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a Cet ouvrage intitulé «Mécanique de la rupture »,le Monographies de Matérialogie, s'adresse aux ingénieursuuc,uo.uo;;au de la science des matériaux. du contrôle non destructif et de l' sûreté des structures. Le chercheur trouvera également intéressants pout guider ses recherches; Enfin, le professeur, choisir certaines parties pour son enseignement. '
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Cet ouvrage, qui se veut un texte de référence prenant en derniers acquis, décrit les éléments de base de la mécanique de la, ru):>ture , cherche à éviter des développements trop complets ou encore non truûtrisé:s, pour ne pas alourdir la lecture. n traite de la' mécanique de la rupture des milieux homogènes et isotropes. Seul le chargement monotone, et statique est considéré. Une bibliographie non exhaustive correspondant aux sujets introduits est disponible et peut ainsi être mise à profit pour des lectures complémentaires. L'ouvrage est organisé de façon à aller du plus simple au plus compliqué et suit ainsi naturellement le développement chronologique de cette discipline. · Dans 1' ordre également, l'échelle microscopique est considérée avant 1'échelle macroscopique, car la compréhension physique des phénomènes liée à 1'observation expérimentale du matériau a précédé la compréhension du comportement macroscopique des structures. Dans ce dernier domaine, l'apport relativement récent des calculs aux éléments finis qui s'apparentent à l'observation expérimentale est déterminant. L'approche analytique plus délicate n'est cependant pas oubliée.
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Mécanique de la rupture
Des exercices sont proposés au lecteur. Ils sont destinés à souligner des points importants ou à expliciter des développements.
Auteur: D.MIANNAY
00272
Monographies de Matérialogie
Cette nouvelle collection, publiée sous le patronage de la Société Française de Métallurgie et des Matériaux, vise à traiter, dans le champ de la Science et du Génie des Matériaux, quelques sujets bien définis pour lesquels le besoin d'ouvrages en langue française se fait sentir. Il ne s'agit donc nullement de mettre en œuvre un traité systématique ou une encyclopédie, qui couvrirait tout le domaine de la Science et du Génie des Matériaux, mais plutôt, dans les limites de livres de dimension raisonnable, de traiter de sujets bien ciblés portant par exemple sur une classe de matériaux à finalité donnée ou sur une propriété ou un type de comportement sous certaines sollicitations, sur certaines évolutions structurales, ou encore certains types de procédés d'élaboration, de transformation ou de mise en œuvre, ou enfin sur certaines méthodes de caractérisation. Le titre de cette collection se veut un peu provocateur. Il veut rappeler l'existence d'une discipline spécifique, participant bien sûr des disciplines de base que sont la Mécanique, la Physique et la Chimie, mais avec une philosophie propre qui en fait une discipline à part entière. Ces ouvrages s'adressent aussi bien aux chercheurs, aux ingénieurs et aux enseignants qu'aux étudiants. Nous souhaitons que quelques uns de ces livres restent pendant longtemps à portée de leur main dans leur bureau ou leur laboratoire.
Jean Philibert Directeur de Collection
Comité Editorial Gérard Béranger, Professeur à 1'Université de Technologie de Compiègne Michel Colombié, Professeur au CNAM Thierry Magnin, Professeur à l'Ecole des Mines de Saint-Etienne André Mocellin, Professeur à 1'Ecole des Mines de Nancy Jean-Hubert Schmitt, Chef de Département à l'IRSID
Avant-propos
Cet ouvrage s'adresse aux ingénieurs de trois disCiplines : l'ingénieur du bureau d'études responsable de la conception d'une structure, l'ingénieur de la science des matériaux qui doit fournir les caractéristiques mécaniques et améliorer la qualité des matériaux, et l'ingénieur du contrôle non destructif qui doit assurer qu'aucune fissure nocive n'extste après fabrication ou n'apparaît en service. Cet ouvrage s'adresse également à l'ingénieur qui doit expertiser la sûreté des structures. Le chercheur trouvera également des éléments intéressants pour guider ses recherches. Le professeur pourra extraire certaines parties pour enseigner. Cet ouvrage en français qui se veut être un texte de référence prenant en compte les derniers acquis fournit les éléments de base de la mécanique de la rupture et cherche à éviter les développements trop complets ou non encore maîtrisés pour ne pas alourdir la lecture. Il comble un manque de publication en langue française sur le sujet durant les dix dernières années. Une bibliographie non exhaustive correspondant aux sujets introduits est disponible et peut ainsi être mise à profit ppur des développements complémentaires. I..:ouvrage est organisé de façon à aller du plus simple au plus compliqué et suit ainsi naturellement le développement chronologique de cette discipline. Dans l'ordre également l'échelle microscopique est considérée avant l'échelle macroscopique, car la compréhension physique des phénomènes liée à l'observation expérimentale du matériau a précédé la compréhensiqn du comportement macroscopique des structures. Dans ce dernier domaine l'apport relativement récent des calculs aux éléments finis qui s'apparentent à l'observation expérimentale est déterminant. Des exercices sont proposés. Ils sont destinés à souligner des points importants ou à expliciter des développements. Cet ouvrage traite de la mécanique de la rupture dans des milieux homogènes et isotropes. Seul le chargement monotone et statique est considéré. Le chapitre 1 considère le processus de rupture à l'échelle atomique et donne le critère de rupture élastique en terme dè contrainte. Le chapitre II décrit l'application par Griffith de ce critère et du critère énergétique non équivalent à ce dernier, au cas des entailles dans un milieu au comportement purement élastique. Puis, pour les fissures, le traitement élastique introduit par Irwin pour décrire les champs de contrainte et de déformation en fonction des deux paramètres de chargement équivalents, le facteur d'intensité de
chargement T, contrainte transverse, est égalem~nt i~troduit. C'~~l~-d;~;i~; de l'élasticité présenté sur la figure ci-après. Elasticity
p
0 no---r---------r--------~----~~>
K (a)
J
K (ae)
J, Elasticité
Chapitre Il
Q
Plasticité confinée
1
Q
0 Plasticité confinée
limitée
étendue
Chapitre Ill
Chapitre VIl
Plasticité généralisée
Chapitre VI
F~g. -Domaines d;_ déformat!on d'un corps fis~u~é, définis sur la courbe charged~plac~ment et par 1etude relatJ~e de la zone plastifiee (zone hachurée) par rapport aux dJm,ensJOns du co~ps. Les pa~ametre.s (grand.eu~s) ~ouvant caractériser le chargement et le,s etats de c~ntramte et de deformatiOn sont md1ques pour chaque domaine. Les chapitres ou ces domames sont traités sont indiqués. Au chapitre III, la correction approximative de plasticité sous ses différentes fo~mes, qu~ doit être introduite pour que les solutions élastiques du chapitre II sment physiquement acceptables, est décrite. C'est le domaine de la plasticité con-
nnee umnee ae 1a ngure CI-avant. Les resunars aes cnapnres 11 et 111 aoounssem à la méthodologie de mesure de la ténacité qui est une grandeur caractéristique uniquement du matériau. Le chapitre IV présente l'application au calcul des structures dont le comportement est globalement linéaire. I..:homme de la science des matériaux introduit une ténacité pouvant être fonction de la géométrie et pouvant présenter une dispersion plus ou moins importante. La propagation de fissure est introduite. I..:homme du contrôle non destructif tient compte d'une densité initiale de fissures de tailles variées et introduit une probabilité de détection. I..:homme du bureau d'études prend en compte ces données pour concevoir une structure dont la probabilité de rupture au cours de la durée devie spécifiée sous des sollicitations mécaniques données soit très faible. I..:homme de l'expertise de sûreté vérifiera que l'état de l'art dans ces matières a bien été respecté à chaque étape. Au chapitre V, les mécanismes de rupture de clivage et de rupture ductile liés à la déformation à l'échelle microscopique sont décrits et les critères de contrainte et de déformation correspondants sont quantifiés. I..:aspect statistique de la rupture de clivage est introduit naturellement. Les critères obtenus permettent de décrire la transition fragile-ductile observée avec des éprouvettes lisses. La mécanique des milieux continus endommageables est ensuite traitée. Au chapitre VI, qui traite du cas où la plasticité généralisée envahit l'ensemble de la structure, l'effondrement plastique, auquel correspond la charge limite, est décrit et quantifié. Dans le cas d'un matériau d'Hollomon, les champs de contrainte et de déformation tels qu'ils ont été déterminés par Hutchinson et Ri ce et Rosengren sont formulés à l'aide de l'intégrale J. Pour un matériau avec une loi de comportement quelconque , l'approche par la contrainte de référence telle que proposée par Ainsworth est introduite. Au chapitre VII, le traitement élastoplastique développé par Fong Shih pour la plasticité confinée limitée ou étendue (voir figure) dans un matériau suivant une loi de Ramberg-Osgood est décrit et les paramètres de chargement J et Q sont introduits. Pour la rupture ductile, la fissure immobile et la fissure en mouvement sont successivement considérées ët la méthodologie de mesure des ténacités correspondantes est donnée. Au chapitre VIII, le lien entre les aspects microscopique et les aspect macroscopiques de la rupture est fait à l'aide des résultats des chapitres V, VI et VIL La ténacité apparaît ainsi comme essentiellement liée à la géométrie et au mode de sollicitation mécanique. Finalement, l'instabilité au cours de la propagation d'une fissure est traitée. Cet ouvrage est articulé autour d'un cours élémentaire professé à l'Institut Supérieur des Matériaux et de la Construction Mécanique. If représente également le bilan d'une activité de 25 ans dans le domaine de la mécanique de la rupture au Commissariat à l'Energie Atomique. Je remercie l'Institut de Protection et de Sûreté Nucléaire et le Commissariat à l'Energie Atomique de m'avoir encouragé à écrire cette synthèse et d'en avoir permis la publication.
TABLE DES MATIERES
Monographies de Matérialogie ...................... ~.......................................
V
Avant-propos..........................................................................................
VII
Notations.................................................................................................
XVII
CHAPITRE I : Aspect microscopique de la rupture Contrainte de cohésion.................................................
1
CHAPITRE II : Traitement élastique linéaire des discontinuités Traitement purement élastique .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
5
1. L'entaille - Concentrations de contrainte et de déformation........
5
1.1. Champs de contrainte et de déformation .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
1.2. Aspect énergétique.............................................................
8
1.3. Critères de rupture.............................................................
8
II. La fissure -Facteurs d'intensité de contrainte............................
9
II.l. Représentation générale d'unefissure...............................
9
II.2. Champs de contrainte et de déformation au voisinage d'une fissure....................................................................
11
II.3. Aspect énergétique...........................................................
25
II.4. Critères de rupture............................................................
28
III. La fissure tridimensionnelle .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ......................
34
CHAPITRE III : Traitement élastique linéaire des discontinuités Correction de plasticité............................................
51
1. Modèle de plasticité confinée pour une entaille .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
51
II. Modèles de plasticité confinée pour une fissure.........................
52
II.l. Premier modèle : correction de zone plastique d'Irwin.....
52
1!.2. Second modèle: modèle de la bande plastifiée ou modèle de Dugdale-Barenblatt ......................................... .
57
11.3. Troisième modèle: traitement élastoplastique du mode III
60
II.4. Quatrième modèle : modèle de Bilby, Cottrell et Swinden...........................................................................
62
II.5. Cinquième modèle : modèle de l'entaille à fond circulaire
CHAPITRE V : Aspect microscopique de la rupture Clivage et rupture ductile...........................................
103
1. Rappel sur la théorie des dislocations.......................................
106
II. Méthodes expérimentales d'analyse..........................................
112
11.1. Essais de flexion d'éprouvettes entaillées latéralement......
112
de Tetelman.....................................................................
64
1!.2 Essais de traction d'éprouvettes axisymetriques entaillées.
116
III. Implications de ces modèles pour la rupture .. .. ..................... .. .
66
III. Rupture de clivage...................................................................
118
III.l. Critères de rupture ..... ................ .. ... .. ..... .. ................... ... .
67
111.1. Mécanismes élémentaires...............................................
118
11!.2 .. Traitement statistique.....................................................
124
III.2. Diagramme d'évaluation de la rupture-Méthode des deux critères ou méthode R6......... ..................... .. ..... ... .. ..........
68
IV. Rupture intergranulaire...........................................................
130
III.3. Eprouvettes de mesure de la ténacité...............................
69
V. Rupture ductile........................................................................
130
V.l. Mécanismes élémentaires................................................
132
V.2. Mécanique des milieux dommageables............................
144
CHAPITRE IV : Traitement élastique linéaire de la rupture
VI. La transition fragile ductile avec les éprouvettes lisses et
Le risque de rupture brutale .................................... .
81
I. La ténacité .. ............................. ... ... .................................. ....... ...
81
entaillées ................................................................................. .
146
I.l. Les courbes de résistance à la propagation .... ... ..................
85
VI.l. La transition fragile ductile en taille de grain ................ .
147
1.2. La correction de contrainte plane.......................................
87
VI.2. La transition fragile ductile en température ................... .
148
I.3. Le caractère statistique de la ténacité .......... ......... .. ............
88
II. Le défaut..................................................................................
88
II.l. La nature des défauts........................................................
88
Traitement purement plastique et correction de
II.2. Le contrôle non destructif.................................................
91
grandes déformations ............................................. .
155
III. Les sollicitations mécaniques...................................................
93
I. Matériau rigide-parfaitement plastique. Le chargement limite ..
158
IV. Exemple d'application : les capacités sous pression ........ ... ... ...
93
I.l. Le chargement limite ....................................................... .
158
1. 2. Le champ de déformation ................................................ .
159
IV.l. Sélection d'un matériau en fonction du contrôle non
CHAPITRE VI : Traitement plastique des discontinuités
destructif..........................................................................
94
1.3. Le cas tridimensionnel... .................................................. .
160
IV.2. Concept du cycle d'épreuve.............................................
94
II. Matériau plastique avec consolidation. L'intégrale de contour ..
160
IV.3. Concept de la fuite avant rupture.....................................
95
II.l. Les intégrales de contour.. ................ :.............................. .
160
IV.4. Le risque de rupture brutale............................................
96
11.2. Cas particulier du matériau d'Hollomon ........................... .
174
II.3. Cas d'un matériau avec une loi de déformation non analytique
CHAPITRE VIII : Traitement élasto-plastique des discontinuités Le risque de rupture ... ..... .... ... ... ......................... .. .
24 7
L'approche d'Ainsworth...................................................
184
III. Le problème tridimensionnel... ............................................... .
185
III.l. Définition de Jet méthodes de détermination ................. .
185
macroscopique .......................................................................... .
247
III.2. Expressions de J ............................................................ .
186
I.l. Comportement totalement fragile ...................................... .
248
IV. Extension de fissure ............................................................... .
186
I.2. Comportement totalement ductile ..................................... .
255
V. Utilisation de l'intégrale J pour la fatigue ............................... .
190
I.3. Comportement ductile puis fragile .................................... .
265
I.4. La transition fragile ductile................................................
265
II. Application pratique .................................................. ···.···········
265
207
II.l. Le facteur de sûreté pour la rupture fragile ...................... .
265
I. Expression générale des champs de contrainte et de déformation.
209
II.2 La stabilité de la propagation contrôlée par J ................. .. .
267
II. La plasticité confinée limitée et les champs décrits par Q..........
210
11.3. Effet tridimensionnel........................................................
269
II.l. Propriétés de l'intégrale de contour J................................
210
II.2. Description des champs de contrainte et de déformation...
212
ANNEXES ............................................................................................. .
275
III. Corps fissurés de largeur finie .. .... ................................... .. ... ...
218
Annexe I : Un peu de mathémathiques élémentaires ............................... .
275
IV. Les paramètres de chargement ... .............................................
220
Annexe II : Propriétés physiques et caractéristiques à la température
IV.l. Détermination et estimation de J.....................................
223
ambiante de quelques métaux et alliages ........................ , ..... .
276
IV.2. Estimation de Q........................................ ,.....................
226
Annexe III: Thermique ........................................................................... .
277
V. Le problème tridimensionnel...................................................
226
Guide de lecture et bibliographie complémentaire ............ ·....................... .
280
VI. La propagation quasi-statique..................................................
228
Solutions d'exercices .............................................................................. .
281
CHAPITRE VII : Traitement plastique des discontinuités Traitement élasto-plastique .. ........... .... .. ..... ... ..........
VI.1. Cas du matériau élastique-parfaitement plastique et des petites déformations........................................................
228
VI.2. Cas du matériau élasto-plastique et des petites déformations .................................................................. .
233
VII. Implication de ces modèles pour la rupture . ........ ...................
236
VII.l. Critères de rupture.........................................................
236
VII.2. Eprouvettes de mesure de la ténacité..............................
237
I. La ténacité : relation entre aspect microscopique et aspect
Notations
a a a a ao b b
B B c
2d D
DR E
J, Jo, J*, fL, f(a/w) G G1, Gu, Gm
Ge h h(afw, n) J Jo
fe
Demi-longueur d'une fissure interne Longueur d'une fissure de surface Profondeur d'une fissure elliptique débouchante Rayon d'une éprouvette axisymétrique entaillée Paramètre de maille du réseau Vecteur de Burgers d'une dislocation Dimension du ligament non fissuré en avant du front de fissure Facteur de biaxialité d'une plaque avec une fissure de Inglis. B = a ':'x/ a ';y Epaisseur ("breadth") d'une plaque ou d'une éprouvette Demi-longueur en surface d'une fissure elliptique débouchante Diamètre de grain Fonction dommage Valeur ctitique de la fonction dommage Module d'Young Fraction volumique de vide, courante, initiale, efficace, limite, critique Fonction de forme dans l'expression de K 1 avec une charge Force d'extension de fissure Force d'extension de fissure en mode I, II, III Force d'extension de fissure critique Triaxialité Fonction de forme dans l'expression de J Intégrale de contour de Rice Intégrale de contour de Rice dans le cas de l'écoulement plastique de déformation Intégrale de contour de Rice critique Intégrale de contour de Rice à l'amorçage J modifié de Ernst Résistance à la propagation Facteur d'intensité de contrainte critique en mode I ou ténacité non en déformation plane Facteur d'intensité de contrainte critique en mode I ou ténacité en déformation plane Facteur d'intensité de contrainte corrigé de la plasticité
LI
Ka Kap Kcp l L l* Lr M n
N p q
Q Q QHRR
r r*
R R Sr
t Tr T,Ti Ti
Tn
Facteur d'intensité de contrainte critique déduit de J1c Facteur d'intensité de contrainte obtenue par la méthode de la sécante Rapport du facteur d'intensité de contrainte appliqué sur la ténacité en élastique Facteur de concentration de contrainte Facteur de concentration de contrainte plastique Facteur de concentration de déformation plastique Distance entre vides Taille de la maille Diamètre d'une source de Frank-Read Rapport du chargement appliqué sur le chargement de plasticité généralisée Moment de flexion Exposant de consolidation dans la relation c =Gan Vecteur unitaire perpendiculaire à un contour ou à une surface Exposant de consolidation dans la relation a = CcN Charge de traction ou de compression Déplacement généralisé Force généralisée Facteur de confinement ("constraint factor") Amplitude adimensionnelle du deuxième terme du développement asymptotique en série des contraintes dans un matériau de Ramberg-Osgood Amplitude adimensionnelle fonction des coordonnées polaires de la différence entre un champ de contrainte donné et le champ de contrainte de la plasticité confinée limitée dans un matériau de Ramberg-Osgood Coordonnée polaire Distance d'une source de Frank-Read à la tête de l'empilement de dislocations Rayon de l'entaille d'une éprouvette axisymétrique entaillée Constante des gaz parfaits: R = 8,3143 J.K- 1 .mol- 1 Rapport du chargement appliqué sur le chargement limite Epaisseur ("thickness") d'une plaque ou d'une éprouvette Contrainte transverse T Vecteur traction agissant sur un contour Module de déchirement (de déchirure) lié au chargement Module de déchirement (de déchirure) lié au matériau Déformation Energie de déformation élastique Energie de déformation ou aire sous-tendue par la courbe charge-déplacement '
Ur
v
w w w
Y(afw) (3 f3c fJic
6-an co cc cE ceq Cij
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'Yrn 'Ys 'YsA 1'P
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.L..I'J.J.'"".I.f,.L'-' UU""''"I.YU ... .&'-1&.&
Energie de déformation plastique ou aire sous la courbe charge-déplacement Déplacement d'une charge · Largeur ("width") d'une plaque ou d'une éprouvette avec une. fissure de surface Travail des forces extérieures Densité d'énergie de déformation apparaissant .dans l'expression de J Densité d'énergie de déformation élastique apparaissant . dans l'expression de J Densité d'énergie de déformation plastique apparmssant dans l'expression de J Fonction de forme dans l'expression de K, avec une contrainte Taux de triaxialité Paramètre d'étendue de la zone plastique Paramètre d'étendue de la zone plastique en déformation plane Ouverture à fond de fissure Ouverture à fond de fissure critique Symbole de Kronecker ( = 0 pour i =f. j ; = 1 pour i = j) . Dimension de la maille utilisée dans l'étude de la propagatiOn de la r-upture ductile Extension de fissure Déformation à la limite d'élasticité Déformation critique Déformation élastique Déformation équivalente ou généralisée Composante du tenseur de déformation Déformation maximale Déformation plastique Déformation à la rupture Déformation de référence dans la règle R6 Déformation totale : cT = cE + cP Energie de cohésion d'un joint de grain Energie de franchissement d'un joint de grain par une fissure de clivage · Energie de propagation d'un clivage dans un grain Energie de surface Energie de surface de la phase A Energie de déformation plastique Coefficient reliant la composante plastique Jp à l'énergie de déformation plastique Up Coordonnée polaire
lJ
Coefficient de Poisson Rayon de courbure Limite d'élasticité Contrainte de cohésion du réseau Contrainte de clivage Contrainte équivalente ou généralisée Contrainte d'écoulement plastique Composante' du tenseur de contrainte Contrainte maximale ou charge maximale ramenée à la section initiale dans un essai de traction Contrainte réduite Contrainte à la rupture Contrainte de référence dans la règle R6 Composante de contrainte normale Taux de biaxialité adimensionnel d'une fissure en élasticité Cission critique théorique de glissement Limite d'élasticité en cisaillement Composante de la contrainte de cisaillement (cission) Force d'une source de Frank-Read
CHAPITRE!
Aspect microscopique de la rupture Contrainte de cohésion
Si l'on considère un matériau sans défaut de structure cristallographique, que l'on simplifiera ici en l'assimilant à une structure cubique simple, et que l'on caractérisera sur l'échelle dimensionnelle par le paramètre de maille a 0 de l'ordre de 0,5 nm, les possibilités de déformation ordonnée et massive (Fig. 1.1) à des températures relativement basses par rapport à la température de fusion du matériau correspondent à la réponse aux deux composantes d'une sollicitation s'exerçant sur un plan réticulaire ou cristallographique, une contrainte normale perpendiculaire à ce plan et une cission parallèlement à ce plan. Les valeurs critiques nécessaires pour assurer ces mouvements s'appellent les contraintes
théoriques de cohésion (ou de clivage) et de glissement du réseau. La troisième possibilité de mouvement (Fig. 1.1) est le mouvement désordonné ou cavitation caractéristique des phénomènes de diffusion à haute température ou des phénomènes de création de défauts ponctuels à basse température, par exemple par irradiation. Cet aspect sera traité ultérieurement. Pour le clivage qui consiste à séparer deux plans cristallographiques de leur position d'équilibre dans une direction perpendiculaire à ces plans, la contrainte· normale a nécessaire à la séparation commence par augmenter, passe par un maximum, puis décroît jusqu'à une valeur nulle comme indiqué sur la figure 1.1. La contrainte de cohésion, ac, est la contrainte maximale. La courbe contraintedéformation peut être approximée par une courbe sinusoïdale de longueur d'onde À. Ainsi
. (x-ao) a= ac sm 271' À avec a 0 la distance inter atomique. Au voisinage de la position d'équilibre, le comportement du cristal est purement élastique et le module d'Young vaut
D. Miannay
2
·3
CHAPITRE 1- ASPECT MICROSCOPIQUE DE LA RUPTURE
ici :
nm
0=====~ E
Avant
Pendant
~
9+9-9
Pendant
Q----d-----cH)
= (du) de
x=ao
du ) ( d (x :oao) x=ao
l
ao+>-
2"(5 == ao
crc sin2rr
(xao) -->.- ==
2rr
= O"cao T
1
À
-crc 21!"
COS
x- ao
lao+>-
2rr -->.- ao
À
== 0"c:;;:
~élimination de À entre les expressions de E et de 2 "fs, conduit au résultat :
{Ff1; va;
D'autres calculs de la contrainte de cohésion ont été faits [1] en utilisant des lois force-séparation plus précises et ont conduit à des valeurs de O"c comprises entre E/4 et E/13. En général, on considère que les valeurs CJc
Avant
(der) dx x=ao
En outre l'aire sous la courbe contrainte-déplacement représente l'énergie, 2 "(5 , nécessaire pour créer deux surfaces, soit :
O"c =
b/cisaillement
= ao
E == 10
avec
Eao
'Ys == 100
Pendant
sont de bonnes approximations. (exercice 1.1) Un calcul similaire de la contrainte théorique de glissement conduit à l'approximation suivante f1
Tc
== 10
f1 étant le module de cisaillement ou module de Coulomb.
(exercices 1.2, 1.3)
a/cliva e Fig.I.l. -
c/cavitation
Bibliographie
Modes de rupture à l'échelle atomique et définitions.
[1] Gilman J.J., "Strength of Ceramics Crystals", Am. Ceram. Soc. Conf., New York, Apri11962.
4
D. Miannay
Exercices I.l. Calculer la contrainte de cohésion du réseau lorsque la loi contraintedéplacement est la loi de Lennard-Jones CT=
avec m
A [ (~) m
_
(:O) n]
CHAPITRE II
= 2 et n = 9.
1.2. Calculer la contrainte théorique de cisaillement du réseau. 1.3. Comparer les valeurs des contraintes théoriques avec les valeurs réellement observées dans le cas des aciers, des alliages de titane et des alliages d'aluminium.
Traitement élastique linéaire des discontinuités Traitement purement élastique
On considèrera dans ce chapitre un milieu continu, homogène et isotrope dans lequel existe une discontinuité au repos et qui est soumise à un chargement. Le cas de la discontinuité en mouvement sera traité par la suite. On considère un milieu dans lequel il ne se produit pas de déformations plastiques : les contraintes dans le matériau restent toujours inférieures à la limite d'écoulement plastique. Et la loi de comportement pour les petites déformations en trois dimensions est décrite par l'équation généralisée de Hooke :
où s;j est la contrainte réduite, s;j = CTij - akk/38;j, v le coefficient de Poisson etE le module d'Young. Cette loi constitutive en traction s'écrit :
avec a0 = Ee 0 la limite d'élasticité. La présentation est faite ici en considérant principalement des problèmes plans. Les problèmes spécifiquement tridimensionnels font l'objet de la dernière partie. 1.
L'entaille- Concentrations de contrainte et de déformation
1.1
CHAMPS DE CONTRAINTE ET DE DÉFORMATION
Les nombreux éléments d'une structure peuvent être assimilés très souvent à des éléments simples de la mécanique : plaques, barres, poutres, tubes. Dans de
6
D. Miannay
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
tels éléments, l'état de contraintes et de déformations élastiques peut se déduire facilement des équations de base de l'élasticité. Cependant, lorsque les charges appliquées au matériau sont concentrées en certains points ou lorsqu'il existe des singularités géométriques telles que des entailles, filets de vis, gorges, congés de raccordement, trous, etc. qui sont destinés à l'assemblage, l'état élastique est perturbé localement et l'analyse en est plus difficile. Dans ce cas, on considère la discontinuité à part: on analyse l'état de contrainte (ou de déformation) loin de la discontinuité, ce qui donne la contrainte (ou déformation) nominale (c'est la contrainte dans le matériau sans discontinuité) : ua (pour "gross stress"). Puis on détermine la contrainte (ou déformation) maximale~ lTM, au voisinage de la discontinuité. On introduit alors le facteur de concentration de contrainte, Ku, qui représente le rapport de cette contrainte maximale à la contrainte nominale :
tension.
cr
tt tt t 2bl ~s-'.A
p
0
maximale O"M K l T 0"= ---=-
a nominale
7
Q
CT G
Lorsque la discontinuité correspond à un manque de matière, certains auteurs remplacent, dans l'expression du facteur de concentration de contrainte, la contrainte nominale par la contrainte réduite, lTN ("net section stress") qui est la contrainte qui existerait dans l'élément simple dè dimension diminuée de la dimension de la discontinuité :
Lorsque le milieu devient infini ou lorsque le défaut est très petit, lTN et ua sont voisins et les deux définitions de Ku se confondent. La contrainte peut être une tension ou une cission. Kt = I(u est le facteur d'entaille qui apparaît dans les études de fatigue. La résolution de nombreux cas peut être trouvée dans la littérature [1-3). On y trouvera également les lois de décroissance des contraintes et des déformations lorsque l'on s'éloigne de la discontinuité. La première solution d'une discontinuité a été donnée par Inglis [4) pour une fissure elliptique bidimensionnelle, dans une plaque plane, soumise à une contrainte, u, uniformément répartie à l'infini et perpendiculaire au grand axe. L:ellipse est caractérisée pl;lr ses axes de longueur 2 a et 2 b. Son rayon de courbure à l'extrémité du grand axe est p = b2 /a. L: état de contrainte est représenté sur la figure II.l et la résolution en coordonnées curvilignes donne comme expression du facteur de concentration de contrainte au sommet du grand axe :
Ku= 1 + 2a/b = 1 + 2(a/p) 1 12 et pour la distribution de la contrainte normale maximale au voisinage immédiat
tension
=---
1
moyenne
Fig.II.l -Etat de contrainte autour d'une entaille elliptique traversante sollicitée en tension (d'après lnglis (1913)).
CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
8
Cette expression indique que Œr tend vers zéro lorsque p tend vers O. Ceci n'èst pas concevable physiquement. Aussi Griffith a introduit un deuxième type de critère:
du rayon:
Œyy
9
= uKuJ p+4x p
(exercice 11.1) Lorsque le rayon à fond d'entaille devient nul, Ku devient infini et les méthodes ?e calcul utilisées pour la détermination de Ku ne peuvent s'appliquer. Une premtère approximation consiste à utiliser un rayon fictif qui dépendra de la nature du matériau [5] pour pouvoir conserver la notion de facteur de concentration. La deuxième solution est d'utiliser de nouvelles méthodes de calcul pour déterminer l'état de contrainte élastique autour des fissures et d'introduire la notion de facteur d'intensité de contrainte (voir plus loin).
1.3.2 Critère énergétique La rupture se produira lorsque la variation d'énergie de déformation élastique due à un accroissement de longueur d'entaille, d2a., sera égale à la variation d'énergie de surface due à la variation de surface 2 d2a (pour une épaisseur de plaque unité), c'est à dire lorsque : 1ro}ad2a
E'
dt:.U =
= --y,!.14 a.
D'où 1. 2
AsPECT ÉNERGÉTIQUE Ur
J2E'7s
=
7ra
~introduction
de l'entaille elliptique dans la plaque en perturbant les c~amps ~e c~ntra_inte et de d~formation entraîne une diminution d'énergie de deformation elastique que Griffith [6] a calculée à partir de la solution de lnglis et trouvée égale à 1ru2a2
f::.U= - - E'
Dans cette expression le rayon à fond d'entaille n'apparaît pas. Ainsi les deux critères apparaissent comme des conditions nécessaires et suffisantes pour avoir la rupturt<. Le critère de cont~ainte doit être respecté pour les forts rayons de courbure et le critère énergétique pour les faibles rayons (Fig. 11.2).
a~e~ E' .= E/(1- v2 ) en_ déformation plane et Et= E en contrainte plane. Cette dtmmutwn est due au fait que le matériau est déchargé au voisinage de l'entaille. 1.3
R
/!
CRITÈRES DE RUPTURE
, P~ur_r~ndre :ompte de_la rupture des verres qui se produit à une contrainte tres mfe~eure a la ~ontramte de cohésion, Griffith [6] a supposé que le verre renf~rma1t ~ne multt~ude de fissures qu'il a assimilées à des entailles elliptiques · et a mtrodmt successivement deux types de critère : 1.3.1
cr
1
'
p
Fig.11.2- Critères de rupture en contrainte et en énergie en fonction du rayon à fond d'entaille (d'après Griffith (1920)).
Critère de contrainte
La rupture se produira lorsque la contrainte maximale de tension au voisinage de l'entaille sera égale à la contrainte de cohésion du matériau, c'est-à~dire lorsque: rTM =Ur (
1+
2/f) ~Ur 2l X
=rTe =
~
pour P suffisamment petit devant a, avec 'Ys l'énergie de surface et a0 la distance inter atomique. D'où : Ur
=
J
E-y,p. a4ao
II.
La Fissure- Facteurs d'intensité de contrainte
11.1
REPRÉSENTATION GÉNÉRALE D'UNE FISSURE
En vue de· l'analyse élastique, les fissures sont représentées comme une séparation plane bordée à l'intérieur du matériau par un front de fissure ou fond de fissure ("leading edge", "border" ou "tip") dont la forme est représentée par une courbe simple. On définit alors un système d'axes orthonormés centré sur le front : le plan Oxz est le plan de la fissure et l'axe Oz est tangent au front de fissure. Irwin a montré qu'il existe trois mouvements cinématiques indépendants des surfaces (ou lèvres) supérieure et inférieure de la fissure l'une par rapport à
10
D. Miannay
CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
l'autre. Ces trois mouvements sont schématisés sur la figure II.3. Un point dans le matériau est repéré par ses coordonnées polaires dans h! plan xOy : r, distance au front de fissure, et B, coordonnée angulaire mesurée dans le sens trigonométrique à partir de l'axe Ox.
A chacun des mouvements des surfaces de la fissure sont associés un champ de contrainte et un champ de déformation dans le matériau au voisinage immédiat de la frontière. Les notations utilisées sont indiquées sur la figure II.3.
11.2
11
CHAMPS DE CONTRAINTE ET DE DÉFORMATION AU VOISINAGE D'UNE FISSURE
11.2.1 Description Dans les modes I et II, on peut avoir soit un état de contrainte plane, soit un état de déformation plane. Dans le mode III, il n'existe que l'état de déformation plane. I.:état de déformation plane existe au centre de plaques épaisses et l'état de contrainte plane dans des plaques minces et. près des surfaces des plaques épaisses. Williams [7] a résolu le cas des modes I et II à partir de la solution obtenue pour un coin en V lorsque l'angle du coin tend vers zéro. La solution du mode I a également été donnée par Irwin [8]. Huit et McClintock [9] ont résolu le cas du mode III. La solution générale, encore appelée solution de Irwin-Williams, s'exprime sous la forme d'un développement limité dont les premiers termes sont, par exemple pour le mode I :
et
u1
Mode 1 Mode d'ouverture
Mode Il Mode de cisaillement plan
Mode Ill Mode de cisaillement antiplan
Fig.l1.3 - Définition d'une fissure et modes de déplacement des surfaces de la fissure.
f =K - if -g1(B) . 4f-t
271'
(1-v) +- T r cos()+ ... 2f-t
avec f-t le module de cisaillement. Pour les modes II et III, des expressions analogues existent, le premier terme revêtant la même forme avec les coefficients correspondants Ku et Km. Le premier terme représente la singularité en r- 1 12 ou solution asymptotique lorsque r tend vers zéro. I.:amplitude de la singularité, K, est appelée Facteur d'Intensité de Contrainte (FIC). Les variations en (), fij (B) et g;(B), sont des fonctions universelles et sont données dans les tableaux ILl, II.2 et II.3. Une convention est de considérer que JYY (B = 0) = 1 pour le mode I et fxy (B = 0) = 1 pour le mode II. Le deuxième terme du développement pour le mode I, appelé contrainte transverse ou composante T, est une constante. A grande distance de la fissure, on retrouve la contrainte dans la section réduite.
12
D. Miannay
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
I..: analyse de la solution asymptotique montre que (Fig. II.4): - pour le mode 1, les contraintes principales sont données par :
(}
o
=-53, 9 , 'T'Max= 0,66.
13
= .. K
v2~r
u1 = u2
=K
v2~r
. -(}) , cos -(} ( 1 + sm 2 2
K- cos -(} =v'2iT 2
( 1 - sm . -(}) 2 '
.
0"3 =v (u1
En outre, on constate que la contrainte devient infinie lorsque r tend vers zéro. Ceci n'est pas réaliste physiquement car les contraintes sont limitées par la limite d'élasticité du matériau. Cet aspect sera étudié par la suite.
+ u2) = 2v
K (} =cosv2~r 2
cr 3 = 0;
ou
l'angle a formé par la direction de la contrainte principale maximale avec l'axe Oy est donné par : · 3(}
costg2a = - -2-· . 3(}' sm2 la contrainte tangentielle maximale est donnée par :
(} = oo,
croo
= ~; v2~r
la contrainte normale maximale est donnée par : (}
o
= 60 ,
O"N
K
= 1,3. rn=i v2~r
la cission maximale est ,donnée par : (} = 90°' 1'M =
~2 v2~r ~;
la contrainte octaédrique maximale est donnée par :
11.2.2 Le facteur d'intensité de contrainte Dans les expressions ci-dessus, le facteur K s'appelle le facteur d'intensité de contrainte (FIC). Il dépend de la géométrie du corps fissuré, de ses dimensions et du mode de sollicitation. Mais pour une valeur donnée du facteur K et pour un matériau de caractéristiques élastiques données, l'état de contrainte et de déformation au voisinage de la fissure est parfaitement connu. Donc, si cet état gouverne le comportement de la fissure, on mesure l'importance du facteur K . Le facteur K a pour dimension le produit d'une contrainte par la racine carrée d'une dimension (FL- 2 x L 112 = FL- 312 ). Il s'exprimera donc dans une unité qui sera le MPa.m112 pour représenter un ordre de grandeur physique. Cette remarque facilite parfois la détermination de K. Ainsi, si la structure est sollicitée par une contrainte uniformément répartie loin de la fissure, K sera proportionnel au produit de cette contrainte par la racine carrée de la longueur de la fissure. Dans le cas de forces concentrées en des points sur les lèvres de la fissure, K sera proportionnel au rapport de cette force à la racine carrée de la longueur de la fissure. Les annexes I•VI donnent quelques expressions du facteur K pour différentes géométries et différents modes de sollicitation qui seront utilisées par la suite. On trouvera d'autres expressions de K dans des ouvrages de compilation [10-14], dans les revues traitant de la mécanique de la rupture [15,16] et dans les normes [17]. A titre d'exemple, pour une fissure de longueur 2a dans une plaque de dimension infinie, soumise à une contrainte uniforme à l'infini, cr, perpendiculaire au plan de la fissure, c'est-à-dire pour la "configuration de Inglis", la solution est :
(} = 71 o, TOM = 1, 25 ~ en déformation plane v2~r
(exercice 11.2) -pour le mode II, la contrainie tangentielle maximale est donnée par : {}=-71,6°,croo=1,14
~;
2
O"yy((}
y27rr
la contrainte normale maximale est donnée par : (} =
-7!", O"N
= 1,5
~
v2~r
et(}=
la cission maximale est donnée par :
-59,6°,
avec la solution exacte de Westergaard [9], - pour la contrainte à travers le plan de la fissure et en avant : = 0)
=cr
[
]
-1/2
1- (a:x)2
- pour l'ouverture de la fissure : O"N
=
0,91~' v'2iT'
uy((}=7r)=± .
cr(1 + ~~:) 1 yx(2a-x) 4J.j
14
D. Miannay
CHAPITRE JI- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
Tableau 11.1. -Solution asymptotique de l'état de contrainte et de déformation en mode!.
Tableau 11.2.- Solution asymptotique de l'état de contrainte et de déformation en mode II.
Composantes cartésiennes u xx
u YY O" x y O"zz O"zz
Ux
K,
=
. () .
Composantes cartésiennes
3()) 3())
~ cos 1 - sm - sm + ... 2 2 2 v 21rr K, () ( . () . = ~ cos - 1 + sm - sm + ... 2 2 2 v 21rr K, 8 . 8 3B = v~ cos - sm - cos - + ... 27rr 2 2 2 =v (uxx + O"yy) en déformation plane (uz = 0) = 0 en contrainte plane (uzz = 0)
= 4p, KI fr [(21\;- 1) COS~2;: . .2
v
u = K, y 4p, Uz
() (
=
COS
38 ] 2
u xx
(uxx
=
Kn . () ( -/21rT sm 2 2 +
O"xy O"zz O"zz
+ ...
ux
uy
+ O"yy) dz
'ICz
avec
Kn . () () 3() ~ sm - cos - cos + ... v27rr 2 2 2 Kn () ( . () . = ~ cos - 1- sm -sm + ... 2 2 2 v 27rr =v (O"xx + O"yy) en déformation plàne (uz = 0) en contrainte plane (O"zz = 0) =0
3())
= Kn fr 4p, 2;:
v
K,{f 2p,
uy
8(
. B) + ...
2 -cos- Joi;-1+2sm271" 2 2
~
~)
= K, fr sin ('"" + 1 - 2 cos 2 2p,V2; 2 2
+ ...
Toutes les autres composantes sont nulles.
sin 328 ] + ...
[(2'""- 3) cos~+ cos 32()] + ... vfr 2;: 2 = -i j + dz = Ku 4p,
(uxx
ux
= -Kn 2p,
uy
=
O"yy)
_fu_ 0 30) "l!'21rT ( 45 COS 241 COS T
{i cos ~
_fu_ "l!'21rT ( 1
4
+ ~ cos
+ .. .
2!) + .. .
. 30) + ... 2 + 41 sm 2
. 0 sm
{f . B( · - sm 27!" 2
'"" + 1 + 2 cos 2 -()) 2 + ...
~~~ {f cos ~ ('"" -
1 - 2 sin 2
D
+ ...
Toutes les autres composantes sont nulles.
Composantes polaires
= ~
~2 +
Autre écriture : Ux=-
O"ro --
[(2'"" + 3) sin
'"" =·3 - 4v en déformation plane 3-v '"" = - - en contrainte plane 1+v
Autre écriture:
uoo
3()) + ...
()
2 cos 2
avec
'"" = 3 - 4v en déformation plane 3-v '"" = - - en contrainte plane 1+v
O"rr --
cos
u YY =
. 38] + ... [(2'"" + 1) sin~- sm 2 vfr 2;: 2
-i J
Composantes polaires
°) + ...
2 = _fu_ "l!'21rT cos 1!.2 (1 + sin
-2
=~cos~
~)
_
_fu_.
0
(1- sin 2
- "l!'21rT sm 2 cos 20+ 2 ...
+ ....
15
3()) + ··· Kn ( 3 . (). 3· . 3()) = -/21rT - 4 sm 2- 4 sm 2 + ··· Kn (1 () 3 3()) = -/21rT 4 2 + 4 2 + ···
u rr = u 00 (]" rO
. Kn
(
5 . ()
3 .
COS
COS
-/21rT - 4 sm 2 + 4 sm 2
, ..
~.
'l· D. Miannay
16
Tableau 11.3.- Solution asymptotique de l'état de contrainte et de déformation en mode III. Composantes cartésiennes Txz
·Tyz
uz
=~ =
(-sin
Km
,j2iT COS Km
CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
17
a) Variations angulaires des contraintes et des déformations normalisées. E 1.0
D+ ...
()
2 + ...
fr . ()
= 2--;-y ~sm 2 + ...
b) Composantes de contrainte élastiques radiales et principales.
Composantes polaires
Km
()
Km
. ()
Tez
= ,j2iT COS 2 + ...
Trz
= ,j2iT sm 2 + ...
Toutes les autres composantes sont nulles. avec
"' = 3 - 4v en déformation plane
3-v "' = 1+v
c) Déplacements avec v= 1/2.
en contrainte plane. 67,5"
. (d'où uy
= ± 2 (1 ;
1,73
ce qui correspond à une forme elliptique. Dans le cas particulier de géométries simples et de systèmes simples de chargement ou de déplacement tels qu'ils existent par exemple dans les éprouvettes d'essai de la mécanique de la rupture, il est possible d'identifier la sollicitation à une contrainte CT ou à une charge P à définir et d'exprimer le facteur d'intensité de contrainte sous la forme :
ou
,
-.... 2,5" .. 0.28
v 2 ) CJV x(2a - x) en déformation plane),
Fig.IL4- Etats de contrainte et de déformation au voisinage du fond d'une fissure sollicitée en mode L
MÉTHODES DE DÉTERMINATION DU FACTEUR D'INTENSITÉ DE CONTRAINTE • Méthode du facteur de concentration de contrainte
a étant la longueur de la fissure, W la largeur de l'éprouvette et B son épaisseur. Y(a/W) et f(a/W) s'appellent les fonctions de forme. On indique ci-dessous quelques méthodes de détermination du FIC.
En généralisant le résultat obtenu à partir de la comparaison de l'entaille elliptique et de la fissure interne dans une plaque infinie, Irwin a montré que l'on pouvait obtenir l'expression du facteur d'intensité de contrainte à partir de
CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
18
cr
celle du facteur de concentration lorsque le rayon à fond d'entaille devient nul : KI= lim ~uM(7!-p) 1 / 2 p-o 2 Kn = lim uM(rrp) 112 p-O
Km
=
lim uM(rrp) 1 / 2 p-o
'O"M
cr
Il
11.-----,
= O"yy
m ,:' ma cr
,UM=Tyx
=
,UM=Tyz
+
Il
(exercice 1!.3)
D
Il Il
• Passage à la limite dans les calculs aux éléments finis Si l'on considère la contrainte de tension maximale en mode I, u YY pour(} = 0, on a: O"yy = KI/..;21rT; ainsi, lorsque r tend vers 0, c'est-à-dire lorsque l'on se rapproche de la discontinuité, u tend vers l'infini, mais le produit uyy..;21rT reste une constante: lim a'yy(9 r-o
19
a) Configuration d'Inglis. Il
= 0)~ =KI (équation d'Irwin)
. 2uy(9 = rr)K 2~-tf#rr hm -=KI 1 r
r--+0
Il
=
Cette remarque permet le calcul du facteur d'intensité de contrainte à partir de la distribution de contrainte au voisinage de la discontinuité. De même, le FIC peut s'obtenir à partir de l'ouverture de la fissure au voisinage de la disconti·nuité:
Il Il Il
b) Cas général. Fig.II.S -Principe de superposition.
Cette deuxième équation conduit à un meilleur résultat, car la variation de la quantité avec r est généralement plus faible que pour l'équation précédente. • Principe de superposition (ou "règle de distribution de contraintes sans fissure") Soit un corps (une plaque) sans fissure soumis à une tension uniforme (cas A). Un corps semblable avec une fissure de longueur 2a (cas B) est "rendu aveugle" à la présence de la fissure par application de contraintes sur les lèvres de la fissure (Fig. II.5). A l'origine le matéria"u, là où il y aura la fissure, était soumis à une contrainte uniforme (cas A). Donc l'application de u uniforme sur les lèvres comme dans le cas B résultera en une .situation identique au cas A Comme le cas B est la superposition de 2 cas de chargement en mode I, le FIC de B (et de . A) est égal à la somme des FIC des cas C et D : KA =Kc+KD
Le FIC du cas A est zéro (KA = 0) , c'est-à-dire le cas du corps non fissuré, donc:
Si on inverse les contraintes appliquées dans le cas D, le signe des contraintes en pointe de fissure (et donc de K) va également changer (cas E), donc :
d'où KE=Kc
On en déduit pour n'importe quelle géométrie et n'importe quel système de chargement (Fig. 1!.5) la règle suivante : "Le FIC pour n'importe quel cas de chargement est égal au F 1 C obtenu en appliquant aux lèvres de .la fissure les contraintes qui existeraient là s'il n y avait pas de fissure (KC = KE) ." Remarquons que ce principe ne peut être utilisé lorsque l'introduction de la fissure introduit un changement dans le chargement à la limite à partir de laquelle les contraintes dans le plan de la fissure sont déterminées. Cette méthodologie est utilisée. pour résoudre simplement certains problèmes asymétriques.
D. Miannay
20
CHAPITRE JI- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
(exercice 11.4)
21
Les déplacements des points d'application des charges sont donnés par :
Ce principe est utilisé avec les méthodologies des fonctions de Green et des fonctions de poids qui sont maintenant introduites. • Fonctions de Green (Green'sfunctions) [9]
ou
Il existe de nombreuses fonctions de Green. Nous ne donnerons ici qu'un exemple pratique : Cas de la fissure de longueur 2a dans une plaque de dimension infinie soumise à des forces concentrées P normales et Q tangentielles sur sa surface et autoéquilibrées (annexe VI), (l'origine est prise au centre de la fissure): p
K~---
- .fiii
(a+x)l/2 -a-x
_9._
(a+ x) 1/2 a-x
Kn =
.fiii
Kn
=
1 r.;;; y ?Ta
l+a l+a -a
-a
O"yy(x, 0)
(~ +
q;
= C;iQi
avec C;i les complaisances fonction de a uniquement. Le facteur d'intensité de contrainte est donné par:
K
= Qr Kr(1) + Q2 K2(1)
d'après le principe de superposition de K 1 et K 2 , ou
K = Q; K;(1),
Ce qui devient pour des contraintes arbitraires uyy(x,O) et u,y(x,O) appliquées sur les lèvres de la fissure, 1 K1 = . r.;;; y ?Ta
Qr = CuQr + C12Q2 q2 = C21Q1+ C22Q2
)1/2
a- x
dx
u,y(x, 0) (a+x) - - 1 dx a- x
K;(1) étant le FIC pour un chargement i unitaire. Soit W l'énergie de déformation élastique du corps fissuré, W = W (qr,
a)
Q2,
avec (ce résultat sera établi par la suite)
1 2
• Fonctions de poids ("weight functions")
Elles ont été introduites par Bueckner [18] et développées par Rice [19] et Paris [20]. Soit un solide bidimensionnel contenant une fissure rectiligne et se comportant élastiquement en déformation plane ou en contrainte plane généralisée. Soit a la longueur de la fissure. Ce solide fissuré est soumis à deux forces généralisées Qr et Q2 (Fig. 11.6)
avec E' = E/ (1- v 2 ) en déformation plane etE' avec, d'après le théorème de Castigliano,
= E en contrainte plane et
Bw -Q· Bq; - ' On a donc la différentielle exacte :
dW = QrdQr + Q2dq2-
K2
Eï da
On considère la fonction q1Q 1 + q2Q 2 - W dont la différentielle exacte est, d'après le résultat ci-dessus: . d (qrQr + Q2Q2- W) = QrdQr
' . B2 B2 '1 . et en ecnvant que BQ;Ba = BaBQ;, 1 vrent : Fig.II.6 - Méthode des fonctions de poids
Bq;_ B(K 2 /E') Ba -
BQ;
K2
+ q2dQ2 + Eï da
CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
22
23
vante [21]:
Or,
B _ T(KI) _ T.,fiffi -·al(KI)- ~ · et; B (K 2 / E')
BQ;
_ 2 K;(1) Kj(1) Q. -
E'
1
d'où, BC;i = 2 K;(1) Ki(1) Ba E'
On arrive ainsi aux deux résultats remarquables suivants :
• Dans le cas d'une seule charge appliquée, on a:
Kt_
1 Q 2 BC;; i Ba
Ce facteur ne dépend plus alors que de la géométrie. Plusieurs méthodes numériques sont utilisées pour déterminer T et donc B : - méthode dite de la couche limite pure ("pure boundary layer method") [22], - méthode dite de l'identification des coefficients du développement en série de Williams par une méthode variationnelle [21 ], -méthode dite de l'intégrale J, ou méthode d'Eshelby, par analyse des contraintes dans un calcul aux éléments finis [23], -méthode des fonctions de poids d'ordre supérieur [24]. Certaines des · nouvelles notions apparaissant ci-dessus seront explicitées ultérieurement. Dans les références ci-dessus et dans la référence [25], on trouve la valeur de B pour des géométries élémentaires. Ainsi pour la configuration de Inglis: ·
T = -a1 et B = -1
Et- 2
Ce résultat sera également établi d'une autre façon par la suite.
Quelques résultats sont illustrés sur la figure II. 7.
• Dans le cas de deux charges appliquées, connaissant K1o on peut en déduire K2 à l'aide de la relation : K·( 1 ) = 1
~ BCi; 2 K;(1) Ba
=
E' Bqi (Q2 2 K;
0.8
l:
0.4
= 0) = h'
Ba
qi (Q 2 = 0) étant le déplacement dû à Q 1 au point d'application de Q2. Il peut être démontré que la fonction Ki(1) est indépendante du système de
··~·-·:···:---;
chargement et ne dépend que de la géométrie du corps fissuré. Cette fonction est la fonction de poids h. Dans le cas où la contrainte à travers le plan de la fissure est écrite sous une forme polynomiale et où les fonctions de Green ou certaines fonctions de poids sont utilisées, le FIC obtenu se met également sous forme polynomiale et les coefficients sont appelés coefficients ou fonctions d'influence.
-0.4
--~----
.----.----.--
·.---.--
-.---
-0,8 -].2
[J CT
(HfW=D.6) • SECS (H/W=2) . SECT (H/W=2.5) V DECT (H/W=2) 0 CCT (H/W=2)  CCT HfW=l
11.2.3 La contrainte transverse T T est une grandeur qui a la dimension d'une contrainte appliquée. Elle s'exprimera donc en MPa. Elle va varier en fonction du niveau de chargement qui est égal, par exemple pour les éprouvettes d'essai, à a avec a donné par a = KJ/(7ra) 1 12 Y(a/W). En fait, Test rendu adimensionnel en ramenant T à la contrainte de chargement a 1 de la configuration de Inglis qui donne la même valeur de K 1 que celle de la géométrie fissurée considérée ; et le taux de biaxialité de la fissure ("crack biaxiality ratio"), B, est introduit sous la forme sui-
__ _
-1.6 Eprouvettes, a/CCT, b/SECB. c/SECT d/DECT. e/CT
0,2
0,4
0,6
0,8
a/W
Fig.I1.7- Valeurs du taux de biaxialité ~ = T(1ra) 1 / 2 / K 1 en fonction de la longueur relative de fissure dans quelques éprouvettes de géométrie simple (d'après Bilby et al. (1986)).
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
24
T a pour effet, entre autres, de modifier la tension hydrostatique
AsPECT ÉNERGÉTIQUE
1.3.1
Formule de la compliance
On considère ici une fissure fictive de longueur a, de front de fissure de longueur égale à l'unité, qui subit un incrément de longueur oa, ou de surface· oa x 1 dans le plan de la fissure initiale. Lorsqu'un système de forces extérieures agit sur la structure (Fig. 11.8), une partie du travail fourni par ces forces est transformée en énergie de déformation élastique et l'autre partie sert à propager la fissure. I.;énergie disponible Goa pour propager la fissure sur la longueur oa très petite est donc :
qui vaut: - lorsque T est nul : -pour Je·mode 1, en contrainte plane:
O"m(O)
11.3
25
2
(}
Goa= oW -OU,
= 3 COS 2, oU
en déformation plane : 2
(}
étant la variation d'énergie de déformation élastique du système (comptée positivement) et oW le travail fourni par les forces extérieures. Comme le corps se déforme élastiquement, le déplacement V du point d'application de la charge P est proportionnel à la charge P :
3(1 +v) cos 2 ,
O"m(O) =
C étant la compliance ou complaisance qui est fonction de la géométrie du corps fissuré. I.;énergie élastique emmagasinée dans le corps est l'énergie emmagàsinée au cours du chargement, soit :
- pour le mode II, en contrainte plane :
O"m(O)
=-~sin~, 3
V=CP,
2
U= PV = CP 2
2 d'où
en déformation plane :
O"m(O) =
2
-~(1 +v) sin~. 3 2
dU~ ~P 2 dC + CPdP. La variation d'énergie potentielle du système de chargement est donnée par l'expression suivante, sachant qu'au cours de l'extension la charge varie très peu :
- pour le mode III, en déformation plane : - lorsque T est non nul :
dW
I..:influence de T sur la contrainte équivalente de Von Mises sera présentée ultérieurement. Pour faciliter la lecture de la littérature, on note que le taux B est relié au taux (3 introduit à l'origine par Larsson et al. [22] et au taux L: utilisé actuellement par Fong Shih [26], par les relations suivantes :
B ( ; ) = fiL: (;) = T
'!:a '
a étant la longueur de la fissure et W la largeur de l'éprouvette.
