Matlab для дискретных систем управления: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

MATLAB д л я д искр е тн ы х систе м упр авл е н ия У чебно-метод и ческоепособи епо специ альности «При клад наяматемати ка и и нформати ка» 010200

В оронеж 2005

2 У тв ерж д ено научно-метод и чески м сов етом протокол № 1 от22 сентября2005 г. факультета ПМ М

Состав и тель К ры ж анов скаяЮ .А .

У чебно-метод и ческое пособи е под готов лено на кафед ре техни ческой ки бернети ки и ав томати ческого регули ров ани я факультета при клад ной математи ки , и нформати ки и механи ки В оронеж ского госуд арств енного уни в ерси тета. Рекоменд уется д ля студ ентов 4 курса д /о факультета При клад ной математи ки , и нформати ки и механи ки .

3

Д анное учебно-метод и ческое пособи е сод ерж и т св ед ени я по и спользов ани ю си стемы MATLAB д ля мод ели ров ани я д и скретны х си стем ав томати ческого управ лени я. М атери ал основ ы в ается на MATLAB в ерси и 6.5. Пособи е разд елено на несколько частей , посв ящ енны х в озмож ностям преобразов ани я непреры в ны х си стем в д и скретную форму, и сслед ов ани ю устой чи в ости , получени ю частотной характери сти ки , и спользов ани ю в озмож ностей д ля мод ели ров ани я Simulink. К роме того, при в од ятся при меры и зад ани я д ля и нд и в и д уального в ы полнени я. М атери алы опробов аны при пров ед ени и лабораторны х заняти й . Пособи е пред назначено студ ентам 4 курса д нев ного отд елени я, и зучаю щ и м спецкурс «Д и скретны е си стемы управ лени я» и д и сци пли ну «Т еори я ав томати ческого управ лени я» , и мож ет бы ть и спользов ано д алее при и зучени и д и сци пли н специ али заци и . При под готов ке матери алов бы ли и спользов аны ли тературны е и Internet-и сточни ки [1-5]. При и зучени и матери алов рекоменд уется и спользов ать и сточни ки [6-8]. Д ля начала работы требуется в лад ени е матери алом в рамках курса «Т еори я ав томати ческого управ лени я» .

С од е р ж ан ие Вве д е н ие … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..3 П р е обр аз ован ие н е пр е р ы вн ы х систем в д искр е тн ы е … … … … … … … … … 4 И спользов ани еc2d … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … 4 И спользов ани еc2dm … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … 8 Устойчивость и пе р е х од н ая х ар акте р истика … … … ..… … … … … … … … ..10 Discrete Root-Locus … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … 12 Ltiview ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … 13 Частотн ая х ар акте р истика … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … ..14 Simulink … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … … 14 Блоки Discrete … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ...17 М етод ци фров ого переоборуд ов ани янепреры в ного регулятора в сред е MATLAB/SIMULINK … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..20 Зад ан ия … … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .25 Лите р атур а … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … 26 Вве д е н ие Сов ременны е программы чи сленного мод ели ров ани я си стем и процессов станов ятся в се более ав томати зи ров анны ми , облегчая пользов ателю процесс постанов ки и реш ени я ш и рокого класса слож ны х зад ач. Е щ е больш и й э ффект д аю т в озмож ности качеств енного в и зуального пред став лени я результатов . Сред и таки х программ, безуслов но, од но и з ли д и рую щ и х мест зани мает си стема Matlab+Simulink, на основ е которой разработано больш ое коли честв о професси ональны х при лож ени й д ля конкретны х областей при менени я. В

4 д анном пособи и буд ут рассмотрены в озмож ности мод ели ров ани я д и скретны х си стем управ лени яспомощ ью си стемы Matlab+Simulink. Т еори я д и скретны х си стем яв ляется од ни м и з в аж ны х направ лени й разв и ти я теори и и практи ки ав томати ческого управ лени я. Практи чески ни од на и з сов ременны х си стем управ лени я летательны ми аппаратами , косми чески ми объектами , суд ами , технологи чески ми процессами , роботами и т.д . не обход и тся без и спользов ани я в контуре управ лени я бортов ы х ци фров ы х в ы чи сли тельны х маш и н, что д елает э ти си стемы д и скретны ми и требует особого под ход а к анали зу и си нтезу под обны х си стем. Си стему ав томати ческого управ лени я буд ем назы в ать д и скретной , если в ы ход ная в ели чи на какого-ли бо ееэ лемента и меетд и скретны й характер.

П р е обр аз ован ие н е пр е р ы вн ы х систе м в д искр е тн ы е Испол ьз ован ие c2d В Matlab сущ еств ует функци я c2d, отв ечаю щ ая за преобразов ани е зад анной непреры в ной си стемы в д и скретную си стему. В качеств е мод елей могут бы ть указаны TF, SS, и ли ZPK-мод ели . Ф ункци я d2c осущ еств ляет обратное преобразов ани е. К оманд а под д ерж и в ает несколько метод ов д и скрети заци и , в клю чая э кстраполятор нулев ого поряд ка (ZOH), э кстраполятор перв ого поряд ка (FOH), при бли ж ени е Т асти на, а такж е при бли ж ени е с соотв етств и ем нулей и полю сов . Си нтакси с · Sysd = c2d (sysc, Ts); % Ts = пери од в ы борки · Sysc = d2c (sysd); В таком в и д е команд а в ы полняет ZOH преобразов ани е по умолчани ю . Ч тобы и спользов ать альтернати в ны е конв ерси онны е схемы , след ует опред ели ть ж елаелмы й метод какд ополни тельны й параметр: · Sysd = c2d (sysc, Ts, 'foh'); % э кстраполяторпервого поряд ка · Sysc = d2c (sysd, 'tustin'); % при бли ж ени еТ асти на Э к ст ра по л я т о рнул ево го по ря дк а Д и скрети заци я с э кстраполятором нулев ого поряд ка мод ели

непреры в ной LTI -

И зображ ена на след ую щ ей блок-схеме.

ZOH-устрой ств о генери рует непреры в ны й в ход ной си гнал u(t), под д ерж и в ая каж д ую в ели чи ну u [k] постоянной в течени еод ного пери од а:

5 Си гнал

под аетсянепреры в ной си стеме

отби раетсякаж д ы е

, получаю щ и й сяв ы ход

секунд , д ляполучени я

.

