Linearne diferencijalne jednadzbe

ClP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučiliina biblioteka, Zagreb UDK 517.9 (075.8) AGANOVIĆ, Ibrahim Line...

Author: Ibrahim Aganovic | Kresimir Veselic

150 downloads 821 Views 9MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ClP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučiliina biblioteka, Zagreb UDK 517.9 (075.8) AGANOVIĆ, Ibrahim Linearne diferencijalne jednadžbe: uvod u rubne probleme /lbrahim Aganović, Krelimir Veselić. - 2. izd. - Zagreb: ELEMENT, 1997. - 264 str. : ilustr. ; 24 cm Kazalo. ISBN 953·6098-63·6 l. Veselić, Krelimir 970303156

Ibrahim Aganović

Profesor Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu

Krešimir Veselić

Profesor Univerziteta uHagenu

LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

Uvod

U

rubne probleme

Drugo izdanje

Zagreb, 1997

®

Prof. dr. Ibrahim Aganović, Prof. dr. Krešimir Veselić, t 997.

Urednik

Prof. dr. Neven Elezović

Recenzenti Doc.

dr. Mladen Jurak

I Prof. dr. Branko Najmao I Prof. dr. Zvonimir Tutek

Korektor Doc.

dr. Mladen Jurak

1991 Mathematics, Subject Classification: 35-01

NalcJadnik

ELEMENT, Zagreb

Cru!!i, slog i prijelom

ELEMENT, Zagreb

TISak SPIRIDION BRUSINA, Donja Lomnic:a

Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati nili umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika

IZ PREDGOVORA 1. IZDANJU

Ova knjiga namijenjena je u prvom redu studentima matematike. U njoj je izlože na teorija rubnih problema za osnovne jednadžbe matematičke fizike: običnu linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda te Laplaceovu i valnu jednadžbu provođenja. Naše izlaganje ograničeno je na tzv. klasičnu teoriju. Budući se radi o standardnom sadržaju, nismo citirali posebnu literaturu. Spome nut ćemo samo neke od knjiga koje su na nas neposredno utjecale, a koje preporučamo i čitatelju: R. Courant, D. HUbert, Methoden der Mathematischen Physik, Springer-Verlag, Berlin, 1968. F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1978. S.G. Mihiin, Linejnye uravnenija v častnyh proizvodnyh, Vysšaja škola, Moskva, 1977. V.S. V ladimirov, Equations of Mathematical Physycs Marcel Dekker, INC, New York, 1971. PREDGOVOR 2. IZDANJU U ovom izdanju učinjene su manje promjene u 1 . glavi, te je dodana nova glava (o klasifikaciji jednadžbi 2. reda) . Napravljena je također nova numeracija iskaza i primjedbi, te primjera i zadataka. Za korisne primjedbe zahvaljujemo prof. Z. Tuteku (PMF, Zagreb) i prof. A Suhadolcu (Fakulteta za matematiko in fiziko, Ljubljana) . U

Zagrebu, prosinca 1996.

Autori

SADRZˇ AJ

1.Obicˇna diferencijalna jednadzˇ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.Ravnotezˇ a napete zˇ ice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.Rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.Greenova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.Singularni rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.Laplaceova jednadzˇ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.Integral po mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.Teorem o divergenciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.Kontaktno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4.Ravnotezˇ a napete membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5.Rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.6.Integralne reprezentacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.7.Harmonijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.8.Vanjski rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.9.Fourierovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.10.Ortogonalni sustavi funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.11.Sturm-Liouvilleov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.12.Sferne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.13.Cilindricˇne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.14.Potencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.15.Metoda integralnih jednadzˇ bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.Jednadzˇ ba provodenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.1.Nestacionarno provodenje topline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.2.Rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.3.Princip maksimuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.4.Poissonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.5.Fourierova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.Valna jednadzˇ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.1.Male oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.2.Rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.3.Dalembertova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.4.Teorem jedinstvenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.5.Kirchoffova i Poissonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.6.Fourierova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.Klasifikacija jednadzˇ bi 2. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.1.Lokalna klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.2.Karakteristike i Cauchyjev problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 DODATAK 1. Cauchyjev problem za obicˇnu linearnu diferencijalnu jednadzˇ bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.1.Sustav jednadzˇ bi 1. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.2.Jednadzˇ ba 2. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 DODATAK 2. Linearne integralne jednadzˇ be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 2.1.Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 2.2.Degenerirane jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 2.3.Male jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 2.4.Neprekidne jezgre bliske degeneriranima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 2.5.Neprekidne jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 2.6.Slabo singularne jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 2.7.Integralne jednadzˇ be na prostoru po dijelovima neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 2.8.Integralne jednadzˇ be na hiperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 DODATAK 3. Svojstvene vrijednosti i funkcije simetricˇnih integralnih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 3.1.Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 3.2.Konstrukcija ekstremalnih svojstvenih vrijednosti za neprekidne simetricˇne jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.3.Razvoj po svojstvenim funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 3.4.Ekstremalna svojstva svojstvenih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.Kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1. Obicna diferencijalna jednadzba

1.1. Ravnoteza napete zice Osnovno svojstvo materijalnog tijela ili kontinuuma lezi u cinjenici, da sila kojom dva njegova komada djeluju jedan na drugog ovisi samo o polozaju njihovog kontakta, a ne o samim dijelovima; zato se ta sila naziva kontaktnom. Neka interval 0 l na x -osi predstavlja polozaj tanke zice, napete civijom npr. kao na gitari. Oznacimo s a x kontaktnu silu u tocki x 2 0 l , tj. silu kojom dio x l djeluje na dio 0 x ; tada dio 0 x djeluje na dio x l silom a x . Ta sila je uzduzna ili longitudinalna, tj. paralelna je x -osi; naziva se napetost zice. U daljnjem c´emo se cesto pozivati na zakon ravnoteze sila: ako je tijelo u ravnotezi, ukupna sila koja na njega djeluje jednaka je nuli. Neka je x1 x2 2 0 l , x1 x2 ; ukupna uzduzna sila na dio x1 x2 jednaka je a x2 a x1 , pa prema zakonu ravnoteze vrijedi a x2 a x1 = 0

1

a = const:

2

tj. Dakle, u promatranom slucaju napetost zice je konstanta, jednaka uzduznoj kontaktnoj sili a l 0 koja djeluje na kraju x = l . Umjesto civijom, zica se moze horizontalno napeti utegom sl. 1.1. Ako je tezina utega T0 0 , napetost je a = T0 , tj. neposredno je zadana; time se omoguc´uje bazdarenje napetosti realizirane civijom. O

l x T0

g = ubrzanje teze

Sl. 1.1.

Razmotrimo sada zicu koja slobodno visi x -os ima smjer ubrzanja sile teze. Ona je takoder napeta, ovaj put svojom tezinom. Oznacimo s T x1 x2 tezinu komada 1

x1 x2 . Ukupna uzduzna sila na taj komad jednaka je a x2 prema zakonu ravnoteze imamo a x2 a x1 + T x1 x2 = 0:

Stavljajuc´i npr. x1 = x , x2 slobodan! dobivamo

=

l i uzimajuc´i u obzir da je a l a x

iz toga slijedi da je a x

=

a x1 + T x1 x2 , pa

3 =

0 kraj x

=

l je

T x l;

4

0 za x 2 0 l:

5

Ako je o kraj x = l objesen uteg tezine T0 0 , onda umjesto 4 imamo a x = T x l + T0 pa je a x

0 za x 2 0 l:

Ako je zica homogena s gustoc´om mase T x1 x2 = g x2 x1 , pa imamo a x

6

=

7

masa jedinice duljine zice, onda je

x + T0 :

gl

8

Tezina objesene zice je specijalan slucaj uzduzne linijske sile, rasporedene po zici s gustoc´om I x 0 , x 2 0 l ; ukupna linijska sila na komad x1 x2 je tada

Z

x2

I [ d[ :

9

x1

Ukupna sila na taj komad je

Z

a x2

x2

a x1 +

I [ d[

10

x1

pa iz zakona ravnoteze imamo a x2

Z

x2

a x1 +

I [ d[

=

0:

11

x1

Stavljajuc´i x1

=

x , x2

=

l dobivamo a x

Z

l

I [ d[ ;

=

12

x

iz toga slijedi 5. Ako pored linijske sile na zicu djeluje i kontaktna sila a l = T0 onda imamo Z

0,

l

a x

=

I [ d[ ;

T0 +

13

x

tada vrijedi 7. Razmotrimo sada uzduzno napetu zicu, podvrgnutu djelovanju vanjske poprecne ili transverzalne sile, tj. sile koja je okomita na x -os. Pretpostavit c´emo da je ta sila paralelna fiksiranoj ravnini i da je slaba tj. mnogo manja od napetosti. Npr., ako je teska zica horizontalno napeta, onda je poprecna sila njena tezina, pa gornja pretpostavka znaci da je tezina zice mala u usporedbi s tezinom utega kojim je ostvarena

napetost. Prirodno je pretpostaviti da se pod utjecajem slabe poprecne sile zica slabo malo deformira, tj. da njen ravnotezni polozaj lezi u ravnini vanjske sile i da se malo razlikuje od neperturbiranog polozaja intervala 0 l . Tocka x 2 0 l prijede deformacijom u tocku P x = x u x 2 R2 , gdje je u x progib tocke x . Progib je mali u slijedec´em smislu: ju xj l 14

ju

xj

0

1

15

za svako x 2 0 l . Primijetimo da je prva od tih nejednakosti posljedica druge: buduc´i je zica u tocki x = 0 ucvrsc´ena, vrijedi u x = 0 , pa je

Z

u x

x

u0 [ d[ ;

=

16

0

iz toga i 5 dobivamo

ju xj ?

Z

l

ju

0

0

[ j d[

? l max ju j l 0

17

:

Primijetimo takoder slijedec´e: ako je zica na kraju x = l napeta utegom sl. 1.1, taj kraj se ponasa prema progibu kao da je ucvrsc´en, tj. vrijedi u l = 0 ; to je neposredna posljedica pretpostavke da je poprecna sila mala u usporedbi s tezinom utega. Uzimajuc´i u obzir 15, za element duljine luka deformirane zice dobivamo ds = 1 + ju0 xj2 2 dx dx 1

18

pa zakljucujemo da mali progib ne uzrokuje istezanje zice. _

Oznacimo s p x kontaktnu silu u tocki P x , tj. silu kojom dio P xP l deformi_

rane zice djeluje na dio P 0P x . Eksperimentalno je dobro provjerena ova osnovna pretpostavka: ako je deformacija napete zice mala, kontaktna sila p x u tocki P x ( x 2 0 l ) jednaka je po modulu napetosti a x i paralelna je tangencijalnom vektoru zice u toj tocki sl. 1.2. Oznacivsi poprecnu komponentu kontaktne sile s q , imamo u

q(x) p(x) x

u(x)

x

Sl. 1.2.

q x

=

a xu0 x:

19

Ta veza kontaktne sile i progiba s opc´enitijeg stanovista zove se zakon ponasanja u promatranom modelu.

_

Ukupna poprecna kontaktna sila na dio P x1 P x2 deformirane zice jednaka je q x2 q x1 . Neka je f x gustoc´a poprecne linijske sile sila po jedinici duljine

_

koja djeluje na zicu; tada je ukupna linijska poprecna sila na dio P x1 P x2 jednaka

Z

_

x2

f [ d[

x1

Ukupna poprecna sila na dio P x1 P x2 je q x2

Z

x2

q x1 +

:

20

f [ d[

x1

pa prema zakonu ravnoteze imamo q x2

Z

x2

q x1 +

f [ d[

=

21

0

x1

Stavljajuc´i npr. x1

=

x , x2

=

:

22

l , dobivamo

Z

q l

:

l

f [ d[

q x +

=

0

x

23

Iz toga slijedi lokalni ili diferencijalni oblik zakona ravnoteze q0 x + f x

=

0

x 2 0 l

24

koji je ekvivalentan uvjetu 22. Uvrstavajuc´i 19 u 24, dobivamo diferencijalnu jednadzbu koju zadovoljava ravnotezni progib: a xu0 x0

+

f x

=

0

:

25

Ako se zica nalazi u nekom sredstvu koje se elasticno opire njenoj deformaciji, onda pored zadane linijske sile f , na nju djeluje i linijska poprecna sila s gustoc´om b xu x , gdje je b x 0 koeficijent elasticnosti sredstva. U ovom slucaju umjesto 23 i 24 imamo respektivno

Z

q l

l

f [

q x +

b [ u [ d[

x

q0 x

b xu x + f x

=

0

b xu x + f x

0

=

26 27

a umjesto 25 dobivamo jednadzbu a xu0 x0

=

0

28

koju c´emo nazivati jednadzbom ravnoteze. To je obicna diferencijalna jednadzba 2. reda za funkciju u ; funkcije a i b su njeni koeficijenti, a f je slobodni clan. Jednadzba je homogena ako je f = 0 , inace je nehomogena. Jednadzba 28 je linearna: ako su za dane koeficijente a i b funkcije u1 i u2 rjesenja homogene jednadzbe, tj. au1 0 0

bu1

=

0

au2 0 0

onda je i njihova linearna kombinacija u = c1 u1 + c2 u2

bu2

=

0

29 30

gdje su c1 i c2 proizvoljni realni brojevi, takoder rjesenje homogene jednadzbe: au0 0

bu = 0:

31

Svako rjesenje jednadzbe 28 je ravnotezno ili stacionarno stanje. U primjerima koji slijede navodimo jos nekoliko modela koji se opisuju jednadzbom 28. Kao i u slucaju zice, o ravnoteznom stanju uvodimo pretpostavke koje su, naravno, ostvarene samo priblizno. Primjer 1.1. Uzduzna deformacija tankog stapa. Pretpostavimo da x -os prolazi tezistima poprecnih presjeka tankog homogenog stapa. Neka na stap djeluje slaba uzduzna sila, koja je na svakom poprecnom presjeku raspodijeljena tako da joj je ukupni moment u odnosu na teziste presjeka tj. u odnosu na x -os jednak nuli; primjer takve sile je tezina vertikalno postavljenog rotacionog stapa. Prirodno je pretpostaviti da se u opisanim uvjetima poprecni presjek stapa uzduzno translatira iz nedeformiranog polozaja x 2 0 l u deformirani polozaj P x = x + u x , gdje je u x mali pomak. Oznacimo s q x uzduznu kontaktnu silu u tocki x , tj. silu kojom dio P x P l djeluje na dio P 0 P x . Neka je f gustoc´a uzduzne linijske sile vanjska sila po jedinici duljine stapa. Iz zakona ravnoteze slijedi jednadzba 24. Eksperimentalni zakon ponasanja (Hookeov zakon) ima oblik 19, gdje je a = ES;

32

ovdje je E = const 0 Youngov model, a S povrsina poprecnog presjeka S = const za cilindricni stap. Ako je stap tako tanak da se moze smatrati jednodimenzionalnim tijelom, opisani model podudara se s uzduzno napetom zicom. U tom slucaju uzduznu kontaktnu silu nazivali smo napetosc´u i odredili smo je neposredno pomoc´u zakona ravnoteze; uzduzna deformacija nas nije zanimala jer smo kod razmatranja poprecne deformacije napeto stanje uzimali kao "nedeformirano". Primjer 1.2. Torzija tankog kruznog stapa. Neka centralna os tankog homogenog cilindricnog stapa kruznog presjeka lezi na x -osi. Neka na stap djeluje slab uzduzni zakretni moment tj. moment paralelan x -osi. Pretpostavit c´emo da se tada poprecni presjek stapa na mjestu x 2 0 l zakrene oko x -osi za mali kut u x . Oznacimo s q x uzduzni kontaktni zakretni moment u tocki x , tj. moment kojim dio P x P l djeluje na dio P 0 P x . Neka je f gustoc´a uzduznog linijskog zakretnog momenta vanjski moment po jedinici duljine stapa. Ako je tijelo u ravnotezi, rezultanta zakretnih momenata koji na njega djeluju jednaka je nuli zakon ravnoteze momenata. Iz toga slijedi jednadzba 24. Eksperimentalni zakon ponasanja ima oblik 19 gdje je a = P R4 S =2; 33 ovdje je P

=

const: 0 modul smicanja, a R radijus poprecnog presjeka.

Primjer 1.3. Provodenje topline kroz tanki stap. Neka os tankog homogenog stapa lezi na x -osi. Neka se na stap izvana prenosi slab toplinski fluks. Oznacimo s u x temperaturu poprecnog presjeka na mjestu x 2 0 l , a s q x kontaktni toplinski fluks na tom mjestu, tj. toplinu koja se u jedinici vremena prenosi s dijela x l na dio 0 x . Neka je f gustoc´a linijskog toplinskog fluksa vanjska toplina koja se u

jedinici vremena prenosi na jedinicu duljine stapa . Ako je provodenje topline u tijelu stacionarno (neovisno o vremenu), ukupni toplinski fluks (toplina po jedinici vremena) koji se na njega prenosi jednak je nuli (zakon stacionarnog provodenja topline). Iz toga slijedi jednadzba 24 . Eksperimentalni zakon ponasanja (Fourierov zakon) ima oblik 19 , gdje je a = N S; 34 ovdje je N 0 koeficijent provodenja, a S povrsina poprecnog presjeka S za cilindricni stap, N = const: za homogeni stap .

=

const:

1.2. Rubni problem U daljnjem koristimo standardnu oznaku C k O k 2 N za skup svih realnih funkcija na otvorenom skupu O Rn , n 2 N , koje imaju neprekidne derivacije do reda k ukljucivo; C k O¯ je skup svih funkcija iz C k O , kojih derivacije do reda k ukljucivo imaju neprekidna prosirenja na O¯ . Umjesto C 0 pisemo C , npr. CO = C 0 O . Ukoliko ne bude drukcije naglaseno, u daljnjem c´emo pretpostavljati da je a 2 C 1 0 l

b 2 C0 l

f

2 C0 l

a

0 na 0 l

te da vrijedi

1 2

3

0 na 0 l:

b

4

Primijetimo da pretpostavka 3 iskljucuje slucaj zice koja slobodno visi, jer je tada al = 0 . Uz pretpostavke 1 –3 svako rjesenje u 2 C 2 0 l jednadzbe 1.28 pripada klasi C 2 0 l . Rjesenja ima beskonacno mnogo opc´e rjesenje sadrzi dvije proizvoljne konstante, v. Dodatak 1.2 . Nas c´e zanimati rjesenje koje predstavlja ravnotezno stanje sa zadanim rezimom na krajevima x = 0 i x = l ; ti rezimi opisuju se rubnim uvjetima. Odredivanje rjesenja koje zadovoljava rubne uvjete zove se rubni problem zadac´a . Vratimo se primjeru transverzalno opterec´ene napete zice. Ako su krajevi ucvrsc´eni civijom ili utegom, rubni uvjeti glase ovako: u0

=

0

ul

=

0:

5

U slucaju provodenja topline kroz stap ti uvjeti znace da se krajevi stapa odrzavaju pomoc´u nekog vanjskog regulatora na temperaturi od 0 ; umjesto na 0 moz e se kraj odrzavati na bilo kojoj temperaturi pa ima smisla rubni uvjet u0

= c0

6

gdje je c0 zadani broj. U daljnjem radi jednostavnosti govorimo samo o rubnom uvjetu na kraju x = 0 . Da bi uvjet 6 u slucaju c0 6= 0 imao smisla i za napetu zicu, moramo napetost realizirati bez ucvrsc´enja kraja x = 0 . To postizemo npr. tako, da kraj x = 0

vezemo za nerastezljivu nit bez tezine mnogo duzu od zice koju uzduzno napnemo pomoc´u utega ili civije. Uvjet 6 realiziramo fiksiranjem kraja x = 0 na visini c0 ; taj uvjet zove se Dirichletov, geometrijski ili kinematicki. Umjesto zadavanja progiba u 0 , mozemo zadati vrijednost vanjske transvenzalne kontaktne sile q 0 koja realizira taj progib. Npr. ako je zica napeta pomoc´u niti vezane za kraj x = 0 i ako se na taj kraj objesi uteg tezine c1 , onda imamo rubni uvjet q 0

= c1 :

7

Primijetimo da analogan uvjet na kraju x = l glasi q l = c1 . U slucaju provodenja kroz stap uvjet 7 znaci da je reguliran toplinski fluks kroz presjek x = 0 . Uzimajuc´i u obzir zakon ponasanja 1.19, iz 7 dobivamo u0 0

= c2

8

gdje smo stavili c2 = c1 =a 0 ; taj uvjet zove se Neumannov, prirodni ili dinamicki. Ako je zica napeta pomoc´u niti vezane za kraj x = 0 i ako se taj kraj veze za poprecno elasticno pero s koeficijentom elasticnosti N 0 , onda imamo rubni uvjet q 0 = N u 0:

N u l . Pomoc´u 1.19 dobivamo

Analogan uvjet na kraju x = l glasi q l =

E0 u 0 = 0

u0 0

gdje smo stavili E0

=

9

10

N =a 0 ; to je Robinov rubni uvjet.

Primjer 2.1. Homogena zica ucvrsc´ena je na kraju x = 0 i horizontalno napeta pomoc´u niti vezane na kraj x = l i utega mase M 0 ; kraj x = l je slobodan. Odredit c´emo ravnotezni progib u polju sile teze sl. 1.3. Linijska sila je tezina, pa je f = g , gdje je = const: gustoc´a mase masa jedinice duljine zice. Jednadzba ravnoteze glasi 00 Mu + g = 0: 11 Iz toga slijedi u0 x u x

=

=

x + C1

12

x2 + C1 x + C2

13

M

2M

gdje su C1 i C2 konstante. Iz rubnih uvjeta u 0

slijedi C1

=

l M , C2

=

=

=

u0 l = 0

0

14

0 pa dobivamo u x

=

2M

Opc´i rubni uvjet na kraju x = 0 glasi

xx

2l:

15

O x

l g u gM

Sl. 1.3.

D u0 0

E u 0 = c

16

gdje su D , E i c zadane konstante i

D E

D+E

0

17

0:

Analogno na kraju x = l imamo

J u0 l + G u l = d

18

gdje su J , G i d zadane konstante i

J G

J

0

+

G

19

0:

Ako je c = 0 , uvjet 16 je homogen, inace je nehomogen. Uvjeti 16 i 18 su linearni. Kao sto c´emo vidjeti, uz prirodne pretpostavke 17 i 19 oni osiguravaju jedinstvenost ravnoteznog stacionarnog stanja. Primjer 2.2. U slucaju b = 0 , rubni problem 1.28, 16, 18 rjesava se formulom. Radi jednostavnosti razmotrit c´emo homogene rubne uvjete c = d = 0 . Neka je u rjesenje problema. Iz 1.28 slijedi u0 x

1 a x

=

Z

u x

x

= 0

Z

x

C1 a x

f K dK + 0

d[ a [

Z

[

20

Z

d[ a [

x

f K dK + C1

0

0

+

gdje su C1 i C2 konstante. Uvrstavajuc´i to u 16 i 18, dobivamo D C1 E C2 = 0 a 0

J a l

+

G

Z

l 0

d[ C1 + G C2 a [

=

J a l

Z

l

f [ d[

+

0

G

Z

l 0

21

C2

d[ a [

Z 0

22 l

a K dK :

23

To je linearni sustav za nepoznanice C1 i C2 ; determinanta sustava je '=

1 DG a 0

+

1 EJ a l

+

EG

Z

l 0

d[ : a [

24

Razlikujemo dva slucaja: i E + G 0 . Tada je ' 0 , pa sustav ima jedinstveno rjesenje C1 C2 ; rubni problem ima jedinstveno rjesenje 21.

ii E = G = 0 . Tada je ' = 0 , pa sustav ili nema rjesenja ili rjesenje nije jedinstveno. Rubni uvjeti su u0 0 = u0 l = 0 25 tj. radi se o slucaju kad su oba kraja slobodna. Ako rjesenje postoji, iz 22 odnosno 23 slijedi C1 = 0 26

Z

odnosno

l

f x dx = 0:

27

0

Obratno, ako vrijedi 27, onda je za svako C2 funkcija

Z

Z

[ d[ u x = f K dK + C2 28 0 a [ 0 rjesenje rubnog problema. Prema tome, rubni problem ima rjesenje ako i samo ako vrijedi 27; u tom slucaju rjesenja ima beskonacno mnogo i dana su formulom 28 tj. rjesenje je odredeno do na aditivnu konstantu. Buduc´i su poprecne kontaktne sile na krajevima jednake nuli, uvjet 27 znaci da je ukupna poprecna sila koja djeluje na zicu jednaka nuli. Ako je taj uvjet ispunjen, ravnotezni polozaj je odreden do na kruti pomak cijele zice; zato proizvoljnost konstante C2 nema fizikalno znacenje. x

Pri izvodu jednadzbe ravnoteze pretpostavili smo malu deformaciju. Pokazat c´emo da je dobiveno rjesenje u Primjeru 2.2 u skladu s tom pretpostavkom. Radi jednostavnosti ogranicit c´emo se na rubne uvjete u 0 = u0 l = 0: 29 Tada je Zl 1 0 u x = f [ d[ : 30 a x x Neka je a1

Imamo

=

min a x:

Z l

? l xmax 20l

f [ d[

x

Iz 30 i 31 slijedi

ju0 x j ? al

31

x2 0 l

jf x j

j j

32

:

max f x :

1 x2 0 l

33

j j

Prema tome, ako je vanjska sila dovoljno mala (preciznije: l max f a1 ), deformacija je mala. To svojstvo rubnog problema zove se korektnost. Ako je b = 0 , rjesenje rubnog problema opc´enito se ne moze zapisati formulom.

6

Teorem 2.1. Ako je b rjesenje.

6

=

0 , rubni problem (1.28), (16), (18) ima najvise jedno

Dokaz. Neka su u1 i u2 rjesenja i u funkcija u zadovoljava uvjete

= u1

u2 . Zbog linearnosti problema

au bu = D u 0 E u0 = J u l + G ul = 0

0

34 35 36

0 0 0:

0

0

Pomnozimo li jednadzbu 34 sa u i integriramo po 0 l , dobivamo

Z

l

au u dx + 0

0

Z

l

0

0

bu2 dx = 0

37

ili, nakon parcijalne integracije u prvom clanu lijeve strane,

Z

l

au 2 + bu2 dx + a0u 0u0 0

0

alu0 lul

0

=0

:

38

Razlikujemo cetiri slucaja: i E J 0 . Izracunamo li u0 iz 35 i u0l iz 36 i uvrstimo u 38, dobivamo Zl au0 2 + bu2 dx + DE a0u0 20 + GJ alu2 l = 0: 39 0 Svi sumandi na lijevoj strani su nenegativni, pa je svaki od njih jednak nuli:

Z

l

2

=

0

40

bu2 dx

=

0

41

=

0

42

=

0:

43

au0 dx 0

Z

l 0

Iz 40 slijedi u0

= 0 , tj.

D 2 a0u0 0 E G alu2 l J

u = const:

44

Iz 35 slijedi u0 = 0 , a iz 44 u = 0 , tj. u1 = u2 . Slucajevi ii E G 0 i iii D G 0 analiziraju se analogno. iv E = G = 0 . Tada je u00 = u0l = 0 . Iz 39 slijedi 40 i 41, iz 40 dobivamo 44, a iz 41 slijedi

Z

l

u2 0

b dx = 0:

45

Zbog i pretpostavke b = 0 , b je pozitivno bar na nekom intervalu, pa je 6

Z

l

b dx 0:

Iz 45 i 46 slijedi u = 0 , tj. u1

0

= u2 .

Q.E.D.

46

U gornjem dokazu u slucajevima i– iii nismo koristili pretpostavku b 6= 0 . Ti dokazi dakle vrijede i za b = 0 . Pretpostavka b 6= 0 ima odlucnu ulogu u slucaju iv; prema Primjeru 2.2 znamo da za b = 0 jedinstvenost nema mjesta. Uvjeti 1 i 2 mogu se oslabiti na razne nacine. Ovdje c´emo razmotriti slucaj kad neka od funkcija a , a0 , b i f ima u tocki x0 2 0 l konacan skok prekid 1. vrste; primijetimo da je zbog 1.13 u modelu zice funkcija a nuzno neprekidna. Iz 1.26 slijedi da je u tocki x0 kontaktno djelovanje neprekidno, ali zbog 1.19 funkcija u mozda nema 1. derivaciju u0 ima mozda prekid 1. vrste. Umjesto jednadzbe 1.28 koja mozda ne vrijedi u tocki x0 imamo samo uvjete neprekidnosti funkcije u i kontaktnog djelovanja q = au0 : 0

au

u x0 + 0 u x0 0 = 0 x0 + 0 au0 x0 0 = 0

47 48

To su uvjeti transmisije; problem transmisije ukljucuje, naravno, i rubne uvjete. Rjesenje problema pripada klasi C 0 l C 2 0 x0 C 2 x0 l ; ako je a neprekidno u x0 , rjesenje pripada klasi C 1 0 l C 2 0 x0 C 2 x0 l . Primjer 2.3. Zica je sastavljena od dvaju homogenih komada 0 x0 x0 l s linijskim gustoc´ama mase 1 i 2 i napeta horizontalno utegom mase M 0 ; oba kraja su ucvrsc´ena. Odredimo ravnotezni polozaj zice u polju sile teze. Gustoc´a linijske sile ima u tocki x0 skok: 1 g 0 ? x x0 f x = 49 2 g x0 x ? l: Jednadzba ravnoteze glasi ovako:

gMu gMu

00 00

x x

= =

x 2 0 x0 x 2 x0 l:

g 2 g 1

50 51

Uzimajuc´i u obzir rubne uvjete u 0 = u l = 0 , iz 50 i 51 dobivamo 1 x u0 x = +C 52 M 2 1 x u x = + Cx 53 2M za x 2 0 x0 , 2 x u0 x = +D 54 M 2 u x = x2 l2 + D x l 55 2M za x 2 x0 l ; ovdje su C i D konstante. Uvrstavajuc´i to u uvjete transmisije 47 i 48, dobivamo za C i D sustav CD

=

x0 C + l x0 D

=

1

2

M 1

2

2M

56

x0 x20 +

2

2M

l2 :

57

Iz toga nalazimo

8 ux = :

C

=

D

=

pa imamo

2 1x

2M

2

2M

+

2l 2M 2l 2M

1

1

x2 l2 +

2

2Ml

2l

2M

2

2Ml

1

2

2Ml 2l

2M

x20 +

1

2

M

58

x0

59

x20

x20

+

1

2Ml

1

2

M 2

x20

x

x 2 0 x0

x l

x 2 x0 l:

x0

60

Primjer 2.4. Tanki cilindricni stap sastavljen je od dva homogena dijela 0 x0 i x0 l s koeficijentima provodenja a1 i a2 , respektivno. Krajevi x = 0 i x = l podrzavaju se na temperaturi u = 0 . Odredimo stacionarnu temperaturu stapa, ako je linijska gustoc´a vanjskog toplotnog fluksa f = 1 . Jednadzba stacionarnog provodenja je a1 u00 x = 1 x 2 0 x0 61 a2 u00 x = 1 x 2 x0 l: 62 Uzimajuc´i u obzir rubne uvjete u0 = ul = 0 i uvjete transmisije 47 i 48, kao u prethodnom primjeru dobivamo

8 ux = :

1 2 a1 l2 x20 + a2 x20 x + x 2a1 2a1 a2 a21 x0 + 2a21 l

x 2 0 x0

1 a1 l2 x20 + a2 x20 x2 l2 + x l 2a2 2a2 x0 a2 a1 + 2a1 a2 l

x 2 x0 l:

63

Zadatak 2.5. Dokazite teorem jedinstvenosti za problem transmisije. Zbog linearnosti rubnog problema, rubni uvjeti se mogu homogenizirati. Neka funkcija v zadovoljava uvjete 16 i 18 i neka je u1 = u v . Uvrstivsi u = u1 + v u 1.28, 16 i 18, dobivamo au01 0 bu1 + f 1 = 0 64 0 D u1 0 E u1 0 = 0 65 0 J u1 l + G u1 l = 0 66 gdje je f 1 = f + av0 0 bv: 67

Funkcija u je rjesenje problema 1.28, 16, 18, ako i samo ako je funkcija u1 rjesenje problema 64–66. Prema tome, bez smanjenja opc´enitosti mozemo ubuduc´e pretpostaviti da su rubni uvjeti homogeni. Zadatak 2.6. Odredite linearnu funkciju koja zadovoljava uvjete 16 i 18.

1.3. GREENOVA FUNKCIJA

13

Do sada smo vanjsku silu na žicu opisivali gustoćom sila na interval bila jednaka

(Xl,X2)

Stavimo l i

imamo pa ukupnu vanjsku silu na

f tako da je ukupna vanjska ,

1:2f(X) dx.

(1)

F(x) = lXf e s) ds,

(2)

f(x) = F'(X),

(Xl,X2) možemo izraziti kao razliku F(X2) - F(Xl)'

(3) (4)

Sila (4) je općenitij a nego (1); pokazat ćemo to na važnom primjeru koncentrirane sile, koja nema gustoću. Kažemo da funkcij a F opisuje silu (djelovanje) intenziteta =I koncentriranu u tocKi xo E I) , ako je

Fo O,

(O,

F(x) = { FoO,, XX >�xo, (5) xo. Prema (4), ukupna sila na žicu jednaka je F(/) F(O) = Fo. (6) S druge strane, uzmemo li bilo koji interval (Xl,xz), takav da je udaljenost točke Xo od (xt ,xz) veća od nule, dobivamo (7)

Time se opravdava naziv koncentrirana sila. Pokažimo da ta sila nema gustoću. Zaista, ako je gustoća, onda je =I (8)

f

f(x) = O, X Xo.

S druge strane je

(9)

a to je protuslovlje, jer integral funkcije koja iščezava svuda osim u jednoj točki jednak je nuli. Dakle, pretpostavljena funkcija (gustoća) ne postoji. Primijenimo princip ravnoteže na komad uzimajući u obzir da na taj komad, osim kontaktne i vanjske elastične sile, djeluje i linijska sila (4). Dobivamo

f

(Xl, X2), q(xz) - q(Xl) - LX2 bu dx + F(x2) F(xt} O. =

(10)

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

14

(11) q(X2 )-q(xl)-1XlXI budx = O, (12) q(X2 )-q(Xl )-1XlXl budx+Fo = O, (11) X2 X2= x, (13) q(x)-b(x)u(x) = O, x"# Xo. q= aul ( a(x)ul(x»)'-b(x)u(x) = O, x"# Xo. (14) Xo ( 15 ) u(Xo-O)= u(xo +O). ( 12) XI,X2 xo, q(xo -O)-q(xo +O)= Fo, (16) UI(XO-O)-UI(XO+O)= aR(Xoo ) . ( 1 7) u točki koncentracije vanjskoga linijskog djelovanja derivacija 1'tlV1IOteŽnOg stanja (progiba) ima konačan skok. e Zbog

(5) iz toga slijedi

Derivirajući

po

i stavljajući

Iz toga i zakona ponašanja

U točki

dobivamo

slijedi

progib je neprekidan:

Uzmemo li u

limes kad

---jo

dobivamo

ili

Vidimo da

Prema tome, u slučaju koncentriranog dj lovanja, za ravnotežno stanje vrijede jednadžbe ( 14), ( 15) i ( 17). Odgovarajući rubni prob lem uključuje, naravno, i rubne uvjete. Rješenje problema pripada, očigledno, klasi

C( [O , m n C(2)( [0 , xo] ) n C(2)( x[ o,� ). Primjer 3.1. a = 1 , b = O. Fo = 1 ( O, l) kraj Uli (x) = O, X < Xo, u(O) = O, Uli (x) O, x>xo, u'( l ) O, u(xo-O) -u(xo +O)= O, ul(xo-O) ul(xo +O) = 1. ( 18)-(21) u(x) x < xn, B u(x) = , x>Xo, Iz (22)-(25) = 1 , B= Xo u(x)= { xxn, , Neka je sila koncentrirana u točki xo E slobodan. Imamo ove uvjete:

Iz

dobivamo

gdje su A i B konstante.

Zadatak3.2.

Odredimo ravnotežno stanje ako je vanjska i ako je lijevi žice učvršćen, a desni

Ax,

slijedi A

,

pa imamo

(18) (19) (20) (21) (22)

(23)

(24) (25)

(26)

Dokažite teorem jedinstvenosti za slučaj koncentriranog djelovanja.

15

1.3. GREENOVA FUNKCrJA

M,

Zadatak 3.3. Žica je sastavljena od dvaju homogenih komada jednake duljine s linijskim gustoćama i i napeta horizontalno utegom mase a u sredini opterećena utegom mase ; oba kraja su učvršćena. Odredite ravnotežni progib.

gtMt gz

Rješenje. Jednadžba ravnoteže glasi ovako:

u"(x) = -Mgt' x< 2l ' ull(x) = Mgz' x> 2'l Iz toga i robnih uvjeta u(O) =u(l) =O dobivamo 1 gl x2+ex, { x<2 u(x) = l (x2 ZZ)+D(x - I), x>2' gdje su e i D konstante. Iz (15) i (17) za e i D dobivamo sustav e+D = M4Ml (gt +3 gz), e D = Mt + l (gt - gz), -

2M 2M

(27) (28) (29)

-

2M

-

odakle nalazimo

(30) (31) (32) (33)

Pretpostavimo da je ili

b#O

ili

ll+o>O

(34)

G(x, x (O, (x,x') ....... G(x,x'), x,x' (0,1) (35) zove se Greenova funkcija. Pokazat ćemo da ta funkcija postoji (zbog (34) ona je jedinstvena). Neka su Ut i Uz linearno neovisna rješenja jednadžbe (au')' - bu =O na (0,1). (36) Tada je svako rješenje te jednadžbe oblika u =Alllt +A2uz, . (37) gdje su Al i Az konstante (v. Dodatak 1.2). Odredimo sva rješenja koja zadovoljavaju robni uvjet au'(O) -llu(O) =o. (38)

i označimo s l) rješenje rubnog problema u slučaju kad je u točki x' ) , E E I) koncentrirano jedinično linijsko djelovanje. Preslikavanje

x'

(O,

E

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

16

Uvrstimo li (37) u (38), dobijemo

(39) alA, + a2A2 =O, gdje je (40) al =aui(O) - (:3Ul(O), a2 au�(O) -(:3U2(0). Bar jedan od brojeva (40) je različit od nule, jer bi iz uvjeta al =a2 =O i pretpostavke a + (:3 O slijedilo =

>

(41)

Ul i U2 nije moguće (v. Dodatak 1 .2). Ako je a2 A2, Al -(42) al (43) U =A2 (- :� Ul + U2) ,

a to zbog linearne neovisnosti funkcija onda je

al i= O,

=

pri čemu je (zbog linearne neovisnosti)

Ako je

a2 i= O, onda je

- -ala2 Ul + U2 i= O.

(44)

(4S) (46) pri čemu je (47) Prema (43) odn. (46) svako rješenje koje zadovoljava uvjet (38) ima oblik

(48) =Cv, gdje je v jedno fiksno netrivijalno (tj. v i= O) rješenje koje zadovoljava (38), a C konstanta. Analogno zaključujemo da svako rješenje koje zadovoljava uvjet yut(l) + Du(/) O (49) ima oblik u =Dw, (SO) gdje je jedno fiksno netrivijalno rješenje koje zadovoljava (49), a D konstanta. Uzimajući u obzir gornje zaključke vidimo da Greenova funkcija nužno ima oblik (x) G(x, x) -- {Cv (Sl) Dw(x),, OO << x'x �� x, << ll, II

•

=

w

X

1.3. GREENOVA FUNKCIJA

17

pri čemu koeficijenti Ci

(:.

'x

)

G(x,X)

dobivamo sustav

D ovise o X.

Uvrštavajući

(51) u uvjete

G(X' - O,X') - G(X' + O,X')= O, x' x=x' -o

(:.

-

'x

)

G(X,X )

x='+o

Dw(x' )= O, -1 -Cv'(x) + Dw'(x) = W(x)= W(v, w x) v w (49); (34) iz

a

(�)'

E

(O,l),

(52)

x' E (O,l),

(53)

(54)

-Cv(x) +

(55)

Determinanta tog sustava , je različita od nule za svako x . Zaista, kad bi W negdje iščezavalo, funkcije i bile bi linearno ovisne pa bi obje zadovo ljavale i uvjet (38) i uvjet zbog tog bi slijedilo v= = O, što je protivno pretpostavci. Rješenje sustava (54), (55) je

C= D

=

w(x)

_

a(x')W(x') v(x) = a(x')W(x')

w

w(x) , a(O)W(O) v(x) a(O)W(O) ,

(56) (57)

gdje smo iskoristili Liouvilleovu formulu (Dodatak 1.2.12). Svaka od funkcija je određena do na konstantan faktor; te faktore možemo odabrati tako da bude

Uz takav izbor dobivamo '

_

G(x,x ) -

v

i

w

aCO)W(O)

-1.

(58)

v(x)w(x), v(x)w(x),

O<x � x'
(59)

{

Sad se lako provjerava da funkcija (59) zadovoljava sve uvjete koji se zahtijevaju od Greenove funkcije. Imamo, dakle, ovaj rezultat:

Teorem 3.1. Greetwvafunkcija dana je formulom (59), gdje su v i netrivijalna rješenja problema (36), (38) odn. (36), (49), koja zadovoljavaju uvjet (58).

w

=

Korolar3.2. Greenovafunkcija je (i) simetrična, tj. vrijedi G(x,x) G(x ,x), (ii) neprekidna na zatvorenom kvadratu [O, � x [O, � i (iii) različita od nule u svakoj točki kvadrata (O,l) x (0,1). Dokaz. Tvrdnje (i) i (ii) su očigledne. Dokažimo (iii). Pretpostavimo da je G(xJ,�) O za neko Xl'� E (0,1); neka je npr. Xl � �. Iz (59) slijedi O . Neka je npr. V(Xl) O. Tada v(XI ) (�) O, pa je ili V(Xl) O ili (�) je (zbog (34), (36) i (38)) v(x)= O za svako x E (O,XI)' Zbog toga je W(x) = O za svako x E (O,Xl), što je u protusloviju s pretpostavkom o lineamoj neovisnosti funkcija v i (v. Dodatak 1.2).

w == w

=

w =

=

.

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

18

Prin\jer 3.4. Neka je a = 1 , b = slobodan. Kao u Primjeru 3.1 dobivamo

O

i neka je lijevi kraj žice učvršćen, a desni

G(x,x') { �J, xx � G(x,x) O x,x' =

x

� X.

A:

(60)

Iz (60) zaključujemo da je > za svako E (O, I). To svojstvo vrijedi (kao što ćemo vidjeti) i u općem slučaju, a ima jednostavnu interpretaciju: progib prouzročen koncentriranom silom ima u svakoj točki smjer te sile.

Zadatak 3.S. Neka su koeficijenti ako su oba kraja učvršćena. Rješenje.

Za

b>O =

gdje je k =

konstante. Odredite Greenovu funkciju

dobivamo

{ll -

k

ak

=

x�x x�

'

(chkx' - cthkl shkx')shkx,

G(x,x' ) a (bJa) 1/2 za b O G(x,K) •

aib

(chkx - cthkl shkx)shkx', imamo

{ � ((

1-

1-

f) x,

I) x',

x

(61)

x,

� .

x

(62)

Pomoću Greenove funkcije dobivamo jednostavnu formulu za rješenje rubnog problema

I

(au' ) ' - bu + au' (O) - f3 u (O) yu ' (1) + c5u (/)

= O na (O, l),

O, O.

=

(63) (64) (65)

(i 1,2, .. . , n) širine Podijelivši interval (O, l) na male intervale oko točaka očekujemo da linijsko djelovanje gustoće možemo aproksimirati zbrojem djelovanja intenziteta

x; I 1 l(x)dxt;;;/(x/) · A, xl,xz, ... , Xn . I(Xi) ' A · G(X,Xi), Xi+!

koncentriranim u točkama stanje

-!

A,

(66)

Svako od tih djelovanja generira ravnotežno

(67)

a sve zajedno (zbog linearnosti) stanje n

L: i=1

/(x;) . A · G(x,x;).

(68)

1.3. GREENOVA FUNKCIJA Ako

19

!l' teži nuli, gornji izraz teži integralu u (x)

=

II G(x, x' )f (x' ) dx'.

(69)

Teorem 3.3. Uz pretpostavku (34), rješenje rubnog problema (63)-(65) dano je

formulom (69).

Dokaz. Iz (69) i (59) u(x)

=

u' (x)

=

Iz toga dobivamo

slijedi

lX v(x' )f(x' ) dx' + v(x) 11 w(x' )f (x' ) dx', w' (x) fox v(x' )f (x' ) dx' + v' (x) 11 w(x' )f (x' ) dx.'

(a (x) u(x' ) ) ' _ Funkcije

viw

(72)-(74)

(a (x)w' (x)) '

(a (x)u' (x) ) '

(72)

dx'

+ a (x)(v(x)w' (x) - v' (x)w(x))f (x) .

zadovoljavaju jednadžbu

dobivamo

(71)

lX v(x' )f (x' ) dx' + (a (x) v' (x) ), 11 w(x' )f (x' ) =

(36), pa je

(aw' ) ' (x) = b (x)w(x), (av' ) ' (x) = b (x) v(x) . Iz uvjeta (58) i Liouvilleoveformule (Dodatak 1.2.12) slijedi a (x) ( v(x)w' (x) - v' (x)w(x) ) = a (x) W(x) = a ( O)W( O ) Iz

(70)

w(x)

( 73 )

= -1

(74)

Jro v(x' )f (x' ) dx' + b(�) v(x) 11 w(x' )f (x' ) - f (x) t b(x) G(x, x' )f (x' ) dx' - f (x) Jo =

b (x)w(x)

'

dx'

( 75 )

=

=

Prema tome, funkcija

(69) zadovoljava jednadžbu (63).

au' (O) - fJu( O )

=

yu' ( l) + llu ( l)

=

jer funkcija

G(·, x')

b (x)u(x) - f (x) .

Dalje imamo

II (a ! G(O, x' ) - fJG(O, x' )) f (x' ) dx' II (y ! G(l, x' ) + llG(l, x' )) f (x' ) dx'

zadovoljava uvjete

=

=

( 64 ) i (65).

o,

o,

(76 ) (77)

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

20 Korolar 3.4.

za svako

x

E

x, x'

E

Vrijedi

>

(78)

O

( O, l) .

Dokaz.

( O, l) .

G(x,x')

Neka je Tada je

u

rješenje rubnog problema

(63)-(65)

u slučaju

f(x)

=

u(x) II G(x,x') dx', II u(x) dx = II l' G(x, x') dx' dx. =

S druge strane,

1,

(79) (80)

iz jednakosti

(au')' - bu + 1 = O

II dx - ll (au')'u

dobivamo

U

=

ili (pretpostavljajući npr. f3 >

O, y

>

O

dx +

(81)

II bu2 dx,

i uzimajući u obzir

(82)

(64) i (65))

t u dx t(au'2 + bu2) dx + � a(l)u2 (l) + � u'2 (0) O. (83 ) y � � (80) ( 83 ) II II G(x, x') dx' dx O. (84) 3.2 G x'x' (O, l) , iz (84) (78). ( 69) f O f =I O , (78)) u (x) II G(x,x')f(x') dx' O. (85 ) ako je f nenegativno i različito od nule, rješenje problema (63)-(65) je pozitivno. (34).) iz ( 69) korektnost. (86) u'(x) = II :x G(x,x') . f(x') dx', lu'(x) 1 � Jot I aax G(x,x') llt(x') 1 dx' � � ( (87) lt(x) l ) Jotlaax G(x,x')ldx', . =

Iz

i

p

slijedi

>

>

Prema Korolaru O.E.D. Formula

Ako je

�

funkcija

E

ima isti znak za sve

pa

slijedi

omogućuje neke opće zaključke o rješenju rubnog problema. i

onda je (zbog =

>

Drugim riječima, ako linijska sila djeluje u jednom smjeru, taj isti smjer ima i progib; preciznije, (Zaključak vrijedi, naravno, uz pretpostavku Drugo važno svojstvo koje slijedi

max

xE[O,l]

je

Imamo

21

].3. GREENOVA FUNKCIJA ili

max lt(x) l , lu'(x) 1 ::;;; h xE[O,�

gdje smo stavili h = max xE[O,�

Dakle, ako je f malo (tj. (mala deformacija).

max lt I

Jt o

la8x G(x, x') I

(88) dx' .

(89)

malo), onda je i rješenje rubnog problema malo

Zadatak 3.6. Dokažite da rješenje rubnog problema ovisi monotono o gustoći linijskog djelovanja. Rješenje. Neka je -(au�)' + bUl = fl , (90) (91) -(au�)' + bU2 = Iz, uz iste rubne uvjete. Oduzimajući (91) od (90) dobivamo (92) - (a(ul - U2 )')' + b(Ul - U2 ) = ft - Iz· Prema (69) iz toga slijedi

Ut (x) - U2 (X) = Jt G(x, x')(jt (x') - Iz(x')) dx'. o Iz (93) i (78) zaključujemo: ako je ft > Iz , onda je Ut > U2 . Zadatak 3.7. Neka za gustoću f vrijedi ili f � O ili f ::;;; O . rješenje rubnog problema tada ovisi monotono o koeficijentu b . Rješenje. Neka je -(au;)' + btut = f, - (au�)' + b2 u2 = f,

( 93 ) Dokažite da

(94) (95)

uz iste rubne uvjete. Oduzimajući (95) od (94) dobivamo

(96)

- (a (Ut - U2 )')' + blUt - b2 u2 = O,

ili Označimo s (97) slijedi

Gt

odn.

G2

(97)

Greenovufunkciju jednadžbe (94) odn. (95). Prema (69) iz

Ut (x) - U2 (X) = Jt Gt (x, x')(b2 (x') - bt (x'))U2 (x') dx' o =

10/11 Gt (x, x')G2 (x', x")(b2 (x' ) - bt (x'))f (x") dx'

Iz toga zaključujemo: ako je

bl � b2 , onda je Ut ::;;; U2

za f

� O i Ut � U2

dx".

za f

(98)

::;;; O .

Zadatak 3.S. Definirajte Greenovu funkciju i dokažite Teorem 3.3 za problem transmisije.

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

22

u ovoj točki ćemo razmatrati slučaj kad je narušen uvjet (2.3) i kad funkcija ima prekid na kraju intervala (0 , 1). Tada su jedan ili oba kraja intervala (O, l) singularne točke jednadžbe ravnoteže. Ograničit ćemo se na najvažniji slučaj kad se radi o regularnom singularitetu: pretpostavljat ćemo da su funkcije a i b analitičke na intervalu (O, l) , te da u točki x = O (x = l) funkcija a ima nultočku 1. reda, a funkcija b pol najviše 1. reda. Neka je

b

xr(x) , r(O) i- O, 1 (x) = xs J gdje su funkcije r i s analitičke na (O , l) i regularne u x jednadžbe (v. Dodatak 1.2) za jednadžbu ravnoteže su al = a, a2 = - a,

a(x) b x)

(

=

gdje je

a

=

-

s(O) ) ( r(O)

(O , l)

linearno neovisna rješenja oblika

(2)

= o. Korijeni karakteristične

1/2

Ako 2a nije cijelo, homogena jednadžba (aw') ' - bw = ima na

(1)

(3)

(4)

O

(5)

Wl(X) = Xa(1+C1X+.. .) W2(X) = x-O:(1+dlx+...). Ako je 2a cijelo, jednadžba (5) ima na (O , l) rješenje (6) i rješenje oblika

,

(6) (7)

(8) W2(X) = cowl (x) ln x+x-a(do +d1x+...) , do i- O. Ako je s(O) = O , tj. a O , lako se dobiva (pomoću (Dodatak 1.2.13)) da je Co i- O . Prema tome, u okolini točke x = O jedno rješenje je ograničeno (regularno) a drugo neograničeno (singularno). Isti zaključak vrijedi i za nehomogenu jednadžbu (1.28).

=

Rubni uvjet sastoji se u zahtjevu regularnosti (ograničenosti) rješenja, a govorimo o singularnom rubnom problemu. Na regularnom kraju zadaje se obični rubni uvjet. Ako je npr. kraj x l regularan, rješenje rubnog problema pripada klasi C(2)((0, m . Primjer 4.1. Razmotrimo slučaj b = O . Neka je kraj x = O singularan, a kraj x l regularan. Tada je a (x) = xr(x) , r(O) i- O , r(z) i- o. Neka je u rješenje

=

=

problema. Iz (2.20) slijedi

1 Cl - r Jr [/(� 1/) d1/+ r ' x (x) o x (x) � d� u(x) = x�r(�) J /(1/) d1/ - Cl x�rd � +C2, o ( )

u '(x)

=

11

11

(9) (10)

23

1.4. SINGULARNI RUBNI PROBLEM

gdje su Cl i e2 konstante. Prvi član na desnoj strani je ograničen:

. ' max lf(x) l · l. Ijx l � rds� loS f (fj) dfj I xE[O,� mm r(x) xE[O,� �

f: (f:)

Funkcija

x

je neograničena:

f-'-+

Jx I -s r( s ) ds

1

ds I Jx sr( s)

JI -

(11)

(12)

(lnl - Inx) , (13) max r(x) x S - max r(x) xE[O,� xE[O,� pa je nužno e = O . Ako je u rubnom uvjetu na desnom kraju 6 > O , dobivamo l

u(x) =

1

>-

ds

7'

1

ix l a(dss) JroS f (fj) dfj + 6a(l) Jto f (fj) dfj . y

(14)

Ako je 6 = O (tj. rubni uvjet na desnom kraju Neumannov), dobivamo nužni uvjet t (15) f (x) dx= O, Jo a rješenje je određeno do na aditivnu konstantu: (16)

Ako je i desni kraj singularan, onda je a(x) = x( l - x)p(x) , p(O) =I O , p( l) =I O . Kao i prije, imamo X (17) U' (x) = - x(l - )p(x) f ( fj ) dfj + x(l )p(x) gdje je Cl konstanta. Stavljajući .

l

�

;

= � (� + l � x) , � I X x l f (fj) dfj = 1 f ( fj) dfj + i f (fj) dfj,

,

x(l x)

zapišimo (17) ovako:

1 1 ( )d u'(x) = -lxp(x) r Jo f fj fj l(l - x)p(x) _

1

II

e1

(18) (19)

iXf( fj) dfj l

l(l - x)p(x) o f ( fj ) dfj + x(l - x)p(x)

•

(20)

1.

24

Iz toga slijedi, za Xo

lxO u(x) xxo ll + x =

1

l

l

E

fi

OBJtNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

ji

llxO x lX Xn

(O, l) , ds 1 ( )d + (l s )p( s ) I f (rJ) drJ spe s ) Jo f rJ rJ l ds 1 t ( )d +C f rJ rJ t s(/ - s )p(s ) + C2 , (1 - s )p( s ) Jo

(2 1 )

gdje je C2 konstanta. Lako se pokazuje da su prva dva člana na desnoj strani ogra ničene funkcije. Treći i četvrti član su neograničeni, osim u slučaju kad je Cl = O

11f (x) O. Rješenje je određeno do na aditivnu konstantu: i i xO x ll ll f n ds j ( )d + u(x) spes ) Jo f rJ rJ x (1- s)p(s) f (rJ) drJ + C2• dx =

=

l

1

l

x

TeOl'em 4.1. Ako je

l

(22)

(23)

b ::j: O, singularni rubni problem ima najviše jedno rješenje.

Dokaz. Neka je npr. kraj x = l regularan. Neka su ul i U2 rješenja. Funkcija w = ul - U2 zadovoljava jednadžbu (aw')' - bw = O (24)

na (0, 1). rubni uvjet

yw' (I ) + 6w(l) = O i regularna je u x = O . Množeći (24) s w te integracijom po (x, 1). x dobivamo' 1 (aw'w)(l) - (aw'w)(x) - (aw' 2 + bw2 ) d s = O.

1

Funkcija w je oblika (6), a iz toga slijedi

xw' (x)

�

O, x

Uzimajući u obzir (1), iz (26) i (27) dobivamo

11(a� 2 + bw2)

�

O.

dx - a(/)w'(I )w(l)

(25)

E

(O, l) , (26) (27)

=

O.

(28)

w = O , tj. Ul = u2. O.E.D. Za singularni rubni problem definira se Greenova funkcija i dokazuje formula (3.69) na isti način kao u regularnom slučaju. Iz toga (kao i u regularnom slučaju) slijedi

2.

Laplaceova jednadžba

e Rr (ji A-4eA Riftakvasu homeomorfni , ako postoji neprekidna bijekcija da je preslikavanje h -I: A -4 (j također ne prekidno; preslikavanje h je tada homeomorfizam skupova (j i A . Skup S e Rn (n 2) je r-di menzi onalna mnogostrukost il iploha u Rif (1 � r � n) , ako za svako S postoji okolina V e Rn takva da je skup A = V n S homeomorfan nekom području (otvorenom povezanom skupu) (j e Rr ; ako je h (j -4 A odgovarajući homeomorfizam, onda se par (tJ, h) zove karta 1 , lokalna parametrizacija ili lokalni h

=

Skupovi (j

(hl , h2 , . . . , hn):

�

x E

:

koordinatni sustav na mnogostrukosti S . Familija karti atlas mnogostrukosti S , ako je

PI

=

{( tJa , ha )

: a E

I} je (1)

aEl

Mnogostrukost dimenzije r = 1 odn. r = n 1 zove se krivulja odn. hiperploha. Iz definicije neposredno slijedi da je n -dimenzionalna mnogostrukost u otvoren skup (i obratno). Iz formalnih razloga skup izoliranih točaka bez gomilišta smatramo O -dimenzionalnom rnnogostrukošću. Otvoren skup na mnogostrukosti S je n S , gdje je otvoren skup u Pomoću otvorenih skupova na običan način (tj. kao u ) definiramo gomilište i zatvarač skupa na S , zatvoren skup na S te unutrašnjost, vanjšti nu i granicu skupa na S . Mnogostrukost S (dimenzije r > O ) u je glatka ili diferencijabi lna, ako ima atlas PI koji se sastoji od glatkih karti, tj. parametrizacija (tJ, h) sa ovim svojstvima: (i ) h je glatko, tj. h E C(1) (tJ), (ii ) za svako q = (ql, q2, ... , qr) E (j matrica -

Rif V

1 Nekad ćemo skup A

Rif

V

Rif.

Rn

' = (8��)) i=1,2,...,n;j=1,2, .

h (q )

. .

,r

(2)

ili preslikavanje h nazivati karto� (oko točke x).

25

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA ima (puni) rang r . Ako je h E e(k)(U) za svako (U,h) E id, kažemo da je S klase

e(k) (S E e(k»).

Najjednostavniji primjer glatke mnogostrukosti je otvoren skup u Rn . Odgovara· juća parametrizacija je npr. h(x) = X; ta mnogostrukost je klase e(oo) Neka je U e Rr područje, 1 � r < n i q>j E e(l)(U), j = 1 , 2, . . . , n - r . Neka je skup A e Rl! definiran jednadžbama •

x" = !Pk_r(XI,X2,... ,xr), k = r + 1 , r + 2, . .. , n,

tj. A

(3)

= {x E Rl! : XI< = !Pk _r(Xt,X2, ... ,xr), (XI,X2,... ,Xr) E U, k r + 1 , r + 2 ... ,n }.

