Mathematik für Informatiker I

Mathematik fu  r Ingenieure I (fu  r Informatiker)

Claus Hillermeier

Wintersemester 2000/2001

Institut fu at Erlangen,  r Angewandte Mathematik der Universit Martensstr. 3 e-mail: [email protected]

Vorbemerkung:

Wir setzen voraus, dass der Horer/Leser mit der reellen Zahlengeraden bereits eine gewisse Bekanntschaft geschlossen hat und werden sie daher schon vor ihrer formalen Einfuhrung dazu heranziehen, einige abstrakte De nitionen zu veranschaulichen.

Inhaltsverzeichnis 1 Zahlen 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die naturlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Peano-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ordnungstruktur . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Algebraische Struktur . . . . . . . . . . . 1.4.4 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . 1.4.5 Permutationen und BinomialkoeÆzienten . 1.4.6 Machtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppen und Homomorphismen . . . . . . . . . . Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . Ringe und Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 De nition von Folgen . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Metrische Struktur . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . 1.10.4 Cauchy-Folgen und irrationale Zahlen . . . 1.10.5 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.6 Rechenregeln fur Grenzwerte . . . . . . . . 1.10.7 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . 1.10.8 Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 5 8 13 13 14 14 15 17 20 20 22 25 29 32 37 37 38 39 41 44 45 46 49

1 Zahlen 1.1

Mengen

Im taglichen Leben fassen wir { meist ahnlich geartete { Objekte gedanklich oft zu einer Menge zusammen, z.B. einer Menge von Marmeladeglasern oder Briefmarken. In der Mathematik gehort die Bildung von Mengen ebenfalls zum elementaren Handwerkszeug. Von Georg Cantor, dem Begrunder der Mengenlehre, stammt folgende umgangssprachliche Beschreibung des Mengenbegris: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Wir werden Mengen mit Grobuchstaben bezeichnen. Die Objekte einer Menge heien die Elemente von A.

a 2 A bedeutet: a ist ein Element von A: a 62 A bedeutet: a ist kein Element von A:

Eine Menge aus endlich vielen Elementen konnen wir dadurch beschreiben, dass wir all ihre Elemente aufzahlen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt, also z.B. A sei de ni" tionsgema gleich fa; b; c; dg\. Mit dem Kurzel :=\ fur de nitionsgema gleich\ { der " " Doppelpunkt steht bei dem zu de nierenden Ausdruck { schreiben wir hierfur

A := fa; b; c; dg: Meist fassen wir nicht wahllose Objekte zu einer Menge zusammen, sondern Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Eine solche Menge lasst sich alternativ durch die Angabe der Eigenschaft E bezeicnen, die genau allen Elementen dieser Menge zukommt. Man schreibt dann A := fa j a erfullt Eg, also z.B. A := fa j a ist griechischer Buchstabeg = f; ; ; : : : ; !g. In der Mathematik wird die Aussage "a erfullt die Eigenschaft E \ oft durch eine mathematische Formel ausgedruckt, z.B.

p

B := f+ 2;

p

2g = fx 2 R j x = 2g: 2

Der Begri der leeren Menge ;, die kein Element enthalt, wird eingefuhrt, um in allgemeinen Argumentationen Fallunterscheidungen zu vermeiden. Zwei Mengen A und B heien gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Die Aussage A = B\ ist also de nitionsgema gleichbedeutend mit folgender Aussage: " Fur beliebige Objekte a ist a 2 A gleichbedeutend mit a 2 B:\ " Unter Verwendung der Kurzel Aussage 1 " und

() :()\ "

Aussage 2\ fur Aussage 1 ist gleichbedeutend mit Aussage 2\ " fur ist de nitionsgema gleichbedeutend mit\ " konnen wir die De nition der Gleichheit zweier Mengen folgendermaen schreiben: (A = B ) :() (a 2 A () a 2 B ): 2

Von einer gegebenen Menge A lassen sich Teilmengen bilden. Eine Menge B heit Teilmenge von A, in Zeichen B  A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist, d.h. wenn gilt: Fur jedes a 2 B folgt a 2 A. Wir fuhren fur Aussage 2 folgt aus Aussage " 1\ das Kurzel Aussage 1 =) Aussage 2 \ ein. Damit lautet die De nition der Teilmenge: " (B  A) :() (a 2 B =) a 2 A):

Veranschaulichung anhand von Mengen, die aus Punkten der Zeichenebene bestehen:

A B

Ein Vergleich der Gleichheits- und der Teilmengen-De nition zeigt: (A  B und B  A) () A = B:

Beweis:

() Def.

(A  B und B  A) (a 2 A =) a 2 B und a 2 A (= a 2 B )

Nun gilt allgemein: (Aussage 1 =) Aussage 2 und Aussage 1 (= Aussage 2) ist gleichbedeutend mit (Aussage 1 () Aussage 2).  Also konnen wir obige Kette von Aquivalenzen fortsetzen:

:::

() (a 2 A () a 2 B ) () A = B Def.

q.e.d. Bemerkungen: (1) q.e.d.\ steht fur \quod erat demonstrandum\ und " zeigt das Ende des Beweises an.  (2) Weil die durch () \ angezeigte Aquivalenz zweier " Aussagen gleichbedeutend ist mit =) und (= \,  " kann der Beweis einer solchen Aquivalenz aufgespalten werden in den Beweis von =) \ und den Beweis von " ( = \. " Wenn wir eine Menge M gegeben haben (kurz: gegeben eine Menge M ), so lassen sich 3

alle Teilmengen von M wiederum zu einer Menge zusammenfassen, der sogenannten Potenzmenge P (M ). Beispiel: Fur M = f1; 2g ist P (M ) = f;; f1g; f2g; f1; 2gg. Liegen zwei Mengen A und B vor, so konnen wir die gemeinsamen Elemente heraussuchen (Durchschnitt A \ B ) bzw. streichen (Dierenz AnB ). Alle Element zusammen bilden die Vereinigung A [ B :

A \ B := fx j x 2 A und x 2 B g

A B

AnB := fx j x 2 A und x 62 B g

A B

A [ B := fx j x 2 A oder x 2 B g

A B

Besitzen zwei Mengen A und B kein gemeinsames Element, d.h. A \ B = ;, so heien sie disjunkt. 4

A

B Eine weitere Moglichkeit, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu erhalten, ist die Produktbildung: Das direkte (oder kartesische) Produkt A  B zweier Mengen A und B ist de niert als

A  B := f(x; y )jx 2 A; y 2 B g: A  B besteht also aus allen geordneten Paaren von Elementen aus A und B ; geordnet deshalb, weil das erste Element des Paares stets aus A, das zweite stets aus B ist. Beispiel: A = f2; 4g; B = f1; 3; 5g =) A  B = f(2; 1); (2; 3); (2; 5); (4; 1); (4; 3); (4; 5)g Analog konnen wir auch das kartesische Produkt von n Mengen A ; A ; : : : ; An bilden: 1

A

1

 A 


 A 2

n

2

:= f(a ; a ; : : : ; an ) j ai 2 Ai fur alle i = 1; : : : ; ng 1

2

Die Elemente (a ; : : : ; an ) dieser Menge heien (geordnete) n-Tupel. Zwei n-Tupel (a ; : : : ; an) und (b ; : : : ; bn ) heien gleich, falls sie komponentenweise gleich sind, d.h. falls gilt: ai = bi fur alle i = 1; : : : ; n. 1

1

1

1.2

Relationen

Reelle Zahlen lassen sich als Punkte auf einer Geraden, der sog. reellen Zahlengeraden, veranschaulichen. 0

1

x <

y

Je zwei reelle Zahlen x und y lassen sich stets der Groe nach vergleichen: Es gilt entweder x  y (siehe Bild) oder x > y . Das \-Zeichen setzt also gewisse Elemente aus R (R:= Menge der reellen Zahlen) in " eine Vergleichsrelation zu anderen Elementen aus R. Die so in Relation gesetzten Paare (x; y ) bilden eine Teilmenge des direkten Produkts R  R:

V := f(x; y ) 2 R  R j x  y g  R  R : In Verallgemeinerung de nieren wir: Gegeben seien zwei nichtleere Mengen M und N . Dann heit eine nichtleere Teilmenge R  M  N eine Relation zwischen M und N . Statt (x; y ) 2 R schreiben wir x  y (oder verwenden statt 5

\ ein anderes Zeichen, z.B.

"

\ im obigen Beispiel).

"

Beispiele: a) M = N = N (Menge der naturlichen Zahlen), R := f(n; m) 2 N  N j n ist Teiler von mg; (2; 4) 2 R; (2; 5) 62 R. b) M = N beliebig, R := f(x; x) j x 2 M g  M  M de niert die Gleichheitsrelation. Die oben eingefuhrte Relation V auf R und auch die Gleichheitsrelation sind Relationen zwischen einer Menge M und sich selber und haben spezielle Eigenschaften: (O1) x  x fur alle x 2 R (Re exivitat) (O2) (x  y und y  z ) =) x  z (Transitivitat)

x <

y <

z

x< z (O3) (x  y und y  x) =) x = y (Antisymmetrie) Allgemein heit jede Relation auf einer Menge M mit den Eigenschaften (O1) bis (O3) Ordnungsrelation. [In (O1) ist dann naturlich das Symbol R durch M zu ersetzen.] Die Menge M heit dann halbgeordnet.

Beispiel: X := P (M ), Potenzmenge von M ; Fur A; B  M de niert A  B :() A  B eine Ordnungsrelation. M

B A

Hat eine Relation  auf einer beliebigen Menge M (also wiederum: M = N ) die Eigenschaften (O1) und (O2) sowie statt der Antisymmetrie die Eigenschaft der Symmetrie, also  1) x  x fur alle [kurz: 8] x 2 M (Re exivitat) (A  2) (x  y und y  z ) =) x  z (Transitivitat) (A  3) x  y =) y  x (Symmetrie), (A

6

 so heit  eine Aquivalenzrelation auf M .  Die Menge aller zu x 2 M in der Relation  stehenden Elemente von M heit Aquivalenzklasse [x] von x: [x] := fy 2 M j y  xg: Behauptung:  (1) Jedes Element von M ist in genau einer Aquivalenzklasse enthalten. (2) Die Klassen sind paarweise disjunkt.  Aus (1) und (2) folgt: Die Menge M wird durch  in Aquivalenzklassen zerlegt. (Eine Zerlegung einer Menge in disjunkte Teilmengen nennt man auch Partition.)

M

~

Beweis der obigen Behauptung (Teil I): Zunachst beweisen wir (1) =) (2)\ mittels der Technik des indirekten Beweises. " Hierfur setzen wir voraus, dass (1) gelte. Angenommen, es gelte die Verneinung von (2)(sog. Widerspruchsannahme), d.h. es gebe zwei Klassen A und B mit A 6= B und A \ B 6= ;. Dann folgt: Es gibt ein Element x 2 A \ B  M , das in  zwei verschiedenen Aquivalenzklassen enthalten ist. Aus der Widerspruchsannahme folgt also die Verneinung von (1). Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass (1) gelte. Also muss die Widerspruchsannahme falsch gewesen sein, d.h. es gilt die Verneinung der Verneinung von (2), d.h. es gilt die Aussage (2). Somit ist bewiesen, dass aus der Voraussetzung gelte (1)\ die Aussage (2) folgt, " d.h. (1) =) (2).

Beweis(Teil II): Aussage (1) ist gleichbedeutend mit  (a) Jedes Element x 2 M ist in mindestens einer Aquivalenzklasse enthalten.

und  (b) Jedes x 2 M ist in hochstens einer Aquivalenzklasse enthalten, d.h. (z 2 [x] und z 2 [y ]) =) [x] = [y ]:

Zu (a): Re exivitat =) 8x 2 M : x  x =) x 2 [x] Zu (b): z 2 [x] und z 2 [y ] z  x und z  y =) =) x  z und z  y =) x  y  Mit der Aussage x  y () [x] = [y ]\ (Beweis: siehe Ubung) ist also (b) gezeigt. q.e.d. " (Def.)

(Symm.) (Trans.)

7

  Eine Aquivalenzrelation erzeugt also eine neue Menge, die Menge der Aquivalenzklassen von M , genannt Quotientenmenge M= von M nach  M= := f[x] j x 2 M g.