= PdV = PCdP + P
2
dC ,
d'où, Goa==
1 2
2P
dG,
ou G
= ~p2ac.
2 aa Cette relation, appelée encore formule de la compliance, montre que G est indépendant de la rigidité du système de chargement (la formule est valable pour une extension à force imposée et pour une extension à déplacement imposé) et
26
r
D. Miannay
27
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
t
p
Expérimentalement, la formule de la compliance permet le calcul de G : c'est la méthode de la comp/iance. Dans cetté méthode, on considère un corps fissuré dont on augmente la longueur de fissure dans son plan par incréments et que l'on charge à chaque fois élastiquement pour déterminer la compliance et sa dérivée par rapport à la longueur de fissure. Dans le traitement des corps fissurés à comportement elastique non hneatre, on verra que la force d'extension G s'identifie avec l'intégrale de contour J.
~ 2a
•
0
p a) Charge fixée
v p
•
•
0
11.3.2 Relation entre G et K On suppose qu'aucune force extérieure n'agit sur le corps fissuré. La variation d'énergie élastique que subit le corps fissuré pour la variation de surface {JlL x 1 est désignée par Goa. Cette variation peut se calculer de la façon suivante (Fig. II.9) :
x
v
b) Déplacement fixé
p
v
a+ da·
:+::~J =~~
p
x
Fissure ouverte sur da
v c) Chargement quelconque Fig.II.8- Calcul de la force d'extension de fissure pour un corps fissuré à chargement imposé et à déplacement imposé. ne dépend que de la variation de compliance due à l'extension de la fissure. On calculera ci-dessous G dans le cas du déplacement fixé, où P est la réaction aux appuis. Ga la dimension d'une énergie par unité de surface ou d'une force par unité de longueur: on désigne souvent cette quantité du terme "force de propagation d'une fissure". I.;unité utilisée pour G est le MN.m- 1 ou le daJ.cm- 2 pour représenter un ordre de grandeur physique (on trouve également dans la littérature le kJ.m- 2 ).
x Fissure fermée sur da
Fig.l1.9- Méthode de calcul de la force d'extension (de propagation) de fissure en mode 1 et à déplacement fixé. on referme la fissure sur la longueur oa ; on est donc revenu à l'état initial. Pour que la fissure se propage sur la longueur oa, il faut que l'état de contrainte sur le segment oa, soit Œyy,a(r = x,() = 0), de la fissure initiale de longueur a, se relaxe jusqu'à la valeur nulle, au cours du déplacement ny,a+Oa(r = oa x,() = 1r) que subit la fissure finale de longueur a+ Oa. On obtient donc, en tenant compte des deux surfaces de la fissure (introduction du facteur 2) et de
-----
,------------------------
-------------------~~~~~~~----------r.,
28
D. Miannay
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
la proportionnalité entre les efforts et les déformations (introduction du facteur 112), comme expression du travail dépensé :
Gbav
imposé=
bW
=
2
X
116a (a-yy,aUy,a+6a + Tyx,aUx,a+6a + ... ) dx Z 0
= {6a [ Jo
Kl,a Kl,a+6a jba4J-L 27r
v'27rX
X ( 2 11:
+ 2) + ···]
dx,
lorsque le FIC, K, atteindra une valeur critique Kc, soit: K=Kc Critère d'énergie On dira qu'il y a extension de fissure ou rupture lorsque l'énergie disponible pour propager la fissure, G, atteindra une valeur critique, Ge, qui représente l'énergie de formation de deux surfaces unitaires, 2 'Ys, soit :
soit, en remarquant que KI,a et K1,a+6a sont très voisins et peuvent être pris égaux àK,,
x-
1+v loa~a = --K( ---(11: + 1)dx + ... 21rE x 0
soit, en posant x= ba sin 2 B (d'où dx =ba 2 sin B cos B dB),
=
1 +v 7r E
rrr/2
(~~: + 1)K(ba Jo
ou
=
1 +v
21rE (~~:
r/2
+ 1)Kfba Jo
(1
+
cos 2B)dB + ...
d'où finalement :
G _ K( - E'
+
K(1 E'
+
G =Ge= 2"/s 2"fs est l'énergie de formation de deux surfaces d'une même phase: on parle alors de rupture transgranulaire. Dans le cas d'une rupture inter granulaire entre deux phases A et B, le critère s'écrit alors :
G cos 2 BdB + ...
Kfi 1 2J-L
v2 )
avec E' = E / ( 1 en déformation plane et E' = E en contrainte plane. Chaque terme représente la contribution de chaque mode de déplacement des surfaces de la fissure. On a donc la propriété d'additivité des taux de variation d'énergie élastique par augmentation unitaire de surface de la fissure dans son · plan.
29
= Ge = 'YA +l'Il -"!AB
'YA et 'YB étant les énergies de surface des deux phases A et B respectivement et 'YAB l'énergie de cohésion du joint de grain.
Comme il existe une relation entre G et K, on constate qu'il y a équivalence entre les deux critères de rupture pour les fissures, ce qui n'était pas le cas pour les entailles. Cette grandeur caractéristique ou critique est appelée ténacité du matériau. C'est une grandeur qui ne dépend que du matériau et donc ne dépend pas de la géométrie du corps fissuré. On verra que cette grandeur varie avec des paramètres extérieurs tels que la température et la vitesse de sollicitation, paramètres qui influent également sur la limite d'élasticité du matériau. On décrira les méthodes expérimentales de détermination de la ténacité après avoir traité de la correction de plasticité à la théorie élastique linéaire. II.4.2 Cas de la fissure en mode mixte
Par analogie avec les critères de rupture des entailles, on considère deux critères de rupture pour les fissures :
Lorsqu'une fissure est soumise en même temps à plusieurs modes de chargement, on cherche à rendre compte du niveau ou de l'intensité de sollicitation auquel la rupture se produit, et de la direction dans laquelle la fissure se propage. Pour cela, on fait appel aux deux types de critères de contrainte et d'énergie. On considère ici une fissure de longueur 2a soumise au chargement mixte des modes I et II. Comme le traitement est élastique, le principe de superposition peut s'appliquer aux modes I et IL
Critère de contrainte
Critère de contrainte
On dira qu'il y a extension de fissure ou rupture lorsque l'état de contrainte au voisinage de la fissure atteindra une configuration caractéristique ou critique. Et comme cet état de contrainte est totalement décrit par le FIC, il y aura rupture
Par analogie avec le critère de contrainte de Griffith, Erdogan et Sih [27] ont proposé le critère suivant: ~u moment de la rupture la propagation de la fissure se
11.4
CRITÈRES DE RUPTURE
11.4.1 Cas de la fissure en mode pur et se propageant dans son plan
fera dans le plan passant par le front de la fissure et au travers duquel/a contrainte de tension est maximale et pour une valeur critique de cette contrainte". On remarquera
--------~-----------------~~---------------------
30
D. Miannay
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
31
que ce plan n'est pas en fait celui au voisinage du fond de fissure au travers duquel la contrainte normale est maximale. (exercice II.S) _ avec
La première partie de ce critère s'écrit :
(exercice II.6) d'où:
soit B = et
cos ~[KI sinB + Ku{3 cosB- 1)] = 0, " ±1r qui est une solution triviale, décrivant les bords libres de la fissure,
[KI sinBa +Ku {3 cosBa - 1)]
1 = -[{34v16JL
a 12
= _.!.._ sinB[cosB- {1 -
a 22
::::
+
cosB)J
2v)] 8JL 1 -[4{1 - v){1cosB) + {1 16JL
as aB
+
cosB){3 cosB- 1) J
=O
Cet angle varie avec le coefficient de Poisson v et
= Uooc = uoo(B = O)model
S(Ba) = Scr = {1 - 47rJL 2v)K{c
en se référant au mode I. Pour le mode II pur, le résultat s'écrit : Kuc Ba=- 70,5 o et -K = 0,866 le
Pour le mode II pur, le résultat s'écrit :
La courbe représentant la rupture dans le plan K1 / K1c- Ku/ Kuc est donnée par la fonction : K1 3 Ku Ba . 3 Ba cos - - - - - cos - smBa = 1 K1c 2 2 Kuc 2 Critère d'énergie Sih [28] a proposé le critère de la densité d'énergie minimale : "L'amorçage de · la propagation se produit dans la direction radiale le long de laquelle la quantité de densité d'énergie de déformation est minimale et atteint sa valeur critique". Dans un élément de volume dV centré au point de coordonnées polaires {r, B), l'énergie de déformation dW peut s'écrire : dW dV
cosB){1
Les critères de propagation s'écrivent donc :
=0
Et la deuxième partie de ce critère s'écrit :
uoo (B =Ba)
a 11
S(B)
r
avec S(B) la densité d'énergie de déformation s'écrivant:
Ba
= -79, 2°
et Kuc K1c
= 1, 054
pour v
= 0, 22
Les courbes théoriques donnant l'angle de bifurcation de la propagation en fonction de Arc tan KI/ Ku et la valeur adimensionnelle Kur/ K1c en fonction de Kir/ K 1c au moment de la rupture sont données sur la figure II. !O. On constate que alors que les prévisions sont assez voisines lorsque le mode I est prépondérant, il n'en est plus de même lorsque le mode II est prépondérant. (exercice II. 7) En fait, l'énergie nécessaire à la propagation est celle qui doit être calculée pour une bifurcation évanescente, de la même façon que la force d'extension G est calculée pour la propagation de la fissure dans son plan. De nombreux calculs numériques et semi-analytiques existent pour décrire les FIC de la petite branche
32
D. Miannay
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
33
évanescente s'écrit donc en déformation plane : -a
G = (1- v 2 ) (kt +"kti) E déformation plane
20°
40°
Le critère de rupture s'écrit donc : "L'amorçage de la propagation se produit dans la direction radiale le long de laquelle la quantité G est maximale et atteint sa valeur critique", soit :
82G 8a 2
avec
60°80~0°
<0 à -
a= a 0
,
et
~
critère de contrainte maximale critère de densité d'énergie
G=GIC· Pour le mode Il pur, le résultat s'écrit :
ao
= -K
·et
On remarque également que la direction de propagation correspond à la direction pour laquelle ku = O. Les résultats expérimentaux sont en fait très dispersés, ce qui est dû à une difficulté pratique, et ne permettent pas de distinguer la véritable tendance [29] (Fig. 11.11). (exercice 11.9) 0 0
Fig.II.10 -Angle de déviation et valeur de ténacité d'une fissure sollicitée en mode mixte. {d'après Sih {1963), (1974)). ou bifurcation d'une fissure principale déviée ou ramifiée, soumise au mode mixte 1+II. Par exemple la solution de Bilby [15] s'écrit (annexe IV) :
a(
kI = cos -
2
kn =
1
a
a
a) Angle de bifurcation
. a) KI cos 2 - - -3 Kn sm 2
2
.
:2 cos 2 (KI sm a+ Kn(3 cos a- 1)),
(exercice 11.8)
b) Valeurs caractéristiques des FIC .
ki et ku étant les FIC de la branche évanescente, K 1 et Kn étant les F 1 C
de la fissure principale non branchée et a l'angle formé par la branche et la prolongation de la fissure principale. La force d'extension de cette branche
Fig.II.ll -Résultats des essais de caractérisation de la rupture en mode mixte.
D. Miannay
34 III.
La fissure tridimensionnelle
Dans le cas d'une fissure dans un milieu tridi~ensionnel, il existe peu de solutions exactes pour l'expression du facteur d'intensité de contrainte. Dans l'annexe III est donnée en exemple la solution exacte pour une fissure elliptique dans un milîeu infini soumise à une sollicitation de tension uniforme à l'infini. Une méthode de détermination des FIC consiste à considérer les distributions de contrainte et de déformation au voisinage du fond de fissure et dans un plan perpendiculaire au front de fissure, dans une analyse aux éléments finis et de procéder à une analyse asymptotique comme dans le cas bidimensionnel. D'autres méthodes plus récentes sont ll}ises en œuvre, comme celles utilisant le concept de l'intégrale J. Cet aspect est traité au chapitre VI. Dans les annexes IV et V sont données les expressions du facteur d'intensité de contrainte pour un cas intéressant en pratique qui est celui d'une fissure semi-elliptique en surface dans une plaque plane soumise à des efforts de tension et de flexion [30].
Bibliographie [1] Neuber H., Kerbspannungslehre, 2nd ed. (Springer, Berlin, 1959), traduit sous le titre "Theory of Notch Stresses", 2nd ed. (Springer, Berlin, 1958). [2] Savin G.N., Stress Concentration Around Ho les (Pergamon Press, London, 1969). [3] Peterson R.E., Stress Concentration Design Factors (John Wiley and Son, N.Y., 1953). [4] Inglis C.E., Stresses in a Plate due to the Presence of Cracks and Sharp Corners, Trans. Nav. Arch. 60 (1913) 219-241. [5] Weiss V., Fracture, H. Liebowitz, Ed., Vol. III (1971) p. 227. [6] Griffith A.A., The phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans,, Roy. Soc. Ser. A 221 (1920) 163-198. [7] Williams M.L., On the stress distribution at the base of a stationary crack, J.Appl. Mech. 24 (1957) 109-114. [8] Irwin G.R., Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, J. Appl. Mech. 24 (1957) 361-364. [9] Huit AH. et McClintock F.A., "Elastic-Plastic Stress and Strain Distribution Around Sharp Notches Under Repeated Shear", Actes du Xlème Congrès International de Mécanique Appliquée (1957) pp. 51-58. [10] Paris P.C. et Sih G.C., "Stress Analysis of Cracks", Fracture Toughness Testing and Its Applications, ASTM, STP no 381 (1965) pp. 30-83. [11] Tada H., Paris P.C. et Irwin G.R., The Stress Analysis of Cracks Handbook, 2nd ed. (Paris Productions, lnc., St.Louis, 1985). [12] Sih G.C., Handbook of Stress-Intensity Factors for Researchers and Engineers (Institute of Fracture and Solid Mechanics, Lehigh University,
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
35
Bethlehem, Pennsylvania 18055, 1973). [13] Rooke D.P. et Cartwright D.J., Compendium of Stress Intensity Factors (Her Majesty's Stationary Office, London, 1976). [14] Murakami Y., Stress Intensity Factors Handbook, Vols. I-II (Pergamon Press, N.Y, 1987 et 1992). [15] Bilby B.A., Cardew G.E. et Howard I.C., "Stress Intensity Factors at the ~ip of Kinked and Forked Cracks", Fracture 1977, Vol. 3, D. M. R. Taphn, Ed. (University of Waterloo Press, 1977) pp. 197-200. [16] Creager M. et Paris P.C., Elastic field equations for blunt cracks with reference to stress corosion cracking, !nt. J. Fract. Mech. 3 (1967) 247252. [17] A.S.T.M. Designation E 399-90 : Standard Test Methcid for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic Materials (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1990). [18] Bueckner H.F., A novel principle for the computation of stress intensity factors, Z. Angew. Math. Mech. 50 (1970) 529-546. [19] Ri ce J .R., Sorne re marks on elastic crack-tip stress fields, !nt.!. Solids Struct. 8 (1972) 751-758. [20] Paris P.C., McMeeking R.M. et Tada H., "The Weight Function Method for Determining Stress Intensity Factors", Cracks and Fracture (ASTM STP . 601, 1976) pp. 471-489. [21] Leevers P.S. et Radon J.C., Inherent stress biaxiality in various fracture specimen geometries, !nt.!. Fract. 19 (1982) 311-325. [22] Làrsson S.G. et Carlsson A.J., Specimen influence in crack-tip yielding, J. Mech. Phys. Sol. 21 (1973) 263-277. [23] Kfouri A.P., Sorne evaluations of the elastic T-term using Eshelby's method, !nt.!. Fract. 30 (1986) 301-315. [24] Sham T.L., The determination of the elastic T-term using higher-order weight functions, !nt. J. Fract. 48 (1991) 81-102. [25] Bilby B.A., Cardew G.E., Goldthorpe M.R. et Howard I.C., ''A finite element investigation of the effects of specimen geometry on the fields of stress and strain at the tips of stationary cracks", Size Effects in Fracture (Mechanical Engineering Publications Limited, London, 1986) pp. 3746. [26] O'Dowd N.P. et Fong Shih C., Family of crack-tip fields characteriz~d by a triaxiality parameter - 1. Structure of fields, J. Mech. Phys. Sohds 39 (1991) 989-1015. [27] Erdogan F. et Sih G.C., On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear,!. Basic Eng. 85 (1963) 519-527. [28] Sih G.C., Strain energy density factor applied to mixed mode crack problrms, !nt. J. Fract. 10 (1974) 305-322. [29] Voir la synthèse la plus récente. . [30] Newman J.C., Jr. et Raju I.S., An empirical stress intensity factor equatiOn for surface cracks,Eng. Fract. Mech..15 (1981) 185-192.
")
:~
36
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
37
11.7. Retrouver l'expression de l'énergie de déformation à partir de la définition:
Exercices
8ur (Ur 18vo 1 8ur vo ) ] dA dW=-1 [ Ur-+uo -r +r8fJ - ) +Tro ( - +ôvo --2 8r r8fJ 8r r
II.l. Quelle est la valeur du facteur de concentration de contrainte lorsque l'ellipse devient un cercle ? Sachant qu'alors la valeur de la contrainte de traction à la surface du trou au sommet du "petit axe" est de compression et vaut - u, trouver la répartition de contrainte au voisinage d'un petit orifice circulaire de remplissage d'une sphère de stockage mince de rayon R et d'épaisseur t et d'un cylindre de stockage mince de rayon R et d'épaisseur t.
dA étant l'élément d'aire rdrdfJ.
11.2. Représenter à l'aide des petits éléments de surface les états de contraintes remarquables au voisinage d'une fissure en mode 1.
11.8. Dans la littérature on trouve les expressions suivantes des FIC de la branche évanescente d'une fissure principale en mode mixte :
11.3. A partir de l'expression de la variation de la contrainte fonction du facteur de concentration de contrainte au voisinage d'une entaille de Inglis donnée au paragraphe 1.1, retrouver l'expression du facteur d'intensité de contrainte d'une fissure de Inglis.
ki= au(a)KI + a12(a)Ku, ku= a21(a)KI + a22(a)Ku,
ou
dW(r, fJ) =
( 1 ) [2 Ur 4J.L 1 +v
+ Uo2 -
2VUrUO
+ 2( 1 + v)Tro2] dA,
avec
11.4. Principe de superposition Le principe de superposition permet de résoudre entre autre des problèmes symétriques en les symétrisant. Par exemple on considère une patte de levage d'un composant (figure ci-dessous) et l'on suppose qu'il existe une (ou deux) fissure(s) de longueur a dans le prolongement du diamètre de dimension 2 R du trou, dans le plan perpendiculaire à la charge de levage P. On supposera que R est négligeable devant a et on assimilera la patte à une plaque dans les dimensions sont très grandes (ce qui revient à dire que l'onnéglige les effets de bord). Trouver l'expression du facteur d'intensité de contrainte.
1(3 cos 2a + cos 23a) , 3(sm. 2a + sm. 23a) ,. a 12 (a )= - 4 a . 3a) a 21 a 4 sm 2 + sm 2 , a + 3 cos 2 3a) . a22 (a) 4 co,s 2 a 11 (a) =
4
(. ) = 1 ( .
= 1 (
Montrer que ces expressions sont équivalentes aux expressions précédemment données. 11.9. Répondre après avoir lu le chapitre V. A quoi peut-on attribuer la dispersion mentionnée et pourquoi la figure 11.11 n'est-elle pas illustrée?
11.5. A travers quel plan au voisinage du fond d'une fissure en mode mixte 1 + Il la contrainte normale est maximale? 11.6. Montrer qu'en mode mixte 1 + Il :
f))2
3 uoo = -1- ( KI cos 3()- - -Ku cos -
,f2iT
2
2
D. Miannay
38
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
Annexe 1.- Expressions du facteur d'intensité de contrainte pour des géométries simples en mode 1 (Thda, Paris et Irwin (1985)).
- Fissure latérale dans une éprouvette
- Fissure interne dans un milieu infini
cr
JlUllUlt f
2 a
j
1
1
p
Tnnrrnrd cr
K1 =
1
~ BW
~
y6~~ 1ra
cos2W
.
[o. 752 + 2, 02 ( (;;) + 0, 37 ( 1 -
~3
sin
ZW) J
- Double fissure latérale dans une éprouvette - Fissure latérale dans un milieu infini (j
lllLT_ pa 1
p~ ~
1
1
1
Kr= BWI/2
1ff11I
1
(j
.
[ 1, 122- 0, 561 ( ; ) - 0, 205 ( ; )
Kr = 1, 12uylïffi
- Fissure interne dans une éprouvette p
Kr=
Bl: :;1 n; 112
cos 2
[1- 0,025 ((;;
y1-w
f-
0,06 ((;;
f]
2
+ 0, 471 ( ; ) 3 + 0, 190 ( ; ) 4 ]
39
D. Miannay
40
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
41
Annexe II.2- Expressions du facteur d'intensité de contrainte pour les éprouvettes nonnalisées de mesure de la ténacité (ASTM E399-(1983)).
Annexe II
Annexe II.l - Expressions du facteur d'intensité de contrainte pour les éprouvettes nonnalisées de mesure de la ténacité (AS TM E399-(1983)).
-Eprouvette compacte-disque (Disk-shaped compact specimen DC (T)).
-Eprouvette de flexion trois points (Bend specimen SE (B)). p r-------~~------~__1
D
w
LJ
a
--" 1
P/2
2,1W
L-------:r,.---r-
--i- 2,1W
KI
~
B B=0,5W
1,
= _!_§____ 3 ( w)
112
BW3/2
avec 2S
~
" 0,5W
2S---__j
afW
-ls
P/ 2
[ 1, 99
_ ( w) ( 1 _ w) ( 2, 15 _ 3, 93w + 2, 7
~) J
KI=
(m:I/2)
(2 +
a ) ( a a4 ) w o, 76 + 4,8w -11,58ïV2 + n,43W3- 4,08~
a)( 1-w
(
a2
(1-;)3/2
a)3/2
2 1+2w
a3
-Eprouvette Arc (Arc-shaped specimen A (T)).
= 4W
-Eprouvette compacte (Compact specimen C (T)).
0,6W 0.275W 0.27SW
B
0,6W
0,5W
1
B O,SW
KI= (m:112 )
[3~ +1,9+1,1;] [1+0,25(1- ;f (1- ~~)] 1( 1~)
avec 0,2
~
. l\ I =
afW
~
p
BWI/2
1, a ) ( (2+ W
a
a2
a
(1- w)
3/2
a4 )
a3
0, 886 + 4, 64 W - 13, 32 W 2 + 14, 72 H. 3
-
5, 6 H' 4
!(;) =
[(; r/
2
1 (1 _
; ) 312 ] [ 3, 74 _ 6, 30; + 6, 32 ( ; )
avec X =décalage de la ligne de chargement et rrfr 2 = rapport du rayon interne au rayon externe
2
_
2, 43 ( ; )
3
J
42
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
Annexe III. - Expression du facteur d'intensité de contrainte pour une fissure plane elliptique dans un milieu infini.
Annexe Iv. - Expression du fàcteur d'intensité de contrainte pour une fissure plane semi-elliptique de surface dans une plaque plane.
1
.. L -··
.J-F2!
:
-.-. ~
1
,~a ,-
/
c 2 a = longueur du grand axe de l'ellipse 2 c = longueur du petit axe de l'ellipse
avec llJ l'intégrale elliptique de seconde espèce donnée par
Il'
[1 = J{"/2 0
(1 - : 2) sin cp]1/2 dq\ 2
K1 =(am+ Hab)
2
am
=
ft-F (~, ~,;,, 'P)
contrainte de membrane (de tension)
ab= contrainte de flexion
et dont le développement en série est donné par
= Mtj2I
avec llJ
= ~ [1 - ~ 2
4
c2 _a2 _2_64 (~)2 _ ] c2
c2
...
et est approximé par les deux premiers termes plus importants, soit
,.,_
.T,-
37r 8
(a2)
+-7f8 -c2
M1
= 1,13-0,09 (~)
M2
= -0, 54+ - 0,89 --a 0,2+-
c
Référence: Green A.E. et Sneddon LN., The distribution of stress in the neighbourhood of a flat elliptical crack in an elastic solid,.Proc. Cambridge Phil. Soc. 46 (1950) 159-163.
43
M3
= 0, 5-
1 0 ' 0,65 + ~ c
+ 14 ( 1, 0--a)24 c
avec I
= Wt 3/6
44
D. Miannay
CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
45
Annexe V. -Expression des coefficients d'influence pour une fissure plane semielliptique de surface dans une plaque plane. 2
!If!= [ (~) cos 2 «P + sin 2 «P
G)
g = 1 +[a, 1 + 0,35
2
]
] 1/4
(1- sin «P) 2
1/2
!w~ =(~If) [
H = H1
p =
+ (H2 -
]
H 1) (sin «P)P
a, 2 + ~ +a, 6 ( T)
H1 = 1- 0 34~- 0 11~ (~)
'
t
'
c
t
(T) + (Tf
H2
= 1 + Gt
G1
=-1,22-0,12(~)
G2
(a)0,75 + 0, 47 (a)l,s ~
G 2 = 0, 55 - 1, 05 ~
Référence:
Newman J.C., Jr. et Raju I.S., An empirical stress intensity factor equation for surface cracks, Eng. Fra ct. Mech. 15 (1981) 185-192. u(x) = A 0 +At x K1
+ A2 x 2 + A3 x 3, pour 0 :::; x
:::; a
= ~ (GoAo + G1A1 a+ G2A2 a 2 + G3A3 a 3) fw
(a)
Q = 1 + 1,464 ~
tw =
[1/cos
1,65
G~) vm
112
Référence:
Raju I.S. et Newman J.C., Jr., Stress intensity factors for internai and external surface cracks in cylindrical vessels, J. Pres. VesseZ Tech. 104 (1972) 293-298.
al c = 0,2 Gi
-1'>-
al c = 1
alc=0,4
0\
0,2
0,5
0,8
0,2
0,5
0,8
0,2
0,5
0,8
0
0,611
0,816
1,262
0,784
0,965
1,283
1,150
1,247
1,400
0,25
0,748
0,967
1,382
0,818
0,979
1,222
1,076
1,148
1,233
0,5
0,958
1,240
1,670
0,951
1,112
1,287
1,039
1,090
1,106
0,75
1,090
1,432
1,840
1,051
1,220
1,372
1,025
1,068
1,090
1
1,134
1,498
1,861
1,086
1,258
1,388
1,021
1,062
1,086
0
0,080
0,145
0,275
0,127
0,185
0,275
0,200
0,229
0,268
ait
1
2
Gl
G2
G3
0,25
0,208
0,278
0,400
0,248
0,301
0,371
0,362
0,384
0,406
0,5
0,426
0,519
0,646
0,445
0,498
0,549
0,543
0,559
0,558
0,75
0,609
0,726
0,866
0,612
0,670
0,728
0,671
0,686
0,701
1
0,680
0,807
0,948
0,676
0,736
0,800
0,717
0,733
0,756
0
0,023
0,055
0,113
0,044
O,D73
0,112
0,075
0,089
0,104
0,25
0,076
0,110
'Ü,I65
0,098
0,124
0,155
0,154
0,165
0,174
0,5
0,239
0,285
0,342
0,258
0,284
0,306
0,334
0,341
0,338
0,75
0,432
0,491
0,561
0,443
0,472
0,504
0,514
0,522
0,531
1
0,518
0,583
0,662
0,526
0,556
0,596
0,589
0,597
0,615
0
0,010
0,029
0,060
0,022
0,038
0,059
0,038
0,046
0,054
0,25
0,032
0,052
0,082
0,045
0,060
0,077
0,076
0,082
0,086
0,5
0,147
0,173
0,205
0,162
0,177
0,188
0,219
0,223
0,219
0,75
0,334
0,369
0,411
0,348
0,364
0,384
0,417
0,421
0,427
1
0,431
0,470
0,522
0,442
0,460
0,488
0,513
0,516
0,530
()
()
"'"'o.
"'"'o.
~ ...,
~
..,...,8'
0
..,a
~
"' Eï
~
"'..., 0
@"
~
3
~1- ~1-
;--,+ ;--,+ 0
Cl
0
0
"'"'
3
3
..,a
"'a. ~
F
~· ..c
~~~ 1 + ~~~ 1 +
"" ""
3 Il
e
~~~ ~~~
~· ~
~~
~
~~
~
"'~
§j ..,
Cl
H
"'~
~
~· '"0
Il
0
:::3 ...,
..,"'
~~-=J'
~1 1 + ~ ~1 1 + ~ "
t-l
t-l
t-l
'--" '--" ..._, .., ~
..._, .., ~
"'v
~ ::~
'--" '--" ..._, ..._, .., .., ~
o.
"
-<
-j
~· ~
"'~
~· ..c
e
§j ..,
~· ~ ~
~
a;: §" :::3
~
g... ... ~
;:: 1
@ ~
~
ti1
l"l
:::
'= ~
>-3
"'"'
ë'
::j
Q.
t"I1
~
= ..."' 8' = n e. = "' 0
... st ...... Q.
:=
1
~
ti1
=:::
z
>-3 t"I1•
~
0
c::ti1
c:z
til•
> ::a t"I1 0
ti1
~
"'0
o. t-l
üi 0
(l
><
~
z z c::
::l
~· -1'>-
-..)
CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
48
Annexe VII. - Expression du facteur d'intensité de contrainte pour une fissure déviée "kinked crack") et pour une fissure ramifiée ("forked crack") en mode mixte (d'après Bilby, Cardew et Howard, (1977)).
a)
Kn ~ K,
Annexe VIII. -Exemple d'éprouvettes de mesure de la ténacité en mode mixte. KI= 6 ,M &Fr,
a! 3 points
Fr.
Fil
I
0
1,53
1,34
1,46
1,39
1,43
1,36
0
1,37
w-s
~0
r
:1)>12 8~8
1
14
120
1' P/4
OL
1
b/ 4 points
........-
3P/8
.J..
Expressions du facteur d'intensité de contrainte de la branche infiniment petite à l'extrémité d'une fissure principale en fonction des facteurs d'intensité de contrainte de la fissure principale.
110 8J, P pl'
42 [[20 1i1Q 180 1
I4o T3P/8
110 3P/8 J,
a
b)
. a) - 23 Kn sm
= ~cos~ (KI sin a+ Kn(3 cos a- 1)) 2
WB
4
tlo 3P 1440 1
ku
·
Op/2 ~
~p
2a
a ( KI cos2 a ki= cos 2 2
Kn=~&Fi:I
Eprouvettes de flexion
/1\9
i
49
2
étant l'angle formé par la branche et la prolongation de la fissure principale.
24J. p
!40 36 h2o TjP/8 p1' 1110 180 110 3P/8 _-k_ 30J. p 30 n2o p1' 110 180
[4o
T P/8
Référence: Balloch R.A. et Brown M.W., "The Effect of Precracking History on Branch Crack Threshold Under Mixed Mode 1/II Loading", Fatigue Under Biaxial and Multiaxial Loading, ESIS 10, K. Kussmaul et al., Eds. (Mech. Pub., London, 1991) pp. 179-197.
D. Miannay
50
Annexe IX.- Expression du champ de contrainte au voisinage d'une fissure avec un fond arrmidi en mode 1 (d'après Creager (1985)).
CHAPITRE III
Traitement élastique linéaire des discontinuités Correction de plasticité
u,, =
() ( 1- sm . -sm() . 3()) - -cosp 3()] -K1- [cos.,fïirr . 2 2 2 2r 2 '0K1
[
() (
. () .
3()) + 2pr cos 23()]
1 +sm 2sm 2
uyy
= .,fïirr cos
r
K1 [ . () (} . 3(} p . 3(}] =--sm-cos-sm---sm.,fïirr 2 2 2 2r 2
"'Y
2
avec KI = u 00
,;;;ra
l!origine des coordonnées polaires est prise à une distance p/2 du fond de fissure de rayon de courbure p.
On considèrera dans ce chapitre un milieu continu, homogène et isotrope ·dans lequel existe une entaille ou une fissure au repos et qui est soumise à un chargement. Le cas de la fissure en mouvement sera traité par la suite. On considère un milieu dans lequel il ne se produit pas de déformations plastiques sauf au voisinage immédiat de l'entaille où la contrainte maximale devient supérieure à la limite d'élasticité, ou de la fissure où la singularité asymptotique décrite par le FIC comporte des contraintes qui deviennent infinies et qui doivent donc être borp.ées par la limite d'élasticité. La loi de comportement pour les petites déformations est décrite en traction uni-axiale par : -pouru < u0 (Loi de l'élasticité) : E
U
e:o
ua
'
avec u 0 = E e: 0 la limite d'élasticité et v ~ 0,3. -pouru = u 0 (Loi de la plasticité parfaite sans consolidation) : u =u0 ,
u0 étant la contrainte équivalente de Von M!ses et v = 0, 5. On considère d'abord brièvement le cas des entailles, puis plus en détaille cas des fissures. 1.
Modèle de plasticité confinée pour une entaille
Neuber [1] a proposé la règle suiviJ.nte, dite "règle de Neuber": "Quelle'que soit la loi de comportement du matériau, on a, si l'on désigne par K" le facteur de concentration de contrainte et par K. le facteur de concentration de déformation : Ku.K• = constante
52
D. Miannay
CHAPITRE lii- CORRECTION DE PLASTICITÉ
avec Ker = uM/u et K, = êM/ê, UM et êM étant la contrainte maximale et la déformation maximale au voisinage de l'entaille et u et ê la contrainte nominale et la déformation nominale". Dans le cas du comportement élastique, on a donc la relation : KcrE X KŒ
53
mESCA
VON MISES
= (KcrE) 2 x
avec KcrE le facteur de concentration de contrainte élastique. Dans le cas du comportement plastique, l'expression précédente s'écrit:
11<'
_:.:..J_
7t
o2
0
Déformation plane
(exercice 111.1)
Fig.III.1- Contours de la zone plastique en·mode 1 selon les critères de plasticité.
On verra ci-dessous le traitement par Tetelman d'une entaille particulière, ce traitement étant présenté ici sous la rubrique fissure. Cette règle est en fait proposée dans le cas général des structures, qu'il y ait ou non une discontinuité géométrique. Cet aspect sera traité ultérieurement dans la codification de la résistance mécanique d'une structure.
II.
Model
0,5
Modèles de plasticité confinée pour une fissure
A l'exception du traitement du mode III'pour lequel McClintock a trouvé une solution pour le champ de déformation plastique, il s'agit ici de trouver comment l'introduction d'une zone plastique très confinée ("Small Scale Yielding") modifie légèrement la solution asymptotique décrite parK, tout en respectant l'équilibre global du corps fissuré. On déterminera également l'étendue de la zone déformée ·plastiquement qui restera d'étendue faible par rapport à toutes les autres dimensions du matériau et entre autre celle de la zone perturbée élastiquement. Des solutions complètes avec de véritables lois d'écoulement pour le matériau seront traitées ultérieurement. 11.1
o.s.:
x
)j(2 --::2
lt
q;
Déformation plane
Contrainte plane
PREMIER MODÈLE: CORRECfiON DE ZONE PLASTIQUE D'IRWIN
Le calcul des isocontraintès de Von Mises à partir des formules de la solution asymptotique conduit à des contours décrits sur les figures 111.1 et III.2 et aux équations suivantes pour 0 ~ (} ~ 1r : - pour le mode 1, en contrainte plane :
rp(B) = e~
4!!~ [1 + ~
sin2 (}
+
Mode Ill
x -2
1 Km - -=2.
cos(}]
lt
q;
déformation plane :
K [3 2
·
rp(B) = -4 1 2 - sin2 B + {1 - 2v) 2 {1 + cos(}) 1ru0 2
]
Fig.III.2- Contours des zones plastiques d'après le critère de Von Mises (v = 0,3) (d'après McCiintoc~ (1965)).
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
D. Miannay
54
et la zone de la singularité élastique décrite parK, car l'équilibre des contraintes n'est pas respecté. Dans le cas d'une fissure en mode I, Irwin [2] a proposé de déterminer la zone plastique de la façon suivante. Il cherche à respecter l'équilibre des efforts à travers le plan de la fissure. A travers ce plan la contrainte maximale est donnée par l'équation :
- pour le mode II, en contrainte plane : rP
((}) = -Kfi-2 [3 27rΠ0
. 2 (} 8 sm 2
. 4 (}] + 9 sm 2
en déformation plane : rp((})
= 2~!6 [3- (8 + 4v- 4v2 ) sin 2 ~ + 9sin4 ~]
Kr
lTyy((}
- pour le mode III , en déformation plane :
= 27rΠK{ 2 [cos~ 2 0
(1 + sin~)]
2
2
en déformation plane : le plus grand de :
Pour équilibrer les contraintes qui excèdent lTf sur le segment Ory, on imagine une fissure fictive de longueur augmentée de r 0 par rappQrt à la fissure réelle, telle que son terme singulier Œyy se trouve également translaté de r 0 par rapport à celui de la fissure réelle puisque l'on considère deux fissures très proches l'une de l'autre (Fig. III.3). Ainsi l'équilibre des forces par unité de longueur de fissure s'écrit:
1'"
,';
rp((})
=
= 0) = v=27rr
Cette contrainte excède la limite d'écoulement plastique Œr, soit Œo en contrainte plane et 2/.../3Œo en déformation plane, Œo étant la contrainte d'écoulement en· traction, à une distance r y de la pointe de fissure donnée par :
Pour un matériau obéissant au critère de plasticité de Tresca, les contours sont donnés par: - pour le mode I, en contrainte plane : rp((})
55
K2 (} [ (}] 2 _r_2 cos 2 - 1- 2v + sin -2 et rp((}) ~~ 2
= -2K2r 2 ~
(} cos 2 -
o
2
pour le mode II, en contrainte plane :
K
~drv 27rr
lTf
x
Ty
= ro
x
lTf
d'où
Kr 1/2 2--r ,f'ï1r y - Œr x r y
= lTf x ro
ou en remplaçant ry par son expression: en déformation plane :
Kr Kr 1 K{ 2 - - - - - -Œr x - - = ,f'i1r ,f'i1r lT f Œt 27r
Œt
x ro,
d'où - pour le mode III, en déformation plane :
ro = 2_ (Kr) 2 = r Y 271" lTf
'
soit
Ces contours donnent une idée de la forme possible des zones plastifiées ; mais ils ne peuvent pas correspondre en réalité à la frontière entre la zone plastifiée
ro
= __!_ 21r
(Kr ) Œo
2
= rY
en contrainte plane,
56
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
D. Miannay
57
et
r0
2 = ...!:._ ( K,) = r 61r cr0 Y
en déformation plane.
ou .
l+v1K 2
1 (K 2uy (r =ra, (} = 1r) = 2-E - 271" CTf
+ 1),
soit
2uy (r =ra, 9 = 1r)
4G
= -71"CTQ
en contrainte plane et en déformation plane. Cette grandeur correspond à l'ouverture à fond de fissure ("Crack Tip Opening Displacement", CTOD), ti, considérée par Wells [3], et calculée en supposant une déformation élastique cr0 /E sur le périmètre 27rro = (Kjcr 0 ) 2 de la zone plastique. Ce modèle a été utilisé par Rice [4] pour décrire la formation des zones plastiques en fatigue. (exercice III.4) singularité élastique
11.2 x
~ig.III.3-
Méthode de calcul de la zone plastique d'Irwin (le~ deux aires hachurées sont
egales).
Irwin propose donc de considérer une zone plastique de section circulaire centrée à une distance ra de l'extrémité de la fissure physique et de rayon r 0 • Et l'intensité de la singularité à l'extérieur de cette zone est celle de la fissure fictive de longueur a+ ra (encore:appelée fissure efficace), a étant la longueur de la fissure physique :
Ketr = K(a+ ra). Ketr est également désigné parfois par Kcp pour "K corrigé de la plasticité". (exercices III.2 et III.3 ). Dans ce modèle, les déformations plastiques ne sont pas connues. Cependant on peut calculer la déformation élastique à la frontière de la zone plastique. On trouve: ·
SECOND MODÈLE : MODÈLE DE LA BANDE PLASTIFIÉE OU MODÈLE DE DUGDALE- BARENBLATT ("STRIP YIELD PLASTIC ZONE")
Ce modèle e~t calculé en contrainte plane. Dugdale [5] considère dans une plaque plane infinie une fissure de longueur 2a soumise à une contrainte uniforme à l'infini, cr, c'est-à-dire une fissure dans la configuration de Inglis. Il suppose que la zone plastique est localisée au voisinage· du plan probable de propagation et a une longueur Rd de part et d'autre de la fissure (Fig. III.4). On considère alors une fissure fictive de longueur 2(a +Rd) telle que sur la distance 2a il ne s'exerce aucune tension sur la surface et que sur les distances Rd il s'exerce une force de fermeture égale à la limite d'écoulement qui existe dans la zone plastique. A l'extérieur de cette fissure fictive on retrouve une solution élastique dont l'infinité a disparu. En superposant à une fissure (1) de longueur c = 2(a +Rd) soumise à une contrainte uniforme cr à l'infini une fissure (2) de longueur c = 2(a+Rd) soumise à une contrainte -cr0 sur 2Rd, on obtient : K(l)
avec
+ K(2)
= 0
58
D. Miannay
59
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
TTTT TTTtc/ TTT TT TT
}ntuni~rrul)l ·
2
[lAre cos
K(2) = + uoc
VJrë
K(2) = + u~ V 1r'C
TTT TTTT~cr~ TTTTT TT
[l
2
Are cos
. +1r
u0 c K ( 2) = + ,j7rë
al
k(2) = +
Fc
10
(-.!!) c cos 2 -8 d8 +
+or
8 d8 ] .cos2 2
Arc cos ;;.
( -"')
• (1 +cos 8) d8 +
10
(1 +cos 8) d8
]
Arc cos -;;-
[l + sm. 81 8
Arc cos(-;;.) +or ·
[Arc cos ( -~) -
+
· 81. Arc o ] 18 + sm cos ~
1r + sinArc cos ( -~)
-Aie cos~- sinArc cos~] c
c
K(2) = + uoc [- (-Arc cos - ~ + V7rë c 2uoc [ K(2) = - V1rë Arc cos -;; ,
1r) -Arc cos~] c
a]
d'où en superposant les deux fissures : Arc cos~=~~ c 2 uo ou Fig.III.4 - Modèle de la bande plastifiée de Dugdale-Barenblatt : modèle de superposition et répartition des contraintes à travers le plan (} = o.
1
1.
--'='lr--,0"=- -
cos-2 uo
Pour calculer K(2), on utilise les fonctions de Green:
K(2)
= -uo
[ra (c
VJrë }-c
+x) I/2 dx +le
C-
X
a
~ ouverture au fond de la fissure physique et à la frontière de la zone plastique a été calculée par Burdekin et Stone [6] et trouvée égale à:
(c
+x) 1/2 dx] '
C -
2uy(x =a) = 6 = BuEoa Ln [
X
7r
soit en posant x = c cos 8, d'où dx = -c sin 8 d8
+
uoc + y7rC =
1°
[1Arccos(-';) (1+cos8)1/2 sin8d8 1 -COS 8 -or
Arccos';
(1+cos8) 1/ 2 sin8d8] 1-cos8
2 Uo
Un développement en série pour u très petit devant u 0 donne : Rd
K(2) =
!r u ]·
cos--
~
2
= 21 (7r2uou ) + ........ ,
et Bu0 a [1 6 = 1rE 2
(7r2 uu ) 2 + 121 (7r2 uu ) 0
0
4
1 + 45
(7r2 uou)
6
+ ···
]
60
D. Miannay
ou encore
61
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
de la plasticité limitée ou confinée, la zone plastique prend la forme d'un cercle (Fig. III.S) d'équation : R(B)
et 2 8 = 1raa = G,{l) Eao ao
En partant de la valeur de 8 et en calculant un K équivalent, on constaterait que l'extrémité d'une fissure purement élastique se situerait à Rn/3 de l'extrémité de la première fissure, de préférence à Rn/2 comme dans le modèle d'Irwin. Autrement les valeurs trouvées ici pour les petites valeurs de a sont voisines de celles du modèle d'Irwin. Cet aspect sera développé par la suite. (exercice 111.5)
= Ro cos()
avec
1(Km) --
Ro ='TC'
2
To
La solution élastique des déformations en mode III s'écrit par ailleurs :
(Km)
()1
cos 2 'Yyz = 'Yo - - - - . To ..j21rr1 . ()1 smIII 2 'Yxz = -"(o V21C'T1 To
(K )
Ce modèle a été utilisé pour décrire l'effet d'un préchargement à chaud ("warm prestressing") [7]. (exercice III:6)
Il.3
TROISIÈME MODÈLE: TRAITEMENT ÉLASTOPLASTIQUE DU MODE III
Mode Ill
Ce traitement est dû à McClintock [8]. Dans ce modèle, l'analyse faite avec les critères de Tresca et de Von Mises et par la méthode des lignes de glissement de Hencky, montre que dans la zone plastique les déformations et les contraintes sont données par les expressions suivantes : 'Y = 'Yyz
x
+ i"fxz
-2
1 Km - -::2
avec en coordonnées cartésiennes :
1t
'Yyz = 'Yo (
~)
COS()
'Yxz = 'Yo (
~)
sin()
<6
Lignes de glissement
Fig.III.S- Modèle de la zone plastique en mode III (d'après McClintock (1965)).
ou en coordonnées polaires :
R
'YzO = 'Yy-; 'Yzr
=0
avec 'Yo = To / p,, le cisaillement à la frontière élasto-plastique et R, la coordonnée polaire de cette frontière, fonction de l'angle(). Lorsque T, la cission de chargement à l'infini, est grand, on a une zone plastique très allongée sur l'axe des x. Mais lorsque T ~ 0, 3To, c'est-à-dire dans le cas
On a identité des solutions à la frontière élasto-plastique et donc continuité entre la solution plastique et la solution élastique si : ()1
cos 2 Km) .j21rr1{R) 'Yo cos () = 'Yo (--;:=;;-
62
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
D. Miannay
et
. 8= sm
-')'o
-')'o
. 81 (Km) sm 2 -ro v'21rT1
c'est-à-dire si r 1 (R) = R 0 /2 et 8 = 81/2. Le front de la fissure élastique fictive est dtmc situé au centre de la zone plastique de rayon (Fig. III.S) :
'
r = Ro = ~ (Km) Y 2 21r ro
2
et la continuité est réalisée sur toute la frontière. On obtient donc ici une solution exacte qui est l'analogue de la solution approchée d'Irwin pour le mode 1. On propose donc de prendre dans le cas du mode 1 la solution du mode III avec les substitutions suivantes :
ro --+ uo J-L--+E Km--+ Kr 2J-LGm --+ EGr en contrainte plane E --+ ( 1 _ 112 ) Gr en déformation plane. I..:ouverture à fond de 'fissure est obtenue par intégration des déplacements plastiques à la frontière élasto-plastique :
b = Uz
G)-
1
Uz (
-~) = 1'0,}+,/2 r"' 2 R(O) dO
-,/2 2 b = 'Yo Ro cos OdO = 2')'oRo = -')'o +"/2 1r .
(K )2
mécanismes microscopiques de rupture à l'échelle du grain (lOO J-Lm). Une fissure en mode 1 sera représentée par un .empilement de dislocations coins en position de montée (Fig. 111.6), une fissure en mode Il par un empilement de dislocations coins en position de glissement et une fissure en mode III par un empilement de dislocations vis. Ainsi on considère sur la longueur -a, +a un empilement de dislocations de vecteur ligne Oz et de vecteur de Burgers b f(x) dirigé selon l'axe Oy (mode 1), l'axe Ox (mode 11) ou l'axe Oz (mode III), (ou bien: f(x) dislocations de vecteur de Burgers b dans l'intervalle x, x+ dx ). Au point de coordonnées x', la contrainte dans la direction de b vaut :
u =A
l
soit avec: 2J-LGm = Kfir (solution élastique):
b = 4 Gm 1rro On obtient à nouveau la solution approchée d'Irwin.
f(x) -,--dx X -x
avec A =
( J-Lb ) pour des dislocations coins et A = J-Lb pour des dislocations 27r 1- Il 27r vis. Si une contrainte égale et de signe opposé est appliquée de l'extérieur, la surface de l'empilement (y = 0) est libre de traction et on est dans la situation d'une fissure dont les surfaces sont libres. La zone plastique peut être représentée par des dislocations de même nature s'étendant de part et d'autre de la fissure sur une distance Rv et sur lesquelles s'exerce une contrainte de friction égale à la limite d'élasticité u 0 • I..:ensemble de la fissure est en équilibre lorsque :
A
l
+(a+Rv)
-(a+Rv)
J(x) -,-- dx = P(x') X
-X
avec P(x') = u (dû à l'extérieur) pour -a < x < +a, et P(x') u- u0 à l'extérieur, et avec la condition f(x) = 0 (pas de déplacement) aux extrémités de la zone plastique. La résolution de ces équations donne :
Rv 1 -=---wu-1 a cos2uo et pour déplacement en fond de fissure : 4uo 1 b(a) = -B a ln --wu 7r
11.4
+a
-a
___!!!,
ro
QUATRIÈME MODÈLE : MODÈLE DE BILBY, COTrRELL ET SWINDEN ("BCS MODE~')
I..:intérêt du modèle de Bilby, Cottrell et Swinden [9] est d'introduire l'équivalence entre des empilements de. dislocations et des fissures sous différents modes de sollicitation. Cette équivalence sera utilisée dans l'étude des
63
cos2uo
avec B =IL en mode III et B = J-L(1 -v) en modes 1 et Il. La distribution des dislocations est représentée sur la figure 111.6. On retrouve dans ce modèle les solutions données par Dugdale.
64
D. Miannay
CHAPITRE Ill- CORRECTION DE PLASTICITÉ
Mode 1
tt tt 1-1-H-l-l
-t-t-t-t Mode Il
Mode Ill
l'effet de la déformation plastique avec 8 = 2p et avec des surfaces planes libres formant arbitrairement un angle w entre elles (Fig. III.7). Cette configuration est celle qui existe en fait à l'état initial dans une éprouvette de résilience Charpy V avec les valeurs particulières p == 0, 25 mm et w == 45°. Tetelman suppose qu'en avant de la fissure sollicitée en mode d'ouverture l'état de déformation plane existe, que la déformation plastique peut être représentée par l'état correspondant à un matériau rigide-parfaitement plastique pour lequel la déformation élastique est négligeable devant la déformation plastique, et qu'au-delà de la zone plastifiée la solution asymptotique élastique décrite par le FIC est valable. · La déformatioil'}Jlastique peut alors être décrite selon la théorie des lignes de glissement de Hencky ou lignes de cission maximale par deux familles de spirales logarithmiques ("exponential slip !ines") dont l'étendue R dans le plan de symétrie de l'entaille augmente lorsque le niveau de sollicitation augmente. Il en résulte que le champ de contrainte agissant à travers le plan de symétrie de l'entaille est décrit par les équations :
00000 ayy(B==O)=ar
00000 _2_0_
1
x
[1+ln(1+~)],
axx(B == 0) = ayy(B = 0)- ar, a xx+ ayy (J'zz==
""b f(x) dx
'
2
avec l'origine des coordonnées prise au centre du cercle et avec ar = a 0 pour un matériau obéissant au critère de plasticité de Tresca et ar == 2/ J3a 0 pour un matériau obéissant au critère de plasticité de Von Mises. A partir d'un certain niveau de sollicitation, le champ des spirales logarithmiques atteint les bords droits de l'entaille et le champ de déformation est poursuivi par le champ dit de Prandtl, constitué de deux éventails ("fans") et de quatre diamants ("diamonds") (Fig. III.7), qui donne comme état de contrainte agissant à travers le plan de symétrie de l'entaille : ayy(B == 0) ==ar ( 1 + axx(B
Fig.Ill.6- Représentation des fissures par des distributions continues de dislocations (d'après Bilby, Cottrell et Swinden (1968)).
11.5
CINQUIÈME MODÈLE : MODÈLE DE CENTAILLE À FOND CIRCULAIRE DE TETELMAN
Dans ce modèle, c'est-à-dire dans cette approximation; Tetelman [10] assimile la fissure soumise à sa pointe à une déformation plastique à une entaille de rayon de courbure p correspondant à l'émoussement de la fissure aiguë (p = 0) sous
65
a zz ==
i- ~),
= 0) == ayy(B == 0)- ar, a xx+ ayy 2
Remarquons au passage que la contrainte maximale se situe en avant du fond d'entaille et non sur le fond. Il n'existe pas de description de l'état de déformation. Tetelman .suppose ensuite que l'étendue de la zone plastique est égale à celle de la zone plastique d'Irwin en déformation plane. On a donc l'égalité entre les deux expressions :
1(K
R - - -1 ) - 37!' ao
2
'
66
D. Miannay
CHAPITRE Ill- CORRECTION DE PLASTICITÉ
111.1
67
CRITÈRES DE RUPTURE
Les modèles précédents utilisent la modélisation du solide élastiqueparfaitement plastique et introduisent une zone plastique où la contrainte est égale à la contrainte d'écoulement plastique ur et où les déformations ne sont pas définies sauf dans le modèle de McClintock pour le mode III. On verra dans l'étude des mécanismes microscopiques de rupture que le plus généralement la rupture est amorcée par une déformation plastique dans cette zone plastique. Mais dans l'état de connais~tlnces acquises, on postulera comme dans le cas de la fissure dans un milieu pure~ent élastique deux critères de rupture qui devraient être équivalents et qui sont :
x
x
Fig.III.7- Modèle de la zone plastique de Tetelman (1972).
111.1.1 Le critère de contrainte
La rupture se produit pour une configuration critique du champ de contrainte élastique entourant la zone plastique, soit :
et Kcp étant le facteur d'intensité de contrainte corrigé de la plasticité défini précédemment et Kc la valeur critique.
III.l.2Le critère d'énergie
d'où
Une expression a été proposée par Orowan [11] qui a modifié le critère énergétique de Griffith en ajoutant une énergie de déformation plastique, "YP, c'est à dire un travail à fournir, à l'énergie de formation de surface, 2 "Ys : ~vec uyyM la contrainte maximale à la frontière élasto-plastique. Ce modèle mtrodmt entre autre la notion que le FIC augmente avec le rayon de courbure de l'émoussement plastique d'une fissure.
III.
Gilman [12] a proposé de prendre pour "YP
Implications de ces modèles pour la rupture To étant la limite d'élasticité en cisaillement.
I.:ensemble de ces modèles destiné à permettre l'utilisation de la mécanique purement élastique qui pouvait décrire la rupture de matériaux très fragiles tels que les verres et les céramiques dans le cas de matériaux présentant une faible plasticité avant rupture a obligé de définir de nouveaux critères de rupture. Ils ont également été utilisés en les extrapolant pour décrire le comportement à la rupture de matériaux plus ductiles, mais cette première approche a due être abandonnée. Ils ont finalement permis d'asseoir une méthodologie possible de mesure de la ténacité pour des matériaux fragiles ou semi-fragiles. Ces trois aspects sont traités ci-dessous.
Ce genre d'expression est utilisé dans l'étude des phénomènes de fragilisation pàr l'environnement, l'environnement agissant soit sur "Ys soit sur "YP· Comme il existe une relation entre la force d'extension de fissure et l'ouverture à fond de fissure de la forme : G
= uo8
le critère de rupture en énergie correspond au travail de la contrainte u 0 sur la distance 8. Cette dernière relation permet d'introduire un troisième type de critère qui est un critère de déformation.
68
D. Miannay·
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
69
111.1.3 Le critère de déformation
~n énoncera que-~~ rupture se produit lorsque l'ouverture à fond de fissure
attemt une valeur cntique, Oc :
Ces deux expressions se présentent donc sous la forme : 0
. • •
KIE =
K1cp
0 =Oc Ce troisième type de. cn·cere a ete ' ' utilise · · ' pour caractériser ·la "ténacité" des , . :atenaux p_ar le Welding Institute en Angleterre [3J et a donné lieu à de Combreux developpements dont, entre autres, une méthodologie de mesure [13J et aspect ne sera pas davantage développé ici. · 111.2
DIAGRAMME D'ÉVALUATION DE LA RUPTURE ("FAILURE ASSESSMENT DIAGRAM")- MÉTHODE DES DEUX CRITÈRES ("TWO-CRITERIA APPROACH") OU MÉTHODE R6 ("R6 METHOD")
Ce modèle est basé sur l'approche des deux critères de Dowlin et Town! [14J et la présentat!on ~riginelle est de Harrison, Loosemore et Mil~e [lSJ. ey ( Dafins les adpprmamatwns d'Irwin et de Dugdale et pour la configuration d'Inglis une ssure e longueur 2a dans un mil" . fi . h , tensio_n , l'" fi ") , . Ieu m m, c argee par une contrainte de u a m m , on peut ecnre : - pour le modèle d'Irwin et en contrainte plane :
K1cp
=
KIE~1 + ~ (~)
2
K1cp étant la ~aleur corrigée de la plasticité du FIC pure~ent élastique KJE. - pour le modele de Dugdale en contrainte plane :
f
(.!:.) = f (_!__) uo PL
u représentant la charge P et u 0 la charge limite PL du corps fissuré. Les auteurs ont donc proposé de considérer que la rupture se produit : - dans le domaine du comportement élastique lorsque : KJcp
= K1c
K1c étant la ténacité du matériau, mesurée lorsque le comportement est purement élastique.