,

(4)

Lako se pokazuje da je A glatka r ·dimenzionalna mnogostrukost; njena glatka para· metrizacija je h(Xt,X2,... ,Xr) = (XI,X2,." ,Xr,fPl(Xt.X2,... ,Xr),.. . (S)

... , q>n-r(Xt ,X2,... ,Xr))' Dokazat ćemo da je svaka gl�tka r ..J.imenzionalna mnogostrukost S lokalno dana jednadžbama oblika (3). Neka je X(O) E S , (U,h) karta oko X(O) i q(O) = h-1{x(O»). Iz uvjeta ( ii) slijedi da je bar jedan od minora reda r matrice (2) različit od nule, npr. h;(q(O») det (8 =F O. (6) 8q j' .. IJ= 1. 2.... " Prema Teoremu o inverznoj funkciji postoje okoline U e U i Ul e Rr točke q(O) odn. točke (x\O),x�O), ,X�O») za koje je preslikavanje (hl,h2, ... ,hr) di/eomorfizam, tj. bijekcija i g = (h l,h2,... ,hr)-I E (C( l)(U1),. Neka je (7) CPic = hr+1c g, k = 1, 2, . , n - r. Očigledno je !Pk E e( l)(Ul) Sad se lako pokazuje da je preslikavanje Ul 3 (XI,X2,... ,Xr) - (Xl,X2,... ,X,,!Pl(Xl,X2,... ,Xr), ... (S) ... CPn-r(X l,X2,... ,xr)) glatka parametrizacija skupa A = h{ U) . Specijalno, glatka ( n - 1) -dimenziona1na mnogostrukost (hiperploha ) dana je lokalno jednadžbom oblika

)

.

•

.

.

..

O

Neka je uz gornje oznake funkcija g : UJ X Rn-r - U definirana formulom

(9)

(10)

To preslikavanje je glatko; osim toga za q E U imamo g(h(q)) = g (hl(q), h2 (q), ... ,hr(q)) = q, tj. goh id 2 na U . Neka je pored karte (U,h) zadana (oko iste točke X(O) ) i glatka karta (O, h) i neka je skup fl definiran analogno skupu U . Neka je

cl) =

2

i d j e oznaka za identično preslikavanje.

h- loh fl :

_

U.

(11)

27

2. .1 INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI za tjE fl imamo

Budući su funkcije g i h glatke, to je i funkciju /

(12)

glatko. Analogno vrijedi i za inverznu .

<1>- 1 = h-lo h : U -+ fl.

Prema tome, preslikavanje ( 1 3) je difeomorfizam skupova fl i U 3:

( 1 3)

<1>- 1 E C( 1)(U). ( 14) n O ) Neka skup SeR ima ovo svojstvo: za svako x( E S postoje okolina VeRn i funkcije Ji E C(1) (V) \ i = 1, 2, . . . , n - r ( 1 � r < n ) takve da je rang matrice E c(1)(fl),

( 8J�::0)))

jednak n -r i da je

(15)

j=I,2 ,n-r; j=I,2.... ,n •...

vns= {XE V:Ji (X) = 0, i = 1, 2, . . . , n -r} .

Bar jedan minor matrice (1 5) reda n -r različit je od nule, npr. det

(

)

8Jj(X(0) ) . #O. 8xj i=I,2 ....,n-r; j=1.2.... ,n-r

(16) (17)

Pomoću Teorema o implicitnojfunkciji zaključujemo da postoji okolina (jeRr točke . ' dInstvene ' (xl(O)'X2(O), ... , Xr(O)) 10kOl 'ma (j ' e Rn-r tocvke (Xr(O+)I'X(rO+)2' ... , Xn(O) ) , te Je funkcije ({Jj: (j (j ' , ({JjE C(1)( (j) , j = 1, 2 , . . . , n -r , takve da je -+

_ x(kO) -({Jk-r (xI(O), x2(O), ... , Xr(O) ) , k -r +l , r +2 , . . . , n i za svako (XI, X2, '" , xr ) E (j , Ji (XI , X2, ..., X,, ({J l (XI, X2, ... , Xr), ... , ({Jn-r (XI, X2, ... , Xr )) = 0, i = 1 , 2, . . . , n -r. Dakle, ako je V dovoljno malo, skup S n V je zadan jednadžbama Xk = ({Jn-k (XI, X2, ... , Xr ) , (XI, X2, ... , xr ) E (j , k = r +1, r +2, . . . , n. Drugim riječima, skup S je glatka mnogostrukost; kažemo da je ona lokalno

jednadžbama

i = 1 , 2, . . . , n - r.

(18 )

(19) (20)

dana

(21 ) Vrijedi i obrat te činjenice, jer se npr. jednadžbe (3) mogu napisati u obliku (21 ) . Specijalno, skup S E Rn je glat ka hiperploha, ako i samo ako za svako x(O) E S postoje okolina VeRn i funkcija JE C(!) (V), tako da vrijedi 4 Ji(X) = 0,

(

)

8J(X(0) ) 8J(x(0) ) 8J(X(0) ) gradJ(x(O)) _ #0, , ... , ' 8Xl 8X2 vns = {XE V:J(x) = O}.

3

4

8Xn

U teoriji apstraktnih glatkih mnogostrukosti to svojstvo se postulira. Funkcija gradI(x) =

(�. �

•. . .•

�) zove

se

gradijent realne funkcije I .

28

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Kao primjer glatke hiperplohe razmotrimo sferu u ishodištu; to je skup

S" = Polusfera

Rl!

radiusa

{xE Rl! : xi + � + . . . + X; = l}.

1,

s centrom u

(22) (23)

(i = 1 , 2, . . . , n)

zadana je kartom

±(1 - xi - � - . .. Xi2- l Xi2+ l xi + . . . + xL + x7+t + . . . + X; < 1 .

Xi

=

_

_

..

.

_

2 /2

xn ) 1 ,

(24)

x

Budući da svaka točka E S" pripada bar jednoj polusferi (23), skup karti (24) je atlas sfere S" . S druge strane, već samo dvije karte, npr. st". i S; pokrivaju "gotovo ". cijelu" sferu S,, : ostaje nepokriven "zanemariv skup"

{ xE S" : xi + � + ... + X;-I = 1,

XI!

=

O} .

(25)

Taj skup j e (n - 2 ) -dimenzionalna mnogostrukost. U tom smislu sfera s e može po,: kriti čak s jednom kartom. Radi jednostavnosti razmotrimo slučaj n = 3 . Neka je (tt,cp) E n) x (0, Z1r ) i

(O,

h( tt,cp) =

(sin {tcas cp,sin tt sin cp, cos tt).

(26)

To preslikavanje je parametrizacija sfere S3 bez zanemarivog skupa - polumeridijana � tt � n, cp = (sl. 2.1 ) . Na taj način sfera S3 je do na zanemariv skup po krivena jednom kartom. U daljnjem pod zanemarivim skupom na r -dimenzionalnoj (r > mnogostrukosti S podrazumijevamo skup K e S koji je zatvarač (preciz nije S -zatvarač) mnogostrukosti dimenzije manje od r . Općenitije, skup K e S je

O

O

O)

zanemariv na S ako je njegov presjek s proizvoljnim kompaktom u Rl! konačna unija skupova od kojih je svaki S -zatvarač mnogostrukosti dimenzije manje od r .

Sl. 2.1.

O), .

Neka je S glatka r -dimenzionalna mnogostrukost (r > (tJ, h ) glatka karta oko točke X E S i q = h - 1 ( ) . za svako i = 1 , 2 , . . ,r postoji interval Ii E R takav da za ; E lj vrijedi ( Qt,Q2 " .. ,qi-l , ;,qi+ l ,...,q,) E (j, Funkcija; -+ h(ql,Q2,'" , Qi-h;,Qi+ l , .. . ,qr) , ; E h .je glatka krivulja, a zove se

x

29

2.1. INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI

qi -koordinatna linija ktoz točku x. Vektor ah(q) /aqi je tangencijalni vektor qi koordinatne linije u točki x. Prema uvjetu (ii) vektori ah( q) . ( 27 ) uJ;l q; ' l = 1 , 2, . . . , r su linearno neovisni; oni razapinju r -dimenzionalni podprostor TxS u RII, koji se zove tangen cijalni prostor mnogostrukosti S u točki x (sl. 2. 2). --

Sl. 2.2.

Pomoću svojstva ( 1 4) lako se pokazuje da tangen cijalni prostor ne ovisi o para Gramova matrica vektora5 ( 27 ) je h (q) . ah (q» . G(q) = aaq; ( 28) aqJ' ..IJ=I ,2,...,' Primijetimo da je 6

(

metrizaciji.

)

( 29 )

Pokazuje se da je

detG > O.

(30)

U slučaju hiperplohe vrijedi

2

ah } II

detG= L ;=1

ahI aqn_1 Vektori ( 27 ) određuju u prostoru TxS

{ � Ai ah(q) uq, L..J

-J;l .-

:

ah�_1 ohiH 0%-1

6

O�

Aj � 1, . = 1 , 2, . .. , r } . }

a. b označava skalarni produkt vektora a, b E Kn, a· b L:::aib;. T

=

označava transpoziciju matrice.

(31)

(kao bridovi) paralelotop

;=1 Volumen tog paralelotopa je broj D(q) = (detG(q»1/2. 5

ahil aqn-l

n

1=1

(3 2)

(33)

30

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Volumen paralelotopa kojeg (kao bridovi) određuju vektori . -8h(q) -(34 ) 8qi dqi , = 1,2,... , r zove se element r -dimenzionalne površine mnogostrukosti S i označava s dS: dS = D(q) dq = D(q) dql dq2 . .. dqr. (35) Neka je funkcija J : S - R neprekidna i ograničena. Ako je mnogostrukost S pokrivena jednom kartom h) , pri čemu je skup Rr ograničen, a funkcije h i 8h/ 8qj, j = 1,2, . . . , r ograničene na integral funkcije J po mnogostrukosti S definira se formulom (36) lt dS = L(J o h) (q)D(q) dq. l

((j,

(j,

(j e

((j,

Pokažimo da (36) ne ovisi o parametrizaciji. Neka je pored h) dana i (glatka) parametrizacija (U,h) i neka je «1> = h-lo h. Tada je h = ho «1>, pa lako dobivamo h' = (h'o «1»«1>'. (37 ) Zbog (29) imamo DCii) = ( det((h'(q)fh'(q)) ) 1/2 12 (38) = (det((h'o «1>f(q)(h' o «1»(q)) ) / .I det «1>'(q) 1 = (Do «1»(q) I det«1>'(q) 1 pa pomoću Teorema o zamjeni varijabli dobivamo h(J o h) (q) D(q) dq = h(J o ho «1»(q) (Do «1»(q) I det4>'(q)I dq '

(39 )

L(J o h) (q) D(q) dq. U općem slučaju integral definiramo pomoću dekompozicije jedinice. U daljnje� radi jednostavnosti pretpostavljamo da mnogostrukost S ima konačan atlas {( hi ) : i = 1,2, . . . , k} , pri čemu su skupovi Rl! ograničeni, a funkcije hi i 8hi/ 8qj, j = 1,2, . .. , r ograničene na Pokazuje se7 da postoje neprekidne funkcije ai : S - R, O � ai � 1, i = 1,2, . .. , k , takve da je nosač8 funkcije ai sadržan u S i = hi((ji ) i da je =

(ji.

k

L i =1

Uzimajući u obzir da je J(x) = 7

8

ai (X)

k

L j=!

(ji,

(ji e

=1

za svako x E S.

aj (x)J (x)

za svako x E S,

V. npr. L. Schwartz, Analyse MOIthematique l, Hermann, Paris, 1967. Nosač funkcije na S je S -zatvarač skupa na kome je ta funkcija različita od nule.

(40)

(4 1)

31

2.1. INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI

integral defini ramo formulom

r f dS = L l ai dS. ls ;:1 ls. k

(42)

Pokazuje se da (42) ne ovisi o atlasu i dekompoziciji. Ako je K e s zanemari v skup,

očigledno je

rf dS = r f dS. (43) ls lS\K Definicija (42) ostaje valjana za ograničenufunkciju f kojaje neprekidna svuda osim na zanemarivom skupu. Integral (42) ima obična svojstva integrala po otvorenom skupu u Rn. Specijalno,

ako je S unija (do na zanemariv skup) disjunktnih mnogostrukosti S1, Sz, ..., Sp onda je •

(44)

Integral (45) je r -dimenzionaina površi na mnogostrukosti S. Iz definicije neposredno slijedi da je r (46) S I l f dSl � sup s lfl·I I· s Ako je r = n, (35) je element volumena dV = dxl dx2 ... dxn u Rn; broj (45) je tada volumen otvorenog skupa S e Rn i jednak je integralu

1 dV 1

dxl dx2 ... dxn·

(47)

Ako je r = 1, (35) je element duljine kri vulje S i označava se obično s ds ; (45) je tada duljina kri vulje S. Ako je x h(q) , q E ( a, b) parametrizacija te krivulje, onda je ds lb I h'(q) 1 dq. (48) I SI

1

Ako je r = n - l , (45) je površina hfperplohe S. Neka je glatka karta te hiperplohe dana jednadžbom (49)

Radi se o parametrizaciji hi(X1,X2, ... ,Xn-l) hn(xJ,xz, ... ,xn-d

1, 2, ... , n -1 ; X i, cp(X"Xz, ... ,xn-d,

(50)

32

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

pa imamo 1

O 1

O O

O

O

1

O h'

==

8fP 8fP

8xI 8X2

(5 1 )

8fP 8Xn_1

te matrice su (do na permutaciju dvaju redaka) trokutaste; Submatrice reda pomoću Binet-Cauchyjevog teorema dobivamo (uzimajući u obzir (29»

n-l

Koordinatni sustav svako q E 17:

(52 ) (17, h)

je ortogonaian, ako su vektori (27) orotogonalni za (53)

Tada je (54)

gdje je9

1

8h ( ) H; (q) = 8q.

�

I

==

(t ( It=t

8hlt(:) 8q.

))

2 1/2

Površina sfere. Izračunat ćemo površinu sfere S {x E Rn:xi +� + . ..� =R2} . Sfemi koordinatni sustav na R n \ {O} definiran je formulama lO XI h d8t , ... , 8n_., r) rsin 8n_1 sin 8n-2 sin €h sin 81, X2 h2(8t, ... , 8n-h r) rsin 8n-1 sin 8n-2 sin €h cos 8t, sin 8.J cos €h, X3 = h3(8., ... , 8n-1, r) rsin8n-1

(55 )

Primjer 1.1.

==

==

. • .

==

==

• • •

==

(56 )

. • •

(5 7 )

Xn-I = hn-t(8t, ... , 8n-hr) == rsin8n_t cos8n-2 , Xn = h" (8t, , 8n-1, r) == r COS 8n_t, r E (O, oo) , 81 E (0,2.n), €h, 8.J, .. . , 8n_1E (O, n) . • • •

X2

9 lal označava normu vektora a E Rn, lal = (a. a)I/2. 10 II slučaju = 3 koristimo oznake tp = � - 81 , n

=r sin il sin tp, Xl =rcos il.

(}

= 8:z, pa imamo XI = r sin ilcos tp ,

33

2.1. INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI

Za fiksirano r= R to preslikavanje je pararnetrizacija sfere.(56). Naime, iz (57) lako dobivamo formule xi+�+···+X; R2 cos OI= x2 (xi+�) -1/2, sin O}= X}(xi+�) -1/2 , (58) cos lh= x3(xi+�+�) -1/2,

,

cos On_I= xn(xi +�+.. . +X;)-1/2. Iz toga zaključujemo da je nepokriven skup {xE S : XI = O, X2 � O}, (59) koji je zanemariv. Submatrice reda n 1 matrice (h(.. ,R»' su (do na permutaciju dvaju redaka) trokutaste; pomoću Binet-Cauchyjevog teorema dobivamo det«h'(OI,. '" On_I,R»Th'(OI,"" On_I,R» (60) . n-2 Un-l smn-3 Un-2 .. .SIn n_ 2 = (Rn-l sm Vl ) , pa imamo dS -�- l dSn, (61) gdje je (62) dSn = sinn-2 0,,-1 sin,,-3 On-2 .. . sin lh dO,,_1 ... dlhdOI element površine jedinične sfere (22). Površina sfere (56) je (63) I SI = Rn-I ISnl, gdje je oO' r (.1< dSn IS" I = S. dS= Jr Jo Jo o (64) n-2 [:rc n-2 2 / r sinkO dO . = 2n II sink O dO = 2n II 2

-

Ll

J

•

Ll

)

( Jo

Jo

Vrijedi formula

•

k+1 ' r 1< 2 ) ( / 1 smk e de -_ ..fi -2- . 2 k +2 ' o r( •

-2-)

gdje je r oznaka za gama-funkciju, definiranu za t > O formulom II e-A At-IdA. ret) = Tako dobivamo

100

(65)

(66) (67)

II V. npr. H. Kraljević, S. Kurepa, Matematička analiza 4/1, Tehnička knjiga, Zagreb, 1986. Gama-funkcija je generalizacija faktorijela: vrijedi r(t + 1) tr(t) i za k E N, r(k + 1) k!. =

=

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

34

Primjer 1.2.

Volumen kugle. Izračunat ćemo volumen kugle K = {x E R" : xi + � + . . . + x� < R2} .

(68)

Preslikavanje (57) je (do na zanemariv skup {O} )parametrizacija kugle (68) . Imamo

IKI = gdje je

i dV = lJ{ . . 1J{ 12Jt iR D(Ot,...,On-hr)dr dO\ ...dOn_h .

D(Ot, ... , On-l,r) = I dethl(OI,...,O,,-hr) I ·

(69)

(70)

Pomoću pravila za deriviranje determinante 12 lako provjeravamo da deth' (01, . ., On-l, r) ne ovisi o 01, pa možemo odmah staviti OI = O , što olakšava računanje. Dobivamo n-3 II II II · n-2 U,, II D(llUJ,"" Un-h (71 ) r) = rJI- l sm -l sm Un-2 ... sm U2, pa imamo .

•

IKI

[2Jt t Jo JI) JI) Jo = [R Jo J[s. dS, = r... r

•

,n-l sinn-2 On-l sinn-3 On- ... sin (h dr dOl ... dOn-l 2

,n-l dr

(72)

ili

IKI =

�n RnlSnl·

(73)

Primjedba 1.1. Kažemo da je r -dimenzionalna mnogostrukost povezana, ako nije unija dviju disjunktnih r -dimenzionalnih mnogostrukosti. Ako nije povezana, ona je (uz naše pretpostavke) Iwnačno povezana, tj. unija konačnog broja disjunkt nih povezanih r-dimenzionalnih mnogostrukosti (lwmponenta povezanosti). Realna funkcija je po dijelovima neprekidna na mnogostrulwsti S , ako je neprekidna svuda osim na nekom zanemarivom skupu K, na kome ima (konačan) limes po svakoj kom ponenti povezanosti skupa S \ K. Neprekidna funkcija na e RF je po dijelovima glatka (po dijelovima klase C( l » ), ako su joj derivacije po dijelovima neprekidne na Mnogostrulwst S je po dijelovima glatka, ako ima atlas ul sa ovim svojstvima:

(j

(j.

a) za svako h) E ul funkcija h je po dijelovima glatka (po dijelovima klase C( l » ) i u točkama neprekidnosi h' ima puni rang;

((j,

b) u točkama prekida limes matrice h' po proizvoljnoj komponenti povezanosti (na kojoj je hl neprekidno)ima puni rang.

Definicija integrala (42) ostaje nepromijenjena i uz pretpostavku da je mnogos tru/wst S po dijelovima glatka. 12 Derivacija determinante jednaka je sumi determinanti koje se jz originalne dobivaju deriviranjem po jednog stupc
2.2. TEOREM o DIVERGENClJl

35

Pretpostavimo daje prostor Rl! (n;;:: 2) orijentiran uređenom kanonskom bazom el = (1,0, . . . , 0), e2 = ( 0, 1, 0 .. . , 0) , en = (O, O, ... , O, l). (1) Kažemo da je glatka r -dimenzionalna mnogostrukost S u Rn orijentirana, ako je za svako x E S tangencijalni prostor Txs orijentiran. Od svih mogućih orijentacija od značaja su tzv. neprekidne orijentacije, definirane pomoću parametrizacija. Kažemo da glatka karta (tJ, h) oko točke x E S inducira na TxS orijentaciju koju određuje uređena baza 8h(q) 8h(q) 8h(q) ( 2) . . 8ql ' 8q2 ' 8qr ' ,

. ' "

.

,

gdje je q = h-I (x) Sve glatke parametrizacije induciraju na TxS dvije orijentacije. Ako je (]) = h-t h, iz (1.37) zaključujemo da parametrizacije h i h induciraju istu orijentaciju, alro i samo alro je det(])I(q) > O. Budući su funkcije ( 2) neprekidne na tJ, kažemo da parametrizacija h inducira neprekidnu orijentaciju. Mnogostrukost S je orijentabilna, ako postoji atlas Rl glatkih karti, takav da svaki par karti iz Rl oko točke x E S inducira istu orijentaciju na Txs; govoreći o orijentiranoj mnogos trukosti S podrazumijevamo da se radi o orijentaciji induciranoj atlasom Rl. Ako je mnogostrukost pokrivenajednom kartom, ona je orijentabilna. Primjer neorijentabilne hiperplohe u R3 je poznati M6biusov list (sl. 2 3) . Neka je S hiperploha (krivulja ako je n = 2). Tangencijalni prostor Tx S u točki x E S je (n - 1) -dimenzionalan, pa je njegov ortogonalni komplement u Rl! l-dimenzionalan podprostor. Ako je h parametrizacija oko točke x i q = h-I (x), taj podprostor je određen vektorom t3 o

.

.

el

N (q) =

e2

8ht(q) 8h2(q) ---8ql 8q]

(3)

8h�(q) 8qn-l 8qn:"t 8qn-l Prema (1.31) i (1.33) zaključujemo da je (4) [N(q) I = D(q) . Vektor v(x) = ( N o h-1)(x) (5) I( N o h-1)(x) 1 je jedinična normala hiperplohe S u točki x . Ako je S orijentirano, parametrizacije h i h određuju isti vektor (5), ako i samo ako je h,h E Rl . Zato se neprekidna funkcija x -+ v(x) može identificirati s orijentacijom hiperplohe. 13

Podrazumijeva se razvoj "determinante"

po

elementima 1. retka.

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

36

Sl. 2.3.

Ako je hiperploha S kompaktna (tj. u RIJ zatvorena i ograničena) i povezana, ona separira prostor Rn. To znači da je skup R"\S unija dvaju disjunktnih područja,

od kojih je jedno ograničeno, a drugo neograničeno 14; ograničena komponenta je unutrašnjost hiperplohe S, lotS. Birajući oko svake točke x E S parametrizaciju tako da za A > O točka x + AV(X) pripada npr. neograničenoj komponenti povezanosti skupa Rn\s, dobivamo atlas koji inducira orijentaciju hiperplohe S. Prema tome, kompaktna povezana (glatka) hiperploha S je orijentabi1na. Ako nije povezana, ona je unija konačnog broja kompaktnih komponenata povezanosti. Budući je svaka kom ponenta orijentabilna, to je i S orijentabilno. U daljnjem ćemo pretpostavljati da je područje g e R" ograničeno i da mu je granica r glatka hiperploha (tada kažemo da je g klase C(1». Ta hiperploha je, očigledno, kompaktna; pretpostavljat ćemo da je orijentirana vanjskomjediničnom normalom v (sl. 2.4). za područje g i funkciju f E C(ll(g) vrijedi ova fundamentalna Gaussova formula:

[ f

�

JQ VXi

dV=

Jr[f

v/

dS

, i=

1,2, . . . , n.

(6)

v

Sl. 2.4.

Ovdje ćemo dokazati formulu (6) za jednu relativno jednostavnu klasu područja. Pretpostavimo da se g može prikazati u obliku (7) g = {x E R" : Cp-(.x') < XII < CP+(x'),x' E gli}, -I gdje je x' = (XJ,X2' ... ,Xn-I), gli e R" područje i cp::\:: E C(ll(gn)' Neka je

h::\:: (.x') = (x, cp:i:(x'» .

Tada je

+( t) f � dV= [ ( [ :J; � dxn) dV' = [ if JQ• J.:p- (x') vXn JQ vXn JQ. [ f

.

(8 )

o

h+ - f h_ )(x') dV', o

14 V. npr. M. W. Hirsch, Differeniiai Topology, Springer-Verlag, New York,1976.

(9)

2.2. TEOREM o DIVERGENCIJI

gdje je dV'

37

= dxl , dxz, ..., dxn-1

•

Sdruge strane, prema ( 1.35) i (4) vrijedi

flQ. (Joh+ - foh_)(x') dV' = lr+f INo1h+ l f dS lrf- INo1 -

l

-

I

f dS,

(10)

gdje je r± hiperploha definirana jednadžbom Xn Vanjska normala

v

određena je uvjetom Vn � O . Iz

na

I (Noh;!)nl = 1

pa imamo Vn

=±

(11)

= cI>±(x'). (3) i (8) dobivamo

na r ± ,

1 INoh;!1

( 12) ( 13)

na r±.

Ako r \( r+ U r -) nije zanemariv skup n a r, onda j e n a tom skupu Vn Iz (9), (10) i ( 13) slijedi

=O

(sl. 2.5).

Sl. 2.5.

( 14) Ana10gan je dokaz za integral derivacije Primjedba 2.1.

rk (

uz

odgovarajuću pretpostavku (7)).

Formula (6) ostaje valjana i uz pretpostavku da je hiperploha

r po dijelovima glatkil. Vanjska normala je tada definirana svuda osim na nekom

zanemarivom skupu i po dijelovima je neprekidna. Ako je a vektorsko polje 1 5 , onda se funkcija . d lv a

zove divergencija polja lS

a.

Polje je sinonim za funkciju.

aaj L...J =� a i

i",l X Iz Gaussove formule neposredno slijede ovi teoremi.

( 15)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

38 Teorem 2.2. (o divergenciji) Ako je a

E

(C(Jl ( a) Y' onda je

10 a V j div d =

Teorem2.3. (o gradijentu) Ako je

10

f

E

a· vdS.

( 16)

COl( a) , onda je 16

gradfdV =

j f dS

V .

(17)

Pomoću formule ( 16) izračunat ćemo divergenciju vektorskog polja u općim or togona nim i koordinatama.

f {Vb S 6 +O} familija okolina to čke XO na S, sa svojstvom lim b_O d(Vb) = O. Teorem 2.4. (o lokalizaciji) Neka je funkcija

mnogostrukosti S i neka je

e

:

:

S

-+

R neprekidna na g latkoj

-+

17

( 1 8)

Tada je

( 19) Dokaz. Integracijom jednakosti

f(xO) =f(x)+f(xO) - f(x) po Vb dobivamo JV/jlf(xO) =l/(X) dS+ 1. (t (XO) -f(x)) dS.

(20) (21)

Iz toga slijedi

(22) V(xO) - '�b,l. f(x) dvl � '�/j,l.lf(XO) -f(x)1 dS. Neka je e > O i > O takvo da 6 < povlači lf(xO) - f(x) 1 < e za svako x V/j. Tada za 6 < imamo 60

60

60

E

(23)

n R XO t qO h- (xO).

Q.E.D. Neka je vektorska funkcija a neprekidno diferencijabilna u okolini točke (tj. ai E C(tl, i 1 ,2 , .'" n ), ( O', h) ortogonalan sustav na toj okolini i Neka je P{) kocka u o' s bridom > i s centrom u : P

6 O /j= (ql-Z6,qt+Z6) °

°

X ''' X

qO (oqn-z6,qn+26) °

E

(24)

16 Integral vektorske funkcije definiran je kao vektor kome su komponente (u kanonskoj bazi) integrali kom�nenata. 1 d(V) je dijametar skupa VeR", d(V) sup lx YI ==

x,rEV

2.2. TEOREM o DIVERGENCIJI

39

V6 = hep,, ) je okolina točke XO Prema ( 19) vrijedi 18: (div a o h)(qO) = (diva)(xO) = lim l vI" I iV6f div a(x)dV ili. zbog ( 16). f a . vdS. (diva o h)(qO) = lim l vI" I ifJV6 Skup

•

(25)

6-+0

(26)

6-+0

Uzimajući u obzir ( 1.54) dobivamo

(27) 1 V61 = iPAf (H1H2· · . Hil)(q)dq, lVb a ' v dS = t li=qr ( HlHz " . Hi- tH;+t . . . Hn (a o h)qJ (ql , q2 , ' ' ' ' q;- t . qf +%, q + h '" ,qn) (HlHz · "Hi-1Hi+1 . . ·Hn (a o h)qi ) (2 8) ( qt , qz, . . . , qi- ll qf - % , qi+h ' . . , qll » ) dql , ' . ,dqi_ l, dqi+ l, . . , dqll ' gdje je (a o h )q; komponenta vektora (a o h ) u smjeru vektora (29) eqi = H1i aahq; ' Iz (27) i (2 8) dobivamo I V" I = (H1H2 · · · Hn)(;đ ) · on , (30) n1 a aoh aql, (H1H2 , , ·Hi- 1 Hi+ I , , ·Hn( )qi)(;t) l8V6 a ' dS = L ;=1 2 ( (3 1 ) +: ; (HI H2 . . . H;- IHi+ l . . . Hn (a o h )q;)(;ć ») . o n , q gdje su ;Il , ;t i ;ć neke točke područja Pil . Uvrštavajući (30) i (31) u (26) i uzimajući u obzir da ;",;t,;ć kad o O, dobivamo formulu n diva oh = HH, 21' " H " f::: qi (H,H2 · "Hi- 1 (a oh)q,Hi+ I · · ·Hn) . (32) Neka je realna funkcija U neprekidno diferencijabilna u okolini točke x" Rn . Imamo (grad oh)qi (qO) = (grad uoh)(qO)·eqi(qO) = (grad uoh)(qO)' H; (1q<» ah(! ) . (33) ;

.

-+

II

ct

a

.

-+

a

E

a

u

0

Uzimajući u obzir da je

(grad u 18

o h)

.

ah aq;

a ,( oh =' ), aqi

Primijetimo da je aVli po dijelovima glatka hiperploha .

u

( 34)

40

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

dobivamo fonnulu (grad u o h)q; =

1

8

(u o h) . 8qi H., -

U daljnjem će igrati ulogu funkcija

Au = div grad u =

(35)

n 82

tt 8x; '

(36)

gdje smo pretpostavili da je funkcija u dva puta neprekidno diferencijabilna. Presli kavanje u � Au zove se Laplaceov operator. Uz gornje oznake pomoću (32) i (35) dobivamo fonnulu

Au o h =

1

II

Hl 2 · ..Hn

n

8 1 . 8 2: -. ( HrH2 ...Hi- 1Hi+ 1 .. .Hn -. (u o h)). 8 8 q, H. i= q,

l

(37)

I

Zadatak 2.1. Izračunajte grad u i Au u a) sfernim koordinatama, b) cilindričnim koordinatama u R3 .

Rješenje.

a) Sferne koordinate su r E (O, oo) , {j E (O, n), ep E (O, 2n) ,

= r cos f).

Xl = r sin {j cos ep, X2 = r sin {j sin ep, X3 Sustav je ortogonalan. Dobivamo

H2 = r H3 = r sin {j,

Hl = 1 ,

8u

Au =

.!.. r2

1 8u eft +

grad u = - er + - Q. r 8 'u 8r

8 8r

( u) + r2

8 8r

1

�

r2 sin {j 8 {j

(

1

----:-::
r S1fi u

Sin {j

(38)

(39)

8u

- eq; , 8ep

)

8u 1 82 u + 8 {j r2 sin2 {j 8ep2 '

(40)

(4 1 )

b) Cilindrične koordinate su {! E (0, 00), ep E (0, 2n), z E R , X l = {! COS ep,X2 = {! Sin ep, X3 = z.

(42)

Sustav je ortogonalan. Dobivamo

Hl

=

1, H2 = t! , H3 =

(43)

l,

1 8u 8u 8u grad u = - et! + - eq; + 8t! 8 8z ep t!

ez ,

(44)

1 8 8u 1 {Pu 82u )+ Au = - - ({! +8z2 • "2 8 t! t! 8 t! t! 8ep 2

(45)

1 82 u 8u 1 8u 1 8 8u grad u = - er + - - eq; I Au = - - (r - ) + 2" 8r r 8ep r 8r 8r r 8ep2 '

(46)

Specijalan slučaj su polarne varijable u R2 : Xl = r oos ep, X2 = r sin ep . Tada je

2.2. TEOREM o DIVERGENCIJI

41

( O, R) = {x Rn : lxi < R} . Inverzija na sferi X -+ x* = h(x) = IR2xl 2 x. (47) Dokažite da su preslikavanja h : Rn\{O} -+ Rn\{O}, h : KR\{O} -+ K;, h : K; -+ KR\{O} (4 8) difeomorfizmi. Kelvinova transformacija funkcije u je funkcija u* definirana formu lom u* (x* ) = -Ix*R-n-I n--22 U(X). (49) Izračunajte Au h. Rješenje. Iz (47) slijedi da je h- l = h, pa su preslikavanja (4 8) difeomorfizmi. Iniamo h(X ) = IxR2* 12 X*, (50) u* IxR*n-In-22 (u h). (51) Iz (50) dobivamo ah ah -_ R44 ()ih (52) ax; aXj* Ix* 1 pa je (Rn \{O} , h) ortogonalan sustav na Rn \{o} i Hi (X* ) = IxR2* 12 ' i = 1, 2, . . . , n. (53) Prema (37) imamo x* Zn n a ( R2(n-2) a (u h)(x* ) (Au h) (x * ) = I ZnI tt ax; Ix* 12(n-2) ax; R ) (54) x* I Zn n a ( 1 a ( Ix* I-n-2 u*(x* ) . I� = � ax; Ix* 12(n-2) ax; Rn 2 )) toga dobivamo IxR* l n+2 (Au h) (x * ) = n+ Au* (x * ) , (55 ) 2 gdje je � a2U*(X* ) *(X* ) = f;;( (56) a(x; )2 . E

Zadatak 2.2. Neka je KR = K

OKR je preslikavanje

o

*

==

o

o

o

Iz

o

uU A

42

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Ako je S orijentirana krivulja, njen tangencijalni prostor TxS je jednodimenzi onalan. Neka je rex) E TxS jedinični pozitivno orijentiran vektor. Integral 2. vrste vektorskog polja a = (a l , a2 , . . . , an) po krivulji S definira se formulom

r

ls

a . dx =

t lsr ;= 1

a; dx;

==

r a . r ds.

ls

(57)

Broj (57) ne ovisi o parametrizaciji (unutar klase koja definira orijentaciju). Ako je (-S) krivulja suprotne orijentacije, onda je

l

(-S)

a . dx =

- lsr a

. dx.

(58)

Ako je n = 2 , integral 2. vrste po orijentir�noj krivulji r = ao može se transformi rati u integral po području O . Neka parametrizacija q -+ h(q) krivulje r inducira vanjsku normalu v . Pomoću (3) i (5) dobivamo (stavljamo x = Xl , Y = X2 ) (59)

Sl.

(sl. 2.6). Imamo

2.6.

Ir ax dx + ay dy Ir (-ax y + ayvx) ds. v

==

(60)

Iz toga i (6) slijedi ovaj

( ax - aax )

Teorem 2.S. Ako je n = 2, za funkciju a E (C{1) (0))2 vrijedi Greenova formula

r

lr

ax dx + ay dy =

r aay

la

ay

dx dy.

(61)

43

2.3. KONTAKTNO POLJE

(j

Kontaktno polje na otvorenom skupu e Rn je neprekidna realna (odn. vek torska) funkcija (x, k) -+ q{x, k) , definirana na produktu x S , gdje S (kao n n i ranije) označava jediničnu sferu u Rn (skup svih jediničnih vektora k E Rn ). Ako je S orijentirana glatka hiperploha s jediničnom normalom v , onda je funkcija x -+ q(x, v{x» , x E S , gustoća kontaktnog polja na S , a broj (odn. vektor)

1

(j

(1)

q(x, v(x» dS

(j (j,

ukupno (rezultantno) kontaktno polje na S. Polje q je uravnoteženo na ako postoji 19 klase C( 1) takva da za svako područje D cc

neprekidna funkcija I na vrijedi

f

(j

JOD

q(x, v{x» dS +

f

JD

I (x) dV = O.

Tada je funkcija I gustoća volumnog (površinskog, ako je n = 2 ) polja na (odn. vektor)

11 (x) dV

(2)

(j, a broj (3)

je ukupno (rezultantno) volumno polje na D .

Lema 3.1. Nekil je funkcija fP neprekidna na glatkoj mnogostrukosti S u Rn i a neka baza okolina na S . Ako za svako V E a vrijedi

neka je

onda je fP = O (tj. fP(x) Dokaz. Neka je XO

=

1 fP dS = o,

(4)

O za svako x E S ).

E

S i neka je {Va E a : lJ -+ +O} (5) O familija okolina točke X sa svojstvom d(Va ) -+ O . Iz (4) i Teorema 2.4. slijedi fP{r ) = o . Lema 3.2. Gustoća volumnog polja je jedinstvena.

Dokaz. Neka su I i l gustoće volumnog polja , pridružene istom kontaktnom polju q . Tada pored (2) imamo

Iz (2) i (6) slijedi

JIJD

q(x, v(x» dS +

l l<x) dV = O.

1 (J (x) - lex»� dV = O.

Iz toga prema Lemi 3 . 1 zaključujemo da je l = I .

19 Dee {j znači da je D kompaktno sadržano u {j , tj. ograničeno i 15e {j .

(6) (7)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

44

Teorem 3.3. (Cauchy) Nekaje skalamo kontaktno polje q uravnoteženo na ot vorenom skupu lJ e Rn i neka je f odgovarajuća gustoća volumnog polja. Neka je vektorska funkcija a definirana formulom ai(x) = q(x, el ), x E lJ, i = 1 , 2, ... , n. ( 8) Tada za svako x E lJ i svako k E Sn vrijedi

div a(x) + f (x) = 0, q(x, k) = a(x) . k.

Dokaz.

Radi jednostavnosti razmotrit ćemo slučaj

slijedi da je

(9) ( 10) n

= 2 . Iz ( 8) neposredno (1 1)

q(x, el) = a(x) ej, i = 1 , 2. :

Neka je k E Sn i p pravac okomit na k, p n lJ =I 0 . Neka je V e p n lJ interval i D pravokutnik sa stranicama V, V + ok ( o > O), VJ i Vz (sl. 2.7). Prema pretpostavci imamo

p

SL 2. 7.

Sl. 2.B.

( q(x, (x» ds + ( f (x) d = O, v S laD lD ili

l(q(x + 6k, k) + q(x, - k» ds + 1 q(x, v(x» ds + 1 Vl

Uzimajući u toj jednakosti limes kad O

l(q(x, k)

V2

-+

q(x, v(x» ds +

O , dobivamo

(12)

. 1Df (x)dS = O(13)

+ q(x, -k» ) ds = O.

Zbog proizvoljnosti intervala V iz (14) i Leme 3.1 slijedi da za svako x zbog proizvoljnosti pravca p i za svako x E lJ , vrijedi q(x, -k) = -q(x, k). .

( 14) E

p n lJ , a (15)

45

2.3. KONTAKTNO POUE

Neka je P c c tt pravokutnik kome .su stranice paralelne vektorima el odn. (sl. 2.9). Prema pretpostavci imamo

Jap

[ q(x, v(x)) ds + [I(x) dS = O. Jp Iz (11) i (15) zaključujemo da za x E (JP vrijedi q(x, v(x)) = a(x) . v(x). Uzimajući to u obzir i primijenjujući Teorem o divergenciji, iz ( 16) dobivamo

€'2

(16) (17)

l(div a(x) + / (X» dS = O.

(1 8)

Zbog proizvoljnosti pravokutnika P iz (1 8) i Leme 3. 1 slijedi (9). Nekaje k E S2, k :j el , e2, i neka je jj pravac okomit na k . Neka je II e jj n tt interval i 'fi trokut kome je jedna stranica ll , stranice Vl i V2 okomite na el odn. e2 i kome je k vanjska nonnala na II (sl. 2.9). Prema pretpostavci imamo

Sl.

ili, zbog ( 1 1 ) i (15),

2

Jap

2. 9.

[_q(x, v(x» ds +

lj (x) dS = O

Jp

(19)

-

"f k a(X) ' ei ds

k q(x,k) ds + JJ (X) dS = O.

(20)

-

"f k a(X) . ei ds + k a(X) ' k ds + JJ (x) dS = O.

(21)

Integriranjem jednadžbe (9) po 'fi i primjenom Teorema o divergenciji dobivamo 2

Oduzimajući jednadžbe (20) i (21) imamo

k(q(x,

k) - a(x) . k) ds = O.

(22)

Zbog proizvoljnosti intervala II iz (22) i Leme 3.1 slijedi da za svako x E jj n tt , a zbog proizvoljnosti pravca jj i za svako x E tt , vrijedi (23) q(x, k) = a(x) . k.

46

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

Iz (11) i (23) slijedi (10) . Zadatak 3.1. Fonnulirajte i dokažite Cauchyjev teorem za vektorsko kontaktno polje q . Rješenje. Neka j e f gustoća volumnog polja i neka je matrična funkcija a defi� nirana fonnulom (24)

Tada je div a + f

q(x , k)

O,

(25)

= a(x)k,

(26)

gdje je vektorska funkcija div a definirana fonnulom

aa;j ( d1v. a) i = � L..t j=l

ax/-

. z = 1, 2, ... , n.

(27)

Dokaz slijedi neposredno iz jednadžbi

i Teorema 3.3.

ff)[) qi (X, v(x)) dS + Lf; (X) dV = o,

i = 1 , 2, ..., n

(28)

Neka područje Q e R2 predstavlja položaj tanke membrane, napete npr. kao na bubnju. Kontaktna sila u membrani (kao i u svakom kontinuumu) primjer je kon� taktnog polja. Označimo sa 1J1 (x, k) , x E Q , k E S2 gustoću kontaktne sile, tj. silu koja djeluje s pozitivne na negativnu stranu jediničnog luka u točki x , orijentiranog vektorom k . Ta sila je uzdužna (longitudunalna) , tj. paralelna je ravnini membrane. Ukupna kontaktna sila na dio D e Q je

laD

1J1(x, v(x)) ds,

(1)

gdje je v jedinični vektor v�jske normale na aD . Iz zakona ravnoteže za svaki dio

D e Q dobivamo Neka je

laD

1J1(x, v(x)) ds = O.

a = [aij]ij.. I ,2 , (l;J(x) = 1J1i(X, ej) .

Prema Teoremu 3.3 (v. Zadatak 3.1) iz (2) zaključujemo da u Q vrijedi div a O, k E S2. 1J1(x, k) = a(x)k,

(2) (3) (4) (5)

47

2.4. RAVNOTEŽA NAPETE MEMBRANE

Matrična funkcija a opisuje napetost membrane. za razliku od slučaja žice jednadžba 10ngitudina1ne ravnoteže (4) ne određuje napetost, ukoliko ne uključimo razmatranje longitudinalne deformacije. Da bi to izbjegli, pretpostavit ćemo da je membrana izotropno napeta, tj. da vrijedi aij(x) = a(x)oih i,j = 1 , 2, (6) a(x) > 0,

Iz (4) tada slijedi

x

E

O.

grad a (x) = 0,

tj .

a

const.

(7) (8)

(9)

Izotropnost je ekvivalentna pretpostavci ( 1 0) 1jJ(x, k) = ak; specijalno, za x E 80 imamo 1jJ(x, v(x» = av(x). (11) Prema tome, ako j e membrana izotropno napeta, kontaktna sila na rubu (kojom se realizira napetost) okomita je na rub i modul joj je konstanta (jednaka napetosti a ). Razmotrimo sada longitudinalno i izotropno napetu membranu, podvrgnutu dje lovanju poprečne (transverzalne) vanjske sile. Pretpostavit ćemo da je ta sila slaba, tj. mala u poređenju s napetosti. Pod utjecajem te sile membrana se slabo (malo) deformira. Točka x E O prijeđe deformacijom u točku P(x) = (x, u(x») E R3 , gdje je u(x) progib točke x . Progib je mali u smislu I grad u(x) I « 1 za svako x E O,

( 12)

iz čega (analogno kao kod žice) zaključujemo da je lu(x) I « diamO. (13) Zaključujemo također da mali progib ne uzrokuje istezanje membrane. Označimo s p(x, k) , x E O , k e Sz , kontaktnu silu u deformiranoj membrani, a s q(x, k) njenu poprečnu komponentu (poprečnu kontaktnu silu). Neka je cp gustoća vanjske poprečne površinske sile koja djeluje na membranu. Iz zakona ravnoteže za svaki dio D e O dobivamo Neka je

J8D

q(x, v(x»

ds +

10 q>(x) dS = O.

a = [a;]i=I,2 , al(x) = q(x, ei ) .

Prema Teoremu 3.3 zaključujemo da u O vrijedi div a + cp = O, q(x, k) = a(x) . k, k E Sz .

( 14) (15) ( 16) ( 1 7)

48

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Analogno slučaju žice, zbog malosti deformacije valjana je ova pretpostavka: kontakt na sila p(x, k) je po modulu jednaka napetosti a i paralelna tangencijalnom vektoru membrane u u točki P(x) , u poprečnoj ravnini određenoj vektorom k (sl. 2.10). Iz toga slijedi

q(x) . - . . .___=--...:.. P(x) .

u(x) x X,

k

Sl. 2.10.

x) = a grad u (x)

a(

( 18)

.

Uvrštavajući to u ( 16) dobivamo za progib jednadžbu ravnoteže ( 19) - Au = f u O, gdje smo stavili cp I a f . Jednadžba ( 19) zove se Laplaceova (taj naziv se nekad koristi za homogenu jed nadžbu, tj. slučaj f = O, dok se u slučaju f =/: O jednadžba zove POissonova). Jednadžba ( 19) j e parcijalna (funkcija U se javlja pod znakom parcijalne derivacije ) , 2. reda i linearna. Isti nazivi ostaju i za slučaj kad je SJ e Jednadžbe ( 14), ( 16) i ( 17) zajedničke su za sve ravnotežne procese u materijalnom tijelu (kontinuumu); procesi se razlikuju samo po kinematičkom (geometrijskom) polju u koje se promatra i po interpretaciji dinamičkih polja q ili a i cp . Jednadžba koja daje vezu dinamičkog polja a i kinematičkog polja u je zakon ponašaIjl a u danom procesu. Taj zakon ima oblik ( 18) za sve linearne ili linearizirane modele u kojima se pretpostavlja da je proces slaba (mala) perturbacija nekog neperturbiranog stanja. Prema tome, uz neke pretpostavke o izotropnosti, /cinematičkopolje stacionarnog linearnog (lineariziranog) procesa zadovoljava Laplaceovu jednadžbu. Ovdje je riječ o skalarnim procesima, u kojima su polja q, cp i u skalame (realne) funkcije. Međutim, po vanjskom obliku jednadžbe ( 14), ( 16) i ( 17) vrijede i za vektorske procese (v. Zadatak 3.1).

Rn .

Provođenje topline. U ovom slučaju geometrijsko polje je tempe je gustoća površinskog fluksa topline, tj. toplina koja se (u jedinici vremena) prenosi s pozitivne na negativnu stranu jedinične površine orijentirane je diničnim vektorom k ; cp je gustoća volumnog fluksa topline, tj. toplina koja se (u jedinici vremena) prenosi na jedinicu volumena tijela. Jednadžba ( 14) je zakon topli nske ravnoteže , dok je (18) Fourierov zakon; a je koeficijent provođenja topline. Primjer 4.1.

ratura u ; q(x, k)

Primjer 4.2. Difuzija. Geometrijsko polje je koncentracija u jedne komponente u smjesi dva fluida, tj. kvocjent mase promatrane komponente u jedinici volumena smjese i gustoće mase smjese; q odn. cp je gustoća površinskog odn. volumnog fluksa

49

2.4. RAVNOTEŽA NAPETE MEMBRANE

mase komponente. Jednadžba ( 14) je zakon održanja mase komponente, ( 1 8) je zakon difuzije, a je koeficijent difuzije.

Primjer 4.3. Potencijalni tok inkompresibilnogfluida. Polje q odn. cp je gustoća površinskog odn. volumnog20 fluksa mase fluida. Jednadžba ( 1 4) je zakon održanja mase fluida. Vektorsko polje a (20) v = --,

g

g

gdje je = const gustoća mase, zove se brzina fluida. Prema ( 16) brzina zadovoljava jednadžbu kontinuiteta (21) div v = cp.

g

Potencijalnost gibanja označava da brzina ima potencijal u , tj. da je (22) v = grad u. (Ta jednadžba je analogon zakona ponašanja ( 18)). Iz (2 1) i (22) za potencijal do bivamo Laplaceovu jednadžbu ( 19), gdje je t = - cp / g . Ako u području toka nema izvora, potencijal zadovoljava homogenu Laplaceovu jednadžbu (23) Au = o . Primjer 4.4. Tokfluida kroz poroznu sredinu. I u ovom slučaju vrijede jednadžbe (20) i (21). Geometrijsko polje je pritisak fluida p . Umjesto (22) imamo Darcyjev

zakon

K

g

v = - ( g - gradp) . tJ.

(24)

Ovdje je g volumna sila po jedinici mase fluida (npr. ubrzanje teže); konstanta tJ. odn. K je viskoznost fluida odn. permeabilnost porozne sredine. Ako je polje g potencijalno, tj. g = - grad i ako stavimo K (25) u = - Ii + p) ,

V

(gV

imamo jednadžbe kao u prethodnom slučaju.

Primjer 4.5. Potencijalno elektrostatičko polje. Polje q odn. cp je gustoća povr šinskog odn. volumnog fluksa električnog naboja. Jednadžba ( 14) je zakon održanja naboja. Vektorsko polje E = -4Jta ( 26)

zove se električno polje. Prema ( 1 6) polje E zadovoljava jednadžbu div E = 4Jtcp. (27) Potencijalnost označava da polje E ima potencijal u , tj. da je E = - grad u. ( 28) To je u ovom modelu zakon ponašanja. Za potencijal u imamo jednadžbu ( 1 9), t = 4Jtcp . 20

Gustoća-volumnog f1uksa mase zove se nekad intenzitet izvora.

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

50

Primjer 4.6. Eliptička jednadžba. Ako proces u području 'l e Rn nije homogen i izotropan, umjesto ( 18) imamo opći linearni zakon ponašanja (29) o(x) == a (x) grad u(x) ,

gdje je

a(x)

matrica ( a = const ako je tijelo homogeno); u komponentama je . Oj (X) =

Umjesto (7) imamo uvjet ili

aij (x) !:. t j=

J

l

i= 1

,

2, ... , n.

a(x)k . k > O,

n

L a;j(x)k;kj > O

iJ=l

'

za \Ix E

O, k E Rn , k :/= O.

(30)

(31)

(32)

U svakom konkretnom slučaju taj uvjet ima jednostavnu interpretaciju. Npr., u slučaju provođenja on znači da toplina prelazi s toplijeg na hladnije tijelo. Umjesto ( 19) imamo jednadžbu (33) - div(a (x) grad u (x» = qJ(x) , ili (34) Uvjet (31) znači da je jednadžba (33) eliptička. Općenitija eliptička jednadžba je (35) - div(a (x) grad u (x» + b(x) u(x) = qJ(x). Npr. takvu jednadžbu zadovoljava ravnotežni progib napete membrane, koja se nalazi u nekom sredstvu. Član - b(x) u(x) predstavlja gustoću površinske sile kojom sredstvo djeluje na membranu, b(x) > O je koeficijent elastičnosti sredstva. Ako je tijelo homogeno, a i b su konstante.

Primjer 4.7. Ravnoteža elastičnog tijela. Ako na elastično tijelo O e R3 ne djeluje vanjska sila, ono se nalazi u tzv. prirodnom ili nedeformiranom stanju. Pod utjecajem slabe vanjske sile ono se malo deformira. Točka x E Q prijeđe u položaj P(x) ; vektor u(x) = P(x) - x je pomak točke x . Neka je q(x, k) odn. qJ(x) gustoća površinske odn. volumne sile. Iz zakona ravnoteže sUa slijedi da za svako D C C O vrijedi

[ q(x,

JaD

x»

v(

dS + JD[ qJ(x) dV = O.

(36)

Iz toga dobivamo (v. Zadatak 3.1) div o + qJ = 0,

(37)

gdje je (38)

2.5.

51

RUBNI PROBLEMI

tenzor 21 naprezanja. Zakon r:avnoteže momenata zahtijeva da je i u/cu,pni moment (u odnosu na pol O ) sila koje djeluju na proizvoljni dio D c c O jednak nuli. Prema tome imamo (39) [x, q(x, v(x» ] + [x, lP(x)] dV = O.

/00

ln

dS

(38) iz toga lako dobivamo da je matrica a(x) simetrična: a;j (x) = ap (x) , i,j = 1 , 2, 3. (40) Linearni zalwn ponašanja (Hookeov zalwn) je neposredna generalizacija zakona (30): 3 aUk . 1 (41) l ,] = , 2 , 3 alj '" L..... aljki 8. Xl k ,/=1 Pretpostavljat ćemo da je tijelo homogeno; tada su koeficijenti elastičnosti aljki kons tante. Svojstvo (40) i pretpostavka izotropnosti materijala reduciraju broj koeficijenata elastičnosti od 81 na dva 22 : to su Lameovi Iweficijenti A i 1' ; zakon (41) glasi Uzimajući u obzir (37) i

'

.

.

3

alj 21.tEjj + A Olj L Eu , i, j = 1, 2, 3, n=1

gdje je

1 Elj = -2

, i,j = 1 , 2, 3

tenzor deformacije. Za koeficijente A Uvrštavajući (42) u gdje je

(37)

i

l'

(43)

vrijedi

A > O , I.t > O. dobivamo Lameovu jednadžbu za ravnotežni pomak: - (A + ll) grad div u - I.t� = lP , 3

�=

(42)

L Auj . ej. 1=1

(44) (45) (46)

Kao i u slučaju napete žice, uz zadanu napetost i gustoću površinske sile jednadž ba ravnoteže membrane (4.19) ima beskonačno mnogo rješenja u području O . Nas će zanimati rješenje kojim je opisan ravnotežni progib uz zadani režim na rubu; taj režim se opisuje rubnim uvjetom. Ako je na rubu zadan progib membrane, imamo

Dirichletov uvjet 21

22

Tenzo,. je

u=g

na r =

drugi naziv za linearni operator (matricu).

ao,

V. npr. M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, New York, 1 981.

(1)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

52

gdje je g zadana funkcija na r ; npr., ako je membrana učvršćena na rubu, onda je g =

O.

Ako je na rubu zadana gustoća transverzalne kontaktne (linijske) sile, onda

imamo Neumannov uvjet

(2)

q(x, v(x)) = X(x) , x E r ili, zbog (4.17) na

a· v = X

(3 )

r,

gdje je X zadana funkcija na r ; npr., ako je membrana slobodna na rubu, onda je X =

O.

Uzimajući u obzir

(4.18), pišemo Neumannov uvjet u obliku

ili

a grad u . v = X,

(4)

{Ju - = h {Jv

(5)

na

r,

gdje smo stavili h = XI a . Mješoviti uvjet g1asi u = g na r1 ,

{Ju {Jv

(6)

= h na r2,

gdje su rh r2 e r hiperplohe, rl n r2 = 0 i

I't u r2

učvršćen odn. slobodan, onda je g = h =

Ako na rub pored zadane transverzalne

O.

= r ; ako je na rl odn. r2 rub

sile gustoće X djeluje i elastična sila s koefieijentom elastičnosti �(x) �

O

(�

=I- O) ,

imamo Robinov uvjet

q(x, v(x)) = X(x) - �(x) u(x) , x E r,

(7)

{Ju - +cu = h na r ' {Jv

(8)

ili

gdje smo stavili c = �/a . Primijetimo da su rubni uvjeti

(1), (5), (6) i (8)

linearni.

Neka je tijelo O sastavljeno od dva područja 0 ( 1) i 0(2) sa zajedničkom granicom (sl. 2. 11). Neka je u O(i} koeficijent provođenja topline jednak ai , a temperatura

ro Ui (i =

1, 2) .

Imamo jednadžbe

Sl. 2. 11.

( 9)

S3

2.5. RUBNI PROBLEMI

Pretpostavit ćemo da je temperatura neprekidna na ro , tj. Ul = U2 na ro .

( 10)

Iz principa toplinske ravnoteže neposredno slijedi da je aU ( 1 1) al aUl = a2 2 na rl). v av a Jednakosti ( 10) i ( 1 1 ) su uvjeti transmisije; oni su također lineami. Pored ( 10) i ( 1 1) imamo, naravno, i rubne uvjete na rl i r2 . Određivanje rješenja utplaceove jednadžbe koje zadovoljava neki od rubnih uvjeta zove se rubni problem (Dirichietov , Neumannov, itd.). Formulacija rubnog problema diktira pretpostavke o glatkoći (regularnosti) rješenja, tj. o klasi funkcija u kojoj se rješenje traži. za zadane funkcije f , g, c i h pretpostavljamo da su neprekidne. Tada je za Dirichletov problem prirodna klasa C(2) (Q) n C(Q) . za Neumannov problem mogla bi se uzeti klasa C(2) (Q) n c( l ) (Q) ali, kako se pokazuje, ta klasa je preuska. Razlog je u činjenici da uvjet (5) ne Zahtijeva postojanje svih derivacija funkcije u u točki x E r , već samo derivacije u smjeru normale, tj. limesa lim (grad u(x') . v(x) ) . ( 12) xl_x

Pokazuje se, međutim, da i takva interpretacija nije dovoljno općenita. Zato ćemo pretpostavljati postojanje limesa ( 12) samo po normali u točki x , tj. limesa lim

x' _.'!' x' e {x-J.v(x),J.>O}

(grad u (x' ) · v(x)).

(13 )

Da bi osigurali neprekidnost te funkcije na r , pretpostavljat ćemo da je konvergencija ( 13) uniformna po x E r . Tim zahtjevom definirana je klasa funkcija N(Q) koje imaju regularnu normalnu derivaciju na r . Rješenje Neumannovog problema tražimo u klasi C(2) (Q) n N(Q) . Uz gornje pretpostavke govorimo o klasičnim rješenjima rubnih problema. Kao i u slučaju obične diferencijalne jednadžbe, prvi korak u teoriji rubnih prob lema su teoremi jedinstvenosti rješenja. Lema 5.1.

Zajunkcije u, v E C(2) (Q) vrijedi 1. Greenovaformula

i Au . v = j ;: vdS i -

dV

Dokaz.

grad u . grad v dv.

Parcijalnom integracijom dobivamo [ a 2u vdV = [ � au v dV Ja ax'l Ja ax; aXi

( )

[ au

av Vo d Ja ax; ax; Na prvi član desne strane primijenimo Gaussovu formulu: _

( ) = Jr[ au

[ � au v Ja ax; ax;

dV

ax;

VVj

dS.

( 14 )

(15 ) ( 16)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

54 Iz

( 15) i (16)

slijedi

Ic Au · v d V JO

L JIOc 8x�

i=l

( 14).

O.B.D.

v dV

r

i ou L n

==

a iz toga

82

n

==

r 8x;

V'Vi

-

;=!

odn. v

Stavljajući u

(14) v = 1

Korolar 5.2.