Н аоборот, д ля д анной д и скретной си стемы , преобразов ани е d2c , чья ZOH-д и скрети заци я сов пад ает с построи т непреры в ную си стему . Э то обратноед ей ств и еи меетслед ую щ и еограни чени я: ·

d2c немож етработать сLTI-мод елями сполю сами в

·

отри цательны е в ещ еств енны е полю са в области

; отображ аю тся парой

комплексны х полю сов в области . В результате преобразов ани е d2c д и скретной си стемы с отри цательны ми в ещ еств енны ми полю сами построи т непреры в ную си стему сболеев ы соки м поряд ком. След ую щ и й при мери ллю стри рует св ой ств о d2c с реальны ми отри цательны ми полю сами . Рассмотри м мод ель ZPK. >> Hd = zpk ([], -0.5,1,0.1) Zero/pole/gain: 1 ------(Z+0.5) Пери од кв антов ани я: 0.1 При мени м d2c д ляпреобразов ани яэ той мод ели в непреры в ную : >> Hc = d2c (hd) В результатеполучи м мод ель в торого поряд ка. Zero/pole/gain: 4.621 (s+149.3) --------------------(S^2 + 13.86s + 1035) Е сли снов а пров ести д и скрети заци ю : >> C2d (hc, 0.1) Получи тся ори ги нальная д и скретная си стема (с сокращ аемой парой полю с/нуль в z =-0.5): Zero/pole/gain: (Z+0.5) --------(Z+0.5) ^2 Пери од кв антов ани я: 0.1 Э к ст ра по л я т о рперво го по ря дк а FOH отли чается от ZOH механи змом э кстраполяци и . Д ля перев од а в ход ной послед ов ательности ли ней ную и нтерполяци ю :

в непреры в ны й

в ход

FOH и спользует

6

Э тот метод яв ляется более точны м, чем ZOH, д ля си стем, управ ляемы х глад ки ми в ход ами . Э та опци япри мени ма только д ляc2d – преобразов ани я. П рео б ра зо ва ние Та ст ина Преобразов ани е Т асти на и ли формулой :

би ли ней ное преобразов ани е опи сы в ается

и и спользуется д ля соотнесени я перед аточны х функци й в областях z и s. В преобразов ани и c2d д и скрети заци я получается:

непреры в ной функци и

А налоги чно преобразов ани еd2c полагаетсяна обратноесоотв етств и е

Со гл а со ва нные по л юса и нул и М етод согласов ани я полю сов и нулей при меняется только кSISO-си стемам. В э том случае полю са и нули непреры в ны х и д и скрети зи ров анны х си стем св язаны преобразов ани ем: Изменение времени к ва нт о ва ния М ож но и змени ть в ремя кв антов ани я TF, SS, и ли ZPK-мод ели sys1, и спользуя команд у: Sys2 = d2d (sys1, Ts) Н ов ы й пери од кв антов ани яTs нед олж ен бы ть кратны м пред ы д ущ ему. Реакци ю на ед и ни чны й скачокд ля си стем с разли чны м пери од ом кв антов ани я мож но получи ть след ую щ и м образом: >> h1 = tf([1 0.4],[1 -0.7],0.1); >> h2 = d2d(h1,0.25); >> step(h1, '--', h2, '--')

Диск рет иза ция сист ем с за па здыва нием В ы мож ете такж е и спользов ать c2d д ля д и скрети заци и непреры в ны х SISO и ли MIMO мод елей с запазд ы в ани ем (Ts – в ремя в ы борки , и спользов анное д ля д и скрети заци и ): · Зад ерж ка tau секунд в непреры в ной мод ели отображ ена к зад ерж ке k тактов в д и скрети зи ров анной мод ели , гд еk = fix(tau/Ts). · О статочная зад ерж ка tau - k*Ts поглощ ается коэ ффи ци ентами д и скрети зи ров анной мод ели (только д ля метод ов с э кстраполяци ей нулев ого и первого поряд ков ).

7 Н апри мер,

чтобы

д и скрети зи ров ать

перед аточную

функци ю

си спользов ани ем э кстраполяци и нулев ого поряд ка и и нтенси в ности замеров 10 Герц, след уетв ы полни ть: >> h = tf (10 [, 1 3 10], 'inputdelay', 0.25); >>

hd = c2d (рука, 0.1)

Э то позв оли тполучи ть д и скретную перед аточную функци ю Transfer function: 0.01187 z^2 + 0.06408 z + 0.009721 z^(-2) * ---------------------------------z^3 - 1.655 z^2 + 0.7408 z Sampling time: 0.1

в 2.5 прев ы ш ает пери од кв антов ани я в 0.1 Зд есь в ход ная зад ерж ка в секунд ы . Соотв етств енно д и скрети зи ров анная мод ель hd наслед ует в ход ную зад ерж ку в д в а пери од а кв антов ани я, что под тв ерж д ается значени ем hd.inputdelay. О статочная зад ерж ка размером в полупери од разд елена в коэ ффи ци ентах hd алгори тмом д и скрети заци и . Реакци и на скачокнепреры в ны х и д и скрети зи ров анны х мод елей срав ни в аю тся команд ой : >> step (h, '--', hd, '--') Графи кпри в ед ен ни ж е:

След ует отмети ть, что преобразов ани е Т асти на и метод согласов ани я полю сов и нулей точны только д ля зад ерж ек, которы е кратны пери од у кв антов ани я.

8 Поэ тому д ля мод елей с зад ерж ками пред почти тельно и спользов ать zoh и foh метод ы д и скрети заци и . Испол ьз ован ие c2dm Д ляпостроени яд и скретной мод ели зад аннной (в пространств еси стояни й и ли в форме перед аточной функци и ) си стемы мож но такж е и спользов ать команд у c2dm, запи санную од ни м и з след ую щ и х способов : [numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh') [F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

В ремя Ts д олж но бы ть меньш е 1/(30*BW), гд е BW – полоса частот замкнутой си стемы . П ереда т о чна я ф унк ция Пусть есть непреры в наяперед аточнаяфункци я

M = 1 kg b = 10 N.s/m k = 20 N/m F(s) = 1

При няв BW> 1 рад и ан/сек, в ы берем Ts= 1/100 сек. Т еперь созд ад и м нов ы й mfile, в которы й запи ш ем след ую щ и екоманд ы : M=1; b=10; k=20; num=[1]; den=[M b k]; Ts=1/100; [numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