Beispiele: (a) M sei die Menge aller Dreiecke in der Ebene. Fur zwei Dreiecke A und B de niert A  B :() Flacheninhalt von A = Flacheninhalt von B  eine Aquivalenzrelation. Das Beispiel zeigt, dass M= das Ergebnis eines Abstraktionsvorganges\ ist: Die "  die Aquivalenzklasse erzeugende Eigenschaft { hier: der Flacheninhalt { kann mit der Klasse identi ziert werden, d.h. von den ubrigen Eigenschaften wird abgesehen. (Ein anderes Beispiel einer solchen Abstraktion ist der Zahlbegri: Interpretiere die  Zahl 3 als Aquivalenzklasse aller Mengen aus drei Elementen.)  (b) Wir betrachten auf den naturlichen Zahlen N die Aquivalenzrelation x  y :() 2 ist Teiler von (x + y ) (() x + y ist gerade\). "  N zerfallt unter  in die zwei Aquivalenzklassen [1] = [2] = 1.3

fx 2 N j 2 Teiler von (x + 1)g = f1; 3; 5; : : : g fx 2 N j 2 Teiler von (x + 2)g = f2; 4; 6; : : : g

Abbildungen

Sei x 2 R, so stehen viele Elemente y 2 R zu x in der Relation x  y : <

x

y 1

y 2

y 3

Im Gegensatz dazu betrachten wir nun eine Relation f zwischen M und N , bei der jedes x 2 M mit genau einem y 2 N in Relation steht:

. .. .

.

y=f(x)

x

.

.

N

M

(Zu jedem x 2 M existiert genau ein Zuordnungspfeil). Eine Relation f mit dieser Eigenschaft heit Abbildung oder Funktion von M nach N . Wenn x mit y in der Abbildungsrelation f steht, drucken wir dies durch f (x) = y aus, und bezeichnen f durch f : M ! N , x 7! f (x).

M heit De nitionsbereich der Abbildung f , die Elemente von M heien Argumente 8

von f . f (x) 2 N nennen wir das Bild von x unter f oder den Funktionswert von f an der Stelle x. Gilt fur einen Punkt y 2 N y = f (x), so heit x ein Urbildpunkt von y bezuglich f . Die Menge G(f ) := f(x; f (x)) 2 M  N g, also die durch f gegebene Relation, heit Graph der Funktion f .

Beispiele: (a) De nitionsbereich M = Z; wobei Z := Menge der ganzen Zahlen, N =N f (x) := x ; 8 x 2 Z 0

2

9 > > = > > ;

kurz: f :



Z

x

! N 7 x !

0

2

Darstellung des Graphen G(f ) in der Zeichenebene: Zu jedem Argument x auf der x-Achse wird auf der y -Achse der Wert f (x) angetragen, so dass wir den Punkt (x; f (x)) in der Zeichenebene erhalten.

N0

.

Menge aller " " = Graph G(f)

.

(−3,9)

.

9

(+3,9)

8 7 4= Bild von 2 unter f 2= Urbildpunkt von4 bzgl. f

6 5

.

4

= f(2)

.

3

.

2 1

.

.

−3 −2 −1 0 1 2 Argumente von f

(b)



IdM :

3

Z (Definitionsbereich von f)

M ! M [M beliebig] x 7! x 8 x 2 M

heit die Identitatsabbildung, kurz Identitat, auf der Menge M . 9

! N eine Funktion und A  M; B  N Teilmengen. Dann heit die Menge f (A) := ff (x) 2 N j x 2 Ag das Bild von A unter f; f (B ) := fx 2 M j f (x) 2 B g die Menge der Urbildpunkte

Seien f : M und

1

oder kurz das Urbild von B bzgl. f:

Das Bild f (M ) des gesamten De nitionsbereichs von f unter der Abbildung f wird als Wertebereich von f bezeichnet. Besteht B  N aus einem Element, also etwa B = fy g, so schreiben wir f (y ) statt f (fy g), beachten aber, dass f (y ) eine Menge ist, namlich die Menge aller Urbildpunkte von y : 1

1

1

f (y ) = fx 2 M j f (x) = y g: 1

In Beispiel (a):

f (f 2g) = f (f+2g) = f (f 2; +2g) = f4g  N f (4) = f (f4g) = f 2; +2g  Z 1

1

Def.

Durch Einschrankung des De nitionsbereichs einer  Abbildung f : M

A!N x 7! f (x)

menge A  M erhalt man die Restriktion f jA :

! N auf eine Teil-

Sind M; N; P Mengen und f und g Abbildungen M ! N ! P , so kann man sie zu einer Abbildung von M nach P , genannt g Æ f , zusammensetzen: g

f

N f(x)

g

M x

. P

f

.

.

gof

g(f(x))

De nition:

! N und g : N ! P ist die Komposition  oder Hinter!P einanderschaltung oder Zusammensetzung g Æf de niert durch g Æf : M x 7! g (f (x)) . Fur zwei Abbildungen f : M

Beispiel: Bezeichne [0; 1] das Intervall zwischen 0 und 1 auf der Zahlengeraden (0 und 1 eingeschlossen).

f:



[0; 1]

x

! [0; 1] 7! x 1

2

Wir schalten hinter die Abbildung f ein zweites Mal die Abbildung f .

10

1

f

1

f

1

1 2 1 4 0

0

0

1 fof

1 4 0

0

f Æf :



! [0; 1] 7 ! x

[0; 1]

x

1 4

De nition: (a) Eine Abbildung f : M ! N heit injektiv, wenn keine zwei Elemente von M auf dasselbe Element von N abgebildet werden, d.h. wenn aus f (x ) = f (x ) folgt: x =x . 1

1

2

2

. . .

f

. ... .. . N

M

[Jedes y 2 N hat hochstens einen Urbildpunkt.] (b) Eine Abbildung f : M ! N heit surjektiv, oder Abbildung auf N , wenn jedes Element y 2 N ein f (x) ist, d.h. mindestens einen Urbildpunkt in M hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Wertebereich f (M ) gleich N ist.

11

surjektiv:

.. .

.

.

f

.

M

. N

(c) Eine Abbildung f : M ! N heit bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Da dies bedeutet, dass jedes y 2 N hochstens einen Urbildpunkt (injektiv !) und gleichzeitig mindestens einen Urbildpunkt (surjektiv !) hat, ist f genau dann bijektiv, wenn jedes y 2 N genau einen Urbildpunkt in M hat. Eine Bijektion f ist also eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den Elementen einer Menge M und den Elementen einer Menge N .

.

. .

.

f

.

M

. N

Sei f : M ! N eine Abbildung. Das Vorhaben, eine Umkehrabbildung\ von N nach M zu konstruieren, die gewisserma" en f wieder ruckgangig macht, misslingt im allgemeinen aus zwei Grunden:

x1

. .

f

x2

.

.. ..

M

N

[nicht klar, welches x diesem y zuzuordnen waere ]

(1) f braucht nicht surjektiv zu sein, so dass es moglicherweise fur einige y 2 N kein x 2 M gibt mit f (x) = y ; man wei dann nicht, welches x man einem solchen y zuordnen sollte. (2) f braucht nicht injektiv zu sein, so dass es eventuell fur einige y 2 N mehrere x 2 M gibt mit f (x) = y . Bei einer Abbildung von N nach M darf aber jedem y nur ein x zugeordnet werden. 12

!N

jedoch bijektiv, so gibt es eine Umkehrabbildung, auch Umkehrfunktion oder inverse Abbildung zu f genannt. Sie wird geschrieben als f [gelesen: f hoch minus 1] und ist de niert durch Ist f : M

1

f Es gilt (und f

1



! M 7! x:

N f (x)

1

ist die einzige Abbildung, fur die dies gilt):

f Æ f = IdM ; d.h. f (f (x)) = x und f Æ f = IdN ; d.h. f (f (y )) = y 1

1

1

1

8x 2 M 8y 2 N:

Beispiel: Die Umkehrabbildung zur Funktion f:



x

lautet

f

 1

1

! [0; x 7 !

[0; 1]

:

1

2

]

2

! [0; 1] 7! 2x

[0; ] 1

x

1

2

f -1

f

1

1 2

0 1.4

0

Die natu  rlichen Zahlen

1.4.1 Peano-Axiome

Vom Zahlen her ist uns die Menge der naturlichen Zahlen, N := f1; 2; 3; 4; : : : g, vertraut. Alle Aussagen uber naturliche Zahlen konnen durch logische Schlusse aus funf Grundannahmen, sog. Axiomen, gefolgert werden, die unmittelbar einsichtig und voneinander unabhangig sind. Weil sie von dem italienischen Mathematiker Peano stammen, heien die den naturlichen Zahlen zugrundeliegenden Axiome Peano-Axiome. (P 1) 1 ist eine naturliche Zahl. (P 2) Jeder naturlichen Zahl n ist genau eine naturliche Zahl n zugeordnet, die der Nachfolger von n heit. (P 3) 1 ist kein Nachfolger, d.h. es gibt keine naturliche Zahl n mit n = 1. (P 4) Aus n; m 2 N und n 6= m folgt n 6= m . (P 5) Enthalt eine Teilmenge A  N die Zahl 1 und zu jeder Zahl n 2 A auch deren Nachfolger n , so ist A = N. +

+

+

+

+

13

1

1+=: 2

2+=: 3

3 +=: 4

...

Die skizzierte Darstellung der naturlichen Zahlen auf einer Zahlengeraden ergibt sich, wenn man von 1 ausgeht und sukzessive den jeweiligen Nachfolger auftragt. [Anregung: Folgere aus den Peano-Axiomen, dass bei diesem sukzessiven Aufbau von N immer neue Zahlen n (mit n 6= n) generiert werden.] +

+

1.4.2 Ordnungstruktur Die Zahlengerade spiegelt die vertraute Anordnung der naturlichen Zahlen nach ihrer Groe wieder. Die kleinere\ von zwei naturlichen Zahlen steht links von der jeweils " groeren\ Zahl. Mathematisch prazise bedeutet diese Anordnung: " Es gibt eine Ordnungsrelation \ auf N, fur die gilt: n  n 8 n 2 N. " Weiterhin gilt fur zwei naturliche Zahlen a; b 2 N stets: +

ab

_ b  a:

N heit daher vollstandig (oder konnex) geordnet. Statt (a  b ^ a 6= b) schreiben wir a < b. Fur zwei naturliche Zahlen a; b 2 N gilt genau eine der drei Relationen a < b; a = b; oder a > b :() b < a. Durch die Ordnungsrelation \ wird also eine Ordnungsstruktur\ auf N erzeugt. " "

1.4.3 Algebraische Struktur Neben einer Ordnungsstruktur konnen Mengen auch eine algebraische Struktur\ be" sitzen, die durch innere Verknupfungen erzeugt wird. Eine innere Verknu pfung auf einer nichtleeren Menge M ist eine Abbildung des kartesischen Produkts M  M in die Menge M selbst: 

M ! M : M (a; b) 7! (a; b) Statt  (a; b) schreibt man a  b: a b

. .}

.

*

a *b

M

Auf der Menge N sind uns zwei innere Verknupfungen wohlvertraut, die Addition +\ " und die Multiplikation
\. " [ Setze einfach in obiger De nition N statt M und + bzw
statt ] . Die Addition ist so de niert, dass gilt

n =n+1 +

14

8 n 2 N:

Sowohl Addition wie Multiplikation gehorchen den Gesetzen der Assoziativitat, d.h bzw.

a + (b + c) = (a + b) + c a
(b
c) = (a
b)
c

und der Kommutativitat (Vertauschbarkeit), d.h. bzw.

a+b = b+a a
b = b
a





8 a; b; c 2 N

8 a; b 2 N ;

d.h. die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren beein usst das Ergebnis der Abbildung (Rechenoperation) nicht. Summe und Produkt zweier naturlicher Zahlen sind stets wieder eine naturliche Zahl. Da also sowohl Addition als auch Multiplikation nicht aus der Menge N herausfuhren, sagen wir auch, N sei abgeschlossen unter den beiden algebraischen Operationen (d.h. Verknupfungen) +\ und
\. " "

1.4.4 Vollstandige Induktion Wir betrachten Aussagen A(n), die an irgendeiner Stelle die naturliche Zahl n enthalten. Will man zeigen, dass eine solche Aussage fur alle n 2 N gultig ist, so kann man sich fur

den Beweis das funfte Peano-Axiom zunutze machen: Gilt die behauptete Aussage fur n = 1 und gilt sie ferner, sofern sie fur ein beliebiges n 2 N richtig ist, auch stets fur dessen Nachfolger n , so muss sie fur alle n 2 N gelten [ denn laut Peano-Axiom umfasst die Menge aller naturlichen Zahlen n, fur die A(n) wahr ist, ganz N]. Daraus ergibt sich folgendes Beweisschema, vollstandige Induktion genannt: +

Sei A(n) eine Familie von Aussagen, die von naturlichen Zahlen n 2 N abhangen. Der Beweis, dass A(n) fu r alle n 2 N wahr ist, gliedert sich in zwei Schritte: (1) Induktionsanfang: Man zeigt (durch direkten Beweis), dass A(1) wahr ist. (2) Schluss von n auf n +1: Fur ein beliebiges n 2 N setzt man die Gultigkeit von A(n) voraus (Induktionsvoraussetzung) und leitet daraus (durch direkten Beweis) die Gultigkeit von A(n + 1) ab. [d.h. man zeigt (A(n) =) A(n + 1))]. Bemerkung: Als Induktionsanfang kann statt A(1) auch A(n ) fur ein beliebiges n 2 Z gezeigt werden. Der Induktionsbeweis gilt dann fur alle n  n . 0

0

0

Beispiel: Zu beweisen ist die Aussage A(n) :

1+2+3+:::+n =

n
(n + 1)

Beweis durch vollstandige Induktion: 1
2 Induktionsanfang: A(1) lautet 1 = , ist wahr. 2 15

2

8 n 2 N:

Schluss von n auf n + 1: Sei n 2 N beliebig und die Formel richtig fur dieses n (Induktionsvoraussetzung). Dann folgt

n
(n + 1) 2
(n + 1) +(n + 1) = 1| + 2 +{z: : : + n} + 2 2 n
(n + 1) gema A(n) : 2 (n + 1)(n + 2) = 2 Dies ist genau die Aussage A(n + 1). Also ist A(n) wahr 8 n 2 N.

q.e.d.