- dans le domaine de comportement plastique-par effondrement plastique ("plastic collapse") lorsque :
Ils retiennent donc dans la zone de transition entre. ces deux comportements comme critère de rupture la fonction ci-dessus, soit : KIE =
f
(_!__)
K1c PL avec l'expression de Dugdale qui est la plus conservatoire et qui donne une variation continue entre les deux extrêmes (Fig. III.8). Ce critère a alors été proposé pour des matériaux, des géométries et des chargements quelconques. Mais on constate qu'expérimentalement dans de nombreux cas cette règle n'est pas conservatoire. Cependant cette approche a été conservée et a donné lieu à des évolutions et des améliorations qui seront décrites par la suite.
111.3 ÉPROUVETTES DE MESURE DE LA TÉNACITÉ
0
= K~P = Buoa In Euo
1rE
d'où 8 7r 2
(u0)2 --;;
1
ln
(~ .!:.) 2 uo
Pour déterminer la ténacité d'un matériau, c.-à-d. la grandeur caractéristique du matériau, indépendamment du degré de ténacité de ce matériau, de la géométrie et du mode de chargement d'éprouvettes, des développements de mesure expérimentale ont été effectués avec toujours le respect de deux conditions: (i) l'éprouvette doit évidemment posséder une fissure très aiguë pour engendrer la concentration de contrainte maximale lors du chargement monotone ultérieur. Expérimentalement la méthode la plus communément adoptée est de développer une fissure en fatigue à partir d'une entaille usinée mécaniquement. Pour éviter que la mesure ultérieure ne soit fonction de l'état de contrainte résiduelle de compression tel que décrit par Rice [4] à l'aide du modèle de plasticité confinée d'Irwin, le FIC maximal en fin de fissuration, Ku, doit être très inféri«;!ur à la
70
D. Miannay 71
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ 1.2
avec a !a longueur de la fissure, W - a !a longueur du ligament, B l'épaisseur de l'éprouvette, K1c la ténacité du matériau et a 0 sa limite d'élasticité, ce qui entraîne pratiquement que a""" w- a<:::' B. La norme ASTM E 399 recommande de prendre ajW compris entre 0,45 et 0,75. Ces conditions sont justifiées par les nombreux résultats de mesure obtenus pour de nombreux matériaux métalliques tels que les alliages d'aluminium et les aciers [16]. La géométrie des éprouvettes normalisées et l'expression des FIC à utiliser, telles qu'elles apparaissent dans la norme [17], sont données dans l'annexe II du chapitre II. Dans cette norme apparaissent également les trois principaux types d'enregistrement charge-déplacement (Fig. III.9)
Kr=KI/KIC 1,0
~--.
0.8
0.6
--------- ... -!\
0.'
0.2
p CHARGE,
. 02
0,,
0.6
~; max
1
p
n p
0.8
1,0
5
1.2
-
maxp
5
Sr=P/Pl
Fig.III.8- Diagramme d'analyse de la rupture selon le modèle de Dugdale-Barenblatt.
1
ténacité, K~c, caractéristique du matériau dans un rapport :
//
Kif/ K1c :S; 0, 6
TYPE 1
TYPE Il
TYPE Ill
n~ ~era pals davantage développé ici et la règle sera consi~érée comme J~estti.afisepeeectxpenmenta ement. (ii) l'éprouvette doit posséder des dimensions suffisantes our assurer rupture se pro~uise_ dans le domaine fragile (c'est-à-dire ~ans le doma!~e
da
§~~p:p~!f~i:,~:1:1::~:!~~:~;;~~~~:~t~~::::~%;:::::! neurement. On retiendra seulement ici que . d,
d
~eu lf~~t;ru~ f:~~t~s:~~~~t:~~t~g:iJ! ~~~~t~tr~~t:;~é~~: ~~~:e:f~1~~m~~;:
representatJ:e ou réaliste, on a considéré des éprouvettes de moins en :e ~~e consommatnces de matière et ' 't oms possible, d'abord l'éprouvetten~~e~:I at~t un nive~u de char~ement le plus faible .ac, ~orr avec ssure laterale ("Single Edge crack Tensions ecime n" SE T , ( )); pms 1 eprouvette de flexion avec fissure latérale ("S. 1 Ed p mg e ge crack Bend spec1men" SE(B)) · l" tension ("Corn t 11 · . ' ' puis eprouvette compacte en pac ens!On specimen", C(T)) avec toujours la condition: a, W - a, B ;::: 2, 5
(~~cr
Fig.III.9- Types principaux d'enregistrements charge-déplacement selon l'ASTM (1983).
(exercice III. 7) Les trois conditions sur la géométrie énoncées ci-dessus peuvent s'expliquer de la façon suivante, en considérant en particulier la taille de la zone plastique confinée qui doit perturber au minimum la solution élastique extérieure qui est décrite par le FIC: -Pour la longueur de la fissure, si l'on se réfère au critère possible de rupture qui est l'obtention d'une valeur critique pour la contrainte normale à travers le plan de fissure et en avant de son fond, il faut que cette contrainte varie peu d'un type d'éprouvette à un autre. Or Wilson [18) a calculé cette contrainte par la méthode des éléments finis pour différents types d'éprouvette et le résultat est présenté sur la figure III.lO sous la forme adimensionnelle de la variation de l'écart relatif de la contrainte trouvée à la contrainte de la solution asymptotique en fonction de la distance ramenée à la longueur de la fissure. Ainsi l'on voit qu'à la distance r /a = 0, 02 correspondant à la condition énoncée ci-dessus avec r = r 0 l'écart
72
D. Miannay
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
relatif maximal entr~ les différentes éprouvettes est de l'ordre de 8 %. Si, en plus, la rupture ~e produit dans la zone plastique, comme il sera vu ultérieurement, o~ p~ut estimer que le rayon de la zone plastique en déformation plane au sens d llwm au moment de la rupture doit être inférieur à cette dimension, soit :
1(Kic)
67r
-;;:;;-
plastique obéissant au critère de plasticité et aux lois d'écoulement de Von Mises montrent qu'à la condition limite les zones plastiques ont des dimensions du même ordre de grandeur que celle de l'approximation d'Irwin (Fig. 111.11)
2 ::;
73
CC
0, 002a
DEC
a
a
2(,!12,n
d'où
1;œj~ B
~w
P/~
1li CT
cr 100
yK
cr
cr y
50 y 40
•
SSV
1
P,
1
30 20 y/(K -10 -20
r/a
Poj
0,20 0,10
cr 100
-
xK cr x
0
cr x
-0.10
40
0
0,10
x/(K JcroY
30
Fig.III.ll -Tailles des zones plastiques dans les éprouvettes normalisées, à la limite d'acceptabilité de la norme (d'après Larsson et Carlsson (1977)). ·
20
-10 -20
"---'-----=...:.___ __j
Fig.lll: 10 - Ecart rel~tif des contr~intes s'exerçant à travers le plan de la fissure aux contramtes de la solution asymptotique en fonction de la distance relative au fond de fissure (d'après Wilson (1965)).
Si l'?n considère de façon plus précise l'étendue des zones plastiques réelles dans
~e~ eprouvet!es, les _calculs ?e Larsson et de Carlsson [19] par la méthode des elements fims en deformatiOn plane pour un matériau élastique-parfaitement
-pour l'épaisseur de l'éprouvette, si l'on considère ce qui se passe au voisinage du fond de fissure et au voisinage de son plan (Fig. 111.12), on constaté que les lèvres de la fissure qui ne sont pas sollicitées car étant des surfaces libres tendent à ne pas se déformer, que dans la zone plastique le matériau tend à se contracter avec un rapport de contraction de 0,5 et que dans la singularité élastique adjacente la contraction tend à se produire avec un coefficient de Poisson de 0,3. Donc, vers la mi-épaisseur en fond de fissure, l'état de déformation sera un état plan avec des profils de contrainte comme schématisés sur la figure 111.12: la contrainte u,, est nulle en surface du fait de l'émoussement etla contrainte u •• est la moyenne des deux autres contraintes principales. La force d'extension de fissure au moment de la rupture devient indépendante
74
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
D. Miannay Contrainte plane Mode 1
75
données respectivement par les expressions suivantes : 1
Déformation plane Mode 1
1f(j-1
a
5
cos-2 Œo
et 2W 1ra
~
) _ 1] sin [ .Arcsin ( cos-2 Œo
TTTTTTT~cr~ TTTTTTT
lllllllld lllllll Fig.III.12 - Représentation schématique de l'état de déformation plane au voisinage du fond de la fissure traversante dans une plaque, avec sa zone plastique, sollicitée en mode I, et de l'état de contrainte dans le plan de la fissure.
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr 2 w
de l'épaisseur si la rupture se produit pour un état prépondérant de déformation plane. Comme la dimension de la zone plastique de contrainte plane au sens d'Irwin qui existe sur les faces de l'éprouvette est de l'ordre de 1/7r (K1c/Œo) 2 , et cette zone singulière fait sentir son effet sur une distance de l'ordre de deux fois sa dimension selon le principe de St-Venant, soit ici 6 fois la dimension de la zone plastique de déformation plane, on en conclut qu'à la condition exigée correspond une occupation de plus de la moitié de l'ép
2 w
lllllllllllllllllllllllllllllllllllll Fig.III.13 ~ Réseau colinéaire de fissures traversantes en configuration de Inglis (d'après Smith (1965)).
On constate ainsi que pour les valeurs normalisées RD = 0,04 a et a = 0,5 W, on a: RDc = 1,05 RD. La modification reste donc très faible pour ces valeurs. Il n'en serait pas de même pour des niveaux de contrainte supérieurs. (exercice III.8) En outre, dans la norme une méthode de dépouillement est proposée pour s'assurer que le comportement de l'éprouvette au cours du chargement monotone jusqu'à la rupture reste globalement élastique (Fig. III.8), c'est-à-dire que la
76
D. Miannay
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
rupture est du type fragï b . . 1 , I e ou ruta, car se prodmsant avec peu de déformatr'on remanente. Ainsi,
Bibliographie
~~ écart à la linéarité va être attribué à une propagation de la fissure
~~;~~~a~:~~~~ ~~~%e~~a%~~~it~~: ~~j~ ~:!t~~~~c1~é: décrite par la correction de b.. a -::;0,02 ao ao étant la longueur initiale de la fissure. En outre la "compliance" d l', est caractérisée par une expression de la forme : e eprouvette
E;v =g(;) avec V le déplacement du point d'application de 1 h , proportionnelle selon la méthode de mesure Auss' a c arge Phou une methode . 1 pour une c arge don ' · sera Po, on a, en considérant que l'accroissement de longueur permis reste~:~bf:;
EB(Vp+ b.. V)= g (:)
+ g'
(:)
o,:aa
d'où:
a (ao))
(V+ b.. V) V ( g' p, · = - 1+0,02--.!!. __w_
o
Po
w 9 (:)
, rComme , (1 aa/w est .de l'ordre de 0,5, on constate que pour les eprouvettes normarsees es expressiOnS du FIC sont données dans l'annexe II, chapitre II), on a :
(V+ b.. V) ~ V p, = P.-(1 0
0
+ 0, 05).
(exercice 111.9) D' ' 1
77
'h
:~I0s~:i::~~:-~~p~=~eo~~~~~~~t s~~a~t~:~rr!s~~~~a~: ;·~~i;i~:m~~a~sear;;~~
obtenir la valeU:. ~~r;ap~o~~ a lai complmsan~e initiale p~rement élastique pour R 0· e e va eur est ensmte comparee à la charge rn · 1 ~.o~~ laquelle la rupture brutale s'est produite. Si PM est inférieur à 1 ~m.a,: p as rcrte entre Po et A-! est acceptée et l'o.n prend d f .' o, e açon conservatOire:
r
Krc =Kr (Po). (exercice Ill.lO).
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78
D. Miannay
CHAPITRE III- CORRECTION DE PLASTICITÉ
Exercices III.l. Une autre formulation du principe de Neuber est la suivante : "Dans une discontinuité le produit de la contrainte par la déformation est une constante indépendante de la loi de comportement du matériau." Montrer qu'il y a équivalence entre cette formulation et la formulation en terme de facteurs de concentration de contrainte et de déformations. III.2. Pour une fissure dans la configuration de Inglis, une seule correction de plasticité sur la longueur est appliquée ou bien une suite de ·corrections est appliquée. Donner l'écriture du FIC en contrainte plane et en déformation plane. III.3. Pour une fissure dans la configuration de Inglis, et en appliquant la correc- · tion de zone plastique d'Irwin, jusqu'à quelle distance le FIC sans et le FIC avec correction diffèrent de plus de 10 % ? De plus de 1 % ? III.4. Fatigue élastique. Soit un matériau dont la loi de comportement est élastique-parfaitement élastique (sans consolidation) et soit une structure fissurée constituée de ce matériau. Cette structure est sollicitée cycliquement, le paramètre de chargement étant représenté par le facteur d'intensité de contrainte KJ. Le cycle considéré est représenté sur la figure ci-dessous. On suppose que le modèle de plasticité confinée d'Irwin s'applique. Décrivez les zones plastiques et la contrainte d'ouverture ayy(r,B = 0) aux trois stades de sollicitation 0, 1 et 2 repérés sur la figure.
Que se passe-t-il si l'on soumet ensuite le corps fissuré à une compression ?
.
.
III.S. Pour une fissure dans la configuration de Inglis, étudier la variation de K 1 en fonction de a/ a0 selon les modèles d'Irwin et de Dugdale-Barenblatt. III.6. Préchargement à chaud. Le préchargement à chaud est un phénomène qui améliore apparemment la résistance à la rupture d'une structure, les effets les. plus prononcés étant démontrés dans les aciers femtiques qui présentent une transition de ténacité en température. Un procédé typique de préchargement à chaud consiste à précontraindre une structure fissurée à une température élevée, généralement à une température du plateau supérieur, puis à la décharger et à la refroidir à une température inférieure à la température de transition. On constate alors que le niveau de ténacité apparente à basse température a été augmenté, pourvu que la précontrainte ait été faite à un niveau de FIC supérieur
79
à celui correspondant à la ténacité normale de la structure à basse température. Expliquer. III.7. Etudier la variation du volume des éprouvettes normalisées et de la charge nécessaires pour déterminer la ténacité de matériaux dont la ténacité varie entre 0 et 100 MPay'iÏÏ. III.8. Comparer les dimensions des zones plastiques dans la configuration de Inglis d'une fissure unique et d'une fissure colinéaire pour différents nivéaux relatifs de contrainte. Quel est i'incidence sur la valeur du FIC ? III.9. Calculer pour les différentes éprouvettes normalisées la diminutio~ de complaisance qui permet de définir le tracé de la sécante. Ce calcul est à faire pour différentes longueurs relatives de fissure. Une représentation graphique sera donnée. III. lü. Dans les éprouvettes de mesure de la ténacité· J1c telles qu'elles seront décrites au chapitre VII, des entailles sur les faces latérales dans un plan représentant le plan normal de la rupture peuvent être usinées pour guider la fissure et pour créer un état de déformation plane tout le long du front de fissure. Ainsi, la largeur de l'éprouvette qui est égale à B au point courant est égale à BN dans le plan de rupture. Donner l'expression générale du facteur d'intensité de contrainte pour ces éprouvettes, sachant que l'expression générale pour une éprouvette non entaillée latéralement est par exemple K1 = (P/BW 112 ) f(a/W).
CHAPITRE IV
Traitement élastique linéaire de la rupture Le risque de rupture brutale Pour évaluer le risque de rupture brutale d'une structure ou d'un composant pouvant être fissuré, une première approche due à Pellini reposait sur la considération de l'énergie mécanique nécessaire pour rompre des éprouvettes ou des structures représentatives. Cette approche n'est pas rappelée ici, bien qu'elle soit très intéressante car très illustratrice du comportement réel. La deuxième approche qui est celle de la mécanique appliquée à la rupture permet de quantifier le risque de rupture. Pour ce"la, elle prend en compte trois aspects : -la ténacité du matériau, c'est-à-dire sa capacité de résistance à la ruptur~ brutale en présence d'une fissure. Ce domaine de connaissance est du ressort de l'homme des matériaux ; -le défaut, c'est-à-dire sa présence, sa localisation et son orientation, sa nature et sa taille. Ce domaine de connaissance est du ressort de l'homme des contrôles non destructifs ; - les sollicitations mécaniques, qu'elles soient d'origine·externe ou interne. Ce domaine de connaissance est pris en compte par l'homme du bureau d'études. Ces trois aspects sont traités successivement ci-dessous. Le risque de rupture différée par corrosion sous contrainte, par fatigue ou par fluage est évoqué mais non traité. 1.
La ténacité
Pour donner une première appréciation de l'ordre de grandeur de la ténacité des matériaux métalliques, la variation de la ténacité avec la charge maximale en traction à la température ambiante pour des alliages d'aluminium et de titane et pour des aciers est représentée sur la figureiV.l [1]. On constate que la ténacité décroît lorsque la résistance mécanique augmente. Ainsi, les matériaux peuvent être classés en trois catégories selon le rapport de la limite d'élasticité au module
82
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
D. Miannay
d'Young: - les matériaux à haute résistaqce lorsque
u0 /E
> 1/150
- les matériaux à moyenne résistance lorsque 1/300
< uo/E < 1/150
-les matériaux à f··ihk rPsistance lorsque
uo/E < 1/300 al K
IC
100
,MPaVm
b/
2
,mm
1000 contrainte maximale cr ,MPa M
2000
c/
,mm
Fig.IV.l - Comparaison de la ténacité de différents alliages métalliques à la température ambiante : a) variation de la ténacité avec la contrainte maximale ; b) variation de la ténacité rapportée à la contrainte de service ; c) variation de la ténacité rapportée à la contrainte de service et au poids d'une structure en acier (d'après Tiffany et Masters (1965)).
J
83
Les variations de la ténacité avec la température et avec d'autres variables struèturales seront décrites plus en détail au chapitre VIII. Ici la variation de la ténacité avec l'épaisseur de la plaque fissurée est plus particulièrement étudiée. Cette variation est représentée sur la figure IV.2 [2, 3). Au chapitre III, les champs de contrainte et de déformation au voisinage d'une fissure dans le cas de la plasticité confinée limitée et d'un matériau élastiqueparfaitement plastique ont été décrits par la solution élastique singulière, décrite par .K~o d'une fissure dont la longueur est corrigée d'une surlongueur égale approximativement à la moitié de la dimension de la zone plastique et par la solution plastique à l'intérieur de la solution élastique. Deux types de zone plastique ont été présentés : le premier type est celui dit de défonnation plane qui est introduit par Irwin, ce type dégénérant en zone de contrainte plane là où la fissure coupe la surface libre qui n'est pas sollicitée ; le deuxième type est celui dit de contrainte plane qui est introduit par Dugdale et Barenblatt. Le premier type est donc, comme il a déjà été dit, propre aux plaques fissurées épaisses en traction dans lesquelles la contraction transversale èn élasticité qui est inférieure à la contraction transversale en plasticité introduit un état de déformation plane. Le deuxième type est propre aux plaques minces dans lesquelles les effets de surface libre se font sentir à travers l'épaisseur. Ces deux types sont illustrés sur la figure IV.3 [4]. Le premier type est caractérisé par des glissements dans des plans passant par le front de fissure et inclinés sur le plan de fissure. Le deuxième type est caractérisé par des glissements dans des plans passant par l'axe Ox perpendiculaire au front de fissure et inclinés de 45° sur le plan de fissure, ces plans étant ceux sur lesquels la cission est maximale en contrainte plane. Dans ce dernier cas on retrouve la zone de Dugdale-Barenblatt au centre de l'éprouvette. De telles zones sont effectivement observées au cours d'examens métallographiques en surface et sur des coupes avec utilisations de réactifs chimiques ou thermiques révélant les différents degrés d'écrouissage. Lorsque la consolidation du matériau est prise en compte, ce phénomène a pour effet, d'une part de diminuer les tailles de zone plastique en augmentantJa limite d'écoulement plastique ur du matériau rigide-plastique équivalent par rapport à la limite d'élasticité u 0 (voir l'introduction du chapitre VI), et d'autre part de rendre plus diffuse ces zones puisque l'écrouissage d'un endroit est limité par la nécessité d'avoir un écrouissage dans l'endroit équivalent adjacent. Lorsqu'une fissure de Inglis soumise à une traction à l'infini conduit à la rupture, la propagation commence dans le plan de cette fissure, mais elle se poursuit au cours d'un régime permanent, soit dans un plan incliné lors de la rupture en biseau ("slant or oblique· fracture") des plaques minces soit dans le plan de la fissure initiale avec des lèvrés de cisaillement près des surfaces libres de la plaque, comme il est schématisé sur la figure IV.2 [2, 3). Dans le cas des plaques minces, pour les fissures de longueur assez importante un flambage transversal de la plaque se produit au niveau de la fissure sous l'effet des contraintes de compression parallèles à la fissure. Ce flambage donne sur la fissure inclinée une composante d'ouverture qui s'ajoute à la composante d'ouverture de la sollicitation extérieure. Dans le cas d'un matériau sans consoli-
84
D. Miannay
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
Ge -2 daJ.cm
100
Gtv,2
f
2:lv
/
(
/
1.
1
G
./. /
IC
0
% rupture plane
u
f
1
·coupeA'A'
A'
A
1 1
r==
1
1
R A'
0
10
0 2
coupeAA
85
b. mm
P/BWt P/BWli P/BWL v trace du plao_d~ ~ la fissure initiale 1~
r:IJ -
v
v
QB
biseau biseau enV
lOO x.
plane
%plane
-6 ....__
"'
préfissure
Fig.IV.2 - Variation avec l'épaisseur : - de la ténacité et de l'apparence de la rupture ; des courbes charge-déplacement; -des modes de propagation du front de fissure au cours de la rupture ; -des courbes de chargement et de résistance à la propagation. Ces données sont typiques d'un alliage d'aluminium 7075-T6 avec ao = 500 MPa (d'après Irwin et al. (1958) et Srawley et Brown (1965)).
Type rotule
type cisaillement à 45°
Fig.IV.3 - Schémas du type de déformation associé aux zones plastiques de type rotule et de type cisaillement à 45° (d'après Hahn et Rosenfield (1965)). dation la rupture se produit dans une bande étroite de cisaillement inclinée à 45° (Fig. IVA). Dans le cas d'un matériau avec consolidation, la rupture est précédée d'une striction transversale à la plaque. Dans cette zone, la ténacité à rupture augmente avec l'épaisseur de la plaque (Fig. IV.2). Dans le cas des plaque~ épaisses, la surface de rupture est essentiellement plane et la ténacité diminue avec l'épaisseur de la plaque pour atteindre une valeur constante lorsque la déformation est essentiellement de déformation plane. La variation de la ténacité avec l'épaisseur de la plaque peut être expliquée à l'aide des courbes de résistance à la propagation K - R qui ont été introduites par Krafft et al. [5] et par Srawley et Brown [2]. 1.1
LES COURBES DE RÉSISTANCE À LA PROPAGATION
Au départ il n'est pas fait de différence entre les ruptures de clivage pour lesquelles les énergies mises en jeu sont faibles et les ruptures ductiles pour lesquelles les énergies sont plus importantes. En outre, une observation expérimentale préalable est que, quelque soit le chemin de propagation, le front de propagation n'est pas contenu dans un plan perpendiculaire aux faces de la plaque mais qu'un "effet tunnel" ("tunneling") se produit, le front de propagation étant plus avancé au centre de la plaque et retardé sur les faces libres de la plaque comme illustré sur la figure IV.2. Krafft et al. [5] considèrent, dans le cas de la rupture mixte, plfne et oblique du régime permanent de propagation, l'énergie de rupture le = G1c par unité de surface liée à la séparation des plans et correspondant à la ténacité dans les éprouvettes où les lèvres de cisaillement sont négligeables, et l'énergie de déformation plastique /P par unité de volume. Cette énergie est supposée
86
D. Miannay
0/
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
b/
/
Fig.!V.4- Modes d~ rupt?r~ da,!ls une plaque très mince. a) Rupture en mode III par CISaillement de plans mchnes a 45 ; un flambage et un minimum d'ouverture sont associés. b) Rupture par striction. négligeable pour la rupture plane interne et uniforme dans les zones plastiques de surface délimitées par les deux plans inclinés à 45° sur le plan de fissure. ~énergie par unité de surface nécessaire à la propagation, Ge, s'écrit donc : Ge= X"'fe
+ (1- x/2) 2 B'YP·
Cette expression représente correctement les résultats données sur la figure IV.2, en prenant comme valeur de 'Ye = G1c et de 'YP les valeurs expérimentales G 1e et GM/ B, GM étant la valeur au maximum. Cette valeur représente la valeur du régime permanent. Avant d'atteindre ce régime il existe un régime transitoire au cours duquel la proportion de rupture oblique va augmenter à partir de la valeur O. La ténacité augmente donc à partir d'un palier correspondant à la valeur G 1c et d'étendue augmentant avec l'épaisseur. Le taux de croissance est indépendant de l'épaisseur lorsque la rupture est uniquement par cisaillement et diminue lorsque l'épaisseur croît dans le cas de la rupture mixte. Cette évolution est schématisée sur la figure IV.2. La ténacité critique mesurée correspond à l'instabilité dans la propagation lorsque la variation d'énergie fournie par incrément d'extension est supérieure à la variation d'énergie nécessaire à cette extension, soit :
87
Pratiquement, les courbes de résistance sont déterminées expérimentalement. La norme ASTM E 561-86 [6] donne des recommandations pour la conduite et le dépouillement des essais. Trois types d'éprouvettes peuvent être utilisés, le panneau à fissure centrale en traction, l'éprouvette compacte en traction et l'éprouvette compacte avec chargement latéral par enfoncement de coin. ~ordre d'énumération des éprouvettes correspond à l'ordre croissant de stabilité de la propagation liée au degré de contrôle de la sollicitation par la déformation, donc à la possibilité croissante d'explorer des extensions importantes. ~épaisseur de l'éprouvette est celle qui est considérée pratiquement dans l'application car la ténacité qui est obtenue dépend non seulement du matériau mais également . de l'épaisseur. Les dimensions dans le plan de l'éprouvette sont telles que la solution élastique avec correction de zone plastique existe. Deux longueurs de fissure sont considérées au cours de la propagation : d'une part la longueur de la fissure physique, a, ou longueur de la fissure s'il n'y avait pas de plasticité, cette longueur pouvant être déterminée par exemple visuellement sur une face de l'éprouvette; à cette longueur est rattachée la valeur K1 = K1(a, P); d'autre part la longueur de la fissure efficace, aeff ou longueur de la fissure corrigée de la plasticité, cette longueur pouvant être déterminée de deux façons différentes, soit en utilisant dans le calcul la correction de plasticité d'Irwin de contrainte plane, soit en utilisant expérimentalement la méthode de la sécante selon laquelle la longueur est déduite de la formule de la complaisance élastique à l'aide de la complaisance obtenue en divisant le déplacement total par la charge ; à cette longUeur est rattachée la valeur K 1eff = K1 (aetf, P). La norme recommande de présenter le résultat sous la forme de la courbe K1 eff fonction de 8aeff· En fait, la représentation qui serait à adopter pour être en accord avec les courbes qui seront présentées ultérieurement aux chapitres VII et VIII serait celle de la courbe K1 eff fonction de 8a. (exercice IV.l).
1.2
LA CORRECTION DE CONTRAINTE PLANE
Dans le domaine de la rupture mixte, Irwin [7] a proposé une méthode empirique pour la détermination de la ténacité Kle· La correction d'Irwin est d'abord appliquée en calculant f3e à partir des données expérimentales et ensuite en résolvant l'équation empirique suivante pour f31e lorsque f3c ::; 21r :
où:
88
D. Miannay
et
Klc)
(3le= ( - ; ;
2
/B
s,~nt .des paramèt_res proportionnels aux rapports des zones plastiques sur 1 epaisseur respectivement en contrainte plane et en déformation plane.
LB: valeur ajustée de la ténacité en déformation plane est alors calculée de la façon SUIVante:
1.3
LE CARACTÈRE STATISTIQUE DE LA TÉNACITÉ
La tép.acité possède un caractère statistique : les valeurs obtenues après dépouillement d'essais effectués dans le même matériau, même plaque, même mode de prélèvement, avec la même géométrie d'éprouvette et avec la même méthodologie présentent une dispersion plus ou moins grande selon certaines conditions d'essais, telle que la température d'essai, et selon l'origine de la plaque. Une partie de cette dispersion peut être attribuée à une hétérogénéité de structure entre les différents lieux de prélèvement; mais la principale contribution provient du mécanisme même de rupture. Cet aspect est développé au chapitre VIII. II.
Le défaut
11.1
LA NATURE DES DÉFAUTS
Les ?éf~uts s?nt de deux types : les défauts dits volumiques caractérisés P?r tro~s dimensiOns dans l'espace et les défauts plans caractérisés par deux d~men~10ns d_ans le plan. Ces derniers sont, soit des entailles avec un rayon à fond d entaille, smt des fissures, celles-ci constituant les défauts les plus dangereux et étant plus particulièrement considérées ici. ~origine des défauts dans les composants ou structures est de trois sortes : - ils existent dans les pièces élémentaires telles que les tôles laminées, les viroles. Ce sont les défauts d'élaboration, de mise en forme et d'usinage tels que criques de laminage, délaminations, stries d'usinage, etc. ; - ils sont introduits ~u cours de l'assemblage, soit volontairement, ce sont par exemple les pas de vis, les ouvertures, les piquages, etc. ; soit involontairement, ce sont par exemple les défauts de soudage tels que collages, retassures, manques de pénétration, etc. - ils apparaissent en service. Ce sont les fissures de fatigue s'amorçant préférentiellement dans les congés de raccordement, les fissures de corrosion sous contrainte se développant à partir de piqûres d'attaque apparues de façon aléatoire, etc.
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
89
Une fissure est caractérisée par sa localisation ("location") dans le composant (à l'interface métal fondu-zone affectée par la chaleur, fissure de surface ou fissure interne à telle distance sous la surface, etc.), par son orientation avec une référence spéciale aux directions des sollicitations mécaniques, et par sa forme et ses dimensions. Sur la figure IV.S [8] sont représentées des fissures de surface et des fissures internes de différentes formes et de différentes dimensions, soumises à une tension perpendiculaire à l'infini identique et présentant la même nocivité à l'égard de la rupture brutale, c'est-à-dire la même valeur de K 1 maximal. Dans le cas de fissures groupées multiples, les interactions entre fissures interviennent, l'amplitude de cette interaction pouvant être représentée par le coefficient d'amplification du FIC ("stress intensity magnification ratio") dépendant de la taille des défauts individuels et de leur distance. Cet aspect est illustré sur les figures IV.S et IV. 6 [1, 8]. Pour deux fissures semi-elliptiques en vis-à-vis, l'interaction reste faible, même lorsque les deux fissures sont très proches l'une de l'autre. Il en est de même pour deux fissures semi-elliptiques colinéaires [9]. Dans le cas de deux fissures dont la nocivité est identique à celle des fissures individuelles précédemment présentées figure IV.S, la rupture peut se produire dans le ligament entre les deux fissures et ensuite la fissure résultante peut conduire à la rupture finale. Ainsi, la capacité de résolution entre défauts individuels sera l'une des caractéristiques importantes des méthodes de :.:ontrôle non destructifs mises en jeu pour l'évaluation de la nocivité des défauts.
~s~.
v~ S=20' 0=5,2
()() S=O, 0=4,4 ~critique pour ~e
CID r:QQ) FISSURES INTERNES
al fissure isolée
rupture possible
arrêt possible
b/ deux fissures
Fig.IV.S - Géométries équivalentes pour une fissure isolée et pour deux fissures (d'après Payne (1965)).
Une autre caractéristique du contrôle sera de pouvoir détecter et analyser des fissures développées en fatigue qui sont en compression et ne sont pas ouvertes
90
D. Miannay
coefficient d'amplificatio 2,0
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
~écart-type
91
est donné par:
a/2c=0,
utN = [exp (u 2 + 21L)] [exp u 2 -1] .. Comme ordre de grandeur, les valeurs suivantes peuvent être considérées comme réalistes : N = 1 défaut/m 3· et, si dans 84 % des cas le nombre de fissures par unité de volume est inférieur à 100/m3 , d'après la loi normale exp(IL + u) = 100, d'où IL = u 2 = 2, 902 et u = 1, 7035, ces valeurs étant exprimées dans un système d'unités cohérent. Cette fonction de distribution est représentée sur la figure IV.7.
0,1
S/0
fréquence
Fig.IV.6- Facteur d'amplification de deux fissures semi-elliptiques de surface (d'après Tiffany et Masters (1965)). ·
1
comme il a été indiqué au chapitre III. Dans un tel cas, le contrôle non destructif sur la structure mise sous une tension faible peut être envisagé. Pour un type de constituant donné, les défauts possibles ou probables sont connus, soit par ce qu'ils ont provoqué des ruptures et qu'ils ont été caractérisés par la suite, soit qu'ils ont été décelés et caractérisés au cours d'examens non destructifs et/ou d'examens destructifs. Ainsi, dans les réservoirs chaudronnés soudés en acier, des lois de distribution pour les densités de défauts et les tailles de défauts dans les soudures de fabrication sont proposées. On peut ains{ écrire par exemple :
1 0 20
10
0
nombre de fissures par unité de volume, N.m
-3
Fig.IV.7 - Fonction de distribution du nombre de fissures par unité de volume.
-Nombre de défauts par unité de volume :
Soit N le nombre de défauts de longueur quelconque par unité de volume. N suit une loi Log-normale Ln(IL, u) de paramètres IL et u dont la fonction de distribution s'écrit : f(N) dN =
~exp
uv 271" N
[--1-(ln N 2u 2
Le mode (la valeur la plus probable) est :
-~L) 2 ]
-Longueurs (ou profondeurs) de défauts :
Soit a la longueur ou profondeur de défauts. a suit une loi exponentielle dont la fonction de distribution s'écrit par exemple : g(a) da= 0,1614 exp( -0,1614 a) da,
dN.
avec a exprimé en mm.
Cette fonction de distribution est représentée sur la figure IV.8. Ces distributions sont celles qui existent juste après la fabrication et avant le contrôle non destructif qui précède la mise en service. 11.2
LE CONTRÔLE NON DESTRUCTIF
La valeur moyenne est : Les défauts de fabrication peuvent être détectés et dimensionnés par différentes méthodes de contrôle non destructif qui peuvent être classées très schématiquement de la façon suivante : - détection en général : émission acoustique au cours de l'épreuve.
92
D. Miannay
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
III.
g(a)
B(a)tj oog(a) B(a) da 0
0,2
g(a)
0.1
0
0
10
20 a .. mm
Fjg.IV.~ - Fonctions. de distribution de la taille des fissures après fabrication et après reparation et proportion de fissures restantes après réparation. ·
- con~rôles ~urfaciques : examen visuel, ressuage, courants de Foucault, magnetoscopie. . -contrôles volumiques: courants de Foucault, rayonnements ionisants (radiographie X. et gamma), ultrasons. Les méth?~~s son: car?ctérisées p_ar un seuil de détection au-dessous duquel la pr_o?abihte de dete?tl?n e~t ~ratlquement nulle, par leur exactitude, par leur precision et par leur repetabilite. Soit B(a) la probabilité de non détection des défauts au cours de l'inspection avant mise en service. B(a) s'écrit par exemple: B(a) = 0, 005 + 0, 995 exp ( -0,113 a),
avec a en mm.
Cette probabilité dépend de l'opérateur, de. l'appareillage et des spécifications techniques. Si to~s les défauts ~étectés so~t réparés, la fonction de distribution des longueurs de defauts avant mise en service est donnée par : h(a) da=
:;_,(a) B(a) da fo g(a) B(a) da·
(Pour un récipient d'épaisseur t, cette fonction de distribution s'écrit: h(a) da= g(a) B(a) da
J,0t g(a) B(a) .da ). Cette fonction est représentée sur la figure IV.8.
93
Les sollicitations mécaniques
Une structure est destinée à résister à un certain nombre de sollicitations mécaniques qui sont de nature statique, ce sont les sollicitations permanentes comme la pression pour un réservoir ; de nature cyclique comme les vidanges et les remplissages ; ou des agressions comme des chocs, des séismes, etc. Aux états de contrainte résultants de ces sollicitations vont se superposer les contraintes résiduelles de fabrication telles qu'elles existent dans les soudures incomplètement détensionnées, etc. Les sollicitations de natures statique et cyclique sont relativement bien connues, bien que les valeurs déc!uites du calcul puissent être erronées si, par exemple, l'épaisseur de réalisation n'est pas égale à l'épaisseur nominale ou de conception. Les niveaux d'agression sont généralement plus mal connus et un risque admissible particulier est associé à ces situations ou événements. Quant aux contraintes résiduelles, il en est parfois tenu compte, par exemple pour les soudures au travers d'un coefficient de soudure ; mais très souvent, elles sont-négligées ou oubliées au stade de la conception. Les méthodes· de calcul par les fonctions de poids et par les fonctions de Green sont particulièrement bien adaptées à la détermination des facteurs d'intensité de contrainte correspondant aux contraintes résiduelles. Puis, compte tenu du principe de superposition en élasticité, le facteur d'intensité de contrainte correspondant · est additionné au facteur d'intensité de contrainte correspondant aux contraintes extérieures appliquées. En outre, l'occurrence des situations ou événements peut posséder un caractère aléatoire et le niveau de sollicitation peut avoir un caractère probabiliste pour une structure, plus un caractère statistique pour une série de structures identiques.
IV.
Exemple d'application : les capacités sous pression
Les capacités sous pression sont constituées par exemple par les réservoirs de stockage de gaz et par les canalisations de distribution. Le chargement principal est constitué par la pression interne. A cette sollicitation pourront se superposer des sollicitations de type accidentels tels que des chocs, des pliages par arrachement, des phénomènes de dilatation empêchés par la présence d'ancrage, . etc. Pour de telles structures, la première étape est de sélectionner le matériau en fonction des caractéristiques d'emploi liées à la résistance mécanique, aux possibilités de détection de défauts pouvant entraîner la rupture brutale, et à des conditions particulières à certaines applications, comme c'est le cas pour des réservoirs de comburants dans l'industrie aérospatiale, où le critère de légèreté est prépondérant. Lorsque le contrôle non destructif n'est pas suffisant, deux concepts ont été introduits pour les structures très fragiles : le concept du cycle d'épreuve et le concept de la fuite avant rupture.
IV.1
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
D. Miannay
94
SÉLECTION D'UN MATÉRIAU EN FONCfiON DU CONTRÔLE NON DESTRUC TIF
Pour une fissure elliptique de surface de profondeur ou hauteur a et soumise à une. contrainte d'ouverture à l'infini u, le facteur d'intensité de contrainte est donné par:
contrainte crM appliquée ',
,o
(acr/Qcr )ser
= (1/1, 217r) (KJc/User )2 .
Donc (K~c/ uM) 2 représente la taille de la fissure critique et d'après la figure IV.1, les aciers représentent encore le meilleur choix mais leur avantage n'est plus aussi important que dans la première étape. Dans la troisième étape, le poids est par exemple considéré. Dans ce cas, pour un même poids, les aciers et les alliages d'aluminium sont équivalents et les alliages de titane sont meilleurs comme le montre la figure IV.1 sur laquelle la contrainte équivalente à l'acier vaut pour chaque alliage UM (Pacier/ Palliage} , p étant la masse volumique.
(a/0)!
Fig.IV.9 - Signification du. cycle d'épreuve dans l'estimation de la vie minimale d'un réservoir (d'après Tiffany et Masters (1965)). (acr/Qcr )••, - (a;/Q;)ser = (1 - 1/a2) (acr/Qcr )••,. Cette propagation peut s'effectuer en corrosion sous contrainte sous sollicitation constante, en fatigue sous sollicitation cyclique ou en fatigue-corrosion. Si par exemple la propagation s'effectue en fatigue entre 0 et User selon une cinétique connue décrite par la loi de Paris:
dajdN
=C
(.6.KI)n
~ C Kï = C ( 1, luser~) n = C' u~,an/ 2
avec l'hypothèse simplificatrice ici que le facteur de forme reste constant au cours de la propagation, le nombre de cycles admissible est donné par la relation : N
=la"
da = _ l_ _ _ l_,al-n/21a" C' Useran/2 1 - n/2 C' u~, a;
u~, [
___ 1 _ _1_ _._1_ Klc - 1- n/2 C' Q ( 1, 217r) (User)
2]
l-n/2 [
l _
· ] 1 (1- lfa2)l-n/ 2
Cette équation fournit la courbe de résistance à la propagation en fonction du nombre de cycles de la figure IV.9. IV.3
Si donc au co).lrs de l'épreuve la rupture ne se produit pas, c'est que la taille maximale des défauts pouvant exister avant la mise en service est égale à (a;/ Q;) ser = (acrf Q cr) epr . La propagation admissible en service est donc égale à
vie cyclique ,N
taille de fissure ,a/0
CONCEPT DU CYCLE D'ÉPREUVE
Dans le cas de structures qui peuvent être sollicitées avant la mise en service, si préalablement à cette mise en service, à l'instant initial, un cycle d'épreuve est effectué à un niveau de sollicitation égal à a fois la sollicitation de service (voir Fig. IV.9) [1 ], la taille du défaut critique entraînant la rupture au cours de ce cycle est donnée par :
l(a/0 1
a;
IV.2
résistance du réservoir
:~~~~~:~~::~ -~--
":
K, = 1, luj1rajQ, Q étant le paramètre de forme de la fissure donné au chapitre III. u èst prise égale ici à la contrainte de service User s'exerçant perpendiculairement au plan de la fissure. Cette contrainte est prise à la conception comme une fraction fixée de la limite d'élasticité ou de la contrainte maximale UM, cette fraction étant la plus élevée possible pour profiter au maximum de la résistance du matériau et étant choisie inférieure à 1 pour tenir compte des discontinuités géométriques macroscopiques. On choisira donc en première approche un matériau très résistant et de bonne ténacité, c'est-à-dire un acier d'après la figure IV.1 [1]. Dans une deuxième étape, si les fissures sont considérées, pour un matériau dont la ténacité est K1c, la taille du défaut critique entraînant la rupture brutale en service est donnée par :
95
CONCEP't DE LA FUITE AVANT RUPTURE
La figure IV.10 présente une fissure initiale de surface non traversante sur la paroi interne d'un réservoir sous pression. Sous l'effet de la fatigue et/ou de la corrosion sous contrainte, cette fissure peut se propager dans son plan dans le sens de l'épaisseur et dans le sens perpendiculaire, selon deux chemins tracés sur la figure pour a et c en supposant que la fissure conserve une forme elliptique.
96
D.Miannay
.Selon le chemin 1 la fissure se propage de façon stable à travers l'épaisseur, traverse la paroi et pour une certaine ouverture une fuite du contenu se produit et peut être décelée et la fonction du réservoir peut être arrêtée par l'opérateur. Selon le chemin 2 la rupture brutale se produit au sommet A du petit axe. La fissure se propage alors de façon instable à travers l'épaisseur. Elle devient traversante et alors la fuite du contenu du réservoir se produit et entraîne le déchargement mécanique du réservoir, ce qui peut permettre si le taux de fuite est suffisamment important l'arrêt de la propagation instable de la fissure dans le sens de l'épaisseur. Selon le chemin 3, la rupture brutale au sommet B du grand .axe intervient dès que la fissure a traversé le réservoir et la structure est alors totalement ruinée à moins que l'arrêt de la fissure ne se produise dans le sens de la paroi. IV.4
LE RISQUE DE RUPTURE BRUTALE
Pour juger si une structure est susceptible de se rompre de façon fragile, deux approches sont possibles : une approche déterministe et une approche probabiliste. En effet comme il a été vu ci-dessus, les sollicitations, les tailles de défauts et les caractéristiques des matériaux présentent un caractère aléatoire, que ce soit la ténacité ou les lois de propagation de fissure en fatigue et en corrosion sous contrainte. Selon l'approche déterministe, on introduit des majorants des grandeurs nominales dans le calcul. Selon l'approche probabiliste on conserve le caractère aléatoire, ce qui permet d'utiliser les compensations entre les différentes dispersions. Cette démarche est illustrée ci-dessous dans un exemple simple. Le métal considéré a une limite d'élasticité de 600 MPa et une ténacité K 1c de 100 MPaJiii avec la loi de distribution normale N(m = 100 MPaJffi, u = 10 MPaJffi) de moyenne met d'écart-type u. Ce matériau entre dans la constitution d'une structure qui est calculée pour travailler sous une contrainte égale aux 2/3 de la limite d'élasticité. En fait, on suppose qu'il existe une incertitude sur ce niveau et que cette incertitude obéit à la loi N(m = 400 MPa, u = 20 MPa). Par ailleurs la taille probable des défauts de surface allongés pouvant exister au moment de la mise en service obéit à la loi de distribution k(a)da = 0, 2744 exp ( -0,2744 a) da avec a en mm (c'est la loi de distribution des défauts après réparation telle qu'elle a été présentée précédemment) de moyenne et d'écart-type 3,64 mm. Il est supposé en outre que l'expression du facteur d'intensité de contrainte des défauts est K, = 1, 1uy?ffi. Dans l'approche déterministe, on considère d'une part des majorants raisonnables de la sollicitation u et de la taille des défauts, soit m + 2u, ce qui donnera un majorant raisonnable de la sollicitation K1. et d'autre part un minorant raisonnable de la résistance à la rupture K 1c, soit m- 2u. Ainsi on a à compare!' K 1 = 89,6 MPaJiii à K1c = 80 MPaJffi. Ainsi le risque de rupture brutale apparaît comme très probable. Selon l'approche probabiliste, la loi de distribution de K 1 est recherchée. Comme cette loi ne peut être trouvée simplement par l'analyse, on peut faire appel à une méthode numérique telle que la méthode de simulation de Monte-Carlo utilisable
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
97
t
1\ fuite avant rupture
:
brutale rupture brutale
ait fissure traversante
fissure non traversante rupture en A
3
2c/t
fissure de référence
contrainte appliquée
épretve
a. 1
1 rupture brutale
service 3 service 2
-----"kfJ:-
service 1
,_,:''c:J K 1 =K IS fuite avant rupture
L.___.W~___:!I,._---Y a. a a ' s r
,a/0
taille de fissure
Fig.IV.lO- Schéma du principe de la fuite avant rupture pour une fissure semi-elliptique de surface dans une capacité sous pression.
ici car les variables u et a sont indépendantes. Cette méthode est illustrée sur la figure IV.11. On construit un grand nombre de stru~tures co.mportant une fissure à partir des fonctions de distribution des deux vanables, smt par exemple
98
D. Miannay
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE 1
.----~-~="~.
fréquence
99
de K1 et de K1c et de tracer l'histogramme de distribution à deux variables qui sont "structure rompue" et "structure non rompue". Ou plus simplement, il suffit de faire le tirage des 100 000 structures caractérisées par la variable K 1 - Krc qui est, soit positive ou nulle, et alors la structure casse, soit négative, et la structure ne casse pas. On trouve un risque de rupture égal à 2 %, c'est-à-dire un risque très faible. (exercice IV.2).
0
0 20
LW.LLJ.-'-'-'""""""'"c.Lw'--L..U
0
10
taille du défaut, mm
0 '-"'"-.!.-'-.!-.!....L.L.l....!:::±d 340 400 contrainte normale, MPa
0,04 fréquence cûmulée
Le risque de rupture calculé est jugé plus ou moins acceptable selon l'aspect économique et selon l'aspect sûreté pour l'homme et pour l'environnement. Les facteurs de sûreté dans le cas de la rupture fragile permettent de quantifier plus précisément les risques de rupture. Ils sont traités au chapitre VIII. -----(exercice IV.3).
fréquence
Bibliographie 0,5
0,02
0 100
0 150
KIC'MP~ Fig._IY.l ~ - F?nct~ons de distribution et de répartition de la taille des défauts de la s~lhcttat~on mec?mque, du facteur d'intensité de contrainte et de la ténacité utilisé~s dans 1ev~luah?n du nsque de rupt~re brutale d'une structure. Les fonctions de distribution et de re~artttton de la tatlle de~ defauts, de la sollicitation mécanique et de la ténacité sont des donne;s. Les f?nctwns de ~tstnbutton et de répartition du facteur d'intensité de contrainte sont determmees par la methode de Monte-Carlo à l'aide de la relation K I -- 1 , 1ay1ra.
=
100 000 (ce_nombre est en fait à déterminer selon le degré de confiance que l'on ~tte?d du resultat);_En effet, par définition, les structures sont réparties de façon eqmprobable sur 1 mtervalle [0,1] de la fonction de distribution · il suffit donc d'effec_tuer, par une méthode appropriée, des tirages au hasard dan~ cet intervalle et de lire les valeurs correspondantes de la variable pour connaître la propriété de chac~ne d~s ~00 000 s~ructures. Pour les variables u et a qui donnent K 1 par un calcul d:tem:mJste, les tirages sont effectués de façon indépendante. Le résultat est represente sous forme d'un histogramme de distribution sur la figure IV.11. Le mode vau_t 3~ MPaJiTI,_la moyenne 41,75 MPaJiTI et l'écart-type 21,94 MPaJiTI. On en d~dmt la fonction de distribution de K 1• Pour connaître le risque de rupture, Il suffit d'effectuer la même opération avec les fonctions de distribution
(1 J Tiffany C.F. et Mast ers J.N., "Applied Fracture Mechanics", Fracture Toughness Testing and Its Applications, ASTM STP 381 (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1965) pp. 249~278. (2] Srawley J.E. et Brown WF. Jr., "Fracture Toughness Testing Methods", Fracture Toughness Testing and Its Applications, ASTM STP 381 (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1965) pp. 133-198. (3] Irwin G.R., Kies J.A et Smith H.L., Fracture strengths relative to onset and arrest of crack propagation, Proc. Am. Soc. Test. & Mater. 58 (1958) 640660. (4] Hahn G.T. et Rosenfield AR., "Sources of Fracture Toughness: the Relation Between K1c and the Ordinary Properties of Metals", Applications Related Phenomena in Titanium Alloys, ASTM STP 432 (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1968) pp. 5-32. (5] Krafft J.M., Sullivan AM. et Boyle R.W, "Effect of Dimensions on Fast Fracture Instability ofNotched Sheets", Proceedings, Crack Propagation Symposium, College of Aeronautics, Cranfield, England (1961) pp. 8-28. (6] Standard Practice for R-Curve Determination, ASTM Designation E581-86 (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1986). (7] Irwin G.R., Relation of crack toughness measurements to practical applications, Weld. J. Suppl. 41 (1962) 519-s-528-s. (8] Payne WF., "Incorporation of Fracture Information in Specifications", Fracture Toughness Testing and Its Applications, ASTM STP 381 (American Society for Tes ting and Materials, Philadelphia, 1965) pp. 357-372. (9] Kim Y.J., Yang WH., Choy Y.S. et Lee J.S., An interaction analysis of twin surface cracks by the line spring mode!, Nucl. Engng. Des. 135 (1992) 187196.
D. Miannay
100
Exercices IV.l.- Commenter la figure ci-dessous représentant un enregistrement chargedéplacement d'un e_ssai dans lequel une fissure se propage de façon stable, en raisonnant sur la presence ou non d'une plasticité.
CHAPITRE IV- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
101
p représentant le poids spécifique, soit ici 7787 g Kgf.m- 2 .s- 2 , et g l'accélération de la pesanteur, soit 9,81 m.s- 2 • On prendra v = 0,28. On exprimera le résultat en nombre de tours N par minute. Représenter graphiquement l'état de contrainte à travers l'épaisseur de la paroi. . Que peut-on dire des états de contraintes radiales? . Comparer ces gradients au gradient existant à travers le ligament d'une éprouvette normalisée compacte de tension lorsque les longueurs relatives de fissure sont respectivement égales à a/W = 0,1 et 0,5 et lorsque le chargement correspond à une ténacité Kic = 100 MPa.jÏiÏ.
b) On considère des défauts semi-elliptiques contenus dans des plans axiaux sur la surface interne avec le paramètre de forme a/2c = 0,1 et avec différentes profondeurs possibles. On suppose en outre qu'au voisinage du défaut, on peut négliger la courbure du cylindre, c.-à.-d. assimiler localement le cylindre à une plaque plane. Après avoir linéarisé la contrainte circonférentielle à travers l'épaisseur et avoir identifié les composantes de tension et de flexion, déterminer la profondeur du défaut qui entraînera la rupture si la ténacité de l'açierferritique vaut K1c = 100 MPa.Jriï. IV.2. - Quel est le risque de rupture si K 1 et K 1c obéissent tous deux à la même loi normale de moyenne met d'écart-type a ? IV.3.- _P~ur étudier ~e c~mportement d'un réservoir cylindrique en acier ferritique soumts a une press10n mterne, de dimensions 2 mètres pour le rayon interne et 20 centimètres pour l'épaisseur et avec une pression nominale de 16 MPa on envisage de prendre pour modèle un cylindre de rayon interne 0,60 mètr~ et d'épaisseur x centimètres et de le soumettre à des forces d'inertie provoquées par la rotation de ce cylindre. a) Quelle est la vitesse de rotation et l'épaisseur à respecter pour que les gradients des contraintes circonférentielles soient comparables dans les· deux cas ? On rappelle que dans le cas d'un cylindre de rayon intérieur R; et de rayon extérieur Ro, avec r représentant la distance à l'axe du cylindre l'état de contrainte est donné par: ' - pour une pression interne p :
aee = O'rr=
(Ro/~)2 -1 (1 + ~), p
(Ro/R;) 2 -1
(1-Rrg).
- pour une vitesse angulaire de rotation w : 1 pw21 (3+v) ( R~+Rf+ R2~ R2; ) -(1+3v)r 2 1, aee=Bg 2
- 3 +v pw 2 ( Ro2+R.2 R5Rf - -r 2) 8 g ' r2 '
O'rr- - - -
CHAPITRE V
Aspect microscopique de la rupture Clivage et rupture ductile
Au chapitre 1, on a déterminé à l'échelle du réseau cristallin, c'est-à-dire à l'échelle du nm, la contrainte de cohésion théorique du matériau à partir de l'énergie de surface théorique. Ces énergies sont rappelées dans le tableau V.l. Leur ordre de grandeur est de 10-s daJ.cm- 2 • Dans les chapitres II et III, on a montré que les théories de la rupture basées uniquement sur cette contrainte et sur un comportement purement élastique étaient mises en défaut car, pour les micro fissures et les fissures, un comportement plastique qui apparaît naturellement physiquement au voisinage de la fissure doit être pris en compte. Cette déformation plastique devra expliquer entre autres qu'à la rupture sont associées des énergies de l'ordre de G1c = 0,5 daJ.cm- 2 (avec K 1c = 100 MPaJiiï pour un acier).
En fait comme il est constaté expérimentalement, la plasticité est nécessaire pour déclencher une amorce de rupture qui conduira à la rupture totale du corps initialement fissuré ou non. Cet aspect est illustré sur la figure V.l, d'abord par un essai de traction d'une éprouvette lisse ("plain specimen"), c'est-à-dire sans fissure, de dimension de l'ordre du cm, d'un matériau idéal totalement homogène qui se rompt de façon idéale après une déformation plastique totale lorsque la contrainte réduite à la section et l'aire de cette section s'annulent simultanément. Mais plus en accord avec l'expérience, des hétérogénéités apparaissent au cours de la déformation plastique et à l'échelle de l'éprouvette de traction la rupture se produit à des niveaux de déformation variés (Fig. V.l) :pour les faibles valeurs de déformation la rupture est dite fragile ; elle demande peu d'énergie et la déformation préalable.ne permet pas de déceler au préalable son déclenchement. Pour les fortes valeurs et généralement au-delà de l'apparition de la striction, elle est dite ductile : elle nécessite beaucoup d'énergie et son apparition est prévisible longtemps à l'avance.
