¨ ur die bn bn =

2 T

T 0

Einfacher und u ¨bersichtlicher kann die Fourier-Reihe in komplexer Notation – unter Verwendung von (12.1) und der Eulerschen Formel – angegeben werden. Wir schreiben f¨ ur die komplexe Fourier-Reihe f (t) =

komplexe Fourier-Reihe

∞

F n ejnωt

(12.8)

n=−∞

und beachten, dass f¨ ur die komplexen Fourierkoeﬃzienten gelten muss: F −n = F ∗+n , damit f (t) reell ist. Zur Bestimmung der F n verwenden wir die Orthogonalit¨atsrelation

T

ej(m−n)ωt = δmn T

(12.9)

0

mit dem Kronecker-Symbol

δmn

⎧ ⎨0 f¨ ur m = n = ⎩ 1 f¨ ur m = n

(12.10)

340

12 Koh¨ arenz

Im Zeigerdiagramm ist die Orthogonalit¨ atsbeziehung (12.9) unmittelbar anschaulich, f¨ ur m = n rotiert der ej(m−n)ωt zugeordnete Zeiger der L¨ange 1 in einer Periode gerade (m − n)-mal, der Mittelwert verschwindet. F¨ ur m = n steht der Zeiger bei dem Wert 1 still und die Integration u ¨ber eine Periode ergibt T . uhrt Multiplikation von (12.8) mit e−jmωt und Integration u ¨ber eine Periode f¨ auf

T

f (t) e−jmωt dt =

0

T

F n ej(n−m)ωt dt = F n T δnm 0

und mit (12.10) auf die komplexen Fourier-Koeﬃzienten

F n = An + j Bn =

1 T

T

∞

f (t) e−jnωt dt

0 n=−∞

(12.11) F¨ ur die Umrechnung zwischen den Koeﬃzienten der komplexen und reellen Darstellung der Fourier-Reihen gelten die Beziehungen: reelle und komplexe Fourier-Koeﬃzienten an = 2An bn = −2Bn

cn = 2Fn = 2 A2n + Bn2 = a2n + b2n An an =− tan ϕ = bn Bn

(12.12)

Beweis: Der Vergleich von (12.1) und (12.8) liefert f¨ ur die Reihenglieder mit Index n (bzw. ±n) unter Verwendung von F n = An + jBn , F −n = F ∗n = An − jBn sowie j = −1/j: an cos nωt + bn sin nωt = (An + jBn ) ejnωt + (An − jBn ) e−jnωt = 2An cos nωt − 2Bn sin nωt und damit an = 2An und bn = −2Bn . Weiterhin folgt aus (12.2) und (12.8) f¨ ur t = 0 mit F n = An + jBn = Fn ejϕ˜n : cn sin ϕn = F n + F −n = Fn ejϕ˜n + e−jϕ˜n = 2Fn cos ϕ ˜n = 2Fn sin (ϕ ˜n + π/2) ,

12.1 Fourier-Reihen

341

Abb. 12.2. Zeigerdiagramm der komplexen und reellen Fourierkoeﬃzienten. Da in (12.2) die Sinusschreibweise verwendet wurde, stimmen die Phasenwinkel von cn und F n nicht u ¨ berein; es gilt ϕn = ϕ˜n + π/2

Abb. 12.3. Die Rechteckfunktion rect

t τ0

, ein Rechteckpuls der Dauer τ0

342

12 Koh¨ arenz

also ϕn = ϕ ˜n + π/2 und cn = 2Fn . Das Zeigerdiagramm (Abb. 12.2) veranschaulicht die Ergebnisse und zeigt die Berechnung die Phasenwinkels.

Als Beispiel betrachten wir die Fourier-Analyse einer Rechteckwelle (s. Abb. 12.4). Zur vereinfachten Beschreibung f¨ uhren wir zun¨achst mit Abb. 12.3) die ⎧ ⎪0 f¨ ur |t| > τ0 /2 ⎪ ⎪ ⎨ t Rechteckfunktion = 1 rect f¨ ur |t| < τ0 /2 (12.13) Pulsdauer τ0 ⎪ τ0 ⎪ ⎪ ⎩ 1/2 f¨ ur |t| = τ0 /2 ein und schreiben damit die Rechteckwelle mit der Periodendauer T = 2τ0 (und der Amplitude 1) in der Form: t − nT rect f (t) = T /2 n=−∞ ∞

(12.14)

Abb. 12.4. Rechteckwelle der Periodendauer T , Pulsbreite τ0 = T /2 und Amplitude fˆ

Da f (t) eine gerade Funktion ist, erwarten wir, dass in (12.1) die bn -Terme ver¨ schwinden. Wir berechnen – zur Ubung – die komplexen Fourier-Koeﬃzienten F n , (obwohl bei dieser einfachen Funktion die reellen an einfacher direkt zu berechnen w¨ aren). Aus (12.11) folgt (bei Verschiebung der Integrationsgrenzen): 1 Fn = T

T /2

f (t) e −T /2

−jnωt

1 dt = T

T /4 −T /4

e−jnωt dt = −

π T 1 2 sin nω = sin n = An = nωT 4 nπ 2

1 −jnωT /4 − ejnωT /4 e jnωt

12.2 Fourier-Integrale

343

Hieraus erhalten wir mit (12.12) die reellen Fourierkoeﬃzienten an =

π 2 sin n nπ 2

mit

a0 = 1, a1 =

2 21 , a2 = 0, a3 = − ,··· π π3

(12.15)

Damit gilt f¨ ur die Fourier-Entwicklung der Rechteckwelle der Amplitude fˆ 2 1 1 1 1 ˆ + cos ωt − cos 3ωt + cos 5ωt − cos 7ωt + . . . f (t) = f 2 π 3 5 7 (12.16)

Die Reihe konvergiert aufgrund der Koeﬃzienten langsam, was die Abb. 12.5 ¨ best¨ atigt. Abbildung 12.5 zeigt das Auftreten von Uberschwingern“, der soge” nannten Gibbsschen T¨ urmchen, die typischerweise an Sprungstellen einer Funktion auftreten und auch f¨ ur N → ∞ nicht verschwinden.

12.2 Fourier-Integrale Bei der Untersuchung nichtperiodischer Funktionen, die wir als periodische Funktion mit Periodendauer T → ∞ betrachten k¨onnen, l¨asst sich die Fourier-Reihe (12.8) zu einem Fourier-Integral verallgemeinern: ∞ 1 F (ω) ejωt dω (12.17) f (t) = 2π −∞ Diese Gleichung besagt, dass ein zeitlich beliebig verlaufender nichtperiodischer ¨ (oder transienter) Vorgang durch Uberlagerung harmonischer Schwingungen beschrieben werden kann, wobei deren komplexe Amplituden F (ω) – also Betrag und Phase – ein kontinuierliches Frequenzspektrum aufweisen. Im Gegensatz hierzu tritt bei periodischen Vorg¨ angen ein diskretes Frequenzspektrum auf (s. ur T → ∞ aus (12.11) f¨ ur die diskreten F n folgen; wir Abb. 12.6). F (ω) muss f¨ erhalten: 1 F n = lim T →∞ T

T /2

f (t) ejn2π·t/T dt −T /2

und beachten, dass dω = 2π/T ein sehr kleines Frequenzintervall darstellt und ω = ndω zu setzen ist. Dann berechnen wir aber mit obigem Integral nur den Amplitudenbeitrag dF des Intervalls dω, d.h. dω ∞ dF = f (t) e−jωt dt 2π −∞

344

12 Koh¨ arenz

Abb. 12.5. Fourier-Synthese der Rechteckwelle mit Partialsummen fN (t) der FourierReihe f¨ ur a) N = 3, b) N = 11 und c) N = 41

12.2 Fourier-Integrale

345

Abb. 12.6. Frequenzspektren. Die Fourier-Analyse einer periodischen Funktion ergibt Fourier-Koeﬃzienten cn bei den diskreten Frequenzen fn , w¨ ahrend bei der FourierTransformation einer nicht periodischen Funktion ein kontinuierliches Frequenzspektrum F (ω) auftritt

Mit dF (12.18) dω bezeichnen wir die Fourier-Transformierte von f (t), sie ist mithin als Amplitudendichte zu verstehen. Bei den Fourierreihen hatten wir mit F n die Amplituden selbst berechnet. Originalfunktion f (t) (12.17) und Bildfunktion F (ω) bilden ein Paar von Fourier-Transformierten, was man h¨auﬁg durch einen Operator F symbolisiert: F (ω) = 2π

∞ Fourierf (t) e−jωt dt = F (f (t)) (12.19) F (ω) = Transformation −∞ ∞ inverse 1 F (ω) ejωt dω = F −1 (F (ω)) (12.20) Fourier-Transformation f (t) = 2π −∞ Die obige Fourier-Transformation u uhrt eine zeitabh¨angige Funktion in eine ¨ berf¨ frequenzabh¨ angige, wir transformieren also vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Analog kann man im Ortsbereich – z.B. bei der Untersuchung der optischen Abbildung – f¨ ur eine ortsabh¨ angige Funktion f (x, y, z) eine r¨aumliche Periode uhren, der dann bei der Fourier-Transformierten F (κ) die OrtsLx (Ly , Lz ) einf¨ kreisfrequenz κx = 2π/Lx (κy , κz ) entspricht. Man schreibt also (s. Kap. 25): F (κ) = F (f (x, y, z)) f (x, y, z) = F −1 (F (κ))

(12.21)

346

12 Koh¨ arenz

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenzu ¨ ge Die Spektralzerlegung einer unendlich langen Sinuswelle ist extrem einfach: Man erh¨ alt einen einzigen Term der reellen Fourier-Reihe, dessen Frequenz mit dem der Welle u oherer Harmonischer verschwinden. Solche un¨bereinstimmt. Terme h¨ begrenzten Sinuswellen sind jedoch eine mathematische Idealisierung, in der Praxis treten immer unperiodische Wellenz¨ uge endlicher Dauer – wie in Abb. 12.9 – auf. Oﬀensichtlich kann diese Welle nicht durch eine einzige Sinuswelle wiedergegeben werden, vielmehr sind zur Wiedergabe zahlreiche harmonische Wellen unterschiedlicher Frequenz erforderlich, die sich im Bereich des Wellenzuges u ¨ berwiegend konstruktiv u ¨ berlagern und außerhalb des Intervalls destruktiv interferieren. Oﬀenbar f¨ uhrt das Ein- und Ausschalten der Welle zu zahlreichen zus¨ atzlichen spektralen Komponenten, die aufgrund der Fourier-Transformation ¨ kontinuierlich verteilt sind. Diese Uberlegungen gelten f¨ ur jeden endlichen Wellenzug beliebiger Form. In Kapitel 12.1 hatten wir die Fourier-Zerlegung einer Rechteckwelle, einer periodischen Folge von Rechteckpulsen, analysiert. Nun wollen wir das Frequenzspektrum eines einzelnen Rechteckpulses der Dauer τ0 (s. Abb. 12.3) berechnen und erhalten aus (12.19) – unter Verwendung der rect-Funktion (12.13): τ0 /2 t F (ω) = F (rect(t/τ0 )) = rect e−jωt dt e−jωt dt = τ 0 −∞ −τ0 /2 ωτ 2 e−jωτ0 /2 − ejωτ0 /2 0 = sin (12.22) =− jω ω 2

∞

Zur u uhren wir die in der Optik (z.B. bei der Spalt¨ bersichtlichen Beschreibung f¨ beugung, s. Kap. 16) h¨ auﬁg ben¨ otigte sinc-Funktion (s. Abb. 16.2) ein: sinc-Funktion

sinc x =

sin x x

(12.23)

Hiermit wird die Fouriertransformierte des Rechteckpulses der Dauer τ0 : ωτ t 0 ) = τ0 sinc F (rect (12.24) τ0 2 Dieses Frequenzspektrum ist in Abb. 12.7 f¨ ur zwei verschiedene Pulsdauern dargestellt. Man erkennt, dass sich die Breite des zentralen Maximums des Spektrums und die Pulsdauer τ0 reziprok zueinander verhalten. Hierbei ist die Fl¨ache unter der F (ω)-Kurve – bei konstanter Pulsh¨ ohe – unabh¨angig von der Pulsdauer. Um dies zu zeigen, entnehmen wir einer Integraltabelle das Integral ∞ sin ax π dx = f¨ ur (a > 0) (12.25) x 2 0

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge

347

Abb. 12.7. Fourier-Transformierte von Rechteckpulsen (s.(12.24)), der Zeitdauern τ01 und τ02 mit τ02 /τ01 = 5. Bei ω = 0 ist F (0) = τ0 , der erste Nulldurchgang liegt bei ω1 = 2π/τ0 . F¨ ur τ0 → ∞ gilt: F (ω) → ∞ bei ω = 0 und F (ω) → 0 bei ω = 0, die Funktion zeigt das Verhalten der δ-Funktion

348

12 Koh¨ arenz

und kommen f¨ ur (12.24) zu dem Ergebnis ∞ ωτ 0 sinc dω = 2π τ0 2 −∞

(12.26)

F¨ ur einen sehr langen Puls mit τ0 → ∞ wird f (t) = rect τt0 = 1 und F (ω) wird extrem schmal, es verschwindet bei ω = 0 und geht bei ω = 0 – wegen sinc (0) = urlich nur die Frequenz 1 – mit τ0 gegen ∞. In einem reinen Gleichsignal kann nat¨ ω = 0 auftreten! Damit muss die Amplitudendichte F (0) unendlich groß werden. Zur Beschreibung dieses Ergebnisses verwendet man die Deltafunktion δ(ω). Es handelt sich hier um keine Funktion im klassischen Sinne, sondern eine Distribution, die sich als Grenzwert verschiedener klassischer Funktionen darstellen l¨asst. Ausgehend von (12.22) und (12.24) kommen wir mit τ0 → ∞ zu dem Ergebnis (s. Abb. 12.8): ∞ 1 δ(ω) = e−jωt dt 2π −∞ ⎧ Deltafunktion2 ⎨0 f¨ ur ω = 0 ωτ0 τ0 = lim sinc = (12.27) τ0 →∞ 2π ⎩ 2 ∞ f¨ ur ω = 0 Durch den Vorfaktor haben wir mit Hilfe von (12.26) die Normierung der δFunktion erreicht: ∞ Normierung Deltafunktion δ(ω) dω = 1 (12.28) −∞

Mit Hilfe der δ-Funktion k¨ onnen wir jetzt die Fourier-Transformation der Konstante f (t) = 1, eines Rechteckpulses unendlicher Dauer, einfach ausdr¨ ucken: F (1) = 2πδ(ω)

(12.29)

Die δ-Funktion l¨ asst sich als Grenzwert vieler anderer Funktionen darstellen; man veriﬁziert leicht, dass f¨ ur einen Rechteckpuls der Dauer τ0 und H¨ohe 1/τ0 im Zeitbereich gilt: 1 t (12.30) δ(t) = lim rect τ0 →0 τ0 τ0 denn f¨ ur τ0 → 0 geht die H¨ ohe des Pulses gegen ∞, w¨ahrend seine Breite gegen null geht, so dass die Fl¨ ache als H¨ ohe·Breite konstant gleich 1 bleibt. 2

Es gilt = δ(−ω), so dass man meist den positiven Exponenten verwendet: δ(ω) = ∞ δ(ω) jωt 1 dt. 2π −∞ e

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge

349

Abb. 12.8. Symbolische der δ-Funktion δ(ω −ω). (1) steht f¨ ur die St¨ arke“ ∞ Darstellung ” der δ-Funktion, d.h. −∞ δ(ω − ω) dω = 1

Nach dieser Untersuchung des extrem langen Pulses gehen wir nunmehr n¨aher auf die Fourier-Transformierte (12.24) von Pulsen endlicher Dauer ein. In Abb. 16.2 sind die sinc (β)-Funktion und sinc2 (β), das normierte Amplitudenund Leistungsspektrum eines Rechteckpulses, dargestellt. Man sieht (vergl. auch Abb. 12.7 u. 12.10), dass das Leistungsspektrum im Wesentlichen durch Frequenzen um das Hauptmaximum bei ω = 0 bestimmt wird, obwohl durchaus auch h¨ ohere Frequenzen einen Beitrag liefern. Die Breite des Hauptmaximums kann als Abstand ∆β = 2π der ihm benachbarten Nulldurchg¨ange deﬁniert werden; die entsprechende Frequenzbreite ist dann ∆ω = 4π/τ0 . Meist verwendet man jedoch zur Kennzeichnung der Frequenzbreite die Halbwertsbreite ∆ω1/2 ≈ 2π/τ0 bzw. ∆f = ∆ω1/2 /2π, die (Frequenz-)Bandbreite, bei der das Leistungsspektrum auf die H¨ alfte des Maximalwertes absinkt3 . Dann gilt: Breite ∆ω1/2 und Dauer τ0 eines Wellenzuges sind reziprok; je k¨ urzer ein Wellenzug ist, desto gr¨ oßer ist die zu seiner Darstellung erforderliche Frequenzbreite. Dies ist die Grundlage der Unsch¨arferelation der Signaltheorie Unsch¨arferelation

∆ω1/2 · τ0 ≈ 2π

oder

∆f · τ0 ≈ 1

(12.31)

Das Produkt aus Frequenzbandbreite und Zeitdauer eines Signals betr¨agt etwa 1. Multiplikation mit der Planckschen Konstante h ergibt mit ∆t = τ0 und ∆W = h∆f die bekannte Heisenbergsche 3

√ Die Amplitude hat dann auf 1/ 2 ≈ 0,7= ˆ − 3 dB abgenommen.

350

12 Koh¨ arenz

∆W · ∆t ≈ h

Energie-Zeit-Unsch¨arferelation

(12.32)

Das Produkt aus Energie- und Zeitunsch¨ arfe ist etwa gleich dem Planckschen Wirkungsquantum.

Abb. 12.9. Harmonischer Wellenzug endlicher Dauer τ0 = 7 T /2 mit der Periodendauer T = 2π/ω0 . Die r¨ aumliche Ausdehnung des Pulses ist die Koh¨ arenzl¨ ange lt = c τ0

Ein weiteres wichtiges Beispiel zur Unsch¨ arferelation und Lichtinterferenz ist das Verhalten eines Kosinuswellenzuges (s. Abb. 12.9) der Dauer τ0 und der Periodendauer T (mit ω0 = 2π/T ). Mit Hilfe der Rechteckfunktion k¨onnen wir den Wellenzug einfach beschreiben: t f (t) = cos ω0 t · rect (12.33) τ0 Einsetzen in (12.19) ergibt (mit cos ω0 t = 12 ejω0 t + e−jω0 t zun¨achst f¨ ur den Term mit dem positiven Exponenten F + (ω) =

∞

−∞

f+ (t) e

−jωt

1 dt = 2

τ0 /2

ej(ω0 −ω)t dt

−τ0 /2

τ0 ω − ω0 ej(ω0 −ω)τ0 /2 − e−j(ω0 −ω)τ0 /2 = sinc τ0 = 2j(ω0 − ω) 2 2 F¨ ur den negativen Exponenten erh¨ alt man analog F − mit positivem Vorzeichen im Argument der sinc-Funktion und damit insgesamt f¨ ur die FourierTransformierte des endlichen Kosinuszuges:

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge

F (ω) = F + + F −

ω + ω0 τ0 ω − ω0 = sinc τ0 + sinc τ0 2 2 2

351

(12.34)

In Abb. 12.10 a ist das Amplitudenspektrum F (ω) f¨ ur einen extrem kurzen Puls der Dauer einer halben Periode (τ0 = T /2) dargestellt, in Abb. 12.10 b ﬁndet man F (ω) und das der Intensit¨ at proportionale Leistungsspektrum |F (ω)|2 des Wellenzuges der Abb. 12.9 mit τ0 = 7 T /2. Bei monochromatischem“ Licht eines ” einfachen Dauerstrich-Lasers w¨ are τ0 /T 105 . F¨ ur extrem kurze Laserpulse von weniger als 10 fs Dauer, die man durch mode locking“ erzeugen kann, gilt ” hingegen τ0 /T ≈ 5. Wir sehen in Abb. 12.10 a, dass bei sehr kurzen Pulsen die Beitr¨ age der beiden Summanden von (12.34), der nach ±ω0 verschobenen sinc-Funktionen, stark u ¨ berlappen und zu einer sehr breiten Spektralverteilung f¨ uhren, die der des Rechteckpulses ¨ ahnelt. Der Abstand der Nulldurchg¨ange des zentralen Maximums betr¨ agt hier ∆ω0 = 6π/τ0 = 6ω0 . Die große Bandbreite, die man mit sehr kurzen Pulsen (z.B. 5 fs beim Titan-Saphir-Laser) erreichen kann, f¨ uhrt dann zu weißen Lichtblitzen“. F¨ ur lange Wellenz¨ uge (mit τ0 T ” ¨ so dass das Spektrum auf der bzw. ω0 τ0 1) verschwindet die Uberlappung, positiven ω-Achse allein durch den ersten Summanden und auf der negativen Achse durch den zweiten Term bestimmt wird. Dann erh¨alt man bei ω = ±ω0 – ur ω > 0) wegen sinc(0) = 1 – den Maximalwert τ0 /2; Nulldurchg¨ange treten (f¨ 0 bei ω−ω τ = nπ auf, also f¨ u r: 0 2 ω = ω0 ± n

2π τ0

Wir erhalten im Wesentlichen das vom Einzelpuls bekannte Verhalten, mit dem Unterschied, dass die Mittenfrequenz nach ±ω0 verschoben ist und das Hauptmaximum bei gleicher Pulsl¨ ange nur halb so hoch ist, da die integrale Amplitude auf zwei Maxima aufgeteilt ist. Die Bandbreite von F+ und F− stimmt mit F (ω) (12.24) des Einzelpulses u ¨ berein, so dass wir die Unsch¨arferelation best¨atigt ﬁnden. F¨ ur τ0 → ∞ – also einen Kosinus-Wellenzug unendlicher Dauer – wird ∆f = 0, eine einzige Frequenz oder Wellenl¨ ange ist f¨ ur die Darstellung ausreichend. Wir erhalten dann aus (12.34) und (12.27): F (cos ω0 t) = π [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]

(12.35)

Exakt monochromatische Wellen sind somit nur bei unendlicher Zeitdauer m¨oglich. Im anderen Grenzfall τ0 → 0, einem δ-Puls, wird die Frequenzbreite ∆f nach (12.31) sehr groß (∆f = 1/τ0 → ∞!). Je sch¨arfer und schm¨aler mithin ein Puls im Zeitbereich ist, desto breiter wird sein Frequenzspektrum (Unsch¨arferelation).

352

12 Koh¨ arenz

Abb. 12.10. Fourier-Transformation von Kosinus-Wellenz¨ ugen der Dauer τ0 . a) Amplitudenspektrum F (ω) f¨ ur einen Kosinuspuls“ der Dauer τ0 = T /2 mit den Einzelbei” ¨ tr¨ agen der sinc-Verteilungen bei ±ω0 . b) Uberh¨ ohtes Amplitudenspektrum 3 · F (ω) und 2 Leistungsspektrum |F (ω)| des Wellenzuges der Abb. 12.9 mit τ0 = 7 T /2 (ω0 τ0 = 7π)

12.4 Zeitliche Koh¨ arenz und nat¨ urliche spektrale Linienbreite

353

12.4 Zeitliche Koh¨ arenz und natu ¨ rliche spektrale Linienbreite Bei Licht gibt es keine exakt monochromatischen Lichtquellen. Monochroma” tisches“ Laserlicht kann (s. Abb. 12.11) als eine Folge von harmonischen Wellenz¨ ugen endlicher L¨ ange, die voneinander durch diskontinuierliche Phasen¨anderungen getrennt sind, beschrieben werden. Diese Phasen¨anderungen sind eine Folge der zuf¨ allig schwankenden Zeitpunkte der Emission von Lichtwellen durch angeregte Atome. Kennzeichnend f¨ ur eine Lichtwelle ist dann die mittlere Zeitdauer der Wellenzuges, die Koh¨arenzzeit τ0 . Aus der Unsch¨arferelation folgt, dass die nat¨ urliche Frequenzbreite einer Spektrallinie umgekehrt proportional zur Koh¨ arenzzeit der Lichtquelle ist. Je gr¨oßer die Koh¨arenzzeit, desto monochromatischer die Quelle. Die L¨ ange eines koh¨arenten Pulses bezeichnet man als Koh¨arenzl¨ange lt , wobei lt = c τ0

(12.36)

Abb. 12.11. Folge von harmonischen Wellenz¨ ugen unterschiedlicher L¨ ange oder Lebensdauer τ . Der gesamte Wellenzug kann durch eine durchschnittliche Lebensdauer τ0 , die Koh¨ arenzzeit, gekennzeichnet werden

Wegen der Unsch¨ arferelation (12.31) und ∆f = −c/λ2 ∆λ (da f = c/λ) gilt dann: lt ≈

Koh¨arenzl¨ange

λ2 ∆λ

(12.37)

und damit f¨ ur die spektrale Linienbreite ∆λ ≈

λ2 λ2 = lt cτ0

(12.38)

Wir haben hierdurch die Linienbreite ∆λ als Folge der Frequenz-Zeit-Unsch¨arferelation erkl¨ art. Sie l¨ asst sich jedoch auch mit Hilfe der Heisenbergschen

354

12 Koh¨ arenz

Orts-Impuls-Unsch¨arferelation

∆x · ∆px ≈ h

(12.39)

begr¨ unden. Repr¨ asentiert der Wellenzug ein Photon, so ist es mit der Ortsunsch¨ arfe ∆x ≈ lt lokalisiert, dem Photonenimpuls px = h/λ = hf /c ist eine Unsch¨ arfe ∆px = λh2 ∆λ zuzuordnen. Mit (12.39) ergibt sich hieraus (12.38). Mit Hilfe der Messung der spektralen Linienbreite lassen sich somit mittlere Koh¨ arenzzeit und Koh¨ arenzl¨ ange absch¨ atzen. Weißes Licht mit einem Spektralbereich von ca. 400 bis 700 nm hat eine Spektralbreite von ∆λ ≈ 300 nm. Mit einer mittleren Wellenl¨ ange von λ = 550 nm folgt dann aus (12.37) λ2 5502 nm2 = ≈ 1 µm ≈ 2λ ∆λ 300 nm Die Koh¨ arenzl¨ange betr¨ agt mithin nur etwa 2 Wellenl¨angen des gr¨ unen Lichtes von 550 nm. Hiermit wird verst¨ andlich, dass bei weißem Licht Interferenzstreifen schwierig zu beobachten sind, da die Gangunterschiede der interferierenden Wellen nicht gr¨ oßer als die (extrem kleine) Koh¨arenzl¨ange sein d¨ urfen. Gasentladungslampen (z.B. Na- oder Hg-Lampen) sind wesentlich monochromatischer und somit koh¨ arenter. So hat z.B. die gr¨ une Hg-Linie bei 546 nm (bei niedrigen Gasdr¨ ucken) eine Linienbreite von 25 pm, woraus eine Koh¨arenzl¨ange von 1,2 cm folgt. Das fr¨ uher f¨ ur die Meterdeﬁnition verwendete orange Licht (λ = 606 nm) des Isotops Krypton-86 hat lediglich eine Linienbreite von ∆λ = 0,47 pm und damit eine Koh¨ arenzl¨ ange von etwa 80 cm. Laserstrahlung u ¨ bertriﬀt diese Werte bei weitem, so weisen z.B. Standard-CO2 -Laser bei der infraroten Wellenl¨ange von 10,6 µm Linienbreiten von 10 fm und dementsprechend Koh¨arenzl¨angen von u ¨ber 10 km auf! Stabilisierte He-Ne-Laser erreichen Hunderte von Kilometern! Leider treten bei einfachen He-Ne-Lasern, wie sie z.B. in Vorlesungen und Praktika eingesetzt werden, meist nur Koh¨ arenzl¨ angen auf, die etwa gleich der L¨ange des Resonators sind, da die L¨ ange aufgrund von Temperatur¨anderungen und Schwingungen der Endspiegel schwankt, so dass Frequenz¨anderungen die Koh¨arenzl¨ange begrenzen. Deshalb muss bei Verwendung dieser Laser – z.B. in der Holograﬁe – auf ann¨ ahernd gleiche optische Wege der interferierenden Teilstrahlen geachtet werden. lt ≈

12.5 Teilkoh¨ arenz Man bezeichnet, wie bereits erw¨ ahnt, zwei Teilwellen als koh¨arent, wenn sie eine zeitlich konstante Phasendiﬀerenz aufweisen. In der Praxis kann diese Bedingung nur n¨ aherungsweise erf¨ ullt werden, wir sprechen dann von Teilkoh¨arenz, die im Folgenden genauer deﬁniert wird. Im Beobachtungspunkt P der Abb. 12.12 wollen wir die Interferenz von zwei ebenen Teilwellen beobachten, die aus derselben

12.5 Teilkoh¨ arenz

355

Quelle Q (z.B. Laser) stammen, aber unterschiedliche optische Wege zur¨ uckgelegt haben. Die beiden Wellen k¨ onnen durch E 1 (r, t) = Eˆ1 ej(ωt−k1 ·r+ϕ1 ) E (r, t) = Eˆ2 ej(ωt−k2 ·r+ϕ2 )

(12.40)

2

beschrieben werden. Legt die untere Welle 2 einen k¨ urzeren Weg zur¨ uck, so eilt sie der oberen Welle um einen der Laufzeit τ entsprechenden Phasenwinkel δ = ωτ vor und wir erhalten f¨ ur den – an einem festen Ort interessierenden – zeitabh¨angigen Anteil der Feldst¨ arken: ˆ1 ejωt E1 = E ˆ2 ejω(t+τ ) E =E 2

Abb. 12.12. Interferenz im Punkt P von zwei Wellen aus einer Quelle Q, die unterschiedliche optische Wege zur¨ ucklegen. Die Wellen werden bei Q1 und Q2 durch verschiedene Weisen umgelenkt, z.B. durch Reﬂexion, Brechung oder Beugung

Damit wird die Feldst¨ arke im Punkt P : E P = E 1 +E 2 und die mittlere Intensit¨at IP : 1 1 εc E P E ∗P = εc (E 1 + E 2 ) (E ∗1 + E ∗2 ) 2 2 1 = εc (|E 1 |2 + |E 2 |2 + E 1 E ∗2 + E ∗1 E 2 ) 2

IP =

(12.41)

Wegen E 1 E ∗2 + E ∗1 E 2 = 2Re(E 1 E ∗2 ) gilt dann: IP = I1 + I2 + εc Re E 1 E ∗2

(12.42)

356

12 Koh¨ arenz

Hierbei stehen I1 , I2 f¨ ur die Intensit¨ aten der Einzelstrahlen, der dritte Term beschreibt die Interferenz. Außerdem haben wir gleiche Polarisation vorausgesetzt und in (12.41) mit skalaren Feldern gerechnet. Wir f¨ uhren nunmehr die Korrelationsfunktion Γ ein: 1 KorrelationsΓ 12 (τ ) = E 1 (t) E ∗2 (t + τ ) = 5 funktion T

T /2

E 1 (t) E ∗2 (t + τ ) dt

(12.43)

−T /2

Bei Normierung auf die Eﬀektivwerte der Felder erhalten wir f¨ ur die normierte Korrelationsfunktion oder den Korrelationsgrad

Γ 12 (τ ) Γ 12 (τ ) γ 12 (τ ) = = εc √ 2 I1 I2 Γ11 (0) Γ22 (0)

(12.44)

Damit l¨ asst sich die Intensit¨ at6 im Punkt P (12.42) durch den Koh¨arenzgrad ausdr¨ ucken Intensit¨at IP = I1 + I2 + 2 I1 I2 Re γ 12 (τ ) (12.45) Zweistrahlinterferenz Die normierte Korrelationsfunktion γ12 (t), der wesentliche Teil des Interferenzterms, ist abh¨angig von der Laufzeitdiﬀerenz τ und damit der Lage des Punktes P . Wir wissen, dass diese Laufzeitunterschiede zur Erzielung einer hohen ussen. F¨ ur E 1 = E 2 Koh¨ arenz klein gegen die mittlere Koh¨ arenzzeit τ0 sein m¨ und τ = 0 ist γ = 1 und die beiden Teilwellen sind – unabh¨angig von der Gr¨oße von τ0 – in Phase. Man hat also immer konstruktive Interferenz. Wir wollen nun – f¨ ur den Spezialfall endlicher harmonischer Wellenz¨ uge – den Zusammenhang zwischen Koh¨ arenzgrad γ12 und der als konstant angenommenen Koh¨ arenzzeit τ0 herleiten. Hierzu betrachten wir in Abb. 12.13 a einen Wellenzug konstanter Amplitude, der sich nach der Zeit τ0 jeweils sprungartig a¨ndert und hierbei statistisch schwankende Nullphasenwinkel aufweist (Abb. 12.13 b). Er interferiert mit einem um τ (< τ0 ) voreilenden durch Strahlteilung entstandenen Wellenzug, der dementsprechend in Abb. 12.13 a nach links verschoben wurde. Wir berechnen zun¨ achst den Integrand von (12.43): ˆ ejωt E ˆ1 ejϕ(t) E ˆ ∗ e−jω(t+τ ) = E ˆ2 e−jϕ(t+τ ) e−jωτ E 1 (t) E ∗2 (t + τ ) = E 2 1 ˆ1 E ˆ2 e−jωτ ejδ mit δ = ϕ(t) − ϕ(t + τ ) =E 5

6

T ist die Mittelungszeit, f¨ ur die h¨ auﬁg T = ∞ gew¨ ahlt wird, so dass man f¨ ur die ∞ Korrelationsfunktion c = −∞ E 1 (t)E ∗2 (t + τ ) dt ﬁndet. Vgl. auch (10.6). Gleichung (12.45) ist weitergehend, da sie durch Verwendung der Laufzeit τ anstelle der Phasendiﬀerenz δ auch nichtharmonische Wellen einschließt.

12.5 Teilkoh¨ arenz

357

Abb. 12.13. Zum Koh¨ arenzgrad von zwei um τ verschobenen Wellenz¨ ugen. a) Verlauf der Feldst¨ arke. b) Verlauf der Nullphasenwinkel der Bezugswelle und der um τ voreilenden Welle (gestrichelt). c) Phasendiﬀerenz δ der beiden Wellen. In den Intervallen mit δ = 0 der Breite τ0 − τ verlaufen die Wellenz¨ uge gleichphasig

358

12 Koh¨ arenz

Die Nullphasenwinkel ϕ und die Phasendiﬀerenz δ sind nun zeitabh¨angig. Zur Berechnung der Korrelationsfunktion Γ 12 (12.43) ist lediglich u ¨ ber ejδ zu mit−jωτ = konst. Da die tr¨ agen optischen Detektoren u teln, da e ¨ber Zeiten Tm τ0 – beim menschlichen Auge ist Tm /τ0 ≈ 108 – mitteln, k¨onnen wir ohne Fehler ahlen und damit voraussetzen, dass in (12.43) u Tm = N τ0 w¨ ¨ber eine ganze Zahl N von Wellenz¨ ugen integriert wird. Abb. 12.13 c zeigt, dass im gesamten Integrationsbereich N Intervalle der Breite τ0 − τ existieren, in denen die Teilwellen – trotz unterschiedlicher Nullphasenwinkel – gleichphasig sind und damit ejδ = 1 gilt. In den verbleibenden Intervallen der Breite τ schwankt die Phasendiﬀerenz statistisch, so dass die Mittelung ejδ = 0 ergibt. Im Zeigerdiagramm entspr¨ache dies der Feststellung, dass alle Richtungen gleich h¨auﬁg vorkommen, so dass die Zeigersumme verschwindet. Wir erhalten damit den Gesamt-Mittelwert ejδ

1 = N τ0

N τ0

0

N e dt = N τ0

τ0 −τ

jδ

1 dt = 0

τ0 − τ τ0

und die Korrelationsfunktion: ˆ2 e−jωτ · τ0 − τ ˆ1 E Γ 12 (τ ) = E τ0 ˆ 2 Eˆ 2 folgt dann der normierte komplexe Koh¨arenzgrad Mit Γ11 (0)Γ22 (0) = E 1 2 Γ (τ ) τ γ 12 (τ ) = 12 = 1− (12.46) e−jωτ ˆ ˆ τ 0 E1 E2 mit dem Realteil, dem reellen Koh¨arenzgrad |τ | Re γ 12 (τ ) = 1 − cos ωt wobei τ0

0 ≤ |τ | ≤ τ0

(12.47)

Hierbei ist τ die Laufzeit und ωτ = δ die Phasendiﬀerenz der Teilwellen. Der Koh¨ arenzgrad (s. Abb. 12.14 a) erreicht den Maximalwert 1 bei τ = 0 (gleiche optische Wege) und verschwindet f¨ ur |τ | > τ0 . Das bisher Gesagte gilt in gleicher Weise bei einer um τ nacheilenden Welle (d.h. τ < 0), dies wird in (12.47) durch Betragszeichen ber¨ ucksichtigt. Die Amplitude des Kosinusterms in (12.47), also der Betrag des Koh¨arenzgrades t |τ | · rect (12.48) γ12 (τ ) = γ 12 (τ ) = 1 − τ0 2τ0 ist in Abb. 12.14 b wiedergegeben, er legt die Extrema des Interferenzterms in (12.45) fest und bestimmt damit den Kontrast der Interferenzstreifen als Funktion der Verschiebung τ . Es l¨ asst sich leicht zeigen, dass der Koh¨ arenzgrad |γ12 | f¨ ur gleiche Intensit¨aten mit der in Kap 10 eingef¨ uhrten Sichtbarkeit oder Kontrastfunktion M u ¨ berein¨ 12.15): stimmt, denn es gilt (s. Ub.

12.5 Teilkoh¨ arenz

359

Abb. 12.14. a) Reeller Koh¨ arenzgrad Re(γ 12 ) von zwei Wellen der Koh¨ arenzzeit τ0 als Funktion der Laufzeitdiﬀerenz. b) Verlauf des Betrages des Koh¨ arenzgrades oder – f¨ ur gleiche Intensit¨ aten – der Kontrastfunktion

√ I1 I2 Imax − Imin =2 γ12 (τ ) (12.49) Imax + Imin I1 + I2 Damit ergeben sich bei der Interferenz f¨ ur Intensit¨at (12.45) und Kontrast folgende Spezialf¨ alle: M=

Diese Ergebnisse best¨ atigen noch einmal (12.49), wonach bei gleicher Intensit¨ at Betrag des Koh¨ arenzgrades und Kontrast identische Maßzahlen f¨ ur die Koh¨ arenz darstellen. Den F¨ allen 2. und 3. entsprechende Interferenzen wurden in den Abb. 10.2 a und 10.2 b dargestellt.

360

12 Koh¨ arenz

1. Inkoh¨ arenz: τ > τ0 und γ12 = 0

f¨ ur gleiche Intensit¨ aten:

Ip = I1 + I2 (Addition der Intensit¨ aten)

Ip = 2I0

M = 0, da Imax = Imin = Ip 2. Koh¨ arenz: τ0 → ∞ bzw. τ τ0 und γ12 = 1 √ Ip = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ωτ √ Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 √ Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2

Imax = 4I0 Imin = 0 M=

3. Teilkoh¨ arenz: 0 < τ < τ0 , 0 < γ12 < 1 √ Ip = I1 + I2 + 2 I1 I2 Re(γ 12 )

4I0 4I0

=1

Ip = 2I0 (1 + Re(γ 12 )) Imax = 2I0 (1 + γ12 ) Imin = 2I0 (1 − γ12 ) M=

4I0 γ12 4I0

= γ12

Beispiel 12.1 Koh¨ arenzgrad In einem Interferenzexperiment wird ein Lichtstrahl in zwei Teilwellen gleicher Amplitude aufgespalten. Diese Wellen werden nach Durchlaufen unterschiedlicher Wege wieder u ¨berlagert. Das Licht hat die Wellenl¨ange 541 nm mit einer Linienbreite von ∆λ = 0,1 nm, die Wegdiﬀerenz ist 1,5 mm. Bestimmen Sie: Koh¨ arenzl¨ange, reellen Koh¨ arenzgrad und Kontrast der Interferenzstreifen. Wie wird der Kontrast ver¨ andert, wenn der Wegunterschied verdoppelt wird? L¨ osung λ2 = 2,93 mm. Weiterhin ist der Die Koh¨ arenzl¨ ange ist gegeben durch lt = ∆λ τ ∆ Kontrast M = γ12 = 1 − τ0 = 1 − lt = 0,49, wobei das Verh¨altnis von Verz¨ ogerungszeit zu Koh¨ arenzzeit durch das entsprechende Verh¨altnis von Gangunterschied ∆ = c τ zu Koh¨ arenzl¨ ange lt ersetzt wurde. Der reelle Koh¨ arenzgrad ist ∆ = 17,42 · 103 rad, λ also Re(γ 12 ) = −0,30. Bei Verdopplung des Gangunterschiedes wird ∆ > lt und τ > τ0 , die Strahlen sind dann inkoh¨arent und damit wird M = 0. Re(γ 12 ) = γ12 cos ωτ = γ12 cos δ

mit

δ = 2π

12.6 R¨ aumliche Koh¨ arenz

361

12.6 R¨ aumliche Koh¨ arenz Bei der zeitlichen Koh¨ arenz haben wir die Korrelation der Phasen der Teilwellen bei unterschiedlichen Laufzeiten – entsprechend Verschiebungen entlang der Ausbreitungsrichtung der Wellen – untersucht; man spricht hier auch von longitudinaler Koh¨arenz . Der Koh¨ arenzgrad ließ sich mittels des Streifenkontrastes in einem Interferometer mit Amplitudenteilung, wie z.B. dem Michelson-Interferometer, ermitteln. Zeitliche Koh¨ arenz ist ein Maß f¨ ur die durchschnittliche L¨ange der teilkoh¨ arenten Wellenz¨ uge, deren Eigenschaften durch den Mechanismus der Lichterzeugung in der Quelle (Gl¨ uhlicht, Laser) bestimmt werden. Im Gegensatz hierzu betrachten wir bei der r¨aumlichen oder lateralen Koh¨arenz die Phasenkorrelation zwischen r¨ aumlich getrennten Punkten des Strahlenfeldes. R¨aumliche Koh¨arenz ist damit bei Interferometern mit Wellenfrontteilung von Bedeutung, wie z.B. bei der Beugung am Doppelspalt, wo die Sichtbarkeit des Interferenzmusters von dem Koh¨ arenzgrad des einfallenden Wellenfeldes am Ort der beiden Spalte abh¨angt.

Abb. 12.15. Wellenfront- und Amplitudenteilung der Strahlung aus einer Quelle Q und Anordnungen zur Messung der r¨ aumlichen und zeitlichen Koh¨ arenz

Zum Verst¨ andnis der Koh¨ arenzeigenschaften eines Wellenfeldes betrachten wir in Abb. 12.15 eine Lichtquelle Q, deren Licht einerseits einen Doppelspalt durchsetzt und andererseits in einem Michelson-Interferometer untersucht wird. R¨ aumliche Koh¨ arenz von Wellen aus den Punkten A und B liegt immer dann vor, wenn Q eine Punktquelle ist und A und B gleichen Abstand von der Quelle haben, so dass sie auf derselben Wellenfront liegen. Wird man dann auf einem

362

12 Koh¨ arenz

Schirm bei P1 deutliche Interferenz erkennen? Dies h¨angt nat¨ urlich davon ab, ob das von Q entlang der Pfade QAP1 und QBP1 laufende Licht sowohl r¨aumlich als auch zeitlich koh¨ arent ist. Die G¨ ute der zeitlichen Koh¨arenz folgt aus dem Vergleich von Koh¨ arenzl¨ ange und Gangunterschied ∆ = QAP1 − QBP1 der Teilwellen. Wir erhalten das gleiche Ergebnis, wenn wir statt dessen in einer beliebigen radialen Richtung das Licht von zwei Wellenfronten im Abstand ∆ mit einem Michelson-Interferometer untersuchen. F¨ ur Gangunterschiede, die sehr klein gegen die Koh¨ arenzl¨ ange (∆ lt ) sind, treten deutliche und kontrastreiche Interferenzstreifen bei P1 auf. Bei wachsendem ∆ werden sie immer kontrast¨ armer und verschwinden f¨ ur ∆ > lt . In der Praxis wird Q immer eine ausgedehnte Lichtquelle sein, so dass A und B von Licht aus zahlreichen Quellpunkten bestrahlt wird, die bei gew¨ohnlichen Lichtquellen (keine Laser) voneinander unabh¨angige, inkoh¨arente Wellenz¨ uge emittieren. Es soll nun gezeigt werden, dass zwei im Abstand d beﬁndliche unabh¨ angige – also zeitlich inkoh¨ arente – Punktquellen Q1 und Q2 (s. Abb. 12.16) dennoch r¨ aumlich koh¨ arent sind, wenn man in einem um r entfernten Gebiet innerhalb der r¨ aumlichen Koh¨ arenzl¨ ange λ (12.50) α beobachtet. Hierbei ist α der Winkel, den die Teilstrahlen in P einschließen. Falls diese Beziehung gilt, muss es in jedem beliebigen Strahlungsfeld einen Raumbereich geben, in dem das Licht koh¨ arent ist, er hat die Querausdehnung lr aufgrund der r¨ aumlichen und die L¨ angsdimension lt durch die zeitliche Koh¨arenz, also ein Volumen von etwa lr2 lt um den Punkt P . Jedes beliebige Interferometer kann somit nur dann Interferenzen registrieren, wenn es Strahlung aus diesem Raumbereich verwendet. lr <

Abb. 12.16. Lateraler Koh¨ arenzbereich von der Gr¨ oße der r¨ aumlichen Koh¨ arenzl¨ ange lr f¨ ur zwei unabh¨ angige (inkoh¨ arente) Punktquellen

12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich

363

12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich Eine ausgedehnte, nahezu monochromatische Lichtquelle soll nun durch zwei an ihrem Rande beﬁndliche, inkoh¨ arent emittierende Punktquellen A und B ersetzt werden (s. Abb. 12.17), deren r¨ aumliche Koh¨arenz in den Punkten P1 und P2 interessiert. Hierzu k¨ onnen wir diese beiden Punkte als zwei schmale Spalte ansehen, deren Licht im Punkt P eines Beobachtungsschirmes interferiert. Jede der Punktquellen A oder B allein erzeugt dann auf dem Schirm das bekannte Interferenzmuster des Doppelspaltes, beide Quellen zusammen f¨ uhren zu u ¨berlappenden Interferenzbildern. Fallen hierbei Maxima und Minima aufeinander, so wird das Interferenzbild heller und besser sichtbar, die Strahlung der inkoh¨arenten Quellen erscheint wie bei koh¨ arenter Beleuchtung verst¨arkt, obwohl hier Addition der Intensit¨aten auftritt. Sind hingegen die Beugungsbilder derart verschoben, dass Maxima auf Minima fallen, so verschwindet die Interferenzstruktur und die Strahlung wird als inkoh¨ arent angesehen. F¨ ur d → 0 fallen die Beugungsmuster immer zusammen, man beobachtet Interferenz, obwohl die einzelnen Emitter (z.B. angeregte Atome) der Quelle nicht koh¨arent strahlen. Wird B nach unten bewegt, also eine ausgedehntere Lichtquelle verwendet, so werden in P bei einem kritischen Abstand d, bei dem λ 2 die durch B bedingten Interferenzmaxima durch Minima ersetzt, und die Streifen verschwinden. Aus Abb. 12.17 folgt ∆ ≈ lα und α ≈ dr und damit ∆ = BP2 − BP1 =

Abb. 12.17. Licht aus den beiden Punktquellen A und B, die sich am Rand einer ausgedehnten Lichtquelle beﬁnden, triﬀt die Punkte P1 und P2 mit Abstand l und interferiert danach im Punkt P des Schirmes. In der Regel gilt d l

∆=

dl λ = r 2

oder d =

rλ 2l

364

12 Koh¨ arenz

Bei einer ausgedehnten Lichtquelle sind die Punktquellen kontinuierlich verteilt, und der Kontrast verschwindet erst bei dem doppelten Durchmesser 2d. F¨ ur d < rλ sind dann die einzelnen Streifensysteme aufgel¨ o st. Hiermit ist der maximale l Spaltabstand l f¨ ur einen vorgegebenen Durchmesser d der Quelle festgelegt, und wir k¨ onnen f¨ ur die r¨ aumliche Koh¨ arenzl¨ ange lr (= l) schreiben: r¨aumliche Koh¨arenzl¨ange

lr <

rλ λ ≈ d α

(12.51)

Hierbei ist α der am Beobachtungspunkt gemessene Winkelabstand der Randpunkte der Lichtquelle. In zentralen Bereichen, die kleiner als lr sind, wird der Streifenkontrast nat¨ urlich verbessert. Entsprechend obiger Argumentation m¨ usste bei weiterer Verschiebung von B (nach unten) wieder eine Koinzidenz der Streifensysteme auftreten, so dass der Koh¨ arenzgrad der Teilwellen von P1 und P2 periodisch oszilliert. Die exakte mathematische Behandlung n¨ ahert die ausgedehnte Quelle statt durch zwei Punktquellen durch eine kontinuierliche Verteilung von Fl¨achenstrahlern an und liefert das Ergebnis, dass außerhalb des durch (12.51) gegebenen Koh¨arenzbereiches nur sehr kontrastarme Streifen erkennbar sind. Nach dem van Cittert-ZernikeTheorem hat der Koh¨ arenzgrad als Funktion der Lage von P oder des Abstandes l zwischen den Punkten P1 und P2 denselben Verlauf wie die Beugungsamplitude einer Apertur von der Gr¨ oße und Form der ausgedehnten Quelle.

Abb. 12.18. Aufbau zum Youngschen Doppelspaltversuch. Der Abstand g der Doppelspalte S1 und S2 muss kleiner als die r¨ aumliche Koh¨ arenzl¨ ange lr des beleuchtenden Einzelspaltes S sein. Der Kondensor K bildet die ausgedehnte Lichtquelle LQ auf den Spalt S ab

Die Bedeutung der Koh¨ arenzbedingung (12.51) wird am Beispiel des Youngschen Doppelspaltversuches klar (s. Abb. 12.18), wo eine ausgedehnte Lichtquelle u ¨ ber einen Kondensor einen Einzelspalt S beleuchtet, der das verwendete Licht

12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich

365

hinreichend r¨ aumlich koh¨ arent macht. Mit Hilfe von (12.51) kann der maximale Durchmesser d des Einzelspaltes bestimmt werden, f¨ ur den Koh¨arenz und damit Sichtbarkeit der Interferenzen gegeben ist. Oﬀenbar m¨ ussen die beiden Spalte S1 und S2 innerhalb der durch den Einzelspalt festgelegten Koh¨arenzbreite lr liegen. Beispiel 12.2 R¨ aumliche Koh¨ arenz In Abb. 12.18 betrage der Abstand zwischen Beleuchtungs- und Doppelspalt 20 cm. Der Doppelspaltabstand g ist 0,1 mm und die Wellenl¨ange 546 nm. Welchen Durchmesser darf der Prim¨ ar- oder Einzelspalt S haben, damit Interferenz beobachtbar ist? L¨ osung Aus (12.51) folgt mit lr = g: d <

rλ lr

= 1,1 mm .

Abb. 12.19. a) Michelson-Sterninterferometer mit den verschiebbaren Spiegeln Sp1 und Sp2 und dem Doppelspalt S1 S2 . b) Anwendung zur Bestimmung des Durchmessers d eines Sternes

366

12 Koh¨ arenz

Ist – wie im obigen Beispiel – der Einzelspaltdurchmesser 1,1 mm und der Abstand g variabel, so beobachtet man f¨ ur g lr gut aufgel¨oste Interferenzstreifen. F¨ ur wachsendes g nimmt der Koh¨ arenzgrad ab, wird bei g = lr = 0,1 mm null, so dass die Interferenzringe verschwinden. Oﬀenbar l¨asst sich aus diesem Abstand der Durchmesser einer ausgedehnten Lichtquelle (hier des Einzelspalts) ermitteln. Diese Technik wurde von Michelson zur Messung des Winkeldurchmessers von Sternen herangezogen. Sterne sind so weit entfernt, dass sich ihr Durchmesser nicht durch optische Abbildung ermitteln l¨ asst. Ein Stern kann als ausgedehnte inkoh¨ arente Quelle mit dem Winkeldurchmesser w = dr (s. Abb. 12.19 b) angesehen werden. Mit α = w und (12.51) gilt f¨ ur die Koh¨arenzbreite Koh¨arenzbreite

lr < 1,22

λ w

(12.52)

wobei der Faktor 1,22 aus der Kreisgeometrie (s. Kap. 16, Fraunhofer-Beugung an der Kreisblende) folgt. Da der Winkeldurchmesser eines Sternes sehr klein ist, wird lr entsprechend groß. Michelson ordnete deshalb die verschiebbaren Doppelspalte“ entsprechend Abb. 12.19 a an, wo Spiegel weit entfernte Teile der ” einfallenden Wellenfront in ein Doppelspalt-Teleskop lenken. Der Abstand der Interferenzstreifen h¨ angt vom Doppelspaltabstand g, die Sichtbarkeit hingegen λ ur lr = 1,22 w . von lr ab; sie verschwindet f¨ Beispiel 12.3 Sterndurchmesser Michelson verwendete die von ihm entwickelte Technik f¨ ur den Stern Beteigeuze (Schulter, α Orionis) im Sternbild des Orion. Er fand das erste Streifenminimum bei lr = 308 cm. Bestimmen sie den Winkeldurchmesser des Sternes f¨ ur eine mittlere Wellenl¨ ange von 570 nm. L¨ osung Mit (12.52) wird w = 1,22 lλr = 2,26 · 10−7 rad. Da Beteigeuze etwa 4,0 · 1015 km – entsprechend 420 Lichtjahre – entfernt ist, wird d = rw = 9,04 · 108 km oder etwa 650 Sonnendurchmesser.

¨ Ubungen 12.1 Beschreiben Sie mit Hilfe der Rechteck- (rect-)funktion eine Rechteckwelle der Periodenl¨ ange L, die durch periodische Fortsetzung von ⎧ ⎪ ⎨−1 f¨ ur − L2 < x < 0 f (x) = ⎪ ⎩+1 f¨ ur 0 < x < L2 entsteht und ermitteln Sie die zugeh¨ orige Fourier-Reihe.

12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich

367

ˆ cos ωt 12.2 Durch Halbwellengleichrichtung sollen die negativen Halbwellen von E = E entfernt werden. Wie sieht die zugeh¨ orige Fourier-Reihe aus? 12.3 Zeigen Sie, dass die Fourier-Transformierte einer Gaußfunktion (der H¨ ohe“ a und ” Breite“ σt ) ” 2

f (t) = a e−t

/2σt2

wieder eine Gaußfunktion ist. Verwenden Sie bei der Berechnung das bestimmte Integral ∞ √ 2 e−x dx = π −∞

und im Exponenten die Methode der quadratischen Erg¨ anzung. 2σt ist die Breite der Gaußkurve (Abnahme auf e−1/2 = 0,61) im Zeitbereich. Ermitteln Sie die entsprechende Gr¨ oße 2σf , die Breite im Frequenzbereich, und berechnen Sie 2σf · 2σt . Vergleichen Sie mit dem Produkt ∆f · ∆t der Unsch¨ arferelation. Man kann zeigen, dass bei Gaußpulsen das minimale Unsch¨ arfeprodukt auftritt. 12.4 Berechnen Sie mit Hilfe der Fourier-Transformation das Leistungsspektrum (Betragsquadrat der Amplitude) eines Rechteckpulses der H¨ ohe A und Breite T . Skizzieren Sie das Ergebnis. Wo liegen die Nullstellen? Best¨ atigen Sie die Unsch¨ arferelation. 12.5 Vergleichen Sie zwei Farbﬁlter f¨ ur gelbes Licht von etwa 590 nm. Die Bandbreiten betragen 100 nm f¨ ur das breitbandige und 10 nm f¨ ur das schmalbandige Filter. Welches Filter ist f¨ ur Interferenzexperimente geeigneter? Vergleichen Sie die Koh¨ arenzl¨ angen des durchgelassenen Lichtes. 12.6 Ein kontinuierlicher He-Ne-Strahl (λ = 632,8 nm) wird durch einen Modulator in Pulse von 100 ps Dauer zerhackt“. Ermitteln Sie: Koh¨ arenzl¨ ange sowie die Linien” breiten im Wellenl¨ angen- und Frequenzbereich. 12.7 Der Winkeldurchmesser der Sonne betr¨ agt – von der Erde aus – etwa 0,5◦ . Ermitteln Sie die r¨ aumliche Koh¨ arenzl¨ ange f¨ ur gute“ Koh¨ arenz, indem Sie – etwas willk¨ urlich ” – nur 10% der maximal m¨ oglichen Koh¨ arenzﬂ¨ ache lr2 verwenden. 12.8 Michelson stellte fest, dass die rote Cd-Linie (643,8 nm) zu den besten monochromatischen Lichtquellen geh¨ ort, indem er (z.B. im Michelson-Interferometer) noch bei einem Gangunterschied von 30 cm Interferenz nachweisen konnte. Wie groß sind Spektralbreite und Koh¨ arenzzeit der Cadmium-Linie? 12.9 Weißes Licht f¨ allt auf ein schmalbandiges Interferenzﬁlter f¨ ur λ = 500 nm mit einer Spektralbreite von ∆λ = 0,5 nm. Welche Koh¨ arenzl¨ ange hat das durchgehende Licht? 12.10 Wir betrachten ein einfaches Prismenspektrometer, bei dem ein mit Eintrittsspalt und Kollimatorlinse erzeugter Parallelstrahl durch das Prisma abgelenkt und durch eine zweite Linse auf einen Schirm abgebildet wird. Dort registriert man eine lineare Dispersion von 2 nm/mm. Durch einen Austrittsspalt von 0,2 mm Breite erh¨ alt man ann¨ ahernd monochromatisches Licht. Skizzieren Sie den Aufbau. Welche Forderung muss man an den Eintrittsspalt stellen? Welche Koh¨ arenzzeit und -l¨ ange tritt bei einer mittleren Wellenl¨ ange von 500 nm auf?

368

12 Koh¨ arenz

12.11 Vor einer Natium-Lampe (λ = 589 nm) ist eine kleine Lochblende von 0,5 mm Durchmesser angebracht, die als Lichtquelle f¨ ur ein Youngsches Interferenzexperiment dient. Der Doppelspalt ist 1 m von der Blende entfernt. Wie groß darf der Abstand der Spalte h¨ ochstens sein, um noch Interferenzstreifen sehen zu k¨ onnen, also r¨ aumliche Koh¨ arenz zu haben? 12.12 Ermitteln Sie die Spektralbreite von Wellenl¨ ange und Frequenz f¨ ur einen frequenzstabilisierten He-Ne-Laser (λ = 632,8 nm) mit einer Koh¨ arenzl¨ ange von 10 km. 12.13 a) Ein Monochromator mit Wolframlampe dient zu Erzeugung von nahezu monochromatischem Licht. Die lineare Dispersion des Ger¨ ates liegt bei 20 nm/mm, die Breite des Ausgangsspaltes ist 0,2 mm. Welche Koh¨ arenzzeit und Koh¨ arenzl¨ ange hat austretendes Licht der Wellenl¨ ange 500 nm? b) Dieses Licht wird in einem Interferenzexperiment mit Amplitudenteilung verwendet, bei dem der Gangunterschied der zur Interferenz gebrachten Teilwellen 0,4 mm betr¨ agt. Berechnen Sie f¨ ur dieses Experiment die normierte Korrelationsfunktion und den Streifenkontrast. −Imin c) Geben sie die relative Intensit¨ atsdiﬀerenz Imax an. Imax 12.14 Bestimmen Sie H¨ ohe und Grundﬂ¨ ache des Zylinders, innerhalb dessen Sonnenlicht als koh¨ arent zu betrachten ist. Wir wollen annehmen, dass gute“ r¨ aumliche ” Koh¨ arenz f¨ ur einen Durchmesser auftritt, der 25% des Wertes betr¨ agt, den man aus Gleichung (12.52) ermittelt. Der Winkeldurchmesser der Sonne liegt bei 0,5 ◦ . Die mittlere Wellenl¨ ange des Sonnenspektrums kann mit 550 nm angesetzt werden. Geben Sie H¨ ohe und Durchmesser des Zylinders auch als Vielfache der Wellenl¨ ange an. 12.15 a) Beweisen Sie folgenden Zusammenhang zwischen Streifenkontrast und Korrelationsfunktion: √ I1 I2 |γ 12 | M =2 I1 + I2 b) Durch welches Intensit¨ atsverh¨ altnis der interferierenden Teilstrahlen wird der Streifenkontrast um 10% gegen¨ uber dem f¨ ur gleichstarke Strahlen reduziert? 12.16 Bei einem Doppelspaltexperiment (mit Spaltdurchmesser -abstand) wird Licht der Wellenl¨ ange λ und Spektralbreite ∆λ verwendet. Zeigen Sie, dass dann f¨ ur den Streifenkontrast in der m-ten Ordnung gilt: ∆λ λ 12.17 Welchen Streifenkontrast beobachtet man bei der Doppelspaltbeugung in der 20. Beugungsordnung, wenn man gr¨ unes Hg-Licht (λ = 546,1 nm, Spektralbreite ∆λ = 50 pm) verwendet, der Spaltabstand 0,1 mm betr¨ agt und der Beobachtungsschirm 1 m entfernt ist? (s. Aufg. 12.16). Wie ¨ andert sich der Kontrast, wenn man weißes Licht mit einem Farbﬁlter f¨ ur λ = 546 nm mit 10 nm Bandbreite verwendet? M = 1−m

12.18 In einem Michelson-Interferometer wird rotes Cadmium-Licht (λ = 643,847 nm, Spektralbreite ∆λ = 1,3 pm) verwendet. Welcher Streifenkontrast tritt auf, wenn einer der Spiegel zun¨ achst um 1 cm und dann um insgesamt 5 cm aus der Position f¨ ur

12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich

369

Gangunterschied null verschoben wird? Bei welcher Verschiebung geht der Kontrast gegen null? 12.19 L¨ osen Sie Aufgabe 12.18 f¨ ur gr¨ unes Hg-Licht (546,1 nm) mit 25 pm Linienbreite. Bei welcher Verschiebung liegt der Streifenkontrast noch bei 85%?

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Einleitung und B-Feldvektor Licht breitet sich als Transversalwelle aus, d.h. Eschwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Eine Transversalwelle ist polarisierbar, d.h. die Schwingungsrichtung des E-Vektors und damit der Polarisationszustand ist ein weiterer Parameter zur Charakterisierung von Licht. Gew¨ohnliches Licht wird durch eine Anzahl von unabh¨ angigen Quellen erzeugt, deren Strahlung nicht synchronisiert ist. Betrachten wir ein Lichtb¨ undel so wie es von einem Gl¨ uhfaden ausgeht. Der E-Feldvektor weist eine Gleichverteilung u ¨ ber alle Schwingungsrichtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle auf. Dieses Licht nennt man unpolarisiert. Schwingt der E-Vektor nur in einer festgelegten Raumrichtung, so nennt man eine solche Lichtwelle linear polarisiert. Bei zirkular polari siertem Licht l¨ auft die Spitze des E-Vektors am festen Ort auf einem Kreis um, bei der Ausbreitung im Raum beschreibt sie eine Schraubenlinie. F¨ ur elliptisch polarisiertes Licht l¨ auft die Spitze des E-Vektors auf einer Ellipse um. Nat¨ urlich

390

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

kann ein Lichtb¨ undel auch aus einer Mischung von polarisiertem und unpolarisiertem Licht bestehen, in diesem Fall bezeichnet man es als teilweise (partiell) polarisiert. Bei der einfachen mathematischen Beschreibung der Polarisation verwenden wir die Matrixtechnik, wie sie von R. Indiana Jones entwickelt wurde. Zuerst werden wir den zweielementigen Jones-Vektor angeben, der Polarisationszust¨ande durch die Amplituden der elektrischen Feldst¨arke in x- und y-Richtung beschreibt. Dann werden wir die optischen Komponenten, die polarisiertes Licht erzeugen und ver¨ andern, untersuchen. Diesen Bauteilen entsprechen mathematische Operatoren, in diesem Fall 2 × 2 Matrizen, die auf die Jones-Vektoren wirken. Die Stokes-Vektoren und die zugeh¨ origen M¨ uller-Matrizen f¨ ur die polarisations¨ andernden Elemente werden ebenfalls angegeben. Die Komponenten der Stokes-Vektoren (Stokes-Parameter ) h¨ angen auf etwas kompliziertere Weise mit den x- und y-Komponenten der elektrischen Feldst¨arke zusammen, daf¨ ur kann man mit dieser Darstellung auch teilweise polarisiertes Licht beschreiben. F¨ ur vollst¨ andig polarisiertes Licht ist der Jones-Formalismus ausreichend und bedeutend einfacher. In Kapitel 15 untersuchen wir im Detail die Ger¨ate und die physikalischen Prozesse, mit deren Hilfe man polarisiertes Licht erzeugen kann.

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren Wir betrachten einen Lichtstrahl, der senkrecht auf der Papierebene steht und der sich im Ursprung des Koordinatensystems der Abb. 14.1 beﬁndet. Das E-Feld des Lichtes kann man durch einen zeit- und ortsabh¨angigen Vektor beschreiben, der in Abb. 14.1 f¨ ur einen bestimmten Zeitpunkt dargestellt ist. Die Komponenten entlang der x- und y-Achse sind Ex und Ey , so dass: von E = Exex + Ey ey E

(14.1)

Wir setzen ebene Wellen voraus und erhalten f¨ ur die Komponenten nach (8.23) ˆx ej(ωt−kz+ϕx ) Ex = E ˆy ej(ωt−kz+ϕy ) E =E y

(14.2) (14.3)

Diese Wellen breiten sich also in der positiven z-Richtung mit den Amplituden ˆ ˆ x und E y aus und haben die Nullphasenwinkel ϕx und ϕy . Unter Benutzung E von (14.1) gilt dann:

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

391

Abb. 14.1. Momentaufnahme des E-Vektors eines Lichtstrahles, der in Richtung der positiven z-Achse verl¨ auft. Schwingungen des E-Vektors bedeuten, dass die zwei orthogonalen Komponenten Ex und Ey ebenfalls schwingen

ˆx ej(ωt−kz+ϕx )ex + E ˆy ej(ωt−kz+ϕy )ey =E E ˆx ejϕx ex + E ˆy ejϕy ey ej(ωt−kz) = E ˆ ej(ωt−kz) = E

(14.4)

Die Gr¨ oße in Klammern, die in x- und y-Komponenten separiert ist, betrachten ˆ die die Phasenwinkel ϕx und ϕy f¨ ur die wir nun als die komplexe Amplitude E, polarisierte Welle enth¨ alt. Der Polarisationszustand des Lichtes wird durch die komplexe Amplitude vollst¨ andig bestimmt, wir geben sie als Spaltenvektor an:

jϕx ˆ ˆ E e E ˆ x x = E = (14.5) ˆ ˆy ejϕy E E y Aus der komplexen Amplitude l¨ asst sich auch die Intensit¨at des Lichtes berechnen. F¨ ur die Untersuchung der Polarisation ist es vorteilhaft, normierte Amplitudenvektoren zu benutzen. Mit ˆ2 ˆ2 + E ˆ= E (14.6) E x y erh¨ alt man :

normierter Jones-Vektor

J =

Jx Jy

1 ≡ ˆ E

ˆx ejϕx E Eˆy ejϕy

(14.7)

Dieser ist nun dimensionslos. Er beschreibt vorrangig den Polarisationszustand des E-Feldes und enth¨ alt die Phasenbeziehung zwischen den x- und y-Komponen kann die resultierende relative E-Ampliten des Feldes. Mit Hilfe der J-Vektoren ¨ tude bei der Uberlagerung von Licht verschiedener Polarisationsarten berechnet werden. Wir werden im Weiteren nur normierte Jones-Vektoren angeben und bei der Angabe eines Jones-Vektors auf den Zusatz normiert“ verzichten. ”

392

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Abb. 14.2. Darstellung der E-Vektoren von linear polarisiertem Licht mit verschiedenen Orientierungen. Das Licht breitet sich entlang der z-Achse aus. a) vertikal polarisiert; b) horizontal polarisiert: c) unter dem Winkel ϑ polarisiert

Wir wollen nun die speziellen Jones-Vektoren bestimmen, die linear, zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht beschreiben. In Abb. 14.2 a breitet sich vertikal polarisiertes Licht in Richtung der z-Achse aus, wobei der E-Vektor entlang der y-Achse schwingt. Da sich E bei der Lichtausbreitung zeitlich und r¨aumlich sinusartig ver¨ andert, sind nur die Extremwerte des elektrischen Feldes symbolisch in die positive und negative y-Richtung gezeichnet. F¨ ur vertikalpolarisiertes Licht ist die Horizontalkomponente Eˆx = 0. Wenn die Ex -Komponente fehlt, k¨onnen wir zur Vereinfachung die Phase ϕy = 0 setzen. Dann folgt aus (14.7):

0 Jones-Vektor f¨ ur vertikal linear polarisiertes Licht Jv = (14.8) 1 In gleicher Weise stellt Abb. 14.2 b horizontal polarisiertes Licht mit Eˆy = 0, ϕx = 0 dar:

1 Jones-Vektor f¨ ur horizontal linear polarisiertes LichtJh = (14.9) 0 In Abb. 14.2 c ist linear polarisiertes Licht dargestellt, dessen Schwingungsrichtung in einer Ebene verl¨ auft, die die x-Achse unter dem Winkel ϑ schneidet. In diesem Fall sind sowohl die x- als auch y-Komponente von Eˆ ungleich 0. Dies ist oﬀensichtlich der allgemeine Fall, der sich auf den vertikal polarisierten Zustand mit ϑ = 90◦ und den horizontal polarisierten Zustand mit ϑ = 0◦ reduzieren l¨ asst. x und Wir erkennen, dass die zwei zueinander senkrechten Schwingungen E y in Phase sein m¨ ussen, um diese resultierende Schwingung zu erzeugen. Dies E bedeutet, dass die Komponenten gleichzeitig durch den Ursprung gehen m¨ ussen, simultan entlang der entsprechenden positiven Achsen gr¨oßer werden, das Maximum zusammen erreichen und dann ihre Schwingungsrichtungen gemeinsam um-

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

393

Abb. 14.3. a) Zueinander senkrechte gleichphasige Schwingungen erzeugen linear po larisiertes Licht, wobei der E-Vektor im ersten oder dritten Quadranten liegt. b) Zueinander senkrechte Schwingungen, die um 180◦ außer Phase sind, erzeugen linear po larisiertes Licht, dessen E-Vektor im zweiten oder vierten Quadranten liegt

kehren, um diesen Zyklus fortzusetzen. Abbildung 14.3 a zeigt diesen Ablauf. Entsprechend k¨ onnen wir die Phasendiﬀerenz null setzen und w¨ahlen ϕx = ϕy = 0. ˆ ergeben sich die senkF¨ ur eine resultierende Schwingung mit der Amplitude E ˆ ˆ ˆ rechten Komponentenamplituden Ex = E cos ϑ und Ey = Eˆ sin ϑ. Die Feldst¨arke ist damit

ˆx ejϕx E Eˆ cos ϑ cos ϑ ˆ E= = = Eˆ (14.10) Eˆy ejϕy Eˆ sin ϑ sin ϑ und der Jones-Vektor

394

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Jones-Vektor f¨ ur unter dem Winkel ϑ linear polarisiertes Licht cos ϑ Jϑ = sin ϑ

(14.11)

Dann gilt z.B. f¨ ur ϑ = 60◦ :

◦ 1 1 1/2 cos 60 = = Jϑ = √ √ 2 sin 60◦ 3/2 3

Jx Umgekehrt k¨ onnen wir schließen, dass der Jones-Vektor mit Jx und Jy ar, s.u. zu Vorfaktoren und EindeutigJy als reellen Zahlen (oder beide imagin¨ keit der Jones-Vektoren) linear polarisiertes Lichtes unter dem Neigungswinkel ϑ darstellt. F¨ ur den Neigungswinkel gilt: Neigungswinkel linear polarisierten Lichts

ϑ = arctan

Jy Jx

(14.12)

Wir betrachten nun ein Beispiel, bei dem ϑ < 0 ist (s. Abb. 14.3 b). In diesem Fall ist die Jy -Komponente eine negative Zahl, da der Sinus in (14.11) eine ungerade Funktion ist, w¨ahrend die Jx -Komponente positiv bleibt. Das negative Vorzeichen stellt sicher, dass die zwei Schwingungen um 180◦ außer Phase sind; dies ist n¨otig, um linear polarisiertes Licht zu erzeugen, bei dem die E-Vektoren im zweiten und vierten Quadranten liegen. Die aus zwei zueinander senkrechten Komponenten resultierende Schwingung ˆy und die Phasendiﬀeˆx = E ergibt bekanntlich die Lissajous-Figuren. Wenn E renz zwischen den Schwingungen ungleich 0◦ und 180◦ ist, l¨auft die Spitze des E-Vektors zeitabh¨ angig auf einer Ellipse um. Nat¨ urlich k¨onnen wir die lineare Schwingung als Spezialfall einer elliptischen oder einer kreisf¨ormigen Schwingung ansehen. Abbildung 14.4 zeigt eine Folge von Lissajous-Figuren als Funktion der ur den allgemeinen Fall Eˆx = Eˆy . Beachten Sie Phasendiﬀerenz δ = ϕy − ϕx f¨ den Umlaufsinn der Spitze des E-Vektors auf der Ellipse, so wie es in Abb. 14.4 gezeigt ist. Dies unterscheidet den Fall δ = 45◦ von dem Fall δ = 315◦ . Wenn ˆy ist, dann werden die Ellipsen mit δ = 90◦ oder δ = 270◦ (entgegengeˆx = E E setzter Umlaufsinn) zu Kreisen. ˆ an und lassen Ey um 90◦ gegen¨ uber Ex in Wir nehmen jetzt Eˆx = Eˆy = E der Phase nacheilen, w¨ ahlen ϕx = 0 und erhalten damit δ = ϕy − ϕx = ϕy = ˆ hat, dann ist Ey = 0. Eine −π/2. Wenn z.B. Ex die maximale Auslenkung E ◦ ˆ usw. Abbildung 14.5 zeigt ater ist Ex = 0 und Ey = E Viertelperiode (90 ) sp¨ einige Beispiele f¨ ur die resultierende Schwingung. Aus (14.4) folgt dann an einem festen Ort (z = 0):

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

395

Abb. 14.4. Lissajous-Figuren als Funktion der Phasendiﬀerenz δ f¨ ur zueinander senkrechte Schwingungen von ungleicher Amplitude. F¨ ur alle Abbildungen gilt δ = ϕy − ϕx . Feldes in (14.2) und (14.3) ab. Das Der Umlaufsinn h¨ angt von der Deﬁnition des Ehier gew¨ ahlte positive Vorzeichen von ωt in (14.2) ergibt den gezeigten Umlaufsinn f¨ ur die entsprechenden Werte von δ. Negatives Vorzeichen von ωt f¨ uhrt zum umgekehrten Umlaufsinn

ˆx ejωt Ex = E ˆy ejωt−π/2 E =E y

¨ Beim Ubergang zum Realteil gilt dann: ˆ cos ωt Ex = E ˆ cos ωt − π = E ˆ sin ωt EY = E 2 Wir erinnern uns, dass ω = 2πf = 2π/T ist und k¨onnen damit jeden der F¨alle in ˆ 2 (cos2 ωt + sin2 ωt) = Eˆ 2 gilt, Abb. 14.5 darstellen. Da außerdem Eˆx2 + Eˆy2 = E l¨ auft die Spitze des resultierenden Vektors auf einem Kreis mit dem Radius Eˆ um. Wir ermitteln nun den normierten Jones-Vektor f¨ ur den oben beschriebenen √ ˆ ˆ ˆ Fall und setzen Ex = Ey = E/ 2, ϕx = 0 und ϕy = −π/2. Dann ist:

396

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Abb. 14.5. Resultierende E-Schwingung aus zwei orthogonalen Einzelschwingungen gleicher Amplitude und der Phasendiﬀerenz 90◦ . Die Punkte P zeigen die Position der resultierenden Schwingung. In Abb. 14.5 c) ist der kreisf¨ ormige Weg, den die Spitze von zur¨ E ucklegt, dargestellt. Wir erkennen, dass der E-Vektor im Gegen-Uhrzeigersinn uml¨ auft

ˆ = E

Eˆx ejϕx ˆy ejϕy E

ˆ E =√ 2

1 e−jπ/2

ˆ E =√ 2

1 −j

(14.13)

J folgt jetzt direkt aus (14.7): l¨auft hierbei entgegengeJones-Vektor f¨ ur linkszirkular polarisiertes Licht, E setzt dem Uhrzeigersinn um, wenn man dem Licht entgegenschaut 1 1 (14.14) Jlz = √ 2 −j Wenn Ey gegen¨ uber Ex um π/2 voreilt, erhalten wir wiederum zirkular polarisiertes Licht, das nun aber rechtszirkular polarisiert ist. Setzen wir in (14.7) ϕx = 0, δ = ϕy − ϕx = ϕy = π/2, dann erhalten wir den zugeh¨origen JonesVektor: Jones-Vektor f¨ ur rechtszirkular polarisiertes

Licht 1 1 Jrz = √ 2 j

(14.15)

Wir sehen, dass f¨ ur zirkular polarisiertes Licht immer eine der Komponenten des Jones-Vektors rein imagin¨ ar ist und dass die Betr¨age der Komponenten gleich sind. Aus der mathematischen Form von zweikomponentigen Polarisationsvekto-

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

397

ren l¨ asst sich nicht

immer sofort der Polarisationszustand des Lichtes erkennen. 1 j stellt z.B. rechtszirkular polarisiertes Licht dar, denn Der Vektor √ 2 −1

1 1 j 1 √ = j√ 2 2 −1 j Der Vorfaktor des Vektors beeinﬂusst die Amplitude und damit die Intensit¨at (Bestrahlungsst¨ arke) des Lichtes, aber nicht den Polarisationszustand. So lange kein Interesse an der Intensit¨ at des Lichtes besteht, k¨onnen Vorfaktoren unber¨ ucksichtigt bleiben.

Abb. 14.6. Elliptisch polarisiertes Licht mit der Phasendiﬀerenz δ = 90◦

Als N¨ achstes nehmen wir an, dass die Phasendiﬀerenz zwischen den zueinander senkrechten Einzelschwingungen weiterhin 90◦ betr¨agt, die Schwingungen ˆ ˆ aber verschiedene Amplituden haben. Wenn Ex = Ey ist, dann erhalten wir aus ˆ 2: (14.7) mit Eˆ = Eˆ 2 + E x

y

Jones-Vektor, elliptische Polarisation, Ellipsenachsen entlang x-, y-Achse, Drehung im Uhzeigersinn (rechtselliptisch)

ˆx 1 E (14.16) Jre = ˆy Eˆ jE Jones-Vektor, Drehung gegen Uhzeigersinn (linkselliptisch)

ˆx 1 E Jle = ˆy Eˆ −j E

(14.17)

Diese F¨ alle der elliptischen Polarisation sind in Abb. 14.4 f¨ ur δ = 90◦ und δ = 270◦ dargestellt. Wir erkennen, dass δ = −90◦ gleichwertig zu δ = +270◦ ist. Die Hauptachse der Ellipse ist entlang der x- oder y-Achse orientiert (s.

398

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

ˆ x /E ˆy abh¨angt. E Abb. 14.6), wobei ihre Richtung von dem Verh¨altnis von E kann die Ellipse im Uhrzeigersinn durchlaufen (Ey eilt Ex voraus) oder im Geutzt auf diese Beobachtungen genuhrzeigersinn rotieren (Ex eilt Ey voraus). Gest¨ k¨ onnen wir schließen, dass ein Jones-Vektor mit verschiedenen Komponenten (eine reell und die andere rein imagin¨ ar) elliptisch polarisiertes Licht darstellt, dessen Hauptachse entlang der x- oder y-Achse ausgerichtet ist.

Abb. 14.7. Elliptisch polarisiertes Licht. Die Hauptachse der Polarisationsellipse ist unter dem Winkel α relativ zur x-Achse geneigt; ε ist der Elliptizit¨ atswinkel

Man kann auch elliptisch polarisiertes Licht herstellen, dessen Hauptachse relativ zur x-Achse geneigt ist, wie in Abb. 14.7 dargestellt. Dieser Fall tritt auf, wenn die Phasendiﬀerenz zwischen den Schwingungskomponenten von δ = mπ (lineare Polarisation) oder δ = (2m + 1)π/2 (zirkulare oder elliptische Polarisation (entlang der x- oder y-Achse orientiert)) verschieden ist. Hierbei ist m = 0, ±1, ±2, . . .. F¨ ur diesen allgemeinen Fall erh¨alt man mit ϕx = 0, ˆy aus (14.5): δ = ϕy − ϕx = ϕy , Eˆx = E

ˆx ejϕx ˆx E E ˆ = E = (14.18) ˆy ejϕy ˆy ejδ E E Unter Benutzung der Eulerschen Formel erhalten wir: ˆy (cos δ + j sin δ) = E ˆyr + j E ˆyi ˆy ejδ = E E F¨ ur diesen allgemeinen Fall erh¨ alt man f¨ ur die Feldamplitude

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

ˆ = E ˆ= und mit E

399

Eˆx ˆyi ˆyr + j E E

ˆy2 f¨ ˆx2 + E ur den Jones-Vektor aus (14.7) E

Jones-Vektor f¨ ur elliptische Polarisation, Ellipsenlage beliebig

1 J = ˆ E

ˆx E

ˆyi ˆyr + j E E

(14.19)

wobei eines der Elemente nun eine komplexe Zahl ist, die Real- und Imagin¨arteil aufweist. Dies ist die allgemeinste Form des Jones-Vektors, die alle vorher diskutierten F¨ alle enth¨ alt. Die Polarisationsellipse“ verl¨auft innerhalb eines Recht” ˆ eckes mit den Seiten 2Eˆx und 2E y . Aus (14.19) ergibt sich:

ˆyi E 2 ˆ ˆ2 + E Eˆy = E (14.20) yr yi und δ = arctan Eˆyr Man kann zeigen, dass die Hauptachse a der Polarisationsellipse, deren JonesVektor durch (14.19) gegeben ist, relativ zur x-Achse um den Winkel α geneigt ist, wie das in Abb. 14.7 gezeigt wird. Den Neigungswinkel α erh¨alt man aus: ˆx Eˆy cos δ 2E tan 2α = = Eˆ 2 − Eˆ 2 x

y

ˆ E

2 Eˆy x ˆ 2 cos δ Ey 1 − Eˆ

(14.21)

x

Die Elliptizit¨ at der Polarisationsellipse kann man entweder durch das Verh¨altnis der Halbachsen b/a oder u ¨ber tan ε = b/a durch den Winkel ε, der der kleinen Halbachse b gegen¨ uberliegt, beschreiben (s. Abb. 14.7). Der Elliptizit¨atswinkel ε ergibt sich aus: ˆx E ˆy sin δ 2E sin 2ε = = ˆ2 ˆ2 + E E x

y

ˆ E

2 Eˆy x ˆ 2 sin δ Ey 1 + Eˆ

(14.22)

x

Beispiel 14.1 Jones-Vektor f¨ ur elliptisch polarisiertes Licht, Polarisationsellipse Zeigen Sie, dass der Jones-Vektor

1 3 √ 14 2+j elliptisch polarisiertes Licht darstellt.

400

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

L¨ osung Die Phasendiﬀerenz der Einzelschwingungen ist √ ˆyi /Eˆyr ) = 26,6◦ . Da E ˆ x /E ˆ = 3/ 14 und E δ = ϕy −√ϕx = arctan( √ ˆ = 2√2 +12 = √ 5 ist, erh¨ ˆ y /E alt man den Neigungswinkel zu E 14 14 1 α = arctan 2

√

ˆ E

2 Eˆy 2 35 cos 26,6◦ 1 ◦ x √ 2 = 35,8 ˆ 2 cos δ = arctan 2 Ey 5 1− 3 1 − Eˆ x

Mit diesen Werten kann man die Ellipse, wie in Abb. 14.7 gezeigt, skizzieren. Genauere Werte liefert die Gleichung der Ellipse:

Ex ˆx E

2 +

Ey ˆy E

2

−2

Ex Eˆx

Ey ˆy E

cos δ = sin2 δ

(14.23)

F¨ ur dieses Beispiel erh¨ alt man als Gleichung der Ellipse 1,55

Ex ˆ E

2

+ 2,8

Ey ˆ E

2 − 3,74

Ex Ey = 0,2 Eˆ 2

¨ Tabelle 14.1 gibt einen Uberblick u ¨ ber die Jones-Vektoren in normierter Form. Wenn man in der Literatur andere, nicht normierte oder dimensionsbehaftetete Jones-Vektoren vorﬁndet,

kann

man den Polarisationszustand trotzdem ermitteln. Ein Vektor

2

=2

1

stellt linear polarisiertes Licht dar, das unter 2 1 einem Winkel von 45◦ zur x-Achse geneigt ist. Multiplikation des Jones-Vektors mit einer Konstanten ¨ andert die Amplitude des E-Feldes, aber nicht den Polarisationszustand. Die Multiplikation mit einem Faktor ejΦ verschiebt die Phase jedes Elementes um Φ, so dass ϕx → ϕx + Φ und ϕy → ϕy + Φ gilt. Da die Phasendiﬀerenz δ bei diesem Verfahren nicht ver¨andert wird, stellen die neuen Vektoren den gleichen Polarisationszustand wie vorher dar. Deshalb ergibt z.B. die Multiplikation des Vektors, der linkszirkular polarisiertes Licht darstellt (s. Tab. 14.1), mit dem Faktor ejπ/2 = j:

1 1 1 j j√ =√ 2 2 −j 1 eine weitere Form dieses Vektors. Die Jones-Vektoren werden hier f¨ ur positives Vorzeichen von ωt in (14.2) und (14.3) angegeben. Ein negatives Vorzeichen von ωt in der Phase kz − ωt + ϕ, wie z.T. in anderen B¨ uchern gew¨ ahlt, bedeutet die Vertauschung des Umlaufsinnes f¨ ur elliptisch oder zirkular polarisiertes Licht bei gleichen Jones-Vektoren.

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

401

In Tabelle 14.1 sind außerdem die normierten Stokes-Vektoren f¨ ur ausgew¨ahlte F¨ alle angegeben. Die Stokes-Vektoren sind komplizierter zu handhaben, haben aber den Vorteil, dass man auch teilweise (partiell) polarisiertes Licht beschreiben, und den Polarisationsgrad von Licht angeben kann. Die Tabelle 14.2 beschreibt die normierten Stokes-Parameter S0 , S1 , S2 und S3 , die die Komponenten des normierten StokesVektors sind. Aus den Stokes-Parametern l¨asst sich der Polarisationszustand des Lichtes nicht immer einfach ablesen. Die Tabelle 14.2 zeigt, dass die elektrischen ˆy nie isoliert, wie bei den Jones-Vektoren, sondern ˆx und E Feldamplituden E immer nur gemeinsam – z.T. auch mit Winkelfunktionen in den Parametern – auftreten. SN ist der auf S0 normierte Stokes-Vektor, d.h. die Komponenten sind durch den zur Intensit¨ at proportionalen Stokes-Parameter S0 dividiert. ⎛ ⎞ S0 ⎜ ⎟ 1 ⎜ S1 ⎟ ⎜ ⎟ SN = (14.24) normierter Stokes-Vektor ⎟ S0 ⎜ ⎝ S2 ⎠ S3 Im Folgenden werden wir ausschließlich normierte Stokes-Vektoren benutzen und deshalb den Zusatz normiert“ bzw. den Index N“ weglassen. ” ” F¨ ur den Polarisationsgrad Π von teilpolarisiertem Licht gilt mit Ipola und ur die Intensit¨ aten des polarisierten bzw. unpolarisierten Lichtanteils: Iunpola f¨ Π=

Ipola Ipola + Iunpola

(14.25)

Aus dem gemessenen Stokes-Vektor l¨ asst sich der Polarisationsgrad wie folgt berechnen: 1 Polarisationsgrad S12 + S22 + S32 (14.26) Π= S0 Π = 1 bedeutet, dass das Licht vollst¨ andig polarisiert ist, Π < 1 zeigt an, dass teilweise (partielle) Polarisation vorliegt.

402

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

und Stokes(S)-Vektoren Tabelle 14.1. Jones(J)f¨ ur ausgew¨ ahlte Polarisationszust¨ ande I. lineare Polarisation

allgemein:

⎛

⎞

⎜ cos ϑ ⎟ ⎟ J = ⎜ ⎝ ⎠ sin ϑ ⎛ ⎛

vertikal:

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ v = ⎜ S ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎞

⎜ 0 ⎟ ⎟ Jv = ⎜ ⎝ ⎠ 1

⎛ ⎛ horizontal:

⎞

0

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ h = ⎜ S ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎟ Jh = ⎜ ⎝ ⎠ 0

0 ⎛ ⎛ bei +45◦ :

J45◦ =

√1 2

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1

45◦ S

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 ⎛

⎛ bei −45◦ :

J−45◦ =

1 √ 2

⎞

⎜ 1 ⎟ −45◦ ⎜ ⎟ S ⎝ ⎠ −1

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren II. Zirkulare Polarisation

⎛ ⎛

links δ = − π2 :

Jlz =

1 √ 2

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −j

lz S

rechts δ = + π2 :

Jrz =

1 √ 2

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j

rz S

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛

⎛

403

−1 ⎞

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1

III. Elliptische Polarisation links δ = − π2 :

rechts δ =

π 2

:

ˆyi < 0 : links E

ˆyi > 0 : rechts E

⎛ Jle =

Jre =

Je =

1 ˆ2 ˆ 2 +E E x y

1 ˆ2 ˆ 2 +E E x y

⎜ ⎜ ⎝

⎞ ˆx E

⎟ ⎟ ⎠

ˆy −jE ⎛ ⎞ ˆ ⎟ ⎜ E ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ˆy jE ⎛

1 ˆ 2 +E ˆ2 ˆ 2 +E E x yr yi

⎜ ⎜ ⎝

⎞ ˆx E

ˆyr + jE ˆyi E

⎟ ⎟ ⎠

404

14 Matrixbeschreibung der Polarisation Tabelle 14.2. Normierte Stokes-Parameter

Normierte Stokes Parameter

Beziehung zur Polarisationsellipse (vollst¨ andig polarisierte Strahlung)

S0 =1 S0

Berechnung aus elektrischen Feldamplituden

=

ˆy2 ˆx2 + E E ˆx2 + E ˆy2 E

=

ˆx2 − E ˆy2 E ˆx2 + E ˆy2 E

S1 S0

= cos 2ε · cos 2α

S2 S0

= cos 2ε · sin 2α

=

ˆx E ˆy cos δ 2E ˆx2 + E ˆy2 E

S3 S0

= sin 2ε

=

ˆx E ˆy sin δ 2E ˆx2 + E ˆy2 E

Bedeutung (Messung)

S0 ist proportional zur Intensit¨ at normierte Diﬀerenz der Strahlungsﬂ¨ usse, die von einem linearen Polarisator in horizontaler bzw. vertikaler Stellung durchgelassen werden normierte Diﬀerenz der Strahlungsﬂ¨ usse, die von einem linearen Polarisator in der Stellung +45◦ bzw. -45◦ durchgelassen werden normierte Diﬀerenz der Strahlungsﬂ¨ usse, die von einem rechtsoder links-zirkularen Polarisator durchgelassen werden

14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren

405

Beispiel 14.2 Stokes-Vektoren f¨ ur verschiedene Polarisationen ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ h = ⎜ ⎟ horizontal vollst¨andig linear polarisiertes Licht S ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0

⎛

1

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v,teilpola = ⎜ −0,9 ⎟ S ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎛

⎞

0

1 ⎜ ⎟ ⎜ 0,8 ⎟ ⎟ e = ⎜ S ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0,6 ⎛

1

vertikal teilweise linear polarisiertes Licht

rechtselliptisch vollst¨andig polarisiertes Licht ⎞

⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ Sunpola = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠

unpolarisiertes Licht

0 Weitere Beispiele f¨ ur Stokes-Vektoren sind in Tab. 14.1 gegeben. Zur Beschreibung des Polarisationszustandes kann man auch die Poincar´eKugel benutzen. Hierbei werden die Stokes-Parameter S1 , S2 , S3 als kartesische Koordinaten eines Punktes auf einer Kugel mit dem Radius S0 betrachtet. Den Winkel 2α benutzt man wie eine geographische L¨ange“, den Winkel 2ε wie eine ” geographische Breite“. Rechtselliptisch polarisiertes Licht (S3 > 0) wird durch ” Punkte auf der oberen Halbkugel dargestellt, rechtszirkular polarisiertes Licht (S3 = 1) ist durch den Nordpol“ der Kugel gegeben. Linear polarisiertes Licht ” ¨ dargestellt. F¨ ur die untere (S3 = 0) wird durch Punkte in der Aquatorebene Halbkugel ergeben sich die entsprechenden linkselliptischen oder linkszirkularen Zust¨ ande. ¨ Als N¨ achstes wollen wir die Uberlagerung von mehreren Polarisationszust¨anden berechnen. Die Addition von links- und rechtszirkular polarisiertem Licht gibt z.B.:

1 1 2 1 1 1 1+1 1 √ +√ =√ =√ 2 2 2 2 −j j −j + j 0

406

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Dies ist linear polarisiertes Licht der doppelten Amplitude. Wir schließen daraus, dass linear polarisiertes Licht als eine Superposition von gleichen Anteilen links- und rechtszirkular polarisierten Lichtes betrachtet werden ¨ kann. In einem weiteren Beispiel betrachten wir die Uberlagerung von vertikal und horizontal polarisiertem Licht, das in Phase ist:

√ 1 1 0 1 + = 2√ 2 1 1 0 √ Als Ergebnis erhalten wir linear polarisiertes Licht der 2-fachen Amplitude mit einem Neigungswinkel von 45◦ relativ zur x-Achse. Wir sehen, dass die Addition von orthogonalen Komponenten linear polarisierten Lichtes kein unpolarisiertes ˆx ¨ Licht ergibt. Unpolarisiertes Licht erh¨ alt man, wenn bei Uberlagerung der E ˆ ˆ ˆ und Ey -Amplituden Ex = Ey gilt und die Nullphasen ϕx und ϕy zeitlich statistisch schwanken. Die Wellen sind dann inkoh¨arent. Mit Jones-Vektoren kann man kein unpolarisiertes oder partiell polarisiertes Licht darstellen.

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren Optische Elemente, die Licht transmittieren und dabei den Polarisationszustand ¨andern, nennt man Polarisatoren. Die physikalischen Grundlagen der Polarisatoren werden im n¨ achsten Kapitel diskutiert. Hier werden nur die drei grunds¨atzlichen Typen von Polarisatoren vorgestellt.

Abb. 14.8. Wirkung eines Linearpolarisators auf unpolarisiertes Licht

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren

407

Linearpolarisator Dieses linear polarisierende Element unterdr¨ uckt im Idealfall alle E-Schwingungen in einer gegebenen Richtung und l¨ asst Schwingungen in der dazu senkrechten Richtung durch. Meistens ist die Selektivit¨at nicht vollst¨andig (<100%), so dass das transmittierte Licht partiell polarisiert ist. Abbildung 14.8 zeigt den prinzipiellen Vorgang f¨ ur den idealen Polarisator. Unpolarisiertes Licht, das sich in +z-Richtung ausbreitet, durchl¨ auft einen ebenen Polarisator, dessen Transmissionsachse (TA) senkrecht steht. Unpolarisiertes Licht wird durch zwei zueinander senkrechte x- und y-Schwingungen dargestellt, da jede Schwingungsrichtung in Komponenten entlang den Achsen zerlegt werden kann. Das durchgelassene Licht enth¨ alt nur Komponenten entlang der TA-Richtung und ist deshalb vertikal in y-Richtung polarisiert. Die horizontalen Komponenten des Ursprungslichtes sind herausgeﬁltert worden. In Abb. 14.8 soll dieser Prozess zu 100% wirksam sein. Phasenverz¨ ogerer (Verz¨ ogerungsplatte) y -Welle. Er bewirkt x - noch die E Der Phasenverz¨ ogerer unterdr¨ uckt weder die E eine Phasendiﬀerenz zwischen ihnen. Licht, das eine Verz¨ogerungsplatte mit verschiedener Geschwindigkeit f¨ ur die senkrecht zueinander polarisierten Komponenten durchl¨ auft, hat deshalb nach dem Durchgang eine Phasendiﬀerenz δ zwischen beiden Wellen. Abbildung 14.9 zeigt die prinzipielle Auswirkung einer Verz¨ogerungsplatte auf vertikal oder horizontal polarisiertes Licht, wobei die horizontale Komponente die Platte langsamer durchl¨ auft als die vertikale Komponente, da die langsame“ Achse (Schwingungsrichtung mit kleinerer Phasengeschwindig” keit) horizontal steht. Betr¨ agt die Phasendiﬀerenz δ = 90◦ , so nennt man diese Verz¨ ogerungsplatte eine Viertelwellenplatte (λ/4-Platte), wenn die Phasendiﬀeagt, bezeichnet man sie als Halbwellenplatte(λ/2-Platte). renz δ = 180◦ betr¨ Polarisationsdreher Ein Polarisationsdreher dreht die Schwingungsrichtung linear polarisierten Lichtes um einen deﬁnierten Winkel, ohne hierbei die Intensit¨at abh¨angig vom Drehwinkel zu ¨ andern. Linearpolarisatoren drehen ebenfalls die Schwingungsebene des Lichtes, allerdings ¨ andert sich die durchgelassene Intensit¨at mit dem Drehwinkel (s. Kap. 15). In Abb. 14.10 ist vertikal linear polarisiertes Licht gezeigt, das auf den Polarisationsdreher einf¨ allt. Dieser dreht die Schwingungsrichtung in diesem Fall um den Winkel β. Jones-Matrizen der Polarisatoren Wir leiten nun den Satz von Matrizen ab, der die drei vorher genannten Typen von Polarisatoren darstellt. Genauso wie ein optisches Element den Polarisationszustand eines Lichtstrahles ¨ andert, wird die entsprechende Matrix so auf einen

408

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Abb. 14.9. a) Wirkung einer Verz¨ ogerungsplatte. LA zeigt die Richtung der lang” samen“ Achse (kleinere Phasengeschwindigkeit = kleinere Wellenl¨ ange im Material) und SA die Richtung der schnellen“ Achse (gr¨ oßere Phasengeschwindigkeit = gr¨ oßere ” Wellenl¨ ange im Material) im anisotropen Material der Platte. b) Aufsicht der Verz¨ ogerungsplatte, Momentaufnahme der Wellenfronten. F¨ ur eine u ¨ bersichtlichere Darstellung sind die langsame“ und die schnelle“ Komponente in der Platte je zur H¨ alfte gezeich” ” net. F¨ ur die Phasendiﬀerenz gilt: δ = 2π∆/λ0

Abb. 14.10. Polarisationsdreher

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren

409

Jones-Vektor wirken, dass wir mathematisch das gleiche Resultat wie im Experiment erhalten. Wir betrachten zun¨ achst einen linearen Polarisator, dessen Durchlassachse vertikal ist (s. Abb. 14.8). Der Polarisator ist durch eine 2 × 2 Matrix dargestellt, die hier auf vertikal (y-Richtung) polarisiertes Licht wirkt. Die Elemente der Matrix bezeichnen wir mit den Buchstaben a, b, c und d. Das durchgelassene resultierende Licht ist f¨ ur diesen Fall wieder vertikal linear polarisiert. Symbolisch:

a b 0 0 = c d 1 1 Diese Matrixgleichung entspricht den folgenden algebraischen Gleichungen a·0+b·1= 0 c·0+d·1= 1 aus denen wir b = 0 und d = 1 erhalten. Um die Elemente a und c zu bestimmen, lassen wir den gleichen Polarisator auf horizontal polarisiertes Licht wirken. In diesem Fall wird kein Licht durchgelassen oder:

a b 1 0 = c d 0 0 Die entsprechenden algebraischen Gleichungen lauten jetzt a·1+b·0= 0 c·1+d·0= 0 Aus ihnen erhalten wir a = 0 und c = 0. Wir schließen hieraus, dass die entsprechende Matrix einen linearen Polarisator beschreibt: linearer Polarisator, vertikale Transmissionsachse ( 90◦ relativ zur x-Achse)

0 0 M= (14.27) 0 1 Die Matrix f¨ ur einen Linearpolarisator, dessen Durchgangsachse horizontal in x-Richtung steht, kann auf ¨ ahnliche Weise erhalten werden. In Tabelle 14.3 am Ende dieses Kapitels ist diese Matrix ebenfalls angegeben. Als N¨achstes nehmen wir an, dass die Transmissionsachse des Linearpolarisators unter einem Winkel von 45◦ zur x-Achse geneigt ist. Um die weitere Betrachtung zu vereinfachen, lassen wir linear polarisiertes Licht mit der Schwingungsrichtung in Richtung

410

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

oder senkrecht zur Transmissionsachse auf den Polarisator einfallen. Aus dem Vorhergehenden ergibt sich

a b 1 1 a b 1 0 = und = c d 1 1 c d −1 0 oder a + b = 1 , c + d = 1 , a − b = 0 , c − d = 0 woraus a = b = c = d = 1/2 folgt. Damit ergibt sich die entsprechende Matrix: Linearpolarisator, Transmissionsachse unter dem Winkel +45◦ relativ zur x-Achse

1 1 1 (14.28) M= 2 1 1 In gleicher Weise erh¨ alt man eine allgemeine Matrix, die einen Linearpolarisator mit einer Durchlassachse unter dem Winkel θ relativ zur x-Achse darstellt. Die ¨ Ableitung kann man als Ubung selbst durchf¨ uhren. Das Ergebnis ist Linearpolarisator, Transmissionsachse unter dem Winkel θ relativ zur x-Achse

sin θ cos θ cos2 θ (14.29) M= sin θ cos θ sin2 θ was (14.27) und (14.28) als Spezialf¨ alle mit θ = 90◦ und θ = 45◦ enth¨alt. Wir wenden uns jetzt den Phasenverz¨ ogerern zu und suchen eine Matrix, die die Elemente ˆx ejϕx E

ˆx ej(ϕx +Φx ) in E

ˆy ejϕy E

ˆy ej(ϕy +Φy ) in E

und

u uhrt. ¨ berf¨ Die ben¨ otigte Matrixgleichung lautet dann:

ˆx ejϕx 0 E ejΦx 0

ejΦy

ˆy ejϕy E

=

ˆx ej(ϕx +Φx ) E ˆy ej(ϕy +Φy ) E

Daraus ergibt sich die allgemeine Form eines Phasenverz¨ogerers:

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren

M=

Phasenverz¨ogerer

411

ejΦx

0

0

ejΦy

(14.30)

x - und E y -Komponenten des wobei Φx und Φy die Voreilung der Phase der E einfallenden Lichtes nach Durchgang durch den Phasenverz¨ogerer darstellen. Nat¨ urlich k¨ onnen Φx und Φy negative Gr¨oßen sein. Als Spezialfall betrachten wir die Viertelwellenplatte (VWP), f¨ ur die δ = ϕy − ϕx + Φy − Φx = ±π/2 ist. Wir unterscheiden die F¨ alle, f¨ ur die δ = +π/2 (SA vertikal) und δ = −π/2 (SA horizontal). Wir setzen im 1. Fall Φx = 0 und Φy = +π/2 und ϕy = ϕy = 0, so dass δ = +π/2. Es ist oﬀensichtlich, dass es noch andere ¨aquivalente Formen der JonesMatrizen geben kann, genauso wie bei den Jones-Vektoren. Diese spezielle Wahl liefert jedoch eine verbreitete Form der Matrix, die sich symmetrisch darstellt: Viertelwellenplatte, schnelle Achse vertikal

M=

e0

0

0

ejπ/2

1 0

=

0

(14.31)

j

In ¨ ahnlicher Weise erhalten wir f¨ ur den 2. Fall mit δ = −π/2

Viertelwellenplatte, schnelle Achse horizontal

M=

1

0

0

−j

(14.32)

Die entsprechenden Matrizen f¨ ur Halbwellenplatten (HWP), bei denen δ = ±π ist, sind

schnelle Achse vertikal

Halbwellenplatten:

e0 0 1 M= = jπ 0 e 0

schnelle Achse horizontal

M=

e0

0

0

e−jπ

0

=

(14.33)

−1 1

0

0

−1

(14.34)

Die Elemente der Matrizen sind in beiden F¨ allen gleich, da die Voreilung (δ = +π) der Phase physikalisch ¨ aquivalent zur Nacheilung (δ = −π) ist. Der Unterschied besteht nur in den Vorfaktoren, die die Phasen aller Elemente des Jones-Vektors in der gleichen Weise ¨ andern und deshalb keinen Einﬂuss auf den Polarisationszustand des Ergebnisses haben.

412

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Ein Polarisationsdreher um den Winkel β muss einen E-Vektor, der linear unter einem Winkel ϑ schwingt, in einen Vektor transformieren, der unter dem Winkel (ϑ+β) schwingt. Deshalb m¨ ussen die Matrixelemente folgender Gleichung gen¨ ugen:

a b cos ϑ cos(ϑ + β) = c d sin ϑ sin(ϑ + β) oder a cos ϑ + b sin ϑ = cos(ϑ + β) und c cos ϑ + d sin ϑ = sin(ϑ + β) Die trigonometrischen Gleichungen f¨ ur die Summe zweier Winkel lauten cos(ϑ + β) = cos ϑ cos β − sin ϑ sin β sin(ϑ + β) = sin ϑ cos β + cos ϑ sin β so dass a = cos β,

c = sin β,

b = − sin β,

d = cos β

und man folgende Matrix erh¨ alt: Polarisationsdreher, Rotation um Winkel β

M=

cos β

− sin β

sin β

cos β

(14.35)

Die in diesem Kapitel abgeleiteten Jones-Matrizen sowie die M¨ uller-Matrizen sind in den Tabellen 14.3 und 14.4 zusammengefasst. Die M¨ uller-Matrizen beschreiben die Polarisatoren f¨ ur die Anwendung auf den Stokes-Vektor. Als wichtige Anwendung werden wir die Erzeugung zirkular polarisierten Lichtes mit der Kombination eines Linearpolarisators und einer Viertelwellenverz¨ ogerungsplatte (VWP) diskutieren, wie in Abb. 14.11 dargestellt. Der Linearpolarisator (LP) erzeugt Licht, das unter einem Winkel von 45◦ schwingt und auf eine VWP f¨ allt. Bei dieser Anordnung wird das Licht, das auf die VWP einf¨allt, mit gleicher Amplitude auf die schnelle und langsame Achse aufgeteilt. Nach dem Durchgang bewirkt die erzeugte Phasendiﬀerenz von 90◦ die Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht. Im Rahmen des Jones-Formalismus ist die Wirkung der VWP-Matrix auf einen Jones-Vektor f¨ ur linear polarisiertes Licht:

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren

413

Tabelle 14.3. Jones-Matrizen I. Linearpolarisatoren ⎛ ⎞ ⎜ 1 horizontale TA: ⎜ ⎝ 0

⎛

0 ⎟ ⎟ ⎠ 0 ⎛

TA 45◦ zur Horizontalen:

1 2

⎜ 0 vertikale TA: ⎜ ⎝ 0

⎞

⎜ 1 ⎜ ⎝ 1

1 ⎟ ⎟ ⎠ 1

II. Phasenverz¨ ogerer

⎞

0

⎜ 1 schnelle Achse vertikal: ⎜ ⎝ 0

⎛

⎜ 1 schnelle Achse horizontal: ⎜ ⎝ 0

III. Polarisationsdreher

⎛

1 0 0

j

1 √ 2

⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠ −j ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠ −1

⎞

⎜ cos β Polarisationsdreher (ϑ → ϑ + β): ⎜ ⎝ sin β

⎛

⎜ 1 schnelle Achse horizontal: ⎜ ⎝ 0

0 ⎟ ⎟ ⎠ −1

−1 ⎟ ⎟ ⎠ 1

ejΦy

Halbwellenplatte ⎞

⎛

⎜ 1 ⎜ ⎝ −1

⎟ ⎟ ⎠

⎞Viertelwellenplatte 0 ⎟ ⎟ ⎠ j

1 2

⎞

⎞

⎜ ejΦx allgemein: ⎜ ⎝ 0

⎜ 1 schnelle Achse vertikal: ⎜ ⎝ 0

⎛

TA −45◦ zur Horizontalen:

⎛

⎛

0 ⎟ ⎟ ⎠ 1

− sin β ⎟ ⎟ ⎠ cos β

1 1

1 =√ 2

1 j

Man erh¨ alt also rechtszirkulares Licht. Vertauscht man schnelle und langsame Achse der VWP, so ergibt eine gleichartige Berechnung, dass man linkszirkular polarisiertes Licht erh¨ alt.

414

14 Matrixbeschreibung der Polarisation Tabelle 14.4. M¨ uller-Matrizen

I. Linearpolarisatoren ⎛ 1 1 ⎜ ⎜ 1⎜ 1 1 horizontale TA: ⎜ 2⎜ 0 0 ⎝ 0 0

⎞ 0

⎛

0

⎟ ⎟ 0 ⎟ vertikale TA: ⎟ 0 0 ⎟ ⎠ 0 0 ⎛ 1 0 1 0 ⎜ ⎜ 1⎜ 0 0 0 0 TA 45◦ relativ zur Horizontalen: ⎜ 2⎜ 1 0 1 0 ⎝

◦

1

0

TA −45 relativ zur Horizontalen:

⎛ 0 0 0 0 1 0 −1 ⎜ ⎜ 1⎜ 0 0 0 ⎜ 2 ⎜ −1 0 1 ⎝ 0

0

0

⎞

⎜ ⎜ 1 ⎜ −1 ⎜ 2⎜ 0 ⎝ 0

⎞

−1

0

1

0

0

0

0

0

0

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠ 0

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 0

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠ 0

II. Phasenverz¨ ogerer

⎛

⎞ 1

Viertelwellenplatte, schnelle Achse vertikal:

Viertelwellenplatte, schnelle Achse horizontal:

Halbwellenplatte, schnelle Achse vertikal oder horizontal:

⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ 0

0

0

1

0

0

0

0

1

1 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ 0

0

0

1

0

0

0

0

−1

1 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0

0

0

1

0

0

−1

0

0

0

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎠ 0 ⎞ 0

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠ 0 ⎞ 0

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠ −1

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren

415

Abb. 14.11. Erzeugung von rechtszirkular polarisiertem Licht: Zirkularpolarisator (VWP = Viertelwellenplatte, LP = Linearpolarisator, LA = langsame Achse, SA = schnelle Achse, TA = Transmissionsachse)

Beispiel 14.3 Linkszirkular polarisiertes Licht durchl¨ auft Achtelwellenplatte Untersuchen Sie den Polarisationszustand linkszirkular polarisierten Lichtes nach Durchgang durch eine Achtelwellenplatte! L¨ osung Zun¨ achst ben¨ otigen wir eine Matrix, die die Achtelwellenplatte darstellt. Dies ist ein Phasenverz¨ ogerer, der eine Phasendiﬀerenz von δ = 2π/8 = π/4 oder 45◦ erzeugt. Wir setzen Φx = 0 und Φy = +π/4 und erhalten aus (14.30):

1 0 0 ejΦx = M= 0 ejπ/4 0 ejΦy

416

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Diese Matrix lassen wir nun auf einen Jones-Vektor f¨ ur linkszirkular polarisiertes Licht wirken:

1 1 1 1 0 1 1 1 √ =√ =√ 2 2 2 0 ejπ/4 −j −j ejπ/4 e−jπ/4 Der resultierende Jones-Vektor zeigt, dass das Licht elliptisch polarisiert ist, wobei die Komponenten eine Phasendiﬀerenz von δ = −45◦ aufweisen. Benutzen wir die Eulersche Formel, entwickeln e−jπ/4 : 1 −1 1 √ e−jπ/4 = √ + j √ 2 4 4 und erhalten: ⎛ ⎝

√1 2 √1 4

−1 + j√ 4

⎞ ⎠

Durch Vergleich mit dem Jones-Vektor (14.19) f¨ ur elliptisch polarisiertes Licht 1 Je = ˆ E

ˆx E ˆyi ˆyr + j E E

folgt

ˆyr Eˆx 1 E 1 Eˆyi 1 =√ , =√ , = −√ ˆ ˆ ˆ 2 E 4 E 4 E

und: " 2

2 #

ˆyr ˆ ˆyi 1 # 1 E Ey E $ =√ + =√ ˆ ˆ ˆ 4 2 E E E Aus (14.20) und (14.21) bestimmen wir α = 45◦ . Wenn Licht, das durch den Jones-Vektor J dargestellt wird, der Reihe nach die Polarisatoren dargestellt durch die Matrizen M1 , M2 , M3 , . . ., Mm , durchl¨auft, erh¨alt man (Mm . . . M3 M2 M1 )J = MS J mit der Systemmatrix MS = Mm . . . M3 M2 M1 . Entsprechendes gilt f¨ ur den Stokes-Vektor und die M¨ uller-Systemmatrix.

¨ Ubungen 14.1 Gegeben ist ein linearer Polarisator, dessen Transmissionsachse unter einem beliebigen Winkel θ zur Horizontalen steht. Bestimmen Sie die zugeh¨ orige Jones-Matrix. 14.2 Bestimmen Sie die normierten Jones-Vektoren f¨ ur jede der folgenden Wellen und ermitteln Sie den Polarisationszustand jeder Welle. =E ˆxex cos(ωt − kz) + E ˆ a) E ( ) y ey cos(ωt −( kz) ) z ˆ ˆy ey sin 2π f t − z b) E = Exex sin 2π f t − λ + E λ

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren c) d)

417

=E ˆxex sin(ωt − kz) + E ˆy ey sin ωt − kz − π E 4 =E ˆxex cos(ωt − kz) + E ˆy ey cos ωt − kz + π E 2

14.3 Beschreiben Sie so vollst¨ andig wie m¨ oglich den Polarisationszustand jeder der folgenden Wellen und ermitteln Sie Amplitude und Richtung der Wellenausbreitung. = 2E ˆ ej(ωt−kz)ex a) E =E ˆ ej(ωt−kz) (3ex + 4ey ) b) E =E ˆ ej(ωt+kz) (ex − j ey ) c) E 14.4 Zwei linear polarisierte Wellen sind durch die folgenden √ Formeln gegeben: ˆ ˆ E1 = E1 (ex − ey ) cos(ωt − kz) und E2 = E2 3ex + ey cos(ωt − kz) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Polarisationsebenen der Wellen: a) aus den Jones-Vektoren und der Schwingungsrichtung und b) aus dem Skalarprodukt der vektoriellen Feldamplituden. 14.5 Linear polarisiertes Licht wird nacheinander auf verschiedene polarisierende Elemente geschickt. Bestimmen Sie den Polarisationszustand des Lichtes nach Durchgang durch: a) eine Halbwellenplatte mit der langsamen Achse unter 45◦ , b) einen Linearpolarisator mit der Transmissionsachse unter 45◦ , c) eine Viertelwellenplatte mit horizontaler langsamer Achse. Benutzen Sie die Matrixmethode und analysieren Sie den Jones-Vektor nach Durchgang durch alle Komponenten, um das erzeugte Licht zu charakterisieren. Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst die Wirkung der (HWP) Halbwellenplatte auf das einfallende Licht. 14.6 Schreiben Sie die Gleichungen f¨ ur die elektrischen Felder folgender Wellen in Exponentialform: a) Eine linear polarisierte Welle, die sich in x-Richtung ausbreitet. Der E-Vektor steht unter einem Winkel von 30◦ relativ zur y-Achse. b) Eine rechts-elliptisch polarisierte Welle breitet sich in y-Richtung aus. Die Hauptachse der Ellipse ist in z-Richtung und doppelt so lang wie die Nebenachse. c) Eine linear polarisierte Welle breitet sich in der x-y-Ebene unter einem Winkel von 45◦ relativ zur x-Achse aus. Die Polarisationsrichtung ist in z-Richtung. 14.7 Bestimmen Sie die Form der Komponenten des allgemeinen Jones-Vektors (14.19) f¨ ur folgende Spezialf¨ alle: a) linear polarisiertes Licht, b) elliptisch polarisiertes Licht mit der Hauptachse entlang einer Koordinatenachse, c) zirkular polarisiertes Licht. ˆ E ˆyr /E ˆ und E ˆyi /E ˆ die Phasendiﬀerenz ˆx /E, Leiten Sie f¨ ur jeden der F¨ alle aus E zwischen den Schwingungskomponenten ab. 14.8 Zeichnen Sie mit Hilfe von (14.23) die Ellipse f¨ ur den im Beispiel 14.1 gegebenen Jones-Vektor: ⎛ ⎞ 1 3 ⎠ √ ⎝ 14 2+j

418

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

14.9 Bestimmen Sie den Polarisationszustand f¨ ur jeden der folgenden PolarisationsVektoren: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3j j 4j 5 2 2 2 ⎠ b) ⎝ ⎠ c) ⎝ ⎠ d) ⎝ ⎠ e) ⎝ ⎠ f) ⎝ ⎠ g) ⎝ ⎠ a) ⎝ j 1 5 0 2j 3 6 + 8j 14.10 Linear polarisiertes Licht, dessen E-Vektor unter +30◦ relativ zur x-Achse steht, geht durch eine Viertelwellenplatte mit horizontaler langsamer Achse. Bestimmen Sie den Polarisationszustand des Lichtes nach dem Durchgang durch die Platte. 14.11 Zeigen Sie mit Hilfe der Jones-Vektoren und -Matrizen, dass die Wirkung einer Halbwellenplatte auf linear polarisiertes Licht unter dem Neigungswinkel ϑ darin besteht, die Polarisationsebene um den Winkel 2ϑ zu drehen. Die HWP kann auf diese Weise als Polarisationsdreher benutzt werden, um z.B. die Polarisationsrichtung eines Laserstrahles ohne Drehung des Lasers um seine Achse zu ver¨ andern. 14.12 Eine wichtige Anwendung der Viertelwellenplatte besteht in ihrem Einsatz als op” tischer Isolator“ bzw. optische Diode“. Um z.B. die R¨ uckkopplung von Reﬂexionen ” von Interferometerﬂ¨ achen in den Laser zu verhindern, schickt man den Laserstrahl zun¨ achst durch eine Kombination von linearem Polarisator und VWP (Viertelwellenplatte), wobei die optische Achse der VWP unter 45◦ zur Transmissionsachse ¨ des Polarisators steht. Uberlegen Sie, was mit Licht geschieht, das von einer ebenen Fl¨ ache reﬂektiert wird und wieder zur¨ uck durch diese optische Anordnung l¨ auft. 14.13 Horizontal polarisiertes Licht wird durch einen Linearpolarisator mit der Transmissionsachse unter 45◦ geschickt und geht dann durch eine VWP mit horizontaler langsamer Achse (LA). Benutzen Sie die Matrixmethode, um das so produzierte Licht zu beschreiben. 14.14 Ein Lichtstrahl geht hintereinander durch a) einen Linearpolarisator mit der Transmissionsachse unter 45◦ im Uhrzeigersinn von der vertikalen aus, b) eine VWP mit LA vertikal, c) einen Linearpolarisator mit horizontaler Transmissionsachse, d) eine HWP mit schneller Achse (SA) horizontal, e) einen Linearpolarisator mit vertikaler Transmissionsachse. Welchen Polarisationszustand hat das Licht nach dem vollst¨ andigen Durchgang? 14.15 Unpolarisiertes Licht geht durch einen Linearpolarisator, dessen Transmissionsachse unter 60◦ gegen¨ uber der Vertikalen steht. Dann verl¨ auft es durch eine VWP mit LA horizontal und schließlich durch einen anderen Linearpolarisator mit vertikaler Transmissionsachse. Bestimmen Sie mit Hilfe der Jones-Matrizen den Polarisationszustand des Lichtes nach dem Durchgang durch: a) die VWP und b) den letzten Linearpolarisator. 14.16 Bestimmen Sie den Polarisationszustand von zirkular polarisiertem Licht, wenn es senkrecht durch: a) eine VWP; b) eine Achtelwellenl¨ angenplatte verl¨ auft. Berechnen Sie das Ergebnis mit der Matrixmethode.

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren 419 ⎛ ⎞ 1 −j ⎠ 14.17 Zeigen Sie, dass die Matrix 12 ⎝ einen rechtszirkularen Polarisator darj 1 stellt, der jedes beliebig polarisierte Licht in rechtszirkular polarisiertes Licht umwandelt. Welche Form hat die Matrix, die einen linkszirkularen Polarisator darstellt? ¨ 14.18 Zeigen Sie, dass elliptische Polarisation als Uberlagerung von zirkularer und linearer Polarisation betrachtet werden kann. 14.19 Leiten Sie die Gleichung der Ellipse f¨ ur polarisiertes Licht ab, wie sie in (14.23) ur den allgegeben ist. (Hinweis: Kombinieren Sie die Ex - und Ey -Gleichungen f¨ gemeinen Fall der elliptischen Polarisation und eliminieren Sie die zeitliche und r¨ aumliche Abh¨ angigkeit zwischen den Gleichungen.) 14.20 a) Bestimmen sie den Polarisationszustand, der zu folgendem Polarisations-Vektor geh¨ ort ⎛ ⎞ ⎝

2

⎠

jπ/3

3e

und beschreiben Sie den Zustand in der Standardform (normiert) der Tabelle 14.1. b) Das unter a) beschriebene Licht geht durch ein weiteres Element, das linear polarisiertes Licht um 30◦ in seiner Schwingungsebene dreht. Bestimmen Sie die neue normierte Form und erkl¨ aren das Ergebnis. 14.21 Bestimmen Sie den Polarisationszustand aus Gleichung (14.23) wenn: a) δ = π/2 ˆ x /E ˆ=E ˆ y /E ˆ=1 b) E c) sowohl a) als auch b) sind g¨ ultig d) δ = 0. 14.22 Eine Viertelwellenplatte wird zwischen gekreuzten Polarisator und Analysator gestellt, wobei θ der Winkel zwischen der Transmissionsachse des Polarisators und der schnellen Achse der VWP ist. Wie ¨ andert sich das so erzeugte Licht als Funktion von θ?

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Einleitung Polarisiertes Licht entsteht bei jeder Wechselwirkung mit Materialien, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichtes anisotrope optische Eigenschaften aufweisen. Hieraus folgt, dass Licht eine Transversalwelle sein muss. In diesem Kapitel werden die wichtigsten Methoden zur Erzeugung von polarisiertem Licht behandelt: Dichroismus, Reﬂexion, Streuung und Doppelbrechung. Außerdem werden die optische Aktivit¨ at von Substanzen sowie die Fl¨ ussigkristalle und ihre Anwendungen bei der Lichtmodulation diskutiert.

15.1 Dichroismus: Polarisation durch selektive Absorption Ein dichroitischer Polarisator schw¨ acht Licht, dessen E-Vektor parallel zu einer ausgezeichneten Richtung – der Transmissionsachse (TA) – schwingt, minimal und Licht mit dazu senkrechter Schwingungsrichtung maximal. Im Idealfall w¨are dann Licht nach Durchgang durch den Polarisator zu 100% in Richtung der TA polarisiert. Der Polarisationszustand des Lichtes kann am einfachsten durch einen zweiten dichroitischen Polarisator, der dann als Analysator arbeitet, untersucht

422

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Abb. 15.1. Polarisator-Analysator-Paar aus gekreuzten dichroitischen Polarisatoren. Der Analysator l¨ asst kein Licht passieren (TA = Transmissionsachse)

werden (s. Abb. 15.1). Sind die TA gekreuzt, also um 90◦ gegeneinander verdreht, so beobachtet man Dunkelheit. Bei Drehung des Analysators registriert man einen Anstieg der durchgelassenen Intensit¨at mit einem Maximum I0 bei parallelen TA. Den Zusammenhang zwischen durchgelassener Intensit¨at I und Winkel θ zwischen den TA gibt das Malussche Gesetz

I = I0 cos2 θ

(15.1)

Aus Abb. 15.2 folgt die Begr¨ undung des Gesetzes: Die austretende Amplitude ist ˆ 2 gilt dann (15.1). ˆ = Eˆ0 cos θ gegeben, wegen I ∼ E durch E Das interessante Verhalten dichroitischer Substanzen kann man wohl am besten mit Hilfe eines Standardversuchs mit Mikrowellen (s. Abb. 15.3) verstehen. Hier liegen die Wellenl¨ angen im Bereich von etwa 1 mm bis 10 cm, und die Sender senden bereits polarisierte Wellen aus. Bringt man in den Strahlengang ein vertikales Drahtgitter, dessen Gitterabstand deutlich kleiner als die Wellenl¨ange ist, so beobachtet man, dass vertikal polarisierte Wellen nicht durchgelassen werden, nach Drehung des Gitters um 90◦ wird die Durchl¨assigkeit hingegen sehr hoch. Zum Verst¨ andnis dieser Beobachtung muss man die Wechselwirkung der elektromagnetischen Wellen mit den Dr¨ ahten, die als dichroitische Polarisatoren arbeiten, analysieren. Stimmt die Richtung des E-Vektors mit der der Dr¨ahte u ¨ berein, so regt das elektrische Feld der einfallenden Welle in den Dr¨ahten ungehindert Wechselstr¨ ome an, die zur Ausbildung von oszillierenden elektrischen Dipolen und damit Antennen f¨ uhren. Man kann zeigen, dass einfallende und von der Antenne abgestrahlte Welle um 180◦ gegeneinander phasenverschoben sind. Damit tritt in Vorw¨ artsrichtung Ausl¨ oschung auf, w¨ahrend in R¨ uckw¨artsrichtung

15.1 Dichroismus: Polarisation durch selektive Absorption

423

Abb. 15.2. Erl¨ auterung des Malusschen Gesetzes. Der Analysator l¨ asst nur die ˆ0 cos θ durch Feldst¨ arkekomponente E

Abb. 15.3. Einﬂuss eines Netzes aus vertikalen Dr¨ ahten auf eine unpolarisierte Mikrowelle. F¨ ur Drahtabst¨ ande g λ wird die vertikale Komponente des E-Vektors unterdr¨ uckt

eine stehende Welle entsteht. Bei Drehung des Gitters um 90◦ k¨onnen sich die Leitungsstr¨ ome nicht mehr ausbilden und das Gitter wird durchl¨assig. F¨ ur optische Wellenl¨ angen m¨ ussen die leitf¨ahigen Dr¨ahte“ wesentlich dichter ” beieinander liegen, dennoch sind auch f¨ ur den sichtbaren Spektralbereich Drahtgitter erh¨ altlich, bei denen d¨ unne Metalldr¨ahte zwischen Glasplatten geklemmt sind. Gebr¨ auchlicher sind metallbeschichtete Platten mit geeigneten Substraten (z.B. ZnSe), auf denen die Gitterstruktur fotolithograﬁsch erzeugt wird. Mit Gitterabst¨ anden von ca. 0,3 µm sind diese Polarisatoren f¨ ur das nahe und mittlere

424

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

¨ Infrarot geeignet. Ahnlich arbeiten Polarcor und colorPol-Polarisatoren aus dichroitischem Glas. Hier sind in das Glas l¨ angliche, parallel orientierte Silberkolloide eingelagert, deren Plasmaresonanzen (s. Kap. 27) bei sehr unterschiedlichen Wellenl¨ angen liegen, so dass extremer Dichroismus auftritt. Bei colorPol wurden im Labor Durchl¨ assigkeitsverh¨ altnisse1 τmax /τmin von 109 gemesssen. Wesentlich gebr¨ auchlicher sind dichroitische Polaroid -Folien, die 1928 von dem Studenten Edwin H. Land erfunden und 1938 (H-Folie) von ihm verbessert wurden. Folien aus durchsichtigem Poly-Vinylalkohol werden erw¨armt und gestreckt, so dass sich die l¨ anglichen Kohlenwasserstoﬀmolek¨ ule in Zugrichtung ausrichten. Das gestreckte Material wird anschließend aus einer Farbl¨osung mit Jod dotiert, das sich an die linearen Molek¨ ule anlagert, Elektronen abgibt und die elektrische Leitf¨ ahigkeit erh¨ oht, so dass die Analogie zum Drahtgitter hergestellt ist. Auch einige nat¨ urlich vorkommende Kristalle, wie Turmalin, sind dichroitisch. Wesentliche Voraussetzung ist immer, dass freie Elektronen (→ Leitungsstrom) oder gebundene Elektronen (→ Verschiebungsstrom) auf eine einfallende Lichtwelle richtungsabh¨ angig antworten. In den Kapiteln 20 und 27 wird gezeigt, dass Reﬂexions- und Absorptionsverm¨ ogen eines Stoﬀes korreliert sind. Bei sehr stark absorbierenden Materialien – wie den Metallen (Drahtgitter in vertikaler Richtung) – kann eine Welle kaum in das Material eindringen; nahezu die gesamte einfallende Energie wird reﬂektiert. Bei weniger stark absorbierenden Stoﬀen – wie den Polaroidfolien – wird die Energie der eindringenden Welle allm¨ ahlich in W¨arme umgewandelt, so dass Durchl¨ assigkeit und Polarisationsgrad der Polarisatoren dickenabh¨angig werden. Der Dichroismus kann dann mit Hilfe des Extinktionsgesetzes (s. Kap. 20) beschrieben werden, hiernach ist die von einer Folie der Dicke d durchgelassene Intensit¨ at I: I = I0 e−Kd

(15.2)

at und K die nunmehr richtungsabh¨angige ExtinkI0 ist die einfallende Intensit¨ tionskonstante, f¨ ur die K K⊥ gelten muss, wobei K die Absorption bei EVektor parallel zur TA beschreibt. Bei einem praxistauglichen Polarisator muss oglichst klein und wellenl¨ angenunabh¨angig sein, damit er transparent erK m¨ scheint und – ohne Farberscheinungen – u ¨ ber einen breiten Spektralbereich arbeitet. F¨ ur Polymer-Folien triﬀt dies im blauen (und infraroten) Spektralbereich weniger gut zu, so dass bei gekreuzten Polarisatoren ein tiefer Blauton verbleibt. 1

h¨ auﬁg Kontrastverh¨ altnis genannt.

15.2 Polarisation bei Reﬂexion an dielektrischen Oberﬂ¨ achen

425

15.2 Polarisation bei Reﬂexion an dielektrischen Oberﬂ¨ achen An einer Oberﬂ¨ ache spiegelnd reﬂektiertes Licht ist – außer bei senkrechtem Einfall – zumindest teilweise polarisiert. Dies l¨asst sich am einfachsten beim Blick durch ein Polarisationsﬁlter beobachten, dessen Transmissionsachse man um die Ausbreitungsrichtung des reﬂektierten Lichtes dreht. Hierbei stellt man ein Helligkeitsminimum fest, wenn die TA-Achse in der Ausfallsebene des Lichtes liegt. Dies wird bei polarisierenden Sonnenbrillen ausgenutzt. Mit ihrer Hilfe soll das vom Untergrund reﬂektierte und vornehmlich horizontal polarisierte Licht unterdr¨ uckt werden, folglich m¨ ussen die TA der Brillengl¨aser vertikal stehen.

Abb. 15.4. Spiegelnde Lichtreﬂexion an einer dielektrischen Grenzﬂ¨ ache. a) TE-Mode. b) TM-Mode. c) Einfall von unpolarisiertem Licht unter dem Brewster-Winkel εp mit der Reﬂexion von TE-polarisiertem Licht

Zum physikalischen Verst¨ andnis des Vorgangs ist in Abb. 15.4 eine ebene dielektrische Oberﬂ¨ ache gezeigt, auf die ein Lichtstrahl unter beliebigem Winkel einf¨ allt. Die einfallende unpolarisierte Welle l¨asst sich in zwei zueinan der senkrecht polarisierte Anteile zerlegen, deren E-Vektoren senkrecht (Es , s. Abb. 15.4 a) und parallel (Ep , s. Abb. 15.4 b) zu der durch die Einfalls- und Normalenrichtung festgelegten Einfallsebene stehen. Man spricht hier von s- und p-Polarisation oder TE- (transversal elektrisch) und TM-Wellen (transversal ma und B stehen senkrecht, so dass E in der Ebene liegt, wenn B dazu gnetisch). (E senkrecht orientiert ist.) Die Komponente Es , die TE-Welle (s. Abb. 15.4 a), regt die Elektronen an der Oberﬂ¨ ache des Dielektrikums zu erzwungenen Schwingungen parallel zur Grenzﬂ¨ ache an. Sie strahlen dann als Dipolschwinger Elementarwellen ab, die lediglich in zwei Richtungen – die des reﬂektierten und die des gebrochenen Strahles – konstruktiv interferieren und weiterhin TE-polarisiert sind. Ein- und Ausfallsebene liegen hierbei immer senkrecht zur Schwingungsrichtung der inﬂuenzierten Dipole und damit in einer Richtung, in die ein Hertzscher Dipol maximal

426

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

strahlt (s. Abb. 15.7). Im Gegensatz hierzu tritt bei der TM-Welle (Komponente Ep , s. Abb. 15.4 b) ein mit dem Einfallswinkel ε ver¨anderlicher Winkel αd = 90◦ − (ε + ε ) zwischen den Schwingungsrichtungen der Hertzschen Dipole des gebrochenen Strahls und der Ausbreitungsrichtung der reﬂektierten Welle auf. Da die Strahlintensit¨ at eines Dipols mit diesem Winkel variiert (I ∼ sin2 αd , s. (15.6)), werden TE- und TM-Wellen mit unterschiedlicher Intensit¨at abgestrahlt, und das reﬂektierte Licht ist teilpolarisiert. F¨ ur den Grenzfall, dass αd Null wird, dass also Dipolachse und Richtung der reﬂektierten Welle u ¨ bereinstimmen und damit reﬂektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander stehen (ε+ε = 90◦ ), tritt u ¨ berhaupt keine Abstrahlung der Dipole in Reﬂexionsrichtung auf (s. Abb. 15.4 c). Es verbleibt nur die TE-Welle und das reﬂektierte Licht ist vollst¨andig polarisiert. Der Einfallswinkel εp , unter dem das reﬂektierte Licht zu 100% TE-polarisiert ist, wird als Brewster - oder Polarisations-Winkel bezeichnet. Nach dem Brechungsgesetz ist: n sin εp = n sin ε

(15.3)

Da der reﬂektierte Strahl senkrecht auf dem gebrochenen steht, muss gelten: ε = 90◦ − εp . Damit erhalten wir aus (15.3) (unter Verwendung von ur den sin(90◦ − εp ) = cos ε) f¨ n ε = arctan (15.4) Brewster-Winkel p n ¨ Brewster-Winkel treten sowohl beim Ubergang von optisch d¨ unn nach dicht (n < ur diese beiden F¨alle verschieden. n ) als auch im umgekehrten Fall auf und sind f¨ ¨ ur die umgekehrte Beim Ubergang Luft→Glas (n ≈ 1,5) ist z.B. εp1 = 56,3◦ , f¨ ◦ Richtung gilt hingegen εp2 = 33,7 . Wegen (15.4) und der allgemeinen Beziehung tan α = 1/ tan(90◦ − α) sind εp1 und εp2 komplement¨ar, d.h. εp1 + εp2 = 90◦ . Die Erzeugung polarisierten Lichtes durch Reﬂexion ist ziemlich ineﬃzient, da ¨ z.B. bei einem Luft-Glas-Ubergang nur 15% der Intensit¨at der TE-Komponente (also 7,5% des einfallenden Lichtes) reﬂektiert werden (s. Fresnelsche Formeln, Kap. 20). Dem kann durch Stapelung einzelner Platten (Glasplattensatz ) begegnet werden (s. Abb. 15.5). Solche Polarisatoren sind im sichtbaren Spektralbereich bedeutungslos, werden aber bisweilen im Ultraviolett und Infrarot eingesetzt. Statt einzelner Platten lassen sich – auch im Sichtbaren – vorteilhaft dielektrische Vielfachschichten (s. Kap. 19) verwenden, die als polarisationsempﬁndliche Reﬂektoren, Strahlenteiler (polarizing beam splitter) und Durchlassﬁlter Anwendung ﬁnden. Eine andere interessante Anwendung ist das Brewster-Fenster , das in gleicher Weise wie eine Einzelplatte eines Plattensatzes arbeitet (s. Abb. 15.6). Linear TM-polarisiertes Licht f¨ allt unter dem Brewster-Winkel εp1 auf die obere Fl¨ache und wird vollst¨ andig durchgelassen, da es aber auch auf die untere Fl¨ache unter

15.2 Polarisation bei Reﬂexion an dielektrischen Oberﬂ¨ achen

427

Abb. 15.5. Plattenstapel als Polarisator

dem Brewster-Winkel εp2 triﬀt, arbeitet die Platte als perfektes Fenster mit 100% Durchl¨ assigkeit.