Za funkciju u E C (2l (Q)

1

-

-

u

Korolar 5.3. Za junkcije .

v

u,

-

O

- dV,

vrijede jednaJwsti

1 1 grad u l 2

Zamjenjujući u ( 14) funkciju nakost od ( 14), dobivamo

i=l

( 17)

u , dobivamo ovaj

I Au dV = ( 8u 10 1r 8v

Au · u dV +

I (Au l",

==

dS

OV L" l o°Ux; OXj dS,

d V :=

( 18)

l :: u

dS.

(19)

s v i obratno, i oduzimajući tako dobivenu jed

v E C(2l (Q) vrijedi 2. Greenova!ormula

A . u) d V = v

1(

8u

Jr ov

v v- o

8v

u) dS.

(20)

Ako za rješenje rubnog problema pretpostavimo nešto veću regularnost nego u originalnoj postavci, pomoću jednakosti ( 19) lako dokazujemo njegovu jedinstvenost.

Teorem 5.4. Dirichletov problem

ima najviše jedno rješenje Dokaz. Neka su vrijedi

-Au :::: ! u Q,

(21 )

u = g na r

(22)

u E C(2) (Q) .

ul , u2 E C(2l (Q) rješenj a i nekaje Aw

==

w =

Jednakost

( 19) za funkciju

w

W ==

Ul -UZ '

Zbog l inearnosti

O u O,

(23)

O na r.

(24)

glasi

lo

(grad w)2 dV

==

O.

Iz toga slijedi da je grad w = O u Q , tj . aw/ 8x; = O u O , i = tome je w = const. Zbog (24) je w = O , tj .

Ut Uz.

(25) =

1 , 2,

. . .

, n .

Prema

5S

2.5. RUBNI PROBLEMI

Ako Neumannov problem l:1u =J u Q, Bu = na r Bv h ima rješenje u E C(2) (Q), onda je Teorem S.S.

(26)

-

laj

dV +

(27)

i h dS = O.

(28)

Svaka takva dva rješenja problema (26), (27) razlikuju se za konstantu. Dokaz. Uvjet (28) slijedi neposredno iz formule (18). Neka su U t , u2 rješenja i neka je w = ul U2 ' Imamo

E

C(2)(Q)

-

I:1w = O u Q, Bw

(29)

= O na r.

(30)

Jednakost ( 19) za funkciju w i ovog puta ima oblik (25), pa je w = const, tj. Ut const. O.E.D. Interpretacija nužnog uvjeta ravnoteže (egzistencije rješenja Neumannovog rub nog problema) (28) je jednostavna: tvrdi se da je rezultantno djelovanje na tijelo Q jednako nuli. Ta činjenica je sadržana i u zakonu ravnoteže. Teorem jedinstvenosti za Dirichletov problem u klasi C(2) (Q) n C( Q) dokazat će mo u točki 7 nakon što ustanovimo neka važna svojstva rješenja Laplaceove jednadžbe. Neumannov problem u klasi C(2) (Q) n N( Q) razmotrit ćemo u točki 15. Proučavajući rubne probleme za običnu diferencijalnu jednadžbu, poslije teorema jedinstvenosti dokazali smo egzistenciju rješenja i korektnost problema. U slučaju Laplaceove jednadžbe (kao i drugih parcijalnih diferencijainih jednadžbi) pitanja eg zistencije i korektnosti su mnogo teža i zahtijevaju kompliciranija sredstva; tome je posvećena točka 15. Za neka specijalna područja rubni problemi se mogu riješiti analitički (točke 9-13). U konkretnim slučajevima vrlo je korisno pomoću plauzibilnih pretpostavki pojed nostavniti formulaciju rubnog problema. Primjeri su nižedimenzionalne aproksimacije (modeli) procesa u tankom području. Jednostavan slučaj je skalami proces u cilindru Q gdje je Q e R2 područje. Neka je visina cilindra mala « diam Q ) i neka je n� bazama Q iQx zadan Neumannov uvjet; neka je na BQ zadan npr. Dirichletov uvjet. Imamo problem -

U2 =

x (O, h) ,

x {O}

(h

{h}

- l:1u = J u Q x (O, h), u = g na BQ x [O,h], Bu

8 X3

= h - na Q x {O} ,

Bu

= h+ na Q x {h} .

x [O, hl (3 1 )

(32) (33)

2.

56

UPLACEOVA JEDNADŽBA

Integrirajući jednadžbe (31 ) i (32) po visini cilindra i uzimajući u obzir (33), dobivamo -

t !: JIho U(Xt , X2 , X3) dx3 = JIho ! (Xt , X2,X3) dx3 + h+(Xt , X2) 1=1

,

- h-(Xt , xz), (Xt , X2) E 0,

lh U(Xl , X2 , X3 ) dx3 = lh g(XJ , XZ , X3 ) dx3 , (XI , X2) E a�.

(34)

(35)

Zbog neprekidnosti rješenje se po visini malo mijenja. Zato ćemo za dvodimenzional nu aproksimaciju rješenja problema (31)-(33) proglasiti funkciju %' koja ne 'ovisi o varijabli X3 i koja zadovoljava jednakosti (34) i (35); za %' imamo problem 2 a2 %, ' = F u 0, (36) Bxt

- tt %'

=

G na BO,

(37)

gdje smo stavili F(Xt , X2) =

� (lh! (X1 ,X2 , X3 ) dx3 + h+(XJ , X2) - h- (Xh X2») , (Xt , X2) E 0,

(38)

(39 ) Tako smo trodimenzionalni problem (31)-(33) u tankom sloju reducirali na dvo dimenzionalni (36), (37). Primijetimo da je definicija aproksimativnog rješenja u kontradikciji s lokalnim (diferencijalnim) Zakonom (avnoteže, tj. s jednadžbom (31). Jednadžba (34) osigurava zadovoljavanje zakona ravnoteže samo za komade oblika cl) x (O, h), cl) C O ; to je u ovom slučaju smisao aproksimacije. Zadatak S.l. Formulirajte i dokažite teoreme jedinstvenosti u klasi C(2)(O) za

a) mješoviti, b) Robinov i e) transmisijski problem. Rješenje. a) Problem ima najviše jedno rješenje. Dokaz je isti kao u Teoremu 1. b) Problem ima najviše jedno rješenje. Dokaz. Zbog uvjeta � = -cw formula (19) za funkciju w glasi

I I grad wl2 dV + Ir CMl- dS = O.

(40)

Iz toga slijedi (zbog pretpostavke c � O ) da je grad w = O u 0 , tj. w = const. Iz neprekidnosti i pretpostavke e ::/= O slijedi da je e > O bar na nekom otvorenom skupu r t C r ; iz (40) slijedi w = O na rl . pa dobivamo w = O . e) Neka je, npr., Ul = O na rl , i= 1,2; tada problem ima najviše jedno rješenje. Dokaz. Ako su (� , r4) , j = 1, 2 rješenja i Wj = uf - ut , i = 1 , 2 , imamo Aw, = O u Qi, (41) W;

= O na C,

(42)

57

2.5. RUBNI PROBLEMI

(43) OW2 ow! a l ov = a2 ov na ro.

(44)

Primijenjujući na Wl i W2 formulu ( 19), dobivamo Wl ! grad wl ! 2 dV = v Wl dS,

f i

Cz

f�

�

�,

! grad W2 ! 2 dV = -

(45)

°W2 18 w2 dS. ro

v

(46)

Množeći (45) s a, a (46) s a2 i uzimajući u obzir (43) i (44), nakon zbrajanja dobivamo I grad w2 1 2 dV = O. al ! grad wl l 2 dV + a2 (47)

f

�,

Iz toga slijedi Wl = W2

f

�

O.

Zadatak 5.2. Formulirajte Dirichletov, Neumannov i mješoviti uvjet i dokažite teoreme jedinstvenosti (u klasi e(2l (Q) ) za eliptičku jednadžbu (4.38 ) . Rješenje. Pretpostavljamo da je aij E Cl (Q) , b E C( Q) , b � O . Dirichletov, Neumannov odn. mješoviti uvjet glase respektivno ovako: (48) u = g na r, v a grad u . = X na r, (49)

u, v E div(a grad u) . v dV =

za funkcije

la

i njene posljedice:

1 a grad u

. V·

v dS -

la

a grad u . grad v dV

1 div(a grad. u) dV = 1 a grad u . dS, 1 div(a grad u)u dV + la a grad u · grad u dV = 1 a grad u · r

Q

Ako su U" U2

(50)

u = g na ri , a grad u · v = x na r2 . 2 e( l (Q) imamo 1. Greenovuformulu

E

v

(5 1 )

(52) v·

u dS.

(53 )

e2 (Q) rješenja i W = Ul - U2 , formula (53 ) za funkciju W glasi

Iz toga dobivamo

la

bw1 dV +

la

a grad w . grad w dV

a grad W · grad w = O u Q, bw2 = O u Q.

O.

(54 )

(55)

( 56)

Iz (55) i (4.31 ) slijedi grad w = O ili w = const. Ako je uvjet Dirichletov ili mješoviti, zaključujemo da je w = O , tj. da problem ima najviše jedno rješenje. Zbog (56) isti

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

58 je zaključak i za Neumannov problem u slučaju nužni uvjet

b i= O ; ako j e b = O , iz (52) slijedi

lo cp dV + l xdS

==

(57)

O,

a svaka dva rješenja se razlikuju za konstantu.

Zadatak 5.3. Formulirajte Dirichletov, Neumannov i mješoviti uvjet i dokažite 2 teoreme jedinstvenosti u klasi (C( ) (0) )3 za Lameovu jednadžbu (4.45).

Rješenje.

Dirichletov, Neumannov i mješoviti uvjet glase respektivno ovako:

uav

= g na r,

== X na r, ' = X na r2 . == g na r l ,

av u a Eij(U) ( BU;BXJ + BUJBXi ) aij{u) A. j u + 2Ileij(U) , i,j u, v L tlu + (A. + l ) vdV L div a(u) 1r a(u)v. vdS - iLj= 1 1.o aij(u) Bt/i a � aj u) Bv; Bv;Bx' +Oji(U) BVjBx) (a u) i C j / C Z x B , ij=1 jj=1 = � aiJCu) Z ( BVBXji + BBv.� ) � O';j(u) Ej (V) A. u v + Eij(U) Eij(v). Greenovu formulu r tlu + (A.. + ll) u) . v Jrr a(u)v· v dS Jo - 1,o (A. v + iL./=l Eij(U)E;j(V)) u r (Iltlu + (A. + ll) u) = Jrr a(u)v dS, Jo . dana je formulama (4.42) i (4.43) . Imamo

Matrična funkcija

_

-

=

Za

E

Di div

1 2

'

1 , 2, 3.

(58) (59) ( 60)

(61) (62)

(C(2}(0))3 lako dobivamo

( Il

grad div u)

. v dV

.

3

==

x,

Zbog simetrije tenzora �

.

L..J

(Il

(63)

imamo

� J

= L..J

J

Iz (63) i (64) dobivamo 1.

dVo

1

J

3

"=

l

=

1

div

.

div

21l

(64)

21l

dV =

grad div

div u · div

3

3

dVo

Stavljajući 11 = ( 1 , O, O) , (0, 1 , O) , (O, 0, 1) , odn. II = grad div

dV

(65)

dobivamo

(66)

2.5. RUBNI PROBLEMI

59

Jr (ll�u + (A + Il) grad div u) . u dV = 1. (A(diV U)2 + 2Il lJ=tl fB(U)) dV (67) Q

Q

Neka su u ( 1 ) i u(2) rješenja i w = u(1) - u(2) . Pomoću formule (67) za funkciju w , zaključujemo da je (68) fiiw) = O , i,j = 1, 2, 3, ili

(69)

aW1 aW2 + aX2 aX1

Iz toga lako dobivamo

=

aW2 aW3 aW3 aW1 = = + + aX3 aX2 aX1 aX3

O.

(70)

a2W3 a2W2 a2W2 a2W3 a2W1 a2W1 O a� - ax� - a� - ax� - axT - ax� - .

(71)

W1 (x) = a1 + b2X3 - b3X2,

(72)

_

Iz (70) i (71) slijedi

_

_

_

W2(X) = a2 + b3X1 - b1X3 , W3(X) = a3 + b1X2 - b2X1 ,

_

_

(73)

(74)

gdje su ai i bi konstante. Stavljajući a = (a 1 , a2, a3) i b = (b1 , b2, b3) imamo (75) w(x) = a + [b, x] . Funkcija oblika (75) zove se mali krutipomak. Ako je uvjet Dirichletov odn. mješoviti, imamo W = O na r odn. r1 , a iz toga i (75) slijedi a = b = O tj. W = O ; dakle, problem ima najviše jedno rješenje. Ako je uvjet Neumannov, iz (66) slijedi nužni uvjet { cp dV + X dS = O, (76)

J

Q

l

'

r

a svaka dva rješenja razlikuju se za mali kruti pomak.

Izvedite jednodimenzionalni model skalarnog procesa u tankom g x (O, l) , g e R2 , malog poprečnog presjeka (diam g «: 1 ), ako je na omotaču zadan Neumannov, a na bazama npr. Dirichletov uvjet. Rješenje. Imamo problem - �u = f u g x (O, l), (77) + (78) u = g- na g x {O} , u = g na g x {l}, Zadatak 5.4.

štapu, tj . u cilindru

au = na ag ov

h

x

(0, 1) .

(79 )

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

60

Iz (77)-(79) slijedi

:32 JQf U(X"X2, X3 ) dxl dx2 = 1Q f(X" X2 , X3 ) dxl dx2

J8Q l U(XI , X2, O) dxl dx2 = l g-(Xl , X2) dxl dx2, l U(XI ,X2 ' l) dxl dx2 l g+ (XI ,X2) dxl dx2 ·

h(XI , X2 , X3 ) dxl dx2 ,

+

=

(80)

(81) (82)

Jednodimenzionalna aproksimacija rješenja problema (77)-(79) je funkcija 0/1

koja ne ovisi o varijablama Xl i X2 i koja zadovoljava jednakosti (80)-(82); za 0/1 imamo problem -0/1" = F na (O, I), (83) 0/1 (0) =

gdje smo stavili

F(X3 ) G-

=

G- , 0/1 (/) = G+ ,

(84)

I�I (l f(Xl , X2 , X3) dxl dx2 + J8Q h(XJ ,X2 , X3 ) ds) ,

(85)

l g-(XI , X2) dxl dx2 , G+ l g+ (XI ,X2) dxl dx2· =

(86)

Zadatak S.S. Odredite progib napete membrane (u polju sile teže) koja ima oblik kružnog prstena 0 = { ( e,

- Au =

8u 8v

- =

G 2 2 .n:( e2 - e l )

U

O,

o za e = e l , u = O za e = e2 ,

(88) (89)

gdje je G težina membrane. Problem ima kružnu simetriju, pa u polarnim varijablama (l,

(92)

Zli. fi
u ( u)

C1 In "n + e2 ,

gdje su Cl i C2 konstante. IZ (91}(93) slijedi

I z z C. l = 2.I ulf , Cz = 4 u2{

pa imamo

I

«(J3)

z

2. ufi lnU2'

-

u{u)

(94)

(95)

Odredit ćemo rješenje' (homogene) Laplaceove jednadžbe u području R" \ {Q}, kuje je sferno simetrično, U· odnosu na. isliQdište, tj; rješenje u(x) koje ovisi samo o sfu.nnoJval'ijabii; 11 = lxi : u{XJ) = 0, < r < oo . Imamo 8u(x) or = (1) = r ax, ax; aZ(1.u(x)' r ir if = J. (2) + 1J! ' (r) - - 1J!'(r) �,

1J!(r), 1J!'(r)

1J!" (r) 1r

�

pajedhadžba zadltmkciju 1J! glasi:

1J!

"

Separacijom varijabli dobivamo

gdje

su!

nadžbu,

1J!'(1/�!.. ,

__

r

r

n - l' 1J! ' ( ,) = O, r

( t) +

--

dr 1J!{") = e j. pR-l + Cl .!.

( 3)

(4)

-

e i, Cl konstante. Lako provje�amo da (4) zadovoljava Laplaceovu jed s mnsGmtamač e = -1/lSn l , Cl Fi:tnk:cijJl O', označavat ćemo sa

1J!

{'

1

1

n > 2,

1J!n(r) = ' (n - 2) 1 8,, 1 r"� 2 ' , - 10 '. 2:m r ' !

1

.

1

n = 2.

(5)

FunkcijFt 1J!n zove se. fundamentalno rješenje Laplaceove jerlnadžbe. Očigledno je E CO<> (K" \ {O}) , Primij e timo da je

1J!;,

r( 1J!n r) =

1

- ,S,,1

l'

'

(6)

Lako se pokazuje da, 'lJIli kao ravnotežno stanje odgovara jediničnom volumnom (pe za: 11< = 2') djelovanju; koje je koncentrirano· u ishodištu. Naime, gustoća

vclinskom

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

62

kontaktnog djelovanja na granici kugle K(O, R ) prema (4.17), (4.18) i (2.35) jednaka je (7)

f

f

pa imamo

1 dS = - l. � (8) q dS = l a aK(O,R) IS" IR"- l laK(O,R) Sdruge strane, za proizvoljno područje D čiji zatvarač ne sadrži ishodište, zbog (5.18)

f

f

81jJn � q dS = llID 8v a llID

imamo

dS =

O.

(9)

Kao i u jednodimenzionalnom slučaju, takvo djelovanje ne može se opisati gustoćom. Ako je djelovanje koncentrirano u točki x , njemu odgovara fundamentalno rješenje y - 1jJn ( Ix -y I ) . Primijetimo da (za razliku od slučaja obične diferencijalne jednadžbe) fundamentalno rješenje nije definirano u točki koncentracije djelovanja. Pomoću fundamentalnog rješenja izvest ćemo tzv. integralnu reprezentacij u pro izvoljnog rješenja Laplaceove jednadžbe. Prije toga podsjetit ćemo na pojam integrala neograničene funkcije (nepravog integrala ). Neka je S glatka r -dimenzionalna ( r > O ) mnogostrukost u Rn , XO E S i rp neprekidna funkcija na S \ {xO}, 23 ograničena izvan svakog zatvorenog skupa koji sadrži točku xO Neka je (10) {V" e S : () - +O} •

proizvoljna familija okolina točke XO , sa svojstvom deV,,) - O, () - O. Pretpostavimo da postoji (konačan)

f

,,-O lS\Vd lim

rp(x) dS

( 1 1)

(12)

i da ne ovisi o izboru familije ( 10); tada kažemo da konvergira nepravi integral

f rp(x)

ls

dS = lim

f

,,_o ls\vh

Ako integral ( 13) konvergira, onda je skup

rp(x) dS.

( 13)

( 14 ) ograničen (za proizvoljno (10) sa svojstvom ( 1 1 )) . za nenegativnu funkciju lako se dokazuje obrat. Lema 6.1. Ako je funkcija rp nenegativna, a skup (14) ograničen (za proizvoljno (10) sa svojstvom (11)) , integral (13) konvergira. 23

J!l je izQlirani singularitet funkcije

fP .

2.6.

INTEGRALNE

63

REPREZENTACIJE

Nepravi integral ima obična svojstva Riemannovog integrala. Specijalno, vrijedi Lema 6.2.

Ako konvergira integral 24

1 I
( 15)

onda konvergira i integral (13) i vrijedi

I I
Dokaz.

Za

E

\

vrijedi

ako je ako je

pa je

( 16)

dS.

O � O,

( 17)

( 18) 1
_

_

Primj er 6.1. Neka je tt neka ograničena okolina ishodišta u konvergenciju integrala

{Vo

}

R" .

Ispitajmo

(21)

Neka je e tt : fJ - +O proizvoljna familija okolina ishodišta sa svojstvom ( 1 1) i neka je O < R < 1 , K(O, R) e tt . za dovoljno malo fJ > O (takvo da je e K(O, R) ) imamo

Vo

Jf(j\v� 1 1/J,,( [xl)I dV = JfK(O,R)\V� 1/J,,( IxI ) dV + Jf(j\K(O,R) 1 1/J,,(l xl )I dV (22) Ro = inf l xi. (23) xE8Vh _

Neka je

_

Tada je

24

Tada kažemo da integral (13) konvergira apso{utfW.

_

(24)

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

(25 ) 2, iz čega slijedi

f 1/J (lxl ) iK(O,R)\K(O,RA) n

dV <

R2

-2) '

2 �n

n>2

(26) R - ( 1 - 2 1n R , n = 2. 4' Iz (22), (24) i (26) zaključujemo da integral (21) konvergira apsolutno. Ako je tf okolina točke E , iz gornjeg neposredno slijedi da konvergira integral

x Rn

{

)

L I1/Jn(l x - yl )l dVy.

(27)

f E C(tf) , konvergira integral (28) L lf(y)1/Jn(I X-yD I dVy Prema tome, ako je f E C( Q) , dobro je definirana funkcija x - iof(Y)1/Jn(l x - yI ) dVy, x E Q. (29) Teorem 6.3. Za funkciju u E C(2) (Q) vrijedi integralna reprezentacija u(x) fr (a��) 1/Jn( IX - yI )-u(y) :v 1/Jn( lx -y I )) dSy (30) - 10 Au(Y)1/Jn(l x - yI ) dVy, x E Q Dokaz. Neka je x E Q . f > O. K(x , ) Q . Primijenimo 2. Greenovu for mulu (5.20) na funkcije u(y) i 1/Jn( l x - YI ) u području Q, Q \ K(x , f) . Uzimajući u obzir da je Ay1/J" (I x yI ) O Q, . dobivamo f Au(Y)1/J" (Ix -yi) dVy ifJ, fr (a��) 1/J,, (l x -YD - u(y) :v 1/J,,(lx-YD) dSy (31 ) fi&K(x,t) ( a�(Y) 1/Jn(l x-yI ) u(y) � 1/J,,(lx-Y D) dSy, Također, ako je

f

=

25

ee

=

U

=

+

25

uV

Ay označava Laplaceov operator po varijabli y .

uV

65

2.6. INTEGRALNE REPREZENTACIJE

gdje v označava jedinični vektor vanjske normale u varijabilnoj točki y E OQE ' Uzmimo u toj jednakosti limes kod t - O . Budući da je Au E C( O) , imamo lim

f au(y) - 'I/1n( lx - yI ) dVy lfa Au(y) - 'I/1n ( lx - yI ) dVy. =

..... 0 la,

(32)

Prvi integral na desnoj strani u (3 1 ) ne ovisi o t . Dalje imamo, uzimajući u obzir (5.18) i (1.73), o (y) 'I/ � 1n ( lx - y I ) dSy laK{x,e) uV u dSy � 1 'I/1I1(t)/ = 'I/1n (E) I Au(y) I d V uV laK(x,E) lK(x,e) (33)

If

l

l

f � l

f

�

t

m� l au l n(n 2) ' n > 2 m� l au l ' l ln E I ' E2 , n = 2.

{�

� mQ� IAuI I 'l/1n (t) I IK(x, E) I

Desna strana u toj nejednakosti teži nuli (kod E - O ) , pa imamo o (y) lim � 'I/111( lx yI) dSy = O. ..... 0 lfJK(x,e) uV Pomoću Teorema o srednjoj vrijednosti integrala dobivamo

f

f

u (y)

laK(x,.) =

- 'I/1� ( E )

�

uV

'I/1n ( lx y I ) dSy

f u(y) dS = -'I/1�(E)U(yE ) loK(x, E) / , laK(x,.)

gdje je Ye neka točka na oK(x, E ) . Uzimajući u obzir (1.63) i (6) , dobivamo

f

�

u(y) 'I/1n ( lx - Y I ) dSy = u(y. ). uV laK(x,E) Zbog neprekidnosti, u(ye) - u(x) , t - O , pa imamo

f

(34)

(35 )

( 36)

( 37 ) � 'I/1n ( lx yI) dSy = u(x). elimO laK(X,E) u(y) uV Iz ( 31), ( 32), (34) i (37) slijedi (30) . O.E.D. Ako je u točki x E O koncentrirano jedinično djelovanje, onda je ravnotežno stanje oblika y - '1/111 ( Ix - y I ) + w(x, y), y :j: x, (38) gdje je y - w(x, y) rješenje homogene jednadžbe (39) ay w(x,y) = O, y E O. Označimo s G(x, y) ravnotežno stanje ( 38) koje na oO zadovoljava homogeni Di richietov uvjet: G(x, y) = 'I/1n ( lx - yI) + w(x, y), y E O , y :j: x, (40) G(x, y) = O, Y E oO. (4 1 ) ....

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

66

Tako definirana funkcija '

(42) (x, y) G(x, y) , x,y E Q , x ::fi Y zove se Greenovafunkcija Dirichletovog problema. Funkcija w očigledno zadovoljava -+

uvjet

(43) w(x, y) = - t/',,( Ix - y I ) , y E aQ . Prema tome, za svako x E Q funkcija w je rješenje specijalnog Dirichletovog prob

lema (39), (43). Kao i u slučaju obične diferencijalne jednadžbe, pomoću Greenove funkcije možemo riješiti opći Dirichletov problem.

Za x E Q neka je w(x, · ) E C(2}(Q) rješenje Dirichletovog prob lema (39), (43) i neka je G definirano formulo!Pf (40). Tada za funkciju u E C (2)(Q) vrijedi integralna reprezentacija Teor-em 6.4.

u(x) = Dokaz.

-

Ir :v G(x,y)u(y) dSy - L G(x, y)AU(y) dVy,

Pomoću 2. Greenove fonnule (5.20) dobivamo

L AU(y)W(X, y) dVy Ir (a��) w(x, y) =

ili O ==

:

x E Q.

)

u(y) v W(X,y» dSy,

Ir (a��) w(x, y) - u(y) :v w(x, y») dSy k .Au(y)w(x, y) dVy. -

(44)

(45)

(46)

Zbrajajući tu jednakost s reprezentacijom (30) i uzimajući u obzir (41), dobivamo (44). Korolar 6.S.

Ako je u E C(2) (Q) rješenje Dirichletovog problema - Au = f u Q , u = g na r,

onda je u(x) = -

Ir :v G(x,y)g(y) dSy + L G(x, y)f (y) dVy

(47) (48)

Reprezentacija (48) predstavljaformulu za rješenje problema (47) (uz pretpostav ku da taj problem ima dovoljno regularno rješenje i da za područje Q postoji dovoljno regularna Greenova funkcija). Time je rješavanje općeg Dirichletovog problema (47) u danom području Q svedeno na određivanje Greenove funkcije tog područja, tj. na rješavanje specijalnog Dirichletovog problema (39), (43). Valja naglasiti da ta činje nica nema osobito praktično značenje, jer za proizvoljno Q opći i specijalni pr:oblem bitno se ne razlikuju. Ipak, ako je područje Q dovoljno simetrično i ako mu se gra nica sastoji od dijelova hiperravnina i sfera (pravaca i kružnica za n = 2 ), Greenova . funkcija se lako određuje metodom zrcaljenja.

2.6. INTEGRALNE REPREZENTACIJE

67

Primjer 6.2. Greenova funkcija za kuglu. Neka je odnosu na sferu 8K(0, R) :

x* inverzna točka za x =I- O u

(49) x* IRx 2l2 x. x O. Primijetimo da x E K(O, R) , x =I- O , povlači x* f/. K(O, R) i Ix * 1 Metoda zrcaljenja zasniva se n a ovoj činjenici: za x =I- O , x f/. 8K(0, R) , funkcije 8K(0, R) su proporcionalne. To slijedi iz sličnosti ytrokutalx O:xyY I , iy Ox yIx*(sl.-Y2.12): I , y E oni imaju zajednički kut s vrhom u O, a iz (49) * dobivamo I x* 1 R (50) R = �' -+

-+

oo ,

-+

-+

tj. proporcionalnost stranica koje zatvaraju taj kut. Zato je

Ix* -YI R Ix -yi � ' lx - Y I 1�l lx* - yI·

ili

(51 ) (52)

=

x*

Sl. 2.12.

x =I- O , Y E 8K(0, R) , iz toga slijedi' tp,, (lx -YI ) = tp" ( I�I Ix* -YI ) , ili tp,,( lx - yi ) - tp" ( �I Ix* YI ) o.

Za

=

xE x fl.ytpn (W Ix* -YI ) yE x G(x,y) = tpn(lx - yI) - tp" ( 1�l lx* -YI ) , x =I- O.

(5 3 ) (54)

Sdruge strane, za K(O, R) K(O, R) , =I- O, vrijedi = O za (jer f/. K(O, R) ). Uzimajući u obzir (40) i (41), zaključujemo da lijeva strana u (54) predstavlja (za =I- O ) Greenovu funkciju za kuglu K(O, R) :

x·

( 55)

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

68 Dalje imamo

l:i Ix* - Y I = lxi R R

( �lxi )

RZ

(

2

+

( C Y 2 = RZ + X� I )

a to je dobro definirano i za

x = O.

2x . y

(

) 1 /2 �) X · Y lx i

)IP

2

,

(56)

Prema tome imamo

G(x, y) ; 'P. ( lx - y I ) - 'P. Funkcija

lyl Z - 2

(

' ( + Cx l R2 � ) - 2x . y

f) .

(57)

(57) je simetrična i nenegativna: G(x, y) = G (y, x) , G(x, y) � O

za x, y E K(O,R) , x ::f. y . Može se pokazati da to svojstvo ima i Greenova funkcija proizvoljnog područja Ll . Reprezentacija je v(y) =

(44) za kuglu ima teorijsko značenje. Vanjska normala na y/R , pa iz (57), uzimajući u obzir (6), dobivamo RZ - lxl 2 [} (58) E K(O, R), y E [}K(O, R) . - [}v G(x, y) = S,,! R lx - y l n ' X I Funkcija (58) zove se Poissonova jezgra; označavat ćemo je s .)(:(x, y) : [}K(O, R)

.)(:

(x, y) =

RZ Ix!Z IS,, ! R lx y lll '

(59)

Koro.ar 6.6. Ako je u E C(2) (K(0, R)) i flu = O u K(O, R) , onda vrijedi repre zentacija (Poissonova formula)

u(x) =

[ .)(: (x, y )u(y) dSy , x E K(O, R). J8K(O,R)

(60)

Jezgra .)(: ima ova svojstva:

flx')(:(x, y) = O .)(:(x , y) � O

Svojstvo

[ .)(:(x, y) dSy J8K(O,R)

(63)

dobivamo iz

(60)

==

1

za za za

stavljajući

x E ')(:(O, R), y E [}.)(:(O, R) , x E K(O, R) , y ::f. x, x E K(O, R) u = 1.

.

(61) (62) ,(63)

Dokazat ćemo da formula (60) daje rješenje Dirichletovog problema (za kuglu) klase C(K(O, R)) . Jedinstvenost takvog rješenja bit će dokazana u slijedećoj točki.

2.6. INTEGRALNE REPREZENTACIJE

69

8K(0,R) . Tadafunkcija (64) u(x) Jr (O,R) X(x,y)g(y) dSy zadovoljava u kugli K(O,R) jednadžbu tlu O (65) i za svako x E 8K(0,R) uvjet lim u (x) g(x' ) . (66) Dokaz. Jednakost (65) slijedi (6 1 ) . Za E > ° neka je > ° takvo da y,x E 8K(0,R) , Iy - x'l < povlači Ig(y) - g(x') I < E/2. Neka je Ig(y) I � C za svako y E 8K(0, R ) . Koristeći ( 62) i (63), za x E K(O,R) , x E 8K(0, R ) dobivamo ocjenu l u(x) - g(x') I � Jr1Y-x' I6 � 2E + 2CR2IS-nl RIxl2 J1rY_x'1 >6 Ix dSy- yl n ' Za Iy - x l � i l x -x l � {j /2 imamo (68) l x - YI I (x - x) - (y - x )1 � I l x - x'I - ly - x' l l Iy - x'l - l x - xl � {j - % %, 1 (69 ) � ({j/21 )n ' Iz ( 67 ) i ( 69 ) slijedi (70) IU(x) - g(X)1 � 2E + 2CR2R({j/- 2)l xln2 ' Za dovoljno malo {JI > ° i l x - x I � {JI , drugi član na desnoj strani manji je od E /2, pa za l x - xl � min({j/2,{jd imamo l u (x) - g(x ) 1 � E . Teorem 6.7.

g

Nekajefunkcija neprekidna na =

8K

=

=

x-x' (xEK(O,R))

{j

{j

iz

I

{j

=

=

=

Primjedba 6.8. Iz gornjeg dokaza vidi se da je svojstvo ( 66) lokalno; drugim riječima, ako g ima prekide, rubni uvjet je zadovoljen u svakoj točki neprekidno sti funkcije g. Zato ima smisla Dirichletov problem s po dijelovima neprekidnom funkcijom g . Funkcija (64) predstavlja tada generalizirano rješenje. Zadatak 6.3. Dokažite da integral

r JK(O,R) I xl a dV

konvergira za

a

<

n i divergira (tj. ne konvergira) za

(71) a

�

n.

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

70

Zadatak 6.4. Odredite Greenovu funkciju za a) polukrug i b) četvrtinu kruga.

Rješenje. a) Promatramo polukrug xr +� < R2 , X2 >

SL 2.13.

O ; nekaje x!

(Xl , -X2 ) .

Sl. 2.14.

Imamo (sl. 2.13): G(x,y ) =

(

)

1 R 1 ln � - ln 2n: x x l i I " - yI R 1 1 - ln - zn: ln . ( Ixl l xl ) * - yI

(

)

(72)

b) Promatramo četvrtinu kruga xr + � < R2 , Xl , X2 > O ; neka je x!' = ( -Xl , X2 )

Imamo (sl. 2.14):

G(x, y) =

( - � (ln + � ( 2 -�( 2n:

1 1 ln 2n: IX YI _

ln

ln

ln

1 1 1

�

Ixl lx

_

YI

)

) )

R Ixl l (x' ) * - y I R - ln Ixl l(xll ) * - y I R - ln x x ! l i " + YI . - ln

)

.

(73)

Zadatak 6.5. Napišite formulu (64) za n = 2 pomoću polarnih varijabli (sl. 2.15).

Rješenje.

2.7. HARMONIJSKE FUNKCIJE

71

Sl. 2.]5.

u(r, ep ) =

R2 r2 [ 21< 2n Jo R2 + r2 2Rr cos( l

_

_

( )d ep' ep) g ep' ep' . _

(74)

(j e Rn , ako je Teorem 7.1. Ako je funkcija u harmonijska na otvorenom skupu (j e Rn , onda je u C( oo)(tJ) . Dokaz. Neka je x E (j i neka je K(O, R) tJ, x E K(O , R) . Tada je u E C(2) (K(O, R)) , pa prema Poissonovoj formuli (6.60) imamo Funkcija u je harmonijska u E C (2) (tJ) i Au = O u tJ.

na (ili u) otvorenom skupu

E

cc

(1) u(x) = [ � (x, y)u(y) dSy. J8K(O,R) za y E 8K(0, R) jezgra (6.59) ima u točki x sve derivacije, pa to vrijedi i za funkciju (1).

n (j e R

Teorem 7.2. (Teorem srednje vrijednosti) Neka je {j otvoren skup. Ako je funkcija u harmonijska na tJ, onda za svako x E i svaku kuglu K(x, R) {j vrijede formule (svojstva srednje vrijednosti)

[ u dS, �I Rn - Sn I J8K(x,R) u(x) = � I [ u dVo -;;- S i JK(x,R) u(x) =

ee

(2)

(3)

n

Dokaz.

Prema (6.59) i (6.60) za svako x' E K(x, R) vrijedi u(x')

=

I

R2 - lx' - x l 2 [ u(y) dSy• J8K(X,R) Sn l R lx' - y l n

(4)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

72

Specijalno, to vrijedi za x!

=

u

x , pa dobivamo (2). za svako {! E (O, R ) imamo 1

(x) = n l (! - iSn I

ili (uzimajući u obzir (1.61 ))

(!1I-I ISlIlu(x) =

1

8K(I.U)

1"

aK(I,u)

u ls.f u dS =

u

dS,

(5)

(x + (!v){!n-1dS,

(6)

(y rf f udV, n lo ls. lK(I,R) ja u harmoni na otvorenom skupu e i različita od konstantAkoe, onaje funkci na skupu nema ekstjskarema. Dokaz. (-u) gdje je v =

Rn

x)1 {! . Integracijom po varijabli {! E (O, R) dobivamo u(x + {!v){!n - 'dS d{! =

'Sn lu(x) =

(7)

a iz toga (3) .

Teorem 7.3.

II

(j

(j

Rn

Ako funkcija u prima u nekoj točki minimum, onda funkcija prima toj točki maksimum. Zato je dovoljno razmotriti slučaj maksimuma. Neka je (8 ) M = sup u(x) E R, IeU

(jM = {x E (j : u(x) = M} Pretpostavimo da je (jM neprazno. Zbog neprekidnosti funkcije ren II (j : ako niz x(k) E (jM teži točki x(O) E (j , onda je (x(O ) lim = M, .

u »

k-oo

tj. x((J) E (jM . Neka je x E (jM i K(x, R) M imamo O = M - (x) =

-u

u

u(y)

u(X(k» )

u

(9) skup (jM je zatvo (10)

ee (j . Prema (3) za harmonijsku funkciju

,f

-f!,

R Sn lK(I,R)

u(y)

(M

- u(y))

dVo

( 11 )

Zbog M � i z toga slijedi M = za svako y E K(x, R) , tj. K(x, R) e (jM ' Prema tome skup (jM je i otvoren u (j , pa je (jM = (j . To znači da je konstanta, što je protivno pretpostavci, pa zaključujemo da je (jM prazno. Q.E.D. Primijetimo da su u gornjem dokazu korišteni samo neprekidnost i svojstvo sred nje vrijednosti, a ne harmoničnost funkcije ta činjenica bit će od značaja u dokazu Teorema 7.7.

u

u; Akoprijemfunkci ja u drugim riječima,harza moni j ska u području ona svoje ekst r eme a na svako vrijedi u u u Dirichletov pro-6.u blem ima najviše jedno rješenje u u g na r, Korolar 7.4. (Princip maksimuma)

xE g

g,

r

min ::::; (x) ::::; max . r

Korolar 7.S.

r

= f u g,

E C(2) (g)

==

n

C( g) .

E c(2) (g) n C(g) ag ;

( 12)

(13)

( 14)

2.7. HARMONIJSKE FUNKCIJE

73

Dokaz.

Neka su U l , Uz E c(Z){O) n C(O) rješenja problema. Funkcija w = je harmonijska u O i jednaka nuli na r . Prema Korolaru 7.4 imamo O � w(x) � O , tj. w = O .

Ul - Uz

Neka je funkcija U C(2)(0) C(O) harmonijska U Tada vrijedi lu(x) I lul . xEQ Dokaz. u(x) lul , -u(x) -u) lul , ( E

Korolar 7.6.

O.

n

� max

m�

( 15 )

r

Prema Korolaru 7.4 za x E O imamo � max u � max

( 16)

r

r

� max(

17 )

� max

r

r

a iz toga slijedi ( 15). O.E.D. Ako je U E C(2)(0) n C(O) rješenje Dirichletovog problema AU = O U O, U = na r , prema ( 15 ) vrijedi m� � mtx

lu l

g

(18) (19)

Ig l ·

(20)

korektnost Neka je Rn otvoren skup i neka i, tj.jskanekau za svako i svakofunkcija u C( vrijiedima svojstTadavo jesrednje funkcivrijajuednost harmoni h Dokaz. C(Ji) , h u u -h, uh u u h AkoormnoniznaUk ,svakoj k zatvorenoj harmoni jiskiu hfunkcij a jena lotimvorenom skupu konvergi r a uni f kugl onda es u tog niza harmonijska funkcija u Dokaz. Teoremu o integraciji u(x) k_oo k_oo nlS" I JK(x,R) [ Uk j I k(x,R) u u u To svojstvo označava

problema (18), ( 19).

tf e

Teorem 7.7. (obrat Teorema sreduje vrijednosti) E tf) x E tf K(x, R) e e tf (2).

tf .

Prema Teoremu 6.7, z a proizvoljnu kuglu B c c tf postoji funkcija E koja je harmonijska u B i koja zadovoljava uvjet = na 8B . Budući pa za funkcije i imaju svojstvo srednje vrijednosti, irna ga i funkcija w = nju vrijedi zaključak ( 12) (v. primjedbu iza dokaza Teorema 7.3). Budući je w = O na 8B, vrijedi w = O u B , tj. = u B . Dakle, funkcija je harmonijska u svakoj kugli, pa je harmonijska u tf .

tf

Teorem 7.S.

tf .

=

1 ; 2, . . .

tf,

Prema uniformno konvergentnog niza funkcija i prema Teoremu 7.2, za svako x E tf i svako K(x, R) e e tf vrijedi =

lim Uk(X)

=

=

lim

dS

Rit

R" S"

(21)

dS,

tj. funkcija ima svojstvo srednje vrijednosti. Prema Teoremu 7.7 funkcija harmonijska.

je

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

74

Korolar 7.9. Ako niz harmonijskih funkcija Uk E C( O), k = 1, 2, . . . konvergira uniformno na r = ao, onda je njegov limes harmonijska funkcija na O .

Dokaz. Zbog Korolara 7.6, za svako x E Q vrijedi !Uk (X) - Ul(x) I � max lUk - Uli , k, 1 = 1, 2, r

. . .

(22)

,

pa iz Cauchyjevog kriterija slijedi da niz Ub k = 1 , 2 , konvergira uniformno na O . Q.E.D. Neka je x(O) E Rn i funkcija U harmonijska u K(x(O) , R) \ {x(O)} . Tada kažemo da je x(O) singularitet funkcije u . Singularitet je uklonjiv, ako postoji A E R takvo da je funkcija . . .

ilex) =

{ A,u(x),

(23)

harmonijska u K(x(O) , R) . Očigledno je da je u nekoj okolini uklonjivog singula riteta funkcija ograničena. Singularitet x = O fundamentalnog rješenja 1J111(lx l ) je

neuklonjiv.

Teorem 7.10. Neka je x(Ol E

RII singularitet harmonijske funkcije u u (x) O, x x(O) x 1J111(l _ x(O) I ) --+

--+

.

i neka (24)

Tada je x(O) uklonjivi singularitet.

C(K(x(O), Rd) , Rl < R , har aK(x(O) , Rd . Neka je w = Ut u ;

Dokaz. Prema Teoremu 6.7 postoji funkcija u l E

monijska u imamo Za

K(x(Ol, Rd

i takva da je

w=O

e > O neka je

Ul

=

na

U

na

-

aK(x(O) ,R).

(25)

v; (x) = e1J1n ( lx _ X(O) ! ) ± w(x).

Vrijedi (bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je Rl < 1 )

za O < O < Rl i x E

aK(x(O) , o)

v; (x) =

Vrijedi Neka je Oo

v;

>O

na

imamo

e1J1l1 (o) ± w(x) 1J111( 0 ) (e ± =

w(x) 1J1n (lx _ x(O) I )

> O,

aK(x(O) ,Rt).

--+

Ot) < Rl takvo da za svako

I w(x) I 1J111 ( 0 )

<

O,

x

--+

��1)) .

x(Ol

(26) (27) (28) (29)

o > O , o < Oo , vrijedi

e, x E aK(x(o) , o).

(30)

2.7. HARMONIJSKE FUNKCIJE Tada iz (28) za svako {J

>

75

O , {J < lJn , slijedi

(31) aK(x(°l , {J) . su harmonijske u prstenu {J < lx - x(O) I < R l , pa prema Korolaru 7.4 iz

v; > O na

Funkcije v; (27) i (31) slijedi ili, zbog (26),

-E1J.'n (lx - x(O) 1) < w(x) < E1J.'n (lx - xo l) , {J < Ix - x(O) 1 < R l . Zbog proizvoljnosti E iz toga slijedi w(x) = O za svako x =J. x(O) , tj. u K(x(O) , R) \ {xo} . O.E.D.

( 33 ) = Ul na

Očigledno je da se u gornjem teoremu uvjet (24) ne može oslabiti. Specijalno, ako je ;; ograničeno u nekoj okolini singulariteta, taj singularitet je uklonjiv. S harmonijskim funkcijama u g e R2 povezan je Cauchy - Riemannov sustav

ov

ax = ay' Gy = ax r = ag povezano i neka je u , v E C( l ) (g) au

( Xl x, X2 y ) . Neka je =

=

au

ov

(34)

rješenje sustava (34). Za svaku zatvorenu i povezanu orijentiranu krivulju prema (2.61) dobivamo

JU L

Iz toga slijedi da je u

dx - v dy =

g

-

rJlntr ( au axov)

+ 8y dobro definirana funkcija

l/>(x, y) = 1

(x,}')

(xo ,}'o)

dx dy = O.

gdje se integrira po bilo kojoj orijentiranoj krivulji koja spaja točke Lako se pokazuje da je l/> E C(1)(g) i da vrijedi =

e

g

(36) (37 )

u dx - v dy,

al/> u al/> ax � , ay

L

(35)

(xo, Yo ) i (x,y) . (38)

- v.

Uzimajući u obzir (35) i (34), zaključujemo da je l/> harmonijska funkcija u g . Iz (34) zatim slijedi da su i funkcije u i v harmonijske; one su harmonijski konjugirane. Sustav (34) je ekvivalentan svakoj od jednakosti

v(x,y) u(x,y) Neka je u E

C( l )(g)

=

=

l 1

(x,}')

(xo ,}'o) (x,}') (xo ,}'o)

au

-ay

ov

8y

au

dx + - dy

ax

ov

dx - - dy.

ax

'

(39)

(40)

rješenje Neumannovog problema

l1u = O u

g,

�� = h

na r.

(41)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

76

(x, y) E r ; integrirajući u (39) po r , pomoću (2.59) dobivamo x) au Tx au Ty ds = 1 (....y) au ds = 1 (x.y) h ds. v(x,y) = 1 ( .y - + ay ax (X",)'o) (XO,)'o) av (X{l'yo)

(

Neka je

)

(42)

Prema tome funkcija v , harmonijski konjugirana funkciji u , zadovoljava Dirichletov uvjet v = g na r, (43)

g(x, y) = 1

gdje je

(x.y)

(xo,)'o)

(44)

h ds.

Obratno, ako harmonijska funkcija v zadovoljava uvjet (43), onda je funkcija (40) rješenje problema (41). Na taj način, ako je n = 2 Neumannov problem se reducira na

Dirichletov.

Dobro je poznato da su uvjeti (34), (35 ) nužni i dovoljni da bi funkcija u(x, y) + bila holomorfna funkcija kompleksne varijable z = x + iy u području Q .

iv(x, y)

Teorem 8.1. Neka je funkcija u harmonijska u okolini beskonačnosti 26 u R" ,

n > 2 , i neka

u(x)

Tada postoji konstanta e > vrijedi

-

O , l x i oo . (1) O takva da za svako x (iz neke okoline beskonačnosti) -ot

1

l u(x) I � e

I I au(x) ax;

�e

1

Ix l n - 1

'

i = 1 , 2, .

(2)

.. , n.

Dokaz. Neka je funkcija u harmonijska u vanjštini kugle K(O, R) i neka je Kelvinova transformacija funkcije u (v. Zadatak 2.2):

x" R,, -2 u(x) , RZ X ,, * 2 Ix I Ix* 1 2 ' je harmonijska u K(O, R) \ {O} (v. (2.55)). Imamo u * (x* ) (n - 2) -1: u (x) O x* O. R" 15,,1 1/J (\x* i) u * (x* )

Funkcija u"

.. -

=

_

26

Okolina beskonačnosti u Rn je vanjština kugle.

, -

(3)

u* (4)

(5)

2.8.

77

VANJSKI RUBNI PROBLEMI

Prema Teoremu 7.10 iz toga slijedi da je funkcija u* (nakon proširenja na točku x* = O ) harmonijska u K( 0, R) , pa je u nekoj okolini ishodišta ograničena zajedno sa svojom derivacijom. Iz (4) slijedi

R"-2 U (X) = Ixl "- 2 U * (X* ) , x* = R2 IxX1 2 ' au(x) = R" -2(n 2) � u* (x* ) + R" � au * (x* ) aXi lx i" lx i " axi * * - 2R"� x. au (x ) . Ixl"+2 � L...J J ax� J Uzimajući u obzir da je lXii � lxi , 1:1" < x l!-' , iz toga dobivamo (2) i (3). I _

(6)

_

1=1

(7) O.E.D.

Na isti se način dokazuje

Teorem S.2. Neka je funkcija u harmonijska u okolini beskonačnosti u

u (x)

ln lxi

- O , Ixl - oo.

R2 i neka (8)

Tada je funkcija u ograničena (u nekoj okolini beskonačnosti) i ima limes u beskona čnosti; postoji konstanta e > takva da za svako x (iz neke okoline beskonačnosti) vrijedi

O

I I

au(x) e � aXi Ix1 2 '

l = 1, 2. .

(9)

za funkciju u koja je definirana u okolini beskonačnosti u R" kažemo da je regularna u beskonačnosti, ako zadovoljava uvjet (1) u slučaju n > 2 , odnosno ako je ograničena (u nekoj okolini beskonačnosti) u slučaju n = 2 . Prema Teoremu 8.2 za regularnost harmonijske funkcije u slučaju n = 2 dovoljan je slabiji uvjet (8). Primijetimo da je u slučaju n > 2 fundamentalno rješenje 1J111 (lx i) regularno u besko

=

načnosti. U ovoj točki pretpostavljat ćemo da je r aQ povezano; tada je Ql = tr neograničeno područje. Ovdje ćemo proučavati rubne probleme u području Ql ; to su vanjski rubni problemi. Pored rubnog uvjeta na r , u ovom slučaju zadaje se i ponaša nje rješenja u beskonačnosti, tj. za veliko lx i . Kao što ćemo vidjeti, konzistentan uvjet je regularnost u beskonačnosti. 27 Teorem S.3. Ako je funkcija u E e(Ql ) harmonijska u

načnosti, onda je

Dokaz. Neka je Q

sup l u l e

o,

Ql i regularna u besko

l ul . � max r

K( OjR) . Prema Korolaru 7.6 imamo max l u l � max lul + max lul , x E K(O, R) \ Q. l u(x) I � rU8K(o,R) r 8K(O,R)

27

Izuzetak je problem potencijalnog optjecanja za inkompresibilni fluid (v. Zadatak 2).

(10) (11)

2. LAPLACEovA JEDNADŽBA

78 U slučaju n

>

2 , zbog regularnosti vrijedi max lul - O , R -

8K(O,R)

oo.

( 12)

Iz (11) i (12) slijedi ( 10). U slučaju n = 2 pretpostavimo (bez smanjenja općenitosti) da je ° E Q . Neka je Kl(O, RI ) cc Q i neka je u* (x*) Kelvinova transformacija funkcije u prema KI (O,Rd : ( 13) {14} Transformacijom ( 14) krivulja r prelazi u krivulju r* , a područje Ql u područje Qi = Intr* . Funkcija u* je (zbog ograničenosti) harmonijska u Qj i klase C(Q�) , pa prema Korolaru 8.3 imamo lu*{x* ) 1 � max lu* l , x* E Q;. (15)

r·

Iz toga, zbog ( 13), slijedi { lO}.

Korolar 8.4. Vanjski Dirichletov problem

-!lu = f u Ql, u = g na r, u regularno u beskonačnosti, ima najviše jedno rješenje u klasi C(2) (Ql ) n C( Ql) . Ako je u rješenje problema { 16}-{18} za f = O , onda prema (10) vrijedi sup lul � max Ig l ,

Ot

r

( 16) ( 17) ( IS)

(19)

što predstavlja korektnost vanjskog Dirichletovog problema.

Teorem 8.S. Ako je n = 2 i ako je funkcija u E C(2)(Qd harmonijska u Ql i regularna u beskonačnost� onda vrijedi 28 f 8u (20) dS = O. Jr 8v

Dokaz. Nekaje Q CC K(O,R) (za svako dovoljno veliko R ). Prema jednakosti (5.l8), primjenjenoj na područje K(O, R) \ Q , dobivamo j 8U la 8u - - dS + ( 2l ) - dS :: O. 8v 8v r 8K(O,R) Dalje imamo la 8u - dS � max I grad u l - 2n:R. (22) 8K(O,R) 8K(O,R) 8v 28

Na r funkcija v označava (kao i do sada) vanjsku normalu područja Q .

79

2.8. VANJSKI RUBNI PROBLEMI Zbog regularnosti i Teorema 8.2 postoji konstanta e

R ) vrijedi

max I grad u l �

8K(O,R)

[ J

Iz (22) i (23) slijedi

Iz (21) i

e

R2

> o takva da (za dovoljno veliko '

(23)

au � 21re dS R . av 8K(O,R)

(24) slijedi (20).

(24 )

'"

Ako je n = 2 i ako vanjski Neumannov problem !lu = O u at , au = h na r, av u regularno u beskonačnosti, 2 ( ) E e ima rješenje u (a1 ) , ondaje h dS = O. Korolar S.6.

(25) (26) (27)

fr

Teorem S.7. Ako je funkcija u E e(2) (a1 ) harmonijska u beskonačnosti, onda vrijedi au u dS + I grad ul 2 dV = O, Jr a v o, gdje smo stavili

[

1.

o,

mo

Dokaz.

1.

(28) al

[

2 I grad uj 2 dV = lim R _oo JK(O,R)\Q I grad ul dV.

i regularna u (29) (30)

Premajednak:osti (5.19), primjenjenoj na područje K(O, R) \ a , dobiva-

[ J

_

K(O,R)\Q

Dalje imamo

I grad u l 2 dV

fr -auv u dS + 1 ra

=

1

au dS. -u av 8K(O,R)

(31)

au u dS m I grad m lul ul , ax (32) ax ' I Sn IRIt-I • v � 8K(O,R) a 8K(O,R) 8K(O,R) Zbog regularnosti i Teorema 8.1 odn. 8.2 postoji konstanta e > O takva da (za dovoljno

veliko R ) vrijedi

max lul �

8K(O,R)

{

max I grad ul �

8K(O,R)

R�Ž ' e,

{

e

gr ,

n>2 n = 2, n>2 n = 2.

(33) (34)

80

Iz (32)-(34) slijedi

la8K(O,R)

pa dobivamo

au -u dS ""� av

r Rlim --> oo J8K (O

Iz (31) i (36) slijedi (29).

{

2.

LAPLACEoVA JEDNADŽBA

n>2 n = 2,

(35)

au u dS = O.

,R) av

(36)

Korolar 8.8. Akoje n = 2, svaka dva rješenja vanjskog Neumannovogproblema razlikuju se za konstantu; ako je n > 2, problem ima najviše jedno rješenje.

Neka su Ul i rješenja u w = Ul Prema (29) vrijedi r I grad wl2 dV = O. (37) Jf.2 r Iz toga slijedi da je grad w = O, tj. w = const. U slučaju n > 2 iz regularnosti slijedi Dokaz.

U2

- U2 .

w = O.

Zadatak 8.1. Formulirajte i dokažite analogone Teorema 6.3, 6.4 i 6.7 za harmo nijsku funkciju u gl , regularnu u beskonačnosti. Zadatak 8.2. Problem optjecanja formulira se ovako:

AU O II gl, aU = a · v nar,

(38) (39) (40)

av

gradu(x) - O , Ixl - oo. Ovdje je a E Rn . Dokažite slijedeće tvrdnje za rješenje u : a) za svako x E gl i svako K(x, R) g vrijedi ::::r:J

rJ8K(x,R) u dS = e Rn-l ,

gdje je e konstanta (neovisna o R ) . b) Vrijedi reprezentacij a

)

(x - y) . a dV , x E gl. (42) l (x - y) . v u ) dS (y + n l lx y JQ lx _ y ln Jr Postoji K > O takvo da za svako x (iz neke okoline beskonačnosti) vrijedi u(x) = const + v(x} , Iv(x) I � K Ixl1n-l ' (43)

u(x) = 1 l ISn e)

(e

(41)

+

r

_

{x} I � K /x1/n l. = 1 , 2, . . . , n. d) Svaka dva rješenja problema (38)-(40) razlikuju.se za konstantu.

I

au aXj

'

(44)

81

2.8. VANJSKI RUBNI PROBLEMI

Rješenje. a)

Imamo: au :n u(x + 'Rv) dS =: 'Rn -l d dS Rn 1 u(X + 'Rv) dS. v dR Js. u o ,R) s. n. J8K(x S druge strane vrijedi au au dS a . v dS = O dS = ' Jr J8K(x,R) ov Jr ov pa je u(X + 'Rv) dS = O,

l

r

r

r

! Jsr.

ili

r

r

=

1s. u(x + 'Rv) dS = C(x).

Iz toga slijedi

Uzimajući limes kad 'R (48) slijedi (41). b) Imamo:

grad C(x) =: -+

oo ,

(45) (46) (47) (48)

1s. grad u(x + Rv) dS.

zbog (40) dobivamo grad e

(49) O , tj. e =

=:

fr (-�: 1/Jn( lx - yI) + u :v 1/Jn( lx - YI») dS, �u : + r ( 1/Jn ( lx - y I) - u 1/Jn( lx - yI)) dS, J8K(X,R)

cons! .

Iz

u(x) =

uV

rJ&K(x,R) �u 1/Jn ( lx _ y I) dS

Prema (41) dobivamo DaJje imamo:

uV

r)8K(X,R) u : 1/Jn ( lx - yI) dS uV

uV

=

=

1/Jn('R)

1/J� ('R)

rJ8K(x,R) �u dS

r u dS J&K (x ,R)

fr �: 1/Jn C lx - y I) dS fr a ' v ' 1/J,,( lx - yI) dS ==

r grady 1/Jn(lx k

O.

uV

==

e - Isn I '

-

y I ) dV = _ kr a lx' (x_ y(n ) dV; fr U-;:)a 1/Jn( lx - y I) dS =: fr (x y) .n v u dS. r uV r Ix - y I Iz (50)-(54) slijedi (42). =a·

_

(50) (51) (52) (53)

(54)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

82 e)

za

lxi > 2 m�x Iy l

o

imamo

lx - Y I � I � I - Iy l ! � lxi 1

2 � � Ixl '

� lxi I�I , =

(55) (56)

v

K

II (x� yyl) .n u dS I � Ixln-1 ' 1. I Jro alx· (x--y ly)n l . � � Ixln -

(57)

r

dv

Iz

(42), (57) i (58) d)

slijedi

Neka su Ul i

U2

(43).

Analogno dokazujemo (44).

rješenja,

w = Ul

Aw = O aw = O

u

ov

Primjenjujući

K(O,R)\Q

Prema

(43) i (44)

imamo

· l lID R - oo Iz

(62) i (64)

2

slijedi

a iz toga grad w

r

la

JQJ I

8K (O,R)

(60) -jo

(61)

oo .

dobivamo

=

dV

aw 1 � w dS � R uV 8K(O,R)

pa je

(59)

O , lxi

-jo

(5.19) na w i K(O,R) \ O, I grad w l

01 ,

U2 . Imamo

na r,

grad w(x)

1 la

(58 )

(

la

aw -w dS.

(62)

) ISn l ,

(63)

8K(O,R) o V

const

+

K

Rn- l

aw -w dS = O. ov 2

grad wl dV

=

O , w = const, Ul - U2 = const.

O,

.