Запусти в э тот m-file в команд ном окне, получи м след ую щ и е матри цы д ля чи сли теляи знаменателяд и скретной перед аточной функци и : numDz = 1.0e-04 * 0 0.4837

0.4678

denDz = 1.0000

0.9048

-1.9029

И сход яи з в и д а э ти х матри ц, мож но запи сать перед аточную функци ю :

Зам е чан ие : матри цы чи сли теля и знаменателя буд ут пред став лены убы в ани ю степеней z. Т аки м образом бы ла получена перед аточнаяфункци яв д и скретной форме. П ро ст ра нст во со ст о я ний Пусть есть след ую щ аямод ель в пространств есостояни й :

по

9

В секонстанты теж е, что и раньш е. При в ед енны й ни ж еm-file преобразов ы в аетнепреры в ную мод ель в д и скретную : M=1; b=10; k=20; A=[0 -k/M

1; -b/M];

B=[ 0; 1/M]; C=[1 0]; D=[0]; Ts=1/100; [F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

Запускэ того m-file в команд ном окнеMatlab при в ед еткполучени ю след ую щ и х матри ц: F= 0.9990 0.0095 -0.1903 0.9039 G= 0.0000 0.0095 H= 1

0

J= 0 И сход яи з в и д а матри ц, мож но получи ть д и скретную форму мод ели :

10

Т аки м образом, получена д и скретнаямод ель в формепространств а состояни й . Устойчивость и пе р е х од н ая х ар акте р истика Д ля непреры в ны х си стем пов ед ени е опред еляется располож ени ем полю сов на s-плоскости . Н апри мер, си стема неустой чи в а, если полю са располож ены в прав ой полуплоскости . Пов ед ени е д и скретны х си стем мож но анали зи ров ать, и сход я и з располож ени я полю сов на плоскости z. Х арактери сти ки плоскости z могут бы ть соотнесены с характери сти ками плоскости s в соотв етств и и с в ы раж ени ем: T = в ремяв ы борки s = место на плоскости s z = место на плоскости z О тмети тм, что мни мая ось (грани ца области устой чи в ости на плоскости s) переход и т в окруж ность ед и ни чноо рад и уса (грани ца области устой чи в ости на плоскости z) |z|=1. Си стема буд ет устой чи в ой , если в се полю са располож ены в нутри ед и ни чной окруж ности , и неустой чи в ой , если хотя бы од и н полю с располож ен в неее. Д ля анали за переход ной характери сти ки при меняю тся те ж е три урав нени я, которы еи спользую тсяи д лянепреры в ны х си стем:

, гд е zeta = скорость затухани я Wn = собств еннаячастота (рад и ан/сек) Ts = в ремястаби ли заци и Tr = в ремянарастани я Mp = макси мальноеперерегули ров ани е

11 Важ н о: собстве н н ая частота (Wn) н а пл оскости z-plane из м е р яе тся в р ад иан /вы бор ка, н о пр и испол ьз ован ии пр иве д е н н ы х вы ш е ур авн е н ий в каче стве е д ин ицы из м е р е н ия Wn н уж н о бр ать р ад иан /се к. Пусть есть д и скретнаяперед аточнаяфункци я:

Созд ад и м нов ы й m-file и запи ш ем в него команд ы : numDz=[1]; denDz=[1 -0.3 0.5]; pzmap(numDz,denDz) axis([-1 1 -1 1]) zgrid Запускэ тогоs m-file в команд ном окнепри в ед еткотображ ени ю графи ка:

М ож но в и д еть, что полю са располож ены при бли зи тельно в области собств енной частоты 9pi/20T (рад ./в ы б.) и скорости затухани я 0.25. При ни мая, что в ремя в ы борки состав ляет 1/20 сек(что при в од и т кWn = 28.2 р ад /се к), и и спользуяпри в ед енны ев ы ш етри урав нени я, опред еляем, что рассматри в аемая си стема д олж на и меть в ремянарастани я0.06 сек., в ремя установ лени я0.65 сек. и макси мальноеперерегули ров ани е45% (установ и в ш егосязначени я). Получи м переход ную характери сти ку и покаж ем, что э ти утв ерж д ени я в ерны . Д ля э того д обав и м при в ед енны е ни ж е команд ы в m-file и в ернемся в команд ное окно. Послезапуска получи м переход ную характери сти ку. [x] = dstep (numDz,denDz,51); t = 0:0.05:2.5; stairs (t,x)

12

Н а графи ке в и д но, что в ремя нарастани я, в ремя установ лени я и перерегули ров ани етаков ы , каки пред полагалось. Т аки м образом, мы д оказали , что мож но и спользов ать располож ени е полю сов и при в ед енны е три урав нени я д ляанали за переход ной характери сти ки . Discrete Root-Locus Т раектори я пред став ляет собой располож ени е точек, в которы х могут наход и тьсякорни характери сти ческого урав нени япри и зменени и уси лени яот0 д о бесконечности . Х арактери сти ческео урав нени е д ля си стемы с обратрной св язью : , гд е G(z) – компенсатор, при мененны й кци фров ому контроллеру, а Hzoh(z) – перед аточнаяфункци яобъекта. М ехани зм построени я траектори и д ля плоскостей z и s аналоги чен. В случае непреры в ны х си стем и спользуется функци я sgrid, в случае д и скретны х си стем и спользуется функци я zgrid, облад аю щ ая теми ж е характери сти ками . К оманд а zgrid(zeta, Wn) прори сов ы в ает ли ни и постоянной скорости затухани я (zeta) и собств енной частоты (Wn). Пусть есть д и скретнаяперед аточнаяфункци я:

и требов ани якскорости затухани я( больш е0.6) и собств енной частоте(больш е 0.4 рад ./в ы б.). Созд ад и м нов ы й m-file и запи ш ем в него: numDz=[1 -0.3]; denDz=[1 -1.6 0.7]; rlocus (numDz,denDz) axis ([-1 1 -1 1]) zeta=0.4; Wn=0.3; zgrid (zeta,Wn)

13 Послезапуска фай ла получи м:

По в и д у графи ка мож но сд елать в ы в од , что си стема устой чи в а, так как в се полю са наход ятся в нутри окруж ности ед и ни чного рад и уса с центром в начале коорд и нат. К роме того, в и д ны д в е ли ни и , прори сов анны е точками – постоянной скорости затухани я и собств енной частоты . Собств енная частота прев ы ш ает 0.3 в не постоянной -Wn ли ни и , а скорость затухани я прев ы ш ает 0.4 в нутри постоянной -zeta ли ни и . В э том при мере траектори я располож ена в ж елаемой области . In this example, we do have the root-locus drawn in the desired region. След ов ательно, уси лени е (K), в ы бранное и з локусов в ж елаемой области , д астреакци ю , уд ов летв оряю щ ую требов ани ям разработки . Ltiview Сред ств о просмотра LTI д ляанали за реакци и си стемы . Си нтакси с: Ltiview Ltiview (sys1, sys2, ..., sysn) Ltiview ('plottype', sys1, sys2, ..., sysn) Ltiview ('plottype', sys,extras) Ltiview (' clear ', viewers) Ltiview('current',sys1,sys2,...,sysn,viewers) О пи сани е В ы зов Ltiview без параметров и ни ци али зи рует нов ое LTI-cред ств о просмотра д ляLTI анали за реакци и си стемы . Ltiview (sys1, sys2, ..., sysn) откры в ает LTI Сред ств о просмотра, сод ерж ащ ее реакци ю на скачок LTI-мод елей sys1, sys2, ..., sysn. Д ля каж д ой и з си стем мож но опред ели ть отли чи тельны й цв ет, ти п ли ни и , и маркер: >> >> >>

Sys1 = rss (3,2,2); Sys2 = rss (4,2,2); Ltiview (sys1, ' r- * ', sys2, ' м. - ');

14 Ltiview ('plottype', sys) и ни ци али зи рует LTI-cред ств о просмотра, сод ерж ащ ее ти п реакци и , обозначенны й какplottype д ля мод ели си стемы . Значени еplottype мож етбы ть лю бы м и з: • • • • • • • • •

'step' 'impulse' 'initial' 'lsim' 'pzmap' 'bode' 'nyquist' 'nichols' 'sigma'

К роме того, plottype мож ет пред став лять собой в екторразмерностью д о ш ести и з таки х ти пов . Н апри мер, команд а Ltiview ({'step'; 'nyquist'}, sys) показы в аетгр афи ки обои х ти пов реакци и д ляд анной си стемы . Ltiview (plottype, sys, extras) д опускаю т нали чи е д ополни тельны х в ход ны х аргументов , под д ерж и в аемы х разли чны ми частотны ми характери сти ками мод ели LTI, которы ебуд утперед аны ккоманд еltiview. Extras - од и н и ли более в ход ны х аргументов , опред еленны х функци ей в plottype. Э ти аргументы могут бы ть обязательны ми и ли опци ональны ми в зав и си мости от ти па LTI реакци и . Н апри мер, если plottype - 'step', тогд а extras мож ет пред став лять собой ж елаемоев ремязав ерш ени я, Tfinal, какпоказано ни ж е. Ltiview ('step', sys, Tfinal)

О д нако если plottype - 'initial', аргументы extras д олж ны сод ерж ать начальны е услов и яx0, а такж емогутсод ерж ать аргументы ти па Tfinal: ltiview('initial',sys,x0,Tfinal)

Ltiview (' clear ', viewers) очи щ аю тграфи ки и д анны еотLTI -сред ств просмотра сд ескри пторами viewers. Ltiview('current',sys1,sys2,...,sysn,viewers) д обав ляет нов ы е запи си реакци и си стем sys1, sys2, ..., sysn на LTI-сред ств а просмотра с д ескри пторами viewers. Е сли э ти нов ы е си стемы и мею т размерность в ход а/в ы ход а, отли чную от текущ ей размерности LTI-сред ств а просмотра, то оно пред в ари тельно очи щ ается, послечего отображ аю тсянов ы ереакци и си стем. И , наконец, Ltiview (plottype, sys1, sys2, ... sysN) Ltiview(plottype,sys1,PlotStyle1,sys2,PlotStyle2,...) Ltiview(plottype,sys1,sys2,...sysN,extras)

и ни ци али зи рую т LTI-сред ств о просмотра, сод ерж ащ ее реакци и множ еств а мод елей , и спользуяграфи чески ести ли , указанны ев PlotStyle. Частотн ая х ар акте р истика К оманд а bode позв оляетполучи ть частотную характери сти ку мод елей LTI bode - в ы чи сляет ампли туд у и фазу частотной хар актери сти ки мод ели LTI. В ы зов без указани я аргументов при в ед ет котображ ени ю д и аграммы Бод е на э кране. А мпли туд а в ы раж ена в д еци белах (dB), фаза - в град усах. В ы чи слени е , гд е яв ляется д еци бел д ля mag осущ еств ляется как 20log10 частотной характери сти кой си стемы . Д и аграммы Бод е и спользую тся д ля

15 анали за таки х св ой ств си стемы , какпред ел уси лени я, порогов оезначени ефазы , коэ ффи ци ента уси лени я, ш и ри ны полосы частот, под ав лени е в неш ни х в озд ей ств и й и устой чи в ость си стемы . bode(sys) – стр ои т д и аграмму реакци и прои зв ольной мод ели си стемы . . Э та мод ель мож ет бы ть непреры в на и ли д и скретна, SISO и ли MIMO. В MIMO случае, команд а состав и т масси в д и аграмм Бод е, каж д ы й графи к в котором буд ет показы в ать реакци ю од ного опред еленного канала в ход а-в ы ход . Д и апазон частот опред еляется ав томати чески , основ ы в аясь на располож ени и корней и полю сов . bode(sys,w) - яв но опр ед еляет д и апазон частот и ли частоты , которы е буд ут и спользов аться д ля построени я графи ка. Д ля фокуси ров ки ь на опред еленном и нтервале частот [wmin, wmax] след ует зад ать w = {wmin, wmax}. Ч тобы и спользов ать специ фи чески е частоты , укаж и те в качеств е w в ектор ж елательны х частот. И спользуй те logspace д ля генераци и логари фми чески разд еленны х в екторов частот. В се частоты д олж ны бы ть опред елены в рад и анах/сек. bode(sys1,sys2,...,sysN), bode(sys1,sys2,...,sysN,w) – р азмещ аю т реакци и нескольки х LTI-мод ели на од ном графи ке. В сеси стемы д олж ны и меть од и наков ое чи сло в ход ов и в ы ход ов . К роме того, зд есь могут бы ть ми кш и ров аны непреры в ны еи д и скретны еси стемы . bode(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN') - опр ед еляет, какой цв ет, сти ль ли ни и и маркер д олж ен и спользов аться д ля графи ка каж д ой си стемы . Н апри мер, >>

bode (sys1, ' r - ', sys2, 'gx')