Abb. 15.6. Brewster-Fenster. Die Reﬂexion der TM-Welle wird an beiden Grenzﬂ¨ achen aufgrund des Lichteinfalls unter den Brewsterwinkeln εp1 und εp2 unterdr¨ uckt

Das aktive Medium eines Lasers beﬁndet sich h¨auﬁg zwischen zwei BrewsterFenstern, die Spiegel des Resonators liegen außerhalb. Da bei jedem der zahlreichen Durchg¨ ange des Lichtes durch die Brewster-Fenster TM-Wellen zu 100%, TE-Wellen aber nur teilweise durchgelassen werden, wird die TE-Welle so stark unterdr¨ uckt, dass das austretende Laserlicht TM-polarisiert ist.

428

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

15.3 Polarisation durch Streuung Wir gehen zun¨ achst allgemein auf den Prozess der Lichtstreuung ein. In einem streuenden Medium werden Teile des einfallenden Lichtes in verschiedene Richtungen gestreut, so dass eine Energieabnahme dieser Welle auftritt. Hierbei wirken die an die Kerne gebundenen (Leucht-)Elektronen als elementare Streuzentren, deren Durchmesser d sehr klein gegen die Lichtwellenl¨ange ist. Wir betrachten die gebundenen Elektronen als harmonische Oszillatoren, die durch das elektrische Feld der einfallenden Welle zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden und daraufhin als kleine Dipolantennen (Hertzsche Dipole) Licht koh¨arent ¨ abstrahlen bzw. streuen. Die gesamte Streuwelle entsteht dann durch Uberlagerung dieser koh¨ arenten Einzelwellen. Entsprechend der Bohrschen Quantenbedingung ist die Eigenfrequenz f0 des Dipoloszillators durch f0 = ∆W/h gegeben, wobei ∆W die Energiediﬀerenz zwischen zwei Atomniveaus ist. Bei durchsichur sichtbares Licht der Ertigen Materialien liegt f0 im UV-Bereich, so dass f¨ regerfrequenz f gilt: f f0 . Bekanntlich kann ein harmonischer Oszillator bei kleinen Erregerfrequenzen der Anregung nahezu tr¨agheitslos folgen, so dass seine Auslenkungs- und Dipolamplitude frequenzunabh¨angig werden. Diese Streuung an sehr kleinen Teilchen (mit d λ) bei niedrigen Frequenzen (f f0 ) wird als Rayleigh-Streuung bezeichnet. Die Streuung des Sonnenlichts an den Stickstoﬀ- und Sauerstoﬀmolek¨ ulen der Erdatmosph¨ are ist Rayleigh-Streuung, w¨ ahrend bei der Streuung an den Wassertr¨ opfchen des Nebels und der Wolken die Teilchengr¨oße mit der Wellenl¨ange vergleichbar wird, man spricht hier von Mie-Streuung 2 . Um die St¨ arke der Rayleigh-Streuung qualitativ herzuleiten, machen wir davon Gebrauch, dass f¨ ur die von einem Hertzschen Dipol abgestrahlte Intensit¨at gilt Hertzscher Dipol

I ∼ a2 sin2 α

(15.5)

Hierbei ist α der Winkel zwischen Dipolachse und Beobachtungsrichtung (s. Abb. 15.7) und a die Beschleunigung der mit dem Ausschlag s = sˆ ejωt schwingenden Elektronen. Hieraus folgt a = s¨ = −ω 2 sˆ ejωt , wobei nach dem oben Gesagten die Amplitude sˆ frequenzunabh¨ angig ist. Damit wird also die vom Einzeldipol ˆ2 ) ˆein und Iein ∼ E gestreute Intensit¨ at (mit sˆ ∼ E ein Rayleigh-Streuung 2

Istreu ∼ ω 4 sin2 α Iein

(15.6)

Die Miesche Streutheorie ber¨ ucksichtigt Gr¨ oße, Form, Brechzahl und Absorptionskonstante der Streuteilchen und geht f¨ ur Durchmesser d λ in die RayleighStreuung u ¨ber.

15.3 Polarisation durch Streuung

429

Abb. 15.7. Strahlungscharakteristik eines Hertzschen Dipols, der aus Elektron und Kern gebildet wird. Es gilt: Feldst¨ arke E ∼ a sin α, Intensit¨ at I ∼ a2 sin2 α, wobei a die Beschleunigung ist

oder Istreu ∼ λ−4 . Kurzwellige Strahlung wird also wesentlich st¨arker gestreut als langwellige, violettes Licht mit 400 nm fast 10-mal mehr als rotes Licht von 700 nm! ¨ Wir hatten erw¨ ahnt, dass die Gesamtstreuung durch koh¨arente Uberlagerung der elementaren Streuwellen entsteht, sie h¨angt damit außer von der Streust¨arke des Einzeldipols auch von Anzahl und Anordnung der Streuzentren ab. Wir untersuchen zun¨ achst ein v¨ ollig homogenes Medium oder einen Idealkristall, bei dem die Atomabst¨ ande sehr klein gegen die Wellenl¨ange sind. Hier greifen wir eine Netzebene senkrecht zur Einfallsrichtung des Lichtes heraus und bekommen – eindimensional – eine Reihe von Atomen, entsprechend einer Perlenkette der L¨ange l. Die von diesen Atomen ausgehenden Streuwellen k¨onnen wir wie die bei der Beugung an einem Spalt der Breite l (s. Kap. 16) verwendeten Huygensschen Elementarwellen behandeln. In Vorw¨ artsrichtung (Einfallsrichtung) u ¨ berlagern sich alle Teilwellen konstruktiv, bei weit ge¨ oﬀnetem Spalt l → ∞ interferieren hingegen alle seitlich auslaufenden Wellen destruktiv. Demensprechend muss sich Licht in einem homogenen transparenten Medium v¨ollig ohne Streuverluste ausbreiten. Denken wir uns ein Atom der langen Perlenkette durch ein St¨oratom ersetzt, das das Licht st¨ arker als die u ¨ brigen streut, so erhalten wir einen Zusatzbeitrag mit der Streucharakteristik des Rayleighstrahlers, also auch Licht in seitlicher und R¨ uckw¨ artsrichtung. F¨ ur mehrere statistisch angeordnete Fremdatome weisen die

430

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Zusatzbeitr¨ age – analog zu den strahlenden Atomen einer Gasentladung – statistisch schwankende Phasendiﬀerenzen auf. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass sich die Beitr¨ age der Zusatzwellen zur gesamten Streuwelle – trotz koh¨arenter Erregung der Streuzentren – inkoh¨arent (Addition der Intensit¨aten) u ¨ berlagern, wobei die Streuintensit¨ at durch (15.6) gegeben ist. Streuung an Dichteschwankungen wirkt sich wie die an Fremdatomen aus und erfolgt ebenfalls inkoh¨arent. Diese Art der Streuung u ¨berwiegt in reinen Lichtwellenleitern und Gasen (Luft). In idealen Gasen sind die√ Schwankungen ∆N der Teilchenzahl nach der PoissonVerteilung durch ∆N = N gegeben. Damit wird der Streubeitrag ∆Istreu der 2 ∼ ∆N 2 ∼ N , die Streuintensit¨at wird Dichteschwankungen: ∆Istreu ∼ ∆Estreu ur inkoh¨arente also proportional zur mittleren Anzahl N der Streuer, wie dies f¨ Sender charakteristisch ist. Rayleigh-Streuung in Luft erkl¨ art das Blau des Himmels bei reiner Atmosph¨ are, da ja das blaue Licht der Sonne st¨ arker gestreut wird als der rote Anteil. Blicken wir andererseits bei Sonnenaufgang oder -untergang in die Sonne, so ist das verbleibende Licht gelb oder rot, da vornehmlich der blaue Anteil herausgestreut wurde. Neben der Wellenl¨ angen- ist auch die Winkel-Abh¨angigkeit der Streuung interessant: Entsprechend (15.5) und (15.6) strahlt ein elektrischer Dipol linear polarisierte Wellen ab, deren Intensit¨at senkrecht zur Dipolachse maximal wird; in Richtung seiner Achse strahlt ein Dipol u ¨ berhaupt nicht.

Abb. 15.8. Polarisation durch Lichtstreuung. Unpolarisiertes Licht triﬀt von links auf ein Teilchen im Koordinatenursprung, an dem es gestreut wird. In y- und z-Richtung beobachtet man vollst¨ andig linear polarisiertes Licht

In diesem Kapitel interessiert diese Polarisation der Streustrahlung besonders. Sie soll am Beispiel von Wasser mit einigen Tropfen einer alkoholischen Mastixl¨ osung (Teilchendurchmesser d λ) verdeutlicht werden. Bei reinem Wasser fehlen Streuteilchen, es tritt nur eine meist vernachl¨assigbare Streuung an

15.3 Polarisation durch Streuung

431

Dichteschwankungen auf und ein durchgehender Lichtstrahl breitet sich nur in Vorw¨ artsrichtung aus. Die kleinen Mastixteilchen streuen auch in andere Richtungen Licht, das außerdem (teil-)polarisiert ist (s. Abb. 15.8). Zur Erkl¨arung denkt man sich das einfallende unpolarisierte Licht wieder in zwei zueinander senkrechte E-Komponenten zerlegt, die die atomaren Dipole in entsprechende erzwungene Schwingungen versetzen und zu einer Lichtemission in alle Raumrichtungen f¨ uhren, wobei die Polarisationsrichtungen (y- und z-Achse) mit denen der einfallenden Welle u ¨ bereinstimmen. Wird das gestreute Licht aus der nega tiven y-Richtung beobachtet, so enth¨ alt es nur E-Vektoren parallel zur z-Achse, denn in y-Richtung k¨ onnten nur longitudinale Schwingungen auftreten und in x-Richtung ist kein erregendes Feld vorhanden. Entsprechend sieht man aus der z-Richtung in y-Richtung polarisiertes Licht. F¨ ur Blickrichtungen außerhalb der Achsen ist das Licht teilpolarisiert. In Vorw¨artsrichtung ist das Licht – wie der einfallende Strahl – unpolarisiert. Dementsprechend registriert man bei Betrachtung des klaren Himmels durch ein Polarisationsﬁlter teilpolarisiertes Streulicht. Blickt man genau senkrecht zu den Sonnenstrahlen, dann sollte das Licht entsprechend Abb. 15.8 vollkommen polarisiert sein; Vielfachstreuung und Verunreinigung durch Aerosole f¨ uhren zu maximalen Polarisationsgraden von etwa 70%. Zur Erzeugung von polarisiertem Licht ist die Methode der Streuung wegen der kleinen Streuintensit¨at nicht geeignet. In der nichtlinearen Optik ist aber die stimulierte Raman-, Rayleighund Brillouin-Streuung von aktueller Bedeutung, da mit ihrer Hilfe unter anderem elektronische und molekulare Eigenfrequenzen (Resonanzen) des Mediums erfasst werden k¨ onnen. Denken wir uns in der Perlenkette nicht einzelne Teilchen sondern gr¨oßere Bereiche durch andere Streuer ersetzt, so beobachten wir Streuung an Teilchen, deren Gr¨ oße vergleichbar mit der Lichtwellenl¨ange sein kann (Mie-Streuung). In den Streuteilchen sind die atomaren Streuzentren mehr oder weniger regelm¨aßig angeordnet und streuen koh¨ arent, so dass aufgrund der Interferenz dieser gestreuten Teilwellen eine komplizierte Winkel- und Wellenl¨angenabh¨angkeit der Streustrahlung auftritt. Mit wachsender Teilchengr¨oße werden Wellen, die sich nicht in die vom Reﬂexions- und Brechungsgesetz geforderten Richtungen bewegen, durch destruktive Interferenz vernichtet. Aus der Fresnelschen Zonenkonstruktion (s. Kap. 18) folgt, dass in einem ausgedehnten Medium die Zahl der Streuer proportional λ2 ist, die abgestrahlte Leistung ist dann ∼ λ4 und hebt sich gerade mit der λ−4 -Abh¨ angigkeit des Einzelstreuers auf. Medien mit großen Streuteilchen (Nebel, Bierschaum, Wolken, Puderzucker) erscheinen deshalb weiß. Wasser ist durchsichtig, Wassertr¨ opfchen in Luft brechen und reﬂektieren das einfallende Licht mehrfach in alle Raumrichtungen: Nebel ist deshalb weiß und schw¨acht das durchgehende Licht.

432

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

15.4 Anisotropie der Brechzahl Triﬀt ein Lichtstrahl auf ein Ablenkprisma aus Kalkspat, so beachtet man zwei austretende Strahlen aufgrund von zwei verschiedenen Brechzahlen. Man bezeichnet dies als Doppelbrechung. In diesem Kapitel gehen wir nicht auf die eigentliche Brechung, sondern auf das Entstehen unterschiedlicher Brechzahlen und die damit verbundenen Gangunterschiede ein. Wir haben bereits diskutiert, dass eine Anisotropie der Bindungskr¨afte zu unterschiedlichen Eigenfrequenzen und Absorptionskonstanten – also zu Dichroismus – f¨ uhrt. H¨ auﬁg liegen Absorptionsbanden im UV-Bereich und der Dichroismus ist im sichtbaren Spektralbereich ohne Bedeutung, dennoch f¨ uhren die unterschiedlichen Bindungskr¨ afte in x- und y-Richtung zu verschiedenen Dispersionskurven f¨ ur die Brechzahlen nx (der Ex -Welle) und ny (der Ey -Welle), (s. Abb. 15.9), der Kristall ist doppelbrechend.

Abb. 15.9. Verlauf der Brechzahlen nx und ny und Extinktionskonstanten Kx und Ky als Funktion der Wellenl¨ ange bei einem dichroitischen und damit auch doppelbrechenden Stoﬀ. Im Bereich mit dn/dλ > 0 liegt anomale Dispersion vor

Die optischen Eigenschaften von Materialien lassen durch eine komplexe Brechzahl beschreiben (s. Kap. 20 u. 27): n = n − jκ

(15.7)

15.4 Anisotropie der Brechzahl

433

Hierbei ist der Extinktionskoeﬃzient κ der Extinktionskonstante K (s. (15.2)) proportional (K = 4πκ/λ). Bei einem dichroitischen Material ist κx = κy und die Brechzahl nx ≈ ny , bei einem doppelbrechenden Stoﬀ ist hingegen nx = ny und κx ≈ κy ≈ 0. Diese Eigenschaften sind frequenzabh¨angig, Kalkspat ist beispielsweise im sichtbaren Bereich doppelbrechend und in einigen Bereichen des Infrarot stark dichroitisch. Doppelbrechend sind auch Quarz, Eis, Glimmer und gestreckte Kunststoﬀe, wie Zellophan. Der Zusammenhang zwischen Kristallsymmetrie und Lichtgeschwindigkeit soll am Beispiel des Kalkspats n¨ aher erl¨ autert werden. Die Grundstruktur besteht aus schiefen CaCO3 -Pyramiden (s. Abb. 15.10), deren Basis die Sauerstoﬀatome mit einem Kohlenstoﬀ in der Mitte des gleichseitigen Dreiecks bilden. Das Kalziumatom beﬁndet sich an der Pyramidenspitze. Die Achse senkrecht ochste Symmetrie auf, sie wird als optische zu den CO3 -Dreiecken weist die h¨ Achse bezeichnet. F¨ ur parallel zur optischen Achse einfallendes unpolarisiertes Licht stehen beide E-Komponenten (s. Abb. 15.10 a) senkrecht zur optischen Achse und bewirken wegen des Kristallaufbaus gleiche elektrische Polarisation und damit gleiche Brechzahlen. Kalkspat verh¨alt sich hier wie ein optisch isotropes Material. Man spricht von einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl no . Bei senkrecht zur optischen Achse einfallendem Licht erzeugen hingegen die Komponenten E und E⊥ wegen ungleicher Bindungskr¨afte unterschiedliche Verschiebungen der Elektronen. Hiermit verbunden sind Unterschiede der elektrischen Polarisation und folglich der Brechzahl und Ausbreitungsgeschwindigkeit. Da die Elektronen in der CO3 -Ebene leichter verschieblich sind, bewirkt E⊥ die gr¨ oßere Polarisation, so dass no > nao und co < cao . nao ist die Hauptbrechzahl des außerordentlichen Strahls. Bei Lichteinfall unter beliebigem Winkel zur optischen Achse beh¨ alt die E⊥ -Komponente ihre Gr¨oße und Richtung bei, die zugeh¨ orige Brechzahl ist weiterhin no . Durch die in der Einfallsebene liegende E-Komponente wird eine winkelabh¨ angige Polarisation und Brechzahl nao (θ) er ur Lichteinfall parallel und zeugt, mit den Grenzf¨ allen nao = no und nao = nao f¨ senkrecht zur optischen Achse. Kalkspat weist eine optische Achse auf (optisch einachsig) und man misst bei λ = 589,3 nm: no = 1,658 und nao = 1,486. Tabelle 15.1 ist zu entnehmen, dass die Brechzahlen durch die Kristallsymmetrie bestimmt werden. Nichtkristalline Stoﬀe, wie z.B. Glas, kubische Einkristalle (z.B. NaCl) sowie Polykristalle sind optisch isotrop – haben also nur eine Brechzahl –, trigonale (Kalkspat), tetragonale und hexagonale Strukturen haben eine optische Achse (optisch einachsig) und k¨ onnen positiv (nao − no > 0, z.B. Quarz) und negativ doppelbrechend (nao −no < 0, z.B. Kalkspat) sein. Kristalle mit noch niedrigerer Symmetrie (mono- und triklin, orthorhombisch) sind optisch zweiachsig. Ein wichtiges Beispiel ist der monokline Glimmer, bei dem die beiden optischen Achsen einen Winkel von 45◦ einschließen. Kalkspate, die auch nat¨ urlich in ausreichender Gr¨oße vorkommen, lassen sich aufgrund ihrer trigonalen Gitterstruktur leicht zu Rhomboedern spalten. Ein solches Rhomboeder hat zwei Ecken, an denen die drei Stirnﬂ¨achen unter dem glei-

434

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Abb. 15.10. a) Aufbau eines Kalkspatkristalls CaCO3 . Drei Sauerstoﬀatome bilden die Basis eines Tetraeders. Die optische Achse ist parallel zu der Linie, die die C- und Ca-Atome verbindet. b) Verlauf der optischen Achse in einem Kalkspat-Rhomboeder. Die Fl¨ achen schließen mit der optischen Achse einen Winkel von jeweils 102◦ ein

15.4 Anisotropie der Brechzahl

435

chen Winkel von 102◦ zusammenstoßen (s. Abb. 15.10 b). Durch diese Ecken verl¨ auft die optische Achse derart, dass sie mit jeder Oberﬂ¨ache und Kante jeweils gleiche Winkel einschließt.

Tabelle 15.1. Brechzahlen wichtiger Materialien bei λ = 589,3 nm (Na-D-Linie) isotrop

Natriumchlorid (NaCl)

1,544

(kubisch)

Diamant (C)

2,417

Fluorit (CaF2 )

1,392

einachsig

positiv:

nao

no

(trigonal,

Eis

1,313

1,309

tetragonal,

Quarz (SiO2 )

1,5534

1,5443

hexagonal)

Zirkon (ZrSiO4)

1,968

1,923

Rutil (TiO2 )

2,903

2,616

Kalkspat (CaCO3)

1,4864

1,6584

Turmalin

1,638

1,669

Natriumnitrat (NaNO3 )

1,3369

1,5854

Beryll (Be3 Al2 (SiO3 )6 )

1,590

1,598

n1

n2

n3

negativ:

zweiachsig (triklin,

Gips (CaSO4 ·2H2 O)

1,520

1,523

1,530

monoklin,

Feldspat

1,522

1,526

1,530

ortorhombisch) Glimmer

1,552

1,582

1,588

1,619

1,620

1,627

Topas

Ein doppelbrechender Kristall kann so geschnitten und poliert werden, dass die optische Achse unter beliebigen Winkeln zu der Oberﬂ¨ache steht, auf die das Licht f¨ allt. Abbildung 15.11 zeigt drei Spezialf¨alle; bei a stehen die beiden

436

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

E-Komponenten von unpolarisiertem Licht senkrecht auf der optischen Achse, breiten sich also gleich schnell aus und das austretende Licht ist wieder unpolarisiert. Bei b und c ist die optische Achse jedoch jeweils parallel und senkrecht zu einer der Komponenten, die sich damit unterschiedlich schnell ausbreiten und einen Kristall der Dicke d mit dem durch die Doppelbrechung bedingten Gangunterschied

∆ = |nao − no | d

(15.8)

und entsprechender Phasendiﬀerenz δ = 2π∆/λ0 verlassen. Bei ∆ = λ/4 (δ = π/2) erh¨ alt man eine Viertelwellen- oder λ/4-Platte, bei ∆ = λ/2 eine Halbwellen- oder λ/2-Platte usw. Man bezeichnet sie als Verz¨ogerungs-Platten erster Ordnung.

Abb. 15.11. Licht triﬀt auf eine doppelbrechende Platte mit unterschiedlichen Richtungen der optischen Achse (OA). a) Lichtausbreitung entlang der OA. b) und c) Lichtausbreitung senkrecht zur optischen Achse

Beispiel 15.1 λ/4-Platten Berechnen Sie die Dicken von λ/4-Platten 1. Ordnung aus Quarz und Kalkspat f¨ ur eine Wellenl¨ ange von 589,3 nm. L¨ osung Mit ∆ = λ/4 folgt aus (15.8) und Tab. 15.1 f¨ ur Quarz: µm = 16,4 µm und f¨ u r Kalkspat d = 857 nm. d = 4|naoλ−no | = 0,5893 4·0,0009 Die Dicken von Platten 1. Ordnung sind demnach unter Umst¨anden sehr gering. Zur mechanischen Stabilisierung kann man diese Pl¨attchen zwischen Glasplatten klemmen oder dickere Platten m-ter Ordnung verwenden, bei denen der Gangunterschied ∆m = ∆1 + (m − 1)λ ist. Eine λ/4-Platte m-ter Ordnung hat dann mit ∆1 = λ/4 und (15.8) die Dicke

15.5 Doppelbrechung

λ/4-Platte m-ter Ordnung

dm = (4m − 3)

λ0 4(|nao − no |)

mit

437

m = 1, 2, . . . (15.9)

Durch Variation der Dicke lassen sich (Phasen-)Verz¨ogerungsplatten mit beliebiger Phasenverz¨ ogerung δ herstellen, man bezeichnet sie als Kompensatoren. In Abb. 15.12 ist das Funktionsprinzip des bekannten Soleil-Babinet-Kompensators (meist aus kristallinem Quarz) erl¨ autert: Eine feste Grundplatte, die aus einer Planplatte und einem Keil mit um 90◦ gedrehter optischer Achse besteht, ist mit einer fein verschiebbaren Keilplatte kombiniert. In Position a durchsetzt das Licht gleiche Quarzdicken mit gekreuzten optischen Achsen, die Phasenverz¨ogerungen heben sich auf; bei Position b ist die gr¨oßtm¨ogliche Phasenverz¨ogerung – von beispielsweise 4π – erreicht.

Abb. 15.12. Soleil-Babinet-Kompensator. Die optischen Achsen der (Quarz-)Kristalle sind durch Punkte und Linien dargestellt. Die Pfeilrichtung gibt die Ausbreitungsrichtung des Lichtes an. a) Minimale Verz¨ ogerung. b) Maximale Verz¨ ogerung

15.5 Doppelbrechung In den bisher diskutierten F¨ allen (s. Abb. 15.11 b und 15.11 c) konnte zwar eine Phasenverschiebung zwischen E-Komponenten auftreten, die senkrecht und parallel zur optischen Achse stehen, der Lichtstrahl wurde aber nicht durch Brechung aufgespalten. Dies ist dann der Fall, wenn unpolarisiertes Licht unter beliebigen Winkeln zur optischen Achse einf¨ allt (s. Abb. 15.13). Man beobachtet Doppelbrechung, also zwei austretende Strahlen, einen ordentlichen Strahl und einen außerordentlichen, der nicht das Brechungsgesetz befolgt (in Abb. 15.13 tritt z.B. trotz senkrechtem Einfall Brechung auf). Beim Blick durch einen Kalkspatkristall auf ein Objekt (z.B. den Buchstaben K) sieht man dann zwei gegeneinan-

438

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Abb. 15.13. Doppelbrechung bei Einfall von unpolarisiertem Licht unter beliebigem Winkel zur optischen Achse (OA)

der verschobene Bilder, von denen sich das außerordentliche bei der Drehung des Kristalls kreisf¨ ormig ohne Eigenrotation mitdreht. Außerdem sind die beiden Teilwellen – zueinander senkrecht – linear polarisiert. Der ordentliche Strahl schwingt senkrecht zur optischen Achse und hat die Brechzahl no , w¨ahrend der außerordentliche Strahl (mit Brechzahl nao ) parallel zur Achse polarisiert ist. Dieses Verhalten wurde schon von Huygens mit Hilfe seiner Elementarwellen erkl¨ art. Abbildung 15.14 zeigt eine dem außerordentlichen Strahl zugeordnete

Abb. 15.14. a) Huygenssches Prinzip mit elliptischen Elementarwellen des außerordentlichen Strahls. Der Kristall ist – wie Kalkspat – negativ einachsig doppelbrechend, d.h. nao < no und cao > co . b) Strahlrichtung – beschrieben durch den Poynting-Vektor – und Wellenvektor k bzw. Phasengeschwindigkeit cao des außerordentlichen Strahls S sind nicht parallel! (WF = Wellenfront)

15.5 Doppelbrechung

439

Elementarwelle, die von der einfallenden Welle an dem Oberﬂ¨achenpunkt P er p der einfallenden Welle zeugt wird. Der in der Papierebene liegende Vektor E wird in zwei Komponenten parallel (E bzw. aa) und senkrecht (E⊥ bzw. bb) zur optischen Achse aufgespalten. Die mit E gekoppelte Welle pﬂanzt sich mit der Geschwindigkeit cao (= cvac /nao mit3 der Hauptbrechzahl nao ) senkrecht zur opauft mit der Geschwindigkeit co (= cvac /no ) tischen Achse fort, die andere (E⊥ ) l¨ in Achsenrichtung. Da (bei Kalkspat) f¨ ur die Geschwindigkeiten cao > co gilt, wird die Elementarwelle nicht – wie bei isotropen Stoﬀen – sph¨arisch, sondern elliptisch. In Abb. 15.14 b sind mehrere Huygenssche Elementarwellen sowie – als Tangente – die entstehende neue Wellenfront (WF) wiedergegeben. Wir m¨ ussen nun verschiedene Geschwindigkeiten unterscheiden, die bei isotropen Stoﬀen zusammenfallen. Punkte gleicher Phase liegen auf der gestrichelten Wellenfront, die in Richtung des auf ihr senkrecht stehenden Wellenvektors k fortschreitet. Die zugeh¨ orige Geschwindigkeit ist die richtungsabh¨angige Phasengeschwindigkeit cao der außerordentlichen Welle mit der zugeh¨origen Brechzahl nao , wobei: cao =

cvac nao

Wir sehen, dass hier k – wie wir dies von isotropen Stoﬀen bei senkrechtem Einfall kennen – die Richtung des einfallenden Strahles hat. Bei beliebigen Einfallswinkeln folgt die Richtung der austretenden Wellenfront ebenfalls aus dem Brechungsgesetz: n sin ε = nao sin εao . Einfach beobachtbar ist jedoch nur der austretende Strahl, der von P zum Ber¨ uhrpunkt T der Wellenfront weist und die ∼E ×B hat. F¨ Richtung des Energieﬂusses und damit des Poynting-Vektors S ur diesen Strahl ist (außer bei Lichteinfall parallel und senkrecht zur optischen Ach se) das Brechungsgesetz nicht g¨ ultig. Der E-Vektor steht zwar weiterhin senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, es gilt aber nicht k ⊥ E. Strahl und Energie breiten sich mit der Strahlgeschwindigkeit cs aus, sie entspricht der Gruppengeschwindigkeit und ist nach Abb. 15.14 b: cao cos ∆ϑ wobei ∆ϑ der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten cs und cao ist. Mit dem ur die Winkel ϑs (s. Abb. 15.14 b) zwischen Strahl und optischer Achse gilt f¨ richtungsabh¨ angige cs =

Strahlgeschwindigkeit

1 cos2 ϑs sin2 ϑs = + c2s c2o c2ao

(15.10)

Dieser Zusammenhang wird durch das Rotationsellipsoid der Strahlgeschwindigkeit veranschaulicht (s. Abb. 15.15 a): F¨ ur den außerordentlichen Strahl variiert 3

cvac ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit, die wir sonst mit c0 bezeichnen.

440

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

die Geschwindigkeit zwischen den Extremwerten co und cao , w¨ahrend die des ordentlichen Strahls konstant bleibt. Beweis von (15.10): Die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b ist durch 2 x2 + yb2 = 1 gegeben. Einf¨ uhrung von Polarkoordinaten mit x = r cos ϕ und y = r sin ϕ a2 2

2

2

2

ϕ ϕ ergibt dann die Gleichung r cos + r sin = 1. Wenn die x-Achse mit der optischen a2 b2 Achse OA in Abb. 15.14 b u ¨ bereinstimmt, gilt (mit ∆t = 1“): r = cs , a = co , b = cao ” und ϕ = ϑs . Hiermit folgt dann sofort (15.10).

Abb. 15.15. a) Ellipsoid und Kreis der Strahlgeschwindigkeiten des außerordentlichen und ordentlichen Strahles. b) Index-Ellipsoid bzw. -Kreis der außerordentlichen (nao ) und ordentlichen Brechzahl (no ). Bei optisch einachsigen Kristallen sind die Kurven rotationsymmetrisch um die optische Achse (OA). Im vorliegenden Beispiel liegt ein extrem positiv doppelbrechender Stoﬀ mit nao = 1,4 no vor

H¨ auﬁg wird zur Beschreibung der Doppelbrechung auch das Indexellipsoid der Brechzahlen verwendet. Hier gilt mit ϑp , dem Winkel zwischen optischer Achse und Wellenvektor (s. Abb. 15.14 b und 15.15 b), die Gleichung des Indexellipsoids4 Indexellipsoid

1 cos2 ϑp sin2 ϑp = + n2 n2o n2ao ao

(15.11)

W¨ ahrend Geschwindigkeit und Brechzahl der außerordentlichen Welle letztlich vom Einfallswinkel abh¨ angen, verh¨ alt sich die zur optischen Achse senkrechte 4

2 2 2 2 F¨ ur die Geschwindigkeit w¨ urde dann gelten: c2 ao = co cos ϑp + cao sin ϑp , dies ist ein Rotations-Ovaloid.

15.5 Doppelbrechung

441

E-Komponente ordentlich“, d.h. wie in einem isotropen Material mit k ⊥ E ” und co k. Dementsprechend ist in Abb. 15.15 b no winkelunabh¨angig, w¨ahrend ur die die Brechzahl nao des außerordentlichen Strahls zwischen den Kurven f¨ Hauptbrechzahlen no und nao (s. auch Abb. 15.16) liegt.

Abb. 15.16. Brechzahlen von kristallinem Quarz als Funktion der Wellenl¨ ange (bei 18◦ C). Bei vorgegebener Wellenl¨ ange hat der ordentliche Strahl einen festen Wert no der Brechzahl, w¨ ahrend die Brechzahl nao des außerordentlichen Strahles richtungsabh¨ angig ist und zwischen den beiden Kurven liegt

Mit Hilfe der Doppelbrechung kann man dann linear polarisiertes Licht erzeugen, wenn es gelingt, die zueinander senkrecht polarisierten, gebrochenen Strahlen zu trennen. Eine h¨ auﬁg verwendete Anordnung ist das Glan-Taylor-Prisma (s. Abb. 15.17). Zwei rechtwinklige (aber nicht gleichschenklige) Kalkspatprismen mit parallelen optischen Achsen und Spitzenwinkel α sind durch einen Luftspalt getrennt. Beim Auftreﬀen auf die Hypotenuse ist der Einfallswinkel gleich α, die Grenzwinkel f¨ ur Totalreﬂexion sind εo = arcsin(1/no ) = 37,10◦ (wobei ur den ordentlichen und εao = arcsin(1/nao ) = 42,30◦ f¨ ur den no = 1,6584) f¨ außerordentlichen Strahl. Dementsprechend wird f¨ ur Spitzenwinkel, die zwischen diesen Werten liegen, der ordentliche Strahl totalreﬂektiert und der außerordentliche Strahl durchgelassen. Das zweite Prisma soll die Brechung des außerordentlichen Strahls bei Austritt in den Luftspalt aufheben, damit Eingangs- und Ausgangsstrahl dieselbe Richtung haben. Die gesamte Anordnung stellt einen Polarisator f¨ ur linear polarisiertes Licht dar, mit dem sehr hohe Polarisationsgrade (>99,999%) erreicht werden . Wenn der Raum zwischen den Prismen mit einem

442

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Abb. 15.17. Glan-Taylor-Prisma aus negativ doppelbrechendem Material (Kalkspat); der ordentliche Strahl wird totalreﬂektiert. (Die Brechung des ao-Strahles bei Durchgang durch den Luftspalt ist nicht gezeichnet)

anderen durchl¨ assigen Material, wie z.B. Glyzerin, gef¨ ullt wird, muss man den Spitzenwinkel α entsprechend ver¨ andern. In Abb. 15.18 sind weitere polarisierende Prismenanordnungen aus positiv einachsigen Stoﬀen (Quarz) wiedergegeben. Beachten Sie, dass in diesen F¨ allen ordentlicher und außerordentlicher Strahl ohne Verwendung der Totalreﬂexion getrennt werden. In allen F¨allen stehen die optischen Achsen der beiden Prismen senkrecht aufeinander, so dass z.B. aus der E⊥ Komponente des ersten Prismas im zweiten Prisma eine E -Komponente wird – mit entsprechend ge¨ anderter Brechzahl. Unterschiedliche Brechzahlen f¨ ur die bei den E-Komponenten f¨ uhren zu verschiedenen Brechungswinkeln und damit zur Trennung in zwei polarisierte Strahlen. Zusammenfassend k¨onnen wir feststellen, dass doppelbrechende Stoﬀe zur Herstellung von Polarisatoren, polarisierenden Strahlenteilern und Phasenverz¨ ogerungsplatten, wie z.B. der Viertelwellenplatte, verwendet werden k¨ onnen.

Abb. 15.18. Prismenpolarisatoren, die als polarisierende Strahlenteiler verwendbar sind: a) Wollaston-Prisma. b) Rochon-Prisma. c) S´enarmont-Prisma

15.6 Optische Aktivit¨ at Bestimmte Materialien weisen optische Aktivit¨at auf. Wenn linear polarisiertes Licht auf einen optisch aktiven Stoﬀ f¨ allt, tritt es wieder als linear polarisiertes Licht aus, seine Schwingungsrichtung ist jedoch gegen¨ uber der urspr¨ unglichen

15.6 Optische Aktivit¨ at

443

Richtung gedreht. Blickt man entgegen der Ausbreitungsrichtung des Strahles, so beobachtet man f¨ ur einige Stoﬀe eine Drehung des E-Vektors im Uhrzeiger5 sinn (rechtsdrehend, Drehwinkel β > 0 ), w¨ahrend bei anderen Linksdrehung beobachtet wird. Optisch aktiv k¨ onnen Festk¨orper (z.B. Quarz und Zucker), Fl¨ ussigkeiten (Terpentin und Zuckerl¨ osung) und Gase sein. Einige Stoﬀe, wie z.B. kristalliner Quarz, erzeugen Rotation in beiden Richtungen, dementsprechend existieren zwei Kristallstrukturen, die zueinander spiegelbildlich (enantiomorph) sind. Optisch aktive Stoﬀe ver¨ andern den Polarisationszustand eines polarisierten Lichtstrahles und k¨ onnen mathematisch durch die Jones-Rotationsmatrix (s. Tab. 14.3) beschrieben werden. Beachten Sie, dass bei der optischen Aktivit¨at der Mechanismus der Rotation ein anderer ist als beispielsweise bei einer Halbwellenplatte, die trotzdem dasselbe Ergebnis liefern kann. Optische Aktivit¨at kann leicht mit Hilfe von zwei gekreuzten Linear-Polarisatoren beobachtet werden. Wenn optisch aktives Material bestimmter Dicke zwischen Analysator und Polarisator gebracht wird, ist die Bedingung f¨ ur Ausl¨oschung nicht l¨anger gegeben, da der E-Vektor des Lichtes durch das optisch aktive Medium verdreht wird. Diese Rotation kann am einfachsten durch Drehung des Analysators bis zur erneuten Ausl¨ oschung gemessen werden. Der auf diese Weise gemessene Drehwinkel β h¨ angt sowohl von der Lichtwellenl¨ ange als auch der Dicke d des Mediums ab: Drehwinkel

β = d

(15.12)

Der auf die Schichtdicke des optisch aktiven Materials bezogene Drehwinkel wird als speziﬁsche Rotation bezeichnet. Tabelle 15.2 gibt die speziﬁsche Rotation von Quarz f¨ ur den UV- und sichtbaren Wellenl¨angenbereich wieder. Die Rotation einer optisch aktiven Fl¨ ussigkeit ist im Vergleich sehr viel kleiner. F¨ ur 10 cm Terpentin erf¨ ahrt Natriumlicht eine Drehung von −37◦ , entsprechend = −0,37 ◦ /mm, also etwa 1/100 des Wertes von Quarz. Das Minuszeichen zeigt an, dass Terpentin linksdrehend ist. Die optische Aktivit¨at wird h¨auﬁg zur Konzentrationsbestimmung von L¨ osungen, z.B. zur Zuckerbestimmung, eingesetzt. Man erh¨ alt f¨ ur die speziﬁsche Rotation = ˜ C

(15.13)

3

mit der Konzentration C (z.B. in g/cm ) und der Stoﬀgr¨oße ˜, den auf Probendicke und Konzentration bezogenen Drehwinkel. Die Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der speziﬁschen Rotation – die Rotationsdispersion – bewirkt, dass bei Verwendung von weißem Licht jede Wellenl¨ange etwas unterschiedlich gedreht wird, so dass beim Blick durch Polarisatoren, die f¨ ur eine Wellenl¨ ange (z.B. gr¨ un) gekreuzt sind (s. Abb. 15.19), immer farbiges Licht (hier rot) registriert wird. 5

In Ausbreitungsrichtung gesehen links drehend, also mathematisch postiv.

444

15 Erzeugung von polarisiertem Licht Tabelle 15.2. Speziﬁsche Rotation von Quarz λ/ nm

/(Grad/mm)

226,503

201,9

404,656

48,945

435,834

41,548

546,072

25,535

589,290

21,724

670,786

16,535

Abb. 15.19. Messung der optischen Aktivit¨ at. Die Probe wird zwischen gekreuzte Polarisatoren gebracht. Zur Ermittlung des Drehwinkels β wird der Analysator so lange verdreht, bis wieder Dunkelheit herrscht. Hier ist β > 0, da das Medium rechtsdrehend ist

Fresnel hat eine ph¨ anomenologische Beschreibung der optischen Aktivit¨at gegeben, die – unter Verzicht auf eine physikalische Erkl¨arung – die speziﬁsche Rotation mit bestimmten physikalischen Parametern verkn¨ upft. Diese Beschreibung beruht erstens auf der Zerlegung einer linear polarisierten Welle in zwei zirkular polarisierte Anteile und zweitens auf der Annahme, dass sich die linksund rechtszirkulare Komponente mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten cl und cr ausbreiten und somit unterschiedliche Brechzahlen nl und nr aufweisen. Wir betrachten zun¨ achst ein optisch inaktives Medium, bei dem also die Geschwindigkeiten cl und cr (und damit auch nl und nr ) u ¨ bereinstimmen. Das einfallende Licht sei (wie in Abb. 15.17) in x-Richtung linear polarisiert und werde

15.6 Optische Aktivit¨ at

445

¨ Abb. 15.20. Uberlagerung von links- und rechtspolarisiertem Licht zu verschiedenen Zeitpunkten. Das Licht tritt aus der Zeichenebene aus. Die Feldst¨ arken Er und El rotieren gegensinnig, ihre Summe ergibt linear polarisiertes Licht (E)

in links- und rechtszirkular polarisiertes Licht aufgespalten. Abb. 15.20 zeigt die Vektoraddition der El - und Er -Komponente zu drei verschiedenen Zeitpunkten am Ort z = 0. An einem beliebigen Ort z = d kommen die Wellen um die Laufzeit ogert an, die Betr¨ age beider Drehwinkel sind um denselben Winkel tL = d/c verz¨ kd vermindert, so dass die Welle in x-Richtung polarisiert bleibt. Ist hingegen ur die Drehung im Uhrzeicl = cr und damit auch nl = nr , so gilt in Abb. 15.21 f¨ ur die Linksdrehung ϕl = −(ωt − kl d). Da die Zeiger gersinn ϕr = ωt − kr d und f¨ ange haben, liegt die resultierende Feldst¨arke E immer El und Er die gleiche L¨ auf der Winkelhalbierenden, die nach Abb. 15.21 um den Winkel β gegen¨ uber der x-Achse gedreht ist. Unter Verwendung der Beziehung k = ω/c = 2πn/λ0 erhalten wir f¨ ur den Drehwinkel β (Winkelhalbierende): β=

1 1 πd (nl − nr ) ≡ d (ϕr + ϕl ) = [ωt − kr d − (ωt − kl d)] = 2 2 λ0

(15.14)

Wie zu erwarten, ist der Rotationswinkel proportional zur Brechzahldiﬀerenz und zur Dicke d des durchstrahlten Mediums. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die f¨ ur die optische Aktivit¨at verantwortlichen Brechzahlen die zirkulare Doppelbrechung charakterisieren. nl und nr unterscheiden sich deutlich weniger als die Brechzahlen no und nao der normalen Doppelbrechung (vgl. Tabelle 15.3).

Beispiel 15.2 Optische Rotation von Quarz Bestimmen Sie unter Verwendung von Tabelle 15.3 die Rotation, die durch eine 1 mm dicke Quarzplatte bei einer Wellenl¨ange von 396,8 nm erzeugt wird.

446

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Abb. 15.21. Drehung der Polarisationsebene durch links- und rechtspolarisiertes Licht unterschiedlicher Phasengeschwindigkeiten cr und cl . a) Linksdrehend mit nl < nr . b) Rechtsdrehend mit nr < nl . (β, ϕ > 0 bei Drehung im Uhrzeigersinn und Blick entgegen der Ausbreitungsrichtung, d.h. mathematisch positiv in +z-Richtung) Tabelle 15.3. Brechzahlen von Quarz λ/nm

nao

no

nr

nl

396,8

1,56771

1,55815

1,55810

1,55821

762,0

1,54811

1,53917

1,53914

1,53920

L¨ osung Aus Tabelle 15.3 erh¨ alt man bei λ = 396,8 nm: nl − nr = 1,1 · 10−4 . Mit (15.14) erh¨ alt man den Drehwinkel β = 0,871 rad = 49,9◦ . Hieraus folgt die ¨ mit Tab. 15.2. speziﬁsche Rotation = 49,9 ◦ /mm in Ubereinstimmung Die obige Beschreibung erkl¨ art nicht die unterschiedlichen Geschwindigkeiten f¨ ur links- und rechtszirkular polarisierte Wellen. Hier sei lediglich darauf hingewiesen, dass optisch aktive Molek¨ ule oder Kristalle Wendel-(Helix-)Strukturen unterschiedlichen Drehsinns aufweisen, erinnert sei an die rechtsdrehende Doppelhelix der DNS.

15.7 Spannungsoptik

447

15.7 Spannungsoptik Durchstrahlt man gekreuzte Polarisatoren mit weißem Licht, so beobachtet man bekanntlich Dunkelheit. Schiebt man jedoch doppelbrechende Stoﬀe zwischen die Filter, so treten meist brillante Interferenzfarben auf. Abbildung 15.22 dient zur Erkl¨ arung des Eﬀektes, hier sind Polarisator und Analysator (unter ±45◦ zur x-Achse) gekreuzt. Ist das doppelbrechende Material gerade von der Dicke einer Halbwellenplatte mit der schnellen Achse in y- und der langsamen in xRichtung, so wird unter +45◦ einfallendes linear polarisiertes Licht die Platte unter −45◦ verlassen und damit vom Analysator vollst¨andig durchgelassen. Dies l¨asst sich auch mit Hilfe der Jones-Matrizen (s. Kap. 14) best¨atigen. Erzeugt die Verz¨ ogerungsplatte eine Phasenverschiebung ungleich π, so tritt das Licht elliptisch polarisiert aus und wird teilweise von dem Analysator durchgelassen. Im Grenzfall einer Drehung um Vielfache von 2π wird das Licht wieder blockiert.

Abb. 15.22. Lichtausbreitung durch gekreuzte Polarisatoren, zwischen die eine Halb¨ wellenplatte gebracht wurde. Hierdurch erfolgt ein Ubergang von Sperrung auf Durchlass. (SA, LA = schnelle und langsame Achsen)

Nach (15.8) ist die von einer Verz¨ ogerungsplatte der Dicke d erzeugte Phasendiﬀerenz δ=

2πd (nao − no ) λ0

und damit bei Vernachl¨ assigung der Dispersion umgekehrt proportional zur Wellenl¨ ange. Falls also die Platte (in Abb. 15.22) f¨ ur rotes Licht als Halbwellenplatte wirkt und damit rotes Licht durchgelassen wird, werden k¨ urzere Wellenl¨angen teilweise unterdr¨ uckt und das transmittierte Licht ist r¨otlich. Nach Drehung des

448

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Analysators um 90◦ tritt eine Vertauschung von durchgelassenem und gesperrtem Anteil auf, und man registriert die Komplement¨arfarbe.

Abb. 15.23. Beobachtung der Spannungsdoppelbrechung an einem Balken, der unten an zwei Punkten gelagert ist und von oben in der Mitte belastet wird. a) geringe Belastung. b) hohe Belastung

Zur Vorf¨ uhrung eignen sich doppelbrechende Kristalle wie Quarz, Kalkspat und Glimmer, aber auch Gebrauchsmaterialien zeigen Doppelbrechung, sei es mit oder ohne ¨ außere mechanische Spannung (s. Abb. 15.23). Verkn¨aultes Zellophan zeigt zwischen gekreuzten Polarisatoren eine u ¨berraschende Vielzahl von Farben, da δ auch aufgrund von Dickenunterschieden variiert. Auch durchsichtiges Klebeband, das man u ¨berlappend um ein Mikroskopdeckglas wickelt, zeigt Farbeﬀekte. Die Phasen¨ anderung δ kann auch bei konstanter Dicke aufgrund einer ortsabh¨ angigen Brechzahldiﬀerenz variieren. Solche Variationen treten oft durch innere mechanische Spannung, z.B. in Plastikmaterialien (Zeichenlineal) auf. Die durch ¨ außere Belastungen hervorgerufene Doppelbrechung isotroper Stoffe, wie Plastik oder Glas, wird zur Spannungsanalyse mit Hilfe der so genannten Spannungsoptik herangezogen. Um komplizierte Spannungsverteilungen in einer – meist undurchsichtigen – Struktur zu ermitteln, fertigt man hiervon ein im Allgemeinen verkleinertes Modell aus durchsichtigem Kunststoﬀ an und bringt es

15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle

449

zwischen gekreuzte Polarisatoren, wo es unterschiedlichen Belastungen ausgesetzt wird. Hierbei beobachtet man Aufhellung und dunkle Streifen (s. Abb. 15.23). Ein ebener Spannungszustand kann in zwei zueinander senkrechte Hauptspannungen σ1 und σ2 – reine Normalspannungen ohne Scherspannungen – mit den zugeh¨ origen Brechzahlen n1 und n2 zerlegt werden. Ist an einem Punkt p des aus dem Polarisator einfallenden linear polarisierten der Feldst¨ arkevektor E Lichtes parallel zu einer der Hauptspannungen, so wird der Polarisationzustand des durchgehenden Lichtes nicht ge¨ andert und die Welle kann den gekreuzten Analysator nicht passieren. Dunkle Streifen, die Isoklinen, verbinden alle diese Punkte gleicher Spannungs-Richtung. Die Streifen wandern, wenn die gekreuzp ten Polarisatoren gemeinsam gedreht werden. F¨ ur andere Orientierungen von E erfolgt – wie von der Doppelbrechung bekannt – eine Aufspaltung in zwei Komponenten mit E1 und E2 , die parallel zu den entsprechenden Hauptspannungen liegen. Die zugeh¨ origen Teilwellen haben dann beim Austritt den Gangunteruhrt, schied ∆ = (n1 −n2 )d, der im Allgemeinen zu elliptisch polarisiertem Licht f¨ das den Analysator passieren kann. Dunkelheit ist dann zu beobachten, wenn die ˆ einer Hauptspannungsdiﬀerenz σ1 − σ2 gerade so groß ist, dass ∆ = 0, λ, . . . (= Vollwellenplatte). Die Auswertung der zugeh¨origen Streifen, der Isochromaten, ergibt die Gr¨ oße der mechanischen Spannung. Bei Verwendung von weißem Licht erh¨ alt man dunkle Isoklinen und farbige Isochromaten.

15.8 Polarisation durch Flu ¨ ssigkristalle Die weit verbreiteten Digitalanzeigen z.B. bei Armbanduhren und Taschenrechnern sowie neuere Rechner- und TV-Bildschirme sind h¨auﬁg Fl¨ ussigkristallanzeigen (LCD = Liquid Crystal Display), die die anisotropen optischen Eigenschaften dieser Medien ausnutzen. Zahlreiche weitere Anwendungen dieser Fl¨ ussigkristalle stehen vor der Markteinf¨ uhrung. Fl¨ ussige Kristalle wurden bereits 1888 von Reinitzer entdeckt und beschrieben, ein darauf basierendes Anzeigeelement schon 1918 entwickelt. Erst 1968 erfolgte die Wiederentdeckung“ der Anwendungsm¨oglichkeiten dieser Substan” zen. Bausteine der ﬂ¨ ussigkristallinen Substanzen sind gestreckte organische Molek¨ ule; diese sind so h¨ auﬁg, dass etwa 5% aller organischen Substanzen die ﬂ¨ ussigkristalline Phase aufweisen. Zahlreiche f¨ ur die Anwendungen wichtige Molek¨ ule bestehen aus zwei oder mehreren – evtl. u ucken – linear verketteten Ben¨ ber Br¨ zolringen, an die weitgehend gestreckte Molek¨ ulgruppen angelagert sind, so dass typisch Molek¨ ule von etwa 2 nm L¨ ange und 0,5 nm Durchmesser entstehen. An die Stelle des ebenen Benzolrings kann beispielsweise auch das nicht ebene ringf¨ormige Cyclohexan treten; eine wichtige Substanzgruppe sind die Phenylcyclohexane. Die Folge des molekularen Aufbaus ist eine starke Anisotropie der mikroskopischen physikalischen Eigenschaften, die sich bei regelm¨aßiger Anordnung der

450

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Molek¨ ule auch makroskopisch auswirken. Dies gilt insbesondere f¨ ur die Tensoren elektrisches Dipolmoment und Polarisierbarkeit und damit die Dielektrizit¨atskonstante und Brechzahl, desgleichen f¨ ur die elektrische Leitf¨ahgkeit und die mechanischen Eigenschaften. Folge des Aufbaus ist ein zus¨atzlicher Ordnungsparameter – die durch den Direktor charakterisierte Molek¨ ulrichtung – der zu einer zus¨ atzlichen Phase, der ﬂ¨ ussig-kristallinen oder Mesophase f¨ uhrt. Normalerweise sind uns von einer Substanz wie Silizium oder Wasser folgende Phasen und Phasen¨ uberg¨ ange bekannt: Schmelzpunkt TS fest, kristallin −−−−−−−−−−→ ← (anisotrop)

ﬂ¨ ussig (isotrop)

Siedepunkt TSi gasf¨ ormig −−−−−−−−− → (isotrop)

Gehen wir von einem Siliziumeinkristall aus, so sind hier die Atome dreidimensional regelm¨aßig (periodisch) angeordnet. Bei Erw¨armung geht der Kristall am Schmelzpunkt in den isotropen ﬂ¨ ussigen Zustand u ¨ ber, der Ordnungsparameter Periodizit¨ at geht verloren, die Atome sind unregelm¨aßig im Abstand von etwa einem Atomdurchmesser angeordnet. Fl¨ ussige Kristalle zeigen ein anderes Verhalten: Mesophase (anisotrop) Siedepunkt T fest, kristallin Schmelzpunkt TS smektisch, Kl¨arpunkt TK ﬂ¨ ussig gasf¨ ormig − −−−−−−−−−−−→ − −−−−−−−−− → − −−−−−−−−−Si − → ← ← (anisotrop) (isotrop) (isotrop) nematisch, cholesterisch

Sie schmelzen zwar bei Erreichung der Schmelztemperatur TS und zeigen das f¨ ur die Fl¨ ussigkeit charakteristische Fließverhalten, die Fl¨ ussigkeit erscheint jedoch tr¨ ub (lichtstreuend wie Milch) und geht erst oberhalb des Kl¨arpunktes in eine klare, isotrope normale“ Fl¨ ussigkeit u ¨ ber. Im Temperaturbereich TS − TK ” liegt die ﬂ¨ ussigkristalline oder Mesophase vor. Hier unterscheidet man die Phasen smektisch, nematisch und cholester(in)isch, wobei bei Temperaturerh¨ohung h¨ auﬁg mehrere smektische Phasen mit anschließender nematischer Phase auftreten. Wie erw¨ ahnt, tritt nun der zus¨ atzliche Ordnungsparameter Molek¨ ulrichtung auf. In der smektischen Phase (s. Abb. 15.24 a) stimmen die Richtungen der Molek¨ ule u ¨ berein, in der nematischen (s. Abb. 15.24 b) ist dies (ann¨ahernd) der Fall. In der smektischen Phase liegt zus¨ atzlich eine Schichtstruktur vor, bei der die Molek¨ ulschwerpunkte in ¨ aquidistanten Ebenen angeordnet sind, die gegeneinander verschiebbar sind (hochviskose Fl¨ ussigkeit), so dass wir hier von zweidimensionaler Ordnung sprechen k¨ onnen. Nematische Kristalle“ haben dann also die ” f¨ ur Fl¨ ussigkeiten charakteristische unregelm¨aßige Anordnung der Molek¨ ulschwerpunkte, die Direktoren sind jedoch vornehmlich parallel orientiert (eindimensionale Ordnung). Die cholesterinische Phase (s. Abb. 15.24 c) entsteht durch schraubenf¨ ormige Verdrehung nematischer Schichten, die Gangh¨ohe dieser Helix variiert zwischen ca. 0,1 und 20 µm.

15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle

451

Abb. 15.24. Die ﬂ¨ ussigkristallinen Mesophasen: a) smektisch: Schwerpunkte eindimensional (z-Richtung) sowie Molek¨ ulrichtung geordnet. b) Nematisch: Schwerpunkte ungeordnet, Richtung regelm¨ aßig. c) Cholesterinisch = nematisch in Schraubenform mit Gangh¨ ohe g

452

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Fl¨ ussigkristalle liegen in der Regel als doppelbrechende Polykristalle vor, deren Kristallitgr¨ oße typisch 0,1 mm betr¨ agt. Wegen der großen Anisotropie der Brechzahl – |nao −no | 0,1 – tritt an den Grenzﬂ¨achen wiederholt Brechung und Reﬂexion und damit Streuung auf, die Substanz erscheint tr¨ ub. Diese Tr¨ ubung verschwindet jedoch beim geordneten Einkristall“. Oberhalb des Kl¨arpunkts ” ussigkeit mit unregelm¨aßiger Molek¨ ulrichtung (T > TK ) liegt eine isotrope Fl¨ vor, die nur noch Rayleighstreuung aufweist und klar erscheint. Abbildung 15.24 c macht verst¨ andlich, dass in der cholesterinischen Phase eine hohe optische Aktivit¨ at vorliegt. Sind die Helixachsen senkrecht zur Schichtoberﬂ¨ ache ausgerichtet, so wird außerdem Licht, dessen mittlere Wellenl¨ange λ0 ohe g der Schraube u ¨ bereinstimmt, aufgrund konstruk(no +nao )/2 mit der Gangh¨ tiver Interferenz stark reﬂektiert. Bei Einstrahlung von weißem Licht und absorbierender Unterlage entstehen dann Interferenzfarben, die mit der Gangh¨ohe – beispielsweise bei Temperatur¨ anderung – variieren. Dies kann zur Messung von Temperaturverteilungen herangezogen werden. Wichtigste Anwendung ist die Fl¨ ussigkristallanzeige mit Hilfe der nematischen Drehzelle (TN-Zelle, Twisted Nematic“, Schadt-Helfrich-Eﬀekt). Der Aufbau ” der Zelle ist in Abb. 15.25 wiedergegeben. Die etwa 5−10 µm dicke Fl¨ ussigkristallSchicht beﬁndet sich zwischen 2 d¨ unnen Glasplatten, auf die an den Außenseiten – im vorliegenden Fall gekreuzte – Polarisationsfolien aufgebracht sind. Auf den Innenseiten beﬁnden sich durchsichtige Elektroden meist aus Indium-Zinnoxid (ITO, s. Kap. 27). Durch unidirektionales Reiben bzw. Polieren einer Oberﬂ¨ache entstehen feine parallele Rillen, zu denen sich die l¨anglichen Molek¨ ule parallel anordnen. In Abb. 15.25 wird dies durch d¨ unne Kunststoﬀ-Folien erreicht, deren Vorzugsrichtung parallel zu den Transmissionachsen der gekreuzten Polarisatoren liegt. Ohne Signalspannung bewirkt die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Molek¨ ulen eine kontiniuerliche Verdrehung der Molek¨ ulachsen um den durch die Polarisatoren vorgegebenen Gesamtwinkel von 90◦ . Eine von oben einfallende polarisierte Lichtwelle wird dann ebenfalls um 90◦ gedreht und kann den unteren Polﬁlter passieren. Bei angelegter Signalspannung (Wechselspannung, s. Abb. 15.25 b) werden die Molek¨ ule (außer an der Plattenoberﬂ¨ache) parallel zu den Feldlinien ausgerichtet, die Polarisationsebene wird nicht mehr gedreht und die Anordnung sperrt das Licht. Auf diese Weise hat man einen Lichtschalter (-Modulator) realisiert, dessen Schaltzeit im ms-Bereich liegt und der vornehmlich in Anzeigeelementen eingesetzt wird. Letztere arbeiten meist in Reﬂexion, wobei (in Abb. 15.25) unter dem unteren Polarisator ein Spiegel angebracht ist. Eine andere interessante Variante ist die Deformation aufgerichteter Phasen (DAP-Eﬀekt). Aufgrund der starken Wechselwirkung zwischen Tr¨ager und Fl¨ ussigkristall stehen hier die Molek¨ ulachsen senkrecht auf den Platten, ohne ule der nematischen Phase in dieser Richtung ¨außeres Feld sind dann alle Molek¨ geordnet (s. Abb. 15.26). Die Molek¨ ule weisen h¨auﬁg ein senkrecht zu ihrer Achse gerichtetes permanentes Dipolmoment auf, so dass f¨ ur die Dielektrizit¨atskonstanten senkrecht und und parallel zur Achse ε⊥ > ε gilt. Infolgedessen orientieren

15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle

453

Abb. 15.25. Aufbau der Drehzelle aus Fl¨ ussigkristall FK und Glasplatten mit Linearpolarisatoren, durchsichtigen Elektroden und Orientierungsschichten. a) Durchlassrichtung (U = 0): Verdrillung der Molek¨ ule um 90◦ . b) Sperr-Richtung (U > US ): Ausrichtung der Molek¨ ule

sich Einzelmolek¨ ule in einem elektrischen Feld quer zu den Feldlinien. Unterhalb einer Schwellspannung bleiben aufgrund der zus¨atzlichen molekularen Wechselwirkung zun¨ achst alle Molek¨ ule aufgerichtet und die Zelle zeigt bei Lichteinfall parallel zu den Achsen keine Doppelbrechung. Mit steigender Spannung werden zun¨ achst die Molek¨ ule in der Zellenmitte in die waagrechte Lage gedreht. Die Dicke dieser nun doppelbrechenden Schicht w¨achst mit steigender Spannnung weiter, bis sie die Platten erreicht. Wir bekommen also im Arbeitsbereich der Zelle eine mit der ¨ außeren Spannung U steuerbare Doppelbrechung mit einer u ¨ber die L¨ ange der Zelle gemittelten außerordentlichen Brechzahl nao (U ). Zwischen gekreuzten Polarisatoren beobachten wir dann in weißem Licht, wie die Zelle

454

15 Erzeugung von polarisiertem Licht

Abb. 15.26. Durch eine elektrische Spannung induzierte Doppelbrechung beim DAPEﬀekt. a) U < US : Alle Molek¨ ule sind ausgerichtet, die Brechzahlen stimmen u ¨ berein: nao = no . b) U > US : In einer zentralen Schicht tritt waagrechte Ausrichtung und Doppelbrechung auf und bewirkt den spannungsabh¨ angigen Gangunterschied ∆ = (nao (U ) − no )d

oberhalb der Schwellspannung durchl¨ assig wird und wie mit steigender Spannung Interferenzfarben auftreten (vergl. Spannungsdoppelbrechung). Bei einfarbigem Licht arbeitet die Anordnung als spannungsgesteuerte Verz¨ogerungsplatte (z.B. bei entsprechender Spannung als λ/2-Platte). Zellen, bei denen die Molek¨ ule aus der zun¨achst liegenden“ in die aufge” richtete Stellung gedreht werden (Deformation liegender Phasen), sind ebenfalls erh¨ altlich und haben die gleichen Einsatzm¨ oglichkeiten wie der DAP-Eﬀekt. Zahlreiche weitere Anwendungen der Fl¨ ussigkristalle sind denkbar und gebr¨auchlich. Man kann sie z.B. als Matrix f¨ ur gestreckte Farbstoﬀmolek¨ ule verwenden und auf diese Weise einen dichroitischen Polarisator herstellen.

¨ Ubungen 15.1 Anf¨ anglich unpolarisiertes Licht der Leistung Pein durchsetzt nacheinander drei Linearpolarisatoren, deren Transmissionsachsen (TA) um jeweils 0◦ , 30◦ und 60◦ gegen¨ uber der Horizontalen gedreht sind. Wie groß ist der resultierende Transmissionsgrad (τ = Paus /Pein ) f¨ ur unpolarisiert einfallendes Licht? 15.2 Bei welchen Einfallswinkeln ist Licht, das an der Grenzﬂ¨ ache Luft–Diamant (n = 2,42) bzw. Diamant-Luft reﬂektiert wird, vollst¨ andig linear polarisiert? 15.3 Dichroitische Polarisationsfolien sind keine idealen Polarisatoren, da der Transmisur Licht mit der Polarisationsrichtung parallel zur TA nicht den sionsgrad τmax f¨ Wert 1 erreicht und der senkrechte Anteil nicht vollst¨ andig absorbiert wird, also τmin = 0.

15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle

455

a) Erweitern Sie das Malussche Gesetz unter Verwendung von τmax und τmin dahingehend, dass der Transmissionsgrad τ von zwei solchen Folien, deren TA um θ gegeneinander verdreht sind, berechnet werden kann. Zeigen Sie, dass sich f¨ ur ideale Polarisatoren das Malussche Gesetz ergibt. b) W¨ ahlen Sie τmax = 0,95 und τmin = 0,05 und vergleichen Sie die von zwei Folien bei den Winkeln θ = 0◦ , 30◦ , 45◦ und 90◦ durchgelassenen Intensit¨ aten mit denen eines idealen Polarisators. 15.4 Welche Dicke muss eine Halbwellenplatte aus Glimmer f¨ ur Licht des He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) haben? Die bei dem zweiachsig doppelbrechenden Glimmer maßgebenden Brechzahlen betragen n1 = 1,599 und n2 = 1,594. 15.5 Unpolarisiertes Licht triﬀt auf einen doppelbrechenden Stoﬀ mit den angegebenen Orientierungen der optischen Achse (OA). Untersuchen Sie f¨ ur die F¨ alle 1) bis 4): a) Strahlaufspaltung durch Doppelbrechung? b) Phasenverschiebung? c) Polarisation von Teilstrahlen? d) Welche Orientierung(en) sollte man f¨ ur eine Viertelwellenplatte w¨ ahlen?

15.6 Untersuchen Sie einen Soleil-Babinet-Kompensator (s. Abb. 15.12) aus Quarz (no = 1,555, nao = 1,546 bei λ = 546,1 nm (gr¨ unes Hg-Licht)), der eine maximale Phasenverz¨ ogerung entsprechend zwei Wellenl¨ angen erzeugt. a) Vergleichen Sie f¨ ur die Position der maximalen Verz¨ ogerung die gesamte Dicke d2 der Keilplatten mit d1 der Basisplatte (Angabe von d2 − d1 ). b) Bei welcher Stellung (Dickendiﬀerenz) erh¨ alt man zirkular polarisiertes Licht? 15.7 Ihnen stehen mehrere ideale dichroitische Polarisatoren zur Verf¨ ugung, die jeweils 50% der Intensit¨ at I0 des einfallenden unpolarisierten Lichtes durchlassen. a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Skizze, dass von einem Paar dieser Polarisatoren, deren TA um θ gegeneinander verdreht sind, Licht der Intensit¨ at I=

I0 cos2 θ 2

durchgelassen wird. b) Diskutieren Sie die Grenzf¨ alle θ = 0◦ und 90◦ .

456

15 Erzeugung von polarisiertem Licht c) Zwischen zwei gekreuzte Polarisatoren werden f¨ unf zus¨ atzliche Polarisatoren gebracht, deren Achsen um jeweils 15◦ gegen¨ uber dem vorhergehenden gedreht sind. Insgesamt sind also sieben Polarisatoren mit den Winkeln der TA von θ = 0, 15, 30, . . . 90◦ in Reihe geschaltet. Welcher Bruchteil des einfallenden Lichtes wird durchgelassen?

15.8 Welche Minimaldicke muss eine Viertelwellenplatte aus Quarz f¨ ur die Vakuumwellenl¨ ange 589,3 nm haben? 15.9 Gegeben sei ein Wollaston-Prisma aus Kalkspat mit einem Keilwinkel von 45◦ (s. Abb. 15.18). Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden austretenden Strahlen, wenn man Natrium-Licht (λ = 589 nm) verwendet? 15.10 Linear polarisiertes Licht durchsetzt eine 30 µm dicke Kristallplatte und ist anschließend zirkular polarisiert. Skizzieren Sie den Aufbau mit Angabe der optischen Achse des Kristalls und erkl¨ aren Sie den Vorgang. Berechnen Sie die entsprechende Brechzahldiﬀerenz f¨ ur λ = 600 nm unter der Annahme, dass die minimal m¨ ogliche Dicke vorliegt. 15.11 Das von einer Wasseroberﬂ¨ ache spiegelnd reﬂektierte Licht ist vollst¨ andig polarisiert. a) Welcher Einfallswinkel liegt vor? b) Der gebrochene Strahl wird teilweise an einer unter der Wasseroberﬂ¨ ache beﬁndlichen Glasplatte (n = 1,50) reﬂektiert. Um welchen Winkel muss diese Platte relativ zur Oberﬂ¨ ache verkippt sein, damit das reﬂektierte Licht ebenfalls vollst¨ andig polarisiert ist? 15.12 Einfallendes Licht unbekannter Polarisation wird mit idealen Polarisatoren analysiert. Geben Sie jeweils Polarisationsart und -grad an. a) Bei Verwendung eines Linearpolarisators beobachtet man bei Drehung keine Ver¨ anderung der Intensit¨ at des durchgehenden Lichtes. Bringt man jedoch vor den Polarisator eine Viertelwellenplatte, so variiert die Intensit¨ at mit dem Drehwinkel des Polarisators. Sie wird jedoch niemals Null. b) Bei Drehung des Polarisators beobachtet man eine Variation der Lichtintensit¨ at, die nirgends verschwindet. Der Polarisator wird in die Stellung maximaler durchgelassener Intensit¨ at gebracht. Davor kommt eine Viertelwellenplatte, deren optische Achse parallel zur TA des Polarisators steht. Drehung des Polarisators f¨ uhrt nunmehr zu Intensit¨ at null. 15.13 Licht aus einer Quelle, die sich in einem Immersions¨ ol der Brechzahl 1,62 beﬁndet, ¨ liegende Planﬂ¨ triﬀt auf eine ebenfalls im Ol ache aus Diamant (n = 2,42). Bei welchem Einfallswinkel tritt maximale Polarisation auf? Welcher Brechungswinkel liegt vor? 15.14 F¨ ur Glukose (Traubenzucker) ﬁndet man eine auf L¨ ange (in cm) und Volumenkonzentration (in g/cm3 ) bezogene speziﬁsche Rotation von 20,5◦ · cm2 /g. Welche Konzentration hat eine L¨ osung, die sich in einem R¨ ohrchen von 12 cm L¨ ange beﬁndet und die Achse von linear polarisiertem Licht um 1,23◦ dreht? 15.15 a) Linear polarisiertes rotes Licht (λ = 700 nm) erf¨ ahrt bei Durchgang durch eine 1 mm dicke Quarzplatte eine Drehung der Polarisationsebene um 5◦ . Welche

15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle

457

Drehung ist f¨ ur violettes Licht (λ = 400 nm) zu erwarten, wenn die speziﬁsche Rotation ∼ λ−2 ? b) Wie groß ist die speziﬁsche Rotation von Quarz bei der Wellenl¨ ange λ = 396,8 nm, wenn die Brechzahlen f¨ ur links- und rechtszirkular polarisiertes Licht nl = 1,55821 und nr = 1,55810 betragen? c) Welche Dicke muss dann eine Platte haben, damit sie um 10◦ dreht? 15.16 a) Bei einer d¨ unnen Kalkspatplatte liegt die optische Achse parallel zur Oberﬂ¨ ache. Welche Minimaldicke muss eine Viertelwellenplatte f¨ ur Na-Licht (589 nm) haben? b) Welche Farbe wird von einem 18,2 µm dicken Zirkon-Pl¨ attchen (ZrSiO4) durchgelassen, wenn es sich in der 45◦ -Position zwischen gekreuzten Polarisatoren beﬁndet? 15.17 a) Zeigen Sie, dass die Brewster-Winkel zweier Medien f¨ ur Reﬂexion am dichteren und am d¨ unneren Medium komplement¨ ar sind. b) Wird bei einer Planplatte die einfallende TM-Welle unter dem Brewster-Winkel vollst¨ andig durchgelassen, so gilt dies auch auf der anderen Seite f¨ ur den austretenden Strahl. Warum? 15.18 Die Brechzahlen entlang der schnellen und langsamen Achsen von Quarz betragen (f¨ ur Licht der Wellenl¨ ange 546 nm) 1,5462 und 1,5553. a) Wie groß ist der relative (auf die Wellenl¨ ange bezogene) Gangunterschied ∆/λ der außerordentlichen und ordentlichen Teilstrahlen? b) Welche Dicke hat eine Viertelwellenplatte nullter Ordnung? c) Geben Sie die Ordnung einer Quarzplatte von 735 µm Dicke an. d) Zwei Quarzplatten sind so verkittet, dass sie entgegengesetzte Gangunterschiede erzeugen. Welche Dickendiﬀerenz m¨ ussen sie aufweisen, damit sie wie eine Viertelwellenplatte arbeiten? 15.19 Ein Lineal aus Plastik mit 1,5 mm Dicke wird bei λ = 500 nm zwischen gekreuzten Polarisatoren betrachtet. Bedingt durch innere Spannung sieht man eine Reihe von hellen und dunklen Streifen. Sch¨ atzen Sie die Brechzahldiﬀerenz n1 − n2 zwischen benachbarten Streifen ab, indem Sie mit der Halbwellenplatte vergleichen. 15.20 Auf eine Planplatte aus Beryll – mit der optischen Achse parallel zur Oberﬂ¨ ache – f¨ allt linear polarisiertes Licht so ein, dass der E-Vektor um 45◦ zur optischen Achse gedreht ist. Bestimmen Sie die minimalen Dicken (mit d = 0), bei denen das austretende Licht a) linear polarisiert und b) zirkular polarisiert ist. 15.21 Die Drehung der Polarisationsebene durch eine 1,15 mm dicke linksdrehende Quarzplatte soll durch eine Halbwellenplatte kompensiert werden. Welcher Drehwinkel muss f¨ ur die Halbwellenplatte bei λ = 546 nm gew¨ ahlt werden? 15.22 Nach 20.23 ist der Reﬂexionsgrad einer TE-Welle: TE =

2 rTE

2 Pr sin(ε − ε ) = = Pe sin(ε + ε )

a) Wie groß ist dieser Reﬂexionsgrad f¨ ur die Grenzﬂ¨ ache Luft–Glas (n = 1,5) am Brewster-Winkel? Welchen Wert hat TM ?

458

15 Erzeugung von polarisiertem Licht b) Der unter a) berechnete Wert von TE gilt auch f¨ ur die Grenzﬂ¨ ache Glas–Luft. Bestimmen Sie den Transmissionsgrad τTE eines Stapels von 10 Platten bei Vernachl¨ assigung von Vielfachreﬂexionen und Absorption. c) Berechnen Sie außerdem den Polarisationsgrad Π=

PTM − PTE PTM + PTE

des durchgehenden Strahls. 15.23 Zwischen einem gekreuzten Polarisator-Analysator-Paar beﬁndet sich eine Halbwellenplatte, deren schnelle Achse mit der TA-Achse des Polarisators den Winkel θ einschließt. Wie verh¨ alt sich das austretende Licht bei Variation von θ? 15.24 a) Um welchen Winkel wird linear polarisiertes Licht der Wellenl¨ ange 762 nm von einer 3 mm dicken Quarzplatte gedreht? b) Welche Drehung w¨ urde bei derselben Wellenl¨ ange mit einer Halbwellenplatte (erste Ordnung) aus Quarz auftreten?

16 Fraunhofer-Beugung

Einleitung In den vorangegangenen Kapiteln wurde eine Reihe von Ph¨anomenen, die wir zusammenfassend als Interferenzeﬀekte“ bezeichnen k¨onnen, durch den Wel” lencharakter des Lichtes erkl¨ art. In allen F¨allen interferierten zwei oder mehr koh¨ arente Lichtwellen aus einer einzigen Lichtquelle, die durch Amplituden- oder Wellenfront-Teilung erzeugt wurden. Die Beugung des Lichtes basiert auf der Interferenz zahlreicher Elementarwellen und l¨asst sich als Abweichung von der geometrischen Optik beschreiben, die aus einer Einschn¨ urung der Wellenfront resultiert. Diese Einengung kann z.B. durch eine Lochblende erfolgen. Der dann auf einem Schirm hinter der Blende zu beobachtende Lichtﬂeck weist – abh¨angig vom Schirmabstand – eine unter Umst¨ anden komplizierte und nach der geometrischen Optik unerwartete Struktur auf. Die Lochblende charakterisiert den Einﬂuss der Beugung bei vielen optischen Instrumente, da diese in der Regel nur einen Ausschnitt der einfallenden Wellenfront verarbeiten. Beugungseﬀekte sind auch dann zu beobachten, wenn das beugende Hindernis neben einer eventuellen Amplituden¨ anderung eine Phasenverschiebung der Lichtwelle bewirkt. Hierdurch entstehen z.B. im Laserlicht unerw¨ unschte Beu-

460

16 Fraunhofer-Beugung

gungsbilder an Linsen, die durch kleine Gasblasen und andere Dichte¨anderungen erzeugt werden. Da die Beugung bei einer optischen Abbildung zu einer Verschmierung von Kanten f¨ uhrt, bewirkt sie eine prinzipielle Begrenzung des Aufl¨ osungsverm¨ ogens optischer Instrumente. Die Realisierung von u ¨ berwiegend beugungsbegrenzten Optiken ist aufw¨ andig, da sie die Korrektur der – in der Regel u ¨ berwiegenden – geometrisch-optischen Bildfehler voraussetzt. Der in Kap. 10 untersuchte Doppelspalt l¨asst eine einfallende Wellenfront ¨ nur an zwei Oﬀnungen passieren. Dabei wurde das resultierende Beugungsbild ¨ unter der idealisierenden Annahme analysiert, dass von jeder Oﬀnung nur eine Elementarwelle ausgeht, dass es sich also um Punkt- oder Linienquellen handelt. Hier soll nun die Beugung an Spalten endlicher Breite analysiert werden, mit dem Ergebnis, dass das Interferenzmuster eine zus¨atzliche Struktur aufweist, die durch die Spaltbreite bestimmt wird. Wir werden sehen, dass die Untersuchung von Beugungsproblemen mit Hil¨ fe des Huygens-Fresnelschen Prinzips gute Ubereinstimmung zwischen Theorie und Experiment ergibt. Bekanntlich forderte Huygens, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt von Elementarwellen (sekund¨are Kugelwellen) angesehen werden kann; die neue Wellenfront ist dann die Einh¨ ullende dieser Elementarwellen. Fresnel nahm zus¨ atzlich an, dass sich das resultierende Feld in einem Punkt außerhalb dieser herausgegriﬀenen Wellenfront als Superposition (phasen- und amplitudenrichtige Addition) aller von ihr ausgehenden Elementarwellen ergibt. Beugung ist somit – außer bei einer Elementarwelle – immer mit Interferenz gekoppelt. Trotzdem werden h¨ auﬁg Beugung und Interferenz (im engeren Sinne) durch folgende Deﬁnition unterschieden: Bei Beugungsph¨anomenen entstammen die interferierenden Teilwellen kontinuierlich verteilten, bei Interferenz diskreten Quellen. Eine Klassiﬁzierung der Beugungseﬀekte erfolgt nach den experimentellen Beobachtungsbedingungen bzw. den bei der Berechnung verwendeten mathematischen N¨ aherungen. Sind die Abst¨ ande Lichtquelle–Beugungsobjekt und Objekt– Beobachtungsebene so groß, dass einfallende und gebeugte Wellenfront als eben angesehen werden k¨ onnen, so spricht man von Fraunhofer-Beugung oder Fernfeldn¨aherung. Bei der Fresnel- oder Nahfeldbeugung (s. Kap. 18) muss man hingegen die Kr¨ ummung der Wellenfronten ber¨ ucksichtigen. Im Fernfeld ¨andert das Beugungsbild bei Verschiebung des Beobachtungsschirms lediglich seine Gr¨oße und nicht die Struktur, w¨ ahrend sich im Nahfeld sowohl Gr¨oße als auch Form ver¨ andern. Verschiebt man den Beobachtungsschirm vom beugenden Objekt weg, dann l¨ asst sich verfolgen, wie nacheinander die von der geometrischen Optik sowie der Nah- und Fernfeldn¨ aherung beschriebenen Bilder sichtbar werden. Man beachte, dass das Fresnel-Huygens-Prinzip an sich schon eine N¨aherung ¨ darstellt, da es – z.B. in einer Oﬀnung – als generierende Wellenfront nur die der direkt einfallenden Welle verwendet und die von den begrenzenden R¨andern ausgehenden Wellen unber¨ ucksichtigt l¨ asst. Diese Randeﬀekte sind in unmittelbarer

16.1 Beugung am Einzelspalt

461

N¨ ahe der Apertur wichtig. Dar¨ uber hinaus bleiben Polarisationseﬀekte unber¨ ucksichtigt.

16.1 Beugung am Einzelspalt Wir untersuchen zun¨ achst die Fraunhofer-Beugung an einem Einzelspalt, einem Rechteckspalt, dessen H¨ ohe wesentlich gr¨ oßer als seine Breite b ist. FraunhoferBeugung setzt ebene Wellenfronten voraus, so dass Quelle und Beobachtungsebene hinreichend weit von dem Spalt entfernt sein m¨ ussen; dies l¨asst sich am einfachsten dadurch erreichen, dass man eine Punktquelle in den Brennpunkt einer Sammellinse bringt oder paralleles Laserlicht verwendet und das Beugungsbild in der Brennebene einer zweiten Sammellinse (s. Abb. 16.1) registriert. Dann werden im Beobachtungspunkt P Parallelstrahlen fokussiert, die von allen Punkten der Wellenfront des Spaltes (in Abb. 16.1 gestrichelt) ausgehen. Nach dem HuygensFresnelschen Prinzip sind diese Strahlen Teile der von jedem Punkt des Spaltes ausgehenden Elementarwellen, die in P entsprechend dem Superpositionsprinzip interferieren (phasenrichtig u ¨berlagert werden). Wir entnehmen Abb. 16.1, dass die Teilwellen in P phasenverschoben eintreﬀen, beispielsweise hat ein Strahl aus der Mitte des Spaltes einen um ∆ geringeren optischen Weg zur¨ uckgelegt, als der vom Punkt O oberhalb der optischen Achse. Die Quellen der Huygens-Wellen sind auf der Wellenfront des Spaltes kontinuierlich verteilt. Wir betrachten einen bei O gelegenen Ausschnitt der Wellenfront, dessen Breite dx so klein ist, dass von ihm nur eine Elementarwelle mit fester Phase ausgeht. Sie liefert im Punkt P zur Feldst¨arke E P den Beitrag ˆ ej(ωt−kr) dE P ∼ dE O

(16.1)

ˆ die Amplitude der von O ausgehenden Welle, die proportional Hierbei ist dE O ˆ und zur Breite dx ist: zu der auf den Spalt treﬀenden Amplitude E S ˆ dx ˆ ∼E dE O S

(16.2)

Weiterhin ist der optische Weg r des Strahles von O nach P um den Gangunterschied ∆ = x sin α

(16.3)

gr¨ oßer ist als der Weg r0 zwischen O und P , es gilt also r = r0 + ∆. Aus (16.1) folgt f¨ ur den allein interessierenden ortsabh¨angigen Anteil, die Beugungsamplitude: ˆ e−jk(r0 +∆) dx ˆ ∼E dE P S

(16.4)

462

16 Fraunhofer-Beugung

Abb. 16.1. Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt der Breite b. Der Spalt wird von einer ebenen Welle bestrahlt. ∆ = x sin α ist der Gangunterschied von Strahlen, die von O und O ausgehen. Die Beobachtung von Beugungsamplitude und -intensit¨ at erfolgt in der Brennebene einer Linse L (x: Aperturebene, X: Beobachtungsebene)

Die gesamte Beugungsamplitude im Punkt P ergibt sich dann durch Integration von (16.4) u ¨ber alle Teilwellen des Spaltes der Breite b: ˆ =CE ˆ E P S

e

−jk∆

dx = C Eˆ S

b/2

e−jkx sin α dx

(16.5)

−b/2

ater genauer diskutiert, sie ist u.a. proporDie komplexe Konstante C wird sp¨ tional zur Spalth¨ ohe und enth¨ alt auch den konstanten Beitrag e−jkr0 aus (16.4). Die Ausf¨ uhrung der Integration f¨ uhrt mit u = k sin α, der x-Komponente des Wellenvektors, auf b/2 jub/2 e−jux − e−jub/2 ˆ ˆ e ˆ = 2C E EP = C ES S −ju −b/2 2ju ˆ b sin(ub/2) ≡ C E ˆ b sinc ub = 2C E S S 2 (ub/2) 2 somit ist

ˆ b sinc bk sin α ˆ =CE E P S 2

In (16.7) haben wir die in Signaltheorie und Optik (s. Kap. 12) wichtige

(16.6)

(16.7)

16.1 Beugung am Einzelspalt

sinc β =

sinc-Funktion

sin β β

463

(16.8)

eingef¨ uhrt. Sie hat den Grenzwert lim sincβ = lim

β→0

β→0

sin β β ≈ lim = 1 β→0 β β

(16.9)

den wir durch Reihenentwicklung der sin-Funktion erhalten. Aus (16.3) und ∆ϕ = k∆ folgt, dass das Argument bk sin α πb ub = = sin α (16.10) 2 2 λ gerade gleich dem Phasenunterschied zwischen zwei von der Mitte und dem oberen (oder unteren) Randpunkt des Spaltes ausgehenden Teilwellen ist. Beim Beugungswinkel α = 0 wird auch β = 0 und wegen sinc(0) = 1 (s. (16.9)) ist ˆ2 ˆ (0) ≡ Eˆ = C Eˆ b. Mit der Beugungsintensit¨at I ∼ E dann nach (16.7): E P 0 S P gilt dann im Punkt P f¨ ur die β=

Beugungsamplitude

ˆ sinc β ˆ =E E P 0

(16.11)

I = I0 sinc2 β

(16.12)

und die Beugungsintensit¨at

ˆ und I0 die bei Beugungswinkel α = 0 geHierbei sind – wie erw¨ ahnt – E 0 messene Amplitude und Intensit¨ at; 2β ist die Phasendiﬀerenz der Randstrahlen. (s. (16.10)). Die graﬁsche Darstellung von Amplitude und Intensit¨at (s. Abb. 16.2) zeigt dementsprechend bei α = 0 das zentrale Beugungsmaximum. Beugungsminima sin αmin = werden bei den Nullstellen der sinc-Funktion beobachtet, die bei β = πb λ nπ auftreten. Damit gilt bei der Spaltbeugung (b ist die Spaltbreite) f¨ ur die: Beugungsminima

sin αmin = n

λ b

mit

n = ±1, ±2, . . .

Hieraus folgt f¨ ur kleine Beugungswinkel (sin α ≈ α ≈ tan α = f¨ ur die Lage der Minima auf dem Schirm: Xmin = n Das Hauptmaximum liegt bei

λf b

(16.13) X f ,

s. Abb. 16.1)

(16.14)

464

16 Fraunhofer-Beugung

Abb. 16.2. Verlauf der sinc-Funktion (durchgezogene Kurve), die gleich der normierten ˆ E ˆ0 f¨ Beugungsamplitude E/ ur Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt ist, als Funktion von πb β = λ sin α. Die normierte Beugungsintensit¨ at (gestrichelte Kurve) erh¨ alt man durch Quadrieren: I/I0 = sinc2 β

Hauptmaximum

αmax = 0

(16.15)

und damit genau im Zentrum zweier Minima gleicher Ordnung (±n). Nebenmaxima sind nicht exakt in der Mitte zwischen benachbarten Minima. Ihre Lage folgt β d (sincβ) = β cos β−sin , also der transzendenten aus der Bedingung (s. (16.11)) dβ β2 Gleichung β = tan β

(16.16)

Die in Abb. 16.3 wiedergegebene graﬁsche L¨osung dieser Gleichung zeigt, dass mit zunehmendem β die Nebenmaxima genau in die Mitte zwischen den angrenzenden Minima r¨ ucken. Die numerische L¨osung ergibt beim ersten Nebenur die Mitte), beim zweiten 2,46π (statt 2,5π), maximum β1 = 1,43π (statt 1,5π f¨ dann 3,47π (statt 3,5π) usw., also jeweils eine leichte Verschiebung. Mithin gilt f¨ ur die Nebenmaxima

sin αNebenmax ≈ ±

2|n| + 1 λ · 2 b

(16.17)

mit einem Winkelfehler kleiner 4,6%. Beispiel 16.1 Spaltbeugung Wie groß ist bei der Beugung am Einzelspalt das Verh¨altnis der Beugungsamplituden und Bestrahlungsst¨ arken von erstem Nebenmaximum zu zentralem Maximum?

16.1 Beugung am Einzelspalt

465

Abb. 16.3. Graﬁsche L¨ osung der transzendenten Gleichung β = tan β als Schnittpunkte der Kurven y = β und y = tan β. Die L¨ osungen βi entsprechen Maxima der sinc-Funktion und legen damit die Beugungswinkel der Beugungsmaxima fest. Bei β = 0 liegt das Hauptmaximum

L¨ osung Das Amplitudenverh¨ altnis ergibt sich als: Eˆβ=1,43π sinc(1,43π) = = −0,217 ˆ sinc(0) Eβ=0

und

Iβ=1,43π = 0,2172 = 0,047 Iβ=0

Das erste Nebenmaximum hat somit knapp 5% der Intensit¨at des Hauptmaximums. Genau in der Mitte zwischen den Minima gilt hingegen: ˆβ=1,5π sinc(1,5π) E 2 = =− = −0,212 und ˆβ=0 sinc(0) 3π E

Iβ=1,5π = 0,2122 = 0,045. Iβ=0

Der Intensit¨ atsfehler ist mit 4,8% etwa gleich dem oben erw¨ahnten Winkelfehler.

466

16 Fraunhofer-Beugung

Wird in Abb. 16.1 der Abstand |a| zwischen Spalt und Linse sehr groß, so liegt das geometrisch optische Abbild des Spaltes ebenfalls in der Brennebene der ur a → −∞). Aufgrund der Wellennatur des Lichtes Linse (Bildweite a → f f¨ sehen wir dann aber statt des scharfen Bildes des Spaltes ein Beugungsbild, dessen R¨ ander unscharf sind und dessen Breite durch die des Hauptmaximums bestimmt wird. Solche typischen Beugungsverbreiterungen werden sp¨ater noch an weiteren Beispielen untersucht. Als Maß f¨ ur die Beugungsverbreiterung wird die Winkelbreite des Hauptmaximums herangezogen, die als Winkelabstand ∆α zwischen +1. und −1. Minimum deﬁniert wird. Aus (16.13) folgt f¨ ur kleine Winkel (sin α ≈ α) und n = ±1 f¨ ur die Winkelbreite des Hauptmaximums 1: 2λ (16.18) b Gleichung (16.18) dr¨ uckt die reziproke Wirkung der Beugung aus: Je enger der Spalt wird, desto breiter wird das Hauptmaximum; außerdem w¨achst die Breite des Beugungsbildes mit der Wellenl¨ ange. Da die H¨ohe des Spaltes – gem¨aß Voraussetzung – wesentlich gr¨ oßer als seine Breite sein sollte, kann – nach (16.18) – die Beugungsverbreiterung in senkrechter Richtung vernachl¨assigt werden. ∆α ≈

16.2 Beugungsbedingte Strahldivergenz Nach (16.18) ist die Winkelbreite ∆α des Hauptmaximums (im Fernfeld) unabh¨ angig vom Abstand zwischen Spalt und Schirm. Die Breite B des Hauptmaximums 1 nimmt hingegen mit dem Abstand l zu (s. Abb. 16.4): Beugungsverbreiterung

B ≈ l∆α =

2lλ b

(16.19)

F¨ ur l = f ergibt sich hieraus der in der Brennebene einer Linse (s. Abb. 16.1) gemessene Durchmesser. Gleichung (16.19) l¨asst sich so interpretieren, dass jede Einschn¨ urung einer Welle auf eine Breite b – unabh¨angig von der Art der Realisierung – zu einer Verbreiterung der Ausgangswelle f¨ uhrt. Dies gilt auch, wenn man in Abb. 16.4 den Spalt wegl¨ asst und direkt einen Strahl der Breite b verwendet. Ein Parallelstrahl“ der geometrischen Optik wird mithin nach Kolli” mation so divergieren, als ob er aus einer endlich breiten Apertur stammt. Diese Beugungsdivergenz begrenzt damit auch die Kollimation von Laserstrahlen und ist eine unvermeidbare Konsequenz der Wellennatur des Lichtes. Beispiel 16.2 Beugungsverbreiterung Im Labor breitet sich ein Parallelstrahl der Wellenl¨ange 546 nm und der Breite b = 0,5 mm u ¨ber eine Entfernung von 10 m aus. Welchen Durchmesser hat der Strahl am Ende, wenn man nur Beugungsverbreiterung zugrunde legt? 1

bei großen Winkeln gilt: ∆α = 2 arcsin(λ/b) und B = 2l tan(∆α/2).

16.2 Beugungsbedingte Strahldivergenz

467

Abb. 16.4. Beugungsverbreiterung des Hauptmaximums der Einzelspaltbeugung auf die Winkelbreite ∆α und die Breite B (im Fernfeld)

L¨ osung Nach (16.19) ist B =

2lλ b

≈ 22 mm.

Die Strahlverbreiterung nach (16.18) und (16.19) gilt f¨ ur lineare und RechteckAperturen. Bei Kreisblenden vom Durchmesser D = b muss in (16.19) mit dem Faktor 1,22 multipliziert werden (s. Kap. 16.3). Außerdem wurde eine ebene Wellenfront mit konstanter Strahldichte vorausgesetzt2 . Bei der Anwendung von (16.19) ist außerdem zu beachten, dass die Fraunhofer- oder Fernfeldn¨aherung zugrunde gelegt wurde, d.h. der Abstand l muss hinreichend groß sein. Bei Nichtbeachtung dieser Voraussetzung w¨ urde sonst die Breite B des Strahles bei kleinen ¨ l kleiner als die Breite b der Oﬀnung. Oﬀenbar muss ein Minimalabstand lmin existieren, bei dem f¨ ur die Strahlbreite gilt: B = b. Nach (16.19) ist dann b2 2λ ullt, d.h. Die Fernfeldbedingung ist f¨ ur Abst¨ ande l lmin erf¨ lmin =

Fernfeldbedingung

l lmin =

b2 λ

(16.20)

Verallgemeinerung f¨ uhrt zu dem Kriterium f¨ ur Fraunhofer-Beugung 2

Ein Laserstrahl weist in seiner Grundmode ein Gaußsches Strahlproﬁl auf, dann tritt in (16.19) der Faktor 1,27 statt 2 auf (s. Kap. 21).

468

16 Fraunhofer-Beugung

Abstand l

Fl¨ ache der Apertur λ

(16.21)

16.3 Rechteck- und Kreisblenden Im vorigen Kapitel wurde die Beugung an einem schmalen Einzelspalt, dessen Breite b wesentlich kleiner als seine H¨ ohe war, diskutiert (s. Abb. 16.5 a). Bei einem kleinen Rechteckspalt mit etwa gleichen Seitenl¨angen tritt eine Beugungsverbreiterung mit den Beugungswinkeln α1 und α2 in beiden Raumrichtungen auf. Durch Verallgemeinerung von (16.5) erh¨alt man f¨ ur die Beugungsamplitude im Punkt P : ˆ ˆ (α1 , α2 ) = C E E P S

b2 /2

b1 /2

e−jk(x sin α1 +y sin α2 ) dx dy

(16.22)

−b2 /2 −b1 /2

Nach Ausf¨ uhrung der Integration und Quadrierung ergibt sich f¨ ur die Intensit¨at der Beugung an einer 2 u1 b1 2 u2 b2 I(α1 , α2 ) = I0 sinc sinc (16.23) Rechteckblende 2 2 kY mit u1 = k sin α1 ≈ kX f und u2 = k sin α2 ≈ f (s. Abb. 16.5 b) und I0 = I(0,0), der Intensit¨ at des Hauptmaximums. Dementsprechend beobachtet man Beugungsminima bei

sin α1min

=

sin α2min

=

λ b1 λ n2 b2 n1

in X−Richtung in Y −Richtung

mit n1 , n2 = ±1, ±2, . . . (16.24)

Die Abbildungen 16.5 c und 16.5 d zeigen experimentelle Ergebnisse. Bei der Beugung an einer Kreisblende vom Radius R muss die Beugungsﬁgur aus Symmetriegr¨ unden rotationssymmetrisch sein. Es gen¨ ugt deshalb, den Feldst¨ arkeverlauf auf dem Schirm in einer Richtung (hier X−Achse mit X = l sin α) zu berechnen. Auf dieser Achse laufen alle von einem schmalen – zur y-Achse parallelen – Rechteckstreifen der Fl¨ache dA = 2y dx (s. Abb. 16.6 a) ausgehenden Zylinderwellen zusammen, f¨ ur einen festen x-Wert ist also die Phase y-unabh¨ angig. Dann wird die gebeugte Amplitude (s. (16.22)): ˆ ˆ E P = C E S e−jkx sin α 2y dx

16.3 Rechteck- und Kreisblenden

469

Abb. 16.5. Beugung am Rechteckspalt der Breiten b1 und b2 . a) Schmaler Einzelspalt der Breite b1 < b2 . Die Beugung erfolgt vornehmlich in Richtung der x-Achse, der Richtung minimaler Ausdehnung. b) Zweidimensionale Beugung am Rechteckspalt mit b1 ≈ b2 . c) Bild der Beugungsintensit¨ at f¨ ur einen Linienspalt entsprechend Fall a. Beachten Sie das Reziprokverhalten der Beugung: Große Spaltbreite ergibt kleinen Abstand der Beugungsminima. d) Beugungsbild f¨ ur einen quadratischen Spalt entsprechend Fall b

470

16 Fraunhofer-Beugung

Nach Abb. 16.6 a ist y=

R2 − x2

wobei R der Blendenradius ist. Einsetzen ergibt Eˆ P = 2C Eˆ S

R −R

e−jkx sin α

R2 − x2 dx

und hieraus (mit ξ = x/R und γ = kR sin α): 1 2 ˆ ˆ πR2 · 2 J1 (γ) ˆ e−jγξ 1 − ξ 2 dξ = C E E P = 2C E S R S γ −1

(16.25)

Dabei wurde das Integral durch die Besselfunktion erster Ordnung J1 (γ) entsprechend der Beziehung 1 J1 (γ) e±jγξ 1 − ξ 2 dξ = π (16.26) γ −1 ersetzt. Die Besselfunktion J1 (γ) (s. Abb. 16.6) l¨asst sich durch eine unendliche Reihe ausdr¨ ucken: J1 (γ) =

γ (γ/2)3 (γ/2)5 − + −··· 2 1! · 2! 2! · 3!

(16.27)

16.3 Rechteck- und Kreisblenden

471

Abb. 16.6. Beugung an einer Kreisblende. a) Bestimmung der Beugungsamplitude durch Integration u ¨ ber die Kreisapertur. b) Bessel-Funktion J1 (γ) sowie Vergleich von ange entsprechen Beujinc“-Funktion 2 J1 (γ)/γ und sinc-Funktion sin γ/γ. Nulldurchg¨ ” gungsminima. Die erste Nullstelle der sinc- Funktion liegt bei γ = π, die von J1 (γ) bei γ = 3,832

Hieraus folgt, dass 2 J1γ(γ) f¨ ur γ → 0 gegen den Grenzwert 1 geht. Entsprechend (16.25) tritt bei der Beugung an einer Kreisblende an die Stelle der Sinusfunktion der Spaltbeugung die Besselfunktion und an die Stelle der sinc-Funktion die Sombrero-Funktion“ 3 2 J1 (γ)/γ. Die beiden Funktionen werden in Abb. 16.6 b ” verglichen; auffallend sind die nicht ¨ aquidistanten Nulldurchg¨ange und die raur die scher abnehmende Amplitude von J1 (γ). Aus (16.25) folgt f¨ 3

Auch jinc-Funktion“ genannt (jincγ = 2J1 (γ)/γ). ”

472

16 Fraunhofer-Beugung

Beugungsintensit¨at der Kreisblende

I(γ) = I0

2J1 (γ) γ

2 (16.28)

mit dem Beugungsparameter γ: 1 kD sin α (16.29) 2 und D = 2R, dem Blendendurchmesser. Der Intensit¨atsverlauf ist in Abb. 16.7 wiedergegeben, die Fotograﬁe best¨ atigt die Rotationssymmetrie. Das Hauptmaximum der Intensit¨ at I0 liegt wieder bei α = 0, das 1. Minimum wird bei der ersten Nullstelle der J1 (γ)-Funktion, die bei γ1 = 3,832 liegt, beobachtet. Dann folgt aus (16.29): γ=

1. Beugungsminimum

sin α1. Min = 1,22

λ D

(16.30)

mit dem Blendendurchmesser D. Wie bereits erw¨ ahnt, ist das Minimum gegen¨ uber einem Einzelspalt der Breite D (s. (16.13)) nach gr¨ oßeren Winkeln verschoben. Weitere Minima k¨onnen analog aus den weiteren Nullstellen (bei γ2 = 7,016, γ3 = 10,173, γ4 = 13,324) berechnet werden. Die Nebenmaxima sind deutlich lichtschw¨acher als beim Einzeluber 4,7%, s. Bsp. 16.1). spalt (beim 1. Nebenmaximum gilt I1 /I0 = 1,2% gegen¨ Der zentrale Fleck beinhaltet demnach fast die gesamte Beugungsintensit¨at. Der Winkeldurchmesser ∆α dieses sogenannten Airy-Scheibchens (vgl. (16.18)) ist gegeben durch Airy-Scheibchen

∆α = 2 arcsin

1,22λ 1,22λ ≈2· D D

(16.31)

16.4 Auf lo ¨sungsvermo ¨gen Bei der Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt (s. Abb. 16.1) ist das Beugungsbild – bei hinreichend großem Linsendurchmesser – unabh¨angig vom Abstand a zwischen Spalt und Linse. Bei Abstand null fallen beugende Apertur und Linse zusammen, und wir k¨ onnen die Anordnung durch eine Linse mit dem Durchmesser der Apertur ersetzen. Dies ist außer bei einer Einzellinse auch bei dem Objektiv eines Teleskops der Fall, wo somit das erzeugte Bild durch die Beugung an einer Kreisblende beeinﬂusst wird. Die Sch¨arfe des Bildes eines weit entfernten Objektes, z.B. eines Sterns, ist folglich – bei vernachl¨assigbar kleinen geometrisch-optischen Bildfehlern – durch die Beugung begrenzt. Statt eines Bildpunktes erh¨ alt man eine (evtl. stark verschmierte) Beugungsﬁgur mit

16.4 Aufl¨ osungsverm¨ ogen

473

Abb. 16.7. a) Intensit¨ atsverteilung im Beugungsbild der Kreisblende. Die Lichtenergie geht fast vollst¨ andig in das Hauptmaximum. b) Beugungsbild der Kreisblende. Der zentrale Kreis entspricht der nullten Beugungsordnung und wird als Airy-Scheibchen bezeichnet

474

16 Fraunhofer-Beugung

Abb. 16.8. a) Einﬂuss der Beugung auf die Abbildung von zwei Punktobjekten durch eine Linse. Die Beugungs- oder Airy-Scheibchen sind hier klar getrennt. b) Bilder von zwei inkoh¨ arenten Punktquellen. In diesem Beugungsbild sind die beiden Bilder gut aufgel¨ ost. c) Abbildung von zwei inkoh¨ arenten Punktquellen an der Aufl¨ osungsgrenze

dem hellen Airy-Scheibchen in der Mitte (s. Abb. 16.7). Die Betrachtung des vom Objektiv erzeugten Zwischenbildes mit einer Lupe f¨ uhrt lediglich zu einer weiteren Vergr¨ oßerung und liefert keine neuen Details, die Aufl¨osungsgrenze ist allein durch das Prim¨ arbild festgelegt. Diese unvermeidliche Beugungsverbreiterung begrenzt das Aufl¨ osungsverm¨ ogen eines optischen Instrumentes, also seine F¨ ahigkeit, einzelne Objektpunkte zu unterscheiden, sei es, dass diese r¨aumlich nah benachbart (wie im Mikroskop) oder – wie beim Teleskop – durch einen kleinen Winkel getrennt sind. Abbildung 16.8 zeigt den Einﬂuss der Beugung auf die

16.4 Aufl¨ osungsverm¨ ogen

475

Abbildung von zwei Punktobjekten mit dem Winkelabstand w, der auch zwischen den Airy-Scheibchen auftritt. Ist dieser Winkel hinreichend groß, so lassen sich deutlich zwei Bilder erkennen (s. Abb. 16.8 b). Bringt man die Objekte Q1 und aher zusammen, beginnen die Beugungsbilder zu u Q2 immer n¨ ¨ berlappen und ihre Unterscheidung – die Aufl¨ osung der Objektpunkte – wird immer schwieriger. Abb. 16.8 c zeigt eine Aufnahme an der Grenze der Aufl¨osung. Das RayleighKriterium deﬁniert als Aufl¨ osungsgrenze den Winkelabstand wMin zwischen den Beugungsscheibchen, der gleich dem Beugungswinkel α1. min des 1. Beugungsminimums ist (s. Abb. 16.9). Damit f¨ allt das Maximum des einen Scheibchens mit dem 1. Minimum des zweiten zusammen. Nach (16.30) ist dann der minimal auﬂ¨osbare Winkelabstand an der sin wmin = sin α1.Min = 1,22 Auﬂ¨osungsgrenze wmin ≈ 1,22

λ D

λ D

oder (16.32)

D ist der Durchmesser des Objektivs oder – genauer – der Aperturblende. Die Aufl¨ osungsbedingung ist durch die Forderung w ≥ wmin gegeben. Vergr¨oßerung des Linsendurchmessers und abnehmende Wellenl¨ange reduzieren den minimalen Sehwinkel und verbessern mithin die Aufl¨ osung.

Abb. 16.9. Rayleigh-Kriterium zur Bestimmung des beugungsbegrenzten Aufl¨ osungsverm¨ ogens: Das Beugungsmaximum des Punktobjekts 1 f¨ allt auf das 1. Minimum von Objekt 2. Die gestrichelte Kurve ist die Summe der Beugungsintensit¨ aten der beiden Einzelpunkte

476

16 Fraunhofer-Beugung

Beispiel 16.3 Auf l¨ osungsverm¨ ogen Ein Fernglas tr¨ agt den Aufdruck 8 × 30 und sei beugungsbegrenzt. Welchen Winkelabstand m¨ ussen dann zwei Sterne mindestens haben, um aufl¨osbar zu sein? Vergleichen Sie mit einem Radioteleskop mit λ = 1 cm und Durchmesser D = 100 m. L¨ osung Aus den Angaben entnimmt man, dass dieses Fernglas 8-fache Winkelvergr¨ oßerung und einen Durchmesser der Eintrittspupille von D = 30 mm hat. Wir w¨ ahlen λ = 550 nm und erhalten λ ˆ 4,6 (Winkelsekunden) = 2,24 · 10−5 rad = D Beﬁnden sich die beiden Sterne im Zentrum unserer Galaxie, so ist der Abstand von uns etwa l = 3 · 104 Lichtjahre; damit ist der Abstand der Sterne voneinander: s = l wmin = 0,67 Lichtjahre. Zum Vergleich: Der Planet Pluto am Rande unseres Sonnensystems ist nur etwa 5,5 Lichtstunden entfernt. Beim Radioteleskop erh¨ alt man wmin = 2,6 mrad. Trotz des großen Teleskopdurchmessers ist hier die Aufl¨osung – aufgrund der großen Wellenl¨ ange – wesentlich schlechter. wmin ≈ 1,22

Wir betrachten nun einige Beispiele und Anwendungen: Zur Berechnung des minimalen Abstandes ymin , den ein Mikroskop aufl¨osen kann, m¨ ussen wir ein selbstleuchtendes (z.B. ﬂuoreszierendes) Objekt betrachten, um die Voraussetzung inkoh¨ arenter Wellen zu erf¨ ullen. Wegen der kleinen Gegenstandsweite a ≈ f fallen keine ebenen Wellen auf das Mikroskop, und das Bild liegt weit außerhalb der Brennebene. Aufgrund der Umkehrbarkeit von Strahleng¨ angen ist die Aufl¨ osungsbedingung wieder durch (16.32) gegeben. F¨ ur kleine Winkel (sin α ≈ tan α) erhalten wir dann (nach Abb. 16.10) f¨ ur die Auf l¨osungsgrenze des Mikroskops (bei zwei selbstleuchtenden Objektpunkten): Mikroskop

ymin ≈ wmin f = f · 1,22

λ λ0 = 0,61 D AN

(16.33)

λ0 die Wellenl¨ ange im Objektraum, die durch ein Immersions¨ol n (der Brechzahl n) reduziert werden kann, und AN die numerische Apertur, die ¨ mit dem Oﬀnungswinkel 2u bekanntlich folgendermaßen verkn¨ upft ist: Hierbei ist λ =

numerische Apertur

AN = n sin u ≈ n

D/2 f

(16.34)

16.4 Aufl¨ osungsverm¨ ogen

477

Abb. 16.10. Minimale Winkelaufl¨ osung wmin und minimal aufl¨ osbarer Punktabstand ¨ ymin des Mikroskops. 2u ist der Oﬀnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von einem Objektpunkt ausgeht

Meist werden in der Mikroskopie nicht selbstleuchtende Amplituden- oder Phasenobjekte verwendet, bei denen von nah benachbarten Objektpunkten koh¨arente Wellen ausgehen. Die Abbesche Theorie des Mikroskops verwendet deshalb als Objekt ein mit koh¨ arentem Licht beleuchtetes Amplitudengitter, an dem λ0 . Das Lichtbeugung auftritt. F¨ ur parallel einfallendes Licht ist dann ymin ≈ AN Aufl¨ osungsverm¨ ogen ist außerdem von der Phasenstruktur und der Form der Objekte abh¨ angig. Zusammenfassend l¨ asst sich feststellen: Ein abbildendes Mikroskop kann Strukturen im Gr¨oßenbereich einer Wellenl¨ ange aufl¨osen; hohe Aufl¨ osungen k¨ onnen folglich durch Verwendung von UV-, R¨ ontgen- oder Elektronenmikroskopen4 erzielt werden. Die Beschr¨ ankung des Aufl¨ osungsverm¨ ogens auf die oben angegebenen Werte gilt nur f¨ ur abbildende Systeme, die im Fraunhoferschen Fernfeld arbeiten. In den letzten Jahren wurden Nahfeldmikroskope entwickelt, bei denen das aus dem Objekt austretende Wellenfeld direkt dahinter abgetastet wird. Hier ist die Aufl¨ osung nur durch den Durchmesser der Abtastsonde, der wesentlich kleiner als eine Wellenl¨ ange sein kann, bestimmt. 4

Hier w¨ are in (16.33) die de Broglie-Wellenl¨ ange λ =

h mv

zu verwenden.

478

16 Fraunhofer-Beugung

Abb. 16.11. Beugung an der Augenpupille begrenzt die Aufl¨ osung von zwei Objekten A und B auf den Winkelabstand wmin

Das menschliche Auge hat als wesentliche Elemente die Augenlinse, die Retina und die Pupille als Beugungsapertur (s. Abb. 16.11), deren Durchmesser zwischen 2 mm (helles Tageslicht) und 8 mm (D¨ ammerung) variiert. Nach (16.32) m¨ usste dann das Aufl¨ osungsverm¨ ogen bei weit ge¨ oﬀneter Pupille am besten sein. Dies ist jedoch nicht der Fall, da neben der Beugungsbegrenzung der Abstand der Sehzellen auf der Retina begrenzend wirkt und geometrisch-optische Bildfehler auftreten, die mit dem Pupillendurchmesser (∼ D3 ) zunehmen und bei D 4 mm dominieren. Das Auge ist dementsprechend nur f¨ ur D 3 mm u ¨ berwiegend beugungsbegrenzt; bei D ≈ 4 mm liegt die gr¨oßte Sehsch¨arfe vor. F¨ ur λ = 600 nm −4 und D = 3 mm erhalten wir aus (16.32) wmin = 2·10 rad. Experimentell ﬁndet man etwa den 1,5-fachen Wert, also 3·10−4 rad (entsprechend 1 = 1 Winkelmin.), was 3 mm Abstand der Objektpunkte bei 1 m Entfernung entspricht. Je nach Helligkeit und Objektform kann das menschliche Auge noch Punktabst¨ ande von etwa einer Winkelminute (1 ) aufl¨osen (R. Hooke 1676).

16.5 Beugung am Doppelspalt Die Beugung am Doppelspalt (zwei Einzelspalte bei x = ±g/2 mit Breite b und Abstand g) kann durch phasenrichtige Addition der von den Einzelspalten ausgehenden Elementarwellen berechnet werden. Abb. 16.12 zeigt, dass beim Beugungswinkel α alle Elementarwellen a , b , . . ., die von dem bei x = g/2 gelegenen oberen Spalt ausgehen, einen um ∆1 = −g/2 sin α geringeren optischen Weg gegen¨ uber den entsprechenden Wellen a, b, . . . eines ﬁktiven Spaltes bei x = 0 zur¨ ucklegen. Damit wird die gesamte von einem Einzelspalt ausgehende ˆP (s. (16.11)) um den Phasenwinkel Beugungsamplitude E ϕ = −k∆1 =

1 πg sin α gk sin α = 2 λ

(16.35)

16.5 Beugung am Doppelspalt

479

Abb. 16.12. Geometrie und Gangunterschied bei Beugung am Doppelspalt mit Spaltbreite b und Spaltabstand g. Alle vom oberen Spalt 1 ausgehenden Elementarwellen a , b , . . . eilen um ∆1 = g/2 · sin α gegen¨ uber den entsprechenden Wellen eines ﬁktiven Spaltes bei x = 0 vor (→Verschiebungstheorem)

verschoben, und man erh¨ alt f¨ ur die vom oberen Spalt 1 ausgehende voreilende Wellenamplitude Eˆ 1 : ˆ ejk sin α g/2 ˆ = Eˆ e−jk∆1 = E E 1 P P ¨ Die obigen Uberlegungen gelten auch f¨ ur die Verschiebung einer beliebig geformten Beugungsapertur und ergeben den Verschiebungssatz (der Fourier-Transformation): Verschiebung der Beugungsapertur um x0 von x nach x + x0 f¨ uhrt zu einer Multiplikation der zum Ort x geh¨ origen Beugungsamplitude mit dem Phasenfaktor ejkx x0 = ejkx0 sin α . Damit erhalten wir f¨ ur den Doppelspalt (aus den Spalten 1 und 2) ˆ +E ˆ =E ˆ ejϕ + E ˆ e−jϕ = 2E ˆ cos ϕ Eˆ = E 1 2 P P P ˆ ˆ wobei E P = E 0 sincβ die Amplitude des Einzelspalts (s. (16.11)) sowie nach (16.10): β = π sin α/λ. Damit gilt beim Doppelspalt f¨ ur die Beugungsamplitude

ˆ sincβ cos ϕ ≡ E ˆ ·F ·G ˆ = 2E E 0 0

(16.36)

I = 4I0 sinc2 β cos2 ϕ ≡ I0 · F 2 · G2

(16.37)

und die Beugungsintensit¨at mit

480

16 Fraunhofer-Beugung

Phasenwinkel

ϕ=

π g sin α λ

und β =

π b sin α λ

(16.38)

E0 und I0 sind die beim Beugungswinkel α = 0 gemessenen Werte f¨ ur den Einzelspalt, Formfaktor F = sincβ und Strukturfaktor G werden im Folgenden erkl¨ art. Im Hauptmaximum (α = 0) u ¨berlagern sich die Wellen der beiden Einzelspalte ohne Phasenverschiebung und wir erhalten demgem¨aß doppelte Amplitude und vierfache Intensit¨ at 4I0 . Die Gleichungen (16.36) und (16.37) lassen sich anschaulich verstehen. Wir uhrlich: schreiben zun¨ achst in (16.37) den Faktor 4 I0 cos2 ϕ ausf¨ 2 2 πg sin α ID = 4I0 cos ϕ = 4I0 cos (16.39) ≡ I 0 · G2 λ Der Vergleich mit (10.15) zeigt, dass dies gerade die Intensit¨atsverteilung beim Youngschen Doppelspaltversuch ist, bei dem ja von den Einzelspalten nur jeweils eine Elementarwelle ausgehen sollte, also b < λ gefordert war. Der Faktor G2 (und damit ID ) wird nur durch den Abstand g – und nicht die Breite – der Spalte bestimmt. G wird als Struktur-, Anordnungs- oder Interferenzfaktor bezeichnet, G2 ist die Strukturfunktion. Beim realen Doppelspalt endlicher Breite b treten auch Interferenzen zwischen den Elementarwellen desselben Spaltes auf, die von dem Form-, Spalt- oder Beugungsfaktor F = sincβ (16.36), der normierten Beugungsamplitude des Spaltes (16.11), erfasst werden. Die gesamte relative ˆ E ˆ0 (16.36) ist dann gleich dem Produkt von Form- und Beugungsamplitude E/ Strukturfaktor und die Beugungsintensit¨ at I/I0 (16.37) ist das Produkt von Spaltund Strukturfunktion. In Abb. 16.13 a sind diese Funktionen f¨ ur g = 6 b einzeln und in 16.13 b als Produkt dargestellt. Man erkennt, dass die Strukturfunktion des Doppelspalts mit der Einzelspaltfunktion als Einh¨ ullender moduliert wird. F¨ ur ϕ = mπ, entsprechend ∆ = 2ϕ/k = mλ treten die bekannten Maxima des Youngschen Doppelspalts auf, mit (16.38) folgt hierf¨ ur: Doppelspaltmaxima

sin αmax = m

λ g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(16.40)

n = ±1, ±2, . . .

(16.41)

F¨ ur β = nπ weist der Einzelspalt Minima auf: Einzelspaltminima

sin αmin = n

λ b

mit

Fallen die Winkel eines Minimums und eines Maximums zusammen, so wird das entsprechende Maximum unterdr¨ uckt (s. Abb. 16.13 b und 16.13 d). Gleichsetzen von (16.40) und (16.41) f¨ uhrt zur Bedingung f¨ ur fehlende Beugungsmaxima

16.5 Beugung am Doppelspalt

481

m g = (16.42) n b Da m und n ganzzahlig sind, kann somit vollkommene Ausl¨oschung nur f¨ ur rationale Verh¨ altnisse von Gitterbreite b zu Spaltabstand g auftreten. Ist z.B. g = 2b, so werden alle geraden Ordnungen (m = 2n = ±2, ±4, . . .) verschwinden. In Abb. 16.13 a und 16.13 b ist g = 6b, damit fehlen die Ordnungen m = ±6, ±12 usw. Die Abbildungen 16.13 c und 16.13 d zeigen experimentelle Ergebnisse f¨ ur Einzel- und Doppelspalte gleicher Spaltbreite. (Bestimmen Sie aus diesen Bildern das Verh¨ altnis g/b.) Oﬀensichtlich liegt f¨ ur b g die erste fehlende Ordnung

482

16 Fraunhofer-Beugung

Abb. 16.13. a) Formfunktion F 2 = sinc2 β und (auf 1 normierte) Strukturfunktion G2 /4 = cos2 ϕ f¨ ur Fraunhofer-Beugung an einem Doppelspalt, bei dem der Spaltabstand g gleich der sechsfachen Breite b ist: g = 6 b. b) Intensit¨ at I der Doppelspaltbeugung nach a als Produkt von Spalt- und Gitterfunktion: I = I0 F 2 G2 mit Imax = 4 I0 . c) Beugungsbild f¨ ur Einzelspaltbeugung. d) Beugungsbild f¨ ur Doppelspaltbeugung. Die Spaltbreite stimmt in c und d u ¨ berein

sehr weit vom Zentrum und man n¨ ahert sich dem Youngschen Interferenzmuster, das allerdings sehr lichtschwach ist. F¨ ur g = b ist nach (16.42) m = n, d.h. alle Gittermaxima (mit Ausnahme von m = 0) m¨ ussen verschwinden. Dies ist leicht verst¨ andlich, denn f¨ ur g = b sind die Einzelspalte zu einem Spalt der Breite b = 2g vereinigt, so dass nur das Beugungsbild eines Einzelspalts verbleibt.

16.6 Gitterbeugung Bei der Beugung an einer Apertur aus N Einzelspalten (Gitter) mit dem Gitterabstand g verwenden wir (wie beim Doppelspalt) den Verschiebungssatz. Entsprechend (16.35) und Abb. 16.14 ist 2ϕ = k ∆ = k g sin α die Phasendiﬀerenz von Wellen aus benachbarten Gitterspalten. Wir erhalten dann f¨ ur die Amplitude von N Spalten:

16.6 Gitterbeugung

483

Abb. 16.14. Elementarwellen bei der Gitterbeugung. Wellen aus benachbarten Spalten haben den Gangunterschied ∆ = g sin α und die Phasenverschiebung 2ϕ = k∆, f¨ ur den i-ten Spalt ist ∆i = (i − 1)∆

ˆ= E

N

ˆ = Eˆ 1 + e−j2ϕ + e−j2·2ϕ + . . . + e−j(N −1)2ϕ E i P

(16.43)

i=1

ˆ die Amplitude des Einzelspaltes (16.11) ist. Dies ist eine geometrische wobei E P Reihe mit dem Quotienten q = e−j2ϕ und der Summe N j2N ϕ −jN ϕ ejN ϕ − e−jN ϕ ˆ 1 − q = Eˆ 1 − e ˆ e = E · Eˆ = E P P P 1−q 1 − e−j2ϕ e−jϕ ejϕ − e−jϕ ˆ e−j(N −1)ϕ sin N ϕ ≡ Eˆ · G =E P P sin ϕ

(16.44)

Hierbei ist G der komplexe Gitterfaktor, von dem im Folgenden nur der Betrag betrachtet werden soll. Aus (16.44) folgt f¨ ur den Betrag der Beugungsamplitude ˆP · G ˆ=E ˆP sin N ϕ ≡ E E sin ϕ

(16.45)

ˆ sincβ wird dann die ˆ =E Mit der Beugungsamplitude des Einzelspalts E P 0

484

16 Fraunhofer-Beugung

Intensit¨at der Gitterbeugung

I = I0 sinc2 β

sin2 N ϕ ≡ I 0 · F 2 · G2 sin2 ϕ

(16.46)

mit

π π g sin α und β = b sin α (16.47) λ λ sowie dem Gitterabstand g. Auch hier erh¨alt man wieder ein Produkt der Quadrate von Form- oder Spaltfunktion F 2 = sinc2 β und Struktur- oder ϕ=

G2 =

Gitterfunktion

sin2 N ϕ sin2 ϕ

(16.48)

F¨ ur die Grenzf¨ alle N = 1 wird G = 1 und f¨ ur N = 2 gilt G = 2 cos ϕ, und man erh¨ alt – wie zu erwarten – aus (16.46) die Beugungsintensit¨aten des Einzelund Doppelspaltes. Wir untersuchen den Gitterfaktor G, der die Interferenz der Wellen aus unterschiedlichen Einzelspalten beschreibt, nunmehr genauer und betrachten zun¨ achst den Fall der konstruktiven Interferenz mit der Phasendiﬀerenz 2ϕ = 2mπ f¨ ur benachbarte Spalte. Hier sind alle Teilwellen in Phase und man ˆ E ˆP erh¨ alt (s. (16.43)) die N -fache Amplitude des Einzelspalts, also f¨ ur G = E/ 5 2 den Maximalwert G = N . Die Intensit¨ at w¨achst somit mit N , dem Quadrat der Strichzahl, an. Mit ϕ = πg sin α/λ folgt f¨ ur die Hauptmaxima der Gitterbeugung: Gittergleichung

sin αmax = m

λ g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(16.49)

In Abb. 16.15 a und 16.15 b sind Spalt- und Gitterfunktion sowie die Gesamtintensit¨ at f¨ ur N = 8 und eine Gitterkonstante g = 3b dargestellt. Bei den Hauptmaxima sind wegen ϕ = 2mπ Z¨ ahler und Nenner von G null. Da der Z¨ahler von G als Funktion von ϕ hochfrequenter variiert als der Nenner, treten zwischen den Hauptmaxima N − 2 Nebenmaxima und N − 1 Minima auf. Die Lage der Minima zwischen den Hauptmaxima m und m + 1 folgt aus den Nullstellen des Z¨ ahlers von G, also aus: sin N ϕ = 0

mit

mπ < ϕ < (m + 1)π

Hieraus ergibt sich: N ϕ = (mN + n)π

und ϕ = (m + n/N )π

mit

n = 1, 2, . . . N − 1

Einsetzen von ϕ (16.47) f¨ uhrt (f¨ ur α > 0) zu 5

Dieser folgt auch formal aus (16.45) mit der Regel von L’Hˆ opital.

16.6 Gitterbeugung

485

Abb. 16.15. a) Spaltfunktion F 2 = sinc2 β und normierte Gitterfunktion (G/N )2 f¨ ur ein Gitter aus N = 8 Spalten und g = 3b. b) Intensit¨ atsverteilung I = I0 F 2 G2 2 2 2 f¨ ur das Gitter nach a; die Funktion I0 F N – die N -fache Beugungsintensit¨ at des Einzelspaltes – ist die Einh¨ ullende. N − 2 = 6 Nebenmaxima und N − 1 = 7 Minima sind erkennbar

486

16 Fraunhofer-Beugung

Abb. 16.16. Ausschnitt aus einem Beugungsgitter. Die Einzelspalte werden mit kollimiertem und monochromatischem Licht beleuchtet. Die Elementarwellen benachbarter Spalte haben den Gangunterschied ∆ = g sin α = λ und ergeben das Beugungsmaximum 1. Ordnung

nλ m = mit Gitterminima sin αmin = m + N g n =

0, 1, 2, . . . 1, 2, . . . N − 1

(16.50)

¨ Analoge Uberlegungen ergeben f¨ ur die Nebenmaxima: sin αNmax =

2n + 1 m+ 2N

λ g

mit

m

=

n =

0, 1, 2, . . . 1, 2, . . . N − 1

(16.51)

Beugungsgitter werden meist bei der Spektralzerlegung von Licht angewandt. Bei Verwendung großer Strichzahlen treten helle (Imax ∼ N 2 !), scharfe und damit gut getrennte Maxima bei den durch (16.49) gegebenen Winkeln auf. Die Breite der folgt aus der Lage des ersten Beugungsminimums (mit Linien 1 λ sin α1.Min = m + N g ), das mit wachsender Strichzahl immer n¨aher an das Hauptmaximum r¨ uckt. Damit steigt das Aufl¨osungsverm¨ogen (s. Kap. 17) unterschiedlicher Wellenl¨ angen. Die wichtige Gitterbeugungsgleichung (16.49) kann anhand von Abb. 16.16 veranschaulicht werden. Der Gangunterschied zwischen Wellen von benachbarten Spalten ist gegeben durch:

16.6 Gitterbeugung

Abb. 16.17. Beugungsbilder f¨ ur Gitter aus 2, 3, 4 und 5 Einzelspalten

487

488

16 Fraunhofer-Beugung

∆ = g sin α

(16.52)

F¨ ur ∆ = mλ interferieren die Teilwellen aller Spalte konstruktiv, und wir erhalten wieder die Gittergleichung (16.49) sowie die N -fache Amplitude des Einzelspaltes. Im Zeigerdiagramm haben dann alle N Pfeile dieselbe Richtung. Bei den Minima schließt sich das Zeigerdiagramm. Bei ungeraden N tritt in der Mitte zwischen den Hauptmaxima ein Nebenmaximum auf, f¨ ur das gerade die Zeiger von N − 1 Spalten antiparallel stehen und nur die Amplitude eines Spaltes verbleibt. Die Fotograﬁen Abb. 16.17 best¨ atigen im Wesentlichen die Ergebnisse f¨ ur 2 bis 5 Spalte, in Abb. 16.17 d mit N = 5 sind die N −2 = 3 Nebenmaxima gut zu erkennen. Das Beugungsgitter (mit großer Strichzahl) und seine Bedeutung f¨ ur die Spektroskopie wird im n¨ achsten Kapitel genauer behandelt.

¨ Ubungen ¨ Hinweis: Bei allen Aufgaben triﬀt das Licht senkrecht auf die beugende Oﬀnung! 16.1 Der kollimierte Strahl einer Quecksilber-Spektrallampe, aus dem mit einem Gr¨ unﬁlter die gr¨ une Hg-Linie bei 546,1 nm ausgeﬁltert wurde, triﬀt auf einen Einzelspalt von 15 µm Breite. Das Beugungsbild wird in der Brennebene einer Linse von 60 cm Brennweite registriert. Bestimmen Sie den Abstand a) zwischen Hauptmaximum und erstem Minimum und b) zwischen 1. und 2. Beugungsminimum. at im Hauptmaximum. 16.2 Bei Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt ist I0 die Intensit¨ Wie groß ist die relative Intensit¨ at I/I0 in einem Punkt, der von der einen Kante des Spaltes um 3/4 λ weiter entfernt ist, als von der anderen? 16.3 Die Breite eines Rechteckspaltes wird mittels Beugung von Laserlicht (λ = 632,8 nm) bestimmt. Auf einem l = 2 m entfernten Schirm ergibt sich – als Mittelwert mehrerer Messungen – ein Abstand von 5,625 cm zwischen dem +3. und −3. Minimum, also zwischen den symmetrisch zum Hauptmaximum liegenden Minima 3. Ordnung. a) Wie groß ist die Spaltbreite, wenn Sie Fraunhofer-Beugung voraussetzen? b) Wie groß ist der Mindestabstand lmin (s. (16.20))? Ist die Fernfeldbedingung mit l/lmin > 100 erf¨ ullt? 16.4 Ein Einzelspalt wird mit dem Licht einer Spektrallampe beleuchtet. Im Fraunhofer-Beugungsbild sieht man, dass das 5. Beugungsminimum des Lichtes einer Spektrallinie mit dem 4. Minimum einer anderen Linie bei 620 nm zusammenf¨ allt. Welchen Wert hat die unbekannte Wellenl¨ ange? 16.5 Berechnen Sie die Breiten der Einzelspalte, deren Beugungsmaxima nullter Ordnung bei Einstrahlung von Licht der Wellenl¨ ange 550 nm die Winkelbreiten 2α = 30, 45, 90 und 180◦ aufweisen. 16.6 Untersuchen Sie das Beugungsbild f¨ ur Fraunhofer-Beugung an einem Einzelspalt der Breite 2,125 µm, der mit parallelem Licht von 550 nm Wellenl¨ ange bestrahlt wird.

16.6 Gitterbeugung

489

a) Unter welchem Winkel beobachtet man das 1. Minimum? b) Berechnen Sie die Intensit¨ atsverh¨ altnisse I/I0 bei den Beugungswinkeln α = 5, 10, 15 und 22,5◦ . 16.7 Im Hubble-Teleskop wird ein Spiegel mit 2,4 m Durchmesser und f = 57,6 m Brennweite verwendet. Berechnen Sie die Radien der Ringe der beiden ersten Nebenmaxima, die bei einer Wellenl¨ ange von 540 nm und Beugungsbegrenzung des Teleskops auftreten w¨ urden. (Zur Erzielung der Beugungsbegrenzung h¨ atte man die hyperbolische Form des Prim¨ ar- und Sekund¨ arspiegels dieses Teleskops auf λ/50 ≈ 10 nm einhalten m¨ ussen.) 16.8 Licht der mittleren Wellenl¨ ange 550 nm triﬀt von einem weit entfernten Stern als Parallelb¨ undel auf ein Teleskop. Das Objektiv hat 12 cm Durchmesser, 1,5 m Brennweite und ist beugungsbegrenzt. Welchen Radius hat das von dem Stern entworfene Airy-Scheibchen? 16.9 Ein CO2 -Laser emittiert einen beugungsbegrenzten Strahl von 10,6 µm Wellenl¨ ange mit 2 kW Leistung und 1 mm Durchmesser, der – aufgrund der Beteiligung mehrerer Moden – eine konstante Intensit¨ atsverteilung u ¨ ber den Querschnitt aufweist. Sch¨ atzen Sie den Durchmesser des Laserﬂecks auf dem Mond ab (Abstand Erde– Mond = 376 000 km). Vernachl¨ assigen Sie Streueﬀekte in der Atmosph¨ are. Wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke auf dem Mond? 16.10 Nach welcher Entfernung hat sich der Durchmesser eines Helium-Neon-Laserstrahls (λ = 632,8 nm, Durchmesser = 2 mm) verdoppelt? Es wird ein konstantes Strahlproﬁl vorausgesetzt und nur die Strahlverbreiterung aufgrund der Beugung betrachtet. 16.11 Die Frontscheinwerfer eines Pkw sind 1,1 m voneinander entfernt. Bis zu welcher Entfernung kann sie das menschliche Auge bei Beugungsbegrenzung aufl¨ osen, wenn man mit einem Pupillendurchmesser von 4 mm und einer mittleren Wellenl¨ ange von 550 nm rechnet? 16.12 Der Pupillendurchmesser eines menschlichen Auges soll bei der Adaption zwischen 2 und 4 mm variieren. Wie groß ist der zugeh¨ orige Entfernungsbereich, u ¨ber den man bei Beugungsbegrenzung zwei 5 cm voneinander entfernte Gegenst¨ ande aufl¨ osen kann? 16.13 Licht der gr¨ unen Hg-Linie (λ = 546,1 nm) wird an einem Doppelspalt gebeugt. Die Breite der Einzelspalte ist 0,1 mm. Im Beugungsbild fehlen die Interferenzmaxima 4. Ordnung (des Doppelspalts). a) Wie groß ist der Spaltabstand? b) Welche relativen Intensit¨ aten I/Imax haben die Maxima der 1., 2. und 3. Beugungsordnung? (Imax = 4I0 ist die Intensit¨ at der nullten Ordnung.) c) Welche Beugungsordnungen sind zus¨ atzlich unterdr¨ uckt? 16.14 a) Zeigen Sie, dass bei Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt innerhalb des Hauptmaximums der Einzelspalte 2V − 1 helle Streifen beobachtet werden. Hierbei ist V = g/b das Verh¨ altnis von Spaltabstand zu Spaltbreite. b) Welcher Spaltabstand liegt vor, wenn bei einer Spaltbreite von 0,3 mm 13 helle Streifen gez¨ ahlt werden?