(64)

(65)

83

2.9. FOURJEROVI REDOVI

Razmotrimo Laplaceovujednadžbu u R2 \ {O} . U polarnim varijablama (s polom u O), jednadžba glasi (v. Zadatak 2.1) 02 1 a au (r ) + 12 u2 O. (1)

-;: ar ar

r Oep

Odredit ćemo netrivijalna (tj. različita od nule) rješenja koja imaju separirani oblik: u(r, ep) = &l(r) . cI>(ep). (2) Ovdje su &l i CI> funkcije (različite od nule) na (O, oo) i (-oo, oo) , respektivno, pri čemu je funkcija CI> periodična s periodom 2n; : CI> ( ep + 2n;) = CI> ( ep). (3) Uvrštavajući (2) u (1) dobivamo jednadžbu 1 1 . . ili

-r (rffl'(r»)' cI>(ep) +

&l(r) cI>"(ep) = O,

r (r&l (r» cI>"(ep) . = cI>(ep) &l(r) I

I

(4) (5)

Lijeva i desna strana u toj jednadžbi su funkcije različitih varijabli, pa su nužno jednake istoj konstanti }.. . Prema tome imamo jednadžbe

r(rffl' (r»)' }"&l(r) = O, cI>/(ep) + }.. cI> (ep) = O.

(6) (7)

Vrijednosti parametra }.. za koje jednadžba (7) ima netrivijalna ( 2Jl-periodična) rje šenja zovu se svojstvene vrijednosti; odgovarajuća rješenja zovu se svojstvenefunkcije. Za negativno }.. rješenja jednadžbe (7) su hiperboličke funkcije, a one su neperiodič ke. Prema tome svojstvene vrijednosti su nužno nenegativne. Za }.. = O periodičko rješenje je konstanta. za }.. > O rje§enja jednadžbe su funkcije sin ..ffx i cos ..ffx ; iz uvjeta periodičnosti (3) slijedi d, je ..ff prirodni broj ili nula. Prema tome, postoji prebrojivo m9ogo svojstvenih vrij�dnosti }..,. = n2 , n = O, 1, 2 , . . . . Odgovarajuće svojstvene funkcije su 1 , cosnep sinnep n = 1, 2, . . . . Lako se provjeravaju ova svojstva ortogonalnosti svojstvenih funkcija ( n, m = 1, 2, . . . ) :

jn cos nep . cos mep dep = { O, �

�

n # m, n=m#�

l: cos nep . sin mep dep = O,

(8)

(9)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

84

1-1< sm mp · smmq:> dq:> = { 1< •

•

O, 3t,

n = m. = A" = n2 su funkcije

( 10)

n Linearno neovisna rješenja jednadžbe (6) za A r" i rza n > O, odnosno 1 i ln r za n = O. Prema tome, tražena rješenja jednadžbe (1) su funkcije 1, ln r, r" cosnq:>, r" sin nq:>, r- n cos mp , r-n sin ncp, n = 1, 2, . . . . ( 1 1) Razmotrimo Dirichletov problem za krug: hu = O u K(O, R), (12) u = g na 8K(O, R), ( 13) gdje je g neprekidna 2Jt-periodička funkcija na R . Pretpostavimo da se rješenje tog problema može napisati u obliku reda funkcija (11) koje su regularne u r = O : oo u( r, q:» = ao + L r" (Air cos nq:> + Bn sin mp). n= 1

(14)

an = Rn An , bn Rn Bn , n = 1, 2, . . . .

( 15)

Iz formalnih razloga definiramo nove koeficijente

Tada je

()

r n (an cos nq:> + bn sm . nq:» . li u(r, q:» = ao + � ( 16) L....J n= l Pokazat ćemo da su svi koeficijenti an i bn odredeni rubnim uvjetom (13). Imamo u(R, q:» = g( q:» , (17) tj.

g( q:»

oo

+ L (an cosn
odnosno sa sin kq:>. ( k = 0, 1, 2 , . . . ) i integrirajmo od -3t do 3t . Uz lio

pretpostavku da red ( 18) konvergira uniformno, dobivamo

i: g( dIP = � i: cos kq:> dIP + � (an i: cosn cosk
dIP = � i: sin kq:> dq:> + � (an 1 1< cos n
dIP + bn 1 sin n
dq:» . 1< oo

_n

_n

( 19)

(20)

2.9.

85

FOURIEROVI REDOVI

Zbog svojstava ortogomilnosti (8)-(10) na desnim stranama tih jednakosti poništavaju se svi sumandi osim d ep = ao !r za k = O, (21)

� l:

ak u

( 19) i

u

(20) . Iz toga dobivamo

J� cos2 kep dep = ak !r

za k =F O

(22) (23)

1 j1t g(1J1) cosn1J1 d1J1 , !r 1 j1t bn = g(1J1) sin n1J1 d 1J1 . !r

an =

-

(24)

1t

(25)

_ Jr

Tako definirani brojevi an . bn • n = 0, 1, 2, . . . zovuseFourierovi koejicijenti funkcije g, a odgovarajući trigonometrijski red oo ao + L...J '"' . nep a cosnep b sm (26)

+ n n n=1 zove se Fourierov red funkcije g . U formulama (24) i (25) integraciju po intervalu 2

(- !r, !r) možemo (zbog periodičnosti) zamijeniti integracijom po bilo kojem intervalu duljine 2!r . Uvrštavajući (24) i (25) u (26). dobivamo formalno rješenje problema (12), ( 13):

u(r, ep) = 2�

l: g(1J1) d1J1 + *; (jr x x

J� g(1J1)(cos n1J1 cos nep

1 j 1t 1 oo d 1J1 + g( 1J1) -1t !r

+ sin n1J1 sinnep)

n j 1t n( d . -1t cos ep - 1J1 )g( 1J1) 1J1 (27) Metoda kojom smo dobili to rješenje zove se Fourierova metoda. Ostaje nam oprav danje te metode, tj. dokaz da je funkcija (27) rješenje problema. Za ep E [-!r, !r] , O � r � {! < R imamo

=

� (ii) r

li (jr J� cos n(ep - 1J1)g(1J1) d1J1 1

Geometrijski red

�

2 w,� Igl '

(� r .

(28)

(29)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

86

konvergira Uer je e/R < 1 ), pa prema Weierstrassovom kriteriju red na desnoj strani u (27) konvergira apsolutno i uniformno na krugu K(0, e) . Zato smijemo zamijeniti poredak sumacije i integracije, pa za O � r < R imamo n 1 11< 1 oo (30) u(r, cp) = -n (-2 + L R- cos n( cp - lJ! )) g( lJ! ) dlJ!- 1< n=1 To možemo pisati u obliku 1< n . 1 1 oo u(r, cp) = -n 1 Re -2 + L Rr e,n(cp - 1jJ) g( lJ! ) dlJ! . (31) n= l -1<

(

Dalje imamo pa dobivamo

u)

( -)

)

-:-;-----,-

OO ( r ) n ei.n(cP-1jJ) = . rei(cp-1jJ) , L R rei(cp-1jJ) R

-

_

n= l

u(r, cp )

(32)

_ _

)

1 11< ( 1 rei(cp -1jJ) Re 2 + -1< R rei(cp- 1jJ) g( lJ! ) dlJ! 1 11< R rei(cp- 1jJ) = 2n - ReR + rei( cp-1jJ) g( lJ! ) dlJ! , 1<

= ;r

_

_

ili

1 11< RZ - ? u(r, cp) = 2n - RZ 2Rr cos( cp - lJ! ) + rZ g( lJ! ) dlJ!. 1< _

(33) (34)

Ta formula se podudara s Poissonovom formulom (6.74), pa prema Teoremu 6.7 za ključujemo da je funkcija (27) rješenje problema (12), (13). Specijalno, to znači da funkcija (16) (u kojoj su an i bn Fourierovi koeficijenti funkcije g) zadovoljava rubni uvjet (13), pa imamo ovaj rezultat:

Lema 9.1. Neka je f neprekidna 2n-periodična funkcija O, 1, . . . ) Fourierovi koeficijenti te funkcije:

Tada vrijedi

i neka su

1 11< an = -n1 11< (x) cos nx dx , bn = (x) sin nx dx. -1< f n - f 1<

oo � + !� L (�r (an cos nx + bn sin nx) = f (x). n=l

(35) (36)

Primjedba 9.2. Očigledno je da se Fourierov red može pridružiti svakoj funk ciji na R, koja je po dijelovima neprekidna. Prema Primjedbi 6.1, Lema 9.1 ostaje valjana i za takve 2n -periodičke funkcije (tj. zaključak (36) vrijedi u svakoj točki neprekidnosti funkcije f ) .

2.9. FOURIEROVI REDOVI

87

Lema 9.3. Ako za Fourierove koeficijente an i bn neprekidne 2:rc-periodičke funkcije vrijedi

f

oo

I: lan i + I bnl < n= 1

(37)

OO,

onda njen Fourierov red konvergira apsolutno i uniformno i suma mu je jednaka Dokaz. Za O � r � R vrijedi I ( an cos nx + bn sin nx) I � lani + I bn l ,

(�r

(38)

pa uz pretpostavku (37) prema Weierstrassovom kriteriju red

I: (� ) n (all cosnx + bn sinnx) oo

(39)

=1

konvergira apsolutno i uniformno. Zato u (36) smijemo prijeći na limes r znakom sume. Tako dobivamo

->

� + I: (a" cosnx + b"sinnx) =f(x), oo

Nekajefunkcija po dijelovima neprekidna na segmentu Fourierovog reda: S� n-ta parcijalna sumafnjenog n Sn = � + I:(a cos h + b sinh).

Teorem 9.4.

i neka je

k=l

k

k

Tada vrijedi Besselova jednakost

LIf (x) S.(x))' dx = Lf2(x) dx

(�

,,

Dokaz. Imamo

+

R pod (40)

11= 1

pri čemu red na lijevoj strani konvergira apsolutno i uniformno.

f.

29

[-:rc, :rc] (41)

t(a) + bl)) (42)

J�(j (x) -SII(x))2 dx = J�f2(x) dx + l: S;(x) dx - 2 l:f(x)SII(x) dx. (43)

Koristeći relacije ortogonalnosti (8)-(10), dobivamo

L S;(x) dx L ( � + tea. coskx + b. sinkx)) (� +

29

t.(

aj cosjx + bj sinjX)

)

dx

= " ( � + t(al + bl)) .(44)

Tj. po dijelovima neprekidna na (-]f, x) j neprekidna u -]f i

x.

2.

88

LAPLACEoVA JEDNADŽBA

Uzimajući u obzir formule (35), imamo

1:1 (x)Sn (X) dx

1:/(x) dx+ t (ak 1:/(X)COSkxdx + b, Lf(x)Smkx dx) = " � + (al + bl) . =

ao

( t,

Uvrštavajući (44) i (45) u (43), dobivamo (42).

bn 1_ 1 2(x) dx.

)

(45)

Korolar 9.5. Za Fourierove koeficijente an i po dijelovima neprekidne funk cije I na segmentu [-:n:, :n:J vrijedi Besselova nejednakost 1 .1t l )a; � ;;;

il2 + oo + b�) n=1

Specijalno je

n=1 n-+limoo an

;JJ:

n-+CQ b" O. Dokaz. Iz (42) slijedi n 1:/2 (X) dx "2ao2 + � (ak2 + b,2,) � O, n il2 + � (az + bZ) � l;;; 1_1f/ 2 (x) dx. :n:

ili

'

=

O , lim

=

(

)

Uzimajući limes n - oo , dobivamo (46 ) i kao posljedice (47) i (48 ) .

(46 )

(47 )

(48 )

(49) (50)

Ako je funkcija I 2:n:-periodična i po dijelovima klase C( l ) , njen Fourierov red konvergira apsolutno i unilormno i suma mu je jednaka I . Dokaz. Za Fourierov koeficijent ak (k = 1, 2, . . . dobivamo parcijalnom integ Teorem 9.6.

)

racijom:

(51)

b�

t'(x) " " 1/2 n 2 1/2 � I ak l � � lb� 1 � � :2 . f; b�

gdje je Fourierov koeficijent funkcije (koja je po djelovima neprekidna). Koristeći Cauchyjevu nejednakost, iz (51 ) dobivamo "

=

( ) ( )

(52)

2.9'.

FOURIERovr REDovr

Vrijedi

oo 1

oo. :E k2 < k=1

(53)

Prema Korolaru 9.5 imamo

(54) Iz (52)-(54) (uzimajući limes n --+ oo ) dobivamo

oo

I: lad < oo . Analogno je

(55)

k=1 oo

(56)

Iz toga i Leme 9�3 slijedi zaklju.čak teorema. O.E.D. za funkciju koja je oefinirana samo na segmentu [-.Tr, m] , prethodni teorem prima ovaj oblik:: Teon-1It '.7� AJw je jimk(tija f po dijelovima klase C(l) na segmentu 30 [ -.Tr, .Tr] i ako je f (-.Tr) = f (.Tr) , onda njen Fourierov red konvergira apsolutno i un:iformno na tom segmentu i suma mu je jednaka f .

U primjenama nije uvijek od značaja da Fourierov red konvergira po točkama; često je dovoljna konvergencija u srednjem. l...e11Ia 9.8.

nekaje

Neka je funkcija f po dijelovima neprekidna na segmentu [-.Tr, .Tr]

(57) Tada iZ1faz �II una mmimalnu vrijednost ako i sa1fW ako su ak koefictjentiftmlkije f : 1 (4 = ak = - . f (x) CQs kx lk, .Tr _n;

f-tr

13k � bk = 30

.!. 1'][ f (x) sinkx

.Tr

- tr

dx.

Tj, f I po dijelovima neprekidna na [-:rt, :rt] ; v, fusnotu na str. 87.

i

�k Ji'-ourierovi (58)

(59)

90

2.

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Dokaz. Neka je Sn(x) definirano formulom (41). Izraz t:::.n možemo pisati u

obliku

t:::.n =

f-l< (f (x) - Sn(x) + l<

tlo

;

+ t « ak - ak) cos kx + (bk - �k) Sinkx»

k= l Koristeći relacije ortogonalnosti (8)-(10), dobivamo

)2

(60) dx.

l:(f (x) - Sn(X» dx = o,

(61)

l:(f (x) - Sn (x» cos kx dx o , k = 1 , 2, . . . , J�(f (x) - Sn(X» sin kx dx = O , k = 1, 2, . . . , :t::

(62) (63)

(64) pa imamo /;.

=

[.if (x) - S.(x» ' dx +

"

e � t,« a, ", )' +

)

a, - (4 ) ' + (b, - p.)'» .

Iz toga neposredno slijedi zaključak leme.

Teorem 9.9. Neka je funkcija f po dijelovima neprekidna na segmentu i neka je Sn n-ta parcijalna suma njenog Fourierovog reda. Tada je

n��

J�(f (x) - Sn(x)f dx = O.

(fl<

) �.

...

(65)

[-n, nj

(66)

< Xr E (-n, n) točke prekida funkcije f . Dokaz. Neka su XJ < X2 < Podijelimo svaki od intervala (-n, x) . (Xl , X2 ), . . . , (Xr, n) na konačan broj manjih (diobenih) intervala. Nekaje g neprekidna funkcija na [-n, nj . koja je na svakom diobenom intervalu linearna, podudara se s f u svim diobenim točkama osim možda u Xt , X2, . . . , Xr i koja zadovoljava uvjet g( -n) = g( n) (sL 2.16). Neka je e > O ; očigledno je da diobu možemo odabrati tako da vrijedi 1/2 (f (x) - g(x»2 dx (67) < -Jr

2.9. FOURIEROVI REDOVI

Sl. 2. 16.

Neka je an n-ta parcijalna suma Fourierovog reda funkcije g . Budući da funkcija g zadovoljava uvjete Teorema 9.7, postoji prirodni broj 110 , takav da za n � no vrijedi max Ig(x) - an (x) I <

xE[O,2.0:]

Dalje imamo

(jn (g(x) -Jr

_

an(x)) 2 dx

Prema Lemi 9.8 vrijedi

.

e

(68)

2 vFC 2Jr '

) 1 /2 < max Ig(x) - an(x) l v'21t < 2

�.

xE[O,2.0:]

(69)

l:(J (x) - SII(X)? dx � l:(j (x) - an(x))2 dx.

S druge strane imamo

(70)

J�Jr(j (x) - an(x) f dx =

= r:'n(j (x)

l: (J (x) - g(x) + g(x) - an(x) f dx g(x)) 2 dx + 2 l: (J (x) - g(x) ) (g(x) - an(x)) dx + l:(g(x) - an(x) f dx.

(71)

Prema Cauchyjevoj nejednakosti vrijedi

l:(j (x) - g(x) )(g(x) �

pa dobivamo

([:(j (x)

_

an {x)) dx

g(x))2 dx

) 1/2 (l:(g(x) .

_

) 1 /2

all(x)f dx

,

(72)

(73)

92

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

(jJr

) 1n/2

Iz (67), (69), (70) i (73) zaključujemo da za svako _}

no vrijedi

>

! (x) - Sn (X» 2 dx

<

E.

(74)

O.E.D. Jednakost (66) označava da Fourierov red po dijelovima neprekidne funkcije I na segmentu [-n:, n:] konvergira funkciji I "u srednjem". Uzimajući u (42) limes n - oo , dobivamo ovaj Korolu 9.10.

cije I

na

segmentu

j" 12(X)

Za Fourierove koeficijente an , bn po dijelovima neprekidne funk [-n:, n:] vrijedi Parsevalova jednakost

il + 2:)a� + b� ) = ;;;1 2

oo

n= 1

dx.

Ako je po dijelovima neprekidna funkcija I na [-n:, n:] parna ( t ( -x) onda imamo 1 an = -n: I (x) cos nx dx + " I (x) cos nx dx = - I (x) cos nx dx, _Jr n: " bn = 1 I (x) sin nx dx + -1 l (x) sin nx dx = O. n: _Jr n:

J

O

Ako je funkcij� I

J

O 1O

neparna ( t (-x)

(75)

-Jr

2 1O"

1

O

I (x) ) , (76) (77)

= -I (x) ), onda je

2 1o"

bn = n:

(78) I (x) sin nx dx.

(79)

:'"! '-/� l �--:. :

J

I

__

- 31:

.....

_.

I .. - - -in 10

__

�LI

31:

Sl. 2.17.

Pretpostavimo da je funkcija I po dijelovima neprekidna na segmentu [O, n:] . Pro širimo je po pamosti na segment [-n:, O] , tj. za x E [- n:, 0] stavimo I (x) = f (-x) (sl. 2.17). Fourierov red proširene funkcije prema (76) i (77) glasi oo ao '"' 2 " a , cos nx a (80) = + I (x) cos nx dx. n n "2 L.J n: n=1

1

O

93

2.9 . FOURIEROVI REDOVI

Na taj način dobili smo razvoj funkcije f (definirane na [0, .7t'] ) u Fourierov red po kosinusima. Analogno, proširujući f po neparnosti, tj. stavljajući f ( -x) = -f (x) za x E [-.7t' , O] (sl. 2.18), dobivamo razvoj te funkcije u Fourierov red po sinusima: oo

bn sin nx , L n =]

2 " f (x) sin nx dx. bn = .7t' o

1

(81)

� �

---� ---

Sl. 2.18.

Iz Teorema 9.7 i 9.9 neposredno slijedi ovaj

,

Teorem 9.11. Ako je funkcija f po dijelovima klase C(l) na segmentu [0 .7t'] , onda red (80) konvergira apsolutno i uniformno na tom segmentu i suma mu je jednaka f ; ako je f (O) = f (.7t') = O (sl. 2.19), onda isti zaključak vrijedi i za red (81) . Ako je funkcija f po dijelovima neprekidna na segmentu [0 .7t'] , onda redovi (80) i (81) konvergirajufunkciji f u srednjem.

,

. Sl. 2.19.

Razmotrimo po dijelovima neprekidnu funkciju f na R, koja je 21-periodična ( l > O ). Neka je y = m/l , !(y) = f (ly/.7t') . Funkcija ! je 2.7t'-periodična i njoj je pridružen Fourierov red

�+L (an cos ny + bn sin ny) . n oo

(82)

=] Prema tome, funkciji f je pridružen Fourierov red

ao

oo

'2 + "" L.J n=]

(an cos n-m- + bn sm. n-m- ) . 1

1

(83)

2. LAPLAcEoVA JEDNADŽBA

94

za koeficijente imamo

lC I (y) J-lC -) 1t: l(y n: J J-III (x)

an = -n:1

cos ny dy

bn = -1

sin ny dy

tj.

-ff

an = l1

cos

nm: dx ,

JI I x nn:x n: I nm: n: n: J_ II x bn JI I (x) nm: 1

n:

_I

1

1 = l

[ , - dx, ( ) cos I . ( ) sm

-

l

. -[ dx,

sin -[- dx.

(84) (85)

(86)

U tim formulama integraciju po intervalu (-I, l) možemo zamijeniti integracijom po bilo kojem intervalu duljine 21 . Naravno, Fouri_erov red (83) pridružen je po dijelovi ma neprekidnoj funkciji I i u slučaju kad je ona definirana samo na segmentu [ - Z, fj . Ako je funkcija definirana na segmentu [O, � , možemo joj pridružiti Fourierov redpo

kosinusima

Jo

nm: 2 t an + � nm: L....J an cos , an = l I (x) cos -Z- dx n=1 i Fourierov red po sinusima . nm: , bn = 2 t I (x) sin nm: " L....J bn sm -- dx. Z l n=) "2

Jo

oo

(87)

(88)

Naravno, za redove (83), (87) i (88) vrijede analogoni Teorema 9.6-9.1 1 i Korola ra 9.5 i 9.10. Pomoću Teorema 9.6 odnosno 9.11 i Korolara 9.5 možemo opravdati Fourierovu metodu u mnogo slučajeva. Primjer 9.1.

Neumannov problem za krug. Riješit ćemo problem ! � (r au ) + 1 a2u = O u K( O, R) , r ar ar acp2 au = h na aK (O, R) .

Pretpostavljamo da je funkcija tražimo u obliku

h po dijelovima klase C(2) oo

u(r, cp) = L n=) oo

h( cp) = L n=) Iz toga slijedi da su brojevi

(90)

i 2n: -periodična. Rješenje

(�r (an cos ncp + fln sin ncp ).

Rubni uvjet daje

(89)

i (an cos ncp + fln sm ncp) .

(91)

(92 )

(93)

95

2.9. FOURIEROV[ REDOVI Fourierovi koeficijenti funkcije h . Prema tome formalno rješenje problema glasi

(94) gdje je an = Imamo

.!. K

[21< h(

k

ep) cos mp d ep , bn =

.!.

K

[2:r h(

k

ep) sin nep dep.

(95)

(96) Prema Korolaru 9.10 red na desnoj strani konvergira, pa red (94) konvergira prema Weierstrassovom kriteriju uniformno na Prema Korolaru 7 . 9 red (94) je harmonijska funkcija u (i neprekidna na Formalne prve i druge derivacije tog reda glase:

aK(O,R). K(O, R)).

K(O,R)

au ( r, ep) = I:oo CRr ) n- I (an cos nep + bn sin nep), (97) ar n=l oo n au r, ep) I:R (� (-an sin nep + bn cos n ep ), (98) ) aep ( n=l a2u (r, ep) I:oo (n 1) ( Rr r -2 (an cos nep + bn sin nep), (99) R ar2 n=l oo aep2u r, ep) = I:nR ( 100) C ir ( -an cos nep - bn sin mp). a 2( n=1 Redovi na desnim stranama konvergiraju uniformno na K(0, R) : ako s a� i b� odno sno a� i označimo Fourierove koeficijente funkcije odnosno hil imamo npr. 1

-

,

h'

b� (v. dokaz Teorema 9.6)

oo InR (ir (-an cos nep bn sin nep) 1 I: n=1 oo � I: nR( l an l + I bn l ) � I: R( l a� 1 + I b� 1 ) n=l OO R (a� + b�a) � I: ;; ( l a� 1 + I b� 1) � R n=l

( 101 )

oo

(�:, r · (t. 1

a

r I

96

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

a prema Korolaru 9.5 red na desnoj strani konvergira. Prema tome redovi (97)-(100) predstavljaju derivacije funkcije u i vrijedi u E C(2) (K(O, R») . Dalje imamo

(all cos n rp + b" sin nrp) !� (R, rp) f: ,,=1 =

( 102)

,

pa je prema Teoremu 9.6 zadovoljen uvjet (90). Pokazuje se da je funkcija (94) rješe nje problema (89), (90) i uz pretpostavku da je h neprekidno. Ako je h po dijelovima neprekidno, funkcija (94) predstavlja generalizirano rješenje (v. Primjedbu 6.8). Zadatak 9.2. Odredite formalno rješenje ovog Dirichletovog problema za pravo kutnik P = (O, a) x (O, b) ;

u(O, y)

=

u(x, O)

=

{PU + (Pu 8x2 u ( a , y) O =

= o·

P,

u

( 103)

za O � x � a, O � Y � b,

u(x, b) = g(x) , O � x � a. Pretpostavlja se da je g(O)

Rješenje.

=

(105 )

ge a ) = O .

Odredimo rješenja jednadžbe ( 103) koja su separiranog oblika

X(x) . y(y) . Dobivamo ili

gdje je

(104)

( 106)

X"(X)Y(y) + X(x)yll (y) X" (x) X(x)

=

A = const. Imamo jednadžbe

yll (y) - y(y)

X" + yll

-

( 1 07)

O,

A,

( 108)

AX = O, A Y O.

Rubni uvjeti (104) daju

X(O)

=

=

X(a)

Y(O)

=

=

(109) ( 110) (111)

O,

( 1 12)

O.

A

Svojstvene vrijednosti problema (109), ( 1 1 1) (vrijednosti parametra za koje prob lem ima netrivijalna rješenja) su (nnja)2 , a svojstvene funkcije (odgovarajuća rješenja)

A"

X,,(x)

.

=

Svako rješenje problema ( 1 10), ( 1 12) (za

sin

nm a

A = An ) je oblika

mr:y y,, (y) = A" sh ,

a

( 113)

( 1 14)

2.9.

FOURIEROVI REDOVI

gdje je An konstanta. Rješenje postavljenog problema tražimo u obliku

( 1 15)

n:n:x sh mfb . L.,An SlO g(x) = � -. a a n=1

( 1 16)

oo

Uvjet (105) daje

-

n:n:x sh -. � Xn (x) Yn (y) = An SlO u(x, y) = L., ' mry L a a n= 1 n= oo

1

Iz toga slijedi da je An sh(mfb/a) Fourierov koeficijent funkcije

sima. Prema tome je

An =

2

la

g, razvijene po sinu

n:n:x

b g(x) sin - dx. a a sh n: o

( 1 17)

Formalno rješenje je dano formulama ( 1 15) i (1 17).

Odredite formalno rješenje a) Dirichletovog problema za vanjštinu kruga; b) Dirichletovog problema za kružni prsten; c) Dirichletovog problema za kružni isječak; d) općeg Dirichletovog problema za pravokutnik. Zadatak 9.3.

Rješenje.

a) Rješenje tražimo u obliku

gdje je ro radijus kruga. Iz uvjeta dobivamo

(118) (119 )

u(ro, cp ) = g( cp )

(120)

b) Rješenje tražimo u obliku

n ( r ) � ro (an cosncp + bn s + f c:r ( cncosncp + dn sin ncp ) , n= 1

ao + bo ln r + u(r, cp ) = 2" 2"

oo

gdje su ro i rl unutrašnji odn. vanjski radijus prstena. Iz uvjeta

u(ro, cp ) = go( cp ) , u(rl ' cp ) = gl ( cp )

.

lO

ncp ) ( 121) (122)

2.

98

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

dobivamo Oo =

( 123)

=

(124)

bo

a za n > O ,

an = bn = en dn =

re j ,.ft (�� O 1) j1r ,.ft rO 1 ) j rl - ro j1r

Jr

1,

Jr( 111

�

-11:

_

Jr( 111 (I

�

-11: 11:

111 )

(g(l (rp) rg

- gl (rp)1"';) cos nrp drp , gl ( rp)1"';)

(go ( rp) rO

( 125)

sin nrp drp,

( 126)

(go (rp)1"'; - gl (rp) rO ) cos nrp drp,

( 127)

-11:

(go ( rp) 1"'; l � r11l O ) -Jr

gl (rp ) rO ) sin nrp drp.

Jr( r11l

e) Odredimo regularne harmonijske funkcije u isječku O � koje su separiranog oblika u(r, rp) R(r) . 4>(rp)

r < ro ,

(128) O < rp <

i koje se poništavaju za rp = O i rp = a . Dobivamo

gdje je

A

r(rRI)' - AR 4>" + A 4> 4>(0) = 4>(a)

= O, = O, = O,

a.

(129) (130) ( 131) ( 132)

parametar. Svojstvene vrijednosti problema (131). ( 132) su brojevi

a svojstvene funkcije

An =

C:) 2 ,

. nJr SlO -rp .

a

(133)

Odgovarajuća regularna rješenja jednadžbe ( 130) su funkcije ( 134) Rješenje problema tražimo u obliku ( 135)

Iz rubnog uvjeta ( 136)

2.9.

99

FOURIEROVI REDOVI

dobivamo

Bn =

2

!!ll.

a roa

la g( O

n :n:

tp) sin - tp dtp. a

( 137)

d) Rješavamo problem

Au = O u (O, a) x (O, b), u(x, O) = gl (x) , O � x � a,

( 138) (139)

u(a, y) = g2 (Y) , O � Y � b,

( 140)

U(X, b) = g3 (X) , O � x � a,

( 141)

u(O, y) = g4 (Y) , O � Y � b,

( 142)

pri čemu pretpostavljamo da je

gl (a) = g2 (0), g2 (b) Rješenje tražimo u obliku gdje je

uo(x, y)

g3 (a), g3 (0) = g4 (b), g4 (0) = gl (O).

( 143)

u = Ro + v,

( 144)

A + Dx + Cy + Dxy,

( 145)

a v harmonijska funkcija koja zadovoljava uvjete

v(O, O) = v(a, O) = v(a, b) = v(O, b) = O. Iz toga za koeficijente A, . . . , D dobivamo sustav A = gl (O), A + aB = gt (a), A + aR + bC + abD = g2 (b), A + bC = g3 (0),

( 146) ( 147) (148) (149) ( 150)

kojega je rješenje

g ( ) - gt (0) gl (a) - gl (O) A = gl (O) , B = , C= 3 0 , a b Đ g (b) - g3 (0) - gt (a) + gt (O) = 2 . ab Funkciju v tražimo u obliku v

= Vl

+ V2 + VJ + v'h

(151) ( 152) (15 3)

gdje su Vl , . . . , V4 harmonijske funkcije koje zadovoljavaju rubne uvjete

Vl (x, O) = h l (x) = gl (x) - uo(x, O), Vl (a, y) = vl (x, b) Vl (O, y) = O, V2 (a, y) = h2 (y) = g2 (Y) - uo(a, y) , Vz (x, O) = v2 (x, b) = V2 (0, y) = O,

( 154) ( 155)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

100

h3 (X) = g3 (X) - uo (x, b) , = V3 (X, O) = V3 (0, y) = 0 ,

( 156)

V4(0, y ) = h4(Y) = g4(Y) uo (O, y), v4(a, y) V4(X, b) = V4(X, O) = O.

( 157)

V3 (X, b) v3 (a , y)

Funkcije Vi određujemo kao u Zadatku 9.2. Dobivamo Vt (x, y) _

00 2: b (l ) sh !!! (b - y) s . n=l

n

Sh

mr

m a

a

x,

mr: X . mr "'" b (2) Sh 7J sm Y T ' L...,; " sh mr: ba n=l OO

(158) (159)

•

oo n . mr "'" bn( 3) Sh a1r:Y sm n1r: L...,; -;;-X, sh a b m:::. l

00 2: b(4) sh !!ff (a - x) s . m=l

nj(,

y, mb

n1r: Sh -a

n

( 160)

b

(161)

gdje je

(162) b �)

nj(, 2 b h4(Y) sin -y dy. = ( 163) a b b o a o Funkciju f (x) = x razvijte na intervalu (O, d) u Fourierov red 2

= -

1

°

nj(,

4 h3 (X) sin -x dx , bi )

Zadatak 9.4. a) po sinusima i kosinusima; b) po kosinusima; e) po sinusima. Koje funkcije predstavljaju ti redovi na intervalu

Rješenje.

1

( - oo, oo) ?

za a), b) i e) dobivamo respektivno redove (sl. 2 . 20-2.22):

t!:.. _ L...,; � � sin 2nnx ' 2

n=l

nn

d

(164) ( 165)

oo ( _l)n+ 1 . n 2d "'" nx . sm 1(,

L...,;

n= l

n

d

(166 )

2.9. FOURIEROVI REDOVI

101

•

Sl. 2.21.

Sl. 2.20. d I

I

, ir- -- -y-- -

.J. .

Sl. 2.22.

:

V-

Iz osnovnog Teorema 9.7 o konvergenciji Fourierovih redova slijede značajni

Weierstrassovi teoremi o aproksimaciji neprekidne funkcije trigonometrijskim odn.

algebarskim polinomom.

Teorem 9.12. Ako je funkcija 1 neprekidna na segmentu [ - l, � i ako je 1 ( -l) = 1( 1), onda za svako E > O postoji trigonometrijski polmom N k SIn ,, f:: ak cos TN(X) = 2" + (167) + . -1- , takav da vrijedi

Imx)

(

max lf (x) - TN(X)I < E .

xE[-I,� .

Dokaz.

( 168)

Za E > O neka je 15 > O takvo da

( 169) ! lx - xl < 15 => lf (x) - l(x)1 < 2E ' Podijelimo segment [-I, � na n intervala točkama xo = -I<Xl <X2<. .. <Xn = I , tako d a j e dužina svakog intervala manja od 15 . Neka j e g neprekidna funkcija na [-I, � . koja je linearna u svakom diobenom intervalu i koja se u diobenim toč kama podudara s funkcijom 1 (sl. 2.23). Funkcija g ima na intervalu (x;,xi+d (i = O, 1 , . . , n - 1) vrijednosti izmedu I (Xi) i I (Xi+ l ) ' Prema tome za X E [xi, xi+ d x , X E [ -I, �

.

postoji x' E [Xi , Xi+ l] takvo da je g(x) = I (x) . Zbog ( 169) vrijedi E lf (x) - g (X) I = lf (x) l (x)1 < 2

-

( 170)

2. LAPLAcEOVA JEDNADŽBA

102

Sl. 2.23.

Dakle, za x E Neka su

[-l, �

imamo

E

ak , (Jk , k = 1, 2, . . .

lf (x) - g(x) I < 2 '

(171)

Fourierovi koeficijenti funkcije g i neka je

� ak cos -oo -. k1'lX 1 + (Jk sm 1 ' 2 + L...i k= l Prema Teoremu 9.7 postoji takvo N da je f max Ig(x) - TN (x) I < 2 TN (X) =

Za x E

O()

xEI-I.�

[-l, �

(172) ( 173)

imamo TN (x) I � lf (x) - g(x) 1 dobivamo

lf (x)

p a zbog (171) i (173)

Iz toga slijedi ( 168).

+ Ig(x) - TN (x) I ,

lf (x) - TN(X) I < E .

Teorem 9.13. Ako je funkcija f > O postoji polinom E

(174) (175)

neprekidna na segmentu [a, (JJ , onda za svako ( 176)

takav da je

max lf (x) - �n (x) 1 < E . xElaJl! .

(177}

-f- ' 2

(178)

Dokaz. Neka je l > O takvo da je [a, fJl c c (-l, l) . Neka je funkcija g ne prekidna na [-l, � , linearna na [-l, aj i [{J, � , neka se na [a, (JJ podudara s f i neka je g( -I) = g(l) = O (sl. 2.24). Prema prethodnom teoremu za E > O postoji trigonometrijski polinom ( 167) sa svojstvom max Ig(x) - TN(X) I < xE [-I,lj

103

2.lD. ORTOGONALNI SUSTAVI FUNKCIJA

I I

g

I I

•

I

I I

ii :

I I

I

--I-�'-- - -�'� �I

o�-�- - - I I I

Sl. 2.24.

Razvijajući funkcije cos kr i sin kr u Mac Laurinov red dobivamo razvoj funkcije TN : (179) + CIX + + . . . . TN (X) Taj red konvergira uniformno na [ -l, � ; zato postoji prirodni broj n takav da je =

c2:il

Co

E

max I TN(X) - [Pn (X) I < - ' 2

xE [-I,iJ

gdje je

Co + CIX + . . . + cnx!'. Za x E [- l, � imamo Ig(x) - [Pn (X) I � Ig(x) - TN(X) I + I TN(X) - [Pn(x)l , pa zbog (178) i (180), za x E [a, �l dobivamo lf(x) - 9I'n (X) I < E . [Pn(X)

Iz toga slijedi (177).

Primjedba 9.14.

=

(180)

(181) (182) ( 183)

Analogon Teorema 9.13 vrijedi i za funkcije više varijabli.

Fourierov red je specijalan slučaj razvoja po ortogonalnom sustavu funkcija. Označimo s .ye .Ye(S) skup svih ograničenih i po dijelovima neprekidnih funkcija na po dijelovima glatkoj mnogostrukosti S e Rn . (U daljnjem ćemo s rijet kim izuzecima imati slučaj n 1 , S (O, l) ). Skup Ye je linearan prostor: ako je E .ye i E R , onda je i E .ye . Skalarni produkt funkcija + E Ye je broj =

f,gfI,J2

Očigledno je

Cl, c2

CJI Cff2 (f , g) if (x) g(x) dS. (f, g) (g,J ) (simetričnost). =

=

=

=

(1) (2)

2.

104

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Cl, C2 E R , onda je (3) (f , c g + C2g2) = Cl(f , gl ) + C2 (f,g2) (linearnost) . Broj (4) Ilt l = (f , n 1j2 je norma funkcije J E Ako je c E R , onda je (5) Il cJ I = I cl l t I (homogenost). Očigledno je (6) Ilt l � O. Ako je J E različito od nule samo na zanemarivom skupu K S , onda je O . Obratno, ako je I lt I = O , onda je J (x) = O za svako x u kome je J nepre Ikidno; lt I = drugim riječima, funkcija J je različita od nule samo na nekom zanemarivom skupu K S . Takvu funkciju u daljnjem identificiramo s nulom; prema tome funkcije J,K g ES . Uzsmatrat ćemo jednakim ako se one razlikuju samo na zanemarivom skupu taj dogovor vrijedi ekvivalencija (7) Ilt l = O J = o. Ako je

gl, g2 E

.ye

i

I

I

.ye .

X

e

e

e .ye

<==>

Cauchyjeva nejednakost za integral produkta funkcija,

produkta i norme, glasi

zapisana pomoću skalarnog

(8) 1(f , g)1 � Ilt l l gl · Zadatak 10.1. Dokažite da iz svojstava (2) , (3), (6) i (7) slijedi nejednakost (8) i nejednakost trokuta (9) Ilt + gl i � Ilt l + Ilgl · Rješenje. Za }.. E R imamo (10) Koristeći (2) i (3) dobivamo ' (11) Ilg1 2}..2 + 2}.. (f , g) + Ilt l1 2 � O. Neka je g :f. O; iz (6),(7) (11) slijedi ( 1 2) (f, g? - lt 1 2 11g1 2 � O, tj. nejednakost (8). Zbog (3) imamo (f , O) = O , pa nejednakost (8) vrijedi i za g = O . Pomoću (2) , (3) i (8) dobivamo · Ilt + gl1 2 = Ilt l l2+ IlgW2+ 2(f, g) (13) � I lt l1 + I gl1 + 21lt l l gl = ( Ilt l l + I l g l I ? , a iz toga i (6) slijedi (9) . Funkcije J, g E su ortogonalne (na S) ako je (f , g) = O ; sustav funkcija E :f. O , i = 1,2, . . . je ortogonalan, ako su svake dvije funkcije s različitim . . . je indeksima ortogonalne: ( cp; , CPj ) = O za i :f. j . Ortogonalan sustav ortonormiran, ako je I CP;! I = 1 za svako i = 1 , 2, . . . . i

CP;

.ye , CP;

.ye

C[Jt , cpz,

105

2.10. ORTOGONALNI SUSTAVI FUNKCIJA

Zadatak 10.2. Konačan ili prebrojiv skup funkcija je linearno neovisan, ako se proizvoljna superpozicija funkcija tog skupa poništava samo u slučaju da su. svi koefi cijenti superpozicije jednaki nuli; skup funkcija je linearno ovisan, ako nije linearno neovisan. Dokažite da je ortogonalan sustav linearno neovisan. Rješenje. Neka je Cil fPil + chfPh + + Ci. fPi. = O. ( 14) Množeći tu jednakost skalamo s fP;j (j 1 , 2, . . . , k ). dobivamo (15) C;I ( fP;1 , fP;) + Ch ( fPh , fPiJ + . . . + cd fPit , fP;J = O ili, zbog ortogonalnosti, Cij I l fPij ll = O; iz toga slijedi Cij = O , j = 1 , 2, . , k . Neka je sustav fPl , tp]. , ortogonalan na S i f E .ye . Brojevi ak = (f, fPk2) k = 1 , 2, . . . ( 16) .

.

.

.

•

.

.

•

I l fPk ll '

zovu se FourierOlli koeficijenti, a formalni red ( 17)

;=1 FourierOlI red funkcije f po sustavu fPl , tp]. , Označimo k-tu parcijalnu sumu reda ( 17) sa Sk : k ( 18) Sk = 2: a;cp;. ;=1 Teorem 10.1. Za Fourierove koeficijente (16) vrijedi Besselova jednakost k 2 2 (19) ll! - Skll = ll! 11 2: af I l fPi l 1 2 . ;=1 Dokaz. Imamo ll! - Sk ll 2 = ll! 1 1 2 + IISk l1 2 2 (f, Sk ) ' (20) • • •

-

-

Zbog ortogonalnosti dobivamo

Uzimajući u obzir ( 16). imamo

k 2 2: = ll IISk af I l fPi l l 2 . i= 1

(21)

k 2: af I l fPdl 2 . ;=1

(22)

(f , Sk ) =

Iz tih jednakosti slijedi ( 19). Korolar 10.2. Za Fourierove koeficijente (16) vrijedi Besselova nejednakost (23) 2: a? ll fPi I1 2 � 1 l! 1I 2 , ;=1 oo

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

106

Dokaz.

Iz (19) slijedi

.k

Ilf ll 2 - L a� lI'Pdl 2 � O .

Uzimajući limes kad Teorem 10.3.

(24)

k -+ oo , dobivamo (23).

Neka je sustav 'Pl , Cj>2, !::::.k

=

• • •

ortogonalan na S i f

!::::. ( al , a2 , · · · , ak ) = lit

k

-

E .ye .

L a;'PdI 2 ;=1

Tada izraz (25)

prima minimalnu vrijednost onda i samo onda, kad su brojevi a; Fourierovi koeficijenti funkcije f : a; = a; , i = 1 , 2, . . . . Dokaz.

Izraz (25) možemo napisati u obliku

k !::::.k = l it - Sk + L (a; - a; ) 'P; 11 2,

(26)

gdje je Sk definirano s (18) . Zbog ortogonalnosti dobivamo

k !::::.k = l it - Skll 2 + L (a; - a; )2 1 1 'Pd I 2, ;=1

(27)

a iz toga slijedi zaključak teorema. O.E.D. Ortogonalan sustav 'Pl , Cj>2, na S je potpun, ako Fourierov red ( 17) proizvoljne funkcije f E .ye konvergira u srednjem funkciji f , tj. ako je • • •

lim S k--+ oo l it - kli

= O,

(28)

gdje je Sk definirano s ( 18). Jednakost (28) pišemo uvjetno u obliku

oo

f = L a;'Pj.

(29)

;=1

Pringer 10.3. Sustav trigonometrijskih funkcija. Prema Teoremu 9.9, sustav sin kx , cos kx , k = 1, 2, . . . je potpun na intervalu ( - Jr, Jr) . Teorem 10.4. Ortogonalan sustav 'pt , Cj>2 , E .ye vrijedi Parsevalova jednakost

svako f

•

•

•

na S je potpun, ako i samo ako za

oo

;= 1

gdje su al , a2 , . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f . Dokaz.

Iz (19) i (28) slijedi (30). Obratno, iz (30) i (19) slijedi (28).

(30)

107

2.10. ORTOGONALNI SUSTAVI FUNKCIJA

Zadatak 10.4. Neka je f, g E X i neka su aj odn. bj , i = 1, 2, . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f odn. g po potpunom ortogonalnom sustavu ({Il , rpz, . na S . Dokažite da tada vrijedi poopćena Parsevalova jednakost .

oo

(j , g) = L a;b; 11({I;11 2 .

(31)

i=l

Rješenje.

.

Prema (30) imamo oo

I lt + g l l 2 = L (ai + bl )2 1I ({1d I 2 ,

(32)

;=1 oo

I lt - g l 1 2 = L (ai - �I? l ! ({Ii I ! 2 .

(33)

1=1

Oduzimajući te jednakosti dobivamo (31). Korolar 10.5. Ako funkcije f, g E Je imaju iste Fourierove koeficijente po pot punom ortogonalnom sustavu ({Il , rpz, na S, onda je f = g. . . .

Teorem 10.6. Da bi ortogonalan sustav 'pl , rpz , . . na S bio potpun, nužno je i dovoljno da se svaka funkcija f E Je može u srednjem po volji točno aproksimirati superpozicijom funkcija tog sustava, tj. da za svako E > O postoje prirodni broj k i brojevi al , a2 , . . , ak, takvi da vrijedi .

.

k

I lt - L ai({l;J 1 ;=1

(34)

< E.

Dokaz. Nužnost uvjeta (34) je očigledna; dokažimo dovoljnost. Neka je Sk definiran s (18). Prema Teoremu 10.3 vrijedi

,

k

I lt - Sk H � I lt L ai({l; II · -

(35)

;=1

Iz (34) i (35) lako zaključujemo da vrijedi (28). Q.E.D. Neka je funkcija (! ograničena. neprekidna i pozitivna na S . Svi rezultati o orto gonalnom sustavu ostaju valjani. ako se umjesto (1) uzme skalamiprodukt s težinom

(! :

(j, g) =

1 (!(x)f(x)g(x) dS.

U tom slučaju govorimo o ortogonalnosti odn. potpunosti s težinom

(36) fl .

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

108

Primjenom Fourierove metode na Laplaceovu jednadžbu dolazimo do problema svojstvenih vrijednosti za običnu diferencijalnu jednadžbu. U slučaju polarnih varijabli

to je bila jednadžba (9.7) ; u općem slučaju pojavljuje se jednadžba oblika (a(x)uJ (x) Y - b(x)u(x) + AU(X)U(x) = O, (1) gdje su a, b i U zadane funkcije na segmentu [O , � , a A parametar. Pretpostavljamo da je (v. 1.1.2) (2) a E C{l) ( [o, m , a(x) > O, x E [O, � ,

b E C( [O, m, b(x) � O, U E C([O, m, u(x) > 6, x E (0, 1) . Uz jednadžbu (1) dolaze rubni uvjeti 31 (v. 1.1.2) ad(O) (3u(O) = O, yuJ(l) + h u( l) = O,

gdje je

a, {3, y, h � O , a + {3 > O ,

Y

+

h > O.

(3) (4)

(5) (6) (7)

Vrijednost parametra A za koju (homogeni) rubni problem (1), (5), (6) ima netri vijalno (tj. različito od nule) rješenje, zove se svojstvena vrijednost, a odgovarajuće rješenje svojstvena funkcija; određivanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija zove se Sturm-Liouvilleov problem. Kao što znamo (v. 1.2), uz pretpostavke (2) i (3), svojstvene funkcije (kao i sva rješenja jednadžbe (1») pripadaju klasi C(2) ([O , �) . Teorem 1 1.1.

tivne. Dokaz.

Svojstvene vrijednosti Sturm-Liouvilleovog problema su nenega

Zaključak slijedi neposredno iz Teorema 1.2.1 (o jedinstvenosti rješenja rubnog problema).

Teorem 1 1 .2. Svakoj svojstvenoj vrijednosti Sturm-Liouvilleovog problema od govara (do na faktor) samo jedna svojstvena funkcija. Dokaz. Neka svojstvenoj vrijednosti A odgovaraju svojstvene funkcije u i v . Iz

uvjeta

ad(O) - (3u(O) = O, avJ(O) - (3v(O) = O i pretpostavki (7) slijedi

(8) (9)

vJ(O)u(O) - d(O)v(O) = o. (10) Lijeva strana te jednakosti je Wronskijan rješenja u i v (uzet u točki x = O ); prema tome funkcije u i v su linearno ovisne (v. Dodatak 1.2). 31 Primijetimo da uvjeti (5), (6) ne obuhvaćaju uvjet periotiičnosti (9.3).

2.1 1. S11JRM-LIOUVILLEOV PROBLEM

109

Teorem 1 1.3. Svojstvene funkcije Sturm-Liouvilleovog problema, koje odgova raju različitim svojstvenim vrijednostima, ortogonalne su s težinom {! na intervalu (O, l) .

Dokaz. Neka su J.. i II svojstvene vrijednosti, a u i v odgovarajuće svojstvene funkcije. Tada je (11) (au' ) ' bu + J.. {!U = O, ' ' ( 12) (av ) - bv + Il{!V = O. Pomnožirno prvu jednakost s v , a drugu s u , oduzmimo dobivene jednakosti i razliku integrirajmo po intervalu (O, I) :

11(au')'v

(av' ) ' u dx + (J.. - ll)

11 (!UV dx

=

O.

( 13)

Parcijalnom integracijom u prvom integralu dobivamo

a(l) (u' (l)v(l) - u(l)v' (l)) - a(O)(u' (O)v(O) - u(O)v' (O)) + (J.. - ll) Iz rubnih uvjeta

slijedi (zbog(7) )

au' (O) - (3u(O) = o , av' (O) - (3v(O) = o ,

11 (!uv dx.

yu' (l) + Du(l) = O, yV' (I) + Dv(l) = O,

. u' (O)v(O) - u(O)v' (O) = O, u' (l)v(l) + u(l)v' (l) = O,

pa iz ( 14) dobivamo

(J.. - ll)

ili

11 {!uv dx

= o,

101 (!UV dx = O.

( 14) ( 15 ) ( 16)

( 17) ( 18) ( 19) (20)

Zadatak 11.1. Dokažite ove tvrdnje: a) Nula je svojstvena vrijednost ako i samo ako je ili b = (3 = D = o ; u tom slučju svojstvena funkcija je konstanta. b) Svojstvena vrijednost J.. koja odgovara svojstvenoj funkciji u dana je formu lom J (au'2 + bu2) dx + a(O)u' (O)u(O) - a(l)u' (l)u(l) J.. = ( 21 ) I

�

lo (!U2 dx

c) Ako je ili a = O i y D = O ili y = O i a(3 = O , i ako je al = min a , bl = min b , {!l = max {! , onda svojstvene vrijednosti nisu manje od (2a( + (lb1 ) /{!j (l .

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

1 10

Rješenje.

a) Zaključak slijedi iz Teorema 1.2.l. b) Iz jednadžbe (1) dobivamo množenjem s u i integracijom:

['

t (l 2 t 2 Jo (aul)lu dx Jo bu dx + A Jo U dx = O. -

(22)

Parcijalnom integracijom u prvom integralu dobivamo

a(l)u'(l)u(l) - a(O)u'(O)u(O) a iz toga slijedi (21) . c ) Iz (21) slijedi

Ako je

a=O

A (tj.

11(au/2 + bu2 ) dx + A 11 (lU2 dx = o,

J�(au/2 + bu2 ) dx Jo DU2 dx u(O) = O ) imamo

_

-

I

u (x)

�

= lX

(23)

a t J� U'2 dx + b t J� u2 dx Dl Jo u2 dx

(24)

u'es ) ds .

(25)

t

Pomoću Cauchyjeve nejednakosti dobivamo

u2 (x)

ili

Ako je

�

x Jt U'2 ( S ) ds , o u'2 (x) dx,

(26)

lt u2 ( s ) ds � � l'

(27)

lt U/2(X) dx � l' u2 (x) dx.

y = O (tj. u(l) = O ) imamo

u(x) =

�

11

(28)

u'es ) ds,

(29)

pa opet dobivamo (28). Iz (24) i (28) slijedi navedena ocjena. Pokazat ćemo kako se rješavanje Sturm-Liouvilleovog problema formalno svodi na rješavanje neke transcendentne jednadžbe. Neka su v(x; A) i w(x; A ) rješenja jednadžbe ( 1 ) koja zadovoljavaju ove početne uvjete (30) V(O; A) = 1 , J (O; A) = O, W(O; A) = O , w'(O; A) = 1 . (31) Ta rješenja su linearno neovisna (njihov Wronskijan je različit od nule). Funkcija (32) u(x; A ) av(x; A) + fJw(x; A)

=

zadovoljava jednadžbu (1) i uvjet (5) . Iz (6) dobivamo y(fJw'(l; A) + av'(l; A » + c5 (fJw(l; A ) +

av(l; A»

=

O.

(33)

2.1 1 .

111

STURM-LIOUVILLEOV PROBLEM

Svaka (nenegativna) nultočka J... te jednadžbe je svojstvena vrijednost (i obratno); odgovarajuća svojstvena funkcija dana je formulom (32). Primjer 11.2. Riješit ćemo Sturm-Liouvi11eov problem

Uli + J... u =

O, u(O) = O , u'(l) + u(l) = O.

Lako nalazimo

v(x; J... ) = cos VJ:.x , w(x; J... ) = Jednadžba (33) glasi cos VJ:.I +

);:

sin VJ:.x.

� sin VJ:.I, = O,

v J...

ili

(34) (35) (36)

(37) (38)

Stavljajući

II

= 1.(X imamo (39)

.

Neka su III < 112 < . . pozitivne nultočke te jednadžbe (sl. 2.25). Svojstvene vrijed nosti su tada At = (llk /l) 2 , a svojstvene funkcije Uk (X) = sin(llkx!J) , k = 1, 2, . . . Kao što vidimo, postoji beskonačan niz svojstvenih vrijednosti, bez konačnih gomi lišta. Ovaj zaključak vrijedi i u općem slučaju, a dokazuje se pomoću integralnih

jednadžbi.

Sl.

.25.

Teorem 11.4. Skup svojstvenih vrijednosti Sturm-Liouvilleovogproblemajepreb rojiv i nema konačnih gomilišta.

Dokaz.

Napišimo jednadžbu (1) u obliku

(au')' - (b + U) u + (J... + l)uu = O. Očigledno je b + U i= O, pa za jednadžbu (au')' - (b + e)u = O,

(40) (41)

112

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

2.

uz rubne uvjete (5) i (6) postoji Greenova funkcija Teoremu 1.3.3, slijedi jednakost

Gl (x,y)

(v. 1 . 1.3). Iz ( 40) , prema

(42) u(x) = (A + 1) l' G1 (x,y)g(y)u(y) dy. (42) slijedi ( 40) , pa je problem ( 1 ), (5), (6) ekvivalentan integralnoj

Obratno, iz jednadžbi (42). Tu jednadžbu možemo napisati u obliku

i f.Up(x) = l K(x, y)rp (y) dy ,

gdje je

( 43 )

1 (44) rp(x) = Vg (x)u(x) , f.l = A + 1 ' K(�, y) = Vg(x)g(y)GI (x , y). Jezgra K je nedegenerirana, simetrična i neprekidna na [O, � x [O, � , pa jednadžba (43) ima prebrojiv skup svojstvenih vrijednosti f.ll � f.l2 � gomilišta (v. Dodatak 3). Iz toga slijedi zaključak teorema. Teorem 11.S.

uvjet

Neka funkcija f

E C(2) ( [O, � )

• • •

, koji nema konačnih

zadovoljava rubne uvjete (5) i (6) i

(45) I (a(x)f ' (x))' - b(x)f(x) 1 � e Vg (x) , x E (O, l), gdje je e > O konstanta (ako je g (O) , g (l) :f:. O, taj uvjet je automatski zadovoljen). Tada je (46) Vg (x)f (x) = L ak Vg(X) Uk (X), k==1 gdje su uk , k = 1, 2, . . . svojstvenefunkcije Sturm-Liouvilleovogproblema (J), (5), (6) koje odgovaraju svojstvenim vrijednostima Al < A2 < . . . , a brojevi ak . k = 1 , 2 , . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f po sustavu svojstvenih funkcija: J� g(x)uk(x)f (x) dx ak (47) Jol g (x)u;(x) dx ' Red na desnoj strani u (46)konvergira apsolutno i uniformno na [O, � . oo

Dokaz. Očigledno je .

Neka je

h = -« af')' - (b + g)! ).

h E C ([O, � ) , p a uz oznake iz dokaza prethodnog teorema vrijedi f (x) = l' Gl (x, y)h(y) dy .

Tu jednakost možemo napisati u obliku

h(y) dy. Vg(x)f(x) = l,o K(x, y) r::r: :\ v g (y) .

(48 ) (49) (50)

113

2.1 1 . STURM-UOUVILLEOV PROBLEM

Zbog ( 4S ) funkcija hl..fo je ograničena i neprekidna na (O, l) , a budući je jezgra K simetrična, prema Hilbert-Schmidtovom teoremu (v. Dodatak 3) iz (SO) slijedi jednakost oo

V(!(x)/(x) = L Ut fPt (x) , t=1

(S l)

J� �/(x)fPt (x) dx Jol fP; (x) dx

(S 2)

gdje je

Ut =

i gdje red na desnoj strani konvergira apsolutno i uniformno na [O, � . Uzimajući u obzir da je fPt = ..foUt , dobivamo zaključak teorema. O.E.D. Primijetimo da u slučaju kad je (! ( O) , (!(l) :/= O, jednakost (46) možemo pisati jednostavnije: oo

I(x) = L atut (X). t=l

(S3)

Pomoću Teorema l 1.S dokazat ćemo potpunost sustava svojstvenih funkcija. Teorem 1 1.6. Sustuv svojstvenih funkcija Sturm-Liouvilleovog problemu je pot pun s težinom (! na intervalu (O, l) . Dokaz. Radi jednostavnosti ograničavamo se na slučaj a = y = O (tj. na rub ne uvjete u(O) = u(/) = O ) i (!(O), (!(l) > O . Razmotrimo Fourierov red funkcije I E đF (O, l) po sinusima. Neka je (!l = max (! ; prema Teoremu 9.1 1, za proizvoljno e > O postoji parcijalna suma gE tog reda za koju vrijedi 1 /2 l 2 (f (x) - gE(x» dx < e (S4)

Tada je

)

(1

(SS) Funkcija gE je klase C( OO) ([O, � ) i poništava se u točkama x = O i x = . 1 . Označimo sa Sk k-tu parcijalnu sumu Fourierovog reda funkcije gE po svojstvenim funkcijama Sturm-Liouvilleovog problema. Prema prethodnom teoremu postoji prirodni broj ko , takav da za k > ko vrijedi

Iz toga dobivamo za

max jge (x) xE[O,�

l ige - Skl i <

(S6)

e

2

k > ko . Pomoću nejednakosti trokuta (10.9) dobivamo I ! - St i l = II(J - gE) + (gE - St ) I � II! - gE Ii +

(S7) l igE - St i l ·

(S8)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

114

Uzimajući u obzir (55) i (57), za k > /4J imamo . I lt

�

Skl i < E,

(59)

pa zaključak slijedi iz Teorema 10.6. Zadatak 11.3. Dokažite Teoreme 11.1 i 1 1.3 za problem svojstvenih vrijednosti (60) Au + AU = O u g, (61) u = O na r ag , gdje je g Rn ograničeno područje. Rješenje. Pomnožirno (60) s u i integrirajmo dobivenu jednakost po g . Parci jalnom integracijom i primjenom Teorema o divergenciji dobivamo fg I grad ul2
�

(66)) :

(A

Ako je A =F ll , slijedi

ll)

10 uvdV = O.