Das Prinzip der vollstandigen Induktion kann auch zur De nition einer Groe An fur alle n 2 N (N := N [ f0g) verwendet werden. Man spricht dann von einer rekursiven De nition: (1) A wird festgelegt. 0

0

0

(2) Man sieht Ak fur k  n als bekannt an und druckt An durch A ; A ; : : : ; An aus.

+1

0

1

Beispiel 1: Die Potenzen an fur eine beliebige Basis a 2 R und Exponenten n lassen sich salopp de nieren als an := a|
:{z : :
a}. n-mal Die mathematisch prazise De nition durch Rekursion ersetzt die Punktchen:

2N

0

a := 1; an := an
a: 0

+1

Beispiel 2: Die Fakultaten n! (lies: n Fakultat) lassen sich salopp de nieren als  1 n! := n1
(n 1)
(n 2)
: : :
2
1 ;; nn  = 0: Die rekursive De nition, die ohne : : : auskommt, lautet 0! := 1 (n + 1)! := n!
(n + 1): Aus den Beispielen 6! = 1
2
3
4
5
6 = 720; 9! = 362880 ersieht man, dass die Fakultaten mit wachsendem n sehr schnell gro werden. Beispiel 3: Fur die Summe und das Produkt der Zahlen am ; am ; : : : ; an 2 R (m; n 2 Z; m  n) n P schreibt man am + am + : : : + an =: ak ; +1

+1

am
am

+1


:::
a

n

=:

n Q

k =m

k =m

ak :

Eine rekursive De nition dieser Summen- und Produktzeichen ersetzt wiederum die Punktchen: m P

k =m nP +1 k =m

ak := am ; ak :=



n P



ak + an ; analog fur das Produktzeichen. +1

k =m

16

Bemerkungen: (i) Als Rekursionsanfang wurde hier m 2 Z statt 0 gewahlt (analog zur Wahl von n statt 1 beim Induktionsanfang).

0

2Z

(ii) Die Variable k 2 Z heit der Summationsindex. Man kann ein beliebiges Symbol als Summationsindex verwenden, ohne den Summenwert zu verandern: n P k =m

ak =

n P

aj

j =m

=

"

l := j

nP m l=0

al

+m

m

(iii) Aufteilung der Summe in Teilsummen: n X

ak =

k =m

l X

ak +

k =m

n X

ak fur m  l  n:

k =l+1

Analoges gilt fur das Produktzeichen. Beispiele fur Summen: n P k =1 n P

k = 1 +2 +:::+n

k =m

2

2

2

2

a = a
(n m + 1) fur festes a 2 R

Beispiel zum Produkt: n Y

k = 1
2
3
: : :
(n 1)
n = n!

8n2N

k =1

1.4.5 Permutationen und BinomialkoeÆzienten Gegeben sei eine Menge A mit n verschiedenen Elementen, die wir von 1 bis n durchzahlen und somit in eine Ausgangsreihenfolge bringen:

A=f

a; 1

a;

1. Platz

2. Platz

"

"

2

an g:

::: ;

"

n-ter Platz

Beachte: Diese Ausgangsreihenfolge entsteht durch die Zuweisung der Namen a ; : : : ; an an die n Elemente. Die Namenszuweisung erfolgt beliebig, wird dann aber festgehalten. 1

Jede beliebige Anordnung der n Elemente, z.B. (a ; a ; a ; a ; : : : ; an ), lasst sich nun interpretieren als bijektive Abbildung von A auf sich: 2

(a ; a ; : : : ; an ) Ausgangsreihenfolge

# # 1

2

3

4

# ! [Zuordnungspfeile einer bijektiven Abbildung A ! A]

(a ; a ; : : : ; an ) neue\ Anordnung " 2

1

1

17

Die Anordnungen, auch Permutationen genannt, der n Elemente einer Menge A konnen also mit den bijektiven Abbildungen von A nach A identi ziert werden. Schreibweise fur obige Beispiel-Permutation: 

1

2

3

a a a



2

1

3

1 2 3 2 1 3 2 1 3

::: n : : : an  ::: n ::: n
::: n ;



oder kurz oder noch kurzer da die Ausgangsreihenfolge der Zahlen 1 : : : n klar ist:

Satz: Jede Menge aus n (verschiedenen) Elementen besitzt genau n! verschiedene Permutationen.  Beweisbar durch vollstandige Induktion, siehe Ubung.

Satz: Gegeben sei eine n-elementige Menge A. Die Anzahl der n! . k-elementigen Teilmengen von A (mit k  n) ist k!(n k)! n! Es gibt also Moglichkeiten, aus insgesamt k!(n k)! n Objekten genau k auszuwahlen. Bezeichnung: Fur zwei Zahlen n; k

2N

0

mit k

 n bezeichnen wir



k) als BinomialkoeÆzient.



n k

:=

n! (lies: n uber k!(n k)!

[ Name: von binomischer Formel, siehe unten. ] 

Beispiel: Im Lotto 6 aus 49\ gibt es " Zahlen auszuwahlen.

49 6



= 13983816 verschiedene Moglichkeiten, 6

Aus der De nition der BinomialkoeÆzienten folgt sofort:  

Weiterhin gilt

n k n

 

0   n+1

k



=



n

n k  n = = n   n = + k 1 

1;





n k

n 1







=

n

n 1



= n:

 [Beweis siehe Ubung]

Wir schreiben nun die BinomialkoeÆzienten in Form auf, des sog.     einesDreiecksschemas 

Pascalschen Dreiecks. Die Zahlen

n 0

;

18

n 1

;::: ;

n n

bilden jeweils eine Zeile,

und n wird von Zeile zu Zeile um 1 erhoht:

n=0 

n=1





0 0

 

1 0



1 1

 

n=2

2 0

 

 

2 1

 n=3



3 0

 

.. . 

Wegen

n





n n



  

3 1

2 2

 

3 2

3 3



.. .



= = 1 besteht die linke und die rechte Flanke aus Einsen. 0 Mit Hilfe obiger Additionsformel konnen wir nun die Zahlenwerte des Pascalschen Dreiecks sukzessive hinschreiben: 1 1

1

 1 1 1

2

1





3

3

1







4

6

4

1

.. . Fur zwei reelle Zahlen a; b ist die Formel (a + b) = a + 2ab + b = 1
a
b + 2
a
b + 1
a
b vertraut. Sie ist ein Spezialfall des Binomischen Satzes, der den BinomialkoeÆzienten ihren Namen verliehen hat: Gegeben seien Zahlen a; b 2 R und n 2 N. Dann gilt 2

2

2

2

0

1

(a + b) = n

1

n  X k =0

0

n k



Beweis durch vollstandige Induktion (Hausubung!). 19

ak bn

2

k

1.4.6 Machtigkeit von Mengen Unter der Kardinalzahl oder Machtigkeit einer Menge M versteht man die Anzahl der Elemente von M . M heit endlich, wenn seine Kardinalzahl eine endliche Zahl ist, ansonsten heit M unendlich. Fur zwei endliche Mengen A und B ist klar, dass ein Abbildung f : A ! B nur dann bijektiv sein kann, wenn A und B die gleiche Machtigkeit haben. Diese Vorstellung ubertragt man auf unendliche Mengen und de niert:

Zwei Mengen A und B haben die gleiche Machtigkeit, wenn eine bijektive Abbildung f : A ! B existiert. Bemerkung: Statt es existiert ein : : : \ konnen wir das Kurzel " 9 \ verwenden und schreiben: " : : : ; wenn 9 f : A ! B; f bijektiv. Wir konnen nun die naturlichen Zahlen N, von deren Anzahl man eine gewisse Vorstellung hat, als Vergleichsmenge zur Untersuchung der Machtigkeit einer unendlichen Menge M heranziehen: De nition: Eine unendliche Menge M heit abzahlbar unendlich, wenn eine bijektive Abbildung f : N ! M existiert. (Dann lassen sich die Elemente von M also durchnummerieren). Ansonsten heit M u berabzahlbar unendlich.

1.5

Die ganzen Zahlen

Lose in N die Gleichung x + 4 = 9 [Gleichung (A)] mit der Unbekannten x\ bezeichnet " die Aufgabe, eine Zahl x 2 N zu nden, so dass Gleichung (A) wahr ist. x heit dann Losung der Gleichung (A) in N\. " Wir nden x, indem wir von beiden Seiten der Gleichung (A) die Zahl 4 subtrahieren:

x+4=9

() x + 4| {z 4} 0

()

= 9

4

x = 52N

Fur die Gleichung x + 9 = 4 fuhrt das obige Verfahren dagegen zu keiner Losung x 2 N:

x + 9| {z 9} = 4 9 2= N : 0

Anders als die Addition ist also die Subtraktion nur manchmal in N durchfuhrbar. Durch eine Erweiterung der Menge N konnen wir erreichen, dass die Subtraktion uneingeschrankt ausfuhrbar wird und somit die Gleichung x + b = a fur beliebige a; b 2 N stets eine Losung (in der Erweiterungsmenge) besitzt. Wir fordern, dass in der erweiterten Zahlenmenge zu jedem b 2 N genau ein Element ( b) existieren soll mit der Eigenschaft

b + ( b) = ( b) + b = 0: 20

( b) heit das Inverse von b bezu glich der Addition. Auch die Zahl Null \wird in die erweiterte Zahlenmenge aufgenommen. Die Null ist " das neutrale Element bezu glich der Addition, d.h. die Addition der Null zu einem beliebigen Element a 2 N reproduziert dieses Element:

a+0=0+a=a

8a2N

Die so gewonnene Erweiterungsmenge zu N heit Menge der ganzen Zahlen Z := f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : : g und erweitert die Zahlengerade nach links:

... −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4 ...

In dieser Erweiterungsmenge nden wir nun die Losung der Gleichung x + b = a fur a; b 2 N durch Addition von ( b) [auch als "Subtraktion von b\ bezeichnet] auf beiden Gleichungsseiten:

x+b=a

() x + b| +{z( b}) = a + ( b) 0

() x = a + ( b) =: a b 2 Z Mathematisch strenge De nition von Z:

Aus mathematischer Sicht ist es wunschenswert, die Existenz der ganzen Zahlen aus der { aus den Peano-Axiomen [und Eigenschaften : : : ] abgeleiteten { Existenz der naturlichen Zahlen und aus deren Eigenschaften zu folgern. Gewinnt man die ganzen Zahlen auf die soeben geschilderte Weise, so kann man diese Folgerung nicht ziehen. Wir wollen daher ein mathematisch strenges Verfahren skizzieren, mit dessen Hilfe die ganzen Zahlen aus den naturlichen Zahlen konstruiert werden konnen. (Damit folgt die Existenz von Z automatisch aus der Existenz von N.) Zur Konstruktion von Z gehen wir vom kartesischen Produkt N  N = f(n; m) j n 2 N ^ m 2 N g aus. Die Idee besteht darin, z.B. die naturliche Zahl 2 durch die Zahlenpaare (3,1) oder (4,2) oder (5,3) usw. darzustellen (stets ist die Dierenz der beiden Zahlen gleich 2). Die Zahl (-2) soll durch die Zahlenpaare (1,3) oder (2,4) oder (3,5) usw. dargestellt werden. Im Hinblick auf die Zahl (namlich 2), die sie darstellen sollen, sind also die Zahlenpaare (3,1), (4,2), (5,3) usw. gleichwertig bzw. aquivalent.  Die zugehorige Aquivalenzrelation  auf N  N lautet  (n; m)  (n0 ; m0 ) :() n + m0 = n0 + m (siehe Ubung) Folglich gilt 8 k 2 N: (n; m)  (n + k; m + k) () n + m + k = n + k + m 21

X

Damit zerfallt N

N

 in Aquivalenzklassen von Zahlenpaaren gema folgendem Schema:

!

