ﺩﻭﺭﺓ ﻫﻔﺪﻫﻢ
/
ﺷﻤﺎﺭﻩ1 :
/
ﭘﺎﻳﻴﺰ 1390
/
48ﺻﻔﺤﻪ
59
ﺭﻳﺎﺿﯽ
ﺩﻭﺭﺓ ﺭﺍﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ
ﻓﻬﺮﺳﺖ
ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴﺆﻝ :ﻣﺤﻤﺪ ﻧﺎﺻﺮﻯ ﺳﺮﺩﺑﻴﺮ :ﺳﭙﻴﺪﻩ ﭼﻤﻦﺁﺭﺍ ﻣﺪﻳﺮ ﺩﺍﺧﻠﻰ :ﺣﺴﻴﻦ ﻧﺎﻣﻰ ﺳﺎﻋﻰ ﺍﻋﻀﺎﻯ ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪ :ﺣﺴﻦ ﺍﺣﻤﺪﻯ ،ﺑﻬﺰﺍﺩ ﺍﺳﻼﻣﻰ ﻣﺴﻠْﻢ ،ﺍﻣﻴﺮ ﺣﺴﻴﻦ ﺍﺻﻐﺮﻯ ،ﺣﻤﻴﺪﺭﺿﺎ ﺍﻣﻴﺮﻯ، ﺯﻫﺮﻩ ﭘﻨﺪﻯ ،ﻟﻴﻼ ﺧﺴﺮﻭﺷﺎﻫﻲ ،ﺧﺴﺮﻭ ﺩﺍﻭﺩﻯ ،ﺣﺴﻴﻦ ﻧﺎﻣﻰ ﺳﺎﻋﻰ .ﻭﻳﺮﺍﺳﺘﺎﺭ :ﻣﺮﺗﻀﻰ ﺣﺎﺟﻌﻠﻰﻓﺮﺩ ﻃﺮﺍﺡ ﮔﺮﺍﻓﻴﻚ :ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻧﺸﻮﺭ ﺗﺼﻮﻳﺮﮔﺮ :ﺳﺎﻡ ﺳﻠﻤﺎﺳﻰ ﻧﺸﺎﻧﻰ ﺩﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ :ﺗﻬﺮﺍﻥ ،ﺍﻳﺮﺍﻧﺸﻬﺮ ﺷﻤﺎﻟﻰ ،ﭘﻼﻙ ،266ﺻﻨﺪﻭﻕ ﭘﺴﺘﻰ 6585ـ 15875 ﺗﻠﻔﻦ 9 :ـ 8 8831161ـ 021ﺩﺍﺧﻠﻰ374: ﻧﻤﺎﺑﺮ 88301478 : ﺭﺍﻳﺎﻧﺎﻣﻪ
[email protected] : ﻭﺑﮕﺎﻩ www.roshdmag.ir : ﺗﻠﻔﻦ ﭘﻴﺎﻡ ﮔﻴﺮ ﻧﺸﺮﻳﺎﺕ ﺭﺷﺪ 88301482: ﻛﺪ ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴﺌﻮﻝ 102:ﻛﺪ ﺩﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ 113 :ﻛﺪ ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ 102 : ﻧﺸﺎﻧﻰ ﺍﻣﻮﺭ ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ :ﺗﻬﺮﺍﻥ ،ﺻﻨﺪﻭﻕ ﭘﺴﺘﻰ16595 / 111: ﺗﻠﻔﻦ ﺍﻣﻮﺭ ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ 77336656 : ﭼﺎپ :ﺷﺮﻛﺖ ﺍﻓﺴﺖ ) ﺳﻬﺎﻣﻰ ﻋﺎﻡ ( ﺷﻤﺎﺭﮔﺎﻥ 20000:ﻧﺴﺨﻪ
ﻳﺎﺩﺩﺍﺷﺖ ﺳﺮﺑﻴﺮ
ﺭﻭﻯ ﺟﻠﺪ :ﺳﻔﺮ ﺑﻪ ﺩﻭﺭ ﺩﻧﻴﺎ ﺑﺎ ﻧﺎﻥ ﻟﻮﺍﺵ )ﺭ.ﻙ.ﺻﻔﺤﻪ (32
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩ
ﺧﻮﺷﺎﻣﺪ ﺑﻪ ﻓﺼﻞ ﺭﻧﮓ ﻫﺎ /ﺳﭙﻴﺪﻩ ﭼﻤﻦﺁﺭﺍ 2 /
ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻧﺸﺴﺘﻦ /ﺳﻜﻴﻨﻪ ﺑﻤﺎﻧﻴﺎﻥ 30 /ﺳﻔﺮ ﺑﻪ ﺩﻭﺭ ﺩﻧﻴﺎ
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ
ﺑﺎ ﻧﺎﻥ ﻟﻮﺍﺵ! /ﺣﺴﻴﻦ ﻧﺎﻣﻰ ﺳﺎﻋﻰ32 /
ﻧﺸﺎﻧﻰ ﻧﻘﻄﻪﻫﺎ :ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﻗﻄﺒﻰ /ﻟﻴﻼ ﺧﺴﺮﻭﺷﺎﻫﻰ 3 /
ﺍﺗﻢ
ﻛﺎﻏﺬﻯ /ﻣﺠﻴﺪ ﻣﻨﺸﻮﺭﻯ 7 /ﺍﻳﻦ ﺭﺍ ﺍﺯ ﻗﺒﻞ ﻣﻰﺩﺍﻧﺴﺘﻴﻢ! ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻭﺗﺮ ﻭ ﻳﻚ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺗﻨﺪ /ﺑﻬﺰﺍﺩ ﺍﺳﻼﻣﻰ ﻣﺴﻠ ّﻢ 10 /ﻛﺎﻣﻼ ً ﺷﺎﻧﺴﻰ ﻓﻬﻤﻴﺪﻡ /ﺣﺴﻦ ﺍﺣﻤﺪﻯ 12 /ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ ﻭ ﻧﻤﻮﺩﺍﺭ ﻭﻥ )ﺑﺨﺶ ﻧﺨﺴﺖ( /ﺳﭙﻴﺪﻩ ﭼﻤﻦﺁﺭﺍ 13 /ﻧﮕﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﺁﻳﻨﻪ ﺑﻪ ﺷﻴﻮﺓ ﺭﻳﺎﺿﻰﺩﺍﻧﺎﻥ! /ﺯﻫﺮﻩ ﭘﻨﺪﻯ 16 /
ﮔﻔﺖ ﻭ ﮔﻮ
ﻟﻌﺎﺏ ﺷﻴﺮﻳﻦ ﺑﺮﺍﻯ ﺩﺭﺱﻫﺎﻯ ﺗﻠﺦ /ﮔﻔﺖﻭﮔﻮ ﺑﺎ ﺣﺴﻦ
ﻧﺼﻴﺮﻧﻴﺎ /ﺷﺎﺩﻯ ﺑﻬﺎﺭﻯ35/
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺳﺆﺍﻟﻬﺎﻯ ﻣﺴﺎﺑﻘﺔ ﺭﻳﺎﺿﻰ ﺍﺳﺘﺮﺍﻟﻴﺎ ) /(AMCﻣﺘﺮﺟﻢ ﺳﭙﻴﺪﻩ ﭼﻤﻦﺁﺭﺍ 38 /ﭘﺎﺳﺦ ﻣﻌﻤﺎﻫﺎﻯ ﺑﻜﺮ ﺑﺮﺍﻯ ﺗﺎﺑﺴﺘﺎﻥ ) ﺍﺯ ﺷﻤﺎﺭﻩ /(58ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ ﻳﻮﺳﻔﻰ31/
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻓﻦﺁﻭﺭﻯ ﺑﻪ ﻣﺎﺷﻴﻦﺣﺴﺎﺏ ﺧﻮﺩ ﺩﺭ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﺪ! /ﻟﻴﻼ ﺧﺴﺮﻭ ﺷﺎﻫﻰ 18 /ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﺤﻴﻂ ﻟﻮﮔﻮ ) ( logoﺑﺮﺍﻯ ﺗﺮﺳﻴﻢ ﺍﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻰ /ﻫﻤﺎ ﻟﻚ 20 /
ﺍﺩﺍﻣﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻣﻌﻤﺎﻯ ﺑﻜﺮ ﺑﺮﺍﻯ
ﺗﺎﺑﺴﺘﺎﻥ43 /
ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻛﺎﻧﮕﺮﻭ /ﺟﻌﻔﺮ ﺭﺑﺎﻧﻰ 42 /
ﺍﺯ ﻣﻴﺎﻥ ﻧﺎﻣﻪﻫﺎ
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﺑﺎﺯﻯ ﺑﺎﺯﻯ ﻓﻜﺮﻯ ﻛﻮﺍﺭﺗﻮ /ﺑﻬﺰﺍﺩ ﺍﺳﻼﻣﻰ ﻣﺴﻠ ّﻢ 23 /ﺑﺎﺯﻯ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏﻫﺎ /ﻋﻠﻰ ﻣﺒﻴﻦ26 /
ﻭﺯﺍﺭﺕ ﺁﻣﻮﺯﺵ ﻭ ﭘﺮﻭﺭﺵ ﺳﺎﺯﻣﺎﻥ ﭘﮋﻭﻫﺶ ﻭ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺭﻳﺰﻯ ﺁﻣﻮﺯﺷﻰ ﺩﻓﺘﺮ ﺍﻧﺘﺸﺎﺭﺍﺕ ﻛﻤﻚ ﺁﻣﻮﺯﺷﻰ
ﭘﺎﺯﻝ ﺍﺯ ﻧﻮﻋﻰ ﺩﻳﮕﺮ :ﻣﺴﻴﺮ ﭘﻴﭻ ﺩﺭ
ﻧﺎﻣﻪﻫﺎﻯ ﺭﺳﻴﺪﻩ 46/ﺭﺳﻢﻫﺎﻯ ﺍﺑﺘﻜﺎﺭﻯ47 / ﺟﺪﻭﻝ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﻣﺠﻠﻪ 48 /
ﭘﻴﭻ /ﻋﻠﻰ ﻣﺒﻴﻦ28 / ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎﻥ ﻭ ﻣﺘﺮﺟﻤﺎﻥ: ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺮﺍﻯ ﺩﺭﺝ ﺩﺭ ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻰ ﻓﺮﺳﺘﻴﺪ ،ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﺍﻫﺪﺍﻑ ﺍﻳﻦ ﻣﺠﻠﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﺷﺪ ﻭ ﻗﺒ ً ﻼ ﺩﺭ ﺟﺎﻯ ﺩﻳﮕﺮﻯ ﭼﺎپ ﻧﺸﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ .ﺍﻫﺪﺍﻑ ﻣﺠﻠﻪ ﻋﺒﺎﺭﺗﻨﺪ ﺍﺯ :ﮔﺴﺘﺮﺵ ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺭﻳﺎﺿﻰ؛ ﺍﻓﺰﺍﻳﺶ ﺩﺍﻧﺶ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻭ ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻣﻬﺎﺭﺕﻫﺎﻯ ﺩﺍﻧﺶﺁﻣﻮﺯﺍﻥ ﺩﺭ ﺭﺍﺳﺘﺎﻯ ﺑﺮﻧﺎﻣﺔ ﺩﺭﺳﻰ؛ ﺗﻮﺳﻌﺔ ﺗﻔﻜﺮ ﻭ ﺧﻼﻗﻴﺖ؛ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻭ ﺗﻤﺪﻥ ﺍﻳﺮﺍﻧﻰ ﻭ ﺍﺳﻼﻣﻰ ﺩﺭ ﺑﺴﺘﺮ ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺭﻳﺎﺿﻰ ﺟﻬﺎﻧﻰ؛ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩ ﺭﻳﺎﺿﻰ ﺩﺭ ﺯﻧﺪﮔﻰ ﻭ ﻋﻠﻮﻡ ﻭ ﻓﻦﺁﻭﺭﻯ ؛ ﺗﻘﻮﻳﺖ ﺑﺎﻭﺭﻫﺎ ﻭ ﺍﺭﺯﺵﻫﺎﻯ ﺩﻳﻨﻰ ،ﺍﺧﻼﻗﻰ ﻭ ﻋﻠﻤﻰ. ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎﻯ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﻣﺘﻦ ﺍﺻﻠﻰ ﻫﻤﺨﻮﺍﻧﻰ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻭ ﻣﺘﻦ ﺍﺻﻠﻰ ﻧﻴﺰ ﻫﻤﺮﺍﻩ ﺁﻥ ﺑﺎﺷﺪ .ﭼﻨﺎﻥ ﭼﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺭ ﺍ ﺧﻼﺻﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﺪ ،ﺍﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮﻉ ﺭﺍ ﻗﻴﺪ ﺑﻔﺮﻣﺎﻳﻴﺪ .ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻳﻚ ﺧﻂ ﺩﺭ ﻣﻴﺎﻥ ،ﺩﺭ ﻳﻚ ﺭﻭﻯ ﻛﺎﻏﺬ ﻭ ﺑﺎ ﺧﻂ ﺧﻮﺍﻧﺎ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻳﺎ ﺗﺎﻳﭗ ﺷﻮﺩ .ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎ ﻣﻰ ﺗﻮﺍﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﻧﺮﻡ ﺍﻓﺰﺍﺭ wordﻭ ﺑﺮ ﺭﻭﻯ CDﻳﺎ ﻓﻼﭘﻰ ﻭ ﻳﺎ ﺍﺯ ﻃﺮﻳﻖ ﺭﺍﻳﺎﻧﺎﻣﻪ ﻣﺠﻠﻪ ﺍﺭﺳﺎﻝ ﺷﻮﻧﺪ .ﻧﺜﺮ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺭﻭﺍﻥ ﻭ ﺍﺯ ﻧﻈﺮ ﺩﺳﺘﻮﺭ ﺯﺑﺎﻥ ﻓﺎﺭﺳﻰ ﺩﺭﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ ﻭ ﺩﺭ ﺍﻧﺘﺨﺎﺏ ﻭﺍژﻩ ﻫﺎﻯ ﻋﻠﻤﻰ ﻭ ﻓﻨﻰ ﺩﻗﺖ ﻻﺯﻡ ﻣﺒﺬﻭﻝ ﺷﻮﺩ .ﻣﺤﻞ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺩﻥ ﺟﺪﻭﻝ ﻫﺎ ،ﺷﻜﻞ ﻫﺎ ﻭ ﻋﻜﺲ ﻫﺎ ﺩﺭ ﻣﺘﻦ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮﺩ .ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺩﺍﺭﺍﻯ ﭼﻜﻴﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ ﻭ ﺩﺭ ﺁﻥ ﻫﺪﻑ ﻫﺎ ﻭ ﭘﻴﺎﻡ ﻧﻮﺷﺘﺎﺭ ﺩﺭ ﭼﻨﺪ ﺳﻄﺮ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﻮﺩ .ﻛﻠﻤﺎﺕ ﺣﺎﻭﻯ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻧﻤﺎﻳﻪ )ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩ ﻫﺎ( ﺍﺯ ﻣﺘﻦ ﺍﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﻭ ﺭﻭﻯ ﺻﻔﺤﻪ ﺍﻯ ﺟﺪﺍﮔﺎﻧﻪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ .ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺩﺍﺭﺍﻯ ﺗﻴﺘﺮ ﺍﺻﻠﻰ ،ﺗﻴﺘﺮﻫﺎﻯ ﻓﺮﻋﻰ ﺩﺭ ﻣﺘﻦ ﻭ ﺳﻮﺗﻴﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ .ﻣﺠﻠﻪ ﺩﺭ ﺭﺩ ،ﻗﺒﻮﻝ ،ﻭﻳﺮﺍﻳﺶ ﻭ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎﻯ ﺭﺳﻴﺪﻩ ﺁﺯﺍﺩ ﺍﺳﺖ .ﻣﻘﺎﻻﺕ ﺩﺭﻳﺎﻓﺘﻰ ﺑﺎﺯﮔﺮﺩﺍﻧﺪﻩ ﻧﻤﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﺁﺭﺍﻯ ﻣﻨﺪﺭﺝ ﺩﺭ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺿﺮﻭﺭﺗﺎً ﻣﺒﻴﻦ ﺭﺃﻯ ﻭ ﻧﻈﺮ ﻣﺴﺌﻮﻻﻥ ﻣﺠﻠﻪ ﻧﻴﺴﺖ.
ﻳﺎﺩﺩﺍﺷﺖ ﺳﺮﺩﺑﻴﺮ
سﭙیدﻩ ﭼمﻦﺁرا
︠و︫ا﹞︡ ︋﹤ ﹁︭﹏ رن﹌ها همراﻩ عﺰيﺰ رشد برهاﻥ راهنمايي؛
بار ديگر صداي خشخش برگهاي زرد و سرخ پاييزي زيرپاي رهگ��ذران ،همراه با بوي خوش خ��اك خيسخورده از بارش باران، رس��يدن فصل پاييز و باز شدن مدارس ميدهد .دوره جديد خبر از ِ رش��د برهان راهنمايي نيز همرا ِه انار و س��يب و نارنگيهاي س��بز بودن نوبرانه ،هم چون ميوهاي پاييزي كه دوره ش��كوفهبودن و كال ِ خود را در بهار و تابس��تان پشت سرگذاشته است ،به همت اعضاي هيئت تحريرية جديد آن و ساير دستاندركاران توليد مجله ،به ثمر دستان شماست. نشسته و اينك در ِ در تركي��ب جدي��د تحريرية مجل��ه ،جاي دو ت��ن از همراهان قديم��ي ،آقاي ميرش��هرام صدر و آقاي س��يد محمدرضا هاش��مي موسوي ،خالي اس��ت كه همواره قدردان زحماتشان در شمارههاي قبلي مجله هستيم و اميدواريم همچنان دورادور از همكاري ايشان بهرهمند ش��ويم .همچنين س��ه عضو جديد به ما پيوستهاند � خانم ليال خسروشاهي و آقايان اميرحسين اصﻐري و بهزاد اسالمي مسلّم � كه حضورشان را در جمع خويش مﻐتنم ميدانيم. حتماً همراهان س��الهاي گذش��ته مجله ،با ديدن اين شماره، متوج��ه تﻐييراتي در بخشهاي مختلف آن خواهند ش��د .در دورة جدي��د ،مجله را به چند بخش اصلي تقس��يم كردهايم و مطالب را متناسب با محتوا و هدﻑ آن ،در اين بخشها قرار دادهايم: رياضيات و مدرس��ه؛ حاوي مطالبي است كه دانش عمومي شما در رياضيات را افزايش ميدهد و مطالب آن ،در عين حال كه با مطالب كتابهاي درسيتان بيارتباط نيستند ،استقالل خود را نيز دارند. رياضيات و فناوري؛ شامل مطالبي است كه با فناوري روز مرتبط هس��تند؛ مانند آش��نايي با برخي از نرمافزارها در حوزة تدوين دادهها يا آموزش هندس��ه يا اس��تفاده از ماش��ين حساب براي بررس��ي عميقتر مفاهي��م و روابط و افزايش قدرت اس��تدالل. رويك��رد هيئ��ت تحريريه ب��ه اين بخ��ش ،قدري متف��اوت از شمارههاي گذشته است. رياضيات و بازي؛ شايد اين بخش يكي از جذابترين بخشهاي مجله باشد .ما در هر شماره ،چند بازي فكريِ يك يا دو يا چندنفره را براي 2
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
شمامعرفيميكنيم. رياضي��ات و كارب��رد؛ اين بخش مطالب��ي را دربرميگي��رد كه به كاربردهاي رياضي در زندگ��ي واقعي و حضور آن در فعاليتهاي روزمرة ما مرتبط است .روي جلد اين شماره نيز با مقالة «سفر به دور دنيا با نان لواش» ارتباط دارد كه نگاهي موشكافانه به بزرگي اعدادي مياندازد كه در اطراﻑ ما هستند .روي جلدهاي سه شمارة آيندة مجله نيز با مقالههاي همين بخش ،مرتبط خواهد بود. رياضيات و تاريخ؛ كه با رويكردي جديد به رياضي در بستر تاريخ ايران و جهان مينگ��رد ،در قالب تصوير ( )Comic Stripدر صفحههاي سوم و چهارم جلد مجله ،چاپ خواهد شد. رياضيات و مسئله؛ اين بخش براي عالقهمندان به چالش فكري با مساﺋل رياضي ،حاوي مساﺋل مسابقات رياضي استراليا و مساﺋل و معماهاي فكري ديگر است كه به خوبي ميتواند اوقات فراغت ش��ما را پُر كند .پاس��خ معماها و مساﺋل هر شماره ،يا در همان شماره يا در شماره بعدي مجله ،به چاپ ميرسد. س��ﺆالهاي مس��ابقهاي اي��ن ش��ماره را ني��ز در صفح��ة دوم جل��د مييابي��د .پاس��خهاي خ��ود را ب��ه آدرس رايانام��ة مجل��ه ( )
[email protected]ي��ا ب��ه صندوق پس��تي ما )15875 / 6585( :ارسال كنيد و جايزه بگيريد. پيش��اپيش روز نوج��وان و روز دانشآم��وز را به همة ش��ما كه آيندهسازان كشورمان هستيد ،تبريك ميگوييم. *** سخني با مﻌلماﻥ معلمان عزيز كه رشد برهان راهنمايي را همراهي ميكنيد؛ از اين شماره در آخرين صفحة مجله ،جدولي آوردهايم كه در آن ،موضوع هر مقاله و نيز نوع مهارتهاي رياضي كه آن مقاله با آن مرتبط است ،درج شده است .مهارتهاي رياضي در نظر گرفته شده ،براساس كتابهاي راهنم��اي معلم درس رياضي دورة راهنمايي هس��تند .اميدواريم اين جدول ،در اس��تفادة هرچه بهتر و بيش��تر از رشد برهان راهنمايي در كالسهاي درس رياضي شما ،مﺆثر باشد. سردبير
a٢ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ a+b
لیﻼ ﺧسروشاهﻰ
ن︪ان ِ﹩ن﹆︴﹤ها: ﹞︐︭ات ﹇︴︊﹩ ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﻗﻄﺒﻲ ،ﻧﻘﻄﻪ ،ﻓﺎﺻﻠﻪ ،ﺯﺍﻭﻳﻪ. ام�روز مﻌلﻢ به هري�ك از بﭽهها يك كاﻏ�ﺬ A4با چﻬار نقطه
روﻱ ﺁﻥ داد .او ب�راﻱ بﭽهه�ا توﺿيﺢ داد كه چهط�ور ميتوانند با
استفادﻩ از اين نقاﻁ براﻱ ﻓردا يك رسﻢ بكﺸند .سارا امروز ﻏايﺐ بود و قرار شد شادﻱ تكليف ﻓردا را به او بگويد .مكالمة تلفني زير نﺸاﻥ ميدهد كه سارا چهطور تﻼﺵ كرد به شادﻱ بگويد كه ﺟاﻱ نقاﻁ در ﺻفﺤة A4كﺠاست.