1. uv dV = O.

(67)

(68)

Na određivanje svojstvenih vrijednosti svode se razni problemi Razmotrimo ravnotežu žice (napete duž osi x ) u sustavu koji jednoliko rotira oko osi x konstantnom brzinom 0) ; pretpostavljamo neke homogene rubne uvjete na krajevima. 2 U rotirajućem sustavu na žicu djeluje centrifugalna sila; njena linijska gustoća je 0) (!U « (! je linijska gustoća mase, a u progib) . Neka je A = 0)2 . Jednadžba ravnoteže (u rotirajućem sustavu) je (au')' - bu + A(!U = O, (69) Zanima nas kritična vrijednost kutne brzine odn. parametra A , tj. ona najma nja vrijednost pri kojoj osim nedeformiranog ravnotežnog stanja u = O, postoji i deformirani ravnotežni položaj u =F O. (Tada kažemo da je nedeformirani položaj ne stabilan.) Prema tome, kritična vrij ednost parametra A je prva svojstvena vrijednost Sturm-Liouvilleovog problema. Odredite kritičnu vrijednost kutne brzine u slučaju a = const , b O, u(O) = u(l) = o . Zadatak 1 1.4.

stabilnosti.

o)

lIS

2.12. SFERNE FUNKCIJE

Rješenje. Dobivamo Al = a1t2 / eP , Wie,;!

=

7 te·

(70)

Odgovarajući defonnirani ravnotežni položaj je

u(x) = B sin 7.

Proizvoljnost konstante B značila bi da se pri kutnoj brzini (70) žica kida. Opažanje međutim pokazuje da se pri toj brzini postiže samo relativno velik progib. Taj progib se može odrediti u okviru realističnijeg nelinearnog modela. Prelazimo na slučaj singularne jednadžbe (1). Kao najvažniji razmotrit ćemo slučaj kad je x = O regularna singularna točka (v. 1 .1.4). Za e pretpostavljamo da je regularna i u točki x = O . Naravno, i ovdje zadržavamo pretpostavke a > O , b � O , e > O na (O, l) . Umjesto uvjeta (5) imamo sada uvjet regularnosti (ograničenosti) rje šenja. Odgovarajući problem svojstvenih vrijednosti je singularni Sturm-Liouvilleov

problem.

Teorem 11.7. Za singularni Sturm-Liouvilleov problem vrijede zaključci Teore

ma 11.1-11 . 6 32•

Dokaz. Zaključci Teorema I L l i 1 1 .3-11.6 dobivaju se na isti način kao u regu larnom slučaju. Pri tome se koristi ova činjenica za svojstvenu funkciju u : (71) xu' (x) - O , x - O (v. Dodatak 1). Ako su u i v svojstvene funkcije koje odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti, onda iz Liouvilleove funnule (v. Dodatak 1) za xo,x E (O, l) dobivamo (72) a (x) ( u(x)v' (x) - u' (x)v(x)) = W(xo)a(xo) , gdje je W Wronskijan rješenja u i v . Funkcija a je oblika a (x) = xr(x ) , r(O) � O . Uzimajući u (72) limes kad x - O , zbog (71) i ograničenosti funkcija u i v dobivamo W(xo) = O ; iz toga slijedi zaključak Teorema 1 1.2 .

Laplaceova jednadžba u R3 \ {O} u sfernim koordinatama (s polom u O ) glasi 8 ? 8u 1 8 . 8u 1 82 u ( (s 0 ) + 0 )+ ( 1) 8r 8r sin 0 8 0 80 sin2 O 8cp2 = (v. Zadatak 2.1) . Odredit ćemo rješenja koja imaju separirani oblik u(r, O, cp) = R(r) . Y(O, cp), ( 2) (3) Y(O, cp) = P(cos O) . «I>(cp).

m

32

Uvjet (45) je ovdje relevantan i u slučaju kad je e(O) , e(l) -I O .

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

116

Ovdje su R , P i CI> funkcije na (O, oo ) , ( - 1, 1) i ( - oo , oo) , respektivno, pri čemu je CI> 2n-periodična: CI> ( q:> + 2n) = CI> ( q:» . (4)

( )Y

a (sm. B aY ) R + 1 a2yR = 0, e ae ae sin2 e a 2 a . ay 1 a2y ) 1 e ae (sm e ae ) + sin2 e aq:>2 lT = A ,

Uvrštavanjem (2) u (1) dobivamo 1 d dR r2 + sin dr ili 1 (r2R')' -- = - sin R

dr

(

(5)

q:>

(6)

gdje je A konstanta. Prema tome imamo jednadžbe

(?R')' - AR = 0,

(7)

a . e ay + 1 a2y + A Y = O. e ae } sin2 e a 2

1 (sm sin ae

(8)

q:>

Uvrštavanjem (3) u (8) dobivamo

a (sm. e ap)cI> + 1 a2cI>P + AP · CI> = 0, ae ae sin2 e a 2 d ( 1 cI>" sm dP) + sm2 = - Ci) = sm de P de

1 sin B

ili

.

gdje je

tJ.

(9)

q:>

II {7

.

II {7

1 A.

.

(10)

tJ. ,

II (7

konstanta. Dakle, imamo jednadžbe

cI>" + cI> = 0, sin e ie (sin e � ) + A sin2 ep tJ.

Iz (4) i (11) slijedi da je

tJ.

(11)

P = O.

tJ.

(12)

= m2 , m = 0, 1, 2, . . . .

( 13 )

Odgovarajuća rješenja su funkcije ( 14) cos mq:> , sin mq:> , m = 0, 1, 2, . . . . Napišimo jednadžbu (12) u varijabli x = cos uzimajući u obzir ( 13 ) imamo

e;

(( l - � )P'(x))' + (A -

m2

(15) )P(x) = O. l _ x2 Ta jednadžba ima regularne singularne točke x = - 1 i x = 1 . Nas će zanimati

e

e

harmonijske funkcije oblika (2), (3) koje su regularne na poluosima = ° i = n . Zato ćemo jednadžbu (15) razmatrati kao singularni Sturm-Liouvilleov problem. Razmotrimo najprije slučaj m = O . Tada imamo (( l - �)P'(x))' + AP(X) = O. ( 16) To je Legendreova jednadžba. Pokažimo da su brojevi

A = n(n + 1) , n = 0, 1 , . . . .

(17)

2.12.

SFERNE FUNKCIJE

117

svojstvene vrijednosti problema ( 16) i da su odgovarajuće svojstvene funkcije Legen

dreovi polinomi, definirani Rodriguesovom formulom

( 18) Primijetimo da je Pn polinom n-tog stupnja. Neka je Wn (x) = (.x2 - l) n . Derivira njem dobivamo ( 19) W�(X) = 2nx (� - lt -1 ili, množeći s xZ - 1 ,

(� - l) W� (x) = 2nx Wn (x) .

(n {;z (n : ) (� _ l) (k) w�n+z-k}(x) n(x�n+ ) (x) (n l)w�n) (x)) ,

Derivirajući tu jednakost

+ 1) puta, dobivamo (pomoću Leibnitzove fonnule)

1

= 2

l

+

ili

(20)

+

((1 - � ) (w�n) (x)) ' ) ' + n(n + l)w�n) (x) = O.

(21 ) (22)

Navodimo prva četiri Legendreova polinoma: 3

Po (x) = 1 , P (x) = x , Pz (x) = 2� - 2 ' ,

3 5 P3 (X) = 2� - 2x.

1

(23) (24)

Grafovi tih polinoma prikazani su na sl. 2.26.

:

___________

I

I I I I I

P2

J! ) I p,

I

-I, -

.J : I I I I

i

I

_ _ _ _ _ _ _ _ __

:l ,I I I I I

� i �----------J

l-i ___________

i

I I I I I

-J Sl. 2.26.

Prema Teoremu 11.7 sustav Po , PJ , . . . je ortogonalan (s težinom 1) na intervalu ( - 1 , 1) :

( 25 )

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

118

f po tom sustavu dani su formulom I 1 a" = I P,,11 2 J- 1 f (x)P,,(x) dx,

Fourierovi koeficijenti funkcije

gdje je

IIP"I! =

(1

l

)

1 �(x) dx

(26)

1 /2

(27)

(28) Funkcija (x2 - 1)" ima nultočke ± l reda n , pa njene derivacije do reda n - l imaju te iste nultočke. Zato u gornjoj formuli prvi član na desnoj strani iščezava. Produžimo li s parcijalnom integracijom još n - l puta,dobivamo

liP" 11 2 = 22n (�! )2 (- 1)" 111 !: (� - 1)" (� - 1)" dx. .

Zbog jednakosti

(� - l)" = dxd2n2n (? + . . . ) = (2n) ! , imamo 1 I P,,1 I 2 22n (�! )2 ( � 1 )"(2n)! 1 1 (� - 1)" dx. Supstitucijom x = cos (J dobivamo /2 IIP,, 1I 2 2 2n(2n - ;2' (n + 1) r sin2n+1 (J d(J . d2n dx2n

(29)

(30) (31)

,'

(32) n. Jo Parcijalnom integracijom dobivamo za integral na desnoj strani rekurentnu formulu, iz koje slijedi 1
1

•

I P"i I = J2n � 1 .

(34)

Teorem 12.1. Sustav Legendreovih polinoma je potpun (s težinom 1) na intervalu ( - 1, 1) .

2.12.

je

119

SFERNE FUNKCIJE

Dokaz.

Neka je f E .Jt"( ( - 1 , 1) ) . Za E > O neka je

gE E C([ - 1 , 1])

takvo da (35)

(v. dokaz Teorema 9.9 ili Teorema 1 1 .6). Prema Teoremu 9.13 postoji polinom Lno (x) nekog stupnja no takav da je E max IgE(x) - Lno (x) 1 < r,:; ' (36) xE [-l,l] 2v 2 Iz toga slijedi (37) Iz (35) i (37) dobivamo (38) I lt - Lno Il < E . Zbog ortogonalnosti polinomi PO, p\ , . . . , Pno su linearno neovisni; zato je Lno line arna kombinacija tih polinoma. Neka je Sn n-ta parcijalna suma Fourierovog reda funkcije f po sustavu PO , P1 , Prema Teoremu 10.3 zaključujemo da je •

•

•

•

(39) pa zbog (38) imamo

I lt - Sno ll < E .

Prema Besselovoj jednakosti ( 10.19) za

n � no n

imamo

i=l

no

::;; I lt ll 2 - 2: a; liPi II 2 = I lt - Sno ll2, tj.

i=l

I lt - Sn II < E .

(40) (41)

Korolar 12.2. Svojstvene vrijednosti singularnog Sturm-Liouvilleovogproblema (16) dane su formulom (17).

Dokaz. Pretpostavimo da je }.. =I n(n + 1) , n = 0 , 1 , 2, . . svojstvena vrijednost, a u odgovarajuća svojstvena funkcija. Prema Teoremu 1 1.7 funkcija u je ortogonalna (s težinom 1 ) na sve Legendreove polinome, pa su joj Fourierovi koeficijenti po sustavu tih polinoma jednaki nuli. Prema prethodnom teoremu i Korolaru 10.5 zaključujemo da je u = O , što je kontradiktorno. O.E.D. Iz gornjeg korolara i Teorema 1 1.7 slijedi ovaj .

Teorem 12.3. Fourierov redfunkcije f E C(2) ([ - 1 , 1]) po sustavu Legendreovih polinoma konvergira apsolutno i uniformno na [-1, 1] i suma mu je jednaka f .

2.

120 Zadatak 12.1. Dokažite da je Pn (l) = Rješenje. Imamo

LAPLACEoVA JEDNADŽBA

(42)

1 , Pn ( -1) = (-lt .

_l_ � ((x - l Y(x + l n 2n n! mn n ((x _ l n (n -k) ((x + lt/k) 1 = __ � n =

() ()

2 n! LJ k 1=0 _1_ � n n! (x l )k n ! (x + l )n -k 2n n ! LJ (n - k)! =O k k! k

_

(43)

Iz toga slijedi (42). Zadatak 12.2. Dokažite integralnu reprezentaciju

� 12n: (x + iVl - x2

Pn (x) = 2

sin
(44)

Rješenje. Prema Cauchyjevoj integralnojformuli za analitičke funkcije kompleks ne varijable vrijedi (45) gdje je

C bilo koja zatvorena krivulja koja obuhvaća točku ; = x . Prema tome je

1 1 [ ( ; 2 - lt ( ; 2 - lt 1 dn 1 d; d; = Pn (X) = n ! mn 1l Je[ ; _ 2n 21li Je (; x)n+1 . 2n 2 i x Neka je C kružnica radijusa .JI x2 oko točke x . Tada je _

(46)

-

(47) pa dobivamo

Zn: . 1 1 - � ) - n/2e- lmp Pn (x) = -( l 2n+ 1l o X (x2 + 2xVl - x2eirp + ( 1 - � ) e2irp - l t dIP . 1 [ Zn: = (2x + Vl - x2 (eirp - e- irp)t dIP. (48) 2n+l1l Jo Iz toga slijedi (44). Zadatak 12.3. Dokažite da za x E [- 1 , 1 ] vrijedi (49) IPn (x) I � 1 .

1

Rješenje.

x

Prema (44) imamo

�1

Zn: IPn (x) I � 2 lx + iVl - x2 sin

(5 0)

2.12. SFERNE FUNKCIJE

121

Zadatak 12.4. Funkcija

1JJ (x, t) - -r.====;:1 ==;;: :: Vl - 2xt + t2

(51)

zove se izvodnica Legendreovih polinoma, jer je oo

1JJ (x, t) = L P,,(x) 1". Dokažite tu jednakost. Rješenje. Razvijajući dobivamo

(51)

(52)

u red po potencijama od

t ( !xl

< 1,

Itl

oo

1JJ (x, t) = L a,,(x) 1",

<

1 ), (53)

,,=0

gdje je

1 an 1JJ (X, O). a,,(x) = ' (54) a n. fl Prema Cauchyjevoj integralnoj formuli za derivaciju analitičke funkcije, vrijedi 1JJ (x-,1-t) dt, a,,(x) = 21 C (55) fl+ 1'cl gdje je C bilo koja zatvorena krivulja koja obuhvaća ishodište. Uvodeći novu varijablu z po formuli 1 _ (56) 1JJ (x,_t) = 1 tz, '

dobivamo

l

1 [ (zZ - l)" dz, a,,(x) = n+1Jt' 2 i JCt (z X),,+ 1 _

gdje je

CI

a,,(x) =

bilo koja zatvorena krivulja koja obuhvaća točku x. Iz toga slijedi 1 dn (� l) " P,,(x). 1 d" 1 (zZ - l )" dz = = 2"n ! dx" 2Jti Ct Z - X 2"n! dx"

1

- -

(57) (58)

(52) dokažite rekurzivne relacije (n + l)P,,+I (x) - (2n + l)xP,,(x) + nP,,_ I(X) = O , (59) (60) (2n + l)P,,(x) = P,,+ I (x) - P"-l (x). Rješenje. Derivirajući (52) po' t odn. x Lmnožeći dobivene jednakosti s 1 - 2xt + t2 , dobivamo Zadatak 12.5. Pomoću

( 1 - 2xt + r) oo

oo

I.: t Pil(x) 1"- 1, ,,=O oo

t L P,,(x) t" = (l - 2xt + r) L P,, (x) t".

(61) (62)

2.

122

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Izjednačavajući koeficijente uz iste potencije od t s lijeva i desna, iz prve jednakosti dobivamo (59), a iz druge

(63)

P�_l (X) - 2xP,. (X) + P,,+ l (X).

Pn (x)

Derivirajući (59), imamo

(n + l )P"+ I (x) - (2n + l)Pn (x) - (2n + l)xP�(x) + nP,,_ I (X) O. Eliminirajući ovdje xP� (x) pomoću (63), dobivamo (60). =

(64)

Prelazimo na razmatranje singularnog Sturm-Liouvilleovog problema (1 5 ) za 1, 2, . . . Lako se pokazuje da su brojevi ).. = n(n + 1) , n = m , ",- + l, m + 2, . . . ( 65 ) svojstvene vrijednosti i da su odgovarajuće svojstvene funkcije pridružene Legendreove funkcije ?; , definirane formulom 33

m

=

?; (x) = (1 - :x?) � P},"') (x) , n

Stvarno, iz te formule slijedi

=

m, m + 1, m + 2, . . . .

2 (1 - x2 ) (?; )" - 2x(?;) ' + (n(n + 1) - : )?; 1 x2 2 ( l - :x?) � ( 1 - :x?)Pi"'+ ) - 2x(m + l )Pim+l) =

Derivirajući m puta jednakost

+ (n(n + 1) - mem + l» Pim») .

(1 - x2 )p�

2xP" + n(n + l )Pn

dobivamo

=

O,

(66)

(67) (68 )

( 1 .:x?)p},"'+2) - 2x(m + l)pi"'+ I ) + (n(n + 1 ) - mem + l» plm) O. ( 69) Prema Teoremu 11.7 sustav P,;: , P,;: I " " je ortogonalan (s težinom 1 ) na inter + valu ( - 1, 1) : I Pj(x)PT (x) dx = O , j i- k. ( 70)

J

-1

Fourierovi koeficijenti funkcije f po tom sustavu dani su formulom

1

ar;: 11� 1I2 i / (X)P';: (x) dx , =

gdje je

IIP:' II

=

(L

)

1P.:' (x) I' dx

n � m, l

,

Izračunat ćemo normu ( 72 ) . Množeći ( 69 ) s ( 1 - x2 ) m , dobivamo ((1 :x?t+ 1 pim+ l ) (x)) I = - (n - m)(m + n + 1)(1 - .:x?)mPim)(x) . 33

Primjetirno da je l":

=

O

za

m>

n

i p.:

=

P•

.

(71) ( 72 )

(73)

2.12. SFERNE FUNKCIJE

123

Zamijenimo li u toj jednakosti

m s m l , imamo

Dalje imamo (75) Parcijalnom integracijom dobivamo

ili, zbog (74),

1 I?,;'11 2

::: =

(n - m + l)(m + n) [

1 1

(1 - x2 )m - 1 (p�m - 1 ) (x)f dx

(77)

(n - m + l)(m + n) II?,;'- 1 11 2 .

Ponavljajući parcijalnu integraciju na desnoj strani, dobivamo

2 (n + m) ! 1 1�1 " 1 = (n - m)!

liP" I I 2

(78)

ili, zbog (34),

. I I?,;' I I =

(n + m) ! 2 (n - m)! 2n + 1

(79)

Teorem 12.4. Sustav pridruženih Legendreovih funkcija 1"':, n m, m + 1, . . . je potpun (s težinom 1) na intervalu (-1, 1) . =

Dokaz. Neka je f E Jf'( ( - 1 , 1) ) . Za. proizvoljno E > O postoji funkcija E C{ [ - l, l]) , koja se poništava u nekoj okolini krajeva intervala (- 1 , 1) i koja ' zadovoljava uvjet

gE

(80) (v. dokaz Teorema 9.9 i sl. 2.27). Funkcija ( l - x2 )- 1! g,, (x) je neprekidna na segmentu [ - 1 , 1] , pa prema Teoremu 9.13 postoji polinom Lro nekog stupnja ro takav da je

( 81)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

124

I Sl. 2.27.

p�ml ( n � m ) je polinom stupnja n - m , a polinomi pf:l ,p:1! > P:12 ' ' ' ' m su l inearno neovisni. Zato je polinom Lr" linearna kombinacija polinoma p� l , n = m, m + l , . . . , m + ro : m+rll (82) Lro(x) = 2: c':, p},ml (x). n=m Funkcija

Prema tome je

m+ro (l l - �)- �ge(x) - 2: c':, p},m) (x) 1 xEI-l,l ] n=m max

ili

m+ru I gt (x) - 2: c': p: (x) I x€ I- I ,ll n=m max

Iz toga slijedi

Iz

m+ro li gE - 2: c':, p: II n=m

(80) i (85) dobivamo

nEN

neka je

Prema Teoremu

;

<

�.

c r;; .

2v2

.

c r;; ,

2v 2

(83)

(84)

(85)

m+ro Ilf

za

<

<

<

- n=m 2: c': p: II

m+r s}m) = 2: a: p:. n=m

10.3 zaključujemo da je Ilf

-

S}:l ll � Ilf

-

m+ro 2: c': p: II n=m

(86)

(87)

(88)

2.12. SFERNE FUNKCIJE

125

ili, zbog (86),

(89)

Pomoću Besselove jednakosti ( 10.19) (kao i u slučaju m = O ) za r � ro dobivamo - s�m) II < E . (90) Q.E.D. Iz gornjeg teorema slijede (kao i u slučaju m O ) ovi zaključci.

l l!

Koro.ar 12.S. Svojstvene vrijednosti singularnogSturm-Liouvilleovogproblema (15) dane su formulom (65).

C(2) ( [ - 1, 1]) zadovoljava uvjet (x) I � C(1 - x2), (91) gdje je e > O konstanta, onda za svako m = 1 , 2, . . . njen Fourierov red po sustavu pridruženih Lagendreovih funkcija l": , n = m, m + 1 , . . . konvergira apsolutno i uniformno na segmentu [- 1 , 1] i suma mu je jednaka f . Teorem 12.6. Ako funkcija f

l!

E

Uzimajući u obzir ( 14) i (65), zaključujemo da su tražena rješenja jednadžbe (8) funkcije (92) p: cos mqJ , p: sin mqJ , m = 0, 1 , . . . , n = m, m + 1 , . . . . Uvodeći sfernefunkcije (93) y::,( B , qJ ) p: (cos B) cos mqJ, m , (cos = ) sin (94) mqJ, y; ( B qJ) p: B možemo sustav (92) zapisati u obliku Y::' , n = O, 1, 2, . . . , m - n, - n + 1 , . . . , n . (95) Te funkcije su ortogonalne na jediničnoj sferi:

r y::,y;::' dS = lro 2Jr lr y::,( B, qJ)Y;::' ( B, qJ) sin B dB dqJ = O

lS3

o

(96)

ako je ili n :/= nl ili m :/= m' . Norma funkcije Y::' je

("4;t V 2ii:+! '

m = O,

l

(97)

2.1t (n + I m ) ! m :/= O. 2n + 1 (n - lm! ) ! ' Pokazuje se da su za dano n = O, 1 , . . . funkcije (95) homogeni harmonijski polinomi stupnja n na jediničnoj sferi i da čine bazu u prostoru takvih polinoma; drugim riječi ma, svaki homogeni harmonijski polinom stupnja n na jediničnoj sferi je superpozicija sfemih funkcija Y::' , - n � m � n . Uvrštavajući (65) u (7), dobivamo jednadžbu (r2R' (r)Y n(n + l)R (r) = O.

(98)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

126

Njena (linearno neovisna) rješenja su funkcije

(99) r", r- (n+ l ). Prema tome, harmonijske funkcije oblika (2), (3) su r"r,:' (e, tp) , r- (n+ l) r,:' (e , tp ) , n = 0, 1, 2, . . . , -n � m � n. (100) To su kugline funkcije; pomoću njih rješavaju se rubni problemi za kuglu . Primijetimo da su za m = O funkcije (100) ahija/no simetrične (tj. neovisne o varijabli tp ): (101) r"Pn (cos e), n ) (102) r- ( + l Pn(COS e). Primjer 12.6. Riješit ćemo ovaj Dirichletov problem:

Au = O u K(O, 1), u(l , e, tp ) = cos2 e , O � e � lt.

(103) ( 104)

Rubni uvjet je aksijalno simetričan; pretpostavimo da je i rješenje aksijalno simetrično i da se može prikazati u obliku funkcija (101): oo

u(r, e) = L en r"Pn (COS e).

(105 )

,,=0

Rubni uvjet daje cos2 e = ili

,?-

oo

L e"p,,(cos e),

(106)

,,=0 oo

L e"p,, (x) .

=

(107)

,,=0

Iz toga pomoću (23) dobijemo

en = O pa imamo

za

n :j:. 0, 2,

u(r, e) = 31 (1 - r) + r2 cos2 e.

Zadatak 12.7. Riješite Neumannov problem za kuglu

Rješenje.

Funkciju

au (R, e) = cos e. ar

(UO)

K(O,R) , ako je (111)

u tražimo u obliku oo

u(r, e) = L e" r"p,, (cos e).

(112)

u(r, e) = r cos e.

( 1 13)

,,=0

Dobijemo

(108) (109)

127

2.1 3. QLINDRIĆNE FUNKCIJE

Zadatak 12.S. Riješite vanjski Neumannov problem za kuglu K(O, R) . ako je

8u

Rješenje. Funkciju

8r

. 2 lJ (R, e) = sm .

( 1 14 )

u tražimo u obliku oo

(115 )

n=()

Iz rubnog uvjeta pomoću (23) i (24) dobijemo

2R2 R4 u(r, e) = - + - ( 3 cos2 lJ - l). 3r 9r3

( 116)

Zadatak 12.9. Riješite Dirichletov problem za sferni sloj 1 < r < 2. ako je

Rješenje.

u(l, B) = 2"1 cos B , u( 2, B) = 1 + cos 2B. Funkciju u tražimo u obliku u(r, B)

=

oo

I )Cnr" + Dnr-n-1 )Pn(cos B). n=O

Iz rubnih uvjeta pomoću (23) j (24) dobijemo 1 8 32 u(r, � ) 43 (1 ;1 ) + 14 - r)Pl (cos B) + (� 93

1 3")P2 (cos lJ) . r

( 1 17) ( 1 18)

(119)

Laplaceova jednadžba u R3 \ {O} u cilindričnim varijablama glasi 1 8 8u 1 82u 82u (1) )+ (e{2 8{2 8{2 2 8z2 = ° e 8rp2 + (v. Zadatak 2.1). Odredit ćemo rješenja te jednadžbe koja imaju separirani ob/ik (2) u(e, rp, z) = U(e,z) · (rp), U (e, z) = R(e) · Z(z). (3) OVdje su R, i Z funkcije na (O, oo ) , ( - oo , oo ) i ( - oo , oo ) . respektivno, pri čemu je 2.n:-periodična: <1>( rp + 2.n:) = <1>( rp). (4) Uvrštavanjem ( 2) u (1) dobivamo ili

!� (e 8U ) + U <1>11 82U = 0, e 8e 8e {22 + 8z2 82U 1 - <1>" U =

=

/-"

(5) (6)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

128

gdje je tl ko�tanta. Prema tome imamo jednadžbe «II" + tl«ll = O ,

2 U � (U IJ U ) + U2 IJ z2U - tl U = O. IJU IJU IJ

Iz (4) i (7) slijedi da je

tl = n2 , n = 0, 1 , 2, . . . .

(7)

(8) (9)

Odgovarajuća rješenja jednadžbe (7) su funkcije

cos mp, sin mp, n == 0, 1 , 2, . . . . Uvrštavajući (3) u (8) i uzimajući u obzir (9), dobivamo 1 " Zli (z) n2 - 2 O, (UR (U» +

UR(U)

ili

gdje je

( )) UR(O) (OR O - 02 1

A

"

n2

Z (z) =

U

ZI/ (z) - Z (z)

==

=

-A ,

konstanta. Prema tome imamo jednadžbe

Zli - AZ

= O,

(OR'(O» ' + ( A U - -)R(U) = O. O Jednadžba ( 14) ima u točki O = O regularni singularitet. Razmotrimo najprije slučaj A � O . za A = O jednadžba ( 14) glasi n2

za n > O i za n = O . Neka je

dobivamo jednadžbu ili

(12) (13) ( 14)

(15)

1 , ln O

(17)

A > O . Uvodeći novu varijablu

i novu nepoznatu funkciju

( 1 1)

(UR'(U»' - -R(U) = O U n2

Njena rješenja su

( 10)

x = oVi.

x y(x) = R( JI)' (xy' ) ' + (x -

n2

) x y = O,

(16)

( 18) (19) (20) (21)

2.13.

129

QLINDRIčNE FUNKCIJE

To je Besselova jednadžba; njena rješenja se zovu cilindrične funkcije. Regularno rješenje te jednadžbe ima oblik (22) y(x) = x"( /1{) + alx + . . . ) , /1{) # O (v. Dodatak 1). Izostavljajući izračunavanje koeficijenata /1{), al , . . . , pokazat će mo da jednadžbu (2 1) zadovoljava cilindrična funkcija 1. vrste ili Besselova funkcija n -tog reda, definirana formulom ( x ) n+2k ( _ l )k (23) Jn (x) L 2: k=() r(n + k + l)r(k + 1) Lako se provjerava (pomoću Dalembertovog kriterija) da red na desnoj strani konver gira apsolutno za svako x , pa je (23) cijela analitička funkcija. Dalje imamo :x?J: (x)+ xJ� (x) n2Jn (x) � l k 2k)(n + 2k - 1) + n + 2k - n2 ) ( ::) n+2k = L.t ( - ) «n +r(n + k + l)r(k + 1) 2 k=0 ( - 1)k 4k( n + k) ( :: ) n+ 2k k=() r(n + k + l)r(k + 1) 2 ( x ) n+2k ( _ l)k

=

oo

= f:

oo

= 4 L r(n + k)r(k) ,1;= 1

=4

oo

( _ l ) k+ 1

2:

tt r(n + k + 1)r(k + l)

( x ) n+2k+2 2:

_ 1 )k .� ( x ) n+2k = -il L.t r(n + k(+ l)f(k = -:x?Jn(x). + 1) 2:

(24) k=O Drugo (tj. linearno neovisno o Jn ) rješenje jednadžbe (21) je singularno i ima oblik 1 oo (25) Kn (X) = A nIn (x) lnx + xn L Bnkxk, = k O gdje su A n i Bnk neke konstante i BIlO # O (v. Dodatak 1). Linearno neovisna rješenja jednadžbe (14) (za n = O, 1 , 2, . . . ) su funkcije (26) Jn(eVI), Kn (eVI). Razmotrimo jednadžbu (14) na intervalu (0, 1), l E (O, oo ) , uz rubni uvjet R(l) = O. (27) Odredimo vrijednosti parametra A za koje problem (14), (27) ima netrivijalno re gularno rješenje; to je singularni Sturm-Liouvilleov problem. Prema Teoremu 11.7 taj problem ima prebrojiv skup svojstvenih vrijednosti; te vrijednosti su nenegativne, jednostruke i nemaju konačnog gomilišta. Iz ( 16) i (17) zaključujemo da nula ni je svojstvena vrijednost. Prema (26) svojstvenoj vrijednosti A odgovara svojstvena funkcija Jn ( eVI) (primijetimo da za n > O vrijedi Jn(O) = O ) . Iz (27) slijedi uvjet (28) Jn (lVI) O.

=

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

130

Obratno, ako je x realno pozitivno rješenje jednadžbe Jn(x) O, (29) onda je }., = (x/l) 2 svojstvena vrijednost. Prema tome, ako s Xn ! < Xn2 < označi mo pozitivne nultočke funkcije J,. , svojstvene vrijednosti problema ( 14),(27) dane su formulom (30)

=

...

(31 ) Na sl. 2.28 prikazani s u grafovi funkcija Jo i J1 ; prve tri nuItočke funkcije ove vrijednosti: Xol 2,4048,Xo2 5,5201,Xo:i 8,6537 .

=

=

=

Jo

imaju

---x

Sl.

2.28.

Prema Teoremu 1 1.7 funkcije (31) su ortogonalne na intervalu (O, I) s težinom (32)

Fourierovi koeficijenti funkcije f « (} ) po sustavu mulom

Jn «(!Xnj/l),j

= 1 , 2, ... dani su for (33)

gdje je

I !Rnjll

=

(1

I

(!1;

(7 )

)

2 (}

= 0,

(35)

2

= O.

(36)

-

Xnj d(}

1 /2

(34)

Izračunat ćcmo normu (34). Funkcija (31) zadovoljava jednadžbu

« (}R�jY + (}.".j (} a funkcija RnA ( U )

=

Jn « (} ..;f) jednadžbu « (}R�A Y + (A (}

-

� )Rnj � )RnA lJ

2.13. CILINDRIĆNE FUNKCIJE

131

Pomnožimo ( 35 ) s ( 36) J.. 1= integrirajmo po intervalu (O, l) oduzmimo dobivne jednakosti; nakon parcijalne integracije imamo

Anj' ( oJ URnjRnAdU = LR�p-)RAnnAj(l)

RnA '

S Rnj'

J..

(37)

x = IVJ: , J� (Xni)Jn (X) ( 38 ) 11 n (!l.l xn} ) Jn ( !l.l X) dU - X� Xnj X - Xnj Uzimajući u toj jednakosti limes kad X ....... Xnj, dobivamo (pomoću L'Hospitalovog teorema) ili, stavljajući

O

n T /;!'J

_

.

+

.

( 39 )

Iz Teorema 1 1.5, 11.6 i 1 1.7 slijede ovi zaključci. Teorem 13.1. Ako funkcija f E e(2) ([O, � ) zadovoljava uvjete

f Cl)

2 = 0, I ( ef '(u) )' - n-f U (u) 1 � e.;e,

( 40)

gdje je e > ° konstanta, onda je

.;ef (u )

oo

= 2: j"",l .;eanln (tXni) '

(4 1)

Red na desnoj strani konvergira aposlutno i uniformno na intervalu [O, � . Teorem 13.2. Sustav

nom e .

Jn( UXnjjl) , j = 1 , 2 , . . . je potpun na intervalu (O, l) s teži

Linearno neovisne harmonijske funkcije oblika (2), ( 3 ) , koje su regularne u cilin dru ° � < l i koje se poništavaju Jla omotaču e l , prema ( 10) ,( 13) i (3 1 ) imaju oblik � cos n rp · e I (42) e7u ,

U

= ·Jn (X ' ) COSntp · X' sin nrp · e' ·Jn ( ;J e) , sin nc.p · n 0, 1, . . . , j = 1 , 2, . x_1'

.

.

.

Primjer 13.1. Dirichletov problem za cilindar. Riješit ćemo ovaj problem:

!J.u u(l, rp , z) u ( e cp , O) cp , h)

, u(U,

= ° [O, l) x [0, 2,,) x (O, h), = 0, = 0, = g(e , cp) . II

( 43 )

(44) ( 45 ) ( 46 )

(47)

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

132

Ovdje je g( e , q;) zadana funkcija, 2n'-periodič�a u varijabli rješenje može prikazati u obliku reda funkcija (42).(43):

q; . Pretpostavimo da se

� � + Dnje- � ) Jn (X;'' e) . (48) L...t )Anj cosnq; + Bnj sinnq; ) ( Cnje u( e , q;,z) = � L n=0 j=1 Iz (46) slijedi Cnj = -Dnj . pa imamo -

I

(49)

(50) Iz toga, pomoću relacija ortogonalnosti (9.8)-(9.10) i (32). dobivamo

1 t , 2rI: flg( e, q; )Jn (Xnj ) cos nq;dq;de , (51) l fl .n:IIRnj I l2 sh Jo Jo 1 (X (52) eg( e, q;)Jn lnj fl) sin nq;dq;de . Bnj = 2rl: ' ' O i 0 .n:IIRniI1 2 sh Jo Jo Red (49) s koeficijentima (51),(52) predstavlja formalno rješenje. Ako je npr. g E C(2) ([O, � x [0, 2.n:] ) i (53) ge l, q; ) = O, : ( e �! ( e, q;)) g(e , q;) � Cve, e gdje je C > O konstanta, pomoću Teorema 13.1 dokazuje se da vrijedi (50), tj. da funkcija (49) zadovoljava uvjet (47) ; pomoću Korolara 7 .9 zaključujemo da je ta A nj

=

\

-�

\

funkcija harmonijska;

Prelazimo na slučaj A. < O . Uvodeći u (14) novu varijablu i novu nepoznatu funkciju

X = (r/-A.

(54) (55)

dobivamo jednadžbu

(56) Lako provjeravamo da je njeno regularno rješenje Besselova funkcija n-tog reda s imaginarnim argumentom: n oo X n+2k . (57) In(x) = i1 Jn( ix) = L r k 1 r k (n + + l) ( + l) ( 2 ) k=O

()

2.13.

133

CiLINDRiČNE FUNKCIJE

Regularno rješenje jednadžbe (14).je

R ( g ) = In (g�) .

(58) Prema (10), (13) i (58), linearno neovisne harmonijske funkcije oblika (2), (3), koje su regularne u cilindru O � g < l, O < z < h i koje se poništavaju na bazama z = O i z = h , imaju oblik cos n

:

k z

n = 0 , 1, . . . ,

. In k

( ; ) , sin n

k z

g

. In

= 1 , 2, . . . .

k

Zadatak 13.2. Odredite harmonijsku funkciju u cilindru O �

uz rubne uvjete

g

g

<

,

(59)

l, O < z < h ,

u(g, cp,

O) = O , u(g, cp, h) = O, u( l, cp , z) = g(z) .

(60) (61) (62) Razmotrite specijalne slučajeve (a) g = const i (b) g(z) = Az (1 - �) , A = const. Rješenje. Funkciju u tražimo u obliku reda aksijalno--simetričnih funkcija (59): u(g , z)

Iz (62) slijedi

=

� ( ; ) sin : k

CkIO

k z

g

( )

krr . krrz LJ CkIO h l SIn h' g(z) = � k=l

a iz toga Ck

=

ih g(z) SIn.

2

( h l)

hlo kn;

o

.

(63)

(64)

z

krr - dz. h

(65)

U slučajevima (a) i (b) respektivno �obivamo

Ck

(�l)

2g

Ck

rrk/o

=

(1

4Ah (krr)3Io

(�l)

*

*

*

- ( - 1)k ), (1

_

k (_l) )

(66)

.

(67 )

Ako u formuli (23) parametar n = 1 , 2 , . . . zamijenirno s (-n) = -1 , -2, . . . , dobivamo Besselovu funkciju J-n koja je također rješenje jednadžbe (21). Funkcije Jn i J-n su linearno ovisne (v. Dodatak 1); lako se pokazuje da je (68)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

134

±l, ± , J,, (x) = 11 n 2 r( + 1 ) ( 1 + z(x» ,

Besselova funkcija J" dobro je definirana fonnulom (23) i za nedjelo n i zado voljava jednadžbu (21). za n #= O, 2 . . . , iz (23) slijedi da je XI'

(69)

gdje funkcija z(x) u nekoj okolini ishodišta zadovoljava nejednakost Iz(x) I � const x?

(70)

.

Iz toga zaključujemo da su funkcije J" i L" linearno neovisne (uključujući i slučaj kad je zn cijelo). Prema tome, ako je n #= O, . . . • opće rješenje Besselove jednadžbe (21) je

±l, ±2,

(71) gdje su Cl i Cz proizvoljne konstante. Zadatak 13.3. Dokažite da je

J i (x)

= ff sm· x, n:x

J- t (x) =

Rješenje. Prema (23) imamo Jt (x)

ff

(72)

cos x.

(73)

)k x ! +2k = f; r(4 + k(+_ ll)r(k+ l) (2) oo

oo

f; .Ji .

()

. . . + k! :; . + k!

( _ 1) k2k+l 1 · 3 · . (2k

rz � V ;; � 1 · 3 · . .

.

2

1) .

( - 1 )1 (2k 1 ) · 2k •

(74) 1 /2 2k+ 1 x

;?+1

� (_ l )k 2k+1 = rz . = Vrz ;; � (2k + l)!x- V ;;

SlflX.

Analogno dokazujemo (73).

Zadatak 13.4. Dokažite da za svako

o

vrijede rekurzivne relacije

= Ja_l (x) - ?"x Ja (x) , ?" J�{x) = -Ja+ l (x) + Ja (x) . x J�(x)

(75) (76)

135

2.1 4. POTENCIJALI

Rješenje. Prema (23) imamo

J� (X) -Ja- 1 (x)

( X )a+2k-l (77) (x ) a+2k-l (::: ) a+2k-l ( x )a+2k = --;/ a a(X) .

oo ( - 1) k ( a + 2k) "" {:o' 2f( a + k + l)f(k + l ) 2 oo (-1 ) " r(a + k)f(k + 1) "2 ( - l )k «a + 2k) 2(a + k) ) = 2r( a + k + l ) r(k + 1 ) 2 1c=0 (-1) " a oo = r( a + k + l )r( k + l) "2 x

- t;

f

t;

Analogno dokazujemo ( 7 6) .

Integralna reprezentacija (6.30) sugerira uvođenje ovakvih funkcija:

x k f(y) V'n ( IX

W( ) =

(1)

y I ) d V,

i 1l(Y) 0:(Y) V'n( lx - yI ) V(x) = i u (y) V'n ( lx - yI )

U(x) =

dS,

(2)

(3 )

dS.

gdje je f E qQ) i ll, U E qr) . Funkcije W , U i V zovu se respektivno volu mni potencijal, potencijal dvostrukog sloja i potencijal jednostrukog sloja; f , II i U su gustoće tih potencijala. Očigledno je da su funkcije U i V dobro definirane i harmonijske na Rn \ r ; prema Primjeru - 6.1 funkcija W je dobro definirana na R" i harmonijska na Rn \ Q . Lema 14.1.

Akoje f E C(Q), ondaje OW (x) = o'Xi

Dokaz. Nekaje

y E

1.

Q

o xi

W E c(I) (Rn )

8 V'n ( IX - YI ) f (y)

dV ,

i vrijedi

x E Q.

C(1) ([O, oo )) s ovim svojstvima (sl. 2.29) : O � y et) � 1 , t E [0, 00), e t y ) = O , t < 1, y e t) = 1 , t > 2 , O � y ( t) � 2 , t E [0, 00).

/

(4)

(5) (6)

(7)

(8)

2.

136

1

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

2

Sl. 2. 29.

> O i x E Q neka je W. (x) = l 1J1,, (lx -y I ) y ( Ix : YI ) f (y) dVo (9) ZaJx - YI < E imamo y � - YI / E) = O , pa podintegralna funkcija nema singulariteta u Q . Zato je W. E C(1)(Q) i vrijedi ! W.(x) = 1 ! (1JI..(lx -yl)y ( I : YI ) ) f (y) dV , x E Q. (10) Za dovoljno malo E

X

i

i

Dalje imamo

W(x) - W.(x) = 1 ( 1 - Y ( I : Y I )) 1JI,, (lx - yl)f (y) dVo Za lx - Y > 2E vrijedi 1 - Y (lx - yi / E ) = O, pa za x E Q dobivamo I W(x) - W.(x) = J1[x-yl <2. ( 1 - Y ( Ix -E YI )) 1JI.. ( lx - yl)f (y) dVo X

Prema tome vrijedi

I W(x) - W. (x)1

� J[ -yl<2. 1x �

2 m�x lt Q

ili

Iz toga slijedi Neka je

I . n_-1 _2 E2 2 mt' lt I . (E2 - 2e2 ln 2E) Q

W. W uniformno na --+

Wi (X)

=

E

.

Q,

E

--+

O.

za za

dV, x E Q. ( "!l1Jl yl ) f(y) l x ,, l UXia Q

( 12)

dV (13)

2. I . IS" I J[o 1 1JI,, (r) I 1'- 1 dr,

4 m�x lt

{

I W(x) - W. (x) I �

(l + Y ( Ix - yi )) 11JI,, (lx -yl)f(Y)1

( 11)

n

>2

n = 2.

(14)

(15 ) (16)

2.14.

137

POTENCIJALI

Prema (10) za x E Q imamo

lX ! WE (x) ;(x) = 1o ! ( 1JI,, ( lx - yD ( r ( : y l ) - 1 ) ) f (Y) dV W ; ; x; - y; ( ( E=1i ) = (17) - 1) r " Jo E x S l l I " - YI IX �i ) f (y) d Vo + 1JI,, ( lx - yI ) r' ( : YI )

r(

_

� ;=

Uzimajući u obzir (5) - ( 8), dobivamo

r

! ( 1 8 WE (x) - w;(x) 1 � 2 + 1 1JI,, ( lx - yDI ) lt (Y) l dV ,, 1 ax, E x S I I <2E " Y I J1x-yl 1 1 4 m..!x lt l . E ( 1 + __ ) za n > 2 n 2 o (18) 2 m..!x lt I (3E - 2E 2 ln 2E) za n = 2. o Iz toga slijedi 8 W; wo uniformno na Q , E O. (19) 8x;

.

({

- ---+

�

-

---+

l

Iz (15) i (19) slijedi zaključak leme. O.E.D. Označimo s �(Q) skup svih funkcija v E C( oo) (Q) kojih su nosači kompaktno sadržani u Q . Lako se dokazuje ova Lema 14.2.

Ako funkcija h E C(Q) za svako v E �(Q) zadovoljava uvjet

onda je h = O . Teorem 14.3.

10 �(x) v(x) dV =

O,

Akoje f E C( 1) (Q) , ondaje W E C(2)(Q) i vrijedi - AW = f u Q.

Dokaz. Nekaje x E Q , E > O, K(x, E) napišimo u obliku

r

CC

(20)

(21)

Q i QE = Q \ K(x, E) . Formulu (4)

8 W (x) = lim 8 1JI,, ( lx - y l ) f (y) d Vo E --+O Jo, ax; 8x;

(22)

2.

138

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Integral na desnoj strani transformiramo ovako:

[J� aa .1Jln (lx -yl)f(Y) dV = - k.[ ( aa�.1Jln (lx -yl) ) f(y) dV = - J[o, :Y,. (1Jln (lx -yl)f(y)) dV + J[o. 1Jln (lx -yl) �Y,f (y) dV [ 1Jln (lx - yl)f(y) v; (y) dS = - Jr[ 1Jln (lx -yl)f(y) v;(y) dS - JaK(x,E) f + [ 1Jln (lx -yI) � . (y) d V, Jo, Y,

(23)

�

v jedinični vektor vanjske normale na aQE ' Dalje imamo I �M [ 1Jln (lx -yl)f(Y) v;(Y) dS l � l1Jln ( E ) I �ax lfl ' En-I ISnl 1 _ max lf l ' E za n > 2 n-2 m x lfl ' l ln E I E za n = 2. i

gdje je

(24)

Q

_

Iz (22)-(24) slijedi

{

_

fi

'

af (y) dVo aw (x) = - 1Jln (lx - yl)f (y) v;(y) dS + 1Jln (lx - yl)� aY; lr lo

(25)

ux;

Prvi integral na desnoj strani predstavlja funkciju klase C(oo ) (Q) , a drugi (prema Lemi 14.1) funkciju klase C{ l )(Q) ; zato je E C(2)(Q) . Neka je E �(Q) ; za E Q prema integralnoj reprezentaciji (6.30) imamo

W

pa vrijedi

ili 34

v

v(x) = - la 1Jln ( lx -y I ) �v(y) dV,

x

(26)

la f(x) v(x) dV = 1f(x) dVx 1 1Jln (lx -yI) �v(y) dVy, 1f(x) v(x) dV = la �v(y) dVy 1f(x) 1Jln (lx -yI) dVx = - 1 �v(y) W(y) dVo

(27)

(28)

Nakon parcijalne integracije na desnoj strani dobivamo

laf(x) v(x) dV = 1 �W(y) . v(y) -

d V,

(29 )

a iz toga (prema Lemi 14.2) jednakost (21). 34

Ovdje smo u nepravom integraJu zamijenili poredak integracije; v. (Dodatak 2.6.18) i (Dodatak 2.6.19).

2 . 14. POTENCIJALI

139

Teorem 14.4. Postoji broj dovoljno velike kugle vrijedi

za n > 2 i

I

>

e

O,

O,

E Rn

koje leži izvan

I W(x) I � Ixlne-2

W(x) - 1JI2 ( lx i )

za n = 2 . Dokaz. Neka je R > Iyl < R < Ix l /2 , pa imamo

takav da za svako x

Q

lx -

e

(30)

fol (Y) dvl � I�I

K(O, R) i lx i >

2R .

(31) za

y

YI � lxi - Iy l > I�I .

E

Q vrijedi (32)

Iz (1) i (32) slijedi (30) za n > 2 . za n = 2 iz (1) dobivamo I W(x ) - 1JI2 ( lx i )

Vrijedi

fol (Y) dV I � 2� 1 k (Y) ln IX I�I YI I dV. YI YI

I

lx � lx i + y l < lxi + R , lx - � lx i

pa imamo

IYI > Ixl - R,

lx i ln ln lx i < ln -lx i Ix I + R < Ix - y Ix 1-R' Koristeći nejednakost ln ; < ; - 1 , dobivamo

-I

I

ln -:-:'--'--

I

ili, zbog x l - R > x l / 2 , In

Dalje imamo ln

2R ' lx i g Jxl _ R <

Iz (33) i (40) dobivamo (31). Primjedba 14.5. Za

Iln�1

(36)

(38)

2R

Ix - y i < lx i '

(39) (40)

n > 2 potencijal W je regularan u beskonačnosti. Ako je

foI (y) dV = O , W je također regularan

trne u beskonačnosti.

(34) (35)

(37)

2R ' R > -g lx i lx i + R > - g lx i + R = - ln Ixl

Iz (36), (38) i (39) slijedi

n=2 i

R

(33)

u

beskonačnosti; štoviše, W tada

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

140

U daljnjem pretpostavljamo da je hiperploha r = aa povezana (zbog ograniče nosti područja a ona je i zatvorena, tj. kompaktna) i da je ( 41 )

r E C(2) .

, U tangencijalnom prostoru T"T točke x E r odaberimo ortonormiranu bazu {gl , g2 , ' . . , gn -I } tako da sustav (lokalni reper) I:x = {x ; gJ , g2 , . . . . . . , gn -! , v(x)} ima pozitivnu orijentaciju. Za y E Rn neka je n -I

(42)

;= 1 za dovoljno malo d > O i x E r neka je ox,d = r n K(x, d) . (43) Uzimajući u obzir kompaktnost hiperplohe r , lako zaključujemo da postoji do > O takvo da je za svako x E r skup ox,du karta na r , zadana u sustavu I:x jednadžbom rtn = tp (rt/ ) , rt' = (rtl , rt2 , · · · , rtn- I ). (44) I n Ovdjeje tp E C(2) (Tx.dn ) , gdjeje 't"x,du c R - projekcija karte ox,du na prostor x+Txr . Očigledno je a tp (45) i = 1, 2, . . . , n - 1 . tp (O) = �(O) = O , urti

Prema Teoremu srednje vrijednosti, za rt' E 't"x,du imamo

�

..

a tp a2 tp i = 1 , 2, . l n ( rt') = L..J a 'n. a'n . ( rt/ ) rtj , ' /1 a 'n, j= l ·,f " J gdje je rt' E 't"x,do . Zbog kompaktnosti r vrijedi a2 tp O < "o = sup max J:l 'n" J:l '1 1 ( rt ) < oo. _

xE r

Iz (46) i (47) slijedi

. !

.tEiz�

;,j:l.2. ..n-1

!:; 1

u . , ,u . "

l,

'!

(47)

, ,,. n l ,

(rt' ) � "0(n - l ) 1 /2 I rt' I ,

i = 1 2,

I grad tp ( rt/ ) I � " I rti l ,

(46)

, -

(48)

(49)

gdje je " =

Dalje imamo I

/ ' fI

tp ( rt ) = o J

"

d tp dr

(rftTI ) rt'

(n 1) "o .

dr =

' / ' fI l

Jo

grad tp

(50) (51)

(TftTI ) . ftTI rt'

. rt' d , r

(52)

2.14. POTENCIJALI pa za 1J' E

yE

'l'x ,do

dobivamo

Lema 14.6.

ax,d

141

vrijedi

(53) Postoje brojevi a

>

O i d E (O , do) , takvi da za svako x E

r

i

(54) (55 )

Dokaz. Neka je y E ax ,do Imamo •

v; (y) =

::i ( 1J' )

i = 1 , 2, . . . , n - 1 , (l + j grad cp( 1J' ) j z ) 1 /z ' 1

vn (y) = (1 + j grad cp( 1J ) j 2) l / · Z ' Iz (48) i (56) dobivamo j v;(y) j � 1(0 j 1J' j , i = 1 , 2 , . . . , n - L Neka je O < d < min do, . Tada za y E

ax,d

iz (49) dobivamo

{ �}

j grad cp( 1J' ) I � 1 .

Iz (57) i (60) slijedi 1 - vn (y) � (1 + I grad cp( 1J'W ) l /Z - 1 � j grad cp( 1J' ) IZ � j grad cp( 1J' ) I , pa zbog (49) imamo 1 - vn (y) � 1( 11J' I Iz (58) i (62) slijedi (54). Iz (57 ) i (60) slijedi (55). Lema 14.7.

( 56 )

(57) (58 )

(59) (60) (61) (62)

Za svako x E r, iE ax,d i x' = {x + }.. v(x) : }.. E R} vrijedi I (x' - y) . ( v(y) - v(x)) I � a lx' - ylZ , ( 63 ) (I x - y) . v(Y) 1 � lx' - xl + b lx - y lZ , (64)

gdje je b = a + 1(/2 . . Dokaz. Iz (54) i nejednakosti

11J' 1 � lx' - y j

slijedi (63). Dalje imamo I (x' - y) . v(Y ) 1 � lx' - yl l v(Y) - v(x) I + I (x' - y) . v(x) I � lx' - yl l v(Y) - v(x) I + lx - x l + I cp( 1J' ) I · Uzimajući u obzir (54), (53) i (65) dobivamo (64).

(65) (66)

2.

142 Lema 14.8.

Dokaz.

Postoji broj

C >

O,

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

takav da za svako n vrijedi

.i / 8:(Y) 1/Jn ( lx' -yI) , dS <

x' E R

(67)

C.

Imamo

8 1/Jn ( -yI ) , dS = 1 I I (x' -y) . vn(y) 1 dS. (68) ,. Jr lx' y l I I S Jr I 8v(y) l.r' Neka je x E r takvo da je (69) min lx' - z i = lx' - I Tada je x' E {x + A.v(x) : A. E R} . Ako je lx' -xl � d/ 2 , onda za y E r vrijedi lx' -YI � d/2 , pa dobivamo n-1 jrl ) I 2 I 8 dS � ( d ) (70) x (l yI n 1/J Jr I 8v(y) I S nl' I tj. (67) . Neka je lx' -xl < d/ 2 . Imamo 1 1 I 8 1/Jn ( lxI -yI ) dS I (x' - y) . v(y) dS I n Jr I 8v(y) I ISn l Jr\,čix.J lx' yl -I lx' YI I + 1;,. 1 lxJ ix' � yln (x' - y) . v(Y) 1 dS. (71 ) I

_

X -

zEf

_

_

Za y E r \ Ox,d vrijedi

lx' YI � lx YI - lx' -xl d - d2 = d2 ' 1 JIr 1�1,..--;- (x' -y) . v(y) dS < (�d) n-I TI ISn l \ax,J lxI - YI I iSn i' >

pa je

(72 ) (73)

Pomoću (64) dobivamo

-y) . v(Y) , ISn l b1 1 lxI -x � ISn l Jarp lxI - yin-2 ISn l JaX.d ix' y l ln . (55)) < 2 JTxti 1 1]' ln-2 � 2 lSn-d d, Jarti lx' y l n - 2 JT<,J lx' -y ln - 2 vn(y) ...!... I Jax,J

1 -;-:--:- (Xl

lx' -xnl x Jar.J l ' -y l I

dS

I

Dalje imamo (koristeći dS I = I

dS

dS

dS

+

1

I

I

-

dS

dS

lx' -xl _1_ xl ' -yln vn (y) dS < 2 1'Crp « (Ix' -xl - lIP(x' 1]-xl ' ))2 + 1 1]' 1 2)n/2 dS. JTs.J

= I

(74)

(75) (76)

2.14.

143

POTENCIJALI

Vrijedi ( Ix' - xl - ep(rl') f + 1 T/'12 Neka je d dobivamo

lx' _ x12 + l ep(T/'W + 1T/' 12 - 2 lx' - xl ep(T/' ) (77) � lx' - xl 2 + 1T/'12 - 2 lx' xl ep(T/' ) . < takvo da vrijedi lCd 1 ; iz (53) imamo l ep(T/' ) 1 1 T/' 1 /2 , pa iz (77) ==

�

1 ( Ix' - xl - ep( T/'))2 + 1 T/' 12 � 2 ( Ix' - xl 2 + 1 T/' 12).

Iz (76) i (78) slijedi [ lx' - xl n dS J

21 + �

1

(78 )

lx' xl dS + 1 T/' 1 2 ) n /2 UX,J lx' - y l 'x,d ( I.xi - xl2 [OO ).. n - 2 < d)" . z1 + � I Sn l ( ).. 2 + 1)n /2 Integral na desnoj strani konvergira. Iz (71), (73) - (76) i (79) slijedi (67). Lema 14.9.

<

Jo

(79)

Vrijedi formula -1 1 2

l a:(Y) 1/'n( lx - yI ) dS Dokaz. Neka je x E Q , e >

O

O

(80)

xEr

'

x E Ql = Rn \ Q.

i K(x, e) e e Q . Imamo

l a:(Y) 1/'n ( lx - yI ) dS - i8K(X'E) a:(Y) 1/'n( lX - y I) dS - 1. (81 ) Neka j e x E r i O e d . Tangencijalna hiperravnina x Txr dijeli sferu Sex , e) na dvije disjunktne polusfere, od kojih jedna - označimo je sa S - (x, e - leži u poluprostoru O. Imamo [ [ a aCY) 1/'n( lx - yI ) dS, (82) ) dS y ( lx I C Y) 'n 1 / J a a Jr\K(x,<) v as(X,E)\QI v [ [ a a d d ) (83) Jas-(x,.) a vCY) 1/'n ( IX y I S Jas(X,E)\Ql a vCY) 1/'n ( lX - yI ) S i, a:(Y) 1/'n ( lx - y I ) dS, (sl. 2.30). Prema (53) za y E T. vrijedi gdje je TE S- eX , e (S (x, e) l ep(T/' ) I � lC e 2 /2 , pa je .I 1 (84) 1/'n ( lx y I ) dS I � [A Y) :( a S , i I n l en - P I gdje je A . { T/ E aK(O, e) : O yn lC e 2 /2} . Imamo =

<

lJn

<

+

<

_

_

-

=

=

)\

\ Ql )

<

<

_

)

2.

144

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

S(x, E) ---

Sl. 2.30.

IA EI =

l1t/2

Arc cos T

E,, - 2 I S,, _ 2 1 sin,, -2 t} . E dt}

ICE ' (JJ:"2 - Arc 2ICE ) � E,,-l lS,,-2 I 2 p a zaključujemo B 1JJ,, ( lx - yI ) dS O. lim r E_O JT, B (y) Iz (85) i (82) slijedi B 1 E_O. ln8K(x,EJ\Q1 Bv(y) 1JJ,,( lx - yI ) dS = - -2 ' Uzimajući u (82) limes (kad E --+ O ), dobivamo rJr Bv(yB ) 1JJ,, ( lx - y I ) dS = 2'1 � E,,- l IS,,-2 I

COS

V

hm

Za x E

01

=

_

(85)

(86)

(87)

tvrdnja (80) j e evidentna.

