Mathematicaによる離散数学入門 (新・数学とコンピュータシリーズ)

片桐重延 監修 片 桐 重 延 ・室 岡 和 彦 共著

R〈 日本複 写 権 セ ン ター委 託 出 版物 〉 本 書 の全 部 ま たは 一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。 本 書か らの 複 写 を希 望 さ れ る場合 は,日 本 複 写権 セ ン ター(03-3401-2382)に ご連 絡 くだ さ い。

序

文

  平 成6年 度 よ り実 施 され た 新 しい 高校 数 学 で は,コ

ン ピ ュー タに 関 す る取 扱 い

が い ま ま で 以 上 に重 視 され て い る。 そ れ は,こ れ か ら コ ン ピ ュ ー タに つ い て,ま た,コ

ン ピ ュ ー タ に関 連 す る 「数 学」 につ い て学 ぼ う とす る人 々 に と って学 びが

い の あ る もの で あ る。 元 来,日 本 の数 学 教 育 は,戦 後 長 い 間大 学 進学者 の ため の, あ るい は,将 来 特 に数 学 を 必 要 とす る人 々 の た め の もの で あ った。 しか し,数 学 が情 報 化,高

度 技 術 社 会 の た め に さ まざ ま な か た ち で 関与 して きた 現在,も

はや

単 に,将 来,数 学 を特 に必 要 とす る人 々 や,理 工 系 を 志 す 人 々 の ため の もの で は な くな り,よ り広 い意 味 で の 知 的ユー ザ ー とい わ れ る人 々 が 数 学 を 学 習 す る時 代 が きた の で あ る。 この こ と は,「 中 等 教 育(中 学 ・高 校)に

お ける数 学 的 リテ ラー

シー は,情 報 化,高 度 技 術 社 会 にお け る一 般 知 識 人 が もつ べ き標 準 的 な 教 養 を 目 指 す こ とに な る」(数 学 教 育 の会)の 指 適 に も端 的 に示 され て い る。 ま さ に,コ ン ピ ュ ー タ関 連 の 数 学 は,こ れ か らの 生 涯 学 習 の 基 盤 と して の 数 学 で あ る とい って も過言 で はな い。   本 シ リー ズ(全10巻)は,コ

ン ピ ュ ー タ関 連 の 数 学 を次 の 各 分 野 に分 けて 企 画

した。 そ れ は既 刊 の 「数 学 と コ ン ピ ュー タ シ リー ズ(全8巻)」 向 け に 発 展 させ,新

の思 想 を よ り現 代

しい中 等 数 学 の 考 え を 取 り入 れ た もの で あ る。

  第 一 は,  第1巻

 コ ン ピュ ー タ言 語 と処 理

 第2巻   BASICに

よ る数 学 の 問 題 解 法

 第3巻 

よ る高 校 数 学

の 内 容 で,コ 数 学A,数

BASICに

ン ピュ ー タ関 連 の 数 学 を 学 ぶ た め の 基 盤 と新 しい数 学,特

学Bの 内 容 に準 処 した もの で あ る。BASIC言

に高 校 の

語 は,こ れ らの教 科 書 の

ほ とん どで 使 用 さ れ て い る言 語 で あ り,こ れ か らも教 学 教 育 用 言 語 の主 流 と して 導 入 され る で あ ろ う。

 第二 は  第4巻 

行 列 と線 形 計 算

 第5巻   数 値 計 算  第6巻 

確率統計

に そ の特 徴 が見 られ る よ うに,こ れ か らの高 校 数 学,あ

る い は,大 学 初 年 度 の 数

学 に取 り入 れ られ る で あ ろ う,行 列,線 形 計 算,数 値 計 算,確 率 統 計 の 基 礎 を 目 ざ した。 主 題 の性 格 上,や

や難 解 な 問題 も含 ま れ る が,全 体 を と お して 読 めば 高

校 生 に も理解 で きる よ うに心 が け たつ もりで あ る。 い うま で もな く,高 校 現 場 で 数 学Cを 中 心 に これ か らコ ン ピュ ー タ関 連 の数 学 を教 え よ うとす る先 生 方 や,大 学 で これ らの 数学 を平 易 に学 習 しよ うと い う人 々 に と って も有 効 に利 用 で き る で あ ろ う。   第 三 は,   第7巻 

い ろ い ろな 曲 線 と図 形 処 理

  第8巻 

数 式 処 理 と関 数

  第10巻   Mathematicaに

よ る離 散 数 学 入 門

に お い て取 り上 げ た数 学 ソ フ トウ ェア に よ る数 学 の展 開 で あ る。 数 学 ソ フ トは い ま や ます ます 発 展 し,こ れか らの数 学 で欠 く こ とので きな い分野 にな りつつ あ る。 図 形 処 理 や数 式 処 理,関 数 と グ ラ フの扱 い につ い て は,単 に中 等 数 学 の み な らず 数 学 教 育 や数 学 の研 究 に お い て も有 効 な手 段 に な る。 こ こで は,代 表 的 な数 学 ソ フ トにつ いて取 り上 げ,間 題 の解 法 を試 み た。  他 に   第9巻 は,コ

 コ ンピ ュー タ に よ る グ ラ フ ィ ック ス

ン ピュ ー タ グ ラ フ ィ ック ス を そ の基 盤 か ら誰 にで もわ か る よ うに や さ し く

解 説 した もので あ り,   第10巻   Mathematicaに

よ る離 散 数 学 入 門

は近 年 め ざ ま し く発 展 して き た数 学 の一 分 野 で あ る離 散 数 学 につ いて,分 か りや す く解 説 した。 ま た,数 学 の代 表 的 な ソ フ トで あ る,Mathematicaの 利 用 法 を紹 介 す る と共 に,Mathematicaを

基本的な

用 い て具 体 的 な 問 題 を解 決 す る よ う

に した。

  以 上,こ

れ か らコ ン ピュ ー タを学 習 す る人,コ

ン ピ ュ ー タ に関連 す る数 学 を学

習 し,教 育 し よ う とす る人,数 値 計 算 に習 熟 し数 学 の社 会 にお け る有 効 な活 用 を 図 る人,さ この 全10巻

らに,数 学 の ソ フ トウ ェ アを有 効 に利 用 しよ う とす る人 々 に と って, の書 が座 右 の銘 の ご と く,有 効 に活 用 され る こ とを願 って や ま な い。

  な お,多 忙 な中 を この シ リー ズ の執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯 田 健 三,室 岡 和 彦,佐 藤 公 作,志 賀 清 一,金 子 伸 一 の 各 氏 にお 礼 を 申 し上 げ る とと も に,本

シ リー ズの 出 版 を企 画 ・推 進 して くだ さ った 東 京 電 機 大 学 出 版 局,お

よび

終 始 ご助 言 くだ さ っ た前 編 集 課 長 朝 武 清 実 氏 に深 甚 の謝 意 を表 した い 1997年4月

監修  片桐 重延

は じめ に   離 散 数 学 と 呼 ば れ る 数 学 の 一 分 野 が 近 年 め ざ ま し く発 展 し て き た 。 こ の 原 因 と し て,探

究 の き っ か け,あ

で あ る。 ま た,離

る い は基 本 的 な 題 材 が 日常 生 活 に 結 び つ い て い る か ら

る。 例 え ば,コ

散 数 学 は コ ン ピ ュー タあ るい は情 報 化 社 会 に密 接 に関 連 して い ン ピ ュ ー タ の 構 能 拡 大 に 伴 っ て 離 散 数 学 に は 新 し い 研 究 分 野,新

し い 問 題 解 決 方 法 が 生 ま れ,情

報 化 社 会 で は そ れ ら が 身 近 な も の と して 扱 わ れ る

よ うに な って きた。   こ こ で は,従 来 か ら あ る 身 近 か な 題 材 を 中 心 に 離 散 数 学 を ま と め,Mathematica を 用 い て 問 題 を 解 決 す る よ う に し た 。 ま た,発 わ り に,あ

る い は 参 考 に ま と め た 。Mathematicaは

世 界 地 図 やTEX,グ

  各 章 は,お

章の終

の 基 本 的 な 利 用 は,数

ラ フ ィ ッ ク ス や 音 で あ る 。 本 書 も こ の3つ

や 式,

に絞 った。

お よ そ 次 の よ う に 構 成 さ れ て い る。

で は,Mathematicaの

基 本 的 な 利 用 法 を 網 羅 的 に 紹 介 し た 。 リ ス トや

ア ル コ リズ ム と い っ た 離 散 数 学 だ け で な く,各 取 り上 げ,こ

の 章 だ け でMathematicaの

  離 散 数 学 は,日 を 用 い,日

や,各

豊 富 な パ ッ ケ ー ジ を 持 ち,

ラ フ 理 論 な ど も扱 え るが,そ

デ ー タ や リ ス ト,グ

  第1章

展 的 な 内 容 は 第6章

種 の グ ラ フ ィ ッ ク ス,微

基 本 的 な 扱 いが で き るよ うに した 。

常 的 な 問 題 か ら始 ま る こ と が 多 い 。 第2章

常 的 な 題 材 を 数 や 式,リ

分積分 も

ス トで 表 す,い

で はMathematica

わ ゆ る モ デ ル化 に つ いて ま と

め た。   第3章,第4章 て 考 え,順

で は,数

や 式,リ

ス トな ど を 用 い,数

え 上 げ お よ び数 列 に つ い

列 ・組 合 せ や 意 列 な ど に ま と め る と き の 方 法 をMathematicaで

した 。 応 用 と して 展 開 式 の 係 数,音

の 周 波 数,フ

ィ ボ ナ ッ チ 数 列,カ

扱 っ た 。 ま た,よ

り 数 学 的 な も の と して 母 関 数 を 取 り 上 げ た 。

  第5章

半 で デ ー タ 解 折,つ

で は,前

半 で は,シ

紹 介 オ スな どを

ま り 記 述 統 計 をMathematicaで

ミ ュ レ ー シ ョ ン を 紹 介 し,確

率 の 考 え 方 との 比 較 を 試 み た。

行 い,後

  第6章

で は,数

の 仕 組 み を 中 心 に,Mathematicaを

の 構 造 の 調 べ 方 を 紹 介 し,よ   Mathematicaの

使 い 方,離

用 い て 集 合,論

列

り数 学 的 な 探 究 を す る 際 の材 料 と した。 散 数 学 を 最 初 か ら学 ぼ う と す る 人 た ち に と っ て 少

しで も 役 に たつ こ と が で き れ ば 幸 い で あ る。 な お,本 住 商 エ レ ク ト ロ ニ ク ス 株 式 会 社  CAE第2事 ま た,プ

理,行

ロ グ ラ ム や 脚 注 の 作 成 に つ い てCAE技

書 を 執 筆 す る に 当 た っ て は,

業 部 営 業 第2部 術部 揚

課 長   小 澤 和 夫 氏, 軍(ヤ

ン ・ ジ ョ ン)

氏 に 一 方 な ら ぬ ご 協 力 を 頂 い た 。 厚 くお 礼 を 申 し上 げ る 次 第 で あ る。 1997年3月

著 者 しるす

目

次

第1章

  Mathematica

1.1 

立 ち上 げ と終 了

 1

[1] 

立 ち上 げ

 1

[2] 

終

 2

了

1.2  数 の 計 算

1.3 

 2

[1]  厳 密 値 と近 似 値

 2

[2]  近似 値 の計 算

 5

[3] 

 6

べ きの 扱 い

[4] n進

数

[5] 

数

関

整

 7  7

数

  10

[1]  立 式 と代 入

 10

[2]  組 込 み 関数

 11

[3]

  リス トの 扱 い

 13

1.4  式 の 計 算 [1]  整式 の 因数 分 解 [2] 

1.5 

式 の展 開

 14   14  15

[3]  整 式 の計 算

 15

[4]  分 数 式 の計 算

 16

グラ フ ィ ッ クス

 18

[1] 

デ ー タの グ ラフ

 18

[2] 

陽関数 のグラフ

 19

[3] 

陰 関数 の グ ラ フ

 22

[4]  媒 介 変 数 表 示 の グ ラ フ [5] 

極方 程式の グラフ

[6] 

領

[7] 

多数 の グ ラ フ

[8] 

3次 元 の グ ラ フ

  23   24   26

域

 27

  28

1.6  方 程 式 の 解

  30

[1]  代 数 的 な 解

  30

[2]  数 値 的 な 解

  32

1.7  微 分 ・積 分

 34

[1]  微 分係数

 34

[2]  導 関 数

  36

[3] 

  36

積

分

 38

1.8  論 理 と プ ロ グ ラ ム

[1]  真偽 の判定

 38

[2]  条 件 と論 理

  39

[3]  反 復 と再 帰

  40

練習問題

  42

第2章  離散化の アイデア 2.1  数 で 表 す

  44  44

[1]  測 定 の 方 法 [2] 

2.2 

Mathematicaの

利 用

 45

[3]  単 位 の 変 換

 47

[4]  数 の表 示 方 法

 48

コ ー

ド

化  50

2.3 

数式化 [1] 

  52

昼 の長 さの モ デル 化

  52

[2]  再 帰 関 係 の表 現

 54

2.4  集 合 と行 列 [1] 

集

  57

合

 57

[2]  集 合演 算 と計 算 方 法

 60

[3]  行 列表 現

 64

[4]  移 動 の表 現

  66

練習問題

  70

第3章  数え上 げの方法 3.1 

い ろ い ろな 数 え 方 [1]  兵 士 と石(1対1対

3.2 

3.3 

  72

応)

 72

[2]  指 で数 え る(積 の法 則)

 73

[3]  分 類 して数 え る(和 の 法 則)

  75

[4]  必 要 な もの を数 え る(鳩 の 巣 原 理)

  77

順

列

  79

[1]  辞 書 式 に並 べ る

  79

[2]  樹 形 図 で 数 え る

  80

[3]  順 列 を 作 る

 82

[4]  重 複 順 列

 83

組合せ

 86

[1]  組 合 せ の個 数

  86

[2]  組 合 せ を作 る

  89

[3]  重 複組 合 せ

 90

3.4  多 項 式 と組 合 せ [1] 

式 で表 す

  92  92

[2]  2項 定 理

 94

[3]  展 開 式 の 係 数

  96

練習問題

  98

第4章  数列を作る 4.1 

Mathematicaの

数 列

 101

[1]  奇数 を 作 る

 101

[2]  い ろ い ろ な数 列 [3] 

Mathematicaの

 103 数 列

 106

4.2  音 と 数 列

 108

[1]  音 を作 る

 108

[2] 

12音 階 を 作 る

 110

[3]  調 和 音 を作 る

 112

4.3  再 帰 的な 式 [1] 

預

金

[2] 

ハ ノ イ の塔

 114  115

[3]  数 学 的 帰 納 法

 117

[4] 

 119

フ ィボ ナ ッチ数

[5]  母関数 4.4 

 114

 122

カ オ ス とフ ラ クタ ル

 124

[1]  反 復 法

 124

[2]

 カ オ ス

 126

[3]

 フ ラ ク タ ル

 128

練習問題

 130

第5章   データ処理 と確率 5.1  デ ー タ の 表 し方 [1] 

統計 グラフ

[2]  代 数 値 5.2 

5.3 

相

 132  132  136

関

 140

[1]  相関図

 141

[2]  相 関係 数

 142

[3]  身 長 と体 重 の相 関 関係

 143

モ デル 式 と予測

 145

[1] 

直 線 モ デ ル を作 る

 145

[2] 

2次 関 数 モ デ ル

 148

5.4  確 率 の 実 験 [1] 

5.5 

 151

起 こ りや す さ

 151

[2]  確 率 の表 し方

 153

[3]  確 率 の利 用

 155

シ ミ ュ レー シ ョ ン

 159

[1]  乱数 の利用

 160

[2] 

 160

モ ン テ カ ル ロ法

練習問題

 164

第6章  離散構造 6.1 

指 数 の構 造 [1]  指 数 の原 理 [2]  複 素 数 の指 数

[3]

  (−1)1/3の 意 味

 165  165  167

168

 171

6.2  数 の性 質 [1]  小数 の数字

 171

[2]  連 分 数 で 表 す

 173

[3]  整 数 の性 質

 175

 178

6.3  集 合 と論 理 の仕 組 み [1]  集 合 演 算

 178

[2]  論 理 演 算

 178

[3]  論理 式 の利 用例

 181

 182

6.4  数 ベ ク トル と 行 列 [1] 

数 ベ ク トル

 182

[2] 

行

列

 186

[3] 

参

考

 190  194

練習問題

 196

問 お よ び練 習 問題 の 解 答

索

(1)  問の解答

 196

(2)  練 習 問 題 の 解 答

 210

  220

引

第1章  Mathematica

  Mathematicaは る 。Mathematicaで

数 学 を 探 求 す る た め に 開 発 さ れ た,世

界 的 に通 用 す る ソ フ トウエ ア で あ

数 学 を学 べ ば数 学 だ け で な くコ ン ピュ ー タ科 学 の 考 え 方 を知 る こ と も

で き る 。 こ こで は,数,関

数,式

に つ い てMathematicaの

特 徴 と う ま い 使 い 方 を 示 し,

論 理 や プ ロ グ ラ ム につ いて もふ れ る こ とに す る。

1.1  立 ち 上 げ と終 了  

Mathematicaの

立 ち 上 げ と終 了 の や り か た に つ い て ま と め て お こ う。

[1]  立 ち上 げ   コ ン ピ ュ ー タ の 電 源 を 入 れ,Windowsを

立 ち 上 げ,  Mathematicaの

ン を マ ウ ス で ダ ブ ル ク リ ッ ク す る とMathematicaの ラ フ な ど を 扱 うの は,図   以 下,1.2節

１.3の 画 面 で,こ

アイ コ

画 面 が 現 れ る 。 数,式,グ

れ を ノ ー トブ ッ ク と い う。

以 降 の や り方 で 計 算 や グ ラ フ を 作 っ て い け ば よ い 。 た だ し,最

の 計 算 で は カ ー ネ ル(計

算 な ど を す る プ ロ グ ラ ム)を

初

コ ン ピュ ー タ に読 み 込 む た

め 多 少 の 時 間 が か か る。 起 動 して か ら終 了 す る ま で を セ ッ シ ョ ン と い う 。

[2]  終  

了

Mathematicaを (1) 

終 了 す る と き に は,次

ノ ー トブ ッ ク(画

面)右

の 手 順 で 行 う。

上 の フ ァ イ ル(F)に

して ク リ ッ ク す る 。Exit(Windows)ま

マ ウ スで カ ー ソル を移 動

た はQuit(Macintosh)が,図

1.1の ダ イ ア ロ グ の 中 に 現 れ る 。

図1.1 

(2) 

マ ウ ス でExitの

(3) 

こ の ノ ー ト ブ ッ ク(画

(4) 

要)の

ダ イ ア ロ グ

と こ ろ を ク リ ッ ク す る。

不 要 な らn,必   y(必

Fileの

面)を

要 な らyを

コ ン ピ ュ ー タ に 保 存 す る か 聞 い て く る。 キ ー ボ ー ドか ら入 力 す る 。

場 合,"test1.ma"な

Mathematicaが

ど と適 当 な名 前 を つ け て保 存 す る。

終 了 す る。

1.2  数 の 計 算  数 の計 算 を 身近 か な題 材 で ま とめ よ う。 [1] 

厳 密 値 と近 似 値

 分 数2/3や

平 方根√2な

どで 表 され た,代 数 的 な意 味 を もつ数 を厳 密 値 とい う。

一 方 ,0.6666667,1.414213を

そ れ ぞ れ の厳 密 値 の近 似 値 とい う。

〔例 題1〕

半 径 が2cm,中

心 角 が120° の 扇 形 の 面 積 の 厳 密 値 を 求 め よ。

〔解 〕 面 積 4Pi/3と

〓の 式 を

入 力 す る。 と

  SHIFT

RETURN

キ ー を同 時 に

押 す(以 後 SHIFT る)とIn[1]:=が

とす

RETURN

この式 の前 の 行 に 現

れ る 。 結 果 がOut[1]=の

図1.2  扇形の面積

次 の 行 に現 れ

る。   Mathematicaの 囲 ま れ たIn[]:=の

ど を書 き込 ん だ 後,

入 出 力 は,図1.3の

よ う に ノ ー ト ブ ッ ク 上 で 行 う 。 青 い]で

行 か らOut[]=の SHIFT

結 果 ま で の 行 を セ ル と い う。 数 や 式 な

+ RETURN

を押 す と コ ン ピ ュ ー タ が 計 算 を 開 始

す る。

図1.3 

ノ ー トブ ッ ク

  この 操 作 を入 力 と い い,入 力 した結 果 は入 力 セ ル で 自動 的 に 囲 まれ る。 ま た, 入 力 した も の を計 算 して,結 果 を表 示 す る部 分 を 出力 セ ル とい い,入 出力 セ ル を 合 わ せ て 囲 む セ ル を単 にセ ル と い う。 図1.1のNewを し くな る。   次 に厳 密 値 の 近 似 値 を求 め て み よ う。

ク リ ッ クす れ ば セ ル は新

+

〔 例 題2〕

〔例 題1〕 の 面 積Sの

〔解1〕

↑キ ー で4Pi/3の

 最 後 に SHIFT

式 を手 直 して10桁 の近 似 値 を求 め よ。

行 に カ ー ソ ル を 移 動 さ せ,次

の 下 線 部 分 を 追 加 す る。

で近 似 値 が 得 られ る。

RETURN

(1.1) 〔 解2〕

〔例 題1〕 で 次 の 厳 密 値4Pi/3を

得 た と き,%を

利 用 し,次

の式 で近似

値 を求 め る。

〔 解1〕

の よ う に,前

に 使 っ た 式 そ の も の を 手 直 し(追 加,削

用 す る こ と を リプ レ イ(Replay)機 を ア ンサ ー(answer)機

除,修

正)し て 利

能 と い い,〔 解2〕 の よ う に,%を

使 う方 法

能 と い う 。 リ プ レ イ や ア ン サ ー 機 能 は,長

い式 を何度

も使 う と き に 便 利 で あ る 。 表1.1  計算 の記 述 方 式

  Pi(=π)の い,Pi,Sqrtの

よ う な 数 を 組 込 み 定 数,Sqrt[]の

よ うな 関 数 を 組 込 み 関 数 と い

よ う に 大 文 字 で 書 き始 め る。 関 数 名 の 正 し い ス ペ ル は 「?」 で オ

ン ラ イ ン ヘ ル プ を 呼 び 出 す 。 例 え ば,?S*〔注1〕 や?*qr*な

どで探 す とよい。 こ

れ を情 報 エ ス ケ ー プ と い う。 〔注1〕*は

ワイ ル ドカ ー ドでSに

続 く,ま た は,qrの

前 後 の 文 字 列 を表 わす 。

+

問1  次 の 式 の厳 密 値 と10桁 の 近 似 値 を 求 め よ。   (1)  半 径2の 球 の体 積   (2)  一 辺 の長 さが3の 正 三 角 形 の面 積

問2  円 周 率 πを1000桁

[2] 

まで 求 め る に は,ど うす れ ば よ いか 。

近 似 値 の 計 算

  Mathematicaで

は,あ

  ま た,N[式,n]でn桁

る 数 に 小 数 点 を つ け た 式 は6桁

の近 似 値 で表 す。

の近 似 値 を求 め る。

例1.

例2.

  これ らの 結 果 は第7桁 目 を 四捨 五 入 して い る。 例1の 表 し方 を固定小 数点 表示, 例2の 表 し方 を 浮 動 小数 点表 示 ま た は科 学 的表 示 とい い,1.07374を 109を 指 数 部 分 とい う。 〔 例 題3〕√2の

近 似 値 を で きる だ け多 くの方 法 で求 め よ。

〔解1〕N[]を

用 い る。

〔 解2〕//Nを

〔 解3〕

後 ろ に つ け る。

〓を代 入 す る。

仮 数 部 分,

  表 示 の 桁 数 はN[式,n]で

はn桁,式//Nで

は6桁

に な り,有

桁 下 の 数 を 四 捨 五 入 す る 。 特 に,N[Sqrt[2]]とSqrt[2]//Nは

効 桁 よ り も1 同 じ結 果 に な

る。 〔 注 〕 あ る近 似 値12.34567の

有 効 桁 数(精 度)が6桁

で あ る こ とを 示 す 。 また,四 捨 五 入,切

問3  40!=1×2×

[3］ 

で あ る と は,12,3456ま

で正 しい 値

り捨 て,切 り上 げ の こ とを丸 め と い う。

… ×40は 何 桁 の数 か。 そ れ を簡 単 に知 る方 法 を示 せ｡

べ き の 扱 い

  正 の 数a＞0,b＞0に

つ い て,a3や(ab)0.5な

ど を べ き と い い,次

の性質 が成

り立 つ 。

(1 .2)  

Mathematicaで

  ま た,次

は,こ

れ ら をa^−1,a^0,a^(1/2)の

の 指 数 法 則 が 成 り立 ち,PowerExpand[a^p*a^q]な

よ うに表 す。

どで 確 認 で き

る。

(1.3) 式(1.2)と

式(1.3)に

〓につ いて 厳 密 値,6桁

〔 例 題4〕 〔 解〕

関 連 して厳 密 値 と近 似 値 が 次 の よ う に得 られ る。 の近 似 値 を そ れ ぞ れ求 め よ。

〓の 厳 密 値 はそ れ ぞれ (1.4) 〓の近 似 値 は そ れ ぞ れ

問4  式(1.3)の4つ

の 式 が 成 り立つ こ とを 確 認 せ よ。

n

[4] n進

数

  例 え ば13=8+4+1=23+22+1と と い い,こ

の 数 を1101と

な る。 こ の よ う な 手 続 き を2進 表 し2進 数 と い う。 同 様 に し て3進

法,4進

法,2を

底

法 な どが

考 え ら れ る。   特 に8進

法 の こ と を オ ク タ ル,16進

数 は3af9の

よ う に 数 字10,11,…,15の

法 の こ と を ヘ キ サ デ シ マ ル と い う 。16進 代 わ り に そ れ ぞ れ ア ル フ ァベ ッ トa,b,…,

fを 用 い る 。   Mathematicaで 数 でbと

は10進

い う数 をn^^bと

〔例 題5〕1234,お

数 をn進

数 に 直 す と きBaseForm[x,n]を

して10進

数 に変 換 す る。

よ び12.34を16進

進 数71.65を10進

数 に 直 せ 。 ま た2進

用 い,n進

数1100011,お

よ び8

数 に 直 せ。

〔解 〕BaseForm[x,n]を

用 い る。

(1.5)

^^bを

用 い る 。

(1.6)

問5  分 数1/3の

[5] 

整

た16進 法 で求 め よ。

数

  整 数m＞n＞0が n]で

厳 密 値 お よ び近 似 値 を2進 法 で,ま

あ っ た と き,m÷nの

表 す 。 ま たm,nの

商 をQuotient[m,n],余

最 大 公 約 数 をGCD[m,n],最

り をMod[m,

小 公 倍 数 をLCM[m,n]

で表 す。

〔例 題6〕3つ

の 数1989,1996,2003の

最 大 公 約 数 と最 小 公 倍 数 を 求 め よ 。

〔 解〕

 よ っ て,最

問6 

大 公 約 数 は18,最

小 公 倍 数 は12307680

数111111111,148148148,98765432の

  2,3,5,7,11,13の

最 大 公 約 数 と最 小 公 倍 数 を求 め よ 。

よ う に,2以

上 の 正 の 整 数 で1と

れ な い 数 を 素 数 と い う 。 素 数 はPrime…

そ れ 自 身 で しか 割 り 切

と い う組 込 み 関 数 で 求 め る こ とが で き

る。

〔 例 題7〕

素 数 を 小 さ い 順 に10個

求 め よ。 〓(1.7)

〔 解〕

  式(1.7)でRange[10]は,1か [Range[10]]で

は,1番

ら10ま 目 の 素 数2か

で の 素 数 の リス トを 表 す の で,Prime

ら10番

目 の 素 数29ま

で の 素 数 リ ス トを

作 成 す る。   整 数 は,素 Factor

数 の 積 と し て1通

Integerで

り に 表 す こ と が で き,こ

れを素 因数 分解 とい い

求 め ら れ る。

  素 因 数 分 解 を 利 用 し て 分 数 の 問 題 を 考 え よ う。

〔 例 題8〕

整 数106−1=999999を

素 因 数 分解 せ よ。

〔解 〕

よ っ て,

〔 例 題8〕

の 結 果 か ら次 の こ と が 導 か れ る 。  〓の と き,

〓と な る 。

(理 由)

 (1.8)

  式(1.8)の

両 辺 に106を

形 式 的 に か け て,

よ っ て,

 (1.9)

問7  107−1=9999999を

[6] 

素 因 数 分 解 し,分 数1/239を

循 環 小 数 に 直 せ。

複 素 数 の 扱 い

  2次 方 程 式x2+4=0やx2+2x+4=0を 虚 数 単 位i=√−1を

満 た すxは

作 る こ と で,そ

実 数 で は 存 在 し な い が,

れぞれ

の よ う に 解 が 求 め ら れ る。   こ う し た,a+biでb≠0と

な る 数 を 虚 数 と い い,実

数 と い う。Mathematicaで

は 虚 数 単 位iをIで

数 と虚 数 を あ わ せ て 複 素

表 し,I^2=−1と

な る数 とみ て

虚 数 の 計 算 を 実 数 と 同 様 に し て 行 う。

〔 例題9〕

次 の計 算 を行え。

(1) 〔解 〕

 (2)

 (3)

(1)

(2)

(3)

  こ れ ら は,{(2−3Ｉ)(1+I),(1−I)^4,Sｑrt[−3]}と 〔注2〕Mathematicaで

は,掛

け算a×bは*ま

して 一 度 に 求 め ら れ る 。 た は 空 白 を 用 い て,a*bま

た はa 

bの

よ う に 表 す 。 た だ し,2aや0.5f(x)は2a,0.5f[x］

問8 

次 の 計 算 を 行 い,そ

(1)

で よ い。

れ が 成 り立 つ 理 由 を い え 。

 (2)

1.3  関

数

  関数 を数 と同 様 の 手順 で作 り,数 を代 入 して近 似 値 を求 め よ う。 [1] 

立 式 と代 入

〔例 題10〕 半 径r,中

心 角a°の扇 形 の 面 積fの 式 を 求 め,r=2,a=120°

の とき

の 値 を求 め よ。 〔 解 〕f(r,a)=πr2a/360で

面 積 はrとaの

関 数 に な る。

10桁 の 近 似 値 は次 の 入 力 で 得 られ る。

図1.4  扇形の面積 問9  図1.4で,弧 し,r=2,a=120°

と弦 で 囲 まれ た 半 月 形 の 面 積gを,半

径rと 中 心 角a(°)の

関数 で表

の と きの値 を6桁 の 精 度 の 近 似 値 で 求 め よ。

  関 数 を 記 述 す る と き の 入 力 例 と 主 な 規 則 を ま と め て み よ う。

規則1. 

Sqrt[x],Sin[pi a]

組 み込 み 関数 の先 頭 は大 文 字 で書 き,変 数 を 大 か っ こ[]で 規 則2 .  3角 関 数 の 変 数 は ラ ジ ア ンで 扱 う 。

規則3 . 変 数 の主 な規 則 は次 の とお り。 x,yは 積x*yを,xyは1つ

の 変 数xyを

意 味 す る。

く くる。

  3aは3*a=3aを,3/2aは

3/2aを,3^2aは9aを

意 味 す る｡

 変 数 にx＿ の よ うに＿ をつ け る と数 値 の 代 入 が で き る。

規則4 . 代 入 は次 の 方 法 で 行 うこ とが で きる。 (a)  式 先 行 〔 注1〕

(b) 

 (1.10)

/.の 利 用

(c)  代 入 先 行 〔注2〕

〔注1〕

「;」 はOut［］

〔注2〕r=2,a=120と

して 代 入 先 行 で 近 似 値 を 求 め た と き,そ

はClear[r],Clear[a]と

問10 

[2] 

半 径rの

の 出力 を押 さ え る。

し,rの

球 の 体 積fをrの

の 後r=.,a=.あ

る い

値 を ク リ アす る必 要 が あ る。

式 で 表 し,r=2の

と き の 近 似 値 を10桁

の 数 で 求 め よ。

組 込 み 関 数

  Mathematicaが の 他 に,指

用 意 して い る 関 数 を 組 込 み 関 数 と い い,関

数 関 数a^x,対

ArcSin[x],そ

数 関 数Log[a,x],三

の 逆 関 数ArcSinh[x］

数Abs[x］=￨x￨

角 関 数Sin［x],逆

三 角関数

な ど が あ る。 三 角 関 数 と逆 三 角 関 数 を 使 っ

た 問 題 を 解 決 し よ う。 〔 例 題11〕3辺 〔 解 〕3辺

の 長 さ が そ れ ぞ れ4,5,6の

の 長 さ をa,b,c(0＜a＜b＜c)と

は次 の 式 で 表 さ れ る。

三 角 形 の 最 も大 き い 角 を 求 め よ 。 す れ ば,余

弦 定 理 か ら最 も大 き い 角t

(1.11) し た が っ て,

(1.12) Mathematicaで

は,次 の 式 とa,b,cの

値 を 入 力 してtの

値 を ラ ジ ア ン で 求 め る。

(ラ ジ ア ン)

(度)〔注3〕

図1.5 

三 角 形 の 辺 と角

問11  〔 例 題11〕 の三 角 形 の 面 積fを 次 の式 で 入 力 し,そ の近 似 値 を10桁

(1)

で求 め よ。

 (2)

 主 な 組 込 み 関 数 の 記 述 方 式 を あ げ て お こ う。 表1.2  関 数 の 式 と意 味

〔注3〕

π ラ ジ ア ン は180°,Mathematicaで

は,[,Degree]で

度 を表 す 。

〔注4〕Sin[0.6435]=0.599999は,  〔注5〕E(e)はMathematicaに xの グ ラ フ のx=0に

ArcSin[0.599999]=0.6435と

同 じで あ る。

お け る 自 然 対 数 の 底 で 無 理 数2.71828…

お け る接 線 の 傾 き が1で

で あ る 。y=e

あ る。

[3]  リ ス トの 扱 い   次 の よ う に,{}で

く く っ た い く つ か の 数 や 式 の 集 ま り を リ ス トと い う 。 特 に

数 か ら な る リス トを 数 ベ ク トル と い う。 リス ト も関 数 と 同 じ考 え 方 で 処 理 が で き る。

 

Table[nの

式,{n,4}]で,nの

〔例 題12〕 〔解1〕

半 径1,2,3,4の リ ス ト{1,2,3,4}を

〔解2〕Tableで

式 にn=1,2,3,4を

代 入 し た リ ス トを 作 成 す る。

円 の 面 積 を そ れ ぞ れ 求 め よ。 直 接 利 用 す る。

リ ス トを 作 る。

(1.13)

図1.6 

半 径1∼4の

円

問12  上 底,下 底 の 長 さが そ れ ぞれ 次 の値 で,高 さ が6の 台 形 の面 積 を 求 め よ 。 表1.3

 台形 の デ ー タ

図1.7 

高 さ6の

台 形

1.4  式 の 計 算   整 式 を 因 数 分 解 す る の にFactorを た 複 素 数a+biを き,入

用 い る 。 ま た 整 数 ま た は 分 数a,bで

ガ ウ ス の 整 数 と い い,こ

力 の 最 後 にGaussianIntegers−

表 され

れ を 係 数 に し た 式 に 因 数 分 解 した い と

＞Trueを

つ け る。

[1]  整 式 の因 数 分 解  

Mathematicaで

整 式

x2−2/3x−1/3 の因 数 分 解 は次 の よ うに して行 う。

  因 数 分 解 を 利 用 した 応 用 課 題 を 考 え よ う。 〔 例 題13〕xn−1を 〔 解 〕n=3,4,5に

因 数 分 解 し,1+x+x2+…+xnを つ い て 試 み,nの

分 数 式 で表 せ。

場 合 を推 定 す る。

  した が って 次 の 式 が 予想 さ れ,そ れ が 正 し い こ と は数 学 的 帰 納 法 で 証 明 で き る。

(1.14) (1.15) 式(1.15)の

両 辺 をx−1で

割 れ ば 次 の 式 が 得 ら れ る。

(1.16)

問13 n=3,5,7に

つ い てxn+xn-1+…+x+1を

整 数,ガ

ウス の整 数 の そ れ ぞ れ の 範 囲 で

因 数 分 解 せ よ。

[2]  式 の展 開 〔 例 題14〕(x+1)nをn=2,…,5に 〔 解1〕Tableで

つ い て 展 開 し,そ

多 項 式 の リ ス トを 作 り,そ

の係 数 の 特 徴 を 調 べ よ。

れ らを 展 開 す る。

(1.17)