и спользует красны е пункти рны е ли ни и д ля первой си стемы sys1 и зелены е маркеры 'x' д ляси стемы sys2. К огд а команд а bode в ы зы в аетсясаргументами в лев ой части : · [mag,phase,w] = bode(sys) · [mag,phase] = bode(sys,w), в озв ращ ается ампли туд а и фаза (в град усах) частотной характери сти ки в частотах w (в рад /сек). В ы ход ы ампли туд а и фаза яв ляю тся трехмерны ми матри цами . А мпли туд у мож но в ы рази ть в д еци белах: >> Magdb = 20*log10 (mag) П р им е р Построи м д и аграмму Бод э д лянепреры в ной SISO си стемы : , и еед и скрети заци и . >> >>

g = tf ([1 0.1 7.5], [1 0.12 9 0 0]); bode(g)

Д ляполучени яреакци и в болееш и роком д и апазонечастот, напри мер, от0.1 д о 100 рад /сек, след уетнабрать: >>

bode(g,{0.1 , 100});

16 Затем построи м д и скретную поряд ка и реакци и , набрав : >> >>

мод ель, и спользуя э кстраполяци ю

нулев ого

секунд , и срав ни м непреры в ны е и д и скрети зи ров анны е

gd = c2d(g,0.5)

bode(g,'r',gd,'b--') В э том случаеграфи кбуд ети меть в и д :

Д ля д и скретны х си стем частотная характери сти ка получается путем оцени в ани я перед аточной функци и в ед и ни чном круге. Ч тобы облегчи ть и столков ани е, в ерхняяполов и на ед и ни чного круга параметри зов ана как , гд е яв ляется в ременем в ы борки , - частота Н ай кв и ста. Э кв и в алент " непреры в ной частоты " затем и спользуется как переменная -оси . Поскольку

пери од и чна с пери од ом

реакци ю только д о частоты Н ай кв и ста умолчани ю при ни мается

.

, команд а bode отобрази т

. Е сли в ремя

не опред елено, по

17 Е сли си стема и меет полю с на ед и ни чном круге (в д и скретном случае) и w, сод ерж и т э ту частоту, коэ ффи ци ент уси лени я бесконечен, яв ляется си нгулярной , и bode в ы в ед етпред упреж д аю щ еесообщ ени е: «Singularity pole.»

in

freq.

response

due

to

jw-axis

or

unit

circle

Зад ан ие . И зучи ть д руги е в озмож ности построени я д и аграмм: nyquist, evalfr, freqresp, nichols, sigma.

Simulink Пакет расш и рени я Simulink служ и т д ля и ми таци онного мод ели ров ани я мод елей , состоящ и х и з графи чески х блоков с зад анны ми св ой ств ами (параметрами ). К омпоненты мод елей , в св ою очеред ь, яв ляю тся графи чески ми блоками и мод елями , которы есод ерж атсяв ряд еби бли отеки спомощ ью мы ш и могут переноси ться в основ ное окно и соед и няться д руг с д ругом необход и мы ми св язями . В состав мод елей могут в клю чаться и сточни ки си гналов разли чного в и д а, в и ртуальны е реги стри рую щ и е при боры , графи чески е сред ств а ани маци и . Д в ой ной щ елчок мы ш ью на блоке мод ели в ы в од и токно со спи ском его параметров , которы епользов атель мож етменять. Запуск и ми таци и обеспечи в ает математи ческое мод ели ров ани е построенной мод ели с нагляд ны м в и зуальны м пред став лени ем результатов . Пакет основ ан на построени и блочны х схем путем переноса блоков и з би бли отеки компонентов в окно ред акти ров ани я созд ав аемой пользов ателем мод ели . Затем мод ель запускается на в ы полнени е. Рассмотри м некоторы е блоки , пред назначенны ед ляработы сд и скретны ми си стемами . Бл оки Discrete Discrete State-Space Пред став ляетд и скретную си стему в пространств есостояни й .

Э тот

блок

реали зует

си стему,

опи санную

си стемой

урав нени й :

, гд еu – в ход , x – состояни е, y - в ы ход . М атри цы д олж ны и меть характери сти ки : A - матри ца n*n, гд еn - чи сло состояни й . B - матри ца n*m, гд ем. - чи сло в ход ов . C - матри ца r*n, гд еr - чи сло в ы ход ов . D - матри ца r*m.

Блокпри ни мает од но в ход ное и генери рует од но в ы ход ное значени е. Размер в ектора-в ход а опред еляется чи слом столбцов в матри цах B и D. Размер

18 в ектора-в ы ход а опред еляется чи слом строк в матри цах C и D. Simulink преобразов ы в ает матри цу, сод ерж ащ ую нули в разреж енную матри цу д ля э ффекти в ного умнож ени я. Discrete Filter Блок д и скретного фи льтра зад ает д и скретную перед аточную функци ю от обратного аргумента (1/z):

, гд е

m+1 и n+1 – коли честв о коэ ффи ци ентов чи сли теля и знаменателя, соотв етств енно; num – в ектор и ли матри ца коэ ффи ци ентов чи сли теля; den – в екторкоэ ффи ци ентов знаменателя. Параметры : 1. Numerator — В ектори ли матри ца коэ ффи ци ентов чи сли теля 2. Denominator –В екторкоэ ффи ци ентов знаменателя 3. Sample time — Ш аг д и скрети заци и по в ремени . Unit Delay Пред став ляет собой блок ед и ни чной д и скретной зад ерж ки и в ы полняет зад ерж ку в ход ного си гнала на од и н ш аг мод ельного в ремени . Параметры : 1. Initial condition – Н ачальноезначени ед ляв ы ход ного си гнала. 2. Sample time – Ш аг мод ельного в ремени . В ход ной си гнал блока мож ет бы ть как скалярны м, так и в екторны м. При в екторном в ход ном си гнале зад ерж ка в ы полняется д ля каж д ого э лемента в ектора. Блок под д ерж и в ает работу с комплексны ми и д ей ств и тельны ми си гналами . Zero-Order Hold Блок э кстраполятора нулев ого поряд ка в ы полняет д и скрети заци ю в ход ного си гнала по в ремени . Параметр- Sample time – В ели чи на ш ага д и скрети заци и по в ремени . Блокфи кси рует значени е в ход ного си гнала в начале и нтерв ала кв антов ани я и под д ерж и в ает на в ы ход е э то значени е д о окончани я и нтерв ала кв антов ани я. Затем в ы ход ной си гнал и зменяется скачком д о в ели чи ны в ход ного си гнала на след ую щ ем ш аге кв антов ани я. Блокэ кстраполятора нулев ого поряд ка мож ет и спользов аться такж е д ля согласов ани я работы д и скретны х блоков , и мею щ и х разны еи нтерв алы кв антов ани я.