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CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
D. Miannay
104
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Fig.V.l- Comportements schématiques de matériaux au cours d'un essai de traction. a) cas d'un matériau pur polycristallin sans inclusion ni précipité, se déformant par glissement selon des plans à 45° et présentant une rupture totalement ductile ; b) cas de matériaux, ou bien d'un acier, à différentes températures, présentant une rupture fragile par clivage ou une rupture ductile en "eup and cane".
~
0 z
Lorsque les ruptures précédentes sont observées et analysées sur leur faciès et sur des coupes métallographiques axiales, à une échelle intermédiaire entre la distance inter-atomique, le nm, et la dimension de l'éprouvette, le cm, c'est-à-dire à l'échelle de l'inclusion, le {Lm, et à l'échelle du grain, les 10 ttm, les ruptures vont
107
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
106
D. Miannay
pouvoir être classées sur une échelle de fragilité décroissante en (figures V.2 et V.3): - rupture intergranulaire fragile ou semi fragile, - rupture transgranulaire de clivage, -rupture fragile de cisaillement, caractéristique des matériaux sans consolidation et - rupture ductile à cupules.
Pendant
~
cq))
Ru ture ar coalescence de vides
Fig.V.3- Mode de rupture ductile à l'échelle du grain.
vecteur de Burgers est respectivement perpendiculaire ou parallèle à la l~g.ne de dislocation. Une dislocation introduit unè déformation élastique à son vmsmage, caractérisée par des champs de contrainte et de déform~tio~ défi_nis, et qui s'éte.~d sur un rayon de l'ordre de 3b. I.:énergie de déformatiOn elastique, U, associee ~~:
.
U=
pb2
47r(l- v')
R
ln-, ro
Fig.V.2- Mode de rupture fragile à l'échelle du grain.
Les mécanismes d'apparition et de développement de ces ruptures à l'échelle intermédiaire sont décrits dans ce chapitre. Ce chapitre débute par un rappel court sur la théorie des dislocations car, à partir de quelques notions de base, il est possible d'établir, d'une part des relations simples qui donnent les lois et les règles de l'écoulement plaStique à l'échelle macroscopique, et d'autre part l'équivalence des empilements de dislocations à des micro fissures ou à des fissures. En outre, cette théorie permet d'éclairer la notion d'énergie dissipée au cours de la propagation des fissures. 1.
Rappel sur la théorie des dislocations
Une dislocation est un défaut linéaire caractérisé par un vecteur de Burgers b dont l'amplitude b est reliée au paramètre de la maille a0 et est du même ordre . de grandeur. On distingue les dislocations coins et les dislocations vis selon que le
avec J.t le module de cisaillement, v' = v le coefficient de Poisson pour _les dislocations coins et v' = 0 pour les dislocations vis, R le rayon de la perturbatJ~n élastique ou la distance à la frontière du corps pour l'intégration de l'énergie élastique par unité de surface et r0 le rayon du coeur de la dislocation, de l'ordre de b/2. , , · · 1 Dans le domaine des basses températures qui est considere ICI p~ur e matériau, soit T ::; 0, 5Tt avec Tt la température de fusion en degré K~lvm, les dislocations sont responsables de la déformation ~!astique pa~ leur ghs~em~nt dans des plans de glissement spécifiques de type cnstallograph1que sous 1 actiOn de forces F par unité de longueur s'exerçant perpendiculairement à la ligne de dislocation données par : F=T.b
,. étant la cission résolue dans le plan de glissement. Dans le tableau V.l fi-
108
D. Miannay
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
gurent les plans de glissement des principaux systèmes cristallographiques. La déformation plastique eP, ou e, provoquée par le glissement est donnée par:
e = Nm bx, avec Nm la densité de dislocations mobiles., ou nombre de dislocations mobiles par unité de surface, de l'ordre de 107 cm- 2 pour un métal recuit, et x la distance moyenne parcourue par chaque dislocation. A l'échelle cristallographique, la déformation plastique apparaît ainsi comme un phénomène hétérogène ~t anisotrope. · Au cours de la déformation, le nombre de dislocations augmente par un processus qui peut être le phénomène de multiplication à partir de sources de Frank-Read. Pour activer de telles sources, une cission minimale est nécessaire. Celle-ci est donnée par :
71 est la cission de friction ou cission interne, représentant les forces de répulsion à courte distance qui doivent être surmontées pour assurer le mouvement des dislocations (force de Peierls, intersections de dislocations, etc.) - les champs de contrainte et de déformation sont identiques à ceux existant au voisinage d'une fissure équivalente. Cet aspect a été présenté au chapitre III. Lorsque la plasticité a débuté dans un grain, elle se propage dans le grain voisin et ensuite de proche en proche dans les grains voisins par activation de sources de dislocations de force dans le champ de contrainte intensifié de l'empilement de dislocations coins de longueur le demi-diamètre d/2 du grain, soit :
T;
a
T;
ls étant la distance entre les points d'ancrage de la source. La variation du nombre de dislocations avec la déformation plastique est donnée par une relation de la forme:
N=N0 +aef3,
(a=10 8 ± 1 cm- 2 ,
/3=0,5-1,5),
avec No la densité initiale de dislocations qui peut valoir dix fois la densité des dislocations mobiles. La déformation plastique devient plus difficile au cours de sa progression. C'est le phénomène de consolidation qui est dû à l'augmentation du nombre de dislocations et aux forces de répulsion qu'elles engendrent sur les dislocations en mouvement. Cette consolidation interne 8ui est donnée par :
109
fidfif (8*)-- Ts* '
"(T- Ti) V2trr*
Le premier membre de l'équation représente la composante de cisaillement dans · le plan de glissement au point de coordonnées polaires r* et B* de la source activée, l'origine étant prise à la tête de l'empilement. I.:ordre de grandeur de a" f(B*) est l'unité. Ainsi; si la limite d'élasticité u0 est mesurée en traction, la relation précédente s'écrit: Uo
= Uj + 2T;,;:;:; d- 1 / 2 = Uj +ky d- 1/ 2 •
Cette relation est dite relation de Hall-Petch (Fig. V.4). Elle rend compte de la consolidation introduite par la présence des joints de grain dans un polycristal. Au cours de la déformation, 90 % du travail est transformé en chaleur. Le reste est utilisé dans la formation des défauts. La variation de la limite d'élasticité en fonction de la température (Fig. V.4) peut très souvent être décomposée en deux parties sous la forme
uo=u,+ul', .6-Tï =a' J.Lb (N) 112 ,
(a'= 0, 2-0, 4).
Dans les polycristaux, les dislocations sont repoussées par les joints de grain et .viennent s'empiler contre eux. Elles forment alors des empilements ("pile-up") confinés aux plans de glissement. Pour un empilement de n dislocations et de longueur le demi-diamètre d/2, il peut être démontré à partir de l'expression des champs de contrainte et de déformation de chaque dislocation que - l'empilement intensifie à l'obstacle la cission appliquée Ta ou T par un facteur égal au nombre de dislocations de l'empilement : Tobs
= nra;
-le cisaillement élastique homogène sur la longueur d/2, (T - Tï) d/2J.L est égal au déplacement plastique nb de sorte que : (T-
Tj)
d/2J.L =nb.
u étant la composante athermique variant avec la température comme le r:odule de cisaillement et représentant la résistance des obstacles à grande distance au mouvement des dislocations. Cette contrainte existe seule vers les hautes températures du domaine considéré ici et peut y être déterminée expérimentalement. u; est la composante correspondant à un des mécanismes de glissement activés thermiquement, l'équation d'activation s'écrivant de façon générale:
Ë = Ëo exp
.6-Go- V (u- ul')
RT
Ë étant la vitesse de déformation, Ë0 le facteur de fréquence dépendant de la fréquence de vibration des dislocations, du nombre de dislocations et de leur arrangement, .6.G0 l'énergie libre de Gibbs pouvant être confondue avec l'enthalpie .6.H0 , V le volume d'activation, u la contrai~te ap~liquée, R _Ja co~s tante des gaz parfaits et T la température en degre Kelvm. Cette equation
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
D. Miannay
110
métal de structure
111
volume d'activation sont obtenus pratiquement à partir des résultats d'essais de traction à l'aide des relations suivantes :
D..H et V
= D..H(a -a~)= RT2 [a (a -
= V (a -
a ) jaT] o
~ : [a(a-a~)fôlne:]T
a~)
] = - [ a(aaH _ a~) T
OL----------7 0,5
0
0,5
0
T/lf
T/lf b)
a)
Aux températures élevées du domaine, le glissement est athermique comme il a été dit ci-dessus. Aux vitesses élevées, c'est-à-dire aux vitesses supérieures à approximativement 10 s- 1, le glissement est de type visqueux avec une représentation possible par une équation de la forme :
c. métal de structure
métal de structure c.c
Différentes actions ou phénomènes permettent ou entraînent une modification de la limite d'élasticité et de la contrainte d'écoulement plastique d'un métal en compléments aux effets de température et de vitesse déjà cités. Les plus importants sont : - la présence d'impuretés, le plus souvent en insertion, ou présentes dans des inclusions, ·
OL--------~
d
-1/2
10-4
10 0 E d)
c)
Fi .V.4- Notions élémentaires sur la plasticité microscopique des méta~x :. a) dé~omposition de la limite d'élasticité en ses composantes thermique et at~erm1que, _b) variation de la limite d'élasticité avec la température selon la structure d~ metal; c) ~a~la tion de la limite d'élasticité avec la taille de grain selon la structure du metal ! d) vanat10n de la limite d'élasticité avec la vitesse de sollicitation selon la structure du metal.
peut parfois être écrite sous la forme : o
e:
o -1
= E:oE:
nm
1
(a )1/m exp UN
!::..Ho RT '
m étant alors appelé coefficient de sensibilité de ~a contrainte _d'écoulement .à la - vitesse de sollicitation en condition isotherme (F1g. VA), 1/n etant le c?effic1ent de consolidation et aN une contrainte de normalisation. I..:enthalpie hbre et le
- une addition d'éléments d'alliage qui conduit à un durcissement ou à un adoucissement de solution solide ou de précipitation dont l'amplitude dépend de l'élément. d'alliage, de sa teneur et de la durée du traitement thermique, - un écrouissage, - une irradiation. Le maclage est un mode de déformation pouvant rendre compte d'une déformation d'amplitude limitée de l'ordre de quelques %. Le maclage est fréquent dans les métaux de structure cubique centrée à basse température, dans les métaux de structure hexagonale compacte dans un domaine de température plus étendu et à un degré moindre dans les métaux de structure à faces centrées. Dans le tableau V.1 figurent les plans de maclage des principaux systèmes cristallographiques. Un maclage est parfois assimilé à la composition de glissements dans_ des plans voisins et parallèles. La contrainte nécessaire aù déclenchement du maclage obéit à une loi de type Hall-Petch, le coefficient ky étant plus élevé que celui du glissement. Le maclage n'est que peu ou pas activé thermiquement. Une vitesse de sollicitation faible favorise le maclage.
D. Miannay
112 II.
113
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
YA\
Méthodes expérimentales d'analyse
Pour déterminer les grandeurs mécaniques liées à la structure et caractéristiques de la rupture à l'échelle de l'ordre de 0,1 mm, il est fait appel à des essais mécaniques d'éprouvettes dans lesq~,J.elles les champs de contraintes et de déformations sont connus et varient peu en comparaison des forts gradients qui existent dans les corps fissurés. Ces essais sont : - l'essai de fleximi d'éprouvettes entaillées latéralement : ce type d'essai permet d'obtenir des contraintes élevées par rapport à la limite d'élasticité et connues, à une distance bien déterminée et connue du fond de fissure. Le taux de triaxialité est relativement faible. - l'essai de traction d'éprouvettes axisymétriques entaillées : les niveaux de contrainte et de déformation varient très peu dans la section réduite de l'éprouvette et sont relativement bien connues en fonction du chargement extérieur. La variation du rayon d'entaille permet l'obtention de différents taux de triaxialité qui restent également assez faibles. 0,08 ,---.-E-;;~:----n
11.1
EsSAIS DE FLEXION D'ÉPROUVETI'ES ENTAILLÉES LATÉRALEMENT
~éprouvette
Charpy V standard (Fig. V.5) est un barreau parallélépipédique de section carrée 10 x 10 mril.2 et de longueur 55 mm, comportant en son milieu une entaille latérale de profondeur 2 mm, d'angle 45° et de rayon à fond d'entaille 0,25 mm. Cette éprouvette est sollicitée en flexion en trois points de façon symétrique; la distance entre appuis étant de 40 mm. Elle est utilisée dans les essais de réception de matériaux de façon très courant~ dans l'industrie et depuis très longtemps. La sollicitation est alors dynamique. ~installation standard, le mouton pendule instrumenté ou non, consiste alors en une enclume pour les appuis et un marteau mobile, caractérisé par une largeur de contact, pour l'application de la force (le mode de sollicitation peut également être inversé pour éviter des effets parasites d'inertie) ; ici la sollicitation considérée est statique et' le rayon à fond d'entaille peut varier. Le deuxième type d'éprouvette considéré est l'éprouvette précédente pour les dimensions hors tout, dans laquelle est introduite jusqu'à une longueur relative afW = 0,5 une fissure par fatigue avec un rayon à fond de fissure nul ou une entaille par usinage avec un rayon à fond d'entaille variable et avec un angle entre les faces de l'entaille nul. Comme il a été dit au chapitre III, Tetelman et al. [1,2] ont utilisé l'essai Charpy V pour caractériser les métaux et ont pris pour solution du champ de déformation plastique en avant du fond d'entaille le champ de lignes de glissement caractéristiques d'un matériau rigide-plastique en déformation plane. Ce champ est constitué par les spirales logarithmiques aux faibles niveaux de sollicitation et par le champ de Prandtl à partir d'un certain niveau (Fig. V.5). La contrainte d'ouverture à travers le plan de symétrie de l'entaille et en avant du fond d'entaille est donnée par :
E
0,06
-Eëq -
Ç+~ 5
0,04
Fig.V.5- Schéma du fond d'entaille d'une éprouvette Charpy V standard sollicitée en traction (p = 0,25 mm ; w = 45°) et états de contrainte et de déformation en avant de l'entaille· (d'après Malkin et. Tetelman (1971) et Griffith et Owen (1971)). (an/ao = 6 Mf(W- a) 2 , M = 0,62ao (W- a) 2 ), (ëo = 0,002, ao/E = 11500, Ep/ E = 1/120, v = 0, 28).
- pour le champ de spirales,
lTyy(B = 0) = ub [ 1 +ln ( 1 +
~)]
,
u,,(B = 0) = lTyy(B = 0) -ub, u,;, + lTyy lTzz = lTm = 2 ' avec l'origine des coordonnées prise au centre du cercle ausculateur et avec ub = u 0 pour un matériau obéissant au critère de plasticité de Tresca et ub = (2/ J3)uo pour un matériau obéissant au critère de plasticité de Von Mises.
D. Miannay
114
- pour le champ de spirales,
uyy(B
= o) = ~~ (1 +
115
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
p
i- ~),
PR
\1
u.,.,(8 = 0) = Uyy(8 = 0) - u~, u.,.,+uyy Uzz=Um= 2 '
1 kN -196•c
Tetelman suppose• ensuite que l'étendue de la zone plastique est égale à celle de la zone plastique d'Irwin en déformation plane. On a donc dans le cas du champ de spirales l'égalité entre les deux expressions :
Vp
~ 1 1
::;.
0
-1oo·c o·c
R= 2_ (K')2 31!'
uo
et
Fig.V.6- Schémas présentant les méthodes de détermination des caractéristiques critiques du clivage dans des aciers faiblement alliés à l'aide d'éprouvettes Charpy V (d'après Tetelman et aL (1967), (1971)).
plupart des cas. Ainsi, le est tiré de :
d'où
_ [Kic(p=0)] 2 Pc - P Klc(P) ,
K, = ,J3-;uop1/2 [exp ( u::'oM - 1) - 1] 1/2
(p =Pc),
et u c est tiré de : avec u yyM la contrainte maximale à la frontière élasto-plastique et K, le facteur d'intensité de contrainte d'une fissure équivalente de longueur a = 2 mm dans le cas de l'éprouvette Charpy V. En fait, le maximum de contrainte se situe en arrière de la frontière élastoplastique comme l'ont montré Griffiths et Owen [3) par un calcul aux éléments finis pour un matériau élastoplastique à consolidation linéaire (Fig. V.S). Ces auteurs ont également déterminé le champ de déformation dont la solution est représentée sur la figure. La solution trouvée dépend en fait très peu de la loi de consolidation considérée comme il a été vérifié par la suite. Mais il est constaté que le maximum de contrainte est situé à la distance prédite par le modèle de Tetelman et donc que ce modèle simplifié peut être retenu. Il sera vu dans la section III que les deux grandeurs caractéristiques du critère microscopique sont une grandeur critique, uc, s'exerçant au minimum sur une distance critique le. Donc, si des éprouvettes de différents rayons à fond d'entaille sont utilisées pour déterminer la ténacité K1c, pour les forts rayons il est constaté une variation linéaire de K 1c avec p112 et pour les faibles valeurs inférieures à une valeur critique Pc liée à la distance le (le ~ 2pc), une valeur constante égale à celle obtenue avec une éprouvette préfissurée en fatigue : le rayon critique est alors obtenu par émoussement. Ainsi, à une température donnée, Pc. donc le, et uc peuvent être déterminés avec deux essais, si par ailleurs uo est connu, par exemple par un essai de traction simple. Ces deux essais seront un essai avec une éprouvette préfissurée en fatigue et un essai avec une éprouvette entaillée avec un rayon supérieur au rayon critique, l'éprouvette Charpy étant suffisante dans la
Klc(P
= 0) =· ,J3-;uop~ 12
1/2
[exp (
;b - 1) -1]
Cette méthode permet, entre autres, d'étudier la variation des grandeurs critiques avec la température. Une autre méthode d'utilisation de l'essai Charpy standard et instrumenté permet de déterminer la contrainte critique à une température bien déterminée sans connaître la valeur de la limite d'élasticité. En effet, dans un programme classique d'essais Charpy instrumentés, la charge de rupture de clivage (caractérisée par la chute brutale de charge) ou ductile (caractérisée par un maximum de charge), et la charge d'écoulement généralisé (charge pour laquelle la plasticité traverse l'éprouvette et pour laquelle l'enregistrement charge-déplacement commence à dévier de la linéarité) sont déterminées dans un domaine de température. Or selon Tetelman (voir également Fig. V.6) lorsque la charge P vaut 0,8 fois la limite d'écoulement généralisé, la contrainte maximale vaut 2,18 fois la limite d'élasticité. En outre, la limite d'écoulement généralisé est reliée à la limite d'élasticité par la relation : P0 .= 0,516uo,
ou uo = 1,94Po
avec Po exprimé en kN et u 0 en MPa, d'où :
UyyM (P = 0, 8Po) = 4, 22 Po
116
D. Miannay
De la série d'essais, et dans le domaine de la rupture fragile (Fig. V.6), Po est obtenu par extrapolation vers les basses températures des résultats déterminés à plus haute température et P = 0, 8 Po est prise égale à la charge de rupture brutale, d'où :
=
Uc
UyyM
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCfiLE '-·
:1
-,~.
~ r
(PR = 0, 8 Po) = 4, 22 Po.
.·-~
11.2
.~R
• ••
. ~-' ··~·· ·. :
\
(exercice V.l ). De la connaissance des deux valeurs critiques pour le clivage et avec l'hypothèse que ces valeurs ne dépendent pas de la température, et de la connaissance de la variation de la limite d'élasticité avec la température, la variation de la ténacité avec la température peut être déduite à l'aide des formules données ci-dessus. Cet aspect est exposé en détail au chapitre VIII. '
117
(
al
EsSAIS DE TRACfiON D'ÉPROUVETTES AXISYMÉTRIQUES ENTAILLÉES
Dans l'analyse par Bridgman [4] de la déformation par striction d'un barreau cylindrique à section circulaire en traction sous l'action d'une force F (Fig. V.7), l'hypothèse de base qui est faite et qui correspond à une observation expérimentale. est que l'état de déformation est approximativement uniforme à travers la section minimale de striction et que la déformation élastique peut être négligée. I.:état de déformation obéissant à la règle d'incompressibilité s'écrit ainsi: de~ = dëP = -2 de~ = -2 de~,
b/
et
ëp=2lna0 •
a
avec a le rayon courant de la section réduite et a0 le rayon initial. Par intégration des équations d'équilibre et avec des hypothèses raisonnables sur la nature de la variation des directions des contraintes principales au voisinage de la striction, on obtient l'état de contrainte suivant dans la section réduite : R/2o=2110
u.
= Ueq
2 )] 2 [1 +ln ( a +2aR-r , 2aR ·
Ur
= uo = Ueq
Um
=
Ueq
Ueq
=
7f~2
2 - r 2) ] · [ln ( a + 22aR aR ,
(a 2 +2aR-r2)] 1 [3 +ln , 2aR [
(1 + 2Rfa)
1~ (1 + af2R)] '
AE2
R/2o=4!10 AE4
R/2o=10/10 AE10
cl Fig. V.?- a) Développement d'une stri~tion dans une éJ?rouv.ett~ cylindriqu~ s~nimise à un effort de traction ; b) Etat de con tram te dans la section redut te de la stnct10n selon Bridgman (1952) ; c) Profil des éprouvettes axisymétriques entaillées en traction pour la détermination des caractéristiques des matériaux selon l'approche locale.
D. Miannay
118
119
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
avec R le rayon du profil axial externe de la striction, r la distance d'un point à l'axe Oz du barreau et O"eq la contrainte de tension équivalente à travers la section minimale. La variation de ces contraintes est schématisée sur la figure V.7. Par ailleurs il est constaté expérimentalement que la variation de a/Rest assez bien approximée par les relations :
a/R = 0 a/R = tP -l~
pour
lP :$ l~,
pour
lP;::: l~,
e~ étant la déformation plastique à la striction.
b)
Sur la figure V.7 sont schématisés les profils des éprouvettes à différents taux de triaxialité qui sont en Europe en cours de normalisation avec la méthodologie d'essai pour la.détermination de paramètres critiques pour le clivage et pour la rupture ductile, comme il est exposé ci-dessous.
c)
a) III.
Rupture de clivage
La figure V.B présente un modèle possible de rupture de clivage en 3 étapes : sous l'action d'une sollicitation extérieure, une microfissure de clivage est amorcée ("initiation") à la tête d'un empilement de dislocation; cette fissure se propage ensuite à l'intérieur d'un grain ("propagation") ; puis cette fissure traverse un joint de grain ("grain boundary crossing"). Ces trois types d'obstacle ou barrière étant franchis, la fissure continuera de se propager naturellement à travers des obstacles identiques si la sollicitation extérieure n'est pas diminuée. Des grandeurs caractéristiques ou critiques sont donc à déterminer pour chaque stade et le stade le plus critique sera celui qui contrôlera la rupture à plus grande échelle. Différents modèles faisant intervenir des empilements de dislocations, sans ou avec des précités ou des inclusions ont été proposés.
III.l MÉCANISMES ÉLÉMENTAIRES 111.1.1 Premier modèle: le modèle de Stroh Stroh [5] envisage un empilement unique de dislocations coins sur un joint de grain. Cet empilement intéresse l'ensemble du grain de diamètre d (Fig. V.9). Dans le modèle original, la coalescence des deux dislocations de la tête d'empilement a été considérée pour rendre compte de la formation d'un germe de microfissure. Ce modèle peut être modifié de la façon suivante. La micro fissure est formée en tête de l'empilement lorsque la contrainte de cohésion du réseau est atteinte à une distance interatomique par la contrainte circonférentielle de tension maximale en avant de l'empilement qui s'exerce à travers un pla.n incliné d'un angle voisin de 70,5° par rapport au plan de l'empilement comme il est déterminé à partir de l'analogie entre l'empilement et la fissure en mode Il. Donc, à partir · d'un raisonnement analogue à celui tenu pour l'établissement de la formule de
Fig.V.8- Modèle microscopique de rupture par clivage: a) Amorçage; b) Propagation dans un grain; c) Franchissement d'un joint de grain.
Hall-Petch, en utilisant l'expression de la contrainte de cohésion établie au chapitre 1, on peut écrire :
d'où: TcJ- 7]
= k2~ d-1/2.
Cette relation, qui peut être traduite en termes de contraintes normales de sollicitation, est analogue à la relation de Hall-Petch qui prévoit une variation inversement proportionnelle à la racine carrée de la taille du grain. Elle donne la condition nécessaire à la formation de microfissures : elle indique que des microfissures peuvent se former sous l'action d'une cission critique, même si la sollicitation extérieure est de compression. Ce dernier phénomène est effectivement observé expérimentalement. A basse température dans les métaux de structure cubique centrée et à des températures intermédiaires dans les métaux de structure hexagonale compacte, lorsque la déformation se produit par maclage, l'intersection d'une mac~e avec un joint de grain ou l'intersection de macles entre elles peuvent donner nmssance à des microfissures. La figure V.9 illustre l'exemple d'une microfissure formée à un sous-joint de grain sous un effort de compression dans un métal hexagonal compact [6]. ·La propagation à partir de ces amorces se produit dans des conditions analogues à celles qui sont décrites dans la section ci-dessous.
120
D. Miannay
a.modèle de STROH
CHAPilRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
b.modèle de COTTRELL (OOl) ~ (101) 1 a/21111)>-:); 4(100) A
)'.:
comr
lorsque sa longueur est 2a et lorsque n dislocations de chacun des deux empilements sont venues coalescer en des dislocations de vecteur de Burgers b est donnée pour une épaisseur unité par l'expression suivante :
y
~~
d/2
a/2 (1111? (101)
.121
U=
J.L(nb) 2 R a2 ( )ln-+4-yma47rl-v a
(1- v 2 ) a2 E
-anba.
Le premier terme représente l'énergie de la "super dislocation" de vecteur de Burgers nb, de rayon de cœur a et de rayon d'influence R. Le deuxième terme représente l'énergie de surface effective en cours de propagation, soit : 2 'Ym = 2 'Ys
+ 'Yp + 'Yr.
'Ys étant l'énergie de surface correspondant à la cohésion du réseau, 'Yp étant
cc c.modèle de SMITH
d.microfissure dans le zinc
.xr----
sous joint de grain
~
.
.l. .l. ~
...
.l. ..L
.l.
~ .l. .l. .l.
-~
he Fig.V.9- Modèles d'amorçage et de propagation de microfissures de clivage.
l'énergie liée à la déformation plastique qui se produit en tête de la microfissure de façon analogue à ce qui se produit en avant d'une fissure macroscopique, par émissions de dislocations à partir des lèvres de la fissure et par activation de sources à distance de la pointe de fissure, et 'Yr un terme complémentaire lié à la formation des rivières et des marches en cours de propagation comme il est décrit dans la suite. 'Ys est l'énergie du plan de clivage qui est théoriquement celui qui présente la distance interréticulaire la plus importante et l'énergie de cohésion la plus faible. Dans le tableau V.1 figurent les plans de clivage des principaux systèmes cristallographiques. Le troisième terme de l'équation représente 1'énergie de déformation de la fissure et le dernier terme représente le travail fourni par les forces extérieures, le déplacement moyen étant pris égal à nb a. Les positions d'équilibre de la fissure sont trouvées en écrivant que la dérivée de cette énergie potentielle par rapport à la longueur de la fissure est nulle. ~équation du second degré obtenue a, soit deux solutions pour les faibles valeurs de la contrainte et la position d'équilibre de la fissure correspond à la plus petite valeur, soit elle n'a pas de solution au-dessus d'une valeur de la contrainte. La transition entre ces deux cas se produit pour : a nb= 2'Ym·
C'est-à-dire que pour une contrainte supérieure à la valeur donnée ci-dessus, l'instabilité se produit et la propagation est possible. ~inégalité précédente s'écrit en identifiant la valeur de nb à la valeur tirée de la théorie des dislocations :
III.1.2Deuxième modèle: le modèle de Cottrell
ac= (2 J.L'Ym/ky) d- 112 •
La propagation d'une microfissure dans un grain a été étudiée de façon complète par Cottrell [7]. Dans le modèle proposé, la microfissure initiale considérée a été amorçée par coalescence de dislocations sessiles à l'intersection de deux empilements de dislocations glissiles dans un métal de structure cubique centrée (Fig. V.9). ~énergie potentielle liée à cette microfissure en cours de propagation sous la sollicitation de traction a exercée à une distance très grande
Cette équation représente la condition pour la propagation de l'amorce de fissure dans un grain. Elle indique que la propagation ne peut se produire que sous l'action d'une contrainte de tension et que cette contrainte varie de façon inversement proportionnelle à la racine carrée de la taille du grain. Cette condition est vérifiée expérimentalement comme on le verra au paragraphe IV.
122
D. Miannay
111.1.3 Troisième modèle: le modèle de Smith Smith [8] ~proposé un modèle qui fait intervenir un empilement de dislocation s~r une particule (un carbure, _etc.) localisée dans un joint de grain (Fig. V.9). I.:amorce d_e I_a fiss~r~ se produit dans le carbure sur une distance interatomique pour une CISSion cntique donnée par : Tc2- T;
'"Yc. é~ant l'énergie
spécifique, 'Yi. Au moment du franchissement de ce joint, la fissure à une configuration de fissure de Inglis et la contrainte de tension nécessaire au franchissement est donnée par l'équation de Griffith : 4 E 'Yi d-I/2 1 - v2 ) · •
Uc =
1r (
= k2~ d-I/2,
?e cohésion du carbure. Le carbure étant un matériau in-
trmsequ~ment ?"agde se t~o~ve r~mpu sur toute son épaisseur C0 • Une amorce
plans de cliva e
se prodmt ensmte dans le JOmt adJacent sous une cission :
.
#
Tc3
= Tj = k3 ...;Iff7. d-I/2'
I.:analyse de s.mith. prenant en compte la contribution des dislocations de J'empilement d~ns 1 effort pour propager la fissure conduit à la relation suivante pour la contramte de tensiOn extérieure nécessaire à la propagation :
(cd ) o
2
123
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
Uc +(ra- r;)
2
[ +- (-) .
1
4 7r
Co d
I/2
·n
--'-
] 2
4E'"Ym
T 0 -Tj
Cette équation s'écrit également: 4E'"Ym 7r(1-v 2 )"
Cett~ équati?n prédit q~e des carbures grossiers conduisent à des contraintes
?e ~hvage faibles, ce ~m est le cas. Elle prédit également que la contrainte est
m?ependan~e de la taille du grain. En fait, l'épaisseur des carbures est liée à la taille ~e gram, le sens de variation étant identique et ainsi les grains fins ont une contramte de clivage très élevée. Ce modèle s'applique également aux ruptures de clivage qui sont amorcées s.~r ?~s carbures _ou des inclusions d'épaisseur inférieure au JLm dispersées à ~ 1mteneur des grams de dimension de l'ordre de 10 JLm [9]. 111.1.4Le franchissement des joints de grain
~e demi~r obstacle ren~ontré _est le_ joint de grain. Les deux grains de part et d autre n ayant p~s la meme onentat10n (Fig. V.lO), le plan de clivage moyen da~s le p~emier gram ne retrouvera le plan de clivage moyen dans Je deuxième ~~am q~'a travers la for~ation de "r!vières" ("rivers") constituées de "marches" ( ~teps ) en:re plans cnstallographiques de clivage voisins. Ces marches sont, SOit des ~~rties. de pla~ de clivage, soit des déchirures ductiles qui demandent un app~rt ~energie plu~ Important pour leur formation que si aucune désorientation n eXIstait. Au franchissement du joint est alors associée une énergie de surface
:..,.
/
. 9f?~A.., .
ouverture
. /
rivières
,__
rivières
1..----
:-.-1..----
c
]{
dèchiremen
plàn. çie· clivage
grain A i1int
--
grain B
Fig.V.IO -Illustration du franchissement d'un joint de grain au voisinage d'un point et mécanisme possible de formation de marches ou rivières.
Des hétérogénéités structurales telles que les "veines sombres" ("ghost !ines") dans des aciers forgés de nuance type 16 MND 5, se présentant sous la forme de plaquettes parallélépipédiques d'épaisseur de l'ordre du mm, de largeur 10 mm et de longueur 25 mm, les bandes ségrégées ("segregated banding") [10] dans des aciers forgés ou les petites "Zones Fragiles Locales" ("Local Brittle Zones") dans les ZOnes Affectées par la Chaleur d'aciers conventionnels au C-Mn [11] se présentant sous la forme de pyramides tronquées de base parallélépipédique de côté de l'ordre du mm peuvent constituer des sites faciles d'amorce de rupture intercristalline qui conduiront à des ruptures de clivage transcristallines. La condition de rupture peut alors être également donnée par l'équation de Griffith. 111.1.5 Le critère de rupture de clivage Pour que la rupture de clivage se produise, il faut que les trois conditions de formation d'une amorce, de propagation de cette amorce dans un grain et de franchissement d'un joint soient réalisées successivement. Mais parmi ces trois obstacles, l'un est plus important que les autres et conditionne à lui seul la rupture de clivage. Cet aspect est abordé dans le traitement de la transition fragile ductile. Un autre élément qui sera pris en compte dans cette transition est l'effet d'un écrouissage préalable important, en traction ou en compression. La contrainte de rupture qui est ensuite observée expérimentalement en traction est accrue pour un écrouissage préalable de traction et inversement. Beremin [12] a proposé de prendre comme expression de la nouvelle contrainte de clivage uc l'expression: Uc
=
Uco
exp (+e./'"'f),
étant la contrainte de clivage avant la prédéformation d'amplitude e, et 'Y un coefficient trouvé égal à environ 2. Uco
Selon les modèles exposés ci-dessus et en conformité avec les observations expérimentales, la plasticité est nécessaire au développement de la rupture de clivage, mais son volume est très limité, ce qui confère à ce type de rupture son caractère fragile, sans signe précurseur à l'échelle macroscopique. III.2 TRAITEMENT STATISTIQUE La ténacité des aciers à basse résistance, qui se rompent par clivage à basse température, présente une forte dispersion. Pour en rendre compte, un traitement statistique basé sur la théorie du. maillon le plus faible ("weakest link model"), ~ncore appelé modèle de Weibull, a été développé [13]. Ce traitement permet egalement de rendre compte d'effets géométriques auxquels sont associés des volumes plastifiés variés: plus ce volume est important, plus le caractère fragile est accentué. De tels effets sont obtenus en modifiant par exemple l'épaisseur d'une éprouvette fissurée ou le rayon à fond d'entaille. C'est ainsi que pour les résultats des essais présentés sur la figure V.5, la surestimation du comportement observé aux fortes valeurs du rayon d'entaille de l'éprouvette Charpy est attribuée à l'augmentation du volume plastifié échantillonné. D'autres exemples sont donnés au chapitre VIII. Le matériau est divisé en mailles ou cellules élémentaires et la rupture se produit lorsqu'une de ces mailles rompt. 111.2.1 La maille élémentaire et sa rupture Les paramètres microscopiques de la rupture par clivage sont une taille caractéristique de la structure du matériau et en outre une contrainte de tension critique. Le matériau est en outre dans un état plastifié. A la taille caractéristique est associé un volume élémentaire V0 et à la contrainte de tension critique une ténacité K1c. Pour simplifier, on considère ici un état de déformation plane. On suppose dans le volume élémentaire plastifié ainsi réduit à un élément d'aire l'existence d'une fissure et d'une seule de longueur e, la longueur e pouvant être égale à 0, . et d'une contrainte de tension uniaxiale de tension u. La loi de distribution de la taille C est donnée par : Probabilité (e < C < e +de)= Pr (e
~
125
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
D. Miannay
124
Îcr
t.
y
Î
~
~
rr12
rupture
2 K1c non rupture
cr2
c
1
-1-cr
t
2
-1,
Klc' ~cr
2
c
Fig. V. l i - Définition de la maille élémentaire et établissement de sa probabilité de rupture.
On en déduit que la probabilité de rupture PR de cette maille élémentaire sous une contrainte uc est donnée par:
PR (u = uc) =
1"
/21oo
0
-2 f(e) de d(3 =
K~ff3a2 1r
1"
. /2 -2 [1- F ( (3J<21 ~ ) ] d(3.
0
1r
11'c
111.2.2 La rupture deN mailles élémentaires sous une tension uniforme On considère N mailles élémentaires sous une tension uniforme uc et on suppose qu'il n'existe pas d'interaction entre elles. On dit encore que les mailles sont indépendantes. On suppose en outre que la rupture d'une maille suffit pour entraîner la rupture de l'ensemble des N mailles. C'est la représentation du maillon le plus faible. La probabilité de non rupture PNR de ces N mailles sous la contrainte u c est donc donnée par : PNR
= 1- (1- PR)N = 1- exp N ln
(1 - PR).
On cherche à déterminer la limite de PNR lorsque N augmente indéfiniment, sachant que PRest très petit, c'est-à-dire lorsque le produit N hi (1- PR) prend la forme indéterminée oo x O. En écrivant :
e) = F(e)
La loi de distribution de l'angle d'inclinaison du plan de la fissure par rapport à l'axe de tension est supposée uniforme (Fig. V.ll). La rupture de cet élément se · produit donc lorsque :
on a:
FNR = (FRt ·
On s'intéresse donc à la répartition FNR des valeurs extrémales (ici minimales) d'une série d'échantillonnages indépendants et aléatoires de dimension N de
D. Miannay
126
valeurs de u d'une population dont la loi de répartition unique est FR. Aux valeurs minimales de u correspondent les valeurs maximales de c. On s'intéresse donc en fait à la queue de distribution de c. La théorie des valeurs extrêmes établit que, quelle que soit la distribution initiale FR, (FR)N converge vers une des trois formes asymptotiques possibles. Plus précisément, sous une forme résumée, un postulat de cette théorie est qu'il existe deux séries aN et bN et un paramètre k (tous dépendant de FR) tels que :
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
La loi de Weibull considérée pour un échantillon de dimension N s'écrit:
127
V/Va
+
J!.Too F: (aN+ bN y)= exp
uw est appelée la contrainte de Weibull et est donnée par :
[ -(1 :- ky) 1 fk].
Le paramètre k détermine le type d'asymptote. Plus. précisément, les types 1, II et III correspondent respectivement à k = 0, k < 0 et k > O. Le cas k = 0 est interprété comme la limite lorsque k tend vers 0, de sorte que l'asymptote du type I est définie par : lim F: (aN+ bN y)= exp[-exp (-y)],
N~oo
où aN et bN dépendent de FR selon:
m
Uw
=
(V) Vo u
m
.
Le paramètre u,.. ou paramètre d'échelle est appelée la contrainte intrinsèque de clivage, m est le paramètre de forme qui décrit la forme de la distribution des tailles des microfissures. Le paramètre de localisation ou de repérage de la loi classique est nul ici. Dans l'expression donnée ci-dessus, la probabilité de rupture sous une contrainte nulle n'est pas nulle, bien que très faible. Aussi dans cette expression est parfois introduit le paramètre de localisation ou de repérage qui constitue une borne inférieure. Ici la coupure sera introduite dans l'expression finale recherchée qui est la ténacité.
(exercice V.2). et
111.2.3 La rupture de N mailles élémentaires sous une tension non uniforme
FR (aN+ bN)
= 1-1/Ne.
Cette classe de distribution est désignée comme "la classe exponentielle" ou la loi de "Gumbel". Pour le cas k < 0, l'asymptote de type II est donnée par :
et pour k
Soit une structure soumise à des champs de contrainte et de déformation quelconques. Si le champ d~ contrainte et de déformation évolue peu à travers une maille ou un volume d'indice i, il est possible de déterminer pour chaque maille la contrainte de tension principale maximale, Uni· La contrainte de Weibull de la structure sera alors donnée par :
> 0, l'asymptote de type III est donnée par : lim F:(aN+bNy)=exp [-(-y)lfk].
la sommation étant effectuée sur l'ensemble des mailles plastifiées.
N~oo
Gnedenko a montré qu'il n'y a pas d'autre distribution limite des valeurs extrêmes. Pour identifier la forme asymptotique adéquate, on fait appel à des critères analytiques représentant des conditions nécessaires et/ou suffisantes, pour la fonction de distribution initiale. Ces critères ne sont pas rappelés ici. En particulier, si la queue de distribution de PR(x) est du type exponentiel, la loi limite est la loi de Gumbel et si la queue de distribution est en 1/xn, la loi limite est du type II ou III.+ On retiendra dans la suite la loi de Weibull pour la commodité de traitement qu'elle permet. On remarquera cependant que cette loi, approximation de l'ensemble des lois dans un large intervalle lorsque aN = 0, ne l'est plus pour les faibles probabilités.
111.2.4 Estimation des paramètres de la loi de Weibull Pour déte~miner, en fait pour estimer les paramètres met u, ou plus exactement m et v:fm u,.. puisque V0 doit être une donnée de départ, on utilise expérimentalement les éprouvettes de tension axisymétriques décrites au paragraphe II.2. car elles présentent des faibles gradients de contrainte et de déformation. En outre les trois types d'éprouvettes AE 2, AE 4 et AE 10 peuvent être considérées comme trois structures différentes, caractérisées, entre autres, par le taux de triaxialité. Ainsi, les paramètres sont estimés dans une série d'essais avec un type d'éprouvette choisi arbitrairement et il est possible de vérifier que les paramètres trouvés sont bien caractérisiiques du matériau et non de la géométrie en les comparant aux résultats obtenus avec les deux autres types.
D. Miannay
128
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
La valeur de V0 choisie initialement est liée à la structure du matériau. Ce sera par exemple (2d) 3 ,avec d la dimension du grain puisqu'il a été vu ci~ dessus que le processus élémentaire de rupture. de clivage se produit sur une distance de deux grains. Chaque type d'éprouvette peut être caractérisé à l'aide d'un calcul numérique préalable prenant en compte la loi de comportement du matériau et pour des valeurs spécifiées de m, par une relation entre la sollicitation CT = F f'rra 2 , F étant l'effort de traction, ou la déformation rationnelle e: = ln A 0 /A, A 0 , étant la section initiale et A la section courante, et la contrainte de Weibull CTw. Un exemple est présenté sur la figure V.12. La loi de comportement du matériau qui doit être extrapolée vers les fortes déformations doit rendre compte du comportement de l'éprouvette axisymétrique jusqu'à la rupture.
élastiqueAE
2~
129
classées par ordre croissant de valeur. Ainsi :
où
PNR
est la probabilité estimée. Si PNR a la forme de Weibull alors : j
1---=exp N+1
r(~:)r
ou
avec d'une façon générale P
élastoplast1qu~ pjast1que
~ cr
ln A/Ao
p,
cr
ln ln(1/(1-Prll 100
1000
w
,MPe 2000
99,9
%
%
70 63 10
50
1200 1300
1400
1500
1600 1700
1800
Comme autre estimation de PNR(CT), on peut utiliser j /N ou (j-0, 3)/(N +0, 4). Les différences entre ces estimateurs ne sont significatives que pour N faible. La méthode couramment utilisée pour déterminer les estimateurs consiste à effectuer un lissage par la méthode des moindres carrés par une des deux fonctions ci-dessus. Pour la. deuxième expression, cela revient à effectuer une régression linéaire. Le résultat obtenu dépendra donc de l'expression choisie. On commence par choisir une valeur arbitraire mais réaliste de m, soit m 0 , pour calculer CTw. Puis on effectue le lissage qui donne une valeur m 1 de m généralement différente de m 0 • On choisit alors une nouvelle valeur m 2 moyenne des valeurs de m 0 et de m 1 . Ainsi par itération on aboutit à la meilleure estimation et on détermine alors la valeur de CTu qui correspond à une probabilité de rupture de 0,63. La valeur trouvée dépend de la grandeur d'entrée qui est soit CTR, soit ER· A l'estimateur trouvé est associé un intervalle de confiance avec un seuil de confiance, fonction de l'effectif de l'échantillon, à l'intérieur duquel la valeur vraie se situe. Résultat
1900 2000
1650
cr W
,MPa
ln
crw
Fig.V.I2- Détermination des paramètres met cru caractéristiques d'un acier de nuance 16 MND 5 à l'aide d'essais mécaniques de traction d'éprouvettes axisymétriques entaillées.
Expérimentalement un échantillon de N éprouvettes est testé. La probabilité de rupture à une contrainte CT est estimée par jf(N + 1), où j est le rang de l'éprouvette lorsque les données de l'échantillonnage de dimension N sont
Pour les aciers à bas carbone et pour les aciers faiblement alliés, les valeurs couramment trouvées sont: - 8 < m < 45, les valeurs faibles correspondant à des aciers très fragiles avec parfois des amorçages intercristallins, et les valeurs fortes à des aciers moins fragiles avec parfois des traces de rupture ductile sur le faciès de rupture. Certains critères sur un intervalle de validité de la déformation à rupture des éprouvettes axisymétriques devraient aussi être introduits pour avoir une rupture pure de clivage. Ces critères permettraient également un échantillonnage de matière
D. Miannay
130
suffisant pour les valeurs faibles de la déformation à rupture, - 1500 MPa
131
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
Deux approches complémentaires sont utilisées pour rendre compte de la rupture ductile, l'une par l'étude des mécanismes élémentaires et l'autre par l'utilisation d'une méthode plus globale qui est la mécanique des milieux dommageables.
Rupture intergranulaire
cr rr{cr eq La rupture intergranulaire peut être décrite par des modèles analogues à ceux de la rupture transgranulaire. Ainsi, l'amorçage d'une microfissure dans un joint de grain se produit en tête d'un empilement de dislocationsselon le modèle de Stroh mais dans une direction imposée par le plan du joint de grain et pour une énergie de surface spécifique qui peut s'écrire : 2')'
= 2'Ys -
'Ygb,
'Ys étant l'énergie de surface du métal et 'Ygb étant l'énergie de cohésion du joint. Cette microfissure peut également apparaître selon le modèle de Smith, mais à l'interface de la matrice et du carbure ou du précipité au joint de grain. I.:énergie 'Ygb est alors l'énergie de cohésion entre la matrice et l'inclusion. La propagation se poursuit ensuite le long du joint de grain sous l'action de la contrainte appliquée normale. Le terme d'énergie complémentaire de déformation plastique, 'Yp, est de même nature que celui nécessaire à la propagation transcristalline. Finalement l'étape de franchissement du joint de grain est évidemment absent dans la rupture purement intercristalline. Dans un métal normalement sujet à la rupture transcristalline, l'énergie du joint est supérieure à l'énergie de surface du grain. La rupture intercristalline apparaît donc s'il y a une diminution suffisante de l'énergie de cohésion du joint de grain. Cette diminution peut être provoquée par la ségrégation au joint d'éléments solutés, tels que les métalloïdes S, P, As et Sb dans les aciers [14, 15] : c'est le phénomène de "fragilité de revenu" ("temper embrittlement"). Le plomb dans les alliages d'aluminium et l'hydrogène dans un grand nombre d'alliages structuraux entraînent également une rupture intercristalline. La ségrégation est généralement faible et peut se mesurer en fraction de monocouche de recouvrement. Un élément seul peut être inoffensif, mais sa combinaison à un autre élément peut conduire à une fragilisation. C'est par exemple le cas de l'hydrogène dans le nickel : seul, il est sans effet ; mais si du soufre existe au joint de grain, l'hydrogène a un rôle néfaste [16].
v.
l ,0
Rupture Ductile
Les deux principaux facteurs qui agissent sur le comportement en rupture ductile et qui sont à prendre en compte dans un modèle sont le t.aux de triaxialité des contraintes [17] (Fig. V.13) et la fraction volumique initiale de vides [18] (Fig. V.14) : la ductilité diminue lorsque le taux de triaxialité et/ou la fraction volumique initiale de vides augmente. La dispersion spatiale des vides, c'est-àdire la distance entre vides, intervient.
1,0
0,5
0
Er Fig.V.13- Variation de la ductilité à rupture en fonction du taux de triaxialité pour les deux orientations L-T et S-T d'un acier trempé revenu HY 130 (d'après Hancock et Mackenzie (1977)).
ductilité, 1,S.----....,-----------, ln "ÎJ 1A.t 1,0
0,3 0, l fraction volumique,f Fig. V.l4 - Variation de la ductilité à rupture en fonction de la fraction volumique de vides pour des alliages dispersés de cuivre (d'après Edelson et Baldwin (1962)).
D. Miannay
132 V.l
133
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
MÉCANISMES ELÉMENTAIRES
On distingue trois stades dans le développement de la rupture ductile (Fig. V.15): -un stade d'amorçage de vides par fissuration interne de précipités ou d'inclusions lorsqu'il n'existe pas initialement de vides comme dans le cas des matériaux frittés ou des matériaux avec des particules fissurées de façon interne, ce qui peut être facilement le cas pour les grosses particules, ou par des décohésions à l'interface particule-ma triee ("particle-ma trix interface"); -un stade de croissance de ces vides jusqu'à une dimension critique et - un stade de coalescence de ces vides qui se rejoignent pour donner la surface de rupture finale. Ces trois stades sont décrits ci-dessous.
a/ Amorçage de cavités inclusions
0
Rupture
Décohésion
Vide
V.l.l Amorçage
[; amorçage ou nucléation de cavités ou vides ("microvoid or cavity formation or nucleation") à partir d'inclusions ou de précipités se produit de deux façons différentes : - par rupture de particules dures, comme il a été décrit précédemment pour l'amorçage du clivage. Ces microfissures conduiront à la rupture ductile si les conditions de contrainte ne sont pas favorables à la propagation de la fissure de clivage; - par séparation de particules dures ou douces et de la matrice à l'interface particule-matrice par un procédé appelé décohésion interfaciale. Dans ce cas deux critères doivent être respectés : un critère d'énergie énonçant que l'énergie de déformation élastique libérée doit excéder l'énergie de formation des surfaces et un critère de contrainte à identifier énonçant que la contrainte locale appliquée doit excéder une valeur critique. Cette contrainte locale est en fait la contrainte nominale (en l'absence de la particule) dans la matrice au voisinage de la particule augmentée de la concentration de contrainte provoquée par la forme de la particule, des effets de déformation inhomogène et de l'interaction entre particules. Comme la déformation nominale de la matrice est importante au moment de la décohésion, ce critère est en fait un critère de contrainte critique assistée par la déformation. Pour les très petites particules, un traitement continu ne peut être appliqué et il est fait appel à la théorie des dislocations. Pour les plus petites particules, on constate que le critère d'énergie ne peut être respecté. A partir d'une certaine taille, la décohésion pourra se produire et cette décohésion est d'autant plus facile à l'échelle de la déformation que les particules sont grosses comme il est constaté expérimentalement (Fig. V.16) [19] et comme les modèles de déformation continue proposés ne peuvent rendre compte. Ainsi Argon et al. [20,21] ont établi les formes de relations suivantes à partir de l'étude de particules equiaxiales :
b/ Croissance des cavités
oao cf Coalescence des cavités
Après
Fig.V.15- Modèle microscopique de rupture ductile.
134
D. Miannay
. CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
nombre de particules .
nombre de particules
total
rompues
135
entre l'inclusion et la matrice. Beremin a proposé dans les deux cas la relation semi-empirique suivante, voisine de celle proposée par Argon (Fig. V.17):
6 k (Œeq-
Œa) + O"iM = O"c,
étant la limite d'élasticité qui est introduite pour rendre le critère indépendant de la température, O"iM ,la contrainte normale maximale, qui vaut dans le type d'éprouvette utilisée O"iM = O"m + 2/3 O"eq· Les deux dernières quantités, O"c et k, sont à identifier pour le couple matrice-inclusion et les valeurs trouvées dans la présente étude sont données sur la figure V.17. Un effet possible d'un écrouissage préalable est d'introduire à l'origine des particules rompues ou présentant une décohésion. O"a
100
4
0 4
0
8
12
16
1-sens long
1000
diamètre, )..lm Fig. V.16- Courbes mo?trant l'influence de la dimension des particules de silicium sur leur rupture dans des alliages aluminium-silicium (d'après Gangulee et Gurland (1967)).
CljM' MPa
env~IQppes
expenmenta es 900 800
-pour des particules n'interagissant pas : 700 50 O"eq
étant la contrainte équivalente,
O" rn
la contrainte hydrostatique
O"
et qm vaut 1 pour des particules equiaxiales. - pour des particules interagissant :
kO"eq
lo
+ O"m + C
la
Ra
150
200
250
creq -cr 0 , MPa
la con-
train~e locale critique et k un facteur tenant compte de la forme de's pcarticules
1 00
Fig. V.17 - Etablissement du critère de formation des cavités pour un aci~r ferrit~que faiblement allié 16 MND 5 (A 508). La température est comprise entre -196 et 100 . 1- sens long, sulfure fissuré <TiM + 1, 6 (<req-
= O"c,
ét~n~ la distance entre particules, Ra le rayon des particules et C
un coefficient numen~ue. E_n ~u~re, ~gon et al. ont _établi que, pour une fraction volumique de partr:ules m~eneure a 0,01, les particules n'interagissent pas, même aux très fortes _def,orma~w~s, et que pour une fraction supérieure à 0,1, la décohésion se prodmt des la hmite d'élasticité. . L~ forme des particules intervient dans le processus de formation des cavités. ~-nsi le groupe ~ere~i~ [22] a ét_abli au cours d'une étude métallographique d eprouvettes aXJsymetnques entmllées (AE) d'acier ferritique de nuance 16 MND _s rompues en traction que la formation de cavités à partir d'inclusions allongees de MnS se produit de façon différente pour les sens longitudinal et travers court : pour le sens longitudinal, la plupart des inclusions se rompent alors que pour le sens travers court le dommage correspond à une décohésio~
V.l.2 Croissance
r_: analyse est d'abord faite pour des vides individuels, c'est -à-dire en né~l.igean,t l'interaction entre les vides, ce qui est entre autres le cas des matenaux a porosité faible dans les premiers stades de la ?~f?rma~ion. S~uf ~our_ les matériaux à très haute résistance et à très faible ductlhte, la deformatiOn elastique peut être négligée et donc seule la déformation plastique est considéré~ pour l'établissement des modèles. Le comportement retenu dans la plupart des etudes est celui d'un matériau de Von Mises. Le cas de chargement le plus simple considéré est l'état axisymétrique (Fig. V.18) pour lequel la règle d'incompressibilité permet d'écrire pour les composantes des incréments de déformation :
136
137
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
D. Miannay
du dêo = - . r
ddu
dêr
=dr'
Elles vérifient la règle d'incompressibilité : dêr + dê9
- de/2
+ dê =
0
f---
2
2
- de/2
La règle d'écoulement de Von Mises s'écrit :
/
3 dê9 = - (u92
a 1 Modèle du cylindre
b 1 Modèle de la sphère
(d'après McCLINTOCK (1968)).
(d'après RICE et TRACEY (1 969)).
Fig. V. lB- Modèles géométriques pour la croissance d'un vide.
d'où la déformation équivalente :
Um
=
uo
avec
Um
=
la contrainte hydrostatique et la déformation équivalente. Les conditions limites sur les contraintes s'écrivent :
La pression hydrostatique vaut : Uzz
dêeq Um) - - ,
Ur(R) = 0,
+ Uyy + Uxx 3
Uzz.+ 2Uxx
3
et la contrainte équivalente :
Pour un matériau rigide-parfaitement plastique obéissant à la loi de Von Mises, de limite d'écoulement u0 , et pour un vide cylindrique (cas d'une géométrie axisymétrique) soumis à une déformation de tension en déformation plane, dê z = dê, comme indiquée sur la figure V.18 et en présence d'une contrainte transversale à l'infini u~, McClintock [23, 24] a trouvé la solution analytique exacte de ce problème axisymétrique, pour le taux de croissance de la cavité en fonction du taux de déformation dê. En effet, l'état de contrainte obéit à la seule loi d'équilibre suivante: dur
Ur- Uo
dr
r
ur;' = ~ { 00 (dê9 - dêr) dr. uo 3 }R dêeq r La résolution de l'équation différentielle portant sur la fonction du(r) et
représentée par la condition d'incompressibilité donne en tenant compte de la condition à la limite du = dR à r = R :
·
-+---=0.
La seule composante de déplacement est du(r) et les composantes de
déformation qui s'en déduisent sont :
En combinant l'équation d'équilibre et la règle d'écoulement, on obtient en intégrant:
De cette expression sont déduites les expressions ~e dêr, ~ê9 ~t d;:eq en fonc!on de dE. Ces expressions ~ont ensuite reportées dans 1expressiOn mtegrale de ur /uo.