(1.18) 〔 解2〕

各 式 をExpandで

  結 果 は,式(1.18)と   Mathematicaで 5}と

個 々 に 求 め る。

同 じ に な る。 は 昇 べ き の 順 に 式 を 展 開 す る｡式(1.17)で,{n,1,5}は｛n,

す る こ と もで る 。 ま た,Expandは

次 の よ う に して も よ い 。

[3]  整 式 の計 算  xの

整 式f(x),g(x)に

つ い て,f(x)をg(x)で

表 す。   商;PolynomialQuotient[f(x),g(x),x]   余 り;PolynomialRemainder[f(x),g(x),x]

割 っ た 商 と余 り を 次 の 式 で

ま た,整 式f(x),g(x)の

最 大公 約 数,最 小 公 倍 数 を次 の式 で表 す。

  最 大 公 約 数;PolynomialGCD[f(x),g(x)]   最 小 公 倍 数;PolynomialLCM[f(x),g(x)]

〔 例 題15〕

整 式f=x3−5x2+6x,g=3x2−5x−2に

  (1) fをgで

の式 を 求 め よ。

割 った と き の 商 と余 り

  (2) f,gの 〔 解 〕(1) 

つ い て,次

最 大 公 約 数,最

小公倍数

商;

 余 り;

(2)  最 大 公 約 数;

 最小公倍数;

 最 小 公倍 数 の入 力 式 の最 後 に//Factorを

つ け る と因 数 分 解 した式 に な

る。

問14 xの

[4] 

整 式 に つ い て,x3+1をx2+ab+bで

割 っ た と き の 商 と余 り を 求 め よ 。

分 数 式 の計 算

 分 数 の 計 算 と同 様 に して,分 数 式 の 四 則計 算,展 開 も行 う こ とが で きる。 〔 例 題16〕

(2)

(1)  〔解 〕

次 の分 数 式 を 計 算 せ よ。

(1)

(2)

〓を通 分 せ よ。

問15

 仮 分 数8/5を 帯分数1+3/5に

〔 例題17〕 分数 式

直す操 作と同 じことを分数 式に も行 うことがで きる。

〓を整 式と

〓の 和 に直 せ 。

〔 解〕

 よ っ て,

 

 (1.19)

Mathematicaで

〔 例 題18〕

は,Seriesで

分数式

分 数 式 を 多 項 式 に展 開 す る こ とが で きる。

〓をxの 多 項 式 に 直 し,係 数 の特 徴 を調 べ よ。

〔 解〕

(1.20)  こ こ で,o[x］8は,8次 〔 例 題18〕

は,式(1.18)と

以 上 の 多項 式 を示 す。 よ く似 て い る。 こ の 展 開 を 多 項 式 展 開 と い う。

(1.21) (1.22）

  式(1.21)の

係 数 は,重

複 組 合 せ の 個 数3Hn,式(1.22)の

係 数 は,フ

ィボ ナ ッ

チ 数 列 に な っ て い る。

問16

 〓を 多項 式 に展 開 し,

〓の展 開 式 を推 測 せ よ。

1.5  グ ラ フ ィ ッ ク ス   デ ー タ の折 れ線 グ ラ フや 関数 の グ ラ フ,基 本 的 な図 形 の表 示 につ いて考 え よ う。 [1] 

デ ー タ の グ ラ フ

 デ ー タ を点 や 折 れ線 グ ラ フに表 して み よ う。 これ らは離 散 的 な量 を表 現 す るた め に利 用 さ れ る。 特 に,乱 数 はRandomを

用 いて 次 の よ う に作 る こ とが で き る。

  Random[]

 0か ら1の 範 囲 の 実 数 値 の 乱 数 を作 る。

  Random[Real,{2,5}]

 2と5の

間 の実 数 値 の 乱 数 を作 る。

  0と1の

間 の 乱 数 を100個

  Table[Random[],{100}]  

 1か ら6の

Random[Integer,{1,6}]

〔例 題19〕1か 点(n,r)を

ら5ま

で の 整 数 の 乱 数 を500個

プ ロ ッ ト し,そ

整 数 の乱 数 を作 る。

作 り,n番

目 の 乱 数rに

つ い て,

の特 徴 を調 べ よ。

〔 解〕

1,2,3,4,5の

作 る。

 (1.23)

値 だ け が 式(1.23)で

作 ら れ る こ と が 図1

図1.8 

乱 数 の 点

.8か

らわ か る。

問17 

コ ン ピ ュ ー タ で10回

〔例 題20〕8個

さ い ころ投 げ の 実験 を した い。 ど うす れ ば よ い か。

の デ ー タ,2.6,3.4,4.2,5.0,5.8,6.6,7.4,8.2か

(1,2.6),(2,3.4),…,(8,8.2)を

ら作 ら れ る 点

結 ぶ 折 れ 線 を 描 き,そ

の 特 徴 を 調 べ よ。

〔 解〕 〔 注2〕

 (後 ろ の デ ー タ)−(前

の デ ー タ)は

一 定 の 値0.8で

図1.9 

問18 

8個

ラ フは 直 線 に な る。

点 を結 ん だ グ ラ フ

の デ ー タ1.5,3.4,4.9,6.0,6.7,7.0,6.9,6.5を

ら折 れ 線 を 作 り,そ

あ り,グ

も と に し て,〔 例 題20〕

のよ うに点 か

の 特徴 を調 べ よ。

  デ ー タa1,a2,a3,…

か ら 点(1,a1),(2,a2),(3,a3),…

を 作 っ た と き,デ

ー タ と グ

ラ フ の 間 に は 次 の 関 係 が あ る 。 

[2] 

・a2−a1

,a3−a2,a4−a3,…

・a2−a1

,a3−a2,a4−a3,…が

陽

関 数

の

グ

ラ

が 一 定 の 値 の と き,グ 一 定 の 値 で 増 加(減

ラ フ は 直 線 に な る 。  少)す

る と き放 物 線 に 近 い 。

フ

 y=2x2,y=√x,y=sinxな

ど,y=f(x)の

関 数 の グ ラ フ を 表 示 す る と き に は,x軸,y軸,xの か じ あ 決 め て お く必 要 が あ る が,Mathematicaは

形 の関 数 を 陽 関 数 と い う。 陽

範 囲,yの

範 囲 な どをあ ら

こ れ ら の 多 く を 自 動 的 に 行 い,

こ れ を デ フ ォ ル ト値 と い う。   た だ し,目

盛 り の 幅 は,(x軸):(y軸)が

式(1.24)の

よ う にAspectRatio−＞Automaticを

黄 金 比(1+√5)/2:1に

な って お り,

つ け る とｘ 軸,y軸

の比 を

1:1に

で き る。

〔 例 題21〕

次 の グ ラ フ を−3≦x≦3で

(1)

描 け｡

 (2)

〔 解〕

(1.24)

図1.10 y=2x2の

 x が あ る値aに

近 づ い た と きf(x)の

と き,Mathematicaで い う。 ま たxの

図1.11 y=√x+3の

グ ラ フ

はInfinityが

値 が 無 限 に 大 き い か,ま 現 れ,y=f(x)の

値 を 無 限 に 大 き く す る とf(x)の

の よ う に 表 し,f(x)の

漸 近 線 はy=bで

グラ フ

た は小 さ くな る

漸 近 線 はx=aで 値 が 一 定 の 値bに

あ ると

近 づ く と き次

あ る と い う。

(1.25)

〔例 題22〕

〓の グ ラ フ を 描 き,漸

近 線 を調 べ よ。 〔注3〕

〔 解〕  xを 無 限 大 に し た(x→

∞)の

と き のyの

値 は 次 の よ う に 入 力 す る。

(1.26)

  関 数f(x)の

合 成 関 数f(f(x)),逆

関 数f-1(x)を

求 め よ う。

 〓の グ ラ フ

図1.12

〔例 題23〕 め,そ

関 数f(x)=x2+2xの

合 成 関 数f(f(x)),逆

の グ ラ フ を 描 け 。 必 要 に よ っ て はClear[f]を

関 数f-1(x)の

式 を求

入 力 して お く こ と。〔注4〕

〔 解〕 合成 関数

〔 注5〕

  (1.27)

 逆関数 (1.28)

 し た が っ て 逆 関 数 は,   f(x)とf((x))お 1.13,図1.14に

合成関数;

逆 関数;

よ びf(x)とf-1(x)の な る。

グ ラ フ は,次

の入 力で それ ぞれ図

図1.13 

f(x)とf(f(x)) 図1.14 f(x)とf-1(x)

〔注1〕PlotStyleは,ListPlotの

常 用 オ プ シ ョ ンの 一 つ で,  PointSize[0.01]は,点

の表

示 サ イ ズ の指 定 す る。 〔注2〕PlotJoinedは,ListPlotの

も う一 つ よ く使 わ れ る オ プ シ ョ ンで,離

散 されて い る

点 を線 で 結 ぶ。 〔注3〕PlotRangeでy軸 PlotRange→Allな

の 範 囲 を−4≦y≦4と

し た 。 他 にPlotRange→Automatic,

どが あ る。

〔注4〕Clear[f]で,fの

定 義 を ク リアす る。

〔注5〕Simplifyは,多

項 式 を 簡 略 す る 。 「//」 は,右

こ の 式 はSimplify[Nest［f,x,2]]と 〔注6〕GridLinesは,2次

側 の 関 数 を 左 側 の 式 に 働 きか け る 。

同 じ意 味 に な る 。

元 グ ラ フ の 目 盛 り の 格 子 を 表 示 さ せ る オ プ シ ョ ンで あ る 。

の 合 成 関 数f(f(x)),逆

問19  関 数f(x)=1/2−x

関数f-1(x)を

求 め よ。

[3]  陰 関 数 の グ ラ フ   円(x−2)2+(y+3)2=3な い,ImplicitPlotを

ど,f(x,y)=cの

形 に表 さ れ る関 数 を 陰 関 数 と い

用 い て そ の グ ラ フ を 描 く こ と が で き る。 た だ し,最

よ うな 前 手続 きが 必 要 で あ る。 〔 注7〕

初 に次 の

〔例 題24〕

円x2+y2=1,楕

〓,〓の グ ラ フ を 描 き,特

円

徴 を調 べ よ。 〔 解〕

〔注8〕

図1.15 

  結 果 は 図1.15の

(1.29)

円 と 楕 円

よ う に 円 と 楕 円 は 中 心 が 一 致 し,楕

円 の 軸 の 長 さ が2,3に

な

る。 〔注7〕

陰 関 数 作 図 の 専 用 パ ッ ケ ー ジ"ImplicitPlot"を

後 に は バ ッ ク ・ ク ォ ー ト(`)を 〔注8〕AxesLabelは,座

つ け る(ク

読 み込 む 。 パ ッ ケ ー ジ の名 の 前

ォ ー ト(')で

は な い)。

標 軸 の ラ ベ ル を 指 定 す る オ プ シ ョ ンで あ る 。

〓,〓の グ ラ フを描 き,両 者 の 関 係 を 調 べ よ。

問20  双 曲 線

[4]  媒 介 変 数表 示 の グ ラ フ   円,双

曲 線,サ

イ ク ロ イ ドな ど は 次 の 媒 介 変 数(パ

ラ メ ー タ)tを

れ る 。 こ う し た 関 数 を 媒 介 変 数 表 示 と い う。

円

〓放物線

〓  リ サ ジ ュ ー〓

用 いて表 さ

〔 例 題25〕 〔 解〕

上 の媒 介 変 数 表 示 の 円 と放 物線 の グ ラ フ を描 け。

(1) (図1.17)

(2)

それ ぞれ の グ ラ フ は

図1.16,図1.17の

よ う に な る。

図1.17  図1.16 

問21 

方 物 線

円

上 に あ げ た リサ ジ ユー〓

の グ ラ フ を 描 け 。 た だ し,tは0か

ら2π

と す る。

[5]  極 方 程 式 の グ ラ フ  x座 標,y座

標 で平 面上 の点(x,y)を

Oか らの距 離rとx軸

決 め る方 法 を 直 交 座 標 と い い,原

の正 の方 向 との な す 角 θを 用 い て(r,θ)で

め る方 法 を 極 座標 と い う。 極 座 標 上 で 半 径aの 円 はr=aで,こ 式 と い う。

点

平 面 上 の点 を 決 れを 円の極 方程

〔 例 題26〕 原 点Oか

らの距 離 が3でx軸

の 極 方 程 式 を 求 め,グ 〔解 〕

との なす 角 が45

°(π/4 ラ ジ ア ン) の 直 線

ラフ を描 け。

こ の 直 線 上 の 点 をP(r,θ)と

す れ ば,OP=r,∠POx=θ

だ か ら図1.18か

ら,

よ って 極 方 程 式 はr

図1.18 

 図1.19は

(1.30)

極方程 式の作成

図1.19 

極 座 標 と直 線

次 の入 力 で描 く こと が で き る。

 直 交 座 標(x,y)と

極 座 標(r,θ)と

の 間 に は,

(1.31) と い う 関 係 が 成 り立 つ か ら,式(1.30)を 変 数 表 示 に 直 し,〔 例 題25〕

式(1.31)に

代 入 し,次

の 形 式 に して 入 力 して も よ い 。

の よ う に媒 介

(1.32)

〓の グ ラ フ を0≦t≦6π

問22  極 座 標

[6] 

領

用 い る と,い

〔例 題27〕y=x4−4x2と

くつ か の 関 数 ま た は 図 形 で 囲 ま れ た 領 域 を 表 示 す る。

そ の 接 線y=4x+1で

図1.20 

問23 

の特 徴 を調 べ よ。

域

  FilledPlotを

  ま た,必

で 描 き,そ

4次 関 数 と接 線

要 に 応 じ てRemove[FilledPlot]を

図1.21の

三 角 形 の 内 部 をFilledPlotで

囲 ま れ た領 域 を 示 せ。

入 力 す る。

表せ。

図1.21 

三 角 形 の 内部

[7]  多 数 の グ ラ フ   い くつ か の グ ラ フ を 同 時 に 描 く に は1つ

の 座 標 系 に 表 示 す る 重 ね 書 き と,座

標

系 も別 に して 描 く ア ニ メ ー シ ョ ンが あ る 。 こ れ らの グ ラ フ を 作 っ て み よ う。 (1) 

重ね書き

  円 や 線 分 な ど の 図 形 の 重 ね 書 き はPlotとTableを 〔 例 題28〕2次

関 数y=x2−4xの

グ ラ フ を,x軸

用 い る。 方 向 に ±1,±2,±3平

た グ ラフを 重 ね て 描 け。 〔 解 〕x2−4x=(x−2)2−4だ

か ら,y=(x−2+k)2−4でk=−3,−2,…,2,3

とす れ ば よ い。

図1.22 

放 物線の平行移動

行移 動 し

問24 

指 数 関 数y=k･2xで,k=1,2,4,8,16と

(2) 

して グ ラ フ を 描 き,特

徴 を調 べ よ。

ア ニ メ ー シ ョン

  Doを

用 い て グ ラ フ を 多 数 描 く ア ニ メ ー シ ョ ン を 行 っ て み よ う。

〔 例 題29〕

〓を 用 い て,y=1+x,y=1+x+x2,…

,y =1+x+x2+…+x5の 〔 解 〕Do,Plotを

各 グ ラ フを 描 け。 用 い て 次 の よ う に 入 力 す る と 図1.23の

よ う に グ ラ フ が5つ

で

き る。

(1.33)

図1.23 

問25 

2-x,2・2-x,22・2-x,23・2-x,24・2-xの

1+x+x2+…+xn-1の

グラ フ

グ ラ フ を ア ニ メ ー シ ョ ン で 描 き,そ

の 特 徴

を調 べ よ。

[8] 

3次

元 の グ ラ フ

 空 間座 標 上 の 方 程 式z=f(x,y)の 〔例 題30〕 錐 を3次

底 面 半 径2cm,中 元 グ ラ フ で描 け。

グ ラ フ を描 こ う。

心 が(0,0,0),高

さ3cmで

頂 点 が(0,0,3)の

円

〔 解1〕

こ の 円 錐 の 母 線 上 の 点(x,y,z)は,

を満 た す か ら,次

の よ う に入 力 す れ ば よ い 。

(1.34) 〔 解2〕

円錐 の 中 心0か 2:(2−r)=3:zと

ら の 距 離 がrの な る か ら,次

図1.24 

と き の 高 さzは,図1.24の

よ う に,

の 式 が 成 り立 つ 。

円 錘 上 の点

 底 面 に平 行 な 半 径rの 円 を空 間座 標(x,y,z)で

表 す と,

(1.35)   パ ラ メ ー タr,tを

用 い て 入 力 す る と 図1.25が

得 られ る。

図1.25 

問26  餅 型 の曲 面

円 錘 の3次

元 グ ラ フ

〓を 媒 介 変 数 表 示 で 表 して3次 元 の グ ラ フを描 け。

1.6  方 程 式 の 解   2次 方 程 式 や 連 立 方 程 式 の解 とそ れ を 求 め る方 法 につ いて 考 え よ う。 解 に は式 で 表 さ れ た解 と数 値 解 が あ る。 [1] 

代 数 的 な 解

  4次 ま で の 代 数 方 程 式 の 解 は複素 数 の式 で代 数 的 に 表 せ る。 代 数 方 程 式 の 解 を 式 で 求 め,そ (1)2次

の特 徴 を調 べ よ う。

方程式

  2次 方 程 式ax2+bx+c=0をxに 〔 例 題31〕xの2次

つ い て 解 い て み よ う。

方 程 式ax2+bx+c=0,2x2−3x+4=0の

め よ。 〔 解1〕Solveを

用 い て解 を求 め る。

解 をそれ ぞれ求

/.でa,bに

数 値 を代 入 す る。

(1.36)

〓と な る 。

解 は, 〔 解2〕Rootsを

問27次

用 い て も解 が 得 ら れ る。

の方 程 式 の 解 を 求 めよ 。 必 要 に 応 じて//Simplifyを

(1)

追 加 す る と よ い。

 (2)

(2)  2項 方程 式  方 程 式xn=aの 〔 例 題32〕2項 〔 解1〕Solveを

(−1)1/3は

形 の方 程 式 を2項 方 程 式 と い い,代 数 的 に解 く こ とが で き る。 方 程 式x3=−1の

解 を求 め よ。

用 い て解 を求 め る。

何 か?ComplexExpandを

用 い て そ の 意 味 を 知 る こ と が で き る。

(1.37)

を−1の

立 方 根 と い う。

問28 x8=16を

解 き,ComplexExpandを

用 い て 解 をa+biの

形 で表 せ 。

(3)  連 立 方 程 式   2元1次

の 連 立 方 程 式,n元1次,さ

らにn元2次

方 程 式,定

数 を含 む 連 立 方

程 式 な どの解 を代 数 的 に解 いて み よ う。 〔 例 題33〕

次 の連 立 方程 式 の解 を代 数 的 に表 せ 。 た だ しaは 定 数 とす る。

(1)

〔 解〕

 (2)

(1)

 (2)

  2元2次,2元3次

な ど の 連 立 方 程 式 を 解 く こ と は 難 し い がMathematicaで

は

容 易 に そ れ らの 解 を 求 め る こ と が で き る。

問29  次 の連 立 方程 式 を 解 け。

(1)

 (2)

[2]  数 値 的 な 解   指 数 方 程 式 や三 角 方 程 式 を超 越 方 程 式 と い う。 超 越 方 程 式 や5次 以 上 の代 数 方 程 式 の 解 はふ つ う代 数 的 に解 け な い ので 数 値 的 に求 め る こと に な る。 ま た,代 数 的 に解 け る方 程 式 も数 値 的 な解 な ら求 め る こ とが で き る。

(1)  代 数 方 程 式 の近 似 解 〔例 題34〕 方 程 式x5−4x+2=0の

解 を求 め よ。

〔解 〕

(1.38) この結 果 は,解 が代 数 的 に求 ま らな い こ と を示 す。 そ こで近 似 値 を求 め る。

〔注1〕//TableFormで,結

果 を1つ

ず つ 並 べ て表 示 す る。

問30  方 程 式x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0の

解 の近 似 値 を求 め,そ の意 味 を調 べ よ。

(2)  超 越 方 程 式   指 数 方 程 式,対 数 方 程 式,三 角方 程 式 な どを超 越 方 程 式 とい い,解 は複 素 数 の 範 囲 で無 限 個 あ る。 超 越 方程 式 をMathematicaで

解 い て み よ う。

〔 例 題35〕 次 の方 程 式 の解 を求 め よ。

(1)

 (2)

〔 解 〕  (1)

解 はlog23に

な る。

(2)   こ の 方 程 式 は 代 数 的 に 解 く こ と が で き な い 。 そ こ で,y=2xとy=3x+2の グ ラ フ か ら お お ま か な交 点x=−1,3を

求 め る(図1.26)。

図1.26 

図1.26か

y=2xとy=3x+2の

グ ラ フ

ら次 の 手 順 で 近 似 解x=−0.417608,3.71715が

〔注2〕FindRootは,ニ

求 め られ る。

ュ ー トン法 を使 って 数値 解 を 求 め る。 適 切 な 初 期 値 を 選 ぶ こ と

が大 切 で あ る。

問31  方 程 式sinx=

問32  方 程 式cosx=x/3

1/2の 解 をSolveで

求 め,残

りの解 を 補 え。

の お お よ そ の解 をy=cosxとy=x/3

の グ ラ フ か ら 求 め,Find

‐Rootで 解 の近 似 値 を 求 め よ。

1.7  微 分 ・積 分  

Mathematicaで

は 微 分 ・積 分 が 簡 単 に 求 め ら れ る。 ま た,極

限 を利 用 して 微

分 係 数 や 定 積 分 を 代 数 的 に求 め る こ と もで き る。

[1]  微 分 係 数 関 数f(x)=x2の

上 の 点(a,a2)に

お け る接 線 の 傾 き は,極

限 の 考 え を利 用 し

て 次 の よ う に 表 し,こ

れ をx=aに

お け るf(x)の

微 分 係 数 と い いf'(a)と

表 す。

(1.39) x=a+hと

おけば

,式(1.40)が

得 られ る。

(1.40) a =1の

と き の 接 点(1

,1)を

通 る 直 線 とy=x2の

グ ラ フ を 描 い て み よ う。

〔注1〕

図1.27 y=x2と

〔 例 題36〕y=x2のx=aに 〔 解1〕

式(1.39)を

そ の接 線

お け る微 分 係 数 を求 め よ。 用 い て 微 分 係 数 を 求 め る。 〔注2〕

〔 解2〕

式(1.40)を

問33  式(1.40)お

(1) 〔注1〕EvaluateでTableを

用 いて 微 分 係 数 を 求 め る。

よ び式(1.41)を

用 い て次 の関 数 のx=ａ

 (2) 評 価 し て か ら作 図 す る 。

に お け る微 分 係 数 を求 め よ。

〔注2〕Limit[]で

極 限 の 計 算 が で き る。

[2]  導 関数  微 分 係 数f'(a)にa=xを

代 入 して作 られ る関 数f'(x)をf(x)の

導 関 数 とい

い,導 関 数 を求 め る こ とを微 分 す る と い う。 い ろい ろ な関 数 の導 関数 を求 め よ う。 〔 例 題37〕y=(ax+b)nの

導 関 数 を求 め よ。

〔 解〕

よ っ て,

〓(1.41)

  関 数f(x),g(x)そ

の も の にD[]を

公 式 が 求 め ら れ る。 ま た,f(x)の2次 は,D〔f[2],｛x,2}]で

用 い る と 和,差,積,商 導 関 数,つ

ま りf'(x)の

などの微 分 の 導 関 数f(2)(x)

求 め ら れ る。

〔 注3〕

〔 注3〕

問34 

[3] 

こ の 式 で 合 成 関 数f(g(x))の2次

2x,お よ びlog(f(x))をxで

積

導 関 数 を 求 め て い る。

微 分 せ よ。

分

  微 分 の 逆 演 算 を積 分 とい い,得

られ た結 果 を原 始 関 数,不 定 積 分 とい う。

(1)  不 定 積 分   例 え ば,xn+1を

微 分 す る と(n+1)xnだ 〓で,こ

  こ こ に,Cは

か ら,xnを

の 関 数 を∫xndxと

積 分 した と き原 始 関数 は

表 す。

任 意 の 定 数 で 積 分 定 数 と い う 。Mathematicaで

用 い て 不 定 積 分 を 行 う が,積

分 定 数Cは

はIntegrateを

つ け な い。 ま た,//Simplifyで

結 果が

簡 単 に な る場 合 が あ る。 〔 例 題38〕(ax+b)nを

積 分 せ よ。

〔 解〕

よ っ て,

 (1.42)

問35  次 の 関 数 をxで 積 分 せ よ。

(1)2ax

 (2)sin3x

(2)  定 積 分  y=f(x)の x=a ,x=bで

グ ラ フ がa≦x≦bで

常 に 正 で あ る と き,こ

囲 ま れ た 部 分 の 面 積S(図1.28)は

の グ ラ フ とx軸,直

線

次 の式 で 表 され る。

(1.43) こ こ にF(x)はf(x)の

原 始 関 数,つ

ま りF'(x)=f(x)と

図1.28 

式(1.43)を

次 の よ う に 表 し,f(x)のaか

な る 関 数 で あ る。

定 積 分

らbま

で の 定 積 分 と い う。

(1.44) Mathematicaで

は,式(1.44)の

定 積 分 もIntegrateを

用 い て 次 の よ うに 表 す 。

(1.45)

〔 例 題39〕x3をaか

らbま

で 積 分 せ よ。

〔 解〕

よ って

 

Mathematicaで

は

〓I ntegrate［f[x],{x,a, Infinity}]と

し て 求

め る。

問36  次 の 各 関 数 を0か

(1)

ら∞ まで 積 分 し,そ の 値 を 求 め よ 。

 (2)

1.8  論 理 と プ ロ グ ラ ム  

Mathematicaで

う。Mathematicaの

条 件,反

復,再

帰 の 表 し方 を 調 べ,そ

の 応 用 問 題 を解 決 しよ

プ ロ グ ラ ム は真 偽 の 判 定 に 利 用 す る こ と が 多 い。

[1]  真 偽 の判 定  条 件 や 反 復 に必 要 な 論 理 を まず 調 べ よ う。 例 え ば,2数

の 大 小;√3＞1は

真

で あ る。 こ れ を 次 の の や り か た で 確 認 す る。

  数 や 式 な ど の 関 係 が 真(True)か ど の 判 定 に は 次 の よ う に 末 尾 にQが

偽(False)か

な

表1.4  判 定 用 の シ ンボ ル

つ いた コマ ン ド

が 使 わ れ る。 真 偽 の 判 定 が で き な い と き 入 力 を そ の ま ま 出 力 す る。

〔例 題40〕2001,2003,2007,2009,2011の

中 か ら素 数 を 探 せ 。

〔解 〕

よ っ て,2003,2011が

素 数 で あ る。

問37  次 の 中 で 多 項 式 は ど れ かPolynomialQを

用 い て 調 べ よ。

  2x,(2x−1)6,sin(x2+x+1),tan-1(x)の

導関数 の逆数

[2]  条 件 と論 理 (1)  関 係,論 理 の記 号 式 や 命 題x,yか

ら作 られ る 同 値,大

小 関 係,論

理 は表1.5に

ま とめ られ る。

表1.5 大小 と論理の記号

(2)  条 件 を つ け る  

Mathematicaで

の 整 数(Integer)に

は,記

号/;で

式 に 条 件 を つ け る 。 例 え ば,階

限 定 す る と き に は,次

乗n!を0以

上

の よ うに定 義 す る。

(1.46) い くつ か の 数 に つ い て 試 み る 。

(1.47) 式(1.47)か (3) 

分

ら,nが0以

上 の 整 数 の と き に だ けg[n］

岐

条 件 を,If,あ

る い はWhichで

分 岐 さ せ て処 理 す る。

を 計 算 す る こ と が わ か る。

〔 例 題41〕

論 理 を 用 い て 次 の 関 数 を 作 り,グ

(1) 〔解 〕

ラ フを 描 け。

 (2) 〔注1〕

(1)

(2)

図1.29 

式(1.48)の

〔注1〕y=￨x−2￨の

図1.30 y=￨x+1￨+￨x−2￨

y=￨x−2￨

グ ラ フ は,次

の や りか た で 描 く こ と もで き る。

最 善 の 定 義 はf[x＿] :=Abs[x−2]で

あ る。

問38  次 の 関数 の グ ラ フを描 け｡

[3]  反 復 と再 帰  計 算 や 操 作 を繰 り返 して,リ (1) 

ス トや 合 成 関 数 を作 成 しよ う。

デ ー タ の作 成

 12,22,32,…,n2やa1,a2,a3,…,anな

〔例 題42〕21=2,22=4,23=8,…,210=1024を

ど の数 列 を作 る方 法 を調 べ よ う。

表 示 せ よ。

(1.48)

〔 解1〕Doを

使 う。

(1.49) 〔 解2〕Forを

使 う。

(1.50)  こ れ ら は す べ て 次 の よ う な 出 力 結 果 に な る。 た だ し,紙 2, 4,

問39 

8,

16, 32,

数 列22,42,62,82,102を

64,

128,

256,

512,

面 の 都 合 で横 に並 べ た。

1024

作 れ 。

(2)  反復 と再 帰   あ る 関 数 を,そ ま た,あ

れ 自 身 を 用 い て 定 義 す る方 法 を 再 帰(リ

る 関 数 の 合 成 関 数 を 次 々 に 作 る よ う な 手 続 き の こ と を 反 復(ア

シ ョ ン)と

い う。

イ テ レー

い う。 反 復 と 再 帰 は ア ル ゴ リズ ム の 中 心 的 な 役 割 を 果 た す 。

〔 例 題43〕n=1,2,…,10に

つ い て,n!を

反 復 的 お よ び 再 帰 的 に 求 め よ。

〔 解 〕(1) nに

つ い て の 反 復 で 求 め る。

〔注2〕g=g*nの

代 わ り にg*=nと

を 表 す 。g+=n,g−=n,g/=nな  (2) 

カ ー ジ ョ ン)と

し て も よ い 。g*=nはg*nを

再 びgと

す る手続 き

ど も類 似 の 手 続 きで あ る。

再 帰 で 求 め る。

(1.52)

問40  数 列12,22,32,42,52を

〓に つ い て,4重

〔 例 題44〕 〔 解 〕Nestを

反 復 お よ び再 帰 で 表 示 せ よ。

の 合 成 関 数f(f(f(f(x))))を

求 め よ。

用 い る。

(1.53)

(1.54)

  式(1.54)の

よ うな 分 数 式 を 繁 分 数 と い い,NestListで4重

まで の 繁 分 数 に な

〓に 近 づ く。

り,各 繁 分数 に任 意 の数 を代 入 す る と黄 金 分割 比

(1.55)

 〓に対 してf(f(1)),f(f(f(1))),f(f(f(f(1)))),f(f(f(f(f(1)))))

問41

値 を求 め,ど の よ うな値 に近 づ くか 推 定 せ よ。

練 習問題 1.  数 を 丸 め て 整 数 に す る 組 込 関 数 に は,Round[], 

−2≦x≦2で

Floor[],Ceiling[]が

適 当 な数 を と り,そ の 特 徴 につ いて調 べ よ。

2.  分数 式 〓にn=1,2,3,4を

3.  原点Oを

代 入 した と きの 式 を求 め よ。

焦 点,直 線x=−2を

る放 物 線 は図1.31でPH=POを

準線 と す 満 たす点

P全 体 で あ る。 この こ とを 利 用 して 極 方 程 式 を作 り,グ ラ フを描 け。 ま た,媒 介 変 数   表 示 に直 せ 。 た だ し,0.2≦t≦6.1と

す る。

図1.31 

4. 

