New Variational Techniques in Mathematical Physics (C.I.M.E. Summer Schools, 63)

Gianfranco Capriz • Guido Stampacchia ( E ds.) New Variational Techniques in Mathematical Physics Lectures given at a ...

Author: Gianfranco Capriz | G. Stampacchia

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Gianfranco Capriz • Guido Stampacchia ( E ds.)

New Variational Techniques in Mathematical Physics Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Bressanone (Bolzano), Italy, June 17-26, 1973

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10958-4 e-ISBN: 978-3-642-10960-7 DOI:10.1007/978-3-642-10960-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1974 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.)

I1 Ciclo - Bressanone - dal 17 a1 26 giugno 1973

<<

NEW VARIATIONAL TECHNIQUES I N MATHEMATICAL PHYSICS n

Coordinatori: Proff. G . Capriz, G. Stampacchia

C. BAIOCCHI:

ProblGmes ii frontiGre libre lies 2 questions d'hydraulique

C. CASTAING:

Integrales convexes duales

G . DUVAUT:

Etude de probl2mes unilateraux en mecanique par des mCthodes variationnelles

D. KINDERLEHRER:

Remarks about the free boundaries occurring in variational inequalities

H . LANCHON:

Torsion elastoplastique d'arbres cylindriques problemes ouverts

J. M. LASRY: J. J. MOREAU:

DualitC en calcul des variations

B. NAYROLES:

Point de vue algebrique. Convexit6 et integrandes convexes en mCcanique des solides

W. NOLL:

On certain convex sets of measures and phases of reacting mixtures

W. VELTE:

O n complemehtary variational inequalities

On unilateral and plasticity

constraints,

Pag. >>

friction

1

27

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )

CLAUD10 BAIOCCHI

Corso tenuto

a B r e s s a n o n e d a l 17 a1 2 6

giugno

1973

par C. Baiocchi - Urriversit6 de Pavie et Laboratoire dlAnalise Numgrique du C.N.R. de Pavie.

N.l.- Lt6tude du mouvement des liquides 3 travers des materiaux poreux conduit en general a des "problBmes 3 frontisre libre", Un cas typique peut gtre sch6matis6 sous la forme suivante: sur une base impermeable deux bassins d'eau, de niveaux different~,s m t en communication 3 travers une digue en matgriepu poreux. L'eau filtre du niveau le plus 6lev6 au niveau le moins 61evB; et on veut determiner la "partie mwill6e" de la digue, ainsi que les grandeurs physiques (telles que la pression, la vitesse, le dgbit...) associEes au mouvement. On se bornera au cas plus simple (pour une description generale, ainsi que pour plus de details sur le plan physique, ou consultera par exemple Les textes

6

,

13

,

16

,

18

);

prg

cisgment on envisagera le cas correspondant 3 un fluxe stationnaire, irrotationnel, incompressible; le matgrieau composant la digue est suppos6 isotrope, homogene et ne donnant pa6 lieu 3

des ph6nomenes de capillaritg. On. considerera c o m e

"ProblBme modSleV1le cas oil la digue est 3 base horizontale et

parois verticales planes et paralleles (la fig. 1 est

FIGURE N.

1

C. Baiocchi

une section orthogonale aux parois:

est lwBpaisseurde la

digcte, y, et y8 sont les hauteurs des deux bassins). Plus en gbnBral on designera par D une section verticale de la digue (cf. fig. 2; dans la fig. 1 on a D=]o,~[

[I

x ]0,y 1

et on supposera que, dans la direction orthogonale 3 la figurg la digUe est infiniment 6tendu.e et

a section constante (de fa

a Btudier un probleme bidimensionnel).

Gon

On designera par 61 la "partie mwillbe" de D; par y=y(x) llBquationdu "bord supgrieur" de 61

'

;

d

par p (x,y), V(x,y) re-

spectivement la pression et la vitesse de l'eau dans le point (x,y) de 61

axe horizontal, y axe vertical) ; par u(x,y) la

(X

"hauteur pibzomBtriquet* , 3 savoir :

y &ant

le poids spgcique du liquide. La loi de DARCY (cf.

toujours les textes citgs plus haut) assure que u est un "potentiel de vitesse", 3 savoir que l1on a: __b

(1.2)

N

V(x,y) = -k grad u

N

oil k = li

k,

f

Btant la viscositg du liquide et k Btant le

coefficient de permeabilitg ( 1 ) 1

( )

. N

Sous les hypotheses faites k (et donc k) est constant;

plus en general k est une fonction de (x,y) si la digue n'est pas homogene, et un tenseur symgtrique si la digue n'est pas isotrope.

C

Rain&

L'incompressibilit6 du liquide et la loi de continuit6

I

donnent alors rJ

(1 - 3 )

k

div

grad

u

dans n

= 0

(en particulier u est harmonique dans n si le matsrieau est homogene isotrope)

.

la relation (1.3) ow doit ajouter des conditions aux limites. D'abord, le long des parties de an qui sont des lignes de courant doit s'annuller la d6riv6e normale de u: sur (1.5)

au an = 0

AB

sur FC

;

;

ensuite, le long des parties de an3 contact avec l'athmosphs re on doit avoir p(x,y)=O donc (cf. (1.1)) u=y:

(1 6)

U(X,Y) = Y

sur

F y

(1.7)

u(x1y) = Y

sur

CpC

; ;

finalement, le long des parois 3 contact avec les bassins, la pression est donnee par la pression de l'eau qui est en haut;

(1 .I) donne: (1 - 8 )

U(X,Y) = Yl

sur AF;

(1.9)

U(X,Y) = y2

sur BC.

I1 s'agit d'un classique problsme 3 frontisre libre; sur un domaine inconnu

o*doit

rc53oudre le problsme aux limites

(1.4), (1.5), (1.6), (1.7), ( 3 . 8 ) , (1.9) pour 1'Bquation (1.3) :

aa

donc des conditions surhaboundantes (cf. (1.5) et (1.6))

C . Baiocchi

sur la partie incomme a n n 'D de la frontisre deG,.

N.2.-

Une des premisres mgthodes proposges dans la litgrature

speecialisee pour la resolution du problsme (1.3), est basge

.... (1.9)

sur la theorie des fonctions de variable complexe

et s'appuie sur la transformation: (2.1) x+iy

-+

p+iq

;

p

=

- ,a ux ,

au q=,y hr

(transformation qui est conforme si le coefficient k dans

.

(1.3) est constant; (p,q) est le "plan de llodographe") Par exemple (pour plus de dstails et de gQnQralit8 cf.

16

,

18

dans le cas du Problsme modsle illustrg en fig. 1 le domaine

n

se transforme en un domaine R' du plan (p,q), dont le bort an' est parfaitement connu et, sauf pour ce qui concerne-la

position sur an' des points A',B' transform&

de A,B,R1 est

ind6pendenk de a,yl,y2; cela fornit au problsme deux degres de liberte (en accord avec ce qui se passe sur le plan (x,y), Y1 , 7 Y2 oa l'on peut choisir comrne paramstres , tout Qtant a invariant par homotgties). A partir de cette famille 3 deux paramstres de domains R' la transformation p+iq se de (2.1) fornit une famille de solutions R

-+

x+iy inver-

. Toutefois les

paramstres que l'on peut se donner a priori sont ceux du plan de l'odographe (et non

y1 Y2 7 , -=-I;

m n e sait pas dQmontrer la

biunivocitg de la corr&spondence entre les paramstres physi-

)

C . Baiocchi

ques et ceux de l'odographe; et d'ailleurs on aurait besoin de "beaucoup de r6gularit8l1 pour justifier les passages du cet'u;

plan physique 3

de l'odographe et viceversa!

Une mgthode plus rbcente ( 2 ) est basee aur les consid6rations suivantes (on ,se borne toujours, pour simplifier, au cas du Problbme modble)

.A

on associe le "sous-graphe " et sur

no

toute courbe "rbgulibre" y=

yo(K)

no=( (x,y)10<x
on rbsoud dans l'inconnue uo le problbme msl6 cor-

respondant 3 (1.3), (1.4) , (1.7) , (1.8) , (1.9) et une seulem w t entre -

(1.5) et (1.6) ; puis on modif ie

y&

de faqon b renu-

plire l'autre entre (1.5) et (1.6) ; et on itbre le procbd6. Par exemple si poqbvalwr uo on impose (1.51, on Posers x u

x

,yox

) ;

1e probleme sera resolu

(a savoir (1.6)

aussi sera vgrifige) si l'on a y1=y0; donc le problbme b frontisre libre correspond 3 trouver les points fixes de la transformation

yo-b

Lfl

. Si, au contraire, on avait choisi

(1.6) pour la dgtermination de uo, on cherchera 3 minimiser, par rapport 3

y o , une convenable norme de la trace sur

y=(fo(x) de la d6rivge normale de uo; plus en ggn6ral rait minimiser, par rapport au (riplet 2

( )

R

C,uo

on pouz une

que l'on peut d'ailleurs appliquer 3 la resolution nu-

m6rique d'une vaste classe de problemes 3 frontisre libre; cf. 1111 pour une vue d'ensemble sur ces proc6d6s.

C. Baiocchi fonctionelle du type:

I1 s'agit de proc6des qui

peuvent Stre adapt&

a la re

solution numerique des problsmes envisages (4) et qui, de ce point de vue, ont donne des resultats satisfaisants; toutefo&s:, du point de vue theorique, on ne sait pas justifier ces procqdgs (par exemple

n& connait & existence ni unicite de'

points fixes pour la transofrmation

yo 7 +

I;

''

on ne conilait

pas 11unicit6 du point de minimum pour les fonctionnelles consid6r6es, et on nesait pas si le minimum vaut zero....).

N.3.-

Par moyen d'un convenable changement de fonction inc-

j'ai donne en 1 9 7 1 un theoreme dlexistence et unicite de la solution du Probleme modsle, en inequation variationnelle (cf.

-(

ramenant ce problsme 3 une 1 ) . Popr decrire

ce resultat

3 ) Pour un traitement numgrique bas6 sur ces idees cf.

17

4 ( ) Tout en rencontrant des difficultes de programation non indifferentes : o n doit reso,,dre une famille de problOmes mgl6s sur des domaines qui, 3 chaque &ape,

varient en fonction de

C . Baiocchi

il faut d'abord prgciser le problSme, en particulier pour ce qui concerne la r6gularit6 de la courbe y=y(x) et de la fonction u(x',y) (de f a ~ o n3 donner un sens prdcis aux relations 4 (1.3)...(1.9)) Pour fare Fa il est commode ( 5 ) de faire usagd,

.

outre que du potentiel de vitesse u, de la "fonction de courafit" v(x,y) li6e 3 u par:

-=-=

a U = Ea u-

(3.1)

ax

ay '

ay

ax

dans

a (6) ;

et de remplacer les condition de type Neumann sur u (cf. (1.41, (1.5)) par des conditions de constance sur v; v dtant dstermiade 2 une constante additive prSs, ou traduira (1.5) par:

(3.2)

v=O

et (1.4)

sur

F C ~

en imposant l'existence d'une constante q

7

( )

telle

que :

Ceci Btant, on appellera solution faible du Problsme mo-

w une quintuple { ~,Q,u,v,q)telle que: If

(3'4)

x ' .+?(x) est continue de [O ,a] dans dBcroissante et telle que ~ ( 0=Yl ) :

3Y 2 , y l l ,

5 Mais non indispensable; dans (11 on a travail16 en termes

( )

de u, sans introduire v; la prgsentation donnee ici suit l'expg sB 121.

6

( )

A' savoir x+iy -+ u+iv est holomorphe dans a; l'existence A

d'un telle v equivaut 3 (1.3) lorsque k est constant. 7 ( ) 3 un coefficient dimensinnnel ~ r S sle paramstre q fournit ie dgbit de la digue.

C . Baiocchi

u,v satisfont (3.1) au sens de(d8( n ) , et (1.6), (1.7) : (1.8), (1.9), (3.2), (3.3) au sens dec0(3i) Remarque 3.1.- On va appeller faible une telle solution car, du point de vue physique, une solution sera acceptable

seu-

lement si elle satisfait d'autres relations, soit qualitatives, soit quantitatives; par exemple la pression doit Etre positive dans R donc (cf. ( 1 . 1 ) ) (3.8)

u(x,y)>y

:

dansn;

et d'ailleurs q,u,v devraient Stre "plus r6gulisresW; OR obtiendra des proprietBs de ce type comrne consgquence

de

la dgfinition de solution faible. Aemarque 3.2.- Pour ce qui concerne la val.eur de q on obtiendra la formule explicite:

conwe sous le nom de "formule de DUPUIT" et usuellement obt6nue comme formule approchee (et dgduite en supposant que la courbe y= (x) est une parabole). Un'idee naturelle pour Btudier le problsme consiste 3 prolonger u,v 3 0

8

( )

5

tout entier

(5,fermeture de D, est Cora]%

, ) en posant:

Notations-usuelles: u,v sont des. fonctions continues sur

m P at

O l ~ aqk r l x 7<, = ~ sdistri-.

sont de carre somrnable sur n.

C. Baiocchi

u(x,y)

( 3.lo

1

a,$=b

et 2 voir si

G,?

I

pour (x,y)kF ;

v(x,Y)=

pour (x,y 1615\3i

pour (x,y)e b\h

satisfont un "problsme bien pose" dans D; ga

serait suffisant car, grdce

au principe du maximum, on demon

tre aisgment la validite de (3.8) et donc, connaissant obtiendrait

Q

z,

oa

en posant:

Toutefois ce n'est pas le cas: aucun

problsme au limites sur

d

GIG ne semble Etre bien pose; faut donc encore transformer le probl&me. Remarquons maintenant que l'on a:

et que de (3.1 ) on deduit : A,

(3.13) oh

(

N

(-v)y=(~-u)

)y et

(

N

IY

,=xn

(-v)x+ (y-u)

,)X designent les derivees partielles et

la fonction caracteristique de Q

. La premisre de

x est R

(3.13) as-

sure quail a un sens de considerer des integrales curvilignes du type: (3.14)

w (P) =

1: -t

dx

+

(y-;)dy

et l'on aura: (3.15)

-

v (x,y) pour (x,y)e,n &

N

wX = - v -

wY =

.-q

donc, grace 3 (3.12) et 3 la deuxisme de (3.13) :

V P C ~

C . Baiocchi 02

4 2

( A = % + % )

ax

aY

Remarquons tout de suite que le valeurs de w sur aD connues: en effet on. a (cf. (3.101, (3.15), (1.7), (1.8), (1.9)): (w=O

dans

z\

$1

N

=y-u=y-yl sur FA

(donc sur FE) N

w =y-u=O Y

;

sur EC

( wy=Y-~=Y-Y2 sur cB (3.19)

u

wx=-V=-q

donc wXX=O

sur AB;

donc si l'on dgfinit g sur

sur

AB;

aD par la formule: 2

9-0 sur

(3.20)

(Y-Y

FE

u

EC

2S

g = (Y-Y2)

i

U CB; ~

sur u ; g lingaire our AB

2

Remarque 3.3.- De (3.20) on tire que la pente de g sur AB 2

2

est donnee par 9(B)-g(A) = Y2-Y1 a 2a 0%

tire la validit6 de (3.9)

;

donc de (3.19), (3.21),

.

La connaissance de w fournirait automatiquement IT,n,u,v,ql; en effet on a vu que q est donn6e par (3.9); d1apr6s (3.11), (3.35) on tire (3.22)

n = I (x,y)

I

(x,y)t D; w (x,y)
et, encore de (3.15), on aura aussi:

soqt

C . Baiocchi

finalement de (3.22) on dvaluera (3.24)

cf(x) = max {y

I

(x,y) E

y

par la formule:

51

La caractdrisation (3.22) de a n'est toute,fois

pas en-

core suffisante: en effet, si l'on cherche 3 combiner (3.17), (3.22) de fason 3 faire disparaftre l'inconnue a OR tombe sur 1'Bquation non lingaire:

oO t

+

H(t) est le graphe maximal monotone associd 3 la fonc-

tion de Heaveside; et le probleme (3.25), (3.21) n'est pas bien pos6 ( 9)

.

En effet on peut faire mieux: de (3.18), (3.14) ond6duit que l'on a identiquement:

et alors, gr3ce 3 (3.8) , on aura: (3.27)

w(x,Y)30

(3.28)

a={ (x,y)

dans

I

-D

(x,y)e D; w(x,y) >01.

Maintenant la combinaison de (3.17) , (3.28) donne: (3.29)

Aw € H (w)

et le probleme (3.291, (3.21) est bien pos6: il admet une et une seule solution dans H 1 (D) (cf. par ex. le cours de M. MOREAU dans ce meme volume) donc (on a deja vu que 3 partire 9 Par exemple il admet comme solution la solution w du pro

( )

bleme Aw=l; wlaD=g;ce qui donnerait (cf. (3.22)) R=D.

C . Baiocchi

1

(3.30)

le problsme modele admet au plus faible

une solution

Remarque 3.4.- On peut presenter le problsme (3.29), (3.21) sous forme de problsme de minimum en posant: I%+={zlz&

H'(D);

(3'31)1 J+(z) =

j

D

Z

1 aD'9>

(g donn6e par (3.20))

,grad z 1 'dx dy

+

ID

z

+

+

dx dz (t =

ltl+tJ 2

et alors w est l'unique solution de: (3.32) w

%+; J+(W)S J+(z)

#zk$+

;

d'ailleurs (3.22) n'est pas la seule formulation variationnelle que l'on peut tirer des reinseignements que l'on a sur w; par exemple si l'on pose: (3.33) %={zlz~%+;

~ 3 0 3 ; J(z)=

grdce a (3.27) on a aussi: (3.34)

w6

Ofi;;

J(w)cJ(z)

b tf

1 1 lgrad z12+z}dx dy 2

26%

ou bien ltin6quationvariationnelle equivalente: (3.35)

w t 6 ; a(w, z-w)g~(z-w) tfztgG

avec a(C,y)=

jD grad E.

grad u

drdf

et L(c)=-JD ~ d xdy

Du point de vue numerique c'est la prgsentation (3.34) qui semble Etre la meilleure; d'ailleurs o n a interst

a explo*

ter beucoup de formulations car, voulant g8ngraliser la rngtho de

des problemes plus compliquds, on devra choiskr suivant 1

le cas l'une ou l'autre voie. Pour ce qui concerne l'existence d'une solution faible

C. Baiocchi

du problsme modsle on doit maintenant demontrer que, partant de l'unique solution w du problsme (3.35) (par exemple; ou gquivalentement de (3.34); ou de (3.32)) les formules (3.28) , (3.24) , (3.23) , (3.9) 'fsnissent une solution. Je n'entrerai pas dans les dgtails (pour lesquels je renvoye 3

1

),

en

m b o r n a n t ici 3 souligner que les phases essentielles de la dgmonstration sont a) grace aux theorsmes de rggularite des solutions des inequg tions variationnelles (cf.

14

)

la solution w de (3.35) sati -

sfait: (3.36)

w e w~"(D)

pour tout p fini;

en particulier on a (3.16) ; il defini par (3.28) est ouvert; et on a (3.37). b) gr3ce a (3.36) on peut appliquer le principe du maximum 3 Wxf wy et demontrer qu'il s'agit de fonctions non positives; d'ici on tire que il est born6 superieurement par une fonction qui satisfait (3.4)

if

.

Une fois obtenu le theoreme d'existence et unicite des solutions faibles, se pose le probleme de la regularitg; tog jours sans entrer dans les details j e m e bornerai 3 remarquer que, en adaptant un discours de Caccioppoli '(cf peut demontrer la relation:

.

1 15 1 )

on

C.

:x

+

Y(x1

est analytique sur ]~,a[

Baiocchi

('O)

et que, pour ce qui concerne la regularit6 de u,v, de (3.36) et (3.23) ou a u,ve

wltP(a) pour tout p fini; il s'agit d'une

regularit6 optimale car-on

peut demontrer (cf. toujours 11 I )

que les relations u,ve W' '"(a)

sout fausses.

N.4.- On termine cet expose par quelques considerations 3 caractsre numerique et par une vue d'ensemble sur les generalisation de la methode. Pour ce qui concerne la resolution numerique des inequations variationnelles on connaft des nombreux procedes 3 la fois mathematiquement rigoureux et pra-uement

efficaces (cf.

par ex. 1121). Dans 1101 on a etudie l1in6quation variationnea le (3.35) par discretisation en differences finies, et resolvant le probleme discret par la methode de S.O.R. et projection; la comparaison avec les methodes "traditionnelles" indiquees au N.2 a montre un gain sensible 3 la fois du point de vue simplicite de programmation et du point de vue rapidit6 d'ex6(I0) Pour un traitement systematique du problsme de la rcgularite de la "ligne de detachement" pour les solutions d'inequg tions avec obqtacle an,consultera la csnference de D.

KINDERLE~TRER sur ce meme cours CIME.

C . Baiocchi

cution (cf. toujours 110/):11

2 remarquer queI

est toutefois

la m6thode est "correcte" mathgmatiquement dans le sens l'on obtient une suite {wh} de solutions approch6es qui converge, dans une topologie conv6nabler vers la solution w de (3.35); mais si l'on prend, comme "approximation" de de positivit6 de wh 2~

fib

0

, l'ensemble

de wh (analoguement.2 (3.28)) la convergence

n'assure pas, Si priori, la convergence de Q h a Q.

Cette difficult6 a Bt6 surmontge en 151 oB l'on a montr6, qua l'on a: (4.1)

Q = int6rieur de lim inf

ah

.

h+ O+ Passons maintenant 3 quelques g6n6ralisations. Le cas

de digues a permgabilit6 variable (a savoir dans lequel le h

coefficient k figurant dans (1.3) n'est pas constant) pose de nombreuses difficult&.

-.

Dans 131 ,141 on a trait6 le cas

03 k(x,y) est constant par morceaux par rapport Ei une des variables et constant par rapport 2 l'autre (''1

;

dans 171

o n traite le cas de k(x,y) de la forme k l(x).k2(y) mais sous des hypotheses restrictives sur la rggularit6 de kl,k2. Le cas 03 l'on a plusieurs liquides immisaibles de densites diff6rentes peut aussi Stre trait6 par la meme mgthode; dans 13 1 ,14 1 on 6tudie le problBme de la d6bouch6e 3 la (11)

Ce qui correspond Zi digues en plusieures couches, hori-

zontales ou verticales, de mat6rieaux diff6rents.

C . Baiocchi

rner d'une lame phrBatique (on a donc, outre que l'usuelle surface libre, une surface de sBparation entre la terre mouillde -par l'eau douce et la terre mouillde par l'eau de mer); (3.25): est remplacde par une ingquation 3 "double obstacle", les deux frontieres libres Btant obtenues c o m e frontisres des zones de contact avec les deux obstacles. Dans ( 3 1 , ( 4 1 on a aussi 6tudid le cas oCl la parois 3 contact avec le premier bassin est impermdable le long du morceau [cry1y avec plus um&

O
. Dans ce cas la valeur

de q n'estl

fonction explicite des donndes (a savoir a n ' a

plus une formule du type (3.9)) et la condition aux limites sur w pour ce qui concerne le morceau {(O,y) Ic
j~' 9 du

type (3.31 ) et la solution w du probleme q de minimum correspondant (analogue a (3.32)); les indquation$ assocides resolvent des problsmes aux limites de type mGl6 (au lieu que de Dirichlet) pour lesquels, en gdndral, la valFdit6 de (3.36) est fausse; dans 14 Ion a montrd l'existence et unicitd de une valeur qlP de q en correspondence 3 laquelr le la solution w satisfait (3.36); ce qui a permis encore q*

C. Baiocchi de conclure avec un theoreme de existence et unici'tB. Un algg rithme numerique (a caractsre physique-euristique) entroduit dans 131 pour l'approximation de q

4

,

B Bt5 complstement justh

fi6 dans 151. Pour ce qui concerne la possibilits de adapter la methode B des digues de g6om6trie plus compliqu6e on peut remarquer

que, si la. parois adkacente au bassin de droite n'est pas L

verticale, devient fausse l'une des relations fondamentales de la mgthode,

a

savoir la validit6 de (3.27) , (3.28); donc

on va supposer que la parois de droite est verticale (I2). Sous ces restrictions les relations obtenues au N.3 restant encore valables jusqu'a (3.18) inclue; toutefois (3.3 81 (et l'analogue de (3.19) qui donne wx=-q sur AB) fournissene pour w, au lieu que des donn6es de Dirichlet, des donn6es du type "d6rivBe oblique". L'Btude th6pique des inequations cord respondentes, dans le cas g6n6ra1, n'd pas encore Bt6 aborde; dans

3

, 4 on

s'est born6 aux cas particuliers correspondeqts

3: base horizontale et parois inclin6e; ou base inclinee et

(

12)

Des essai.num6riques faits avec parois de droite incli-

nee suggsrent que la methode devrait marcher aussi dans ce cas, quitte 2 introduire des solutions "a plusieures parametres"; par exemple, outre 3 la valeur du debit q, l'abscisse vexticale; CF.~POUII. sdupoint + m a s i f?apamis plus de details, 1 5 1 )

.

C. Baiocchi

parois verticale (I3). I1 s'agit encore dfBtudier une farnille' d1in8quations (I4) dependante du parametre q, la bonne valeur 3 individuer par moyen d'une "condition de

du parametre &ant

. Dans

r6gularitb" de type (3.36)

14 1 on est arrive jusqufau

theorerne d'unicitg; le th8orSme d'existence a BtB donne dans 18 1 par une methode "num8riquef',en passant 3 la limite sur

.

des "solutions approchees"

D'autres problemes analogues, tels que le probleme modsle en presence de evaporation et le probleme de l'eau qui filtre a travers les parois permeables d'un canal, ont 6t6 recernment Btudi6s par la methode ici proposge (cf. respectivement d 9 et 40

)

.

'

Je voudrais finalment conclure en rappillant que la m6

-

thode decrite dans le N.3 pour transformer un problsme 3 fron tiere libre dans une inequation variationnelle (ou 6ventuelle ment dans une famille,

I

a un ou plusieurs paramstres, dingqua-

tions) semble avoir un domaine d'applicabilite plus ample que 13) Plus recernment, dans 191 , o n est arrive 2 traiter le cas oil le parois et la base sont toutes les d e w inclin6es; il sfagit d'un problsme de I'dErivGe oblique qui saute", donc de type non variationnel. 14) Qui traduisent un probleme de derivee oblique, donc la ( (

forme a ( 5 , ~ ) qui.intervient dans (3.35) nlest plus syrnetrii que et le probleme n'est plus equivalent a un probleme de mixblUnL

C. Baiocchi

Celui relatif aux mouvements de filtration; elle a en effet

qui sourgissent dans l'btude de problemes de fluxe de fluides compressibles autour d'un obstacle (sans ou avec sillage) et, dans un contexte un peu different (probleme dt6volution au lieu que stationnair) 2i 116tude d'un probleme de type Stgfan: mais pour ces problsmes je renvoye au cours de M. D W A U T dans ce meme volume.

C . Baiocchi

B I B L I O G R A P H I E

1

C. BAIOCCHI- Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica. Annali di Matematica XCII (1972) p.307-327; note preliminaire aux C. R. Acad. Sc. Paris, 273 (1971), p.1215-1217.

Z

C. BAIOCCHI

-

Sur quelques problemes 2 frontisre libre.

AstBrique, 2 et 3 (1 973), p. 69-85. 3

C. BAIOCCHI, V. COMINCIOLI, L. GUERRI, G. VOLPI

-

Free boun-

dary problems in the theory of fluid flow through porous media: numerical approach. Calcolo, X (1973), p.1-86. 4

C. BAIOCCHI, V. COMINCIOLI, E. MAGENES, G.A. POZZI

- Free

boundary problems in the theory of fluid flow through porous media: existence and uniqueness theorems. Annali.di Matematica XCII (1973), 1-82. C. BAIOCCHI, E. MAGENES

-

Problemi di frontiera libera in

idraulica. Atti del Convegno intern. "Metodi valutativi nella Fisica Matematica", Acc. dei Lincei, Roma, 1972. 6 J. BEAR

-

Dynamics of fluids in porous media. Amer. Els. Publ., New York, 1972.

f

V. BENCI

-

Su un problema di filtrazione attraverso un mezzo poroso. A paraitre

8 V. COMINCIOLI

-

aux Annalid di Matematica.

A theoretical and numerical approach to s o w

free boundary problems. A paraitre aux Annali di Matematica.

V. COMINCIOLI V. COMINCIOLI

-

C. Baiocchi

Travail en prgparation. L. GUERRI

-

G. VOLPI

-

Analisi numerica

di un problema di frontiera libera connessg col mot0 di un fluido attraverso un mezzo poroso. Pubbl. n.17 du L.A.N., Pavia, 1971. C.W. CRYER

-

On the approximate solution of free boundary problems using finit; differences. J.A.C .M. 17 (1970) p.379-413.

R. GLOWINSKI

-

J.L. LIONS- R. TREMOLIERES

-

RBsolution nuqe-

rique des inequations de la MBcanique et de la Physique. Livre 3 paraitre prss DUNOD.

- roundw water

M.E. HARR

and seepage. Mc Graw Hill, New YoXk

1962. H. LEWY, G. STAMPACCHIA

- On the regumarity of

the solutiqn

of a variational inequality. Comm. P.A.M. 22 ( 1 9691, p.353-388.

C. MIRANDA

-

Su un problema di fr~ntieralibera. Symp. Math. 2 (19681, p-71-83.

U. MUSKAT

-

The flow of homogeneous fluid through porous media. Mc Graw Hill, New York 1937.

S.T. NEUMANN, P.A. WITHERSPOON

-

Finite element method oq analysing steady seepage with a free surf?.ce, Wather Resources Research ,. 6 ( 1 970) , 889-897.

C. Baiocchi

18

P

. Ya . POLUBARINOVA-KOCHINA - The theory of groundwater movement (translate du russe)

. princeton Uni-

versity Press, Princeton 3 9 6 2 . 19

G.A. POZZI

-

On a free boundary problem arising from flui,d

through a porous medium, in the presence of evaporation. Travail a paraftre. 20. S. TORELLI

-

Su un problema di filtrazione da un canale.

Travail a paraitre.

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )

INTEGRALES CONVEXES DUALES

CHARLES CASTAING

Corso tenuto

a

Bressanone

dal

1 7 a1 2 6

giugno

1973

INTEGRALES CONVEXES DUALES

Par CHARLES CASTAING

(Univ. de Montpellier)

Introduction.

Dans l a p r e m i e r e p a r t i e de c e p a p i e r on d e m o n t r e deux

thCoremes d e d u a l i t 6 d e s i n t 6 g r a l e s c o n v e x e s ; Dans l a deuxieme p a r t i e , on donne deux thCoremes de f e r m e t u r e d i r e c t e m e n t l i e s a u probleme

de

r z f l e d ' u n convexe B t u d i 6 p a r Moreau ( [7]., prop. 8.1 ). En c e q u i c o n c e r n e l ' e t u d e s y s t e m a t i q u e d e s . . i n t G g r a l e s convexes e t l e u r s a p p l i c a t i o n s , on r e n v o i e aux t r a v a u x de R o c k a f e l l a r (

[a]

,

[91

,

[lo]

,

[ll] )

,

Castaing (

[31.)

e t Valadier

(

614.1

..

.

I - ThCoremes d e d u a l i t 6 d e s i n t C g r a l e s c o n v e x e s

Notations.

Soient

T

un e s p a c e l o c a l e m e n t compact p o l o n a i s muni d ' u n e

mesure de Radon p o s i t i v e dual fort. F-mesurable

p, E

Une a p p l i c a t i o n

1-W,

K

E'

son

d a n s un e s p a c e t o p o l o g i q u e e s t d i t e

[[I].). S i

p-mesurable

inferieurement s u r

+a] non p a r t o u t C t a l e L

g(x') = Si

v de T

s i e l l e e s t Lusin

t i o n convexe s e m i - c o n t i n u e

un e s p a c e de Banach r e f l e x i f ,

+a , s a d u a l e

sup [ < x l , x> x e E

e s t un c o n v e x e ferm6 non v i d e de

-

E g

fix)]-

tt

f

e s t une fonc-

v a l e u r s dans

e s t definie par ( x ' r El)

E, on d e s i g n e p a r

6(.,

K)

C. Castaing

l a f o n c t i o n i n d i c a t r i c e de

K :

0

6 e t par

8*

K)

K)

(.,

6*

X E K

si

x 6 K

=

l a f o n c t i o n d ' a p p u i de K) =

(XI,

I1 e s t Bvident que

si

{<x',

SUP

X>

I

K :

x

E

K)

6 e t 8% s o n t d u a l e s l ' u n e de l ' a u t r e .

Voici un r e s u l t a t de m e s u r a b i l i t d q u i i n t e r v i e n t d i r e c t e m e n t dans l a d e m o n s t r a t i o n d e s thdorbmes de d u a l i t d que nous avons e n vue. Proposition

.

Soient

rement s u r

E

L v a l e u r s dans

une a p p l i c a t i o n

rBelle

f

une f o n c t i o n convexe semi-continue

p-mesurable de

p-mesurable

sur

T

T

$031.

non p a r t o u t d g a l e et -

a

x E E)

,

dans E ' -

a

,

une f o n c t i o n

t e l l e que

a ( t )> inf { f ( x )

-

14,

infCrieu-.

-

< v ( t ) , x>

A l o r s , il e x i s t e une a p p l i c a t i o n

I

p-mesurable,

u,

Vt de -

T

E

T

dans E -

t e l l e que

Demonstration.

Alors

r(t)

On s e rambne a u s s i t 8 t au c a s oO

e s t convexe fermd non v i d e ,

tft

E

T.

T

e s t compact.

I 1 existe par

v

C. Castaing

ailleurs une partition de

N

p-negligeable des

Tn

en une suite de compacts

telle que les restrictions de

chacun des

B

Kn x E,

(ED

affaiblie

Kn

et

a

B

chacun

e s t d e graphe sCquentiellement ferme dans

ddeignant l'espace vectoriel

u(E, E' )

).

un( t) E r(t)

, Qt

E

D'apres un resultat de

il existe une application p-mesurable,

les

v

(Tn) et,un

soient continues. Par suite la restriction de la multi-appli-

I-

cation

T

E Kn

muni de la topologie Cor 4 du theor. 11,

( [2],

un, de K

dans

n

E

telle que

. Alors, l'application, u, obtenue en recollant

un : si

teKn

'u(t) = p

arbitraire si

t

E

N

vCrifie les conditions de llCnoncd. Thdoreme

1.1.

On suppose

T

une -f -

compact mCtrisable. Soient

fonction convexe semi-continue infdrieurement sur ]-a,

-I.,

non partout Cgale B

E

B valeurs dans

g sa duale. On pose

+a

Alo+s If et Ig sont duales l'une de l'autre, c'est dire, 1 w Vu L If(u) = SUP { - I ( v ) 1 . v E L (T, p ) ) E' g E' E

vv

E

w L 1 ~ 6 v )= sup { E')

-

If(u)

I

u E 'L

E

(T, p ) )

C. C a s t a i n g

I1 s u f f i t de v e r i f i e r l a formule

Demonstration.

I f ( u ) = sup {

.

'

Quelque s o i e n t

u E L;

et

un element de

r < If ( u ) .

Soit

a

,

v E LEl

-

Ig(v)

1 L (T, p )

E

m

1.

(T, p ) )

v E L E'

on a

{I~(v)

=-inf u

Ig ( v )

m

I f ( u ) 2 su@ {cu, v>

Soient

-

m

I

V E

1.

v E L

w

r

et

1

L E' E

,I =

( I ~ J *( u )

un nombre r e e l t e l s que

une f o n c t i o n r e e l l e i n t e g r a b l e t e l l e que

< f(u(t)),

Vt

T

E

a ( t )p ( d t ) > r A l o r s on a

- a(t)> t

pour t o u t

inf {g(x')

-

u(t)>

< X I ,

I. x '

6

E')

E T, Posons

rlt) =

1.

E * ~ g ( ~ *-)

<XI,

u(t).>s

- a(t))

D1apr&s l a p r o p o s i t i o n p r e c e d e n t e appliqude B l ' e s p a c e l a topologie T

dans

El

a(Ef, E t e l l e que

),

il e x i s t e une a p p l i c a t i o n

v(t)

E

r(tP

(Kn)

muni de

p-mesurable,

presque p a r t o u t .

une s u i t e ~ r o i s s a n t ed'ensembles compacts

Els

v, de

I1 e x i s t e a l o f s

e t un n e g l i g e a b l e

C. C a s t a i n g

N

v

tel que la restriction de

que

v(t)

E

r(t)

pour

t

E

T\N

a chacun des

. Soit

?

K, soit born6e et telle

w E

L

,

E'

telle que

Ig(?) C + r,

Posons

0

appartiennent t~ L E'

Alors les vn

de sorte que les

v,>

son%

integrables. Pour tout n, on a

peut Stre rendue arbitrairement petite des que

n

est suffisamment

grand et comme on a 1 n+m On en d6duit que, pour

ce qui implique

a(t) p(dt) = Kn n

T

a(t) p(dt) k r

suffisamment grand,

(Ig)* (u) > r

. Comme

r

est un nombre arbitraire

C . Castaing

Remarque. 1

0

(L

0

L

'

E

Ce thtioreme reste valable si l'on remplace le couple

E'

)

(L, M )

p w ~ un . couple

d'espaces d6composables au sens de

Rockafellar. Nous allons donner maintenant une variante du thgoreme 1.1., variante qui s'applique directement au probleme de rsfle d!un convexe d6velopp6 tres r6cemment par Moreau

([5]., [ e l ,

[71-)

dans une s6rie d'expostis

.

du SCminaire d1Analyse Convexe Montpellier 1971-72-73 Dans tout le reste de cette partie, I de la mesure de Lebesgue

dt

est l'intervalle

. Une multi-application

dans les convexes fermds non vides de

E

s'il existe une fonction rdelle continue

OCI

h

f(t,

I X)

11. muni

de

I

B valeurs

est dite B variation continue r

dtifinie sur

I telle que

ddsigne la distance de Hausdorff des ensembles fermds non vides

Thtioreme 1.2. de

r

LO,

Soient

r

une multi-application

variation continue

$ i

B valeurs dans les convexes fermgs non vides de

E,

les fonctions d'appui et indicatrice de l'ensemble

g ( t, x' rlt) :

-

et

C. Castaing

Alors, Sr -

1 est un convexe fermd'non vide de OD

convexes Ig et If

definies sur

If(u) = f

I

L

E'

(I)

5

f(t, u(t)) d t ,

L

(I) et les fonctions E 1 L (I) respectivement : E

U E ' L

sont B valeurs dans ]-OD, +a]., non partout 6gales a

E

(I)

+a

et duales l'une

de l'autre. D&monstration.

Le principe de demonstration est le mSme que dans la

demonstration du theoreme 1.1. Les points essentiels B'verifier sont :

SF

a)

la non vacuitC de

b)

la mesurabilite des fonctions t H g(t, v(t)

t.a) Sr

et

-,,

(

,

f(t, u(t)). est non vide car

r

est B variation continue, donc semi-

continue inferdeurement pour la topologie forte de suite

r

Michael b)

.

E.

Par

admet une section continue dlapres un resultat de ( [4],

thCor.3.2)

la mesurabilite des fonctions t W f(t, u(t)) est automatiquement assureecar

est de graphe ferm6 dans

I x ED

et,

(

C . Castaing

celle des fonctions t

H

g(t, v(t))

est assuree grsce au

lemme suivant :

,

Lemme. Soit cp -

une fonction reelle definie sur

I

X

E,

telle que pour

tout reel h , l'ensemble Ah = ((t,x)

E

I

X

I

E,

y(t,x) > h )

soit reunion denombrable de compacts, G

t A

I

a valeurs dans les fermes non vides de

A

est sequentiellement ferme dans p : t

H

Ah

. Si

E,

E,

,

I

E

(t E I)

A(t))

I.

E

I

1.

p(t) > h ) = projI

[G(A) n A ~ ] . I x E,

est reunion denombrable dC,-cappacfS de

[G(A)'CI

G(A) de

alwfs la fonction

x

est aussi reunion denombrable de~compaets de wojI

-

le graphe

un nombre reel. On a

1% Comme

x

sup {v(t,x)

est unlversellement mesurable sur Soit h

I

une multiapplication de

,

Inx Eg

A ~ ] . est reunion denombrable de compacts de

,

G(A)n AX

donc I, donc

universellement mesurable. Corollaire.

Si -

est une application mesurable de

v

I

dans

la fonction t est mesurable sur

1-4g(t,

I.

v(t)) = sup {

I

x E A(t))

E'

, alors

C. Castaing

En e f f e t , on s e ram6ne immddiatement a u c a s oh c o n t i n u e , de s o r t e que l a f o n c t i o n

( t , x ) W < v ( t ) , x>

v

est

verifie les

c o n d i t i o n d ' a p p l i c a t i o n s du lemme p r e c e d e n t :

I1

-

Theoremes de fermeture

-

Theoreme 2.1.

Soient

T

mesure de Radon p o s i t i v e

un espace compact m C t r i s a b l e muni d'une p , E un e s p a c e de Banach r e f l e x i f ,

f o n c t i o n convexe semi-continue ]-a,

+co]. non p a r t o u t Cgale

au p o i n t

x. . I .

(resp. L

E'

(i)

(T, p )

(up) 'V

u

(iii)

Soient )

B

inferieurement s u r

f

une -

v a l e u r s dans

E

a,a f ( x ) l e s o u s d i f f e r e n t i e l de

( u n ) ( r e s p . v n ) une S u i t e dans

w

L

E

f

(T, p )

t e l l e que :

e s t uniformement bornee e t converge :uniformgment v e r s w

E L

E

(T, p )

v n ( t ) c a f ( u n (t ) ) p-presque p a r t o u t A l o r s on a

?(t ) DCmonstration.

Les c o n d i t i o n s

E

a f ( % (t ) 1

p-presque

partout

D 1 a p r & s l a c o n d i t i o n ( i i i ) , on a pour p r e s q u e t o u t

( i )e t ( i i ) i m p l i q u e n t

t,

C. Castaing

,

D ' a p r e s l e thBoreme 1.1.

r

I f ( u )=

fT

Ig(v) = s o n t semi-continue

T

l e s f o n c t i o n s convexes f ( ~ ( t )~ ) ( d t )

g ( v ( t ) )p ( d t ) m

inferieurement sur

L

(T, p )

E

1 L ,(T, P )

et

E

Pour

t o u t e t o p o l o g i e localement convexe compatible avec l a d u a l i t d mise s u r c e s e s p a c e s . Par s u i t e , on a lim i n f ( I f ( u n ) + I g ( v n ) ) 2 I f (%) + I g ( 7 ) n-grn c a r d ' a p r k s ( i), ( u n ) converge uniformBment v e r s %, donc converge

(2

vers

.-., u pour

converge pour

l a t o p o l o g i e f o r t e de 1 a(L

m

E"

L

E

)

vers

7

LI

E

(T, p )

e t dfapr8s ( i i ) ,(vn)

. Tenant compte de

(1 e t ( 2 ) ,

on o b t i e n t finalement :

puisque

If e t I g

Or, (3)

Bquivaut

s o n t h a l e s l ' u n e de l ' a u t r e .

-" v E 21,

Theoreme 2.2.

-

soit

D

(z)

<=> %( t )

(z(t )

E af

F-presque p a r t o u t :

Les hypotheses e t n o t a t i o n s B t a n t c e l l e s du thBorkme' 1 . 2 ,

g ( t , x'

l e dornaine de d e f i n i t i o n de

),

E', ( v n ) une s u i t e d ' a p p l i c a t i o n mesurables de

~ ' f ) @ ) convergeant v e r s

? pdur -

m

a(L

E"

1

L

E

),

B' I

(un)

l a boule u n i t e de v a l e u r s dans une s u i t e d ' a p p l i c a -

C. Castaing

tions continues de

I

dans

(i)

z

de r, -

section continue

%

I d

E

convergeant uniformcment vers une

(8,)

une suite d'applicationfmesurable5

I. On suppose :

lim

en(t) = t ,

V

~ IE

"-+a (ii

,

un(~n(t))3 0

vn(t) +af(e,(t),

Vte I.

Alors on a

'?( t ) + af( t, DBmonstration.

La condition

Iim n-+ Comme les vn (1)

Pour tout

t

a(t) )

3

et tout

presque partout.

0

n, on a, d1apr8s (i.i)

(i) implique

f I at = prennent leurs valeurs dans

lim n+a

.f

[g(en(t),

I

Comme la fonction convexe

-

vn(t))

r I < a t ) , Z(t)> dt

(-~)n B',

-

g(t,

-

on

a

vn(t))l.dt =

o

C . Castaine

m

est semi-continue inferieurement sur

L

E'

1

03

pour

u(L

E"

L

E

)

d1apr8s le

Y

(3)

lim inf I g ( -vnl 2 Lg(-v) n -jrn

tenant compte de la condition ( i i ) et des relations (11, ( 2 ) et (31, on obtient

presque partout

presque partout.

C. Castaing

N. BOURBAKI,

IntCgration, chapitre 1,2,3,4, Hermann, Paris 1965

CH. CASTAING,

Proximite et Mesurabilite

-

Un theoreme de compa-

cite faible. Colloque sir la theorie mathgmatique du controle optimal, Bruxelles 1969. CH. CASTAING,

IntCgrales convexes duales. Seminaire dlAnalyse convexe Montpellier 1973, Expos6 no 6

E. MICHAEL,

Continuous selections I, Ann. of Math. 63, 1956 p. 361-382.

J.J.

MWEAU,

~^aflepar un convexe (Premiere partie ) , Seminaire dfAnalyse convexe Montpellier 1971, Expose no 15.

J.J. MOREAU,

R^afle par un convexe variable (Deuxieme partie), SPminaire dtAnalyse convexe Montpellier 1972, Expos6 no 3.

J.J. MOREAU,

Retraction d'une multi-application, Seminaire dlAnalyse convexe Montpellier 1972, Expose no 13.

R;T;

ROCKAFELLAR, Integrals which are convex functionals, pacific Journal of Math., 24, 1968, p. 525-539.

R.T. ROCKAFELLAR, Integrals which are convex functionals 11, Pacific Journal of Math., 39, 1971, p.439-469.

C. Castaing

[lo].

R.T.

ROCKAFELLAR, Weak compactness o f

level s e t s of integrals

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C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO ES,TIVO

(C.I. M. E . )

E T U D E D E P R O B L E M E S UNILATERAUX EN MACHANIQUE P A R D E S METHODES VARIATIONNELLES

GEORGES DUVAUT

Corso tenuto

a

B r e s s a n o n e d a l 1 7 a1 2 6

giugno 1973

PREMIERE CONFERENCE GENERALITES - ELASTICITE AVEC FROTTEMENT par G. Duvaut (Univ., Paris, X I I ) 1) Gknkralitks. Les m6thodes variationnelles ont ktk appliqukes en mkcanique depuis quelques annkes 2 des problsmes divers : i2; Elasticit6 classique (P. Germain rl] ), unilatkrale (probldme de Signorhi) (G. Fichera [I],

J.L. Lions et G. Stampacchia [I],

Boucher [I] ) , avec frottement (G. Duvaut et J.L. Lions [I] [2]), gknkralisation 2 la viscoklasticitk (G. Duvaut rl] , Boucher ii) Plasticit6 avec la loi de Hencky (H. Lanchon [l] [2]), de Prandtl-Reuss (B. Nayrolles [l] [2J, ~lasticitk (G. Duvaut et J.L. Lions blocage ( W. Prager [lj

, F.

Lknk [I] )

puis

[I] ) .

avec la loi

J. Moreau [l] [2] 1, Qlastovisco-

[q , G. Duvaut

[2] ) , matkriaux 2

.

iii) Parois semi-permkables (en thermique, mkcanique des fluides en milieux poreux, physique des solutions) (G. Duvaut et J.L. Lions [2], H. Brkzis [I] 1. iv) Thkorie des plaques 1inkaii.skes (G. Duvaut et J.L. Lions [2])

ou

en forte flexion (G. Duvaut et J.L. Lions [3]. V)

Ecoulements des fluides de Bingham.

vi) Electromagnktisme (thkorie du claquage d'antenne) et magnktohydraudynamique (G. Duvaut et J.L. Lions [4] ) vii) Ecoulement 2 frontisre libre 2 travers une digue poreuse

G. Duvaut (C. Baiocchi [I] 1. viii) Ecoulement d'un fluide parfait avec ou sans sillage (H. Brkzis et G. ~tam~acchia [I],

H. Brkzis et G. Duvaut [l]

).

ix) Probldmes de Stkfan : phknomdne de fusion ou cristallisation

1.

( G . Duvaut [3]

2) Un probldme d'klasticitk avec frottement. 2.1. Enonck mkcanique du probldme. Soit une rkgion Q formke de R~ de frontidre rkgulisre mes

(1)

La partie

rl

r

composke de 3 parties

r1 >

r

r2, r 3 avec

0.

est supposke fixke, r 2 est soumise 2 une densitk surfa-

cique de forces donnke,

r3

est le sidge de forces de frottement. Le

matgriau qui, avant dkformation, occupe la rkgion Q est klastique lin6aire. Les kquations et conditions aux limites sont les suivantes, oil (u,u) sont les champs de dkplacements et contraintes recherchks :

dans (3)

aij = aijkh~kh(u)

(4)

u = o

(5) (6

'ij"j

Cl

(1)

sur r1

= Fi

uN = FN

sur

r2

sur r 3

(Fi donnk) (FN < 0 donnk)

(1) On applique la convention de sommation sur les indices rkpktks,

G. Duvaut (7)

[luT1 I g

(g > 0 donnk)

Les quantitks f.scmt les composantes d'une densit6 volumique de forces donn6es sur 52

. Les coefficients aijkh sont les coefficients

d'klasticit6 du mat6riau et satisfont aux relations suivantes pijkh

De plus

' aijkh =

akhij

et (uN YuT ) sont les composantes normales et tangen-

tielles de {a. .n .} et u. 13 3

Remarque 1. Si

r3

= 0. on a un probldme d'klasticitk sans frottement. La

m6thode dkcrite ici en donne la solution. 2.2. Formulation variationnelle. Soit (u,o) une solution du probldme (2)

-

( 7 ) . On suppose (uyo)

assez rkgulikre pour que les calculs suivants aient un sens. Soit v

= 0. Multiplions (2) par

un champ de vecteurs sur 52 tels que v Irl

vi

- ui et int6grons sur 52

; il vient aprks integration par parties

Le dernier terme de l'kgalitk (9) se d6compose en

G. Duvaut Compte tenu de

(4)

=

et de v

0

on a

Irl

Les conditions de frottement (7) donnent l'inkgalitk

Introduisons les notations

~'6galitk(9) devient alors, en tenant compte de (3) et (111,

Lfinkgalitk (15) avec la propri6tk ( 4 ) constitue la propri6t6 variationnelle satisfaite par un champ de d6placement r6gulier solution du probldme mkcanique posk par (2)

- (7). Cette propri6t6 va nous per-

mettre de poser un probldme mathgmatique pr6cis qui, nous lfespkrons et le vgrifierons ensuite, va rksoudre en un certain sens le probldme m6canique initial. 2.3. Cadre variationnel.

Nous introduisons l'espace V

G. Duvaut 1 3 qui est un espace de Hilbert pour 'la structure engendrke par (H (Q)) , 1 l'espace H (a) ktant l'espace de Sobolev des (classes de) fonctions de carrks sommables sur 52 et dont les dkrivkes (au sens des distributions sur a) sont des fonctions de carrks sommables sur 52. Les thko-

I (a) (J.L. Lions et E. Magenes [I] V est un sous-espace ferm6 de (H1(Q 1) 3 rdmes de trace sur H

)

montrent que

.

L'introduction de V et les hypothdses suivantes sur les donnkes

permettent de reposer le probldme en termes prkcis. On cherche u tel que

(I8)

'(

a(u,v-u)

+

j(v)

- j(u) 2 L(v-u),

v v 6 V.

Mais le probldme (18) est kquivalent (J.L. Lions [l] (1911

au probldme

Trouver u C V tel que

2.4. Existence d'une solution unique de (18) ou 119).

~ o u savons les rksultats suivants :

& e ~ e - _ l .(Inkgalit6 de Korn). norme classique est

1 3 une n o m e Qquivalente 2 la Sur (H (52))

G. Duvaut

Q&nn_strat_io~:

Nous renvoyons le lecteur 5 G. Duvaut et J.L. Lions [2]

(Thdorhme 3.1) ou aux r6fErences de cet ouvrage. Lemme -------2.

Sur V avec lfhypothsse(1) la quantit6 [a(~,v)]l'~

norme dquivalente 5 la norme induite par (H1( a ) )3

est une

.

Qemon_sfnogfigg : Nous renvoyons le lecteur 2 G. Duvaut et J.L. Lions [2] (Thdorsme 3.3 )

.

On peut alors montrer le Thgorhme

.

Sous les hypothhses (I), (8), ( 17) il existe u unique solution

Q&mn_sfcmgt_ign. i)

*

Unicitd : Supposons que u et u soient solutions de (18).

*

Choisissons v = u (resp. v = u) dans lfin6galit6 (18) relative 2 u

*

(resp. u ) et ajoutons membre 5 membre les in6galit6s obtenues ; il vient

*

(21)

-

dfo6

u = u* d'aprss le lemme 2.

a(u-u',

u-u

2o

ii) Existence : La fonctionnelle v

+

I(v) est convexe s. c. i.

sur

V faible. En effet v + L(v) est une forme lin6aire continue sur V faible. L'application v + j(v) est convexe et v de V dans L2 (r ), donc lfapplicationv 1

-+

-+

v

I rl

est compacte

j(v) est continue sur V

faible. Par ailleurs a(v,v) est une forme quadratique positive sur V donc est convexe s. 'c. i. sur V faible (~Qrificationpar un calcul

G. Duvaut 616mentaire). De plus I ( V )

-+

+

si

I IYf 1 -.

En effet d'aprds le lemme 2

-+

06 C est une constante. I1 en r6sulte (cf J.L. Lions Ll] ) qu'il existe u solution de (19). 2.5. Retour au probldme m6cm i-que.

La solution u est caract6riske par (18). Choisissons dans cette in6galit6 v = u

t

(

= $ 1 , (i

o

€

3

(*)

.

ce qui est

loisible car alors v 6 V.. I1 vient

et donc, en posant u.. 13

=

aijkhckh(u)

au sens des distributions , d a m Q

.

I1 en r6sulte que (25)

a ' a x j uij (3 ~ ~ ( i - 2 )

ce qui permet de d6finir u..n 11

(26)

(*I (**I

comme 616ment de H-1/2(~)(**)

+>

On d6signe par

a

jIr

I,+

air..

Y dx.

par

,

Y Y G n112(rj

(0) l'ensemble des fonctions w

- diffsrentiables

support compact dans Q.

~-"~(r)

est le dual de H1/?(r).

cf J.L. Lions et E. Mag&&

[I]

G. Duvaut

~"~(r)

oa Y est un relkvement linkaire continu de J, de (Th6orbme de trace dans H1(n)

dans H1(R)

. cf J.L. Lions et E .Magkn?s .)]I[

Le

premier membre de (26) est alors une forme linkaire continue sur H'/~(I').

On vkrifie qufelle est indkpendante du relsvement

le deuxibme mdmbre de (26) est nu1 pour Y Y

E

1) H0(,

9 (R 1,

en effet

donc pour

dans H;(Q).

I cause de la densit6 de

:

On notera

d6sormais le crochet du ler membre de (26) comme une intkgrale sur r , soit =

I

Multipliant alors (24) par vi

0

r

.n.$dr il I

.

- ui, 06 v = iu.1

6 V, et utilisant

(26) on obtient

et en comparant avec (18)

Choisissant alors v

e V, v

-

lr3 - Ulr3

on obtient

ce qui implique

au sens de ill2(

r2). (*I

( + I Les kl6ments de H-~/~(I'~) sont les restrictions I I'2 des 6lkments de H-ll2(r) ce qui'a un sens car H-'l2(r) tions.

est un espace de distribu-

G. Duvaut On montre de manisre analogue que (30)

FN = oN

ausensdeH

-1/2

sur

r3

(r3).

I1 s u b s i s t e a l o r s de (281, (31)

I

VVCV

[ o T ( v T - ~ T ) + g ( ~ v T ~ - ~ ~ T ~ ) l d ~ ~ ~ , 3

L'espace V k t a n t v e c t o r i e l on p e u t remplacer v p a r Xv dans (311,

X > 0. F a i s a n t a l o r s t e n d r e X v e r s

+

w

e t v e r s z6ro on o b t i e n t

On d 6 d u i t d e ( 3 2 ) que

I1 en r 6 s u l t e que l f a p p l i c a t i o n l i n 6 a i r e v

T

oTvTdl. d e ( d ' 2 ( 1 3 ) ) 2

+

r3

1 2 dans R esf l i n k a i r e continue de (L ( r 1) dans R. I1 s f e n s u i t que 3 (35)

uT

e

e t que sur

r3

.

I1 en r 6 s u l t e a l o r s que

(37)

oTuT + gIuTI 2 0

pp. c e q u i implique

sur

r3

G . Duvaut

la*l

< g

loTl = g

UT

= O

' 4 3 k ) O

t e l que uT =

e t donc (7) e s t s a t i s f a i t p a r l a s o l u t i o n u.

-

k aT.

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G. Duvaut

DEUXIEME ET TROISIEME CONFERENCES PROBLEME DYNAMIQUE EN ELASTO-VISCOPLASTICITE ET PLASTICITE PARFAITE AVEC CONDITIONS DE FROTTEMEN'I A LA FRONTIERE

1) Position du probldme.

On dksigne par Q un ouvert bornk de fR3 de frontikre

r

rkgulidre,

Q ktant situk localement d'un mtme cbtk de r . On suppose que Q reprksente la rkgion occupke par un corps plastique dans son ktat non dkformk. Nous nous intkressons ici aux dkformations subies par ce corps lorsqu'il est maintenu par des forces de frottement sur une partie rl, de mesure strictement positive, de l', et soumis de plus

2 une densitk variable Cf.(t,x)}

de forces volumiques.(1)

.

Nous dksignons par u = (u.1 , o =[o . I , i, j prenant les valeurs 1I 1, 2, 3 les champs de dkplacements et contraintes dans Q. Le matQriau est supposk obkir 2 une loi klasto-viscoplastique dans le premier temps, puis klasto-plastique (loi de Prandtl-Reuss). La loi de frottement retenue est la loi de Coulomb, mais dans une premidre Qtape, nous utiliserons une loi rkgulariske par rapport h cette dernidrei Au n02 nous donnerons les kquations et conditions du problsme.

(1) On pourra trouver une ktude des problkmes de plasticitk sans frottement dans G. Duvaut et J.L. Lions [ I]

.

G. Duvaut Au n03 les diverses formulations variationnelles seront ktablies.

Le n04 est destink 2 l'knonck des rksultats sous forme de trois thkor~m~d'existenceet unicitk des solutions des problsmes. Les d6monstrations dktaillkes des thkorsmes seront donnkes dans un article de 1'A. 2 paraitre au Journal de Mkcanique. 2 ) Mise en kquations.

Avec les notations introduites pr6ckdemment nous avons :

u~.1 ' = uij,j

(1)

+

fi

dans

(1)

06 la densit6 du matkriau a kt6 prise &gale 2 l'unitk, ce qui ne restreint pas la g6nkralitk. Nous introduisons un ensemble convexe fern6 K.de l'espace vectoriel des tenseurs des contraintes, l'intkrieur de K correspondant au comportement klastique, et nous dksignons par PK l'opkrateur de projection orthogonale sur cet ensemble convexe K. Une loi de comportement klasto-viscoplastique s'knonce alors :

oc B(u)

=

0

-

PK(U),

et 02 le scalaire positf lJ joue le r6le d'une

(1) On utilise les notations suivantes : XI = 2 at

' x ,j

=ax axj

et la convention de sommation sur les indices rkpktks, ainsi :

i!

G . Duvaut

Les coe'fficients Aijkh sont des coefficients d'klasticitk satisfaisants 2 :

06 Co est une constante strictement positive. De plus, on a posk classiquement :

Les conditions aux limites s'kcrivent : (3)

a..n 11

j

= 0

sur

r -

= T

2

+

02 n = {nl, n2, n 1 est la normale extkrieure unitaire 2 3

r.

Dksignons par aN et aT les composantes normales et tangentielles du vecteur aijnj en un point de (4)

aN=FN

sur

r.

Nous imposons

rl

06 FN est un scalaire donnk nkgatif indkpendant de t. La loi de

i

frottement de Coulomb conduit alors 2

(5

laTl laTl

5g

IaTI

= g

< g

> ---\

:

U'=o

T

3 k 2 0 telque

U' T

= -kaT ,

03 g est un scalaire donnk positif indkpendant de t.

(1) Les rksultats de ce travail peuvent Gtre gknkralisks au cas

d'une loi avec potentiel viscoplastique (G. Mandel [I] 1.

G. Duvaut Enfin on impose les conditions initiales

:

u(0,x) = u1(o,x) = u(0,x) = 0.

(6)

Nous allons immgdiatement faire quelques Remarques : i) L'inconnue u(t,x) n'intervenant que dans (6) nous poserons comme inconnue 2 la place de u

de sorte que gra'ce 2 (6) (8)

ii) Pour les besoins des dgmonstrations la loi de frottement de Coulomb devra dans un premier temps dtre remplacge par la loi de frottement rBgularis6e

oG

E

est un paramstre positif. On retrouve, 2 partir de ( 9 ) formel-

lement, la loi de Coulomb lorsque

E +

0.

iii) Lorsque u + 0 dans la loi klasto-viscoplastique ( 2 ) on trouve la loi de Prandtl-Reuss (P. Germain [I] 1,

03 axK(u) dksigne le sous-gradient de la fonction indicatrice x K du convexe K (Moreau [I?, Roccafellar L ] 1.

G. Duvaut iv) Physiquement le probldme pose est celui de la dkformation dtune piBce retenue sur la surface

r 1 par

une machoire et soumise par

ailleurs 2 des forces volumiques f(t,x) variables. I1 est c l a i ~que ce probldme n t a de sens que si, en l'absence des forces f(t,x),

il

existe un kquilibre possible, c'est-2-dire, un tenseur des contraintes convenable soit :

[ 3un champ de tenseur des contraintes T

I

I

oij,j = 0 T

n = O oij j

T~~

,

B(ro) = 0

sur

tel que :

dans Sl

r2

= FN , X(ro) =

0

rl

sur

.

Nous retiendrons l'hypothsse (11) dans toute la suite de ce travail. 3) Formulations variationnelles.

On introduit les espaces :

H =

(~~($2))~

V = (~l(Sl))~ ,

9

munies des structures hilbertiennes respectives

munis des structures hilbertiennes respectives

tfr,

(16) (17 Enfin nous posons :

dx

+

~

(T,u)

€

,

8

VT,

o &%!.

G. Duvaut

(18)

Cad =

{T

1

T

€ 5 , T i3.nj

= 0 sur r2, r N = FN sur rl},

ce qui a un sens. De plus, on vkrifie immkdiatement que Cad est un sous-espace affine fermk de

5.

Nous allons maintenant obtenir les formulations variationnelles des divers problemes envi'sagks suivant que le matkriau est klastoviscoplastique ou obkit 2 la loi de Prandtl-Reuss et que le frot-3x1tement obkit 2 la loi de Coulomb ou 2 la loi de frottement rkgularisge (9). a) Loi klasto-viscoplastique - Frottement rkgularisk. satisfasse aux kquations et conditions

Supposons que (v,a)

(20)

vf = aij ,j

(21)

v(o)x)

+

fi dans

=

= o(o)x)

,

Vt &10,t[

0 dans a

ainsi qu'aux lois (21, o6u' est remplac6 par v, et ( 9 ) . Soit alors T E Cad. Multiplions (2) par T.. 13

-

aij et intkgrons sur Q ; il vient apres

quelques transformations :

Utilisant (9) et posant :

G. Duvaut il vient,

dt E Cad

.

Par ailleurs, si w E V, on obtient 2 partir de (2'0)~

VW e v.

(v1,w) - JQuijyjwidx = (f,w),

En rgsumk, si {v,u) est une solution du probldme (19)(20)(21)(2)(9) on a : {v,a) E V

(25)

Cad

x

,

\dt E]O,T[

I

a3. ,jmoij, j )dx = 0

+

,

qz

Cad

Vt E ~o,T[:

-

I

.w.dx = (f,w), t/w E V ij,i 1 V(O,X) = U(O,X) = 0, Vxen.

(27)

(v',w)

(28)

On dira que (25)-(28)

o

,

dt € 10,~r

constitue la formulation variationnelle du

Inversement, on peut montrer (G. Duvaut

[I]

) que si le couple (v,o}

satisfait (25)-(281, il satisfait aussi (19)(20)(21)(2)(9)

au moins en

un certain sens. b) Loi Elasto-viscoplastique. Loi de frottement de Coulomb. Supposons que {v,o) satisfasse (19)-(21)(2)(5), place par v. Soit alors per r . . 13

T (

1

Cad, rTl 5 g sur

- aij eU intggrons sur a. I1 vient

:

r 1'

oh n'a kt6 remMultiplions (2)

G. Duvaut (29)

+

&(U1,T-0)

=

lJ

(P(U),T-U) + /avi(Tij,j

=

.

~~(~~-u~)dl.

1 On vkrifie alors facilement, grdce 2 la loi de Coulomb, que le dernier terme est positif ou nul. I1 en.r6sulteque : Si (v,aI -

est une solution de (19)-(21)(2)(5)

(30)

(v,u}

(31)

V

x

Cad,

loT/ 5 g

sur

on a :

r1 '

~ ~ u l , ~ -l~ u ~ + ~ ~ ~ ~ ~ ~ , ~ - u ~ + ~ v i ~ ~ i j , j - u i j , j R Cad, lrTl ( g sur r 1'

YT

ces proprikt6s ktant satisfaites quel que soit t 6 ]o,T[

.

Ceci constitue la formulation variationnelle du problbme (19)-(21)

Inversement on peut montrer que si (v,o} satisfait (30)-(331, il satisfait aussi (19)-(21)(2)(5)

en un certain sens.

c) Loi de Prandtl-Reuss. Loi de frottement de Coulomb. Supposons que le couple (v,u) satisfasse (19)-(21)(5)(10).

Les

6quations (10) sont 6quivalentes 2 :

(35)

Aijkhulkh(~ij-u..I > E ~ ~ ( v ) ( T ~ ~ - ~ ~ ~ )~, T E K . 11

-

ce qui va nous permettre d'obtenir une formulation variationnelle. Introduisons 2 cet effet l'ensemble convexe :

G. Duvaut

X=(T I r 6 . E a d , { ~ ~ ~ } tp K. p . d a n s R , l ~ ~ l ~ g s u r 1 . ~ ) .

(36)

Choisissons alors T C K dans (35) et intggrons sur R. I1 vient

:

en utilisant la loi de'coulomb. On peut alors knoncer,

si {v,u) -

est une solution de (19)-(21)(2)(5)

ces propriktks ayant lieu pt €

on a

:

] o,T[*

Inversement on peut montrer (38)-(41) impliquent (19)-(21)(2)(5)

en

un certain sens. 4) Rgsultats.

Dans le cas d'un matkriau klasto-viscoplastique avec la loi de frottement r6gulariske, on obtient le :

Sous les hypothsses donnkes au no 1 sur (42)

f, f T 6 L=(O,T ; HI, F~ E

2

(1) Lfhypoth&se FN e L cations.

( r 1)

~-~'~(r~)

(1)

serait en fait suffisante pour les appli-

G. Duvaut

il existe une unique solution {v o

Ell Ell

1

de (25)-(28) dans la classe

fonctionnelle 2r

(43)

hEll ,aEll I r

(44)

(v;,, ,of I t L-(O,T ; H

L~(O,T ; H

x

Ell

HI n L~(O,T ; x

v

' I ,

x

V)

8).

Dans le cas d'un matkriau klasto-visdoplastique avec la loi de frottement de Coulomb, on obtient le : Thgorsme 2 Sous les hypothsses du thkorsme 1, il existe une unique solution (vllull) de (30)-(33)

dans la classe fonctionnelle

De plus cette solution (v o ) est limite de lJ

(v

o Ell Ell

?J

1, lorsque

2r

vers zBro, dans l'espace Lrn(O,T ; H

H) faible ktoile (1)

x

E

tend

.

Dans le cas dlun matkriau obeissant 2 la loi de Prandtl-Reuss (Blastique parfaitement plastique) et la loi de frottement de Coulomb, on obtient le :

(1) Sur le dual X' d'un espace de Banach X non rkflexif, on appelle topologie faible ktoile celle liBe 2 la dualit6 entre X' et X, soit, si

f n € XI, f C X' fn -+ f

,

on dira que

quand n +

fn(xY + f(x)

.o

, quand

n

, dans -+

,

:

X'

faible ktoile v x E X.

G. Duvaut Thkordme 3 Sous les hypothdses du th6orSme 1, il existe une unique solution (v,a} -

de (38)-(41) dans la classe,

(47)

(V,UI G L~(O,T ; H

(48)

Evl.u') E L~(O,T ; H

x ?I)

A

L~(O,T

;vx5)

' I ,

H).

x

De plus cette solution {v,a) est limite de (v ,u 1 , lorsque U U b ' vers z6r0, dans llespace L~(O,T ; H x H) faible ktoile.

tend

5 ) D6monstration du thkordme 1.