[Erh ohe 2. Zahl um 1] Erh ohe 1. Zahl

(1; 1)

#

(2; 1)

um 1

(3; 1)

r r r

r r

(1; 2) (2; 2) (3; 2)

r

r r r

(1; 3) r r

(2; 3) (3; 3)

r

r r r

(1; 4) r r

(2; 4) (3; 4)

r

r r

r "

2\

r

2\ 1\ 0\ 1\ " " " "  Die Menge der (durch die Geraden angedeuteten) Aquivalenzklassen konnen wir nun gleichsetzen (siehe Schema) mit der Menge Z der ganzen Zahlen.  Man kann N bijektiv auf eine Teilmenge der Aquivalenzklassen abbilden und erhalt so N  Z\. "  Weiterhin kann man auf der Menge der Aquivalenzklassen eine Addition de nieren, die mit der Addition auf N vertraglich\ ist. Diese Addition ist also identisch mit der Addition " auf N, wenn man diese mittels besagter Bijektion auf die entsprechende Teilmenge der  Aquivalenzklassen ubertragt:

n

1.6

Bijektion

+

!

m

=

[(a; b)]

! k

"

+\ [(c; d)]

!

 Addition auf der Menge der Aquivalenzklassen

=

[(e; f )]

Gruppen und Homomorphismen

Fur die Addition in Z gelten { wir fur die Addition in N { die Gesetze der Assoziativitat und der Kommutativitat. Zusammenfassend ist also die Addition +\ in Z eine innere Verknupfung, d.h. + : ZZ ! " Z, mit folgenden Eigenschaften:

8 a; b; c 2 Z (Assoziativitat) (G 2) Es gibt genau eine Zahl 0 2 Z, genannt das neutrale Element (bezuglich der Addition), so dass 8 a 2 Z gilt: (G 1) a + (b + c) = (a + b) + c

a + 0 = 0 + a = a (Existenz des neutralen Elements) (G 3) Zu jeder Zahl (jedem Element) a 2 Z existiert genau eine Zahl b 2 Z, so dass gilt

a + b = b + a = 0: b wird geschrieben als ( a) und das inverse Element zu a (bezuglich der Addition) genannt. (Existenz eines inversen Elements) 22

(G 4) a + b = b + a

8 a; b 2 Z (Kommutativitat)

Betrachten wir nun eine allgemeine Menge G mit einer inneren Verknupfung  : G  G ! G. Wenn die Verknupfung  die Eigenschaften (G 1) bis (G 3) besitzt [ersetze einfach das spezielle Verknupfungssymbol +\ durch das allgemeine Verknupfungssymbol \, die " " spezielle Schreibweise 0\ des neutralen Elements durch die allgemeine Schreibweise e\ " " des neutralen Elements und die spezielle Schreibweise ( a) des inversen Elements durch die allgemeine Schreibweise a fur das inverse Element zu a], so nennen wir das Paar (G; ) [also: Menge samt Verknupfung] eine Gruppe. Besitzt die Gruppe daruber hinaus auch die Eigenschaft (G 4) der Kommutativitat, so heit sie kommutative oder abelsche Gruppe. (Z; +) ist also ein Beispiel fur eine kommutative Gruppe. Besteht eine Gruppe (G; ) aus endlich vielen Elementen, so heit die Anzahl der Elemente (d.h. die Machtigkeit von G) auch Ordnung der Gruppe. 1

Eine Teilmenge U  G einer Gruppe (G; ) heit Untergruppe von G, wenn U bezuglich der Verknupfung  selbst eine Gruppe ist. Man sieht sofort, dass eine Teilmenge U  G folgende Mindestvoraussetzungen (= notwendige Bedingungen\) erfullen muss, um eine " Untergruppe zu bilden: (1) Fur jedes Element g 2 U ist auch g

2 U . [sonst ware (G 3) verletzt] (2) Mit zwei Elementen g; h 2 U ist stets auch g  h 2 U (Abgeschlossenheit von U bezuglich ). [sonst ware  gar keine innere Verknupfung auf U , also keine Abbildung  : U  U ! U ]. 1

Es zeigt sich, dass (1) und (2) nicht nur notwendig, sondern auch bereits hinreichend sind fur die Bildung einer Untergruppe, dass also fur eine beliebige Teilmenge U  G gilt: (1) ^ (2) [

() (U ; ) ist Untergruppe von (G; ): (= \ bedeutet "(1) ^ (2) ist notwendig fur (U ist Untergruppe)\ ; " =) \ bedeutet (1) ^ (2) ist hinreichend fur (U ist Untergruppe)\ :] " " Beispielsweise folgt aus (1) ^ (2) sofort, dass auch das neutrale Element e in U enthalten ist:

g 2 U =) g (1)

1

2 U =) (2)

g| {zg } e2U 1

2 U:

Wichtige Beispiele fur nichtabelsche Gruppen: Gegeben sei fur ein (beliebiges, aber festes) n 2 N die Menge An := f1; 2; 3; : : : ; ng. Auf der Menge Sn der Permutationen von An , also Sn := fAbbildungen ' : An ! An j ' bijektivg, ist die Hintereinanderschaltung "Æ\ [zweier solcher Abbildungen] eine innere Verknupfung. (Sn ; Æ) ist eine Gruppe mit der Ordnung n! (siehe Anzahl der Permutationen), fur n > 2  nicht kommutativ (d.h. i.a. gilt ' Æ 6= Æ ') [siehe Ubung] und wird Permutationsgruppe oder symmetrische Gruppe (daher das Symbol Sn ) genannt. Zur Begrundung zeigen wir einige Gruppeneigenschaften (bzw. Eigenschaften der Verknupfung Æ): 23

Abgeschlossenheit bezuglich Æ:

Die Hintereinanderschaltung zweier bijektiver Abbildungen (von An nach An ) ist wieder eine bijektive Abbildung An ! An . Die Identitatsabbildung. X

Existenz des neutralen Elements:

Existenz des inversen Elements zu ' 2 Sn : Die Umkehrabbildung ' . (' ist ebenfalls bijektiv und damit in Sn). X 1

1

Homomorphismen: Seien (G ; +) und (G ; ) zwei Gruppen. [Verknupfungssymbol +\ nur gewahlt, um bei" de Verknupfungen voneinander zu unterscheiden.] Unter den (beliebigen) Abbildungen f : G ! G sind diejenigen besonders ausgezeichnet, die die Gruppenstruktur respektieren bzw. mit ihr vertraglich\ sind, d.h. fur die " gilt: 1

2

1

2

f (a + b) = f (a)  f (b)

a

. . .

1

.

f(a)

f

+

*

a+b

b

8a; b 2 G

.

G1

.

f(a) *f(b)

f(b) G2

Eine Abbildung f : G phismus.

1

!G

2

mit dieser Eigenschaft heit (Gruppen-) Homomor-

Seien (G; +) und (H; ) Gruppen. Die Eigenschaft einer Abbildung f : G ! H , Gruppenhomomorphismus zu sein, hat  weitreichende Konsequenzen. Es gilt namlich (Beweis siehe Ubung): (1) Das neutrale Element eG von G wird auf das neutrale Element eH von H abgebildet: f (eG ) = eH . (2) Das Bild des Inversen eines Elements g 2 G ist das Inverse des Bildes f (g ): f (g ) = [f (g )] . 1

1

24

g

. .

. .

f

f(g−1) f(g)

Inverse

Inverse

g−1

H

G

(3) Das Bild von G; f (G)  H , ist eine Untergruppe von (H; ).

f(G) f

.

eH

.

H

eG

Kern (f)

G

(4) Das Urbild von eH , genannt der Kern von f , also Kern (f ) := f (feH g) = fg 2 Gjf (g ) = eH g, ist ein Untergruppe von (G; +). 1

Ein bijektiver (Gruppen-) Homomorphismus heit (Gruppen-) Isomorphismus. Wenn es zwischen zwei Gruppen (G; +) und (H; ) einen Isomorphismus f : G ! H gibt, so nennt man die beiden Gruppen isomorph. Man kann sich dann (H; ) durch einfache Umbennung der Elemente [benenne das Element g in h um, falls f (g ) = h gilt] und der Verknupfung [benenne +\ in \ um] " " aus (G; +) erzeugt denken (und umgekehrt), d.h. isomorphe Gruppen konnen miteinander identi ziert werden. 1.7

Die rationalen Zahlen

Motivierender Vorspann: Um in Z die Gleichung x
4 = 24 zu losen, konnen wir beide Gleichungsseiten durch 4 dividieren und erhalten durch diese aquivalente Umformung die Losung x = 6. Fur die Gleichung x
24 = 4 fuhrt dieses Vorgehen dagegen zu keiner Losung x 2 Z, denn ( 4)=24 62 Z. Die Division als inverse Operation der Multiplikation ist also nur manchmal in Z durchfuhrbar.  Ahnlich wie bei der Erweiterung von N nach Z gehen wir nun daran, eine Erweiterungsmenge von Z zu konstruieren, in der die Division uneingeschrankt ausfuhrbar wird (bis auf die verbotene\ Division durch Null). " 25

Wir wollen diese Erweiterungsmenge die Menge der rationalen Zahlen nennen und mit Q bezeichnen. Im Zusammenspiel mit der auf Q zu de nierenden Multiplikation soll Q folgenden Forderungen genugen: (1) Z  Q (Erweiterungsmenge !)

(2) Die naturliche Zahl 1 spielt fur alle b 2 Z die Rolle des neutralen Elements bezuglich der Multiplikation, denn es gilt:

b
1= 1
b = b

8b2Z

Wir fordern nun, dass die Zahl 1 diese Rolle des neutralen Elements bezuglich der Multiplikation fur ganz Q ubernimmt, d.h. dass gilt

a
1 =1
a =a

8a2Q

(3) Durch die Erweiterung wollen wir ja erreichen, dass die Gleichung x
b = a fur beliebige a 2 Z; b 2 Znf0g stets eine Losung besitzt, namlich "x = a=b\. Zu diesem Zweck fordern wir, dass in Q zu jedem b 2 Znf0g ein inverses Element b bezuglich der Multiplikation existieren soll, so dass gilt: 1

b
b =b


b = 1: Die Losung der Gleichung x
b = a (mit a 2 Z; b 2 Z nf0g) ergibt sich damit durch 1

Multiplikation mit b

1

(auch als Division durch b\ bezeichnet) zu " a x = a
b =: b (gelesen: a dividiert durch b\ oder Quotient von a und b\): " " 1

1

(4) Da wir weiterhin fordern, dass die Multiplikation
\ eine innere Verknupfung auf Q , " a also eine Abbildung
: Q  Q ! Q, sein soll, muss gelten a
b = 2Q 8a2 b Z; b 2 Znf0g. Aufgrund der Forderungen (3) und (4) hat die Gleichung x
b = a also stets eine Losung in Q. 1

Bemerkung:

Die Zahl 0 spielt eine Sonderrolle, denn es gilt: c
0 = 0 8c 2 Z. Die Gleichung x
0 = a hat also im Falle a 6= 0 uberhaupt keine Losung in Z und im Falle a = 0 ganz Z als Losung. Es ist daher sinnvoll, in der Erweiterungsmenge Q die (eindeutige) Losbarkeit von x
b = a nur fur b 6= 0 zu fordern und dementsprechend auch die Existenz eines Inversen b nur fur b 6= 0 zu verlangen. Wegen der fehlenden Existenz eines Inversen zur Null ist also Division durch Null verboten\. " Um zu zeigen, dass eine Erweiterungsmenge Q , die den Forderungen (1) bis (4) genugt, tatsachlich existiert, wollen wir nun Q explizit konstruieren. Das Vorgehen ahnelt der Konstruktion von Z. Wir bilden zunachst das kartesische Produkt 1

Z  (Znf0g) = f(a; b)j a; b 2 Z

^ b 6= 0g

Unsere Konstruktion soll die ublichen Regeln des Bruchrechnens reproduzieren. Nach diesen Regeln haben Bruche, die durch Erweitern (oder Kurzen) mit einer ganzen Zahl 26

auseinander hervorgehen, denselben Wert, z.B. 10 2 4 = = = usw. 3 6 15 2 Entsprechend soll also z.B. die Zahl durch das Zahlenpaar (2; 3) oder (4; 6) oder 3 ( 10; 15) usw. dargestellt werden.  Wir fuhren daher auf Z  (Znf0g) eine Aquivalenzrelation  ein, bezuglich derer obige  Zahlenpaare in derselben Aquivalenzklasse liegen. Da gema den Regeln des Bruchrecha a0  nens gilt = 0 () a
b0 = a0
b, de nieren wir die Aquivalenzrelation als

b

b

(a; b)  (a0 ; b0 ) :() a
b0 = a0
b:

Wir stellen nun das kartesische Produkt Z  (Znf0g) in der Zeichenebene dar: Z \ {0}

. .

b’ b

Z

a a’

Alle zu (a; b) aquivalenten Paare liegen auf der Geraden

b

y b = x a

() y

=

b
x, also a

einer Geraden durch den Ursprung mit der Steigung . Schneiden wir diese Gerade, die a  der Aquivalenzklasse [(a; b)] entspricht, mit der Parallelen im Abstand 1 zur waagrechten Zahlengeraden, so erhalten wir als x-Achsenabschnitt (des Schnittpunkts)

x=

a a
y = : |{z} b b 1

Die senkrechte Projektion dieses Schnittpunkts auf die Zahlengerade liefert also den geoa  metrischen Ort der durch die Aquivalenzklasse [(a; b)] dargestellten rationalen Zahl auf b der Zahlengeraden.