中 心O(0,0),半

径1の

円 と 直 線x=tの

交 点 をA,Bと

放 物 線 上 の点P

す る と き,

あ る。

(1) t=1/2の

と き の 円Oと

直 線x=tを

た だ し,2点(a1,a2),(b1,b2)を (a1,a2)を (2) 

円Oの

中 心,半

径rの

描 け｡  端 点 と す る 線 分 はLine[{a1,a2},{b1,b2}]点

円 はCircle[{a1,a2},r]で

弧 と 線 分x=t＞0つ

ま り 弦ABで

描 く。

囲 ま れ た 部 分 の 面 積fをtで

表せ。

〓と い う関 係 が成 り立 つ｡

5.  三 角 関 数 の 間 に は  媒 介 変 数 表 示x=2/cost,y=3tantの

グ ラ フ を 描 き,双

6.  あ る直 角 三 角 形 が あ り,周 の長 さが36,内

曲 線 で あ る こ とを 示 せ 。

接 円 の 半 径 が3で あ る とい う。 この三 角 形

の3辺 の長 さを 求 めよ 。 7.  次 の式 を直 して 公 式 を 作 れ 。 ただ し,Trig‐>True,Expand,PowerExpandを

(1) 8.  点(0,1)に

 (2)

お け るy=exの

 (3)

グ ラフ の接 線 はy=x+1で

9.  2辺 の長 さ が2,4の 長 方 形ABCDが  Aか

らPま で の道 の りをxと

す る と き,APの

らPま

長 さyを 条件 を用 い て表 せ。

長 方形 上 の動 点

10. 次 の 式 を 直 して微 分 ・積 分 の 公式 を 作 れ。  (2)

あ る。 これ を図 示 せ よ。

あ り,そ の 周上 の動 点PがAか

図1.32 

(1)

使 う。

 (3)

で 動 く。

第2章  離 散 化 の アイ デ ア   デ ー タを社 会 現 象 や 自然 現 象 を観 察 して作 り,規 則 を見 つ け関 数 や コ ー ドな ど で 表 現 す る こ と をふ つ う数 量 化 とい い,特 に離 散 的 な デ ー タ につ い て行 うこ と を離 散 化 と い う。 こ こで は,離 散 的 な デ ー タを数 量 化 し,Mathematicaで

処 理 す る方 法 を い くつ か取 り上 げ る。

2.1  数 で 表 す   現 象 を数 値 で 表 す と き,単 位 をつ けて測 定 し有 限小 数 な どで表 す。 これ を離 散 的 表 現 と も い う。 ここ で は,単 位 の表 し方 と数 の扱 い(記 数 法)に つ いて考 えよ う。

[1]  測 定 の方 法   量 を測 定 す る と き,ふ つ うあ る単 位 で 測 る。 単 位 はJISで 基 準 化 され て お り絶 対 単 位 と呼 ばれ る。 主 な単 位 と記 号 を あ げ て お こ う。 表2.1  主 な 量 と単 位 〔注1〕

 ま た,各

単 位 に は 次 の 「接 頭 語 」 を つ け る。 こ こ に 例 え ば10-3は0.001を

表

す 。 表2.2  接 頭 語 の名 称 と記 号

〔注1〕JISハ

問1 

ン ドブ ッ ク情 報 処 理

用 語 ・コ ー ド編

あ る コ ン ピ ュ ー タ が1回

  (2) 

地 球 の 質 量5,990,000,000,000,000,000ト

Mathematicaの

  Mathematicaを (1) 

版 よ り

次 の数 値 を接 頭 語 をつ け て 表せ 。

  (1) 

[2] 

日 本 規 格 協 会1995年

足 し算 す る 時 間   0.00000000123秒 ン

利 用

用 い て 時 間 な ど の 量 を 表 し,単

位 の 変 換 を 行 って み よ う。

日付 と 時 刻

〔例 題1〕

現 在 の 日 付 と 時 刻 をMathematicaで

表 示 せ よ。

(2.1)

〔解 〕

 現 在 の 日付 は1996年4月10日,現

在 の 時刻 は21時36分7秒

〔 例 題1〕 の 表 記 法 は国 際 的 な 規 約 に従 って い る。 な お,日

 (2.2)

付 と時 刻 を 表 す に

は 次 の 方 法 が あ る 。 方 法4はJIS規

格 に 特 有 で, h08は

平 成8年

を表 す。

 方 法1;19960410213607  方 法2;1996‐04‐10‐21:36:07   方 法3;1996

04

10 21:36:07

 方 法4;h08,04,10,21:36=07

問2  式(2.1)でDate[−4]と

す る と ニ ュー ヨー クの時 刻 に な る。−4の 意 味 を 調 べ よ。

東京 の 時刻 を 与 え る数 字 は何 か。 (2) 

角

度

  表2.1で,ラ

ジ ア ン(弧

度)と

も呼 ば れ,円

の 半 径rと

弧 の 長 さlの 比 で

(2.3) と 表 さ れ る 。 例 え ば,180°

は π ラ ジ ア ン,

60°はπ/3ラ ジ アンに な る｡   Mathematicaで

角 度 を利 用 す る と き は,

度 の と き に だ け 数 字 の 後 ろ にDegreeを

つ

け る。 角 度 を 利 用 し て 三 角 形 の 辺 の 長 さ を

図2.1 

弧

度

求 め る こ と は測 量 の基 本 で あ る。

〔 例 題2〕

平 坦 値 で2地

詳 し く測 り,AB=1.21Kmを A,Bか

らP山

点A,Bの

距離 を

得 た 。 ま た,

を 望 み ∠PAB=75.0°,∠PB

A =101.0° を 得 た 。PA,PBを

求 め よ。

図2.2 

P山 との 距 離

〔 解〕 正弦定理

(2.4)

〓

か ら,

〔注2〕

 

リ プ レ イ 機 能 でIn[2]のSin[101

行 し16.8し 〔注2〕

Degree]をSin[75

Degree]に

変 え て実

た が っ て,AP=17.0Km,BP=16.8Km

有 効 数 字 の 桁 数 を 表 わ す 。 有 効 桁 数 を 指 定 す る こ と に よ っ て,さ

らに 精 密 な 値 が

求 め ら れ る 。 例:N[…,100]。

問3 

図2.3はA,Bの2地

点 か らQ島

だ よ う す で あ る 。AQ,BQの

を望 ん

距離 を 求 め よ。

図2.3 

[3] 

との 距 離

単 位 の変 換

  Mathematicaを 〔 例 題3〕 (1) 

Q島

用 い て単位 の変 換 を して み よ う。

次 の値 を()の チ ョ モ ラ ン マ(エ

単 位 の 値 に直 せ。 ベ レ ス ト)の 標 高   29038フ

ィ ー ト(m)

(2)  山 の手 線 の電 車 の平 均 速 度   時速76Km

 (m/秒)

(3) 

 (ラ ジ ア ン)

〔 解〕

(1)

(2)

45度

の角 度 〔 注3〕

(3)

〔注3〕

こ の パ ッケ ー ジ は,世

界 中 で よ く使 わ れ て い る各 種 ユ ニ ッ ト(Unit:単

位)シ

ス

テ ムの 交 換 専 用 の もの で あ る。

問4 

マ ラ ソ ン の 距 離42.195Kmは

[4] 

何 マ イ ル か 。 ま た,xKmをyマ

イルに直す式 を作 れ。

数 の 表 示 方 法

  離 散 数 学 で 扱 う数 に は次 の 数 が あ り,デ ー タを こ う した数 で表 す こと を記 数 法 と い い,必 要 な と きに これ らの 中 で 最 も適 した もの を選 ぶ。

自然数; 整数;  小数 有理数 ; 分 数;  情 報科 学 で は分 数 の こ とを有 理 数,小 数 で表 した数 の こ と を実 数 と い う。 小 数 の 表 し方 に は次 の よ うに 固定 小 数 点表 示 と浮 動 小 数 点 表 示 が あ る。

固定小数点表示; 浮動小数点表示; 〔 例 題4〕   (1) 

次 の値 を固 定 小 数 点 表 示 ま た は浮 動 小 数 点 表示 で 表 せ。 一 辺 が3.65mの

正 方 形 と 半 径2.15mの

円 形 の 花 壇 を 作 っ た。 この 花 壇

の面 積 は ど れ だ け か。   (2) 

金 の 原 子1個

は,一

ど入 る 。 金1cm3の は10-10mで 〔解 〕(1) 

辺 が2.88オ

ン グ ス ト ロ ー ム(A)の

中 に原 子 は何 個 あ る か 。 た だ し,1オ

あ る。

3.652+2.152π=27.84(m2)

立 方 体 に ちょ う ン グ ス トロ ー ム

(2)

(2.5)

(2.6) (2.7) (2)はMathematicaで

次 の よ う に な る。 〔注4〕

  特 に,式(2.5)を 式(2.6)を

式(2.6)の

形 に す る 変 形 の しか た を 正 規 化 と い う 。 ま た,

四 捨 五 入 し て 式(2.7)の

4.19に 当 た る 数 を 仮 数,19に

形 に す る こ と を 丸 め と い う。 式(2.7)で,

当 た る数 を 指 数 と い う。 表2.3  数 の処 理

  浮 動 小 数 点 表 示 で は,仮 数4.19で 精度 が3桁 で あ る こ と を 表 す 。 浮 動 小 数 点 表 示 は精 度 も同 時 に示 し,大 きい数 や0に 近 い数 を表 す と き に浮 動 小 数 点 表 示 を 用 い る。 問5  次 の表 の各nに

つ いて√n+1,√nを10桁

の精 度 で 求 め,√n+1−√nの

精度 を調

べ よ 。

表2.4  桁 落 ち

 表2.4の よ う に精 度 が下 が る現 象 を桁 落 ち と いい,浮 動 小 数 点 表 示 で 引 き算 を

す る と き に 起 こ る こ と が あ り,注 〔 注4〕   Mathematicaで

意 を 要 す る。

は,積 を 示 す 「*」 を 「スペ ー ス」 で 置 き換 え る こ とが で き る。

ア,数 値*数 値   イ,数 値*記 号   ウ,記 号*記 号 さ らに,数 値*記 号 の 「*」 は 省 略 も で きる。

2.2 

コ ー ド化

  JIS規 格 で は 数 字 や 英 文 字 の 各 文 字 に 次 の コ ー ドを 割 当 て て い る 。 こ の コ ー ド 体 系 を(句 点)JISコ

ー ド と い い,例 表2.5 

JISコ

ー ド は 表2.6の

英 数 字 の コ ー ド(JISコ

よ う に2進 表2.6 

え ば 「A」 は2341と

JISコ

数 と み な さ れ,こ

い う コ ー ドを も っ て い る。

ー ド)

れ を16ビ

ッ ト コ ー ド と も い う。

ー ド

注)網 部 分 はASCⅡ

問6 

表2.5のJISコ

ー ドと そ の2進 表2.7 

数 表 示 の 関 係 を調 べ よ。

英 数 字 の コ ー ド(ASCⅡ

コ ー ド)

コー ド

  ア メ リ カ で は7桁

の2進

ASCⅡ (ア ス キ ー)コ の コ ー ドは31で,こ

数 で 英 数 字 な ど を 表2.7の

ー ドま た は8ビ の2進

よ う に 表 し,こ

ッ ト コ ー ドと い う。 こ の 表 で,例

コ ー ド は0110001に

な り,表2.6の

の コ ー ドを えば

「1」

各 コ ー ド の 下7

ビ ッ トと 同 じに な る。 表2.8 

  MathematicaでASCⅡ 〔 例 題5〕ASCⅡ

JISコー

ド

コ ー ドを 表 して み よ う。 コ ー ドでab12の4つ

の 英 数 字 を10進

数 に 直 せ 。 ま た,2進

16進 数 に 直 せ 。 〔 解 〕ab12を

コ ー ドの10進

数 表 示 に 直 す。

 10進 数 表 示 を2進 数 表 示 に直 す 。 〔注1〕

  同 じ く10進

数 を16進

数 に直 す。 〔注2〕

〔注1〕%は

直 前 の 結 果 を 表 し て い る。 こ れ を ア ン サ ー 機 能 と い う。

〔注2〕%7はOut[7]を

表 して い る。

問7 

コ ー ドを10進

英 字y,zのASCⅡ

数 で,ま

た2進

数 で 表 せ。

数,

2.3  数 式 化   数 の 大小 な ど順 序 の あ るデ ー タの特 徴 を 調 べ る と き,関 数 な どの式 で 表現 で き る。 こ う した 離 散 デ ー タを モ デ ル 化 す る基 本 的 な方 法 につ いて 調 べ よ う。 [1] 

昼 の長 さ の モデ ル化

  昼 の 時 間 は1年 で ほ ぼ周 期 的 に繰 り返 す。1995年1月1日

か ら20日 お きに とっ

た デ ー タを もと に,昼 の長 さを 関 数 で 表 して み よ う。 〔 例 題6〕 長 さdをnの

表2.9の デ ー タを も と に,1994年12月31日

か らn日 後 の東 京 の 昼 の

式 で表 せ。 また,絶 対 誤 差 の 最 大 値 を求 め よ。 表2.9  東 京 の 昼 の 時 間

〔解 〕Mathematicaで 正 弦 曲 線 に 近 い。

点 を 次 の よ う に プ ロ ッ ト し て み る と 図2.4の

よ う に な り,

図2.4 

 1年365日

でn日

月22日)に

目は

東京の昼の長 さ

〓と す る。 図2.4で,周

近 い 。 そ こ で グ ラ フ を81日,左

期 の1/4が

に ず ら し た 式(2.8)を

春 分 の 日(3 た て る。

(2.8)   表2.9で,dの 期2π

差 が 最 も大 き く な るnを2ヶ

≒6.28だ

所 選 ん でa,bを

求 め る 。sinxは

周

か ら,

n=1の と き,10.98=−0.9813a+b n=181の と き,15.82=0.9887a+b

Mathematicaを

  表2.9の

用 い て 連 立 方 程 式 を,精

デ ー タ は,次

度4桁

で 数 値 的 に 解 く。

の関 数 で表 せ る。

(2.9)

式(2.9)にn=1,21,41,…,361を

 n=121(5月1日)で

代 入 す る と,次

表2.9の

の よ う に な る。

デ ー タ と の 差 を と る と絶 対 誤 差 が 最 大 に な り,

値 は

〓(時 間) こ れ は 約12分 〔 例 題6〕

と い うわず か な差 にな る。 で は,関

す る の に,絶

数 で 表 した モ デ ル が デ ー タ と ど の 程 度 合 っ て い る か を 確 認

対 誤 差 の 最 大 値 を 求 め た 。 こ う し た 手 続 き を モ デ ル の 評 価 と い う。

〔 注1〕ListPlotは,リ ‐> PointSize [0.01]は,ポ

問8  さdをnの

表2.10は,1995年

ス ト・デ ー タを2次

元 グ ラ フ に す る コ マ ン ドで あ る。PlotStyle

イ ン トの 表 示 サ イ ズ を大 き め にす る。

に お け る札 幌 の 昼 の 時 間 で あ る 。12月31日

式 で 表 せ 。 ま た,こ

か らn日

後 の昼 の 長

の モ デル を 評 価 せ よ。 表2.10  札 幌 の 昼 の 時 間

[2] 

再 帰 関 係 の 表 現

 nが 自然 数 の と き,n+1の

状 態 をnの 式 で表 す こ とが 行 わ れ る。 世 界 的 に 規

格 化 され て い る定 型 用 紙A版

の縦,横

の長 さ の関 係 につ い て調 べ よ う。

〔 例 題7〕

用 紙A版

タ を も と に,An版

の 縦,横

の 長 さ は 表2.11の

の 縦 横 とAn+1版

表2.11  A版

よ うに表 され て い る。 こ の デ ー

の縦 横 の 関係 を調 べ よ。

の縦 横

図2.5 

図2.6 

〔 解 〕An版

の 縦,横

Anの

A版 の 縦 横

縦横 の関係

の 長 さ を そ れ ぞ れan,bnと

す る 。 図2.6か

ら次 の 関 係 が

で き る。  →

の 関 係 か ら,an+1=bn 

 →の 関 係 か ら,bn+1=(an/2の   式(2.10),(2.11)の 係 を 再 帰 関 係 と い い,そ 〔 例 題7〕

よ う に,n+1の

(2.10) 小 数 を 切 り捨 て)  と き の 状 態 をnの

(2.11)

ときの状態 で表 す関

の 式 を漸 化 式 と い う。

で は,an,bnと

の 再 帰 式 を 作 っ て み よ う。

い う2つ

の 変 量 が 互 い に 関 係 し 合 っ て い る 。anだ

け

〔 例 題8〕

表2.11でan+1とanの

〔 解 〕a1=p1を√2で で 割 っ た 値 をp3と

再 帰 関 係 を 求 め よ。

割 っ た 値 をp2,そ し,p3も

れ を 丸 め た 値 をa2と

す る 。p2を√2

同 様 に し て 丸 め る。

〓,小 数 以 下 を切 り捨 て る とa2=594

〓, 小 数 以 下 を 切 り捨 て る とa3=420 

  以 下 同 様 に し てp4,p5を

計 算 し,小 数 以 下 を 切 り 捨 て る とAn版

求 め ら れ る。   Mathematicaで

〔 注2〕Floor[x]は,xを 〔 例 題8〕

は,次

の よ う に して 縦 の 値 を 求 め る。

超 え な い最 大 の 整 数 を 出力 す る。

の 手 続 き を 模 式 化 す る と 図2.7の

図2.7 

 再 帰 関 係 は次 の よ うな形 式 が あ る。

よ う に な る。

再 帰 と丸 め

(2.12)

の縦 の 長 さ が

表2.12  再 帰 関 係 の型

問9  定型 用 紙B版

の縦 の長 さanと 横 の長 さbnが 表2.13の

anを 再 帰 関 係 で 表 し,Mathematicaで

よ うに な って い る。 縦 の長 さ

各 値 を求 め よ。

表2.13  B版 の縦 横

図2.8 

B版 の縦 横

2.4  集 合 と行 列   順 序 を逆 に して もよ い多 数 の デ ー タにつ い て,同 一 の処 理 を した り共 通 部 分 を 考 え る と きに集 合 や行 列 で モ デ ル化 を す る。 こ う した 数学 モ デ ル作 成 の基 本 的 な 方 法 に つ い て調 べ よ う。

[1]  集 A,Bを

合

集 合 と み な し,集

合 の 計 算 法 則 を ま と め よ う。

〔 例 題9〕

次 のA,Bを

使 って次 の集 合 演 算 を表 せ 。

(2.13) (2.14) (1)  交 わ りA∩B  〔 解〕   (1) 

(2)  結 びA∪B 

交 わ り

  式(2.13),式(2.14)のAとBに (積 集 合)に

(3)  補 集 合A

共 通 す る デ ー タ(2.15)がA,Bの

交わ り

な る。

(2.15)

図2.9 

Mathematicaで

は,次

A,Bの

の よ う に し てAとBの

交 わ り

交 わ り を 求 め る。

  A={0,1,2,3,4,5};   B={0,1,2,6,7,8,9};   In[16]:=Intersection[A,B]  Out[16]={0,1,2} (2)  A,Bの

結 び ど れ か 一 方 に あ る デ ー タ が 結 び(和

集 合)に

な る。

(2.16)

図2.10 

A,Bの

結 び

(3) 補 集 合 デ ー タ 全 部 の 集 ま り を 全 体 集 合 と い い,Uで U=A∪Bの

と き,Aに

属 さ な いUの

表 す。

デ ー タ がAの

補 集 合Aに

な る。

(2.17)

  補 集 合 を 求 め る と き,全   A,Bの

よ う に,順

体 集 合 が 必 要 に な る。

番 が 無 関 係 な デ ー タ の 集 ま り を 集 合 と い い,結

び や 交 わ り,

補 集 合 の 計 算 を 集 合 演 算 と い う。   Aの

要 素 の 個 数 をn(A)と

表 し,カ

ー デ ィ ナ ル ス 数 な ど と い う。

  例 え ば,n(A)=6,n(B)=7,n(A∪B)=10   Mathematicaで

は,こ

れ らを 次 の よ う に す る 。

  Length[A],Length[B],Length[Union[A,B]]   ま た,図2.9や

図2.10の

集 合 の 考 え 方 で,問

よ う に 集 合 を 表 現 し た 図 を ベ ン(Venn)図

と い う。

題 を 解 決 し て み よ う。

問10  あ る女 子 大 学 の同 窓 会 が あ り,出 席 者36人  

A:結

婚 して い る人

 

B:職

業 を 持 って い る人

  この と き,次 の人 をA,Bを

につ いて 次 の こ とが わ か った。

  →25人   →14人

用 いて 表 し,そ の 最 低 人 数 を求 め よ。

(1)共

働 き

  (2)専

業主 婦

図2.11

[2]集

合 演 算

と 計 算 方 法

主 な 集 合 演 算 と そ れ ら の 表 し方,お ・結 び:Aま

た はBの

・交 わ り;A,B双

よ び 個 数 の 計 算 法 に つ い て ま と め て お こ う。

要 素 か らな る 集 合 をA

,Bの

結 び と い い,A∪Bと

方 に 入 る 要 素 か らな る 集 合 をA ,Bの

表 す。

交 わ り と い い,A∩Bで

表す。 ・要 素;3はAの

要 素 で あ る がBの

・補 集 合;U=A∪Bの ・直 積;A={1

要 素 で な い。 こ れ を3∈A

中 で ,a∈B全

,2,3},B={a,b}の

体 をBの

と き,次

,3∈Bと

補 集 合 と い い,Bで

の 集 合A×BをA,Bの

表す。

表 す。 直 積 と い う。

(2.18)

(2.19) と 表 せ る。   Mathematicaで て,A,Bの

はA={0,1,2,3,4,5},B={0,1,2,6,7,8,9},U=A∪Bに 交 わ り,結

意味

び,Aの

要 素,補

つ い

集 合 な ど を次 の よ うに表 す。

 式

  結果

(1) 

結

び  Union[A,B] 

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(2) 

交 わ り   Intersection[A,B] 

(3) 

3番

(4) 

3はAの

目 の 要 素Part[A,3]ま 要 素 か? 

{0,1,2} た はA[[3]]2

MemberQ[A,3]

True

(

(5) Aの

6) Aの (7) 

補 集 合   Complement[U,A] 

{6,7,8,9}

個数 

6

Length[A] 

直 積A×B 

図2.12 

問11  上 の(1)か

Outer[List,A,B]

図2.13 

補 集 合

ら(7)を

直

積

実行 し,各 表 現 が正 しい こ とを確 認 せ よ。 た だ し,次 の 式 を

前 も って 宣 言 して お く。

(2.20)

A,Bを (1) 

使 っ た 主 な リ ス ト処 理 を あ げ て お こ う 。 Aの

前 半3つ

を取 り出す

  Take[A,3]={0,1,2} (2) Aの

後 半3つ

を取 り出 す

  Take[A,-3]={3,4,5} (3) 

Aの

後 に5を

追 加 す る

  Append[A,5]={0,1,2,3,4,5,5} (4) Aの

前 に6を

追 加 す る

  Prepend[A,6]={6,0,1,2,3,4,5} (5) Aの

第3番

目 の 位 置 に6を

  Insert[A,6,3]={0,1,6,2,3,4,5}

追 加 す る

(6) 

Aの

第3番

目の位 置 を 削 除 す る

  Delete[A,3]={0,1,3,4,5} (7) 

Aの3番

目 まで の 位 置 を 削 除 す る

  Drop[A,3]={3,4,5} (8) 

Aの

後 ろ か ら3番

目 ま で の 位 置 を 後 ろ か ら削 除 す る

  Drop[A,−3]=｛0,1,2} (9) 

Aの

 

Join[A,B]={0,1,2,3,4,5,0,1,2,6,7,8,9}

(10) 

後 にBを

続 け る

ダ ブ リを な く す   Union[{2,2,3,4,4,5}]={2,3,4,5}

(11)   

リ ス ト を 要 素 と す る リ ス ト で,各

要 素 の1番

目を取 り出 す

Map[Take[#,1]&,{{1,2},{3,4},{5,6}}]={{1},{3},{5}}

(12) 

{}を

(2.21)

な くす

 

Flatten[{{1,2},{3,4},{5,g}}]={1,2,3,4,5,6}

(13) 

昇 順 に並 べ る  Sort[A]={0,1,2,3,4,5}

(14) 

順 序 を 入 れ替 え る   Reverse[A]={5,4,3,2,1,0}

次 の(15)か

ら(18)は

(15)  定 数1を

数 学 的 な 処 理 で,数

ベ ク トル の 計 算 で も あ る 。

加え る

  A+1={1,2,3,4,5,6} (16)  定 数3を

掛 ける

  3A={0,3,6,9,12,15} (17) 

(2.22)

要 素 毎 に加 え る

  A+{0,1,2,6,7,8}={0,2,4,9,11,13} (18) 

(2.23)

要 素 毎 に掛 け る   A*{0,1,2,6,7,8}={0,1,4,18,28,40}

(2.24)

問12  上 の(1)か

ら(18)の

操 作 が 正 しい こ とを確 認 せ よ。

  リ ス ト処 理 を 利 用 し て 問 題 を 解 決 して み よ う。

〔 例 題10〕

通 勤,普

通,特

時 と 減 加 速 度rm/ｓ2で ま で の 時 間 に(空

急,新

幹 線 の 各 電 車 は,そ

あ る。 ま た,運

走 時 間)p秒

れ ぞ れ 次 の 初 速 度υKm/

転 士 が気 づ い てか ら ブ レー キ が作 動 す る

か か る。 表2.14  電 車 の停 止 能 力

運 転 士 が気 づ い て か ら停 止 す るま で の距離sは 次 の式 で表 され る。

(2.25)  初 速 度υ と減 加 速 度rを 式(2.26)と

す る と き,各 電 車 の 停 止 距 離sを 求 め よ。

(2.26) 〔解 〕In[20]:=v={100,110,130,240};r={1.0,1.1,1.3,0.7};   In[21]:=u=v*1000/3600.0   Out[21]：={27.7778,30.5556,36.1111,66.6667}   In[22]：=u^2/2/r+2u   Out[22]:={441.358,485.494,573.765,3307.95}   通 勤 は441m,普 〔例 題10〕

急 は574m,新

で 扱 っ た リ ス ト(2.26)を

数 の デ ー タを一 括   ま たMathematicaで  

通 は485m,特

幹 線 は3308mで

数 ベ ク ト ル と も い う 。 数 ベ ク ト ル は,多

して 扱 う の に 便 利 な 表 現 で あ る 。 は,次

停 止 す る。

の よ う な 内 積 の 計 算 もで き る 。

{1,2,3,4}.{−2,1,3,5}=1・(−2)+2・1+3・3+4・5=29

[3] 

行 列 表 現

  多 数 の デ ー タが あ る と き,項 目別 に分 類 して 表 の形 に表 す こ とが あ る。 こ う し た 手続 きを デ ー タ の構 造 化 とい う。 構 造化 した デ ー タの処 理 を考 え よ う。  例 え ば,あ

る学 校 で あ る学 年 の3ク ラ ス の,各 学 期 の成 績 は次 のよ うで あ った。 表2.15  1学 期 の成 績

表2.16  2学 期 の 成 績

(2.27)

図2.14 

行

列

  図2.14の よ うに,表 の枠 を取 り去 り数 ベ ク トル を 何 行 か 重 ね た デ ー タ の 集 ま り を行 列 と い う。 上 の表 で は,同

じ位 置 に あ る デ ー タ同士 を足 して2で 割 れ ば1,

2学 期 の平 均 に な る。 同 じ位 置 に あ るデ ー タ同士 の足 し算 を行 列 の 加 法 と い う。

(2.28)

 同 じ位 置 に あ る デ ー タ同 士 の実 数 倍 を行 列 の 実 数 倍 と い う。

(2.29)

 こ う して,各 教 科 の平 均 値 が 求 め られ る。

表2.17  成 績 の平 均 値

  Mathematicaで

は,リ

ス ト の リ ス トで 行 列 を 作 る 。

  In[23]:=a={{6.2,7.1,5.8],{6.4,6.5,7.0},{6.6,6.8,6.6}}; MatrixFormで

行 列(2.27)と

同 じ表 現 に な る 。

  In[24]:=MatrixForm[a]   Out[24]=6.2 

7.1  5.8

  6.4      Mathematicaで

6.5 

7.0

6.6  6.8 

6.6

の 行 列 の 加,減,定

〔例 題11〕Mathematicaで,表2.15,表2.16の 〔解 〕

行 列a,bを

数 倍 は リ ス ト処 理 で 簡 単 に で き る 。

学 期 の平 均 値 を 求 め よ。

次 の よ う に決 め る 。

 

In[25]:=a={{6.2,7.1,5.8},{6.4,6.5,7.0},{6.6,6.8,6.6}};

 

In[26]:=b={{6.4,7.1,5.6},{6.4,6.7,6.8},{6.4,7.0,6.8}};

式(2.28),式(2.29)を  

次 の よ うに して計 算 す る。

In[27]:=p=(a+b)/2

結 果 を行 列 の 形 で 表 現 す る。   In[28]:=MatrixForm[p]  Out[28]=6.3 

問13  表2.15,表2.16に き,1,2,3学

7.1 

5.7

6.4 

6.6 

6.9

6.3 

6.9 

6.7

続 き,3学

期 の 成 績 が 表2.18,そ

期 の 成 績 の 平 均 値 を 求 め よ。

の 行 列 を 図2.15の

よ うにす ると

表2.18  3学 期 の成 績

図2.15  〔注 〕Mathematicaで

は,変

数 はa,b,x1な

3学 期 の 成 績 の 行 列

ど の 小 文 字 を 用 い,組

込 み 関 数 や 定 数E,Pi

な ど との混 同 を避 け る。

[4] 

移 動 の表 現

 移 動 の よ うす を数 学 的 に行 列 を用 い て表 現 してみ よ う。 (1)  経 路  A市,B町,C村

を結 ぶ 交 通 経 路 が あ る。A市

は市 内 バ ス が あ り,A市

町 を結 ぶ鉄 道 とバ ス が あ る。 ま た Ｃ村 とA市,C村

とB町

とB

を結 ぶ 交 通 経 路 は バ

ス しか な い とす る。 この と きの 経 路 は図2.16の よ うに示 され る。

図2.16 

A市B町C村

の経路

  点 と経 路 か らな る 図2.16を

図2.17 

グ ラ フ と い い,交

通,通

信,食

2部

グ ラ フ

物 連鎖 な どを表現

す る の に 使 う 。 グ ラ フ で 点 を 頂 点,ABな

ど の 経 路 を 辺 と も い う 。A市

路 の よ う な 経 路 を ル ー プ と い う。 ま た,こ

の 関 係 を 時 間 的 な 推 移 で 見 る と 図2.17

の よ う に な り,こ

れ を2部

グ ラ フ と い う。 図2.16で

はA→A,A→B,A→Cの

経 路 の 本 数 が そ れ ぞ れ1,2,1で

あ る 。 こ う し た 関 係 は 表2.19の

れ,そ

よ う な 行 列 が で き,こ

の 枠 を 取 り去 る と 図2.18の

の循環 経

形 にま とめ ら

れ を 隣 接 行 列 と い う。

表2.19  経 路 の本 数

図2.18 

問14  次 の グ ラ フはA市,B市,C町

隣 接 行 列

のバ スの 路線 を 表 して い る。 これ を 行列 で 表 せ。

図2.19

(2) 

方 向 つ き経 路

  あ る 公 園 で は,入

図2.20 

り 口Aか

ら 出 口Cま

有向グ ラフ

で の 経 路 が 図2.20の

図2.21 

よ う に な っ て い る。

隣 接 行 列2

  一 方 向 だ け の経 路 を含 む グ ラ フを有 向 グ ラ フ と い う。 図2.20の 行 列 で図2.21の よ うに表 す こ とが で き る。 行 列 の第i行j列

有 向 グ ラフ も

の数 を第ij成 分 と い

う。 図2.16の

よ う に,向

ij 成 分 と第ji成 〔 例 題12〕

き が な い グ ラ フ を 無 向 グ ラ フ と い い,無

分 の 値 は 同 じに な る。

次 の 行 列 に 対 す る グ ラ フ を 求 め,ル

図2.22 

〔 解〕

こ の 行 列 の グ ラ フ は 図2.23の

図2.23 

  図2.23か

向 グラフの第

ら,ル

ー プ と両 方 向 の経 路 を調 べ よ。

隣 接 行 列2

よ う に な る。

行 列 か ら作 る グ ラ フ

ー プ の あ る頂 点 はA,両

方 向 の 経 路 はABとACで

問15  次 の 各 隣 接 行 列 を グ ラフで 表 した と き に,ル ー プ の あ る頂 点,お

あ る。

よ び両 方 向 の経 路

を 調 べ よ。

(2)

(1)

(2)   

2回 の 経 路 A→B→A,B→A→Cの

よ う に,2回

の 経 路 で 目 的 地 に 行 く経 路 の 本 数 を 数

え よ う。   そ れ に は,図2.17の2部

グ ラ フ を2回

重 ね れ ば よ い。

図2.24 

〔 例 題13〕

図2.24を

参 考 に して,2回

2回 た ど る 経 路

た ど る経 路 の 推 移 行 列 を 求 め よ 。

〔 解1〕 A→Aは1・1+2・2+1・1,A→Bは1・2+2・0+1・1,A→Cは1・1+2・1+ 1・0   他 の 経 路 も 同 様 に し て 求 め ら れ る。 そ の 隣 接 行 列 は 次 の よ う に な る 。

(2.30)

〔解2〕

行 列 の積 を用 い る。   In[31]:=MatrixPower[a,2]//MatrixForm   Out[32]=6 

3  3 3  5  2 3  2  2

問16 

図2.24を

参 考 に して 図2.16の

経 路 を3回

た ど る 経 路 の 本 数 を 行 列 で 表 現 せ よ。

式(2.30)か

ら,行

列 の積 は次 の よ うに作 られ る。

(2.31)

練 習問題 1.  地 球上 で,夜 明 け は昼 と夜 の境 界 で あ り,一 定 の 速 度 で 東 に移 って い く。 地 球 の 赤 道 半 径 を6378Kmと

した と き,赤 道 上 の夜 明 け の 速度 は 毎 時何Kmに

な るか 。 ま た,毎

秒 何 メ ー トル に な るか。 2.  7進 法 で 書 く と43で あ る数 は,5か

ら9の 何 進 法 で書 く と位 の数 が入 れ替 わ るか 。

3.  120人 の 生 徒 が,英 語,数 学,国 語 の試 験 を受 け,50点 56(人)で

あ った とい う。 ま た,す べ て の試 験 が50点

の 試 験 が50点

以 上 の生 徒 が33人

以 上 の人 数 は それ ぞれ55,60,

未満 の生 徒 が25人,ど

れ か1つ

で あ った。 この と き,す べ て の 試 験 で50点

以 上 とっ

た 生 徒 は何 人 い る か。 4.  五 線 譜 の 中間 に あ る ラ の 音 の 周 波 数 は440MHzで (下)の

  周 波 数hn(n=−4,−3,…,4)を   帰 関 係 で,ま 図2.25は

と き,こ C,Dと

れ よ りnオ

ク タ ー ブ上

周 波 数 は次 の よ うに な って い る。 表2.20 

5. 

あ り,そ

たnの

ラの 音 の 周 波 数

プ ロ ッ ト して 関 数 の よ う す を 調 べ よ 。 ま た,hnを

食 物 連 鎖 の グ ラ フ で あ る 。 例 え ば 猫 が ネ ズ ミ を 食 物 と す る こ と を1で の グ ラ フ を 行 列 で 表 現 せ よ 。 た だ し,猫,鼠,ト

す る。

再

式 で 表 せ。

カ ゲ,昆

表 す

虫 を そ れ ぞ れA,B,

図2.25 

6.  次 の 図 は,A,B,C,D4地

食物連鎖

点 の経 路 の 方 向 と本 数 を示 す 有 向 グ ラ フ で あ る。 こ の グ ラ

フを 行 列 で 表 現 し,経 路 を ち ょ うど2回 経 由 す る グ ラ フの 行 列 を 求 め よ。

図2.26

第3章  数 え上 げの方法   もの の 個 数 を数 え る方 法 を調 べ,数 学 的 に ま と め よ う。 ま と め た もの は組 合 せ 論 と 呼 ば れ る分 野 に な る。 〔 注 〕3章

以 降 は,Mathematicaに

現 れ るIn[]:=お

よ びOut[]=を

省 略 す る。

3.1  い ろ い ろ な 数 え 方   数 え 方 の問 題 は,主 な もの に,数 に結 びつ け る問 題,順 列 ・組 合 せ の問 題,多 項 式 の係 数 の問 題 な どが あ り,数 え上 げ を探 求 す る と きの基 本 的 な思 考 の道 具 に な って い る。 [1] 

兵 士 と 石(1対1対

応)

  ジ ンギ ス カ ンが ヨー ロ ッパ を征 服 す る途 上,パ

ミー ル高 原 の あ る峠 を越 え る と

き,兵 士 一 人 に一 個 小 石 を持 た せ,峠 に置 か せ て兵 士 の人 数 を数 え,1年

後,遠

征 の 帰 路 に同 じ峠 を通 った と きに,積 ん で あ った小 石 を持 た せ,不 帰 の兵 士 の人 数 を 数 え た と い う記 録 が,ヘ デ ィ ンの 中央 ア ジア探 検 記 に あ る。 〔 例 題1〕

前 述 の記 録 で,ジ

帰 り に残 っ た小 石 が2465で

ンギ ス カ ンの兵 士 が 行 きに小 石 を1万2000個

積 み,

あ った とい う。 何 人 の兵 士 が モ ン ゴ ル に帰 っ た こ と

に な るか 。 〔解 〕12000−2465=9535(人)

図3.1 

峠 に 積 ん だ 小石

〔 例 題1〕 で は,兵 士 を 小石 に対 応 させ て そ の 人 数 を 数 え た こ と に な る。 こ う した や りか た を 兵 士 と小 石 との1対1対

応 と い う。 数 を知 らな い古代 の羊飼 いが,

朝 羊 を放 す と き に石 を 対 応 させ,夕 方 に 羊 の 分 だ け石 を除 いて 迷 った羊 を数 え た 方 法 も これ と同 じで あ る。1対1対

応 で う ま く数 え るや り方 は 〔例題20〕 の 重 複

組 合 せ で も利 用 し,こ う した方 法 を 組合 せ論 的 方 法 と い う。 問1  次 の ものを数え る方 法をあげよ。   (a)  あ る学校 の 自転 車通学 する人数   (b)  夏 の甲子 園47校 で行 う野球 の トーナメ ン ト戦 の試合数 [2] 

指 で 数 え る(積

の 法 則)

  もの を数 え や す くす るた め に,身 近 な もの を使 った り,ま とめ て数 え るな ど数 え方 を工 夫 す る こ とが あ る。 そ の典 型 例 と して,指 を 使 った 数 え 方 を 調 べ よ う。 〔 例 題2〕

片 手 の 指 を使 い,ど

〔 解 〕 指 の数,そ

う数 え れ ば,い

ろ ば ん の や りか た,2進

くつ まで 数 え られ るか調 べ よ。

数 で 調 べ る。

  (a)  指 の 本数 を数 え る と5ま で 数 え られ る。   (b)  そ ろ ば ん の数 え方 で は9ま で 数 え られ る。   (c)  図3.2の よ うに数 え る と各 指 の使 い方 は2通   2×2×2×2×2=32通

りず つ あ る ので,

り数 え られ る。

  図3.2で 指 を全 部 広 げ た と き0と す る と き31ま で数 え られ る。

図3.2 

  (c)の

片手の数え方

数 え 方 が 最 大 で あ る 。(c)は2進

法 で 数 え て い る。

問2  両 手 の指 を使 って数 を数 え る の に,図3.2の

よ うな2進 法 で は い くつ ま で 数 え られ

るか 。 ま た,蛙 の 前 足4本 ず つ で い くつ まで 数 え られ るか。   片 手 の 各 指 の 使 い 方 は,互

い に 無 関 係 に2通

りず つ 数 え る(図3.3)。

こ う した

数 え 方 を 積 の 法 則 と い う。   小 指   薬 指   中 指 人 差 し指

親指

 2×2×2×2×2=32(通

り)

図3.3 

  積 の 法 則;Aの

起 こ る 場 合 がm通

の と き,A,Bの

〔 例 題3〕

集 合A={1,2,3,4}に

指 の 使 い方

り,各

場 合 に 対 しBの

起 こ る場 合 はm×n通

は,空

起 こ る 場 合 がn通

りあ る。

集 合 φ={},{1},{3,4},A自

の 部 分 集 合 が で き る 。 そ れ は 全 部 で い くつ あ る か 。 〔 解 〕1,2,3,4を,次

の 例 の よ う に し て5桁

り

以 下 の 数 字 に 置 き 換 え る。

身 な ど

  例 え ば,{4,3,1}→1413011   {2,3,4}→0111   A={1,2,3,4}→1111   空 集 合 φ={}→0000   そ の 個 数 は,2進