* *

Supposons qulon ait deux solutions (v,o) et (v ,a )

5.1. Unicitk.

du probldme klasto-visco-plastique avec frottement rkgularis6 (1)

.

Choisissons dans (26) et (27) kcrites pour la solution (v,ol

* * ),

(resp v ,a

T

*

=.aX et w = v

- v (resp r =

0

*

et w = v = v ) et

ajoutons membre 2 membre. I1 vient en tenant compte de la monotonie des applications r

02 l1on a posk

-t

&(TI

r

B(T) et

=

-t

X

(TI

11 rksulte de (49) et des conditions

&T,T).

*

initiales que o = a* et v = v 5.2. Existence.

Nous introduisons les notations

et un scalaire

rl

positif.

(1) Dans ce paragraphe nous n6gligeons. pour all6ger 116criture, les indices

E,U.

G. Duvaut Si on remplace les kquations (26) et (27) par les kquations rkgulariskes elliptiquement

on obtient un systsme d'kquations paraboliques monotones qui posssde (J.L. Lions [I] ) une. unique solution {v a ) dans la classe 17) 17

'L

-

'L

06 V' (resp V') est le dual de V (resp V) quand on identifie H 'b

(resp H) 2 son dual. La mkthode de dkmonstration consiste 2 obtenir des estimations sur {vn,an) de manisre 2 pouvoir passer 3 la limite lorsque 17 tend vers zkro dans (51)(52). Estimations I. Choisissons

T

=

T

introduit par (11) dans (51) et w = 0 dans

(52) et ajoutons membre 2 membre. On obtient, en nkgligeant d'kcrire

Les opgrateurs 6 et A ktant monotone, on a, grzce 2 (ll), (~(a),.ro-a) = (B(U)-B(T~),T~-~) 20

C,.

Duvaut

En intkgrant sur (0,t) il vient alors

d'oii il rksulte que %

{ V ~ , O ~6 ) born6 de L=(O,T ; H (55 n1'2{v11.011]

H)

x

2

€ borne de L (0,T ; V

ces majorations ktant indkpendantes de

E,

u et

x %'),

0.

Estimations 11. Faisant t = 0 dans (51) (52) on obtient

[

5

&(UA(O)~T)

(v'(o),w) 11

= 0

t f - r t Cad

= (f(0),~),

dw

,

e v, N

ce qui entraine que ol(o) et v' (01 sont bornks dans H et H respectivement

.

11

11

Soit alors un scalaire h > 0 destink 2 tendre vers zkro. Ecrivons (51)(52)

pour l'instant (resp t

(resp {w,~) = {v(t),o(t)))

+

h) avec {w,~) = {v(tth), o(t+h)),

et ajoutons membre 2 membre les &galit&

obtenues

< (f(t+h)-f(t), -

v(t+h)-v(t)).

On divise cette ,inkgdlitk par h2, puis fait tendre h vers zero. On obtient alors que,

G. Duvaut

{

'b

v

5

t

a

t 6 born6 de L~(O,T ; H

x

2

1'2iv'

H) 'b

0') born6 de L (0,T ; V x V) qYrl ces estimations Qtant indkpendantes de E, p, 0.

11

,

Quel que soit w E V nous avons

I

I1 en rksulte, compte tenu des estimations I et 11 que l'application

est bornke dans L~(O,T ; V'). Introduisons alors 'b

vo

(60)

=

IT I

T

E

'b

V, /

T

N =

o

rl)

sur

'b

'b

et l'klkment A(a) de Vo, dual de Vo quand on identifie H et son dual, par

'b

Soit alors v E Vo ; choisissons T = a

11

t

v

, ce

qui est loisible.

Alors

Compte tenu des estimations I et I1 il en r6sulte que

Passage 2 la limite. I1 rksulte des estimations prkckdentes que l'on peut extraire de vV, on une sous-suite, encore not6e v

11)

a telle que 11

G. Duvautv v l + v, v1 n' n

dans

L - ( 0 , ~ ; H)

u n y 0; + a , a 1

dans

L ~ ( O , T; H)

%

faible Qtoile faible Qtoile

%

+

x

dans

L2(0,T;V~)faible

5(un) +

5

dans

L'(O,T ; V 1 ) f a i b l e .

A(un)

Nous pouvons a l o r s , e n u t i l i s a n t l e s m6thodes exposges dans J.L.

Lions [I]

, passer

h l a l i m i t e dans

pour o b t e n i r

I

Choisissons a l o r s

.

dans l a 2e Q q u a t i o n ( 6 5 ) . I1 v i e n t

c e q u i prouve que

u

i j,j

& ~ ~ ( ~ 2M1u l. t i p l i a n t a l o r s ( 6 7 ) p a r

H 1( a ) , e t i n t k g r a n t p a r p a r t i e s s u r R ( c e q u i e s t l i c i t e l il

w. vient

d l 0 6 p a r cornparaison a v e c (65) (aN-FN)wNdl.t

1

I

aTwTdl.

1

-

<E,w>

rl

+

r2

a

n.w.dl. i j 3 1

=

0

Yr C Y

G. Duvaut ce qui implique facilement que

rl ,

aN = FN sur

o .n. = 0 sur i3 3

r2

(69)

=

< E ,u,

oTwTdlq

I1 reste 2 montrer que

Vw

r.I

rl

Ev.

x = A(o), ce qui s'obient par un raisonnement

% nous avons de monotonie. Quel que spit r E L2(V)

d'o6, en utilisant (64) am6nagge,

Prenant la limite infkrieure des deux membres, utilisant la semicontinuitk infgrieure de &(an) (7'2)

'1

(X

- A(r),a

'-

+ 1 vnl et

(651, il vient

r)dt 2 0.

0

Choisissant alors

T

= o +

Xp

06 X

> 0, p

" E L 2(V), il vient aprss

division par X et passage 2 la limite X + 0,

ce qui implique

ce qui achsve la dkmonstration du thkorkme 1. 6) Dgmonstration du thkorsme 2. 6.1. Unicitg. Elle se dgmontre comme pour le thkorkme 1. 6.2. Existence. Nous dksignons par (v au thkorsme 1 et dkfinie par

E'

o 1 E

la solution obtenue

I n t r o d u i s o n s l a forme l i n 6 a i r e A ( a ) s u r V 1 E

par

I

I1 r k s u l t e a l o r s d e s e s t i m a t i o n s du no 5 que

(77)

I

1

' I , 2 Al(uE)t.bornkdeL(O,T;Vo).

De p l u s

7

8

' I ,

{ v E Y~ € 1 6

born6 de

Lm(O,T ; H

x

{

born6 de

Lm(0,T ; H

x

v B(uE)

'Eij, j

' I ,

H)

' I ,

t:

born6 de

Lm(O,T ; H )

EL

born6 de

Lm(O,T ; H)

E ~ ~ ( v G~ ) born6 de

H)

(dfaprSs (76))

' I ,

L ~ ( O , T; H ) ,

(dfapr2s (75))

I1 r 6 s u l t e d e s e s t i m a t i o n s ( 7 7 ) e t (78) que l f o n p e u t e x t r a i r e de

v €,

uE une sous s u i t e , e n c o r e not6e v E , oE, t e l l e que 'Ir

v

, u

{v,u}

+

dans

Lm(O,T

( v A , u ~ } + ( v ' , u ' ) dans f3(crE)

Formons a l o r s ,

-+

e t faisons tendre

E

-

,H

'Ir

x

H) f a i b l e k t o i l e

c1

dans

Lm(O,T ; $1

faible ktoile

0

dans

2 L ( 0 , T ; Vo)

fort.

Y T 6 L2(0,T )

L ~ ( O , T; V x V) f a i b l e k t o i l e

' I ,

; Yo),

A1(-r), uE

-

T>

dt,O

v e r s zkro en u t i l i s a n t ( 7 9 ) ; il v i e n t

G. Duvaut

dtoG l'on dgduit que A (a) = 0, d'oc 1 (80)

loT\

5g

sur r l 'b

Choisissons alors r t ~ ~ ( 0 , ; T V),

~(f6 )

dad,

5

g

Our

:

en tenant compte de A

T

-

u

0

l'kgalitk ( 7 5 ) donne (81)

d(a;,r-uE)

+

1 ; (f3(uE),r-uE) +

1

n

vEi(rij yj-uEij,j)dx 2 0

et en intkgrant sur (0,T) et utilisant (76)

Utilisant la semi-continuitk infkrieure de &oE(T)

et

I v,(T) I 2

on peut passer 2 la limite infkrieure des deux membres pour obtenir,

On peut passer 5 la limite dans (76) pour obtenir (84)

v1 - uij,j = f.. 1

On en dkduit alors pour (83) que

C,.

Duvaut

Utilisant alors la monotonie de lfop6rateur 6, il s'ensuit que

ce qui, par application d'un theorsme de Lebesgue, fournit

Par ailleurs il est clair, compte tenu des estimations (781, que a..n 11

j

=0surr2

,

uN = FN

I1 reste donc seulement 2 montrer que

c1

sur

= B(a).

. On utilise pour

cela la monotonie de l'op6rateur B en procgdant comme il a Qt6 fait dans le no 5 pour montrer que

x

= A(o).

Ceci achsve la demonstration

du thkorsme 2. 7) Ddmonstration du thgorame 3.

Elle utilise exactement les mzmes techniques que celle du thdor2me 2 et les estimations obtenues aux no 5 et 6 qui ktaient inddpendantes de u.

REFERENCES

G. DUVAUT [lJ. Existence et unicitk de la solution d'un probldme dynamique en 6lasto-visco-plasticitk et plasticit6 parfaite avec conditions de frottement 2 la frontidre. SQminaire de plasticit6 de 1'Ecole Polytechnique. Sept. 1972

G. DUVAUT et J.L. LIONS [I]

. Les in6quations en mkcanique et en

physique. Dunod 1972. 121. Un probldme d161asticitk avec frottement. Journal de Mkcanique. Vol. 10, no 3, Sept. 1971 pp. 409-420.

.

P. GERMAIN [I. Cours de m6canique des milieux continus. Tome 1. Masson Paris 1972. J.L. LIONS [ I ] .

Quelques m6thodes de r6solution des probl&mes aux

limites non lin6aires. Dunod-Gauthier-Villars 1971

G. MANDEL [I].

Skminaire de Plasticit6. Ecole Polytechnique 1971.

Publication Sc. et Tech. du Ministdre de 1'Air no 116.

J. MOREAU [I]

. Fonctionnelles convexes. Colldge de France.

T. ROCCAFELLAR [I].

'

1966-1967.

Convex analysis. Princeton University Press 1970.

G. Duvaut QUATRIEME CONFERENCE PLAQUE EN FORTE FLEXION SOUMISE A DES CONDITIONS UNILATERALES

1) Introduction. Nous nous proposons lf6tudede la dkformation d'une plaque en forte flexion soumise h des conditions h la frontidre unilatkrales. La thkorie non lin6aire des plaques en forte flexion qui conduit aux kquations dites de Von Karman est ktablie dans le livre de Landau et Lifschitz

[a auquel le lecteur pourra se reporter. Une

6tude g6n6rale de ces types de probldmes a 6t6 faite par G. Duvaut et J.L. Lions

[g

avec certains types de conditions aux limites.

D'autres types de conditions aux limites conduisent 3 des probldmes unilat6raux non linkaires du type semi-coercifs (cf J.L. Lions et

G. Stampacchia

[g )

et ont 6t6 rksolus par M. Potier

[g . Lorsqu'on

applique 3 la frontidre de la plaque des forces situkes dans le plan de cette dernisre on peut observer des phknomdnes de flambement de la plaque et sur le plan math6matique on est conduit h des probldmes de bifurcation (cf Do [I]). Ici nous nous proposons de donner une introduction h ces types de probldmes en donnant les 6quations gknkrales, la formule de Green adaptke et la formulation variationnelle et les rksultats d'existence et d'unicitk (limit6e h des sollicitations assez faibles) dans le cas

G. Duvaut d'un probldme particulier simple. Pour les dkmonstrations nous renverrons

a

l'article plus complet de G. Duvaut et J.L. Lions [I]

citg

prkckdemment. 2)

Probldme physique et kquations. Nous considkrons une plaque mince qui dans son ktat non d6form6 est assimilk 3 sa trace fi sur un plan Oxlx2. La rkgion fi est supposke ouverte et bornke dans Oxlx2. et constituke de deux parties (1)

mes

r1

> 0

Sa frontidre

r

et

r2

an est supposke rkgulikre

avec

.

La plaque est encastrke le long de TI. Le long de

r2

une butke rigid6

interdit les dkplacements vers les x3 nkgatifs (le repsre Ox x x 1 2 3 est orthonormk direct). Nous dksignons par (u ,u 51 le vecteur dk1 2 placement des points de la plaque et par (a

aB

1 le tenseur sym6trique

des contraintes planes, a et B prenant les valeurs 1 et 2. De plus la plaque est soumise 2 une densitk de forces surfaciques f(x) portkes par Ox 3' Les kquations d'kqulibre et de comportement des plaques en thkorie non linkaire s'kcrivent,

06 h est l'kpaisseur de la plaque, D le module de rigiditk 2 la

G. n ~ ~ v a u t flexion, a

a0yd

des coefficients d161asticitk satisfaisants 3

Les conditions aux limites du probldme sont (7)

5

=anX = O

sur

rl

oc n = (nlYn2) est la normale ext6rieare unitaire (8

(9) ( 10

u1 = u2 = 0

= o

sur

rl

sur

r2

620, F20, E.F=O

sur

a

aS2,

r2

o~ F reprksente la densit6 lingique de forces ext6rieures port6es par Ox3 et appliquges le long de

r2.

Nous serons amen6s dans un

premier temps 3 remplacer la condition (10) par une condition r6gu-

le coefficient positif

E

6tant donn6. La condition (11) exprime que

la but6e qui limite les dgplacements 5

< 0 est 6lastique au lieu

Ir2 d'gtre rigide. Le cas rigide sera obtenu par passage 3 la limite

3) Formulation variationnelle. A partir des 6quations (2) (3) ( 4 ) on Qtablit (cf

et J.L. Lions [I]

)la formule de Green suivante,

G. Duvaut

G. Duvaut

F(g )zdr

-

I,

M(c)

- dr +

I-

fzdx

a

06 z = z(x ,x ) est une fonction r6guliSre sur Q, 5 (c,z) la forme 1 2 bilin6aire

06 v est le coefficient de Poisson du matgriau

; F(E) et M(E) repr6-

sent.nt les densit6s lin6iques de forces et de moments sur

an.

Ce

sont des expressions lin6aires par rapport 2 5 dont l'expression n'est pas ngcessaire ici. Introduisons les espaces

Les espaces Z et V sont de HIlbert quand on les munit des produits scalaires respectifs de H2(a) et de (H1(Q)12. On montre (cf G. Duvaut

J.L. Lions [I]) que a(E,z) est coercive sur Z et que la forme bilingaire

A(

(15)

E(U) .E(V) )

&h.k)

=

donnee par aijkhhijkkh

a

.

E(V)

=

{E.

.(v)l

13

,

est coecive sur V, grdce 3 l'hypothdse (1). Si {C,u) est une solution rsgulisre du probldme (2)-(10) (2)-(9)(11)

nous aurons

(resp

G. Duvaut (16)

(5,u1EZxV,

(18)

&(E(u)

2 O

=

M(E), E(v))

t

0

Y V € V

06 on a posk (19)

M(z,E) = (aZ axa ax 1

,

M(z) = M(z,z),

8

(respectivement (19)

(C,u) E Z

x

V

Les proprikt6s (16)(17)(18)

(resp (19)(20)(21))

constituent les

formulations variationnelles des problemes envisagks. On montre qu'inversement les solutions de (16)(17 ) ( 18) (resp (19)( 20 )(21)

)

sont solutions, au moins en un sens affaibli des problbmes envisag6s. 4) Rksultats.

I ] On d6montre (cf G. Duvaut et J.L. Lions [

les thkorbmes

suivants : Thkorbme 1. Sous les hypotheses (1)(6) et (22

f E L~(Q)

fZ existe au moins une solution uE' 5 E satisfaisant (19)-(21). Thkorbme 2. Sous les hypothsses (1)(6)(22)

il existe au moins une

G. Duvaut

solution u, 5 satisfaisant (16)-(18).

De plus il existe une sous

suite de u

5E qui converge vers u, 5 dans V

Thkordme 3.

Si f est de la forme

E9

f =

(23)

rl

x

Z faible.

f

0

il existe une constante positive n

telle que si

2

17

la solution

u, 5 est unique. Si alors on pose

(25)

oG

C0

lim u = 0 , l i m 5 dans V x Z 7, - 50 w n wo est l'unique solution du probldme de plaque linkaire

Les rksultats analogues s'obtiennent avec la solution rkgulariske

REFERENCES

G. DUVAUT et J.L. LIONS [I].

Probldmes unilatkraux dans la thkorie

des plaques en forte flexion. A paraitre au Journal de Mkcanique L. LANDAU et L I F S C H I T Z . de ~ ~l'klasticitk. ~ ~ ~ ~ ~ Ed. Mir, Moscou 1967.

C1. DO [ I ]

. Rksultat non publik.

M. POTIER [I].

~ h d s ede 3e cycle. A paraitre.

G. Duvaut

CINQUIEME ET SIXIEME CONFERENCES RESOLUTION D'UN PROBLEME DE STEFAN

(~usion_d_lun-b_loc-d_e-a1~ce~i-_O~)

1 ) ProblSme Physique : On considere un bloc de glace 10'

region ouverte

r

f13

de

composee de trois parties

dont la reunion compose

r

r

de frontiere

.

r l , r2,

r3

r6guliSre. On supppose

sans points communs et

On suppose de plus que

pas de frontisre commune et que

rl

occupant la

F

I

et

r3

n'ont

est de mesure strictement

positive. On cherche l'dvolution de ce bloc de glace lorsque sa frontiEre est le sisge d'un flux de chaleur, les parties

r2

et

r3

l

Stant

respectivement de flux de chaleur nu1 et de temperature 0 ' .

On

n6glige la variation de volume due 1 la fusion et on suppose que ,x(t)

l'eau fourhie reste en place. On designe par inconnue 1 priori

fusion d'dquation

t = L(x),

On ddsigne par k

la chaleur latente de la glace.

la surface de

(x = (xl,x2,x3)).

2) Mise en dquations : On cherche un champ de temperature 6(x, t) , x

E

5,

t

E

[O,T

(1)

ae at

(2)

e(x,t)

A,

] ,

T > o

,

satisfaisant

=

0

dans

t > L(x)

=

o

dans

t 6 L(x)

,

G. Duvaut

gard R

(3)

grad 0

(4)

- 30 = an b(e-el),

ae an

(5)

=

-k

1 ( )

(b > o donn6)

= O

(6)

e = o

(7)

~(x,o) =

t = L(x)

pour

sur sur

r2

sur

r3 n

pour x E

o

.

3) Formulation variationnelle Suivant C. Baiocchi [I] on introduit : t u(x,t) = 8(x,r) dr si t > R(x) IR(X)

=

u(x,t)

.

si t ,< R(x)

o

On pose : H = L2(a),

K = {vlv

a(u.v)=J

u

v

=

V = {vlv

E

V

n

a

,

v

E

%O

H1 (R),

v

dans

=

o sur

a)

gradu

g r a d v d x , L(v) = - k

u v dx

,

V u,

v

r33

E

vdx

Ja

V.

1 ( ) Soit

la normale 1 $(t) difigga vers la rlgion oii 0 = 0. On Scrit que la flux de chaleur - grad8.n 1 travers la surface x(t) est la chaleur ngcessaire 1 la fusiof du volume Vn de glace oii Vn est la D'oii : vitesse normale, mesurge sur n, de d6placement de $(t). + -grade n = k v n , d'o3 (3)

.

C,

satisfait 5 :

La fonction u(x,t) (11)

u(t)~K

(12)

u = o

(13)

u = o

(14)

%-AU

ax

2 = an

(16)

7 )

{

t = L(x)

,

pour

t < L(x)

,

-k

pour

t > L(x)

,

- elf)

sur

rl ,

sur

r2

0

On d6duit de (1 1) u(t)

pour

=

b(u

- - au =

E

-

(16)

,

Vt

K

=

0

.

que u satisfait : E

[o,T]

p.p.

. (I)

,

(u-0,t) (v-u)dl 3 L(v-u)

cut ~m)+a(u,v-u)+b

U(X,O)

[o,T]

E

grad u = o

at

(15)

'dt

9

,

Duvaut

, Y v -F

K

IF1

Variante : Si on rernplace la condition (4) par : (qbis)

e = e1

Sur

'

les autres conditions 6tant inchang6es, on est conduit, pour u d6fini par (8)

,5

on introduit Kl(t) (18)

la formulation variationnelle suivante : par :

Kl(t) = ~ u l vE V

On a alors :

,

=8,t,

v>,o

dans 621

,

G . Duvaut

4) Enonc6 des r 6 s u l t a t s

Pour t o u t

, donn6,

b > o

,

dans la cl#isse (20)

Ub

il e x i s t e - u n unique

.

y

n

L'(O,T ; V)

, solution

ub

L*(O,T ; H)

de (17)

.

PropriBt6 1 La s o l u t i o n (21)

0

on (22)

,< ub

2

@) (x) A@

e s t t e l l e que, )J o

(I5.t)

,< ubl ( x ~ t ),< @ t

=odansQ,

@

,< b 2 ‘ < bl

e s t l a f o n c t i o n d 6 f i n i e par :

La s o l u t i o n

02

ub

ub

@ =el

sur

e s t t e l l e que,

e s t dBfinie par

rl, @

t

E

[o,T[

=osur

r3 '

,

(22).

ThBorSme 2

I1 e x i s t e

u

unique s o l u t i o n de (19) dans l a c l a s s e

u'

2

L (0,T ; H).

E

2 De plus ub tend vers u dans L (0,T ; H) 2 L (0,T ; V)

fort et dans

faible lorsque b tend vers +

ui tend vers u' dans LDI[fi

x

. De plus,

(o,T)~] faible Etoile.

5) Dgmonstration du thEorlme 1

L'unicitE est Evidente. Pour l'existence onprocsde par pEnalisation, estimation 1 priori et passage 1 la limite. i) PEnalisation : Soit

E >

o et soit B(v)

On introduit alors uE(x, t)

dEfini par :

solution (cf. [ 2 ] )

ii) Egtiwgions 5 eligyi_l : Choisissant v = uE(t) (23) on obtient (')

de

dans :

(page suivante)

d'oii il rEsulte que :

iii) Estimations 1 priori I1 t

+

h

E

[o,T~

.

:

Soit t

E

[o,TC

et h >

o

tel que

C,

Dans lldgalitB (23) Bcrite B l'instant v = u(t+h)

- u(t)

t

(respectivement v = u(t)

Duvaut

(resp. (t+h)) choisissons

- u(t+h))

et ajoutons

membre B membre les Sgalitds obtenues ; il vient, en posant :

Divisant (26) par -h\t int6grant sur (0,t) , on obtient : 2 t -+ ):(a dt + b dr dt < Blbl:Ir :( dl)dt + 0 2

1

f

Mais uE(t)

6tant d6rivable en t

, on

a, lorsque h -+ o

,

Appliquant (23) pour t = o on a :

IUL(O>

I

6

Cste

d'o3 il rcsulte immddiatement que :

Revanlut B (23) on obtient : (28)

(

*

1 -B(u,) E

E

On a p o s ~ (u,v) =

u v dx

a (**) L'espace

son dual.

V'

born6de L2(0,T; V')

,

est lo dual de Y

lul = (u,u) 'I2

(*#)

,

.

a(v) = a(v,v).

quand on identifie H 2

G. Duvaut

iv) Passage 1 la l m t e

I1 rgsulte des estimations (24) (27) (28)

:

qulil.existeune sous suite, encore notge u E

,

telle que :

u

+

u

dans L2(0,T ; V)

faible

u'

-+

u'

dins L~(O,T ; H)

faible &toile

u'

+

u'

dans L2(0,T ; V)

faible

o

dans L'(O,T

B(uE)

+

; V') fort

,

.

2 Soit alors v E L (0,T ; K). Rempla~onsdans (25) la fonction test par v(t)

- uE(t)

; il vient, compte tenu de ce que

,

6

et de la monotonie de

B(v)=o

oii on a pos6 :

Intggrant sur

(0,T)

et prenant la limiie infgrieure des deux

membres, on trouve 1 la fin : (30)

($,v-u) + al(u,v-u) > L(v-u)

+ 81t b

On vgrifie immgdiatement que u(o) uE(o).

lr,

est limite dans H faible de

I1 en rgsulte, compte tenu de B(uE)

L2 (0,T ; V')

fort qui entrafne u(t)

u est solution de (17)

(v-U) dr

E

K

,

+

o dans

et de (30) que

.

Remarque 1 Si on analyse la d6monstration du th6orSme 1 , on constate que

G. Duvaut l e s conclusions (20)ont pu S t r e obtenues grzce au f a i t que l a forme l i n g a i r e du second membre de (17), s o i t :

t e l l e que : (31)

[

2

~ ] ( t )E

L (0,T ; V')

L1(0)

H

E

,

L; ( t )

Les conclusions du th6orSme 1

E

2 L (0,T ; V').

sont donc valables sous l e s hypothSses

g6nErales (31) sur l e second membre.

6) Dgmonstration de l a propri6t6 1

i ) Montrons que

u(x,t) \< @) t

.

Nous posons : w(x,t)

=

(u(x,t)

- gl t ) +

e t nous choisissons :

v = ~ ( t ) + w(x,t) dans (17), ce qui e s t l o i s i b l e car I1 v i e n t a l o r s :

(ul ( t ) ,w)+ a ( u ( t ) ,w)+ b

I

(u-ol t ) O W dx = -lc

d'oii : (32) car :

(w' ( t )

,

o 4 w(x,t) ,< u ( x , t ) .

w(t)) 6

0

G. Duvaut

du f a i t que

< el

o C @)

I1 en r E s u l t e a l o r s de

u(x,t)

@

,<

i i ) Montrons que

dlaprSs l e p r i n c i p e du maximum ce qui

(32)

,

t

bl 4 b2

que

p.p.

entra'ine

w(t) = 0

dans

(0,T).

Q

Ubl

e t par'consgquent :

Ub2

.

Pour s i m p l i f i e r l l & c r i t u r e nous posons : u.

=

u

i = l

'

bi

et

2 .

Dans l l i n & g a l i t &( 1 7 ) r e l a t i v e 1 ul choisissons

v =

-

U,

(u2

- uI)-

( r e s p e c t . u2)

nous

-

(respect. v = u2 + (u2-u1) )

.

Ajoutant memtb r e B membre l e s deux inggalit8.s obtenues, il v i e n t : (33)

(w',w) + a(w,w) +

(33) ~ a n s v li 'n t g g r a l e s u r p o i n t s de

rl

03 u

I

w[b, (ul-el t)-b2(u2-el t)] 1

TI

1

> u2

w[bl (ul

- elt )

<

0

ne p o r t e en f a i t que s u r l'ensemble des

. Mais a l o r s ,

ce q u i e n t r z i n e , compte tenu de (35)

dr

t e n a n t compte de

o < bl < b2

- b2(u2 - ep]

5

o

,

.

Intggrant a l o r s (33) s u r (O,T), on en d6duit que :

i)

,

donc :

7) Ddmonstration de la propridtd 2 i) Ddmonstration de u'(t) Soient t

E

,

[o,T[

>, 0

.

et h > o tel que t + h

E

[o,T]

.

Nous posons :

Dans lrindgalitd (17) relative I l'instant nous choisissons v

=

u(t)

- w(t)

t (resp. t+h)

(resp. v = u(t+h) + w(t))

et ajoutons membre 2 membre les deux inBgalitSs obtenues. I1 vient :

1

En intsgrant (37)

sur (0,T)

d'oii il rdsulte que : w(t)

' 0

on a :

G. Duvaut

et par cons6quent : u' (x,t) >/ 0

v(x,t)

ii) D6monstr~ionde u'(t)

E

a

(O,T)

p.P-

u; (x,t) Q

@

@

6

Nous introduisohs ul(x,t)

par :

et nous savons que : (41 )

0

\< UI (x,t) 4

@

t

9

.

11 r6sulte de la propri6tg 1 et de (17) que u(x,t) satisfait :

I

A

~ ( t )E K(t)

(42)

(V(V E

(u' (t),v-u(t)+a(u(t)

\U(O).

= 0

V

K,

,v-u(t)+b

@ t)

Q

J

,

-

(u(t)-elt) (v-u(t))dr>,-k

VV E

~ ( t ),

.

Par le changement de fonction inconnue (40) et les propri6t6s (41)

-

et (42) on voit que ul(x,t)

t

ul(t)

(43)

E

satisfait :

K(t)

(u; (t),v,-ul (t))+a(ul

(t)-@t,vl-ul

3 In(k+@)

(t))+b /

(vl-uI(e9)dx

,

1

ul(t)(vl-ul (t))dr

.I 1

v vl E

i(t)

3

,

ul
Notre problhe est alors de montrer que ul(t) >, 0. Soit un instant 1 t (44)

E

[o,T[

et un nombre positif h tel que t+h w(x?t) = [ul (x,t+h)

E

[o,T].

Posons :

- ul(x,t))-

et choisissons dans 11in6galit6 (46) relative 1 l'instant

t+h

(resp. t) 11616ment

(resp. par

par :

V1

:

v

- w(t)

= u(t)

1

ces choix Btant lioiter. Si nous ajoutons membre 1 membre les deux inBgalitEs obtenues, nous avons : (44)

(w' ,w) + a(~) + b

I

w2 dr + h a (@, w)

Mais, compte tenu de la definition de

@

5

, il

0.

vient

a(@,w))O,

d'oG il r6sulte que :

<

(w' , w) et en intBgrant sur

0

(Opt), lw(t)12

8

lW(0)12

=

0

9

ce qui Etablit la propriBt6 souhaitee.

8) Demonstration du thLseCIda 2 8.1

-

Unicitl : Elle est immBdiater En effet si u(x,t) u*(x,t)

et

sont deux solutions de (19), on choisit

(resp. v = relative P

U)

dans 11inLgalit6 (19) relative 21 u

u*)

et on ajoute membre

w)

+ a(w,

d'oa par intagration sur

W)

<

=

u*

(resp.

membre les inegalites

obtenues, ce qui donne classiquement, en posant (w',

v

w = u

0

(Opt), w(t) = 0, c'est-a-dire

- u*

,

u(t) 8.2

- Existence

:

=

u* (t)

.

Nous allons montrer que la solution u,, de (17)

tend vers un element u solution de (19) lorsque b tend vers +-

. Pour cela nous utilisons les propriLt6s 1 et 2

Ltablies prLcEdemment et des estimations 1 priori sur

u,,

.

i) Estimations 1 priori Nous choisissons, dans I'inEgalitE (17), v

@ a Lt6 d6fini par (40). I1 vient

=

@t,

oii

:

puis :

Integrant (48) sur

(O,t), on obtient :

oii C est une constante independante de b. Come b -destine 3 tendre vers +-

, on peut

supposer b > 1. Une 1

norme Lquivalente 1 la norme de v dans H (Q) par :

puisque

rl

est

est de mesure strictement positive.

est donnee

G. Duvaut

I1 s'en suit que (49) donne :

oii Cj

est une constante independante de b.

On d6duit de (50) que :

Nous savons de plus d'aprPs la propri6t6 2 que : (53)

ui

E

born6 de Lm(a

x

(0,T))

et d'aprPs la propri6tE 1 que : (54)

ub(x,t)

est une fonction croissante en h , majoree par 8 t( I ) 1

ii) Passage Z la limite I1 r6sulte des estimations precedentes que, lorsque b tend vers +-,

au moins pour une sous-suite : ; H) faihle 6toile

(55)

ub tend vers u

dans L-(O,T

(56)

ub tendvers u

dans L(0,T;V)

faible

(57)

ui

dans L-(0

faible &toile

(58)

ub(x,t) (x,t)

tend vers u'

2

tend vers u(x, t) E a x (0,~).

x

dans

0,T)

ponatuellement en

-

1

( )

D'aprPs le lemme 2, elle est &me

major6e par

--

at.

-

G . Duvaut

De plus (54) implique que :

et donc : (60)

ub tend vers u

dans L-(O,T

; H)

fort.

I1 rBsulte Bgalement des estimations que :

2 2 dans L (0,T; L (TI)) fort

tendvers u

ub

(61

et d'aprPs

(52)

nous avons donc :

On voit alors immgdiatement que : u(t)

(63)

E

Kl(t)

Choisissons alors v

(s, v

u6) + a(ub, V-us) + b

L'intiSgrale sur (64)

E

(ui,v-ub)+ a(%,v-ub)

r,

Kl(t)

I

dans

(17)

,

(ub-elt) (9,t-ub)dT 3 -k

Btant nBgative, on a aussi

>,-k

1,

(v-ub)dx,

dv

E

,

Kl(t)

1,

(v-ub)dx.

.

On peut alors dgduire (19) de (64) c o m e il est indiquB dans

C21 . Remarque 1 On peut obtenir l'existence dans le thBorSme 2 sans utiliser la proprier6 2 par un changement de fonction inconnue et utilisation d'un rBsultat de H. BrEzis [3]. Introduisons :

G. Duvaut

Compte tenu de la proprii5t6 1 la fonction

u2 doit satisfaire

On voit alors facilement que (65) posssde une solution unique [3]

dans la classe : u2

E

L~(O.T ; Y)

,

2 u; E L (0,T ; H)

.

Remarque 2 ( 1 ) On peut Bgalement obtenir l'existence dans le th&orSme 2 par

un proc&d6 de pgndisation partielle. Introduisons 1 cet effet l'op6rateur de p6nhlisation 8 de H danc H defini par :

et l'espace affine

-

vI(t) Le scalaire

E

Iv

:

IV

E

v,

v =.B I t sur

rl

1

.

dtant positif, destinB B tendre vers zero, soit* uE(x,t)

la solution de lr6quation

1 ( ) Cette remarque a St& sugg6r6e 1 1'A. par J.L. LIONS.

uE(t)

E

Vl(t)

,

dt

P.P.

L0,T.I

E

1

(u: ,Y-uE) + a(uE ,v-uE) + ;(@(uE)

Choisissant v = @t

blvcvl(t)

,-I-uE)= -L

.

dans 1'LgalitL (66) on obtient aisgment les

1

majorations ( ) (67)

up

E

2

born6 de Lm(O,T ; H) C1 L (0,T ; V)

Choisissant ensuite v relative I l'instant

=

,

u (t)

t+h

,

t

h > o

E

,

[o,T[ t+h

dans l'LgalitL (66) relative I l'instant

dans 1'LgalitL (66) E

[o,T]

, et

v = u (t+h) E

t. Ajoutant membre 1 membre

les deux LgalitLs et utilisant la monotonie de 6 on obtient que : (68)

u;

E

bor&de

2

L~(o,T;H)~L(o,T;v)

est born6 dans H

car u:(o)

.

Les estimations (67) et (68) permettent alors de passer I la limite

E io

et d'obtenir l'existence dans le thdorsme 2.

Remarque 3 Nous n'avons pas utilisL les raisonnements indiqugs aux remarques I et 2 pour d6montrer l'existence dans le th6oriime 2 car nous avons prLfLrL nous servir des propri6tCs 1 et 2 qui mettent en 6vidence certains caractPres physiques de la solution. Le thLorPme 2 montre de plus que la solution de (19) est limi.te de

( I ) On utilise le fait que

@(at)

= o

et que B est monotone.

G. Duvaut solution de (17) lorsque le coefficient b paroi tend vers +-

, ce

de transmission de la

qui traduit 6galement un fait concret.

Remarque 4 Biea que nous ne l'ayons pas 6nonc6 come theorgme, il est 6vident d'aprss la d6monstration du th6orSme 2 que la solution u de (19)

satisfait aux propri6t6s 1 et 2 6nonc6es pour u

b '

9) Conclusion

Les raisonnements que nous avons mis en oeuvre dans le cas de la glace peuvent naturellement s'adapter P d'autres ph6nomSnes de fusion et compli5mentairement 5 des phsnomsnes de cristallisation. La caractsristique de chacun des cas est qu'initialement la temp6rature du milieu continu 1 transformer doit Otre uniform6ment soit

B sa temp6rature de fusion, soit 1 sa temp6ratctre de cristallisation. Les conditions aux limites annexes peuvent Stre diverses suivant les aonditions physiques exterieures.

G. Duvaut

BIBLIOGRAPHIE

[I]

C. BAIOCCHI. Note aux C.R.A. S. D6c. 1971.

[2]

J.L. LIONS

-

Quelques mBthodes de rBsolution des problPmes

aux limites non lingaires

[3]

-

Dunod Gauthier Villars (1969)

H. BREZIS. Cornptes r e n d u s , 274, s 6 r i e A , 1972, p. 310.

CENTRO

INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )

REMARKS ABOUT T H E F R E E BOUNDARIES OCCURRING IN VARIATIONAL INEQUALITIES

-DAVID KINDERLEHRER

Corso tenuto

a

Bressanone

dal

17

a1 26

giugno

1973

REMARKS ABOUT THE FREE BOUNDARIES OCCURRING IN

VARIATIONAL INEQUALITIES

David Kinderlehrer

1.

This discussion concerns two variational inequalities

with interior constraints or obstacles. Each of these problems has given rise to questions about the smoothness of solutions and the nature of the free boundary determined by coincidence with the obstacle. The present theme is to show how smoothness of the solution implies smoothness of the free boundary provided that certain geometric conditions, which Vary from problem to problem, are satisfied. The emphasis, therefore, is on formulation and illustration rather than demonstration. Our applications are to a linear problem which arises in the study of stationary fluid flow through a porous medium and to a nonlinear problem related to minimizing a functional in a set of functions constrained to lie above a concave obstacle. Notations f2

open connected set in

g

smooth in

f2

R"

with smooth boundary

an

D. Kinderlehrer

$

smooth i n

Q

and

$

5 g

on

(the obstacle)

an

We may assume f o r t h e time b e i n g t h a t

g = 0

since

our i n t e r e s t i s r e s t r i c t e d t o i n t e r i o r p r o p e r t i e s . K = K

f

Q

= C V E H

1tm ( n ) : v , $

in

n

for

5

and

v = g

onan1

c1 (n)

satisfy

> v 1512 a i j Si S j -

Problem 2 f o r each

Let

E

..., an ( p )

a ( p ) = ( a l (p) ,

C .compact i n

R",

n

and

R

)

n

2

E

there exists a

X E

satisfy:

C (R ) v = v

-

((21 > 0

such - t h a t ' ( a ( p ) - a ( q ) ) ( p - q ) ,VIP-q12

for

PI^

E

C

T h e . s b l u t i o n s t o problems 1 and 2 determine a c o i n cidence s e t

whose boundary

3 1 , c a l l e d t h e curve o f s e p a r a t i o n , i s t h e

f r e g boundary we wish t o s t u d y . T o r e c a p i t u l a t e , we s h a l l

D. Kinderlehrer

a c h i e v e t h i s by e x p l o i t i n g t h e smoothness o f

u.

We b e g i n w i t h some v e r y b r i e f i n f o r m a l remarkscabout t h e r e g u l a r i t y o f t h e s o l u t i o n s t o Problems 1 and 2. The f i r s t r e s u l t s i n t h i s d i r e c t i o n f o r Problem 1 a r e due t o H . Lewy and G.Stampacchia u

E

C141 who showed t h a t

when

H2,'(n)

LJ,

LJ, = - D . ( a i j Di

E

~'(n),

f = g = 0,

n

< p <

J,)

3

About t h e same t i m e , Brez,$s and. Stampacchia C5 I c o n s i d e r e d t h i s problem f o r more g e n e r a l

f

and

g

It is possible t o consider t h e solution

of s u p e r s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n l i e above

J,

in

R.

Lewy'and G.Stampacchia

and o p e r a t o r s u

L.

a s t h e minimum

Lw = - D . ( a Di w ) I i j

which

T h i s a p p r o a c h h a s been s t u d i e d by H. CIS1 and r e c e n t l y by U.Mosco and G.M.

T r o i a n i e l l o C201. The smoothness o f t h e s o l u t i o n t o Problem 2 h a s been a s s o c i a t e d t o i t s e x i s t e n c e . Again, H.Lewy and GStampacchia [ I 6 1 were a b l e t o prove t h a t , f o r u

E

~ ~ " ( $ 2 ) when

J,

E

u

c2(;),

s a t i s f y i n g (1.21, f = g = 0 , a l l pcC1,m).

For t h e s p e c i , a l c a s e o f minimum a r e a , w e r e f e r t o M.Giaquinta and L.Pepe

C91. I n g e n e r a l , e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s t o

Problem 2 depends on t h e r e l a t i o n s h i p among

an, a ( p ) , and f .

D. Kinderlehrer

S.Mazzone h a s c o n s i d e r e d t h i s q u e s t i o n b o t h from t h e p o i n t of view of t h e c o e r c i v e n e s s of

an,

t i o n s h i p among

a ( p ) and t h e g e o m e t r i c a l r e l a -

a ( p ) , f , C18l;C191. C.Gerhardt h a s a l s o

t r e a t e d t h i s problem C 7 1. I t i s c l e a r , by c o n s i d e r i n g one dimensional examples,

t h a t the solution

u

t o (1.1 ) o r ( 1 . 2 ) need n o t be i n

I t was thought by some, i n c l u d i n g t h e a u t h o r , t h a t

c2 (n)

H 2,P

smoothness was t h e b e s t g e n e r a l l y p o s s i b l e even though f o r i m p o r t a n t two dimensional examples ( C 103, C I I I ) , t h e second d e r i v a t i v e s were bounded. However, J . F r e h s e C61 r e c e n t l y showed t h a t

u

E

H

~ ( n )'

~f o r

a

i j

--

'ij*

By a d i f f e r e n t

method, t h i s c o n c l u s i o n was o b t a i n e d f o r g e n e r a l Problems 1 and 2 by H.Brezis and t h e a u t h o r C41. Independently, C. G e r h a r d t C81 h a s o b t a i n e d t h i s r e s u l t . The smoothness of t h e curve of s e p a r a t i o n

31

has

been r e l a t e d t o g e o m e t r i c c o n d i t i o n s . We suppose h e n c e f o r t h that

n = 2 . Lewy and Stampacchia C141 observed t h a t i f

canvex, g then

81

( r e a l ) a n a l y t i c and concave, and

n

aij = 6ij,

i s an a n d y t i ~J o r d a n curve. Recently it h a s been

shown t h a t t h i s c o n c l u s i o n i s v a l i d under t h e assumptions above about

n

and

$

if

.

D. Kinderlehrer

The proof o f t h i s r e s u l t C121 m o t i v a t e s t h e p r e s e n t work. Q u e s t i o n s r e l a t e d t o l i n e a r a n a l y t i c e q u a t i o n s which s h a r e some o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p r e s e n t work a r e d i s c u s s e d by H.Lewy C171.

2.

To show t h a t a g i v e n c u r v e i s smooth, we s h a l l show

i t h a s a smooth r e p r e s e n t a t i o n a s t h e boundary v a l u e s o f a

conformal mapping. We f o r m u l a t e a problem i n complex v a r i a b l e s . Let

b e a s i m p l y c o n n e c t e d domain i n t h e z=xl+ix

w

2

p l a n e , which f o r o u r p u r p o s e s w e may a s w e l l assume t o be a c l o s e d J o r d a n domain, and Denote by

t = t +it2 1

t h e upper s e m i d i s c

G

{

1t 1

< 1 , I m t > 0) i n t h e

w

a d m i t s a conformal mapping

4

: G

+

w

with the properties

( r H"~(G)

is I

4

satisfy

b e a n (open) J o r d a n a r c .

aw

p l a n e . We c o n s i d e r t h e c o n d i t L o n s below:

(2.1)

Let

r c

F

E

2

C (U)

f o r some

: I mapping o f

, for

q r 2

and -

-1 < t < 1

a neighborhood

U

of

onto or w

r ((

U,

D. Kinderlehrer

(2.2)

.

aF a I

(zo) # 0

Finally, let

/

( ~ ( 2 )2

Theorem 1

Suppose t h a t

f = F

or

n = 1

Moreover, c

and

C o r o l l a r y 2.1

lim Z+Z

where

c

0

1

for

< 1

Q , F, f

$(to) = z

on

where

w

z

w and some p

E

s a t i s f y (2.1 ) 0

. Suppose

,

(2.2)

0

,

> 0

that

r

2, t h e r e exists a

c # 0

z-

Z

(zo)

such t h a t

d e p e n d c o n t i n u e w . 1 ~o n

-

C ;

= F ( z ~ ) + F ~ ( z ~I ) Z Z

0

is d e f i n e d i n (2.4).

w

I

.

(2.3)

With t h e h v p o t h e s e s a n d n o t a t i o n s o f Theorem

f (2)-f

(2.5)

c

I

r

E

satisfy

a . s. i n

(2)

polz-z

r e s p e c t i v e l y and t h a t

Then f o r

z

f c HI ' - ( w )

af (z) = u az

(2.3)

for a

D. Kinderlehrer

I t i s o f i n t e r e s t t o know c o n d i t i o n s f o r which n = 1.

C o r o l l a r y 2.2

With t h e h y p o t h e s e s and n o t a t i o n s o f Theorem

1 , suppose t h a t (2.6)

U-w

contains a s e c t o r of positive angle with vertex or -

Zo

Then ( 2 . 4 ) -

h o l d s f o r n = 1.

W e remark t o E (-1 1 )

t h a t t h e v a l i d i t y of (2.4) f o r each

w i t h t h e modulus o f

to i m p l i e s t h a t

+ I

E

C

1,X

c

-

(G n BR)

and

c

1

f o r each

independent of R < 1,

BR = { [ t i < R l . T h i s i s a known f a c t i n t h e t h e o r y o f funct i o n s and f o l l o w s by e s t i m a t i n g Cauchy's I n t e g r a l o f t h e analytic function 9 (tl-9 (to) t-t

3.

- c

.

0

A t t h i s p o i n t we s h a l l s t u d y t h e c u r v e o f s e p a r a t i o n

f o r some p a r t i c u l a r examples. The proof o f Theorem 1 w i l l b e g i v e n i n 55. R a t h e r t h a n c o n s i d e r i n g t h e most g e n e r a l condit i o n ~l e~t u s d i s c u s s t h e f r e e boundary which a r i s e s as t h e

D. K i n d e r l e h r e r

w a t e r l e v e l i n t h e s t a t i o n a r y flow between two r e s e v o i r s s e p a r a t e d by a dam o f non-homogenous

porous medium. For de-

t a i l s about t h e h i s t o r y and f o r m u l a t i o n of t h i s problem we r e f e r t o t h e l e c t u r e s of C.Baiocchi i n t h i s volume. The p a r t i c u l a r f o r m u l a t i o n h e r e f o l l o w s V.Benci C21. To a g r e e w i t h t h e l i t e r a t u r e , we i n t r o d u c e d i f f e r e n t n o t a t i o n s . Let z = x +ix2 1

R

be t h e i n t e r i o r of a r e c t a n g l e i n t h e

p l a n e and suppose t h a t

snmeth.,..functions i n a(z)

, a

a r e assigned

satisfying

0

> 0

h ( z ) $ ~

\

g(z) 2 0 Although

a,h,g

a , h , and g

in

R

in

Z

on

aR

f o r some

> 0

a r e p a r t i c u l a r f u n c t i o n s , t h e i r form

d o e s n o t concern u s h e r e s i n c e w e s h a l l assume t h e conclus i o n s o f CIl,C21.

K =

{V E

Denote by H'

(n)

: v

0 i n R and v = g on aR}

suppose t h a t

W e know t h a t

w

E

H 2 ' ~ ( ~ by ) ~ 4 1 . Let

loc

D. Kinderlehrer I = {z

E

R : W(Z) = 0)

n =

E

R : w ( z ) > 0) = R-I

(Z

and

According to Cll,C21 the free boundary

is a simple curve connecting two points on opposite parallel sides of the rectangle

aR. Indeed, assuming that the sides

of

n/4

aR

form angles of

with the

x,

, x2

axes, we may

assert

(3.3)

r :

,

x2=g(xl)

lgl(xl)I ( M

for an appropriate tange of

Let r

Theorem 2

to

= 31 n R

(3.2).

are.

X1 be the curve of separation of the

hen

I.

solution

w

Proof We -

shall verify the conditions (2.1 )

a neighborhood of any such that

zo

,

E

r . Let

curve.

C'

z 0

r 0

,

(2.2) , (2.3) in

E

r

and

p >

0

B (0)(= R. First we verify (2.2) and (2.3). Observe P

that

(since the

C'

function

w

attains there its minimum).Re-

D. K i n d e r l e h r e r

writing (3.4) we see that

Let

v

Sinc$

be a solution t o the equation

-h/a

is smooth, v

F (z) =

is in

3

C (B-). Define P

- (D,.v-iD2v)

Then

Let

z

E

'r

fipschitz in

. Since

B

-Q B , we

D. w(z0) = 0

and

D.w

3

is

3

see that

P

-

] ~ . w ( z ) ~ . n ( zI~ ( ) Const. 3 3

I

12-2

4:

E

B, , zo

E

rnB.

P

0

P

Hence

1%

(z)1
Furthermere, (3.1)

aF (zo) = - al 2

z

B

P'

z

r r o ~ ,

P

0

= -h(zo)/2a(zo)

$

0

by

D. Kinderlehrer

Hence,

z

(2.2) and ( 2 . 3 ) a r e v a l i d f o r e a c h p o i n t

with c o n s t a n t s independent of

z

0

, and

f, F

0

.c

r

n B_ P

,

d e f i n e d by

(3.5). To v e r i f y t h e c o n d i t i o n (2.1 )

, we

employ a q u a s i -

conformal r e f l e c t i o n . Suppose t h a t

Then

maps

8

fi

B

Furthermore

Now l e t

onto a portion of

9

and

J (z) =

z

for z

.

z = O(t)

Im t > 0 1 o n t o

Then

I

,aF O * =

b e a c o n f o r m a l mapping o f G = { l t l < l ,

n nB

p

P

= w

a 4* at

and s e t

where

E

r

.

D. K i n d e r l e h r e r

< 1

I t f o l l o w s by t h e " o b s e r v a t i o n of B o y a r s k i i " , c f . C31 f o r

example, t h a t

(* E Replacing for

t

Iil "(G n BR)

by

for a

q > 2

and each

-1

R . t we may assume t h a t t h e above h o l d s

R = 1 . I n p a r t i c u l a r , t h e r e s t r i c t i o n of

namely

$

, is

in

R < I.

$

*

to

G,

.

1 ti "( G )

Theorem 1 may be a p p l i e d a t

each

point

z

E

0

B ,,n

r

from. which i t f o l l o w s t h a t

t~ o c"'(G

n BR)

f o r h = 1-

I t a l s o f o l l o w s t h a t t h e integer

e x t e r i o r segment

4.

-92

n = 1

c o n d i t i o n f o r each

and each

r

since

z

0

o

r

.

R < I.

s a t i s f i e s an

(cf. (2.6) )

.

I n t h i s paragraph we s t a t e an a p p l i c a t i o n of Theorem

1 t o Problem 2. For t h i s we assume t h a t

D. Kinderlehrer

n

i s a s t r i c t l y convex domain i n

$

s t r i c t l y concave, i n

(4.1) $I <

0

on

3

R

2

-

C (a)

a n , and max R

$ > 0

f = O I n t h i s c a s e i t i s known t h a t Theorem 3 aration

i s a J o r d a n Curve.

31

Under t h e h y p o t h e s e s o f ( 4 . 1 ) , t h e c u r v e o f seEa1

associated t o the solution

u

of

(1.2)has a

HGlder c o n t i n u o u s t a n g e n t . W e r e f e r t o C131.

5.

W e remark on t h e p r o o f o f Theorem 1 . I t f o l l o w s t h e

argument o,f Theorem 1 C131. One n o t e s t h a t i t i s n o t n e c e s s a r y t o know t h a t If 2 / f z I 5 const.1 z-z used i n C 1 31 b u t o n l y t h a t

l f z l -< c o n s t . t h a t i s , our ( 2 . 3 )

.

lz-z

0

I

0

I

D. Kinderlehrer References

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D. Kinderlehrer C151

,On t h e smoothness o f s u p e r h a r m o n i c s which s o l v e a minimum p r o b l e m , ) . d 8 A n a l y s e Math. 2 3 ( 1 9 7 0 ) 2 2 7 - 2 3 6 .

C161

, On t h e e x i s t e n c e and smoothness s o l u t i o n o f some n o n c o e r c i v e v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s , Arch. Rat. Mech. and Anal. 41 ( 1 9 7 1 ) 2 4 1 - 2 5 3 .

1171

H. Lewy, On t h e n a t u r e o f t h e boundary s e p a r a t i n g two domains w i t h d i f f e r e n t regimes ( t o a p p e a r )

C181

S . Mazzone, E x i s t e n c e and r e g u l a r i t y o f t h e s o l u t i o n o f c e r t a i n n m l i n e a r v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s w i t h an o b s t a c l e Arch. Rat. Mech. and Anal.

[I91

, Un problema d i d i s e q u a z i o n i v a r i a z i o n a l i p e r s u p e r f i c i e d i c u r v a t u r a media a s s e g n a t a , B o l l . UML VII ( 1 9 7 3 ) 318-329.

C201

U. Mosco and G.M.Troianel10,

On t h e smoothness o f s o l u t i o n s o f t h e u n i l a t e r a l D i r i c h l e t problem, B o l l . UML.

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO

( C . I. M. E. )

TORSION ELASTOPLASTIQUE D'ARBRES CYLINDR1QUES:PROBLEMES OUVERTS

Corso tenuto

a

Bressanone

dal

1 7 a1 2 6

giugno

1973

TORSION ELASTOPLASTIQUE D'ARBRES CYLINDRIQUES PROBLEMES OWERTS H. Lanchon. References I101

1111

INTRODUCTION: (Les n o t a t i o n s adoptees s o n t l e s memes

1.

que c e l l e s de G. Duvaut dans s e s conferences 1.2.3). Problkme concret

1.1

.La b a r r e c y l i n d r i q u e occupe l e domaine de R ~ des ; couples oppos6s s o n t exerc6s

,

. -'.. !

,/---

t P

!

s u r s e s deux bases

ano

aQh.

et

.Les f o r c e s volumiques s o n t suppos6es n u l l e s .

.Aucun e f f o r t n ' e s t

exerc6 s u r l a s u r f a c e

l a t e r a l e ; (dans l e cas d'une s e c t i o n multi-

1

I

! ,

connexe, c e t t e c o n d i t i o n e s t encore v r a i e s u r l a f r o n t i b r e l a t e r a l e des c a v i t 6 s ) :

1 I

F =

o

anL

sur I

a t 6 r i a u e s t suppos6 " p & a s t g p & a s t i q u e ,

~arfaitement-~lasti9ueI:~ vg-prgbl$gg-gu,ligite-g~~gci~-est:t r o u v e r ( a , u ) t e l s a

= 0 dans a i j, j a i j n j = 0 s u r an2

a33 = 0 , u1 -- u2 = 0 s u r as?,

H. Lanchon

a33 = 0 ; u1 =

-

a ( t ) h x 2 ; u2 = a ( t ) h x l s u r

anh

I

(Une r o t a t i o n g l o b a l e e s t imposee B l a b a s e s u p e r i e u r e . a ( t ) e s t l ' a n g l e de t o r s i o n .

P a r l a s u i t e , on s u p p o s e r a

h = 1.)

De p l u s , a e t u d o i v e n t & t r e r e l i e s p a r l a l o i de comportement.

Nous e n v i s a g e r o n s i c i l e s deux l o i s s u i v a n t e s :

T(a> r 0

(A)

dans

n

( c r i t 8 r e de p l a s t i c i t 6 )

ou

Loi de Henchy

(A)' Loi de P r a n d t l Reuss

kh6kh

E ~ ~ ( =u Aijkhakh ) + Xij

ii (u)

(bon modsle mathgmatique)

(beaucoup p l u s r 6 a l i s t e

A 11 . (XI (

avec:

T

.T(o)

-

~

ail ~ (x)) L 0

1 = T aijaij

dans Q

- -16( o 11 ..)~ -

YT

=

Ai

j,

g 2 : c r i t s r e de Yon Mises

i) : d e f o r m a t i o n l i n 6 a r i s 6 e

t e n s e u r d 1 6 l a s t i c i t 6 de l a l o i de Hooke.

. Xi,

11

C

(g c o n s t a n t e > 0 ) E ~ ~ ( =u -1 ) Z ( ~ i ,+j u

+I-.

e s t l a deformation p l a s t i q u e .

H. Lanchon

.

i=

, et

la convention de sommation sur les

indices r6petBs est adoptee

Nous sommes intBress6~par:

. l'existence et l'unicit6

de la solution (o,u) ;

. la determination pour chaque valeur de a(t)

des regions

Blastiques et plastiques; t

a

b

= {X/X 6 n,

(en effet dans

9, =

{X/X

T~u(x)J < 01,

4, lij = 0)

n, ~[~(xII= 01

Le problkme (A) avec Hencky conduit 3 un problzme qtgtiqup. Le problsme (A)' avec Prandtl-Reuss conduit 3 un problsme quasistatique d'evolution.

1.2

Methode et plan de l'expose

aj Formulation et resultats pour un problbme general avec Hencky : Pb (B)

.

b,

RBsolution de (A) c o m e cas particulier de (B).

CJ

Formulation et rBsultats pour un problkme g6nBral

avec Prandt1-Reuss: Pb (C) dj

.

Identit6 des solutions de (A) et (A)' ej

. ,0.

Etude de (A) ' comme cas particulier de (C) lorsque b(t)

GBn6ralisation aux cas des sections multiconnexes.

Problkmes ouverts.

H. Lanchon

L'exposg est fait en vue de:

. Souligner les rgsultats mathgmatiques importants. . Montrer comment l'on peut tirer partie d'une solution abstraite pour obtenir des rgsultats concrets. Prgsenter les problkmes ouverts. (Par manque de temps, les points

cj, dj et

ej ne seront

Bvoqu6s que trks brikvement.)

2.

PROBLEME GENERAL AVEC LA LO1 DE HENCKY Description du problkme [B)

2.1

. Q:domaine arbitraire f dans F sur

u

sur

. inconnues: (a ,u) (1)

aij = a j i

dans SZ

(2) (3)

aij, a..n

dans sur anF

(4)

ui =

(5)

T(a)

n anF anu

tels

Bquilibre

11

+

j

5

fi = 0 Fi

ui

sur

anu

conditions aux limites

dans Q.

0

(6)

Eij (u) ' Aijkhakh

(7)

A.13.(Tij

-

Uij)

C

+

0

Aij V TCC

Loi de comportement de Hencky

H. Lanchon

avec : : R9

(8) (9)

-+

R convexe et continue (critsre 3e plasticitg)

Aijkh : born6

, symdtrique et coercif dans

(tenseur

52

dfdlasticit6. Cf. G. Duvaut, zGrneconfdrence)

2.2

.

Principe de Haar Karman et formulation variatiomelle

Enonce du principe: si le problkme (B) a une solution (crop0), alors o0 minimise la fonctionnelle

sur l'ensemble des champs de contraintes permis, c'est 3 dire, vdrifiant (I), (2) , ( 3 ) , ( 5 ) .

(I1 suffit d16crire la difference J(o)

-

J(ao) et de faire

une integration par partie en tenant compte de (1)

...

(9)

pour montrer ce principe.)

. Le choix des espaces fonctionnels et les hypoth8ses

sur les donnees Btant faits pour donner une signification (1)

... (lo),

et l'on pose:

on suppose:

H. Lanchon

, ' a

solution Bventuelle de (B) doit donc Ctre solution du

ProblBme (B1l: minimisation de J(a)

2.3

sur

X.

Rgsultats et conclusions pour le probldme (B)

)L est un convexe ferme' de [L'

-& (0.r)

=

(Q)]

$n Aijkhoijrkh dx est une forme bilin6aire.

sym6trique et coercive. d r est une forme lin6aire continue sur

X

D'oh le resultat classique (cf. ref. 2):

Th?o~$gg-_Z1_:

si

K

# @ (ensemble vide) alors

3

a0 a X

unique tel que : (12)

~ ( 0 ' )

(13)

s J(o)

v

a c

et, a0 est caracterise par

(a0 ,a-aO) a

Conrlunions Nous avons un rgsultat d1unicit6 pour le champ de contraintes solution de (B). L1existence d'une solution (aO,uO) de (B) ne sera acquise que si

# @ et,dans

ce cas, seulement si l'on sait

associer I? a0 un champ de dCplacements u0 (4),

par la loi de comportement ( 6 ) , (7).

6 H1(0)

verifiant

H. Lanchon

3.

RESOLUTION DU PROBLHME (A) CObIblE CAS PARTICULIER DE (B)

.

3.1

Application de 2 Formulation e t r 6 s o l u t i o n a l u n nouveau problbme (All

o

aijnj =

p.p. s u r

anL9

a33 =

o

p.p.

sur

ano

e t anl) avec

o D = U - trace u 3 donc

0

+K

C

# 0

+

"

3

une s o l u t i o n unique o0 pour (B1).

E " Q E Q ~ ~ ~ ~ a0 Q Be s-t ~t ~e l &que :

I

(1)

(2)

.

aij

0

=

et

0

0

p.p.

0

--

0

s u r Q e x c e p t 6 u13 = a31

0

"32;

0

aij,3 = 0

p.p.

sur 8

Idges d e l a dgmonstration: On i n t r o d u i t un 3 q u i v g r i f i e l a p r o p o s i t i o n . d e l a manikre s u i v a n t e :

-

uij = 0 sauf

ribution

aP3'

sur C par

-

= o

3P9 (p = 1 , 2 ) , d 6 f i n i comme d i s t -

H. Lanchon (C 6tant la section droite du cylindre). Alors

a X

et J

6

(o) 6 J (a0) -, a0

5 ce qui d6montre la pro-

=

position.

IZZxiiqyg:

I I

a0 est solution du problsme:

os2

=

aI3;

1 grad0 1 s

De plus

0,1

3

an, $(s

et

J

anL+

,j

= 0

n

p.p. sur

et a33 = 0

impliquent

H1(C) tel que @,2

a. -n. = 0 sur 13

anl

a23 p.p. sur C.

0.

Dgmonstration: oij r L2 (a), uij p.p. sur

-

I

grad

@ A

n

=

= 0

-

=

a13 et

2' 3

sur aC,soit

@ =

k (constmk)

sur aC (dans le cas dfune section multiconnexe on aura pareillement

@ =

Posons f3

- k, alors

= $

ki sur chaque contour aZi de cavit6). 13 E

dans le cas multiconnexe).

HA(C).

(0

=

ki

-

k

=

Ci sur aCi

H. Lanchon

111 8 111 ' =

(14)

4

lgradO 1 'dx

6tant une norme sur

H~(C), et le fait que Igrad012 = at3

+

ai3,entrainent

l'unicitc? du 0 associ6 de cette manisre P chaque a

3 (a)

Enfin :

c 0 irnplique

Consequences du lemme 3.1:

1 grade 1 <

3

g.

une bijection entreXT et

et,pour deux 616ments correspondants: J(o)

(16)

= Ja(0)

=

Igrade 1 'dx

-

4ya[Odx; C

E

"=2(l+v) Les problzmes (B1) et (B1)' sont donc equivalents au prgblgme

/All:

minimiser Ja(0) sur K.

&peee-_S,z: 2yaf(

(17)

oa <

,

3 dx

fa unique dans H~(P) tel que: =

<(,fa>

V

( 6

Hi(1)

> est le produit scalah associ6 a

III.III

(ceci ntest rien dtautre que le theorkme de repr$sentation de Riesz). Alors :

H. Lanchon

.Une expression 6quivalente du problsme (A1) peut etre donn6e:

K tel que:

Trouver 8,

Th5o~5rlle-2,l: E x i ~ t e n c e - e t - y n i c i t ~ - ~ o u 1 : - I A ~ I ~ 0

,

K unique qui minimise J,(+)

sur K et, 8, est

caractdrisd par:

-

(19)

<8,

-

@,

0,

-

V + G K

f,"O

(K est un convexe ferm6 de H~(c) et Ba n'est autre que la projection de fa sur K).

K est llensemble des fonctions Lipschitziennes,de module g,de H~(c).

Ces fonctions sont donc uniformement

continues sur T et,nulles au sens fort sur aZ. * K est compact pour la norme de la convergence uniforme;

ceci est une cons6quence du th6or8me d1Ascoli:

X

-

= ~ ' e s tun compact de

R2.

Y = U @(T)est un compact de R. @&K K est un ensemble d'applicatiols e'quicontinues de X dans

H. Lanchon

En consdquence li est uniformement compact dans ~ ( x , Y ) , (ensemble des applications continues de X dans Y) or il est

-

facile de montrer que K = K. Enfin, si

et $2

6

K alors s ~ p ( + ~ , $ ~et. ) inf (+l,+2)e K

Les rdsultats de H. Br6zis et G. Stampacchia, cf. rdf. [ 4 3 , nous permettent de conclure:

c

e,e

l Y 1

(TI, I

(ensemble des fonctions continues 3 derivdes Lipschitziennes) dans les deux cas suivants: si C est convexe et aC Lipschitzienne ou,si X est non-convexe mais avec une frontisre plus r6gulisre. Nous pouvons alors ddfinir proprement les parties 6lastique et plastique de la section C.

I gradBa(x) 1

(20)

Ea

=

(X/X

6

C,

(21)

Pa

=

(x/x

6

C, IgradBa(x) 1

Propgpj_tjgn-gz2: Soit y

=

< g? , ouvert de C = g?

.

fa alors: -, Pa

1) Y est la solution du probl&me de Dirichlet: I(22)

~y

+

z

=

o

sur

et

y =

o

sur 3~

H. Lanchon

w2'P(z)

c"(c> n

Y

c','(x),

2

r p

.

2,

y

3)

y > 0 sur C

41

lgradyl est born6 sur C et ne peut atteindre son

E

maximum que sur aC.

6

m

'

v 4 s H;(L); C et ceci est la formulation variationnelle du problsme de

D6monstration: par definition <(,y>

= 2 1 (dx

Dirichlet mentionn6 en 11. 2 ) est obtenu par les th6orSmes classiques de rbgularit& 3 ) et

4) sont des cons6quences directes du principe

du maximum, en effet: Ay = - 2 < 0 montre que y est superharmonique et donc ne peut atteindre son minimum que sur la frontibre; ce minimum est 0 donc y > 0 dans C.

De mCme

sur C; Igrady12 est donc subharmonique et ne peut atteindre son maximum, qui est fini puisque y 6 C1"(Z), Posons M = sup 1 gradyl et . a C

=

% !JM

PEOPOZ!~!~?!-I:I: pour

6

ao,

0

r a

ea

que toute la section reste 6lastique.

que sur aC.

= fa ce qui implique

H. Lanchon

En effet,

ci 6

ao+

lgrad fa(

g + fa

6

CE

Ba

K+

=

fa; par

ailleurs: (grad fal < g dans C (cf. proposition 3.2, 4), donc Ea = C.

partie

Les proprigt4s de fa d4rivent d'ailleurs

directement de celles de

et montrent que fa est bien la

y

solution classique du problkme 4lastique.

3.2.5 Comportement de 0 ----------------------

-ppuy-go-<-g,-<-+-?~

soiution-5lasto~i8stigue

Prgpc_~i;iog-_3,4: Pour

< a < +

cio

w ,

Pa f

@

;( Cela

signifie qu'il y a une r6gion plastique)et,par

I

Ae, + Zpa

Dgmonstration:

C t.q.

gn

et, 3 tout

$J

sur Ea et

eci€ c ~ ( E ~ )

Posons

= {x/x

i

= 0

ailleurs:

a 3 (C

1 grad

if

6

g

-

avec k

=

sup 1 grad .-

B,(x)

1

) associons:

gn

ta - iiIi sur CE.. J,

lea

sur

$J (x)

P

1

cgn

Alors

K ahsi que 42 = 20,

-

ql; ces deux 616ments

peuvent donc etre choisis comme fonctions tests dans (19) ce qui entraine:

H. Lanchon

Par passage 3 la limite lorsque n

+ a,

nous obtenons:

D'o5 la conclusion de la proposition.

I

F''gp"fih~~-3~5:

quand a

+

alors:

K

1)

8, converge uniformement vers 8,e

2)

8, est l'enveloppe sup6rieure des fonctions de K.

3)

8=(x)

4,

=

gG(x,aX)

de x B

ax.

Igrad8,l

=

oh 6(x,aC)

d6signe la distance

g. p.p. sur X; toute la section est

donc plastique.

Dlpgngr~atigg:

Lorsque a

-+

0 ,

(19) peut &tre 6crit:

8, d6crit un sous ensemble infinie de K.

K

Btant uniformement compact, 3 une sous suite e verge uniform6ment vers 8 , ~K.

qui cona; On peut donc passer la

limite dans 1'inEquation pr6cEdente compte tenu du fait que

H. Lanchon

I,'unicite vient du fait que s'il existe 2 solutions:

bL1) f eL2)

alms

(!~)) = s~~(e,'),e

,e

c K et satisfait

d'oh la contradiction. (Les points 2, 3, 4 ne presentent pas de difficult&.) 3.2.7 Comportement de 8,-eg_fggc~jgn-dp-g ------------------ general ----------si a < a', alors 0, <

Pygpg~igigg-J,$:

sous ensemble de mesure non nulle de

l

C.