138
D. Miannay
Le changement de variable suivant :
Pour un vide sphérique soumis aux mêmes conditions aux limites que celui de Rice et Tracey, Budiansky et al. [28] ont trouvé que pour les forts taux de triaxialité, le taux de croissance était donné par : ·
dR = ! [ 3 ug;o de: R 2 2 n ugq
conduit à: U
00
r
/J uo =Jo
dx
y'[+X2"
Après intégration et réarrangement des termes, la solution analytique s'écrit finalement :
dR de: R
= V3 sinh 2
(
u~
v'3u0
::::!
A exp ( 3 ug;o ) 2 so
::::!
+ (n-
l)(n
+ 0, 4319)] n
n2
A la limite pour n -+ oo, lorsque le matériau visqueux non linéaire tend vers le matériau rigide-parfaitement plastique cette expression tend vers l'expression du matériau sans consolidation donnée ci-dessus. (exercices V.4 et V.S).
) -
!
2
. R étant le rayon courant de la cavité et ug;o la pression hydrostatique. Pour un vide sphérique (cas d'une géométrie non axisymétrique pour lequel une solution exacte ne peut être trouvée), également soumis à un champ de déformation de tension en présence d'une pression hydrostatique à l'infini u= (Fig. V.18), Rice et Tracey [25, 26] ont trouvé par une méthode variationnelÏe et numérique que le taux de croissance moyen sphérique pouvait être approximé très précisément pour les forts taux de triaxialité ug;o / u eq, et légèrement par excès pour les faibles taux par l'expression analytique suivante : ddRR e:
139
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
2 A sinh ( 3 ug;o ) , 2 uo
avec A = 0,283. ~excentricité qui apparaît au cours de la déformation reste négligeable et n'est pas rappelée ici. En fait, cette détermination a été reprise plus précisément par Huang [27] qui a trouvé que, pour um/uo > 1, la valeur de A est égale à : A= 0,427. Ces expressions montrent que le taux de croissance varie exponentiellement c'est-à-dire très fortement, avec le taux de triaxialité. ' (exercice V.3). Pour un matériau visqueux non linéaire dont la règle de déformation est donnée par de:eq = de:o (ueq/uor, les composantes des incréments de déformation s'écrivent: 1 (ur- Um) dê r_- ~ dêo (Ueq)n2 u0 u0 ' -3df.:o (Ueq)n-1 (ue- Um) • d E:e-2 uo uo
Pour le cas d'un ensemble de vides, McClintock [24] a analysé le comportement d'un réseau périodique à deux dimensions de vides cylindriques avec une géométrie non forcément axisymétrique, soumis à une déformation de traction en déformation plane, de:. =de:, dans un matériau plastique de Von Mises obéissant à la loi de déformation : ou et dont les composantes des incréments de déformation s'écrivent:
der=~ e:o
n (Ueq)n- 2 (ur- Um), .2 uo uo uo
(Ueq)n- 2
3e:o (ue-um) de:e=--n 2 uo uo uo Les interactions entre vides sont en fait négligées. · Les contraintes transverses qui s'exercent sont désignées parux et par uy. Le rayon initial moyen des vides est Ro (Rox et Roy dans l'analyse complète présentée) et la distance initiale moyenne entre les vides est 10 (lox et loy dans l'analyse complète présentée). Le rayon courant des vides est R et la distance courante est l (Fig. V.19). Les incréments de déformations transverses qui s'exercent sont désignés par de: x et par de:y, avec de: x = dlx/lx et de: y = dly/ly La résolution du problème, similaire à celle du problème avec un matériau sans consolidation, conduit à :
dR y'3 n . (J3(ux+uy)n-1) = ---de:eqsmh -R 2 n- 1 2 Ueq n
-
+ de:x·+de:y . 2
Ce résultat obtenu dans le cas bidimensionnel a été extrapolé au cas tridimensionnel par McClintock [24] sous la forme suivante:
~ de:eq R
=
V3_n_ sinh ( V3u;;; ~). 2 n -1 Ueq n
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
D. Miannay
140
141
ln (R/Ro}/dEeq évolution
confinement
3
2
·~ ( -de/2 11)1--+J.-H--+-~
MARINI et al. (19851
2
8EREMIN (1981) RI CE et TRACEY (19691 / ' - - - - WORSWICK et PICK (1990)
0 a. Modèle de McCLINTOCK
I SOURCIER et al. (1986)
-1
b. Modèle de THOMASON
0 BARNBY et al. (1984)
f
WORSWICK et PICK (1988)
-2
ductilité, 1 •5r - - - - - - - - - - - - , ln fla lAt
0
KI
0,
Fig.V.20- Croissance des cavités en fonction du taux de triaxialité (d'après Pineau (1992)). V.1.3 Coalescence
Pour rendre compte de la coalescence finale des vides, plusieurs critères ont été envisagés successivement, l'évolution étant liée à la confrontation des modèles ou des relations empiriques avec les observations et les résultats expérimentaux.
0,1
0,2
0,3
fraction yolumique, f c. Comparaison
Fig.V.19- Modèle de croissance et de coalescence de vides cylindriques et comparaison du résultat aux résultats expérimentaux de la ductilité d'alliages dispersés de cuivre (d'après McClintock (1968), Thomason (1968) et Edelson et Baldwin (1962)).
Vérification expérimentale La figure V.20 [29] présente une compilation de résultats expérimentaux. Ces résultats peuvent être interprétés de deux façons différentes : - la tendance moyenne est celle prédite par. le modèle de Rice et 'fracey mais avec un coefficient devant l'exponentielle plus élevée et avec un effet de la porosité, ou -la tendance moyenne est celle prédite par le modèle de Rice et Tracey mais avec un coefficient dans l'exponentielle plus élevée.
V.l.J.l Contact entre les vides en cours de croissance Dans le cas d'un chargement proportionnel et d'un taux de croissance de vides important, la première équation de McClintock ci-dessus peut être intégrée simplement pour donner la déformation à rupture lorsque les vides se joignent :
(n-1) ln
-.!E_
= ----~~n~--~2~R~o----~ eq [ J3 (u,. + uy) (n· sinh
1)] .
êR
2
O'eq
n
Il résulte de cette formule ou des calculs intermédiaires que : - si l'une des contraintes transversales est de compression, les trous se referment; - l'influence de la triaxialité des contraintes est très importante : la ductilité diminue lorsque le taux de triaxialité augmente ; - la ductilité décroît lorsque n croît.
142
D. Miannay
En fait, la première déduction n'est pas vérifiée expérimentalement. Les deux autres déductions le sont. Mais ce résultat surestime les résultats expérimentaux de Edelson et Baldwin, comme il apparaît sur la figure V.19, lorsque l'on prend la formule suivante pour la fraction volumique de vides :
J113
= 2Rjl
et la correction de Bridgman pour le taux de triaxialité. V.1.3.2 Taux de croissance critique
Pour remédier à cette surévaluation, l'approche la plus évidente à mettre en œuvre est de limiter le taux de croissance au moment de la rupture et de définir un taux de croissance critique à partir duquel un phénomène de striction ou de cisaillement se produira sans augmentation de déformation complémentaire significative. Ainsi, un tel critère s'écrira par exemple pour des vides sphériques :
j d: ~ j Aexp ( ~ : : ) dê = ln ( ~)
(R/Ro)c l,~
2
• ~ • l'
s
tl
l
0
0
1
1,5 0
Thomason [31] a développé un modèle dans le cas d'un matériau rigide plastique contenant des cavités cylindriques de section droite carrée d'arête aa, régulièrement réparties selon un réseau de périodicité la (Fig. V.19). La déformation est plane. La contrainte normale maximale à l'infini est cryy et une contrainte transverse cr xx avec cr xx ::::; cr YY est appliquée. De ces deux données se déduit la tension hydrostatique. Au début, la déformation de l'ensemble est uniforme et l'incompressibilité est respectée. Les grandeurs aa et la deviennent alors ax, ay, lx et ly selon les directions des deux axes. Dans le plan perpendiculaire à la contrainte maximale, les ligaments entre cavités sont caractérisés par le rapport:
ay aa (lx- ax) Ua- aa) (la-aa) aa
ay (lx -ax)
~
~ aa
la lx Ua- aa) la ao
la la
~( 1 _aa)' ly
la
Jo étant.la fraction volumique de cavités. La loi d'endommagement du matériau s'écrit pendant cette phase de déformation uniforme: CT y =!Tm+ cr0, /2
ax = -lx-1-x-O"yM = CTyM
( 1- y "Jo) ,
étant la contrainte dans la matrice à travers les ligaments. Le critère proposé pour la coalescence est l'apparition de la striction dans le ligament, ce qui équivaut à un critère de contrainte pour un matériau rigide plastique. La coalescence se produit donc lorsque la contrainte dans le ligament est égale à la contrainte limite qui permet une localisation de la déformation dans le ligament ; ainsi par exemple, selon la théorie des lignes de glissement, cette contrainte est donnée par la relation (voir également la figure V.19) : cryM
~ + + T
s•
~
l lnn'
V.l.3.3 Autres critères semi-expérimentaux
soit,
c .
avec en fait cra remplacé pratiquement par creq· Une étude effectuée par le groupe Beremin [30] avec des éprouvettes axisymétriques sur un acier de nuance 16 MND 5 a permis de déterminer ce taux de croissance critique en fonction du taux de triaxialité pour les trois directions d~ s~ll~c~tation (Fig. V.21) : on constate que ce taux varie peu avec le taux de tnax1ahte et que ce taux est très faible même lorsque la fraction volumique de sulfures de manganèse est de 3 x 1o- 4 • La température a pour effet de diminuer ce taux critique.
2
143
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
+
À
À
À
À
""
À
2
L
-8
LI
1 :
~ 1,5 0,5
1,5 arr(a eq
Fi.g. Y,2.1 -;- Variations du taux de croissance critique de vides en fonction du taux de tnaxmhte dans des aciers de nuance 16 MND 5 : L=sens long ; T=sens travers · S=sens trav~rs court. Le coefficient A est pris égal à 0,283 et est donc-sous èstimé (d'ap;ès Amar et Pmeau (1985)).
cry~c =g [ cr 0
ay ] =0, 3 Ux-ax) +O,fi. Ux- ax) ay
Cette formulation appliquée aux conditions des essais d'Edelson-Baldwin sousestime les résultats obtenus (Fig. V.19). La différence est attribuée à la non prise en compte de la consolidation du matériau. Thomason a modifié ultérieurement son modèle pour intégrer cet aspect [32].
V.2
MÉCANIQUE DES MILIEUX DOMMAGEABLES
Cette approche consiste à assimiler le matériau comportant des vides de différentes tailles à un matériau poreux avec une distribution uniforme de vides, avec une fraction volumique f, puis à trouver pour ce nouveau matériau homogène et isotrope une loi constitutive semblable à la loi de Von Mises pour un matériau dense. La première loi a été proposée par Gurson [33]. Le solide constitué du matériau poreux est assimilé à un corps sphérique homogène, ou matrice, avec une cavité sphérique. Une analyse approximative de la situation limite du matériau rigide plastique conduit à la condition d'écoulement représentée par la fonction potentielle suivante : .P
= u~i +2 f o0
.P
Uo·
q1 cosh
(3-
q2 O"m) 2 2-uo- - .1 - (f qi) = 0,
r'
f*.= { f !*-fe fe- h=f; (f- fe)
Um) - (1 + P) = 0,
(exercice V.6).
= -0"~2 + 2 f
ce qui revient, par rapport au modèle de Gurson, à multiplier la proportion de vide, et à augmenter l'effet de la pression hydrostatique. En fait, les valeurs de q1 et q2 proposées par Tvergaard sont q1 = 1,5 et q2 = 1. Mais si cette condition décrit convenablement le comportement global, elle ne peut décrire l'accélération de déformation qui se produit juste avant la rupture. Aussi ce modèle a été modifié par Tvergaard et Needlman [35] qui remplacent dans l'équation ci-dessus f par une fraction volumique efficace de vides, telle que:
cosh ( 3 2 o-0
avec o-0 une variable interne représentant la résistance moyenne du matériau de la matrice, Ueq la contrainte équivalente au sens de Von Mises et um la pression hydrostatique. La figure V.22 schématise la forme de la surface d'écoulement pour différents niveaux de porosité. Pour f = 0, on retrouve le critère de Von Mises. Et pour O"m = 0, cas du cisaillement pur pour lequel la croissance des vides n'est pas observée expérimentalement, la contrainte d'écoulement est réduite dans un rapport égal au taux de porosité.
145
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
D. Miannay
144
pour f $fe pour f S fe
1:
avec fe, et !F des paramètres à ajuster. !F est la fraction volumique de vides pour laquelle la capacité de supporter la charge disparaît, c'est-à-dire que !* UF) = = 1/ql. Et fe a été déterminé récemment par Tvergaard [36] et a été trouvé comme variant linéairement entre 0,04 et 0,12 lorsque la fraction volumique initiale de vides, / 0 , varie entre 0 et 0,06. Pour le matériau de Gurson-Tvergaard,la règle d'écoulement retenue est la règle de normalité comme pour un matériau continu de Von Mises, avec toujours la condition d'incompressibilité de la matrice. La règle de normalité s'écrit:
1:
.
8.P
de;i = dÀ -8 , O"ij
et dÀ > o,
et la règle de conservation du volume de la matrice s'écrit : df = (1 - f) de;;.
En outre, le travail de déformation du matériau poreùx est égal au travail dans la matrice, soit : O"ij êij
= (1 - f) 0"~ ê~.
On en déduit la valeur du coefficient de proportionnalité dÀ : Fig.V.22- Variation de la contrainte équivalente en fonction de la pression hydrostatique pour différentes valeurs de la porosité, f (d'après Gurson (1972)).
Pratiquement, ce modèle surévalue la ductilité, ce qui est attribué au fait que l'interaction entre vides n'est pas prise en compte. Pour tenir compte de cette interaction, Tvergaard [34] considère un vide sphérique dans une cellule de base cylindrique et qui doit rester cylindrique au cours de la déformation pour que la compatibilité de déformation soit assurée entre différentes cellules. La condition d'écoulement trouvée s'écrit:
dÀ
= (1 -
f) 0"~ ê~ 8.P '
O"kl-aukl
u~ et e;,q étant respectivement la contrainte équivalente et la déformation équivalente de la matrice. Perrin et Leblond [37] ont analysé ce type de potentiel et l'ont utilisé pour étudier le comportement d'un matériau avec deux populations de vides de tailles différentes. Leur analyse montre d'une part que la valeur du paramètre q1 est
D. Miannay
146
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
plus vraisemblablement égale à 4/e, avec e la base des logarithmes népériens. Ils mettent également en évidence par le calcul le phénomène qui est observé expérimentalement : les petites cavités localisées près d'une grosse cavité croissent beaucoup plus vite qu'elle et vont donc coalescer en premier. Par absorption par la grosse cavité, ces arnas coalescés accélèrent la croissance des grosses cavités qui en coalesçant à leur tour, conduiront à la rupture finale. Ces auteurs ont également présenté [38] la loi de Gurson modifiée pour des vides ellipsoïdaux caractérisés par leur paramètre de forme A= ln (Rz/ Rx). Rousselier a int'roduit en 1979 un critère d'écoulement déduit de l'application de la théorie thermodynamique des solides plastiques continus. La solution retenue [39,40] est la plus simple possible, bien qu'elle ne soit peut-être pas la plus représentative. Ce critère s'écrit : CTeq/(1- f) cr~= 1- (DB(f3)/cr~) exp [crm/(1- f) cr1],
147
charge
~2R=2R 0
-2R
~2R=2R 0 -2R
Fig.V.23- Schéma montrant l'effet d'adoucissement associé au dommage. Influence de a1 et Jo et effet de la taille de la maille Le (d'après G. Rousselier (1987)).
avec pour la fonction dommage {3 : df3 = dJ / J(1- f) = D dEeq exp [crm/(1- J) cr1]
et
B({3)
= crtfo exp [!3/ (1- Jo+ Jo+ Jo exp {3)].
Il est tenu compte dans chaque terme où apparaît la contrainte, de l'incompressibilité liée au dommage et cr 1 est un paramètre caractérisant la résistance de la matrice à la croissance et à la coalescence. Pour D = 3A et cr 1 = 2creq/3, une analogie est retrouvée avec le potentiel de Gurson et le modèle de Ri ce et Tracey. Cette loi de comportement s'identifie à la loi de Von Mises pour un matériau compact, mais elle est de forme linéaire alors que la loi de Gurson-Tvergaard est de forme quadratique. Ce potentiel est introduit dans un code aux éléments finis et est couramment utilisé. Les paramètres ajustables sont d'une part cr 1 et même Jo, bien que normalement Jo soit déterminé à partir de la composition chimique ou d'une analyse métallographique, et d'autre part Le, la taille de la maille. Ces paramètres sont ajustés pour un matériau donné de façon à simuler exactement le comportement d'une éprouvette axisymétrique entaillée comme indiquée sur la figure V.23. Dans ce modèle c'est le paramètre Le qui gouverne l'accélération de la coalescence en fin de croissance. VI.
La transition fragile ductile avec les éprouvettes lisses et entaillées
La plasticité est nécessaire au déclenchement et au développement des mécanismes conduisant à la rupture. Celle-ci se produit donc lorsque la limite d'élasticité cr 0 est dépassée dans un essai sous sollicitation croissante. La rupture
de clivage se produit lorsque la contrainte atteint la contrainte critique de clivage cre, soit dès l'apparition de la plasticité sous la contrainte cr 0 , soit après une certaine déformation sous l'effet de la consolidation. Lorsque cette contrainte critique ne peut être atteinte, la rupture se produit de façon ductile sous une déformation critique ER· Le passage d'un mode de rupture à l'autre est désigné sous la terminologie de "transition fragile ductile". Ce phénomène est plus particulièrement prononcé dans les matériaux à faible et moyenne résistances de structure cubique centrée. L.a taille de grain et la température étant les deux paramètres influençant le plus la limite d'élasticité, il existe deux types de transition: une transition en taille de grain et une transition en température.
Vl.1
LA TRANSITION FRAGILE DUCTILE EN TAILLE DE GRAIN
La figure V.24 [41] présente la variation avec la taille de grain de la limite d'élasticité mesurée en traction et en compression, de la contrainte à la rupture et de la striction mesurées en traction à -196 oC pour un acier à bas carbone. La limite d'élasticité est gouvernée par la loi de Hall-Petch et la contrainte critique de clivage est celle qui correspond à la propagation dans un grain. Pour les tailles de grain importantes, lorsque la limite d'élasticité est atteinte la contrainte de clivage est dépassée et la rupture fragile se produit sans aucune ductilité. La détermination précise de la limite d'élasticité ne peut d'ailleurs être effectuée qu'en compression. Pour les faibles tailles de grain, la-contrainte critique ne peut être atteinte que par consolidation et la ductilité traduite ici par la diminution de la section ou par la striction augmente lorsque la taille de grain diminue. Pour des tailles de grain encore plus faibles la rupture est de type purement ductile, la ruine de l'éprouvette se produisant par striction. Il existe ainsi une taille de grain de transition.
D. Miannay
148
149
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
d,mm
0,25 0, ll 0,062
0.04 contrainte
a,
ln Ao/A
MPa 500
0,5
0 2
3
4
5
contrainte de rupture
·r=
1 1 1
d-l /2, mm -1 /2
1
Fig. V.24 - Variation avec la taille de grain de la limite d'élasticité mesurée en traction et en compression, de la contrainte à la rupture et de la striction mesurées en traction à -196 °C pour un acier à bas carbone (d'après Low (1954)).
%de grains avec fissures
0 lOO
Vl.2
LA TRANSITION FRAGILE DUCTILE EN TEMPÉRATURE
La figure V.25 [42] présente, pour un acier faiblement allié à gros grains, la variation avec la température de la contrainte de rupture d'éprouvettes lisses de traction et de la striction. Aux faibles températures la rupture totalement fragile se produit dès que la plasticité apparaît soit par maclage soit par glissement. Aux températures intermédiaires, dans le cas présent au voisinage de la température ambiante, la contrainte de clivage n'est atteinte que par consolidation et une ductilité apparaît. Aux températures supérieures, la rupture est de caractère totalement ductile. Aux faibles températurès la nature de la contrainte de clivage varie: aux plus basses températures la propagation dans un grain gouverne le clivage et la rupture est amorcée par une seule microfissure de clivage. Aux températures plus élevées le franchissement des joints de grain gouverne le clivage et plusieurs microfissures sont développées. On distingue trois températures de transition qui sont: T1 = température au-dessous de laquelle la rupture est totalement par clivage et amorcée par une seule microfissure de clivage. T2 = température au-dessous de laquelle la rupture est totalement par clivage et amorcée par des microfissures de clivage; c'est la température de transition de la ductilité dans les éprouvettes lisses. T3 = température à 50 % de fibrosité. Les paramètres qui influent sur la limite d'élasticité influent également sur la température de transition. (exercice V.8). Dans le cas des éprouvettes entaillées et des éprouvettes fissurées la plasticité nécessaire apparaît très tôt en pointe de fissure et la rupture peut se produire
% de flbroslté
0
50 % de striction
[
1
_d\: 1
-1
[ ,_
1 1
>
1
·:z r 1
1
>
1
-200° 0 Tl
T2
T
3
oo 1
>
température
Fig.V.25- Diagramme présentant la variation avec la température de : la contrainte de rupture d'éprouvettes lisses de traction en acier faiblement allié à gros· grains ; le pourcentage de grains contenant des microfissures de clivage ; le pourcentage de la fibrosité précédant le clivage sur la surface de rupture; la striction (d'après Hahn (1959)).
alors que le comportement global de la structure est élastique. Cet aspect a déjà été présenté au début de ce chapitre et sera plus largement développé au chapitre VIII. La présence d'une entaille ou d'une fissure a donc pour effet d'augmenter la température de transition.
150
D. Miannay
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CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE
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152
D. Miannay
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Exercices V.l. Pour déterminer la contrainte critique de clivage à partir d'une série d'essais Charpy instrumentés, on considère la température à laquelle ~ = 0, 8 Po de préférence à la température où ~ = Po car dans ce dernier cas la précision sur la détermination de la température est plus faible. Calculer dans ce deuxième cas les formules équivalentes à celles données pour le premier cas. V.2. Dans la théorie statistique du clivage, on suppose que la queue de la . distribution de la taille c des microfissures est représentée par : F(c) = 1 - k/cn
ou
f(c) = nkjcn+l.
Montrer que pour des niveaux de contrainte faibles la probabilité de rupture est donnée par la loi de Weibull avec m = 2n.
CHAPITRE V- CLIVAGE ET RUPTURE DUCTILE.
153
V.3. Pour le modèle de croissance d'un vide de Rice et Tracey, représenter le taux de croissance en fonction du taux de triaxialité. V.4. Montrer que l'expression de Budiansky tend vers l'expression de Rice et Tracey lorsque n -+ oo. V.5. Pour un matériau visqueux non linéaire et pour un vide cylindrique soumis à un chargement axisymétrique de déformation plane, établir la loi de croissance · du vide. V.6. Pour le modèle de Tvergaard de 1982, pour un faible taux de porosité et pour un fort taux de triaxialité, caractériser analytiquement l'effet d'adoucissement des vides. Quel est le taux d'évolution des vides? Comparer le au taux de croissance des vides du modèle de Rice et Tracey. V.7. Pour le modèle de Gurson-Tvergaard, donner les coordonnées des intersections de la courbe représentant le critère de plasticité d'un matériau dont la fraction volumique de vide est f = c avec les axes de coordonnées Ueq/u0 et um/uo. V.8. Caffinage de grain, c'est-à-dire la diminution de la taille de grain conduit-il à une augmentation ou à un abaissement de la température de transition ?
CHAPITRE VI
'ftaitement plastique des discontinuités 'ftaitement purement plastique et correction de grandes déformations Lorsque l'on considère dans son ensemble le comportement d'un matériau métallique au cours d'un essai de traction, deux points de vue sont à considérer, d'une part la nature du matériau et d'autre part le domaine de déformation (Fig. Vl.l ). D'une part, les matériaux appartiennent, soit à la classe des matériaux de faible ou moyenne résistance mécanique et à fort taux de consolidation, soit à la classe des matériaux à haute résistance mécanique et à faible taux de consolidation. D'autre part, on s'intéresse au domaine complet de déformation en faisant cependant abstraction de la striction et alors le domaine élastique peut être négligé et le matériau considéré comme purement plastique avec ou sans consolidation ; ou bien on s'intéresse principalement au début de la déformation et le matériau est considéré comme élasto-plastique. Les lois les plus utilisées pour décrire le comportement en traction (Fig. VI.l) s'écrivent de la façon suivante : - Pour un matériau rigide-plastique sans consolidation (matériau rigideparfaitement plastique, "rigid-perfectly plastic material") :
u =ur
quelle que soit la déformation, avec ur la contrainte d'écoulement plastique qui est par exemple souvent prise égale à : pour un acier ferritique : Uo
+ UM
ur= - -2- -
pour un acier austénitique : Uo
+ UM
ur=---
2,4
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
156
cr
cr
Je" comportement rigide-parfaitement plastique. · Pour un matériau élastique-parfaitement plastique :
'~{Z:
500
500
0, l
E -élasto-plastique
cr
E -élasto-plastique
cr
1500
pour 0' 2':
O'o
E
E ·plastique
cr
E
(ou 0' :S:
O'f)
(J'=
O'Q
- Pour un matériau élastique-plastique (ou élasto-plastique ), la loi est la loi de Ramberg-Osgood :
co
0,1
cr
O'o
!._ =
0,1
·plastique
pour 0' :S:
cr
500
500
E
-élasto-plastique
157
~ + a' O'o
(
0' ) n'
O'o
'
a' et n' étant des caractéristiques du matériau, et très souvent sans que cela soit nécessaire, O'o la limite d'élasticité et co = O'o / E la déformation à la limite d'élasticité, E étant le module d'Young.
-plastique
(exercice VI.l et Vl.2).
cr
Dans Je tableau VI.l sont données les valeurs numériques de ces lois pour différents métaux. D'autres lois d'écoulement seront également utilisées dans la suite.
500
Tableau Vl.l.- Paramètres de la loi d'Hollomon et de la loi de Ramberg-Osgood
de différents métaux. Métal
-rigide-par1aitement plastique
a/acier fenitique
-rigide-parlaitement plastiqUe
bi acier austénitique
.. rigide-parfaitement plastique
E.
cr,.
MPa
MPa
E,.
a.
n,
a'
n',
ref.
(1)
ci acier maraging
Fig.Vl.l -Lois de comportement en traction de matériaux métalliques. avec O'o la limite d'élasticité et O'M la contrainte maximale ou charge maximale ramenée à la section initiale dans un essai de traction. -Pour un matériau plastique avec consolidation ("power law hardening material"), la loi est la loi d'Hollomon :
:o=a(;Jn avec a et n des caractéristiques du matériau, et très souvent sans que cela soit nécessaire, O'o la limite d'élasticité et co = 0' 0 / E la déformation à la limite d'élasticité, E étant Je module d'Young. Dans le domaine de variation den, à une limite pour la valeur n = 1, cette équation représente Je comportement linéaire élastique et à J'autre limite, pour n tendant vers l'infini, cette équation représente
e.
oc
(1)
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D.Miannay
158
159
Dans ce chapitre on s'intéresse aux matériaux purement plastiques pour lesquels une solutio~ analytique peut être trouvée pour résoudre le problèm~_de rupture d'un corps fissuré constitué de cette matière. On supposera ~ue le nulieu est homogène et isotrope. En outre, la fissure reste immobile, ce qu1 correspond
Ces deux théorèmes se démontrent à partir du Principe des Travaux Virtuels. La démonstration n'est pas donnée ici.
au problème statique.
-Les contraintes résiduelles, les contraintes d'origine thermique, etc. (corollaire du théorème de la borne inférieure) ou les déformations initiales (corollaire du théorème de la borne supérieure) n'ont aucun effet sur la charge limite, pourvu que la structure reste essentiellement inchangée.
Matériau rigide-parfaitement plastique - Le chargement limite
1.
1.1
LE CHARGEMENT LIMITE
Pour déterminer le chargement limite d'une structure constituée d'un matériau rigide-parfaitement plastique, deux théorèmes sont utilisés pour encadrer la valeur de ce chargement [1]. Ce sont: a) Théorème de la borne inférieure : "Dans un solide co,nti~u rigide-plastique, il ne peut pas se produire de défom:ations plr:stiques s_ous l a~~wn de forces pour lesquelles une distribution de contramtes peut etre trouvee et qut · -satisfait partout aux équations d'équilibre, . - est en équilibre avec les forces extérieures et -est partout à l'intérieur de la surface de plasticité." . , . . ,. 1.: application de ce théorème donne une borne mfeneur_e pmsqu d ne .c~n cerne que les déformations élastiques. On cherchera donc a trouver une hnute supérieure de cette borne pour se rapprocher de la valeur réelle du chargement limite. b) Théorème de la borne supérieure : "Dans un solide continu rigide-plastique,
une déformation plastique doit se produire sous l'effet de n'importe quel ~stèm~ de forces pk, pour lequel une distribution de déplacements Pk peut être trouvee et qut est telle que: . . -les conditions de déplacement à la frontière, s'il y en a, sont satzsfmtes, -les déplacements peuvent être différenciés pour donner des déformations sans aucun changement de volume en chaque point et . . , , _ le travail plastique qui en résulte dans l'ensembl~ d~ r:zatériau et ~ut est ~ouve a partir de la déformation équivalente résultante est mfeneur au travail fourni par les forces extérieures sur les déplacements supposés
L: Pk dpk > !v
O"eq dê[q
dV,
k
avec a- la contrainte d'écoulement équivalente." 1.: app~~cation de ce théorème donne une borne supérieu~e puisqu'il ne .co.ncerne que les déformations plastiques. On cherchera donc a trouver une hm1te inférieure de cette borne pour se rapprocher de la valeur réelle du chargement limite.
Un certain nombre de corollaires de ces théorèmes ont été rassemblés par Drucker [2]. Parmi ceux-ci, on citera le suivant :
Les annexes 1 et II illustrent la résolution des problèmes du barreau avec une entaille (ou une fissure latérale), soumise à une contrainte de tension uniforme à l'infini ou à un moment de flexion pur. (exercice VI.3) Les annexes III donnent des valeurs pour un certain nombre de cas simples [3,4]. Le chargement limite représentant la charge maximale que peut supporter le corps fissuré, correspond à l'instabilité due au comportement purement plastique de ce corps. On utilise parfois la terminologie de "taux de confinement" ("constraint factor"). Ce taux représente le rapport de la charge limite du corps fissuré sur la charge de plastification d'une éprouvette lisse avec la dimension de la section réduite. Il apparaît également le facteur de concentration plastique, qui est le rapport de la contrainte maximale au voisinage de la fissure sur la contrainte uniforme dans l'éprouvette lisse. Dans le cas d'un matériau avec consolidation, la charge lilnite calculée avec la limite d'élasticité est souvent assimilée à la "charge de la plasticité généralisée" ("general yield load") correspondant à la charge où la plasticité se développant en tête de fissure atteint le bord libre opposé. 1.2
LE CHAMP DE DÉFORMATION
McClintock [1] a souligné que la forme du champ de déformation au voisinage immédiat du fond de fissure n'est pas unique iorsque le chargement limite est atteint et qu'elle varie selon la géométrie et le mode de chargement. Ainsi, par exemple, le champ de lignes de glissement de Prandtl caractérise les éprouvettes de flexion à entaille latérale et les éprouvettes de tt<nsion à double entaille latérale et la bande de cisaillement caractérise les éprouvettes de tension à entaille latérale et les éprouvettes de tension à entaille centrale. Des solutions obtenues par la méthode des lignes de glissement sont regroupées dans l'annexe III.2 Une justification de· ces champs peut être trouvée dans l'observation métallographique de coupes d'éprouvettes déformées en acier doux après attaque au réactif de
Fry (4].
'
160 1.3
D. Miannay
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
161
et
LE CAS TRIDIMENSIONNEL
1: annexe III.3 présente la solution de la charge limite pour une fissure semielliptique de surface dans une plaque plane soumise à des efforts de tension et de flexion.
ou
-Wdx-T-ds
oy
(exercice VI.4) II.
Matériau plastique avec consolidation - L'intégrale de contour
Le matériau purement plastique ("fully plastic") avec consolidation est assimilé à un matériau élastique non linéaire pour lequel l'état de contrainte O'ij peut se définir à partir de la densité d'énergie de déformation W par la relation : O'ij
==
ow
r
étant un contour quelconque entourant la pointe de la fissure, partant de la lèvre inférieure de la fissure et aboutissant sur la lèvre supérieure, et décrit dans le sens trigonométrique (Fig. VI.2), W la densité d'énergie de déformation, T le vecteur traction dirigé vers l'extérieur du contour et de composantes T; == O';j ni, u le vecteur déplacement du vecteur T, n le vecteur unitaire normal au contour et orienté vers l'extérieur et ds l'élément d'arc le long du contour.
~· Uéij
c'est-à-dire pour lequel la densité d'énergie de déformation :
W ==
Jor=n O'ij de:;j .
n'est fonction que des e:;j, et pour lequel la règle de déformation selon la théorie des petites déformations ("small geometry change analysis") est la règle de la déformation proportionnelle pour un matériau incompressible ("]z deformation theory"), soit:
x
s;i étant les contraintes réduites.
On considèrera en outre d'une façon générale le cas d'une structure fissurée non soumise à des forces de volume et avec une fissure dont les lèvres ne sont pas chargées. Ces cas seront introduits dans la suite comme des cas particuliers.
11.1
dy nx=cos 9= ds
LES INTÉGRALES DE CONTOUR
11.1.1 Définition de l'intégrale de contour J Pour des états plans, de déformation plane (uz = 0) ou de contrainte plane généralisée (O'zz = 0), Eshelby [5) et Rice [6,7) ont introduit et étudié extensivement les propriétés des deux intégrales de contour :
soit
ou Wdy-T- ds ox
x Fig.VI.2- Définition de l'intégrale de contour J.
1: intégrale J 1 et ses propriétés remarquables ont été plus particulièrement étudiées, car le mode d'ouverture et l'état de déformation plane sont considérés comme les plus dangereux pour un matériau; les références [8,9) de 1977 et 1983 constituent des synthèses sur ce sujet.
D. Miannay
162 11.1.2
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Propriétés de l'intégrale de contour J
163
avec en plus
aw
Pour établir l'indépendance de J vis-à-vis du contour englobant le fond de fissure, on commence par démontrer que cette intégrale est nulle sur tout contour quelconque fermé ne contenant pas la pointe de fissure (Fig. VI.3. a). a/Corps homogène isotrope sans discontinuité
rm a;i de;i = a;j a;;:.. '
a
& = ax Jo
It1.2.1. Première propriété: l'indépendance vis-à-vis du contour
car il exis~e la relation a;i = (e;i ), avec e;3 (x, y). -Le deUXIème terme de l'intégrale J s'écrit:
1T.-a . J au ds = x
au· ds a;i ni-' ax
'
ds,
b/Corps homogène isotrope avec fissure
car a;i =aii· La transformation de Green-Gauss du premier terme de cette intégrale à l'aide t , de la première relation en prenant f = 171 . et g - aui et du d ., 1 Bx euXIeme erme a l'aide de la deuxième relation en prenant g
= a 2i
et f = ~;, conduit à :
x
Fig.V1.3- Etablissement de l'indépendance de l'intégrale J vis-à-vis du contour d'intégration.
+ âul aau
Pour cela, on transforme sur ce contour l'intégrale de contour en intégrale de surface à l'aide de la transformation de Green-Gauss rappelée en annexe avec ses conventions d'écriture. - Le premier terme de l'intégrale J s'écrit à l'aide de la première relation de la transformation en prenant f = 1 et g = W :
ji
~: dx dy =
h
W dy,
ax ax aul aa12
dx dy + au'Î aal2 dx d + au2 aa22 d d a:z: ax Y ax ay x Y
+ &---ay dx dy,
=
JI
a:: dx dy,
Ôê·· II;j
en se servant au passage des équations d'équilibre et de la définition des déformations.
164
D. Miannay
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Les deux termes de l'intégrale J sont donc égaux et de signes opposés. Cette intégrale est donc nulle sur tout contour quelconque fermé ne contenant pas la pointe de fissure. · En présence d'une fissure, on considère le contour r fermé ne contenant pas la fissure et constitué en fait de deux contours r 1 et r 2 quelconques s'appuyant sur les lèvres de la fissure et de deux contours r+ et r- sur les lèvres de la fissure (Fig. Vl.3.b ). On a donc :
Jr = Jr,
+ lr+ - Jr, + lr-
Comme les lèvres de la fissure ne sont pas chargées et que y ne varie pas sur les lèvres, les intégrales r+ et r- sont nulles. On a donc bien :
Jr, = Jr,,
11.1.2.2 Deuxième propriété : J dérive d'un potentiel En plasticité, W n'est pas une densité d'énergie de déformation car la plus grande partie de cette énergie est dissipée dans la matière et n'est pas totalement disponible en pointe de fissure pour propager celle-ci, c'est-à-dire J n'est pas équivalent à l'énergie G de Griffith et d'Irwin. Ou, autrement dit, lorsque la propagation de la fissure démarre, l'hypothèse de proportîonnalité entre les contraintes et les déformations n'est plus vraie. Cependant dans le cas de la théorie de la déformation plastique proportionnelle, on peut montrer que J dérive d'un potentiel. La démonstration rigoureuse est délicate [5], aussi ne sont données ici que deux solutions approximatives intéressantes pour une interprétation physique.
-Démonstration avec un contour unique
Soit r Je contour externe du corps fissuré de surface A, sur lequel sont spécifiés les tractions et les déplacements, et soit le système de coordonnées lié à la fissure (Fig. VI.4. a).!; énergie potentielle est donnée par:
ce qui démontre l'indépendance de l'intégrale vis-à-vis du contour.
II =
Conséquence pour les champs de contrainte et de déformation
165
j LW dA - i T;u; ds.
Si l'on considère comme contour r un cercle de rayon r centré à la pointe de la fissure, on a :
J=
l
r
(fo'm O"ij dE;j cosO- O";fnjUi,l)
a/Le contour rest le contour du corps fissuré
dO,
y
Ti
et si l'on fait tendre le rayon vers 0, on constate que pour que J conserve une valeur constante non nulle indépendante du contour, il faut que
x
d'où
1
b/Le contourrest mobile avec la pointe de fissure
+,.
J =
_,.
f(O) dO.
y
Ti
>'
Comme les deux termes de l'intégrale sont proportionnels au produit a ijEij' celuici doit donc être une fonction inverse du rayon r, soit:
Cas particuliers -Fissure chargée sur ses lèvres (exercice Vl.5).
Fig.VI.4- I.:intégrale J dérive d'un potentiel.
-Présence de forces de volume et d'inertie (exercice V1.6).
La variation d'énergie potentielle due à une extension virtuelle de la fissure est
-Contraintes d'origine thermique (exercice Vl.7).
--------------------------------------=-----------~,~~~
v--------
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
166
donnée par: diT = da
JJ A
J = a aire =
dW dAda
1
Ir
T; du; ds. da
Or, on a: d a da = aa
a ax
+ ax aa
a
a
= aa - ax .
d'où: diT= da
jj
A
(aw- aW) dA aa ax
_1 Ir
T; (au;- au;) ds. aa ax
~utilisation des résultats partiels établis au cours de la démonstration de l'indépendance de J vis-à-vis du contour montre que les termes faisant intervenir les dérivées partielles par rapport à a s'annulent et que les termes restants représentent - J. On obtient ainsi le résultat cherché :
-Démonstration avec un contour qui se translate avec la fissure [8] On considère J le long d'un contour à la pointe d'une fissure qui croît d'une distance da et qui entraîne le contour avec elle (Fig. VI.4. b )• Si :
=
i
W dy-
i
T; ~~ ds,
en multipliant chaque terme par da :
i
W dy da
= l'énergie de
-lv" 0
oP dV = aa
1P" 0
aV dP aa ,
U = fov. P dV étant appelé l'énergie de déformation etC = de déformation complémentaire.
II.1.3
J.P"
V dP, l'énergie
0
Méthodes de détennination de J
D'une façon générale, la détermination de J est effectuée en utilisant sa définition d'intégrale de contour ou sa propriété de dérivabilité à partir d'un potentiel. Les méthodes sont numériques, d'estimation ou expérimentales. II.1.3.1 Méthodes numériques
Plusieurs méthodes de détermination de J sont utilisées. Elles font intervenir, soit des intégrales de contour et le résultat est peu précis, soit des intégrales de surface et le résultat devient plus précis et la méthode est plus facile à mettre en oeuvre. Ces méthodes peuvent être classées sous les rubriques suivantes : i) Intégrale de contour
]=-diT. da
J
aa
167
défo~~ati~~ ,gagné~ ~ o~ perdue) dans le
Dans un calcul aux éléments finis, J est calculé, en accord avec sa définition, le long de contours englobant la pointe de fissure. La précision numérique est d'autant meilleure que le contour est plus éloigné de la pointe de fissure. On doit cependant pouvoir vérifier que la valeur de J trouvée est indépendante du contour considéré. ii) Extension virtuelle de fissure
Parks [10] a été le premier à introduire la méthode d'extension virtuelle de fissure dans un calcul aux éléments finis. Dans un tel calcul, l'énergie potentielle du corps fissuré sollicité en mode I s'écrit : 1
déplacement au nouveau contour (pour l elasticite non lmeaire) et
II= 2[uf[K][u]- [uf[F]
1
T; au; ds da = le travail effectué par les tractions sur le contour au cours ax du mouvement. Ainsi, J da est l'énergie totale traversant le contour pour une extensio~ de fis.sur~ de da. C'est la même quantité d'énergie pour tout contour, y compns celui qm est représenté par la pointe de fissure, puisque J est indépendante du contour. J est encore appelée "taux de restitution de l'énergie" ("energy release rate")
Ir
Conséquence pour l'expression pratique de J Soit un corps fissuré soumis à un chargement P et soit V le déplacement du point d'application de la charge (Fig. VI.5). Soient les courbes ~e. cha,rge~ent pour deux longueurs de fissure voisines a et a + da . Dans ce ~atenau elastJqu,e non linéaire, l'aire comprise entre ces deux courbes pour un deplacemen~ donne, pour un chargement donné ou pour un chargement quelconque est donnee par J da. On a donc comme expressions équivalentes pour J :
avec [uf la matrice transposée du déplacement, [u] la matrice du déplacement, [K] la matrice de rigidité et [FJ la matrice de la force. Au cours du chargement du corps, le taux de restitution de l'énergie est évaluée à plusieurs étapes, sous chargement fixé, soit : 0 = 1 = _
(arr) aa
p
= a~JT [u]T {[KJ[u]- [F]}- ~[ufa[KJ [u]- [ufa[FJ. ~
2
&
&
Le premier terme est nul par définition. Le troisième terme est nul en l'absence de forces sur les lèvres de la fissure puisque l'évaluation est faite à force fixée.
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
168
16'
subissent une distorsion. Le taux de restitution de l'énergie s'écrit donc :
p
J da
v
a/Charge fixée
v
p
p
~a
,
~a+da
~da
p
G
v
b/Déplacement fixé
p
la sommation portant sur les éléments compris entre r 1 et r 2 . Cette méthode nécessitant une différenciation numérique est fastidieuse. E1 outre, elle n'est pas très bien adaptée aux problèmes de déformations thermiques Mais elle a été améliorée par de Lorenzi. De Lorenzi [11] a généralisé la méthode au cas d'un milieu continu, comme indiqué sur la figure Vl.6. Il considère deux contours r 1 et r 2 autour de la fissun de longueur a et un incrément de longueur de fissure oa. Au cours de cette extension virtuelle, les points internes à r 1 sont déplacés de la distance 8a et le. points externes à r 2 ne sont pas modifiés. Seuls les points compris entre r 1 e r 2 subissent une translation fonction des coordonnées ll.x 1 (xl). De Lorenzi • trouvé, en utilisant la méthode des fonctions de représentation, que le taux de restitution de l'énergie pouvait s'écrire :
= J = 2_
}A
(Œij
aUj - w 0;1) a ll.xl a X1 a Xi
dA,
= J = 2_ Oa
jj
A
(Œij
a - w o;1) .!!!i_ dA aUj X! a X;
avec () une fonction vectorielle de composantes (1 , 0) à l'intérieur du contou:
r 1 , de composantes (0, 0) à l'extérieur du contour r 2 , et de composantes varian continûment entre ces valeurs à l'intérieur du domaine limité par les contours r 1 et r 2 et les lèvres de la fissure. Ce résultat est à la base de l'implantation de il
J da
c/Chargement quelconque
Jr
A étant la surface comprise entre les contours r 1 et r 2 . Suo et al. [12] en utilisant la même méthode ont trouvé le résultat analogut suivant: G
O+dO
Oa
"méthode G(B)" dans un calcul aux éléments finis.
v
Fig.VI.S- Définition pratique de l'intégrale J comme dérivée d'un potentiel. Parks considère ensuite deux contours r 1 et r 2 autour de la fissure de longueur a (Fig. Vl.6) et un incrément de longueur d~ fissu;e ~a. A~ cours de cette e~t-ension virtuelle les éléments internes à r 1 sont deplaces oe la distance oa et les elements externes' à r 2 ne sont pas modifiés. Seuls les éléments compris entre r1 et r2
iii) Intégrale de domaine de l'énergie Cette méthode proposée récemment par Shih et al. [13] est simple d'emploi efficace et applicable à un très grand nombre de lois de matériaux. A partir de h définition de l'intégrale J :
J=i
r,
en prenant un contour fermé au voisinage de la pointe de fissure, analogue at contour utilisé pour l'établissement de l'indépendance de l'intégrale à l'égard dt contour (Fig. VI.6), en désignant par m; la normale extérieure à ce contour fermi et en introduisant une fonction q continue dans le domaine fermé qui vaut 1 sur l<
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
170
ï2
171
contour interne et 0 sur le contour externe, ces auteurs obtiennent l'identification suivante: J =-
Jr Ir
(w
b1i- O"ij
aUj) a xl
q ffii ds-
1
lr++r-
0"2j
aUj axl
q ds.
Le deuxième terme est nul en l'absence de forces sur les lèvres de la fissure, ce que l'on supposera ici dans la suite. {;utilisation du théorème de Green-Gauss sous sa forme d'écriture équivalente (voir annexe) permet la conversion de cette intégrale de contour en intégrale de surface, sur la surface A limitée par le contour r, soit:
a
1l ( . aau aaq -Il [aaw aa ( aauj)] W
J=-
1 )
81i- u i i - x1
-----
xi
xi
--dA xi
O"ij--
qdA.
x1
La deuxième intégrale du second membre est nulle en l'absence de forces de volume, comme il a été montré dans l'établissement de la propriété d'indépendance. D'où finalement:
a +8 a Méthode de PARKS (1977)
Méthode de deLORENZI (1985)
J
=-
j j (w A
81i - O"ij
aaUj) ~ a Xi dA. X1
La forme générale de cette expression est donnée dans la publication de Shih et al. On peut remarquer que cette expression est identique à l'expression de De Lorenzi si la fonction q est prise égale à q = b.xl/8a. Shih et al. ont décrit des fonctions q possibles, telles que les fonctions "pyramide" et "plateau". Dans l'ensemble de ces méthodes, le contour r 1 peut être pris comme la pointe de la fissure. 11.1.3.2 Méthodes d'estimation- Cas des fissures profondes
r =11 +r+-- 12+ rMéthode de SHIH et al. (1986) Fig.Vl.6- Principe de détermination de l'intégrale J dans un calcul aux éléments finis.
Pour des corps fissurés dans lesquels les longueurs de fissure sont très importantes devant les longueurs des ligaments restant, Rice et al. [14] ont proposé des formules estimatives en procédant à certaines modélisations simples de comportement pour les cas de tension et de flexion et pour un matériau rigide plastique. Le cas de la combinaison de la tension et de la flexion a été étudié par Merkle et Corten [15]. Le principe de la méthode consiste d'abord à écrire que, d'un point de vue dimensionnel, on doit avoir des relations de la forme suivante : - Cas de la tension :
D. Miannay
172
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
173
Comme
- Cas de la flexion :
on a - Cas de la flexion plus tension :
Or
avec d'une part, P la charge de tension, P0 la charge limite et V le déplacement du point d'application de la charge, et d'autre part M le moment de flexion, Mo le moment limite et (} l'angle de rotation.. Ces expressions permettent de calculer J à partir de la courbe chargedéplacement du corps fissuré. - Dans le cas de la tension, la dérivée partielle de V s'écrit :
_av = !:_ !' ab
b
Po = uo(W- a) a, a étant le coefficient sans dimension qui détermine la largeur sur la section réduite sur laquelle les contraintes internes équilibrent l'effort de tension externe, d'où, en utilisant l'expression de a déduite de l'équilibre des forces et des déplacements,
a
Po _Qg_= _2_ 1 +a Po W -a 1+a2 '
(!:.-) _1 ·(!:.-) = ~ (P av _v) . b b b ap
L'utilisation de cette expression et de l'expression
1 ava p•
J=
0
De même, comme le centre de rotation est situé au point d'inversion des contraintes et comme la rotation est considérée comme faible
9=
dP
a
v
.
a+(1+a)a/2'
d'où
conduit, après intégration par partie, à :
a9 aa
(1- 2a- a 2) (1 + a2)
2
v
- - --a-'----...-:-2
a(} - w- a
av
Cutilisation de ces expressions et de l'expression - Dans le cas de la superposition de la tension et de la flexion, l'inversion de la formule correspondante ci- dessùs s'écrit:
J=
-1v. 0
P
=Po(a) k(9)
ap ak a9 aa = Po 89 aa
conduit au résultat final J= _2_ 1+a fv W- a 1 + a 2 } 0
avec comme dérivée par rapport à a : Pa Po aa .
+ Po
ap dV aa
(!:.-) B
dV+-2-a (1-2a-a 2) {P dP W- a (1 + a2) 2 } 0
Cette équation a été modifiée par Clarke et Landes [16] qui considèrent l'énergie complémentaire comme négligeable dans les essais de détermination de ténacité
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
174
175
Uhl
et qui simplifient l'expression, pour donner : 'f/U J = Bn b'
avec Bn, la largeur de la section réduite ; b, la dimension du ligament et A, l'aire sous-tendue par la courbe charge-déplacement du point d'application de la charge et avec :
1
{1 +a) 'f/=2 [ {l+a2) '
où
- Dans le cas de la flexion pure, a est nul et l'intégrale se réduit à 2J--
-w-a
lv (p) -
0
B
(exercice VI.S) Ces estimations qui revêtent une forme simple, mais restent très précises, sont intéressantes pour étudier la sensibilité de J à certains paramètres.
Begley et Landes [17] ont été les premiers à utiliser pratiquement la propriété de l'intégrale J de dériver d'un potentiel et donc de déterminer expérimentalement J. Pour cela, des éprouvettes avec des entailles usinées très fines de différentes longueurs voisines, et avec des fonds émoussés pour éviter la rupture, sont testées mécaniquement et J est déterminé à partir des enregistrements charge-déplacement de la façon indiquée sur la figure VI.7.
Pour les états multiaxiaux, la loi de déformation du matériau d'Hollomon est donnée par,
= ~ a (CTeq) n- 1 Sij ,
p
avec
J à J'aide d'éprouvetdifférentes lon ueurs d ~n)tallle ; b) Courb~s d_e l'énergie de déformation déduites des courbes donn~es en a, c ou d) Courbes dedmtes de b).
11.2.1 Description des champs de contrainte et de déformation au voisinage immédiat d'une fissure- Champ HRR 11.2.1.1 Champ asymptotique
?e
CAS PARTICULIER DU MATÉRIAU D' HOLLOMON
éij
d)
Fig.~l.7- Méthod~ expéril;nentale de détermination de l'intégrale t~s a 1:md de fissure emousse. a) Courbes charge-déplacement pour
11.1.3.3 Méthodes expérimentales
11.2
v
c)
(exercice VI.9)
3
CTeq = ( 2 SijSij
)
1/2
éo 2 cro cro étant les contraintes réduites. Pour ce matériau, l'intégrale J décrira les états de contrainte et de déformation au voisinage du fond de fissure, ce qui entn(mera plusieurs propriétés importantes.
. eindépendance !'_intégrale J par rapport au contour entraîne que le produit cr,,é,, e~t _une f~nctron mverse du rayon r comme il a été vu-ci-dessus. Donc, pour un matenau d Hollomon, les composantes des contraintes et des déformations lo~sque r tend vers zéro doivent être, pour respecter la forme de la relation eXIstant entre CT;j et é;j, de la forme: cr;,= k
(~) 1/(nH)
Sij
éij
= k' (
~) n/(n+l)
D. Miannay
176
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Hutchinson [18] à l'aide des fonctions d'Airy ainsi que Rice et Rosengren [19] ont résolu le problème et ont proposé comme solution les expressions suivantes pour un coefficient de consolidation n fini : Œ;j
= Œo
(
J
)
O
ae:o
1,0
1,0
êf;j(B, n), nT
e:;j = ae:o ( I , O
u?
E
(J
1/(n+l)
I
J
U; _
177
0
e
0
)n/(n+l)
n
0
Ë;j(B,n), (J
(-J ) nj(n+1) T 1 /(n+l)ü;(B, n), ae:ouoin
1,0
avec êf;j(B, n), Ë;j(B, n) et ü;(B, n) des fonctions sans dimension de l'angle polaire B, dépendant du mode de sollicitation (mode d'ouverture, de cisaillement), den, et du fait que l'état est soit de contrainte plane ou soit de déformation plane. In est un coefficient de normalisation qui dépend de ces mêmes paramètres et qui vérifie approximativement en mode d'ouverture la relation : 7l' ) 1/(n+l) (
In
0 0
e
n
a
n
,
~ 1.
u?
représentent les translations possibles du corps rigide. Ces fonctions sont normalisées de façon que la valeur maximale de Œeq soit égale à l'unité. Cette solution correspond à ce qui est appelé le champ singulier HRR. Les.variations des contraintes adimensionnelles ;;ij ( (}, n) et des déformations adimensionnelles Ë;j(B,n) en fonction de l'angle(} [18,19] sont illustrées sur la figure Vl.8. Les valeurs de ces fonctions déterminées numériquement ont été tabulées par Shih [20]. La variation de In est illustrée sur la figure Vl.9. • Quel que soit n, la contrainte u 88 est maximale pour (} = 0, avec une faible déformation équivalente e:eq et avec une pression hydrostatique u m élevée : l'élévation de la composante de contrainte est liée à l'élévation de la pression hydrostatique et non à la consolidation provoquée par un écrouissage. La contrainte équivalente Œeq et la déformation équivalente ceq est maximale vers(} = 7l' /2 avec une pression hydrostatique Œm faible : la déformation plastique intéresse plus particulièrement un secteur situé vers(} = 7l' /2. • Pour n = 1, on retrouve la solution élastique. • Lorsque n est infini, c'est-à-dire dans le cas du matériau parfaitement plastique, la solution exacte ne peut être trouvée et la solution obtenue en faisant tendre n vers l'infini n'est qu'une solution possible [1]. Cette solution est donnée par le champ des lignes de glissement de Prandtl qui existe dans une éprouvette de tension avec deux entailles latérales profondes. Cette solution conduit à des valeurs infinies de Œ;j et de e:;j lorsque T tend vers zéro. Donc cette solution asymptotique perd sa réalité au voisinage immédiat de la pointe de la fissure. La solution est alors à trouvée en faisant appel à la théorie des grandes déformations, comme cela est traité dans la suite.
Jt/2
0
(J
j. e
Jt
0
n=GO er
1
e
1
Jt/2
e
n
~ig.V1.8- yariations angulaires des contraintes et des déformations normalisées a;j(e, n) et e:;j(O, n) (d'après Hutchinson (1968) et Rice et Rosengren (1968)).