数 で0か

の 個 数 だ か ら,16通

りあ る。

  〔 例 題3〕

ら1111ま

で は 部 分 集 合 を2進

で

数 に1対

図3.4 

部分集合

1対 応 さ せ て 数 え た 。 こ れ も組 合 せ 論 的 な 考 え 方 の例 で あ る。 問3  東 京― そ れ ぞ れ8社

香 港,香

港―

と6社 が,東 京―

バ ンコクに は バ ンコ ク の 直

行 便 に は5社 が乗 り入 れ て い る。 この と き,次 の 問 い に答 え よ。   (a)  東 京―

バ ン コ クの片 道 切 符 の買 い 方

は何 通 りあ る か。   (b)  最 も安 い切 符 を 買 い たい。何 回の チ ェ ッ ク で わ か るか。 図3.5 

問4  あ る人 が,3着

飛 行 機 の乗 り入 れ

の コ ー トと4着 の セ ー タ ー を持 って い る と き,次 の 方 法 は何 通 りあ る

か。   (a) 

コー トとセ ー タ ーの 組 合 せ の方 法

  (b) 

コー トとセ ー タ ーの 一 方 だ けを着 る と きの方 法

[3] 

分 類 し て 数 え る(和

の 法 則)

  デ ー タの 個 数 を 数 えて 全 体 の よ うす を 知 る場 合,何 か の 指 標 で 分 類 して 調 べ る こ とが あ る。 こ う した方 法 は,後 の 確 率 や 統 計 の 探 求 活 動 につ なが る。 〔 例 題4〕

あ る学 校 の生 徒 の血 液 型 は次 の よ うで あ った。 調 べ た生徒 数 は何人 か。

  A型51人,B型23人,AB型12人,O型42人,不

明な し

〔 解 〕 全 体 を調 べ た生 徒 をU,そ

の 人数 をn(U)と

表 せ ば,

n(U)=51+23+12+42=128人   〔 例 題4〕

で は,表3.1の

よ う に 全 体 をA,B,AB,Oで

れ ぞ れ の 型 の 人 数 をn(A),n(B),n(AB),n(O)と

重 複 な く分 類 で き る 。 そ 表 せ ば,次

の 式 が 成 り立 つ 。

(3.1) 表3.1  血 液 型 の 人 数

 次 に,重 複 した 分 類 を行 っ た場 合 につ いて 考 え よ う。 〔 例 題5〕   (a)  (b) 

あ る 用 紙1000枚 A:キ

ズ が あ る;11枚,B:厚

(a)に

加 えC:材

質 不 良;2枚,キ 〔 解 〕(a) 

の 不 良 品 が 次 の よ うに な った。 各 不 良 枚 数 を求 め よ 。 み 不 足 ；6枚,キ

質 不 良;4枚,キ

ズ が あ り厚 み 不 足;4枚

ズ あ り材 質 不 良;2枚,厚

み不 足材

ズ あ り 厚 み 不 足 材 質 不 良;1枚

キ ズ が あ り厚 み 不 足 はA∩Bだ

不 良 品 の 枚 数 は,図3.6か

か ら,

ら  (3.2)

[枚] (b)材

質 不 良 をCと

す れ ば,

不 良 品 の 枚 数 は,図3.7か

ら,

 (3.3)

[枚]

図3.6

  式(3.2),式(3.3)を,数

図3.7

え 上 げ にお け る和 の 法 則 とい う。

問5  40人 の生 徒 に第1問;5点,第2問;3点,第3問;1点

の小 テ ス トを 行 い,表3.2

の よ うに な った。1問 だ け正 解,お よ び 第3問 正 解 の人 数 を そ れ ぞ れ求 め よ。 表3.2  数 学 の 得 点

問6  1か ら100ま での 自然数の中で次の数 の個数 を求 めよ。   (a)  2,3,7の どれで も割 り切れ る数   (b)  2,3,7の どれかで割 り切 れる数   問5は 重 複 が な い分 類 の例 で,問6は [4] 

必 要 な も の を 数 え る(鳩

暦 の計 算 を す るた め に考 え られ て きた。 の 巣 原 理)

  学 校 にパ ソ コ ンを 入 れ る と き,生 徒 の人 数 分 だ け入 れ る必 要 は な い。 それ は, 主 に,全 ク ラス 同時 に使 う こ とが な い た め で あ る。 こ う した場 合 の個 数 と組 合 せ 方 の問 題 を解 決 しよ う。 そ の原 理 を探 る と鳩 の巣 原 理 に た ど りつ く。 〔 例 題6〕

あ る学 校 で は最 大3台 の パ ソ コ ンが 同時 に プ リン タを使 うだ け で あ る

と い う。10台 のパ ソ コ ン と3台 の プ リン タを購 入 し,パ

ソ コ ンと プ リ ン タ を 直

接 つ な ぐシ ス テ ム を構 築 す るに は,各 プ リ ンタ にパ ソ コ ンを最 低 何 台 ず つ つ な げ ば よ いか。

図3.8 

パ ソ コ ン とプ リン タ の接 続

〔 解 〕 次 の 手 順 で 考 え る。 ① あ る プ リ ン タ に7台

以 下 の パ ソ コ ンを つ な ぐ と す れ ば,3台

こ の プ リ ン タ と つ な が っ て い な い 。 こ の3台 を 要 求 し た と き,残   ゆ え に,各 ② 逆 に,各

り の2台

プ リ ン タ に8台 プ リ ン タ に 表3.3の

以 上 の パ ソ コ ンが

以上 のパ ソ コ ンが 同時 に プ リン タ

の プ リ ンタで は処理 が で きな い。

以 上 の パ ソ コ ン を つ な ぐ必 要 が あ る 。 よ う に8台

ず つ つ な げ ば,ど

要 求 し て も対 応 で き る。 こ こ に ○ は つ な が り,×

の3台

が プ リ ン タを

は つ な が って い な い こ と を

示 す。 ③ した が っ て8台

ず つ パ ソ コ ンを つ な げ ば よ い 。 表3.3  プ リ ン タ とパ ソ コ ンの接 続 例

〔 例 題6〕 と も2台

で は,3台

の パ ソ コ ン に2台

の パ ソ コ ンが1台

の プ リ ン タ を つ な ぐ と,そ

の中で少 な く

の プ リ ン タ を 同 時 に 使 う こ と に な る。 こ れ を 鳩 の 巣 原

理 〔 注1〕 と い う。 〔 注1〕

鳩 の巣 原 理

 n個 の 巣 に(n+1)羽

の鳩 が 入 る と き,少 な くと も2羽 の鳩 が 同 じ巣 に入 る。

図3.9 

問7〔

例 題6〕 で10台

鳩の巣原理

の パ ソ コ ンと4台 の プ リンタ が あ り,同 時 に4台

の パ ソ コ ンが プ

リ ン タを要 求 す る条 件 の と き,プ リ ンタ とパ ソ コ ンを 接 続 す るケ ー ブル は最 低 何 本 必要 か。 5台 の プ リ ン タが あ り,同 時 に5台 のパ ソコ ンが プ リン タを要 求 す る場 合 は ど うか。

3.2  順   列   も の や デ ー タ を 並 べ る方 法 お よ び 並 べ た 個 数 に つ い て 調 べ よ う。

[1] 

辞 書 式

に 並 べ る

  Mathematicaで 〔 例 題7〕

デ ー タ を 昇 順 に 並 べ る手 順 に つ い て 考 え よ う。

数1,2,4,5を

す べ て 使 っ て4桁

の 数 字 を 作 り,こ

れ を 小 さ い順 に 並 べ

よ｡ 〔 解 〕4桁

の 数 を 小 さ い 順 に 並 べ る と表3.4の 表3.4 

  表3.4の

よ う に な る。

順列

並 べ 方 を 昇 順 に 並 べ る と い い 各 数 そ れ ぞ れ を 順 列(Permutation)と

い う。   Mathematicaで で 表3.4の

は,Permutations[{1,2,4,5}]

順 列 を す べ て 表 す 。 こ こ で,例

1→4,2→5,4→2,5→1と

え ば4521は

図3.10の

あ み だ く じで

い う置 き 換 え と 考 え る こ と も で き,こ れ を 置 換 と い う。

図3.10 

  一 方,a,b,cと

あ み だ く じの 置 換

い う文 字 に つ い て,Permutations[{a,b,c}]で

べ た デ ー タ は次 の よ う に6個

こ の3つ

を並

の 順 列 に な る。 こ の 並 べ 方 の 順 序 を 辞 書 式 順 序 と い

う。

(3.4) 問8  あ る人 が,奈 良,京 都,大 阪,和 歌 山 に行 く こと に な っ た。 そ れ ぞ れ をN,K,O,W と す る と き,訪 問 の仕 方 を辞 書 式 に並 べ,そ

[2] 

の個 数 を調 べ よ。

樹 形 図 で数 え る

  順 列(3.4)を

図3.11の よ うに 並 べ る と順列 を もれ な く表 す こと が で き る。 こ

の形 を樹 形 図 とい う。

図3.11 

  図3.11で,① ぞ れ に1個

は3本

あ り,②

樹

形

図

は ① の そ れ ぞ れ に つ い て2個,③

は ② の それ

ず つ あ る 。 積 の 法 則 か ら次 の 式 が 成 り立 つ｡

(3.5)

〔 例 題8〕a,b,c,d,e,fの6都 個 数6P3を

の

求 め よ。

図3.12 

〔解 〕

市 か ら3都 市 を 選 ん で 巡 回 す る 方 法 を 調 べ,そ

6都 市 の 巡 回

巡 回a→b→c→aはabcと

図3.13 

表 せ,そ

で 並 べ る 順 列 全 体 の 個 数 と 同 じ く,図3.13か

6個 か ら3個 選 ぶ 樹 形 図

の 個 数 はa,b,c,d,e,fか ら120通

ら3つ

選 ん

り にな る。

(3.6) 問9  奈 良,京 都,大 阪,和 歌 山 をN,K,O,Wと

す る と き,こ こか ら2市 を選 ん で訪 問 す

る方 法 をす べ て あ げ,そ の 個 数 を 求 め よ。  n個

の 異 な る も の か らr個 取 り 出 し て 並 べ る順 列 の 個 数nPrは

次 の よ うに 表 さ

れ る。

(3.7)( 3.8)  

Mathematicaで

〔 例 題9〕30人

は,式(3.8)を

用 い て順 列 の個 数 を求 め る ことが で きる。

の ク ラ ス の 中 か ら10人

を 選 ん で 並 べ る 方 法,25人

る方 法 を そ れ ぞ れ 求 め よ 。 〔 解 〕 式(3.8)n=30とr=10お   30!/(30−10)!   109027350432000

よ びr=25を

代 入 す る。

を選 ん で 並 べ

 

 

30!/5!

 

2210440498434925488635904000000

順 列 の 個 数nPrは,n値

が 大 き く な る と 急 激 に 大 き く な る 。Mathematicaは

そ

れ ら を 正 確 に 表 示 す る こ と が で き る。

問10 

次 の個 数 を求 め よ。

  (a) 

1,3,5,7,9の

  (b) 

メ ンバ ー が15人

  (c) 

い ろ は48文

[3] 

順

列

数 字 で 作 る3桁

を 作

記 を選 ぶ 方 法

る

の 個 数 を 調 べ よ う。

全 部 並 べ た 順 列,お

Mathematicaで

議 長,書

字 を選 ん で 並 べ る方 法

順 列 を 作 り,そ

〔例 題10〕a,b,c,dを

よ び そ こ か ら2個

選 ん で並 べ た順 列 を

作 って各 個 数 を求 め よ。

〔解 〕a,b,c,dを

全 部 並 べ た 順 列sと

そ の 個 数 は 次 の よ う に して で き る。

 

s=Permutations[{a,b,c,d}]

 

{{a,b,c,d},{a,b,d,c},{a,c,b,d},{a,ｃ,d,b},{a,d,b,c},

 

{a,d,c,b},{b,a,c,d},{b,a,d,c},{b,c,a,d},{b,c,d,a},

 

{b,d,a,c},{b,d,c,a},{c,a,b,d},{c,a,d,b},{c,b,a,d},

 

{c,b,d,a},{c,d,a,b},{ｃ,d,b,a},{d,a,b,c},{d,a,c,b},

 

{d,b,a,c},{d,b,c,a},{d,c,a,b},{d,c,b,a}}

 

Length[s]〔

 

24

注1〕

の 順 列 は,順

列 の 前 半2個 Lengthで

の 委 員 会 で 議 長,副

字 か ら5,7,5の17文

  Mathematicaで

  2個

の整 数 の個 数

列 の 集 ま りsに

の デ ー タ を取

つ い て,Map[Take[＃,2]&,s]でsの

り 上 げUnionで

求 め る。   s=Permutations[{a,b,c,d}];   t=Map〔  u=Union[t]

注2〕[Take[＃,2]〔

注3〕 ＆,s];

重 複 を 除

く 。 ま た,順

各 順 列 の 個 数 を

 

{{a,b},{a,ｃ},{a,d},{b,a},{b,ｃ},{b,d},{c,a},{c,b},{c,d},

 

{d,a},{d,b},{d,c}}

  Length[u]  

12

〔注1〕Length[リ

ス ト]は,リ

〔注2〕Map[関 け て,リ

数f,{1s1,1s2,…}]は,関

ス ト{f[1s1],f[1s2],…}を

〔注3〕Take[＃,2]&は,目

問11 

[4] 

ス トの 中 の 要 素 の 数 を 数 え る。

1,3,5,7,9の

重

複

数fを

標 と さ れ て い る リ ス トの 前 の2項

数 字 か ら と っ た2桁

順

リ ス ト{1s1,1s2,…}の

各 要素 にか

結 果 と して 出力 す る。

の 数 をMathematicaで

を 取 り上 げて 出 力 す る。

作 り,そ

の個 数 を求 め よ。

列

  い く つ か の も の を 重 複 し て 使 っ て 並 べ る 順 列 を 重 複 順 列 と い う 。Mathematica で 重 複 順 列 を 作 り,そ

〔例 題11〕

の 個数 を求 め よ う。

ト ラ ン プ52枚

〔解 〕  ハ ー トa,ダ

か ら3枚

イ ヤb,ス

選 ん で 並 べ た と き,並

ペ ー ド ｃ,キ

ン グdの

べ 方 と個 数 を求 め よ。

並 べ 方 は 次 の よ う に な る。

  aaa,aab,aac,aad,aba,abb,abc,abd,aca,acb,acc,acd,ada,adb,adc,add   baa,bab,bac,bad,bba,bbb,bbc,bbd,bca,bcb,bcc,bcd,bda,bdb,bdc,bdd   caa,cab,cac,cad,cba,cbb,cbc,cbd,cca,ccb,ccc,ccd,cda,cdb,cdc,cdd   daa,dab,dac,dad,dba,dbb,dbc,dbd,dca,dcb,dcc,dcd,dda,ddb,ddc,ddd

図3.14 

カ ー ド3枚 の 順 列

 積 の法 則 を使 って その 個 数 を求 め る。  1,2,3枚 目の選 び方 は互 い に無 関係 だ か ら, 4×4×4=64[通 り]

 (3.9)

  こ う し た 並 べ 方 を 重 複 順 列 と い う。 問12  次 の個 数 を求 め よ。   (a)  (a+b)(c+d+e)を

展 開 した と きの 項 の 個 数

  (b)  0,1,2を 何 回使 って もよ い と き で き る3桁 の数 の個 数

〔 例 題12〕

ハ ー トの 札 を3枚,ダ

図3.15 

〔解 〕

ハ ー トaを3枚,ダ

イ ヤ の 札 を2枚

ハ ー ト3枚

イ ヤbを2枚

並 べ る方 法 と そ の個 数 を求 め よ 。

ダ イヤ2枚

の 順列

辞 書 式 の 順 序 に 並 べ る と 次 の よ う に な る。

 p=Permutations[{a,a,a,b,b}]   {{a,a,a,b,b},{a,a,b,a,b},{a,a,b,b,a},{a,b,a,a,b},   {a,b,a,b,a},{a,b,b,a,a},{b,a,a,a,b},{b,a,a,b,a},   {b,a,b,a,a},{b,b,a,a,a}}   Length[p]   10 〔例 題12〕

の 数 え 方 は次 の よ う に 考 え る。

①a3枚,b2枚

が み な 区 別 で き る と しa1,a2,a3,b1,b2と

順 列 の 個 数5!通 ②

し か し,実

  a1,a2,a3の   b1,b2の

す る。 これ らを 並 べ る と

りに な る。

際 に は 区 別 で き な い。 並 べ 方3!=6通

並 べ 方 も2!=2通

り が 重 複 す る(図3.16)。 り が 重 複 す る(図3.17)。

③ 重 複 の 個 数 を 除 く。

(3.10)

図3.17  図3.16 

ダイヤのダブ リ

ハ ー トの ダ ブ リ

同 じ もの の重 複 を許 して並 べ る方 法 は次 の式 で表 す こ とがで きる。

重複 順列1

;a1,a2,a3,…,anか

ら合 わ せ てr個 選 び,重

複 を 許 して 並 べ る 方 法 は ,

nr通 り

 (3.11)

重複順列2 ;aをm個bをn個

並 べ る方 法 は,

通り

 (3.12)

問13  ハ ー トと ダ イ ヤの だ け の札 で,次 の 方 法 の 個 数 を 求 め よ。   (a)  ハ ー ト7枚,ダ

イ ヤ6枚 を 並 べ る方 法

  (b)  ハ ー トと ダ イ ヤ合 わ せ て13枚

を並 べ る方 法 。

  これ まで に示 した考 え 方 で 問 題 を 解 いて み よ う。

〔例 題13〕aを3つ,bを2つ,cを2つ 〔解1〕Mathematicaで

並 べ る重 複 順 列 と その 個 数 を求 め よ。 順 列 を 作 り,そ

の個 数 を求 め る。

s=Permutations[{a,a,a,b,b,c,c}]; Length[Union[s]] 210

〔 解2〕Mathematicaの

多重 順 列 の 式 で 求 め る。

Multinominal[3,2,2]

(3.13)

210 〔 解3〕

〔 例 題12〕

の 考 え 方 ① ② ③ で 求 め る。

 ①a3つ,b2つ,c2つ

が 区 別 で き る と す れ ば,順

列 は(3+2+2)!通

り あ る。   ②a3つ,b2つ,c2つ

は 区 別 で き な い の で3!2!2!通

 ③ こ の 順列 の個 数 は〓

り ず つ 重 複 す る。

[通 り]

  重 複 順 列 の 個 数 に な る典 型 的 な 問 題 を あ げ て お こ う。 こ れ ら の 問 題 も 考 え 方 ① ② ③ で 解 決 す る ことが で きる。

問14  次 の 数 を,ヒ   (a)  図3.18の

ン トを もと に して 求 め よ。 よ う に,碁 盤 の 目状 の 街路 が あ る。Aか

らBに

行 く最 短 経 路 は何 通 り

あ るか。   ヒ ン ト;縦1区   (b) (x+y)11の

画 をa,横1区

画 をbと す る。

展 開式 でx4y7の 係 数 を 求 め よ。

  ヒ ン ト;(x1+y1)(x2+y2)(x3+y3)…(x11+y11)の

係 数 を 考 え る。

図3.18

問15  次 の個 数 を 求 め よ。   (a) 

モ ー ル ス信 号 ・と−5つ

で何 通 りの信 号 が で き るか 。

  (b)  16進 数 の4桁 の最 大 の数 は10進 数 で い くつ か。

3.3  組 合 せ   n個 の 異 な る ものか らr個 取 り出 す組 合 せ とそ の個 数 に つ い て 調 べ よ う。 [1] 

組 合 せ の 個 数

  い ま,人 口 な どの 調査 の ためa,b,c,d,e,ｆ の6都 市 か ら3都 市 を選 ぶ ことにな っ た と しよ う。 表3.5の20通

りの 中 か ら選 べ る。

表3.5  3個 と る組 合 せ

〔 例 題14〕a,b,c,d,e,fか 〔 解1〕

ら3つ

選 ぶ 方 法 と そ の 個 数 を 求 め よ。

樹 形 図 で 調 べ る と次 の よ う に な り,そ

図3.19 

〔 解2〕a,b,c,d,e,fか こ こ で,例

え ばabcと

 abc acb bac bca 他 の 場 合 も 同 様 に3!通 ,b,c,d,e,fか

の 個 数 は20通

り。

組み合せ の樹形図

ら3つ 選 ん で 並 べ る方 法 の 個 数 は6P3=120通 い う組 合 せ を 選 ぶ と き,そ cab

の 順 列 は 次 の6通

り。 りあ る。

cba

り ず つ あ る。a

ら3つ 選 ん で 並 べ る 方 法 の 個 数 は [通 り]

〔 解3〕Mathematicaで,組

 (3.14)

合 せ の 関 数 を 使 う。

 Binomial[6,3]  

20

 n 個 の 異 な る も の か らr(≦n)個

を選 ぶ 組 合 せ の個 数 は

(3.15)  次 に,組 合 せ の 個 数 の 典 型 的 な 問題 を取 り上 げ て み よ う。

〔例 題15〕a,b,c,d,e,fを

頂 点 と す る 凸 六 角 形 の 辺 お よ び 対 角 線 は何 本 あ る か 。

図3.20 

〔 解 〕 辺 お よび 対 角 線 は,6個

凸六角形

の デ ー タか ら2個 選 ぶ 組 合 せ だ か ら,そ の 個数 は,

[通 り]

問16  凸8角 形 か ら三 角 形 は何 個 で き るか 。 また,そ の 中 で3辺

と も この8角 形 の 辺 を 共

有 しな い もの は何 通 りあ るか。

  組 合 せ の 個 数 を 求 め る 問 題 で,選

〔 例 題16〕6を4個 〔解1〕6を

ぶ も の に 着 目 し て 解 決 し て み よ う。

の 自然数 の和 で表 せ。

大 き い 自 然 数 の 順 に 並 べ る と3+1+1+1,2+2+1+1の

パ ター

ンが あ る 。 各 場 合 の 個 数 を 求 め る 。   3+1+1+1の

形 の 和 は 次 の よ う に な り,そ

の 個 数 は4!/3!=4通

り。

  3+1+1+1,1+3+1+1,1+1+3+1,1+1+1+3   2+2+1+1の

形 の 和 は,2と1を2つ

通 り で き る。 全 部 で4+6=10通 〔 解2〕6を1の  

ず つ 並 べ る重 複 順 列 だ か ら,

りあ る。

和 と す れ ば6=1+1+1+1+1+1で5つ

例1;3+1+1+1は(1+1+1)+1+1+1で5つ

の+が の+か

あ る。 ら3個

の+を

  選 ん で い る。  

例2;1+2+2+1は1+(1+1)+(1+1)+1で5つ

の+か

ら3個

の+

を選 ん で い る。 し た が っ て,全

部 で5C3=10通

り あ る。

  〔 例 題16〕

の 問 題 を 整 数 の 分 割 問 題 と い い,こ

問17  7を4個

の 自然 数 の和 で表 す方 法 は何 通 りあ る か。ま た,1と+の

maticaで

[2] 

の 他 に も 多 数 の 変 形 問 題 が あ る。

各 組合 せ をMathe

作れ。

組 合 せ を 作 る

  Mathematicaで

組 合 せ を 作 ろ う 。 こ の 考 え 方 を 構 成 的 組 合 せ 論 と い う。

〔 例 題17〕a,b,c,d,e,fか

ら3個 選 ぶ 組 合 せ をMathematicaで

作 りその個数 を

求 め よ。 〔解 〕a,b,c,d,e,fか &,s]]で

問18  nCrの

ら3個 選 ん で 並 べ る 順 列 を 作 り,各

辞 書 式 に 並 べ 直 し,Unionで

1,3,5,7,9か

ら3個

〔例 題18〕nCrの

重 複 を 除 い て 求 め る。

を 選 ぶ 組 合 せ をMathematicaで

値 の 表 をMathematicaで

作 り,そ

の個 数 を 求 め よ。

作 ろ う。

表 をn=1,2,3,4,5,6,r=0,1,…,nに

〔解 〕MathematicaでBinomial[n,r]を

順 列 をMap[Sort[＃]

つ い て作 れ。 用 い る。

(3.16)

図3.21 

  図3.21を

パ ス カ ル の三 角 形

パ ス カ ル の 三 角 形 と い い,パ

ス カ ル が 再 帰 関 係 を 探 っ て 明 らか に し

た 。

問19 

次 の こ と が 成 り 立 つ こ と を,指

  (a) 

nCr=nCn-r,n=5,r=0,1,…,5

  (b) 

nCr+nCr+1=n+1Cr+1,n=5,r=0,1,…,5

[3] 

定 し たnとrに

つ い て示 せ。

重 複 組 合 せ

  い くつ か の もの を 重 複 して 選 ぶ 方 法 を 重 複 組 合 せ とい う。  例 え ば,5つ 5H3は,次

の 文 字 か ら重 複 を許 して3つ 選 ぶ重 複 組 合 せ の個 数 を5H3と 表 す。

の よ うに して求 め られ る。

〔 例 題19〕a,b,c,d,eか 〔 解 〕5つ

の文 字 を ○,異

ら重 複 を許 して3個 選 ぶ 重 複 組 合 せ の個 数 を数 え よ。 な る文 字 の境 界 を￨で,最

も左 の ○ をaと

し次 の￨

の す ぐ右 をb… … と表 せ ば,各 場 合 は次 の よ う に表 せ る。

図3.22 

  図3.22の

対 応 に よ っ て,5H3個

重 復 組 合 せ と○￨の 対 応

の す べ て の 組 合 せ が3個

の ○ と4個

の￨の

重

複 順 列 で 表 せ るか ら,1対1の

対 応 が で き,

〓つ ま り7C3=35個

に な る。

 一 般 に次 の式 が成 り立 つ。

(3.17) 問20  0,1,2,3,4,5の6数

字 で 作 る3桁 の数 は何 通 り あ る か。 た だ し,(3の

位 の 数)≧(2

の位 の 数)≧(1の 位 の数)と し,同 じ数 字 を 何 回 使 って もよ い とす る。

  整 数 解 の 方 程 式 の 解 の 個 数 を 重 複 組 合 せ で 考 え よ う。

〔 例 題20〕  変 数υ,w,x,y,zに

つ い て の方 程 式

(3.18) が あ り,0以

上 の整 数 だ けを と る とき の解 の個 数 を求 め よ。

〔解 〕υ=1,w=2,x=3,y=2,z=1と

い う 解 を 図3.23の(a)の

 υ=0,w=2,x=3,y=4,z=0の

解 を 図3.23の(b)の

図3.23 

  逆 に,こ

う した○9つ

し た が っ て,こ   方 程 式(3.18)の

と￨4つ

オ フ ァ ン ト ス 問 題 と い い,こ

よ うに表 す。

解 と○￨の 対 応

の 各 重 複 順 列 が,上

の 方 程 式 の 解 は9C4=126個 よ う に,整

よ うに表 す 。

の 方 程 式 の 解 に対 応 す る 。

あ る。

数 の係 数 だ け の方 程 式 で整数 解 を求 め る問題 をデ ィ う した 見 方 で 考 え る方 程 式 を デ ィ オ フ ァ ン トス 方 程

式 と い う。 問21  方 程 式υ+w+x+y+z=20で,次

の条 件 を 満 た す 整 数 解 の個 数 を求 め よ。

  (a)  解 は0以 上 の 整 数   (b)  解 は1以 上 の 整 数   Mathematicaを

用 い て 重 複 組 合 せ の 個 数nHr=n+r-1Crを

表 に して み よ う。

〔 例 題21〕

重 複 組 合 せ の 個 数nHrの

値 を1≦n≦5,0≦r≦5の

〔 解 〕 式(3.17)にn=1,2,3,4,5とr=0,1,…,5を

範 囲 で求 め よ。

代 入 し,余 分 な 括 弧 を 除 く。

(3.19) 〔注1〕

1  1 

1 

1 

1 

1

1  2 

3 

4 

5 

6

1  3 

6  10 

15 

21

35 

56

1  4  10 

20 

1  5  15  35 

〔 例 題21〕 れ ば 図3.21の

70  126

の や りか た で 作 っ たnHrは

表3.6の

よ うに な る。 この 表 を 斜 め に 見

パ ス カ ル の 三 角 形 に な っ て い る。 表3.6  重 複 組 合 せ の個 数

〔注1〕

リス ト{{1,1,1,1,1},{1,2,3,4,5},{1,3,6,10,15},{1,4,10,20,35}}に//Table

‐ Formを

問22 

つ け る と上 の よ う に 行 列 の 形 で 表 現 さ れ る 。

表3.6か

 ま た,こ

ら1Hn,nH1,nHr+1+n+1Hrを

の 関 係 を 使 っ て 表3.6でn=6の

推 測 し,そ 行 をr=6ま

れ が正 しい こと を示 せ 。 で求 め よ。

3.4  多 項 式 と組 合 せ   多 項 式 の係 数 な ど と組 合 せ の関 係 につ い て調 べ よ う。 [1] 

式 で表 す

  次 の よ うな支 払 い方 法 を多 項 式 の係 数 で 考 え,Mathematicaで

解 いて み よ う。

〓

こ れ ら は 数 学 的 な 処 理 の 基 本 的 な 方 法 で も あ る。

〔 例 題22〕1円

玉5枚,5円

あ る か 。 ま た,支

玉3枚,10円

玉2枚

玉5枚

  5円 玉3枚

の 支 払 い 方 法 をB={x0,x5,x10,x15}

  10円 玉2枚

の 支 払 い 方 法 をC={x0,x10,x20}

の 支 払 い 方 法 を,リ

で 表 し,A,B,Cの

だ か ら,30円

を 払 う方 法 は 何 通 り

払 い 方 法 は全 部 で何 通 りあ るか 。

〔 解1〕1円

べ きa+b+cが

を 使 い30円

ス トA={x0,x1,x2,x3,x4,x5}

中 か ら1つ ず つ 選 ん でxa,xb,xcと

し た と き,そ

の 積xa+b+cの

支 払 い 金 額 に な る。x30の 選 び 方 を 調 べ る と,

の 支 払 い 方 は3通

りあ る。

  支 払 い 方 法 全 部 は,x0=1と

お き,式(3.20)の

展 開 式 でxの

べ き を 調 べ る。

(3.20)

支 払 い 方 法 は,0円

か ら40円

  Mathematicaで

は,次

ま で41通

の よ う に して 求 め る。

〔注1〕

〓〔注2〕〓

〔注1〕Apply[Plus,p]でp={x0,x1,x2,x3,x4,x5}の 〔注2〕//Shortで 〔解2〕30円

り あ る。

和を表す。

式 の 途 中 を 省 略 し,≪≫ の 支 払 い 方 法 は,デ

の 中 に残 りの項 数 を示 す。

ィ オ フ ァ ン トス 方 程 式

(3.21) を 満 た す 整数x,y,zを

す べ て あ げ れ ば よ い 。 そ れ に は,式(3.21)の

各x,y,zに

つ い て,x+5y+1Ozの 直 す 。 ま たUnionで

  30は3つ

の 支 払 方 法 は3通

払 う方 法 は 全 部 で41通

〔 解1〕

作 り,か

っ こを と っ て昇 順 に並 べ

重 複 を 除 い て 支 払 い 方 法 の 個 数 を 求 め れ ば よ い。

あ る か ら,30円

  だ か ら,支  上 の

表 をMathematicaで

の よ う に,多

りあ る。

りで あ る 。

項 式 で 場 合 の 数 を 数 え る方 法 を 母 関 数 の 考 え 方 と い

う。 問23  1円 玉6枚,5円

玉3枚,10円

玉4枚 を 使 って50円

を 払 う方 法 は何 通 りあ る か 。 ま

た,支 払 い方 法 は全 部 で 何 通 りあ るか。

[2] 

2項

  (a+b)nの

定 理 展 開 式 と そ の 係 数 をMathematicaで

調 べ よ う。

〔 例 題23〕Matematicaを

用 い て(a+b)nの

〔 解 〕(a+b)2,(a+b)3の

展 開 式 は,Mathematicaで

  同 様 に し て(a+b)4,(a+b)5の な る。

展 開 式 を作 れ。 次 の よ う に して 作 る。

展 開 式 を 作 る こ と が で き,そ

れ は次 の よ うに

こ れ ら の 展 開 式 の 係 数 だ け を 抜 き 出 す と,図3.21の   1 

2 

  1  3    1  4 

1

3 

1

6  4 

1

  1  5  10  10  5

1 

1  6  15  20  15  6   一 般 に

,(a+b)nの

パ ス カ ル の三 角 形 に な る。

1

展 開 式 は 次 の よ う に な る。

(3.22)   式(3.22)を2項

定 理,展

を (a+b)nの2項

開 式 の 係 数〓

係 数 と い う。 問24  (a+b)5の2項

係 数〓

と(a+b)6の2項

係 数〓

は次 の よ う に な って い る。 この値 か ら2つ の2項 係 数 の 関 係 を 調 べ よ 。

問25 

(a−2b)7の

展 開 式 をmathematicaで

作 れ 。 ま た,パ

ス カ ル の 三 角 形 を 用 い てa3b4

の係 数 の値 を 求 め よ。

問26  Mathematicaで(x+y+z)5の aでMultinomial[3,1,1]と   式(3.22)か

展 開 式 を 作 り,x3yzの

係 数 を 求 め よ 。Mathematic

して そ の値 を 比較 せ よ。 こ う し た 係 数 を 多 項 係 数 と い う。

ら

(3.23) が 成 り立 つ か ら,〓

の 母 関 数 は(x+1)nに

  2項 定 理 の 式(3.22)で,an-kbkの え 方 は,分

係 数 がnCkで

な る。

あ る理 由 を 考 え よ う。 こ の 考

数 関 数 の 展 開 式 で も使 う こ と が で き る。

〔 例 題24〕(a+b)5の

展 開 式 でa3b2の

係 数 が5C2で

あ る こ と を重 複 順 列 を 作 って

示せ。 〔 解〕

式(3.22)か

ら,(a+b)5の

展 開 式 は次 の よ う に な る。

(3.24)

展 開 式 でa5はaaaaa,a4bはaaaabやaaabaな

ど,a3b2はaaabbやaabbaな

と 表 せ る 。 つ ま り,a3b2はaを3つ,bを2つ Mathematicaで

  つ ま り,a3b2は

ど

並 べ る順 列 を集 め て で き る 。

こ の 順 列 を 作 る と 次 の よ う に な る。

表3.7の

よ う に な り,そ

の 個 数 は 式(3.10)と

同 じ5C3=10に

な る。 表3.7 

問27  (x+y+z)5の [3] 

a3b2の

と り方

展開式で,x3yzの 係数 を順列 を用いて求めよ。

展 開 式 の 係 数

 分数式

〓をTable[Series[1/(1−x)^n,{x,0,7}],{n,1,4}]//Table

Formと

項 式 展 開 す る と次 の よ う に る 。

し て,多

(3.25)

こ の 係 数 を 取 り 出 して み る と次 の 表3.8の

よ うに な る。

表3.8  多項 式 展 開 の係 数

〓の展 開式 でxrの 係 数 はnHrに

〓の 展 開 式 は,次

な る。 そ の理 由 を考 え よ う。

の こ と か ら1+x+x2+x3+…

に な る。

(3.26)   式(3.26)の

こ こ で,

1Hn=nCn=1だ

両 辺 を1−xで

〓 を〓 か ら,式(3.25)は

割 り,移

項 す れ ば,

と お い て 式(3.25)が

で き あ が る 。 ま た,

次 の よ うに な る。

〓に つ い て も成 り立 つ か 考 え よ う。

〔 例 題25〕

〓の展 開 式 でxrの 係 数 は2Hrに な る こ とを 示 せ 。

〔 解〕

式(3.25)の

両 辺 を2乗

し,Mathematicaを

用 い て右 辺 を

で 展 開 す る と,

こ こ で,〓

だ か ら,x8よ 〓の 和 をo[x]8×(式)と

り高 次 の項 と 見 てo'[x8]と

お

け ば,

(3.27) につ いて も成 り立 つ。

よ っ て,〓

  式(3.27)か

ら2H0,2H1,2H2,…

そ こ で〓

を 数 列{2Hn},(n=0,1,2,…)…

問28

の 多 項 式 展 開 で 表 せ る。

が 分 数 式〓

の母 関 数 と い う。

 〓は どん な数 列 の 母 関 数 か。Seriesを 用 い て調 べ よ。

練 習問題 1.  図3.24の

よ うに,縦 横10個

ず つ の小 正 方 形 に分 割 した正 方 形ABCDが

 

(1)  正 方 形ABCDに

含 ま れ る正 方 形 ま た は長 方 形 の個 数 を求 め よ。

 

(2)  正 方 形ABCDに

含 ま れ る正 方 形 の個 数 を求 め よ。

 

(3)  正 方 形ABCDの

周 上 に2点P,Qを

あ る。

と って これ を 直線 で 結 ぶ と き,直 線PQが

内 部 を通 る小 正 方 形 は最 大 何 個 に な るか。

図3.24

2.  1,2,3と い う数 字 のつ い た カ ー ドを作 って並 べ る。123や132の

よ う にk番

目 にkと

い う数 字 が く る もの を探 し,そ の個 数 を調 べ た い。  

(1)  Mathematicaを

 

(2)  和 の法 則 を用 い て そ の個 数 を求 め よ。

用 いて そ の よ う な数 を す べ て あ げ よ。

 

(3)  1,2,3,4,5と

 

(4) A,B,C,Dの5人

い う数 字 のつ い た カ ー ドを作 って並 べ た場 合 の個 数 を求 め よ。 の 名刺 とそ の 人 あ て の 封 筒 が あ る。 名 刺 を 封 筒 に で た らめ に

入 れ る と き,名 刺 と封 筒 が 一 致 す る場 合 は何 通 りあ る か。 〔 注 〕 こ う した問 題 を一 致 の 問 題,封 筒 の問 題 な ど と い う。 3.  図3.25の

よ うな碁 盤 の 目状 の 街 路 が あ る。Aか

問 に答 え よ。 こ こで,例 え ばAか   (1) Aか

らP1に 至 る最 短 通 路 の個 数 をn(AP1)と

らBに 至 る最 短 通 路 の 個 数n(AB)を

  (2)  P1,P2,P3,…,P7を

らBに 至 る最 短 通 路 に つ い て 次 の 各

求めよ。

通 る最 短 通 路 の個 数 とn(AB)の

〔 注 〕 この 式 は(x+1)12=(x+1)3(x+1)9の

表 す。

関係式を求めよ。

展 開 式 でx6の 係 数 を比 べ た もの と同 じで

  あ る。 こ う した 式 を た た み こみ とい う。   (3)  R1,R2,R3,…,R7を

通 る最 短 通 路 の 個 数 とn(AB)の

  (4) n(AP2)をn(AP1)とn(AQ2)の n(AQn+1)の

関 係式 を求 め よ。

関 係 で 表 せ 。 ま たn(APn+1)をn(APn)と

関係 で と らえ る こ と によ り組 合 せ の 再 帰 関 係 を 導 け。

図3.25

4.  分 数 式〓

と〓

5. 