Ba > 0 partout sur C,fa

Demonstration: (i)

ea(x) c 0,'

eat

sur un

En particulier > 0.

(x); en effet

soit Go = {X/X c C, ea(x) > eat(x)) et

C1 =, {X/X e C , Oa(x)

6

13,'

(x) 1

En appliquant(l9) aux deux fonctions test suivantes : = inf{O,,eal)

et 92 = s~p{8,,8,~),

ce qui implique Co = 9.

nous obtenons

H. Landhon si 8,(x)

(ii)

= Bal(x) partout sur C, alors

# 8,

supposons en effet 8, = 8,'

-

88, = bea' =

2pa =

-

ea

alors Ea = E , '

2pa1 sur E,,

= 8 ,;

# 4 et

ce qui est impossible

puisque a = a'. Pour a fini, Ba # 8, ; en effet si Oa = 8, alors

(iii)

Soit alors

(k sur

rk

= Ix/x

s C, 8,(x)

2

kl

( 8, ailleurs avec k

E.

) 0, M , [

implique M,

3.3

-

M, = sup 8,(x) X C C

k r

&

Vk

4 E K et 11in6quation

;

e ] 0, MoC

ce qui est faux.

Apparition et propagation des zones plastiques 3.3.1 Nouvelles definitions des ................................... et-~laqtiguc

regions 6lastiqg1-----------

H. Br6zis et M. Sibony (5) ont obtenu le resultat de comparaison suivant: si

(24)

Kt =

I + / $ c H;(C),

K C K t et les deux problzmes:

141

&

em p.p. sur C) alors

H. Lanchon

(P) (P:)

8, 8,'

6

K;

- $,8,

<€la

-

t K t ; <8,'

ant meme solution: 8,

=

-

V 4eK

fa> < 0

4, 6,'

-

fa>

C

0

b' 4 c K '

8,'.

De la on peut montrer que

Cette nouvelle d6finition de E, et Pa est essentielle pour 6tablir les propri6t6s concretes suivantes qui sont intuitive5 et facile 3 d6montrer.

Si M

€

Pa et, si Q

E aC

est tel que

IMQI = 6 ( M , a C )

alors MQ c Pa. En particulier toute possibilit6

Q

dliles plastiques est exclue.

Partition de C en zones d'influence

3.3.3

Soit

r,

l'ensemble des points de C qui sont 6qui-

distants de au moins deux points de a C .

r peut Ctre facile-

ment determine pour chaque cas de section. Nous pouvons prouver que Pa ne peut traverser

r;

en

H. Lanchon /

effet la deride de 8,

subit une discontinuit6 B la traversee

de I et ne peut donc etre egal B 0, qui appartient B ~ " ' ( f ) Ainsi les diffgrents arcs de

r

partagent la section C en

differentes parties, chacune dlelles Btant exclusivement influenc6e par une partie determinee de aC.

Nous dirons donc

que T i c E est la zone dlinfluence de aTi c 3Q si il existe un unique Q

Q 6

aci

E.

M

L

ri,

aC tel que 6(M,aC) = IMQI,et si

(cf. figures ci dessous).

En conclusion: La plasticit6 commence 3 apparartre lorsque a = .a en un ou plusieurs points de aZ, elle se propage de proche en proche

a partir de la et chaque composante connexe reste enfermee dans une zone dlinfluence. Pour a fini, il reste donc toujours un voisinage dlastique autour de

r.

H. Lanchon 3.4

Determination du champ de deplacements solution ae (A)

Signalons simplement que pour chaque valeur de a on est capable d'associer

a0 soit:

un champ de dgplacements u0 par la loi de comportement (7), cf. [lo),

(6),

et ceci grPce 3 un resultat de H. Brdzis

Nous obtenons l'unicit6 3 une translation globale

C9].

prSs,parall3le a Ox3, ce qui est physiquement tout 3 fait normal. J

Pour cette determination, la regularit6 de 0, ainsi que toutes les propridt6s 6nonc6es en 3.2 et 3.3 sont indispensables or la plupart de ces propri6t6s sont obtenues grPce au the'orsrne de comparaison de H. Br6zis et M. Sibony LSJ.

Finalement le problsme (A) est compl8tement r4solu.

PROBLEME GENERAL AVEC "PRANDTL-REUSS" ET APPLICATION PROBLEME (A')

4.

AU

.

On trouvera dans G. Duvaut, J.L. Lions C73 la formul-

ation et les resultats pour un problEme au limite g6nbral du type (B), mais cette fois avec la loi de comportement de Prandtl-Reuss. Les rBsultats sont du m&me styleque ceux obtenus en 2 mais/ a0 est ici solution d'unc ingquation qui

H. Lanchon

contient 3 la fois o et

= g , e t qui ne correspond pas 3

la minimisation d'une fonctionnelle. Pour l'application au problgme ( A ' ) nous proc6dons 0 c o m e en 3.1 pour montrer que o0 I la forme simple: oij = 0

0 0 sauf a13 et a23 et ne ddpend que de xl et x2.

Les deux

diffgrences mentionn6es ci dessus apportent tout de meme une difficult6 suppl6mentaire car nous devons remplacer

l'argument

J(z) <

~(a')

par:

ce qui est plus delicat mais conduit I la m&me conclusion.

Le problEme ( A i ) se formule alors cornme suit: Trouver

r

(27)

,,

Oa(t) e K tel que <6,(t)

-

fact), Oa(t)

-

$> c 0

Ce problsme est rdsolu par la th6orie des opdrateurs maximaux monotones et des semi groupes non lindaires de contraction L9J.

.

Si i(t)

2 0,

les solutions de (19) et (27) sont les

memes, ce qui signifie que la loi de Hencky et celle de Prandtl-Reuss donnent

meme r6sultat. Ceci est obtenu grPce

3 un nouveau thdorkme de comparaison de H. Brezis [6] qui

s'appuie encore sur II. Brgzis, M. Sibony

153.

H. Lanchon

5.

GENERALISATION AU CAS DES SECTIONS MULTICONNEXES: PROBLEMES OUVERTS. 5.1

Notations e t nouvelle formulation

On d6signe t o u j o u r s p a r C l a s e c t i o n du c y l i n d r e mais p a r C * l a p a r t i e m u l t i connexe e f f e c t i v e m e n t occup6e p a r l e mat6riau. S o i e n t C1,

...C 9 l e s

C2,

s e c t i o n s des

q cavites.

az z az,

D6signons e n c o r e p a r Co l ' e x t 6 r i e u r de

x.

Les r g s u l t a t s de 3.1 s o n t v a l a b l e s i c i mais, comme nous l ' a v o n s d 6 j 3 signal;,

l'absence d'efforts sur l a

f r o n t i s r e l a t e r a l e s e t r a d u i t p a r 8; 8;

= Ci

(constante) sur aCi

=

0 s u r a C o = 32 e t

(nous a f f e c t o n s une B t o i l e 3

a u t c e q u i c o r r e s p o n d 3 l a s e c t i o n multiconnexe C*). En p r o l o n g e a n t , p a r Ci,8; e n c o r e p a r 13;

a

s u r chaque Ci

( e t designant

l a f o n c t i o n a i n s i prolong6e) nous c o n t i n u o n s

t r a v a i l l e r s u r l a s e c t i o n C t o u t e e n t i 2 r e e t obtenons 8;

cornme s o l u t i o n unique du problsme (A;): (28)

0

(30)

E Ci,

;

~K*; <8;

= {$/$

E

i = 1,

-

8, 8;

-

Trouver

fa> 6 0

+'@ c K *

H ~ ( c ) , $ = c o n s t a n t e s u r chaque

.'.. ql

06

H. Lanchon

5.2 l

R e s u l t a t s e t problCmes o u v e r t s (R;)

e t (Rg

K* a l e s mgmes p r o p r i 6 t 6 s que K ( c f . paragraphe 3.2.1).

.Nous n ' a v i o n s pas j u s q u ' a c e s d e r n i e r s temps de r e s u l t a t d e r e g u l a r i t 6 pour 8;;

c e r 6 s u l t a t 6 t a n t simplement e s p 6 r 6

comme s u i t :

( I 1 semble cependant que pendant c e t t e s e s s i o n de Bressanone, C. Gerhardt a i t obtenu c e r 6 s u l t a t avec p e u t B t r e q u e l q u e s r e s t r i c t i o n s s u r l a forme d e s Ci)

.f;,

p r o j e c t i o n de f a s u r E e s t l a s o l u t i o n B l a s t i q u e du

problsme.

*NOUS

i n t r o d u i s o n s comme en 2.2.3,

e t montrons que pour a 6 a:

eLorsque a

+ m,

toute l a section Z* reste

nous montrons que 8 * ( x ) t e n d v e r s : a

H. Lanchon

oh 6*(x,aX) e s t en quelque s o r t e "une d i s t a n c e au bord" g 6 n g r a l i s e e d 6 f i n i e cornme s u i t :

di 6 t a n t l e p l u s c o u r t chemin e n t r e a C i e t a C o s i l ' o n conv i e n t que l a t r a v e r s e e de chaque C i donne une c o n t r i b ution nulle.

Dans l l e x e m p l e

d e l a f i g u r e c i c o n t r e , nous avons

.

Nous nous h e u r t o n s a l o r s 3 un second probleme o u v e r t :

I

y a t ' i l i d e n t i t 6 e n t r e 0; et,e;'

s o l u t i o n de:

(Ce r e s u l t a t s e r a i t 1 1 6 q u i v a l e n t de c e l u i de H. BrBzis,

MF Sibony.)

H. Lanchon

En llabsence de ces r6sultats

(11;)

et (RZ) nous avons

proc6d6 par analogie avec le cas simplement connexe,pour formuler un certain nombre de conjectures relatives 3 llapparition et au d6veloppement de la plasticit6 dans I*.

L'analyse numgrique de certains cas de figures non

n6cessairement trivial a montr6 que ces conjectures 6taient tout 2 fait v6rifi6es [llj; ceci est screment un encouragement pour la dgmonstration rigoureuse de (R;)

L'obtention de (R;)

et (R;).

et (RZ) permettrait en outre de

montrer l'existence d l u n champs de d6placements associ6 a 0; et de comparer les rEsultats donn6s par Hencky avec ceux obtenus par

Frandtl-Reuss.

Signalons enfin que llanalyse num6rique avec le convexe K*' est plus ais6e: les temps de calcul sont beaucoup plus

courts et les r6sultats plus pr6cis.

H. Lanchon REFERENCES "Espaces de Sobolev" J.L.' LIONS

-

E. MAGENES

"ProblBmes aux limites non homoghes et applications". Dunod, Paris (1968). "Minimisation d'une fonctionnelle" J.L. LIONS "Sur le contr8le optimal de systbmes gouvern6es par des equations aux derivees partielles". Dunod, Gauthier Villars (1969). "InBquations variationnelles" J.L. LIONS et G. STAMPACCHIA "Variational inequalities".

Comm. Pure Appl. Math.

20 (1967) p.493-519. -

H. BREZIS et G. STAMPACCHIA "Sur la rhgularit6 de la solution d1in6quations elliptiques". Bull. Soc. Math. France Vol. 96 (1968) p.153-180.

H. BREZIS et M. SIBONY "Equivalence de deux in6quations variationnelles et applications". Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 41 (1971) p.254-265. H. BREZIS "Probl8mes unilat6rauxW. Th8se Universite' Paris VI (1971). G. DUVAUT

-

J.L. LIONS

"Les ine'quations en m6canique et en physique". Dunod, (1972). "DBtermination dfun champ de d6placementsW [I.

BREZIS "Multiplicateur de Lagrange en torsion e'lastoplastiquc!' Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 49 No. 1 (1372) p.32-41.

H. Lanchon "ThBorie des opgrateurs maximaux monotones et des semi groupes non linEaires de contraction" 19)

H. BREZIS "Op6rateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans des espaces de Hilbert". Cours Universit6 Paris VI et CNRS ERA 215 (1971). "Torsion Blastoplastique" (a)

Th6orie

[lo] H. LANCHON "Torsion Blastoplastique d'un arbre cylindrique de section simplement ou multiplement connexe". These Universit6 Paris VI. DBpartement de MBcanique (1972). (b) [ll]

Etude num6rique

R. GLOWINSKI et H. LANCHON "Torsion Blastoplastique d'une barre cylindrique de section multiconnexe". Journal de Me'canique Vol. 12 No. 1 (Mars 1973).

C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E . )

DUALITE EN CALCUL D E S VARIATIONS

JEAN MICHEL LASRY

Corso tenuto

a

Bressanone

dal

1 7 a1 2 6

giugno

1973

Soit P un problsme de calcul des variations : (P) Minimiser L(Xu) +

i,

~(w,u(w),Au(w) )dm

..

09 A est un op6rateur diffkr~ntiellinkaire (gradient, laplacien,.. ) un opkrateur de trace (ex : Xu=restriction de u 2

et X

est une intkgrande normale convexe et oii

1,

a),

oi5

L

est une fonctionnelle con-

vexe. Nous associons 2 P le problsme dual

(P*) Minimiser &*(up) +

(

t*(w,~p(w) ,p(w))dw

*

09 L* et L (w,.,.) sont les fonctions duales de

L!

et

~ ( w , ,.) .

09 M est l'opkrateur diff6rentiel adjoint de -A (divergence, lapla-

...)

cien,

et 03. p. est l'opkrateur de trace pour lequel on a la for-

mule de Green + < Au,p > + < Xu, pp > = 0. Nous ktudions la dualitk entre P

et P* (infl =

liant des solutions ce de

-

u et

p

5). En particularisant

-

infp*, conditiions dtextr6malitk

de P et P* respectivement existenR = ] O,T[

et A =

d

on retrouve

les problsmes de Bolza convexes 6tudiks par Bockafellar. D'autrepart en particularisant

1,

et L on retrouve la dualit6 pour les op6ra-

teurs a m dkrivkes partielles dkveloppke par R. Temam.

J. M. Lasry II~TRODUCTION .I

1. Dans une skrie d'articles

R.T. Rockafellar a ktudik la dualitk pour

les probldmes de Bolza convexes, c-8-d pour les problbes du type :

:l

(P) Minimiser [ L(x (01, x(T)) +

~(t,x(t),k(t))dt]

02 A est l'ensemble des fonctions absolument continues,

Pour x %

tion convexe s .c.i. et L une int6grande normale convexe sont 8 valeurs dans ]

- -

- ,+

] )

A

une fonc(1 et

L

.

D'autre part R. Temam a dkveloppk la dualitk pour des probldmes de cacul des variations, notament le probldme de Plateau I

et de nombreux autres exemples faisant intervenir des op6rateurs a m

...) .

dkrivkes partielles (gradient, laplacien,

Nous allons donner une formulation commune de ces probldmes, et ainsi ktudier la dualit6 pour des probldmes de calcul des variations faisant intervenir 2 la fois les intkgrandes normales convexes et les opkrateurs linkaires aux dkriv6es partielles. On va retrouver dans le cas gknkral des dkveloppements usuels en dualitk : construction d'un probldme dual P* tel que infP=

-

*

inf P

et tel que les conditions d'extrkmalitk fournissent un systdme deconditions n6cessaire et suffisant d'optimalitk. Le r6sdtat le plusmarquant est, suivant l'idke de T. Rockafellar (1,2) dkj2 reprise

par

R. Temam (1,2), que l'existence d'une solution optimal du probldme dual est lide 2 la stabilit6 du problsme primal vis 2 vis decertaines

J. M. Lasry

perturbations. Ce qui permet de ramener un probl?me d'existence 2 une

. ,Pour obtenir un resultat d'existence sur

P on 6change les rb-

*

les de P et P (ce qui est g6nErallement possible).

*

2. La dualit6 entre P et P repose dans sa formulation mSme sur la formule de Gre'en. Dans la d6monstration celle-ci intervient sous

la

forme d'une propri6t6 analogue au lemme d'Ner-Lagranga, lemme

que

+r

l'on peut dans l'esprit de la dualit6 6crire ainsi :

r

~ I (0) X~ ( 0+IX(T) ) - BIY(T) z(t)Y(t) + x(t)f(t)~dt) sup Y E c~(o,T) est fini alors x(0) = a , x(T) = 6 et z(t) = x(0) + x(r)dt.

Cette analogie n'est pas fortuite puisque les relations d'extr6malit6

obtewes par dualit6 coincident pour des Lagrangiens r6guliers

avec les kquations dfEuler.

3. Nous renvoyons pour une bibliographic complste et un historique de la dualit6 en calcul des variations aux articles de Rockafellar cit6s et au l i m e de I. Ekeland et R. Temam ou on trouvera aussi de breux exemples d'applications

*

a

nom-

des problhes classiques.

*

NOTATIONS On d6signe par. $2 un ouvert born6 r6gulier de

R"

, r ( = an) son

J. M. Lasry

bord. Pour. i

M

E

et

6

<6 <

1

on note L.(Q,R

i

) l'espace des

i fonctions 8-somables de fl dans R ; Di(fl) = Di(fl,R1) l'espace des

cm

fonctions

de fl

ni

dans

lea espaces cW(h,Ri)

3 support compact ; Di(E) et Di(l) i

C (r,R )

et

respectivement;

D:(Q)

lea

xi.

distributions dans $2 b valeurs dans

1 . Espaces fonctionnels, opgrateurs, formule de Green

(A) le formalisme qui recouvre les trois

Nous donnons d'abord exemples principaux -

(B)

.

4- On d6signe par UT un espace fonctionnel tel que Dm($ C UI. C L ~ ( Q , R ~ ) 05 a

$

= ($

,,...,$,I

E

j=l,

Ipl

m]

(en gBn6ral

UI = ~~'~(fl), ).

Dm(;)

par

..a

a

P3J

ax1

.

a

$j

avec ap E

dans [ 1, +

m

On d&signe par

x(Dm(fl)) = o Soit M

\B

03

B

est

.

[

A

un op6rateur lindaire de Uf dans un espace

de Banach E tel que lbn ait D (r) C E C D' (I') g Q On suppose que A

~~6%.

n

On suppose que pour u E UT , Au appartient b don&

sera un es-

U[

A un opgrateur diffgrentiel lingaire dEfini pour

k

A$ = z

[I, +

...

pace de Sobolev; UT = ~'(fl), On dgsigne par

E

(injections continues).

vgrifie et

A(D~(E)) = D (r). g

l'ajoint de

-A

au sens des distributions.

J. M. L a s r r

On dksigne par Po l'espace

03 a'

et B'

sont les exposants conjuguks de a et

(l/a1 + l/a = 1;

l/Br + 1/B = 1).

On suppose que sur P

0

un op6rateur linkaire p : Po

DD' )'l( g

b

Green" suivante

8 est dkfini

tel que la "formule de

:

(QpAu+iuMp+=O~ est vErifike pour (u,p) E Dm (E)x Po et pour P = Ip E po ; pp E El (dual de E))

(u,p) E Ut

x

P

avec

.

B Exemples = excmple 1. Prenons pour Ut l'espace de Sobolev H1(S2), pour A 1'0pkrateur gradient et pour A on a u E L2 (a),

l'opkrateur de restriction 1 .'l

A u E L2(S2,XIn) et A u E

~"~(r).

1

Si uEH(n),

(On a donc a = B = 2 ,

m = l , k = n , E=H'/~(~)). L'adjoint de -A

est l'opkrateur

M = divergence. L'espace P0

est donc l'espace

V = {p E L2(Q,Z!")

, div p E

L2(f2)).

-+

-+

Pour p E Po on peut dkfinir le "flux sortant" p.v. (03 v est la normale extsrieure

a r.

11 vient

:

P = {p E Po,

-1 /2 (I')) = Po = V. p p E E' = H

On a donc

P = P dans cet exemple.

Enfin, la formule de Green s'kcrit ici

J. M. Lasry

(oa

Ur = XU

est la trace de u

(u,p) E HI(*)

x

r)

sur

et elle est v6rifiEe pour

V (cf. Temam (3) ou Lions-Magenes (1 1).

exemple 1' : On peut &hanger les rdles de

a

et

P

dans l'exemple

pr6c6dent (ce qui n'est pas toujours possible). Prenons pour Ut l'espace V

de l'exemple

lfop6rateur Xu = u.v

( = flux sortant). I1 vient alors M = gradient et :

Po = Ip E L~(*); grad p 1-1

1'opErateur divergence et pour X

1, pour A

E

L~(O,R")I = H~(Q).

est l'op6rateur de restriction, P = Po = H~(s~) et la formule

de

Green est la msme que dans l'exemple 1.

exemple 2. Prenons pour Ut continues de [ O,T] A

l'espace Am des fonctions absolument

dans Rm (donc il =] O,T[

l'op6rateur de d6rivation

d

, et

Xu = (u(O), u(T)) 3 valeurs dans Rm

M - dque po = UT,

que 1-1

up = p(0), -,p(~)), que P = P

a

x

pour

et

r

= Io,T)),

pour

X l'op6rateur

xm. On v6rifie

alors que

est lqop6rateur d6fini par

:

et que la formule de Green se r6duit

la formule d'int6gration par parties pour les fonctions absolument

continues

(avec k = dx/dt) :

exemple 3 Prenons pour UT l'espace

J. M. Lasry

Ut = {u E H1(~), Au

pour A

l'operateur

E ~ ~ ( 5 1 ) )

A

.

3

(laplacien) Sur Ut on peut d6fihir 110p6ra-

teur de.trace X par au XU(U~~,

E

112 H (r) x

~-lI~(r)

(donc a = B = 2, m = k = I , E = H1I2(r) x H'12(r), L10p6rateur M adjoint de

-A

e'st

-A

g = 2)

et :

Sur Po on peut definir 110p6rateurde trace p par (cf. Lions Magenss ( 1 ) ) Up =

(E, -

plr)E

~-~'~(r)

i112(r)

x

D1oa, par definition (puisque E' = H-l12(r) x p = {p

E

(r)

p0 ; . % E

F1112(r))

et p l rE H'/~(~)I

On montre que P=Ut et que l1on a la formule de Green

pour

(u,p) E Ut

x

P

(cf. Lions Magenks (l))(et pour (U,~)ED(~) xpo)

2.Fonctionnelles. Cnonces des problkmes A) On d6signe par L : n

x

RmxRk

-+

rdlienne telle que, pour presque tout est convexe s .c .i. propre (c-8-d L(U,

]

- - ,+ - I

w E

a, la

.,.) # +

m e fonction bo-

fonction

L(u,. ,.)

). Autrement dit

L

est une int6~randenormale convexe au sens de Rockafellar(3). On designe par L* : finie par

a

x

Rm

x

Rk+ ]

-

m

,+ m

]

la fonction d6-

J. M. Lasry

- L(w,a,b) ;(a,b)

= Sup {ac + bd

L*(o,c,d)

E Rm

Rk 1

x

Crest encore une intdgrande normale convexe et L** = L (cf. idem) Notation

et

xm w

u & v sont des fonctionsmesurables de

:

Rk respectivement, on notera L(u,v)

L(w,u(w), v(w))

-+

*

*

L(u,v)

~(w,u(w),v(w))dw

I

B) On se donne une fonctionnelle

* a (Y) =

la fonction mesurable

.

& L (u,v) la fonction mesurable w+L(yu(w)pb))

Par exemple on dcrira

propre (c-8-d I, $ +

Q

m)

I, :

et sa duale

sup {<x,y >

-

E +]:

I,*

El

-,

-+

]

+m

.

] con+exe s .c.i.

- m ,+ m

] ddfinie par

R(x); x~ EI

Dans la pratique E sera souvent un espace fonctionnel (cf. exemple 1 E = H1/*(I'))

I,

et

sera de la forme pour o

E

~"~(r).

*

Si E est un espace de Sobolev on trouvera le calcul de L dans Brezis (1 )

.

C) Hy-pothsse de finitude (Ho). On suppose qu'il existe u po

E

IP

E

IK

tels que les quantitgs suivantes sont finies :

L(Iu0).

I, IL(U~¶

IL(MP~.P~)I

Auo)l ,I*(LIPo),{Q

Cette hypothsse implique en particulier que pour presque tout w

E

..

et tout

R

L(w,a,b)

*

L (w,a,b)

(a,b) E R m

a.Mpo(w)

+

x

R~

b. po(w)

on a

- L*(~YMP~(~),P~(~~))

a. uO(w) + b. AuO(w)

- L(w,u,,(w),

AuO(w))-

:

Lasry

J. M,

$,

On d6duit de la premisre in6galit6 que si (u,v) E :L x

> A(w)

~(o,u.(w), v(w)) donc que l'intkgrale

Q

avec A

L(u,v)

E

a

on

L (Q),

est bien d6finie 2 valeur dans ]- - ,+-

De m h e on d6duit de la deuxisme inbgalit6 que pour ( D , ~E)x'( ltint6grale

I,

L (q,~) ' est bien d6finie 2 valeur dans ]

*

-

m

,+

-

1.

L ; ' ]

.

D. Les consid6rations pr6c6dentes permettent de dkfinir les problsmes suivsnts :

n

(P) Minimiser [ 11(Xu) + u E UC

(P*) Minimiser

exemple 1 (suite)

L(w) ,u(w) ,Au(w) )dm

+

LY(o,~p~w),p(w))dw]

. voir ci-dessus

exemple 2 (suite) I1 vient (P2) Minimiser [ %(u(0) ,u(T)) + u Am

'

*

(P,) Minimiser [ E (~(01,- p(T)) P E Am avec

A = {x m

E

.

1 .B)

(P2) Minimiser p * p E L2(Q,Rn) ,divp E L2

*

1

Dans ce cas les problsmes st6crivent (compte tenu

du choix de UC ,A,.

U

*

[ % (up)

h

L~(o,T;R~); jc

E

+

~*(w.divp(u) ,p(w))14

r+i

~ ( ,u(t) t ,fi(t) )dt] T

(t,b(t),p(t))dtl

L~(O,T;R~))

Ce sont les problhes de Bolza convexes ktudi6s par Rockafellar (1,2).

J. M. Lasry B = (u E H~(o), Au E L2(n)}

exemple 3 I1 vient avec

(p3) Minimiser [ ~ (lru ,%) uE B

( 2,

P

inimiser [ P E ~

p

+

L(Y,U(W).

) +

I*(., -Ap(u),p(u))dw]

et p E P

Posons pour u E UT

J(P) = L*(PP) +

A) Pour tout (u,~)E UI

h

AU(Y))~YI

x

n

L*(MP;P)

P on a

~(u) + ~ ( p3 ) 0 d'aprss la formule de Green. D'o3 :

Donc

inf P + inf P* = inf I(u) + inf J(p) 0 u E UI PE p D'aprss l'hypothsse Ho on a l(uo) < + et J(P~)< +

-

<

-

inf P*

< inf P

<

+

m.

B) Conditions dVextr6malit6 L'tgalit6

(

l(hu)

I(u) + J(p) = 0 a lieu si et seulement si +

l*(up) = < uu, up>

La deuxisme condition du systsme S est Squivalent 2

. Donc

:

+ L*(w,MP(~) ,P(u)) =u(w) .MP(U)

L(U,U:U~ JU(U))

. (puisque

pour presque tout w E pliquent

f

aurAu +

Ig

im-

.

L(w,u(w),

L(o,a,b)

Au(w)) le sous gradient de la fonc-

au point

aM P ~ PL*(U,M~(W) ,p(w),

Notons (a,b)

If =

*

Notons

tion

et

at(Xu) (resp.31 (up)) le sous gradient de 1 (respa*) Au (resp. up)

tion (a,b)

>g

J. M. Lasry .P(w)

= g presque partout)

Botons au point

f

+AU(W)

+

*

L (w,a,b) au point

(do), Au(w)). le sous gradient de la fonc(Mp(w) ,p(w)).

Le systsme (S) gquivalent b chacun des quatre systhes (kquivalents) S1,3, S1,4, S2,3, S2,4 fonnks 5 partir de deux des quatre conditions suivantes (1) X U E

*

at p

( 3 ) (u(w), AU(W))

E

aMp rP L*(~,MP(~),P(~))

pour presque tout

(4) (MP(w), P(w))

E

w

aUrAU

pour presque tout Supposons que &

(w,a,b)

(a,b) ; notons aL aa

et

L(u,u(w), AU(W))

w -+

E Sl

E

L(W ,arb) est diffkrentiable par rapport

aL ab

les dkrivkes partielles

par rapport

5 la deuxisme et la troisisme variable. Alors la conditions

( 4 ) s'kcrit

En 6liminant p on trouve l'dquation 'hfEuler"du probldme

Par exemple dans l'exemple

A at -a,; s

(t,r(t), f(t)) =

J. M. Lasry (P) :

2 cette 6quation sr6crit

(t,x(t), i(t))

C'est 1'6quation d'Euler du problsme

(PI) (cf. $ 1 .B et $ 2.D).

4. Th6orsme 3.A et 3.B ci-dessus on voit que pour

D'aprss les paragraphes

un couple

(u,p) E

UI:

x

P

les propri6t6s sont 6quivalentes :

i)

le couple (u,p)v6rifie le systsme S

ii)

le couple (G,p)v6rifie

I(;)

*

iii) on a inf P + inf P = 0 et

+ J(;)

i ,j

(i = 1,2; J = 3,4)

= 0

-u et -p

sont des solutions

optimales de P et P* respectivement. Nous allons voire que 1'6galitk inf P + inf P* = 0

*

d'une solution optimale de P

et l'existence

sont li6es 5 la stabilit6 de P vis 3

vis de certaines perturbations.

A. Fonction de stabilitd

Pour

(v,w)

E

50 x

E on pose

h

L(w,u(w), v(w) + Au(w))dul y(v,w) = inf [L(w + Au) + u E UL En particulier y(0,O) = inf P : on dit que y est la fonction de stabilit6 de P(par rapport aux perturbations

(v,w))

.

Montrons d'abord'a l'aide de Ho et de la formule de Green que

y(v,w)

7

L(W + Au) +

>

J. M. .Lasry

. I1 vient

-

(a

L(U.V

+ Au)

- * (PP~)+

w + Au, Upo >

Iu.Mp0 +

(V +

-i

Au).P~

L*(mO,Po)

*

v.P~-L(P.P,)/

~loii: y(v.w) 2 < w,pp0 > +

\Q

v.po + c (avec

c E

R)

.

D'autre part on vkrifie (en utilisant la convexit6 de L(d,.

,.)

et la lin6aritk de X

.t

et de

et de A ) que y est une fonction con-

vexe . -

B) Enonc6 ThBorSme : On fait lthypothbse ( H )~ gue pour tout u v

E

f

tel que L(u,v)

on

1)

(o,o).

L~(Q). Alors

il existe

:

- inf P* si et seulement si

est .s.c.i.

y

en

Dans ce cas le Drobl&?le P* a une solution optimale si et seu-

lement si 2)

fx

inf P =

E

E :L

%

y

est sous diffsrentiable en

y

est majorke dans un voisina~efort de inf P =

E,

3)

% inf P =

-

*

- inf P

&

P*

(0.0). (0,O)

dans

a une solution optimale.

* , il est gquivalent

inf P

de dire que

vErifie l'un des systbmes S 1 , 3 ~s1,4, S2,3s S2,4

(u,:)

-

OU

E UL

x

P

-

que u et P @

des solutions optimales de P & P* respectivement. Dkmonstration

Le point 3 ne fait que reprendre les considkrations

du paragraphe 3. Le point

2 rksulte du point

1. En effet, si la fonc-

J. M. Lasry

tion convexe y

est major6e dans un voisinage (fort) de (0,O) elle est

continue (0,O) (pour la topologie forte) et sous-diffgrentiable.

*

Reste le point (p,r) E

l? On calcule y

E' :

<'X

et si vp = r :

i) Si M p E':L

*

*

*

ii) y (p,r) = R (up) + L (~p,p) sinon

*

*

y (p,r) = +

part, et c o m e y(O@)

= inf P d'autre

** (O),

a lieu si et seulement si y(O) = y est s.c.i.

en

(0,O)

-.

* - y** (0)d'une * part, 1'6galit6 inf P + inf P = 0

I1 en r6sulte que inf P = inf y*. C o m e

si y

et on trouve pour

inf y =

c'est 2 dire si et seulement

(pour la topologie forte ou pour la to-

.

pologie faible)

*

*

Enfin c o m e inf P E R, il est 6quivalent de dire que y atteind son minimum ou que P* a m e solution optimale. Si y est s.c.i.

en

*

(0,0), il est gquivalent de dire que y atteind son minimum ou que y est sous-diffgrentiable en

(0~0).On remarque qu'on a ler6sultatplus

prkcis : (p,r)E ay(0,O)

* [pE 1P, r

= up

,p

est m e solution optimale de P*I

*

~e th6orSme est dgmontrg modulo le calcul de y

qui est la partie

difficile de la dgmonstration (on trouvera ce calcul, dans le cas de l'exemple

1, dans Berliocchi et Lasry (2). Le calcul dans le cas g6-

nkral est 2 peu prss le mgme). Remarque

1. Pour obtenir des rgsultats d'existence de solutions opti-

males pour le problsme P, on gtudie la stabilitg de P*. Plus prgci-

J. M. L a s r l s6ment on cherche

a

appliquer le thborsme aprss avoir 6changk les rcles

*

** =

de P et P : on utilise L

. ..

L, a" = a, 6'' = B ,

Cependant on ne

U et 1 P ; c'est tout de msme possible dans

peut pas toujours &hanger les exemples envisag6s ici

.

Remarque 2. Le point 2 du thkorsme est le plus utile carc'estle plus

a

facile

appliquer.

5. Exemples (suite et fin) exemple 1. Dans le cadre de l'exemple 1 (cf. § 1

et 2) on trouve no-

tamment les probldmes variationnels classiques de Neumann et de Dirichlet (on trouvera d'autres exemples dans ~keland-Temam(1 ) )

.

On prend L(w,x,y,

,.. .,y ) = a (w)x2 + xz(w) + E a. .(o)y.y j 1~

avec E ai

&C.>a ,j 1 J

ao(w) > a ; ai Les

,j

(5:+

...+ 5:),

1

Y S E R ~ , h E Q ; ai . E L~(Q); 9J

= a . z E L~(Q). j,i7

a

ij sont donc les coefficients d'un op6rateur fortement ellip-

tique dans

Q.

On calcule lfint6grandeduale. I1 vient :

03 les (b. . (w)) sont les 6lhents de la matrice inverse de la matri1J

ce

(a..(w)) 1J

Soient E,

et

E2

les fonctionnels convexes sur

~ " ~ ( r: )

On v6rifie sans difficult6 que le point aux problsmes P 191

2 du th6orsrne stapplique

(~eumann)et P (Dirichlet) suivants : 192

(P ) Minimiser l y l U E HI(,)

i?, '~ ij

au

5

ax j

On obtient les problsmes duaux suivants Minimiser

i fn 1

(z

-

div pI2 +

0

1 i bij pi pj

pour p~ L ~ ( Q , E ~ ) ,div p~ ~ ' ( n ) (si

i = 1, p.v = 0; si i = 2, pas de condition sur p.v.

Les relations dtextrEmalit6 sV6criventpar exemple pour p. (w) = 2

p2

a. .(w)-(aw)u IJ ax.

div p(w) = 2 aO(u) +

Z(W)

p.v = 0 ce qui donne en gliminant p

exemple 2 (suite, cf. 8 1

et

le systdme elliptique usuel.

§ 2).

On trouvera de nombreux exemples de probldmes de Bolza convexes dans T. Rockafellar (1 et 2).

J . M. Lasry

exemule 3. Nous allons voir dans un cas particulier comment appliquer le formalisme g6niral. Soit z E L2(R)

/pour y E H1(R),

donnk. Consid&-onsle problzme

On introduit le Lagrangien L

On pose UI = Sur UI

IU E

H~'~(Q);

:

R

x

R'+]

-

sur

r.

,+ 1

~ y E L~(R)I.

est dgfini un opgrateur linkaire continu de trace

A : Ut+H1(I') x L2(I') par

pose A = A : Ut y = Ay

dans R, y 2 O

y = Ay

+

au I u = (uIryK) (cf. Lions-Magenes (1)).

On

L2(n). Le probldme P s'gcrit alors (l'kquation

est "dans" L).

(P) Minimiser II(Xu) +

I,

L(w,u(w), Au(~))dw

Pour u

Montrons que le point 2 du thkordme s'applique. Soit

y :

L2(S2)

x

H1(I')

lit6. La d6finition

x

L2(r)

+

1-

m

( $ 4 . A ) donne ici

,+

rn

]

la fonction de stabi-

J. M. Lasry Soit y la solution du systdme v ,w y - A y = w dans Q , y + v = O On montre L~(Q) x H'

sur

(cf. Lions Magends (1 ) ) que

(r)

r.

(v,w)

-+

yvYw est -.continue de

dans U. En reportant y dans la dkfinition de y on v ,w

trouve :

+ Ilwl12) (avec a,b E R ) H Le probldme dual a donc une solution optimale. En calculant y(u,v,w) G a + b(luI2 + llvA

Minimiser

i

p E LZ(O), ~p

(r

' P

2)?(I

+

52 E

L~(Q), av

+

(p

- Ap)zl

<0 .

Enfin une condition n6cessaire et suffisante pour que un couple de solution de P

i)

(u,p) soit

et P* respectivement est que

y = Ay

ii) I2 ( p - ~ p )= y + z iii) y > O

sur OC:,T

sur l.

iv) p = 2 i!L On montre sans difficult&

l'existence d'une solution optimale de

*

P par les mgthodes usuelles (on peut aussi 6tudier la stabilit6 de P , ce qui n'est pas non plus difficile). On peut aussi montrer 1 ' existence d'un 6tat adjoint p vgrifiant les conditions i,ii,iii,iv, par les mgthodes plus classiques (que la dualitg) de Lions (1 ) .

J. M. L a s r y

Berliocchi H. et Lasry J.-M., 1 ),C.R. Acad. Sc., Paris, 1973, t. 276, p. 1611-1614

2) Annalles de lfuniversit&de Bordeaux 11, 231, Cours de la lib&ration, Talence, 2 paraEtre dEbut 1974. Br6 zis H. , IntQgrales convexes dans les espaces de Sobolev, (Sym. Eq. der. Part.) Jerusalem, 1972. Ekeland I. et Temam R.

, Analyse convexe et probl?mes variationnels

Paris, Dunod, b paraitre. Lions J.-L.,

ContrBle optimal, Dunod, 1971.

Lions J.-L. et Magenes E.

, Probldmes a m

limites.., Dunod, 1969.

.

Moreau J -J. , SCinaire Leray, Collsge de France, Paris, 1967. Rockafellar T. 1 ) Conjugate convexe functions in optimal control and the calculus

of variations, J. of Math. appl. 32,1970, p. 174-222.

2) Existence and duality theorems for convex problems of Bolza. Trans. h e r . Math. Soc. vol. 159, sept. 1971. 3) Intggrals which are convex functionals, I, Pacific J. Math, 24

1968, p. 525-540.

4) Duality

and stability in extremum problems involoving convex

functions, Pac. J. Math 24, 1968, 525-539. 5) Convex analysis, Princeton Univ. 1 969.

Press, Princeton, N.J.USA,

J . M. L a s r y Temam R . , S o l u t i o n s g d n d r a l i s d e s de c e r t a i n e s dquations du t y p e hyper-surfaces minima, Arch. Rac. Mech. and Anal., 44, 1971, pp. 121-1 26

Henri B e r l i o c c h i , 11 , r u e Croix Bosset, S2vres -92Jean-Michel L a s r y , l 8 , avenue de l a Motte P i q u e t , P a r i s -72meEquipe de recherche a s s o c i d e a u CNRS no 249 M a t h h a t i q u e s de l a d d c i s i o n , U n i v e r s i t 6 de P a r i s IX-Dauphine

75016

- PARIS.

C E N T R O I N T E R N A Z I O N A L E M A T E M A T I C O ESTIVO ( C . I . M. E . )

ON U N I L A T E R A L CONSTRAINTS, F R I C T I O N AND P L A S T I C I T Y

J E A N J A C Q U E S MOREAU

Corso tenuto

a

Bressanone

dal

17

a1 2 6

giugno

1973

ON

UNILATERAL

CONSTRAINTS,

AND

J.

FRICTION

PLAST l C l TY

J.

MOREAU

CONTENTS

Chapter 1.

INTRODUCTION

1. a

Orientation

1. b

Summary of Chapter 2

1. c

Summary of Chapter 3

1. d

Summary of Chapter 4

1. e

Summary of Chapter 5

1. f

Summary of Chapter 6

Chapter 2. DUALITY AND

SUBDIFFERENTIALS OF CONVEX

FUNCTIONS

Polar functions Pairs of dual functions Images of properties or relations Inf

- convbaution and the image of addition

Subgradients and subdifferentials Addition rule Images by linear mappings Conjugate gauge functions and quasi-homogeneous convex functions

J . J. Moreau

Chapter 3. SUPERPOTENTIALS AND

PERFECT CONSTRAINTS

Configurations and forces Statical laws Frictionless bilateral Constraints Perfect unilateral constraints Superpotentials Dual minimum properties Saddle-point property One-dimensional examples An example of compound system Various treaments of the equilibrium problem Chapter 4. 4.

a

LAWS OF

RESISTANCE

Velocities and forces

4. b

Pseudo-potentials

4. c

Viscous resistance

4. d

Velocity constraints

4. e

Friction and plasticity

4. f

Dissipation function

4. g

Superposition of resistance laws

Chapter 5 .

MOVING

SETS

Hausdorff distance and variation

The case of convex sets in a normed space Intersection of two moving convex sets Distance and penalty function in a Hilbert space Moving convex set in a Hilbert space The sweeping process Existence theorem Discretization algorithm

J. J. Moreau Chapter 6 .

QUASI-STATIC

EVOLUTION

6. s

Formulation of the problem

6. b

The Hilbert space notation

6. c

New unknown functions

6. d

Existence theorem

REFERENCES

OF

AN

ELASTOPLASTIC

SYSTEM

J. J. Moreau

1

1. a

l NTRODUCT l ON

ORIENTATION Three intermingled themes run i n a l l t h e following : v a r i a t i o n a l

s t a t e m e n t s , t h e d u a l i t y i n p a i r e d l i n e a r spaces, t h e convexity of s e t s o r f u n c t i o n s . These a r e p r e c i s e l y t h r e e l e a d i n g themes of Optimization Theory, a s it h a s been developed f o r s e v e r a l decades ; i n f a c t the study of o p t i m i z a t i o n problems s t a r t e d many progresses of modern convexity t h e o r y , i n which d u a l i t y p l a y s a n e s s e n t i a l p a r t . I n Mechanics t h e s e t h r e e themes have been p r e s e n t f o r more than two c e n t u r i e s . There i s no need t o r e c a l l t h e importance of v a r i a t i o n a l i d e a s i n t h e development of A n a l y t i c a l Dynamics. Observe, however, t h a t t h e s e i d e a s o f t e n served a s a mere s c a f f o l d i n g , t o be removed before the end of t h e c o n s t r u c t i o n . Lagrange equations a r o s e from t h e v a r i a t i o n a l p r o p e r t i e s of a mechanical system s u b j e c t t o f r i c t i o n l e s s c o n s t r a i n t s and c o n s e r v a t i v e f o r c e s only ; but a c t u a l l y A n a l y t i c a l Dynamics has a much wider scope, s o t h a t some modern t r e a t i s e s on t h e s u b j e c t may devel o p i t i n t h e framework of D i f f e r e n t i a l Geometry, without r e f e r e n c e t o any p r o p e r l y v a r i a t i o n a l f a c t . V a r i a t i o n a l c a l c u l u s a c t e d h e r e i n sugg e s t i n g some mathematical s t r u c t u r e which e v e n t u a l l y supplanted i t . I n a n o t h e r domain a s i m i l a r e v o l u t i o n took place q u i t e r e c e n t l y when t h e

J. J. Moreau variational approach of partial differential equations gave rise to the theory of Variational Inequalities which have not much to do with extre-

mum problems. The ciassical Calculus of Variations,developed in the context of differentiability, automatically involves the duality of linear spaces', possibly without formalizing it. In Statics, for instance, it is usual to characterize the equilibrium configurations of a "frictionless" system with finite freedom, by equalling to zero the partial derivatives of the potential energy. This induces to consider these partial derivatives as the "components1'of mechanical actions or "forces", in a genral sense ; in fact this constitutes the correct way to formulate calculation rules about forces, which are preserved under the change of variables ; for example if some evolution of the system takes place, one obtains a simple,expressionfor the work or the power of forces. This benefit in calculation (and also the possible connection with Thermodynamics) promoted the use of energy methods in many domains ; however these methods may have been a hindrance when they happened to prevent scientists from considering phenomena which could not be described by means of potential functions. Here again one improves by forgetting the variational stimulus and considering respectively displacements and forces as the elements of two linear spaces placed in duality by the bilinear form "work". Such

J. J. Moreau

was a l r e a d y t h e u n d e r l y i n g i d e a o f t h e t r a d i t i o n a l method o f v i r t u a l

-

work.

About c o n v e x i t y , o n t h e o t h e r hand, i t must b e n o t e d t h a t M e c h a n i c s was p r o b a b l y t h e f i r s t p h y s i c a l domain t o make u s e o f t h i s conc e p t ; t h i s was i n f o r m u l a t i n g t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n o f a heavy s o l i d body l y i n g o n a h o r i z o n t a l p l a n e : t h e v e r t i c a l l i n e drawn from t h e c e n t r e o f mass must meet t h e convex h u l l o f t h e p o i n t s o f s u p p o r t . T h i s i s t y p i c a l l y a r e s u l t concerning u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s .

I n f a c t the study of

d y n a m i c a l problems f o r s y s t e m s o f f i n i t e o r i n f i n i t e freedom w i t h u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s (e.g. pressible f l u i d ; see

t h e i n c e p t i o n o f c a v i t a t i o n i n a p e r f e c t incom-

MOREAU

171,

[PI, [9])

i n i t i a l l y motivated t h e

p a r t t a k e n by t h e a u t h o r i n t h e development o f c o n v e x i t y t h e o r y .

I t must

b e s t r e s s e d t h a t c o n v e x i t y i s i n v o l v e d i n t h e t h e o r y o f u n i l a t e r a l const r a i n t s i n a n e s s e n t i a l way ; i t i s n o t u s e d a s a c o n v e n i e n c e a s s u m p t i o n made t o f a c i l i t a t e m a t h e m a t i c a l t r e a t m e n t , a s i t o f t e n h a p p e n s , f o r i n s t a n c e , i n Optimization. These l z c t u r e s do n o t d e a l w i t h dynamics, but o n l y w i t h equilibrium o r quasi-static

evolution, i.e.

e v o l u t i o n p r ~ b l e m swhere i n e r t i a

i s n e g l i g i b l e . The motion of a system i s s t u d i e d when r e s i s t a n c e phenomsna, s u c h a s f r i c t i o n o r t h e r e s i s t a n c e of a p l a s t i c s y s t e m t o y i e l d i n g , a r e t a k e n i n t o a c c o u n t . Here a g a i n c o ? v e x i t y i s i n v o l v e d from t h e s t a g e

J. J . M o r e a u of formulating the resistance law itself. Many mechanists feel that the occurrence of convexity in this connection is essential, probably with some thermodynamical significance. Classical Coulomb's law of friction enters into our general scheme of resistance laws admitting a (convex) pseudo-potential. It will be objected that this law gives only a rather rough approximation of the friction phenomena ; experimentally, when the sliding velocity increases frop zero the friction coefficient begins with decreasing, while the existence of a superpotential would only allow it to increase. The author's position in this matter is the following. Traditional physics almost always starts from linear laws as first approximations to which improvements have possibly to be added by taking terms of "higher order'' into account. The common habit of assuming differentiabity in formulations is connected with the same tendency, as the meaning of differentials is precisely to describe some "tangent1' linear mappings. On the contrary Coulomb's law of friction is radically nonlinear and nondifferentiable ; nevertheless there is no doubt that this law agrees with the fundamental features of the friction phenomenon and as such it is always used in practice as the first approximation, possibly subject to further imprwements. For instance the augmented friction when the sliding velocity is small or vanishes is frequently

J. J. Moreau

explained as a sort of welding which takes place between the bodies in contact, and has to be broken when sliding occurs. Let us suggest that, in plasticity as well as in friction, our pseudo-potential formalism describes the primary phenomenon exactly as in other domains of physics the primary phenomena admit linear formulations. This causes no conceptual difficulty ; on the other hand, the considerable amount of work which has been devoted in recent decades to optimization techniques makes now available the computational methods permitting to deal numerically with "subdifferential calculus" and convex analysis.

1. b

SUMMARY OF CHAFTER 2 The preparatory Chapter 2 presents the elements of the duality

theory of convex functions and the subdifferentials of such functions. The articulation of the concepts is sufficiently detailed but the proofs of the main statements are not given. Except otherwise indicated the reader may find them in MOREAU given in the recent book of P.J.

[lo], a multigraph report. Some are also LNJRENT [l], which devotes a chapter

to this subject. Of course, the book of R.T. RCCKAFELLAR

[2], yet res-

tricted to finite dimensional spaces, supply much of the fundamental informations.

J. J. Moreau

The s e t t i n g i s t h a t of a p a i r of r e a l l i n e a r s p a c e s , say placed i n d u a l i t y by a b i l i n e a r form denoted a s spposed s e p a r a t i n g , i . e .

<.,.>.

t h e two l i n e a r forms defined

This duality i s on

X

by

w < x , y >

and

y'

a r e e q u a l , and the symmetric assumption i s made whith exchan-

of

Y

X-<x,yf>

(X,Y),

a r e i d e n t i c a l only i f t h e elements

y

and

ging t h e r o l e s of t h e two spaces. T h e r e f o r e , i f one of t h e two spaces h a s a f i n i t e dimension, t h e dimension of t h e o t h e r i s t h e same ; i n t h i s c a s e , every l i n e a r form defined on one of t h e two spaces can be represent e d i n t h e preceding way and i s continuous with regard t o t h e n a t u r a l topology of f i n i t e dimensional l i n e a r spaces. The s i t u a t i o n i s more complic a t e d f o r i n f i n i t e dimensional spaces. R e c a l l i n t h a t c a s e t h a t each of t h e two spaces, say

X

f o r i n s t a n c e , may be endowed with v a r i o u s l o c a l l y

convex t o p o l o g i e s which a r e compatible with t h e d u a l i t y

(X,Y)

i n the

sense t h a t r e l a t i v e l y t o any of them, the continuous l i n e a r forms a r e e x a c t l y the f u n c t i o n s

x-<x,y>

with a r b i t r a r y

y

in

Y.

By t h e sepa-

r a t i o n assumption made above, t h e s e t o p o l o g i e s a r e Hausdorff c l a s s i c a l f a c t t h a t among them t h e weak t o p o l o a s e s t and t h e Mackey topology

z (X,Y

q (X,Y)

; it i s a

i s t h e coar-

i s t h e f i n e s t . Observe t h a t , by

usual s e p a r a t i o n arguments, the c l o s e d c o w e x s e t s a r e t h e same r e l a t i vely t o a l l t h e s e t o p o l o g i e s , t h u s i n t h e following we s h a l l sometimes r e f e r t o c l o s e d convex s e t s without s p e c i f y i n g the topology. Same remnrk

J. J. Moreau

f o r t h e lower semi-continuous convex functions.

1. c

SUMMARY ,QF CHHAPTER

3

Chapter 3 t a k e s up Mechanics by t h e study of m a t e r i a l systems whose s e t of p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s , denoted by U , i s endowed with a l i n e a r space s t r u c t u r e . Such i s i n p a r t i c u l a r t h e c a s e , due t o t h e use of l i n e a r approximation, i n many p r a c t i c a l s i t u a t i o n s where i t i s suppos e d t h a t t h e considered system p r e s e n t s only " i n f i n i t e l y small deviation;' from some r e f e r e n c e s t a t e which c o n s t i t u t e s t h e z e r o of the l i n e a r space

. By t h e b i l i n e a r form "work" l i t y w i t h another l i n e a r space

t h e l i n e a r space

a

U i s placed i n dua-

whose elements r e p r e s e n t , i n a g e n e r a l

s e n s e , f o r c e s a p p l i e d t o t h e system. An example i n

9

3. a

shows why t h i s

d u a l i t y may be supposed s e p a r a t i n g . I n t h i s framework a s t a t i c a l law i s a r e l a t i o n , a r i s i n g from t h e study of some of t h e p h y s i c a l processes i n which t h e system i s involved, formulated between t h e p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n , t h e system and some, say

f E

, among

say

u

E U , of

t h e f o r c e s it experiences i f i t

happens t o come through t h i s c o n f i g u r a t i o n . Such a r e l a t i o n may depend on time. The concept of a s t a t i c a l law which admits a p o t e n t i a l f u n c t i o n

i s recalled. A t t h i s s t a g e i t i s s t r e s s e d t h a t t h e word c o n s t r a i n t

J . J. M o r e a u

possesses i n Mechanics a s t r i c t e r sense than i t r e c e i v e s , f o r i n s t a n c e , i n Optimization (observe t h a t t h e French mechanical term i s " l i a i s o n " , while "cOntraintet' h a s o t h e r meanings). Describing a mechanical const r a i n t r e q u i r e s fundamentally more information than d e f i n i n g some s e t of permitted c o n f i g u r a t i o n s ; some p r e c i s i o n s must be given about t h e c o n f i n i n g p r o c e s s , i n t h e formulation of which t h e f o r c e of c o n s t r a i n t o r r e a c t i o n i s involved. Paragraphs 3. c

and

3. d

emphasize, i n t h e

l i n e a r framework of t h i s Chapter, t h a t f r i c t i o n l e s s c o n s t r a i n t s , b i l a t e r a l o r u n i l a t e r a l , a r e s t a t i c a l laws. P r e c i s e l y they come i n t o t h e g e n e r a l c l a s s of t h e s t a t i c a l laws which p o s s e s s a s u p e r p o t e n t i a l , i . e . t h e r e l a t i o n s between

-

f E

a

$ ( u ) , where

u

#I

and

f

which can be w r i t t e n under t h e form

denotes a convex numerical f u n c t i o n , p o s s i b l y

t a k i n g i n some p a r t of t h e space

U

the value

+

m

. The

c l a s s i c a l laws

possessing a p o t e n t i a l f u n c t i o n a l s o belong t o t h i s c l a s s , a s f a r a s t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n i s convex. If a l l t h e mechanical a c t i o n s experienced by t h e system (possi-

b l y excepting f o r c e s which vanish i n any exp-cted e q u i l i b r i u m ) a r e r e presented by t h e c o n j u n c t i o n of s t a t i c a l laws a d m i t t i n g time-independent s u p e r p o t e n t i a l s , t h e e q u i l i b r i u m c o n f i , < u r a t i o n s t r i v i a l l y possess some extremum p r o p e r t i e s i n t h e space

U

. Paragraph

3. f

supposes t h a t a l l

t h e s e mechanical a c t i o n s have been grouped i n o r d e r t o be summarized a s

J. J. Moreau

the conjunction of two statical laws admitting the respective super-

if and only if there exists fl E

a 4,

U

and +2 ; then u E

potentials

fl E

is an equilibrium configuration

such that

(u). The determination of

-

fl E

f priorto that of 1

a

(u) u

and

is classically

called a statical approach to the equilibrium problem ; the duality theory of convex functions immediately yields some extremum formulation for this problem. This of

and +2

involves the respective dual function

, generalizing the

*

*

and +2

so-called complementary energy of

linear elastostatics. Similar correspondances between extremum problems formulated in two paired linear spaces are a familiar feature in convex optimization, as well Fs familiar the connection of such a pair of problems with a saddle-point property concerning some f~inctioncalled a Lagrangian. In fact, Paragraph 3. g tion of

u

and

gives a simultaneous characteriza-

fl as a saddle-point in the product space

UxF

. As

all the preceding pattern may usually be applied to each definite mechanical system in several different ways, it is able to generate a great number of extremal or saddle-point characterization of equilibrium. The foregoing concepts were first published as a short Note (MOREAU

[ll])

in wriich proofs were not given. /

Paragraph 3. h

illustrates the formalism by some examples of

one-dimensional systems. Paragraphs 3. i and

3. j emphasize the

J. J. Moreau

a p p l i c a t i o n t o a l a t t i c e of b a r s ; t h i s i n t r o d u c e s two p a i r s of f i n i t e dimensidnal l i n e a r spaces

X

into

E

(X,Y

and

and t h e a d j o i n t mapping

(E,S), a l i n e a r mapping

*

D

from

S

into

D

from

Y : this is a

very common a l g e b r a i c p a t t e r n i n e l a s t o s t a t i c s . Various ways o f exploit i n g i t a r e ' p r e s e n t e d ; i n p a r t i c u l a r t h e l a s t one i s meant t o p r e p a r e f o r t h e e v o l u t i o n problem of e l a s t o p l a s t i c s , t o be t r e a t e d i n Chapter 6. More d e t a i l s about continuous media and t h e f u n c t i o n spaces involved i n t h e i r study a r e given by B. Nayroles i n h i s l e c t u r e s .

1. d

SUMMARY

OF

CHAmR

4

T h i s Chapter, devoted t o r e s i s t a n c e laws does not r e q u i r e a l i n e a r space s t r u c t u r e f o r t h e s e t of t h e p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s .

In

f a c t i t i s a c o n s t a n t f e a t u r e i n Mechanics t o a s s o c i a t e with each conf i g u r a t i o n of a system a r e a l l i n e a r space ')r ; t h e elements of

y

cons-

t i t u t e , i n some s e n s e , t h e values t h a t may t a k e t h e v e l o c i t y of t h e system i f i t comesthrough t h e considered c o n f i g u r a t i o n . A second l i n e a r space

r

i s a l s o a s s o c i a t e d lrith each c o n f i g u r a t i o n ; t h e elements of

form, i n a g e n e r a l i z e d sense, t h e p o s s i b l e v a l u e s of f o r c e s which may be a p p l i e d t o t h e system a t an i n s t a n t i t happens t o have t h e considered configuration. The spaces ?"

and

a

corresponding t o a given configu-

r a t i o n a r e placed i n d u a l i t y by a b i l i n e a r form : < v , f >

denotes t h e

J. J. Moreau

power

of t h e f o r c e

f E

i f t h e system possesses t h e v e l o c i t y

I n t h e s p e c i a l c a s e of Chapter 3, i t t u r n s out t h a t with

U

and t h e same

a

v

E

Y.

may be i d e n t i f i e d

i s a s s o c i a t e d with every c o n f i g u r a t i o n .

We c a l l i n g e n e r a l r e s i s t a n c e law a r e l a t i o n formulated between t h e possible velocity

v E

and a f o r c e say

, arising

f E F

from some

of t h e p h y s i c a l processes i n which t h e system i s involved. T h i s i s prop e r l y a r e s i s t a n c e phenomenon i f t h e r e l a t i o n i s d i s s i p a t i v e , i . e . implies

<

O.

Here a g a i n , t h e c a s e where i t e x i s t s a f u n c t i o n

Y , called

4

defined on

t h e pseudo-potential of t h e r e s i s t a n c e law, such t h a t t h e

r e l a t i o n t a k e s t h e form

in

i f it

Particular

-

f E

a

$I ( v )

deserves special attention.

If,

0 E 8 $ (01, t h e r e l a t i o n i s s u r e t o be d i s s i p a t i v e ; t h e

pseudo-potential

is called i n t h i s special case a resistance function

and one may suppose w i t h o u t l o s s

of g e n e r a l i t y , t h a t

mentary example i s t h a t of v i s c o s i t y laws : t h e n

$ ( 0 ) = 0. An e l e -

4

i s a q u a d r a t i c form,

t r a d i t i o n a l l y c a l l e d t h e Rayleigh function. The main a p p l i c a t i o n of t h e s e i d e a s concerns dry f r i c t i o n and p l a s t i c i t y ; t h i s corresponds t o a f u n c t i o n

which i s s u b l i n e a r , i . e .

$

convex and p o s i t i v e l y homogeneous. E q u i v a l e n t l y , t i o n of a c l o s e d convex s u b s e t of

F

, denoted

o r i g i n . An e s s e n t i a l f a c t i n such a c a s e

i q

by

i s t h e Support func-

-C

,

containing t h e

t h a t t h e considered

J. J. M o r e a u

-

f E 8

nor

v

r e s i s t a n c e law, namely valued f u n c t i o n of

v

r#~

(v), neither defines

f

a s a single-valued f u n c t i o n of

v = 0 , i n p a r t i c u l a r , correspond a s p o s s i b l e v a l u e s f o r of

C

.

This i s a familiar

friction or

of t h e

Prandtl

f e a t u r e of t h e Coulomb law

-

a s a single-

Reuss

law f o r

perfect

f

f ; to

a l l the points

f o r dry plasti-

c i t y . I n t h e i r conventional formulation t h e y may, a t f i r s t s i g h t , look l i k e a pdecing t o g e t h e r of heterogeneous e m p i r i c a l d a t a ; t h e p r e s e n t formulation on t h e c o n t r a t y r e v e a l s t h e s t r o n g mathematical consistency of each of t h e s e laws. The r e s t of t h e s e l e c t u r e s i s meant t o d i s p l a y t h e e f f i c i e n c y of such an approach. The r e a d e r w i l l s e e , on t h e o t h e r hand, i n

P. GERMAW

[ l ] how our pseudo-potential

formalism may t a k e

p l a c e i n t h e more f a m i l i a r s e t t i n g of a textbook on Continuum Mechanics. For what concerns Coulomb's law of d r y f r i c t i o n i t w i l l be o b j e c t e d t h a t , i n most p r a c t i c a l problems, t h e normal component of t h e c o n t a c t f o r c e , which e n t e r s h e r e i n t h e e x p r e s s i o n of

6 a s a constant,

i s unknown. Our p o s i t i o n i s t o c o n s i d e r t h i s q u a n t i t y a s one of t h e s t a t e v a r i a b l e s of t h e system. Paragraph 4. d

comes back t o p e r f e c t c o n s t r a i n t s a s t h e y were

introduced by Chapter 3. I n t h e p r e s e n t kinematical c o n t e x t , t h e s e const r a i n t s a r e manifested a s r e l a t i o n s between t h e v e l o c i t y of t h e system and some f o r c e a c t i n g on i t , namely t h e r e a c t i o n of t h e c o n s t r a i n t . These r e l a t i o n s t o o can be r e p r e s e n t e d by means of pseudo-potentials and t h e

J. J. M o r e a u

same is true for the nonholonomic perfect constraints of traditional Mechanics (actually an extreme case of friction) : we propose to refer to such relations as velocity constraints. Friction or plasticity.laws, as well as viscosity laws, exhibit a very usual property : the corresponding dissipated power

-

can

be expressed as a single-valued function of the velocity, classically called the dissipation function. There is a priori no reason for this function to be related to the pseudo-potential if it exists ; paragraph 4. f

characterizes the resistance laws for which such a relation holds. The chapter ends with remarks about viscoplasticity : adding

some viscosity to a resistance law of the plasticity or friction type descri.bed above, amounts to replace the indicator function C

set C

(the function taking the value 0

on this set and

$rC

+,

of the outside)

by a penalty function of the same set.

1. e

SUMMARY OF CHMTER

5

This is a purely mathematical part. The application of the foregoing mechanical formalism to evolution problems requires, in particular, some investigations about the motion of a set. By means of Hausdorff distance, the classical concept of the variation of a function defined on a real interval is adapted to moving

J. J. Moreau sets in a metric space ; the absolute continuity of such sets is similarly introduced. As convex subsets of a normed space may be described in terms of their support functions, a special approach of moving sets is developed for this case. In the same setting of normed spaces and convex moving sets, Paragraph 5. c

establishes an intersection theorem which

formulatessufficient conditions for the intersection of two absolutely continuous convex moving sets to be itself absolutely continuous. The rest of the Chapter is restricted to Hilbert spaces. Paragraph 5 . b point

t H z(t)

considers among other topics the distance from a moving to a moving convex set

t*

C(t) ; if both are absolu-

tely continuous the distance is an absolutely continuous numerical function and some inequality involving derivatives is established, as a preparation for the following. Paragraph 5 . c

introduces the sweeping process associated

with a moving convex set in the Hilbert space H. This gives a fundamental example of an evolution problem under unilateral constrairit ; from the mathematical standpoint this process features also as a constituent of several more complicated situations ; in particular it will bemet again in the treatment of the elastoplastic problem of Chapter 6. The author has already devoted several studies to this problem, mainly

J. J. Moreau published a s multigraph seminar r e p o r t s (cf. [21] 1. The method used i n

5

5. g

MOREAU

[ 171 , [ 181 , [20] ,

t o e s t a b l i s h a n e x i s t e n c e theorem con-

sists i n a r e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e , e q u i v a l e n t i n t h e p r e s e n t c o n t e x t t o r e p r e s e n t i n g t h e g i v e n moving convex s e t by p e n a l t y f u n c t i o n s . The C h a p t e r e n d s w i t h a n a l g o r i t h m o f t i m e d i s c r e t i z a t i o n f o r t h e . s o l u t i o n of t h e sweeping problem ; t h e convergence of t h i s a l g o r i t h m

i s proved by u s i n g a g a i n r e g u l a r i z a t i o n , b u t w i t h a time-dependent "penalty coefficient".

1. f

SUMMARY

OF

CHAPTER

6

T h i s f i n a l C h a p t e r shows how a l l t h e f o r e g o i n g o p e r a t e s when a p p l i e d t o t h e q u a s i - s t a t i c e v o l u t i o n problem f o r e l a s t o p l a s t i c systems. T h i s involves a l i n e a r space

U

a s configuration space and, according

t o t h e c o n v e n t i o n a l c o n c e p t i o n o f e l a s t o p l a s t i c i t y , t h e system i s t r e a t e d a s formed by two components : t h e " v i s i b l e " o r "exposed" component, denot e d by p E

L1

x

E

. The

U ,

and t h e "hidden" o r " p l a s t i c "

component denoted by

e l a s t i c r e s t o r i n g f o r c e depends o n l y on t h e d i f f e r e n c e

The component

x

x-p.

undergoes p e r f e c t c o n s t r a i n t s and l o a d s , b o t h depen-

d i n g on time i n a g i v e n way. The component r e l a t e d t o its "velocity"

6

p

undergoes a r e s i s t a n c e

by a law of t h e t y p e s t u d i e d i n

6

4.

T h i s i s o n l y p e r f e c t p l a s t i c i t y , b u t a v e r y s i m p l e example s u g g e s t s t h a t

J . J. Moreau

s t r a i n h a r d e n i n g t o o c o u l d be t a k e n i n t o a c c o u n t by a s i m i l a r p a t t e r n , p r o v i d e d a s u f f i c i e n t l y l a r g e s p a c e would b e a f f e c t e d t o t h e "hidden" It.

~ n t e r n a l "v a r i a b l e

or

p ; t h i s p o i n t o f view i s a d o p t e d by s e v e r a l

authors. G r e a t s i m p l i f i c a t i o n i s b r o u g h t by a n o t a t i o n t r i c k by which t h e configuration space

U

a s i n g l e Hilbert space

H ; t h e norm i n

and t h e f o r c e s p a c e H

9

a r e i d e n t i f i e d with

i s related t o the e l a s t i c

energy. An e x i s t e n c e theorem i s proved by r e d u c t i o n t o t h e sweeping p r o c e s s of C h a p t e r 5 ; t h e r e b y a t i m e - d i s c r e t i z a t i o n a l g o r i t h m i s

J. J. Moreau

2

DUAL1 TY

OF

SUBDl FFERENTI ALS

ANC

CdNVEX

FdNCTIO;4S

2. a POLAR FUNCTIONS Let X

,Y

be a pair of real linear spaces placed in separating

duality by the bilinear form

<.,.>.

Let

f

-

+

instance, on X, with values in R = [ - =, function defined on X

with

y

be a function defined, for m].

Consider the affine

by

fixed in Y, called the slope of this affine function, and p

fixed in R ; such is the general form of the affine functions which are continuous for some, then for any, locally convex topology on X

compa-

tible with the duality. An usual question is that of determining wether this affine function is a minorant of

f ; a trivial necessary and sufficient con-

dition for that is (2.2)

p

3

SUP [<x,y> X E X

-

I .

f(x)

*

Attention is drawn thereby to the function f f* (y)

=

called the polar function of

sup [(x,y> X E X

by

- f(x)]

f.

In particular the equality means that

defined on Y

*

f

(y) =

+

m,

for some y E Y,

f possesses no affine minorant having y

as slope ; such is

J. J. Moreau t h e c a s e , f o r i n s t a n c e , whichever i s

-

.

Let

A

t h e value

EX$dAE!I%.

JrA

of

be a subset of

y, i f

f

X ; take a s

t a k e s somewhere i n

f

X

t h e indicator function

A, i . e .