490

16 Fraunhofer-Beugung

16.15 a) Beweisen Sie, dass im Beugungsbild des Doppelspalts das Verh¨ altnis von Breite des (Spalt-) Hauptmaximums zu Breite des zentralen (Doppelspalt-) Maximums durch 2g/b gegeben und unabh¨ angig von der Wellenl¨ ange ist. b) Skizzieren Sie den Fall g = 10 b. 16.16 Berechnen Sie die Beugungsintensit¨ at eines Dreifachspaltes mit g = 3 b mit Hilfe des Beugungsintegrals oder des Verschiebungssatzes der Fourier-Transformation. (g = Spaltabstand, b = Spaltbreite.) Skizzieren Sie das Ergebnis und zeigen Sie, dass Ihre Rechnung mit dem allgemeinen Ergebnis f¨ ur N Spalte (16.46) konsistent ist. 16.17 Skizzieren Sie das Beugungsmuster f¨ ur ein Gitter aus 7 Spalten mit einem Verh¨ altnis Gitterkonstante zu Spaltbreite von g/b = 4. Welche Gitterordnungen werden ausgel¨ oscht? 16.18 An einer Apertur aus 10 Spalten mit Gitterkonstante g = 5 b und Spaltbreite b = 0,1 mm wird Licht mit 435,8 nm Wellenl¨ ange gebeugt. Geben Sie die relativen Beugungsintensit¨ aten I/Imax f¨ ur die 1. bis 5. Beugungsordnung an. 16.19 Ein Rechteckspalt mit 0,1 mm Breite und 0,2 mm H¨ ohe wird mit koh¨ arentem Licht (λ = 546 nm) beleuchtet. Das Beugungsbild wird in der Brennebene einer Linse mit 1 m Brennweite registriert. a) Skizzieren Sie die relative Beugungsintensit¨ at in der Beugungsebene. b) Bei welchen Werten X und Y liegen jeweils die ersten Minima? c) Wie groß ist die relative Beugungsintensit¨ at I/Imax in den Punkten (X = 1 mm, Y = 0) und (0, 1 mm)? d) Welcher Wert ergibt sich f¨ ur den Punkt (3 mm, 4 mm)? 16.20 Welchen Aperturwinkel (=Winkelabstand zwischen Hauptmaximum und 1. Minimum) hat das Beugungsbild des Einzelspaltes bei den Spaltbreiten b = λ, 5λ und 10 λ? 16.21 Die Bessel-Funktion J1 (x) l¨ asst sich f¨ ur große x in geschlossener Form angeben: J1 (x) =

sin x − cos x √ πx

Hierbei ist der Fehler f¨ ur x > 30 kleiner 1%. Leiten Sie hiermit den Winkelabstand der Beugungsminima her, der bei der Beugung an einer Kreisblende bei großen Beugungswinkeln auftritt. Ab welcher Beugungsordnung gilt die N¨ aherung? 16.22 In Kapitel 16 wurde gezeigt, dass bei der Beugung am Einzelspalt die Beugungswinkel der Nebenmaxima nur n¨ aherungsweise in der Mitte zwischen den Beugungsminima liegen. Setzen Sie den Mittelwert voraus. a) Zeigen Sie, dass dann die relative Intensit¨ at des n-ten Nebenmaximums n¨ aherungsweise gegeben ist durch: In ≈ (

I0 n+

1 2

)2 π

(I0 ist die Intensit¨ at des Hauptmaximums.) b) Berechnen Sie den relativen Fehler, der mit dieser N¨ aherung f¨ ur die drei ersten Nebenmaxima auftritt.

16.6 Gitterbeugung

491

16.23 Drei auf einer waagrechten Geraden im Abstand von 2/3 λ angeordnete Antennen senden gleichphasig und isotrop elektromagnetische Wellen von λ = 1 km Wellenl¨ ange aus. Ermitteln Sie (am besten mit Hilfe von Zeigerdiagrammen) die Strahlungscharakteristik (= Feldst¨ arke als Funktion des Winkels) dieser Antennenanordnung und geben Sie die Winkel maximaler und minimaler Strahlungsamplitude an. Welche Winkelbreite (Abstand der Minima!) hat das Hauptmaximum? 16.24 Ein kollimierter koh¨ arenter Lichtstrahl f¨ allt senkrecht auf drei sehr schmale identische Spalte mit den Abst¨ anden g. Im Beugungsbild registriert man die maximale Beugungsintensit¨ at Imax , wenn der Beobachtungspunkt P auf der optischen Achse liegt. a) Wie groß ist die Phasendiﬀerenz zwischen Licht aus benachbarten Spalten, wenn IP = 0? b) Falls die Phasendiﬀerenz π betr¨ agt, welchen Wert hat dann IP ? c) Wie groß ist IP /Imax beim 1. Nebenmaximum? d) Die mittlere Bestrahlungsst¨ arke auf dem Beobachtungsschirm ist I. Wie groß ist dann das Verh¨ altnis Imax /I am Hauptmaximum? 16.25 Gegeben sei eine Apertur aus vier ¨ aquidistanten schmalen Einzelspalten. Zeichnen Sie die Zeigerdiagramme f¨ ur das Hauptmaximum und die beiden ersten Nebenmaxima sowie Minima der Beugung. Geben Sie I/I0 f¨ ur die Maxima an, wenn I0 die Maximalintensit¨ at des Einzelspalts ist.

17 Das Beugungsgitter

Einleitung Optische Gitter sind mit periodischen Strukturen versehen, die ¨ahnlich groß wie die Wellenl¨ ange des einfallenden Lichtes sind. Amplitude oder Phase des durchgehenden Lichtes werden ver¨ andert, was zur Beugung f¨ uhrt. In bestimmten Raumrichtungen ﬁndet man hohe Intensit¨ atsmaxima der gebeugten Wellen, in anderen Richtungen Intensit¨ atsminima. In diesem Kapitel wird die Gleichung des Beugungsgitters zun¨ achst verallgemeinert, um den Einfall von Lichtb¨ undeln unter einem beliebigen Winkel zu beschreiben. Die praktisch interessierenden Parameter des Gitters werden bei der Diskussion des Spektralbereichs, der Dispersion, des Auf l¨osungsverm¨ogens und der Blaze-Technik vorgestellt. Es folgt eine kurze Diskussion der Gittertypen: Transmissions-, Reﬂexions-, Amplituden- und Phasengitter sowie der Ausf¨ uhrungsformen von Gitterspektrografen, die man zur Spektralanalyse, d.h. zur Bestimmung der Anteile verschiedener Wellenl¨angen in mehrfarbigem“ Licht einsetzt. ”

494

17 Das Beugungsgitter

17.1 Die Gittergleichung Die Intensit¨ ats- und Winkelverteilung des Beugungsmusters h¨angen vom Gitteraufbau und von der Wellenl¨ ange des einfallenden Lichtes ab. Der in Kapitel 16 entwickelte Gangunterschied (16.52) wird nun f¨ ur den Fall eines beliebigen Einfallswinkels einer ebenen Wellenfront auf ein lichtdurchl¨assiges Gitter, das Transmissionsgitter, verallgemeinert (s. Abb. 17.1). Der Gangunterschied f¨ ur Wellen von aufeinanderfolgenden Gitter¨ oﬀnungen ist dann ∆ = ∆1 + ∆2 = −g sin αe + g sin αm

(17.1)

Abb. 17.1. Benachbarte Gitterspalte werden durch ein paralleles Lichtb¨ undel beleuchtet, das unter dem Winkel αe zur Gitternormalen einf¨ allt. g ist die Gitterkonstante. F¨ ur das in Richtung αm gebeugte Licht aus benachbarten Spalten betr¨ agt der Gangunterschied ∆1 + ∆2

Abh¨ angig von der Richtung αm des gebeugten Lichtes k¨onnen sich die beiden Sinusterme in der Wegl¨ angendiﬀerenz addieren oder subtrahieren. Um dies in (17.1) zu ber¨ ucksichtigen, ben¨ otigen wir eine Vorzeichenkonvention f¨ ur die Winkel. Wir benutzen dieselbe Vorzeichenkonvention f¨ ur Winkel wie in Kapitel 3. Der Einfallswinkel αe und der Beugungswinkel αm werden relativ zur Gitternormalen als Bezugsschenkel gemessen. Bringt man den Bezugsschenkel durch Linksdrehung zur Deckung mit dem anderen Schenkel des Winkels, so hat der Winkel ein positives Vorzeichen. Eine Rechtsdrehung ergibt ein negatives Vorzeichen. F¨ ur ∆ = mλ sind die gebeugten Wellen in Phase und man erh¨alt die Gittergleichung:

17.2 Nutzbarer Spektralbereich eines Gitters

495

Beugungsmaxima eines Transmissionsgitters, beliebige Einfallswinkel αe mλ − sin αe + sin αm = mit m = 0, ±1, ±2, . . . (17.2) g F¨ ur jeden Wert von αm wird monochromatische Strahlung der Wellenl¨ange λ durch konstruktive Interferenz verst¨ arkt. Aus (17.2) ergibt sich, dass die nullte Ordnung (m = 0) f¨ ur alle λ bei αm = αe auftritt, also in der Richtung des einfallenden Lichtes. Man ﬁndet deshalb in der zentralen oder nullten Ordnung Licht aller Wellenl¨ angen. H¨ ohere Ordnungen – seien sie positiv oder negativ – erzeugen Intensit¨ atsmaxima, die auf beiden Seiten der nullten Ordnung liegen. F¨ ur angt die Richtung αm jedes Hauptmaximums eine gegebene Einfallsrichtung αe h¨ f¨ ur m = 0 von der Wellenl¨ ange und der Gitterkonstante ab. Deshalb trennt das Gitter unterschiedliche Wellenl¨ angen des Lichtes, die im einfallenden Strahl vorhanden sind. Diese Eigenschaft ist Grundlage der Wellenl¨angenmessung und der spektralen Analyse von Strahlung. Hierbei ist das Gitter als dispersives Element dem Prisma in vielerlei Hinsicht u ¨ berlegen. Abbildung 17.2 a zeigt die Beugungsmaxima f¨ ur monochromatisches Licht der Wellenl¨ ange λ. Die Maxima k¨ onnen entweder bei sehr großen Entfernungen oder – wie hier gezeigt – in der Brennebene einer Linse beobachtet werden. Abb. 17.2 b veranschaulicht die Winkelverteilung des kontinuierlichen Spektrums des sichtbaren Lichtes f¨ ur ein Transmissionsgitter mit der Gitterkonstante g = 2,5 µm. Im Gegensatz zum Prisma ist die Ablenkung f¨ ur gr¨oßere Wellenl¨angen st¨arker als f¨ ur kleinere. Wir sehen weiterhin, dass die zweite und dritte Ordnung in diesem Fall teilweise u ¨berlappen. Bevor man die Wellenl¨angen des Lichtes in diesem Gebiet eindeutig festlegen kann, muss man die Ordnung der Linie bestimmen, um den entsprechenden Wert von m in (17.2) einsetzen zu k¨onnen. Bei der Spekralanalyse mit einem Prisma ist die erreichbare Trennung verschiedener Wellenl¨angen ¨ geringer, aber es treten keine Uberlappungen auf. Falls man kein schmalbandiges (kleiner Wellenl¨angenbereich) Eingangsspektrum hat, kann man die Mehrdeutigkeit des Spektrums experimentell dadurch beheben, dass man ein Filter einsetzt, das k¨ urzere Wellenl¨angen des einfallenden Lichtes abschneidet, oder einen Detektor, der wellenl¨angenselektiv arbeitet. Auf ¨ diese Weise engt man den Spektralbereich des Lichtes so ein, dass keine Uberlappung mehr auftritt und jede Lichtwellenl¨ ange einfacher bestimmt werden kann. Die Beobachtung eines Gitterspektrums von einfallendem Licht mit dem Auge ist hierf¨ ur ein Beispiel.

17.2 Nutzbarer Spektralbereich eines Gitters Der nicht u angenbereich einer bestimmten Ordnung m wird ¨ berlappende Wellenl¨ ¨ nutzbarer oder freier Spektralbereich ∆λn genannt. Die Uberlappung tritt auf,

496

17 Das Beugungsgitter

Abb. 17.2. a) Strahlengang bei der Beugung an einem Gitter. Qλ ist eine einfarbige (= monochromatische) Lichtquelle der Wellenl¨ ange λ, L1 die Kondensorlinse, L2 die Kollimatorlinse, L3 eine Linse der Bildbrennweite f3 , Sp der Kollimatorspalt, G das Transmissionsgitter und Sc ein Beobachtungsschirm. Es werden nur die Beugungsmaxima m = 0, ±1 des monochromatischen Lichts, das senkrecht auf das Gitter einf¨ allt, gezeigt. Auf dem Schirm erh¨ alt man an der Position der Maxima das Bild des Kollimatorspaltes. b) Winkelverteilung der ersten drei Ordnungen des sichtbaren Spektrums f¨ ur ein Beugungsgitter mit 400 Linien pro mm. Zur u ¨bersichtlicheren Betrachtung werden die Ordnungen in verschiedenen Entfernungen zur Linse gezeigt. In jeder Ordnung wird der rote (langwellige) Teil des Spektrums am st¨ arksten abgelenkt. Das Licht f¨ allt von unten senkrecht auf das Gitter ein

17.3 Dispersion des Gitters

497

weil in der Gittergleichung das Produkt g sin αm gleich verschiedenen Kombinationen von m und λ des einfallenden Lichtes sein kann. Dies bedeutet, dass wir an der Position, die λ in der 1. Ordnung entspricht, eine Spektrallinie in 2. Ordnung ﬁnden k¨ onnen, deren Wellenl¨ ange λ/2 betr¨agt oder λ/3 in der 3. Ordnung usw. ¨ Der nutzbare Spektralbereich in der Ordnung m kann durch folgende Uberlegunurzeste detektierte Wellenl¨ange im einfallengen ermittelt werden. Wenn λ1 die k¨ den Licht darstellt, dann stimmt die gr¨ oßte nicht u ¨ berlappende Wellenl¨ange λ2 in der Ordnung m mit dem Anfang des Spektrums in der n¨achsth¨oheren Ordnung u ¨ berein oder: mλ2 = (m + 1)λ1 Damit erh¨ alt man nutzbarer Spektralbereich f¨ ur Ordnung m

∆λn = λ2 − λ1 =

λ m

(17.3)

Wir sehen, dass der nicht u ur h¨ohere Ordnungen ¨ berlappende Spektralbereich f¨ kleiner wird. Beispiel 17.1 Nutzbarer Spektralbereich eines Gitters Die k¨ urzeste Wellenl¨ ange einer gegebenen Lichtquelle sei 400 nm. Bestimmen Sie den nutzbaren Spektralbereich in den ersten drei Ordnungen eines Beugungsgitters. L¨ osung Es gilt: ∆λn =

λ1 m.

Somit ist

400 nm = 400 nm (400 bis 800 nm in 1. Ordnung) 1 200 nm = = 200 nm (400 bis 600 nm in 2. Ordnung) 2 400 nm = = 133 nm (400 bis 533 nm in 3. Ordnung) 3

∆λn,m=1 = ∆λn,m=2 ∆λn,m=3

17.3 Dispersion des Gitters Aus Abb. 17.2 b entnimmt man, dass Wellenl¨angen besser voneinander getrennt werden, wenn die Ordnung h¨ oher ist. Diese Eigenschaft wird durch die Winkeldispersion DW ≡

dαm dλ

(17.4)

498

17 Das Beugungsgitter

¨ beschrieben, die den Winkelabstand pro Wellenl¨angeneinheit angibt. Die Anderung von αm mit λ ergibt sich aus der Gittergleichung (17.2), damit erh¨alt man: DW =

Winkeldispersion eines Gitters

m g cos αm

(17.5)

Zur Registrierung des Spektrums kann man eine fotograﬁsche Platte oder eine Diodenzeile bzw. ein CCD als Detektor in der Brennebene einer Linse benutzen. Dann ist es vorteilhaft, die Aufspreizung der Wellenl¨angen auf der Platte durch dy zu beschreiben, wobei y entlang der Platte gemessen die lineare Dispersion dλ wird. Da f¨ ur kleine α (s. Abb 17.2 a) dy = f dα ist, erh¨alt man: lineare Dispersion eines Gitters

DL =

dαm dy = f = f DW dλ dλ

(17.6)

F¨ ur senkrechten Lichteinfall k¨ onnen wir die Gittergleichung in die Formel f¨ ur die Winkeldispersion einsetzen und erhalten: DW DW

m = = g cos α tan α = λ

g sin α λ

1 g cos α

oder (17.7)

Die Dispersion ist also f¨ ur einen gegebenen Beugungswinkel unabh¨angig von der Gitterkonstanten und wird mit α rasch gr¨oßer. Bei gegebenem Beugungswinkel erh¨ alt man jedoch bei einer Erh¨ ohung der Gitterkonstanten eine Zunahme der Ordnung an dieser Stelle und damit einen kleineren nutzbaren Wellenl¨angenbereich und eine reduzierte Beugungsintensit¨at. Beispiel 17.2 lineare Dispersion und Winkeldispersion Licht der Wellenl¨ ange 500 nm f¨ allt senkrecht auf ein Gitter mit 5 000 Linien pro cm. Bestimmen Sie die Winkeldispersion und die lineare Dispersion in der 1. Ordnung bei Benutzung einer Linse mit einer Bildbrennweite f = 0,5 m. L¨ osung Die Gitterkonstante g betr¨ agt: 1 = 2 · 10−6 m = 2 µm 5000 cm−1 In der 0. Ordnung gibt es keine Dispersion. In der 1. Ordnung ben¨otigt man f¨ ur die weitere Berechnung in (17.5) den Beugungswinkel α1 , den man aus der Gittergleichung (17.2) mit m = 1 erh¨alt: g=

17.4 Aufl¨ osungsverm¨ ogen des Gitters

sin α1 =

499

1·λ 500 · 10−9 m = = 0,25 g 2 · 10−6 m

Damit ist α1 = 14,5◦ und cos α1 = 0,968. Man kann nun die Winkeldispersion in der N¨ ahe von 500 nm berechnen: rad m 1 = rad = 5,164 · 105 −6 g cos αm 2 · 10 m · 0,9682 m = 0,0296◦ /nm

DW =

Die lineare Dispersion berechnet man dann zu: DL = f DW = 500 mm · 5,164 · 10−4 rad/nm = 0,258 mm/nm

17.4 Auf l¨ osungsverm¨ ogen des Gitters Eine Erh¨ ohung der Dispersion, z.B. durch Verwendung eines Gitters mit kleinem g, sorgt nicht notwendigerweise daf¨ ur, dass eng benachbarte Wellenl¨angen deutlicher voneinander getrennt werden. Die Eigenschaft, klar voneinander getrennte Beugungsmaxima f¨ ur eng benachbarte Wellenl¨angen zu erzeugen, wird durch das Auﬂ¨osungsverm¨ogen des Gitters gekennzeichnet, das allgemein deﬁniert ist durch (s. (11.40)) A≡

λ ∆λmin

(17.8)

wobei ∆λmin hier das minimale Wellenl¨ angenintervall zweier spektraler Komponenten ist, die gerade noch aufgrund des Rayleigh-Kriteriums (s. Abb. 16.9) getrennt sind. F¨ ur senkrecht einfallendes Licht der Wellenl¨ange λ + ∆λmin erhalten wir bei der Beugungsordnung m aus der Gittergleichung (17.2): g sin α = m(λ + ∆λmin )

(17.9)

Um dem Rayleigh-Kriterium zu gen¨ ugen, muss diese Beugungslinie mit dem ersten Minimum der benachbarten Wellenl¨ ange der gleichen Ordnung zusammenfallen, d.h. die Winkel m¨ ussen u ¨ bereinstimmen. Nach (16.50) und Abb. 16.15 a gilt f¨ ur das 1. Minimum: 1 λ (17.10) g sin αmin = m + N ur das Aus (17.9) und (17.10) erh¨ alt man λ/∆λmin = mN und damit aus (17.8) f¨ Aufl¨ osungsverm¨ ogen des Gitters:

500

17 Das Beugungsgitter

Auﬂ¨osungsverm¨ogen Gitter

A=

λ = mN ∆λmin

(17.11)

Das Aufl¨ osungsverm¨ ogen steigt demnach mit zunehmender Beugungsordnung m und Linienzahl N an. Bei gegebener Breite B des Gitters m¨ ussen die Linien des Gitters bei einer Erh¨ ohung von N enger zusammenr¨ ucken. Um das maximal m¨ ogliche Aufl¨ osungsverm¨ ogen zu erreichen, muss das einfallende Licht aber immer das ganze Gitter ausleuchten. F¨ ur das Gitter des Beispiels 2 mit 5 000 Linien pro cm und einer Breite von 8 cm erh¨alt man N = 40 000. Damit wird das Aufl¨ osungsverm¨ ogen in der ersten Ordnung 40 000. Aus (17.11) folgt, dass im Gebiet um λ = 500 nm spektrale Komponenten mit dem Wellenl¨angenabstand 0,0125 nm aufgel¨ ost werden k¨ onnen. In der zweiten Ordnung verbessert sich dieser Wert auf 0,00625 nm usw. Die maximalen Werte f¨ ur das Aufl¨osungsverm¨ogen von Gittern liegen im Bereich von 105 bis 106 Ein Gitter mit 10 000 Linien pro cm und 20 cm Breite liefert in der f¨ unften Ordnung ein Aufl¨osungsverm¨ogen von 106 . F¨ ur senkrecht auftreﬀendes Licht ist dann nach (17.2) die maximal nachweisbare Wellenl¨ ange 200 nm f¨ ur αm = 90◦ . Wenn das Licht nicht senkrecht auf das Gitter triﬀt, kann man die maximal nachweisbare Wellenl¨ange erh¨ohen, f¨ ur αe = 90◦ erh¨ alt man den doppelten Wert, d.h. 400 nm. Die Nutzung von h¨oheren Ordnungen des Gitterspektrums ist dadurch begrenzt, dass die Intensit¨at abnimmt. Man muss deshalb eine M¨ oglichkeit ﬁnden, Intensit¨at aus dem zentralen Maximum in die gew¨ unschte Ordnung zu verschieben. Diese Verschiebung erreicht man durch die sogenannte Blaze-Technik, die wir sp¨ ater diskutieren. Wir sehen in (17.11), dass das Aufl¨ osungsverm¨ogen f¨ ur einen gegebenen Beugungswinkel unabh¨ angig vom Abstand der Gitterlinien ist. F¨ ur ein Gitter der Breite B gilt N = B/g. Nutzen wir die Gittergleichung f¨ ur senkrechten Einfall, so erhalten wir statt (17.11): λ = mN = ∆λmin B B sin αm A=m = g λ A=

g sin αm λ

B g

oder (17.12)

Hiernach h¨ angt das Aufl¨ osungsverm¨ ogen eines Gitters f¨ ur einen gegebenen Beugungswinkel αm von der Breite des Gitters und nicht von der Anzahl der Gitterlinien ab. Benutzen wir jedoch ein Gitter mit weniger Gitterlinien und einer gr¨ oßeren Gitterkonstanten, so m¨ ussen wir bei einer h¨oheren Ordnung m arbeiten, so dass der nutzbare Spektralbereich reduziert und die Interpretation des Spektrums erschwert wird. Solche Mehrdeutigkeiten in h¨ oheren Ordnungen kann man durch ein zus¨atzliches Instrument umgehen, das eine Vorzerlegung des Spektrums vornimmt (s.u.).

17.5 Gittertypen

501

17.5 Gittertypen Bisher haben wir uns ein Beugungsgitter als eine undurchsichtige Struktur vorgestellt, in der sich viele durchl¨ assige, eng benachbarte Spalte beﬁnden. Die Gitter, die Fraunhofer in seinen Experimenten benutzte, waren tats¨achlich so einfach aufgebaut. Sie bestanden z.B. aus d¨ unnem Draht, der um die Gewindez¨ uge zweier paralleler Schrauben gewickelt wurde oder aus parallelen Linien, die auf gerußtem Glas angebracht wurden. Sp¨ ater wurden geritzte Metallﬁlme auf Glassubstraten verwendet. Heute stellt man zur Produktion von Gittern typischerweise ein Original (Master) her. Hierzu werden mit Hilfe von Diamanten Furchen in ein Glassubstrat niedriger thermischer Ausdehnung oder in einen Film aus Aluminium oder Gold auf Glas geritzt. Das Substrat muss vorher fein bearbeitet und poliert werden, so dass die Rauigkeit der Oberﬂ¨ ache f¨ ur gr¨ unes Licht kleiner als λ/10 ist. Die Entwicklung von Vorrichtungen (Gitter-Teilmaschine), die bis zu 3600 Rillen pro mm u ¨ ber eine Breite von mehr als 25 cm mit deﬁnierter Tiefe, Form und Abstand ritzen k¨ onnen, ist eine imponierende technologische Leistung. Hierbei setzt man interferometrische Methoden und elektronisch geregelte Servomotoren ein, um die Pr¨ azision der modernen Teilmaschinen weiter zu erh¨ohen. Originale von Beugungsgittern (Master) k¨ onnen heute bis zu einer Breite von 50 cm hergestellt werden. Ein Gitter kann man entweder als Transmissionsgitter oder als Reﬂexionsgitter ausf¨ uhren (s. Abb. 17.3). In einem Transmissionsgitter wird das Licht durch periodisch transparente Bereiche eines Substrates durchgelassen. Die Rillen sind entweder undurchl¨ assig bzw. streuen stark, oder das Licht wird aufgrund der anderen optischen Dicke im Bereich der Rillen periodisch in der Phase verz¨ogert. Im ersten Fall spricht man von einem Amplitudengitter , das wie eine mit Spalten versehene sonst undurchsichtige Blende arbeitet; im zweiten Fall bezeichnet man das Gitter als Phasengitter . Bei einem Reﬂexions-Phasengitter ist die gesamte Oberﬂ¨ ache hoch reﬂektierend. Die periodische Reﬂexion des einfallenden Lichtes wirkt wie die periodische Transmission der Wellen bei einem Transmissionsgitter. In Abb. 17.3 ¨ andern sich Reﬂexionsgrad, Transmissionsgrad oder die optische Dicke rechteckf¨ ormig u ¨ ber die Gitterbreite, man spricht vom Rechteckgitter . Beim Sinusgitter , z.B. in der Ausf¨ uhrung als Amplitudengitter, ¨andert sich der Transmissionsgrad mit einer cos2 -Funktion. Qualitativ hochwertige Gitter sind im Allgemeinen vom Reﬂexionstyp. Ein Querschnitt eines Reﬂexionsgitter, bei dem Licht durch eine periodische Struktur reﬂektiert wird, ist in Abb. 17.4 gezeigt. Der optische Gangunterschied von reﬂektierten Strahlen aus benachbarten Rillen ist die Diﬀerenz ∆ = ∆1 − ∆2 = −g sin αe − g sin αm wobei angenommen wird, dass beide Strahlen unter dem Winkel αm gebeugt werden. Man erh¨ alt f¨ ur die Beugungsmaxima mit ∆ = mλ die Gittergleichung:

502

17 Das Beugungsgitter

Abb. 17.3. Beugungsgittertypen mit rechteckf¨ ormigem Transmissions- oder Reﬂexionsgrad. Dicke Balken kennzeichnen die Rillen bei denen einfallendes Licht absorbiert oder so stark gestreut wird, dass es nicht mehr zum Beugungsbild beitr¨ agt. Leicht schraﬃerte Bereiche und Doppelpfeile f¨ ur das reﬂektierte Licht markieren Gebiete mit hohem Reﬂexionsgrad

Beugungsmaxima eines Reﬂexionsgitters f¨ ur beliebige Einfallswinkel αe − sin αe − sin αm =

mλ g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(17.13)

Wir benutzen f¨ ur die Winkel αm und αe die gleiche Vorzeichenkonvention wie zu Anfang diese Kapitels. Die 0. Ordnung der Beugung tritt f¨ ur m = 0 und damit αm = −αe auf. Sie liegt in Richtung der spiegelnden Reﬂexion am Gitter; es wirkt somit hier f¨ ur alle Wellenl¨ angen wie ein Spiegel. Die Metallbeschichtung des Reﬂexionsgitters sollte m¨ oglichst hoch reﬂektierend sein. Im ultravioletten Wellenl¨ angenbereich von 110 bis 160 nm benutzt man Beschichtungen mit Magnesiumﬂuorid oder Lithiumﬂuorid u ¨ ber einer Aluminiumschicht, um den Reﬂe-

17.5 Gittertypen

503

Abb. 17.4. Benachbarte Rillen eines Reﬂexionsgitters werden durch ein Lichtb¨ undel unter dem Einfallswinkel αe beleuchtet. g ist die Gitterkonstante. F¨ ur das in Richtung αm gebeugte Licht aus benachbarten Spalten betr¨ agt der Gangunterschied ∆1 + ∆2

xionsgrad zu erh¨ ohen, w¨ ahrend man unter 100 nm h¨auﬁg Gold- und Platinbeschichtung einsetzt. Im infraroten Wellenl¨ angenbereich sind sowohl Silber- als auch Goldbeschichtungen hochreﬂektierend. Das Licht, das von einem ebenen Gitter gebeugt wird, muss durch eine Linse oder einen konkaven Spiegel abgebildet werden. Falls die Absorption der Strahlung durch die abbildenden Elemente hoch ist, wie z.B. im Vakuum-Ultraviolett (zwischen 1 bis 200 nm), benutzt man zur Abbildung und Beugung ein konkaves Reﬂexionsgitter, wobei man einen konkaven Spiegel auf der reﬂektierenden Oberﬂ¨ ache mit Rillen versieht. Beispiel 17.3 Beugung am Transmissions- und Reﬂexionsgitter f¨ ur αe = 0 Licht der Wellenl¨ ange 600 nm f¨ allt unter einem Winkel von αe = 10◦ auf ein a) Transmissionsgitter b) Reﬂexionsgitter mit jeweils 1200 Linien/mm. Berechnen Sie die Beugungswinkel f¨ ur die Ordnungen m = 0, ±1.

504

17 Das Beugungsgitter

L¨ osung mm = 0,833 µm. g = 11200 a) Aus der Gittergleichung (17.2) f¨ ur das Transmissionsgitter folgt: αm αm=+1 αm=0

mλ = arcsin sin αe + und damit g 1 · 600 nm ◦ = arcsin sin 10 + = 63,33◦ 0,833 nm = 10◦ , αm=−1 = −33,12◦

b) Aus der Gittergleichung (17.13) f¨ ur das Reﬂexionsgitter folgt: αm=+1

mλ = arcsin − sin αe − g

αm=+1 = −63,33◦ ,

αm=0 = −10◦ ,

und damit αm=−1 = 33,12◦

17.6 Blaze-Technik fu ¨ r Gitter Als Wirkungsgrad eines Gitters in einem gegebenen Wellenl¨angenbereich und bei gegebener Ordnung kann man das Verh¨ altnis des gebeugten zum einfallenden Strahlungsﬂuss deﬁnieren. Beim Sinusgitter geht das einfallende Licht nur in die Beugungsordnungen m = 0 und m = ±1. Dies ist eine g¨ unstige Verteilung, die aber nur f¨ ur ein ¨ außerst exakt gefertigtes Sinusgitter erreicht wird. Durch den Einsatz eines Reﬂexionsgitters in der Form eines Phasengitters kann man den Wirkungsgrad eines Rechteckgitters erh¨ ohen, weil das gesamte einfallende Licht reﬂektiert wird. Im Beugungsmaximum 0. Ordnung, f¨ ur das keine Dispersion auftritt, wird allerdings immer noch Strahlungsﬂuss vergeudet und damit die Efﬁzienz des Gitters vermindert. Wie wir uns erinnern, enth¨alt beim Rechteckgitter die 0. Ordnung das intensivste Interferenzmaximum, da es mit dem Maximum der Spaltfunktion der Einzelspaltbeugung zusammenf¨allt. Durch geeignete Wahl des Verh¨ altnisses von Spaltbreite zu Gitterkonstante kann man die Verteilung des Strahlungsﬂusses u ¨ ber die Beugungsordnungen ver¨andern. In Abb. 17.3 sind die Rillen und die ungeritzten Anteile des Gitters gleich breit. Damit geht Licht nur in m = 0 und in die ungeraden Beugungsordnungen m = ±1, ±3, ±5 usw. Ver¨ andert man die Form der einzelnen Rillen so, dass die Spaltfunktion vom Gittermaximum nullter Ordnung in ein Maximum h¨oherer Ordnung verschoben wird, so nennt man dies Blaze-Technik. Um das Prinzip der Blaze-Technik zu verstehen, untersuchen wir dieses Verfahren mit Hilfe Abb. 17.5 f¨ ur ein Transmisssionsgitter und Abb. 17.6 f¨ ur ein

17.6 Blaze-Technik f¨ ur Gitter

505

Abb. 17.5. a) F¨ ur ein Transmissionsgitter ohne Blaze-Technik f¨ allt das Maximum der Spaltfunktion bei β = 0 mit dem Maximum 0. Ordnung des Gitters bei m = 0 zusammen. b) Im Gitter mit Blaze-Technik sind beide getrennt

Reﬂexionsgitter. In Abb. 17.5 b und Abb. 17.6 b sehen wir jeweils ein sogenanntes Echelettegitter mit keilf¨ ormigen Stufen. Der Einfachheit halber ist nur Licht gezeigt, das von einer einzelnen Rille reﬂektiert oder transmittiert wird, obwohl die Beugung das Zusammenwirken von vielen Rillen verlangt. In jeder Abbildung zeigt a die Beugung f¨ ur ein Gitter ohne Blaze-Technik und b die Wirkung einer Ver¨ anderung der Rillenform (Blaze-Technik), um das Maximum der Spaltfunktion des Einzelspaltes bei β = 0 (s. (16.10)) von der nullten Ordnung des Gitters (bei m = 0) zu verschieben. Erinnern wir uns daran, dass das Maximum der Spaltfunktion f¨ ur β = 0 auftritt, wo der Gangunterschied der Lichtstrahlen vom Zentrum und vom Rand jeder Rille null betr¨agt. Ein verschwindender Gangunterschied f¨ ur diese Strahlen ergibt ein Verhalten wie in der geometrischen Optik: F¨ ur durchgelassenes Licht, wie in Abb. 17.5, liegt das Beugungsmaximum in der Richtung des einfallenden Strahles; f¨ ur reﬂektiertes Licht, wie in Abb. 17.6, ﬁndet man das Beugungsmaximum in der Richtung des reﬂektierten Strahls. Ritzt

506

17 Das Beugungsgitter

man nun prismatische Rillen, wie in Abb. 17.5 b, oder geneigte Spiegelﬂ¨achen, wie in Abb. 17.6 b, so erh¨ alt man den Gangunterschied null in der Richtung des gebrochenen bzw. des reﬂektierten Strahles, der dem Fall β = 0 entspricht.

Abb. 17.6. a) F¨ ur ein Reﬂexionsgitter ohne Blaze-Technik f¨ allt das Maximum der Spaltfunktion bei β = 0 mit dem Maximum 0. Ordnung bei m = 0 zusammen. b) Im Gitter mit Blaze-Technik sind beide getrennt

Man kann also das Maximum der Spaltfunktion durch die Ver¨anderung der Form der einzelnen Rillen verschieben, dabei bleiben die Maxima der Gitterbeugung an der gleichen Stelle. Deren Position wird durch die Gittergleichung bestimmt, wobei der Beugungswinkel relativ zur Normalen des Gitters gemessen wird. Weder die Richtung der Gitternormalen noch der Abstand der Rillen ¨andert sich, wenn wir in Abb. 17.5 oder 17.6 von a zu b gehen. Als Ergebnis dieses Verfahrens liegt nun das Maximum der Beugung in einer Ordnung m = 0, und das Gitter beugt damit den Großteil des Strahlungsﬂusses in eine Ordnung, in der Dispersion auftritt, d.h. verschiedene Wellenl¨angen getrennt werden. Wir wollen nun den geeigneten Blaze-Winkel f¨ ur ein Gitter bestimmen. Betrachten wir zun¨ achst das Reﬂexionsgitter der Abb. 17.7, wo ein Strahl auf eine Rillenoberﬂ¨ ache unter dem Winkel αe einf¨allt und unter dem beliebigen Winkel α gebeugt wird, wobei beide relativ zur Gitternormalen gemessen werden. Die Normale auf der Stufenoberﬂ¨ ache steht unter einem Winkel αB relativ zur Gitternormalen. Der Winkel αB ist der Blaze-Winkel des Gitters. Wir fordern nun, dass der gebeugte Strahl die Bedingung f¨ ur die spiegelnde Reﬂexion an der Gitterstufe erf¨ ullt und gleichzeitig in der Richtung eines Gittermaximums der m-ten auft. F¨ ur die Reﬂexion an der Gitterstufe gilt: Ordnung (α = αm ) verl¨

17.6 Blaze-Technik f¨ ur Gitter

αe − αB = αB − αm αe + αm αB = 2

507

oder (17.14)

ur ReﬂeAls zweite Bedingung muss der Winkel αm die Gittergleichung (17.13) f¨ xion erf¨ ullen: mB λB = −g (sin αe + sin αm )

(17.15)

Gleichung (17.14) zeigt, dass der Blaze-Winkel vom Einfallswinkel abh¨angt, damit sind Geometrien mit unterschiedlichen Blaze-Winkeln m¨oglich. Man ﬁndet die Gleichung, die der Blaze-Winkel erf¨ ullen muss, durch Kombination der Gleichungen (17.14) und (17.15). Damit erhalten wir die Blaze-Winkel-Bedingung

mB λB = −g [sin αe + sin (2αB − αe )]

(17.16)

Wir betrachten nun zwei Spezialf¨ alle der Gleichung (17.16): Bei der Littrow-Anordnung f¨ allt das Licht entlang oder nahe der Normalen der Rillenoberﬂ¨ ache (= Stufennormale) ein, so dass αB = αe und αm = αe , wie es sich aus Abb. 17.7 und (17.14) ergibt. F¨ ur diesen Spezialfall liefert dann (17.16):

Abb. 17.7. Zusammenhang des Blaze-Winkels αB mit den Richtungen des einfallenden und des gebeugten Strahles f¨ ur ein Stufengitter (Echelette-Gitter), das als Phasengitter wirkt

508

17 Das Beugungsgitter

mB λB = −2g sin αB oder

Littrow-Blaze-Winkel

αB = − arcsin

mB λB 2g

(17.17)

Da g sin |αB | der Stufenh¨ ohe entspricht (s. Abb. 17.7), sehen wir, dass f¨ ur ein Gitter, das f¨ ur die Wellenl¨ ange λB und die Ordnung mB einen Blaze-Winkel nach der Littrow-Bedingung erhalten hat, die Rillenstufe ein ganzzahliges Vielfaangen betragen muss. Gitter werden gew¨ohnlich durch ches mB von Halbwellenl¨ ihren Blaze-Winkel und die entsprechende Littrow-Wellenl¨ange erster Ordnung speziﬁziert. Setzt man das Gitter f¨ ur andere Wellenl¨angen λ = λB ein, so ist die gebeugte Intensit¨ at bei mB geringer. Der Einsatzbereich ist ungef¨ahr 0,7 λB bis 2 λb . Bei einer anderen Anordnung f¨ allt das Licht entlang der Gitternormalen ein. Dann ist αe = 0 und αB = αm /2. Gleichung (17.15) liefert nun: Blaze-Winkel f¨ ur Lichteinfall entlang der Gitternormalen 1 mB λB αB = − arcsin 2 g

(17.18)

Beispiel 17.4 Gitter mit Blaze-Winkel a) Wir untersuchen ein Gitter mit 1 200 Linien (Rillen)/mm, das in erster Ordnung mit einem Blaze-Winkel f¨ ur 600 nm versehen ist. Bestimmen Sie die Gr¨ oße des Blaze-Winkels. b) F¨ ur bestimmte Anwendungen benutzt man ein Gitter mit großer Gitterkonstante, das man zur Erreichung eines hohen Aufl¨osungsverm¨ogens in hoher Ordnung einsetzt. Wir untersuchen die Funktionsweise des Gitters in der Ordnung m = 30 f¨ ur ein Gitter von 79 Linien/mm, das einen Blaze-Winkel von 63◦ 26’ hat und u ¨ber einen Bereich von 406 × 610 mm mit Linien versehen ist. Bestimmen Sie das Aufl¨osungsverm¨ogen, wenn es unter der Littrow-Bedingung betrieben wird.

17.7 Gitterkopien

509

L¨ osung a) Bei der Littrow-Anordnung erh¨ alt man aus (17.17) den Blaze-Winkel: αB = − arcsin

1 · 600 · 10−9 m · 1200 · 103 2m

= −21,1◦

L¨ asst man Licht entlang der Gitternormalen einfallen, dann erh¨alt man aus (17.18): 1 αB = − arcsin 1 · 600 · 10−9 · 1200 · 103 = −23,02◦ 2 b) Bei der Littrow-Bedingung reﬂektiert das Gitter in Richtung des einfallenden Strahls Licht der Wellenl¨ange λB =

−2g sin αB −2 · (1/79 · 103 m) sin(63,43◦ ) = = 755 nm mB 30

Die Gesamtzahl der Linien des Gitters ist N = 79 · 610 = 48 190 und damit betr¨ agt das Aufl¨ osungsverm¨ ogen A = mN = 30 · 48 190 = 1,45 · 106 bei der Blaze-Wellenl¨ ange von 755 nm. Das minimal aufl¨osbare Wellenl¨ angenintervall in diesem Gebiet ist dann ∆λmin = λ/A = 0,5 pm. Die tats¨ achlich erreichten Aufl¨ osungen k¨onnen etwas geringer als die theoretisch errechnete sein, da das Gitter Ungenauigkeiten aufweist. Das hohe Aufl¨ osungsverm¨ ogen erreicht man auf Kosten eines beschr¨ankten nutzbaren Spektralbereiches von nur λ/m = 755 nm/30 = 25 nm.

17.7 Gitterkopien Die hohen Kosten und die Schwierigkeiten bei der Herstellung von Gittern verbieten den Einsatz der Gitteroriginale in spektroskopischen Instrumenten. Bevor die Technik zur Herstellung preiswerter Kopien des Originals entwickelt wurde, konnten sich nur wenige Wissenschaftler ein gutes Gitter leisten. Bei der Herstellung einer Kopie des Gitters wird das Original zun¨achst mit einer Schicht nicht haftenden Materials beschichtet, die sp¨ater wieder vom Original getrennt ¨ werden kann. Diesem Schritt folgt eine Bedampfung z.B. mit Aluminium. Uber diese Schichtkombination folgt nun eine Lackschicht, auf die man im noch nicht ausgeh¨ arteten Zustand die zuk¨ unftige Kopie legt. Wenn der Kunstharzlack ausgeh¨ artet ist, kann man die Kopie vom Original trennen. Die erste Kopie, die meist eine hohe Qualit¨ at aufweist, dient nun als weiteres Original f¨ ur die Massenherstellung von weiteren Kopien. D¨ unne Kopien, die man mit diesem neuen Original“ herstellt, werden auf Glas oder Quarzsubstrat montiert und mit einem ”

510

17 Das Beugungsgitter

hochreﬂektierenden Aluminiumﬁlm beschichtet. Dies ist ein Herstellungsverfahren, das preiswerte Gitter in großen St¨ uckzahlen liefert. Man kann Gitterkopien kaufen, die genauso gut oder besser als das Original sind, sowohl was die optischen Eigenschaften als auch die Lebensdauer betriﬀt. Die Qualit¨at einer Kopie mit tiefen Rillen kann besser als die des Originals sein, da der Produktionsprozess die Rauhigkeit der Oberﬂ¨ achen der Gitterstufen vermindert, wodurch die optische Qualit¨ at des Gitters verbessert wird.

17.8 Interferenzgitter (holograﬁsche Gitter) Da der Laser heute koh¨ arente Lichtwellen hoher Intensit¨at liefert, kann man einen weiteren Gittertyp herstellen, der nicht mehr auf die hochpr¨azisen Teilmaschinen angewiesen ist. Schon im Jahr 1927 schlug Michelson vor, gerade Interferenzstreifen zu fotograﬁeren, wie sie z.B. die Anordnung der Abb. 17.8 a liefert: Zwei koh¨ arente monochromatische Strahlen werden zur Interferenz gebracht und bilden stehende Wellen im Bereich zwischen der kollimierenden Linse und einem ebenen Spiegel. Die so erzeugten geraden, streifenf¨ormigen Interferenzmaxima treﬀen auf einen lichtempﬁndlichen Film, der unter einem bestimmten Winkel geneigt ist. Nach der Entwicklung erh¨alt man gerade Interferenzstreifen. Die Interferenzgitter, die man mit Hilfe solcher optischen Techniken herstellt, nennt man auch holograﬁsche Gitter, da man ein Gitter mit parallelen, ¨aquidistanten Interferenzstreifen als das Hologramm einer ebenen Welle – mit ebener Referenzwelle – betrachten kann. Das interferometrische System, wie es in Abb. 17.8 b gezeigt ist, gleicht somit dem, das man zur Herstellung von Hologrammen benutzt. Man zeichnet die interferierenden Wellenfronten der UVStrahlung eines Krypton-Ionen-Lasers mit einer kornlosen Fotolackschicht auf, ¨ deren L¨ oslichkeit f¨ ur ein Atzmittel proportional zur Belichtung bei der Aufnahme ist. Der Fotolack wird in einer Dicke von ca. 1 µm gleichm¨aßig u ¨ ber die Oberﬂ¨ache eines Glassubstrates verteilt, indem man das Glassubstrat mit hoher Drehzahl ¨ rotieren l¨ asst. Beim Atzprozess wird das Interferenzmuster in der Form eines Rillenproﬁls aufgezeichnet, das sich u ¨ ber die Rille proportional zu cos2 ¨andert. Man beschichtet das Gitter anschließend durch Bedampfung mit einem Metall im Vakuum und erh¨ alt damit ein Reﬂexionsgitter. In Abb. 17.8 c wird gezeigt, dass der Beugungsstreifenabstand d durch die Wellenl¨angen des Lichtes und durch den Winkel 2α zwischen den zwei interferierenden Strahlen bestimmt ist, wie es auch aus der Beziehung g = λ/(2 sin α) folgt (s. (9.41) u. Abb. 9.6). Neben der Vermeidung der teuren und arbeitsintensiven Prozesse beim Ritzen der Gitterlinien mit einer Maschine besteht der u ¨ berragende Vorteil des Interferenzgitters darin, dass periodische oder zuf¨allige Fehler in der Rillenposition, die St¨ orbilder (Gittergeister ) verursachen, nicht auftreten. Interferenzgitter besitzen deshalb eine beeindruckende spektrale Reinheit und sorgen f¨ ur ein hohes

17.8 Interferenzgitter (holograﬁsche Gitter)

511

Abb. 17.8. a) Michelson-Anordnung f¨ ur die Herstellung von Interferenzgittern, die aus einem Kollimator K, einem Spiegel Sp und einer fotograﬁschen Platte P besteht. b) Holograﬁsche Anordnung zur Erzeugung von Interferenzstreifen, die aus dem Kollimator K, dem Strahlenteiler St, den Spiegeln Sp und der fotograﬁschen Platte P besteht. ¨ c) Herstellung von Interferenzstreifen im Uberlagerungsbereich von zwei kollimierten koh¨ arenten Strahlen (Laserstrahlen), die sich unter dem Winkel 2α schneiden

512

17 Das Beugungsgitter

Verh¨ altnis von Signal zu Untergrund. Auf der anderen Seite ist es schwierig, ein bestimmtes Rillenproﬁl herzustellen, wie man es f¨ ur die Blaze-Technik ben¨otigt. Das Rillenproﬁl von Interferenzgittern hat eine Form proportional zu cos2 , deshalb hat man gew¨ ohnlich symmetrische und nicht s¨agezahnartig geformte Proﬁle, wie man sie f¨ ur Gitter mit Blaze-Technik ben¨otigt. Bei senkrechtem Einfall ergibt ein symmetrisches Rillenproﬁl eine symmetrische Verteilung der Strahlung auf die positiven und negativen Beugungsordnungen. Bei schiefem Einfall der Strahlung auf das Gitter kann man Strahlung in eine Beugungsordnung mit m = 0 b¨ undeln. F¨ ur diesen Fall l¨ asst sich zeigen, dass die Verteilung der Strahlung nur wenig von der Rillenform abh¨ angt. Die Eﬃzienz dieser Gitter kann mit der von geblazten Gittern vergleichbar werden. Dar¨ uber hinaus versucht man, auch bei holograﬁschen Gittern Rillenproﬁle zu erzeugen, wie man sie f¨ ur herk¨ ommliche Gitter mit Blaze-Technik verwendet, indem man den Fotolack mit zwei Wellenl¨ angen belichtet, deren Fourier-Synthese mehr einem S¨agezahnproﬁl ¨ ahnelt oder durch nachfolgende Modiﬁkation der symmetrischen Rillen durch ¨ Argon-Ionen-Atzen.

17.9 Gitterinstrumente In einem Spektroskop kann man an Stelle eines Prismas ein preiswertes Transmissionsgitter einsetzen. Das auf das Gitter einfallende Licht wird durch einen prim¨ aren Spalt und eine Kollimatorlinse parallel gemacht. Man betrachtet das Spektrum durch ein Fernrohr, das auf Unendlich eingestellt ist, eine pr¨azise Messung der Wellenl¨ ange erfolgt nicht. In qualitativ hochwertigen Ger¨aten, Spektrografen, benutzt man zur genauen Wellenl¨angenmessungen ein Reﬂexionsgitter und zeichnet ein Teilspektrum mit einer fotograﬁschen Platte, einer Photodiodenzeile oder einem Bildwandler auf. In Spektrometern gelangt ein enger Bereich des Spektrums durch den Ausgangsspalt auf einen Photomultiplier oder einen anderen Strahlungsdetektor. Im letzteren Fall registriert man das Spektrum, indem man das Gitter dreht. Es gibt eine Vielzahl von Ger¨ atekonzeptionen; wir beschreiben hier kurz nur einige gebr¨ auchliche. Abbildung 17.9 zeigt eine Littrow-Anordnung, bei der ein einzelnes abbildendes Element zur Kollimation des Lichtes genutzt wird. Das Licht f¨ allt auf das ebene Gitter ein und wird in R¨ uckw¨artsrichtung durch die gleiche Linse auf eine fotograﬁsche Platte nahe dem Eintrittsspalt abgebildet. Die fotograﬁsche Platte und der Eingangsspalt sind hintereinander angeordnet. Wir erinnern uns daran, dass bei der Littrow-Anordnung das Licht entlang der Normalen auf die Rillenoberﬂ¨ achen einf¨allt. Die Abb. 17.10 zeigt eine Czerny-Turner-Anordnung in einem Gitterspektrometer. Licht des Eintrittsspaltes wird durch einen ebenen Spiegel auf einen ersten konkaven Spiegel gelenkt, der das Licht f¨ ur den Einfall auf das Gitter parallel macht. Das gebeugte Licht f¨ allt auf einen zweiten konkaven Spiegel, der

17.9 Gitterinstrumente

513

Abb. 17.9. Ebenes Gitter in Littrow-Anordnung

dann das Spektrum auf den Austrittsspalt abbildet. Wenn man das Gitter dreht, bewegt man das Spektrum u ¨ ber den Ausgangsspalt. Der Z-f¨ormige Strahlengang bewirkt, dass sich die Abbildungsfehler (hier die Koma) beider Spiegel kompensieren. Benutzt man dieses Ger¨ at, um einzelne Wellenl¨angen einer Quelle mit diskreten Spektrallinien oder um einen engen Wellenl¨angenbereich eines kontinuierlichen Spektrums herauszuﬁltern, so nennt man es Monochromator .

Abb. 17.10. Czerny-Turner-Spektrometer

In besonders kosteng¨ unstigen Ger¨ aten verzichtet man auf sekund¨are abbildende Linsen oder Spiegel und verwendet konkave Gitter, sowohl um abzubilden als auch um das Licht spektral zu zerlegen. Die Rillen, die man auf einem konkaven Gitter anbringt, sind ¨ aquidistant in Bezug auf die ebene Projektion der Oberﬂ¨ ache und nicht auf die konkave Oberﬂ¨ache selbst. Auf diese Art kann man die sph¨ arische Aberration und die Koma eliminieren. Ger¨ate mit konkaven Gittern benutzt man im Wellenbereich der weichen R¨ontgenstrahlung (1 bis 25 nm) und im Ultravioletten bis zum Sichtbaren. Die Paschen-Runge-Anordnung (s. Abb. 17.11) benutzt den sogenannten Rowland-Kreis. Bei diesem Ger¨at ist die Gitteroberﬂ¨ ache im Zentrum Tangente an einen Kreis, der einen Durchmesser von der Gr¨ oße des Kr¨ ummungsradius r des konkaven Gitters aufweist. Es l¨asst sich zeigen, dass eine spaltf¨ ormige Quelle, die man irgendwo auf den Kreis setzt, als Spaltbild an einer anderen Stelle des Kreises exakt abgebildet wird. F¨ ur einen

514

17 Das Beugungsgitter

Abb. 17.11. Paschen-Runge-Anordnung Kr¨ ummungsradius R

f¨ ur

ein

konkaves

Gitter

mit

einfachen Demonstrationsaufbau kann man die Lichtquelle, den Spalt, das Gitter und die fotograﬁsche Platte in einen dunklen Raum an drei stabile Positionen, die durch den Rowland-Kreis und die Gittergleichung gegeben sind, bringen. Die typischen Kr¨ ummungsradien f¨ ur das Gitter liegen in der Gr¨oßenordnung von 6 m, deshalb ist der Platz, den man f¨ ur diesen Spektrografentyp ben¨otigt, sehr groß. Man benutzt in der Regel die ersten drei Beugungsordnungen. Typische Einfallswinkel liegen im Bereich von 30◦ bis 45◦ , und die Beugungswinkel k¨onnen ur die zwischen −25◦ und 85◦ liegen. Ein großer Teil des Rowland-Kreises ist f¨ Aufzeichnung des Spektrums nutzbar.

Abb. 17.12. Wadsworth-Anordnung f¨ ur ein konkaves Gitter

17.9 Gitterinstrumente

515

F¨ ur ein Gitter von 1200 Linien pro mm und αe = 30◦ erh¨alt man das Spektrum erster Ordnung f¨ ur Wellenl¨ angen zwischen 200 und 1200 nm bei Winkeln zwischen −22◦ und 56◦ . In Abb. 17.11 ist das Spektrum erster Ordnung (200 bis 1200 nm) auf dem Rowland-Kreis f¨ ur αe = 38◦ und ein Gitter von 1200 Linien pro mm gezeigt. Der Wadsworth-Spektrograf (s. Abb. 17.12) eliminiert den Astigmatismus durch Hinzuf¨ ugen eines prim¨ aren Spiegels, der das Licht, das auf das Gitter einf¨ allt, kollimiert. Die Spektren werden in einem kleinen Winkelbereich zwischen etwa −10◦ und +10◦ relativ zur Gitternormalen nachgewiesen. Um verschiedene Bereiche eines Spektrums aufzuzeichnen, dreht man das Gitter und verwendet auch h¨ ohere Ordnungen. Dieser Typ eines Gitterspektrografen ist wesentlich kompakter als die Paschen-Runge-Anordnung.

¨ Ubungen 17.1 Wie groß ist die Winkeldiﬀerenz in der zweiten Ordnung zwischen Licht der Wellenl¨ angen 400 nm und 600 nm bei der Beugung an einem Gitter von 5000 Linien pro cm? 17.2 a) Ermitteln Sie die Dispersion im roten Wellenl¨ angenbereich bei 650 nm (in Grad pro nm und in nm pro mm) f¨ ur ein Transmissionsgitter von 6 cm Breite, das 3500 Linien pro cm aufweist, wenn das Spektrum dritter Ordnung durch eine Linse der Bildbrennweite f = 150 cm auf einen Schirm abgebildet wird. b) Bestimmen Sie das Aufl¨ osungsverm¨ ogen dieses Gitters. 17.3 a) Wie groß ist die Winkeldiﬀerenz zwischen dem Beugungsmaximum zweiter Ordnung und den benachbarten Minima auf beiden Seiten f¨ ur das FraunhoferBeugungsmuster eines Gitters mit 24 Linien, das einen Linienabstand von 1/10 mm aufweist und auf das Licht der Wellenl¨ ange 600 nm einf¨ allt? b) Welche geringf¨ ugig gr¨ oßere (oder geringf¨ ugig kleinere) Wellenl¨ ange h¨ atte ihr Maximum zweiter Ordnung am Ort des Minimums, das zum Maximum zweiter Ordnung des Lichtes bei 600 nm benachbart ist? c) Berechnen Sie aus den Ergebnissen der Teile a und b das Aufl¨ osungsverm¨ ogen in zweiter Ordnung. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat von (17.11). 17.4 Wie viele Linien muss man auf ein Transmissionsgitter ritzen, damit es gerade das Natriumdublett (589,592 nm und 588,995 nm) im Spektrum der 1. oder der 2. Ordnung aufl¨ ost? 17.5 a) Ein Gitterspektrograf soll in 1. Ordnung benutzt werden. Zur Fokussierung des Lichtes auf den Eingangsspalt werden Kronglasoptiken benutzt. Wie groß ist die erste Wellenl¨ ange im Spektrum, die Linien 2. Ordnung enthalten kann? Wie andern sich die Verh¨ altnisse, wenn man Quarzoptik benutzt? Nehmen Sie an, ¨ dass die Absorption f¨ ur λ < 350 nm bei Kronglas und f¨ ur λ < 180 nm bei Quarz sehr groß ist. b) F¨ ur welchen Beugungswinkel u ¨berlappen die Spektren bei einem Gitter mit 1200 Linien/mm?

516

17 Das Beugungsgitter c) Wie groß ist f¨ ur die beiden vorher beschriebenen F¨ alle der freie Spektralbereich in der 1. und 2. Ordnung?

17.6 Ein Transmissionsgitter hat 16 000 Linien pro 2,5 cm und ist 6,25 cm breit. Wie groß ist das Aufl¨ osungsverm¨ ogen in 3. Ordnung, wenn man es f¨ ur gr¨ unes Licht mit λ = 550 nm einsetzt? Berechnen Sie die minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angendiﬀerenz in der 2. Ordnung. 17.7 Die zwei Natrium-D-Linien haben eine Mittenwellenl¨ ange von 589,3 nm und einen Wellenl¨ angenabstand von 0,6 nm. Es steht nur ein Gitter mit 400 Linien zur Verf¨ ugung: a) Welches ist die niedrigste Ordnung, f¨ ur die die D-Linien aufgel¨ ost werden, b) wie breit muss das Gitter sein? 17.8 Eine Blende mit Vielfachspalten hat jeweils N = 2, 10 und 15 000 Spalte. Die Blende wird direkt vor eine Linse der Bildbrennweite f = 2 m gesetzt. Der Abstand zwischen den Spalten betr¨ agt 5 µm und die Spaltbreite ist 1 µm. Die einfallende ebene Welle hat eine Wellenl¨ ange von 546 nm. Bestimmen Sie f¨ ur die oben angegebenen Spaltanzahlen N a) den Abstand der Maxima nullter und erster Ordnung auf dem Schirm, b) die Anzahl der Maxima (helle Beugungsstreifen), die unter dem zentralen Maximum der Spaltfunktion liegen, c) die Breite des zentralen Beugungsstreifens auf dem Schirm. 17.9 Es wird ein Reﬂexionsgitter ben¨ otigt, das in der zweiten Ordnung im Spektralbereich um 350 nm Wellenl¨ angendiﬀerenzen von 2 pm aufl¨ ost. Das 10 cm breite Gitter soll in einem Ger¨ at eingesetzt werden, bei dem das Licht vom Eingangsspalt senkrecht auf das Gitter f¨ allt. Bestimmen Sie a) die minimale Anzahl von Linien pro cm, die n¨ otig ist; b) den optimalen Blaze-Winkel; c) den Beugungswinkel, f¨ ur den die Bestrahlungsst¨ arke maximal ist (skizzieren Sie den Blaze-Winkel und den Beugungswinkel in einer Zeichnung); d) die Winkeldispersion in Grad pro nm. 17.10 Ein Transmissionsgitter soll in erster Ordnung eine Aufl¨ osung von 0,1 nm u ¨ ber den gesamten sichtbaren Spektralbereich (ca. 400 bis 700 nm) liefern. Das Gitter ist auf einer Breite von 2 cm mit Linien versehen. a) Bestimmen Sie die minimale Anzahl von Gitterlinien, die ben¨ otigt wird. b) Das Beugungsmuster wird durch eine Linse der Bildbrennweite 50 cm abgebildet. Wie groß ist in der Bildebene der Linse die Breite eines 0,1 nm Wellenl¨ angenintervalls in der Umgebung von 500 nm? 17.11 Ein konkaves Reﬂexionsgitter mit 2 m Kr¨ ummungsradius wird mit 1000 Linien/ mm versehen. Das Licht f¨ allt unter einem Winkel von 30◦ relativ zur zentralen Gitternormalen ein. Bestimmen Sie f¨ ur die 1. Ordnung: a) die Winkelverteilung um die Gitternormale f¨ ur einfallendes Licht im Wellenl¨ angenbereich von 400 bis 700 nm, b) das Aufl¨ osungsverm¨ ogen, wenn das Gitter u ¨ ber eine Breite von 10 cm mit Linien versehen ist, c) die lineare Dispersion in der Umgebung von 550 nm,

17.9 Gitterinstrumente

517

d) den Radius des Rowland-Kreises f¨ ur die Paschen-Runge-Anordnung des Gitters. 17.12 Wie viele Linien pro mm ben¨ otigt man f¨ ur ein konkaves Gitter von 2 m Kr¨ ummungsradius, das eine lineare Dispersion von ungef¨ ahr 0,5 mm/nm in der ersten Ordnung aufweisen soll? 17.13 Ein ebenes Reﬂexionsgitter mit 300 Linien/mm hat einen Blaze-Winkel von 10◦ . a) Das Licht f¨ allt senkrecht auf die Rillenoberﬂ¨ achen. Welche Wellenl¨ ange liefert in erster Ordnung die maximale Bestrahlungsst¨ arke? b) Wie groß ist die lineare Dispersion in der ersten Ordnung, wenn man das Gitter in der Czerny-Turner-Anordnung benutzt und der Spiegel einen Kr¨ ummungsradius von 3,4 m aufweist? 17.14 Ein Reﬂexionsgitter, das u alt ¨ ber eine Breite von 15 cm mit Linien versehen ist, erh¨ den Blaze-Winkel f¨ ur 200 nm (Vakuum-Ultraviolett). Das Aufl¨ osungsverm¨ ogen soll in erster Ordnung 3 · 105 betragen. Bestimmen Sie den jeweiligen Blaze-Winkel a) f¨ ur die Littrow-Anordnung und b) f¨ ur senkrechten Einfall auf die Gitterebene. 17.15 Zeigen Sie, dass bei der Herstellung eines holograﬁschen Gitters (s. Abb. 17.7 c) der Abstand d von Interferenzstreifen durch λ/(2 sin α) gegeben ist. Hierbei ist 2α der Winkel zwischen den koh¨ arenten, einfallenden Strahlen. Wie viele Rillen pro mm werden in einer ebenen Emulsion mit n = 1, die senkrecht zu den Interferenzstreifen angeordnet ist, erzeugt, wenn zwei Argonionenlaser mit der Wellenl¨ ange 488 nm und dem Schnittwinkel von 120◦ zwischen den Strahlen benutzt werden? Welchen Einﬂuss auf die Gitterkonstante hat eine Emulsion mit einer gr¨ oßeren Brechzahl? 17.16 Es wird ein Gitter ben¨ otigt, das in erster Ordnung das rote Dublett aufl¨ ost, das in der elektrischen Gasentladung einer Mischung von Wasserstoﬀ und Deuterium auftritt (∆λ = 0,18 nm f¨ ur eine mittlere Wellenl¨ ange von 656,3 nm). Das Gitter soll f¨ ur eine Standard-Blaze-Wellenl¨ ange von 630 nm in der Littrow-Anordnung produziert werden. Bestimmen Sie: a) die Gesamtanzahl der ben¨ otigten Rillen, b) die Anzahl der Linien pro mm f¨ ur ein Gitter mit einem Blaze-Winkel von 22◦ 12’, c) die minimale Breite des Gitters. 17.17 Ein Gitter ist u ¨ ber eine Breite von 12 cm mit 8 Rillen pro mm versehen und hat einen Blaze-Winkel von 63◦ . Bestimmen Sie f¨ ur die Littrow-Anordnung: a) den Bereich der Ordnungen, f¨ ur den das sichtbare Spektrum (400 nm bis 700 nm) auftritt, b) die Gesamtanzahl der Rillen, c) das Aufl¨ osungsverm¨ ogen und die minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angendiﬀerenz bei 550 nm, d) die Dispersion bei 550 nm, e) den nutzbaren Spektralbereich unter der Annahme, dass die k¨ urzeste Wellenl¨ ange 350 nm betr¨ agt.

18 Fresnel-Beugung

Einleitung In den beiden vorangegangenen Kapiteln wurde die Fraunhofer-Beugung behandelt, bei der die einfallenden und gebeugten Wellenfronten in guter N¨aherung als eben angesehen werden konnten. Hier werden nun F¨alle diskutiert, in denen diese N¨ aherung versagt. Dies ist der Fall, wenn entweder Quelle oder Beobach¨ tungsschirm – oder beide – so nahe an der beugenden Oﬀnung liegen, dass die Kr¨ ummung der Wellenfront ber¨ ucksichtigt werden muss. Zur Beobachtung dieser Nahfeld - oder Fresnel-Beugung sind keine Kollimatorlinsen erforderlich, sie ist also experimentell einfacher zu realisieren. Die mathematische Behandlung ist hingegen so kompliziert, dass man fast ausschließlich auf numerische Verfahren angewiesen ist. Die Fresnel-Beugungsbilder schließen die L¨ ucke zwischen den Schattenbildern einer Beugungs¨ oﬀnung und ihrer Fraunhofer-Beugungsﬁgur. In der geometrischen Optik, bei der die Ausbreitung von Licht im Modell mathematischer Strahlen behandelt wird, erwarten wir (bei entsprechender Abbildung oder Beleuchtung) ein

520

18 Fresnel-Beugung

scharfes Bild der Apertur; dies wird auch bei sehr kleinen Abst¨anden der Beobachtungsebene beobachtet. Bei der Fraunhofer-Beugung, wo der Schirmabstand tats¨ achlich oder – durch Verwendung einer Linse – eﬀektiv groß ist, weist man ein ¨ Beugungsbild mit Interferenzstruktur nach, das wenig Ahnlichkeit mit dem Beugungsobjekt aufweist, man erinnere sich an das Beugungsbild des Doppelspalts. Im Zwischengebiet der Fresnel-Beugung sieht man im Wesentlichen ein Bild der Apertur, das durch Interferenz strukturiert ist und dessen Kanten ausgefranst sind.

18.1 Fresnel-Kirchhoﬀsches Beugungsintegral Eine typische experimentelle Anordnung zur Beobachtung der Fresnelbeugung ist in Abb. 18.1 wiedergegeben. Eine Punktquelle Q sendet Kugelwellen aus, die auf eine so nahe liegende Apertur treﬀen, dass sie dort noch als sph¨arisch zu behandeln sind. Im nahe liegenden Beobachtungspunkt P werden dann Beugungseﬀekte im Nahbereich – also Fresnel-Beugung – beobachtet. Ein herausgegriﬀener Punkt O der Aperturwellenfront ist um den Abstand r von der Punktquelle und um r von der Beobachtungsebene entfernt. Verglichen mit der Fraunhofer-Beugung ¨ treten einige Anderungen auf: Da die einfallenden und gebeugten Wellen nicht eben sind, wird die Beugung abh¨ angig von den Abst¨anden r und r, die ihrerseits (auch bei ﬁxierter Quelle) mit der Lage von Aufpunkt P und Aperturpunkt O variieren. Die stark unterschiedlichen Richtungen der austretenden Strahlen f¨ uhren zu einer zus¨ atzlichen Winkelabh¨ angigkeit, die durch einen Richtungsfaktor beschrieben wird.

Abb. 18.1. Fresnel-Beugung einer von Q ausgehenden Kugelwelle an einer Apertur. Im Beobachtungspunkt P wird die von dem Fl¨ achenelement dA emittierte Elementarwelle registriert

18.1 Fresnel-Kirchhoﬀsches Beugungsintegral

521

Von einem Fl¨ achenelement dA um den Punkt O der Apertur geht (vgl. Kap. ˆ ∼ E dA – aus, 16) eine Elementarwelle – eine Kugelwelle der Amplitude dE O S die im Aufpunkt P mit folgender Amplitude eintriﬀt: ˆ ≈ dE P

ˆ dA E S e−jkr r

(18.1)

ˆ der Quelle ˆ ist nunmehr von r und der St¨arke E Die Apertur-Amplitude E S Q abh¨ angig: ˆ E Q −jkr e r Dann erh¨ alt man im Punkt P f¨ ur die von O ausgehende Elementarwelle ˆ ∼ E S

ˆ E Q −jk(r+r ) e dA (18.2) rr ¨ und nach Integration u die Gesamtamplitude im Auf¨ber die beugende Oﬀnung punkt P : ˆ ∼ dE P

ˆ ˆ ∼E E P Q

e−jk(r+r ) dA rr Apertur

(18.3)

Die genaue Rechnung, die auf Kirchhoﬀ zur¨ uckgeht, liefert uns das FresnelKirchhoﬀsche Beugungsintegral

ˆ =j E P

Eˆ Q e−jk(r+r ) F (ϑ) dA λ Apertur rr

(18.4)

Hierbei ist F (ϑ) der Richtungsfaktor

F (ϑ) =

1 + cos ϑ 2

(18.5)

der von dem Winkel ϑ zwischen einfallendem und gebeugtem Strahl abh¨angt und die – nach dem einfachen Huygensschen Ansatz erlaubten – Elementarwellen in R¨ uckw¨ artsrichtung (ϑ = 180◦ ) eliminiert. Er beschreibt mithin die Richtungsˆ abh¨ angigkeit der Amplitude E(ϑ) der Elementarwelle, die von einem Punkt O in der Apertur ausgeht. In dem Polardiagramm der Abb. 18.2 wird die Richtcharakteristik der Fresnel-Kirchhoﬀ-Quelle mit der einer isotrop strahlenden HuygensQuelle, bei der FH (ϑ) = 1 gilt (s. (18.3)), verglichen. Die Beugungsformel wurde von Fresnel angegeben und von Kirchhoﬀ mathematisch exakt abgeleitet. Er konnte die Ad-hoc-Annahmen Fresnels durch L¨osung der skalaren Wellengleichung begr¨ unden. Die L¨osung (18.4) stellt aber immer

522

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.2. Vergleich der Richtungsfaktoren der Quellen von Elementarwellen nach Huygens (FH (ϑ ) = 1) und Fresnel-Kirchhoﬀ (F (ϑ) = (1 + cos ϑ)/2))

noch lediglich eine N¨ aherung dar. Sie setzt n¨amlich voraus, dass die Abst¨ande von Quelle und Schirm groß gegen die Wellenl¨ange und die Abmessung der Aperˆ in der beugenden Oﬀnung ¨ die gleiche ist, die bei tur sind und die Amplitude E S Abwesenheit der Apertur beobachtet w¨ urde; von den R¨andern sollen also keine zus¨ atzlichen Wellen ausgehen. Kirchhoﬀ verwendete somit die Randbedingung, ˆ (und ihr Gradient) in den die Apertur umgebenden dass die Wellenfunktion E O undurchsichtigen Bereichen verschwindet. Diese Annahmen, die das einigermaßen einfache Ergebnis (18.4) erm¨oglichen, sind nicht ganz zutreﬀend. Außerdem behandelt die Fresnel-Kirchhoﬀ-Theorie ¨ die Lichtwelle als skalares Feld; dies ist in unmittelbarer N¨ahe der Oﬀnung, wo auch Polarisationseﬀekte auftreten, nicht gerechtfertigt. F¨ ur die meisten praktisch wichtigen Beugungsprobleme liefert aber die Kirchhoﬀ-Theorie hinreichend genaue Ergebnisse. W¨ ahrend die Herleitung des Beugungsintegrals mit Hilfe der Potentialtheorie ziemlich kompliziert und unanschaulich ist, f¨ uhrt eine Erweiterung des FresnelPrinzips zu einer anschaulicheren L¨ osung: Die einfallende Welle erzeugt in der ¨ beugenden Oﬀnung zeitlich ver¨ anderliche E- und B-Verteilungen, die aus ﬁktiven lokalen Str¨ omen ableitbar sind. Die Str¨ ome f¨ uhren zu elektrischen und magneti-

18.1 Fresnel-Kirchhoﬀsches Beugungsintegral

523

¨ schen Hertzschen Dipolen, die in der beugenden Oﬀnung kontinuierlich verteilt sind und Elementarwellen anisotrop (s. Abb. 15.7) emittieren. Die gebeugte Wel¨ le, das Beugungsintegral, entsteht wieder durch Uberlagerung der Teilwellen. Der ¨ Richtungsfaktor folgt aus der Uberlagerung der elektrischen und magnetischen Dipolstrahlung, die in R¨ uckw¨ artsrichtung gegenphasig verl¨auft und damit destruktiv interferiert (s. Abb. 18.3).

¨ Abb. 18.3. Erkl¨ arung des Richtungsfaktors durch Uberlagerung der Strahlung ﬁktiver elektrischer und magnetischer Dipole. Es sind nur die Wellen unter ϑ = 0 und ϑ = 180◦ gezeigt. a) Elektrischer Dipol, das E-Feld ist rotationssymetrisch um die E-Achse, der Dipol strahlt nicht in vertikaler Richtung, b) magnetischer Dipol (Leiterschleife), mit Rotationssymmetrie von B um die B-Achse. In R¨ uckw¨ artsrichtung (ϑ = 180◦ , bzw. negative x-Richtung) strahlen die Dipole gegenphasig, die R¨ uckw¨ artswelle wird unterdr¨ uckt. Unter ϑ = 90◦ verbleibt nur der Beitrag des magnetischen Dipols und damit F (90◦ ) = 1/2 (s. Abb. 18.2)

524

18 Fresnel-Beugung

Bei Fraunhofer-Beugung kann (18.4) vereinfacht werden, der Richtungsfak¨ tor wird praktisch konstant, da nur ein kleiner Oﬀnungswinkel der ausgehenden Strahlung untersucht wird. Die Ver¨ anderung von r und r im Nenner ist bei vorgebenem großem Abstand von Quelle und Beobachtungsschirm klein im Vergleich ¨ zur Anderung der Exponentialfunktion, so dass man bei Einfall einer ebenen ¨ Welle in Ubereinstimmung mit (16.5) erh¨ alt: ˆ =C E ˆ e−jkr dA (16.5) E P S Wenn die Fraunhofer-N¨ aherung nicht erf¨ ullt ist, muss man das vollst¨andige Beugungsintegral (18.4) auswerten, was im Allgemeinen schwierig ist. Fresnel gab bereits befriedigende N¨ aherungsmethoden zur L¨osung dieser Aufgabe an.

18.2 Kriterium fu ¨ r Fresnel-Beugung Bevor wir auf die Fresnel-Beugung eingehen, wollen wir ein Kriterium angeben, das die Bereiche Fresnel- und Fraunhofer-Beugung unterscheidet. Zur Vereinfachung sollen Quell- (Q) und Aufpunkt (P ) auf der optischen Achse liegen (s. ur ebene Wellen Null. Da Fraunhofer-Beugung Abb. 18.4). Der Abstand s1 ist f¨ ann¨ ahernd ebene Wellen voraussetzt, muss f¨ ur diesen Fall s1 klein gegen die Lichtwellenl¨ ange sein. Nach Abb. 18.4 ist: 1/2 h2 1 h2 2 2 ≈ (18.6) s1 = r − r − h = r − r 1 − 2 r 2 r Hierbei wurde die binomische Reihe (1 − x) ≈ 1− x2 +. . . verwendet. Wir haben damit die sph¨ arische Wellenfront durch ein Paraboloid angen¨ahert. Wegen p ≈ r folgt dann aus der Nahfeld- oder Fresnel-Bedingung s1 λ:

s1 =

h2 λ 2p

Entsprechend gilt bei der gebeugten Welle (s. Abb. 18.4 b): s2 =

h2 λ 2q

(18.7)

Damit gilt f¨ ur die Fresnel-Beugung: s1 + s2 =

1 2

1 1 + p q

h2 λ

18.2 Kriterium f¨ ur Fresnel-Beugung

525

Abb. 18.4. Schnitt in Abb. 18.1 entlang der optischen Achse. Die Kr¨ ummung von a) einfallender und b) gebeugter Wellenfront ist f¨ ur kleine Abst¨ ande s1 und s2 gering. F¨ ur s1,2 λ liegt Fresnelbeugung vor

Diese Bedingung triﬀt nat¨ urlich auch auf die zu h senkrechte Ausdehnung der Apertur zu, deshalb ist unter h die maximale Ausdehnung der Apertur zu veraherungsweise gilt dann f¨ ur Fresnel-Beugung die stehen1 . N¨ Nahfeldbedingung

d

A λ

(18.8)

mit A = Fl¨ ache der Apertur und d = Sender- oder Empf¨angerabstand. Ausgehend hiervon deﬁnieren wir die Fresnel-Zahl

NF =

A λd

(18.9)

Zusammen mit (18.8) folgt dann f¨ ur den Fresnel-Bereich NF 1. F¨ ur s1 λ ist NF 1, wir beobachten Fraunhofer-Beugung. Bei großen Fresnel-Zahlen ist die aus (18.6) folgende Fresnel-N¨ aherung, die nach (18.7) auf parabolische Wellenfronten f¨ uhrt, nicht mehr g¨ ultig, da wir f¨ ur h ≈ r in (18.6) auch h¨ohere Glieder ussen. F¨ ur h = r ≈ d und √ucksichtigen m¨ √ der Reihenentwicklung ber¨ ur eine Apertur mit A = 1 mm2 wird h ≈ A erhalten wir dann NF ≈ A/λ. F¨ somit NF ≈ 100. Damit gilt als Richtschnur: F¨ ur 10−2 NF 102 liegt Fresnel-Beugung vor, die f¨ ur NF < 10−2 in die Fraunhofer-Beugung und f¨ ur NF > 100 in die geometrische Optik u ¨bergeht. 1

Dies gilt nur, wenn die Apertur in allen Raumrichtungen etwa die gleiche Ausdehnung hat. F¨ ur einen Linienspalt der Breite b, bei dem h → ∞ geht, ist in den folgenden Gleichungen A = b2 zu setzen.

526

18 Fresnel-Beugung

18.3 Fresnel-Beugung an Kreisblenden In Abb. 18.1 liege eine kreisf¨ ormige Apertur vor. F¨ ur diesen Fall hat Fresnel eine trickreiche L¨ osungsmethode angegeben, die die explizite Integration von (18.4) umgeht. Er ber¨ ucksichtigte die Beitr¨ age der einzelnen Elemente der Wellenfront durch Aufteilung der Apertur in so genannte Fresnel-Zonen, die rotationssymmetrisch um die Achse QOP angeordnet sind. Diese Zonen sind auf der von Q ausgehenden Wellenfront (Kugelwelle in Abb. 18.5 a) durch Kreise begrenzt, deren Radien so gew¨ ahlt ist, dass jede Zone im Mittel um λ/2 weiter von dem Aufpunkt P entfernt ist als die vorhergehende. Die Zonenr¨ander haben mithin von P folgende Abst¨ ande (s. Abb. 18.5 a): r1 = r0 + λ/2, r2 = r0 + λ, . . . rN = r0 + N λ/2. Damit treﬀen die Elementarwellen aufeinander folgender Zonen in P gegenphasig ein. Nat¨ urlich k¨ onnte jede dieser Fresnel-Zonen in kleinere Abschnitte unterteilt werden, die Phase variiert aber immer von einem zum anderen Ende um π und der Gesamtbeitrag aufeinanderfolgender Zonen beh¨alt den Phasenunterschied π. Dies wird in dem Zeigerdiagramm Abb. 18.5 b klar, wo jede Halbwellenzone in 15 Unterzonen aufgeteilt ist, deren Beitrag den kleinen Zeigern entspricht. Nach Durchlaufen der ersten Zone ist der 15. Zeiger antiparallel zum ersten Zeiger. Die Amplitude a1 (gestrichelt) ist die Resultierende dieser Zonen. Beachten Sie die Drehung um 90◦ , der Gesamtbeitrag der ersten Fresnelzone eilt also der direkten Welle um π/2 nach. F¨ ur eine große Zahl von Subzonen geht dieses Zeigerdiagramm in einen Kreis mit dem Durchmesser a1 u ¨ ber. Der Richtungsfaktor ist in Abb. 18.5 b durch leichte Verk¨ urzung aufeinanderfolgender Zeiger ber¨ ucksichtigt, dies f¨ uhrt zu Spiralen. Summation aller von N Halbwellenzonen ausgehenden Wellen ergibt in P die Gesamtamplitude:

AN = a1 + a2 ejπ + a3 e2jπ + . . . = a1 − a2 + a3 − a4 . . . =

N

(−1)n−1 an (18.10)

n=1

Die Amplituden an werden bei wachsender Zonenzahl N durch drei Faktoren beeinﬂusst: 1. eine geringe allm¨ ahliche Zunahme aufgrund wachsender Zonenﬂ¨ache, angigkeit der Intensit¨at und 2. eine Abnahme wegen der 1/r2 -Abh¨ 3. die Abnahme aufgrund des Richtungsfaktors. Aus Abb. 18.5 a folgt f¨ ur die Fl¨ ache Fn der n-ten Zone: 2 r0 r02 λ λ + (2n − 1) Fn = π r0 + r0 r0 2r0 angig von n: Wegen λ/r0 1 wird Fn nahezu unabh¨

(18.11)

18.3 Fresnel-Beugung an Kreisblenden

527

Abb. 18.5. a) Auf den Punkt P bezogene Halbwellen-Fresnel-Zonen, die auf einer von Q ausgehenden Kugelwelle liegen. b) Zeigerdiagramm der Amplituden der Wellen, die von den kreisf¨ ormigen Fresnel-Zonen ausgehen und in P registriert werden. Jede Halbzone ist in 15 Unterzonen – mit zugeh¨ origem Zeiger – aufgeteilt. Die L¨ ange der Zeiger nimmt pro Fresnel-Zone um jeweils 5% ab, um den Richtungsfaktor zu simulieren. a1 ist der zur ersten Halbzone geh¨ orige Zeiger (leicht verdreht gezeichnet), A ist allen (ca. 5 21 ) ber¨ ucksichtigten Zonen zugeordnet. (Das Diagramm ist an der waagrechten Achse zu spiegeln, da die Wellen nacheilen.)

Fn ≈ π

r0 r0 r0 + r0

(18.12)

Die langsame Zunahme von Fn mit n (s. (18.11)) wird gerade durch das 1/r2 Gesetz kompensiert, so dass die Amplitudenabnahme nur durch den Richtungsfaktor bedingt ist. Abb. 18.6 a zeigt das zu (18.10) geh¨orige (jeweils vertikal verschobene) Zeigerdiagramm der gegenphasig beitragenden Einzelzonen mit der diskutierten Amplitudenabnahme und Abb. 18.6 b die resultierende Amplitude ur kleine N AN als Funktion von N . Beachten Sie die starke Variation von AN f¨ und bei großen N die Ann¨ aherung an den Grenzwert A∞ = a1 /2, also nurmehr ur die H¨ alfte der Amplitude der ersten Zone. Weiterhin ist die Amplitude AN f¨ ur gerade N kleiner als a1 /2. F¨ ur die Gesamtamungerade N gr¨ oßer a1 /2 und f¨ plituden gilt:

528

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.6. Zeigerdiagramm f¨ ur Fresnelsche Halbwellenzonen. a) Einzelzeiger an jeder Halbwellenzone. b) Einzelzeiger der nach jeder Teilsummation resultierenden Amplituden AN

AN ≈

a1 aN − 2 2

f¨ ur N gerade

(18.13)

f¨ ur N ungerade

(18.14)

und AN ≈

a1 aN + 2 2

Hiermit (oder aus Abb. 18.6 b) folgt dann: – f¨ ur kleine N mit aN ≈ a1 : AN ≈ a1

bei N ungerade

AN → 0

bei N gerade

und

– f¨ ur große N gilt aN → 0 und damit: AN ≈ a1 /2

f¨ ur N gerade und ungerade.

Dies f¨ uhrt zu u ¨ berraschenden Ergebnissen, die sich experimentell veriﬁzieren lassen. Als Beispiel betrachten wir eine Apertur, deren Durchmesser zun¨achst mit

18.4 Fresnelsche Zonenplatte

529

dem der ersten Fresnelzone zusammenf¨ allt, dann beobachtet man in P die Amplitude A1 = a1 . Wird der Durchmesser so weit vergr¨oßert, dass auch die zweite ahernd auf null. Entfernt man die BlenZone durchgelassen wird, so sinkt A2 ann¨ de ganz, so dass alle Zonen beitragen, erh¨ alt man A∞ = a1 /2 und damit nur 1/4 der Intensit¨ at der ersten Zone. Beweis von (18.13) und (18.14): Wir betrachten die Zone n mit den Nachbarzonen n − 1 und n + 1 mit den zugeh¨ origen Richtungsfaktoren F (ϑ) und schreiben f¨ ur die Amplitude: an = b(1 + cos ϑn ) mit b = konst. Dann gilt mit ϑn±1 = ϑn ± ∆ϑ und ∆ϑ 1: 12 (an+1 + an−1 ) = 2b (1 + cos(ϑ + ∆ϑ) + 1 + cos(ϑ − ∆ϑ)) ≈ b(1 + cos ϑ) = an , da cos(ϑ ± ∆ϑ) ≈ cos ϑ ∓ ∆ϑ sin ϑ. Mit Hilfe dieser Beziehung f¨ ur an ersetzen wir in (18.10) alle Glieder mit geradem Index durch die entsprechenden Mittelwerte und erhalten beispielsweise f¨ ur N = 5: A5 = a1 − a21 + a23 + a3 − a23 + a25 + a5 . Wir sehen, dass sich die Reihenglieder weitgehend kompensieren und A5 = a21 + a25 , also (18.14), verbleibt. Bei geradem N (= 4) ist A4 = a21 − a25 ≈ a21 − a24 , wodurch (18.13) best¨ atigt wird.

Ein weiteres – auch historisch – interessantes Ergebnis ergibt sich, wenn man die erste Fresnelzone durch eine kleine undurchsichtige Scheibe abdeckt. In diesem Fall tragen zur Gesamtamplitude AN alle Zonen mit Ausnahme der ersten Zone bei, damit tritt die zweite Zone an die Stelle der bisherigen ersten, und man misst at im Zentrum des geometrisch optischen Schattens A∞ ≈ a2 /2, d.h. die Intensit¨ ist etwa die gleiche wie ohne Hindernis. Als Fresnel der Franz¨osischen Akademie seine Arbeit u ¨ ber die Beugung vorgelegt hatte, folgerte Poisson diese – nach seiner Ansicht absurde – Voraussage und wollte damit die Fresnelsche Theorie widerlegen. Fresnel und Arago konnten jedoch den Fleck, der ironischerweise als Poissonscher Fleck bezeichnet wird, experimentell nachweisen (s. Abb. 18.7). In Abb. 18.6 ist der erste Zeiger a1 als Bezugspfeil horizontal gezeichnet, nach Abb. 18.5 hinkt er jedoch – wie erw¨ ahnt – um π/2 gegen¨ uber der direkten usste die Welle nach. Da die Zeiger AN von N Wellen parallel zu a1 sind, m¨ gesamte Beugungswelle – und damit f¨ ur N → ∞ auch die urspr¨ ungliche Welle – um π/2 verz¨ ogert sein, also mit dem Phasenfaktor e−jπ/2 = −j multipliziert werden. Diese physikalisch unsinnige Phasenverschiebung wird gerade durch den (zun¨ achst r¨ atselhaften) Faktor j der Kirchhoﬀ-Formel (18.4) kompensiert.

18.4 Fresnelsche Zonenplatte Nach (18.10) und Abb. 18.6 k¨ onnte man große Amplituden AN und damit Intensit¨ aten erhalten, wenn es gel¨ ange, alle negativen (Index n gerade) oder positiven (n ungerade) Terme zu eliminieren oder deren Vorzeichen umzukehren. Dies geschieht mit Fresnelschen Zonenplatten. Platten variabler Durchl¨assigkeit (Amplituden-Zonenplatten) blenden Teilwellen aus. Phasen-Zonenplatten,

530

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.7. Beugungsbild der Fresnel-Beugung an einer undurchsichtigen Kreisscheibe. Das Beugungsbild weist im Zentrum den Poissonschen Fleck auf

die z.B. durch eine Variation der Plattenddicke realisiert werden, bewirken bei einer Phasenverschiebung um π die geforderte Vorzeichenumkehr. Abbildung 18.8 zeigt eine Zeichnung mit N = 16 abwechselnd durchl¨assigen und undurchl¨assigen Fresnelzonen. Wird hiervon eine verkleinerte Kopie (Negativ oder Positiv) angefertigt, so erh¨ alt man eine Zonenplatte mit bin¨arer Amplitudenstruktur. Der Zour eine ebene einfallende Welle nach Abb. 18.9 nenradius Rn der n-ten Zone kann f¨ berechnet werden: 2 2 λ n2 λ λ 2 2 2 − r0 = r0 n + Rn = r0 + n 2 r0 4 r0 Hierbei kann der zweite Term der rechten Formel wegen der Annahme λ/r0 1 ur r0 = 30 cm und λ = 600 nm) vernachl¨assigt werden und wir (λ/r0 = 2 · 10−6 f¨ erhalten f¨ ur die √ Zonenradien Rn ≈ nλr0 = nR1 mit n = 1, 2, . . . N (18.15) √ und mit R1 = λr0 , dem Radius der ersten Zone. Dieser legt auch den Abstand ur den die Anordnung als Zonenplatte (Sammellinse) r0 des Punktes P fest, f¨ arbeitet.

18.4 Fresnelsche Zonenplatte

531

Abb. 18.8. Fresnelsche Zonenplatte

Abb. 18.9. Geometrie zur Berechnung der Radien Rn der Zonenplatte f¨ ur eine ebene einfallende Welle und einen Aufpunkt im Abstand r0

Abb. 18.10. Kombination von Linse und Phasen-Zonenplatte zur Beseitigung des Farbfehlers

532

18 Fresnel-Beugung

In Abb. 18.8 sind die erste, dritte, f¨ unfte . . . Zone transparent und wir erhalten durch konstruktive Interferenz von 8 Zonen: A16 = a1 + a3 + . . . + a15 ≈ 8a1 . Hierbei wurde der Richtungsfaktor gleich 1 gesetzt. Wir erhalten also – bei nur 16 Zonen – gegen¨ uber einer sich frei ausbreitenden Welle (mit A∞ ≈ a1 /2) die 16-fache Amplitude und 256-fache (= 162 ) Intensit¨at. Ist, wie in Beispiel 1, der Aufpunkt P im Abstand 30 cm, so hat die Zonenplatte bei λ = 632,8 nm den Radius R16 = 1,74 mm. Die Zonenplatte arbeitet somit als Linse mit dem Brennur die aus (18.15) folgt: punkt P und der Brennweite f1 = r0 , f¨ R12 R2 = N (18.16) λ Nλ Im Gegensatz zu einer gew¨ ohnlichen Linse treten bei der bin¨aren Zonenplatte weitere Brennpunkte auf. R¨ uckt n¨ amlich der Aufpunkt P (s. Abb. 18.9) n¨aher ur festen an die Zonenplatte heran, so nimmt der Gangunterschied ∆ = rn − r0 f¨ arker geneigt verlaufen. Dies folgt auch Zonenradius Rn zu, da die Teilstrahlen st¨ aus (18.15), wonach bei konstantem Rn die Zonenzahl n und damit der jeweilige ur den Abstand r0 = f1 /2 Gangunterschied zunimmt, wenn r0 reduziert wird. F¨ wird die Zonenzahl verdoppelt, und jede der urspr¨ unglichen Zonen zerf¨allt nun in 2 Zonen mit jeweils λ/2 Gangunterschied, so dass die Beitr¨age aller Zonen destruktiv interferieren. Bei r0 = f1 /3 ergibt sich dann die dreifache Zonenzahl, die urspr¨ unglichen Zonen zerfallen in drei Unterzonen, wovon nur jeweils 2 destruktiv interferieren, so dass bei f1 /3 ein weiterer Brennpunkt auftritt. Entsprechend unf Unterzonen, von denen wieder nur eine Zone beitr¨agt. hat man bei r0 = f1 /5 f¨ Eine bin¨ are Zonenplatte mit dem Radius RN hat demnach die f1 =

Brennweiten

= fm

2 RN f1 = (2m − 1)N λ 2m − 1

mit

m = 1, 2, 3 . . .

(18.17)

und mit f1 nach (18.16). Die Platte weist zus¨atzlich Bildbrennpunkte bei −fm auf, sie wirkt zus¨ atzlich als Zerstreuungslinse. Außerdem tritt noch das unge = ∞ auf. Gegen¨ uber der normalen“ Linse der beugte Licht entsprechend f1/2 ” refraktiven Optik hat die bin¨ are Amplituden-Zonenplatte der diﬀraktiven Optik den Vorteil, dass sie auch dann verwendbar ist, wenn – wie z.B. im R¨ontgengebiet – kaum Brechung auftritt und keine refraktiven Bauelemente verf¨ ugbar sind. Sie hat den Nachteil, dass sie einen großen Farbfehler (fm ∼ 1/λ) und mehrere Brennpunkte aufweist. Hierdurch tritt ein zus¨atzlicher Strahlungsuntergrund auf. Bekanntlich werden bei normaler Dispersion lange Wellen weniger stark gebrochen als kurze, w¨ ahrend bei der Beugung die umgekehrte Abh¨angigkeit auftritt. Durch die Verbindung von refraktiver und diﬀraktiver Optik kann man mithin den Farbfehler einer Linse beseitigen (s. Abb. 18.10). Die klassische“ Zonenplatte moduliert die transmittierte Amplitude nach Art ” eines Rechteckgitters und verzettelt“ die Lichtenergie auf viele Brennpunkte. Bei ” Sinusmodulation treten nur noch 2 Bildbrennpunkte (bei ±f1 ) auf. Wesentlich

18.5 Fresnel-Beugung an Rechteckaperturen

533

vorteilhafter sind Phasenplatten, da in ihnen kein Lichtverlust durch Extinktion auftritt. Man kann zeigen, dass – wie bei einer konventionellen Sammellinse – nur noch ein Brennpunkt auftritt, falls in den einzelnen Zonen – z.B. durch Dickenvariation – die Phasenverschiebung vom inneren zum ¨außeren Zonenrand quadratisch von 2π auf 0 abnimmt. Beispiel 18.1 Zonenplatte F¨ ur paralleles Licht der Wellenl¨ ange λ = 632,8 nm soll eine Zonenplatte mit f1 = 30 cm Brennweite entworfen werden. Berechnen Sie die Radien der 3 ersten Fresnel-Zonen und die Zahl der Zonen in einer Apertur mit dem Radius 100 · R1 . Wo liegen weitere Brennpunkte? L¨ osung √ Es gilt√f1 = r0 und damit nach (18.15): R1 = λr0 = 436 µm; da Rn = nR1 , ist dann R2 = 616 µm und R3 = 755 µm. Weiterhin ist 2 , so dass f¨ ur RN = 100 · R1 = 4,36 cm insgesamt N = 104 N ∼ RN Fresnel-Zonen auftreten. Weitere Brennpunkte liegen bei f2 = f1 /3 = 10 cm, f3 = 6 cm usw.

18.5 Fresnel-Beugung an Rechteckaperturen Die Beugung an geraden Kanten, Rechteckspalten und Dr¨ahten l¨asst sich durch eine andere N¨ aherung der Kirchhoﬀ-Gleichung (18.4) behandeln. Um der Symmetrie des Objektes angepasste Wellen zu bekommen, verwenden wir in Abb. 18.1 als Lichtquelle einen√schmalen Spalt S, von dem Zylinderwellen ausgehen, deren Amplituden mit 1/ r abnehmen. Fresnel hat eine quantitative L¨osung dieses Beugungsproblems erarbeitet. F¨ ur die qualitative Untersuchung wird man hier Fresnelzonen verwenden, die aus Rechteckstreifen entlang der zylindrischen Wellenfront bestehen (s. Abb. 18.11). Wir wollen nun zeigen, dass die Summe der Amplitudenzeiger, die diesen Zonen zugeordnet sind, auf einer Kurve liegt, die man als Cornu-Spirale bezeichnet. Die mittlere Phasendiﬀerenz aufeinanderfolgender Zonen ist auch hier gleich π. In Abb. 18.11 b sind die Zonenstreifen oberund unterhalb der z-Achse gezeigt. Ihre Fl¨ache nimmt – im Gegensatz zu den Zonenringen – mit wachsendem N deutlich ab, so dass die L¨ange der Einzelzeiger entsprechend k¨ urzer wird. Wir teilen die Zonen wieder in Subzonen auf (in Abb. 18.12 sind es 8), dann ist der Zeiger 8 am oberen Ende der ersten Zone gegen¨ uber dem der einfallenden Welle um π gedreht und endet bei T . Man sieht, dass der Zeiger A1 = a1 , der der ersten Zone zugeordnet ist, aufgrund der Abnahme der Zeigerl¨ ange weniger stark als bei der Kreisbeugung gedreht wird (dort ergab sich eine Drehung um π/2, s. Abb. 18.5 b). Nach Summation u ¨ber

534

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.11. Fresnelsche Halbwellen-Zonenstreifen auf der zylindrischen Wellenfront einer von dem Spalt S ausgehenden Welle. a) in Seitenansicht und b) von P aus betrachtet. (Der Spalt steht senkrecht auf der Zeichenebene.)

Abb. 18.12. Zeigerdiagramm f¨ ur die beiden ersten Halbwellen-Zonenstreifen, die in jeweils 8 kleinere Unterzonen gleicher Phasenschrittweite unterteilt sind

18.6 Die Cornu-Spirale

535

die 2. Zone hat sich die Phase des Zeigers 16 um 2π ge¨andert und man erreicht den Punkt B mit dem Zeiger A2 = a1 + a2 . Bei Fortsetzung des Prozesses und feinerer Unterteilung der Zonen erh¨ alt man eine glatte Kurve, die in E, dem Enucksichtigt de oder Auge“ der Spirale, endet. Der Zeiger AE von O nach E ber¨ ” dann den Beitrag aller oberhalb der z-Achse gelegenen Zonen. Die Beitr¨age der Zonen unterhalb der Achse lassen sich durch eine an O punktgespiegelte Spirale ber¨ ucksichtigen; hierdurch erh¨ alt man die vollst¨andige Cornu-Spirale. Falls die Koordinaten aller Punkte der Kurve bekannt sind (s. Kap. 18.6), kann man hieraus die Beugungsamplituden ablesen, die aus dem Beitrag einer beliebigen Zahl von Zonen resultieren, und die relativen Beugungsintensit¨aten ermitteln.

18.6 Die Cornu-Spirale Wir untersuchen die Beugung einer Zylinderwelle an einer Rechteckapertur (s. Abb. 18.13) nunmehr quantitativ mit Hilfe des Beugungsintegrals (18.4). Wir vernachl¨ assigen den Einﬂuss des Richtungsfaktors und des Produktes rr im Nenner und erhalten damit f¨ ur die Beugungsamplitude: ˆ e−jk(r+r ) dA (18.18) EP = C Ap

Entsprechend unserer Herleitung des Beugungsintegrals ist hierbei die Integration u ummte Wellenfront ¨ ber eine – von dem Quellpunkt Q ausgehende – gekr¨ in der Apertur zu erstrecken. In der Fresnel-N¨aherung f¨ uhrt aber die Integration u ¨ ber die ebene Apertur (in der x-y-Ebene) zu demselben Ergebnis. Wir setzen voraus, dass die Aperturbreite b2 in y-Richtung groß gegen die Breite b in x-Richtung ist, so dass Beugungseﬀekte in y-Richtung zu vernachl¨assigen sind. Damit wird das Beugungsbild, das auf dem im Abstand z = q in der X-Y -Ebene beﬁndlichen Schirm registriert wird, von Y unabh¨angig. Wir beschr¨anken deshalb die Auswertung auf die durch die x- bzw. X-Richtung und die optische z-Achse festgelegte Ebene (s. Abb. 18.13 b). Wir erhalten hiernach f¨ ur die Abst¨ande r2 = x2 + p2

und r2 = (X − x)2 + q 2 √ da x p gelten soll, folgt hieraus bei Verwendung von a2 + z 2 ≈ a + D = p + q: r + r ≈ p + q +

x2 (x − X)2 x2 (x − X)2 + =D+ + 2p 2q 2p 2q

1 z2 2 a

und

(18.19)

Wir betrachten zun¨ achst den Spezialfall X = 0, berechnen also die Beugungsamplitude auf der optischen Achse. Dann wird (18.19)

536

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.13. a) Beugung von Zylinderwellen, die von einem Punkt Q des Spaltes S ausgehen, an einer Rechteckapertur Ap mit Spalt“breite b in x-Richtung. b) Seitenansicht ” (x-z-Ebene) von Abb. a

r + r = D +

x2 2d

(18.20)

mit den Abst¨anden (s. Abb. 18.13 b): Abst¨ande

D =p+q

und

1 1 1 ≡ + d p q

(18.21)

18.6 Die Cornu-Spirale

537

Einsetzen von (18.20) in (18.18) ergibt dann mit dem (in Abb. 18.13 a gestrichelten) Fl¨ achenelement dA = b2 dx: xmax 2 −jkD −jkx2 /2d −jkD ˆ e dA = C b2 e e−jkx /2d dx (18.22) EP = C e Ap

xmin 2

2

x Im Exponent f¨ uhren wir u ≡ π2 v2 eine dimensions¨ ber die Beziehung k x2d = π λd lose Aperturkoordinate v ein: 2 v=x (18.23) λd Hieraus folgt dx = λd 2 dv und damit die Beugungsamplitude:

ˆ vmax 2 E u ˆ =√ e−jπv /2 dv E P 2 vmin

(18.24)

ˆ zusammengefasst, die – wie unDabei wurden alle Konstanten zur Amplitude E u ten gezeigt – gleich der ungest¨ orten Amplitude ist, die am Ort P ohne beugendes Hindernis registriert w¨ urde. Das in (18.24) auftretende Integral ist oﬀenbar in der Fresnelschen Beugungstheorie von zentraler Bedeutung, es l¨ asst sich nicht geschlossen berechnen, jedoch durch spezielle Funktionen ausdr¨ ucken. Man kann es auf das komplexe Gaußsche Fehlerintegral erf(z) zur¨ uckf¨ uhren

v √ 1+j jπ 1−j 1−j −jπv 2 /2 e dv = π erf v = erf v (18.25) 2 2 2 2 0 mit 2 erf(z) = √ π

z

e−z dz 2

0

In der Optik verwendet man stattdessen meist die Beschreibung mit Hilfe der Fresnel-Integrale: Nach Anwendung der Eulerschen Formel auf (18.24) wird

v

e

−jπv 2 /2

dv =

0

v

cos 0

π 2

v

2

v

dv − j

sin 0

π 2

v2 dv ≡ C(v) − j S(v) (18.26)

wobei C(v) und S(v) als Fresnel-Integrale

C(v)

=

S(v)

=

v

cos π v2 0v π2 2 sin 2 v 0

dv = −C(−v) dv = −S(−v)

(18.27)

538

18 Fresnel-Beugung

bezeichnet werden. Mit Hilfe dieser Integrale und (18.24) k¨onnen wir die Beugungsamplitude (auf der optischen Achse) berechnen: ˆ vmax 2 E ˆ e−jπv /2 dv E P = √u 2 vmin ˆ E = √u {C(vmax ) − jS(vmax ) − [C(vmin ) − jS(vmin )]} 2

(18.28)

Zur Veranschaulichung der Fresnel-Integrale verwendet man einen Graph in der komplexen Ebene, die Cornu-Spirale (Abb. 18.14); die Fresnel-Integrale C(v) und −S(v) sind die reellen und imagin¨ aren Koordinaten, die Aperturkoordinate v der Kurvenparameter. Wegen (18.23) (v ∼ x) und (18.26) ist dann im oberen Bereich der Spirale die L¨ ange des Zeigers Z o vom Punkt v = 0 nach vmax proportional zu dem Beitrag zur Beugungsamplitude im Punkt P , der von allen zwischen x = 0 uhrt. Entsprechend und xmax = b/2 vom Spalt ausgehenden Elementarwellen herr¨ beschreibt der untere Zeiger Z u den Beitrag der Punkte bei xmin < x < 0. Die Endpunkte oder Augen der Spirale entsprechen xmax = ∞ und xmin = −∞, also einer sich frei – ohne beugende Apertur – ausbreitenden Welle. ˆ ist nach (18.28) und Abb. 18.14 proportional zur Die Beugungsamplitude E P L¨ ange der Verbindungslinie der zwei Punkte auf der Cornu-Spirale, die den auf den Beobachtungsort bezogenen Randpunkten der Apertur zugeordnet sind. Das L¨ angenelement dl einer beliebigen Kurve ist gegeben durch dl2 = dx2 + dy 2 . Anwendung auf die Cornu-Spirale (18.26) ergibt π π dl2 = (dC)2 + (dS)2 = cos2 v2 + sin2 v2 dv2 = dv2 2 2 also dl = dv

(18.29)

d.h. die Bogenl¨ ange l der Spirale ist gleich der Aperturkoordinate v.

18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale Mit Hilfe der Cornu-Spirale k¨ onnen wir graﬁsch N¨aherungswerte des KirchhoﬀFresnel-Integrals ermitteln. Genaue Werte erh¨alt man aus Tabelle 1 oder durch numerische Berechnung mittels entsprechender Software. Wir untersuchen einige spezielle Anwendungen:

18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale Tabelle 18.1. Fresnel-Integrale C(v) und S(v) v

C(v)

S(v)

v

C(v)

S(v)

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40

0,0000 0,1000 0,1999 0,2994 0,3975 0,4923 0,5811 0,6597 0,7230 0,7648 0,7799 0,7638 0,7154 0,6386 0,5431 0,4453 0,3655 0,3238 0,3336 0,3944 0,4882 0,5815 0,6363 0,6266 0,5550 0,4574 0,3890 0,3925 0,4675 0,5624 0,6058 0,5616 0,4664 0,4058 0,4385 0,5326 0,5880 0,5420 0,4481 0,4223 0,4984 0,5738 0,5418 0,4494 0,4383

0,0000 0,0005 0,0042 0,0141 0,0334 0,0647 0,1105 0,1721 0,2493 0,3398 0,4383 0,5365 0,6234 0,6863 0,7135 0,6975 0,6389 0,5492 0,4508 0,3734 0,3434 0,3743 0,4557 0,5531 0,6197 0,6192 0,5500 0,4529 0,3915 0,4101 0,4963 0,5818 0,5933 0,5192 0,4296 0,4152 0,4923 0,5750 0,5656 0,4752 0,4204 0,4758 0,5633 0,5540 0,4622

4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 5,05 5,10 5,15 5,20 5,25 5,30 5,35 5,40 5,45 5,50 5,55 5,60 5,65 5,70 5,75 5,80 5,85 5,90 5,95 6,00 6,05 6,10 6,15 6,20 6,25 6,30 6,35 6,40 6,45 6,50 6,55 6,60 6,65 6,70 6,75 6,80 6,85 6,90 6,95

0,5261 0,5673 0,4914 0,4338 0,5002 0,5637 0,5450 0,4998 0,4553 0,4389 0,4610 0,5078 0,5490 0,5573 0,5269 0,4784 0,4456 0,4517 0,4926 0,5385 0,5551 0,5298 0,4819 0,4486 0,4566 0,4995 0,5424 0,5495 0,5146 0,4676 0,4493 0,4760 0,5240 0,5496 0,5292 0,4816 0,4520 0,4690 0,5161 0,5467 0,5302 0,4831 0,4539 0,4732 0,5207

0,4342 0,5162 0,5672 0,4968 0,4350 0,4992 0,5442 0,5624 0,5427 0,4969 0,4536 0,4405 0,4662 0,5140 0,5519 0,5537 0,5181 0,4700 0,4441 0,4595 0,5049 0,5461 0,5513 0,5163 0,4688 0,4470 0,4689 0,5165 0,5496 0,5398 0,4954 0,4555 0,4560 0,4965 0,5398 0,5454 0,5078 0,4631 0,4549 0,4915 0,5362 0,5436 0,5060 0,4624 0,4591

539

540

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.14. Cornu-Spirale. Die vom Nullpunkt aus gemessene Bogenl¨ ange ist gleich der reduzierten Aperturkoordinate v (s. (18.23))

Ungest¨ orte Wellenfront ˆ ist gleich der Hier reicht die Apertur von −∞ bis +∞2 und die Amplitude E P ˆ der ungest¨ orten Welle. Ihr Betrag ist proportional zur L¨ange des Amplitude E u Verbindungszeigers der Endpunkte E und E (s. Abb. 18.15). Deren Koordinaten liegen wegen3 ∞ ∞ π π 2 1 2 cos sin v dv = v dv = (18.30) 2 2 2 0 0 bei (−0,5, −0,5) und (0,5, ange der Verbindungsgeraden zwischen die√ 0,5). Die L¨ sen Punkten ist gleich 2 und gleich dem Betrag des { }-Ausdrucks von (18.28). 2

3

Damit wird die Fresnel-N¨ aherung xmax d verletzt, die Rechnung ist trotzdem gerechtfertigt, da der Beitrag der sehr weit außen liegenden Fresnel-Zonen mit wachsendem x stark abnimmt. ∞ Es gilt: 0 cos x2 dx = 12 π2 .

18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale

541

Abb. √ 18.15. Zeigerdiagramm der ungest¨ orten Welle: der Amplitudenzeiger hat die L¨ ange 2

Wir erhalten also aus (18.28): EˆP = Eˆu und haben damit die in (18.24) vorgenommene Wahl der Konstanten best¨ atigt. Beugung an der Kante Zur genaueren Diskussion der Beugung m¨ ussen wir auch Aufpunkte P außerhalb der optischen Achse – also in (18.19) den Fall X = 0 – untersuchen. Um den Exponenten des Beugungsintegrals auf die quadratische Form (18.22) zu bringen, schreiben wir (18.19) um: r + r = D +

x2 (x − X)2 (x − x0 )2 q x20 + =D+ + 2p 2q 2d p 2d

(18.31)

Die Abst¨ ande sind durch Abb. 18.13 b und (18.21) deﬁniert; zus¨atzlich wurde u ¨ ber die Beziehung Zonenzentrum bei

x0 =

p X p+q

(18.32)

die Schirmkoordinate X des Beobachtungspunktes mit der Aperturkoordinate x0 des Durchstoßpunktes DP (s. Abb. 18.13 b) verkn¨ upft.

542

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.16. a) Geometrie zur Beugung an einer Kante. b) Verwendung der CornuSpirale zur Analyse der Beugung an einer Kante. c) Intensit¨ atsverlauf bei der Beugung. d) Beugungsbild

18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale

543

Durch Einsetzen veriﬁziert man leicht die G¨ ultigkeit von (18.31). Beachtet man x2 weiterhin, dass die x-unabh¨ angigen Terme D und 2d0 pq von (18.31) lediglich zu uhren, so erh¨alt man einem f¨ ur die Intensit¨ at IP bedeutungslosen Phasenfaktor f¨ aus (18.18) anstelle von (18.22) xmax 2 ˆ = C e−jk(x−x0 ) /2d dx E P xmin

und hieraus mit der verallgemeinerten Aperturkoordinate 2 v= (x − x0 ) λd die Beugungsamplitude ˆ vmax 2 E ˆ {C(vmax ) − C(vmin ) − j [S(vmax ) − S(vmin )]} ˆ e−jπv /2 dv = E E P = √u P 2 vmin (18.33) ∗ ˆ ˆ E ∼ E die und u ber I ¨ P P P Beugungsintensit¨at & ' Iu 2 2 IP = [C(vmax ) − C(vmin )] + [S(vmax ) − S(vmin )] 2

(18.34)

mit der ungest¨ orten Intensit¨ at Iu und den Integrationsgrenzen 2 (18.35) vmax/min = (xmax/min − x0 ) λd Hierbei legt xmax,min die obere und untere Berandung der Apertur fest, d ist durch die Aperturabst¨ ande der Lichtquelle und des Beobachtungsschirms bestimmt (s. (18.21)) und x0 ist durch (18.32) deﬁniert. Die obige etwas umst¨andliche Berechnung wollen wir nun anschaulich interpretieren. Zun¨achst untersuchen wir die Bedeutung von x0 : Nach Abb. 18.13 b und dem Strahlensatz ist x0 gerade der Durchstoßpunkt DP der Verbindungsgeraden von Q und P durch die Beugungsapertur. Durch die Einf¨ uhrung dieses Punktes haben wir erreicht, dass die aus (18.31) ersichtliche Koordinate X des Aufpunktes P nicht mehr im Integranden uckt und des Beugungsintegrals auftritt, sondern statt dessen durch x0 ausgedr¨ in die Integrationsgrenzen (18.35) transformiert wird und damit durch Punkte auf der Cornu-Spirale beschrieben werden kann. Da das Zentrum (N = 0) der Zonenstreifen immer im Durchstoßpunkt bei x0 liegt, verschieben sich mit dem Aufpunkt bei X nicht nur der Durchstoßpunkt, sondern auch das Zonenmuster auf der x-Achse und der Punkt v0 auf der Cornu-Spirale, von dem aus die Zeiger ur v0 = 0) gez¨ ahlt werden Z o und Z u (s. Abb. 18.14 f¨

544

18 Fresnel-Beugung

Wir wenden nun diese Ergebnisse auf die Beugung an der Kante an. Liegt der Beobachtungspunkt P (s. Abb. 18.16 a) auf der optischen Achse, so ist x0 = 0 sowie vmin = xmin = 0 und vmax = xmax = ∞, d.h. es tr¨agt der obere Bereich der Cornu-Spirale ensprechend aller oberhalb der z-Achse gelegenen Fresnel-Zonen zum Beugungsintegral bei. Der resultierende Zeiger 0E (Abb. 18.16 b) hat die √ ˆ /2 und die BeugungsL¨ ange 1/ 2, die Amplitude wird nach (18.33) gleich E u intensit¨ at 1 (18.36) Iu 4 Diese Intensit¨ at ist in Abb. 18.16 c mit P bezeichnet. F¨ ur einen Punkt P unterhalb der optischen Achse liegt der Durchstoßpunkt bei O , d.h. es gilt IP (X = 0) =

2 , also positiv und ist x0 = OO < 0; dann wird (s. (18.35)) vmin = +x0 λd somit auf der Cornu-Spirale nach oben (nach B) verschoben. Der Zeiger BE ist verk¨ urzt, die Intensit¨ at nimmt ab. Anschaulich bedeutet dies, dass die am Durchstoßpunkt gelegenen Zonen niedriger Ordnung, die am st¨arksten zur Intensit¨at beitragen, ausgeblendet sind. Nur die Zonen oberhalb vmin mit der Zeigerl¨ange BE tragen noch zur Intensit¨ at bei. R¨ uckt P weiter nach negativen X-Werten, so rutscht B auf der Cornu-Spirale n¨ aher an E heran und die Intensit¨at nimmt monoton ab. Im umgekehrten Fall ist x0 > 0 und damit vmin < 0, der Punkt D rutscht nach unten und der Zeiger weist vom Punkt D auf der unteren CornuSpirale nach E. Hierbei oszilliert die Zeigerl¨ange und man beobachtet Beugungsˆ w¨ urde die erste Zone, die in P nur zur maxima und -minima. Im Punkt P (=G) H¨ alfte beitr¨ agt, vollst¨ andig erfasst, w¨ ahrend der untere Teil der folgenden Zone unterdr¨ uckt ist, wir beobachten ein deutliches Maximum.

Beispiel 18.2 Beugung an der Kante Berechnen Sie die Beugungsintensit¨ at am 1. Maximum P (s. Abb. 18.16 c) oberhalb der geometrischen Schattengrenze. L¨ osung Am 1. Maximum liegt der Beginn des Zeigers am Extrempunkt G, der von E am weitesten entfernt ist. Aus Abb. 18.16 b lesen wir an dieser Stelle den Wert v ≈ 1,2 ab. Dann folgt aus Tabelle 18.1: C(−1,2) = −0,715 und S(−1,2) = −0,623, w¨ ahrend bei E gilt: C(∞) = S(∞) = 0,5. Die L¨ange des Zeigers GE ist dann √ (−0,715 − 0,5)2 + (−0,623 − 0,5)2 = 1,65 = 2EˆP /Eˆu , und die Intensit¨at wird IP = (1,65)2 · Iu /2 = 1,37 Iu . Die Intensit¨at am 1. Maximum ist also das 1,37-fache der ungest¨ orten Welle. Analog ﬁndet man am 1. Minimum die Zeigerl¨ange HE entsprechend IP = ur v → ∞ n¨ ahert sich IP der Intensit¨at Iu , dem Wert f¨ ur die ungest¨orte 0,78Iu . F¨ Wellenfront.

18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale

545

Einzelspalt Ist die beugende Apertur ein Einzelspalt wie in Abb. 18.17 a, so ist xmax −xmin = b

2 b. Der Wert und die Breite des Integrationsintervalls: ∆v = vmax − vmin = λd ˆ von E P ist nach (18.33) und (18.35) außer von der Breite ∆v des Intervalls – und somit der Spaltbreite – auch noch von der Koordinate x0 des Durchstoßpunktes und damit von der X-Koordinate des Beobachtungspunktes abh¨angig. x0 ist u ¨ber v0 ein Punkt der Cornu-Spirale zugeordnet. v spielt die Rolle einer universellen dimensionslosen Variablen, so dass eine einzige Cornu-Spirale f¨ ur verschiedene Kombinationen von p, q und λ verwendet werden kann. Ist p = q = 20 cm und λ = 500 nm, so gilt bei einer Spaltbreite von b = 100 mm: ∆v = 0,632. Um die ˆP in verschiedenen Punkten P der Beobachtungsebene berechnen zu Amplitude E k¨onnen, m¨ ussen wir außerdem den zu P geh¨ origen Kurvenparameter v0 ermitteln. Um v0 als Zentrum wird dann auf der Spirale ein Kurvenst¨ uck der L¨ange ∆v

Abb. 18.17. Fresnel-Beugung a) am Einzelspalt und b) Berechnung der Beugungsamplitude mit Hilfe der Cornu-Spirale

abgetragen, die L¨ ange AB des Verbindungszeigers zwischen den Endpunkten ˆ . F¨ ur v0 = 0 verl¨auft die Cornu-Spirale dieses Kurvenst¨ ucks ist proportional zu E P ann¨ ahernd waagrecht und gerade, so dass der Abstand F G und Kurvenl¨ange ∆v ˆ ∼ ∆v gilt. Wie bei der Kante erkl¨art, ann¨ ahernd u ¨bereinstimmen und damit E P entspricht ein nach oben rutschender Punkt P bzw. O einer Bewegung von v0 auf der unteren Spirale und umgekehrt, so dass eine symmetrische Beugungsﬁgur

546

18 Fresnel-Beugung

auftritt mit einer oszillierenden aber (außer f¨ ur |X| → ∞) nie verschwindenden Intensit¨ at. Beispiel 18.3 Spaltbeugung Die Beugung an einem Spalt der Breite b = 1 mm wird mit Licht der Wellenl¨ ange λ = 500 nm untersucht. Die Linienquelle liegt 20 cm, der Beobachtungsschirm 30 cm vom Spalt entfernt. Welche Beugungsintensit¨at wird auf dem Schirm 1 mm oberhalb der optischen Achse beobachtet? L¨ osung Mit X = 1 mm, p = 20 und q = 30 cm wird die L¨ange d = pq/(p + q) = 12 cm 2 x0 = 2,31. Mit und x0 = pX/(p + q) = 0,4 mm. Dem entspricht v0 = λd 2 xmax = b/2 = 0,5 mm wird dann vmax = λd xmax − v0 = 0,577, wegen = −5,197. Das reduzierte xmin = −0,5 mm ist dann vmin 2 ˆ mit b = vmax − vmin = 5,774. Um E Integrationsintervall ist ∆v = λd

P

Hilfe von (18.33) zu berechnen, k¨ onnten wir Tabelle 18.1 verwenden und interpolieren. Die genaue Berechnung ergibt f¨ ur vmax = 0,577: C(0,577) = 0,561; S(0,577) = 0,099 und f¨ ur vmin = −5,197: C(−5,197) = −0,439; S(−5,197) = −0,50. Hieraus folgt ˆ EP ∼ (Cmax − Cmin )2 + (Smax − Smin )2 = 1,166 und die Intenst¨at IP = 1,1662 · Iu /2 = 0,68 Iu .

Draht Ersetzt man in Abb. 18.17 a den Spalt der Breite b durch ein d¨ unnes lichtundurchl¨ assiges Hindernis, wie z.B. einen Draht, vom gleichen Durchmesser b, so erh¨ alt man eine genaue Umkehrung der jeweils durchgelassenen und ausgeblendeten Zonen der Wellenfront. Dann m¨ ussen alle Bereiche der Cornu-Spirale mit Ausnahme eines Bereiches der Breite ∆v zur Beugung beitragen, und man erh¨ alt f¨ ur den Punkt P auf der optischen Achse die Summe von zwei Amplituden GE und E F (s. Abb. 18.18 b). Jetzt verschiebt sich mit dem Aufpunkt P das ausgeblendete Intervall ∆v entlang der Spirale. Abbildung 18.19 zeigt das experimentelle Ergebnis f¨ ur einen d¨ unnen Draht und Abb. 18.20 das f¨ ur ein komplizierteres Objekt, eine Schraube.

18.8 Babinetsches Prinzip Aperturen, bei denen durchl¨ assige und undurchl¨assige Bereiche vertauscht sind, ¨ bezeichnet man als komplement¨ar. Nach dem Uberlagerungsprinzip muss an ei-

18.8 Babinetsches Prinzip

547

Abb. 18.18. Fresnel-Beugung a) an einem Draht und b) Berechnung der Amplitude mit der Cornu-Spirale

Abb. 18.19. Beugungsbild bei Beugung an einem d¨ unnen Draht

548

18 Fresnel-Beugung

Abb. 18.20. Fresnel-Schatten“ bei Beugung an einer Schraube ”

nem beliebigen Punkt die Summe der von einer Apertur A und der komple¨ ment¨ aren Oﬀnung B registrierten Amplituden gleich der der ungest¨orten Wellenfront sein, also: ˆ =E ˆ Eˆ A + E B u

(18.37)

Dann w¨ urde z.B. f¨ ur die Zeiger in Abb. 18.18 b gelten: E F + F G + GE = EE . Hierbei ist E F +GE die Amplitude aufgrund der Beugung am Draht, F G diejenige durch Beugung am Spalt und EE die ungest¨orte Amplitude. Ein interessanter ˆ = −Eˆ und mithin ˆu = 0, dann ist nach (18.37) E Spezialfall ergibt sich f¨ ur E A B hat man gleiche Intensit¨ aten IA = IB . Der Fall Eˆu = 0 tritt im Allgemeinen nicht bei der Fresnel-Beugung auf, wohl aber bei der Fraunhofer-Beugung, wenn man außerhalb des Airy-Scheibchens der Fourier-Linse beobachtet. Dann ﬁndet man also f¨ ur komplement¨ are Beugungsobjekte außerhalb des zentralen Bildes wirklich identische Beugungsbilder; dies erinnert auch an die Beobachtung, dass Hologramm-Negative und -Positive dasselbe Hologrammbild liefern. Babinetsches Prinzip: Bei Fraunhofer-Beugung ergeben komplement¨are Objekte dasselbe Beugungsbild.

¨ Ubungen 18.1 Eine 1 mm Lochblende wird mit ebenen Wellen der Wellenl¨ ange 540 nm beleuchtet. Pr¨ ufen Sie, ob Nah- oder Fernfeldbeugung vorliegt, wenn der Detektor 50 cm, 1 m und 5 m von der Apertur entfernt ist.

18.8 Babinetsches Prinzip

549

18.2 Eine kreisrunde Lochblende wird senkrecht von einer ebenen Welle der Wellenl¨ ange 550 nm bestrahlt. Entlang der optischen Achse wird ein kleiner Fotodetektor auf die Lochblende zubewegt. Geben Sie die Lage der drei ersten Beugungsmaxima und -minima an. 18.3 Eine weit entfernte Natriumlichtquelle (λ = 589,3 nm) beleuchtet eine kreisf¨ ormige Lochblende. Bei Vergr¨ oßerung des Blendendurchmessers beobachtet man in einem Punkt auf der optischen Achse, der 1,5 m von der Apertur entfernt ist, nacheinander Maxima und Minima. Bei welchen Blendendurchmessern treten die ersten zwei Maxima bzw. Minima auf? 18.4 Ebene monochromatische Lichtwellen (λ = 600 nm) treﬀen auf verschiedene Aperturen. Der Detektor beﬁndet sich auf der optischen Achse in 20 cm Entfernung von der Aperturebene. a) Wie groß ist R1 , der Radius der ersten – auf den Detektor bezogenen – Fresnelschen Zone? b) Wieviele Fresnel-Zonen enth¨ alt eine Lochblende von 1 cm Radius, deren Zentrum auf der optischen Achse liegt? c) Die Apertur sei eine Zonenplatte mit dem in Aufgabe a) berechneten Radius R1 der 1. Zone, bei der jede zweite Zone abgeblendet ist. Bestimmen Sie die Brennweiten f1 bis f5 der Zonenplatte. 18.5 Die durch (18.15) gegebenen Radien der Zonenplatte wurden unter der Voraussetzung hergeleitet, dass ebene Wellen einfallen. Zeigen Sie, dass bei Einfall von Kugelwellen, die von einer Punktquelle im Abstand p von der Apertur ausgehen, f¨ ur die Zonenradien gilt √ Rn = nλd wobei 1/d = 1/p + 1/q (s. (18.21)) und q der Abstand der Apertur vom Beobachtungspunkt ist. ¨ 18.6 L¨ osen Sie die Teilaufgaben a) und b) der Ubung 18.4, wenn das Licht aus einer Punktquelle in 10 cm Abstand von der Apertur kommt. Ber¨ ucksichtigen Sie die ¨ Ergebnisse von Ubung 18.5. 18.7 Eine monochromatische Punktlichtquelle (λ = 500 nm) ist 50 cm von der beugenden ¨ Oﬀnung entfernt. Die Detektorebene liegt ebenfalls in 50 cm Abstand. a) Der durchl¨ assige Teil der Aperturebene ist ein Kreisring mit dem inneren Radius 0,5 mm und dem a ¨ußeren Radius 0,935 mm. Wie groß ist die auf die ungest¨ orte Welle normierte Intensit¨ at am Detektor? Verwenden Sie die Ergebnisse ¨ aus Ubung 18.5. b) Beantworten Sie dieselbe Frage f¨ ur den Fall, dass der ¨ außere Radius 1 mm betr¨ agt. c) Wie viele Halbwellenzonen sind jeweils in dem Kreisring enthalten? 18.8 Um welchen Prozentsatz unterscheiden sich die Fl¨ achen der ersten und 25. FresnelZone, wenn Quelle und Detektor jeweils 50 cm von der Beugungsebene entfernt sind und die Wellenl¨ ange 500 nm betr¨ agt? 18.9 F¨ ur He-Ne-Laserlicht (λ = 632,8 nm) soll eine Zonenplatte mit der Brennweite 2 m hergestellt werden. Hierzu wird eine Zeichnung mit 20 abwechselnd durchl¨ assigen und undurchl¨ assigen Zonen angefertigt und anschließend fotograﬁsch verkleinert.

550

18 Fresnel-Beugung a) Welcher Verkleinerungsfaktor muss gew¨ ahlt werden, wenn auf der Zeichnung der Radius der ersten Zone 11,25 cm betr¨ agt? b) Wie groß ist der Radius der letzten Zone auf der Zeichnung?

18.10 Bei einer Zonenplatte ist die innerste Zone lichtundurchl¨ assig. Bestimmen Sie die Durchmesser der drei ersten durchl¨ assigen Zonen so, dass die Platte paralleles Licht der Wellenl¨ ange 550 nm bei 25 cm Brennweite fokussiert. 18.11 Zeigen Sie, dass bei Einfall einer ebenen Wellenfront die Fl¨ achen der Fresnelschen Halbwellenzonen bezogen auf einen Beobachtungspunkt im Abstand x ann¨ ahernd konstant und gleich πλx sind. Beachten Sie, dass λ/x 1. 18.12 Licht der Wellenl¨ ange 485 nm triﬀt senkrecht auf einen Schirm. Wie groß muss ein kreisf¨ ormiges Loch in diesem Schirm sein, damit es – bezogen auf einen Punkt in 2 m Entfernung – 4 Fresnelzonen durchl¨ asst? Welche Bestrahlungsst¨ arke ergibt sich n¨ aherungsweise in diesem Punkt? 18.13 Ein Einzelspalt mit 0,5 mm Breite wird von einem kollimierten Lichtstrahl der Wellenl¨ ange 540 nm getroﬀen. Wie groß ist die Entfernung eines Beobachtungspunktes auf der Achse, wenn dort ∆v = 2,5 gelten soll? 18.14 Auf einer optischen Bank triﬀt das von einem Kollimatorspalt ausgehende violette Quecksilberlicht (λ = 435,8 nm) auf einen Spalt von 0,5 mm Breite, der 30 cm entfernt ist. Das gebeugte Licht wird in 15 cm Abstand vom Schirm registriert. Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke (bezogen auf die ungest¨ orte Welle), wenn sich der Detektor a) auf der Achse und b) an einem Ende des geometrischen Schattens des Beugungsspaltes beﬁndet. 18.15 Ein mit Natriumlicht beleuchteter Kollimatorspalt beﬁndet sich 60 cm links von einer geraden Kante; das Beugungsmuster wird mit Hilfe eines Fotodetektors registriert, der 120 cm rechts von der Kante vertikal verschiebbar angeordnet ist. Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke a) 2 mm innerhalb und b) 1 mm außerhalb der geometrischen Schattengrenze. 18.16 An einem d¨ unnen Stab von 1,5 mm Dicke wird gr¨ unes Quecksilberlicht (λ = 564,1 nm) gebeugt, das aus einem dazu parallelen Spalt in 30 cm Entfernung kommt. Das Beugungsmuster wird in einer 60 cm entfernten Ebene untersucht. Berechnen Sie die Bestrahlungsst¨ arke des Beugungsmusters: a) im Zentrum des geometrischen Schattens und b) an dessen Rand. 18.17 Berechnen Sie f¨ ur die Nahfeldbeugung an einer Kante die Bestrahlungsst¨ arke im 2. Maximum und 2. Minimum, indem Sie die Cornu-Spirale und die Tabelle der Fresnel-Integrale benutzen. 18.18 An einem 0,37 mm dicken Draht, der 2 m von der Lichtquelle und 3 m vom Beobachtungsschirm entfernt ist, wird Fresnel-Beugung beobachtet. Bestimmen Sie unter Verwendung der Cornu-Spirale die auf die ungest¨ orte Welle bezogene Bestrahlungsst¨ arke auf der optischen Achse. 18.19 Ermitteln Sie die relative Bestrahlungsst¨ arke auf der optischen Achse f¨ ur einen Doppelspalt, der 10 cm sowohl von der monochromatischen Punktquelle (λ = 544 nm)

18.8 Babinetsches Prinzip

551

als auch vom Beobachtungsschirm entfernt ist. Die Spalte haben 0,04 mm Breite und ihre Zentren sind 0,25 mm voneinander entfernt. 18.20 An einem Einzelspalt der Breite 0,75 mm wird Licht der Wellenl¨ ange 435,8 nm gebeugt. Quelle und Detektor beﬁnden sich jeweils in 25 cm Entfernung auf der optischen Achse. a) Best¨ atigen Sie, dass die Fernfeldbedingung hier nicht erf¨ ullt ist. b) Berechnen Sie trotzdem die Lage des Punktes oberhalb der optischen Achse, wo das erste Beugungsminimum der Fraunhofer-Beugung auftreten sollte. c) Berechnen Sie dann f¨ ur diesen Punkt die Bestrahlungsst¨ arke unter Verwendung der Fresnel-N¨ aherung und der Cornu-Spirale. 18.21 Eine Glasplatte wird mit undurchsichtigen Teilchen konstanten Durchmessers bespr¨ uht. Falls man einen weit entfernten Quellpunkt durch diese Platte beobachtet, sieht man ein diﬀuses Beugungsscheibchen (Halo), dessen Winkelbreite etwa 2◦ betr¨ agt. Sch¨ atzen Sie die Gr¨ oße der Partikel ab. (L¨ osungshinweis: Verwenden Sie das Babinetsche Prinzip.) 18.22 In Beispiel 3 wurde die Beugungsintensit¨ at f¨ ur einen Punkt auf dem Schirm berechnet. Da in modernen Mathematik-Programmen (z.B. Maple) die Fresnel-Integrale direkt aufrufbar sind, ist die Berechnung der Fresnel-Beugung f¨ ur beliebige X-Werte einfach: Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Programms und (18.34) die Beugungsintensit¨ at f¨ ur einen Spalt der Breite b = 1 mm, der mit Licht der Wellenl¨ ange λ = 500 nm bestrahlt wird. Die Linienquelle liegt 20 cm, der Beobachtungsschirm 30 cm vom Spalt entfernt (Werte des Bsp. 3). Vergleichen Sie mit dem Schattenbild der geometrischen Optik und best¨ atigen Sie die Ergebnisse der Abb. 18.21. Zeigen Sie weiterhin, dass man mit Hilfe der Option numerische Integration“ auf einfa” che Weise das vollst¨ andige Beugungsintegral (18.4) berechnen k¨ onnte; verwenden Sie zun¨ achst die auch dem Fresnel-Integral zugrundeliegende N¨ aherung (18.18): b/2 −jk(r+r ) ˆ E P = C −b/2 e dx, setzen Sie C = 1 und (s. Abb. 18.13) r 2 = x2 + p2 ˆ und hieraus IP . sowie r 2 = (X − x)2 + q 2 und berechnen Sie den Betrag von E P

Abb. 18.21. Normierte Beugungsintensit¨ at (B) f¨ ur einen Spalt der Breite b = 1 mm ¨ (s. Ubung 18.22), verglichen mit dem Schattenwurf“ (S) der geometrischen Optik ”

552

18 Fresnel-Beugung Um direkt mit (18.34) vergleichen zu k¨ onnen, muss das Ergebnis der numerischen Integration wegen der Substitution (18.23) durch 2/λd dividiert werden. Nach unseren Erfahrungen (mit Maple) kommt man mit k¨ urzerer Rechenzeit zu denselben Ergebnissen, so dass sich aus heutiger Sicht der Aufwand der Fresnel-Integrale nicht mehr lohnt.