重 複 順 列 の 個 数nHrに

 

(1) 

2Hr+1+3Hr=3Hr+1を

を 多 項 式 展 開 し,xnの 関 係 を そ れ ぞ れ調 べ よ。 つ い て,次

の各 問 に答 え よ。

用 い て次 の関 係 を示 せ 。

(3.28) (2) 

Mathematicaで,分

(3) 

式〓

数 式〓

を7次 の項 ま で展 開 せ よ。 お よ び式(3.23)を

用 いて 次 の 式 を 示 せ。

(3.29)

第4章  数列 を作 る   Mathematicaを

利 用 して 数 列 を 作 り,音

を 数 列 で 調 べ よ う 。 ま た,ハ

ノ イ の 塔,フ

ィボ

ナ ッチ数 列 に つ い て探 求 しよ う。

4.1 

Mathematicaの

  Mathematicaを

[1] 

奇

数

数 列

使 い,い

を 作

ろ い ろ な 方 法 で 数 列 を 作 っ て み よ う。

る

〔例 題1〕Mathematicａ

で,次

の よ う な1か

ら19ま

で の奇 数 を作 れ。 (4.1)

〔解1〕Rangeで,1か

ら19ま

で の 整 数 を1つ

お き に作 る。

  a=Range[1,19,2]   {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}   Mathematicaで

は,Range,Table,リ

ス トな ど で も数 列 を作 る こ と が で き

る。 〔解2〕Tableで,奇

数2n−1を

作 る。

  Table[2n−1,{n,1,10}] 〔解3〕

整 数 の リ ス トb={1,2,…,10}を

使 い,奇

数 を 作 る。

問1  次 の よ うな,20か

ら始 ま る正 の偶 数 を 〔 例 題1〕 の3通

りの方 法 で作 れ。

  あ る 規 則 に 従 っ て で き る 数 の 列 を 数 列 と い い,第n番 は 一 般 項 と い う。 特 に 最 初 の 数 を 初 項,有

限 個 の 数 列(有

末 項 と い う。 数 列 の 初 項 を ふ つ うa1,第2項         例;数

列1,3,5,…

  数 列 の 規 則 で,差 た,比

をa2,一

の 初 項 はa1=1,一

限 数 列)で

般 項 をanの

た

最 後 の項 を

よ うに表 す 。

般 項 はan=2n−1

が 一 定 の 数 列 を 等 差 数 列 と い い,一

が 一 定 の 数 列 を 等 比 数 列 と い い,一

目 の 数 を 第n項,ま

定 の 差 を 公 差 と い う。 ま

定 の 比 を 公 比 と い う。

等差数列 の例 (公 差1) 

(4.2)

(公 差2) 

(4.3)

(公 差−3)

等比数列 の例 (公 比2) 

(4.4)

(公 比−1) 

(4.5)

公比 どれ で もな い数 列 の例

(4.6) (4.7) 等 差 数 列,等 1次 関 数,指

比 数 列 の グ ラ フ を,Mathematicaで

描 く と,次

の よ うにそ れぞれ

数 関 数 の 上 に 点 が で き る。 (図4.1) (図4.2)

図4.1 

[2] 

図4.2

等差数列の グラフ

い ろ い ろ な数 列

 い ろ い ろな 数 列 を,Mathematicａ 〔 例 題2〕

で作 って み よ う。

次 の 数 列 を等 差 数 列 お よび,等 比 数列 で 示 せ 。

(4.8) 〔 解1〕

〔 解2〕

問2 

次 の 数 列 をMathematicaで

作れ。

(4.9)

〔例 題3〕

次 の よ う に,丸 を8段 まで 重 ね た と き の丸 の個 数(三 角 数)の 数 列 を

作 れ。

図4.3 

三 角 数

〔 解1〕

次 の よ う に各 項 を整 数 の 和 と考 え,一 般 項 を求 め る。

  こ こ で 図4.4か

ら,数

を 降 順 に し た,

 a4=4+3+2+1とa4=1+2+3 +4の

片 々 を 加 え て,

図4.4

一般項 は

  式(4.10)を

〔 解2〕

(4.10)

,an=(n+1)n/2 使 っ て,次

の 手 順 で 求 め る。

各 項 をや は り整 数 の和 と考 え,次 の階 差 数 列{bn}を

と って再 帰 関 係 を

作 る。

(4.11)

図4.5 

階差数列

anをf[n]と

〔 解1〕,〔 解2〕

し て 再 帰 式 で 表 し,次

か ら,次

の よ う に処 理 す る。

の こ と が わ か る。

・明 示 的 な 式;an=n(n+1)/2  ・ 再 帰 的 な 式;a1=1

(4 .12)

,an=an-1+n 

(4.13)

(4.14) (bnはanの ま た,次

階 差 数 列) 

(4.15)

の こ と が 成 り 立 つ。

・等 差 数 列;a

,a＋d,a+2d,…

・等 比 数 列;a

,ar,  ar2,…

・一 般 項 に 数 列 は ,nの

式(明

の 一 般 項 はan=a+(n−1)d 

(4.16)

の 一 般 項 はan=arn-1 

示 式),再

帰 式 な ど の 表 し方 が あ る 。

問3  図4.6の よ うに ・の 数 を並 べ る と き の個 数(六 角 数)anを

図4.6 

(4.17)

第6項

まで 求 め よ。

六 角 数

次 の数 列 は,一 般 項 をnの 式 で 表 す の に特 有 の考 え方 をす る。 〔 例 題4〕

次 の 数 列 の一 般 項anを 再 帰 式 で,ま たnの 式(明 示 式)で 表 せ。

(4.18)

〔 解1〕

再帰式で表す。

だ か ら,

〔 解2〕

明示式で表す。

(4.19)   こ の 式 の 両 辺 に10を

掛 け,式(4.18)か

ら(4.17)の

片 々 を 引 く と途 中 が 消

え る。

(4.20)

(4.21) 〔解3〕

各 項 を9倍

して1を

引 き,明

  も と の 数 列(4.18)を9倍

示 式 で表 す 。

す る。

(4.22) 一般 に

,9an=10n−1が

成 り 立 ち,式(4.21)が

成 り立 つ。

問4  次 の数 列 の一 般 項anを 再 帰 式 で,ま たnの 式(明 示 式)で 表 せ 。

[3]   

Mathematicaの

Mathematicaを

〔例 題5〕

数 列

利 用 し,こ

れ ま で の 数 列 を 作 って み よ う 。

次 の 数 列 の 和 をMathematicaで

  (a) 

等 差 数 列   1+2+3+…+n

  (b) 

等 比 数 列   1+3+9+27+…+3n-1

〔 解1〕

第n項

ま で の 和 をnの

求 め よ。

式 で 表 す パ ッ ケ ー ジ を 使 う。

  次 の 処 理 を す る。 ≪

Algebra'SymbolicSum'〔

注1〕

(4.23)

  (a)

 (b)

〔 解2〕

再 帰 式 を 作 り,第n項

まで の和 をnの 明 示 式 で 表 す 。

 次 の処 理 を す る。 ≪   (a) 

DiscreteMath'RSolve'〔

注3〕

再 帰 式 はa1=1,an=an-1+nだ

か ら, 〔注4〕

(4.24)

 (b) 

再 帰 式 はa1=1,an=3an-1+1だ

か ら,

〔 例題5〕 で,再 帰 式 の確 認 に は次 の方 法 が あ る。   (a)

 (b)

〔注1〕

パ ッ ケ ー ジ 「Algebra'SymbolicSum'」

は,関

数Sumを

ボ リ ッ ク数 列 の 和 も 求 め ら れ る よ う に す る 。 〔注2〕

必 要 に 応 じ て[f]をClear(ク

〔注3〕

再 帰 式 に も 対 応 で き るRSlove[]を

リ ア ー)す

る(Clear[f])。

導 入 す る。

さ ら に 充 実 さ せ,シ

ン

〔注3〕RSlove[]の

問5〔

例 題5〕

結 果 をSimplifyで

整 理 して か ら出力 す る。

に な ら っ て 次 の 数 列 の 一 般 項anを

  (a) 

三角数の数列 

{1,3,6,10,15,21,28,36,…}

  (b) 

1を 並 べ た 数 列  

{1,11,111,1111,11111,…}

問6 

次 の 数 列 の 第n項

の 和 を求 め よ。

まで の 和 を 求 め よ。

  (a) 

連 続 し た2数

の数 列  

{n(n+1}

  (b) 

連 続 し た3数

の数 列  

{n(n+1)(n+2)}

 (c)  (a)の

求 め よ 。 ま た,そ

逆 数 の数 列

4.2  音 と数 列   音 の 高 さ を数 列 で 表 し,協 和 音 の特 性 を 探 って 和 音 を作 り確 かめ よ う。 [1] 

音 を作 る

  音 の 高 さ は1秒 間 の振 動 回 数,つ

ま り周 波 数 で考 えHz(ヘ

で表 す。 音 叉 が 作 る音 の高 さ は,図4.7の で,こ

い う単 位

よ うに5線 譜 の 中 の ラの振 動 数440Hz

れ を基 準 音 とい う。 この基 準 音 ラの周 波 数 を もと に音 の数 列 を 作 ろ う。

図4.7 

〔例 題6〕 1,2,…,nオ 〔 解〕

ル ッ)と

音 は1オ

ラ の 音

ク タ ー ブ ず つ 上 が る と 周 波 数 は2倍

ク タ ー ブ上 の ラ の 音 の 周 波 数anを

再 帰 的 に 考 え る。 図4.7か

ず つ に な る。 基 準 音 か ら

求 め よ。

ら次 の 式 が で き る 。

 

再 帰 式a1=440,an+1=2an

明示 式 を求 め る。

よ っ て,明

(4.25)

示 式   an=2n×220

問7  基準 音 か らnオ ク タ ー ブ下 の ラ の音 の周 波 数bnを 再 帰 式 と明示 式 で 表 せ 。  y=sinxの

描 く 曲 線 を 正 弦 曲 線(サ

に 近 い 。Mathematicaで

〔 例 題7〕

周 波 数 が1の

イ ン カ ー ブ)と

い う。 音 叉 の 音 色 が こ れ

こ う し た 音 を 作 っ て み よ う。

サ イ ン カ ー ブ を 作 れ 。 ま た,基

準 音 を サ イ ンカ ー ブで 作

れ。 〔 解〕

関 数sinxの

sin2πxの

周 期 は2π で,そ

グ ラ フ に な り,そ

の 周 期 は2π/2π=1に

個 の 周 期 が あ る音 の 周 波 数 がnだ か れ(図4.9),基

の グ ラ フ をx軸

準 音 は 式(4.27)で

か ら,基

方 向 に1/2π

に縮小 す ると

な る(図4.8)。1秒

間 にn

準 音 の サ イ ン カ ー ブ は 式(4.26)で

描

発 生 す る。

(4.26) (4.27)

図4.8 sinxとsin2πx

図4.9  基 準 音 の サ イ ンカ ー ブ

図4.10  基 準 音 の 発 生 と グ ラ フ 〔注1〕

〔注1〕

音 は,ミ

ュー ジ ック ドライバ が 機 能 す る コ ン ピュ ー タで 音 が 発 生 す る。 音 の 発 生

と 無 関 係 に 図4.10の

グ ラ フ を 表 示 す る が,こ

れ はsin880πx(0≦x≦10)の

グ ラ フで あ

る。

問8 

sin2x,お

問9 

基 準 音 よ り も1オ

[2] 

12音

よ びsin10πxの

周 期 と周 波 数 を いえ 。

ク タ ー ブ 下 の ラ の 音 を10秒

間 発 生 せ よ。

階 を作 る

  1オ ク ター ブの 中 の音 は5線 譜 で図4.11の よ うに 表 さ れ,こ

れ を12音

階 とい

う。 ま た,そ の 周 波 数 と周 期 の近 似 値 は表4.1で 表 さ れ る。 周 波 数 を数 列 で 表 し て 音 を作 ろ う。

図4.11 

12音

階

表4.1  12音 階 の周 波 数 と周 期

〔例 題8〕12音

階 の 周 波 数 を 数 列{cn},(n=1,2,…,13)と

考 え,cnをnの

式 で

し て 数 列{cn}を

作 れ ば,

表 せ 。 〔解 〕

表4.1に

比 の値〓

つ い てc1=440,c2=466,…,c13=880と

は 表4.2の

よ う に ほ ぼ1.059に

な る。

表4.2  周 波 数 の比

 cnを等 比 数 列 と考 え,公 比 をpと お け ば,

(4.28) c13=880,c1=440を

代 入 す れ ばp12=2だ

か ら,

(4.29)  一 般 項 は   表4.1の

(4.30)

,cn=440pn-1

点 と指 数 関 数y=440px-1を

す る こ とが わ か る。

重 ね て 描 け ば,図4.12の

よ うに ほぼ 一致

図4.12  音 の 周 波 数 の グ ラ フ

問10 

表4.3の

数 列dnをnの

明 示 式 で 表 し,そ 表4.3 1オ

[3] 

の 値 を 求 め よ(n=1,2,…,13)。

ク ター ブ下 の周 波 数

調 和 音 を作 る

  よ く調 和 して い る音 を調 和 音 また は協 和 音 とい う。 例 え ば ラ と ド,ラ と レ,ラ と ミが 調 和 音 に な る。 周 期,つ

〔 例 題9〕  ラ と ド,レ,ミ 〔解 〕

ド,レ,ミ

5/6,3/4,2/3と

だ か ら,bとcは

ま り周波 数 の逆 数 を用 い て 調和 音 を調 べ よ う。

の 周 期 の比 の値ガ5/6,3/4,2/3に 近 い こ とを示せ。

の 周 波 数 を リス トで表 し,逆 数 を と って ラの周 波 数 で 割 る。

比 べ る。

非 常 に近 い。

問11  表4.1に   図4.13の

お い て ラ と ソの周 期 の比 は9/16に よ う に,調

近 い こ とを 示 せ 。

和 音 の 周 期 は 近 似 的 に 簡 単 な 整 数 比 で 表 せ る。

図4.13 

各音の波長比

  こ う して 作 られ る音 階 を 調 和 音 階 と い う。調 和 音 に お け る 周 波 数 の 性 質 を 探 ろ う。

〔 例 題10〕4つ 〔 解〕

の 調 和 音 ラ ド ミ ラ の 周 波 数 の 数 列 を 作 り,そ

こ の 数 列 は,リ

ス トで 次 の よ う に 表 せ る。

  a={440,528〔

注1〕,660,880}

そ れ ぞ れ の 逆 数 を と り,各

項 の 階 差 を と れ ば 式(4.32)に

の明 示 式 を求 め よ。

な る。

(4.31)

(4.32)

  式(4.32)の

数 列 は公 差

〓の等 差 数 列 に な り,一 般 項bnは

次 の式 で表 さ

れ る。

 4つ の音 の周 波anは,逆

数 を と って 次 の 明 示 式 で 表 さ れ る。

(4.33)  数 列(4.33)の

よ うに,逆 数1/bnが

等 差 数 列 に な る数 列bnを 調 和数 列 とい う。

調 和 と い う言 葉 は調 和 音 に 由来 し,最 も簡 単 な 調 和 数 列 は次 の 数 列 で あ る。

〔 注1〕

「ド」 の 周 波数 は523で

あ るが,こ

こで は528と

して計 算 した。 多 少 の誤 差 を見 込

ん で の こ とで あ る。

問12  上 の3つ の調 和 音 ラ ド ミの和 音 を10秒

間発 生 させ よ。

4.3  再 帰 的 な 式   再 帰 関 係 を も と に 再 帰 式 を 作 る こ とが 比 較 的 容 易 に で き る こ と が 多 い。 再 帰 的 な 式 か ら 明 示 的 な 式 を 導 く と き の 考 え 方 に つ い て 調 べ よ う。

[1] 

預   金

  あ る銀 行 に,年 み,預

利5%で1万

円 を 預 け た ま ま に して お く と き,利

子 が利 子 を 生

金 額 は 次 の よ う に 増 え て い く。   ・預 金 直 後 に はa1=1(万

円)

  ・丸1年

後 に はa2=a1+0.05a1(万

  ・丸2年

後 に はa3=a2+0.05a2

円)

こ れ は 次 の 関 係 に な る。   a2=1.05a1  a3=1.05a2(万

問13  上 の預 金 で,丸5年

〔 例 題11〕 〔 解〕

円) 

(4.34)

後 の預 金 額 を式(4.34)の

上 の 預 金 で 数 列{an}の

上 の 再 帰 関 係 か ら,再

再 帰 式,お

形 で 表 せ。

よ び 明 示 式 を 求 め よ。

帰 式 は次 の よ うに な る。 (4.35)

  一 般 項anをMathematiaで

求 め る。

 ≪DiscreteMath'RSolve'

  1/1.05=0.952381だ

か ら,明

示式 は (4.36)

問14  (a),(b)の

ロ ー ンを1万 円借 りた と き,5年

ま た,(a)が(b)の

半額 以 下 に な る の は何 年 以 降 か 。

  (a)  年 利12% 

[2] 

後 に借 金 の 額 は ど うな って い るか 。

(b)  月利1%

ハ ノイ の 塔

  イ ン ドの聖 地 べ ナ レス の あ る寺 院 に,バ

ラモ ンの塔 な る もの が あ る。 そ れ は,

中心 に穴 の あ い た 金 の 円盤 が 円 錐状 に64枚 重 な り,1本

の ダ イ ヤ モ ン ドの 針 に

通 され て い る もの で,天 地 創造 の と きに これ を 置 い た と さ れ る。 図4.14は4枚 の 円盤 の場 合 を示 して い る。

図4.14 

ハ ノ イ の塔

  さて,ダ イ ヤ モ ン ドの針 が他 に2本 立 て られ,そ の寺 院 の僧 侶 が 天地創 造以 来, 昼 夜 を問 わず この 円盤 を1枚 ず つ 一 方 の 針 に 移 して い る。 この と き,1回

に1枚

の 円盤 しか 動 か せ な い と し,棒 か ら抜 き取 った 円盤 は必 ず 他 の針 に差 し込 ま な け れ ば な らな い と す る。 ま た,ど の棒 に差 し込 ま れ た 円盤 も下 の方 が 大 きい 円錐 状 に な って い な け れ ば な らな い とす る。 円盤 が2枚

の 場 合 の 手 順 は 図4.15の

よう

に な る。   さ て,64枚

の 円盤 を す べ て移 し終 え た と きに こ の 世 の終 わ り が く る と い う の

で あ る。 そ れ は い つ か?

図4.15 

  これ は1883年

円 盤2枚

の移動

エ ドア ル ・ル ー カ スが バ ラモ ンの 塔 と名 付 け た ゲ ー ム で,後

に

ハ ノ イ の塔 と呼 ば れ るよ うに な った。 この ゲ ー ム は結 果 の 意外 さ と と もに,再 帰 関 係 を見 つ けや す い こ とか ら問題 解 決方 法 の 基 本 的 な 題 材 に取 り上 げ られ て きた。 〔 例 題12〕

ハ ノ イ の塔 の問 題 で,n枚

の 円盤 を移 動 す る回数an+1をanで

表 しa6

ま で求 め てanを 推 定 せ よ。1枚 の 移 動 に1秒 か か る とす る と移 動 が 終 了 し,こ の世 の終 わ りが来 るの は開 始 後 何 年 か。 〔 解 〕an+1をanの

再 帰 関係 で 表 す 。 例 え ば,4枚

の 円 盤 を 移 動 す る と き,上3

枚 の移 動 回数 が す で にa3と わ か って い る もの と考 え る と,図4.16の

① と③ の

回 数 は と もにa3に な る。 一 番 下 の 円 盤 は ② で 移 動 し これ を1回 加 え,4枚

の円

盤 の 移 動 回 数a4は 次 の再 帰 関 係 で表 され る。

(4.37)  こ の関 係 は容 易 に一 般 化 で き,自 然 数nに

つ いて 次 の式 が成 り立 つ。

(4.38)

図4.16 

 

Mathematicaで  

は,数

列{an}を

a[n＿]:=a[n]=2a[n−1]+1;a[1]=1;

セ ッ トに し た移 動

次 の 手 順 で 求 め る。

 

Table[a[n],{n,8}]

結 果 は 表4.4の

よ う に ま と め ら れ,1を

加 え る とan+1は2nに

な る ら しい。

表4.4  ハ ノ イ の塔 の回 数

Mathematicaで

再 帰 式 か ら明示 式 を求 め る。

(4.39)

よ っ て,an=2n−1 64枚 の と き の 移 動 回 数 は   a64=264−1=1.8445E19 

(回)

1年 を602×24×365=51536000(秒) と す れ ば,こ

の世 が終 わ る まで に

つ ま り,約5849億

年 と い う途 方 も な い 年 月 が か か る こ と に な る 。

問15〔 例 題12〕 の や りか た で16枚 約1年

の 円盤 を移 動 す る と き,要 す る時 間 を求 め よ。 ま た,

[3] 

で終 え る場 合 円盤 は何 枚 必 要 か 。

数 学 的 帰 納 法

  ハ ノ イ の 塔 の 問 題 で,n枚 再 帰 関係   明示 式

an+1=2an+1,a1=1か

つ い て,

ら

  (4.40)

  an=2n−1 

を 推 定 し た 。 こ こ で,再

〔 例 題13〕

の 円 盤 を 動 か す 回 数anに

(4.41) 帰 式 と 明 示 式 が 常 に 一 致 す る こ と を 確 認 し よ う。

再 帰 関 係 の 式(4.40)は

〔 解 〕[1] n=1の

明 示 式(4.41)に

と き,式(4.41)はa1=1で

な る こ とを 示 せ 。 正 しい 。

 [2] n=kで

式(4.41)が

正 し い と 仮 定 す る と,即

ち,

(4.42)   こ の と き 再 帰 関 係 の 式(4.40)か

が 成 り 立 つ か ら,式(4.42)を

n=k+1で

も式(4

  [1],[2]か

.41)が

ら,す

ら

代 入 し て,

成 り立 つ。

べ て の 自然 数nで

  一 般 に 「あ る 命 題Pが

式(4.40)と

す べ て の 自 然 数nに

で 示 す こ と が で き る 。 た だ しkも

式(4.41)は

つ い て 成 り 立 つ｣こ

成 り立 つ。

  [2] n=kで

成 り立 つ と仮 定 す れ ば,Pはn=k+1で

  こ の 証 明 方 法 を 数 学 的 帰 納 法 と い う。 こ れ は,ド

図4.17 

  数 学 的 帰 納 法 は,あ

と は次 の 手 順

自然 数 とす る。

  [1]  命 題Pはn=1で 命 題Pが

同 じに な る。

も 成 り立 つ。

ミノ 倒 し的 な 仕 組 み を もつ。

数学 的帰納法の しくみ

る 性 質 が ど ん な 自 然 数 に つ い て も常 に 成 り立 つ こ と を 証 明

す る と き な ど に用 い られ る。 問16  数 列 の和12−22+32−42+…+(−1)n-1・n2に   (a)  Sumを

つ いて

用 い て 和 の 明示 式 を求 め よ。

  (b)  そ れ が 常 に成 り立 つ こ とを 示 せ 。 問17  次 の 数 列{an}に つ い て,anを

予 想 し,n＞1で

常 に 成 り立 つ こ とを 示 せ。

  ま た,MathematicaでProduct[1−1/k^2,{k,2,n}]と

[4] 

して 結 果 を 確 認 せ よ。

フ ィ ボ ナ ッ チ 数

 1,1,2,3,5,8,…

と い う数 列 は 次 の 再 帰 関 係 を 満 た し,フ

ィ ボ ナ ッ チ 数 列 と い う。

(4.43) フ ィボ ナ ッチ数 列 の 再 帰 関 係 を探 り,他 と の関 連 性 を調 べ よ う。

図4.18 

〔 例 題14〕n段

階 段 の 昇 り方(n=3の

と き)

の 階段 が あ る。1段 上 が り と2段 上 が りで 昇 る方 法 と そ の 個 数an

をn=4ま

で求 め,anが

〔 解 〕1段

上 が りをp,2段

フ ィ ボ ナ ッチ数 の第2項

目か らの数 列 に な る こ とを示 せ。

上 が りをqと す れ ば

(4.44)

 n

=3の

場 合 ,図4.18か

らa3=a2+a1が

成 り立 つ の で フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列 が で

き る。

〔 例 題15〕Mathematicaで(4.45)の 〔 解〕

順列 を作 れ 。

次 の 手 順 で 順 列 を 作 る。

 

①  初 め に,リ

 

② an-1の

ス トa1={p},a2={pp,q}と

各 要 素 の 後 ろ にpを

つ け る。

お く。

 ③  an-2の 各 要 素 の後 ろ にqを つ け る。  ④  ② と ③ をつ な げてanと す る。

(4.45)

  リス トanの

個 数 の 関 係 は2項

目 か ら式(4.45)と

一 致 し フ ィボ ナ ッチ 数 列 に

な る。   リ ス トanの

各 要 素 を パ ス カ ル の 三 角 形 の 数 に あ て は め る と図4.19の

る〔注4〕。

図4.19 

〔注1〕Append[リ

ス ト,x]は,xを

パ ス カ ル の 三 角 形 とan

リス トに 追 加 す る 。

よ うにな

〔 注2〕Map[f,a[n−1]]は,②

を 実 行 す る。

〔 注3〕Map[g,a[n−2]]は,③

を 実 行 す る。

〔 注4〕

数 字 を横 に と る とパ ス カル の 三 角 形 を な して い る。

問18  モ ー ル ス符 号 を 次 の 手順 で 作 り,そ の 個 数 の 特 徴 を 調 べ よ。

の そ れ ぞ れ に・を追 加,an+2の

そ れ ぞ れ に− を追 加}

例;

  次 に,黄

金 分 割 と フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列 の 関 係 に つ い て 調 べ よ う。

〔 例 題16〕

長 方 形ABCDで

  こ の と き,EBCFが

縦,横

の 長 さ を そ れ ぞ れ1,k(k＜1)と

正 方 形 で 長 方 形ABCD∽

長 方 形AEFDと

す る。 な るkの

値 を求

め よ。 〔 解〕

図4.20で,長

方 形ABCD∽

長 方 形AEFDか

ら,k:1=(1−k):k

(4.46) だか ら

〔 例 題17〕

図4.20でEBCFが

で 長 方 形ABCD∽

正方形

長 方 形AEFDの

と

き, ①  長 方 形AEFDの Dを 作 り,長 AEＧHに

中 に正 方 形HGF

方 形AEFD∽

長方形

す る。

②  長 方 形AEGHの

中 に正 方 形IEG

Jを作 り,長 方形AEGH∽

長方 形AIJH

に す る。   以 下 同 様 の 手 順 を繰 り返 す。   こ の と き,長 方 形ABCD,AEFD,

図4.20 

黄金分割

AEGH,AIJH,…

の 横 の 長 さanをkの

式 で 表 し,フ

ィボ ナ ッチ数 列 と の関 係 を

調 べ よ。 〔 解 〕 図4.20か

ら,

こ の 数 列 か ら表4.5が

で き る。 表4.5  長 方 形 の 横anの 係 数

〓の係 数〓

の定数￨ と お

け ば,〓

か ら,

と な り,bn=￨anのkの

 

Mathematicaで

比 と い い,そ

係 数￨,cn=￨anの

は,方

程 式(4.46)を

定 数￨は

そ の 逆数 を小 数 点 以 下10桁

問20  数 列{bn}でbn/bn+1は,nを

ま で求 め る こ とが で きる。

まで 求 め,両 者 に関 係 につ いて 調 べ よ。

大 き くす る とg;黄

[5]  母 関 数  数列{an}の

を黄 金

満 た す〓

の 近 似 値 をGoldenRatio[n]でn桁

問19  黄 金 比gと

フ ィボ ナ ッチ数 に な る。

各項 を係 数 とす るxの 級数

金 比 に近 づ く こ とを示 せ 。

を,数

列{an}の

母 関 数 と い う。 母 関 数 を 使 っ て 再 帰 関 係 を 方 程 式 で 表 し て み よ

う。Mathematicaは

〔 例 題18〕

こ こ で も効 果 的 な 働 き を す る。

ハ ノ イ の 塔 の 数 列{an}の

関 数 を 求 め,Mathematicaで 〔 解〕

再 帰 関 係an+1=2an+1,a1=1を

満 たす母

確 認 せ よ。

こ の 数 列 の 母 関 数 を 次 の よ う に お く。

(4.47) 両 辺 に2xを

掛 け た 式(4.48)を,式(4.47)か

ら辺 々 を 引 く。

(4.48)

(4.49) こ こで,再 帰 関 係〓

式(4.49)に

代 入 して

(4.50)   式(4.50)の

両 辺 にxを

掛 け た 式(4.51)を,式(4.50)か

ら辺 々 を 引 け ば,

(4.51)

(4.52)

 よ っ て,

Mathematicaで

式(4.52)を

  こ の こ と か ら数 列{an}の Mathematicaで

展 開 し て 確 認 す る と次 の こ と が わ か る 。

母 関 数(4.47)は

分 数 式 を 展 開 す れ ば,母

分 数 式(4.52)で

表 現 で き る 。 単 に,

関 数 か ら元 の 数 列 を 求 め る こ と が で き

る。

問21  フ ィ ボ ナ ッチ 数 列{Pn}の 母 関 数 を 作 り,Mathematicａ

で確 認 せ よ。

4.4  カ オ ス と フ ラ ク タ ル   数 列 は,株 価 の よ うに時 間 の経 過 で得 られ た り,近 似 値 の計 算 な ど反 復 の結 果 と して得 られ る こ とが あ る。 こ う した変 化 や移 動 の過 程 は動 的 システム と呼 ばれ, 広 い範 囲 に そ の 現 象 が 見 られ る。 こ こで はあ る方 程 式 を反 復 的 に解 く と きに生 じ る動 的 シ ステ ム につ いて 調 べ よ う。 [1] 

反 復 法

  方程 式x2+2x−1=0を,い

ろ い ろな初 期 値a1と 次 の再 帰 式 で近 似 的 に解 く。

(4.53)  

Mathematicaで

  式(4.53)は

〔 例 題19〕

図 形 的 な 意 味 を 考 え よ う。 方 程 式2x=1−x2か

ら得 ら れ る。

初 期 値a1=0とa1=−2.415で

式(4.53)を

反 復 し た 値 を 求 め,グ

ラ フを描 け。 〔 解1〕

再 帰 式 に 代 入 を 繰 り 返 しTableを

作 る。

(図4.21)

図4.21 

初 期 値a1=−2.415の

anの

グ ラ フ(a1=0)

と き も 同 様 に し て で き る が,解2の

方法 で その値 を求 め

て み る。 〔解2〕f(x)=(1−x2)/2の

合 成f(x),f(f(x)),…

  数 列 を 動 的 シ ス テ ム と 見 た と き各 項anを 不 動 点√2−1に

にx=−2.5を

軌 道 と い う 。a1=0の

収 束 す る と い い,a1=−2.415の

代 入 す る。

と き軌 道anは

と き の 軌 道 は負 の 無 限 大 に 発

散 す る と い う。

図4.22 

問22 

再 帰 関 係an+1=an2−0.5が

anの

グ ラ フ(a1=0)

あ る 。 次 の 中 で 収 束 す る初 期 値 は ど れ か 。 ま た,収

発 散 が 分 か れ る 初 期 値 に 最 も近 い も の は ど れ か 。   初 期 値a1=−1.4,−1.3,−1,0,1,1.0,1.4,1.5

束,

[2] 

カ オ ス

  反 復 法 は,〔 例 題19〕

の よ う に 初 期 値 の 取 り方 に よ って は 収 束 し な い こ と が あ

る。 そ の と き近 似 解 は 求 め ら れ な い が,数

〔 例 題20〕 {an}の

方 程 式x=1−x2を

列 の 研 究 対 象 と して 考 え よ う。

初 期 値0≦a1≦1の

反 復 法 で 解 き,作

られ る数 列

性 質 を調 べ よ。

〔 解 〕f(x)=1−x2の

合 成 関 数f(f(x)),f(f(f(x))),…

を 作 り,x=0.2を

代

入 し て み る。

図4.23  周 期2の

  こ の 軌 道 は0,1が にnの

軌道

交 互 に 現 れ る。 こ う し た 軌 道 を,周

値 だ け を と る 軌 道 を 周 期nの

の 任 意 の 初 期 値 で,図4.23の

期2の

軌 道 と い う。 〔例 題20〕

よ う に 最 終 的 に0,1の

軌 道 と い う。 同 様

の 軌 道 は,0≦a1≦1

値 だ け を と る 周 期2の

軌道

に 落 ち 着 く。

問23  方 程 式x=1.13(1−x2)を

〔 例 題21〕

方 程 式x=1.2(1−x2)を

初 期 値0の 反 復 法 で 解 い た と きの 周 期 を調 べ よ。

反 復 法 で 解 き,軌

道anの

性 質 を 調 べ よ。

と して,anの

〔 解〕 再 帰 関係〓 の 軌 道 を 点(an,an+1)で

推 移 を 点(n,an)で

求 め,an

調 べ る。

(4.54)

〔注2〕

図4.24 anの

推移

図4.25 anの

軌道

〓で

 再帰 関係 こ と も な く,簡

k＞1.2の と き,図4.26か

らanの

軌道 は収 束 す る

単 な 周 期 も もた な い 。 こ う した 「無 規 則 」 な 軌 道 の こ と を カ オ ス

と い う。

図4.26 

 図4.26は

初 期 値a1=0,再

カ オ ス

り,点(k,an),10≦n≦20を

帰 関係

〓で0≦k≦4をx軸

に と

打 っ た も の で あ る。 点 が 不 規 則 に 打 た れ る と こ ろ

が カ オ ス を示 す 。 プ ロ グ ラ ム を次 に示 す 。

(4.55) (4.56)

(4.57) 〔注1〕NestList[f,0,15]は,a[1]=0を 〔注2〕Flatten[]は,リ

起 点 と し,a[15]ま ス トの 整 理 を 行 い,今

で 計 算 す る。

度 の 場 合 は,ListPlot[]で

扱 え るデ ー

タ リ ス トに ま と め る 。

問24  方 程 式x=ksinxを

[3] 

反 復 法 で 解 く と き 軌 道 が カ オ ス に な るkの

値 を見 つ け よ。

フ ラ クタ ル

  図4.27の よ うに,そ の 中 に 自分 自身 と相 似 な 図 形 が 現 れ る図 形 を フ ラ ク タ ル と い う。 カ オ ス が生 じる と き の動 的 シ ス テ ムanの 初 期 値a1全 体 の な す 図 形 は フ

〓

ラ ク タ ル に な る。 そ う した 例 を 作 っ て 見 よ う。

図4.27 

フ ラク タ ル

〔 例 題25〕 次 の再 帰 式 に よ る軌 道anが カ オ ス に な る よ う な定 数cの 図 形 を 描 け。

(4.58) 〔解 〕￨a20￨＜10に

な る 複 素数c=x+yiを

−0.5≦x≦1.5,−1≦y≦1の

範 囲 で

探 す 。

〔注3〕

〔 注4〕

〔 注5〕

〔注3〕 m=m+1を

最 初 にm=0,c=x+yiと 繰 返 し,こ

す る。

つm＜20の

の 条 件 を 満 た さ な い と きg(x,y)=mと

〔注4〕g(x,y)=mを￨x￨≦1.5,￨y￨≦1.5で 〔注5〕

お き,￨z￨＜10か

正 方 形:￨x￨≦1.5,￨y￨≦1.5の

と き ｚ=f(z)と す る。

色 に置 きか え る。 メ ッ シ ュ を1002個

に と り,色

調 を デ フ ォ ル トに

図4.28 

  式(4.56)な

マ ンデ ル プ ロ集 合

ど の 再 帰 式 で 軌 道anが

は フ ラ ク タ ル に な り,こ

図4.29 

カ オ ス に な る と き の 定 数 項cの

し て も フ ラ ク タ ル が 現 れ る 。(図4.28)境

と な る と き の 初 期 値 ａ1を プ ロ ッ ト 界 の集 合 を ジ ュ リア集 合 と い う。 この

と き の 処 理 は 次 の よ う に す る 。 た だ し,c=0.22−0.7i

練 習問題 1.  次 の数 列 を で きる だ け多 くの方 法 で作 れ。

(b))

作 る図形

れ を マ ン デ ル ブ ロ集 合 と い う。

複素数 の再帰式〓

 (a) 

ジ ュ リア集 合

2.  年 利3%の

銀 行 預 金 に1万 円 を預 け,a1=1と

す る。

  丸1年 後 の 元利 合 計 金 額 をa2,丸n−1年 後 の元 利 合 計 金 額 をanと す る。  一 方 ,年 の利 回 りが8%の 株 式 を1万 円 買 い,b1=1と し,bnを 丸n−1年

後 の配 当

と元 金 の合 計 金 額 とす る。 次 の各 問 に答 え よ。  

(a) an,bnの

 

再 帰 式,お

よび 明 示 式 を 求 め よ。

(b)  何 年 以 上 で 銀 行 預 金 の方 が 有 利 に な るか 。Mathematicaで

方 程 式 を解 け。

 た だ し,銀 行 預 金 は利 子 が 利 子 を 生 む 複 利 で あ るの に対 し,配 当 金 で株 式 を 買 う こ と は な い とす る。 3.  平 面 上 にn本 の直 線 が あ る と き,3本

の 直線 でで き る領 域 の個 数anの 再 帰 式,お

明 示 式 を 求 め,明 示 式 が常 に正 しい こ とを示 せ。 た だ し,直 線 は ど の2本 どの3本も1点

よび

も平 行 で な く,

で交 わ らないとする。

図4.30

4. 