س��ارا :من هم مثل تو كاغذ A4رو افقي جلوم گذاش��تم .نقطة اول رو كجا بگذارم؟ ِ نزديك گوشة پايين سمت چپ كاغذ. شادي: سارا :چقدر نزديك؟ ش��ادي :بگذار با خطكش اندازه بگيرم .آهان ....با 5س��انتيمتر فاصله. سارا :خب ....نقطة دوم چي؟
شادي .... :اون هم با همون گوشة كاغذ 5سانتيمتر فاصله داره. سارا :اينها كه يكي شدند! پاييني كاغذ نزديكتره. شادي :نه ....اولي به ضلع ِ سارا :باالخره نقطهها رو كجا بگذارم؟ سارا حق داشت سرگردان شود .شكل زير را ببينيد.
5
5
5
تمام اين نقاط با گوش��ة پايين س��مت چپ كاغذ 5 ،سانتيمتر فاصله دارند .منظور شادي كدام دو نقطه است؟ دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
3
شادي :فهميدم چهكار كنم .نقاله داري؟ سارا :آره ،به چه درد مي‌خوره؟ شادي :صبر كن ....اگه از نقطة اول به همون گوشة كاغذ وصل پاييني كاغذيك زاويه مي‌س��ازه كه 30 كن��م ،اين خط با ضلع ِ درجه است. سارا .... :پيدا شد ،نقطة دوم چه زاويهاي مي‌سازه؟ شادي 45 :درجه. س��ارا با اطالعات��ي كه داش��ت ،نقط��ة اول و دوم را پيدا كرد. شكلهاي زير را ببينيد.
نقطة اول
نقطة دوم m
5c
5cm
◦45
◦30
ش��ادي :اين نقاله خيلي به درد خورد .نقطة س��وم هم با همان گوشة كاغذ و ضلع پاييني زاوية 45درجه مي‌سازد. سارا :باز هم 45درجه؟ اين كه شد همون نقطة دوم! شادي :نه ،اين نقطه دورتره .اجازه بده .... س��ارا باز هم حق داش��ت محل دقيق نقطه را پي��دا نكند .اين شكل را ببينيد.
نقطة اول:
نقطة دوم:
نقطة سوم:
* فاصله 5 = 1س��انتيمتر * زاويه 30 = 2درجه
* فاصله= 5سانتيمتر * زاويه= 45درجه
* فاصله= 7سانتيمتر * زاويه= 45درجه
سارا :نقطة چهارم كجاست؟ شادي 6 :سانتيمتر 70 ،درجه. سارا :پيدا شد .حاال رسم رو چه‌طوري بكشم؟ نشاني چهار نقطه را به سارا بدهد. بالخره شادي توانست ِ A cm
6
x
A ′B′C′ ◦ 70 BC = B′C′ Æ= B Æ′ B
O
نقطة پايين سمت چپ كاغذ باشد و آن را مبدأ در نظر اگر O Æ= A Æ′ = 9 Æ= C Æ′ B′ B′C′ A C نشاني نقطة A پاييني كاغذ باشد، بگيريم و محور Oxهمان ضلع ِ ِ ⇒ 1Æ= 2Æ d d نويسيم1 : را به شكل زير مي 2 A ′B′C′ ) B : ( 6cm , 1
) A : (4cm , 5
BC = B′C′
خود را دارد .به اين نشاني، نش��اني خاص هر نقطة اين صفحهِ ) ، A : (4cm , 18 ) B : (4cm , 162 قطبي آن نقطه م ي‌گوييم. مختصات ِ Æ= A Æ′ = 9 C : (4cm ,CÆ Æ)′ 3 =6C D : (4cm ) m, 9 B′ B′C′ A با داش��تن مختصات قطبي هر نقطه ميتوان مكان دقيق آن را ِ A→B→C→D→E→A ⇒ 1Æ= 2Æ d d 1 2 روي صفحه مشخص كرد. مث ً ال براي پيدا كردن نقطة ) B : (6cm, 1مي ) توانيمA : (4cm , 5 : نقاطي را كه با محور Ox .1با استفاده از نقاله تمام زاوية 100 ) A : (4cm , 18 ) B : (4cm , 162 (اين نق��اط روي ضلع دوم زاوية 100 درجه مي‌س��ازند پيدا كنيم ) C : (4cm , 3 6 D : (4cm ) m, 9 ) E : (4cm , 234 درجه هستند كه ضلع اول آن ،محور Oxاست؛ چرا؟) Æ= B Æ′ B
) E : (4cm , 234
◦45
تمام اين نقاط با همان گوش��ة كاغذ و ضل��ع پاييني زاوية 45 درجه ساخته‌اند. شادي :نقطة سوم تا گوشة كاغذ 7سانتيمتر فاصله داره. سارا :آهان ....درست شد. سارا از بين آن همه نقطه كه زاوية 45درجه مي‌ساختند ،نقطة سوم را پيدا كرد.
A→B→C→D→E→A
x m
7c
◦45
حاال او سه نقطه با مشخصات زير داشت: 4
راهنمايي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
◦100 O
.2با اس��تفاده از پرگار ،تمام نقاطي را كه از نقطة Oبه فاصلة 6سانتيمتر قرار دارند پيدا كنيم (اين نقاط روي دايرهاي به مركز Oو شعاع 6سانتيمتر قرار دارند .چرا؟)
x
O
براي مش��خص ك��ردن هر زاويه با مح��ور ،oxمثل زاوية 100 درجه دو تا انتخاب داريم: 6cm
x
◦100 O ◦100
x
.3محل برخورد نيمخطِ رسم شده و دايرة رسمشده ،نقطة B است (چرا؟) B
.
6cm
x
◦100 O
البت��ه ميتوانس��تيم به جاي اس��تفاده از پرگار ،با اس��تفاده از خطك��ش ،پارهخط BOب��ه طول 6س��انتيمتر را روي ضلع دوم زاويه جدا كنيم! سارا و شادي ميتوانستند به جاي ضلع پاييني كاغذ و گوشة پايين سمت چپ از گوشهها و اضالع ديگري هم براي نشاني دادن اس��تفاده كنند .اما در هر صورت آنها بايد ميدانستند كه ديگري درب��ارة كدام گوش��ه و ضلع كاغذ حرﻑ ميزند ت��ا بتوانند نقاط را دقيقاً س ِر جاي خود بگذارند .گوشة پايين سمت چپ و ضلع پايين، يك قرارداد است و ميتوانست طور ديگري باشد. جاي مبدأ مختصات (نقطة )Oو محور مختصات (محور )Ox در صفحة مختصات قراردادي اس��ت .براي اينكه منظور يكديگر را بفهميم بايد قراردادهاي يكسان داشته باشيم. در صفحة مختصاتِ شادي ،زاوية مربوط به هر نقطه كمتر از 90درجه است(چرا؟). گسترش صفحه از چهار طرﻑ، همانطور كه در مثال ديديد ،با ِ نش��اني نقاط بيشتري را مش��خص كرد كه هم فاصلههاي ميتوان ِ بيشتري دارند و هم زاويههاي بزرگتر.
◦100
O
براي اينكه دچار ابهام نش��ويم ،قرارداد ميكنيم كه زاويهاي را در نظ��ر بگيريم ك��ه ضلع دوم آن با چرخ��ش از روي ضلع اول بر خالﻑ جهت گردش عقربههاي ساعت به دست آمده است. اي��ن زاويه بر خ��الﻑ جهت گردش عقربهاي س��اعت به وجود آمده اس��ت. وقت��ي ميگويي��م زاوي��ة 100درج��ه، منظورمان اين زاويه است. ◦100
x
O
اين زاوي��ه در جهت گ��ردش عقربههاي س��اعت ب��ه وج��ود آم��ده اس��ت .در صفحة مختص��ات قطبي ب��ه اين زاوي��ه 100درجه نميگوييم( .اين زاويه -100درجه است!) x
◦-100
O
ش��ادي براي نش��اني دادن مكان نق��اط از مختصات قطبي اس��تفاده كرد .مختصات قطبي هر نقطه از دو عدد تشكيل ميشود كه يكي فاصله و ديگري زاويه اس��ت .ش��ما اگر جاي شادي بوديد، نشاني نقاط را به سارا ميداديد؟ چگونه ِ در شمارههاي آينده با انواع ديگري از مختصات آشنا ميشويم. دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
5
سؤال )1با استفاده از خطكش مدرج و نقاله ،مختصات قطبي هريك از اين نقاط را پيدا كنيد. A
x
.
B
.
.
C
.
O
E
.
)
,
(C
)
,
(D
)
,
(E
A ′B′C′ BC = B′C′
D
س�ؤال )2در صفحة مختصات زير ،نقاط خواسته شده را روي صفحه پيدا كنيد .سپس آنها را با ترتيبي كه نوشته شده به هم وصل كنيد .به چه شكلي مي‌رسيد؟
) )
, ,
(A (B
C′
Æ= B Æ′ B A ′B′C′ Æ= A Æ′ = 9 ′ B B′C′ A BC = B′C′
Æ= C Æ′ C
B′C′
Æ′ B
Æ ⇒ Æ=1Æ=C Æ Æ Æ′d1 d2 ′2 = B C B نقاط: مختصات ِ قطبي )′ A : ′( 6=cm A : (4cm Æ=BA Æ Æ= C Æ′ B′ , 5B ′C ) 9 , 1 C cm1,Æ 18 ) = 2Æ ) d d B : (4cm , 162 ⇒B : ( 6cm , 1 A) : (4 1 2 C : )(4cm ) 6 ,)5 DB : (:4cm ) ) , 9, 1 ) E : (4cm , 234 B : (4cm , 162 ( 6mcm A :, (34 cm
A → B → C → D → E → A D : (4cm m , 9 ) A : (4cmE, 18 : (4cm ) ) , 234 ) B : (4cm , 162
) E : (4cm , 234
ترتيبDوصل ) m, 9 : (4cm
كردن نقاط ) C : (4cm , 3 6
A→B→C→D→E→A
x
O
پی‌نوشت .1منظور ،فاصلة اين نقطه تا نقطة گوشة پايين سمت چپ كاغذ است. .2منظور زاويهاي است كه اگر اين نقطه را با خطي به همان گوشة كاغذ وصل كنيم ،بين اين خط و ضلع پايين كاغذ تشكيل ميشود.
6
راهنمايي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
Æ= A Æ′ = 9 A
B′C′ 2Æ
d d 1 2 ) cm , 5
) cm , 18
) m, 3 6
B→C→D→E→A
a٢ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ a+b
مﺠید منﺸﻮري
ا︑﹜ ﹋ا︾︢ی
41 625 = 1 24 / 69 1 25 4 73 }A = {a ,b,c,7,3,13
ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺳﻄﺢ ﻣﻘﻄﻊ ،ﻗﻄﺮ ﺍﺗﻢ ،ﻣﺴﺎﺣﺖ ،ﻃﻮﻝ ،ﻋﺮﺽ ،ﺗﻮﺍﻥ ،ﻋﺪﺩ ﺗﻮﺍﻥﺩﺍﺭ ح��دس ميزنيد ب��ا چند بار بريدن كاغ��ذ A4و نصف كردن آن در هر بار ،مس��احت قس��مت باقيمانده برابر سطح مقطع يك اتم خواهدش��د؟ جوابي كه حدس ميزنيد را روي يك كاغذ ياداشت كنيد. 41 625 يادآوري ميكنيم قطر اتم تقريباً برابر 10-8سانتيمتر بدين است و = 1 24 / 69 1 25 4 73 ترتيب مس��احت س��طح مقطع آن كه يك دايره است از رابطة زير }A = {a ,b,c,7,3,13 محاسبه ميشود }B = {c,d ,13,25,3
2
cm
−16
−8 2
2
S = πrr = 3 / 14 × ( / 5 × 1 ) = / 785 × 1 2
است و= S = a.b متر29 / 7 × 21 = 62321 cmو/ 7 مساحت سانتي از طرفي ابعاد يك كاغذ 29/7 A4 29/1 2 = 311 / 85 cm 2 29/1 21 2 = × = 155 / 925 cm 2 2 21 29/1 2 × = = 77 / 9625 cm 2 4 29/1 21 2 = S4 × = cm 4 4
× S1 = 21 S2 S3
2
cm
−16
آن برابر است با:
}B = {c,d ,13,25,3 2
−8 2
S = πrr = 3 / 14 × ( / 5 × 1 ) = / 785 × 1 2
S = a.b = 29 / 7 × 21 = 623 / 7cm 29/1
2 ديگر= 311 / 85 cm سﺆال را × 21 بخوانيد=وS1به يك بار با توجه به اعداد محاس��به ش��ده 2 زير جواب عوض ش��ده است21آنرا29/1 آن جواب دهيد .اگر جواب ش��ما 2 = S2 × = 155 / 925 cm 2 2 قبلي يادداشت كنيد. 21 29/1 2 × = S3 = 77 / 9625 cm قبل از شروع كار وسايل زير را تهيه كنيد. 2 4 29/1 21 2 � دو برگ كاغذ A4 = S4 × = cm 4 4 � يك عدد قيچي 21 29/1 2 × = S5 = cm 4 8 � يك عدد ماشين حساب 29/1 21 2 � وسيله براي نوشتن = S6 × = cm
8
8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , ...... 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 2 7 دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390 راهنمایي π r 2 1 / 785×1 −16 = ab 623 / 7 79452229299363 5732/ 484 1 63 1 62 ) ( ) ( 2 2
2
ابتدا يك جدول شش ستوني مانند نمونه زي��ر روي يكي از كاغذهاي A4رسم كنيد.
مﺴاحت
عرﺽ كاﻏﺬ
شمارﺓ مرحله
طول كاﻏﺬ
عنوان ستون پنجم و ششم را در حين كار به شما ميگوييم. در مرحلة صفر يعني زماني كه1 25 برش��ي24به = 1 هنوز / 69 كاغذ A4نزدهايد، 4 73 طول و عرض آن را در جدول يادداش��ت كنيد و به كمك ماش��ين 41 }{a , b,c,7,3,13 A =625 = 1 24 / 69 1 25 حساب مساحت آن را بنويسيد. }{c,d,13,25,3 B4= 73 در مرحلة اول كاغذ A4را از طول و به كمك قيچي از وسط برش }A = {a ,2b,c,7,3,13 −8 2 −6 2 جدول S = πrr cm = 3 / 14 قس��مت / 5 × 1 عرض = ) طول× و/ 785 دهي��د1 . يادداش��ت و باقيمانده(را×در }B = {c,d ,13,25,3 2 بنويسيد. كنيد7و /در جدولS = a.b مساحت آن را محاسبه cm چهارم = 29 ستون/ 7 × 21 = 623 41 625
2
cm
−6
−8 2
2
S = πrr = 3 / 14 × ( / 5 × 1 ) = / 785 × 1
29/1 2 × S = 21 = 311 / 85 cm 2 1 2 S = a.b = 29 / 7 × 21 = 623 / 7cm كم��ك /1 21 29به= دوSنيم قيچي ب��ار ديگر كاغذ باقيمان��ده را2از طول و به ×/1 = 155 / 925 cm 29 2 2 2 قسمت كنيد و مساحت قسمت / 85 cm S 2 = 21 × = 311 باقيمانده را حساب 2كنيد. 1 21 29/1 2 S = 29/1× 21 = 77 / 9625 cm2 S 3 = 2 × 4 = 155 / 925 ccm m 2 2 2 29/1 21 2 × /1 = cm S = 21 29 2 77را= 4 / 9625كار ششم اين انجام ×S 4 = 4 براي بار سوم ،چهارم ،پنجم و cm 3 2 4 21 29/1 دهيد و در هر مرحله ،به ترتيب خانه 2 هاي = cm جدول21را ×S = 29/1 2 S 5 = 4 × 8 = cm مانند دو مرحلة قبل پر كنيد. 4 4 4 29/1 21 2 × /1 = cm2 S = 21 29 S 6 = 8× 8 = cm 5 1 1 41 1 8 1 1 1 1 1 , ,29/,1 21 , , ,2 , , , ...... × 32= 64 S2 =4 8 16 cm 128 256 512 6 8 8 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , ...... 2 4 8 16 32 −16 64 128 256 512 π r 2 / 785×1 1 1 = پاییز دورة هفدهم ،شمارة ،1 8 ab 623 / 1390 7 79452229299363 5732 / 484 راهنمایي 2 1 63 1 62 π( 2r 2) / 785(×21 )−16 1 = ab 623 / 7 79452229299363 5732/ 484
2 / 7cm = a/.b7 ×=21 29=/ 7623 × 21 623 S = a.b =S 29 / 7=cm
29/1 2 29/1 3112 / 85 cm S = 21 ×S1 = 21 = ×311 / 85=cm 1 2 2 2 29/1 2129/1 21 2 S× = = 155 × / 925 = 155 = S cm / 925 cm 2 2 2 2 2 2 2 21 29/121 29/1 2 = 77 S = ×S3 = = ×77 / 9625 cm/ 9625 cm 3 2 4 2 4 2 29/1 2129/1 21 S× = = cm × 2 = cm = S 4 4 4 4 4 4 2 21 29/121 292/1 S = ×S5 = = ×cm = cm 4 8 5 4 8 2 29/1 2129/1 21 × 2 = cm S× = = cm = S 6 8 8 6 8 8 11 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 كنيم يك مرحلة قبل از اين كنيد, , , , , ، هفتم را,, , , , , ...... , كه, ...... پيشنهاد ,مي , , ش��روع ,, 16 128 32 64 2 4 8 216 4 328 64 256 128 512256 512 جوابهاي قبلي بار ديگر س��ﺆال را بخواني��د و جواب خود را زي��ر 1 1 يادداشت كنيد! 2 2
دهيد وr2هر πبار ادامه قب��لr 2×1 − مراحل/ 785 16 بريدن كاغذ 1را مانند ×1 −16 اكن��ون كار 1 785 / π = = ab يادداشت / 7 79452229299363 5732 / 484 خود جدول ab كنيد!623 / 7 623 79452229299363 5732 در/ 484 نتايﺞ را 1 1 63 62 1 63 1 62 كمك زحمت) () ( م��ن خودم اين كار را انج��ام دادم و )به ( توانس��تم به) ( 2 2 2 2 قيچي ش��انزده مرحله پيش بروم .ش��ما نيز امتحان كنيد و ببينيد X⊂Z X⊂Z چند بار ميتوانيد اين كار را انجام دهيد. توجه كنيد كه در هر مرحله طول و عرض كاغذ و مس��احت آن را در جدول يادداشت كنيد.
}B = {c,d ,13,25,3 2
cm
−6
2
−8 2
S = πrr = 3 / 14 × ( / 5 × 1 ) = / 785 × 1 2
S = a.b = 29 / 7 × 21 = 623 / 7cm هاي29به دس��تآمده اينك دو كار را انجام ميدهيم2.ابتدا تحليل داده /1 21 S = × = 311 / 85 cm كاغذ در جدول و س��پس پيدا كردن يك الگو براي تﻐيير2مس��احت 1 .A4 29/1 21 نسبت به مساحت كاغذ 2 = S × = 155 / 925 cm 2 مساحت اين «نس��بت 2 براي اين كار عنوان س��تون پنجم جدول را 2 مرحله به مس��احت اوليه» 2قرار دهيد و در هر /1 29اين21نس��بت را مرحله × = S = 77 / 9625 cm 3 2 4 يادداشت كنيد. به اعداد ستون پنجم نگاه كنيد .هر بار 2نسبت به21قبل29 /1 تﻐيير چگونه 41 × = cm S =625 4 4 = 14 24 / 69 1 25 كرده است؟ 4 73 21 29/1 2 عدد =تواندار × نوشت؟== S آيا ميتوان اعداد اين ستون را به شكلcm A }5 {a4,b,c,78,3,13 من چند تا از اعداد اين س��تون را در يك رديف و پش��ت س��ر هم }21,3 B = {c29 ,d/,113,25 2 راحتتر = شما × = cm باشدS . براي مينويسم .شايد اينگونه نتيجهگيري 6 8 8
2
−6
2
−8 2
مقطع يك اتم برابر شود. جوابهايي را كه در طول مسئله حدس زده و نوشته بوديد با جواب پس از پايان حل مسئله ،يعني 62يا 63مقايسه كنيد. جواب شما چه اندازه درست بود؟ در اينجا من جدول مربوط به دادههاي خودم را براي ش��ما رس��م كردهام. مساحت
طول
عرض
مرحله
623/7
21
29/7
1
311/85
14/85
21
2
155/925
11/5
14/85
3
77/9625
7/425
11/5
4
S =1 πrr2 = 3 /514 × ( 2/ 5 × 11 ) =8 / 785 1 × 1 cm 3 41+, 1−, 1 , 1 3, 1 , 13 , 1 4, 1 ,3 1 , ...... 29 2 3256 512 632× 21 64a. b38 =16 41 64 3 128 5 7/425 5/75 38/98125 S2 =625 24 // 7 = 69 1 25623 / 7cm = 1 29 5حدس1 2 2 1 مرحله 1 1 1 حاصل141 73، كام ً نصف ال درست 6 5/75 3/7125 19/490625 ش��ما4 + − 3 3 عدد29 اس��ت .در 3هر /1 2 2 = 311 / 85 cm 6عدد 3 3 {=a3,21 تواني=5S21ازA صورتb ,c×,7,32,13 4 قبلي 6اس��ت و اعداد اين 7 3/7125 2/875 9/7453125 س��تون را مي2توان}به 2 1 1 1 1 1 {c,d ,131,25,3}1 Bπ = 21×1 −16 نوشت. 2 8 2/875 1/85625 4/87265625 2 1 r 2 29/ 1/ 785 3 S = = 2 × 1 = 155 / 925 cm 22 25 2 22 −8 2 −6 5 12 3 2 22 2 2 623 مي7/ 5 × 1 5732 اينك/ 484 3 جدول نوبت−به «شكلS =ab آن=را πrr عنوان3 / 14 رس��د× (/ . 79452229299363 شش��م = ) س��تون/ 785 × 1 4 +cm 9 1/85625 1/4375 2/436328125 3 1 1 1 1/11 1 7 1 2 52 3 211 29 ستون 6 تواني 3 2 61 3 0/928125 3 صورت پنجم 10 1/4375 1/2181640625 3= 29 2=) 62 PX را× (7 ×21 )623 ستون= اعداد( بگذاريد )و × پنجم» = 4 S(=1a).=b63 / 9625 به×+/ cm توانيS =77 / +7cm ( 3 21 2 1 2 24 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 229 0/60908203125 0/928125 0/71875 2از در ستون ششم بنويسيد. 11 3 /1 2 1 1 29 1 21 / / cm S = 21 ×1 = 311 85 1 1 12 1 1 3 5 PX3= 3 +2 ( × 221 ) = 7 + = 1SX 2 × = cm ⊂ Z ب��ه اندازة كاغذي كه در 3 PY دس��ت+ 2 به + 1 مرحلة ) =16 پايان= ) (7 كنيد. 0/71875 0/4640625 0/304541015625 12 آورديد4(3نگاه= 4 21 2 2 1 12 2 22 2 4 29/21 212 4 2 پس از =16بارS فكر/ 925 يك چوب كبريت استcm. كرديد × مي = 155 ً اندازة سر 3 2 1 ا تقريب 0 0 0 0 0 0 2 13 /464 625 /359375 /15227 5 78125 2 2 21 2 29/1 12 1 2 1 1 2 S == 4 3×− 3 3 ==1 cm PY كاغذ= = ) (3 + 2 + 1 XY 5 / 21 29 1 4 8 2 4 شود؟ كوچك اندازه اين شما A4 0 0 0 0 0 0 14 /359375 /232 3125 / 761352539 625 برش2 ، S = × 4 = 477 / 9625 cm 1 12 12 72 3 2 29/1 4 21 3 2 PX = + ( × 2 0/1796875 0/038067626953125 پسxSاز مي همين ( ) = +اگر مي 15 0/23203125 ادامهcmx =+ زنيدy29 = حدس+×2 داد= 5=2 ، شكل+ y =3+ شد كار برش را به4 = 7 24 3 −2 3 3 2= 1 2 /1 3 21 XY = 6 8× =8cm = S 0/1796875 0/116015625 0/0190338134765625 مقطع 4 يك مرحلة 1ديگر مساحت سطح 4 قسمت باقيمانده به اندازة 4 16 2 14 1چند 41 1 (18 ×14) +1 (41× 2) 1+ (21× 1) =1 42cm 1 1 = ) PY = (3 + 2 + 1 21 29 1 / 2 , , , , , , , , , ...... كنيم. مي استفاده حساب ماشين از جواب به رسيدن براي شود؟ اتم x + y = + = x 3 2 5 = cm × = S 2 2 2 2 2+ 152 44 8 816 32 64 128 256 512 2 مساحت سطح14cm پيدا4 × 14 = 28 28را42 − كه مقطع=اتم كرديم×1به در پايان چند سﺆال براي شما مطرح ميكنيم كه پاسخ دادن به آن نس��بت× (8 = )×32) + (2 × 1 ابتدا4)3+ (4 در ابتدا 29/1 21 2 4 −3 =1 XY = × = cm = S2 6 8 8 نويسيم: مساحت4كاغذ A41مي 2ميتواند جذاب باشد. 4 2
15 x1 +15 x1− 25 1 = 11 x1− 251= 125 1m × 4 × 14 = 28 42 − 2 16 , x+y , , , , , − , , ...... 1 x +2 y = 3 + 2 = 5 r 28 m16 / 785 ×64 1 , 128 =2xπ4 32 256 512 =15 2 1 8 (85×x41/ 484 1 ab 1 2623 3 / 37 5 ) +5 x( 4−×25 + 1(2 ×x1−) 25 = 42 = )2 = 4+ − 379452229299363 4 3 5732 3 + 2151+ 156+ 5 3+ 1 1+16 +5 = 63 m 3 9 2 m
1 x = 15
62
x = 15
1
63
) (
) (
−16 × 4 × 14 = 28 42 − 28 π3r22 1= 6 / 785 11 1 ×1 21 1 كمك 79452229299363از تواني كس��ر 5732برابر با 3چه 2 اس��ت .به = 5 بايد+ 15 حال + 5 + 1 +1 +5 = 6 ديد 15 ab كه 2 623 / 7 اين/ 484 2 4 X 5⊂ Z3 1 2 116363 حساب5 x 25 = 1 x − 25 = 1 متوجه ميش��ويم اين عدد بين 62 ماش��ين3+ 5 x − ( )1و ( ( ) ) 1 =6 1 22 2 5 m
قرار دارد.