19 Interferenz an Mehrfachschichten

Einleitung Die Interferenz an dielektrischen Einzelschichten wurde bereits in Kapitel 10 behandelt. Zahlreiche wichtige und interessante Anwendungen basieren jedoch auf Vielfachschichten, die z.B. durch Aufdampfen hergestellt werden; hierbei k¨onnen sowohl Brechzahl (Materialzusammensetzung) als auch Dicke der Einzelschichten sehr genau kontrolliert und reproduziert werden. Man ist dadurch in der Lage, Schichten herzustellen, die u ¨ber einen breiten Spektralbereich nahezu jede geforderte Reﬂexions- oder Transmissionscharakteristik aufweisen. Anwendung ﬁnden diese Schichten bei der Entspiegelung optischer Instrumente und Bildschirme sowie bei schmal- und breitbandigen Filtern vom Ultraviolett- bis in den Infrarotbereich. Weiterhin bei Reﬂektoren f¨ ur W¨ armestrahlung und bei Kaltlichtspiegeln f¨ ur Projektoren und Lichttechnik sowie bei beschichteten Prismen-Strahlteilern, die in Fernsehkameras zur Farbzerlegung weißen Lichtes in den R(ot)-, G(r¨ un)-, B(lau)-Anteil dienen. Hochreﬂektierende dielektrische Spiegel ﬁnden in Lasern und Fabry-Perot-Interferometern Verwendung.

554

19 Interferenz an Mehrfachschichten

Durch die Entwicklung geeigneter Software konnten die komplizierten und aufwendigen Berechnungen zur Modellierung von Vielfachschichten immer weiter verbessert werden. In diesem Kapitel wird im Unterschied zu Kapitel 11, wo die Vielfachreﬂexionen an einem Film durch phasenrichtige Summation der einzelnen Teilwellen behandelt wurden, der Formalismus der Transfer-Matrizen verwendet. Hierbei werden die elektrischen und magnetischen Feldst¨arken der auf beiden Seiten einer Grenzﬂ¨ ache ein- und austretenden Strahlen zu Gesamtfeldern zusammengefasst, die den allgemeinen Stetigkeitsbedingungen der MaxwellGleichungen gen¨ ugen m¨ ussen.

19.1 Transfer-Matrix Die zur Analyse der optischen Eigenschaften von Mehrfachschichten erforderlichen Gr¨ oßen werden zun¨ achst f¨ ur eine Einzelschicht 1 der Brechzahl n1 mit den ebenen Grenzﬂ¨ achen (a) und (b) (s. Abb. 19.1) diskutiert. Der elektrische Feld der einfallenden Welle ist senkrecht zur Einfallsebene – auf den Leser vektor E zu – gerichtet, wir bezeichnen dies als eine TE-Welle (transversal elektrisch)1 . Der einfallende Strahl erf¨ ahrt eine teilweise Reﬂexion an der ebenen Grenzﬂ¨ache (a) zwischen dem ¨ außeren Medium der Brechzahl n0 und der nichtmagnetischen (µr = 1) Schicht 1. Der durchtretende Teilstrahl wird an der Grenzﬂ¨ache (b) zur Unterlage (Substrat) der Brechzahl ns teilweise reﬂektiert und teilweise durchge und B ein Rechtssystem in lassen. Das magnetische B-Feld ist so gerichtet, dass E y bei Reﬂexion die RichAusbreitungsrichtung bilden. Man erkennt, dass dann B tung ¨ andern muss. Die an den Grenzﬂ¨ achen angegebenen Feldst¨arken sind die ¨ durch Uberlagerung gebildeten Gesamtgr¨ oßen, die auch Mehrfachreﬂexionen erfassen. So entsteht z.B. Er1 durch Summation aller an (a) nach links reﬂektierten und aus 1 durchtretenden Teilwellen, w¨ ahrend Ee1 die Summe aller aus Schicht 1 auf (a) einfallenden sowie dort nach rechts reﬂektierten Teilwellen erfasst. Die Schicht sei homogen und isotrop, ihre Dicke liege in der Gr¨oßenordnung der Wellenl¨ ange, so dass Gangunterschiede klein gegen die Koh¨arenzl¨ange des Lichtes sind und wir mit koh¨ arenten Wellen rechnen k¨onnen. Weiterhin soll die Breite des einfallenden Strahles so groß sein, dass die durch die (Mehrfach-)Reﬂexion bewirkte seitliche Strahlversetzung vernachl¨assigt werden kann. Aus der Elektrodynamik sind die Randbedingungen an den Grenzﬂ¨achen be und H und die Normalkomponenten kannt: Die Tangentialkomponenten von E und B verlaufen f¨ von D ur statische und zeitabh¨angige Felder stetig, sind also auf beiden Seiten einer Grenzﬂ¨ ache gleich groß. Unter der hier gemachten Vorausset immer tangential zu zung µr = 1 ist dann auch Btang stetig. In Abb. 19.1 ist E 1

Beachten Sie, dass bei senkrechtem Einfall E⊥ und E gleichwertig sind, da dann keine bestimmte Einfallsebene deﬁniert ist.

19.1 Transfer-Matrix

555

den Fl¨ achen (a) und (b), w¨ ahrend bei den B-Komponenten By tangential und Bx normal gerichtet ist.

Abb. 19.1. Strahlreﬂexion an einer Einzelschicht der Brechzahl n1 . Die Abbildung deﬁniert die Gr¨ oßen, die zur Formulierung der Stetigkeitsbedingungen in (19.1) bis (19.6) ben¨ otigt werden. Beachten Sie, dass ein schwarzer Punkt E-Vektoren senkrecht zur Zeichenebene repr¨ asentiert. Der gestrichelte Anteil Ee2 tritt nur bei Vielfachschichten auf. (Indizes: e“: einfallend, r“: reﬂektiert, t“: transmittiert, Indizes 0“, 1“, 2“ ” ” ” ” ” ” bzw. s“: Medium 0, 1, 2 bzw. Substrat) ”

Man erh¨ alt dann an der Grenzﬂ¨ache (a) f¨ ur die elektrischen Feldst¨arken Ea0 und Ea1 der Außen- und Innenseite der Schicht 1 (a):

Ea0 = E0 + Er1 = Ea1 = Et1 + Ee1

(19.1)

und entsprechend f¨ ur Grenzﬂ¨ache (b) (19.2) Eb1 = Ee2 + Er2 = Eb2 = Et2 F¨ ur die Tangentialkomponenten der magnetischen Induktion B gilt dann bei (b):

(a):Ba0 = B0y + Br1y = B0 cos ε0 − Br1 cos ε0 = Ba1 = Bt1 cos ε1 − Be1 cos ε1 (19.3) uhrt f¨ ur die zun¨achst Beachtet man, dass B = E/c = nE/c0 (s. (8.38)) und f¨ betrachtete TE-Welle die

556

19 Interferenz an Mehrfachschichten

γi = γiT E =

γ-Parameter

ni cos εi c0

(19.4)

(mit den Schicht-Indizes i = 0, 1, s) ein, so wird (19.3) Ba0 = γ0 (E0 −Er1 ) = Ba1 = γ1 (Et1 −Ee1 ) (19.5)

(a): Aus (19.5) folgt entsprechend

Bb1 = γ1 (Ee2 − Er2 ) = Bb2 = γs Et2

(b):

(19.6)

Wir gehen nun zu dem Spezialfall einer unter dem Winkel ε0 einfallenden ebenen Welle u ur die komplexen Amplitu¨ ber; dann gelten die obigen Gleichungen auch f¨ den an den Grenzﬂ¨ achen. Bei vernachl¨ assigbarer Absorption unterscheiden sich ˆ lediglich um einen Phasenfaktor, also ˆ und E die Amplituden E e2 t1 Eˆ e2 = Eˆ t1 e−jΦ

(19.7)

und entsprechend Eˆ e1 = Eˆ r2 e−jΦ wobei die Phasenverschiebung Φ nach (10.30)2 gegeben ist durch: Phasenverschiebung

Φ=

2π n1 d cos ε1 λ0

(19.8)

Daraus folgt f¨ ur (19.2) und (19.6): ˆ e−jΦ + E ˆ ejΦ ˆ =E E b1 t1 e1 ˆ = γ1 Eˆ e−jΦ − Eˆ ejΦ B b1 t1 e1

(19.9) (19.10)

Mit (19.1) und (19.5) erh¨ alt man f¨ ur die Verkn¨ upfung der Feldst¨arken an den beiden Grenzﬂ¨ achen (a) und (b) der Schicht 1 :

ˆ E a1 ˆ B

=

a1

≡

2

cos Φ

Φ j sin γ1

jγ1 sin Φ

cos Φ

m11

m12

m21

m22

ˆ E b1 ˆ B b1

ˆ E b1 ˆ B b1

≡ M1

ˆ E b1 ˆ B

(19.11)

b1

Dort ist der doppelte Wert angegeben, da die Phasendiﬀerenz zwischen den an Oberund Unterseite reﬂektierten Strahlen berechnet wurde.

19.1 Transfer-Matrix

557

mit der

Transfer-Matrix

M1 =

m11

m12

m21

m22

cos Φ

Φ j sin γ1

jγ1 sin Φ

cos Φ

=

(19.12)

¨ ¨ die man auch als Ubertragungsoder Ubergangsmatrix bezeichnet. ˆ Beweis von (19.11): Aus (19.9) und (19.10) folgt bei Summation: E t1 = jΦ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E b1 + B b1 /γ1 e und bei Subtraktion E e1 = 2 E b1 − B b1 /γ1 e−jΦ . Mit (19.1) 2 ˆ =E ˆ +E ˆ =E ˆ ejΦ +e−jΦ +j Bˆ b1 ejΦ −e−jΦ = E ˆ cos Φ+j B ˆ sin Φ . Dieses ist dann E a1 t1 e1 b1 b1 b1 γ1 2 γ1 2j Ergebnis stimmt mit dem der Matrizen-Multiplikation von 1. Zeile und Spalte in (19.11) u ¨ berein.

W¨ ahrend die Verkn¨ upfung der Feldst¨arken mit Hilfe der Transfer-Matrix zu u uhrt, sind die prim¨ar interessierenden Gr¨oßen, ¨ bersichtlichen Ergebnissen f¨ n¨ amlich reﬂektierter und durchgelassener Anteil des Lichtes, schwieriger darzustellen. Mit Hilfe der komplexen Reﬂexionsfaktoren r und Transmissionsfaktoren t r=

ˆ E r1 E = r1 E0 Eˆ 0

und t =

E t2 Eˆ = t2 E0 Eˆ 0

(19.13)

folgt aus (19.1) ˆ = Eˆ = E ˆ +E ˆ = Eˆ (1 + r) E a1 a0 0 r1 0

(19.14)

ˆ = γs Eˆ = tγs E0 B b1 t2

(19.15)

und aus (19.6)

ˆ =B ˆ und E ˆ =E ˆ erh¨alt Mit (19.14) und (19.15) sowie den Beziehungen B a1 a0 b1 t2 ˆ : man dann aus (19.11) nach Einsetzen und Division durch E 0

t m11 m12 t 1+r = (19.16) = M1 γ0 (1 − r) γs t m21 m22 γs t mit der L¨ osung: Transmissionsfaktor

Reﬂexionsfaktor

t=

r=

Eˆ t2 2γ0 = γ0 m11 + γ0 γs m12 + m21 + γs m22 Eˆ 0

ˆ E γ0 m11 + γ0 γs m12 − m21 − γs m22 r1 = ˆ γ0 m11 + γ0 γs m12 + m21 + γs m22 E0

(19.17)

(19.18)

558

19 Interferenz an Mehrfachschichten

Diese Beziehungen gelten f¨ ur Einzel- und Vielfachschichten (s.u.). F¨ ur eine Einzelur die Vielfachschicht schicht sind hierbei die Matrixelemente mij durch (19.12), f¨ durch die der Gesamtmatrix (19.19) gegeben. Geht man zu Vielfachschichten u ¨ber und denkt sich zun¨achst eine Schicht 2 unter Schicht 1, so hat man eine weitere Grenzﬂ¨ache (c) zwischen Schicht 2 und dem Substrat. Dann wird bei der Berechnung des Feldes Eb2 (19.2) noch ein (in Abb. 19.1 gestrichelt) auftreten, durch Reﬂexion an (c) bedingter Term Ee2 der jedoch die Transfermatrix M1 nicht beeinﬂusst, da diese lediglich Feldgr¨oßen an der Schichtinnenseite verkn¨ upft. Damit ergibt sich auch f¨ ur eine beliebige ¨ Mi , und wir erhalten f¨ ur die GeSchicht i eine zu M1 analoge Ubergangsmatrix samttransfermatrix von N Schichten: Gesamttransfermatrix

MT = M1 M2 . . . Mi . . . MN

(19.19)

mit der

Matrix der i-ten Schicht

Mi =

cos Φ

j sin Φ γi

jγi sin Φ

cos Φ

(19.20)

Die Deﬁnition von r und t ist unabh¨ angig von der Schichtzahl, so dass auch bei beliebig vielen Schichten der Transmissionsfaktor t durch (19.17) und der Reﬂexionsfaktor r durch (19.18) gegeben ist. Die Matrixelemente mij sind hierbei jedoch die der Gesamtmatrix MT (19.19). Damit lassen sich also die Reﬂexions- und Durchlasseigenschaften von Vielfachschichten folgendermaßen berechnen: Man ermittelt zun¨achst die Einzelmatrizen Mi von jeder der N Einzelschichten, berechnet deren Produkt und gewinnt so die Gesamtmatrix MT mit ihren Elementen m11 . . . m22 , so dass anschließend Reﬂexionsfaktor r und Transmissionsfaktor t aus (19.18) und (19.17) bestimmt werden k¨ onnen. F¨ ur die Meßgr¨ ossen Reﬂexionsgrad , das Verh¨altnis von reﬂektierter zu einfallender Leistung, und Transmissionsgrad τ = Pt /Pe gilt dann wieder (s. Kap. 11 u. Kap. 20): Reﬂexionsgrad Transmissionsgrad

=

τ

=

Pr = rr∗ = |r|2 Pe Pt =1− Pe

(19.21)

Da bereits die Reﬂexion an einer Einzelﬂ¨ache von der Polarisation des Lichtes abh¨ angt, gilt dies auch f¨ ur die Faktoren r und t von vielen Schichten. F¨ ur den Grenzfall, dass die Polarisationsrichtung gegen¨ uber dem bisher diskutierten Fall senkrecht auf der Einfallsebene steht (TMum 90◦ gedreht ist, also der E-Vektor Welle), gelten die oben entwickelten Formeln, falls man bei dem Parameter γi

19.2 Reﬂexion bei senkrechtem Einfall des Lichtes

559

(19.4) den Kosinusfaktor in den Nenner schreibt (s. Kap. 20), somit gelten die γ-Parameter : ni ⊥ zur Einfallsebene (TE-Welle) cos εi bei E c0 ni zur Einfallsebene (TM-Welle) = bei E c0 cos εi

γiT E = γiT M

(19.4) (19.22)

Bei senkrechtem Einfall sind E und E⊥ nicht unterscheidbar, wegen cos εi = 1 stimmen dann die entsprechenden Reﬂexions- und Transmissionsfaktoren – wie zu erwarten – u ¨ berein. F¨ ur unpolarisiertes Licht ist der Reﬂexionsgrad Reﬂexionsgrad unpolarisiertes Licht

=

1 (T E + T M ) 2

(19.23)

19.2 Reﬂexion bei senkrechtem Einfall des Lichtes Wir diskutieren nun den Spezialfall senkrechter Inzidenz, der in der Praxis meist – zumindest jedoch ann¨ ahernd – realisiert ist. Dann werden die Kosinusfaktoren in (19.4) bzw. (19.22) gleich eins, d.h. γi = ni /c0 . Bei einer Schicht der Dicke d ergibt sich der optische Weg f¨ ur einen Schichtdurchgang zu n1 d und – in ¨ Ubereinstimmung mit (19.8) – die Phasenverschiebung Φ = 2π n1 d/λ0 . Damit ¨ k¨ onnen wir f¨ ur die Ubertragungsmatrix (19.20) schreiben: ⎞ ⎛ c0 sin Φ cos Φ j n1 ⎠ (19.24) M1 = ⎝ n1 sin Φ j c0 cos Φ Aus (19.18) folgt dann f¨ ur den Reﬂexionsfaktor (die c0 k¨ urzen sich heraus): r=

n1 (n0 − ns ) cos Φ + j(n0 ns − n21 ) sin Φ n1 (n0 + ns ) cos Φ + j(n0 ns + n21 ) sin Φ

(19.25)

und der Reﬂexionsgrad einer Schicht wird = r r∗ =

n21 (n0 − ns )2 cos2 Φ + (n0 ns − n21 )2 sin2 Φ n21 (n0 + ns )2 cos2 Φ + (n0 ns + n21 )2 sin2 Φ

denn f¨ ur einen komplexen Bruch z =

z1 z1∗ |z1 |2 z1 gilt: zz ∗ = = . z2 z2 z2∗ |z2 |2

(19.26)

560

19 Interferenz an Mehrfachschichten

Beispiel 19.1 Beschichtung von Glas Glas (ns = 1,50) ist mit einer 40 nm dicken Zirkoniumdioxid-Schicht (ZrO2 , ur gelbes Na-Licht n1 = 2,1) beschichtet. Bestimmen Sie den Reﬂexionsgrad f¨ (λ = 589,3 nm) bei senkrechtem Einfall. L¨ osung Es gilt Φ = 2π n1 d/λ = 0,896 rad und cos Φ = 0,625 sowie sin Φ = 0,781. Einsetzen in (19.26) ergibt mit n0 = 1 (Luft): = 0,174 = 17,4%.

Abb. 19.2. Reﬂexionsgrad einer Einzelschicht der Brechzahl n1 auf Glas als Funktion der Wellenl¨ angen bezogenen optischen Dicke (n1 d/λ0 = d/λ1 ) der Schicht. Die gestrichelte Linie steht f¨ ur unbeschichtetes Glas der Brechzahl ns = 1,52

Als Beispiel zur Ver¨ anderung der Reﬂexion durch Beschichtung zeigt Abb. 19.2 den Reﬂexionsgrad einer Glasplatte, die mit Schichten unterschiedlicher Brechzahl und Dicke beschichtet ist. Die Brechzahl n1 der Aufdampfschicht bestimmt oﬀenbar, ob die Reﬂexion gegen¨ uber unbeschichtetem Glas erh¨oht ist (dies gilt bei n1 > ns ) oder erniedrigt wird (bei n1 < ns ). Bei Schichtdicken von λ/4 (oder ungeraden Vielfachen hiervon) treten entweder gr¨oßte Verst¨arkung der Reﬂexion (Verspiegelung bei n1 > ns ) oder maximale Reduktion derselben auf (Reﬂexminderung bei n1 < ns ). Die Wellenl¨angen, bei denen diese Extrema von

19.3 Reﬂexminderung durch zwei Schichten

561

auftreten, k¨ onnen durch Variation der Schichtdicke abgestimmt werden. Bemerkenswert ist außerdem, dass bei Dicken von λ/2 (oder geradzahligen Vielfachen von λ/4) der Reﬂexionsgrad des unbeschichteten Glases auftritt. Weiterhin ist zu erkennen, dass eine reﬂexmindernde Schicht mit n1 < ns bei beliebigen Wellenl¨ angen nie mehr als das unbeschichtete Glas selbst reﬂektiert. Die periodische Variation des Reﬂexionsgrades mit der Dicke wird bei der Dickenkontrolle beim Beschichtungsvorgang ausgenutzt. F¨ ur den wichtigen Fall der λ/4-Dicke

d=

λ1 λ0 = 4 4n1

(19.27)

ist die Phasenverschiebung Φ = π/2 (und cos Φ = 0, sin Φ = 1). Damit wird der Reﬂexionsgrad dieser Viertelwellenschicht nach (19.26) (bei senkrechtem Einfall): Reﬂexionsgrad λ/4-Schicht

=

n0 ns − n21 n0 ns + n21

2 (19.28)

Perfekte Entspiegelung ( = 0) kann demnach durch eine λ/4-Schicht mit der Schichtbrechzahl

n1 =

√

n0 ns

(19.29)

erzielt werden. In Kapitel 10 wurden die gleichen Beziehungen hergeleitet und zwar f¨ ur die Dicke aus der Phasenbedingung und f¨ ur die Brechzahl aus der Amplitudenbedingung. F¨ ur eine Luft–Glas-Grenzﬂ¨ ache (n0 = 1, ns = 1,52) w¨are somit auﬁg w¨ ahlt man Magnesiumﬂuorid (MgF2 ), ein Material, das g¨ unsn1 = 1,23. H¨ tige mechanische und Alterungseigenschaften aufweist; hier ist n1 = 1,38 und = 1,3% (s. (19.28)) gegen¨ uber 4,3% bei unbeschichtetem Glas. Dieser Unterschied macht sich besonders in Linsensystemen bemerkbar. Hat man z.B. sechs Grenzﬂ¨ achen (Linsenoberﬂ¨ achen gegen¨ uber Luft), so ist der Gesamttransmissiagt bei der Beschichtung mit MgF2 (0,987)6 = 93% onsgrad τges = τ 6 und betr¨ gegen¨ uber (0,957)6 = 77% ohne Reﬂexminderung.

19.3 Reﬂexminderung durch zwei Schichten Im Allgemeinen stehen keine praktisch verwendbaren Materialien zur Verf¨ ugung, √ ullen und damit den Reﬂexidie genau die Amplitudenbedingung n1 = n0 ns erf¨ onsgrad = 0 erm¨ oglichen. Dies l¨ asst sich aber mit zwei λ/4-Schichten erreichen. Bei senkrechtem Einfall ist die Transfermatrix einer λ/4-Schicht mit Φ = π/2 nach (19.20):

562

19 Interferenz an Mehrfachschichten

M1 =

0

j γ1

jγ1

0

Bei zwei Schichten ist dann mit γ1 /γ2 = n1 /n2 :

MT = M1 M2 =

0

j γ1

jγ1

0

0

j γ2

jγ2

0

⎛ − n2 = ⎝ n1 0

⎞ 0 − nn21

⎠

(19.30)

mit den Matrixelementen m11 = −n2 /n1 = 1/m22 und m12 = m21 = 0. Einsetzen in (19.18) ergibt als Reﬂexionsfaktor f¨ ur zwei λ/4-Schichten (bei senkrechtem Einfall) r=

n22 n0 − ns n21 n22 n0 + ns n21

(19.31)

und den zugeh¨ origen Reﬂexionsgrad λ/4–λ/4-Doppelschicht

=

n22 n0 − ns n21 n22 n0 + ns n21

2 (19.32)

Abb. 19.3. Reﬂexmindernde λ/4 − λ/4-Doppelschicht auf Glas bestehend aus einer Deckschicht aus CeF3 mit n1 = 1,65 und einer zweiten Schicht aus ZrO2 mit der 0 h¨ oheren Brechzahl n2 = 2,1. Die geometrischen Schichtdicken sind d1,2 = 4nλ1,2

Die Amplitudenbedingung f¨ ur verschwindende Reﬂexion ist nun erf¨ ullt f¨ ur: ns n2 Amplitudenbedingung = (19.33) n1 n0 F¨ ur eine Grenzﬂ¨ ache Luft–Glas (ns = 1,52) ist das optimale Verh¨altnis der Schichtbrechzahlen n2 /n1 = 1,23, dies ist bei Zirkoniumdioxid (n2 = 2,1) und

19.3 Reﬂexminderung durch zwei Schichten

563

Certriﬂuorid (CeF3 , n1 = 1,65) mit n2 /n1 = 1,27 recht gut erf¨ ullt. Die Restreﬂexion betr¨ agt nach (19.32) dann nur 0,1%. Der Schichtaufbau ist in Abb. 19.3, der entsprechende Reﬂexionsgrad in Abb. 19.4 (Kurve (a)) gezeigt; man sieht, dass die Kurve unter- und oberhalb der Wellenl¨ange 550 nm, bei der die optische agt, relativ steil ansteigt, so dass die Entspiegelung nur in Schichtdicke λ0 /4 betr¨ einem begrenzten Wellenl¨ angenbereich wirksam ist.

Abb. 19.4. Reﬂexionsgrad einer Doppelschicht auf Glas als Funktion der Wellenl¨ ange. In allen F¨ allen ist n0 = 1 (Luft) und ns = 1,52 (Glas). Die nachfolgend angegebenen optischen Dicken (λ1 /4 bzw. λ2 /2) beziehen sich auf eine Wellenl¨ ange von λ0 = 550 nm: (a) λ/4 − λ/4 : n1 = 1,65, n2 = 2,1. (b) λ/4 − λ/2 : n1 = 1,38, n2 = 1,6. (c) λ/4 − λ/2 : n1 = 1,38, n2 = 1,85

Gr¨ oßere Spektralbreiten lassen sich durch zwei λ/4-Schichten erzeugen, f¨ ur die atzlich n2 < ns gilt, so dass eine Brechzahl- Treppe“ neben n1 < n2 zus¨ ” mit n1 < n2 < ns entsteht (nicht in Abb. 19.4 gezeigt). Diese Bedingung anden große Werte annimmt – z.B. bei l¨ asst sich im Infrarot – wo ns unter Umst¨

564

19 Interferenz an Mehrfachschichten

Abb. 19.5. Reﬂexmindernde λ/4–λ/2-Doppelschicht. Der zugeh¨ orige Reﬂexionsgrad ist in Abb. 19.4 wiedergegeben

der Entspiegelung von Germanium (ns = 4) gut erf¨ ullen (s. Brechzahlen in Tab. 19.1).

Tabelle 19.1. Brechzahlen wichtiger Beschichtungsmaterialien Material

sichtbar (λ ≈ 550 nm)

nahes Infrarot (λ ≈ 2 µm)

Kryolith

1,30–1,33

–

MgF2

1,38

1,35

SiO2

1,46

1,44

SiO

1,55–2,0

1,5–1,85

Al2 O3

1,60

1,55

CeF3

1,65

1,59

ThO2

1,8

1,75

Nd2 O3

2,0

1,95

ZrO2

2,1

2,0

CeO2

2,35

2,2

ZnS

2,35

2,2

TiO2

2,4

–

Si

–

3,3

Ge

–

4,0

Breitbandige Entspiegelung kann man auch erreichen, wenn man zwei Schichten unterschiedlicher Dicke verwendet (s. Abb. 19.5 und Abb. 19.4, Kurven

19.4 Reﬂexminderung durch drei Schichten

565

(b) und (c)). Die Dicken sind so gew¨ ahlt, dass bei λ = 550 nm eine Doppelschicht der optischen Dicken λ0 /4 und λ0 /2 vorliegt. Damit ist bei dieser Wellenl¨ange die λ/2-Schicht wirkungslos, die Reﬂexminderung ist die einer λ/4-Einzelschicht. Bei anderen Wellenl¨ angen bewirkt jedoch die λ/2-Schicht eine Reduktion bis zu den beiden Minima, die bei der Brechzahlkombination der Kurve (c) fast = 0 erreichen. In einem Spektralbereich von 420 bis 800 nm bleibt die Reﬂexion der λ/4 − λ/2-Stapel (b) und (c) unter dem Wert bei 550 nm. Kurve (b) weist einen ﬂachen Reﬂexionsverlauf auf, bleibt also im gesamten sichtbaren Spektralbereich nahezu konstant und Farbreﬂexe werden vermieden. Schichtdicken, die keine Vielfachen von λ/4 sind, f¨ uhren zu einer Vielzahl von L¨osungen, die teilweise f¨ ur die Praxis interessant sind. Alle Kurven der Abb. 19.4 wurden mit Hilfe der Transfermatrix berechnet. Dabei wurden zun¨ achst die Schichtdicken aus der λ/4- bzw. λ/2-Bedingung f¨ ur die vorgegebene Wellenl¨ ange ermittelt. Anschließend erfolgte f¨ ur jede Teilschicht die Berechnung der Phasenverschiebung Φ und der Matrixelemente der Einzelmatrizen, hieraus folgen dann die Elemente der Gesamtmatrix und der Reﬂexionsgrad nach (19.18) und (19.21).

19.4 Reﬂexminderung durch drei Schichten Die Verwendung von drei Schichten erm¨ oglicht eine breitbandige und hochwirksame Entspiegelung. Drei λ/4-Schichten der Brechzahlen n1 –n3 ergeben minimale Reﬂexion bei Erf¨ ullung der Brechzahlbedingung:

Abb. 19.6. Reﬂexmindernde Dreifachschichten. a) Schichten gleicher optischer Dicke (λ/4). b) Schichten mit Dickenverlauf λ/4–λ/2–λ/4. Die entsprechenden Reﬂexionsgrade sind in Abb. 19.7 wiedergegeben

566

19 Interferenz an Mehrfachschichten

λ/4-Dreifachschicht

n1 n3 √ = n0 ns n2

(19.34)

Der Schichtaufbau ist in Abb. 19.6, der Reﬂexionsgrad in Abb. 19.7 wiedergegeben und mit dem eines λ/4–λ/2–λ/2-Schichtstapels verglichen.

Abb. 19.7. Reﬂexionsgrad von Dreifachschichten (s. Abb. 19.6) als Funktion der Wellenl¨ ange. In allen F¨ allen gilt n0 = 1 (Luft) und ns = 1,52 (Glas). a) λ/4-Dreifachschicht, b) λ/4-λ/2-λ/4-Stapel. Die optischen Dicken beziehen sich auf λ0 = 550 nm (vgl. Abb. 19.4)

19.5 Hochreﬂektierende Schichten Wenn die Reihenfolge der Schichten einer optimierten Entspiegelung vertauscht wird, so dass dann eine Hoch–Niedrig–(h n)-Schichtfolge“ (mit n0 < n1 > ” n2 < ns , also Luft–hohe Brechzahl–niedrige Brechzahl–Substrat mit hoher

19.5 Hochreﬂektierende Schichten

567

Brechzahl) vorliegt, sind die drei reﬂektierten Teilwellen wegen der Phasenspr¨ unge in Phase und die Reﬂexion wird verst¨arkt anstatt abgeschw¨acht. Mehrere solcher Doppelschichten vergr¨ oßern den Reﬂexionsgrad weiter und bilden einen dielektrischen Spiegel. Formal folgen die unterschiedlichen Ergebnisse bei Vertauschung der Schichtreihenfolge aus der Tatsache, dass die Multiplikation der Einzelmatrizen nicht kommutativ ist, wie man leicht durch Berechnung von M1 M2 und M2 M1 (z.B. anhand von (19.30)) best¨ atigt. Vertauschbar sind quadratische Diagonalmatrizen, wie sie bei einem Stapel von zwei λ/4-Schichten (s. (19.30)) oder einer λ/2Schicht (sin Φ = 0) auftreten. Damit sind die optischen Eigenschaften von Vielfachschichten nicht von der Reihenfolge von λ/4-Doppelschichten und λ/2Schichten – wohl aber von λ/4-Einzelschichten – abh¨angig.

Abb. 19.8. Hochreﬂektierender Stapel aus Doppelschichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl. Zugeh¨ orige Reﬂexionsgrade sind in Abb. 19.9 wiedergegeben

Wir leiten nun eine Bedingung f¨ ur den Reﬂexionsgrad eines Schichtstapels aus ¨ N gleichen hn-Doppelschichten (s. Abb. 19.8) her. Die Ubergangsmatrix Mhn einer λ/4 − λ/4-Schicht ist – wie bei der Reﬂexminderung – das Produkt der Matrizen der Einzelschichten. Bei senkrechtem Einfall gilt (s. (19.30)): ⎞ ⎛ nn 0 ⎠ − (19.35) Mhn = Mh Mn = ⎝ nh 0 − nnnh

568

19 Interferenz an Mehrfachschichten

mit der Gesamtmatrix f¨ ur N λ/4-Doppelschichten: ⎞ ⎛ N nn 0 ⎟ ⎜ − nh N MT = (Mhn ) = ⎝ N ⎠ nh 0 − nn

(19.36)

Einsetzen der Matrixelemente m11 und m22 in (19.20) ergibt den Reﬂexionsfaktor r=

n0 (−nn /nh )N − ns (−nh /nn )N n0 (−nn /nh )N + ns (−nh /nn )N

(19.37)

ur und nach Erweitern mit (−nn nh )N und Quadrieren den Reﬂexionsgrad f¨ N λ/4-Doppelstapel

=

2N n0 n2N n − ns nh 2N n0 n2N n + ns nh

2 (19.38)

Vergleicht man dies mit dem Ergebnis f¨ ur eine Doppelschicht (19.32), so erkennt man leicht das Bildungsgesetz zur Berechnung von . Beispiel 19.2 Dielektrischer Spiegel Ein dielektrischer Spiegel (s. Abb. 19.8) besteht aus sechs λ/4–λ/4-Doppelschichten aus Quarzglas (SiO2 , nn = 1,46) und Zinksulﬁd (ZnS, nh = 2,35) auf Glas (ns = 1,48). Berechnen Sie die Schichtdicken und den Reﬂexionsgrad f¨ ur eine Wellenl¨ ange von 550 nm und senkrechten Einfall. L¨ osung Wir erhalten die Dicken dn = λ0 /(4 nn ) = 94 nm und dh = 59 nm und aus (19.38) (mit N = 6) den Reﬂexionsgrad = 0,991 = 99,1%. Vollkommene Reﬂexion ( = 1) tritt nach (19.38) (wegen nn < nh ) f¨ ur sehr viele Schichtstapel (N → ∞) oder große Brechzahlunterschiede (nn nh ) auf, dies wird durch die Ergebnisse der Tabelle 19.2 unterstrichen. Man sieht, dass schon relativ wenige Schichten eine hohe Reﬂexion ergeben. Kleine nn /nh Verh¨ altnisse erreicht man mit Stapeln aus Magnesiumﬂuorid MgF2 (nn = 1,38) und ZnS (nh = 2,35) oder Titandioxid (TiO2 , nh = 2,4). Der durch (19.38) gegebene Reﬂexionsgrad ist der Maximalwert, der bei der ur andere Wellenl¨ ange λ0 und einer optischen Dicke von λ0 /4 erzielt wird. F¨ Wellenl¨ angen muss man die Transfermatrix in ihrer allgemeinen Form mit Wellenl¨ angen abh¨ angigen Phasendiﬀerenzen verwenden und numerisch bestimmen. Abb. 19.9 gibt das Ergebnis f¨ ur N = 2 und N = 6 Doppelschichten wieder. Kurve (c) zeigt, dass weiter erh¨ oht werden kann, wenn man eine zus¨atzliche hochbrechende Schicht zwischen die unterste Schicht und das Substrat bringt. Die spektrale Breite des Bereichs hoher Reﬂexion ist nahezu unabh¨angig von der

19.5 Hochreﬂektierende Schichten

569

Zahl der Doppelschichten; sie steigt mit wachsendem nh /nn -Verh¨altnis, das in Abb. 19.9 bei 1,7 liegt. Man kann einen solchen Spiegel auch als Sperrﬁlter betrachten, dessen Durchl¨ assigkeit allerdings außerhalb des Sperrbandes oszilliert. Die Bandmitte kann durch Ver¨ anderung der Schichtdicken eingestellt werden. Tabelle 19.2. Reﬂexionsgrad von λ/4 − λ/4-Schichtstapeln auf Glas (ns = 1,52) f¨ ur N = 3 h-n-Schichten als Funktion von nn /nh

− N -Abh¨ angigkeit f¨ ur Schichtstapel aus MgF2 und ZnS mit nn /nh = 0,587

nn /nh

/%

N

/%

1,0

4,26

1

39,71

0,91

21,01

2

73,08

0,83

40,82

3

89,77

0,77

57,77

4

96,35

0,71

70,44

5

98,72

0,67

79,35

6

99,56

0,625

85,48

7

99,85

0,59

89,67

8

99,95

0,56

92,55

0,53

94,56

0,50

95,97

Der Transmissionsgrad τ ist bei vernachl¨ assigbaren Extinktionsverlusten durch τ = 1 − gegeben. Damit k¨ onnen solche Schichtstrukturen auch als Bandﬁlter verwendet werden, deren Durchl¨ assigkeit an Stellen geringer Reﬂexion hoch ist. Schmalbandige Bandﬁlter k¨ onnen nach Art eines Fabry-Perot-Etalons durch zwei dielektrische Vielschichtspiegel, die durch eine Abstandsschicht – z.B. aus MgF2 – getrennt sind, realisiert werden. Ein zus¨atzliches konventionelles Farbﬁlter schr¨ ankt das einfallende Licht auf den nutzbaren Spektralbereich des Filters (s. Kap. 17) ein, so dass sich z.B. Bandﬁlter mit 1,5 nm Spektralbreite und 40% Durchl¨ assigkeit herstellen lassen. Eine leichte Drehung eines solchen Filters verschiebt die Durchlasswellenl¨ ange zu kleineren Werten, da die optischen Gangunterschiede verringert werden.

570

19 Interferenz an Mehrfachschichten

Abb. 19.9. Reﬂexionsgrad als Funktion der Wellenl¨ ange f¨ ur Stapel aus λ/4-λ/4- Hoch” Niedrig“-Schichten f¨ ur a) N = 2 und b) N = 6 Doppelschichten. Kurve (c) zeigt einen Stapel mit N = 2 und einer zus¨ atzlichen Schicht hoher Brechzahl auf dem Substrat. Die Schichten haben bei λ0 = 550 nm die optische Dicke λ0 /4. In allen F¨ allen gilt: n0 = 1, nh = 2,35, nn = 1,38 und ns = 1,52

¨ Ubungen ¨ Hinweis: Bei allen Ubungsaufgaben ist senkrechter Lichteinfall vorausgesetzt. parallel zur Einfalls19.1 Beweisen Sie, dass der Parameter γiTM f¨ ur eine TM-Welle (E ebene) durch (19.22) gegeben ist. 19.2 Auf Glas (n = 1,5) wird eine transparente Antireﬂexschicht gebracht. a) Ermitteln Sie die Schichtdicke und (hypothetische) Brechzahl der Schicht, die bei λ = 500 nm vollkommene Entspiegelung bewirkt. b) Wie groß ist der Reﬂexionsgrad dieser Schicht bei λ = 550 nm? 19.3 Zeigen Sie mit (19.26), dass der Reﬂexionsgrad eines Substrats, das mit einer Schicht der Dicke λ1 /2 bedeckt ist, genau so groß wie bei unbeschichtetem Material ist (s. Abb. 19.2), dass also 2 n0 − ns = n0 + ns

19.5 Hochreﬂektierende Schichten

571

19.4 Eine Einzelschicht aus SiO2 (n = 1,46) der Dicke 137 nm wurde auf Glas der Brechzahl 1,52 aufgebracht. Bestimmen Sie den Reﬂexionsgrad f¨ ur die Wellenl¨ angen a) 800 nm, b) 600 nm und c) 400 nm. Best¨ atigen Sie Ihre Ergebnisse durch Vergleich mit Abb. 19.2. 19.5 Glas (n = 1,52) wird mit einer 59,6 nm dicken Schicht aus ZnS (n = 2,35) beschichtet. Berechnen Sie den Reﬂexionsgrad f¨ ur Licht der Wellenl¨ ange 560 nm. 19.6 Bestimmen Sie Brechzahl und Dicke einer Antireﬂexschicht auf Ge (n = 4,0) f¨ ur die Wellenl¨ ange 2 µm. Welches Material ließe sich verwenden? 19.7 Zwei λ/4-Schichten aus Al2 O3 (n = 1,60) und Kryolith (Na3 AlF6 , n = 1,30) werden auf Glas (n = 1,52) aufgebracht. a) Welche Schichtreihenfolge ist f¨ ur eine Entspiegelung zu w¨ ahlen und welche Dicke haben die Schichten bei λ = 550 nm? b) Welcher Reﬂexionsgrad tritt bei Umkehrung der Schichtfolge auf? 19.8 λ/4-Schichten aus ZnS (n = 2,2) und MgF2 (n = 1,35) auf Silizium (n = 3,3) sollen bei einer Wellenl¨ ange von 2 µm minimale Reﬂexion bewirken. a) Ermitteln Sie die geometrische Dicke der Schichten. b) Um welchen Prozentsatz unterscheiden sich tats¨ achliches und ideales Brechzahlverh¨ altnis der Schichten? c) Geben Sie den Reﬂexionsgrad an. 19.9 Zeigen Sie mit Hilfe der Transfermatrix, dass eine λ/4 − λ/2-Doppelschicht (wie in Abb. 19.5) bei der Wellenl¨ ange λx denselben Reﬂexionsgrad aufweist wie eine einzelne λ/4-Schicht. Wie groß ist λx ? 19.10 Zeichnen Sie Graphen des Reﬂexionsgrades einer Doppelschicht als Funktion der Wellenl¨ ange bei Variation der Eingangsparameter: Schichtdicke und Brechzahl der Schichten sowie des Substrats. Best¨ atigen Sie Abb. 19.4. 19.11 Beweisen Sie die Bedingung (19.34) f¨ ur verschwindende Reﬂexion bei drei λ/4Schichten. Ermitteln Sie hierzu die gesamte Transfermatrix der drei Schichten und den Reﬂexionsfaktor aus (19.18). 19.12 Entwerfen Sie – unter Verwendung der Brechzahlen aus Tabelle 19.1 – optimale Reﬂexminderung f¨ ur Germanium mit drei λ/4-Schichten bei 2 µm Wellenl¨ ange. 19.13 Berechnen Sie f¨ ur die Mitte des sichtbaren Spektralbereichs (λ = 550 nm) den maximalen Reﬂexionsgrad von Schichtstapeln aus λ/4-Doppelschichten hoher (nh = 2,6) und niedriger (nn = 1,38) Brechzahl und ein Substrat mit ns = 1,52. Das senkrecht einfallende Licht triﬀt jeweils zuerst auf die Schicht mit der großen Brechzahl nh (s. Abb. 19.8). Berechnung f¨ ur a) zwei, b) vier und c) acht Doppelschichten. ur die Wel19.14 Ein hochreﬂektierender Schichtstapel aus nh -nn -Doppelschichten ist f¨ lenl¨ ange 2 µm ausgelegt. Er besteht aus vier Doppelschichten aus Germanium (n = 4,0) und MgF2 (n = 1,35) mit jeweils 0,5 µm optischer Dicke. Das Substrat hat die Brechzahl 1,5. Welcher Reﬂexionsgrad liegt vor? 19.15 Ein Substrat mit Brechzahl 1,52 soll mit zwei λ/4-Doppelschichten eine dielektrische Verspiegelung mit mindestens 90% Reﬂexionsgrad erhalten. Welches Brechzahlverh¨ altnis nh /nn m¨ ussen die Schichten mindestens haben?

572

19 Interferenz an Mehrfachschichten

19.16 Beweisen Sie, dass f¨ ur den Reﬂexionsgrad (19.38) von N Stapeln aus λ/4 − λ/4Schichten gilt: → 1 f¨ ur Zahl der Doppelschichten N → ∞ oder Brechzahlverh¨ altnis nn /nh → 0.

20 Fresnelsche Gleichungen

Einleitung Die grundlegenden Gesetze zur Reﬂexion und Brechung wurden im Kapitel 3: Geometrische Optik“ unter Verwendung der Prinzipien von Huygens bzw. Fer” mat hergeleitet. In diesem Kapitel wird zur Beschreibung der Brechungs- und Reﬂexionsph¨ anomene die Elektrodynamik herangezogen, also Licht als elektromagnetische Welle betrachtet und das bekannte Verhalten der elektromagnetischen Gr¨ oßen an Grenzﬂ¨ achen zugrunde gelegt. Diese Methode f¨ uhrt zu den Fresnelschen Gleichungen, die angeben, welcher Bruchteil der einfallenden Lichtenergie an der Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei Medien durchgelassen oder reﬂektiert wird. ¨ Reﬂexions- und Transmissionsgrad h¨ angen vom Einfallswinkel, den Anderungen der Brechzahlen an der Grenzﬂ¨ ache sowie der Polarisation des einfallenden Lichtes ab. Weiterhin werden die Totalreﬂexion und die evaneszenten Wellen sowie die optischen Eigenschaften von Metallen untersucht.

20.1 Die Fresnelschen Formeln In Abb. 20.1 triﬀt im Punkt P ein Strahl einer einfallenden (Index e) ebenen Welle

574

20 Fresnelsche Gleichungen

Abb. 20.1. Einfall einer linear polarisierten Lichtwelle, deren E-Vektor senkrecht zur Einfallsebene steht (TE-Welle), auf eine Grenzﬂ¨ ache (in der y-z-Ebene) zwischen zwei Medien der Brechzahlen n und n . Die einfallende Welle (Index e“, Einfallswinkel ε) ” wird teilweise reﬂektiert (Index r“) und zum Teil durchgelassen (Index t“, Brechungs” ” B und k bilden ein Dreibein, bei dem k in winkel ε ). Beachten Sie: Die Vektoren E, einen Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt. Bei der reﬂektierten Welle muss dann B ohne Phasensprung reﬂektiert wird Phasensprung erleiden, falls, wie gezeichnet, E

ˆ ej(ωe t−ke ·r) =E E e e

(20.1)

auf eine ebene Grenzﬂ¨ ache (y-z-Ebene) und wird dort in einen r eﬂektierten Anteil mit ˆ j(ωr t−kr ·r) =E E r re

(20.2)

und eine durchgehende (transmittierte) Welle) mit ˆ ej(ωt t−kt ·r) =E E t t

(20.3)

e der linear polarisierten einfallenden Welle aufgeteilt. Der Feldst¨ arkevektor E weist in +y-Richtung, steht also senkrecht auf der durch den Wellenvektor ke und die Fl¨ achennormale festgelegten Einfallsebene (x-z-Ebene). Wir bezeichnen

20.1 Die Fresnelschen Formeln

575

Abb. 20.2. Einfall einer Lichtwelle, deren B-Vektor senkrecht zur Einfallsebene steht (TM-Welle), auf eine Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei Medien der Brechzahlen n und n

der Vektor der magdies als transversal-elektrische (TE-) Welle. Dann muss B, netischen Induktion, in der Einfallsebene liegen. Seine Richtung wird durch die ×B parallel zum Wellenvektor k ist. Ist hingegen Forderung festgelegt, dass E B senkrecht zur Einfallsebene, so liegt eine transversal-magnetische (TM-) Welle vor (s. Abb. 20.2). In der Grenzﬂ¨ ache u ¨berlagern sich die Felder der einfallenden (20.1), reﬂektierten (20.2) und durchgehenden (20.3) Welle, wobei sie u ¨ ber die Stetigkeitsbedingungen der Elektrodynamik verkn¨ upft sind. Diese Verkn¨ upfung kann nicht von der zuf¨ alligen Wahl eines Ortsvektors oder Zeitpunktes t abh¨angen; diese Forderung ist nur dann erf¨ ullt, wenn die zeit- und ortsabh¨angigen Anteile der Phasen der Einzelwellen gleich sind1 , also: ke · r − ωe t = kr · r − ωr t = kt · r − ωt t

(20.4)

W¨ ahlt man den Bezugspunkt r = 0, so f¨ uhrt (20.4) zu der 1

Diese Beziehung l¨ asst noch einen in der komplexen Amplitude enthaltenen zeit- und ortsunabh¨ angigen Phasenanteil Φ zu, also z.B. den Phasensprung bei Reﬂexion am optisch dichteren Medium.

576

20 Fresnelsche Gleichungen

Frequenzbedingung

ωe = ωr = ωt

(20.5)

Die Frequenzen der Einzelwellen m¨ ussen u ¨ bereinstimmen. Dies ist auch im Huygensschen Prinzip ber¨ ucksichtigt, denn die von der einfallenden Welle erzeugten Sender von Elementarwellen m¨ ussen nat¨ urlich zwangsl¨auﬁg mit deren Frequenz schwingen und somit auch Wellen dieser Frequenz emittieren. Bei gleichen Frequenzen folgt dann aus (20.4) die Ausbreitungsbedingung

ke · r = kr · r = kt · r

(20.6)

Aus (20.6) lassen sich einige wichtige Folgerungen ziehen. Durch Subtraktion erh¨ alt man: ke − kr · r = ke − kt · r = kr − kt · r (20.7) Die Diﬀerenzvektoren d¨ urfen mithin keine zu r senkrechte Komponente aufweisen, mit der Konsequenz, dass alle drei Wellenvektoren koplanar in der x-z-Ebene sind und gebrochener und reﬂektierter Strahl ebenfalls in der Einfallsebene liegen. F¨ ur einfallende und reﬂektierte Welle folgt aus (20.6) und Abb. 20.1 (mit k · r = kr sin ε): ke r sin ε = kr r sin εr Da sich beide Wellen in demselben Medium ausbreiten, ist ke = kr . Damit ergibt sich das Reﬂexionsgesetz

εr = ε

(20.8)

wonach εein = εaus (Einfallswinkel = Ausfallswinkel). F¨ ur einfallende und gebrochene Welle ergibt (20.6): ke r sin ε = kt r sin ε

(20.9)

alt man dann das Mit ke = ω n/c0 und kt = ωn /c0 erh¨ Brechungsgesetz

n sin ε = n sin ε

(20.10)

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt, dass an einer Grenzﬂ¨ache die Tangential und magnetischer Feldst¨arke H stetig komponenten elektrischer Feldst¨ arke E

20.1 Die Fresnelschen Formeln

577

sein m¨ ussen. Hiermit lassen sich Beziehungen zwischen den Feldern der Teilwel len herleiten. Da bei der TE-Welle die E-Vektoren bereits tangential zur Grenz ﬂ¨ache liegen, gilt f¨ ur die Tangentialkomponenten der E-Felder (s. Abb. 20.1) die Stetigkeitsbedingung: Ee + Er = Et

(20.11)

Auf der Einfallsseite sind einfallende und reﬂektierte Welle zu ber¨ ucksichtigen, t . F¨ ur die Tangentialkomauf der Austrittsseite nur der durchgelassene Anteil E = B/µ ponenten (die z-Komponenten) von H ergibt sich nach Abb. 20.1: Br Bt Be cos ε − cos ε = cos ε µ µ µ

(20.12)

r antiparallel Das Minuszeichen erkl¨ art sich daraus, dass die z-Komponente von B zur z-Achse gerichtet ist. F¨ ur nichtmagnetische Medien mit µr = 1 ist µ = µ , und (20.12) kann dann direkt f¨ ur die magnetische Induktion formuliert werden. Wir setzen solche Medien im Folgenden voraus. Die Gleichungen (20.11) und (20.12) gelten f¨ ur eine TE-Welle, bei TM-Wellen (s. Abb. 20.2) ist dann (mit µr = 1): Be + Br = Bt

(20.13)

−Ee cos ε + Er cos ε = −Et cos ε

(20.14)

und B u In einer elektromagnetischen Welle sind E ¨ber B (20.15) n fest miteinander verkn¨ upft (s. (8.38)). Hieraus folgt B = nE/c0 und (20.11) bis (20.14) lassen sich schreiben als E = cB = c0

TE-Welle TM-Welle

Ee + Er = Et nEe cos ε − nEr cos ε = n Et

(20.16) (20.17)

(20.18) nEe + nEr = n Et −Ee cos ε + Er cos ε = −Et cos ε (20.19)

Diese Beziehungen gelten f¨ ur die orts- und zeitabh¨angigen reellen oder komplexen Feldgr¨ oßen der Wellen ebenso wie f¨ ur deren komplexe Amplituden. Wir werden sehen, dass bei der Reﬂexion eine Phasenverschiebung der reﬂektierten Welle auftreten kann. Dies ber¨ ucksichtigen wir durch die Deﬁnition eines komplexen Reﬂexionsfaktors r, des Verh¨ altnisses von einfallender zu reﬂektierter Amplitude:

578

20 Fresnelsche Gleichungen

r=

ˆ Er E = r ˆ Ee E e

(20.20)

Eliminieren wir aus (20.16) und (20.17) die Feldst¨arke Et , so erhalten wir den Reﬂexionsfaktor der TE-Welle rT E =

n cos ε − n cos ε n cos ε + n cos ε

(20.21)

und nach entsprechender Rechnung f¨ ur die TM-Welle: rT M =

cos ε/n − cos ε /n n cos ε − n cos ε = cos ε/n + cos ε /n n cos ε + n cos ε

(20.22)

¨ Durch Erweitern und Umformen folgt hieraus (s. Ubung 20.5) der Reﬂexionsfaktor TE-Welle

sin(ε − ε ) sin(ε + ε )

(20.23)

tan(ε − ε ) tan(ε + ε )

(20.24)

rT E = −

und der Reﬂexionsfaktor TM-Welle

rT M =

wobei ε aus dem Brechungsgesetz (20.10) berechnet wird: ε = arcsin(n sin ε/n)

(20.25)

angige Beziehungen f¨ ur r zu bekommen, m¨ ussen Um vom Austrittswinkel ε unabh¨ wir in (20.21) und (20.22) ε mit Hilfe des Brechungsgesetzes eliminieren: (20.26) n cos ε = ±n 1 − sin2 ε = ± n2 − n2 sin2 ε Bei Wahl des positiven Vorzeichens (damit r ≤ 1 wird) erhalten wir f¨ ur die Reﬂexionsfaktoren unter Verwendung des Brechzahlverh¨altnisses n ˜ = n /n:

rT E rT M

n2 − n2 sin2 ε ˜ 2 − sin2 ε cos ε − n = = n cos ε + n2 − n2 sin2 ε cos ε + n ˜ 2 − sin2 ε ˜ 2 − sin2 ε n2 cos ε − n n2 − n2 sin2 ε n ˜ 2 cos ε − n = = n2 cos ε + n n2 − n2 sin2 ε n ˜ 2 cos ε + n ˜ 2 − sin2 ε n cos ε −

(20.27) (20.28)

altnis von transmittierter zu einfallender Der Transmissionsfaktor t ist das Verh¨ Amplitude:

20.2 Reﬂexion an optisch dichteren und d¨ unneren Medien

t=

ˆ Et E = t ˆ Ee E e

579

(20.29)

Er l¨ asst sich aus (20.16) bis (20.19) durch Elimination von Er berechnen. Schneller kommt man jedoch zum Ziel, wenn man zun¨achst aus (20.16) und (20.18) (nach Division durch Ee ) folgert: r-t-Verkn¨ upfung

tT E = r T E + 1 n tT M = n(rT M + 1)

(20.30) (20.31)

¨ und dann die Transmissionsfaktoren aus r berechnet (s. auch Ubung 20.13): 2n cos ε 2 cos ε = n cos ε + n cos ε cos ε + n ˜ 2 − sin2 ε 2n cos ε 2˜ n cos ε = = n cos ε + n cos ε n ˜ 2 cos ε + n ˜ 2 − sin2 ε

tT E =

(20.32)

tT M

(20.33)

Die obigen Gleichungen f¨ ur r und t heißen nach ihrem Entdecker die Fresnelschen Gleichungen. Sie beschreiben die Reﬂexion und Transmission einer Welle an ideal ebenen und reinen Fl¨ achen bei Variation des Einfallswinkels. In der Praxis treten außerdem meist noch Streuverluste an Oberﬂ¨achenrauigkeiten auf; Verunreinigungen und Oxidschichten ver¨ andern die Oberﬂ¨achen zus¨atzlich, so dass reproduzierbare Messungen schwierig sind. Mnemotechnisch sind die Schreibweisen (20.27) und (20.28) sowie (20.32) und (20.33) ¨ außerst ungeeignet, die fehlende Symmetrie kommt aus dem Bestreben, den aus dem Brechungsgesetz leicht zu bestimmenden Austrittswinkel ε zu eliminieren. Will man sich die Fresnel-Formeln merken, so geht dies am besten, wenn man f¨ ur die Reﬂexionsfaktoren rTE und rTM die sin- und tan-Beziehungen (20.23) und (20.24) verwendet und die Transmissionsfaktoren t aus (20.30) und (20.31) berechnet.

20.2 Reﬂexion an optisch dichteren und du ¨ nneren Medien Bei der Interpretation der Fresnel-Formeln muss man zwei physikalisch unterschiedliche F¨ alle unterscheiden2: 1. Reﬂexion am optisch dichteren Medium mit n < n , 2. Reﬂexion am optisch d¨ unneren Medium mit n > n 2

Im engl. Sprachraum: external reﬂection bei n < n und internal reﬂection bei n > n .

580

20 Fresnelsche Gleichungen

Abb. 20.3. Reﬂexions-(r) und Transmissionsfaktoren (t) bei Reﬂexion am optisch dichteren Medium (n < n ) mit n /n = 1,5

20.2.1 Reﬂexion und Transmission bei n < n In Abb. 20.3 sind die Faktoren r und t als Funktion des Einfallswinkels f¨ ur den ur TM- und TE-Wellen bei senkrechFall n < n dargestellt. Beachten Sie, dass f¨ ur tem und streifendem Einfall (also ε = 0◦ bzw. 90◦ ) jeweils gleiche Betr¨age f¨ rTE und rTM sowie die beiden t auftreten. Negatives Vorzeichen des Reﬂexionsfaktors bedeutet einen Phasensprung der elektrischen Feldst¨arke, der bekanntlich am optisch dichteren Medium auftritt. Bei der Transmission tritt kein Phasensprung auf. Betrachtet man statt der Wellenamplituden die Leistungen P , die proportional dem Amplitudenquadrat sind, so deﬁniert man den (s. Kap. 20.4)

2 ˆr Pr E Reﬂexionsgrad = = = r2 (20.34) ˆe Pe E und den Transmissionsgrad

τ=

Pt n cos ε 2 = t Pe n cos ε

(20.35)

20.2 Reﬂexion an optisch dichteren und d¨ unneren Medien

581

mit dem Zusammenhang + τ = 1 (s. (20.47)). Der Verlauf des Reﬂexionsgrades ist in Abb. 20.5 wiedergegeben. Beispiel 20.1 Luft-Glas-Grenzﬂ¨ ache Berechnen Sie die Reﬂexions- und Transmissionsgr¨oßen f¨ ur die TE- und TMWellen von Licht, das auf eine Glasﬂ¨ ache (Brechzahl n = 1,50) in Luft unter den Winkeln 0◦ und 30◦ sowohl von der Luft- als auch Glasseite aus einf¨allt. L¨ osung ¨ Bei senkrechtem Einfall gilt nach (20.21) f¨ ur den Ubergang Luft → Glas mit n−n n = 1 und n = 1,5: rTE = −rTM = n+n = −0,2; der Reﬂexionsgrad ist = r2 = 0,04 = 4% und der Transmissionsgrad τ = 1 − = 96%. F¨ ur Glas → Luft ist n = 1,5 und n = 1 und damit rTE = −rTM = 0,2 mit = 4%. An einer Luft-Glas und Glas-Luft-Fl¨ache werden demnach bei ◦ nach senkrechter Inzidenz 4% des einfallenden Lichtes reﬂektiert. Bei 30 ist ε ¨ (20.25) f¨ ur den Ubergang Luft → Glas: ε = arcsin n sin n = 19,5◦ .

) Damit wird rTE = − sin(ε−ε sin(ε+ε ) = −0,24, entsprechend TE = 5,8% und

) τ TE = 94,2%. F¨ ur die TM-Welle wird rTM = tan(ε−ε tan(ε+ε ) = 0,16 mit ¨ TM = 2,5% und τTM = 97,5%. Beim Ubergang Glas → Luft werden lediglich die Vorzeichen der Phasenspr¨ unge vertauscht, d.h. rTE = +0,24 und rTM = −0,16 (s. Abb. 20.3 und 20.4).

Abbildung 20.3 zeigt, dass TM-Wellen bei einem Einfallswinkel von etwa 55◦ (genau εp = 56,31◦ bei n /n = 1,5) nicht reﬂektiert werden. Man bezeichnet diesen ausgezeichneten Winkel als Brewster - oder Polarisationswinkel εp . Er kann aus (20.24) und der Forderung rTM = 0 ermittelt werden: Brewster-Winkel

tan εP =

n n

(20.36)

Beweis: Aus (20.24) folgt, dass rTM = 0 falls tan(ε + ε ) = ∞, also wenn ε + ε = 90◦ , bzw. ε = 90◦ − ε. Aus dem Brechungsgesetz (20.10) ergibt sich dann – mit sin ε = sin(90◦ − ε) = cos ε – direkt (20.36).

Am Brewster-Winkel stehen somit (wegen ε + ε = εr + ε = 90◦ ) der gebrochene und der (unterdr¨ uckte) reﬂektierte Strahl senkrecht aufeinander, so dass der reﬂektierte Strahl parallel zur Schwingungsrichtung des E-Vektors der gebrochenen Welle verlaufen w¨ urde. Die durch Et inﬂuenzierten Hertzschen Dipole strahlen jedoch nicht in Dipol- bzw. Schwingungsrichtung, und die Reﬂexion wird unterdr¨ uckt. Die Reﬂexion der TE-Welle verschwindet am Brewster-Winkel nicht

582

20 Fresnelsche Gleichungen

Abb. 20.4. Reﬂexionsfaktoren bei Reﬂexion am optisch d¨ unneren Medium (n > n ) f¨ ur n /n = 1/1,5

(TE = 15%), so dass das reﬂektierte Licht in TE-Richtung linear polarisiert ist. ur Bei senkrechtem Lichteinfall (ε = 0) wird der Reﬂexionsgrad = r2 f¨ alle Polarisationsrichtungen gleich und nur abh¨angig von |n − n | (s. (20.21) u. (20.22)): 2 n − n Reﬂexionsgrad bei ε = 0 = (20.37) n + n ¨ Bei einem Luft → Glas- (n = 1, n = 1,5) bzw. Glas → Luft-Ubergang werden dann 4 % des einfallenden Lichtes reﬂektiert (s. Bsp. 20.1), wobei noch zu beachten ist, dass n wellenl¨ angenabh¨ angig ist. Aus Abb. 20.5 ist weiterhin ersichtlich, dass bei streifendem Lichteinfall (ε → 90◦ ) TE und TM gegen 1 gehen. TM ¨ bleibt zun¨ achst klein und steigt erst nach Uberschreiten des Brewster-Winkels auf große Werte.

20.3 Phasen¨ anderung bei Reﬂexion

583

20.2.2 Reﬂexion und Transmission bei n > n Bei Reﬂexion am optisch d¨ unneren Medium (n > n , s. Abb. 20.4 und 20.5 mit n = 1,5 n ) beobachtet man ebenfalls Polarisation bei Lichteinfall unter dem Brewster-Winkel. Am auff¨ alligsten ist jedoch die vollst¨andige Reﬂexion nach ¨ Erreichen des Grenzwinkels der Totalreﬂexion εg (εg = 41,8◦ bei Glas-Luft-Ubergang) mit Grenzwinkel der Totalreﬂexion

sin εg =

n n

(20.38)

Am Grenzwinkel wird der Austrittswinkel des gebrochenen Strahls gerade εg = 90◦ und mithin sin ε = 1, damit folgt die Grenzwinkelbedingung (20.38) direkt aus dem Brechungsgesetz (20.10). Weiterhin ist dann cos ε = 1, und der Reﬂexionsfaktor wird nach (20.21) und (20.22) r = 1. F¨ ur ε > εg wird cos ε nach (20.26) rein imagin¨ ar und damit (s. (20.27) u. (20.28)) r komplex, wobei Z¨ahler und Nenner konjugiert komplex sind und somit gleiche Betr¨age haben. Damit wird |r|2 = = 1, wir erhalten Totalreﬂexion. F¨ ur Einfallswinkel ε, die gr¨ oßer als der Grenzwinkel εg der Totalreﬂexion sind, tritt f¨ ur Wellen, die vom optisch dichteren Medium kommen, Totalreﬂexion auf.

20.3 Phasen¨ anderung bei Reﬂexion Negative Werte des Reﬂexionsfaktors (s. Abb. 20.3 und 20.4) bedeuten eine Rich tungsumkehr des E-Vektors und damit eine Phasen¨anderung um π bei der Reﬂexion. Dies wird bei Betrachtung der komplexen Amplitude deutlich: ˆ = −rEˆ = rEˆ ejπ Eˆ r = r E e e e

(20.39)

Bei Reﬂexion am optisch dichteren Medium (n < n ) erf¨ahrt die TE-Welle den π-Phasensprung nach (20.21) bei allen Einfallswinkeln, die TM-Welle (20.22) nur unneren Medium oberhalb des Brewster-Winkels εp . Bei Reﬂexion am optisch d¨ (n > n ) muss man drei Bereiche (s. Abb. 20.4) unterscheiden: ahrt Phasensprung, 1. ε < εp : nur die TM-Welle erf¨ 2. εp < ε < εg : beide Wellen werden in Phase reﬂektiert. 3. ε > εg : Hier wird der Radikand in (20.26) wegen n sin ε > n negativ, und aus (20.27) und (20.28) ergeben sich komplexe Reﬂexionsfaktoren:

584

20 Fresnelsche Gleichungen

Abb. 20.5. Reﬂexionsgrade = r 2 bei Reﬂexion am optisch dichteren (n /n = 1,5) und d¨ unneren Medium (n /n = 1/1,5); die zugeh¨ origen Reﬂexionsfaktoren sind in Abb. 20.3 und 20.4 dargestellt. Der Transmissionsgrad ergibt sich aus τ = 1 −

rT E rT M

n cos ε + j n2 sin2 ε − n2 = n cos ε − j n2 sin2 ε − n2 n2 cos ε + jn n2 sin2 ε − n2 = n2 cos ε − jn n2 sin2 ε − n2

(20.40) (20.41)

mit n > n und ε > εg

In Kapitel 20.5 (Fußnote 3) wird begr¨ undet, warum hierbei in (20.26) beim Radizieren das negative Vorzeichen (−j) zu w¨ahlen ist. Z¨ahler und Nenner der r

20.3 Phasen¨ anderung bei Reﬂexion

585

sind jeweils konjugiert komplex zueinander und haben damit denselben Betrag, dann wird |r| = 1, und wir erhalten – wie bereits erw¨ahnt – Totalreﬂexion. Zur Ermittlung des Phasenwinkels Φ schreiben wir r in Polarkoordinaten (mit r = 1): r = r ejΦ =

ejΦ/2 cos(Φ/2) + j sin(Φ/2) = cos(Φ/2) − j sin(Φ/2) ejΦ/2

Durch Vergleich mit (20.40) und (20.41) folgen hieraus f¨ ur die Phasenverschiebungen zwischen reﬂektierter und einfallender Welle (bei Totalreﬂexion): ΦT E n2 sin2 ε − n2 tan = 2 n cos ε ΦT M n n2 sin2 ε − n2 tan = 2 n2 cos ε

(20.42) (20.43)

Wir sehen, dass diese Phasenverschiebungen positive Vorzeichen haben – die reﬂektierte Welle eilt somit voraus – und bei Variation des Einfallswinkels beliebige Werte zwischen 0 und π annehmen k¨ onnen (s. Abb. 20.6). In Abb. 20.6 ist auch ur n/n = 1,5) dargestellt. Man erkennt, dass die Phasendiﬀerenz ΦTM − ΦTE (f¨ diese f¨ ur einen Einfallswinkel ε von etwa 50◦ bei Φ = 45◦ liegt. Zwei derartige Reﬂexionen erzeugen dann eine Phasendiﬀerenz von 90◦ (bzw. π/2) zwischen den zueinander senkrecht polarisierten TM- und TE-Wellen, und das austretende Licht wird zirkular polarisiert. Diese Eigenschaft wird bei dem Fresnel-Rhomboid (s. Abb. 20.7) angewandt, das u ¨ber einen gr¨oßeren Wellenl¨angenbereich als eine λ/4-Platte verwendbar ist. Zusammenfassend kann man also f¨ ur die Phasenverschiebungen bei Reﬂexion am optisch d¨ unneren Medium der Brechzahl n (mit n < n) schreiben:

ΦT E

ΦT M

⎧ ⎨0 ε < εg √ = 2 2 2 ⎩ n sin ε−n 2 arctan ε > εg n cos ε ⎧ ⎪ ⎪ ε < εp ⎪ ⎨π = 0 ε p < ε < εg ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎩ n n2 sin2 ε−n2 2 arctan ε > εg n2 cos ε

(20.44)

(20.45)

mit den zugeh¨ origen Graphen in Abb. 20.8. Die Transmissionsfaktoren sind nach (20.32) und (20.33) bei reellen Brechzahlen (dies entspricht verlustfreien Medien (s. Kap. 20.6)) außerhalb des Bereichs der Totalreﬂexion immer reell und positiv, so dass gilt:

586

20 Fresnelsche Gleichungen

In Transmission tritt in nichtabsorbierenden Medien kein Phasensprung auf.

Beispiel 20.2 Phasenverschiebung bei Reﬂexion Welche Phasenverschiebungen erfahren die TM- und TE-Welle bei der in Bei¨ spiel 1 behandelten Reﬂexion sowohl beim Ubergang vom optisch dichteren zum optisch d¨ unneren Medium als auch umgekehrt? L¨ osung

Abb. 20.6. Phasenverschiebungen der E-Felder der Lichtwelle bei Reﬂexion am optisch d¨ unneren Medium (mit n /n = 1/1,5; vgl. Abb. 20.4)

20.3 Phasen¨ anderung bei Reﬂexion

587

Abb. 20.7. Das Fresnel-Rhomboid. Bei Einfall von Licht, das unter 45◦ zur Einfallsebene linear polarisiert ist, erzeugen zwei Reﬂexionen am optisch d¨ unneren Medium zwei TE- und TM-polarisierte Teilwellen gleicher Amplitude mit insgesamt 90◦ Phasendiﬀerenz, die beim Austritt eine zirkular polarisierte Welle bilden. F¨ ur ein Rhomboid aus Glas in Luft betr¨ agt der Winkel α ca. 53◦ (s. Abb. 20.6). Die Anordnung ist u ¨ ber einen weiten Wellenl¨ angenbereich verwendbar

Nach Abb. 20.8 treten abrupte Phasen¨anderung auf bei εg = arcsin(n/n ) = 41,8◦ und εp1 = arctan(n /n) = arctan(1/1,5) = 33,7◦ sowie ur die Einfallswinkel 0◦ und εp2 = arctan(n /n) = arctan(1,5) = 56,3◦ . Da f¨ ◦ 30 gilt: ε < εp1 stimmen die Phasen¨anderungen bei beiden Winkeln u ur die Reﬂexion am optisch dichteren Medium ist ΦTE = π und ¨ berein. F¨ ahrend sich bei Reﬂexion am d¨ unneren Medium gerade eine ΦTM = 0, w¨ Vertauschung der Werte ergibt, d.h. ΦTE = 0 und ΦTM = π. Aus Abb. 20.8 ergeben sich wichtige Konsequenzen f¨ ur die Interferenz von Wellen. Bei kleinen Einfallswinkeln (ε < εp ) erfahren TE- und TM-Wellen ¨ immer entgegengesetzte Phasenspr¨ unge. Diese sind außerdem f¨ ur die Uberg¨ ange optisch d¨ unn → dicht und optisch dicht → d¨ unn vertauscht, d.h. bei n < n ist ahrend bei n > n gilt: ΦTE = 0 und ΦTM = π. ΦTE = π und ΦTM = 0, w¨ Hieraus folgt dann, dass f¨ ur einen Strahl, der auf eine Glasplatte in Luft f¨allt und teilweise an Ober- und Unterseite reﬂektiert wird, sowohl f¨ ur eine TE- als auch f¨ ur eine TM-Welle insgesamt die Phasenverschiebung π auftritt, und nur die Reihenfolge der einzelnen Phasenspr¨ unge vertauscht ist. F¨ ur ε > εp stimmen die Phasenwinkel f¨ ur TE- und TM-Wellen sowohl bei Reﬂexion am optisch dichteren als auch am d¨ unneren Medium u ¨berein. man erkennt Dasselbe gilt auch bei Betrachtung der Phasenspr¨ unge von B, aus Abb. 20.1 und 20.2, dass der Phasensprung des B-Vektors gegen¨ uber dem

588

20 Fresnelsche Gleichungen

Abb. 20.8. Phasendiﬀerenz Φ zwischen einfallenden und reﬂektierten Strahlen als Funktion des Einfallswinkels f¨ ur Reﬂexion am optisch dichteren Medium (n < n , n/n = 1/1,5) und a) TE-Polarisation sowie c) TM-Polarisation. Desgl. f¨ ur Reﬂexion am d¨ unneren Medium (n > n , n/n = 1,5): b) TE-Welle, d) TM-Welle. Unstetigkeiten treten auf am Grenzwinkel der Totalreﬂexion εg = arcsin(1/1,5) = 41,8◦ und bei den Brewster-Winkeln εp1 = arctan(1/1,5) = 33,7◦ und εp2 = arctan(1,5) = 56,3◦ (s. Abb. 20.6)

des E-Vektors vertauscht ist. Die Gesamtdiﬀerenz der Phasenwinkel bleibt auch hier unge¨ andert.

20.4 Energieerhaltung

589

20.4 Energieerhaltung Da wir zun¨ achst transparente Medien ohne Absorptionsverluste untersuchen, muss aufgrund des Erhaltungssatzes der Energie f¨ ur die Leistungsbilanz von einfallender, durchgehender und reﬂektierter Leistung gelten: Pe = Pr + Pt

(20.46)

Mit dem Reﬂexionsgrad = Pr /Pe und dem Transmissionsgrad τ = Pt /Pe folgt hieraus: -τ -Beziehung

+τ =1

(20.47)

Verwenden wir in (20.46) die Intensit¨ at I = P/A, so gilt: I e Ae = I r Ar + I t At

(20.48)

¨ Abb. 20.9. Anderung des Strahlquerschnitts bei Transmission. Es gilt Ae Ar = A cos ε und At = A cos ε = Ae cos ε / cos ε

=

590

20 Fresnelsche Gleichungen

Der B¨ undelquerschnitt der Strahlen (s. Abb. 20.9) ¨andert sich bei Transmission derart, dass Ae = Ar = A cos ε und At = A cos ε . Setzen wir diese Fl¨achen und die Intensit¨ at (s. (8.56)) I = εc

ˆ2 ε 0 c0 ˆ 2 E =n E 2 2

(20.49)

in (20.48) ein, so erhalten wir ˆ 2 cos ε + n Eˆ 2 cos ε ˆ 2 cos ε = nE nE e r t

(20.50)

und nach Division durch die linke Seite: n cos ε 2 t =1 n cos ε Der Vergleich mit (20.47) ergibt f¨ ur beliebige Einfallswinkel den r2 +

Reﬂexionsgrad

Pr = = r2 = Pe

ˆr E ˆe E

2 =

Ir Ie

(20.51)

(20.34)

und den Transmissionsgrad

τ=

n cos ε 2 Pt = t Pe n cos ε

(20.35)

Der Transmissionsgrad τ ist also nicht einfach gleich dem Betragsquadrat t2 des Transmissionsfaktors, da einerseits die ge¨anderte Ausbreitungsgeschwindigkeit das Fortschreiten der Energie beeinﬂusst und andererseits die Brechung den Strahlquerschnitt und damit die Energiedichte ver¨andert. Bei senkrechtem Einfall wird dann senkrechter Einfall

r2 +

n 2 n t = 1 und τ = t2 n n

(20.52)

Zur graﬁschen Darstellung des Transmissionsgrades τ (ε) kann man Abb. 20.5 mit τ = 1 − verwenden.

20.5 Evaneszente Wellen Wir hatten gesehen, dass an einer Grenzﬂ¨ ache mit n > n f¨ ur Einfallswinkel ε > εg Totalreﬂexion auftritt. Die Grenzﬂ¨ ache verh¨alt sich wie ein perfekter Spiegel, auf den wir die Spiegelgesetze der geometrischen Optik anwenden k¨onnen.

20.5 Evaneszente Wellen

591

Bei genauerer Untersuchung stellt man fest, dass hierbei die einfallende Welle als evaneszente Welle in das f¨ ur sie verbotene Gebiet der Brechzahl n eindringt. Wir werden sehen, dass z.B. bei einem Lichtwellenleiter (s. Kap. 24) aufgrund dieser behinderten Totalreﬂexion ein Teil der Energie im Fasermantel transportiert wird. Dies l¨ asst sich nur im Wellenbild verstehen. Hierzu untersuchen wir die an einer Grenzﬂ¨ ache durchgelassene Welle (s. Abb. 20.1 und (20.3)) ˆ ej(ωt t−kt ·r) =E E t t

(20.3)

kt · r = n k0 (x cos ε + z sin ε )

(20.53)

mit

Nach (20.26) ist n cos ε = ±n

1 − sin2 ε = ± n2 − n2 sin2 ε

(20.26)

Dieser Ausdruck wird bei Totalreﬂexion wegen n sinε > n imagin¨ar und somit gleich: (20.54) n cos ε = −j n2 sin2 ε − n2 Hiermit wird dann die ortsabh¨ angige Phase (20.53) der Welle (unter Verwendung des Brechungsgesetzes): kt · r = k0 zn sin ε − jxk0 n2 sin2 ε − n2 Setzt man im Imagin¨ arteil α = k0

n2 sin2 ε − n2

(20.55)

so wird die durchgehende Welle (20.3): ˆ e−αx ej(ωt−k0 n sin εz) E=E

evaneszente Welle

(20.56)

Dies ist eine in z-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit cz =

ω ω c c = = = kz k0 n sin ε sin ε sin ε

fortschreitende Welle, deren Amplitude in x-Richtung – also quer zur Fortschreitungsrichtung – exponentiell ged¨ ampft ist3 . Man hat eine querged¨ampfte, sogenannte evaneszente Welle. Die Amplituden-Eindringtiefe dA dieser Welle, 3

Um in (20.56) eine ged¨ ampfte Welle mit negativem Exponenten (∼ e−αx ) zu erhalten, mussten wir in (20.54) das negative Vorzeichen w¨ ahlen.

592

20 Fresnelsche Gleichungen

bei der die Amplitude auf den Bruchteil 1/e abgeklungen ist, ergibt sich nach (20.55) und (20.56) zu: Eindringtiefe

dA =

1 λ0 = α 2π n2 sin2 ε − n2

(20.57)

Mit der Welle ist kein Energietransport in x-Richtung verbunden. Falls jedoch die Dicke d einer totalreﬂektierenden“ Schicht hinreichend d¨ unn (d.h. d dA ) ” wird und auf der anderen Seite ein Medium mit n > n sin ε liegt, in dem also die Welle ausbreitungsf¨ ahig ist, so beobachtet man behinderte Totalreﬂexion 4 (optischer Tunneleﬀekt) und die Welle breitet sich in diesem Medium mit verminderter Amplitude weiter aus. Dies wird in dem Strahlenteilerw¨ urfel (s. ¨ Abb. 20.10 a) zur Strahlenteilung und -abschw¨achung ausgenutzt; durch Anderung des Abstands ∆x zwischen den Prismen kann das Teilerverh¨altnis variiert werden. Abbildung 20.10 b zeigt das Prinzip der ATR-Spektroskopie (Attenuated Total Reﬂection): Ein einfallender Lichtstrahl wird an der Grenzﬂ¨ache Eintauchsonde–Fl¨ ussigkeit mehrfach total“ reﬂektiert. Hierbei wird der evanes” zenten Welle durch das absorbierende Medium Energie entzogen und damit auch die reﬂektierte Welle geschw¨ acht.

Abb. 20.10. a) Strahlenteiler, der auf der behinderten Totalreﬂexion beruht. Die evaneszente Welle kann das Gebiet der Breite d zwischen den Prismen teilweise durchtun” neln“. Die Strahlbreite soll die Intensit¨ at symbolisieren. b) ATR-Spektroskopie: Eine Eintauchsonde E ist u ¨ ber einen Lichtleiter L mit dem Spektrometer verbunden. Die evaneszenten Wellen werden in der Fl¨ ussigkeit F selektiv absorbiert 4

FTIR = F rustrated T otal I nternal Reﬂection.

20.6 Komplexe Brechzahl

593

Beispiel 20.3 Evaneszente Welle Berechnen Sie die Eindringtiefe einer evaneszenten Welle, die Totalreﬂexion an einer Glas–(n = 1,5)–Luft-Grenzﬂ¨ache erf¨ahrt, wenn die VakuumLichtwellenl¨ ange 500 nm betr¨ agt und der Einfallswinkel bei 60◦ liegt. L¨ osung 1 = 41,8◦ , so Der Grenzwinkel der Totalreﬂexion betr¨agt εg = arcsin 1,5 ◦ dass bei 60 tats¨ achlich Totalreﬂexion auftritt. Die Eindringtiefe ist nach = 96 nm, also nur etwa λ0 /5 bzw. 0,3 λGlas . (20.57) dA = √ 500 nm2 2π

1,52 sin 60◦ −1

20.6 Komplexe Brechzahl Ist die reﬂektierende Oberﬂ¨ ache metallisch, also absorbierend, so bleiben – wie nun gezeigt werden soll – die Fresnel-Formeln g¨ ultig, wenn man die Absorption durch eine komplexe Brechzahl ber¨ ucksichtigt (s. Kap. 27). Wir wollen das Verhalten der Welle in einem absorbierenden Medium durch Vergleich mit einem verlustbehafteten Plattenkondensator (Platten-Abstand d, -ﬂ¨ache A) in einem elektrischen Wechselfeld diskutieren. Die Verluste k¨onnen formal durch ein elektrisch leitf¨ ahiges Dielektrikum“ bzw. einen zum Kondensator parallel ge” schalteten ohmschen Widerstand R ber¨ ucksichtigt werden. Bekanntlich ist die elektrische Scheinleistung P = U 2 /Z, wobei der Scheinwiderstand Z aus der Parallelschaltung von Wirkwiderstand R und Blindwiderstand Xc = 1/(jωC ) berechnet werden kann: 1 1 = + jωC ≡ jωC = jω(C − jC ) = jωC + ωC Z R Wir haben hierbei eine komplexe Kapazit¨at

(20.58)

C = C − jC deﬁniert, mit der sich oﬀenbar der Gesamtwiderstand einfacher angeben l¨asst. Aus ihrem Imagin¨ arteil folgt: ω C = 1/R und hiermit die Verlust- (Wirk-) 2 leistung U /R = ωC U 2 . Die komplexe Kapazit¨at des Kondensators C = ε A/d hat eine komplexe Dielektrizit¨atskonstante ε und Dielektrizit¨atszahl εr zur Folge: komplexe Dielektrizit¨atskonstante ε = ε0 εr = ε − jε = ε0 (εr − jεr ) (20.59) F¨ ur den elektrischen Leitwert gilt: 1/R = σA/d, mit der elektrischen Leitf¨ahigkeit σ. Setzen wir dies in (20.58) ein, so erhalten wir nach Division durch jω:

594

20 Fresnelsche Gleichungen

C=ε

A A A 1 σA = (ε − j ε ) = C + = ε − j d d jωR d ωd

Hieraus ergibt sich die wichtige Beziehung zwischen Imagin¨arteil der Dielektrizit¨ atszahl und elektrischer Leitf¨ ahigkeit: εr =

Verluste

σ ε0 ω

(20.60)

Die in einem absorbierenden Medium auftretenden Verluste k¨onnen entweder durch den Imagin¨ arteil εr der komplexen Dielektrizit¨atszahl, entsprechend einem dissipativen Verschiebungsstrom, oder die elektrische Leitf¨ahigkeit σ, entsprechend einem Leitungsstrom, beschrieben werden. In den gut leitenden Metallen erzeugt eine einfallende Lichtwelle große Leitungsstr¨ ome und damit starke Lichtabsorption. Wegen der Maxwell-Beziehung (s. (8.43)) εr = n2

(20.61)

lassen sich die optischen Eigenschaften eines absorbierenden Medium auch durch eine n = n − jκ

komplexe Brechzahl

(20.62)

charakterisieren. n ist die bekannte reelle Brechzahl, die die Phasengeschwindigkeit c0 /n der Welle bestimmt; κ, der Extinktionskoeﬃzient, erfasst ihre D¨ampfung. Aufgrund der komplexen Brechzahl n wird auch die Kreiswellenzahl komplex ω ω n = (n − jκ) (20.63) c0 c0 und eine eindimensionale harmonische Welle, die bei x = 0 mit der Amplitude ˆ0 senkrecht auf ein absorbierendes Medium triﬀt, gen¨ E ugt damit der Gleichung k=

ˆ ej(ωt−kx) = E ˆ e−ωκx/c0 ej(ωt−kx) ≡ Eˆ ej()ωt−kx E=E 0 0 mit k = nω/c0 . Die Welle weist dieselbe Phase – und damit Phasengeschwindigˆ ampfte Welle auf, ihre Amplitude E(x) nimmt jedoch keit c0 /n – wie eine unged¨ entsprechend ˆ e−ωκx/c0 ≡ E ˆ e−Kx/2 ˆ =E E(x) 0 0

(20.64)

ˆ∗: in x-Richtung ab. F¨ ur die durchgehende Lichtleistung P gilt wegen P ∼ Eˆ E

20.7 Metallreﬂexion

Extinktionsgesetz

P (x) = P0 e−Kx

595

(20.65)

also das Lambert-Beersche Extinktionsgesetz , nach dem die Lichtleistung in einem absorbierenden Medium exponentiell mit der Schichtdicke x abnimmt. K bezeichnet man als Extinktions- oder Absorptionskonstante, die mit dem Extinktionskoeﬃzient κ nach (20.64) u ¨ber die folgende Beziehung zusammenh¨angt: K=2

Extinktionskonstante

4π ω κ= κ c0 λ0

(20.66)

Der Kehrwert von K ist die (Energie-) Eindringtiefe

dE =

1 K

(20.67)

bei der die Lichtleistung auf P0 /e, also 37% des Anfangswertes, abgesunken ist5 . Beispiel 20.4 Energie-Eindringtiefe Wie groß ist die Energie-Eindringtiefe roten Lichts in Kupfer, wenn bei λ = 640 nm der Extinktionskoeﬃzient κ = 4 betr¨agt? L¨ osung λ0 λ0 λ0 1 = 4πκ = 16π ≈ 50,3 ≈ 12,7 nm. Bei den stark absorbierenden Es gilt dE = K Metallen kann demnach das Licht nur einige hundertstel Wellenl¨angen eindringen.

20.7 Metallreﬂexion Wir hatten gesehen, dass die Wellenausbreitung in absorbierenden Materialien mit der komplexen Brechzahl zu beschreiben ist. Dies f¨ uhrt dazu, dass wir in allen Fresnel-Gleichungen die Brechzahl n durch n zu ersetzen haben. Mit dieser Erkenntnis k¨ onnen wir dann auch den Reﬂexionsfaktor von absorbierenden metallischen Materialien aus (20.21) bis (20.28) bestimmen. Wir erhalten dann anstelle von (20.27) und (20.28): 5

Die Eindringtiefe wird nicht einheitlich deﬁniert. Bei der Behandlung der Lichtabsorption verwendet man meist die Energie-Eindringtiefe dE . In der Faseroptik benutzt man zur Kennzeichnung der Reichweite der evaneszenten Welle meist die Amplituden-Eindringtiefe dA (20.57). Aus (20.64) und (20.65) folgt dA = 2dE .

596

20 Fresnelsche Gleichungen

rT E rT M

n2 − n2 sin2 ε = n cos ε + n2 − n2 sin2 ε n2 cos ε − n n2 − n2 sin2 ε = n2 cos ε + n n2 − n2 sin2 ε n cos ε −

(20.68) (20.69)

F¨ ur den wichtigen Spezialfall senkrechter Inzidenz wird dies (s. auch (20.37)): rT E = −rT M =

n − n n + n

(20.70)

Hieraus folgt f¨ ur den Reﬂexionsgrad eines Metallspiegels (n = n − j κ) in Luft (n = 1): 1 − (n − jκ) 1 − (n + jκ) · 1 + n − jκ 1 + n + jκ (n − 1)2 + κ2 = (20.71) (n + 1)2 + κ2

= r r∗ = Metallreﬂexion (bei ε = 0)

Da moderne Rechner mit komplexen Zahlen und damit Brechzahlen rechnen k¨ onnen, ist im Allgemeinen die direkte Auswertung der Fresnel-Formeln problemlos m¨ oglich. Es ist also zu empfehlen, auch hier mit den einfachen Formeln (20.23) bis (20.25) zu rechnen (s. Bsp. 20.5). Andernfalls muss man in den Gleichungen Real- und Imagin¨ arteil getrennt ermitteln. Hierbei ist z.B. in (20.68) die Wurzel einer komplexen Zahl z = A + j B zu berechnen. Dabei verwendet man alt die Zeigerdarstellung z = z ejφ und erh¨ B 1/2 2 2 1/4 jϕ/2 = (A + B ) e mit ϕ = arctan z A In Abb. 20.11 ist das Ergebnis der numerischen Berechnung des Reﬂexionsgrades f¨ ur festes Natrium und einkristallines Gallium in Luft gezeigt. Bei Natrium (mit n = 0,04 − j 2,4) ist die Brechzahl n sehr klein. In einem solchen Fall werden in (20.68) die Radikanden wegen n2 ≈ −κ2 nahezu reell und negativ. Der Wurzelterm wird fast rein imagin¨ ar und man erh¨alt – wie bereits bei der Totalreﬂexion diskutiert – ein r, bei dem Z¨ahler und Nenner ann¨ahernd gleiche Realteile und Imagin¨ arteile unterschiedlichen Vorzeichens aufweisen. Damit stimmen deren Betr¨ age ann¨ ahernd u ¨berein und mithin wird r ≈ 1. Dies ﬁndet man in Abb. 20.11 best¨ atigt, wo der Reﬂexionsgrad – unabh¨angig vom Einfallswinkel – f¨ ur beide Polarisationen nahe bei 100% liegt. Bei Gallium (n = 3,7 − 5,4 j) sind n und κ etwa gleich groß, mit der Konsequenz, dass der Reﬂexionsgrad st¨ arker winkel- und polarisationsabh¨angig wird und die TM-Welle bei etwa 80◦ , dem sogenannten Haupteinfallswinkel, ein Minimum aufweist. Bei Metallen existiert jedoch kein Brewster-Winkel, f¨ ur den

20.7 Metallreﬂexion

597

Abb. 20.11. Mit Hilfe der Fresnelschen Gleichungen berechneter Reﬂexionsgrad metallischer Oberﬂ¨ achen aus Natrium und Gallium in Luft. Die angegebenen Werte der komplexen Brechzahlen n = n − j κ beziehen sich auf Natrium-Licht der Wellenl¨ ange λ = 589,3 nm. εH ist der Haupteinfallswinkel

TM = 0, so dass unpolarisiert einfallendes Licht nach der Reﬂexion mehr oder weniger elliptisch – aber nie vollst¨ andig linear – polarisiert ist. Beispiel 20.5 Reﬂexion von Gallium Ermitteln Sie Reﬂexionsfaktor und -grad einer Gallium-Oberﬂ¨ache mit n = 3,7 und κ = 5,4 (s. Abb. 20.11), auf die Licht von 589 nm senkrecht und unter 60◦ einf¨ allt.

598

20 Fresnelsche Gleichungen

L¨ osung j) −2,7+5,4 j Bei 0◦ ist nach (20.70) rTE = 1−(n−κ 1+(n−κ j) = 4,7−5,4 j = −0,817 + 0,211 j = 0,843 · ej2,89 . Damit wird der Reﬂexionsgrad = (0,843)2 = 0,71 = 71% und die Phasenverschiebung Φ = 2,89 rad = 166◦ . Bei 60◦ verwenden wir (20.23) bis (20.25) und erhalten ε = arcsin(sin ε/n) = arcsin(sin 60◦ /(3,7 − 5,4 j)) = 0,074 + 0,11 j. sin(ε−ε ) j3,02 Hiermit wird rTE = − sin(ε+ε , d.h. ) = −0,911 + 0,115 j = 0,92 · e rTE = 0,92, ΦTE = 3,02 rad und rTE = 0,844. ) −j0,51 Weiterhin wird rTM = tan(ε−ε und tan(ε+ε ) = 0,627 − 0,348 j = 0,717 · e TM = 0,515 (vgl. Abb. 20.11).

¨ Ubungen 20.1 Zeigen Sie, dass das Brewster-Gesetz auch aus (20.28) und der Bedingung rTM = 0 folgt. ¨ ﬁndet man einen Grenzwinkel der Totalreﬂexion von 33◦ 20.2 F¨ ur ein bestimmtes Ol ¨ ¨ und Ol– ¨ gegen¨ uber Luft. Welche Brewster-Winkel treten beim Ubergang Luft–Ol Luft auf? 20.3 Bestimmen Sie die Grenzwinkel der Totalreﬂexion und die Brewster-Winkel f¨ ur die Reﬂexion an der Grenzﬂ¨ ache Luft–Flintglas (n = 1,84) und Flintglas–Luft. 20.4 Welche Brechzahl muss ein an Luft grenzendes Medium haben, damit der Grenzwin¨ kel der Totalreﬂexion und der Brewster-Winkel f¨ ur den Ubergang Luft–Medium u ¨ bereinstimmen? 20.5 Formen Sie die Fresnel-Gleichungen ((20.21), (20.22)) und ((20.32), (20.33)) durch geschickte Erweiterung von Z¨ ahler und Nenner so um, dass die folgenden Ausdr¨ ucke (s. (20.23) und (20.24) gelten: sin(ε − ε ) , sin(ε + ε ) tan(ε − ε ) =− , tan(ε + ε )

2 cos ε sin ε sin(ε + ε ) 2 cos ε sin ε = sin(ε + ε ) cos(ε − ε )

r TE = −

tTE =

r TM

tTM

Leiten Sie aus rTM = 0 das Brewster-Gesetz her. 20.6 Best¨ atigen Sie – unter Verwendung eines selbst geschriebenen Programms oder sonstiger Software – die in den Abbildungen 20.3 und 20.4 wiedergegebenen Graphen. Welche Schreibweise der Fresnel-Gleichung bietet nach Ihrer Ansicht den geringsten Programmieraufwand? Verwenden Sie diese. Untersuchen Sie außerdem die Grenzﬂ¨ ache Luft–Diamant (n = 2,42). 20.7 Zeichnen Sie (mit Hilfe eines Rechners) die Graphen f¨ ur Reﬂexions- und Transmissionsgrad einer Grenzﬂ¨ ache mit dem Brechzahlverh¨ altnis n ˜ = n /n = 1,5, also z.B. Luft–Glas (nGlas = 1,5, s. Abb. 20.5).

20.7 Metallreﬂexion

599

20.8 Best¨ atigen Sie entsprechend die Graphen der Phasenverschiebungen der Abb. 20.6. 20.9 Eine verlustlose λ/4-Schicht aus Magnesium-Fluorid (n = 1,38) dient zur Entspiegelung von Glas (n = 1,52). Bestimmen Sie f¨ ur senkrechten Lichteinfall die Reﬂexionsgrade der Grenzﬂ¨ achen: a) Luft–Schicht, b) Schicht–Glas, c) Luft–Glas sowie d) der gesamten λ/4–Antireﬂexschicht (s. Kap. 19.4). 20.10 Berechnen Sie den Reﬂexionsgrad von Wasser (n = 1,33) sowohl f¨ ur a) TE- als auch b) TM-Polarisation und die Einfallswinkel 0◦ , 10◦ , 45◦ und 90◦ . 20.11 Licht triﬀt auf eine Grenzﬂ¨ ache Luft–Diamant (n = 2,42). Geben Sie die Grenz¨ und Brewster-Winkel f¨ ur a) den Ubergang Luft–Diamant und b) die umgekehrte Richtung an. Unterscheiden Sie wieder TE- und TM-Polarisation. 20.12 Welcher Reﬂexions- und Transmissionsgrad tritt f¨ ur einen Einfallswinkel von 50◦ ¨ beim Ubergang Luft–Glas (n = 1,6) f¨ ur a) TE- und b) TM-Licht auf? Vergleichen Sie mit den Werten bei senkrechter Inzidenz. 20.13 Leiten Sie die Gleichungen f¨ ur die Transmissionsfaktoren tTE (20.32) und tTM (20.33) her, indem Sie a) in (20.16) bis (20.19) jeweils Er eliminieren und nach Et /Ee aufl¨ osen und b) den Zusammenhang zwischen t und r verwenden und die entsprechenden Gleichungen f¨ ur r einsetzen. 20.14 Unpolarisiertes Licht wird an einer Planﬂ¨ ache aus Quarzglas (n = 1,458) reﬂektiert. a) Ermitteln Sie die Grenz- und Brewster-Winkel. b) Berechnen Sie Reﬂexions- und Transmissionsgrad f¨ ur die TE-Welle und die TM-Welle bei 0◦ und 45◦ Einfallswinkel. ¨ c) Welcher Phasenunterschied tritt zwischen der TM- und TE-Welle beim Uber◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ gang Glas–Luft f¨ ur die Einfallswinkel 0 , 20 , 40 , 50 , 70 und 90 auf? 20.15 Ein Fresnel-Rhomboid besteht aus Material der Brechzahl 1,65. a) Welchen Wert muss der spitze Winkel des Rhomboeders (Winkel α in Abb. 20.7) haben? b) Wie wirkt sich ein Winkelfehler von ±5% auf die Phasendiﬀerenz aus? 20.16 Wie groß ist der Reﬂexionsgrad von Stahl (n = 2,485 und κ = 1,381) f¨ ur Na-Licht (λ = 589 nm)? Angabe der Werte f¨ ur: a) TE- und b) TM-Polarisation und die Einfallswinkel 0◦ , 30◦ , 50◦ , 70◦ und 90◦ . 20.17 Bei einer Wellenl¨ ange von 589,3 nm hat Zinn die komplexe Brechzahl n = 1,5−5,3 j. Geben Sie die Reﬂexionsgrade f¨ ur: a) TE- und b) TM-Licht und die Einfallswinkel 0◦ , 30◦ und 60◦ an. 20.18 a) Welche Absorptionskonstante K hat Zinn mit der komplexen Brechzahl n = 1,5 − 5,3 j bei λ = 589,3 nm? b) Wie groß ist (bei senkrechtem Lichteinfall) die Eindringtiefe? c) Bei welcher Schichtdicke wird 99% des einfallenden Lichtes absorbiert?

600

20 Fresnelsche Gleichungen

20.19 a) Gleichung (20.51) folgt aus dem Erhaltungssatz der Energie bzw. Leistung. ¨ Zeigen Sie hiermit, dass der Transmissionsfaktor t beim Ubergang vom optisch d¨ unneren ins dichtere Medium immer kleiner 1 sein muss, w¨ ahrend er im umgekehrten Fall auch gr¨ oßer 1 sein kann. b) Beweisen Sie weiterhin (mit Hilfe der Fresnel-Formeln (20.32) u. (20.33)), dass bei ε → εg , also f¨ ur Einfallswinkel nahe am Grenzwinkel der Totalreﬂexion, gilt: tTE → 2 und tTM → 2n/n . Wie erkl¨ aren Sie dieses paradoxe Ergebnis? ¨ c) Zeichnen Sie f¨ ur den Ubergang Glas–Luft (von n = 1,5 zu n = 1) die Graphen: Transmissionsfaktoren tTE und tTM gegen Einfallswinkel ε. 20.20 Ein Lichtstrahl wird an einem gleichseitig rechtwinkligen Prisma aus Glas (n = 1,6) an der Hypotenuse (s. Abb. 6.14 a) total reﬂektiert und um 90◦ abgelenkt. a) Wie groß ist die (Amplituden-) Eindringtiefe der evaneszenten Welle? b) Welcher Bruchteil der einfallenden Leistung liegt 1 µm außerhalb der Grenzﬂ¨ ache vor?

21 Grundlagen der Laser

Einleitung Der Laser ist das wichtigste optische Ger¨ at, das in den vergangenen f¨ unfzig Jahren entwickelt wurde. Um 1960 wurden die ersten Laser außerhalb der Wissenschaft kaum gew¨ urdigt. Der enorme Fortschritt in diesem Bereich hat dazu gef¨ uhrt, dass der Laser heute ein Massenprodukt (Diodenlaser) mit einem niedrigen Preis (<1 e) ist. Dies hat die Optik zu einem der Bereiche gemacht, die sich in Wissenschaft und technischer Anwendung rasch weiterentwickeln. Im Prinzip ist der Laser ein optischer Verst¨arker. Die Buchstaben des Wortes LASER stehen f¨ ur Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation. Die Schl¨ usselw¨ orter sind Verst¨arkung (ampliﬁcation) und stimulierte Emission (stimulated emission). Der theoretische Hintergrund des Laserprinzips als optischer Verst¨ arker wurde durch Albert Einstein schon 1916 entwickelt. Damals sagte Einstein voraus, dass es einen neuen Strahlungsprozess geben m¨ usste, den er stimulierte Emission nannte. Erst 1954 entwickelten C.H. Townes und Mitarbeiter den MASER f¨ ur den Mikrowellenbereich. Kurz danach, 1958, machten A. Schawlow und C.H. Townes Vorschl¨ age und Berechnungen zur Anwendung des Maserprinzips auf Licht (Strahlung im sichtbaren Bereich); 1960 baute T.H. Maiman den ersten funktionierenden Laser. Maiman benutzte einen Rubinkristall als Verst¨ arkungsmedium und ein Fabry-Perot als Resonator. Nur wenige Monate nach der Vorstellung von Maimans Rubinlaser , der tiefrotes Licht der Wellenl¨ ange 694,3 nm aussendet, entwickelten A. Javan und Mitarbeiter den ersten

602

21 Grundlagen der Laser

Gaslaser. Dies war der Helium-Neonlaser, der sowohl Licht im Infraroten (z.B. bei 1,15 µm) als auch im Sichtbaren (bei 632,8 nm) aussendet. Nach dem Bau des Rubin- und des Helium-Neonlasers folgten in kurzen Abst¨anden Laser mit anderen Lasermedien und anderen Wellenl¨ angen. 1962 bauten R.N. Hall, M.I. Nathan und T.M. Quist den ersten Halbleiterlaser (GaAs, 840 nm, gepulst). 1965 haben Kasper und Pimentel den ersten chemischen Laser (HCl, 3,8 µm) konstruiert. 1966 wurde von P.P. Sorokin und F.P. Sch¨ afer die ersten Farbstoﬀlaser ( Dye“” Laser, Rhodamin 6 G, 570–625 nm) entwickelt. In den sechziger Jahren wurde der Laser aus der Sicht der Industrie als eine wissenschaftliche Kuriosit¨at betrachtet. Ende der sechziger Jahre und in den Siebzigern ¨anderte sich diese Ansicht vollst¨ andig. Die bestechenden Vorteile des Lasers als intensive, koh¨arente Lichtquelle wurden genutzt. Heute werden fast jede Woche neue Laseranwendungen entdeckt. Zusammen mit der Faseroptik und optoelektronischen Elementen auf der Basis von Halbleitern hat der Laser heute die Telekommunikation (Nachrichtentechnik, Kommunikationstechnik), die Sensorik oder auch die Unterhaltungselektronik (CD-Ger¨ ate) und andere Bereiche der Industrie (Materialbearbeitung, Messtechnik) revolutioniert. In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit Einsteins Theorie der stimulierten Emission und untersuchen die Schl¨ usselelemente des Lasers. In einer Zusammenfassung am Schluss geben wir eine Liste der heutzutage gebr¨auchlichen Laser zusammen mit Betriebskenngr¨ oßen an.

21.1 Einsteins Quantentheorie der Strahlung Als Einstein 1916 die Grundlagenprozesse bei der Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit Materie untersuchte, kam er zu dem Schluss, dass thermisches Gleichgewicht zwischen Strahlung und Materie (Atome, Molek¨ ule, Festk¨ orper) einen bisher unentdeckten Strahlungsprozess voraussetze, den er er” zwungene (stimulierte) Emission“ nannte. Nach Einstein kann die Wechselwirkung von Strahlung und Materie durch drei Elementarprozesse beschrieben werden: Absorption, spontane Emission und stimulierte Emission. Die drei Prozesse sind in Abb. 21.1 am Beispiel eines Zwei-Niveau-Systems dargestellt. Absorption tritt auf, wenn die Energie hf der einfallenden Photonen mit der Diﬀerenz der Energien W2 eines angeregten Zustands und W1 des Grundzustands der Materie u ¨ bereinstimmt (s. Abb. 21.1 a), wenn also hf = W2 − W1 . Die spontane Emission (s. Abb. 21.1 b) ist immer dann m¨oglich, wenn Atome in einem angeregten Zustand sind. Es ist keine externe Strahlung n¨otig, um diese Emission anzustoßen. Bei spontaner Emission gibt ein Atom im angeregten Zuaußere Einwirkung seine Energie ab und geht in den Zustand W1 stand W2 ohne ¨

21.1 Einsteins Quantentheorie der Strahlung

603

Abb. 21.1. Die drei Grundprozesse. a) Absorption. b) Spontane Emission. c) Stimulierte Emission f¨ ur die Wechselwirkung von Strahlung und Materie. In der Abbildung gilt f¨ ur die Photonenenergie hf = W2 − W1

u ¨ ber, wobei ein Photon der Energie hf = W2 − W1 mit beliebiger Richtung und Polarisation ohne zeitliche Korrelation mit anderen Photonen emittiert wird. F¨ ur den Prozess der stimulierten Emission (s. Abb. 21.1 c) ist externe Strahlung n¨ otig. Dabei tritt ein Photon der Resonanzenergie hf = W2 − W1 mit einem Atom im angeregten Zustand W2 in Wechselwirkung und stimuliert das Atom ¨ zum Ubergang vom angeregten in den Grundzustand. Bei diesem Prozess gibt das Atom ein Photon ab, das die gleiche Energie, Richtung und Polarisation aufweist wie das ausl¨ osende Photon. Damit erhalten wir zwei gleichartige Photonen an Stelle eines einzigen und einen Zuwachs an Intensit¨at. Genau dieser Prozess der stimulierten Emission erm¨ oglicht die Verst¨arkung von Licht im Laser. Einsteinsche A- und B-Koeﬃzienten Einsteins Beweis f¨ ur die Existenz der stimulierten Emission entstand aus seinem Wunsch, die grundlegenden Mechanismen bei der Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung und Materie zu verstehen. Er nahm an, dass Materie

604

21 Grundlagen der Laser

(eine Anzahl von Atomen) im thermischen Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld eines Hohlraums (schwarzer K¨ orper → schwarzer Strahler, s. Kap. 2) steht. Ein schwarzer K¨ orper absorbiert auftreﬀende Strahlung vollst¨andig und emittiert W¨ armestrahlung mit gleicher Wahrscheinlichkeit, wie er diese auch absorbiert. Abbildung 21.2 zeigt ein vereinfachtes Bild des atomaren Systems mit zwei Energiezust¨ anden und seine Wechselwirkung mit Strahlung (Photonen). Die Atome beﬁnden sich in einem Hohlraum mit vollst¨andig absorbierenden W¨anden, der die absolute Temperatur T hat. Im thermischen Gleichgewicht bleiben im zeitlichen Mittel die Anzahl N2 der Atome im Energiezustand W2 und die Anzahl N1 der Atome im Energiezustand W1 sowie die Anzahl der Photonen im Strahlungsfeld konstant. Statt der Besetzungszahlen Ni kann man in den folgenden Gleichungen auch Besetzungszahldichten (Anzahl der Atome je Volumeneinheit im Energiezustand Wi ) benutzen. Die Emissions- und Absorptionsprozesse, die Photonen aus dem Strahlungsfeld entfernen oder hinzuf¨ ugen, sind gleich wahrscheinlich, so dass die Gesamtzahl der Photonen unver¨andert bleibt. Zu jedem ahrend des Emissionsprozesses in den Zustand W1 Atom im Zustand W2 , das w¨ u ¨ bergeht, existiert ein Atom im Zustand W1 , das durch Absorption in den Zustand W2 u ¨ bergeht, so dass N1 und N2 unver¨andert bleiben. Diese Gleichgewichtsbedingungen sind in Abb. 21.3 dargestellt, wo Atome vom Zustand W1 nach W2 und von W2 nach W1 u ¨ bergehen.

Abb. 21.2. Ein Hohlraum (Schwarzk¨ orper) der absoluten Temperatur T ist u ¨ber die W¨ armestrahlung mit den eingeschlossenen Atomen im thermischen Gleichgewicht

Die Absorption und Emission werden durch die Einsteinkoeﬃzienten B12 , A21 und B21 beschrieben, die damit f¨ ur die Quantentheorie der Strahlung und die Funktion des Lasers sehr wichtig sind. Ihre Bedeutung ergibt sich aus Abb. 21.3.

21.1 Einsteins Quantentheorie der Strahlung

605

Abb. 21.3. Strahlungsprozesse, die die Anzahl N1 und N2 der Atome in den Energiezust¨ anden W1 und W2 ver¨ andern. Die Emissionsprozesse vermindern die Zahl der Atome im Energiezustand W2 und vergr¨ oßern sie im Zustand W1 . Beim Absorptions¨ prozess ﬁndet ein Ubergang von W1 nach W2 statt

Spontane Emission (A21 ) Atome im Energiezustand W2 gehen spontan in den Zustand W1 u ¨ ber, wobei dem Strahlungsfeld Photonen der Energie hf = W2 − W1 hinzugef¨ ugt werden. Gleichzeitig nimmt die Besetzungszahl N2 des Zustandes W2 ab. Die Rate der Abnahme ist zu jeder Zeit zur Besetzungszahl proportional, d.h.: dN2 = −A21 N2 (21.1) dt spont Hat man ausschließlich spontane Emission, so ergibt sich als L¨osung dieser Gleichung: Besetzungszahl bei spontaner Emission

N2 (t) = N20 e−A21 t = N20 e−t/τ

(21.2)

Die Besetzungszahl N2 nimmt mit der Zeitkonstanten τ = 1/A21 und der Rate N2 /τ = A21 N2 ab und die Besetzungszahl N1 des Zustandes W1 mit der gleichen Rate zu. Die Konstante τ nennt man Lebensdauer f¨ ur spontane Emission des Zustandes W2 . Die Lebensdauer τ gibt die Zeit an, in der die Anfangsbesetzungszahl N20 durch spontane Emission auf den Wert N20 /e ≈ 0,37N20 abgesunken ist. Der Koeﬃzient A21 ist eine charakteristische Konstante des Atoms. Wir sehen, dass angig vom Strahlungsfeld ist. (dN2 /dt)spont vollkommen unabh¨ Stimulierte Emission (B21 ) Bei diesem Prozess ist die Rate, mit der Atome im Zustand W2 durch das Strah¨ lungsfeld (Photonen) zum Ubergang nach W1 stimuliert werden, sowohl zur Besetzungszahl N2 der Atome als auch zur Energiedichte des Strahlungsfeldes der Planckschen Strahlung proportional, oder

606

21 Grundlagen der Laser

dN2 dt

= −B21 N2 (f )

(21.3)

stim

wobei (f ) die spektrale Strahlungsdichte ist, also Strahlungsenergie pro Volumen und Frequenzintervall: (f ) =

d2 W dV df

(21.4)

Absorption (B12 ) Die Absorption ist ein Prozess, der ebenfalls von der St¨arke des Strahlungsfeldes abh¨ angt. Die Absorption und die stimulierte Emission sind zueinander inverse Prozesse. Die Rate, mit der Atome vom Energiezustand W1 nach W2 angehoben werden, ist gegeben durch: dN1 = −B12 N1 (f ) (21.5) dt abs Der Koeﬃzient B12 ist ebenfalls eine charakteristische Konstante des Atoms. Man ur ﬁndet, dass die Koeﬃzienten B12 und B21 voneinander abh¨angen; sie sind f¨ den Fall der Nichtentartung der Quantenzust¨ande, die zu den Energiezust¨anden oren, gleich. (Bei entarteten Zust¨anden weisen zwei oder mehr W1 und W2 geh¨ Zust¨ ande die gleiche Energie auf.) Nachdem wir die drei Grundprozesse der Absorption, der spontanen Emission und der stimulierten Emission sowie deren Zusammenhang mit den A- und BKoeﬃzienten verstanden haben, nehmen wir Folgendes an: 1. Zwischen dem Strahlungsfeld und den Atomen besteht bei einer beliebigen Temperatur T thermisches Gleichgewicht. 2. Das Strahlungsfeld hat die spektrale Strahlungsdichte (f ) der Strahlung eines Schwarzk¨ orpers der Temperatur T . 3. Die atomaren Besetzungszahlen N1 und N2 in den Energiezust¨anden W1 und aß der Boltzmann-Verteilung bei dieser Temperatur verteilt. W2 sind gem¨ 4. Die Besetzungszahlen N1 und N2 sind zeitlich konstant. Wir bilanzieren nun Zuwachs und Abnahme der Besetzungszahlen N2 im oberen ¨ Niveau W2 . Mit den Annahmen 1 und 4 ergibt sich, dass die Anderungsrate von Atomen im Zustand W2 gegeben ist durch: dN2 (21.6) = 0 = −N2 A21 − N2 B21 (f ) + N1 B12 (f ) dt Hierbei beschreiben die ersten Terme die Abnahme aufgrund spontaner und stimulierter Emission und der letzte Term die Zunahme durch Absorption. Wegen

21.1 Einsteins Quantentheorie der Strahlung

607

der Annahmen 2 und 3 erhalten wir f¨ ur die spektrale Energiedichte (f ) der Schwarzk¨ orperstrahlung1 8πhf 3 1 (21.7) 3 hf /kT c e −1 und f¨ ur die Boltzmann-Verteilung der Atome in den beiden Energiezust¨anden: (f ) =

N2 = e−(W2 −W1 )/kT = e−hf /kT N1

(21.8)

In (21.7) und (21.8) ist f die Frequenz der Strahlung, T ist die absolute Temperatur des Schwarzk¨ orpers und k die Boltzmann-Konstante. Weiterhin wurde (21.8) f¨ ur den Spezialfall nicht entarteter Energiezust¨ande ermittelt. Diese Einschr¨ ankung vereinfacht die Rechnung, beeintr¨achtigt jedoch nur unwesentlich die Schlussfolgerungen, die wir sp¨ ater ziehen. L¨ ost man (21.6) nach (f ) auf und substituiert N1 /N2 aus (21.8), so erh¨alt man: (f ) =

A21 A21 A21 /B12 = = hf /kT B12 (N1 /N2 ) − B21 B12 ehf /kT − B21 e − B21 /B12

(21.9)

Wegen der Annahme 2 k¨ onnen wir dies mit (21.7) gleichsetzen: 1 A21 /B12 8πhf 3 = c3 ehf /kT − 1 − B21 /B12

ehf /kT

(21.10)

Gleichung (21.10) muss f¨ ur beliebige Temperaturen gelten. Damit folgt durch Koeﬃzientenvergleich: Frequenzabh¨angigkeit des Verh¨altnisses der Einstein-Koeﬃzienten f¨ ur spontane und induzierte Emission A21 8πhf 3 8πh = = 3 3 B12 c λ

(21.11)

und die Einstein-Koeﬃzienten f¨ ur Absorption und induzierte Emission sind gleich B12 = B21 1

(21.12)

Die spektrale Energiedichte in (21.7) ergibt sich aus (2.15) f¨ ur Mλ , die speziﬁsche Ausstrahlung eines Schwarzk¨ orpers. Man ¨ andert zun¨ achst die Variablen in Gleichung (2.15) von λ nach f und erh¨ alt dann Me,f = 2πhf 3 /c2 · (ehf /kT − 1)−1 . Anschließend multipliziert man Me,f mit 4/c und erh¨ alt den oben angegebenen Ausdruck f¨ ur die spektrale Energiedichte (f ).

608

21 Grundlagen der Laser

Die Gleichungen (21.11) und (21.12) wurden f¨ ur thermisches Gleichgewicht abgeleitet. Die Gleichungen gelten aber allgemein, denn sie enthalten die Temperatur T nicht als Parameter, (21.11) und (21.12) beschreiben wichtige Zusammenh¨ange. Aus ihnen ergibt sich: 1. Die Einstein-Koeﬃzienten A21 , B21 und B12 sind voneinander abh¨angig. Kennt man durch Messung oder Berechnung einen der Koeﬃzienten, so lassen sich die anderen berechnen. 2. Der Koeﬃzient B21 der stimulierten Emission und der Koeﬃzient B12 der Absorption sind f¨ ur nicht entartete Energiezust¨ande gleich. Dies zeigt, dass die stimulierte Emission und die Absorption inverse Prozesse sind. Wir erkennen jedoch, dass sich die Raten dN2 /dt = −N2 B21 (f ) und dN1 /dt = angig von den Besetzungszahlen N2 und N1 unterscheiden. −N1 B12 (f ) abh¨ oßer als N1 ist und das einfallende Strahlungsfeld mit den AtoWenn N2 gr¨ men wechselwirkt, wird die stimulierte Emission die Absorption u ¨ bertreﬀen. Es werden Photonen im Strahlungsfeld hinzugef¨ ugt und die spektrale Eneroßer als N2 ist, wird die Absorption die giedichte erh¨ oht. Wenn jedoch N1 gr¨ stimulierte Emission u ¨ bertreﬀen und aus dem Strahlungsfeld werden Photonen entfernt. Der erste Fall (N2 > N1 ) f¨ uhrt zu einer Zunahme von (f ), also uhrt zu einer Abnahme von einer Verst¨arkung. Der zweite Fall (N1 > N2 ) f¨ (t), einer Abschw¨achung. Ein Laser funktioniert nur, wenn die Besetzungszahl N2 im oberen Laseroßer ist als die Besetzungszahl N1 im unteren Laserniveau W1 . niveau W2 gr¨ Dies ist die Bedingung f¨ ur Besetzungsinversion (Besetzungsumkehr). 3. Da B21 /A21 proportional zur dritten Potenz der Wellenl¨ange ist, bedeutet dies, dass f¨ ur hohe Frequenzen (kleinere Wellenl¨angen) die spontane Emission mit der stimulierten Emission (Photonenverst¨arkung) vergleichbar wird und als Konkurrenzprozess die Besetzungsinversion abbaut. Darum sind Laser mit kurzwelliger Strahlung (z.B. Ultraviolett- oder R¨ontgenlaser) schwieriger zu realisieren. 4. Obwohl die Beziehungen zwischen den Einstein-Koeﬃzienten unter der Bedingung des thermischen Gleichgewichts abgeleitet wurden, sind sie f¨ ur andere Bedingungen genauso g¨ ultig. Ein funktionierender Laser arbeitet nie im thermischen Gleichgewicht. Trotzdem sind die Beziehungen f¨ ur die A- und B-Koeﬃzienten sowohl im intensiven Strahlungsfeld eines Laserresonators als auch in einem heißen Ofen g¨ ultig. F¨ ur den erfolgreichen Betrieb eines Lasers ergeben sich aus der einsteinschen Behandlung der Wechselwirkung von Strahlung und Materie zwei wichtige Erkenntnisse: Zum einen erm¨ oglicht der Prozess der stimulierten Emission die Lichtverst¨ arkung, zum anderen ist die Besetzungsinversion von Atomen in bestimmten Energiezust¨ anden Voraussetzung daf¨ ur, dass die stimulierte Emission, die koh¨ arente Photonen erzeugt, die Absorptionsprozesse und die spontane Emissi-

21.2 Wesentliche Komponenten des Lasers

609

on, die dem Strahlungsfeld koh¨ arente Photonen entziehen bzw. nur inkoh¨arent beitragen, u ¨bertriﬀt.

21.2 Wesentliche Komponenten des Lasers Der Laser ist ein optisches Ger¨ at, das ein intensives, hochkollimiertes (nahezu paralleles) Strahlenb¨ undel koh¨ arenter elektromagnetischer Strahlung abgibt. Der Laser besteht im Prinzip aus drei Elementen: einer externen Energiequelle, einem Verst¨arkungsmedium und einem Resonator (s. Abb. 21.4).

Abb. 21.4. Grundelemente des Lasers. a) Vollst¨ andiger Laser. b) Externe Energiezufuhr. Die externe Energiezufuhr ( Pumpe“) erzeugt im Lasermedium die Besetzungsin” version. Die Energie kann optischen, elektrischen oder chemischen Quellen entstammen. Die im Bild dargestellte Spannungsquelle und die Wendel sind nur symbolisch zu verstehen. c) Optischer Resonator, der durch zwei Spiegel begrenzt ist. d) Lasermedium. Besetzungsinversion und stimulierte Emission bewirken die Verst¨ arkung des Lichtes

610

21 Grundlagen der Laser

Externe Energiezufuhr Die externe Energiezufuhr bewirkt im Lasermedium die Besetzungsinversion. Wie im vorherigen Abschnitt erkl¨ art, kann die Verst¨arkung einer Lichtwelle bzw. von Photonen nur in einem Lasermedium geschehen, das eine Besetzungsinversion zwischen zwei Energiezust¨ anden aufweist. Andernfalls wird die Lichtwelle, die durch das Lasermedium l¨ auft, geschw¨ acht. Zum Pumpen (Zufuhr externer Energie) kann man optische, elektrische oder chemische Verfahren benutzen. Hierbei ist wichtig, dass die zur Verf¨ ugung gestellte Energie so in das Lasermedium eingekoppelt wird, dass die Atome angeregt werden und die ben¨ otigte Besetzungsinversion erzeugt wird. F¨ ur einen Gaslaser, wie den Helium-Neonlaser, benutzt man eine elektrische Entladung als Pumpe. Hierf¨ ur ben¨ otigt man genaue Kenntnisse u ur elek¨ber den Wirkungsquerschnitt f¨ tronische Anregung und die Lebensdauer der verschiedenen Energiezust¨ande. In einigen Gaslasern stoßen die freien Elektronen, die in der Entladung erzeugt werden, mit den Laseratomen, -ionen oder -molek¨ ulen zusammen und regen diese direkt an. In anderen Lasern geschieht die Anregung der Atome durch inelastische Atom-Atom-(oder Molek¨ ul-Molek¨ ul-)St¨oße. Bei diesem zuletzt genannten Verfahren verwendet man eine Mischung von zwei Gasen, wobei diese zwei verschiedene Arten von Atomen, z.B. A und B, mit angeregten Zust¨anden A∗ und B ∗ aufweisen, die in der energetischen Lage u ¨ bereinstimmen (WA∗ = WB ∗ ). Hierbei kann mit hoher Wahrscheinlichkeit Energie (resonanter Energietransfer ) von den angeregten zu den nicht angeregten Teilchen u ¨bertragen werden, was symbolisch durch die Beziehung A∗ + B → A + B ∗ beschrieben wird. Das Atom A erh¨alt zu Anfang seine Anregungsenergie durch den Stoß mit einem freien Elektron oder durch einen anderen Anregungsprozess. Beispiel hierf¨ ur ist der Helium-Neonlaser, wo die Laser-aktiven Neon-Atome durch resonanten Energietransfer aus HeliumAtomen, die sich in einem metastabilen, langlebigen Zustand beﬁnden, erzeugt werden. Die Helium-Atome werden durch St¨oße mit freien Elektronen angeregt. Obwohl es noch eine Vielzahl weiterer Pump- oder Anregungsprozesse gibt, wollen wir uns aber hier nur auf einen weiteren Prozess mit historischer Bedeutung beschr¨ anken. Der erste Laser, der 1960 durch T. Maiman im Hughes Forschungslabor entwickelt wurde, war ein gepulster Rubinlaser, der bei der Wellenl¨ ange 694,3 nm (rot) betrieben wurde. Abbildung 21.5 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Rubinlasers. Um die Cr3+ -Fremdionen im Rubinstab anzuregen, benutzte Maiman eine mit Xenon gef¨ ullte Blitzlampe, deren Kolben in Form einer Schraubenlinie gebogen war. Diese spezielle Methode der Anregung des Lasermediums nennt man optisches Pumpen. Lasermedium Viele Laser werden nach der Art des Lasermediums (Verst¨arkermedium) benannt, z.B. Helium-Neon- (He-Ne-), Kohlendioxid- (CO2 -) und Neodym-YttriumAluminiumgranat- (Nd:YAG-)Laser.

21.2 Wesentliche Komponenten des Lasers

611

Das gasf¨ ormige, ﬂ¨ ussige oder feste Lasermedium bestimmt die Wellenl¨ange der Laserstrahlung. Aufgrund der großen Auswahl an Lasermedien erstreckt sich der Bereich der Laserwellenl¨ angen vom Ultravioletten bis zum Infraroten, sogar R¨ ontgenlaser sind m¨ oglich. Laseremission wurde in mehr als der H¨alfte der bekannten chemischen Elemente beobachtet, wobei es allein in Gasen u ¨ber tausend ¨ Laser¨ uberg¨ ange gibt. Zwei der am h¨ auﬁgsten verwendeten Uberg¨ange in Gasen sind die sichtbare Strahlung des Neons bei 632,8 nm und die infrarote Strahlung uls bei 10,6 µm. Andere h¨ auﬁg benutzte Lasersubstanzen und die des CO2 -Molek¨ entsprechenden Laser-Wellenl¨ angen sind in Tabelle 21.2 am Ende dieses Kapitels angegeben.

Abb. 21.5. Komponenten des Rubinlasersystems. Der Spiegel reﬂektiert Licht, das von der Blitzlampe ausgeht, zur¨ uck zum Rubinstab

In einigen Lasern besteht das verst¨ arkende Material aus zwei Komponenten, der Wirtssubstanz und den Laseratomen. Beim Nd:YAG-Laser benutzt man z.B. als Wirtskristall Yttrium-Aluminium-Granat (gew¨ohnlich YAG genannt), in dem die dreiwertigen Neodymionen die Laserstrahlung abgeben. Wie schon vorher erl¨ autert, ist ohne Pumpen keine Besetzungsinversion zwischen den zwei Energiezust¨ anden des Lasermediums herstellbar. Im thermischen Gleichgewicht erh¨ alt man aufgrund der Boltzmann-Verteilung das Besetzungsverh¨ altnis N2 /N1 = e−∆W/kT , wobei ∆W = W2 − W1 ist. Damit wird der h¨ohere olkert sein als der untere Energiezustand Energiezustand W2 immer geringer bev¨ W1 . Zur Erzeugung der Nichtgleichgewichts-Bedingung der Besetzungsinversion m¨ ussen neben dem Pumpen (externe Energiezufuhr) noch weitere g¨ unstige Bedingungen im Lasermedium erf¨ ullt sein. In Experimenten stellt man fest, dass nur bestimmte Paare von Energiezust¨ anden mit großer spontaner Lebensdauer im

612

21 Grundlagen der Laser

Niveau W2 und kleiner Lebensdauer im Niveau W1 invertiert“ werden k¨onnen, ” wobei sich ein Laserprozess nur bei Nutzung von 3 oder 4 Niveaus in einem atomaren (molekularen) System verwirklichen l¨asst. Die bisherige Betrachtung eines 2-Niveau Systems diente nur der einfacheren Darstellung. Resonator Hat man eine geeignete Pumpe und ein geeignetes Lasermedium gefunden, so ben¨ otigt man noch ein drittes grundlegendes Element, den Resonator, zur optischen R¨ uckkopplung“ , die die elektromagnetische Welle in der laserverst¨arken” den Substanz hin- und herlaufen l¨ asst. Der Resonator besteht in der einfachsten Form aus einem Paar genau justierter ebener oder gekr¨ ummter Spiegel auf der optischen Achse des Lasersystems (s. Abb. 21.4). Einer der Spiegel weist einen Reﬂexionsgrad von nahezu 100% auf, w¨ ahrend der andere etwas weniger reﬂektiert, damit ein Teil des intern reﬂektierten Strahles aus dem Laserresonator ausgekoppelt wird und sich in Anwendungen einsetzen l¨ asst. Die Geometrie der Spiegel und ihr Abstand bestimmen die Struktur des elektromagnetischen Feldes innerhalb des Laserresonators. Die Verteilung des elektrischen Feldes u ¨ber die Wellenfront des ausgekoppelten Laserstrahles und damit die transversale Strahldichte h¨angt vom Aufbau des Resonators, d.h. Abstand und Neigung der Spiegel und der Form der Spiegeloberﬂ¨ achen, ab. Im ausgekoppelten Laserstrahl sind Intensit¨atsmuster quer zur Strahlrichtung vorhanden, die man TEM-Moden (transversale elektrische und magnetische Moden) nennt. Wenn man die Verst¨arkung f¨ ur die Moden h¨oherer Ordnung mit h¨ oherer elektrischer Feldst¨ arke nahe dem Rand des Strahles verringert, kann man erreichen, dass der Laser in einer einzigen Grundmode, der TEM00 -Mode schwingt. Die senkrecht zum Strahl auftretende Intensit¨atsverteilung dieser Mode hat Gaußsche Form, wobei die h¨ochste Intensit¨at im Zentrum auftritt und zum Rand hin abnimmt. Der Vergleich eines Laserresonators mit einem passiven Resonator, der durch ebene parallele Spiegel begrenzt ist, ist hilfreich. Kommen wir auf Abb. 11.8 zur¨ uck, bei der zwei planparallele Spiegel ein Fabry-Perot-Interferometer bilden, so ist die Bedingung f¨ ur Resonanz durch 2d cos ε = q λ mit q = 1,2, . . . gegeben. Betrachten wir einen Laserresonator, der durch zwei parallele ebene Spiegel im Abstand d = L gebildet wird: Hier wird ε = 0 und man erh¨alt q λ/2 = L als Bedingung f¨ ur die Resonanz. Dies bedeutet, dass eine ganze Anzahl von halben ” Wellenl¨ angen zwischen die beiden Endspiegel passen muss“, eine Forderung, die uns an die stehenden Wellen auf einer beidseitig eingespannten schwingenden Saite erinnert. Der Laserresonator legt Wellenl¨ange und geometrische Verteilung des Strahlungsﬂusses u ¨ber den Querschnitt des austretenden Laserstrahles fest. Es ist n¨ utzlich, den Laserresonator mit ebenen Spiegeln als modiﬁziertes Fabry-Perot zu betrachten. Laserresonatoren k¨onnen auch durch gekr¨ ummte

21.3 Laserprinzip

613

Spiegel begrenzt werden. Zus¨ atzlich m¨ ussen die optischen Eigenschaften des Lasermediums im Laserresonator ber¨ ucksichtigt werden. In Kap. 22 wird der Laserresonator ausf¨ uhrlicher behandelt.