フ ィボ ナ ッチ数 は

 た だ し,gは 黄 金 比 5. 

分 数10000/9702,10000/9899の

〓とな る こ とを 示 せ。

〓と す る。

ヒ ン ト;式(4.43),お

小 数 は ど う な る か 試 み,母

よび数学的帰納法 関 数 と 問21か

らその理 由

  を説 明 せ よ。

6.  再 帰 関係 で描 け。

〓の ジ ュ リア集 合

〓の範囲

第5章  デ ー タ 処 理 と確 率   あ る こ との 全 体 の様 子 を見 た り,そ こか ら何 か 判 断 した り,予 測 を した りす る ときに デー タを集 め て 情 報 収 集 し表 現 な どの 処 理 を す る。 こ こで は,デ ー タ の表 し方 や 扱 い 方 に つ い て考 え,確 率 で 予 測 を行 お う。

5.1  デ ー タ の 表 し方   情 報 化 社 会 は情 報 の 洪 水 の 中 にあ る。 情 報 を う ま く利 用 して本 質 を求 め るため, 数 値 を中 心 に した離 散 デ ー タ の表 現 や 利 用,つ [1] 

ま り記 述 統 計 につ い て考 え る。

統 計 グ ラ フ

  表5.1は1994年

現 在 の原 子 力発 電 量 の実 績,建

設 中を含 む今 後 の計画発 電量

の 表 で あ る。 い ろ い ろな統 計 グ ラ フで この表 を表 そ う。 〔 例 題1〕

表5.1の 実績 を 円 グ ラ フ,計 画 を棒 グ ラ フ,両 方 を折 れ線 グ ラ フで 表

せ。 〔 解 〕Mathematicaは う。

で は統 計 グ ラ フ を特 殊 な グ ラ フ とみ な し,次 の 手 順 で 行

〓 〓

〔 注1〕(図5

.1) 

(5.1)

〔 注2〕 

(図5

.2) 

表5.1  発 電 量 の実 績 と計 画

図5.2 

図5.1 

実績の円 グラフ

折 線 グ ラ フ はListPlotで

作 る こ とが で き る。 〔注3〕〓

〔 注4〕〓

棒 グ ラフ

(5.2)

図5.3 

実 績 と計 画 の 折 れ 線 グ ラ フ

  日 本 は 発 電 量 の 実 績 で は世 界 の3番 は,か

目 に 多 い。 しか し,将

な り消 極 的 で あ る。 そ れ に 対 し て ブ ラ ジ ル は,将

来 の 拡 張 性 につ い て

来 の原 子力 発 電 の活 用 に

非 常 に 積 極 的 で あ る。 こ う し た こ と が 統 計 グ ラ フ か ら わ か る。 〔 注1〕PieChart[data]は,dataを

円 グ ラ フで 表 示 す る。

〔 注2〕PlotRange->{{0,12},{0,1400}}で0≦x≦12,0≦y≦1400の

作図 範囲 を指

定 す る。 〔 注3〕PlotJoined->Trueで 〔 注4〕show[]で,複

離 散 的 な 点 を 結 び,折

れ 線 を 作 る。

数 の グ ラ フを 同 一 の グ ラ フ内 に重 ね て表 示 す る。

問1 表5.1で,計画×100/実績+計画 の デ ータ と 実 績 の 折 れ 線 グ ラ フ を 作 り,日

本 の原 子

力 発 電 の 積 極 性 につ い て調 べ よ。

〔 例 題2〕

表5.2は,あ

る学 校 の 男 女 そ れ ぞ れ20名

女 子 の 点 数 に つ い て リ ー フ プ ロ ッ ト,度 数 分 布 表,度

の 数 学 の テ ス トの 点 で あ る 。 数 多 角 形,パ

レ ー ト図 を 作

れ。 表5.2  数 学 の 点

〔 解〕

リ ー フ プ ロ ッ トは2桁

台 の 各 級 に つ い て,点

数 の1の

桁 を 並 べ た 表 で あ る。

〓

表5.3 

女 子 の 度 数 の リ ス トb1と

リー フ プ ロ ッ ト

度 数 分 布 表(図5.4)を,次

の よ うに作 る。

(5.3)

(図5.4)

図5.4 

度数分布表

図5.5 

度 数 多 角 形 は度 数 分 布 の 折 れ線 グ ラ フで,b2の

度数多角形

デ ー タを交 換 して 作 る。

〔 注5〕〓

 

ListPlot[b3,PlotJoined->True] 

(図5.5)

パ レ ー ト図 は 累 積 度 数 の 折 れ 線 グ ラ フ で あ り

,次 〔注6〕〓

の よ うに して作 る。

(図5.6)

図5.6 

〔 注5〕Reverse[list]は,listの

パ レ ー ト図

要 素 を反 転 す る。

〔 注6〕Length[Select[b,#＜n&]]で

リス トbの 中 のn未 満 の 要 素 の 個 数 を 求 め る。

問2  表5.2の 男 子 に つ い て 〔 例 題2〕 と同 様 の グ ラ フ と表 を 作 れ。   表5.2の

デ ー タ は 大 き さ が20の

女 子 の デ ー タ の レ ン ジ は35点

[2] 

デ ー タ と い い,デ

か ら91点

ー タ の 範 囲 を レ ン ジ と い う。

で あ る。

代 表 値

  前 述 の デ ー タ で は,女

子 の 点 数 は60点

台 に 集 中 し,男

子 よ り も集 中 度 が 大 き

い 。 こ う し た 傾 向 を 数 値 で と ら え よ う。 〔 例 題3〕

表5.2の

〔 解 〕Mathematicaで

女 子 の デ ー タ の 平 均 値,標 は,次

準 偏 差,メ

ジ ア ンを求 め よ。

の記 述 統 計 パ ッケ ー ジ を読 み 込 ん で こ れ らの値 を

求 め る。 表5.4  代 表 値

 ≪Statistics'DescriptiveStatistics'〔

注7〕

〔注7〕≪Statistics'DescriptiveStatistics'で 〔注8〕

記 述 統 計 の パ ッケ ー ジを読 み 込 む。

平 均 に は 他 に 相 乗 平 均;GeometricMean[],調

和 平 均;HarmonicMean[]が

あ る。 〔注9〕

分 散 のMLEは;Maximum

  Variance[]は 〔注10〕

Likelihood

母 分 散 で,式(5.5)で20の

代 わ り に19で

関 数StandardDeviation[b]を

〔例 題3〕

の 各 値 は,次

Estimateの

略 で あ る。 割 りυ′=223.737に

母 標 準 偏 差 と い い,√υ′=14.9578で

な る。 あ る。

の 計 算 で 求 め て い る。

平均値

(5.4) 分

散 (5.5)

標準偏差

(5.6)

メ ジ ア ンj=(リ

ス トaを 昇 順 に 並 べ,10番

目65と11番

目67の

平 均 値)

(5.7)   デ ー タ の 大 き さnが 問3 

表5.2で,男

〔 例 題4〕   (a) 

奇 数 の と き,メ

ジ ア ン はj=((n−1)/2番

あ る。

子 の デ ー タの代 表 値 を求 め よ。

次 の 代 表 値 に は どん な 特 徴 が あ るか,表5.2の 平 均 値mと

〔 解 〕(a) 

目 の 値)で

標 準 偏 差s 

平 均 値m=63.5は,点

(b) 

デ ー タを 使 って 説 明 せ よ 。

メ ジ ア ンjと4分

位 数q1,q2

数 を 人 数 で 均 し た 値(図5.7)で,標

sは 平 均 値 か ら の ば らつ き を 示 し,m±sの

範 囲;48≦x≦80に

ほ ぼ70%が

準 偏差 入 る

(図5.7)。   (b)    下 位4分

メ ジ ア ンjは,順 位 数q1,上

位 が中 央 に くる人 の点 数 を示 す。

位4分

位 数q2は

順 位 が 下(上)か

ら1/4に

あ る人 の 点 数 で

あ る。 下 位4分 位 数q1と 上 位4分 位数q2の 間 に ち ょ うど50%が

入 る(図5.8)。

 平 均 値 と メ ジア ンは近 い値 だ か らこの度 数分 布 は平 均 値 に 関 して ほぼ対称 で あ る。

図5.7 

図5.8 

平 均 値 と 標 準 偏差

メ ジ ア ンと4分 位 数

問4  女子 と比 べ たときの男子 の特徴 を,平 均値 と標準偏 差を使 って説明せよ。   度数 分 布 が与 え られ て い る場 合 の平 均 値 と標 準 偏 差 を求 め よ う。 〔 例 題5〕

次 の デ ー タは,100人

につ いて1960年

と1991年 に お け る1家 族 の 人

数 を調 べ た結 果 で あ る。 この表 か ら1960年 の平 均 値mと 表5.5  家 族 の 人 数

〔 解 〕 平均 値mは

次 の よ うに計 算 す る。

標 準 偏 差sを 求

よ。

(5.8) 分 散υ は,m=4と

人 数 の2乗

の 平 均 値 と して,標

準 偏 差sは√υ

で求 め る。

(5.9)

Mathematicaで

は,数

ベ ク トル の 内 積 を 利 用 し て 次 の よ う に して 求 め る。

(5.10)

(5.11) 〔 注11〕

問5 

内 積a1.a2で1・16+2・11+…+7・15を

計 算 す る。

1991年 の家 族 の平 均 値,標 準 偏 差 を求 め,そ の 特 徴 を 調 べ よ。

  平 均 値 と標 準 偏 差 を 利 用 して 偏 差 値 を 求 め よ う。 〔例 題6〕

表5.2の

女 子 の デ ー タ(b)か

ら,女

子 各 人 の偏 差 値 を求 め よ。

〔 解 〕 女 子 の 平 均 値m=63.5と

標 準 偏 差s=14.579を

い て,〓

を求 め る。

使 い,女

子 の 各 値biに

つ

(5.12)

  一 般 に,偏

差 値 を 式(5.12)で

作 る。

  偏 差 値 は 平 均 値50,標

準 偏 差10に

な る 。 デ ー タbが

正 規 分 布 に 近 い と き,偏

差 値50点,60点,70点

の 人 は そ れ ぞ れ 上 位50%,15%,2.5%に

い る。

● 参 考   ボ ッ クス プ ロ ッ ト   メ ジ ア ン,4分

位 数 の 利 用 例 と し て 表5.2の

 ≪Statistics'DescriptiveStatistics'〔

デ ー タ を ボ ッ ク ス プ ロ ッ トで 表 す 。 注12〕

 ≪Graphics'Grahics'

〓で,〓

(メ ジ ア ン)

〓で,〓 (下位4分 位 数) (上位4分 位 数)

〓で,

〓で,35 

(最 低 点)

 〓で,91 

(最 高 点)

(図5.9)  図5.10か

図5.9 

5.2  相

ら,男

子 の方 が ば らつ きの大 きい ことが わ か る。

女 子 の ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト

図5.10 

男 女 の ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト

関

  数 学 と英 語 の成 績 の関 係 な ど,2種

類 の デ ー タの 関連 性 につ い て調 べ よ う。

[1] 

相 関 図

〔 例 題7〕

表5.6は,あ

る10人 の生 徒 の数 学 と各 科10段 階 の評 価 で あ る。 こ の

表 か ら数 学Iと 各 教 科 の相 関図 を作 り特 徴 を 調 べ よ。 表5.6  各 教 科 の 評価

〔 解 〕Mathematicaで Aの

リ ス トを 作 り,次

の 処 理 を 行 う 。 こ れ は,数

学Iと

相 関 図 で あ る(図5.11)。

数学

図5.11 

図5.14 

完全な正の相関

図5.12 

強い正の相関

強い負の相関

図5.15 

弱い負の相関

図5.13 

図5.16 

弱 い正 の相 関

相関 がない

同 様 に,

と して 図5.12か   図5.11の

ら図5.16の

相 関 図 が で き る。

形 を 完 全 な 正 の 相 関 が あ る と い う。 図5.12を

い い,図5.13を

弱 い 正 の 相 関 が あ る。 ま た,図5.14は

強 い 正 の相 関 が あ る と 強 い 負 の 相 関 が あ り,図

5.15は 弱 い 負 の 相 関 が あ る 。

問6  表5.6か

[2] 

ら国 語 と体 育,国 語 と社 会 の相 関 図 を作 成 し,相 関 関 係 を調 べ よ。

相 関 係 数

  相 関 関 係 につ いて,正 負 と強 弱 の度 合 いを数 値 化 しよ う。 〔 例 題8〕

数 学Iと 英 語 の相 関 係数rを 求 め よ。

〔 解 〕 次 の 手 順 でrを 求 め る。 ①  平 均 値 と標 準 偏差 を求 め る。   数 学 の平 均 値x=5.5点,英

語 の 平 均 値y=6.4点

  数 学 の標 準 偏 差sx=1.746点,英

語 の 標 準 偏 差sy=1.428点

②  共 分 散 を求 め る。

(5.13)

③  相 関 係 数rを 求 め る。

(5.14)

〓で,〓

 数学Iと 他 の教 科 との相 関係 数 は表5.7の よ う にな る。 表5.7  相 関 係 数

表5.8  相 関 と相 関 係 数 の 関 係

  相 関 関 係 と相 関 係 数 に つ い て 表5.8の

こ と が,お

お よ そ い え る。

問7  国 語 と体 育 の相 関係 数 を求 め,相 関 関 係 の状 態 を 調 べ よ。

[3]  身 長 と 体 重 の 相 関 関 係   身長 と体 重 の相 関 関係 と肥 満指 数 で,肥 満 や や せ の傾 向 を 判 定 しよ う。 〔 例 題9〕

表5.9は,あ

カ指数,松 木 の指 数,ロ

る女子 高校 生15人

の身 長 と体 重 の デ ー タで あ る。 ブ ロ

ー レル指 数 に よ って各 生 徒 の肥 満度 を調 べ よ。 表5.9  身長 と体重

〔 解〕

標準 体重 を 次 の 式 で 表 す。

  (a) ブ

ロ カ 指 数;(標

準 体 重)=(身

長−100)×0.9 

(5.15)

  (b)   (c) 

松 木 の 指 数;(標

準 体 重)=21.5×10-4×(身

長)2 

(5.16)

ロ ー レ ル 指 数;(標

準 体 重)=135×10-7×(身

長)3 

(5.17)

  太 り ぎ み,や

せ ぎ み の 判 定 は,次

の式 で行 う

  太 り ぎ み の 限 界;y=1.1×(標

準 体 重) 

(5.18)

  や せ ぎ み の 限 界;y=0.9×(標

準 体 重) 

(5.19)

 デ ー タ か ら リス トa,bを 5.17)。 ま た,ブ

図5.17 

作 り,点

を 打 ち 各 標 準 体 重 を 直 線 と 曲 線 で 表 す(図

ロ カ 指 数 で 太 り ぎ み と や せ ぎ み の 判 定 を 行 う(図5

標 準 体 重(三

つ の指 数)

図5.18 

.18)。

太 り とや せ の 限 界

(図5.17) (図5.18)

  図5.17ま

で にb,c,dの

を 調 べ る。 図5.17か と が わ か る 。 図5.18か

グ ラ フ が 現 れ る が,こ

ら(身 長)＞160程 ら,番

号11,13が

れ ら は 省 略 し,図5.17と

度 で は,3つ

図5.18

の 指 数 が ほ ぼ 同 じに な る こ

太 り ぎ み,番

号5,6,9,10の

生 徒が や

せ ぎ み で あ る 。 同 様 の こ と を 松 木 の 指 数 を 用 い て 調 べ る こ と が で き る(図5

.19)。

〓

  た だ し,式(5.16)で (5.18),式(5.19)で

男 子 の 場 合 の 定 数 は21.5の

図5.19 

問8 

の 正 確 な 定 数 は,そ

標 準 体 重(松

代 わ り に22を

れ ぞ れ1.12,0.885で

木 の 指 数)図5.20 

ロ ー レル 指 数 を 用 い て 図5.20を

作 り,表5.10の

用 い る。 式

あ る。

標 準 体 重(ロ

ー レル 指 数)

生 徒 の肥 満 と やせ を調 べ よ。

5.3  モ デ ル 式 と予 測   相 関 図 を代 表 す る直 線,曲 線 の 式 を 作 り,推 定 や予 測 を して み よ う。 [1] 

直 線 モデ ル を作 る

  デ ー タの相 関 関 係 を うま く表 す 直 線 の式 を考 え る。 〔 例 題10〕 次 の表 を用 い て,各 生 徒 の英 語 の点 数 を 数 学 の 点 数 の1次 関数 で表 せ。 表5.10  数 学 と英 語 の 点

〔解1〕MathematicaのFitを

使 っ て 一 次 関 数 の 近 似 を す る。

〔注1〕〓

よ っ て,近

似 直 線 はy=0.62x+2.97

y0

〔注1〕Fit[a,{1,x},x]で

リス トaの

一 次 関 数 近 似 を,Fit[a,{1,x,x＾2},x]で2次

関数

近 似 を 行 う。 〔解2〕

数 学,英

語 の 平 均 値 が 表 す 点(x,y)を

通 り,傾

き〓

の 直 線 を作 る。

(5.20) ①  数 学,英

語 の 平 均 点 は,x=5.5(点),y=6.4(点)

②  数 学 の 標 準 偏 差 は,sx=1.685 ③  数 学 と英 語 の 共 分 散 は,sxy=1.76 ④  モ デ ル 式 は,

Mathematicaで

は ① ∼ ④ を 次 の よ う に 行 う。

図5.21 

回帰 直 線

〓か ら sxは 〓か ら,

〓 は〓 〓か ら,

直 線 はy=0.62x+2.97

は2.97377

(5.21)

  式(5.20)を 〔 解3〕

回 帰 直 線 と い う。 式(5.21)は

回 帰 直線y=ax+bが

相 関 表 を よ く表 して い る(図5.21)。

あ っ た と す る。

  こ の 直 線 と 各 点 と の 偏 差di(図5.22)の

平 方 和sが

最 小 に な る と き のa,bを

求

あ る。

(5.22) sをaの2次 sをbの2次

関 数 と み てaで

微 分;D[s,a]は−742+666a+110b

関 数 と み てbで

微 分;D[s,b]は−128+110a+20b

連 立 方 程 式 を 解 きsが 最 小 に な るa,bを

回 帰 直 線 は,y=0.62x+2.97に

求 め る。

な る。

図5.22 

偏

差

〔 解3〕 の 方 法 を最 小2乗 法 と い う。  次 に,回 帰 直 線 を 使 って抜 け た 値 を推 定 し よ う。 〔 例 題11〕

数 学 の 成 績 が4の と き の英 語 の成 績 を,回 帰 直線 の式(5.21)で

推定

せ よ。 〔 解〕

式y=0.62x+2.97にx=4を

代 入 す る。

〔注2〕

英 語 の 成 績 は,約5と 〔 注2〕Mathematicaで

な る。 はxの 式yにx=aを

代 入 す る と き,/.x->aを

用 い る こ とが

で き る。 問9 

表5.9の

身 長xと

と 比 べ よ 。 ま た,身

[2] 

2次

体 重yの

長160cmの

回 帰 直 線 を 求 め,標

準 体 重 の 式y=0.9(x−100)

人 の標 準 体 重 を求 め よ。

関 数 モ デ ル

 水 の 重 さ は4℃ の と き1ccで1gで

あ るが,詳

し く は表5.11と

に な る。 これ らの離 散 的 な各 点 を結 ぶ2次 関数 を 求 め よ う。 表5.11  水 の密 度

図5.23 

水の密度

図5.23の

よう

〔例 題12〕

水 の密 度 を,温 度 の2次 関 数 で 表 せ 。

〔解 〕Fit関

数 を使 う。

(5.23)

(図5.23) (図5.24)

図5.24 

問10 

表5.12は

日 本 の60歳

近 似 曲線

以 上 の 人 の 割 合 で あ る 。 これ を2次

年 の 割 合 を 推 定 せ よ 。 た だ し,xは60,70,80,90,100の

関 数 で 近 似 し,西

暦2000

よ うに とれ 。

表5.12  60歳 以 上 の人 の 割 合

〔 例 題13〕

あ る コ ン ビニ で は,お

円 で 売 る と1日

に152個

菓 子Aは

目下 売 れ 行 き ナ ンバ ー ワ ンで,1個60

売 れ る と い う。 表5.13か

ら,1円 値 上(下)げ

す る と2個

売 り上 げ が 減 る(増

え る)こ

と が わ か っ て い る 。 こ の お 菓 子 を1個

い くらで売 れ

ば よ い か。 〔解1〕

表5.13の

デ ー タ を2次

式 で近 似 す る。

(図5.25) 表5.13

図5.25 

売 り上 げ の よ うす

  この2次 関 数yは,

だ か ら,1個68円 〔 解2〕 る。

で 最 大9248円

こ の お 菓 子1個

に な る。

の 値 段 をx円,売

れ た 個 数 をy個,売

り上 げ をz円

とす

(5.24)

  1個68円

で 売 り上 げ が 最 大9248円

問11  外 食 チ ェー ンの 吉乃 屋Aで た,過 去 の デ ー タか ら,10円

に な る。

は,1杯400円

の丼 を1日 に800食

さば け る と い う。 ま

値 上 げす る とお 客 は50人 減 る と い う。 この 丼 の 売 り上 げ に

つ いて 予 測 せ よ。

図5.26 

外 食 チ ェー ン の売 り上 げ

5.4  確 率 の 実 験   不 確 か な 現 象 の起 こ りや す さ を確 率 で 表 し,そ の 利 用 を 考 え よ う。 ま た, Mathematicaで [1] 

確 率 の実 験 を試 み よ う。

起 こ リや す さ

  コ イ ンや さ い こ ろ投 げ,ト

ラ ンプ な ど で不 確 か な現 象 を作 り出す こ とが で きる。

い ろ い ろ な不 確 か な 現象 に つ い て,起 〔 例 題14〕

こ りや す さ を考 え よ う。

今 年 夏 の か もめ ー るは が きの く じは百 万 枚 発 行 され,当 選 番号 は次 の

よ うで あ った とい う。 切 手 シー ト賞 の 当 た る可 能 性 を,各 場 合 につ いて調 べ よ。   (a)  百 万 枚 全 部 買 っ た場 合  (b)  100枚 買 った場 合   (c)  1枚 買 った場 合

表5.14 

〔解 〕(a) 

当 た る の は100万

6/100 ×

か も め ー るの 賞

=6万

枚

表5.15  度 数 と確 率

この 場合,確 実 に6万 枚 当 た る。  (b) 

当 た る の は 100×6/100

=6枚

この 場 合,不 確 か で あ るが6枚 が現 れ や す い。  (c) 

当 た る の は6/100=0.06

こ の と き0.06は Mathematicaで

起 こ りや す さ の度 合 いを 表 す。 は,次

  (c)  の 値0.06を,3等

の よ う に リス トを 用 い て 確 率 を 計 算 す る。

が 当 た る確 率 と い う 。(b)は

確 率0.06を

利 用 して い

る。   か も め ー る で 各 等 が 当 た る確 率 は,表5.15の る 。 「1等 が 当 た る こ と 」 な ど,起 根 元 事 象 と い い,「2等

こ る こ とが らで これ 以 上 分 け られ な い もの を

以 上 が 当 た る こ と 」 は,「1等

が 当 た る こ と」 で 表 せ る の で,こ 問12〔

よ う に 度 数 分 布 表 か ら求 め ら れ

が あ た る こ と,ま

た は2等

う し た こ と が らを 単 に 事 象 と い う。

例 題14〕 で 何 も当 た ら な い確 率 を求 め よ。

〔 例 題15〕

次 の 各 場 合 の 確 率 を 求め よ 。

  (a) 

幕 内 と十 両 の 力 士 の 枠 は 現 在40人

は210人

お り,彼

と27人

い る。 一 方,幕

下以 下の力士

らが 関 取 に な る チ ャ ン ス は み な 等 し い と す れ ば そ の 確 率 は ど れ

だ けか。   (b) 

コ イ ン を3回

投 げ た と き す べ て 表 で あ っ た 。 こ の と き,4回

目 に表 が 出

る確 率 は ど れ だ けか。 〔解 〕(a) 

 (b) 

67/210≒0.319

3回 目 ま で の結果に

  前 述 の(a)で

は,チ

る 。 こ の 仮 定 を,同

無 関 係 に,4回

目 が 表 で あ る 確 率 は1/2

ャ ン ス が 等 し い と した の で 統 計 的 な デ ー タで 計 算 が で き

様 に 確 か ら し い と い い,次

(同 様 に確 か ら しい確 率)=

の 式 が 成 り立 つ。

(条件 を満 たす根元事象 の個数) /(根元事象全部 の個数)

 (5.25)

  しか し,現 実 に は各 力 士 の チ ャ ンス は け い この 量 な ど で異 な る。 同 様 に確 か ら しい仮 定 を して,確 率 を考 え る と き に は デ ー タの 特 性 の 一 部 を無 視 して 使 う。   (b)  の よ う に,コ イ ン投 げ の よ うに何 回 も行 う こ とが で き,し

か も各 回 の状

態 が 同 じで あ る実 験 や観 察 を試 行 と い う。 各 回 で 表 が 出 る事 象 の確 率 は,他 に無 関 係 に1/2に な って い る。 「他 と無 関 係 に確 率 が 決 ま る」試 行 を独 立 試 行 と い う。   独 立 試 行 で,あ

る事 象Aの

起 こる確 率 がpの

と き,次 の式 が成 り立 つ 。

(n回 続 け て 事 象Aが

起 こ る 確 率)=pn 

(5.26)

問13  あ る家 で は3人 の 子供 が 皆女 の子 で4人 目 の子 供 を現 在 妊 娠 中 で,4人

目 も女 の 子

か し らと こ の奥 さ ん は考 え て い る。 こ の子 が 女 子 にな る確 率 を 求 め よ〔 注1〕 。 〔 注1〕

確 率 を 考 え る と き,こ の奥 さん の 体 質,つ

問14  さ い こ ろ を2回 投 げ,1と1の

ま りデ ー タの 特 性 の一 部 を無 視 す る。

よ う に同 じ目が 出 る,つ ま り ゾ ロ メ に な る確 率 を 求

め よ。 ま た,こ れ を3回 繰 り返 す と き,3回

と も同 じ 目に な る確 率 を求 め よ。

[2]  確 率 の 表 し方  事象 を集合 で,確 率 を式 で表 してその値を求め よ う。 〔 例 題16〕

よ く 切 っ た52枚

の カ ー ドか ら1枚

引 く と き,次

集 合 の 記 号 を 使 っ て 表 し,そ よ。

の トランプ の確 率 を の値 を求 め 図5.27 

トラ ン プ の 絵 札

  (a) 

ハ ー トか ス ペ ー ドで あ る 確 率

  (b) 

ハ ー トか 絵 札 で あ る 確 率

〔 解〕

ハ ー ト,ス ペ ー ド,絵 札 で あ る 事 象 を そ れ ぞ れH,S,Eと

す れ ば,そ

の

確 率 は次 の よ うに表 す こ とが で き る。

  各 事 象 の 位 置 関 係 を 表 す と 図5.28,ベ

図5.28 

図5.29 

ン図 は 図5.29の

よ う に な る。

各事 象 の 位 置

事 象 のべ ン図

(a)

 (5.27)

(b)

 (5.28)

 確 率 で は起 こ り う る事 柄 つ ま り事 象 を 集 合 で考 え,大 文 字A,Bな

どで表 す。

ま た,事

象Aが

起 こ る 確 率 をP(A)で

表 す 。 事 象A,Bが

あ る と き,次

の よ う

に事 象 を 表 す 。  

Aま

た はBが

 

AとBが

 

Aが

起 こ る事 象(和

同 時 に 起 こ る事 象(積

事 象)A∪Bの

起 こ ら な い 事 象(余

  図5.29のHとSの

よ う に,共

と い う。 排 反 な 事 象A,Bに

確 率;P(A∪B)

事 象)A∩Bの

事 象)Aの

確 率;P(A∩B)

確 率;P(A)

通 部 分 が な くH∩S=φ

つ い て,式(5.27)と

と な る 事 象H,Sを

排反

同 じ く次 の 性 質 が 成 り 立 つ 。

(5.29) 事 象A,Bに

つ いて 次 の性 質 が 成 り立 ち,確 率 の和 の法 則 とい う。

(5.30) 事 象Aと

そ の余 事 象Aの

確 率 に つ い て,次 の性 質 が 成 りつ 。

(5.31) 問15 a,b,cの3人

が レス トラ ンに行 き,か ぶ って い た 帽 子 を預 け た 。 帰 りに で た らめ に

帽 子 を も ら う と き,少 な く と も1人 が 自分 の帽 子 で あ る確 率 を求 め よ。

[3] 

確 率 の利 用

  確 率 の考 え方 を利 用 して,い

くつ か の問 題 を解 こ う。 次 の 問題 は赤 玉,白 玉 で

結 果 を象 徴 した決 定 問題 で あ り,人 生 で この よ うな決 定 場 面 が多 数 あ る。 〔 例 題17〕5つ

の筒 が立 て て あ り,中 に赤 と 白の 玉 が 入 って い る。3つ の 筒Aに

は白玉 が2個,赤 て い る(図5.30)。

玉 が4個,残

りの2つ の筒Aに

は 白玉 が3個,赤

い まa君 が 目隠 しを して で た らめ に筒A,Aを

玉 が2個 入 っ 選 び,次

の 中か ら玉 を1個 選 ぶ 。 こ の と き,選 ん だ 玉 が 白玉 で あ る確 率 を 求 め よ。

図5.30 

筒

と 玉

にそ

〔 解 〕 筒 と玉 の選 び方 お よ び それ らの 確 率 は次 の よ う にな る。

図5.31 

筒 と玉 を選ぶ 確 率

 選 ん だ玉 が 白玉 で あ る確 率 は次 の よ うに な る。

(5.32)   こ の 式 は,確

率 の か け 算 を 行 っ て い る。 図5.32か

き る。 事 象Aが

起 こ っ た と き に 事 象Bが

らそ の 根 拠 を探 る こ と が で

起 こ る 確 率 をPA(B)で

表 し,条

件 付

き 確 率 と い う。

図5.32 

 〔 例 題17〕 で は,筒Aを を 掛 けて 筒Aの

条件 つ き碓 率

選 ぶ確 率P(A)と,筒Aか

白玉 を 選 ぶ確 率P(A∩B)を

ら白玉 を選 ぶ 確 率PA(B)

求 め て い る。 次 の式 を,確

率 の積

の 法 則 と い う。

(5.33)

  式(5.32)で

は,積

の 法 則 を2つ

使 っ てBの

確 率 を次 の よ うに求 め て い る。

(5.34) 問16〔

例 題17〕 に つ いて,次

  (a)赤

玉 を選 ぶ確 率  

の確 率 を求 め よ。 (b)選

ん だ 玉 が 白玉 の と き,筒Aを

問17  10本 の く じの 中 に3本 の あ た り く じが あ る。A,Bが

選 ん だ 確率

こ の順 に く じを引 くと き,A,B

が 当 た る確 率 を そ れ ぞ れ求 め よ 。

〔 例 題18〕A,Bの2人

が じ ゃん け ん を3回

繰 り返 し,勝

っ た 回 数 を 記 録 す る 。A

君 の勝 ち数 とそ の確 率 の 関係 を調 べ よ。 〔 解 〕A君

が勝 つ 場 合 ○ と その 個 数 と確 率 は次 の よ うに な る。 △ は あ い こか 負

け の場 合 で あ る。   A君

の 勝 つ 回 数 をXと

す れ ば,各Xの 表5.16  A君

確 率 は次 の よ う に ま と め ら れ る。 の勝 つ 回数 と確 率

0回 勝 つ;

1回 勝 つ;

2回 勝 つ;

3回 勝 つ;

こ こで,確 率 の 計 算 の 意 味 につ い て考 え よ う。 〔 例 題18〕 で,A君  

P(1回

が3回

と も勝つ 場 合 の確 率 は次 の式 を も とに して い る。

目勝 ち ∩2回 目勝 ち ∩3回 目勝 ち)

  =P(1回

目勝 ち)×P(2回

目勝 ち)×P(3回

目勝 ち) 

(5.35)

 じゃん けん や コ イ ン投 げ の よ うに,各 試 行 の事 象 が他 の試 行 の事 象 と無 関 係 な 試 行 を 独 立 試 行 と い い,異 な る試行 の事 象A,B,Cに

つ いて 次 の式 が成 り立つ。

(5.36)

  じゃん けん でA君

が 勝 つ 回 数X(=0,1,2,3)の

変 数 と い う。 確 率 変 数 がX=kと 数Xの

よ う に確 率 を伴 う変 数 を 確 率

な る確 率 をP(X=k)の

各 値kと そ の確 率P(X=k)の

式(5.37)を,確

よ うに表す。 確 率変 率 変 数Xの

確 率分 布 と

い う。 表5.17  Xの 確 率 分 布

(5.37)

〓〔注2〕〓

(図5.33)

図5.33 xの

〔注2〕Binomial[n,r]で   確 率 変 数X=1,2,3,…,nの

組 合 せ の 個 数nCrを

確率分布

計 算 す る。

確 率 が そ れ ぞ れp1,p2,p3,…,pnの

と き,こ

の 確

〓

率 分 布 の平 均m,分

散υ,標 準 偏 差sを 次 の式 で求 め る。

平均〓

 (5.38)