Its polar function

Jr;

(Y) =

SUP r<x,y> x E X

- JrA(x)1 =

SUP <x,y> x E A

i s c l a s s i c a l l y known under t h e ( r a t h e r improper) name of t h e a u u ~ o r t f u n c t i o n of

A. Take

y

E X

: < x , y,

Jr A

i s a minorant of

f i n e f u n c t i o n (2.1)

[x

d i f f e r e n t from z e r o i n

- p < 01 *

i s p o s s i b l e o n l y if @A ( y )

*

A.

contains

<+

-

Y

and

p E R ; t h e af-

i f f t h e c l o s e d h a l f space

I n v i e r of c o n d i t i o n (2.2 ) t h i s

; i n such a c a s e t a k i n g e x a c t l y

p = JrA(y) y i e l d s a half-space which i s minimal, with r e g a r d t o i n c l u s i o n , among t h e half-spaces c o n t a i n i n g

A ; but t h a t does not mean t h i s

half-space i s necessary a "supporting half-space". plane n e e d ' n o t meet

2. b

PAIRS

OF

A, even when

DUAL

A

: its

boundary h y p e r

i s c l o s e d and convex.

FUNCTIONS

For t h e c o n s t r u c t i o n of t h e supremum i n (2.3) one may equival e n t l y c o n s i d e r only t h e values of

x

such t h a t

f(x) (

+m

. Therefore,

J. J. Moreau

f , t h e f u n c t i o n , f*

whichever i s

r

(Y,X), of t h e f u n c t i o n s on

belongs t o t h e s e t , denoted by which a r e t h e pointwise suprema of c o l -

Y

l e c t i o n s of a f f i n e f u n c t i o n s l i k e

y

I+

<x,y>

- a, x E X ,

-

Hahn-Banach's theorem, one proves t h a t , b e s i d e s t h e c o n s t a n t

i s t h e supremum of an empty c o l l e c t i o n ) , t h e s e t e x a c t l y of t h e f u n c t i o n s on convex and

1.s.c.

with the d u a l i t y

Y, with values i n

T

1-

(Y,X)

f o r some l o c a l l y convex topology on (Y,X), t h e n

The spaces

X

and

1.s.c. Y

of

f

X

consists

-1, Y

which a r e compatible

play h e r e syrmnetric r o l e s

a s t h e p o l a r of a given f u n c t i o n ' o n

i s defined o n X

(it

f o r a l l such topologies.'

inconvenience i n d e n o t i n g i n t h e same way by t h e s t a r d e f i n e d on

+

m,

. Using

cER

*

i

t h e r e i s no

the function

Y. Then t h e bPpolar

by

SUP [<x,Y, Y E Y

f** ( X I =

-

f* ( Y ) ]

.

The c o n s t r u c t i o n of t h i s supremum may be e q u i v a l e n t l y be r e s t r i c t e d t o

,

t h e v a l u e s o'f

y

such t h a t

f

*.

i s f i n i t e ; t h a t means

(y)

supremum of t h e a f f i n e f u n c t i o n s l i k e (2.11, i n (2.2)

with

; they a r e t h e maximal a f f i n e minorant of

P

f

**

is the

verifying equality f , so that

f

**

may

a l s o b e d e f i n e d a s t h e pointwise supremum of a l l t h e a f f i n e f u n c t i o n of t h e form (2.1) which minorize

f . T h i s supremum i s e q u i v a l e n t l y charac-

t e r i z e d a s t h e g r e a t e s t element of

r

(X,Y)

minorizing

f

or

T- h u l l

J. J. Moreau For i n s t a n c e , i f indicator function

*A

i s a s u b s e t of

A

r-

X, t h e

h u l l of t h e

i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n of t h e c l o s e d convex

The preceding implies t h a t i f i t i s a p r i o r i supposed t h a t f E

r

g E I? (Y,X)

(X,Y)

f

one h a s t h e equivalence

*

=

g

(=)f

*

=

g

.

Then f ' e n d e; at?? s a i d mutually p o l a r o r c o n j u g a t e o r d u a l f u n c t i o n s . I n t h i s way the s t a r and

*

induce4 a one-tstone correspondance between

P (Y,X) ; a s t h e c o n s t a n t

+ , correspond6

t h e correspondance i s a l s o one-to-one and

r

(Y,X)

I' (X,Y)

t o the constant

between t h e elements of

-

m,

F (X,Y)

o t h e r than t h e s e s i n g u l a r c o n s t a n t s : t h e s e elements a r e

c a l l e d t h e proper c l o s e d convex f u n c t i o n s on

w i l l be denoted by

Po (X,Y)

and

To (Y,X)

X

and

Y ; t h e . s e t s o f them

respectively.

From t h e d e f i n i t i o n of p o l a r i t y i t immediately f o l l o w s

c a l l e d Fenclielts inequality. RIMARK

ON

TERMINOLOGY.

Most of t h e words introduced by t h e preceding

d e f i n i t i o n s a r e t h e E n g l i s h t r a n s c r i p t i o n s of Piranch terms c u r r e n t l y used by French speaking people a f t e r t h e a u t h o r ' s multigraph r e p o r t of 1966 (MOREAU R.T.

[ 101 1. T h i s i n v o l v e s but s l i g h t d i s c r e p a n c i e s from t h e book of

ROCKAFELIAR [ 2 ] : following t h e 1949 i n i t i a t i n g paper of

J. J. Moreau W. FENCHEL

[ I], R o c k a f e l l a r p r e f e r s t h e l o c u t i o n s "con jugate f u n c t i o n c"

t o "dual functionsH. I t may be inconvenient t o c a l l a l s o conjugate of a s h e does, t h e f u n c t i o n

f*

a s s o c i a t e d by ( 2 . 3 ) w i t h some

f

f,

which

d o e s n o t n e c e s s a r i l y belong t o 'l ( X , Y ) . d t h i s s o c a l l e d "conjugacy"

is

no more a symmetric correspondance, t h e a u t h o r chose i n t h e 1966 r e p o r t , t o u s e i n t h i s c o n n o t a t i o n t h e term p o l a r f u n c t i o n . Unfortunately, i n t h e meantime, R o c k a f e l l a r a p p l i e d t h e word polar t o a n o t h e r kind of c o r r e s -

-

pondance ( c f . S e c ; 15 of h i s book) concerning nonnegative closed convex f u n c t i o n s vanishing a t t h e o r i g i n , which g e n e r a l i z e s some c l a s s i c a l conjugacy of

functions (see

5

2. h

below) ; b u t t h e r e does not seem

t o be much r i s k of confusion.

2. c

IMAGES

OF

PROPERTIES

OR

RELATIONS

Many p r o p e r t i e s o r r e l a t i o n s concerning f u n c t i o n s d e f i n e d , f o r i n s t a n c e , on

X , imply some p r o p e r t i e s o r r e l a t i o n s concerning t h e p o l a r

of them. Here we r e s t r i c t o u r s e l v e s t o a few of t h e s e "images by p o l a r i -

ty'' c o n s i d e r i n g e x c l u s i v e l y f u n c t i o n s

r

(X,Y)

and denoting by

g, gl,

g2,

f , fl,

f2,

... which bzlong t o

... t h e i r p o l a r

(i.e.

d u a l ) func-

tions. Easy c a l c u l a t i d n y i e l d s : lo Homothety. I f

d

E R

i s a non z e r o c o n s t a n t , t h e i d e n t i t y

J. J. Moreau

V X 6 X

:

fl(x)

=

f2(d

:

gl(y)

=

g2(;

X)

is equivalent to V y E Y

1

Y)

2 ' Multiplication by a positive constant.

. If h

is a strictly positive

constant, the identity V x E X

A

:

fl(x)

=

:

gl(y)

= Ag2(Ty)

f2(x)

is equivalent to V y E Y

1

;

A'' :

the right member is sometimes written as a :'right product by notation gl = g2

A

.

In particular a function g support function of a subset of

X

belonging to 'I (Y,X)

is the

(or equivalently the support function

of the closed convex hull of this subset) if and only if its dual an indicator, i.e. this dual takes only the values 0 means

f

and

+,

view of the preceding, this is equivalent to

g

0 ; in

being positively homo-

geneous (i,e. sublinear, due to the assumed convexity of special situation is that of a function g

is

. That

A >

remains unchanged under the multiplication by any

f

belonging to

g).

r

A more

(Y,X) which

at the same time is an indicator function and is sublinear : this h a p pens if and only if f

and

g

f

possesses the same properties ; in such a case

are respectively the indicator functions of two mutually polar

(closed, convex) cones, P

Q =

and Q, i.e.

01

P

,

<x,y><

V yE Q

,

<X,Y>
: V

Iy E Y

xE

and symmetrically

P = 3O

~ x XE

If a E X

Translation. V x E X

':

and

:

f (x) = 1

:

gl(y)

.

n E R, the identity f (x-a)+a 2

is equivalent to V Y E Y 40

=

(Xi'Y i 1, i = 1, 2,

Product spaces. Let

linear spaces placed in duality by ted by

If x = (x

.

g(y)+-a

x2,

n

..., n, be

n

pairs of real

bilinear forms respectively deno-

..., xn)

denotes the generic element

of the linear space =

X

and

Y = ( Y ~ ,y2,

...'

...

X1 x X2 x

n'

the generic element of the linear space

yn)

=

Y

... x

Y1 x Y2 x

Yn

the bilinear form (x,y> places X

and Y

= cxl'~l,l + (x2'~2>2 +

in duality. For each

functions defined respectively on Xi regard to the bilinear form f

and

g defined on X

and

<.,.>i. Y

...

+

<x~'Y,>~

i, denote by

and Yi

fi, gi

a pair of

and mutually polar with

It is easy to see that the functions

respectively by

J. J. Moreau f(x)

=

fl(xl) + f2(x2)

+

... +

P(Y)

=

gl(yl) + g2(y2)

+

... + gn(yn)

are mutually polar with regard to

fn(xn)

(. ,.>.

The following result is less trivial (see proofs in MOREAU [3] 5'

[ 101

or

) :

Continuity.

The setting is again that of single pair of lEnear spaces f i n i t e and

(X,Y). The function f E T,(X,Y)

is continuous at the origin for some A

locally convex topology on X Mackey topology z (X,Y)

which is the finest of themj if and only if the

dual function g E T,(Y,X)

some k

>

inf g

:

y E Y

ly convex) topology on Y

the convexity of

f

2. d

:

INF

< kl

is compact for some (local-

which is the coarsest of them). Note that, due to

g, a sufficient condition for that is the existence of such that this compactness holds.

at some point

the "oblique slices of )y E Y

g(y)

- CONVOLUTION

E X

x

above) one concludes that the contiis equivalent to the compactness of

g with slope xot', i;e. the sets

g(y) -<xo, y > < k ] AND

Let us denote by

. THE

+

IMAGE OF ADDITION

the commutative and associative operation

-

extending classical addition to any pair of elaments of R = by putting

(- m)

the

compatible with the duality (then for the

Using translation (cf. '3 nuity of

k E R

is inf-compact, i.e. for any

('level set" or "slice"

weak topology c (Y,X)

compatible with the duality (then for the

1

(+ ra) =

+

m

[-coy

(symmetrically the operations

i

+

-1

extends

J. J. Moreau c l a s s i c a l a d d i t i o n by t h e convention Let

fl, f2

R ; the function

(2.4)

f(x) =

inf U E X

=

(+ ),

- ,).

be f u n c t i o n s d e f i n e d on t h e l i n e a r space

-

values i n

t

(- ),

f

[f (u) 1

d e f i n e d on

;f 2 ( X -

inf

[fl(x

- v ) ;f2(v,)]

V E X

i s c a l l e d t h e i n f i m a l convolute, o r s h o r t l y inf-convolute, f 2 ; i t i s denoted by

fl V f2

(or also

of

f 1 0 f 2 , a s i n ROCKAFELLAR [ 2 ] ,

which would be symmetrically d e f i n e d by u s i n g "sup1' and t i o n i s commutative and a s s o c i a t i v e ; i f

Example 1. fl

V

f2

If

fl

f2

space, t h e n set -

opera-

a r e convex, s

e

fl,

A

(#A V

namely t h e f u n c t i o n

i s a s u b s e t of

11.11

) (XI

and

B

l a ] , then

.

and

X

(1.1)

a norm on t h i s l i n e a r

i s t h e d i s t a n c e from t h e p o i n t

x

t o the

A.

Example 3.

V

f2

t). T h i s

i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n of a s i n g l e t o n

x*flfx-a) If

adn

flA fa,

.

i s a t r a n s l a t e of

Example 2.

and

fl

when t h e r e i s no r i s k of c o n f u s i o n w i t h t h e suprema1 convolute

f l V f2, etc..

with

by

X

u)] =

X

gB

If

A

a r e two s u b s e t s of

X , t h e inf-convolute

i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n of t h e s e t A + B =

~ X E X: 3

a

,

3~

b~

,

x~ =

a~ + b j .

Coming back t o t h e s e t t i n g of t h e p a i r of spaces (X,Y) i n dual i t y , t h e computation of p o l a r f u n c t i o n s y i e l d s e a s i ? y

J. J. Moreau

Suppose now that gl

and

g2

#

*;

and that

the preceding.equality leads to

is a composition law in F (Y ,X) ; (2.5) describes the com-

f

position law in 'l (X,Y) mapping

belong to 'l (X,Y)

f2

are their polar (i.e. dual) functions ; taking the polars

of both members of

Addition

fl and

which is the image of it by the one-to-one

l'

this composition law is the

2. b abwe) ; we denote it by

1

- hull of inf-convolution (cf.

; it may be called

Of practical importance are the cases where to belong to

I? (X,Y)

r

-convolution.

fl V f2 happens

so that the double star may be omitted in (2.5).

Let us just formulate here the two most usual of them. It is sell asmmed that

f

lo Suppose that the set, denoted by

and

f2

belong to

r

(X,Y ).

cont fl, of the points where

fl

is finite and continuous, for some topology compatible with the duality, and the set dom f2 =

IX

E X

: f2(x) ( +

m]

are such that cont f l + dom f2 Then fl V f2

is either the constant

everywhere in X

-

m

=

X

.

or is finite and continuous

for the considered topology ; therefore

fl

v

f2 E

2O

r

(x,Y), hence

fl V f2 = fl

Suppose that there exists a point

tions gl and

g2

1 f2 yo

. in Y

at which both func-

are finite, one of them continuous at this point (for

some topology compatible with the duality) ; then fl V f2 E

r

(X,Y) ;

furthermore this %nf-~onvolutionis exact, i.e., whichever is x, the infimum in (2.8) is a minimum. Note that the hypothesis is equivalent to the following : both functions xt+ fl(x) x

I+

f2(x)

- <x, yo>

SUBGRADIENTS AND Let

element y y

U

(X,Y)

(cf.

6

2 c)

.

SUBDIFFERENTIALS

-

f denote a function defined on X , with values in R ; an

of Y

is called a subgradient of

is the slope of an affine minorant of f e

taking at this point the same value as f(x)

and

are bounded from below and one of them is inf-

compact for the weak topology

2. e

- <x, yo>

f

at the point

x E X

g at the point

if

x, i.e.

f. This requires that the value

is finite and that the expected minorant has the form

Using condition (2.2) for an affine function to minorize the following representation for the set, denoted by gradients of

f, one obtains

8 f(x),

of the sub-

f at the Point x i,

f(x),= [y E Y

:

f*(Y) -(x,y><-f(x)j

.

J. J. Moreau

This set is called the subdifferential of vexity and the lower semiebntinuity of

f at the point

f*

imply that

x. The con-

af(x)

is a con-

vex, possibly empty, subset of Y, closed for the topologies compatible with the duality

(Y,X).

If af(x)

is not empty the function f

to be subdifferentiable at the point Trivially the function f at the point x

if only if af(x)

is said

x. possesses a finite minimum attained

contains the zero of Y.

A

Recall that the function f

is said weakly differentiable, or

G;teaux-differentiable,

at the point

if there exists y E Y

(necessarily unique) such that for any

the function tl+ f(x + t u) t = 0

x, relatively to the duality

of the real variable t

a derivative equal to ; the element

gradient, or G;teaux-gradient,

y

is called the&w

of the function f at the point x, rela-

one easily finds that the subgradient af(x) y. When

X

a fortiori holds if

is a normed space, Y f

u E XI

possesses for

tively to the duality (X,Y). If in addition the function f

element

(X,Y 1,

is convex,

consists of the single

its topological dual, all this

is ~rgchet-differentiableat the peint

x.

Subdifferentiability finds its clearest setting when a pair of dual, i.e. mutually polar functions f E To (X,Y) considered. Then, for x perties are equivalent :

in X

and

y

in Y

and

g E To (Y,X) is

the three following pro-

J. J. Moreau (2.6)

E af(x)

Y

(2.7)

x E ag(y)

.

f(x)

+

g(y)

-

=

0

;

observe t h a t , by ~ e n c h e l ' si n e q u a l i t y , t h e

=

s i g n above may equivalen-

(2.8)

< . If

t l y b e r e p l a c e d by

<X,Y,

these properties hold, the points

x

and

a r e d a i d c o n j u g a t e r e l a t i v e t o t h e p a i r of mutually p o l a r f u n c t i o n s Take a s

EXAMPIE.

s u b s e t of

f

t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n #C

X. Then t h e r e l a t i o n

t h e f o l l o w i n g : t h e point

- X,

< 01

(f,g).

of a nonempty c l o s e d convex

y E 8 # C ( ~ ) i s t r i v i a l l y equivalent t o

belongs t o

E

Y

t h i s set i s a c l o s e d half-space whose boundary i s a s u p p o r t i n g h y ~ e r -

:

contains

and t h e set

C

iu

X

yb

x

y

plane of t h e s e t C a t t h e p o i n t

C. I f

y

d i f f e r s from t h e z e r o of

x ; t h e n one c l a s s i c a l l y s a y s t h a t

Y E Y

i s a n outward normal v e c t o r a t t h e point

C C X.

Let u s a g r e e t o t a k e t h i s l o c u t i o n i n a weak s e n s e , by c o n s i d e r i n g

a l s o t h e z e r o of

a

#,(x)

x

8, JrC(x)

Y

C

x

i f it belongs t o

x

$? C

; if

x E C

it contains a t

and reduces t o t h i s s i n g l e element, i n p a r t i c u l a r ,

i s a n i n t e r n a l p o i n t of

intersects

of t h e convex s e t

w i l l be c a l l e d t h e outward normal cone

x. T h i s cone i s empty if

l e a s t t h e z e r o of

x

a s a normal v e c t o r a t t h e p o i n t

; thus the s e t

a t t h e point

when

Y

x

C

(i.e.

every s t r a i g h t l i n e drawn t o

a l o n g a segment t o which

x

i s i n t e r i o r ) . I n terms of

6

t h e support function

#*

C

of

C, c o n d i t i o n ( 2 . 8 ) y i e l d s t h a t

if

x

J. J. Moreau

belongs t o

C

one h a s

a

REMARK.

[Y E Y

: qf(Y)

= <x,y>

I

= [Y € Y

: *icy)

<

]

qC(x) =

For a p a i r of spaces

functions

f, g

(X,Y)

(X,Y>

.

w i t h f i n i t e dimension and convex

which a r e d i f f e r e n t i a b l e , r e l a t i o n s (2.61,

show t h a t t h e correspondance between

f

and

g

(2.7),

(2.8)

reduces t o t h e c l a s s i c a l

Legendre transform. Let u s come back t o t h e c a s e of a n a r b i t r a r y

f

i n f i n i t e dimensional spaces. By a s s o c i a t i n g with every

x

af.(x)

of

Y

and p o s s i b l y

E X

the subset

one d e f i n e s a multimapping ( a l s o c a l l e d a m u l t i f u n c t i o n , o r

a multivalued mapping, o r a set-valued mapping) fmm

X

into

Y.

Indepen-

d e n t l y of t h e f o r m a l i z a t i o n of s u b g r a d i e n t s and t h e " s u b d i f f e r e n t i a l c a l cu&usl' (MOREAU

[2]

; s i m i l a r i d e a s were a l s o p r e s e n t i n R o c k a f e l l a r ' s

T h e s i s , Harvard, 1963) t h i s multimapping was considered i n

G.J.

MINTY

[ l ] a s t h e l e a d i n g example of monotone, p o s s i b l y multivalued, o p e r a t o r .

I n f a c t whichever a r e and

y'

in

af(x'),

x

and

x'

in

X , whichever ar:

y

in

af(x)

i f any, one f i n d s e a s i l y <x

-

x',

y

- yf> 2

0

which i s , by d e f i n i t i o n , t h e monotony p r o p e r t y of t h e multimapping

8f.

J. J. Moreau 2. f

ADDITION

RULE

The main c a l c u l a t i o n r u l e f o r s u b d i f f e r e n t i a l s concerns = a

t z . If on

fl

and

f2

a r e two numerical f u n c t i o n s , d e f i n e d f o r i n s t a n c e

X, t h e inclusion

is trivial.

I f t h i s i n c l u s i o n h o l d s a s an e q u a l i t y of s e t s t h e f u n c t i o n s

and

a r e s a i d t o p o s s e s s t h e a d d i t i v i t y of t h e s u b d i f f e r e n t i a l s

fl

f2

a t t h e point

.

x

Let u s i n d i c a t e two u s u a l s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h a t : lo I f both f u n c t i o n s

fl

r e n t i a b l e a t t h e point 2O

I f both f u n c t i o n s

point

x

f (X 1 0

and

f o r every

X

in

0

f2

a r e convex, one of them weakly d i f f e -

x, i n c l u s i o n (2.9) h o l d s a s a n e q u a l i t y of s e t s . fl

and

f2

a r e convex and i f t h e r e e x i s t s a

a t which one of them i s continuous, w i t h both v a l u e s

f2(xo)

x

and

f i n i t e , i n c l u s i o n (2.9) h o l d s a s a n e q u a l i t y of s e t s

X. C o n t i n u i t y must be understood h e r e i n t h e sense of

iq

some ( l o c a l l y convex) topology compatible with t h e d u a l i t y

(X,Y) : t h u s

t h e l e s s s t r i n g e n t h y p o t h e s i s i s obtained by t a k i n g t h e f i n e s t of them, i.e.

t h e Mackey topology

EXAMPIE.

1- -, + -1 C

of

Make and

fl

z (X,Y ).

= f , a f u n c t i o n defined on

X , with values i n

f = (lC, t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a non empty subset 2

X. The problem of minimizing t h e r e s t r i c t i o n of

f

to

C

is

'J. J. Moreau

clearly equivalent to that of minimizing, w e r the whole of X, the function f

+ gC

; a minimizing point

x

is characterized by

a condition which is implied by

When the additivity of the subdifferentials holds, conditions (2.10) and (2.11

are equivalent. Such is the case for instance, by '1

above, if the set C

i >

convex, and the function f convex, everywhere weakly differentiable : then (2.111, written as

- - grad f(x)

(2.12)

E a #C(~)

is a necessary and sufficient condition for x

to be a solution of our

"constrained minimization problem". Make in particular X = Y = H, a separated pre-Hilbert space with the inner product role of the bilinear form define the function f

<.,.>.Let

a

(.I.

)

Playing the

be an arbitrary element of H ;

by

f( x ) =

1

(x-a

I

x-a) =

-21 11x-a11~.

Elementary calculation Droves that this function is convex and weakly differentiable relatively to the duality grad f(x)

=

x

(H,H), with

-a .

Then (2.12) yields a necessary and sufficient condition for x *t

J. J. Moreau t h e nearest point t o

&

a

(2.13)

a

such a n

-x

i s denoted by

x

C!

E 8 SC!x)

projC(a)

queness of t h i s p o i n t s r e s u l t s from

; p r o j ( a , C), i f i t exi;sts.

or

*

f

being s t r i c t l y convex ; r e c a l l

H

t h e e x i s t e n c e of

projC a

i s secured f o r any

2. g

LINEAR

IMAGES

BY

Let

(FjG)

F

a E H.

be a n o t h e r p a i r of l i n e a z s p a c e s , placed i n separa-

&.,.>>.

I ~ t oX, weakly continuous ( i . e .

Let

dowed w i t h t h e weak topology

into

G

(2.14)

*

Let

T (X,Y) ; c l e a r l y t h e f u n c t i o n

r

V y F Y

:

(Au,y\

en-

A*

is the

I?

=

Y,

.

: uHf(Au)

(F,G) ; one proves ( s e e

( f u A)*

X

(?;GI, t o

t h e l i n e a r mapping

,

belongs t o

F

such t h a t

f o A

function

A, i.e.

V U C F f E

be a l i n e a r

cr ( x , ~ ) ) . Weak c o n t i n u i t y i m p l i e s t h e e x i s -

t e n c e of t h e a d j o i n t ( o r t r a n s p o s e ) of

Y

A

c o n t i n u o u s from

endowed w i t h any t ~ p n l o g ycompatible w i t h t h e d u a l i t y

from

smc?,

MAPPINGS

t i n g d u a l i t y by a b i l i n e a i form denoted by mapping irdm

i f it i s a Hilbert

i s complete, i.e.

on t h e o t h e r hand t h a t i f

Uni-

-

ROCKAFELLAR

[3] ) t h a t its dual

h u l l of t h e f u n c t i o n d e f i n e d on

v++infiJ(y)

: ~

*

= y

vj

.

G

by

J. J. Moreau If in addition there exists a point in the range of A which f duality

at -

is finite and continuous (for some topology compatible with the (x,Y))

E

n

(f o A)*

equals the function (2.14) itself. Under

the same assumption, for everp u E F, the subdifferential a(f o A) (u) is the image of af (A u) C Y

under the mapping A* ; this may be expres-

sed by writing acf O A )

(2.15)

2. h CONJUGATE GAUGE FUNmIONS

=

*

A

AND

oaf O A

QUASI

-

.

HOMOGENEOUS CONVEX

FUNCTIONS The setting is again that of a single pair of spaces Let A by

B

be a closed convex subset of X the polar set of

B = Then A

containing the origin ; denote

A, i.e. Iy E Y

: V x € A

is, symmetrically, the polar set of

, (x,~,<

=

inf { A E 10,

+ -[

I].

B. It is easily seen that

the gnuge function of A, namely the function a a(x)

(X,Y).

defined on X 1

: ~x

€A

1

by

,

is the support fdnction of B ; symmetrically the gauge function b B

is the support function of

saying that

(a, b)

of

A. We shall refer to this situation by

is a pair of conjugate gauge functions.

For sake of simplicity &et us restrict ourselves here to the

J. J. M o r e a u

case where both functions take only finite values ; this means that is absorbent in X

A

(i.e. the origin is an internal point) and that it is

bounded relatively to the topologies compatible with the duality ; equivalently

B possesses the same properties in Y. Such is the case, for

instance if X

is a given normed space, Y

its dual endowed with the

usual norm : the respective norms form a pair of conjugate gauge functions and the corresponding mutually polar sets are the closed unit balls of the two spaces. One finds

and the symmetrical relation (this can be extended to possibly infinite valued conjugate gauge functions, under some notational precautions).

4

Consider on the other hand a mapping

[0,+ r ] possessing the following properties : 4 creasing, lower semi continuous and nuous on the interior of

dom

4

(0)= 0

= 15 E [0, + -[

from [0,

+

CO[

is convex, non de-

(actually :4(

4 is conti-

c )(+

OD]

). Clas-

sically, with such a function is associated itsYoung conjugate y ned on

[0,

+ ar[

(5 7

which possesses the same properties ;

.

defi-

by y ( 8 ) = SUP

gate of ' y

into

-4

(5))

4 is, in turn, the Young conju-

J. J. Moreau Examples : lo

$(El =:E

1 P

where p

and

denote two constants in 11,

where

q

E [0,+ [,

A

Y (77)

I

=y177q + m[ ,

such that

is a constant.

Exclude the singular case where one of the two functions and y

$

is the constant zero. Then one proves that the functions

,

f = $ o a

g = y o b f(x)

res~ectivelydefinedon X =

$(a(x))

,

=

g(y)

and

Y, i s

y(b(y))

are a.pair of dual functions in the sense of the preceding paragraphs. Each of these functions is said quasi-homogeneous (or gauge-

like in ROCKAFELLAR $( 5 ) =

-P1

[ 2 ] ) ; in fact in the special case where

cP, the function f

is positively homogenous with degree p.

The functions defined in this way, for instance on X, may be characterized as follows : they are the elements of rious sets

{x E X : f (x)

are homothetic to A

< k]

r

(X,v)

(the "slices" of

such that the va-

f 1, for k F R

(they are empty for k C 0).

Concerning the determination of the subdifferentials of these functions, let us only indicate : Two points x E X

a s y E Y

are

J. J. Moreau conjugate r e l a t i v e l y t o

6

(f ,g)

i f and only i f

(a(x)) + y (b(y))

=

a(x) b(y)

= 4x,y>

.

The f i r s t e q u a l i t y may be i n t e r p r e t e d by s a y i n g t h a t t h e r e a l numbers a (XIand

b (y)

a r e c o n j u g a t e p o i n t s w i t h r e g a r d t o t h e p a i r of

Young c o n j u g a t e f u n c t i o n s r e s p e c t i v e o r i g i n s of of t h e "rays"

(i.e.

X

(r$,y) ; i f and

x

and

y

a r e d i f f e r e n t from t h e

Y, t h e second one e x p r e s s e s a p r o p e r t y

one-dimensional cones)

they generate i n

X

and

Y ;

such r a y s may be s a i d c o n j u g a t e r e l a t i v e t o t h e p a i r of c o n j u g a t e gauge functions

a

and

b.

J. J. Moreau

3

SUPEHPC)TEI\~TIALS

3. a CONFIGURATIONS AND

AIiD

PERFECT

CONSTKA I NTS

FORCES

In this Chapter is considered a mechanical system 6 whose set of possible configurations,denoted by

U ,

is endowed with a linear space

structure. Such is traditionnally the case, due to the use of linear approximation, if the system presents only "small deviations" from a certain reference configuration which constitutes the zero of The bdlinear form&w with a linear space F

U

places the linear space ?.&

. in duality

whose elements constitutes, in a general sense,

the possible values of forces experienced by the system. Precisely denotes the work of the force f E %

for the displacement u E

of the

system. For sake of clarity, weshall in some cases comply with the habit of denoting a displacement by such a symbol as 6 u ; this symbol is meant to recall that the considered displacement equals the difference between two elements of ?f.

representing some configurations ; actually,

in the present framework, due to the existence of the privileged configuration "zero", configurations as well as displacements are elements of

u ,thus have the same algebraic nature. After replacing, if necessary, the considered spaces by some quotients, it may be supposed that this duality is separating.

J . J . Moreau Take a s

EXAMPLE.

6

a p e r f e c t l y r i g i d body performing only " i n f i n i t e l y

small" motions i n t h e neighborhood of t h e r e f e r e n c e c o n f i g u r a t i o n . From t h i s r e f e r e n c e s t a t e , each p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n of t h e body may be desc r i b e d by t h e corresponding f i e l d of displacement v e c t o r s , say u :

X H

+ u ( x ) . Due t o t h e r i g i d i t y of t h e body and t o t h e f a c t t h a t d i s -

placements a r e , by apvroximation, t r e a t e d a s i n f i n i t e l y small t h i s f i e l d p o s s e s s e s t h e property of e q u i p r o . j e c t i v i t x ; t h e t o t a l i t y of equiproject i v e v e c t o r f i e l d s i s w e l l known t o form a l i n e a r space of dimension 6 : such i s

U

i n t h e p r e s e n t c a s e . For sake of b r e v i t y l e t us accept only

a s a c t i n g on $

f i n i t e f a m i l i e s of f o r c e s i n t h e sense of elementary

4

Mechanics. Such a family may be described a s a v e c t o r f i e l d

:

J(x)

X*

t a k i n g t h e v a l u e zero everywhere except on a f i n i t e s e t of p o i n t s and i t s work f o r a displacement f i e l d t e sum

w = 2 :(XI.

J(x).

For a f i x e d

a l i n e a r form on t h e space possible

I$' s

U

i s c l a s s i c a l l y defined a s t h e f i n i -

I$

t h e mapping

u uw

; on t h e o t h e r hand, t h e s e t

$

is clearly of t h e

i s n a t u r a l l y endowed with a l i n e a r space s t r u c t u r e which

makes t h a t , f o r a f i x e d space

u EU

u, t h e work

w

i s a l i n e a r form o f

4.

But t h e

c l e a r l y has a n i n f i n i t e dimension, s o t h a t t h i s b i l i n e a r form

cannot p l a c e

U

and

@

i n s e p a r a t i n g d u a l i t y . The c l a s s i c a l procedure

c o n s i s t s i n t r e a t i n g a s e q u i v a l e n t two f a m i l i e s of f o r c e s , say

I$', such t h a t V u E

24

:

C :(XI.

$(XI

= C ;(X). $ ' ( X I .

I$

and

J. J. Moreau The corresponding equivalence classes are called torsors. In other words, if

Go

@

denotes the linear subspace of

ces which yield a zero work for any the quotient space O

/

SPACES.

junction of

n

U , torsors are

U

and

in the present

is then separating.

Suppose the mechanical system CP consists in the con-

. . . , dn whose res-

possibly interacting systems d l ,&2,

pective configuration spaces are the linear spaces

2(1, U 2 ,. . . , un .

Then the configuration space of & is the product space

..

, naturally

xun

the elements of

a

Oo, with dimension 6. Such is

case ; the duality between PRODUCT

u E

formed by the families of for-

U1 x

u x 2

...

endowed with a linear space structure. Denote by a .

the force space corresponding to the system in separating duality with

Ui

exerted on the total system @

doi ,

a linear space placed

by the bilinear form is a

n-tuple

(f19

<. ,.>i .

f2,

A force

f

. .. , fn) ,

fi E T i ; this is the generic element of the product space

3

= 7

u = (u

x

7

x

u2,

..

x 3

. . ., un)

. The work of 2(

of

f

for a displacement

is by definition the sum

= C i i in which we recognize the natural bilinear form placing the product spaces

U

an 7

in separating duality (cf.

This construction of

5

U and a

tive spaces corresponding to subsystems of

2. c). as the products of the respec-

fl

is a customary procedure

in computation. It prepares also for the application of our general

J . J. Moreau p a t t e r n t o continuous media, a s developed i n then

U

and

a

B. N a y r o l e s ' s l e c t u r e s :

a r e some l i n e a r spaces of measurable f u n c t i o n s , w i t h

r e g a r d t o a c e r t a i n non-negative measure. The sum which above d e f i n e s t h e work i s r e p l a c e d by a n i n t e g r a l .

3. b

STATICAL

LAWS

A s t a t i c a l law i s a r e l a t i o n , denote i t by

u E

configuration

f 6

a,

U

t h a t t h e system

dJ

R , between t h e

may occupy and some, say

among t h e f o r c e s i t may experience when i t comes through t h i s

c o n f i g u r a t i u n . Such a r e l a t i o n a r i s e s from the s t u d y of some of t h e phys i c a l p r o c e s s e s i n which t h 2 system i s involved. I n s t e a d of r e l a t i o n s a s

2 , one may aquimikntly speak of multi-

m a p p i n ~ sfrom one of t h e two spaces i n t o t h e o t h e r ; f o r i n s t a n c e , b e v e r y u

in

21

corresponds t h e ( p o s s i b l y empty) s e t , denote i t by

t h e elements

f

of

wh.,n

are related t o

u

by

I n p a r t i c u l a r it may happen t h a t t h e s e t e--h

R

R(u), o f

.

R(u)

consists, for

u , of a s i n g l e element ; t h e n +he s t a t i c a l law i s d e s c r i b e d a s a

s i n g l e - v a l u e d mapping

u-

f

e x i s t s a numerical f u n c t i o n

from W

u

:U+R

into

a.

I f , i n addition, there

such t h a t t h i s mapping i s expres-

s e d by

f

=

-

grad W(u)

(weak g r a d i e n t o r " ~ i t e a u xd i f f e r e n t i a l " r e l a t i v e t o t h e d u a l i t y d e f i n e d

J. J. Moreau above) it i s c l a s s i c a l l y s a i d t h a t t h e c o n s i d e r e d s t a t i c a l law admits

W

a s potential. The s i r p l e s t s t a t i c a l law imposes t h e v a l u e

fo

Ea

of a cer-

t a i n f o r c e a c t i n g on t h e system, independently of t h e c o n f i g u r a t i o ~ t u. Such W

6

U

c o n s t a n t mapping from

a

e v i d e n t l y admits t h e p o t e n t i a l

expressed by

EQUILIBRIUM.

.

- < a , fo>

=

W(u)

@

into

Suppose t h a t a l l t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s i n which t h e system

t a k e s p a r t imply f o r c e s , a c t i n g on i t , which e i t h e r v a n i s h i n any ex-

pected equilibrium o r a r e t e d t o the configuration denoted by

u

fl, fa,

relations

'Y2,

by

u

determining t h e v a l u e s of there exist

forces n

fl,

f2,

... , f n

respectively rela-

s t a t i c a l l a w i n d e p e n d e n t of t i m e ,

. .., R n . Then t h e e q u i l i b r i u m problem c o n s i s t s

R2,

F!

n

in

. . . , f+

..., Rn

U

in 5

in

possesslng the following property : respectively related t o

and such t h a t

f

1

+

f2

+

.. . +

u

by t h e

f n = 0.

According t o t h e ' ' p r i n c i p l e of v i r t u a l work" and due t o t h e way i n which

F

h a s been c o n s t r u c t e d a s a q u o t i e n t space p l a c e d i n s e p a r a t i n g d u a ' i t y

with

a,t h e s e

u

v a l u e s of

figurations o f @ ,

i.e.

correspond i n f a c t t o t h e e q u i l i b r i u m c?n-

t h e c o n f i g u r a t i o n s i n ihich immobility i s a mo-

t i o n compatible w i t h o u r p h y s i c a l i n f o r m a t i o n about t h i s system. Equivalently, i f

R1,

corresponding a s above t o t h e

La,

n

.. ., Rn

denote the multimappings

s t a t i c a l laws, t h e e q u i l ? b r i t v - . I

J. J. M o r e a u c o n f i g u r a t i o n s a r e c h a r a c t e r i z e d by 0 f R (u) 1

+ R2(u) +

... + R,(u) .

Let u s s t r e s s a t l a s t t h a t t h e concept of s t a t i c a l law, a s we j u s t d e f i n e d i t , i s not r e s t r i c t e d t o t h e study of e q u i l i b r i u m problems. I n e v o l u t i o n problems a l s o , s t a t i c a l laws w i l l be considered, p o s s i b l y depending on time.

3.

C

FRICTIONLESS

BILATERAL CONSTRAINTS

The d e s c r i p t i o n of a c o n s t r a i n t i n Mechanics r e q u i r e s fondam e n t a l l y more information t h a n merely d e f i n i n g a s e t of permitted c o n f i g u r a t i o n s . T h i s d e s c r i p t i o n always i n c l u d e s some i n d i c a t i o n concerning t h e f o r c e s of c o n s t r a i n t o r r e a c t i o n s experienced by t h e system and i m p l i e d by t h e m a t e r i a l p r o c e s s which r e s t r i c t s i t s freedom. Let u s emphas i z e t h a t perfect, i.e.

frictionless,con~traints a r e a s p e c i a l type of

s t a t i c a l law. Consider f o r i n s t a n c e t h e s i t u a t i o n d e s c r i b e d i n t h e language of elementary Mechanics a s follows : a c e r t a i n p a r t i c l e

s

of t h e system

@ i s maintained b i i a t e r a l l y , without f r i C t i o n , o n a given r e g u l a r mater i a l surface

S. Let

(3.1) be t h e e q u a t i o n of

h(2) S, where

= 0 +

dimensional frame of r e f e r e n c e

x

denotes t h e g e n e r i c element of a t h r e e E3,

t r e a t e d a s a three-dimensional

'J. J. Moreau linear space, and

h

a smooth numerical function defined on E3, with

+ nonzero gradient. Let po E3

denote the position of the particle

s

in

when the system fl presents the configuration corresponding to the

zero of U

. For the configuration corresponding to some element

U ,this position is

U

of

+ p and, due to our framework of small deviations

and linearization, the mapping from

u

+ p

: u-

- +po

is treated as linear

into E3 ; in all the following, this linear mapping is suppo-

sed continuous with regard to some locally convex topology compatible with the duality

( U , ),

thus continuous for all such topologies. S'imi-

larly, the linearization procedure replaces the function h

+ first order expansion in the neighborhood of p + p E S

by its

so that the condition

takes the form

-+ h(go) + (p

-

+ po)

.

-t

grad h(co) = 0

(scalar product and gradient are understood here in the sense of the three-dimensional Euclidien space E h(go)

(3.2)

3

)

i.e.

. grad h(p 4

+ ?(u)

+

1= 0

0

. -r

Here arises the need of an addi'tional hypothesks concerning for the continuous linear form cally zero ; as the vector

UH

---t

?(u). *

grad h(po)

grad h(co)

e

not to be identi-

has been supposed different from

zero, the sufficient assumption we shall make in all the following is : the linear mapping

e+

from

U

info the three-dimensional space of the

"physical" vectors is surjective. One may express this by saying that the

J. J. Moreau particle

s of the system is regular regarding the use of

configuration space of the system. Then the values of

u

a

as the

satisfying

(3.2) constitute a closed hyperplane

,

6: = U + a

(3.3)

where a represents some known element of

U

and

U

denotes the linear

=

01

subspace with codimension 1

u

=

lu E

U

For the particle

: f?(u).

s

h(Fo)

g=

to be maintained in S

. it must experience

+ in addition to other possible actions, the.force of constraint R, or

reaction, arising from this material surface. In the language of the pair

( U , a )the

of spaces

nition, in the element any

6 u E

, to which

displacement 6 (6 u, r>

= e(6

representation of this force consists, by defirE

Possessing the following property : for

corresponds in the "physic~l"space E3 u)

of the particle

s, the work of

the

+ R equals

, i.e. 4611, r> = f(6

(3.4)

u).

.

Let us make use now of the hypothesis that the constraint is + frictionless. By definition this means R is normal to the surface S

+ at the point p ; equivalently R yields a zero work for any displace+

ment vector 6 p

which is tangent to S

at this point. Due to the li-

nearization procedure which replaces the equation of amounts to

S

by (3.2), this

J. J. Moreau (3.5)

V S u E U

r

I n o t h e r words

belongs t o

46 u, r> =

:

.

0

V , t h e subspace of

a

orthogonal t o

I t w i l l be supposed t h a t c o n v e r s e l y any value of

U.

r , i;e.

of

-P

R , s a t i s f y i n g t h i s c o n d i t i o n can be produced bv t h e device e n f o r c i n v t h e P h y s i c a l l y , t h i s means f i r s t t h e c o n s t r a i n t i s b i l a t e r a l :

constra'nt. the particle

s

should more e x a c t l y be v i s u a l i z e d a s guided without

f r i c t i o n between two p a r a l l e l s u r f a c e s i n f i n i t e l y c l o s e * t o each o t h e r ; secondly t h e s e s u r f a c e s a r e s t r o n g enough t o e x e r t a r b i t r a r i l y l a r g e normal r e a c t i o n s . We propose t o summarize t h e s e f a c t s by s a y i n g t h a t t h e considered p e r f e c t , c o n s t r a i n t i s f

a (cf.

MOREAU

[14], vol. 2 ,

5

9. 2 )

Except otherwise s t a t e d , firmness w i l l always be i m p l i c i t e l y assumed i n t h e following. I n s h o r t , a l l our information about t h e c o n s t r a i n t i s c o n t a i n e d i n t h e two c o n d i t i o n s the pair

(u,r)

u E 6:

,

r E V ; e q u i v a l e n t l y i t may be s a i d t h a t

belongs t o t h e s u b s e t

6: x V

of

c o n s t i t u t e s a s t a t i c a l law i n t h e s e n s e d e f i n e d by between t h e p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n

u

a x 8

5

and t h i s indeed

3. b, i . e .

a relation

of t h e system and some of t h e

f o r c e s i t undergoes. This r e l a t i o n i s subdifferential. I n f a c t consider the indicator function

@6:

of t h e a f f i n e ma-

n i f o l d described by ( 3 . 3 ) ; t h e s u b d i f f e r e n t i a l of t h i s c l o s e d convex f u n c t i o n i s e a s i l y found t o be

J. J. Moreau

a

g,(u)

Therefore the r e l a t i o n

=

1,

if

V

u € ,

.

i f u , P

(u,r) E P x V

is equivalent t o

which i s a n o t h e r way of conveying t h e whole of our information about t h e c o n s i d e r e d c o n s t r a i n t . The minus s i g n i n t h e l e f t member i s immaterial a s t h e r i g h t member i s a l i n e a r space : t h i s i s o n l y f o r sake of c o n s i s t e n c y with f u r t h e r developments. More g e n e r a l l y , t h e system

4

may be submitted a t t h e same

t i m e t o s e v e r a l c o n s t r a i n t s of t h e preceding s o r t , r e s p e c t i v e l y d e f i n e d by

n

c l o s e d hyperplanes

5. = Ui

+

t h e permitted configurations is then

,

ai

n 5.

i = 1, 2 ,

...,

n. The s e t of

; i f t h i s i n t e r s e c t i o n i s not

i

empty l e t u s u s e a g a i n t h e n o t a t i o n

U

5 = U

+

a

t o r e p r e s e n t i t , where

i s now t h e i n t e r s e c t i o n of t h e c l o s e d l i n e a r subspaces

codimension 1. A s t h e r e a c t i o n longs t o

sum

r

of t h e

F ri, i

implied by t h e

n

r e a c t i o n s belongs t o

ri E Vi

V

each w i t h

i - t h c o n s t r a i n t be-

t h e one-dimensional subspace orthogonal t o

Vi,

Conversely, any element of a sum

ri

Ui,

Ui

in % ,

the

V , t h e subspace orthogonal t o

U

possesses a t l e a s t one decompostion i n t o

( t h i s i s merely t h e c l a s s i c a l theorem of Lagrange

m u l t i p l i e r s : t h e d u a l i t y between

and

being separating, t h e bi-

orthogonhl of a f i n i t e l y generated subspace e q u a l s t h i s subspace i t s e l f ) . T h e r e f o r e , each of t h e

n

p e r f e c t c o n s t r a i n t s being assumed f i r m , t h e

J. J. Moreau j o i n t e f f e c t of them i s f u l l y r e p r e s e n t e d by t h e same w r i t i n g a s (3.6) and t h i s i s a l s o t r i v i a l l y t r u e i n t h e c a s e

6: i s empty.

Thereby w e a r e induced t o c o n s i d e r , i n g e n e r a l , s t a t i c a l laws expressed under t h e form (3.61, where

6:

represents a closed a f f i n e

manifold whose codimension i s not n e c e s s a r i l y f i n i t e : w e s h a l l r e f e r t o such s t a t i c a l laws a s ( f i r m ) p e r f e c t a f f i n e c o n s t r a i n t s . Note a t l a s t t h a t , when s t u d y i n g e v o l u t i o n problems, a p e r f e c t

-

c o n s t r a i n t d e s c r i b e d a s above may be moving : i . e .

t h e a f f i n e manifold

6: may depend on time i n a given way. J u s t keep i n mind a t such e v e n t t h a t t h e so-called displacements, l a b e l l e d i n t h e preceding by t h e symbol

6 , merely e x p r e s s t h e comparison between p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s a t a d e f i n i t e i n s t a n t ; t r a d i t i o n n a l l y t h e y a r e q u a l i f i e d a s v i r t u a l i n con-

real displacements which occur a s a consequence of t h e

t r a s t with t h e a c t u a l motion.

I n most p r a c t i c a l c a s e s t h e subspace

dimension and t h e d i r e c t i o n of element

a

U

of

6:

U

which d e f i n e s t h e

i s independent of time ; only t h e

i s moving ; we s h a l l meet such a s i t u a t i o n i n Chap-

t e r 6.

3. d

PERFECT

UNILATERAL

CONSTRAINTS

With t h e same n o t a t i o n s a s i n t h e preceding, suppose now t h a t the particle

s

of t h e s y s t e m @ , i n s t e a d of being b i l a t e r a l l y main-

tained i n the surface

S , i s only confined by some impenetrable block

J. J. Moreau whose

S

constitutes the boundary. Suppose the function h

such a way that the region of E3 of

s

chosen in

+

permitted thereby to the position p

is defined by the inequality h(G)

>0.

Then, using the same linearization procedure as before, the set of the permitted values of (3.7)

u h(G0)

whidh defines in

U

is characterized by the inequality

+ t(u).

g

a h(po)

0

a closed half-space 9 with the affine manifold 2

as boundary. Here again, the description cf the mechanical situation requi-

.,

res some information about the force of constraint R must exert on

s

to prevent penetration

be formulated by means of the element

that the block

; this information will rather

r E

which represents the force

according to (3.4). First, this reaction vanishes when i.e.

s does liot touch the block,

when (3.7) holds as a strict inequality ; in other words one has the

implication (3.8)

uEint9

9 r = O

When, on the contrary, s

. S,

lies in contact with the boundarp

we still make the no-friction hypothesis, i.e.

+ R

is normal to S. In

addition the unilaterality of the contact imposes that the yeetor

ii

is

directed toward the permitted region i.e. dipected in concordance with

-

-

grad h ( p ) . I n terms of work t h i s i s expressed a s f o l l o w s :

the vector any

+

6 p

J. J. Moreau +

. gra3 h(p) > 0

+

such t h a t

4.

6 P

+

yields

6 p

. 8 > 0.

r e c a l l i n g t h e r e g u l a r i t y assumption made about t h e mapping

-+

6 p

ment

s

t h e displacement of 6 u

6f

U

by

$

6

in

=

E3

Now,

+ e-,

take a s

associated a s before with t h e ele-

(6 u). The c o n t a c t between

s and t h e

block means t h a t (3.7) holds a s a n e q u a l i t y . Besides, due t o t h e l i n e a r i d

z a t i o n procedure,

6

.

putting

grad h ( p )

>0

h

u' = u

+

i s t r e a t e d a s independent o f

ga h(<)

holds i f and only i f P ( 6 u).

6 u

nally, i n view of (3.41,

p. Then

the l a t t e r is equivalent t o . u ' E 0 a l l our information about

3

> , 0 ;4 so that'fi-

comes t o be equivai

l e n t t o the following (3.9) This difference

u'-

a c t o a l l y implies a l s o (3.8) ; i n f a c t , i f u

, for

u'

a r b i t r a r y d i r e c t i o n ; hence

u

E

E 9 c a n be a non z e r o element o f r = 0

int 9

U

the

with

f o r t h e d u a l i t y i s separating.

I n c o n c l u s i o n t h e geometric c o n d i t i o n

u E 0

of t h e c o n s t r a i n t

i s expressed j o i n t l y with (3.9) by w r i t i n g (3.10)

- r E a #9(u) . Here a s i n

$ 3. c

l e t u s make conversely t h e f i r m n e s s assump-

t i o n : t h e block i s supp&ed s t r o n g enough t o e x e r t any v a l u e o f

3

a g r e e i n g with t h e preceding requirements ; i n o t h e r words any v a l u e of s a t i s f y i n g (3.9) i s p o s s i b l e . Then r e l a t i o n (3.10) conveys a l l o u r

r

J. J. Moreau i n f o r m a t i o n about t h e considered c o n s t r a i n t .

8

More g e n e r a l l y suppose t h e system

subjected t o

t r a i n t s of t h e preceding s o r t , corresponding t o half-spaces i = 1, 2 ,

..., n.

c l o s e d convex s e t

n

YJi

cons-

,

Then t h e s e t of t h e p e r m i t t e d c o n f i g u r a t i o n s i s t h e

c

= n 9.. AS each of t h e r e a c t i o n s ri

r e l a t i o n of t h e form (3.101,

t h e i r sum

- r € a @ ,

r

satisfies

( ~ ) + a # ,( u ) + 1 2

a

The r i g h t member i s t r i v i a l l y contained i n of s e t s e q u a l s e x a c t l y

satisfies a

i

a

...+a # , ( u ) n

.

@ C ( ~;) a c t u a l l y t h i s sum

because of t h e " u n i l a t e r a l " c o u n t e r p a r t

#C(u)

(U, 8 )

of t h e m u l t i p l i e r s theorem ( a s t h e d u a l i t y f i n i t e l y generated convex cone i n B

1s s e p a r a t i n g , a

i s c l o s e d , t h u s equal t o i t s bi-

p o l a r ) . I n conclusion t h e c o n j u n c t i o n of o u r

n

unilateral constraints

i s e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w i n g s t a t i c a l law

-

(3.11)

r F 8 tLc(u)

.

Hence we a r e induced t o c o n s i d e r more g e n e r a l l y t h e s t a t i c a l laws d e f i n e d i n t h e same way by t a k i n g a s s u b s e t s of

U

C

a r b i t r a r y c l o s e d convex

: w e c a l l t h e s e laws ( f i r m ) p e r f e c t convex c o n s t r a i n t s .

Evidently t h e b i l a t e r a l c b a b t r a i n t s t u d i e d ,in $3. e -sgeCial case' of t h i d : . t a k e as

3. e

C

a c l o s e d a f f i n e manifold.

SUPERPOTENTIALS

We s h a l l say t h a t

a s t a t i c a l law admits a f u n c t i o n

are a

J. J . Moreau

d

F ro(U,a

)

as superpotential if this law consists in the following

relation between the configuration u

and some force f

In particular, if a statical law admits some numerical function

W

as potential, W , is also a superpotential if and only if this funcf= f

tion is convex. For instance the constant law admits as superpotential the linear form

u-

-

,

d

(independent of

(u, fo>.

Another fundamental example is that of a perfect convex constraint, as presented in the preceding paragraph : (3.11) means that the function (1. C C

is a superpotential for such a statical law ; by taking as

a closed affine manifold, this includes, according to

5

3. c, the tra-

ditional bilateral contraints. Suppose the system subjected at the same time to a finite family of statical laws admitting the respective superpotentials $ ,, d,,

. . , dn

, Then the sum of f = f 1

forces is related to

-

u

+

f + 2

.. .

..

+ fn of the corresponding

by

... + a

f E

a dl (u) + a

+2 (u) +

f E

a

... + 4 ~ ~(u))

$n (u)

.

This relation implies (3.12)

-

+ $2 +

but is equivalent to it only if some conditions ensuring the additivity of subdifferentials are fulfilled ; according to 5 Z.f, the usual case where such additivity holds is described as follows : lo some of the

-

J. J. Moreau functions $i

; 2'

are weakly differentiable everywhere in

exists a point

u

E

U

there

at which the others, but possibly one, are finite

and continuous for some topology compatible with the duality (Q, 8 ) ; '3

the last one is finite at

EQUILIBRIUM.

uo

.

Suppoae first that all the mechanical actions to which the

system is subjected (except possibly those which vanish in any expected equilibrium) are sunmarized under the form of a single statical law admitting a superpotential $

5

independent of time. Then, as explained in

3. b, the equilibrium configurations are characterized by

O E ~ + ( U )

;

this is a necessary and sufficient condition for u points of SA, where the numerical function $ (cf.

5 2.

e).

Such values of

u

to be one of the

attains its infimum

form a closed convex subset of ? I , pos,

sibly empty. Suppose more generally that the considered mechanical actions are described by the conjunction of n

statical laws admitting as above

the respective superpotentials +i, independent of time. A necessary and sufficient condition for u 0E 8

This implies 0 E

i)

(u)

+

to be an equilibrium configuration is now

+

8 +2

(u), with

(u)

+

... + 8

4n (u)

.

4 equal to the sum of the functions

+i ; therefore this sum attains its fnfimum at the point

u. But the

converse may not be true, unless the additivity of subdifferentials

J. J. Moreau holds. ~ c t u a l l ysuch a r e s e r v e does n o t seem t o be of g r e a t p r d i c a l importance and B. Nayroles s u g g e s l s i n h i s l e c t u r e s a l o g i c a l a t t i t u d e which would overcome t h e d i f f i c u l t y .

EXAMPLE.

Make

n = 2

$ = gC

and suppose t h a t

1

, the

s u p e r p o t e n t i a l of

a p e r f e c t convex c o n s t r a i n t . Then e q u i l i b r i u m i s c h a r a c t e r i z d by

o E T h i s i m p 1 j . e ~t h a t function

u

a

#c ( u ) + s

i s a point i n

C

$2 ( u )

.

where t h e r e s t r i c t i o n of t h e

t o t h i s set a t t a i n s i t s infimum ; i n t h e vocabulary of

mathematical programming, u

i s one of t h e s o l u t i o n s o f a "constrained"

minimization problem. But t h e converse may not be t r u e , u n l e s s t h e addit i v i t y of s u b d i f f e r e n t i a l s h o l d s ; p a r t i c u l a r i z i n g the s i t u a t i o n d e s c r i bed above, one f i n d s t h a t any of t h e t h r e e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s e n s u r e s this additivity : lo The f u n c t i o n

4

2

i s weakly d i f f e r e n t i a b l e everywhere i n

%,

it

i.e.

i s a p o t e n t i a l i n t h e c l a s s i c a l sense. 2'

There e x i s t s a p o i n t i n t h e i n t e r i o r of

C

where t h e f u n c t i o n

$

2

t a k e s a f i n i t e value. 3 O There e x i s t s a p o i n t i n

%,

continuous and which belongs t o

a t which t h e f u n c t i o n

g2

i s f i n i t e and

C.

R e c a l l t h a t " i n t e r i o r " o r "continuous" may h e r e be understood i n t h e sense of any l o c a l l y convex topology compatible w i t h t h e d u a l i t y

(U,

9;) :

t h e weakest assumption i s t h u s obtained by choosing t h e f i n e s t

J . , J. Moreau of t h e s e t o p o l o g i e s , i . e .

t h e Mackey topology

~(7.6,8 )

; t h i s remark i s

of c o u r s e without o b j e c t i n f i n i t e dimensional c a s e s .

DUAL

3. f

MINIMUM

PROPERTIES

T h i s paragraph i s devoted t o t h e e q u i l i b r i u m problem, i n t h e c a s e where a l l t h e mechanical a c t i o n s e x e r t e d on t h e system

Cf

(except

p o s s i b l y those which vanish a t any expected e q u i l i b r i u m ) a r e expressed a s t h e conjunction of two s t a t i c a l laws r e s p e c t i v e l y a d m i t t i n g t h e superpotentials

and

$2, independent of time. Of c o u r s e , each of t h e s e

two s u p e r p o t e n t i a l s may i n i t s t u r n d e s c r i b e t h e c o n j u n c t i o n of s e v e r a l laws ; i n p r a c t i c a l s i t u a t i o n s t h e r e a r e u s u a l l y v a r i o u s p o s s i b i l i t i e s of c l a s s i f y i n g t h e mechanical a c t i o n s i n t o such two groups, so t h a t t h e s t a t e m e n t s oresented below c a n generate a g r e ~ tnumber of d i f f e r e n t var i a t i o n a l p r o p e r t i e s . I t may be imagined t h a t

$2

correspond

t o two d i f f e r e n t s o r t s of mechanical a c t i o n : f o r i n s t a n c e

is the

s u p e r p o t e n t i a l of a p e r f e c t c o n s t r a i n t , while

and

$2

represents "active

forces". An element only i f t h e r e e x i s t

f

1

+

f

2

u fl E

of

%

-8

i s an e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n i f and (u)

= 0. The d e t e r m i n a t i o n of such

t o t h a t of

and fl

f 2 E - 8 $2 ( u ) (or equivalently

such t h a t f ) prior 2

u, i s sometimes c a l l e d a s t a t i c a l approach of t h e e q u i l i b r i u m

problem (we should p r e f e r t o c a l l i t s t h e n i c , a n a d j e c t i v e meaning

J. J. Moreau "relative t o forces"). Privileging brium f o r c e any value of

l e t u s agree t o c a l l an e q u i l i -

a s s o c i a t e d i n t h i s way with some e q u i l i -

fl

brium c o n f i g u r a t i o n .

1.

PROPOSITION

and

L t e yl *a

Ayl

f u yl(-

$,

$,

: u-

A y1 + y2 and i f

(- u ) ) .

over A yl

be t h e r e s p e c t i v e p o l a r ( i . e .

dual)

; denote by

( i t i s t h e p o l a r f u n c t i o n of

f)

Then any e q u i l i b r i u m f o r c e minimizes t h e f u n c t i o n

F ; conversely, Lf

and

(u,8 )

$2, r e l a t i v e t o t h e d u a l i t y

f u n c t i o n s of the function

y2

y2

f

i s a minimizing p o i n t of t h i s sum

possess t h e a d d i t i v i t y of s u b d i f f e r e n t i a l s a t t h i s

i s an equilibrium force.

p a t , fl

In fact i f

fl € B

corresponds t o some

- fl

E d

and

u E 8 yl (- f l ) ; t h e l a t t e r i s t h e same a s

41

(u)

and

f l E 8 $2 ( u )

u E

16

such t h a t

one h a s e q u i v a l e n t l y

-

u €

a

y2 ( f l )

A u E 8 yl (fl)

;

therefore

o e a AY,

(I,)

+ a 7,

(ill

c8

Conversely, t h e assumption t h a t

A y1

+

y2

means t h a t t h e z e r o of

s e t equals

a

%&

A yl ( f l )

+

A y2 ( f l ) ,

o

E

a

y2 ( f l )

dl + yZ)

(fl)

.

i s a minimta$ng p o i n t of

fl

a

belongs t o

Cy 1 + y 2 ) ( f l )

; i f this

one h a s

-a

y1(-fl)

-

which p r e c i s e l y e x p r e s s e s t h e e x i s t e n c e of some

u

a s s o c i a t e d with

f

1

i n t h e preceding way. A s f a r a s we can s e e t h i s P r o p o s i t i o n c o n t a i n s a s s p e c i a l cases,

J. J. Moreau a l l t h e extremal p r o p e r t i e s of " s t a t i c a l " type i n e l a s t o s t a t i c s . Observe i n t h i s connection t h a t i f

+2, f o r i n s t a n c e , i s t h e s u p e r p o t e n t i a l of

t h e p e r f e c t b i l a t e r a l c o n s t r a i n t defined by t h e a f f i n e manifold S, = U

+

a

(cf.

6

3. e b i t s d u a l f u n c t i o n i s d e f i n e d by

y2 ( f ) = (I'V ( f ) Thus minimizing over

A y

+

y2

over 3

V , t h e l i n e a r subspace of

3

+ (a,f>

.

i s t h e same a s minimizing

.orthogonal t o

A yl

+ ( a,. >

U.

On t h e o t h e r hand, i n t h e u s u a l s i t u a t i o n s of l i n e a r e l a s t o s t a t i c s , one may t a k e a s

t h e p o t e n t i a l of e l a s t i c f o r c e s , which i s

a nonnegative q u a d r a t i c form on

Q1,

U . ~ k l c u l a t i ni t~s

dual

s i n c e q u a d r a t i c forms a r e even f u n c t i o n s ) y i e l d s a

d r a t i c form defined on some l i n e a r subspace of

3

and

(equal t o

yl

nonnegative qua-

+e

o u t s i d e of

t h i s subspace ; a s p e c i a l p r o p e r t y of t h e q u a d r a t i c c a s e i s t h a t , i f and

-f

a r e conjugate p o i n t s w i t h regard t o (u) = y

Thus, yl

1

(f) =

1, Y1,

u

One h a s

- -21 < u , f > .

may be i n t e r p r e t e d a s "the e x p r e s s i o n of t h e e l a s t i c energy i n

terms of t h e e l a s t i c f o r c e " and sometimes c a l l e d t h e complementar~

energy. T h i s does not hold anymore i n non l i n e a r e l a s t i c i t y ; howeve* i n t h e very u s u a l c a s e where t h e e l a s t i c p o t e n t i a l

i s a quasi-

homogeneous convex f u n c t i o n , t h e r e i s s t i l l a r e l a t i o n between and

A yl ( f ) , i f

f

i s t h e e l a s t i c f o r c e corresponding t o

u.

+1 ( u )

J. J. Moreau 3. g

SADDLE

-

POINT PROPERTY

The notations are the same as in the preceding paragraph. Determining the equilibrium configurations of

+

(cf.

$2

6

cf

as minimizing points of

3. e) and determining the equilibrium forces as minimiA

zing points of y

+ y2 may be considered as dual extremum problems.

This is a familiar feature of convex programing and it is habitual to relate such a pair of vroblems to a saddle-point property for a function called Lagrangian. PROPOSITION.

Define the concave-convex function L

on the product spa-

c e u x B 2 A

L(u,~) = ( u,f> + y1 (f with

+

-

with -

.

.

the convention + as

- as

m

w).

fl E B

element lue,

-

=

A point u0 E -

+

(or equivalently the convention is an equilibrium configuration of

Of

L(uo, f ) 1

% , x

B

is a saddle point of

is finite and for any

In fact, suppose first that tion with

$2 (u)

fp

as corresponding equilibrium foace, if and only if the

(u0, fl)

&

=

-

u

0

fl as equil-ibrium force, i.e.

L with finite va-

u E u a n d any

,

is an equil-ibriumconfigura-

-

uo E

8

A

yl (fl) and

fl f 8 $2 (uo) ; the former of these conditions means

and the latter

f E B

,

J. J. Moreau

V u F

(3.15)

%&

Adding the finite number

:

(u

-

uo, fl>

- $2(~o)

+

+2(~d<+2(~3 .

to both members of (3.14) yields the

second of inequalities (3.13) ; adding the finite number Ay (f ) 1 1

to both

L(uo, fl) is clearly

members of (3.15) yields the first one. The value finite. Conversely, supposing and $2(~o)

A

L(uo, fl) finite implies that yl(fl)

are finite ; then the preceding calculation may be effected

backward to deduce (3.14) and (3.15) from (3.13). REMAFtK.

Exchanging the roles of + I

and +2

would yield a quite dif-

ferent function L. Since, in practical situations, there are usually several ways of classifying mechanical action into two groups corresponding to +1

and

+,-,

since, on the other hand the

(el(,,

T )

pattern may usual

ly be applied in several ways (see $ 3. j below), the preceding proposition generates a pretty great number of saddle point characterisations of the equilibrium in elastostatics.

.,

3. h

ONE

-

DIMENSIONAL EXAMPLES

We consider in this paragraph a system

@f

whose configuration

can be specified by a single numerical variable : it is for instance a rectilinear bar or a string, as far as we are only interested in the distance between its extremities. Denote by

Xo +

e

this distance ; in

J. J. Moreau

other words, e

denotes the elongation of the bar by comp~risonwith some

reference state in which the length was

6.AS we are only concerned

with static or quasi-static situations, the state of stress of the bar is sufficiently described by the tension

s. Classically, for the applica-

tion of the principle of virtual worktq systems comprising the considered bar, the expression of the work of the internal actions must be

-

s 6 e.

Thus the pattern of the preceding paragraph applbby taking for the linear space ? ,/.

a copy of the real line R , with

and for the linear space B

e

as generic element,

another copy of R , with

s

as generic

element ; these two one-dimensional linear spaces are placed in separating duality by the bilinear form (3.16 )

(e,s>

<.,.>

= - e s

.

This unpleasant minus sign merely comes from our Complying with the common habit in solid mechanics of measuring the state of stress by a positive number when it is properly a tension, by a negative number when it is a proper pressure. It has nothing to do with the fact that the considered "actions" are internal : in our formalism,stress is a "force" like any other mechanical action. This framework permits the formulation of usual behavioral laws of the rectilinear system. lo Regular elasticity.

Suppose that the behavioral law of the bar

J. J. Moreau

s

d e f i n e s the tension t h e el.ongation 9

a s a continuous s t r i c t l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n of

s = j(e)

e , namely

d e n o t e s a p r i m i t i v e of

Let

eo

o r equivalently

j ; observe t h a t

be some d e f i n i t e v a l u e of

e

and

9 s

0

s = 0 ' ( e ) , where

i s then a convex f u n c t i o n

= B ' ( e 1. The a f f i n e func0

tion e

i s tangent t o

(e

I+

a t the point

0

- eo)

so+ 9 (eo)

eo ; now, w i t h r e g a r d t o t h e d u a l i t y de-

f i n e d by (3.16), t h e slope of t h i s a f f i n e f u n c t i o n i s

s = 9'(e)

words t h e r e l a t i o n

T h i s means t h a t

-

s

0'

In other

may be w r i t t e n a s

s = gradB(e)

.

i s a p o t e n t i a l f o r t h e considered s t a t i c a l law (and

0

a l s o , a s u s u a l , t h e e x p r e s s i o n of t h e p o t e n t i a l energy) ; due t o t h e conv e x i t y of tion

9

8' = j

function

i t i s a l s o a s u p e r p o t e n t i a l . A s we have supposed t h e funccontinuous and s t r i c t l y i n c r e a s i n g , i t possesses a n i n v e r s e

j-l, defined on t h e range of

j ; t h i s range i s a n i n t e r v a l

p o s s i b l y unbounded o r not c l o s e d . The c h a r a c t e r i z a t i o n of

e

and

-

I,

s

a s conjugate points 9(e)

+

p e r m i t s t h e c a l c u l a t i o n of

9

X

0

(- S )

*

eX(- S) = s j v a l i d f o r any

s

in

=

<-

S,

e>

by t h e formula

- 1( s ) - e c j - l ( s ) ]

I . The f u n c t i o n

9

t a k e s t h e value

+ ss

outside

J. J. Moreau

of the closure of 2'

-I.

Elastic string.

We agreed that

4+e

represented the distance bet-

6

ween the extremities of the considered one-dimensional system. If

denotes exactly the length at rest of an elastic string, the corresponding statidlaw has the form e

the value zero for dual function O*

range of

where the function j

A primitive of

; the values of

0

*

j are constructed as above if

inareasing on

takes now

j is a superpotential ; its

with regard to the bilinear form (3.16) takes the va-

+ , on lo,+ -[

lue

<0.

s = j(e)

[0, + [,

3O Inelastic string.