27

Z \{0}

3

2 1

1 1 3 2

. . .

. . .

. . .

1

2

3

4

Z

 Auf der Menge Q dieser Aquivalenzklassen wird nun eine Multiplikation (d.h. eine innere Verknupfung
: Q  Q ! Q) de niert durch [(a; b)]
[(c; d)] := [(a
c; b
d)] n

a c a
co vergleiche Bruchrechnen:
= : b d b
d

Man kann nun nachprufen, dass Q, mit dieser Multiplikation versehen, den Forderungen (1) bis (4) genugt. Q enthalt nicht nur zu jedem b 2 Znf0g ein inverses Element bezuglich der Multiplikation (siehe Forderung(3)), sondern zu jedem x 2 Q nf0g : [(a; b)] ist durch [(b; a)] gegeben, denn es gilt: [(a; b)]
[(b; a)] = [(a
b; a
b)] = [(1; 1)]  (der Zahl 1[also dem neutralen Element] zugeordnete Aquivalenzklasse) : 1

Daruber hinaus besitzt die Multiplikation auf Q die Eigenschaften der Assoziativitat,

x
(y
z ) = (x
y )
z

8 x; y; z 2 Q ;

und der Kommutativitat,

x
y =y
x

8 x; y 2 Q :

All diese Eigenschaften lassen sich zusammenfassen zu der Feststellung: (Q nf0g;
) ist eine kommutative Gruppe: Die rationalen Zahlen belegen die Platze auf der Zahlengeraden dicht\: " Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen r; s liegen stets unendlich viele weitere rationale Zahlen, z.B. die Zahlen

r := 1

r+s 2

; r := 2

r+r 2

1

; : : : ; rj

+1

:=

28

r + rj 2

(rekursive De nition!)

r ... r r 3 2

r1

s

Da die Menge Q also intuitiv weit groer\ ist als die Menge N, konnte man vermuten, " dass sie auch entsprechend mehr\ Elemente aufweist als N, also uberabzahlbar ist. " Diese Vermutung ist jedoch falsch, die rationalen Zahlen sind abzahlbar unendlich. Zum Beweis geben wir das von dem Mathematiker Cantor gefundene Abzahlschema fur positive rationale Zahlen (mit a; b 2 N) an: 1!2

3 ! 4 :::

1 2

2 2

3 2

4 ::: 2

2 3

3 3

4 3

$ % $

#% $ 1 3 1 4

$

2 3 (Das Schema enthalt alle positiven rationalen Zahlen, sogar mehr als einmal (z.B. 1; ; ; : : : ). 2 3 Die tatsachliche Anzahl der rationalen Zahlen ist also noch geringer als das Schema angibt. Zur Abzahlung aller rationaler Zahlen wird das Schema dupliziert (positive und negative Zahlen) und nach dem Reiverschlussprinzip zwischen beiden Schemata hinund hergesprungen.) 1.8

Ringe und K orper

Bereits auf Z gibt es neben der Addition eine weitere innere Verknupfung, die Multiplikation (denn Z ist abgeschlossen gegenuber der Multiplikation, d.h. sie ist eine Abbildung
: Z  Z ! Z). Jeweils fur sich betrachtet, haben die beiden Verknupfungen folgende Eigenschaften: Addition: (Z; +) ist eine kommutative Gruppe. Multiplikation: 29

(M 1) (a
b)
c = a
(b
c) 8 a; b; c 2 Z (Assoziativitat). (M 2) Es gibt ein neutrales Element bezuglich der Multiplikation, namlich die naturliche Zahl 1, d.h. es gilt: b
1 = 1
b = b 8 b 2 Z (M 3) a
b = b
a 8 a; b 2 Z (Kommutativitat) Addition und Multiplikation auf Z spielen auf gewisse Weise zusammen ( sind miteinander " vertraglich\), denn die Komposition beider Verknu pfungen hat folgende Eigenschaften: (D 1) a
(b + c) = (a
b) + (a
c)

8 a; b; c 2 Z

(D 2) (a + b)
c = (a
c) + (b
c) (D 1) und (D 2) werden Distributivgesetze genannt. [ Aufgrund der Kommutativitat der Multiplikation folgt im vorliegenden Fall (D 2) aus (D 1). ] In Verallgemeinerung der Situation bei Z nennen wir eine Menge M mit zwei inneren Verknupfungen +\ und
\ (beachte: als allgemeine Verknupfungssymbole zu interpretieren!) " " einen Ring, wenn gilt: (i) (M; +) ist eine kommutative Gruppe. (ii) (M;
) ist assoziativ, d.h. (M 1) gilt. (iii) Fur (M; +;
) gelten die Distributivgesetze (D 1) und (D 2).

Gibt es daruberhinaus ein neutrales Element der Verknupfung
\, (meist als Einsele" " ment\ oder 1\ bezeichnet zur Unterscheidung vom neutralen Element der Verknupfung " +\, das als Nullelement\ oder 0\ bezeichnet wird), so heit (M; +;
) ein Ring mit " Einselement" (kurz: Ring mit 1)." Hat ein Ring die Eigenschaft (M 3), so heit er kommutativer Ring. (Z; +;
) ist also ein Beispiel eines kommutativen Ringes mit 1. Aus der distributiven Eigenschaft [ (D 1) und (D 2)] eines Ringes (M; +;
) ergibt sich die besondere Rolle der 0: [0 neutrales Element bzgl.+] 0
b

#

=

()

(0 + 0)
b 0 b + ( 0 b) {z } | 0 0b=0

Analog zeigt man mit (D 1): b
0 = 0 Also gilt in einem Ring stets:

(D 2)

= =

0
b+0
b 0 b + 0 b + ( 0 b) | {z } 0

+( 0 b)

()

8b2M 8 b 2 M.

a = 0 _ b = 0 =) a
b = 0: Gilt auch die Umkehrung a
b = 0 =) a = 0 _ b = 0, so heit der Ring nullteilerfrei. Im anderen Fall gibt es zwei Elemente a; b 2 M mit a 6= 0; b 6= 0 und a
b = 0. a und b heien dann Nullteiler. (Z; +;
) ist ein Beispiel eines nullteilerfreien Ringes. 30

Wenn (M; +;
) ein kommutativer Ring mit 1 ist, so fehlt nur noch die Existenz von Inversen bezuglich der Multiplikation (fur alle Elemente auer dem Nullelement), um (M nf0g;
) zu einer kommutativen Gruppe zu machen. Wenn (M; +;
) auch noch diese Eigenschaft (d.h. die Existenz von Inversen bzgl.
\) be" sitzt, wenn also (M; +;
) ein Ring ist und (M nf0g;
) eine kommutative Gruppe, so nennt man (M; +;
) einen Korper. Da wir Q als Erweiterungsmenge zu Z ja gerade mit dem Ziel konstruiert haben, (Q nf0g;
) zu einer kommutativen Gruppe zu machen, ist (Q ; +;
) ein Beispiel fur einen Korper. (Beachte: In diesem Spezialfall bedeuten +\ und
\ die gewohnliche Addition und Mul" " tiplikation!) Fur das Rechnen in einem Korper (M; +;
) ist folgende Eigenschaft wichtig: Korper sind  stets nullteilerfrei, d.h. es gilt stets (Beweis siehe Ubung!):

a
b =0

() a = 0 _ b = 0: Man kann zeigen, dass in einem Korper (M; +;
) mit mindestens 2 Elementen das Nullelement und das Einselement verschieden sein mussen. Daraus folgt 0
b = 0 6= 1

8 b 2 M;

d.h. zum Nullelement kann es kein inverses Element geben (fur das ja 0
0 \= 1 gelten mute!) " In Korpern ist also grundsatzlich die Division durch Null verboten\! " Der einfachste nichttriviale Korper (M; +;
) besteht aus 2 Elementen, dem Nullelement 0 und dem Einselement 1, und den beiden Verknupfungen (die notwendigerweise so aussehen mussen, damit (M; +;
) ein Korper sein kann): 1

+ 0

1

.

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Kommut− ativitaet

.

b 0=0

1 braucht ein inverses

Koerper ist stets

Element "−1". Hier "−1"=1 .

nullteilerfrei! (Beweis siehe Uebung)

Bemerkung: Eine innere Verknupfung auf einer endlichen Menge lat sich stets, wie soeben, mittels einer Verknu pfungstafel de nieren:

31

1.9

* .. .

... b ...

a .. .

a*b

Die reellen Zahlen

Die vier Grundrechnungsarten (+; ;
; =) sind in Q unbeschrankt ausfuhrbar, (Q ; +;
) ist sogar ein Korper. Die algebraische Struktur bietet also keinen Anlass zu einer neuen Erweiterung des Zahlensystems. Hingegen werden wir sehen, dass die Ordnungsstruktur von Q auf eine Unvollstandigkeit hinweist, die wir durch Erweiterung von Q zur Menge der reellen Zahlen beheben werden. Betrachten wir also die durch die Ordnungsrelation \ (siehe Abschnitt 1.2) " erzeugte Ordnungsstruktur von Q genauer. Wie die naturlichen Zahlen sind auch die rationalen Zahlen vollstandig (oder konnex) geordnet, d.h. (A) Fur zwei beliebige Zahlen a; b 2 Q gilt stets

a  b _ b  a:

Die Ordnungsstruktur spielt mit der algebraischen Struktur von Q auf folgende Weise zusammen: 8 a; b; c; d 2 Q gilt (K 1) a  b ^ c  d =) a + c  b + d (K 2) a  b ^ 0  d =) a
d  b
d In Verallgemeinerung dieser Situation nennen wir einen Korper, dessen Elemente konnex geordnet sind und dessen innere Verknupfungen durch die Eigenschaften (K 1) und (K 2) mit der Ordnungsrelation gekoppelt sind, einen konnex geordneten Korper. Bemerkung: Wir werden im Folgenden statt vollstandig geordnet\ " stets den aquivalenten Ausdruck konnex geordnet\ " verwenden, um Verwechslungen mit dem Begri der Vollstandigkeit zu vermeiden.  Die folgenden Uberlegungen gelten nicht nur fur konnex geordnete Korper, sondern fur beliebige konnex geordnete Mengen M . Zunachst beobachten wir, dass die Re exivitat der Ordnungsrelation ( also: x  x 8 x 2 M ) aus der obigen Eigenschaft (A) folgt, indem man a = b setzt. Daher lassen sich die Eigenschaften der Ordnungsrelation \ einer konnex geordneten Menge M wie folgt " notieren: 8 x; y; z 2 M gilt (O 1) x  y _ y  x (O 2) (x  y ^ y  z ) =) x  z Transitivitat (O 3) (x  y ^ y  x) () x = y Antisymmetrie In konnex geordneten Mengen M lat sich Beschranktheit\ als wichtiges Kriterium zur " Beurteilung von Teilmengen de nieren: 32

Eine Teilmenge A  M heit nach oben beschrankt, wenn es ein c 2 M gibt mit a  c 8 a 2 A. Jedes solche Element c 2 M heit obere Schranke von A. Veranschaulichung anhand der Zahlengeraden:

a

b

c

...

...

untere Schranken

A

obere Schranken

Analog heit eine Teilmenge A  M nach unten beschrankt, wenn es ein b 2 M gibt mit b  a 8 a 2 A. Jedes solche b heit untere Schranke von A. Wie die Skizze zeigt, handelt es sich bei Schranken keineswegs um eindeutig bestimmte Zahlen bzw. Elemente. Um Eindeutigkeit zu erzielen, konnen wir nach der kleinsten oberen (bzw. groten unteren) Schranke fragen: Sei A  M eine nach oben beschrankte Menge. s 2 M heit Supremum (oder obere Grenze) von A, abgekurzt s = sup A, wenn es die kleinste obere Schranke ist, d.h. wenn gilt (i) s ist obere Schranke, d.h. a  s

8a2A

(ii) Ist c 2 M obere Schranke von A, so gilt s  c. Analog ist das In mum (oder (die) untere Grenze) einer nach unten beschrankten Menge als die grote untere Schranke de niert (kurz: inf A). Wenn sup A in der (Teil-) Menge A enthalten ist, so wird dieser Punkt auch das Maximum der Menge A genannt. Analog heit ein In mum von A, das in A enthalten ist, das Minimum von A. Beispiele: (i) Betrachte folgende Teilmenge von Q : A := fa 2 Q j a  5g  Q 27 Die rationalen Zahlen 5; ; 6 etc. sind obere Schranken von A, 5 ist das (eindeutig 5 bestimmte) Supremum von A und gleichzeitig auch das Maximum von A. A 5 27 6 5

0 

(ii) inf

1+

1

n

jn2N



= 1 (kein Minimum!)