2
3
2 X⊂Z
1 63 ) + 5 + 1 +1 +5 = 6 (+ 15 پ��س از مرحلة ديگر ب��ه عب��ارت 2 توانس��تيم7ب��رش 1كاغذ 1را 1 315اگر مي 1 5 PX = 3 + ( × 2 ) = + ( × ) = 4 3 حداق��ل 46 2بار ديگر اين كار2را 2 بايس��ت 2 دهيم مي 2 2 ادامه 4 ش��انزدهم = 6 5 مانده با 1 1 باقي 1 قس��مت 1 مس��احت1 1 تكرار ميكرديم تا 3 مس��احت سطح PY = (3 + 2 + 1 ) = (7 ) = 3 ( 1 ) 63 2 2 2 2 2 2 4 2 2
=1 x+ y = 3+4 = 7 2 2
3
4
2
−3
3
4
XY = 4
x + y = 3+2 = 5
(8 × 4) + (4 × 2) + (2 × 1) = 42cm
42 − 28 = 14cm
�1اگ��ر بتوان ي��ك كاغذ A4را 20ب��ار تا كرد ،قط��ر (ضخامت) كاغذهاي تا شده روي هم چقدر ميشود؟ �2اگر در يك صفحة ش��طرنﺞ به ترتي��ب در خانة اول يك گندم، خان��ه دوم دو برابر خانه اول ،خانه س��وم دو براب��ر خانه دوم ...... ،و به همين ترتيب خانة ش��صت و چهارم دو برابر خانه شصت و سوم گندم قرار دهيم در كل چند دانه گندم خواهيم داشت؟ �3حدس ميزنيد عدد 1112چند رقمي باشد؟ برای آش��نايی بيشتر با نحوة محاسبة عددهای بزرگ ،به صفحة 18 همين مجله مراجعه كنيد.
× 4 × 14 = 28
1 2
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
9
a٢ a+b
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ
بﻬزاد اسﻼمي مسﻠ ّم
ای ﹟را ﹋﹤ از ﹇︊﹏ ﹞﹩دان︧︐﹫﹜! ︑︧اوی ︋﹤ ا﹛️ و︑ر و ی﹈ زاوی﹤ ︑﹠︡
ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﻣﺜﻠﺚ ،ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢﺍﻟﺰﺍﻭﻳﻪ ،ﻭﺗﺮ ،ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺗﻨﺪ )ﺣﺎﺩﻩ( ،ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺩﻭ ﻣﺜﻠﺚ ،ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺯﺍﻭﻳﻪﻫﺎﻱ ﻣﺜﻠﺚ در يكي از قس��متهاي كتاب درسي سال دوم راهنمايي آمده است: عالوه بر س��ه حالت تس��اوي مثلثها كه پيش از اين گفته ش��د ،ميتوان تس��اوي دو مثلث قاﺋمالزاويه را در دو حالت ديگر نيز بررسي كرد. �1وتر و يك زاوية تُند (حاده) در دو مثلث قاﺋمالزاوية ABCو A ′B′C′ BC = B′C′ ´
Æ= B Æ′ B
C
Æ= A Æ′ = 9 A
Æ= C Æ′ C
C
B′ B′C′ ⇒ 1Æ= 2Æ
) B : ( 6cm , 1
E : (4cm , 2
d d 1 2 ) A : (4cm , 5
) B : (4cm , 162
) A : (4cm , 18
D : (4cm ) m, 9
´ A ′B′CB ′
BC = B′C′
´A
B
A ′B′C′
A
) C : (4cm , 3 6
BC = B′C′
AÆ → BÆ → C → D → E → AÆ Æ
مثلث A ′B′C′را ط��وري= B′ اگ��ر = B B′ رويBمثلث ABCقرار دهيم Æ Æ′ = 9B Æ Æ′ = 9 Æ′ = A ′CÆ= A =BBCو زاوية ′Cبر وتر BCمنطبق ش��ود، Aوتر B′C′برB′ A زاوية B′′ ك��هB′C C مثلث Æ′ مش��اهده1Æمي ⇒A1Æ′B=′2Cو ABCبر هم منطبق كنيم كهÆ ⇒ Æ dBدو d = 2Æ d d 1 2 = B′ 1 2 شوند. مي BC = B′C ′ Æ Æ Æ 6cm 5)′ =)9 6cm B : (C ,A : (A : (′A ,41cm A : (4cm , 5 ) B′ BB′C = = Bاز=Æ Æ مثلث قاﺋمالزاويهاي با وتر (حاده) اگر وتر و يك زاوية تُند ′ B , 162 )) d, 18 A : (4cm , 18 ) ⇒ 1Æ= 2ÆBA B : (4 : (:4d(cm 14cm و 2 الزاوية ديگر مساوي باشند، Æمثلث قاﺋم (حاده) از Æيك زاوية تند = Æ′ Æ′ =A B′ B′C′ A 9 C = C مثلث 5 1 : (D :: (()44cm (4cm ,D C : (4cm , 3 6 ) A C cm دوm آن,,93 4)cm (: 6)B): ( 6cm ,E مساوي :اند.
⇒ 1Æ= 2Æ d d 2 → AA → B → C → D → E → A →A → B → C →1DA ) B : (4cm , 162 : (4Ecm ) , 18 5 6 1 B cm : ( , ) : ( , ) A 4 cm مطل��ب :را Cميخوانيم ،در ابتدا به نظرمان ميرس��د وقت��ي اين D : (4cm ) m, 9 ) (4cm , 3 6 ) A : (4cm , 18 ) B : (4cm , 162 A→B→C→D→E→A 1390 شمارة ،1 D : (4cmدورة پاییز C m , 9 10 E : (4cm : (4cm هفدهم, 3 6، ) ) راهنمایي
A→B→C→D→E→A
كه مطلب ،جديد اس��ت .اما به هيچوجه اينطور نيست! اين حالت تساوي دو مثلث قاﺋمالزاويه ،همان حالت دو زاويه و ضلع بين آنها (ي��ا به عبارت ديگر ،ز ض ز) اس��ت كه در س��ال اول راهنمايي ياد گرفتهايم .اﻵن توضيح ميدهم چرا.
مانند آنچه در صفحة باال آمده است ،فرض كنيد در مثلثهاي قاﺋمالزاوية ABCو A′′B′C′ A ′B،′C BC =BCو B′C=′ B′C′
Æ Æ= C Æ C ′ C
Æ Æ′ Æ= B Æ B ′=B B ´ C Æ′ == A Æ Æ ′=A B′′C′ B′CA A B′ B 9Æ ′ = 9
C
A ′B′C′
⇒ 1Æ=⇒2Æ1Æ= 2Æ d dd1 d2 1 2 B : ( 6B cm: ,(16 cm ) ), 5 ) ,)1 A : (4A cm: ,(54cm
4cm), 162 B : (4B cm: ,(162
m: ,(94cm m), 9 B´D : (4Dcm
BC = B′C′
در ش��كل زي��ر ،دو خط d1و d2موازيان��د و خط مورب d Æ Æ آنه��ا را قط��ع كرده اس��ت .در نتيج��ه ،دو زاوي��ة ′ 1و=2BباBهم Æ= A Æ′ = 9 Æ مساوياند .مي Æ′ B′ B′C′ A C =C نويسيم:
) 4cm) , 18 A : (4A cm: ,(18 ´ : ,(34cm 4C C : (A cm ) 6 , 3) 6
راهنمايي دوم راهنمايي ،چند صفحه بعد از بحث تساوي مثلثهاي قاﺋملزاويه ،ثابت شده اس��ت .پس مشكل كار اينجا نيست .اما صبر كني��د ...آيا به ياد داريد اثبات اينكه مجموع زاويههاي مثلث برابر 180درجه اس��ت ،به چه شكلي بود؟ براي اين اثبات از اين نتيجه استفاده كرديم:
( dمورب و ) d1 d2
A
B
) B : ( 6cm , 1
A →A B→B C→C →D E→E A→ A →D
چون مثلثها قاﺋمالزاويه هستند ،پس يعن��ي دو تا از زاويههاي ABCبا دو ت��ا از زاويههاي مثلث هايB′هر= BC برابرند .از دورة دبستان به ياد داريم كه مجموع زاويه C′ مثلثBÆبا برابر 180درجه اس��ت .پ��س مجموع زاويهها در اي��ن دو Æ′ =B ،پس حتماً هم برابر اس��ت .چون در دو مثلث وÆ Æ Æ Æ
B : (4cm , 162 )d
E : (4cm , 234 )A ′B′C′
C = C′
A = A′ = 9
B′ B′C′
d d
⇒ 1Æ= 2Æ
پس مس��ئله به اين ش��كل درميآيد كه 2در 1 مثلثهاي ABCو BA:′B ( 6′cm ) A : (4cm , 5 ، A′B′C′ ) C′ , 1 BCو ) و′C,′162 ) A : (4cm , 18 B :=(4B cm BC = B′C′
Æ=D B ) Æ m , 9 B : (′4cm
Æ=, 234 ) Æ′ B E : (4B cm Æ= A Æ′ = 9 Æ= A Æ A B′ BCÆ′C=′ CÆ′ A
´C
⇒ 1Æ= 2Æ
d d 1 2 B : ( 6cmA, 1: ( 4cm ) ) ,5 B : (4A cm:,(162 ) 4cm), 18 ´:m(4, 9cm 4cm D : (C ,)3 6 ) E B
) C : (4cm , 3 6
D 1: (4cm ) m, 9
⇒ 1Æ= 2Æ
) A : (4cm , 5 ) A : (4cm , 18
d1
) C : (4cm , 3 6
A → B → C → D → E → A2 d2
آيا به ياد داريد كه اين امر را چطور ثابت كرديم؟ مراحل اثبات، در تمرين 1كار در كالس صفحة 1 86آمده اس��ت .آيا حاال اشكال اس��تدالل باال را پيدا كرديد؟ اگر توانس��تيد اشكال استدالل را پيدا كنيد ،آن را براي مجله بفرس��تيد و جايزه بگيريد .در شمارة آينده در مورد آن صحبت خواهيم كرد.
C
→A → B → C → D → EB ′ AB′C′ ⇒ 1Æ= 2Æ
d d 1 2 ) A : (4cm , 5
) A : (4cm , 18 ) ´C : B(4cm , 3 A6
A
→A→B→C→D→E→A A→B→C→D
بنابراين ،دو مثلث به حالت دو زاويه و ضلع بين برابرند. پس تس��اوي دو مثلث قاﺋمالزاويه به حالت وتر و يك زاوية تند، همان حالت دو زاويه و ضلع بين است. نظر ش��ما چيس��ت؟ آيا واقعاً در كتاب درسي اشتباه شده است كه تساوي مثلثهاي قاﺋمالزاويه جداگانه در نظر گرفته شده است؟ يعن��ي آيا با اس��تدالل ب��اال موافقيد؟ اگر خير ،چه اش��كالي در آن ميبينيد؟ راهنماي�ي :از كج��ا ميداني��م مجموع زاويهه��اي مثلث برابر 180درجه اس��ت؟ آيا ثابت كردهايم كه چنين است؟ بله! در كتاب
پينوشت 0 .1شمارة صفحهها ،مربوط به كتابهاي درسي چاپ سال تحصيلي 89-9 است. دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
11
a٢ a+b
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ
ﺣسﻦ اﺣمدي
﹋ا﹞﹑ً ︫ان︧︡﹫﹝﹁ ﹩م ﹋﹤ ! ... ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ،ﺷﺎﻧﺲ ،ﺳﻜﻪ ،ﺩﺭﺻﺪ
يك روز ،با يكي از همكالس��يهايم ،مش��ﻐول يك بازي س��اده دل آن بازي ساده يك بودم .بعدها وقتي بزرگتر شدم ،فهميدم در ِ مفهوم عميق رياضي وجود دارد .ماجرا از اين قرار بود :نفر اول يك س��كه را پرتاب ميكرد و نف��ر دوم بايد حدس ميزد كه كدام روي سكه رو به باال قرار ميگيرد .اسم اين بازي را گذاشته بوديم« :شير يا خط» .اگر پاسخ درست بود ،نفر اول دوباره سكه را پرتاب ميكرد و نفر دوم حدس ميزد .بازي ادامه پيدا ميكرد تا جايي كه پاس��خ نفر دوم اش��تباه از آب در بياي��د .در آن هنگام جاي نفر دوم عوض ميشد و نفر دوم س��كه را ميانداخت و نفر اول بايد حدس ميزد. قاعدة بازي به همين سادگي بود .اين يك بازي كام ً ال شانسي است كه البته كام ً ال هيجانانگيز پيش ميرود؛ به ويﮋه زماني كه بين دو نفر ُكر ُكري هم بيفتد. وقتي كه يك س��كه را باال مياندازيم هر طرﻑ (ش��ير يا خط) پنجاه درصد ش��انس دارد ك��ه رو به باال قرار گي��رد .با اين فرض، اگر يك س��كه را ده بار باال بيندازيم ،چند بار ش��ير و چند بار خط ميآي��د؟ حتماً ميگوييد پنﺞ بار ش��ير ميآيد و پنﺞ بار خط. البته حدس ش��ما به نظر درس��ت ميآيد ،ول��ي در عمل، معم��والً اين اتفاق نميافتد! باور نميكنيد؟ امتحان كنيد. در ابتدا باور آن براي من هم دش��وار ب��ود .بارها و بارها امتحان كردم .در بيش��تر م��وارد ،يك طرﻑ هفت بار ميآمد و طرﻑ ديگر س��ه بار ،گاهي هم يك طرﻑ ش��ش ب��ار ميآمد و طرﻑ ديگر چه��ار بار ،ولي به ندرت پنﺞ پنﺞ ميشد. تجرب��ة جالب��ي ب��ود .نميش��د حدس زد ك��ه كدام طرﻑ (ش��ير يا خط) تع��داد بيشت��ري ميآيد ،ولي به وضوح ميش��د ديد كه يك طرﻑ بيشتر ميآيد .در همين 12
راهنمایي
حد هم ش��انس پنجاه درصدي برايم زير س��ﺆال رفته بود .تصميم گرفتم تعداد پرتابها را بيش��تر كنم .در اين مرحله ،صد بار س��كه را پرتاب كردم .باز هم س��هم دو طرﻑ مس��اوي نبود .البته به نكتة جالبي برخورد كرده بودم .من انتظار داشتم كه بر اساس مشاهدات پيش��ين ،يك طرﻑ حدود هفتاد بار بيايد و طرﻑ ديگر حدود سي بار ،ولي معموالً يكي از طرﻑها بين چهل تا چهلو هفت بار ميآمد و طرﻑ ديگر بين پنجاه و سه تا شصت بار. آنق��در به وج��د آمده بودم ك��ه تصميم گرفت��م آزمايش را با تعداد پرتاب بيشتر تكرار كنم .آزمايش را با هزار پرتاب ادامه دادم. آي��ا ميتوانيد حدس بزنيد نتيجه چه ش��د؟ معموالً يك طرﻑ بين چهارصد و پنجاه تا چهارصد و هشتاد بار ميآمد و طرﻑ ديگر بين پانصد و بيس��ت ت��ا پانصد و پنجاه بار .واقعاً ش��گفتانگيز بود .يك چيز برايم روش��ن شده بود :ش��انس پنجاه درصدي در عمل اتفاق نميافت��اد .اين كه يك س�كه پنﺠاﻩ درﺻد ممكن اس�ت خﻂ بيايد ،لﺰوم ًا به اين مﻌنا نيﺴت كه نﺼف پرتابها خﻂ ميﺁيد. هرچن�د هرچه تﻌداد پرتابها بيﺸ�تر ش�ود، س�ﻬﻢ هر طرﻑ ب�ه نﺼف نﺰديكتر ميش�ود. براي درك اين موضوع كافي اس��ت به نس��بتهاي 0/465 ، 0/44 ، 0/3دقت كنيد. بعدها در جايي خواندم يك رياضيدان كه در زمان تنهايي زندان جنگ جهاني دوم به زن��دان افتاده بود ،در ِ دس��ت به كار جالبي زده بود .او همين آزمايش را به تعداد دو ميلي��ون پرتاب انجام داده و هم��ة پرتابها را ثبت كرده ب��ود .براي جلوگيري از تأثير طرح س�� ّكه نيز، پرتابها را با س��كههاي متف��اوت انجام داده ب��ود .نتيجة كار بس��يار جالب بود .س��هم دو طرﻑ نصف نبود ،ولي به نصف بسيار نزديك ش��ده بود .يك طرﻑ ،نسبت به طرﻑ ديگر حدود ش��صت بار بيش��تر آمده بود .يعني، 1000030بار در مقابل 999970بار!