(-

s) for s belonging to the

j'is continuous and strictly

. This may be considered as a boundary case of the

preceding. Supposirng that

is the proper length of the string and

that the breaking load is infinite, one finds the following superpotential for the relation between

e

and

s

This is the indicator function of the closed convex subset

C

=

1-

m,

01

o f u , so that the present law comes to be a perfect convex constraint. As

..

C

is actually a convex cone (see 6 2. c) the dual function 8-

the indicator function of the polar cone, i.e. the subset 7

(it is the set of the possible values of

-

s).

1- -,

01

is of

J. J. Moreau The reader will study other examples such as a cylindrical helix spring, enclosed in a guide tube to prevent buckling ; the length of this spring cannot be less than the length it has when all the spires come into contact. The corresponding behavioral law is equivalent to the conjunction of a law of elasticity and of a perfect convex constraint. This gives a very elementary model of an elastic solid with limited compressibility, a type of material which was studied in generality by

W.

PRAGER [l] ; the behavior of such a material can be formulated as a

statical law admitting a superpotential.

AN

3. i

EXAMPIE

OF

COMPOUND SYSTEM

Take as @' a lattice of bars (a truss) whose extremities are articulated with one another through spherical joints. The joints are represented by

n

points Al, A2,

..., An

the nodes of the lattice. To

make the description simpler suppose that between each pair of nodes, say

Ai

and A

j

with

the bars denoted by

i

<

j to avoid repetition, there exists one of

Bij, thus

-21 n

(n-1)

bars in all. The behavior of

each bar is treated as one-dimensional ; denote by the bar B

ij

and by

e i3

s the tension of ij

its elongation with respect to the "zero"

state. Any configuration of the system @ is fully determined by the

J. J . Moreau

corresponding positions of the

n

nodes Ai

relative to some three-

dimensional Cartesian frame ; these respective positions may be described by the

n

+ three-dimensional displacement vectors x i

by which they

differ from the positions corresponding to the "zero" configuration of the system. Thereby we are induced to consider as the configuration space of @ the 3 n-dimensional linear space X consists in the n-tuple

+ (tl, x2,

whose generic element

x

..., +xn ).

Here again we restrict ourselves to linearized geometry, by treating the displacements as infinitely small with regard to the lengths of all the bars. Denote by of the oriented line A.A 1

j

+ a

ij

(with

i ( j) the unit vector

(taken, to fix the ideas, in the zero confi-

guration ; but this precision is imnaterial since the bars present only infinitesimal rotations). The el-ongationof the bar B

u

ij

is related to

by

(three-dimensional scalar product). An external action is a n-tuple of forces respectively exerted on the

n

dimensional vectors, denoted by

+ + (yl, y2,

..., +yn)

nodes ; this n-tuple of threey, constitutes the generic element of

a 3 n-dimensional linear space Y. The bilinear form "work", placing the spaces X

and Y

in separated duality will be noted ((

.,.>>

to

J. J. Moreau

a b i l i n e a r form which p l a c e s t h e two l i n e a r s p a c e s

E

and

S

i n sepa-

r a t i n g d u a l i t y : k e e p i n mind t h a t i t d i f f e r s by t h e D r e s e n c e of t h e minus s i g n from t h e n a t u r a l " s c a l a r a r o d u c t " between two s p a c e s whose elements a r e such

-21 n ( n - 1 ) - t u p l e s

of r e a l numbers.

A t t h e p r e s e n t s t a g e , where p l a s t i c i t y i s n o t t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e b e h a v i o r a l laws o f t h e b a r s a r e r e l a t i o n s between

s

(i,j),

R

i

<

j, a s u p e r p o t e n t i a l

and

which i s a c l o s e d c o n v e x f u n c t i o n s

8.

13

and t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i c a l l a w s t a k e s t h e f o r m

By t h e r e m a r k s made i n function

e

$

d e f i n e d on

p e r m i t s t o summarize t h e (3.21)

3. j

ij

f o r m u l a t e d i n t h e same ways a s i n s 3. h . T h i s i n t r o d u c e s , f o r e a c h

ij

on

e

2. c E

a b o u t t h e p r o d u c t of l i n e a r s p a c e s , t h e

by

In(n-1) 2

r e l a t i o n s ( 3 . 2 0 ) by w r i t i n g

- s f ? @ (el

VARIOUS

TREAMFNTS

OF

THE

.

EQUILIBRIUM PROBLEM

L e t u s p u r s u e t h e s t u d y o f t h e system d e s c r i b e d above. C o n t i nuously d i s t r i b u t e d e x t e r n a l a c t i o n s , such a s g r a v i t y , a r e not t a k e n i n t o a c c o u n t , s o t h a t t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n of t h e s y s t e m c o n s i s t s i n t h e

J. J . Moreau

vanishing of the total force experienced by each of the for each value of

i = 1, 2,

..., n

n

nodes, i.e.

the following three-dimensional

vector equation (3.22 ) On tpe other hand, equalities (3.17) define a linear mapping from X it

joint D

into E of

D. By definition the

which will be denoted by

D is the linear mapping from S

Referring to the definitions of

<.,.>

and

into Y

<< .,.>>,

defined by

then identifying

the terms of each member yields that the element D* s of the n-tuple of'three-dimensional vectors

ad-

of Y

consists

(D* sIi

Therefore the equilibrium condition (3.22) takes the form

which of course is equivalent to the principle of virtual work, namely V x E X

(3.24)

:

(< x,y>>

+

(D X,S>

= 0

.

lo The method of big spaces. We give this name to the method which consists in using the pair

(x,e), denoted by

u

as the element which specifies the configu-

ration of our system. Then, with the notations of ration space is

U

= X x E ; the corresponding B

6 3,

a the configu-

is the space Y x S,

J. J. Moreau

whose generic element is the pair

(y,s) denoted by

f. These spaces are

placed in separating duality by the expression of the total work (<x,y>>

+

(e,s>, to be denoted by (u,f>. Clearly the whole of the space

the pair

(26 is not permitted to

u, sin&

(x,e) must belong to the following linear subspace of

i.e. the graph of

D. Let us show that this restriction of freedom may be

treated as a perfect constraint. In fact the equilibrium condition of the system is not the vanishing of the element

we observe that V

f = (y,s)

but merely equality (3.23). Putting

is precisely the subspace of X

orthogonal to U :

this is the same as the equivalence between (3.23) and (3.24). (3.23) is equivalent to asserting the existence of some that

f

r

Condition

in V

such

+ r vanishes. Interpreting r as the reaction associated with

the considered constraint agrees with our general definition of a perfect affine constraint. Actually this conception may be related to a physical realization of the constraint : considering X x E

as the configuration space

amounts to regarding our system as the conjunction of the following subsystems : the nodes Ai, whose respective configurations are described

J. J. Moreau

by t h e three-dimensional v e c t o r s

+ x

i

and t h e b a r s

s t a t e s a r e d e s c r i b e d by t h e e l o n g a t i o n s e .

Bij,

whose r e s p e c t i v e

The c o n s t r a i n t whose geome-

lj.

t r i c e f f e c t i s expressed by (3.17) merely c o n s i s t s i n connecting t h e b a r s w i t h t h e nodes. However, our main motivation i n developing t h e p r e s e n t example i s t o prepare f o r t h e c a s e of continuous media, ( c f . B. Nayrol e s ' s lectures) ; i n t h i s case

x

ment v e c t o r s defined on a r e g i o n of of s t r a i n t e n s o r s ; then

e = D x

i s replaced by a f i e l d of displace-

R~

and

e

i s replaced by a f i e l d

i s t h e c o n d i t i o n of geometric compa-

t i b i l i t y between displacements and s t r a i n s ; t h i s r e s t r i c t i o n of freedom may be formally considered a s a p e r f e c t

c o n s t r a i n t i n t h e same way a s

above but i t does not seem wise t o t r y and v i s u a l i z e

R

mechanical r e a l i -

z a t i o n f o r it. Suppose t h a t t h e s t a t i c a l laws concerning t h e e x t e r n a l a c t i o n s experienced by t h e system ( p o s s i b l y i n c l u d i n g c o n s t r a i n t s a c t i n g on t h e nodes) c a n be g l o b a l l y d e s c r i b e d i n t h e framework of t h e spaces by a s u p e r p o t e n t i a l y f Y (3.25)

(X,Y)

E To (X,Y) ; i n o t h e r words t h e e x t e r n a l f o r c e

i s r e l a t e d t o t h e "external" c o n f i g u r a t i o n - y ~ a z ( z )

x

E

x

by

,

where t h e s u b d i f f e r e n t i a l i s understood i n t h e sense of t h e d u a l i t y (X,Y).

Suppose on t h e o t h e r hand t h a t t h e i n t e r n a l s t a t i c a l laws a r e ex-

p r e s s e d by (3.21). By t h e r u l e s formulated i n

6 2.

c

about product

J. J:

Moreau

s p a c e s , (3.21) and (3.25) a r e e q u i v a l e n t l y summarized a s -

f

~

a

$cu)

i n t h e sense of t h e d u a l i t y between t h e b i g spaces w i t h f = ( y , s ) , and

the superpoteptial b

4

(u)

$

u = (x,e),

d e f i n e d by

= g (XI + e (e)

.

The e q u i l i b r i u m of t h e system may then be s t u d i e d by t h e me-

$$

t h o d s of 2'

3. e, f , g.

The e l i m i n a t i o n of

(E ,S

As t h e c o n f i g u r a t i o n of t h e system i s f u l l y s p e c i f i e d when x E X

i s given, one may p r e f e r t o c o n s i d e r only

space, and

Y

X

a s t h e configuration

as t h e f o r c e space. Then e v e r y mechanical a c t i o n experien-

ced by t h e system must be described i n terms of elements of

i t i s r e p r e s e n t e d by t h e element cement

<
6 x

y

of

Y

y

such t h a t f o r every d i s p l a -

of t h e system, t h e work of t h e considered a c t i o n i s

x, y>>. I n t h i s way an i n t e r n a l S t r e s s

element

Y : precisely

of

Y

s E S

i s r e p r e s e n t e d by t h e

such t h a t

V F x E X

: ((8

x, ys>>

= ( D 6 x , s>

,

i. e.

*

(3.26)

y , = D s

.

Thus t h e s t a t i c a l law (3.21) i s t r a n s c r i b e d i n terms of t h e p a i r of spaces

(X,Y)

a s follows

J. J. Moreau

*

- Y,

(3.27)

E D (a

e

(D

XI)

.

'If, in particular, there exists a point in the range of D

at which 1 3

is finite and continuous (for some topology compatible with the duality (E,S)),

the calculation rule (2.15) holds,so that (3.27) amounts to

- ys E

(3.28

in the sense of the duality mitting the function 0 0 D

D (0 o D) (x)

(X,Y) ; this constitutes a statical law adas superpotential. In this way the techniques

of the foregoing paragraphs may be applied with regard to the pair of spaces (X,Y 1. 3 '

The elimination of The mapping

element

e = D x

(X,Y)

D :X

+

E

is not injective ; this means that the

does not convey enough information to specify complete-

ly the configuration of the system. However one may wish to determine the equilibrium values of

e

or

s

prior to that of

x

or y

and in some

instances one may be interested in these elements only (in order to discuss strength, for example). In the principle, the elimination is similar to that of the preceding case. Suppose that all the external laws to which the system is jointly submitted are summarized under the form (3.29) where P

x E P(y) denotes a given multimapping from Y

into X. Similarly suppose

J. J. Moreau

t h a t a l l t h e i n t e r n a l laws a r e summarized a s

s

(3.30) where

R (e)

d e n o t e s a given multimapping from

R

l u e s of

x, y , e , s

tisfies

e

s

=

=

D x

E

into

S. A system of va-

d e f i n e s an e q u i l i b r i u m s t a t e i f and o n l y i f i t saand (3.23),

(3.29),

( 3 ~ 3 0 ) . Thus, a s f a r a s

only a r e concerned, t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n ( i . e .

e

and

a n e c e s s a r y and

s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e of a t l e a s t one p a i r

(x,y)

as-

s o c i a t e d w i t h ( e , s ) i n such a way t h a t t h e preceding e q u i l i b r i u m condit i o n s h o l d ) c o n s i s t s i n t h e c o n j u n c t i o n of (3.30) w i t h

e E D (P (- D* s ) )

(3.31) I n the p r i n c i p l e ,

.

(3.31) may a s w e l l be w r i t t e n under t h e form

- s E Q(e) .

(3.32)

Now a s f a r a s t h e i n t e r e s t i n g unknown i s

e, t h e c o n j u n c t i o n of i3.30)

w i t h (3.32) i s e q u i v a l e n t l y formulated a s f o l l o w s : t h e r e e x i s t

s2

12

S

sl

& a

such t h a t

s1 E R ( e l

sZ E Q ( e l S1+S2

= 0

.

Formally w e a r e reduced t o t h e u s u a l p a t t e r n of t h e e q u i l i b r i u m of a system submitted t o two s t a t i c a l laws. From t h i s s t a n d p o i n t t h e r e l a t i o n

s E ~ ( e ) should be considered a s t h e " i n t e r n a l imagev' of t h e e x t e r n a l

J. J. Moreau

s t a t i c a l law (3.29). The reader i s i n v i t e d t o apply t h i s procedure t o a n e x t e r n a l law o f t h e form

- y E a 5:

(x), equivalently w r i t t e n a s

Here a g a i n t h e c a l c u l a t i o n r u l e (2.15),

w i l l y i e l d an image i n

(E,S)

x E

a 5:*

(-y 1.

under some c o n t i n u i t y assumption,

which admits a superpotential.: A s a f i r s t

example, t a k e a s e x t e r n a l s t a t i c a l law a g i v e n l o a d

y

0

E

Y* a p p l i e d t o

t h e system ; t h i s may be w r i t t e n under t h e form (3.29) w i t h

Another primary example i s t h a t of a p e r f e c t a f f i n e c o n s t r a i n t formulated relatively t o the pair

(X,Y).

But i t w i l l be more i n t h e s p i r i t of t h i s Chapter t o o p e r a t e with t h e p a i r

(E,S)

i n t h e f o l l o w i n g way :

Since we choose t o d e a l only with i n f o r m a t i o n s formulated i n t h e framework of t h e p a i r e d s p a c e s t h e s t a t e of t h e system i n terms of

( E , S ) , we a c c e p t only t o speak of e ; on t h e o t h e r hand, a mechanical

a c t i o n experienced by t h e system w i l l be t a k e n i n t o account only i f i t c a n be r e p r e s e n t e d by a n element

5

E S

,in

such a way t h a t t h e work of

t h i s a c t i o n f o r every displacement of the system h a s t h e e x p r e s s i o n

C6 e , a>. Therefore, i f i n p a r t i c u l a r t h e c o n s i d e r e d a c t i o n 19 a n e x t e r nal force

y E Y

t r e a t e d a s given, t h e corresponding

d

must be Such

J. J. Moreau

that (3.33) Such a

V 6 xE X

: <<6 x , y>> = ( D 6

a>

x,

a does not n e c e s s a r i l y e x i s t ; an evident c o n d i t i o n f o r i t s

existence i s t h a t mapping

*

D

. The

*

y

belongs t o . D

6

l i n e a r subspace

sense of t h e d u a l i t y

S, t h e image of

*

D

of

*

D

S

(E,S)

under t h e l i n e a r

i s t h e orthogonal, i n t h e

Y

(X,Y), of t h e subspace

i m p o s s i b i l i t y of r e p r e s e n t i n g i n t h e would not belong t o

S

S

Ker D

of

X.

Actually t h e

framework a load

does n o t make any hindrance.

y

which

I n f a c t suppose,

f o r sake of s i m p l i c i t y , t h a t t h i s load i s t h e only e x t e r n a l a c t i o n exert e d on t h e system ; c l e a r l y by (3.23) o r by (3.241,

y E D*

s

is a n 2

c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e of a n e q u i l i b r i u m ; t h i s i s a familiar fact

: only

a family of e x t e r n a l f o r c e s with z e r o r e s u l t a n t and z e r o

moment i s compatible with equilibrium. Another fundamental remark about t h e use of t h e

i s t h a t a l l t h e v a l u e s of belongs t o t h e subspace

e

D X

(E,S)

pattern

a r e not permitted, since necessarily ( t h e subspace of

E

e

c o n s i s t i n g of t h e

" s t a t e s of strainl'which a r e "geometrically compatible1'). On t h e o t h e r hand, i f

s

E

S

denotes t h e sum of a l l t h e elements of

S

representing

t h e mechanical a c t i o n s e x e r t e d on t h e system, t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n i s

not

s = 0 , but t h e p r i n c i p l e of v i r t u a l work,namely

V6 xEX

: ( D 6 x, s> =

0

J. J. Moreau which means t h a t

s

belongs t o t h e subspace of

( a c t u a l l y t h e k e r n e l of

S

orthogonal t o

D X

*

D ).

I n conclusion t h e e q u i l i b r i u m problem i n t e d by c o n s i d e r i n g t h e c o n d i t i o n

e E D X

(E,S)

must be t r e a -

a s a perfect constraint.

The r e a d e r w i l l check t h a t given e x t e r n a l l o a d s and e x t e r n a l perfect a f f i n e constraints a r e transcribed i n t h e

(E,S)

language by

g i v e n f o r c e s and p e r f e c t a f f i n e c o n s t r a i n t s .

I t i s from t h i s s t a n d p o i n t t h a t t h e e l a s t o p l a s t i c e v o l u t i o n problem w i l l be s t u d i e d i n Chapter 6.

J. J. Moreau

4

4. a

VELOCITIES

AND

LAWS

OF RESISTANCE

FORCES

A h a b i t u a l procedure, when s t u d y i n g a mechanical system, i s t o a s s o c i a t e w i t h e a c h p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n of t h i s system a l i n e a r space - l e t u s d e n o t e it by

p-

whose e l e m e n t s c o n s t i t u t e , i n a g e n e r a l s e n s e ,

t h e p o s s i b l e v a l u e s of t h e v e l o c i t y of t h e system i f it happens t o pass through t h e c o n s i d e r e d c o n f i g u r a t i o n . Roughly speaking,

may be i n t e r -

p r e t e d a s t h e t a n g e n t space a t t h e corresponding p o i n t of t h e c o n f i g u r a t i o n manifold b u t t h i s need not be made more p r e c i s e h e r e . T h i s space i s of i n f i n i t e dimension i f t h e system h a s an i n f i n i t e d e g r e e of freedom. I n t h e s p e c i a l framework of Chapter 3, where t h e c o n f i ~ u r a t i o n manifold i s t r e a t e d a s a l i n e a r space c r i b e d by a mapping

t

I+

u(t)

?,I!,,

a motion of t h e system i s des-

from some i n t e r v a l of time i n t o

v e l o c i t y i s n a t u r a l l y defined i n t h i s c a s e a s t h e d e r i v a t i v e ken i n t h e s e n s e of some topology on

u)i f

k . The u(t)

i t e x i s t s ; t h e n Y) =

(ta-

U,

the

same f o r a l l t h e c o n f i g u r a t i o n s . Let u s come back t o t h e g e n e r a l s e t t i n g . With each c o n f i g u r a t i o n i s a l s o a s s o c i a t e d a l i n e a r space -denote i t by r e p r e s e n t i n a more o r

a-

whose elements

l e s s a b s t r a c t way, t h e mechanical a c t i o n s which

may be e x e r t e d on t h e system when i t happens t o come through t h e consi-

J. J . Moreau dered configuration : see the construction of the space of torsors in

6

3. a. By extension, the elements of 8

are called forces. An essential

feature in the practice of Mechanics is that several forces are usually applied to the system at the same time. This produces a fondamental dissymmetry between the roles played by v E Y), f E 8

To any pair f

?&.

and 8.

corresponds the power of the force

if the system possesses the velocity

v, a real number denoted by

; this defines a bilinear form'which places

and B

In the linear framework of Chapter 3 where no inconsistency in considering the single space 8

=

in duality.

U ,there is

as the force space

associated with any configuration and in using the same bracket as above to denote by (6 u,f> ment t

t+

6 u E

u(t)

the work of

f E 8

corresponding tothedisplace-

U. In fact, suppose this displacement results from a motion

with velocity

; (derivative understood

in the sense of some

topology compatible with the duality ( 'LL, 8 )) taking place during a time interval [tl, tall while

f

is constant in 8. The general definition

of work as the integral of power yields

4. b

PSEUDO

- POTENTIALS

Let us agree to call a resistance l.aw a relation,-denote it by

J. J. Moreau

9, formulated between the possible velocity v E system in the considered configuration and one, say

of the considered f E 8 , of the f o r

ces it experiences at the same instant. Such a law arises from the study of some of the physical processes in which the system takes part. It will be said that the law 9

is dissipative if the follo-

wing implication holds (4.1)

v R f

=$<0

,

which makes it a resistance law in the usual sense. It will be said that R

admits a function $ E

pseudo-potential if the relation R (4.2)

T o ( ) ' ?

F)

as

is equivalent to

-f€a$(v)

.

Recall that any subdifferential relation is monotone ; then a law R

of the form (4.2) ensures the implication :

(4.3)

vP . f

, v' fR f' 3 < v - v ' , f-f'><0

.

Make in addition the frequently verified hypothesis that zero is among the valves that the relation 9

permits to f when v

is

zero, i.e. (4.4)

OE~$(O,

.

hen (4.1) ensues from (4.3) : the corresponding resistance law is dissipative. Observe that (4.4) implies that C$ (0) is finite and constitutes ',e

minimal value of C$ ; since a d d i n g a finite constant to 4

does not

J. J. Moreau affect the subdifferential, there is no loss of generality in supposing here $(O) =

(4.5)

then the function $

0

;

takes only nonnegative values.

In the following, we shall refer to the situation characterized (4.21,

(4.41,

(4.5)

by saying that the pseudo-potential $

is the

resistance function of the considered law. Recall that, a priori, the pair of linear spaces (VJ,

is

relative to a definite configuration of the system, so that the foregoing concerns only this configuration. However in the usual linear case of Chapter 3, by making

= ?.k and considering the single force space

,

it will be possible to formulate resistance laws independently of configurations.

REMARK.

The example developed i n 5 3. i, 3. j makes understand also

that the pattern of the present Chapter may usually be applied to a definite mechanical situation in several different.ways.

A similar example is t!

of a continuous medium, occupying in

the considered configuration a region R possibility is to interpret as

v

of the physical space. A first

the vector field defined on R

by

the velocities of the various particles forming the medium : then the linear space yd will consist of vector fields satisfying some assumptions

J. J. Moreau of i n t e g r a b i l i t y , d e r i v a b i l i t y , e t c . . . more convenient t o c o n s i d e r medium. Or e l s e , a s i n

9

v

But i n some t h e o r i e s it w i l l be

a s t h e s t r a i n r a t e t e n s o r f i e l d of t h e

3. j, one may t a k e f o r

a ''big space" whose

g e n e r i c element i s t h e couple of a v e l o c i t y v e c t o r f i e l d and o f a t e n s o r f i e l d presumeb t o be t h e s t r a i n r a t e f i e l d ; then t h e geometric compatib i l i t y between v e l o c i t y f i e l d and s t r a i n r a t e f i e l d w i l l be seen a s a c o n s t r a i n t . To t h e s e v a r i o u s s t a n d p o i n t s correspond n a t u r a l c h o i c e s f o r t h e elements

f

forming t h e space B

: r a t e s of d i s t r i b u t e d f o r c e s ,

s t r e s s tensor f i e l d s , etc... The same p a t t e r n w i l l a l s o be a p p l i e d t o formulate & l

laws :

a p o i n t of t h e continuous medium being s p e c i f i e d , one c o n s i d e r s a s t h e l i n e a r space of dimension 6 whose elements a r e t h e p o s s i b l e v a l u e s of t h e l o c a l s t r a i n r a t e t e n s o r

d

of t h e medium ; t h e a s s o c i a t e d

is

t h e l i n e a r space formed by t h e p o s s i b l e v a l u e s of t h e l o c a l s t r e s s tensor

a ; t h e b i l i n e a r form which p l a c e s t h e s e two spaces i n d u a l i t y i s

t h e c l a s s i c a l e x p r e s s i o n of t h e d e n s i t y of i n t e r n a l power. A l o c a l law, i.e.

a r e l a t i o n between t h e s t r a i n r a t e t e n s o r and t h e s t r e s s t e n s o r a t

t h e considered p o i n t of t h e medium, w i l l be formulated by means of a l o c a l pseudo-potential,

which i s a numerical f u n c t i o n defined on

v. This

being done f o r each p o i n t of t h e medium, i t g e n e r a t e s a b e h a v i o r a l law of t h e medium a s a whole, i.e.

a r e l a t i o n between elements of two

J. J. Moreau function spaces whose generic elements are the strain rate tensor field and the stress tensor field. Under suitable integrability assumptions, these two function spaces are placed in separating duality by the bilinear form defined as the integral of the density of internal power. This permits the description of the considered behavioral law by means of a superpotential which is an integral convex functional. The reader will refer to B. Nayroles's lecture for more details about this mechanical situation and to C. Castaing's lecture for more details about the functional analytic aspect. The basic mathematical material may be found in

R. T. ROCKAFELLAR [ 11 , [ 31 , [ 41 .

4.

C VISCOUS

RESISTANCE

As a first example consider a relation 9 (4.6) where

- f

=

of the form

Lv into 8 . In all the phenomena

L denotes a linear mapping from

classified as viscosity effects it is always admitted that adjoint (or "symmetric") with regard to the duality &. v

and

v'

in

=

From this, one easily deduces that v

is self-

i.e., for any

:

c v , L v',

at the point

,.>,

L

of the quadratic form $I

L v

. is the weak gradient

defined on

by

J. J. Moreau

4

(v) =

1

L v>

(v,

This quaaratic form is usually called the Rayleigh function of the considered viscosity law. Making the additional assumption that the viscosity law ie dissipative yields that this quadratic form is nonnegative, thus convex. And at any point v subdifferential 8

L v constitutes the whole of the

the weak gradient

4 (v).

This means that in the present case, the rela-

tion ( 4 . 6 ) may equivalently be written as -fEi)+(v). Thus

+

is pseudo-potential and, more precisely, resistance function of

the considered law. The power of the force f =

associated with

- Cv, L v>

v

- 2+

=

in this way is

(v)

;

the negative of it is frequently called the dissipated power corresponding to v ; hence the name of dissipation function which is given in the present case to the quadratic form v

I+

2

4

(v).

REMARK. Gyroscopic forces give an example of a law of the form with a linear mapping

(4.6)

L which is not self-adjoint ; on the contrary (v,

L v'>

=

-

Such a law admits no pseudo-potential unless

.

L is the zero mapping ;

the dissipated power is essentially zero, so that (4.1) is satisfied :

J. J. Moreau

this law may be said dissipative.

4.

d VEIDCITY

CONSTRAINT

Take back the framework of

5

3. e, i.e.

the example of the

firm perfect constraint whose geometric condition is u € 2, with

2= U

+

a, a possibly moving affine manifold. The linear subspace U

supposed independent of time thus also V

is

which is the subspace of

orthogonal to U. This geometric condition may equivalently by written, for every

t, V w E V

:

Lu-a,w> =

Supposing that the known function t this yields, by choosing w

I+

a

0

.

possesses a weak derivative a,

independent of

t, that the velocity

v =

;

satisfies V w E V

:

<;-Li,w>

=

0

i.e. (4.7)

V € U + & .

Recall on the other hand that, by the definition of a firm perfect constraint, the reaction r € %

exerted on the system by the enforcing de-

vice may be an arbitrary element of V. Exactly like in 5 3. b, this fact may be expressed jointly with ( 4 . 7 ) by writing :

J. J. Moreau

where P

denotes the affine manifold U

+

a

.

This constitutes a resistance law admitting the function # 6:

as pseudo-potential. Let us call it a velocity constraint. It is no place to explain how, in the general setting of a configuration-depgnding pair of spaces(r,a)

1

the usual differen-

tiability assumptions let any firm perfect bilateral smooth constraint be expressed under the form (4.8).

This form includes more generally the

relations between reaction and velocity classically known as n

x

holonomic: perfect constraints ; the standard example of it consists in the perfect rolling without sliding of solid bodies, actually an extreme case of friction.

4.

e

FRICTION AND

PLASTICITY

Suppose given a weakly closed non empty convex subset C

F . Let us formulate a relation 9

between v

of maximal dissipation namely : the values of associates with a given v E

f

by the principle

f E g which this relation

are the elements of

the power, i.e. minimize the function (v,.>. means

and

of

C which minimize

In other words v

f

J . J. Moreau

which is immediately found equivalent to

v

f' €9;: - < v , ff-f> +$rc (f)<*,

(f')

which in turn is equivalent to

(cf.

4

2. e

and also to

Denote by

the function v -

I$

$(v)

=

*

#C (- v), i.e.

sup 4-v, f > = sup f E C g E -C

;

it is the support function of the set. -12. Then (4.10)

is transcribed as

this means that the considered resistance law admits $

as pseudo-

potential (or resistance function in the usual case where C the origin of

contains

; such is the condition for the present law to be = d

siwtive 1. Relation (4.11) may equivalently be written as

in other words the values of

f

that the considered relation associates

J. J. Moreau with a g i v e n power

-Cv,

v

a r e those elements o f

f,

equals exactly

4

C

f o r which t h e d i s s i p a t e d

(v).

The r e a d e r w i l l check t h a t a l l t h e preceding p a t t e r n a p p l i e s t o Coulomb's law of f r i c t i o n between two s o l i d bodies

dl

and

%

,

when t h e p r e s s u r e N, i . e .

t h e normal component of t h e r e a c t i o n , i s t r e a -

t e d a s known. Take a s

t h e s l i d i n g v e l o c i t r of

C/;

; then

v

d2 with

respect to.

i s t h e l i n e a r space of dimension 2 c o n s i s t i n g of t h e vec-

t o r s whose d i r e c t i o n i s contained i n t h e common tangent p l a n e t o t h e two bodies a t t h e p o i n t of c o n t a c t ( t h i s space i s not e x a c t l y t h e v e l o c i t y space f o r t h e considered system a s a whole, but it i s v i s i b l y isomorphic t o a subspace o f i t ) . Take a s tion that

v2 undergoes

same space a s

from

f

4

t h e b i l i n e a r form

t h e t a n g e n t i a l component of t h e reacso that

(. ,.>

may be considered' a s t h e

7

reducing t h e n t o t h e conven-

t i o n a l E u c l i d i a n s c a l a r product. The customary Coulomb pic f r i c t i o n c o n s i s t s i n taking a s

C

law of i s o t r o -

t h e cl.osed d i s k c e n t e r e d a t t h e

o r i g i n , with r a d i u s e q u a l t o t h e product of

N

by t h e f r i c t i o n c o e f f i -

c i e n t . But a n i s o t r o p i c f r i c t i o n may be d e s c r i b e d a s well, by u s i n g convex s e t s of d i f f e r e n t shape. See

MOREAU

[12] about t h e a p p l i c a t i o n of t h i s

t o d i s c u s s t h e s l i d i n g of a v e h i c l e wheel when brake i s a p p l i e d : i f t h e i n e r t i a of t h e wheel i s neglected, t h e r e s u l t i n g e f f e c t comes t o be equiv a l e n t t o some a n i s o t r o p i c f y i c t i o n which would t a k e p l a c e d i r e c t l y

J. J. Moreau between t h e v e h i c l e and t h e ground. However, t h e main domain of a p p l i c a t i o n of t h e preceding i s plasticity. (i.e.

I n i t s l o c a l form t h e c l a s s i c a l law of p e r f e c t p l a s t i c i t y

without s t r a i n hardening) i s formulated a s a r e l a t i o n between t h e

l o c a l valuesof t h e s t r e s s t e n s o r

o- and of t h e p a a s t i c s t r a i n r a t e

Giving t h e y i e l d locus d e f i n e s a closed convex s e t dimensional space of t h e v a r i a b l e

C

E

P

i n t h e six-

b ; among v a r i o u s e q u i v a l e n t formu-

l a t i o n s , t h e considered law may be s t a t e d a s a p r i n c i p l e of maximal d i s s i p a t i o n which was P r e c i s e l y t h e s t a r t i n g p o i n t of t h i s paragraph. From t h e l o c a l law one o b t a i n s t h e g l o b a l one by t h e f u n c t i o n a l a n a l y t i c proc e d u r e described a t t h e end of

§ 4. b.

I n t h e study of p l a s t i c i t y a s well a s i n t h a t of f r i c t i o n ,

a n e s s e n t i a l f e a t u r e i s t h e occurence of a r e l a t i o n between the v e l o c i ty

v

and t h e f o r c e

f

which cannot be "solved" t o d e f i n e one of t h e s e

two elements a s a f u n c t i o n of t h e o t h e r : t o t h e v a l u e z e r o of respond

for

f

a l l t h e p o i n t s of

as v a l u e s of

v

a l l t h e elements of t h e cone

C

and t o a v a l u e of

-a

C

f

v

cor-

corresponds

( f ) . T h i s causes

much t r o u b l e i n t r a d i t i o n a l t r e a t m e n t s ; our purpose i n Chapter 6 , w i l l be t o show t h a t such f o r m u l a t i o n s a s

(4.0),

v e r y e f f i c i e n t handling i n t h i s s i t u a t i o n .

(4.10) o r (4.11)

permit a

.

J. J. Moreau

4. f DISSIPATION FUNCTION

The relation 9

between

v

and

f may equivalently be written

under the form f E R (v) where R

denotes a multimapping from

into

a

. Given

there is a priori no reason for all the values of to yield the same value for the dissipated power

f

v

in

,

in the set R (v)

-. However this

precisely happens in many practical instances : in such cases, the dissipated power appears as a single-valued numerical function of the variable v, defined on

dom R = lv E

: R (v)

f $ 1. Let us denote by D this

function, usually called the dissipation function of the considered law. In the case of viscous resistance presented in 5 4. c, the set

R (v) reduces to a single element for each v

in

; hence the exis-

tence of a dissipation function is trivial. In fact we found D (v) =

2 4 (v)

.

In the case of friction or plasticity presented in

5

4. e,

(4.12) proves the existence of a dissipation function expressed now, for every v in dom 8

4 , as D (v) = 4 (v)

Both preceding examples exhibit a close connection between the superpotential, or resistance function, 4

and the dissipation

4 J. J, Moreau

function D. Actually in both cases, the resistance function

4

happens

to be positively homogeneous, with degree m ; this implies

- CV, f>

= m

4 (v),

which may be considered as a generalization of

Euler's identity to "subdifferential calculus". Many practical resistance functions possess such a homogeneity (e.g. usual laws of creep). More generally : PROPOSITION.

Let 4

potential of a resistance law, w suppose

a 4 (v) f

6

function h : R + R

z 0E

whichever is v

f E

is necessary and sufficient that

,z

e

i_n

(0) a x

v.

;

j

4

to be dissipation function)

2

has the quasi-homogeneous form

is an everywhere subdifferentiable gauge function

A sketched proof is given in MOREAU

[0,+ e[

increasing. The dissipation function D = h o

4

into

[13], and for more de-

tails [ 1 6 ] . It may be remarked that the function h

is then strictly

is not convex in gene-

ral, but only quasi-convex i,e. its "slices1' Iv €

, are

0)

= h(4 (v))

on and a a convex differentiable mapping from itself, with a (0)= 0. -

p E R

4 (0)=

For the existence of a

a 4 cv) -=> - cv, f>

(in other words, for the function l2 o

a o j

a 4

is the m u d o -

ensuring the implication

-

4=

4

be a resistance function ( i &

'y3 : D (v)

<

(closed) convex sets ; all these sets are homothetic of

for

J. J. Moreau

J = fv €

: j(v)<

11, the set whose

By the facts indicated in

6

is the gauge.

j

,

2. h

the dual function of

*

$ = a o j is also a quasi-homogeneous function, namely $

where

p

is the Young conjugate of a

the polar set K

of

and

k

=

the gauge function of

J.

In the case of plasticity or friction the function a identity

,

[0, + [,

of

4. g

so that and

o k ,

P

is

is the indicator function of the subset [0,1]

K =-C.

SUPERPOSITION OF RESISTANCE

LAWS

It is usual to take into account at the same time several resistance laws in the same pair $2

v

( p ,a

of linear spaces. Let

and

the respective pseudo-potentiak of two such resistance 1aws.For every in p, the set of the possible values of the sum of the two for-

ces is b

dl

(v)

+

:, $2 (v). This is contained in

in particular, if the functions

and +2

+

a ($1 + 2 ) (v). and,

possess the additivity of

the subdifferentials, the conjunction of the two resistance laws amounts exactly to the single following one (4.13)

-

fE

Suppose for instance

a

+

4,)

*

(v)

.

4 1(v) = $hC (- v), i. e. the resigtance

J. J. Moreau

dendte the resistance function of some viscosity law (cf. +

5

4. c : it

is a nonnegative 1.s.c. quadratic form on the spacev ) ; choose a strictly positive constant A $2(v) so that A

and take more generally

= A q(v) =

1

q(A v)

,*

may be interpreted as a viscosity coefficient. As a dondition

ensuring the additivity of subdifferentials make, for instance, the fol2. f) : the function

lowing assumption (cf.

is continuous at the

origin, at least for the Mackey topology z (2/; a) ; b y $ 2. c, means the convex set C

5O,

this

,r).Then

is compact for the weak topology d (8

the resulting viscoplastic law may be expressed under the form (4.13).

Now the assumptions made imply, by function of

+

$2

5

is the infimal convolute

*

mentioned in Chapter 3, the dual q

2. d, that the polar

* V (Pz. *

AS already

of the quadratic form q

consists

,

in a positive definite quadratic form, defined on some subspace of 8 and extended with the value 2 ' ,

the dual Of

m2

1 is ~q

+

* . On

outside of this subspace. By '$ 2 .c the other hand, the dual

is the indicator function of the set between (2.6) and (2.7)

(5

2. e)

-

&

,

of

C. Thus using the equivalence

the viscoplastic resistance law (4.13)

amotints to V

1

*

E crl-,vrq) ~

(-f)

,

while the corresponding purely plastic resistance law would be written as

J. J. Moreau

By d e f i n i t i o n , f o r e v e r y

(*-c

* l(y)

1 8 -q

A

,

j E

F

=

inf

zEY

+

inf

=

[#-C(z)

+

1

*

9 (Y-2)

1

1 * q (y-z)

z E-C A

and, due t o the assumed ,.compactness o f

C, t h e infimum i s a minimum.

Clearly t h i s expression takes t h e value

0

for

y E -C

s t r i c t l y p o s i t i v e v a l u e s otherwise ; i t may be s a i d t h a t

i s a penalty function f o r t h e s e t

-C

and i t t a k e s

1 (l-C V -Aq

and t h e penalty c o e f f i c i e n t

* 1 A

i s t h e r e c i p r o c a l of t h e v i s c o s i t y c o e f f i c i e n t ( o t h e r remarks about pen a l t y f u n c t i o n s w i l l be given, f o r t h e s p e c i a l c a s e of H i l b e r t space,

Due t o q u a d r a t i c forms being even f u n c t i o n s , one may equival e n t l y speak of t h e s e t

C

instead of

-

C ; i n s h o r t adding some v i s -

c o s i t y e f f e c t s t o a p l a s t i c i t y law i s e q u i v a l e n t t o r e p l a c i n g t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n of t h e " r i g i d i t y s e t " set -

C, by a penalty f u n c t i o n o f t h i s

; t h e s m a l l e r i s t h e v i s c o s i t y c o e f f i c i e n t , t h e l a r g e r i s t h e penalty

coefficient.

5.

5. a

dOVIilG

HAUSDORFF DISTANCE AND Let

t*+ A(t)

SETS

VARIATION

denote a multimapping or multifunction (i.e. a

set-valued mapwing) from the compact inteqal (E,d). the

[o,T]

As in the following the real variable t

Oime, we may refer to A

into a metric space

will be interpreted as

as a moving set in E.

A natural way of formulating regu.1arity assumptions about such a multimapping consists in using the Hausdorff distance between subsets of the metric space E. If A over B (5.1)

and B

are two subsets of E, we call the excess of

A

the expression e(A,B)

= sup d(a,~) = sup inf d(a,b) a€A aEA M B

The considered sets may be empty ; let us agree that "sup" add "inf" abo1

ve are understood in the sense of the ordered set

f

= [o,

+ m]

: the

supremum of an empty collection of elements of this ordered set is 0 and the infimum is it

+m

. Expression (5.1)

defines a non symmetric-e

satisfies the triangle inequality. Clearly

if A

is contained in the closure

e(A,B) = 0 if and only

of B.

The Hausdorff (improper) distance of

A

ned as the symmetric expression ~(A,B)= max {~(A,B), ~(B,A)]

and B

is then defi-

;

J. J. Moreau with value in

. This is zero if and

E+

only if A

and

B

have the sa-

me closure. By means of Hausdorff distance, the classical concept of -v n&t of

may be a~pliedto moving sets. Let

be a compact subinterval

[o,T] ; for any finite subdivision of this interval, namely

The supremum of V(S) of

[s,t]

[s,t]

for S

ranging over all the finite subdivisions

is called the variation of

var (A ; s,t).

From h

on this interval ; notation

A

satisfying the triangle inequality one easily

deduces that (5.2)

s

< t < u +var(A

In particular if

var(A

any subinterval of function v (5.3)

from

; s,u) = var(A

; 0,T) (

+

00

,

; s,t)

+

var(A

; t,u)

.

the variation is also finite on

[o,T] ; in this case, introducing the non decreasing

[o,T] into R v(t) = var(A

; 0,t)

yields (5.4) The numerical function v only if the multimapping A

if and

satisfies itself the Lipschitz condition,

with ratio A, i.e., for any h(A(s),

is Lipschitz with patio A

s and

~(t))

t

in

1 t-sl

[o,T],

J. J. Moreau The numerical function v if and only if the multimapping A

is absolutely continuous on [o,T] possesses itself the absolute conti-

nuity, as formulated by means of Hausdorff distance, i.e. : for any E

>

>

0, there exists 7 2

0 such that the implication

IT,-

ail (

o a 2 h(A(di),

A(ti))<~ i holds for any finite family Id ,z [ of non overlapping subintervals of i i i

In this case the numerical function v

[o,T].

ferentiable ; the derivative, denoted by 1 L (0,T ; R )

of set -

is almost everywhere dif-

;, is

a nonnegative element

which may be called the speed function of the moving

A. Clearly s < t 3 h(A(s),

(5.5)

~(t))

<

t dz s

.

Let us restrict ourselves now to the case where, for any the set A(t)

is closed ; then the non decreasing function v

tant aver some subinterval of

[o,T]

t,

is cons-

if and only if the multimapping

A

is also constant over this subinterval. This implies the existence of a multimapping

&

from

into E

[o,v(T)] A(t) =

Evidently, for 6

<

in ~

so that

5.

c?Q:

(v(t))

[o,v(T)],

var(fi

yielding the factorization

.

one has

; s,z) = z

-c

is Lipschitz with ratio 1.

b THE CASE OF CONVEX Let E

SETS

IN A NORMED SPACE

denote a real normed linear space and

F

its

J. J .

Moreau

.

t o p o l o g i c a l d u a l endowed w i t h t h e u s u a l norm. T h i s c o n s t i t u t e s a d u a l p a i r a s c o n s i d e r e d i n Chapter 2 (keep i n mind t h a t t h e norm topology on

E

i s c p p a t i b l e w i t h t h e d u a l i t y , b u t n o t t h e norm topology on

less

E

F

un-

i s a r e f l e x i v e Banach s p a c e ) . Let

?.

and

C'

be'two non empty convex s u b s e t s of

E ; a s we

b

a r e t o d e a l w i t h d i s t a n c e s , i t i s immaterial t o suppose t h e s e sets c l o s e d o r not. and

C'

Let

y

and

y'

be t h e r e s p e c t i v e support f u n c t i o n s of

which a r e p o s i t i t r e l y homogeneous elements of

a t t h e o r i g i n of

F0 ( F , E ) , v a n i s h i n g

F.

Denoting by (5.6)

B t h e c l o s e d u n i t b a l l of

e(C,C') = sup YCB

(with t h e c o n v e n t i o n

m

- or

=

(y(y)

F

,

p

> e(C,Cf)

one f i n d s

- yf(y))

- or).

T h i s i s e a s i l y proved by o b s e r v i n g t h a t , f o r quality

C

means t h a t , i f

t e r e d a t t h e o r i g i n with r a d i u s

p(p)

p E R , t h e ine-

d e n o t e s t h e c l o s e d b a l l cen-

-

p , t h e set C' +

(p ) c o n t a i n s C ;

e x p r e s s t h e n t h i s i n c l u s i o n i n terms of s u p p o r t f u n c t i o n s . Another way of proof.would s t a r t from t h e f o l l o w i n g formula g i v i n g t h e d i s t a n c e of a point

a

of

E

(5.7) I n f a c t (cf.

t o t h e set

C'

d ( a , c l ) = sup [ < a , y > Y€B

5

- y'(y)] .

2.)

Since the function

1. I

i s everywhere f i n i t e and continuous, s i n c e t h e r e

J. J. Moreau

exists at least one point where

takes a finite value (namely the

#C,

value zero) and since both functions are convex, the inf-convolute

p l ' V

1.

is convex, everywhere finite and continuous (cf.

4

2)

thus it equals its bipolar, i.e.

V (

(pl'C,

.I

-

)(a) = sup [(a,y> YE F = sup [ YEB

- gg(y)]

y'(y)

- y.'(y)]

.

which is equality (5.7). Equality (5.6) implies that the Hausdorff distance between the non empty convex sets C (i.e.

and

C'

is finite only if

F where

the sets of the points of

lues) consist in the same set denoted by h(C,C')

(5.8)

Note that

D

sup

JIEm D

ly(y)

D

-

is a conic convex subset of

the recession cone of

F

=

y

if and only if

C

C

and

and

C'

C'.

and

dom y

y'

and

dom y'

take finite va-

and then

.

y'(y)l

F ; its polar cone in E

Recall that

D

is

equals the whole of

are boundea.

The expression ( 5 . 8 ) of the Hausdorff distance yields the following : Let space

t H C(t)

be a multimapping from

[o,T]

E, with non empty convex values ; denote by

port function of

C(t).

H

y(t,y)

the sup-

This multimapping is absolutely continuous (resp.

Lipschitz with ratio A ) if and only if the set dependant of

y

into the normed

D = dom y(t,.)

is in-

t, with the existence of a finite non decreasing numerical

J. J. Moreau function ratio

[o~TI

p :

R

+

, absolutely

A), such t h a t f o r any

y

continuous (resp.

Lipschitz with

E D and any s u b i n t e r v a l [ s , t]

of

[o,T] one h a s Iy(t,y) (1

.I

-

y(s,y))

d e n o t e s h e r e t h e norm i n

< lyl

(p(t)

F).

,a

Equivalently there e x i s t s

1 L (0,T ; R )

t

I+

such t h a t f o r any

y

almost e v e r y

D, t h e numerical f u n c t i o n

y

satisfies for

t

<

I+(~,Y)I

(5.9)

Iyl P ( t )

(resp. t h e same i n e q u a l i t y w i t h

6

in

nonnegative element of

i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s and i t s d e r i v a t i v e

y(t,y)

take a s

- p(s))

6

= A). I f such i s t h e c a s e one may

t h e speed f u n c t i o n of t h e moving s e t

C.

C h a r a c t e r i z i n g t h e r e g u l a r i t y of t h e motion of a ( c l o s e d ) convex set

t e C(t)

n a t u r a l procedure.

by means of i t s s u p p o r t f u n c t i o n

y(t,.)

i s quite a

I n f a c t a n e s s e n t i a l f e a t u r e i n l o c a l l y convex topolo-

g i c a l l i n e a r s p a c e s i s t h a t a c l o s e d convex set e q u a l s t h e i n t e r s e c t i o n of a l l t h e c l o s e d half-spaces

containing it, o r equivalently the inter-

s e c t i o n of t h e minimal ones among t h e s e half-spaces, which have i n t h e p r e s e n t c a s e t h e form lyl = 1 . F i x i n g h e r e

y

lx

i. e.

t h e half-spaces

<

E E : ( x , ~ > ~ ( t , ~ ), !w i t h

y i e l d s a moving h a l f space whose boundary hyper-

p l a n e keeps a c o n s t a n t d i r e c t i o n ;

the derivative

i n t e r p r e t e d a s t h e speed of t h i s moving

hyperplane

+

,

(t, Y)

may be

or a s

t h e speed of t h e moving half-space i t s e l f . Then ( 5 . 9 ) e x p r e s s e s a uniform

J. J. Moreau majoration of the speeds for the minimal half-spaces of all directions. Example. Take as C(t)

a convex set mwing by translation, i.e. C(t) = Co

where Co

+

w(t)

denotes a fixed convex set and

[o,T~ with values in E. Then, if y

0

y(t,y) = y0(y)

Co

absolutely continuous. When

E

continuity of

w

of

C

is absolutely continuous if (and

is bounded) the function t H w(t)

is

is a reflexive Banach space, the absolute

(cf. KOMURA

t

the existence of

[I]) and this yields for the speed

the majoration

(5.10)

;<

(equality when Co

is bounded).

5. c

Co

.

is known to imply for almost every

the strong derivative \; v

a fonction defined on

is the support function of

+ <w(t),y>

One concludes that the multimapping only if, in the case where

w

INTERSECTION OF

TWO MOVING

CONVEX

SETS

The practical use of the preceding concepts requires some criteria of absolute continuity for multimappings. The object of this paragraph is to establish the following one (already published in MOREAU [221

or, for more details, [ 191 ) :

PROPOSTTION.

Let

compact interval

t

b

At

a s

t

Bt

denote two multimappings from the

[o,T] into the normed space E, with convex values.

-J. J. Moreau -

Suppose that for any

t E [o,T]

with the interior of Bt

the set At has a nonempty intersection

and that the diameter of At

Bt

is finite.

Then if the two multimappings are absolutely continuous (resp. Lipschitz) such is also the multimapping

t I+ At n Bt.

W$ shall decompose the proof into several lemmas which may be

of use by themselves.

and

Let B1, B2 denote two convex subsets of the normed space E

1.

IEMMA

A1, A2

as in 5 -

two arbitrary subsets of

E ; then (e denoting the "excess"

5. a)

(5.11)

e(A1,E\B1)<e(A2,E\BZ)+e(Al,A2)+e(B1,B2).

Let.us p r w e first that for any (5.12

d(a,E\B1)

a F E

< d(a,E\B2)

+ e(B 1,B2)

.

m e makes calculation easier by performing a translation reducing to the case where a is the origin of E. Let

of B1

and

B2

, defined

gl, g2

on the dual F

of E. Let p

positive number satisfying the inequality P that the open ball with center 0

be the support functions

< d(O,E\

and radius p

be an arbitrary

B1), which means

is contained in B

in terns of support functions this inclusion is equivalent to p for any

belonging to C

y

V y E C

therefore P e(B ,B ) = 1 2

+

-

e(B 1,B2 )

:

,

the unit sphere of

gl(y)

< %(y)

< g2(y)

-

1'

< gl(y)

F. Now (5.6) implies

+ e(Bl,BZ)

;

; inequality (5.12) (trivial if

follows. From it one obtains (5.11) by taking suprema

J. J. Moreau f o r a r a n g i n g over

A1,

then using the f a c t t h a t the $cart

e

satisfies

the t r i a n g l e inequality.

LEMMA

Let

2.

E ; suppose t h a t

ter

a

(5.13) f -P

and

A

B

X

denote two convex s u b s e t s of t h e normed space

c o n t a i n s a n open b a l l with r a d i u s

belonging t o

'd

B

f?

F ; let

f

and

g

< ( 1 + I x -Pa / ) ( d ( x , A )

B)

1 .I

: Denote i n d i f f e r e n t l y by

in

0, with cen-

A. Then

: d(x, A

E E

>

p

t h e norm i n

+

E

o r t h e dual norm

A

be t h e support f u n c t i o n s of

d(x,B)).

and

B. S i m i l a r -

l y t o ( 5 . 7 ) we have

-

d ( x , ~ )= sup ~ < x , u > f ( u ) : and t h e corresponding e x p r e s s i o n f o r geneous f u n c t i o n

on

$

F x F

k(d(x,A)

+

, 1 ul

< 1!

d(x,B). D e f i n e a p o s i t i v e l y homo-

by

F o r a n a r b i t r a r i l y chosen c o n s t a n t (5.14)

f F

U

>0

k

this yields

1

d ( x , B ) ) = sup i $ ( u , v )

: ul

,

Ivl

< k] .

The hypotheses i n t h e Lema t o be proved imply, by elementary arguments, t h a t t h e c l o s u r e of t h e c l o s u r e s A

nB

and

-B

An of

i s t h e d u a l f u n c t i o n of

and

A

r/r- + $A

by t h e f a c t s summarized i n

5

2.

An

of

B

B

equals the intersection

B. Then, t h e support f u n c t i o n of

, i.e.

the

r - h u l l of

d, t h i s r-hull i s the function

i t s e l f , i.e. ( f V g ) (w) = i n f f f ( u )

+

g(v)

:

u

+

v = w]

.

f V g ; f V g

J. J. Moreau Using a g a i n ' t h e e x p r e s s i o n ( 5 . 7 ) f o r t h e d i s t a n c e from a p o i n t t o a convex s e t , t h i s y i e l d s (5.15)

d(x, A

n B)

=

SUP

v

~ < x , w >- ( f

= sup I $ ( u , v )

g)(w) :

J u + vl

:

lw)

< 11 .

Let u s make c a l c u l a t i o n e a s i e r by supposing t h a t a t r a n s l a t i o n h a s been performed i n about

A

and

B

E

such t h a t

a r e expressed by Iu+vl < l

As

f

0

$(u,v)<

3

. I , hence

(

g> p

and

1x1 - p

.

Ivl

and i n view of (5.15) t h i s i m p l i e s

$(0,0)= 0

~ ( x , An B ) After putting

a = 0 ; t h e n t h e hypotheses made

<

SUP

k = 1+

P

I VI

!~(u,v) : i n (5.141,

<

, 1.

P

< l + + ~ .

t h e comparison of t h e s e t s over

which t h e suprema a r e taken y i e l d s (5.13). REMARK.

I n t h e c a s e where

i s a H i l b e r t space one may u s e trigonome-

E

t r y t o e s t a b l i s h a slightly b e t t e r inequality ; see LEMMA and in -

p E

3.

Let

A

and

g 10, + -[ such t h a t

B

denote two convex s u b s e t s of

such t h a t

d(x,A)

+

MOREAU [19]

a

d(x,B)

~(x,A n B ) <-f'

+

<

p

< e(A, ,

take

a

B). T x n , f o r any

x

one has

diam (A f' B)

P

E

E ;

.

- a

( ~ ( x , A )+ ~ ( x , B ) )

.

T h i s r e s u l t s from (5.13) and from t h e i n e q u a l i t y

IX -

a1

< diam (A

f' B)

+

d(x,A f' B)

.

B r i n g i n g t o g e t h e r t h e s e lemmas one o b t a i n s e a s i l y : LEMMA

4.

Let

T

-

denote a t o p o l o g i c a l space ; l e t

t

I+

At

and

t

I+

Bt

J. J. Moreau T

b e t w o m u l t i m a p p i n g s from

les.

Let

s E T

i n t o t h e normed s p a c e

such t h a t diam ( A n~ B ~ ()

lim

+

e(At, A ) = 0

(resp.

l i m e(Bt, B ) = 0 -9 s

(resp.

l i m e(Atn Bt, A n B = 0 s S t + s

t

a n d t h e two n u m e r i c a l f u n c t i o n s a r e upper semicontinuous ( r e s p .

,

0

t

t - s

t

E , w i t h convex va-

t

-

l i m e(As, s

At)

lim

B ) = 0)

-+

e(B

s

(resp.

t

I+ diam (At

,

= 0)

.

t

s'

-

l i m , e(Asn B,, s

I3 B t )

t

and

AtnBt) h

= 0)

e(At,E\Bt)

lower s e m i c o n t i n u o u s ) a t t h e p o i n t

s.

L e t u s now c o m p l e t e t h e proof o f t h e P r o p o s i t i o n : The h y p o t h e s e s imply t h a t t h e two m u l t i m a p p i n g s

t b Bt

and

t

o n t h e compact i n t e r v a l

[ o , T ~,

b

t h u s m a j o r i z e d by some c o n s t a n t R (

tct v a r ( A ; 0 , t ) there exists

-

zl ( 6

t w e(At, E \ B

with s t r i c t l y p o s i t i v e values since

m i n o r i z e d ,by some c o n s t a n t

Ic

At

i s c o n t i n u o u s by Lemma 4

diam ( A t n B t )

By t h e same lemma t h e n u m e r i c a l f u n c t i o n

[o,T] ,

I+

a r e c o n t i n u o u s i n t h e s e n s e of H a u s d o r f f d i s t a n c e . The f i -

n i t e numerical function

un

t

F

\

and 0

t

>

0 . Choose

v a r (B ; 0 , t )

such t h a t f o r

ensures t h a t

Then Lemma 3 i m p l i e s

I-+

p

h(Ae,

c

AT)

and and

At

n

a F

t

)

i n t Bt

+ m.

i s continuous

f

6 , thus

; the functions

b e i n g f i n i t e and c o n t i n u o u s ,

z

in

h(Be,

[ O , T ~ ,t h e c o n d i t i o n Bz)

a r e l e s s than

5 2'

J. J. Moreau B ~ ATn , B=)

h(lcn

<*

( h ( ~ ~A, ~ )+ n ( ~ ~B~-)) ,

which yields the expected majorations.

5. d DISTANCE AND Let

H

PENALTY FUNCTION IN A

be a real Hilbert space ; denote by

product in id and by

1. I

which places

(. 1. )

the scalar

the norm. By means of this scalar product, H

may be identified by its dual ; in other words on H x H

HILBERT SPACE

d

(.

I .)

is a bilinear form

in duality with itself and the norm-topology

is compatible with this duality. Easy computation yields that the function

Q

1

: xl-t-1x1 2

which clearly belongs to 'l (H,H) be Paoved that Q Let q

C

2

equals its own dual (actually it can

is the only fonction equal to its dual). be a non empty closed convex subset of H ; denote by

the numerical function defined on H q(x) =

51 [dcx,~)]2

= (QC

by

V Q) (x).

Elementarily this function is convex, everywhere finite, continuous, FrBchet-differentiable with gradient grad q(x) = x

(5.16) where

projC x

-

projC x

,

denotes the nearest point to x

in C. (All this is a

speatal case of a theory in which the indicator function QC ced by an arbitrary .element of

To(H,S) ; see MOREAU

[6].

is repla-

J. J. Moreau A ; then

Choose a s t r i c t l y p o s i t i v e c o n s t a n t

1

x

I+-

h

f i n e s what i s commonly c a l l e d a penalty f u n c t i o n of t h e s e t f i n i t e punction which t a k e s t h e v a l u e

0 when

growing p o s i t i v e v a l u e s when t h e d i s t a n c e from t o speak, t h e smaller i s t h e c o n s t a n t x

o f l y i n g a t a d i s t a n c e from

as a n approximation of

,

C, i.e.

x E C

and r a p i d l y

x

C

to

dea

i n c r e a s e s . So

t h e g r e a t e r i s t h e penalty f o r

The penalty f u n c t i o n may be considered

C.

i n a sense which concerns a l s o t h e s u b d i f f e -

#C

r e n t i a l s a s follows : Denote by

H

A

q(x)

A

t h e multimapping

x

I+

a

(I ( x )

C

from

i n t o i t s e l f , which c o n s t i t u t e s a s p e c i a l c a s e o f maximal monotone

operator.

I n g e n e r a l , f o r a chosen

A > 0 , t h e s i n g l e valued, everywhere

d e f i n e d mapping (5.17) where

5 =. I

I

-

9

A ; it is Lipschitz with r a t i o

1 7 . Here

may e a s i l y be e x p l i c i t e d ; by d e f i n i t i o n t h e e q u a l i t y

y = (I for

+A ~1-l

denotes i d e n t i t y , i s c l a s s i c a l l y c a l l e d 4 Yosida approximation,

o r Yosida r e g u l a r i z a t i o n , o f AA

(I A.

a

+A g(y)

A ) - ~ ( x ) means

is a

cone s o

w e l l known t o c h a r a c t e r i z e comes (5.18)

x

E (I

+A

A)(y)

t h a t the factor y

a s equal t o

h

o r e q u i v a l e n t l y x-y

E a

#(y)

may be omitted. T h i s i s p r o j C x ; hence (5.17) be-

J. J. Moreau 5. e

MOVING

CONVEX

SET IN A

HILBERT SPACE

With the same notations as in the preceding paragraph, suppose t I+C(t)

is an absolutely continuous multimapping from [o,T]

into H,

with non empty closed convex values ; put q(t,x) = Let

t

#+

z(t)

21

.

2

[d(x, ~(t))]

be an absolutely continuous mapping from [o,T]

into H. Classically the continuity of

t t+ C(t)

Hausdorff distance and the continuity of

in the sense of

t u z(t)

imply the continuity

of the mapping

The proof of it is based on some majoration of the square of the displacement of the projection which implies nothing about the absolute conti-

-

nuity of this map~ing; however :

If

LEMMA

1.

t

[o,T]

so is the numerical function k : t

I+

C(t)

&a

t

z(t)

In fact, with the notation e d(z,~) =

are absolutely continuous, F,

of

d(z(t),

5

C(t)).

5. a, one has

e(jzj, C)

so that, using the triangle inequality concerning the &cart tains finally, for arbitrary c

and z

in

[o,T]

,

e , one ob-

J. J. Moreau It just remains to apply the definition of absolute continuity. This lemma implies that the function k every

t

a derivative denoted by t I+

1

(k(t))

2

possesses, for the same values of

&(t)

possesses for almost

; thus the function

= q(t, ~(t)) t, a derivative equal to k(t) i(t.1.

The absolute continuity of the multimapping C

means that its

variation function v : t I+ var (C ; Opt) is absolutely continuous, thus possesses a derivative ;(t)

for almost every

t. Similarly the

absolute continuity of the vector function t H z(t) tence of its strong derivative

H

i(t)

implies the exis-

for almost every

being a reflexive Banach space ; see KOMURA

t

(by virtue of

[ 11 ).

Let us prove now the following, which will be of use in next paragraph : LEMMA i(t)

2.

For any

t

g

[o,T]

such that the derivatives Act), ;(t),

exist, one has

(5.20)

Ik(t) i(t)

-

(i(t)l

grad q(t, z(t))l

In fact for such a value of

< k(t)

.

;(t)

t the hypotheses imply the exis-

tence of ,im q(s, zC.5)) - q(t, z(t)) s - t s-+t

.

= k(t) ,&t)

Now (5.21)

q(s,z(s))

- q(t,z(t)) s - t

-

q(s,z(s)) - q(s,z(t)) s - t s(s,z(t)) - q(t,z(t)J s - t

+

.

- J. J. M o r e a u As the numerical function

X H q(s,x)

is convex on H, its

gradient at some point is also a subgradient ; this yields

The mapping

s I+ proj (x,'C(s))

is continuous, the mapping

b

x

H

proj (x, C(S))

is nonexpanding, thus the mapping grad q(s,x) = x

(S,X)H from

[o,T] x H

lim s ' t

proj (x, C(s))

is continuous ; hence one obtains the existence

into H

-

q(s'z(s))

-

q(s'z(t)) s - t

I

= (k(t)

grad q(t, z(t))

.

Therefore the last term in (5.21) possesses also a limit which may be interpreted as the derivative at the point s H q(s, z(t))

(5.22)

=

-21 [d(z(t),

t

for the function

2 ~(s)]

.

Writing the same inequality as in (5.191, but with constant z Id(z(t),

C(s))

- d(z(t),

~(t))l

, yields

< h(C(s), C(t)) < Iv(s) - v(t)J

so that the derivative of the function ( 5 . 2 2 ) has its absolute value majorized by

5. f THE

k(t) ;(t)

; this completes the proof of (5.20).

SWEEPING PROCESS Suppose given an absolutely continuous multimapping

from [o,T]

t

I+

C(t)

into the real Hilbert space H, with nonempty closed convex

J. J. Moreau values ; denote by

x * #(t,x)

the indicator

function of C(t).

We put the problem of finding an absolutely continuous (single valued) mapping u : [o,T]

+

H

~ ( 0 )=

and whose derivative u

a

agreeing with some initial condition

,

given in C(0)

satisfies for almost every

Interpreting u

as a moving point in

t

12

[o,T]

H , we call it a solu-

tion of the sweeping process by the moving convex set C. The reason of this name lies in the following mechanical image of condition (5.24) : As u(t) E C(t)

a

$r(t,x)

is empty when

for almost every

x

f C , this condition implies

t, thus for every

t, by virtue of our

continuity assumptions. Suppose, to make things clearer, that the moving convex set C

possesses a nonempty interior. As long as the point

lies in this interior, the subdifferential of normal outward vectors at the point

5

2. e ) reduces to the single element

moving point

u

a $r(t,u(t)),

u(t)

i.e. the cone

of the convex set (cf.

0 ; then (5.24) implies that the

remains at rest. It is only when

by the boundary of C

u(t)

u

is caught up with

that it may take a nonzero veloc.ity, so as to go

on belonging to C, and by (5.24) this velocity possesses an inward n o r ma1 direction with regard to C. In other words, condition (5.24) governs the quasistatic evolution of a material point wing mechanical actions :

u

subject to the follo-

J. J. Moreau lo some resistance acting along the line of its velocity and opposite in direction ; 2O

u E C(t)

the moving perfect constraint whose geometric condition is

(cf.

5

3. d).

Elementarily the initial value problem

formulated above pos-

sesses at most one solution. Such uniqueness property holds more generally with "evolution equations" of the form

where

A(t,.

t E [o,T], a monotone multimapping (or

denotes, for each

multivalued operator) from H

into itself. In fact, monotonicity imme-

diately implies that if ul, u2 (5.25), the function t

-

,

absolutely continuous, are solution of

lul(t)

- U2(t)J

is non increasing ; therefore these two solutions are equal if they agree with the same initial value. Equations such as (5.25) have already been studied, but mainly under hypotheses involving that the set dom ~(t,.)= [ x E H is independant of

t ; see references in BREZIS

trary, the problem becomes trivial if

f $j

: A(t,x)

[l]. Here, on the con-

dom 8 #(t,.),

namely

C(t),

is

constant ; thus the simple equation (5.24) furnishes the occasion of focusing upon the difficulties which arise from the variation of the

J,. J. Moreau domain. In the same line must beVquoted : lo H. BREZIS [2]

who studied by a "double regularization'' technique

the case

with 4 E

r

(H,H)

independent of

t

and under some hypotheses invol-

b

ving the projection mapping

x h proj (x, C(t))

; they do no seem direct-

ly comparable with our absolute continuity assumption. ' 2

C. PERALRA

A = 8

4 , with

[I], [2]

+E

who succeeded in generalizing to the case

To(H,H)

depending on time in a suitable way, the

author's regularization method (see MOREAU

[ 171 ).

Because of its insertion in this context we also choose a regularization technique, i.e. the use of penalty functions, to prove, in 'next paragraph, an existence theorem. Another advantage of doing so refers to the application of equation (5.24) to elastoplastic mechanical systems. developed in Chapter 6 below : as explained in 5 4.g; when the considered convex is the rigidity set defining a law of plasticity, the replacement of its indicator function by some penalty function comes to take into account some additional viscosity. The reasoning used below could then be adapted to prove that the solution of an elasto-viscoplastic problem tends to the solution of the elastoplastic problem when viscosity tends to zero. From the physical standpoint this may be as important as the existence question itself.

J. J. Moreau

-

The existence theorem obtained will supply the needs of Chapter 6. Actually a deeper insight into the sweeping process can be gained from a discretization method (published as multigraph in MOREAU

[IS] )

which consists in proving first the convergence of the "catching up algorithmt' (cf.

5

5 . h below) ; this method permits weaker hypotheses, by

replacing the concept of the variation of a multimapping by that of retraction : use instead of Hausdorff distance the "unilateral" Qcart e. On the other hand, a generalization of the arocess can be defined in this line for the case of a possibly discontinuous moving convex set C, provided its variation (resp. retraction) is finite. On the application of the discretization method to equations of the form ( 5 . 2 5 1 , with A(t,.)

5. g

= Ao(.)

-

f(t)

see J. NECAS

[l]

.

EXISTENCE THEOREM The study of equation ( 5 . 2 4 ) is made greatly easier by the

following remark : the sweeping process associates the chain of the positions of the moving point moving se't C

u

to the chain of the positions of the

in a way which does not depend on the timing. More preci-

sely, the change of variable in Lebesgue integral, along with the fact that the set

a #

is a cone, i.e. the multiplication by a nonnegative

scalar sends it into itself, implies : let n absolutely coritinuous mapping from

[o,T]

denote a non decreasing

onto an interval

[o,T'~;

J. J. Moreau suppose

C = C-'o n

V t E

(5.26) where

H

,& i

C'

, with

[o,T]

: C(t)

= C'(T ( t ) )

i s an a b s o l u t e l y continuous multimapping from nonempty c l o s e d convex v a l u e s

t i o n of t h e sweeping p r o c e s s f u r

;let

v

5

(5.26),

with

C

+

H

be a solu-

C.