CHAPITRE VI~ TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
179
D. Miannay
178
et finalement à :
1 1 1 1 1 1 1_
6
'
5.5 5
1n
déformation plane -
........._,
!"---.;
flt
-~---
X
4.5 4
-
!"'---
flt
3
1
1
1
12
10
8
6
4
, . Sh'h [21} a défini une ouverture à Dans la théorie des petites def?rmDa~IOnls, rr:ent") 6 comme l'ouverture où "Crack Tip Openmg lSp ace ' t. fi fond de fissure ( - . . . d 450 departetd'autreduplandela ssure, les droites tirées avec une mc.linaldsonfi e ncontre les lèvres déformées de la en arrière à partir de la pomte e ~sure re fissure (Fig. VI.10). flt est donc donne par:
== 7r) == uy(r,O == 7r),
soit avec u, et uy étant écrits sous la forme simplifiée : n/(n+l)
== (:o )
·n == y
(.!__ )
.
r1f(n+Ilü,(8
== 7r,n),
rl/(n+llüy((J
== 1r,n);
n/(n+l)
O'o
J )n/(n+l) 1/(n+llü (8 == 7r n) == r- ( r "' ' O'o
.(.!__ )
n/(n+l)
rlf(n+l)üy((J
O'o
ce qui conduit à :
== (:0 )
n/(n+l)
(ü.,(8
n)
+ ûy(O = 1r, n)) 1 fn.
a donc comme forme :
= 1r,n) + üy((J = 7r,n))
avec dn d (aê 0 , n) un coefficient sans dimension calculé par Shih et dont les variations sont représentées sur la figure VI.lO. d (aê 0 , n) dépend fortement de n mais très peu de aê 0 • La limite de flt pour n tendant vers l'infini n'est qu'une solution possible, car la solution dépend de la géométrie du corps fissuré. Par exemple, alors que la limite de d (aê 0 , n) est égale à 1 en contrainte plane, d vaut respectivement 0,87, 0,67 et 0,51 pour l'éprouvette de tension à fissure centrale, pour l'éprouvette de tension doublement fissurée latéralement et pour l'éprouvette de flexion fissurée.
11.2.1.2 Paramètre de triaxialité Q La solution ci-dessus, ou champ singulier HRR ne représente en fait que l'identification du premier terme asymptotique tendant vers l'infini lorsque r tend vers zéro, de la solution complète qui pourrait se présenter sous la forme d'un développement en série. Des études pour identifier les différents termes de la série ont été faites pour un matériau élastoplastique. Cet aspect est traité au chapitre VII. Cependant dans la mesure où l'influence du terme plastique l'emporterait sur le terme élastique, la solution pourrait s'appliquer au matériau d'Hollomon.
11.2.1.3 Correction de grandes déformations- Zone à forte déformation et à grand déplacement ("Large déformation zone")
d'où:
r
71",
=
14
,. , . HRR I en fonction de l'exposant de Fi .VI.9- Variation de la con~tante d mtegrat•on n . co~solidation n (d'après Hutchmson (1968)).
u,
1/(n+l)
_l
n
r- u,(r,e
= 71", n)(ü,((J =
J)
O'o
1
2.5 2
Üy((J
n/(n+1) (
contrainte plane-
:---;- ..L
3.5
(O'oJ)
= 2uy = 2 -
(n+l)/n
'
== 7r,n),
Pour traiter des grandes déformations qui apparaissent en pointe de fissure et qui conduisent à son émoussement, Rice et Johnson [22] ont fait une analyse par la méthode de la couche limite ("boundary layer method"), en considérant d'abord un matériau rigide-plastique en fond de fissure et un émoussement progressif (sans vertex) ("smooth blunting"). La solution limite à grande distance est, soit la solution élastique caractérisée par le paramètre K 1 et on parlera alors de "plasticité confinée limitée", soit le champ de lignes de glissement de Prandtl comme dans le cas de l'éprouvette de tension doublement fissurée. La "plasticité confinée limitée" sera plus amplement développée au chapitre VII. !;émoussement se fait par un champ de lignes de glissement logarithmiques qui transporte la matière de la zone située vers 0 = 1r /2. Ce champ est identique
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
180
=
Fissure aigue
J=O
181
On remarque l'abaissement de triaxialité, liée à la présence de la surface libre en pointe de fissure, qui entraîne une diminution de O"yy et une augmentation de êeq· Dans le cas d'une consolidation décrite par ê/êo = (o- fo- 0 )n, pour déterminer l'état de contrainte, Rice et Johnson calculent la contrainte réduite à partir de l'état de déformation correspondant aux lignes de glissement avec infini et la pression hydrostatique à partir de la surface libre de la fissure. Le résultat trouvé, réactualisé par McMeeking [23, 24] pour tenir compte d'une meilleure estimation de l'ouverture à fond de fissure en fonction du coefficient de consolidation n est représenté sur la figure Vl.8, la nouvelle expression de l'ouverture étant :
)
x
n
Profil déformé
J
J [ 2 ;;,(n v3
Dt = 0, 6- = 0, 6O"f
+ 1){1 + v)êo ] 1/n
O"Q
o-r étant la limite d'écoulement de la loi de comportement plastique considérée par Rice et Johnson, cette loi étant valide au-dessus de o-0 • Si R(B) désigne le "rayon" de dominance du champ singulier HRR, c'est-à-dire de la région où le champ singulier fournit ùne bonne approximation de la solution aux faibles déformations, une condition pour la dominance de J est donc que :
J
Dt= (a: êo,n)O"Q
R(B) o.=l 1,0
11.2.2 Expressions et détennination de J
déformation plane
Il n'existe pas de solution analytique donnant le paramètre J en fonction du chargement et de la géométrie du corps fissuré. Cependant dans le cas du matériau d'Hollomon, des solutions de type analytique sont proposées. En fait ce sont des approximations, des estimations, qu~ revêtent différentes formes classées de la façon suivante. ·
0,8
d n
> 3 Dt.
o.=l
o.s 0,4
0,2
11.2.2.1 Solutions semi-analytiques de Hutchinson 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1 1n
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 1n
Fig.VI.lO- Ouverture à fond de fissure selon l'analyse aux petites déformations (d'après Shih (1981)).
He et Hutchinson [25] ont proposé des solutions semi-analytiques approximatives, mais très précises, pour les deux i:as simples de base : - Fissure de longueur 2a en configuration d'lnglis soumise à une contrainte o- à l'infini en déformation plane : =
J
à celui du modèle de Tetelman (voir chapitre III) avec ici w = O. La solution analytique, puis numérique, fournit (Fig. VI.11): , . -la forme de l'émoussement, avec l'ouverture à fond de fissure Dt defime comme la distance entre les deux lèvres de la fissure qui restent par~llèles~ . . _ la distance sur laquelle l'état de grande déformation se fait sentir, smt enVIron 2 Dt et . . _ l'état de grande déformation le long de l'axe x en avant de la fissure qui vane comme 1/r.
a: O"o êo
7rVn (
y3 ~ )
n+l
2 ua
a
- Fissure circulaire de rayon a soumise à -une contrainte o- normale à l'infini dans · un milieu infini : J
6 a: o-0 êo a = ;: .
A 1
1+n
(
V3o- )
2
ua
n+l
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
182
183
11.2.2.2 Tabulations numériques de Shih Shih [26] a considéré le théorème suivant : Théorème d'Ilyushin : "Une solution à un problème avec conditions limites qui comporte un seul paramètre de chargement ou de déplacement qui croît de façon monotone, possède deux propriétés importantes. La première est que les grandeurs du champ qui incluent des paramètres de la fissure, tel que l'intégrale Jou l'ouverture de fissure, augmentent en proportion directe avec le paramètre de chargement ou de déplacement, élevé à une puissance dépendant de n. Par exemple, si P est le paramètre de chargement, la contrainte en chaque point est proportionnelle à P, tandis que la déformation est proportionnelle à pn. La deuxième propriété découle de la première. Comme les contraintes et les déformations en chaque point augmentent proportionnellement les unes aux autres, la solution du problème purement plastique basée sur la loi d'Hollomon est aussi la solution exacte du même problème pour une théorie de plasticité incrémentale ("flow theory ofplasticity")." En se servant de la première propriété, Shih a proposé de normaliser les solutions qui sont obtenues numériquement en les mettant sous la forme suivante :
x
cro/ E=0,0025 cro/ E=0,0050 0
Q
1=4)' !
J=J
0,015 (O"OiE=0,0025)
0,010
0,005
XI(KPo l
1
6o
x
1
:>
10o ( croiE=0,0025 )
x
:>
J=O
Fig.VI.ll- Prise en compte des grandes déformations en pointe de fissure (d'après Rice et Johson (1970) et McMeeking (1977)).
J étant l'intégrale de contour, 8 l'ouverture de la fissure, V le déplacement du · point d'application de la charge, P la charge par unité d'épaisseur, Po la charge limite, a la longueur (ou demi-longueur) de fissure (parfois b, la dimension du ligament, apparaît à la place de a). Les fonctions h1. h 2 et h 3 sont des fonctions adimensionnelles de afbet den seulement et ont fait l'objet de compilations telles que celles des références [26-29]. A titre d'exemple, les valeurs numériques de ces fonctions pour l'éprouvette à fissure cen~rale en tension et pour l'éprouvette à fissure latérale en flexion sont données dans les annexes lV.l et IV.2 de ce chapitre.
11.2.3
Critères de rupture
J décrit les champs de contrainte et de déformation dans' une zone très proche du fond de fissure. A plus grande distance les deux paramètres J et Q décrivent ces champs. Donc J, q,u Jet Q, peuvent être des paramètres de chargement caractérisant la rupture et sont alors des caractéristiques du matériau indépendantes de la géométrie et du mode de sollicitation (flexion, tension, etc.), de la même façon que K1c caractérisait la rupture des structures à comportement élastique. Une norme est recommandée pour mesurer lie·
184 11.3
D. Miannay
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
CAS D'UN MATÉRIAU AVEC UNE LOI DE DÉFORMATION NON ANALYTIQUE[;APPROCHE D'AINSWORTH
Dans le cas d'un matériau dont le comportement ne peut être décrit par une expression analytique de type Hollomon, ce qui est par exemple le cas des matériaux présentant un crochet à la limite d'élasticité, Ainsworth [30] a prop?sé d'étendre l'approche de Shih décrite ci-dessus pour déterminer une expressiOn approximative de l'intégrale J, paramètre dé chargement, indépendante_ du coefficient de consolidation. Dans ce cas, il est proposé de considérer la contramte équivalente de la loi de comportement comme une contrainte de référence telle que: t1ref
III.
H
Le problème tridimensionnel
Dans le cas d'une fissure tridimensionnelle, un système local de coordonnét peut être défini en tout point du front de fissure comme il est indiqué sur la figUI Vl.12. Et dans tout plan Oxy perpendiculaire au front de fissure l'intégrale d contour J peut être calculée numériquement. cependant cette intégrale n'étar pas une intégrale de surface ne peut représenter un taux de restitution d l'énergie. En trois dimensions, la définition de J à partir d'un potentiel va êtr conservée.
P
-;;; == Po' uri étant la limite d'élasticité du matériau, P la charge appliquée et Po la charge limite liée à uo. I.:introduction de cette expression dans l'expression de J d'un matériau de Hollomon: p )n+l J == a u 0 co a h1 ( ; , n) ( Po ·•
front de fissure définition du système local de coordonnées
conduit à: a ' J == a u 0 co a h1 ( W, n)
(-;;; )1( -;;; )n • t1ref
extension virtuelle pour la définition du taux de restitution
t1ref
moyen
soit:
local
Fig.VI.12- Définition en trois dimensions du système de coordonnées locales et de! extensions virtuelles pour la définition des taux de restitution de l'énergie moyen et local
J ==a h1
(;,,n) t1ref cref,
cref étant la valeur de la déformation correspondant à la contrainte tTref· Comme n continue à apparaître, Ainsworth a proposé de prendre pour h1 ( n) avec un v donné la valeur h 1 ( W• 1) avec un v = 0,5. D'un point de vue pratique, cette proposition est acceptable si h1 ( W• 1) est un majorant du chargement. Mais alors que c'est bien le cas pour l'éprouvette CT et po~r l'éprouvette de · tension à fissure centrale, il n'en est pas de même pour le cyhndre avec fissure circonférentielle traversante en tension ou en flexion. Ainsworth propose donc · de considérer une charge limite P& différente de Po et telle que :
w,
a h == ( W, 1) ( P&1 ) n+l == 1
h1 (
a ( 1 ) n+l W, n) plY
Aucun développement complémentaire n'est cependant fait.
111.1
DÉFINITION DE JET MÉTHODES DE DÉTERMINATION
Pour les configurations bidimensionnelles de fissure, J peut être défini par la relation suivante pour une épaisseur unité : J oa ==-oiT,
oiT étant la variation d'énergie potentielle du corps fissuré pour une avancée infinitésimale oa de la fissure dans son plan. Pour des fronts de fissure tridimensionnels, cette définition se généralise sous la forme suivante (Fig. VU2) :
f
J(s) oa(s) n(s) ds ==-oiT,
oiT étant la variation totale d'énergie potentielle du corps fissuré pour une avancée infinitésimale virtuelle oa(s) n(s) == l(s) de la fissure dans son plan, au
D. Miannay
186
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
point de coordonnée curvilignes, perpendiculairement au front de fissure, n(s) étant le vecteur unitaire normal au front de fissure. Si la longueur d'intégration s est finie, J sera appelé "J moyen". Si la longueur d'intégration os est infinitésimale, J sera appelé "J local". I.:intégrale de contour devient ainsi une intégrale de surface et dans les méthodes numériques de résolution les intégrales de surface des configurations bidimensionnelles deviennent des intégrales de volume. {;implantation dans les codes aux éléments finis est décrite dans les articles cités.
187
j
0.5
G? v
lO
5 2 n=l
-
0 0.5 24>17t
L__T_.~a-it_=o_.~2._a_i_c~=0_.6__~ 0 0 0,5 24>17t 0
T. a/t=o.2. ote= 1
' 0.5
24>/lt
III.2 EXPRESSIONS DE J Pour un matériau obéissant à la loi d'Hollomon, il n'existe pas de résolutions analytiques exactes, comme il a déjà été énoncé. Seule une solution analytique approchée, mais très précise, existe pour la fissure circulaire soumise à un effort de tension perpendiculairement à son plan dans un milieu infini. Son expression est donnée au paragraphe II.2.2.1. De nombreuses solutions numériques peuvent être trouvées dans les formulaires déjà cités et dans des revues répertoriées ell: annexe. La figure VI.l3 présente la solution d'une fissure semi-elliptique de surface soumise à un effort de tension, J~, ou à un effort de flexion, Jb [30). Dans le cas de la superposition des deux sollicitations, la solution, J., est donnée par la formule approchée suivante :
5
T. a/1=0.5. O/C=0.6
0
0.5 24>17t
0
0.5 24>11t
O L___T__,.O~/_l=_o__,.5_._a.:._/C.:._='-l-_j
0
0.5 24>17t
(exercice VI.lO).
IV.
Extension de fissure
On constate pratiquement et assez généralement que dans le domaine de comportement plastique d'un corps fissuré, la propagation de fissure s'amorce et se produit de façon stable sur une certaine distance. Cet aspect sera plus particulièrement étudié dans les deux chapitres suivants. Cependant l'état de compréhension de ce phénomène est assez réduit, mais à l'aide du formalisme simplifié caractérisant la loi de comportement élastique non linéaire, Hutchinson et Paris [32] ont établi les conditions de la "propagation contrôlée par J" (" Jcontrolled crack growth") pour garantir surtout des résultats identiques issus de la théorie de la déformation proportionnelle et de la théorie de la déformation incrémentale. La difficulté est que l'extension de fissure s'accompagne d'un déchargement en arrière de la pointe de fissure en mouvement et d'un chargement non proportionnel en avant dans des zones schématisées sur la figure Vl.l4.
Fig.VI.13a- Variation de J normalisé local le long d'une fissure semi-elliptique de ~rface dans une plaque de d1mens1ons 2H/2c = 4 et 2W/2c = 4. Sollicitation de tension: J(
) = J()/ [a Eo ao t (o-m/o-o)n+l J (d'après Yagawa et al. (1993)).
Ces zones ont une dimension de l'ordre de l'incrément de propagation da. Une première condition pour que la propagation soit contrôlée par J sera que cette dimension da soit très petite devant la dimension de dominance de J, R( B), soit: da«: R(B)
En outre, lorsque J contrôle les états de contrainte et de déformation pour un matériau d'Hollomon, la déformation peut s'écrire sous la forme suivante :
D. Miannay
188
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
champ singulier avec chargement quasi proportionr
---------
'""''meot pl.,tiq~?wh-;;~;::.;~ooel
20
10
''
':
0 0,5 2<1>/n
''
0,5 2<1>/n
0
'' ''
'
a/t=o,5, ole= 1
déchargement élastique
45 F. a/t=o,5, o/c=0,2
Fig.VL14- Conditions schématiques de la propagation contrôlée par J.
30 15
2
2
0 0,5 2/n
0,5 2<1>/n
0
0.5 2<1>/tt
de··= k 1-n/(n+l)r-nf(n+l) [-n-€(B)dl +/3- da] 'J
n
n
+1
'J
1
'J T
'
avec n () _ . 8€ij /3- · · = --cos c·'J·+sm B-'J n +1 f)() ·
Le premier terme correspond à un chargement proportionnel puisque l'incréme de déformation est proportionnel à la déformation, alors que le deuxième tern ne possède pas cette propriété. Comme €ii et [Jii sont du même ordre < grandeur, il suffit pour que le chargement soit proportionnel dans le domair R(B), que:
r ' l l l l d'une fissure semi-elliptique de Fig.VL13b- Variation de J norma 1 ~eH/o~: _ ~ e~~t,r; 2c = 4. Sollicitation de flexion: surface dans une plaque de d!mens1ons ](<J?) = J(
dcij
= _n_knl-nj(n+l)r-nf(n+l)€ij(B) dl- knlnj(n+l) n
+1
r
r
dl
Donc les deux conditions établies ci-dessus montrent qu'il y aura chargemer proportionnel si l'on peut trouver une région repérée par sa coordonnée r tell que:
ar-nf(n+l) €ii( B) OX da,
. commer et () sont liés. à ()la pointe de fissure en mouvement, en utilisant la smt, f) sm 0 0 relation - =cos B8 - - - f)()'
ox
da
-«-. r 1
~~ 1 étant une caractéristique du matériau comme il sera vu dans la suite.
v.
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
190
Utilisation de l'intégrale J pour la fatigue
Pour décrire la propagation de fissure ~~ fa~igue g~:; ~:t~l~:~n~i~~é;~~~~~
temtent. é~as~~;~a~~;:~ed~a!ail s:,~~~~e~~s ~e ~~~cription possible des champs · t' 1 con our . de contrainte et de déformation par cette m egra e. (exercice Vl.ll ).
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71
1 3
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192
D. Miannay
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
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au mo~ent où se produit l'écoulement plastique généralisé. Dans cette relati1 apparar~se~t les, chargements limites correspondants aux deux modes de char ment pns separement. · g YI.4. Dan~ le cas, de la fissure semi-elliptique de surface dans une plaque soumi a une tenswn et_a une flexion, montrer que la charge limite donnée dans l'anne III:3 est celle qm est obtenue en considérant une plaque identique avec une fissu late~ale _de_ profondeur uniforme et de surface équivalente à celle de la fissu semr-elhptique. VI.5. Dans le ~-as ?ù il e~ste une force p( x) qui s'exerce sur les lèvres de la fissur montrer que 1 mtegrale mdépendante du contour s'écrit:
, lr = Ir1 (w dy- T~u) ux
ds
+1
lr++r-
p(x)auy dx. ax
?a~s le _cas où p(x) _est une constante, trouver l'expression de J 1 en utilisant ur mtegration par partie.
Exercices VI.l. Tracer les courbes de consolidation correspondant aux différentes combinaisons a= 1,
co= 0,002;0,0025;0,003;0,005;0,0075, n = 5; 10; 20; infini. Vl.2. Pour un matériau de Ramberg-Osgood, montrer que la limite d'écoulement plastique est donnée par : [
a!= (ao/2) 1 +
VI.6~ D,a~s le cas ?ù il ~xiste d~s f?:ces de volume F; et des forces d'inertie, mor
t:~r ~ 1 arde des equatwns d'eqmhbre que l'intégrale indépendante du contou
s ecnt:
(1/0, 002 n) 1 fn 1 exp (1/n)
j.
Sachant que pour les aciers de différentes structures le coefficient n est donné par la relation : 1/n = 0, 39 exp ( -9,2 x 10..:. 4 a 0 )
pétant la masse spécifique du matériau. VI. 7., Dans 1~ cas o~ il e:ctste des déformations secondaires, si l'on désigne parc~ l~s d_eformati_ons pnmarres et par cri les déformations secondaires, montrer qw
1mtegrale surv~ante
·
pour a 0 compris entre 300 et 1600 MPa, donner la variation de la contrainte d'écoulement plastique en fonction de la limite d'élasticité. Commenter. Vl.3. On considère un barreau avec une entaille latérale soumis à la superposition d'une contrainte de tension uniforme à l'infini et d'un moment de flexion pur. Trouver la relation qui existe entre l'effort de traction et le moment de flexion
1
est indépendante du contour d'intégration r choisi, W étant calculé avec
cP
ç.tJ.
D. Miannay
194
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
VI. S. Dans le cas de la flexion pure, il a été établi que :
r (p) B
2 J = W- a } 0
"'u
dV = Bb ·
Trouver l'expression équivalente en fonction du moment de flexion et de l'angle de flexion.
An?exe 1. - Etabli.ss~ment de la charge limite pour un barreau entaill lateralement et soumis a nne contrainte uniforme à l'infini
Géométrie et conditions limites de chargement
PT ru
Borne inférieure. 1. Champ de contrainte.
VI.9. Comparer la solution donnée ici pour la fissure semi-elliptique avec n = 1 à la solution de Raju et Newman donnée au chapitre II. Expliquer la différence.
Quelque soit y,
Vl.lO. Expliquer la règle de combinaison des J qui est utilisée.
-pour x< 0, a-yy = 0
Vl.ll. Fatigue élasto-plastique
-pour x > 0, Œyy = }sa-a en déformation plane. 2. Vérification des conditions aux limites. 8a-yy
a:y=O. 3. Equilibre avec les forces extérieures. Un matériau sollicité alternativement en traction et en compression est dit être soumis à un cycle de fatigue. Par exemple, s'il est cyclé entre deux déformations égales et de signes opposés, les boucles d'hystérésis se stabilisent après un certain nombre de cycles et le lieu des extrémités permet de tracer la courbe de consolidation cyclique (figure ci-dessus). Quelle grandeur proposeriez-vous de prendre pour caractériser la propagation de fatigue dans le domaine de comportement élasto-plastique d'une éprouvette ou d'une structure ? Que représente cette grandeur sur les enregistrements des boucles stabilisées en fatigue à déplacement imposé et à charge imposée pour deux structures ne différant que par les longueurs de fissure qui restent très voisines ?
19
-pour x< 0, fissure libre a-yy = 0
-
-pour x> 0,
=
Borne supérieure.
- Choix du champ de déformation. Bande de cisaillement d'épaisseur h, inclinée de e. -Déplacement compatible avec la condition limite . u Ua= sin 8. -Déformation dérivée du déplacement. Î _ua_ u ba - . 7ï - h sin e.
-Déformation équivalente. E: -.:&!.u eq-
V3- V3hsine·
- Travail extérieur égal à l'énergie de déformation. Pu= au B bh o V3 h sin e cos B. - Po minimum pour 8 = 2
1r
Po = y'3a- 0 B(W- a)
/4.
a
D. Miannay
196
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Annexe II. - Etablissement du chargement limite pour un barreau entaillé latéralement et soumis à un moment de flexion pur
Géométrie et conditions limites de chargement
Borne supérieure.
-Choix du champ de déformation. Rotule de cisaillement d'épaisseur h, de rayon R.
Borne inférieure.
-Déplacement compatible avec la condition limite.
1. Champ de contrainte.
Ua=
Q].Ielque soit y,
RdB
- Déformation dérivée du déplacement.
-pourx
Ua
Îba
RdB
= h = -/3h'
-Déformation équivalente. é:eq
=
Îba
-/3
R dB
= -/3 h.
-Travail extérieur égal à l'énergie de déformation. y
~
- Mo minimum pour
~/ minimum, soit pour B = 66,5° sm e 2
M
Mo
2. Vérification des conditions aux limites. OCTyy
oy
=o.
3. Equilibre avec les forces extérieures. -pour x < 0, fissure libre
CT YY
-pour x> 0, rW-a/ 2 lCT - 2 Jo M oV3 o x dx
=0
1-CTo B(W- a) 2 = -2v'3
-crü
= 0, 69 CTo B(W- a) 2
h
D. Miannay
198
199
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Annexe III
-Fissure latérale dans une éprouvette. Tension uniforme.
Annexe 111.1. - Expression du chargement limite pour des géométries simples en mode 1 et pour une épaisseur unité (BI= Borne infélieure; BS =Borne Supérieure), (O"b = contrainte normale maximale d'écoulement = O"o en contrainte plane, = (2!/3)Œo en défonnation plane), (CP = Contrainte Plane, DP = Défonnation Plane). Matériau de Von Mises.
Po= (W- a)Œb
.J llT 11 TJ l L 1
1
cr:
-Fissure latérale dans une éprouvette. Flexion 3 points. (voir Réf. (3]) DP: P0 = 1,4550"0
(W- a) 2 S , avec a/W > 0,18
CP : P0 = 1, 0720"0
(W- a) 2 S
- Fissure interne dans un milieu infini
0'
Da
(voir Réf. [4])
- Fissure latérale dans une éprouvette. Flexion pure.
2 a
.1
1
T11 r1rr11 r11 0'
1
Da 1
-Eprouvette compacte (voir Réf. (2])
p /['
DP: Po= 1,4557J(W- a)O"o -Fissure latérale dans un milieu infini
= 1, 0727J(W - a)O"o 112 2 avec77 = [(~) + ~ + 2] _ CP : Po
W-a
W-a
1) (~ W-a + /
w
- Double fissure latérale dans une éprouvette. Tension DP : P0
W-a) = ( 0, 72 + 1, 82-a-
(W- a)O"o
4
CP: Po= y'3(W- a)Œo
- Fissure interne dans une éprouvette. Tension.
Références :
Po = 2(W- a)O"b - Fissure latérale dans une éprouvette. Tension.
(1] Miller AG., Review of limit loads of structures containing defects, Int. J. Pressure Véssels Piping 32 (1988) 197-327. ~
DP: Po= 1,4557J(W- a)O"o CP: P0 = 1, 0727J(W- a)O"o aveC7]
= [1 + ( w
~a rr/2 --w-~-a
(2] Kumar V., German M.D. et Shih C.F., An Engineering Approach for ElasticPlastic Fracture Analysis, EPRI Report NP-1931 (Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, 1981). (3] Green A.P. et Hundy B.B., Initial plastic yielding in notch bend bars, J. Mech. Phys. Solids 4 (1956) 128-144..
200
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
[4] Lianis G. et Ford H., J. Mech. Phys. Solids 7 (1958) 1. [5] Ewing D.J.F., J. Mech. Phys. Solids 16 (1968) 205. [6] Lianis G. et Ford H., J. Appl. Maths. Phys. (ZAMP) 8 (1957) 360.
Annexe IIL2. -Traitement par la méthode des lignes de glissement du chargerr. limite pour des géométries simples en tension et en flexion et pour une épaisJ unité (BI= Borne inférieure; BS =Borne Supérieure), (rrb =contrainte nom. maximale d'écoulement = rr0 en contrainte plane, = (2!V3)rr 0 en défonnat plane), (CP= Contrainte Plane, DP =Défonnation Plane). Matériau de Von Mi.
[7] Ewing D.J.F. et Hill R., 1. Mech. Phys. Solids 15 (1967) 115. Fissures latérales dans une éprouvette. Tension. DP: a/W
> 0,89
= 2, 75 rrb2(W- a); KcrP = 2, 57
Po
Fissures latérales dans une éprouvette. Tension. (voir Réf. [7]) DP: a/W < 0,89
Fissure interne dans une éprouvette. Tension. DP
= rrb2(W- a); KcrP =
Po
1
. Fissure interne dans une éprouvette. Tension.
CP
M
Fissure latérale dans une éprouvette. Flexion DP : Flexion pure : afW > 0,29 pour w = 4SO (0,28 pour 0°) solution exacte: (voir Réfs. [3, 4]) Mo= 0,63rro B(W- a) 2 ;KcrP ~ (1 +1r/2 -w/2)
Flexion 3 points : a/W > 0,21 pour w Mo= 0, 61 rro B(W- a) 2 ; KcrP
= 45°
= (1 + 7r /2- w/2)
ft1
~
6.4'
<w<. !14,6' M
Fissure latérale dans une éprouvette. Flexion (voir Réf. [5]) DP: Flexion pure: a/W solution exacte:
< 0,29 pour w = 45o (0,28 pour 0°)
-~
D. Miannay
202
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Fissure latérale dans une éprouvette. Flexion (voir Réf. [6]) M
CP Kur
== 1
~···
20.
Annexe III.3. - Expression du chargement limite pour une fissure semi-elliptiqu de surface en mode I (BI = Borne inférieure; BS = Borne Supérieure), (CJb = contrainte nonnale maximale d'écoulement= CJo en contrainte plane, = (2!V3ko e1 défonnation plane), (CP = Contrainte Plane, DP = Défonnation Plane). MatériaJ de von Mises.
'------" M
Références : voir annexe III.l.
CJmo
=
3 CJo(1- a) 2
---
À+ JÀ 2 + 9(1 + a)2
avec
a==i(1+n-l a c tW
a==-À
==
pour
W 2': (c + t)
pour
W < (c + t)
(Jb
CJm
CJm =contrainte de membrane (de tension) iJb
=contrainte de flexion= Mt/2! avec I = Wt 3 /6
Référence:
[1] Miller AG., Review of limit loads of structures containing defects, Int. Pressure Véssels Piping 32 (1988) 197-327.
J
D. Miannay
204
CHAPITRE VI- TRAITEMENT PUREMENT PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
205
Annexe IV
An~~~ Iv.2 -,~leur; de J, 6 et Vc dans un ba"eau à fissure latérale d'épaisseur
Annexe IJ(] - valeurs de J, 6 et Vc dans un ba"eau à fissure centrale d'épaisseur unité d'un matériau d'Hollomon sous tension en déformation plane.
umte dun matenau d 'Hollomon en flexion trois points en déformation plane.
J =
Q
CTo éo a
(!) h1 ( ; , n) ( ~
r+l ,
J =aero éo bh1 (
. 6 = ouverture des lèvres au bord du barreau
6 = ouverture des lèvres au centre de la fissure =
a
a éo a h2 ( W, n)
(p)n Po ,
= aéoah2 (;.n) (~r, Vc = déplacement du point d'application de la charge dû à la fissure
Vc = déplacement du point d'application de la charge dû à la fissure
= a éo a h3
a ( W, n)
(p)n Po
= aéoah3 ( ;.n) (~r V3 4:crJ n' (2/VJ)2bcr0 •
avecVnc =déplacementdupointdechargesansfissure= VJaé 0 H (
2H étant la longueur de l'éprouvette et P0 la charge limite, P0 a/W
= 1/8
=
n=l
n=2
n=3
n=5
n=7
n=IO
n=l3
n=l6
n=20
h1
2,80
3 61
4 06
4,35
4,33
4,02
3,56
3 06
2.46
hz
3,05
3,62
3 91
4,06
3,93
3,54
3,07
2,60
2,06
h,
0,303
0,574
0,840
1,30
1,63
1,95
2,03
1,96
1,77
a/W = 1/4 h1
2,54
3,01
3,21
3,29
3,18
2.92
2.63
2,34
2,03
hz
2,68
2,99
3 01
2,85
2,61
2,30
1,97
1,71
1,45
h3
0,536
0,9ll
1,22
1,64
1.84
1,85
1,80
1,64
1,43
a/W
= 3/8
afW = 1/2
h1
2,34
2,62
2.65
2,51
2,28
1,97
1,71
1,46
1,19
hz
2,35
2 39
2,23
1,88
1,58
1,28
1.07
0,890
0.715
h3
0,699
1,06
1,28
1,44
1,40
1,23
1,05
0,888
0,719
h1
2,21
2,29
2,20
1,97
1,76
1,52
1,32
1,16
0 978
hz
2,03
1,86
1,60
1,23
100
0,799
0,664
0 564
0,466
h3
0,803
1,07
1,16
1,10
0,968
0,796
0,665
0,565
0,469
2,12
1,96
176
143
1,17
0,863
0,628
0,458
0,300 0114
a.fW =5/8 h1
a/W
a./W
= 3/4
= 7/8
;.n) (~r+l'
hz
1,71
1,32
1,04
0,707
0,524
0,358
0,250
0,178
h3
0,844
0,937
0,879
0,701
0,522
0,361
0,251
0,178
0,115
h1
2,07
173
1,47
1,11
0,895
0,642
0 461
0,337
0 216
hz
1,35
0,857
0,596
0,361
0,254
0,167
0,114
0,0810
0,0511
h,
0,805
0,700
0,555
0,359
0,254
0,168
0,114
0,0813
0,0516
h1
2.08
1,64
1,40
1,14
0,987
0,814
0688
0 573
0 461
hz
0,889
0,428
0,287
0,181
0,139
0,105
0,0837
0 0682
0,0533
h3
0,632
0,400
0,291
0,182
0,140
0,106
0,0839
0,0683
00535
avec Vnc = déplacement du point sans fissure = dans le cas élastique _ P83 - 6E'(W 3 /12)
PS ( 3 3 3v ) 0 21P 4G - 10E' - 4E' -
+W
-7f,-
2S étant la distance entre appuis et p 0 la charge limit~, Po = 1, 455 b2 cro
s
206
D. Miannay
afW ~ 1/8
afW ~ 1/4
afW
afW
~
~
afW ~
~
n 2
n 3
n 5
n 7
n 10
n 13
n 16
n 20
0,936
0,869
0,805
0,687
0,580
0,437
0,329
0,245
0,165
h2
6,97
6,77
6,29
5,29
4,38
3,24
2,40
1,78
1,19
h,
3,00
22,1
20,0
15,0
11,7
8,39
6,14
4,54
3,01
h,
1,20
1,034
0,930
0,762-
0,633
0,523
0,396
0,303
0,215
hz
5,80
4,67
4,01
3,08
2,45
1,93
1,45
1,09
0,758
h,
4,08
9,72
8,36
5,86
4,47
3,42
2,54
1,90
1,32
h,
1,33
1,15
1,02
0,084
0,695
0,556
0,442
0,360
0,265
hz
5,18
3,93
3,20
2,38
1,93
1,47
1,15
0,928
0,684
h,
4,51
6,01
5,03
3,74
3,02
2,30
1,80
1,45
1,07
1/ 2 h,
1,41
1,09
0,922
0,675
0,495
0,331
0,211
0,135
0,0741
hz
4,87
3,28
2,53
1,69
1,19
0,773
0,480
0,304
0,165
h,
4,69
4,33
3,49
2,35
1,66
1,08
0,669
Q,424
0,230
h,
1,46
1,07
0,896
0,631
0,436
0,255
0,142
0,084
0,0411
hz
4,64
2,86
2,16
1,37
0,907
0,518
0,287.
0,166
0,0806
h,
4,71
3,49
2,70
1,72
1,14
0,652
0,361
0,209
0,102
h,
1,48
1,15
0,974
0,693
0,500
0,348
0,223
0,140
0,0745
hz
4,47
2,75
2,10
1,36
0,936
0,618
0,388
0,239
0,127
h,
4,49
3,14
2.40
1,56
1,07
0,704
0,441
0,272
0,144
h,
1,50
1,35
1,20
1,02
0,855
0,690
0.551
0,440
0,321
hz
4,36
2,90
2,31
1,70
1,33
1,00
0,782
0,613
0,459
h,
4,15
3,08
2,45
1,81
1,41
1,06
0,828
0,649
0,486
3/8
5/ 8
afW ~3 /4
afW
n 1
h,
7/8
CHAPITRE VII
Traitement plastique des discontinuités Traitement élasto-plastique Au chapitre VI, le matériau considéré présentait un comportement tot ment plastique sous un chargement monotone croissant ou de façon équivah élastique non linéaire. Dans ce chapitre, à la composante plastique est superpc la composante élastique. On dit alors que le matériau présente un campo ment élasto-plastique. Et pour ce matériau, comme pour les matériaux précédt élastiques linéaires et élastiques non linéaires, on cherche à : - définir et déterminer Je ou les paramètres de chargement et, - décrire les champs de contrainte et de déformation en fonction de ces ramètres, ce qui permettra d'introduire les critères de rupture. Dans cette tique, par référence au traitement élastique non linéaire, pour la rupture duct la zone d'élaboration de la rupture ductile ("ductile process zone") est la zone grande déformation dans le voisinage immédiat de la pointe de fissure, et p< la zone de rupture fragile, la zone d'élaboration de clivage ("cleavage proc zone") est la zone de dimension plus grande où la contrainte est amplifiée sc l'effet d'une forte pression hydrostatique. La résolution analytique est difficile. Aussi les solutions proposées sont surtc numériques. Mais pour établir et vérifier la justesse et le domaine de validité ces solutions et pour améliorer la compréhension des comportements, l'effort résolution analytique est poursuivi. Pour les petites déformations, la loi de déformation du matériau lorsqu'e peut s'exprimer sous forme analytique est : - soit la loi Elastique Puis Plastique, (loi EPP) : -pour(]'< Œo, é:
(]'
t::o
Œo
-=-, -pour(]'> Œo,
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
208
1. ou de façon équivalente, EE
e: 0
Cf
Ep
Ep
+ Eo --+-= - uo Eo
(
Cf ) -CJo
209
Expression générale des champs de contrainte et de déformation
Dans le cas d'un matériau de Ramberg-Osgood, il a été proposé, comme il avait été proposé par Williams [1] dans le cas d'un matériau élastique et par Hutchinson [2] dans le cas d'un matériau d'Hollomon, de trouver une solution asymptotique pour le champ de contrainte sous la forme d'un développement en série et de supposer que les deux variables que sont les coordonnées polaires sont séparables. Le développement limité s'écrit ainsi :
n
_soit la loi de Ramberg-Osgood, (loi RO) :
((J)n
E (! ---+a -
CJo
Eo
CJo
(cette écriture est légèrement différente de celle donnée .~u c~a?i,tre pré~éden? La rè le de déformation du matériau est la règle de 1elasticite pour a par Ie élastiqu; et la règle de Prandtl-Reuss avec le cas du chargement monotone pour la partie plastique. Elle s'.écrit d~nc: . . - pour la loi Elastique PUis Plastique, (lm EPP) .
LU S;j + ~ 1- V Ukk 6· · -pouru< u 0 ,E;j = ~ '1' deux variantes portant sur la valeur du coefficient v sont (! > - pour u o. 1 1) possibles (l'expression utilisée est à vérifier pour chaque ca cu . 2
soit,
avec s1 < s2 < s3 < ... identification du premier terme ou terme principal conduit à la solution proposée par Hutchinson et Rice et Rosengren ou solution HRR, CJHRR, avec s 1 = -1/(n+ 1), avec l'amplitude gouvernée par Jet avec dominance de la partie plastique de la loi de comportement. La résolution des deux premiers termes de la série a été faite par Li et Wang [3] à l'aide des fonctions d'Airy pour n = 3 et n = 10 et par Sharma et Aravas [4] pour l'état de déformation plane directement à partir de l'expression des contraintes de façon plus générale. Ces derniers trouvent après résolution des équations et calcul numérique les solutions suivantes: ~
)1/(n+1) -. ·((} ).+ QHRR ( _r_ J CJij _ ( u'LJ ,n CJo O:Eo CJo In r J / CJo
soit (Wang (1992))
-é:ij = ( o:e:o
_pour la loi de Ramberg-Osgood, (loi RO) : 1+v
Eij :::::
-es;j
+
1- 2 3 E Ukk 6;j
3
+ 2o: Eo
n-1 ( Cfe )
Sij
uo
uo
Pour les grandes déformations, la loi de déformation du matériau est donnée par: -selon Hancock (1992) : Cf> uo;
~
11:
1
"
0 U;- U; _
o:e:o
(;J
1/m-
(;J
-
HRR (
= :o;
m = 0,1
)
n/(n+l)
r -11
J
(
o:e:o uo
(
O:Eo
n/(n+l)
In
_r_ )
J / uo
•• (
((}
,n )
J
) •• (
)
-
êij
In r CJo
+ QHRR
'Dowd (1992) de façon plus complexe, voir la référence [9]. - se1on O • , , · · f 't l'état de Sauf indication contraire, le traitement presente ICI est ai pour déformation plane.
:;
+Q
J o:Eo CJo
)•2 Û;j(O,n) + ... ,
) (n-1)/(n+1)
Cfo 1n
A
e:;j(O,n),
T
- ·((} ) r i/(n+1) u, ,n
J ŒEo CJo
)
(n-1)/(n+l) r2f(n+1)
û;(O, n).
In
avec pour 1 < n < 1,6 (c'est-à-dire pour un matériau "fictif" à très forte consolidation): s 2 = (n- 2)/(n + 1)
<0
D. Miannay
210
et
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
terme principal QHRR =
(cxe:o
In)(n-2)/(n+l),
1,5~
c'est-à-dire que J permet la détermination de QHRR et donc qu'un seul paramètre gouverne l'amplitude des deux premiers termes ; et pour 2 < n < 20 -0, 102
II.
La plasticité confinée limitée ("small-scale yielding") et les champs décrits par Q ("Q family of fields")
11.1
PROPRIÉTÉS DE lèiNTÉGRALE DE CONTOUR J
~
intégrale de contour J étant indépendante du contour dans la théorie de la déformation plastique proportionnelle et dans la théorie de la déformation plastique incrémentale lorsque le chargement est monotone croissant, il s'ensuit que si l'on considère un contour dans le domaine plastique caractérisé par J, domaine encore appelé anneau de dominance de J ou J - QHRR ("dominance annulus of J or J- QHRR") et un contour dans le domaine élastique caractérisé
-
ur
ûe
< s 2 < 0, 053,
c'est-à-dire que s 2 a une valeur très faible traduisant une dépendance très faible du deuxième terme à l'égard de la distance au fond de fissure. Les variations de uf1 et de ui pour n = 3 (matériau à forte consolidation) et pour n=lO (matériau à moyenne consolidation), la normalisation étant faite de sorte qùe la contrainte équivalente maximale soit égale à l'unité, sont représentées sur la figure VII.l [4]. QHRR est appelé le facteur d'amplitude du champ du second ordre ("amplitude factor of the second-arder field") ou paramètre de triaxialité du confinement ("triaxiality constraint factor"). Comme pour l'amplitude J du terme principal, QHRR est une grandeur à évaluer en fonction· de la géométrie, du mode de chargement et du niveau de chargement. Cet aspect est abordé dans la suite dans l'étude par la méthode de la couche limite où l'élasticité gouverne la déformation et dans l'étude de géométries fissurées simples où les différents régimes de déformatimi se produiront successivement. On retrouve donc ainsi une solution analogue à celle proposée pour le cas de l'élasticité linéaire. Augmenter l'identification des termes de la série revient à agrandir le domaine d'identification et de validité de la solution asymptotique, et la détermination des termes d'ordre supérieur a été faite par Yang et al. [5] et par Xia et al. [6]. ~ amplitude des termes trouvée peut s'exprimer en fonction de Jet de QHRR et les exposants peuvent s'exprimer en fonction de s 1 et de s 2 . Cet aspect n'est pas davantage développé ici.
n=3
0
90
e ,o
-3
180
0
90
e
180 0
1
0 -1
e
0
terme du second ordre
0
e
0
~~=10 -
ue
0
-1
90
e ,o
180
Ûr
0
90
e ,o
180
Fig.VII.l -Variations angulaires des corn . 1 d des termes du premier ordre et du deuxièm po~an es ~s contramtes et des déplacement de Ramberg-Osgood (d'après Sharma et A~~:a:Cle9n9~){.ormatwn plane pour un matériat
2
CHAPITRE VIl- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
212
, d d · d G ou G -T ("dominance par G, domaine encore appele anneau e ommance e annulus of J{ or K - T"), (Fig. VII.2), on a : ](2 J=G EI''
ce ui ermet de déterminer le FIC J(I à partir d'un cal~ul de J. KI est alors désfgnlpar Ku. Cette propriété est indépendante de la lm de comportement du matériau. ZONES DE DOMINANCE DE
""
)·9~
\,.K,T
à la pointe, et donné par les deux premiers termes de la solution asymptotique élastique linéaire caractérisée par les deux grandeurs J{ et T (voir chapitre II, paragraphe 11.2.3). Le principe est schématisé sur la figure VII.3. Sur cette figure sont également illustrées les étapes d'identification de la contrainte d'ouverture dans une analyse en petites déformations puis en grandes déformations. La méthode consiste ensuite à déterminer les champs complets de contrainte et de déformation par une méthode d'éléments finis ("Full Field Finite Element Solution", FFES ). C'est ce qui est appelé la méthode de la couche limite pure ou modifiée ("pure or modified boundary layer method") selon que Test nul ou non. Le paramètre de chargement est alors J qui est soit déduit de K, soit calculé par la méthode d'extension virtuelle de fissure, la première valeur pouvant être légèrement supérieure à la seconde lorsque T n'est pas nul. Différents paramètres Q peuvent ensuite être définis par différence avec un champ de référence :
Qref
_ FFFES -
_ -ln
Log X 1 L
()
11.2
DESCRIPTION DES CHAMPS DE CONTRAINTE ET DE DÉFORMATION
Dans ce qui suit, on considère un matériau de Ramberg-Osgood, sauf indication contraire. · · , fi , l' t' on Pour caractériser le chargement dans le cas de la plasticite con nee Jffil ee, , considère un chargement éloigné de la pointe de la fissure, sur un cercle centre
J
-O'ijO"o -SSY - = ( O:êo O"o I n r )
~-t;ons at~:~~~~~1~~~ede~~~~~~i~:rd~e~a~~~:;,~~:ifié~ et les frontières du corps fissuré figurée.
(O'ij)FFFES- (O'ij)ref
O"o
·
Le champ de référence peut être le premier terme d'une solution asymptotique se présentant sous forme d'une série, comme ci-dessous, ce qui revient à assimiler le champ complet à la superposition de deux termes, à savoir le terme principal ou terme asymptotique et l'ensemble des termes hors du terme principal sans autre identification possible des termes individuels. Les calculs ont été effectués par Betegon et Hancock [7], par O'Dowd et Shih [8,9] et par Fang Shih et al. [10]. Ces derniers auteurs ont déterminé les contours et les dimensions des zones plastiques pour différentes valeurs de T j O"o (Fig. VII.4): on constate pour T/O"o positif un basculement vers l'arrière et un agrandissement de la zone et pour T / O"o négatif un agrandissement plus important sans basculement notable. La plus petite dimension est située dans le plan de la fissure; elle est égale à environ 0,03 (KJ/0"0 ) 2 et varie peu avec T j0"0 • Pour le champ complet, O'Dowd et Shih [8, 9] ont retenu la forme déduite naturellement de la forme donnée au paragraphe 1 :
F. VIl 2 _ Représentation schématique des différentes z~nes de dominance des sdo•g. · , · · 't J Q ], et T La zone de gran e
s~n~r;;t~;cer. La variati~n de la contrainte tangentielle à travers le plan de la fissure est
213
1/(n+l)
-
O"ij(B, n)
(
HRR r + •Q55 y 11 O"o
)q
O"ij(B, n)
+ ... ,
La valeur absolue de q est trouvée très petite devant 1. Les valeurs des fonctions adimensionnelles Ûij, €;jet û; ont été tabulées par Symington et al. [10], la normalisation étant faite de sorte que la contrainte tangentielle à travers le plan de la fissure soit égale à l'unité. Û;j(B, n) varie lentement avecB dans le secteur IBI < 1r /2. âro est petit comparé à Ûrr et à ffoo et Ûrr/ffoo vaut presque 1 dans le secteur IBI < 1r j 4. Q~s~R est donc essentiellement un paramètre équivalent à la pression hydrostatique. La forme qui est adoptée s'écrit : (
)
O'ij SSY --- = ( O"o
O:êo
J ) O"o In r
1/{n+l)
HRR O"ij(B,n)+Qssy Oij, pour r > JjO"o, IBI
< 1rj2.
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
214
2
2
5
Tl cr0 =
~0,90
l. N
0'
0
0
b
b .......
.......
~
.,
.......
n
~ .......
o.
"
'-
0
1.5
xf(K/Œo) 2
-1
T/Œo
Fig.VII.4- Contours des zones plastiques et étendue maximale de ces zones obtenu• par la méthode de la couche limite modifiée avec différentes valeurs du paramètre T /a n = 10, ao/ E = 1/300, 11 = 0,3 (d'après Fong Shih et al. (1993)).
Une forme analytique pour la contrainte d'ouverture est proposée dans • référence [12] pour différentes valeurs de n et sa représentation graphique e donnée sur la figure VILS. De même selon O'Dowd et Shih [9], l'ouverture à fond de fissure défini comme l'ouverture où les lignes à 45° tirées en arrière du fond de fissm intersectent les faces déformées de la fissure, a comme expression :
4
Dt
3
2
3
4 5 r 1 ~ 1cr o)
0 Fi .VII.3 _ Définition du problème de la couche limit_e modi~é7 e~ i~lustration du résultat av~c la variation de aoo (8 = O)/ ao en fonction de la distance a 1or~gme ~u fond _de fissure r, pour le champ HRR et pour le champ SSY V lao = 0) en petites d~for~atiOns, et ~n grandes déformations. Loi Elastique Pms Plastique ; a = 1 ; é = 0,002 , 11 - 0,3 (d a pres Dodds et Fong Shih (1993)).
= d (Uéo,
HRR) -J. n, Qssy ao
Le coefficient d (Uéo, n, Q~s~R) dont certaines variations sont représentée sur la figurè VII.6 dépend fortement den mais très peu de Uéo et de Q~s~R. En fait la solution à retenir est celle qui prend en compte les grande déformations ou déformations finies qui apparaissent en pointe de fissure. L première solution a été proposée par Rice et Johnson [13] dans une analyse aF prochée par la méthode des lignes de glissement. Cette solution a été présentée a chapitre VI, paragraphe II.2. McMeeking [14] a ensuite effectué un calcul par 1 méthode des éléments finis et les résultats trouvés (Fig. VII.7) confirment l'am lyse de Rice et Johnson. La différence qui existe entre la solution aux grande déformations et la solution aux faibles déformations est illustrée sur la figur VII.3 et les valeurs numériques correspondantes sont données dans le tablea VII.l pour un matériau EPP. Compte tenu de cette modification, le domaine d validité dé l'expression de ( Œij lssy devient : 2 1/Œo
< r < 5 1/Œo.
La contrainte qui est plus particulièrement étudiée est la contraint tangentielle à travers le plan de la fissure ou contrainte d'ouverture
2
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
216
0,03
0,0
5
5
P
00
A
Eeq
cr
ee
E
00 1
.3 2~--------------------------
2
3
4 5 r/(J/aor
0
o.o·
0
,
_ V 6=0(solutlon de R et 0. ( \ 6=n/4 \ \ ~ 6=n/8 ~ )< 6=0 n= 1 '----/.:: - - - - 0 0 - ~---------
2
R/b
10
rj(JjcHoao) Fig. VII. 7 - Contraintes tangentielles et déformations plastiques équivalentes en déf. mation plane au voisinage d'une fissure émoussée calculées par éléments finis et corn[ raison avec la solution de Rice et Johnson obtenue par la méthode des !ines de glisseme b est l'ouverture instantanée à fond de fissure. Œo/ E = 1/300; v = 0,3 (d'après McMeek (1977)).
Expression utilisée pour le lissage des résultats numériques :
u,.(B
= O)ssv: r-o uo
_ G 1 ( r / -J- ) c, exp a CTo to
-
(c /
ar -J- ) a CTo to
n
4
10
18
50
G
0,842
1,077
1,422
1,801
2.219
2,646
G
-0,2817
-0,2312
-0,1687
-0,1169
-0.0668
-0,0255
G
-0,926
-2.181
-3.952
-5,169
-6.165
-6,810
Fig. VII.S - Variation radiale de la contrainte tangentielle du champ de la plasticité confinée limitée avec Q~l~R = 0, pour 6 = 0 près du fond de fissure, dans le cas de la théorie des petites déformations (d'après Dodds et Fong Shih (1993)).
contrainte radiale dans le plan de la fissure avec la distance à la pointe de la fisst est représentée sur la figure VII.8 et la variation de Q~5~R (r = 2 J ja 0 , () = 0) fonction de T / a 0 est donnée sur la figure VII.9 [7,9,15]. On constate qu'effe< vement la contrainte d'ouverture et la contrainte radiale sont très voisines. < remarque en outre que Q varie fortement avec T lorsque Test négatif, mais t1 peu lorsque T est positif. Q est sensiblement nul lorsque T est nul. En fait, u expression plus représentative de la pression hydrostatique [15] est donnée pa
0.7
(exercices VII. 1 et VII.2). 0,6
0·5
n=lü
o. 31'--L.....!..-L....L...L...!---'---' 0
-1,0 Q
-1,0
0
Q
Fig. VIL6 - Variation du paramètre dn de l'ouverture de fissure Dt = dn J / ao avec Q pour n = 10 et 5 (d'après O'Dowd et Shih (1992)).
a 00 (r, () Q~s~R (r
= O)ssy, et la grandeur qui est plus particulièrement considérée est = 2 Jfa 0, () = 0). Les variations de cette contrainte d'ouverture et de la
Les variations de la pression hydrostatique avec la distance et l'angle pola obtenues par O'Dowd et Shih [10] sont représentées sur la figure VII.lO. 5 la figure VII.ll sont représentées les variations de la déformation plastiq équivalente obtenues par ces mêmes auteurs. On observe les mêmes tendam que celles déjà observées par Rice et Johnson et par McMeeking : dans le pl de la fisssure, l'étendue de la zone de grande déformation est de l'ordre de : 2 J ja 0 ;J.a déformation plastique décroît rapidement avec la distance et est t1 peu sujette à la vi!leur du facteur de confinement Q ; la pression hydrostatiq croît avec la distance : sa variation en fonction de r / ( J / a 0 ) est indépendm de Q mais la valeur atteinte augmente avec Q. La déformation plastique va peu avec le coefficient n. La pression hydrostatique augmente lorsque n dimim Si la variation angulaire de ces grandeurs est considérée, on constate que
218
D. Miannay
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Tableau VII.l.- variation de aee(O = O)fa 0 en fonction de la distance à l'origine au fond de fissure r, pour le champ HRR et pour le champ SSY (T / a 0 = 0). Loi Elastique Puis Plastique; o: .= 1; .::o = 0,002; v = 0,3 (d'après Dodds et Fang Shih
r/(J /cr 0 )
3
5
10
00
cr 66 (9 = 0) 1 cr 0
cr 66 (9 = 0) 1 cr 0
cr 66 (9 = 0) 1 cr 0
HRR
cetites déformations
1
5,99
5,46
9=0
5,95
2
5,04
4,53
4.72
3
4,55
4,06
4,19
4
4,24
3,76
3,85
5
4.01
3.53
3.61
1
4,77
4,42
4,83 4,06
cro 2
déformations finies
2
4,25
3,90
3
3,97
3,63
3,73
4
3,79
3,H
3,52
5
3.65
3.29
3.36
1
3,83
3,57
3,79
2
3,59
3,35
3,52
3
3,46
3,22
3,33
4
3,38
3,12
3,20
5
3,31
3,03
3.11
1
(2,97)*
2,83
2,50
2
(2,97)*
2,80
2,97
3
(2,97)*
2.77
2,91
4
(2,97)*
2,74
2,86
5
12.97)*
2.71
2.82
• valeur à la limite.
déformation plastique est maximale vers () = 60° et qu'elle augmente lorsque Q diminue ; la pression hydrostatique est maximale pour () = 0° et décroît continûment lorsque() augmente. Ces tendances sont à rapprocher des tendances des solutions asymptotiques présentées précédemment. III.
4 HRR
..9ie
(1993)). Il
04
2:
Corps fissurés de largeur finie ("finite width crack bodies")
Le cas des éprouvettes sous tension uniaxiale et des éprouvettes de flexion est d'abord considéré~ Les longueurs de fissure couvrent tout le domaine possible d'existence, depuis les longueurs de fissures courtes ("short crack length") où la longueur caractéristique est la longueur de fissure a, jusqu'aux longueurs de fissures profondes ("deep crack length") où la longueur caractéristique est la longueur du ligament b. Les chargements couvrent également tout le domaine
5 r 1 (J 1cr o)
1 (J 1cr o)
Fig.VII.S- Distribution radiale des contraintes pour(}= 0 pour le champ HRR et po le champ de la plasticité confinée dans le cas des grandes déformations. n = 10; a 0 j E 1/300; v = 0,3 (d'après O'Dowd et Shih (1991)). possible d'existence, depuis des niveaux où le chargement est caractérisé parK. T, puis par Jet Q jusqu'à des niveaux pour lesquels la plasticité est généralisée. pour lesquels des paramètres de chargement sont à trouver. Les premières étud, datent de 1977 [14]. Ces études ont été reprises en 1991 [7,8]. Une revue généra a été faite dans la référence [15].