19 First-Order Hold Блок э кстраполятора первого поряд ка зад ает ли ней ное и зменени е в ы ход ного си гнала на каж д ом такте д и скрети заци и , в соотв етств и и с крути зной в ход ного си гнала на пред ы д ущ ем и нтервалед и скрети заци и . Параметр- Sample time – В ели чи на ш ага д и скрети заци и по в ремени . Discrete-Time Integrator Прои зв од и ти нтеграци ю и ли накоплени еси гнала

Э тотблокмож но и спользов ать в место блока Integrator д ля созд ани яполностью д и скретной си стемы . О н позв оляет опред елять начальны е услов и я в д и алогов ом окне и ли как в в од в блок в ход ного значени я коэ ффи ци ента уси лени я (K). Блоки спользуется д ля в ы полнени я операци и и нтегри ров ани я в д и скретны х си стемах. Параметры : 1. Integration method – М етод чи сленного и нтегри ров ани я: o Forward Euler - Прямой метод Э й лера. М етод и спользуетаппрокси маци ю T/(z-1) перед аточной функци и 1/s. В ы ход ной си гнал блока рассчи ты в аетсяпо в ы раж ени ю : y(k) = y(k–1) + T*u(k–1), y – в ы ход ной си гнал и нтегратора, u – в ход ной си гнал и нтегратора, T – ш аг д и скрети заци и , k – номерш ага мод ели ров ани я. o Backward Euler – О братны й метод Э й лера. М етод и спользует аппрокси маци ю T*z/(z–1) перед аточной функци и 1/s. В ы ход ной си гнал блока рассчи ты в ается по в ы раж ени ю : y(k) = y(k–1) + T*u(k). o Trapeziodal – М етод трапеци й . М етод и спользует аппрокси маци ю T/2*(z+1)/(z–1) перед аточной функци и 1/s. В ы ход ной си гнал блока рассчи ты в ается по в ы раж ени ю : x(k) = y(k–1) + T/2 * u(k–1). 2. Sample time — Ш аг д и скрети заци и по в ремени . О стальны е параметры д и скретного и нтегратора те ж е, что и у блока аналогов ого и нтегратора Integrator (би бли отека Continuous). Discrete Transfer Fсn Д и скретная перед аточная функци я зад аетд и скретную перед аточную функци ю в в и д еотнош ени яполи номов :

,

20 m+1 и n+1 – коли честв о коэ ффи ци ентов чи сли теля и знаменателя, соотв етств енно; num – в ектор и ли матри ца коэ ффи ци ентов чи сли теля; den – в екторкоэ ффи ци ентов знаменателя. Параметры : 1. Numerator — В ектори ли матри ца коэ ффи ци ентов чи сли теля 2. Denominator – В екторкоэ ффи ци ентов знаменателя 3. Sample time — Ш аг д и скрети заци и по в ремени . Поряд окчи сли телянед олж ен прев ы ш ать поряд окзнаменателя. В ход ной си гнал блока д олж ен бы ть скалярны м. В том случае, если коэ ффи ци енты чи сли теля зад аны в ектором, то в ы ход ной си гнал блока буд ет скалярны м (такж екаки в ход ной си гнал). Discrete Zero-Pole Блок Discrete Zero-Pole опред еляет д и скретную перед аточную функци ю с зад анны ми полю сами и нулями : ,

гд е Z – в ектор и ли матри ца нулей перед аточной функци и ; P – в ектор полю сов перед аточной функци и ; K – коэ ффи ци ент перед аточной функци и , и ли в ектор коэ ффи ци ентов , если нули перед аточной функци и зад аны матри цей . При э том размерность в ектора K опред еляетсячи слом строкматри цы нулей . Параметры : 1. Zeros – В ектори ли матри ца нулей . 2. Poles – В екторполю сов . 3. Gain – Скалярны й и ли в екторны й коэ ффи ци ент перед аточной функци и . 4. Sample time — Ш аг д и скрети заци и по в ремени . К оли честв о нулей не д олж но прев ы ш ать чи сло полю сов перед аточной функци и . В том случае, если нули перед аточной функци и зад аны матри цей , то блокDiscrete Zero-Pole мод ели рует в екторную перед аточную функци ю . Н ули и ли полю са могут бы ть зад аны комплексны ми чи слами . В э том случае нули и ли полю са д олж ны бы ть зад аны комплексно-сопряж енны ми парами полю сов и ли нулей , соотв етств енно. Н ачальны е услов и я при и спользов ани и блока Discrete Zero-Pole полагаю тсянулев ы ми . Ме тод цифр ового пе р е обор уд ован ия н е пр е р ы вн ого р е гул ятор а в ср е д е MATLAB/SIMULINK Рассмотри м зад ачу стаби ли заци и суд на на курсе. Л и ней ная математи ческая мод ель первого поряд ка, опи сы в аю щ аяры скани есуд на, и меетв и д :

21 ϕ& = ω y 1 K ωy + δ , Ts Ts гд е ϕ – угол ры скани я (угол отклонени я от зад анного курса), ω y – углов ая скорость в ращ ени я в округ в ерти кальной оси , δ – угол пов орота в ерти кального руля относи тельно полож ени я рав нов еси я, Ts – постоянная в ремени , K – постоянны й коэ ффи ци ент, и мею щ и й размерность сек -1. Перед аточная функци я отугла пов орота рулякуглу ры скани язапи ш етсяв в и д е K F ( s) = . s (Ts s + 1) В лабораторной работебуд ем и сслед ов ать мод ель суд на-контей неров оза при &y =− ω

Ts = 18,2 сек ,

K = 0,0694 сек -1. При в од (рулев аямаш и на) при бли ж енно мод ели руетсязв еном первого поряд ка

KR TR s + 1 , спараметрами G(s) =

TR = 2 сек ,

KR = 1.