5. a , t a k i n g f o r

of t h e given multimapping

: [o,T']

into

; t h e n t h e mapping u = u ' o IT

C'

a s o l u t i o n of t h e sweeping process f o r

A s explained i n

u'

[o,T']

n

t h e variation fonction

y i e l d s a f a c t o r i z a t i o n of t h e form

L i p s c h i t z with r a t i o 1. T h i s reduces t h e e x i s t e n t i a l

C'

s t u d y of t h e sweeping problem t o t h e L i p s c h i t z c a s e , i.e. t h e speed f u n c t i o n of t h e moving convex s e t belong t o

L-

t h e c a s e where (0,T ; R),

or

even i s merely a c o n s t a n t . Let u s now proceed t o e s t a b l i s l i : PROPOSITION.

For any

a

& I

C(0)

t h e sweeping problem, a s formulated

i n t h e preceding paragraph, possesses Let

n

a

(unique) s o l u t i o n .

be p o s i t i v e i n t e g e r . Denote by

un : [o,T]

+

H

the

s o l u t i o n of t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

-n;=

(5.27)

n grad q ( t , u n ( t ) )

f o r the i n i t i a l condition

I n f a c t t h e e x p r e s s i o n (5.16) of made concerning

t

I+

grad q

i m p l i e s , under t h e hypotheses

C ( t ) , t h a t t h e mapping

(t,x)

I+

n' grad q ( t , x )

is

J. J. Moreau continuous.relatively to to

t

and is Lipschitz with ratio

n

relatively

x ; hence classically the existence and the uniqueness of

is a continuously differentiable function from

u n

which

H.

[o,T] into

Observe that the construction of the ordinary differential equation (5.27) consists in replacing the right member (5.24) by its Yosida regularization (5.181, with the indicator function of thus the moving point in view

un(t)

of the expression (5.14) of

n

),

grad q

,

u (t) n

h (t) n

-n1 Iin(t)l Inequality (5.20)

; of

and proportional

the moving set , C belong& to

= lgrad q(t, un(t))l

-

but theq

; n

is bounded in

the common value of

($ 5. e, Lemrna

Ihn(t) in(t)

C(t)

it must have a velocity

to C(t)

the sequence of the derivatives

Denote by

of

.

If the speed function

L~ (0,T ; R

+ I?

~ ( t ); the magnitude of this velocity

is proportional to the distance from

1.

a

equivalently,

is allowed to not belong to

directed toward its projection on

LEMMA

A;

=

is replaced by the penalty ftinction n q :

C

t o the penal4y coefficient

h =

A

(Gn(t)

= d(un(t),

C(t))

2 ) yields, for almost every

I grad q(t,

un(t)))l

< hn(t)

. t

,

;(t)

hence, due to (5.271, (5.29) As

a E C(O),

hn(t) <(t) one has

h,(O)

+

n (hn(t)12

< hn(t)

;(t).

= 0, thus, by integration over

[o,T]

,

J. J. Moreau

11.11

Denoting by

t h e norm i n

L~ (0,T ; R )

a s w e l l a s t h e norm i n

L2 (0,T ; HI, t h i s y i e l d s

which proves t h e lemma. b

More may be o b t a i n e d from i n e q u a l i t y (5.29).

REMARK.

t-

e b s o l u t e c o n t i n u i t y of (t)

n.

hn(t)

C(t)

e x i s t f o r almost every

#

0

, inequality

so that the derivatives

t. For t h e v a l u e s of

t

;(t)

and

such t h a t

(5.29) i m p l i e s

and t h i s i s a l s o t r u e when t h e lhinimal v a l u e of

Suppose only t h e

h (t) = 0 n

(then

h (t) = 0 n

since zero i s

h 1. The elementary t r e a t m e n t of t h i s d i f f e r e n t i a l n

' i n e q u a l i t y , with t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

hn(0) = 0

, yields

:

(5.31) f o r almost every

t.

In particular, i f

v

(0,T ; R )

E L'

same i n e q u a l i t y a s (5.30) h o l d s f o r

LP

, with

1

< p < + ,, t h e

norms.

From such m a j o r a t i o n s , t h e r e a r e many ways of e s t a b l i s h i n g t h e convergence of t h e sequence

u n

sweeping process. I n view of o u r

t o a f u n c t i o n which i s a s o l u t i o n of t h e L~

framework, t h e most e f f i c i e n t

seems t o make use of t h e f o l l o w i n g elementary p r o p e r t y of H i l b e r t s p a c e s , due t o

M. CRANDALL

and

A.

PAZY

[l] :

J. J. Moreau

-

Consider a r e a l H i l b e r t space w i t h s c a l a r product noted

11.11 . kt

and norm noted

be a sequence of p o s i t i v e r e a l numbers ;

be a sequence of elements bf t h i s H i l b e r t space such t h a t

(2,)

let

(r ) n

<.I .>

,

V n

V m :

I

mzn-rmzm>
Then : If m lim

n

+ m

z

n -

, llzn11

n

i s d e c r e a s i n g and

exists.

m

If addition

i s s t r i c t l y increasing i n

i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g , 11zA1

i s bounded,

1)z,)1

n

is increasing ;

l i m zn e x i s t s . + ~

From t h i s w e a r e t o Prove : LEMMA

2.

in -

(O,T ; H).

L'

E L2 (0,T ; R )

J_f

In f a c t , let in

[o,T]

,

m

and

n

-

d d t Ium

pm

,

pn

i s s t r o n g l y convergent

n

be two p o s i t i v e i n t e g e r s ; f o r any

t h e v a l u e s of t h e f u n c t i o n s

(5.32) benote by

t h e sequence

urn,

Gm,

- unI2 = 2(um - un I

un,

Gn

-

im An)

t h e r e s p e c t i v e p r o j e c t i o n s of

satisfy

.

u m ( t ) and

un(t)

C ( t ) ; by (5.16) and (5.27) one has

-I? and t h e same f o r

m = m(um

-

pm) E

a

# c t , pm)

n ; due t o t h e monotonicity of

a # ,

t h i s y i e l d s by

easy c a l c u l a t i o n (urn u Recall t h a t

n

. I ; - ;) < -(; 1 urn - -n1u n. I m n

um(0) = u ( 0 ) = a

,

.

urn

-

An)

i n t e g r a t e ( 5 . 3 2 ) over

t

[o,T] , denote

on

J. J. Moreau by

(. I .>

by

(1.11

the s c a l a r product of the Hilbert space

and

i t s norm ; t h i s i n e q u a i i t y i m p l i e s 1 2 1 o < ~ ~ u ~ ( T u,(T)I ) <-(;um--u

r

The sequence

n

=

-n1

I

1

-

IIuAI

L2 (0,T ; H)

urn

- un>

•

i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g ; t h e sequence

i s bounded a c c o r d i n g t o Lemma 1 ; a p p l y

CRANDALL and

PAZY1s

2 L (0,T ; HI.

result i n

Next : LEMMA

If ;E

3.

u n i f o r m l y on

L2 .(OPT ; R )

[o,T]

v a t i v e i s t h e 'L2

t h e sequence o f f u n c t i o n s

to an absolutely continuous function

-

so that

u :

[o,T]

+

H

u(0) =

a;

.

t,

Furthermore, f o r a l m o s t e v e r y

define

whose d e r i -

n '

o f t h e sweeping p r o c e s s f o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

6

u

converges

. t h i s function is solution

l i m i t o f t h e sequence

I n f a c t , d e n o t e by

un

the l i m i t of

;n

in

L2 (0,T ; H)

and

by

is absolutely continuous with a s t r o n g d e r i v a t i v e equal t o

u

u

b

a l m o s t everywhere.

S t i l l d e n o t i n g by

11.11

t h e norm i n

L2 (0,T ; HI, t h e

C-1

shows t h a t

u

i s t h e uniform l i m i t of

I t remains . t o prove t h a t

u

u

n'

and

u

v e r i f y (5.24) almost

J. J. Moreau eveiywhere. P u t pn(t) = proj (un(t), C(t)) Then, i n view of (5.16)

-

un(t) (5.34)

and

(5.27)

p n ( t ) = grad q ( t , u ( t ) ) = n

-An(t)

a

E

The convergences i n

a certain subset in

in

is

H

i s closed i n

2 L (O,T ; H)

imply t h e e x i s t e n c e of

t

which d-not,

is

u(t)

, (5.34)

On t h e o t h e r hand (5.33)

H',

belong t o p,,

(.t)

and t h e l i m i t of

i ( t ) . A s t h e graph of t h e multimapping

H x H

2 i n L (0,T ; H).

[o,T] w i t h z e r o measure, t h e l i m i t of

tending t o i n f i n i t y i n N',

H, f o r u

;(t)

c t , pn(t))

N , such t h a t f o r any of

o

-1; (t) n n

t h e f u n c t i o n s Pn converge t o u

and, i n view4of (5.30),

a n i n f i n i t e s u b s e t of

.

x*a

i m p l i e s t h a t (5.16) h o l d s f o r any

$f(t,x)

t

$o

.

f o l l o w s from (5.31).

From t h i s lemma, t h e proof of t h e formulated P r o p o s i t i o n i s completed, by performing a n a b s o l u t e l y continuous change a v a r i a b l e reducing t o the case

;E

;E

L- (0,T ; R ) , which a f o r t i o r i i m p l i e s

L~ (0,T ; R).

REMARK.

I n e q u a l i t y (5.33) i s c l e a r l y preserved by such a change of va-

r i a b l e , so t h a t i n g e n e r a l f o r any s o l u t i o n

1i(t)l

<

A t )

u

of t h e sweeping process

.

By i n t e g r a t i o n , t h i s y i e l d s t h a t t h e l e n g t h of t h e p a t h t r a v e l e d by t h e moving p o i n t

u

d u r i n g an i n t e r v a l of time

[ t l , t 2 ] i s majorized b z

J. J. Moreau var (C ; t t 1. This property becomes specially suggestive in the spe1' 2 cia1 case where C

with

w

moves by translation i.e.

absolutely continuous. Then, in view of

The association of the function u with the given function w

,a

5

5. b, example,

solution of the sweeping process,

defining the translation imposed to C

,

may

be visualized as a driving affected with plax ; (5.35) expresses that such a play makes the driven point travel a path which cannot be longer than the path traveled by the driving device.

5. h DISCRETIZATION ALGORITHM A method of "time discretization" for the approximate solution of the preceding problem consists in choosing a subdivision of namely

0 = to< tl

Xor X1,

..., Xn

mation of ;(ti) (5.36

u(ti).

(

...

(

t = T

of points of Adopting

H

[o,T],

and constructing a sequence

such that

t.- ti-l

(xi-

xi

constitutes an approxias an approximation of

induces to replace (5.24) by xi-,-

xi E (ti- ti-l) R #(tipxi)

which is a recurrence condition of "implicit" type concerning the desired sequence (an "explicit" method would consist in interpreting the same quotient as an approximation of

u(tiVl) ; but this yields an unworkable

5. J. Moreau recurrence c o n d i t i o n ) . A s factor

ti- t.

i s a cone, t h e s t r i c t l y p o s i t i v e

R $(t.,x.) 1

1

i n t h e r i g h t member of (5.36) may be omitted and t h i s

1-1

c o n d i t i o n e q u i v a l e n t l y amounts t o (5.37)

xi

proj

=

Thus, s t a r t i n g with

x

C(ti))

= a

,

.

t h e p o i n t sequence

(xi)

i s cons-

t r u c t e d by s u c c e s s i v e p r o j e c t i o n s on t h e sequence of c l o s e d convex s e t s C ( t 1. I t i s a s i f t h e moving p o i n t i

t h e moving s e t

C

u, i n s t e a d of being swept along w i t h

was l e f t behind except t h a t , from time t o time, it

c a t c h e s up w i t h t h i s s e t i n t a n t a n e o u s l y , by t h e s h o r t e s t way. We propose t o c a l l t h i s t h e c a t c h i n g up algorithm. The q u e s t i o n i s wether t h e s t e p f u n c t i o n

x :

[o,T]

-, H

defi-

ned from t h i s sequence by x ( t ) = xI

(5.38)

converges t o t h e s o l u t i o n t i a l value

u

for

t E

ti]

9

of t h e sweeping process, f o r t h e same i n i -

a , when f i n e r and f i n e r s u b d i v i s i o n s of

[o,T]

a r e consi-

dered. A d i r e c t proof of t h e convergence of t h i s family of s t e p func-

t i o n s may be given, y i e l d i n g a n o t h e r way t o e s t a b l i s h t h e e x i s t e n c e of the solution

u

i t s e l f (cf.

MOREAU

[ 171, [18] 1. A s t h i s e x i s t e n c e h a s

been obtained above by a r e g u l a r i z a t i o n , o r p e n a l t y , technique we t h i n k . i t i n t e r e s t i n g and unusual t o study a l s o t h e d i s c r e t i z a t i o n algorithm by some e x t e n s i o n of t h e penalty method : t h e t r i c k c o n s i s t s i n making t h e

J. J. Moreau t

p e n a l t y c o e f f i c i e n t vary w i t h PROPOSITION.

For any

E

>0

(cf.

.

MOREAU

there exists

[17] ).

0

17

such t h a t t h e ma jo-

ration SUP (ti' (resp. there e x i s t s

R'

>0

<

ti-l)

i

R

such t h a t t h e m a j o r a t i o n

sup war (C ; ti-l, t i ) i

< R'

ensures V t E Let

[o,T]

p : [o,T]

+

R+

- x(t)l <

lu(t)

:

E

.

a nonnegative r u l e d f u n c t i o n ( a c t u a l l y i t

w i l l sufficein t h e f o l l o w i n g t o t a k e a s

p

a s t e p f u n c t i o n ) . The c l a s s i -

c a l theory of d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s e n s u r e s t h e e x i s t e n c e of u

P

:

[o,T]

+

H, s o l u t i o n o f -u

P

( t ) = p ( t ) grad q ( t , u

P

a g r e e i n g with t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

(t))

u ( 0 ) = a. Denote by

P

h

P

t h e abso-

l u t e l y continuous llumerical f u n c t i o n h ( t ) = d(u ( t ) , C ( t ) ) = l g r a d q ( t , u ( t ) ) l

P

P

P

.

The same c a l c u l a t i o n a s i n 5 5. g, proof of Lenma 1, y i e l d s t h e d i f f e r e n t i a l inequality (5.39)

P

+ p h

P

<;

,

from which elementary t e c h n i q u e s l e a d s t o : LEMMA M

0

1.

, the

I f t h e speed f u n c t i o n function, h P

v

o f

C

i s majorized by some c o n s t a n t

i s majorized by t h e c o n s t a n t

M J(P )

, where

J. J. Moreau J(p )

[o,T]

d e n o t e s t h e supremum o v e r

of t h e n u m e ~ i c a lf u n c t i o n

d e f i n e d on t h i s i n t e r v a l by t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n the i n i t i a l condition

p

P

0-

. The same i n e q u a l i t y a s i n 5 5.

hq

and

u

t

2 , y i e l d s , f o r any

[o,T]

in

Iu ( t )

P

- u q ( t ) l Z ( 10 - ( p a d

q(s,u (s))

P

p ( s ) grad q ( s , u ( s ) )

P

The i n t e g r a n d i s a s c a l a r product i n (h

P

+

hq)(p

k = 1

WE

h

P

and t h e c o r r e s b, proof of Lemma

,

t

2

+p

k ( 0 ) = 0.

6 Consider now a n o t h e r f u n c t i o n s i m i l a r t o

ponding

k

k

+ b h ) = 0-

-

grad q ( s , u i ( s ) ) l

- b(s)

grad q ( s , u q ( s ) ) )

ds.

H, majorized by

p ha + b h2q + ( p . + b ) h P P

h

6 '

Now from Lemma 1 and i n e q u a l i t y (5.39) one o b t a i n s h

P

h 0-

P

i

P

+p

2 h (M

J(p)

P

+ p h h(MJ(b) G P

anrJ two symmetrical inequalities. Adding them t o g e t h e r and i n t e g r a t i n g g i v e s t h e proof o f t h e following : LEMMA

&,

2.

; is

I f the function

t

f o r every

ip [o,T] Iu ( t )

(5.40)

P

q

1 J(a)=;;;(l-e

3

5. g, t h e s o l u t i o n

corresponding

u

d

when

M

>0

o x

,

- uq(t)12

I f , i n particular,

By

majorized by some c o n s t a n t

( 4t

2

(J(p)

)(;

1

J(a))

.

m

is a constant

-rnT

+

.

u

of t h e sweeping p r o c e s s i s t h e l i m i t of t h e

m

(for instance an integer) tends t o i n f i n i t y ;

J. J. Moreau t h u s (5.40)

implies

p

For t h e c o n t i n u a t i o n t a k e a s

the s t e p function associated

with t h e subdivision

a s f o l l o w s : denoting by

where

A

js a c o n s t a n t independent of Denote by

function LEMMA

3.

k

I_f

p

t. a d e r i v a t i v e

p

K :t

&t).

I+

When

max

I-, 1 J;i-

1+1

A>

-

ti

; studying t h e

one h a s

4

p o s s e s s e s f o r almost every

k(t)]

t E ]ti, mi[

< -1

K(t) = 0

ti+l]

t.

a s i n Lemma 1 y i e l d s :

i s d e f i n e d by (5.42) a s

k t )

t E [mi,

i.

t h e supremum of t h e

p

associated with

Hint : t h e f u n c t i o n -

When

t h e middle p o i n t of t h e i n t e r v a l

mi

.-

one h a s 1

if

K(t)

if

K(t)=-

6 1

6

.

one h a s

From t h e s e lemmas we can proceed t o t h e proof of t h e Propositioq.

J. J. Moreau Observe f i r s t t h a t t h e two a l t e r n a t i v e statements of t h i s P r o p o s i t i o n a r e equivalent since the variation function

v

of

C

i s continuous on

[o,T]

t h u s uniformly continuous. The statement concerning v a r i a t i o n s i s v i s i b l y i n d i f f e r e n t t o any ( a b s o l u t e l y continuous) non d e c r e a s i n g change of v a r i a b l e ; we t a k e p r o f i t of t h i s f a c t i n supposing t h a t a change of v a r i a b l e h a s been performed reducing t o t h e c a s e where t h e speed f u n c t i o n constant 1 (see F i r s t step.

5

v

of

C

i s the

5. a ) .

Denote by

R

t h e f o l l o w i n g a b s o l u t e . 1 ~continuous non de-

c r e a s i n g mapping from t h e i n t e r v a l b e f o r e t h e middle p o i n t of

[o,T]

o n t o i t s e l f (m

i

denotes a s

[ t i , ti+l])

and put C(R(t))

= ~ ' ( t )

.

I n o t h e r words, on each i n t e r v a l of t h e form C'

remains f i x e d , e q u a l t o

C(ti)

; on t h e next i n t e r v a l

i t r u n s through t h e same c h a i n of c o n f i g u r a t i o n s a s with a timing a d j u s t e d i n such a way t h a t instant

t.

1+1'

Call

moving convex s e t

u' C'

t h e convex s e t

[ti, mi]

C'

C

on

[mi,

ti+l]

,

[ t i , ti+l],

c a t c h e s up w i t h

C

a t the

t h e s o l u t i o n of t h e sweeping p r o c e s s f o r t h e and t h e same i n i t i a l value a

t h e change of v a r i a b l e one h a s

as

u ; i n view of

i

J. J. Moreau u'(t)

u(?r(t))

=

By v i r t u e of (5.311, the f u n c t i o n f o r any

.

i s Lipschitz with r a t i o 1 ; thus,

u

t E [o,T],

(5.43)

- u'(t)l < $

lu(t)

Second step.

Put q'(t,x)

p

Defining

by (5.421,

(5.44)

1

= 5 (d(x,C'(t))

denote by

-u'(t)

u'

.

2

t h e s o l u t i o n of

P

= pCt) grad q V ( t , u ' l t ) )

P

P

agreeing with t h e i n i t i a l condition

u'

P

(0)= a. The i n t e g r a t i o n of t h i s

d i f f e r e n t i a l equation may be e x p l i c i t e d : On each i n t e r v a l of t h e form

[mi,

the function

tit,]

t

vanishes, s o t h a t

t E [mi, ti+1]

(5.45) For

p

*

~ ' ( t )= ut(m P P i

It

ranging over an i n t e r v a l of the form

t a n t value

A

and t h e function grad q ' ( t , x )

X H

mi[

,P

takes t h e cons-

i s independent of

qt(t,x)

= x

.

- proj

t , with

(x, C(ti))

s o t h a t , on t h i s i n t e r v a l ~ ' ( t )= ,,'(ti)

(5.46)

P

P

+

[yi-

u9(ti)1 [ I

P

- exp ~

( t t~) l -

where Yi

Supposing t h a t , f o r any (5.47)

proj (u'(ti),

=

A>

P

.

C(ti))

4, it r e s u l t s from (5.41)

and from Lemma 3

t E [o,T] lu1(t)

P

- u ' ( t ) l 2 < 16 t

(-

1

K

+*)

.

J. J. Moreau Note t h a t (5.45)

and (5.46)

yield

1 (5.48)

= uf(mi) = u f ( t i ) + [yi- u f ( t i ) ] [ l - e x p P P

Third step.

Let

A

tend t o

(5.48) shows t h a t , f o r each t o zero i n of

yi

; a s a l l the

+i ( n

H. A s t h e mapping

, the

ti- t 1+1 . are

difference

p r o j (., ~ ( t) ).

( 0

-

~ p ' ( t ~ + ~ yi )

~ ; ( t ~ + tends ~ ) to

shows t h a t a l s o f o r any

uf(t)

P

t

in

tends t o

~ ( t ~ +a s ~defined ) by (5.38).

x(t)

[q, ti+l]

f o r any

t

, tends

used i n t h e d e f i n i t i o n

i s continuous, t h i s proves by i t e r a t i o n t h a t , f o r each

t h e value

I

2

in

] t i , mi]

i (n,

Then ( 5 . 4 6 ) and f i n a l l y

by v i r t u e of (5.46).

I n view of (5.47) t h i s pointwise convergence y i e l d s , f o r any

t E

[o,TI , Ix(t)

-

uf(t)l

< JPTpPTp

which proves t h e P r o p o s i t i o n , by comparing with (5.43).

J. J. Moreau

6

QUASI -STAT1 C

6. a

FORMULATION

EVOLUTl ON

OF

THE

OF

AN

ELASTOPLASTI C

SYSTEM

PROBLEM

The framework i n e l l t h i s Chapter i s t h a t of a c o n f i g u r a t i o n space

U

endowed w i t h a l i n e a r space s t r u c t u r e ; t h u s t h e p r a c t i c a l ap-

p l i c a t i o n s of t h e f o l l o w i n g mainly concern systems whose displacements a r e t r e a t e d a s " i n f i n i t e l y small". According t o t h e u s u a l conception of e l a s t o p l a s t i c i t y , e v e r y s t a t e of t h e system i s r e p r e s e n t e d by two components which both a r e e l e ments of

21

:

The v i s i b l e ( o r "exposed")

component, denoted by

x ; it i s

t h e p a r t of t h e system which undergoes e x t e r n a l f o r c e s , c a l l e d 1 ,and may a l s o be submitted t o c o n s t r a i n t s . The hidden ( o r " p l a s t i c " )

component denoted by

*p.

S t r i c t l y speaking, t h e c o n f i g u r a t i o n space of t h e system i s t h e n t h e product space The d i f f e r e n c e

Uxu x

-

. p = e

E 21 w i l l be c a l l e d t h e e l a s t i c

deviation. Let u s denote a s b e f o r e by .F placed i n s e p a r a t i n g d u a l i t y w i t h component

p

are :

t h e l i n e a r space of f o r c e s ,

; t h e f o r c e s experienced by t h e

J. J. Moreau lo The f o r c e

s E X

of " e l a s t i c r e s t o r i n g toward

s =

(6.1) where

x" r e l a t e d t o

e

by

,

A (e)

denotes a given s e l f a d j o i n t nonnegative l i n e a r mapping from

A

.

U

into

2O

The f o r c e of " p l a s t i c r e s i s t a n c e "

X

f

E

B

related t o the velocity

( a t any i n s t a n t where t h i s v e l o c i t y e x i s t s ) by t h e r e s i s t a n c e law studied in

3

4. e . P E

(6.2) where

C

a

rjrC (- f )

,

.

d e n o t e s a f i x e d nonempty c l o s e d convex subset of The f o r c e s experienced by t h e component r E X

lo The r e a c t i o n

x

are

of a p e r f e c t a f f i n e c o n s t r a i n t (cf.

t h i s c o n s t r a i n t s maintains e

x

6

3. c ) ;

a t every i n s t a n t i n a n a f f i n e manifold

which moves i n a given way, say (6.3) where

5: U

=

U

+

g(t)

denotes a f i x e d c l o s e d l i n e a r subspace of

U , which

a given f u n c t i o n of time, with v a l u e s i n guiding ( o r "driving1').

2'

The 1

3'

The f o r c e

r E P

+s

s

tH g ( t )

may be c a l l e d t h e

(XI.

s c ( t ) , a given time-dependent

-

and

Such a c o n s t r a i n t c o n s t i t u t e s t h e s t a t i c a l law

-

(6.4)

U

element of

of " e l a s t i c r e s t o r i n g toward

way t h a t t h e e l a s t i c f o r c e a c t i n g on

x

. Supposing i n t h i s

i s the negative of t h e e l a s t i c

is

J. J. Moreau f o r c e a c t i n g on

p

merely means t h a t t h e t o t a l power of t h e e l a s t i c

f o r c e s vanishes i n any e v o l u t i o n which p r e s e r v e s t h e e l a s t i c d e v i a t i o n x

-p

; i n o t h e r words t h e e l a s t i c energy depends on t h i s d e v i a t i o n only. The problem i s t h a t of' determining t h e e v o l u t i o n of

zU,

and

x

p

under t h e hypothesis t h a t t h e motion i s s u f f i c i e n t l y slow f o r

i n e r t i a t o be n e g l i g i b l e . Therefore, t h e dynamical e q u a t i o n s amount t o express t h e q u a s i e q u i l i b r i u m of

x, namely

r + c - s

(6.5)

and t h e quasi-equilibrium of (6.6)

= 0

p , namely

s + f

= 0

.

To i l l u s t r a t e t h e preceding formulation by a p r a c t i c a l example, t h e r e a d e r may t a k e back t h e s i t u a t i o n of a l a t t i c e of b a r s , presented i n

$

3. i , j

. If

e E E

u p l e of t h e i r r e s p e c t i v e e l o n g a t i o n s , namely t h e element be w r i t t e n a s a sum, say

of

e'

ted t o

;p s

s

E

S

by r e l a t i o n s of t h e form (6.21,

e : i t s "velocity"

3. j

6

i s rela-

(6.6). A t t h i s s t a g e one may

a v o i d t h e e x p l i c i t c o n s i d e r a t i o n of t h e l i n e a r mappings

5

to

by a l i n e a r e l a s t i c i t y law such a s

denotes t h e " p l a s t i c part'' of

u s i n g t h e t h i r d procedure of

, has

denotes t h e "elastic part"

+ p ; here e '

e , related t o the tension

(6.1)

z1 n(n-1) -

t h e behavior of each b a r i s e l a s t o p l a s t i c , t h e

, namely

D

and

t h e e l i m i n a t i o n of

*

D

by

(X,Y) :

J. J. Moreau t h e n t h e sum

+

e'

p

be denoted h e r e by

i s interpreted a s t h e "visible" configuration, t o

x ; f i n a l l y w r i t e simply

e

i n s t e a d of

e'.

The same p a t t e r n a p p l b t o an e l a s t o p l a s t i c continuous medium, occWYhg a domain

R

of t h e p h y s i c a l space. Then elements

a r e some t e n s o r f i e l d s defined on

R ; t h e spaces E

and

e l e ' , p, s S

a r e some

f u n c t i o n spaces. The corresponding q u a s i s t a t i c e v o l u t i o n problem may be t r e a t e d i n t h e l i n e of t h e f o l l o w i n g paragraphs, but w i t h some complic a t i o n s which w i l l not be i n v e s t i g a t e d i n t h i s l e c t u r e s ; t h e d i f f i c u l t y a r i s e s from t h e f a c t t h a t , w i t h r e g a r d t o t h e H i l b e r t norm d e f i n e d by means of t h e e l a s t i c energy ( s e e

5

6. b ) t h e convex

C

possesses an

empty i n t e r i o r . Then t h e theorem on t h e a b s o l u t e c o q t i n u i t y of i n t e r s e c tions

(5

5. c ) p r i l l be a p p l i e d r e l a t i v e l y t o some

norm

; t h e absolute

c o n t i n u i t y of t h e considered i n t e r s e c t i o n w i l l f i n a l l y hold w i t h regard t o t h e H i l b e r t norm t o o , a s t h i s l a t t e r i s majorized by t h e L--norm(mult i p l i e d by a constant). Observe t h a t t h e continuous medium problem i s s t u d i e d by G. DUVAUT

and

J.L. LIONS, [I], Chap. 5

. T h e i r method. i s t h a t of

va-

n i s h i n g v i s c o s i t y , b a s i c a l l y s i m i l a r t o t h e r e g u l a r i z a t i o n technique we used i n $ 5. g ; but they must r e s t r i c t themselves t o t h e s p e c i a l c a s e where t h e "load",

denoted h e r e by

c , i s i d e n t i c a l l y z e r o ; t h u s t h e mo-

t i o n i s only caused by t h e "guiding1'

g. Paragraph 6. c

below e x p l a i n s

why t h i s s p e c i a l c a s e i s more t r a c t a b l e : i t corresponds t o a s e t

J. J. Moreau (C-c-g) (3 V

which moves by t r a n s l a t i o n , so t h a t t h e i n t e r s e c t i o n theo-

rem i s not required f o r proving i t s a b s o l u t e c o n t i n u i t y ( c f .

5

5. b ) .

We s h a l l not d e a l i n t h e p r e s e n t l e c t u r e s w i t h systems governed by b e h a v i o r a l laws of H e q ' s t y p e ; t h e r e a d e r w i l l r e f e r t o H.

Lanchonk

l e c t u r e s on t h i s s u b j e c t . H e n M s law i s a l s o s t u d i e d i n t h e book o f and

DUVAUT

LIONS, by methods involving t h e d u a l i t y of convex func-

tional~. I n o r d e r t o h e l p t h e r e a d e r t o v i s u a l i z e t h e formulated problem l e t u s f i n a l l y p r e s e n t a very simple model i n which t h e dimension of e q u a l s 2. The considered system c o n s i s t s of two p a r t i c l e s moving i n t h e plane

U

. The p a r t i c l e

t h e material straight l i n e

x

x

and

U

p

i s guided without f r i c t i o n on

U + g ( t ) , a l i n e which remains p a r a l l e l t o the fixed l i n e

U

and moves i n

a given way. The p a r t i c l e

p

will

be v i s u a l i z e d a s a p l o t , whose c o n t a c t w i t h t h e plane

0

11

is

a f f e c t e d by a given f r i c t i o n . The

u two p a r t i c l e s a r e connected by a s p r i n g whose l e n g t h i n t h e s t a t e

of z e r o t e n s i o n i s zero. I n a d d i t i o n , a given f o r c e

c(t)

i s applied t o

x. One s t u d i e s motions d u r i n g which t h e v a r i o u s f o r c e s e q u i l i b r a t e each

J. J. Moreau o t h e r a t any i n s t a n t ; i n p a r t i c u l a r t h e f r i c t i o n r e s i s t a n c e undergone by

p

must e x a c t l y counterbalance t h e s p r i n g tension. I n v e s t i g a t i n g t h i s elementary model r a i s e s a n important obser-

v a t i o n : though t h e f r i c t i o n between

p

and t h e underlying plane h a s t h e

c h a r a c t e r i s t i c s of p e r f e c t p l a s t i c i t r , t h e behavior of t h e c m p o n e n t e x h i b i t s s t r a i n hardening. instance with t r o p i c , i.e.

g

I n f a c t suppose t h e l i n e

+

U

g

i d e n t i c a l l y z e r o ; suppose t h e f r i c t i o n of

x

i s fixed, for p

i s iso-

i t obeys elementary Coulomb's law. C l e a r l y any motion d u r i n g

which t h e s p r i n g i s s t r a i n e d enough f o r t h e p o i n t poses a d e f i n i t e v a l u e f o r t h e d i s t a n c e between

p x

t o -y

and

(thbs im-

p ) necessarily

b r i n g s t h i s p o i n t c l o s e r t o t h e l i n e . Therefore t h i s e v o l u t i o n l e a v e s t h e system i n a s t a t e f o r which t h e e l a s t i c domain, i . e . v a l u e s of t h e load

c

t h e s e t of the

.which may be a p p l i e d without causing y i e l d , i s

l a r g e r than before. Such a n example s u g g e s t s t h a t s t r a i n hardening c a n be described, i n p r a c t i c a l s i t u a t i o n s , by i n c l u d i n g i n t h e d e f i n i t i o n of t h e hidden component

p

a s u f f i c i e n t number of i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e s and postu-

l a t i n g t h a t t h e behavior of such a

p

i s governed by a law s i m i l a r t o

t h a t of p e r f e c t p l a s t i c i t y . T h i s h a s been developed, i n our framework of convex pseudo-potentials,

by

Q.S. N G W E N

[ l ] ( s e e a l s o , f o r t h e use of

i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e s without convexity, J. KRATOCWIL and J. NECAS [ I]).

J. J'. Moreau

6. b

HILBERT SPACE

THE

NOTATION

Let u s r e s t r i c t o u r s e l v e s f o r sake of s i m p l i c i t y t o t h e u s u a l c a s e where t h e s e l f - a d j o i n t l i n e a r mapping e l a s t i c i t y law (6.1) i s one-to-one. b

A :

U +B

introduced by t h e

Then one makes t h e treatment o f t h e

problem much e a s i e r by t h e n o t a t i o n t r i c k which c o n s i s t s i n i n t e r p r e t i n g t h e one-to-one mapping Denote by

H

A

a s a n i d e n t i f i c a t i o n oS t h e spaces

and 8

U

.

t h i s s i n g l e space ; t h e symmetric b i l i n e a r form d e f i n e d on

becomes a n i n n e r product i n H , which w i l l be denoted a s

(u'

1

u). A s t h e

/

q u a d r a t i c form

r e p r e s e n t s t h e e l a s t i c energy, i t i s nonnegative, t h u s p o s i t i v e d e f i n i t e due t o

being one-to-one.

A

d e f i n e d on

H

T h i s means t h a t a pre-Hilbert norm

.I

is

by

Let u s make t h e assum#bion t h a t t h i s norm, i . e .

(

H

is complete r e l a t i v e l y t o

i t i s a H i l b e r t space.

T h i s of c o u r s e i s a u t o m a t i c a l l y s a t i s f i e d i n f i n i t e dimensional )cases.

I n t h e c a s e of continuous media a l s o , one i s accustomed t o formu-

l a t e t h e problems i n s u i t a b l e f u n c t i o n spaces f o r t h i s assumption t o hold.

J. J. Moreau

(.I.)

Observe that the inner product fication map A :

U

+B

relations of the form

in H

and the identi-

are connected in such a way that subdifferential

-

f

E 8 $(u)

(.,.>),

sense of the duality

( U ,5

sense of the duality

(H,H ; (. 1)

;

may equivalently be understood in the

I.

u E

with with

u

U

f E 8 , or in the

and

and

f

elements of

H.

Let us write the formulation of the problem in these notations.

V

Denote by becomes

the subspace of

s = e ; eliminate

r

orthogonal to U ; observe that (6.1)

H

by (6.5)

and

by (6.6) ; the preceding

f

conditions take the equivalent form (6.7)

X E U + g

(6.8)

s E V + c

(6.9)

x = p + s

(6.10)

PE

a

*,

cs)

.

~ i v e nthe compact time interval [o,T], the problem is that of determining the three functions

t*

x

,

t-

p

,

t~

s

, with

values in

H I absolurely continuous on this interval (this makes the derivative exist for almost every most every

t) satisfying conditions (6.7) to (6.10) for al-

t, and some initial conditions

(6.11)

x(0)

= xo

,

=

s(0)

so

.

Let us make now some assumptions about the data. ASSUMPTION

1.

The given functions 'trr g

fffd

t*

c

are absolutely

J. J. Moreau

. I n additton,

[o,T]

continuous on posing t h a t

c

takes i t s values i n

ASSUhPTION 2

.

The i n i t i a l d a t a

xo

we v i s i b l y Icnse no g e n e r a l i t y i n s u p and t h a t

U

and

g

takes i t s values

'so s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s

e v i d e n t l y r e q u i r e d by (6.7) and (6.81, and t h e c o n d i t i o n t6.B)

s0 E C

r e q u i r e d by (6.10). set

a Jr C( t )

I n f a c t f6,103 makes t h a t for' Mmest eh$y

i s non empty, t h u s

t

t r u e f o r every

in

t, the

s ( t ) E C, and t h e l a t t e r must a l s o be

[o,T] , by c o n t i n u i t y .

Observe a l s o t h a t (6.8) with (6.10) r e q u i r e s t h e moving a f f i n e manifold every

t

V

+

c

t o meet t h e convex s e t

by t h e c o n t i n u i t y of

(6.13)

C

f o r almost every

t, thus f o r

c. T h i s may e q u i v a l e n t l y be w r i t t e n a s

cEprojuC

.

The mechanical meaning of t h i s nebessary c o n d i t i o n i s c l e a r : a load ( r e c a l l t h a t we supposed

c

E

counterbalanced by t h e f o r c e s

r E V

i t cannot be

( t h e r e a c t i o n of t h e a f f i n e p e r f e c t

s E C. A s t h e law o f p l a s t i c r e s i s t a n c e (6.10) only per-

c o n s t r a i n t ) and

mits

U ) which does n o t s a t i s f y

c

s € C , t h i s means t h a t i f , s t a r t i n g from a c o n f i g u r a t i o n d e f i n e d by

some v a l u e s of

x

and

p, t h e system experiences a load

not v e r i f y (6.13), i t s e v o l u t i o n cannot be q u a s i - s t a t i c .

c

which d o e s

bf c o u r s e , t h e r e

J. J. Moreau a r e i n t h i s s i t u a t i o n o t h e r necessary conditions,namely

x-p 6 V

+

c,

a consequence of (6.8) and (6.9). For mathematical convenience, we s h a l l suppose t h a t t h e s e t

C

possesses a nonempty i n t e r i o r ; t h e n l e t u s agree t o r e p l a c e (6.13) by t h e s t r o n g e r f o l l o w i n g condition. ASSUMPTION 3.

For any

t

i n t e r s e c t s t h e i n t e r i o r of

in

[o,T]

t h e a f f i n e manifold

V

+

c(t)

C.

Without d i s c u s s i n g h e r e t h e p h y s i c a l meaning of t h i s assumption, l e t u s c a l l i t t h e "safe load hypothesis". I n a d d i t i o n , we s h a l l avoid some t e c h n i c a l job o f covering the interval

[o,T] and p i e c i n g t o g e t h e r l o c a l s o l u t i o n s , by making a l s o a

l a s t i n e s s e n t i a l hypothesis : ASSUMPTION 4.

The s e t

C

i s bounded.

Then : LEMMA. Assumptions 3 and 4 and t h e a b s o l u t e c o n t i n u i t y of t h e f u n c t i o n

ttant

c

-

imply t h e following : t h e r e e x i s t s a s t r i c t l y p o s i t i v e r e a l cons-

p

and a n a b s o l u t e l y continuous mapping

f o r every

t E [o,T] , one has

with c e n t e r

h(t)

Outlined proof t h a t of

6 5.

and r a d i u s

h ( t ) 6 C A (V

p

+

h :

c(t))

i s contained i n

: Using t h e n o t a t i o n

e

[o,T]

-, H

such t h a t ,

and t h e closed b a l l

C.

of 6 5. a , arguments s i m i l a r t o

c prove t h a t t h e numerical f u n c t i o n

J. J. Moreau

ti s continuous on

e (V + ' c ( t )

, H\C)

[o,T], with s t r i c t l y p o s i t i v e values, thus s t r i c t l y

norized by some constant

p

> 0.

The s e t

i s c l o s e d and convex, w i t h nonempty i n t e r i o r . For every t h e a f f i n e manifold mapping

tw V

+

V

c(t)

+

c(t)

h

t

i n t e r s e c t s t h e i n t e r i o r of

in C

t* C n (V

P

[o,T],

. The multi-

P.

i s absolutely continuous, implying by

a b s o l u t e c o n t i n u i t y of t h e moving convex s e t as

mi-

+

$

5. c

the

c ( t ) ) . Take

a s o l u t i o n of t h e sweeping process by t h i s moving non empty c l o s e d

convex s e t (cf.

5

ti.*' f 1.

1'

6. c

PEW

UNKNOWN FUNCTIONS Conditions ( 6 . 7 1 , (6.81,

(6.9) may be w r i t t e n a s

x - g E U c - S E C (x-g)+(c-s)

= p + c - g

;

t h i s mag equivalently be expressed by means of t h e orthogonal p r o j e c t o r s r e l a t i v e t o t h e complementary orthogonal subspaces x

-g

c

-

o r , a s we have supposed

- g) (p + c - g )

= p r o 4 (P

s =

c E U

pro4 and

+

c

g E V

,

U

and

V

J. J. Moreau projUp =

x - c - g

Let u s d e f i n e two new unknowns (6.14)

y

=

s - c - g

(6.15)

z

= x - c - g

y

and

z

by

= -projVp o

projUp

which implies

tw y

Due t o Assumption 1, t h e functions continuous i f only i f such a r e

t-

s

C H z

and

and

t-

a r e absolutely

p.

Under t h i s change of unknowns, conditions (6.7) t o (6.10) equiv a l e n t l y amount t o

k

- i E a #,

Z E U

,

(y+c+g) yEV

t o . be s a t i s f i e d f o r almost every

t

in

[o,T].

Let u s f i r s t draw a consequence of (6.17 ). PROPOSITION. function 46.18)

I f conditions (6.17) a r e v e r i f i e d f o r almost e v e r e t ,

t~ y

t

s a t i s f i e s f o r t h e s e values of - ; € a +

(c-C-g)

nv

the

(yj

;

i n o t h e r words t h i s function i s a s o l u t i o n of the sweeping process by t h e non empty closed convex moving s e t

t-

(C-c(t)

-

g(t))

I n f a c t t h e second l i n e of (6.17) implies

nv

-HEU

. , thus

J. J. Moreau

-

E a

space

(I,

(Y). Elementary c a l c u l a t i o n concerning t r a n s l a t i o n i n t h e yields

H

a #,

(Y+c+~)=

a *c-c-g

(Y)

On t h e o t h e r hand *(c-C-~)

n v = *c-c-g

+

*v

thus

a

*c-c-g ( Y )

+

a

FV(y) C

a *(C-c-g) n v ( ~ -!

T h e r e f o r e (6.18) f o l l o w s from t h e f i r s t l i n e of (6.17).

REMARK. AS

and

y

Y

e s s e n t i a l l y belong t o

V, i t i s i n d i f f e r e n t t o

understand t h e s u b d i f f e r e n t i a l i n (6.18) i n t h e s e n s e of t h e d u a l i t y between

H

and i t s e l f o r i n t h e sense of t h e d u a l i t y between t h e H i l b e r t

subspaces

V

and i t s e l f .

COROLLARY

1.

condition

y(0)

If two S o l u t i o n s Of (6.17) a g r e e w i t h t h e same i n i t i a l I

Yo

they c o i n c i d e i n what concerns t h e f u n c t i o n

AS explained i n

t h e multimapping

a

5

*(c-c-g)

t~ y.

5. f , t h i s uniqueness property f o l l o w s from

nV

being monotone.

I n view of t h e d e f i n i t i o n (6.14) of

y

t h i s Corollary i s equi-

valent t o COROLLARY 2.

-

1f two s o 3 u t i o n s of t h e system of c o n d i t i o n s ( 6 . 7 )

to

(6.10) a g r e e with t h e same i n i t i a l c o n d i t i o n

s ( 0 ) = so, t h e s e two solu-

t i o n s c o i n c i d e i n what concerns t h e f u n c t i o n

t~+ s.

J. J. Moreau

By t h e way, ( 6 . 1 ~ )i m p l i e s under Assumption 1 t h a t t h e func-

t*

tion

s

related t o

y

by (6.14) v e r i f i e s , f o r almost every

-:E-k+aflcn

(6.19)

t,

,

( v + ~ ()s )

a n e v o l u t i o n ''equationV' analogous t o t h a t of t h e sweeping process. An algorithm of time d i s c r e t i z a t i o n would a l s o be a v a i l a b l e f o r t h e numeric a l s o l u t i o n of it.

6. d

EXISTENCE

THEOREM

Let u s proceed t o t h e proof of : Under Assumptions 1, 3, 4, whichever i s

PROPOSITION.

V fl < C

-

c(0)

-

g(O)), whichever i s

tw y

p a i r of Functions into

and

t-

z

i.

, z(0)

F i r s t step.

=

Zo

%

U , t h e r e e x i s t s a t l e a s t one

z , a b s o l u t e l y continuous from

H, s a t i s f y i n g (6.17) f o r almost every t

y t 0 ) = yo

Yo

[o,T]

and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s

.

Under t h e hypotheses made t h e r e e x i s t s a n a b s o l u t e l y c o n t i -

nuous f o n c t i o n , l e t u s already denote i t by f o r almost every

t

t-

y

and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

,

y(0)

s a t i s f y i n g (6.18)

=

yo.

In fact this

f u n c t i o n i s t h e s o l u t i o n of t h e sweeping process, f o r t h i s i n i t i a l condition

.,by

theorem o.f

t h e moving convex s e t

5

! tinuous ( s e e

5. g

5

5. b

apply because

t I+ (C

-

c(t)

-

g( t ) ) fl V . The e x i s t e n c e

t~ C

-

c(t)

-

g(t)

i s a b s o l u t e l y con-

about a t r a n s l a t i n g convex s e t ) , t h u s t h e considered

J. J. Moreau i n t e r s e c t i o n i s a l s o a b s o l u t e l y continuous, by v i r t u e of Assumptions 3 and 4 and t h e i n t e r s e c t i o n theorem of one h a s

y(t) E V

5

5 . c. D e f i n i n g

t , t h u s 8 (I.

f o r every

g E V)

V

+ c +

g

$C-c-g

i n t e r s e c t s t h e i n t e r i o r of

gV

and C

s i n c e , by

(recall that

s o t h a t t h e r e e x i s t s a p o i n t a t which both f u n c t i o n s a r e f i n i t e

and t h e f u n c t i o n $ C-c-g every

i n t h i s way,

( y ) = U. The a d d i t i v i t y of

v

t h e subdifferentials holds f o r the functions Assumption 3,

y

t

he e x i s t e n c e of a t l e a s t one element of

ready denoted a s (6.20)

i s continuous ; t h e n (6.18) i m p l i e s f o r almost U , which w i l l be a l -

k ( t ) , such t h a t

k t )

- i(t)

E

a

( ~ . ~ - ~ - , ( ~ c=t )a) ( ~ . ~ ( y c+t )c c t )

+

g(t)).

T h i s i s t h e f i r s t of c o n d i t i o n s (6.17). Second s t e ~ . For a v a l u e of

is a conjugate of t h e p o i n t functions

t

such t h a t (6.20) h o l d s the p o i n t

y + c + g

&

-

r e l a t i v e l y t o t h e p a i r of d u a l

y , namely t h e support f u n c t i o n of

C, and

(I.C

(see

5

2. e ,

Example). T h i s may be w r i t t e n a s (6.21)

y ( k - *y ) - ( k - i j

which i m p l i e s t h a t f o r almost every (6.22)

y + c + g )

= ' O

t , t h e c l o s e d convex S e t

@ (t) =

{W

E H

: y(w)

-

(wly+c+g) =

=

{W

E H

: y(w)

-

(wly+c+g)

< 01

p o s s e s s e s a nonempty i n t e r s e c t i o n with t h e a f f i n e manifold y

i s a numerical f u n c t i o n independent of

t

and a s

01

U

-

y(t).

t++Y+C+g i s a

As

J. J. Moreau

[o,T]

continuous mapping from

into

[o,T]

a measurable multimapping from

t~+ @ (t

one observes t h a t

H

into

H

is

( t h e m e a s u r a b i l i t y theory

of multimappings i s due f o r a p a r t t o C. CASTAING ; s e e h i s l e c t u r e s ; s e e a l s o , f o r a n e x p o s i t i o n of some b a s i c f a c t s i n t h e c a s e of a separab l e space, R.T. ROCKAFELLAR [4] 1. Such i s a l s o t h e multimapping

tr, U-$(t),as t h e function

tw $

belongs t o

L ~ ( O , T; H) ; t h u s t h e

i n t e r s e c t i o n o f t h e two multimappings i s measurable too. S i n c e f o r a l -

t t h i s i n t e r s e c t i o n i s nonempty, i t p o s s e s s e s a dense c o l -

most every

l e c t i o n of measurable s e l e c t o r s . Denote by lectors ; a s &t)

E

U

b(t)

U

- $(t),

k,

bel.ong t o

j u s t e d t o t h e i n i t i a l value y

by p u t t i n g

and (6.20) holdsf o r almost every

i,t h u s

that

E

t~-+i ( t )

one o f t h e s e se-

'z(t) = i ( t )

+

i(t)

one h a s

t. I f we succeed i n proving

1 L (0,T ; HI, t h e p r i m i t i v e

z

of

L

ad-

z(O) = zo, w i l l c o n s t i t u t e w i t h t h e f u n c t i o n

determined above one of t h e d e s i r e d s o l u t i o n s of (6.17).

Third s t e p .

t-

As

numerical f u n c t i o n By t h e lemma of

9

;(t) t*+ l;(t

6, b

a continuous f u n c t i o n h(t)

E

V

tained i n

+ c(t)

i s measurable it$st remains t o prove t h a t t h e

11

i s majorized by an element of

L ~ ( o , ). T ~

there e x i s t s a s t r i c t l y positive constant h :

[o,T]

-, H

such t h a t f o r every

and t h e b a l l w i t h c e n t e r

h(t)

and r a d i u s

t

p

and

one h a s

p

i s con-

C. T h i s i n c l u s i o n of convex s e t s i s equivalent t o t h e f o l l o -

wing i n e q u a l i t y between t h e i r support f u n c t i o n s

J. J. Moreau V W E H

(6.23)

The definition (6.22) of

: p

Iw]

+ (h(t)lw)
may be transformed by writing

@ (t)

(wl y+c+g) = (wl h) + (w+ily+c+g-h)

+

Recall that that

>EU

, that

(w).

c

-

h E V

,

-

that

y+c+g-h) g E

.

V , that $

E V

,

c E U ; then y+c+g) = (ilh)

Therefore, in view of (6.231,

IPI < where M

-

(?ly+g-h)

.

E @ (t) implies

1 ' 1 -(yl~+g-h)<~

P

13

ly+g-hl

<-MP

1i1

denotes a majorant of the continuous functions t~

IY+g-hl

over the compact interval [o,T]. As a solution of the sweeping process, the function tk+ y belongs to

L

is absolutely continuous, thus the function t~ $

1 ( 0 , ~; H) ; this completes the proof.

By the definitions of y COROLLARY.

and

Under Assumptions 1, 2, 3, 4

z, it follows :

the evolution problem for the

-

considered elastoplastic system possesses at lsast one solution ; this solution is unique in what concerns the function t e s

.

J. J. Moreau

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C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E . )

B. NAYROLES

Corso tenuto a

Bressanone

d a l 1 7 a1 2 6

giugno

1973

B. N a y r o l e s

Au cours de c e s s i x expos6s on va d6velopper 'ou seulement 6voquer q u a t r e i d 6 e s p r i n c i p a l e s : l o ) l a l;remi&-e e s t que l a s t r u c t u r e alg6brique d'un problsme de Mkcanique en c o n s t i t u e l a n a t u r e profonde, indgpendamment des c o n s i d 6 r a t i o n s d ' a n a l y s e f o n c t i o n n e l l e proprement d i t e : j e c r o i s qu'on a t t a c h e a c t u e l l e m e n t une importance excessive 2 c e l l e - c i a u detriment de n o t i o n s rnaisemblablement p l u s importantes. 2O) l a seconde e s t que l e s s t r u c t u r e s de d u a l i t 6 s o n t devenues l'arme l a p l u s p u i s s a n t e du M6canicien e t que l a mise en 6quations

d'un probldme d e v r a i t s t r e t o u j o u r s e f f e c t u 6 e 2 l ' a i d e du p r i n c i p e des travaux v i r t u e l s . ~ e l u i - c i , t r s s v i e i l l e connaissance d e s m6caniciens, conduit directement e t sans d i f f i c u l t 6 s 2 des problsmes improprement q u a l i f i 6 s de " f a i b l e s " . gulisres celles-ci

Dans l e c a s 03 l ' o n suppose l e s f o n c t i o n s r6-

s a t i s f e r o n t , c e r t e s , c e r t a i n e s 6quations a m d6ri-

v6es p a r t i e l l e s e t c e r t a i n e s c o n d i t i o n s aux l i m i t e s , m a i s nous n'avons aucune r a i s o n d'accorder 2 c e l l e s - c i une s i g n i f i c a t i o n physique p l u s grande qu'aux 6quations " v a r i a t i o n n e l l e s " , c ' e s t 3 d i r e de d u a l i t 6 , f o u r n i e s p a r l e p r i n c i p e du t r a v a i l v i r t u e l . 3O)

l a t r o i s i s m e id6e e s t que nous t r a i t o n s b i e n souvent des

probl?mes acadgmiques : nous supposons e n e f f e t connues l e s donn6es n6c e s s a i r e s 2 la formulation d'un problsme b i e n pos6. Les s i t u a t i o n s prat i q u e s s o n t f o r t d i f f g r e n t e s e t p r 6 s e n t e n t l e p l u s souvent un manque d'information considgrable en 6gard aux donn6es des probldmes t h 6 o r i ques. A i n s i en e s t - i l du probldme d 7 6 v o l u t i o n 6 l a s t o p l a s t i q u e 05 dans l a p r a t i q u e on ne connait n i l e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s n i l e s e f f o r t s exerc6s a u c o u r s du temps, mais seulement c e r t a i n s encadrements des uns e t d e s a u t r e s . On peut encore e s s a y e r d ' o b t e n i r des r 6 s u l t a t s . D'une faqon g6nbrale l e d6faut d'information d e v r a i t d t r e systkmatiquement 6Cudi6 par l a th6orie.

4')

La quatrisme i d 6 e e s t q u ' i l y a p e u t d t r e encore b i e n

d e s "id6es r e p e s " 2 r e c o n s i d d r e r dans l a conception du r c l e de l a Mat h d m t i q u e dans l e s t h k o r i e s physiques. En p a r t i c u l i e r on peut s e demander s i l a cohdrence d'une t h 6 o r i e n d c e s s i t e vraiment 1"'existence d e s s o l u t i o n s " , e t s i l a r e l a t i o n de pr6ordre h a b i t u e l l e e n t r e 6quations : "1'6quation A e s t p l u s f o r t e que 1'6quation B s i t o u t e solut i o n de A e s t s o l u t i o n de B" e s t b i e n c e l l e qui convient 2 l a math6matique d'une t h d o r i e physique. J ' i n c l i n e 2 p e n s e r que non e t pour d e s r a i s o n s qui s e r o n t expos6es dans l e c h a p i t r e I11 : e s s e n t i e l l e m e n t parce que t o u t e mesure exp6rimentale e s t entach6e d ' e r r e u r ; e t a u s s i p a r c e Rue, l e s s o l u t i o n s "exactes" 6 t a n t i n a c c e s s i b l e s a u c a l c u l , il me semble p l u s o b j e c t i f de l e s o u b l i e r a u p r o f i t d e s " s o l u t i o n s approchdes", l'approximation 6 t a n t

2 d 6 f i n i r en l i a i s o n avec l ' i m p r k c i s i o n num6rique o u e x g r i m e n t a l e . Ce c h a p i t r e I11 s o u f f r e de p l u s i e u r s d 6 f a u t s : une r 6 d a c t i o n q u i p o u r r a i t d t r e am6liorde, e t qui s e r a sans doute entisrement refondue dans un a r t i c l e u l t d r i e u r ; l e manque d'un r d s u l t a t s u r l t 6 1 i m i n a t i o n q u i m'a o b l i g 6 , temporairement, 2 Is p a l l i e r 2 l ' a i d e de l a p r o p o s i t i o n

9. On p o u r r a a u s s i u t i l i s e r , p l u t z t que l ' e x p r e s s i o n pesante : " s u i t e de s o l u t i o n s a r b i t r a i r e m e n t approchdes" (abrdg6e p a r s.s.a.b.),

*

l'ex-

p r e s s i o n p l u s B6gsre e t p l u s imag6e de " s u i t e approximwte". Quelques exemples s e r a i e n t , en b u t r e , s o u h a i t a b l e s . J'ai cependant voulu s a i s i r l ' o c c a s i o n du C.I.M.E.

pour exprimer un c e r t a i n

nombre de r d f l e x i o n s s u r c e genre de probldme, e s s e n t i e l l e m e n t pour a t t i r e r l ' a t t e n t i o n s u r l e u r importance. Dans l e premier c h a p i t r e ( 1 expos6) on expose l e thsme algdb r i q u e couramment rencontrd e n M6canique des S o l i d e s . Dans l e second ( 2 expos6s) on u t i l i s e c e thsme pour 6 t u d i e r l e s d i v e r s probl?mes v a r i a -

t i o n n e l s q u i peuvent d t r e formulds l o r s q u e l e s l o i s d ' e f f o r t s o n t sousd i f f d r e n t i e y l e s . La l e c t u r e en suppose une connaissance r e l a t i v e m e i t bon-

B. N a y r o l e s

ne de l a t h k o r i e des f o n c t i o n s convexes ( c f r . l e c t u r e s de J.J. MOREAU e t de J. CASTAING. Dans l e t r o i s i s m e c h a p i t r e ( 2 expos6s) on e s s a i e de c o n s t r u i r e une a l g s b r e (au s e n s l a r g e de c e terme) des l o i s sous-diff k r e n t i e l l e s e t pour y p a r v e n i r on i n t r o d u i t l a r e l a t i o n de prgordre "approximative" d e s t i n g e 2 remplacer l a r e l a t i o n u s u e l l e e n t r e 6quations. Tout b i e n considkrE on s ' a p e r c e v r a aiskment que 1;s deux clCs de c e qui v a nous i n t k r e s s e r s o n t l o ) l ' 6 g a l i t C Cventuelle d'une inf-convolution 2 une r-convol u t ion 2O) L I C g a l i t k Cventuelle du s o u s - d i f f k r e n t i e l d'une s o m e l a s o m e des s o u s - d i f f g r e n t i e l s

Remarque

- Le sixisme expos6 o r a l

t r a i t a i t de " l ' a d a p t a t i o n "

des corps

6 1 a s t o p l a s t i q u e s , ph6nomsne e s s e n t i e l p u i s q u ' i l permet l e c a l c u l des s t r u c t u r e s malgr6 l e manque d ' i n f o r m a t i o n dont nous parZions pr6c6demment. Cornme c e s u j e t f a i t l ' o b j e t d'une p u b l i c a t i o n dont j'achsve l a r6daction ~ v e eun a u t r e chercheur, il m ' 6 t a i t b i e n 6videmment int e r d i t d'y c o n s a c r e r i c i un c h a p i t r e p a r t i c u l i e r . Au demeurant c e l u i - c i a u r a i t nui 2 l ' u n i t 6 du s u j e t t r a i t 6 .

B. N a y r o l e s

STRUCTURE ALGEBRIWE DES PROBEES DE r:ECPSJIQL!E MS SOLIDES k n s c e c h s p i t r e nous d6finissons l e cadre a l g 6 b ~ i q u el e p l u s

souvent rencontrE dans l e s problznes p u i s q u ' i l correspond a u c a s OG ddplacements e t d6formations s o n t supposCs t r s s p e t i t s e t 02 l a g60m6trie du s o l i d e e s t donn6e. Notons que c e l l e - c i e s t l'inconnue de c e r t a i n s problzmes d'optimisation. Nous nous proposons d ' a b o u t i r 3 c e cadre a l g i b r i q u e non p a s en l e ddduisant des 6quations h a b i t u e l l e s de l a Micanique, mais en l e const r u i s a n t a u f u r e t 3 mesure de l t 6 t a b l i s s e m e n t de c e l l e s - c i ,

c e qui s e r a

beaucoup p l u s i n s t r u c t i f . Afin d t a l 1 6 g e r l t e x p o s 6 nous nous r 6 f i r e r o n s 2 l'exemple 8es plaques en f l e x i o n . Nous p r i o n s a u s s i l e l e c t e u r de ne prdt e r 3 c e qui s u i t aucune ambition dogmatique, mais de l e considdrer comme

h rassemblement de quelques i d d e s simples q u ' i l pourra admettre ou r e j e t e r s e l o n s e s propres c o n v i c t i o n s 6pistimologiques. Enfin nous employons souvent ' l e s termes "d6~lacement", "ddforplation" ou "contrainte" en g u i s e de r a c c o u r c i s pour l e s termes "champ de a 6 p l a c e m e n t ~ " , de d6formation ou de c o n t r a i n t e s .

$ 1. .DEPLACEiFENTS ET EFFORTS ~ o n s i d d r o n sune plaque plane dont nous voulons d t u d i e r ce q u ' i l

est convenu d'appeler l e s "diformations de f l e x i o n " ; nous rapportons l ' e s pace e u c l i d i e n 2 un r e p s r e orthonorm6 +++ ( ~ , x , ~ , zen ) s o r t e que, dans son 6 t a t de r6f6rence, l a plaque occupe un d o m i n e compact

du p l a n (xOy); $2 d6signe l ' i n -

t 6 r i e u r de

n.

-

On suppose que l e &place-

ment MOM dsun p o i n t M

'2

de l a plaque e s t

un w c t e u r ' ' v e r t i c a l ' * O u ( M o ) ~u, c t a n t m e fonction r 6 e l l e d d f i n i e s u r

T.

Le choix des fonctions u admissibles

x

n'a pas besoin d ' z t r e p r 6 c i s 6 comp16temen$.

B. N a y r o l e s

Disons seulement que nous f a i s o n s , pour l e moment, a b s t r a c t i o n des condit i o n s d'appui de l a plaque e t que nous nous dotlnons un espace de configur a t i o n U , espace v e c t o r i e l r 6 e l de f o n c t i o n s r 6 e l l e s sur

5. Pour

dbfinies

f i x e r l e s id6es nous pouvons prendre, c e qui s e &$Iera p u t -

z t r e maladroit, U = c 2 ( T ) , & t i t r e d'exemple seulement. Une f o i s c h o i s i l ' e s p a c e de c o n f i g u r a t i o n U, ou espkace des d b placements, on peut d 6 f i n i r des e f f o r t s exerc6s s u r l a plaque. On peut considgrer, p a r exemple, des e f f o r t s d 6 f i n i s p a r des d e n s i t 6 s s u r f a c i q u e s , l i n g i q u e s ou p a r des f o r c e s concentr6es. A i n s i une d e n s i t 6 surfacique

d 6 f i n i t un e f f o r t $ dont l e t r a v a i l v i r t u e l s e r a l a forme l i n 6 a i r e s u r U :

La M6canique fond6e s u r l e P r i n c i p e du t r a v a i l v i r t u e l ne de-

.

mande que l a connaissance du t r a v a i l v i r t u e l << ,$>> d6veloppE par un eff o r t $; c r e s t 5 d i r e que l a n o t i o n d ' e f f o r t exerc6 s u r un systsme s e confond avec c e l l e de f o n c t i o n n e l l e l i n 6 a i r e sur un espace v e c t o r i e l U qui e s t , dans l e c a s g 6 n & r a l , l ' e s p a c e v e c t o r i e l tangent B une c e r t a i n e vari6t 6 de c o n f i g u r a t i o n ( e n g6n6ral l ' e s p a c e des v i t e s s e s ) , e t q u i , dans l'hy. p ~ t h 8 s edes dgplacements infiniment p e t i t s , s e confond avec e l l e . A i n s i donc l ' e s p a c e des e f f o r t g envisageables e s t l e d u a l alg6brique U* de l ' e s p a c e de c o n f i g u r a t i o n U. C'est un peu t r o p grand pour Ctre aiskment manipulable, e t on s e r e s t r e i n t B un sous-espace v e c t o r i e l

*

GdeU. On e s t a l o r s dans l a s i t u a t i o n suivante : deux espaces vector i e l s l ' u n de c o n f i g u r a t i o n U , l ' a u t r e des e f f o r t s 8 , mis en d u a l i t 6 par une forme b i l i n 6 a i r e <<.,.>>

@

qui e s t l e t r a v a i l v i r t u e l , e t coincide avec

lorsque $ .5 G e s t d 6 f i n i p a r u&

d e n s i t 6 surfacique de f o r c e s .

Bien si& on peut a u s s i envisager beaucoup d ' a u t r e s t y p e s d'eff o r t : des couples r 6 p a r t i s ou concentrgs, p a r exemple, pourvu qu'on s o i t capable de d 6 f i n i r l e u r t r a v a i l v i r t u e l .

B. Nayrales

D'une fagon a b s t r a i t e nous a p p e l l e r o n s "bl6ment mgcanique" l e h r i p l e t des deux espaces e t de l a forme b i l i n 6 a i r e qui l e s met en d u a l i t 6 :

%= (U, <<.,.>>,

Q)

k t nous supposerons t o u j o u r s que c e t t e d u a l i t 6 e s t sgparante. Soient maintenact $1,.

..,

$

des e f f o r t s exerc6s s u r l a plaque :

i l s sont en g q u i l i b r e , p a r d g f i n i t i o n , s i l e u r s o m e e s t n u l l e ' :

puisque, l a d u a l i t 6 s 6 p a r a n t @,

c e c i 6quivaut 2 d i r e que l a s o m e de l e u r s

travaux v i r t u e l s e s t nulle.

$ 2 LOIS D ' E F F r n Dans l e s problkmes de M6canique l e s e f f o r t s sont quelquefois donn6s e x p l i c i t e m e n t , Come l e s a c t i o n s de p e s a n t e u r , mais p l u s souvent p a r des l o i s . Par exemple : l o )Loi de r g s i s t a n c e 6 l a s t i q u e : on s e donne une a p p l i c a t i o n

l i n 6 a i r e de U dans Q :

) ' 2

Loi de l i a i s o n a f f i n e p a r f a i t e : on s e donne une v a r i 6 t 6

affine uo + V de U e t l ' o n pose que u t u

+ V

e t q u ' i l y a un e f f o r t de l i a i s o n a s s o c i 6 pouvant

vO.

q u e l l e v a l e u r dans l ' o r t h o g o n a l 3')

Loi f o n c t i o n n e l l e

p a r exemple a u "mouvementl' t

02 r e s t une fonction donn6e.

+

prendre n'importe

- Une

t e l l e l o i f a i t i n t e r v e n i r l e temps.

u ( t ) on f a i t correspondre l ' e f f o r t

J-m

B. N a y r o l e s

Oublions pour l ' i n s t a n t c e d e r n i e r exemple pour observer l e s deux premiers; l e s g 6 n 6 r a l i s a n t nous poserons l a D 6 f i n i t i o n : on a p p e l l e l o i d ' e f f o r t s u r 1'616ment mBcanique

une multi-

a p p l i c a t i o n A de U dans 0 : b/U E

I

U

+

A ( U )C 0

A(u) Btant Bventuellement vide.

Lorsque ~ ( u s)e r g d u i t , pour t o u t U, B un s e u l BlBment, A e s t une f o n c t i o n o r d i n a i r e , c o m e dans l e premier exemple. Le second, p a r opp o s i t i o n , f a i t b i e n / i n t e r v e n i r m e multi-application en posant :

Nous a l l o n s v o i r en e f f e t que c e t t e d g f i n i t i o n d'une l i a i s o n p a r f a i t e correspond b i e n 5 l ' u s a g e des mBcaniciens. En e f f e t un probldme u s u e l de M6canique e s t l e s u i v a n t : on s e donne n l o i s d ' e f f o r t Al,..., d'6quilibre"

An,

e t on cherche 5 r6soudre 1' "Bquation

:

c ' e s t 5 d i r e l e systdme :

S i p a r exemple A1 d 6 f i n i t m e l i a i s o n a f f i n e p a r f a i t e 1'6quation @'admet

6 v i d e m e n t de s o l u t i o n que dans l a v a r i 6 t 6 a f f i n e correspondan-

te. L V 6 c r i t u r e @ conduit 2 d 6 f i n i r l a somme de d e w l o i s d ' e f f o r t c o m e s o m e de d e w multi-applications

:

B. Nayroles

Remar que Revenons maintenant 2 l'exemple 3O). 1.1 ne r e l d v e Bvidemment pa$

-

de l a d e f i n i t i o n d'une l o i d ' e f f o r t s u r 11616ment m6canique s i d g r o n s un 616ment mecanique oG

. U est . $ cst

,.,

8=

(u,

{<.,.>),i)

e . M a i d con-

un espace de f o n c t i o n s du temps 2 v a l e u r s dans U un espace de f o n c t i o n s du temps

2 v a l e u r s dans

@

T dksignant l ' i n t e r v a l l e de v a r i a t i o n du temps. A l o r s u n e . l o i fonctionn e l l e sur

%

pourra 8 t r e d k f i n i e c o m e une l o i d ' e f f o r t sur

.

.

A i n s i , moyennant l e remplacement de l ' e s p a c e des c o n f i g u r a t i o n s p a r c e l u i des mouvements e t l e s remplacements correspondants, nous pourr o n s f a i r e e n t r e r l e s l o i s de comportement dans l e cadre des l o i s d'effort

.