33

1 1+2

... 0

1+1 1

1+1 3

1

2

 Auf Basis dieser Uberlegungen konnen wir nun de nieren, wann wir einem konnex geordneten Korper K die Eigenschaft der Vollstandigkeit hinsichtlich der Ordnungsstruktur zubilligen. K heit vollstandig (hinsichtlich der Ordnungsstruktur) :() K erfullt das folgende sogenannte Vollstandigkeitsaxiom: (V) Jede nach oben (bzw. unten) beschrankte nichtleere Teilmenge von K besitzt genau ein Supremum (bzw. In mum) in K . Wenn wir Q im Hinblick auf diese Eigenschaft betrachten, so stellen wir fest: Q ist nicht vollstandig hinsichtlich seiner Ordnungsstruktur. Zum Beweis geben wir das Beispiel einer nach oben beschrankten Teilmenge aus Q an, die kein Supremum in Q besitzt: 

A := x 2 Q jx

2



2 :

Fur das Supremum mute das Gleichheitszeichen gelten, d.h. sup A mute in Q die Gleichung x = 2 losen. 2

Wir zeigen durch Widerspruchsbeweis, dass x = 2 keine Losung in Q hat. 2

p

Angenommen, es gebe ein solches x = 2 Q mit p; q 2 Z und p; q teilerfremd (durch q Kurzen konnen wir jede Bruch-Darstellung der rationalen Zahl x\ auf diese Form brin" gen). =) x = 2

 2

p q

= 2 =) p = 2q 2

2

=) p gerade (Zahl) =) p gerade =) p darstellbar als p = 2p0 mit p0 2 Z =) p = 4
p0 = 2q =) q = 2p0 =) q gerade 2

2

2

2

2

2

s.o.

Also haben p und q den Teiler 2 gemeinsam, im Widerspruch zur Annahme.

q.e.d.

Aus der Geometrie wissen wir, dass die Lange x der Diagonalen des Einheitsquadrats die Gleichung x = 1 + 1 = 2 lost (Satz des Pythagoras). 2

2

2

2

1

0

1

34

2

Wenn wir also diese Diagonale in die Zahlengerade drehen, sopist der Endpunkt x - den wir als Losung von x = 2 Quadratwurzel von 2\, geschrieben 2, nennen - keine rationale " Zahl. 2

Der obige Beweis lehrt somit auch den Grund dafur, dass Q das Vollstandigkeitsaxiom nicht erfullt: Es gibt Zahlenp(z.B. p alle p Quadratwurzeln von naturlichen Zahlen, die nicht Quadratzahlen sind, wie 2; 3; 10; : : : ), die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Solche Zahlen heissen irrationale Zahlen. (Ihre mathematisch prazise De nition folgt in Abschnitt 1.10) Wir de nieren nun die Menge R der reellen Zahlen als die Vereinigung der Menge Q mit der Menge aller irrationalen Zahlen. Das geometrische Modell von R ist die {nunmehr luckenlos besetzte { Zahlengerade. Addition, Multiplikation und Ordnungsrelation \ lassen sich von Q auf ganz R ausdehnen, " und man erhalt den Satz: R ist (wie Q) ein konnex geordneter Korper. Fur das Rechnen mit Ungleichungen sind fneben (O1) bis (O3) sowie (K1) [nutzlich fur Abschatzung einer Summe!] und (K2) [nutzlich fur Abschatzung eines Produkts!]g folgende Rechenregeln, die aus diesen Grundregeln abgeleitet werden konnen, nutzlich: (U 1) x  y () y  x 1 (U 2) 0|  {z x  y} () 0 

1  y x

0x^xy

(Vorsicht also bei Kehrwerten!)

Kurzschreibweise f ur

Mit Hilfe der Ordnungsrelation \ lassen sich wichtige Teilmengen von R de nieren, " sogenannte Intervalle reeller Zahlen: (i) Abgeschlossenes Intervall (a; b 2 R ; wobei a  b)

[a; b] := fx 2 R j a  x  bg (ii) Oenes Intervall (a; b 2 R ; wobei a < b) (a; b) := fx 2 R j a < x < bg

[

]

(

a

b

c

[a,b]

) d (c,d)

35

R

(iii) Analog: Halboene Intervalle (a; b] und [a; b).

Um auch die Losungen der Ungleichung x  a (fur festes a 2 R) formal als Intervall schreiben zu konnen, fuhrt man die Symbole 1 und 1 ( minus Unendlich\, Unendlich\) " " ein und legt hierfur 1 < x < 1 8 x 2 R fest. Nun konnen wir schreiben ( 1; a] := [b; 1) :=

fund analog ( 1; a) sowie (b; 1)g .

fx 2 R j x  ag und fx 2 R j b  xg

Mit der Hinzunahme der irrationalen Zahlen haben wir unser Ziel der Vervollstandigung von Q (hinsichtlich der Ordnungstruktur) tatsachlich erreicht, denn es gilt: Satz: R erfullt das Vollstandigkeitsaxiom (V). Daruber hinaus ist R (bis auf Bezeichnung/Umbenennung, d.h. bis auf Isomorphie) sogar der einzige konnex geordnete Korper, in dem das Vollstandigkeitsaxiom gilt. Bemerkung: Aufgrund dieses Satzes hatten wir R alternativer Weise auch als den (eindeutig bestimmten) konnex geordneten Korper, in dem (V) gilt, de nieren konnen. Aus der Tatsache, dass R das Vollstandigkeitsaxiom (V) erfullt, kann (im Prinzip) der folgende unmittelbar einleuchtende\ Satz des Archimedes gefolgert werden: " (a) Zu jeder reellen Zahl x 2 R gibt es eine naturliche Zahl n 2 N mit x < n [n kann also beliebig gro\ werden]. " (b) Zu jeder reellen positiven Zahl  2 R,  > 0 gibt es eine naturliche Zahl n 2 N mit 1 1 < . [ kann also "beliebig klein\ werden] . n n (c) Zu jeder reellen Zahl x 2 R gibt es genau eine ganze Zahl n 2 Z mit n  x < n + 1.

[ n

) x

n+1

R

Die nach (c) eindeutig existierende ganze Zahl n wird mit [x] bezeichnet. [
] heit GauKlammer. Fur jede reelle Zahl x gilt also [x]  x < [x] + 1 . Eine wichtige Funktion auf R ist die Betragsfunktion j:j : R durch  ur x  0 jxj := xx f fur x < 0: 36

! R.

Sie ist de niert

Graph der Betragsfunktion: |x|

x

Die nichtnegative Zahl jxj heit Absolutbetrag oder kurz Betrag von x. Aus obiger De nition lassen sich folgende Rechenregeln fur Betrage herleiten: 8 x; y;  2 R gilt (B 1) (B 2) (B 3) (B 4)

jxj  0 und (jxj = 0 () x = 0) jxj = jj
jxj [=) j xj = j jx + yj  jxj + jyj jx yj  jxj jyj

1j
jxj = jxj]

 der BetragsSollen Betragszeichen (wieder) aufgelost werden, muss man die beiden Aste funktion meist getrennt betrachten (Fallunterscheidung!). 1.10

Folgen

1.10.1 De nition von Folgen Ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung der Zahlengeraden sind Folgen. [Wir werden sehen, dass gewisse Folgen die Rolle von Sonden\ oder Lupen\ spielen!] " " De nition: Eine Folge reeller (bzw. rationaler) Zahlen ist eine Abbildung f : N ! R (bzw. f : N ! Q), also eine Vorschrift, die jeder naturlichen Zahl n eine Zahl f (n) =: xn 2 R (bzw. 2 Q ) zuordnet. Man schreibt kurz fxngn2N oder einfach fxng und nennt xn das n-te Folgenglied. Es gibt zwei Moglichkeiten, eine Folge zu de nieren: (i) Explizite Angabe des allgemeinen n-ten Folgengliedes. Beispiele: 1

1 1 1 =) fxn g = 1; ; ; ; : : : n 2 3 4  n gerade ) xn = +11;; falls falls n ungerade =) fxn g = 1; +1; 1; : : :

 ) xn =

(ii) Rekursive De nition, d.h. man gibt an, wie das n-te Glied aus einem oder mehreren vorhergehenden Gliedern berechnet wird. 37

Beispiel: 

2 1

) x = 1; xn = xn + 2 xn 3 17 =) fxn g = 1; ; ; : : : 2 12



1

1

1

1.10.2 Metrische Struktur Gewisse Folgen sollen uns als Sonden\ (oder Lupen\) dienen, um einen kleinen Aus" " schnitt der Zahlengeraden eingehender zu untersuchen. Dies setzt voraus, dass eine derartige Folge es erlaubt, an eine bestimmte Stelle auf der Zahlengeraden beliebig nahe\ " heranzukommen. Wir mussen also zunachst prazisieren, was wir mit nahe\ meinen, d.h. wir mussen einen Abstandsbegri auf der Zahlengeraden de nieren." |z|

z

|x-y|

0

x

y

Eine geometrische Betrachtung der Zahlengeraden lehrt, dass jz j den Abstand der reellen Zahl z vom Ursprung und jx y j die Entfernung der Zahlen x und y voneinander anzeigt. Wir de nieren daher den Abstand zwischen den reellen Zahlen x und y als die nichtnegative Zahl jx y j. Wichtige Eigenschaften dieses Abstandes sind:

8 x; y; z 2 R gilt: (A1) jx y j  0 und (jx y j = 0 () x = y ) (A2) jx y j = jy xj (A3) jx y j  jx z j + jz y j ( Dreiecksungleichung\) " Diese Eigenschaften entsprechen genau den Forderungen, die wir auch an einen allgemeinen Abstands- (bzw. Entfernungs-)begri stellen wurden: (A 1): Der Abstand soll durch eine nichtnegative reelle Zahl reprasentiert werden. Der Abstand einer Zahl (allgemeiner: eines Elements einer Menge) zu sich selber soll Null betragen. Umgekehrt sollen zwei voneinander verschiedene Elemente stets einen Abstand ungleich Null voneinander haben, um sie mit Hilfe des Abstandsbegris auseinander halten zu konnen. (A 2): Abstand von x zu y = Abstand von y zu x. (A 3): Der anschauliche Entfernungsbegri in der Zeichenebene (Abstand zweier Punkte := Lange der Verbindungsstrecke) gehorcht folgendem Gesetz: Abstand (x; y )  Abstand (x; z )+ Abstand (z; y ), denn in jedem Dreieck ist die Summe der Langen zweier Seiten groer als die Lange der dritten Seite (! Name Dreiecksungleichung\). "

38

.

z

.

.

y

x

Wir denken uns daher den Abstand jx yj auf der Menge der reellen Zahlen erzeugt durch  R  R ! [0; 1) eine Abstandsfunktion d(:; :) : und erheben die Eigenschaften (x; y ) 7! jx y j (A 1) bis (A 3) in den Rang von Forderungen, denen jede Abstandsfunktion auf einer allgemeinen Menge M genugen muss. Dies fuhrt zu folgender De nition fur eine beliebige Menge M : Eine Funktion d(:; :) : M  M

! [0; +1)  R mit den Eigenschaften: 8 x; y; z 2 M gilt d(x; y ) = 0 () x = y

(M 1) (M 2) d(x; y ) = d(y; x) (M 3) d(x; y )  d(x; z ) + d(z; y ) (Dreiecksungleichung) heit Abstandsfunktion oder Metrik auf M . [Der Name Metrik\ kommt von Abstands messung\.] " " Ist auf einer Menge M eine Metrik erklart, so heit M ein metrischer Raum.

1.10.3 Konvergenz von Folgen Auf der Basis der Metrik d(x; y ) = jx y j auf R konnen wir nun Folgen charakterisieren,

die einem festen Punkt (d.h. einer Zahl) beliebig nahe kommen, wobei dieser Punkt in der Regel nicht selbst zur Folge gehort.

De nition: Eine Folge reeller (bzw. rationaler) Zahlen heit ! a oder konvergent gegen a, geschrieben xn !1 lim xn = a, wenn ein a 2 R (bzw. a 2 Q) existiert n!1 n

mit der Eigenschaft: Fur jedes (beliebig kleine)  > 0 gibt es ein N = N 2 N, so dass jxn aj <  8 n > N . a heit Grenzwert oder Limes der Folge fxn g.