21.3 Laserprinzip Wir haben bisher die drei grundlegenden Komponenten des Lasers kurz beschrieben. Wie arbeiten diese Komponenten – Pumpe, Lasermedium und Resonator – zusammen? Wir wissen, dass Photonen einer bestimmten Energie im Laserresonator erzeugt werden, hierbei mit Atomen wechselwirken und u ¨ ber die stimulierte Emission verst¨ arkt werden. Die Laserfunktion l¨asst sich qualitativ aus den Abbildungen 21.6 und 21.7 erkennen. Abbildung 21.6 a zeigt am Beispiel eines Vier-Niveau-Systems, wie die Erzeugung eines Laserphotons in einem Lasermedium in vier Schritten erfolgt. Abbildung 21.6 b zeigt das Energieniveauschema eines Helium-Neonlasers, wobei die vier Schritte, die in Abb. 21.6 a beschrieben sind, in dieser Abbildung zus¨ atzlich markiert werden. In Abb. 21.7 wird das Verhalten der Atome im Lasermedium und die Photonendichte im Laserresonator betrachtet. Wir wollen nun diese Abbildungen im Einzelnen diskutieren. In Schritt 1 der Abb. 21.6 a wird die Energie von einer geeigneten Pumpe in das Lasermedium eingekoppelt. Die Energie ist groß genug, um eine betr¨achtliche Anzahl von Atomen vom Grundzustand W0 in verschiedene angeregte Zust¨ande, die zusammen durch W3 beschrieben werden, zu versetzen. Aus diesen Zust¨anden k¨ onnen die Atome durch spontane Emission u ¨ber verschiedene Kan¨ale unter anderem auch direkt zur¨ uck in den Grundzustand W0 u ¨bergehen. Viele Atome be¨ ginnen diesen R¨ uckweg u ¨ ber einen sehr schnellen – z.B. strahlungslosen – Ubergang von den Pumpniveaus W3 zum Zustand W2 . Dieser Prozess ist in Schritt 2 gezeigt. Der Zustand W2 ist als oberes Laserniveau“ gekennzeichnet. Die” ser Zustand besitzt eine große Lebensdauer. W¨ahrend die meisten angeregten Zust¨ ande eines Atoms in Zeiten der Gr¨ oßenordnung 10−8 s unter Emission von Strahlung in einen tieferen Zustand u ¨ bergehen, ist der Zustand W2 langlebig, wobei die typische Lebensdauer in der Gr¨ oßenordnung von 10−6 s liegt. Dies ist erheblich l¨ anger als die Lebensdauer der anderen Zust¨ande. Die Atome gelangen also rasch aus dem Pumpzustand W3 in den Zustand W2 und beginnen sich in diesem langlebigen Niveau anzuh¨ aufen, das damit wie ein Flaschenhals wirkt. Hierbei w¨ achst die Besetzungsdichte im Zustand W2 stark an. Der Zustand W2 kann durch spontane Emission in den Zustand W1 , unteres Laserniveau“ ge” nannt, zerfallen. Der Zustand W1 ist ein Zustand, aus dem das Atom rasch in den Grundzustand W0 u ¨bergeht, so dass die Besetzungszahl N1 keine großen Werte erreicht. Damit wird erreicht, dass Besetzungsinversion (N2 > N1 ) auftritt, die f¨ ur die Lichtverst¨ arkung u ¨ ber stimulierte Emission n¨otig ist. Wenn Besetzungsinversion besteht und ein Photon der Resonanzenergie hf = ahe eines W2 -Atoms im oberen Laserniveau vor¨ uberﬂiegt, tritt W2 − W1 in der N¨

614

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.6. Vierstufenzyklus f¨ ur einen Laserprozess. a) Vier-Niveau-Laser, Prinzip. b) Energiezustandsdiagramm des Helium-Neonlasers, wobei die Erzeugung der 632,8 nmLaserstrahlung als Ergebnis der vier Stufen (eingekreiste Zahlen) aus Abb. a) gezeigt wird. Zus¨ atzlich ist eine Auswahl der vielen anderen m¨ oglichen Laserlinien von 543,3 nm bis 3,30 µm dargestellt. Die Lebensdauern verschiedener Energieniveaus sind ebenfalls angegeben

21.3 Laserprinzip

615

in Schritt 3 stimulierte Emission auf. Damit beginnt die Lichtverst¨arkung. Wir erkennen, dass ein Photon der Resonanzenergie W2 − W1 auch den Prozess der ur den LaserAbsorption vom Zustand W1 nach W2 durchlaufen kann und damit f¨ oßer als N1 ist und außerdem, wie vorher prozess verloren geht. Da jedoch N2 gr¨ ur stimulierte Emissigezeigt, B21 = B12 gilt, u ¨bertriﬀt die Rate B21 N2 (f ) f¨ ur die Absorption. Es tritt Lichtverst¨arkung auf, wenn on die Rate B12 N1 (f ) f¨ außerdem die spontane Emission gering ist. Die Photonendichte w¨achst, der Laser funktioniert wunschgem¨ aß. Dies ist im Prinzip in Schritt 3 gezeigt, wobei das einfallende Resonanzphoton, das sich von links n¨ahert, in der Umgebung des W2 -Atoms verdoppelt wird. In Schritt 4 geht eines der invertierten W2 -Atome, das beim stimulierten Emissionsprozess in den Zustand W1 wechselte, schnell in den Grundzustand u ¨ber. Wenn der Pumpprozess weitergeht, kann dieses Atom den gleichen Zyklus wieder durchlaufen. Nach einer Anlaufzeit erh¨alt man bei einer kontinuierlichen (DC-) Anregung konstante Besetzungsinversion und damit konstante Laserausgangsleistung. In Abb. 21.6 b wird beispielsweise beim He-Ne-Laser die Pumpenergie (Schritt 1) durch eine elektrische Gasentladung an ein Gasgemisch niedrigen Druckes abgegeben. Hierin werden Atome des Heliums im Grundzustand in h¨ohere Energiezust¨ ande, den 21 S-Zustand oder den 23 S-Zustand, angeregt. Durch resonanten Stoß-Energietransfer – der 21 S-Zustand des Heliums ist nahezu energetisch gleich dem 3s2 -Zustand des Neons (Schritt 2) – geben angeregte Heliumatome ihre Energie an Neonatome im Grundzustand ab und heben diese in den 3s2 Zustand des Neons. Dieser Prozess erzeugt die Besetzungsinversion, die Voraussetzung f¨ ur die Lichtverst¨ arkung u ¨ ber die stimulierte Emission ist. Der Prozess der stimulierten Emission (Schritt 3) geschieht z.B. zwischen den Neon-Zust¨anden ¨ ochsten Ubergangswahrscheinlichkeit 3s2 und 2p4 . Dies ist der Prozess mit der h¨ ¨ vom 3s2 -Zustand zu irgendeinem der zehn 2p-Zust¨ande. Der Ubergang ergibt Photonen der Wellenl¨ ange 632,8 nm, die u ¨ ber die stimulierte Emission verst¨arkt werden und das bekannte rote Laserlicht des Helium-Neon-Lasers ergeben. In Schritt 4 gehen schließlich die Neonatome im Energiezustand 2p4 durch spontane Emission in den 1s-Zustand und weiter u ¨ ber Wandst¨oße in den Grundzustand u ¨ ber. Der Durchmesser des Gasentladungsrohres muss klein genug sein, um diese Wandst¨ oße schnell genug erfolgen zu lassen. Die Verst¨arkung auf den sichtbaren Laserlinien nimmt deshalb mit abnehmendem Durchmesser des Entladungsrohres zu. Wenn die Atome wieder im Grundzustand sind, k¨onnen sie durch St¨oße mit angeregten Heliumatomen den vorher beschriebenen Zyklus wieder durchlaufen. In Abb. 21.6 b sind die vier Schritte, bei denen auch die 632,8 nm Laserstrahlung ¨ entsteht, dargestellt. Die Uberg¨ ange von den 3s- zu den 3p- und von den 2szu den 2p-Zust¨ anden des Neons ergeben ebenfalls Laseremission. Man erh¨alt die 3,39- µm-, die 1,523- µm- und die 1,152- µm-Laserlinie. Wir wollen nun Abb. 21.7 diskutieren. Sie zeigt den gleichen Prozess, aber in diesem Fall ist das Verhalten der Atome in dem Lasermedium und die Photonendichte im Resonator dargestellt. In a) erkennt man, dass das Lasermedium sich

616

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.7. Stufenweise Entwicklung der Laseroszillation in einem Laserresonator. Atome im Grundzustand sind durch schwarze Punkte und Atome in angeregten Zust¨ anden durch Kreise dargestellt, wobei sich nicht alle angeregten Atome im oberen Laserniveau beﬁnden. a) Laser ohne Energiezufuhr. b) Pumpen des Lasermediums. c) spontane und stimulierte Emission. d) Resonante Lichtverst¨ arkung im zweiten Durchlauf des Resonators. e) Fortsetzung der resonanten Lichtverst¨ arkung. f) Laser im station¨ aren Zustand

zwischen den Spiegeln des optischen Resonators beﬁndet. Spiegel 1 hat einen Reﬂexionsgrad von 100%, w¨ ahrend Spiegel 2 teilweise reﬂektiert und teilweise Strahlung durchl¨ asst. Die meisten Atome des Lasermediums sind im Grundzustand, dies ist durch schwarze Punkte angedeutet. In b) wird dem Lasermedium Energie von außen (Licht einer Blitzlampe oder Energie aus einer elektrischen Gasentladung) zugef¨ uhrt, was hier alle Atome in angeregte Zust¨ande (W3 in Abb. 21.6) versetzt. Die angeregten Zust¨ ande sind durch oﬀene Kreise darge¨ stellt. Durch den Pumpprozess und nachfolgende Uberg¨ ange von W3 in W2 wird die Besetzungsinversion erzeugt, d.h. das obere Laserniveau W2 ist st¨arker als das untere Laserniveau W1 besetzt. Es gehen jedoch nicht alle Atome vom Zuarkungsprozess beginnt in c), wobei einige stand W3 nach W2 u ¨ ber. Der Lichtverst¨ angeregte Atome im Zustand W2 (s. Abb. 21.6) spontan in den Zustand W1 u ¨ bergehen. Dabei werden die Photonen in beliebige Richtungen emittiert. Viele gehen zur Seite des Laserresonators hinaus und sind damit verloren. Es gibt jedoch einige Photonen, wir nennen sie Ausl¨ osephotonen, die entlang der optischen Achse des Lasers ﬂiegen. Diese sind in Abb. 21.7 c durch horizontale Pfeile dargestellt, die senkrecht zu den Spiegeloberﬂ¨ achen verlaufen. Wenn sich die Ausl¨osephoto-

21.3 Laserprinzip

617

nen auf der beschriebenen Bahn zwischen den Spiegeln ausbreiten und weiterhin viele Atome im angeregten Zustand W2 sind, kann der Prozess der stimulierten Emission beginnen. Wenn die Ausl¨ osephotonen die angeregten Atome im oberen Laserniveau passieren, wird die stimulierte Emission identische Photonen in der gleichen Richtung liefern, wodurch die Dichte von koh¨arenten Photonen anwachsen wird. Dies gilt f¨ ur den einmaligen Durchlauf (Einwegverst¨arkung). Wenn die Photonenzahl in mehrmaligem Umlauf von Photonen erh¨oht werden soll, muss die Resonatorl¨ange auf die Energie (hf = W2 − W1 ) der Photonen, d.h. auf die Frequenz bzw. Wellenl¨ ange der Photonen abgestimmt sein. Der Prozess (siehe d) und e)) setzt sich so lange fort, wie Besetzungsinversion vorliegt und resonante Photonen im Resonator sind. Da der Auskoppelspiegel 2 teilweise durchl¨assig ist, wird ein gewisser Anteil der Photonen, die den Spiegel treﬀen, durch diesen hindurchgehen. Diese Photonen bilden den Laserstrahl außerhalb des Resonators, wie in f) gezeigt. Die Photonen, die den Laser nicht durch den Auskoppelspiegel verlassen, werden reﬂektiert und laufen in dem verst¨arkenden Lasermedium hin und her. Der Laserprozess h¨ angt also von folgenden Voraussetzungen ab: 1. Besetzungsinversion zwischen zwei geeigneten Energiezust¨anden des Lasermediums. Dies wird durch den Pumpprozess und den Einsatz eines langlebigen oberen Laserniveaus erreicht. 2. Ausl¨ osephotonen“ der geeigneten Energie und Richtung. Diese kommen aus ” dem immer m¨ oglichen spontanen Emissionsprozess zwischen den zwei Laserniveaus. Sie initiieren den Prozess der stimulierten Emission. 3. Ein optischer Resonator, in dem eine wachsende Zahl von Photonen resonanter Energie in dem Lasermedium zirkuliert. Hierbei nimmt wegen der Besetzungsinversion die Anzahl der stimulierten Emissionsprozesse zu und immer mehr Photonen laufen zwischen den Spiegeln hin und her. 4. Entnahme eines bestimmten Anteils der Laserleistung (Photonendichte im Laserresonator) aus dem Resonator durch den Auskoppelspiegel, was den Laserstrahl außerhalb des Resonators erzeugt. Vergleich von passivem Resonator und Laser Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir die Funktion des Lasers mit der des passiven Resonators und der des Einwegverst¨arkers vergleichen. Abbildung 21.8 zeigt dies in drei Prinzipskizzen. Man sieht, dass der Laser die Eigenschaften des passiven Resonators und des Einwegverst¨ arkers in sich vereinigt. Abbildung 21.8 a zeigt einen passiven Resonator (Fabry-Perot) mit der Eingangswellenl¨ ange λ0 , wobei die Resonanzbedingung q λ0 /2 = L mit L als Spiegelabstand erf¨ ullt ist. Es gibt kein verst¨ arkendes Lasermedium zwischen den beiden Spiegeln. Aus der Abbildung ergibt sich, dass bei zwei planparallelen Spiegeln mit

618

21 Grundlagen der Laser

gleichem Reﬂexionsgrad (z.B. 95%) die Ausgangsleistung gleich der Eingangsleistung ist. Zwischen den Spiegeln des Resonators zirkuliert eine wesentlich h¨ohere Leistung. Abbildung 21.8 b zeigt die Einwegverst¨arkung durch ein Lasermedium, das aufgrund hoher Besetzungsinversion auch ohne Resonator (keine Spiegel) durch stimulierte Emission verst¨ arkt. In diesem Beispiel tritt ein Strahl (im Allgemeinen ein Laserstrahl der Wellenl¨ ange λ21 ) in die verst¨arkende Substanz ein, die eine Besetzungsinversion zwischen zwei Energiezust¨anden W2 und W1 aufweist, wobei W2 − W1 = hc/λ21 ist. Der Eingangslaserstrahl wird bei seinem Durchlauf durch das Lasermedium verst¨ arkt und verl¨ asst das System mit deutlich erh¨ohter Strahlungsleistung. Der letzte Teil (Abb. 21.8 c) zeigt, wie der Laser die Elemente des passiven Resonators und des Einwegverst¨ arkers vereint. Nachdem wir nun Details des Laserprozesses kennengelernt haben, wollen wir uns mit den besonderen Eigenschaften der Laserstrahlung besch¨aftigen.

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes 21.4.1 Einfarbigkeit Die vom Laser emittierte Strahlung ist monochromatisch, sie weist nahezu nur eine einzige Frequenz oder Wellenl¨ ange auf. Wir wissen, dass keine Lichtquelle vollst¨ andig monochromatisch mit unendlich scharfer Wellenl¨ange sein kann, aber die Laserstrahlung kommt diesem Ideal so nahe wie keine andere Lichtquelle. Die Bandbreite der Strahlung wird durch die Verst¨arkung im Lasermedium und durch die Wellenl¨ angenselektivit¨ at des Resonators bestimmt. Bei der Schwarzk¨ orperstrahlung beinhaltet der Emissionsprozess Atome mit zahlreichen unterschiedlichen Energieniveaus. Die Strahlung erstreckt sich u ¨ber einen großen Wellenl¨ angenbereich. Wenn wir in diesem Schwarzk¨orper einen identischen Satz von Atomen ausw¨ ahlen k¨ onnten und uns auf die Emission eines einzigen Energiezustandspaares beschr¨ anken w¨ urden, so w¨ are die entstehende Strahlung deutlich monochromatischer, aber wesentlich schw¨acher. Wenn Strahlung durch nichtthermische Anregung erzeugt wird, so nennt man sie Fluoreszenz (s. Kap.2). Abbildung 21.9 zeigt einen solchen Emissionsprozess. Die Fluoreszenz entsteht durch den Strahlungs¨ ubergang in Atomen mit scharfen Energiezust¨anden W2 und W1 . In dieser Abbildung ist der spektrale Verlauf der Fluoreszenz, wie er in einem Spektralfotometer gemessen wird, gezeigt, wobei die Intensit¨at gegen die Frequenz aufgetragen ist. Wir sehen, dass das emittierte Licht eine Frequenzverteilung ∆f um eine mittlere Frequenz f0 herum hat, wobei f0 = c/λ0 = (W2 −W1 )/h ist. W¨ ahrend die h¨ ochste Intensit¨ at bei der Frequenz f0 abgegeben wird, ﬁndet man in Experimenten, dass auch Licht bei Frequenzen unter- und oberhalb f0

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

619

Abb. 21.8. Vergleich des passiven Resonators (z.B. Fabry-Perot), der Einwegverst¨ arkung und des Lasers. a) Passiver Resonator mit identischen Spiegeln S1 und S2 im Abstand L. Die Resonanzwellenl¨ ange des Resonators ist λ0 . Die Ausgangsleistung ist gleich der Eingangsleistung. b) Ein Lasermedium (keine Endspiegel) wird durch eine externe Energiequelle gepumpt. Zwischen den Zust¨ anden W2 und W1 besteht Besetzungsinversion, wobei W2 − W1 = hc/λ21 . Ein koh¨ arenter Eingangsstrahl der Wellenl¨ ange λ21 wird beim Durchgang durch das Medium verst¨ arkt. c) Der Laser vereinigt die Elemente des passiven Resonators und des Einwegverst¨ arkers, wobei ein koh¨ arenter Laserstrahl erzeugt wird

620

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.9. Spektrale Verteilung der Fluoreszenz f¨ ur einen Strahlungsprozess zwischen ¨ zwei Energiezust¨ anden eines Atoms. a) Spontane Emission beim Ubergang zwischen zwei Energieniveaus. b) Spektrale Verteilung der Fluoreszenz aus a); Linienform und Bandbreite ∆f , die Linienbreite bei halber Intensit¨ at, werden dargestellt

emittiert wird. Die Emission ist nicht rein monochromatisch, sie besitzt eine Frequenzverteilung, die durch die Linienbreite ∆f gekennzeichnet ist. Misst man die Linienbreite bei der halben H¨ ohe des Maximums, so nennt man diesen Wert Halbwertsbreite (HWB) oder Bandbreite. Die Verbreiterung einer Spektrallinie f0 in einer Fluoreszenzlampe (Gasentladungslampe) hat unterschiedliche Gr¨ unde. Sind alle Atome urs¨ achlich in gleicher Weise betroﬀen, dann nennt man dies homogene Verbreiterung. Gibt es unterschiedliche Klassen von Atomen, die jeweils eine eigene Wellenl¨ ange fi = f0 abstrahlen, so nennt man dies inhomogene Verbreiterung. Homogene Linienverbreiterungen Zu den homogenen Verbreiterungen geh¨ oren die nat¨ urliche Linienbreite und die Stoßverbreiterung. Die nat¨ urliche Linienbreite ∆fn beobachtet man bei einem einzelnen isolierten Atom, das sich in Ruhe beﬁndet und spontan Strahlung der Frequenz fn emittiert. Es gilt (s. Kap. 12, Unsch¨arferelation): nat¨ urliche Linienbreite ∆fn (Halbwertsbreite) und spontane Lebensdauer τ 1 (21.13) ∆fn = 2πτ Spontane Lebensdauern betragen ca. 4 · 10−4 s (CO2 ) bis 1,4 · 10−9 s (Ar+ )), das entspricht nat¨ urlichen Linienbreiten von etwa 400 Hz bis 110 MHz. In einem Gas kann ein angeregtes Atom in einem Stoß seine innere Energie an ein anderes Atom abgeben. Dadurch wird die Lebensdauer des angeregten Atomes vermindert, das entspricht einer Linienverbreiterung. In einem Festk¨orper

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

621

werden angeregte Atome durch Gitterschwingungen gest¨ort. Dies f¨ uhrt ebenfalls zu einer Verk¨ urzung der Lebensdauer. Bei typischen Betriebsbedingungen eines Lasers betr¨ agt die Stoßverbreiterung bei Gaslasern (He-Ne, Argonionen) ca. 50 MHz bis 600 MHz. H¨ oherer Gasdruck bedeutet aufgrund der h¨oheren Anzahl von St¨ oßen pro Zeiteinheit (Stoßrate) eine gr¨oßere Stoßverbreiterung. Bei Festk¨ orperlasern (z.B. Nd: YAG, Nd: Glas) erh¨alt man f¨ ur die homogene Linienbreite 120–2000 GHz. Inhomogene Linienverbreiterungen Die inhomogene Verbreiterung wird h¨ auﬁg durch den Doppler-Eﬀekt verursacht. In einem Gaslaser haben die Atome (Molek¨ ule) bei normalen Betriebsbedingungen unterschiedliche Geschwindigkeiten mit isotroper Richtungsverteilung. Der Betrag der Geschwindigkeit ist durch die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung gegeben. Der Doppler-Eﬀekt f¨ uhrt dazu, dass bei festgelegter Richtung (Laserstrahl im Resonator) je nach Betrag und Richtung der Geschwindigkeit unterschiedliche Frequenzen beobachtet werden. F¨ ur die Linienbreite gilt: 2 2Rm T ln 2 (21.14) ∆fD = f0 c0 M uls), Rm = 8,314 J/ wobei f0 die Strahlungsfrequenz des ruhenden Atoms (Molek¨ (mol·K) die allgemeine Gaskonstante, M die Molmasse und c0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit sind. F¨ ur Gaslaser betr¨ agt die inhomogene Linienbreite ca. 60 MHz bis 1,5 GHz (CO2 ; He-Ne-Laser) Im Laserresonator wird die Linienbreite ∆f , wie in Abb. 21.10 gezeigt, betr¨ achtlich vermindert, was zu wesentlich monochromatischerem Licht f¨ uhrt. Diese Verringerung der Linienbreite ist qualitativ in Abb. 21.10 gezeigt. Der Abstand der Resonatormoden (stehende Wellen aufgrund der Resonanzbedingung) betr¨ agt c/(2 L). Die verbleibende Linienbreite ∆fL ist durch die Verluste im Resonator gegeben, die mechanisch (schlechte Justierung der Spiegel) oder optisch (Beugung, Streuung, Reﬂexionsgrad der Spiegel < 1) bedingt sind. Verluste (D¨ ampfung) f¨ uhren in einem schwingungsf¨ahigen System (z.B. elektrischer Schwingkreis) zu einer Verbreiterung der Resonanzkurve. Um ein quantitatives Verst¨ andnis der Einfarbigkeit des Laserlichtes zu erhalten, betrachten wir die Werte in Tabelle 21.1, wobei die Linienbreite eines hochwertigen Helium-NeonLasers mit der Linienbreite von Spektrallampen verglichen wird. Die Umwandlung von ∆λ nach ∆f ist u ¨ ber die Beziehung ∆f = −c∆λ/λ20 gegeben. Die Werte der Tabelle 21.1 zeigen, dass der frequenzstabilisierte Helium-NeonLaser wesentlich – z.B. um den Faktor 107 – monochromatischer als eine Entladungslampe und die rote Linie (Faktor 105 ) einer Kadmiumgasentladung bei niedrigem Druck ist. Eine gew¨ ohnliche Lichtquelle kann die Wellenl¨angensch¨arfe

622

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.10. Qualitativer Vergleich der Linienbreiten f¨ ur die Laseremission und die spontane Emission des gleichen Paares von Energiezust¨ anden in einem Atom. Die breite Linie erh¨ alt man bei der spontanen Lichtemission zwischen den Zust¨ anden W2 und W1 vor dem Einsatz des Laserprozesses. Die scharfe Linie erh¨ alt man f¨ ur Laserlicht zwischen den Zust¨ anden W2 und W1 im station¨ aren Laserbetrieb. fq−1 , fq und fq+1 bezeichnen die Resonanzfrequenzen des Resonators im Frequenzbereich der spontanen Emissionslinie bei gegebener Resonatorl¨ ange. Der Frequenzabstand der Resonatormoden ist c/(2 L), wobei L die L¨ ange des Resonators und c die Lichtgeschwindigkeit im Resonator sind. Die verbleibende Linienbreite ∆fL des Lasers ist durch Verluste im Resonator durch mangelnde mechanische Stabilit¨ at oder durch optische Eﬀekte (Beugung, Streuung) bedingt Tabelle 21.1. Vergleich von Linienbreiten Lichtquelle

Wellenl¨ ange λ/nm

Linienbreite ∆λ/nm

Frequenzbreite Koh¨ arenzl¨ ange ∆f /Hz l/m

normale NaGasentladungslampe

589,6

≈ 0,1

8,6 · 1010

3,5 · 10−3

KadmiumNiederdrucklampe

643,8

≈ 1,3 · 10−3

9,4 · 108

0,32

frequenzstabilisierter Helium-Neon-Laser

632,8

≈ 10−8

7,5 · 103

4 · 104

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

623

eines typischen Laserstrahles nur bei extremer Filterung der Wellenl¨angenverteilung erreichen, damit ist auch eine außerordentlich hohe Reduktion der Intensit¨at verbunden. 21.4.2 Koh¨ arenz Die optische Eigenschaft des Laserlichtes, die es am deutlichsten von anderen Lichtquellen unterscheidet, ist die Koh¨ arenz. Der Laser ist die beste hoch“” koh¨arente Lichtquelle. Andere Lichtquellen wie die Sonne oder Gasentladungslampen sind im besten Falle teilweise“ koh¨arent. ” Die Koh¨ arenz kann sehr detailliert mathematisch behandelt werden, wir haben uns in Kap. 12 damit besch¨ aftigt. An dieser Stelle wollen wir keine genaue mathematische Analyse durchf¨ uhren und beschreiben Koh¨arenz allgemein und qualitativ. Die Koh¨arenz ist ein Maß f¨ ur den Grad der Phasenkorrelation, der in einem Strahlungsfeld einer Lichtquelle an verschiedenen Stellen und zu verschiedenen Zeiten vorzuﬁnden ist. H¨ auﬁg beschreibt man sie mit den Begriﬀen zeitliche Koh¨arenz, die ein Maß f¨ ur die Einfarbigkeit des Lichtes ist, und r¨aumliche Koh¨arenz, die die zeitliche Konstanz der Phase in einem Raumbereich misst, d.h. ob sich der Welle eine eindeutige Wellenfront im Raumbereich zuordnen l¨asst.

Abb. 21.11. Teilabbildung eines perfekt koh¨ arenten Wasserwellenfeldes, das durch eine regelm¨ aßig periodisch oszillierende Spitze bei Q erzeugt wird. Das Wellenfeld weist ideale Kreiswellenfronten auf, B (Berge) und T (T¨ aler) f¨ ur Wasserwellen einer einzigen Wellenl¨ ange

F¨ ur ein qualitatives Verst¨ andnis der zeitlichen und r¨aumlichen Koh¨arenz betrachten wir Wasserwellen, die im Zentrum eines Teiches durch eine regelm¨aßige periodische St¨ orung verursacht werden. Die St¨orung kann z.B. durch eine Spitze erzeugt werden, die sich periodisch auf- und abbewegt und hierbei eine regelm¨ aßige Folge von Wellent¨ alern und Wellenbergen erzeugt, die sich in Form

624

21 Grundlagen der Laser

einer Kreiswelle vom Zentrum aus ausbreiten, wie in Abb. 21.11 gezeigt. F¨ ur dieses Wasserwellenfeld k¨ onnen wir perfekte zeitliche und r¨aumliche Koh¨arenz feststellen. Die zeitliche Koh¨ arenz ist ideal, da nur eine einzige Frequenz auftritt. So lange sich die Spitze mit gleicher Frequenz auf- und abbewegt, bleibt die Wellenl¨ ange konstant und man kann mit hoher Genauigkeit den Ort aller Wellenberge und Wellent¨ aler auf der Oberﬂ¨ache des Teiches vorhersagen. Die r¨ aumliche Koh¨ arenz des Wellenfeldes ist ebenfalls vollst¨andig, weil die Spitze eine kleine Quelle darstellt, die ideale Wellen, in diesem Falle exakt kreisf¨ormige Wellenberge und Wellent¨ aler, erzeugt. Entlang der Wellenfront, eines Kreises, ist die Bewegung der Wassermolek¨ ule eines Wellenberges oder Wellentales ideal in Phase. Wir k¨ onnen mit hoher Genauigkeit u ¨berall im Teich vorhersagen, wie die vertikale Auslenkung der Wasseroberﬂ¨ ache ist oder sein wird. Das Wasserwellenfeld, das wir beschrieben haben, kann zeitlich und r¨aumlich inkoh¨ arent gemacht werden, indem wir die einzelne Spitze durch 100 Spitzen ersetzen, wobei jede Spitze eine periodische Schwingung unterschiedlicher Frequenz und sich zeitlich statistisch ¨ andernder Phasenlage durchf¨ uhrt. Man wird in diesem Fall erkennen, dass das Verhalten der Wasseroberﬂ¨ache an verschiedenen Orten nur gering korreliert ist. Die Wellenfronten w¨aren in diesem Fall beliebige geometrische Kurven, die ihre Form aufgrund der zuf¨alligen unabh¨angigen Bewegung der Spitzen laufend ver¨ andern w¨ urden. Dieses Bild k¨onnen wir auf eine Anzahl von Atomen, die Licht emittieren, u ¨bertragen. Eine unkorrelierte Erzeugung von Wasserwellen ergibt ein inkoh¨arentes Wasserwellenfeld, eine unkorrelierte Erzeugung von Lichtwellen ergibt ein inkoh¨arentes Strahlungsfeld. Zur Emission von Licht hoher Koh¨ arenz muss die Strahlungsquelle eine geringe Ausdehnung haben (im Grenzfall ein einzelnes Atom) und außerdem Licht geringer Bandbreite emittieren (im Grenzfall mit ∆λ = 0). Normale“ Lichtquel” len, mit Ausnahme des Lasers, emittieren Licht durch die unkorrelierte Emission vieler Atome, wobei viele verschiedene Wellenl¨angen auftreten. Man erh¨alt als Ergebnis inkoh¨ arentes Licht. Um mit einer normalen Lichtquelle (kein Laser) h¨ ohere Koh¨ arenz zu erreichen, kann man zwei Verbesserungen durchf¨ uhren. Zum einen kann man vor eine Lichtquelle ein sehr kleines Loch setzen, das die r¨aumliche Ausdehnung der Quelle stark beschr¨ ankt. Zum anderen l¨asst sich durch ein Wellenl¨ angenﬁlter die Linienbreite ∆λ des Lichtes verringern. Jede Modiﬁkation verbessert die Koh¨ arenz des Lichtes, das von der Lichtquelle abgegeben wird, aber hierbei wird die Intensit¨ at drastisch geschw¨acht. Im Gegensatz hierzu erzeugt ein Laser aufgrund der Lichtverst¨arkung u ¨ber stimulierte Emission im Resonator schmalbandiges Licht mit hoher Phasenkorrelation. Wir erinnern uns, dass beim Prozess der stimulierten Emission jedes u ugte Photon identische Phase, Polarisa¨ ber die stimulierte Emission hinzugef¨ tion und Richtung wie das im Laserresonator verst¨arkte Photon besitzt. Das erzeugte Laserlicht ist also zeitlich und r¨ aumlich hoch koh¨arent. Man kann deshalb einen realen Laser als hoch intensive Punktquelle“ beschreiben, die sich in ” großer Entfernung von der Laseraustritts¨ oﬀnung beﬁndet und Licht in einen sehr

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

625

Abb. 21.12. Eine Wolframfadenlampe ben¨ otigt ein Loch in Stecknadelgr¨ oße und ein Wellenl¨ angenﬁlter, um partiell koh¨ arentes Licht zu erzeugen. Das Licht eines Lasers ist von der Erzeugung her gut koh¨ arent. a) Wolframfadenlampe. Diese Lampe stellt eine ausgedehnte Lichtquelle dar, die viele Wellenl¨ angen emittiert. Die Emission weist keine zeitliche und r¨ aumliche Koh¨ arenz auf. Die Wellenfronten sind irregul¨ ar und ¨ andern zuf¨ allig ihre Form. b) Wolframfadenlampe mit Lochblende. Die Blende begrenzt die Ausdehnung der Lichtquelle und verbessert die r¨ aumliche Koh¨ arenz des Lichtes. Das Licht hat jedoch immer noch keine zeitliche Koh¨ arenz, da weiterhin eine Vielzahl von Wellenl¨ angen auftritt. Die Intensit¨ at des Strahles ist verringert. c) Wolframfadenlampe mit Lochblende und Filter. F¨ ugt man ein schmalbandiges Wellenl¨ angenﬁlter hinzu, so wird die Intensit¨ at weiter verringert, aber die zeitliche Koh¨ arenz verbessert. Die verbleibende Intensit¨ at ist nur ein verschwindender Bruchteil der Eingangslichtintensit¨ at der Lampe. d) Laser. Laserlicht hat einen hohen Grad r¨ aumlicher und zeitlicher Koh¨ arenz. Zus¨ atzlich kann die Ausgangsintensit¨ at sehr hoch sein

kleinen Raumwinkel abgibt. Abbildung 21.12 zeigt die grundlegenden Prinzipien der Koh¨ arenz f¨ ur den Laser und andere Lichtquellen. F¨ ur einen Laser sind r¨ aumliche und zeitliche Koh¨arenz der Strahlung wesentlich besser als bei anderen Quellen. Die r¨ aumliche Koh¨arenz eines Laserstrahles in der Grundmode (TEM00 -Mode) erstreckt sich u ¨ber die volle Breite des Strahles, unabh¨ angig von dessen Durchmesser. Die zeitliche Koh¨arenz ist um Gr¨oßenordnungen h¨ oher als die einer gew¨ ohnlichen Lichtquelle. Die Koh¨arenzzeit τc eines Lasers ist ein Maß f¨ ur das mittlere Zeitintervall, f¨ ur das man die richtige Pha-

626

21 Grundlagen der Laser

se f¨ ur den Laserstrahl in einem gegebenen Raumpunkt vorhersagen kann. Die angt mit der Koh¨ arenzzeit u Koh¨arenzl¨ange lc h¨ ¨ber die Beziehung lc = c τc zusammen, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Koh¨arenzl¨ange ist die mittlere L¨ ange eines Wellenzuges, u ur ¨ber die die Phase der Welle vorhersagbar ist. F¨ den in Tabelle 21.1 angegebenen frequenzstabilisierten Helium-Neon-Laser ist die Koh¨ arenzzeit von der Gr¨ oßenordnung Millisekunden (zu vergleichen mit ungef¨ahr ur das Licht einer Natriumgas-Entladungslampe) und die Koh¨arenzl¨ange 10−9 s f¨ f¨ ur den gleichen Laser betr¨ agt Tausende von Kilometern (zu vergleichen mit Zentimetern f¨ ur die Natriumlampe). 21.4.3 Strahldivergenz Wenn man den feinen Strahl eines Helium-Neon-Lasers zum ersten Mal sieht, ist man u ¨ ber die ideale, gradlinige Ausbreitung erstaunt. Keine andere Lichtquelle – mit oder ohne Einsatz von Linsen oder Spiegeln – liefert einen so exakt deﬁnierten Strahl mit minimaler Strahldivergenz bei vergleichbarer Intensit¨at. Die geringe Strahldivergenz des Lasers ist durch die Geometrie des Laserresonators und die Einfarbigkeit und Koh¨arenz des Lichtes bedingt.

Abb. 21.13. Laserstrahl außerhalb und innerhalb eines Resonators. Die beugungs¨ bedingte Strahldivergenz wird durch den vollen Oﬀnungswinkel 2θ0 beschrieben. Die Strahldivergenz wird scheinbar durch eine gedachte Apertur des Durchmessers 2w0 , die sich am Ort der Strahltaille beﬁndet, erzeugt. Die eingezeichnete Strahlbegrenzung ist eine Linie auf der die Intensit¨ at auf I0 /e2 des Wertes I0 auf der Strahlachse abgefallen ist

Abbildung 21.13 zeigt eine spezielle Resonatorgeometrie und einen emittierten ¨ Laserstrahl, der den Oﬀnungswinkel 2θ im Fernfeld – d.h. f¨ ur große Abst¨ande zum Laser – aufweist. Die Resonatorspiegel haben konkave Form und erzeugen ¨ im Resonator eine Strahltaille. Der Scheitel des Oﬀnungswinkels 2θ liegt am Ort

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

627

der Strahltaille, θ0 wird von der Strahlachse aus gegen die Asymptote an der Strahlbegrenzungslinie gemessen. Die Eigenschaften des Laserstrahls innerhalb und außerhalb des Resonators k¨ onnen aus den L¨ osungen der elektromagnetischen Feldgleichungen f¨ ur einen Hohlraumresonator bestimmt werden. Die Details dieses Verfahrens gehen u ¨ber den Stoﬀ dieses Buches hinaus, deshalb werden wir uns auf die Diskussion einiger Ergebnisse beschr¨ anken (s. auch Kap. 22). Man ﬁndet, dass der halbe Strahl¨oﬀnungswinkel θ0 durch die Beziehung λ (21.15) πw0 gegeben ist, wobei λ die Wellenl¨ ange des Laserstrahles und 2w0 der Durchmesser des Laserstrahles am Ort der Strahltaille ist. Diese Beziehung gilt f¨ ur einen idealen Gaußschen Strahl (TEM00 -Mode), wobei die Brechung beim Strahlaustritt durch den Auskoppelspiegel unber¨ ucksichtigt ist und die Laserspiegel perfekt justiert sein m¨ ussen. θ0 =

Das Produkt aus Strahl¨ oﬀnungswinkel und Strahltaille (Strahlparameterprodukt) ist f¨ ur Laser eine Erhaltungsgr¨ oße, die auch nach Durchgang des Strahles durch ein beliebiges optisches System unver¨andert bleibt.

θ0 · w0 =

Strahlparameterprodukt

λ π

(21.16)

Gleichung (21.15) ¨ ahnelt sehr der Gleichung, die man f¨ ur die Strahldivergenz des ¨ Lichtes nach der Beugung von ebenen Wellen an einer kreisf¨ormigen Oﬀnung (s. Kap. 16) erh¨ alt. Dieses Beugungsmuster weist einen zentralen, hellen, kreisf¨ormigen Fleck, die Airy-Scheibe, auf, die von einer Reihe von hellen Ringen umgeben ist. Diese Beugungserscheinung ist in Abb. 21.14 gezeigt. Beim Laserstrahl fehlen die hellen Ringe. Der Beugungswinkel 2θ, der durch die Ausdehnung der Airy-Scheibe deﬁniert ist, errechnet sich zu (s. (16.31)) 2θAiry =

2,44λ D

(21.17a)

1,27λ = 2θ0 D

(21.17b)

F¨ ur den Gaußstrahl gilt (21.15): 2θGauß =

wobei λ die Wellenl¨ ange des kollimierten (ebene Wellen) monochromatischen ¨ Lichtes und D der Durchmesser der kreisf¨ ormigen Oﬀnung ist. Gleichung (21.17a)

628

21 Grundlagen der Laser

¨ Abb. 21.14. Fraunhofer-Beugung von ebenen Wellen durch eine kreisf¨ ormige Oﬀnung. Der Strahl¨ oﬀnungswinkel 2θ ist durch den Rand der Airy-Scheibe deﬁniert

und (21.17b) h¨ angen von dem Verh¨ altnis Wellenl¨ange zu Durchmesser ab; sie unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor. Es liegt nahe, die Winkeldivergenz des Laserstrahles in (21.15) als beugungsbedingt zu betrachten. Betrachten wir die Strahltaille als eine Kreisblende, die sich innerhalb des Laserresonators beﬁndet, dann k¨ onnen wir u ¨ ber die Ver¨anderung der Gr¨oße der Strahltaille die Beugung oder die Winkeldivergenz des Laserstrahles festlegen. In der Praxis ist die Strahltaille durch die Geometrie des Laserresonators festgelegt und h¨ angt vom Kr¨ ummungsradius der beiden Spiegel und dem Abstand zwischen den Spiegeln ab. Man kann deshalb Laser mit deﬁnierter Strahltaille und gegebener Strahldivergenz im Fernfeld bauen, wobei das Fernfeld in einem ausreichend großen Abstand l von der beugenden Blende vorliegt, was ¨ l (Fl¨ ache der Oﬀnung der Kreisblende)/λ bedeutet (s. (18.8)). Im Zusammenhang mit den Abbildungen 21.13 und 21.14 sind weitere Erl¨aute¨ rungen n¨ utzlich. Durch die kreisf¨ ormigen Oﬀnungen in Abb. 21.14 laufen ebene Wellen homogener Bestrahlungsst¨ arke; dies bedeutet, dass die elektrische Feldst¨ arke in allen Punkten der Wellenfront gleich ist. In Abb. 21.13 sind die Wellenfronten, die durch die eﬀektive Apertur oder Strahltaille verlaufen, ebenfalls ebene Wellen, aber die Bestrahlungsst¨arke des Laserlichtes ist nicht u ¨ber die Blenden¨ oﬀnung konstant. F¨ ur die transversale Mode niedrigster Ordnung, die TEM00 -Mode (Gaußscher Strahl), nimmt die Bestrahlungsst¨arke exponentiell 2 2 mit dem Abstand von der Strahlachse ab, es gilt I ∼ e−2y /w , wobei der Abstand y senkrecht zur Strahlrichtung gemessen wird und 2w den Strahldurchmesser an einer gegebenen Stelle z des Strahles angibt (s. Abb. 21.15). Die kreisf¨ormige Blende der Abb. 21.14 ist eine tats¨ achlich vorhandene Blende; dies gilt nicht f¨ ur die Strahltaille in Abb. 21.13. Diese wird als eﬀektive Blenden¨oﬀnung verstan-

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

629

den, wobei die Strahldivergenz eines Lasers mit der Lichtbeugung durch eine reale Blende verglichen wird. Mit Hilfe von (21.15) kann man einen Eindruck von der kleinen Strahldivergenz und der hohen Richtwirkung des Laserstrahles gewinnen. Beispiel 21.1 Strahldivergenz eines Laserstrahles a) Ein Helium-Neon-Laser (632,8 nm) hat eine interne Strahltaille mit dem Durchmesser 0,5 mm. Bestimmen Sie den Strahl¨oﬀnungswinkel. b) Die Geometrie des Laserresonators bestimmt den Strahltaillendurchmesser 2w0 , das Lasermedium die Laserwellenl¨ange. Wie groß ist die Strahldivergenz eines Lasers mit einer Strahltaille von 0,5 cm Durchmesser und der Wellenl¨ange 200 nm? Um welchen Faktor ist die Strahldivergenz gegen¨ uber dem ersten Beispiel verbessert? L¨ osung a) θ0 =

λ 632,8 · 10−9 m = = 8 · 10−4 rad πw0 π · 2,5 · 10−4 m

Dies ist ein typischer halber Strahl¨oﬀnungswinkel f¨ ur einen Helium-Neon-Laser, der Strahldurchmesser erh¨oht sich f¨ ur jeden Meter um 1,6 mm. b) θ0 =

λ 200 · 10−9 m = = 2,55 · 10−5 rad πw0 π · 2,5 · 10−3 m

F¨ ur den halben Strahl¨ oﬀnungswinkel erh¨alt man 0,025 mrad, dies entspricht einer Verminderung um einen Faktor 32 verglichen mit dem Strahl¨ oﬀnungswinkel des Helium-Neon-Lasers im Fall a). F¨ ur den Laserstrahl im Fall b) nimmt die Strahlenbreite um 1,6 mm auf 32 m zu (200 nm ist die typische Wellenl¨ ange eines Excimerlasers). Wir ersehen hieraus, dass durch die Verringerung der Wellenl¨ange und die Vergr¨ oßerung der Strahltaille (z.B. kurzwellige Laser wie den UV-Laser ¨ oder den R¨ ontgenlaser) der Oﬀnungswinkel eines Laserstrahles erheblich vermindert werden kann. Die hohe Richtwirkung“ der Laserstrahlung oder einer anderen Lichtquelle, ” h¨ angt von der Einfarbigkeit und Koh¨ arenz des erzeugten Lichtes ab. Gew¨ohnliche Lichtwellen sind weder monochromatisch noch koh¨arent. Die Laser sind in diesen beiden Eigenschaften normalen Lichtquellen weit u ¨ berlegen und erzeugen deshalb hoch gerichtetes, paralleles Licht.

630

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.15. Gaußscher TEM00 -Strahl. Der Durchmesser des Strahles ist durch die I0 /e2 Begrenzungen deﬁniert. Diese Kurven verbinden die Orte, bei denen die Bestrahlungsst¨ arke des Strahles auf jeder Seite der optischen Achse auf 1/e2 des Wertes im Strahlzentrum abgesunken ist. Die Ver¨ anderung der Intensit¨ at f¨ ur den Gaußschen Strahl ist an zwei Stellen entlang des Strahles gezeigt, an denen die Strahldurchmesser 2w1 und 2w2 sind. Der Durchmesser 2w2 ist aufgrund der Strahldivergenz gr¨ oßer als 2w1

21.4.4 Laserintensit¨ at Man sagt z.B., dass ein 1-mW-Helium-Neon-Laser 100-mal heller ist als die Sonne. Um einen Begriﬀ f¨ ur den drastischen Unterschied zwischen der Intensit¨at des Laserstrahles und thermischen Lichtquellen zu bekommen, vergleichen wir den Photonenﬂuss. Beispiel 21.2 Vergleich der Photonenﬂ¨ usse von Laser und thermischer Lichtquelle a) Kleine Gaslaser haben typischerweise eine Ausgangsleistung P = 1 mW. Neodym-Glaslaser, wie sie f¨ ur die Laser induzierte Kernfusion entwickelt werden, besitzen gepulste Ausgangsleistungen von 1015 W! Wir betrachten diese beiden extremen Beispiele und nehmen eine mittlere Energie (W = hf ) von 10−19 J (0,63 eV) pro sichtbarem Photon an. b) Wir betrachten eine breitbandige thermische Lichtquelle, deren strahlende Fl¨ ache A der Strahltaille des vorher genannten 1 mW Helium-NeonLasers entspricht (2w0 = 0,5 mm; A = 2 · 10−3 cm2 ). Die Oberﬂ¨ache emittiert Strahlung bei der Wellenl¨ange 633 nm, wobei die Linienbreite ∆λ = 100 nm und die Temperatur T = 1000 K betragen soll. Bestimmen Sie den Photonenﬂuss dieser thermischen Quelle.

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

631

L¨ osung a) Der Photonenﬂuss N˙ ist durch P/hf gegeben. Damit erh¨alt man f¨ ur die Laser: P 10−3 J/s N˙ 1 = = −19 = 1016 Photonen/s hf 10 J/Photon P 1014 J/s = −19 = 1033 Photonen/s N˙ 2 = hf 10 J/Photon b) Den Photonenﬂuss f¨ ur die breitbandige Quelle erh¨alt man aus der folgenden Gleichung2: 1 1 ∆A∆f N˙ = 2 hf /kT λ e −1

(21.18)

Hierbei ist die Frequenz f = c/λ = 4,74 · 1014 Hz. Die Frequenzbandbreite betr¨ agt ∆f = (c/λ2 )∆λ = 7,5 · 1013 Hz. Der Exponent ist: (6,63 · 10−34 Js)(4,74 · 1014 s−1 ) hf = = 22,77 kT (1,38 · 10−23 J/K)(1000 K) Setzt man diese Werte in (21.18) ein, so erh¨alt man f¨ ur den Photonenﬂuss: N˙ =

1 1 (2 · 10−7 m2 )(7,5 · 1013 s−1 ) ≈ 5 · 109 Ph/s −9 2 2 (633 · 10 ) m 7,76 · 109

Wir ﬁnden einen Photonenﬂuss N˙ von ungef¨ahr 109 Photonen pro Sekunde. Dieser Wert ist 7 Gr¨ oßenordnungen kleiner als der Photonenﬂuss des schwachen 1-mW-Helium-Neon-Lasers und 24 Gr¨ oßenordnungen kleiner als der des starken Neodym-Glaslasers. Der Vergleich ist in Abb. 21.16 zusammengefasst. Wir ersehen aus Abb. 21.16 und Bsp. 21.2, dass der Helium-Neon-Laser 1016 Photonen/s in den sehr kleinen Raumwinkel 2 · 10−6 sr emittiert. Der thermische Strahler ist eine Lambertsche Quelle und strahlt 109 Photonen/s in den vorderen Halbraum ab (Raumwinkel 2π sr). Die thermische Quelle emittiert 320 Photonen/s in einen zum Laser ¨ aquivalenten Raumwinkel: 2

Man erh¨ alt (21.18) aus (21.7). Bei der Umrechnung muss man die Geometrie von einem isotrop strahlenden Volumenelement ∆V (21.7) zu einem strahlenden Oberﬂ¨ achenelement ∆A (21.18) a ¨ndern.

632

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.16. Vergleich des Photonenﬂusses f¨ ur einen schwachen Helium-Neon-Gaslaser und eine thermische Strahlungsquelle mit der gleichen strahlenden Oberﬂ¨ ache. a) 1-mWHelium-Neon-Laser (λ = 633 nm). b) Breitbandige thermische Quelle (Lambertscher Strahler) mit den Eigenschaften T = 1000 K, ∆A = 2 · 10−3 cm2 , λ0 = 633 nm und ∆λ = 100 nm. Beachten Sie, dass der Laser alle Photonen in einen kleinen Raumwinkel (≈ 2 · 10−6 sr), die thermische Quelle dagegen in den Raumwinkel 2π sr (Halbraum) emittiert

109 Photonen/s

2 · 10−6 sr = 320 Photonen/s 6,28 sr

ur die Laserquelle und 320 PhotoDer Unterschied zwischen den 1016 Photonen/s f¨ nen/s der thermischen Quelle ist betr¨ achtlich. Beispiel 21.3 Vergleich der Strahldichte von Laser und thermischer Strahlungsquelle Wie groß ist die Strahldichte einer hochintensiven konventionellen Lichtquelle im Vergleich mit der eines schwachen Lasers? Als konventionelle Lichtquelle w¨ ahlen wir eine intensive HochdruckQuecksilberlampe, die eine Strahldichte von Le = 250 W/(cm2 sr) aufweist. Vor dem Auftreten der Laser waren solche Lampen die intensivsten erh¨altlichen Lichtquellen. Als Laserlichtquelle benutzen wir einen 4-mW-HeliumNeon-Laser mit einem Strahltaillendurchmesser von 2w0 = 0,5 mm und ei¨ nem vollen Oﬀnungswinkel von 2θ0 = 1,6 mrad, der bei einer Wellenl¨ange von 633 nm emittiert. Die Geometrie ist in Abb. 21.17 gezeigt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die strahlende Oberﬂ¨ache des Lasers gleich der Fl¨ache der Strahltaille ist. Die Strahlst¨ arke der Fl¨ ache entspricht der des Lasers und die Oberﬂ¨ ache strahlt nur in den Raumwinkel ab, der durch die Geometrie des Laserresonators bestimmt ist.

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

633

Abb. 21.17. Strahldichte eines schwachen Helium-Neon-Lasers. Die Strahldichte des Lasers, die der Detektor nachweist, ist ungef¨ ahr 106 W/(cm2 sr)

L¨ osung Die Strahldichte Le als Funktion des Strahlungsﬂusses (Laserleistung) Φe , der Strahltaillenﬂ¨ ache ∆A1 und des Raumwinkels ∆Ω betr¨agt (s. Kap. 2): Le =

Φe ∆A∆Ω

(21.19)

Aus Abb. 21.17 ergibt sich f¨ ur den Raumwinkel ∆Ω = A2 /r2 , wobei gilt: 2 2 2 A2 ≈ π (r tan θ0 ) ≈ πr θ0 . Setzen wir dies in Gleichung (21.19) ein, so erhalten wir: Le =

Φe πθ02 ∆A1

=

W 4 · 10−3 W ≈ 1 · 106 π(0,8 · 10−3 )2 · 2 · 10−3 cm2 cm2 sr

Wir sehen, dass Laser die h¨ ochsten Strahldichten liefern.

21.4.5 Fokussierbarkeit Die Abbildung (Fokussierung) von Lichtb¨ undeln auf Bildﬂecke bis zur Beugungsgrenze ist eine interessante Aufgabe. In der geometrischen Optik zeigt man gew¨ ohnlich die Abbildung eines perfekt parallelen Lichtstrahles in einen Punkt (s. Abb. 21.18 a) durch eine Sammellinse. Wir wissen, dass ein Punktbild eine Idealisierung ist, die sogar im Grenzfall der geometrischen Optik (λ → 0) unm¨oglich ist, da ideale Linsen ohne Abbildungsfehler nicht herstellbar sind. Abbildung 21.18 b zeigt die Schwierigkeiten bei der Abbildung einer gew¨ohnlichen Lichtquelle auf einen kleinen Fleck. Zun¨ achst ist die Lichtquelle inkoh¨arent. Weiterhin kann die physikalische Ausdehnung der Lichtquelle nicht beliebig klein – etwa die eines Punktes – sein, denn dann w¨ urde die Intensit¨at des abgebenden Lichtes entweder zu gering sein oder die Lichtquelle w¨ urde schmelzen. Die Kombination einer nicht punktf¨ ormigen Quelle und inkoh¨ arenten Lichtes f¨ uhrt zu endlichen Bildgr¨oßen, die durch die Abbildungsgleichungen der geometrischen Optik bestimmt werden.

634

21 Grundlagen der Laser

Abb. 21.18. Abbildung von Strahlenb¨ undeln verschiedener Lichtquellen. a) Ein ideal paralleles Strahlenb¨ undel wird nach der geometrischen Optik auf einen ﬁktiven Punkt abgebildet. b) Ein inkoh¨ arentes Strahlenb¨ undel einer thermischen Lichtquelle wird auf ein Bild der Gr¨ oße y λ abgebildet. c) Ein koh¨ arentes Laserstrahlenb¨ undel wird auf einen beugungsbegrenzten Kreis des Durchmessers 2w0 ≈ λ abgebildet

Der Laser emittiert intensives koh¨ arentes Licht, das von einer weit entfernten Punktquelle zu kommen scheint. Durch diese Eigenschaft u ¨berwindet der Laser die Grenze, die die Fokussierung von thermischer Strahlung auf einen Punkt unm¨ oglich macht. Abb. 21.18 c zeigt einen Laserstrahl, der durch eine Sammellinse auf einen beugungsbegrenzten Kreisﬂeck kleinen Durchmessers, ungef¨ahr von der Gr¨ oße der Laserwellenl¨ ange, fokussiert wird. Man stellt fest, dass ein Laser¨ strahl mit dem vollen Oﬀnungswinkel 2θ0 durch eine Linse der Bildbrennweite f auf einen beugungsbegrenzten Kreis des Durchmessers 2w0

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

Durchmesser eines fokussierten Laserstrahles

2w0 ≈ f 2θ0 = f

2λ π · w0

635

(21.20)

abgebildet werden kann, wie in Abb. 21.19 gezeigt. λ (s. (21.15)). Bitte beachten Sie, dass Der Strahl¨ oﬀnungswinkel ist θ0 = π·w 0 w0 in (21.15) sich auf den Radius der Strahltaille im Laser bezieht, die die Strahldivergenz festlegt. 2w0 in (21.20) ergibt den Durchmesser der Strahltaille nach Fokussierung durch die Sammellinse. Das Bild des Laserstrahles entsteht ungef¨ ahr in der Brennebene der Linse (a ≈ f ), eine genauere Berechnung zeigt, dass dies f¨ ur viele F¨ alle eine ausreichende N¨aherung ist (s. Kap. 22).

¨ Abb. 21.19. TEM00 - Laserstrahl mit dem Oﬀnungswinkel 2θ0

Mit Hilfe von (21.20) k¨ onnen wir einige grobe Berechnungen zum Durchmesser von fokussierten Laserstrahlen machen. Mit einer Linse der Bildbrennweite f = 0,1 m und einfallendem Laserlicht mit vollem Strahl¨oﬀnungswinkel 2θ0 = 10−3 bis 10−4 rad erreicht man im Brennpunkt Durchmesser von 100 µm bis 10 µm. Wenn wir diese Durchmesser mit der Wellenl¨ange des KohlendioxidLasers (λ = 10,6 µm) vergleichen, k¨ onnen wir erkennen, dass CO2 -Laserstrahlung – und andere Laserstrahlung – auf Fl¨ achendurchmesser von der Gr¨oßenordnung der Wellenl¨ ange fokussiert werden kann. Gleichung (21.20) zeigt, dass starke Fokussierung durch Linsen mit kurzer ¨ Brennweite und f¨ ur Laserstrahlen mit kleinen Oﬀnungswinkeln erreicht werden kann. Wenn Linsen ohne Abbildungsfehler verf¨ ugbar sind, kann man die Brennweite so kurz wie m¨ oglich w¨ ahlen. Der Strahl¨oﬀnungswinkel des Lasers, der durch die Resonatorgeometrie festgelegt wird, kann zus¨atzlich durch den Einsatz eines Strahlaufweiters reduziert werden. In Abb. 21.20 wird ein Laserstrahl mit dem ¨ vollen Oﬀnungswinkel 2θ0 durch die erste Linse eines Strahlaufweiters (Brenn = f1 · 2θ0 fokussiert, wie aus weite f1 ) auf einen Fleck des Durchmessers 2w01 (21.20) berechnet werden kann. Die zweite Linse, die sich im Abstand f2 von dem Brennﬂeck beﬁndet (f2 > f1 ), sammelt das Licht, das von dem Brennﬂeck ausgeht und erzeugt einen parallelen Strahl. Der Strahl¨oﬀnungswinkel des aufgeweiteten Strahles ergibt sich zu

∗

η=

=

Strahldurchmesser

1,5 mm-2,5 cm

3-4 mm

2 mm - 4 cm

0,15-100 mJ pro Puls <10 W

Pulsdauer 5 ps-20 ns cw/gepulst

0,4-0,6 mm

Einzeldiode <2 W cw oder Pulsdauer divergiert zu rasch Matrizenanordnung >5 ps <50 W 30 W-4 kW cw, TEM00 0,75-6 mm 10 J-50 mJ pro Multimode Puls 1000 W Pulsdauer 5 ms-10 ns cw

<150 W <1 kJ pro cw Pulsdauer Puls einige s <30 kW, <10 kW cw, TEM00 , 500 J pro Puls, Multimode gepulst GW 0,03-500 J pro Puls Pulsdauer >0,5 ms

<400 mJ pro Puls, gepulst, Pulsdauer 6 × 23-20 × 32 mm2 30 W >20 ns rechteckig <10 mJ pro Puls, Pulsdauer 0,5-5 ns 2 × 3-6 × 30 mm2 500 mW rechteckig <20 W cw = 0,7-2 mm kontinuierlich 0,1-50 mW cw 0,5-2 mm

Energie mittlere Art des Leistung Ausgangssignals

StrahlungsﬂussΦe Pelektrisch

400-950 nm

1,06 µm

0,4 µm-30 µm 700-900 nm 0,65-2 µm 1,064 µm

694,3 nm

10,6 µm

2,7-3,3 m

488 nm, 514,5 nm 632,8 nm

337,1 nm

193 nm

Wellenl¨ ange

optische Leistung elektrische Leistung

Rubin(Festk¨ orperlaser) Halbleiterdiodenlaser GaAlAs InGaAsP Nd:YAG(Festk¨ orperlaser) Blitzlampe als Pumpe Diodenlaser als Pumpe Nd:Glas(Festk¨ orperlaser) Farbstoﬀlaser (Fl¨ ussigkeit) mit Argonionenlaser optisch gepumpt

Argonionen (Gaslaser) HeliumNeon(Gaslaser) HF Chemischer Gaslaser CO2 (Gaslaser)

Excimer(ArF) (Gaslaser) Stickstoﬀ(Gaslaser)

Typ

10-20% ·ηArgonionenlaser

10%

2-18 mrad

1-2 mrad

<50%

<0,5%

5-30%

200 × 600 mrad oval

0,2-10 mrad

1-2 mrad

chemisch 10%

<0,1%

0,5-1,7 mrad 1-15 mrad

<0,1%

<0,1%

0,4-1,5 mrad

1 − 3 × 7 mrad

voller StrahlSteckdoseno ¨ﬀnungswinkel wirkungsgrad∗ η 2θ0 2-6 mrad <0,5%

Tabelle 21.2. Laserparameter f¨ ur einige gebr¨ auchliche Laser 636 21 Grundlagen der Laser

21.4 Eigenschaften des Laserlichtes

halber Strahl¨oﬀnungswinkel eines aufgeweiteten Strahls θ0 =

f1 θ0 f2

637

(21.21)

wobei f2 /f1 das Strahlaufweitungsverh¨ altnis darstellt. Gleichung (21.15) l¨asst sich einfach ableiten. Der einfallende Strahl, fokussiert durch die erste Linse, hat = f1 · 2θ0 . Aufgrund der Umkehrbarkeit einen Brennﬂeckdurchmesser von 2w01 des Lichtweges w¨ urde eine Fokussierung des aufgeweiteten Strahles nach links = f2 · 2θ0 hin den identischen Brennﬂeck am gleichen Ort ergeben, so dass 2w02 ist. Da 2w01 = 2w02 ist, erh¨ alt man: f1 2θ0 = f2 2θ0

und θ0 =

f1 θ0 f2

Abb. 21.20. Aufweitung eines Laserstrahls

¨ F¨ ur ein Strahlaufweitungsverh¨ altnis von f2 /f1 = 5 erh¨alt man f¨ ur den Oﬀnungs¨ winkel des aufgeweiteten Laserstrahles ein F¨ unftel des Oﬀnungswinkels des einfallenden Strahles. Dabei nimmt der Strahldurchmesser um einen Faktor 5 zu. Was hat man gewonnen? Nehmen wir an, dass ein Laserstrahl durch einen entsprechenden Strahlaufweiter, z.B. um den Faktor 10, aufgeweitet wird. Die Strahldivergenz ist hierdurch um einen Faktor 10 vermindert. Wenn man den aufgeweiteten Strahl jetzt auf einen winzigen Fleck mit einer Linse der Bildbrennweite ur den f fokussiert, wird der Durchmesser des Fleckes 1/10 des Durchmessers f¨ nicht aufgeweiteten Strahl unter Verwendung der gleichen Linse betragen. Diese zehnfache Reduktion des Durchmessers ergibt 1/100 der Fl¨ache des Brennﬂeckes und damit bei konstanter Laserleistung eine hundertfache Bestrahlungsst¨arke. Die Fokussierung des Lasers auf kleinste Durchmesser macht es m¨oglich, mit dem Laser sehr kleine L¨ ocher in harte Materialien zu bohren. Außerdem lassen

638

21 Grundlagen der Laser

sich winzige Schnitte oder Schweißn¨ ahte an empﬁndlichen Materialien ausf¨ uhren, Informationen mit hoher Aufzeichnungsdichte speichern und industrielle oder medizinische Operationen auf Fl¨ achen mit Durchmessern in der Gr¨oßenordnung von Wellenl¨ angen durchf¨ uhren. In der Ophtalmologie ben¨otigt man z.B. beim Einsatz von Nd:YAG-Lasern Bestrahlungsst¨arken der Gr¨oßenordnung 109 bis arken lassen sich mit Hilfe von Strahl1012 Watt/cm2 . Solche Bestrahlungsst¨ aufweitern und geeigneter Fokussierungsoptik herstellen, wie wir das bereits in ¨ Kap. 7 (s. Ubung 7.10) diskutiert haben.

21.5 Lasertypen Bis hierher haben wir die grundlegenden Annahmen untersucht, die Einstein dazu f¨ uhrten, die Existenz der stimulierten Emission vorherzusagen. Wir haben die wesentlichen Komponenten des Lasers aufgef¨ uhrt, die Funktion des Lasers beschrieben und die Eigenschaften des Laserlichtes untersucht. Wir wollen uns nun den heutzutage verwendeten Lasern zuwenden. Laser lassen sich auf viele verschiedene Arten klassiﬁzieren. Manchmal ordnet man sie nach dem Aggregatzustand des Lasermediums: Gas, Fl¨ ussigkeit oder Festk¨ orper. In anderen F¨ allen klassiﬁziert man sie nach der externen Energiezufuhr ( Pumpe“): Blitzlampen, elektrische Gasentladung, chemische Reaktion ” usw. Eine weitere M¨ oglichkeit besteht darin, sie nach der Art der Laserstrahlung – gepulst oder kontinuierlich (cw = continous wave) – und dem spektralen Bereich der Emission (infrarot, sichtbar oder UV) zu ordnen. Tabelle 21.2 gibt einige heute benutzte Laser an. F¨ ur jeden aufgef¨ uhrten Laser sind die Emissionswellenl¨ ange, die Ausgangsleistung (in einigen F¨allen Energie pro Puls), die Art der Strahlung (kontinuierlich oder gepulst), die Strahldurchmesser, die Strahldivergenz und der Wirkungsgrad angegeben.

¨ Ubungen 21.1 Gehen Sie von der Formel f¨ ur spontane Emission von Atomen mit der Besetzungszahl N2 in angeregtem Energiezustand W2 aus dN2 = −A21 N2 dt spont und zeigen Sie, dass die Anfangsbesetzungszahl N20 in der Zeit τ = 1/A21 auf einen Wert N20 /e abf¨ allt. 21.2 Nehmen Sie an, dass ein Atom nur zwei Energiezust¨ ande aufweist, deren Energiediﬀerenz der Wellenl¨ ange 632,8 nm des He-Ne-Lasers entspricht. Ermitteln Sie aus der Boltzmann-Verteilung, welcher Anteil der Atome sich bei der Raumtemperatur T = 300 K im oberen Zustand beﬁndet.

21.5 Lasertypen

639

21.3 Zeigen Sie, dass (21.7) f¨ ur die spektrale Energiedichte eines Schwarzk¨ orpers (f ) =

8πhf 3 1 c3 ehf /kT − 1

sich aus (2.15) f¨ ur die speziﬁsche Ausstrahlung des Schwarzk¨ orpers ergibt 1 2πhc2 Me,λ = λ5 ehc/λkT − 1 indem Sie von der Variablen λ zu f u ¨bergehen und dann das Ergebnis mit 4/c multiplizieren (s. Fußnote 1). 21.4 Betrachten Sie die Sonne als schwarzen Strahler und bestimmen Sie die spektrale Energiedichte (f ) im sichtbaren Gebiet bei λ = 550 nm. Nehmen Sie die Oberﬂ¨ achentemperatur der Sonne mit 6000 K an. 21.5 Warum erwartet man, dass es viel schwieriger ist, einen Laser im Ultravioletten zu bauen als im Infraroten? Gehen Sie f¨ ur die Antwort vom Verh¨ altnis A21 /B21 aus. 21.6 Bestimmen Sie das Verh¨ altnis der Raten von stimulierter zu spontaner Emission f¨ ur gr¨ unes Licht bei 0,5 µm und ein schwarzes“ Plasma der Temperatur 5000 K, ” bestimmen Sie den Wert des Verh¨ altnisses −B21 N2 (f ) (dN/dt)stimuliert = , (dN/dt)spontan −A21 N2 Was impliziert das Ergebnis?

wobei

B21 λ3 = A21 8πh

21.7 a) Gehen Sie von den in Tabelle 21.1 gegebenen Zentralwellenl¨ angen λ0 und Linienbreiten ∆λ f¨ ur die gew¨ ohnliche Gasentladungslampe, die KadmiumNiederdrucklampe und den He-Ne-Laser aus. Pr¨ ufen Sie nach, ob die Frequenzbreiten ∆f die in der Tabelle angegebenen sind. b) Wieviel sch¨ arfer“ ist die He-Ne-Laserlinie als die Natriumlinie einer Natrium” Gasentladungslampe? 21.8 Wir nehmen an, dass die Koh¨ arenzzeit eines Lichtstrahles ungef¨ ahr gleich dem Kehrwert der Frequenzbandbreite ist. Wie groß ist dann die Koh¨ arenzzeit und die Koh¨ arenzl¨ ange des He-Ne-Lasers in Tabelle 21.1? 21.9 Ein He-Ne-Laser hat einen minimalen Strahldurchmesser von ungef¨ ahr 1 mm. Wie groß ist der Strahl¨ oﬀnungswinkel im Fernfeld? 21.10 Wir betrachten eine breitbandige thermische Strahlungsquelle, die eine kreisf¨ ormige strahlende Fl¨ ache des Durchmessers 0,5 mm aufweist (ungef¨ ahr die Gr¨ oße der Strahltaille in einem He-Ne-Laser). Die Oberﬂ¨ ache hat eine Temperatur von 1000 K und emittiert Licht bei 633 nm mit einer Linienbreite (HWB) von 100 nm. Benutzen Sie Gleichung (21.18) um zu zeigen, dass der thermische Photonenﬂuss ungef¨ ahr 5 · 109 Photonen/s betr¨ agt. 21.11 Betrachten Sie einen 1-mW-He-Ne-Laser, der Laserstrahlung bei 632,8 nm mit einer Frequenzbreite von ∆f = 104 Hz (HWB) abgibt. Benutzen Sie (21.16) und Abb. 21.17.

640

21 Grundlagen der Laser a) Zeigen Sie, dass die spektrale Strahldichte ∆Le /∆f = Φe /(∆A ∆Ω ∆f ) unabh¨ angig vom Wert des Durchmessers 2w0 der Strahltaille ist. Hierbei ist Φe die Laserleistung, ∆A die Fl¨ ache der Strahlentaille, ∆Ω der Raumwinkel, in den der Laser abstrahlt und ∆f die Frequenzbreite (HWB) der Laseremission. b) Berechnen Sie die spektrale Strahldichte in Watt/(m2 sr Hz) f¨ ur den oben beschriebenen Laser.

21.12 Betrachten sie den Strahlaufweiter der Abb. 21.20 und nehmen Sie an, dass f2 /f1 = ¨ 10 ist und der Oﬀnungswinkel des einfallenden Strahles 1 mrad betr¨ agt. ¨ a) Wie groß ist der Oﬀnungswinkel des aufgeweiteten Strahles? b) Der aufgeweitete Strahl wird durch eine nachfolgende Linse von 10 dpt fokussiert. Wie groß ist der Strahldurchmesser in der Brennebene? c) Die Leistung des einfallenden Strahles betr¨ agt 1 mW. Wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke in der Brennebene? 21.13 Betrachten Sie Abb. 21.8 a. Nehmen Sie an, dass der Strahlungsﬂuss Φe = 1 W eines Lasers bei der Resonanzwellenl¨ ange λ0 in den passiven Resonator eintritt. a) Wie groß ist die Ausgangsleistung? b) Wie groß ist die Leistung, die im Resonator zirkuliert? c) Beschreiben Sie die Anforderungen an den Spiegel S1 , damit die Antworten f¨ ur a und b g¨ ultig sind. 21.14 In einem Nd:YAG-Laser gibt es vier Pumpniveaus bei 1,53 eV, 1,653 eV, 2,119 eV und 2,361 eV u ¨ ber dem Energieniveau des Grundzustandes. a) Welche Wellenl¨ angen geh¨ oren zu den Photonen-Energien, die jedes der Pumpniveaus bev¨ olkern k¨ onnen? b) Ein Nd:YAG-Laser emittiert Photonen bei einer Wellenl¨ ange von 1,064 µm. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad, der zu jedem der vier Pumpniveaus geh¨ ort. (Ausgangsphotonenenergie/Eingangsphotonenenergie) 21.15 Zum Betrieb eines Nd:YAG-Lasers wird eine Netzanschlussleistung von 2500 W ben¨ otigt, um das Netzger¨ at zu betreiben, das die Blitzlampen versorgt. Die Blitzlampen liefern die Pumpenergie, um die Besetzungsinversion zu erzeugen. Das gesamte Lasersystem ist von der Eingangsleistung (Anschlussleistung des Netzger¨ ates) bis zur Ausgangsleistung (Laser-Strahlungsﬂuss) durch die folgenden KomponentenWirkungsgrade gekennzeichnet: 80% - Netzger¨ at 30% - Blitzlampen f¨ ur optisches Pumpen 70% - Optische Reﬂektoren, um das Pumplicht auf den Laserstrahl zu konzentrieren ¨ 15% - spektrale Ubereinstimmung des Pumplichtes mit den Nd:YAGPumpniveaus 50% - interne Resonatorverluste a) Ber¨ ucksichtigen Sie die o.a. Wirkungsgrade und berechnen Sie, wieviel der Eingangsleistung von 2500 W f¨ ur den Ausgangslaserstrahl zur Verf¨ ugung steht. b) Wie groß ist der Gesamtwirkungsgrad (Steckdosenwirkungsgrad) dieses Lasers?

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Einleitung Wir besch¨ aftigen uns in diesem Kapitel mit den besonderen r¨aumlichen Eigenschaften des Laserstrahles. In der einfachsten Form – Grundmode – hat der Laserstrahl eine fast sph¨ arische Wellenfront, wobei die Intensit¨at senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, d.h. in radialer Richtung von der Strahlachse eine Gaußverteilung aufweist. Man ﬁndet auch kompliziertere transversale Verteilungen, die von der einfachen Gaußverteilung abweichen und auf einem Beobachtungsschirm ein geordnetes Muster heller oder dunkler Stellen ergeben. Die Moden h¨oherer Ordnung werden f¨ ur Kreissymmetrie durch die Gauß-Hermite-Polynome und f¨ ur Rechtecksymmetrie durch die Gauß-Laguerre-Polynome beschrieben. In vielen F¨ allen besteht der Laserstrahl aus einer Mischung von Moden: der Grundmode und mehreren Moden h¨ oherer Ordnung. In diesem Kapitel untersuchen wir, wie die Intensit¨atsverteilung des Laserstrahles von der Geometrie des Laserresonators abh¨angt. Wir werden seine Eigenschaften nahe dem Laser – Nahfeld – und weit entfernt vom Laser – Fernfeld – untersuchen. Wir werden eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Parameter des Laserstrahls angeben – Strahl¨oﬀnungswinkel (Divergenzwinkel, Kr¨ ummungsradius der Wellenfront) und transversale Intensit¨atsverteilung – so-

642

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

¨ wie die Anderung dieser Parameter bei der Ausbreitung durch ein beliebiges optisches System bestimmen. Nach einer genauen Untersuchung der Grundmode, der sogenannten TEM00 Mode, werden wir die transversalen Moden h¨oherer Ordnung und ihre transversale Intensit¨ atsverteilung betrachten.

22.1 Die dreidimensionale Wellengleichung und elektromagnetische Wellen In Kapitel 8 (Wellengleichungen) untersuchten wir die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in einem homogenen Medium. F¨ ur die folgenden Betrachtungen wollen wir nur die r¨ aumlichen Eigenschaften des E-Feldes in der skalaren N¨ aherung – E wird als Skalar und nicht als Vektor behandelt – f¨ ur einen beliebigen Zeitpunkt untersuchen. Hierzu verwenden wir den Ansatz: E = E(r) ejωt

in der Wellengleichung (8.34) ∇2 E =

1 d2 E c2 dt2

2

d 2 angigkeit eleminieren und erh¨alt entspreMit dt 2 = −ω E kann man die Zeitabh¨ chend aus (8.34) mit k = ωn/c0 die

Helmholtz-Gleichung

2 ∇ + k 2 E(r) = 0

(22.1)

Hierbei ist ∇2 der Laplace-Operator, k die Kreiswellenzahl und n die Brechzahl des Ausbreitungsmediums. Wir verwenden L¨osungen der Helmholtz-Gleichung, wenn wir an den r¨ aumlichen und nicht an den zeitlichen Eigenschaften der Wellen interessiert sind. Als L¨ osungen von (22.1) gibt es eine Vielzahl von Wellenformen, die von den Randbedingungen, d.h. den vorgegebenen Werten des elektrischen Feldes im Raum, abh¨ angen. Ebene Wellen Diese L¨ osung von (22.1) lautet in der komplexen Form: ˆ e−j(xkx +yky +zkz ) = Eˆ e−jk·r E(r) = E

(22.2)

Ebene Wellen sind n¨ utzliche Basisfunktionen f¨ ur die Fourier-Analyse von beliebigen Wellenformen und beschreiben z.B. das Feld, das einen Detektor erreicht, der weit von einer Punktquelle entfernt ist. Sie werden ebene Wellen genannt, weil die Oberﬂ¨ achen konstanter Phase k · r Ebenen senkrecht zum Wellenvektor k sind (s. Abb. 22.1). Die wesentlichen Ausbreitungseigenschaften von ebenen Wellen haben wir im Kapitel 8 diskutiert.

22.2 Fresnel-N¨ aherung von Kugelwellen

643

Abb. 22.1. Ebene Wellen. Die Oberﬂ¨ ache konstanter Phase sind Ebenen, die senkrecht zum Wellenvektor k angeordnet sind und die sich mit der Geschwindigkeit c = cn0 durch ein homogenes Medium der Brechzahl n bewegen

Kugelwellen Diese L¨ osung (s. (8.35)) von (22.1) lautet ˆ1 (ϑ, ϕ) E (22.3) e−jkr r Die entsprechenden Parameter und weitere Eigenschaften der Kugelwelle sind in Abb. 22.2 dargestellt. Die Kugelwellenl¨osung bietet bei der Behandlung der Beugungstheorie nach Huygens und Fresnel/Kirchhoﬀ Vorteile. Die Kugelwellen stellen – unter Einschluss des hier weggelassenen Richtungsfaktors (s. (18.5)) – die mathematische Form der Huygensschen sekund¨aren Elementarwellen dar, ¨ die von den Punkten einer beugenden Oﬀnung ausgehen. Sie beschreiben elektromagnetische Wellen, die von einer Punktquelle ausgehen. Wenn der Abstand von der Punktquelle sehr groß wird, kann man die Kugelwellen als ebene Wellen betrachten, wobei (22.3) in (22.3) u ¨bergeht. E(r) ∼

22.2 Fresnel-N¨ aherung von Kugelwellen Zum Verst¨ andnis der Natur des Laserstrahls ist es sinnvoll, die Phasenabh¨angigkeit des elektrischen Feldes E einer Kugelwelle entlang einer Ebene senkrecht

644

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Abb. 22.2. Kugelwellen. Die Oberﬂ¨ achen konstanter Phase sind Kugelﬂ¨ achen mit dem Kr¨ ummungsradius R = z

zur Ausbreitungsrichtung zu bestimmen. In Abb. 22.2 ist diese Ebene als die x-y-Ebene dargestellt, wobei die Ausbreitung entlang der z-Richtung betrachtet wird. F¨ ur jeden Punkt (x, y) auf der transversalen Ebene im Abstand z = R ist der r¨ aumliche Teil des elektrischen Feldes f¨ ur achsennahe Punkte1 gegeben durch E(x, y)z=R ≈

ˆ1 E e−jkr R

(22.4)

wobei r = R2 + x2 + y 2 = R

x2 + y 2 (22.5) R2 ist und R f¨ ur den senkrechten Abstand von der Quelle zur transversalen Ebene steht. Es ergibt sich aus Abb. 22.2, dass R auch der Kr¨ ummungsradius der Kugelwelle ist, die die Ebene im Punkt (0,0, R) ber¨ uhrt. Wir wollen voraussetzen, dass die Welle auf Bereiche nahe der optischen Achse ur (22.5) n¨aherungsweise gilt2 : konzentriert ist, so dass (x2 +y 2 ) R2 und damit f¨ r≈R+

x2 +y 2 2R

1+

(22.6)

Damit erh¨ alt man aus (22.4) den r¨ aumlichen Anteil des elektrischen Feldes E im Punkt (x, y) auf der transversalen Ebene bei z = R: 1 2

Hier kann man im Nenner – nicht jedoch im Phasenfaktor – r = R setzen. √ 2 2 Setzt man x R+y = u2 und entwickelt 1 + u2 in eine Reihe, f¨ ur die u2 1, so 2 ergibt sich (22.6) aus (22.5), wenn Terme h¨ oherer Ordnung vernachl¨ assigt werden.

22.3 Der Gaußsche Strahl

Fresnel-N¨aherung

E (x, y)z=R ≈

Eˆ1 −jkR −jk(x2 +y2 )/2R e e R

645

(22.7)

Diese N¨ aherung beschreibt die Welle durch Wellenfronten, die Paraboloide darstellen. Man bezeichnet sie als Fresnel-N¨aherung der Kugelwelle. Wir werden sehen, dass diese N¨ aherung zur Beschreibung der gering divergenten Laserstrahlen geeignet ist.

22.3 Der Gaußsche Strahl Untersuchen wir nun die Eigenschaften des TEM00 -Laserstrahls, so ﬁnden wir, dass seine Wellenfronten Kugelﬂ¨ achen sind, deren Kr¨ ummungsradien bei der Ausbreitung des Strahles zunehmen. Die Bezeichnung TEM00 ist ein Spezialfall der allgemeinen Notation TEMmn bzw. TEMpl (s. (22.47) bzw. (22.48)), die Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung kennzeichnet. TEM bezeichnet transversale elek¨ trische und magnetische Moden. Die Anderung der Wellenfront und der Intensit¨at eines TEM00 -Lasermodes, der durch eine Sammellinse geht, sind in Abb. 22.3 gezeigt.

Abb. 22.3. Laserstrahl außerhalb des Laserresonators, der durch eine Sammellinse fokussiert wird. Auf den Begrenzungslinien ist die Intensit¨ at (Leistungsdichte) des Strahles auf 1/e2 abgefallen. Der einfallende Strahl ist hoch kollimiert, so dass seine Wellenfront nahezu eben ist. Die Sammellinse fokussiert den Strahl – unter Ausbildung einer Strahltaille – auf der rechten Seite der Linse. Bei der weiteren Ausbreitung divergiert der Strahl rechts von der Strahltaille

Die durchgezogenen Begrenzungslinien, oberhalb und unterhalb der z-Achse, sind die Verbindungslinien der Orte, an denen die Intensit¨at des elektrischen Feldes in der zur Ausbreitung senkrechten Richtung noch 1/e2 des Wertes auf der

646

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Achse betr¨ agt. Diese Linien benutzt man, um den sich kontinuierlich ¨andernden Strahldurchmesser zu kennzeichnen. Die gestrichelten Bogen senkrecht zur z-Achse kennzeichnen die Wellenfront des Strahles. Da die Wellenfronten eines hoch kollimierten Laserstrahles in guter N¨ aherung Ebenen sind, k¨onnen wir folgende Beschreibung f¨ ur das elektrische Feld des Laserstrahls verwenden E(r) = U (x, y, z) e−jkz

(22.8)

Der Term U (x, y, z) gibt die Intensit¨ ats- und Phasen¨anderungen der Welle entlang der x-, y-, und z-Richtung an3 . Der Exponentialterm in (22.8) ist charakteristisch f¨ ur die ebene Welle. Wenn wir die Funktion U (x, y, z) bestimmen, erhalten wir eine L¨ osung, die die Amplitude des Laserstrahls beschreibt. Bestimmung der Amplitude U (x, y, z) Unsere N¨ aherungsl¨ osung (22.8) muss (22.1) erf¨ ullen. Wir setzen sie in (22.1) ein und erhalten eine Bestimmungsgleichung f¨ ur U (x, y, z):

∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

e−jkz + k 2 U e−jkz − 2jk

Wir vernachl¨ assigen den Term

∂U −jkz − k 2 U e−jkz = 0 (22.9) e ∂z

∂ 2U und erhalten: ∂z 2

paraxiale Helmholtz-Gleichung

∂ 2U ∂ 2U ∂U + − 2jk =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z

(22.10)

Die Wellengleichung (22.10) und ihre L¨ osungen beschreiben die Ausbreitung von paraxialen Feldverteilungen im Raum. Diese Beschreibung ist ¨aquivalent zur Fresnelschen Darstellung der Beugung. Wir raten eine sinnvolle L¨osung von (22.10), wobei das elektrische Feld des Laserstrahls Rotationssymmetrie bez¨ uglich der Strahlachse aufweist4 : ˆ e−j[p(z)+k(x2 +y2 )/2q(z)] U (x, y, z) = E

(22.11)

wobei p(z) und q(z) zun¨ achst unbestimmte, komplexe Funktionen sind, die (22.10) erf¨ ullen m¨ ussen, f¨ ur sie folgt mit (22.10) und (22.11) nach l¨angerer Rechnung: 3

4

Gleichung (22.8) gilt unter der Voraussetzung der paraxialen N¨ aherung. Dies bedeutet, dass eine ebene Welle sich im Wesentlichen entlang der z-Richtung ausbreitet, so dass wir das elektrische Feld E(x, y, z) in der skalaren Form von (22.8) angeben k¨ onnen. Exakte und detaillierte Ableitungen ﬁndet man in der Spezialliteratur u ¨ ber Laser (s. Literaturverzeichnis: A. Siegman, Kap. 16).

22.3 Der Gaußsche Strahl

∂p j =− ∂z q

und

∂q =1 ∂z

647

(22.12)

Komplexer Strahlparameter Vergleichen wir den zweiten Term im Exponenten von (22.11) mit dem entspreummungsradius der chenden Term in (22.7), so erkennen wir, dass q(z) den Kr¨ Wellenfront enthalten muss, wenn die Wellenfronten des Laserstrahls kugelf¨ormig sind. Wir machen folgenden Ansatz5 komplexer Strahlparameter

1 1 λ = −j 2 q(z) R(z) πw (z)

(22.13)

wobei R der Kr¨ ummungsradius der Wellenfront und w die Ausdehnung des Strahles senkrecht zur Ausbreitungsrichtung beschreibt. Im Folgenden werden wir sehen, dass w die halbe Strahlbreite (Radius) ist. Der Parameter w wird in einer Ebene senkrecht zur Strahlausbreitung von der Strahlachse aus bis zu dem Punkt gemessen, an dem die Intensit¨ at auf 1/e2 des Wertes auf der Achse abgefallen ist. Setzen wir (22.13) in (22.11) ein, so erhalten wir: ˆ e−jp(z) e−jk(x2 +y2 )/2R(z) e−(x2 +y2 )/w2 U (x, y, z) = E

(22.14)

Damit haben wir einen expliziten Ausdruck f¨ ur U (x, y, z) und zusammen mit ¨ (22.8) die r¨ aumliche Anderung des elektrischen Feldes in einem Laserstrahl bestimmt6 . Gaußscher Laserstrahl Setzen wir (22.14) in (22.8) ein, so erhalten wir den vollst¨andigen Feldst¨arkeverlauf f¨ ur den Gaußschen Laserstrahl 5

6

2 2 2 2 2 E(x, y, z) = Eˆ e−jk(x +y )/2R(z) e−(x +y )/w (z) e−j[kz+p(z)] (22.15)

Einige B¨ ucher geben (22.13) mit einem positiven Vorzeichen zwischen den beiden Termen auf der rechten Seite. Schreibt man (22.8) mit dem Term e−jkz , wie wir das tun, so ergibt sich daraus (22.13). Schreibt man (22.8) mit dem Term ejkz , so ergibt sich (22.13) mit einem positiven Vorzeichen. In jedem Fall erh¨ alt man die gleichen Eigenschaften eines Gaußschen Laserstrahles. Dies ist eine der m¨ oglichen L¨ osungen von (22.10). Die Diskussion der anderen L¨ osungen – transversale Moden h¨ oherer Ordnung – erfolgt in Kap. 22.7.

648

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Der erste Exponentialterm in (22.15) ist identisch mit dem zweiten Exponentialterm der Fresneln¨ aherung (22.7). Daraus l¨ asst sich folgern, dass der Laserstrahl als paraxiale Kugelwelle beschrieben werden kann. Der zweite Exponentialterm gibt das elektrische Feld in einer beliebigen transversalen Ebene (f¨ ur festes z) an. Der letzte Exponentialterm enth¨ alt die Phasenabh¨angigkeit als Funktion von z. Damit haben wir die Strahll¨ osung“ der Wellengleichung gefunden. Entlang ” der Strahlausbreitungsachse (z-Richtung) hat das elektrische Feld harmonische“ ” Eigenschaften, wobei die Wellenl¨ ange n¨ aherungsweise durch λ = 2π/k gegeben ist. In jeder transversalen Ebene (festes z) nimmt das elektrische Feld mit der Entfernung von der Achse nach einer Gaußfunktion ab. Diese Ergebnisse werden in Abb. 22.4 dargestellt.

¨ Abb. 22.4. Axiale und transversale Anderung der elektrischen Feldamplitude E(x, y, z) ˆ0 /e im Laserstrahl. w ist der Strahlradius bei E

22.4 Strahltaille und Wellenfront des Gaußschen Strahls Wir nehmen an, dass der Gaußsche Strahl in einer transversalen Ebene bei z = 0 eine ebene Wellenfront aufweist, das bedeutet R(z = 0) → ∞. Dann ergibt sich aus (22.13) mit q 0 = q(z = 0) und w0 = w(z = 0): −jλ 1 = q0 πw02

bzw.

q0 = j

πw02 ≡ jzR λ

(22.16)

Wir werden noch zeigen, dass die Ebene z = 0 gerade bei der Strahltaille mit dem Radius w0 liegt. Der charakteristische Parameter zR ist die Rayleigh-L¨ange oder Sch¨ arfentiefe“. ” πw02 Rayleigh-L¨ange zR = (22.17) λ

22.4 Strahltaille und Wellenfront des Gaußschen Strahls

649

Die Rayleigh-L¨ ange gibt den Abstand von z = 0 an, bei dem sich der Radius des Gaußschen Strahles – bezogen auf die 1/e2 -Strahlbegrenzungen der Intensit¨at √ oßert hat. F¨ ur jede andere transversale Ebene z = 0 folgt aus – um 2 vergr¨ (22.12): q(z) = q0 + z

(22.18)

Abb. 22.5. Gaußscher Strahl, der sich in z-Richtung ausbreitet. Der Strahlradius w(z) bei der Strahltaille (ebene Wellenfront) ist als w0 deﬁniert. Der Strahl¨ oﬀnungswinkel ¨ θ0 = λ/(πw0 ) ist u der ¨ ber die Asymptoten nur im Fernfeld deﬁniert. Die Anderung Intensit¨ atsverteilung senkrecht zur Strahlrichtung bei der Strahlausbreitung ist dargestellt

wobei z die axiale Entfernung ist, die von der Strahltaille aus gemessen wird. Dies ist die Basisgleichung f¨ ur die Ausbreitung des Laserstrahls. Mit (22.18) und (22.16) gilt dann: Strahlausbreitung

q(z) = z + jzR

(22.19)

Schreiben wir (22.19) in reziproker Darstellung, dann ergibt sich bei reellen Nennern: λ 1 1 = 2 − j 2 z q(z) z + zR 2 πw0 1 + zzR

(22.20)

650

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Aus den Real- und Imagin¨ arteilen von (22.20) erhalten wir mit (22.13) den Kr¨ ummungsradius der Wellenfront R(z)7 und den Strahlradius w(z) als Funktion von w0 und zR . z ist die Entfernung der betrachteten transversalen Ebene von der Strahltaille. Es gilt: Kr¨ ummungsradius der Wellenfront

R(z) = z + +

Strahlradius

w(z) = w0

1+

z zR

2 zR z

(22.21)

2 (22.22)

Bei Kugelwellen, die konzentrisch um z = 0 sind, w¨are R(z) = z. Gleichung (22.21) zeigt, dass hier das Zentrum der Kugelwellen nicht f¨ ur alle Wellenfronten bei z = 0 liegt. F¨ ur z zR (Fernfeld8 ) gilt R(z) ≈ z, wir erhalten n¨ aherungsweise Kugelwellen, die von z = 0 ausgehen. In diesem Bereich kann ¨ man den Gaußschen Strahl als Fraunhofer-Beugung an einer Oﬀnung von der Gr¨ oße des Strahldurchmessers bei der Strahltaille betrachten. Damit erh¨alt man f¨ ur (22.21) und (22.22) die Fernfeldn¨ aherung: Kr¨ ummungradius der Wellenfront (Fernfeldn¨aherung z zR ) R(z) = z (22.23)

Strahlradius (Fernfeldn¨aherung)

w(z) = w0

z λ = z zR πw0

(22.24)

Aus (22.24) ergibt sich, dass im Fernfeld der Strahlradius w(z) linear mit z ¨ w¨ achst. Die Strahldivergenz, gegeben durch den halben Oﬀnungswinkel θ0 (s. Abb. 22.5), ist bei den meisten Anwendungen sehr klein (ca. 1 mrad) und desur die Strahldivergenz: halb gilt tan θ0 ≈ θ0 . Damit ergibt sich f¨ ¨ halber Oﬀnungswinkel des Gaußschen Strahles 7

8

θ0 =

w0 λ = zR πw0

(22.25)

Bei unserer hier verwendeten Vorzeichenkonvention ist eine divergente Welle durch positives R gegeben, w¨ ahrend eine konvergente durch negatives R gekennzeichnet ist. In der Praxis bedeutet sehr viel gr¨ oßer“, dass z > 20−50zR sein muss. In der Realit¨ at ” gibt es eine Grauzone“ zwischen dem Nahfeld (wo die Fresnelsche Beugungstheorie ” f¨ ur die Berechnung der Wellenfronten anzuwenden ist) und dem Fernfeld (wo die Fraunhofersche Beugungstheorie gilt). Im Zweifelsfall kann man immer die exakten Fresnel-Berechnungen ausf¨ uhren und die Ergebnisse mit den n¨ aherungsweise g¨ ultigen Fraunhofer-Berechnungen vergleichen.

22.4 Strahltaille und Wellenfront des Gaußschen Strahls

651

¨ Das Produkt aus Taillenradius w0 und Oﬀnungswinkel θ0 bleibt beim Durchgang eines Laserstrahles durch beliebige, beugungsbegrenzte lineare optische Systeme konstant. Dies beschreiben wir durch das Strahlparameterprodukt

θ0 w0 =

λ = θ0 w0 π

(22.26)

Mit (22.23) und (22.24) k¨ onnen wir den Kr¨ ummungsradius R(z) und den Strahlradius w(z) aus w0 und zR bestimmen. Umgekehrt k¨onnen wir aus w(z) und R(z), das auf einer beliebigen transversalen Ebene gegeben ist, den Ort der Strahltaille und die Strahltaille w0 errechnen. Wir betrachten hierzu Abb. 22.6, wo w1 und R1 in der transversalen Ebene mit unbekanntem z = z1 gegeben sind.

Abb. 22.6. Ausbreitung des Gaußschen Strahles. Aus w1 , R1 , bei z = z1 , k¨ onnen wir den Ort z = 0 der Strahltaille, sowie w0 bestimmen. Im umgekehrten Fall l¨ asst sich der Strahlparameter q f¨ ur beliebiges z berechnen

Aus (22.21) und (22.22) folgt f¨ ur den Abstand von der Strahltaille: z1 =

und den Taillenradius

R 2 λR1 1+ πw12

(22.27)

652

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

w1 w0 = 2 2 1/2 πw 1 + λR11

(22.28)

Beispiel 22.1 Gaußscher Strahl / Laserresonator Im Folgenden betrachten wir einen 4 mW-TEM00 -Helium-Neon-Laser (λ = 632,8 nm) mit der unten angegebenen Resonatorgeometrie. Der linke Spiegel9 (1 = 2 m) ist 100% reﬂektierend. Der rechte Spiegel (2 = ∞) ist ein teilreﬂektierender ebener Spiegel, durch den der Ausgangsstrahl mit 4 mW Leistung austritt. Die Strahltaille liegt innerhalb des Laserresonators der L¨ange L = 1 m am Ort des ebenen Spiegels, an dem sich auch der Koordinatenursprung z = 0 beﬁnden soll. Die gestrichelten Proﬁle stellen die Wellenfronten innerhalb des Laserresonators dar. Bei stabiler Lasert¨ atigkeit stimmen die Kr¨ ummungsradien der Wellenfronten mit den Kr¨ ummungsradien der Spiegel an den Spiegeloberﬂ¨achen u ¨ berein. Bestimmen Sie die folgenden Gr¨ oßen: a) Die Rayleigh-L¨ ange zR und den Radius w0 des Laserstrahles am Ort der Strahltaille. b) Den Radius w des Laserstrahles auf dem linken Laserspiegel. c) Den komplexen Strahlparameter q(z) bei z = −1 m und bei z = 0 . ¨ d) Den Oﬀnungswinkel θ0 des Gaußschen Strahles ?

Abb. zu Beispiel 22.1 Laserresonator mit Konkav- und Planspiegel 9

Die Kr¨ ummungsradien der Spiegel und Linsen sind hier mit 1,2 bezeichnet und sollten nicht mit dem Reﬂexionsgrad verwechselt werden.

22.5 Stabile und instabile Laserresonatoren

653

L¨ osung a) Verwenden Sie (22.21) und R(z) = −2 m, z = −1 m, λ = 632,8 nm und l¨ osen Sie nach w0 auf. Dann folgt zR = 1 m und w0 = 0,45 mm. b) Man setzt w0 = 0,45 mm und z = −1 m in (22.22) ein und bekommt w(−1 m) = 0,64 mm. c) Mit (22.19) errechnet sich q(−1 m) = (−1 + j) · 1 m und q(0) = j zR = +j · 1 m d) Aus (22.25) erh¨ alt man θ0 = 0,45 mrad = 1,5 .

22.5 Stabile und instabile Laserresonatoren Bei dem Resonator, der in Beispiel 1 gezeigt ist, kann man im Prinzip die L¨ange und den Kr¨ ummungsradius der Spiegel variieren und feststellen, ob er als Laserresonator geeignet ist. Ein optischer Resonator arbeitet stabil, wenn der Strahlenverlauf im Resonator einen geschlossenen Weg bildet, der Strahl also nach einer beliebigen Anzahl von Reﬂexionen und Brechungen immer wieder den Ausgangspunkt durchl¨ auft. Aus dieser Forderung kann man dann mit Hilfe der Matrizenmethode der geometrischen Optik die Stabilit¨ atsbedingung herleiten. Hierbei wird der Strahlengang bei der Reﬂexion aufgefaltet (s. Kap. 3.11 und Kap. 4.5), um die Vorzeichen¨ anderung auf Grund der Lichtumkehr bei der Reﬂexion zu beheben (s. Abb. 22.7 b). In der Laseroptik ist es u ummungsradi¨blich, die aufgefalteten Kr¨ en 1 und 2 der Spiegel zu verwenden. In den Kapiteln 3 und 4 dieses Buches wurden hingegen die nicht aufgefalteten Kr¨ ummungsradien r1 und r2 benutzt, in Kap. 22 halten wir uns jedoch an die in der Literatur u ¨ber Laser gebr¨auchliche Vorzeichenkonvention. Dabei wird der Strahl¨oﬀnungswinkel θ0 von der optischen Achse (Bezugsschenkel) aus gemessen, also ebenfalls entgegengesetzt zur bisher benutzten Vorzeichenkonvention, bei der vom Außenstrahl zur optischen Achse hin gemessen wurde. Hierdurch ergeben sich gegen¨ uber Kap. 4 (Tab. 4.1) folgende ¨ Anderungen der Matrizen: – – – –

Translation: −l durch +l ersetzen, Brechung: (n − n) durch (n − n ) ersetzen, ¨ Reﬂexion: keine Anderung, wenn der Kr¨ ummungsradius der Spiegel ﬂ¨ ache nach der Auffaltung benutzt wird, d¨ unne Linse: f durch −f ersetzen.

654

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Abb. 22.7. a) Stabilit¨ atsdiagramm von optischen Resonatoren. L ist die Resonatorl¨ ange, 1 und 2 sind die Kr¨ ummungsradien der beiden Spiegel. ist positiv, wenn der Kr¨ ummungsradius in das Resonatorinnere zeigt

Bei gegebener Geometrie kann man mit den Methoden aus Kapitel 4 die 2 × 2Systemmatrix mit den Elementen ABCD f¨ ur den Resonator berechnen. Mit einem Gaußschen Strahl als Grundmode erh¨ alt man f¨ ur einen vollst¨andigen Strahlumlauf im Resonator die Bedingung |A + D| < 2. F¨ ur einen Spiegelresonator der L¨ ange (Spiegelabstand) L und Kr¨ ummungsradien 1 und 2 der Spiegel gilt mit g-Parameter

die

g1 = 1 −

L 1

und g2 = 1 −

L 2

22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme

Stabilit¨atsbedingung f¨ ur den Spiegelresonator

0 < g1 · g2 < 1

655

(22.29)

In Abb. 22.7 a sind die Grenzf¨ alle der Stabilit¨at mit g1 · g2 = 1 durch Hyperbeln dargestellt. Das Stabilit¨ atsgebiet ist schraﬃert gezeichnet. In Abb. 22.7 b ist ein stabiler symmetrisch konzentrischer Resonator gezeigt. In einem instabilen Resonator verl¨ asst der Strahl nach wenigen Uml¨aufen den Laser. Instabile Resonatoren benutzt man f¨ ur Laser, deren aktives Medium eine hohe Verst¨arkung besitzt oder bei denen hohe Leistungen ausgekoppelt werden sollen, bzw. wenn kein Substrat f¨ ur teildurchl¨ assige dielektrische Spiegel verf¨ ugbar ist.

Abb. 22.7. b) Resonatorgeometrie und Vorzeichenkonvention. Der Strahlengang im Spiegelresonator mit den Spiegeln 1 und 2 ist aufgefaltet, um die Vorzeichenumkehr bei der wiederholten Reﬂexion zu vermeiden

22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme Mit den grundlegenden Gesetzen f¨ ur die Ausbreitung des Laserstrahls f¨ ur den ummungsradius R(z) komplexen Strahlparameter q(z) (22.19), den reellen Kr¨ (22.21) und den Strahlradius w(z) (22.22) k¨onnen wir die Strahlparameter der Laserausbreitung in jedem beliebigen homogenen Medium der Brechzahl n angeben. Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, wie sich der Strahl ¨andert, wenn er durch ein beliebiges optisches System, das Linsen, Spiegel, Prismen usw. enth¨alt, modiﬁziert wird. ¨ Wir verwenden die Ahnlichkeit von gew¨ohnlichen Kugelwellen, die wir aus der geometrischen Optik kennen, und Gaußschen Kugelwellen, die wir hier eingef¨ uhrt haben. In Abb. 22.8 werden f¨ ur beide Wellentypen die Grundregeln der Ausbreitung und die Wirkung von Linsen auf die sich ausbreitende Wellenfront gezeigt.

656

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Wir ersehen die Korrespondenz zwischen R(z) f¨ ur gew¨ohnliche Kugelwellen und ur die Gaußschen Kugelwellen (Gaußscher Strahl) in den Deﬁnitionsgleiq(z) f¨ chungen. Das Ausbreitungsgesetz ist z.B. f¨ ur gew¨ohnliche Kugelwellen gegeben durch: R2 = R1 + (z2 − z1 )

(22.30)

Abb. 22.8. Korrespondenz zwischen gew¨ ohnlichen Kugelwellen und Gaußschen Kugelwellen (Gaußscher Strahl). Kennt man ein optisches Gesetz f¨ ur gew¨ ohnliche Kugelwellen, so kann man ein ¨ ahnliches Gesetz f¨ ur Gaußsche Kugelwellen ableiten, indem man R(z) durch q(z) ersetzt

Dies entspricht dem Grundgesetz (22.19) der Ausbreitung des Laserstrahls: q 2 = q 1 + (z2 − z1 )

(22.31)

In ¨ ahnlicher Weise wenden wir diese Korrespondenz auf andere grundlegende Gesetze, z.B. die einfache Linsenformel, an. F¨ ur Kugelwellen gilt 1 1 1 = − R R f

(22.32)

22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme

657

wobei R und R die Kr¨ ummungsradien auf der Ein- und Austrittsseite sind und ur den Laserstrahl f die Bildbrennweite (s. Abb. 22.8) bedeutet. Ersetzt man f¨ R durch q, so ergibt dies: 1 1 1 = − q q f

(22.33)

Diese Beziehung beschreibt die Ver¨ anderung eines einlaufenden Laserstrahls aufgrund der Brechung durch eine einfache d¨ unne Linse. Allgemeines Gesetz f¨ ur die Ausbreitung eines Laserstrahls Mit der bestehenden Korrespondenz zwischen R(z) und q(z) und unter Verwendung der Matrixmethoden, die wir in Kapitel 4 kennengelernt haben, k¨onnen wir auf einfache Weise die Strahlausbreitung durch ein beliebiges optisches System berechnen (s. Abb. 22.9). Ein einfallender Strahl mit den Parametern (x, σ) triﬀt auf die Eingangsebene eines beliebigen optischen Systems, das durch die Systemmatrix

A B C

D

gegeben ist. Beim Austritt aus dem System hat der Strahl die Parameter (x , σ ) Der Kr¨ ummungsradius der gew¨ ohnlichen Kugelwelle steht zu den Strahlparametern x und σ in folgender einfacher Beziehung R=

x σ

(22.34)

Abb. 22.9. Ausbreitung von gew¨ ohnlichen Kugelwellen durch ein beliebiges optisches System im Matrixformalismus

Wir wissen aus der Matrixoptik, dass der Transfer des Strahles 1 in Strahl 2 durch ein optisches System durch die ABCD-Systemmatrix (s. Kapitel 4) beschrieben werden kann:

658

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

x

σ

=

A

B

x

C

D

σ

(22.35)

Dann gilt x = Ax + Bσ

und σ = Cx + Dσ

(22.36)

Dividieren wir die erste Gleichung durch die zweite und verwenden (22.34), so ergibt sich f¨ ur den Kr¨ ummungsradius der Ausgangswelle: AR + B (22.37) CR + D Verallgemeinern wir das grundlegende Resultat in (22.37) f¨ ur eine Gaußsche Kugelwelle durch Ersetzen von R(z) durch q(z), so ergibt sich: R =

ABCD-Transformationsgesetz f¨ ur Gaußsche Strahlen

q =

Aq + B Cq + D

(22.38)

Gleichung (22.38) erm¨ oglicht es uns, die Ver¨anderung der Form eines Laserstrahls durch ein beliebiges optisches System zu bestimmen. Man muss nur den Eingangsstrahlparameter q beim Eintritt in das System und die Transfermatrix des optischen Systems kennen. Abbildung 22.10 zeigt z.B. ein typisches Lasersystem, auf das wir das ABCD-Ausbreitungsgesetz anwenden wollen.

Abb. 22.10. Geometrie eines Helium-Neon-Laserresonators. Bei bekannten Parametern des Resonators kann man das ABCD-Ausbreitungsgesetz benutzen, um Ort und Gr¨ oße der Strahltaille w0 außerhalb des Lasers zu bestimmen

Das in Abb. 22.10 dargestellte Problem besteht darin, den Ort der Strahltaille und die dazugeh¨ orige Strahlbreite 2w0 außerhalb des Lasers zu bestimmen.

22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme

659

Es ist oﬀensichtlich, dass man (22.38) verwenden kann, wenn man den Wert von q 0 innerhalb des Laserresonators kennt, z.B. an der Oberﬂ¨ache des linken ebenen Spiegels10 . Zudem benutzt man die ABCD-Matrix f¨ ur das optische System, das sich vom linken Spiegel bis zur transversalen Ebene, die die außenliegende Strahltaille enth¨ alt, erstreckt. Der Wert von q 2 , den wir aus (22.38) erhalten, liefert dann sowohl Lage als auch den Radius w0 der externen Strahltaille. Dies wird im folgenden Beispiel illustriert. Beispiel 22.2 Gaußscher Strahl / Laserresonator mit Linse Verwenden Sie das ABCD-Ausbreitungsgesetz f¨ ur die Geometrie des Resonators, die in Abb. 22.10 angegeben ist. Bestimmen Sie die Strahlbreite 2w0 der externen Strahltaille und ihre Entfernung von der ¨außeren Oberﬂ¨ache 3 der Spiegel-Linsen-Kombination. Ermitteln Sie den komplexen Strahlparameter q 0 am Ort des ebenen Spiegels im Resonator. Entwickeln Sie dann die ABCD-Matrix f¨ ur die Ausbreitung bis zur externen Strahltaille. Ermitur die externe Strahltaille, durch teln Sie q 0 , den komplexen Strahlparameter f¨ Anwendung des ABCD-Ausbreitungsgesetzes: q 0 =

Aq 0 + B Cq 0 + D

Bestimmen Sie aus q 0 den Strahltaillenradius w0 und den Ort der externen Strahltaille. Im Folgenden werden die allgemeinen Schritte zur Berechnung angegeben. Details werden in den Aufgaben zu diesem Kapitel behandelt. a) Finden Sie eine Gleichung f¨ ur q 0 . b) Bestimmen Sie die ABCD-Matrix f¨ ur das optische System vom ebenen Spiegel bis zur externen Strahltaille. c) Verwenden Sie das ABCD-Ausbreitungsgesetz, um q 0 auf q 0 zu beziehen. 10

Wie bereits in diesem Kapitel beschrieben und im vorigen Beispiel benutzt, kann man zeigen, dass die Kr¨ ummungsradien der Wellenfront des Laserstrahls an den Spiegeln mit den Kr¨ ummungsradien der Spiegeloberﬂ¨ ache u ¨ bereinstimmen.

660

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

L¨ osung a) Da f¨ ur den ebenen Spiegel 1 = ∞ ist, gilt: 1 jλ jλ jπw02 1 = − → − 2 ⇒ q0 = 2 q0 1 πw0 πw0 λ Der Kr¨ ummungsradius R2 von Wellenfront und Spiegeloberﬂ¨ache 2 stimmen im Betrag an der Spiegeloberﬂ¨ache u ¨ berein. Die Strahltaille am Ort des ebenen Spiegels sei w0 . Wir verwenden (22.21) mit λ = 633 nm, ur die Entfernung vom ebenen Spiegel 1 zum 2 = 2 m und z = 0,7 m f¨ gekr¨ ummten Spiegel 2. Es gilt die Vorzeichenkonvention f¨ ur aufgefaltete Spiegeloberﬂ¨ achen, wobei positiv f¨ ur konkave Spiegel relativ zum Inneren des Resonators und negativ f¨ ur konvexe Spiegel ist. Wir l¨osen nach w0 auf und erhalten w0 = 4,38 · 10−4 m. Damit ergibt sich q 0 = jπw02 /λ = j · 0,952 m. b) F¨ ur die Systemmatrix vom ebenen Spiegel bis zur externen Strahltaille gilt:

A

B

C

D

=

1

l

0 1 , -. /

1

0,5 − 0,64 m -. ,

0 1,5

/ ,

1 0,5 3m

0 -.

1 1,5

1

/ ,

0

0,7 m -.

1

Translation Brechung Brechung Translation F¨ uhrt man die Multiplikationen der Matrizen aus, so erh¨alt man:

l A B 1 − 0,53 0,7 m + 0,63 l m = C D 0,63 − 0,53 m c) Damit sind alle Elemente des ABCD-Gesetzes bekannt und man kann q 0 berechnen. Mit (22.13) und R2 (l) = ∞ hat man mit Real- und Imagin¨arteil zwei Gleichungen zur Berechnung von l und w0 (l) mit dem Ergebnis l = 0,06 m und w0 (l) = 0,54 mm. Die externe Strahltaille hat demnach einen Radius von 0,54 mm, sie beﬁndet sich 6 cm rechts von der Oberﬂ¨ ache 3 der Spiegel-LinsenKombination.

Optik f¨ ur optimale Strahlausbreitung Gaußsche Strahlen gehen oft durch Aperturen wie Spiegel, Linsen, Strahlaufweiter oder Fernrohre. Wenn solche Aperturen die Laserenergie bei Durchtritt nicht beschr¨ anken sollen, brauchen wir ein Kriterium f¨ ur die Gr¨oße dieser Aperturen, relativ zur Gr¨ oße des Laserstrahls. Um zu bestimmen, welcher Anteil der eintretenden Leistung durch eine ¨ kreisf¨ ormige Oﬀnung (Linse, Raumﬁlterblende usw.) mit dem Radius rB hin-

/

22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme

661

durchtritt, kommen wir auf den Gaußschen TEM00 -Strahl zur¨ uck, wo f¨ ur das elektrische Feld auf einer Ebene senkrecht zum Strahl gilt: ˆ e−jk(x E(x, y, z) = E

2

+y 2 )/2R(z) −(x2 +y 2 )/w 2 (z) −j[kz+p(z)]

e

e

(22.15)

Da die Intensit¨ at proportional zum Quadrat der elektrischen Feldamplitude ist, ergibt sich der gesamte Strahlungsﬂuss Φtot des Laserstrahls durch Auswertung des Integrals 2 ˆ 2 (z) e−2(x2 +y2 )/w2 (z) dA |E(x, y, z)| dA ∼ E Φtot ∼ A

A

wobei die Integration u uhrt wird. ¨ber den gesamten Querschnitt des Strahls ausgef¨ Damit erh¨ alt man f¨ ur die gesamte Leistung im Laserstrahl: 2 π [w(z)]2 ˆ Φtot ∼ E(z) 2 ˆ Hierbei ist E(z) die elektrische Feldamplitude im Zentrum des Strahls, die hiernach gegeben ist durch: ˆ E(z) ∼

1 Φtot w(z)

Benutzt man (22.15) und berechnet die relative Teilleistung Φteil, r = Φ(r = ormige Apertur mit dem Radius rB hindurchtritt, rB )/Φtot , die durch eine kreisf¨ so f¨ uhrt man folgende Integration aus: Φ(r = rB ) 1 2 ∼ |E(x, y, z)| dA Φtot Φtot Apertur ˆ 2 (z) rB 2 2 E e−2r /w (2πr) dr = Φtot 0

Φteil,r =

und erh¨ alt: 2

Φteil,r ∼ 1 − e−2rB /w

2

(22.39)

Abbildung 22.11 zeigt die relative Teilleistung Φteil, r = Φ(rB )/Φtot , die durch eine kreisf¨ ormige Apertur des Radius rB hindurchtritt, als Funktion von rB /w, wobei w der Strahlradius am Ort der Apertur ist. Wenn der Radius der Apertur gleich dem Strahlradius ist, werden 86% des Strahles durchgelassen (14% werden blockiert), w¨ ahrend ungef¨ ahr 99% transmittiert werden, wenn der Aperturradius auf das 1,5-fache des Strahlradius erh¨ oht wird. Gibt man demnach jedem optischen Element, durch das der Laserstrahl in einem gegebenen optischen System verl¨ auft, einen Durchmesser, der das Dreifache des Strahlradius (d = 3w) ist, so werden nahezu 99% des Strahles durchgelassen. Selbst f¨ ur diesen Fall d¨ urfen wir

662

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Abb. 22.11. Transmission eines Gaußschen Strahles des Strahlradius w durch eine kreisf¨ ormige Apertur mit dem Radius rB

nicht vergessen, dass Beugungseﬀekte, die durch die scharfen Randbegrenzungen der kreisf¨ ormigen Aperturen hervorgerufen werden, St¨orungen im Intensit¨atsmuster im Nahfeld erzeugen und damit auch die Intensit¨at auf der Strahlachse im Fernfeld um ungef¨ ahr 17% vermindern. Um diese Beugungseﬀekte zu reduzieren, vergr¨ oßert man die Apertur so, dass d ≈ 4,5 w ist. Optische Elemente mit Durchmessern, die d ≈ 4,5 w erf¨ ullen, lassen nahezu 100% der Strahlleistung durch, ohne wesentliche Beugungseﬀekte am Strahl zu erzeugen. Mit (22.17) f¨ ur die Rayleigh-L¨ ange und mit dem Kriterium f¨ ur den Aperturdurchmesser, d ≈ 4,5 w (99% Transmission), kann man die Rayleigh-L¨ange f¨ ur typische Laser in Abh¨ angigkeit von d berechnen. In Abbildung 22.12 werden Ergebnisse f¨ ur He-Ne-, HF-(Fluor-Wasserstoﬀ) und CO2 -Laser gezeigt. Ist z.B. der Aperturdurchmesser d = 4,5 w = 1 cm, so erh¨alt man f¨ ur die kollimierte Strahll¨ ange (2·Rayleigh-L¨ ange 2zR = 24,5 m bei λ = 632,8 nm (Helium-Neonur den AperturdurchLaser) und 1,46 m f¨ ur CO2 -Laserstrahlung bei 10,6 µm. F¨ messer 4,5 w = 2 cm ergibt sich – wegen zR ∼ w02 – als kollimierte Strahll¨ange beim Helium-Neon-Laser 98 m und f¨ ur den CO2 -Laser 5,8 m. Abbildung eines Gaußschen Strahles Wir wollen die Abbildung eines Gaußschen Strahls durch eine Linse der Brennweite f behandeln. Ein Strahl mit der Taille w0 in der Entfernung z triﬀt von links auf eine d¨ unne Sammellinse und wird in die Strahltaille w0 in der Entfer nung z rechts der Linse abgebildet. Die Geometrie ist in Abb. 22.13 gezeigt. ¨ Hierbei wird – in Ubereinstimmung mit der u ¨berwiegenden Literatur hierzu – z vom Ort der Strahltaille w0 aus gemessen, ist also hier positiv im Gegensatz zu den Vorzeichenkonventionen in Kap. 3 und 4.

22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme

663

Abb. 22.12. Kollimierter Bereich (doppelte Rayleigh-L¨ ange) 2 zR als Funktion des Aperturdurchmessers d. Der Laser√ist auf die Taille w0 fokussiert, der Aperturdurchmesser betr¨ agt d = 4,5 w mit w = 2w0 .

Abb. 22.13. Ein Gaußscher Strahl mit Taille w0 und halbem Strahl¨ oﬀnungswinkel θ0 wird durch eine d¨ unne Sammellinse der Brennweite f in einen Gaußschen Strahl mit Strahltaille w0 in der Entfernung z abgebildet

664

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Die zugeh¨ orige ABCD-Matrix ergibt sich aus dem Produkt:

A C

B

1

=

0

D

z

1

1

0

− f1

1

⎛

1 z

=⎝

z f − f1

1−

0 1

zz f

z + z − 1−

z f

⎞ ⎠

(22.40) Damit folgt aus (22.38): q =

1−

q + z + z − − f1 q + 1 − fz z f

zz f

(22.41)

Wegen (22.16) gilt: πw02 πw2 in z und q (z ) = −j 0 in z λ λ Hiermit kann man nach l¨ angerer Rechnung (aus (22.41)) berechnen: q(z) = j

(22.42)

Abbildung eines Gaußschen Strahls durch eine d¨ unne Linse Strahltaillenradius

w0 = w0 VGauß

Vergr¨oßerung

= VGauß

Sch¨arfentiefe, kollimierter Bereich

2 = VGauß 2zR 2zR

halber Strahl¨oﬀnungswinkel

θ0 =

Lage der Strahltaille

2 (z − f ) z − f = VGauß

(22.43) f

2 + (z − f )2 zR

θ0

VGauß

mit

zR =

πw02 λ (22.44) (22.45) (22.46) (22.47)

Wir sehen aus (22.47), dass f¨ ur den allgemeinen Fall z = f gilt. Oﬀensichtlich wird also der Gaußsche Strahl nicht in der Brennebene der Linse fokussiert, die in der Entfernung f rechts von der Linse liegt. Wir k¨ onnen jedoch einige praktische Annahmen machen, die die obigen Gleichungen erheblich vereinfachen. Betrachten wir zun¨achst (22.44). Wenn die Sch¨ arfentiefe 2zR des einfallenden Strahles sehr viel gr¨oßer als die Brennweite f ist und die Strahltaille w0 am Ort der Linse (z = 0) liegt – keine ungew¨ohnliche = zfR sowie w0 = (f /zR )w0 und mit zR = πw02 /λ Situation11 – , dann gilt VGauß ergeben sich: 11

In vielen F¨ allen werden Laserstrahlen zun¨ achst aufgeweitet, um anschließend zu einem kleinen Brennﬂeck fokussiert zu werden, so z.B. beim Laserschweißen. F¨ ur diese

22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung

w0 ≈ f

λ = f θ0 πw0

z ≈ f

665

(22.48) (22.49)

wobei θ0 = λ/(πw0 ) der linksseitige halbe Strahl¨oﬀnungswinkel ist. Der einfallende Gaußsche Strahl wird also in die rechtsseitige Brennebene der Linse fokussiert, wie man es auch f¨ ur ein paralleles Strahlenb¨ undel erwartet. F¨ ur viele Anwendungen, z.B. bei einem Laserdrucker, einem Laserscanner oder bei der Kernfusion will man m¨ oglichst kleine Strahltaillenradien erzielen. Aus (22.48) folgt, dass man dies durch kleine Wellenl¨ angen oder Brennweiten der Linse und große Strahltaillenradien im einfallenden Strahl erreicht.

22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung Die L¨ osung f¨ ur den Gaußschen Strahl stellt die niedrigste Ordnung – d.h. die transversale Grundmode – dar, die in einem Laserresonator mit oﬀenen Seitenbegrenzungen auftritt. Es existieren noch andere Moden h¨oherer Ordnung, die f¨ ur die Intensit¨ atsverteilung senkrecht zur Strahlrichtung kein reines Gauß-Proﬁl aufweisen. Wir kehren daher zu den fr¨ uheren Berechnungen dieses Kapitels zur¨ uck und verallgemeinern (22.11), die zun¨ achst folgende Form aufwies: ˆ e−j[p(z)+k(x2 +y2 )/2q(z)] U (x, y, z) = E

(22.11)

Es l¨ asst sich eine große Zahl von Feldverteilungen ﬁnden, die (22.1) bzw. (22.10) mit entsprechenden Randbedingungen erf¨ ullen; (22.11) ist nur die einfachste Form. Die Feldverteilung muss sich f¨ ur eine station¨are L¨osung – d.h. f¨ ur den Resonanzfall – bei jedem Strahlumlauf wieder auf den Resonatorspiegeln reproduzieren. Welche Verteilung als Intensit¨ atsmuster des Laserstrahles außerhalb des Resonators beobachtet wird, h¨ angt von der Geometrie der Spiegel ab. Bei realen Resonatoren haben die Spiegel Begrenzungen, die rechteckig oder kreisf¨ormig sind. Aus den m¨ oglichen L¨ osungen w¨ ahlt man die aus, die in einer Ebene senkrecht zur Strahlrichtung Kreis- oder Rechtecksymmetrie aufweisen. F¨ ur die Feld12 verteilung auf dem Spiegel 1 oder 2 erh¨ alt man bei

12

F¨ alle kann die Strahltaille w0 von der Gr¨ oßenordnung eines Zentimeters oder mehr 2 ¨ sein, was bedeutet, dass die Ungleichung zR

(z − f )2 erf¨ ullt ist (s. z.B. Ubung 22.9). Fox u. Li: Resonant Modes in a Maser Interferometer.

666

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Rechtecksymmetrie

√ −(x ˆ E 1,2 mn (x, y, z1,2 ) = E(z1,2 ) e

2

+y

2

2 )/w1,2

Hm

2x

w1,2

√ Hn

2y

w1,2

(22.50)

urliche Zahwobei Hm das Hermite-Polynom der Ordnung m ist; m, n sind nat¨ len; x, y kartesische Koordinaten in einer Ebene senkrecht zur Strahlrichtung z. Die Hermite-Polynome ﬁndet man in mathematischen Handb¨ uchern oder in PC-gest¨ utzten komfortablen Berechnungsprogrammen. Die niedrigen Ordnungen sind: H0 (t) = 1 H1 (t) = 2t H2 (t) = 4t2 − 2 H3 (t) = 8t3 − 12t Die Eigenfrequenzen der Moden m, n, q sind in diesem Fall gegeben durch: c m+n+1 √ fmnq = q+ arccos g1 g2 2L π mit L als Resonatorl¨ ange, c ist die Lichtgeschwindigkeit im Resonatormedium (aktives Medium) der Brechzahl n und g1 , g2 die in Kap. 22.5 deﬁnierten gParameter. Kreissymmetrie

√ E 1,2 pl (r, ϕ, z1,2 )

ˆ 1,2 ) e−r = E(z

2

2 /w1,2

2r

w1,2

l

L(l) p

2r2 2 w1,2

(l)

cos lϕ

(22.51)

urliche Zahlen wobei Lp das Laguerre-Polynom der Ordnung p, l ist; p, l sind nat¨ und r, ϕ Radial-, bzw. Azimutalkoordinate in einer Ebene senkrecht zur Strahlrichtung. Die Laguerre-Polynome sind in niedrigen Ordnungen: (l)

L0 (t) = 1 (l)

L1 (t) = l + 1 − t 1 1 (l) L2 (t) = (l + 1)(l + 2) − (l + 2)t + t2 2 2 Die Eigenfrequenzen der Moden p, l, q sind gegeben durch: c 2p + l + 1 √ fplq = q+ arccos g1 g2 2L π

22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung

667

Abb. 22.14. Mit (22.47) und (22.48) berechnete Intensit¨ atsmuster (Modenstrukturen) f¨ ur transversale Moden verschiedener Ordnung, wie sie im Ausgangsstrahl eines Lasers beobachtet werden k¨ onnen. Die Radien w1,2 des Gaußschen Strahles sind bei allen Verteilungen gleich. Die Doppelziﬀern geben die Ordnungszahlen pl bzw. mn an

668

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

Die station¨ are Verteilung des elektrischen Feldes im Resonator wird durch die Angabe der drei Indizes m, n, q bzw. p, l, q beschrieben. Die Bedeutung der Indizes ist aus Abb. 22.14 zu entnehmen13. Die ersten Indizes geben die Anzahl der Knotenlinien in der jeweiligen Raumrichtung an. Betrachtet man die kreissymmetrischen Verteilungen, so geben p die radiale und l die azimutale Anzahl der Knotenlinien an, bei denen die Intensit¨at Null wird. q ist die Ordnungszahl der axialen Moden, sie gibt an, wie oft die halbe Resonanzwellenl¨ange in den Resonator der L¨ ange L passt. Als Resonatormode bezeichnet man die station¨are Feldverteilung im Laser, die durch die drei Ordnungszahlen gekennzeichnet ist. Die Moden werden mit transversale Moden TEMplq oder TEMmnq bezeichnet. TEM bedeutet, dass sowohl elektrisches als auch magnetisches Feld senkrecht zueinander und zur Strahlausbreitungsrichtung (T ranversal-E lektrisch-M agnetisch) schwingen, was streng genommen nur f¨ ur große Strahldurchmesser richtig ist.

¨ Ubungen 22.1 a) Zeigen Sie, dass aus (22.5) f¨ ur Punkte r(x, y, z) nahe der Ausbreitungsachse, wo (x2 + y 2 ) R2 gilt (s. Abb. 22.2), (22.6) folgt. b) Beweisen Sie hiermit (22.7). 22.2 Zeigen Sie, dass die Substitution von (22.8) in die Wellengleichung (22.1) zu (22.10) f¨ uhrt. 22.3 Ein TEM00 -Helium-Neon-Laser (λ = 632,8 nm) hat bei z = 0 eine Strahltaille w0 von 0,5 mm und einen Strahl¨ oﬀnungswinkel (Divergenzwinkel) von θ0 = 0,4 mrad. Bestimmen Sie: a) den Wert des komplexen Strahlparameters q 0 bei der Strahltaille; b) im Abstand z = 50 m von der Strahltaille den Wert des komplexen Kr¨ ummungsradius q mit den beiden folgenden Formeln: 1 1 λ = −j q R πw2

und

q =z+j

πw02 λ

(Hinweis: Gilt bei 50 m Abstand von der Strahltaille die Fernfeldn¨ aherung? Wenn dem so ist, was bedeutet dies f¨ ur R und z?) ¨ 22.4 a) Verwenden Sie in Ubung 22.3 (22.21) und (22.22), um R(z) und w(z) bei z = 50 m zu bestimmen. oﬀb) Gilt im Fernfeld R(z) ≈ z? Kann man tan θ0 ≈ w(z)/z, wobei der Strahl¨ nungswinkel 2θ0 (Divergenzwinkel) ist, in N¨ aherung zur Bestimmung von w(z) bei z = 50 m benutzen? 13

aus: Hodgson u. Weber: Optische Resonatoren.

22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung

669

22.5 Ein TEM00 -Helium-Neon-Laser (λ = 632,8 nm) hat eine Resonatorl¨ ange von 0,34 m, einen hochreﬂektierenden Spiegel mit dem Kr¨ ummungsradius 1 = 10 m (konkav vom Resonatorinneren aus gesehen) und einen Ausgangsspiegel mit dem Kr¨ ummungsradius 2 = 10 m (ebenfalls konkav). a) Bestimmen Sie aus der Spiegelgeometrie und mit Hilfe der Randbedingung, dass die Kr¨ ummungsradien der Wellenfronten mit denen der Spiegeloberﬂ¨ achen u ¨ bereinstimmen, den Ort der Strahltaille im Resonator. Die Bezugsebene liege bei z = 0 am Ort der Strahltaille. b) Bestimmen Sie den Radius w0 der Strahltaille. c) Ermitteln Sie den Radius der Strahltaille am linken und rechten Laserspiegel. d) Bestimmen Sie die Strahl¨ oﬀnungswinkel (Divergenzwinkel) f¨ ur diesen Laser. e) Wo beginnt f¨ ur diesen Laser das Fernfeld, wenn Sie das Kriterium zF F ≥ 50(πw02 /λ) benutzen? f) Wenn der Laser einen Strahl der konstanten Leistung 5 mW emittiert, wie groß ist dann die mittlere Intensit¨ at an der Stelle zF F = 50(πw02 /λ)? 22.6 Bestimmen Sie f¨ ur die Anordnung in Abb. 22.10 die Strahl¨ ubergangsmatrix f¨ ur das Ausgangselement des Lasers: mit den Daten: Spiegel-Linsen-Kombination der Dicke d = 4 mm, Kr¨ ummungsradius der Spiegelﬂ¨ ache |2 | = 2 m, Kr¨ ummungsradius der Linsenoberﬂ¨ ache |3 | = 0,64 m und Brechzahl des Linsenmaterials n = 1,5. a) Verwenden Sie die Deﬁnitionen f¨ ur die Brechungs- und Translationsmatrizen aus Kap. 4 mit den Vorzeichen¨ anderungen, die in Kap. 22 beschrieben werden, um die ABCD-Matrix f¨ ur dieses Element aufzustellen: ⎛ ⎝ A C

⎞ B ⎠ D

⎛ =

⎝ ,

1 n−n

3 n

-.

⎞ 0 ⎠

n n

Brechung

/

⎛

⎞ 1 d ⎝ ⎠ 0 1 -. / , T ranslation

⎛ ⎝ ,

1 n−n

2 n

-.

⎞ 0 ⎠

n n

/

Brechung

Achten Sie auf die wechselnde Bedeutung von n und n f¨ ur die zwei Brechungen und die Vorzeichenkonvention von 2 und 3 bei den Matrixformeln. Bis auf von Rundungsfehler sollten Sie folgendes Ergebnis erhalten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ A B 1,0007 0,0027 m ⎝ ⎠=⎝ ⎠ C D 0,9979 −0,5318 m−1 b) d = 4 mm ist klein verglichen mit |2 | = 2 m oder |3 = 0,64 m. Wiederholen Sie deshalb die ABCD-Berechnung, indem Sie in der Translationsmatrix d = 0 setzen. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ 1 d ⎠→⎝ 1 0 ⎠ 0 1 0 1 Welches Ergebnis erhalten Sie f¨ ur die ABCD-Matrix dieser d¨ unnen“ Linse? ”

670

22 Eigenschaften von Laserstrahlen

22.7 a) Da das Ausgangselement, das in Aufgabe 22.6 beschrieben ist, im Wesentlichen ¨ eine d¨ unne Linse darstellt, vergleichen Sie die ABCD-Matrix aus Ubung 22.6 b) mit der Matrix f¨ ur die d¨ unne Linse ⎛ ⎞ 1 0 ⎝ ⎠ − f1

1

und leiten Sie die Brennweite des Ausgangselementes ab. b) Verwenden Sie (3.23) f¨ ur die Brennweite einer d¨ unnen Linse nL − n1 1 1 1 = − f n1 r1 r2 wobei Sie auf die Vorzeichenkonvention f¨ ur die Kr¨ ummungsradien (s. Kap. 4 mit ¨ Anderungen in Kap. 22.5) achten sollten und berechnen Sie die Brennweite des Ausgangselementes in Form einer d¨ unnen Linse. Vergleichen Sie die Ergebnisse von a) und b). 22.8 Gehen Sie von der in Abb. 22.10 gezeigten Anordnung aus und stellen Sie: a) eine Gleichung zur Bestimmung von q 0 am Ort des ebenen Spiegels auf; b) l¨ osen Sie (22.21) nach w0 auf; c) berechnen Sie den Wert f¨ ur q 0 1; d) multiplizieren Sie q 0 mit der ABCD-Matrix, um q 0 zu erhalten; e) verwenden Sie (22.13) und q 0 von Teil d) dieser Aufgabe, um l und w0 (l) zu berechnen. 22.9 a) Verwenden Sie die Angaben aus Beispiel 2 (s. Abb. 22.10), wobei die externe Strahltaille bei l ≈ 0,06 m auf eine Strahltaille w0 (l) = 0,54 mm fokussiert wird und verwenden Sie (22.43) und (22.44) zusammen mit Abb. 22.13, um w0 und z zu berechnen. Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit denen f¨ ur w0 (l) und l aus Beispiel 1. b) Erkl¨ aren Sie, warum man die N¨ aherungen f λ = f θ1 πw0 in diesem Fall nicht verwenden darf. w0 ≈

und

z = f

22.10 Gehen Sie von dem extern fokussierten TEM00 -Laserstrahl der Abb. 22.10 aus, wobei die Strahltaille w0 (l) = 0,54 mm betr¨ agt und sich 0,06 m vom Ausgangselement entfernt beﬁndet. a) Berechnen Sie den Geltungsbereich der Fernfeldn¨ aherung rechts von der externen Strahltaille. b) Ermitteln Sie den Strahl¨ oﬀnungswinkel (Divergenzwinkel) f¨ ur den Laserstrahl, der von der fokussierten Strahltaille ausgeht. c) Setzen Sie in den Strahlengang einen 10×-Strahlaufweiter bei z = 30 m rechts der externen Strahltaille ein. Berechnen Sie die Strahltaille w an den Eintrittsund Austrittsﬂ¨ achen des Strahlaufweiters. d) Setzen Sie eine d¨ unne Linse der Brennweite f = 10 cm und geeigneten Durchmessers in einer Entfernung von 20 cm rechts der Ausgangsﬂ¨ ache des Strahlaufweiters ein. Berechnen Sie mit Hilfe von Abb. 22.13 sowie (22.43) und (22.44)

22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung

671

z und w0 f¨ ur den neu fokussierten Strahl. K¨ onnen Sie in diesem Fall die N¨ aherungsformel w0 ≈ λf /(πw0 ) und z = f benutzen? Warum? Vergleichen Sie die Ergebnisse der exakten und der N¨ aherungsformeln? 22.11 Gegeben sei der Ausdruck Φteil,r =

Φ(r = rB ) 1 ∼ Φtot Φtot

|E(x, y, z)|2 dA Apertur

und (22.15) f¨ ur E(x, y, z). F¨ uhren Sie die Integration u ormige Apertur ¨ ber eine kreisf¨ mit dem Radius r = rB aus und zeigen Sie, dass die Teilleistung eines TEM00 Laserstrahls, der durch die Apertur verl¨ auft, gegeben ist durch 2

Φteil = 1 − e−2rB /w 22.12 F¨ uhren Sie die Integration f¨ ur Φ∼

ˆ 2 (z) e−2(x E

2

2

+y 2 )/w2 (z)

dA

Apertur

u andigen Querschnitt eines TEM00 -Strahls aus und zeigen Sie, dass ¨ ber den vollst¨ die Gesamtleistung Φtot im Strahl gegeben ist durch 2

ˆ 2 (z) πw (z) Φtot ∼ E 2 22.13 Zeigen Sie, wie man eine verstellbare kreisf¨ ormige Apertur (Irisblende) und ein Leistungsmessger¨ at zur Bestimmung des Strahlradius w eines TEM00 -Laserstrahls an jeder Position des Strahles verwenden kann. ange bedeu22.14 Bestimmen Sie die kollimierte Strahll¨ ange 2zR , wobei zR die Rayleigh-L¨ tet, f¨ ur einen TEM00 -Nd:YAG-Laserstrahl (λ = 1,064 µm), der durch eine Linse mit den Aperturdurchmessern d = 1 cm, 2 cm, 3 cm √ oder 5 cm fokussiert wird. Nehmen Sie an, dass der Linsendurchmesser d = 4,5 · 2 w0 (w0 = fokussierte Strahltaille) ist. Entnehmen Sie die geometrische Anordnung aus Abb. 22.12 und verwenden Sie ahnliche Berechnungen, wie sie f¨ ur den Helium-Neon-, HF- und den CO2 -TEM00 ¨ Laserstrahl durchgef¨ uhrt wurden.

23 Laseranwendungen

Die Information u ¨ ber aktuelle Anwendungen in einem sich so schnell entwickelnden Feld wie dem der Lasertechnologie veraltet fast so schnell, wie sie geschrieben wird. Dies gilt im Besonderen f¨ ur Lehrb¨ ucher. Trotzdem sollen hier einige der wichtigen Laseranwendungen vorgestellt werden, die wir heute kennen. Diese Anwendungen zeigen die Vorteile der Laserstrahlung; sie stellen die Meilensteine“ ” der Lasertechnologie in den 80er und 90er Jahren des 20. Jahrhunderts dar.

Einleitung Seit seiner Erﬁndung im Jahr 1960 wurden f¨ ur den Laser vielf¨altige Anwendungen in Industrie, Luft- und Raumfahrt, Medizin, Landwirtschaft, Bautechnik, Unterhaltung, Kommunikation und in der R¨ ustungsindustrie entwickelt. Der Laser hat die wissenschaftliche und die technologische Welt bereichert und wirkt heute als Katalysator f¨ ur wichtige Neuentwicklungen z.B. bei Lichtleitfasern in der Nachrichtentechnik. Grundlage aller Anwendungen sind seine einzigartigen Eigenschaften. Einfarbigkeit, Strahlb¨ undelung, Koh¨arenz und Intensit¨at der Laserstrahlung bestimmen

674

23 Laseranwendungen

die Einsatzm¨ oglichkeiten. In jeder sinnvollen Anwendung des Lasers werden diese Eigenschaften, die ihn von anderen Lichtquellen unterscheiden, eingesetzt. Man muss sich allerdings davor h¨ uten, den Laser um jeden Preis einzusetzen. Es gibt oft genug konventionelle“ Verfahren, die preiswerter und einfacher in der Hand” habung sind. Die Mehrzahl der Laseranwendungen kann in zwei Hauptgruppen unterteilt werden: 1. Laserwirkungen und 2. Laser und Information (siehe Tab. 23.1). In der ersten Gruppe wird die Wechselwirkung von Laserstrahlung mit Materie beschrieben. Man erzeugt gezielt bleibende oder vor¨ ubergehende Ver¨anderungen. Im anderen Fall verwendet man Laserstrahlung, um Information zu u ¨ bertragen, zu detektieren, zu speichern oder weiterzuverarbeiten.