Les dkplacements u E U qui sont des "d6placements" a u sens des t r a n s f o r m a t i o n s ggomktriques sont l e s f o n c t i o n s a f f i n e s du couple Q n l e s nomme encore "d6placements s o l i d i f i a n t s " .

(X,~)=M

11s c o n s t i t u e n t un sous-

espace v e c t o r i e l Us de U. Pour l e mgcanicien il e s t 6quivalent de suppos e r l a plaque indkformable ou d'imposer l a l i a i s o n p a r f a i t e :

2 l a q u e l l e on a s s o c i e done l ' e f f o r t de l i a i s o n bS, a r b i t r a i r e dans Supposons done que l a plaque s o i t soumise

U.O

l a l i a i s o n dlind$-

,.

f o r m a b i l i t k prgcgdente, donc B l ' e f f o r t de l i a i s o n bS, e t a u s s i B d ' a u t r e s e f f o r t s $,

,..., $n de s o m e

$. Le systsme composk de

B. N a y r o l e s

$1 +

...

$S €

us0

+

9,

= 0

+

e s t Bquivalent B 1'Bquation

ConsidErons l ' e s p a c e q u o t i e n t c a t i o n canonique de @ s u r

%

.

L161Ement ti =

s e u r a s s o c i 6 B l ' e f f o r t $". Comme

@

Q / U ~ O

&

= g,e t notons

2 ( $ i ) 66

4

l'appli-

e s t d i t "tor-

e s t lingaire, l'dquation d16quilibre

kquivaut &

qui e s t du t y p e

@.

C e t t e ressemblance conduit

consid6rer l a d u a l i t 6

dgfinie e n t r e Us e t $ p a r

05 $ e s t un 61Bment a r b i t r a i r e de&-'(t).

a

e s t a l o r s 1'6quation 6'6-

q u i l i b r e pour 1'"616ment mgcanique q u o t i e n t " (US,

( . I . ) , $) , p a r l e q u e l

nous pouvons remplacer 1'61Ement mBcanique i n i t i a l . Nous reviendrons, d'une fagon p l u s systCmatique, s u r c e t t e not i o n de q u o t i e n t e t en p a r t i c u l i e r nous verrons c e q u ' i l a d v i e n t d'une l o i d ' e f f o r t p a r passage a u q u o t i e n t .

S o i t u c U un champ de dkplacements quelconque pour l a plaque. On s a i t d i r e s ' i l e s t ou non s o l i d i f i a n t mais on ne s a i t pas encore d6fih i r 2 q u e l l e dkformation il correspond. D'un p o i n t de vue g l o b a l nous pourrons d i r e que dewc champs u e t u' deaU correspondent & l a *me

d6formation

(le l a plaque - s l i l s d i f f s r e n t d'un dgplacement s o l i d i f i a n t ; a u t r e m e n t _ - ~ .lt e

point

de m e g l o b a l permet de d k f i n i r un Btat de dkformation de l a plaque Cornme un Blkment de l ' e s p a c e q u o t i e n t U/U

.

B. Nayroles

E t a n t donn6 un systkme m a t 6 r i e l quelconque l a M6canique 616ment a i r e considkre d'habitude des e f f o r t s " e x t 6 r i e u r s " ou " i n t 6 r i e u r s " a u syst2me. Ces d e r n i e r s ont pour p r o p r i 6 t 6 e s s e n t i e l l e de ne pas t r a v a i l l e r dans l e s ddplacements s o l i d i f i a n t s , c ' e s t - b d i r e e t d'"ere

d ' 8 t r e de t o r s e u r n u l ,

donn6s par des l o i s inddpendantes de ceux-ci.

Pour m6nager l a

s i g n i f i c a t i o n u s u e l l e de l ' e x p r e s s i o n " e f f o r t s i n t g r i e u r s " , nous emploier o n s l ' a d j e c t i f "interne" e t nous poserons l a D d f i n i t i o n : Une l o i d ' e f f o r t A e s t d i t e i n t e r n e 2 1'616ment mdcanique 8 s i 1') A e s t 2 v a l e u r s dans U )'2

s' ( t o r s e u r n u l )

A e s t i n v a r i a n t e p a r d6placement s o l i d i f i a n t :

Ceci s i g n i f i e qu'une t e l l e l o i ne d6pend que de l a dgformation. C e t t e d 6 f i n i t i o n c o n s t i t u e l a t e n t a t i v e de c a r a c t g r i s a t i o n des e f f o r t s int 6 r i e u r s l a p l u s pouss6e qu'on p u i s s e e f f e c t u e r sous l e s e u l p o i n t de vue g l o b a l ; e l l e ne permet pas de rendre compte de l a n o t i o n de mat6riau e t de lei c o n s t i t u t i v e : c e t t e n o t i o n e s t e s s e n t i e l l e m e n t l o c a l e . C'est pour*

quai il f a u t i n t r o d u i r e une d 6 f i n i t i o n l o c a l e de l a d6formation e t des efforts int6rieurs. Nous avons donc 2 i d e n t i f i e r t o u t d'abord l ' e s p a c e q u o t i e n t u/Us,

parfaitement a b s t r a i t , 2 un espace v e c t o r i e l de champs d 6 f i n i s s u r

0. Consid6rons 1 1 0 p 6 r a t e u r d i f f g r e n t i e l

a2u Ia2u g r a d grad u

=

OXdY

I

=

,i,j

I1 a s s o c i e B t o u t u e U (on a suppos6 p a r exemple U = c 2 ( T ) ) un

champ de t e n s e u r s symgtriques :

M c 2 t. grad grad U ( M )6

E3

(espace v e c t o r i e l de dimension 3 )

B. N a y r o l e s

0

u

grad grad u = 0

6 US <-

Une des r e p r g s e n t a t i o n s p o s s i b l e s du q u o t i e n t U/U

s

e s t donc

l'espace v e c t o r i e l des champs grad grad u. C'est gvidemment l a p l u s simp l e e t e l l e e s t u t i l i s g e dans l a t h g o r i e des plaques minces; mais nous sa+ vons q u ' e l l e p e u t E t r e i n s u f f i s a n t e pour l a d g f i n i t i o n des l o i s c o n s t i t u t i v e s ; admettons-la pour l ' i n s t a n t . E l l e s i g n i f i e que l e t e n s e u r de courbure e s t une information s u f f i s a n t e pour l a connaissance de l a dgformat i o n l o c a l e de l a plaque. On admet a l o r s que l ' e f f o r t $m dgveloppg par l e matgriau peut E t r e dBfini 2 l ' a i d e d'un champ de t e n s e u r s symgtriques s p a r : <> =

-

r

J 61

( g r a d g r a d u)(M).s(M) do

02 l e p o i n t s i g n i f i e l e double p r o d u i t c o n t r a c t 6 des t e n s e u r s :

s e s t appel6 un champ de c o n t r a i n t e s . On n o t e que $ 6 US0. m Ceci conduit 2 i n t r o d u i r e un espace v e c t o r i e l & e l E de champs de t e n s e u r s symgtriques d g f i n i s s u r 61 e t t e l que l ' o p g r a t e u r de d6formation

D = grad grad s o i t une a p p l i c a t i o n de U dans E ( ~ a exemple r E = ( ~ ~ ( 63 ,1 )

& i n t r o d u i r e un a u t r e v e c t o r i e l S de champs de t e n s e u r s symgtriques dBfinis s u r 61, t e l l e que l a forme b i l i n g a i r e (e,s) 6 E

x

SH < e,s>=

r

J 61

e(M).s(M) do

e x i s t e , q u i t t e Bventuellement, ? Bteindre i l a s i g n i i i c a t i o n de l t i n t 6 g r a l e 4

E e s t l ' e s p a c e des champs de dgformation, D ( U ) C E c e l u i des champs de d6formations int6grableS. S e s t l ' e s p a c e des champs de c o n t r a i n l tes.

B. Nayroles

- <e,s> e s t l e t r a v a i l du champ de c o n t r a i n t e s s dans l e champ - correspond & l a convention de signe qui con-

de d6formation e ; l e signe

s i s t e & consid6rer comme p o s i t i v e s l e s c o n t r a i n t e s de t r a c t i o n . Dans l e cas de l a pltque

S

eSt un champ de "tenseurs de flexion".

~ ' ~ ~ E r a t ed6formation ur D e s t une application de U dans E : il &et

un transpos6 Dt, application de S dans l e dual algsbrique U

*

de U ;

par d d f i n i t i o n

On note que

On supposera que S a Et6 c h o i s i en s o r t e que

autrement d i t que t o u t 616ment g g US0 peut d t r e reprEsent6 par au m i n s m un champ de contraintes s E. S, c ' e s t & d i r e , d'aprss @ :

Supposons l a plaque soumise & un e f f o r t quelconque $ e t ?li' e f fort $

m

repr6sentE par s : i l s sont en Equilibre s i

c ' e s t & d i r e , compte-tenu de

0

@

@,

si

= Dts

qui e s t 116quation d16quilibre. Notons que

ce qui montre que l e noyau ker ( Dt ) e s t l'orthogonal de D ( u ) .

B. N a y r o l e s

Le diagramme ci-dessous rdsume l a s i t u a t i o n , parfaitement syrnetrique s i

@

e s t remplacge par

t D S = U O S

0

ker D = U c U S

<<.

,.>>

@

T

=us0

tI

1.

= D~(s)

Dt

1

D(U) c E

S zi ker D~ = D ( u ) '

<.,.>

Une l o i d ' e f f o r t C sur l'dldment mecanique (E, <.,.>,

S) e s t

une l o i c o n s t i t u t i v e s i e l l e e s t d d f i n i e localement par une multi-application

rM, dependant

de M, de

t gdans

lui-dme; par d 6 f i n i t i o n :

La l o i c o n s t i t u t i v e C d d f i n i t s u r 1'816ment mecanique

(u,

<<. ,.>>,

S) l a l o i d'effort interne A :

Du point de vue g l o b a l seule l a l o i A e s t observable. Pour a t teindre C c'est

rM §

a

d i r e pour e f f e c t u e r des mesures susceptibles de f o u r n i r

il f a u d r a i t decouper l a plaque en morceaux infiniment p e t i t s .

5, LIAISONS: D E P L A C ET ~ DEFOWTIONS IWQSES En g6nBral une t e l l e plaque e s t soumise 2 des conditions d'ap-

pui qui empdchent t o u t dLplacement d'ensemble. Nous supposerons que l a plaque e s t fix6e par son bord; s o i t

aa = ala u a2n une

art it ion

de l a f r o n t i s r e 362.

u

a3a

B. Nayroles

- Sur l e bord e s t l i b r e - Sur a2n l e bord e s t simplement appuy6

c e qui correspond 2

l f E q u a t i o n de l i a i s o n

-

oii u0 e s t un 616ment donn6 de U -Sur a30 l e bord e s t e n w s t r 6 , c e qui correspond a m 6quations de l i a i s o n

Nous supposons donc que l e s 6quations de l i a i s o n sont a f f i n e s e t q u l i l en e x i s t e une s o l u t i o n p a r t i c u l i s r e u0 dans U. Alors l e s solutions du systsme

@ + @

c o n s t i t u e n t une v a r i 6 t k a f f i n e u0 + V de U,

= l e s t 2 d i r e que c e s 6quations s e r6sument B

V e s t l l e s p a c e v e c t o r i e l des dgplacements v i r t u e l s compatibles l e s l i a i s o n s . Au niveau des d6formations

@

entra4ne

e t s i l e s l i a i s o n s i n t e r d i s e n t t o u t deplacement s o l i d i f i a n t , c ' e s t 2 d i r e

si, c o m e nous l e supposerons t o u j o u r s d6sornais :

v n us alors

@

et

@

= { o ~

s o n t Bquivalents. Duo e s t une "d6formation impos6e1',

u0 un "d6placement imposCtl. Notons cependant quton peut envisager a u s s i une dEformation imposee e0 qui ne s o i t pas de l a f o m e Mu0, p a r exemple une dEformation d ' o r i g i n e thermique.

B. N a y r o l e s

S 6, EQUATIONS D'EQUILIBRE

DE IA PLAQUE

h.6cisons maintenant 1 1 0 p 6 r a t e u r D~ l o r s q u e l ' e f f o r t $ qui app a r a r t dans 116quation d 1 6 q u i l i b r e :

t D s = $

0

e s t d 6 f i n i p a r une d e n s i t 6 s u r f a c i q u e de f o r c e p, une d e n s i t 6 l i n 6 i q u e de force f d 6 f i n i e s u r

an , en

an,

e t d'une d e n s i t 6 l i n 6 i q u e de couple e d 6 f i n i e s u r

s o r t e que

5 d6signe l ' a b s c i s s e c u r v i l i g n e de l a f r o n t i s r e . ~ o n s i d 6 r o n st o u t d'abord un champ s G S, e t d e w f o i s contincment d 6 r i v a b l e s u r

n.

Nous pouvons 6 c r i r e :

g r a d grad u.s = u d i v d i v s

03

- div

( u . d i v s ) + d i v ( g r a d u.s )

g r a d u.s e s t l e p r o d u i t c o n t r a c t 6 du vecteur grad u p a r l e tenseur s Dans c e s conditions nous pouvons Bcrire =

= n

I

a (grad g r a d u ) . s

u div div s

+

I

an

(grad u.s

-u

d i v s).n

d6signant l e v e c t e u r u n i t a i r e normal e x t 6 r i e u r 2 l a f r o n t i s r e . Notons

t l e v e c t e u r u n i t a i r e tangent 2 c e l l e - c i en s o r t e que s u r l a f r o n t i z r e

Alors

,

u div aiv s +

r

]

au

t.s.o +

I

a U n.s.n ,an 5 7

-

I

a,udiv s n

B. Nayroles

On p e u t transformer l e second membre en i n t 6 g r a n t p a r p a r t i e s :

J

an

- t.s.n

'F

=

-

Jan

u

a (t.m.n) -

e t i n t r o d u i r e l e rayon de courbure alg6brique p de l a f r o n t i s r e :

c e qui donne finalement

En i d e n t i f i a n t

17

e t 18 on t r o u v e donc

div div s = p

(19.1)

d i v s., +

P

(n.s.n

- t.s.t)

qui s o n t l e s 6quations d 1 6 q u i l i b r e , 6quivalentes $

+ t.

at

@ , d'un

.n = f champ de

c o n t r a i n t e s r 6 g u l i e r s e t d'un e f f o r t T d 6 f i n i p a r p, f e t c.

Si f (nu1 s u r a l n ) e t c (nu1 s u r

a l n LI a2n)

d6finissent l'ef-

f o r t de l i a i s o n t a n d i s que p d 6 f i n i t l t e f f o r t donn6, a l o r s on peut 6 c r i r e l e s 6quations d 1 6 q u i l i b r e du champ de c o n t r a i n t e s s e t de l ' e f f o r t donn6, compte t e n u des l i a i s o n s : div div s = p

s u r 61

1 d i v s.n + (n.s.n P

- t.s.t)

-

+ t

as .ac . n = O sur -

S U T ~ I R

aln

-a2il-

L 1 6 c r i t u r e des c o n d i t i o n s aux l i m i t e s a longtemps pos6 des problsmes & mgcaniciens, e t s u r t o u t pour l e bord l i b r e a l R . L'emploi des mgthodes de t r a v a i l v i r t u e l r6soud ais6ment c e t t e d i f f i c u l t 6 . S i s n ' e s t pas un champ r 6 g u l i e r l t 6 q u a t i o n (19.1) conserve un

B. Nayroles

sens en consid6rant l a d i s t r i b u t i o n d i v d i v s . Par contre l e s equations s w l a f r o n t i s r e n'ont p l u s de s i g n i f i c a t i o n en gdn6ral : l a "trace" de s s u r all peut f o r t bien n ' g t r e pas d 6 f i n i e . C 1 e s t 11 que r 6 s i d e un des avantages majeurs de l a Mecanique du t r a v a i l v i r t u e l pour l a q u e l l e llSquation

0 a un sens pr6cis.'

C ' e s t pourquoi l e m6canicien envisagera t o u j o u r s des probldmes pos6s par l a m6thode du t r a v a i l v i r t u e l , qui donne une formulation v a r i a t i o n n e l l e d i r e c t e . Au c o n t r a i r e 1 ' 6 c r i t u r e d16quations d i f f e r e n t i e l l e s d&t Gtre 6 v i t 6 e l e p l u s souvent p o s s i b l e , du moins dans une premiere approche dlun probldme de M6canique des S o l i d e s .

5 7. S1.IUATJQN.DE REFERENCE POUR UI4 PROBB'E DE FECANIQUE DES SOLIDES Les l i a i s o n s que nous avons imposees B l a plaque s o n t p a r f a i t e s : l ' e f f o r t de l i a i s o n d 6 f i n i p a r f e t p a r c d6veloppe un t r a v a i l v i r t u e l nu1 dans un deplacement v i r t u e l compatible avec l e s l i a i s o n s ; a u t r e ment d i t c e t e f f o r t de l i a i s o n a p p a r t i e n t 2 VO. On Ijeut remplacer 0 par 19 quotient F = @/VO e t 11616ment m6canique

%

avec une d e f i n i t i o n 6vidente de <<.,.>>.

C1est l a mgme d6marche qu'au pa-

p a r 11616ment q u o t i e n t

ragraphe 3. Notons A l a r e s t r i c t i o n & V de l l o p E r a t e u r D. Si $ d6signe t l ' a p p l i c a t i o n canonique de @ s u r F : A = $ o D ~ e, t l ' o n r e t r o u v e un sch6ma analogue 2 c e l u i du paragraphe 5 :

I

A

e0 + A ( V ) CE

<.,.>

TAt

S 2 ker ( A )

= (A(V) l o

t On a A S = F parce que V ne c o n t i e n t aucun deplacement s o l i d i f i ~ a n t . On posera

I ' = A(V)

t

J = k e r (A ).

B. Nayroles

~ u ~ ~ o s ddonn6 n s un e f f o r t f d F, e t connue une s o l u t i o n p a r t i c u l i s r e so de 1'6quation d f 6 q u i l i b r e

a l o r s on peut s e c o n t e n t e r d f 6 t u d i e r 11616ment m6canique :

l o ) 2 l a liaison parfaite s o c i 6 &ant un 616ment quelconque

T

e = e0 + I t , l ' e f f o r t de l i a i s o n asde J.

3O) 2 une l o i c o n s t i t u t i v e C On a a l o r s b r6soudre l e syst&ne e € e0 + I '

(6quation de l i a i s o n )

s e s O + J

(Cquation d V 6 q u i l i b r e )

s E C(e)

( l o i constitutive)

Par a i l l e u r s on p e u t considgrer V c o m e un espace de paramgtrage de 1' e t F c o m e une r e p r 6 s e n t a t i o n du q u o t i e n t S/J. Autrement d i t 11616ment ( v , <<. lf616merit ( E , <.,.>,

,.>>,

F) apparaTt come kl6ment m6canique q u o t i e n t de s).

B. N a y r o l e s

PROBLEI'IES D'EQUILIBRE POUR DES LOIS CONSTITUTIVES

DE TYPE SOUS-DIFFERENTIEL

E 1, HYPOTHESES GEYERALES - EXBI'LES S o i t ( U , <<.,.>>,

8 ) un 616ment m6canique. On d i t qu'une l o i

B'effort

2st s o u s - d i f f g r e n t i e l l e ,

s ' i l e x i s t e m e a p p l i c a t i o n f de U dans E=[-m,+-)

t e l l e que

Nous supposerons t o u j o u r s que f e s t un glkment de

r

( U ) ; autre-

merit d i t , pour l e s t o p o l o g i e s localement convexes compatibles avec l a dual i t 6 entre U e t 8 :

-f

e s t l ' e n w l o p p e sup6rieure de s e s minorantes a f f i n e s continues

gu, c e qui e s t k q u i v a l e n t :

-f

ne prend p a s l a v a l e u r

--,e t

f e s t convexe e t semi-continue in-

fgrieurement ( c f r . J.J. MOREAU, ( l ) ,e t son expos6 s u r l e s f o n c t i o n s convexes B c e t t e kcole d ' 8 t 6 ) . On a a l o r s 1'6quivalence des quatre l i g n e s s u i v a n t e s regroupkes b n s m e mzme accolade :

B. Nayroles

03 f

* ddsigne

l a fonction conjuguse de f.(2.3)

exprime que ( u , -lp)

e s t un

couple de p o i n t s conjugu6s par rapport au couple de fonctions conjugu6es (ou d u d e s ) ( f ,f*). Celles-ci s a t i s f o n t 1 1 i n 6 g a l i t 6 suivante, 2 l a base des th6orbmes d'extremum c l a s s i q u e s :

d'o3 r E s u l t e d ' a i l l e u r s 1'6quivalence de (2.3) e t (2.4). Venons-en maintenant 2 quelques exemples usuels 1.1 E f f o r t lpO donne i

Vu 6 U

f = <<.,-lpO>>

f

: ~ ( u =)

.

!$'I

*=$ I-lpOl

03 $B dgsigne, comme d'habitude l a fonction i n d i c a t r i c e d'un ensemble B

1.2 vexe ferm6

r

Liaison u n i l a t 6 r a l e convexe p a r f a i t e

- On s e donne un con-

de U (information cin6matique), dans l e q u e l on impose $ l a

configuration u de. r e s t e r . La ggn6ralisation n a t u r e l l e de l i a i s o n unilat 6 r a l e sans frottement e s t a l o r s donn6e

l a l o i d ' e f f o r t sous-diff6-

r e n t i e l l e suivante ( c f r . J.J. MOREAU ( 2 ) ) :

qui exprime que l ' e f f o r t e s t nu1 s i u e s t i n t g r i e u r 3 C , d i r i g 6 suivant une normale r e n t r a n t e s i u e s t s u r l a f r o n t i z r e . Comme cas p a r t i c u l i e r s : c = u O + V

alors

Jl*c =

<< uO,.>>

+

JI

v

.

et

~ ( u: ) voII#

:

B. N a y r o l e s

Lois de type r i g i d e p l a s t i q u e

1.3 ckdent; s o i t

Selon

r

- C'est

l e c a s dual du pr6-

un convexe ferm6 de l ' e s p a c e 8 . On p r e n d . :

que U e s t un espace de c o n f i g u r a t i o n ou de v i t e s s e s on o b t i e n t l a

p l a s t i c i t k de HENCKY ou de PRANDTL-REUSS. Dans l e second c a s $*

r

est l a

fonction "puissance de d i s s i p a t i o n p l a s t i q u e " , e t dans l e premier 1' Wenetg i e dissip8e1'. 1.4 Lois d i f f k r e n t i e l l e s rentiable. Alors :

-f

e s t une f o n c t i o n faiblement d i f f 6 -

C ' e s t en p a r t i c u l i e r l e c a s de 1 ' 6 l a s t i c i t C oil l ' o n suppose prkcis6men-t l ' e x i s t e n c e de l a fonction "knergie p o t e n t i e l l e f" t e l l e que $

=

- grad f

La p l u p a r t des " l o i s de r 6 s i s t a n c e t ' sont a u s s i de t y p e sous-diff k r e n t i e l ( c f r . J.J. MOREAU ( 3 ) ) . 1.5

Lois c o n s t i t u t i v e s

- Revenons 2 c e t t e notion

t u t i v e ; on considbre 1'klEment mscanique ( E , <.,.>,

de l o i c o n s t i -

S ) oii E e s t l ' e s p a c e

des d6formations, S c e l u i des c n n t r a i n t e s , <e,-s> l e t r a v a i l v i r t u e l . Une

lei c o n s t i t u t i v e de type s o u s - d i f f k r e n t i e l s ' k c r i r a d ~ n csous l a forme

oil f e t f

*

s o n t conjugukes p a r r a p p o r t L l a forme b i l i n 6 a i r e <. ,.>.

La r e l a t i o n e n t r e l a forme g l o b a l e ( 4 ) de l a l o i e t s a forme lo-

c a l e s e r a dtudike p l u s l o i n au paragraphe 3.

B. Nayroles

A l a f i n du chapitr.e I nous avons vu que l a s i t u a t i o n de r6f6-

rence 6 t a i t l a s u i v a n t e : 1'616ment m6canique (E, <. ,.>,

S) e s t soumis

l o ) 2 l a l i a i s o n p a r f a i t e d16quation e 6 e O + I , 2 l a q u e l l e k s t a s s o c i 6 l a c o n t r a i n t e inconnue de l i a i s o n

- T O J = 1'.

2')

2 une c o n t r a i n t e donn6e -so.

)'3

2 une l o i c o n s t i t u t i v e que nous supposons i c i de l a forme 4 ,

On cherche 2 6 q u i l i b r e r c e s t r o i s l o i s de c o n t r a i n t e s , d V a i l l e u r $

t o u t e s de t y p e s o u s - d i f f g r e n t i e l s i I e s t ferm6 pour l e s t o p o l o g i e s cornpar t i b l e s avec l a d u a l i t 6 , c e que nous supposerons. Notons

,f

(e,s) e (E

(5)

s

s

t2

1

et

E

x S r

8

-+

-+

l e s fonctionnelles : f(e,s)

= f ( e + e O ) + f * ( s + s O ) - re+eo,s+so)

(e) = f (e+eO)

-

t 2 ( s ) = f*(s+so)

<e+eO, s o >

- <eO,s>

1 e s t d i t e " i n e r g i e de d6f ormat ion",

taird'.

-I2

"Energie compl6men-

Le probldme d ' g q u i l i b r e s ' 6 c r i t :

Problsme I : Trouver h i s

f

(E ,T) €

I

x

J t e l que

e s t p o s i t i v e d'aprSs($

t

(c ,T) = 0

Par cons6quent e l l e e s t minimum

s i ( E, T I e s t s o l u t i o n . D'autre p a r t l a r e s t r i c t i o n de

s o m e des r e s t r i c t i o n s de

f 1

I e t de

f 2

k

2 J , puisque

Par s u i t e t o u t e s o l u t i o n du problsme I e s t s o l u t i o n du

2 I

x

J est l a

= 0.

B. N a y r o l e s

Probldme I1

- Minimiser l a r e s t r i c t i o n

de

d

I I

x

J

e t ce probldme e s t Bquivalent I l a reunion des d e n probldmes p a r t i e l s suivants : Problsme I11 Problk IV

- Minimiser l a r e s t r i c t i o n de.

- Minimiser l a r e s t r i c t i o n

f l

1I

de f 2 I J

( i . e . min.

.Il

( i . e . min. f 2

+ $I)

+ $JJ)

Nous a l l o n s 6 t u d i e r 116quivalence Bventuelle de ces d i v e r s pro-

f

b l d ~ s .~ o t o n sque r (S) P l u s encore :

.

Proposition 1

-

f

1

1 et

et

f

f2 2

appa?tiennent.respectivement I T ~ ( Ee) t I

sont un couple de f o n c t i o n s c o n j u g d e s .

En e f f e t , en u t i l i s a n t l e s r d g l e s de c a l c u l c l a s s i q u e s :

Si nous consid6rons maintenant

f

+ $,,

que minimise 1; p r o b l k

me 111, s a f o n c t i o n duale e s t , par d g f i n i t i o n

e t l 1 o n s a i t que c e t t e "r-convolution"

e s t l a r-rBgularis&e de l'inf-con-

volution ( c f r . J.J. MOREAU (1) ch. 9 )

Nous a l l o n s r e v e n i r s u r l e s c a s c l a s s i q u e s d 1 6 g a l i t 6 e n t r e l a e t llinf-convolution; Proposition 2

-

supposons q u ' e l l e a i t l i e u ; a l o r s :

Les t r o i s a s s e r t i o n s s u i v a n t e s s o n t B q u i v d e n t e s

r

B. N a y r o l e s

En e f f e t on a inf (

& i +

% ) ( e l = inf ( f l ( e ) + $,(-el)

eEE

= (

fl v

o,)(O)

ecE

e t d'autre part

DfoC en u t i l i s a n t a u s s i l e s r g s u l t a t s analogues s u r

f2

+ OJ :

c e qui dkmontre La p r o p o s i t i o n . C f e s t un r k s u l t a t trss p u i s s a n t qui permet de considgrer comme pratiquement i n u t i l e t o u t r k s u l t a t d f e x i s t e n c e , p u i s q u ' i l affirme l ' e x i s t e n c e , beaucoup p l u s i n t g r e s s a n t e , de " s o l u t i o n s a r b i t r a i r e m e n t approch&s" c f e s t ? di i r e de couples ( c ,T) rendant

?arbitrairement p e t i t e .

Rappelons maintenant, dans une msme p r o p o s i t i o n , deux c a s

c l a s s i q u e s d f k g a l i t 6 de l f i n f - c o n v o l u t i o n e t de l a r-convolution ( c f r . J.J. MOWAU

(I)

Pmposition 3

ch. 9 ) .

- Soient

*

*

( f , f ), (g,g ) d e w couples de f o n c t i o n s duales.

l o ) S i l f e n s e m b l e cont. ( f ) des p o i n t s 03 f e s t f i n i e e t continue e t lfensemble dom. ( g ) des p o i n t s oii g e s t f i nie satisfont dom. ( g ) + cont.

($1

+

E

2O) S 1 i l e x i s t e un p o i n t a de E 05 f e s t f i n i e e t cont i n u e e t oii g e s t f i n i e , a l o r s f*

v

g* = f*

n g*

B. Nayroles

e t c e t t e inf-convolution e s t exacte c ' e s t

d i r e que l ' i n f l

e s t un min. :

On peut 6videmment inverser l e s r s l e s jou6s par E e t S, f e t f*f g e t g*. Le second c a s f o u r n i t , outre l t 6 g a l i t 6 cherchge,

/

un r E s d t a t

dl existence suppl6mentaire. Appliquons c e t t e proposition sux couples "de fonctions duales (

1, f 2

1,

($,,

$,).

Supposons par exemple que l a cm-

d i t i o n 1') s o i t s a i s f a i t e ; a l o r s 0 edom

.+ cont

L

1

puisqu'en g6n6ral cont. ($I) e s t vide (sinon I = E). Alors : I

3 TCI

T

6 cont. (

de s o r t e que nous sommes a u s s i dans l e second cas. Pour l ' a p p l i c a t i o n de Pa

3

l a recherche des cas de v a l i d i t 6 des hypothsses de la pro-

p o s i t i o n 2, il s u f f i t donc de s V i n t 6 r e s s e r au second cas. S i c e l u i - c i a l i e u nous avons :

de s o r t e que, outre l e r 6 s u l t a t dtEquivalence fourni par l a propositian 2 nous avons c e l u i de l ' e x i s t e n c e d'au moins.sne solu~ry?'@oui-le prob-ZV. En regroupant l e s r 6 s u l t a t s qui pr6cSdent : Th6orBrne 1

- S'il

e x i s t e un point d e d oil f ( e o + . ) e s t f i n i e e t continue

. '(resp.

*

un point de J 06 f (so+.) e s t f i n i e e t continue),

alors : .

B. N a y r o l e s

e t en p a r t i c u l i e r l e s probldmes I e t I1 sont bquivalents. De p l u s l e probldme I V ( r e s p . 111) admet a u moins une solution.

tl p2.

~ ' u n i c i t 6des s o l u t i o n s s e r a assurbe dds que s e r o n t s t r i c t e m e n t convexes l e a f o n c t i o n n e l l e s

et

Les probldmes I11 e t I V , e t l e thbordme d'bquivalence I c o r r e s pondent aux " p r i n c i p e s v a r i a t i o n n e l s " l e s p l u s fr6quemment rencbntrbs. On

voitq u * i l s d b r i v e n t t o u s de l a msme s t r u c t u r e mathbmatique.

S 3, FO~IATIONDES PROJlEPES DE POINT-SELLE Nous avons d i t que l e s probldmes I11 e t I V 6 t a i e n t duaux l ' u n de l ' a u t r e : c e l a s i g n i f i e q u ' i l s sont l e s probldmes d'extremum a s s o c i b s

2 un probldme de p o i n t - s e l l e . Rappelons rapidement de .quai il s ' a g i t : Soient (E, <. ,.>, S ) , ( X , (.I.), Y) deux couples d'espaces vect o r i e l s en d u a l i t 6 e t L un Lagrangien :

f o n c t i o n s e l l e du couple ( e , y ) , c ' e s t f

e

t

~

Y

E

~

L

dire

L ( e , . ) e s t concave

Y

L ( . , ~ )e s t convexe

On considdre l e probldme suiv&t Probldme P.S.

I

On a

:

Trouver ( e l , y l ) , p o i n t - s e l l e de L, c ' e s t

dire solution p e

l a double inbquation

V(e,y) t E

x

y

:

~ ( e , y )6 sup ~ ( e , z ) zey

d'oa

y & Y

i n f L ( ~ , Y6) i n f sup ~ ( e , z ) e S

&ztY

sup ybY

(9)

i n f ~ ( e , y )6 i n f e@ e@

sup ~ ( e , y ) Y~Y

Supposons maintenant q u ' i l e x i s t e un p o i n t - s e l l e ; a l o r s inf etE

sup L ( ~ , Y )Cmax L(e,,y) Y ~ Y

~ C Y

= ~ ( e ,y,) ,

= b i n L(e,y, ) ,g sup i n f ~ ( e , y ) eeE Y ~ Y eeE

de s o r t e que, p a r conparaison avec [ 9 ) , on o b t i e n t L(e, ,Y,

(lo )

Thkordme

1=

min e@

sup L(e,y) = nAx yey YtY

- S i l e probldme de p o i n t - s e l l e

inf ~ ( e , y ) eeE

admet ( e l , y l ) pour s o l u t i o n a l o r 9

on a l f 6 g a l i t 6 (10)e t e l e t y l sont respectivement s o h t i o n s des probldmes P ( p r i m a l ) e t D (dual) s u i v a n t s : Probldme P : Trouver e l 6 E t e l que sup YbY

~ ( e ~ , y= )min e@

sup L ( e , y ) YtY

Problsme D : Trouver y 1 6 Y t e l que

I

i n f L ( e , y l ) = max YB yey

inf ~ ( e , y ) WE

U t i l i s o n s maintenant l e s t r a n s f o r m a t i o n s de Fenchel p a r t i e l l e s :

B. N a y r o l e s

Par s u i t e l e probldme primal c o n s i s t e b minimiser O(e,0) e t l e problbme dual b maximiser Proposition 4

- x(0.y).

- S i L appartient

b

On d h o n t r e ais6ment l a :

r 0 (E

x

Y) l e s fonctions O e t

x

sont con.

jugu6es pour l a d u a l i t 6 : (E

X

x

,

.

+

.

,

S x Y)

e t l e s s o l u t i o n s du problsme de p o i n t - s e l l e s o n t c e l l e s de l ' d q u a t i o n de conjugaison :

Rewnons maintenant aux problsmes v a r i a t i o n n e l s 6 t u d i 6 s pr6cgdemment, e t prenons

Le probldme I11 e s t de minimiser O1(e,O) : c ' e s t donc l e pro-

'

bldme p r i m a l a s s o c i 6 a u probldme de p o i n t - s e l l e pour l e lagrangien ~ i ( e , y )= $ I ( e )

(13)

- j 2 ( y ) + <e,y>

La duale de 01 e s t

e t c o m e J e s t un espace v e c t o r i e l

de s o r t e que l e problbme d u a l e s t l e problkme I V . Par a i l l e u r s l e probldme de p o i n t - s e l l e pour L de conjugaison

e s t 6quivalent b c e l u i de r6soudre l ' d q u a t i o n

B. N a y r o l e s

On peut c h o i s i r a u s s i , pour l e probldme 111, l k "fonction de perturbation"

d'o3 l e lagrangien L2 e t l a fonction duale ~2

ce qui conduit encore au probldme I V comme probldme dual, mais

un pro-

bldme de point-selle diff6rent mais l u i a u s s i 6quivalent a u probldme I. D'oii l e ThkorSme I1

- Le probldme I e s t

6quivalent & chacun des deux ~robldmesde

point-selle : Trouver ( e l , s l ) solution de (e,s)

Ex S

~ l ( e l , s )6 L l ( e l , s l ) 6 L i ( e , s i )

Trouver ( e l , s l ) solution de

1

03 Ll e t L2 s a t d6f'inis aux l i g n e s (13) e t (14).

Le probldme de point-selle associ6 B L1 pr6sente l'avantage d ' t t r e en pratique sans contrainte p u i s q u ' i l peut s t r e rem'lac6 par l e problkme de point-selle pour l e Lagrangien :

B. Nayroles

La f o n c . ~ i o n n e l l ede REISSNER Dans c e qui pr6cSde nous avons suppos6 connue une s o l u t i o n p a r t i c u l i s r e so de 1'6quation d 1 6 q u i l i b r e

oii $ e s t donnee dans F ( c f r . chap. I , $7). En p r a t i q u e il n ' e s t pas t o u j o u r s commode de t r o u v e r une t e l l e s o l u t i o n p a r t i c u l i d r e . On p e u t rem6dier 2 c e t inconvgnient en considerant t o u t d'abord l e probldme p r i m a l 111' s u i v a n t , gvidemment dquivalent a u probldme I11 : Problsme 111'

- Minimiser s u r V l a f o n c t i o n n e l l e

On remarque : j v 1 ( v ) = ~ ( A +Ye O ) de s o r t e que, so 6 t a n t en E q u i l i b r e avec

-dAV,Y>

@

e t so nlappara?t p l u s . I n t r o d u i s o n s l a f o n c t i o n de p e r t u r b a t i o n :

Elle conduit a u Lagrangien

e t 3 l a f o n c t i o n duale X(p,s) = +g(s)

-

<e",s>

+ $

(0)

I+

- A ~I ~

( v l , s l ) e s t un p o i n t s e l l e de L s i e t seulement s i

(P f F )

B. Nayroles

c'est b dire

c ' e s t b d i r e que (Avl, s l - s o ) e s t s o l u t i o n du probldme I. Le probldme de p o i n t s e l l e pour L e s t done gquivalent a u probldme I. On note q u ' i l donne directement l e s q u a n t i t 6 s l e s p l u s i n t g r e s s a n t e s

2 savoir l e

champ des c o n t r a i n t e s e t c e l u i des dgplacements. L e s t l a "fonctionn e l l e de REISNNER".

B. N a y r o l e s

Ei 4,

INTEGRANDES CONM(ES ET LOIS CaJSTllUTIMS

S o i t fl un domaine de R ~ E; e t S s o n t des espaces de champs men s u r a b l e s d 6 f i n i s s u r fl, Q v a l e u r s dans R , e t sont mis en d u s l i t k p a r

qulon suppose d g f i n i e s u r E x S. efM).s(M) dksigne l e p r o d u i t s c a l a i r e n dans R NOUS consid6rons l e c a s oii l a l o i c o n s t i t u t i v e r e s t donnke localement p a r une l o i s o u s - d i f f d r e n t i e l l e : e n t o u t p o i n t M de fl on s e donne

un couple de fonctions duales f(M,.) e t g ( ~ , . ) t e l l e s que l a l o i c o n s t i t u t i v e se d6finisse par

On d 6 f i n i t a l o r s , formellement pour l l i n s t a n t , l e s fonctionnelles

c e q u i pose l e problsme de m e s u r a b i l i t g pour l e s intggrandes. Supposons que F e t G e x i s t e n t : e l l e s sont a l o r s convexes. P a r i n t k g r a t i o n terme B terme (15) e n t r a r n e

Inversement (16) entraene que (15) e s t v 6 r i f i 6 e presque p a r t o u t s u r fl puisque

B. N a y r o l e s

Dl05 l a proposition 5

- S i pour t o u t M

-t

couple ( e , s ) & E

f (M,~(M))

M

x

S l e s fonctions

-+

g(M, s(M))

SeqP duslrs

a l o r s (16) e s t gquivalente B (15 l )

f(M,e(M)) + g(M,s(M))

- e(M).s(M)

= 0

p.p.

sur

h

I1 r e s t e encore une question en suspens : l e s f o n c t i o n s F e t G

s o n t - e l l e s duales l ' u n e de l ' a u t r e ? Par i n t g g r a t i o n terme b terme de (17j on a :

e t en p a r t i c u l i e r , p a r exemple ~ ( , e )9 sup s S

(<

e,s >

-~(s))

de s o r t e que F e t G sont des f o n c t i o n s convexes "sur-duales". La t h g o r i e des intggrandes convexes donne des c o n d i t i o n s s u f f i s a n t e s d l e x i s t e n c e de F e t G, e t des c o n d i t i o n s s u f f i s a n t e s pour q u l e l l e s s o i e n t duales. Le l e c t e u r pourra s e r e p o r t e r b R.T. ROCKAFELLAR ( ( I ) ,

(21,

( 3 ) ) e t aux expos& de C. CASTAING s u r c e t t e question. Contentons-nous ici de c i t e r deux r E s u l t a t s dlusage courant en Mgcanique, e t t i r d s de

proposition 6

-

(I).

(Existence de F e t de G ) Les r o n c t i o n n e l l e s F e t G sont

b i e n d g f i n i e s dzs que l ' u n e des f o n c t i o n s f ou g posszde l e s t r o i s propri6tgs suivantes :

2O)

d M.b O

30) v a

R"

{a

.

~ ~ / f ( M , a<) +m)

M

+

e s t d V i n t 6 r i e u rnon vide

f (M,a) e s t mesurable

B. N a y r o l e s

D6finition

- S o i t X un espace de champs mesurables

ddfinis sur

$2.

On d i t

que X e s t ddcomposable s ' i l possbde l e s d e u x p r o p r i 6 t d s suivantes : 1') X c o n t i e n t t o u t e s l e s f o n c t i o n s mesurables bornkes n u l l e s h o r s d'une p a r t i e de mesure f i n i e de $2. 2')

Q u e l s que s o i e n t x C X e t A une p a r t i e de mesure

f i n i e de

$2,

p a r t i e dont on n o t e

t i q u e , l e champ , x Thdorbme I11

- (Dualitd de F e t f

xA

xA

l a fonction caract6ris-

a p p a r t i e n t 1 X.

de G) : S i E e t S sont dkcomposables, s i

e t g s a t i s f o n t l e s hypotheses de l a p r o p o s i t i o n 6 , e t

s l i l e x i s t e a u moins un couple ( e , s ) Q E F ( e ) < +m

I

~ ( s <)

x

S t e l que

+m

a l o r s F e t G sont d u d e s .

15 5. UN W L E D'ELASTICITE NON LINAIRE CtTFO ' RTANT POUR CAS LIMITES LE COrPORTENT RIGIE-PLASTIQUE ET LE M4TERIAU A BLOCAGE Appliquons l e s r d s u l t a t s prdcddents & un exemple type, d ' a i l l e u a s largement prdsentd p a r J.J. MOREAU dans (3), ou p a r B. NAYROLES dans (1) e t (2). On considbre une l o i c o n s t i t u t i v e du t y p e dtudi6 a u paragraphe prdcddent, l e s f o n c t i o n s f e t g M a n t cependant un peu p a r t i c u l i e r e s . Tout d'abord on d d f i n i t en t o u t p o i n t M de

$2

une s o r t e d'inten-

s i t 6 de deformation & l ' a i d e d'une jauge

f o n c t i o n convexe, positivement homogsne de degr6 1, e t que nous supposons de p l u s f i n i e e t p o s i t i v e , n u l l e & l ' o r i g i n e seulement. Autrement d i t l e convexe dont j(M,.)

e s t l a jauge,

a

savoir

A(M) = Ia 6 Rn / j(M,a) ,< 1 )

B. Nayroles

e s t born6 e t son i n t k r i e u r c o n t i e n t 0. ~ a ~ ~ e i que, o n s inversement :

Une f o i s d 6 f i n i e l t i n t e n s i t 6 de d6formation on pose que l a dens i t 6 d"'6nergi~ Blastique" e s t l a f o n c t i o n

p e s t une c o n s t a n t e , pour l ' i n s t a n t p

(r

)I, +w(

c e qui corres-

pond 5 un comportement 6 l a s t i q u e a u s e n s propre du terme. 5.1

Calcul de g(~,.)

Le c a l c u l de l a fonction duale de f(M, .) ( q u i e s t continue puisque f i n i e p a r t o u t s u r Rn) e s t c l a s s i q u e ; on peut s e r e p o r t e r 2 J.J. MOREAU ( ( 1 1 , ch. 1 4 , e t ( 3 ) ) e t 2 R.T. p o l a i r e de A(M) :

ROCKAFELM

( 4 ) . On considsre lfensemble

dont l a jauge k(M, .) e s t d i t e jauge conjugu6e de j ( M , . ) .

B(M) e s t l u i aus.

s i born6 e t posssde 0 comme p o i n t i n t 6 r i e u r . On va montrer t o u t d'abord que k(l.l,b) =

sup

a'b

a.b

O r l a fonction

b

-+

sup a.b a.b>O j (M,a)=l

e s t positivernent homogsne e t s t r i c t e m e n t p o s i t i v e hors de l ' o r i g i n e . I1 s i ~ f f i tdonc d ' s t a b l i r que :

B. Nayroles

a.b sup a.b>O j (M,a)=l

4 1 <->

k ( ~ , b )c 1

Ceci Mant acquis calculons

vaut 0 s i b = 0. S i b n ' e s t pas nu1 a l o r s on a : sup (a*b af0

- -P1 ( j (M,a)jP) = j (M,al sup sup (Xa' ) = l X>O =

sup (a'.blq j(m,atf~=l =

.b

- P xP)

i'a ( k ( ~ , b ) )> ~o

e t p a r s u i t e on a , pour t o u t b : !20)

g(M,b) = 9 ( k ( ~ , b ) ) ~ -

-1.P1 I

et

"duales de Young".

A( .I 9

c o n s t i t u e n t l'exemple l e p l u s c l a s s i q u e de

-

S i pdur t o u t a t Rn l a f o n c t i o n f ( . , a ) e s t 5.2 I n t 6 g r a t i o n m s u r a b l e l e s hypothsses de l a p r o p o s i t i o n 6 s o n t 6 v i d e m e n t s a t i s f a i t e s p i q u e dom f ( ~ , . ) = Rn.

Les f o n c t i o n n e l l e s F e t G s o n t donc d g f i n i e s s u r

n'importe quels espaces E e t S de champs mesurables.

B. Nayroles

D'autre p a r t

~ ( 0 =) 0 = ~ ( 0 )

de s o r t e que F e t G . s o n t sommables pour t o u t couple d'espaces d6composab l e s E e t S. Cependant un choix optimal des espaces E e t S peut E t r e envisag6 : proposition 7

- Soient E'

e t S' l e s ensembles de champs mesurables d6fi-

n i s par e

I

a?

E <=> ~ ( e <)

s

+m

€

S <=> ~ ( s <)

+m

E' e t S' sont des cbnes convexes e t

La convexit6 de F e t de G e t l e u r quasi-homogEn6it6 e n t r a h e n t que E' e t S t sont des clones convexes, e t d ' a u t r e p a r t

achsve l a dgmonstration. S i l ' o n peut E t a b l i r que < e , s > ne prend pas l a v a l e u r

-m

sur

E ' x S' l e choix optimal e s t donc :

D'ailleurs,

dans l a p l u p a r t des cas u s u e l s E' e t S' s e r o n t des

espaces v e c t o r i e l s , p a r exemple l o r s q u e , pour t o u t M, j(M,.) e s t une nor.. me s u r R"

(i.e.

A(EI) e s t 6 q u i l i b r 6 ) .

Le cas l e p l u s simple e s t c e l u i 02 il e x i s t e deux c o n s t a n t e s strictement

a e t B t e l l e s que

auquel c a s l e choix optimal'pr6c6dent donne

E = E ' = ( ~ ~ ( $ 2 ) ) s~ =

sf =

(~~(n))"

B. N a y r o l e s

espaces qui ont l e mkrite dl^etre bien connus

..., e t surtout d j d t r e des

Banach r 6 f l e x i f s ce qui assure l ' e x i s t e n c e des s o l u t i o n s pour l e s probldmes pr6c6dents lorsque I e t J sont fermks. Dans l e cas des-plaques, par exemple, n = 3. Lfop6rateur de d6formation e s t D = grad grad, ce qui conduit B prendre pour U un sous-espace du Sobolev H ~ ' ~ ( Qe)t , pour espace des charges son dual topologique. S i , par exemple l a plaque e s t encastr6e sur son contour on prendra

e t l e s problbmes poses pr6cddemment a d m e t t r o n t - m e solution unique pour t o u t e charge $ 6 ~ ' ? ' ~ ( f l ) ,e t seulement pour des charges appartenant 2 c e t espace.

5.3

Cas l i m i t e s ( p = l , p= +-)

Les consid6rations de l'alinka$sont maintenant f o r t classiques, e t l e s r 6 s u l t a t s d'existence e t d'unicit6 sont f a c i l e s B obtenir lorsque p

e )I, +-(

e t lorsqu'on dispose des inggal?t6s [21).

Sans ces d e r n i s r e s

on peyt encore esp6rer c o n s t r u i r e des espaces fonctiannels adgquats, e t o b t e n i r l'inf-compacit6

f a i b l e des fonctionnelles f l e t

LZ,

"nc

~ ' e r i d

tence des solutions pour l e s probldmes posks : ce s e r a surtout une a f f a i r d de technique math6matique. ~ o u sa l l o n s plut^ot nous occuper du cas ( p = l , q = +),

qei .est,

%sun 6change prds des r^oles jou6s par E e t S, l e mdme que c e l u i ( p = q = 1 ) . Le premier repr6sente un comportement rigide-plastique,

+-,

l e second

rn comportement m i l a t 6 r a l du type "mat6riau 2 blocage". Nous a l l o n s f i x e r l e choix des a p p l i c a t i o n s

e t supposer que (21) a l i e u , pour s i m p l i f i e r . Enfin, pour p nous preeons come pr6c6dement 1 f (M,a) = (j( ~ , ajP) P P

-

t )I, + -(

B. Nayroles

Nous avons dvidemment

l i m f (M,a) = j(M,a) 1 e t d'autre p a r t l a h a l e de j ( W , . ) e s t l a fonction i n d i c a t r i c e du convexe B(M) :

O r prdcisdment on wit imddiatement que, pour t o u t b de R'

Pour p = l on trouve donc l e comportement r i g i d e p l a s t i q u e come l i m i t e du ,comportement dlastique. S i pour t o u t a Q RP l a fonction j ( . , a ) e s t mesurable a l o r s l e s fonctionnelles

sont d d f i n i e s pour t o u t champ mesurable e ou s , en v e r t u de l a proposition

6. D'autre p a r t l a double i n k g a l i t 6 (21) entrarne 1'6quivalence

pour t o u t champ mesurable e. Comme de p l u s j(M,.) e s t l a fonctinn d'appui de B(M) l e s inggalit6.s (21) s'dcrivent a u s s i bien

ori % ( O , r )

ddsigne l a b o d e de c e n t r e 0 e t de rayon r dans Rn. Par s u i t e

on a l e s dquivalences : G(S) <

+m

<-

p9. S W ~ L

&rRI#)

uGCs) = O

B. N a y r o l e s

e t l e s implications

C'est

a

d i r e que l'ensemble convexe des champs mesurables

n 3st contenu dans (Lm(n)) , e t l 1 o n a , dans c e t espace &(O,o)

GC

c q(0.B)

Ceci conduit done a u choix optimum

qui ne sont pas r g f l e x i f s , comme il e s t bien connu. On s a i t ( c f r . NAYROLES

(I),

DWAUT e t LIONS ( 1 ) ) que l e s problsm

n e s v a r i a t i o n n e l s admettent d e s s o l u t i o n s en c o n t r a i n t e dans ( L ( R ) ) mais que l e s s o l u t i o n s En 186formation ne s o n t assurges que dans l ' e s p a c e b i e n ma1 connu ( ~ " ( n ) l )

.

Ceci n l e s t pas g6nant c a r on peut o b t e n i r avec l e s e u l choix de (23) suffisamment de renseignements pour que l ' e x i s t e n c e des s o l u t i o n s de-

vienne

pratiquement s a n s i n t 6 r t t m6canique. C ' e s t c e que nous a l l o n s v o i r

paintenant. Tout d'abord E e t S sont d6composables, F ( 0 ) = 0 = ~ ( 0 1 ,de sgrt e que F e t G sont duales. D'autre p a r t F e s t continue* s u r E = ( L (~0 ) ) puisque f i n i e p a r t o u t e t major6e par payon 1. S i done on s e donne e 0

s u r l a boule de c e n t r e 0 e t de n (L1(n)) e t so C

n (L-(Q)) l e problsme

Z peut ne pas admettre de s o l u t i o n dans l e p r o d u i t de c e s espaces mais, d f a p r S s l e t:ikor?me 1 nous avons : C

p o u r l a topologie de la norne, i c i conpatilile avec l a : l u a l i t 6

.

B. N a y r o l e s

c ' e s t 2 d i r e que l e probldme I admet des s o l u t i o n s arbitrairement approch&es, ou que l e poblsme

11

: Trouwr ( e , s ) t I

admet des s o l u t i o n s pour t o u t

E

J

strictement p o s i t i f .

Compte-tenu de l l i m p o s s i b i l i t & q u ' i l y a , d'une p a r t de c a l c u l e r l a solution exacte, d'autre p a r t de f a i r e aucune mesure de prgcision i n f i n i e , ce r e s u l t a t remplace avantageusement t o u t thgorsrne d l e x i s t e n c e pour 1~ probl?me 1, p u i s q u ' i l apporte, en p l u s , une pr6somption d 1 a c c e s s i b i l i t 6

.

numsrique des s o l u t i o n s approch&es

B. N a y r o l e s

~ C A N I W S l3,LES LOIS D'DFORT SWS-DIFFE'ENTIEUS nous avons ddj2 p a r l 6 , t r k s bribvement, d'une op6ration sur l e s l o i s d l e f f o r t , l ' a d d i t i o n , e t d'une op6ration s u r un kl6ment mgcanique, qui e s t l e passage au quotient. Noucs a l l o n s maintenant d 6 f i n i r l e s op6rat i o n s dlusage courant e t s i g n a l e r dans que1l.e~circonstances e l l e s i n t e r viennent. C V 6 t a i tl ' o b j e t d'une note ancienne (13. NAYROLES (3)) ; i c i nous nous occuperons plus particulikrement dps l o i s sous-diffgrentielles;

ce

s e r a l e second aspect de c e chapitre. Les op6rations que nous effectuerons s u r des l o i s sous-diff6r e a c i e l l e s donneront, sous des hypothbses assez g6n6ralement v s r i f i g e s , des l o i s sous-diffgrentielles.

Dans l e cas c o n t r a i r e une rdgularisation

de ces 026rations permettra, en LZehors de t o u t e hy-pothbse, d'obtenir l e meme r 6 s u l t a t . Cette r g g d a r i s a t i o n , qui c o n s t i t u e un changement de l a rnathematique u t i l i s 6 e habituellement en M6canique des Solides, e s t - e l l e j u s t i f i 6 e sur l e plan de l a Physique ? Ce s e r a l e premier aspect de c e chapitre. En bref l a r 6 g u l a r i s a t i o n en question s e pr6sente 8 deux occasions : 1') Soient (V, <.

,.> , W)

convexe s u r V, 3 valeurs dans

)-m,

un Q6ment mGcanique, f une fonctiol;

+-) , f

*

sa p o l a i r e . On considkre l a

lei d'effort d6finie par 1'6quation

Peut-on l a remplacer, sans dommage pour l a Physique, par 1'6quation

B. N a y r o l e s

2')

-w 6 a f l ( v )

Soient

deux l o i s d ' e f f o r t sur 11616ment mgcanique pr6c6dent. ~ e u t - o n remplacer leur some

par

[4)

-w 6 a ( f l + f 2 ) ( v )

sans dommwe pour l a Physique lorsqu'aucun c r i t s r e connu d 1 a d d i t i v i t 6 d e ~ sous-diffdrentiels n ' e s t s a t i s f a i t ? Jem'efforcerai

de convaincre l e l e c t e u r que l a rkponse peut

Etre p o s i t i v e . Dans un cas come dans l ' a u t r e c e t t e "rdgular'isation" conduft 2 un "affaiblissement" du probldme posk i n i t i a l e m e n t , en ce, sens que t o u t e s o l u t i o n de (1) ou de ( 3 ) e s t respectivement s o l u t i o n de ( 2 ) ou de

(4). On considdre g6n6ralement qu'un t e l affaiblissement dlun probldme e s t j u s t i f i 6 s ' i l f a c i l i t e l a recherche des solutions e t s i l ' o n dispose, a - p o s t e r i o r i , de thdorsmes permettant d'affirmer que l e s s o l u t i o n s f a i b l e s a i n s i trouvdes sont a u s s i des s o l u t i o n s f o r t e s . C'est en gEn6ral l e but des th6ordmes de r k g u l a r i t k des solutions. Ce n ' e s t pas ce genre de j u s t i f i c a t i o n que jlespdre apporter @ i s plutBt l a suivante : l'kquation (1) n l a pas plus de s i g n i f i c a t i o n physique que 1'6quation (2), e t de &me (3) n ' e s t pas fondamentalement plus j u s t i f i d e que (4) ,,,En s o r t e que l a s u b s t i t u t i b n de (2) 2 (1) e t de

(3)

(4)

n'apparait pas comme un changement du probldme m6canique. La se-

conde j u s t i f i c a t i o n e s t dlordre p r a t i q u e puisque c e t t e s u b s t i t u t i o n permet de c o n s t r u i r e une algdbre des l o i s sous-diffgrentielles,

inddpendante des

ponditions d16quiualence s t r i c t e des dquations (1) e t (2) e t (3) e t (4); k t que l a t h d o r i e devient singulisrement plus simple.

5 1, LOIS MlHEM4TIQLIEFENT OU PHYSIQUEFENT EQUIVALENTES 1.1 Inadkquation de l a math6matique u t i l i s k e en Mdcanique clas-

.siaue

- Le processus de mise en oeuvze d l w theorie e s t

en

n k r a l l e s u i v a n t : un modble mathkmatique ayant k t 6 c o n s t r u i t l e physic i e n en demande l e s donnkes b l P e x p 6 r i e n c e ; p u i s il pose un c e r t a i n nomb r e de problkmes dont l e s s o l u t i o n s s e r o n t f o u r n i e s p a r un t r a v a i l m a t h b =tique

comprenant classiquement deux p a r t i e s ; une de mathkmatique pure

q u i e s t la recherche de thkorbmes s u r l ' e x i s t e n c e e t d l a u t r e s p r o p r i k t 6 s des 6 v e n t u e l l e s s o l u t i o n s ; une a u t r e d'analyse numkrique e t qui f o u r n i t des r 6 s u l t a t s approch6s. Enfin c e s r 6 s d t a t s sont confrontks & 11exp6rience. O r dans c e processus l ' i m p r 6 c i s i o n i n t e r v i e n t in6vit'ablement i3

l a f o i s dans l e s mesures expkrimentales e t d m s l e c a l c u l num6rique, tand i s que l e t r a v a i l de mathkmatique pure en e s t exempt. Le r 6 s u l t a t en e s t que la math6matique d'une t h k o r i e physique donne, l e p l u s souvent, une d e s c r i p t i o n beaucoup t r o p f i n e des ph6nomSnes p a r r a p p o r t & c e que l ' e x p 6 r i e n c e e t l e c a l c u l peuvent a t t e i n d r e . Par exemple l a notion de "champ de dkplacements" d 6 f i n i en chaque p o i n t n'a qu'une s i g n i f i c a t i o n physique i n d i r e c t e ; aucune mesure ne p e u t donner l a v a l e u r du champ en un p o i n t mais f o u r n i t une v a l e u r q u i peut 6 t r e i n t e r p r k t k e , p a r exemple, c o m e une v a l e u r moyenne ou comme une borne supkrieure du champ s u r un domaine w dont l a p e t i t e s s e dkpend de l a f i n e s s e du capteur. I n t r o d u i r e un champ de dkplacement continu s i g n i f i e seulement que s i l ' o n augmente indkfiniment l a p r k c i s i o n de l a mesure l a s u i t e des r k s u l t a t s exp6rimentaux converge v e r s une c e r t a i n e valeur qui e s t c e l l e du champ de dkplacements en un p o i n t p r k c i s . Cela s i g n i f i e a u s s i que l e c a l c u l numkrique de c e t t e v a l e u r peut s t r e e n t r e p r i s sans qu'une p e t i t e e r r e u r s u r l a p o s i t i o n du p o i n t e n t r a f n e une e r r e u r importante s u r l a v a l e u r c a l c d d e . Mais l a c o n t i n u i t k joue un r81e e s s e n t i e l en c e q u ' e l l e permet 2 l a valeur l o c a l e d ' t t r e l a l i m i t e dlune v a l e u r moyenne, ou d'une borne supkrieure, c ' e s t & d i r e l a l i m i t e d'un r k s u l t a t de mesure quand l a p r g c i s i o n c r o f t indkfiniment. A 1 1 i n v e r s 6 s i lion s e donne l ' k q u a t i o n de l i a i s o n s u r l a f r o n t i b r e

l a question de s a v o i r s i l a p a r t i e a,n de f r o n t i b r e concernke e s t fermke ou non e s t sans s i g n i f i c a t i o n physique c a r aucune mesure n i aucun c a l c u l n t a l a prCcision i n f i n i e qui permettrait. de d i s t i n g u e r 310 de s e s p o i n t s

B. N a y r o l e s

adherents : l a description mathkmatique e s t i c i t r o p f i n e . En r.Bsum6 l a mathgmatique employee en Mkcanique classique des milieux continus f o u r n i t un schema dlune pr6cision i n f i n i e a l o r s que l'exp6rience ou llapproche numgrique, s i f i n e s s o i e n t - e l l e s , n'ont qu'un "pouv o i r s6parateurt1 l i m i t & , de s o r t e que c e r t a i n e s d i s t i n c t i o n s l e u r Echapperont t ouj ours. J 'emploie ce terme de "pouvoir s6parateurWpar analogie avec c e l u i dlun instrument d'optique. Certaines d i f f i c u l t 6 s de l a t h g o r i e , j e pense t o u t p a r t i c u l i d r e ment aux probldmes de t r a c e s , sont l i 6 e s 1 c e t t e t r o p grande f i n e s s e dusch6ma math6matique e t devraient d i s p a r c t r e si l a math6matique u t i l i s 6 e

stsit plus adapt6e B l a Physique des probldmes; ce sont d e s " d i f f i c u l t 6 s parasitestt. I1 n l e s t pas f a c i l e (la M6canique s t a t i s t i q u e e_n donne peut s t r e

un exemple

...)

de c r 6 e r une math6matique q u i tienne compte de l1impr6ci-

sion expsrimentale e t num6rique puisque c e c i demanderait de connaetre une f o i s pour t o u t e s de quelle nature s e r o n t ces impr6cisions. J e n l a i pas l a pr6tention de l e f a i r e i c i e t mon but e s s e n t i e l e s t d ' a t t i r e r l l a t t e n t i o n du l e c t e u r s u r l a n6cessitd de rechercher dans c e t t e d i r e c t i o n e t de cons i d 6 r e r 11impr6cision, e t dlune fason gQ6rale l e d6faut dtinformation, cornme un aspect e s s e n t i e l de t o u t e la Physique, aspect totalement ignor6 par l a M6canique classique. J e me c o n t e n t e r a i donc de deux suggestions $ui sont seulement propos6es B l'assentiment du l e c t e u r , en attendant dle^t r e remplac6es par quelque chose de p l u s 6labor6 e t de mieux fonds. 1.2

Principe d1adh6rence

NOUS a l l o n s supposer que l a l i m i t a t i o n duljpouvoir s6parateurW

de 11exp6rience ou du c a l c u l numkrique peut S t r e t r a d u i t e en termes topologiques. Come, de t o u t e fason, il s ' a g i t de c o n f r o n t e r r l e s r6sultat.s num6riques e t l e s r 6 s u l t a t s exp6rimentaux, c ' e s t , s l i l s son* comparables, l e pouvoir s6parateur l e plus f a i b l e qui d 6 f i n i t lfimpr6cision. Notre hypothsse, f o r t c r i t i q u a b l e , e s t l a suivante : pypothsse : I1 e x i s t e , pour 1'616ment m6canique

I

(,{

6

(v,

<.,.>,

W) un couple

de topologies compatibles avee l a d u a l i t s , p 0 s s 6 ~

B. N a y r o l e s

dant l a p r o p r i 6 t 6 s u i v a n t e : q u e l l e que s o i t l a mesure e f f e c t u d e (de p r 6 c i s i o n f i n i e a r b i t r a i r e ) il e x i s t e un voisinage V x W de l l o r i g i n e t e l que deux couples ( v l ,wl) e t (v2,wp) s a t i s f a i s a n t

ne peuvent s t r e d i s t i n g u 6 s par c e t t e mesure. Par raccourci nous d i r o n s que

{

I{w

e s t p l u s f i n e que l e pouvoir s6-

p a r a t a r de 11exp6rience. Dans l a formulation de c e t 6nonc6 nous n'avons par16 que du pouvoir s6parateur de 11exp6rience, pas de c e l u i du c a l c u l numgrique, e t pour deux r a f s o n s : l a premiSre e s t que 116nonc6 e s t d6jh suffisamment l o u r d e t q u l i l ne s e r v i r a i t L r i e n de l e compliquer par l e s c o n s i d 6 r a t i o n s analogues 6videntes s u r 11impr6cision num6rique. E n s u i t e l e "pouiroir s6p a r a t e u r n du c a l c u l e s t l e p l u s souvent sup6rieur h c e l u i de llexp&ience; L1hypoth&e e s t e s s e n t i e l l e m e n t d i s c u t a b l e s u r c e p o i n t q u e s et

6wsont

compatibles avec l a d u a l i t 6

... Le

r e s t e e s t beaucoup p l u s

v

naturel. Une consgquence de c e t t e hypothzse e s t l a suivante : P r i n c i p e d1adh6rence

- D e n l o i s d l e f f o r t s s o n t "physiquement

Equivalen-

t e s " s i l e u r s graphes o n t mSme adhdrence pour l a t o p o l o g i e produit

l vl (

w.

En e f f e t , d l a p r S s llhypoth&e prgcsdente, aucune expdrience ne pourra mettre c e s dsux l o i s en c o n t r a d i c t i o n . Consid6rons p a r exemple l a r e l a t i o n de l i a i s o n pour une plaque simplement appuy6e s u r une p a r t i e a l n de l a f r o n t i s r e :

e t c'hoisissons V = H~ ( a ) pour espace des d6placements, W = desr e f f o r t s . La r e l a t i o n de l i a i s o n d 6 f i n i t dans r i e l V1 e t l a l o i d ' e f f o r t e s t

$V, (v)

+ qVP

v

(-W)

He-n

pour e s p w e

un sous-espace vecto-

+

= 0

B. N a y r o l e s

Sans nous pr6occuper de s a v o i r

S i alQ

e s t une p a r t i e ferm6e de

an ( c e qui. e s t e s s e n t i e l dans l a t h 6 o r i e c l a s s i q u e ) , nous pourrons 6 c r i r e que c e t t e l o i d ' e f f o r t e s t physiquement kquivalente B

On Bvite a i n s i l e s d i f f i c u l t 6 s l i 6 e s b l a c o n t i n u i t 6 de 1 1 0 p 6 r a t e u r t r a c e , On peut a u s s i B v i t e r c e l l e s q u i s o n t l i 6 e s b son e x i s t e n c e en posant

vl

= { v ec"(E) /

e t en prenant 11adh6rence V1 O 0 de

<

v =

o

sur

aln)

dans q q u i peut raisonnablement a f -

firmer que c e t t e fapon de proc6der s o i t moins physique que l a r i s e en 6quation c l a s s i q u e ? 1.3

S o l u t i o n s approchees

~s seconde de mes suggestions e s t de n'accorder

b l'existence

d'une s o l u t i o n thEorique aucune s i g n i f i c a t i o n physique d s s q u ' e l l e ne peut t t r e exactement calcul6e. A quelques exceptions p r s s , p a r exemple s i l ' i n connue e s t un nombre e n t i e r , on ne s a i t c a l c u l e r que des s o l u t i o n s approch6es. Ce q u i s e r a confront6 ? lif e x p B r i e n c e 6 t a n t une s o l u t i o n approch6e

il e s t beaucoup moins important d 1 6 t a b l i r l ' e x i s t e n c e d'une s o l u t i o n "exacte" que de repondre aux q u e s t i o n s s u i v a n t e s : l o ) Peut-on donner une ddf i n i t i o n math6matlque, physiquement a c c e p t a b l e , d e s s o l u t i o n s approchkes ? 2 O ) Celles-ci

ayant 6 t 6 d 6 f i n i e s peut-on montrer l ' e x i s t e n c e de

s o l u t i o n s a r b i t r a i r e l l g n t approchBes e t c o n s t r u i r e un algorithme p e m t tant leur calcul ? Le choix de l a r6ponse au l o ) comporte une r e s p o n s a b i l i t 6 physique c o n s i d 6 r a b l e ; une rkponse p o s i t i v e 2 l a seconde c o n s t i t u e l e s e u l th6orbme d ' e x i s t e n c e i n t 6 r e s s a n t pour l a t h 6 o r i e physique, meme s i l a technique math6matique permet quelquefois de l ' o b t e n i r p a r l f i n t e r m 6 d i a i r e d'un thgorsme d'existence de s o l u t i o n s e x a c t e s . Pr6cis6ment l ' h a b i t u d e est, de d g f i n i r une s o l u t i o n approch6e c o m e un p o i n t d'un v o i s i n a g e , pour une

B . Nayroles

c e r t a i n e t o p o l o g i e , dlune s o l u t i o n exacte. Pour f i x e r l e s idkes c o n s i d b r o n s 116quation

03 t e s t une f o n c t i o n

e

valeurn dans R e t d 6 f i n i e s u r un espace v e c t o r i e l

barn6 X. Supposons, pour s i m p l i f i e r encore, que c e t t e &quation a b t t e l l u nique s o l u t i o n x

.