1

C(2J (Q) . Dokažite da za x E

B ) fr ( BU(Y) ( l x 1JJ ,, - y I ) - u(y) - 1JJ,, ( lx - y I ) dS Bv Bv - 10 Au(Y)1JJ (Ix - yI ) dVo

Zadatak 14.1. Neka je u

E

r

- u (x) = 2 r

vrijedi reprezentacija

(88)

"

Iz Leme 14 . 8 slijedi da je formulom (2) funkcija U(x) x E r ; to je direktna vrijednost potencijala dvostrukog sloja.

dobro definirana i za

2.14.

r.

145

POTENCIJALI

Teorem 14.10. Direktna vrijednostpotencijala dvostrukog sloja je neprekidna na Za x E r postoje limesi

lim U(x') = U- (x), x'-x

limx U(x') -"-

-" EC1

i vrijede formule

U- (x}.

=

(89)

U+(x) ,

U(x) -

1

(90)

/-L(x),

(91)

U+ (x) = U(x) + 2: /-L(x) .

(92)

=

2: 1

Dokaz. Neka je x E r i Uo funkcija definirana na Rn formulom Uo(x' ) = U(x') - /-L(x) =

1 a:(Y) 1J1n (lx' - y I ) dS

1 (/-L(Y) - /-L(x)) a:(Y) 1J1n (lx' - yI) dS.

Dokazat ćemo da je ta funkcija neprekidna u točki x . Za e > O neka je da y E r , lx - YI < (j povlači

(93) (j

e I/-L (Y) - /-L(x) 1 < 4C ' gdjeje C > O konstanta definirana u Lemi 14.8. Napišimo Uo u obliku Uo(x') U�l) (x') + U�2)(x') , gdje je

(94) (95 )

=

lx,� (/-L(Y) - /-L(x)) a:(Y) 1J1n (lx' - yI ) dS , a U(\2) (x' ) = r (/-L(Y) - /-L(x)) av 1J1n (lx' - y I ) dS. (Y) Jr\ ax, .

( 96 )

U�I ) (X' ) =

_

Imamo

( 97 )

•

l Uo(x') - Uo(x) I � I U�l) (x') 1 + 1 U�1)(x) 1 + 1 U�2) (X') - U�2) (x) l . Pomoću ( 96 ) i (67) dobivamo l Uo( 1 ) (x) I < 4e ' I U�I ) (x' ) 1 <

Imamo I Uo(2) (x, ) - Uo(2) (x) 1

2

i,

( 98 )

(99 )

r I ( lxx' -ylyn - lxx -ylyn ) . v(y I dS, ( 100) x -x 1 1 ( ) (101 ) (x y) lx' yl n lx' yl n lx yl n '

� IS l mr I /-L I Jr\ a , h n X

x -y x-y = lx' - yl n - lx - yl n

> O takvo

_

_

)

_

+

_

_

146

2. LAPLACEovA JEDNADŽBA

(

1 1 1 = ( Ix - YI - lx' - y I ) lx' - YI" lx - Y I lx' - YI" lx - Y I" 1 1 +...+ + n ' f lx' - YI lx - YI " lx' - y l - lx - yl 2 I lx - YI - lx' - YI I :;;;; lx' - XIIz ( 100)-(103) dobivamo

:

(102)

)

(103)

I U�2) (x') - U�2)(x) l :;;;; n l m?, l ltllx' - x i x I x

Neka je x'

i\(j" đ CX' : YI"

E

+

IX' - YI"�l lx Y I

+...+

K(x, tJ /2) . Tada za Y E r \ ax,li vrijedi lx - YI > tJ , lx' - YI

Pomoću (104)-(106) dobivamo gdje je Prema tome, ako je onda je

?

lx - Y I - lx' - x l >

!

1x' - yll - YI ,, -l

pa dobivamo Iz toga slijedi

( 105)

%.

(106)

I U�2)(x') - U�2)(x)1 :;;;; Cl . lx' - xl,

( 107) (108)

%

lx' - x l < min { , 2� } ' 1

Iz (99), ( 109) i ( 110) slijedi neprekidnost funkcije Uo u točki x . Za x' (93) i (80) imamo

) 1i04)

1 Uo(x') = U(x' ) + l lt(x),

( 109)

E

( 110)

r prema

( 1 1 1)

Uo(x') - Uo(x) = U(x') - U(x).

( 112)

lim U(x') = U(x) ,

( 113)

,, -, .t' Er

tj. neprekidnost direktne vrijednosti na r . za x' E g prema (80) imamo Uo(x') = U(x') + It(x) ,

( 114)

2.14.

147

POTENC[JALf

pa pomoću (111) dobivamo

y� U(x') "' EO

tj. formulu (91). Za x'

E

=

Uo(x) - IJ(x)

=

�

U(x) - IJ(X)'

gl imamo Uo(x') = U(x'),

pa pomoću (111) dobivamo

�i� U(x') = Uo(x)

"' E O,

=

Teorem 14.11. Postoji broj dovoljno velike kugle vrijedi

e

>

�

(117)

takav da za svako x E Rn koje leži izvan

o,

I U(x) 1

(116)

U(x) + IJ(x) ,

tj. formulu (92). O.E.D. Slično Teoremu 14.4 dokazuje se ovaj

( 1 15)

�

e

( 1 18)

Ixl n - 1 •

Primjedba 14.12. Potencijal U je regularan u beskonačnosti; štoviše, U opada

brže od 1j lx l n -2 .

*

*

*

Lako se pokazuje da je formulom (3) funkcija V(x) dobro definirana i za x E r i da vrijedi ovaj Teorem 14.13.

Funkcija V je neprekidna na Rn .

Za x E r i x' E Rn \ r definirano je

o�)� (x' ) 1 lI(Y) o�x) 1J1n( lx' - yI ) =

lI(Y) (y'

dS

1 r - x) · v(x) dS ( 119) · n lx' yI ISn l Jr lx' - y l - l Analogno potencijalu dvostrukog sloja, pokazuje se da je formulom (11 9) dobro defi nirana i funkcija OV , oV (120) x x) = (x) , x E r. � ov ov(x) --+ = _

_

( )

To je direktna vrijednost normalne derivacije potencijala jednostrukog sloja.

Teorem 14.14. Funkcija V pripada klasi N(g) n N(gl ), tj. ima regularnu nor malnu derivaciju (oVjov)- odn. (oVjov)+ iznutra odn. izvana na r (v. 5.) i za

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

148

x

E r

vrijede formule

(�:) (x) BVBv (x) i1 e(x) , =

(121)

+

( BVBv ) + (x) = BVBv (x) - i1 e(x) .

(122)

Direktna vrijednost normalne derivacije je neprekidna na r . Dokaz.

Neka j e

x

E r , x! E RII i

Ut (x') (B��) ) (x') + UI/(x') , e; Uli ( 1 [ e(Y) y - ) (v(x) - v(y)) . . Ut(x') = _ r -yl ISIII J lx' ,,-t lx' - YI = + AV X : A Ul , O < < d. Ut x ( ) x. Ut(x') = Upl(x') + �2)(x'), �1 e(Y) I (y - . (v(x) - v(y)) ' ISIII � -yl"lx' - y ! 1 e(Y)n- I (y (v(x) - v(y)) ' _ [ l r !SIII J \"iix" x' yl lx' -yi ' !Ul (x') - Ut(x)! � ! U�I)(xJ)1 + I UlI)(x) 1 + !Ul2)(x') - uf\x) I , (55 ) i (63) ! u�1)(x')! � 2a/;:t ! m�! e ! 'd, ! Uil )(x)! � 2a1;:t ' m�x ! e! ' d, !Uil ) (x') I < �, ! UI(I) (x) I < 4 ' 14.10, U�z) I U?l(x') - �2)(x) 1 � Cz lx' -xl , Iz ( 128), (130) ( 131) C2 O UI (X') UI (X) x x' x, ( 123) Ul (x') BV x x' x. Bv (x) + UI/(x)

gdje je

potencijal dvostrukog sloja s gustoćom x!

Dokazat ćemo da je Neka je točki

imamo

dS

.

kao funkcija na {x! Napišimo u obliku

lJ

( 124)

E R} , neprekidna u

gdje je

dS

x!)

a, J

(123)

dS

- x!) .

( 125) (126) ( 127)

Imamo

Pomoću

(128)

dobivamo

(129)

pa za dovoljno malo d dobivamo

E

Slično kao z a funkciju

gdje je pa iz

>

u dokazu Teorema

konstanta.

dobivamo

-+

-+

i

uniformno po

( 130)

dobivamo

( 131)

slijedi

E r,

uniformno po

-+

E r,

-+

( 132) ( 133)

2.15.

149

METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

+ (8V)(8V) (x) + U: (x) . (x) + U; (x) = U1 (x') - 8 v 8v

S druge strane, iz

( 132) i (123) dobivamo također

( 134)

Uzimajući u obzir (91) i (92), iz ( 134) dobivamo formule (121) i (122) ; neprekidnost direktne vrijednosti normalne derivacije je posljedica tih formula. O.E.D. Slično Teoremu

14.4 dokazuje se i ovaj

Teorem 14.15. Postoji broj dovoljno velike kugle vrijedi

e

> O, takav da za svako x E Rn koje leži izvan

l V(x) I

�

e

( 135)

.

Ix l n- 2

za n > 2 i ( 136)

za n = 2 .

V

Primjedba 14.16.

n = 2 i fr (! dS = o , beskonačnosti.

Primjedba 14.17. je Lema

V

V

Za 2 potencijal je regularan u beskonačnosti. Ako je je također regularno u beskonačnosti; štoviše, tada trne u

n>

Za teoriju potencijala dvostrukog i jednostrukog sloja odlučna Za teoriju je dovoljna

14.6, koja utvrđuje neprekidnost normale po Lipschitzu.

neprekidnost normale po Holderu:

I v(x) - v(Y) 1

� all1T, O < a � 1.

To svojstvo može se osigurati i pretpostavkom slabijom od

(41).

(137)

Primjedba 14.18. Formule (91) i (92) oqn. (121 ) i (122) vrijede i uz pretpos tavku da je funkcija f-l odn. {! neprekidna u točki x i po dijelovima neprekidna na r \ {x} .

u ovoj točki dokazujemo egzistenciju rješenja Dirichletovog i Neumannovog pro blema za Laplaceovu jednadžbu. Dokaz se zasniva na teoriji potencijala izloženoj u prethodnoj točki i (v. Dodatak 2) . r = 8g C(2) .

je

teoriji integralnih jednadžbi povezano i klase Uz pretpostavku t E C(I) (g) (f E C( l) (gd)

Pretpostavljat ćemo da

Laplaceova jednadžba - tlu = t g ( gt ) može se homogenizirati pomoću volumnog potencijala W ; kako je W E c( l ) (Rn ) , dobiva se za homogenu jednadžbu Dirichletov odn. Neumannov uvjet s ne

u

prekidnom desnom stranom. jednadžbu:

Zato u daljnjem proučavamo probleme za homogenu

tlu = O

u

g,

u=g

na r,

(1)

2.

tSO

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

(unutrašnji Dirichletov problem), (2) Au = O U 01 , U = g na r , u regularno u beskonačnosti (vanjski Dirichletov problem), Bu Au = O u O , = h na r (3) Bv (unutrašnji Neumannov problem) i = h na r, u regularno u beskonačnosti !lu = O U 0 1 , (4) (vanjski Neumannov problem). Pretpostavljamo da je g, h E qr) . Pretpostavimo da se rješenje u Dirichletovog problema može prikazati u obliku

;�

potencijala dvostrukog sloja s nekom gustoćo� /l :

fr :

�

/l (Y)

(5) 1J!,, ( lx - yI ) dS + B (Y) Ix - 2 'gdje je u slučaju unutrašnjeg problema ( 1) a = O (v. Primjedbu 14.12). Iz (14.91) i ( 14.92) zaključujemo da gustoća /l zadovoljava integralnu jednadžbu

u(x) =

/l ex) =

za unutrašnji problem odn. - /lex) =

za vanjski problem, gdje je

fr K(x, Y)/l{Y)dS - 2g(x), x

fr K(x, Y)/l(Y)dS - 2g(x) +

a

e

r

(6)

, xer

(7)

2 (x - y) · v(y)

K(x, y)

lx - YI"

IS" I

(8)

Pretpostavimo da se rješenje u Neumannovog problema može prikazati u obliku potencijala jednostrukog sloja s nekom gustoćom (l :

u(x) =

fr e(Y) 1J!II ( lx - yl )dS.

(9)

Iz ( 14 . 121) i (14.122) zaključujemo da gustoća e zadovoljava integralnu jednadžbu

i K"' (x, y)e(y)dS - 2h(x) , x E r fr K* (x, y)e(y)dS - 2h(x), x E r

- fleX) =

za unutrašnji problem odn. e (x) =

za vanjski problem, gdje je

K• (x, y)

= K(y, x) . = IS2;, I (y -lxx) YI. v(x) "

(10)

(11) (12)

_

Prema ( 14.64), za x, y E r dobivamo 2 I(x y ) . v(Y) 1 I K(x, y) I � SII I I lx YI " _

�

b b lx - Y l 2 = lx - YI " lx _ yl"-2 '

(13)

2.15.

METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

151

iz čega slijedi da je na hiperplohi r funkcija K jezgra sa slabim singularitetom. Pre ma tome, za jednadžbe (6), (7), (10) i (11) vrijede Fredholmovi teoremi, pri čemu su jednadžbe (6) i (11) odn. (7) i (10) adjungirane. U daljnjem ćemo pokazati da one imaju rješenja, koja (uz nužne uvjete) po formulama (5) i (9) generiraju rješenja problema (1) (4).

-

Ako je E > O dovoljno malo, skupovi r;= = {z E Rn : z = x ± E V(X), x E r} (14) su glatke zatvorene hiperplohe; normala na r;= u točki z = x ± E V(X), x E r, paralelna je vektoru v(x) . Dokaz. U dovoljno maloj okolini Ox,1i točke x E r hiperploha r ima u lo kalnom reperu �x parametrizaciju 1Jn = cp( 1J' ) , gdje je cp E e( 2) ('Tx,Ii) ' Ako su Si , i = 1, 2, , n koordinate točke z = y + E V(y), y E Ox,1i U �x , imamo Lema 15.1.

...

�( 1J' ) (15) Si = 1Ji - E (1 l g::'d ( ) 2) 1 /2 ' i = 1, 2, o o . , n - l, + CP 1J' I l (16) Sn = cp ( 1J' ) + E (1 grad +I cp( 1J' ) I 2) 1 /2 . Ako je E dovoljno malo, matrica a2 cp {Jij E (17) (O) � 1J. 1J, i';=1,2, ... ,n-1 je regularna, pa iz (15) zaključujemo da su u nekoj okolini ishodišta definirane funkcije X;( s' ) klase e(l ) , i = 1, 2, . . . , n - l , takve da je (18) 1Ji = Si + EXi ( S' ), i = 1, 2, . . . , n - 1. Uvrštavajući to u (16), dobivamo (19) Sn = cp( s' ) + E1jJ ( S' ), I gdje je 1jJ klase e( ) . Zatvorenost hiperplohe rt je evidentna. Lako se dobiva da je grad 1jJ(0) = O , pa je normala na rt u točki (O, O, , O, 1jJ(0)) paralelna s v(x) . Analogan je dokaz za r; . O.E.D. . U daljnjem v(z), z E r;= označava vanjsku normalu (u odnosu na Intr;= ).

( -

)

o

Lema 15.2.

onda je

o

.

Ako .je u E N(Q) odn. u E N(Q 1 ) i w E C(Q) odn. w E C(Qt}, lim0 { w(z)

......

Jr:

au au (z)dS = { w(x)( ) 'f (x)dS. a Jr av v

Dokaz. Za dovoljno malo E > O imamo

I

(20)

(1 + grad cp( S ' ) =fE grad 1jJ( S'W ) I /2 = (1 + I grad cp( s'W ) I /2 (1 =fE � ( S' )), , (21) gdje je

2.

152

gdje je

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

cp neprekidno i ograničeno na r . Dalje imamo au w(x =F ev(x)) a (x) (x =F ev(x))( l =F ecp(x)) v a u w(x)( )'f(x) uniformno po x E r, e ov -+

-+

O,

( 23 )

pa iz (22) slijedi (20). O.E.D. Pomoću Leme 15.2 lako se dokazuju ovi teoremi.

Ako je funkcija u E C(2l (Q) n N(Q) harmonijska u Q, onda je

Teorem 15.3.

(24)

Ako je funkcija u E C(2l(Q) n C(Q) n N(Q) harmonijska u Q,

Teorem 15.4.

onda je

[Jr ( aavu ) - u dS = J[Q I grad u l 2 dV = E-+limO 1.Inlr;- I grad ul2 dVo

(25)

Teorem 15.5. Akojefunkcija u E C(2l(Qt ) n C(Qt ) nN(Qt ) harmonijska u Qt i regularna u beskonačnost� onda je

(26) Korolar 15.6.

N(Q), onda je

Ako unutrašnjiNeumannovproblem (3) ima rješenje u E C(2l(Q)n

fr h dS = O.

(27)

Korolar 15.7. Svaka dva rješenja unutrašnjeg Neumannovog problema klase C(2l (Q) n C(Q) n N(Q) razlikuju se za konstantu.

Ako je n > 2, vanjski Neumannov problem (4) ima najviše jedno C(2l(Qd n C(Qt ) n N(Qt ) . rješenje u E Korolar 15.8.

Korolar 15.9. Ako je n = 2 i ako vanjski Neumannov problem (4) ima rješenje u E C(2l(Qd n N(Qt ), onda vrijedi (27). Korolar 15.10. Ako je n = 2, svaka dva rješenja vanjskog Neumannovog prob lema (4) klase C(2l (Q) n C(Q) n N(Q) razlikuju se za konstantu. Lema 15.11.

Za svako g E C(r) jednadžba (6) ima tješenje II E C(r) .

2.15. METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

153

Dokaz. Neka je eo E qr) rješenje homogene jednadžbe (11),

fr K* (x, y) eo(y) dS, x r, fr eo(y)1/Jn ( Ix - yI ) dS, x Rn .

eo(x) =

i neka je

Vo(x) =

E

E

Za x E r prema ( 14.122) dobivamo a vo + 1 r 1 (x) = 2. K (x, y)eo(Y) dS - 2. eo(x) av Jr ili, zbog (28 ) ,

( )

*

(28) (29)

(30) (31)

Neka je n > 2 . Iz (31), Teorema 14.13 i 14.15 i Korolara 15.8 zaključujemo da je Vo = O U Ql ; iz (14. 122) dobivamo eo = O . Nekaje n = 2 . Integriranjemjednakosti (28) dobivamo (v. fusnotu na str. 138)

fr eo(x)ds fr eo(y)ds fr K (x, y)ds 2 fr eo(y)ds fr a�x) 1/Jn ( lx - yl ) ds *

=

(32)

fr eo(x) ds = - fr eo(y) ds,

(33)

=

ili, uzimajući u obzir (14.80), tj.

r ( eo x) ds = O. Jr .

(34)

Iz (31), (34), Teorema 14.13 i 14.15 (v. Primjedbu 14.16) i Korolara 15 . 10 zaključu jemo da je Vo = e = const u Ql . Iz (14.122) dobivamo eo = O . Prema' tome, u oba slučaja (n > 2 i n = 2 ) homogena jednadžba (11) ima samo trivijalno (neprekidno) rješenje. Iz toga slijedi zaključak leme. Lema 15.12. Homogena jednadžba (7) odn. (10) ima (do na faktor) samo jedno (neprekidno) netrivijalno rješenje Ilo = 1 odn. eo .

Dokaz. Prema (14 .80) , za x E r imamo

fr K(x, y)dS 2 fr a:(Y) 1/Jn( lx - yl )dS =

= -1,

(35)

pa je 1-'<) = 1 rješenje homogene jednadžbe (7). Zato i homogena jednadžba ( 10) ima netrivijalno rješenje eo E qr) , - eo(x) =

fr K* (x, y)eo(y) dS, x

E r.

(36)

2.

154

Neka je

V,,(x) =

fr eo(y)1jJn ( lx - yl)dS, X

E

LAPLACEoVA JEDNADŽBA

Rn ,

(37)

Za x E r prema (14.121) dobivamo &V.o 1 1 [ = z A K* (x,y)eo(Y)dS + z eo(x) (x) &v ili, zbog (36),

( )

(38) (39)

Iz (39) i Korolara 15.7 slijedi Vo = C = const u g . Neka je n > 2 . Pretposta vimo da je C = O . Tada je, prema Teoremu 14.13 i 14.15, Vo = O U gl , pa iz (14.122)dobivamo eo = O , što je protivno pretpostavci. Prema tome je C "I= O . Neka je go E C(r) također netrivijalno rješenje homogene jednadžbe (10) i

Vo(x) =

Tada je Vo = e

fr eo1jJn ( lx - yI) dS, x

g.

const "1= O u

el(X) VI (x) =

==

Rn,

(40)

Neka je ==

g eo(x) - eo(x)

(41)

l el (y)1jJn ( Ix - yI) dS.

Tada je VI = O u g i prema Teoremu 14. 13, VI = O dobivamo el = O, tj. gdje je a = CIC . Neka je n

E

u

(42)

g ; iz

toga prema (14.121) (43)

2i

fr eo(x) ds = Cl ,

(44)

Pretpostavimo da je Cl = 0; iz Teorema 14.13 i 14.15 slijedi Vo O U gl , pa iz (14.122) dobivamo eo O , što je protivno pretpostavci. Prema tome je CI :f:. O . Neka je eo E C(r) također netrivijalno rješenje homogene jednadžbe ( 10) i ==

Vo(x)

Tada je Vo = C = const u Neka je

==

g

i

fr go(y)1jJn ( Ix - y I ) ds, x fr go(x)ds =

Ct

"1= O,

==

E

R2 ,

(45)

(46) (47)

2.15.

METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

155

(48 ) Tada je

Ir lIl (X) ds = O

i Vl = C e const u Q ; iz Teorema 14.13 i 14 . 15 slijedi da je Vl iz ( 14.122) dobivamo III = O , tj. {lo (3 l1o , gdje je (3 Ct /Cl ' Iz (43 ) i (50) slijedi zaključak leme. -

=

=

(49 ) =

O U Ql , pa (50 )

=

Teorem 15.13. Za svako g E C(r) problem (1) odn. (2) ima rješenje u E C(2l n C(Q) odn. u E C(2l (Ql ) n C(QI ) ; onoje danoformulom (5), gdjeje II E C(r) rješenje jednadžbe (6) odn. (7), a a broj određen funkcijom g.

Dokaz. Prema Lemi 15 . 11 jednadžba ( 6) ima rješenje II E C(r) ; iz (14.91 ) slije di da je funkcija (5 ) (za a O ) rješenje problema ( 1 ) . Prema Lemi 15.12, homogena jednadžba ( 10) ima samo jedno netrivijalno rješenje lio E C(r) . Neka je =

tj.

Ir Cxl�-2 - 2g(X)) lIo(X) dS = O,

(51 )

2 fr g(X) lio (X) dS ( 52 ) fr � l�n:2 dS Tada jednadžba (7) ima rješenje u E C(r) ; iz (14.92 ) i (14.118 ) slijedi da je funkcija (5 ) rješenje problema (2 ) . a=

Teorem 15.14. Za svako h E C(r) i za n > 2 problem (4) ima rješenje u E C(2l (QI ) n C(Q l ) nN(Ql ) ' Za syako h E C(r) koje zadovoljava uvjet (27), prob lem (3) za n � 2 odn. problem (4) za n = 2 ima rješenje u E C(2l (Q) n C(Q) nN(Q) odn. u E C(2l (Q l ) n C(Ql) n N(QI ). U svakom slučaju rješenje je dano formulom (9), gdje je II E C(r) rješenje jednadžbe (10) odn. (11).

Dokaz. Iz Leme 15.11 slijedi da jednadžba ( 11 ) ima rješenje II E C(r) . Iz (14.122 ) slijedi da je za n > 2 funkcija ( 9 ) rješenje problema (4 ) . Prema Lemi 15.12 homogena jednadžba (7) ima samo jedno netrivijalno rješenje Ilo = 1 . Neka vrijedi (27). Tada jednadžba ( 10) ima rješenje II E C(r) ; iz (14.121 ) slijedi da je funkcija (9 ) rješenje problema ( 3 ) . Iz ( 11 ) dobivamo (v. (32)-(34 ))

Ir lI(X) dS = O,

pa iz (14.122) i (14.136 ) slijedi da je za n

=

(53 )

2 funkcija (9 ) rješenje problema (4 ) .

2. LAPLAcEOVA JEDNADŽBA

156 Zadatak 1S.1. Pomoću integralnih jednadžbi

(6), (7), (10) i (11)

probleme za krug.

Rješenje.

za x,y

pa jednadžba (6) glasi

Neka je

E

8K(O, R)

lako dobivamo

K(x, y) = K· (x, y) =

Il (x) =

-

-

'"I�R Jf8K(O,R) 1l(Y) .:dt.

�

ds

-

riješite rubne

,

(54)

2g(x).

(55)

f 1l(Y) ds = a. J8K(O,R) Imamo

(56)

1 Il(x) = 21I:

a 2g(x) , R -

a iz toga

(57)

a = -a 2 f g(x) ds, J8K(O,R) ili

Iz

(57) i (59) slijedi

Uvrštavajući to u

a= Il (x) =

Analogno dobivamo

za problem

za problem

(2), (3)

u(x) =

u(x) = !

(4).

11:

i

f g (x) ds. J8K(O,R)

f g(x) � J8K(O,R)

2

(59)

ds -

2g(x).

(5), dobivamo za problem (1) Poissonovu formulu (6.60): u(x) =

za problem

-

(58)

1

'"I _ D .:dl..n

la .

8K(O,R)

R2

lx l2 1x 1 g(y) ds, lxi -Y2 -

la Ixl _ R g ) 2 R 8K(O,R) Ix - 1 2 (y 2

1

Y

.... JO

�I

2

ds

,

R.

(61 )

lx i > R

(62)

<

f h ) ds + const, lxi ln J8K(O,R) I"" - Y (y

u(x) = ! 11:

(60)

.

f ln lx - y i , h(y) ds, lxi > R J8K(O,R)

<

R

(63) (64)

2.15. METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

157

Primjedba 15.15. Ranije smo uvjetno govorili o svojstvu korektnosti Dirichle tovog problema (v. 7. i 8.). Naime, to svojstvo uključuje prije svega egzistenciju (i jedinstvenost) rješenja u razmatranoj postavci. Teorem 15.13 i nejednakosti (7.20) i (8.19) znače da je Dirichletov problem u klasičnoj postavci korektan. Razmotrimo Neumannov problem. Lako se pokazuje da jednadžba (10) odn. (11) ima (uz nužni uvjet) samo jedno rješenje e koje je ortogonalno (na r ) na funkciju eo (v. Lemu

15.12):

Ir e(x)eo(x) dS = O.

Neka je u odgovarajuće rješenje (9) Neumannovog problema. Iz dobivamo max l e i � Cl max I hl , r

a iz toga i (9),

max lul � Q

(65) (14.80) i (10)

r

(66)

C max I h l, r

(67)

gdje su Cl i C konstante neovisne o h . Teorem 15.14, Korolari 15.7, 15.8 i 15.10 i nejednakost (67) znače da je Neumannov problem u klasičnoj postavci korektan. Primjedba 15.16. Pretpostavimo da je funkcija g odn. h po dijelovima nepre kidna na r . Tada jednadžbe (6) i (7) odn. (10) i (11) imaju rješenja f..t odn. e koja su po dijelovima neprekidna (v. Dodatak 2.). Odgovarajuća funkcija (5) odn. (9) zadovoljava Laplaceovu jednadžbu u Q odn. Ql i Dirichletov odn. Neumannov uvjet u svakoj točki x E r u kojoj je g odn. h neprekidno, pa predstavlja generalizirano rješenje problema. Pokaiuje se da je takvo rješenje jedinstveno. Dakle, ako se regu

larnost rubnog uvjeta lokalno pokvari, onda se i regularnost rješenja samo lokalno pokvari. To značajno svojstvo (koje smo ranije uočili na primjeru kugle, v. Primjedbu 6.8 i Primjer 9.1) ima svaka eliptička jednadžba (v. Primjer 4.6).

Primjedba 15.17. Metodom integralnih jednadžbi može se dokazati egzistenci (v. 6.). Pomoću Greenove funkcije, kao i u slučaju Sturm Liouvilleovog problema (v. 11.), dokazuje se da je skup svojstvenih vrijednosti jed nadžbe (v. Zadatak 11.3) !lu + AU = O u Q (68)

ja Greenove funkcije

(uz homogeni Dirichletov uvjet) prebrojiv i da nema konačnih gomilišta.

3.

Jednadžbu za temperaturu u(x, t) tijela Q e R3 u nestacioniranim uvjetima do bit ćemo polazeći od zakona provođenja (zakona održanja topline): Promjena topline (sadržane u tijelu), u jedinici vremena jednaka je ukupnom fluksu topline koja se na tijelo prenosi. Pretpostavljat ćemo da je tijelo homogeno i izotropno. Gustoća topline sadržane u Q u trenutku t jednaka je (]cu{x, t) , gdje je (] = const. > O gustoća mase, a C = const. > O specifična toplina materijala. Ostale oznake su iste kao u Primjeru 2.4.1. Prema zakonu održanja topline, za svako D e Q vrijedi

! L DCU(X, t)dV Jao q(x, t; v(x))dS + L qJ{X, t)dV. =

(1 )

Iz toga, prema Teoremu 2.3.3, dobivamo au O DC = dIva qJ, (2) at q(x, t; k) = a(x t) o k. (3) Uzimajući u obzir zakon ponašanja a = a grad u, (4) gdje je a = const. > O koeficijent provođenja, dobivamo za temperaturu jednadžbu au (5) at = gdje smo stavili k = alCf! , = qJI CD . Analogna jednadžba vrijedi i za provođenje kroz ploču odn. štap (vo Zadatak 2.3 i 2.4): au a2u aZu (6) at axi a� au a2u =k (7) at ax2 Jednadžba (5) u kojoj je k = const. > O zove se jednadžbaprovođenja; proučavat ćemo njena rješenja II području Q x R, g e R", n ;;:: 1

,

I

+

kb.u + I,

=k( +

) + I,

+ 10

o

3.2. RUBNI PROBLEMI

159

Primjer 1.1. Difuzija. Neka je u Iwncentracija jedne komponente u smjesi dva fluida. Ako je U gustoća mase smjese, onda je gustoća mase promatrane komponente Uu . Ostale oznake su iste kao u Primjeru 2.4.2. Zalwn održanja mase komponente glasi: (8) q(x, t; v(x)) dS + cp(x, t) d V JaD JD za svako D e O . Iz toga slijedi au ' (9) U at = dIva + cp (10) q(x, t; k) = a(x , t) . k Uzimajući u obzir zalwn ponašanja a = d grad u , (11) gdje je d = const. > ° koeficijent difuzije smjese, dobivamo jednadžbu (5) u kojoj je k = d/U , ! = cp/U . Primjer 1.2. Parabolička jednadžba. Ako tijelo nije homogeno i izotropno U i c su pozitivne (skalarne) funkcije na O , dok je a matrična funkcija na O , koja zadovoljava uvjet (2.4.31). Umjesto (5) imamo jednadžbu

f

f

U(x)c(x) �� = div(a(x)gradu) + cp.

(12)

Uvjet (2.4.31) znači da je jednadžba (12) parabolička.

Nas će zanimati ono rješenje jednadžbe (1.5) u području Q = O x (O, oo ) , kojim je opisano provođenje u vremenskom intervalu (O, oo) uz zadani režim na rubu (rubni uvjet) i zadani početni režim (početni ili inicijalni uvjet). Rubni uvjet je isti kao za sta cionarno provođenje (Dirichletov, Neumannov, transmisijski itd.). Npr., Dirichletov odn. Neumannov uvjet glasi ovako: . ( 1) u = g na l: = r x (0, 00) odn. u( t) = h( · , t), t E (0, 00)) , (2) = h na l: (tj. v gdje su g i h zadane funkcije na l: . Početni uvjet sastoji se u zadavanju temperature u trenutku t O : (3) u(', O) = Uo u O,

;:

:

"

gdje je Uo zadana funkcija na O . Primijetimo da se uvjet (3 ) može interpretirati kao Dirichletov uvjet na O x {O} e aQ . Određivanje rješenja jednadžbe (1.5) koje zadovoljava zadani rubni i početni uvjet zove se inicijalno-rubni problem. Ako se jednadžba (1.5) promatra u x (O, oo) ,

Rn

3. JEDNADŽBA PROVOĐENJA

160

f,

zadaje se samo početni uvjet, pa imamo inicijalni problem. Za zadane funkcije g, h i Uo pretpostavljamo neprekidnost ci eventualno glatkoću), a u slučaju inicijalnog poblema za i uo pretpostavljamo i ograničenost. Rješenje inicijalno-rubnog pro blema tražimo u klasi C(2l (Q) n cCQ) u slučaju Dirichletovog uvjeta odn. u klasi C(2l (Q) n C{ll (Q) u slučaju Neumannovog uvjeta. Za egzistenciju rješenja nužni su

f

uvjeti kompatibilnosti:

Uo(x) = g(x, O) za x E r u slučaju Dirichletovog uvjeta i auvo (x) hCx, O) zax E r a

(4) (5)

u slučaju Neumannovog uvjeta. Ako se rješenj� traži u klasi C( 2l (Q) , za Dirichletov slučaj imamo i uvjet

��(x,O) - k6.Uo(x,O) =f(x,O) za x E r.

(6)

Pokazuje se da su uvjeti kompatibilnosti i dovoljni za egzistenciju odgovarajućeg rješenja. Rješenje inicijalnog problema tražimo u klasi ograničenih funkcija iz c(2l (Rn x oo )) n C(Rn x oo )) . Opisana rješenja nazivamo klasičnim.

(O,

Teorem 2.1.

Dokaz.

[O,

Inicijalno-rubniproblem ima najviše jedno rjšenje u klasi C(2l (Q) .

w = Ul - U2 . Tada je aw - k6.w = O u -Q' at aw odn. v = O na w = Oa na Q x {O} .

Neka su Ul i U2 rješenja i

w O na Iz (7) za svako t

I

(7)

I,

(8)

E (O, oo ) slijedi � :t 1 �(x, t) dV = k 1 6.w(x, t) . w(x, t) dV

(9)

(10)

ili, nakon parcijalne integracije na desnoj strani i primjene Teorema o divergenciji, te uvažavanja uvjeta (8),

(11) � :t 1 �(x, t) dV + k 1(V'w(x, t)? dV = O. Nakon integracije t e jednakosti p o intervalu (O, ·t) t e uvažavanja uvjeta (9). dobivamo � 1 �(x, ) dV + k L l'C(V'w(x,t)?dtdV = O. ( 12) Iz toga slijedi w(., ) = O za svako T E R, tj. w = O , Ul = U2 Q . T

T

U

Zadatak 2.1. Dokažite Teorem 2.1 za mješoviti i Robinov rubni uvjet.

Zadatak 2.2. Dokažite Teorem 2.1 za paraboličku jednadžbu (1.12).

3.2. RUBNI PROBLEMI

161

Zadatak 2.3. Neka je g e R2X,X2 ' h > 0, h < diamg . Formulirajte dvodi

menzionalnu aproksimaciju problema

8u = kAu + f u g x (O , h) x (0, 00) 8t 8u 8u = h + za X3 h , - = h - za X3 = 0 , 8X3 U = g na 8g x (O, h) x (O, oo), u Uo za t = O .

(13)

=

•

(14) ( 15) (16)

=

Rješenje. Integrirajući jednadžbe (13), (15) i (16) po visini i uzimajući u obzir (14), dobivamo

( 17) ( 18) (19) Dvodimenzionalna aproksimacija rješenja je funkcija %'(Xl , X2 , t) koja zadovoljava jednakosti ( 17)-(19). za %' dobivamo problem 8%' 82 %, 82%, (20) k + 8� + F ug x (0, 00) , 8xi

Tt =

(

)

%' = C§ na 8g x (0, 00),

(21)

%'( - , 0) = %'0 u g ,

(22)

gdje je

F(x\ , Xz , t) =

! ( ih

f (Xl , XZ,X3 , t) dx3 + kh + (Xl > X2 , t) - kh - (Xl , X2 , t)

),

(23) (24) (25)

3. JEDNADŽBA PROVOĐENJA

162

Zadatak 2.4. Neka je Q e R2X2X3 ' menziona1nu aproksimaciju problema

l > O . l � diamQ .

Formulirajte jednodi-

au = k6.u + f u Q x ( O x (O (26) , l) , oo), at au = h na aQ x (0, 1) x (0, 00), (27) av (28) u = g+ za XI = l, u = g- Zaxl 0, u = UU za t = O. (29) Rješenje. za jednodimenzionalnu aproksimaciju 'W (Xl , t) dobivamo problem a'W = k a2 'W (30) at aX! + F, 'W = G+ za XI = l, 'W = G - za Xl = 0, (31) (32) 'W(x! , O) = 'Wo(xJ ),

gdje je

F(xt , t)

I�I (Lf (XJ , X2 ' X3, t)dx2dx3 + k /oa h(Xl J X2 ' X3, t)ds) , G±(t) = I � L G± (X2 , X3 , t)dx2 dx3, I

Nekaje T > 0, QT = Q x (O, T) j l:T = r x (O, T) . Skup PT zove se parabolička granica cilindra QT (ili QT )'

Teorem 3.1. (Princip maksimuma) Ako funkcija

=

(33 ) (34)

(Q x {O}) U l:T

u E C(2) (Q) n C{Q) zadovo-

ljava u cilindru Q homogenu jednadžbu au kilu = O (1) ' at onda ona za svako T > O svoje ekstreme na cilindru QT prima na paraboličkoj granici PT tog cilindra. Dokaz. Dovoljno je tvrdnju dokazati za slučaj maksimuma. Neka je max u = M, max u = m. (2) Qr

Tada je m � M . Pretpostavimo da je m QT ne prima na PT ' Neka je (X(O) , tIO»� E

pr

< M , tj. da funkcija u svoj maksimum na QT \PT, u(x(O) , tIO»� = M i M-m o v(x, t) = u(x, t) + � (t t). (3)

-

3.3.

za

163

PRINCIP MAKSIMUMA

(x, t) E Pr imamo trO) - t � t(O) � T, u(x, t) � m , pa vrijedi M m M m v(x, t) � m + -2 = -+2- < M.

S druge strane je

(5)

v svoj maksimum na Qr ne prima na Pr . Prema tome, ako

Iz toga slijedi da funkcija je

-

max v = QT

onda je

V(x(l) P» "

(x(]) , t( l» E Qr \Pr = Qr U (O x { T} ) . Ako je (x(1) t( l» E Qr , onda je (X(l) , t( l » O,

,

a ako je

�;

(x(!) t( l » ,

(4)

0 2V ( I ) ( l » (X t (l J:lXZ

E

i

� "'"

'

..

i = 1, . , n,

O

O x {T } , onda je

ov (x( l ) t(I » ot fj2 v l ) l (x( t( » o:it ' '

U oba slučaja dobivamo

� r

O

�

O

""

I

,

,

..

i = 1, 2, . , n.

(6) (7)

(8)

(9)

(10 )

( ovot

S druge strane, iz (3) slijedi

( 1 1)

što je u kontradikciji s (10). Prema tome, pretpostavka je m = M.

m < M je kontradiktorna, pa

Korolar 3.2. Inicijalno-rubniproblem s Dirichletovim rubnim uvjetom ima naj više jedno rješenje u klasi C(2)(Q) n C(Q) .

-

Dokaz. Neka su Ul i Uz rješepja i w = Ut uz . Funkcija w zadovoljava ho mogenu jednadžbu, homogen rubni i homogen početni uvjet. Prema Teoremu 3.1, za svako T > O funkcija w svoje ekstreme na Qr prima na Pr . Zbog uvjeta w = O na Pr zaključujemo da je w = O U Qr tj. Ul = U2 U Q .

,

3. JEDNADŽBA PROVOĐENJA

Primje4ba 3.3. Iz Teorema 3.1 slijedi ova korektnost inicijalno-rubnog proble ma za homogenu jednadžbu s Dirichletovim uvjetom: za svako T > O rješenje u zadovoljava nejednakost ( 12) Il!ax l u l � max{m� l uo l , max lgl } . :ET

Q

QT

Teorem 3.4. Inicijalni problem ima C(2) ( R" x (O, oo ) ) n qR" x (O , oo)) .

najviše jedno (ograničeno) rješenje u

E

Dokaz. Neka su UI , U2 rješenja, C pozitivan broj i I U1(X, t) 1 � C , I U2 (X, t) 1 � C za (x, t) E R" x [O, oo ) . Tada je funkcija w = U l - u2 rješenje homogenog problema OW

T ut

i vrijedi Neka je R >

- kaw = O u RIJ - X w( . , O) = O na R",

(0, 00),

(13) ( 14)

Iw(x, 1) 1 � 2C za (x, t) E RIJ X [O, oo). (15) O , KR = {x E RIJ : lxi < Rl . QR = KR X (O, oo ) , �R = oKR X (O, oo) i VR (X, t) =

4nC R2

( + /ct) . lxl 2 2ii"'

( 16)

Funkcija VR zadovoljava homogenu jednadžbu u RIJ x R : OVR - kaVR = O. at

Dalje imamo

VR(X, O) =

�

VR(X, t)

;:

2C 1 2 2C

za

� O za x E R", (x, t) E �.

Iz ( 14), ( 15), ( 18) i ( 19) zaključujemo da je VR � / w l na (KR x {O}) U :ER . Iz toga slijedi ili

VR

Za T > O stavljamo

+ w � O,

VR - W � O na (KR x {O}) U �R'

( 17) (18) ( 19) (20) (21) (22)

(O, T) , �R,T OKR X (O, T), (23) PR,T = (KR X {O}) U :IR,T ' Funkcije VR w i VR W pripadaju klasi C(2) (QR ) i zadovoljavaju u QR homogenu jednadžbu provođenja. Iz (22) slijedi da su minimalne vrijednosti tih funkcija na pa raboIičkoj granici PR ,T cilindra QR,T nenegativne. Prema TeOlemu 3.1 zaključujemo da je QR,T = KR

X

+

(24)

3.4. POISSONOVA FORMULA

165

ili

I wl � VR U QR ,T' (25) Neka je (x, t) E Rn x (O, oo) , Ro i T pozitivni brojevi, (x, t) E QRo,T ' Tada je (26) I w(x, t) 1 � VR(X, t) za R > Ro,

)

(

tj.

4nC lxl 2 (27) I w(x, t) 1 � R 2 2n + kt za R > Ro. Uzimajući u toj nejednakosti limes za R oo , dobivamo w(x, t) = O , tj. Ul (x, t) U2 (X, t) .

=

-+

U ovoj točki opisujemo rješenje inicijalnog problema

�: - k!J.u = O u Rn x (O,

oo ) ,

(1) (2) u( . , O) = Uo II Rn . Teorem 4.1. Neka je Uo E C(Rn ) ograničeno. Tada je rješenje inicijalnog prob lema (1), (2) dano Poissonovomformulom (3) u(x, t) = [ G(x, s, t)uo(s)dV; (x, t) E Rn x (0, 00), JR" gdje je (4)

Dokaz. Lako se pokazuje da za svako S E Rn funkcija G zadovoljava homogenu jednadžbu l aG k!J.G o u Rn x (O, oo ) . (5) at

_

Ro , T i R pozitivui brojevi i l uo I � C u Rn , R > 2Ro . Tada za (x, t) E QRo.T i Isl > R imamo Isl Ro < R2 < lB lx - sl � Isl - Ix l � Isl - Ro > 2' (6) 2' (7)

Neka su C ,

(8) l Funkcija G je fundamentalno rjelenje jednadžbe provođenja. Pomoću te funkcije definiraju se toplinski potencijali.

3.

166

Ostatak konvergentnog nepravog integrala

[OO

teži nuli, pa za proizvoljno vrijedi

E >

JEDNADŽBA

PROVOĐENJA

,J.

e- m'!' ,.n- l dr

Jo O postoji O

>

O

(9)

takvo da za (x, t)

E

QRn,T i R > O ( 10)

Drugim riječima, za svako To > 0 , To < T integral (3) konvergira uniformno na QRo,To pa je funkcija u neprekidna na Rif x (O, oo) . Analogno se dokazuje uniformna konvergencija formalnih derivacija integrala (3), iz čega slijedi beskonačna diferenci jabilnost funkcije u na Rif x (O, oo) i mogućnost deriviranja pod znakom integrala. Zbog toga i jednakosti (5) funkcija u zadovoljava jednadžbu (1). Ostaje nam dokazati da je funkcija (3) neprekidna u Rif x [0, 001 i da zadovoljava uvjet (2) . Uvodeći u (3 ) novu varijablu integracije š X (11) fJ = 2(kt) 1/2 ' dobivamo '

(12) [ _1_

Zbog jednakosti iz

'Jr!'/2 JR"

e- llJl2dV =

(12) slijedi da za svako X E RII i t � O vrijedi l u(x, t)1 � sup luol .

Dokažimo da za svako

X E

1

( 13)

l

( 14)

R"

R" vrijedi U (X, t) -,+ uo{x), t -,+ +0.

( 15)

Jednakost ( 13) pomnožimo s Uo (x) i oduzmimo od ( 12):

[

1 e-I1)1 2(uo(x + 2fJVkt) - uo{x» dV. '!r!'/2 JR"

( 16)

l uo{x + 2 fJv'ki) - uo(x)1 � !Uo(x + 2fJVkt) 1 + I Uo(x) I � 2e. Za-proizvoljno N > O iz ( 16) i ( 17) dobivamo

( 17)

u(x, t) - uo(x) = Imamo

=

l u{x, t) - Uo(x) 1 �

_1_

[

'Jr!'/2 J1Tl1
Neka je

E >

1 [ e 1J1 o(x - I 2 Iu + 2fJ.jki) - Uo(x)1 dV '2 'Jr!' �

e - l lJI2Iuo(x + 2flVkt)

2C 1.

_

uo(x)1 dV +

O . Za dovoljno veliko N vrijedi 'Jr!'f2

l 'It>N

2C

1C"f2

e- llJl2 dV < �. 2

[

JI 1J1 >N

e- llJl2 dVo

(� ( 19)

167

3.4. POISSONOVA FORMULA

Neka je

lj

< t < () i 1 111 < N vrijedi l uo(x + 211vki) uo(x) 1 <

(20)

lu(x, t) - uo(x) I ' < E .

(21)

> O takvo da za O

Iz (18) za O

< t < () dobivamo

�.

Primjedba 4.2. Iz (14) slijedi da je inicijalni problem korektan.

Pretpostavimo da je funkcija Uo npr. nenegativna i različita od nule i da joj je nosač sadržan u kugli K (O, R) . Za proizvoljno t E R , t > O i x I'f. K( O, R) formula (3) daje u(x, t) = (22) G (x, t; ;)uo(;) dV > O.

f

JK(O,R)

To znači da se utjecaj početnog poremećaja na kugli K(O, R) manifestira trenutno u cijelom prostoru; drugim riječima, poremećaj što ga opisuje jednadžba provođenja širi se beskonačnom brzinom. 2 Primjedba 4.3. Iz dokaza Teorema 4.1 vidljivo je da je za (15) dovoljna nepre kidnost funkcije Uo u točki x . Prema tome, ako se regularnost početnog uvjeta lokalno pokvari, i regularnost rješenja samo se lokalno pokvari. Dakle, jednadžba provođenja ima svojstvo regularnosti rješenja slično kao Laplaceova jednadžba. Ako je funkci ja Uo po dijelovima neprekidna, formula (3) daje generalizirano rješenje inicijalnog problema. Takvo rješenje je jedinstveno. Primjer 4.1. Odredit ćemo temperaturu neograničenog štapa u slučaju kad je u početnom trenutku dio (-a, a) zagrijan do temperature b > O , a ostali dio ima temperaturu nula. Prema (3) (za f = O ) imamo

u(x, t) =

ili

u(x, t) = - br;;

y 1'C

j ;� e_AldA. �

2vl/

je � b (1

b 2(1'Ckt)1 /2

a

_ (._ �)2 4.\1

-a

o

(23)

d;,

_ e A 2 dA. -

lo Bfi e_A2dA. ) .

(24)

(x) = 2 Jr e- A dA. (25) o zove se Gaussov integral pogrešaka. Ona je neparna, a zbog (13) vrijedi <1>(00) = 1 . Pomoću funkcije imamo u(x, t) � x + a _ x - a . (26) 2 2 v'ki 2.fki 2 Ta činjenica pokazuje da jednadžba (1.5) ne opisuje precizno provođenje topline, difuziju itd. Nedostatak Funkcija

2

( ( ) ( ))

se uklanja nelinearnim modelima.

3. JEDNADŽBA PRO'VOĐENIA

Funkcija Imamo

Uo

�� (�) = � 1 *

u(a , t) = u(a, t) Analogno

- a i a ; u tim točkama narušeno je svojstvo ( 15).

ima skokove u točkama

u(

-a,

t) -+ b

b 1 (>O

"2 v3i

-+

/2

Jo

_ 2 e A dl.

=

(27) (28)

' e-A dA,

b

"2 ' za

t -+ O.

t -+ O . U točki x = O imamo

za

u(O, t) = b�

(2�) � i =

(29)

2;r, e- A2 dA .

Za velike vrijednosti t gornja granica integrala na desnoj strani je mala, pa možemo ' staviti e -A � 1 . Zaključujemo da u točki x- = O za velike vrijednosti varijable t temperatura opada kao 1/..fi.

be-al.:cl (b, a > O) , x

Zadatak. 4.2. Riješite inicijalni problem z a neograničeni štap, ako j e E R. Rješenje. Prema (3) imamo

u(x, t) = = ili

b

i:°e- (X
1 2..,fifi ( b

--

-

oo

(X_�)2 ; e - �ea d; +

1 00 e

O

a d;)

e (x-!l' 4l'i e - s

u{x, t) = Stavljajući A + a vki

u(x, t) = +

ili

II u prvom odn.

(J.�

u(x, t) = +

(30) (31)

!fi ea" , (

e�

,

Uo(x) =

e � -

(I.�

e- " d �

-

A - a../Xt = e - ,' d� +

II

l. "" -aV;;; e-,' d�

I. ",,+aV;;; e4 d�) ) ,

�ea'kt (e-ax (1 � ( 2� - a ) ) (1 ( 2� a ))) . +

ea.:c

Zadatak 4.3. Neka je

+

4)

u E C(R" )

+

VkI

i

iw- lu(x) 1 dV <

oo .

)

u drugom integralu, dobivamo

vki

(32)

(33) (34)

3.4. POJSSONOVA FORMULA

169

za takvu funkciju definiran je Fourierov transformat

u(y) = (2n:) -n/2

r u(x)e JR'

-

xi 'Y dV, y E Rn .

(35)

Uz neke daljnje uvjete vrijedi formula inverzije u(x) = (2n:) -n/2

r

(36)

r u(y, t)eix'YdV

(37)

u(y)eix·Y dV. JR'

Izvedite formulu (3), pretpostavljajući da za rješenje inicijalnog problema u(·, t ) za 'Vt > O vrijedi (34) i (36). Rješenje. Stavljajući

JR"

u(x, t) = (2n:) -n/2 u jednadžbu provođenja, dobivamo

1. (�� +k yl2u) eix'YdV 1

ili

(38)

= o,

:/t(Y, t) +kl l 2u = O. Y

(39)

To je obična diferencijalna jednadžba za funkciju u(y, .) . Njeno opće rješenje je u(y, t) = C(y)e -kIY1 \ (40) Iz (37) i početnog uvjeta u(x, O) = Uo{x) dobivamo uo (x) = (2n:) - n/2 tj.

r u(y, O)eix-YdV,

JR"

u(y, O) = ilo (Y ) = (2n:) - n/2 Iz toga i (40) slijedi C (Y) = ilo(y) , pa imamo

(41)

r uo(z) e iy dV.

JR"

-

,z

u(y, t) = ilo(y)e -kIY12t . Uvrštavajući to u (37), dobivamo u(x, t)

=

(2n: ) - n/2

Uvrštavajući (42) u (44), imamo

( 43)

r uo(y)e-kIYI2t+ix·YdV.

JR"

r e-klyl2ldVy JrR" uo (z)ei(x-z)'YdVz = (2n:) -n r uo (z)d Vz t e -kIYI 2Iei(X-Z)'YdVy JR' JR"

u(x, t) = {2n:) -n

(2n:t n

(42)

(44)

JR"

D 1. uo(z)I(xk

Zk ) dV,

(45)

170

3. JEDNADŽBA PROVOĐENJA

gdje je

(46) Dalje imamo

l( a)

=

2

100 e-k;2t cos

a ; d;.

(47)

Derivirajući to po parametru a , nakon parcijalne integracije dobivamo I'(a)

ili

a

- 2li(a) ,

=

(48)

lea) = Be- iii , .,2

gdje je B konstanta, Dalje imamo

B=2

/ (0)

(49)

100 e-k!;2td; (=) 1 /2.

(50)

=

Uvrštavajući (49) i (50) u (45), dobivamo (3).

Zadatak 4.4. Dokažite da je rješenje inicijalnog problema

ou k6.u ot u(', O)

dano formulom

=

f u Rn

=

O,

(

x

(O, oo ) ,

(51) (52)

u(x, t) = Jt G(x, ;, t a)f ( ; , a) d V d a, (x, t) E Q. o JR"

(53)

-

Pomoću Poissonove formule u slučaju n = 1 može se odrediti rješenje inicijalno rubnog problema za homogenu jednadžbu zrca/jenjem početnih uvjeta. za n = 1 iz (3) lako dobivamo ex e � uo(- ; ) + e- it uo(;) d ;, u(x, t) = (54)

�: (x, t) 1

(OO 2v� ( :n:kt

Jo

(

-

)

)

1 -==:--- x + ;)e- � uo(-;) + (x - ;)e- (Xit uo(; ) d;. . 4kt (55) Iz toga zaključujemo: ako je Uo neparno, onda je u(O, t) = O ; ako je uo parno, onda je (ou/ox) (O, t) = O. Razmotrimo radi jednostavnosti problem na poluograničenom =

intervalu:

-

00

ou ot u(x, O) u(O, t)

=

= =

0 2u k ox2 na (O, oo ) x (O, oo ) , uo(x) , x > O, ou (O, t) = 0, t > 0, ° odn. ox

(56) ' (57) (58)

3.5.

171

FOURIEROVA METODA

gdje je uo neprekidno i ograničeno na [O, oo ) . Proširimo funkciju uo po neparnosti odn. po pamosti do funkcije IlO na R : IlO ( -x) = - Uo(x) odn. Ilo( -x) = uo(x). (59) Konstruirajmo rješenje inicijalnog problema s početnim uvjetom Ilo . Prema (54) imamo 1 (, (60) -e- ('1fl + e- ·�·t uo (s) ds u(x, t) = odn.

u(x, t) =

100 100

1

( (e- .u,

XH)2

+ e-

(X_ �)2 4kI

) ) Uo(s) ds.

(61)

Ta funkcija zadovoljava Dirichletov odn. Neumannov uvjet (58 ) , pa predstavlja rješenje postavljenog problema.

Razmotrimo inicijalno-rubni problem za homogenu jednadžbu, uz homogeni rub ni uvjet, npr. Dirichletov. Fourierova metoda sastoji se u slijedećem: određujemo skup funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu i rubni uvjet i koje imaju separirani oblik (1) X(x) . T(t), gdje je X :f. O odn. T :f. O funkcija na Q odn. na 14 ; superpozicijom tih rješenja s povoljnim koeficijentima dobivamo funkciju koja zadovoljava i početni uvjet. Uvrštavajući ( 1 ) u jednadžbu provođenja, dobivamo ( 2) XT' - kT!lX = O, ili I T' = !lX = A ( 3) '

kT

- -

X

-

-

gdje je A konstanta. Iz toga i rubnog uvjeta dobivamo T' + kA T = O na 14, (4) !lX + AX = O u a, (5 ) X = o na r . (6) Za funkciju X dobili smo problem svojstvenih vrijednosti (v. Zadatak 2.1 1.3 i Prim jedbu 2.15. 17). Neka su Al � Az � ' " svojstvene vrijednosti (svaka uzeta toliko puta kolika joj je kratnost), a XI ,X2 , . . . odgovarajuće svojstvene funkcije. Za A = 'A; opće rješenje jednadžbe (4) je Ti (t) = Ai e- Aikt, i = 1, 2, . . . , (7 ) gdje je Aj = const. Rješenja ( 1 ) su funkcije (8) A ie- J..;ktXi (x), i = 1 , 2, . . . .

3. JEDNADŽBA PROVOĐENJA

172 Prema Fourierovoj metodi rješenje reda funkcija (8):

u

inicijalno-rubnog problema tražimo u obliku oo

u(x, t) ::: 2:A;e-AiktXi(x),

(9)

1=1

a koeficijente A i određujemo iz početnog uvjeta oo

(10)

;=1

Radi jednostavnosti pretpostavimo da su sve svojstvene funkcije ortogonalne 3 pretpostavku da red (10) konvergira uniformno na Q , dobivamo

. (UO ,Xk) = Ak l!Xk l 1 2

ili

•

Uz

(11)

,

(12) Prema tome, brojevi Ai, i = 1 , 2, . . . su Fourierovi koeficijenti funkcije uo po ortogo nalnom sustavu XI , X2 , . . . . Red (9) s koeficijentima (12) jelormalno rješenje. Ako taj red konvergira zajedno sa svojim formalnim prvim derivacijama po vremenskoj va rijabli i formalnim prvim i drugim derivacijama po prostornim varijablama uniformno na Q , on predstavlja klasično rješenje . Fourierova metoda za nehomogenu jednadžbu uz homogeni početni (i rubni ) uvjet sastoji se u slijedećem. Za svako t > O rješenje u(x, t) "razvijemo" u Fourierov red po svojstvenim funkcijama Xj problema (5), (6):

u(x, t)

=

ei(t)

=

oo

2: Ci (t)XI (x) , ;=1

1

HXi I12

(13)

(Uh t),Xi ) .

(14)

Pomnožimo (1.5) skalamo s Xi ; dobivamo

rJo �uut (x, t) . Xi (x) dV = k Jro Au(x, t) . X;(x) dV + JQr I (x, t)XI(X) dV

( 15)

.

ili, nakon parcijalne integracije u prvom članu na desnoj strani, d (u( -, t) , Xi ) = k(u( · , t) , AXi) + (I ( -, t) , Xi) .

dt Uzimajući u obzir (5), imamo d d

/u{ - , t) , X ) = -k� (uC t),X;) + (I ( · , t) , X;)

ili, zbog (14),

3

/

C/(t) + k�e; ( t) = li(t)

To se uvijek može postići Sc/unidtOliom orrogona/izacijom.

,

(16) (17) (18)

3.5.

173

FOURIEROVA METODA

gdje je f;(t) Fourierov koeficijent funkcije f ( , t) : if ( , t),X;) f,. (t) = -

'

Iz početnog uvjeta dobivamo

oo

L C; (O)X; ;=1

ili

(19)

IIXd I 2 ' =

0,

(20)

C;(O) O, i = 1, 2, . . . .

Za funkciju

(21)

=

C; dobili smo Cauchyjev problem (18),(21), kojega je rješenje C; (t)

ltf (T)e-k (t-1: dT. )

J..;

;

=

(22)

Red (13) s koeficijentima (22) je formalno rješenje.