Le paramètre Q est obtenu comme dans le cas de la méthode de la coucl limite par différence entre la solution complète obtenue par la méthode d, éléments finis et le champ de référence qui est soit le champ HRR, soit le charr SSY avec T = O. Deux géométries présentant des taux de triaxialité très différen ont été analysées (Fig. VII.12) :le panneau à fissure centrale soumis à un effo de tension et l'éprouvette à fissure latérale en flexion. Le paramètre Q qui e proportionnel à la variation de la pression hydrostatique est donné sous sa forir initiale sur la figure VII.13 :le paramètre Q, plus petit dans le cas de la tensic que dans le cas de la flexion, décroît beaucoup plus vite dans le cas de la tensic que dans le cas de la flexion. En outre, Q est plus élevé pour les fissures profonde que pour les fissures courtes. Pour les fissures profondes dans les éprouvettes c flexion, la valeur de Q dépend de ia distance à laquelle elle est prise : en eff, pour les fortes valeurs de la sollicitation la partie en compression sur la face ne fissurée interfère avec la partie en traction en pointe de fissure pour y abaisse rapidement le niveau de contrainte lorsque l'on s'éloigne de la pointe de fissur Cet aspect sera repris sous sa forme plus appliquée au chapitre VIII.
Le cas du panneau à fissure centrale soumis à des chargements croissants c différents a été calculé p; tension avec des taux de biaxialité B (= ':'x_/ O'Dowd et Shih [8]. B a un effet sur Q analogue à celui qu'il aurait à trave son action sur T dans le cas de la plasticité.
a a-;:J
220
D. Miannay
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
Expression utilisée pour le lissage des résultats numériques : HRR _ (a, )ssy -(a" )HRR _ Q ssyO"o
a.
ao
a,
F( T ) _-ao+<11 ( T) +a:! ( T)
a,
~,n
~
ao
a,
ao
2
~
,
ao
. +a 3
(
T)
-
3
a0
Loi de comportement:
T
Référence
obtention de J 10
317
13
·0,05
+0,81
-0.5.
G.D .. E0 = l 1300
\' = 0.3
O'Dowd et Shih ( IY92)
-0,1
+0,72
-OA2
G.D .. Eo
v= 0.3
O'Dowd et Shih ( 1992)
-0 .•
+0.6.
-o.•
+0.6
-0.75
0.617
-0.565
~Il 300
P.D .. RO.
'o ~o.ooz
Extension ,·irtuellc 317
P.D .. RO.
'o
~o.ooz
0.123
P.D .. E.P.P .. Eo
~
E
0,10 E
Q=-1 ,40 à 0.22
Betegon et Hancock. T < 0
0.0025
0,10
(19911 v =0,3
0,00
Porks (1992)
0,00
0
= 2 1/Œo, B = 0)
2 r/(
3
4
5
0
J;cr 0 )
Les paramètres de chargement
Comme il a déjà été indiqué , le paramètre de chargement est l'intégrale de contour J. Ensuite, pour le champ de contrainte, J1Œo apparaît comme un paramètre d'échelle pour la distance à la pointe de fissure et Q comme un paramètre de modification de la tension hydrostatique.
p E
2 rf(
et T obtenue en utilisant la
définition QHRR = (ŒeelssY- (ŒeelHRR pour B = 0 et r = U pour la famille Q de SSY ŒQ ŒQ champs. La courbe de Betegon et Hancock est sans doute à translater verticalement sur les autres courbes.
IV.
eq
Betegon et Hancock. T < 0
G.D.=Grandes Déformations; P.D.""Petites Déformations.
Fig.VI1.9- Relation entre Q~s~R (r
0,20
p
8=0
eq
(1991)
\' =0.3:
Extension Yirtuellc 10
~~~-~~~~JPOo: ~11f'st_ributtions Ide la contra. in te hydrostatique dans le cas de la pl asti 1 eren es va eurs de Q. n = 10 ΠjE - 1/300 ( , , et Shih (1991)). ' a , v= 0, 3 d apres O'D( p
v =0.3:
1(J 1Œo)
3
4
5
J/cr 0 )
p
eq
E
eq
0,10
0,10
0,00
0,00
0
45
90 8
135
180
0
45
90
135
180
8
F~g.Vll.l!- Famille Q des champs de déformation plastique Calcul aux grande deformatiOns. Œo/ E = 1/300 (d'après O'Dowd et Shih (1992)). ·
CHAPITRE VIl- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
222
IV.l
M
TT crV'Y TT
~
IV.l.l
223
DÉTERMINATION ET ESTIMATION DE J
La méthode de superposition de Shih [16]
La loi de déformation du matériau retenue est la loi de Ramberg-Osgood qui s'écrit : 2W
j_ 2 a--~
2W
-2W -----~-L-1-l-cr-~~l
-
"l
E: E:o
w ~
cr cro
n )
La propriété d'additivité des déformations en élasticité linéaire ou non linéaire permet d'écrire :
~
M Barreau en flexion 3 points
Plaque à fissure centrale
u étant la déformation totale, uE la déformation purement élastique et linéaire et uP la déformation plastique au cours d'un chargement monotone, assimilée à une déformation élastique non linéaire. D'où :
0
0
Q
a/W=0,1
Q
cr cro
---+a ( -
. -1
-1
-2
-3
J peut donc être décomposée en deux parties de la façon suivante :
-n=3 - - - n=5 n=10 n=20
-n=3 - - n=5 _____ n=lO n=20 1
-2
-3
-1
-2
-2
log ( J; (a 1 cr ) )
log ( Ji (a 1 cr ) )
soit,
0
1= h+lp.
0
a/W=0,8
afW=0.8
0
0 Q
Q
-1
-1
-n=3 - - - n=5 - - - n=10 ----- n=20 -2
-2 -3
-1
-2
-3
/
) = 2 avec le chargement pour deux éprouvettes = 0,3 (d'après O'Dowd et Shih (1992)). '
Fig.~II.l?--:- Ev.olutl~n de. Q a/r / ~ 1~00. v de geometne fime. n - 10, uo E
-2
0
0
.
ae
log (JI (b 1 cr ))
log (JI ( b 1 cr ) ) .
-n=3 ---n=5 ---n=10 --- · · n=20
fE est la force d'extension de fissure G dont l'expression est donnée en fonction de la longueur de fissure corrigée de la plasticité (ou longueur de fissure efficace) et ]p la composante purement plastique étudiée au chapitre précédent. Pour la correction de plasticité dans fE, pour tenir compte de la dépendance de la plasticité à l'égard du coefficient de consolidation n, Shih [16] a proposé de prendre comme longueur de fissure efficace l'expression suivante :
1(n +-1)
= a + (37r
n
1
[1 +
1
(À, f]
JE E' cr5 ,
avec (3 en contrainte plane et f3 en déformation plane ; avec E' = E en contrainte plane et .fE' = E/ (1- v 2 ) en déformation plane. La forme de cette expression assure la continuité de la dérivée partielle de J par rapport à Pau point P = P0 • La figure VII.13 donne le principe de la méthode et l'adéquation entre le modèle où JE et ]p sont tirées des formulaires de FIC présentés au chapitre II et de ]p présentés au chapitre VI, et les calculs numériques complets.
D. Miannay
224
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
formulaire de la rupture plastique Jp
Je+ Jp
Je
l=h+lp=ahl ( ; , 1)CTrefé:Erer+ahl ( ; , n)CTrefé:Pref, = a h.1 ( ; , 1) CTref é:E ref +a h1 ( ; , n) CTref (cref- é:E ref)
élastique
plastique
élasto-plastique
~
EJ8J
soit en tenant compte de la correction de zone plastique comme ci-dessus :
lE( a) [lE (aE) + h1 ( W• n) (Eé:ref _ 1)] JE(a)
ht ( W• 1)
JE(aE) = 1 + _1_ 8 JE(a) da h(a) JE(a) 8 a
0~totalement
_ 1
-
1
plastique
méthode d'estimation élasto-plastique 1
0
'
·
Si aE est très voisin de a, on peut écrire :
intégrale J
calculs aux éléments finis
CTref
1
8 h(a) 1
+ h(a) ~ /31r
(nn +
-1) 1
1
h(a)
[1 + UJ2] E' (Tr
Comme cette expression reste fonction de n, Ainsworth propose de retenÎI solutio.n pour une fissure en configuration d'Inglis dans une plaque infinie contramte plane, constituée d'un matériau dont le n est infini. Dans ce c on a:
1-1'( /
~
.-- -" > .--
élastique
charge appliquée , P et finalement : Fig.VII.13 -
Illustration de la procédure d'estimation de J (d'après Ku mar et al: (1981)).
( Eé:ref -1).],.
J peut alors être écrit sous la forme :
2
p a ( p J=f(ae)(Po) +aCToE:oaht(w,n) Po
O"ref
)n+l
ou,
IV.l.2 L'approche d'Ainsworth [17] Dans le cas où le matériau n'obéit pas uniquement à une loi de comportement linéaire, la méthode de superposition du paragraphe précédent conduit, en tenant compte du résultat établi au chapitre précédent, à :
D'un point de vue pratique, le conservatisme d'une telle formulation reste établir d'une façon générale.
D. Miannay
226 IV.2
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
ESTIMATION DE Q
Pour un matériau linéaire élastique, c'est-à-dire dans le cas de la plasticité confinée limitée et seulement dans ce cas, la détermination de Q est possible à partir de la valeur de T caractéristique de la géométrie et du mode et du niveau de chargement du corps fissuré, telle qu'elle est donnée ou telle qu'elle peut être déterminée selon les méthodes indiquées au chapitre II.
sur la figure VII.9 sous la référence Parks et obtenues par différence avec le ch de la plasticité limitée des contraintes d'ouverture aoo(O == O) en avant du J de fissure dans des plans perpendiculaires au front de fissure sont données s figure VII.14.
tension
Lr=0,98
10
(exercice VII.3).
8
Par analogie avec la méthode de superposition de Shih pour l'intégrale de contour, il pourrait être intéressant de trouver l'expression de Q pour un matériau d'Hollomon. Une expression normalisée possible serait la suivante:
6 Lr=0.734
4
Lr=0,37
2 Qcorps fissuré
== Q
(a:
L, géométrie,
n) ,
0 90
,o
L étant la grandeur caractéristique de la fissure. Aucune tabulation n'existe encore. Cependant, dans le cas d'un matériau parfaitement plastique (c'est-àdire dans le cas d'un matériau d'Hollomon ayec un exposant n tendant vers l'infini) c'est-à-dire dans le cas du chargement limite, il a été vu au chapitre précédent qu'une limite possible pour le premier terme de la solution asymptotique est la solution donnée par le champ de Prandtl. Donc le développement asymptotique cherché s'écrira [9] : a;j == ao
-
(1 + K + J3 Q) M
v3
O;j-
ao M v3
O!i Ojj
+
ao M v3
- pour le panneau à double fissure latérale profonde en tension, Q == 0 -pour le panneau à fissure centrale en tension, Q == -K / J3 -pour le panneau à fissure latérale en flexion (a./W > 0, 3), Q == -0,006 (en effet d'après Green et Hundy, ayy ~ 2, 91 ao; a xx ~ 1, 75 ao et axy -0,06ao) -pour le panneau à fissure latérale en flexion (a./W < 0, 3), Q ==
30
0
flexion
6
- O/C=0.24
4
- Lr=0.96
a/1=0,60
2 Lr=0,40
0
60
,o
lOI< K/4
et en considérant les solutions obtenues par la méthode des champs de lignes de glissement, on obtient :
30
0
Ti cr ""0,8 ,..--------;-;---~~~ c a/1=0,60, fie x. • a/1=0. 15, flex. 0,4 o a/1=0, 15, ten a/1=0.60. ten . O/C=0,24 0,0
~
(en effet d'après Ewing, a YY ~ ao; a "·x ~ ao et a o·y ~ ao) V.
8
90
02i 02j·
60
Le problème tridimensionnel
Pour un matériau Elastique Puis Plastique, Wang [18] a étudié par calcul aux éléments finis les fissures de surface semi elliptiques courte et profonde (Fig. VII.14) dans une plaque soumise à une tension ou à une flexion. Les valeurs normalisées de l'intégrale J obtenues par la méthode de l'intégrale de domaine et les valeurs du paramètre T / a 0 déduites de Q55 Y par la relation de Wang donnée
90
60
30
0
,o
Fig. VI de l'intégrale J normalisée , ] = Jj-co a 0 t L2r> e t d u t aux . ï - Valeurs . b' . r1.14 , 1axm 1te e as!Iqu_e le long d'une fissure semi-elliptique de surface dans une plaque soun a ~ne tension ou a une flexion. Plaque de dimension Wjt = 8 etH jt = 16; L 1• = P/ Pr am /ao en tension et Lr = M /Mo = 1. 5 ab' /ao en flexion. Matériau Elastique F Pl~sllque, Eo = 0,0025 ; v = 0,3 ; n = 10. T est déduit de Q avec la relation de W: (d apres Parks (1992)). '
~e para~ètre ~n'est donné que pour des angles
228 VI.
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINU !TÉS
D. Miannay
(exercice VII.4)
La propagation quasi-statique
Alors que pour une fissure immobile ou stationnaire une forte singularité en 1/r existe au voisinage immédiat de la fissure, pour une fissure non-stationnaire, se propageant ou mobile ("non-stationnary, growing or moving crack"), de façon quasi-statique, c'est-à-dire sans intervention des forces d'inertie, la singularité trouvée est plus faible et est en ln 1/r; comme il est vu ci-dessous. Ces solutions sont proposées uniquement pour le cas de la plasticité confinée limitée et pour les petites défonnations. Vl.1
CAS DU MATÉRIAU ÉLASTIQUE-PARFAITEMENT PLASTIQUE ET DES PETITES DÉFORMATIONS
La première solution a été trouvée pour le mode III, et pour un matériau élastique-parfaitement plastique. Pour la fissure immobile, la description de la zone plastique par McClintock est donnée au chapitre Ill, paragraphe II.3 : la déformation plastique de cisaillement 'Yoz et l'étendue de la zone plastique R pour les faibles chargements en avant de la pointe de fissure, sont données en fonction de la cission r 0 et du cisaillement io à la limite d'élasticité par :
Km,
R
'Yoz="fo-;:-,
et
1(Km) ro
R =-
2
rr
cos B.
McClintock [19] a considéré la propagation de cette fissure de longueur a dans son plan et a établi que, par suite de la redistribution des contraintes à l'intérieur de la zone plastique et des légers déplacements à sa frontière lorsque la zone s'étend, sous une contrainte à l'infini constante, ce qui signifie que R(B = O)ja, soit R 0 , reste constant, l'incrément de déformation plastique due à l'avancée de fissure au point de cordonnées polaires r et B = 0 en avant de la fissure courante est donnée par (Fig. VII.15):
a aa
R R)
'Yo ( 1+-+ln- . -'YP =r
a
r
Pour étudier la propagation, des règles doivent alors être introduites. Ai McClintock introduit la règle que la rupture se produit lorsqu'une déformati plastique critique est atteinte à une distance donnée de la pointe de fissure. problème est ensuite résolu de proche en proche numériquement. Cet aspect poursuivi au chapitre VIII. Ce qui peut être déterminé analytiquement ou semi-analytiquement sans fa intervenir de règle de rupture est le régime pennanent de propagation ("stea state propagation") au cours duquel les états de contrainte et de déformati restent identiques à eux-mêmes pour un observateur se déplaçant avec la fissu ce qui revient à écrire que pour toute fonction de x, le repère étant lié à la poil de la fissure en mouvement, et de a la longueur de fissure, cette fonction décriv< les états de contrainte et de déformation, on a :
(aaa)
x, y
+
(aax)
= 0· y, a
Cette condition est encore appelée condition d'instabilité au cours d'un char! ment croissant monotone, puisque la valeur du facteur d'intensité de t:ontrair est alors maximale. Chitaley et McClintock [20] ont introduit la notion qu'il existe trois zones au v1 sinage de la pointe de la fissure en mouvement : une zone plastique de char! ment monotone ou zone plastique primaire ("primary plastic zone") en ava de la fissure ; une zone de déchargement élastique ou zone d'évanouisseme ("wake zone") et une zone de déchargement plastique inverse ou zone plastiq secondaire ("secondary plastic zone") en arrière de la zone plastique primaire correspondant à des régions balayées par la zone plastique primaire au cours , l'extension antérieure. Ces auteurs ont déterminé d'une part analytiquement 1 angles à l'intérieur desquels ces zones plastiques sont comprises et d'autre p< numériquement la forme de ces zones. Les contours de ces zones sont représent sur la figure VII.16. On constate en particulier que l'étendue de la zone primai à travers le plan de fissure est égale à celle de la fissure immobile. Ils ont trou pour les composantes du cisaillement à travers le plan de fissure dans la ZOJ plastique primaire les expressions suivantes :
('Y!) 9=0 ( p)
= 0.
ro
'Yy B=O = --; ln
Fig-VII.15- Schéma montran·t l'incrément de déformation liée à l'extension da de fissure en mode Ill (d'après McClintock (1971)).
Ces variations sont représentées sur la figure VII.16. ~utilisation du critère ' rupture ductile proposé par McClintock explique pourquoi, après l'amorçage, m propagation stable précède l'instabilité puisque la déformation plastique est pl1 faible pour le régime permanent que pour la fissure immobile. Le déplacement fond de fissure vaut, en outre, 0,07 fois celui d'une fissure immobile soumise < même chargement monotone.
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
230
plastique primaire
y/Ro
0,5
x/Ro
1 1
\,',,_ T - /
231
rechargement plastique possible de signe opposé qui apparaissent en arrière de la fissure comme indiquée sur la figure Vll.17. La solution trouvée avec la prise en compte de corrections ultérieures [22] montre que : -un secteur élastique et un secteur plastique de déformation plane apparaît pour v = 0, 5 et un secteur élastique et deux secteurs plastiques de non déformation plane apparaissent pour v = 0, 3 ; -le champ de contrainte est continu en(), non singulier en ret n'est sensiblement pas modifié, sauf très légèrement dans le secteur de déchargement ; -le champ de déformation dans le champ en éventail est donné par :
réglme--p-érmanent
p
Eij
5-4 v o-
= ~ E0 2v6
Gij(())
R
ln-+ Hi 1 (()), r
pour r->
O.
I.:origine est située à la pointe de la fissure en mouvement. Gi1 ( ()) sont des fonctions connues de e. Ret Hii( ())sont indéterminés par l'analyse asymptotique; Rest un paramètre de longueur. Cette solution présente une discontinuité entre les secteurs A et B ; - le taux d'ouverture de la fissure, l'ouverture étant définie comme la distance entre les lèvres de la fissure, est donné par : l R " _- adJelast du - - + (J -
o-a
g
r '
pour r-> O.
a est indéterminé par l'analyse asymptotique. (J = 4,385 pour v = 0,5. (J = 5,462 pour v = 0,3. Rest un nouveau paramètre de longueur indéterminé par l'analyse asymptotique. letast est l'intégrale de contour calculée le long d'un contour situé dans la zone élastique loin de la pointe de la fissure ; -pour la fissure immobile (da= 0), l'ouverture à fond de fissure est donnée par: distance normalisée, x/Ro
Fig.VI1.16- Représentation des différentes zones de déformation au voisinage ~'une fissure sollicitée en mode Ill au cours du régime permanent de sa propagation : zone plastique de chargement m~not<:>ne ou zone pl~~tique ~rimaire e:primary pla,~ti~ zone") ; zone de déchargement elastique ou zone ~ evanoUisse~en~. ( wake zone ) . , zone de déchargement plastique inverse ou zone plastique secondaire ( secondary plastic zone"). Composantes de déformation à travers le plan de fissure et en avant de la fissure (d'après Chitaley et McClintock (1971)). . (exercice VILS). Pour le mode 1 et pour un matériau élastique-parfaitement plastique, pour une fissure stationnaire, Rice avait montré que la solution asymptotique pour le champ de contrainte est identique à celle du champ de lignes de glissement de Prandtl. Pour une fissure en mouvement, une analyse asymptotique en partant de ce champ a été effectuée par Drugan et al. [21] et a montré que ce champ devait être modifié pour tenir compte d'un déchargement élastique et d'un
c'est-à-dire par une valeur discrète ; -pour une extension de fissure continue ( dJ/da fini), l'intégration de l'équation précédente donne:
o-o P 6 = (3- r InE r' avec p~Rexp
(l+aTJ/fJ)
où TJ = (E/o-6) /(dJfda) est appelé "module de déchirure" ("tearing modulus"). Il n'y a pas alors de valeur discrète à fond de fissure, 6 -> 0 lorsque r -> 0, bien que le profil de la fissure ait une tangente verticale en pointe. Sham [22] a effectué des calculs aux éléments finis en utilisant la méthode de la couche limite modifiée avec K 1 le paramètre de chargement à l'infini, pour des
·
D. Miannay
232
y
V=0,5
y
Vl.2
v=0,3
e = 160.4'
~---3
r~110.3'
y
CAS DU MATÉRIAU ÉLASTO-PLASTIQUE ET DES PETITES DÉFORMATIONS
Pour le mode 1 et pour un matériau Elastique Puis Plastique (EPP), D; et Hang [23] ont obtenu, par analogie avec l'expression relative au matéria élastique-parfaitement plastique, l'expression suivante pour le taux d'accroiss€ ment de l'ouverture :
x
fissure mobile,
R*)à+l f* dJelast + (3* Uo da ( lnpour r--> 0, r uo E (avec ii= 1/(n- 1)) avec f* la solution pour la fissure immobile:
db =
r = ~ Ü.y(1r, n) ( n
o /o
3
0
0
22
fissure stationnaire fissure mobile,
oo
45°
+1
In
.J
) -1/(n+l)'
Uo éo In r
et (3* et R* indéterminés par l'analyse asymptotique. les expressions asymptc tiques proposées pour les champs de contrainte et de déformation s'écrivent : v=0,3
u;i
= (ln ~)a. Ü;j(fJ, n),
u;
= r (ln-:;:-A)à+l ü.;(fJ, n),
2
-1
23
extensions gouvernées par des valeurs de T égales à 5 et 15 et a ainsi détermin numériquement la valeur de (3 = 5,46 qui est en accord avec la valeur de 1 solution asymptotique et la valeur de a = 0,58. En outreR est compris entre 0,11 E h/uo et0,133 E h/uo. La variation dé u;i/uo en fonction der/ (Kr/uo) 2 pot (} = 0 en avant de la fissure en mouvement est identique quelque soit T à celle e avant de la fissure stationnaire à l'exception de la composante u zz qui est trouvé _plus petite. La figure VII.18 représente l'évolution des profils d'ouverture pot la fissure stationnaire et pour la fissure en mouvement. On constate que le prof est conservé au cours de la propagation. Cette remarque sera utilisée au chapitx VIII.
fissure stationnaire
fissure mobile,
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
90°
Fig.VII.17- Représentation à l'aide des lignes de glissement des états de contrainte .du champ de .Prandtl au voisinage d'une fissure i~mobile et d~ champ ~e Prandtl mo~1fié avec un secteur élastique pour une fissure mobile. Compara1son des etats de contramte (d'après Drugan, Rice et Sham (1982)).
e;j =
(ln-:;:-A)à+l Ë;j(fJ,n)
pour r--> 0,
avec A non identifiée dans la solution asymptotique. En utilisant des chargemenl transitoires et permanents KI fonction de .6.a, ces auteurs ont déterminé le champs de contrainte et de déformation. Pour le mode 1 et pour un matériau de Ramberg-Osgood avec n = 10, Vari~ et Shih [24] ont utilisé la méthode de la couche limite modifiée avec KI et T le paramètres de chargement à l'infini pour déterminer par calcul aux éléments fin1 les dimensions de la zone plastique et les états de contrainte et de déformatio dans cette zone dans le cas des régimes permanents correspondants à différente valeurs de KI. Les principaux résultats obtenus sont les suivants : - l'étude aux grandes déformations n'est pas faite car la zone de grand déformation est en fait très petite, de l'ordre de w- 4 (KJ/u0 ) 2 ;
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
234
235
0,04
1,5
5
n=10
<;!.....
-
ô/( J/cro)
<;!..... 0
b
0
b
~
;::c;
:::::::::
::::::::: -<::
0
""
....""
0,01 0-1
T/uo 0,0---l--'---J........--'---'--"'---''--= -0,04 -0,01 0,00 0,03
n=10 0
T/uo
Fig. VII.I9 - Forme et dimensions de la zone plastique primaire durant le régime permanent de propagation d'une fissure dans le cas de la plasticité confinée limitée gouvernée par la couche limite modifiée : n = 10 ; ~Jo/ E = 1/300; v = 0, 3 (d'après Varias et Shih (1993)).
xf(K/uo) 2
1,5
T=15
ô/( J/cro)
- les conditions les plus sévères correspondant aux valeurs maximales de la déformation plastique équivalente é~q et du taux de triaxialité umfu0 sont obtenues pour T = 0 (Fig. VII.20), alors que pour une fissure stationnaire T négatif abaisse la triaxialité de contrainte mais augmente le niveau de déformation pour une sollicitation K 1 donnée et inversement T positif augmente la triaxialité de contrainte mais abaisse le niveau de déformation. En outre, Varias et Shih, constatant que ces solutions deviennent uniques lorsque la longueur utilisée est prise égale sensiblement à la moitié de rp0 , proposent l'introduction empirique d'une nouvelle longueur caractéristique Lg proportionnelle à (K1/ u 0 ) 2 et à une fonction de T / u 0 , ç (T / uo), qui est identifiée numériquement. Ainsi, les champs de contrainte et de déformation peuvent s'écrire :
O,Ql--L----'--....1..--L---'-~_,_,___,
-0,04
-0,01 0,00
0,03
x/(K/uo) 2
Fig.VII.18- Evolution ·des profils d'ouverture_ de fissure de la fissure immobile et de la fissure en mouvement après 10 et 20 pas de crOissance pour: a) TJ = 5; b) TJ = 15. Cas de la plasticité confinée limitée avec T = 0 (d'après Sham (1983)).
- par rapport au cas de la fissure stationnaire, T a le même effet sur l'inclinaison de la direction de la dimension maximale de la zone plastique sur le plan de la fissure et sur cette dimension ou de façon équivalente sur la hauteur de la zone d'évanouissement hp. En outre l'étendue rp 0 de la zone plastique pour 8 = 0, c'est-à-dire dans la direction où le mécanisme élémentaire de rupture intervient, est maximale pour T = O. Les variations de ces grandeurs sont données sur la figure VII.19 ;
u;j
uo
=L ii
(!..._, o) Lg
Les calculs ont également été effectués pour n = 5 et pour un matériau élastiqueparfaitement plastique. Dans ce dernier cas les résultats de Drugan et al. [21] sont retrouvés. Dowds et al. [25] ont effectué un calcul aux éléments finis dans le cas de la plasticité confinée limitée pour un matériau de Ramberg-Osgood avec n = 10 et pour un chargement K~, T = 0 et T1 = 0 en petites et en grandes déformations. II est trouvé que le passage des petites déformations aux grandes déformations ne modifie pas le profil d'ouverture de la fissure en mouvement et le champ de contrainte à quelques distances de la fissure en mouvement. Par contre une augmentation de la pression hydrostatique se produit en avant de la fissure en mouvement, cette augmentation conduisant à une modification des contours d'isocontraintes normales principales et à une augmentation des aires inscrites dans ces contours comme il apparaît sur la figure VII.21.
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
236 4
5
~
ri( J/cro}
cro
3 9=0 n= 10
2 0
-1
n=10 TJ =10
-1
0,04
0,02
103 2 A 1 ( J /cr o) 102
23'
r/(K/ao) 2 3,5 crm cro3
2
2
9=0 1,5 n=10 0,02 0
r/(K/ao) p
&eq
2,5
3,5 crm cro3
8
0,04
9=7tl4 n=10 0,02
0,04
r/(K/ao) 2
2
p
9=0 n=10
6
1,5 0
-5
n=10 9=7t/4
&eq ,16 3
'163 4 2
a 0,02
o;,o4
0,02
0
r /( J /cro)
o,b4
r/(K/ao) 2
r/(K/ao) 2 13
0
r 1 ( J /cr o)
13
3,0
3,E
cr ,tcr 0
Fig.VII.21- Formes des contours des isocontraintes principales maximales et aires ins· crites dans ces contours pour une fissure immobile et pour cette fissure après une extension de 5 Oie• Oie étant l'ouverture à l'amorçage, en plasticité confinée limitée avec T = 0 e1 T1 = 10. Matériau de RO: ao = 60; Eo = 0,002; a= 1; n = 10; v= 0,3 (d'aprè~ Dodds et al. (1993)). de contrainte et de déformation critiques caractérisables par des valeurs critiques · de 1 et de Q, que la fissure soit immobile ou en mouvement. Ce sujet est traité de façon détaillée au chapitre suivant. Il est seulement dit ici que le paramètre de chargement critique lie à l'amorçage ou h en cours de propagation peut être calculé par les méthodes de Shih ou de Ainsworth et que ce paramètre suffit à rendre compte de la rupture lorsque l'état de contrainte et de déformation au voisinage immédiat de la fissure est décrit approximativement par la solution de la plasticité confinée limitée avec Q = 0, ce qui peut être le cas pour les chargements faibles. Ceci est équivalent à: la rupture fragile décrite par Kie lorsque la solution avec T = 0 peut être retenue pour décrire l'état de contrainte élastique. Les méthodes de mesure de lie et de h sont décrites ci-dessous.
Fig. VII.20 - Champs de contrainte et de déformation dans la zone plastique primaire en avant d'une fissure se propageant dans son régime permanent: n = 10; ao/ E = 1/300; v = 0, 3 (d'après Varias et Shih (1993)).
Vll.2 EPROUVETTES DE MESURE DE LA TÉNACITÉ
VII.
Les relations asymptotiques restent valides dans un domaine appelé domaine de dominance des champs singuliers de dimension appelée "rayon" R(O). En fait, le champ de référence qui est choisi est celui de la plasticité confinée limitée avec prise en compte des grandes déformations en pointe de fissure. Ce rayon a été déterminé numériquement pour des éprouvettes de flexion et pour des éprouvettes de tension avec fissure centrale [26] pour des chargements croissants conduisant à la plasticité généralisée où l'interaction avec la surface libre la plus proche abaisse le taux de triaxialité. Pour des fissures suffisamment profondes et
Implication de ces modèles pour la rupture
Vll.l CRITÈRES DE RUPTURE Il a été vu au chapitre V que la rupture se produit à l'échelle microscopique sous l'effet de la déformation plastique lorsque la contrainte dépasse une contrainte critique dans un certain volume ou lorsque la déformation dépasse une déformation critique dans un volume généralement plus petit que le volume précédent. En avant d'une fissure la rupture se produira donc pour des champs
VII.2.1 Domaine de dominance du champ singulier HRR
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
238
pour les valeurs finies de n et quelque soit n, la valeur maximale de R est donnée par: -pour l'éprouvette de flexion R = 0, 07 b, -pour l'éprouvette de tension R = 0, 01 b, b étant la dimension du ligament restant. Pour n infini Rest nul puisque 1 n'est pas défini. . , Pour des fissures latérales soumises à l'effet combiné .d'une t~nswn ~t d u~e flexion dans le cas de la plasticité généralisée, le coeffictent rellant R a b vane douce~ent avec le rapport tension/fiexion [27]. . . . En outre R doit être supérieur à la zone de grande déformatiOn, smt apprmnmativement 3 61 (voir chapitre VI, paragraphe Il.~.l). Et R n'est qu'une fraction de la longueur b du llgament. Donc finalement, - pour la flexion : 0,07 b > R
> 3 Dt= 3 x 0,6 1/ao
Il faut donc que : b>251/ao
- pour la tension : 0, 01 b > R
> 3 Dt= 3 x 0, 6 1 /ao
Il faut donc que : b>1751/ao. VII.2.2 Extension pennise Pour l'état de plasticité généralisée, c'est-à-dir.e lor~que la déformat~on élastique est négligeable devant la déformatio~ plasti.que, Il faut que le domame de dominance de dimension R soit tel que (vmr chapitre VI, paragraphe Ill),
- pour la flexion da
R
= 0, 07 b > 1 dl
ou sous forme adimensionnelle w=
b dl
- > 14. 1 da
La valeur 14 serait en fait un majorant si les résultats expérimentaux sont considérés.
- pour la tension da R = 0, 01 b > 1 dl
ou sous forme adimensionnelle b dl > 100. 1 da
W= - -
VII.2.3 Méthodes d'essais
Pour augmenter pour un volume donné de matière la capacité détermination des valeurs critiques de 1, seules les éprouvettes sollicitée: flexion sont retenues : ce sont les mêmes éprouvettes SE(B) sollicitées en fie: 3 points et C(T) sollicitées en tension qui sont utilisées pour la détermina de K 1c lors d'un comportement globalement élastique, comme il a été décri chapitre III. La longueur relative de fissure, ajW, est comprise entre 0,5 etC En outre, il sera vu au chapitre suivant que cette géométrie conduit aux couJ de résistance à la propagation les plus conservatoires pour l'utilisation sûre ( composant. _ Pour déterminer la ténacité lie, valeur critique de 1 au voisinage du démarr de l'extension stable de la fissure, la procédure vise à développer la pori initiale d'une courbe 1 - R consistant en des valeurs de l'intégrale 1 à série d'extensions de fissure mesurées, et à évaluer une estimation au sem l'ingénieur de la valeur de l'intégrale 1 requise pour produire une petite val d'extension stable de la fissure, et dans la norme ASTM E 813 [28] la val de 0,2 mm est considérée. Deux méthodes peuvent être utilisées, la techni• des éprouvettes multiples ("multiple specimen technique") et la technique l'éprouvette unique ("single specimen technique"). Selon la première technic plusieurs éprouvettes (au minimum 5) sont chargées jusqu'à des déplacements vant produire différentes valeurs régulièrement échelonnées d'extension fla. charge est enregistrée en fonction du déplacement de la charge. Les éprouve: sont alors déchargées et le front de propagation est marqué soit par la méth1 de "bleuissage" (ou d'oxydation à chaud de la fissure), soit par une extens complémentaire en fatigue qui présente un faciès reconnaissable. ~éprouvette ensuite rompue de façon fragile et l'extension fla est déterminée. La deuxiè technique consiste à utiliser une éprouvette unique (l'essai est répété au mo trois fois pour tester l'hétérogénéité du matériau) et à procéder au cours du ch gement normal avec enregistrement de la charge en fonction du déplacemer des déchargements partiels à des instants bien choisis. Ces déchargements parti analysés en terme de complaisance élastique permettent de déterminer la !1 gue ur de la fissure en cours de propagation. Puis pour chaque éprouvette pouJ première technique ou pour chaque déchargement pour la deuxième techniq la valeur de l'intégrale 1 est déterminée à partir de ses composantes élastique
240
D.Miannay
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
et plastique Jp à l'aide de la relation : J=
charge
h +Jp
avec JE = K{ (1 - v 2 ) , K1 étant donné au chapitre II pour les deux géométries et avec Jp = TJ Up / Bb, Up étant l'aire délimitée par la courbe de chargement et la droite dite de déchargement tracée à l'aide de l'expression non rappelée ici de ia complaisance élastique C (a0 + t:.a) (Fig. VII.22). 7J = 2 pour l'éprouvette de flexion et 77 = 2 + 0,522 b0 /W pour l'éprouvette compacte. Les données sont ensuite portées sur un diagramme J - t:.a (Fig. VII.22). La droite d'émoussement ("blunting line") d'équation J = 2crr t:.a est tracée, avec err la limite d'écoulement plastique prise égale à la valeur moyenne de la limite d'élasticité et de la contrainte maximale. Cette droite traduit l'avancée de la fissure par formation de la zone étirée ("stretched zone"). Ensuite sont tracées deux droites, dites droites d'exclusion, parallèlement à la droite d~émoussement et traversant l'axe des abscisses aux points 0,15 et 1,5 mm. Seuls les points expérimentaux régulièrement répartis entre ces deux droites sont retenus pour la suite. Les points d'extensions faibles ne sont pas retenus car manquants de précision sur la valeur de l'extension et les points. d'extensions élevés ne sont pas retenus pour ne pas transgresser a priori la règle d'extension gouvernée par J. Une limite supérieure en J, JMax = b err /15, valeur voisine de la valeur correspondant à la condition de validité de J pour une fissure immobile est également tracée pour exclure les valeurs supérieures. Ensuite les points expérimentaux sont lissés linéairement par la méthode des moindres carrés sous la forme : ln J
241
nt a)
déplacement sur la ligne de charge
J
J
--~x_-----
------~
da.J • points utilisés pour la régression
5
ligne d'exclusion des o. 15 mm
~
= ln cl + c2 ln t:.a.
Et l'intersection de cette courbe parabolique est recherchée avec la droite parallèle à la droite d'émoussement et décalée de 0,2 mm sur l'axe des t:.a. Le point trouvé donne la valeur JQ. Si la valeur JQ vérifie la condition JQ < b0 B /25, cette valeur est la valeur recherchée de la ténacité J 1c en déformation plane. Pour déterminer les courbes J - R (" J - R curves") ou courbes de résistance à la propagation qui donnent la variation de J en fonction de l'extension t:.a, la procédure générale est identique à celle de la détermination de J 1c (norme ASTM E 1152 [29]). Les différences principales (Fig. VII.23) sont la prise en compte de la propagation de la fissure dans le calcul de J-et les limites de validité pour les données expérimentales : les points à retenir sont au-delà de la ligne sécante passant par l'origine d'équation J = 4 (err t:.a) /3 et en-deçà de l'extension 0,1 bo et de valeurs inférieures à JMax = err b0 /20 ou JMax = err B/20. Dans le cas où ces limites sont transgressées, les résultats peuvent être formulés sous la version modifiée de J appelée JM ("modified J") qui a été proposée de façon semi-empirique par Ernst [30) : JM = J
-la (aa
Jp)
ao
-da,
a v.
Vp étant la composante plastique du déplacement total V.
1.25 1.50
b)
1.75
2.00
2.25
Extension de fissure (mm)
Fig. VII.2~ - a) Défin!tion ~e l'~ire pour le calcul de J; b) Définitions pour la qualificatior des donnees pour la determmat10n de J 10 (d'après la norme ASTM E 813 (1989)).
~n effet E~nst co_nsid~re_ l'intégrale déduite de la théorie du chargement proportlOnnel qui peut etre ecnte sous la for-me J = J(V, a). La différentiation de cette
CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
D. Miannay
242
J
Une justification partielle réside dans le fait expérimental que lorsque résultats obtenus avec des éprouvettes d'une géométrie donnée et de dimensi· différentes sont représentés en fonction de JM la dispersion qui existait dan représentation en fonction de Jau dehors du domaine de validité de J dispar Cet aspect est développé au chapitre VIII. La norme ASTM E 1129 [31] décrit la méthodologie de mesure de l'ouvert à fond de fissure.
max
5
j
-2 da.J m
6
6
sée an
6.
Bibliographie
l'> a
P max
0 0,50
0
2.00
1.50
1.00
Extension de fissure (mm)
Fig.VIL23- Données typiques d'une courbe J - R (d'après la norme ASTM E 1152 (1987)).
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équation s'écrit : dJ =
(!!_.!_) 8V
elastic power-law hardening materials, J. Mech. Phys. Solids 41 (19 dV a
+ (8 1) Ba
v
665-687.
da.
[7] Betegon C. et Hancock J.W., Two-parameter characterization of elas
soit en séparant les composantes élastique et plastique de l'intégrale et du déplacement dJ= (8G) dVE+( 80 ) da+(~ViJr) 8 VE 8 a vE a
u
P
a
dVr+( 8 ~)
8
plastic crack-tip fields, J. Appl. Mech. 58 (1991) 104-113. [8] O'Dowd N.P. et Fong Shih C, Family of crack-tip fields characterized a triaxiality parameter- I. Structure of fields, J. Mech. Phys. Sa/ids (1991) 989-1015.
v,
da.
Ernst postule alors que la dépendance géométri~u~ est due à !.a ~ré.sen;:e du dernier terme et propose ainsi de prendre comme mtegrale modrfiee mdependante · de la géométrie dJM = dJ- (8 Jp) da, 8 a v, ce qui est équivalent à l'expression donnée initialement ci-dessus. La. correcti~n de JM a pour effet de relever la courbe JR car JM ~ Jo pour une extensiOn donnee de la fissure.
[9] O'Dowd N.P. et Foug Shih C, Family of crack-tip fields characterized l: triaxiality parame ter- II. Fracture applications, J. Mech. Phys. Solids (1992) 939-963. [10] Foug Shih C, O'Dowd N.P. et Kirk M.T., ·~ Framework for Quantify
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244
D. Miannay
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CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS
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[31] AS~M D~signation E 1129-89, Standard Test Method for Crack Tip 0 mng D1splacement Testing (American Society for Tes ting and Ma teri Philadelphia, 1989).
Exercices VII.l. Wang a lissé les résultats numériques qu'il a obtenus pour décrire le cha de c?~trai~te dans le cas de la plasticité confinée limitée avec T = 0 et pour matenau d Hollomon avec a = 1, par la fonction :
CTyy(B = 0) ao
~"-'----'-
dans l'intervalle 0, 0002 ::; r / (
= Yo J(
A
(
J ) -aero E:o
2 )
::;
aero E:o 1 -v ) Yo = 13,00 A= 12,64 Ya = -3, 672 A = -3, 964
b
0, 03, avec : pour
n = 10 b = 4, 890 x w- 2 n =5 b = -0, 1131. (Travaux cités dans [31] : Parks D.M., "Three-Dimensional Aspects of HR J?ominance", J?efect Assessment in Components- Fundamentals and AppJi, tlons, Proceedmgs of the European Symposium on Elastic-Plastic Fracture lv charries, ESIS/EGF Publication 9 (Mech. Eng. Pub!. Ltd, 1991) pp. 205-231). Comparer ce rés.ultat au résultat donné dans le texte.
VII.2. Dans le cas de la plasticité confinée limitée où il existe une relation entre et J, compte tenu que pour rendre compte de la rupture par clivage, on écrit q la contrainte a yy( B = 0) atteint une valeur critique, quelle précision doit-on av• sur le calcul de cette contrainte pour n'avoir qu'une erreur maximale de 10% ~ la ténacité K1c ? Commentedes résultats obtenus dans l'exercice précédent. VII.3. Dans le cas de la plasticité confinée limitée d'un panneau avec fissure configuration de Inglis pour lequel on prendra le FIC non corrigé des effets
246
D. Miannay
bord libre, et soumis à un effort de tension biaxial caractérisé par le facteur de biaxialité B = u:;;,;u~, donner l'expression du paramètre de triaxialité Q en fonction de la contrainte u~, du taux de biaxialité adimensionnel 2: et du facteur de biaxialité B. VII.4. Pour une fissure stationnaire en mode III, quel est l'incrément de déformation plastique en un point de coordonnées r et B = 0 provoqué par un incrément de sollicitation provoquant un incrément d'étendue R. Que peut-on en déduire pour les dérivées secondes 8 2 'Yr /8a 8R et 8 2 'Yr /8R 8a.
CHAPITRE VIII
VILS. Pour une fissure en mode III, dont l'extension obéit au critère de McClintock d'une déformation plastique critique à une distance critique en avant de la pointe, quel est le rapport des ténacités correspondant à l'amorçage de la propagation et au régime permanent.
Traitement élasto-plastique des discontinuités Le risque de rupture La première partie du chapitre IV a présenté la ténacité pour un comport( ment globalement élastique de la structure. Cette ténacité est représentée sous 1 forme d'une valeur critique K1c ou sous la forme d'une courbe de résistance à 1 propagation K-R, ces grandeurs pouvant être déterminées expérimentalemen ~ effet de l'épaisseur a été présenté : aux fortes épaisseurs la ténacité a1 paraît comme une caractéristique du matériau seulement et pour les plus faibh épaisseurs la ténacité est une fonction du matériau et de l'épaisseur. Ici la ténaci1 est décrite dans le cas général au moyen des modèles microscopiques de ruptw qui ont été traités au chapitre V et au moyen des champs de contrainte et c déformation qui ont été décrits aux chapitres VI et VII. ~instabilité de la propagation de fissure qui avait été introduite au chapitre I dans le cas du comportement élastique est généralisée dans la deuxième partie c ce chapitre. La démarche dans l'application de ces concepts à la bonne tenue des structuP est dans le cas général la même que dans le cas du comportement élastique. C aspect n'est pas plus développé ici. 1.
La ténacité : relation entre aspect microscopique et aspect macroscopiq1
A l'échelle semi-microscopique du grain, deux types de rupture existe comme il a été vu au chapitre V : la rupture de clivage caractérisée par une co trainte de tension critique et la rupture ductile caractérisée par une déforma ti< critique. A ces deux types de rupture correspondent deux types de ténaci Lorsque ces deux types existent pour une nuance donnée de matériau les \ leurs observées de ténacité liées à la rupture ductile sont supérieures aux valet liées à la rupture fragile. ~utilisation du schéma d'une courbe de résistance à propagation J - R ou h - t.a telle que celle donnée sur la figure VIII.l permet d'évaluer cet aspect : lorsquele chargement quantifié par J augmen le fond de fissure se plastifie selon le régime de la droite d'émoussement pc 1
V,
•
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
D. Miannay
248
donner une zone étirée discernable sur la surface de rupture. La rupture de clivage peut se produire au cours de ce régime. Ou bien, si l'obtention de valeurs de J plus importantes est possible, la rupture ductile s'amor~e et l'extensi~n de la fissure par déchirure se produit jusqu'à ce que la rupture mstable par clivage ou par déchirure ductile intervienne. Ces aspects sont passés en revue ci-dessous. Les modèles proposés sont d'abord présentés puis leur application aux résultats expérimentaux. 1
chinson, Rice et Rosengren ou solution HRR pour décrire la variation d' ténacité en fonction de la température d'un acier à bas carbone dans le dom< purement fragile de la transition. Cet article possède des erreurs sur la solu1 HRR et sur la valeur de la contrainte de clivage, mais présente la méthode qui utilisée. Le critère de rupture est que la rupture se produit dans la zone plasti· en avant de la fissure lorsque la contrainte tangentielle O'eo(B = 0) du cha HRR atteint la valeur critique·CTc qui a été identifiée au chapitre V, à une dista critiquerc qui est par exemple la dimension de deux grains, 2d, dans un proce! élémentaire de clivage et qui se situe dans le domaine ou anneau de domina de J, comme il a été défini au chapitre VII. La ténacité est donc donnée par
(}'
J
inte~ntion
de l'instabilité de clivage après début de la déchirure.stable \etempérature de trans1t1on ) début de la déchirure stable ( J1 c ) intervention de l'instabilité de clivage avant la déchirure stable( basse température ) extension due à l'émoussement
--a---"'"'
yy
(() = 0)
O'o
(}' =~ =(
O'o
JI
) 1/(n+l) c
Ύ:oO'olnrc
Ô'yy(()
= 0),
avec la variation de la limite d'élasticité O'o représentée par une expression d1 forme donnée au chapitre V. En fait, cette expression n'est valable qu'en déformation plane et que lors< le champ. de contrainte est décrit uniquement par J. Ces deux cas sont exami ci-dessous.
<E--fissure aigue (avant chargement) <E-- émoussement avant déchirement
f6-a =0,5J/cr o l <E-- déchirement après émoussement au début de la déchirure stable ( dJ/da =este )
------:::.-c, a - ·
_
__/
<E-- instabilité ductile
COMPORTEMENT TOTALEMENT FRAGILE
1.1.1
I.:approche rationnelle qui existe actuellement est celle qui a été établie façon semi-empirique dans le cadre du traitement élastique avec correction zone plastique comme il a été présenté au chapitre IV.
1.1.1.2 Cas des fissures courtes et des fissures profondes
Fig.Vlll.l -Courbe schématique de résistance à la rupture JR montrant les différents modes de rupture rencontrés (d'après Paris et al. (1979)).
I.l
1.1.1.1 Cas de la contrainte plane
L'approche de Ritchie, Knott et Rice
Ritchie, Knott et Rice [2] ont été les premiers à utiliser la solution de Hut-
Expérimentalement, il est constaté (Fig. VIII.2) [3] que la ténacité matériaux tels que les aciers est augmentée pour les fissures courtes par rapp aux ténacités K,c ou J,c obtenues pour les fissures profondes, la méthode utili: étant celle pout les fissures profondes. Ce comportement peut s'expliquer de façon suivante. II a été vu au chapitre VII que, pour un corps fissuré de géométrie finie, champ HRR doit être modifié par un terme représentant une variation du t< de triaxialité qui dépend en plus de la loi de comportement du matériau, de géométrie hors tout et de la longueur relative de fissure, du mode de chargemt et du niveau de chargement. Ainsi par exemple pour l'essai de flexion qui est r en œuvre dans l'étude du comportement lié à la longueur de fissure, la varia ti du paramètre de triaxialité adimensionnel Q avec le paramètre de chargem< adimensionnel J /a O'o est donnée sur la figure VIII.3.
250
D. Miannay
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
3
Je,
0
daJ.cm2 2
+
Q
-1
0 -1.5
-1
-0,5
-1
0
log ( J; (a 1 a
Q
Fig.VIII.2- Comparaison de la courbe J - Q prédite avec les données de rupture de clivage de l'acier ASTM A515 Grade A à 20 °C dans des éprouvettes de flexion en 3 épaisseurs:(+) B = 10 mm; (O) B = 25,4 mm; (il) B = 50,8 mm (d'après Kirk et al. (1993)).
0,01
Le paramètre de chargement J qui apparaît dans la norme avec 0,5 < ajW < 0,75 est modifié pour un champ élargi de longueurs relatives de la façon suivante [4] :
-,
) ) 0,01
"
"
.0
-..
.0
>-
--,....
lf) lf)
lf)
en
-,
0 0,01
0,04
0 J BB /b crf
J BB /b crf
0.25 0
avec T/P
= 0, 32 + 12 ajW- 49, 5(a/W) 2 + 99, 8(ajW) 3
T/P
=2
pour ajW < 0, 282,
pour ajW 2: 0, 282.
Ainsi lorsque la rupture se produit lorsque la contrainte tangentielle (Joo(B = 0) du champ HRR modifié atteint la valeur critique (J c qui a été identifiée au chapitre V, à une distance critique Tc qui est par exemple la dimension de deux grains, 2d, dans un processus élémentaire de clivage et qui se situe dans Je domaine ou anneau de dominance de J- Q, comme il a été défini au chapitre VII, la ténacité est donnée par :
,.·11··•. 1..!
:1 qi
:.:li
1''.1\ 1
!!.!
r----------.
~
et
il 1:
251
(Jyy(O = 0) (Jo
= (Je = (Jo
( ΠE:o
J le (Jo In
)
1/(n+l)
=
(
·
= 0) + Q,
0
0,04 J BB /b crf
Fig.VIII.3- Variations de Jssy /bŒf et de Q~~Y = (ŒBB- ŒSSY) /Œf déterminés à r = 2J/Œf en fonction du chargement Jss/bŒf d'éprouvettes de flexion 3 points avec différentes longueurs de fissure, obtenues par une analyse aux éléments finis en petite déformation pour n = 10 et pour n = 4 (d'après Kirk et al. (1993)).
Tc
soit, si la ténacité de référence, 10 , est prise à Q(T
l1c lo
ffyy(O
-1
= 0),
(Je/ (Jo- Q ) (Je/ (Jo- Q(T = 0)
n+l
Cette estimation rend bien compte des résultats expérimentaux (Fig. VIII.2). Cette méthode est également appelée la méthode de correction ou de corrélation par les paramètres duaux J - Q (" J - Q dual parameter, fracture toughness
correlation") telle qu'elle a été proposée initialement par O'Dowd et Shih. Sur la figure VIII.2 on remarque que la dispersion autour de la courbe estimée est sensiblement constante lorsque Q varie. 1.1.2
L'approche de Beremin
Au chapitre V, la contrainte de Weibull pour un ensemble de N cellules plastifiées soumises chacunes à une contrainte de traction maximale quasi uniforme (Jni a été introduite sous la forme:
252
D.Miannay CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
m uw
~(V;) = L._, Vr i=l a
m uni>
~ =1-
Va et m étant des caractéristiques du matériau. Dans le cas d'une ?~su~e sollicit~: pour laquelle l'état de contrainte est décrit par Jet Q, la cellule d epaisseur ~mte est assimilée à l'élément de surface et la contrainte Uni retenue par Beremm [5] s'écrit avec les notations récentes :
::i
=
c
f
;ua, B,
Q) .
J = -g(B, ua
Q).
La contrainte de Weibull s'écrit donc : Uw
+rr 1R(B) mr drVr dB
= {1) 1
a
-71'
Uni
a
= {1) ur;' I:rr 1R(6) [! (J ;ua' B, Q)] m r d~a dB.
=1-
exp [ - {1)u()' Vo u:J'
(K) ua
4
C·] .
(exercice VIII.1 ). Comme cette expression conduit à des valeurs non nulles de proba est nul, Wallin [6,7] a introduit une valeur minimale de lorsque a proposé arbitrairement l'expression modifiée ~uivahte
K
De même la distance R(B) de la pointe de fissure à la limite de la zone plastique caractérisée par la relation Ueq =ua est donnée par une relation de la forme: R(B)
uw)m] exp [- ( -;:;;-
K, Kn
~ =1 -
B ( K- Kmin ) exp [ - Bo Ko - Kmin
4]
'
avec B 0 et 1<0 des constantes de normalisation. B 0 est choisi comme épai: de référence à une valeur arbitraire et /(0 correspond à une probabilit 63,2 % pour l'épaisseur Ba et vaut approximativement 1,1 Kmin· Kmin est lement une grandeur choisie arbitrairement au vu des résultats expérimen Ainsi pour les aciers ferritiques la valeur retenue est 20 MPavm. Sur : gure VIII.4 sont représentés les intervalles de confiance à 90 %, 95 % et ~ pour l'exposant met pour la valeur K 0 tels qu'ils ont été déterminés par\\ à l'aide de la méthode de Monte-Carlo. On constate qu'une estimation con des paramètres nécessite un grand nombre d'essais.
En faisant le changement de variable u = rf (Jfua) avec du = dr/ (Jfua), on arrive à la relation :
u\V = {1)
Ko exp - Ko reel, % -limitesa9 ..._ -11mitesà9 +20 " ,.__=-!!_mites à 9
J) 21+rr 1g(6,Q) f(u, B, Q)-Vr-. u du dB ur;' (ua
-rr
o
o
En fait dans le cas de la plasticité confinée limitée l'unité sur l'~ch~lle de longueur choisie par Beremin est (K j u 0 ) 2 de préférence à J / uo, c'est-a-dire que l'état de contrainte est donné par:
Uni
Ua
=f
(
;
(K Uo
)2, B,
Q) .
Le résultat proposé ci-dessus s'écrit alors :
um = {1) um w o
ududB _ {1) m (K) 4C (_uoK)41+rr1g(O,Q) - v,-uo · u • -rr o f(u, B, Q)-Vro o o
C étant une constante dépendant den et de Q. La probabilité de rupture est ainsi donnée par :
-2g t----=:;:;..-
5 10
lOO
nombre d'essais
5 10
lOO
nombre d'essais
Fig. VIII.4 - Dispersion théorique des valeurs déterminées expérimentalement 1 l'exposant m1 avec Kmin = 20 MPay'iiï et pour la moyenne en fonction du nombre d'es avec la relation de Wallin (d'après Wallin (1991)).
Application : Cette approche a été utilisée pour rendre compte de la variatior la ténacité des aciers de nuance 16 MND 5 avec la température et de sa dispers (Fig. VIII.5) [5]. A très basse température seule la première maille de volume contribue à la contrainte de Weibull.
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
D. Miannay
254
quasi-statiquement. Cette méthodologie a été utilisée dans le cas des modifications de confinement suivants.