Д ля и змерени я угла ры скани я и спользуется ги рокомпас, математи ческая мод ель которого запи сы в аетсяв в и д еапери од и ческого зв ена первого поряд ка с перед аточной функци ей K oc G(s) = Toc s + 1 , гд ед ляд анной си стемы Toc = 6 сек , K oc = 1 . Структурная схема си стемы стаби ли заци и : ϕ0

регулятор +

ε

–

C(s)

u

при в од H(s

δ

объект F(s)

ϕ

G(s и змери тельная с ис тема Н а суд неустанов лен пропор ци онально-и нтегрально-д и фференци альны й (ПИ Д ) непреры в ны й регулятор, которы й опи сы в аетсяперед аточной функци ей  T s  1 C ( s ) = K c 1 + + D   TI s TV s + 1 

спараметрами

K c = 0,8 , TI = 1000 сек ,

TD = Ts = 18,2 сек ,

TV = 1 сек .

22 Т ребуется построи ть мод ель непреры в ной си стемы в сред е MATLAB/SIMULINK, построи ть переход ны й процессв непреры в ной си стемепри и зменени и курса на 10 град усов , в ы полни ть переоборуд ов ани е непреры в ного регулятора с 2 z −1 помощ ью преобразов ани я Т асти на s = ⋅ T z + 1 при в ы боре и нтервала кв антов ани я T = 1 сек, построи ть мод ель ци фров ой си стемы в сред е MATLAB/SIMULINK, срав ни ть переход ны е процессы в непреры в ной и ци фров ой си стемах при и зменени и курса на 10 град усов , а такж е пов тори ть процед уру д ляи нтервала кв антов ани я T = 5 сек, объясни ть э ффекты , наблю д аю щ и есяпри ув ели чени и и нтервала кв антов ани я, и д ля послед него в ари анта рассчи тать перерегули ров ани еи в ремяпереход ного процесса. П о дго т о вк а исхо дныхда нных Запусти теси стему MATLAB. В в ед и тед анны ед ляперед аточной функци и F (s) : >> Ts = 18.2; >> K = 0.0694; >> F = tf(K, [Ts 1 0]) >> [nF,dF] = tfdata(F, 'v') Послед няя строчка означает, что чи сли тель и знаменатель скалярной перед аточной функци и F (s ) буд утзапи саны в поли номы nF и dF. Зад ан ие . А налоги чно опи ш и те в се остальны е перед аточны е функци и (э ти операци и мож но в ы полни ть и наче, напи сав скри птна язы кеси стемы MATLAB в в и д ефай ла). Мо дел ьнепрерывно й сист емы Запусти тепакетSIMULINK, набрав в команд ном окнеси стемы MATLAB >> simulnik Созд ай тенов ую мод ель (File –New –New model). В ы бери те группу э лементов Continuous в окне Simulink Library Browser и перетащ и те в окно нов ой мод ели э лемент Transfer Fcn (перед аточная функци я). Сд елай те д в ой ной щ елчок мы ш ью по э тому блоку и в в ед и те nF в поле Numerator и dF в поле Denominator. Э то означает, что чи сли тель и знаменатель перед аточной функци и F (s) д олж ны бы ть зад аны в команд ном окнеси стемы MATLAB какполи номы си менами nF и dF. Щ елкни те на э том блоке прав ой кнопкой мы ш и и в ы бери те пункт Format – Flip name и з контекстного меню . При э том назв ани е блока д олж но перемести тьсяв в ерх. Щ елкни тена блокелев ой кнопкой мы ш и и и змени теназв ани еблока на Ship. А налоги чно д обав ьте блоки , соотв етств ую щ и е рулев ому устрой ств у, и змери тельной си стемеи регулятору.

23 Ч тобы и змени ть направ лени епрохож д ени я си гнала через блокобратной св язи , д в аж д ы в ы бери тепунктFormat –Rotate block и з контекстного меню . Д ля того чтобы смод ели ров ать ступенчаты й в ход ной си гнал, перетащ и те блок Sources –Step и з окна Simulink Library Browser в окно мод ели . Сд елай тед в ой ной щ елчокмы ш ью по э тому блоку и в в ед и те0 в полеStep time и 10*pi/180 в полеFinal value (и зменени екурса на 10 град усов ). Д ля созд ани ясумми рую щ его э лемента перетащ и теблокMath operation –Sum и з окна Simulink Library Browser в окно мод ели . Сд елай те д в ой ной щ елчокмы ш ью по э тому блоку и в в ед и те |+- в поле List of signs (в торой в ход – отри цательнаяобратнаясв язь). Д ля того чтобы на в ы ход еполучи ть значени я угла ры скани я и угла переклад ки руля в град усах, д обав ьте в мод ель д в а блока-уси ли теля (Math operations Gain). Д ля каж д ого и з ни х установ и те (щ елкнув д в аж д ы по блоку) коэ ффи ци ентуси лени я180/pi. Д ля просмотра графи ков и зменени я угла ры скани я и угла переклад ки руля д обав ьтев мод ель д в а блока-осци ллографа (Sinks –Scope). Соед и ни те нуж ны е в ход ы и в ы ход ы блоков . Д ля э того над о наж ать лев ую кнопку мы ш и на в ы ход еэ лемента-и сточни ка си гнала и в ести мы ш ь кнуж ному в ход у э лемента-при емни ка, гд е отпусти ть кнопку мы ш и . Д ля того чтобы сд елать разв и лку, напри мер, при созд ани и ли ни и обратной св язи , над о наж ать на прав ую кнопку мы ш и в нуж ном месте ли ни и и , не отпуская ее, протянуть ли ни ю к в ход у нуж ного блока. В результате д олж на получи ться схема: -KPID-controller

Rudder

Ship

nC(s)

nH(s)

nF(s)

dC(s)

dH(s)

dF(s)

Step

Gain1

Delta

-KGain

Phi

nG(s) dG(s) Gyrocompass

Мо дел иро ва ние Д ля установ ки в ремени мод ели ров ани я (150 секунд ) в окне мод ели в ы бери те пункт меню Simulation – Parameters и установ и те д ля параметра Stop time значени е150. Д ля того чтобы начать мод ели ров ани е, щ елкни те по кнопке и ли в ы бери те пунктменю Simulation –Start. Д ля того чтобы посмотреть графи ки , щ елкни те д в аж д ы по блоку Scope. Е сли графи кнепомещ аетсяв окно, д ляав томати ческого масш таби ров ани ящ елкни те по кнопке в окне графи ка, а затем – по кнопке (чтобы запомни ть настрой ки ). Н астрой тетаки м образом окна обои х э лементов .