分散

〓 (5.39)

標準偏差

〓 (5.40)

問18  図5.34の る。 玉 が4段

よ うな パ チ ン コの 模型 が あ り,玉 は 同 じ確 率 で右 か左 に行 って 上 か ら落 ち

目 の一 番 左 に き た と きを4点,一

番 右 に き た と きを0点

とす る と き,点

数x

の確 率 分 布 を求 め よ。

図5.34 

図5.35  得 点 の分 布

パ チ ン コの モ デ ル

パ チ ン コの得 点 分 布 は,次 の よ う に2項 分 布 を利 用 して も描 く ことが で きる。

〔注4〕〓

(図5.35) 〔注3〕PDFは

確 率 密 度 関 数(Probability

Density

〔注4〕[BinomialDistribution[n,p],k]で2項

Function)の

略 で あ る。

分布

計 算 す る。

5.5 

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

  Mathematicaで

不 確 か な 現 象 を な ぞ り,事

象 の 起 こ り や す さ を 調 べ よ う。

〓を

[1] 

乱 数 の 利 用

  Mathematicaで 〔 例 題19〕1か

は,次 の よ うに して 乱 数,つ

ま りで た らめ な数 を作 り出 す。

ら6ま で の 整数 の乱 数 を300個 作 り,度 数 多 角 形 を 作 れ。

〔解 〕SeedRandomで

乱数 の初 期値 を決 めて乱 数300個

と度 数 の折 れ 線 グ ラ フを

作 る。

図5.36  乱 数 の度 数 分 布

(5.41)

〔 例 題19〕

で1∼6の

整 数 の 乱 数 を 作 れ ば,さ

い こ ろ投 げ の 実 験 の代 わ りに な

る 。 実 際 の 動 き を 模 擬 実 験 す る こ と を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン と い う。

問19  2個 の さ い ころ を 投 げ,目 の和 を み る試 行360回

[2] 

の シ ミュ レー シ ョ ンを行 え。

モ ン テ カ ル ロ 法

  乱 数 を 使 っ て 確 率 の 模 擬 実 験 を 行 お う。 こ の 方 法 を モ ン テ カ ルロ 法 と い う。

〔 例 題20〕−1＜a＜1,−1＜b＜1の x2+y2=1を

図示せ よ

乱 数a,bを100個

。 ま た 点(a,b)が

ず つ 作 り,点(a,b)と

円

こ の 円 の 内 部 に あ る と き の 個 数 を 調 べ よ。

〔解 〕 乱 数 の初 期 値 を決 め,乱 数 と 円 を描 き,条 件 にか な う個 数 を調 べ る。

(5.42)

〓(図5.37)〓

(5.43) か ら77

図5.37 

円 の面 積 の 近 似

  式(5.42)のRandom[Real,{−1,1}]で−1＜a＜1の 5.37で

は 面 積 が4の

で100個

正 方 形 に 半 径1の

の 点 か ら分 け て77個

乱 数aを1つ

作 る。 図

円 が あ る 。 こ の 円 の 内 部 の 点 を 式(5.43)

に な っ た の で,円

の 面 積 は 次 の 値 で 近 似 で き る。

(5.44) 〔 注1〕Lengthを 〔 注2〕〓 の 中 か ら〓

使 って,条 件 を満 足 す る点 の個 数 を数 え る。 で,〓

とな る もの を選 び 出 す。

問20  円 の シ ミュ レー シ ョ ンを ラ ンダ ム な点1000個 〔 例 題21〕A,Bの2人

が じ ゃん け ん を し,Aが

け た と き 得 点 か ら1点

引 く。 こ れ を4回

図5.38 

〔 解 〕−1,0,1の

で 行 い,π の近 似 を行 え 。

乱 数 を4個

足 し4回

勝 っ た と き 得 点 に1点

繰 り 返 す と き,A君

加 え,負

の得 点 を調 べ よ。

じゃん け ん の モ デ ル

の 得 点 を 作 り,100回

繰 り返 して 度 数 分 布

を 作 る。 SeedRandom[1735] 〔注3〕

(図5.39) 〔注3〕Random[Integer,{−1,1}]で,−1か

ら1ま

で の 整 数 の乱 数 を生 成 す る。

図5.39  じ ゃん けん の得 点 分 布

〓

問21  4回 目 にAが ・参 考

得 る得 点xの 確 率 分布 を 計 算 し折 れ 線 グ ラ フを描 き,上 と比 べ よ。

正 規 分 布 と比 べ る

〔 例 題21〕

の リ ス トbを 使 っ て 平 均 値 と 標 準 偏 差 を 求 め,正

う。 こ の 考 え 方 は,デ

図5.40 

規分布 と比較 しよ

ー タの分 布 を調 べ る と きの基 本 で あ る。

得 点 と正 規 分 布

図5.41 

正規分布

〔 注1〕

〔 注2〕

(5.45)

(図5.40)   モ ン テ カ ル ロ法 で 作 っ た じ ゃ ん け ん の デ ー タ は 正 規 分 布 に 近 い こ と が わ か る 。 〔 注1〕

平 均 値 と標 準 偏差 を求 め た。

〔 注2〕

平 均m,標

準 偏 差sの 正 規 分布N(m,s2)は

次 の式(5.46)で

求 め られ る。

(5.46)

 各mの

グ ラ フ は 図5.41の

よ う に な り,x=mで

最 大 値〓

を と り,m−s

≦x≦m+sに

全 体 の 約68%が

入 る。

練習問題 1.  あ る ス ー パ ー で は,A∼F社 数 量(ダ

か ら毎 月靴 を仕 入 れ て い る。 表5.18は

各 社 か らの 仕 入 れ

ー ス)と 仕 入 額(万 円)で あ る。 表5.18 

(a)  1ダ ー ス当 た りの 平 均 単 価 が 最 も高 い会 社

靴 の仕 入 れ

お よ び低 い 会 社 を あ げ よ。 (b)  靴1足

の 平 均 価 格 を 求 め よ。

2.  次 の 表 は,1995年

の,日 本 の無 配 偶 者 の割 合 で あ る。 年 齢 を27.5,32.5,…

に と り,

各 割 合 を 年 齢 の2次 関 数 で 近 似 せ よ。 ま た,男 女 の 相 関 図 の 関 係 を 調 べ よ。 表5.19  独 り者 の割 合

3.  次 の表 と 図 は 水 の 温 度 と密 度 の 関 係 で あ る。 密 度 の リス トを 作 り,温 度 の2次 関 数 で 表せ。 表5.20  水 の 密 度

4.  さい ころ を2個 投 げ る と き,次 の確 率 を求 め よ。 また,シ   回数−(b)の

回数}を20回

 (a)  和 が6に

な る 

ミュ レー シ ョ ンで{(a)の

計 算 し,正 に な る回 数 を調 べ,そ の 確率 を 求 め よ。 (b)  和 が7に な る

5.  10本 の く じが あ り,そ の 中 の3本 が 当 た り くじで あ る。A,Bの を100回

モ ンテ カ ル ロ法 で 行 い,A,Bの

当 た る回 数 を調 べ よ。

順 に く じを 引 く実 験

第6章  離散構造   数 や集 合,リ

ス トな どの仕 組 み につ い て,こ れ まで の話 題 を もと に調 べ よ う。

6.1  指 数 の 構 造   指 数 表 現 を 中心 に数 の性 質 を探 り,そ の基 本 的 な原 理 を 明 らか に しよ う。 [1] 

指 数 の 原 理

  指 数 が もつ 基 本 的 な性 質 を も とに,指 数 の 問題 を解 決 す る。 指 数abは,指

数

bを 変 え た と き,次 の よ うに そ の意 味 が 変 わ る。   ①  a3=a×a×a;自

然数 

  ②  a-2=1/a2;負

の整 数

  ③  a1/2=√a;有

理 数(分

  ① → ② → ③ の よ う に,指

(6.1)   (6.2)

数) 

数 の 範 囲 を 広 げ,そ

(6.3) の 意 味 を変 え る こ とを 指 数 の

拡 張 と い う。 指 数 の 拡 張 を す る場 合 に 基 本 と な る性 質 を 探 ろ う。

問1  Mathematicaを   (a) 

(b) 

用 い て次 の 式 を 求 め よ。 (c)

〔 例 題1〕

次 の 式 が 成 り 立つ こ と をMathematicaで

(a)

 (b)

〔 解 〕Mathematicaで

確 認 せ よ。

 (c)

は,各

式 を 次 の よ う に して 確 認 す る こ と が で き る 。

(6.4)

  割 り算23÷22は23-2と

同 じで,指

  基 本 法 則am÷an=am-nが

数 の2を3,4,…

自然 数m,nで

(a)

と す れ ば 表6.1に

成 り立 て ば,次

な る。

の 計 算 が で き る。

 (b) 表6.1  わ り算 と指 数 計 算

  基 本 法 則(ab)c=abcが

有 理 数(分

数)b,cで

も 成 り 立つ と す れ ば 次 の 計 算 が

で きる。

(6.5)  こ こ で,a2=2と

な る 数aは2の

平 方 根 だ か ら,次

の こ とが いえ る。

(c)

 (6.6)

問2  次 の式 につ い て基 本 原 理 を探 り,そ れ が成 り立 つ こと を示 せ 。 (a) 

  数c＞0,d＞0の

(b) 

と き,次

 これ らの法 則 か ら,d＞0に

(c) の 基 本 法 則 が 成 り立 つ 。

つ いて 次 の式 が 成 り立つ。

〓dの 正 のn乗 根

問3 nn(n=±1,±2,…)が

[2] 

最 も小 さ い と きのnの 値 を求 め よ。

複 素 数 の 指 数

  虚 数 単 位i,つ

ま りi2=−1と

な る 数 を 使 っ て〓

な どの数 を考 え よ

う。

〔 例 題2〕

次 の 式 を 複 素 数a+biの

(a)

形 で 表 し,そ

うな るわ け を い え。

 (b)

〔解 〕ComplexExpand〔

注1〕〓

と す れ ば,次

のよ うに

な る。

(6.7)  そ の わ け は,次

の よ うに して示 さ れ る。

(a)

 (6.8)

(b) 〓

と す れ ば,

(x+yi)2=i(x,yは

をSolve[{x＾2==y^2,2x＊y==1},{x,y}]で

実 数)だ

解 け ば ,Iを

か ら,

含 ま な い 実 数 解 は,

〓(複 号 同順)

 だか ら正 の方 を選 ぶ と〓 〔 例 題2〕 で はaが 複 素 数 の 範 囲 で 指数 法 則〓 て い る。 こ の よ う に,指 〔 注1〕

数 法 則 が 複 素 数 の 計 算 で も成 り立つ。

複 素 数 の 範 囲 で,展 開 を行 う。

(6.9) を使 っ

問4  次 の式 を複 素 数a+biの

(a)

 (b)

〓の意味

[3] 

  n乗 す る と−1に 面 上 の 点 に と り,そ

〔 例 題3〕x3+1=0の 〔 解1〕

形 で 求 め よ。

な る複 素 数a+biの1つ

を(−1)1/nと

表 す。 方 程 式 の解 を平

の 意 味 を 考 え よ う。

解 を 求 め,そ

の解 を描 け 〔 注2〕 。

因数 分 解 して解 を求 め る。

(6.10)

を プ ロ ッ トす れ ば 解 が 図 示 で き る。

3点〓

  ListPlot[a,AspectRatio->Automatic,PlotStyle->PointSize[0.1]]   図6.1は,複

素 数a+biを

平 面 上 の 点(a,b)で

を 虚 数 部 分bに

表 した 平 面 の こ と を 複 素 数 平 面 と い う(図6.2)。

図6.1 x3+1=0の

表 す 。x軸

解

を 実 数 部 分aに,y軸

図6.2 

〔 解2〕Solveで

複素数平面

解 を表 す 。

(6.11) 解 は〓

(6.12)

複 素 数 ら し くa+biの

形 に表 す。

解 は〓

(6.13)

上 の 解 で 式(6.10),(6.12),(6.13)を

比 べ る と次 の こ と が わ か る 。

(6.14) 〔注2〕x3+1=0の

解 は 次 の よ う に 求 め,図

示 す る こ と もで き る。

問5 x4+1=0の

  式(6.13)の a+biの

解 を 式(6.14)の3つ

の方 法 で表 せ。

よ う に,r(cosα+isinα)の

形 の 複 素 数 は,次

形 に した複 素 数 を 極形 式 とい う。

の 変 形 で 極 形 式 に表 す こ と が で き る。

(6.15)

問6 〓

を,そ れ ぞれ 極 形 式 で表 せ 。

〔 例 題4〕(−1)x,ix(x=−1,−0.9,…,1)を

極 形 式 で 表 し,複 素 数 平 面 上 に 示

せ。 〔 解〕

 (6.16)

か ら,

 (6.17)

同 様 に,ComplexExpand[I＾x]と

し て,

(6.18) (−1)xは

式(6.18)を

用 い て,次

の よ う に プ ロ ッ トす る。

(図6.3) … と す れ ば よ い(図6

.4)。

図6.3 

問7 x6=64の

図6.4 ix

(−1)x

解 を 求 め,複 素 数 平 面 上 に図 示 せ よ。

6.2  数 の 性 質   整 数,有 理 数,無 理 数 に 特有 な性 質 をMathematicaを [1] 

用 いて 調 べ よ う。

小 数 の数 字

〔 例 題5〕

次 の数 を小 数 で表 した と きの各 桁 の数 字 を101桁 ま で取 り出 し,そ の

現 れ 方 を 調 べ よ。 た だ しgを 黄 金 比 とす る。

(a) 〔 解 〕〓

 (b)

か ら10aの

整 数 部 分1を

分)を 再 びaと す る。 この 再帰 手順 で10aの

取 り出 し,10a−(10aの

整 数部

整 数 部 分 を 取 り出 せ ば 各 桁 の 数 字

が 得 られ る。 〔 注1〕

(6.19)

〓

0,1,…,9の

各 数 字 の 度 数 は 次 の 手 順 で 求 め ら れ,ほ

ぼ 同 じ割 合 で 現 れ る 。

〓(図6.5)  (b)  式(6.19)を

次 の よ う に変 え れ ば よ い。

(6.20)

結 果 はe={6,1,8,0,3,3,9,8,9…},各

図6.5 1/7の

図6.6 

数 字 の度数

  分 数 は 循 環 小 数 で 表 さ れ る の で,そ 環 しな い の で,図6.6の

数 字 の 度 数 は 図6.6の

の 度 数 は 図6.5の

よ う に な る。

g−1の 数 字 の 度 数

よ う に な る。 無 理 数 は 循

よ う に 度 数 は 一 様 に な ら な い こ と が わ か る 。 一 方, 〔注2〕

に よ っ て,1/7の g− 1の 小 数101桁

小 数 で 隣 り合 う数 字 の 相 関 図 が 得 ら れ る(図6.7)。 の 相 関 図 も 得 ら れ る(図6.8)。

同 様 に して,

図6.7 

1/7の相関

〔 注1〕Floor[a]は,aを 〔 注2〕

問8 

[2] 

図6.8 

図

越 え な い最 大 の整 数 を 出力 す る。

隣 同 士 の 数 の ペ アを 点 に して,グ

π=3.14159…

g−1の 相 関 図

の小 数 以 下100桁

ラ フで 表 示 す る。

に お け る0か ら9の 度 数 を調 べ よ。

連 分 数 で表 す

  有 理 数 と無 理 数 の 違 いを,連 分 数 で 表 して 調 べ よ う。 〔 例 題6〕

(a) 〔解1〕(a) 

次 の 数 を連 分数 で表 せ。  (b)  黄 金 比〓 10÷7=1…3,7÷3=2…1だ

か ら,

(6.21) を分 母 と分 子 に代 入 して い く と連 分 数 が で き る。

(6.22)

  式(6.22)で

は 各 分 子 が1だ

か ら,各 分 数 の 前 の1,2と

数 と 最 後 の 分 母3で

(6.23) の よ うに表 す こ とが で き る。 逆 に この 数字 か ら連 分 数 を作 る こ とが で きる。  (b) 

か ら関数〓

は,〓

の合 成 で連 分 数 を求 め る。

(6.24)

  式(6.24)にx=1を

代 入 して み る と,分

母,分

子 に フ ィ ボ ナ ッ チ数 列 が 現 れ

る。

(6.25) Mathematicaで

は,次

の よ う に して 分 数10/7の

連 分 数 の 式(6

.23)を

求 め る こ

とが で き る。

同様 に(b)の

答 え が 次 の 式 で 得 られ る。 式(6.26)の

形 を 連 分 数 の 標準 形 と い

う ｡

(6.26) 〔 例 題6〕(a)は,有

理 数(分 数)を 連 分 数 にす る とき ユ ー ク リ ッ ドの 互 徐 法 と

同 じ手 順 で 行 い,連 分 数 は有 限 で 終 わ る こ とを 示 して い る。(b)は,ル

ー トを

含 む無 理 数(代 数 的 無 理数)を 連 分 数 にす る と循 環 した定 数 が 無 限 に続 く こ とを示 す 。 な お,π の よ うな無 理 数(超 越 的無 理 数)の 連 分 数 は循 環 しない定数 が現 れ る。 問9  次 の数 を連分数 に展開 し,式(6.26)の (a)

形 で表せ。

 (b)

[3]  整 数 の 性 質  約 数,倍

数,素 数 を 中心 に整 数 の性 質 を調 べ よ う。

〔 例 題7〕377と620(フ 〔 解1〕GCDで

ィボ ナ ッチ数 列 で 隣 り合 う2数)の 最 大 公約 数 を求 めよ。

最 大 公 約 数 を求 め る。

 最 大 公 約 数 は1 〔 解2〕

素 因 数 分 解 す る。

  共 通 な 素 数 は な い の で,最 〔 解3〕

大 公 約 数 は1

ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 で 求 め る 。 (620を377で

割 っ た 余 りが233)

(余 りが0に な る式 の 直前 の式 の 余 りが 最大 公 約 数)

 だ か ら,最 大 公 約 数 は1 〔 解4〕

ユ ー ク リッ ドの互 除 法 の手 順 を再 帰 式 で 作 って 求 め る。

(6.27)

  2つ の 整 数 の 最 大 公 約 数 を 求 め る と き,素

因 子 分 解 や ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 が

有 効 で あ る 。 こ の よ う な 手 順 の こ と を ア ル ゴ リ ズ ム と い い,〔 解3〕

や 式(6.27)

の 手順 が そ の例 で あ る。 〔 注3〕g[m,n]はm＞nの [m,n]を,mの

整 数 を 扱 う。 数nの

代 わ り にnを 置 き換 え,n=0に

問10  100以 下 の正 の 整 数nで,nとn+10が

〔 例 題8〕2000の 〔解1〕2000=2453だ

代 わ りにmをnで

割 っ た余 りMod

な るま で 繰 り返 す アル ゴ リズム で あ る。

互 い に素 で あ る組 の個 数 を求 め よ。

約 数 とそ の 個 数 を求 め よ。 か ら,

表6.2  約 数 の構 造

約 数 は2m5n(m=0,1,2,3,4,n=0,1,2,3) 表6.2の

よ う な 構 造 を し て い る。

約 数 の 個 数 は5×4=20   約 数 の 和 は,

〔解2〕

約 数 を 求 め る 関 数Divisorsと

約 数 の 関 数DiverseSigmaを

使 う。

  約 数 の 個 数 は20個,そ 〔 注4〕aの

の 和 は4836。

約 数 をdiと す れ ば,DivisorSigma[k,a]で(di)kの

と き は(di)k=1だ

か ら約 数 の個 数 を,k=1の

和 を計 算 す る。k=0の

とき は約 数 の和 を表 す。

問11  2025の 約 数 とそ の 個 数,そ の和 を求 め よ。   整 数aの

約 数 が1とa自

身 だ け の 場 合aを

素 数 と い う。 素 数 が 多 く現 れ る 数 列

を 調 べ よ う。 次 の 例 題 の 数 を メ ル セ ン ヌ 数 と い う 。

〔 例 題9〕2n−1(nは 〔 解〕

素 数)を

素 数 を20個

作 り,そ

小 さ い 方 か ら20個

れ ら に つ い て2n−1を

あ げ,素

数 か ど うか 調 べ よ。

計 算 して 素 数 か ど うか 判 定 す

る。

  メ ル セ ン ヌ 数 は 小 さ い 方 か ら4個

は 素 数 で,最

初 の20個

中9個

は素 数 に な る 。

問12  10個 の 各 フ ェ ル マ ー数2^(2^n)+1(n=1,2,…,10)が

素 数 か ど うか 調 べ よ。

〔 例 題10〕n以

数〓

下(n≦1000)の

素 数 の 個 数 を 求 め,関

べ よ。 〔 解〕

自然 数nま

で の 素 数 の 個 数 をPrimePi[n]で

求 め プ ロ ッ トす る。

と比

図6.9 

  図6.10か き る。aの

素 数 の 個 数 とlog3x

ら,1000ま

図6.10 

で の 素 数 の 個 数 は 対 数 関 数log3.2xで

各 数 値 に 最 も適 合 す る 関 数 の 詳 し い 調 査 は,こ

〔 注5〕PrimePi[n]は,正

問13  2か ら1000ま

素 数 の 個 数 とlog3.2x

の整 数nま

近 似 す る こ とが で

こ で は 省 く。

で の 素 数 の個 数 を与 え る関 数 で あ る。

で の各 整 数 に つ い て約 数 の個 数 を調 べ,最

も多 い数 を あ げ よ。

6.3  集合 と論 理 の 仕組 み   リ ス トを 用 い て 集 合 と論 理 の 仕 組 み を 調 べ よ う。

[1] 

集 合 演 算

  リス トを 有 限 集 合 と み て 集 合 の 計 算 法 則 に つ い て 調 べ よ う 。

〔 例 題11〕

奇 数 の 集 合 をa={1,3,5,7,9},素

倍 数 をc={3,6,9},全

数 の 集 合 をb={2,3,5,7,9},3の

体 集 合 をu={1,2,3,…,10}と

す る と き,次

の集 合 を求

め よ。   (a)  〔 解〕   (a) 

a∩(b∪c) 

(c) 

リ ス トa,b,cが

あ る と き,各

a∩(b∪c)   Intersection[a,Union[b,c]]   {3,5,7,9}

(a∩b)∪(a∩c) 集 合 は次 の よ う に し て 求 め ら れ る 。

  (b) 

(a∩b)∪(a∩c)

 

Union[Inetersection[a,b],Intersection[a,c]]

 

{3,5,7,9}

問14〔

例 題11〕

  (a) 

の 集 合a,b,cに

a∪(b∩c) 

  集 合a,b,cと

つ い て,次

(b) 

の演 算 を 行 え 。

a∩(b∪c)

そ の 間 の 演 算 は,次

の 基 本 法 則 か ら成 り立 っ て い る。

  ① べ き の 法 則;a∪a=a,a∩a=a   ② 交 換 法 則;a∪b=b∪a,a∩b=b∩a   ③ 結 合 法 則;(a∪b)∪

ｃ=a∪(b∪c),(a∩b)∩c=a∩(b∩c)

  ④ 分 配 法 則;a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)   a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c)   ⑤ 相 補 の 法 則;a∪a=U;全   ⑥

問15〔

[2] 

体 集 合

ド ・ モ ル ガ ン の 法 則;a∪b=a∩b,a∩b=a∪b

例 題11〕

の 集 合a,bに

つ い て ド ・モ ル ガ ン の 法 則;a∪b=a∩bを

確 認 せ よ。

論 理 演 算 「数2は

の よ う に,正

集 合{1,2,3}の

し い(真)か

「数xは{1,2,3}の

要 素 で あ る」

そ う で な い(偽)か

要 素 で あ る 」 はxに

に 真 の と きTrueを,偽

 

(6.28)

が 明 確 な 文 章 を 命 題 と い う。 ま た,

の と きFalseを

よ って真 偽 の い ず れ か を と る。 この よ う 返 す 関 数 を述 語 関 数 と い う。 述 語 関 数 を

用 い て 命 題 の 真 偽 を 判 定 しよ う 。

〔 例 題12〕

次 の 命 題 の 真 偽 を 判 定 せ よ。

  (a)命

題3=22,3＜22の

〔解 〕(a) 

{3==2^2,3＜2^2}   {False,True}

  だ か ら,そ   (b) 

れ ぞ れ 偽,真

PrimeQ[1999]

そ れ ぞ れ の真 偽

  (b) 

1999は

素 数 で あ る。

  {True}   だ か ら1999は

素数

  TrueとFalseを

返 す 述 語 関 数 に は次 の よ うな例 が あ る。

 

例1.  3!=4 

意 味 は3≠4,結

果 はTrue

 

例2.  3＜=2^2 

意 味 は3≦22,結

 

例3. OddQ[{−1,4}] 

意 味 は 奇 数 の 判 定,結

果 は{True,False}

 

例4.  MemberQ[{0,1,2},1] 

意 味 は 要 素 の 判 定,結

果 はTrue

果 はTrue

問16  次 の真 偽 を判 定 せ よ。   (a)  23＞32  命 題p,ｑ

(b)  0は 偶 数 で あ る

に つ い て 表6.3の

命 題 を 作 る こ と が で き,こ

れ ら を 論 理 演 算 と い う。

表6.3  論 理 演 算

〔例 題13〕pの

真 偽 お よ びqの

真 偽 に よ っ て 論 理 和p∨qの

真 偽 が ど う な るか 調

べ よ。 〔解 〕

述 語 関 数orで  

真 偽 を調 べ る。

{or[True,True],or[True,False],or[False,True],or[False, 

  {True,True,True,False}   論 理 和p∨qは,表6.4の

よ う にp,qが

そ れ 以 外 は 真 に な る 。 表6.4を 問17  論 理積p∧q,お

〔 例 題14〕

命 題p,qに

  (a) p∧q 

False]} 表6.4  真 理 表

共 に 偽 の と き 偽,

論 理 和 の 真 理 表 と い う。

よ び 条件p→qの

つ い て,次

真 理 表 を作 れ。

の論 理 を 簡単 に せ よ。

(b) p→q

〔 解 〕 論 理 演 算 の 関 数LogicalExpandを

用 い る。

〓

  (a) 

LogicalExpand[!(p&&q)] だ か ら,

  (b) 

LogicalExpand[Implies[!p,q]] だ か ら,p→qはp∨qと

〔例 題14〕

の 結 果 な ど か ら,次

同 じ。

の こ と が わ か る。 (6.29) (6.30)

p→qはp∨qと

同 じ

式(6.29),式(6.30)を

論 理 に つ い て の ド ・モ ア ブ ル の 定 理 と い う。

問18  命 題p,q,rに

つ いて,次 の 命 題 を 簡 単 に せ よ。

  (a) p∨q∨r 

[3] 

  (6 .31)

(b)  (p→q)→r

論 理 式 の 利 用 例

  論 理 式 を 使 っ て 解 決 す る 例 と して 方 程 式,恒 〔 例 題15〕

次 の 数 を 求 め,論

  (a) x2−2x−1=0の   (c) 

等式 の 問 題 を 示 す 。

理 の 使 わ れ 方 を調 べ よ。

解

  (b) xの

方 程 式ax+b=0の

解

100ま で の 素 数

〔 解 〕(a)

(6.32)   式(6.32)は,x2−2x−1=0が

真 と な る の はx=1+√2ま

た はx=1−√2

で あ る こ とを示 す。

(b) 〔注1〕

(6.33) 式(6.33)は,ax+b=0を 〓を 示 す 。

満 た す の は, a=0かつb=0,ま

た はa≠0かつ

  (c) 

Select[Range[100],PrimeQ] 

 

(6.34)

{2,3,5,7,11,…97}

式(6.34)は,1か

ら100の

〔注1〕Reduce[]は,特

各 整 数 が 素 数 で あ る も の を 選 ん で い る。

殊 条 件 に よ る解 も含 め て,方 程 式 を解 く ことが で き る。

〔 例 題16〕a(x−1)2+b(x−1)+c=x2がxの

恒 等 式 で あ る と き 定 数a,b,cの

値 を定 め よ。 〔解 〕

Clear[a,b,c] SolveAlways[a*(x−1)^2+b*(x−1)+c==x^2,x]〔

注2〕

よ っ て,a=1,b=2,c=1   こ の 問 題 で は,条

件a(x−1)2+b(x−1)+c=x2が

常 に 真 と な るa,b,cの

値

を 求 め て い る。 〔注2〕SolveAlways[方

程 式,変 数]は,任

意 の 変 数 に つ い て,方 程 式 が常 に真 と な る パ

ラ メ ー タの値 を決 め る。

問19  次 の各 問 に 答 よ。   (a) xの

方 程 式ax2+bx=0を

解 け。

  (b)  次 の式 がxの 恒 等 式 にな る よ う にa,b,cの

値 を定 め よ。

6.4  数 ベ ク トル と 行 列   リ ス トを 用 い て 数 ベ ク トル と行 列 の 仕 組 み を 調 べ よ う。

[1] 

数 ベ ク

トル

 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)の 次 の 性 質 を もつ も の を3次

よ う に 順 序 を つ け た3個 元 数 ベ ク トル と い い,そ

の 数 の 組 で,

れ ぞ れ の 要 素 を 成 分 と い う。 (6.35)

(6.36) 式(6.35)をべ bは,リ

ク トル の 和,式(6.36)を

ス トa={a1,a2,a3}, 

ト ルa=(a1,a2,a3), 

ス カ ラ ー 積 と い う 。 こ の 数 ベ ク ト ルa,

b={b1,b2,b3}で b=(b1,b2,b3)に

表 す こ とが で き る。 数 ベ ク つ い て,aの

内 積,大

き さ を次 の よ

う に定 め る。 a,bの

内 積〓(6.37)

aの 大 き さ￨a￨=〓

(6.38)

  こ こ で,￨a￨=√a・aが る 。 ま た,a,bの

各 成 分 が 等 し い と き,ベ

す べ て の 成 分 が0の 〔 例 題17〕

成 り立つ の で,ベ

ベ ク トル(0,0,0)を

ク トル の 大 き さ は 内 積 か ら求 め ら れ ク トル が 等 し い と い いa=bと

零 ベ ク トル と い いoで

数 ベ ク トルa=(2,−1,4),b=(3,2,−6)に

書 く。

表す。

つ い て,次

の もの を求

め よ。 (a) a+2b 

(b)

〔 解1〕(a)

 (b)

〔 解2〕Mathematicaで

は,次

の よ う に して 求 め る 。

  (a) 

(b)

(6.39) 問20 a=(2,−1,4)に

つ い て,内

積 を 用 い て 成 分 の 和,平

方 和,a/￨a￨を

求 め よ。

〔例 題18〕

数 ベ ク ト ルa=(2,−1,4),b=(3,2,−6),c=(1,3,−8)に

pa+qb+rc=(0,0,0)と

な る 定 数p,q,rの

つ い て,

値 を 求 め よ 。c=(1,3,−10)で

は ど

うか 。

〔 解〕

し た が っ て,p=q=r=0 c=(1,3,−10)の

と き,c={1,3,−10}と

し た が っ て,p=r,q=−r,rは 〔 例 題18〕 (a) 

で は,数

じ手 順 で 求 め る 。

任意 の 実 数

ベ ク トルa,b,cの

c=(1,3,−8)の

し,同

間 に 次 の 関 係 が あ る。

と き,

(6.40) (b) 

c=(1,3,−10)の

と き,

pａ+qb+rc=(0,0,0)を

(a)

の ベ ク トルa,b,cを

満 た しp=q=r=0で

一 次 独 立 と い い,(b)の

な いp,q,rが

あ る。

数 ベ ク ト ルa,b,cを

一次従 属

と い う。

問21  次 の 中 か ら一 次 従 属 な3個 の ベ ク トル を 取 り出 せ 。

〔例 題19〕

ベ ク ト ルc=(1,10,r)とa=(2,−1,4),b=(3,2,4)に

つ い て,

(6.41) が 成 り立つ よ う に,定 〔 解〕

数p,q,rの

し た が っ て,p=−4,q=3,r=−4

値 を定 め よ。

  式(6.41)の

よ う に,定

数p.qでcが

〔 例 題20〕5個

の デ ー タ2,1,5,−2,4の

表 せ る と き,cをa,bの 平 均 値mと

一 次 結 合 と い う。

分 散υ を 数 ベ ク トル の 内 積 で

表せ。 〔 解1〕

こ の デ ー タ の 平 均 値mと

分 散υ は次 の 式 に な る。

(6.42)

(6.43) 〔解2〕

内 積 を利 用 す る。

(6.44)   平 均 値 はm=a.b/5=2,分

散 はυ=(a−m).(a−m)/5=6

問22  内 積 を利 用 して,6個

〔 例 題21〕aを

の デ ー タ;−1,−2,7,2,6,0の

定 数 と す る 次 の 連 立 方 程 式 の 解 を,ベ

平 均 値mと

分 散υ を求 め よ。

ク トル を 用 い て 表 せ 。

(6.45) 〔 解1〕a×(1式)−2×(2式)

a≠2,a≠−2の

a=−2の a=2の

と き,〓

と き,解 と き,2つ

 x=tと

(6.46)

な し。 の 式 はx+y=1で

す れ ばy=1−tだ

か ら,

一 致 す る か ら不 定 解 。

(6.47) 〔解2〕

し た が っ て,a=2の

と き,x=1−y

の と き,〓   式(6.47)に

お い て(0,1)は,a=2の

で 特 殊 解,t(1,−1)は,定

と き の 方 程 式(6.45)の

数 を0,a=2と

解 の1つ

なの

の解 なの

し た 方 程 式〓

で 基 本 解 と い う。 問23  次 の 連 立 方 程 式 の解 を,ベ ク トル を用 いて 表 せ 。

[2] 

行

  第1.3節

列

で 推 移 行 列 を 扱 っ た 。 こ こ で は,実

際 の 数 か ら な る 行 列 を 作 り,そ

和 と 積 を 求 め て 演 算 の 性 質 を 調 べ よ う 。 な お,行 い る が,Mathematicaの

列 は 普 通A,Bな

記 号 と の 混 同 を 避 け る た め,こ

の

ど大 文 字 を用

こ で はa,bな

どの小文

字 を 用 い る。 〔 例 題22〕

次 の2×2行

列 ａ,bを 作 り,そ

の 和b+b,積ab,baを

求 め よ。

(6.48) 〔 解〕

リ ス トの リ ス トで 行 列 を 作 る 。

和a+bはa+b//MatrixFormで

求 め る。

2×2行

列 の 積a×bはa.b//MatrixFormで

求 め る。

2×2行

列 の 積b×aはb.a//MatrixFormで

求 め る。

  行 列 ａ,bの 演 算 は 次 の よ う に な る 。

  行 列 の 積 は,普

通ab=baと

い 。 し た が っ て,例

は な ら な い 。 つ ま り,積

え ばaabb=ababは

問24  〔 例 題22〕 の行 列a,bでa−b,aaを   式(6.48)の 縦 にm行,横n列

よ う に 数 を 縦 に2個,横 並 べ た 行 列 をm×n型

の 交 換 法 則 が 成 り立 た な

成 り立 た な い。

求 め よ。 に2個

並 べ た も の を2×2行

の 行 列 と い い,第i行j列

列 と い う。 の 数aijを

第

ij 成 分 と い う。   特 に,n×n行

列 をn次

正 方 行 列 と い い,1×n行

列 ベ ク トル と い う。 ま た,各 a=bと

列 を 行 ベ ク トル,n×1行

成 分 が す べ て 一 致 す る 行 列a,bを

列 を

等 し い と い い,

表 す。   行 ベ ク トル の 例  

問25  〔 例 題22〕 の行 列a,bに

列 ベ ク トル の 例

つ い てa=bが

成 り立つ と き,p,ｑ,r,sを 求 め よ。

  行 列 の 足 し算 や か け 算 な ど で 中 心 的 な 役 割 を 演 じ る 行 列 に,零

行 列,単 位 行 列,

対 角 行 列 が あ る。 そ の例 を3×3行 列 で 示 す。

 零 行 列o=〓

 

単位行列e=〓

Mathematicaで

〔 例 題23〕

対角行列p=〓

こ れ ら の 行 列 を 作 ろ う。

上 の 零 行 列o,単

位 行 列e,対

角 行 列pを

作 れ。

〔 解 〕 零 行 列o=Table[0,{3},{3}]//MatrixForm

(6.49)

単 位 行 列e=IdentityMatrix[3]//MatrixForm

(6.50)