a٢ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ a+b = 1 24 / 69 1 25
41 625 4 73
}A = {a ,b,c,7,3,13
﹞︖﹝و︻﹤ها و ن﹝ودار ِون }B = {c,d ,13,25,3
−8 2
2
S = a.b = 29 / 7 × 21 = 623 / 7cm
29/1 2 = 311 / 85 cm 2 29/1 21 2 = S × = 155 / 925 cm 2 2 2 21 29/1 2 × = S = 77 / 9625 cm 3 2 4 29/1 21 2 × = cm = S 4 4 4 ﻫﺎﻱ 21 ﻋﻀﻮﻳﺖ ،ﺷﻤﺎﺭﺵ 2ﺣﺎﻟﺖ29/1 ﻣﺨﺘﻠﻒ. = cm × = S 5 4 8 29/1 21 2 بيش��تر × در واقع نمودار ِون = cm ب��راي = S نمايش ارتباط بين دو يا چند 6 8 8 هاي 1 1 بخش1 1 شناخت 1 1 مجموعه و 1 1 مشترك 1آنها به كار ميرود .براي , , , , , , , , , ...... 2 4 8 16 32 64 128 256 512 مثال وقتي تصويري شبيه به اين را ميبينيم 1 2 Z
︋︩ ن︧️
ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ،ﻧﻤﻮﺩﺍﺭ ِﻭﻥ،
× S = 21 1
سﭙیدﻩ ﭼمﻦ ﺁرا
2
cm
−6
2
S = πrr = 3 / 14 × ( / 5 × 1 ) = / 785 × 1
در س��ال دوم راهنماي��ي با مجموعهها آش��نا ميش��ويد .البته پي��ش از آن ،در س��ال اول راهنمايي نيز ميداني��د كه مجموعهي مقسومعليههاي عددي مانند 12را به صورت زير مينويسند: }{1،2،3،4،6،12 −16 در واق��ع« ،مجموعه» ،يعني چند چيز كه ب��ه دليلي ،در ﺫهن π r 2 / 785×1 1 = ab 623X/ 7 79452229299363 5732/ 484 ما در يك جا دور هم جمع ش��دهاند .دليل اين تجمع هرچه باش��د، 1 63 1 62 ) ( ) ( مهم نيس��ت؛ مهم گرد هم آمدن آن چيزها است .براي نشان دادن 2 2 بالفاصله نتيجه ميگيري��م ( X ⊂ Zيعني Xزيرمجموعهي Z ارتب��اط بين چند مجموعه ،گاهي از تصاوير نيز اس��تفاده ميكنيم. از متداولتري��ن اين نمايشها نمودار ِون 1اس��ت .در اين نمايش ،از است .يا به عبارتي همهي اعضاي ،Xدر Zهم هستند). هاي بسته استفاده ميكنيم و ناحيهي درون هر حال قدري به س��اختار نمودار ون بيش��تر دقت ميكنيم .براي منحني 41 ش��كلها يا 625 = 1 24 / 69 1 25 مجموعه 41است .براي مثال اين منظور ،ق��دري از دانش خودتان دربارة حالتهاي مختلف يك ش��كل بسته4 73 ، نش��اندهندهي اعضاي آن 625 = 1 24 / 69 1 25 باشيمA = {: داشتهa ,b,c,7 اگر},3,13 پديده نيز كمك ميگيريم. 4 73 }A = {a ,b,c,7,3,13 } B = {c,d,13,25,3و اول ف��رض كنيد فقط يك مجموعه به نام Aبراي بررس��ي 2 −8 2 بس��ته صورت مثالBدو دايره) براي Aداريم .مهم نيس��ت كه اعضاي Aچه باشند .براي نمايش آن ،يك (براي= {c, d ,13,25 دوSمنحني },3 = πr اينr = 3 = ) × ( / 5 × 1در/ 14 2 −8 2 2 اعضاي نظ��ر =6 cmو B −در =c πrو 13Sو 3در هر دو منحني بسته ميكشيم: 2 كهr = 3 آن×جا/ 14 گيري��م×و/ 5از ( مي1S = )a. / 785 b== 29 / 7××121 623 / 7cm A وجود 2دارند ،بايد ش��كل را طوري بكشيم كه يك ناحيهي مجموعه 29/1 2 S = a.b = 29 / 7 × 21 = 623 S/ 7=cm × 21 = 311 / 85 cm 1 مشترك 2 باشد. داشته وجود اعضاء اين براي 29/1 2 = 311 / 85 cm
× S = 21
29/1 21 2 × = 155 / 925 cm 2 2 29/1 21 A = S × = 155 / 925 cm 21 29/1 2 2 2 2 × = S = 77 / 9625 cm 3 2 4 21 29/1 2 × S =a = 77 / 9625 cm 29/1 21 2 3 2 4 7 = cm ×S = B 4 4 4 d 32 29/1 b21 × = cm = S 21 29/1 2 4 c 4 4 = cm × = S 5 4 8 13 21 29/1 25 2 = cm × = S 29/1 21 2 5 4 8 × = cm = S 6 8 8 29/1 21 2 × = cm = S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 8 8 , , , , , , , , 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , 1 , , ...... 2 4 8 16 32 64 128 256 512 2 1 π r 2 / 785×1 −16 2 = ab 623 / 7 79452229299 = S 2 2
2
1
بيرون ،Aيعني هرچيزي كه درون ،Aيعني عضوهاي ،Aو ِ ِ عضو Aنيست. دوم ح��ال ف��رض كنيد كه دو مجموع��هي Aو Bداريم و هر كدام عضوهايي دارند (كه فع ً ال براي ما مهم نيست چه عضوهايي دارند!) حال ببينيم يك ش��يء خاص براي مثال عدد ،1نسبت به Aو دورﻩﻯ هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
13
Bچه وضعيتي ميتواند داش��ته باش��د؟ 1ممكن است در Aباشد، ممكن است در Aنباشد (دو حالت). حالت اول .اگر 1در Aباشد (عضوي از Aباشد) ،ممكن است در Bهم باشد ،ممكن است در Bنباشد .يعني دو حالت داريم: 1هم عضو Aو هم عضو Bاست، 1عضو Aهست ولي عضو Bنيست. حالت دوم .اگر 1در Aنباشد ،باز هم ممكن است در Bباشد يا نباشد ،پس باز هم دو حالت ديگر داريم 1عضو Aنيست ولي عضو Bهست. 1نه عضو Aاست نه عضو .B خوب ،اگر بخواهيم اين چهار وضعيت را در يك ش��كل نش��ان دهيم ،بايد دو منحني بس��ته بكشيم كه يكي نشان‌دهندة Aباشد و ديگري نش��ان‌دهندة Bو هريك از قسمت‌هاي صفحة نمايش‌ما، نش��ان‌دهندة يكي از اين وضعيت‌ها باش��د .پس مانند قسمت اول، نخست يك منحني بسته براي Aميكشيم. A
A
B
ب��ه اين ترتيب ،صفحة نماي��ش ما به 4ناحي��ه (دقيقاً متناظر همان 4حالت كه اشاره كرديم) تقسيم ميشود: )1عضوهايي كه هم عضو Aو هم عضو Bهستند. A
B
)2عضوهايي كه عضو Aهستند ولي عضو Bنيستند. A
B
)3عضوهايي كه عضو Aنيستند ولي عضو Bهستند. B
حال بخش��ي از درون منحني بس��تة ،Bيعني عضوهاي ،Bدر Aهس��تند و بخشي در Aنيس��تند .يعني بايد منحني Bرا طوري بكش��يم ك��ه حتماً درون منحن��ي Aرا قطع كند .ب��راي مثال اگر اينگونه بكشيم: B
A
)4عضوهايي كه نه در Aهستند و نه در .B A
B
A
در جدول زير ،تمام اين حالتها را ميبينيد. آن وق��ت نمي‌توانيم عضوهايي را كه بين Aو Bمش��ترك‌اند؛ نمايش دهيم و اگر اينگونه بكشيم: B A
حالت
عضويت در Aعضويت در B
()1
هست
هست
)(2
هست
نيست
)(3
نيست
هست
)(4
نيست
نيست
جدول ()1 آن وق��ت نمي‌توانيم عضوهايي را كه در Aهس��تند ولي در B نيس��تند (حالت دوم) نش��ان دهيم .پس بهترين نمودار ،شكل زير است: 14
راهنمايي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
ِ مختلف B ، Aو C س�وم :حال فرض كنيد سه مجموعهي ِ مختلف عضويت در اين سه مجموعه ،چند حالت داريم .حالتهاي اس��ت؟ يك عض ِو دلخواه ،نس��بت به Aدو وضعي��ت دارد :يا در A
هست يا در Aنيست .در هريك از اين حالتها نسبت به Bنيز دو وضعيت دارد :يا عضو Bهست يا نيست پس تا اينجا ،مثل قسمت دوم چه��ار حالت داري��م 2×2 :حالت .در هريك از اين چهار حالت، عضو موردنظر نس��بت به Cدو وضعيت دارد :يا عضو Cهس��ت يا نيست؛ پس 4×2=8حالت داريم كه در جدول زير خالصه شدهاند. حالت عضويت درA
عضويت در Bعضويت در C
()1
هست
هست
هست
()2
هست
هست
نيست
()3
هست
نيست
هست
()4
هست
نيست
نيست
()5
نيست
هست
هست
()6
نيست
هست
نيست
()7
نيست
نيست
هست
()8
نيست
نيست
نيست
جدول ()2 خوب ،حاال نمودار ون آن بايد چطوري رسم شود تا همهي اين 8حالت در 8ناحية مختلف از صفحه نمايش داده شود؟ شكل ديديم كه براي دو مجموعه ،بهترين ترسيم ِ
س��وم را طوري ميكش��يم كه با هريك از اين 4ناحيه ،اش��تراك داش��ته باش��د .براي مثال ناحية 1مربوط به قسمت دوم اين مقاله جدول ()2 ك��ه در جدول ( )1آمده بود ،متناظر ناحيهي 1و 2در ِ باالس��ت .به همين ترتيب هريك از ناحيههاي ديگر در جدول (،)1 متناظر دو تا از ناحيههاي جدول ( )2هستند. A
B
C
منحني Cبايد وار ِد Aشود (متناظ ِر حالتهاي 1و 2و 3و 4 ِ ِ مشترك Aو Bرا نيز رد كند و وارد Bشود در جدول )2و بخش (متناظر حالت 1جدول ( )2و سپس حالتهاي 5و 7اين جدول). A
B
C
سپس از Bخارج و بسته شود تا حالتهاي 6و 8را نيز در برگيرد. A
B
اس��ت .حال همين ش��كل را مبناي كار قرار ميدهيم و مجموعهي C
حال ،شما در 8نسخه از شكل باال ناحيههاي مربوط به 8حالت جدول ( )2را رنگ بزنيد و مشخص كنيد. در ش��مارهي آينده ،به بررس��ي نمودار ون براي چهار مجموعه و بيشتر خواهيم پرداخت ت��ا آن موقع ،ش��ما روي حالتهاي مختلف عضويت يك شيء دلخواه نسبت به چهار مجموعهي مختلف C ،B ، Aو Dفكر كنيد و جدول آن را بنويس��يد و س��عي ون مناسب آن را بكشيد. كنيد نمودار ِ پينوشت 1. Vem Diagram دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
15
a٢ a+b
زهرﻩ پندﻯ
نگاه ﹤︋ ﹩آی﹠﹤ ︋﹤ ︫﹫وهء ریا︲﹩دانان! ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺪﺭﺳﻪ
ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺯﺍﻭﻳﻪ ،ﻣﺜﻠﺚ ،ﺁﻳﻨﻪ ،ﺗﺎﺑﺶ ،ﺑﺎﺯﺗﺎﺑﺶ ،ﺗﻘﺎﺭﻥ ﻣﺤﻮﺭﻱ
ﺍﺷاره
اﮔر روبروﻯ يك ﺁينة تخت كوچك بايﺴتيﻢ ،كمیﺟلو يا عقﺐ
بروي�ﻢ يا ﺁينه را باﻻ و پايين كني�ﻢ ،در هر حال چه اندازﻩ از طول
خودماﻥ را میتوانيﻢ در ﺁﻥ ببينيﻢ؟ اين س�ؤال يك پروژﺓ كوچك است كه در اين مقاله به تﺤليﻞ ﺁﻥ پرداختهايﻢ.
اين يك پروژﺓ كوچك دانشﺁموزﻯ اس�ت ك�ه براﻯ انﺠام ﺁﻥ به يك مت ِر اندازﻩﮔيرﻱ و يك ﺁينة تخت با طول حدود 30سانتی متر احتياﺝ داريد.
نگاه ﺍوﻝ
يك آينة تخت كوچك برداريد و خودتان را در آن تماشا كنيد. چقدر از طول خودتان را در آينه میبينيد؟ آين��ه را كمیباال يا پايين ببريد ،آي��ا میتوانيد كاری كنيد كه طول بيشتری از خودتان را در آينه ببينيد؟ 16
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
نگاه دوم
آين��ه را روب��روی خودتان روی ديوار قرار دهي��د .دو متر از آن فاصل��ه بگيريد .هر مقدار از طول خود را كه در آينه میبينيد ،روی بدنتان اندازه بگيريد .برای اين منظور از يكی از دوس��تانتان كمك بخواهيد.
ح��اال کمی‌جلو یا عقب بروید و باز هم هر مقدار از طول خود را كه در آینه می‌بینید ،اندازه بگیرید. آیا می‌توانید با جلو و عقب رفتن ،این طول را افزایش دهید؟
نگاه سوم
طول آینه‌ت��ان را اندازه بگیرید .چه ارتباط��ی بین این اندازه و اندازه‌هایی که در مرحلة قبل به دست آورده‌اید ،وجود دارد؟ چرا؟ اگر یک آینة دیگر با طولی متفاوت در اختیار دارید باز هم این آزمایش را انجام دهید ،این بار چه ارتباطی بین طول آینه و آنچه از طول شما در آینه دیده می‌شود ،وجود دارد؟
نگاه دقيق‌تر
اندازه‌ها شما را به این فرضیه می‌رسانند که در هر حال شما می‌توانید، طولی از خودتان را که دو برابر طول آینه است ،در آینه ببینید. به شکل زير نگاه کنید .فرض کنید آینه روبروی شما روی دیوار طوری قرار گرفته اس��ت که ش��ما می‌توانید همة طول بدنتان را در آینه ببینید. خطهای 1و 2نشان می‌دهند که شما چگونه باالترین قسمت کاله را آینه می‌بینید! نور از این قسمت به آینه می‌تابد و با زاویه‌ای مساوی با زاویة تابش به چشم شما بازتاب می‌کند. به همین ترتیب خطهای 3و 4نشان می‌دهند که شما چگونه پنجه‌ي پایتان را در آینه می‌بینید!
ب��ه خط چین‌ها نگاه کنید .این خط چین‌ها باال و پایین آینه را نشان می‌دهند. فاصلة خط چین مربوط به باالی آینه از باالترین قس��مت کاله برابر فاصلة چشمها از این خط چین است .چرا؟ فاصل��ة خط چین مربوط به پایین آین��ه از پنجة پا برابر فاصلة چشمها از این خط‌چین است .چرا؟ پ��س آنچه از طول ش��ما در آینه دیده میش��ود ،دو برابر طول آینه است!
نگاهی دوباره
یک شکل دیگر رسم کنید و این بار همین آینه را دورتر یا نزدیک‌تر رسم کنید .آیا باز هم می‌توانید آینه را در ارتفاعی قرار دهید که بتوانید همة طول بدنتان را در آینه ببینید؟ آیا باز هم نتیجه تکرار می‌شود؟ ب��ه آینة خودتان نگاه کنید .آینه را روبروی خودتان طوری قرار دهید که چش��مهایتان در آینه دیده ش��ود .از یکی از دوس��تانتان بخواهید روی آینه با راهنمايي ش��ما جایی را که چشمها ،باالترین نقط��ه از بدن و پایین تری��ن نقطه از بدن ش��ما را مي‌بيند ،با یک ماژیک وایت برد عالمت بزند .فاصلة این نقاط از هم را اندازه بگیرد. باالترین و پایین‌ترین نقطه از بدنتان را که در آینه دیده می‌شود، روی بدنتان عالمت گذاری کنید .فاصلة این نقاط را از چش��مانتان اندازه بگیرید .این اندازه‌ها را با اندازه‌هایی که دوستتان یافته است، مقایسه کنید .آیا این مقایسه فرضیة قبلی را تأیید می‌کند؟
نگاه آخر
1 2
4
3
ب��از هم به آینه نگاه کنید و برای خودتان مس��ئله‌های دیگری طرح كنيد .براي مثال: .1ب��رای آن‌ک��ه بتوانید از س��ر تا پایتان را در آین��ه ببینید ،به چه آینه‌ای احتیاج دارید؟ .2وقتی روبه‌روی یک آینه ایس��تاده‌اید ،چقدر از طول دیوار پشت س��رتان در آینه دیده می‌شود؟ وقتی به آینه نزدیک می‌شوید، این طول بیشتر می‌شود یا کمتر؟ آزمایش کنید ،فرضیه بسازید و سعی کنید درستی فرضیه‌تان را ثابت کنید. .3ف��رض کنید یکی از دوس��تانتان روبروی آینه دقیقاً کنار ش��ما ایس��تاده اس��ت .چقدر از طول او را در آینه می‌بینید؟ اگر او در جای خود باقی بماند و شما به آینه نزدیک‌تر شوید ،چقدر از او را در آینه می‌بینید؟ اگر دورتر شوید ،چطور؟
منبع 1.www.figurethis.org
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمايي
17
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻓﻦﺁﻭﺭﯼ
لیﻼ ﺧسروشاهي
︋﹤ ﹞ا︫﹫︧ ﹟اب ︠ود در ﹞اس︊﹤ ﹋﹝﹈ ﹋﹠﹫︡!
2 3 5
× 4 7 = 4 +7
ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﻣﺎﺷﻴﻦﺣﺴﺎﺏ ،ﺣﺎﺻﻞﺿﺮﺏ ﺍﻋﺪﺍﺩ ﺑﺰﺭگ ،ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻮﺯﻳﻊﭘﺬﻳﺮﻱ ﺿﺮﺏ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺟﻤﻊ
1 6 4 5 = 7 × 235
تا ح��اال برايتان پيش آمده اس��ت كه ماشينحس��اب به جاي جواب دادن به سﺆال ش��ما ،مات و مبهوت نگاهتان كند يا پيﻐامها و جوابه��اي عجي��ب و غري��ب بدهد؟ ب��راي مثال وقت��ي عبارتِ 256186×9173را وارد ماشينحس��ابِ 12رقم��ي كني��م ،جواب رقم��ي 2349994178اعالم ميكن��د ،در حاليكه در را ع��د ِد ده ِ ماشينحس��ابِ 8رقم��ي ،عدد 23/499941هم��راه با پيﻐام خطا روي صفح��ه ظاهر ميش��ود .به هر حال ماشينحس��ابها ظرفيت مح��دودي دارند .ظرفيت يك ماشينحس��اب هرق��در هم كه زياد باش��د ،باالخره يك جايي به بنبست ميرس��د! ميخواهيم ببينيم وقتي ماشينحساب نميتواند حاصلضرب دو عدد را را اعالم كند، چه كمكي از دست ما براي ماشينحساب (يا از دست ماشينحساب براي ما!) ساخته است؟ ستوني ابتدا با يك مثال س��اده نشان ميدهيم در ضرب كردن ِ قوانين پشت پردهاي استفاده ميكنيم. اعداد ،از چه ِ 2 3 5 × 4 7 = 4 +7 1 6 4 5 = 7 × 235 = 4 ×235
4 5 = (4 +7) × 235
+9 4
11
47235 = (4 +7) × 235
در واقع براي ضرب اعداد از خاصيت توزيعپذيري ضرب نسبت = 4 ×235 + 7 × 235 = 94 + 1645 = 11 45
) 2415673 × 459123 = (241 + 5673 ) × (45 + 9123
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390 18 × 9123 راهنمایي= 241 × 45 + 241
+ 5673 × 45 + 5673 × 9123 241× 45 = 1 845 ⇒ 241 × 45 = 1 845
= 4 ×235
به جمع استفاده ميشود:
+9 4
4 5 = (4 +7) × 235 2 3 5 47235 = (4 +7) × 235 × 4 7 = 4 +7 = 4 ×235 + 7 × 235 = 94 + 1645 = 11 45 1 6 4 5 = 7 × 235 2415673 ) + 5673 ) × (45 + 9123 × 459123 = (241 رقمي ماشين بزرگ كه ب��راي ضرب ك��ردن دو عدد حس��ابِ + 9 84 = 4 ×235 مي × انجام + × توان به = 241 دهد45 ، آن را 241 نمي9123 كرد، ماشينحس��اب توان��د كمك 11 4 5 = (4 +7) × 235 + 5673 × 9123 اعداد× 5673 مجم��وع 45 +تر نوش��ت 5و 3از 2 خاصيت كوچك صورت اع��داد را به 47235 = (4 +7) × 235 جمع نسبت به × 45 ضرب = 1 توزيع 241××45 4= 17 845 پذيري 845 نمود=. ⇒4 +241 استفاده7 = 4 ×235 + 7 × 235 = 94 + 1645 = 11 45 ⇒ 241 × 9123 = 2198643 2411×69123 4 =5 2198643 = 7 × 235 ) 2415673 × 459123 = (241 + 5673 ) × (45 + 9123 5673 ⇒235 5673 × 45 = 255285 + 9 ×445 = 255285 × = 4 = 241 × 45 + 241 × 9123 5673 11 × 9123 4 5= 51754779 = (4 +7) × 235 + 5673 × 45 + 5673 × 9123 1 8= (44 +57) × 235 47235 241× 45 = 1 845 ⇒ 241 × 45 = 1 845 هاي براي حاال نوبت حس��اب = 11 ماشين ضرب + 4 اين 2 محاسبة1+ 97 اس��ت4 3، = ×235 × 82356= 94 + 1645 45 241× 9123 = 2198643 ⇒ 241 × 9123 = 2198643 كه كمك س��ادهتر ،ميتوان از ماشين البته×2براي اين + ) ) × (45 + 9123 گرفت5 . 5 =2 (241 حس��اب 8 5 2415673 459123 + 5673 5673 × 45 = 255285 ⇒ 56 7 3 × 45 = 255285 اعداد صفرهاي5سمت راست جا شوند، اين اعداد در ماشينحس��اب + 7 5 4× 45 7 7 9+ 241 × 9123 =1 241 5673 × 9123 = 51754779 را وارد ماشينحساب نميكنيم. 1 1 9 9 1 + 5673 × 3 4 457 7 9+ 5673 × 9123 1 8 4 5 5741956 ⇒574 241 +×1956 241 45 9183 = 1 =845 45 =+19183 845 × + 2 1 9 8 6 4 3 2141× 9123 ⇒ 241 × 9123 = 2198643 1 2 = 52198643 51 2 8 25 + 5 ÷ = 5 × = 1 +3 4 2 ⇒ 56173 × 45 = 255285 5673 ×245 = 255285 5 1 7 5 4 7 7 9 + ÷ 7 5673 × 9123 = 51754779 1 1 9 9 1 3 4 7 7 9 1 8 4 5
11
5741956 9183 = 574 + 1956 + 9183
2 1 9 8 6 4 3
1 2
1 2
2 1
2 55 ÷5 =25 8× 5= 1 + 3
5 1 7 5 4 7 7 9 3 4 7 7 9
9 1
7
9
+ 1 4
+ + ÷ 1 1
= 241 × 45 + 241 × 9123 + 5673 × 455 + 5673 × 9123 241× 45 = 1 845 ⇒ 241 × 45 = 1 845 241× 9123 = 2198643 ⇒ 241 × 9123 = 2198643 5673 × 45 = 255285 ⇒ 5673 × 45 = 255285
اكنون كافي است اين اعداد را با دست و به روش ستوني با هم 5673 × 9123 = 51754779 جمع كنيم.
8 4 5
1
2 1 9 8 6 4 3
+
2 5 5 2 8 5
+
5 1 7 5 4 7 7 9 3 4 7 7 9
9 1
+
9
1 1
5741956 9183 = 574 + 1956 + 9183 = 1 +3
2
× = 5
1
÷ 5
1
2415673×459123=1109091034779
.1اگر ظرفيت ماشينحس��اب شما هشت رقم است ،مطمئنترين راه اين اس��ت كه ارقام اعداد خ��ود را چهارتا چهارتا جدا كنيد.
2 5 5 2 8 5
+
5 1 7 5 4 7 7 9 براي مثال9 1 3 4 7 7 9
+ 1 1 9
5741956 9183 = 574 + 1956 + 9183
چرا اين روش مطمئن است؟
1 1 1 2 5 ÷ = 5 × = 1 +3 رقم باشد ،بهتر 2است 4 .2اگر ظرفيت ماشينحس��اب 1شما 2 12 ارقام 7
را چندتا چندتا جدا كنيد؟
÷
.3محاسبات زير را با كمك ماشينحساب معمولي انجام دهيد:
1
محاس��به را 4 2 بنابراين ما و ماشينحس��اب با 1 انجام كمك هم 2اين ÷ 7 داديم:
2 1 9 8 6 4 3
+
1127854×45632 7896566111×8
.4ن��ور در هر ثانيه مس��افت 299792458متر را ميپيمايد .به مقدار مسافتي كه يك سال طول ميكشد تا نور آن را بپيمايد، يك س��ال نوري ميگويند .با كمك ماشينحساب بگوييد يك سال نوري چند متر است؟ .5پروكس��يما قنطورس ،1نزديكترين س��تارة شناختهش��ده به منظومة شمسي ماست و با يك دوربين دوچشمي ميتوان آن را ديد .پروكس��يما قنطورس حدود 4/3س��ال نوري از منظومة شمسي فاصله دارد .اين فاصله چند متر است؟
پينوشت Centauri
1. Proxima
تا حاﻻ برايتاﻥ پيش ﺁمدﻩ است كه ماشينحﺴاب به ﺟاﻱ ﺟواب دادﻥ به سؤال شما ،ماﺕ و مبﻬوﺕ نگاهتاﻥ كند يا پيﻐامها و ﺟوابهاﻱ عﺠيﺐ و ﻏريﺐ بدهد؟
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
19
?