39

(a− ε , a+ ε) xN+3 ... a−ε x a N+1

fAb x

x N+2

a+ε

liegen also alle Folgenglieder im Intervall (a ; a + ), haben also hochstens N einen Abstand kleiner  zum Grenzwert.g Hat eine Folge keinen Grenzwert, so heit sie divergent. +1

Eine konvergente Folge kann nicht mehrere Grenzwerte haben, d.h. es gilt der Satz: Hat eine Folge einen Grenzwert a, so ist dieser eindeutig. Beweis durch Widerspruch: Angenommen, a und b waren zwei verschiedene Grenzwerte der konvergenten Folge fxn g. Aufgrund der Metrikeigenschaft (A 1) gilt dann:

ja bj =: d > 0:

Wir wahlen nun  so, dass 2 < d.

ε (

a

|

ε )

(

|

b

)

| a−b | = d

Aufgrund der Annahme xn ! a ^ xn ! b\ " gibt es ein N mit jxn und ein M mit jxn

aj <  bj < 

Fur N := maxfN; M g folgt aus der Dreiecksungleichung:

ja bj  ja x j + jx n

n

8n>N 8n>M:

bj < 2 < d = ja bj

Widerspruch! Also gilt a = b.





8n>N q.e.d

40

1.10.4 Cauchy-Folgen und irrationale Zahlen Die Konvergenz einer Folge fxn g bedingt, dass die Folgenglieder xn mit wachsendem Index n eine immer kleinere Entfernung voneinander bekommen mussen. Wir prazisieren dieses Verhalten durch folgende De nition:

De nition: Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, fur die gilt: Zu jedem (beliebig kleinen)  > 0 gibt es einen Index N = N 2 N, so dass jxn xm j <  8 n; m > N. Wie oben bereits angedeutet, gilt:

Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

! a. Dann 9 N = N Beweis: Gelte xn n!1 =) jxn =) jxn

2N

mit jxn

aj < 

xm j  jxn aj + ja xm j < 2 xm j <  8 n; m > N  : (Dreiecksungl.)

8n>N. 

8 n; m > N



2

q.e.d. Ein Beispiel einer Cauchy-Folge ist die (Beispiel-)Folge ( ): 

1 x = 1; xn = xn 2 1

1

+



2

xn

:

1

Der Nachweis der Cauchyfolgen-Eigenschaft besteht aus folgenden Schritten: 1) Bildungsgesetz der Folge (stets Addition positiver Terme) =) xn > 0 8 n 2 N 2)  

xn

+1

2 1 xn + 2 xn

2

 x
x2 = 2 " p a+b  a
b (Hausubung 33) 2 +   p p a+b a + bp  a
b  a
b
a
b = a
b 2 2 =

(rekursive Def.)

2

n

n

2

also: xn 2

+1

2

(=) xn



+1

> 1)

8n2N

2

1 3) Behauptung: xn 2 8n2N 2n Beweis per vollstandiger Induktion:     1 3 1 = =12 Ind.anfang, n = 1 : x 2 2 2 Schritt von n ! n + 1: +1

2

2

2

1

41

X



1 2n

xn

+1

2

 



2

1 2 1 xn + 2 xn 2n     1 1 1 x + = 2 n 2n xn     1 1 1 1 + xn = + xn n
n 4 2 2 xn {z } | {z } |   n
xn 1 1 1 + +1 n <2 2 2 2
x n | {z }

=

(rekursive Def.)

2

=

(assoziativ)

1

1

2

=

(binom. Formel)

1

2 (Ind.annahme)



1

2

1 1

2



1 4) Aus xn  2 folgt xn 2n Beweis durch Widerspruch:

+1

+1

:: : Aus Annahme x  " n xn

1 2n

+1

+1

2



2

1 2n

2

2

1 2

;

denn

x2 n



1

2

2

q.e.d.

< 2.

fur ein n  1\ folgt 1 1 = 4 2
2
n + n > 2; 2 2

:::

2

5) Insgesamt folgt fur die Folge fxn g: 2

2  xn

 "

2

+1

[

Ausmultipl. von (3):

2+

xn

xn+1

2

+1

2n

1

22n

1

xn

1 2n

+1

2

n

1

< 2+

2

 2]

"

2

1 n

2

1 1 <2+ n n 2 2 2

xn < 2 +1

2

xn+1 2

2+

1 2

n−2

{Die Distanz zwischen dieser oberen Schranke und der Zahl 2 halbiert sich bei n n+1 !]

Setze n0 = n + 1 (mit n0  2) =) =)

1

j2 x 0 j < 2

0 |2 {z } > 9 n0 2N n0 Die Folge fxn g konvergiert gegen 2: n

n

Zu jedem

0

2

42

8 n0 2 N ; n0  2

3

mit

1

2

3

<

:

xn |{z}

1

2

2 ab



n

2

6) =) fxn g ist eine Cauchy-Folge. Wegen 2

jx

2

n

xm j = j(xn

xm )
(xn + xm )j

2

jx

=

xm j
(xn + xm )  jxn

n

"

"

(xn + xm ) > 0

xm j

xn > 1

=) Auch fxn g ist eine Cauchy-Folge.

q.e.d.

Frage: Ist die Cauchy-Folge ( ), als Folge rationaler Zahlen aufgefasst, konvergent? Wir wissen bereits, dass lim xn = 2. n!1 Ware fxn g konvergent gegen a 2 Q , so musste der Grenzwert a also die Gleichung x = 2 in Q losen. Da eine solche Losung in Q nicht existiert, hat fxn g also in Q keinen Grenzwert. 2

2

Vom Blickpunkt der rationalen Zahlen Q aus, also der nur mit rationalen Zahlen besetzten Zahlengeraden, konvergiert die rationale Cauchy-Folge ( ) also gegen ein Loch\, d.h. " gegen eine Stelle, die von den rationalen Zahlen nicht besetzt ist. [( ) spielt also wirklich die Rolle einer Lupe\!] " Wir konnen nun diese Cauchy-Folge dazu benutzen, um dieses Loch zu fullen, indem p wir festlegen: Die rationale Cauchy-Folge ( ) de niert (fur n ! 1) die irrationale Zahl 2, also die Losung der Gleichung x =p2. Etwas allgemeiner de nieren wir k (fur k 2 R ; k  0) durch die rekursiv gegebene Cauchy-Folge 2



1 x = c; c > 0 beliebig; xn = xn 2 1

1

+



k

xn

1

Noch allgemeiner de nieren wir: De nition: Eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen, die keinen rationalen Grenzwert besitzt, de niert eine irrationale Zahl. Nun haben wir also die prazise De nition irrationaler Zahlen, die salopp bereits in Abschnitt 1.9 eingefuhrt worden waren, nachgereicht. Bemerkung (A): p Die fur k angegebene Cauchy-Folge ist ein fur den Computer gut geeigneter Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln, genannt Babylonisches Wurzel" ziehen\. Die Berechnung liefert zwar nur eine Naherung (korrektes Resultat nur fur n ! 1), aber mit beliebiger (vorgebbarer) Genauigkeit. Man kann namlich folgende Abschatzung fp ur den Fehler (=Abweichung des n-ten Folgengliedes vom irrationalen Grenzwert k) zeigen:

jx

n+1

p

kj 

 n 

1 2




k x + x 1

1



8 n 2 N:

Bei Vorgabe des p maximal tolerierten Fehlers  lautet das Computerprogramm zur Berechnung von k:



Einlesen: k; c; ; 43

 x n := c;  

Initialisieren der Folgenglieder. error:= 0:5  (x n + k=x n); Initialisieren der Variablen fur den (abgeschatzten) Fehler. Wiederhole  x n := 0:5  (x n + k=x n);  error:= 0:5 error; bis (error < ) wahr ist.

Bemerkenswerterweise ist also eine irrationale Zahl x nicht mehr explizit angebbar, sondern wird durch ein Computerprogramm de niert, das es erlaubt, x naherungsweise, aber mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen. Bemerkung (B): Wahrend also eine Cauchy-Folge eine (rationale oder irrationale) Zahl eindeutig de niert, gilt das Umgekehrte nicht. Zwei verschiedene Folgen fxn g und fyn g konnen durchaus gegen denselben Punkt auf der Zahlengeraden konvergieren, und zwar genau dann, wenn die Folge fxn yn g gegen 0 konvergiert und damit eine sogenannte Nullfolge ist. Um diese Mehrdeutigkeit (der Darstellung einer reellen Zahl durch eine rationale  Cauchy-Folge) zu vermeiden, teilen wir die Menge aller Cauchy-Folgen in Aquivalenzklassen ein, fxn g  fyng :() lim (xn yn) = 0, und verwenden aus jeder n!1 Folgenklasse nur einen einzigen Vertreter als Reprasentanten der Klasse. Die Menge der reellen Zahlen lat sich somit prazise de nieren als die Menge der  (durch  erzeugten) Aquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen.

1.10.5 Vollstandigkeit Der Begri der Cauchy-Folge erlaubt es, in allgemeinen metrischen Raumen einen Vollstandigkeitsbegri (hinsichtlich der metrischen Struktur) zu formulieren. Wahrend namlich eine konvergente Folge stets auch eine Cauchy-Folge sein muss, gilt das Umgekehrte nicht in jedem metrischen Raum, wie das Beispiel des metrischen Raumes Q lehrt. Wir de nieren nun: Ein metrischer Raum M heit vollstandig (hinsichtlich der metrischen Struktur), wenn jede Cauchy-Folge fxn g (mit xn 2 M 8 n 2 N) konvergiert, d.h. ihren Grenzwert in M hat. Wie gerade gezeigt, ist Q nicht vollstandig (hinsichtlich der metrischen Struktur). Durch die Vereinigung von Q mit allen rationalen Cauchy-Folgen ohne Grenzwert in Q, also mit allen (durch diese Cauchy-Folgen berechenbaren) irrationalen Zahlen, erzielen wir Vollstandigkeit. Es gilt also der Satz: R ist vollstandig (hinsichtlich der metrischen Struktur), d.h. jede reelle Cauchy-Folge hat ihren Grenzwert in R. Zum Nachweis der Konvergenz einer Folge fxn g in R genugt es also zu zeigen, dass fxn g eine Cauchy-Folge ist. Mit diesem sog. Konvergenzkriterium von Cauchy haben wir 44

ein Nachweis-Werkzeug an der Hand, das von der Kenntnis des Grenzwertes keinen Gebrauch macht. Wir haben nun zwei Vollstandigkeitsbegrie kennengelernt. In welcher Beziehung stehen sie zueinander? Die Unvollstandigkeit von Q hinsichtlich der Ordnungstruktur ( ! Existenz nach oben beschrankter Teilmengen ohne Supremum) hat dieselbe Ursache wie die Unvollstandigkeit von Q hinsichtlich der metrischen Struktur, namlich eine luckenhafte Besetzung der Zahlengeraden durch Q. Die soeben demonstrierte Vervollstandigung von Q bezuglich der metrischen Struktur bewirkt daher, dass die resultierende Erweiterungsmenge R auch hinsichtlich der Ordnungsstruktur vollstandig ist. Fur die reellen Zahlen sind das Vollstandigkeitsaxiom (V ) und die Konvergenz aller Cauchy-Folgen aquivalent, d.h. die eine Eigenschaft lat sich jeweils aus der anderen folgern.

1.10.6 Rechenregeln fur Grenzwerte Dass die reellen Zahlen als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen de niert wurden, hat die beiden folgenden Konsequenzen: (1) Jede reelle Zahl ist beliebig gut durch rationale Zahlen approximierbar. Man sagt daher: Q liegt dicht in R : (2) Das Rechnen mit reellen Zahlen(d.h. die algebraische Struktur von R) beruht letztlich auf den Rechenregeln fu r Grenzwerte. Folgende Grenzwertregeln lassen sich unschwer zeigen: Seien fan g und fbn g zwei konvergente reelle Folgen mit lim an = a und lim bn = b: Dann gilt: !1 n!1

n

lim (
an + 
bn ) = 
lim an + 
lim bn = 
a + 
b !1 n!1 n!1 lim (an
bn ) = lim an
lim bn = a
b n!1 n!1 n!1   lim an a an = = ; falls b 6= 0 ^ bn 6= 0 8 n 2 N lim n!1 bn  lim bn b  lim an = lim an = a 8  2 R n!1 n!1 an lim  =  an = a 8  2 R n!1

(i)

n

(ii) (iii) (iv) (v)

8 ;  2 R

lim

Als Beispiel fur die Anwendung dieser Grenzwertregeln betrachten wir die Folge   n + n +  fang = 0n +  0n + 0 fur ; ; ; 0;  0 ; 0 2 R beliebig, wobei 0 6= 0. Kurzen durch n liefert  + n + n an = 0  0 0 .  +n+n 2

2

2

2

2

45

Gema (iii) konnen wir jeweils fur Zahler und Nenner separat den Grenzwert bilden. 