24

П ерео б о рудо ва ние непрерывно го регул я т о ра Перей д и те в команд ное окно си стемы MATLAB. Д ля построени е д и скретного регулятора, переоборуд ов анного по метод у Т асти на, в в ед и текоманд ы >> T = 1; >> Cd = c2d ( C, T, ‘tustin’ ); >> [nCd,dCd] = tfdata ( Cd, ‘v’ ) ;

Первая и з ни х опред еляет и нтервал кв антов ани я (1 сек), в торая – строи т д и скретны й регулятор, полученны й и з регулятора C с помощ ью преобразов ани яТ асти на, а третьяв ы д еляетего чи сли тель и знаменатель. Мо дел иро ва ние циф ро во й сист емы упра вл ения Перей д и те в окно мод ели си стемы . Н а э том э тапе над о построи ть мод ель ци фров ой си стемы и срав ни ть ее с и сход ной мод елью . Д ля э того сд елаем так, чтобы каж д ы й э лемент Scope в ы в од и л д в а си гнала (от непреры в ной и ци фров ой си стем). О бв ед и терамкой (при наж атой лев ой кнопкемы ш и ) д в а э лемента Scope в месте с уси ли телями и отд ели те и х от си стемы , перетащ и в при наж атой клав и ш е Shift. В ы д ели те в се э лементы замкнутого контура и скопи руй те и х (перетащ и в при наж атой клав и ш еCtrl) на св обод ноеместо ни ж епервой схемы . В скопи ров анной схеме уд али те блок, соотв етств ую щ и й непреры в ному регулятору, и установ и те на его место блок ти па Discrete Transfer Fcn и з группы Discrete. Сд елай те д в ой ной щ елчокмы ш ью по э тому блоку и в в ед и те nCd полеNumerator, dCd полеDenominator и T полеSample time. Д ля того чтобы объед и ни ть д в а си гнала в од и н в екторны й си гнал, и спользую т блок-мульти плексор. Перетащ и тед в а таки х блока (блоки Mux и з группы Signal routing и ли , в д руги х в ерси ях, и з группы Connections) в св ою мод ель. Н а в ход од ного мульти плексора под ай те си гналы в ы ход а непреры в ной и ци фров ой си стем (углы ры скани я), а на в ход ы в торого – си гналы управ лени я (углы пов орота руля). В ы ход ы мульти плексоров соед и ни те со в ход ами уси ли телей перед блоками -осци ллографами . Т еперь в окнеосци ллографов буд утв ы в ед ены д в а графи ка. Зад ан ие . В ы полни темод ели ров ани еси стемы , мод ель которой при в ед ена ни ж е.

25 В ы полни те переоборуд ов ани е д ля и нтервала кв антов ани я 5 сек и занов о пров ед и те мод ели ров ани е. О бъясни те полученны е результаты . По графи кам опред ели тев ремяпереход ного процесса и перерегули ров ани ед лянепреры в ной и ци фров ой си стем. -KPID-contr.

Rudder

Ship

nC(s)

nH(s)

nF(s)

dC(s)

dH(s)

dF(s)

Gain1

Delta

-K-

Step Gain

Phi

nG(s) dG(s) Gyrocompass Discrete Contr.

Rudder1

Ship1

nCd(z

nH(s)

nF(s)

dCd(z

dH(s)

dF(s)

nG(s) dG(s) Gyrocompass1

М од ель д лясрав нени янепреры в ной и ци фров ой си стем.

Зад ан ия 1. О сущ еств и ть преобразов ани е непреры в ной мод ели си стемы в д и скретную си спользов ани ем команд ы c2d сразли чны ми параметрами . 2. Преобразов ать зад анную д и скретную мод ель в непреры в ную , и спользуя команд у d2c. 3. При мени ть команд у c2dm. У казать разли чи яв результатах работы команд c2dm и c2d. 4. Построи ть переход ную характери сти ку си стемы . 5. И сслед ов ать си стему на устой чи в ость. 6. Построи ть траектори ю д в и ж ени яси стемы . 7. При мени ть команд у ltiview с разли чны ми параметрами , объясни ть разли чи яв результатах работы . 8. Построи ть д и аграмму Бод э , и спользуя разли чны е комби наци и параметров . И спользов ать д руги е в озмож ности д ля построени я частотны х характери сти кси стемы , реали зов анны ев MATLAB. 9. Прои зв ести мод ели ров ани е пов ед ени я д и скретной си стемы управ лени я с помощ ью Simulink. 10. В ы полни ть зад ани я, при в ед енны ев концеразд елов .

26

Лите р атур а 1. Franklin G.F. Digital Control of Dynamic Systems / G.F. Franklin, J.D. Powell, M.L. Workman, Addison-Wesley, 1990. 2. И зерман Р. Ц и фров ы еси стемы управ лени я/ Р. И зерман. - М . : М и р, 1984. 3. Бесекерски й В .А . Ц и фров ы е ав томати чески е си стемы / В .А . Бесекерски й . М . : Н аука, 1976. 4. Simulink Documentation.(http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/simulink/) 5. Matlab Documentation.(http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/control/) 6. Н и кульчев Е .В . Практи кум по теори и управ лени я в сред е MATLAB: учеб. пособи е/ Е .В . Н и кульчев . - М . : М ГА ПИ , 2002. 7. Ч ерны х И .В . SIMULINK: сред а созд ани я и нж енерны х при лож ени й / И .В . Ч ерны х; под общ . ред . В .Г. Потемки на .— М . : Д И А Л О Г-М И Ф И , 2004. 8. Потемки н В .Г. В в ед ени ев MATLAB / В .Г. Потемки н. - М . : Д и алог-М И Ф И , 2000.

27

Состав и тель К ры ж анов скаяЮ ли ана А лександ ров на Ред акторТ и хоми ров а О .А .