?
?
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻓﻦﺁﻭﺭﻱ
?
هما مﻠك
اس︐﹀اده از ﹞﹫︳ ﹛ـو﹎و )(Logo ︋ـرای ︑رس﹫﹜ ا︫﹊ال ه﹠︡س﹩ ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﻟﻮﮔﻮ ،ﺯﺍﻭﻳﺔ ﭼﺮﺧﺶ ،ﻧﺸﺎﻧﮕﺮ
لوگو يك زبان برنامهنويسي است كه در آن با دستورات سادهاي كه مينويسيم ،ميتوانيم اشكال مختلفي مانند اشكال زير را رسم كنيم.
شما ميتوانيد از طريق وبگاه http: //www.softronix.com/Logo.html از بخش setupkitنسخهاي از برنامة Logoبا نام Msw-logoرا دانلود كنيد و در رايانة خود نصب كنيد. وقتي برنامة Logoرا اجرا ميكنيد ،صفحهاي به شكل روبهرو مشاهده ميشود. اشكال در اين بخش كشيده ميشود دس��تورات برنامه را در اين قسمت مينويسيم و بعد از نوشتن هر دستور بايد كليد Enterصفحه كليد را فشار دهيم. 20
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
نشانة لوگو
در اين ش��ماره قصد داريم چهار دس��تور س��ادة لوگو را به شما آموزش دهيم.
حركت به ﺟلو
حركت به عقﺐ
براي حركت دادن نش��انة به س��مت عقب از دستور BKبا مشخص كردن تعداد قدمهاي حركت استفاده ميكنيم. 20
براي حركت دادن نش��انة به س��مت جلو از دس��تور FDبا مشخص كردن تعداد قدمهاي حركت استفاده ميكنيم. 20
بعد از اجراي دس��تور ،نش��انة پس از كش��يدن خط��ي به طول بيست قدم در اينجا قرار ميگيرد.
تعداد قدم فاصله
BK
تعداد قدم فاصله
FD
دستور حركت به جلو
قب��ل از اجراي دس��تور نشانة لوگو در اين بخش قرار داشته است.
دستور حركت به عقب
بعد از اجراي دس��تور ،نشانة لوگو در اينج��ا قرار ميگيرد و يك خط به طول 20قدم رسم ميكند.
چرخش به سمت راست
قبل از اجراي دس��تور، در اينج��ا نش��انة قرار داشته است. در صورت��ي كه رايان��ه در اختيار نداريد ،اجراي اين دس��تور را مانند شكل زير در كاغذ شطرنجي رسم كنيد.
به س��مت راس��ت از دستور RTبا براي چرخاندن نش��انة مشخص كردن زاوية چرخش استفاده ميكنيم. 90 زاوية چرخش به درجه
RT فاصله
دستور چرخش به راست
همانطور كه در ابتداي اجراي برنامه مش��اهده كرديد نش��انگر به سمت باال اشاره ميكند. دستور باال سر نشانة
را به اندازة 90درجه به سمت راست
ميچرخاند حاال اگر دس��تور FD100را در لوگو اجرا كنيد ،خطي به شكل زير رسم ميشود. ،1پاییز 1390 دورة هفدهم ،شمارة ،
راهنمایي
21
چرخش به سمت چﭗ
ب��راي چرخش نش��انة لوگو به س��مت چپ از دس��تور LTبا مشخص كردن زاويه چرخش استفاده ميكنيم. 45 زاوية چرخش به درجه
LT فاصله
دستور چرخش به چپ
دس��تور فوق ،نش��انة لوگو را به اندازة 45درجه به سمت چپ ميچرخاند. نشانة لوگو قبل از اجراي دستور نشانة لوگو بعد از اجراي دستور
حاال با يادگيري اين دس��تورات ميتوانيد اشكال متفاوتي مانند مستطيل ،مربع ،مثلث و ...را رسم كنيد. تمرين :دستورات مربوط به كشيدن يك مربع FD 100 RT 90 FD 100 RT 90 FD 100 RT 90 FD 100
اكنون با دستوراتي كه آموختهايد اشكال زير را رسم كنيد.
22
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﺑﺎﺯﯼ
بﻬزاد اسﻼمي مسﻠ ّم
︋ازی ﹁﹊ری ﹋وار︑و ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺑﺎﺯﻱ ﻓﻜﺮﻱ ﻛﻮﺍﺭﺗﻮ ،ﺻﻔﺤﺔ ﺑﺎﺯﻱ ،ﭼﻬﺎﺭ ﻛﺎﺭﺕ ،ﺭﺍﻳﺎﻧﻪ
ميخواهي�ﻢ ش�ما را ب�ا يك ب�ازﻱ ﻓكرﻱ به ن�ام كوارتو ﺁش�نا كنيﻢ .مخترﻉ اين بازﻱ دونفرﻩ ،بِلِ�ﺰ مول ِر ،رياﺿيداﻥ سوﺋيﺴي است .كوارتو ،با قطﻌههاﻱ چوبي بازﻱ ميشود ،اما ب�راﻱ اينكه كوارتو ب�ازﻱ كنيﻢ ،ﻓقﻂ ب�ه 16كارﺕ به همراﻩ ﺻفﺤ�ة چﻬارخانة 4×4نياز داريﻢ (اي�ن ﺻفﺤه بايد بهقدرﻱ بﺰرگ باش�د كه همة كارﺕها را بتواﻥ روﻱ ﺁﻥ ﺟا داد) .روﻱ هر كارﺕ ،ش�كلي هﺴت كه يا مربع است يا دايرﻩ .اين شكﻞ يا نارنﺠی است يا سياﻩ؛ و داخلش يا پر است يا سوراﺥ دارد؛ و شكﻞ روﻱ كارﺕ يا بﺰرگ است يا كوچك.
روﺵ و قانوﻥهاﻱ بازﻱ ابتدا با قرعهكشي معلوم ميكنيم كه نفر اول كيست .سپس نفر اول يك كارت به نفر دوم ميدهد (مث ً ال را) .نفر دوم ،كارت را هرجاي صفحه كه بخواهد ميگذارد.
س��پس نفر دوم ،يكي از كارتهاي باقيمانده را انتخاب ميكند و ب��ه نف��ر اول ميدهد (مث ً ال را) ،و نف��ر اول آن را در يكي از خانههاي خالي ميگذارد:
ﻛارﺕهاي بازي ﻛﻮارتﻮ
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
23
حاال دوباره نوبت نفر اول است كه بايد از كارتهاي باقيمانده، يك��ي را انتخاب كند (مث ً ال را) و به نفر دوم بدهد ،و بازي به همين ترتيب ادامه مي‌يابد.
كسي كه بتواند چهار كارت را در صفحة بازي پيدا كند كه الاقل از يك جنبة شكل ،يا اندازه ،يا رنگ يا سوراخ داشتن يا نداشتن ،شبيه به هم باشند ،برنده است .البته اين چهار كارت بايد در يك ستون عمودي يا در يك رديف افقي يا روي يكي از قطرهاي مربع باشند .كوارتو از اين نظر ش��بيه بازي دوز يا بازي x- oاست .اين چهار كارت را «كوارتو» مي‌ناميم .اس��م بازي از همين جا گرفته ش��ده است .بازيكني كه اين چهار كارت را پيدا ميكند ،ميگويد« :كوارتو!» و به اين ترتيب ،برنده ميشود .در هريك از مثال‌هاي زير ،كوارتو وجود دارد:
چهار كارت روي قطر ،همرنگ‌اند. 24
راهنمايي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
چهارتا كارت ستون عمودي ،سوراخ دارند.
چهار كارت رديف پايين ،بزرگ‌اند. توجه كنيد ،هركس��ي كه زودتر بگويد «كوارتو!» برنده اس��ت. براي مثال ممكن است من كارتي را بگذارم و كوارتو تشكيل شود، اما متوجه نش��وم و ش��ما كوارتو را ببينيد و بگويي��د «كوارتو!» و برنده شويد! همچنين ممكن است چند كوارتوي مختلف در صفحه ايجاد شوند.
ستون عمودي سمت راست :همگي سياه‌اند. ستون عمودي سمت چپ :همگي مربع‌اند. قطر :همگي كوچك‌اند.
حتي ممكن است چهار كارت وقتي روي يك رديف قرار بگيرند، از چند نظر كوارتو باش��ند! براي مثال هم شكلشان يكسان باشد و هم رنگشان ،مانند اين چهار كارت:
.5صفحة زير را در نظر بگيريد:
بازﻱ كوارتو با رايانه
شايد بدانيد كه براي بازي شطرنﺞ با رايانه ،برنامههاي رايانهاي متعددي وجود دارد .با اين برنامهها ،يكي از بازيكنها به جاي اينكه ّ انس��ان باشد ،رايانه است .در مورد كوارتو نيز چنين است .ميتوانيد برنامة Lineo-0.3- Install.exeرا از نشاني اينترنتي http/www.natsimhan.com/dim/1 دريافت كنيد و روي رايانهتان نصب كنيد و با آن ،بدون نياز به اينترنت ،كوارتو بازي كنيد. در اين برنامه ،همانند ش��كل اصلي بازي ،قطعهها در دو طول، دو رنگ و دو ش��كل موجودند و هر قطعه ميتواند س��وراخدار باشد يا بيسوراخ. راس��تي ،به نظر ش��ما اي��ن برنامه چط��ور كار ميكند؟ چگونه ب��ه رايانه ياد دادهاند كه در مقابل انس��ان ،كوارت��و بازي كند؟ اگر بخواهيد به كس��ي ياد بدهيد كه خ��وب كوارتو بازي كند ،به او چه پيشنهادهايي ميكنيد؟
ميخواهيم با گذاشتن يك كارت از بين كارتهاي باقيمانده ،يعني
كوارتويي در آن تشكيل دهيم .اين كارت چه كارتي ميتواند باشد؟ اگر بله ،چه كارتي؟ اگر نه ،چرا؟ .6در شروع بازي اگر شما نفر دوم باشيد ،آيا تفاوتي ميكند كه نفر اول چه كارتي را به ش��ما بدهد؟ اگر بله ،چه كارتي براي ش��ما مناسبتر است؟ اگرنه ،چرا تفاوتي ندارد؟ .7درابتداي بازي اگر ش��ما نفر اول باش��يد ،آيا تفاوتي ميكند كه چ��ه كارتي را به نف��ر دوم بدهيد؟ اگر بله ،چه كارتي را انتخاب ميكنيد؟ اگر نه ،چرا تفاوتي ندارد؟ .8صفحة زير را در نظر بگيريد:
مﺴﺌلهها
.1آيا ميتوانيد چهار كارت پيدا كنيد كه وقتي روي رديف قرارشان دهيم ،هم از نظر شكل كوارتو باشند و هم از نظر رنگ و هم از نظر اندازه؟ اگر بله ،مثال بزنيد .اگر نه ،چرا؟ .2آي��ا ميتوانيد چهار كارت پيدا كنيد ك��ه وقتي روي يك رديف قرارشان دهيم ،هم از نظر شكل كوارتو باشند و هم از نظر رنگ و هم از نظر اندازه و هم از نظر س��وراخدار بودن يا نبودن؟ اگر بله ،مثال بزنيد .اگرنه ،چرا؟ .3آيا ميتوانيد با 16كارت بازي ،تمام صفحه را پر كنيد بهطوري كه حتي يك كوارتو هم پيدا نش��ود؟ اگر بل��ه ،مثال بزنيد .اگر نه ،چرا؟ .4آيا ميتوانيد با 16كارت بازي ،تمام صفحه را پر كنيد بهطوري كه هر رديف افقي ،هر ستون عمودي و هر قطر ،كوارتو باشند؟ اگر بله ،مثال بزنيد .اگرنه ،چرا؟
? ميخواهيم از بين كارتهاي باقيمانده ،كارتي را در خانهاي كه با عالمت س��ﺆال مشخص شده اس��ت قرار دهيم ،تا كوارتو تشكيل ش��ود .كارت براي اين كار مناسب است .آيا كارت ديگري هم ميتواني��م براي اين كار انتخاب كنيم؟ اگر ن��ه ،چرا؟ اگر بله ،همة كارتهايي را كه مناسباند ،پيدا كنيد. دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
25
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﺑﺎﺯﯼ
ﻋﻠي مﺒیﻦ
︋ازی ا︮﹏ ︲ربها )دو ن﹀ره( ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺑﺎﺯﻱ ﺭﻳﺎﺿﻲ ،ﻣﻀﺮﺏ ،ﻣﻘﺴﻮﻡ ﻋﻠﻴﻪ
وسایﻞ ﻻزﻡ
(يك صفحة بازی و تعدادی مهره در دو رنگ (هر رنگ برای يك بازيكن).
شرﺡ بازﻯ
* در ابت��دای بازی ،بازيك��ن اول و دوم و رنگ مهرههای هريك با قرعهكشی انتخاب میش��ود و هر بازيكن يك مهره روی يكی جدول زير صفحة بازی از اع��داد 1تا 9در ِ قرار میدهد. * س��پس بازيكن دوم ،ي��ك مهرة خود را در خانهای از صفحة بازی كه برابر حاصل ضرب اين دو عدد است ،قرار میدهد. * پ��س از آن بازيك��ن اول ،میتواند جای يك��ی از مهرههای پايي��ن صفحه را تﻐيير دهد و آن را روی يكی ديگر از اعداد پايين صفح��ه بگذارد و س��پس حاصل ضرب دو عدد مش��خص شده در پايين را در صفحة ب��ازی پيدا كند و ي��ك مهرة خود را روی آن قرار دهد. * بازی به همي��ن ترتيب و به نوبت ادامه میيابد ،بازيكنی كه زودتر از ديگری چهار مهرة رنگ خود را به صورت افقی ،عمودی يا م��ورب كنار هم قرار ده��د ،برندة بازی است. 26
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
6
5
4
3
2
1
12 14
10
9
8
7
21 24
20
18
16
15
32 35
30
25 27 28
42 45 48 49
40
36
64
60
56
54
6 6
5 5
72 81 9 9
ﺻفﺤة بازﻯ ﺣاﺻﻞضرﺏها
8 8
7 7
4 4
3 3
2 2
1 1
ﺻفﺤة بازﻯ ﺣاﺻﻞﺟمﻊها:
تﻮضیﺤاﺕ • در ه��ر خانه از صفحة ب��ازی تنها يك
مهره قرار میگيرد و اگر بازيكنی در نوبت خ��ود حاص��ل ضربی را بس��ازد ك��ه خانة متناظر با آن قبال پر شده باشد ،نوبتش را از دست میدهد. • به جای مهره میتوانيد از دو مداد رنگي با دو رنگ مختلف ب��رای پركردن خانهها استفاده كنيد. • بازی حاص��ل جمعها نيز ش��بيه بازی حاصل ضربها است .فقط صفحة بازی آن متفاوت است.
5
4
3
2
10
7
10
12
6
8
11 14 18 13
9
17 15
10
16
12
7
5
9
6
5 5
4 4
10 9 9
8 8
7 7
6 6
3 3
2 2
1 1
منبع 1. Math Games For Skills and Concepts Original material ©2001-2006, John Golden, GVSU
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
27
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﺑﺎﺯﯼ
ﻋﻠﻰ مﺒیﻦ
پازل از نو︻ ﹩دیگر: ﹞︧﹫ر پ﹫︘ در پ﹫︘ در هر صفحه با وصل كردن نقاط به هم يك مسير پيچ در پيچ با شرايط زير رسم كنيد: * در هر صفحه بايد تنها يك مسير بستة بدون تقاطع ايجاد شود. * اين مسير بايد از پارهخطهای افقی و عمودی تشكيل شود. * تعداد پارهخطهايی كه هر خانة شمارهدار را احاطه میكنند بايد برابر عدد نوشته شده در آن خانه باشد. * هريك از خانههای بدون شماره میتواند با 2 ،1 ،0يا 3پارهخط احاطه شود. هر پازل يك پاسخ يكتا دارد كه بدون حدس و آزمايش میتوان آنرا يافت! برای شروع میتوانيد يك Xكوچك بين دو نقطهی مجاور كه امكان اتصالشان با توجه به شرايط مسئله وجود ندارد ،قرار دهيد. منبع اين نوشتار ،پازلهای بسياری از اين دست را به صورت رايگان در اختيارتان قرار میدهد. منبع 1. http://www.krazydad.com/slitherlink
28
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
مﺴير پيﭻ در پيﭻ 2
مﺴير پيﭻ در پيﭻ 1
مﺴير پيﭻ در پيﭻ 4
مﺴير پيﭻ در پيﭻ 3
مﺴير پيﭻ در پيﭻ 6
مﺴير پيﭻ در پيﭻ 5
. . . . . . . . . . . . 1. .2. . .3 . 2.3 . . .2 . . .2 . 1 .3 .0 .3 . . . . . 1 . . . .2 . . . . .2 .0 .2 .2 . 1 . . . 1 . . .3 .2 .2 . . .2 . .2 . . . .
. . . . . . . . . .2. .2. . . . .2. 2. . . .2.2 . .2.3. 1 .2 .2 . .2 . .2 . .3 . .2 . .3 . .3 . . 2 . 1 .3 .2 . 1 . . 2 . 1 . . . .0 .2 . . . . .3 . .3 . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1. .2.2.2 . .3 .3 . .2 . . . 2 .0 . 2 . 1 . . . .2. .2 . . . . 1 . 1 .3 .2 . . .3 . .3 .2 . .2 .2 . 1 . .2 .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . .3 .3 .3 . 2. . .3 . 1. .0 . . . . .1. . .2. . .1. .2. .2 .0 . . . . . . . . 1 .2 .3 .3 . . .3 . 1 . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . .2 . . 2 .0 .3 . 2 .3 . 2 .3 . .2.1 . .2.2.2. . .3. . . . 1 . . . .2. . . .1. .1 . .2. 1 .3 .2 .2 . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3 . . .3 . . 1 . 1 . 2 . . .0 . . . . . . 2 .3 . . . .2. .2 .1 . . . .0 . 1 . .3 . . . .2. .1 . . . .2 .3 . 2 .3 .3 .
پاسﺦ در ﺻفﺤة 45همين مﺠله دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
29
ء زاوی﹤ ن︪︧︐﹟
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﮐﺎﺭﺑﺮﺩ
سﻜینﻪ بماﻧیاﻥ
ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻧﺸﺴﺘﻦ ،ﻣﻔﺎﺻﻞ ،ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻛﻤﺮﻱ ،ﻧﺎﺣﻴﺔ ﻛﻤﺮﻱ،
ام��روزه بس��ياري از كاره��ا به ص��ورت نشس��ته و روي صندل��ي انجام مي ش��ود (مانن��د كار با رايانه ،بانك ،بيش��تر كاره��اي اداري و .)...بي گم��ان طرز نشس��تن هر ش��خص مي توان��د ب��ه وي كمك كند ت��ا راحت تر به انج��ام كارهاي خوي��ش بپردازد و نيز س��المت خود را حفﻆ كن��د .انتخاب يك صندلي مناس��ب (ب��ا توجه به وضعيت صحيح نشس��تن) آرامش ف��رد را تأمين مي كند و در نتيجه كارآيي او بيش��تر مي ش��ود .اما آگاهي نداش��تن از نشس��تن صحي��ح و انتخاب صندل��ي نامناس��ب ،آس��ايش كاري فرد را به ه��م مي زند و فرد زود خس��ته مي ش��ود. آيا شما ميدانيد چه زوايايي را در هنگام نشستن روي صندلي و انتخاب صندلي بايد در نظر گرفت؟ 30
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
◦60 60
◦80
30سانتيمتر
◦40
◦30
65
سانتيمتر
◦60 ◦60
وﺿﻌيتهاﻱ درست نﺸﺴتن
«بازوها در كنار بدن انسان باشد. � زاويه مفاصل ران با تنه بيشتر از 90درجه باشد. � كف صندلي حدود 3تا 5درجه به س��مت عقب شيب داشته باش��د تا از ُس��ر خوردن جلوگيري كند و تكيه بر پشت آن راحتتر باشد]2[.
◦-5
براي آنكه يك فرد با قد 180سانتيمتر ،چشمان خود را در فاصله 30سانتيمتري كتابي روي يك ميز به ارتفاع 70سانتيمتر قرار دهد، بايد پش��ت او 75درجه خم شود .اگر ارتفاع ميز 90سانتيمتر باشد، كافي است تا پشت شخص 50درجه خم شود .حال اگر ميز شيبدار (زاويهدار) باشد ،خم شدن وي ديگر الزم نيست.
◦50
90سانتيمتر
?
◦5
◦65
ء ︫﹝اره (٥٨ ) از
�1مﺜل�ﺚ ﺟادويي :مثلثهاي زي��ر راهحلهاي جمع 17و 20را نشان ميدهند.
◦35
80سانتيمتر
پاسخ ﹞︺﹝اهای ︋﹊ر ︋رای ︑ا︋︧︐ان
ﻋﻠیرضا یﻮسفﻰ
◦15
?
◦15
◦25
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺴﺌﻠﻪ
?
?
از عوام��ل مه��م ديگر در اي��ن مورد ،وضعيت تكيهگاه اس��ت. چنانكه قد يك فرد را 180س��انتيمتر در نظر بگيريم معموالً فرد به هنگام نشس��تن روي صندلي حدود 30درجه از ناحية كمر خم خواهد شد ،بيش��ترين خم شدگي به دور مهرههاي چهارم و پنجم كمري صورت ميگيرد. براي آنكه هنگام نشستن روي يك صندلي داراي شيب رو به عقب محور بدن قاﺋم باش��د ،مفصل كمري بايد حدود 35درجه خم ش��ود حال آنكه اگر صندلي از 5درجه شيب رو به جلو برخوردار باشد ،فرد ميتواند تنها با 25درجه خمش كمري بنشيند .اين زاويه را با استفاده از شيب 15درجه به -5درجه ميتوان كاهش داد]1[ .