Tabelle 23.1. Einteilung der Laseranwendungen Laserwirkungen

Laser und Information

Materialbearbeitung

Kommunikation

Schneiden, Bohren

Informationsverarbeitung

Schweißen

Optische Abtastung

W¨ armebehandlung

Optische Speicherung

Ablation

Drucker und Kopierer

Medizin

Messtechnik

Beschriftung

Holograﬁe

Mikrotechnik

Ausrichtung (Fluchtung)

Laserspektroskopie

Scanner

Energie¨ ubertragung mit Laser

Unterhaltung und Projektion

Wehrtechnik

23.1 Laserwirkungen Aufgrund seiner hohen Leistungsdichte, der guten Strahlb¨ undelung, der Einfarbigkeit und ausgezeichneter Koh¨ arenz kann man mit Hilfe des Lasers gezielt verschiedenartigste Materialien ver¨ andern. Dies macht den Laser f¨ ur Anwendungen

23.1 Laserwirkungen

675

geeignet, in denen man z.B. Material veredeln will, aber auch f¨ ur medizinische Behandlungen oder f¨ ur die Kernfusion. In den folgenden Abschnitten werden wir einige dieser Anwendungen beschreiben. Materialbearbeitung Bei der industriellen Materialbearbeitung benutzt man Laser zum Schneiden, ¨ Schweißen, Bohren, Atzen, Perforieren und zur W¨armebehandlung von vielen Substanzen. Der Laser ist f¨ ur diese Anwendungen eine ideale Quelle, da er Energie in einem eng fokussierten Strahl liefert. Der Laserstrahl kann einfach umgelenkt oder umgeformt werden, so dass man die Laserleistung genau und wiederholbar auf das Objekt oder den Werkstoﬀ richten kann. Man kann einen gepulsten 500 kW-Laser mit 1 mrad Strahldivergenz so fokussieren, dass Bestrahlungsst¨ arken (Intensit¨ aten) von 1012 Watt/cm2 auf der Werkstoﬀoberﬂ¨ache erreicht werden. Hierbei wird die thermische Energie genutzt. Andererseits kann man Laser hoher Photonenenergie (Excimer) benutzen, um nichthermisch durch Laserablation L¨ ocher in Werkst¨ ucke (z.B. ein menschliches Haar) zu stanzen. Der Kohlendioxid -(CO2 -)Laser, der bei 10,6 µm Laserstrahlung abgibt, der Nd:YAG Laser, der bei 1,06 µm emittiert und der Dioden-Laser (z.B. bei 0,8 µm) sind Laser, die zur thermischen Materialbearbeitung verwendet werden. Die h¨ auﬁgsten Anwendungen sind Schneiden, Schweißen und die W¨armebehandlung von Metallen oder Kunststoﬀen. So werden z.B. die Schneiden von Rasierklingen in großen St¨ uckzahlen durch Laser geh¨ artet. Laser werden auch in steigender Zahl zur Verarbeitung und Behandlung von Kunststoﬀen und anderen nichtmetallischen Materialien eingesetzt. Die Aluminiumoxid-Substrate, z.B. von Dickschichtschaltungen, werden durch Laser perforiert, so dass man die in einer gr¨oßeren Fl¨ ache hergestellten Schaltungen vereinzeln kann. Laser sind im Besonderen zu automatisierten und computergest¨ utzten Herstellungsprozessen kompatibel, da man ihre Steuerung leicht programmieren kann. Der Laserstrahl kann u ¨ ber die Oberﬂ¨ ache eines Werkst¨ uckes bewegt werden, und man kann so rechnerkontrollierte Schneid- und Schweißoperationen durchf¨ uhren. Der ﬂexible Einsatz des Lasers macht ihn besonders f¨ ur die Herstellung von Prototypen geeignet. Ein Automobilhersteller kann z.B. einen Prototyp eines Kunststoﬀ-Armaturenbrettes auf einem Computer entwerfen und sp¨ ater unter Einsatz des Computers einen Laser steuern, um ein solches Armaturenbrett (aufbauende Kunststoﬀabscheidung in Schichten in einer L¨ osung) herzustellen ( Rapid Prototyping“). ” Laser werden in der Fabrikation zum Pr¨azisionsschweißen eingesetzt, z.B. f¨ ur sehr kleine Komponenten wie hermetisch versiegelte elektronische Bauteile. Man benutzt sie, um komplizierte Strukturen mit hoher Qualit¨at zu schweißen. Metallplatten werden exakt und preiswert zugeschnitten, z.B. Kolbenringe f¨ ur Automobilmotoren (Prototypen). Man benutzt Laser, um pr¨azise schnelle Schnitte in Kunststoﬀe, Gummi, Papier, Kleidung und Holz auszuf¨ uhren.

676

23 Laseranwendungen

In der Automobil- und in der Luftfahrtindustrie ist das Bohren von L¨ochern mit Hilfe von Lasern ein wichtiger Herstellungsprozess. Mit dem Laser lassen sich sehr genau und reproduzierbar L¨ ocher zur Kontrolle des Luft- oder des Fl¨ ussigkeitsﬂusses in hydraulischen und pneumatischen Komponenten ausf¨ uhren. Eine genau lokalisierte W¨ armebehandlung von Metalloberﬂ¨achen, die im Gebrauch hohen Belastungen durch Reibung oder Erm¨ udung ausgesetzt sind, kann durch Laserh¨artung und Laserbeschichtung ausgef¨ uhrt werden. Man benutzt Laser zur Beschriftung von so br¨ uchigen Materialien wie Hochtemperaturkeramiken und Siliziumscheiben (wafer). Der pr¨ azise Abgleich – Lasertrimmen – von Mikroschaltkreisen und Widerstandsnetzwerken l¨ asst sich mit dem Laser bei einer Vielzahl von elektronischen Bauteilen schnell durchf¨ uhren. Laser niedriger Leistung benutzt man zur Ausrichtung von Deckenplatten in einem Raum, zur Vermessung von Werkst¨ ucken und zur F¨ uhrung, z.B. beim Tunnelvortrieb. Der Laser ist ein praktisches Werkzeug, um Tausende von Teilen zur Identiﬁkation und nachfolgenden Sortierung zu markieren. Das Laserschneiden ist ein typischer industrieller Prozess. Die Abb. 23.1 zeigt ein einfaches Laserschneidsystem, das mit einem zus¨atzlichen Gasjet arbeitet. Das Hilfsgas benutzt man, um das Material beim Schneidvorgang wegzublasen“ oder ” durch Oxidation zu verbrennen.

Abb. 23.1. Prinzip eines Laserschneidsystems, bei Einsatz eines oxidativen Hilfsgases als Schneidbrenner“ ”

23.1 Laserwirkungen

677

¨ Das tats¨ achliche Lasersystem hat nur geringe Ahnlichkeit mit der Skizze in Abb. 23.1. Die Gr¨ oße eines solchen Lasersystems wird wesentlich durch die Hochleistungsnetzger¨ ate zur Energieversorgung, die K¨ uhlaggregate und die Strahloptik bestimmt. Abbildung 23.2 zeigt typische Kurven f¨ ur das Schneidverhalten eines Hochleistungs-Industrielasers. Sie zeigt außerdem die Dicke des noch schneidbaren Metalles als Funktion der linearen Vorschubgeschwindigkeit des Lasers beim Schneidvorgang. Wir ersehen aus der Abb. 23.2, dass der hier dargestellte Laser einfacher durch Stahl als durch Aluminium schneiden kann, was f¨ ur jede beliebige Schneidgeschwindigkeit gilt. Der dargestellte Laser schneidet z.B. bei einer Schneidgeschwindigkeit von 50 mm pro Sekunde durch Materialst¨arken von 4 mm Stahl oder 2 mm Aluminium.

Abb. 23.2. Typische Gebrauchsdaten f¨ ur einen Hochleistungs-Industrielaser, der f¨ ur das Schneiden von Metallen benutzt wird

Die Integration von Lasern in Roboter ist eine der neueren industriellen Anwendungen, die zur Zeit weiter vorangetrieben werden. In der Werkzeugmaschinenindustrie werden Hochleistungslaser – entweder CO2 oder Nd:YAG – eingesetzt. In einem großen Automobilwerk wird z.B. ein kW-CO2 -Laser zusammen mit einem Roboter verwandt, um u ussiges Material von Armaturenbret¨bersch¨ tern abzuschneiden. Medizin Mit dem Laserstrahl (Diodenlaser) als Lichtskalpell kann man menschliches Gewebe schneiden, verdampfen, auftrennen, schweißen, abdichten, kauterisieren, koagulieren und heilen. In Kap. 7 ist detailliert erkl¨art, wie man den Laser zur

678

23 Laseranwendungen

Behandlung von Augenkrankheiten verwenden kann. Man benutzt den Laser als nicht invasives chirurgisches Instrument, d.h. man erzeugt medizinisch relevante Ver¨ anderungen im menschlichen K¨ orper ohne diesen mit einem Skalpell zu ¨oﬀnen. Laser werden in der Medizin als diagnostisches und therapeutisches Instrument benutzt. In Tab. 23.2 werden wichtige medizinische Anwendungen zusammen mit den Daten f¨ ur typische Wellenl¨ angen und Leistungsniveaus angegeben. Aus der Liste ersehen wir, dass die Lasertypen, die haupts¨achlich im medizinischen Bereich benutzt werden, der Excimer-Laser, der Argonionen-Laser, der Nd:YAG-Laser, der CO2 -Laser, der Diodenlaser und der abstimmbare FarbstoﬀLaser sind. Die Excimer-Laser (Argonﬂuorid (ArF) und Kryptonﬂuorid (KrF)) emittieren unsichtbare Strahlung im fernen Ultraviolett. Der Nd:YAG- und der CO2 -Laser emittieren Strahlung am anderen Ende des optischen Spektrums im nahen und fernen Infrarot, wiederum unsichtbar. Der Argonionen-Laser emittiert einen Lichtstrahl (blaugr¨ un), der deshalb einfacher zu justieren und zu handhaben ist. Diodenlaser liefern Strahlung vom sichtbaren Bereich bis ins nahe Infrarot. Der abstimmbare Farbstoﬀ-Laser hat zwar eine geringere Ausgangsleistung, liefert jedoch einen Strahl im Wellenl¨ angenbereich vom violetten Ende des sichtbaren Gebietes (400 nm) bis zum nahen Infrarot (950 nm). F¨ ur die unsichtbaren“ ” Laser benutzt man Justierstrahlen – haupts¨achlich Helium-Neon-Laser – um die Handhabung, z.B. das Ausrichten auf ein Objekt, zu vereinfachen. ur medizinische Anwendungen Der CO2 -Laser, einer der ersten, der intensiv f¨ eingesetzt wurde, emittiert Infrarotstrahlung bei 10,6 µm, diese wird in Wasser stark absorbiert. Da K¨ orperzellen und K¨orpergewebe zu 70 bis 90% Wasuhren oder ser enthalten, kann man mit einem CO2 -Laser saubere Schnitte ausf¨ bei h¨ oherer Fokussierung und Leistungsdichte b¨osartiges Gewebe verdampfen. Da ein Laser beim Schnitt kauterisiert“ und Kapillaren versiegelt, kann man ” chirurgische Eingriﬀe ohne Blutung durchf¨ uhren. Derzeit ist es ein Nachteil des CO2 -Laserstrahles, dass er noch nicht mit Faseroptik u ¨ bertragen werden kann; die Weiterleitung des Strahles vom Laser bis zur Zielﬂ¨ache wird deshalb durch Spiegelsysteme, z.B. in Endoskopen, ausgef¨ uhrt. onnen der Nd:YAG-Laserstrahl bei 1,06 µm Im Gegensatz zum CO2 -Laser k¨ und der Argonionen-Laserstrahl bei 488 nm sehr gut durch Lichtleitfasern u ¨ bertragen werden. Die Laserenergie kann auf diese Weise von der Laserquelle bis zum Operationstisch ohne bedeutenden Leistungsverlust weitergeleitet werden. Durch den Einsatz ﬂexibler Systeme, die sich aus der Kombination von Laserstrahlen und faseroptischen Endoskopen ergeben, k¨onnen Chirurgen heutzutage im Bauchraum Operationen durchf¨ uhren, bei denen nur Schnitte von wenigen Zentimetern L¨ ange durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Der blaugr¨ une Argonionen-Laser ist insofern einzigartig, als er selektiv durch rote und braune Substanzen, wie z.B. rote Blutk¨orperchen oder Hautpigmente, absorbiert wird. Man kann deshalb mit diesem System Netzhautblutungen durch Photokoagulation unterbinden und abgel¨oste Netzhautteile wieder anhef-

23.1 Laserwirkungen

679

ten. Muttermale oder T¨ atowierungen lassen sich entfernen, wobei der obere, nicht pigmentierte Teil der Haut ohne Verletzung durchdrungen wird. Den Nd:YAG-Laser benutzt man mit einem faseroptischen Endoskop f¨ ur Photokoagulationen, wie z.B. das Ver¨ oden von blutenden Magengeschw¨ uren, f¨ ur große Tumore oder f¨ ur Blutgef¨ aße tief innerhalb des K¨orpers. Den Nd:YAG-Laser verwendet man außerdem mit Erfolg zur Versiegelung kleiner blutender Gef¨aße der Retina, wodurch eine Erblindung vermieden werden kann. Hierzu wird der Nd:YAG-Laser bis auf einen Fleck von 20 umum Durchmesser fokussiert. In einer weiteren Anwendung fokussiert man einen Nd:YAG-Laser auf einen 30 µm-Brennﬂeck innerhalb des Auges. Hierbei erreicht man Bestrahlungsst¨arken (Leistungsdichten) von u ¨ber 1 GW/cm2 und im Glask¨orper tritt Ionisation auf. Die nachfolgenden akustischen Stoßwellen zerreissen undurchsichtig gewordene Membranen auf der Sichtachse des Auges. Diese Photodisruption ist ein Beispiel nicht invasiver schmerzfreier Chirurgie und wurde ausf¨ uhrlicher in Kap. 7 behandelt. Mit der gleichen Methode zertr¨ ummert man auch bei der Lithropsie Nierenund Blasensteine. Gegenw¨ artig werden sowohl der Nd:YAG- als auch der Excimer-Laser zur Be¨ handlung der Arteriosklerose oder zum Oﬀnen blockierte Blutgef¨aße des Herzens eingesetzt. Mit faseroptischen Endoskopen kleinen Durchmessers kann man in den Arterien Ablagerungen entfernen (Angioplastie). In den letzten Jahren ist der Halbleiterlaser zu einem wichtigen Werkzeug in der Werkstoﬀtechnik geworden. Mit ihm kann man sowohl Stahl wie auch Kunststoﬀ schweißen. Bei L¨ otverbindungen verschiedener Metalle kann er ebenfalls eingesetzt werden. Sogar große Werkst¨ ucke, wie eine Motorkurbelwelle, k¨onnen oberﬂ¨ achengeh¨ artet werden. F¨ ur die Entlackung von Flugzeugen verwendet man ebenfalls Halbleiterlaser, denn nur diese sind bei der erforderlichen Strahlleistung als Handger¨ at ausf¨ uhrbar. F¨ ur die Industrie sind Halbleiterlaser aus ﬁnanziellen Gr¨ unden interessant, da der Anschaﬀungspreis relativ niedrig ist und die Betriebskosten gering sind. Von den zahlreichen Anwendungen in der Medizin sei hier als Beispiel ein Verfahren zur Senkung des Augeninnendruckes beim gr¨ unen Star (Glaukom, s. Kap. 7.5) genannt. Dies ist Zyclo-Destruktion, eine Methode, bei welcher der Ziliark¨ orper, in dem das Kammerwasser im Auge produziert wird, durch teilweise Gewebezerst¨ orung verkleinert wird, womit man eine Reduktion des Augeninnendruckes erreicht. In Tab. 23.3 werden summarisch die haupts¨achlichen medizinischen Felder aufgelistet, in denen Laser gegenw¨ artig angewandt werden und wo sie f¨ ur die Zukunft vielversprechend sind. Ein kurzer Blick zeigt, dass viele Teile des menschlichen K¨ orpers f¨ ur dieses Verfahren zug¨ anglich sind und welche Krankheiten damit behandelt werden.

680

23 Laseranwendungen Tabelle 23.2. Laser in der Medizin

Lasertyp

Wellenl¨ ange

Excimer:

typische Leistung

Anwendung

gepulst, Energie 10 mJ Schnitte, pro Puls Photoablation (Ophtalmologie, Kardiologie und Arthroskopie)

Argonﬂuorid

193 nm (ultraviolett, unsichtbar)

Kryptonﬂuorid

248 nm (ultraviolett; unsichtbar)

Argonionen

488 nm (blaugr¨ un; sichtbar)

abstimmbarer Farbstoﬀlaser

631 nm (rot; sichtbar) kontinuierlich; 3-4 W

Diodenlaser

0,4 − 10 µm

kontinuierlich, bis 2 W med. Haarentfernung, interstitielle Thermotherapie von Lebertumoren, Ophtalmologie: Therapie der Macula-Degeneration, Glaukom

Nd:YAG

1,06 µm (infrarot; unsichtbar)

kontinuierlich; 60-100 W gepulst; max. Pulsleistung 1 MW

Photokoagulation, Verdampfung, Perforierung (Ophthalmologie, Gastroenterologie, Dermatologie, Urologie und Tumore)

Kohlendioxid (CO2 )

10,6 µm (infrarot; unsichtbar)

kontinuierlich; 30-100 W

Gewebeverdampfung, Einschnitte, Exzisionen (Dermatologie, Gyn¨ akologie, Gastroenterologie und Neurochirurgie)

kontinuierlich; bis zu 20 W

Photokoagulation, Heften, Verdampfen (Dermatologie, Ophthalmologie, allgemeine Chirurgie) Photoaktivierung (Behandlung von Tumoren)

23.1 Laserwirkungen

681

Tabelle 23.3. Gebiete der Medizin f¨ ur Laseranwendungen Gegenw¨ artige Anwendungsfelder Ophthalmologie

Augen

Gyn¨ akologie

weibliche Geschlechtsorgane

Dermatologie

Haut

Kardiologie

Herz und Blutgef¨ aße

Gastroenterologie

Magen, Darm

Onkologie

Tumore, Zellen Zuk¨ unftige Anwendungsfelder

Neurochirurgie

Nerven

Otolaryngologie

Hals, Nase, Ohren

Pediatrie

F¨ uße

Urologie

harnleitende Organe

Zahnheilkunde

Z¨ ahne

Laserinduzierte Kernfusion Es ist schon lange das Ziel von Wissenschaftlern, eine nicht ersch¨opfbare Energiequelle zu ﬁnden. In den fr¨ uhen 50er Jahren wurde das prinzipielle Verst¨andnis f¨ ur thermonukleare Ph¨ anomene und die Fusion erworben, und dieses Ziel schien der Verwirklichung etwas n¨ aher zu kommen. Mit der gut bekannten D-T-Kernreaktion, bei der zwei Isotope von Wasserstoﬀ – Deuterium und Tritium – verschmelzen und dabei 14 MeV kinetische Energie freisetzen, dachten Wissenschaftler daran, den Mechanismus der Energieproduktion der Sonne nachzuahmen. Die Fusionsreaktion verlangt jedoch außergew¨ohnlich hohe Drucke und Temperaturen. Bisher hat man die Haupttechnologien zum Einschluss und zur Erzeugung eines Plasmas hoher Dichte und Temperatur, ¨ahnlich denen auf der Oberﬂ¨ ache der Sonne, erarbeitet. Zu diesen Technologien geh¨ort auch die laserinduzierte Fusion. Die grunds¨ atzliche Idee ist relativ einfach. Bei der Laserfusion bestrahlt man ein K¨ ugelchen (Pellet) des Fusionsbrennstoﬀes, gew¨ohnlich eine Mischung von festem Deuterium und Tritium, gleichf¨ ormig u ¨ber seine Oberﬂ¨ache mit hochenergetischen Laserstrahlen, die um das Pellet herum angeordnet sind, wie in Abb. 23.3 gezeigt. Die schnelle Aufheizung der Oberﬂ¨ache des Pellets erzeugt eine Abschmelzung an dessen a ¨ußeren Mantel. Die schnelle Verdampfung an der Oberﬂ¨ ache wird durch eine nach innen gerichtete Stoßwelle (Implosion) begleitet, die die geforderten Bedingungen f¨ ur die Fusion, hohe Dichte und hohe Temperatur, herstellt. Im Innern der Pellets erreicht man Dichten, die das 104 -fache des

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23 Laseranwendungen

Wassers betragen und einen Temperaturanstieg bis auf u ¨ber 1 · 108 K. Diese Bedingungen muss man f¨ ur ungef¨ ahr eine Picosekunde aufrecht erhalten, um damit eine Fusionsreaktion und die Abgabe von enormen Energiemengen zu erreichen. In den 90er Jahren wurde im Lawrence-Livermore-Laboratorium in Kalifornien das NOVA-Nd:Glas-Lasersystem aufgebaut, um Deuterium-Tritium-K¨ ugelchen zu bestrahlen. Es wurde keine Kernfusion erreicht, aber das System erreichte Petawatt (= 1015 Watt) Leistung, wobei der Laserpuls eine Ernergie von 680 J hatte und 440 Femtosekunden dauerte. Das NOVA-System wurde 1999 stillgelegt und in Livermore mit dem Aufbau der NIF (National Ignition Facility) begonnen. Hierbei sollen 192 Laserstrahlen in ihrem Kreuzungspunkt die notwendige Leistung zur Fusion erbringen. 2003 erreichte man mit einem Prototypsystem (1 Strahl) eine Energie von 10,4 kJ f¨ ur UV-Laserstrahlung bei 351 nm mit einer Pulsdauer von 3,5 ns. Dies entspricht einer Leistung von 3 · 1012 Watt. Mit 192 Laserstrahlen w¨ urde man 0,6 · 1015 Watt erzielen. Der schwache Ursprungslaserpuls wird mit einem Faserlaser (Ytterbium-dotiert) erzeugt, der in zahlreichen Verst¨ arkern auf die hohe Energie gebracht wird. Detailliertere Informationen ﬁndet man unter www.llnl.gov/str/Powell.html. Ein Teil der zur Verf¨ ugung stehenden NOVA-Komponenten wird in Deutschland bei der GSI in Darmstadt zum Aufbau des Petawatt-Lasers Phelix“ eingesetzt (www.gsi.de/phelix). Der ” Rekord f¨ ur den st¨ arksten fokussierten Petawatt-Laser wird z.Zt. (2004) vom Vul” can“ Laser (www.clf.rl.ac.uk/Events/CLF News/vulcan page.htm) in Großbritannien mit 1021 Watt/cm2 gehalten. Die Theorie zeigt, dass Wellenl¨ angen, die k¨ urzer als 1 µm sind, Vorteile f¨ ur die Erzeugung der Kompressionswelle aufweisen. Darum f¨ uhrt man gegenw¨artige ¨ Fusionsexperimente bei Wellenl¨ angen von 0,53 µm und 0,35 µm durch. In Ubereinstimmung mit den theoretischen Vorhersagen zeigen diese Experimente die gr¨ oßere Wirksamkeit von k¨ urzeren Wellenl¨ angen bei der Z¨ undung und dem thermonuklearen Verbrennungsprozess. Wenn die Laserfusion technisch und ¨okonomisch handhabbar wird, hat sich einer der gr¨oßten Tr¨aume, ein unbegrenztes Energiereservoir, erf¨ ullt.

23.2 Laser und Information Wir leben im Zeitalter der explosionsartig zunehmenden Informationsmenge. Rechner sorgen f¨ ur den unmittelbaren, weltweiten Zugang zu Quellen der Information, einer Vielzahl von Datenbanken. In diesem Bereich spielen Laser eine f¨ uhrende Rolle. Man benutzt sie in Systemen, die Informationen abtasten, drucken, ¨ ubertragen und speichern. Laserdrucker und Scanner (Abtaster) sind bereits einige Jahre auf dem Markt. Lasergest¨ utzte Sensorsysteme werden zur Entdeckung von Umweltverschmutzungen, Windgeschwindigkeiten und globalen Wetterfaktoren benutzt. Laser und Lichtwellenleiter ¨andern die Kommunikationstechnologien. Laser und Hologramme weisen den Weg zu einem eﬃzienten

23.2 Laser und Information

683

Abb. 23.3. Symmetrisch angeordnete Laser (L) bestrahlen ein kleines DeuteriumTritium-K¨ ugelchen (Pellet). Die sehr schnelle Aufheizung der Oberﬂ¨ ache verursacht Ablation (A) und eine Expansion der Oberﬂ¨ ache nach außen hin. Als Reaktion hierauf tritt eine nach innen gerichtete Stoßwelle (C) auf, die f¨ ur die hohe Dichte und die hohen Temperaturen sorgt, die zur Fusionsreaktion n¨ otig sind

Speichersystem und zum Abruf von riesigen Informationsmengen. Wir wenden ¨ uns nun einem kurzen Uberblick der Laseranwendungen bei der Informationsverarbeitung zu. Nachrichten¨ ubertragung mit Lasern (s.a. Kap. 24) ¨ Die Ubertragungskapazit¨ at eines Kommunikationssystems ist zur Breite des verf¨ ugbaren Frequenzbandes proportional. Benutzt man Licht mit Tr¨agerfrequenzen in der Gr¨ oßenordnung von im Bereich 500 THz, so kann im Prinzip – verglichen mit Radio und Mikrowellensystemen, die bei wesentlich kleineren Tr¨agerfrequenzen arbeiten – eine vielfache Informationsmenge u ¨ bertragen werden. Mit dem Laser wurde in den 60er Jahren eine Strahlungsquelle verf¨ ugbar, die viele Anforderungen an Monochromasie, Koh¨ arenz und Bandbreite erf¨ ullte und die optische Nachrichten¨ ubertragung erm¨ oglichte. Der entscheidende Fortschritt auf diesem Gebiet wurde jedoch erst in den 80er Jahren durch die Entwicklung des

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23 Laseranwendungen

Monomode-Halbleiterlasers und der Monomode-Faser bei einer Wellenl¨ange von 1,55 µm erzielt. Mit nichtoptischen Kommunikationssystemen, bei denen Satelliten, Richtfunkstrecken, Koaxialkabel und Wellenleiter eingesetzt werden, u ¨bertr¨agt man bereits seit langem Informationen u ur diese Systeme ¨ ber große Entfernungen. F¨ verwendet man elektromagnetische Wellen von gr¨oßerer Wellenl¨ange bzw. niedrigerer Frequenz als Laserlicht. So ist z.B. die Frequenz in der Mitte des sichtbaren oßer als die Frequenz der cm-Wellen, die man in Spektrums ungef¨ ahr 105 mal gr¨ ¨ Richtfunkstrecken benutzt. Dies bedeutet, dass die theoretische Ubertragungs5 kapazit¨ at einer Lichtwelle ungef¨ ahr 10 mal gr¨oßer ist als die einer Mikrowelle. ¨ Bevor wir uns den Eigenschaften der heute eingesetzten optischen Ubertragungssysteme zuwenden, werden im Folgenden einige Begriﬀe der Nachrichtentechnik kurz erl¨ autert. ¨ In einem Ubertragungssystem wird die Nachricht – Telefongespr¨ache, Fernseh¨ ubertragungen, usw. – durch Modulation dem Tr¨ager auf der Senderseite aufgepr¨ agt und auf der Empf¨ angerseite durch Demodulation erkannt. Bei der op tischen Nachrichten¨ ubertragung kann man die Intensit¨at oder das E-Feld, d.h. Amplitude, Phase, Frequenz oder Polarisation der elektromagnetischen Welle mo¨ dulieren. Zur Ubermittlung von mehreren Nachrichten auf demselben Leitungs¨ weg – und damit zur Erh¨ ohung der Ubertragungskapazit¨ at – verwendet man die Multiplextechnik. Hierbei markiert man jede Nachricht eines bestimmten Kanals auf der Senderseite durch ein zus¨ atzliches physikalisches Merkmal, das man auf der Empf¨ angerseite identiﬁziert und mit dem man die Nachrichten verschiedener Kan¨ ale unterscheiden kann. Informationen zur optischen Daten¨ ubertragung werden in Kap. 24 und spe¨ ziell in Kap. 24.2 (Optische Ubertragungssysteme) und Kap. 24.3 (Bandbreite ¨ und Ubertragungsrate) vermittelt. Informationsverarbeitung Laser haben nicht nur einen starken Einﬂuss auf die Kommunikationstechnologie, ¨ wozu die Ubertragung und der Empfang von Information – unter Wasser, u ¨ber Land und durch den Weltraum – geh¨ ort, sie treiben auch neue Technologien in der optischen Datenspeicherung voran. Laser sind f¨ ur solche Anwendungen ideal, da sie hohe Koh¨ arenz und Fokussierbarkeit aufweisen. Durch Laser erzeugte Hologramme liefern hochwirksame Medien f¨ ur die optische Speicherung, wie wir sie in Kap. 13 diskutiert haben. Die Laser, die man bei der Informationsverarbeitung einsetzt sind im Wesentlichen der He-Ne-, der Argonionen- und der Halbleiterlaser. Die Speicherung großer Informationsmengen wird ein immer dr¨angenderes Problem. Die NASA empf¨ angt z.B. jedes Jahr 1015 Bits an Daten von Satelliten und Raumsonden. Diese Daten m¨ ussen verarbeitet, interpretiert und gespeichert

23.2 Laser und Information

685

werden. Es ist oﬀensichtlich, dass man schnelle zuverl¨assige Systeme f¨ ur die Informationsverarbeitung ben¨ otigt. Bei den digitalen optischen Datenspeichern kann man verschiedene Arten von Speichermedien unterscheiden: 1. CD-ROM. Dies ist ein Datentr¨ ager, der nur noch gelesen, aber nicht mehr ver¨ andert werden kann. CD steht f¨ ur compact disc“ und ROM f¨ ur read ” ” only memory“. Die Kapazit¨ at der CD-ROM betr¨agt ca. 700 MByte. 2. CD-RW. Dieses Speichermedium kann man mehr als 1000 mal neu beschreiben und lesen. RW steht f¨ ur ReWritable“ Die Kapazit¨at ist gleich der der CD” ROM. 3. WORM. Mit dieser Bezeichnung charakterisiert man einen Datenspeicher, der einmal beschreibbar und beliebig oft lesbar ist. Die Aufzeichnung erfolgt durch den Anwender und ist sofort lesbar aber nicht mehr ¨anderbar. WORM steht f¨ ur write once read many times“. ” 4. Magnetisch-optische Speicherplatte. Die Kapazit¨at betr¨agt bis zu 2,6 GByte. 5. DVD. Diese Buchstaben sind ein Akronym f¨ ur Digital Versatile Disc“. Die ” Kapazit¨ at betr¨ agt in der neusten Generation bis zu 25 GByte (blue-ray disc) und 25 GByte bei der PPD ( Professional Disc for Data“). ” Bei der Herstellung einer kommerziellen CD-ROM wird die Laserquelle in geeigneter Weise durch das elektronische Signal der digitalen Daten moduliert. Der Laser schreibt Datenbits auf eine photoreaktive Oberﬂ¨ache, gew¨ohnlich auf ¨ Platten von 12 cm Durchmesser. Hierbei verursacht er eine Anderung in den Eigenschaften der Platte an pr¨ azise lokalisierten Stellen in der Gr¨oßenordnung von Mikrometern. Durch nachfolgende Abtragung der Oberﬂ¨ache an dieser Stel¨ le durch Atzverfahren erh¨ alt man rillenartige Vertiefungen bestimmter L¨ange, so genannte pits, deren Breite ca. 1 µm betr¨ agt. Zum Auslesen wird ein Laserstrahl niedriger Leistung auf die Oberﬂ¨ ache fokussiert, wobei der Strahldurchmesser etwas gr¨ oßer als die Breite der pits“ ist. Das reﬂektierte Licht wird durch das ” Oberﬂ¨ achenmuster aufgrund der Interferenz zwischen dem an der Oberﬂ¨ache und in den Pits reﬂektierten Licht moduliert. Das modulierte Lichtsignal wird durch geeignet positionierte Photodioden detektiert und deren Signal in das elektronische Datenmuster zur¨ uck u ur die Wiedergabe von ¨ bersetzt. Die Compact-Disc f¨ Audio- oder Videoinformation ist ebenfalls vom gleichen Typ. Beim Beschreiben einer CD-RW mit dem Laserstrahl eines Halbleiterlasers wird die Kristallstruktur der Aufzeichnungschicht( aktive Schicht“) der CD ” ver¨ andert. Der gepulste Laserstrahl heizt die aktive Schicht u ¨ber den Schmelz◦ C) auf, wodurch amorphe Markierungen in der Kristallschicht entstepunkt (600 hen. Das Reﬂexionsverhalten der aktive Schicht ist an den amorphen Markierungen verschieden von der Umgebung, was man zum Lesen der auf der CD gespeicherten Informationen benutzt. Zum L¨ oschen bringt man die aktive Schicht mit dem Laser f¨ ur eine gen¨ ugend lange Zeit (Kristallationszeit) auf eine Temperatur,

686

23 Laseranwendungen

die zwischen der Kristallationstemperatur und der Schmelztemperatur liegt. Damit erh¨ alt die aktive Schicht wieder Kristallstruktur. Die Kapazit¨at der CD-RW betr¨ agt ca. 700 MByte. Die DVD-RW funktioniert nach dem gleichen Prinzip, hat aber f¨ ur die h¨ ohere Kapazit¨ at und die gr¨oßeren Daten¨ ubertragungsraten einen anderen Aufbau. Die magneto-optische Speicherplatten ist mit einem Laser frei beschreibbar und lesbar. Die Magnetschicht des Speichermediums ist vor dem 1. Beschreiben einheitlich magnetisiert. Die Koerzitivkraft der Schicht ist so hoch, dass ein kleiner Magnet im Laufwerk die Magnetisierung nicht ver¨andern kann. Im Brennpunkt (Durchmesser 1 µm) eines Infrarotdiodenlasers erw¨armt der Laserstrahl die Magnetschicht des Speichermediums auf Temperaturen um 200◦ C, wobei die Koerzitivkraft kleiner wird und die Richtung der Magnetisierung an dieser Stelle durch den Elektromagneten bestimmt wird. Zum Auslesen der Daten nutzt man den magneto-optischen Kerr-Eﬀekt, wobei die Polarisationsebene des linear polarisierten Laserstrahles bei der Reﬂexion an der magnetischen Oberﬂ¨ache abh¨ angig von der Orientierung der Magnetisierung nach links oder rechts gedreht wird. Die Drehung der Polarisationsebene wird mit einem speziellen Detektorsystem bestimmt und daraus die bin¨ are Information 0“ oder 1“ ermittelt. Das ” ” Beschreiben und Lesen erfolgt also mit konventioneller Magnettechnik, der Laser erh¨ oht nur die Aufl¨ osung und damit die Speicherdichte. Gegenw¨artig betr¨agt die Speicherkapazit¨ at einer magneto-optischen Speicherplatte von 5 41 Durchmesser 1,5 Gbyte. Diese Speicherkapazit¨ at entspricht dem Inhalt von 120 000 Schreibmaschinenseiten. Die mittlere Zugriﬀszeit liegt in der Gr¨oßenordnung von Millisekunden. Laserdrucker arbeiten schnell und geben ein sauberes Druckbild. Sie stehen in starker Konkurrenz zu modernen Tintenstrahldruckern. Diese erzeugen ein Bild, indem Tintentr¨ opfchen auf das Papier gespritzt werden. Ihre Geschwindigkeit liegt bei einigen Seiten pro Minute. Im Laserdrucker wird das Gesamtbild der zu druckenden Seite durch einen Laserstrahl erzeugt, der eine fotoleitende Trommel u ¨ berstreicht. Hierbei werden der Druckvorlage entsprechend bestimmte Gebiete auf der Trommel selektiv entladen (s. Abb. 23.4). Toner oder Farbe, die Ladung umgekehrter Polarit¨ at aufweisen, haften auf der fotoleitenden Oberﬂ¨ache und werden dann durch Druck auf das Papier u ¨ bertragen und durch Hitze ﬁxiert. Bei diesem Prozess erzeugt ein Laserstrahl sehr viel kleinere Druckpunkte (wegen hoher Koh¨ arenz und Fokussierbarkeit) als beim Tintenstrahldrucker und damit l¨ asst sich ein Druckbild von sehr viel h¨ oherer Qualit¨at erreichen. Die Druckgeschwindigkeit variiert von einigen Seiten pro Minute bis zu mehreren Seiten pro Sekunde, abh¨ angig vom Preis des Druckers. Fernerkundung mit dem Laser Der gegenw¨ artige Erfolg von Raumfahrtmissionen aufgrund der Fortschritte in der Lasertechnologie hat die Fernerkundung mit dem Laser belebt. Diese basiert

23.2 Laser und Information

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Abb. 23.4. Schema des optischen Systems eines Laserdruckers

auf dem Nachweis des gestreuten Laserlichtes, das von weit entfernten Objekten r¨ uckgestreut wird. Das Nachweissystem – bestehend aus Laserquelle und Detektor – beﬁndet sich h¨ auﬁg auf Raumstationen oder Satelliten, w¨ahrend die Zielobjekte weit entfernt sind, z.B. in der Atmosph¨are (Ozonnachweis), oder auf der Erdoberﬂ¨ ache (Vegetation, Bodenstruktur). Auf der Erdoberﬂ¨ache beﬁndliche Systeme benutzt man u.a. zum Nachweis der Umweltverschmutzung oder globaler Windstr¨ omungen. Diese Technik nennt man auch Laserradar oder LIDAR (li ght d etection and r anging), wobei man zur Untersuchung des Zielobjektes einen Laser als Quelle und empﬁndliche Detektoren zum Nachweis einsetzt. F¨ ur diese Anwendung muss der Laser geeignete Wellenl¨ ange, Abstimmbarkeit, im Allgemeinen hohe Ausgangsleistung und Pulswiederholrate sowie Amplituden- und Frequenzstabilit¨ at aufweisen. Zus¨ atzlich sollte er einen hohen Wirkungsgrad besitzen, mechanisch stabil sein und u oßeren Zeitraum st¨orungsfrei arbeiten. Ge¨ ber einen gr¨ genw¨ artig genutzte Laserquellen sind z.B. der CO2 -Laser, die gepulsten Nd:YAGoder Nd:Glas-Laser, der Alexandrit-Laser, Nd:YAG-gepumpte Farbstoﬀ-Laser, Excimer-Laser, Dioden-gepumpte Nd:YAG-Laser und eine vollst¨andig neue Klasse von kontinuierlich abstimmbaren Festk¨ orperlasern, wie z.B. der Kobalt-Magnesium-Fluorid- (CoMgF) Laser. Diese Laserfamilie sorgt f¨ ur einen Wellenl¨angen-

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23 Laseranwendungen

bereich, der von 0,66 µm bis 10,6 µm reicht, was f¨ ur viele Anwendungen ausreichend ist. Die Messobjekte, welcher Natur auch immer, m¨ ussen mit dem Strahl des Sen¨ delasers wechselwirken und eine Anderung verursachen, die man messen kann. Zu ¨ diesen Anderungen, die vom Nachweissystem u uckgestreute Laserstrah¨ber die r¨ lung nachgewiesen werden, geh¨ oren die Fluoreszenz, die Raman-Strahlung und der Doppler-Eﬀekt, die wichtige Informationen u ¨ ber die chemische Zusammensetzung, die Konzentration oder die Bewegung des Zielobjektes liefern. Die M¨ oglichkeiten dieser Verfahren und zuk¨ unftige Perspektiven werden an zwei Anwendungen erl¨ autert, der Messung von Windgeschwindigkeiten und der Verschiebung der Erdkruste. Die genaue Kenntnis u ¨ ber die Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit von troposph¨ arischen Winden ist von großer Bedeutung f¨ ur das Verst¨ andnis von globalen Wetterabl¨aufen. Hierzu k¨onnte man ein raumgest¨ utztes CO2 -Lasersystem in einer Erdumlaufbahn einsetzen, z.B. auf einem Satelliten oder im Space-Shuttle, wobei die Entfernung zur Erdoberﬂ¨ache 250 bis 800 km betr¨ agt. Aus solcher H¨ ohe ben¨ otigt man eine große Laserleistung, anderenfalls ist die r¨ uckgestreute Strahlung zu schwach, um detektiert zu werden. Die einfallende Laserstrahlung wird durch Staubpartikel r¨ uckgestreut, die sich mit dem Wind mitbewegen. Die Berechnung der Windgeschwindigkeit und -richtung erfolgt aus der Doppler-Frequenzverschiebung der reﬂektierten Strahlung. Ein CO2 -Lasersystem, mit dem man Windgeschwindigkeiten mit einer Genauigkeit von 1 m/s messen will, erfordert einen Puls pro Sekunde mit etwa 10 J Energie bei einer Frequenzstabilit¨ at von einigen hundert kHz. Zum Betrieb solcher Laser ben¨ otigt man dann eine elektrische Leistung in der Gr¨oßenordnung von einigen Kilowatt. Diese Leistungen m¨ ussen im Raumfahrzeug zur Verf¨ ugung stehen. Weltraumgest¨ utzte LIDAR-Systeme kann man auch zur Detektion von Verschiebungen der Erdkruste in Erdbebengebieten, vulkanischen Zonen oder Landabsenkungen einsetzen. Das Verfahren beruht auf der Messung der Laufzeit von sehr kurzen Laserpulsen im Nanosekundenbereich aus dem Raum zu erdgest¨ utzten Retroreﬂektoren und zur¨ uck und einfachen Methoden der Triangulation. Dabei kann man den Abstand zu bestimmten Gebieten der Erdkruste mit einer Genauigkeit von 1 bis 2 cm messen. Wiederholt man diese Messung in geeigneten Zeitintervallen, so kann man Bewegungen der Erdkruste feststellen und beobachten. Man benutzt Nd:YAG-Lasersysteme mit einer Pulsbreite von weniger als 0,5 ns und einer Pulswiederholungsrate in der Gr¨oßenordnung von 10 Pulsen pro Sekunde. Das r¨ uckgestreute Signal kann im Raumschiﬀ durch ein 15 cm Teleskop mit Photomultiplier und geeigneter Nachweiselektronik detektiert werden. LIDAR-Techniken setzt man zum Nachweis von Umweltverschmutzung, der Identiﬁzierung von toxischen Substanzen oder zur globalen Messung von bestimmten atmosph¨arischen Gasen und Aerosolen ein. Man detektiert Rauchgasemissionen aus Industrieanlagen oder Gaslecks in Rohrleitungen. Atmosph¨arische Konzentrationen von Ozon, Wasserdampf und Schwefels¨aure k¨onnen mit ausreichender Genauigkeit gemessen werden. Wichtig sind Laserabsorptionspek-

23.3 Gegenw¨ artige Entwicklungen

689

trometer, die auf den Prinzipien der diﬀerentiellen Absorption und der Resonanzﬂuoreszenz beruhen. Globale Messungen zur Bestimmung der atmosph¨arischen Aerosolkonzentrationen sind von großer Bedeutung und k¨onnen mit Hilfe von Lasersystemen durchgef¨ uhrt werden. Diese Messungen k¨onnten die Rolle der Aerosole bei der Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung unseres Planeten wie auch die Bildung und Entwicklung von Dunstschichten in der Troposph¨are kl¨aren. Der Erfolg von Raumfahrtmissionen wie Voyager“, Satellitensystem im In” ” frarot“ und einiger Landsat-Satelliten“ zeigt, dass die raumgest¨ utzte Untersu” chung der Erdatmosph¨ are und der Erdkruste eine sich schnell weiterentwickelnde Technik darstellt.

23.3 Gegenw¨ artige Entwicklungen In den fr¨ uhen 90er Jahren hat die Entwicklung neuer Lasermaterialien Laserstrahlung im gesamten Wellenl¨ angenbereich von 0,3 µm bis 1 µm verf¨ ugbar gemacht. Zu den bekannten Lasern kamen neue Laser wie der Titan-Saphir-, der Kobaltdotierte Magnesium-Fluorid-Laser, der Alexandrit-Laser, der Nd:YLF- (NeodymYtrium-Lithium-Fluorid) Laser und der NYAB- (Neodym-Yttrium-AluminiumBorat) Laser hinzu. Die Dioden-Laser konkurrieren nun mit den alten“ He-Ne-Lasern und ver” dr¨ angen diese in vielen Bereichen, z.B. als Lichtzeiger“ bei der Pr¨asentation von ” Diapositiven oder als Justierlaser“. Vorteile der Diodenlaser sind die ¨außerst ” geringe Gr¨ oße (Chip von ca. 0,5 mm × 0,5 mm), der hohe Wirkungsgrad (ca. 2050%), der nutzbare Spektralbereich (sichtbar bis Infrarot) und anderes mehr. Die Strahlleistungen reichen von einigen Watt f¨ ur eine Einzeldiode bis zu 50 Watt f¨ ur eine Diodenzeile. Die Dioden-Laser ersetzen f¨ ur viele Anwendungen die Blitzlampen in optisch gepumpten Lasern, wobei die Dioden-Laser als Pumpe“ eine ” ¨ fast ideale Ubereinstimmung mit der spektralen Absorption des Lasermediums aufweisen (z.B. beim Nd-YAG-Laser). Dies bedeutet einen h¨oheren Wirkungsgrad, eine h¨ ohere Zuverl¨ assigkeit. Die Frequenzverdopplung von Lasern ist durch die Herstellung von hochreinen Kristallen, z.B. von Lithium-Niobat (LiNbO3 ), bedeutend vereinfacht worden, die Wirkungsgrade der Freqenzverdopplung sind deshalb erheblich h¨ oher. Medizinische Anwendungen Das Anwendungsfeld des Lasers hat sich im diagnostischen wie auch chirurgischen Bereich vergr¨ oßert. CO2 - und Nd:YAG-Laser werden bei Operationen an der Gallenblase eingesetzt. Bei R¨ uckenoperationen untersucht man die M¨oglichkeit, Teile von zerst¨ orten Bandscheiben zwischen Wirbelk¨orpern durch Laserstrahlen zu entfernen.

690

23 Laseranwendungen

In der Ophthalmologie (s. Kap. 7) benutzt man Excimer-Laser (UV-Strahlung) als Skalpelle zur Korrektur der Kurzsichtigkeit. Zur Zeit verwendet man zwei Techniken – bei beiden wird die Hornhautoberﬂ¨ache ver¨andert. Die eine nennt man radiale Keratotomie (Erzeugung von sorgf¨altig kontrollierten Einschnitten in die Hornhautoberﬂ¨ ache), die andere Hornhautablation (Entfernung von Hornhautgewebe). In der medizinischen Diagnostik untersucht man z.B. die Entwicklung von abstimmbaren Lasern (PbS) f¨ ur den klinischen Einsatz. Das Ziel dieser Untersuchung ist der Einsatz stabiler, nicht radioaktiver Isotope als Tracer f¨ ur den Nachweis physiologischer Fehlfunktionen. In einer weiteren Anwendung verwendet man hochaufl¨ osende Infrarotspektroskopie f¨ ur die Isotopenanalyse von ausgeatmeter menschlicher Atemluft. Dieses Verfahren kann ein wichtiges Werkzeug f¨ ur die klinische Diagnose von Diabetes (Zuckerkrankheit) werden. In der Zahnheilkunde versucht man Laser zum Entfernen der Karies an Z¨ahnen einzusetzen. Laser und die Mikrowelt Außergew¨ ohnliche Lasersysteme werden nun bis hin zur Grenze der subatomaren Forschung eingesetzt. Die einzigartigen Eigenschaften des Laserlichtes bef¨ ahigen Biologen, einzelne Proteinmolek¨ ule, die auf der inneren Membran eines roten Blutk¨ orperchens angeordnet sind, zu untersuchen. Physiker k¨onnen einzelne Natriumatome in einem evakuierten Beh¨alter in der Schwebe halten. Femtosekunden-Laser (Pulsl¨ angen von 10−15 Sekunden) k¨onnen Blitzlichtaufnahmen der Bewegung von Atomen und Molek¨ ulen liefern. Damit kann man Kurzzeitaufnahmen von chemischen Reaktionen erhalten. In so genannten Laserlichtfallen kann man Gruppen von Atomen einfangen und sie nach Belieben ¨ umherbewegen. Man kann Laserstrahlung zur Verlangsamung von UberschallAtomstrahlen durch elektromagnetische Kr¨afte benutzen. Die in dieser Weise in ihrer Bewegung kontrollierten Atome, entweder im freien Fall oder in Schwingungsbewegung beﬁndlich, erlauben die Messung von Gravitationskr¨aften mit einer deutlich erh¨ ohten Genauigkeit und die Entwicklung einer neuen Generation von Atomuhren. Weiterhin k¨ onnen einzelne Laserstrahlen, sogenannte optische ” Pinzetten“, wie z.B. DNS-Molek¨ ule, mikroskopische Partikel an einer Stelle halten, wodurch man ihre interne und externe Struktur genau untersuchen kann. Laser sind ein wesentlicher Bestandteil des Atomkraftmikroskopes“ (Atomic Force ” Microscope), eines bemerkenswerten Sensors, mit dem man atomare Details einer Oberﬂ¨ ache messen kann. Das Atomkraftmikroskop“ kann einzelne Atome nach” weisen. Mikroskope dieser Art erlauben die Bewegungskontrolle bis in den Subnanometerbereich, und den Nachweis von Kr¨aften von nur 10−10 Newton, wobei Bereiche in der Gr¨ oßenordnung von 100 µm2 untersucht werden. Das Verst¨andnis von Oberﬂ¨ achendetails von isolierenden und leitenden Materialien ist unter anderem f¨ ur die Herstellung von zuverl¨ assigen Faseroptiken von entscheidender Bedeutung.

23.3 Gegenw¨ artige Entwicklungen

691

In dem Laser-Scanning-Mikroskop, einer Kombination aus Mikroskop und Laser, wird das zu untersuchende Objekt mit einem auf die Oberﬂ¨ache fokussierten Laserstrahl punktweise abgetastet. F¨ ur jeden Punkt wird nur das von einem Objektpunkt in seinen Bildpunkt gestreute Licht von einem Detektor registriert und in ein dem empfangenen Lichtstrom proportionales elektrisches Signal umgewandelt. Auf dem Bildschirm entsteht ein dreidimensionales Bild, da mit diesem Verfahren die r¨ aumliche Tiefe mikroskopischer Strukturen aufgel¨ost werden kann. Die Aufl¨ osung f¨ ur das Oberﬂ¨ achenproﬁl liegt im Bereich von 0,1 µm. Das Verfahren bietet die M¨ oglichkeit, das Objekt in jedem Punkt fotometrisch und spektroskopisch zu untersuchen. Weiterhin ist wegen des punktweisen Aufbaus des Bildes der Kontrast (geringerer Einﬂuss von Streulicht) hoch. Eine automatische Scharfeinstellung des Mikroskops l¨ asst sich einfach integrieren; außerdem lassen sich zur Bildaufbereitung die Verfahren der Bildverarbeitung einsetzen. Andere Anwendungen Laser haben wachsende Bedeutung beim Bau von Geb¨auden (Fluchten von Deckenkonstruktionen), in der Landwirtschaft als System f¨ ur das Laser-Einebnen von Oberﬂ¨ achen oder in der Halbleiterindustrie, wo Laser wie mikroskopische Werkzeuge f¨ ur den Abgleich und den Schnitt von elektronischen Bauteilen eingesetzt werden. Zur Unterhaltung setzt man Laser in grellen Farben und in exotischen dynamischen Mustern zur Begleitung von Musik ein ( Lasershow“). ”

¨ Ubungen 23.1 Betrachten Sie einen gepulsten Infrarot-Laser, der eine Spitzenleistung von 10 MW hat und eine Strahldivergenz von 1 mrad aufweist. Der Laser wird durch eine Linse der Bildbrennweite 20 cm fokussiert. Wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke im Brennpunkt? 23.2 Ein Laser wird auf einen bestimmten Strahlﬂeck fokussiert. Er besitzt dann eine gewisse Sch¨ arfentiefe s im Fokus, u ¨ ber die die Strahltaille nicht merklich zunimmt. Diese Sch¨ arfentiefe ist durch die Beziehung 2 2λ 2f s= p2 − 1 π D gegeben, Hierbei ist f die Bildbrennweite der fokussierenden Linse, D der Durchmesser des einfallenden Laserstrahls bei der Strahltaille, λ die Wellenl¨ ange und p ein Toleranzfaktor, der festlegt, um wie viel der fokussierte Strahl sich aufweitet und trotzdem noch als fokussiert anzusehen ist. a) Untersuchen Sie einen CO2 -Laserstrahl (10,6 µm) mit einem Durchmesser der Strahltaille von 8 mm, der auf eine Germaniumlinse mit der Bildbrennweite 60 mm einf¨ allt. Bestimmen Sie die Fokustiefe“ (Sch¨ arfentiefe des Fokus), wenn ” der Strahldurchmesser um nicht mehr als 10% vom Minimalwert in der Taille zunimmt (p = 1,10).

692

23 Laseranwendungen b) Der Durchmesser der Strahltaille D in der Brennebene der Germaniumlinse ist gegeben durch D = f 2θ, wobei 2θ = 1,27λ/D die Winkeldivergenz (voller Strahl¨ oﬀnungswinkel) des einfallenden Laserstrahls ist. Berechnen Sie D und den Durchmesser im Endpunkt des Sch¨ arfentiefebereichs s f¨ ur den in a) gegebenen Toleranzfaktor.

23.3 Betrachten Sie die Schneidleistung des Lasers, der in Abb. 23.2 gegeben ist. Erkl¨ aren Sie, warum derselbe Laser bei einer Querschneidgeschwindigkeit von 25 mm/Sekunde weniger tief in Aluminium (2,7 g/cm3 ) als in Stahl (7,8 g/cm3 ) eindringt. Beachten Sie bei der Formulierung Ihrer Antwort sowohl die Bedeutung der Reﬂexions- und Absorptionskoeﬃzienten, als auch die der W¨ armeleitf¨ ahigkeit. 23.4 Ein gepulster Nd:YAG-Laserstrahl emittiert bei einer Augenoperation eine Pulsenergie von ungef¨ ahr 1 mJ in 1 ms. Der Laserstrahl wird im Inneren des Auges bis auf einen Fleck von 30 µm Durchmesser fokussiert. Wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke im Brennpunkt? 23.5 Aus der Nachrichtentechnik weiß man, dass die Informationskapazit¨ at C eines Signals der mittleren Leistung S in Gegenwart einer zus¨ atzlichen St¨ orquelle mit weißem Rauschen der Leistung N in einem Kanal der Bandbreite B durch C = B ld(1 + S/N ) gegeben ist. Beachten Sie, dass die Kanalkapazit¨ at C direkt proportional zur Bandbreite B ist, was das große Interesse am Laser f¨ ur die Nachrichtentechnik erkl¨ art. Nehmen Sie ein Signal-Rauschverh¨ altnis (SNR) von S/N = 9 an und setzen Sie die vorhandene Bandbreite im Laser-Kommunikationssystem mit ungef¨ ahr 4 GHz an (nur 0,001% der Tr¨ agerfrequenz, die ungef¨ ahr 4 · 1014 Hz ist). a) Wie groß ist die Informationskapazit¨ at C? b) Wie viele Telefongespr¨ ache mit der Bandbreite 4 kHz k¨ onnen mit einem solchen Lasersystem gef¨ uhrt werden? 23.6 Ein Lasersystem beﬁndet sich auf einem geostation¨ aren Satelliten und verwendet einen Nd:YAG-Laser, der Strahlung bei 1,06 µm in einem hochkollimierten Strahl mit 5 mrad Strahldivergenz (voller Strahl¨ oﬀnungswinkel) abgibt. a) Der Laser beﬁnde sich 36 205 km oberhalb der Erdoberﬂ¨ ache. Wie groß ist der minimale Durchmesser des Laserstrahls auf der Oberﬂ¨ ache der Erde? b) Der Laser emittiert Pulse von 200 MW Leistung. Wie groß ist die mittlere Feldst¨ arke pro Puls im Laserstrahl an der Erdoberﬂ¨ ache (Hinweis: s. (8.52))

24 Faseroptik

Einleitung Die Lichtleitung durch ein transparentes Medium hatte sich schon bei Laseranwendungen als sehr wichtig erwiesen, sie ist in der Telekommunikation und Lasermedizin fast unerl¨ asslich. In einem nichtabsorbierenden zylindrischen Stab, beispielsweise in Form einer Glasfaser, dessen Brechzahl gr¨oßer als die des umgebenden Mediums ist, kann das eingekoppelte Licht aufgrund der Totalreﬂexion zum anderen Ende weitergeleitet werden. Eine genaue Behandlung der Faseroptik muss die Wellenausbreitung in einer Faser mit Hilfe der Maxwellgleichungen – unter Beachtung der Randbedingungen an der Kern-Mantel-Grenzﬂ¨ache – untersuchen. Hier wird ein einfacheres und anschaulicheres Verfahren verwendet, das die Strahlenoptik benutzt und diese durch Wellenaspekte, wie Phase und Interferenz, erg¨ anzt. Wir diskutieren die Ausbreitungsmoden des Lichtwellenleiters und ¨ geben die Ubertragungskapazit¨ at von Multi- und Monomodefasern an. Die Elemente der GRIN-Optik und einige Anwendungen werden erl¨autert. Zum Schluss wird der Richtkoppler behandelt, ein wichtiges Bauelement zur Strahlenteilung und Lichtmodulation.

694

24 Faseroptik

24.1 Anwendungen Die einfachste Anwendung von Lichtfasern – sei es einzeln oder als Faserb¨ undel – liegt beim Lichtleiter vor. So l¨ asst sich z.B. Licht durch ein ﬂexibles B¨ undel aus einer Vakuumkammer nach außen leiten, wo es einfacher analysiert werden kann. Das B¨ undel kann auch ohne weiteres in mehrere Einzelb¨ undel aufgeteilt werden, so dass man auf einfache Weise einen Strahlenteiler erh¨alt. Bei solchen Anwendungen ohne optische Abbildung, k¨ onnen die Einzelfasern willk¨ urlich u ¨ber den Querschnitt des Lichtkabels verteilt sein. Der lichtf¨ uhrende Faserkern muss jedoch von einem Fasermantel kleinerer Brechzahl umh¨ ullt sein, um das Licht in der jeweiligen Einzelfaser f¨ uhren zu k¨ onnen. Bei der Bild¨ ubertragung m¨ ussen nat¨ urlich die Bildkoordinaten am Ein- und Ausgang entsprechend der Abbildungsvorschrift verkn¨ upft sein, weshalb man die Fasern an den Enden verschweißt. Im Faserendoskop, das z.B. in der Medizin bei Magenspiegelungen eingesetzt wird, hat man zwei konzentrische Faserb¨ undel, das ¨ außere dient zur Beleuchtung, auf das innere wird das zu untersuchende Objekt mit einem Objektiv abgebildet und am anderen Ende mit einem Okular betrachtet (Interessanterweise fungieren auch die St¨ abchen und Zapfen des menschlichen Auges als Lichtleiter). ¨ Bei 1:1-Ubertragung spricht man von Faserplatten (mit u ¨ber 106 Fasern), durch Ver¨ anderung des Querschnitts der Einzelfasern zu Faserkegeln (taper) lassen sich Bilder vergr¨ oßern oder verkleinern. Anwendungen sind die Ankopplung (z.B an CCDs) und Betrachtung von Szintillations-Bildschirmen (in der R¨ontgendiagnostik) oder der Ausgleich der Bildfeldw¨olbung von Kathodenstrahlr¨ohren zur direkten Kontaktbelichtung von Filmen. Nach dem Abtasttheorem ist der kleinste Objektabstand ∆x, der mit einem Faserb¨ undel aufgel¨ ost werden kann, gleich dem doppelten Faserdurchmesser 2d. Damit erh¨ alt man dann f¨ ur das Auﬂ¨osungsverm¨ogen A(= 1/∆ x = 1/(2d)) eines Faserb¨ undels die reduzierte Gr¨ oßengleichung: Auﬂ¨osungsverm¨ogen Faserb¨ undel

A 500 = LP/mm d/µm

(24.1)

Mit Fasern des Durchmessers d = 5 mm l¨asst sich dann also ein Auﬂ¨osungsverm¨ ogen von 100 LP/mm (LP = Linienpaare) erzielen. Die Faseroptik hat die Nachrichten¨ ubertragung revolutioniert und dort ihre wichtigste Anwendung gefunden. Die hier verwendeten Fasern bezeichnet man im Unterschied zu den Lichtleitern der Beleuchtungstechnik als Lichtwellenleiter (LWL).

¨ 24.2 Optische Ubertragungssysteme ¨ Die Vorteile der optischen Ubertragung von Sprach- und Videosignalen sowie sonstiger Daten haben wesentlich zu der schnellen Entwicklung der Faseroptik

¨ 24.2 Optische Ubertragungssysteme

695

beigetragen. Gegen¨ uber den konventionellen Zweidraht-, Koaxial- oder Hohllei¨ tersystemen, die zur Ubertragung von elektromagnetischen Wellen bis in den Mi¨ krowellenbereich einsetzbar sind, l¨ asst sich eine Steigerung der Ubertragungsrate ¨ um viele Gr¨ oßenordnungen erzielen. Dies erkl¨art sich daraus, dass die Ubertragungskapazit¨ at einer Tr¨ agerwelle direkt mit der nutzbaren Frequenzbandbreite anw¨ achst. Zus¨ atzlich haben LWL gegen¨ uber metallischen Leitungssystemen den Vorteil des geringeren Gewichts und der kleineren D¨ampfung, der Unempﬁndlichkeit gegen elektromagnetische St¨ orungen, des Wegfalls der elektrischen Isolierung ¨ und des geringen Ubersprechens, was eine sichere Daten¨ ubertragung gew¨ahrleistet.

¨ Abb. 24.1. Prinzip einer faseroptischen Ubertragungsstrecke mit Signaleingang und -ausgang, Signalwandlern, LWL sowie Sendern (Leuchtdiode LED oder Laserdiode LD) und Empf¨ angern ((pin-)Fotodiode oder Lawinenfotodiode (APD))

¨ In Abb. 24.1 ist ein Uberblick u ¨ber die wesentlichen Komponenten und Pro¨ zesse eines faseroptischen Ubertragungssystems wiedergegeben. An der Eingangsseite wird das im Allgemeinen elektrische Eingangssignal in ein optisches umgeformt, das die Faser als optischen Wellenleiter mit m¨oglichst geringer Verzerrung und D¨ ampfung – meist mit einer Verst¨arkung und Formung der Signalwelle u auft und am Ausgang wieder in elektrische Signale ¨ ber Regeneratoren – durchl¨ u uhrt wird. Die Nachrichtenquelle kann akustische oder visuelle Analogsigna¨ berf¨ le aussenden, die u ¨ber Mikrofon oder Videokamera in elektrische Analogsignale transformiert werden, oder – wie bei einem Rechner – direkt digitale Pulse aus-

696

24 Faseroptik

senden. Analog- und Digitaldaten lassen sich immer ineinander umwandeln, so dass – unabh¨ angig von der Natur des Eingangssignals – reine Analog- oder Digital¨ ubertragung m¨ oglich ist. Bei der konventionellen Nachrichten¨ ubertragung mit Radio- und Mikrowellen wird bekanntlich eine monofrequente Tr¨agerwelle beliebig großer Koh¨arenzl¨ange verwendet, bei der – entsprechend der Nachricht – Amplitude, Phase oder Frequenz der Feldst¨arke mit Hilfe eines Modulators moduliert wird. Diese sogenannten koh¨arenten Verfahren lassen sich in der optischen Nachrichten¨ ubertragung nicht ohne weiteres anwenden, da nur Sender endlicher Koh¨arenzl¨ange und tr¨age quadratische Detektoren (Registrierung der mittleren Intensit¨at) zur Verf¨ ugung stehen, die der Lichtfrequenz von ca. 500 THz nicht folgen k¨onnen. Trotzdem ist es gelungen, die Verfahren der Hochfrequenztechnik auch f¨ ur Lichtwellenleiter zu realisieren. Bei Lichtwellenleitern verwendet man meist bin¨are Modulation der Feldst¨arke E (koh¨ arente Verfahren) oder der Intensit¨at I (s. Abb. 24.2), d.h. man variiert z. B. die Frequenz zwischen zwei Werten oder ebenso die Amplitude (OOK = On/Oﬀ-Keying). Bei den koh¨ arenten Verfahren lassen sich die bekannten Nachweisverfahren der elektrischen Nachrichtentechnik (z.B. Homodyn- und Heterodyn-Detektion) mit verbessertem Signal-Rausch-Abstand verwenden. Die genaue Analyse zeigt, dass f¨ ur eine Fehlerrate von 10−9 bei der PSK-Modulation (s. Abb. 24.2 d) mit 9 Photonen pro Bit die geringste Signalenergie erforderlich ist. Ein weiterer Fortschritt wurde mit dem Erbium-dotierten Faserverst¨arker erzielt, bei dem die Signalwelle mit Hilfe der optisch gepumpten Erbiumionen direkt optisch verst¨ arkt werden kann. Damit k¨onnen die elektrischen Regeneratoren entfallen, in denen bisher das optische Signal in ein elektrisches umgewandelt, verst¨ arkt und wieder in ein optisches Signal umgesetzt wurde. Hiermit ließ sich das Signal-Rausch-Verh¨ altnis – insbesondere auch bei (inkoh¨arenter) Intensit¨atsmodulation – so stark verbessern, dass auf die technisch aufw¨andigen koh¨arenten Verfahren verzichtet werden kann. Wir beschr¨ anken uns deshalb auf die Diskussion der bin¨aren Intensit¨atsmodulation (s. Abb. 24.2 b), d.h. wir untersuchen die Ausbreitung von Lichtpulsen ¨ der Dauer T auf Fasern unterschiedlicher Bauart, die Teil eines Ubertragungssystems (¨ ahnlich Abb. 24.1) sind. Die Bin¨ arpulse entstammen dem Sender, der ¨ aus einer Leuchtdiode (LED) (bei niedrigen Ubertragungsraten) oder meist aus einer Laserdiode besteht; beide sind durch ihre mittlere Wellenl¨ange λ und Spektralbreite ∆λ charakterisiert, wobei die Laserdiode wegen ihrer kleineren Bandbreite vorzuziehen ist. Der Lichtpuls, hier als Rechteckpuls dargestellt, erf¨ahrt bei der Ausbreitung eine D¨ampfung und Verzerrung (Verbreiterung). Die Faser kann eine Monomodefaser (mit kleinem Kerndurchmesser d von 4 bis 8 µm) oder Multimodefaser (d ≈ 50 µm) sein. Bei sehr großen Distanzen muss ein Regenerator (Repeater) eingef¨ ugt werden, der das Signal verst¨arkt und neu formt. Als Empf¨ anger dient eine Fotodiode (pin-Diode oder Lawinendiode), die die optischen Signale in elektrische umformt. Diese passieren dann einen Signalprozessor

¨ 24.2 Optische Ubertragungssysteme

697

Abb. 24.2. Modulation einer Tr¨ agerwelle durch eine Signalwelle. a) Analoge Frequenzmodulation, die Frequenz des Tr¨ agersignals ist entsprechend der Signalh¨ ohe moduliert. b) bis d) Bin¨ are Modulation: b) der Intensit¨ at (OOK = On/Oﬀ-Keying), c) der Frequenz von Feld E und Intensit¨ at I (FSK = Frequency Shift-Keying) und d) der Phase von Feld und Intensit¨ at (PSK)

698

24 Faseroptik

(Verst¨ arkung, Filterung, DA-Wandlung . . .) und werden schließlich u ¨ ber einen Lautsprecher oder ein Videoger¨ at wiedergegeben oder in einem Rechner weiterverarbeitet.

¨ 24.3 Bandbreite und Ubertragungsrate Je komplizierter das zu u ¨bertragende Signal ist, desto gr¨oßer ist der zur Charakterisierung erforderliche Frequenzbereich. Eine Stereoanlage (Frequenzbereich 0 bis ca. 20 kHz) kann ein breitbandiges Tonsignal (Musik) wesentlich originalgetreuer wiedergeben als ein Telefonsystem mit dem stark eingeschr¨ankten Bereich von 0,3 bis 3,4 kHz. Im UKW-Bereich ist die obere Grenzfrequenz auf 15 kHz ¨ festgelegt, zu deren Ubertragung man (aufgrund der Frequenzmodulation) Kanalbandbreiten bis zu 300 kHz ben¨ otigt. Beim Analog-Fernsehen betr¨agt die Kanalbreite f¨ ur Bild und Ton 7 MHz (VHF) bzw. 8 MHz (UHF). Im VHF-Band k¨onnten dann mit einem Tr¨ ager der Frequenz 210 MHz theoretisch 210/7 = 30 Fernsehkan¨ ale u ¨ bertragen werden, u ¨ ber eine Lichtwelle von 3·108 MHz (λ ≈ 1 µm) 7 w¨ aren es hingegen 4 · 10 oder 40.000.000! Durch Verwendung von Digitalverfahren (Digital-Radio und -Fernsehen) und Datenkompression lassen sich die o.g. Kanalbreiten wesentlich reduzieren. Bei der bin¨aren Pulsmodulation l¨asst sich ¨ eine hohe Ubertragungsoder Bitrate durch kleine Impulsbreite und geringen Impulsabstand realisieren. Um ein Analogsignal zu digitalisieren, muss man es in bestimmten Zeitabst¨ anden ∆t abtasten und anschließend die Abtastwerte quantisieren. Nach dem Abtasttheorem (s. Kap. 25) muss die minimale Abtastrate fa ≡ 1/∆t = 2fg sein, also gleich dem Doppelten der Maximal- oder Grenzfrequenz fg . Soll mit 8 bit – also 28 = 256 Stufen – quantisiert werden, so muss ¨ man zur Ubertragung eines Fernsehkanals (der Bandbreite 8 MHz) 128 Mbit/s (= 2 · 8 MHz · 8 bit) u ber die Glasfaser schicken. Die maximal erzielbaren Bitraten ¨ sind durch die Arbeitsgeschwindigkeit der Modulatoren und durch Pulsverzerrungen in der Faser begrenzt.

24.4 Lichtausbreitung in Fasern Wir wollen nun untersuchen, wie sich Licht in einem Lichtwellenleiter ausbreitet und beschr¨ anken uns – wie erw¨ ahnt – im Wesentlichen auf die geometrische Optik. Außerdem werden nur meridionale Strahlen betrachtet, die in einer Ebene durch die Mittelachse der Faser verlaufen1 . Ein Ausschnitt einer geraden Faser ist in Abb. 24.3 a wiedergegeben. Die eigentliche Faser, der Faserkern, hat die Kernbrechzahl nK und ist von einem Medium (Fasermantel) geringerer Brechzahl 1

Schr¨ age Strahlen (skew rays) verlaufen auf Schraubenbahnen, die in Stufenindexfasern st¨ uckweise gerade und in GRIN-Fasern kreis- oder ellipsenf¨ ormig sind.

24.4 Lichtausbreitung in Fasern

699

Abb. 24.3. a) Ausbreitung von Lichtstrahlen in einer optischen Faser. Strahl 2 deﬁniert den maximalen Einfallswinkel (Akzeptanzwinkel) u auf die Stirnﬂ¨ ache der Faser, bei dem gerade noch Totalreﬂexion am Rand der Faser auftritt. b) Ausbreitung eines typischen Lichtstrahls mit ε < u durch die Faser

nM umgeben. Ein- und Austritts¨ oﬀnung beﬁnden sich im Allgemeinen in Luft (n0 ). Strahl 1 wird bei A beim Eintritt in die Faser gebrochen und triﬀt bei B auf die Kern-Mantel-Grenzﬂ¨ ache, wo er teilweise (unter Brechung) austritt bzw. reﬂektiert wird. F¨ ur den reﬂektierten (inneren Strahl) wiederholt sich der Vorgang an den Punkten C und D, der Strahl verliert an Intensit¨at und kann vom Kern nicht gef¨ uhrt werden, da bei B und C der Einfallswinkel ε1 kleiner als der ur die Kern-Mantel-Grenzﬂ¨ache Grenzwinkel εg der Totalreﬂexion (s. (20.38)) f¨ ist, also: ε1 < εg = arcsin

nM nK

(24.2)

Strahl 2 soll unter einem Winkel u gerade so einfallen, dass bei E der Einfallswinkel ε2 gleich dem Grenzwinkel εg ist und der austretende Strahl parallel zur Grenzﬂ¨ ache verl¨ auft. Dann ist f¨ ur Strahlen, die mit Winkeln ε < u auf die Stirnﬂ¨ ache treﬀen, immer Totalreﬂexion gegeben und sie k¨onnen sich ausschließlich (ohne Reﬂexionsverluste) im Faserkern ausbreiten, erfahren aber eine D¨ampfung

700

24 Faseroptik

durch Absorption und Streuung. Der Winkel u wird als Akzeptanzwinkel bezeich¨ net, es ist der halbe Oﬀnungswinkel des einfallenden Strahlenb¨ undels, das sich in ¨ der Faser ausbreiten kann. Um den Zusammenhang zwischen Oﬀnungswinkel 2u und den Brechzahlen herzuleiten, wird der Verlauf von Strahl 2 verfolgt. Beim Eintritt in die Faser gilt bei A: n0 sin u = nK sin u

(24.3)

und bei E: sin εg =

nM nK

Mit u = 90◦ − εg , – also sin u = cos εg – und cos εg = dann f¨ ur die Faser die (s. (16.34)) numerische Apertur

1 − sin2 εg erh¨alt man

AN ≡ n0 sin u = nK cos εg 4 = n2K − n2M ≈ nK 2∆n

(24.4)

Hierbei wurde n2K − n2M ≈ (nK − nM )2nK gesetzt, u ist der Akzeptanzwinkel und ∆n die zur Kennzeichnung der Faser wichtige relative Brechzahldiﬀerenz

∆n =

nK − nM nK

(24.5)

zwischen Kern und Mantel. Bei großen numerischen Aperturen und damit ¨ Brechzahldiﬀerenzen ergeben sich große Oﬀnungswinkel der einfallenden Strahlen und damit eine Erh¨ ohung des eingekoppelten Lichtanteils. Nach Tabelle 24.1 be¨ tr¨ agt der Oﬀnungswinkel bei den gebr¨ auchlichsten Lichtwellenleitern aus Quarzglas bei nK = 1,48 und nM = 1,46 trotz der geringen Brechzahldiﬀerenz noch ca. 30◦ . Nach Abb. 24.3 b ist f¨ ur Strahlen, die unter dem Winkel ε auf die Stirnﬂ¨ache treﬀen, der Abstand der Auftreﬀpunkte la zwischen zwei Reﬂexionen: la = d cot ε

(24.6)

wobei d der Kerndurchmesser und ε der Brechungswinkel ist. Mit cot ε = √ 2 1−sin ε und nK sin ε = n0 sin ε l¨ asst sich dies auf die Form bringen: sin ε + 2 nK Auftreﬀpunkte im Abstand −1 (24.7) la = d n0 sin ε 4

mit nK + nM ≈ 2 nK .

24.4 Lichtausbreitung in Fasern

701

Tabelle 24.1. Charakteristische Daten optischer Fasern Kern/Mantel

n0

nK

nM

∆n

εg /Grad u/Grad

AN

1/la in m−1

Glas/Luft

1

1,5

1

0,33

41,8

90,0

1

8940

Polymer/Polymer

1

1,49

1,39

0,067

68,9

32,5

0,54

3870

Glas/Polymer

1

1,46

1,40

0,041

73,5

24,5

0,41

2960

(Quarz)-Glas/ 1 1,48 1,46 0,014 80,6 14,0 0,24 1660 Glas Hinweis: 1/la , die Zahl der Reﬂexion pro m, wurde f¨ ur den Faserdurchmesser M 100 µm bei maximalem Einfallswinkel ε = u berechnet, ∆n = nKn−n , M AN = numerische Apertur.

F¨ ur die o.g. Quarzglasfaser (mit nK = 1,48, nM = 1,46) gilt bei 100 µm Durchmesser la ≈ 600 µm, damit treten pro Meter Faserl¨ange etwa 1/la = 1650 Reﬂexionen auf (s. Tab. 24.1). Ihre Zahl steigt mit der Brechzahldiﬀerenz weiter an. Bei so vielen Reﬂexionen muss dann aber die Bedingung f¨ ur Totalreﬂexion entlang der ganzen Faser exakt eingehalten werden; Kratzer, Rauigkeit und Verunreinigungen der Grenzﬂ¨ ache sowie starke Biegung der Faser erh¨ohen die Verluste. W¨ urde bei jeder Reﬂexion nur 0,1% des Lichtes verloren gehen, so w¨ urde dies die ˆ − 7 dB Abnahme) Intensit¨ at auf 1 m Faserl¨ ange bereits auf (0,999)1650 ≈ 1/5 (= verringern. Auch deshalb muss die optische Qualit¨at der reﬂektierenden Grenzﬂ¨ ache durch die Umkleidung der Faser mit einem Mantel kleinerer Brechzahl sichergestellt werden. Da es sich bei der Totalreﬂexion um einen Wellenvorgang handelt, tritt in dem optisch d¨ unneren Medium eine querged¨ampfte evaneszente Welle (s. Kap. 20.5) auf, so dass Wellen nicht nur bei direkter Ber¨ uhrung der Kerne, sondern auch bei nicht ausreichender Manteldicke von einer Faser in die andere tunneln k¨ onnen. Das Material des Mantels muss dem des Kerns, insbesondere auch in Bezug auf den thermischen Ausdehnungskoeﬃzienten, gut angepasst sein. Bei Quarzglas kommt daher nur ein Mantel aus demselben Material in Frage. Der Unterschied der Brechzahlen wird durch Dotierung des Kerns mit GeO2 (Brechzahlerh¨ ohung) oder (seltener) des Mantels, z.B. mit B2 O3 (Brechzahlabnahme), erzeugt. ¨ Die obigen Uberlegungen bezogen sich auf Stufenindexfasern, bei denen der Kern eine ortsunabh¨ angige Brechzahl nK aufweist, die sich nur an der KernMantel-Grenzﬂ¨ ache stufenartig ¨ andert. Bei Gradientenindexfasern nimmt die Kernbrechzahl in radialer Richtung kontinuierlich ab.

702

24 Faseroptik

24.5 Erlaubte Moden ¨ Nicht jeder Strahl, der innerhalb des erlaubten Oﬀnungskegels auf die Faser triﬀt, ist auch ausbreitungsf¨ ahig; nur bestimmte Strahlungsrichtungen oder Moden sind erlaubt. Zum Verst¨ andnis betrachten wir in Abb. 24.4 einen symmeunne trischen planaren oder Schicht-Wellenleiter 5 , eine unendlich ausgedehnte d¨ Platte (statt eines Zylinders) der Dicke d, die oben und unten von einem Mantel gleicher (symmetrisch!) Brechzahl begrenzt wird. Wir vergleichen in Abb. 24.4 eine schr¨ ag von unten einfallende ebene Welle mit einer Welle im Leiter. Bei einer freien Welle stimmen die Phasen aller Punkte der Wellenfront C A u ¨ berein. Dementsprechend k¨ onnen sich auch im Leiter nur Wellen ausbreiten, bei denen

Abb. 24.4. Ausschnitt aus einem Schichtwellenleiter. Strahlen werden an der KernMantel-Grenzﬂ¨ ache mehrfach reﬂektiert. Erlaubte Moden entstehen bei konstruktiver Interferenz der Teilstrahlen

die Phasen auf der Wellenfront A C u ¨bereinstimmen. Da sich diese Welle aber aus einfallenden und reﬂektierten Wellen zusammensetzt, wird diese Bedingung nur dann erf¨ ullt, wenn sich die Phasen eines Strahles, der bei A einf¨allt und eines bei C – nach zweimaliger Reﬂexion – in die gleiche Richtung laufenden Strahles um ganzzahlige Vielfache von 2π unterscheiden. Die Untersuchung weiterer Teilstrahlen zeigt, dass dann alle Punkte der Wellenfront gleichphasig schwingen. Wir hatten gesehen (s. Kap. 20.3), dass bei der Totalreﬂexion die reﬂektierte Welle um eine vom Einfallswinkel abh¨ angige Phasenverschiebung Φr voreilt. Der Phasenunterschied der Teilstrahlen in C und A folgt aus der Diﬀerenz ∆ der ur konstruktive optischen Wege und 2Φr ; hiermit erhalten wir als Bedingung f¨ Interferenz 5

Auch als Filmwellenleiter bezeichnet.

24.5 Erlaubte Moden

703

2π (24.8) ∆ − 2Φr = m 2π λ mit der Modenzahl m = 0, 1, 2 . . . und der Vakuumwellenl¨ange λ. Mit Hilfe von ur den Gangunterschied Abb. 24.4 und Dreieck A C A folgt f¨ ∆ = nK (AB + BC) = nK (A B + BC) = 2nK d cos εK so dass die erlaubten Einfallswinkel εKm auf die Kern–Mantel-Fl¨ache und zugeh¨ origen Modenzahlen m durch die transzendente 2nK d cos εKm Φr =m+ λ π

Eigenwertgleichung

(24.9)

bestimmt sind. Bei Multimodefasern (mit m 1) ist auf der rechten Seite Φr /π mit dem Maximalwert 1 gegen¨ uber m vernachl¨assigbar; damit entsteht eine einfache Zuordnung zwischen Modenzahl m und zugeh¨origem Einfallswinkel εKm : 2nK d cos εKm (24.10) λ Gleichung (24.10) hat eine einfache anschauliche Interpretation: λ nK cos εK ≡ λy ist die der y-Komponente ky = k cos εK des Wellenvektors (s. Abb. 24.4) entsprechende Wellenl¨ ange in y-Richtung. Gleichung (24.10) l¨asst sich dann in der Form schreiben: m≈

λym (24.11) 2 Erlaubte Moden erf¨ ullen damit gerade die Bedingung f¨ ur stehende Wellen in y-Richtung. In Schichtwellenleitern liegt damit der in Kap. 9.6 diskutierte Fall der Interferenz schr¨ aglaufender Wellen vor. In z-Richtung bilden sich laufende Wellen aus, in y-Richtung hingegen stehende Wellen, deren Wellenl¨ange durch Leiterdicke und Modenzahl bestimmt wird. Nach (24.10) entsprechen niedrigen Modenzahlen große Einfallswinkel εK → ahernd) parallel zur Achse ausbreiten. Die maxi90◦ , also Strahlen, die sich (ann¨ male Ordnungszahl mmax tritt unter dem kleinstm¨oglichen Einfallswinkel, dem Grenzwinkel der Totalreﬂexion εg , auf. Sie ist nach (24.10) und (24.4): d=m

mmax ≈

2nK d cos εg 2d = AN λ λ

(24.12)

Bei Ber¨ ucksichtigung der niedrigsten Mode mit m = 0 erh¨alt man f¨ ur die Gesamtzahl N1 der Moden 2d 2d n2K − n2M + 1 (24.13) N1 = mmax + 1 ≈ AN + 1 = λ λ

704

24 Faseroptik

Da eine Wellenausbreitung unter zwei unabh¨angigen zueinander senkrechten Polarisationen erfolgen kann, ist die Modenzahl nach (24.13) zu verdoppeln. Bei sehr d¨ unnen Fasern und/oder großen Wellenl¨angen ist nur eine Mode ausbreitungsf¨ ahig, man erh¨ alt eine Monomodefaser mit m = 0. Eine Faser ist einmodig, ur die 2. Mode (m = 1) kleiner als der Grenzwinsolange der Einfallswinkel εK1 f¨ ur diesen Fall die Phakel der Totalreﬂexion ist. Im Grenzfall gilt εK1 = εg . Da f¨ senverschiebung bei Reﬂexion gerade verschwindet, d.h. Φr = 0 (s. Abb. 20.6), gilt nach (24.9) mit (24.4) die n2K − n2M 2d 2n d K Monomoden-Bedingung cos εg = <1 (24.14) λ λ Ausgehend hiervon f¨ uhrt man zur Kennzeichnung eines Wellenleiters den n2K − n2M πd V-Parameter (24.15) = AN V = πd λ λ ein. Nach (24.14) kann man also sicher sein, dass f¨ ur V < π/2 nur die erste Mode ¨ auftreten kann und ein Monomode-Schichtwellenleiter vorliegt. Beim Ubergang zu einer zylindrischen Faser vom Durchmesser d wird der entsprechende V - oder Faserparameter ebenfalls durch (24.15) deﬁniert. Die Bedingung f¨ ur die Existenz der Grundmode ergibt sich hier als erste Nullstelle der Bessel-Funktion 0. Ordur den Faserparameter der nung J0 (V ) bei V01 = 2,405. Damit erh¨alt man f¨ Grundmode die n2K − n2M πd Einwelligkeitsgrenze V0 = AN = πd < V01 = 2,4 (24.16) λ λ Die Erf¨ ullung dieser Bedingung reicht f¨ ur die praktische Realisierung einer Monomodefaser nicht aus, da sich die evaneszente Welle bei kleinen V -Werten (also z.B. sehr d¨ unne Faser) zu weit in den Mantel ausbreitet und die Welle dann nicht mehr ausreichend vom Kern gef¨ uhrt wird. Man kommt zu der Ausbreitungsbedinur eine zylindrische Monomodefaser insgesamt 1 < V0 < 2,4 gung V0 ≥ 1, so dass f¨ erf¨ ullt sein muss. Die Eigenschaften von LWL mit kleinen V -Parametern werden entscheidend von den evaneszenten Wellen bestimmt, die mit dem hier diskutierten Strahlenmodell, das die Welleneigenschaften nur u ¨ber die Interferenzbedingung (24.8) erfasst, nicht genau beschrieben werden. Abb. 24.5 a zeigt eine Momentaufnahme des Verlaufs des Feldst¨ arkequadrats E 2 – im Wesentlichen der zeitabh¨angigen Intensit¨ at – f¨ ur die 3. Mode (mit m = 2) eines Schichtwellenleiters mit dem Parameterwert V = 9; man sieht, dass sich die evaneszenten Wellen bis in den Mantel hinein erstrecken, also kein abrupter Abfall der Strahlintensit¨at an der

24.6 D¨ ampfung

705

Grenzﬂ¨ ache auftritt. Dies wird in Abb. 24.5 b besonders deutlich, wo die Eˆ 2 – Verteilung f¨ ur Monomodeleiter mit V = 1 und V = π/2 dargestellt ist. Die Schicht mit V = 1 transportiert die Lichtenergie u ¨berwiegend im Mantel, und selbst bei dem Grenzwert V = π/2 ist nur etwa 2/3 der Energie im Kern konzentriert. Wir k¨ onnen mithin erwarten, dass der Fasermantel die Lichtausbreitung wesentlich beeinﬂusst. Mit dem V -Parameter kann die Modenzahl N der Zylinderfaser angegeben werden als 6 : 4 Modenzahl der Zylinderfaser (24.17) N = 2V2 π Beim Vergleich mit (24.13) sieht man, dass hier im Wesentlichen N = N12 gilt, die Quadrierung ber¨ ucksichtigt die Zweidimensionalit¨at, der ge¨anderte Zahlenfaktor die Zylindersymmetrie. Beispiel 24.1 Stufenindexfaser Untersuchen Sie Stufenindexfasern mit der Kernbrechzahl nK = 1,46 und ∆n1 = 0,01 und ∆n2 = ∆n1 /4. Berechnen Sie numerische Apertur, maximalen Akzeptanzwinkel und Brechzahl des Mantels. Ermitteln Sie die zugeh¨ origen Kerndurchmesser von Monomodefasern, die bei λ = 1,3 µm arbeiten. Geben Sie weiterhin die Modenzahlen von Multimodefasern mit 100 µm Kern-Durchmesser an. Welche Modenzahl w¨ urde sich f¨ ur eine 100 µm-Faser mit dem Mantel“ Luft ergeben? ” L¨ osung √ √ Nach (24.4) ist AN 1 = nK 2∆n1 = 1,46 0,02 = 0,206 = 2AN 2 , damit wird M folgt f¨ ur u1 = arcsin AN 1 = 11,9◦ und u2 ≈ u1 /2 = 5,93◦ . Aus ∆n = nKn−n K die Mantelbrechzahl nM = nK (1 − ∆n ) und somit nM 1 = 1,445 und ahlen wir einen V -Parameter von V0 = 2, so gilt nM 2 = 1,456. W¨ 2λ0 d1 = πAN = 4 µm ≈ d22 , also d2 = 8 µm. Zum Vergleich: Die viel verwendete LEAF-Faser von Corning hat AN = 0,14. F¨ ur eine Faser mit 100 µm Durchmesser wird V1 = π · 100 µm · AN 1 /1,3 µm ≈ 50 ≈ 2V2 und die Modenzahl ur Luft ist AN L = 1. Hieraus folgt N1 = π42 V12 ≈ 1000 sowie N2 ≈ 250. F¨ VL = 242 und NL = 23 700.

24.6 D¨ ampfung Die in der realen Faser gef¨ uhrte Welle wird stets ged¨ampft; hierbei unterscheidet man zwischen extrinsischen und intrinsischen Verlusten. Extrinsische D¨ampfungen sind bedingt durch Inhomogenit¨ aten der Faser, wie z.B. Schwankung der 6

Saleh und Teich: Fundamentals of Photonics.

706

24 Faseroptik

Abb. 24.5. Verlauf von E 2 , des Quadrats der Feldst¨ arke, in einem Schichtwellenleiter mit der Dicke d = 10 µm und der Kernbrechzahl nK = 1,45 bei unterschiedlichen V Parametern (24.15). V kann u ange oder Mantelbrechzahl variiert werden. ¨ber die Wellenl¨ a) E 2 f¨ ur die 3. Mode (mit m = 2) mit 3 Wellenb¨ auchen bei V = 9. Im vorliegenden ˆ 2 von Fall sind alle Moden mit m ≤ 4 ausbreitungsf¨ ahig. b) Amplitudenquadrat E Monomodefasern mit V1 = π/2 und V2 = 1 (f¨ ur ∆n = konst. ist dann λ2 = 2λ1 · π/2). Die transportierte Energie (∼Fl¨ ache unter den Kurven) ist in beiden F¨ allen gleich. Die Mode mit V2 = 1 breitet sich u berwiegend im Fasermantel aus ¨

24.6 D¨ ampfung

707

Materialzusammensetzung und damit der Brechzahl, Fehler in der Kern-MantelGrenzﬂ¨ ache, weiterhin durch Geometrie-Eﬀekte wie Mikrokr¨ ummungen oder starke Biegung der Faser, die Leckwellen und Modenkonversion (s. Abb. 24.6) hervorrufen.7 Weitere extrinsische Verluste treten bei der Ein- und Auskopplung sowie der Verbindung von Fasern auf. Der Einkopplungsgrad wird durch die numerische Apertur der Faser und die Strahlungscharakteristik der Lichtquelle (einschl. Kollektivlinse) begrenzt, weiterhin durch teilweise Reﬂexion an Grenzﬂ¨ achen, was man als Fresnel-Verluste bezeichnet.

Abb. 24.6. Strahlungsverluste in einer Faser aufgrund a) einer starken Biegung der Faser und b) von Mikrodefekten an der Oberﬂ¨ ache. Verluste treten auf, wenn die Bedingung f¨ ur Totalreﬂexion verletzt ist. Der Faserdefekt bei b bewirkt außerdem Modenkopplung bzw. Modenkonversion. Im vorliegenden Fall wird eine Mode niedrigerer Ordnung in eine solche h¨ oherer Ordnung umgewandelt, die hier nicht ausbreitungsf¨ ahig ist

Intrinsische Verluste beruhen auf der Extinktion aufgrund von Absorption und Streuung. Die Abnahme der Lichtleistung durch Extinktion l¨asst sich (s. (20.65)) mit dem Extinktionsgesetz

P = P0 e−Kl

(24.18)

beschreiben. Hierbei sind P0 und P die bei z = 0 eintretende und bei z = l austretende Lichtleistung und K die Extinktionskonstante (mit [K] = m−1 , bzw. uhrt man meist den Verlust- oder neper/m oder km−1 ). In der Faseroptik f¨ P0 10 D¨ampfungskoeﬃzient lg (24.19) α≡ l P ein. Als Einheit w¨ ahlt man in der Regel [α] = dB/km, bezieht also den Verlust auf 1 km Faserl¨ ange. Bei einer Faser mit α = 5 dB/km verbleiben dann bei ei7

Faustformel: Biegeradien gr¨ oßer 10 cm rufen bei LWL keine zus¨ atzliche D¨ ampfung hervor.

708

24 Faseroptik

Abb. 24.7. D¨ ampfungskoeﬃzient α einer Ge-dotierten Quarzglasfaser als Funktion der Wellenl¨ ange mit den Beitr¨ agen: elektronische, Schwingungs- und OH-Absorption sowie Rayleigh-Streuung

ner L¨ ange l = 1 km nur noch PP0 = 10−α l/10 = 10−0,5 = 0,32, also 32% des einfallenden Lichtes. Die Absorption im Kernmaterial wird bei den hohen Lichtfrequenzen des sichtbaren und UV-Bereichs durch elektronische Absorption bei Anregung der Elektronenh¨ ulle verursacht. Im Infrarot erfolgt molekulare Absorption durch Molek¨ ulschwingungen. Beide Absorptionsmechanismen liefern im sichtbaren und nahen Infrarot-Bereich nur geringe Beitr¨ age, hier u ¨berwiegt Absorption durch ¨ Verunreinigungen (3d-Elektronen der Ubergangsmetalle, z.B. Fe, Cr, V), vor allem jedoch aufgrund von Hydroxyl-Ionen, deren Grundschwingung bei einer Wellenl¨ ange von 2,73 µm und erste und zweite Oberschwingung bei 1,395 und 0,95 µm liegen. W¨ ahrend die Absorption durch Verunreinigungen bei hochreinen Fasern praktisch vollst¨ andig eliminiert ist, ist die Rayleigh-Streuung mit ihangigkeit (s. Kap. 15.3) bei Gl¨asern unvermeidbar. Gl¨aser stellen rer 1/λ4 -Abh¨ unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten dar und weisen damit deren charakteristische Dichteund damit Brechzahlschwankungen auf, die bei Quarzglas zu einer intrinsischen Streuung mit einer Extinktionskonstante von Rayleigh-Streuung

0,63 αR = 4 dB/km (λ/µm)

(24.20)

24.6 D¨ ampfung

709

Abb. 24.8. Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit des D¨ ampfungskoeﬃzienten α von a) Quarzglasfasern und b) Polymerfasern

¨ f¨ uhren. Bei λ = 0,89 µm (1. Ubertragungsfenster der faseroptischen Informations¨ ubertragung) w¨ urde sich dann f¨ ur eine hochreine Faser αR ≈ 1 dB/km ergeben. Bei 1,3 µm verschwindet die Materialdispersion (s. unten) von Quarzglas, außerdem liegt diese Wellenl¨ ange links von der des OH-Absorptionsmaximums bei 1,4 µm. Deshalb wurde und wird dieses sogenannte 2. Fenster f¨ ur die LWL¨ Ubertragung genutzt. Hier ist nach (24.20) αR = 0,22 dB/km, erreicht werden α-Werte von etwa 0,3 dB/km. Das absolute Minimum der Faserd¨ampfung tritt bei λ = 1,55 µm, dem 3. Fenster, auf. Dort liegt der Rayleigh-Beitrag bei 0,11 dB/km, die Infrarot-Absorption des Glases erh¨ oht den Wert auf etwa 0,16 dB/km, ein Wert der in der Praxis nahezu erzielt wird. Damit ist heute in der Fasertechnik

710

24 Faseroptik

ein Punkt erreicht, wo bei Verwendung von Quarzglas keine weitere Reduzierung der D¨ ampfung m¨ oglich ist. Polymere Lichtwellenleiter werden als Multimode- und Stufenindexfaser meist aus Plexiglas“ (PMMA = Polymethylmethacrylat) mit etwa 1 mm Durchmesser ” angefertigt, sie weisen mit etwa 20–100 dB/km (s. Abb. 24.8) wesentlich h¨ohere D¨ ampfungen als Glasfasern auf, sind aber billig herzustellen. Sie werden in lokalen Netzwerken (LAN) und in der Lichttechnik eingesetzt. Beispiel 24.2 D¨ ampfung Berechnen Sie die L¨ angen einer Quarzglasfaser mit 0,2 dB/km, einer Polymerfaser mit 100 dB/km und die Dicke einer Scheibe aus Fensterglas (α ≈ 5 · 104 dB/km), u ¨ ber die die Eingangsleistung auf 1% abnimmt. L¨ osung Wegen (24.18) und (24.19) gilt l = 10 lg PP0 = 20αdB , hieraus folgt α K = 0,23α und somit KQ = 0,046 km−1 , lQ = 100 km, KP = 23 km−1 , lP = 0,2 km und KF = 11,5 km−1 , lF = 4 · 10−4 km = 40 cm.

24.7 Signalverzerrung Moduliertes Licht verliert beim Durchgang durch eine Faser nicht nur Energie, sondern auch Information aufgrund der Pulsverbreiterung von Lichtpulsen durch verschiedene Mechanismen, die im Folgenden diskutiert werden. Es sind dies: Moden-, Material - und Wellenleiter-Dispersion. 24.7.1 Modendispersion der Stufenindexfaser Abbildung 24.9 zeigt schematisch die Einkopplung eines Rechteckpulses (eines digitalen Signals) in eine Faser. Der Ausgangspuls wird im Allgemeinen verzerrt (verbreitert) sein und einen Energieverlust durch D¨ampfung erfahren. Pulsverbreiterung durch Modendispersion wird dadurch verursacht, dass sich die einzelnen Moden unter verschiedenen Richtungen ausbreiten, somit unterschiedliche Wege durchlaufen und deshalb zu verschiedenen Zeitpunkten am Ausgang ankommen. Dort u ¨berlagern sich die den einzelnen Moden zugeordneten Teilimpulse zu einem verbreiterten Gesamtimpuls. Den k¨ urzesten Weg l von A nach B legt der Axialstrahl zur¨ uck, den l¨ angsten Weg l der unter dem Grenzwinkel εg auﬀallende Grenzstrahl der Totalreﬂexion. Entsprechend Abb. 24.9 ist: sin εg =

nM d l = = nK d l

24.7 Signalverzerrung

711

Abb. 24.9. Entstehung der Modendispersion. Ein Rechteckpuls weist aufgrund der unterschiedlichen Lichtwege verschiedene Laufzeiten auf. In der Abb. sind die Extremf¨ alle wiedergegeben: ein Strahl in Richtung der optischen Achse und ein zweiter Strahl, der sich gerade am Grenzwinkel der Totalreﬂexion ausbreitet. Pulse mit der Laufzeitdiﬀerenz ∆t sind um den Abstand cK ∆t voneinander entfernt

Die Laufzeitdiﬀerenz ∆t zwischen diesen beiden Strahlen ergibt die Pulsverbreiterung; sie ist bei vernachl¨ assigbarer Eingangspulsbreite gleich der Breite des Ausgangspulses: nK l l l − = −1 ∆t = tmax − tmin = cK cK cK n M M M Mit ∆n = nKn−n ≈ nKn−n und cK = c0 /nK erh¨alt man dann f¨ ur die l¨angenK M bezogene Laufzeitdiﬀerenz, die Modendispersion einer Stufenindexfaser :

nK − nM ∆t ∆n = = l cK c0

Modendispersion

(24.21)

Die Pulsbreite bestimmt den minimalen Pulsabstand, bei dem Einzelpulse noch ¨ unterschieden werden k¨ onnen und damit die Ubertragungsoder Bitrate B einer Faser. Wir fordern, dass der zeitliche Abstand ∆tp , in dem die Pulse aufeinander folgen, mindestens gleich der doppelten Pulsbreite ∆t sein soll; andernfalls k¨onnte eine 0 “ als fehlender Puls nicht erkannt werden. Da in der Zeit ∆tp gerade ein ” Puls, entsprechend ein Bit, u ¨ bertragen wird, ist somit die Bitrate B=

1 1 = ∆tp 2∆t

und das wichtige Bitraten-L¨angenprodukt

Bl =

l 2∆t

(24.22)

712

24 Faseroptik

F¨ ur eine Stufenindexfaser wird dies mit (24.21): Stufenindexfaser

Bl =

cK 2∆n

(24.23)

Die Modendispersion kann demnach durch eine kleine Brechzahldiﬀerenz reduziert werden, hierbei wird aber auch die numerische Apertur verkleinert. Bei der Monomodefaser tritt keine Modendispersion auf, (24.23) gilt also nicht. Niedrige Dispersion kann man auch mit mehrmodigen Gradientenindexfasern erzielen. Beispiel 24.3 Modendispersion Berechnen Sie Modendispersion und Bitraten-L¨angenprodukt einer Stufenindexfaser mit der Kernbrechzahl nK = 1,46 und nM = 1,45. Geben Sie weiterhin die maximalen Bitraten f¨ ur die Faserl¨angen l = 1 km und 100 km an. L¨ osung ns 1 1 km Mbit 8 Mit (24.21) ist ∆t l = 33 km und B l = 2(∆t/l) = 67 ns = 15 s ·km. Die Angabe des Produktes B l hat den Vorteil einer universellen Gr¨oße. Bei ¨ einer Faserl¨ ange von l = 1 km ließe sich demnach eine Ubertragungsrate von B = 15 Mbit/s erzielen, bei l = 100 km hingegen nur 150 kbit/s. ¨ Multimodefasern weisen in der Regel nur bei kleinen Ubertragungsl¨ angen 9 ¨ eine ausreichende Ubertragungskapazit¨at auf.

24.7.2 Gradientenindexfaser und deren Modendispersion Eine Gradientenindex - oder GRIN-Faser ( GRadientenINdex“) weist einen Kern ” mit kontinuierlich nach außen abnehmender Brechzahl auf. Abbildung 24.10 zeigt ein solches Brechzahlproﬁl und zum Vergleich das Proﬁl einer Stufenindexfaser. In Medien mit Brechzahlgradient laufen die Lichtstrahlen gekr¨ ummt (s. Abb. 24.10 c), so dass beispielsweise die auf- und untergehende Sonne um ca. 0,5◦ 8

9

¨ Bei der Ubertragung analoger Signale wird statt des Bitraten-L¨ angenprodukts das Bandbreiten-L¨ angenprodukt ∆f l (mit der Einheit Hz·km) angegeben. In unserer N¨ aherung ergeben sich dieselben Zahlenwerte, es ist also lediglich die Einheit bit/s durch Hz zu ersetzen. In der Regel sind die Pulsverbreiterungen oberhalb einer charakteristischen L¨ ange ¨ lc geringer als nach (24.21), da Modenkopplung auftritt. Uber kleine St¨ orungen der Kern-Mantel-Fl¨ ache und Brechzahlschwankungen tauschen benachbarte Moden Energie aus, sie werden dadurch verkoppelt und laufen weniger stark auseinander. Weiterhin werden die h¨ oheren Moden st¨ arker ged¨ uhrt √ampft als die niedrigen. Dies f¨ f¨ ur l > lc zu einer Abh¨ angigkeit der Form ∆t ∼ l.

24.7 Signalverzerrung

713

zu hoch erscheint. An jedem Punkt des Lichtweges gilt lokal das Brechungsgesetz und die Strahlen werden laufend in Richtung der gr¨oßeren Brechzahl abgelenkt. Dies – und nicht die Totalreﬂexion am Mantel – bewirkt die Strahlf¨ uhrung in einer GRIN-Faser. Der maximale Akzeptanzwinkel – und damit die numerische Apertur – ist f¨ ur einen im Zentrum des Kerns auftreﬀenden Strahl wieder durch (24.4) gegeben. Weiter außen einfallende Strahlen weisen kleinere numerische Aperturen auf. Der genaue Verlauf der gekr¨ ummten Strahlen wird durch das Brechzahlproﬁl n(r) bestimmt, das als Potenzproﬁl vorliegen soll: r g r g Brechzahlproﬁl n(r) = nK 1 − 2 ∆n ≈ n K 1 − ∆n (24.24) a a mit 0 ≤ r ≤ a. Hierbei ist nK = n(0) die Brechzahl auf der Faserachse und – wie in der Literatur u ¨ber Lichtwellenleiter u ¨ blich – a der Kernradius. Der Proﬁlexponent g beschreibt bei g = 1 ein Dreiecks-, bei g = 2 ein Parabelund f¨ ur g → ∞ ein Stufenproﬁl. Besonders wichtig ist das Parabelproﬁl, da hier – wie in Abb. 24.10 c gezeigt – f¨ ur alle Moden (Ausbreitungsrichtungen) ange) und Ausbreitungsgeschwindigkeit dieselbe Periodizit¨atsl¨ange Lp (Pitch-L¨ auftritt und die Modendispersion verschwindet. Die Strahlen der h¨oheren Moden legen zwar einen gr¨ oßeren Weg zur¨ uck, tun dies aber in Bereichen geringerer Brechzahl und damit gr¨ oßerer Geschwindigkeit, so dass sich die Einﬂ¨ usse von Wegl¨ ange und Geschwindigkeit ausgleichen. Dies ist analog dem Verhalten einer harmonischen Schwingung, bei der ja die Schwingungsdauer T (=L ˆ p ) unabh¨angig von der Schwingungsamplitude ist. Die genauere Analyse (die in (24.24) das dritte Glied der Reihenentwicklung ber¨ ucksichtigt) liefert f¨ ur die Modendispersion der GRIN-Faser mit quadratischem Brechzahlproﬁl: ∆n ∆t ∆2 ∆t (24.25) = n = · l 2cK 2 l Stufenf. und entsprechend das Bitraten-L¨angenprodukt der GRIN-Faser

Bl =

l cK = 2 2∆t ∆n

(24.26)

Gegen¨ uber der Stufenindexfaser tritt eine Verringerung der Dispersion um den Faktor ∆n /2(= 1/292 mit den Zahlenwerten aus Beispiel 3) auf und somit eine ¨ entsprechende Verbesserung der Ubertragungsrate um das 2/∆n - ≈ 300-fache. 24.7.3 Materialdispersion Auch bei Fehlen von Modendispersion – also in Monomodefasern – tritt eine Pulsverbreiterung auf, da (s. Abb. 24.11) Brechzahl und Geschwindigkeit wellenl¨ angenabh¨ angig sind. Jeder Lichtpuls weist ein Frequenzspektrum auf, das

714

24 Faseroptik

Abb. 24.10. a) Brechzahlproﬁl einer Gradientenindexfaser mit parabolischem Brechzahlverlauf im Kern. b) Proﬁl einer Stufenindexfaser, in der die Brechzahl des Kernes konstant und etwas gr¨ oßer als die des Mantels ist. c) Einige Lichtwege in einer GRINFaser, die die F¨ uhrung der Lichtwellen aufgrund der kontinuierlichen Brechung zeigen. Die Periodizit¨ atsl¨ ange ist unabh¨ angig vom Winkel σ0

24.7 Signalverzerrung

715

Abb. 24.11. Brechzahlverlauf von Quarzglas

von der spektralen Breite der Lichtquelle und seiner Dauer (Unsch¨arferelation, s. Kap. 12.3) bestimmt wird. Jede spektrale Komponente breitet sich mit etwas unterschiedlicher Geschwindigkeit aus und f¨ uhrt am Ausgang zu verschmierten Pulsen. Abb. 24.12 erkl¨ art die Materialdispersion vereinfachend f¨ ur zwei anf¨anglich zusammenfallende Rechteckpulse der zentralen Wellenl¨angen λ1 und λ2 mit den zugeh¨ origen Gruppengeschwindigkeiten cg1 und cg2 . Die beiden Wellenl¨angen sind aus dem kontinuierlichen Spektrum der Halbwertsbreite ∆λ herausgegriﬀen. In Kapitel 9.5 wurde erkl¨ art, dass die Geschwindigkeit einer Wellengruppe bzw. eines Pulses durch die im Allgemeinen frequenzabh¨angige Gruppengeschwindigkeit cg (ω) (s. (9.45)) beschrieben wird, hiermit wird die Laufzeit t(ω) einer spektralen Komponente: t(ω) =

l cg (ω)

mit

cg (ω) =

dω dk

(24.27)

Ein Signal der spektralen Halbwertsbreite ∆λ weist dann eine Laufzeitdiﬀerenz von ∆t d 1 = · ∆λ (24.28) l dλ cg (ω)

716

24 Faseroptik

Abb. 24.12. Erl¨ auterung der Materialdispersion: Von der Lichtquelle emittierte Rechteckpulse kommen zu verschiedenen Zeiten am Ende der Faser an, da ihre Gruppengeschwindigkeit von der Wellenl¨ ange abh¨ angt. Die Lichtquelle ist gekennzeichnet durch eine zentrale Wellenl¨ ange λ und eine spektrale Halbwertsbreite ∆λ

2π ω ω = =n , λ c c0 wobei n ebenfalls eine Funktion von ω ist. Wir berechnen zun¨achst den Kehrwert der Gruppengeschwindigkeit (s. (24.27)) und verwenden dω/ω = −dλ/λ: auf. Zur Berechnung verwenden wir den Zusammenhang k =

1 dk ω dn λ dn n n = + − = = cg dω c0 c0 dω c0 c0 dλ Einsetzen in (24.28) ergibt dann nach der Diﬀerentiation die Materialdispersion

∆t λ d2 n ∆λ ≡ −M · ∆λ =− l c0 dλ2

(24.29)

M , der Materialdispersions-Koeﬃzient 10 , ist eine wellenl¨angenabh¨angige Eigenschaft des Kernmaterials (s. Abb. 24.13), er beschreibt die Laufzeitdiﬀerenz bezogen auf Faserl¨ ange und Spektralbreite (mit der gebr¨auchlichen Einheit ps/(km·nm)). Beispiel 24.4 Bitrate Berechnen Sie unter Verwendung von Abb. 24.13 die durch Materialdispersion begrenzte Laufzeitdiﬀerenz und Bitrate bei λ = 0,88 µm und 1,55 µm sowohl f¨ ur eine Leuchtdiode (mit ∆λ = 20 nm) als auch f¨ ur eine Laserdiode (∆λ = 1 nm). 10

H¨ auﬁg einfach als Materialdispersion bezeichnet, in (24.29) ist auch die Deﬁnition mit +M ∆λ gebr¨ auchlich.

24.7 Signalverzerrung

717

L¨ osung Nach Abb. 24.13 gilt bei λ ≈ 0,88 µm (1,55 µm) M = 75 (≈ −20) ps/(nm·km). M > 0 bedeutet, dass cg normale Dispersion aufweist und l¨ angere Wellen eine k¨ urzere Laufzeit haben. Wir erhalten f¨ ur die Betr¨ age: – F¨ ur die LED: ∆t/l = |M | · λ = 75 ps/(nm · km) · 20 nm = 1,5 ns/km (0,4 ns/km), entsprechend B l = l/(2∆t) = 330 Mbit/s km (1,25 Gbit/s km). – F¨ ur die Laserdiode: ∆t/l = 75 (20) ps/(nm·km) und B l = 6,7 (25) Gbit/s km. Bei λ = 1,55 µm und einer Faserl¨ ange von 100 km erreicht man dann mit der Laserdiode die Bitrate B = 250 Mbit/s, was sich durch Einsatz einer Laserdiode kleinerer Bandbreite und geringere chromatische Dispersion (s. Kap. 24.7.4) wesentlich verbessern l¨ asst. Man erkennt deutlich den Gewinn, den die wesentlich monochromatischere Laserdiode bringt. Beachten Sie, dass die Pulsverbreiterung aufgrund der Materialdispersion wesentlich kleiner ist als bei Modendispersion (s. Bsp. 24.3), so dass sie nur in hochwertigen GRIN- und Monomodefasern u ¨ berwiegt. Dementsprechend geht der Vorteil der kleinen Spektralbandbreite der Laserdiode in Multimode-Stufenindexfasern mit ihrer großen Modendispersion verloren. Da Laufzeitdiﬀerenz und D¨ampfung ¨ l¨ angenabh¨ angig sind, kann bei kurzen Ubertragungsstrecken sogar mit polymeren Lichtwellenleitern und Leuchtdioden als Lichtquelle eine hohe Bitrate erzielt werden. Informations¨ ubertragung u ¨ ber große, z.B. transozeanische Strecken ist hingegen nur mit Monomodefasern und Laserdioden m¨oglich. Aus Abb. 24.13 ist ersichtlich, dass M bei λ = 1,27 µm verschwindet, so dass hier die minimal m¨ ogliche Pulsverbreiterung auftritt. Dies und die Tatsache, dass man bei λ = 1,3 µm in einem Extinktionsminimum links von der OH-Absorption liegt, ¨ f¨ uhrte zur Verwendung von faseroptischen Ubertragungssystemen, die im so ge¨ nannten 2. Ubertragungsfenster bei 1,3 µm arbeiten. Moderne Fasersysteme verwenden das 3. optische Fenster bei 1,55 µm, wo f¨ ur Quarzglas das absolute Minimum der Extinktion liegt. Dann geht jedoch der Vorteil verschwindender Materialdispersion zun¨ achst verloren. Durch Modellierung des Brechzahlverlaufes einer Faser kann auch im Bereich des 3. Fensters minimale chromatische Dispersion Mchr , die Summe von Material - und Wellenleiterdispersion, erzielt werden. 24.7.4 Wellenleiterdispersion und maximale Bitraten Die Pulsverbreiterung durch Wellenleiterdispersion wird durch das Brechzahlproﬁl und die Geometrie des Wellenleiters bestimmt und tritt auch bei verschwindender Materialdispersion auf. Dieser Eﬀekt ist klein und deshalb nur in Mono-

718

24 Faseroptik

Abb. 24.13. Materialdispersion in reinem Quarzglas. Dargestellt ist der Dispersionskoeﬃzient M – die Laufzeitverbreiterung ∆t der Pulse bezogen auf Wellenl¨ angenintervall ∆λ und Faserl¨ ange l – als Funktion der Wellenl¨ ange. Die Pulsverbreiterung aufgrund der Materialeigenschaften verschwindet (ann¨ ahernd) bei λ = 1,27 µm und wird f¨ ur gr¨ oßere Wellenl¨ angen negativ, d.h. die Pulse gr¨ oßerer Wellenl¨ ange laufen langsamer

modefasern im Bereich sehr kleiner Materialdispersion von Bedeutung. In LWL wird diese Dispersion wesentlich durch das Verhalten der mitgef¨ uhrten evaneszenten Welle bestimmt. Mit zunehmender Wellenl¨ange dringt diese Welle immer weiter in den Mantel ein (s. Abb. 24.5 b) und die Gruppengeschwindigkeit w¨achst aufgrund der kleineren Brechzahl des Mantels; die Welle mit der gr¨oßeren Wellenl¨ ange hat damit die kleinere Laufzeit. Deﬁniert man in Analogie zu (24.29) die Wellenleiterdispersion

∆t = −MWL · ∆λ l

(24.30)

mit dem Wellenleiterdispersions-Koeﬃzienten MWL , so ist deshalb bei dem einahrend die Materialdispersion oberhalb 1,27 µm fachen Stufenproﬁl MWL > 0, w¨ entgegengesetztes Vorzeichen hat, so dass sich die Einﬂ¨ usse eventuell kompensieren. Bei einer f¨ ur 1,3 µm ausgelegten Monomodefaser mit Stufenproﬁl ist jedoch MWL so klein, dass der Nulldurchgang der Materialdispersion M bei 1,27 µm (s. Abb. 24.13) f¨ ur die chromatische Dispersion M + MWL lediglich nach 1,3 µm ver-

24.8 GRIN-Optik

719

schoben wird. Will man den Nulldurchgang st¨arker verschieben, z.B. auf 1,55 µm ( dispersionsverschobene (shifted) Fasern, DSF“), so muss man die Wellenleiter” ¨ dispersion vergr¨ oßern. Dies kann z.B. durch eine Anderung des Brechzahlverlaufs im Kern erreicht werden. Denken wir uns in Abb. 24.5 b ein Dreiecksproﬁl f¨ ur den Brechzahlverlauf im Kern eingezeichnet, so sehen wir, dass die Welle mit der arker im Kern mit der kleineren Ausbreitungskleineren Wellenl¨ ange λ1 , die st¨ geschwindigkeit konzentriert ist, gegen¨ uber der sich mehr im Mantel ausbreitenarker als beim Rechteckproﬁl verz¨ogert wird; die Diﬀerenz den Welle mit λ2 st¨ der Gruppengeschwindigkeiten – und damit |MW L | – wird vergr¨oßert. Weiterhin kann durch Variation des Kern-Mantel-Brechzahlproﬁls (z.B. W-Proﬁl) MWL so modelliert werden, dass die chromatische Dispersion zwei Nullstellen (z.B. bei 1,5 und 1,65 µm, NZDSF) aufweist und dazwischen auf kleine Werte von etwa 1 ps/(nm km) beschr¨ ankt bleibt (dispersionsﬂache Fasern). Aktuell ergibt sich folgendes Bild der Daten¨ ubertragung mit LWL u ¨ber große ¨ Distanzen: Zur Erh¨ ohung der Ubertragungskapazit¨ at werden bei der Grundwellenl¨ ange 1,55 µm des 3. Fensters zahlreiche Kan¨ale unterschiedlicher Wellenl¨angen verwendet (Wellenl¨ angen-Mutltiplex, DWDM – Dense Wavelength Division Multiplexing), außerdem werden viele Fasern in einem Kabel zusammengefasst. Beim Test der DWDM-Technik stellte man fest, dass bei DSF-Fasern aufgrund der Nichtlinearit¨ at 3. Ordnung (s. Kap. 26) starke Vier-Wellenmischung (FWM) auftritt, die die Wellen aus 3 Kan¨ alen zu einer vierten mischen. Dieser Eﬀekt wird bei dispersionsﬂachen Fasern mit geringer chromatischer Dispersion (Non Zero Dispersion Shifted Fiber, NZDSF) unterdr¨ uckt. Kurz vor der Einf¨ uhrung (2004) stehen Fasern geringer D¨ampfung (0,2 dB/km) mit 125 Kan¨ alen a` 40 Gbit/s und Abst¨ anden der optischen Er-dotierten RamanVerst¨ arker von 100 km, mit denen also 5 Tbit/s und Faser u ¨bertragen werden k¨ onnen. Die Transatlantikstrecke Apollo“ erreicht seit 2003 auf 4 Faserpaaren ” und 80 Kan¨ alen bereits 3,2 TBit/s. Zusammenfassend k¨ onnen wir feststellen, dass es drei Methoden zur Reduzie¨ rung der Pulsverbreiterung und damit zur Steigerung der Ubertragungskapazit¨ at gibt: 1. Verwendung einer Monomodefaser, um die Modendispersion auszuschalten, 2. Verwendung einer schmalbandigen Lichtquelle, um den Einﬂuss der chromatischen Dispersion zu verringern und 3. Verwendung eines Spektralbereichs, in dem chromatische Dispersion und D¨ ampfung minimal sind.

24.8 GRIN-Optik Wegen der großen Bedeutung, die GRIN-Strukturen in der modernen Optik erlangt haben, wollen wir den Verlauf der gekr¨ ummten Lichtstrahlen (s. Abb. 24.10)

720

24 Faseroptik

in einem zylindersymmetrischen Medium, dessen Brechzahl in radialer Richtung gem¨ aß einer Funktion n(r) variiert, n¨ aher untersuchen und die Strahlengleichung aufstellen. Hierzu betrachten wir (in Abb. 24.14) wieder den Meridionalschnitt durch eine Faser und zwei zun¨ achst achsenparallele Strahlen 1 und 2 im Abstand r und r + dr von der optischen Achse. Da Licht in gleichen Zeiten gleiche optische Wege zur¨ ucklegt, muss gelten: n(r) · s = n(r + dr) · (s + ds)

(24.31)

Abb. 24.14. Verlauf von zwei Strahlen in einem Medium mit Brechzahlgradient. Strahl (2) l¨ auft in einem Bereich geringerer Brechzahl und deshalb schneller als Strahl (1). Hierdurch wird die Wellenfront WF um den Winkel dα verkippt

24.8 GRIN-Optik

721

Mit der Taylor-Entwicklung n(r+dr) = n(r)+ dn alt man hieraus (bei Verdr ·dr erh¨ nachl¨ assigung quadratischer Terme): n(r)ds + s dn = 0 und damit nach Division durch dr: 1 ds 1 dn =− (24.32) s dr n dr Aus dem Wegunterschied ds (24.31) folgt eine Verkippung der Wellenfront und damit eine Richtungs¨ anderung des Strahls um den Winkel dα = s/; ist der ¨ Kr¨ ummungsradius. Aus der Ahnlichkeit der Dreiecke in Abb. 24.14 folgt: dα = ds d2 r ur die Kr¨ ummung: 1 ≈ dz s/ = dr , weiterhin gilt f¨ 2 . Einsetzen in (24.32) ergibt dann die d2 r 1 dn =− 2 dz n(r) dr

paraxiale Strahlengleichung

(24.33)

der GRIN-Optik f¨ ur Meridionalstrahlen f¨ ur den Spezialfall, dass n unabh¨angig von z ist (also dn/dz = 0). F¨ ur das Parabelproﬁl ist nach (24.24): r dn ≈ −2nK ∆n · 2 dr a wobei nK = nK (0) und ∆n = (nK − nK (a))/nK . Einsetzen in (24.33) und Veruhrt zur bekannten Diﬀerentialgleichung wendung der N¨ aherung 1/n(r) ≈ 1/nK f¨ eines harmonischen Vorgangs: 2∆n d2 r − κ2 r = 0 mit κ2 = 2 (24.34) dz 2 a Mit den Randbedingungen r(0) = r0 und r (0) ≈ σ0 /nK , d.h. unter der Annahme eines einfallenden Strahls, der im Abstand r0 von der Achse unter dem Winkel σ0 auf die GRIN-Fl¨ ache auftriﬀt und zu σ0 /nK gebrochen wird, erh¨alt man hieraus f¨ ur den Strahlverlauf

r = r0 cos κz +

σ0 sin κz nK κ

(24.35)

mit der Periodenl¨ange

Lp =

2π 2πa =√ κ 2 ∆n

(24.36)

die h¨ auﬁg als Pitchl¨ ange“ bezeichnet wird. Der entsprechende Strahlenverlauf ist ” in Abb. 24.10 c f¨ ur r0 = 0 und unterschiedliche Einfallswinkel σ0 wiedergegeben. GRIN-Optik gewinnt in der modernen Optik immer gr¨oßere Bedeutung. So werden z.B. in Fotokopierern GRIN-Linsenarrays angewendet, die direkt die

722

24 Faseroptik

Abb. 24.15. Lp /4- ( Viertelwellen“-) GRIN-Stab als Kollimatorlinse f¨ ur Licht aus ” einer Punktquelle P . Die Brennweite betr¨ agt Lp /2π

Abb. 24.16. Faserkopplung u ¨ber zwei GRIN-Linsen

24.9 Richtkoppler

723

Vorlage auf die Kopiertrommel abbilden. Abb. 24.15 zeigt einen Lp /4-Stab als Kollimatorlinse mit Angabe der Hauptebene H. In Abb. 24.16 werden zwei Viertelwellen-St¨ abe zur Faserkopplung verwendet. Versieht man eine herk¨ommliche sph¨ arische Linse mit einem axialen Brechzahlgradienten, so l¨asst sich hierdurch die sph¨ arische Aberration – unter Vermeidung einer nichtsph¨arischen Fl¨ ache – beseitigen. Beispiel 24.5 GRIN-Stab In einem Prospekt ﬁndet man f¨ ur einen GRIN-Stab von 3 mm Durchmesser f¨ ur λ = 633 nm die Angabe nK = 1,643 und die Periodizit¨atsl¨ange Lp = 82,7 mm. ¨ 2u und numerische Apertur AN des Wie groß sind ∆n sowie Oﬀnungswinkel Stabes? L¨ osung Aus (24.36) folgt κ = 76 m−1 und ∆n = 6,5 · 10−3 . Damit alle (bei r0 = 0) unter unterschiedlichen Winkeln σ0 einfallenden Strahlen dasselbe Lp haben, muss die Amplitude σ0 /nK κ (s. (24.35)) kleiner als der Radius a sein, also im Grenzfall mit σ0 = u gelten: nσK0κ = nKu κ = a. Hieraus folgt 2u = 21,5◦ und AN = 0,19.

24.9 Richtkoppler Stellvertretend f¨ ur die zahlreichen Anwendungen der Faseroptik sollen der Richtkoppler und seine Anwendung zur Strahlteilung in Interferometern und bei der Lichtmodulation diskutiert werden. ¨ In der Sprache der Ubertragungstechnik handelt es sich hierbei um ein Viertor (s. Abb. 24.17) mit zwei Paaren (1/2 und 3/4), bei dem Licht¨ ubertragung nur zwischen diesen Paaren m¨ oglich ist. So kann z.B. bei 1 eingespeistes Licht bei 3 oder/und 4, nicht aber bei 2 austreten. Richtkoppler beruhen auf der Kopplung der Einzelfasern u ¨ber evaneszente Wellen des Mantels, also auf dem sonst ¨ unerw¨ unschten Eﬀekt des Ubersprechens. Da die Eindringtiefe dieser Wellen nur einige Wellenl¨ angen betr¨ agt, m¨ ussen die Wellenleiter im Koppler kleine Abst¨ande haben. Technisch kann man dies dadurch erreichen, dass man zwei Fasern miteinander verdrillt und unter Zugspannung verj¨ ungt und verschmilzt (bikonische Koppler ). Insbesondere bei der Lichtmodulation verwendet man Koppler in der Technik der integrierten Optik , bei der vergrabene Streifenleiter erh¨ohter Brechzahl eingesetzt werden. Passiv arbeitende, integriert optische Bauelemente lassen sich mit Glasschichten realisieren, bei denen die Wellenleiter erh¨ohter Brechzahl durch Ionenaustausch erzeugt werden. Aktive Bauelemente fertigt man h¨auﬁg aus Lithium-Niobat (LiNbO3 ). Dieses Material weist einen großen elektro-optischen Eﬀekt auf und wird u.a. in Modulatoren eingesetzt; der Lichtwellenleiter wird

724

24 Faseroptik

Abb. 24.17. Richtkoppler in Streifenleitertechnik. In einem Substrat der Brechzahl nS sind Streifen erh¨ ohter Brechzahl nK vergraben“. Die Leiter sind u ange ¨ber eine Koppell¨ ” lK u arke der Kopplung kann u ¨ber die evaneszenten Wellen verkoppelt. Die St¨ ¨ ber eine Spannung U variiert werden

durch Eindiﬀusion von Titan erzeugt. In der integrierten Optoelektronik, bei der auf einem Chip Laser, Modulator, Koppler usw. integriert sein sollen, arbeitet man mit III-V-Halbleitern (In(Al)GaAsP) unterschiedlicher Dotierung und Zusammensetzung. Um die Arbeitsweise eines Richtkopplers zu verstehen, betrachten wir die in Abb. 24.17 wiedergegebene Anordnung. In Eingang 1 werde eine Welle eingekoppelt, die sich in z-Richtung ausbreitet und hierbei u ¨ber die evaneszente Welle einen Teil ihrer Energie in den anderen Wellenleiter transferiert. Wir denken uns bei 3 und 4 Detektoren und registrieren die Leistungen P3 und P4 bei Variation ur lK → 0 ist P3 = P1 und P4 = 0, mit wachsendem lK der Koppell¨ ange lK . F¨ nimmt P3 ab und P4 so lange zu, bis P3 verschwindet (P3 = 0, P4 = P1 ). Interessanterweise wiederholt sich dieser Vorgang mit wachsender L¨ange periodisch. Wir beobachten einen Verlauf wie bei einer Schwebung, die vom Verhalten gekoppelter Schwinger bekannt ist. Die Wellenleiter verhalten sich demnach wie Oszillatoren, die u ¨ ber die evaneszente Welle gekoppelt sind. Erinnern wir uns an die gekoppelten Pendel (s. Abb. 24.18). Hier sehen wir zwei gleiche Federpendel der Masse m mit Zug-Druck-Federn der Federkonstante D sowie einer zus¨ atzlichen schwachen Kopplungsfeder der Federkonstante DK . Bekanntlich gibt es bei der Schwingung dieser Pendel zwei Grenzf¨alle, die sogenannten Normal- oder Fundamentalschwingungen, bei denen die Pendel mit zeitunabh¨ angiger Amplitude schwingen: die symmetrische mit der Frequenz fsym , bei der beide Pendel in dieselbe Richtung gleich weit ausgelenkt werden, und die antisymmetrische mit fa und entgegengesetzter Auslenkung. Ist f0 die Frequenz

24.9 Richtkoppler

725

Abb. 24.18. Gekoppelte Federpendel mit Zug-Druck-Federn der Federkonstante D und einer schw¨ acheren Kopplungsfeder K. Nach Auslenkung des Pendels 1 wird die Energie nach der Transferzeit Tt vollst¨ andig auf Pendel 2 u ¨bertragen

mit der ein Pendel – also bei festgehaltenem zweiten Pendel – schwingt, so ist fsym gegen¨ uber f0 erniedrigt, da bei der symmetrischen Schwingung die mittlere Feder K nicht zur R¨ uckstellkraft beitr¨ agt, und fa erh¨oht, da diese Feder dann doppelt so stark gedehnt wird. Wir erhalten die Kreisfrequenzen ωa = ω0 + K

und ωsym = ω0 − K

(24.37)

anderung aufgrund der Kopplung. Lenkt mit K ≈ DK /2mω0 , der Kreisfrequenz¨ man zu Beginn nur ein Pendel aus, so entsteht die bekannte Schwebung mit der Schwebungsfrequenz : fs = fa − fsym = Nach der Transferzeit Tt = Ts /2 =

1 2fs ,

Tt =

K π

(24.38)

also π 2K

(24.39)

726

24 Faseroptik

wird – bei gleichen Pendeln – die Energie vollkommen von Pendel 1 auf 2 u ¨ bertragen. Diese aus der Schwingungslehre bekannten Ergebnisse lassen sich quantitativ auf den Richtkoppler u ¨ bertragen. Der Schwingung mit s = sˆ ej ω t der Kreisfrequenz ω entspricht eine in z-Richtung fortschreitende Welle der Amplitude ˆ ej k z mit der Kreiswellenzahl k = ω/c; k0 gilt dann f¨ ur den isolierten EinzelleiE ter. Der symmetrischen Normalschwingung entspricht die Einkopplung von zwei gleichphasigen Wellen gleicher Amplitude in Eingang 1 und 2. Hierdurch wird die Amplitude der evaneszenten Wellen zwischen den Leitern, dem Gebiet kleinerer Brechzahl, vergr¨ oßert, damit die Geschwindigkeit erh¨oht und ksym = ω/csym – analog zu ωsym – erniedrigt. Bei gegenphasiger Einkopplung schw¨achen sich die evaneszenten Wellen im Kopplungsgebiet durch destruktive Interferenz, die Geschwindigkeit ca wird reduziert und ka = ω/ca erh¨oht. In Analogie zu (24.38) und (24.39) wird dann die Kreiswellenzahl ks der Schwebung ks = ka − ksym = 2K

(24.40)

und die Transferl¨ange

Lt =

π 2K

(24.41)

Abb. 24.19. Verlauf der Ausgangsleistung an den Toren 3 und 4 des Richtkopplers als Funktion der Koppell¨ ange lK bei konstanter Eingangsleistung P1 (Lt = Transferl¨ ange)

F¨ ur lK = Lt wird die Energie vollst¨ andig von einem Leiter auf den anderen u bertragen. Der Zeit t entspricht die Koppell¨ ange lK (Abb. 24.17). Koppeln wir ¨ bei Tor 1 die Lichtleistung P1 ein, so erhalten wir bei Variation von lK bei 3 und 4 die Leistungen (s. Abb. 24.19):

24.9 Richtkoppler

Richtkoppler Ausgangsleistungen

P3

=

P4

=

π lK ) 2Lt π P1 sin2 ( lK ) 2Lt

727

P1 cos2 (

(24.42)

Die Transferl¨ ange h¨ angt von dem Verh¨ altnis Eindringtiefe dein der evaneszenten Welle (s. Kap. 20.5) zu Abstand d der Einzelleiter ab (Lt ∼ e(bd/dein ) mit b = konst.) Bei vorgegebener Kopplung kann man durch Wahl der Koppell¨ange lK entsprechend Abb. 24.19 jedes beliebige Teilerverh¨altnis einstellen. Da die Eindringtiefe der evaneszenten Welle mit der Wellenl¨ange zunimmt, ist die Transferl¨ ange wellenl¨ angenabh¨ angig; damit kann man z.B. erreichen, dass f¨ ur ein aus zwei Wellenl¨ angen bestehendes Eingangssignal an den beiden Ausg¨angen jeweils nur das Signal einer Wellenl¨ ange ansteht (Demultiplexer). Zur Lichtmodulation ist der elektro-optisch steuerbare Lichtmodulator (s. Abb. 24.17) geeignet. Bei Anlegen einer Spannung ¨andern sich die Brechzahlen von Kern und Mantel und damit die Eindringtiefe und die Kopplungskonstante. Mit LiNbO3 lassen sich hiermit Modulationsfrequenzen gr¨oßer 10 GHz bei Spannungsamplituden von etwa 10 V erreichen.

¨ Ubungen 24.1 Das in Europa standardisierte PCM-30-System (PCM = Puls-Code-Modulation) hat eine Bitrate von 2,048 Mbit/s. Zeigen Sie, dass man mit diesem System 30 Fernsprechkan¨ ale (+ 2 Steuerkan¨ ale) u ur einen Telefonkanal ¨ bertragen kann, wenn f¨ die Bandbreite 4 kHz betr¨ agt und 256 Quantisierungsstufen verwendet werden. 24.2 Bestimmen Sie die theoretische Maximalzahl der Fernsehkan¨ ale, die u ¨ ber eine Monomodefaser bei der Wellenl¨ ange 1,55 µm u onnen, wenn (im ¨ bertragen werden k¨ UHF-Band) eine Bandbreite von 8 MHz pro Kanal ben¨ otigt wird. 24.3 Zeigen Sie, dass f¨ ur einen Lichtstrahl, der unter dem Grenzwinkel der Totalreﬂexion auf die Kern-Mantel-Grenzﬂ¨ ache einer Faser triﬀt, der Abstand la zweier benachbarter Auftreﬀpunkte durch la =

nM d n2K − n2M

gegeben ist. Wie viele Reﬂexionen (pro m Faserl¨ ange) erf¨ ahrt solch ein Strahl in einer Stufenindexfaser mit nK = 1,460, nM = 1,457 und d = 50 µm? 24.4 Bei einer Stufenindexfaser betr¨ agt die Kernbrechzahl 1,52 und die des Mantels 1,41. Bestimmen Sie: a) den Grenzwinkel der Totalreﬂexion, b) die numerische Apertur und c) den Akzeptanzwinkel u.