対 角 行 列p=DiagonalMatrix[{ａ,b,c}]//MatrixForm

(6.51)

 n×nの

単 位 行 列 をn次

の 単 位 行 列 と い う。

問26  行 列aの 第ij成 分 を 第ji成 分 に 置 き換 え た行 列 をaの 転 置行 列 と い い,Transpose [a]で 行 う こ とが で き る。(6.53)の 問27  2×2行 列 の単 位 行 列e,対   行 列aをn回 る。 ま た,行 列 と い いa-1と

行列aの 転 置行 列 を求 め よ。

角 行 列pを 作 れ 。

か け た 積anをaの 列a,bと

単 位 行 列eに

表 し,Mathematicaで

累 乗 と い い,MatrixPower[a,n]で つ い て,次

の 性 質 が あ る と きbを,aの

はInverse[a]で

求 め られ 逆 行

求 め る。

(6.52) 逆 行 列 が 存 在 す る行 列 の こ とを正 則 行 列 と い う。

〔 例 題24〕

次 の 行 列aの

ま た,a-1を

求 め よ。

累 乗an(n=0,1,2,3,4,5)を

求 め,そ

の性 質 を調 べ よ。

(6.53)

〔解 〕

行 列 をa={{0,0,1},{1,0,0},{0,1,0}}と

し,aの

累 乗 を 求 め る。

  Table[MatrixPower[a,n]//MatrixForm,{n,0,5}]

成 り立つ 性 質 は,   a0=e;単

a3=e,a4=a,a5=a2=a-1 よ っ て,集 〔例 題24〕

位 行 列,a1=a,a2=a-1

合{an}は,集 の 場 合,逆

合{a,a2,e}で

表 さ れ る。

行 列 の 式(6.52)は,次

の よ うに な る。

(6.54) し た が っ て,a-1=a2,かつ(a2)-1=a,つ

ま り ａ2はaの,aはa2の

な る。

〓の累 乗 を 求 め,そ の 性 質 を 調 べ よ。

問28  行 列

  上 の 集 合U={a,a2,e}に

は 次 の 性 質 が あ る。

逆 行 列 に

  ① 積 に つ い て 閉 じて い る(積   ② Uの

要 素a,b,cと

の 結 果 も こ の 集 合Uの

積 に つ い て 結 合 法 則a(bc)=(ab)cが

  ③  Uの 要 素aに

つ い てae=ea=aと

  ④ Uの 要 素aに

つ い てaa-1=a-1a=eと

こ の 性 質 を もつ 集 合Uを,(積 〔 例 題24〕

で はa3=eに

要 素 に な る)。

な るeが

成 り立 つ 。

あ る。

な る 逆 行 列a-1が

に つ い て の)群

あ る。

と い う。

な る の で,群{a,a2,ｅ}を

位 数3の

巡 回 群 と い う(図

6.11)｡

図6.11 

問29 x4−1=0の

[3] 

参

解 は,数 の積 に つ い て位 数4の 巡 回 群 にな る こ と を示 せ 。

考

  数 学 的 な 考 察 を 続 け る た あ に,い   (1) 

くつ か の 題 材 を 補 う。

00に つ い て

  Mathematicaで00を

〔 例 題25〕00の

計 算 す れ ば エ ラ ー が 起 こ る。 そ の 理 由 を 考 え て み よ う。

値 は存 在 しな い こと を示 せ 。

〔 解1〕z=xyの3次 6.13に

巡 回 群

な る 。 図6.13か

元 グ ラ フ をx＞0の らx≒0の

と きyは

範 囲 で 調 べ る 。 図6.12を 急 激 に 減 少 し,特

に,〓

回 転 す る と図 の付近 で は

値 が定 ま らな い。

(図6.12)

(図6.13)

図6.12 z=xy

〔解2〕xyの  xy

=kと

値 が,例

図6.13 z=xy(回

え ば0.1,0.3,…,1.9に

な る点(x,y)の

転 し た グ ラ フ)

軌跡 を考 え る。

な る 関 数 は次 の 式 で 求 め られ る 。

(6.55) (6.56)   k=0.1,0.3,…,1.9に y≒0の 値 は存在

つ い て,式(6.56)の

と きxyは,0.1,0.3,…,1.9の

グ ラ フ は 図6.14に

値 を と る こ と が わ か る。

しな い。

図6.14

 x ,yを

複 素 数 と しxyを

考 え る こ と もで き る 。

な る 。x≒0, し た が っ て,00の

〓は,Log[k,x]と

〔 注1〕

同 じ 関 数 で,kを

底 と す る 対 数logkxを

表 す。

 (2)  連 立 方 程 式 〔 例 題26〕 次 の連 立 方 程 式 を行 列 で表 し,そ の解 を求 め よ。

(6.57)

〔 解1〕

行 列aと

ベ ク トルu,bを

連 立 方 程 式(6.57)は,次

次 の よ うに決 め る。

の よ うに行 列 の積 で表 す こ とが で き る。

(6.58) aの逆 行 列a-1を か け る と,次 の式 が成 り立つ｡

Mathematicaで,こ

よ っ て,解

の 式 を 実 行 す る。

はx=3,y=7,z=−2

〔解2〕

式(6.58)にSolveを

〔 解3〕

行 列aと

用 い る。

列 ベ ク トルbにLinearSolveを

用 い る。

  LinearSolve[a,b]〔

注1〕

  {3,7,−2}   連 立 方 程 式 を 行 列 で 表 す と,式(6.58)の 〔注1〕LinearSolve[a,b]は,a.x==bを

  (3) 

よ うに

「一 次 方 程 式 」 に な る 。

満 た す ベ ク トル を 求 め る。

固 有 値 と 固 有 ベ ク トル

ベ ク トルu〓

 行列〓

に つ い て次 の式 が 成 り立

(6.59)

つ｡

こ の と き の−2,2を   Mathematicaで

行 列pの は,次

固 有 値,u,υ

を 固 有 ベ ク トル と い う。

の よ う に して こ の 行 列pの

固 有 値 と 固 有 ベ ク トル を求

め る。

 (4)  固 有 多 項 式

 行列〓

に つ い て,数ad−bcをpの

行 列 式 と い い,Det[p]で

求 め

る。  n×n行

列qの

上 の 行 列pと2次

場 合 もDet[q]で の 単 位 行 列e,変

求 め る こ とが で き る。 数xに

つ い て,

(6.60) を,行 列pの 固 有 多項 式 とい う。 この方 程 式 の 解 が 行 列pの 固 有 値 にな る。 固有 多 項 式 のxに 行 列pを 代 入 した式 は,

(6.61) つ ま り,常

に 零 行 列 に な る 。 こ れ を ハ ミ ル ト ン の 定 理 と い う。

3次 の正 方 行 列pに

つ い て も同様 の 手 順 で 固 有 多項 式,固 有 値 が 求 め られ る。

例 え ば,

よ っ て,p3+2p2−4p−3e=oに

な る。

pの 固 有値 は−3,〓 〔注2〕Eigensystem[p]は,pの

固 有 値,固

有 ベ ク トル を 並 べ て 出 力 す る。

練習 問題 1.  0＜a＜bの

2.

と き,aabbとabbaの

ど ち らが 大 き い か 。

x=2-n,y=1/n,  (n=1,2,3,…)に

  また,x≒0,y≒0の 3.  2つ の 命 題a,bの Xor[真,真]は

つ い てxyを

とき,xyが3に

な る よ う に,x,yをnの

排 他 的 論 理 和Xor[a,b]は,次 偽,Xor[真,偽]は

(1)  論 理和￨￨,論

理 積&&,否

求 め よ。

の真 偽 を返 す 述 語 関 数 で あ る。

真,Xor[偽,真]は 定!を 用 い てa,bの

(2)  3つ の 命 題 の排 他 的論 理 和Xor[a,b,c]を

式 で 作 れ。

真,Xor[偽,偽]は 排 他 的 論 理和Xor[a,b]を

偽 作れ。

作 れ。

4.  f[x＿]:=1+1/x;Nest[f,1,6] によ って で き る分数 の 分母 お よ び 分 子 は フ ィ ボ ナ ツチ 数 列 に な る こ とを示 せ。 5.  円周 率 π につ いて 次 の 問 い に 答 よ。 (1) 

πの 小 数 の数 字1,4,1,…

の 最 初 か ら100個 の 隣 接 す る数 の相 関図 を 作 れ。

(2) 

πを 連 分 数 の 標 準形 に した と き,最 初 か ら100個 の度 数 分布 表 と隣接 す る数 の

相関図を作れ。 6.  次 の連 立 方 程 式 の解 を,ベ ク トル を用 いて 表 せ。

7.  行 列

〓を 作 り,行

列pn,(n=0,±1,±2,‥)を

求 め,成

り 立つ 性

質 を調 べ よ。 8. 

行 列〓 ま た,p3,p4を

に つ い て,行

求 め,sp+teの

列u=p2−(a+d)p+(ad−bc)eを

形 に 表 せ 。 こ こ にeは

求 め よ。

単 位 行 列,s,tは

定 数 と す る。

問 お よ び練 習 問題 の解 答 (1)  問の解答 第1章 

問1 

Mathematica  (2)

(1)

問2 

〓と す る 。

〓か ら47桁

問3 

〓で確認

問4 

近似値

〓で2進 の 厳密 値〓

問5 

〓で16進 問6  最 大 公 約 数12345679,最

近似値

の厳密値

小 公倍 数888888888 〓か ら

問7  問8  (1)

〓理 由〓

(2) 問9  〓で 〓な ど で33.51032164

問10 

〓と し,次 式 で

問11  9.921567416

(1) (2) 〓で

問12  問13 

〓等 と入力 〓左 に同 じ

〓等 で商−a+x,

問14  余 り〓 問15 

〓 で〓

問16

問17 

Table[Random[Integer,{1,6}],{10}]で1か

問18 

グ ラ フ は 放 物 線 に 近 い 。 あ る デ ー タ か ら そ の 直 前 の デ ー タ を 引 い た 値 が1.9,1.4,1.0,…,− 0.4と0.4ず

ら6の

乱 数 を10個

作 る。

つ 減 少 して い く。 〓か らSolve[f[x]=y,x]か

問19  Together

ら

〓ゆえ に〓

問20  両 者 の 漸 近 線 が と も に

〓前 者 は 定 義 域 がx≦−3,x≧3,後

〓グ ラ フ は 解 図1.1

解 図1.1 

双 曲 線

問21  解 図1.2

解 図1.2 

リサ ジ ュー

者 は値域 が

問22  解 図1.3幅

が 同 じ螺 旋(ア ル キ メデ スの らせ ん)に な る。

解 図1.3 

問23 

FilledPlot[{4−x,x},{x,0,2},AspecRatio−＞Automatic]

問24 

解 図1.4順

ら せ ん

に 左 に 平 行 移 動Plot[Evaluate[Table[{2^k*2^x},{k,0,4}]], {x,−4,4},PlotRange−＞{−1,10}]

解 図1.4 

平 行移 動

問25

 〓 (解 図1.5)

解 図1.5 

2k2-xの

平行移動

問26  解 図〓

解 図1.6 

問27 

(1)

問28

楕 円 面

 (2)

 〓か ら

解 は〓 問29  (1)

(2)〓

〓  (複号同順)

〓が 皆 約1だ か ら

〓な ど 。

問30 

〓か ら

〓等式

問31 

問32  解 図1.7か

〓の 解 。

ら解 は 大 体−2.9,−2.7,1.2,近

似解 は

解 図1.7 y=cosxとy=x/3

(2)

問33  (1)  (1)は

問34  (1) 

問35 

(1) 

問36 

(1) 

〓か ら

(2) 

〓か ら

(2) 

〓か ら

(2) 

問37 

結果

;{False,True,False,True}か

ら1番

目 と3番

目

問38  〓と す る 。 グ ラ フ は 解 図1.8

解 図1.8 

場合 分けの関数

問39  (解1) (解2)

〓な ど

問40  反 復;〓 再 帰;〓 問41 

〓に 近 づ く。

第2章 

離散化のアイデア

問1 

(1) 

問2 

グ リー ニ ッ ジ標 準 時 か ら の 時 間 差,Date[9]で

1.23ナ

ノ秒  

(2) 

5.99エ

クサ トン 東 京 の時 刻

問3

問4 問5 

〓で5桁 の精 度 〓で4桁 の精 度

問6 

2を00102,3を00112の

問7 

10進 数;121,122,2進

よ う に 各 桁 の 数 字 を4桁

の2進

数 で 表 し て い る。

数;1111001,1111010

問8 

〓誤 差 の 最 大 値0.24

問9 問10  (1)3人

以上  

(2)  11人 以 上

問11  略 問12  略

 〓か ら

問13

問14

問15 

(1) 

ル ー プ;A,C,両

方 向;AC,BC 

(2) 

ル ー プ;R,両

問16

第3章 

数 え 上 げの 方 法

問1  (a)  学 校 の 発 行 す る整理 券 で  

(b)  負 け た学 校 数 で

方 向;PR,QS

問2 

人 の 両 手210=1024,蛙

の 両 手28=256

問3 

(a)8×6+5=53 

(b)各

問4 

(a)4×3=12 

問5 

1問 だ け正 解;4+3+4=11人,第3問

問 6 

(a) 

問7 

同 時 に4台;4×7=28本,同

ル ー トの 和8+6+5=19

(b)4+3=7

100/42の

整 数2 

正 解;9+5+4=18人 (b)72 時 に5台;5×6=30本

問 8  KNOW,KNWO,KONW,KOWN,KWNO,KWON,NKOW,NKWO,NOKW, NOWK,NWKO,NWOK,OKNW,OKWN,ONKW,ONWK,OWKN,OWNK, WKNO,WKON,WNKO,WNOK,WOKN,WONKで4!=24 問9 

KN,KO,KW,NK,NO,NW,OK,ON,OW,WK,WN,WOで4P2=12

問10 

(a)5P3=60 

 

(b)15P3=2730

(c)48P17=1509687361581479577649152000

問11

問12 

(a)2×3=6〓(b)2×3×3=18

問13 

(a)13C6=1716 

問14 

(a)11!/(4!7!)=11C4=330 

問15 

(a) 

問16 

8C3=56通

(b)213=8192

25=32通

問17  6C3=20通

(b)も

り 

り 。3辺

(b) 

同 じ

2×163−1=8191

と も周 を 共 有 しな い 三 角 形 は56−8×(1+3)=24通

り

問18

問19 

(a)

(b)

問20  6H3−1=55通 問21 

(a) 

り

20C4=4845通

り 

問22 問23  3通

問24 問25

り,全

部 で62通

り

(b) 

15C4=2730通

り

り

の係数 は 問26

 〓の係 数 は,

〓同 じ値 に な る。

問27

〓の母関数

問28  数 列

第4章  数列 を作 る 問1 

(a)

 (b)

(c) 問2 

(a)

問3 

(a)

(b)

(b) 問4

 〓か ら〓

問5  (a)  一 般 項 は

〓 で〓 〓で和 は

和は (b)  一 般 項 は

〓 で〓

和は 問6 

〓で  (b)

(a)

 (c)

問7  〓 で〓

問8 

それぞれ周期 π

つ ま り〓

〓周波数〓

問9 問10  〓は

問11

〓だ か ら2数 は ほ ぼ等 しい。

問12 問13 問14

 〓 (万 円) 〓 で〓 98年 以 降  〓か ら約18時

問15

間 か か る。

〓 で〓 問16 

(a)

 〓か ら

約25枚

(b) n=1の

と き1=1で

成 り立 つ 。n=kで

両 辺 に(−1)k(k+1)2を

加 え る と,次

成 り立つ

とす れ ば

の 式 か らn=k+1で

も成 り立つ｡

(右辺)〓 した が って,す べ て の 自然 数nで 予 想(a)が 問17 an=0.5(1+1/n)ら

し い 。n=2の

と き3/4で

成 り立つ

成 り立 つ 。n=kで

〓両 辺 に1−1/(k+1)2を (右 辺)=0.5(1+1/(k+1))と

な っ てn=k+1で

成 り立つ と す れ ば, か け る。

も 成 り 立つ｡

問18 〓

で{1,2,3,5,8,13,21};フ

問19 

ィ ボ ナ ッ チ 数 列 に な る。

〓 で〓 〓 で〓

問20 

〓か ら,

問21 

〓と し 〓か ら,

問22  収 束;±1,±1.3,分

岐点

問23  問24 

〓を 作 り片 々 引 けば, 〓確 認 はSeriesで

〓≒

±1.366か

〓 NestList[f,0.,100]と

ら−1

.3(x=x2−0.5の

よ う に 修 正,k≧2.8か

ら 解 図4.1の

解 図4.1

解)

し て 調 べ る 。 周 期4

式(4.55)でf[x＿]:=k*Sin[x];式(4.56)で[f,0.1,n],式(4.57)で{k,1 3,0.01}の

行 う。

.5, カ オ ス が で き る。

第5章 

デ ー タ処 理 と 確 率

問1

解 図5.1

問2 

度 数 分 布 表(解

図5.2),度

数 多 角 形(解

図5.3),パ

解 図5.2

解 図5.3

レ ー ト図(解

図5.4)

解 図5.4

問3  平 均 値63.75,分 散453.988,標 準偏 差21.8605,メ

ジア ン68.5

問4  平 均 値 は ほぼ 同 じで 標 準 偏 差 が 大 き い か ら女 子 よ りば らつ きが大 きい。 問5  平 均 値3.01,標

準 偏 差1.6217で 共 に小 さい。 小 人 数 化 が 進 ん だ 。

問6 

〓な ど(解

図5.5)(解

図5.6)。

負 の相関 が

あ る。

解 図5.5

問7 

解 図5.6

〓強 い負 の相 関 が あ る(解 図5.5)。

問8  〓 肥 満;11番,や

せ;4,5,6,9,10番

〓と比 べ 身 長 に比 して 体 重 が 増 え な い。

問9 

〓で 西 暦2000年

問10 

に15.8(%)の

問11  〓で 〓(図5.26),280円

で最 大

予想。

問12 問13 問14 問15  3!=6通 問16 

りの う ち3人 と も違 う場 合 が2通

りだ か ら1−2/6=2/3 (1−11/25 も可)

(a)

(b) 問17  Aが

当 た る確 率3/10,

Bが 当 た る確 率3/10 2/9+7/10 3/9=3/10

で 同 じ。

〓 で〓

問18  問19 〓

bか

ら2∼12の

各 度 数 は9,26,21,40,58,60,50,42,25,26,3

こ れ は 理 論 値 の100倍;10,20,30,40,50,60,50,40,30,20,10に

近 い(解

図5.7)。

解 図5.7

問20  式(5.42)で〓

に 代 え る。 結 果 は764に

を〓

な り

問21 

〓理論値 〓(解 図5.8)で

ほ ぼ 合 う。

解 図  5.8

第6章  離散構造 問1 

(a) 

問2 

(a)

(b)

 (c)

 (b)

(c) 問3 〓 問4 

か ら〓 (a)〓

で最小−1  

(b)〓

問5

問6

問7

 (解 図6.1)

解 図6.1

問8

(b)

問9  (a) 

〓に よ る 。40個

問10  問11  約 数

〓個 数15,そ

の 和 は3751

問12 

〓に よ る。4番 目 まで は素 数 。

問13 

〓に よ る。 最 大32個

問14 

(a)

 〓 によ る。

(b)  〓に よ る。

問15 

〓結果 は共 に 問16 

(a)

問17 

(a)

問18 

(a)

(b)

2^3＞3^2に よ る 。〓

(b)

(b)

問19 

 〓か っ

(a)

ま た は(a=0か

つb=0かつc=0)ま

た は(a=0かつb≠0か

(b) 問20 

〓成 分 の 和;a.bで5,平

方 和;a.aで21,

〓 で〓 問21 

b,c,dが

一次従属

問22  m=a.b/6で2,υ=(a−m).(a−m)/6で35/3

問23 

a=1の と き

問24  問25 

問26 Transpose[a]で,〓

問27 〓

で〓

〓 で〓 問28 

〓単 位 行 列,〓

は集合〓

問29 

(2)  練習問題 の解答 第1章 

Mathematica

1.  右 の 表 か ら,Round,Floor,Ceilingは 入,切  

り 捨 て,切

り上 げ で 整 数化

Table[{Round[x],Floor[x],Ceiling[x]}], /.x−＞−1.6な

どを入 力

四捨 五

で 表 され る。

つx=

−c/b )

2. 

〓で そ れ ぞ れ,

〓媒介変数表示

〓か ら,

3. 

〓で 解 図1.1

解 図1.1 

4. 

放 物 線

解 図1.2 

円

(1) 〓

で 解 図1.2 (2) 〓

とす れ ば,〓

面積 は 〓 で〓

5. 

だ か ら,〓

と い う双 曲 線 〓で 解 図1.3

解 図1.3 

双 曲 線

と 弦

6. 3元2次

7. 

連 立 方 程 式〓

を 解 く。〓

〓か ら〓

(1)

(2) 

(3)

8. 

〓で 解 図1.4の

よ うに な る。

解 図1.4 y=exと

その 接線

9. .〓 グ ラ フ は 解 図1.5

解 図1.5 

10.  (1)

(2) 〓 (3) 〓

分岐 の 関 数

〓で で〓 で〓

だ か ら3辺

は15,9,12

第2章 

離 散 化 の ア イデ ア

1. 

〓時 速1679Km,秒

速463.9m

2.  437=31で31の5∼9進 3.  3つ

数 は111,51,43,37,34だ

の 試 験 が50点

以 上 の 者x人,2つ

か ら9進

の 試 験 が50点

法 が答 え。

以 上 の 者y人

〓か ら,x=14(人)

〓の と き〓

4.  再 帰 式;

nの式

〓(解 図2.1)

5. 

〓2回 は

6. 

解 図2.1

第3章  数 え上 げの方法 1.(1) 

(2)  (3) 

PをAと

し,点Cよ

り少 し上 に点Qを

とる。19個

2.(1) 

(2) 

1,2,3が

そ れ ぞ れ1,2,3番

目 の 場 合 をA,B,C,そ

〓(通 り) 〓(通 り)

(3)  (4)  3.  (1)〓

〓(通 り) (Binomial[12,6]で

求 め ら れ る)

の個数を

とす る。

②

(2) 

(3)  (4) 

〓か ら

4. 

〓の係数 は 5. 

(1) 

(2)  (3) 

第4章  数列 を作 る 1. 

(a) 

①〓

③

④ (b)  ①〓

② など

③〓 2.  (a)  再 帰 式

〓明示式〓 〓でn=60,丸60年

(b)  3.  再 帰 式〓

明示式 は階差 の和か ら 〓数 学的帰 納法〓 で 正 しい とす れ ば,〓

で ② は正 しい。

後

① か ら〓 よって〓 で も ② は正 しい。 す べ て の 自然 数nで

② は正 しい。

4. 

〓か ら〓

数学 的帰納法;

〓の と き〓

ら成 立 。

だか 〓か ら

〓で成 立 つ とす れ ば

だ か らn=m+1で

も成 り立 つ 。

〓で ハ ノイ の 塔 の 数 列 が2桁 ず つ 現 れ る。

5. 

〓で フ ィ ボ ナ ッ チ数 列 が2桁 ず つ 現 れ る。 ハ ノ イ の 塔 の 数 列,フ

ィ ボ ナ ッ チ 数 列 の 母 関 数f(x),g(x)は

式(4.52),問21か

ら

6. 

〓と し,〔 例 題25〕

で(解

と 同 様 に〓

4.1)｡

解 図4.1

第5章   デ ー タ処 理 と確 率 1. 

(a)

 〓 F社 が最 も高 く,A社 (b)  平 均;〓

と して,

〓12か

が最 も低 い。

ら0.1106(万

円)

2.  男 子;〓

女子;〓 独 身 者 は男女 と も40∼50歳

が 低 い。 若 年 で は男 が,老 年 で は女 が 高 い。

3.〓

〓 で〓

4. 

(a)〓

(b)〓

〓で40個

が負

図

確率 は〓

から

5. 〓

〓 (Aが8,9,10つ

(an＞bnの

と きen=bn,他

ま り 当 た り に な る 回 数)で32

はen=bn+1)

(Bが 当 た る 回数) 例 え ばA,Bが

当 た る回 数 の様 子 と平 均 は次 の よ うに共 に0.3に 近 い。

第6章  離散構造 〓か ら〓

1. 

〓の場 合,〓

2. 

〓の場 合,〓 3. 

(1)

〓か ら,〓 (2) 

Xor[True,True,True]でTrueな 偽 真 真,真

4. 〓

偽 偽,偽

真 偽,偽

ど か ら,a,b,cが 偽 真,偽

真 真 真,真

真 偽,真

偽 偽 の と き,真,偽,偽,偽,真,真,真,偽

とす れ ば,〓

〓か ら〓

〓か ら〓 〓は フ ィボ ナ ッチ数 列 で

〓も 。

偽真,

5.  (1) 

π=3.141592654…

の 隣 接 数 の 組 は(1,4),(4,1),(1,5),(5,9),…

〓で 解 図6.1 (2) 〓

〓で 解 図6.2

〓で 解 図6.3

解 図6.1 

π￨の￨10進数 展 開相 関 図

解 図6.2 

πの 連 分 数 展 開100ケ 1∼292の 分 布(1∼16)

解 図6.3 

πの連 分 数100ケ (0∼16)

タの 相 関 図

タ

6.  〔解1〕

〓か ら

〔 解2〕〓 〓か ら〓 7. 〓

〓で

〓で

{pn￨n整

数}は{e,p,p2,p3}つ

ま り,位

数3の

巡 回 群 に な る。

. 〓で

8

〓零行列

索

引 重 ね書 き

あ 行 ア イ テ レー シ ョ ン

  41

アスキー

  51

アニメー ション

  28

ア ル ゴ リズ ム

 4

記数法

  51

一次結合

 185

一 次従属

  184

一 次独立

  184

陰 関数

 102

 

22

円グ ラフ

  132

黄金比

  19

オ ク タ ル 

7

折れ線 グラフ

  132

か

行

カ ー デ ィ ナ ル ス数

 59

カ ー ネル

  1

回帰 直線

 147

階差数列

  104

ガ ウス の整 数 カ オ ス 

 14 126,128

確率分布

  158

確率変数

 158

  5

偽 基準音

ア ンサ ー機 能

  13,63

仮数部分

  176

ア ンサ ー

一般 項

  27

数 ベ ク トル

 38   108

 

軌道

48   125

基本解

  186

逆関数

  21

行 ベ ク トル

  187

行列 行列 式

 

行列 の加法

64,186  

194

  64

行列 の実数倍

  64

行 列 の積

  69

極形式

  170

極座標

  24

極方程式

 24

虚数

 9

虚数単位

 167

近似値

  2

空間座標

  29

組 合せ

  86

組 合せ論

  73

組 込 み 関数 組 込 み定 数

経路

 4,11  4

  66

桁落 ち

 

49

集合演算

 59

原始関数

  36

12音 階

厳密値

  2

周波数

 108

重複組合せ

  90

公差

  102

合成 関数

  21,41

  110

重複順列 16ビ

 83

ッ トコ ー ド

  50

  89

樹形図 

80

公比

  102

述 語 関数

 179

固 定 小 数 点表 示

 5,48

出力 セ ル

構成的組 合せ論

固有多項式

  194

固有値

 193

固 有 ベ ク トル

  193

根元事象

 152

さ 行 再帰

  41

再帰関係

  55

再帰関数

 104

再帰式

ジ ュ リア集 合

 3   130

順列  

79

順列 の 個数

 81

条件

  39

昇順

 79

情 報 エ スケ ープ

 4

初項 

102

真 真理表

 38  

180

  105

最小公倍数 最 小2乗

法

最 大公 約 数 サ イ ンカ ー ブ

3次 元 数 ベ ク トル

  7,16   147

推移行列 数 学 的帰 納 法

  7,16

数値解

 

数量化

109

  182

数列 ス カ ラ ー 積 

事象

  69   118

 30  44   102 183

  152

  80

正規化

  49

指数

  165

正規分布

 163

指 数 の拡 張

 165

正 弦 曲線

 109

整数 の分割問題

  89

辞書式 順序

指数部分

 5

指数 法 則

 167

正則行列

4分 位 数

 137

精度

  160

成分

シ ミユ レ ー シ ョ ン

  189   6,49  182

積 事象

 155

積 の法則

  74

積分 定数

 37

セ ッション

 1

絶対単位

  44

接頭語

 45

セル

 3

零行列

  188

零 ベ ク トル

  183

強い正の相関

  142

デ ィ オ フ ァ ン トス 方 程 式

定積分

 91

  37

デ ー タの構 造 化

 64

デ フ ォ ル ト値

 19

転置行列

  188

導関数

  36

漸化式

 55

等差数列

  102

漸 近線

  20

同値

全 体集合

 59

動 的 シ ステ ム

 39  124

等比数列 素 因数 分 解

  8,176

相 関図

 172

底

素数

大小関係

独立試行

代数 的な解 多項係 数 多項式 展開 単位行列 単 位 の変 換

  158

度数多角形

  135

  8

度数分布表

 135

な 行   188

 

  186

 7

た 行 対角行列

  102

特殊解

内積

 63

39   30

2項 係 数

 95

2項 定 理

  17,96   188   45,47

  95   94,95

2項 方 程 式

 31

2次 関 数 モ デ ル

 148

2進 数

 7

入力 置換

  80

超越方程式

  33

調和音

  112

直積

  60

直線 モ デル

 145

直交座 標

 24

 3

入力 セル

  3

ノ ー トブ ック

  1

は 行 媒 介 変数

 23

  23

ヘルツ

  108

  155

偏差値

  139

 95

ベ ン図

  59

媒介変数表示 排反 パ ス カ ル の三 角 形 8ビ

ッ トコ ー ド

発散

 

  125

鳩 の巣原理 ハ ノ イ の塔 ハ ミル トンの定 理 パ ラメー タ パ レ ー ト図

反復

51

  78  

115

  194

棒 グラフ

 132

母関数

  123

補集合

 59,60

ボ ック ス プ ロ ッ ト

  140

 23

ま 行

 135

  41

交 わ り積 集 合

 58

反復法

 124

丸め

  6

繁分数

 42

マ ンデ ル ブ ロ集 合

  130

微分

 36

無向 グラフ

 68

微分係数

  35

結 び和集合

  58

標準偏差

  137 明示式

フ ィボ ナ ッチ数 列

複素数

  17,119

命題

 168

不 確 か な現 象

 151

不定積分

  36

負の相関 フ ラ ク タ ル 

 142

  39

分散

  137

ヘキサデシマル ベ ク トル の 和

  177

モ デル 化

  52

 137  6  

7

  183

 54

モ ンテ カル ロ法

128

べ き

 137

メ ルセ ンヌ数

モ デル の 評 価

  5,48

分岐

平均値

  179

メジア ン

  9,167

複素数平面

浮動小数点表示

  105

  160

や 行 ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法

  176

有限数列

  102

有向 グラフ

  67

有効桁数 有理数

  6   166

要素 の個数

  59

余事象

  155

弱 い正 の相 関

  142

連分数

 173

論理

  39

論理演算

 180

ら  行 ラ ジア ン孤 度 乱数

わ   行

  46  18, 160

和事象

 155

和の法則

リー フ プ ロ ッ ト

 

  77,155

134 英 字

・記 号

リカ ー ジ ョ ン

  41

離散化

  44

answer 

離 散 的 な量

  18

ASCII 

51

離散的表現

  44

False 

38

リス ト  リスト 処 理

13   61

立 方 根 

31

リプ レイ

  4

領域

  26

隣接行列

  66

列 ベ ク トル

  187

Hz  JISコ

4

108 ー ド 

n次 正 方 行 列  n進 数  Permutation  Replay 

50 187 7 79 4

True 

38

Venn図 

59

〈 著者紹介〉

片 桐 重 延 学 職

歴 歴

 東京教育大学理学部卒業(1953)  日本私学教育研究所研究員  日本数学教育学会監事  理学博士

室 岡 和 彦 学 職

歴 歴

 東京教育大学理学部卒業(1969)  日本無線株式会社  東京都立井草高等学校教諭  お茶の水女子大学付属高等学校教諭  教育学修士

新 ・数 学 と コ ン ピ ュー タ シ リー ズ10 Mathematicaに 1997年4月20日

よ る離 散 数 学 入 門   第1版1刷

発行

著

者  片 桐 重 延  室 岡 和 彦

発行者  学校法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣 川 利 男 発行所  東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2‐2 振 替 口 座   00160‐5‐71715

印刷 三功 印刷(株) 製本  (株)徳 住製本所 装丁 高橋壮一

C

電 話   (03)5280‐3433(営

業)

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集)

Katagiri

Shigenobu

Murooka

Kazuhiko

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in Japan

*無 断 で転 機 す る こ と を禁 じま す。 *落 丁 ・乱 丁 本 は お取 替 え い た しま す。 ISBN  4‐501‐52610‐6 R

C3355

〈日本 複 写権 セ ン ター 委 託 出 版 物 〉

1997

プログラミング教科書 高 校 生の た めの FORTRAN JIS基 本 水 準 に よ る

ビギナーズ FORTRANプ

秋冨 勝 他共著 B5判  128頁  2色 刷 FORTRAN学 習 ・演 習の テキ ス トとして,2色 刷で 見やす く学び やす く編集 した。JIS基 本水準 に基 づき, さらに上位 水準 で学 んで ほ しい事 につ いて も記述。

若山芳三郎 著 A5判  200頁

高校 生のための 基 礎BASIC

高校 生 の ため の

新JISフ

新JISフ

ロー チ ャー ト

ログ ラ ミン グ

好評 の前 著 「プ ログ ラム例 に よるFORTRANの 入 門」 をJISの 改 正,入 力方 法 の変化 等に あわせ て書 き改 めた もので あ る。

応 用BASIC ロー チ ャ ー ト

色刷 で見や す く学びや す く編 集 した。特 に高 校生 に 親 しみの もて るプ ログラ ムを選び 基 本を重視 した。

若 山 芳 三 郎 他 共著 B5判  106頁2色 刷 グ ラフ ィックか らフ ァイル,実 用的 な プ ログラム ま で どの機 種で も学 べるよ うに解 説。ロ絵 に グラフィッ クの カ ラー 写真 をのせ,楽 し く学べ る。

高校 生 の ため の

高校 生 のた め の

ポ ケ コ ン カ シ オ 版／ シ ャー プ版

C

秋冨 勝 他 共著 B5判  104頁  2色 刷 BASICの 学習 ・パ ソ コン演 習の テキ ス トとして,2

諸房  岑 他 共 著 B5判  各128頁

若山芳三郎 著 B5判  88頁

ポ ケコ ンの基 本性 能 が十分 に利用 で きる よ う,電 卓 機 能 ・統 計計算か らBASIC,C言 語,CASLま で, 具体的 に例 題 を取 り入 れた。

高校生 のた めのCプ ログ ラ ミン グ教 育の教 科書 ・演 習書 と して,Quick Cを 取 り上 げ,内 容 を精 選 して 編 集。 高校生 の親 しみや すい豊 富 なプ ログラ ミング 課題 を掲載。

高校 生 の ため の

教育 とコ ン ピュー タ

パ ソ コ ン

教 師 の た め の コ ン ピ ュ ー タQ&A

ワ ー プ ロ ・表 計 算 ・図 形 ・BASIC 秋 冨  勝 他 共著 B5判  148頁  2色 刷 市販 ソフ トで も評価 の高 い一太郎,Lotus1‐2‐3,花 子にBASICの 基礎 を取 り上げ,そ の 操作 法が 取得 で きる よ うに,コ ンパ ク トに1冊 にま とめ た。

教 育 とコ ン ピュー タ 教 師 の た め の パ ソ コ ン ワー プ ロ ・表計 算 ・BASIC・MS‐DOS 若 山芳 三 郎 著 B5判  208頁 教 育活 動 を支 えるパ ソコ ンの操 作技 術 を高 め るこ と をね らい と し,一 太 郎,Lotus1‐2‐3,BASIC,MSDOS を取 り上 げた。

秋冨 勝 著 B5判  168頁 現場の教師向けのコンピュータ解説書。 コンピュー タ理解の盲点について,読 みやすいように,Q&A 形式で見開き2ページにまとめてある。 教育 とコ ン ピュー タ マ ル チ メ デ ィア と学 習 活 動 マル チ学習カー ドで学 ぶ 後藤忠彦/若 山院一郎 共著 B5判  152頁 具体的な活用例を中心に,マ ルチメディアの学習指 導について解説。す ぐに使える体験ソフ ト付き。

*定 価,図 書 目録 のお問 い合 わせ ・ご要望 は出版局 ま でお願 い致 します. 

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