Primjer 5.1. (Provođenje topline kroz ograničeni štap). Riješit ćemo Fouriero vom metodom problem

au a2u at - ax2 u( O, t) u(x, O)

=

=

u (0, 1) x

u(x, t) = L bke oo

k=1

-

gdje su bk Fourierovi koeficijenti funkcije (0, 1) : bk

=

(O, oo) ,

u (l , t) = 0, t > 0, uo(x) , x E (0, 1). 2 k?-n , a svojstvene funkcije = =

Svojstvene vrijednosti su Ak k = 1, 2, . . , pa je formalno rješenje .

°

2

tc?-n?t sin km,

uo ,

11 UO(x) sin

(23)

Xk (x)

(24) (25) =

sin km , (26)

razvijene po sinusima na intervalu km dx.

(27)

Neka je funkcija Uo po dijelovima klase C( 1 ) na [0, 1] i neka zadovoljava uvjete kompatibilnosti UO ( O) = uo(l) = O . Tada je

uo (x) = L bk sin km, oo

k=1

(28)

pri čemu red na desnoj strani konvergira apsolutno i unifonnno na [0, 1] (v. Te c?orem 2.9.1 1). Uzimajući u obzir da je e -t n?t � 1 za t > 0 , zaključujemo da red (26) konvergira apsolutno i uniformno na [0, 1] x [O, oo) . Iz toga slijedi da je u E C([O, 1] x [O, oo)) i da su zadovoljeni uvjeti (24) i (25). Fonnalna derivacija reda (26) po varijabli t je oo

- L bkn?�e-1<2tc?-t sin km. k=1

(29)

3.

174 Neka je e > o ,

l u.o l

� e ; tada je Ib,, 1 � 2e .

za

JEDNADŽBA PROVOĐENJA

x E [0, 1] i t � to > O imamo .

/

(30) (k + 1 ) 2e -,.l(k+1)2111 = (31) k2 e-1I;2t,21o Iz toga slijedi da red (29) konvergira apsolutno i uniformno na [0, 1] x [O, oo ) , pa zaključujemo da funkcija u ima na [0, 1] x (0, 00) neprekidnu derivaciju au/at koja se iz (26) dobiva formalnim deriviranjem. Na isti način dokazujemo analo gnu tvrdnju za proizvoljnu derivaciju funkcije u . Iz toga specijalno slijedi da je u E e(2) « (0, 1) x (O, oo)) i da vrijedi (23). Zadatak S.2. Riješite Fourierovom metodom inicijalno-rubni problem za jed nadžbu (23) uz homogene Neumannove uvjete i početnu funkciju

uo (x)

=

Odredite lim u(x , t) .

{ O,a,

O < x < 1/2 1/2 < x < L

(32)

I_oo

Rješenje.

u(x, t)

==

�

'2 + -;r L.. ( _ l)k

a

2a

bO

1

2k + 1

)Z

( e- 2k+ l , Jrt cos(2k + l)1tX,

u(x, t) - a/2, t - oo.

2

(33) (34)

4.

Valna jednadžba

u ovoj točki razmotrit ćemo male oscilacije napete membrane (v.2.4) i žice (v. 1.I). To je gibanje oko nedelormiranogpoložaja; drugim riječima, u svakom trenutku stanje tijela predstavlja malu delormaciju neperturbiranog stanja. Poprečni progib u(x, t) membrane (žice) odredit ćemo polazeći od zakona gibanja (zakona održanja impul

sa): Promjena impulsa tijela u jedinici vremena jednaka je ukupnoj sili koja na tijelo djeluje. Neka je Q e R2 nedeformirani položaj membrane. Pretpostavljat ćemo da je membrana homogena i izotropna. Gustoća impulsa (impuls jedinice površine) memb rane u trenutku t jednaka je {} lj; , gdje je {} = const > O gustoća mase (masa jedinice

površine). Ostale oznake su kao u 2.4. Prema zakonu gibanja, za svako D e Q vrijedi

:t 1

{}

8u

dV =

J8D q(x, t; v(x)) dS + 1 tp(x, t) dV.

Iz toga, prema Teoremu 2.3.3, dobivamo 82u (}

q(x, t; k)

=

(l)

div a + tp ,

(2)

a(x, t) . k.

(3)

Uzimajući u obzir zakon ponašanja '

a gdje je a

a grad u,

(4)

const > O napetost membrane, dobivamo 82 u c21lu + I , (5) 8t2 gdje smo stavili c2 = a / {} , I = tp / {} ; primijetimo da je I sila po jedinici mase. =

Analogna jednadžba vrijedi i za progib žice:

82 u

=

82u c2 +1,

(6)

gdje I označava (kao i u (5)) silu po jedinici mase. Jednadžba (5) (odn. 6)) u kojoj je c > O zove se valna jednadžba ; proučavat ćemo njena rješenja II području Q x R , Q c R" , n � 1 .

175

4. VALNA JEDNADŽBA

176

Primjer 1.1. Uzdužne oscilacije štapa (v. Primjer 1.1.1). Uzdužni progib zado voljava jednadžbu (6), u kojoj je cl = ES/ e , a f sila po jedinici mase.

Primjer 1.2. Torzione oscilacije tankog kružnog štapa (v. Primjer 1.1.2) . Po analogiji s angulamim momentom krutog tijela, gustoća angularnog momenta štapa jednaka je

au el at '

(7)

gdje je l = .7r�4 moment inercije presjeka. Promjena angularnog momenta tijela u jedinici vremena jednaka je ukupnom zakretnom momentu koji na tijelo djeluje (za kon održanja angularnog momenta). Iz toga definiramo jednadžbu (6), u kojoj je cl = fl/fl , a f zakretni moment po jedinici mase, podijeljen s momentom inercije l .

Primjer 1.3. Oscilacije idealnog kompresibilnog fluida. Označimo s p, fl i v respektivno pritisak, gustoću mase i brzinu fluida u području Q e R3 ; vektor površi nskog fluksa mase je a = - ev (v. primjer 2.4.3). Pretpostavljat ćemo da su volumni fluks mase i volumna sila jednaki nuli. Zakon održanja mase glasi:

:t lo e(x, t) dV = fro a(x, t) v(x) dS, :t lo e(x t) d V fro ev(x, t) v{x} dS .

ili za svako D e

,

=

.

-

(8) (9)

Q . Iz toga slijedi jednadžba kontinuiteta

�� + div(ev)

=

O.

( lO)

Promatrat ćemo male oscilacije fluida oko ravnotežnog stanja e = eo , v = O . Tada je I vi malo, a gustoća je oblika (11) e = eo(1 + u), gdje je lul <: 1 . Iz (10) i ( 1 1 ) dobivamo Gustoća impulsa je e v . Imamo

au ' V = O. + d lV at

( 12)

(13) ev = eo( l + u)v � eov. Neka je q(x, t; k) gustoća površinske sile. Zakon održanja impulsa fluida glasi:

:t 1 eov dV fro q(x, t; v(x) ) dS. =

Iz toga slijedi

av ' = d IV T , q(x, t; k) = T(X, t)k, at gdje je T tenzor naprezanja. Kod idealnog fluida je T(X, t) = -p(x, t)l, eo

( 14) (15) ( 16)

4.2.

177

RUBNI PROBLEMI

gdje je

I jedinična matrica. Za pritisak p vrijedi jednadžba stanja

R

p = Jr: o e, gdje je Jr: : 14 - i Jr:'(e) > O za e E 14 . Iz (1 1), ( 16) i (17) slijedi div T � -2 eo grad u , 2 gdje je c = Jr:' (eo) > O . Iz ( 15) i (18) dobivamo ov 2 +c grad u = O. at Iz toga slijedi

:t div v + c2Au = O.

( 17) (18) (19) (20)

Iz (12) i (20) dobivamo za perturbaciju gustoće u valnu jednadžbu

a2u

A _ c2 uu. at2 Primjer 1.4. Hiperbolička jednadžba. Bez pretpostavke o homogenosti i ropnosti, umjesto (4) imamo a (x, t) = a(x) grad u(x, t), gdje matrica a zadovoljava uvjet (2.4.31). Umjesto (5) imamo a2 u e (x) a = div (a(x) grad u) + cp. t2 Uvjet (2.4.31) znači da je jednadžba (23) hiperbo'tička.

(21) izot

(22) (23)

Primjer 1.5. Oscilacije elastičnog tijela. Za pomak u dobivamo jednadžbu a2u (24) (). + ,u) grad div u + ,uAu + cp , e a

t2

=

gdje je e = const > O gustoća mase.

Proučavat ćemo ono rješenje jednadžbe (1.5) u području Q = g x (O, oo ) , koje zadovoljava zadani rubni uvjet i zadane početne (inicijalne, (:auchyjeve) uvjete. Rubni uvjeti su isti kao kod Laplaceove jednadžbe. Dirichletov odn. Neumannov uvjet glasi (1) u = g na L = r x (O, oo ) odn. au = h na L, (2)

ov

gdje su g i h zadane funkcije na L . Početni uvjeti sastoje se u zadavanju perturbacije i brzine perturbacije u trenutku t = O : u ( . , O) = uo ,

au at ( . , O) = ul

U

g,

(3)

4. VALNA JEDNADŽBA

178

.

gdje su lio i Ul zadane funkcije na g . Primjetimo da se uvjeti (3) mogu interpretirati kao Dirichletov odn. Neumanov uvjet na g x {O} e oQ za razliku od jednadžbe pro vodenja, na ovom dijelu granice zadaju se oba uvjeta. Određivanje rješenja jednadžbe (1.5) u području Q , koje zadovoljava zadani rubni uvjet i zadane početne uvjete zove se inicijalno - rubni problem. Ako se jednadžba (1.5) promatra u Rl! x R , zadaju se samo početni uvjeti na Rl! , pa imamo inicijalni ili eauchyjev problem. Za zadanefunkcije I, g, UD , Ul pretpostavljamo da su neprekidne (i eventualno do voljno glatke) . Rješenje inicijalno-rubnog problema tražimo u klasi e(2) (Q)ne{l) (Q) . za egzistenciju rješenja nužni su uvjeti kompatibilnosti ag (4) (x , O) za x E r uo(x) = g(x, O) , Ul (x) at u slučaju Dirichletovog uvjeta i

=

ouo (x) = h(x, O) za x E ov

r

,

(5)

u slučaju Neumannovog uvjeta. Ako se rješenje traži u klasi e(2) (Q) za Dirichletov slučaj nužan je i uvjet 02g (6) (x , O) - CAuo(x) = I (x , O) za x E r.

ot2 Pokazuje se da su uvjeti kompatibilnosti i dovoljni za egszistenciju odgovarajućeg rje

šenja. Rješenje Cauchyjevog problema tražimo u klasi e2(RI! x (O, oo» n e{ I ) (Rn [O, oo )) . Opisana rješenja nazivamo klasičnim.

x

Teorem 2.1. Inicijalno-rubniproblem ima najviše jedno rješenje u klasi e(2) (Q) .

-

Dokaz. Neka su Ul i Uz rješenja i w = Ul 02w

U2 . Tada je

- - c2Aw = 0 u Q, ot2 = O na I,

(8)

aw w = O , - = O na g x {O}. at

(9)

w = O odn.

aw

ov

Iz (7) za svako t E (O, oo ) slijedi

l ut �l

(7)

f(

)

2 02w aw aw 1 d . t) = ( , , T � (x t) dV (x, t) dV 2 x ut 2 dt Jo at aw 2 o Aw( , t) 7fi e (x, t) dVo x

Vrijedi

Aw

-at

aw

(

) at

aw . grad w · = dIv

f

J

.

l a - - - (grad w)2 ' 2 at

(10)

(11)

4.3. DALEMBERTOVA FORMULA

179

pa imamo

2 dV -- 2 i d ' grad w(x, t) {)W(X, t) ) dV {)w(x t) , ) i ( ut t ( ut 2 d { o (grad w(x, t))2 dVo 2 dt J Nakon primjene Teorema o divergenciji i uvažavanja uvjeta (8). dobivamo � :t lo ( ( aw�:, t) ) ' + ,,'(grad w(x, t)) ') dV = O, Iz toga slijedi t» ) ' + ,,'(grad W(X, t) )') dV = const , ( ( a�: lo 1 d -2d

Q

e

II

Q

IV

II

(12)

( 13)

(14)

ili, zbog uvjeta (9),

t» ), + ,,'(grad w(x, t))2 dV = O, ( ) 8wr,' ( lo Iz toga zaključujemo da je w = O , tj. Ul U2 Q .

( 15)

U

Zadatak 2.1. Dokažite Teorem 2. 1 za mješoviti i Robinov rubni uvjet. Zadatak 2.2. Dokažite Teorem 2. 1 za hiperboličku jednadžbu ( 1.23) .

Zadatak 2.3. Formulirajte inicijalno-rubni problem i dokažite teorem jedinstve nosti za jednadžbu (1.24).

u ovoj točki rješit ćemo Cauchyjev problem u slučaju

E

=

1.

C(2)(R2) je rješenje homogene valne jednadžbe {)2u 2 {)2U = 0 {)x2 u(x, t) = q;(x + ct) + 1jJ(x - ct),

Teorem 3.1. Funkcija u

U RZ, ako i samo ako je gdje je q;,1jJ C(Z}(R).

n

E

-e

(1) (2)

Dokaz. Neka je u rješenje. Uvedimo nove varijable Neka je

x ct, = x ct. u(�, 'rf) = u (x, t).

�= +

11

(3)

( 4)

4.

180

VALNA JEDNADŽBA

Tada je

(5) (6) Uvrštavajući to u ( 1), dobivamo

82u 8s 811 =

Prema tome je

U(S l 11 ) =

1;

O.

(7)

:s u(S, 11) = iP(S) , iP(C) dC + lJI( 1I) =

(8)

(9)

u definirana formulom (2), onda je 2 8u 2 lJIli), =
Iz toga slijedi (2). Obratno, ako je funkcija

82u 8x2

pa vrijedi ( 1 ) . O.E.D. Na pravcu x + ct = const funkcija (x, t) - lx - x(O) /} i konus budućnosti točke

(x{O) , t(O»)

{ (x, t) : t > t(O) , e(t - t (O» ) > lx - x(O) /}

(sl. 4.2).

lu

X2 X 2 =XrC(trtl)

SI. 4.1.

Sl. 4.2.

( 12)

181

4.3. DALEMBERTOVA FORMULA

Primjedba 3.2. Neka je Q e R2 i neka su pravci x + ct = al , x + ct = a2 i x - ct = {JI , X - ct = fJ2 potporni za Q (sl. 4.3). Teorem 3.1 vrijedi i za rješenje jednadžbe (1) u području Q , s tom razlikom što je ovdje rp E C(2) ((al , a2 )) , 1jJ E C(2) (( {JI , fJ2)) .

Sl. 4.3.

Neka su uz jednadžbu (1) dani početni uvjeti

u(x, O)

=

uo(x) ,

au (x, O) = Ul (x) . at

(13)

c(2) (R) , Ul E C(1) (R) . Tada Cauehyjevproblem (1), (13) ima jedinstveno rješenje i ono je dano Dalembertovom formulom 1 1 r+cl u(x, t) = 2 (uo(x + ct) + uo(x - ct)) + Ul ( � ) d� ( 14) 2e JX-CI Teorem 3.3. Neka je Uo

E

. .

Dokaz. Neka je u rješenje problema. Prema Teoremu 3.1 postoje funkcije rp, 1jJ E C(2)(R) takve da je u(x, t) = rp(x + ct) + 1jJ (x - ct). ( 15) Iz ( 13) i ( 15 ) dobivamo rp(xr+ 1jJ(x) = uo(x), (16) 1 rp' (x) - 1jJ ' (x) = -Ul (X). e Iz toga slijedi

1 1 r rp(x) = 2 (uo(x) + � J Ul( � ) d� + C) , o 1 1jJ(x) = 2 (uo(x)

1

-

r

� J U l (�) d� - C) ,

o

(17)

( 18) (19)

gdje je C neka konstanta. Uvrštavajući to u (1 5) dobivamo (14). Lako se pokazuje da funkcija u , definirana formulom (14), zadovoljava (1) i (13).

Pl>imjedba.3'.4I. l?tetposl.3vimo da su.funkdje u() i Ul ograničene. IZ' (14) sl ijedi ova korektnost probl ema ( 1 ) , . ( lJ): za !Wak-o T > O tješ«nje w zadovoljava nejednakost sup l u(.x;, t1 1 � SUp'IU() 1 R

�K

O'I'T

+ T suvl ul l .

(20)

R

Iz ( 1 4 ) sl ij ed i daje vrijednost rješenja u točki (x, tj E R: x (O, oo) o dređena vrijednostima početnih uvj�ta na. intervalu (x ct-, x + ct) . To ima nepo&rednu inter pretaciju: budući da se perturbacija širi: brzinom· e , u. vremenskom intervalu (O; t) u točku x ne može stići početni poremećaj: iz točke x' , ak-o jI! lxi - xl > ct . Interval (x - et, x + ct) je područje @visnosti, točke. (x, fi) ; krajevi tog. intervala. određeni su karakteris ti kama , koj e prolaze kroz točku (x, t) (sl. 404) .

područje ovisnosti

-

x

Sl. 4.4.

Xz

x

Sl. 4.5.

Pretpostavimo da su, funkcije Ulj i Ul npr;. nene.gativne, barem jedna različita od nule i da im je uniifl' nosača ograničeni segment [xP) ,X(2)] ; neka je npr, x > x(2) Ako j e O < t < ti = (x x(2) ) /c , u' područjJ.l ovisnosti točke (x, t) početni podaci su, j ednaki nuli, pa je u(x, t) O'., l!:a, t > ti područje ovisnosti točke (x, t) ima nepra zan presj ek s intervalom (X( I ) , X(2) ) " pa. je u(x, t) > O . Ta činj enica ima jednostavnu interpretaciju: početni p orem ećaj; na intervalu: (x(\ ) ,.x(2) ) širi se po karakteristikama i u trenutku t( l ) stiže'( kao desni val) db točKe �;,kažemo da u trenutku t(1) kroz točku x prolazi /ront vala (sl. 45). Vrijednosti početnih funkcija. na intervalu (x(1 ) , x(2) ) utječu na vrijednosti rješe nja.u području što ga karakteristike. kroz točke. (x.( I ) , 6J i (X(2) , O) zatvaraj u u gornjoj' poluravnini ; to je područje utjecajadnterv.ala. (�.( 1) , x(2) ) (sl. 4.6). Specijalno, početni •

područje utjecaja

područje utjecaja

x

Sl. 4;6.

Sl; 4. 7.

4.3. DALEMBERTOVA FORMULA

183

podaci u točki x utječu samo na vrijednosti rješenja u konusu budućnosti točke (x, D) (sl. 4.7). Razmotrimo još slučaj kad su početni uvjeti zadani samo na ograničenom inter valu (x( 1 ) , x(2)) . Iz prethodnih razmatranja slijedi da tada problem (1), (13) ima rješenje (iako nisu zadani rubni uvjeti na krajevima) ; ono je definirano u dijelu konusa prošlosti točke ((x( 1 ) +x(2) )/2 , (x(2) -x( 1 ) )/2e) koji leži u gornjoj poluravnini (sl. 4.8) i dano Dalembertovom formulom ( 14). Poremećaj točke x E (x( 1 ) , x(2) ) određen je u vremenskom intervalu (D, t) , koji je sve manji što je točka x bliža rubu intervala (X( l ) , x(2) ) (sl. 4.9).

Sl. 4.8.

Sl. 4. 9.

Primjedba 3.5. Pretpostavimo da neka od funkcija u� i Ul ima u točki x(O) E R prekid 1. vrste. Tada funkcija (14) zadovoljava prvi početni uvjet svuda na R , drugi početni uvjet svuda na R osim možda u točki x(O) i jednadžbu (1) svuda na R x (D, oo) osim na karakteristikama koje prolaze kroz točku x(O) na kojima derivacije au/ax i au/at imaju konačan skok. Funkcija u je u području R x (D, oo) po dijelovima klase C( 1 ) i predstavlja slabo rješenje Cauchyjevog problema. Pokazuje se da je takvo rješenje jedinstveno. Kao što vidimo, lokalna neregularnost početnog uvjeta prenosi se po karakteristikama u područje R x (D, oo) , te uzrokuje globalnu neregularnost rje šenja. Ovo svojstvo (koje, naravno, ima i jednadžba ( 1.23)) predstavlja bitnu razliku u ponašanju rješenja hiperboličke jednadžbe s jedne strane i eliptičke i paraboličke s druge strane (v. Primjedbe 2.15.16 i 3.4.3). ,

Primjer 3.1. Neka je neograničena žica perturbirana početnim progibom Uo na sl. 4.10. Po formuli (14) imamo

u(x, t)

=

l

l

"2 uo(x + ct) + "2 uo(x - ct) .

( 21)

za vrijeme t > D graf lijevog vala x --+ uo(x+et)/2 odn. desnog vala x --+ uo(x-et)/2 premjesti se desno odn. lijevo za dužinu ct . Zbrajanjem tih grafova dobivamo oblik žice (sl. 4.11).

184

4. VALNA JEDNADŽBA

[". �

-� -a

,

I

�k-X

1o��a---x

Sl. 4. 10.

Zadatak3.2. Nekaje f problema

E

Sl. 4.1l.

d l) (R x [O, oo» . Dokažite da je rješenje Cauchyjevog

{Pu EPu = f (x, t), ot2 -dl ox2 u(x, O) = O ,

814

8t

(x. O)

(22)

=O

(23)

dano formulom (retardiranipotencijal) u(x, t) = 2c

1 lf 1"'+*-1') f (�, T) d� dT. o

X-c(t-1'}

(24 )

Pomoću Teorema 3.1 može se riješiti i inicijalno-rubni problem za jednadžbu (1). Razmotrit ćemo slučaj Dirichletovih rubnih uvjeta. Neka , je u E C(2) ( [0, � x [O, oo » rješenje problema (oscilacije ograničene žice)

! filu

(Pu. = O ' cz. 812 lJX2 u(O, t) = u(I, /) = O ,

u(x, O)

=

(25)

_

Uo(x) ,

IJU 8t (x, O)

(26)

= Ul(X).

(27)

Tada postoje funkcije tp E C(2}( [0, oo J) , lP E C(Z)« - oo, m (v. Primjedbu 3.2), takve da je (28) u(x, t) = tp(x + ct) + tp(x ct). Iz (26) slijedi ili

!p( et) + tp( -ct) = O , cp(l + ct) + 11'(1 - ct)

=

O , t > O,

(29)

1/'{X) = -t:p( -x) , x E ( -oo , O) ,

(30)

,,(x)

( 31)

=

-lp{21 - x) , x E (1, oo}.

185

4.3. DALEMBERTOVA FORMULA Iz (27) za x E [O , � dobivamo

tp (x) =

l

2

uo(x) +

l l

l

1/1 (x) = 2 uo(x)

r U l eS) ds - e,

(32)

2c Jo

r eS) ds + e, Jo U l

(33)

gdje je e = const . Formulama (30) - (33) određene su funkcije tp i 1/1 , a time i funkcija (28). Npr. ako je (x, t) E Ps (sl. 4. 12), imamo

tp (x + ct) = -1/1(21 - x - ct) ,

(34)

1/1 (x - ct) = -tp (et - x) = 1/1(2/ - ct + x),

(35)

u(x, t) = -1/1 (21 x - ct) + 1/1(21 - ct + x) l

=

+ ili

2

uo(21 - x

l Uo (21 - ct

2

1

U(x, t) = 2 (Uo(21 - et + x) - Uo(21

(2J-X-CI ( ) d Ut '; '; 2e Jo . 1 21-cl+x r ( ) d';

et ) +

+ x) -

l

U l ';

2e Jo

ct - x» -

,

2J-c1+x Ul ( ) d r '; s · 2e J2J-ct-x 1

(36)

(37)

Kao što vidimo, poremećaj u točki (x, t) E Ps određen je početnim uvjetima na in tervalu (21 - ct - x, 21 ct + x) ; desni val, realiziran na tom intervalu u početnom trenutku, reflektira se na krajevima (mijenjajući znak) i stiže u trenutku t u točku x .

Teorem 3.6. Neka funkcije UD

E

e (2) ([O, � ) , Ut

E

e{l ) ( [o, m zadovoljavaju uv

jete kompatibilnosti Uo( O) = Uo(l) = ug (O) = ug (l) = U 1 (0) = u J (I) = O, (38) i neka je funkcija u definiranaformulama (28), (30)-(33). Tadaje u rješenjeproblema

(25)-(27) . .

4.

186

VALNA JEDNADŽBA

Dokaz. Iz (30), (32), (33) i (38) slijedi tp( -O) tp /(-O) tp ll (-O)

= = =

- qJ( +0) = e = tp( +0), qJl (+O) = u�(O) = tp/( +0),

(40)

_ qJlI ( +O)

(41)

�

=

(39)

- 2e � u�(O) = tpll (+O),

tj. tp E C(2) ( ( - oo , m ; analogno dokazujemo da je fP E C (2) ( [0, oo » . Prema tome je u E C (2) ( [O, fj x [O, oo » . Ostali uvjeti su evidentni. O.E.D. Ako su narušeni uvjeti kompatibilnosti (38), formule (28)-(33) određuju slabo rješenje problema (25)-(27). Iz (30) i (31) dobivamo

q>(x + 21} = - tp ( -x} = q>(x) , x > O, tp(x - 21) = - qJ( -x + 21) = tp (x) , x < l.

(42) (43)

Iz toga i (28) za x E (O, l) , t > O slijedi

(44)

21 u(x, t + - ) = u(x, t}. e

Dakle, rješenje inicijalno-rubnog problema je 21/e-periodično. Dobiveno rješenje u inicijalno-rubnog problema može se formalno zapisati u obliku Dalembertove formule. Proširimo funkcije qJ i tp na pomoću formula (30) i (31). Označavajući ta proširenja s cp i ijJ , imamo:

R

za x E (O, I) imamo

uo{x)

ijJ (x) = -qJ( -x) , E (- l, O), cp (x) = -tp( 2/ - x) , x E ( 1, 2/) , ijJ(x} = -qJ( -x} , x E (-21, - l) , itd. =

(45) (46) (47)

qJ(x) + tp (x) , Ul (x) = e(qJl (x} - tp/(X}} .

Neka je

lio(x) = cp(x) + ijJ(x) , Ul (x)

e(cpl (x) - ijJ l (x)} , x E

R.

(48) (49)

Očigledno je da su te funkcije proširenja funkcija Uo i Ul , respektivno. Lako zak ljučujemo da su one neparne II odnosu na točke x = O i x = l , iz čega slijedi da su 2/ -periodičke. Prema tome, lio i Ul dobivaju se respektivno iz Uo i Ul prošire njem po nepamosti na interval ( - l, O) , a zatim po 21-periodičnosti na R . Rješenje U Caucbyjevog problema s početnim uvjetima

u(x, O} = Uo(x) ,

R

':: (x, O}

=

Ul (x)

(50)

proširenje je funkcije U na x Rt . Prema tome, rješenje inicijalno-rubnog problema (25)-(27) je restrikcija (na (O, l) x (O, oo ) ) funkcije u koja je dana Dalembertovom

4.3.

187

DALEMBERTOVA FORMULA

formulom

gdje su

1 1 u(x, t) = 2 (uo(x + ct) + uo(x ct) ) + 2c Uo i U l opisana proširenja funkcija Uo i Ul .

l-x+lct uI(;)d; , xc

(Sl)

Zadatak 3.3. Riješite inicijalno-rubni problem a) za interval (O, l) , uz rubne uvjete u(O, t) = O, : (l, t) = O ; b) za interval (O, oo ) , uz rubni uvjet u(O, t) = O ; c) za interval (0, 1) , uz rubne uvjete u(O, t) O, c : (l, t) = _&(I, t) ; nacrtaj te graf rješenja (za neke vrijednosti varijable t ), ako je uo(x) = X, Ul = O . (Inter pretacija: oscilacije žice čiji je lijevi kraj učvršćen, a na desni djeluje kontaktna sila suprotna brzini, tj. trenje).

(X)

Rješenje. a) Rješenje je dano formulom (Sl), gdje su Uo i U l funkcije koje se dobivaju iz uo i U l , respektivno, proširenjem po neparnosti na interval (-21, O) , a zatim po 41-periodjčnosti na R . Dovoljni uvjeti (kompatibilnost): uo E C(2)([0, �) , Ut E C( I) ([O, �) , Uo(O) = u� (O) = U t (O) = u� (l) u� (l) = O . b) Rješenje je dano formulom (Sl), gdje su Uo i Ut funkcije koje se dobivaju iz Uo i U l , respektivno, proširenjem po neparnosti na R . Dovoljni uvjeti (kompatibilnost): Uo E C( 2) ([0, �) , U l E C( I) ([O, m , uo(O) = u� (O) = UI (O) = O . e ) Rješenje j e oblika (28). Za x E (O, l) vrijedi (32),(33). Rubni uvjeti daju (S2) tp (x) = -

Sl.

4.13.

Iz ( 32) nalazimo K=

1 1
za rješenje dobivamo (sl. 4.13)

11 ut (;)d; - c. o

(S4)

4. VALNA JEDNADŽBA

188

x ct + ct) + Uo(x - ct» + 1 lx-+ct ul ( ; )d; , 1 1 lct+x ( ; )d; , ( 140 (x + ct) - uo(ct - x)) + 2 2' c ct-x ul l l- Ul ( s)d;, 1 2 (140(/) + uo(x - ct» + x ct 1 1 11 (l) ( et » + 2( ct-x ul ( s) d;, 1 2 (Uo(x

U (x, t)

=

2c

(x, t) E Pl ,

(x, t) E pz ,

2c

-

uo

-

uo

-

2c

x

-

O,

(x, t) E Ps. (55) Dovoljni uvjeti (kompatibilnost) : 140 E c(Z) ( [O, m, Ul E C(l) ( [O, m, 140(0) = u�(O) = Ul(O) = O, euj, (/) U l (I) = o, cu�(l) u� ( l) = O . za Uo(x) = x, Ul (x) = o dobivamo

+

+

(O � t � ':r) , (56) u (X , t) � (x + l - ct), (X, t) E P3 U P4 (':x � t � � ), O, (x, t) E Ps (t;;� � ) . U ovom slučaju nije zadovoljen jedan od uvjeta kompatibilnosti (euj, ( l) + U l (l) # O) , pa rješenje ima singularitet (koji putuje karakteristici) . x,

=

(x, t) E Pl

U PZ

po

Neka je (x(O) , 1(0» E R" x R . Hiperplohe

1(0) , e (t(O) - t) = lx X<0) l}, » ( t O) , c(t - t(O = lx - x(O) I} » < su karakteristike (valne jednadžbe) kroz točku (X O) , t(O . Područja

{ (x, t) E R" x R : t < { (x, t) E R" x R : t >

-

x(O)

> lx { (x, t) E R" x R : t < t(O) , e(t(O) -( t) Ih » { (x, t) E Rl! x R : t > t(O) , e( t - t O > lx - x(O) l }

» zovu se respektivno konus prošlosti i konus budućnosti točke (X
(1 )

(2)

(3)

(4)

189

4.4. TEOREM JEDINSTVENOSTI

It

I

I I

/ -

Sl.

4.14.

Neka je t(O) > O ; označimo s X(x(O) , t(O» ) dio konusa prošlosti točke (x(O) , t(O» ) koji leži u poluprostoru {t > O}. Očigledno je

8X(x(O) jO» ) gdje je

=

S(x(O) , t(O» ) U B(x(O) , t(O» ) U {(x(O) , t(O» ) } ,

S(x (O) , t(O») = {(x, t) : O < t < iO) , e(t(O) B(x(O) , t(O» ) =:: K(x(O) , et(O») e Rl!.

Jedinični vektor vanjske normale u točki (x, t)

Vi (X, t) = v/ex, t) Iz toga dobivamo

=

E

I)

lx

Xi - x}O) i = 1 , 2 , . . . , n, lx x(O) 1 ( 1 + e2 ) 1 /2 ' e + ( 1 e2) 1/2 ' 1

L vt (x, t) = 1 + e2 ' ;=1 --

Teorem 4.1. Ako funkcija u

nadžbu

E

E

(7)

(8)

C(2) (X (x(O) , t(O» ) ) zadovoljava · homogenu jed

82u - - e2 !:Ju = O u X(x(O), t(O») , 8t2 i homogene početne uvjete 8u u(., O) = (., O) = O u B(x(O) , 1(0»), 8t onda je u = O u X(X(O) , /(O») . Dokaz. Neka je (x, i)

(6)

S(x(O) , t(O») (sl. 4.14) ima komponente

_

l!

vrijedi

x (O) 1 = O},

(5)

(9)

( 10)

X(x(O) , t(O») . Očigledno je X(x, i) e X (x(O) , t(O» ) , pa

2U ) 8u8 1 ( 8- e2 !:Ju 82 X (x,J)

t

t

dVdt = O.

(11)

190'

4. \lA'LNA JEDNADŽBA

Iz toga sl ij edi (v. (Z.U)) i (2.11))

1

.;e(i,i)

[ (( a at

au at

)2 2

+ e (graciJ u) ,

2

)

.

2 t (au ) l,

-

au

a

ze

'.

,,

ox;. ' ax at , ;

i= 1

dV d t = o

( 12)

ili, nakon primjene Teorema o divergenciji i uvažavanj'a uvjeta ( lO�,

r iS(i,i)

['( ( '

,

au

)2

Množeći tu j ednakost s VI =

[(

L iS(i, f i) n

i=

•

l

ili

,

2 2 + e (gradu)

-;:;- . ut ·

au

7) t

Iz toga slijedi

. 1= 1

aU - Vi

at

ili

1

-

au

-� Yt ut

Neka je

)

.' ,

Y,

8u 8

u f) !l 2e2 -

-

.

t uV

l

dS = O .

,

(13)

c( l + e2) - 1 /2 i uzimajući II obzir (8), dobivamo

) 2 ( !'l ) 2. ''

?

Vj +

l' L n

". ,

S(i,'}!'

(

,

uu

.

2 'VI

-

-

8 Xi

au

-Vi at

;

{Ju:

OX;

-

1 au

= -o" 'Vi

"Xi

na.

,

t

x;

) 2, .

Vi

au YI = O· Ila S(i, l) , aXi

-

J'l J:l uU uU

l

2 7) lI Vi Y;

.

'

.

'

dS = O,

dS = O.

t=

( 15)

1, 2, . . . , n,

S{i; i) ,. i = 1 , 2, . .

.

( 14)

, n.

(16)

( 17)

(1;, 0) E aB{x,t) i (18)

(jedinični vektor izvodnice liipetplohe S{i,.f) knoz točku (1;,.0) , sl. 4.15 ) . provjeravamo da segment

leži na

S(i, i)

Lako

i da je C(1;.) ' V(X(A) , t(A. ) ) = O .

(20)

4.4. TEOREM JEDINSTVENOSTI

191

�O) Sl. 4. 15.

Uzimajući u obzir (17) i (20), dobivamo d u(x(A) , t(A)) = O, dA

(21 )

ili u = const na segmentu (19), pa imamo u(i, 'i = u(;, O) = O . Zbog proizvoljnosti točke (i, 'i) , zaključujemo da je u = O u Jt'(x(O , t(O)) .

?

Korolar 4.2. Neka su funkcije Uo i Ut definirane na kugli K(x, ct) , x t > O, a funkcija f u Jt'(x, t) . Tada problem (Pu - c211u = f u Jt'(x, t) , ot2 au u ( . , O) = un , ( . , O) = U t na K(x, ct) , at

E

R" ,

(22) (23)

ima najviše jedno rješenje.

R"

Korolar 4.3. Neka su funkcije Uo x

R.Tada Cauchyjev problem

Ut definirane na R" , a funkcija f na

02u - - c211u = f u R" x R, ot2 au u ( . , O) = uo , ( . , O) = Ut na R" , at

ima najviše jedno rješenje;

(24) (25)

4. VALNA JEDNADŽBA

192

Sl. 4.16. Iz Korolara 4.2 zaključujemo da je vrijednost rješenja Cauchyjevog problema u točki (x, t) E Rl! x (O, oo ) odredena početnim uvjetima na kugli K(x, ct) . Ta kugla je područje ovisnosti točke (x, t) . (U slijedećoj točki vidjet ćemo da je u slučaju neparnog n � 3 stvarno područje ovisnosti samo sfera 8K(x, ct) .) Pretpostavimo da je f = O i da su nosači funkcija ut) i Ul ograničeni skupovi u Rl! ; uniju tih skupova označimo sa A . Neka je x E Ac i tJ (x) = oJ (x)/e, gdje je oJ (x)

= min lx - Y I .

(26)

yEA

Za t < tl (x) vrijedi K(x, ct) n A = 0 , pa je u(x, t) O ; točka x u trenutku t miruje. Za t > tl (x) vrijedi K(x, ct) nA =1= 0 , paje općenito u(x , t) =1= O ; točka x je u trenutku t perturbirana (sl. 4.16) . Početna perturbacija stiže sa skupa A do točke x E A C u trenutku tj (x) , pa zaključujemo da se poremećaj (val) širi brzinom e. Kažemo da kroz točku x u trenutku tJ (x) prolazi front vala.

Lema 5.1. Neka je qJ

C (2) (R3 ) i neka je 1 u.,, (x, t) =

E

r

i8K(x,ct)

Tada je u."

E

C (2) (R3 x Rt),

qJdS.

(1) (2)

i vrijedi (3)

(4)

45.

KIRCHHOFFOVA

I

DoImz. Napišimo ( 1 ) u obliku

4t

u. (x, t) = (gdje

v

193

POISSONOVA FORMULA

3'c

lS3

{ ,,(x + etv)dS

označava jedinični vektor vanjske nonna1e na

8 :41 (x, t) vt

ili

1 4"

ls,

{ fP (x + etv)dS +

8 � (x, t) = !t u",(x, t) + vt

4ct

"

1 4"ct

Primjenjujući Teorem o divergenciji, dobivamo 1 l 8u '" (x, t) = -u", (x, t) + 4"et t 8t

� = !Uq>(x, t) + 4 xct t

1

lS3 (

(

[o

grad fP

+ Iz (5)

1

4net

l - �t 4"

također dobivamo

(I

l

s,

i ( 10) slijedi

(3). Iz (5)

' v dS.

(7)

ls,

(8)

,-2dr ( AfP (x + rv) dS)

A,,(x + ctv) dS =

ClI lS3

4"

A,,(x + ctv) dS.

: i A,,(x + etv) dS.

Au
(6)

AfP(y) d V

lS3 l r dr ( AfP(x + rv) dS 4m;t2 lo ,-2 lS3

+

+ etv) . v dS,

,-2dr ( AfP (x + rv) dS.

Iz toga imamo l l 82uq> 1 u,, (x, t) + - ( -u",(x, t) 2 -:;2 (x, t) = - vt t t t

[t

S3 ) . Iz toga imamo

grad fP (x

18K(x,ct)

K(x,ct)

(5)

",

i (6) slijedi (4 ) .

(9)

( 10)

O.RD.

Analogno se dokazuje ova lema.

Neka je fP E C(3) (R3) i neka je 8u
= 8t (gdje je ufP definirano formulom (1». Tada je vq> E C(2)(R3 l &vfP A O u R3 x 14 , e2 8t2 - v'1' Lema 5.2.

(11) X

14) i vrijedi

_

lim

1-+0

Vq>(x, t) = ,,(x),

lim

1-++0

a:"' (x, t) = O, x E Rl. vt

( 12) ( 13 )

4.

194

Iz gornjih lema slijedi ovaj zaključak.

VALNA JEDNADŽBA

.

Teorem 5.3. Neka je n = 3, Uo E C(3) (R3 ) , Ut E C(2) (R3 ) Tada je rješenje Cauehyjevogprob/ema (4.24), (4.25) (za f = O) dano Kirehhoffovomformulom 8 ( 14) Ut dS. u(x, t) :::::: Uo dS + 4nc2t 8t 4nc2t

) --1 1

(-1 l

8K(x,ct)

8K(x,ct)

Iz fonnule (14) zaključujemo da je vrijednost rješenja Cauchyjevog problema u točki (x, t) E R3 X (O, oo ) određena vrijednostima početnih uvjeta na sferi 8K(x, ct) . Ta činjenica zove se Huygensov princip. Sfera 8K(x, ct) je područje ovisnosti točke (x, t) . Razmotrimo ponovo slučaj kad su nosači funkcija uo i Ut ograničeni i označi mo (kao u prethodnoj točki) njihovu uniju s A . Zbog Huygensovog principa za točku x E A C postoji, pored tl (x) , još jedan karakterističan trenutak: t2 (X) = 6z (x)/e, gdje je 6z(x) = max lx - YI . YEA

( 15)

za t > t2 (X) vrijedi 8K(x, ct) nA = 0 , pa je u(x, t) = O. Prema tome, točka x je perturbirana od trenutka tl (x) samo do trenutka t2 (X) ; poslije toga ponovo miruje (sl. 4 . ) Kažemo da u trenutku tl (x) kroz točku x prolazi prednji front va14, a u trenutku t2 (X) zadnji front vala. Pokazuje se da Huygensov princip vrijedi za svako

17 .

neparno n � 3 .

Sl. 4. 17.

Rješenje Cauchyjevog problema u slučaju n = 2 možemo dobiti metodom spuš Pretpostavimo da funkcije uo i Ul ne oviseQ varijabli Xl . Tada ni funkcija (14) ne ovisi o varijabli X3 , pa predstavlja rješenje Cauchyjevog problema u R2 x (O, oo ) . Uzimajući u obzir da je element površine sfere 8K(x, ct) dan formulom

tanja.

dS -

etd;t;2 .jcZt2 - (;, - Xl ) 2 - (Sz - X2 )2 '

( 16)

( 17)

4.5.

K.JRCHHO FFbvA

I PorSSONOVA FORMULA

{95

Imamo ovaj rezultat.

2 , Uo E C (3) (R2 ) , U\ E C(2) (R2 ) . Tada je rješenje Teorem 5.4. Neka je n Cauchyjevogproblema (4.24),(4.25) (za I O) danoPoissonovomlormulom 1 Uo( ;)d �l d ;2 u(x, t) : � ( 18) 8t 2.1tc K(x,ct) Jc2t2 - lx - ; 1 2 1 u\ ( ; )d;l d;2 ' 2.1tc K(x,cl) Jc2t2 - Ix - ; 1 2 =

+ 1

1

==

Prvi odn. drugi član na desnoj strani formule ( 14) i ( 18) zove se retardirani Iz formule (18) zaključujemo da je vrijednost rješenja Cauchyjevog problema u točki (x, t) E R2 x (O, oo) određena vri jednostima početnih uvjeta na krugu K(x, ct) . Drugim riječima, u slučaju n = 2 ne vrijedi Huygensov princip, pa ne postoji zadnji front vala. Ta činjenica se zove difuzija vala; ona vrijedi za svako parno n i za n : 1 (v. 3.). Razmotrimo još Cauchyjev problem za nehomogenu valnu jednadžbu (uz homo gene početne uvjete) .

potencijal dvostrukog odn. jedtwstrukog sloja.

Neka je I E c(2)(Rn x [O, oo » i neka je za svako T v(x, t; T) rješenje problema 82 v 8t2 - CL\v O u r x (T, oo) , v(x, Tj T) : O, 8v 8t (x, T; T) I (x, T), X E RII. Tada je funkcija u(x, t) : v(x, t; T)dT Lema

5.5.

=

=

11

rješenje Cauchyjevog problema &u - c2Au' : 1 u Rn x (0, 00), 8t2 u(., O) (., O) O u Rli. =

Dokaz.

Imamo

8u t) 8t (x,

=

=

&u (x, t) 8t2

=

v(x, t; t)

�;

+ Jto

8v(xa/ t· T) dT

t 8v(x, t; T) dT,

Jo

8v (

at

x, t,. t) ot

=

=

t 82v(x, t; T) dT ot2

+ Jo

(zbog (20»

>

O funkcija ( 19 )

(20) (21)

(22) (23)

(24)

(25)

4.

1% = (zbog

2 t·' T) (20)) = f (x, t) + t 8 v(x 0 2 dT,

.iu(x, t) Iz toga dobivamo (22) i

VALNA JEDNADŽBA

;

Jo

=

(23).

lt .iv(x, t; Tj dT.

(26)

Neka je f E C(2) (R" x [0, (0) . Tada je za n = 3 odn. n = 2 rješenje Cauchyjevog problema (22),(23) dano formulom f s t - l=::il dV (27) u(x, t) = 4 c .1t' JK(x,ct) Ix S I odnosno f (� , T) t dT (28) u(x, t) � 2.1t'c Jo JK(X,C(I-T» .jc2 (t - T) 2 - Ix - s l 2 dS. Teorem S.6.

(

�r

•

'

-

e

)

r

Dokaz.

za

n = 3 pomoću Kirchhoffove formule zamjenom t ..... t v(x, t; T) = 4 c2 (t1 T) f dS, .1t' BK(X,c(t-T»

-

1

1 dT 1 1 u(x, t) = --�-"""

pa prema (21) imamo

T dobivamo

(29)

(30) 4.1t'C2 ( t T) aK(.r,C(t-T» f dS. Uvodeći umjesto T novu varijablu r = e(t - T) , dobivamo 1 f s , t - ::e dS, u(x, t) 4 2 rt drr (31) .1t'C Jo J8K(.r,r) tj. formulu (27). Analogno se dokazuje formula (28). Q.E.D. Funkcija (27) odn. (28) zove se retardirani potencijal. Zadatak 5.1. Pomoću formula (14),(18),(27) i (28) dokažite da je Cauchyjev problem (za n = 3 i n = 2 ) korektan. Zadatak 5.2. Dokažite da za funkciju ( 18) vrijedi u(x, t) ..... O , t oo . Zadatak 5.3. Iz formule ( 18) izvedite Dalembertovu formulu (3 . 14). Zadatak 5.4. Diskutirajte širenje vala generiranog vanjskim djelovanjem f (re o

=

r

(

)

-+

tardirani potencijal).

4:6 . .FOURlEROVA

197

M;ETODA

Fourierova .metoda za inicijaino-mbni problem

ePu

- c?'Au = O u Q,

( 1)

u = ,O na L,

cu

(2)

(Ju

( . , O) = Uo,

!i"" . (., 0 )

ut

=

·

Ul

U

JJ,

(3)

sastoji se u slijedećem: određujemo skup funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu (1) i rubni uvjet (2) i koje imaju separirani oblik X(x) T(t),

(4)

·

gdje je X f:. O odn. T #- O funkcija na Q odn. tO, oo ) ; superpozicijom tih rješenja odr.eđujemo furikeijll koja �ađovoIj3Va početne uvjete (3). Uvrštavajući (4) u (1) dobivamo 1 /I (5) - T X T lU' - O , ·

c2

Til

ili

c2T

=

-

-

·

M

=

X

gdje je :A konstanta. Iz toga i (2) imamo

-A,

(6)

TJ/ + J... c?T = 'O , t E (0, 00) ,

(7)

M + AX = Đ u 0,

(8)

x = O na a�.

(9)

za funkoiju X .dobili smo pmblem svojstvenih vrijednosti (v. Zadatak 2.11 .3 i Pri mjedbu 2.1:5 . 17). Neka su AJ � A2 � . . . svojstvene vrijednosti (svaka uzeta toliko puta kolika joj je kra1nost), a Xl , X2 , odgovarajuće.svojstvene funkcije. za .A = At opće rješenje j.ednadžbe (7) je '

.

.

•

Ti(t) = Ai COS ct� + B; sin ct...fi:, gdje su Ai i :Bi proizvoljne .konst3IIte. 'Prema tome, rješenja (4) su oblika

(A; os t A + Brsin cty'i:)X;(x). c

c

Ta funkcija s e zove dojni val; možemo je napisati u obliku

gdje je

wi

)Xi X

( 10) (11)

(12) C;sin(w,it + CPi ( J, cA , CPi = are tan � , Ci JAt + Br ; roi je kružna frekvencija, a

CPi faza valn. SlOjni val opisuje p.ertmrbac:iju kod ·koje sv.e :točke x E g harmonijski o8ci1iraju istom kružnom frekvencom i wQrn, ali s općenito različitim amplitudama

4. VALNA JEDNADŽBA

198

Ci/Xi(x)l . Točke (krivulje, plohe) u kojima se funkcija Xi poništava zovu se čvo rovi (čvome krivulje, plohe) stOjilOg vala ( 1 1): Prema Fourierovoj metodi rješenje problema (1) - (3) tražimo u obliku reda stojnih valova ( 1 1), oo

(13) u(x, t) = L(Ai cos (JJi t + Bj sin (JJj t)Xi (x) , j=1 a koeficijente Aj i Bj određujemo iz uvjeta (3). Radi jednostavnosti pretpostavimo

da su sve svojstvene funkcije ortogonalne (v. fusnotu na str. 172). Uz pretpostavku da za t = O red ( 1 3 ) i njegova formalna prva derivacija po varijabli t konvergiraju uniformno na Q , dobivamo (koristeći ortogonalnost svojstvenih funkcija) (14) A i = I 1 (UO: Xi ) ,

I Xdl2

= Bi

1

( 15)

(JJi l lXi l ! 2 (u \ , X; ) .

Prema tome, Ai i (JJiBj su Fourierovi koeficijenti (po sustavu {Xi} ) funkcija uo i U l . respektivno. Red ( 13) s koeficijentima ( 14) i ( 15) daje formalno rješenje problema ( 1 ) - (3). Ako taj red konvergira zajedno sa svojim formalnim prvim i drugim de rivacijama uniformno na Q , on predstavlja klasično rješenje. Fourierova metoda za

nehomogenujednadžbu

EPu c2 = / 8t2 - Au

u

Q,

( 16)

uz homogene početne uvjete (i homogeni rubni uvjet) sastoji se u slijedećem: za svako t > O rješenje u(x, t) "razvijemo" u Fourierov red po svojstvenim funkcijama Xi problema (8), (9): oo

u(x, t) = L Ti ( t)Xi (X) , ;=1 Ti ( t) = I I 1i l 12 (u( . , t),X;) . X Pomnožimo (16) skalamo s Xi ; dobivamo 82u ·X dV - c2 Au . X dV = Q 8t2 Q Q

l

l

l

I

1/ .

(17) ( 18) Xl d V

ili, nakon parcijalne integracije u drugom članu na lijevoj strani, d2 (u,Xi ) - c2 (u, AXi) = (f,Xi). dt2 Uzimajući u obzir da je AX; = -'A;Xi ' imamo d2 (u,X;) + �2(U,X;) = (f,Xi) dt2 ili, zbog ( 18), T!'t + C2 n.;1 ·TI = /l. )

( 19) (20) (21) (22)

4.6.

199

FOURIEROVA M ETODA

gdje je fi ( t) Fourierov koeficijent funkcije f (' , t) : ([ ( ' , t),Xj)

f. (t) = I

l !Xj W

'

(23)

Iz početnih uvjeta dobivamo oo

oo

j=1

j=1

I: Tj(O)Xj (x) = O , I: T: (O)Xj (x) = O, a iz toga

Tj(O) = O ,

T:(O) = O.

(24) (25)

za funkciju Tj dobili smo Cauchyjev problem (22), (25). Lako provjeravamo da je rješenje tog problema funkcija

1 Tj(t) = -

1 1f;(-r:) sin W (t - T) dT. j

(26)

Wj ° Red (17) s koeficijentima (26) je formalno rješenje problema. Specijalno, ako je f oblika f(x, t) = cp(x) sin wt, (27) onda je

fj(t) = (cp,Xj) sin wt,

pa imamo

;

(28)

( , Xj ) w sin wjt - sin wt) za w f. Wj, ( W - Wj2 Wj

(29)

(cp,Xj) 1 . Tj( t) = -- ( - SIO Wjt - t COS Wjt) za W = Wj.

(30)

Tj(t) =

2Wj

Wj

Vidimo da pod utjecajem periodičkog vanjskog djelovanja s frekvencijom koja je jed naka nekoj svojstvenoj frekvenciji Wj , poremećaj s vremenom neograničeno raste; to je pojava rezonancije. Primjer 6.1. Oscilacije ograničene žice. Riješit ćemo Fourierovom metodom problem {Pu 2 (Pu _ -c (31) O u (0, 1) x (O, oo ) , ox2 ot2 u (O , t) = u( l, t) = O , t > O, (32) ou

(33) u(x, O) = uo (x) , (x , O) = Ut (x) , x E ( 0 , 1) . ot Svojstvene vrijednosti su A", = k?-1r2 , a svojstvene funkcije Xk (x) = sin kn:x , k = 1 , 2, . . . , pa je formalno rješenje u(x , t) =

I:(biO) cos Wkt +�Wk bil) sin Wkt) sin kn:x, j=1

(34)

4. VALNA JEDNADŽBA

200

gdje je

(})k

=

Ck1C ,

biO)

2

11

uo (x) sin k:n:x dx ,

bil)

=

2

11

Ul (x) sin k:n:x dx.

(35)

Pretpostavimo da je funkcija Uo odn. Ul po dijelovima klase e(3) odn. e(2) i da su zadovoljeni uvjeti kompatibilnosti (3 . 38) . Primjenjujući tri puta parcijalnu integraciju dobivamo

bkIO)

1

(O)

- - /C31C3 ak ,

_

(36)

gdje je af) Fourierov koeficijent funkcije Uo razvijene po kosinusima u intervalu (O, 1 ) . Pomoću Cauchyjeve nejednakosti dobivamo

()

()(

( OO

��lbiO) 1 � � �laiO)1 � � t; �) 2 . � (aiO)? oo

=

3

3

oo

oo

Uzimajući u obzir da je

l

)

2.

l

(37)

(38) dobivamo

Analogno se dokazuje da je

�lbiO) 1 < oo. L k=! oo

(39)

(40)

k=1

Pomoću (39) i (40) lako se dokazuje da red (34) i njegove formalne 1 . i 2. deri vacije konvergiraju uniformno na skupu [O, 1] x [O, oo ) . Iz toga slijedi da funkcija (34) zadovoljava jednadžbu (31) i rubne uvjete (32), a pomoću Teorema 2.9. 1 1 za ključujemo da su zadovoljeni i početni uvjeti (33). Primjetimo da smo u točki 3 za ovaj problem dokazali egzistenciju rješenja uz slabije uvjete na funkcije Uo i Ul : Uo E e(2) ([O, l]), Ul E e( 1 ) ( [O, l]) . Može se pokazati da je i u tom slučaju . rješenje dano formulama (34), (35) . Na sl. 4.18 prikazana su tri prva stojna vala.

Sl. 4.18. Primjer 6.2. Oscilacije kružne membrane. Riješit ćemo problem (1) - (3) za krug K(O, 1) . Odgovarajući problem svojstvenih vrijednosti (8), (9) rješavamo sepa racijom u polarnim varijablama (s polom u točki O). Stavljajući

X(U , !p) R(U) . ct>( !p) , =

(41)

201

4.6. FOURIEROVA METODA dobivamo

$ + IJ.$ =

O , $ 2n - periodično,

e ( eR' ) ' + ( Ae2 - lJ.)

(42) (43)

O , R(l) = O, gdje je lJ. parametar. Iz (42) slijedi lJ. = fil , k 0, 1, . ; odgovarajuće svojstvene =

=

funkcije su

. .

cos kq> , sinkq>.

Svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije problema (43) (za lJ.

Ati

= ifj , Rkj

=

Jk ( eXki) , j

=

1 , 2, . . . ,

=

fil ) su

(44) (45)

gdje su Xkj nultočke Besselove funkcije Jk ' Svojstvene funkcije problema (8), (9) su

Jk(eXki) cos kq> , Jk ( eXki) sinkq> , k = O, 1 , . . . , j = 1, 2, . . . .

Formalno rješenje problema je

u{x, t) =

oo

(46)

oo

I: I: «Ak) cos CiJk;t + Bk; sin "'kjt) cos kq> k=O i= 1

(47)

+ {Ck} cos "'kjt + Dkj sin CiJkjt) sin kq> )Jk ( eXk;) , gdje je CiJkj = cxki ; koeficijenti Akj, >Dkj dani su formulama

� Jo 1o:br Uo(e, q» eJk (eXk;) coskq> dq> de, :br Ul(e, q>)eJk (eXkj) coskq> dq> de, Bkj = { t »)2 : C1CXkj { k (Xkj Jo Jo Akj =

' t n(Jk Xkj»2

• • •

(48) (49) (50) (5 1)

5.

Klasifikacija jednadžbi 2. reda

Laplaceova, valna i jednadžba provođenja specijalni su slučajevi linearne diferen cijalne jednadžbe drugog reda m m [Pu {Ju (1) L: A;ix) . - + L: Bi (x) - + C(x)u = / (x) , ij:l

axI ax J

i", 1

axI

gdje je m � 2 i gdje su funkcije Aij , Bi , C i / definirane i neprekidne na nekom otvorenom skupu (j e Rm . Klasično rješenje te jednadžbe je funkcija u E C(2) (tJ) , za koju vrijedi ( 1). Bez smanjenja općenitosti u daljnjem pretpostavljamo da je matrica A(x) = (A;j(x)) simetrična. Ta matrica, kao što ćemo vidjeti, određuje tip jednadžbe ( 1); zato se klasifikacija stvarno odnosi na općenitiju kvazilinearnu jednadžbu a2u au au �

= 0, + F(x, u, 8 " ' " [) (2) L.....t A;j(x) aa Xl xm 'Xi 'Xj ij=l gdje je F definirano na (j x Rm+ l . Za klasifikaciju koristimo pojam signature matrice A(x) . Signatura realne simetrične m x m matrice A je uređena trojka (a, p , y) , gdje je a , f3 , y respektivno broj njenih pozitivnih svojstvenih vrijednosti, broj negativ

nih svojstvenih vrijednosti i broj svojstvenih vrijednosti jednakih nuli (pri čemu se svaka svojstvena vrijednost broji toliko puta kolika joj je kratnost). Zbog realnosti i simetričnosti vrijedi a + p + y = m. (3)

Tip jednadžbe (2) u točki x E (j je signatura (a(x), f3(x), y (x)) matrice A (x) ; pri tome trojke (a(x), P (x) , y (x)) i (P (x) , a(x), y (x)) smatramo jednakim. Posebno značenje u primjenama imaju ovi tipovi: Eliptički tip (m, 0, O) (O, m, O) ; jednadžba je u točki x eliptička (eliptičkog tipa), ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A (x) različite od nule i istog znaka, tj. ako je matrica A(x) ili pozitivno ili negativno definitna. 202

203

5.1 . LoKALNA KLASIFIKACIIA

Parabolički tip (m - 1, 0, 1) (O, m - 1, 1 ) ; jednadžba je u točki x parabolička (paraboličkog tipa). ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A (x) osim jedne različite od nule i istog znaka, tj. ako je matrica A (x) semidefinitna s rangom m - l . Hiperbolički tip (m 1, 1, O) = (1, m - 1, O) ; jednadžba je u točki x hiperbolička (hiperboličkog tipa). ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A (x) različite od nule i sve osim jedne istog znaka. U slučaju m = 2 moguća su samo tri gornja tipa. Jednadžba (2) je tipa ( a , (3, ji) u D e 0' , ako je tog tipa u svakoj točki x E D . Lako se dokazuje ova činjenica: ako je jednadžba (2) u točki x E (j' eliptičkog odno sno hiperboličkog tipa, ona je tog tipa i u nekoj okolini točke x ; ova stabilnost tipa u paraboličkom slučaju općenito ne vrijedi.