728

24 Faseroptik

24.5 Eine Stufenindexfaser hat 60 µm Kerndurchmesser und eine Kernbrechzahl von 1,53, die des Mantels betr¨ agt 1,39. Bestimmen Sie: a) die numerische Apertur, b) den Akzeptanzwinkel und c) die Zahl der Reﬂexionen, die auf 1 m Faserl¨ ange f¨ ur einen Strahl mit dem maximalen Eintrittswinkel und f¨ ur einen mit der H¨ alfte dieses Winkels auftreten. 24.6 Die Stirnﬂ¨ ache einer Faser in Luft (Durchmesser d, L¨ ange l) wird von Licht unter dem Winkel ε getroﬀen. Zeigen Sie, dass a) der tats¨ achliche Weg se zwischen zwei Reﬂexionen am Mantel gegeben ist durch: nK d sin ε b) der gesamte zur¨ uckgelegte Weg sg gleich ist: se =

nK l − sin2 ε c) F¨ uhren Sie die Berechnung von se und sg f¨ ur l = 10 m, d = 50 µm, nK = 1,5 und ε = 10◦ durch. sg =

n2K

24.7 Wie viele Moden k¨ onnen sich in einer Stufenindexfaser bei λ = 850 nm ausbreiten, wenn nK = 1,461, nM = 1,456 und der Kernradius a = 50 µm ist? 24.8 Bestimmen Sie den maximalen und zu V = 1 geh¨ origen Kernradius einer Monomode(Stufenindex-)Faser mit nK = 1,46 und nM = 1,457 bei 1,25 µm Wellenl¨ ange. 24.9 Untersuchen Sie einen Schichtwellenleiter aus AlGaAs mit nK = 3,6 und nM = 3,55. Wie viele Moden sind bei den Dicken d = 5λ und d = 50λ ausbreitungsf¨ ahig? 24.10 Die D¨ ampfungsmessung an Fasern wird dadurch erschwert, dass die Messung der eingekoppelten Leistung nur schwer m¨ oglich ist. Man vergleicht deshalb die Leistung P1 , die aus einem Faserst¨ uck kurzer L¨ ange (nur Einkoppelverluste, keine Extinktion) austritt, mit P2 , der Ausgangsleistung einer Faser der L¨ ange l (gleiche Einkoppelverluste plus Extinktion). Berechnen Sie den D¨ ampfungskoeﬃzienten einer Faser, bei der P1 = 5 µW und P2 = 1 µW f¨ ur eine L¨ ange von l = 100 m gemessen wird. 24.11 Wie groß darf der Abstand der Regeneratorstationen bei einer Faser der D¨ ampfung 0,2 dB/km h¨ ochstens sein, damit die Leistung zwischen den Stationen h¨ ochstens auf 1/100 abf¨ allt? 24.12 Ein LWL-Kabel von 3 km L¨ ange besteht aus drei Teilst¨ ucken a ` 1 km, die untereinander verspleißt sind. Die Spleißverluste betragen 1 dB, jedes Teilst¨ uck hat Verluste von 5 dB. Berechnen Sie den Gesamtverlust (in dB) und die Ausgangsleistung f¨ ur eine Eingangsleistung von 4 mW. 24.13 In einem Koaxialkabel betr¨ agt die D¨ ampfung bei 50 MHz etwa 12 dB/km. Wie lang darf das Kabel bei 10 mW Eingangs- und 1 µW Ausgangsleistung sein? Vergleichen Sie dies mit den Werten aus Aufgabe 24.11. 24.14 Eine Ge-dotierte Quarzfaser hat bei 0,9 µm Rayleigh-Verluste von 1,2 dB/km. Welcher Wert w¨ urde bei 1,55 µm auftreten, wenn nur Rayleigh-Streuung zugrunde gelegt wird? Vergleichen Sie mit (24.20). Wie ist der Unterschied zu erkl¨ aren?

24.9 Richtkoppler

729

24.15 Bei einer Faser sei p die relative Leistungsabnahme auf 1 km Faserl¨ ange (also p = ∆P ). Best¨ atigen Sie, dass der Verlustkoeﬃzient (in dB/km) formelm¨ aßig lautet: P ·1 km 10 · lg(1 − p · km) km und berechnen Sie die Zahlenwerte f¨ ur p = 25, 75, 90 und 99%/km. αdB =

24.16 Ermitteln Sie minimale und maximale Werte von Wegl¨ ange und Laufzeit der Lichtstrahlen f¨ ur eine Stufenindexfaser von 1 km L¨ ange sowie nK = 1,46 und nM = 1,45. 24.17 Modendispersion: a) Welche Laufzeitdiﬀerenz tritt in einer 1 km langen Stufenindexfaser mit nK = ¨ agt? Welche ma1,446 auf, wenn der maximale Oﬀnungswinkel 2u = 70◦ betr¨ ¨ ximale Ubertragungsrate ergibt sich hieraus? b) Wiederholen Sie die Rechnung f¨ ur u = 15◦ und nK = 1,48. 24.18 Eine Multimoden-Stufenindexfaser mit d = 100 µm hat bei λ = 0,9 µm die Brechzahl nK = 1,46 und die relative Brechzahldiﬀerenz ∆n = 0,003. Wieviele Moden sind ausbreitungsf¨ ahig? Welches Bitraten-L¨ angenprodukt tritt auf? Wie groß ist die Bitrate bei 1 km Faserl¨ ange? 24.19 Welchen maximalen Durchmesser darf der Kern einer Monomodefaser mit nK = 1,46 und ∆n = 0,003 bei λ = 0,9 und 1,55 µm haben? 24.20 Zeichnen Sie das Indexproﬁl f¨ ur eine GRIN-Faser mit 50 µm Radius, nK = 1,5, ∆n = 0,02 und die Proﬁlexponenten g = 2 und 10. ¨ 24.21 Geben Sie die Ubertragungsrate f¨ ur eine 1 km lange GRIN-Faser mit Proﬁlexponent g = 2, maximaler Kernbrechzahl nK = 1,46 und nM = 1,44 an und vergleichen Sie mit einer Stufenindexfaser gleicher Brechzahlwerte. 24.22 F¨ ur eine Stufenindexfaser misst man (bei Entfernungen l < lc , s. Fußnote 9) eine Laufzeitverbreiterung von 20 ns/km. Wie groß ist die Bitrate bei 1 km L¨ ange? 24.23 Bestimmen Sie unter Verwendung von Abb. 24.13 die Materialdispersion ∆t/l einer Quarzglasfaser, wenn die Lichtquelle a) eine Leuchtdiode mit λ = 830 nm und Spektralbreite ∆λ = 40 nm und b) eine Laserdiode gleicher Wellenl¨ ange mit ∆λ = 4 nm ist (1. Generation der ¨ LWL-Ubertragung). Vergleichen Sie mit heute gebr¨ auchlichen Werten von DFB-Lasern mit ∆λ = ¨ 0,25 nm bei 1,3 und 1,55 µm. Welche Ubertragungsraten sind hiermit bei einer L¨ ange von l = 10 km erreichbar? 24.24 Bei Vorliegen von Moden- und Materialdispersion muss die Laufzeitverbreiterung ∆t nach ∆t2 = ∆t2mod + ∆t2mat berechnet werden. Bestimmen Sie mit Hilfe von Abb. 24.13 f¨ ur eine Stufenindexfaser von 1 km L¨ ange ∆t sowie die Bitrate, wenn nK = 1,46, ∆n = 1%, λ = 820 nm und ∆λ = 40 nm.

730

24 Faseroptik

24.25 F¨ ur die Wellenleiterdispersion einer Quarzfaser wird f¨ ur eine Spektralbreite von 2 nm folgender Zusammenhang gefunden: Wellenl¨ ange λ/nm

Wellenleiterdispersion ∆t/l in ps/km

0,7

1,88

0,9

5,02

1,1

7,08

1,4

8,40

1,7

8,80

a) Zeichnen Sie den Graph Wellenleiterkoeﬃzient MWL als Funktion der Wellenl¨ ange im Bereich 0,7 bis 1,7 µm. b) Ermitteln Sie die Wellenleiterdispersion ∆t/l bei λ = 1,27 und 1,55 µm f¨ ur ∆λ = 1 nm. 24.26 Vergleichen Sie bei λ = 1 µm die Pulsverbreiterung einer Stufenindexfaser aufgrund der drei diskutierten Mechanismen: Moden-, Material- und Wellenleiterdispersion. Die Kernbrechzahl betr¨ agt nK = 1,47 und die des Mantels nM = 1,455. Als Signalquelle dient eine LED mit ∆λ = 25 nm und eine Laserdiode mit 1 nm. Es gelte M = 43 ps/(nm km) und MWL = 3 ps/(nm·km). a) Ermitteln Sie die Einzelbeitr¨ age f¨ ur eine Faserl¨ ange von 1 km. b) Berechnen Sie weiterhin die gesamte Laufzeitverbreiterung ∆t mit ∆t2 = ∆t2mod + ∆t2chr und ∆tchr = −Mchr ∆λ, wobei Mchr = M + MWL die chromatische Dispersion ¨ bezeichnet. Geben Sie außerdem die Ubertragungsrate an.

25 Fourier-Optik

Einleitung In diesem Kapitel werden – kurz gefasst – zwei umfangreiche Gebiete behandelt, in denen die Fourier-Transformation von zentraler Bedeutung ist und die man deshalb unter Fourier-Optik zusammenfasst. Das erste umfasst die optische Abbildung und Signalverarbeitung und das zweite die Fourier-Spektroskopie. Hierbei sind die mathematischen Operationen der Fourier-Transformation, Faltung und Korrelation von zentraler Bedeutung. Optische Signalverarbeitung nutzt die Tatsache, dass eine einfache Linse bereits einen Fourier-Transformator“ darstellt, der ein zweidimensionales Muster ” mit hoher Aufl¨ osung und Lichtgeschwindigkeit transformiert. Wir werden sehen, dass das Beugungsmuster eines Gegenstands, das in der Brennebene einer Linse entsteht, die zweidimensionale Fourier-Transformierte oder das Ortsfrequenzspektrum dieses Objekts darstellt. Dieses Spektrum kann durch Filter – man spricht von r¨aumlicher Filterung – oder Masken variiert werden, so dass sich auch das Bild ver¨ andert, das nach der R¨ ucktransformation durch eine zweite Linse entsteht. Anwendungsgebiete sind z.B. die Kontrastverst¨arkung und die Bildverarbeitung. Werden Bilder miteinander verglichen, so kann dies mit Hilfe eines optischen Korrelators geschehen, der vornehmlich in der Mustererkennung eingesetzt wird. Diese analogen optischen Verfahren stellen in der Sprache der Datenverarbeitung eine Parallelverarbeitung dar, die in Echtzeit (mit Lichtgeschwindigkeit)

732

25 Fourier-Optik

abl¨ auft und keine zeitraubende serielle Abtastung des Objekts erfordert. Optische Datenverarbeitung ist eine vorteilhafte Synthese von Optik, Informatik und Holograﬁe und wurde – wie viele andere Anwendungen – erst durch die Erﬁndung des koh¨ arenten Lasers praktisch realisierbar. Mit Hilfe der Fourier-Spektroskopie kann aus der Orts- oder Zeitabh¨angigkeit des Interferogramms polychromatischer Strahlung deren Frequenzspektrum berechnet werden.

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung 25.1.1 Fraunhofer-Beugung und Fourier-Transformation Wir wollen zun¨ achst zeigen, dass das Fraunhofersche Beugungsmuster eines Objekts – mit gewissen N¨ aherungen – die Fourier-Transformierte der Amplitudenverteilung des E-Feldes in der Objektebene darstellt. Hierzu gehen wir von der in Kapitel 12 eingef¨ uhrten eindimensionalen Fourier-Transformation zwischen Zeitund Frequenzbereich aus und u ¨ bertragen sie auf den Orts- und Ortsfrequenzbereich. Wir erhalten dann aus (12.19) bis (12.21), wenn wir die Zeit t durch den Ort x ersetzen: 1 f (x) = 2π

∞ F (κ) ejκx dκ −∞

∞ F (κ) =

(25.1)

f (x) e−jκx dx

(25.2)

−∞

Nach (25.1) kann also eine beliebige Ortsfunktion f (x) – z.B. ein Wellenpuls – durch Summation u ¨ ber kontinuierlich verteilte ebene Wellen synthetisiert werden, wobei deren Amplitudenverteilung F (κ) durch (25.2) gegeben ist. Hierbei ist κ die (weiter unten erkl¨ arte) Ortskreisfrequenz (mit [κ] = rad/m); f (x) und F (κ) stellen ein Fourier-Transformationspaar dar, das u ¨ber eine Fourier-Transformation verkn¨ upft ist. Man schreibt symbolisch mit Hilfe des Fourier-Operators F : F (κ) = F (f (x))

(25.3)

f (x) = F −1 (F (κ))

(25.4)

und

F −1 bezeichnet man auch als R¨ uck- oder inverse Transformation. R¨ ucktransformation der Fourier-Transformierten ergibt wieder die urspr¨ ungliche Funktion:

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

F −1 (F (κ)) = F −1 F (f (x)) = f (x)

733

(25.5)

Bei einem zweidimensionalen Objekt gilt entsprechend Fourier-Transformation ∞ f (x, y) ej(κx x+κy y) dx dy = F (f (x, y))

F (κx , κy ) =

(25.6)

−∞

inverse Fourier-Transformation f (x, y) =

1 (2π)2

∞

F (κx , κy ) ej(κx x+κy y) dκx dκy = F −1 (F (κx , κy )) (25.7)

−∞

mit der zweidimensionalen Ortsfunktion f (x, y) und der zugeh¨origen Amplitudenverteilung F (κx , κy ) der ebenen Wellen. Konzept der Ortsfrequenz: Vor der Behandlung der Beugung soll zun¨achst die anschauliche Bedeutung des Ortskreisfrequenzvektors κ diskutiert werden. W¨ahrend bei einem zeitabh¨angigen Signal die Bedeutung der analogen Gr¨oße Kreisfrequenz ω = 2π T und der Periodendauer T eindeutig und aus der Schwingungslehre bekannt ist, wird das Verst¨ andnis der Ortsfrequenz R dadurch erschwert, dass sie sowohl zur Kennzeichnung von Vorg¨angen (Wellen) als auch von Strukturen (Objekt, Bild) dient. Betrachten wir zun¨ achst eine sich parallel zur z-Achse ausbreitende Welle mit dem Wellenvektor k = (0, 0, kz = k) (s. Abb. 25.2 b), so ergibt eine Momentaufnahme die bekannte Sinuslinie mit der Wellenl¨ange λz = λ. Die Ortsfrequenz wird Rz = 1/λ (analog f = 1/T ) und die Ortskreisfrequenz κz = 2π/λ stimmt mit der Kreiswellenzahl k u ur eine mit αx = 0 unter dem Winkel ¨berein. F¨ αy zur z-Achse verlaufende ebene Welle erhalten wir mit κ = k = (0, ky , kz ): κy = ky = 2π/λy = k sin αy und κz = kz = k cos αy und die Ortsfrequenzen Ry = 1/λy = sin αy /λ bzw. Rz = cos αy /λ. Die Orts(kreis)frequenzen κ kennzeichnen hier als Vektoren Wellenl¨ ange und Ausbreitungsrichtung der Welle. Bei Fraunhofer-Beugungsexperimenten beﬁndet sich die Beobachtungsebene in großer Entfernung oder in der Brennebene einer Linse (s. Abb. 25.2 a), in der die unter dem Winkel αy auslaufende ebene Welle im Abstand Y = f tan αy ≈ f sin αy = f λRY fokussiert wird. Punkten der Beugungs- oder Fourier-Ebene sind dann Ortsfrequenzen – also Richtungen der gebeugten ebenen Welle – zugeordnet, die – wie noch gezeigt wird – mit den Ortsfrequenzen des beugenden Objekts u ¨ bereinstimmen. Große Beugungswinkel entsprechen hohen Ortsfrequenzen des Beugungsobjektes. In (25.6) und (25.7) k¨ onnen wir unter f (x, y) eine Feldst¨arkeverteilung und unter F (κ) eine Amplitudenverteilung verstehen. Gleichung (25.7) besagt dann,

734

25 Fourier-Optik

dass eine beliebige, auch nichtperiodische Verteilung in der xy-Ebene aus harmonischen ebenen Wellen unterschiedlicher Ortsfrequenzen synthetisiert werden kann. Nach (25.6) erh¨ alt man die Amplitude F einer sich mit dem Wellenvektor κ ausbreitenden Welle durch phasenrichtige Summation aller von den Punkten x, y ausgehenden – in großer Entfernung – ebenen Wellen. Bei der optischen Abbildung werden Objektstrukturen (Intensit¨atsverteilungen) in Bildstrukturen abgebildet, die unter Umst¨anden beide eine deutlich sichtbare Periodizit¨ at aufweisen (z.B. Lattenzaun, Backsteinwand). F¨ ur ein Gitter mit sinusf¨ ormig verlaufendem Transmissionsgrad gilt dann ein der Abb. 25.3 entsprechender Verlauf. Hier ist oﬀenbar die Ortsfrequenz Ry = 1/g, also gleich dem Kehrwert der Gitterkonstante. Eine Drehung des Gitters ¨andert die Komponen w¨ ten von R, ahrend der Betrag konstant bleibt. Bei Strukturen wird die Ortsfrequenz meist in Linienpaaren pro L¨ ange (z.B. LP/mm) angegeben. In diesem Fall ¨ besagt (25.7), dass sich eine beliebige Struktur (Objekt) als Uberlagerung von Sinusgittern unterschiedlicher Ortsfrequenz (und damit Gitterkonstante) darstellen l¨ asst.

Abb. 25.1. Fraunhofer-Beugung an einer Apertur in der xy-Ebene und ihre Beobachtung in der Fourier-Ebene (XY -Ebene)

Wir betrachten nun die Fraunhofer-Beugung von ebenen Wellen an einer beliebigen in der xy- oder Aperturebene gelegenen Struktur (s. Abb. 25.1). Die Beugung wird in einer um Z verschobenen XY -Ebene, der Fourier-Ebene, beobachtet. Nach dem Fresnel-Huygensschen Prinzip geht von jedem Fl¨achenelement

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

735

dA um den Punkt O der Objektebene eine Elementarwelle aus, die zur Beugungsamplitude im Beobachtungspunkt P den Beitrag liefert (s. (18.1) und (16.4)): e−jkr dA (25.8) r Hierbei ist r der Abstand zwischen O und P , der die Phase und Amplitude (Kugelwelle!) der gebeugten Welle beeinﬂusst. Der Einﬂuss des Richtungsfaktors (s. Kap. 16.1) wurde wegen kleiner Beugungswinkel vernachl¨assigt. Die Aperturˆ (x, y) ist die unmittelbar hinter der beugenden Apertur gefunktion Eˆ S = E S messene Feldst¨ arkeamplitude, die bei inhomogener Beleuchtung oder variabler Durchl¨ assigkeit (umfasst Betrag und Phasenverschiebung) ortsabh¨angig wird. ˆ erh¨alt man hieraus die ampliNach Division durch die einfallende Amplitude E 0 tudenbezogene ˆ ∼ Eˆ dE P S

Transmissionsfunktion2

t(x, y) =

Eˆ S ˆ E

(25.9)

0

ˆ . mit der Aperturfunktion E S Aus Abb. 25.1 kann eine Beziehung zwischen dem Abstand r und dem Abstand r0 vom Koordinatenursprung hergeleitet werden: r02 = X 2 + Y 2 + Z 2

und r2 = (X − x)2 + (Y − y)2 + Z 2

Hieraus folgt: r2 = r02 − 2xX − 2yY + x2 + y 2 In der Fernfeld - oder Fraunhofer-N¨aherung gilt x2 , y 2 r02 und wir erhalten mit ur x 1): der Reihenentwicklung (1 + x)1/2 ≈ 1 + x2 (f¨ 1/2 xX + yY xX + yY r = r0 1 − 2 ≈ r0 1 − r02 r02

(25.10)

Einsetzen in (25.8) ergibt nach Integration (mit der N¨aherung ES /r ≈ ES /Z und Z = konst.) die Beugungsamplitude ˆ (x, y) ejk(xX+yY )/r0 dx dy (25.11) E Eˆ P = C S Apertur

wobei die Integration u ¨ber die beugende Apertur (Ap) erfolgt und alle konstanten Terme in der (komplexen) Konstante C zusammengefasst wurden. Der Vergleich mit (25.6) liefert die 2

Bei der Beugung untersucht man Feldst¨ arken (Transmissionfunktion), bei der Abbildung Intensit¨ aten (Transmissionsgrad).

736

25 Fourier-Optik

κx = −k

Ortskreisfrequenzen

X r0

und κy = −k

Y r0

(25.12)

die mithin Punkten X, Y in der Fourier-Ebene entsprechen. Da Punkte außerhalb der Apertur keinen Beitrag liefern, k¨ onnen wir die Integration bis ±∞ erstrecken und erhalten die ∞ Eˆ P = C

ˆ (x, y) e−j(κx x+κy y) dx dy E S

−∞

Beugungsamplitude

∞ ˆ =CE 0

t(x, y) e−j(κx x+κy y) dx dy

(25.13)

−∞

mit der durch (25.7) gegebenen R¨ ucktransformation. In der Fraunhofer-N¨aherung gilt also (s. (25.6)): ˆ (κx , κy ) in Fraunhofer-N¨aherung ist (abgesehen Die Beugungsamplitude E P von Konstanten) die zweidimensionale Fourier-Transformierte der Aperturˆ (x, y) bzw. der Transmissionsfunktion t(x, y). funktion E S Entsprechend (25.13) ergibt sich die Feldst¨arkeverteilung des zweidimensionalen Beugungsbildes durch phasenrichtige Summation von gebeugten ebenen Wellen unterschiedlicher Amplitude, wobei die Phase die Beugungsrichtung beschreibt. 25.1.2 Ortsfrequenzanalyse Die Fernfeldbedingung der Fraunhofer-Beugung l¨asst sich am einfachsten mit Hilfe einer Sammellinse L2 erf¨ ullen, da deren Brennebene einer unendlich weit entfernten Fourier-Ebene entspricht (s. Abb. 25.2 a). Bei einem Beugungsexperiment wird Licht einer – zeitlich und r¨ aumlich koh¨arenten – monochromatischen Punktquelle meist durch eine Linse L1 zu einer ebenen Welle kollimiert, die ihrerseits das Objekt in der Eingangs- oder Aperturebene beleuchtet. Die Linse L2 erzeugt als Fourier-Linse das Beugungsbild in der Ausgangsebene, der FourierEbene. L2 soll keine geometrisch-optischen Bildfehler aufweisen und muss einen so großen Durchmesser haben, dass alle vom Objekt gebeugten Strahlen erfasst werden; dann f¨ uhren keine zus¨ atzlichen Beugungseﬀekte zu Ver¨anderungen der Details des Beugungsspektrums. Die Linse L2 bestimmt u ¨ ber ihre Brennweite die Gr¨ oße des Beugungsbildes und hat einen von X und Y abh¨angigen zus¨atzlichen Phasenfaktor zur Folge, der bei Wahl des Abstandes L1 − Apertur = Brennweite (s. auch Abb. 25.5) gerade kompensiert wird.

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

737

Abb. 25.2. a) Fraunhofer-Beugung an einem Strichgitter. Die Registrierung des Beugungsbildes erfolgt in der Brennebene (= Fourier-Ebene) einer Linse. (Die Kombination Lichtquelle-Kollimatorlinse L1 wird in der Regel durch einen Laser ersetzt). b) Ungebeugte und unter dem Winkel αy gebeugte, ebene Welle mit Ortsfrequenz sin α Ry = λ1y = λ y

738

25 Fourier-Optik

Abb. 25.3. Kosinusgitter: a) Reiner Kosinusverlauf der Transmissionsfunktion mit negativen Werten. b) Kosinusverlauf mit zus¨ atzlichem Gleichanteil

Wir betrachten zun¨ achst die Beugung an einem Sinusgitter, einem Gitter mit sinusf¨ ormigem Verlauf der Transmissionsfunktion. F¨ ur das ideale, unendlich ausgedehnte Kosinusgitter (s. Abb. 25.3) gilt mit tmax = 1 und tmin = 0: 1 1 1 1 jκg y (25.14) + e−jκg y t(y) = + cos κg y = 1+ e 2 2 2 2 hierbei sind κg = 2π/g die Ortskreisfrequenz des Gitters und g die Gitterkonstante. Einsetzen in (25.13) ergibt ∞ 1 j(κg −κy )y −jκy y −j(κg −κy )y ˆ + +e e EP ∼ e dy 2 −∞ damit wird die Beugungsamplitude f¨ ur das Kosinusgitter

ˆ ∼ δ(κy ) + 1 δ(κg − κy ) + 1 δ(κg + κy ) E P 2 2

Hierbei ist δ die mit (12.27) eingef¨ uhrte Diracsche ⎧ ⎨0 f¨ ur κ = κ0 Deltafunktion δ(κ − κ0 ) = ⎩ ∞ f¨ ur κ = κ0 mit der der L¨ osung (25.15) zugrundeliegenden Realisierung (12.27): ∞ 1 ejκx dx δ(κ) = δ(−κ) = 2π −∞

(25.15)

(25.16)

(25.17)

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

739

Entsprechend (25.15) treten bei Kosinusgittern nur drei (unendlich scharfe und hohe) Beugungslinien bei κy = 0 und ±κg auf. Wir sehen: Die Ortsfrequenzen des Beugungsbildes stimmen mit denen des beugenden Objekts u ¨berein (Fourier-Analyse). F¨ uhren Sie die entsprechende Rechnung f¨ ur ein Sinusgitter durch, hier unterscheiˆ -Peaks bei ±κg im Vorzeichen, die Intensit¨aten stimmen aber f¨ ur den sich die E P beide Gitter u ¨berein. Dies entspricht der Beobachtung, dass eine Verschiebung des Gitters in der Aperturebene das Beugungsbild nicht ver¨andert. Mit (25.12) kann man nach Einf¨ uhrung des Beugungswinkels αy schreiben: −κy =

kY 2π = k sin αy = 0, ±κg = 0, ± r0 g

Hieraus folgt die Sinusgittergleichung

sin αy = m

λ g

mit

m = 0, ±1

(25.18)

also die bekannte Beziehung f¨ ur die Beugung am Gitter. Die genauere Theorie unter Verwendung der Fourier-Transformation hat aber zus¨atzlich ergeben, dass bei einem (Ko-) Sinusgitter außer der 0. nur die ±1. Ordnung auftritt. Denkt man sich die 0. Ordnung ausgeblendet, so ergibt eine erneute FourierTransformation einen kosinusf¨ ormigen Verlauf der Beugungsamplitude (ohne Gleichanteil), wie er im Youngschen Doppelspaltversuch bei der Beugung an zwei sehr schmalen Doppelspalten beobachtet wurde (s. Kap. 10.2).

Abb. 25.4. Transmissionsfunktion t(y) eines Strichgitters der Gitterkonstante g, bei dem die Breiten der durchl¨ assigen und undurchl¨ assigen Bereiche gleich groß sind, d.h. Spaltbreite b = g/2

Bei einem Rechteckgitter weist die Transmissionsfunktion einen Rechteckverlauf auf (s. Abb. 25.4), den wir in eine Fourier-Reihe (s. (12.16)) entwickeln:

740

25 Fourier-Optik

1 2 t(y) = + 2 π

1 cos κg y − cos 3κg y + . . . 3

(25.19)

Eine analoge Rechnung wie beim Kosinusgitter liefert dann die Beugungsamplitude 2 1 1 ˆ δ(κy ± κg ) − δ(κy ± 3κg ) + δ(κy ± κg ) − . . . E P ∼ δ(κy ) + π 3 5

(25.20)

mit den Beugungswinkeln Rechteckgittergleichung

sin αy = m

λ g

mit

m = 0, ±1, ±3, ±5, . . . (25.21)

Bei dem vorliegenden Rechteckgitter, dessen Spaltbreite b gerade die H¨alfte der Gitterkonstante betr¨ agt, treten demnach neben der 0. Ordnung nur ungerade Beugungsordnungen (Harmonische) auf. Dies folgt auch aus der in Kapitel 16.6 verwendeten Beschreibung, wonach die Beugungsamplitude das Produkt aus Spalt- und Gitterfaktor ist. Gittermaxima gerader Ordnung fallen mit Minima des Spaltes zusammen, da f¨ ur einen Spalt mit Breite b = g/2 und n = ±1, . . . gerade gilt: sin αmin = nλ/b = 2nλ/g. Wie beim Sinusgitter stimmen die Ortsfrequenzen κy in der Fourier-Ebene wieder mit denen des Objekts u ¨ berein. 25.1.3 Optische Filterung Wird die Fourier-Ebene der Linse L2, in der die Fourier-Transformierte der Apertur entsteht, neue Aperturebene f¨ ur eine Linse L3 (s. Abb. 25.5), die wiederum um die Brennweite f entfernt ist, so f¨ uhrt L3 eine erneute Fourier-Transformation durch und transformiert das Spektrum – da optisch keine inverse FT existiert – in die invertierte urspr¨ ungliche Aperturfunktion. Die Linsenkombination L2/L3 entwirft demnach in dieser sogenannten 4f-Anordnung ein Bild (umgekehrt, gleichgroß und reell) der Apertur. Dies folgt auch einfach aus der Abbildungskonstruktion der geometrischen Optik (s. Abb. 25.5). Jeder Beugungspunkt (X, Y ) der Fourier-Ebene entspricht Ortsfrequenzen Rx , Ry der Aperturfunktion und tr¨ agt nun zur Bildung des Bildes der Apertur bei. Eingriﬀe in die Fourier-Ebene (z.B. Ausblendung einiger solcher Beugungspunkte) m¨ ussen dann auch das Bild ver¨ andern. Bei der Gitterbeugung hatten wir gesehen, dass bei der Fourier-Transformation hohe Ortsfrequenzen feinen Details im Ortsbereich entsprechen – werden sie unterdr¨ uckt (Tiefpassﬁlterung), so m¨ ussen die feinen Strukturen des Bildes verschwinden. Schr¨ankt man, z.B. durch eine Irisblende auf der optischen Achse, den Ortsfrequenzbereich in der Fourier-Ebene immer weiter ein, so wird im Grenzfall Rx , Ry → 0 jegliche Struktur des Bildes

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

741

Abb. 25.5. 4f -Anordnung zur optischen Filterung, mit Apertur-, Fourier- und Bildebene

verschwinden und nur eine gleichm¨ aßig helle Bildebene verbleiben. Mathematisch wird dies durch die Fourier-Transformation der δ-Funktion (s. Kap. (12.3)) F (δ(κy )) = 1

(25.22)

¨ also eine Konstante, beschrieben. Langsames Oﬀnen der Blende l¨asst uns nach und nach ein unscharfes Bild erkennen, das allm¨ahlich immer originalgetreuer ¨ wird, da h¨ ohere Ortsfrequenzen durchgelassen werden. Dem Oﬀnen der Blende entspricht mathematisch die Addition h¨ oherfrequenter Terme der Fourier-Reihe. Optische Filterung ver¨ andert gezielt Bereiche des Ortsfrequenzspektrums und damit das Bild in gew¨ unschter Weise. Ist z.B. die Aperturfunktion ein Rechteckgitter der Gitterkonstante g, so erh¨ alt man wegen (25.20) bei Ausblendung aller Ortsfrequenzen mit κ > 0 ein gleichm¨ aßig helles Bildfeld und bei Ausblenden der Ordnungen mit |m| > 1 ein Kosinusgitter fester Gitterkonstante. Werden nur die Ordnungen m = 0 und ±2 selektiert, dann entsteht als Bild ein Kosinusgitter mit der halben Gitterkonstante (und zus¨ atzlichem Gleichlichtanteil). Als weiteres Beispiel werde als Objekt ein Fernsehbild untersucht, auf dem bekanntlich horizontale Linien auftreten. Die Fourier-Transformierte dieses Bildes wird im Allgemeinen sehr kompliziert und zeitlich schnell ver¨anderlich sein, die Rasterlinien erzeugen jedoch, wie ein Strichgitter, eine Reihe von Beugungspunkten in vertikaler Richtung. Blendet man diese durch einen schmalen lichtundurchl¨ assigen Streifen in Y -Richtung aus, so verschwinden die Linien im rekonstruierten Bild. Abbildung 25.6 zeigt dies f¨ ur eine Diatomee. Nach den bisherigen Ausf¨ uhrungen d¨ urfte verst¨andlich sein, dass eine Blende in der Fourier-Ebene, die nur die Bereiche nahe der optischen Achse, also die niedrigen Ortsfrequenzen durchl¨ asst, als Tiefpass wirkt und damit die feinen Strukturen des Bildes und hochfrequentes Rauschen herausmittelt. Eine Blende, die die niedrigen Frequenzen unterdr¨ uckt, wirkt als Hochpass und verst¨arkt

742

25 Fourier-Optik

Abb. 25.6. Optische Filterung eines Videobildes. a) (Um 90◦ gedrehtes) Videobild einer Diatomee, das vertikale Rasterlinien aufweist. b) Dasselbe Bild nach r¨ aumlicher Filterung; die Rasterlinien sind entfernt

den Bildkontrast durch Ausblendung des Untergrundes; sie hat diﬀerenzierende ¨ Eigenschaften. Eine ringf¨ ormige Oﬀnung arbeitet als Bandpass. Kompliziertere Filter wurden z.B. bei der Bearbeitung von Bildern des Mondes verwendet. In der Praxis werden zur optischen Filterung jedoch heute meist Verfahren der digitalen Bildverarbeitung eingesetzt. 25.1.4 Optische Korrelation Statt Manipulationen in der Fourier-Ebene sollen nunmehr solche in der Bildebene untersucht werden. Bringt man in die Bildebene eines Objekts 1 ein zweites Objekt, z.B. in Form eines Dias, so erh¨alt man die gleiche Aperturfunktion, die sich ergeben w¨ urde, wenn man das (um 180◦ gedrehte) Dia in der Objektebene direkt hinter Objekt 1 bringt. Die Lichtamplitude, die hinter dem Dia zu beobachten ist, h¨ angt hierbei multiplikativ von den Transmissionsfunktionen beider Objekte ab. Erneute Transformation des durchgehenden Lichts durch eine Fourier-Linse L4 f¨ uhrt zu einem einfachen Messverfahren der Korrelation der Transmissionsfunktionen beider Objekte. Ein Detektor im Brennpunkt von L4

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

743

registriert gr¨ oßte Helligkeit oder maximale Korrelation, wenn beide Objekte identisch sind und genau zur Deckung gebracht wurden. Bei Verschiebung eines der Objekte werden Korrelation und Helligkeit reduziert. Anwendung ﬁnden diese Verfahren bei der Erkennung und Z¨ ahlung kleiner Partikel, z.B. Blutk¨orperchen, und bei der Auswertung von Luft- und R¨ ontgenaufnahmen sowie von Fingerabdr¨ ucken. Dies soll nun n¨ aher erl¨ autert werden.

Abb. 25.7. Optischer Korrelator mit den Komponenten optisches Filter und Spektrumanalysator

Wir denken uns als Objekt 1 der Aperturebene den Buchstaben P. Bringen wir in die Bildebene ein Dia (Objekt 2) mit dem Buchstaben P in gleicher Orientierung wie das Objekt, so wird – wegen der Bildumkehr – in der Bildebene die Buchstaben P und d verglichen. Wenn die Nullpunkte (Mittelpunkte der senkrechten Striche) zusammenfallen, liegt in der Bildebene folgendes Gebilde vor: dP. Die Gesamtamplitude des die Bildebene passierenden Lichts erh¨alt man als Integral u ¨ber das Produkt der Transmissionsfunktionen ¨ber tB (x , y )·t2 (x , y ), also u des Bildes d (tB (x , y )) und des Bildﬁlters P (t2 (x , y )). Hierbei bezeichnen x und y Koordinaten der Bildebene. Wegen der Bildumkehr bei der Abbildung gilt hierbei tB (x , y ) = t1 (−x , −y ), wobei t1 die Transmissionsfunktion des Objektes 1 in der Aperturebene ist. Die hinter der Bildebene registrierte Amplitude wird mithin proportional zu ∞ f1,2 (0, 0) =

t1 (−x , −y )t2 (x , y ) dx dy

(25.23)

−∞

Im Allgemeinen werden Objekt 1 bzw. Bild und Objekt 2 um x und y gegeneinander verschoben sein, so dass t1 (−x , −y ) → t1 (x − x , y − y ). In diesem Fall erh¨ alt man die Amplitude als

744

25 Fourier-Optik

Faltungsintegral ∞ t1 (x − x , y − y ) t2 (x , y ) dx dy f1,2 (x, y) = t1 ∗ t2 =

(25.24)

−∞

u ¨ ber die Bildebene3 . Wir wollen die Operation der Faltung durch das Symbol ∗ ¨ charakterisieren. In dem vorliegenden Fall ist die Faltung ein Maß f¨ ur die Ahnlichkeit des Aperturbildes (von Objekt 1) und des Objektes 2, d.h. von verschobenem d und P. ¨ Bei der Operation der Korrelation stellt man die Ahnlichkeit von zwei Signalen oder Objekten fest. Im vorliegenden Fall w¨ urden in der Bildebene die Buchˆ P und man staben P und P verglichen. Dann gilt also tB (x , y ) = t1 (x , y ) = erh¨ alt aus (25.24) die Kreuz-Korrelationsfunktion ∞ c12 (x, y) = t1 ⊗ t2 = t1 (x + x , y + y ) t2 (x , y ) dx dy

(25.25)

−∞

Im Falle exakt gleicher Buchstaben – wie im vorliegenden Fall der verschobenen P – ist t1 = t2 und (25.25) geht in die Autokorrelationsfunktion u ¨ ber: ∞ c11 (x, y) = t1 ⊗ t1 =

t1 (x + x , y + y ) t1 (x , y ) dx dy

(25.26)

−∞

Bei einem Objekt mit Inversionssymmetrie, z.B. bei dem Buchstaben H, gilt t(−x , −y ) = t(x , y ) und Korrelations- und Faltungsintegral stimmen u ¨ berein. Faltung und Korrelation lassen sich am einfachsten in der Fourier-Ebene der Linse L4 – der Ausgangsebene und Fourier-Ebene der Bildebene – auswerten. Hierzu untersuchen wir die Fourier-Transformation der Bildamplitude t1 · t2 :

∞

F (t1 (x + x , y + y ) t2 (x , y )) =

t1 (x + x , y + y ) t2 (x , y ) e−j(κx x +κy y ) dx dy

−∞

(25.27) Beschr¨ anken wir uns bei der Auswertung dieser im Allgemeinen komplizierten Verteilung auf den Nullpunkt der Ortsfrequenz (κx = κy → 0), so registrieren wir dort gerade die Korrelationsfunktion, denn es gilt mit (25.27) und (25.25) 3

Man w¨ ahlt beim Faltungsintegral die Integrationsgrenzen von −∞ bis ∞.

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

lim

κx ,κy →0

745

F (t1 (x + x , y + y )) t2 (x , y ) =

∞ t1 (x + x , y + y ) t2 (x , y ) dx dy = c12 (x, y)

(25.28)

−∞

und ein entsprechendes Ergebnis f¨ ur die Faltung. Nach (25.28) ist die Korrelation durch die Amplitude im Ursprung der Ausgangsebene gegeben, ein im Brennpunkt von L4 platzierter Detektor misst also direkt die Korrelationsamplitude oder – da nur quadratische Detektoren existieren – deren Quadrat, die Intensit¨at. Bei Verschiebung eines der Objekte der Bild- oder Aperturebene um x ¨andert sich die auf der optischen Achse registrierte Intensit¨at und liefert die Kreuzkorrelation ur gleiche Objekte ergibt sich die Autokorrelation c211 (x), die bei x = 0 c212 (x). F¨ – wenn die Objekte zur Deckung gebracht sind – ihren Maximalwert annimmt. Auch gleichzeitige Korrelation mehrerer Objekte ist m¨oglich: Will man z.B. feststellen, ob in 5 nebeneinander liegenden Dias ein bestimmtes Motiv enthalten ist, so muss man in der Bildebene eine Maske mit 5 Kopien dieses Motivs hinter die Dias bringen und als Korrelationslinse eine Zylinderlinse verwenden. Diese misst die eindimensionale Korrelation. An den Stellen, wo Objekt- und Suchfunktion u ¨ bereinstimmen, beobachtet man dann helle Striche in der Ausgangsebene. Statt der Untersuchung der Korrelation in der Bildebene, die im Prinzip technisch einfach zu realisieren ist, kann man auch Verfahren in der Fourier-Ebene anwenden. Man verwendet hier die Methode des Korrelations- oder angepassten (matched) Filters. Ist die Fourier-Transformierte der Gegenstandsverteilung durch F (g(x, y)) = G(κx , κy ) = G(κx , κy ) ejϕ(κx ,κy ) (mit reellem G) gegeben, so muss man ein Filter mit konjugierter Phase (jϕ → −jϕ), also mit der Transmissionsfunktion f (κx , κy ) = f (κx , κy ) e−jϕ(κx ,κy ) in die Filterebene, die Fourier-Ebene, bringen. Hier ergibt sich G · f als Amplitude der geﬁlterten Welle, f¨ ur die bei angepasster Suchfunktion gilt: G · f = G · f , also eine Funktion ohne Phasenfaktor. Dies bedeutet, dass eine zur optischen Achse parallele Welle vorliegt, die von der Linse L3 (s. Abb. 25.5) in einem Punkt vereinigt wird, so dass bei Phasenanpassung in der Bildebene ein heller Punkt auftritt. Diese Methode erscheint sehr einfach und attraktiv. Da aber in der Optik nur phasenunempﬁndliche quadratisch registrierende Detektoren und Speichermedien verf¨ ugbar sind, kann man ein Filter mit der oben geforderten Transmissionsfunktion f nicht ohne Weiteres (z.B. fotograﬁsch) realisieren, denkbar sind digitale Methoden z.B. u ¨ber einen rechnergesteuerten Lichtmodulator (spatial light modulator, SLM). Vander Lugt verwendete ein holograﬁsch hergestelltes matched ﬁlter , das er aus der transformierten Objektwelle und einer

746

25 Fourier-Optik

unter dem Winkel α (zur optischen Achse, s. Abb. 25.2) auf die Fourier-Ebene einfallenden ebenen Referenzwelle ˆ e−jky y R=R

mit

ky = k sin α

ermittelte. Man erh¨ alt f¨ ur die Intensit¨ at der aus Referenzwelle R und transfor¨ das Fouriermierter Ojektwelle F (g(x, y)) = G gebildeten Uberlagerungswelle, Hologramm: |G + R|2 = (G + R)(G∗ + R∗ ) = G2 + R2 + G R∗ + G∗ R ∗

(25.29)

−j(ϕ+ky y)

ˆR ˆe (mit ϕ = ϕ(κx , κy )) stellt den f¨ ur das Der letzte Term G R = G matched ﬁlter gesuchten Term mit konjugierter Phase dar. Die zus¨atzliche Multiplikation mit e−jky y bedeutet, dass die Korrelation nicht auf der optischen Achse, sondern unter einem Winkel α (ky = k sin α), dem Einfallswinkel des Referenzstrahles, beobachtet wird. Die Verwendung der Tr¨ager- oder Referenzwelle verschiebt mithin die Ortsfrequenzen um ky . Die unter Winkel −α auftretende Welle (vorletzter Summand in (25.29) enth¨alt die Faltung von Objekt- und Filterfunktion (s. Faltungstheorem (25.38)). Bringt man das Vander-Lugt-Filter in die Fourier-Ebene und verwendet in der Objektebene verschiedene Testobjekte g1 , g2 , . . ., so tritt bei Korrelation ein Peak in dem Punkt der Bildebene auf, in dem eine unter dem Winkel α einfallende ebene Welle fokussiert w¨ urde. Weitere optische Korrelationsverfahren, die ein Objekt unabh¨angig von Form und Gr¨ oße erkennen k¨ onnen, wurden entwickelt. Inkoh¨arente Verfahren mit besserem Signal-Rausch-Verh¨ altnis sind bekannt. Wegen zahlreicher technischer Probleme (vor allem bei der Justierung) werden jedoch analog-optische Verfahren, trotz der hohen Verarbeitungskapazit¨ at und Geschwindigkeit, kaum zur Mustererkennung verwendet. Man greift statt dessen auf Verfahren der digitalen Bildverarbeitung zur¨ uck. 25.1.5 Optische Abbildung als Faltung Bisher wurden die Bild-Analyse und -Synthese mit koh¨arent optischen FourierMethoden untersucht. Jetzt soll die optische Abbildung mit inkoh¨arentem Licht mit Hilfe der Systemtheorie beschrieben werden. Wir betrachten einen zweidimensionalen Gegenstand (xy-Ebene) und sein Bild (XY -Ebene), das durch ein beliebiges optisches Abbildungssystem erzeugt wird (Achsensysteme s. Abb. 25.1). Bei einer idealen4 optischen Abbildung werden Gegenstandspunkte wieder exakt in Bildpunkte u uhrt. Folglich ist auch (bei Abbildungsmaßstab β = −1) in ¨berf¨ jedem Punkt des Bildes die ideale Bestrahlungsst¨arke Iid (X, Y ) = IO (x, y), also gleich der Strahldichte eines entsprechenden Objektpunktes. Bei einer realen 4

Wir unterscheiden: Ideale Abbildung = Abbildung ohne Bildfehler und ohne Beugung. Perfekte Abbildung = Abbildung ohne Bildfehler aber mit Beugung.

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

747

Abbildung wird das von einem Objektpunkt ausgehende Licht aufgrund von Bildfehlern und Beugung im Bildraum zu Bildscheibchen verschmiert. Das gesamte ¨ Bild resultiert aus der Uberlagerung dieser Bildﬂecke. In einem linearen System u ¨ berlagern sich diese Antworten“ der Objektpunkte im Bildbereich ungest¨ort, ” also linear. Die reale Bestrahlungsst¨ arke im Bildbereich sei dann IB (X, Y ). Das Ergebnis der Transformation der Objektintensit¨at IO (x, y) in die Bildintensit¨at angt vom optischen System ab und werde allgemein durch einen AbIB (X, Y ) h¨ bildungsoperator A beschrieben, so dass optische Abbildung

IB (X, Y ) = AIO (x, y)

(25.30)

In linearen Systemen gilt das Linearit¨ atsgesetz: Setzt sich die Objektverteilung IO (x, y) entsprechend IO = k1 IO1 + k2 IO2

(25.31)

aus zwei Verteilungen (Objekten) variierender Helligkeit (= ˆ beliebigen Konstanur die resultierende Bildfunktion ten k1,2 ) zusammen, so gilt f¨ IB = AIO = k1 AIO1 + k2 AIO2 = k1 IB1 + k2 IB2

(25.32)

Teilbilder u ¨ berlagern sich hiernach ebenso wie Teilobjekte ungest¨ort, d.h. unabh¨ angig voneinander und eine Erh¨ ohung der Eingangsintensit¨at auf das k-fache erh¨ oht die Ausgangsgr¨ oße um denselben Faktor, da A(kIO ) = kAIO = kIB . Nichtlinearit¨ at tritt bei den Linsen von Objektiven erst bei sehr hohen Intensit¨ aten (s. Kap. 26, nichtlineare Optik) und bei fotograﬁschen Filmen bei niedrigen und hohen Intensit¨ atswerten auf. Der Abbildungsoperator wird meist mit Hilfe der Punktbildfunktion (PSF = point spread function) h(x, y; X, Y ), das Bild eines Objekt-(Delta-) Punktes, der = y gelegen ist, beschrieben: im Objektraum bei xO = x und yO PSF bei Ortsvarianz

h(x, y; X, Y ) = A δ(xO − x, yO − y)

(25.33)

Hierbei ist die PSF vierdimensional und abh¨angig von Objektlage (x, y) und Bildpunktlage (X, Y ). Eine wesentliche Vereinfachung l¨asst sich bei Ortsinvarianz erzielen. Dann ist Ortsinvarianz

h(x, y; X, Y ) = h(X − x, Y − y)

(25.34)

also nur noch eine Funktion von zwei Ver¨ anderlichen5 . Bei Ortsinvarianz gen¨ ugt es dann, die Antwort des Systems auf einen Objektpunkt auf der optischen Achse 5

Die Form der PSF ist demnach bei vorgegebenem Abstand X − x von Bild- und Objektpunkt unabh¨ angig von deren Lage x und X in Objekt- und Bildraum. Diese

748

25 Fourier-Optik

zu untersuchen. Wir erhalten in diesem Fall anstatt (25.33) f¨ ur die Punktbildfunktion eines ortsinvarianten optischen Systems: h(X, Y ) = A δ(0, 0)

PSF bei Ortsinvarianz

(25.35)

Die Punktbildfunktion (PSF, point spread function“) eines optischen Sys” tems ist das Bild eines Objektpunktes (Deltapunkt); bei Ortsinvarianz ist ihre Form unabh¨ angig von dessen Lage in der Objektebene. Wegen der Linearit¨ at des Systems ist dann die gesamte Bildintensit¨at IB im ¨ Punkt X, Y die Uberlagerung der Punktbildfunktionen aller Objektpunkte, die noch mit deren Intensit¨ at IO (x, y) zu wichten ist: IB (X, Y ) = h(X − x, Y − y)IO (x, y) dx dy (25.36) Bildintensit¨at

Der Vergleich mit (25.24) zeigt: Die optische Abbildung wird durch die Faltung von Objekt- und Punktbildfunktion beschrieben. Wir k¨ onnen dies auch durch die symbolische Schreibweise ausdr¨ ucken: IB = h ∗ IO = IO ∗ h

(25.37)

Dabei ist das Faltungsintegral kommutativ. Seine Fourier-Transformation erf¨ ullt ¨ 25.5) das wichtige (s. Ub. Faltungstheorem

F (IB ) = F (h ∗ IO ) = F (h)F (IO ).

(25.38)

Einer Faltung im Ortsraum entspricht somit eine Multiplikation im Fourier¨ Raum. Ahnlich wie bei der Beugung ergibt die Fourier-Transformation der Objektintensit¨ at das Ortsfrequenzspektrum der Intensit¨atsverteilung des Objektes an (bei der Beugung erhielten wir das Spektrum der feldst¨arkebezogenen Transmissionsfunktion). Dann besagt (25.38): Das Ortsfrequenzspektrum der Bildintensit¨at ist das Produkt der Frequenzspektren (Fourier-Transformierten) von Objekt- und Punktbildfunktion. Voraussetzung ist bei Bildfehlern (man denke z.B. an die Koma) nicht erf¨ ullt. Optische Systeme weisen nur lokale Ortsinvarianz in der Umgebung eines Bildpunktes – im sog. Isoplanasie-Gebiet – auf.

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

749

Die Fourier-Transformierte der Punktbildfunktion, also F (h(X, Y )), bezeich¨ net man als optische Ubertragungsfunktion, sie ist im Allgemeinen komplex (s. Kap. 25.1.6). Damit gibt es zwei gleichwertige Beschreibungen eines optischen Systems: a) mit Hilfe der Punktbildfunktion und ¨ b) mit der Fourier-Transformierten der PSF, der optischen Ubertragungsfunktion. Beispiel 25.1 Faltung von Rechteckfunktionen Berechnen Sie die ein- und zweidimensionale Faltung von zwei gleichen Rechteckfunktionen der H¨ ohe 1 und Breite 1, also – im eindimensionalen Fall – von f (x) = g(x) = rect(x) x sowie von 2 ungleichen Funktionen f (x) = 3 rect(x) 1 und g(x) = 3 rect 3 , wobei g ein Rechteck der H¨ohe 1/3 und Breite 3 ist (s. rect-Funktion (12.13)). L¨ osung Die Faltung ∞ (s. (25.36)) erfordert die Berechnung von I(X) = −∞ f (X − x) · g(x) dx. Wir haben demnach f¨ ur ein festes X die Fl¨ ache unter der Produktfunktion f (X − x) · g(x) zu ermitteln. Die entsprechenden Fl¨ achen sind in Abb. 25.8 schraﬃert. Dort ist auch der Verlauf des Faltungsprodukts angegeben. Wir sehen außerdem, wie man f¨ ur gleiche Rechtecke die Fl¨ ache f¨ ur eine beliebige Verschiebung X berechnet. F¨ ur |X| < 1 wird die Fl¨ ache 1 − |X| und damit gilt hier I(X) = rect(x) ∗ rect(x) = 1 − |X|, ein Dreiecksverlauf. Bei der zweidimensionalen Faltung w¨ urde sich im ersten Fall eine quadratische Pyramide und im anderen Fall ein Pyramidenstumpf ergeben. Ankn¨ upfend an Beispiel 25.1 wollen wir das Faltungsintegral (25.36) interpretieren. Wir nehmen an, dass die PSF des optischen Abbildungssystems durch h(X, Y ) = rect(X) · rect(Y ) (= ˆ der Funktion yf des Beispiels) gegeben ist und x wir ein Quadrat mit IO = g = rect 3 · rect 3 abbilden wollen. Dann besagt (25.36), dass zur Bildintensit¨ at IB im Punkt X, Y nicht nur – wie bei idealer 1:1Abbildung (und Vernachl¨ assigung der Bildumkehr) – der bei x = X und y = Y gelegene Objektpunkt beitr¨ agt, sondern aufgrund der verbreiterten PSF auch benachbarte Punkte zu ber¨ ucksichtigen sind. Wir wollen zun¨achst den Bildpunkt auf der optischen Achse (X = 0, Y = 0) untersuchen, dann gilt h(−x, −y) · IO (x, y) dx dy IB (0, 0) = d.h. alle Objektpunkte innerhalb des Rechtecks (der Breite 1) der PSF tragen mit der St¨ arke 1 bei, da die Begrenzung der Objektfunktion (Breite 3) außerhalb

750

25 Fourier-Optik

der Grenze der PSF liegt (s. Abb. 25.8). Dies triﬀt z.B. f¨ ur einen Bildpunkt bei X = −1,5, Y = 0 nicht mehr zu. Hier liegt die H¨alfte der Objektpunkte außerhalb der Berandung der PSF und die Bildhelligkeit sinkt auf den halben Wert. Wir bekommen dann insgesamt als Bild des Objekts die in Abb. 25.8 dargestellte Trapezverteilung.

Abb. 25.8. Faltung von Rechteckfunktion: Die Faltung von zwei gleichen Rechteckfunktionen ergibt die (gestrichelt) und die der ungleichen Funktionen Dreiecksfunktion 3 rect(x) und 13 rect x3 die Trapezfunktion (s. Beispiel 25.1)

Als Beispiel zur Anwendung des Faltungstheorems w¨ahlen wir die Beugung am Gitter: Wir hatten in Kapitel 16 gesehen, dass die Beugungsamplitude durch das Produkt von Gitter- und Spaltfaktor gegeben ist, den Fourier-Transformierten der zugeh¨ origen Aperturfunktionen. Gem¨ aß dem Faltungstheorem entspricht diesem Produkt im Fourier-Raum (Beugungsebene) im Ortsraum eine Gitterapertur, die sich aus der Faltung der Aperturfunktionen des Einzelspalts und eines Gitters aus δ-Spalten ergeben muss. Letzteres wird anhand von Abb. 25.9 verdeutlicht. Die mathematische Best¨ atigung gelingt mit Hilfe der Deltafunktion. Faltung einer Funktion f (x) mit der Deltafunktion ergibt wieder die urspr¨ ungliche Funktion f (x) ∞ f (x )δ(x − x ) dx = f (x) ∗ δ(x) (25.39) f (x) = −∞

denn Faltung entspricht dem Schieben“ der Funktion δ(x − x ) entlang der ge” samten Funktion f (x ). Hierbei wird an jedem Punkt x = x0 aufgrund der ∞ Ausblendeigenschaft f (x0 ) = f (x)δ(x − x0 ) dx (25.40) −∞

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

751

der entsprechende Funktionswert ausgeblendet und schließlich die urspr¨ ungliche Funktion reproduziert. Das δ-Gitter der Gitterkonstante g mit N Strichen kann als Summe von δFunktionen6 dargestellt werden:

N/2

tδ (x) =

δ(x − ng)

(25.41)

n=−N/2

Abb. 25.9. Entstehung der Aperturfunktion eines Gitters durch Faltung der Aperturfunktionen von δ-Gitter (Kammgitter) und Einzelspalt

Die Faltung der Transmissionsfunktionen des δ-Gitters und des Spaltes der Spaltbreite b (= rect-Funktion s. (12.13)) ergibt – wie verlangt – die Aperturfunktion t(x) des Rechteckgitters (12.14):

t(x) = rect

x b

∗ tδ (x) = rect

x b

N/2

∗

n=−N/2

N/2

δ(x − ng) =

n=−N/2

rect

x − ng b

(25.42) Wir fassen zusammen: Die Aperturfunktion des Gitters entsteht durch Faltung der Transmissionsfunktionen von Spalt und δ-Gitter, w¨ ahrend sich die Beugungsamplitude als das Produkt der Beugungsamplituden von Spalt und δ-Gitter ergibt. Die Bedeutung des Faltungstheorems liegt unter anderem darin, dass eine Multiplikation einfacher als die Faltungsoperation auszuf¨ uhren ist. Man umgeht deshalb h¨ auﬁg die Faltung dadurch, dass man die Einzelfunktionen fouriertransformiert, dann multipliziert und das Ergebnis anschließend wieder r¨ ucktransformiert. 6

F¨ ur N → ∞ wird diese Funktion als Kammfunktion (comb-function) bezeichnet.

752

25 Fourier-Optik

¨ 25.1.6 Systembeschreibung mit Hilfe der Ubertragungsfunktion Die Angabe des Aufl¨ osungsverm¨ ogens (s. Kap. 16.4) reicht in der Regel nicht zur Kennzeichnung eines optischen Systems aus. Man beschreibt das System ¨ meist durch richtungs- und ortsabh¨ angige (komplexe) optische Ubertragungs funktionen (Optische Transfer-Funktion, OTF) D(R), die sich aus der FourierTransformation der zugeh¨ origen Punktbildfunktionen ergeben ¨ optische Ubertragungsfunktion

= T (R) ejΘ(R) = F (h(X, Y )) (25.43) D(R)

ist die Fourier-Trans¨ Die optische Ubertragungsfunktion (OTF) D(R) = D(R) ist formierte der Punktbildfunktion h(X, Y ), ihr Betrag T (R) = die Modulations¨ ubertragungsfunktion (MTF) und ihr Argument Θ(R) die Phasen¨ arg(D(R)) ubertragungsfunktion (PTF) ¨ Diese Ubertragungsfunktionen werden in der Regel als Funktion der Ortsfrequenz R = (Rx , Ry ) angegeben (man verwendet die Frequenz in Linienpaaren pro L¨ ange, also LP/mm, nicht die Ortskreisfrequenz κ = 2πR in rad/m). Ein gutes optisches System, das eine Abbildung ohne Informationsverlust leisten soll, muss dann einen m¨ oglichst breiten Ortsfrequenzbereich (insbesondere auch hohe Frequenzen entsprechend feinen Details) wiedergeben. Die Phasen¨ ubertragungsfunktion beschreibt eine Verschiebung des Bildes gegen¨ uber dem Objekt. Bei der Abbildung eines Rechteckgitters w¨ urde z.B. f¨ ur Θ = π im Bild eine Vertauschung von durchl¨ assigen und undurchl¨ assigen Bereichen auftreten (Kontrastumkehr). ¨ Wir wollen nun Messverfahren zur Bestimmung der optischen Ubertragungsfunktion kennen lernen. Wie im vorigen Abschnitt ausgef¨ uhrt, ist die OTF gleich der Fourier-Transformierten der Punktbildfunktion h(X, Y ). Diese Deﬁnition legt eines der Messverfahren fest: Man misst die Punktbildfunktion (wegen der Ortsvarianz mehrere, auch außerhalb der optischen Achse) und bestimmt rechnerisch ¨ die Fourier-Transformierte und damit die zweidimensionale Ubertragungsfunkti¨ on D(Rx , Ry ). Punktbildfunktionen und damit optische Ubertragungsfunktionen sind richtungsabh¨ angig, es wird also im Allgemeinen keine rotationssymmetrische Punktbildfunktion entstehen. Dies erh¨ oht den Mess- und Rechenaufwand erheblich, man bestimmt deshalb h¨ auﬁg die eindimensionale Linienbildfunktion (LSF, line spread function) – das Bild eines (theoretisch unendlich schmalen) Linienspaltes – in sagittaler (radialer) und meridionaler (tangentialer) Richtung und hieraus durch schnelle Fourier-Transformation (s. Kap. 25.2) die eindimensionalen OTF in den dazu senkrechten Richtungen der Ortsfrequenzebene. Eine andere M¨ oglichkeit zur Ermittlung der OTF beruht auf der Deﬁnition ¨ der Ubertragungsfunktion (25.43) und dem Faltungstheorem (25.38)

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

= F (h(x, y)) = D(R)

F (IB ) B(R) = F (IO ) O(R)

753

(25.44)

Man bestimmt also f¨ ur ein beliebiges Objekt und das zugeh¨orige Bild mit den und B(R) Intenst¨ atsverteilungen IO und IB die Fourier-Transformierten O(R) ¨ und errechnet die Ubertragungsfunktion D(R) als Quotient. Dieses Verfahren ¨ wird zur Kennzeichnung des Ubertragungsverhaltens von fotograﬁschen Filmen herangezogen. Problematisch sind große Fehler und Schwankungen bei kleinen (s. (25.44)). Werten oder Nullstellen von O(R)

Abb. 25.10. a) Verlauf von Objektintensit¨ at IO und Bildintensit¨ at IB bei einem Sinusgitter mit der Ortsfrequenz R = 1/g und 1:1-Abbildung. b) Modulations¨ ubertragungsfunktion als Funktion der Ortsfrequenz f¨ ur drei verschiedene optische Systeme

Eine dritte Methode verwendet das von der Bestimmung des Frequenzganges (z.B. eines elektrischen Verst¨ arkers) bekannte Verfahren des harmonischen Eingangssignals, d.h. man untersucht die Abbildung von Sinusgittern7 (s. Abb. 25.10) durch das optische System. Das Sinusgitter gibt als Eingangssignal f (x) = f0 + fˆ ejκx

(25.45)

Bei einem linearen System entsteht hieraus ein sinusf¨ormiges Ausgangssignal g(X), d.h. wieder ein (evtl. phasenverschobenes) Sinusgitter mit ge¨anderter Amplitude. Bei 1 : 1-Abbildung ist X = x, und wir k¨onnen schreiben: g(x) = g0 + gˆ ejκx 7

(25.46)

Meist rotierende Rechteckgitter, bei denen die h¨ oheren Harmonischen elektronisch unterdr¨ uckt werden.

754

25 Fourier-Optik

Die Bildintensit¨ at g(x) entsteht andererseits durch Faltung von (25.45) mit der PSF h(x) g(x) = h(x) ∗ f (x) =

h(x )f0 dx +

h(x )fˆ ejκ(x−x ) dx

g(x) = f0 D(0) + fˆ ejκx D(R)

(25.47)

= h(x ) e−jκx dx (s. (25.43)) und κ = 2πR. da D(R) Im Falle eines harmonischen Eingangssignals geht – entsprechend (25.47) – die Faltung in eine Multiplikation u ¨ber. Wir k¨onnen dann nach (25.45) bis (25.47) ¨ die Ubertragungsfunktion folgendermaßen ermitteln: ¨ Ubertragungsfunktion

D(R) =

gˆ gˆ = ejΘ(R) ˆ f fˆ

(25.48)

ergibt sich damit als Verh¨altnis der ¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion D(R) komplexen Amplitude des Sinusgitters der Ortsfrequenz R im Bildraum zu der des Gitters im Objektraum. F¨ ur einen Abbildungsmaßstab = 1 ist D mit f0 /g0 zu multiplizieren. Hiermit erh¨ alt man f¨ ur den Betrag von D, die ¨ Modulations-Ubertragungsfunktion (MTF)

T (R) =

gˆ/g0 MB ≡ ˆ M O f /f0

(25.49)

und f¨ ur die PTF Θ(R) = arg(ˆ g /fˆ) Hierbei ist MB,O die Modulation (oder der Kontrast) von Bild bzw. Objekt (s. Kap. 10.1), die deﬁniert ist als Modulation

M=

Imax − Imin Imax + Imin

(25.50)

Der Kontrast erreicht f¨ ur Imin = 0 den Maximalwert M = 1. Durch Einsetzen von IB = g(x) (25.46) und IO = f (x) in (25.50) best¨atigt man leicht (25.49): Die Modulations¨ ubertragungsfunktion MTF ist das Verh¨altnis von Bildmodulation zu Objektmodulation (s. Abb. 25.10), die PTF Θ(R) beschreibt die gegenseitige Verschiebung von Objekt- und Bildgitter.

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

755

25.1.7 Modulations¨ ubertragungsfunktion der perfekten Abbildung Die perfekte oder maximal beugungsbegrenzte Abbildung liegt bei einem System ohne optische Abbildungsfehler vor. Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist ¨ die Beugung unvermeidlich, so dass die entsprechende beugungsbegrenzte Ubertragungsfunktion die bestm¨ ogliche darstellt und damit von besonderer Bedeutung ist; allerdings ist ihre Berechnung f¨ ur eine kreisf¨ormige Apertur (Linsensystem) etwas schwierig. Wir betrachten deshalb den eindimensionalen Fall einer Zylinderlinse der Breite b und berechnen die PSF f¨ ur einen weit von der Linse entfernten Objektpunkt δ(x, y) – oder eine δ-Linie δ(y). In diesem Fall triﬀt eine ebene Welle auf die Linse, die wir als beugenden Spalt in x−Richtung der Breite b plus ideale Zylinderlinse großen Durchmessers ansehen. Die PSF h(Y ) in der Brennebene stimmt dann mit dem Beugungsbild des Spaltes, der Spaltfunktion u ¨ berein, die wir aus Kapitel 16 (s. (16.12) und Abb. 16.2) u ¨ bernehmen: h(Y ) ∼ sinc2 β ≡ sinc2 (πRm Y )

PSF der Zylinderlinse

(25.51)

mit β = 2y = k2 b sin α ≈ π λfb Y = πRm Y . Hierbei haben wir die Gr¨oße uhrt, die vom System maximal u Rm = λfb eingef¨ ¨ bertragbare Ortsfrequenz, wie wir noch sehen werden. Mit der Blendenzahl K = f /b des Objektivs wird 1 . Die Intensit¨ atsverteilung der Spaltbeugung muss nun hinsichtlich Rm = Kλ ihres Ortsfrequenzspektrums untersucht werden, d.h. wir suchen die FourierTransformierte: k b

D(R) ∼ F (sinc2 (πRm Y ))

(25.52)

Wir hatten in Kapitel 12 (s. (12.24)) gezeigt, dass die Transformation der Rechteckfunktion die sinc-Funktion ergibt. Aus (25.5) folgt dann die Umkehrung R (25.53) F (sinc(πRm Y )) ∼ rect Rm Um hiermit (25.52) berechnen zu k¨ onnen, wenden wir den reziproken Faltungs¨ 25.5) an: satz (s. (25.38) u. Ub. F (f · g) ∼ F (f ) ∗ F (g)

(25.54)

Damit wird: D(R) ∼ F (sinc (πRm Y )) ∼ rect 2

R Rm

∗ rect

R Rm

(25.55)

Die Faltung von zwei Rechteckfunktionen wurde bereits in Bsp. 25.1 diskutiert; man erh¨ alt damit f¨ ur

756

25 Fourier-Optik

¨ Ubertragungsfunktion der Zylinderlinse

D(R) =

⎧ ⎨1 − ⎩

mit Rm =

|R| Rm

f¨ ur |R| ≤ Rm

(25.56)

f¨ ur |R| > Rm

0

1 f und K = (Blendenzahl) Kλ b

Eine Bild¨ ubertragung ist demnach bis zu maximalen Ortsfrequenzen von Rm = 1 m¨ o glich. Eine Verkleinerung der Blende reduziert die maximal u ¨bertragbare Kλ Ortsfrequenz. Ankn¨ upfend an (16.23) ist klar, dass obiges Ergebnis auch f¨ ur die perfekte Abbildung einer Linse mit quadratischer Apertur gilt. Bei einer Lochblende w¨ aren in (25.54) zwei Kreisfunktionen“- rotationssymme” trische Rechteckfunktionen – zu falten. Man erh¨alt nach l¨angerer Rechnung f¨ ur die Linse mit kreisf¨ormiger Apertur ¨ Ubertragungsfunktion ˜2 ˜−R ˜ 1−R ˜ = 2 arccos R ˜ ≤1 D(R) f¨ ur |R| π

(25.57)

˜ = R sowie und dem Linsen- bzw. Blendenmit der reduzierten Ortsfrequenz R Rm durchmesser d. ¨ In Abb. 25.11 ist der Verlauf der perfekten Ubertragungsfunktionen von Linsen mit kreisf¨ ormiger ( Linse“) und Spalt bzw. quadratischer Apertur ( Zylinder” ” linse“) verglichen, beide zeigen Tiefpassverhalten. Der Verlauf realer MTF liegt bei vorgegebener Blende immer unterhalb der beugungsbegrenzten. Bereits kleine ¨ Bildfehler verschlechtern das Ubertragungsverhalten erheblich, in Abb. 25.11 ist die diﬀraktive Transferfunktion mit sph¨ arischer Aberration bei einer Abweichung von λ/4 von der idealen Wellenfront gezeigt. Als Maß f¨ ur die Beugungsbegrenzung verwendet man das Strehlverh¨altnis (genauer: Strehlsche Deﬁnitionshelligkeit): Strehlverh¨altnis

S=

Imax,r Imax,i

(25.58)

Hierbei ist Imax die Maximalintensit¨ at der PSF eines r(ealen) bzw. i(dealen) Systems. F¨ ur S > 0,8 spricht man von beugungsbegrenzt. S = 1 gilt f¨ ur ein perfektes System, wir nennen es auch maximal beugungsbegrenzt. Wie erw¨ ahnt (s. (25.56)) sinkt die maximale Ortsfrequenz bei kleinerer Blende und gr¨ oßerer Blendenzahl K. Dies steht scheinbar im Widerspruch zu der Erfahrung des Fotografen, wonach Blende zu“ gerade bei einfachen Objektiven ” bessere“ Bilder ergibt – und dies nicht allein aufgrund des erweiterten Sch¨arfen” tiefebereichs. Zur Erl¨ auterung m¨ ussen wir beachten, dass bei einer fotograﬁschen Aufnahme das Kameraobjektiv immer Teil einer Abbildungskette Objektiv –

25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung

757

Abb. 25.11. Modulations¨ ubertragungsfunktion von perfekten Linsen mit Spalt- und Quadrat-Apertur Zylinderlinse“ und einer Kreisapertur Linse“ als Funktion der re” ” duzierten Ortsfrequenz. (OTF und MTF stimmen hier u ¨ berein)

Filmnegativ – Vergr¨ oßerer – Positivﬁlm – Auge ist. Die gesamte MTF ist das ¨ Produkt der einzelnen Ubertragungsfunktionen: Dges = D1 D2 D3 . . .

(25.59)

In der Praxis lassen sich f¨ ur Aufnahmen u ¨ blicher Gr¨oße Ortsfrequenzen von etwa 40 bis 60 LP/mm erreichen. Bei Betrachtung der ersten Glieder der Kette verhindern bei einem guten Objektiv mit weit ge¨oﬀneter Blende Bildfehler und Filmk¨ ornung die Registrierung von Ortsfrequenzen R 100 LP/mm. Schließt man die Blende des Objektivs, so werden die geometrisch optischen Bildfehler reduziert, das Objektiv wird besser“; erst bei Blendenzahlen K 16 dominiert ” die Beugungsverbreiterung, das Objektiv ist dann beugungsbegrenzt.

758

25 Fourier-Optik

25.2 Fourier-Spektroskopie Fourier-Spektroskopie stellt eine elegante Alternative zur herk¨ommlichen Spektralanalyse dar. Ihr wesentlich besseres Signal-Rauschverh¨altnis (Signal to Noise Ratio, SNR) hat zu verbreiteter Anwendung in Industrie und Forschung gef¨ uhrt. Da der auf einen Detektor treﬀende Photonenstrom statistisch schwankt, erzeugen Photonen ein Eigenrauschen (Schrotrauschen), dessen SNR proportional zur ¨ at)1/2 ist. Uberwiegt die(Signalleistung)1/2 und damit proportional zur (Intensit¨ ser Rauschanteil, so steigt oﬀenbar das SNR mit der auf den Detektor treﬀenden Leistung an. Beim Fourier-Spektrometer hat die gegen¨ uber dem konventionellen Spektrometer erh¨ ohte verf¨ ugbare Signalleistung zwei Ursachen: 1. Die große Eingangsapertur und der fehlende Austrittsspalt bedingen eine große Signalleistung an Ein- und Ausgang, was man als Jacquinot-Vorteil bezeichnet. 2. W¨ ahrend am Ausgang eines klassischen Spektrometers nur die in einem von insgesamt N Wellenl¨ angenintervallen enthaltene Lichtleistung registriert wird, analysiert hier der Detektor jederzeit die Leistung des gesamten √ untersuchten Spektralbereichs, was das SNR zus¨atzlich um den Faktor N verbessert; dies ist der Fellgett- oder Multiplex-Vorteil. Fourier-Spektroskopie wird also nicht – wie beim Prismen- oder Gitterspektrometer – durch Spalte begrenzt, die zu einem bestimmten Zeitpunkt Wellenl¨angenintervall (und damit Aufl¨ osung) und Strahlungsenergie bestimmen. Ein Fourier-Spektrometer kann mit Hilfe eines Michelson-Interferometers, das eine große Apertur aufweist, realisiert werden. Wir werden zeigen, dass die Fourier-Transformierte des bei Bewegung eines Spiegels registrierten Interferogramms der beiden Teilstrahlen gerade gleich dem Spektrogramm oder Leistungsspektrum des Eingangssignals ist. Abbildung 25.12 zeigt schematisch ein Michelson-Interferometer mit Strahlenteiler ST und Lichtquelle L sowie festem (S2 ) und beweglichem Spiegel S1 . Das Interferogramm wird von dem Detektor ¨ D registriert. Wir betrachten zun¨ achst die Uberlagerung von zwei ebenen Wellen gleicher Amplitude mit: ˆ ej(ωt−kx1 ) E1 = E

ˆ ej(ωt−kx2 ) und E 2 = E

(25.60)

Diese Wellen weisen aufgrund des Wegunterschiedes einen Gangunterschied ∆ ≡ x = x2 − x1 auf, der gleich der doppelten Spiegelverschiebung ∆x ist. Die registrierte Intensit¨ at I ∼ (E1 + E2 )2 wird dann (s. Zweistrahlinterferenz, Kap. 10): Ik = 2I0 (k) (1 + cos kx)

(25.61)

Gleichung (25.60) gilt f¨ ur monofrequente Wellen, die bei einem breitbandigen Spektrum nur in Intervallen der Breite dk vorliegen. Dann sind in (25.61) Ik und

25.2 Fourier-Spektroskopie

759

Abb. 25.12. Bauelemente eines Michelson-Interferometers, das zur FourierSpektroskopie verwendet wird. Der bewegliche Spiegel S1 kann maximal um ∆xm verschoben werden

I0 (k) als dI/dk also auf das Intervall dk bezogene Intensit¨aten zu verstehen. Die integrale Intensit¨ at des Spektrums ist gegeben durch: ∞ ∞ ∞ Ik dk = 2I0 (k) dk + 2I0 (k) cos kx dk (25.62) I= 0

0

0

Der erste x-unabh¨ angige Term ist die Gesamtintensit¨at aller spektralen Kompo¨ nenten. Der zweite Term beschreibt die Anderung der Intensit¨at aufgrund von Interferenz, die zu positiven und negativen Abweichungen von dem konstanten Term f¨ uhrt. Wir schreiben f¨ ur diesen x-abh¨angigen Term, das Interferogramm: ∞ I0 (k) cos kx dk (25.63) I(x) = 0

mit der Fourier-Transformierten, dem Spektrogramm

2 I0 (k) = π

∞

I(x) cos kx dx

(25.64)

0

Die Fourier-Transformation des Interferogramms liefert somit das gesuchte Frequenzspektrum I0 (k) bzw. I0 (f ) (mit f = ω/2π = ck/2π) des Eingangssignals. Zur Ermittlung des genauen Spektralverlaufs (mit beliebig großer Frequenzaufl¨ osung) muss nach (25.64) u ¨ber ein unendlich großes x-Intervall integriert

760

25 Fourier-Optik

werden, im praktischen Experiment wird aber die Verschiebung nur u ¨ber ein Fenster der Breite xm (= 2 × maximale Spiegelverschiebung ∆xm ) erfolgen und deshalb nur eine endliche Aufl¨ osung erreicht. Diese folgt aus der Unsch¨arferelation (12.31), wonach ∆f · ∆t ≈ 1; die Zeitunsicherheit betr¨agt ∆t = xm /c und somit ur das minimal detektierbare wird ∆f = c/xm . Mit df /f = −dλ/λ folgt dann f¨ Wellenl¨ angenintervall ∆λ =

λ2 xm

(25.65)

und f¨ ur das (wie beim klassischen Spektrometer deﬁnierte) Auﬂ¨osungsverm¨ogen

A=

λ xm = ∆λ λ

(25.66)

mit xm = 2∆xm und der maximalen Spiegelverschiebung ∆xm . Man sieht, dass große (wellenl¨ angenbezogene) Spiegelverschiebungen eine hohe Aufl¨osung zur Folge haben. Verschiebung eines Spiegels um 0,5 cm bewirkt xm = 1 cm, hiermit erreicht man bei λ = 500 nm ein Aufl¨osungsverm¨ogen von 2 · 104 und eine Wellenl¨ angenaufl¨ osung von ∆λ = 0,025 nm. Spektrometer mit Verschiebungen im m-Bereich und Aufl¨ osungen gr¨oßer 105 wurden realisiert. Beispiele einfacher Interferogramme sind in Abb. 25.13 wiedergegeben. Bei b wird durch die drei violetten Hg-Linien (400 bis 440 nm) eine Schwebung entsprechend drei unterschiedlichen Frequenzen erzeugt und bei c beobachtet man das Ergebnis ¨ der Uberlagerung von sieben Hg-Linien (bei 400 bis 580 nm) unterschiedlicher Amplitude.

Abb. 25.13. Interferogramme eines Michelson-Interferometers f¨ ur verschiedene Lichtquellen: a) Helium-Neon-Laser. b) Quecksilberquelle mit Violettﬁlter. c) Quecksilberquelle ungeﬁltert

25.2 Fourier-Spektroskopie

761

Bei der Fourier-Transformation (25.64) des Spektrogramms m¨ ussen einige Punkte beachtet werden. Die Beschr¨ ankung des Integrationsintervalls auf 0 − xm f¨ uhrt – auch bei einem monofrequenten Eingangssignal – zu einem Kosinuswellenzug endlicher L¨ ange xm bzw. Dauer τ0 = xm /c, dessen Frequenzspektrum nach (12.34) durch eine sinc-Funktion um die Zentralfrequenz f0 beschrieben wird. Diese weist Seitenbanden auf (s. Abb. 12.10), die im idealen monofrequenten Frequenzspektrum (δ-Funktion) nicht vorkommen. Um diese Artefakte zu unterdr¨ ucken, verwendet man das Verfahren der Apodisation ( Fensterln“), d.h. man ” ¨ vermeidet den abrupten Ubergang an den Enden des x-Fensters durch Multiplim /2 kation mit einer Fensterfunktion (z.B. mit cos2 ( x−x ) = Hanning-Fenster ), die xm problemangepasst sein muss. Hierdurch werden Seitenbanden unterdr¨ uckt oder abgeschw¨ acht. Die Fourier-Transformation wird mit einem Digitalrechner als diskrete FourierTransformation (DFT ) durchgef¨ uhrt, also statt eines Integrals als Summe u ¨ber diskrete Abtastwerte der Intensit¨ at Ii an den Punkten xi mit zugeh¨origen diskreten Frequenzspektren, die sich periodisch wiederholen. Um bei der DFT Fehler zu vermeiden, muss das Abtastintervall ∆x zwischen zwei Abtastwerten entsprechend dem Nyquist-Kriterium des Abtasttheorems gew¨ahlt werden: ∆x ≤

Abtasttheorem

λmin 2

(25.67)

Hierbei ist λmin die kleinste im Messintervall vorkommende Wellenl¨ange. Bekannter ist das Nyquist-Theorem im Zusammenhang mit Zeitsignalen, wo die Abtastfrequenz fa > 2fg (mit fg = Grenzfrequenz) sein muss. So wird z.B. bei der CD (compact disc) fa = 44 kHz verwendet, um die maximale H¨orfrequenz von etwa 20 kHz wiedergeben zu k¨ onnen. Nichtbeachtung des Abtasttheorems f¨ uhrt zur ¨ Uberlappung der periodischen Spektren und damit zum Auftreten verf¨alschter sogenannter Aliasfrequenzen. F¨ ur einen bei λ = 300 nm beginnenden Spektralbereich (obere Grenze zun¨ achst beliebig) darf dann das Abtastintervall nach (25.67) h¨ ochstens ∆x = 150 nm betragen. Ist, wie im obigen Beispiel, xm = 1 cm, so wird die Zahl der erforderlichen Abtastpunkte: N=

10−2 m xm = ≈ 67 000 ∆x 1,5 · 10−7 m

Eine Steigerung der Zahl der Abtastwerte w¨ urde keinen Gewinn f¨ ur das Aufl¨ osungsverm¨ ogen A bringen, denn eine Erh¨ohung von A ist nur durch die Vergr¨ oßerung der gesamten Abtastl¨ ange xm (s. (25.66)) m¨oglich. Durch (25.66) ist auch die prinzipielle obere Grenze λmax des Wellenl¨angenintervalls festgelegt, ist ein Aufl¨ osungsverm¨ogen von 1 ausreichend, w¨are bei dem o.g. Beispiel λmax = xmax = 1 cm. Bei der praktischen Realisierung wird λmax durch andere Faktoren, z.B. den Empﬁndlichkeitsbereich des Detektors, beschr¨ ankt.

762

25 Fourier-Optik

Bei der Fourier-Transformation sind, wie oben erw¨ahnt, etwa 104 − 105 Messwerte zu verarbeiten, dann w¨ urden bei der DFT bei N Summen a` N Summanden insgesamt N 2 ≈ 1010 zeitraubende Multiplikationen und Additionen auftreunglich nur ten. Der damit verbundene Rechenaufwand kann f¨ ur N = 2n (urspr¨ mit n = ganze Zahl) durch das Verfahren der schnellen Fourier-Transformation (FFT = Fast Fourier Transform) – z.B. nach dem Cooley-Tukey-Algorithmus – wesentlich reduziert werden, da dann nur noch etwa N · ldN (ld = ZweierLogarithmus) Operationen erforderlich sind, mithin statt N 2 = 1010 nur noch 105 ld(105 ) ≈ 1,5 · 106 .

¨ Ubungen 25.1 Die Beugung an einem symmetrischen (g = 2 b) Rechteckgitter mit 50 µm Gitterabstand wird mit einem Helium-Neon-Laser (λ = 632,8 nm) in der Brennebene einer 50 cm-Linse untersucht (s. Abb. 25.2). a) Berechnen Sie den Abstand der drei ersten hellen Punkte von der optischen Achse. (Beachten Sie evtl. fehlende Ordnungen.) b) Welche (Wellen-)L¨ ange λy (= Y -Abstand der gebeugten Wellenfronten) entspricht der fundamentalen Ortsfrequenz? c) Bestimmen Sie die drei niedrigsten (ausschließlich der Gleichkomponente) Ortskreisfrequenzen κy der Aperturfunktion des Rechteckgitters und geben Sie die entsprechenden Glieder der Fourier-Reihe an. d) Welche (auf die 1. Ordnung bezogenen) Intensit¨ atsverh¨ altnisse weisen die drei ersten hellen Punkte auf? 25.2 a) Wie l¨ asst sich die Transmissionsfunktion von zwei aufeinanderliegenden Vorlagen (z.B. Dias) durch diejenige der Einzelobjekte ausdr¨ ucken? Welche Konse¨ 25.5). quenzen hat dies in der Fourier-Ebene? (s. Faltungssatz, Ub. b) Welche Aperturfunktion haben zwei senkrecht gekreuzte Rechteckgitter gleicher Gitterkonstante? Was beobachtet man in der Fourier-Ebene? c) Welches Ergebnis erh¨ alt man f¨ ur parallele Sinusgitter der Gitterkonstanten g1 und g2 ? 25.3 Bei der Untersuchung der Extinktion – z.B. von fotograﬁschem Film oder Farbstoffen – f¨ uhrt man die optische Dichte D = lg(O) ein. Hierbei ist O die Opazit¨ at, die gleich dem Kehrwert des Transmissionsgrades τ ist, also O = 1/τ mit τ = Paus /P0 . In der Faseroptik verwendet man das Pegelmaß DdB = 10 lg(P/P0). a) Zeigen Sie, dass die optische Dichte D = − lg τ . b) Begr¨ unden Sie, dass die optische Dichte mehrerer aufeinander liegender Filme gleich der Summe der Einzeldichten ist. c) Gegeben seien f¨ unf gleiche Filmschichten mit jeweils D = 1,25. Wie groß ist die gesamte optische Dichte und der zugeh¨ orige Transmissionsgrad? 25.4 Der Sinusanteil der Transmissionsfunktion eines Gitters ist durch A sin(ay) gegeben. a) Welchen Wert muss A und der Gleichanteil t0 der Transmissionsfunktion haben, um ein Gitter mit minimaler Durchl¨ assigkeit 0 und dem Maximalwert 1 darstellen zu k¨ onnen?

25.2 Fourier-Spektroskopie

763

b) Skizzieren Sie die Transmissionsfunktion mit und ohne Gleichanteil f¨ ur ein Gitter mit 500 Strichen/cm. c) Geben Sie den Transmissionsgrad des Gitters an, also den Verlauf der Transmissionsfunktion It /I0 der Intensit¨ at. 25.5 a) Beweisen Sie das Faltungstheorem, d.h. falls h(x) = f (x) ∗ g(x) so gilt f¨ ur die Fourier-Transformierte F (h(x)) = F (f (x)) · F (g(x)) Beweisen Sie weiterhin den umgekehrten Fall F (f (x) · g(x)) =

1 F (f (x)) ∗ F (g(x)) 2π

b) Warum gilt aber F (f (x) · g(y)) = F (f (x)) · F (g(y))? 25.6 Berechnen und zeichnen Sie das Ergebnis der eindimensionalen Faltung von zwei identischen Rechteckpulsen der H¨ ohe 1 und Breite 6. 25.7 Wie sieht die eindimensionale Autokorrelationsfunktion c11 der Sinusfunktion E = ˆ sin(ωt + ϕ0 ) aus? Integrieren Sie u E ¨ ber eine Periode. 25.8 Das Ausgangssignal eines (Michelson-)Fourier-Spektrometers wird mit einem Fotodetektor registriert. Eingangsgr¨ oße ist monochromatisches Licht der gr¨ unen Quecksilberlinie bei 546,1 nm. a) Welche Modulationsfrequenz weist der Fotostrom auf, wenn ein Spiegel mit ¨ 5 mm/s bewegt wird? L¨ osung: 1) durch Uberlagerung der Teilwellen, 2) unter Erkl¨ arung des Vorgangs als Dopplereﬀekt. b) Bei Verwendung der zwei Wellenl¨ angen der Na-D-Linie (588,995 und 589,592nm) registriert der Detektor eine Schwebung im Intensit¨ atssignal. Wie groß ist die Schwebungsfrequenz bei einer konstanten Verschiebungsgeschwindigkeit von v = 5 mm/s). (L¨ osungshinweis: s. (11.14)). 25.9 Die maximale Spiegelverschiebung eines Michelson-Interferometers betr¨ agt 5 cm. Wie groß ist das minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angenintervall ∆λ und das Aufl¨ osungsverm¨ ogen A = λ/∆λ a) bei 632,8 nm und b) bei 1 µm? 25.10 Licht einer Hg-Lampe triﬀt auf den Strahlenteiler eines einfachen MichelsonInterferometers, bei dem Wellenl¨ angen kleiner 360 nm herausgeﬁltert werden. Der bewegliche Spiegel wird mit 71,5 nm/s bewegt und das Spektrogramm mit der Abtastrate 1,28 s−1 abgetastet. Insgesamt werden 256 Messpunkte registriert und im Rechner mit der FFT ausgewertet. Bestimmen Sie: a) die Fensterbreite xm , b) das minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angenintervall ∆λmin bei 400 nm, c) die minimale Wellenl¨ ange, bei der noch keine Aliasing-Eﬀekte auftreten,

764

25 Fourier-Optik d) die vom Abtasttheorem geforderte minimale Abtastrate.

25.11 Ein IR-Fourier-Spektrometer arbeitet im Wellenzahlenbereich 400–4400 cm−1 . (Wel˜ = 1/λ). Die maximale Wegdiﬀerenz betr¨ lenzahl k agt 2,78 mm. a) Welche Aufl¨ osung l¨ asst sich in Bezug auf die Wellenzahl und Wellenl¨ ange erzielen? b) Wie viele Datenpunkte muss man aufnehmen, um das Abtasttheorem zu erf¨ ullen und Aliasing-Eﬀekte zu vermeiden? c) Wie groß muss die Verschiebungsgeschwindigkeit des Spiegels sein, wenn ein Durchlauf in 30 Sekunden erfolgt?

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Einleitung Die zur¨ uckliegenden Kapitel befassten sich mit der linearen Optik. Dort nahm man an, dass sich die in einem optischen Medium ausbreitende Welle durch eine lineare Wellendiﬀerentialgleichung beschreiben l¨asst. Dann erf¨ ullen mehrere ¨ Wellen das Uberlagerungsprinzip und harmonische Wellen breiten sich verzerrungsfrei aus – unbeeinﬂusst von Medium und Intensit¨at. In nichtabsorbierenden Medien ist dann das Verhalten einer harmonischen Lichtwelle im Wesentlichen durch ihre Wellenl¨ ange und Geschwindigkeit bestimmt. Wir wissen heute, dass die lineare Optik bei sehr hohen Lichtintensit¨aten nicht zur Beschreibung der beobachteten Ph¨anomene ausreicht. Durch den Laser steht sehr intensives koh¨ arentes Licht zur Verf¨ ugung, das bewirkt, dass die optischen Eigenschaften der Materie, wie z.B. die Brechzahl, von der Intensit¨at des Lichtes abh¨ angig werden. Wenn zwei oder mehr Lichtwellen interferieren ist hier ¨ das Uberlagerungsprinzip verletzt und die Lichtwellen treten miteinander u ¨ber das Ausbreitungsmedium in Wechselwirkung. Diese nichtlinearen Ph¨anomene erfordern eine Erweiterung der linearen Theorie derart, dass auch die nichtlineare Antwort der Materie auf die elektromagnetische Strahlung beschrieben werden kann.

766

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

In diesem Kapitel werden das Gebiet der nichtlinearen Optik genauer deﬁniert, einige der neuen Ph¨ anomene beschrieben und wichtige praktische Anwendungen – u.a. bei der Lichtmodulation – diskutiert.

26.1 Nichtlineare Medien Nichtlineare Ph¨ anomene resultieren letztlich aus der Tatsache, dass die atomaren elektrischen Dipole der Materie nicht mehr linear auf die hohen elektrischen Wechselfelder der Lichtwelle antworten k¨onnen. Die ein Medium durchquerende hochfrequente Lichtwelle f¨ uhrt zu Ladungsverschiebungen und damit zu inﬂuenzierten elektrischen Dipolen und einer elektrischen Polarisation des Mediums. Diese wird – im Bereich der hohen Frequenzen des sichtbaren Lichts (f ≈ 500 THz) – fast ausschließlich von den Elektronen der ¨außeren Atomh¨ ulle hervorgerufen, da die schweren Kerne und die fest gebundenen inneren Elektronen kaum verschoben werden. Bei kleinen Schwingungsamplituden der Elektronen ist die Polarisation proportional zum E-Feld der Welle (s. Kap. 27.1). Diese strenge Proportionalit¨ at wird bei gr¨ oßeren Intensit¨aten verletzt, analog zum Verhalten einer einfachen Feder, deren Anharmonizit¨ at mit steigender Auslenkung w¨achst. Nichtlineare Anregung kann auch schon bei relativ kleinen Intensit¨aten mit Hilfe der Methode der Resonanz¨ uberh¨ohung erzielt werden, wo die optische Anregungsfrequenz in der N¨ ahe der Resonanzfrequenz der Oszillatoren liegt. Dieses Verfahren wird in der nichtlinearen Spektroskopie verwendet. In einem linearen Medium besteht zwischen der Polarisation P – dem elektrischen Dipolmoment pro Volumeneinheit – und dem polarisierenden elektrischen Feld E der Zusammenhang (s. Kap. 27): = ε0 χE P

(26.1)

hierbei ist χ die feldst¨ arkeunabh¨ angige (elektrische) Suszeptibilit¨at und ε0 die elektrische Feldkonstante des Vakuums. Nichtlinearit¨at kann man durch eine feldabh¨angige Suszeptibilit¨at χ(E) beschreiben, die wir f¨ ur kleine St¨orungen in eine Potenzreihe entwickeln: χ(E) = χ1 + χ2 E + χ3 E 2 . . .

Suszeptibilit¨at

(26.2)

Einsetzen in (26.1) ergibt f¨ ur die Polarisation oder:

P = ε0 χ1 E + χ2 E 2 + χ3 E 3 + . . .

(26.3)

26.2 Frequenzverdopplung

P = P1 + ,-./ linear

P2 + P3 + . . . -. / ,

767

(26.4)

kleine, nichtlineare Terme

Die linearen (χ1 ) und nichtlinearen (χ2 , χ3 , . . .) Suszeptibilit¨atskoeﬃzienten1 charakterisieren die optischen Eigenschaften des Mediums; P ist die nichtlineare Antwort des Systems auf das erregende Feld E. Der erste Term P1 in (26.3) und (26.4) umfasst die lineare Optik, in der die Polarisation einfach proportional zum E-Feld ist. H¨ohere Terme beeinﬂussen die Polarisation nur bei sehr starken E-Feldern merklich und wurden meist erst seit der Erﬁndung des Lasers experimentell zug¨anglich. Das koh¨arente Laserlicht kann auf Volumina der Gr¨ oßenordnung einer Wellenl¨ange2 fokussiert werden, hierbei entstehen elektrische Feldst¨ arken gr¨ oßer 1010 V/m, die vergleichbar sind mit den Feldern, mit denen die Elektronen an die Kerne gebunden sind. Peter Franken und seine Mitarbeiter f¨ uhrten 1961 an der Universit¨at von Michigan das erste Experiment zur nichtlinearen koh¨arenten Optik aus. Das Team fokussierte das koh¨ arente Licht eines gepulsten Rubinlasers von 694,3 nm Wellenl¨ ange auf einen Quarzkristall und wies Frequenzverdopplung nach, indem es eine schwache ultraviolette Ausgangsstrahlung von 347,15 nm – also mit doppelter Frequenz bzw. halber Wellenl¨ ange – registrierte.

26.2 Frequenzverdopplung Frequenzverdopplung (Erzeugung der zweiten Harmonischen, Second Harmonic Generation, SHG)) resultiert aus dem Term 2. Ordnung in (26.3): quadratische Nichtlinearit¨at

P2 = ε0 χ2 E22

(26.5)

bei dem die Polarisation quadratisch von der Feldst¨arke abh¨angt. Abb. 26.1 zeigt die Kennlinie der Polarisation als Funktion der Feldst¨arke: Die Gesamtpolarisaarken mit der linearen Polarisation u tion P1 + P2 stimmt bei kleinen Feldst¨ ¨berein und unterscheidet sich bei großen Feldst¨ arken aufgrund des quadratischen Terms P2 . Man macht sich leicht klar, dass χ2 in isotropen Materialien oder Kristallen mit Punktsymmetrie verschwindet, also kein Term 2. Ordnung auftritt. Die Elementarzelle solcher Kristalle weist ein Inversionszentrum auf, das die Atomanordnung bei Punktspiegelung (r → −r) unge¨andert l¨asst. Dann kann sich bei Richtungsumkehr des erregenden Feldes nur das Vorzeichen, nicht aber der Betrag der Antwortgr¨ oße Polarisation ¨ andern. Damit m¨ usste sowohl 1 2

Es handelt sich um Tensoren. Siehe Kap. 21.4, wo die Fokussierung von Laserlicht diskutiert wird.

768

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Abb. 26.1. Lineare (P1 ), quadratische (P2 ) und typische nichtlineare Antwort der Polarisation P auf ein elektrisches Feld. Im nichtlinearen Fall rufen Felder gleicher Gr¨ oße, aber verschiedenen Vorzeichens unterschiedliche Antworten (Kurve P) hervor. F¨ ur den gezeichneten Fall quadratischer Nichtlinearit¨ at (mit P = P1 + P2 und χ2 < 0) bewirken negative Felder eine st¨ arkere Polarisation als positive Felder gleicher Gr¨ oße

P2 = ε0 χ2 (+E 2 ) als auch

− P2 = ε0 χ2 (−E 2 )

gelten. Da das E-Feld quadratisch auftritt (d.h. (+E)2 = (−E)2 ), muss P2 = −P2 und damit P2 = χ2 = 0 sein. Quarzkristalle haben kein Inversionszentrum und zeigen deshalb nichtlineare Eﬀekte 2. Ordnung. Mathematisch kann die Erzeugung der 2. Harmonischen leicht erkl¨art werden. Das einwirkende E-Feld – oder eine seiner Fourier-Komponenten – sei3 ˆ cos ωt = E ˆ E=E

ejωt − e−jωt 2

Einsetzen in (26.5) gibt (mit cos2 α = 12 (1 + cos 2α)) f¨ ur den quadratischen Term der Polarisation: ˆ 2 cos2 ωt = P2 = ε0 χ2 E 3

1 ˆ 2 + 1 ε0 χ2 E ˆ 2 cos 2ωt ε0 χ2 E 2 2

(26.6)

In der nichtlinearen Optik darf man nicht die komplexe Schreibweise mit E = Re(E ejωt ) (s. Kap. 8) verwenden!

26.2 Frequenzverdopplung

769

Man erh¨ alt also einen zeitunabh¨ angigen Term, der die optische Gleichrichtung beschreibt, und einen Term, der die doppelte Anregungsfrequenz enth¨alt. Dementsprechend erzeugen die von der Prim¨ arwelle angeregten Dipole elektromagnetische Strahlung der Frequenz 2f , die dann in der austretenden Strahlung zusammen mit der im Allgemeinen wesentlich st¨arkeren Strahlung aus der linearen Wechselwirkung (mit der Grundfrequenz f ) enthalten ist (s. Abb. 26.2).

Abb. 26.2. Anregendes harmonisches E-Feld (1) und nichtsymmetrische Polarisation in einem quadratisch nichtlinearen Medium mit χ2 < 0 (s. Abb. 26.1): nichtsymmetrische Polarisation (2) und deren Fourier-Komponenten Pω (3), P2ω (4) und Gleichterm P− (5)

Verfolgen wir in einem nichtlinearen Medium eine Wellenfront der Prim¨arwelle von der Oberﬂ¨ ache bis zu einem Punkt im Abstand l, so u ¨ berlagern sich

770

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

dort alle von der Wellenfront entlang dieses Weges erzeugten Teilwellen der Fre¨ quenz 2f . Konstruktive Interferenz – also gleichphasige Uberlagerung – ist nur dann gegeben, wenn sich die Oberwelle genauso schnell wie die sie erzeugende Grundwelle ausbreitet, wenn also f¨ ur die Phasengeschwindigkeiten c2ω = cω gilt. Aufgrund der Dispersion wird dies jedoch im Allgemeinen nicht der Fall sein; es kommt zu Phasenunterschieden der 2f -Teilwellen und unter Umst¨anden zur Ausl¨ oschung. Um dies zu verstehen, w¨ ahlen wir den Abstand mit l = 2lK gerade so, dass die bei l = 0 entstandene und die bei 2lK gebildete 2f -Welle den Gangunterschied ∆min = λ2ω = λω /2 haben; dann sind die Gangunterschiede der auf der L¨ ange 2lK entstandenen Wellen kontinuierlich zwischen 0 und ∆min verteilt, so dass sich die Wellen ausl¨ oschen. (Dies ist uns von der Spaltbeugung (s. Kap. 16) bekannt, wo das 1. Beugungsminimum gerade dann auftritt, wenn der Gangunterschied der Randstrahlen λ betr¨ agt). Maximale Intensit¨at muss dann bei ∆max = λ2ω /2 = λω /4 – entsprechend l = lK – auftreten. Der Gangunterschied ist gleich der Diﬀerenz der optischen Wege und wir erhalten mit λω = λ0 : λ0 = (n2ω − nω )lK 4 Hieraus folgt mit ∆n = |n2ω − nω | die ∆max =

Kristallkoh¨arenzl¨ange

lK =

λ0 4∆n

(26.7)

Wir hatten gesehen, dass bei der Kristalldicke lK die maximale Intensit¨at der 2. Harmonischen auftritt. Der Vorgang der Verst¨arkung und Ausl¨oschung wiederholt sich mit zunehmender L¨ ange l periodisch, so dass f¨ ur die zur Polarisation arke der Oberwelle gilt: P2 proportionale Feldst¨ π ˆ2ω ∼ P2 ∼ χ2 E ˆ 2 lK sin E l ω 2lK Damit wird die nach der Kristall-L¨ ange bzw. -Dicke l registrierte Intensit¨at 2 ) der 2. Harmonischen I2ω (∼ Eˆ2ω π π 2 2f -Intensit¨at sin2 l ∼ χ22 Iω2 l2 sinc2 l (26.8) I2ω ∼ χ22 Iω2 lK 2lK 2lK Die Intensit¨ at oszilliert (bei vorgegebener Brechzahldiﬀerenz ∆n = konst.) mit der Kristalldicke l entsprechend einer sin2 -Funktion (s. Abb. 26.3). Will man die Intensit¨ at I2ω (bei fester Kristalldicke l) als Funktion der Brechzahldiﬀerenz ∆n beschreiben, so zieht man den letzten Term in (26.8) heran: Man erh¨alt einen Verlauf entsprechend der von der Spaltbeugung bekannten sinc2 -Funktion (s. Abb. 16.2). F¨ ur den Fall der Phasenanpassung wird ∆n = 0; wir erhalten urde nun proportional l2 u lK → ∞ und damit sinc(0) = 1. Die Intensit¨at w¨ ¨ber

26.2 Frequenzverdopplung

771

alle Grenzen wachsen. Die genauere Theorie, die auch die Intensit¨atsabnahme der Grundwelle aufgrund der Wechselwirkung erfasst, liefert eine S¨attigung entsprechend einem tanh2 -Verlauf.

Abb. 26.3. Verlauf der Intensit¨ at I2ω der 2. Harmonischen als Funktion der Kristalldicke l. Maximalwert und Periodizit¨ atsl¨ ange werden von der Kristallkoh¨ arenzl¨ ange lK bestimmt

Beispiel 26.1 Frequenzverdopplung F¨ ur eine Erregerwelle der Wellenl¨ ange λ0 = 800 nm und den nichtlinearen Kristall KDP (Kalium-Dihydrogen-Phosphat) mit n2ω = 1,4802 und ur Frequenzverdopplung g¨ ultige Kristallkoh¨arenzl¨ange nω = 1,5019 soll die f¨ berechnet werden. L¨ osung 0,8 µm λ0 = 4·(1,5019−1,4802) = 9,2 µm. Man Einsetzen in (26.7) ergibt direkt lK = 4∆n sieht, dass hier lK und damit die Kristalldicke typischerweise nur etwa 10 2 Wellenl¨ angen betr¨ agt. Da nach (26.8) I2ω ∼ lK , w¨aren zur Erzeugung von gr¨ oßeren Intensit¨ aten der 2. Harmonischen extreme Prim¨arintensit¨aten erforderlich. Der Nachteil der kleinen Kristallkoh¨ arenzl¨ange kann mit Hilfe der Doppelbrechung der Kristalle umgangen werden. Wie in Kapitel 15.5 beschrieben wurde, h¨ angen die Brechzahl und Geschwindigkeit des außerordentlichen Strahls von seiner Richtung relativ zur optischen Achse des Kristalls ab. W¨ahlt man nun eine Richtung, in der z.B. cω o , die Geschwindigkeit des ordentlichen Strahls der Grundwelle, mit c2ω ao , der Geschwindigkeit des außerordentlichen Strahls der Oberwelle, u ¨ bereinstimmt, so bleiben Grund- und Oberwelle in Phase und der Kristall kann mit Dicken der Gr¨ oßenordnung cm f¨ ur die Frequenzverdopplung genutzt werden. Diese Technik wird als Brechzahl- oder Phasenanpassung (index oder phase matching) bezeichnet und ist in Abb. 26.4 erkl¨art, wo sich die Geschwindigkeitsﬂ¨achen f¨ ur ordentliche und außerordentliche Strahlen in den Kristallrichtungen der Phasenanpassung schneiden.

772

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Der Grad der Phasenanpassung kann durch Drehung des Kristalls oder Temperatur¨ anderung optimiert werden. Nach (26.8) w¨achst die Ausgangsintensit¨at at Iω = P/A der Grundwelle an; hohe UmI2ω mit dem Quadrat der Intensit¨ wandlungsgrade I2ω /Iω lassen sich dann durch Fokussierung und Pulsen des Laserstrahles erzeugen. Mit KTP (Kalium-Titanyl-Phosphat KTiOPO4 ) kann z.B. die gepulste infrarote (λ = 1064 nm) Laserstrahlung eines Nd:YAG-Lasers bei eiunes Licht mit 532 nm Wellenl¨ange ner Intensit¨ at von 4 GW/m2 zu etwa 80% in gr¨ umgewandelt werden. Bei der zweidimensionalen optischen Informationsspeicherung (CD- und DVD¨ von Technik) w¨ achst die Speicherdichte ∼ λ−2 an, so dass man bei Ubergang 600 nm auf 400 nm mehr als die doppelte Speicherdichte erzielt. Man ist deshalb bestrebt, kurzwelliges Licht zu verwenden. Blaue Laserdioden (aus InGaN) stehen erst seit Kurzem zur Verf¨ ugung und sind sehr teuer, deshalb versucht man die Frequenzverdopplung von (infra)roten Laserdioden auszunutzen. Um mit Dauerstrichleistungen im mW-Bereich arbeiten zu k¨onnen, wird die Intensit¨at der erzeugenden Welle durch Resonanz¨ uberh¨ ohung in Stehwellen- und Ringresonatoren (s. Kap. 21) angehoben.

Abb. 26.4. Geschwindigkeitsﬂ¨ achen f¨ ur zueinander senkrecht polarisierte Lichtstrahlen in einem doppelbrechenden Medium. Die Schnittpunkte der Kugelﬂ¨ achen der ordentlichen (o) Strahlen und der Ovaloide der außerordentlichen (ao) Strahlen legen 2ω die Richtungen fest, in denen die Geschwindigkeiten cω o und cao der beiden Strahlen u ¨ bereinstimmen (Phasenanpassung)

26.3 Frequenzmischung und Brechzahlmodulation

773

Tabelle 26.1. Lineare und nichtlineare Eﬀekte Linear

Nichtlinear

Nichtlinear

Eﬀekt: 1. Ordnung

2. Ordnung

3.Ordnung

2

P1 = ε 0 χ 1 E

P2 = ε 0 χ 2 E

Klassische Optik:

Medien ohne Inversionssymmetrie:

Interferenz Reﬂexion Brechung Doppelbrechung Absorption

P3 = ε 0 χ 3 E 3

Frequenzverdopplung Erzeugung der Frequenzmischung 3. Harmonischen, optische Gleichrichtung Frequenzmischung parametrische Verst¨ arkung Kerr-Eﬀekt Pockels-Eﬀekt optische Phasenkonjugation

Außer der Frequenzverdopplung gibt es noch andere nichtlineare Ph¨anomene, die auf der quadratischen Abh¨ angigkeit der Polarisation beruhen. Tabelle 26.1 f¨ uhrt weitere quadratische Eﬀekte an und gibt auch einige Eﬀekte an, die aus dem kubischen Term P3 = ε0 χ3 E 3 resultieren. So kann z.B. auch die Erzeugung der 3. Harmonischen (Frequenz-Verdreifachung) auftreten. Noch h¨ohere Harmonische wurden beobachtet und haben interessante Anwendungen gefunden.

26.3 Frequenzmischung und Brechzahlmodulation Falls sich zwei oder mehr Strahlen unterschiedlicher Frequenzen in einem nichtlinearen Kristall u ¨ berlagern, kann Frequenzmischung auftreten. Wir betrachten an einem festen Ort zwei einfallende Wellen der Frequenzen f1 und f2 mit dem Feldst¨ arkeverlauf ˆ2 cos ω2 t E = Eˆ1 cos ω1 t + E und ber¨ ucksichtigen die Nichtlinearit¨ at in 2. Ordnung. Die Polarisation P2 = 2 ε0 χ2 E enth¨ alt dann (nach Quadrieren von E, s. auch (26.6)) Ausgangswellen mit den Frequenzen 2f1 , 2f2 , |f1 − f2 | und f1 + f2 . Da hier aus zwei Wellen eine dritte entsteht, spricht man auch von Drei-Wellen-Mischung. Entsprechend erh¨alt man dann bei Nichtlinearit¨ at 3. Ordnung eine Vier-Wellen-Mischung mit allen m¨ oglichen Kombinationen von zwei oder drei einfallenden Wellen. Die additive Frequenzmischung l¨ asst sich f¨ ur Infrarot-Bildwandler verwenden, bei denen IRStrahlung mit einem Laser ins Sichtbare konvertiert wird. Die Diﬀerenzfrequenz von durchstimmbaren (Farbstoﬀ-)Lasern ergibt IR-Strahlung variabler Frequenz. Ein Spezialfall der Frequenzmischung ist der Prozess der parametrischen Verst¨arkung. Statt der additiven Frequenzmischung f1 + f2 → f3 wird hier der Prozess der Frequenzteilung ausgenutzt: f3 → f1 + f2 . Die Energie einer

774

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

starken Pumpwelle mit fp wird konvertiert in eine Signalwelle mit fs und eiuber der Frequenzmine Idlerwelle ( Faulenzerwelle“) der Frequenz fi (gegen¨ ” schung ist hier also der Energieﬂuss umgekehrt). Der Verst¨arkungsprozess arbeitet wie folgt: Eine schwache Signalwelle und eine starke Pumpwelle werden in einem nichtlinearen Kristall u ¨ berlagert und erzeugen eine Idlerwelle der Frequenz fi = fp − fs ; diese Idlerwelle mischt wiederum mit der starken Pumpwelle und f¨ uhrt zu einer Welle mit der Diﬀerenzfrequenz gleich der der Signalwelle (∆f = fp − fi = fi − (fp − fs ) = fs ), die damit verst¨arkt wurde. Beim parametrischen Verst¨arker (OPA = Optical Parametric Ampliﬁer) werden also sowohl Idler- als auch Signalwelle verst¨ arkt. Bringt man den nichtlinearen Kristall in einen Resonator (z.B. Fabry-Perot), so kann der Verst¨arker durch R¨ uckkopplung von Signalwelle (und Idlerwelle) in einen parametrischen Oszillator (OPO = OP Oscillator) u uhrt werden (s. Abb. 26.5). Die Abstimmung des Resonators ¨ berf¨ auf unterschiedliche Signalfrequenzen geschieht durch Variation der Brechzahlen durch Erw¨ armung oder u ¨ber den elektrooptischen Eﬀekt. Man hat damit eine wichtige Quelle f¨ ur koh¨ arente Strahlung variabler Wellenl¨ange realisiert. Ein wichtiges Beispiel ist wieder das System Nd:YAG-Laser + KTP-Kristall. Die in Tabelle 26.1 aufgef¨ uhrten nichtlinearen Eﬀekte werden z.T. in den folgenden Abschnitten behandelt. Vor allem werden die Anwendungen zur Lichtmodulation besprochen. Modulation von Licht kann durch Variation von Amplitude (AM), Frequenz (FM), Phase, Polarisation und Richtung erfolgen. Erst die Modulation erm¨ oglicht eine Informations¨ ubertragung u ¨ ber die Lichtwelle; dies wird vor allem bei Lichtwellenleitern (s. Kap. 24) ausgenutzt. Eine Intensit¨ atsmodulation l¨ asst sich schon durch einfache mechanische Zerhacker (chopper) und Verschl¨ usse erreichen, sehr hochfrequente Modulation erzielt man durch direkte Modulation des Pumpstroms von Laserdioden. Hier soll vornehmlich auf die Modulation eingegangen werden, die mittels Variation der Brechzahl durch elektrische, magnetische und akustische Felder hervorgerufen wird. Die Variation der Brechzahl n(E) durch ein elektrisches Feld, das damit Doppelbrechung bewirkt, kann durch folgende Gleichung (s. auch Indexellipsoid (15.11)) charakterisiert werden: Brechzahlmodulation

1 1 = 2 + rE + RE 2 2 n n0

(26.9)

r und R sind die lineare und quadratische elektrooptische Konstante 4 , n0 die Brechzahl ohne ¨ außeres Feld. Da in (26.9) nur kleine Brechzahl¨anderungen auftreten, gilt die Taylor-Entwicklung: 4

Die Begriﬀe Ordnung“ sowie linear“ und quadratisch“ unterscheiden sich je nach ” ” ” Zusammenhang (s. Polarisation (26.3) sowie 1/n2 (26.9)), in dem sie verwendet werden. So ist der Pockels-Eﬀekt von 2. Ordnung in der Polarisation (∼ χ2 E 2 ) und von 1. Ordnung (∆n ∼ rE) in Bezug auf die Brechzahl.

26.3 Frequenzmischung und Brechzahlmodulation

775

Abb. 26.5. Bauprinzip a) des optischen parametrischen Verst¨ arkers (OPA) und b) des optischen parametrischen Oszillators (OPO) mit R¨ uckkopplung der Signalwelle (einfach resonant) oder zus¨ atzlich der Idlerwelle (zweifach resonant) und der Pumpwelle (dreifach resonant)

776

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

1 2 1 = 2 − 3 dn n2 n0 n0 Gleichsetzen mit (26.9) f¨ uhrt auf die feldst¨arkebedingte Brechzahl¨anderung

|∆n| = r

n30 n3 E + R 0 E2 2 2

(26.10)

Im Allgemeinen sind die elektrooptischen Konstanten r und R ebenso wie χ und n Tensoren, die durch die Kristallsymmetrie bestimmt sind, so dass einige Komponenten verschwinden oder u ¨ bereinstimmen5 .

26.4 Der Pockels-Eﬀekt Der Pockels-Eﬀekt resultiert aus dem linearen Term in (26.10), die Doppelbrechung wird hier durch ein elektrisches Gleichfeld E hervorgerufen. Der Eﬀekt kann als Spezialfall der Zweifach-Frequenzmischung angesehen werden, wobei eines der beteiligten Felder das der einfallenden Welle ist und das andere die Frequenz null (Gleichfeld) aufweist. Das optische E-Feld kann hierbei schwach sein, da das Gleichfeld so stark gew¨ ahlt werden kann, dass es nichtlineares Verhalten bewirkt. Der Eﬀekt ist deshalb schon 1893 – also lange vor der Erﬁndung des Lasers – entdeckt worden. Das starke Gleichfeld verschiebt die Kristallelektronen so, dass entweder in einem sonst isotropen Kristall Doppelbrechung auftritt (→Kerr-Eﬀekt mit ∆n ∼ E 2 ) oder dass in einem bereits doppelbrechenden Kristall neue optische Achsen entstehen (→Pockels-Eﬀekt). Der Pockels-Eﬀekt6 tritt als Eﬀekt 2. Ordnung nur in Materialien ohne Inversionssymmetrie auf, solche Stoﬀe sind dann auch piezoelektrisch: Eine mechanische Spannung bewirkt eine elektrische Ladungstrennung (elektrische Spannung) und Doppelbrechung. Bei einer Ausf¨ uhrungsform der longitudinalen Pockels-Zelle wird die nat¨ urliche optische Achse des Kristalls parallel zum angelegten longitudinalen Feld E ausgerichtet (s. Abb. 26.6). Daraufhin enstehen in der zu E senkrechten Ebene schnelle und langsame Achsen (SA bzw. LA) mit erh¨ohter bzw. erniedrigter Phasengeschwindigkeit. F¨ allt eine linear polarisierte Welle ein, deren Schwingungs◦ ebene um 45 zu diesen ausgezeichneten Achsen gedreht ist, so wird sie in zwei zueinander senkrecht polarisierte Teilwellen gleicher Amplitude aufgespalten. Da 5

6

% Der lineare elektrooptische Tensor pij ist deﬁniert durch ∆ n12 i = j pij Ej mit i = 1, 2, . . . , 6 und j = x, y, z. Bei Kristallen mit trikliner Symmetrie treten alle 18 m¨ oglichen Tensorkomponenten auf; in der Zinkblende-Struktur (z.B. GaAs) braucht man nur ein Element. Bei Inversionssymmetrie verschwinden alle Komponenten. Man unterscheidet insgesamt 32 Kristallklassen, hiervon weisen 20 den Pockels-Eﬀekt auf.

26.4 Der Pockels-Eﬀekt

777

Abb. 26.6. Schema einer Pockels-Zelle. Bei Anlegen einer elektrischen Spannung wird das Medium doppelbrechend und die einfallende linear polarisierte Welle in zwei Komponenten in Richtung der schnellen (SA) und langsamen Achse (LA) aufgespalten (OA = optische Achse)

f¨ ur diese Teilstrahlen unterschiedliche Brechzahlen und Geschwindigkeiten gelten, treten sie mit einer Phasenverschiebung δ aus dem Kristall aus: Phasenverschiebung

δ = 2πrn30

U λ0

(26.11)

Hierbei ist U die angelegte Spannung und r die lineare elektrooptische Konstante (s. (26.9)). Beweis von (26.11): In Richtung der langsamen Achse nimmt n0 um ∆n zu, in der anderen Richtung um ∆n ab. Dann ist δ = ∆kl = 2 λ2π0 ∆nl, wobei l die Kristalldicke n3

ist. Mit ∆n = r 20 E aus (26.10) und Spannung U = El folgt dann (26.11). Beachten Sie, dass δ unabh¨ angig von l ist, da δ ∼ El und E = U/l.

H¨ auﬁg gibt man die Halbwellenspannung UHW an, f¨ ur die sich die Zelle wie eine Halbwellenplatte verh¨ alt und einen Gangunterschied von λ/2 und damit δ = π bewirkt. Aus (26.11) folgt dann die

778

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Halbwellenspannung

UHW =

λ0 2rn30

(26.12)

Beispiel 26.2 Pockels-Zelle Gegeben ist eine Pockels-Zelle aus KD*P (s. Tab. 26.2) mit 1 cm Dicke. Welche Halbwellenspannung ist bei der Wellenl¨ange 633 nm erforderlich? L¨ osung Nach Tabelle 26.2 ist hier die lineare elektrooptische Konstante r = 24,1 · 10−12 m V und die Brechzahl n0 = 1,51. Einsetzen in (26.12) ergibt UHW =

6,33·10−7 m 3 2·(24,1·10−12 m V )(1,51)

= 3,81 kV. Man sieht, dass bei Pockels-Zellen

hohe Spannungen im kV-Bereich erforderlich sind.

Tabelle 26.2. Lineare elektrooptische Konstanten r † einiger wichtiger Materialien Material (Wellenl¨ ange falls ungleich 633 nm)

r/pm/V

Brechzahl n0

KH2 PO4 (KDP)

11

1,51

KD2 PO4 (KD*P)

24,1

1,51

(NH4 )H2 PO4 (ADP) (λ = 546 nm)

8,56

1,48

LiNbO3 (Lithiumniobat)

30,9

2,29

LiTaO3 (Lithiumtantalat)

30,5

2,18

GaAs (Galliumarsenid) (λ = 10,6 µm)

1,51

3,3

ZnS (Zinksulﬁd) (λ = 600 nm)

2,1

2,36

Quarz

1,4

1,54

†

r ist ein Tensor, dessen Symmetrie von der des Kristalls bestimmt wird. Hier wurde nur die in den Pockelszellen verwendete Komponente angegeben.

Bei der Diskussion der Doppelbrechung (s. Abb. 15.22) wurde erkl¨art, dass die Halbwellenplatte die Polarisationsebene um 90◦ dreht, falls sie die hier vorliegende 45◦ -Orientierung zur schnellen und langsamen Achse aufweist. Bringt man die Pockels-Zelle zwischen gekreuzte Polarisatoren (s. Abb. 26.7), so sperrt die Anordnung bei U = 0 und erreicht maximale Transmission f¨ ur U = UHW .

26.4 Der Pockels-Eﬀekt

779

F¨ ur beliebige Spannungen ist das austretende Licht elliptisch polarisiert und wird dann teilweise vom Analysator durchgelassen. Im Endeﬀekt transformiert dieser elektrooptische Pockels-Modulator somit eine Phasen- in eine Amplitudenmodu¨ lation, wodurch eine ver¨ anderliche Signalspannung in Anderungen der Lichtintensit¨ at umgewandelt wird.

Abb. 26.7. Pockels-Zelle zwischen gekreuzten Polarisatoren mit anliegender Halbwellenspannung: Die einfallende vertikal polarisierte Welle verl¨ asst die Pockels-Zelle horizontal polarisiert und wird vom Analysator durchgelassen. F¨ ur Spannungen 0 < U < UHW triﬀt ein elliptisch polarisierter Strahl auf den Analysator und kann ihn nur teilweise passieren

Die von einer Pockels-Zelle durchgelassene Intensit¨at wird beschrieben durch π U 2 I = Imax sin (26.13) Intensit¨atsmodulation 2 UHW und ist in Abb. 26.8 wiedergegeben. Bei der Anwendung als Modulator muss man versuchen, den Arbeitspunkt P in den linearen Teil der Kennlinie zu legen, um ein System mit linearem Antwortverhalten zu bekommen. Dies l¨asst sich mit einer konstanten Vorspannung UVW (Viertelwellenspannung) oder – einfacher –

780

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

mit einer zus¨ atzlichen λ/4-Platte zwischen Modulator und Polarisator erreichen. Die Modulationsfrequenz kann hierbei gr¨ oßer 10 GHz sein.

Abb. 26.8. Modulation des Transmissionsgrades τ einer Pockels-Zelle nach Abb. 26.7. Bei U = 0 ist die Anordnung lichtundurchl¨ assig (τ = 0). Mit einer Vorspannung UVW oder einer Viertelwellenplatte zwischen Polarisator und Modulator verschiebt man den Arbeitspunkt P in den linearen Teil der τ -U -Kurve bei τ = 0,5 (→Linearisierung der Kennlinie)

Beweis von (26.13): Nach Abb. 26.6 sind die Amplituden in SA- und LA-Richtung √ ˆ0 / 2, wobei E ˆ0 die einfallende Amplitude ist. Der Analysator l¨ gleich E asst nur die √ ˆ0 / 2 passieren. Beim bei Eintritt in den Kristall antiparallelen x-Komponenten von E Durchgang entsteht die Phasenverschiebung δ und wir erhalten f¨ ur die austretende ˆ0 1 ˆ E ˆ0 e−jδ/2 sin δ , wobei ˆ = √ √ (1 − e−jδ ) = E0 e−jδ/2 (ejδ/2 − e−jδ/2 ) = jE Amplitude: E x 2 2 2 2 ˆx2 und Imax = I0 folgt dann (26.13). δ = U π. Mit I ∼ E UHW

26.4 Der Pockels-Eﬀekt

781

Neben der beschriebenen Pockels-Zelle, bei der mittels ringf¨ormiger oder transparenter Elektroden das Feld in Strahlrichtung anliegt, werden auch Zellen mit transversalem Feld verwendet, hier lassen sich die Elektroden leichter anbringen; die Zellen haben jedoch eine gr¨oßere Kapazit¨at und damit l¨angere Schaltzeiten.

Abb. 26.9. Pockels-Zelle als G¨ uteschalter. Der Laser verst¨ arkt nur horizontal polarisierte Wellen, die im Fall a) (mit U = 0) ausgekoppelt werden und nicht zum Resonatorspiegel gelangen. Bei Konﬁguration b) wird bei U = UHW eine hohe Durchl¨ assigkeit erzeugt. Wiederholter Durchgang des reﬂektierten Laserstrahls durch das Lasermedium f¨ uhrt zur Verst¨ arkung durch stimulierte Emission und erzeugt einen Laserpuls hoher ¨ Leistung. (Bei b) wurden zur besseren Ubersicht einfallender und reﬂektierter Strahl getrennt gezeichnet)

Zwei weitere verwandte Anwendungen der Pockels-Zelle sind in den Abb. 26.9 und 26.10 illustriert. In Abb. 26.9 arbeitet die Zelle als G¨ uteschalter (Q-Switch), der ein pl¨ otzliches (pulsartiges) Auskoppeln der im Lasermedium gespeicherten

782

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Energie erm¨ oglicht. Ohne ¨ außere Spannung l¨asst der Pockels-Kristall die hori¨ zontal polarisierten Strahlen eines gepumpten Laserstabes ohne Anderung ihres Polarisationszustandes passieren und ein f¨ ur vertikale Polarisation durchl¨assiges Glan-Laserprisma koppelt das einfallende Licht aus. Bei Anlegen der Halbwellenspannung wird das Laserlicht von der Zelle um 90◦ gedreht, kann daraufhin das Prisma passieren und wird an den rechts und links beﬁndlichen Endspiegeln mehrfach reﬂektiert. Durch diese pl¨ otzliche Erh¨ohung der G¨ ute wird die im Laserstab gespeicherte Energie in kurzer Zeit durch stimulierte Emission abgerufen und ein kurzer Lichtpuls hoher Leistung emittiert. Im Gegensatz hierzu ist der Laserresonator in der fast identischen Anordnung von Abb. 26.10 bei ausgeschalteter Zelle in Resonanz und weist eine hohe G¨ ute auf. Bei Einschalten der Zelle wird die Polarisationsebene um 90◦ gedreht und die im Resonator beﬁndliche Lichtenergie u ¨ ber den polarisierenden Strahlenteiler ausgekoppelt (cavity dumping).

Abb. 26.10. Energieauskopplung bei einem Laserresonator (cavity dumping). Bei ausgeschalteter Pockels-Zelle liegt ein Resonator hoher G¨ ute vor, in dem eine hohe Energie gespeichert ist. Bei Anlegen der Halbwellenspannung wird die Polarisationsebene gedreht und die Energie u ute wird hier redu¨ ber das Glan-Prisma ausgekoppelt. (Die G¨ ziert, w¨ ahrend sie in Abb. 26.9 erh¨ oht wurde)

Eine wichtige Konsequenz des Pockels-Eﬀekts ist die Fotorefraktion, die Entstehung einer evtl. station¨ aren Brechzahl¨ anderung bei Belichtung. Wichtigstes Material ist hier mit Eisen dotiertes Lithiumniobat (LiNbO3 :Fe2+ ,Fe3+ ). Bei Belichtung werden aus den Fe2+ -Ionen Elektronen ins Leitungsband gebracht, diese diﬀundieren in unbelichtete Bereiche und werden von den als Fallen (traps) wirkenden Fe3+ -Ionen eingefangen. Durch diese Umladung (Fe2+ → Fe3+ bei Belichtung, Fe3+ → Fe2+ bei Elektroneneinfang) entsteht ein inneres elektrisches Feld, das aufgrund des Pockels-Eﬀekts zu einer Brechz¨ahl¨anderung f¨ uhrt, deren Lebensdauer von Temperatur und Bindungsenergie der Elektronen in den Fallen abh¨ angt. Der fotorefraktive Eﬀekt wird u. a. zur Herstellung von Phasengittern und zur Registrierung von Phasenhologrammen eingesetzt.

26.5 Der Kerr-Eﬀekt

783

26.5 Der Kerr-Eﬀekt

Abb. 26.11. Kerr-Zelle. Die Modulationsspannung erzeugt ein Feld, dessen Richtung senkrecht zur Einfallsrichtung des Lichtes steht. Die feldinduzierte Doppelbrechung erzeugt eine Phasenmodulation, die durch das Polarisator-Analysator-Paar in eine Amplitudenmodulation umgewandelt wird

In isotropen Medien, wie Gl¨ asern und Fl¨ ussigkeiten, treten keine Eﬀekte 2. Ordnung und damit kein Pockels-Eﬀekt auf. Die Polarisation (26.3) wird hier durch uhrt u.a. zum Kerreinen Term 3. Ordnung (P3 ∼ χ3 E 3 ) modiﬁziert. Dies f¨ Eﬀekt, der bereits 1875 von J. Kerr an Glas (wo der Eﬀekt sehr klein ist, s. Tab. 26.3) entdeckt wurde. Kerr-Zellen (s. Abb. 26.11) arbeiten h¨auﬁg mit Nitrobenzol oder Schwefelkohlenstoﬀ. Ein elektrisches Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichtes f¨ uhrt zu einer teilweisen Ausrichtung der gestreckten Molek¨ ule und ruft damit eine Doppelbrechung mit der optischen Achse in Feldrichtung hervor. Die unter 45◦ zur Feldrichtung linear polarisierte einfallende Welle wird in die zueinander senkrecht polarisierten ordentlichen (Brechzahl no ) und außerordentlichen (nao ) Strahlen gleicher Amplitude aufgespalten, die dann beim Austritt eine Phasenverschiebung δ aufweisen. Man schreibt: Kerr-Eﬀekt

∆n = nao − no = KE 2 λ

(26.14)

Hierbei ist K die Kerr-Konstante. Der Vergleich mit (26.10) zeigt, dass K ∼ R/λ. Die Phasenverschiebung δ = ∆kl = 2π λ ∆nl folgt aus (26.14) mit dem Plattenabstand d und E = U/d zu

784

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Phasenverschiebung

δ=

2πKU 2 l d2

(26.15)

F¨ ur δ = π erh¨ alt man wieder eine Halbwellenplatte mit der Halbwellenspannung UHW = √

d 2Kl

(26.16)

Beispiel 26.3 Kerr-Zelle Berechnen Sie die Halbwellenspannung f¨ ur eine Kerr-Zelle mit Nitrobenzol (s. Tab. 26.3), wenn gilt d = 1 cm, l = 3 cm und Licht der Na-D-Linie (λ = 589 nm) verwendet wird. L¨ osung alt man aus (26.16): Mit K = 2,4 · 10−12 Vm2 erh¨ −2 10 m UHW = √ = 26,4 kV, also erheblich gr¨oßere Spannungen 2 −12 2·2,4·10

m/V ·0,03 m

als bei Pockelszellen.

Tabelle 26.3. Kerr-Konstante K ausgew¨ ahlter Materialien Material (λ = 589 nm, 20◦ C) Stickstoﬀ (N2 ) bei Normalbed.

K in pm/V2 4 · 10−6

Glas (typisch)

10−3

Schwefelkohlenstoﬀ (CS2 )

0,036

Wasser (H2 O)

0,052

Nitrotoluol (C7 H7 NO2 )

1,4

Nitrobenzol (C6 H5 NO2 )

2,4

Kerr-Zellen k¨ onnen in gleicher Weise wie Pockels-Zellen als Lichtmodulatoren verwendet werden. Wegen der h¨ oheren erforderlichen Spannungen und Materialproblemen (Nitrobenzol ist ﬂ¨ ussig, giftig und explosiv!) werden heute u ¨ berwiegend Pockels-Zellen eingesetzt. Kerr-Zellen lassen sich bis zu Grenzfrequenzen von etwa 10 GHz modulieren und k¨ onnen als sehr schnelle Lichtschalter und -modulatoren eingesetzt werden. F¨ ur Grenzfrequenzen im 100 kHz-Bereich lassen sich ferroelektrische Keramiken (PLZT-Elemente aus Blei/Lanthan-Zirkonat/Titanat) mit großen Kerr-Konstanten (K > 100 pm/V2) verwenden.

26.6 Faraday-Eﬀekt

785

Die auf der Nichtlinearit¨ at 3. Ordnung beruhende in E quadratische Brechzahl¨ anderung (26.10) ist nicht auf statische oder niederfrequente Felder beschr¨ ankt, sondern tritt auch bei optischen Frequenzen auf. Wegen I ∼ E 2 erhalten wir dann aus (26.10) f¨ ur die intensit¨ atsabh¨angige Brechzahl¨anderung, genannt optischer Kerr-Eﬀekt

n(I) = n + n2 · I

(26.17)

mit n2 ∼ R ∼ χ2 . Durch diesen Eﬀekt kann eine Kerr-Linse entstehen: Ein Laserstrahl mit Gauß- oder Paraboloid-Verlauf der Intensit¨at erzeugt eine GRINLinse (s. Kap 24.8), die evtl. zur Selbstfokussierung und so hohen Intensit¨aten f¨ uhrt, dass ein teures Bauelement zerst¨ ort wird.