Klc. MPaVm • points expérimentaux
lOO
1.1.3.1 Première aimlication : cas des fissures courtes et des fissures profon
Dans l'application présentée-par Anderson et Dodds pour rendre compte perte de confinement dans des éprouvettes de flexion avec des fissures cour profondes, utilisées pour mesurer la ténacité à basse température d'un acier on suppose que la probabilité de rupture est proportionnelle au volume cons et ainsi la ténacité correspondant au confinement limité est donnée par
NDIT
20 0
lOO température. aK
Fig.VIII.S- Transition de ténacité de l'acier du programme HSST. Les 3 probabilités cumulées sont estimées à partir de la théorie de Weibull avec les paramètres m = 22, au= 2580 et .C.a =50 !Lm (d'après Beremin (1981)).
L'approche d'Anderson et Dodds
1.1.3
Anderson et Dodds [8] ont proposé une forme simplifiée et plus globale de l'approche de Beremin. Le postulat énoncé est que la probabilité de rupture par clivage P, est fonction du volume plastifié dans lequel la contrainte princip~le maximale positive u 1 est supérieure à une contrainte critique uc, Uc pouvant être une valeur particulière du modèle à identifier au vu des résultats expérimentaux:
P, = P, [V (uc)]. Or, de façon générale, pour la plasticité confinée limitée, quelque soit la loi de comportement du matériau, la contrainte principale maximale est de la forme : u1
=f
ua
(
r ) Jfua' (), Q ·
Soit en inversant cette relation, u1, () ) r (ua
J (u1 = -g - , (),
uo
uo
Q) .
Donc en déformation plane par unité d'épaisseur, le volume considéré a pour expression :
!
+" 1(Jfuo)g r dr d()
_,.
a
1 = 2u]21+" -g _,. 2 0
(uua
1
-,
B, Q ) d()
]2 = 2h u0
(u-ua, 1
)
Q ·
Au chapitre VII un isocontour de u 1 a été présenté dans le cas de la plasticité confinée limitée pour une fissure immobile et pour une fissure se propageant
J~~v h ua
(uua
1,
Q(T =
o)) = aa1: h (uao
1,
Q) .
Cette formule permet de prédire correctement l'évolution de la ténacité me: expérimentalement avec la longueur relative de fissure. Cette méthode est e1 appelée méthode de correction J-Acr ("J-Acr fracture toughness correct: telle qu'elle a été proposée initialement par Anderson et Dodds. Dans l'a cation présentée, la ténacité minimale des fissures courtes est supérieure à des fissures profondes et la dispersion pour les fissures courtes est supérie1 celle des fissures profondes. Il n'en est pas exactement de même dans l'applic; présentée par Pennell et al. [9] concernant la ténacité de l'acier laminé 16 Ml ('~ 533") : alors que la dispersion est effectivement plus forte pour les fis: courtes, les valeurs minimales sont identiques pour les deux types de fissun correction J-Acr permet de diminuer la dispersion mais la valeur minimal timée reste constante. Aucune explication n'est proposée. 1.1.3.2 Deuxième application : cas d'un chargement biaxial
Pennell et al. [9] ont également étudié dans le cas du même acier le deUXJ moyen de modifier le confinement qui est le chargement biaxial. Le cas prat considéré est celui des réservoirs cylindriques sous pression avec des fis! courtes débouchantes sur la surface interne soumises·à un système de sollicit< biaxé. Ces auteurs mettent au point une méthode d'essai de mesure de la tén: à l'aide d'une éprouvette cruciforme sollicitée en flexion uniaxiale ou biaxial deuxième moment de flexion étant dans le plan de la fissure. ~augmentatio confinement entraîne une diminution de la ténacité apparente et de la tém corrigée. 1.2
COMPORrEMENT TOTALEMENT DUCTILE
La rupture ductile comporte deux stades qui sont l'amorçage et l'extension déchirure (Fig. VII1.1). ·
256
D. Miannay
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
1.2.1 L'amorçage
Pour rendre compte de l'amorçage de la propagation de la fissure, les inclusions en avant du front de fissure sont considérées et dans les modèles ces inclusions de diamètre initial moyen 2Ro sont supposées être régulièrement réparties le long de l'axe Ox perpendiculaire au front de fissure et contenu dans le plan de la fissure, à une distance 10 les unes des autres, cette distance étant prise égale à la distance moyenne entre elles dans un plan perpendiculaire au plan de fissure. Le premier modèle de type semi-analytique a été proposé par Rice et Johnson [10] qui ont considéré dans un matériau rigide-plastique la croissance d'une cavité sphérique dans le champ de grande déformation en avant d'une fissure dans un état de plasticité confinée limitée et dans un état de plasticité généralisée avec découplage entre les états de déformation et l'évolution du dommage (Fig. VIII.6). Le critère de coalescence entre le front de fissure et la cavité qui est choisi est de nature géométrique et énonce que la dimension du ligament entre la cavité et le front de fissure est égale à la dimension verticale de la cavité. Le résultat obtenu est présenté sous la forme de l'ouverture à fond de fissure entre les deux lèvres parallèles en arrière du fond de fissure au moment de l'amorçage, ramenée à la distance entre particules en fonction de la distance entre particules, ramenée au rayon ou au diamètre de la cavité (Fig. VIII.?). Les résultats obtenus surestiment les résultats expérimentaux. Les études ultérieures qui consistent en des calculs aux éléments finis ont considéré des géométries où les cavités étaient figurées dans des modèles purement en déformation plane dans lesquels les cavités sphériques sont effectivement sphériques ou bien sont assimilées à des cylindres. Les lois de comportement sont avec consolidation et les critères de coalescence de nature géométrique énoncent que la dimension du ligament entre la cavité et le front de fissure est une proportion d'une dimension de la cavité,. Une synthèse de ces modèles a été faite réc!;!mment par McMeeking [11], (Fig. VIII. 7). On constate que les résultats expérimentaux et les prévisions des modèles sont très dispersés et que le modèle des cylindres conduit à une ténacité inférieure à celle du modèle des sphères. Mudry et al. [12] ont étudié l'amorçage de la propagation par calcul aux éléments finis avec découplage entre les états de déformation et l'évolution du dommage, en prenant comme critère de croissance de la fissure l'obtention d'un taux de croissance critique des cavités (Rf R 0 ) 0 dans un volume donné de matière l~, ces deux quantités étant des caractéristiques du matériau déterminées à l'aide d'éprouvettes axisymétriques comme il a été présenté au chapitre V. Différents états de confinement correspondant à différentes géométries en tension et en flexion et à différentes longueurs relatives de fissure et deux taux de consolidation pour le matériau ont été considérés. Les résultats sont représentés sur la figure VIII.8 sous la forme de l'obtention du critère de rupture 10 ln( Rf Ro) 0 en fonction du niveau de chargement J. En effet dans le cas de la plasticité confinée limitée, il a été vu au paragraphe II du chapitre VII que la variation de la déformation plastique équivalente E:~q(O = 0) avec la distance adimensionnelle rfJfuo à la pointe de fissure est de type inversement proportionnel et dépend peu du taux
( 7
2R
======~----~~~~=
0
----~
vide englobé dans la zone de r------::o- grande déformation
B~t/2 • · .:::....___j__
-
)----{)-
crois sa nee
croissance plus avancée début de la localisation de déformation
coalescence finale
Fig. VIII.6- Modèle de rupture ductile par croissance et coalescence d'un vide ii ment sphérique avec la pointe de fissure (d'après Rice et Johnson (1968)).
de confinement Q et donc que l'obtention du taux de croissance critique d~ volume donné revient à écrire à l'aide de la relation de Rice et Tracey donr chapitre V: ln (Rf Ro) 0 = 0, 283 E:~q exp (3umf2ueq) = C" E:~q = C' lc/uo 10 , ou le = C uo lo ln (Rf Ro) 0
où la constante C dépend entre autres des dimensions 10 et ll.a et de leurs v< relatives. Aux sollicitations plus élevées, la proportionnalité n'est plus respectée et on tate que le critère est d'autant plus vite atteint que le taux de confineme1 élevé, c'est-à-dire que la composante de flexion est importante, que la lon1 relative de fissure est faible et que la consolidation est importante. ~ inflt de la longueur relative de fissure est en accord avec la tendance observée les résultats expérimentaux obtenus par Marandet et al. [13] pour quatre <
258
D. Miannay
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
(Fig. VIII.9). D'autres valeurs de J1c sont données ci-dessous comme valeur: l'amorçage de la propagation qui est caractérisée par les courbes J - R .
•
(exercice VIII.2).
2
.1
Jrc
n~.
0
10
daJ.cm -2
8
W-a=25 J JC /cr
•
20
10 12R0 plasticité confinée limitée IR et J, McM)
4
••
o
0
cylindres longs (McM) résultats d'éléments finis avec des sphères (McM)
Fig.VIII.7- Variation de l'ouverture critique à fond de fissure en fonction du rapport de la distance initiale entre cavités au diamètre initial des cavités. Résultats expérimentaux et résultats déduits de l'analyse et de calculs aux éléments finis (d'après McMeeking (1993)).
10 ln(R 1 R0 l
, mm
a/W
0,6
n
b=W-a , mm • 28 NCD 8.5 • 20 NCD 8
o 20 NCD 14 • 26 NCDV 11 .6
Fig.VIII.9- Variation de la ténacité à l'amorçage de quatre nuances d'acier avec dimension dans le plan dans des éprouvettes normalisées C(T) de dimension ajW = 0 à 0,65. Aucun effet de l'épaisseur n'est observé (d'après De Roo et aL (1984)).
0,45 200 1.2.2
0,4
0,2
0,60 0,45
WP
0,60
10
0,45 0,75
10 10
0 0
2 J /cr o
2
,mm
Fig. VII1.8 - Variation du critère de rupture ductile avec le paramètre de chargement. Influence de la géométrie de l'éprouvette et du coefficient de consolidation n de la loi E/Eo = (aja 0 )n avec Eo = 1/300, E = 200000 MPa et v = 0,3 (d'après Mudry et al. (1989)).
La propagation
L: étude analytique de la propagation dans le cas de la plasticité confin limitée a été présentée au chapitre VII. Il a alors été vu que pour le régil transitoire il n'était pas possible d'obtenir la solution analytique et que st l'incrément de déformation lié à l'incrément d'extension de la fissure pouvait ê défini. Des solutions numériques existent pour une ténacité à l'amorçage et module de déchirure donnés. Pour le régime permanent des solutions analytiqt existent. Ici la propagation est présentée dans le cas de géométries finies et pc différents régimes de déformation. · La propagation est surtout étudiée dans des géométries bidimensionnel en mode I et en déformation plane. Les modèles de dommage vont ainsi ê introduits dans les calculs aux éléments finis dans les éléments les plus proches chemin de propagation, c'est-à-dire dans une série d'éléments de part et d'au du plan de symétrie de la structure qui passe par la fissure ou dans une sé d'éléments en avant de la fissure lorsque l'émoussement de la fissure est pris compte dès l'origine. Deux méthodes sont utilisées pour simuler la propagation : la méthode int1 duisant les mécanismes élémentaires de rupture ductile et la méthode utilisan1 mécanique des milieux continus dommageables.
260
D. Miannay
CHAPITRE Vlll- LE RISQUE DE RUPTURE
2(
1.2.2.1 Utilisation des mécanismes élémentaires
Procédure utilisée pour modéliser dans un calcul aux éléments finis la propagation: Cette procédure comporte deux étapes : i) obtention du critère de rupture : La fissure se propage d'une distance de maille ~a lorsque la fonction dommage D atteint la valeur critique DR ou Dco· D et DR sont des fonctions complexes. Par exemple pour les critères macroscopiques de rupture, on a : D=J ou D=Tou D=CTOA. J est l'intégrale de contour introduite au chapitre VI. D est le module de déchirure{"Tearing modulus") défini par la relation T = [(Ejag~ /(dJjda)p]. CTOA ("Crack Tip Opening Angle") est l'angle d'ouverture en pomte de fissure formé par les plans tangents aux lèvres de la fissure et passant par l'axe. Oy en pointe de fissure. Cette fonction a été introduite au vu des observat~ons expérimentales et des résultats de calcul pour rendre compte des e~~n~mns importantes pour lesquelles la grandeur J n'est pl~s une grandeur caractenstlque. De même:
R1 et R2 sont réduits à 0, simultanément et proportionnellement en x étapes.
Fig. VIII.IO ...,-Procédé de relâchement des nœuds pour faire croître la fissure d'une longueur de maille.
ou
D'Escatha et Devaux [14] ont introduit dans les calculs aux éléments finis l'utilisation du critère de Beremiri sur le taux de croissance critique des vides qui a été l'résenté au chapitre V. La dimension de la maille ~a0 est prise égale à la distance caractéristique qui est l'espacement moyen entre inclusions du métal et le critère de rupture tient compte de la déformation et de la distorsion de la maille et s'énonce de la façon suivante :
pour l'amorçage et l'extension stable de la fissuration jusqu'à l'instabilité.
ou encore:
Rj~a
ii) Procédure de relâchement des nœuds : La procédure us~e~le de relâchem~nt des nœuds est illustrée sur la figure VIII.lO. Lorsque le cntere DR est attemt, la condition de déplacement à la frontière pour l'élément courant à la pointe de fissure est changée en une condition en traction. Les réactions aux nœuds de cet élément sont réduites simultanément et proportionnellement jusqu'à une valeur nulle. La sollicitation (charge ou déplacement) imposée est maintenue cons!ante durant le processus de déchargement. Cette procédure entraîne automatiquement deux conséquences : - l'incrément de propagation minimal est la taille de l'élément et - le déchargement aux nœuds introduit un déchargement aux nœuds artificiel lorsque le chargement est à déplacement contrôlé. Une procédure plus évoluée, et plus représentative de la réalité, consiste à augmenter le chargement appliqué alors que le relâcheme~t aux na::uds est effectué. En outre, le processus de relâchement aux nœuds est fait successivement dans chaque maille en avant de la fissure ou bien est fait simultanément dansl'ensemble des mailles.
(Rf Ro) /(~a/ ~ao)
= (Rj~a)c,
= (R/ ~a)c/ (Roi ~ao) = caractéristique du matériau,
avec R la croissance moyenne selon l'expression de Rice et Tracey et ~a la taille minimale de la maille carrée de départ. Devaux et al [15] ont utilisé cette méthodologie pour rendre compte de l'effet de géométrie observé pour un acier 16 MND 5 avec a 0 = 460 MPa et n = 10 avec des éprouvettes C(T) et des éprouvettes axisymétriques fissurées en tension de différentes dimensions testées à 100 oc (Fig. VIII.ll). Les paramètres d'entrée sont les courbes de résistance présentées sur la figure VIII.ll et la vérification se fait sur les courbes déplacement du point de charge-extension de fissure. Le taux de croissance critique est obtenu à partir des résultats d'essais d'éprouvettes axisymétriques entaillées et vaut 1,8 et la dimension de la maille pour les éprouvettes fissurées est déterminée (recalée), à partir de la valeur à l'amorçage d'une éprouvette C(T). !; accord obtenu est satisfaisant. Cette méthode permet de retrouver l'effet de la longueur du ligament identique à celui qui a été précédemment décrit pour l'amorçage.
262
D. Miannay
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
7
26
que ce, taux décroît rapidement, ce qui explique l'augmentation importante d parametre de charg~ment J pour. compenser le ralentissement de l'endommagt me~t. Aucune donnee sur la tensmn maximale atteinte ni sur la déformation n' pu etre relevée dans la littérature.
J, daJ.cm -2
J, daJ.cm-2
15
CCP
1 1
SECP SECP SŒP C(T)
0 0
0.5
.6.0, mm
l
"'
a
w
25
100
10 25 25
80 40 40
30
50
Fig. VIII. l i - Courbes expérimentales et calculées de résistance à la propagation d'un acier 16 MND 5 à 100 °C. Modèle de Devaux (d'après Devaux et al. (1989)). o~----+-----~----J_
o
1.2.2.2 Utilisation de la mécanique des milieux continus dommageables
3
Fjg_.YIII.l~- Données. exp~rime?tales (éprouvettes C(T)) et courbes calculées d re~tsta_nce a la p~opagat10n dun acter austeno-ferritique à 320 °C, Modèle d R r (d apres Rousseher et al. (1989)). e ousse tt
Selon cette méthode, la procédure de relâchement des nœuds n'est pas nécessaire car, dans les lois de comportement l'adoucissement pris en compte dès l'origine suffit comme dans le modèle de Rousselier ou bien est accéléré sur la fin comme dans le modèle de Tvergaard. Rousselier et al. [16] ont utilisé le modèle de Rousselier présenté au chapitre V pour rendre compte des courbes de propagation déterminées avec des éprouvettes C(T) et des éprouvettes de tension à fissure centrale et à fissure latérale pour un acier austéno-ferritique à 30 % de ferrite avec O"o = 128 MPa, n = 10 etE= 160 000 MPa. Les essais ont été effectués à 320 oc. Les paramètres de la loi fo = 4 x 10- 3 et 0'1 = 200 MPa ont été obtenus à partir des résultats d'essais d'éprouvettes axisymétriques entaillées et le paramètre le = 0,55 mm par recalage avec la valeur à l'amorçage d'une éprouvette C(T). Les résultats numériques et expérimentaux sont donnés sur la figure VIII.12. Il est à remarquer que ce modèle prédit un effet important de la géométrie sur l'amorçage. Ce modèle rend bien compte de l'effet de géométrie et de l'effet de longueur du ligament prévisible si l'amorçage est pris comme référence. Cependant ce modèle ne rend pas correctement compte des résultats expérimentaux qui ne sont pas donnés ici, pour ce matériau : les différences ne sont pas discernables. Un autre modèle a, par la suite, été proposé par ces auteurs pour rendre compte du comportement · de ce matériau. Dans le cas du matériau plus classique qu'est l'acier 16 MND 5, ces auteurs ont utilisé la même approche du recalage à l'aide d'une éprouvette C(T) pour rendre compte de résultats sur une géométrie et un chargement très particulier [17]. Dans ce cas ils ont déterminé le taux de triaxialité maximum atteint en avant de la fissure en cours de propagation (Fig. VIII.13) et constatent
.6.a, mm
4r----------.
J-R
"m la eq
5 daJ.cm2
3 D
2
0 points expérimentaux
0'----1------1----_j 0 2 3
!:::.a, mm
0
2 !:::.o. mm
3
~!g. YII!.13- Courbes expérimentales et calculées de résistance à la propagation à 290
un acter 16 MND 5 forgé fragilisé. E = 193 000 MPa v = o 275 CJ _ 540 MP· = 710 MP · f, -4 ' ' • o • 'Œl = 35 MPa, le = 0, 55 mm. Eprouvette C(T) (d'aprè
a' ~ - 6 x 10 E. ~npret et R ousseher (1991)).
(J
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
D. Miannay
264
En résumé ces deux méthodes rendent bien compte de l'effet de géométrie et des deux ty~es de comportement d'un matériau donné vis-à-vis de la taille des éprouvettes qui sont observées expérimentalement. , . . Le premier type [12] correspond à l'obtention de courbes de resistance qm partent de valeurs de J1c dépendant de la longueur absolue du ligament et qui restent parallèles les unes aux autres quelque soit l'épaisseur. Le deuxième type correspond à l'obtention de courbes de rési~tance .qui sont uniques aux faible~ propagations et qui, aux plus fortes propagatiOns, divergent, la résistance étant d'autant plus grande que la dimension de l'éprouvette e.st p~u~ grande. Dans ce cas l'utilisation de l'intégrale modifiée lM de Ern.st ~m a ete présentée au chapitre VII peut rétablir l'unicité du rés~lt-at. 1: ex?IIc_atlon peut être trouvée dans le fait que l'intégrale de Ernst modifiee donnee a la fin du chapitre VII s'écrit à l'aide des définitions données au chapitre VI :
JM = J-
r (aa]p) a
lao
_ la l
-l+
=l+ = J
da Vp
[a(TJP UpfBb)] ab
ao
da Vp
aT]p +TJrb-b Jp ]p) --ab T/P
a ( ]p
ao ]p
·
da
+"Yb·
La contribution du deuxième terme augmente lorsque la dimension du li-
gament diminue avec la taille de l'éprouvette comme on peut le constater numériquement. En fait dans l'analyse de la propagation les deux aspects, perte de confinement au sens de Ernst et effet de dimension du ligament, doivent être pris en co~pt~ c~r ils interviennent simultanément avec des poids relatifs fonctions de la geometne et du matériau. . ." 11 existe cependant une dépendance à l'égard de la géométne et u~ trmsieme tYpe de comportement qui sont observés expérimentalement et qm n'ont pas encore reçu d'explication. 1.2.2.3 Exceptions D'après les résultats décrits ci-dessus, la résistance à la propagation mesurée à l'aide d'éprouvette-s compactes de tension au cours d'un chargement ~o~otone apparaît comme la plus basse. En fait, il peut exister u~ effet ~'h~stmre de chargement, comme c'est le cas pour le chargement cyclique. Ai~s1 pour ~n matériau donné la courbe de résistance déterminée sur des tuyautenes fissurees soumises à des' sollicitations de flexion cyclique peut être inférieure à, celle déterminée par chargement monotone d'éprouvettes C(T) [18]. Cet effet depend du matériau.
Par ailleurs, il existe un troisième type de comportement qui correspo l'obtention de courbes de résistance qui sont uniques aux faibles propaga et qui, aux plus fortes propagations, divergent, la résistance étant d'autant grande que la dimension de l'éprouvette est plus petite. C'est le cas de l' A 302 B sous forme de plaque [19]. Ce comportement est relié à la teneur en inclusions de sulfure de manganèse et/ou aux régions en bande , microstructure. Ces caractéristiques structurales constituent des maillons fa pour la rupture ductile : plus elles sont nombreuses plus la propagation est f< (exercice VIII.3). 1.3
COMPORTEMENT DUCTILE PUIS FRAGILE
Par rapport au déclenchement de la rupture de clivage sans déchirure du préalable ou après une très faible propagation ductile stable, la rupture de cli' après une propagation notable fait intervenir deux modifications qui agis dans des sens opposés. D'une part, la triaxialité de contrainte devant une fis. en mouvement est abaissée par rapport à sa valeur pour une fissure immO: D'autre part, la fissure en mouvement échantillonne avant la rupture de cli1 un volume de matière plus important, ce qui augmente la probabilité de rupt En outre, un autre aspect qui est à prendre en compte est l'aspect dynamiq1 l'échelle à laquelle le mécanisme élémentaire de rupture se produit. Les el d'inertie sont alors à évaluer et les propriétés dynamiques du matériau so introduire. Numériquement une difficulté apparaît également car les maillé à utiliser pour la rupture ductile et pour la rupture par clivage ne sont identiques. Actuellement, il n'existe pas de traitement satisfaisant de la propagation rupture ductile suivie par la rupture fragile. 1.4
LA TRANSITION FRAGILE DUCTILE
Au chapitre VI la transition fragile-ductile d'éprouvettes lisses en a' de faible ou moyenne résistance a été traitée. Avec les éprouvettes fissur cette transition existe également. La figure VIII.l4. présente schématiquem l'évolution de la ténacité en fonction de la température. Ce comportements plique aisément à l'aide de la variation de la limite d'élasticité avec la tempéra tt à l'aide de la courbe de résistance de la figure VIII.l, cette courbe évoluant a la température et à l'aide de la modélisation des modes de rupture qui vient d'ê fournie. II.
Application pratique
11.1
LE FACTEUR DE SÛRETÉ POUR LA RUPTURE FRAGILE
De façon générale, on définit un facteur de sûreté ("safety factor") S, corn le rapport de la valeur moyenne de la résistance à la rupture, K1c, à la valc
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
D. Miannay
266
26'
.même être trouvé négatif, ce qui n'est pas physiquement acceptable. ténacité
11.2
LA STABILITÉ DE LA PROPAGATION CONTRÔLÉE PAR J
~~t~hi~son
et Paris [21], ont d~nné une revue de la propagation et de 1 dune structure basee sur 1 analyse de la courbe de résistance JR. Pou s1mphfier la structure considérée est un éprouvette. s~abil~te
température régime
régime élastique
elasto plasti ue clivage
déchirure puis clivage
déchirure
rn Œ<~j![,~ ru ~~f~rn œ&m~
Fig.Vlll.15- Géométrie type d'une éprouvette. Soit une éprouvette bidimensionnelle en contrainte plane ou en déformatio plane avec une longueur de fissure a (Fig. VIII.l5). Le matériau constitutif obéit 1~- loi de la défor~ation pr~portionnelle. Soit P la charge généralisée agissant st l eprouvette et SOit V le deplacement du point de l'éprouvette au travers duqw la charge P s'exerce. !.:éprouvette est chargée en série avec un ressort linéair de complaisance CM, cette complaisance pouvant être identifiée à celle de J machine d'essai. Le déplacement total du système est ainsi donné par : VT =CM P+
cupules
Fig.VIII.14- Ténacité dans le domaine de la transition fragile-ductile pour les aciers de faible ou moyenne résistance et aspects des faciès de rupture au centre des éprouvettes d'essai.
Le paramètre de chargement est l'intégrale de contour J dont la définition e (paragraphe VI.1.2 du chapitre VI):
J=-1v(8P) dV=1P(8V) dP aa v aa 0
de la sollicitation de conception, KI. correspondant à une probabilité de rupture donnée PR· Le coefficient de marge ("margin factor") est l'inverse du facteur de sûreté. Trustrum et al. [20] ont montré l'importance de la forme de la fonction de distribution adoptée en calculant ce facteur dans le cas d'une distribution de Gumbel et dans le cas d'une distribution de Weibull de même moyenne et de même écart-type. !.:importance est d'autant plus grande que la probabilité de rupture considérée et l'exposant de la loi sont plus faibles. Ce coefficient peut
v.
0
p
et qui peut être représentée par une fonction de la longueur courante a et de charge, soit J(a, P). . La résistance à la propagation du matériau h est représentée par la fonctic
h
(~aR).
A l'équilibre au cours de la propagation, il y a égalité entre Jet h, soit :
J(a, P)
=h
(~aR).
268
D. Miannay
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
Pour un déplacement, l'instabilité se produit lorsque le taux de variation de chargement par incrément de longueur de fissure est supérieur au taux de résistance, soit : ( où a = a0 ailleurs
+ fl.aR,
dd~R) ,
avec
( d2d J) a
2
5
2 > (ddh) 2,
Vr
IÎ\
j
daJ.cm·2
a
a0 étant la longueur initiale de fissure avant chargement. Par
et, à déplacement fixé Fig. VIII.l6 - Diagramme J- T permettant la détermination de l'instabilité de prop ti on.
d'où
= -da
dP
(av) [ ·+ (av) ]-
1
aa
p
CM
ap
a
de fissure et de la distance entre appuis d'un barreau jouant le rôle de ressort ont ainsi pu vérifier la validité de la condition de stabilité. Le cas considéré le J souvent pratiquement est celui de tuyauteries pouvant être fissurées et sollici par rapport à leurs points d'ancrage par des phénomènes tels que les séisme!
Finalement ces deux expressions donnent
(~~)Vr = (~~)P- (;~)a (~:)P [cM+ (:~)J-1 Cette expression montre que (dJfda)vr est d'autant plus impor:ant que le deuxième terme à droite est plus petit, c'est-à-dire que la complaisance de la machine d'essai est plus grande. p
(exercices VIII.4 et VIII.S) Paris a introduit les quantités adimensionnel!es suivantes
instab:;----
E (aJ) T--
O"o
aa
Vr
Ces quantités sont encore appelées module de déchirement lié au chargement et module de déchirement du matériau. Les conditions d'instabilité s'écrivent alors avec ces notations: T = TR et dT /da> d TR/da. Paris a également proposé une représentation graphique de ce critère dansun diagramme J- T comme celui schématisé sur la figure VIII.16. (exercice VIII.6). Paris et al. [22] ont conduit une série d'essais avec des éprouvettes identiques en acier de moyenne résistance caractérisé par TR = 36 dans un montage de flexion 3 points (Fig. VIII.l7) dont la complaisance variait avec la variation de la longueur
Fig. VIII.l7 - Barreau fissuré dans un système de chargement complaisant en fiexi' points. Courbes charge-déplacement pour une propagation stable et pour une propaga
instable.
11.3
EFFETTRIDIMENSIONNEL
Au chapitre VII, on a vu que, pour des fissures de surface assez profor dans des plaques soumises à des efforts de flexion, le taux de confinement ( sensiblement constant le long du front de fissure mais que l'intégrale J passait un maximum pour un angle d'environ 30°. Aussi, l'extension stable de la fis1 se produira par effet tunnel latéralement comme indiqué sur la figure VIIJ
D. Miannay
270
Cette caractéristique explique l'observation qui peut être faite visuellement sur le faciès de rupture dans la zone de transition lorsque la rupture finale se produit par clivage, ou au cours du contrôle non destructif.
t
fissure initiale
Fig.Vlll.l8- Coupe suivant le plan de la fissure semi elliptique de surface initiale d'une plaque soumise à un moment de flexion. 1..: extension stable s'effectue par effet tunnel latéralement.
Bibliographie [1] Paris P.C., Tada H., Zahoor A et Ernst H., "The Theory of Instability of the Tearing Mode of Elastic-Plastie Crack Growth", Elastic-Plastic Fracture, Landes, Begley and Clarke, Eds. (ASTM STP 668, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1979) pp. 5-36. [2] Ritchie R.O., Knott J.F. et Rice J.R., On the relationship between critical tensile stress ;md fracture toughness in mild steel, J. Mech. Phys. Solids 21 (1973) 395-410.
[3] Kirk M.T., Koppenhoefer KC. et Foug Shih C., "Effect of Constraint on Specimen Dimensions Needed to Obtain Structurally Relevant Toughness Measures", Constraint Effects in Fracture, E.M. Hackett, KH. Schwalbe and R.H. Dodds, Eds. (ASTM STP 1171, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1993) pp. 79-103. [4] Sumpter J.D.G., Je determination for shallow notch welded bend specimens, Fatigue Eng. Mater. Struct. 10 (1987) 479-493. [5] Beremin F.M., A local criterion for cleavage fracture of a nuclear pressure vesse! steel, Met. Trans. 14A (1983) 2277-2287 · [6] Wallin K., "Statistical Modelling of Fracture in the Ductile-to-Brittle Transition region", Defect Assessment in Components- Fundamentals and Applications, ESIS/EGF Publication 9, J.G. Blaue! and K.H. Schwalbe, Eds. (Mech. Eng. Publ. Ltd, London, 1991) pp. 415-445. [7] Wallin K., "Statistical Aspects of Constraint with Emphasis on Testing and Analysis of Laboratory Specimens in the Transition Region", Constraint
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
Effects in Fracture, E.M. Hackett, K.H. Schwalbe and R.H. Doc Eds. (ASTM STP 1171, American Society for Testing and Materi Philadelphia, 1993) pp. 264-288. [8] Anderson T.L. et Dodds R.H., Jr., Specimen size requirements for fract toughness testingin the transition region,!. Test. Eval. 19 (1991) 123-l [9] Pennell W.E., Bass B.R., Bryson J.W., McAfee W.J., Theiss T.J. et Rao M "Biaxial Loading and Shallow Flaw Effects on Crack-Tip Constn and Fracture Toughness", Changing Priorities of Codes and Standa1 Failure, Fatigue and Creep, PVP-Vol. 286 (The American Society Mechanical Engineers, New York, 1994) pp. 103-104. [10] Rice J.R. et Johnson M.A, "The Role of Large Crack-Tip Geomt Changes in Plane Strain Fracture", Inelastic Behavior of Solids, Km nen et al., Eds. (McGraw-Hill, New-York, 1968) pp. 641-672. [11] McMeeking R.M., "Crack Blunting and Void Growth Models for Duc Fracture", Topics in Fracture and Fatigue, AS. Argon, Ed. (Sprin! Verlag, New-York, 1992) pp. 179-196. [12] Mudry R, Di Rienzo R et Pineau A, "Numerical Comparison of Glc and Local Criteria in Compact Tension and Center-Cracked Panel Sp mens", Nonlinear Fracture Mechanics: Volume II- Elastic-Plastic F1 ture, Landes, Saxena and Merkle, Eds. (ASTM STP 995, American ciety for Testing and Materials, Philadelphia, 1989) pp. 24-39. [13] De Roo P., Marandet B., Phelippeau G. et Rousselier G., "Effect of S cimen Dimensions on J1c at Initiation of Crack Growth by Ductile 1 ring", Fracture Mechanics: Fifteenth Symposium, ASTM STP 833 (Al rican Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1984) pp. 606.(' [14] d'Escatha Y. et Devaux J.C., "Numerical Study of Initiation, Stable Cr Growth, and Maximum Load, with a Ductile Fracture Criterion Ba on the Growth of Holes", Elastic-Plastic Fracture, Landes, Begley; Clarke, Eds. (ASTM STP 668, American Society for Testing and M: rials, Philadelphia, 1979) pp. 229-248. [15) Devaux J.C., Mudry R, Pineau A et Rousselier G., "Experimental . Numerical Validation of a Ductile Fracture Local Criterion Based c Simulation of Cavity Growth", Nonlinear Fracture Mechanics: Volum - Elastic-Plastic Fracture, Landes, Saxena et Merkle, Eds. (ASTM ~ 995, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1S pp. 7-23. (16] Rousselier G., Devaux J.C., Mottet G. et Devesa G., ''A Methodology Fracture Analysis Based on Damage Mechanics: a Demonstration , Local Approach of Fracture", Nonlinear Fracture Mechanics: Volum - Elastic-Plastic Fraçture, Landes, Saxena et Merkle, Eds. (ASTM ~ 995, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, E pp. 332-354. [17) Eripret Ch. et Rousse!ier G., "First Spinning Cylinder Test Analysü Using Local Approach to Fracture", PVP-San Diego (The Ameri Society of Mechanical Engineers, New York, 1991).
272
D. Miannay
[18] Oison R.J., Scott P., Marschall C.W. et Wilkowski G.M., "Comparison of Fracture Toughness Values from an IPIRG-1 Large-Scale Pipe System Test and C(T) Specimens on Wrought TP304 Stainless Steel", Fatigue, Flaw Evaluation and Leak-Before-Break Assessments 1994, PVPVol. 280 (The American Society of Mechanical Engineers, New York, 1994) pp. 241-254. [19] Hiser AL., Jr., "Specimen Size Effects on J- R Curves for RPV Steels", Cqnstraint Effects in Fracture, E.M. Hackett, K.H. Schwalbe and R.H. Dodds, Eds. (ASTM STP 1171, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1993) pp. 195-238. [20] Trustrum K. et DE S. Jayatilaka A., Applicability of Weibull analysis for brittle materials,.T. Mater. Sei. 18 (1983) 2765-2770. [21] Hutchinson J.W. et Paris P.C., "Stability Analysis of J-Controlled Crack Growth", Elastic-Plastic Fracture, Landes, Begley and Clarke, Eds. (ASTM STP 668, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1979) pp. 37-64. [22] Paris P.C., Tada H., Ernst H. et Zahoor A., "Initial Experimental Investigation of Tearing Instability Theory", Elastic-Plastic Fracture, Landes, Begley and Clarke, Eds. (ASTM STP 668, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1979) pp. 251-265.
Exercices VIII.l. La distribution initiale de Weibull conduit à un résultat physiquement non acceptable lorsque l'épaisseur tend vers l'infini. Quelle démarche faut-il donc respecter dans l'analyse et dans l'exploitation de résultats expérimentaux? VIII.2. Donner un bilan énergétique prenant en compte l'aspect microscopique et l'aspect macroscopique pour la propagation d'une fissure. Considérer entre autre le cas de la plasticité confinée limitée. Que devient ce bilan à l'amorçage ? VIII.3. Relever les tailles de maille apparaissant dans le texte et exprimer les en unité r / J / cr 0 • Comparer le résultat à la zone de grande déformation existant en fond de fissure. Commenter. VIII.4. Donner l'expression de (dl jda)vT pour une machine dure caractérisée par une complaisance nulle et pour une machine molle caractérisée par une complaisance infinie. Identifier le chargement à charge contrôlée et le chargement à déplacement contrôlé. Commenter. VIII.5. Donner l'expression de (dljda)vT dans le cas où le déplacement de l'éprouvette peut être décomposée en ses deux composantes, la contribution de l'éprouvette non fissurée Vnc et la contribution de la fissure Vc. Ecrire cette expression dans le cas où l'intégrale J peut être décomposée en ses deux composantes
CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE
2
élastique et plastique. Poursuivre l'exercice. VIII.6. Soit une fissure de Inglis de longueur 2a soumise à une tension cr"" à l'inf dans une plaque infinie d'un matériau obéissant à la loi de Hollomon. Il a été au chapitre VI que l'expression de J est la suivante :
J a cro e:o a
=
7rVn ( J3 0"00 )
n+l
2cro
Donner l'expression générale du module de déchirure T1 en fonction de déformation à l'infini, pour a = 1. Dans le cas où le matériau est caractérisé I n = 10 et TR = 100 pour des extensions de quelques mm, donner la valeur de déformation à l'instabilité. Commenter.
ANNEXES Annexe 1 Un peu de Mathématiques Élémentaires THtORÈME DE GREEN-GAUSS
Enoncé La relation
1L(a;:-~~)
dxdy::: fc(Mdx+Ndy)
est une identité pour deux fonctions quelconques M(x, y) et N(x, y) qui so continues et dérivables dans le domaine D borné par le contour C. On peut alors particulariser les fonctions de deux façons différentes au choix. Première façon :
N(x, y)::: f(x, y) g(x, y) M(x, y) ::: 0 d'où
Deuxième façon : .
N(x, y) ::: 0 M(x, y)::: f(x, y) g(x, y) ;
1
d'où
l
l
1
!
'
l 1 1
l
Remarque Une autre écriture équivalente à celle de la relation ci-dessus est la suivante :
1L(
8:: -
8~"') dA=
i
(nx F.,
+ ny Fy)
ds,
ds étant l'élément d'arc du contour C du domaine D d'élément d'aire dA et les composantes du vecteur normal au contour dirigé vers l'extérieur.
D. Miannay
276
V"'
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Annexe III Thermique
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0 '0 0
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~
'0
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~-
M
0 0
V"'
Q = quantité de chaleur ; T = température ; t = temps ; A = aire c surface à travers laquelle les échanges se font ; x = distance dans la dire• perpendiculaire à la surface. M
o'
V"'
'0 N
oo,
~
0
0 t-
'0
~
V"' M
V"'
V\ M
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M
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V"' M
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N
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V')
dQ/dt =-.\A dT/dx avec
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'li N
00 V')
'0
0 0
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0 0 t-
"' "' "'
"' <'1
N
'"'~ ~
..Sl
avec h = coefficient de transmission de la chaleur ("heat transfer coefficient' Watt.m- 2 .oc- 1 Flux de chaleur transmis par conduction
<'1
.S! ..<::)
.:! E!
Flux de chaleur transmis par convection
dQ/dt =hA /::,T
g
<
....M
1. EQUATIONS DE BASE DE LA THERMIQUE '0
"'"
... ·G .g 'E
ANNEXES
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N
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M
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N
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V')
'0
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N
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N
,\=conductivité thermique en Watt.m- 1 .ac- 1
0 t-
00 00
Loi de diffusion de la chaleur en unidirectionnel '0
:::!:
.... N
ar
Bt
....
'0
~
.\ a2 T =pC 8x 2
avec
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.\/pC la diffusivité thermique exprimée en m2 .s- 1 .
-~
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;:; "0
~
u
Dans le cas d'une plaque plane d'épaisseur B, à une température initiale T0 , i~
2i
ANNEXES
D. Miannay
278
sur une de ses faces et exposée à une température T 00 sur l'autre face, la solution est donnée par :
3. TABLEAU.- Expression du facteur d'intensité de contrainte pour une fissure pla~ semi-elliptique de surface soumise à un choc thermique dans une plaque pl~ne
K1
avec
a a . ). Ea(To -T00 )B 112 • ( -B, -,
c
Valeurs de Ki (
6, tg6n =Bi.
Bi = hB/À est le nombre de Biot et Fo = ÀtjpCB 2 , le nombre de Fourier. Des abaques donnent les transitoires thermiques à travers l'épaisseur. B du corps sous la forme adimensionnelle (T:r:; 8 - T oo) / (Tt=O - T oo) en fonctiOn des paramètres adimensibnnels suivants : l!Bi = ÀjhB = inverse du nombre de Biot; Fo = Àt/ pCB 2 =nombre de Fourier et x/ B.
Fo 0.0010
a/h
0.0030
0.05
0.0050
0.0070
0.0100
0.1991
0.1995
0.1869
0.0500
0.1000
0.5000
0.10 0.20 0.30
Références :
0.40
Adams W.H., Heat Transmission (RobertE. Kriege~; Publishing Company, Malabar, Florida, 1985). K.reith F., Transmission de la chaleur et thermodynamique (Masson et Cie Editeurs, Paris, 1967). 2. CONTRAINTES THERMIQUES DANS UNE PLAQUE EN ÉLASTICITÉ
n~ sin6n cos(6n(l- x/B)) ( .:2 = -2 LJ exp -un Ea(To - T oo) n=t 6n + sin 6n cos 6n (1-v) .
Uz
F) 0
(
Fo a/h
0.0010
0.0030
0.0050
0.0070
0.0100
0.0500
0.1000
0.5000
0.03
0.154
0.195
0.197
0.186
0.18
0.086
0.052
O.Ql5
0.05
0.1220
0.1728 .
0.1821
0.1823
0.1772
0.0988
0.0581
0.0153
0.10
0.0588
0.1204
0.1469
0.1589
0.1652
0.1083
0.0655
0.0176
0.20
0.0122
0.0304
0.0485
0.0640
0.0804
0.0865
0.0569
0.0163
0.30
-0.0034
-0.0040
-0.0017
0.0028
0.0111
0.0460
0.0356
0.0113
0.40
-0.0104
.().0183
-0.0227
-0.0248
-0.0253
0.0042
0;0102
0.0046
(
n
n
n
x exp ( -6n Fo)
a étant le coefficient de dilatation, E le module d'Young et v le coefficient de Poisson.
Référence: Boley B.A. et Weiner J.W., Theory of Thermal Stresses (John Wiley, New York 1960).
= 1rj2;Bi = lOO;afc = 0.2)
= 7r/2; Bi= 20; afc = 0.2)
Référence : Fan X. et You S., Thermal shock fracture in a surface-cracked plat1 Eng. Fract. Mech. 41 (1992) 223-228.
D. Miannay
280
ANNEXES
GUIDE DE LECTURE ET BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE
SOLUTIONS D'EXERCICES 11.1. -Ku = 3
OUVRAGES GÉNÉRAUX - Tetelman AS. et McEvily AJ., Jr., Fracture of Structural Materials (John Wiley & Sons, New York, 1967).
-Sphère: uo
= u'P = pRft
-Cylindre : u z = pR/2t, uo = 5 pR/2t
11.2.-
-Fracture: An Advanced Treatise, H. Liebowitz, Ed. (Academie Press, New York and London)
.90°cission maximale : ,70ocontrainte octaédrlque 1,f~ 1 2~ .30max1ma1e ~, 60°tension maximale '.- ü.21 :0.3J5 .~-~.40
Volume 1 : Microscopie and Macroscopic Fundamentals, Volume II : Mathematical Fundamentals (1968), Volume III: Engineering Fundamentals and Environmental Effects (1971), Volume IV : Engineering Fracture Design, Volume V : Fracture Design of Structures, Volume VI : Fracture of Metals, Volume VII : Fracture of Nonmetals and Composites.
__ .-h-
1·
-La Rupture des Métaux, D. François et L. Joly, Eds. (Masson & Cie, Paris, 1972).
- Knott J.E, Fundamentals of Fracture Mechanics (Butterworths, London, 1973). - Bui H.D., Mécanique de la rupture fragile (Masson, Paris, 1978).
11.4. - Faire la somme de deux géométries équivalentes :
- Labbens R., Introduction à la mécanique de la rupture (Editions Pluralis, 1980). - Broek D., The Practical Use of Fracture Mechanics (Kluver Academie Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1989).
0'= P/2BW
cr=
Jttt.t,
J t tt.t,
- Thomason P.E, Ductile Fracture of Metals (Pergamon Press, Oxford, UK, 1990). - Anderson T.L., Fracture Mechanics Fundamentals and Applications (CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 1991).
+
- Topics in Fracture and Fatigue, AS. Argon, Ed. (Springer-Verlag, New-York, 1992).
l t'J
-.~; -.~; 0'= P/2BW
PÉRIODIQUES - Engineering Fracture Mechanics, H. Liebowitz, Ed. (Pergamon Press, OxfordNew York). - The International Journal of Pressure Vessels and Piping, R.W. Nichols, Ed. (Elsevier Applied Science, UK). -Fatigue & Fracture of Engineering Materials and Structures, K. J. Miller, Ed. (Sirius, Sheffield, England).
P/2BW
f l l rJ t
0'-= P/2BW
D'où:
KI=~ (BJ1r~+R) + 2:W-J11'(a+R)) 11.9. -La rupture fragile obéit à des lois statistiques. Cet aspect a été négligé les synthèses parues dans la littérature.
D. Miannay
282
ANNEXES
III.4.- La règle d'additionalité en élasticité s'applique : Chemin
matériau
La contrainte est maximale sur la surface interne. En écrivant l'égalité de contraintes, on obtient :
Fissure
V.2.- La probabilité de rupture s'écrit:
cryT _ __.__ ___,x
D'où avec O" petit :
v '" l.'X
=exp- N (O"c/(1/k') 2 n)
= 1/6•(K/2uo)'
2n
V.5.- ~expression de (O",- O"o) déduite de l'expression des composantes incréments de déformation est :
(O"r- O"o) = 2 ;a [déo (O"ot] (O"eq) 1-n (dé,- déo) Gyyy zone pla tique cycllq ....
= 2 O"o [d ( )n] ( )1-n (d )(n-1)/n. (dér- déo) 3 éo O"Q O"o éo (n-1)/n. (déeq) La suite de la résolution est identique à celle présentée pour le matériau rig parfaitement plastique, avec l'utilisation du même changement de varia nntégrale à laquelle on aboutit s'écrit :
3.10.- ~énergie élastique emmagasinée dans le corps de l'éprouvette est égale à l'énergie nécessaire à la propagation, soit :
O"eq = [_.!:__
r (1 + x2)
(1-n)/2n
v'3Jo
O"zz
dx] -l
V.6. - Pour les faibles fractions volumiques, la relation : D'où: devient: IV.2.- 50%. IV.3. - Cylindre sous pression : Cylindre tournant : O"oo
=
~7787(2n-N/60) 2 [(3,28) (1 + (1.1) 2 + ( 1~;) 2 )- (1,84)r 2 ] , Pa.
O"~q 0"0
+2fq1cosh ( 3 q2 0"m) -1=0 2 O"o
d'où, avec f toujours très petit et pour les forts taux de triaxialité : '
2J
O"m)) . --z;;:;-
O"eq = O"o ( 1 - 1 q1 exp ( 3 q2
D.Miannay
284
ANNEXES
Cette expression montre l'adoucissement provoqué par la présence de vides. D'après la règle d'écoulement, on a pour l'incrément de plasticité : de;;
~ (1 ~f)
G::)
= 0, 75/ exp
Ce terme est à retrancher de l'intégrale dans la suite de la démonstration avf contours entourants la fissure pour assurer l'indépendance à l'égard du con1 Vl.ll.-
deeq. t:.J =
Cette expression est équivalente à celle de Rice et nacey avec le coefficient 3 x 0,283 remplacé par 0,75. V.7.- Ueq/uo = 1- c;umfuo = 2/3ln(1/c). V.8.- Un abaissement de la température de transition car le taux d'augmentation de la contrainte de clivage avec l'affinage est supérieur au taux d'augmentation de la limite d'élasticité.
CfiC10
lia /2
i(
W(t:.ê) dy- t:.T 88~u ds)
avec W(f::.ê) =
1t:..
 U;j d(Âê;j) =
1'
Uij
dê;j
W ( Âê) étant le travail par unité de volume de la contrainte au cours de la ç de chargement (et non le travail de la contrainte au cours du cycle complet) Cette intégrale est indépendante du contour puisque le chargement considé1 monotone. A déplacement imposé
1.5
p
n=lO n=lO n=50 ---
0.5
...
---.---,---..,-;-
-,--
' ' .' ' ' ---------------------' ' ' ' ' . ' ' ---------------------' . ' ' ' - - - ~ - - - : - - - ~ - - - :. - - - .' - ' . . ' ' - - - - - - : - - - - - - .: - - - -· - . . ' ' . ~
1:.; -:- ;.:. -:-
v
0.5 _._, _._: _. __. _
HOLLOMON
~
_:_; _:_; _:__: _RAMBERGOSGOOD
A chargement imposé
p
p
eJeo
Vl.2. - Dans l'essai de traction l'instabilité de nature géométrique est obtenue pour du/ dê = u, u et e étant les contraintes et déformations vraies ou rationnelles. La contrainte vraie est ensuite convertie en contrainte de l'ingénieur et ur est ensuite déduit de u 0 et deUM·
·VI.3.- (M)2 Mo + (p)2 Po = 1, à corriger
Avec une éprouvette unique
p
VI.4. - En se référant à la démonstration du paragraphe 11.1.2., et à la démonstration de la nullité de l'intégrale pour un contour ne contenant pas la discontinuité, la déformation dans le premier terme de l'intégrale est la déformation primaire puisqu'elle correspond à la relation d'élasticité et la déformation du deuxième terme correspond à la superposition des déplacements primaires et secondaires. Dans ce cas l'intégrale n'est plus nulle et vaut J =-
Jj
A
&•.
Uij~ dA.
8x
.AJ =TJ U/Bb
v VII.l.- y = 3.97(3/x)"(1/6) y= 3.97(3/x)"(1/6)- 0.35(1, 5)
D. Miannay
286
ANNEXES
y = 3.46(3/x)A(1/11} y= y:::: y:::: y:::: y=
limite raisonnable doit être cherchée, par exemple 100 mm.
3.46(3/x)A(1/11}- 0.25(1,5) 1.077((0.002x)A( -0.2312)) exp(( -2.181}*(0.002x)) 1.801((0.002x}A ( -0.1169)) exp(( -5.169)*(0.002x)) -3.672 + 3.964(0.002x)A( -0.1131) 13.00 -12.64(0.002xt(4.890*(10A(-2}})
_._
- ~ - _._
1
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O"yy(O:::: 0):::: o-0 (
J
)
le 1/(n+1) _
ayy(O
1 r b. ayy(B = 0} 1 b.J => =--ayy(B = 0) n +1 J
a O"o
éo n
~indépendance
= 0)
Comme n est de l'ordre de 5 à 10, la précision demandée est de l'ordre de 1 à 3 %.
+ B))
VII.4.- 8 ·l /BR= "'o/r 8 2 "'P /Ba BR -1 8 2
"'P /BR Ba. Cette inégalité montre l'importance du chemin de chargement.
VIII.l.- La dispersion à analyser en priorité est celle qui est liée à une é~ais~eu~ bien déterminée. Ensuite la ténacité va varier avec l'épaisseur comme md1que par la loi de Weibull, par exemple en considérant la valeur moyenne,_ dans l'intervalle naturel de variation de l'épaisseur, qui est au dessous du domame de déformation plane défini par B :::: 2, 5 (Kic/o-0 ) 2 • Au dessus de cette valeur une
"'e.
n'est plus respectée au cours de la propagation.
VIII.2. - Ne pas oublier qu'au chapitre VII il est indiqué que la zone de gr déformation en avant d'une fissure en mouvement est plus petite que cell• existe en avant d'une fissure immobile.
y'3
D'où, en combinant les deux équations : b.ayy(O :::: 0) _ 1 b. J1e _ _ 2 _b. K1c O"yy(O:::: 0) - n + 1 J1e - n + 1 K1e · VII.3.- Q = Q (T =a~ ( fti:
Le premier terme varie peu avec la perte de confinement ; mais les autres te1 qui sont en fait les plus importants augmentent avec la perte de confineme1 taille de la zone plastique augmentant parallèlement, mais restant sensible! constante au cours de la propagation. Par ailleurs dans le cas de la plas1 confinée limitée l'énergie fournie à la fissure vaut G. Donc pour un G donn1 Par ailleurs à l'amorçage comme le chargement a été proportionnel dep1 début de la sollicitation l'indépendance de l'intégrale J à l'égard du contou respectée et si le contour est pris comme le contour de la maille dans laque processus de rupture se produit, on a
G lo = J lo =
2 b. K1e _ b. J1e 1 VII.2.-Kic = E J1e => 2-K - -1- .
le
"'e + "fpplo + "/Pslo + "(Wlo
Jlo =
1
-----------------------1
VIII.2. - ~ énergie nécessaire à la propagation de la fissure Jl 0 est comp· de quatre termes, un premier terme· qui correspond au travail nécessaire croissance et à la coalescence de la cavité "fe, un deuxième terme qui corresr au travail de déformation plastique dans la zone plastique primaire en avar la fissure, un troisième terme qui correspond au travail de déformation piast dans la zone plastique secondaire en arrière de la fissure "/PS 10 et un qua tri term.e qui correspond au travail de déformation élastique dans la zone élast d'évanouissement en arrière de la fissure 'YW 19 :
VIII.6.-TJ::::
éoo)
1ryn ( T~
é 00 _ 2 ( 100 ) ~ - y'3 7rVlD
(n+l)/n
10/ll _
-
12, 7.
Cette déformation correspond à une plasticité décelable.
Errata
p . 48 Modifier et compléter : Expressions du facteur d'intensité de contrainte pour une fissure déviée ( "kinked crack") en mode mixte (d'après BILBY, CARDEW et HOWARD, (1977)).et pour une fissure ramifiée ( "forked crack") (d'après ISI~A et NOGUCHI, (1983)) b/
10 r(/
"
>V \
Référence : lsida M. et Noguchi H., « Formulae of stress intensity factors of branched cracks in plane problems, Trans Jap Soc Mech Engrs 49-440 (1983) 469-4 79 p. 90 Au lieu de
f(N) dN_=
~ exp[-~(ln N -J-L)~J dN 2cr-
a 2nN
lire
f(N) dN =
~ ex-p[-~(ln N aN 2rc 2a-
- J.L)
2 ]
p. 119 Sur la figure V.8.a/, remplacer 2d par d. p. 119 Au lieu de a."(T-Tj)-/ird/7_ f(9=70,5")=
.J2nao
~
v~
lire
a."(-r-~,).Jndil f(9=70,SO)== ~ v2nau
v~
.
p. 119 Au lieu de cr c = ( 2 J-l Y m 1 kY ) d -1/2 lire
cr c
= (8 J-l y m 1 kY ) d -1/2
p. 123 Au lieu de 4 E yj
cre -
d-1/2
(1-v2 )
rt
lire .
cr c =
2 E yj 1t
d-I/2
2
(1- v )
p. 146 Au lieu de B(f3)
= cr 1r0 ex11[f3 1 (I-f0 +f0 +f0expf3)]
lire
B(f3)
= cr 1r0 exp[J3 1 (1- r0 +f0 ex1Jf3)]
dN
p. 197 Au lieu de
lire 1' ba
= ua
= R d8
h
p. 268 Au lieu de
T_ E(81) O"o
8a
EaJR --
et
TR
et
TR ..
VT
Go
aa
lire T =
E2(aJ)
E2 8JR. cr O aa VT GO aa p. xxx L'auteur serait reconnaissant au lecteur qui lui communiquerait les erreurs restantes. Non Errata
p. 33 L'absence de fissure dans Fig.ll.11 est expliquée dans l'exercice 11.9. L'auteur est cependant intéressé par des valeurs validées qui pourraient être introduites dans une seconde édition. p.54 L'absence de certains résultats est voulue et constitue un test de compréhension : aux étudiants de trouver la réponse. En cas de doute, la réponse exacte peut être demandée à l'auteur. p. 157 L'absence de données dans le Tableau Vl.1 est voulue et s'explique par la multitude des résultats qui existent et qui ne sont pas forcément significatifs, validés et utilisables tels quels. La présence du tableau est cependant justifiée d'un point de vue bureau d'études pour deux raisons : 1. Les bureaux d'études peuvent renseigner ce tableau en fonction des matériaux et des conditions d'emploi spécifiques à chaque entreprise ; 2. L'auteur est intéressé par des valeurs validées et d'un intérêt assez général qui pourraient être introduites dans- une seconde édition. Pour le professeur, des valeurs peuvent être imaginées en se servant des notions présentées dans l'exercice V1.1. p. xxx L'auteur est intéressé par toute suggestion pour une amélioration et une introduction de compléments en vue d'une seconde édition. Merci. ·