5
2
7
6
9
5 1
3 8
4
4
3
9 1 8
7 6
3
2
◦75
70سانتيمتر
◦60
45سانتيمتر
7
9
6
1
�2توپب�ازﻱ دختربﭽهها :ش��كل زير ب��ازي با توپ 13 دختر بچه را نش��ان ميدهد .اگر با جا گذاش��تن 5دختر بچه بازي را ادامه دهند ،توپ به همة 13دختر بچه ميرس��د و همة 13نفر بازي ميكنن��د .اگر 6نفر را در جهت مخالف جا بگذارند نيز ،همة دختر بچهها بازي ميكنند و توپ به همة آنها ميرسد. 7
9
11
13
2 4
5 30سانتيمتر
8
4
2
5
3
6 1
10 12
8
4 �3خط مس��تقيم (راس��ت) .ش��كل زير يك راهحل را نشان ميدهد.
پس مالحظه ميشود كه ميتوان با بررسي وضعيت زواياي بدن ميزان كارآيي وي را در هر وضع افزايش داد. منابع
.1خبرنامه صنايع آموزشي سال تحصيلي ،75�76 ،شماره چهارم. .2بهداش��ت و سالمت ستون مهرهها ،شهره نوريزاده دهكردي ،دكتر اسماعيل ابراهيمي و ...ناشر :دانشگاه علوم پزشكي و خدمات بهداشتي و درماني ايران.
بقيه در ﺻفﺤة 43همين مﺠله دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
31
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﮐﺎﺭﺑﺮﺩ
ﺣسیﻦ ﻧامي ساﻋي
س﹀ر ︋﹤ دور دن﹫ا ︋ا نان ﹛واش ﻛﻠﻴﺪﻭﺍژﻩﻫﺎ :ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩﻱ ،ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎﺏ ،ﺍﻋﺪﺍﺩ ﺑﺰﺭگ ،ﻣﺼﺮﻑ ﻭ ﺻﺮﻓﻪﺟﻮﻳﻲ
اگ��ر به دورو بَرمان خ��وب نگاه كنيم ،رياضي��ات را در همهجا ميبينيم .باور كنيد رياضيات در هر جايي هس��ت؛ در دنيا ،آخرت، حال سكون و حركت؛ در زمين ،آس��مان ،دريا و خش��كي و .....؛ در ِ ميوهفروشي ،عطاري ،بقالي ،چقالي و حتي در نان و نانوايي! الاقل هرجا عددي هست ،رياضيات هم آنجا هست ،حتي اگر اين عدد با عينك ،ﺫرهبين ،ميكروسكوپ ،تلسكوپ و غيره ديده شود. بگذري��م .بيايي��د ردپاي اين موجود زي��رك را در نان و نانوايي دنبال كنيم تا ببينيم در آنجا چهكار ميكند. موضوع از اين قرار اس��ت كه چند وقت پيش يكي از روزنامهها را ورق م��يزدم كه اتفاقي خبري را در گوش��ة يكي از صفحات آن دي��دم .خبر اين بود« :هر خانوادة 4نفرة ايراني به طور ميانگين در روز 10عدد نان لواش مصرﻑ ميكند». خب��ر باحالي بود! مخصوصاً اگر آدم گرس��نه هم باش��د .به اين دس��ته از خبره��ا ميتوان فكر كرد و به قول مع��روﻑ «مو را از نان بيرون كشيد ».البته ببخشيد «مو را از ماست بيرون كشيد». خالصه ،مداد و ماش��ين حس��اب و خطكش را برداش��تم و به 32
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
س��راغ اين خب��ر رفتم و اينطوري حس��اب و كتاب كردم: هر 4نفر 10نان ،به عبارتي هر نفر 10÷4 يعني 2/5عدد نان .طبق آخرين آمار ،جمعيت ايران در سال 1390حدود 75ميليون نفر است (البته دستكم). بنابراين در كش��ور ما هموطنان عزيزم��ان روزانه حدود 75000000×2/5=187500000 صد و هش��تاد و هفت ميلي��ون و پانصد هزار عدد نان ميخورند. بدون احتساب سال كبيسه ،هر سال 365روز است. پس در يك سال: 187500000×365=68437500000 شصت و هش��ت ميليارد و چهارصد و سي و هفت ميليون و پانصد هزار عدد نان در كشور خورده ميش��ود .قيمت هر عدد نان ل��واش با كيفيت! 125
تومان است .پس ملت ايران هر سال 68437500000×125=8554687500000 هش��ت بيليارد و پانص��د و پنجاه و چهار ميليارد و شش��صد و هش��تاد و هفت ميلي��ون و پانصد هزار تومان پ��ول بابت خريد نان ل��واش ميپردازند .ميدانيد اين مبلﻎ يعني چه؟ از يك تا 8بيليارد بشماريد و حساب كنيد براي اين شمارش چقدر وقت الزم است؟! ﺳﺆﺍﻝ .1حساب كنيد اگر هر نفر ايراني در هر روز بهجاي 2/5 ن��ان 1/5 ،نان بخ��ورد ،در نتيجه چه مبلﻐي در روز ،ماه و سال در كشور صرفهجويي ميشود .پيشنهاد بدهيد با مبلﻐي كه از اين صرفهجويي به دست ميآيد چه كارهايي ميتوانيم انجام دهيم .براي مثال چند مدرس��ه بس��ازيم ،چند سالن ورزشي احداث كنيم ،چند خانه بنا كنيم و ... برگ�ردي��م ب��ه ادام������ة محاسباتمان: دانش��مندان محاس��به كردهان��د كه محيط ك��رة زمي��ن روي نصفالنهار 39944 كيلومتر وبر روي دايرة اس��توايي 40073كيلومتر 1 است. در محاس��بات قبلي حس��اب كرديم كه ساالنه حدود 68،437،500،000ع��دد نان در كش��ور مصرﻑ ميش��ود .با خطكش اندازه گرفتم كه طول متوس��ط يك نان لواش حدود 60س��انتيمتر اس��ت .خوب كه چي؟! يعن��ي اگر مصرﻑ نان لواش در يك س��ال را در 60س��انتيمتر ضرب كنيم طول نان مصرﻑشده در طي يك سال به صورت زير به دست ميآيد 68437500000×60=4106250000000 يعني چهار بيليارد و صد و ش��ش ميليارد و دويست و پنجاه ميليون سانتيمتر .ميدانيم هر كيلومتر 1000متر و هر متر 100سانتيمتر است .بنابراين با تقسيم 4،106،250،000،000بر ،100000طول نان مصرفي در كشور در طول يك سال بر حسب كيلومتر خواهد شد =41،062،500
4106250000000 100000
چهل و يك ميليون و شصت و دو هزار و پانصد كيلومتر ح��اال اگر اين عدد را بر محيط اس��توايي زمين تقس��يم كنيم، خواهيم داشت 41 625 = 1 24 / 69 1 25 4 73 }A = {a ,b,c,7,3,13
2
cm
−16
33 {c,d,13,25,31390 دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز } راهنمایي= B −8 2
2
S = πrr = 3 / 14 × ( / 5 × 1 ) = / 785 × 1 2
S = a.b = 29 / 7 × 21 = 623 / 7cm
يعني تقريباً هزار و 25كيلومتر ميدانيد اين عدد يعني چه؟ يعني اگر نان مصرفي در كشورمان در يك سال را پشت سر هم قرار دهيم ،هزار و بيست و پنﺞ مرتبه كرة زمين را دور ميزنيم .تازه اين دورها بدون محاسبة مصرﻑ نان بربري ،نان سنگك ،نان تافتون و غيره است. ﺳـﺆﺍﻝ .2مس��احت كرة زمين را بيابيد و محاس��به كنيد در يك س��ال نان مصرفي در كشورمان چه س��طحي از زمين را ميپوشاند 2 (مساحت هر عدد نان لواش حدود 70سانتيمتر مربع است). ﺳﺆﺍﻝ .3چند ماه پيش يك مرتبه نان 100توماني شد 125تومان. حساب كنيد اين افزايش 25توماني در سال با در نظر داشتن هر نفر 2/5نان در روز براي 75ميليون نفر چه مبلﻐي ميشود؟ پينوشت .1نصفالنهارها دواير فرضي هستند كه از دو قطب زمين ميگذرند و به دور
كرة زمين و به صورت عمود به استوا رسم ميشوند. قط��ر داي��رهاي كه از نصفالنهار ميگ��ذرد برابر با 12721كيلومتر اس��ت، بنابراين محيط كرة زمين واقع بر روي نصفالنهار برابر است با: = قطر دايره نصفالنهار × =3/14محيط كرة زمين بر روی نصفالنهار 3/14 × 12721 =39943/94 كه تقريباً برابر با 39944كيلومتر است. به همين ترتيب ،قطر دايرهاي كه از اس��توا ميگذرد برابر 12762كيلومتر است كه با اين حساب ،محيط دايرة استوايي زمين به شكل زير به دست ميآيد = قطر دايرة استوايی × =3/14محيط كرة زمين بر روی دايرة استوايی 3/14 × 12762 =40073/68 كه تقريباً برابر با 40073كيلومتر است. =3/14×12762 = 40072/68 .2براي محاس��بة مس��احت ك��رة زمين فرض ميكنيم ك��ه زمين يك كرة ايدهآل باش��د .در اين ص��ورت قطر زمين حدود 13000كيلومتر و ش��عاع آن 6500كيلومتر است .بنابراين مساحت كرة زمين برابر است با: (2شعاع)× =4×3/14مساحت كرة زمين =4×3/14×)6500(2=530660000 يعني 530660000هزاركيلومتر مربع
البته مس��احت يك نان لواش حدود 70س��انتيمتر مربع است كه بايد اين مساحت را بر حسب كيلومتر مربع حساب كنيم .براي انجام اين محاسبه به شكل زير عمل ميكنيم: ميداني��م كه ه��ر كيلومتر 1000متر و هر متر 100س��انتيمتر اس��ت بنابراين 1كيلومتر 100000سانتيمتر است. كيلومتر ×1كيلومتر ×1سانتيمتر مربع 70 سانتيمتر ×100000سانتيمتر 100000 كيلومتر ×1كيلومتر ×1سانتيمتر مربع 70 سانتيمتر مربع 10000000000 70
=
كيلومتر مربع 10000000000 كيلومتر مربع = 0/000000007 ب��ه عبارتي هر 70س��انتيمتر مربع برابر ب��ا 0/000000007كيلومتر مربع است.
34
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
=
ﮔﻔﺖ ﻭ ﮔﻮ
شادي بﻬاري
﹛︺اب ︫﹫ری︋ ﹟رای درسهای ︑﹚خ پای ︮︊️ ︧ ﹟ن︭﹫رن﹫ا ،ه﹝﹊ار ﹇︡ی﹝﹤﹚︖﹞ ﹩
ﺁق�اﻱ نﺼيرني�ا ،خوانن�دﮔاﻥ بره�اﻥ راهنمايي ،نام ش�ما را در اﻏلﺐ شمارﻩهاﻱ اين مﺠله ديدﻩاند و مطالﺐ ترﺟمه شدﻩ توس�ﻂ شما را كه سبك خاﺻ�ي دارند ،مطالﻌ�ه كردﻩاند .براﻱ اينكه طرﻓداراﻥ مطالﺐ ش�ما با ش�ما پيشتر ﺁش�نا ش�وند ،كمي خودتاﻥ را مﻌرﻓ�ي كنيد و بگوييد چهطور ش�د كه به ترﺟمة كتابهاﻱ رياﺿي ﮔرايش پيدا كرديد؟ در پاس��خ به اين پرسشتان ،همين قدر بگويم كه پس از گرفتن ديپلم رياضي در سال 1345در امتحان ورودي دانشكدة ادبيات دانش��گاه فردوس��ي (مشهد) در رش��تة زبان انگليسي قبول شدم .پس از گذراندن دورة چهار سالة دانشكده ،دورة خدمت نظام را هم پش��ت سر گذاشتم .با اينكه كار فرهنگي را دوست داشتم و هنوز هم دوس��ت دارم ،چون به كار تدريس عالقه نداشتم ،ترجيح دادم در آموزش و پرورش اس��تخدام نش��وم .بنابراين ،در جس��تو جوي كار كه بودم س��ر از ادارة خارجة يكي از بانكهاي خصوصي ته��ران درآوردم .كار ك��ردن در آن بانك برايم ه��م فال بود و هم تماشا .چون ضمن اينكه س��رگرم كار بودم ،تنها مترجم ورزيده و كارآمد ادارة خارجه كه ش��ور و اش��تياقم به كار به خصوص ترجمة متنه��اي بان��كداري و تنظيم مكاتبات با خارج را ديد ،بس��ياري از كاره��ا را به من محول ميكرد و آخر س��ر ه��م آنها را ويرايش ميكرد .پس از نزديك به يك سال همكاري با بانك ،چون موقعيت شﻐلي بهتري يافتم ،اس��تعفا كردم .كارشناسان سازمان ملل (فاﺋو) مستقر در «وزارت تعاون و امور روستاها» براي ترجمة گزارشهاي پﮋوهش��ي خود در ايران نياز به مترجم داش��تند .براي همكاري با
آنان به آنجا رفتم و س��ه سال كار كردم .سرانجام، به «سازمان ملي سوادآموزي» رفتم و به عنوان مترج��م رس��مي كارشناس��ان س��ازمان ملل (يونسكو) اس��تخدام شدم .سه سال بعد ،پس از پيروزي انقالب اس��المي به دفتر انتشارات كمك آموزشي وابس��ته به سازمان پﮋوهش و برنامهريزي آموزشي منتقل شدم .ازآغاز فعاليت مجلة رش��د تكنولوژي آموزشي تا سال 1380كه بازنشس��ته ش��دم ،به عنوان مدير داخلي با دكتر عادل يﻐما س��ردبير فرهيخته و شايستة مجله همكاري ميكردم .ناگفته نماند كه در دو س��ال آخر خدمت��م كار ويرايش مجله هم به عهدة من بود. در سالهاي آخر دبيرستان كه بودم به معماها و سرگرميهاي علمي و رياضي دلبس��ته شدم و هر كجا مطلبي در اين زمينه چاپ ميشد با اشتياق ميخواندم .بعدها كه به كتابهاي ارزشمند استاد پرويز ش��هرياري دسترس��ي يافتم آنها را ه��م ميخواندم .در نيمة دوم ده��ه 1360كت��اب جالب توجهي به زبان انگليس��ي با عنوان «بازيهاي رياضي و منطقي» به دس��تم رس��يد كه اثر روانشناس و رياض��يدان ايتاليايي فرانكو آگوس��يتني بود .اين كتاب را پس از ترجمه ،براي چاپ به انتش��ارات فاطمي سپردم كه در سال 1368 منتشر شد. مطالبي كه ش�ما ترﺟم�ه كردﻩايد ،اﻏل�ﺐ مربوﻁ به موﺿوعاتي است كه ﺁﻥ را »سرﮔرميهاﻱ رياﺿي« مينامند. چرا اين مطالﺐ را براﻱ ترﺟمه انتخاب ميكنيد؟ در سال اول دانشكده ،استاد فرهيختهاي داشتيم كه متون دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
35
ادبي تدريس ميكرد .او ميگفت «درس مانند داروي تلخي اس��ت كه بايد آن را داخل كپس��ول ريخت ،دور آن را لعاب شيرين داد و در دهان دانشجو گذاش��ت!» استاد روشنبين ما ،به واقع اين اصل را ب��اور داش��ت و به آن عمل ميكرد .او ب��ا مهارت خاصي درس را با چاش��ني طنز درهم ميآميخ��ت و با لحن و كالم دلپذيري آن را اراﺋه ميداد .من سالهاس��ت كه بنا به انگيزه و عالقة ش��خصي و تا اندازهاي با الهام از اين س��خن پرمﻐز اس��تاد ،در اوقات فراغتم ،به عنواﻥ كارﻱ ﺫوقي ،سرگرميهاي رياضي و علمي ترجمه ميكنم و آنها را در نش��رياتي كه مخاطبش��ان بيش��تر نوجوانان ،جوانان و معلمان هستند ،منتشر ميكنم.
مارتين ﮔاردنر ،يكي از اﻓرادﻱ اس�ت كه شما مطالﺐ بﺴيارﻱ از او را به ﻓارسي برﮔرداندﻩايد ،ميدانيد كه ﮔاردنر، س�ال ﮔﺬشته از دنيا رﻓت .ﺟايي خواندم كه او نيﺰ مانند شما رياﺿيداﻥ نبود ،اما به رياﺿياﺕ و علوم عﻼقة بﺴ�يار داشت و نق�ش مؤﺛرﻱ در اين كه رياﺿي ،عمومي ش�ود ،بازﻱ كردﻩ است .چهطور شد با وﻱ و ﺁﺛار وﻱ ﺁشنا شديد؟ مارتين گارنر ،انديش��مند صاحبنظر در آموزش علوم ،عالوه بر س��رگرميهاي رياض��ي ،در زمينههاي گوناگون كت��اب و مقاله مينوشت .شايد شهرت گاردنر بيشتر زاييدة ستون «سرگرميهاي رياضي» مجلة معتبر س��اينتيفيك امريكن باشد كه مدت بيست و پنﺞ س��ال تهيه و تنظيم آن را به عهده داشت .من از طريق همين مجله بود كه با نام و مقاالت او آشنا شدم .در نيمة دوم دهة 1360 در مجلة علمي ديس��كاور آگهي پيشفروش��ي يك��ي از كتابهاي در ش��رﻑ انتش��ار گاردنر را ديدم .ترجمة عن��وان كامل اين كتاب
در سال اول دانﺸكدﻩ ،استاد ﻓرهيختهاﻱ داشتيﻢ كه متوﻥ ادبي تدريس ميكرد .او ميﮔفت »درﺱ مانند داروﻱ تلخي است كه بايد ﺁﻥ را داخﻞ كﭙﺴول ريخت ،دور ﺁﻥ را لﻌاب شيرين داد و در دهاﻥ دانﺸﺠو ﮔﺬاشت!« «معماهاي ابوالهول و ديگر داس��تانهاي معماآميز رياضي» است. كتاب را از طريق پس��ت س��فارش دادم و ناشر خارجي آن را برايم فرس��تاد .اين كتاب ش��امل مقاالتي است كه گاردنر در يك دورة دهساله در ستون معماهاي «مجلة علمي � تخيلي آيزاك آس��يموﻑ» درج كرده اس��ت .ترجمة معماهاي ابوالهول را «مركز نش��ر دانشگاهي» در س��ال 1370منتشر ك��رد .در ضمن اس��تاد فرزان��ه و گرانقدر زندهي��اد دكتر محمد هادي ش��فيعيها بر من من��ت نهاده ،آن را ويرايش كرده است.
36
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
كدامي�ك از كتابه�ا ي�ا ك�دام مطل�ﺐ از مي�اﻥ ترﺟمههايتاﻥ را بيﺸتر از بقيه دوست داريد و چرا؟ كت��اب معماهاي ابوالهول را به دو دليل از س��اير كتابهاي انگشتش��ماري كه ترجمه كردهام ،بيشتر ميپس��ندم؛ اول اينكه نويسندهاش توانس��ته اس��ت با برخورداري از قوة تخيل خود ،يك مجموع��ه معماهاي داس��تانگونة كمنظير بيافرين��د .دوم اينكه او موفق ش��ده است با انبوه نوشتههاي متنوع خود تأثيري الهامبخش بر رياضيدانان و دانشمندان علوم بگذارد( .احاطة گاردنر بر ادبيات پربار انگلس��تان كه در بخش��ي از كتاب معماهاي ابوالهول به چشم ميخورد ،به راستي ستودني است!) از اينك�ه با حوﺻله به پرس�شهاﻱ ما پاس�ﺦ داديد، بﺴيار سﭙاسگﺰاريﻢ.
.3سرگرميهاي علمي و آموزشي (جلد اول) .انتشارات مدرسه. براي دانشآموزان راهنمايي ،دبيرستان و دبيران؛ .4سرگرميهاي علمي و آموزشي (جلد دوم) .انتشارات مدرسه. براي دانشآموزان راهنمايي ،دبيرستان و دبيران؛ .5منطق خود را بيازماييم .انتشارات مدرسه .براي دانشآموزان راهنمايي و دبيرستان؛ .6درك مفاهيم رياضي از طريق بازيهاي آموزش��ي .انتشارات مدرسه .براي دانشآموزان راهنمايي؛ .7معماه��اي المپي��ك انديش��ه .انتش��ارات مدرس��ه .ب��راي دانشآموزان راهنمايي؛ .8آم��وزش رياض��ي پاي��ه ،ب��ه روش يادگيري فع��ال (از راه سرگرمي) .انتشارات مدرسه براي كودكان پيشدبستاني و مربيان.
ﻓﻬرس�ت كتابهاﻱ ترﺟمهشدﻩ توسﻂ ﺁقاﻱ نﺼيرنيا در زمينة رياﺿياﺕ و علوم .1بازيه��اي رياض��ي و منطق��ي .انتش��ارات فاطم��ي .براي دانشآموزان دبيرستان و دبيران؛ .2معماهاي ابوالهول .مركز نش��ر دانشگاهي .براي دانشآموزان دبيرستان و دبيران؛
من سالهاست كه بنا به انگيﺰﻩ و عﻼقة شخﺼي و تا اندازﻩاﻱ با الﻬام از اين سخن پرمﻐﺰ استاد ،در اوقاﺕ ﻓراﻏتﻢ ،به عنواﻥ كارﻱ ﺫوقي، سرﮔرميهاﻱ رياﺿي و علمي ترﺟمه ميكنﻢ و ﺁنﻬا را در نﺸرياتي كه مخاطبﺸاﻥ بيﺸتر نوﺟواناﻥ ،ﺟواناﻥ و مﻌلماﻥ هﺴتند ،منتﺸر ميكنﻢ
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
37
?
?
?
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺴﺌﻠﻪ
?