26.6 Faraday-Eﬀekt Im Gegensatz zum elektrooptischen Kerreﬀekt gilt beim magnetooptischen Faradayeﬀekt auch in isotropen Materialien ein linearer Zusammenhang zwischen Brechzahl¨ anderung und magnetischer Induktion7 (∆n ∼ B). Experimentell beobachtet man, dass die Polarisationsebene linear polarisierten Lichtes bei Durchgang durch einen in einem Magnetfeld beﬁndlichen Stoﬀ gedreht wird. Hierbei tritt die maximale Drehung bei Ausbreitung parallel zum B-Feld auf und das Licht bleibt linear polarisiert. Der Drehwinkel β h¨angt von der Probendicke l und der magnetischen Induktion B ab: Faraday-Drehung

β = V Bl

(26.18)

V ist die Verdetsche Konstante (mit [V ] = rad/(T · m) oder Grad/(T · m), h¨auﬁg noch Winkelmin./(Gauß · cm)), die – wie die elektrooptischen Konstanten – von Wellenl¨ ange und Temperatur abh¨ angt. Ein interessanter Aspekt der Faraday-Drehung ist die Tatsache, dass f¨ ur einen vorgegebenen Stoﬀ der Drehsinn um die Magnetfeldachse nicht von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes relativ zum Magnetfeld abh¨angt. Damit addieren sich die Drehungen bei wiederholtem Durchgang in Hin- und R¨ uckrichtung. Dies ist bei dem verwandten Eﬀekt der optischen Aktivit¨at (s. Kap. 15.6) nicht der Fall. Optische Rotation ist Folge der zirkularen Doppelbrechung (s. Kap. 15.6), dem Auftreten unterschiedlicher Brechzahlen f¨ ur links- und rechtszirkular polarisiertes Licht, die zu unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten f¨ uhren. Da 7

Die magnetischen Analogien zum Kerr-Eﬀekt, also ∆n ∼ B 2 sind der Voigt-Eﬀekt (in Gasen) und der Cotton-Mouton-Eﬀekt (in Fl¨ ussigkeiten). Auch hier steht das Magnetfeld senkrecht zur Lichtrichtung.

786

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

¨ linear polarisiertes Licht als Uberlagerung von zwei zirkular polarisierten Wellen beschrieben werden kann, f¨ uhrt dann deren gegenseitige Phasenverschiebung zu einer Drehung der Polarisationsebene. Aus der klassischen Theorie der optischen Konstanten erh¨alt man f¨ ur die Verdetsche Konstante8 Verdetsche Konstante

V =

e dn λ 2mc0 dλ

(26.19)

e dn Hierbei ist m = 1,759 · 1011 As kg die speziﬁsche Ladung des Elektrons und dλ die Dispersion (ohne Magnetfeld). Es ist interessant, dass der Einﬂuss des Magnetfeldes im Wesentlichen durch diese feldunabh¨angige Dispersion beschreibbar ist.

Tabelle 26.4. Verdet-Konstante V ausgew¨ ahlter Materialien Material Wasser

V in Grad/(T·m) bei λ = 589 nm 218

Kronglas

268

Flintglas

528

CS2

705

CCl4

267

NaCl

598

KCl

476

Quarz

277

ZnS

3750

Der Faraday-Eﬀekt wird, ¨ ahnlich wie die Pockels-Zelle, zur Lichtmodulation verwendet, wobei jedoch ein magnetisches Feld bei sehr hohen Frequenzen schwieriger modulierbar ist. Bei der in Abb. 26.12 gezeigten Anordnung k¨onnte der Faraday-Rotator zwischen gekreuzten Polarisatoren als Schalter verwendet werden. Eine wichtige Anwendung des Faraday-Eﬀekts ist der Bau von optischen Isolatoren (Lichtfallen, optische Diode), die u.a. zur Unterdr¨ uckung unerw¨ unschter – (und z.B. f¨ ur Halbleiterlaser und andere optische Komponenten gef¨ahrlicher) – R¨ uckreﬂexionen (Retropulse) dienen. Bei der Realisierung (s. Abb. 26.13) 8

Pedrotti und Bandettini: Faraday Rotation. . .

26.6 Faraday-Eﬀekt

787

Abb. 26.12. a) Schematischer Aufbau eines Faraday-Rotators. Der angegebenen Drehung (im Uhrzeigersinn bei Blick entgegen der Licht- und B-Richtung) entspricht eine positive Verdet-Konstante. b) Drehung der Polarisationsebene um 90◦

wird die oben genannte Additivit¨ at der Teildrehungen ausgenutzt: Ein FaradayRotator, der um 45◦ dreht, beﬁndet sich zwischen Polarisatoren, die um 45◦ gegeneinander verdreht sind. Die von links einfallende Welle wird dann vom Analysator durchgelassen, rechts vom Rotator reﬂektiertes (Streu-)Licht wird hingegen von diesem nochmals um 45◦ in derselben Richtung gedreht und daraufhin vom Polarisator gesperrt. Die G¨ ute der optischen Isolation wird u.a. durch die Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der Verdet-Konstante begrenzt. So erreicht man z.B. mit YIG-Kristallen (YIG=Yttrium-Eisen-Granat) breitbandig D¨ampfungen von 30 dB und schmalbandig von 60 dB. Durch Kaskadierung sind sogar u ¨ber 90 dB erreichbar. Beispiel 26.4 Faraday-Rotator Gesucht ist die L¨ ange eines 45◦ -Rotators aus SF 58-Flintglas mit der VerdetKonstante V = 32,6 rad/(T·m), der f¨ ur ein Feld von 0,9 T in einem optischen Isolator verwendet werden soll. L¨ osung Aus l =

β VB

folgt mit β = 0,785 rad: l = 2,68 cm.

788

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Abb. 26.13. Um 45◦ drehender Faraday-Rotator als optischer Isolator (Lichtfalle). Einfallendes Licht wird vom Analysator durchgelassen, reﬂektiertes Licht nochmals um 45◦ gedreht und vom Polarisator gesperrt

26.7 Akustooptische Eﬀekte ¨ Unter Photoelastizit¨ at (s. Kap. 15.7) versteht man die Anderung der Brechzahl durch eine mechanische Spannung. Auf diesem Eﬀekt beruht der akustooptische Eﬀekt, die Wechselwirkung von optischen und akustischen Wellen. Longitudinale (Ultra-) Schallwellen, die im Allgemeinen von einem piezoelektrischen Ultraschallwandler emittiert werden, erzeugen in einem Medium (Kristall, Fl¨ ussigkeit) periodische Verdichtungen und Verd¨ unnungen, die zu (sehr kleinen) Brechzahl¨ anderungen f¨ uhren, an denen die Lichtwellen gestreut werden. Dies bezeichnet man als Brillouin-Streuung 9 . Bei dieser akustooptischen Wechselwirkung durchsetzt die Lichtwelle das streuende Medium mit einer Geschwindigkeit, die etwa der 105 fachen Schallonnen die Brechzahlmodulationen (außer geschwindigkeit cs entspricht, deshalb k¨ beim Doppler-Eﬀekt) als station¨ ar angesehen werden. Je nach Dicke des streuenden Mediums und der St¨arke der Wechselwirkung unterscheidet man bei der theoretischen Behandlung zwei Grenzf¨alle: den Raman-Nath-Bereich bei kleiner und den Bragg-Fall bei großer Probendicke. Im ¨ Raman-Nath-Fall f¨ uhren die Brechzahl¨ anderungen lediglich zu einer Anderung der Phasengeschwindigkeit, das Medium verh¨alt sich dann wie ein TransmissionsPhasengitter (s. Kap. 17.5), dessen Gitterkonstante g gleich der Schallwellenl¨ange λs ist. Senkrecht zur Richtung der Schallwelle einfallendes Licht wird an dem Ultraschallgitter gebeugt und das Fraunhofer-Beugungsbild in der Brennebene einer 9

Diese Bezeichnung unterscheidet – wie Brillouin – nicht zwischen der Streuung an koh¨ arenten und inkoh¨ arenten Ultraschallwellen. In der Regel bezeichnet man heute mit Brillouin-Streuung die Wechselwirkung von Licht mit thermischen Gitterschwingungen, den akustischen Phononen.

26.7 Akustooptische Eﬀekte

789

Linse registriert (s. Abb. 26.16). Entsprechend der Gittergleichung (16.49) gilt dann f¨ ur die Winkel der Beugungsmaxima

sin αmax = m

λ λs

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(26.20)

Hierbei wurde die Gitterkonstante entsprechend g = λs = cs /fs durch die Gr¨oßen des Schallfeldes ersetzt. Bei großer Dicke k¨ onnen die Bereiche erh¨ohter Brechzahl als – zur Ausbreitungsrichtung des Schalls senkrechte – Ebenen angesehen werden, an denen die Lichtwellen teilweise reﬂektiert werden (s. Abb. 26.14). Dies ist ¨ahnlich der BraggReﬂexion von R¨ ontgen- oder Materiewellen an den Netzebenen eines Kristalls. Eine gebeugte Welle tritt in den Richtungen auf, in denen f¨ ur eine einzelne Ebene das Reﬂexionsgesetz erf¨ ullt ist und die Teilwellen von aufeinander folgenden Ebenen konstruktiv interferieren, also der Gangunterschied ∆ = mλ betr¨agt. Nach Abb. 26.14 ist ∆ = 2λs sin θ; θ bezeichnet man als Bragg-Winkel. Mit m = 1 erhalten wir die Braggsche Gleichung

sin θ =

fs λ =λ 2λs 2cs

(26.21)

F¨ ur die Akustooptik wurde diese Gleichung zuerst von Brillouin 1921 angegeben, ur m = 1). sie ist identisch mit der Bragg-Gleichung bei der R¨ontgenbeugung10(f¨ Gem¨ aß der Herleitung sind in (26.20) und (26.21) f¨ ur Wellenl¨ange λ und Winkel θ die in dem Medium gemessenen Gr¨ oßen einzusetzen. Wegen der Lichtbrechung beim Ein- und Austritt gelten dieselben Gleichungen aber auch f¨ ur die außerhalb (i. Allg. Luft) gemessenen Gr¨ oßen, falls die Ultraschall-Zelle von planparallelen ¨ 26.14). Fl¨ achen begrenzt ist (s. Ub. Die Bragg-Gleichung l¨ asst sich auch als Folge der Phasenanpassung (phase matching) der Licht- und Schallwelle verstehen. Einfallende und reﬂektierte Lichtwelle interferieren als schr¨ age“ Wellen (s. Kap. 9.6) und bilden in y-Richtung, ” der Ausbreitungsrichtung des Schalls, eine stehende Welle mit dem Abstand g λ der B¨ auche von: g = 2 sin θ (s. (9.41)). Phasenanpassung ist gegeben, wenn g = Schallwellenl¨ ange λs . Damit erhalten wir dann wieder (26.21). Die Bragg-Bedingung l¨ asst sich dar¨ uber hinaus auch im Teilchenbild herleiten: Die einfallende Lichtwelle mit dem Wellenvektor k kann als Strom von Photonen betrachtet werden. Jedes Photon (s. Kap. 1) hat die Energie ω und den Impuls p = k ( = h/(2π) mit h = Plancksches Wirkungsquantum). In gleicher Weise 10

Bei der R¨ ontgenbeugung schreibt man die Bragg-Gleichung meist in der Form 2d sin θ = mλ (mit m = 1, 2, . . . und d = Netzebenenabstand). Lichtbeugung im Bragg-Bereich tritt nur f¨ ur m = 1 auf, da die Lichtstreuung – statt an diskreten Netzebenen – kontinuierlich an einem Gitter großer Dicke mit sinusf¨ ormigem Brechzahlverlauf erfolgt.

790

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Abb. 26.14. Brechzahl¨ anderungen eines Mediums beim Durchgang einer harmonischen Schallwelle (links) und Streuung einer einfallenden optischen Welle an den induzierten Ebenen“ mit dem Gangunterschied ∆ zwischen 2 Teilwellen (rechts). Vektordiagramm: ” Wellenvektor- und Impulserhaltung bei der Streuung. (k, k , ks sind die Wellenvektoren der einfallenden und reﬂektierten Lichtwelle sowie der nach oben laufenden Schallwelle; Impuls einer Welle: p = k)

kann die Schallwelle als Strom von Quasiteilchen, den Phononen, mit Energie ωs und Impuls ks beschrieben werden. Phononen beschreiben die unregelm¨aßigen thermischen Schwingungen eines Kristallgitters. Ein beliebiger Schwingungszu¨ stand des Kristalls l¨ asst sich als Uberlagerung von harmonischen Eigen- oder Normalschwingungen darstellen, deren Quantisierung zu den Phononen f¨ uhrt. Die akustooptische Wechselwirkung ist dann als Stoß zwischen Photonen und Phononen zu verstehen, f¨ ur den Energie- und Impulssatz erf¨ ullt sein m¨ ussen. Der Impulssatz f¨ uhrt auf pvor = pphot + pphon = k + ks = pnach = pphot = k und damit zu k + ks = k (s. Vektordiagramm Abb. 26.14 und 26.15) mit der Interpretation, dass ein Photon und ein Phonon zusammentreﬀen, das gestreute Photon (mit k ) weiterﬂiegt und das Phonon vernichtet (absorbiert) wird. Entsprechend w¨ are die Gleichung k = k + ks so zu verstehen, dass ein Lichtquant unter Emission eines Phonons gestreut wird. Wir k¨onnen das Resultat des Impulssatzes zusammenfassen zu : k-Erhaltung

k = k ± ks

(26.22)

26.7 Akustooptische Eﬀekte

791

Abb. 26.15. Vektordreieck der Wellenvektoren in der N¨ aherung k = k (elastische Streuung), was zur Bragg-Beugung f¨ uhrt. θ ist der Bragg-Winkel

Der Energiesatz fordert bei Phononenabsorption Wvor = ω + ωs = Wnach = ω bei Emission des Phonons wird die Energie des Lichtquants erniedrigt. Wir erhalten hieraus f¨ ur die Frequenz f der gestreuten Lichtwelle f = f ± fs

Doppler-Eﬀekt

(26.23)

Das austretende Photon erf¨ ahrt demnach eine – evtl. sehr kleine – Frequenz¨anderung der Gr¨ oße fs . Wir haben damit den Doppler-Eﬀekt im Teilchenbild hergeleitet. Bei Ann¨aherung der Schallwelle (Phononenabsorption) nimmt die Lichtfrequenz zu, bei Entfernung ab. Es ist interessant, dass hier – im Gegensatz zum Doppler-Eﬀekt bei bewegtem Sender – die Frequenz¨anderung nicht vom Winkel ¨ 26.11). zwischen Bewegungs- und Beobachtungsrichtung abh¨angt (s. Ub. Zusammenfassend k¨ onnen wir feststellen, dass durch (26.22) und (26.23) die Erzeugung und Vernichtung von Phononen durch einfallende Photonen beschrieben wird, die Photonen erfahren hierbei Brillouin-Streuung. Bei der Herleitung der Bragg-Gleichung aus diesen Gleichungen ber¨ ucksichtigen wir, dass die Frequenz der Lichtwellen (≈ 500 THz) wesentlich gr¨oßer ist als die der Schallwellen ( GHz) bzw. akustischen Gitterschwingungen ( 1012 Hz) und damit eine praktisch elastische Streuung mit ω ≈ ω

und k ≈ k

auftritt. In dem daraufhin gleichschenkligen Vektordreieck (s. Abb. 26.15) ist ur die Wellenl¨angen: λ = 2λs sin θ, dann ks = 2k sin θ; mit k = 2π/λ gilt dann f¨ also die Bragg-Gleichung (26.21) der Akustooptik.

792

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Beispiel 26.5 Bragg-Winkel Um einen Eindruck von der Gr¨ oße der Beugung zu bekommen, soll der Bragg-Winkel f¨ ur einen typischen Fall mit einfallendem Licht der Wellenl¨ange λ = 550 nm, Schallfrequenz fs = 200 MHz und Schallgeschwindigkeit cs = 3000 m/s berechnet werden. L¨ osung Die Schallwellenl¨ ange λs = cs /fs = 15 µm. Nach (26.21) ist dann λ θ = arcsin 2λs = 1,05◦ und der Ablenkwinkel 2θ = 2,1◦ .

Abb. 26.16. Modulation von Licht durch ein Ultraschallgitter im Raman-Nath-Bereich. Das den Ultraschall(US)-Wandler modulierende HF-Signal bewirkt Amplitudenmodulation des Ausgangsstrahls in 0. Ordnung (nur 0. und ±1. Ordnung gezeichnet)

Anwendung ﬁndet der akustooptische Eﬀekt meist im Bragg-Fall bei der Modulation von Licht in Bezug auf Amplitude, Frequenz und Richtung. Abb. 26.16 zeigt eine M¨ oglichkeit der Amplitudenmodulation im Raman-Nath-Fall. Der Spalt l¨asst nur die 0. Ordnung durch, deren Intensit¨at durch das modulierende Signal ver¨ andert wird, da der Anteil des in h¨ ohere Ordnungen umgeleiteten Lichtes variiert. Zahlreiche Anwendungen machen von der M¨oglichkeit der Strahlablenkung Gebrauch. Da im Bragg-Fall nur die 0. und 1. Ordnung auftritt, ist hiermit auch ein einfacher Lichtschalter zu realisieren, der z.B. in Laserdruckern eingesetzt wird. Nach (26.21) ist der Bragg-Winkel abh¨angig von Lichtwellenl¨ange

26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation

793

und Schallfrequenz. Verwendet man am Ausgang einen Linien-(CCD-) Detektor, so erh¨ alt man bei fester Lichtwellenl¨ ange einen Spektrumanalysator , der das – in eine Schallwelle mit gleichem Frequenzspektrum transformierte – modulierende HF-Signal analysiert. L¨ asst man die Schallfrequenz konstant und arbeitet mit variabler Lichtfrequenz, so hat man ein einfaches akustooptisches Gitter“” Spektrometer 11 realisiert, bei dem sin θ ∼ λ. Die Frequenzverschiebung durch den Doppler-Eﬀekt (26.22) ﬁndet Anwendung bei der Heterodyn-Detektion und der Geschwindigkeitsmessung nach dem Doppler-Prinzip.

Abb. 26.17. Energieauskopplung mit Hilfe eines akustooptischen Deﬂektors, der im eingeschalteten Zustand (2) das Licht aus dem Resonator lenkt und die G¨ ute herabsetzt

Abbildung 26.17 zeigt die Anwendung des akustooptischen Deﬂektors zur Energieauskopplung (cavity dumping) aus einem Laserresonator (vgl. auch Abb. 26.10). Bei ausgeschalteter Bragg-Zelle wird Strahl (1) laufend an den Spiegeln des Resonators reﬂektiert und baut durch stimulierte Emission eine stehende Welle hoher Energie auf. Bei Einschalten der Schallwelle entsteht der abgelenkte Strahl (2), der die Energie nach außen tr¨ agt.

26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation Die Optische Phasenkonjugation beruht auf einem nichtlinearen Prozess 3. Ordnung und bietet einige faszinierende Anwendungen. Erst Anfang der siebziger Jahre erschienen hierzu in der Sowjetunion erste Ver¨oﬀentlichungen. Der Name r¨ uhrt daher, dass eine Lichtwelle erzeugt werden soll, deren ortsabh¨angiger Anteil zur einfallenden Welle – mathematisch gesprochen – konjugiert komplex ist. Dies bedeutet, dass eine neue Welle entsteht, die exakt Richtung und Phasenfaktor der einfallenden Welle umkehrt; dadurch wird die konjugierte Welle das genaue Abbild der Originalwelle und reproduziert an jedem Punkt exakt die urspr¨ ungliche Wellenfront. 11

bei linearem Zusammenhang zwischen Beugungs- und Schallintensit¨ at.

794

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Wir betrachten den Prozess zun¨ achst als eine besondere Art der Reﬂexion, die von einem phasenkonjugierenden Spiegel hervorgerufen wird. Um die Einzigartigkeit des Spiegels zu verstehen, betrachten wir in Abb. 26.18 Reﬂexionen an gew¨ ohnlichen Spiegeln. In a) wird eine ebene Welle mit E 1 = Eˆ ej(ωt−kz) an einem idealen Planspiegel reﬂektiert. Die reﬂektierte Welle ist dann wieder eine ebene Welle, jedoch mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung. Mathematisch muss zur Beschreibung dieser Richtungsumkehr das Vorzeichen des komplexen Exponenten jkz ge¨ andert werden. Man sieht, dass – bis auf das Vorzeichen des ωtTerms – die reﬂektierte Welle zur Originalwelle konjugiert komplex ist und die obengenannten Eigenschaften der phasenkonjugierten Welle aufweist. b) zeigt denselben Prozess f¨ ur eine einfallende Kugelwelle. Um nach der Reﬂexion die genaue Kopie der urspr¨ unglichen Welle zu bekommen, muss hier ein Konkavspiegel gew¨ ahlt werden, dessen Kr¨ ummung mit dem der einfallenden Welle u ¨ bereinstimmt. F¨ ur eine Wellenfront beliebiger Form (s. Abb. 26.18 c ist die Amplitude Ψ (r) komplex und enth¨ alt Amplitude und Phasenfaktor, die ihre Abweichung von einer ebenen Welle beschreiben. Wir k¨onnen uns eine solche Welle als ebene Welle vorstellen, die beim Durchgang durch ein Medium – durch Beugung oder Brechung – verzerrt wurde. Phasenkonjugation bedeutet nun, dass wir sowohl bei Ψ (r) als auch jkz – also beim ortsabh¨ angigen Anteil der Wellenfunktion – zum konjugiert Komplexen u ussen. Um dies mit gew¨ohnlichen Spiegeln zu ¨bergehen m¨ erreichen, m¨ ussten Spiegel zur Verf¨ ugung stehen, die zu jedem beliebigen Zeitpunkt jede Form der einfallenden Wellenfront nachbilden k¨onnen. Ideale phasenkonjugierende Spiegel m¨ ussen mithin momentan und kontinuierlich zu beliebigen einfallenden Wellen die konjugierte Welle erzeugen. Die in Abb. 26.18 wiedergegebenen Gleichungen der konjugierten Wellen lassen erkennen, dass man hierzu physikalisch ¨aquivalente Wellen erh¨alt, wenn man den r¨ aumlichen Anteil unge¨ andert l¨ asst und das Vorzeichen der Zeit umkehrt. Man bezeichnet deshalb die phasenkonjugierte Welle auch als zeitgespiegeltes ” Abbild“ der einfallenden Welle. W¨ urde man eine Videoaufnahme der einfallenden Welle r¨ uckw¨ arts ablaufen lassen, so s¨ ahe man die konjugierte Welle. Abbildung 26.19 a bringt eine weitere Gegen¨ uberstellung von herk¨ommlichem und konjugierendem Spiegel. Bei ersterem w¨ urde eine divergente Wellenfront nach der Reﬂexion weiter divergieren, w¨ahrend sie im anderen Fall konvergieren und zu ihrem Ausgangspunkt zur¨ ucklaufen w¨ urde. Dieser Unterschied wird in Abb. 26.19 b verdeutlicht, wo eine Person in die beiden unterschiedlichen Spiegel blickt. Beim gew¨ ohnlichen Spiegel sieht man bekanntlich sein Spiegelbild, beispielsweise wird das von der Nasenspitze divergent ausgehende Licht nach der Spiegelung vom Auge empfangen. Beim Phasenspiegel w¨ urden diese Lichtb¨ undel wieder auf der Nasenspitze zusammenlaufen, das Auge k¨onnte nur das von seiner Pupille gestreute Licht sehen und dies als gleichm¨aßig beleuchteten Spiegel empﬁnden. Optische Phasenkonjugation l¨ asst sich auch als Echtzeit-Holograﬁe verstehen. Abb. 26.20 zeigt Aufnahme und Wiedergabe eines konventionellen Hologramms

26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation

795

Abb. 26.18. Drei Beispiele f¨ ur die Erzeugung der Phasenumkehr der einfallenden Welle durch einen gew¨ ohnlichen Spiegel, bei dem die einfallenden Strahlen u ¨berall senkrecht auftreﬀen m¨ ussen. Ein phasenkonjugierender Spiegel erzeugt in jedem Moment Phasenumkehr f¨ ur beliebige einfallende Wellen

(s. Kap. 13.3): In (1) wird der Film gleichzeitig mit Referenz- und Objektwelle bestrahlt, die interferieren und ein komplexes Interferenzmuster in der Filmemulsion erzeugen. Bei (2) wurde der Film entwickelt und das Hologramm ﬁxiert.(3) zeigt die u ¨ bliche Art der Rekonstruktion des Hologramms, bei der es mit der Referenzwelle beleuchtet wird und das reelle Bild gespiegelt auftritt. Dreht man die Richtung der Referenzwelle um (4), so erscheint das reelle Bild exakt an der Stelle des urspr¨ unglichen Objekts; wir haben die phasenkonjugierte Welle erzeugt. Bei der Phasenkonjugation treten die Prozesse (1), (2) und (4) gleichzeitig oder in Echtzeit auf. Abb. 26.21 zeigt den phasenkonjugierenden Spiegel,

796

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Abb. 26.19. Unterschiede in der Funktionsweise eines gew¨ ohnlichen und eines phasenkonjugierenden Spiegels a) bei der Reﬂexion einer divergenten Welle und b) bei der Bilderzeugung

Abb. 26.20. Konventionelle Holograﬁe mit den Schritten: (1) Aufnahme des Hologramms, (2) Entwicklung, (3) und (4) Rekonstruktion nach zwei verschiedenen Methoden

26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation

797

der von gegenl¨ auﬁgen Lichtb¨ undeln (1) und (2), die an die Stelle der Referenzstrahlen in Abb. 26.20 treten, bestrahlt wird. Entsprechend u ¨bernehmen (3) und (4) die Rolle von Objekt- und Bildstrahl. (1) und (3) interferieren unter Bildung eines Echtzeithologramms (z.B. Phasenhologramm), an dem der Pumpstrahl (2) Bragg-Reﬂexion erf¨ ahrt und die Ausgangswelle (4) als konjugiert komplexe Eingangswelle erzeugt. Hierbei ist die Rolle von (1) und (2) vertauschbar, d.h. (2) und (3) erzeugen das Hologramm, an dem (1) gestreut wird.

Abb. 26.21. Echtzeitholograﬁe oder Phasenkonjugation. Die Vier-Wellen-Mischung, die die Ausgangswelle (4) erzeugt, erfolgt simultan. (4) entspricht dem reellen Bild bei der konventionellen Holograﬁe

Abb. 26.22. Standardgeometrie f¨ ur Phasenkonjugation durch Vier-Wellen-Mischung. Die Pumpwellen 1 und 2 laufen antiparallel und sind wesentlich st¨ arker als die Signalwelle 3. 4 ist die phasenkonjugierte Ausgangswelle

Die geschilderte Technik zur Erzeugung der Phasenkonjugation wird als VierWellen-Mischung bezeichnet, da sie 4 wechselwirkende Wellen in einem nichtlinearen Medium umfasst (s. Abb. 26.22). Zwei der Strahlen sind Pump- oder Referenzstrahlen, die aus entgegengesetzten Richtungen einfallen. In der Regel sind

798

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

sie ebene Wellen und haben dieselbe Wellenl¨ange wie die Objekt- oder Signalwelle, deren Phasenkonjugierte gesucht ist. Die Einfallsrichtung der Signalwelle ist beliebig, sie legt dann die Richtung der Ausgangswelle fest. Die Amplituden A1 und A2 der Pumpwellen sind wesentlich gr¨oßer als die der beiden anderen, so dass sie als konstant angesehen werden k¨ onnen. Die Amplitude der Ausgangswelle wird dann: A4 ∼ A1 A2 A∗3

(26.24)

ˆ so Sind die beiden Pumpwellen gegenl¨ auﬁge ebene Wellen gleicher Amplitude E, ∗ 2 ∗ ˆ wird A2 = A1 und A4 = E A3 , also – bis auf eine unwesentliche Konstante – die phasenkonjugierte Welle. R¨ aumliche oder zeitliche Modulation einer oder beider Pumpwellen moduliert dann auch die Ausgangswelle. Vergleich von (26.24) und (26.2) zeigt, dass f¨ ur diese Wechselwirkung Nichtlinearit¨ at 3. Ordnung (Kerr-Eﬀekt) geeignet ist. Da die Kerr-Konstante sehr klein ist, verwendet man statt dessen den fotorefraktiven Eﬀekt, also einen Eﬀekt 2. Ordnung. Wir k¨ onnen uns vorstellen, dass Signal- und eine der Pumpwellen ein Phasengitter erzeugen, an dem die andere Pumpwelle gebeugt wird und so die phasenkonjugierte Welle generiert. Einige Eigenschaften des konjugierten Strahles f¨ uhren zu interessanten Anwendungen, wie z.B. bei der Korrektur von Aberrationen sowie der Zielﬁndung und Zielverfolgung. Zun¨ achst werde ein transparentes aber verzerrendes Medium, wie Milchglas, untersucht, das von der Signalwelle auf dem Weg zum konjugierenden Spiegel durchsetzt wird. Obwohl die Welle beim Durchgang durch das Glas erheblich gestreut und verzerrt wurde, wird sie von diesem Spiegel so reﬂektiert, dass sie nach erneutem Durchgang durch den Glask¨orper wieder als die urspr¨ ungliche Welle austritt, die Verzerrung also geheilt“ wird. Strahlen, die ” ein System mit starken Abbildungsfehlern durchlaufen haben, laufen nach Reﬂexion an einem konjugierenden Spiegel durch dasselbe System und haben wieder die Ausgangsform. Dies gilt insbesondere auch f¨ ur Lichtstrahlen, die von einer – evtl. auch bewegten – Punktquelle ausgehen, und trotz Streuung, Beugung und Bewegung im Ausgangspunkt zusammenlaufen und damit die bereits erw¨ahnte Eigenschaft der Zielﬁndung und Zielverfolgung aufweisen. Abbildung 26.23 illustriert das Prinzip der selbstgesteuerten Zielﬁndung am Beispiel der Fokussierung eines hochenergetischen Laserstrahls, z.B. zur Kernfusion von Wasserstoﬀ. Ein Laserverst¨ arker erzeugt bei hohen Energien immer Strahlen mit verzerrten Wellenfronten, die nicht exakt fokussierbar sind. Ein zus¨ atzlich verwendeter schwacher F¨ uhrungslaser l¨asst sich jedoch gut auf das Objekt fokussieren; das gestreute Licht durchsetzt einen oder mehrere Laserverst¨ arker, wird verst¨ arkt (und verzerrt), dann an einem phasenkonjugierenden Spiegel reﬂektiert und nach erneuter Verst¨arkung wieder im Zielpunkt vereinigt. Hierbei ist vorausgesetzt, dass sich die Eigenschaften des Verst¨arkers w¨ahrend der Durchlaufzeit des Lichtes nicht ver¨ andern.

26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation

799

Abb. 26.23. Zielﬁndung mittels eines F¨ uhrungslasers und eines phasenkonjugierenden Spiegels

Eine etwas andere Betrachtungsweise f¨ uhrt auf eine ganze Reihe von Anwendungen dieses Schemas. Der F¨ uhrungslaser sei an Bord eines Satelliten und der phasenkonjugierende Laserverst¨ arker in der Bodenstation. Der Satellit kann dann eine phasenkonjugierte R¨ uckwelle von der Bodenstation anregen, die von den Verzerrungen durch atmosph¨ arische Turbulenz und den Laserverst¨arker befreit ist. Dies erm¨ oglicht nicht nur die Satellitenverfolgung, sondern auch die Kommunikation mit der Bodenstation. Moduliert man einen der Pumpstrahlen, so wird nach (26.24) auch der phasenkonjugierte R¨ uckw¨artsstrahl entsprechend der zu u ¨ bertragenden Information moduliert. Ein anderes interessantes Anwendungsbeispiel der optischen Phasenkonjugation ﬁndet man im Gebiet der faseroptischen Informations¨ ubertragung. Lichtsignale werden beim Durchgang durch Fasern durch Moden- und Materialdisper-

800

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation

Abb. 26.24. Bildverbesserung eines u ¨ ber Faser 1 u ¨ bertragenen verzerrten Bildes mittels Phasenkonjugation. Das ankommende Licht wird an einem phasenkonjugierenden Spiegel reﬂektiert und durchsetzt dann eine mit 1 identische Faser 2, an deren Ausgang das korrigierte Bild auftritt

sion verzerrt, Lichtpulse verbreitert (s. Kap. 24.7). Abbildung 26.24 zeigt ein Faserst¨ uck (Faser 1), durch das ein am Eingang beﬁndliches Bild (Pfeil) u ¨ bertragen werden soll. Versucht man am Ausgang das durch den Strahlenteiler reﬂektierte Licht zu einem Bild zu fokussieren, so wird dies mehr oder weniger verzerrt sein. Um die Abbildungsfehler zu korrigieren, schickt man das durch den Strahlteiler tretende Licht durch einen Phasenspiegel und anschließend durch eine mit Faser 1 identische Faser 2, die Fehler der ersten Faser werden dann kompensiert und ¨ man erh¨ alt am Ausgang (auch bei Ubertragung u ¨ber große Entfernung) ein Bild hoher Qualit¨ at.

¨ Ubungen 26.1 Formen Sie f¨ ur ein nichtlineares Medium die Polarisationsterme 3. Ordnung mit Hilfe der Additionstheoreme so um, dass Sie die in den erzeugten Wellen enthaltenen Frequenzen angeben k¨ onnen. Untersuchen Sie folgende F¨ alle: ˆ und Frequenz f ; a) eine einfallende ebene Welle der Amplitude E ˆ1 und E ˆ2 und Frequenzen f1 und f2 . b) zwei Wellen der Amplituden E ¨ 26.2 Untersuchen Sie – analog zu Ubung 1 – die Wellen, die bei der Wechselwirkung von at 2. Ordnung auftreten. 3 ebenen Wellen der Frequenzen f1 bis f3 bei Nichtlinearit¨ 26.3 Wie kann man anschaulich erkl¨ aren, dass bei Nichtlinearit¨ aten ungerader Ordnung keine Gleichrichtung auftreten kann?

26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation

801

26.4 Erkl¨ aren Sie – ausgehend von (26.9) –, dass ein linearer elektrooptischer Eﬀekt nur in Kristallen ohne Inversionszentrum auftreten kann. 26.5 a) Bestimmen Sie die Kristallkoh¨ arenzl¨ ange f¨ ur Frequenzverdopplung in KDP, das mit Lichtpulsen des Rubinlasers (λ = 694 nm) bestrahlt wird. (Brechzahlen: nω = 1,505 bei λ = 694 nm und n2ω = 1,534 bei 347 nm. b) F¨ ur Bariumtitanat wurde bei λ = 1,06 µm eine Kristallkoh¨ arenzl¨ ange von 5,8 µm gemessen. Welche Brechzahl¨ anderung tritt bei 530 nm auf? 26.6 Berechnen Sie f¨ ur eine Wellenl¨ ange von 546 nm die Halbwellenspannung und L¨ ange einer longitudinalen Pockels-Zelle aus ADP (Ammonium-Dihydrogen-Phosphat). 26.7 Eine longitudinale Pockels-Zelle aus Lithiumniobat (L¨ ange 1 cm) wird von Licht des He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) durchstrahlt. Wie groß sind Brechzahl¨ anderung und Phasendiﬀerenz bei Anlegen einer Spannung von 426 V? 26.8 Zeigen Sie, dass man die Gleichung (26.13), die die Durchl¨ assigkeit einer PockelsZelle beschreibt, auch schreiben kann als I = Imax · sin2 2δ . a) Bei welchen Werten von U und δ (> 0) ist die Zelle undurchl¨ assig? b) Wie groß ist ihre Durchl¨ assigkeit bei U = 0 und U = UHW , wenn vor die Zelle eine Halbwellenplatte gebracht wird? 26.9 Welche Voraussetzungen muss ein Medium erf¨ ullen, in dem sowohl Pockels- als auch Kerr-Eﬀekt auftreten? Um die Gr¨ oße der beiden Eﬀekte abzusch¨ atzen, soll f¨ ur eine Spannung von etwa 10 kV das Verh¨ altnis der Brechzahl¨ anderung durch die beiden Eﬀekte angegeben werden. Numerische Auswertung mit typischen“ Werten: ” r = 10 pm/V, K = 1 pm/V2 , l = 2 cm, d = 1 cm und n0 = 2; setzen Sie λ = 550 nm. ullte Kerr-Zelle soll mit einer Spannung 26.10 Eine mit Schwefel-Kohlenstoﬀ (CS2 ) gef¨ von 30 kV betrieben werden, der Elektrodenabstand betr¨ agt 1,5 cm. Wie groß ist die L¨ ange der Zelle bei Halbwellenbetrieb? Welche Konsequenzen ziehen Sie aus dem Ergebnis? 26.11 Zeigen Sie, dass (26.23) auch als Doppler-Eﬀekt interpretiert werden kann. Benutzen Sie die Tatsache, dass bei Reﬂexion an einem mit v bewegten Objekt eine Verdopplung der Frequenz¨ anderung auftritt, dass also ∆f = 2f vp /c gilt. vp ist die Geschwindigkeitskomponente in Ausbreitungsrichtung des Lichtes. Verwenden Sie die in Abb. 26.14 deﬁnierte Geometrie und die Bragg-Bedingung, um die Winkelabh¨ angigkeit zu eliminieren. 26.12 Die Schallgeschwindigkeit in Glas (n = 1,5) ist rund 3 km/s. Berechnen Sie die Strecke, die eine Ultraschallwelle der Breite 1 cm zur¨ ucklegt, w¨ ahrend sie von einer Lichtwelle durchquert wird. Was folgt aus diesem Ergebnis f¨ ur die Wechselwirkung zwischen Licht und Schall? 26.13 Zeigen Sie, dass bei der Bragg-Reﬂexion an Ultraschall a) eine kleine durch Frequenzmodulation (mit der Modulationsbreite ∆fs ) der Schallwelle erzeugte Winkelverbreiterung ∆θ des Beugungswinkels θ durch ∆θ = ∆ks /k = λ∆fs /cs ausgedr¨ uckt werden kann (Index s = Schall, λ = λ0 /n). b) Der Faktor N , um den ∆θ die Strahldivergenz ∆θd u ¨ berschreitet, wird als Zahl ” der aufl¨ osbaren Punkte“ bezeichnet. Dies ist eine G¨ utezahl, die angibt wie viele

802

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation Positionen ein Strahldeﬂektor adressieren kann. Zur Berechnung von N soll angenommen werden, dass die Strahlverbreiterung beugungsbedingt ist: ∆θd = λ/d (d = Durchmesser des einfallenden Lichtstrahles). Best¨ atigen Sie, dass N = ∆θ/∆θd = τ ∆fs , wobei τ die Zeit ist, die der Schall zur Durchquerung des Lichtstrahls ben¨ otigt. c) Untersuchen Sie als numerisches Beispiel die Beugung an Quarz f¨ ur die Daten: Frequenzbereich 80–120 MHz, cs = 5,95 km/s, Strahldurchmesser d = 1 cm.

26.14 In der Bragg-Gleichung (26.21) sind f¨ ur Wellenl¨ ange und Winkel die in dem Medium gemessenen Gr¨ oßen einzusetzen. Zeigen Sie, dass die Gleichung auch f¨ ur die außerhalb (meist Luft) geltenden Gr¨ oßen zutriﬀt, falls das Medium isotrop ist und seine Seitenﬂ¨ achen parallel zur Richtung der ebenen Schallwelle verlaufen. 26.15 Welche Frequenz muss eine ebene akustische Welle haben, um den Strahl eines HeNe-Lasers (λ = 632,8 nm) bei Bragg-Reﬂexion um 1◦ abzulenken? Der Deﬂektor besteht aus Tellur-Dioxid TeO2 (n = 2,25, cs = 4,2 km/s). 26.16 Bestimmen Sie die Diﬀerenz der Ablenk winkel f¨ ur einen He-Ne-Strahl bei BraggReﬂexion an Saphir (cs = 1,1 · 104 m/s, n = 1,76), wenn die Schallfrequenzen 50 und 80 MHz betragen. 26.17 Entwerfen Sie einen magneto-optischen Isolator aus ZnS. Zur Erzeugung des magnetischen Feldes soll die lange Spule mit der Windungszahldichte von 6000 Wind./m direkt auf den zylindrischen Kristall gewickelt werden. 26.18 Eine planparallele, polierte Platte der Dicke 2,73 cm aus SF 57-Flintglas wird zwischen die in L¨ angsrichtung durchbohrten Polschuhe eines Elektromagneten gebracht und von linear polarisiertem Laserlicht durchstrahlt. Welche Verdet-Konstanten hat das Glas f¨ ur rotes (632,8 nm) und gr¨ unes (543,5 nm) Licht des He-Ne-Lasers, wenn die Polarisationsebene um 15◦ bzw. 22,2◦ gedreht wird und die magnetische Induktion 0,51 T betr¨ agt? Geben Sie V in den Einheiten rad/(T·m) und Grad/(T·m) an. 26.19 Welche Faraday-Rotation misst man f¨ ur linear polarisiertes Na-Licht (589 nm) bei einer 5 cm langen mit Schwefel-Kohlenstoﬀ gef¨ ullten Zelle, wenn die magnetische Induktion 0,4 T betr¨ agt? Wie groß ist die Dispersion von CS2 bei dieser Wellenl¨ ange? 26.20 Skizzieren Sie die Form eines nicht symmetrischen Lichtpulses vor und nach Reﬂexion an einem gew¨ ohnlichen und an einem phasenkonjugierenden Spiegel, der jeweils (¨ uber die Pumpwellen) dann aktiviert wird, wenn der Puls vollst¨ andig in das Medium des Spiegels eingetreten ist. Wie kann mit einem solchen Spiegel die Pulsverbreiterung in einem Lichtwellenleiter korrigiert werden? 26.21 Entwerfen Sie eine Anordnung, die mit Hilfe eines phasenkonjugierenden Spiegels ohne Linsen ein helles und scharfes Bild einer Maske auf der Fotoresist-Schicht eines Chips entwirft. Dieses Verfahren f¨ uhrt zu einem Fotolithograﬁe-Verfahren ohne direkten Kontakt zwischen Maske und Chip!

27 Optische Konstanten

Einleitung Elektromagnetische Wellen, die auf ein Medium treﬀen, treten mit den geladenen Teilchen dieses Stoﬀes in komplizierte Wechselwirkung. Die Ladungen werden zu erzwungenen Schwingungen angeregt und senden ihrerseits Streuwellen aus, die sich mit der einfallenden Welle zu einem – von der Mikrostruktur des Mediums abh¨ angigen – komplexen Feld u ¨berlagern. Trotzdem lassen sich viele Eigenschaften des Materials, wie Brechung und Absorption, durch die Angabe makroskopischer Materialparameter, der optischen Konstanten, beschreiben. In diesem Kapitel werden diese Konstanten, ausgehend von dem Verhalten eines Dielektrikums im Kondensator, deﬁniert und durch eine mikroskopische Theorie erkl¨ art, die die Antwort der Elektronen und Ionen eines Stoﬀes auf das elektrische Feld der Lichtwelle auf die erzwungenen Schwingungen von harmonischen Oszillatoren zur¨ uckf¨ uhrt. Die genaue makroskopische Theorie basiert auf den Maxwell-Gleichungen, hier soll jedoch eine anschauliche Methode angewendet werden.

804

27 Optische Konstanten

27.1 Deﬁnition der optischen Konstanten Bringt man in einen Plattenkondensator mit der Ausgangsladung Q0 bei konstanter a ¨ußerer Spannung U und elektrischer Feldst¨arke E = U/d ein Dielektrikum, so beobachtet man einen Anstieg der Ladung auf den Kondensatorplatten auf Qm , da das Medium polarisiert wird und an der Oberﬂ¨ache zus¨atzlich die Polaagt. Dann ist (s. Abb. 27.1) : risationsladung Qp tr¨ Qm = Q0 + Qp ≡ Cm U

(27.1)

Abb. 27.1. Plattenkondensator mit Dielektrikum der Dielektrizit¨ atszahl εr = 2 bei konstanter ¨ außerer Spannung U . Q0 = Ladung ohne und Qm = εr Q0 = 2Q0 = Ladung mit Dielektrikum, Qp = Qm − Q0 = (εr − 1)Q0 = Q0 = Polarisationsladung, die p aus mikroskopischen elektrischen Dipolen resultiert. Diese Ladungen rufen ein Feld E hervor, das antiparallel zum ¨ außeren Feld E ist

Hierbei stehen die Indizes 0“ und m“ f¨ ur ohne“ und mit“ Materie. Cm = ” ” ” ” Qm /U ist die elektrische Kapazit¨at des Plattenkondensators A d wobei A = Fl¨ ache einer der Kondensatorplatten, d deren Abstand und Cm = ε

ε = ε0 εr

(27.2)

(27.3)

27.1 Deﬁnition der optischen Konstanten

805

als Dielektrizit¨atskonstante bezeichnet wird. ε0 = 8,854 · 10−12 As/(V·m) ist die ¨ elektrische Feldkonstante des Vakuums und εr die Dielektrizit¨atszahl. Ublicherweise f¨ uhrt man die Ladungs- bzw. Verschiebungsdichte D ein. F¨ ur ein homogenes ·A und (27.1) ergibt Feld ist Q = D 0 +P m = D D

(27.4)

P ist die elektrische Polarisation, ihr Betrag Qp /A ist die Dichte der Polarisationsladung. Mit U = Ed folgt aus (27.1) bis (27.4) f¨ ur die Verschiebungsdichte = εr D 0 m = εE D

(27.5)

und f¨ ur die Polarisation

0 = (εr − 1)ε0 E m −D ≡ ε0 χE P = D

(27.6)

χ, die elektrische Suszeptibilit¨at, charakterisiert die makroskopische Polarisierbarkeit des Mediums. E ist das elektrische Feld vor Einbringen des Dielektrikums. Die in einem Kondensator gespeicherte elektrische Energie W ist bekanntlich W = 12 Cm U 2 = 12 εE 2 V . Hierbei wurde im letzten Term das Volumen V = Ad eingef¨ uhrt und U = Ed sowie (27.2) verwendet. Damit wird dann die volumenbezogene elektrische Energiedichte

w=

W 1 1 = εE 2 = DE V 2 2

(27.7)

Legt man an den (verlustfreien) Kondensator ein elektrisches Wechselfeld mit ˆ ejωt E=E ˆ 2 zeitunabh¨angig und die mittlere so ist die mittlere Energiedichte mit w = 14 εE absorbierte Leistung verschwindet. Bei einem verlustfreien Medium ist die Polarisation P – und damit auch die Verschiebungsdichte D – mit der elektrischen Feldst¨ arke E in Phase, folglich ist ε = D/E eine reelle Gr¨oße. In hochfrequenten elektrischen Feldern kann die Polarisation dem erregenden Feld nicht tr¨agheitslos folgen, und D und E weisen eine Phasenverschiebung auf (s. Abb. 27.2). Wir schreiben dann statt (27.5): Dm = ε E

(27.8)

und haben damit eine komplexe Dielektrizit¨atskonstante bzw. komplexe Dielektrizit¨atszahl ε

= ε0 εr = ε − j ε

εr

= εr − j εr

(27.9)

806

27 Optische Konstanten

eingef¨ uhrt.

Abb. 27.2. Zeigerdiagramm f¨ ur ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Verschiebungsdichte D und elektrische Feldst¨ arke E sind phasenverschoben, was durch die komplexe Dielektrizit¨ atskonstante ε ber¨ ucksichtigt wird

Mit (27.7) und E˙ = jωE wird dann die mittlere absorbierte Leistungsdichte1 ˆ2 E w˙ = ε E E˙ = ε(jωE)E = (ε − j ε )(jωE)E = ε ω (27.10) ∼ Im(ε) 2 Die absorbierte Leistung ist also proportional zum Imagin¨arteil ε der komplexen Dielektrizit¨ atskonstante. In einem Ersatzschaltbild lassen sich die Verluste durch einen zum verlustfreien Kondensator (mit ε = ε ) parallel geschalteten Widerstand R (gleicher geometrischer Abmessungen) oder ein leitf¨ ahiges Dielektrikum ber¨ ucksichtigen. In 1 2 ˆ ˙ ˙ = 2u ˆ /R. Mit u ˆ = Ed, dem Widerstand entsteht die Verlustleistung W = wV 1/R = σA/d und V = Ad erhalten wir dann die zugeh¨orige Leistungsdichte ˆ2 E 2 Vergleich mit (27.10) liefert den Zusammenhang: w˙ = σ

Verlustgr¨oße 1

εr =

σ ε0 ω

(27.11)

(27.12)

Nach Kap. 8 ist die komplexe Schreibweise bei der Multiplikation nicht erlaubt, wir m¨ ussen der Ausf¨ uhrung zur reellen Schreibweise u ¨ bergehen, d.h. E 2 = Im(E 2 ) ∼ sin2 ωt = 12 und (jωE)E ∼ cos ωt · sin ωt = 0.

27.1 Deﬁnition der optischen Konstanten

807

Verluste k¨ onnen dementsprechend – formal gleichwertig – durch eine elektrische Leitf¨ ahigkeit σ (ohmsche Verluste) oder den Imagin¨arteil ε der Dielektrizit¨atskonstante (Verluste des Verschiebungsstroms) beschrieben werden. Entsprechend den physikalischen Gegebenheiten wird man die Beschreibung u ¨ ber die Leitf¨ahigkeit bei Metallen und die Methode der Dielektrizit¨atszahl bei Dielektrika heranziehen. Ausgehend von der Maxwell-Beziehung (8.42) c=

c0 c0 =√ n εr

√

bzw. n =

εr

(27.13)

erh¨ alt man wegen der komplexen Dielektrizit¨atskonstante auch eine komplexe Brechzahl n mit n 2 = εr

(27.14)

Man schreibt f¨ ur die n = n−jκ

komplexe Brechzahl

(27.15)

κ bezeichnet man als Extinktionskoeﬃzienten, der die Lichtschw¨achung aufgrund von Absorption und Streuung beschreibt. n ist die Brechzahl, die die Phasengeschwindigkeit und Dispersion der Welle kennzeichnet. Wegen der komplexen Brechzahl wird auch die Kreiswellenzahl komplex: k=

ω n = kr − j ki c0

(27.16)

Die Amplitudenabnahme einer ged¨ ampften ebenen Welle l¨asst sich durch den Imagin¨ arteil κ der Brechzahl beschreiben, denn wir erhalten f¨ ur die ortsabh¨angige komplexe Amplitude (mit k → k aus (27.16)): ˆ e−jkx = Eˆ e−jkr x e−ki x ≡ E ˆ (x) e−Kx/2 ˆ =E E(x) 0 0 0

(27.17)

ˆ = E 0 e−jkr x und ki = K/2. F¨ ur die Schw¨achung der Lichtleistung mit E(x) 2 ˆ P ∼ E folgt dann (s. Kap. 20): Lambert-Beersches Extinktionsgesetz

P = P0 e−Kx

(27.18)

mit der Extinktionskonstante K. Aus (27.15) bis (27.17) folgt der Zusammenhang mit dem Extinktionskoeﬃzient κ Extinktionskonstante

K = 2ki = 2

ω 4π κ= κ c0 λ0

(27.19)

808

27 Optische Konstanten

Die bisher diskutierte Beschreibung ließ den magnetischen Anteil der elektromagnetischen Welle unber¨ ucksichtigt. Wir hatten aber in Kapitel 8 gezeigt, dass aufgrund der Maxwell-Gleichungen elektrisches und magnetisches Feld u ¨ ber die Beziehung (8.38) E = cB =

c0 B n

(27.20)

fest verkn¨ upft sind. Wir sehen, dass bei komplexer Brechzahl – also in absorbierenden Medien – E- und B-Vektor nicht mehr in Phase sind. Deshalb treten, wie beim Kondensator, Verluste auf. Verlustbehaftete Medien lassen sich gleichwertig durch eine komplexe Dielektrizit¨ atszahl εr = εr − j εr (27.9) oder eine komplexe Brechzahl n = n − j κ und D sowie E und B sind gegen(27.15) beschreiben. Die Feldgr¨ oßen E einander phasenverschoben. Wegen εr = n2 = (n − j κ)2 erh¨ alt man – nach Trennung von Real- und Imagin¨ arteil – zwischen den optischen Konstanten den Zusammenhang : εr = n2 − κ2 εr = 2nκ

optische Konstanten

(27.21) (27.22)

F¨ ur die Beschreibung der optischen Eigenschaften eines Stoﬀes stellen Brechzahl n und Extinktionskonstante K (bzw. κ) anschaulichere Gr¨oßen dar, sie sind auch der Messung einfacher zug¨ anglich. Die theoretische Beschreibung liefert zun¨achst ahrend die daraus resultierenden Beziehunin u bersichtlicher Weise ε ¨ r und εr , w¨ ¨ gen f¨ ur n und κ (s. Ub. 27.1) schwieriger zu interpretieren sind.

27.2 Mikroskopische Theorie der optischen Konstanten Bei der Formulierung einer mikroskopischen Theorie der optischen Konstanten gehen wir von (27.6) aus, erkl¨ aren die makroskopische Polarisation P als Summe der Felder elementarer Dipole und bekommen damit einen Zusammenhang mit εr . Hierbei ist zu beachten, dass die Dipole durch ein vom makroskopischen Feld E abweichendes lokales Feld beeinﬂusst werden. Nach den Abb. 27.1 und 27.3 wird die Polarisation durch kleine Dipole mit dem Dipolmoment p = −qr

(27.23)

bewirkt. Hierbei ist q der Betrag der Ladung, r soll von der positiven zur negativen Ladung weisen, der Dipolvektor p ist folglich von der negativen zur positiven

27.2 Mikroskopische Theorie der optischen Konstanten

809

Abb. 27.3. Elementarer elektrischer Dipol. a) Deﬁnition des elektrischen Dipolmoments p = −|q|r. b) Kr¨ afte auf die negative Ladung (Elektron) des Dipols in einem F = −eE ist die erregende Kraft, F r ist die R¨ uckstellaußeren elektrischen Feld E: ¨ d die D¨ kraft aufgrund der Bindungskr¨ afte und F ampfungskraft, die zu Verlusten f¨ uhrt. Bei elektronischer Polarisation kann die Verschiebung der schweren positiven Ladung (Atomrumpf) vernachl¨ assigt werden

Ladung gerichtet. Dipolmomente und Polarisation entstehen durch zwei Mechanismen: a) Orientierungspolarisation Vorhandene permanente elektrische Dipole, z.B. des Wassermolek¨ uls, werden durch das ¨ außere Feld teilweise ausgerichtet. Dieser Mechanismus ist im optischen Spektralbereich ohne Bedeutung, da die Dipole nicht dem hochfrequenten Feld einer Lichtwelle folgen k¨ onnen. b) Verschiebungspolarisation Ladungsverschiebung und Trennung der Ladungsschwerpunkte positiver und negativer Ladungen (s. Abb. 27.3). Dies kann auf zwei Arten geschehen: 1. Elektronische Polarisation durch – in den Atomen gebundene Elektronen. Diese ist bei allen Frequenzen bis in das R¨ ontgengebiet nachweisbar. – freie Leitungselektronen, die die optischen Eigenschaften der Metalle von extrem langen Wellenl¨ angen bis in das UV sowie von dotierten Halbleitern bestimmen. 2. Ionische Polarisation, die durch Verschiebung der Ionen eines Materials bewirkt wird und f¨ ur die Eigenschaften von polaren Molek¨ ulen, Ionenkristallen und Gl¨ asern im Infrarot verantwortlich ist. Nach Abb. 27.1 folgt das makroskopische Dipolmoment pm des Dielektrikums aus der Polarisationsladung Qp = P A zu pm = Qp d = P Ad mit der Polarisation:

810

27 Optische Konstanten

pm (27.24) V Polarisation ist demnach als Dipolmoment pro Volumen zu verstehen. Mit N , der Anzahl der Dipole, und Nv = N/V , der Anzahl- oder Teilchendichte, ist oﬀenbar das makroskopische Dipolmoment pm = N p, und wir k¨onnen die makroskopische Polarisation durch mikroskopische Gr¨ oßen ausdr¨ ucken: P =

P = Nv p = −Nv qr

Polarisation

(27.25)

(wobei p = −qr das Dipolmoment des Einzeldipols und Nv die Teilchendichte ist). In der mikroskopischen Theorie wird die Ladungsverschiebung r des Dipols gleich der Auslenkung eines ged¨ ampften harmonischen Oszillators gesetzt, der durch die einfallende Lichtwelle zu erzwungenen Schwingungen erregt wird. Bei der elektronischen Polarisation infolge gebundener Teilchen werden Elektronen (vornehmlich der ¨ außeren H¨ ulle) durch das Feld der Lichtwelle gegen die Bindungskr¨ afte, die durch eine Federkonstante“ Dr erfasst werden, verschoben; der ” Beitrag der schweren Atomr¨ umpfe kann unber¨ ucksichtigt bleiben. Die D¨ampfungskraft Fd der Oszillatoren sei geschwindigkeitsproportional: Fd = −mγv = −mγr˙

(27.26)

γ bezeichnen wir als D¨ampfungskonstante. Die mit der D¨ampfung verbundene Verlustleistung ist die Ursache f¨ ur die Abnahme der Lichtenergie durch Extink tion. Mit Fe = −eE, der erregenden Kraft der einfallenden Lichtwelle, und der onnen wir f¨ ur die Bewegungsgleichung des Oszillators R¨ uckstellkraft Fr = −Drr k¨ schreiben (s. Abb. 27.3 b): Fi = −mγr˙ − Drr − eE m¨r = i

Nach Division durch m erhalten wir hieraus (mit ω02 = Dr /m, der Kreisfrequenz der unged¨ ampften Schwingung) die Diﬀerentialgleichung der Dipolschwingung: e ¨r + γr˙ + ω02r = − E m

(27.27)

ˆ ejωt und r = ˆr ejωt sowie r˙ = jωr und ¨r = −ω 2r ergibt =E Mit dem Ansatz E (27.27) die Auslenkung des Dipoloszillators r = −

eE/m ω02 − ω 2 + jγω

Damit (und q = |e|) wird dann die Polarisation (27.25):

(27.28)

27.2 Mikroskopische Theorie der optischen Konstanten

= P = ε0 (εr − 1)E

ε0 ωp2 Nv e2 /m = E E ω02 − ω 2 + jγω ω02 − ω 2 + jγω

811

(27.29)

Hierbei haben wir (zun¨ achst rein formal) die + Plasma(kreis)frequenz

ωp =

Nv e2 ε0 m

(27.30)

eingef¨ uhrt. Gleichung (27.29) zeigt das vom harmonischen Oszillator bekannte Verhalten: F¨ ur kleine Frequenzen (ω ω0 ) schwingen Erreger und System gleichphasig mit nahezu frequenzunabh¨ angiger Amplitude, so dass P gleich der statischen Polarisation Pstat =

N0 e2 E mω02

mit der Federkonstante“ Dr = mω02 wird. Im Bereich der Resonanz (ω ≈ ω0 ) ” beobachtet man Resonanz¨ uberh¨ ohung bis auf den Maximalwert: ω Pˆ res = −j 0 γ Pˆ stat

Im Resonanzfall hinkt die Polarisation dem Lichtfeld um π/2 nach. Der Resonator entzieht der Lichtwelle Energie, wir haben starke Absorption und εr hat einen großen imagin¨ aren Anteil. Im Photonenbild entspricht dies Elektronen¨ uberg¨ angen zwischen Atomniveaus oder Energieb¨andern unter Absorption ˆ 2 , System und Erreger von Photonen. Bei hohen Frequenzen wird Pˆ ∼ −E/ω schwingen gegenphasig, εr wird reell mit εr < 1. Da wir bei der Herleitung von (27.29) einzelne Dipole betrachteten, ist = E lok das am Ort eines Dipols herrschende lokale Feld, das sich aufgrund E unterscheidet. Bei isodes Einﬂusses der anderen Dipole vom ¨ außeren Feld E tropen Materialien und kubischen Kristallen kann dieses Zusatzfeld durch das L = P /3ε0 angen¨ahert werden. Dann ist in (27.29) sogenannte Lorentz-Feld 2 E zu schreiben: anstelle von E +E L = E + P lok = E E 3ε0

(27.31)

also: ε0 ωp2 P = 2 ω0 − ω 2 + jγω 2

Paus: Physik in Experimenten und Beispielen.

+ P E 3ε0

812

27 Optische Konstanten

so kann man die Gleichung umformen in: Setzt man P = ε0 (εr − 1) E, Clausius-Mossotti

ωp2 P ε −1 n2 − 1 = r = 2 = 3ε0 E lok εr + 2 n +2 3 (ω02 − ω 2 + jγω) (27.32)

In dieser Gleichung (nach Clausius-Mossotti und Lorentz-Lorenz ) ist ω0 die Eigenfrequenz eines isolierten Einzelteilchens, die nicht von der Teilchendichte abh¨ angt. Dementsprechend sollte das durch (27.32) deﬁnierte Brechzahlverh¨altnis f¨ ur nichtpolare Gase und Fl¨ ussigkeiten, die aus den gleichen Molek¨ ulen beste2 hen, nur von der (Teilchen-)Dichte (Nv ∼ ωp ) abh¨angen. Multipliziert man mit dem Verh¨ altnis Dichte/Molmasse (∼ Nv−1 ), so erh¨alt man die sogenannte Molrefraktion, die mithin unabh¨ angig vom Aggregatzustand sein muss. Dies wird experimentell nahezu best¨ atigt. Mit Hilfe von (27.32) l¨asst sich mit P = Nv p das Dipolmoment p und die elektrische Polarisierbarkeit des Einzeldipols α = p/Elok bestimmen, eine f¨ ur das Verst¨ andnis des Molek¨ ulbaus wichtige Gr¨oße. Gleichung (27.32) kann man folgendermaßen umschreiben: Dielektrizit¨atszahl 1 Oszillator

εr = 1 +

ωp2 ω02 − ω 2 + jγω

(27.33)

Hier gilt dann aber f¨ ur die Eigenfrequenz ωp2 (27.34) 3 die jetzt mit zunehmender Teilchendichte abnimmt. Es ist also die eﬀektive Resonanzfrequenz, die sich durch die Einwirkung der anderen Dipole einstellt. Deren Zusatzfeld verst¨ arkt das ¨ außere Feld, so dass eine vorgegebene Ladungsverschiebung schon bei kleinerem a ¨ußeren Feld erreicht wird. Federkonstante“ und ” Eigenfrequenz scheinen reduziert. Da bei der Beschreibung der optischen Konur die stanten ω0 ohnehin meist als Anpassparameter benutzt wird, ist (27.33) f¨ Anwendung wichtiger und u ¨bersichtlicher als (27.32). Bisher wurde der Einﬂuss von identischen Oszillatoren der Teilchendichte achlich werden aber sehr viele unterschiedliche elektronische Nv diskutiert. Tats¨ und ionische Oszillatoren mit den Eigenfrequenzen ω0i (vom R¨ontgen- bis ins Infrarotgebiet) und Dichten Nvi zu den optischen Konstanten beitragen. Den entsprechenden Teilchenanteil ω02 = ω02 −

fi =

2 ωpi Nvi = 2 Nv ωp

(27.35)

bezeichnet man als Oszillatorst¨arke. Quantenmechanisch ist fi proportional zur ¨ Ubergangswahrscheinlichkeit zwischen den verschiedenen Quantenzust¨anden ei-

27.2 Mikroskopische Theorie der optischen Konstanten

813

nes Atoms. Wir erhalten die gesamte aus den elektronischen und ionischen Oszillatoren resultierende Dielektrizit¨ atskonstante, wenn wir in (27.33) u ¨ber die Beitr¨ age der Einzeloszillatoren summieren3 : P fi εr = 1 + = 1 + ωp2 2 − ω 2 + jγ ω ε0 E ω i i=1 0i n

Elektronen- und Ionenbeitrag

(27.36) Trennung in Real- und Imagin¨ arteil f¨ uhrt auf: εr = n2 − κ2 = 1 + ωp2 εr = 2nκ = ωp2

i

i

2 fi (ω0i − ω2) 2 − ω )2 + γi2 ω 2

2 (ω0i

fi γi ω 2 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 (ω0i i

(27.37) (27.38)

In der Praxis – z.B. bei der Beschreibung der Brechzahl von Gl¨asern – kommt man h¨ auﬁg mit 2–3 Resonatoren im Ultraviolett- und Infrarotbereich aus. Der Einﬂuss stark gebundener Oszillatoren mit ω0i ω wird bisweilen durch einen frequenzunabh¨ angigen (nahezu reellen) Beitrag ε∞ (anstelle von 1“) beschrie” ben. In den Abb. 27.4 a und 27.4 b ist der Verlauf der optischen Konstanten ε und ε f¨ ur einen elektronischen Oszillator, dessen Resonanzfrequenz fel im UV (λel = 116 nm) liegt, und einen ionischen Oszillator (λion = 10 µm) als Funktion von Frequenz bzw. Energie dargestellt. Abbildung 27.7 zeigt den Verlauf von Brechzahl n und Extinktionskoeﬃzient κ im Bereich eines ionischen Oszillators. Wir k¨ onnen den Abbildungen u.a. entnehmen, dass κ außerhalb der Resonanz rasch absinkt, so dass εr = n2 − κ2 den Wert des verlustfreien Mediums εr = n2 annimmt. n zeigt außerhalb der Resonanz normale Dispersion (mit dn/dλ < 0) und nimmt bei Ann¨ aherung an die Resonanzfrequenz große Werte an. Im Bereich der Resonanz beobachtet man stark anomale Dispersion (dn/dλ > 0) und n sinkt auf sehr kleine Werte. Gibt es nur eine ionische und eine elektronische Resonanz, alt die Dielektrizit¨atszahl des statischen so gilt f¨ ur f fion : εr → εr,stat ; man erh¨ onnen auch die Elektronen nicht mehr dem elektrischen Feldes. F¨ ur f fel k¨ a¨ußeren Feld folgen und man n¨ ahert sich dem Wert des Vakuums εr = n2 = 1. Zwischen den Resonanzen – im Bereich der Frequenzen des sichtbaren Lichts – hat man nur den elektronischen Beitrag, den man mit εopt bezeichnet. Abbildung 27.5 zeigt den berechneten Verlauf (s. Bsp. 27.1) der Brechzahl des Kronglases BK 7 als Funktion der Wellenl¨ ange f¨ ur zwei unterschiedliche D¨ampfungen, man sieht 3

Bei der Summation sind elektronische und ionische Oszillatoren zu unterscheiden, deren Plasmafrequenzen aufgrund der Teilchenmassen (und -dichten) verschieden sind.

814

27 Optische Konstanten

Abb. 27.4. Real- und Imagin¨ arteil der Dielektrizit¨ atszahl εr als Funktion der Frequenz bzw. Photonenenergie, die auf den ionischen Oszillator normiert sind. Zugrunde gelegt sind die Werte f¨ ur jeweils einen ﬁktiven ionischen und elektronischen Oszillator f¨ ur das Glas BK 7, wie sie aus dem Brechzahlverlauf n(λ) folgen. Es gilt λion = 10,1 µm und λel = 116 nm. Die D¨ ampfungskonstante ist jeweils γ/ω0 = 0,01. a) Halblogarithmische Darstellung von εr = n2 − κ2 . Man beachte die negativen Werte oberhalb der Resonanz. Zwischen den Resonanzen kann εr ≈ n2 durch eine Sellmeier-Formel angen¨ ahert werden. b) log-log-Darstellung von εr = 2nκ

27.3 Optische Konstanten der Dielektrika

815

dass n nur wenig von der D¨ ampfungskonstante γ (27.26) beeinﬂusst wird. Man verwendet deshalb zur Beschreibung der experimentellen Werte der Brechzahl die Dispersionsgleichungen f¨ ur den unged¨ampften Fall. Der kleine Beitrag der D¨ ampfung ist dann in den empirischen Werten der Plasma- und Eigenfrequenzen enthalten.

Abb. 27.5. Verlauf der Brechzahl des Glases BK 7 im Sellmeier-Bereich“ f¨ ur 2 UV” Resonanzen und einen Resonator im IR (s. Bsp. 27.1 und Abb. 27.4) und die D¨ ampfungskonstanten γi = 0 (Kurve (a)) und γi /ωi = 0,01 (b). Kurve (a) gibt in dem angegebenen Wellenl¨ angenbereich die Brechzahl mit einer Genauigkeit f¨ ur ∆n/n von besser 10−5 wieder

27.3 Optische Konstanten der Dielektrika 27.3.1 Dispersion von Gl¨ asern Ausgehend von Abb. 27.5 beschreibt man die Dispersion von Gl¨asern bei schwacher Absorption, also im sichtbaren und nahen UV- und IR-Bereich, indem man in (27.37) γ = 0 und κ = 0 setzt:

816

27 Optische Konstanten

εr = n2 = 1 + ωp2

i

fi 2 − ω2 ω0i

Wegen ω ∼ 1/λ erh¨ alt man hieraus nach einfacher Umrechnung die in den Glaskatalogen verwendete n2 = 1 +

Sellmeier-Gleichung

N i=1

Si λ2 − λ20i

λ2

(27.39)

wobei man bei der Beschreibung meist mit 1 bis 2 elektronischen Termen (UV) und einem ionischen Term (IR) – also 6 Materialkonstanten S1 −S3 und λ01 −λ03 – auskommt. In der ¨ alteren Literatur wird außerdem die Schottn2 = A0 + A1 λ2 +

Dispersionsformel

A2 A3 A4 A5 + 4 + 6 + 8 2 λ λ λ λ

(27.40)

verwendet. Da im G¨ ultigkeitsbereich der obigen N¨aherung die wellenl¨angenabh¨angigen Summanden klein gegen A0 sind, kann man diese Gleichung – wegen √ 1 + x ≈ 1 + 12 x – auch in der Form schreiben: A2 A + 43 + . . . (27.41) 2 λ λ uck Diese Beschreibung der Dispersion (mit A1 = 0) geht bereits auf Cauchy zur¨ (s. Kap. 6). n ≈ A0 + A1 λ2 +

¨ Beweis der Aquivalenz von (27.39) und (27.40): Aus (27.39) folgt f¨ ur i = 1 bis 3 und λ01 < λ02 λ (UV-Resonanzen) und λ03 λ (IR) nach Entwicklung in eine geometrische Reihe: n2 = 1 +

S1 λ2 S2 λ2 S3 λ2 + − 2 2 2 λ2 − λ01 λ2 − λ02 λ03 − λ2

S1 S2 S3 (λ/λ03 )2 + − 2 2 1 − (λ01 /λ) 1 − (λ02 /λ) 1 − (λ/λ03 )2 2 2 2 λ20k λ λ80k λ Sk 1 + 2 + . . . + 8 − S3 ≈1+ + . . . (27.42) 1+ λ λ λ03 λ03 =1+

k=1

(27.43) Koeﬃzientenvergleich mit (27.40) ergibt dann: A0 = 1 + S1 + S2 ,

A1 = −

S3 λ203

also z.B.: A2 = S1 λ201 + S2 λ202

2i−2 2i−2 Ai>1 = S1 λ01 + S2 λ02 ,

(27.44)

27.3 Optische Konstanten der Dielektrika

817

Damit ist gezeigt, dass die beiden gebr¨ auchlichen N¨aherungen f¨ ur den Brechzahlverlauf u ¨ bereinstimmen. Dies soll im nachfolgenden Beispiel best¨atigt werden. Beispiel 27.1 Dispersion des Kronglases BK 7 Wir untersuchen die Dispersion des Kronglases (N)BK 7 unter Verwendung des unter www.schott.com/optics devices/german/download zu ﬁndenden Glaskatalogs. Gleichung (27.39) schreibt man dort in der Form n2 =

3 i=1

Bi λ2 λ2 − Ci

(27.39a)

mit den Werten B1

B2

B3

1,03961212

0,231792344

1,01046945

C1 /µm2

C2 /µm2

6,00069867·10−3 2,00179144·10−2

C3 /µm2 1,03560653·102

Im alten Glaskatalog 3111 der Fa. Schott ﬁnden wir die Angaben: A0

A1 /(µm)−2

A2 /(µm2 )

A3 /(µm4 )

A4 /(µm6 )

A5 /(µm8 )

2,2718929

-1,0108077·10−2

1,0592509·10−2

2,0816965·10−4

-7,6472538·10−6

4,9240991·10−7

Bestimmen Sie die Eigen-Wellenl¨ angen, die Plasmawellenl¨angen sowie Teil¨ chendichten von BK 7 und zeigen Sie die Ubereinstimmung der beiden Beschreibungen.

L¨ osung Zun¨ achst einige numerische Berechnungen: F¨ ur die Wellenl¨ange 632,8 nm des He-Ne-Lasers erh¨ alt man nach (27.39 a): 1,5150892 und 1,5150894 nach (27.40), dem Glaskatalog entnehmen wir die Angabe 1,51509. Bei λ = 312,6 nm sind die entsprechenden Werte 1,5486069, 1,5486472 und 1,54862 und bei λ = 1,9701 µm: 1,4949483, 1,4951265 und 1,49495. Generell gibt der Hersteller im Bereich 404 − 1094 nm f¨ ur beide Formeln eine Genauigkeit besser 6 · 10−6 an. Es ist bekannt, dass die Sellmeier-Formel am Rand und außerhalb des untersuchten Wellenl¨angen-Intervalls die genaueren Werte liefert.

818

27 Optische Konstanten

√ F¨ ur die Resonanzen bekommen wir: λ01 = C1 = 77,5 nm, λ02 = 141,5 nm und λ03 = 10,2 µm. Aus (27.44) folgt A0 = 1 + S1 + S2 = 1 + B1 + B2 = −2 3 (µm)−2 2,2714 statt 2,2719 und A1 = − λS23 = − B C3 = −0,9757 · 10 03

statt −1,01 · 10−2 (µm)−2 ; das negative Vorzeichen wird best¨atigt. Schließlich gilt A2 = S1 λ201 + S2 λ202 = B1 C1 + B2 C2 = 1,088 · 10−2 (µm)2 , A3 = 1,303 · 10−4 (µm)4 und A4 = 2,083 · 10−6 (µm)6 . Wir erkennen beim Vergleich ¨ mit den Werten der obigen Tabelle, dass die Ubereinstimmung schlechter wird und bei A4 nicht einmal die Vorzeichen gleich sind. Dies darf aber nicht verwundern, da die bei der Herleitung vorausgesetzten Bedingungen nicht genau erf¨ ullt sind und eine Kurvenanpassung u ¨ ber einen begrenzten Wellenl¨angenbereich mit unterschiedlichen Parameterkombinationen erfolgen kann. Es sei darauf hingewiesen, dass die Eigenfrequenzen stellvertretend f¨ ur sehr viele Oszillatoren in Glas stehen, man bezeichnet sie als eﬀektive Resonanzfrequenur die Plasmawellenl¨angen: zen. Aus (27.37) und (27.39) folgt mit fi = 1 f¨ √ = 76 nm, λ = 294 nm und λp3 = 10,1 µm. Da λpi = λ0i / Si und somit λ√ pl p2 entsprechend (27.30) λ ∼ m und das Verh¨altnis Ionen-/Elektronenmasse 104 ist, muss λp3 /λp1 > 100 sein, hier ergibt sich ein Wert von 135. Mit (27.30) erh¨ alt man f¨ ur die Teilchendichte Nv = der Elektronenmasse m f¨ ur λp2 : Nv = 1,3 · 10 Silizium hat Nv = 5 · 1028 Atome/m3 .

28

m

4π 2 mε0 c20 λ2p e2 −3

und hieraus mit

. Zum Vergleich: Reines

27.3.2 Optische Konstanten der Ionenkristalle Das klassische Oszillatormodell beschreibt die optischen Eigenschaften von Gasen (und vielen Fl¨ ussigkeiten) auch im Bereich der Eigenfrequenzen – also bei starker Absorption – gut, bei Festk¨ orpern mit ihrer komplizierten Energiebandstruktur versagt es in diesem Bereich vollkommen. Wir hatten gesehen, dass es jedoch den Brechzahlverlauf außerhalb des Gebietes der Absorption recht gut wiedergibt.

Abb. 27.6. a) Transversal akustische (TA) und b) transversal optische (TO) Schwingung eines eindimensionalen Ionengitters

27.3 Optische Konstanten der Dielektrika

819

Das Oszillatormodell ist sehr gut zur Beschreibung der optischen Konstanten von polar gebundenen Kristallen im infraroten Wellenl¨angenbereich geeignet. Bei den Schwingungen des Ionengitters unterscheidet man transversal und longitudinal akustische (TA, LA) Schwingungen sowie transversal und longitudinal optische (TO, LO) Moden. Nur bei den letzteren tritt ein elektrisches Dipolmoment auf, mit dem ein elektrisches Feld wechselwirken kann. Da Licht eine Transversalwelle ist, kann es nur TO-Schwingungen der Eigenfrequenz ωt anregen. Abbildung 27.6 stellt eine TA-Schwingung ohne Dipolmoment der TO-Mode gegen¨ uber. Die Lichtwellenl¨ ange ist etwa tausendfach gr¨ oßer als der Ionenabstand, so dass nur langwellige Gitterschwingungen optisch aktiv sind. Eine Lorentz-Korrektur ist nicht sinnvoll, da ein freier Einzeloszillator nicht existiert und ωt immer die Eigenfrequenz unter Einschluss des lokalen Feldes darstellt. Die Oszillatorenst¨ arke ist hier 1, so dass nach (27.33) f¨ ur die Dielektrizit¨atszahl aufgrund der TO- Schwingung gilt: εr = n2 = εopt +

ωp2 ωt2 − ω 2 + jγω

(27.45)

wobei ωt die Eigenfrequenz der TO-Schwingung ist. Die Ersetzung des ersten Summanden 1“ durch εopt ber¨ ucksichtigt den Einﬂuss der bei hohen ( opti” ” schen“) Frequenzen verbleibenden elektronischen Polarisation. Die Plasmafrequenz hat im vorliegenden Fall eine anschauliche Bedeutung. Es ist die Frequenz, mit der ein Plasma aus verschmierten“ positiven und negativen Ladungen – al” so ohne R¨ uckstellkr¨ afte aus dem kristallinen Aufbau – schwingen w¨ urde. Nach (27.30) ist die Plasmakreisfrequenz dieses Ionenplasmas + Nv e2 (27.30) ωp = ε0 m hierbei ist Nv die Anzahldichte der Ionen und m die reduzierte Masse der Ionen, die deﬁniert ist durch 1 1 1 + = m m+ m−

(27.46)

mit m± = Masse der positiven und negativen Ionen. Sie ber¨ ucksichtigt, dass hier beide Ionensorten mitschwingen. In Kapitel 27.4 wird begr¨ undet, dass nur bei der LO-Schwingung elektrische Felder auftreten, die in einem freien Plasma die Plasmaschwingung antreiben. Damit tritt bei den LO-Schwingungen zus¨atzlich zu den R¨ uckstellkr¨aften, die auch bei den TO-Schwingungen wirksam sind, die Kraft des Plasmafeldes auf. Damit addieren sich auch die entsprechenden Federkonstanten“ Dr . Da bei ei” ner harmonischen Schwingung die Richtgr¨oße Dr ∼ ω 2 ist, gilt dann f¨ ur die Eigenfrequenz ωl der LO-Mode:

820

27 Optische Konstanten

ωl2 = ωt2 + ωp2

(27.47)

In Abb. 27.74 ist der mit (27.45) und (27.48) berechnete Verlauf der optischen Konstanten n und κ sowie des Reﬂexionsgrades f¨ ur AlSb als Funktion der Frequenz dargestellt. Die verwendeten Parameter entstammen einem ﬁt“ des ” experimentell leicht zug¨ anglichen Reﬂexionsgrades bei senkrechter Inzidenz (s. (20.71)): Reﬂexionsgrad

n − 1 2 (n − 1)2 + κ2 = = n + 1 (n + 1)2 + κ2

(27.48)

Abb. 27.7. Berechneter Verlauf von Brechzahl (n/2), Extinktionskonstante κ und √ Reﬂexionsgrad (10 ) eines Ionenkristalls mit εopt = 12, ωp /ωt = 3 und γ/ωt = 0,01 4

der in Abb. 27.8 als Funktion der Wellenl¨ ange dargestellt ist. Auffallend ist der – f¨ ur ionisch gebundene Kristalle charakteristische – hohe Reﬂexionsgrad im Bereich der Eigenfrequenz ωt . Diese Reststrahlbanden“ ﬁnden u.a. beim Bau von ” IR-Spiegeln Anwendung. Bei ωl , der Eigenfrequenz der LO-Schwingung, tritt ein deutliches Reﬂexionsminimum auf, da die longitudinalen Plasmaschwingungen nicht von der transversalen Lichtwelle angeregt werden k¨onnen. 4

aus: Seeger: Semiconductor Physics.

27.4 Optische Eigenschaften der Metalle

821

Abb. 27.8. Berechneter und gemessener Reﬂexionsgrad von AlSb als Funktion der Wellenl¨ ange (λl = 29,4 µm, λt = 31,4 µm)4 . Den Bereich hoher Reﬂexion bezeichnet man als Reststrahlbande

27.4 Optische Eigenschaften der Metalle Die optischen Eigenschaften von Metallen werden vom Sichtbaren u ¨ber das IR bis hin zu den Frequenzen des Wechselstroms fast ausschließlich durch die freien Leitungselektronen bestimmt. Die Elektronen dieses Elektronengases sind frei beweglich, es wirkt keine R¨ uckstellkraft und mithin wird die Eigenfrequenz ω0 = 0; dann erh¨ alt man aus (27.33) ein sehr einfaches Ergebnis f¨ ur die komplexe Dielektrizit¨ atszahl: εr = n 2 = 1 −

Dielektrizit¨atszahl Metall

ωp2 ω 2 − jγω

(27.49)

Die Plasmafrequenz (27.30) ist die eines freien Elektronengases, also abh¨angig von dessen Teilchendichte. D¨ ampfung erfolgt aufgrund von Elektronenst¨oßen, die auch f¨ ur den elektrischen Widerstand verantwortlich sind. Die D¨ampfungskonstante ist hier γ = 1/τ , wobei τ die mittlere freie Flugzeit zwischen zwei St¨oßen ist, die auch die elektrische Leitf¨ahigkeit σ bestimmt: σ = Nv mit der Beweglichkeit

e2 τ = eNv µ m

(27.50)

822

27 Optische Konstanten

µ=

e e τ= m mγ

Hieraus folgt dann f¨ ur die D¨ ampfungskonstante γ=

ε0 ωp2 e Nv e2 1 = = = τ mµ mσ σ

(27.51)

die mithin von der Beweglichkeit der Elektronen bestimmt wird. In Abb. 27.9 ist f¨ ur Kupfer der aus (27.49) folgende theoretische Verlauf der optischen Konstanten n und κ sowie des Reﬂexionsgrades im sichtbaren und IRSpektralbereich dargestellt. Klar erkennbar ist das f¨ ur Metalle charakteristische ¨ hohe Reﬂexionsverm¨ ogen. Der starke Abfall der Reﬂexion liegt (in Ubereinstimmung mit (27.49)) bei der Plasmafrequenz ωp , man bezeichnet dieses Verhalten als Plasmakante.

Abb. 27.9. Elektronengas von Kupfer: berechneter Verlauf der Brechzahl n, des Extinktionskoeﬃzienten (κ/10) und des Reﬂexionsgrades als Funktion der Frequenz, die auf die Plasmafrequenz normiert ist. F¨ ur Cu wurde gew¨ ahlt: λp = 168 nm und γ/ωp = 0,0025

Physikalisch beruht das große Extinktions- und Reﬂexionsverm¨ogen der Metalle auf der Anregung von Leitungsstr¨ omen, die – als Antenne wirkend – das Licht reﬂektieren. Der Einﬂuss von Verschiebungsstr¨omen ist in den gut leitenden Metallen bei Frequenzen unterhalb der Plasmakante gering. Vernachl¨ assigt man in (27.49) die D¨ ampfung, so wird εr reell:

27.4 Optische Eigenschaften der Metalle

823

ωp2 (27.52) ω2 Wir wollen f¨ ur diesen Fall die Frequenzabh¨ angigkeit untersuchen: F¨ ur große Frequenzen (UV- und evtl. blauer Spektralbereich) gilt ω > ωp und somit εr > 0, √ damit wird n = εr reell, das Metall mithin transparent 5 , f¨ ur ω < ωp wird εr < 0 √ ar. Die Brechzahl verschwindet (n = 0), und folglich n = n−j κ = εr rein imagin¨ der Extinktionskoeﬃzient wird κ = |εr | und nimmt so große Werte an, dass die Welle nur um weniger als λ/10 (s. Bsp. 27.4) in das Metall eindringen kann. In (27.49) ist der Einﬂuss der D¨ ampfung nur f¨ ur hohe Frequenzen mit ω γ vernachl¨ assigbar, im umgekehrten Fall kleiner Frequenzen (ω γ) erhalten wir (mit 1/j = −j und ωp2 γω): εr = 1 −

εr = n2 ≈ −j

ωp2 γω +

Damit wird: n = n − jκ ≡

−j

(27.53)

ωp2 γω

Mit der Beziehung

−j =

1−j e−jπ/2 = e−jπ/4 = √ 2

f¨ uhrt dies mit (27.51) auf: + Skineﬀekt bei ω γ

κ=n=

ωp2 = 2γω

σ 2ε0 ω

(27.54)

Extinktionskonstante κ und Brechzahl n werden gleich groß und nehmen mit steigender Frequenz ab. Die Amplitudenabnahme der Welle wird nach (27.17) beschrieben durch ˆ0 e−x/ds ˆ ˆ0 e−Kx/2 ≡ E E(x) =E hierbei ist K/2 = 2πκ/λ = 1/ds . Mit (27.54) und 1/ε0 = µ0 · c20 folgt f¨ ur die Amplituden-Eindringtiefe oder Skintiefe 5

ds =

2 µ0 σω

(27.55)

Dies gilt aufgrund der freien Elektronen. Im Allgemeinen wird in diesem Bereich ¨ schon eine starke Absorption durch Band-Band-Uberg¨ ange der gebundenen Elektronen einsetzen.

824

27 Optische Konstanten

Aufgrund des Skineﬀekts, der Anregung von Wirbelstr¨omen durch die elektromagnetische Welle, hat nach dieser Eindringtiefe ds die Wellenamplitude auf e−1 , 1 ) also 37%, abgenommen. F¨ ur die Skintiefe in Kupfer gilt (mit σ = 5,76 · 107 Ωm 6,63 cm ds = f /Hz sie betr¨ agt damit bei 1000 Hz etwa 2 mm. Der Skineﬀekt bestimmt den Verlauf von elektromagnetischen Feldern in Metallen im gesamten Frequenzbereich von Wechselstrom bis ins ferne Infrarot mit Wellenl¨angen von etwa 50 µm. Eine wichtige Anwendung der optischen Erscheinungen im Bereich der Plasmakante ist die Herstellung durchsichtiger elektrischer Kontakte (z.B. f¨ ur Fl¨ ussigkristallanzeigen) mit Hilfe hochdotierter Halbleiter (aus Zinn-Dioxid, SnO2 , oder zus¨ atzlich mit Indium-Oxid: ITO-Schichten (I ndium-T in-Oxide)). Hier stellt man die Dotierung so ein, dass die Plasmakante im Infrarot liegt. Der Bandabstand dieser Stoﬀe ist so groß, dass elektronische Absorption erst im Ultraviolett auftritt, damit sind die Kontakte im Sichtbaren transparent.

r = −eE p auf ein Elektron nach Abb. 27.10. Plasmaschwingungen: R¨ uckstellkraft F Auslenkung aller Elektronen um s

27.5 Plasmafrequenz Wir hatten gesehen, dass die optischen Eigenschaften entscheidend von den Plasmaschwingungen bestimmt werden. Wir untersuchen deshalb das Plasma des Elektronengases genauer. Hierzu betrachten wir einen Quader (s. Abb. 27.10)

27.5 Plasmafrequenz

825

mit dem Plasma aus Metallionen und Leitungselektronen. Im Gleichgewicht herrscht Ladungsneutralit¨ at, die bei Auslenkung der Elektronen um s nur an den Oberﬂ¨ achen aufgehoben wird. Wir haben auf den Platten“ die Ladung ” Q = N e = Nv As und nach Abb. 27.1 ein elektrisches Plasmafeld: Ep =

Q eNv s = ε0 A ε0

p mit der Richtgr¨oße Dr = eEp /s = Hieraus folgt die R¨ uckstellkraft Fr = −eE 2 ur die Eigenkreisfrequenz des freien harmonischen e Nv /ε0 . Bekanntlich gilt f¨ Schwingers der Masse m: ωe2 = Dr /m. Nach Einsetzen von Dr erh¨alt man dann ωe = ωp (27.30). Bringt man den Quader in ein ¨außeres Wechselfeld der Frequenz f , so wird das Plasma zu erzwungenen Schwingungen angeregt und wir beobachten bei f = fp Resonanz. Eine senkrecht einfallende transversale Lichtwelle bewirkt kein Plasmafeld, da alle Elektronen um denselben Betrag verschoben werden und evtl. Oberﬂ¨ achenladungen wegen der großen Breite der Probe keine allt die R¨ uckstellkraft durch das Plasmafeld, wir haben Rolle spielen6 . Damit entf¨ nur noch Elektronenschwingungen mit der Eigenfrequenz ω0 = 0, so dass die Erregerfrequenz immer oberhalb der Eigenfrequenz liegt. Dann schwingen aber erregende Kraft und Auslenkung sowie Polarisation und Feld immer gegenphasig. Wir erhalten – f¨ ur den unged¨ ampften Fall – aus (27.29) die Polarisation =− P = (εr − 1)ε0 E

ωp2 ε0 E ω2

(27.56)

und dementsprechend (vgl. (27.52)): ωp2 ω2 Welche Konsequenzen hat dies f¨ ur den Kondensator mit Dielektrikum (s. Abb. und dement27.1)? Wir entnehmen (27.56), dass jetzt P immer antiparallel zu E sprechend εr < 1 ist, so dass die Polarisationsladungen das entgegengesetzte Vorzeichen wie in der Elektrostatik aufweisen. F¨ ur ω < ωp gilt sogar εr < 0. Hieraus folgt nach (27.7) eine negative Energiedichte, der Kondensator m¨ usste unter Verletzung des Energiesatzes Energie abgeben. Dies kann nur bedeuten, dass in diesem Fall Wellen nicht ausbreitungsf¨ahig sind, wir haben die hohe metallische Reﬂexion unterhalb der Plasmakante. F¨ ur ω = ωp wird zwar keine Plasmaresonanz angeregt, die Elektronen schwingen aber gerade so, dass εr = 0 und f¨ ur jede Ladung, die aus der Spannungsquelle auf den Kondensator ﬂießen will, gerade eine Polarisationsladung entsteht, die dies verhindert; der Kondensator nimmt keine Ladung Qm auf, seine Kapazit¨at wird null. εr − 1 = −

6

Plasmaresonanzen lassen sich deshalb im Allgemeinen nicht von Lichtwellen anregen. In d¨ unnen Schichten ist eine Anregung durch evaneszente Wellen m¨ oglich.

826

27 Optische Konstanten

¨ Ubungen 27.1 Zwischen komplexer Dielektrizit¨ atszahl εr = εr − j ε und der komplexen Brechzahl n = n − j κ besteht der Zusammenhang: ε r = n2 Zeigen Sie, dass hieraus folgt + n=

εr +

√ 2 εr + ε2 r 2

und + κ=

−εr +

√ 2 εr + ε2 r 2

27.2 Zeigen Sie, dass in Leitern bei niedrigen Frequenzen (ω γ) f¨ ur den Zusammenhang zwischen Extinktionskonstante K und elektrischer Leitf¨ ahigkeit σ gilt: σ Z0 σ = 377 Ω n n Hierbei ist Z0 der Wellenwiderstand des Vakuums: µ0 Z0 = ≈ 120 πΩ = 377 Ω ε0 K=

27.3 Best¨ atigen Sie die in Abb. 27.4 dargestellten Graphen f¨ ur εr und εr eines Dielektrikums und stellen Sie auch n und κ dar. W¨ ahlen Sie logarithmische und lineare Achsenteilung und variieren Sie den Parameter γ, also die St¨ arke der D¨ ampfung, sowie die Teilchendichte Nv bzw. die Plasmafrequenz. 27.4 Setzen Sie f¨ ur Aluminium ein freies Elektron pro Atom an. Die statische elektrische 1 . Berechnen Sie: Leitf¨ ahigkeit ist hier σ = 3,54 · 107 Ωm a) die D¨ ampfungskonstante γ, b) die Plasmafrequenz ωp und c) die komplexe Dielektrizit¨ atszahl εr und Brechzahl n bei 550 nm. 27.5 Gleichung (27.55) f¨ ur die Skintiefe gilt nur bei großen Wellenl¨ angen, wenn ω γ atigen Sie dies. und ω σ/ε0 . Best¨ 1 ¨ ) 27.6 Pr¨ ufen Sie, ob die in Ubung 27.5 angegebene Bedingung in Kupfer (σ = 5,76·107 Ωm a) bei der Frequenz 50 Hz und b) bei 3 m Wellenl¨ ange erf¨ ullt ist. Best¨ atigen Sie die im Text f¨ ur die Skintiefe angegebene reduzierte Gr¨ oßengleichung und geben Sie die Eindringtiefe f¨ ur die F¨ alle a und b an. 27.7 Vergleichen Sie f¨ ur Radiowellen (f = 60 kHz) die Eindringtiefe in Aluminium (σ = 1 1 3,54 · 107 Ωm ) mit der in Meerwasser (σ = 4,3 Ωm ).

27.5 Plasmafrequenz

827

1 27.8 Berechnen Sie die Skintiefe eines massiven Silberhohlleiters (σ = 3 · 107 Ωm ) f¨ ur Mikrowellen mit 10 cm Wellenl¨ ange. Erkl¨ aren Sie, warum man ebenso gut einen versilberten Wellenleiter aus Messing verwenden kann.

27.9 Die Intensit¨ at von rotem Licht mit 660 nm Wellenl¨ ange wird in Seewasser nach 3,42 m auf 1/4 des Ausgangswertes geschw¨ acht. a) Wie groß ist die Extinktionskonstante von Wasser bei dieser Wellenl¨ ange? b) In welcher Tiefe hat der Strahlungsﬂuss auf 1% des Ausgangswertes abgenommen? 27.10 Best¨ atigen Sie den in Abb. 27.9 dargestellten Verlauf der optischen Konstanten von Kupfer. Berechnen Sie außerdem den Reﬂexionsgrad bei senkrechtem Lichteinfall. Zoomen“ Sie verschiedene Frequenzbereiche. ” 27.11 Dr¨ ucken Sie die Konstanten Ai der Cauchy-Dispersionsgleichung (27.41) durch mikroskopische Gr¨ oßen aus.

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Index

A21 , Einstein-Koeﬃzient, spontane Emission, 619 Abbesche Sinusbedingung, 146 Abbesche Theorie des Mikroskops, 491 Abbesche Zahl, 155 Abbildung ebene Spiegel, 91 optische, 67, 69, 70 Abbildungsfehler Querabweichung, 132 Seidelsche, 132, 140 Abbildungsgleichung d¨ unne Linse, 80 Newtonsche, 87, 88 Abbildungskette, 771 Abbildungsmaßstab, 83, 88 Fl¨ achenfolge, 76 Hologramm, 400 Abbildungsstrahlengang, 81, 82 ABCD-Transformationsgesetz, Gaußscher Strahl, 672 Aberration longitudinale, 132 Absorption, Licht-, 616 Absorptionskonstante, 609 Abtasttheorem, 708, 712, 775 Achromat, 156 achromatisches Dublett, 154 Achromatisierung, 153 getrenntes zweilinsiges System, 158 Achtelwellenplatte, Polarisator, 430

Airy-(Beugungs-)Scheibchen, 486 Winkeldurchmesser, 486 Airy-Funktion, Fabry-Perot, 342 Akustooptik, 802 Bragg-Reﬂexion, 802 Bragg-Zelle, 807 Braggsche Gleichung, 803 Doppler-Eﬀekt, 805 Raman-Nath-Bereich, 802 Aliasing, Aliasfrequenzen, 775 Amplitude, 252 Amplitudenbedingung, 311 Amplitudengitter, 515, 516 Amplitudenteilung, s. Interferometer, 310 Analysator, 435 anamorphotische Abbildung, 238 Anlauffarben, 310 Aperturblende, 164, 172 Aperturebene, 748 Aperturfunktion, 749 Apodisation, 775 asph¨ arische Fl¨ achen, Linsen, 72 Astigmatismus, 147 astronomisches Fernrohr, s. KeplerFernrohr, 207 außerordentlicher Strahl, 447, 451 Auffaltung, Reﬂexion, 92 Aufl¨ osungsgrenze menschliches Auge, 493 Mikroskop, 491 optischer Instrumente, 489

836

Index

Rayleigh-Kriterium, 489 Aufl¨ osungsverm¨ ogen Fabry-Perot, 346 Faserb¨ undel, 708 Fourier-Spektrometer, 774 Gitter, 513 Auge absolute spektrale Empﬁndlichkeit, 31, 33 Absorption Laserstrahlung, 241 Adaption, 228 Akkomodation (Tab.), 227 anatomischer Aufbau, 222 Astigmatismus, 236 Aufl¨ osungsverm¨ ogen, 229, 493 Augenfehler, 232 Augenfehler, Laserablation, 242 Augenmodell nach v. Helmholtz, 225 blinder Fleck, 224 gelber Fleck (Macula), 224 Hellempﬁndlichkeitsgrad, 31 Hinterkammer-Chirurgie, 243 Kurzsichtigkeit (Myopie), 234 Lasertherapie f. Augenfehler, 239 Linse, 222 Nachtsehen, 32, 33 Netzhaut, 223 optischer Aufbau, 222 Pupille, 222, 228 r¨ aumliches Sehen, 229 radiale Keratomie, 240 Sehsch¨ arfe, 229 Sehtafeln, Landolt-Ringe, 230 Sehtafeln, Snellensche, 230 St¨ abchen, 223, 228 Tagessehen, 32 ¨ Weitsichtigkeit, (Ubersichtigkeit, Hyperopie), 235 Zapfen, 223, 228 Ausgangsebene Systemmatrix, 121 Ausstrahlung speziﬁsche, 26 speziﬁsche spektrale, 34 Austrittsluke, 171, 172 Austrittspupille, 166, 172 Autokorrelationsfunktion, 758

B12 , Einstein-Koeﬃzient, Absorption, 620 Babinetsches Prinzip, 560 Bandbreite, Frequenz-, 365, 712 Bandﬁlter, 583 B21 , Einstein Koeﬃzient, stimulierte Emission, 619 behinderte Totalreﬂexion, FTIR, 606 Beleuchtungsst¨ arke, 26, 33 Besetzungsinversion, Laser, 623 Besselfunktion, 484 Bestrahlungsst¨ arke solare, 37, 38 Beugung am Doppelspalt, Beugungsamplitude, 494 am Doppelspalt, Beugungsmaxima, 496 am Einzelspalt, 475 am Einzelspalt, Amplitude, 477 am Einzelspalt, Beugungsminima, 477 am Einzelspalt, Intensit¨ at, 477 am Gitter, s. Gitterbeugung, 497 an Kreisblende, 482 an Kreisblende, 1. Minimum, 486 an Rechteckblende, 482 an Ultraschall, s. Akustooptik, 802 Beugungsamplitude als Fourier-Transf., 750 beugungsbegrenzte Abbildung, 769 Beugungsgitter, s. Gitter, 507 Beugungsverbreiterung, 480 Bild reelles, 84 virtuelles, 84 Bildbrennweite d¨ unne Linse, 80, 88 dicke Linse, 104 Bildfeldw¨ olbung, 147 Bildhelligkeit, Blenden, Pupillen, 164, 172 Bildschnittweite Planﬂ¨ ache, 66 Bildverarbeitung, digitale, 756 Bildversatz Planﬂ¨ ache, 66 Bitraten-L¨ angenprodukt, 725 Blaze-Technik, Gitter, 518, 521 Blende, Kamera, 188, 189 Blitzlampe, 43

Index Bohr, Niels, 18 Bohrsche Frequenzbedingung, 18 Bolometer, 46 Bragg-Reﬂexion, 802 Bragg-Zelle, 807 Modulator, 807 Spektrumanalysator, 807 Braggsche-Gleichung, 398, 803 Brechung an ebener Grenzﬂ¨ ache, 65 Brechung an Kugelﬂ¨ ache Seidelsche N¨ aherung, 134 Brechungsgesetz, 60, 61, 64, 590 paraxiales, 74 Brechungsmatrix Kugelﬂ¨ ache, 108, 109 Brechzahl, Bestimmung mit Prisma, 176 Brechzahlmessung bei Gasen, 330 Brechzahlmodulation durch E-Feld, 788 Brechzahltabellen, 157, 449, 578 Brewster-Fenster, 440 Brewster-Winkel, 440, 595 Brillouin-Streuung, 802, 805 Broglie, Louis de, 18 Candela, s. Lichtst¨ arke, 26, 33 Cassegrain-Teleskop, 213 CCD-Sensor, 50 cholester(in)ischer Fl¨ ussigkristall, 464 chromatische Aberration, s. Farbfehler, 151 Clausius-Mossotti-Gleichung, 828 Coddington-Formfaktor, 143 Cookesches Triplett, 193 Cornu-Spirale, 547, 549 Czerny-Turner-Spektrometer, 526 D¨ ampfung, Faser, 719 d¨ unne Linse, 80 Strahlmatrix, 113, 114 DAP-Eﬀekt (LCD), 466 de-Broglie-Wellenl¨ ange, 18 Deltafunktion, 364, 752 Detektivit¨ at, 51 Detektor, 45 Empﬁndlichkeit, 51 Golay, 46 photoemissiver, 47

837

photoleitender, 48 photovoltaischer, 48 pyroelektrischer, 46 thermischer, 45 Deuterium-Bogenlampe, 41 Dichroismus, 435 dicke Linse, 101 Bildbrennweite, 104 Hauptpunkte, 102 Kardinalpunkte, 102 Knotenpunkte, 103 Strahlmatrix, 112 Dickenmessung mittels Interferenz, 319 dielektrische Schichten, 567 dielektrische Verspiegelung, 312 Dielektrizit¨ atskonstante, s. komplexe Dielektrizit¨ atskonstante, 607 diﬀraktive Optik, 546 DIN 1335, s. Vorzeichenkonvention, 72 ¨ DIN 4521, s. Kamera, relative Oﬀnung, 189 DIN 5031, s. Licht, Wellenl¨ angenbereich, 24 Dipolmoment, elektrisches, 825 Dipoloszillator, 827 Dispersion Prisma, 177 von Gl¨ asern, 831 Dispersionsformel, 832 Doppelanastigmat, 193 Doppelbrechung, 446, 451 optisch einachsig, 447 optisch zweiachsig, 447 zirkulare, 459 Doppelspalt-Interferenz Maxima, 303 Minima, 304 Doppelspaltbeugung, s. Beugung am . . . , 493 Doppelspaltinterferenz Maxima, 496 Doppler-Eﬀekt, 270, 805 bei Reﬂexion, 271 im Teilchenbild, 805 Rotverschiebung, 271 Doppler-Verbreiterung, 271 Dove-Prisma, 185

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Index

Drehzelle (TN-Zelle), 466 Drei-Wellen-Mischung, 787 Dunkelfeldbeleuchtung, Mikroskop, 204 ebene Welle, 261, 751 Echelette-Gitter, 521 Echtzeit-Holograﬁe, Phasenkonjugation, 809 Eindringtiefe Energie-, 609 Totalreﬂexion, 606 Eingangsebene Systemmatrix, 121 Einstein, Albert, 17, 615 Einstein-Koeﬃzienten, 617, 621 Eintrittsluke, 171, 172 Eintrittspupille, 166, 172 elektrische Leitf¨ ahigkeit, 838 elektrische Polarisation, s. Polarisation, 406 elektrische Polarisierbarkeit, 828 elektromagnetische Wellen, 262 elektromagnetisches Spektrum, 24 Elektronengas, 837 elektrooptische Konstanten (Tab.), 793 Ellipsoid der Strahlgeschwindigkeit, 453 elliptische Elementarwellen, 452 Emission spontane, 616 stimulierte, 616 enantiomorphe Kristallstrukturen, 457 Energiedichte der e.m. Welle, 267 Energiestromdichte, 268 Entspiegelung λ/4-Schicht, 311 Amplitudenbedingung, 311 dielektrische, 311 Phasenbedingung, 311 Entspiegelung, s. auch Reﬂexminderung, 574 Etalon, 340 Eulersche Formel, 256 evaneszente Welle, 604, 718, 737 Extinktionsgesetz, Lambert-Beersches, 609 Extinktionskoeﬃzient, 608, 824 Extinktionskonstante, 609, 824

Fabry-Perot-Interferometer, 339 Airy-Funktion, 342 Aufl¨ osungsverm¨ ogen, 346 Finesse, 346 Finesse-Koeﬃzient, 342 nutzbarer Spektralbereich, 347 Streifenproﬁl, 342 Faltung Bildintensit¨ at, 762 Faltungsintegral, 758 Faltungstheorem, 762 optische Abbildung als, 760 Faraday-Eﬀekt, 799 Drehwinkel, 799 Verdet-Konstante, 800 Farbaufl¨ osung, Prisma, 180, 182 Farben d¨ unner Bl¨ attchen, 316 Farbfehler, s. chromatische Aberration, 151 Farbl¨ angsfehler, 153, 157 Farbquerfehler, Okular (s. auch Farbvergr¨ oßerungsfehler), 196 Farbtemperatur, 36 oßerungsfehler, 153, 157 Farbvergr¨ Faserendoskop, 708 Faserkern, 712 Fasermantel, 712 Fasermoden, 716, 717 Faseroptik, 707 Akzeptanzwinkel, 714 bin¨ are Modulation, 710 chromatische Dispersion, 732 D¨ ampfungskoeﬃzient, 721 Einwelligkeitsgrenze, 718 erlaubte Moden, 716 evaneszente Wellen, 718, 720 Faserdaten (Tab.), 715 Materialdispersion, 727 Modendispersion, 724 Modenzahl, 719 Monomodefaser, 710 Multimodefaser, 710, 719 Rayleigh-Streuung, 722 V-Parameter, 718 Faserplatte, 708 Faserverst¨ arker, Erbium-dotierter, 710

Index Feldblende, 169, 172 Feldstecher, 211 Feldwinkel, s. Gesichtsfeld, 169, 172 Fensterfunktion, 775 Fermatsches Prinzip, 61, 64 Fernfeldbedingung, 481 Fernpunktweite, 227 Fernrohr, 207 Vergr¨ oßerung, afokale Einstellung, 208 Film fotograﬁscher, 50 Filterung 4f -Anordnung, 755 angepasstes (matched) Filter, 759 Hochpass, 755 Tiefpass, 755 Vander-Lugt-Filter, 759 Filterung, optische, 754 Finesse, 347 Fixfokusobjektiv, Kamera, 191 Fizeau-Streifen, 315 Fl¨ ussigkristallanzeigen (LCD), 463 Fl¨ ussigkristalle, 463 Flintglas SF 12, s. Brechzahltab., 157 Formfaktor, 494 Fotometrie, s. Lichttechnische Gr¨ oßen, 31 Fotorefraktion, 290, 794 Fourier-Analyse, 354 Fourier-Ebene, 748 Fourier-Integrale, 359 Fourier-Optik, 745 Fourier-Reihe, 353 der Rechteckwelle, 359 Fourier-Koeﬃzienten, 356 komplexe, 355 Fourier-Spektroskopie, 772 Aufl¨ osungsverm¨ ogen, 774 Interferogramm, 772 Multiplex-Vorteil, 772 Signal-Rauschverh¨ altnis, 772 Spektrogramm, 773 Fourier-Synthese, 354 Fourier-Transformation, 361, 746 diskrete (DFT), 775 schnelle (FFT), 776 Verschiebungssatz, 494 zweidimensionale, 747

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Fourier-Transformationspaar, 746 Fourier-Transformierte des Rechteckpulses, 362 Fraunhofer-Beugung, 473 als Fourier-Transf., 750 Fernfeldbedingung, 481 Fraunhofer-Linien, 178 freier Spektralbereich, s. nutzbarer Spektralbereich, 347 Frequenz, 253 Frequenzmischung, 787 Frequenzmodulation, 710, 711 Frequenzverdopplung, 781 Intensit¨ at, 784 Kristallkoh¨ arenzl¨ ange, 784 Phasenapassung, 785 Fresnel, Augustin, 17 Fresnel-Beugung, 533 am Einzelspalt, 558 an Kante, 555 an Kreisblende, 540 an Rechteckaperturen, 547 Kriterium f¨ ur, 538 Nahfeldbedingung, 539 Fresnel-Integrale, 551, 553 Fresnel-Kirchhoﬀsches Beugungsintegral, 534 Fresnel-N¨ aherung, Kugelwellen, 657 Fresnel-Rhomboid, 601 Fresnel-Verluste (Faser), 721 Fresnel-Zahl, 539 Fresnel-Zonen, 540 Fresnelsche Gleichungen, 587 Fresnelsche Zonenplatte, s. Zonenplatte, 543 Fresnelscher Spiegelversuch, 308 Fresnelsches Biprisma, 308 g-Parameter, Laserresonator, 668 Gabor, Dennis, 387 Galilei-Fernrohr, s. terrestrisches Fernrohr, 207 Gangunterschied, 300 Gasentladungslampe, 42 Gaußsche Kugelwellen, Laser, 670 Gaußsche Optik, 132 Gaußscher Strahl, 659, 661

840

Index

¨ Oﬀnungswinkel, 664 Abbildung mit d¨ unner Linse, 678 ABCD-Transformationsgesetz, 672 Strahlparameterprodukt, 665 Geradsichtprisma, 183 Gesamtvergr¨ oßerung, Mikroskop, 201 Gesichtsfeld, s. Feldwinkel, 169, 172 Gibbssche T¨ urmchen, 359 Gitter Amplitudengitter, 515, 516 Aufl¨ osungsverm¨ ogen, 513 Blaze-Technik, 518, 521 Dispersion, 512 nutzbarer Spektralbereich, 509 Phasengitter, 515, 516 Reﬂexionsgitter, 515 Transmissionsgitter, 515 Gitterbeugung, 497 Maxima, 501 Minima, 501 Gitterfunktion, 498 Gittergeister, 524 Gittergleichung, 498, 508, 515 Rechteckgitter, 754 Sinusgitter, 753 Transmissionsgitter, 508 Gitterkopien, 523 Gitterschwingungen, s. Phononen, 804 Gitterspektrometer, 526 Glan-Taylor-Prisma, 456 Globarstrahler, 38 Golay-Detektor, 46 Gradientenindexfaser (s. auch GRINOptik), 726 Grauer Strahler, 36 Gregory-Teleskop, 213 GRIN-Optik Bitraten-L¨ angenprodukt, 727 Brechzahlproﬁl, 727 Linse, 733, 736 paraxiale Strahlgleichung, 735 Periodizit¨ ats-L¨ ange (Pitch-L¨ ange), 727, 735 Gruppengeschwindigkeit, 290, 291 Haidinger-Ringe, 314 Halbwellenplatte, Polarisation, 426, 450

Halbwertsbreite, 365 Hale-Spiegelteleskop, 213 Hanning-Fenster, 775 harmonische Welle (komplex), 258 harmonische Wellen, 251, 254 Hauptbrechzahl, 155, 447 Hauptdispersion, 155 Hauptpunkte Huygenssches Okular, 124 optisches System, 119 Hauptstrahl, 167, 172 Heisenberg, Werner, 21 Heisenbergsche Unsch¨ arferelation, s. Unsch¨ arferelation, 21 Helium-Neon-Laser, Energiezustandsdiagramm, 628 Hellfeldbeleuchtung, Mikroskop, 204 Helmholtz-Wellengleichung, 656 paraxiale, 660 Herosches Prinzip, 62 Hertzscher Dipol, 442 Himmelsblau, 444 Hintereinanderschaltung d¨ unner Linsen, 87, 88 Hohlspiegel aufgefalteter Strahlengang, 93 Holograﬁe, 387 holograﬁsch optische Elemente, 402 holograﬁsche Interferometrie, 400 Hologramm Abbildungsmaßstab, 400 Anwendungen, 399 Aufzeichnung, 393 Braggsche Gleichung, 399 Eigenschaften, 397 Punktquelle, 389 Referenzwelle, 388 Rekonstruktion, 396 Signalwelle, 388 Hubble-Eﬀekt, 271 Huygens, Christiaan, 16, 57 Huygens-Fresnelsches Prinzip, 474 Huygenssches Okular, Hauptpunkte, 124, 197 Huygenssches Prinzip, 57

Index Idlerwelle, 788 Indexellipsoid, 454 Infrarot-Strahlungsquellen, 39 integrierte Optik, 737 Intensit¨ at, 267 Intensit¨ ats-Modulation, 710 Interferenz, 275 an dielektrischen Schichten, 309, 567 bei beliebiger Frequenz und Richtung, 284 destruktive, 279, 301 gegenl¨ auﬁger Wellen, 286 gleichfrequenter, gleichgerichteter Wellen, 277 inkoh¨ arente Sender, 283 koh¨ arente Sender, 283 konstruktive, 279, 300 mit virtuellen Quellen, 307 schr¨ aglaufender Wellen, 287 von N Wellen, 282 Interferenz-Hyperboloide, 306 Interferenzfarben, 309 Interferenzﬁlter, 583 Interferenzgitter, holograﬁsches Gitter, 524 Interferenzkurven gleicher Dicke, 315 gleicher Neigung, 314 Interferenzterm, 279, 299 Interferometer, 325 Amplitudenteilung, 325 Fabry-Perot, 339 Mach-Zehnder, 334 Michelson, 326 Michelson Stern-, 381, 382 Twyman-Green, 332 Wellenfrontteilung, 325 Interferometrie Brechzahlmessung, 330 optische, 325 ITO-Schicht, 840 Jones-Vektor (Tab.), 418 elliptische Polarisation, 413 lineare Polarisation, 408 normierter, 407

841

zirkulare Polarisation, 412 K¨ ohlersche Beleuchtung, Mikroskop, 206 Kalkspat, 447 Kamera, 186 Blende, 188 Blendenzahl, 189 Fixfokusobjektiv, 191 Teleobjektiv, 188 Weitwinkelobjektiv, 188 Kardinalpunkte dicke Linse, 102, 103, 122 kartesisches Ovaloid, 69, 71 Kellner-Okular, 199 Kepler-Fernrohr, s. astronomisches Fernrohr, 207 Kerr-Eﬀekt, 796 Kerr-Konstanten (Tab.), 799 Kerr-Linse, 799 Kerr-Zelle, 797 kissenf¨ ormige Verzeichnung, 150 Knotenpunkte dicke Linse, 103 ¨ koh¨ arente Ubertragungsverfahren, 710 Koh¨ arenz, 353, 637 laterale, 377 longitudinale, 377 r¨ aumliche, 377 zeitliche, 369 Koh¨ arenzbreite, 379 Koh¨ arenzgrad, 372 Koh¨ arenzl¨ ange, 369, 380, 640 Koh¨ arenzzeit, 369, 639 Kohle-Lichtbogenlampe, 40 Koma, 144 Kompensationsplatte, 326 Kompensatoren, Phasen-, 451 komplexe Amplitude, 259 komplexe Brechzahl, 607, 608, 823 komplexe Dielektrizit¨ atskonstante, 607, 822 komplexe Dielektrizit¨ atszahl, 607, 822, 829 komplexe Zahl, 256 konjugierte Punkte, 68 Konstruktionsstrahlen optische Abbildung, 82 Kontrastfunktion, 374

842

Index

Korrekturplatte, Teleskop, 215 Korrelation, optische, 756 Korrelationsfunktion, 372, 758 Kr¨ ummungsradius, Wellenfront, 664 Kreisfrequenz, 253 Kreiswellenzahl, 252 Kronglas BK 7, s. Brechzahltab., 157 Kugeloberﬂ¨ ache, Reﬂexion, 91, 111 Kugelstrahler, 29, 31 Kugelwelle, 262 Fresnel-N¨ aherung, 657 Kurzbogenlichtquelle, 41 λ/4-Platte (s. Verz¨ ogerungsplatte), 311, 575 L¨ angsabweichung, s. longitudinale Aberration, 132 Lambertstrahler Abstrahlungscharakteristik, 28, 31 Laplace-Operator, 261 Laser, 615 Besetzungsinversion, 622 externe Energiezufuhr, 624 Fokussierbarkeit, 647, 649 Gaußscher TEM-Strahl, 644 Grundelemente, 623 Helium-Neon-, 628 Koh¨ arenz, 637 Linienverbreiterungen, 635 optisches Pumpen, 624 Photonenﬂuss, 645 Rayleigh-L¨ ange, 662 Resonator, 626, 631 Strahlaufweitung, 650 Strahlausbreitung, 663 Strahldichte, 646 Strahldivergenz, 640, 643 Strahleigenschaften, 655 Strahlparameterprodukt, 641, 665 Strahltaille, 640 transversale Modenstrukturen, Kreissymmetrie, 680 transversale Modenstrukturen, Rechtecksymmetrie, 680 Vier-Niveau-System, 627 Laseranwendungen, 687, 688 Kernfusion, 695

Laser-Scanning-Mikroskop, 705 Laserdrucker, 701 LIDAR, 701 Materialbearbeitung, 689, 691 Medizin (Tab.), 694 Nachrichten¨ ubertragung, 697, 708 Speicherplatten, 699 Lasermedium, 624 Lasermoden (Abb.), 682 Laserparameter (Tab.), 652 Laserprozess, 631, 633 Laserresonator, 626 g-Parameter, 668 Helium-Neon-Laser, 672 Stabilit¨ atsbedingung, 669 Stabilit¨ atsdiagramm, 668 Vorzeichenkonvention, 667 Laserschneidsystem, 690 Laserstrahl, optimale Optik, 674 Lasertrimmen, 690 Lawinendiode (Avalanche-Diode), 50 LCD (Liquid Crystal Display), 463 Lebensdauer, spontane, 634 Leistungsspektrum, 367 Leuchtdichte, 26, 33 Leuchtstoﬀlampe, 44 Licht Wellenl¨ angenbereich, 25 Lichtinterferenz, 297 Lichtleiter, 708 Lichtmodulation, 741, 779 Kerr-Zelle, 797 Pockels-Zelle, 791 Lichtquanten, s. Photon, 18 Lichtquellen nat¨ urliche, 36 Lichtst¨ arke, 26, 33 Lichtstreuung, 442 Lichtstrom, 26, 33 Lichtwellenleiter, 708 lineare Optik, 276 lineare und nichtlineare Eﬀekte (Tab.), 786 lineares Medium, 276 Linienbildfunktion (LSF), 766 Linienbreiten, 634, 636 Linse

Index Brechwert, 85 dicke, 101 Linsenfernrohre, 207 Lissajous-Figuren, 410 Lithium-Niobat, 737 Littrow-Anordnung, Gitter, 521 Lloydscher Spiegelversuch, 307 Lochkamera, 186 lokalisierte Interferenzstreifen, 314 Lumen, s. Lichtstrom, 26, 33 Lumineszensstrahler, 37 Lupe, 192 Lupenvergr¨ oßerung, 194 Lux, s. Beleuchtungsst¨ arke, 26, 33 Mach-Zehnder-Interferometer, 334 Maiman, T.H., 615 Malussches Gesetz, 436 matched ﬁlter, 759 Materialdispersion, 727 Materiewellenl¨ ange, 18 Maxwell, James Clerk, 17 Maxwell-Beziehung, -Relation, 264, 823 Maxwell-Gleichungen, 264 Mehrfachschichten, 567 meridionales Strahlb¨ undel, s. tangentiales Strahlb¨ undel, 148 Mesophase, 464 Metallreﬂexion, 609, 839 Michelson, Albert, 326 Michelson-Interferometer, 326 Anwendungen, 330 Streifenz¨ ahlung, 329 Mie-Streuung, 442 Mikroskop, 200 Abbildungsstrahlengang, 201 Aufl¨ osungsgrenze+, 491 Gesamtvergr¨ oßerung, 201 K¨ ohlersche Beleuchtung, 206 numerische Apertur, 203, 491 Objektive, 204 Tubusl¨ angen, 201 Modendispersion, 724 Modulation (Kontrast), 301, 768 Modulations¨ ubertragungsfunktion (MTF), 766 Moir´e-Muster, 290

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Monochromator, 527 Monomodefaser, 710 Multimodefaser, 710, 719 Nahfeldbedingung, 539 Nahfeldmikroskop, 492 Nahpunktweite, 227 nematischer Fl¨ ussigkristall, 464 Nernstquelle, 38 Newton, Isaac, 16 Newton-Ringe, 316 Newtonsche Abbildungsgleichung, 87, 88 Newtonsches Teleskop, 212 nichtlineare Medien, 780 nichtlineare Optik, 779 nichtlokalisierte Interferenzstreifen, 307, 314 Nullphasenwinkel, 253 numerische Apertur, 491, 714 numerische Apertur, Mikroskopobjektiv, 203 nutzbarer Spektralbereich, 347 Nyquist-Kriterium, 775 ¨ Oﬀnungsfehler, 140 ¨ Oﬀnungsfehler, s. sph¨ arische Aberration, 137 ¨ Oﬀnungswinkel, abbildendes Strahlenb¨ undel, 163, 172 Okular, 192 Eigenschaften, 199 Huygenssches, 197 Kellner, 199 Ramsden, 197 opt. Phasenkonjugation, 814 optisch dichteres/d¨ unneres Medium, 593 optisch einachsig, 447 optisch zweiachsig, 447 ¨ optische Ubertragungsfunktion (OTF), 766 ¨ optische Ubertragungssysteme, 708 optische Abbildung, 67, 69 Abbildungsmaßstab, 75, 76 Konstruktionsstrahlen, 82 optische Achse, 447 optische Aktivit¨ at, 456 optische Filterung, s. auch Filterung, 754

844

Index

optische Gleichrichtung, 783 optische Instrumente, 163 optische Konstanten, 819 Deﬁnition, 824 Gl¨ aser, 832 Ionenkristalle, 834 Metalle, 837 Theorie, 824, 829 optische Korrelation, 756 optische Phasenkonjugation, Bildverbesserung, 807 optische Resonatoren, Stabilit¨ atsdiagramm, 668 optische Strahlung, 24 optische Strahlungsquellen, 36 optischer Isolator, 801 optischer Weg, 69 optisches System Hauptpunkte, 119 ordentlicher Strahl, 447, 451 Orientierungspolarisation, 825 Ortsfrequenz, 747 Ortsfrequenzanalyse, 750 Oszillatorst¨ arke, 829 parametrischer Oszillator (OPO), 788, 789 parametrischer Verst¨ arker (OPA), 788, 789 paraxiale N¨ aherung, 65, 74 paraxiales Brechungsgesetz, 74 Pellin-Broca-Prisma, 183 Penta-Prisma, 185 Petzval-Fl¨ ache, 149 Petzval-Summe, 149 Phasen¨ anderung bei Reﬂexion, 597 Phasen¨ ubertragungsfunktion (PTF), 766 Phasenanpassung phase matching, 786 Phasenbedingung, 311 Phasendiﬀerenz, 299 Phasengeschwindigkeit, 253, 254, 290, 291 Phasengitter, 515, 516 Phasenkonjugation, nichtlineare optische, 807 phasenkonjugierender Spiegel, 808 Phasensprung bei Reﬂexion, 300, 602

Phasenverz¨ ogerer, Polarisator, 426 Phononen akustische (TA, LA), 804, 835 optische (TO-, LO-), 835 Photodiode, 49 Photoeﬀekt außerer, 17, 47 ¨ innerer, 48 Photoelement, 48 photoemissiver Detektor, 47 photoleitender Detektor, 48 Photomultiplier, 47 Photon, 18 Bestrahlungsst¨ arke, 21 Photon-Phonon-Wechselwirkung, 804 Photonen- und Wellenmodell, 16 Photonenenergie, 17 Photonenstatistik, 20 photovoltaischer Detektor, 48 Photowiderst¨ ande, 48, 49 pin-Photodiode, 49 Pitch-L¨ ange, s. GRIN-Optik, 727 Planck, Max, 17 Plancksches Strahlungsgesetz, 34 Planﬂ¨ ache Bildschnittweite, 66 Bildversatz, 66 Planplatte, Interferenz an, 336 Plasma(kreis)frequenz, 827, 841 Plasmakante, 838 Plasmaschwingungen, 840 Pockels-Eﬀekt, 790 Pockels-Modulator, 792 Halbwellenspannung, 792 Pockels-Zelle, 791 als G¨ uteschalter, 793 Poincar´e-Kugel, Polarisation, 420 Poissonscher Fleck, 543 Polarisation Dichroismus, 435 durch Reﬂexion, 439 durch Streuung, 442 linear, 408 Malussches Gesetz, 436 Matrixbeschreibung, 405 optische, 405, 435 Poincar´e-Kugel, 420

Index Verz¨ ogerungsplatte, 422, 423 Polarisation, s. auch Jones-Vektor, 406 elektrische, 780, 821 Polarisationsdreher, 422, 427 Polarisationsellipse, 415 Polarisationsgrad, Stokes-Parameter, 417 Polarisator Halbwellenplatte, 426 linearer, 421 Systemmatrix, 431 Viertelwellenplatte, 426 Polarisator-Analysator-Paar, 436 x M¨ uller-Matrizen, 421 Polarisatoren, Jones- und M¨ ullerMatrizen, 428 Polaroidfolien, 438 Polymerfasern, 724 Poynting-Vektor, 268 Prisma, 172 Farbaufl¨ osungsverm¨ ogen, 182 minimale Gesamtablenkung, 175 Prismenpolarisatoren, 456 Prismenspektrometer, 179 Pumpwelle, 788 Punktbildfunktion (PSF), 761 pyroelektrischer Detektor, 46 quadratischer Detektor, 269, 298 Quantendetektoren, 47 Quantenelektrodynamik, 21 Quantenzustand, 20 Quarzhalogenlampe, 39 Quecksilber-Xenon-Bogenlampe, 41 Quecksilberbogenlampe, 41 Radiometrie, s. strahlungsphysikal. Gr¨ oßen, 26 Raman-Streuung, 445 Ramsden-Okular, 197 Rayleigh-Kriterium, 489 Rayleigh-L¨ ange, Laserstrahl, 662 Rayleigh-Streuung, 442 Rayleigh-Streuung (Faser), 722 Raytracing, 125 Rechteckfunktion rect(x), 358 Rechteckgitter, 515 Rechteckwelle, 358

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reelles Bild, 84 Referenzwelle, Hologramm, 388 Reﬂexion ebene Spiegel, 89 Reﬂexionsfaktor (TE- u. TM-Welle), 334, 592, 610 Vielfachschicht, 571 Reﬂexionsgesetz, 56, 60, 590 Reﬂexionsgitter, Gittergleichung, 515 Reﬂexionsgrad, 334, 572, 594, 596, 604, 836 (senkr. Einfall), 596, 610, 836 dielektrischer Spiegel, 582, 583 Metallspiegel, 610 Reﬂexionsmatrix mit/ohne Auffaltung, 110 Reﬂexminderung, 574 Einfachschicht, 574 Mehrfachschichten, 575, 579 refraktive Optik, 546 ¨ relative Oﬀnung, Kamera, s. DIN 4521, 189 Relativit¨ atstheorie, spezielle, 19 Reststrahlbanden, 837 Richtkoppler, 737 Transferl¨ ange, 740 Richtungsfaktor, 535 Rotationsdispersion, 457 Rotverschiebung, 271 Rowland-Kreis, 527 Rubinlaser, 615 Sagittalebene, 147 sagittales Strahlenb¨ undel Astigmatismus, 147 Sch¨ arfentiefebereich, Kamera, 191 Schawlow, Arthur, 615 Scheitelpunkte dicke Linse, 104 Schicht-Wellenleiter, 716 Schichtmatrix, 572 Schmidt-Teleskop, 215 Schnittweitengleichung brechende Kugelﬂ¨ ache, 75, 88 Schwarzer Strahler, 34 Schwarzk¨ orperstrahlung, 34 Schwebung, 291 Schwebungsfrequenz, 291

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Index

Seidelsche Abbildungsfehler, 132 Seidelsche N¨ aherung, 134 Sellmeier-Gleichung, 831 Sender inkoh¨ arente, 283, 284 koh¨ arente, 283, 284 Signalgeschwindigkeit, 293 Signalverzerrung, 724 Signalwelle, 788 Signalwelle, Hologramm, 388 sinc-Funktion sinc(x), 362, 477 Sinus-, Kosinus-Gitter, 752 Sinusdarstellung der Welle, 259 Sinusgitter, 515 Skineﬀekt, 839 Skintiefe, 840 smektischer Fl¨ ussigkristall, 464 solare Bestrahlungsst¨ arke, 38 Solarkonstante, 37 Soleil-Babinet-Kompensator, 451 Spaltbeugung, s. Beugung am . . . , 475 Spaltfunktion, 495 Spannungsoptik, 461 spektrale Linienbreite, 369 spektraler Strahlungsﬂuss, 34 Spektrograf, Wadsworth, 529 Spektrometer, 526 Czerny-Turner, 526 Paschen-Runge, 527 Spektroskop, 526 Spektrum elektromagnetisches, 24 Sperrﬁlter, 583 speziﬁsche Ausstrahlung, 26, 34 ¨ sph¨ arische Aberration, s. Oﬀnungsfehler, 137, 140 Spiegel, dielektrische, 581 Spiegelteleskope, 211 spontane Emission, 616 Stefan-Boltzmann-Gesetz, 36 stehende Welle, 286 B¨ auche, 286 Knoten, 286 Sterninterferometer, 381, 382 stimulierte Emission, 616 Stoßverbreiterung, 634 Stokes-Beziehungen, 334

Stokes-Parameter (Tab.), 420 Stokes-Vektor, normierter (Tab.), 418, 419 Strahlaberration, 132 Strahlablenkung, Prisma, 174 Strahldichte, 27 Strahldivergenz, beugungsbedingte, 480 Laser, 640 Strahlenteiler, 326 Strahlenteilerw¨ urfel, 606 Strahler schwarzer, 37 Strahler, thermischer grauer, 36 schwarzer, 34 Strahlmatrix d¨ unne Linse, 113, 114 Strahlmatrix dicke Linse, 112 Strahlparameter, komplexer, 661 Strahlst¨ arke, 27 Strahltaille, Laser, 640 Strahlteilung, 310 Strahlung optische, 24 Quantentheorie (A. Einstein), 616 spektrale Verteilung der Fluoreszenz, 632 Strahlungsdetektoren, 45 Strahlungsdichte, spektrale, 620 Strahlungsenergie, 26 Strahlungsﬂuss, 26, 34 strahlungsphysikal. Gr¨ oßen, s. Radiometrie, 26 Strahlungsquellen optische, 36 Strehlverh¨ altnis, 770 Streifenkontrast, 301 Strukturfaktor, 495 Strukturfunktion, 495 Stufenindexfaser, 715 Superpositionsprinzip, 276 Suszeptibilit¨ at, elektrische, 780, 821 synthetische Hologramme, 402 Systemmatrix, 113 Bedeutung der Elemente, 116 Systemtheorie, s. auch Faltung, 758 der Abbildung, 760 Linearit¨ atsgesetz, 761

Index Ortsinvarianz, 761 Tagessehen, 33 Tangentialebene, 147 tangentiales Strahlenb¨ undel Astigmatismus, 147 TE- (transversal elektrische)Welle, 589 Teilkoh¨ arenz, 370 Teleobjektiv, Kamera, 188 TEM-Moden, 682 Temperaturstrahler, s. Strahler, thermischer, 37 terrestrisches Fernrohr, s. GalileiFernrohr, 207 Tessar-Objektiv, 193 thermische Detektoren, 45 Thermos¨ aule (thermopile), 46 TM- (transversal magnetische) Welle, 589 Tolansky-Methode, 321 tonnenf¨ ormige Verzeichnung, 150 Totalreﬂexion, 66, 67 ATR-Spektroskopie, 606 evaneszente Welle, 604 Grenzwinkel, 597 Townes, Charles H., 615 Transfer-Matrix, 568, 571 Translationsmatrix, 107, 114 Transmissionsachse, 435 Transmissionsfaktor , TE- u. TM-Welle (Vielfachschicht), 571 Transmissionsfaktor, TE- u. TM-Welle, 334, 593 Transmissionsfunktion, 749 Transmissionsgitter, Gittergleichung, beliebiger Einfallswinkel, 508 Transmissionsgrad, 335, 572, 595, 604 Tripelspiegel, 90 Tubusl¨ angen, Mikroskop, 201 Twyman-Green-Interferometer, 332 ¨ Uberlagerung, s. Interferenz, 275 ¨ Uberlagerungsprinzip, s. Superpositionsprinzip, 276 ¨ Ubertragungsfunktion, s. auch optische, 766 der Kreis-Linse, 770 ¨ Ubertragungsrate, 712

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¨ Ubertragungsfenster, LWL, 723 Ultraschall-Hologramme, 401 Unbestimmtheitsrelationen, s. auch Unsch¨ arferelation, 21 Unsch¨ arferelation der Signaltheorie, 365 Energie-Zeit-, 366 Orts-Impuls-, 370 4f -Anordnung, 755 Vakuumlichtgeschwindigkeit, 264 Vander-Lugt-Filter, 759 van Cittert-Zernike-Theorem, 380 Verdet-Konstante, 800 (Tab.), 800 Vergr¨ oßerung Fernrohr, afokale Einstellung, 208, 209 Verschiebungspolarisation, 825 Verschiebungssatz der FourierTransformation, 494 Verspiegelung, 581 Verz¨ ogerungsplatte (Phasenverz¨ ogerer), 422, 423, 427, 450 Verzeichnung, 150 Vielstrahlinterferenz, 326, 336 Vier-Wellen-Mischung, 787, 811 Viertelwellenplatte, Polarisator, 426, 450 Viertelwellenschicht, 575 Vignettierung, 171 virtuelle koh¨ arente Quellen, 307 virtuelles Bild, 84 Volumenhologramm, 398 Wegl¨ ange optische, 69 Weißlicht-Hologramm, 397 Weitwinkelobjektiv, Kamera, 188 Welle-Teilchen Dualismus, 18 Wellen, 249 ebene, 261, 751 elektromagnetische, 262 harmonische, 251, 254 laufende, 250 Sinunsdarstellung, 259 Wellenaberration, 132 Wellenfrontteilung, 310 Wellenfunktion, 250 Wellengleichung, 249

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Index

dreidimensionale, 262 eindimensionale, 251 Helmholtz-, 656 Wellenl¨ ange, 252 Wellenleiterdispersion, 731 Wellenmechanik, 19 Wellenpaket, 293 Wellenvektor, 252, 260 Wellenzahl, 253 Wiensches Verschiebungsgesetz, 35 Winkelvergr¨ oßerung, 192 Wolframbogenlampe, 40 Wollaston-Prisma, 456 Xenon-Kurzbogenlampe, 41, 42

Young, Thomas, 16 Youngscher Doppelspalt-Versuch, 302, 380 Zielﬁndung, selbstgesteuerte, 813 Zirkonbogenlampe, 39 zirkulare Doppelbrechung, 459 Zonenplatte Amplituden-, 543 Brennweiten, 546 Fresnelsche, 543 Gaborsche, 389 Phasen-, 543 Zonenradien, 544 Zweistrahlinterferenz, 298 Intensit¨ at, 299