On peut d k f i n i r d'au moins d e w fasons d i f f 6 r e n t e s une

s o l u t i o n x.approch6e 1 t

*

. p r b , 5 d6signant

un r 6 e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f

ou p a r (7) e t c e s d e w d6finition.s d-eM

l e s ~ r n ~ r n e s ~ sde u ~i$ t.eg.~&k.si, par exemple:

c e q u i e s t un c a s t r i v i a l . Mais s i

#

e s t sevlement continue a l o r s

t a n d i s que nous avons l ' i m p l i c a t i o n i n v e r s e s i l a seconde des i n k g a l i t 6 s

(8) a lieu., k s d 6 f i n i t i o n s (6) e t (7) ne sont p a s Cquivalentes e t c r e s t au physicien de d i r e quel s e n s il f a u t donner 5 llapproximation des solutions. S o i t d'une fason g6n6rale une p a r t i e A de X : il e x i s t e une inf i n i t 6 d16quations dont A e s t l'ensemble des s o l u t i o n s , e t qui s o n t donc &h6patiquement

kquivalentes ; s i l a r 6 s o l u t i o n ne p e u t

str e

qu1approch6e

i l importe que l e physicien a i t d 6 f i n i l a n a t u r e de c e t t e approximation pour que l e problsme physique proposd s o i t correctement pos6. C1est exactement l e c o n t r a i r e qui s e p r o d u i t habituellement puisque l e s mathgumtic i e n s s ' a t t a q u e n t aux "Bquations de l a Physique", s a n s que l e s c r i t k r e s f1aPpr.oximation l e s acconpagnent; a l o r s i l s ne peuvent t r a v a i l l e r que s u r l e s~o l u t i c n s exactes dans une premikre ktape; que proposer, dans une seconde g t z p e , des s u i t e s de s o l u t i o n s approch6es en un sens que l e physi2ien p o u r r a ou non accepter.

B. Nayroles

S i a u c o n t r a i r e on se donne a u d e p a r t t o u t e 6quation'avec son c r i t s r e d'approximation l e t r a v a i l propos6 a u math6maticien e s t totalement, d i f f 6 r e n t . En p a r t i c u l i e r l a notion d18quivalence de deux gquations, p l u s gQ6ralement c e l l e d'kquation cons6quence d'une a u t r e peut S t r e remplac6e par une n o t i o n d1kquivalence physique, ou de cons6quence physique qui devra S t r e exprim6e math6matiquement. C ' e s t c e qui va s t r e f a i t maintenant; l a c o n s t r u c t i o n que j e propose n'est-vraisemblablement pas l a meilleure e t s a mise au p o i n t l a i s s e beaucoup b d i s i r e r . Mais c e t t e kcole'd'6td

cons-

t i t u a i t une trss b e l l e occasion d16voquer c e t t e question, b mon a v i s ess e n t i e l l e pour un progrSs r 6 e l de l a M6canique; j e n ' a i donc pas s u r k s i s ter 2 I f e n v i e de p r k s e n t e r , mEme prkmatur6ment, mes quelques iddes s u r l e sujet. 1.4

Equivalence approximative

On c o n s i d s r e un espace v e c t o r i e l topologique X (on n o t e r a

6 sa

t p o l o g i e ) e t l'ensemble x des 6quations (ou systsmes d'kquations) dont l'inconnue e s t un p o i n t de X. Soient E l e t E2 d e n 616ments de

x

e t A1 e t

A2 l e u r s ensembles r e s p e c t i f s de s o l u t i o n s . On d 6 f i n i t habituellement s u r y, l a r e l a t i o n de pr6ordre p a r t i e l

d6f El

+

E2

C->

Al

c A2

qui sf6nonce ou b i e n "E2 e s t cons6quence de E l f ' ou bien "E2 e s t p l u s f a i b l e que ElV'. Lorsque

on d i t que l e s Gquations E l e t Eg sont Equivalentes; e t cetEe r e l a t i o n . d'gquivalence e s t systgmatiquement employ6e l o r s q u ' i l s ' a g i t d ' 6 t u d i e r l e g s o l u t i o n s "exactes" c ' e s t b d i r e l e s ensembles A1 e t A 2 . Lorsque l ' i n t 6 r G t s e p o r t e non s u r l e s s o l u t i o n s e x a c t e s mais s w l e s s u i t e s de s o l u t i o n s approchges c e s r e l a t i o n s de prkordre e t d16quivalence deviennent s a n s i n t g r c t . 3n va maintenant considgrer l'ensemble

x

des gquations s u r X

qui sont donn6es avec l a d g f i n i t i o n de l e u r s " s u i t e s de s o l u t i o n s a r b i -

trairement appmchkx", q w l l a u s & x k c m +

rn

&&g&

s.s.a.b.. ~ n uh r -

B. N a y r o l e s

;possbdant

p l i f i e r l'exposb on identifiers deux blgments de 5.s.a.b.

l e s m&es come p l u s

( c f r ~ e m a r q u e . 1 ) .Une ?remiSre idge e s t de d b f i n i r E s i t o u t e s.5.a.b.

f a i b l e que E

de E

e s t 5.s.a.b.

de E

. En f a i t nous

Clargirons c e t t e d b f i n i t i o n en u t i l i s a n t l a topologie de X avec, c o m e motivation, l l u t i l i s a t i o n d'une topologie p l u s f i n e que l e pouvoir sCpar a t e u r de 11exp6rience. Dbfinition 1

- Soient

g1

c2; nous

et

d i r o ~ l sque

e s t "approxirnativement

p l u s f o r t e que EZ1', e t nous noterons

El

E2

++

s i pour t o u t voisinage v d e l ' o r i g i n e dans X e t 2 t o u t e I

s.s.a.b.

( x i 1 ) de E l il e x i s t e a u moins une 5.s.a.b.

de E2 s a t i s f a i s a n t

E2

On d i t que El e s t "approximativement 6quivalente"

El

e t on n o t e

El Proposition 1

(xi2)

+ + I

-

+pE2

E2

si

dbf

<-

-

(E~+

- La r e l a t i o n + e s t une r e l a t i o n

E2

E2

et

-I+ E l )

."

de prgordre p a r t i e l s u r X.

En e f f e t

++ e s t

\II e t

v o i s i n a g e l de l l o r i g i n e , t e l s que

t r a n s i t i v e puisque, pour t o u t

(Vil existe

If; +'tr,cx

alors

e t dlautre part l a relation

!f i e ? Remarque 1

- La d e f i n i t i o n de

t ,

e s t r6flexive

E++E

donn6e prkc6demment e s t p l u s i n t u i t i v e qye

mathsmatique; on peut l a p r 6 c i s e r en consid6rant l6ments de X : a l o r s

? espace

des s u i t e s d l ; b

peut s 1i d e n t i f i e r 2 llensemble Q des p a r t i e s $ de

B. N a y r o l e s

XN. Ainsi ?l peut S t r e d 6 f i n i e par l'ensemble $ de s e s s.s.a.b.. Sur I!espace v e c t o r i e l

9 on'peut

c h o i s i r l a t o p o l o g i e T pour l e g -

quels l e s voisinages de l ' o r i g i n e sont l e s ensembles de l a forme

ItNo i l V

e s t un s - v o i s i n a g e de l ' o r i g i n e s u r X , c ' e s t B d i r e {(xila

fN=

P / Vi

A l o r s l a d e f i n i t i o n 1 6quivaut 5

02

T2 e s t

l'adherence de

$2

N

dans X

pour l a topologie T. La r e l a t i o n d'"6-

,pivalence approximative" correspondante e s t a l o r s

c ' e s t B d i r e que nous retrouvons, a p r s s un long dgtour, l e p r i n c i p e d'adh6renc e

.

--

Remarque 2 On a u r a i t pu compliquer l a d 6 f i n i t i o n 1 en considgrant non p a s u n e t o p o l o g i e d ' e s p a c e v e c t o r i e l s u r X, m a i s u n e s t r u c t u r e u n i f o r m e l q u e l c o n q u e e t e n p a r t i c u l i e r l a t o p o l o g i e d i s c r e t e ; en p r e n a n t p o u r s. S. a . a . d e t o u t e e q u a t i o n l e s s u i t e s d e p o i n t s q u i e n s o n t s o l u t i o n o n a u r a f t a l o r s la relation d ' o r d r e usuelle c o m m e c a s particulier d e l a relation d ' o r d r e 'lapproximative". C ' e s t peut S t r e une s a t i s f a c t i o n pour l ' e s p r i t . .

.

On c o n s i d s r e encore des "syst?mes d'8quations" dont l e s s o l u t i o n s

g a t , p a r d g f i n i t i o n , s o l u t i o n s de chacune des 6quations. On va c o n s t r u i r e

-

l a notion correspondante pour l e s glgments de E : Definition 2

I

- S o i e n t El.

de s.s.a.b.

-

,.

-

e t E2 appartenant 5 X, $1 e t $2 l e u r s ensembles

.

..

r e s p e c t i f s . On a p p e l l e r a systsme El IE2 1'6lkment

de X dont l'ensemble des s.s.a.b.

est

2.

?l

C e t t e o p e r a t i o n depend malheureusement de l a topologie c h o i s i e s u r X, mais, a i n s i d g f i n i e , e l l e permet d ' o b t e n i r l a p r o p o s i t i o n 2. En effet :

B. Nayroles

Proposition 2

1

1.5

- La relation +

@stcompatible avec l a l o i

L,

Autrement B i t

S u i t e s converg;entes e t quasi-solutions

11 e s t u t i l e de c o n s i d 6 r e r l e s s u i t e s convergentes; par a i l l e u r 9

l a n o t i o n d 1 m i c i t 6 de s o l u t i o n , fondamentale dans l a math6matique employde usuellement, d o i t Gtre remplac6e p a r m e notion de convergence des s.s.a.t., que nous Qtudierons p l u s l o i n . En o u t r e l ' i n t r o d u c t i o n de l a notion de "quasi-solution" permettra d ' u t i l i s e r l e s o u t i l s mathgmatiques t r a d i t i o n nels.

- Nous d i r o n s que % e s t

D6finition 3

I

une a p p l i c a t i o n

a

d 6 f i n i e num6riquement s ' i l e x i s t e

de X dans (0, +m) t e l l e que l e s s.s.a.b;

de E s o i e n t p a r d 6 f i n i t i o n l e s s u i t e s ( x . ) t e l l e s que

-

Ce s e r a l e c a s pour l e s l o i s d ' e f f o r t s o u s - d i f f g r e n t i e l l e s . Proposition 3

I

- Soit 6m e on considsre

topologie d'espace v e c t o r i e l mgtrisable s u r X ; d 6 f i n i e numgriquement p a r

-

cauchy) ( x P i ) s.s.a.b.

et

E ' approxi-

de E' correspond a u moins m e s u i t e

( r e s p . de Cauchy) ( x i ) s.s.a.b.

I

k,

mativement p l u s f o r t e que E. Alors ?tio u t e s u i t e ( r e s p . de

l i m (x. i+-

de

2 e t t e l l e que

- x' . ) = 0

Consid6ron.s en e f f e t m e base

de voisinageo de 0 avec

B. Nayroles

(yi k ) de

Pour tout k il e x i s t e une s.s.6eb.

fi

yi

k

- xti

t e l l e que

e (Vk

,..

e t connne E e s t d b f i n i e ' n d r i q u e m e n t il e x i s t e une application de N dans JN t e l l e gue

Considkrons a l o r s l ' a p p l i c a t i o n N. de IN dansJN dSfinie par (lo)

j E N + N(j) = max Ik

6N /

~ ( k4) j )

I e t N ont l e s propriktks suivantes, inrmkdiates

69

.I

e s t croissante

De 1 C on dkduit que

de s o r t e que N(j) tend vers l ' i n f i n i avec j. On considsre' a l o r s l a s u i t e

En v e r t u de ( 9 ) e t (12

) on

a :

e t comme ~ ( j tend ) v e r s l ' i n f i n i avec j ( x . ) e s t une s.s.a.b. ~ ' a u t r e - p a r ton a

I ~ J

-

de E.

B. N a y r o l e s

lim

e t c o m e ~ ( j t)e n d v e r s l ' i n f i n i avec j , dkmontre l a p r o p o s i t i o n pour ( X I . ) s.s.a.b.

(xj

-

x' j ) = 0 , ce qui dE-

,i+de

5.

S i de p l u s ( x ' i ) e s t une s u i t e de Cauchy il e s t imm6diat de mon-. t r e r que l a s u i t e ( x i ) a i n s i c o n s t r u i t e en e s t une a u t r e . En e f f e t s o i ' t r -

un voisinage a r b i t r a i r e de l ' o r i g i n e : il e x i s t e t r o i s voisinages de l ' o rigine,

'I& ,%, V3t e l s

que

e t p a r hypothkse, ou d'aprks c e qui prkckde

La n o t i o n de quasi-solution va nous p e r m e t t r e , dans nombre de ct c a s u s u e l s , de ramener 1 ' 6 t u d e des s.s.a#. convergentes 2 c e l l e des solut i o n s , a u sens usuel, d'une kquation.

- S o i t E num6riquement

Dkfinition 4

t i o n de

6

d6finie par

t o u t xb X t e l que :

v$,

voisinage de

dr

o

k. >

o

On a p p e l l e quasi-solu-

J 6 x +V fix)

Le r a p p o r t e n t r e l e s quasi-solutions de

x

?i

6 E

e t s e s s.s.a.b.

convergentes e s t p r k c i s 6 p a r l e s t r o i s p r o p o s i t i o n s s u i v a n t e s , de dkmons{tration im6diate : proposition 4

I

- S o i t ( x i ) une s.s.8.b. quasi-solution de

2.

de

6

convergeant v e r s

:

x est

B. Nayroles

Proposition 5

1.

Proposition

6

I

- Si X e s t

m6trisable

toute quasi-solution est li-

mite d'une s.s.a.~.

- Si &est

m6trisable et si

b.

est continue, les trois as-

t(*) -

sertions suivantes sont Bquivalentes

. -x . -x

.

-x

est solution de

= 0

est quasi-solution de E

est limite dlune suite de s.s.a.b.

Essayons d'imaginer ce qui @ut

de

tenir lieu, dans la mathkmati-

que "approximative" que nous proposons, des habituels thkorsmes d'exis-

*

tence et d'unicitk. On peut rechercher, pour E, des rksultats du type suivant : Existence fort :

- Selon les besoins on recherchera un rgsultat plus ou moins

. 11 existe une s.s.a.b., .

c'est 1 dire que l'ensemble

@

associk

5 E n'est pas vide I1 existe une s.s.a.b. de Cauchy, ce qui revient B l'existenca d'une quasi-solution si X est un Banach. UnicitE

- l'une

des '8.s.a.b.

soient deux 8.s.a.b.

est une suite de Cauchy, et quelles que

(xi) et (xVi)

lim (xi

- xli) =

0

&'

11 faut faire une remarque B ce sujet : soit &et ' deux topologies dle.v.t. sur X, & ktant 1 base d8nombrable et plus fine que $ ', elle &me

plus fine que le pouvoir s6parateur de l'expBrience. On pourra

souvent transformer des systsmes d16quations en utilisant 1'kquivalence approximative pour ' et obtenir une Bquation

$

lat les s.s.a.b.

seront dgfinies par

Si l'on ne s1int6ressealors qu'aux s.s .a.b. convergentes pour de

8 , si l e s t continue w u r i, il suffit, d'aprf s la .proposition 6

B. Nayroles

jw* v . Les

considkrer l e s s o l u t i o n s de

knoncks propos6s pour t e n i r l i e u de

th6orsmes d'existence e t d ' u n i c i t k s e ramsnent a l o r s 2 ceux-ci.

§

2, APPKlXIM9TION ET REGULARISATION DES LQIS SOUS-DIFEENTIELLES Soit

(v, <.

,.>

W) un Qldment m6canique s u r l e q u e l e s t donn6e l a

l o i d'effort

On pose

e t l ' o n s e propose de j u s t i f i e r , d'un p o i n t de vue physique, l a d k f i n i t i o q d e s s o l u t i o n s approch6es 2

E

p r s s de (1) p a r

d'o3 s u i t naturellement l a d k f i n i t i o n des s.s.a.b.

f i m f(vi,wi) i-

(14')

par

= 0

Eliminons t o u t de s u i t e l e c a s 05 l ' u n e des f o n c t i o n s e s t une i n d i c a t r i c e : (14) 6quivaut a l m s 2

(11.

Nous ne pouvons kvidemment pas-

s e r t o u s l e s a u t r e s c a s en revue e t nous ktudierons l e p l u s d k l i c a t : cel u i 05 f e t f

k '

sont d 6 f i n i e s p a r des i n t g g r a l e s . J e pense q u ' i l s u f f i t

d ' a i l l e u r s d ' k t u d i e r l e c a s de 1 ' 6 l a s t i c i t 6 l i n k a i r e , t o u t 3 f a i t exemp l a i r d , pour s e donner un semblant de conviction. C'est donc, en f a i t , 1 ' 6 b m e n t micanique (E, <.,.>,

S) des c h a p i t r e s prCc6dents qui e s t e n cau-

s e , a i n s i que l a t h k o r i e des intggrandes convexes. Consid6rons t o u t d'abord 1'61kment mkcanique mension f i n i e p ;

gP

(gp, ,sp) de

.

di-

e s t l ' e s p a c e e u c l i d i e n de dimension p mis en d u a l i t 6

avec lui-mihe p a r l e p r o d u i t s c a l a i r e usuel. La l o i de c o n t r a i n t e e s t (15)

s = k e

02 k e s t une a p p l i c a t i o n l i n k a i r e sy&trique

d k f i n i e p o s i t i v e de

%P

sur

B. N a y r o l e s

lui-msme.

On conside're a l o r s l e s f o n c t i o n s duales 1 f(e) =-e.ke

f * ( ~ )=-Lk-l

2

S'S

e t 11identit6

de s o r t e que (15)

6quivaut 2 f(e)

+

f*(s)

- e.s

=

o

b1in6galit 6

Bquivaut, compte-tenu de

(16) e t m d6signant l a p l u s p e t i t e v a l e u r propre

c e qui c o n s t i t u e une d e f i n i t i o n physiquement acceptable des s o l u t i o n s apA proch6es

E

p r z s de (15).

on considbre maintenant (E, <.,.>, de champs d 6 f i n i s s u r un ouvert fl de R", o u t r e que l a f o n c t i o n

S) oil E e t S s o n t d e s espaceg

2 v a l e u r s dans

E

P'

On suppose en

p t l e s espaces f o n c t i o n n e l s E e t S s a t i s f o n t l e s hypothbses de ROCKAFELLCL? pn s o r t e que l e s f o n c t i o n n e l l e s

bxisteni. Alors 1'i d g a l i t 6

B. Nayroles

entraEne que s u r t o u t e p a r t i e w mesurable de n

c ' e s t % d i r e que s u r t o u t e n s e m b l e 4 de mesure f i n i e

O r t o u t e mesure de deformation ou de c o n t r a i n t e s ne peut s e f a i -

r e que s u r un ensemble non r 6 d u i t B un p o i n t ; s i c e t t e mesure ne peut donn e r , c o m e c ' e s t probable, qil'une v a l e u r moyenne s u r un domaine bar

E

U,

suffisamment p e t i t , e l l e ne p o u r r a d i s t i n g u e r l e s s o l u t i o n s

alors

61)

de'

c e l l e s G 4 ) q u i donne donc une d e f i n i t i o n physiquement acceptable de l ' a p proximation. Par a i l l e u r s l a n o t i o n msme de m i l i e u contin,y e s t macroscopique c ' e s t & d i r e que l a deformation e t l a c o n t r a i n t e n'ont de sens que sous un symbole d ' i n t i g r a t i o n , c ' e s t & d i r e p a r l e u r vnleur moyenne. Revenons maintenant B l w 6 q u a t i o n @) posee a u debut de c e paragraphe. J ' a d m e t t r a i , j u s q u ' l preuve du c o n t r a i r e , que (14) d 6 f i n i t de fason physiquement a c c e p t a b l e s e s s o l u t i o n s approch6es 2

E

p r s s , e t (14')

s e s s u i t e s de s o l u t i o n s a r b i t r a i r e m e n t approch6es. Nous pouvons a l o r s dBmontrer l a Proposition 7

- On c o n s i d s r e l ' e q u a t i o n

(1) dans l a q u e l l e f e s t une fonc-

t i o n convexe s u r V , f* s a p o l a i r e . E l l e e s t approximativement Bquivalente B

pour l a q u e l l e l e s s.s.a.b.

sont d6finies par

e t c e c i pour t o u t e topologie gje

dv localement

fv

x

$

produit d'me topolo

conveie e t compatible avec l a d u a l i t 6

s u r V p a r une topologie quelconque s u r W. Eliminons d'abord l e c a s t r i v i a l oa f n'admet pas de minorantes

B. Nayroles

a f f i n e s continues : a l o r s f

**

vaut

partout, f

-m

e t n i (1) n i ( 2 1 nladmettent de s .s.a.b.

* vaut

+ l ' i n f i n i partout

: e l l e s sont donc approximative-

rnent Bquivalentes e t d m e s Bquivalentes au sens usuel. Si t e l n ' e s t pas Iecas alors f

** e s t

a u s s i l a r 6 g u l a r i s b s.c.i.

de f p o u r g v . Come pour

t a t w C W l a fonction l i n 6 a i r e <.,w> e s t continue pour l a rdgularisee s.c.i. de f -<.,w>, c'est dire

(19

Vv 6

)

v

f

** ( V I -

= sup '

inf

(f(v')

'g €?r7

6V,

f**-;.

,w> e s t

- )

v1

6:dsigne un queleonque voisinage de v pour

oP

Des inBgalit6s 0

,

+ f*(-w) + 5 f ( v ) + f * (-w) +

f**(V)

rl. aon d6duit que t o u t e s.s.a;ld. de (1) e s t s.s.a.9. de ( 2 ) ; donc

Inversement s o i t

4un fvvoisinage de l l o r i g i n e e t

(v. , w . ) 1

1

(l 9 )

La s u i t e ( v l

Vie

N

i' w1. ) . a i n s i c o n s t r u i t e s a t i s f a i t donc vti

t vi

+

t et

f ( v V i ) + f*(-wi)

.+ < v ~ ~ , 1w.. > ** C ~( v i )

+ e t donc', puisque (v.,w.) e s t s.s.a.b. 1

1

l i m (f(vti) i-

+

*

f (-wi)

de

2

+ ) = 0

+

CV.

1

,w. > 1

+

1

7

1

B. Nayroles

ce qui d6montre la p r o p o s i t i o n Notation

- S o i t A une l o i

I

sous - d i f f E r e n t i e l l e

(resp. l ' i n v e r s e d'une l o i

sous-di f f 6rent i e l l e ) : A = -

af

(resp. A- = ag(-.))

05 f ( r e s p . g ) e s t convexe s u r V (resp. W)

- On a p p e l l e r a

l o i r k g u l a r i s 6 e de A la l o i

=

- af**

(resp.

i-=

ag**(-.))

5 3, ADDITION E S LOIS SOUS-DIRWNTIELLES On a dEfini l ' a d d i t i o n de deux l o i s d ' e f f o r t A1 e t A2 sur

(V,

.,. , W) Par

Lorsque A1 e t A2 sont s o u s - d i f f g r e n t i e l l e s :

leur some s'kcrit

gquation p l u s f o r t e que

(4)

-W

6

a(fl

+

f2)(v)

La proposition suivante ( c f r . J.J. MOREPIU (1) ch. 1 0 ) donne une condition s u f f i s a n t e d16quiwlence Proposition 8

- Si f l

e t f 2 sont convexes e t s ' i l e x i s t e un point 06 l e s

deux fonctions sont f i n i e s , l'une d ' e n t r e e l l e s y 6 t a n t cont i n u e (pour une topologie compatible avec l a dualit61 a l o r s pour t o u t v de V

afl ( v ) +' a f 2 ( v ) = a ( f , + f Z) ( v )

B. N a y r o l e s

Ce r 6 s u l t a t t r s s g6n6ral s'applique 5 de nombreux c a s m6caniques, mais ne couvre pas t o u s l e s besoins. Par exemple s i f l e t f2 sont d e n i n d i c a t r i c e s de sous-espaces v e c t o r i e l s de V, disons V1 e t V2 :

e t en g6n6ral l a somme V1° + V20 n l e s t pas ferm6e. Oubliant l l a s p e c t sth6nique des l i a i s o n s l e s mdcaniciens ont t o u j o u r s t r a i t 6 l a somme de ces deux l i a i s o n s p a r f a i t e s comme l a l i a i s o n p a r f a i t e :

par a p p l i c a t i o n du p r i n c i p e du t r a v a i l v i r t u e l . Notre but e s t de montrer qu'on peut t o u j o u r s remplacer 1'6quat i o n (3) p a r 116quation (4).

Nous verrons mSme que c e t t e d e r n i s r e e s t en

g6n6ral approximativement p l u s f o r t e que l a premisre pour un choix natur e 1 des s.s.a.b. que usuel.

de (3), a l o r s q u l e l l e e s t p l u s f a i b l e au sens math6mati-

La d i f f i c u l t 6 e s t de d 6 f i p i r l e s s.s.a.b.

de (3); en e f f e t d i r e

que (v,w) e s t s o l u t i o n de ( 3 ) s i g n i f i e q u ' i l e x i s t e un t r i p l e t (v,w,wl ) sdl u t i o n du systSme (3.1), ou encore q u ' i l e x i s t e un quadruplet (v,w,wl,w2) solution du systsme (3.2). Ecrivons ces deux systsmes en posant pour

k = 1,2

b

On p e u t d 6 f i n i r l e s s.s.a.b. topologie

6

s u r W par

*

,(v,w) = f k ( v ) + f k (-w) +

de 116quation w = wl + w2 pour une

B. N a y r o l e s

On peut a l o r s u t i l i s e r l a d 6 f i n i t i o n 2 des s.s.a.b.

d'un systzmd

pour d 6 f i n i r c e l l e s de 1'6quation (3) e t ceci nous donne a e u d g f i n i t i o n s aSpriori diff6rentes Deux d 6 f i n i t i o n s des 's.s.a.b.

de

c)n d i r a que (v. ,w.) 1

1

3

e s t s.s.a.b.

de (3) au sens 1 s ' i l e x i s t e

une s u i t e ( w ~ , t~e l)l e que ( v ~ , w ~ , w ~s ,o~i t) s.s.a.b. On dira que (vi,wi) e s t s.s.a.b. une s u i t e

( W ~ , ~ , W ~ t, e ~ l) l e

de (3.1).

de (3) a u sens 2 s ' i l e x i s t e

que (vi,wi,wl,i,w2,i?

s o i t s.s.a.b.

de (3.2).

On a u r a i t Evidemment pu introduire encore d'autres systsmes 6quib valents aux pr6c6dents. Nous l i m i t a n t 2 ceux-ci nous 6tablissons l a propos i t i o n suivante, passablement rassurante. Proposition g

I

- Les deux d 6 f i n i t i o n s pr6cEdentes sont gquivalentes pourtout couple ( gV, $,I de topologies d'espace v e c t o r i e l .

Soit en e f f e t

sinage

aW X

( V ~ , W ~ , W ~ , une ~ )

s.s.a.b.

de (3.1). Pour t o u t voi-

de l ' o r i g i n e il e x i s t e done des s u i t e s ( I .l ) , ( ~ 2 ) ,

(Vi2), ( Nlsi1), (WlSi2),e t

1

un voisinage 6 q u i l i b r e

de 0 dans W t e l s

que :

Nous a l l o n s montrer que l a s u i t e ( V ~ , W ~ , W ~ , ~03 , Ww2,i ~ , ~e s) t, d 6 f i n i par

est,s.s.a.b.

de (3.2). Posons

B. Nayroles

Alors

Enfin lim (wi de sorte que

-

Wl,i

-w

~) = , lim ~ 0 = 0

( V ~ , W ~ , W ~ , ~ , est W ~ ,s~ .s. )a.b.

de (3.2).

Inversement soit ( Vi w. , W ~ , ~ , W ~m,e~ s).s.a.b. de (3.2). Alors il exist. voisinage Lquilibrg de 0 d m s X, et quel que soit ? T x des suites (vil), (vi21, ( w .~ 'Iy , (W ~ .'), (wi3), (w 31, (w. .3) tels que 2,1 1,l 2,l

id,

Posons

Nous avons

B. Nayroles

D1autre p a r t

En posant donc pour

i < i

pour

. . 13 1

-

wl ,i2 = wl,i

w

2

l,i

,

~2

1,i

On a , dlaprbs (23)

di

i1,i26wl,i

+uf + 'khcWlsi +w

+W1

+

e t d'aprbs l a seconde l i g n e de (21) lim

f,(vil ,wl,

de s o r t e que (v.,w. ,wlSi) trer

.

Proposition 10

1

= 0 = lim

e s t s.s.a.b.

1

- Soient

il

fl

I

(vi2

,ill, i2

de (3.11, ce q u l i l f a l l a i t d6mon-

e t f2 dans ro(V). Alors (4) e s t approximative-

ment plus f o r t e que ( 3 ) pour t o u t e t o p o l o g i e g V d ' e s p c e v e c t o r i e l s u r V e t pour toute topologie

k,

compatible avec

l-a dualit6. De plus s i (vi,w. w . , w ~ , ~ ) s a t i s f k i t :

B. Nayroles

I

a l o r s (vi,wi)

a d h k e n t e B llensemble des s.s.a.b.

de

14).

En e f f e t l a p r o p o s i t i o n 7 nous apprend que, pour l e s t o p o l o g i e s de 1'6nonc 6 (4) e s t approximativement 6quivalente B

et, p a r d6f i n i t i o n

I1 s u f f i t de comparer (25) ?i (3). S o i t (v.,w. ) une s.s.a.b. 1

de

1

(25). En v e r t u de (26) il e x i s t e m e s u i t e ( W ~ , ~ , Wt e~l l, e~ que, ) pour tout i :

Come

kl

et f 2

sont p o s i t i v e s on en d6duit que l a s u i t e

(vi ,Wi ,Wl, i ,W2, i s a t i s f a i t (3.2) e t (v.,wi) e s t s.s.a.b.

.

Q4); e l l e e s t donc a f o r t i o r i s.s.a.b. de

3

. Par s u i t e

de

Montrons maintenant l a seconde p a r t i e de l a p r o p o s i t i o n . On a ,

W

WF),

n b w e

q,wl,i,w2,i

:

B. Nayroles

avec ) s a t i s f a i t (24 ) l a s u i t e P a r s u i t e s i ( v . ,w. w 1 1, 1 , i s W 2 , i e s t s.s.a.b. de (25); c o m e

(Vi,~l,i+w2,i)

de 0 dansW il e x i s t e une v a l e u r io t e l l e que

pour tout)(rvoisinage

i p i

=>

w 1. - w 1 , i - ~ 2 , i

r*r

Prenant a l o r s

-w.

1

= w.

1

i < i

pour

-

+W

w.=w +W 1 l,i 2 , i c wi l a s u i t e (v.

,w.) a i n s i obtenue e s t b i e n s.s.a.b.

1

1

pour

i)io

de (25).

U t i l i s o n s m i n t e n a n t l e s p r o p o s i t i o n s 2 e t 7; il v i e n t l a : P r o p o s i t i o n 11

- Si f l )-m,

e t f 2 sont des f o n c t i o n s convexes, ? vi a l e u r s dans

+-),

pour t o u t e s topologies

gy,%

compatibles avec

l a d u a l i t 6 116quation

e s t approximativement p l u s f o r t e que 116quation

Ceci nous permet de remplacer l a seconde p a r l a premisre en encourant deux r i s q u e s : l o ) d'agrandir l'ensemble des s o l u t i o n s , c e qui nous i n d i f f s r e dans l a mesure oii c e l l e s - c i ne sont n i physiquement observahles n i num6ri-

B. N a y r o l e s

quement c a l c u l a b l e s

.

2O) de r e s t r e i n d r e l'ensemble des s.s.a.b. Notation

- S o i e n t A1 = - a f l

,

- af2

A2 =

deux l o i s sous-dif f i r e n t i e l -

l e s ; on a p p e l l e r a s o m e r k g u l a r i s 6 e de c e s l o i s l a l o i sousd if f'erentielle

,.

On a , d'apre's c e qui pr6cdde

Proposition 1 2

- L1addition r 6 g u l a r i s 6 e

e s t commutative e t a s s o c i a t i v e .

~n e f f e t e l l e s e ramdne B l ' a d d i t i o n des

r

r 6 g u l a r i s k e s de f l ,

Application a u probldme gdn6ral Revenons a u probldme g6n6ral pos6 a u c h a p i t r e 11. Sur l'616ment

.

mkcanique (v,<. , > ,w) on s e donne t r o i s l o i s d ' e f f o r t s o u s - d i f f 6 r e n & l l e s , A1 , A2, A 3 ,

a

savoir

l o ) E f f o r t donn6 w0 :

=

-afl

avec f l = <. ,-w

) ' 2

L i a i s o n a f f i n e p a r f a i t e : A2 = -af2

3')

Loi c o n s t i t u t i v e :

A3 =

- af 3

On suppose que f 2 e t f 3 a p p a r t i e n n e n t

avec f 2 = $ vO+I

ro(V). Le probldme d'6-

quilibre s16crit :

6quation approximativement p l u s f a i b l e

Celle-ci admet t o u j o u r s des 6.s.a.b.

~uisque

i n f ( ( f l + f 2 + f 3 ) ( v ) ) + (fl

v6v

>

+ f.2 + f g )

* (0) = 0

B. Nayroles

Toute s u i t e

e s t s.s.a.b.

(v.1 ,w.1 = 0 ) t e l l e que

de

2 P e t il l u i correspond deux s u i t e s ( w ~ , ~ ( w ) ~ , t~e l)l e s

que

pour t o u t e t o p o l o g i e s u r W compatible avec l a d u a l i t 6 . Ceci n ' a j o u t e r i e n 5 l a connaissance p r a t i q u e de l ' d q u a t i o n mais nous avons seulement voulu montrer que c a t i o n physique que (27')

(2q

(20);

posssde a u t a n t de s i g n i f i -

e t que l e problsme a i n s i pos6 e s t s a t i s f a i s a n t .

s y. m GAUCHE IE EliX LOIS D'EFFORT C ' e s t 110p6ration sym6trique de l ' a d d i t i o n , obtenue en i n v e r s a n t l e s r 8 l e s de V e t de W. Nous l a not,erons p a r l e sm.bole de l a r - c o n v o l u t i o ~ .

Par d 6 f i n i t i o n

a u second membre l e signe

+

dgsigne l ' a d d i t i o n des m u l t i a p p l i c a t i o n s .

A2

Lorsque A1 % a f l

=oaf2

avec f l e t f 2 dans ro(V)

on a l a r e l a t i o n

P

+I-- - a ( f l

v

f2)

ce qui j u s t i f i e l a notation. Un premier exemple e s t l a l o i d 1 6 1 a s t o p l a s t i c i t 6 ' d e Hencky :

03 A1 e s t une l o i d 1 6 1 a s t i c i t 6 l i n 6 a i r e e t Ap une l o i du r i g i d e - p l a s t i q u e parfait. Un second exemple e s t :

d'emploi c o u r a n t , c o m e on v i e n t de l e v o i r . D'une fapon g6n6rale l a somme de deux l o i s d ' e f f o r t correspond & c e que l e s r h 6 o l o g i s t e s e t l e s 6 l e c t r i c i e n s nomment l e "montage en paralI d l e " , t a n d i s que l a somme gauche correspond a u "montage en s6rief'.

53,QUOTIENT DROIT ET QUOTIENT GAUCHE Les deux op6rations de q u o t i e n t sont l e s p l u s i n t g r e s s a n t e s de c e t t e a l g b b r e e t , b i e n q u ' e l l e s s o i e n t d'usage courant depuis l e d6but de l a M6canique, l e u r f o r m a l i s a t i o n n ' e s t que t r d s rgcente ( c f r . J.J. MOREAU

( 4 ) e t NAYROLES (3) 1. E l l e s correspondent; comme t o u t passage d'un ensemb l e b un ensemble q u o t i e n t , b une p e r t e d'information : l e s informations a i n s i 'perdues 6 t a n t jug6es ou b i e n parfaitement i n u t i l e s , ou b i e n t r o p lourdes b prendre en compte. C'est d ' a i l l e u r s une a t t i t u d e courante, quoique souvent i n c o n s c i e n t e , des physiciens de r e s t r e i n d r e l ' i n f o r m a t i o n s u r

un ~h6nombne 5 un p e t i t nombre de v a r i a b l e s , f a u t e de pouvoir &me s a v o i r q e l l e s e r a i t l'information t o t a l e . C o m e n ~ o n spar d g f i n i r l e s deux q u o t i e n t s : i l s sont symgtriques l l u n de l ' a u t r e p a r 6change des r 6 l e s de V e t de W. Nous nous contenterons done d 1 6 t u d i e r , dans c e t a l i n g a , quelques p r o p r i 6 t 6 s du q u o t i e n t d r o i t

q u l i l s u f f i r a de t r a n s p o s e r pour o b t e n i r c e l l e s du q u o t i e n t gauche. Dans l e paragraphe s u i v a n t nous en verrons quelques a p p l i c a t i o n s .

- Soient % = ( v ,

D6finition 5

<.

,.>,

W) un Blgment, mgcanique, U un sous-

espace v e c t o r i e l ferm6 de V (resp..

.. a ),

llapplication

..).

canonique de W s u r son quotient O = W/UO (resp..

On ap-

p e l l e 616ment q u o t i e n t d r o i t ( r e s p . gauche) d e 6 p a r U0 1'616ment mgcanique

r =( u ,

I

<<.,.>>,

oii l a forme b i l i n s a i r e <<.,.>>

9) e s t d6finie par :

Les (resp.. .) s o n t , pour abr6ger l e t e x t e , l a i s s 6 s 2 l a d i l i g e n c e du l e c t e u r . On n o t e que l a forme b i l i n 6 a i r e e s t b i e n d 6 f i n i e puisque,

u appartenant

a

U, ne ddpend que de u e t de 4.

Le q u o t i e n t d r o i t i n t e r v i e n t s i l ' o n admet que l e dgplacement u r e s t e dans

e t s i l ' o n considbre comme g q u i v a l e n t s deux e f f o r t s qui d6-

veloppent l e &me t r a v a i l v i r t u e l dans t o u t dgplacement v i r t u e l u e U. C ' e s t exactement c e qui s e p r o d u i t l o r s q u e 1'616ment mgcanique

& est

d e n l o i s d'effort l ' u n e de l i a i s o n :

(v) + $ J ~(-wa) * = 0

l ' a u t r e (Qventuellement une somme )

w& ~ ( v )

soumis 3 Z

B. Nayroles

Le systbme (21))

e s t 6videmment dquivalent b

Consid6rons maintenant llimmersion de c a t i o n transposke d e a notons..la done

Dkfinition

3 T.

, par

- S o i t A une

6

I h.oposition 1 2

I

A l a loi

dans V$ c ' e s t l ' a p p l i -

d 6 f i n i t i o n de l a forme b i l i n 6 a i r e <<.#.>>;

[s)kquivaut

Alors

L)

l o i dleffort sur

&o A

- Le q u o t i e n t

o

a

b

$ . On a p p e l l e

l o i q u o t i e n t de

q u i e s t une l o i d l e f f o r t s u r s .

d r o i t e s t d i s t r i b u t i f par rapport 2 l1addi-

tion :

3

O

(

A

~

+

A

La d6monstration ;st immkdiate

~

)

. Venons-en

O

~

~

=

~

O

maintenant 3 1'ktude

des l o i s q u o t i e n t s de l o i s s o u s - d i f f k r e n t i e l l e s . Proposition 1 3

- Soient

f une f o n c t i o n d k f i n i e s u r V, b v a l e u r s dans

+a), e t &sa restriction 2 l a dualit6 entre U e t

u . La p o l a i r e de c e l l e - c i ,

vaut

En e f f e t nous avons

J w~&-'(c)

;,'(a)

= sup (

wv

-

(i + i U ) ( ~ ) )

)-my

pour

A

~

O

~

B. N a y r o l e s

Proposition 14

I

- Sous l e s hypothsses de l a p r o p o s i t i o n

13 l a loi

e s t l a l o i q u o t i e n t de l a l o i s o u s - d i f f g r e n t i e l l e

En p a r t i c u l i e r si f e s t convexe, f i n i e e t continue en un p o i n t de U :

La notion d16quivalence approximative nous a permis de rempla-

c e r dans t o u t l e s c a s q u o t i e n t e n remplasant

af

+ 3% p a r a ( f + JIU). NOUS r 6 g u l a r i s e r o n s done c e

3o-

af o

9

par l a l o i p l u s f o r t e

- aFU.

9 6 , DEUX UTILISATIONS.-PR4TIWS W WOTIENT D N I T 5.1

Approximations cinSmatiques

La m6canique d e s milieux continus s 1 i n t 6 r e s s e t o u t dlabord a u m i l i e u t r i d i m e n s i o n n e l ; p u i s , cornme il e s t en p r a t i q u e b i e n d i f f i c i l e de r6soudre nmgriquement l e s 6quations obtenues, on essaye de t e n i r compte, l o r s q u e l l o c c a s i o n s1en r e n c o n t r e , des f a i b l e s ' v a l e u r s de c e r t a i n e s donn6es pour o b t e n i r une t h 6 o r i e s i m p l i f i 6 e , p a r exemple c e l l e des plaques. de

trss

Une m6thode u t i l i s 6 e b i e n souvent, e t q u i peut s l a p p l i q u e r

Q

nombreux c a s math6matiques e s t l a suivante. On p a r t de 116quation

(ou du systsme)

ou

E

e s t l e p e t i t paramstre, p u i s on f a i t un d6veloppement l i m i t e par rap-

port $

E

:

B. N a y r o l e s

e t on conside're, s e l o n l a q u a l i t 6 de llapproximation d 6 s i r 6 e , l e s 6quations

c e qui donne des " t h b o r i e s l i n d a r i s b e s a u premier o r d r e , a u second ordre etc...".

C e t t e mbthode a 6 t 6 p a r t i c u i b r e m e n t pr6conisd.e p a r J.M.

SOURUU,

mais e l l e e s t d'usage c o n s t a n t , e t vraisemblablement tre's ancien.

ennui e s t que l e s r b s u l t a t s t h 6 o r i q u e s obtenus s u r l e proble'me i n i t i a l peuvent d e w n i r i n a p p l i c a b l e s aux problsmes l i n 6 a r i s 6 s Y c e r t a i n e s

f

6 t a n t perdues a u c o u r s de l a l i n g a r i s a t i o n . des p r o p r i 6 t 6 s de La R6sistance des b t b r i a u x a c e c i de p a r t i c u l i e r que l e s approximations u t i l i s 6 e s conservent l a s t r u c t u r e alg6brique examin6e a u c h a p i t r e I. Ces approximations peuvent d t r e de t r o i s types : cin6matique ( t h b o r i e de Kirschoff pour l e s plaques e t l e s coques, klbments f i n i s "d6placements e t c . ) sth6nique ( t h 6 o r i e de Reissner pour l e s plaques e t l e s coques, BlCments fin i s "forces") ou mixte ( t h 6 o r i e des p o u t r e s en f l e x i o n , 616ments f i n i s mixtes)

.

Les approximations de type cin6matique c o n s i s t e n t Q supposer ( Q une approximation p r d s ) que l e d6~1acementv r e s t e dans un sous-espace vect o r i e l U de V : pour ne pas perdre l a s t r u c t u r e alg6brique l e m6canicien p o s e r a c e t t e hypothsse, non pas en termes d'approximation,

mais comme l ' i n -

t r o d u c t i o n d'une l o i de l i a i s o n p a r f a i t e . Alors il t r a v a i l l e r a s u r 1'616ment m6canique q u o t i e n t (

u , <<.,.>>,

g ) . S i l e s e f f o r t s d6rivent d'un

p o t e n t i e l f il minimisera donc non pas f mais s a r e s t r i c t i o n b

u.

On p o u r r a c o n s u l t e r VALID ( l ) ,FREUNEVAL ( ( l ) , ( 2 ) , ( 3 ) ) b propos de l ' a p p l i c a t i o n de l a technique de l i n k a r i s a t i o n prdckdente aux approximations cingmatiques dans l e s coques. Dans SOUCHET (1) on t r o u v e r a

un expos6 c l a i r de l a t h g o r i e de REISSNER pour l e s plaques, a i n s i &idemmerit que dans REISSNER lui-meme

((I), (2) ) r

B. N a y r o l e s

~ r o b l b m ede Saint-Venant (MAISONNEUVE ( 1 ) ) 5.2 I c i c ' e s t l a p e r t e d'information qui e s t elle-&me

reoherchke e t

va nous conduire 2 u t ~q u o t i e n t d r o i t . On considbre une m i l i e u continu tridimensionnel qui occupe l e domaine $2

-

dont a$2 d d s i m e l a f r o n t i k r e . I1 e s t

soumis 5 d i v e r s e f f o r t s , dont c e r t a i n s sont a e s e f f o r t s e x t k r i e u r s appliquks s u r une p a r t i e al$2 de l a f r o n t i s r e . Awe SAINT-VENANT e t MAISONNEUVE,

on souhaite, pour des r a i s o n s qui n'ont pas l i e u d l $ t r e i c i prdciskes, ne s ' i n t d r e s s e r qu'au t o r s e u r des e f f o r t s ap~ l i q u 6 s . ( s u i t e page 72)

S

J I

WE UIILISATION PRATIQLE DU QUOTIENT GAUCM : LA SOUS-STWJCKJRATION Le q u o t i e n t gauche i n t e r v i e n t dans l e s approximations de type

sthkniques de l a mcme fason que l e q u o t i e n t d r o i t dans l e s approximations c i n k m t i q u e s : il n l y a donc pas l i e u de ddvelopper ce p o i n t . Une a u t r e occasion d ' u t i l i s e r l e q u o t i e n t gauche e s t l a s o u s - s t r u c t u r a t i o n .

Le c a l c u l des grandes s t r u c t u r e s , c ' e s t 2 d i r e dkpendant dlun grand nombre de parambtres de l i b e r t k , ne peut S t r e e n t r e p r i s d'un s e u l coup s i l ' o r d i n a t e u r u t i l i s k ne posssde pas une mkmoire de t a i l l e s u f f i s a n t e . Pour c a l c u l e r c e s s t r u c t u r e s on l e s dkcoupe en sous-structures que l 1 o n c a l c u l e skparkment, p u i s qu'on assemble e n s u i t e . L ' i n t d r c t de l ' o p k r a t i o n e s t de r d d u i r e l e nombre de parambtres de l i b e r t k dont ddpend une souss t r u c t u r e a u nombre de parambtres n k c e s s a i r e s L l ' d c r i t u r e des c o n d i t i o n s de l i a i s o n avec l e s a u t r e s sous-structures.

-

S o i t p a r exemple S1 une sous-structure reprksentke p a r 1'6lkment

m$anique (Vl, <. ,.>,

Wl), e t c o n s t i t u d e p a r un s o l i d e continu. Supposons la*

B. N a y r o l e s

r e l i 6 e a u r e s t e S2 de l a s t r u c t u r e en un s e u l p o i n t P : 1'6quation de l i a i s o n 6 g a l e r a l e dgplacement a = v l (P) de S1

asq(2)

a u d6placement v ~ ( P )de S2. S1 e s t soumise 2 des e f f o r t s wl,...,

wn e t L l 1 e f f o r t -ws e x e r t 6 p a r S2 s u r S1 e n P; ws e s t i c i une f o r c e concent r 6 e en P. Pour l e c a l c u l de l a s t r u c t u r e compldte nous aurons 3 d i s p o s e r du renseignement s u i v a n t : quel e s t l ' e f f o r t w

qui correspond au d6place-

w

merit a du p o i n t P de S1, compte t e n u des e f f o r t s wl,...,

n ?

On n o t e que dans c e problbme d e w champs de d6placement v e t v' de V s.cnt 6 q u i v a l e n t s s ' i l s prennent l a Gme v a l e u r en P. Parallblement l ' e f f o r t de l i a i s o n w a p p a r t i e n t 3 un sous-espace v e c t o r i e l @ ( i c i de dir n s i o n 3) de W, e t que '0 e s t pr6cisdment l'ensemble des v e V qui s'annul e n t en P. Autrement d i t l e renseignement demand6 p o r t e s u r 1'616ment quot i e n t gauche

l ' a p p l i c a t i o n canonique de V1 s u r

u

. Donnons-nous

Lw

a

w , n e t supposons l e en

S o i e n t A l a somme des l o i s d ' e f f o r t donnant l e s wl,..., g q u i l i b r e avec A :

e s t l ' g q u a t i o n qui donne v de f o n c t i o n de w

. Elle s'gcrit

aussi

qui e n t r a k e

8 ( v ) 6 a OA - ~ ( w ~=) %

(33). ce qui donne l e s a nersion de

@

=a

dans W1.

A - ~

( v ) chercbgs en f o n c t i o n de us.

8 8

( w ~ ) e s t encore l ' i m -

B. N a y r o l e s

Inversement

entraTne q u ' i l e x i s t e v s o l u t i o n de (32 J e t appartenant b a-'(a)., S i donc on ne d e s i r e u t i l i s e r que l e s informations sur 1'ElEment qmtient on devra remplacer l a l o i A par sa l o i quotient, inverse inf6rieure d e % o A-lo

a T.

On note que l a transformation d'une l o i d ' e f f o r t par quotient giuche e s t d i s t r i b u t i v e par rapport 2 l ' a d d i t i o n gauche ( n o t E e g ) mais pas par rapport B l'addition.

Dms ce qui preckde il f a n t donc que A s o i t l a

sonnne de t o u t e s l e s l o i s d ' e f f o r t exerc6s sur l a sous-structure e t qui ne sont pas des l o i s normales b A1 e s t normale b

QO

QO';

on peut en e f l e t v d r i f i a r aisdneAlt qu* s i

(cres.b b d i r e m e l o i d ' e f f o r t donnant une force appli-

qu6e L P en fonction du ddplacement de ce p o i n t ) e t s i A2 e s t une l o i d'eff o r t quelconque sur (V

,

.,. ,

W ) alors

( d o (Al + A ~ ) - O = ~( s~ o )* , o

v)-+

-

(aoA2 o a T )

B. N a y r o l e s

-Additurn

( s u i t e e t f i n du § 6, ch. I V , oubli&s 2 l a s u i t e d'une erreur de mise en page).

S o i t (t: = (v, <.,.>, W) 1'616ment mQanique c o n s t i t u 6 par l e s o l i d e envisag6. L'ensemble U des champs qui s o l i d i f i e n t a l a e s t un sousespace v e c t o r i e l de V , que nous supposerons ferm6. U0 e s t llensemble des e f f o r t s aPpliqu6s 5 % e t qui ne t r a v a i l l e n t pas dans l e s ddplacements qui s o l i d i f i e n t 3 1 0 : W/IO = @ peut donc d t r e consid6r6 c o m e l'espace des t o r s e u r s des e f f o r t s appliqu6s 5 ala. S i l ' o n s e donne l o ) l a s o m e w l de t o u s l e s e f f o r t s appliqu6s a u s o l i d e except 6 s c e w qui s'exercent sur a152. 2O) l e t o r s e u r $ des e f f o r t s exercds s u r a l Q 1 ' 6 ~ u i l i b r e du s o l i d e s 1 6 c r i t Wl

w2

+

w2 = 0

2-l(0

Supposons que w l s o i t donn6 p a r l a l o i s o u s - d i f f d r e n t i e l l e

l e systsme pr6cddent dquivaut 5

dont l a donnde e s t $, l e s inconnues v e t w2. I1 n ' e s t pas ddterminb : pour l e d6terminer on va c h o i s i r , avec Maisonneuve, 1'616ment d e 2 'I($) nimise l ' d n e r g i e compl6mentaire f &dent par

*, c ' e s t

qui m i -

5 d i r e remplacer l e systsme prd-

B. Nayroles

S o i t (T,F2) une s o l u t i o n de c e systsme. On a

c l e s t 2 d i r e , e n supposant que l e s s o u s - d i f f g r e n t i e l s s ' a j o u t e n t

3 uCV de s o r t e que (u,;2

u

c a?(<)

) e s t s o l u t i o n du sasteme (34). S i f* e s t faiblement

d i f f 6 r e n t i a b l e on en d g d u i t que

C: 7/ de s o r t e que r6soudre l e systsme

B. N a y r o l e s

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1973

- Thsse - P o i t i e r s

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( c. I. M. E . )

ON CERTAIN CONVEX SETS O F MEASURES AND PHASES O F REACTING MIXTURES

WALTER NOLL

T h e l e c t u r e is not printed h e r e b e c a u s e i t s content is substantially contained i n t h e p a p e r published in t h e "Archibe Volume 38

-

f o r rational

mechanics"

1970, Pag. 1-12.

Corso tenuto a

Bressanone

dal

1 7 a1 26

giugno

1973

C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E . )

ON COMPLEMENTARY VARIATIONAL INEQUALITIES

W. V E L T E

Corso tenuto

a

B r e s s a n o n e dal

1 7 a1 2 6

giugno

1973

ON COMPLEMENTARY VARIATIONAL INEQUALITIES W.

Velte

I.I n t r o d u c t i o n

P a i r s of complementary v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s a r e w e l l known i n v a r i o u s f i e l d s of a p p l i c a t i o n s . I n e l a s t i c i t y , f o r example, t h e e q u i l i b r i u m s t a t e of an e l a s t i c medium can be c h a r a c t e r i z e d by t h e p r i n c i p l e of minimal p o t e n t i a l energy a s w e l l a s by C a s t i g l i a n o ' s p r i n c i p l e of complementarXenergy. I n e l e c t r o s t a t i c s , t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d can be c h a r a c t e r i z e d by D i r i c h l e t ' s p r i n c i p l e a s w e l l a s by t h e complementary (see also p r i n c i p l e of Thamon The method of T r e f f t z [8] Michlin [ 5 ] ) is a c o u n t e r p a r t of t h e method of R i t z and u s e s a complementary v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e f o r t h e underl y i n g s e l f - a d j o i n t e l l i p t i c boundary v a l u e problem. I .

A s y s t e m a t i c a l approach t o complementary v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s beginning w i t h F r i e d r i c h s [ 3 ] ( s e e a l s o Courant and H i l b e r t [I] ) was developed by s e v e r a l a u t h o r s , consideri n g a l s o i n e q u a l i t i e s a s c o n s t r a i n t s . B i b l i o g r a p h i e s a r e found i n Robinson [ 6 ] and Sewell [ 7 ]

.

I n t h e f o l l o w i n g , we give a simple approach t o p a i r s of complementary v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s and complementary v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s f o r a c e r t a i n c l a s s of non-linear e l l i p t i c boundary v a l u e problems. It i s r e l a t e d t o problems considered by F i c h e r a [ 2 ] and t o t h e c l a s s of problems s t u d i e d by Lions and Stampacchia [ 4 ] The c l a s s i c a l exampl e s c i t e d below ( i n v o l v i n g no i n e q u a l i t i e s a s c o n s t r a i n t s ) a r e covered a s s p e c i a l c a s e s .

.

W . Velte

2. The v a r i a t i o n a l problem

Let E denote a l i n e a r space. I n our examples ( s e c t i o n 5 ) E w i l l be a r e a l ' ~ i l b e r tspace. But i n o r d e r t o formulate

p a i r s of complementary extremal problems and complementary v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s i t i s s u f f i c i e n t t o have t h e following situation: Let E be a r e a l l o c a l l y convex space) p a i r i n g between E and form a ( , ) : EXE + some l i n e a r subspace

Banach space ( o r , more g e n e r a l , a l i n e a r , , E' t h e dual of E and < , > t h e E' Let be given a symmetric b i l i n e a r R , non-negative on E and p o s i t i v on VcE:

.

I n our examples a ( , ) w i l l be a b i l i n e a r form corresponding t o a l i n e a r e l l i p t i c d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r , and V w i l l be a l i n e a r subspace of f u n c t i o n s which s a t i s f y c e r t a i n l i n e a r , homogeneous boundary conditions. The l i n e a r v a r i e t y

with given element uo t h e n corresponds t o t h e s e t of f u n c t i o n s which s a t i s f y c e r t a i n inhomogene'ous boundary c o n d i t i o n s . We a r e i n t e r e s t e d i n problems, f o r which besides of t h e (homogeneous o r inhomogeneous) boundary c o n d i t i o n s t h e r e a r e c o n s t r a i n t s given i n t h e form u E K1 , where K1 c E is a convex s e t . Then t h e s e t K of admissible f u n c t i o n s i s given by

(5)

K = MnK1

C l e a r l y , K i s a convex s e t , too. F i r s t l y , we s h e l l consider f o r given i n g v a r i a t i o n a l problem:

f e E ' t h e follow-

W. V e l t e

Problem 1.

(6)

Find t h e s o l u t i o n ~ ( u )= a ( u , u )

u

of t h e extremal problem

- 2

+

min

,

u-E K

r e s p e c t i v e l y of t h e equivalent v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y .

We a r e n o t concerned here with t h e problem of t h e e x i s t e n c e of a s o l u t i o n . Existence holds under a d d i t i o n a l assumptions ( s e e f o r example Lions and Stampacchia [4] ). The s o l u t i o n is, however, unique by assumption ( 3 )

.

Secondly, consider a f u n c t i o n F( ) : E + R which i s bounded from below and convex. Suppose t h a t F( ) has f o r any u E E a d e r i v a t i v e f ( u ) E E' i n t h e sense of Gateaux. Then

Problem 2.

(9)

Find t h e s o l u t i o n ~ ( u )= a ( u , u )

+ 2F(u)

of t h e extremal problem

+

min

,

u

E

K

r e s p e c t i v e l y of t h e equivalent v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y

Again, we a r e not concerned here with s u f f i c i e n t cond i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e of a s o l u t i o n . For s u f f i c i e n t conditions s e e [ 4 ] , f o r example. We simply suppose, t h a t a s o l u t i o n e x i s t s . Uniqueness follows from ( 3 ) and (8)

.

W. Velte

3 . E r r o r estimate i n enerRs norm Since Problem I i s only a s p e c i a l case of Problem 2 with F(u) = - < f , u > we can t r e a t both problems i n t h e form (9)

.

.-

Let 5 denote t h e s o l u t i o n of (9) r e s p . of (10) In g e n e r a l , it w i l l be 'not p o s s i b l e t o give t h e s o l u t i o n u by e x p l i c i t terms. Then, i f u E K i s any numerical approximation t o 5 , t h e q u e s t i o n a r i s e s how t o o b t a i n an e r r o r estimate. I n t h e theory of v a r i a t i o n a l methods f o r q u a d r a t i c extremal problems without i n e q u a l i t i e s a s c o n s t r a i n t s t h e r o l e of e r r o r e s t i m a t e s i n energy norm i s well known ( s e e , f o r example, "Michlin [ 5 ] ) Therefore, it seems q u i t e natur a l t o look f o r an e r r o r e s t i m a t e i n energy norm i n t h e case of v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s , t o o

.

.

The energy norm i s given by

This i s , by assumption ( 2 ) and ( 3 ) norm i n E. P r o p o s i t i o n 1. Let of (10) and l e t u Then (12)

,a

norm i n V and a h a l f -

u E

E K denote t h e s o l u t i o n of (9) r e s p . K be any numerical approximation t o

lu-512

c.

5

J(u)

-

J(5)

Proof. The s o l u t i o n 5 c K s a t i s f i e s t h e v a r i a t i o n a l ine q u a l i t y (10) f o r a l l v 6 K Hence, with v = u ,

.

lu-iii2

.Z lu-ii12 + 2 a ( i i , u - 5 ) + 2 < f ( C ) , u - ~ >

.

Using (8) and r e a r r a n g i n g t h e terms on t h e r i g h t hand s i d e , one o b t a i n s immediately 'lu-u12

5

lu-<12 + 2 a ( u , u - u ) + 2F(u)

=

J(U)

-

J(U)

.

-

2~(5)

W. Velte

Corollary 1. Let d be a lower bound for ~ ( 3 ,d ,p ~(3) , then from (12)

Naturally, the question arises how to obtain a lower bound d which is sufficiently close to J(c). In the next section a systematical approach to a lower bound will be given in terms of complementary extremal problems involving complementary variational inequalities. 4. Complementary variational problems '

Since by assumtion the bilinear form a( negative, one has a(u- v,u- v) 2 0 or (14)

,)

-a(v,v) + 2a(v,u)

a(u,u)

is nonU,V c

E

,

U,V 6

E

.

and (8) may be written in the form (15)

F(u)

2

F(,vv) +

.

Consider the functional J(u) = a(u,u) + 2F(u) From and (15) one has for any u E K and any v E E

-

J(u) =

(14)

+ 2F(v) + 2 J(v) + 2 ( a(v,u - v) + a(v,v)

+

2a(v,u)

1 .

Hence, (16)

J(u)

2 J(v)

provided, that the inequality

holds. Since we wish to obtain a lower bound for J(u) for any u c K , we require the inequafiity to hold for any u E K. Therefore', we introduce the set Kc of all elements v

E

E satisfying the coinpLemegt_argvarigt&ona& LngqgaLiQ (18)

a(v,u- v) +
- v>

p O

VUEK.

W. Velte

Remark. In the case of Problem 1 the set Kc consists of all elements satisfying the variational inequality

Note the similarity between the variational inequality (10) and the complementary variational inequality (18). The roles of u and v are interchanged. The solutions v of (18), however, are not restricted to be in K and are in. general not unique.

u

E K denote the solution of the variaProposition 2. Let tional problem (9) and v any element in Kc Then 2 (20) Iv-ui 5 J(3) L J(v) .

.

-

Proof. For any two elements u (18) holds. Hence, with u = u

= J(E)

-

E

K

,v

t

Kc the inequality

,

.

J(v)

Theorem 1. Suppose the variational problem J(u) = a(u,u)

has a solution u E K (21 {u]

+

F(u)

. Then

+

min

,

U E K

= KnKC

and min J(u) = J(5) = max J(v) ue K v e Kc Further, for any two elements u E K , v E Kc one has (22)

Proof. En element -

w t E is solution of (10) if and only if w E K n Kc But (10) has only one solution. Hence (21) For any pair u E K , v E E satisfying (17) one has from (16) J(u) J(v) since e K I\ Kc one has J(u) 2 J(u) for any u E K , and J(u) p J(v) for any v e Kc Hence (22).

.

=

.

.

u

.

W. Velte

I n e q u a l i t y (23) follows from

- ii12 =

4(?

l ( u - i i ) + ( v - i i ) 1 2 5 lu-ii12

t o g e t h e r with (12) and (20)

.

+* [v-iil 2

One can modify Theorem 1 i n d i f f e r e n t ways, i f t h e funct i o n a l J ( ) : E + R i s considered a s r e s t r i c t i o n of an o t h e r f u n c t i o n a l . I n t h e following we consider only one extension. Let

,

@(

):

EkE

+R

denote t h e f u n c t i o n a l given by

Clearly, J ( u ) = @{u,u) f o r any (15), w r i t t e n i n t h e form a(u,u)

2

-a(v,v)

p(u)

2

P(w)

+

. We now use

u E E

2a(v,u)

and For any

u E K

and any

(14) and

+ < f ( w ) , u - v>

v,w E E

.

follows

Hence, (25)

J(u)

1 $(v,w)

provided, t h a t t h e i n e q u a l i t y (26)

a(v,u- v)

+

2 O N

holds. This time, we introduce t h e s e t Kc of a l l p a i r s ( v , w) E E X E s a t i s f y i n g t h e v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y

(27)

a(v,u-v)+

2

u

o

W U E K .

Proposition 3. Let e K denote t h e s o l u t i o n of t h e v a r i a t i o n a l problem (9) and t h e p a i r v,w ahy s o l u t i o n of t h e v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ( 2 7 ) . Then (28)

lv

- ii12

-= J(U) - @(v,w_)

W. V e l t e

Proof. -

From (27) w i t h

u=u

- 2 5 l v - i l l 2 + 2 a ( v ,-u - v ) + 2 < f ( w ) , i i - k >

Iv-ul

lu12 - lv12 + 2~(:) = J(;) - $(v,w) 5

Theorem 2.

Suppose t h e v a r i a t i o n a l problem

+

J(u) = a(u,u) has a s o l u t i o n

u

E

K

min J ( u )

2 ~ ( u )+ ' min

.

Then

=

J(E)

=

UE K

,

u c K

.

max , @(v,w) (v,w)EK~

Minimum and maximum a r e a t t a i n e d f o r u e K and any p a i r (v,w) e

ftc

Proof.

2F(w)

u = v = w = ii

.

For any

The theorem f o l l o w s immediately from (12) and (28)

C o r o l l a r y 2. Choose J(W) 2 f o r any

v e E

(29)

u

E

K

.

. Then

J(U) 2 W , W )

satisfying the variational inequality

a(v,u-v)+

2

0

Y u e K .

Remark. I n g e n e r a l it w i l l be e a s i e r t o f i n d s o l u t i o n s v of i n e q u a l i t y (29) w i t h given w E K r a t h e r t h a n s o l u t i o n s of i n e q u a l i t y (18). Therefore, i n comparision with Theorem 7 , Theorem 2 and C o r o l l a r y 2 a r e e a s i e r t o apply.

W. Velte

5 . Applications (i A o n s i d e r a bounded region c R N with p o i n t s x =, (xl;. and smooth boundary r c o n s i s t i n g of two p a r t s and Consider

rl

(

j

E = H

,N

(R),

..

,xN)

r2 .

) with s u f f i c i e n t l y r e g u l a r c o e f f i c i e n t s . Let i . e . t h e completion of C1(fi) with r e s p e c t t o

t h e norm

( U , V ) and ~ llullo denoting i n n e r product and norm i n L 2 ( n )

.

Further, l e t

v

= {U c H

1

/

U = O

on

r.,

I

Suppose

Then, f o r given

f E ~ ~ ( n t h) e , extremal problem

J(u) = a ( u , u )

-

2 ( f , u ) ~-+ min

.

has a unique s o l u t i o n ii From u e K e q u a l i t y (7) we have (see [4], p.510) L(u) = f i n , au and

,

u c K

and variational ' au u==O

on

in-

r2 ,

a t l e a s t i n t h e sense of weak s o l u t i o n s and t r a c e s . n denotes t h e conormal w i t h r e s p e c t t o L(u)

.

1

( i i ) The s e t Kc c o n s i s t s of a l l elements v E H f y i n g t h e complementary v a r i a t i o n a l r i n e q u a l i t y

satis-

W. Velte

The inequality is satisfied if L(v)

= f

in

,

fl

av ~

2 on0

r2 ,

irv&d~EO.

Example 2. (i) Consider the following boundary value problem for the stationary temperature distribution (absolute temperature) in a bounded region C R ~with smooth boundary r consisting of three parts r,, , r2 and :

n

r3

(a>O , p-0 ) , i.e. given constant temperature on rl , no heat flow across and energy loss by radiation on r3 according the law of Stefan- Boltzmann. The absolute temperature is always non negative.

r2

Let E = HI (fi) as in Example 1

and let

v

= {u r

HI

U = O on

K

=

HI

U = W O

a(u,v) Assume

,

{UC

rl

\ ~ rl , U

~

on O

r2"r- ]

(gradugradvdx

=

ri a(u,u>

2 r c Ilulll

yUEv

(c>o).

Then the extremal problem J(u-) = a(u,u) + 2 r3jG(u)dr

min

,

U E K

with for u 2 0 ( 0

-

for U

.

~

O

has a unique solution u t K (Note, that the functions have boundary values in L2( r ) ) The corresponding in HI variational inequality is given by

. -

W. V e l t e

where

4

g ( u ) = G'(u) =

for

u 1 0

for

u
.

From u E K and t h e v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y one has Au = 0 i n _CT Hence, by t h e maximum p r i n c i p l e f o r harmonic functions, u(x) > 0 i n fl Therefore from t h e v a r i a t i o n a l inequality du + pu4 = o on rrf; AU- 0 in , -aU= o on aii an

.

.

r2,

.

( i i ) The s e t Kc c o n s i s t s of a l l f u n c t i o n s fying a(v,u-v)+ Sg(v)(u-v)dt 2 O r3 The i n e q u a l i t y i s s a t i s f i e d i f A V = O i n _CL , ~av 2 on 0

r2 ,

$

Sg(w)(u-w)dr r3 The i n e q u a l i t y i s s a t i s f i e d i f av A v = 0 in -0, ~ 2 0" 0

r2,

satisY U C K .

av ; i;;+ g ( v ) - r 0

2

on

r3 ,

(v,w) e H'X H'

( i i i ) The s e t . c o n s i s t s of a l l p a i r s satisfying the inequality a(v,u-v)+

v e H'

0

av a;;+gCw)=O

YUCK. on

r3,

W. Velte

L i t e r a t u r e [I]

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