مترﺟم :سﭙیدﻩ ﭼمﻦﺁرا
س﹣الهای ﹞︧ا︋﹆﹤ ریا︲ ﹩اس︐را﹛﹫ا
(AMC ))AMC
در اين ش�مارﻩ ،س�ؤالهاﻱ چند ﮔﺰينهاﻱ مﺴابقة رياﺿي استراليا براﻱ پايههاﻱ دوم و سوم راهنمايي را كه در مرداد سال 2010برﮔﺰار
ش�د ميبينيد .پاس�ﺦنامة ﺁﻥ به همراﻩ توﺿيﺢ راﻩحﻞ تﻌدادﻱ از سؤاﻻﺕ ﺁﻥ نيﺰ در همين شمارﻩ به چاپ رسيدﻩ است .در شمارﺓ ﺁيندﻩ،
8 1 سؤال تﺸريﺤي همين مﺴابقه براﻱ پايههاﻱ دوم و سوم راهنمايي را خواهيد3ديد3 . 9 2
پرسشهاي 1تا ،10 (هرﻛداﻡ 3امتیاز)
حاصل 27+48-37چيست؟ .1 ِ ب) 38 الف) 32 ت) 52 پ) 48 ث) 68 .2مقدار 22+33چهقدر است؟ ب) 10 الف) 31 ت) 25 پ) 11 ث) 17
1
3
4 1
2
3
5
3 1
6
3 1
2
3
− 1
1 6
4+
3.7قسمت 2تيره در شكل زير،
1
مستطيل
1 .4ي��ك جلس��ة 1 55 س��اعت دقيقهاي8 ،در 4 3 3 جلسه در 3 10:05صبح پايان يافت 2.اين 9 چه 3 2 1 1 21 ساعتي آغاز شده بود؟ 3 1تا اين2 1قسمت2 1تيره، شكل 2حاصل باشد؟ 72 1 45 الف) 9:15صبحب) 9:20صبح3 5 1 3 1 21 PX = 3 + ( × 2 ) = + ( × ) = 4 1 2 21 21 2 2 2 پ) 9:10صبح ت) 9:50صبح4 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 3 21 ث) 10:50صبح PY = (3 + 2 + 1 ) = (7 ) = 3 52 24 3 1 22 4+ − 3 3 كاشي سفيد 1بايد برداريم است. 1 چند 6 1 3 بزرگ 6 3 5
3 2 2 1 21 21 27 2 1 5 4 PX = 3 + ( × 2 ) = + ( × ) = 4 3 23 2 2 2 2 2 4 XY = 4 − 3 = 1 .5مقدار 2010-20/10چهقدر است؟ 1 1 3 1الف)4 1 41 21 ب) 3 PY = (3 + 2 + 1 ) = (7 ) 199 ب) = 3 0/9 الف) 1990/09 x +2y = 23 + 42= 7 4 پ) x + y = 3 +22 =25 42ت) 6
پ) 1989/09
ت) 1989/9
2 (8 × XY = 42cm ث))4) + =(44×32)−+3(32 ×7=11 ث) 1998/9 4 4 1 2 × 4x×+14y == 28 x=+1y4cm = 3+4 = 7 هاي3 + اتوبوس= 2 542 − 28.8 واح��د ،طي روز، ش��ركت 2 5 2 1 8 1 1 2 گزينههاي 3 يك از 3 .6كدام 4 3 .3در شكل زير x ،چند درجه است؟ 3 زير با 4 +2 − 2cm ( ) ( ) ( ) × + × + × = 8 4 4 2 2 1 42 ايس��تگاه نزديك mبا معين−در5 x + 5 x زماني25 = 1 فواصل x − 25 = 125 6 3 6 3 3 2 است؟ 9برابر ب) 40 الف) 15 m منزل م��ن توقف ميكنند1. اكنون س��اعت 2 1 1 1 x = 15 × 4 × 14 = 28 42 − 28 = 114cm1 2 3 ت) 75 پ) 55 2 15اتوبوس 6 آخرين 12 1 822 154 1 23:25 5 5 23 2 1 8 1 اس��ت+و + 15 بعدازظهر 5 + 1 + ب) الف) 4 3 3 4 1+ +5− = 6 m3 3 3 4 3 3 4 + − 3 2 ث) 80 5 x + 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m1 3 1 3 1 6 93 ايستاد .ولي اين 26 3 3 9 2 6دقيقه3قبل 6در اين ايستگاه 3 1
x0 450
38
0
150
2
3
=6
m ك��رده 5 اتوبوس 1 21 1 12 12 1 2 1 1 1 1 بود و اتوبوس دقيقه ديرx = 15 1 2 5 2 1 2 1 8 23 1 5 2 3 1 8 2 1 1 63 − پ) 143 351 31 3 7 2 4 1 ت) 4 +2 3− 25 3 343 ايس��تگاه توقف 3:52 در(4 +) 15 + 15 س��اعت+ 53 بع��دي+561 +133 +35 =246 3m PX 2 6 3 2 6 =9 33 + 2( 6 × 2 ) =3 + ( 3 × ) =94 2 21 2 1 2 1 2 2 4 1 1 1 اتوبوس بعد1از 3آن 1چه ساعتي كرد. خواهد 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 =6 3ث)12 1 21 21 182 3 12 1 1 ايستگاه ميرسد؟ 5 2 2 1 223 2 5 5 3 4 35 PY 3=3 (3 2 4+ 2 2+ 13 ) = 43 (7 ) = 3به اين2 4 +2 −
1 63 ( ) 1 2
راهنمایي
6 1 3 1 61 7 23 12 53 2 1329 12 2 12 7 4 1 5 3 1 = 34 + ( × 2 ) = + ( × ) = 4 PX = 3 + ( × 2 1 ) = +1 ( ×PX =) 1 3 2 1 1 12 2 1 3 2 1 2 2 3 2 11 23 24 2 2 2 1390 پاییز 2 شمارة 2 ،1 دورة هفدهم4 ، 2 3 =1 2 2 2 2XY = 42 − 32 5 1 3 1 2 1 12 14 41 4 13 1 1 1 1 1 3 1 1 PY1= (73 +12 5+ 1 ) 3=1 (71 PY ) =1=3 (37 + 12 5+ 1 ) =3 (7 ) = 3 ) =+=24y3 = 2+3 (+ 22×=25 ) 2=4 x2++( y ×2= 3)+=244= 72 2 PX = 3 + ( × 2 1 ) =2 +21( ×2PX 1x 4 2 2 32 2 2 2 12 42 2 2 2 2 22 4 2 3 2 3 2 3 3 1
الف) 4:23بعدازظهر ب) 4:27بعدازظهر پ) 4:33بعدازظهر ت) 4:30بعدازظهر ث) 4:37بعدازظهر .9شكلي را رس��م كردهايم كه در آن يك ش��ش ضلعي منتظم ،ضلع 9س��انتيمتر داريم كه وسط هر ضلع آن يك شش‌شلعي منتظم ديگر به ضلع 3سانتيمتر چسبيده است .در شكل زير ،كه بخشي از كل شكل است ،دو ضلع از اضالع شش‌ضلعي منتظم بزرگتر را ميبينيد:
الف) 180000تومان سود برده است ب) 180000تومان ضرر كرده است پ) 100000تومان ضرر كرده است ت) 270000تومان سود برده است ث) نه سود برده نه ضرر كرده است
14 ،12و 16هس��تند .خان��ة ما جايي قرار گرفته كه مجموع پالك‌هاي همة خانههاي س��مت چپ خانة ما ب��ا مجموع پالك‌هاي همة خانه‌هايي كه در س��مت راس��ت خانة ما هس��تند ،برابر است .پالك خانة ما چند است؟ ب) 8 الف) 6 ت) 12 پ) 10 ث) 14 .12نقطة ( Xكه در ش��كل مشخص نشده اس��ت) در وس��ط پارهخط QSو نقطة Y (كه آن نيز در ش��كل مش��خص نشده) در وس��ط پارهخط PTق��رار دارد .طول XY 1 12 T
2 12
.11خان��ة ما در س��متي از خيابان اس��ت ك��ه پالك‌ه��اي خانه‌ه��ا ،10 ،8 ،6 ،4 ،2
2
S
Q
1
P
2 1 8 1 4+ − 3 3 4 3 3 است؟ 6 3 6 3 3 9 2 عدده��اي 4 ،3 ،2 ،1و 5را در 1 .14 2 5 2 1 8 چند 1 4+ − 3 3 41 13 13 1 1 محيط شكل حاصل چند سانتيمتر ه��اي نمودار زير طوري قرار ميدهيم دايره 6 3 ب) 6 1 3 3 9 2الف)2 است؟ 3 1 2 5 2 1 8 1 5 33 24 2 3 ب) 4 3126 الف) 72 اعداد 1 1 4 + 1 −كه 1 13 واقع روي يك خط راس��ت ،اعداد 33 61 پ)31 21 3 9 2 ت) 2 6 ت) 162 پ) 144 متوالي 5 3 2 2 4 3 (پش��ت س��ر هم) نباش��ند .در اين 1 ث) 1 2 1 2 2 11 2 1 2 3 ث) 180 1 1 1 مجموع Xو Yچهقدر است؟ صورت 3 2 2 1 14 1 3 2 1 5 7 1 5 3 2 2 2 PX = 3 + ( ×2 ) = + ( × ) = 4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 y 3 2 1 1 1 1 7 1 5 3 دنبال زير شكل .10اگر دستورات را مطابق PX = 3 + ( × 22 ) = +2 ( ×2 ) =14 1 1 1 1 1 3 x 2 2 2 2 2 PY2 = (43 + 2 + 1 ) = (7 ) = 3 1 1 1 7 1 5 2 32 2 2تا به آن اضافه4 3 PX = = ) 2 ) 2=3 2+ ( ×2آیا( ×1 4 با عدد 3شروع حاصل +1بله 1حاصل 1ضرب 1را 1 کن. برابر 3 را حاصل 2 2 2 2 2 2 4 کنPY = (3 . ضرب 7از(+ 1 ) = 10اعالم+ 2 )=3 3 3 کن. کن. 2 2 2 2 2 XY 2 = 44 − 3 = 1 1 1 1 1 1 1 3 ب) 4 الف) 3 بزرگتر است؟ 4 4 3 3 PY = (3 + 2 + 1 ) = (7 ) = 3 2 2 2 2 2 2 XY = 4 −3 =1 ت) 7 پ) 6 شود؟= x4+ y = 3 + 4 كنيد ،چه عددي اعالم مي 7 x + y = 3 + 2 = 5خیر 4 4 3 3 2 ث) 8 × 144)=+7(4 × 2) + (2 × 1) = 42cm = x + y = 3 + 2 = 5XY = x4 + −y 3=(38 + 4 4 .15س��ه مستطيل ،مطابق ش��كل زير به ب) 147 الف) 135 12 (8 × 4) + (4 × 2) +x (+2 ×y1=) =3 42 + 2cm = 5× 4 × 14x=+28 y = 3 + 42 4 =−728 = 14cm2 برقي ،يك تلويزيون صورت افقي كن��ار هم قرار گرفته‌اند .طول ت) 150 پ) 105 2 .13يك فروشندة لوازم 2 1 2× 1) = 42cm ( ) ( ) ( × + × + 8 4 4 2 2 خريد. 9+00000 = 125m2را مس��تطي×ل‌ها ب��ه ترتيب 2س��انتيمتر4 ، 42او اين 4 × 14 = 28 تومان− 28 = 154xcm ث) 159 − 25به = 1 x قيم��ت5 x − 25 2 تلويزي��ون را با ٪ 5m0س��ود ب��راي 1 2 فروش سانتيمتر و 8سانتيمتر است .عرض آنها 2 1542 − 28 = 14cm =28xm 5 x + 5 x − 25 = 1 x× 4−×2514==125 برچس��ب قيم��ت زد ،ام��ا تلويزيون 2 فروش نيز به ترتيب 1س��انتيمتر 2 ،سانتيمتر و m 15 + 15 + 5 + 1 +1 2 +5 = 6 m x = 15 5 x + 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m
پرسشهاي 11تا ،20 (هريك 4امتياز)
5
3 12
نرفت و فروش��نده تصميم گرف��ت آن را با 4سانتيمتر است .يك خط راست از گوشة 3 6 اگر+ 5 + 1 اكنون+x1 بفروش��د= . 15 + 15 5m تخفيف= 6 m =+15 س��مت راست بزرگ‌ترين مستطيل، بااليي 5 قيم��ت ٪ 20 3 1+163 س��ود فروش��نده گوش��ة پايين س��مت چپ كوچك‌ترين برود+ 5 + 1 ( ، 15 + 15 تلويزيونmبه5 = 6 به = 6 فروش) + 5 2 3 برده يا ضرر كرده است؟ مستطيل 1رسم شده است .مساحت قسمت 63 =6 5 1 63 ) ( 2
) ( 2
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمايي
39
هاشورخورده چند سانتيمتر مربع است؟
الف) 10 پ) 14 ث) 21
به همين ترتيب ساير خانهها در رديف‌هاي بعدي شماره‌گذاري ش��دهاند.كدام يكي از گزينههاي زير ،ش��مارة يك��ي از خانههاي چهارخانة وسط چهارخانة 20×20است؟ ب) 199 الف) 189 ت) 211 پ) 200 ث) 220
ب) 12 ت) 18
.16س��ارا ميگويد «اين كار را بابک انجام داده اس��ت ».بابک ميگويد« :س��ارا دروغ ميگويد ».س��تاره مي‌گوي��د« :من اين كار را نكردم ».افش��ین ميگويد«كار ،كار سارا اس��ت» و تنه��ا يك نف��ر از آنها اش��تباه ميگويد .آن شخص كيست؟
.19چن��د ع��دد چه��ار رقمي ب��ه صورتِ 6وج��ود دارد ك��ه ب��ر 36 4 بخشپذير باشد؟ الف)0 ب) 1 ت) 3 پ) 2 ث) 4
پاسخ پرسشهاي مسابقة رياضي استراليا (پاية دوم و سوم راهنمايي )2010 .1ب .2الف .5ت .6ث
.3ت .7پ
.4پ
.8ب؛ زي��را اتوبوس قبلي باي��د 8دقيقه قب��ل ميآمد .اتوبوس بعدي 27دقيقه بعد آمده اس��ت .پس فاصلة زماني توقف هر دو اتوبوس 35 ،دقيقه است ،لذا اتوبوس سوم، 35دقيقه بعد از 3:52يعني س��اعت 4:27 ميرسد. .9ب؛ زيرا محيط كل شكل 6برابر فاصلة Aت��ا Bدر ش��كل زير اس��ت و اين فاصله از 7پارهخط كه هريك 3س��انتيمتر طول دارند ،تشكيل ش��ده است .بنابراين محيط برابر است با 6×7×3=126سانتيمتر.
الف) مري م پ) ستاره ث) نمي‌توان مشخص كرد
ب) بابک ت) افشین
.17شكل Lمانند زير 5متر ضخامت دارد و مساحت آن 125متر مربع است .محيط آن چند متر ،است؟ الف) 35 ب) 40 پ) 45 ت) 60 ث) 75
5m
5m
.20ي��ك ع��دد را «مرب��ع آزاد» مي‌ناميم هرگاه تعداد عدد مربع كاملي كه مقس��وم عليه آن اس��ت 1باش��د .براي مثال 6يك مربع آزاد اس��ت ،ولي 12مربع آزاد نيست [زيرا عالوه بر 1بر 4نيز بخشپذير اس��ت كه يك مربع كامل است] .بين 90تا 100 چند عدد «مربع آزاد» هست؟ ب)5 الف) 4 ت)7 پ) 6 ث) 8
.18خانههاي رديف اول چهارخانة 20×20 با شماره‌ها ... ،3 ،2 ،1و ،20رديف بعدي آن با شمارههاي ..... ،23 ،22 ،21و 40و 40
راهنمايي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
A B .10الف؛ زيرا وقتي با 3شروع ميكنيم ،در گام اول 3+2=5به دس��ت ميآيد و در گام بع��دي 3×5=15را داري��م .اما 15از 100 كمتر است ،پس دوباره بايد 15را سه برابر كني��م 15×3=45 .كه باز هم از 100كمتر است ،بنابراين بايد آن را نيز سه برابر كنيم: 45×3=135كه ديگر از 100بيشتر است. پس عدد 135اعالم ميشود. .11ت؛ از آنجا كه 2+4+6+8+10=30=14+16 پس پالك خانة موردنظر 12 ،است.
2
3
9
3
3
4 1 4
3 3
3 1 2
6
3
3
1
2
2 1
1
− 1
6
4+ 1
3 1
2
4 4 2 ( ) ( × + × = y42=cm 8 4 4 2 x + y = 3 + 2 =) 5+ (2 × 1x) + 3+4 = 7 2 1 2 × (8 2) + (2 ×42 1) −= 28 42cm × 44)×+14(4=×28 = 14cm 2 1 2 2 4cm 28= 1 x 42 − 28 = 1m ×5 x 4+×514 x −=25 − 25 = 125 2 اي��ن معادله خواهيم داش��ت m 2 ،5xx =+15 از 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m
5 1
3
1
1
1
3
....
15 + 15 + 5 + 1 +1 +5 = 6 m
3 =6 5 1 63
....
3 3 x + y = 3 + 4 = 7 XY = 4 − 3 = 1 حالت ،دو خانة ديگر با 2و 44پر م 4ي‌شوند. 2 هاي شده ص× (8 ل(2 براب ِر× + (4 طو× .17ت؛cm مشخ )4 2) + زيرا42اگر= )1 x+ y = 3+4 = 7 x + y = 3+2 = 5 برابر در2ش��كل را xبگيريم ،مساحت شكل 1 1 4 2 × 4 × 14 = 28 42 − 28 = 14cm (8 × 4) + (4 × 23) + (2 × 1) = 42cmاست با 2 1 2 2 5 x + 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m × 4 × 14 = 28 42 5 − 28 =214cm 2 m x = 15 2 5 x + 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m 15 + 15 + 5 + 1 +1 +5 = 6 m m x = 15 x + y = 3+2 = 5
....
2
2
2
1 1 س��تاره و هم مريم ،هم 3 1باش��د،5آن1وقت7هم 1 1 1 3 2 1 y y 1 5 3 2 PX = + ( × ) = + ( × ) = 4 2 2 2 دروغ 2گفته‌اند 2و باز2هم 2طبق فرض افش��ین 2 2 4 x 1 1 1 x7 1 5 3 اگر افشین در نهايت 1 1 ندارد و 1 امكان 1 3 PX = 3 + ( × 2 ) = + ( × ) = 4مسئله1 1، PY = (3 + 2 + 1 ) = (7 ) = 3 2 52 2 2 2 12 4 وق��ت هم باش��د2 ،آن 2 داده 2 انج��ام 2 4آن كار 2را 2 1 1 1 1 1 1 3 گفته‌اند3كه باز هم 1و PYمريم و هم افشین دروغ 3 (زيرا 3 xنم3ي= ) 7 هم( به = باش��د + 2 توان��د( 2يا=+ 1 )4 XY = 4 − 3 = 1 2 2 2 2 2 4 است و 2در هر امكان‌پذير نيست. 4 4 هم به 5متصل است) .پس 3
....