= lim  lim  + + n!1 n n n!1 |{z} 2

konstante Folge

"

1 lim n!1 n | {z }

+


1 lim n!1 n | {z }

+


Null wegen des Satzes d. Archimedes

=

2

=0; denn

1

n2

1
8 n>

1

(i) 

  0 0  0 Analog gilt lim  + + = 0 . Anwendung von (iii) liefert lim an = 0 . n!1 n!1 n n  2

1.10.7 Konvergenzkriterien Zum Nachweis der Konvergenz einer reellen Folge kann das folgende { unmittelbar einleuchtende { Einschlieungskriterium hilfreich sein: Satz: Seien reelle Folgen fan g ; fxn g und fbn g gegeben mit an  xn  bn lim an = a = lim bn . n!1 n!1 Dann konvergiert auch fxn g gegen a.

8n2N

und

xn |

] bn

an

| n

8

[

a

Die Anwendung dieses Kriteriums setzt voraus, dass man den vermutlichen Grenzwert a der Folge fxn g (sowie zwei Folgen fan g und fbn g, die nachgewiesen gegen a konvergieren) bereits kennt. Den Grenzwert zu bestimmen ist aber oft schwierig oder gar unmoglich. Wunschenswert sind daher Kriterien, die vorab, ohne Kenntnis des ( vermutlichen) Grenzwertes, eine Aussage uber Konvergenz oder Divergenz einer reellen Folge erlauben. Ein Beispiel eines solchen Konvergenzkriteriums ist das Konvergenzkriterium von Cauchy. Um weitere Kriterien dieser Art zu erhalten, stellen wir zunachst einige Begrie bereit. Da die Bildmenge einer reellen Folge f : N ! R eine Teilmenge von R ist, konnen wir den fur Teilmengen von R de nierten Begri der oberen bzw. unteren Schranke auf diese Bildmenge und damit auf die Folge selbst ubertragen: De nition: Eine reelle Folge fxn g heit nach oben (bzw. unten) beschrankt, wenn ein  2 R existiert mit xn   (bzw. xn  ) 8 n 2 N. Wenn fxn g nach oben und nach unten beschrankt ist, d.h. wenn ein   0 existiert mit jxn j   8 n 2 N, so heit die Folge beschrankt. 46

Multiplizieren wir die Glieder einer beschrankten Folge mit den Gliedern einer Nullfolge, so entsteht wieder eine Nullfolge gema folgendem Satz: Ist fan g eine (reelle) Nullfolge und fbn g eine (reelle) beschrankte Folge, so gilt lim an
bn = 0. n!1 Da bei einer (reellen) Folge die Folgenglieder in einer festgelegten Reihenfolge auftreten, kann man fragen, ob sie mit wachsendem Index standig groer oder kleiner werden. Diese Frage fuhrt auf den Begri einer monotonen Folge. De nition: Eine reelle Folge fxn g heit monoton wachsend (bzw. fallend), wenn gilt

xn  xn

+1

(bzw. xn  xn ) +1

8 n 2 N:

Ersetzt man in dieser De nition \ durch <\ (bzw. \ durch >\), " " " " dann spricht man von einer streng monotonen Folge. Allgemein gilt: Konvergente (reelle) Folgen sind stets beschrankt gema folgendem Satz: Konvergiert eine reelle Folge fxn g gegen einen Grenzwert a 2 R, so ist fxn g beschrankt. Beweis: lim xn = a =) xn 2 (a ; a + ) 8 n > N !1 =) max fx ; x ; : : : ; xN ; a + g ist eine obere und min fx ; x ; : : : ; xN ; a g ist eine untere Schranke der Folgen-Bildmenge: n

1

2

1

2

q.e.d. Die Umkehrung dieses Satzes gilt i.a. nicht, d.h. nicht jede (reelle) beschrankte Folge ist konvergent, wie man am Beispiel der beschrankten Folge xn := ( 1)n sieht. Ist eine beschrankte Folge jedoch auch noch monoton (wachsend oder fallend), so ist ihre Konvergenz gesichert durch den folgenden

Satz von der monotonen Konvergenz:

Jede (reelle) beschrankte monotone Folge hat einen Grenzwert in R und ist somit konvergent. Der Beweis fut darauf, dass R das Vollstandigkeitsaxiom (V) erfullt: Wir nehmen an, die beschrankte Folge fxn g sei monoton wachsend. (Der Beweis fur mo" noton fallend\ geht analog.) Dann ist die Bildmenge M := fx ; x ; x ; : : : g  R nach oben beschrankt und besitzt gema (V) ein Supremum sup M := a 2 R. Fur jedes  > 0 muss nun mindestens ein Folgenglied xN existieren mit xN 2 (a ; a] (denn sonst ware a  eine obere Schranke von M , was im Widerspruch zur Supremums-Eigenschaft von a stunde). Da die Folge monoton wachst, muss dann xn 2 (a ; a] 8 n > N gelten. Also konvergiert die Folge gegen a 2 R. q.e.d. 1



Als Beispiel betrachten wir die reelle Folge xn := 1 +

47

1

n

n

:

2

3

Nach dem Binomischen Satz gilt 

1+

1

n

=

n



n P k =0

n k




n1
1

n k

k

| {z }



n ::: (n k+1) n! k!(n k)! = k!

1

= 1+n


n

+

n
(n 1) 1 n
(n 1)
: : :
(n n + 1) 1 +:::+ 2!{z n } n{z ! n} | | 2

1 2!

1 = 1 + 1 + (1 2!

n
n
n } | n{z
n (

1 (1

1

n

1)

1

1

n!

)

)+:::+

1 (1 n!

1

n




n (n








::: (n (n n n ::: n

1)

1))

n 1 ) n

)
: : :
(1

 Beim Ubergang von xn nach xn werden alle Klammern in den ersten (n+1) Summanden, die beiden Folgengliedern gemeinsam sind, groer, so dass xn < xn folgt. fxn g ist also streng monoton wachsend. Auerdem lat sich die im n-ten Folgenglied auftretende Summe nach oben abschatzen: +1

+1

0 < xn

< 

1

1

1+1+

"



n

< 1 usw.

<

1+

P

n! = |

{z: : :
n} > |

{z: : :
} = 2n (n

=)

3

2

1)Faktoren

=)

1

n!

<

1

k=0

"

2

2

1 1 1 1+ + +:::+ n 2 {z 2 } | 2 n
n (geometrische Summe) 2

n

2

1 1 +:::+ 2! n!

(

1 1 ( ) 1 k 2 ) = 1 2 1 2

=2 (1

1

1 ) 2

1

1)mal

(n

1

2n

1

xn < 1 + 2 = 3

Die Folge fxn g ist also monoton (wachsend) und nach oben beschrankt und daher (als Folge in Rbetrachtet) konvergent. Ihr Grenzwert wird als Eulersche Zahl e bezeichnet,  1 n e := nlim 1+ , und ist eine irrationale Zahl. (Bemerkung: Da alle Folgenglieder xn !1 n rationale Zahlen sind, kann fxn g auch als Folge rationaler Zahlen angesehen werden. Als Folge in Q ist sie nur Cauchy-Folge und nicht konvergent, da e keine rationale Zahl ist!) Gema dem Satz von der monotonen Konvergenz gibt es fur eine monotone Folge zwei Moglichkeiten: Ihre Folgenglieder konnen mit wachsendem Index nach oben bzw. nach unten uber alle Schranken hinausgehen, oder aber sie mussen gegen einen Grenzwert konvergieren. Ein Beispiel des ersteren Folgentypus ist die monotone Folge xn = n, deren Glieder mit wachsendem n uber alle Schranken wachsen. Fur diesen Typ von Divergenz schreibt man symbolisch lim n = 1 und de niert n!1 De nition:

lim xn = 1 druckt aus, dass es fur jedes reelle M > 0 ein NM !1 mit xn > M 8 n > M . Analog de niert man lim xn = 1. n!1 n

48

2N

gibt

Um zu entscheiden, zu welchem der beiden Folgentypen eine gegebene monotone Folge gehort, zieht man gern das folgende Majorantenkriterium heran. Satz: Sei fan g eine monoton wachsende reelle Folge. (Fur monoton fallende Folgen gelten analoge Aussagen.) (i) Gibt es eine konvergente Folge fbn g mit an  bn 8 n 2 N, so konvergiert auch fan g. (Die Folge fbn g heit dann ein Majorante von fan g.) (ii) Gibt es dagegen eine divergente Folge fbn g mit lim bn = 1 und n!1 an  bn 8n 2 N, (d.h. fbn g wird von fan g "majorisiert\), so ist auch die Folge fang divergent mit nlim a = 1. !1 n

1.10.8 Haufungspunkte Konvergenz einer Folge gegen einen Grenzwert a bedeutet, dass (fur beliebiges  > 0) ab einem gewissen Index N alle Folgenglieder im Intervall (a ; a + ) liegen. Eine Abschwachung dieser Forderung fuhrt zum Begri des Haufungspunktes: Von einem Haufungspunkt a wird nur verlangt, dass im Intervall (a ; a + ) unendlich viele Folgenglieder xn liegen. Ein Punkt a 2 R heit also Haufungspunkt der (reellen) Folge fxn g, wenn es zu jedem (beliebig kleinen)  > 0 und zu jedem (beliebig hohen) Index n 2 N ein n > n gibt mit xn 2 (a ; a + ). 0

0

Beispiel: Die alternierende Folge xn := ( 1)n ist divergent, hat aber zwei Haufungspunkte, namlich 1 und ( 1). Klarerweise ist jeder Grenzwert einer Folge fxn g auch ein Haufungspunkt dieser Folge. Daruber hinaus lat sich { analog zur Eindeutigkeit des Grenzwertes { zeigen: Satz: Gilt lim xn = a, so ist a der einzige Haufungspunkt der Folge fxn g. n!1

Betrachten wir nun einen Haufungspunkt a einer divergenten Folge fxn g. Unendlich viele Folgenglieder xn liegen also in der Nahe von a. Indem man alle schlechten\ xn (die nicht " in der Nahe von a liegen) verwirft und nur die guten ins Topfchen\ legt, mute man eine " Folge erhalten, die wirklich gegen a konvergiert. Dieses Vorhaben bedarf der Prazisierung. Die guten xn ins Topfchen zu legen \ bedeutet, gewisse Folgenindices auszuwahlen, und " zwar insgesamt unendlich viele. Dies lat sich mittels einer Auswahlfolge bewerkstelligen. Darunter verstehen wir eine streng monoton wachsende Folge von naturlichen Zahlen, also eine Abbildung k : N ! N, i 7! ni 2 N mit ni > ni 8 i 2 N. Beispielsweise wahlt die Auswahlfolge fni gi2N , die durch ni = 2i de niert wird, aus der alternierenden Folge xn = ( 1)n die Glieder mit dem Wert (+1) aus. +1

49

R

.

+1

. 1

−1

.

n1

2

.

3

4

.

n2

.

5

n3

6

Indem wir also die Auswahlfolge ni = 2i und die alternierende Folge xn = ( 1)n hintereinanderschalten, erhalten wir die konstante Folge fxni gi2N mit xni = 1 8 i 2 N. Wenn wir dieses Vorgehen verallgemeinern, gelangen wir zum Begri der Teilfolge: Durch Hintereinanderschaltung einer Auswahlfolge k (bzw. in Folgenschreibweise: fni gi2N ) und einer (reellen) Folge f (in Folgenschreibweise: fxn gn2N ) erhalten wir eine Teilfolge der Folge fxn g:

f Æ k : i 7! xni 2 R

(in Folgenschreibweise: fxni gi2N )

Im obigen Beispiel ist das ursprungliche Vorhaben in der Tat gelungen: Aus der divergenten Folge fxn g mit dem Haufungspunkt 1 haben wir eine Teilfolge fxni g konstruiert, die gegen 1 konvergiert. Dass dies allgemein moglich ist, besagt der folgende Satz: Ist a ein Haufungspunkt der Folge fxn g, so gibt es eine Teilfolge fxni g mit lim xni = a. Die Umkehrung gilt ebenfalls. i!1 Wir wollen nun aus dem Satz von der monotonen Konvergenz auch fur nicht-monotone Folgen Kapital schlagen. Das Werkzeug hierzu liefert uns der folgende Satz: Jede reelle Folge fxn g enthalt eine monotone Teilfolge. Folglich enthalt jede beschrankte reelle Folge eine beschrankte monotone Teilfolge. Diese Teilfolge besitzt aufgrund des Satzes von der monotonen Konvergenz einen Grenzwert in R. Zusammenfassend ergibt sich der sogenannte

Satz von Bolzano-Weierstra: Jede beschrankte reelle Folge besitzt eine

konvergente Teilfolge bzw. einen Haufungspunkt.

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