1 .12 8ب؛ 1زيرا از2روي 5 شكل داريم1 2: 31 38 41 47+ 1 −1 2 5 3 5 3 3 2 3 3 4 3 3 4 + − پس 2 9 3 3 PX = 3 + ( × 2 ) = +66 ( 33× ) = 466 است+با15 + 15m+ 5 برابر1 +1 محيط= 6 m شكل +5 2 9 3 x = 15 2 2 Q 2Y 2 X 2 2 4 S 3 P T 1 1 1 1 1 3 31 155 +=156 + 5 + 1 +1 +5 = 6 m 1 1 1 11 11 1 1 3 2 1 34 = 2(3 + 21 + 1 558) = 33(711 ) =22 3 2 22 5PY 1 2 1 41 3 32 2 4 2 32 3 4+ − 31 63 2 2 4 1 1 .18ت؛ زيرا رديف‌هاي وسطي اين (5 )= 6 911 2 2 11 3 3 6 3 3 6 چهارخانه، 3 2 11 2 3 3 2 2 3 22 1 2 2 2 4 3 1 XY = − = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 5 2 2 1 1 رديف‌هاي 1و 11هستند و ستون‌هاي 63 وسطي 2 8 2 ) ( 2 3 4 3 4 4 + − 3 4 3 3 2 5 3 2 6 32 64 3 PX 3= 3 11 + 9( 11 × 2 112) = 77 + ( 11 × 55 ) = 4 33 هاي نيز ،ستون‌هاي 10و 11هستند كه شماره x + y = 3+2 = 5 x + =y 3= 3 ++ (4 =× 72 ) = + ( × ) = 4 PX 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 زير روي آنها نوشته شده است: 4 51 (8 × 42) + (4 × 22) + (2 × 13) 1= 42cm2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 8 2 2 1 5 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 5 2 3 2 2 4 = 1 (3 1 + 2 1 + 1 1 ) = 1 (7 1 ) = 3 3 3 3 4 3 3 PY .... 4 + 6 − 3 .... 3 6 PY 3 1 911 1 12 1 7 1 1 5 3 3 = 2 (3 22 +2 2 22 + 1 22 ) = 22 (7 22 ) = 3 44 28 424− 28 =214cm × 42) 4 =×=14 1 3 2 PX = + ( × + × = ( ) 1 3 0 .... 1رديف ،1ش��ماره‌هاي 1 1 3 3 ....1 2 1 190 191 2 22 2 2 2 2 2 2 2 4 3 180تا 200 XY = 4 3 2− 3 3 = 1 پس: 3 XY = 4 − آمده 4پس پاسخ 7 فقط ها ه گزين در چون و 5 3 2 2 4 34 =1 1 1 51x +1 51x −1 25 1 =1 11 x7− 25 3 1= 125 5 m .... 210 211رديف ،11شمارههاي .... 4 4 PY = (3 PX + 2= 3+ 1+ )( =× 2(7 ) =) = 3+ ( × ) = 4 200تا 220 1 1 1 (ت) صحيح m + y 2= 3 + 24= 5 x+ y = 3+4 = 7 است2 2 x2. =2152 2 2 2 2 2 xx4 2+ y = 3+2 = 5 x+ y = 3+4 = 7 3 2 1 2 2 2 2 3 3 1 1 3 2) + (2 × 1) = 42cm2 × ×6 41)m+ (4 ×(++52+11+ +111) +=5 1((=88 3 15 1(15 XY = 4 −PY =+ ) ( ) ( ) + × + × = cm 4 4 2 2 1 42 3 7 3 = ) = .13الف؛ زيرا قيمت اولية فروش تلويزيون 1 1 1 طب��ق 7 1 5 3 2 .152پ؛ 2 21 2 4 كل) PX = 3 + ( × 2 ش��كل= ، چ��ون+ ( × )4= 4 4 3 2 2 1 × 4 × 14 = 28 برابرcmبا42 − 28 = 14 اي��ن چه��ار ع��دد تنها ع��ددي كه در 2 از 2 روي2 x +ه��م 2و 2 مس��تطيل2 y =2 3 + ×+3 y = 3 + 4 = 27 مس��احت 2 4= 55 =36 x 4 × 14 = 28 42 − 28 = 14cm 4 3 1 XY = − = 2 1 1 1 1گزين1هها 1وجود دارد 211 ،است. 150 ٪ ×900000=13520000ب��وده و 3 1 2 × PY = (3 + 2 + 1 ) =(8 (74) )+=(43× 2) (+ ()2634× 1) =442cm 5 x + 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m2 تخفيف= 1 = 125از x − 25 5x + 2 2 2 2 2 2 4+ y2= 3 + 2 = 5 اين براب��ر=25با8305+xm٪4− قيم��تmپس x x + 7 قاعدة آن = 2 yxاست و مساحت مثلث س��فيد ،كه 1 = 15 m .19از 3 3 42 − 28 = 14cm x = 15 × 4 × 14 = 28 XYاي��ن ع��دد باي��د ب��ر 4 آنجاك��ه قيمت روي برچسب ،يعني 2 است ،برابر = 4 − 3 = 1 آن×(84 ) + (2 × 1) = 42cm (2)2+4+8و× + (4 ارتفاع )4 سانتيمتر 2 + + + m +1 +5 = 06 0000 15 15 5 1 4 4 بخشپذير باش��د ،ي��كان آن بايد 0يا 4يا 80+٪5 ×135 + 1 +0000 = 68 m 15 + 15 1 +5=1 2 5 x + 5 x − 25 1 = 1 x − 25 = 125 m 2 مربع3 + 2 =85 . است با 3 + 4 = 7× 4 × 14 = 28 باش��د = + y مترx + يy س��انت = 42 − 2833= =146cm (يعني xعدده��اي دو رقمي 40يا است .پس فروشنده با ِ m 5 =6 2 برابرx = 15 2 5 ، هاشورخورده با است ناحية مساحت پس × 44يا) +48(4م4ي× (8 2) + (2 × 1) = 42cm توانند دو رقم س��مت راست 10280000-900000 =180000 1 63 −525= =6 1 mx − 25 = (125 m 1 ) 63 15 + 15 + 5 +5 x1 ++51x + )(2 آن باش��ند) و 1 چون كه اين ع��دد بر 9نيز تومان سود آن را مي‌فروشد. 2 2 m 42 − 28 × 4 × 14 = 28 3 = 14cm x = 15 =6 بايد بخشپذير 2 باشد ،بايد مجموع ارقام آن 1 5 2 2 515 + 15 2+ 5 + 1 1 +1 +58= 6 m1 انجام را كار .16ال��ف؛ 4زي��را 3اگر مري��م آن 4 + − 3 .14در شكل ،تنها اعدادي كه در خانه 3 ش 5x بخ+ 5 x −9 25 = 1 x − 25 = 125 پذير باش��د كه در هريك از نيز بر هاي 1 m 3 6 ( )363 6 3 3 3 9 2 گفته است. m فقط=مريم دروغ 2 داده باشد ،پس 6 فوقx ،رقم سوم به دست ميآيد: ي‌گيرند 15 ،يا 1 2 5 متصل به 1xقرار م 2 8 1 هس��تند حالتهاي = 15 5 1 1 1 1 1 4+ − 3 3 4 3 3 2 3 اس��ت 6و اگر بابک آن كار را انجام داده باشد ،آن‌گاه خانة ديگر 6متصل 3 زيرا هريك3به 3 3 9 2 .9پس چهار عد ِد 6840و ي��ا15 1 8+1 +55 = 63 m 2 ( 1 ) 63يا54+يا+ 155+ 2 4 توانند در اين1خانهها1قرار 1هم بابک و هم افش��ین 2دروغ 1 گفته‌اند و 1اين 6446و 36048و 6948اع��داد موردنظ��ر 2ي��ا 3يا 1 4نم3ي 1 1 2 =6 3 2 1 5 داريم2 : دو حالت 2 گيرند ،پس 4 گزينة ث درست است. 5 3نميش��ود .اگر س��تاره آن كار را انجام داده هستند ،لذا 2
2
2
1 63 ) ( 2
.20ب؛ زي��را عددهاي��ي را ك��ه بر ،22=4 52=25 ،32=9و 72=49بخش‌پذيرند ،جدا كنيم با استفاده از تجزية درختي اعداد 90 تا 100داريم: 92=22×23و 90= 2×32×5 96=25×3و 98=2×72 99=32×11و 100=22×52 پ��س اع��داد 91و 93و 94و 95و 97 مي‌مانند كه در تجزية درختي‌ش��ان ،هيچ مربع كاملي نيست. دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمايي
41
ﻣﻌﺮﻓﯽ ﮐﺘﺎﺏ
ریا︲﹫ات ﹋انگورو 2 3 5
ﺟﻌفر ربّاﻧي
× 4 7 = 4 +7
1 6 4 5 = 7 × 235
در سراس��ر جهان براي دانشآموزان � 9 4 = 4 ×235از + دورة ابتداي��ي تا پيشدانش��گاهي � برگزار ميشود .خوش��بختانه ايران نيز 11 4 5 = (4 +7) × 235 از دو س��ال پيش ( )2009با نمايندگي بنياﻥﮔﺰاراﻥ: 47235 = (4 +7) × 235 باش��گاه دانشپﮋوهان جوان به عضويت آندره لديك ،ژان پير بودين اين=مس��ابقات درآمده اس��ت كه اولين مترﺟماﻥ4 ×235 + 7 × 235 = 94 : + 1645 = 11 45 بار بيش از 170هزار دانشآموز در آن اخباري)فر، ) برديا زهره + حسام ، + 9123 پندي 2415673 × 459123 = (241 5673 مهران× (45 شركت كردند. ناشر: آنچ��ه در اي��ن چه��ار مجل��د كت��اب، × 45 + 241 × 9123 = 241 139 فاطمي +باشگاه دانشپﮋوهان جوان0 ، يعني «رياضيات كانگ��ورو» ميخوانيد + 5673 × 45 + 5673 × 9123 مجموع��هاي از مس��اﺋل اين مس��ابقات رياضي��ات كانگ��ورو مجموعهاي از مس��اﺋل مس��ابقات رياضي 241× 45 = 1 845 ⇒ 241 × 45 = 1 845 ب��راي دانشآموزان و معلم��ان در 12 دانشآموزي در س��طح بينالمللي اس��ت كه پيدايش آن ريشه سال گذشته است .مساﺋلي زيبا ،متنوع شويد × 9123 در كش��ور استراليا 241× 9123 = 2198643 ⇒ 241 = 2198643 كه چرا متوجه مي دارد .پس همينجا و همه چه��ار جوابي .در بخش دوم هر كانگورو از نام مجموعه را «كانگورو» گذاشتهاند! مسابقات × 45 = 255285 سال5673 × 45 = 255285 ⇒ 5673 كت��اب ني��ز راهحلها آمده اس��ت .اگر 1991در فرانسه آغاز شد ،ولي خيلي زود چنان مورد توجه قرار فكر ك��ردن عالقه داري��د ،تهية اين × 9123 = 51754779به 5673 گرفت كه كشورهاي ديگر نيز به آن پيوستند و اكنون هر ساله كتابها را به شما توصيه ميكنيم.
1 8 4 5
2 1 9 8 6 4 3
+
2 5 5 2 8 5
+
5 1 7 5 4 7 7 9 9 1 3 4 7 7 9
+ 1 1 9
5741956 9183 = 574 + 1956 + 9183 1 2 = 5 × = 1 +3 2 1
1 2
÷ 5
1 4
7 3 42
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
×
÷ 0/0
×
5
?
?
ء ادا﹞﹤ پاسخ ﹞︺﹝ای ︋﹊ر ︋رای ︑ا︋︧︐ان
?
ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭ ﻣﺴﺌﻠﻪ
?
ء ︮﹀﹤ (٣١ )از
.4ﺟدا كردﻥ بﺰها از ﮔﻞكلﻢها: شكل زير راهحل را نشان ميدهد.
بخش اول و دوم متعاقباً پيدا ميشود .به شكلهاي زير توجه كنيد:
11 12 1
11 12 1 10
2
2
9
3 4 5
9
3 4
8 6
10
8 5
7
6
7
. 8ﺻفﺤةساعت شكﺴتهشدﻩ:
X
X
جم��ع اعداد براي صفحة س��اعت 78ميباش��د .اگ��ر دو خط مس��تقيم يكديگر را قطع ميكنند ،صفحه بايد به 3بخش مساوي تقس��يم ش��ود .ولي 78ب��ر 4بخشپذير نيس��ت .بنابراين خطوط يكديگر را قطع نميكنند و س��ه قس��مت مساوي با جمع اعداد 36 براي هر بخش را اراﺋه ميدهد .اگر به جفت اعداد در صفحه ساعت كه جمعش��ان 13ميشود نگاه كنيد ( ،11+2 ،12+1و ،) ....پاسخ
I I
.7ساعت ﺟيبي:
V
IV
IIV
VII
هنگاميكه با يك پديدة فيزيكي برخورد ميكنيم بايد همانطور كه به اعداد توجه ميكنيم ،به خود پديده نيز توجه كنيم .بنابراين هنگاميكه س��طح آب باال ميآيد ،به ط��ور طبيعي نردبان طنابي نيز باال ميآيد .بنابراين آب هيچگاه پلههاي نردبان را نميپوشاند.
III III I
. 6ﺟﺬر و مد دريا:
)60+40( =100
I
XII
XI
II
. 5دو قطار:
همينطور كه در صفحة ساعت ميبينيد سه Xكنار يكديگر قرار دارند XI، X، IX :و دو تاي آنها بايد در يك بخش باش��ند .ترك ساعت بايد IXرا به دو قسمت تقسيم كند تا جمع اعداد 80شود نه XIرا.
. 9ساعت شگفتانگيﺰ:
همانطور كه مسئله ميگويد ،شاگرد تازهكار عقربههاي ساعت را طوري تركيب كرد كه عقربه دقيقهشمار كوتاه و عقربه ساعتشمار بلند بود .اولين زماني كه شاگرد تازهكار به مشتري اعالم كرد تقريباً 2س��اعت و 10دقيقه پس از آن زماني بود كه او س��اعت را بر روي ساعت 6تنظيم كرده بود .عقربة بزرگتر تنها از 12به مقدري پس از 2حركت كرده بود .عقربة كوتاهتر 2دور كامل بعد يك 10دقيقة اضافي را چرخيده بود .بنابراين س��اعت زمان درس��ت را نشان داده بود .روز بعد از آن حدود ساعت 7:05صبح او براي دومين بار آمد. 13ساعت و 5دقيقه پس از آنكه او ساعت را براي 6تنظيم كرده ب��ود .عقربة بزرگتر كه به عنوان عقربة ساعتش��مار كار كرده بود، 13ساعت را پيموده تا به 1برسد .عقربة كوچكتر 13دور كامل و 5دقيقه را گذرانده بود تا به 7برس��د .بنابراين ساعت مجددا ً زمان درست را نشان ميداد. دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمایي
43
1 4
3
1 2
2 1 2
1
1
1
1
2
3
5
1 2
1
2
2
3
1 1 1 7 1 5 3 PX = 3 11+ ( 1× 2 2 ) = + ( × ) = 4 12 2 2 3 2 2 2 2 4 4 13 1 1 1 1 1 1 3 PY 14 = (3 + 2 + 1 ) = 5 (7 ) = 3 2 2 10 2 2 2 2 4 15 6 3 3 XY = 4 − 3 = 1 7 16 4 4 8 17 x + y = 318+ 2 19 =5 9 x+ y = 3+4 = 7
.10سه تا در يك رديف:
تعداد 20رديف 8 :رديف س��ه‌تايي (ش��كل ال��ف) و 12رديف دوتايي (شكل ب)
2
حال× (8 × 4) + (4 = 42 عين( 2) + در)2 × 1 هوشمندانه: cmو .14با سرعت
ب
الف
د
الف ،هي2چ‌كدام ب ،يك كيلو فلز هميش��ه بيشتر از نصف يك 2كيلو از همان فلز 2 5 x + 5 x − 25 = 1 x − 25 = 125 m ارزش دارد. m بنابراين 12ضربه60 ، ج 6 ،ضرب��ه 30 ،ثاني��ه طول ميكش��دx = 15 ، 42 − 28 = 14cm
ج
در ش��كل ج ،دكمه‌ه��اي ضربدرزده‌ش��ده برداش��ته ش��دهاند. همانطور كه عالمت فالش نشان ميدهد ،يكي از دگمه‌ها به سمت راس��ت جابه‌جا شده اس��ت .دومين چينش 6دگمه در 3رديف در شكل (د) نشان داده شده است. .11چي��دن 16مهره در يك دوز 10رديفي كه در هر كدام 4 مهره قرار داشته باشد.
كه 15 + 5 زماني + 1 ثانيه طول خواهد = 6 m +1 + 615ميرسد تنها س��اعت +به كش��يد5 .اما
20
5ب��ازه بين ضربه‌ها وجود داش��ته و هر بازه اولي��ن و دوازدهمين ضربه 11 ،بازة 6ثانيه
داش��ت،
بنابراين 12ضربه 62 ،ثانيه طول خواهد كشيد. د ،هميشه يك صفحهاي وجود دارد كه شامل هر 3نقطه داده شده باشد.
.15خرچنگ پر از اشكال مختلف:
15
20
.16قيمت يك كتاب :قيمت آن 2تومان است. 15
5
10
5
5
5
10
10
5
5
15
20
.17مگس بي‌قرار :مس��ئله س��ادهتر از آن اس��ت كه به نظر ميرس��د .دوچرخه‌سوار 6س��اعت طول ميكش��د تا مالقات كند. مگس به ميزان 6×30 =180مايل (كيلومتر) مسافت ميپيمايد.
.18سال وارونه:
20
.19دو لطيفه:
.13از 1تا :19
تع��داد 9جفت از اعداد وجود دارند كه جمع آنها 20ميش��ود ( 2+18 ،1+19و )...عدد باقيمانده يعني 10در وسط قرار ميگيرد تا جمع 30را بسازد. 44
راهنمايي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
3 =6 5 وجود( 1خواهد 63 ) 2
ثانيه بوده بين
.12الگو و طرح چينش سكه‌ها: 20
× 4 × 14 = 28
1
بود.
ال��ف 4 :دالر (تومان) .او مقدار )86( 86صفحه وارونه خوانده
ب 9 :را وارون��ه كنيد و با )8( 8عوض كنيد .هر دو س��تون با 18جمع ميشوند.
پاسخ های پازل از نوع دیگر #1
#2 2
3 3 2
1 2 3
3
1 3 0 0 1 2 2 0 2 2 1 3 2 2 1
2
2
2
0
1 3 3
3
1
3 1 2
2 0 1 3 1
2
2
#3
#4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 2 1 0 2 3
1 2 2 0 3 2 3 2 3 2 1 3
2 2 2 1 1 1
2 2 1 3 2 2
#6 2 2 2 2 0 2 1 2 2 1 1 3 2 3 3 2 2 1 2 3
1 3 2
2
#5 3
3
0
1 1 2
2 3 2 1 1 3
2
1 2 3
0 2 3
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمايي
45
نا﹞﹤های رس﹫︡ه
ب��ا س��الم و خس��ته نباش��يد ب��ه تم��ام خوانن��دگان خوب و دوستداش��تني مجلة رياضي برهان راهنمايي؛ نامههايي كه تا اين لحظه از شما دوستان مهربان به دستمان رسيده ،به شرح زير است:
رسﻢهاﻱ ابتكارﻱ:
�1ياسمن عليزاده (اسالمآباد غرب)؛ �2س��يده معصوم غياثالحس��يني ،نس��يبه اميدي ،س��حر آقا ب��زرگزاده ،نرگ��س احمدي ،ش��قايق علين��ﮋاد (گيالن ،رودس��ر، رحيمآباد ،مدرسة شبانهروزي الزهراء (س) ،خمپته)؛ �3فاطم��ه تق��وي ،معصومه غنمي ،كمند عليمرداني (رامس��ر، مدرسة راهنمايي نمونه فاطميه)؛ �4امير حسين صاحبجمعي (گنبد كاووس ،مدرسة راهنمايي شاهد پسران)؛ �5س��با قاضي مير س��عيد (تهران ،شهرك ژاندارمري � مجتمع آموزشي غيردولتي حكيمه)؛ �6ميالد پاشاپور (اردبيل ،مدرسة راهنمايي طاليهداران)؛ �7زهرا شاهين ،شيدا واليفر ،فاطمه اكبري (مدرسة راهنمايي بتول عسگري ،2ناحية 2اصفهان)؛ و همچنين رس��مهاي ابتكاري مس��ابقة رسم اش��كال هندسي شهرس��تان ثالث باباجاني اس��تان كرمانش��اه كه دانشآموزان دورة راهنماي��ي رس��م و براي ما ارس��ال كردهاند كه در زير اس��امي اين عزيزان آمده است: منيﮋه مرادي ،حيدر رحماني ،شيرزاد باباﺋي ،طارق رسولي ،فﺆاد خوشيادش��ان ،پريسا خس��روي ،سازعرفان ش��عري ،آرزو ابراهيمي، ن��گار رحمان��ي ،ش��يما رحماني ،حكمت ش��يمي ،روژي��ن مرادي، س��عادت عليديسي ،آريا اميني ،اكبر يوس��فيصفت ،ستوده فارسي، منصورمحم��ودي ،مهدي محمدي ،س��ناء عهدي ،بالل بهرامي ،الله مينايي ،مستوره فارسي ،فريبا محمدي منفرد.
مقاﻻﺕ رسيدﻩ:
�1زينب گلبراري (ساري)؛ �2سارا رﺋيس قنواتي (خوزستان)؛ �3رقيه شهبازي (عجبشير)؛ �4احمد ورزشكار (خواﻑ)؛ �5مرتضي خليلي (مازندران)؛ �6فاﺋزه محمدي (تهران)؛ �7طاهره سالميانفر (تهران).
46
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
ﺍﺯ ﻣﻴﺎﻥ ﻧﺎﻣﻪﻫﺎ
رس﹜های ا︋︐﹊اری سيمين دخت صفاييان � مدرسه راهنمايی نمونه فاطميه از رامسر
زهرا شاهين � مدرسه راهنمايی بتول عسكری از اصفهان
فاطمه محتشم سيفی � مدرسه راهنمايی نمونه فاطميه از رامسر
سبا قاضی مير سعيد � مجتمع آموزشی غير دولتی حكيميه از تهران
،1پاییز 1390 دورة هفدهم ،شمارة ،
راهنمایي
47
ء ︗︡ول ﹞و︲و︻︴﹞ ﹩ا﹛︉ ء ︫﹝اره ٥٩ ﹞︖﹚﹤ ر︫︡ ︋رهان راه﹠﹝ای،﹩
جدول زير در هر شمارة مجله ،حاوي اطالعات كلي در مورد مطالب آن شمارة مجله ميباشد كه راهنماي عمل مناسبي براي معلمان عزيز به منظور استفادة بهتر از اين مجله در كالسهاي درس رياضي است .فهرست مهارتهاي رياضي در پايين جدول آمده است. سردبير
ارتﺒاﻁ با زﻧدﮔي مﻬارﺕهاي ریاضي
ﻓﻬرسﺖ مقاﻻﺕ
مﻮضﻮﻉ ﻛﻠي
ﻧﺸاﻧي ﻧقﻄﻪها ،مﺨتﺼاﺕ ﻗﻄﺒي
ﺁشنایي با مﺨتﺼاﺕ در ﺻفﺤﻪ و شیﻮﻩهاي مﺨتﻠﻒ ﺁﻥ
اتم ﻛاﻏﺬي
ﻛاهش و رشد تﻮاﻧي
ﻛامﻼ ً شاﻧسي ﻓﻬمیدﻡ ﻛﻪ ...
اﺣتماﻝ 50درﺻد و تﻜرار ﺁزمایشها و ﺁمارﮔیري
ایﻦ را ﻛﻪ از ﻗﺒﻞ ميداﻧستیم تساوي بﻪ ﺣالﺖ وتر و یك زاویﻪ
اﺛﺒاﺕ هندسي و باﻃﻞ بﻮدﻥ دور در اﺛﺒاﺕ
10-8
مﺠمﻮﻋﻪها و ﻧمﻮدار وِ ﻥ (بﺨش ﻧﺨسﺖ)
مﻌرﻓي ﻧمﻮدار وِ ﻥ با رویﻜرد شمارﺵ ﺣالﺖهاي ممﻜﻦ
8-6-1
ﻧﮕاهي بﻪ ﺁینﻪ بﻪ شیﻮة ریاضيداﻧاﻥ
تابش و بازتابش و تساوي مﺜﻠﺚها
√
بﻪ ماشیﻦ ﺣساﺏ ﺧﻮد در مﺤاسﺒﻪ ﻛمك ﻛنید
استفادﻩ از ﺟﺒر براي بﻪﻛارﮔیري ماشیﻦ ﺣساﺏ در مﺤاسﺒة اﻋداد بزرگ
√
استفادﻩ از لﻮﮔﻮ براي ترسیم اشﻜاﻝ هندسي
مﻌرﻓي مﺤیﻂ برﻧامﻪﻧﻮیسي Logoو استفادﻩ از ﺁﻥ در ترسیم اشﻜاﻝ هندسي
5-10-9
بازي ﻓﻜري ﻛﻮارتﻮ
مﻌرﻓي یك بازي ،شرﺡ روﺵ و ﻗاﻧﻮﻥهاي بازي و ﻃرﺡ مساﺋﻞ مربﻮﻁ بﻪ بﻬتر بازي ﻛردﻥ!
10-8-7
بازي ﺣاﺻﻞضرﺏها
مﻌرﻓي یك بازي ریاضي دربارة مقسﻮﻡﻋﻠیﻪ و مﻀرﺏ
8-4
پازﻝ از ﻧﻮﻋي دیﮕر: مسیر پیﭻ در پیﭻ
مﻌرﻓي یك ﻧﻮﻉ پازﻝ ﻋددي!
1-8
سفر بﻪ دور دﻧیا با ﻧاﻥ لﻮاﺵ
مﺤاسﺒﻪ مقدار ﻧاﻥ مﺼرﻑشدﻩ در ایراﻥ در یك ساﻝ و درﻙ بزرﮔي اﻋداد
√
زاویة ﻧﺸستﻦ
بررسي زاویة ﻧﺸستﻦ با رویﻜرد سﻼمﺖ
√
سﺆاﻝهاي مسابقﻪ ریاضي استرالیا ()AMC
ﻃرﺡ سﺆاﻝها و پاسخﻧامة مسابقة 2010-AMC
ﮔفﺖو ﮔﻮ با ﺣسﻦ ﻧﺼیرﻧیا همﻜار ﻗدیمي مﺠﻠﻪ
ﮔفﺖو ﮔﻮ و ﺁشنایي با یك همﻜار ﻗدیمي
مﻌرﻓي ﻛتاﺏ
مﻌرﻓي ﻛتاﺏهاي مناسﺐ براي داﻧشﺁمﻮزاﻥ مﺨاﻃﺐ مﺠﻠﻪ
10-8-6
√ √
10-8-7-5-4-3 4-5
2-10-8-7 8-10-4-9
8-4 2 10
10
مﻬارﺕهاﻯ رياﺿی: .1ش��مارش .2اندازهگيری .3تخمين و تقريب عددی .4محاس��بات عددی و عمليات ﺫهنی .5الگويابی ،پيشبينی و مدلس��ازی .6استفاده از نمودارها و شهود هندسی .7فرضيهسازی ،نظريه پردازی .8كشف و استدالل .9استفاده از ابزار و تكنولوژی ّ .10 حل مسأله. (منبع :كتاب راهنمای تدريس رياضی دورة راهنمايی � دفتر برنامهريزی و تأليف كتابهای درسی) 48
راهنمایي
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
دورة هفدهم ،شمارة ،1پاییز 1390
راهنمايي
49