=

Primjer 1.1. Za Laplaceovu, valnu i jednadžbu provođenja matrica A je dijago naina i respektivno glasi

1 O ... O O O 1 ... O O . . . . 1 O O O . . . O -l/t?

1 O ... O O O 1 ... O O •

•

..

° o

1 O O O ... O 1

1 O ... O O O 1 ... O O .

..

..

(4)

� ..

1 O O O ... O O

Prema tome, Laplaceova, valna i jednadžba provođenja je svuda respektivno eliptička, hiperbolička i parabolička. U posljednja dva slučaja stavljamo m n + 1 , n � 1 , xm = t ; varijable su prostorne, dok je t vremenska varijabla.

= Xn+l

=

XI , X2 , ... , Xn

Kod proučavanja diferencijalnih jednadžbi često je korisna transformacija (zam jena) varijabli. Neka je (5) difeomorflZam otvorenog skupa 0' , Tada je Jacobijeva matrica

h = (h1 ,h2 ,

J(X) = (Ji/,(X» i,k=1,2,

...

. • •

,m ,

, hm ) .

Ji/'(x)

(6)

ah; (x) , =�
(7)

regularna za svako x E 0' . Definirajmo u (j' nove koordinate

(8) Yi 2= hi(xJ, X2, ) i = 1 , 2, . . , m. 2 Neka je funkcija u C( )( 0') rješenje jednadžbe (2) u i neka je hi C( )( 0') , i = 1, 2, . . . , m . Transformirano rješenje it je funkcija (9) it = u o h- t , definirana na if = h ( 0') . Iz jednakosti ( 10 ) u = ito h • . •

E

, xm , .

.

(j'

E

5. KLASIFIKACIJA JEDNADŽBI

204

2.

REDA

dobivamo (11) {Pu = aX;aXj

m

{,;

(

a2hk '" au + � ( a o h) aX;aXj ' Yk

)

ahk a2U oh aYkaYI ax;

Uvrštavajući to u (2) i stavljajući

( ahk ahi ) o h- I , A-kl = � L..J ax. axA j

zaključujemo da

ij: l

I

J

(13)

;

zadovoljava u iJ jednadžbu . m a2 u au au 2: Akl(Y) aa - + F y , u' 8 " " ' & = 0, y", Yk YI YI . k.I:l

fl

_

_

(

(12)

)

(14)

gdje je ft neka funkcija na iJ x Rm+1 Jednadžbe (2) i ( 14) su ekvivalentne, tj. svako rješenje u prve jednadžbe generira jedno rješenje u druge jednadžbe i obratno. Prema ( 13 ) vrijedi A(y) = l(x)A(x)JT (x) , ( 15) •

gdje je Y = h(x) . Budući je matrica lex) regularna, prema Sylvesterovom teore mu matrice A(y) i A(x) imaju istu signaturu. Prema tome, transformacijom (8) tip jednadžbe (2) se ne mijenja. Neka je Xo E tj . Zbog simetričnosti matrice A postoji ortogonalna matrica M , takva da je

MA (xO)MT

(� �' •. �)

= A,

(16)

O O " ' A",

gdje At ( i = 1 , 2, . . . , m ) irna jednu od vrijednosti 1 , - 1 , O . Funkcija ( 17) h(x) = Mx je glatki difeomorfizam sa lex) = M . Prema ( 15) i (16) za yo = MXo imamo A(yo) = A. ( 18) Transformirana jednadžba ( 14) u točki Yo , u eliptičkom, . . hiperboličkom i paraboličkom slučaju prima respektivno oblik a2 u a2 u au aU ( 19) - + . . . + - + F Yo, u, - l ' ' ' ' - = O, a� 2 a� 2 a� a� a 2u a 2u a2fl au au (20) - + . . . + - - - + F Yo, u, - , . . . , - = O, 2 2 ay", 2 aYm -I aYI aYI aYm a2 u a2u au au = 0. (21) - + ...+ + F YO, u' aYI 2 aYI ' ' ' ' ' ay", _

(

_

_

(

(

)

)

)

5.1 .

205

LoKALNA KLASIFIKACIJA

.

Ako su koeficijenti Ajj konstante, bit će oblik ( 19) - (21) isti u svakoj točki y = M tl Gornje oblike nazivamo kanonskim. Laplaceova, valna i jednadžba provođenja imaju svuda kanonski oblik. Tricomijeva jednadžba

{Pu

{Pu

X2li2 + li2 = O !.lXI !.IX2

(22)

(za m = 2 ) je također u kanonskom obliku, ali je mješovitog tipa: u poluravnini X2 > O je eliptička, u poluravnini X2 < O je hiperbolička, a na pravcu X2 = O je

parabolička. Iz kanonskih oblika zaključujemo da tip jednadžbe ima fizikalno značenje: elip tički tip opisuje ravnotežu, hiperbolički tip male oscilacije, a parabolički tip provođenje (difuziju). Primjer 1.2. Odredit ćemo tip jednadžbe

EPu

( 1 + xd li2 + VXl

(23)

u području Imamo

A(x) =

( 1X+IXXl2 -XIXX2� ) .

I +XIXXl 2- A -XX2�X-2 A

(24) (25 )

Svojstvene vrijednosti te matrice su korijeni jednadžbe

I

ili

I=O

(26)

Dobivamo

1 (28) A\,2 = Z ( 1 + X\ - X22 ± « I + x\ - x22 ) 2 - 4(1 + x\ + x\ 2 )X22 ) l1 ) . Budućije 1 +Xl +x\ 2 > O , vrijedi AI ' > O , A2 < O , paje jednadžba u D hiperboličkog

tipa.

(29) U

R2 \ {(O, O)} . Rješenje. Matrica (30)

ima svojstvene vrijednosti A\ =

O , A2 = Xt 2 + X22 , pa je jednadžba paraboličkog tipa.

5. KLASIFIKACIJA JEDNADŽBI 2. REDA

206

Proučavajući Cauchyjev problem u 4.3 i 4.5 zadavali smo Cauchyjeve podatke (vrijednost rješenja i njegove vremenske derivacije) na pravcu odnosno hiperplohi t = O . Općenitiji problem sastoji se u određivanju rješenja uz zadane Cauchyjeve podatke na nekoj hiperplohi. Nekaje S glatka orijentabilna hiperploha u otvorenom skupu tf e Rm , definirana jednadžbom ;(x) = O; (1) ovdje je

(2)

Neka je v jedinična normala na S , v(x) = Neka j e u

E

C(2) (tf) i

grad ;(x) I grad ;(x) l '

(3)

ou (4) x) , x E S. o Funkcije Uo i Ul su Cauchyjevi podaci funkcije u na hiperplohi S, koja je nosač Cauchyjevih podataka. Pitanje koje će nas zanimati je slijedeće: koje su sve deriva cije funkcije u u točki x E S određene Cauchyjevim podacima (4) ? Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kad je S koordinatna xm -hiperravnina, tj. hiperravnina uo(x) = u(x) ,

Ut (x) =

)

xm = O. Stavljajući x' = (Xt , X2 ,

.

•

•

,Xm-t ) , imamo

U (x' , O) = uo (x') ,

�Xum (X' , O) = ut (.i ) ,

u

(5)

t gdje su funkcije Uo i u\ zadane na Rm- . Iz toga dobivamo u ' uo u (x , O) = (x'), (x', O) = Ul(x'), i = 1, 2 , . . . , m 1, (6) UX; UXi UXm pa su Cauchyjevim podacima određene sve prve derivacije funkcije u na S . Iz (6) slijedi

�

�

�

02u() 02U � (X' , O) = � (X') , UXiUXj UXiUXj

i,j =

1, 2, . . . , m - 1.

(7) Vidimo da su Cauchyje\:'im podacima određene i sve druge derivacije funkcije u na S , osim jedne: Zaista, za proizvoljno a =j:. O neka je

�.

u(x) = u(x) + axm 2;

(8)

5.2: KARAKTERISTIKE 1 CAUCHYJEV PROBLEM

funkcije

207

& i u imaju iste Cauchyjeve podatke na Xm = O , a s druge strane imamo 82u (oX' , O) + 2 a 82& (X' , O) = (9) . 8Xm 2 8Xm2

Analogni zaključci vrijede i za opću hiperplohu S . Vratimo se jednadžbi (2) i razmotrimo Cauchyjev problem: ako su Uo i Ul za dane funkcije na hiperplohi S e tt , odrediti u nekoj okolini te hiperplohe rješenje U jednadžbe (2), koje zadovoljava Cauchyjeve uvjete 8u = Ul na S. u = Uo, ( 10)

8v

Pokazat ćemo da postoje hiperplohe (tzv. ki:lrakteristike) za koje Cauchyjev problem nema rješenja. Diferencijalna jednadžba prvog reda

800 800. = O A(x) grad oo . grad oo = � L...i A ij (X) . 8 .. X I 8Xi I J=1

( 11)

z a funkciju oo : tt -+ R zove se ki:lrakteristična jednadžba za (2) . Neka je oo rješenje te jednadžbe i (12) S = {x E tt : oo(x) = O}. Uz pretpostavku

grad oo(x) :f= O,

( 1 3)

X E S,

skup S je hiperploha; to je ki:lrakteristiki:l, ili karakteristična hiperploha jednadžbe (2) . Ako je jednadžba ( 2) u tt eliptičkog tipa (m, O, O) = (O, m, O) , onda je u tt matrica A(x) pozitivno definitna, pa iz ( 1 1 ) slijedi da je grad oo = O , tj. oo = const. ; ta funkcija ne određuje hiperplohu. Prema tome, ako je jednadžba eliptički:l u tt, ona u tom skupu nema (realnih) ki:lrakteristiki:l. Razmotrimo jednadžbu ( 2) uz pretpostavku da ona u tt nije eliptička, tj. da je tipa (a, P, r) , a, P :f= O . Pokažimo da se tada transformacijom koordinata karakte ristika oo(x) = O može prevesti u Xm -hiperravninu. Neka je h : tt -+ Rm definirano formulama hi (x) = Xi, i = 1, 2, . . . , m - 1 ; hm (x) = oo(x). ( 14)

za odgovarajuću Jacobijevu matricu dobivamo

J(X) = ( 88xjhi ) =

( ��

::

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da u nekoj okolini vrijedi

pa je u toj okolini detJ =

800 :f= O. 8Xm

( 15)

tto

točke

Xo E S ( 16)

(17)

5. KLASIFIKACIJA JEDNADŽBI 2. REDA

208

Prema Teoremu o inverznoj funkciji postoji okolina D h : D - h(D) difeomorfizam. Neka je y = h(x),

e

Uo

točke

Xo ,

takva da je (18)

x E D.

U novim varijablama Yi (i = 1 , 2, . . . , m ) jednadžba (2) ima oblik (14). Uzimajući u obzir ( 1 . 15 ) i ( 15), dobivamo Amm (y ) = 0 , pa transformirana jednadžba glasi

m- l

aU a2 U (PU m-I ( y) �.. a + L 24. ;j(y) a .a . +F(y, u , 8 " L 24.im VJ, Ym ij=1 Y, YJ YI ;=1 �

�

_

' " � )=O.

au VJm

(19)

Neka su na (12) zadani Cauchyjevi uvjeti ( 10). Tada transformirani uvjeti glase

au ' ) ' (oI ) , (20) uO\Y aYm (y , O = Ul (y ) , gdjeje y' = (y\ ,y2, . . . , Ym - l ) , Uo = uo h - 1 , Ul = Ul Oh- l . Za il: imamo Cauchyjev problem (19), (20), gdje su Uo i Ul zadane funkcije na (21) h(D) n {y Ym = O} . ii,(y

'

, o) =

�

o

:

Sve derivacije koje se pojavljuju u ( 19) određene su na (21) uvjetima (20), tako da na (21) jednadžba (19) predstavlja nužni uvjet za Cauchyjeve podatke uo , Ul ' Ako taj uvjet nije zadovoljen, Cauchyjev problem nema rješenja. Prema tome, za rješi vost Cauchyjevog problema za proizvoljne Uo i Ul nužno je da nosač Cauchyjevih podataka ne bude karakteristika (preciznije, da nigdje ne zadovoljava karakterističnu jednadžbu) . Zadatak 2.1. Dokažite da je karakteristična jednadžba ( 1 1 ) invarijantna prema transformaciji koordinata (1.8).

Rješenje. Neka je w(y) = w(x) ; tada je

aw aXi

=

t( aW o h) ahk k=l aYk

(22)

pa w zadovoljava jednadžbu (24)

Karakteristična jednadžba je pomoćno sredstvo kod rješavanja Cauchyjevog pro blema; za razliku od osnovne jednadžbe ona je prvog reda, ali je nelinearna.

5 .2. KARAKTERISTIKE I CAUCHYJEV PROBLEM

209

Primjer 2.2. za jednodimenzionalnu valnu jednadžbu ( m = 2 )

tPu 2

2 e2 a u 2

(25)

at ax = O karakteristična jednadžba glasi (�� ) 2 e2 ( �:r = O. Iz toga slijedi da je

aw aw = O at ax w(x, t) = cp(x - ct)

ili tj. ili

cp

_

+e

(26)

aw e aw = O at ax ' w(x, t) = '\jJ(x ct),

ili

(27)

_

+

ili

gdje su i '\jJ proizvoljne glatke funkcije (v. 4.3). Prema tome jednadžba (25) ima dvije familije karakteristika,

x - ct

const.,

x ct +

Uvodeći nove koordinate

=

const.

(28)

ct, Y2 = x ct, a2u = 0. ' -aY 8y2 Neka su Cauchyjevi uvjeti zadani na karakteristici Y2 = O : u(y. ,O) = uo(YJ ), aaYu2 (yJ , 0) = Ul (yt } . Iz (30) slijedi u�(y. ) 0, YI = X dobivamo transformiranu jednadžbu

+

-

(29)

(30)

l

(31) (32)

=

ili

t

(33)

Ako taj uvjet nije zadovoljen, problem (30). (31) nema rješenja. Pravac = O nije karakteristika i odgovarajući Cauchyjev problem ima rješenje; ono je dano Dalember tovom formulom (4.3. 14). Razmotrimo još slučaj kad je nosač Cauchyjevih uvjeta krivulja S zadana jednadžbom (34) = gdje je

g glatka funkcija na R i

t g(x),

Ig' (x) I =1= -.e1

(3 5 )

Ta krivulja nije karakteristika. Iako se u ovom slučaju ne može neposredno primijeniti Dalembertova formula, možemo govoriti o području točke =

ovisnosti

(xo, to g(xh) )

5. KLASIFIKACIJA JEDNADŽBI 2. REDA

210

(sl. 5.1. ) i području utjecaja luka (sl. 5.2.). Područje utjecaja točke (x, g(x)) je svjetlosni konus te točke (sl. 5 .3.). Ako je Ig' (xo) I > !c (36) (sl. 5.4. ) , kažemo daje S u točki (xo, to) time-like krivulja. U ovom slučaju Cauchyjevi podaci u točki (xo, to) utječu na vrijednosti rješenja na S ( u nekoj okolini točke (xo, to) ), pa iako S nije karakteristika, ona se ne može uzeti kao nosač Cauchyjevih

podataka. Sličan zaključak o time-like krivuljama vrijedi i za opću hiperboličku jednadžbu. područje utjecaja

-:-6- -

(xo,to =g(xo»

_______ ---------

Sl. 5.1.

Sl. 5.2.

--- t=g(x)

x

Sl. 5.3.

Sl. 5.4.

Primjer 2.3. Za jednadžbu provođenja

u R"x

x

au = Au at

(37)

t(�:,)2 = O;

(38)

w = w(t),

(39)

t = const.

( 40)

Rt , karakteristična jednadžba glasi

njeno rješenje je funkcija pa su karakteristike hiperravnine

;=1

l

Prema tome hiperravnina t = O ne može biti nosač Cauchyjevih uvjeta. Zato smo u 3.2 kod postavke inicijalnog problema za jednadžbu (37) zadavali samo vrijednost rješenja u(x, O ) , a ne i njegove vremenske derivacije.

5.3. KANONSKI OBLICI U SLUĆAJU DVIJE VARIJABLE

211

Sljedeći primjer pokazuje da Cauchyjevproblem za eliptičku jednadžbu nije dobro postavljen, usprkos činjenici da ona nema karakteristike. Primjer 2.4. Razmotrimo homogeni problem

Može se pokazati da je problem

(Pu + 82u O x > O, UX22 , 2 8x\ 2 � 8u O. u(X\ , O) = O, � UX2 (x\ , O) =

u=

k

(42)

O jedino rješenje. Razmotrimo takoder "perturbirani"

X2 > O,

O,

gdje je

(41)

(43)

8w 2

(44)

O, � UX (Xl ' O) = E

N . Lako se provjerava da je rješenje cos kx\ chkx2 W(X\ , X2 ) = k

Vrijedi sup

XtER

I COS kxt l = 1

k

-+

O,

k

(45) (46)

-+ OO ,

pa je prvi uvjet u (44) za veliko k mala perturbacija prvog uvjeta u (42). I pored toga k rješenje (45) ne teži nuli za -+ oo . Mala promjena početnog uvjeta povlači veliku promjenu rješenja; drugim riječima, problem (41), (42) nije korektan.

U daljnjem koristimo oznake X .= Xl > Y = X2 , Jednadžba (1.2) glasi

a

= Al l ,

b

= Au ,

c = A22 .

)

2 82u + c x, ) 82u + F 8u = O a(x,y) 88xu2 + 2b{x,y) 8x8 (1) x, y, u, 8u y ' { { . Z 8 8x 8 y y Tip jednadžbe odreden je znakom izraza b2 - ac . Jednadžba (1) j e eliptička z a bZ - ac < O , parabolička za b2 - ac = O , hiperbo1ička za b2 ac > O . Jednadžbu (1) promatrat ćemo u području u kome se njen tip ne mijenja. Bez sma njenja općenitosti možemo pretpostaviti da je svugdje npr. a =I- O . Karakterističnu

jednadžbu

( )

( )

2 a 8 W + 2b 800 8 00 + c 8 W 2 = O 8x 8x 8y 8y

(2)

5.

212

napišimo u obliku

KLASIFIKACIJA JEDNADŽBI 2. REDA

(a aw + b aw ) 2 - (b2 - ac ( aw ) 2 = o. )

(3)

aw = O aw + (b + b2 - ac ) aV ax ay

(4)

aw (b - b2 - ac) aw = o. aV ay ax +

(5)

Iz toga slijedi da je ili

ili

-

ay

ax

ay

Pretpostavimo (bez smanjenja općenitosti) da je oblika y = y(x) , tj. w(x, y(x)) = O.

'i:;

i:- O, tako da je karakteristika

(6)

Deriviranjem dobivamo

aw (x, y(x)) y (x) aw (x,y(x)) + ax ay I

Iz (4) i

(5) slijedi

aw ax

-=

=

O.

1 / aw - a ( b ± y b2 - ac ) ay . .

-

(7) (8)

Iz toga i (8) dobivamo (obične) diferencijalne jednadžbe karakteristika:

y' = (b ± Jb2 - ac ) ja.

(9)

Ako je jednadžba (1) parabolička, reducira se (9) na jednu jednadžbu

y' = a� .

( 10)

Pretpostavimo da funkcija bja zadovoljava uvjete uz koje Cauchyjev problem za obič nu diferencijalnu jednadžbu ( 10) ima jedinstveno rješenje i . Tada kroz svaku točku (x, y) prolazi točno jedna karakteristika. Neka je w(x, y) = const . opće rješenje jednadžbe ( 10). Uvedimo nove koordinate Y I = w(x,y) , y2 = y i transfonnirajmo jednadžbu (1), uzimajući u obzir (8). Dobivamo kanonski oblik

(11) Ako je jednadžba (1) hiperbolička, kroz svaku točku (x,y) prolaze (uz neke uv jete na funkcije a, b i c ) točno dvije karakteristike. Neka su WI (x, y) = const. i Wz(x,y) = const. opća rješenja jednadžbi (9). Uvodeći nove koordinate yi = WI (x,y) , y2 = Wz(x, y) i transfonnirajući jednadžbu (1), dobivamo za nju drugi kanonski oblik

(12) I V. npr. M. Alić, Obične diferencijalne jednadžbe, Matematički odjel, Prirodoslovno - matematički fakultet, Zagreb, 1 994.

5.3. KANONSKI OBLICI

pomoću

213

U SLUĆAJU DVIJE VARIJABLE

transformacije ;1

= YI + Y2 , ;2 = YI - Y2 prelazimo na prvi kanonski oblik {Fu (PU F = O. ( 13) + -2 - 8;1 8�2 �

U eliptičkom slučaju ne postoje realne karakteristike, ali jednadžbe (9) imaju kompleksna rješenja. Neka je

w (x, y) = wI (x,y) + iro:z(x, y) = const. opće kompleksno rješenje prve od tih jednadžbi. Transformacija

y2 = ro:z(x, y ) vodi na kanonski oblik 82u 82u !iZ" + &y + F = O. UYI 22 �

( 14)

YI

WI (x, y) . (15)

Primijetimo da je opisanim transformacijama jednadžba (1) svedena na kano oblik ne samo u točki, nego u nekom području. Veličina tog područja ovisi o koeficijentima a , b i c .

nski

Zadatak 3.1. Svedite Tricomijevu jednadžbu

&u 82u Y ax2 + 8y2 = 0

(16)

na kanonski oblik u području eliptičnosti odnosno hiperboličnosti.

Rješenje.

Za y > 0 (eliptičnost) prva od jednadžbi (9) glasi l ' y' - -

njeno opće rješenje je

Transformacija

daje

�

- ..fi'

U)(X, y) = x - i# = const.

( 18)

3 YI = '2x, y2 = - #

(19)

1 au 82u 82 u + + 8Y1 2 &y22 3Y2 8Y2 = 0.

( 20)

za Y < o (hiperboličnost) jednadžbe karakteristika glase y

Njihova opća rješenja su respektivno

,

=±

1

r:::::;; .

v -y

3 J_y3 = const. '2x ±

(sl. 5.5.). Transformacija

( 17)

(21) (22)

5.

214

KLASIFIKACIJA JEDNADŽBI 2. REDA

y

x

Sl. 5.5.

YI

3 2

= -x +

Vr-::3 -Y", Y2 =. -32x - V-y3

(23)

daje

(24) Zadatak 3.2. Svedite jednadžbu

2 (PU 82u X 8x2 Y2 8 2 - 2y 8u ay y

=O

na kanonski oblik. Rješenje. Jednadžba je hiperbolička za xy :f. O i parabolička za 'x = O ili y U hiperboličkom slučaju karakteristike su x - = const. , xy = const. y Nove varijable YI = XY- , Y2 = xy daju

(25) O.

(26) (27) (28)

U paraboličkom slučaju neposredno dobivamo

82u + � 8u = O y 8y

82u 8x2 = 0

za x = D,

za y = O.

(29) (30)

Zadatak 3.3. Pomoću svođenja na kanonski oblik odredite opće rješenje jed nadžbe

(31) Rješenje. Jednadžba je hiperbolička. Karakteristike su 3x + y = const. , x - y = const.

(32)

5.3. KANONSKI OBLICI U SLUČAJU DVIJE VARIJABLE Nove varijable YI

= 3x + y,

Yz

= X -y

215

(33)

daju

(34 ) Iz toga dobivamo ili

(35)

(36) u (x, y) = cp(3x + y) + tp (X - y), gdje su cp i tp funkcije na R. Obratno, ako je cp, tp E C(Z)(R) , funkcija (36) je rješenje jednadžbe (31).

Dodatak

1.

Cauchyjev problem za običnu linearnu diferencijalnu

Sustav od dvije obične linearne diferencijalne jednadžbeprvog reda ima oblik

2 Y; = L aij(X)Yj + Mx) , i = 1, 2.

(1)

j= 1 Pretpostavljamo da je aij , bi E C([O, �) . za xo E [O, � , Yro E R, i = 1 , 2 , postavlja mo za sustav (1) Cauchyjev problem: odrediti rješenje (Yt , Y2) , Yt ,Y2 E C(1) ( [O, m , koje zadovoljava početne uvjete: (2) Yi(XO) = YiO , i = 1 , 2. Teorem 1.1. Cauchyjev problem (1), (2) ima jedinstveno rješenje.

Dokaz.

Problem je ekvivalentan sustavu integralnih jednadžbi

y; (x) = YiO +

l<(aij(s)Yj (s) + bi (s)) ds , t j= 1 Xo

i = 1 , 2,

(3)

u ovom smislu: ako je (YI ,Y2) rješenje problema ( 1), ( 2), onda vrijedi (3); ako za funkcije Yt,Y2 E CC [O, m vrijedi (3), onda je (YI ,Y2 ) rješenje problema ( 1), ( 2). Zato je dovoljno pokazati da sustav (3) ima jedinstveno neprekidno rješenje. Definirajmo

niz sukcesivnih aproksimacija:

(4)

(5) 216

1.1. SUSTAV JEDNADŽBI 1. REDA

217

Te funkcije su neprekidne na [O, � . Dokazat ćemo da niz uniformno na [O, � . Neka je

Neka je

ylk1 , k = O, 1, . . . konvergira (6)

xo :::; x :::; l , " O; iz (5) i (6) za k � 1 dobivamo ly\k+1l (x) _ y\k1 (x) 1 :::; 2K r;,tl [ Ill (s ) _ yJk- II(S) I ' e- K(s-xo) . eK s-xo ds :::; 2K max(ly(k1(s) _l- ll(s)l e- K(s-xo) . eK - 1 . >

(

J

HM i=1.Z

Iz toga slijedi

(X-XO)

J

)

"

lylk+1l (x) _ ylkl(X) I . e-K x-xo :::; 2K max( IYlk1(s ) _l-ll( s ) le-K(s-xo) . Ta nejednakost dobiva i za O :::; x :::; xo, pa svako x [O, � imamo Iylk-i-ll(x) _ ylkl (x) I . e-K!x-xo ! :::; 2K max( ll1(s) _ l-ll (s ) le- K! s-xo! ) . I

(

I

)

"

�E[O,� j= I,2

se

I

(7)

J

J

za

" �E[O,�

I

j=I,2

(8)

E

J

J

(9)

(10)

Neka je

" >

2K . Iz ( 10) slijedi da red oo

( 1 1) =l k konvergira apsolutno i uniformno na -[O, �. . Parcijalne sume tog reda čine niz e-K!x-xo! (y!k1 (x) _ ypl(x» , k = 2, 3, . . . , ( 12) koji konvergira uniformno na [O, � . zaključak vrijedi i za niz y!kl , k = 1, 2, . . . Neka je Isti

(13) Te funkcije su neprekidne na [O, � . Uzimajući u (5) limes za k -+ oo , zaključujemo da funkcije (13 ) zadovoljavaju (3). Pretpostavimo da osim (13) sustav (3) ima još neko rješenje E C([O, �) :

(ZI, Z2) , ZI, z2 Zi (X) = YiO + [(O;j (s )Zj (S ) + bi (s» ds .

(14)

DODATAK 1. CAUCHYJEV PROBLEM ZA OBIĆNU LINEARNU

218

Iz (3) i ( 14) slijedi

= 2: lx.r aij ( ; ) (Yj ( ; ) - Zj (;)) d; , j=l

•

•

2

Yi (X) - Z; (X)

a iz toga (slično dokazu nejednakosti IYi(X ) - Zi (X) Zbog 2K

.

xc

(9»

I . e-JC lx-xo l �

< lC zaključujemo da je Yi(X) (l) je homogen ako je bl =

Sustav

Ako rješenje homogenog sustava

=

dobivamo

2K

lC

( 15 )

max( IY ' (;) �E[O,� j= t,2

J

.

_

z · ( ; ) l e -JCI1;-XIl 1 ) .

( 1 6)

J

z (x) = O za svako x E [O, � . b2 = O, inače je nehomogen. ;

O.E.D.

2

( 17) 2: aij (X)Yj i = 1, 2 j=l zadovoljava homogene početne uvjete YI (O) = Y2(0) = O, onda je YI = Y2 = O . Ako su (y[Ikl ' Y2(kl ) , k = 1, 2 , . , r ( 18) Y;

rješenja sustava

( 17),

,

.

.

onda je i njihova superpozicija s priozvoljnim koeficijentima

Ck E R , k = 1, 2, . . . , r , tj. vektorska funkcija '".J Ck (y[kJ Y2[kl ) r

L...

1

k=1

( 19)

'

linearno neovisna, ako linearna kom O , k = 1 , 2, . . , r ; u protivnom rješenja linearno ovisna. Xo [O, � vektori k k l [ l [ (yI (Xo ) ' Y2 (xn) ) , k = 1 , 2, . . , r (20) linearno ovisni, onda su i rješenja (18) linearno ovisna; drugim rječima, ako su rješenja (18) linearno neovisna, onda su vektori (20) linearno neovisni za svako xo E [O, � . Zaista, ako su vektori (20) linearno ovisni, onda postoje brojevi Ck , k = 1, 2, . , r , također rješenje sustava (17). Rješenja ( 18) su binacija (19) iščezava samo u slučaju = Ako su za neko E ( 18 ) su

Ck

.

.

. .

od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je r

2: ck (y�I(xo), y�J(xo.) k=l

= O.

(21)

Neka je Yi

= 2: Cky!kl , i = 1 , 2. k=1

(22)

(YI , Y2) rješenje sustava (17), a zbog (21 ) ono zadovoljava homogene početne (xn) = yz(xo) = O ; iz toga slijedi YI = Y2 = O .

Tada je uvjete YI

Iz prethodnog zaključka slijedi da homogeni sustav ( 17) ima najviše dva linearno neovisna rješenja; svaki skup od dva linearno neovisna rješenja zove se

fundamentalni skup (sustav) rješenja. Dokažimo dafundamentalni sustavpostoji. Neka su (alki, a�J) ,

1.1.

SUSTAV JEDNADŽBI

1 . REDA

219

= 1 , 2 proizvoljni linearno neovisni vektori i neka je (y�kl ,y�l) rješenje sustava (17) (] uz pocetne uVjete Y,k (xo ) = a,[kl , Z· = 1 , 2 . 11ad a su vekton' (yllkl (xo ) , YiI kI (Xo )) , k = 1 , 2 linearno neovisni, pa su i rješenja (y�kl ,yhkJ) , k = 1, 2 linearno neovisna. Ako je (y�kl , y�I ) , k = 1 , 2 fundamentalan skup rješenja sustava ( 17), onda je opće rješenje tog sustava dano formulom

k

v

•

2 " (yI ,Y2 ) = L...J Ck (y[Ikl ,y2[kl ) , k= l

(23)

gdje su Cl i C2 proizvoljne konstante; drugim rječima, za svako rješenje (YI ,Y2) postoje brojevi Ct , C2 takvi da vrijedi (23). Zaista, ako je (YI ,Y2) rješenje sustava (17) i xo E [O, � , onda se vektor (YI(Xo),Y2(XO )) može razviti po bazičnim vektorima (y�kJ (Xo),y�I (Xo)) , k = 1, 2 :

2 (YI(XO),Y2(Xo)) = L Ck&lkl (Xo),y�l(xo)) . k=l Rješenje (YI ,Y2) i rješenje 2 L Ck (y�kl ,y�l) k=1

zadovoljavaju iste početne uvjete, pa se podudaraju, tj. vrijedi (23). Neka su

&.kj , y�I ) , k = 1 , 2

rješenja sustava ( 17). Determinanta

W=

1 Y1:2 ; YY2}� 1

(24)

(25) (26) (27)

zove se determinanta Wronskog ili Wronskijan rješenja (26). Iz prethodnih razmat ranja slijedi ova činjenica: Ako je (26) fundamentalni sustav, onda je W(x) i:- O za svako x E [O, � ; ako su rješenja (26) linearno ovisna, onda je W = O. Thorem 1.2. Neka je W Wronskijan nekog fundamentalnog skupa rješenja sus tava (l 7) i neka je Xo E [O, � . Tada vrijedi Liouvilleova formula

W(x)

= W(xO ) e fro

(all (s)+an(S)) ds

•

Dokaz. Neka je (26) fundamentalan skup i W njegov Wronskijan. Neka je

- = 1 (Yyi�1l) ), (yy��121 )' I ' W1

W2

=;

l (Yy��lIl)' (YI�II)' I .

Tada prema pravilu za deriviranje determinante imamo W = WI + W2 • Iz jednakosti

2 (y!kJ) ' = L aiiyJkl , i = 1, 2, i= l

; k

(28) (29)

(30)

= 1, 2,

(31)

DODATAK

220

1.

CAUCHYJEV PROBLEM ZA OBIČNU LINEARNU

• • •

slijedi

2 ( 32) «(vpl ) " (vj21 ) ' ) = I >ij (vPI, yJ21) , i = 1, 2. j=l Prema tome prvi (drugi) redak determinante W1 (Wz) je superpozicija redaka determi nante W. Budući da se determinanta ne mijenja ako se nekom retku pribroji linearna kombinacija ostalih redaka, to je

(33) Iz (30) i (33) dobivamo

(34)

a iz toga slijedi (28).

Obična linearna diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik y" + a l (x)y' + ao(x)y = f(x) . (1) Pretpostavljat ćemo daje aJ , ao, ! E C([O, �) . Za proizvoljno Xo E [O, � , yo , yh E R , postavljamo z a jednadžbu ( 1 ) Cauchyev problem: odrediti rješenje y E C(2) ([O, m , koje zadovoljava početne uvjete y(xo) = yo , y'(xo) = y�. (2) Taj problem se može svesti na problem (1.1), (1.2). Ako je y rješenje problema (1), (2) i ako je

onda vrijedi

Y I = y , y2 = y' ,

(3)

y� = Y2 , y� = -(atY2 + aoYI n, Yl (XO ) = Yo , Y2 (XO ) yh · (v1 , Y2 ) rješenje problema (4), (5), onda je Y

=

Obratno , ako je je problema ( 1 ), (2). Iz Teorema 1 . 1 slijedi ovaj zaključak: Teorem 2.1.

(4) (5)

-

YI

rješenje

Cauchyevproblem (1), (2) ima jedinstveno rješenje.

Jednadžba ( 1 ) je homogena ako je f = O , inače je nehomogena. Ako rješenje homogene jednadžbe yn + 01 (x)y' + OO (x)y = O (6) zadovoljava homogene početne uvjete y(xo} = y'(xo) = yle , k = 1 , 2, . . . , r

O, onda je y = O . Ako su (7)

1 .2. JEDNADŽBA 2. REDA

221

...

rješenja jednadžbe (6), onda je i njihova superpozicija s proizvoljnim koeficijentima Ck , k = 1 , 2, , r, tj. funkcija r

(8) L: CtcYk , k=l također rješenje jednadžbe (6). Rješenja (7) su linearno neovisna, ako linearna kom binacija (8) iščezava samo u slučaju Ck = O , k 1, 2, . . , r ; u protivnom rješenja su linearno ovisna. Rješenja (7) su linearno neovisna onda i samo onda, kad su li

.

=

nearno neovisna rješenja odgovarajućeg sustava 1. reda. Iz toga slijedi da jednadžba (6) ima najviše dva linearno neovisna rješenja; svaki skup od dva linearno neovisna rješenja zove se fundamentalni skup (sustav) rješenja. Iz korespondencije jednadžbe (6) i homogenog sustava (4) slijedi egzistencijafundamentalnog sustava. Ako je YI , YZ fundamentalan skup rješenja jednadžbe (6), onda je opće rješenje te jednadžbe dano formulom

2 y = L: CkYt, k=l gdje su C I i C2 proizvoljne konstante; drugim rječima, za svako rješenje Y brojevi Cl , C2 , takvi da vrijedi (9). Neka su

YI , Y2

(9) postoje (10)

rješenja jednadžbe (6). Determinanta

I �� I Wronskijan W=

( 1 1)

rješenja ( 10) . Wronski}an (11) jednak zove se determinanta Wronskog ili je Wronskijanu skupa odgovar:ajućih rješenja pridruženog sustava 1. reda. Iz toga slijedi ova činjenica: Ako je (10) fundamentalan sustav, onda je W(x) ::j:. O za svako

x E [O , � .

Teorem 2.2. Neka je W Wronskijan nekog fundamentalnog sustava rješenja jed nadžbe (6) i neka je xo E [O, � . Tada. vrijedi Liouvilleova formula X W(x) = W(xo) e- lXo OI (S) ds ( 12) •

Korolar 2.3. Nekaje YI netrivijalno rješenjejednadžbe (6), Xo E [O, ij , YI (xo ) ::j:. O. Tada je drugo (linearno neovisno o YI ) rješenje te jednadžbe u nekoj okolini točke xo dano formulom ( 13)

Dokaz.

W(x) (YYI2(X(x)) ) , - Yi(x)y (x)Y -(x)Y� (X)Y2(X) - yf(x) ,

U nekoj okolini točke xo imamo _

l

i

_

( 14)

DODATAK 1 . CAUCHYJEV PROBLEM ZA OBIČNU LINEARNU

222

gdje je W Wronskijan rješenja Y I , Y2 . Zbog ( 12) iz toga slijedi 1 Y2(X) š = W(xo) r __ e - i� a, ( ;j d d� + e,

J",) >f(e)

Y t (x)

• • •

(15)

gdje je e konstanta. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti W(xo) = 1, e = O . pa dobivamo ( 13). O.B.D. Do sada smo pretpostavljali da su koeficijenti jednadžbe (1) neprekidni na seg· mentu [O, � . Razmotrit ćemo slučaj kad je ta pretpostavka narušena na jednom ili oba kraja segmenta; jednadžba (1) je tada singularna, a odgovarajući kraj je singularna točka jednadžbe. Očigledno je da za ovaj slučaj prethodni rezultati vrijede za svaki segment sadržan u intervalu (O, l) . Iz toga slijede ovi zaključci: problem ( 1 ), (2) (za Xo E (O, l» ima jedinstveno rješenje Y E e (2) «O, l» ; svako rješenje jednadžbe (6) na intervalu (O, l) je superpozicija dvaju linearno neovisnih rješenja. Međutim, u singularnoj točki rješenja mogu imati singularitete. Pretpostavimo da su koeficijenti al i ao analitičke funkcije na intervalu (O, l) , pri čemu je singularni kraj pol najviše prvog reda funkcije al i pol najviše 2. reda funkcije ao . Tada kažemo da je singularni kraj regularna singularna točka jednadžbe; u daljnnjem pretpostavljamo da je to kraj x = O . Jednadžba ima oblik ili

bl (x) I bo (x) ° II Y + -- Y + -y= , x2 X

(16)

x2Y" + xb1 (x)l + bo(x)y = 0,

( 17)

gdje su funkcije bl i bo analitičke na (O, l) i regularne na krajevima. Neka je bl (x) = (lo + alx + a2x2 + " ' , bo(x) = f30 + fhx + P2,x2 + . . . .

(18) ( 19)

Prema pretpostavci ti redovi konvergiraju na [O, � . Pretpostavimo da karakteristična

° (20) - 1) + ana + f30 = ima realne korijene al i 02 ; neka je al � (Jz . Pokazuje se slijedeće: (i) Ako al - (Jz nije cijeli broj, jednadžba ( 16 ) ima na intervalu (O, l) linearno

jednadžba

neovisna rješenja oblika

0( 0

Yt (x) = xa' ( l + CtX + C2x2 + . . . ) , Y2 (X) :::: xU2( l + dlx + d2x2 + . . - ) .

(21) (22) ima na intervalu (O, l) rješenje

(ii) Ako je at - (Jz cijeli broj, jednadžba (16) oblika (21). Koeficijenti redova (21) i (22) dobivaju se uvrštavanjem u jednadžbu i izjed· načavanjem koeficijenata dobivenog reda s nulom. U slučaju (ii) drugo (linearno neovisno) rješenje Y2 dobiva se pomoću formule ( 13). Uzimajući u obzir ( 18) i ( 19), lako nalazimo da je to rješenje oblika (23) Y2 (X) :::: AY l (X) lnx + xU2(Bo + B tx + . . . ) , gdje su A, Bo, B h . . . konstante i Bo =1= o .

Dodatak

2.

Linearne integralne jednadžbe

Promatramo slijedeću integralnu jednadžbu: tp(x) =

lc

K(x, y)tp(y)dV + f (x).

(1)

Ovdje j e Q ograničeno područje iz R", f : Q -I- R i K : Q x Q -I- R su zadane funkcije dok je funkcija tp : Q -I- R nepoznata i ona je rješenje integralne jednadžbe (1). Jednadžba (1) promatra se u prikladnim prostorima funkcija za koje će integral (1) imati smisla. Stavimo li formalno 2tp(x) = tp(x)

-

bit će operator 2 linearan tj. vrijedit će

lc

K(x, y)tp(y) dV,

2( a tp + (hp) = a2tp + f321J!. Jednadžbu (1) možemo zapisati kao 2tp = f.

(2)

(3) (4)

U konačnodimenzionalnom prostoru Rm svaki linearni operator 2 : R.'" -+ lt'" iden tificira se s kvadratnom matricom reda m , pa je (4) linearan sustav jednadžbi m -tog reda a 2 je matrica koeficijenata toga sustava. Iz elementarne linearne algebre znamo, da tada vrijede slijedeći teoremi.

Teorem 1.1. (Fredholmova alternativa) Ili jednadžba (4) ima rješenja za svako f (rješenje je tad jedinstveno) ili postoji netrivijalno (tj.. neiščezavajuće) rješenje � pripadne homogene jednadžbe 2� = O. 223

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

224

Za adjungiran sustav l (5) !fi T1J.I = g vrijedi prvi (odn. drugi) slučaj gornje alternative onda i samo onda ako on vrijedi za sustav (4). Nadalje skupovi JY'(!fI) = { q> 1 !fIq> = O} i JY'(!fIT) = { q> : !fiT q> = O} (kao nulpotprostori operatora !fl i !fiT) imaju istu dimenziju. Thorem 1.2.

Teorem 1.3. U drugom slučaju Fredholmove alternative nužan i dovoljan Ilvjet rješivosti jednadžbe (4) jest (6) (f,z) = O za svako rješenje z transponirane homogene jednadžbe !fiTz = O. . (7) m Simbol (.,.) označuje uobičajen euklidski skalami produkt u R . Standardnim rječnikom linearne algebre gornje teoreme možemo parafrazirati ovako: T. l:

za operator !fl : Rn

su ekvivalentna.

_

Rn

svojstva bijektivnosti, surjektivnosti i injektivnosti

T.2: Operatori !fl i T.3:

!fiT imaju isti rang. Područje vrijednosti operatora !fiT

operatora !fl .

ortogonalni je komplement nulpotprostora

Prostori funkcija u kojima nas zanima jednadžba ( 1 ) su beskonačnodimenzio nalni, pa u njima općenito ne vrijede Teoremi 1 . 1, 1 . 2 i 1.3 - njih obično zovemo osim ako operator nije nekog posebnog tipa. Pokazat će se, da za operatore !fl tipa (2) uz neke uvjete na funkciju K te na prostor funkcija <1> , opet vrijede Fredholmovi teoremi. To daje jednostavne kriterije rješivosti integralne jednadžbe ( 1 ) - tako jednostavne kao i u konačnodimenzionalnom slučaju. Dokazni postupak će bitno koristiti poznate Teoreme 1 . 1, 1 .2, 1.3 za slučaj kvadratnih m atrica !fl konačnog reda.

Fredholmovim teoremima

Prema (2) možemo formalno pisati

gdje je

,/ jedinični operator i

.? = ,/

f q>(x) = Linearni operator rom.

f

lo

-

(8)

f,

K(x , y)q>(y) d V.

(9)

zovemo integralnim operatorom, a funkciju K njegovom jezg

Da bismo mogli izreći drugi Fredholmov teorem potrebno je definirati "trans ponirani" operator operatora za integralne operatore uobičajeni je naziv

.?T

J

.?

Matrica .,ft'T je transponirana matrici .,ft' tj. vrijedi (.,ft'T)ij

=

.2Ji .

225

2.1 . UVOD

adjungirani operator i oznaka .!t'* umjesto .!t' T . Adjungirani operator definira se s obzirom na zadani skalami produkt cp, 1jJ -+ (cp, 1jJ) tako da bude

(.!t'cp, 1jJ)

=

(cp, .!t'*1jJ )

( 10)

za sve cp, 1jJ . Skalami produkt definirat ćemo kao

(cp , 1jJ)

=

J cp(x)1jJ(x) dVo

(11)

Tako je2

(.!t'cp, 1jJ)

J 1jJ (x) dVx J K(x, y)cp(y) dVy = (cp , 1jJ) - J cp (y) dVy J K* (y, x)1jJ(X) dVx =

( cp , 1jJ) -

gdje je

K* (y, x)

=

K(x, y).

( 12) =

(cp , .!t'*1jJ)

Prema tome je .!t'* = ,/ - .x:* , gdje integralni operator .x: * ima jezgru K* . Uvjet (6) odn. (7) trećeg Fredholmovog teorema glasi

JJ (x)z(x) dV

odnosno 3

z(x) -

=

O

J K(y, x)z(y) dV

( 13)

( 14)

=

O.

( 15)

TeOl"em 1.1'. (Fredholmova alternativa) Ili jednadžba (1) ima rješenje cp E � za svako J E � (rješenje je tadjedinstveno) ilipostoji netrivijalno (tj. neiščezavajuće) rješenje fAJ E � pripadne homogene jednadžbe

J K(x, y)fAJ(Y) dV

O.

(16)

J K(y, x)1jJ(y) dV + g(x)

(17)

fAJ(x) -

=

Teorem 1.2'. Za adjungiranu jednadžbu

1jJ (x)

=

2 Ovdje se pretpostavlja, da su funkCije cp, 1/1 , K takve, da je dozvoljena zamjena poretka integracije (tzv. Fubinijev teorem). lito će čitatelj u svakom posebnom slučaju morati sam provjeriti. Ukoliko se ne kaže drugačije se uzimaju po cl . Kad bi .J(( bio operator u konamodimenzionalnom prostoru radilo bi se o matrici, pa bismo matrimi produkt .J(( cp pisali

svi integraU 3

(.J((cp)x

(16)

L K.r:y(j7, m

)'=1

X = l , . . . , m.

Usporedba s (9) pokazuJ.e analogiju: umjesto sume dolazi integral a indeksi x;y prelaze u "kontinuirane" realne varijable. SliČIla analogIja vrijedi za skalami produkt, a i za postupak adjungiranja K:' = Kyx , čemu prema (13) . odgovara K" (x, y) K(y,x) . =

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

226

vrijedi prvi (odn. drugi) slučaj gornje alternative onda i samo onda ako on vrijedi za (1). Nadalje skupovi rješenja homogenih jednadžbi ( 18) K(x, y) q>(y) d V, q>(x)

J 1jJ(x) = J K(y , x)1jJ (y) dV

(19)

imaju istu (konačnu) dimenziju. Teorem 1.3', U drugom slučaju Fredholmove alternative nužan i dovoljan uvjet rješivosti jednadžbe (1) jest (20) f (x)z(x) dV = O

J

za svako rješenje homogene adjungirane jednadžbe z(x) =

J K(y, x)z(y) dVo

(21)

Operator .;e posebno je jednostavan ako mu je jezgra oblika m

K(x, y) = L a;(x)b;(y), i=1

(l)

gdje su ai, bi : Q -+ R, i = 1 , . . . , m zadane funkcij e, pri čemu su at , . . . , am , a isto tako bh . . . , bm linearno nezavisne. 4 Jezgre oblika ( 1 ) zovu se degenerirane. Jezgra K'" je također degenerirana: m

K*(x, y) = K(y, x) = L b;(x)a;(y) ;=1

(kod adjungirane jezgre

(2)

ai, bi zamjenjuju mjesta) .

4 Ta pretpostavka o linearnoj nezavisnosti nije nikakvo dodatno ograničenje.. Ako su npr. al , " " a". zavisne, onda se jedna od njih npr. al može napisati kao linearna kombinacija ostalih

al = U2a2 + . . . + Uma"..

Sad je K(x, y)

:L Ujai(x)b1 (y) + :L ai(x)bi (y) lt<

m

;=2

:L ai (x)bi(y) , m

i=2

bi = bi + a;bl ·

Taj se postupak "izbacivanja" nastavlja sve dok se ne dođe do nezavisnih ai (a slično i bi ).

2.2.

227

DEGENERIRANE JEZGRE

Jednadžbu (1.1) možemo pisati ovako: tp(X)

- t a; (x) J b;(y) tp(y) dV = /(x) ,

(3)

;=1

ili

tp(x) S; =

Uvrstimo li (4)

ili

aj (x) Sj L j= l m

II

=

J b;(y) tp(y) dV ,

+ I (x),

(4)

, m.

(5)

.. - J b,{y) [t. a,{y)Ii, + f (y)l dVo

(6)

i = 1,

.

.

.

(5) dobivamo

S. =

gdje je

L l(ijSj + /;, m

(7)

j= l

(8)

Tako je jednadžba (1.1) svedena na linearni sustav (7) od nica. Matrica tog sustava jest

.!l' =

[

1 - 1(1 1 - 1(21

m jednadžbi s m nepozna

�

- 1(1 2

- lm

1 - 1(22

:

- I(m- l m

1 - I(mm

- I(ml

l

(9)

Posve slično adjungirana jednadžba �* tp = g svodi se na jednadžbu 'tJ; =

L I(ji'tJj + gi · m

(10)

j= l

Matrica sustava (10) transponirana je onoj iz (7). Sad možemo lako formulirati Fred holmove teoreme za degeneriranu jezgru. Teorem 2.1. Neka je bilo koji vektroski prostorfunkcija na Q, koje su integ rabilne na Q . Neka su zadane funkcije (11) a; , b; E C(Q) n <1.> , i = 1, , m ; I E <1.>, tako da su ah " " am te bh " " bm linearno nezavisne. Tada za jednadžbu (1.1) s degeneriranom jezgrom (1) vrijede sva tri Fredholmova teorema. . . .

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

228

Dokaz. Dokažimo najprije Teorem 1.1 ' . Neka je (3) rješivo za svako f E <1> . Zbog regularnosti matrice (bij) = (j b;(y ) bj (y ) dV } formulom (8) desno za pogodno f E može se dobiti svaki vektor 1} . = (fj) E Rm . Stoga je (7) rješivo za bilo koje 1} = (f;) E Rm , tj. matrica (9) je regularna. Ako bi za isto f postojala dva rješenja cp i cp' jednadžbe (�), onda bi za odgovarajuće koordinate (Si) odn. (SI ) u (4) vrijedilo m

L: a;(x) (Sj - sJ ) = 0, ;=1

što zbog linearne nezavisnosti al , . . . , am znači sI = Si . Tako je u tom slučaju rješenje jedinstveno. Obratno, ako je (7) rješivo za neko 1} = (fi) E Rm , bit će i (3) rješivo s rješenjem cp iz (4) i f iz (8) desno. Ako dakle (3) nije rješivo za neko f E <1> , onda se preko (8) dobiva neki nerješivi sustav (7) pa je matrica (9) singularna. To je pak ekvivalentno s postojanjem nekog vektora {; =' ({;i) E Rm , takvog da je .z (; = O . Neka je cp(x) E Uj(x){;j . Tada je j

'I' (x) -

� J a, (x)

bi (y) 'I'(Y) d V =

�

a, (x)

["

-

�

l

<,,(;, = 0,

tj. homogena jednadžba (3) ima netrivijalno rješenje. TIme je dokazan Teorem L l ' . Teorem 1.2 ' slijedi iz činjenice da adjungiranoj jednadžbi odgovara matrica transpo nirana onoj u (9): Prelazimo sada na Teorem 1.3 ' . On vrijedi za sustav (7), tj. (7) je rješivo ako i samo ako vrijedi

( 12) za svako (1;) , koje rješava pripadni homogeni transponirani sustav 1; =

,m

L: Kji{;j. j=1

( 13)

Stavimo li X(x) = Ej l;;bj{x) , jednakost (12) je ekvivalentna s jednakosti

Jf (x}x{x) dok je ( 13) ekvivalentno s X (x)

ili

b2 =

dx = O,

2;::: bi(x) J u;(y)X(y) dy = O,

( 14)

(15)

I

x - .Jf:*X = O .

Primjer 2.1. Neka je n = 1 , Q = ( - l , 1 ) , m 1 3y , f = 3x2 . Sustav (7) glasi

(1 - 2) SI - O · S2 = 2, -4 S1 + { l + 1 ) s2 = 2,

(16)

2.3.

MALE JEZGRE

229

a rješenje mu je

;1 = -2 , ;2 = - 1 , što prema (4) daje jedinstveno rješenje IP(x) = - 2 x + 3�.

( 17)

-

Ovdje ćemo promatrati jednadžbu i.!.l) u prostoru tl> = C(Q) , a pretpostavljat ćemo da je f E C(Q) i K E C(Q x Q) . U danom slučaju operator X iz (1.9) preslikava tl> u . Zaista, integral X(x) =

postoji . za sve x E Ix(x' ) - x (x) I �

gdje je

Q

i vrijedi

(1)

J K(x, y)f (Y) d�

J IK(x' , y) - K(x, y) I If (Y) l dV � MJ J IK(x' , y) - K(x, y) l dV, lf (x) l . MJ = m� Q

(2) (3)

xE

Funkcija K je neprekidna na kompaktnom skupu Q x Q , pa je stoga i jednoliko neprekidna. Zato za svako E > O postoji {) > O , takvo da za lx' - xl < {) vrijedi Uvrstivši (4) u pišemo kratko

�� IK(x' , y) - K(x, y) 1 � MJ Q '

(4)

lP - XIP = C / - X)cp = f ·

(5)

cp - X(Xcp + f ) = f ,

(6)

(2) slijedi

�

I

Ix(x') - x(x) I < E , pa je X neprekidna. Jednadžbu (1.1)

Rješenje ćemo potržiti metodom sukcesivnih aproksimacija (ili sukcesivnih supstitu cija). Supstituiramo li jednadžbu (5ru samu sebe, dobivamo ili

(7) Ponavljajući supstituciju

k puta dobivamo k k+l lP = f + Xf + �2f + . . . + X f + X IP,

pri čemu su potencije operatora X na prirodan način definirane kao 5 X2f = X.Jef , X3f = .JeX.Jef . u

s Kako za kompoziciju preslikavanja vrijedi won asocijacije, imamo (ff)f takvim produktima zagrade smiju ispu§tati. Dogovorno vrijedi fO = f .

=

(8) (9)

f(ff) itd., pa se

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

230

Rješenje jednadžbe (5) dobit ćemo tako, da prijeđemo na granicu za (8) prelazi u red

k

-+

oo ,

našto (10)

=O

k .Jek Primjetimo najprije, da su svi operatori . integralni. Zaista, ako su .;e; � generirani jezgrama K" K2 , onda je (1 1) .;e;�cp(x) = J K1(x,YI) J K2(Yl,Y)CP(Y) dVy dV J K(x, y)cp(y) dV, gdje je (12) K(x,y) = J K1(x,yJ)K2(Yl,Y) dV ,

Yt

(to je posve analogno poznatoj formuli za produkt matrica). Izvodeći ( 12) zamijenili smo red integracije u dvostrukom integralu, što je dozvoljeno zbog pretpostavljene neprekidne, bit će takva i neprekidnosti funkcija . Nadalje, ako su Zaista, za E g imamo

j, .f KI, K2 K. x, y, x', y' K K2 IK(x' ,y') K(x,y)1 � l j Kt(x' ,yt}[K2(Y1 ,y') - K2(Yl ,y)] dV\ ( 13) + l j K2(Yl,y)[K,(x',yd - Kj(X, Yl )] dvl , a ostatak dokaza teče kao gore u (1) ( 4) Stavimo M(.Je) = m� J IK(x,y)1 dVo ( 14) Lako se provjeravaju nejednakosti ( 15) M( a.;e; + f3�) � l a l M(.;e; ) + 1 13 1 M(�) , ( 16) M(.;e;�) � M(.;e; )M(� ), ( 17) M(.Je) � O, pri čemu se znak jednakosti u (17) poprima samo za K = O . Vratimo se sada operatorima .Jek i označimo njihove jezgre s K(k) Očito je ( 18) K(kJ(X,y) = JK(X,Yl)K
-

x€ Q

.

...

=

-

.

.

=

oo

b.O

23. MALE JEZGRE

231

pa konvergenciju očekujemo ako je � dosta maleno, tj. ako je broj malen. 6 Iz (14) i ( 19) slijedi l�kl (x)1 � M(�k )Mf � M($)kMf ' pa ako je M(�) < 1,

M(�)

dosta

(21) (22)

red (10) konvergira apsolutno i jednoliko na Q ,jer je on majoriziran konvergentnim pozitivnim geometrijskim redom Mf + M(�)Mf + M(�)2Mf + . . . . (23) Pokažimo da tada red (10) predstavlja jediĐstveno rješenje jednadžbe (5). Stavljamo dakle

(24) pa je (zamjenu � lim = lim � ovdje opravdava činjenica jednolike konvergencije niza qJk ; detaljna provjera prepušta se čitatelju). Sad je

i stoga I CI'

k+ l k = �j � CI' - )CfJk � l - � �jf = 1 - �k+ l/ , j=6 j=l

�)CPk (X) - I (x) I =

I f K(k+l)(x,Y)I (Y) l

dv � M(�)k+ lMf

(26)

->

O.

(27)

Dakle, konvergencija CI' - K)qJk -> I je apsolutna i jednolika. Prema (25) izlazi konačno (5). Da bismo dokazali jedinstvenost, pretpostavljamo da je rp još jedno rješenje i stavljamo 1/J = rp - qJ . Odbijajući jednadžbe qJ - �qJ = I i rp - �rp = I dobivamo (28) 1/J(x) = K(x,y)1/J(Y) dl';

J

a odatle Zbog

11/J(x) I � M(�)max 11/J(x) I ·

M(�) < 1 vrijedi 1/1 = 0 , tj. rp = qJ .

(29)

x

Toorem 3.1. U prostoru 4'f) = qQ) za jednadžbu (1.1) zadanu neprekidnom jezgrom K, koja je dovoljno malll u smislu (22), vrijedi prvi s.lučaj Fredholmove alternative. Osim toga je 7 (30) 6

Pišući fonnulu (14) j sl. pretpostavljamo pcmIatim da in1egralnom operatoru X pripada samo jedna jezgra

K . Dokaz te jednostavne činjenk:e fmlPultlmo čiIatelju. 7 Kao AlO je uobičajeno, za linearni operator � :

ako je

dfil

=

fild

=

'" .

->

eli ka2emo da je iJWemtn operatoru d

:

eli

->

eli ,

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

232

gdje je § integralni operator s neprekidnom jezgrom koja je zadana formulom (31) F (x, y) = I: K(k) (x, y) , k""t

a red na desnoj strani konvergira apsolutno i jednoliko. Sve izreke vrijede i za adjun giranu jednadžbu. Dokaz. Što se tiče jednadžbe (1.1) prethodnim razmatranjima dokazali smo sve tvrdnje, osim (30) i (31). Stavimo Mo (f) = ma! IK(x,y) I .

(32)

x,yE Q

Svojstva (15) i (17) očito vrijede i za Mo . Isto tako vrijedi

M(f) � IQIMo ( X) , Mo (f " ) = Mo (f) ,

Mo(X.�) Tako za svako

�

max x,y

! !Kt (X, Yl ) I IK2 (Yl ly)1 dV

k, m , 1 � m < k vrijedi Mo (fk)

�

M( fr )Mo ( �) .

8

Mo( fk-mfm) � M ( fk-m)Mo (fm) - . � Mo(fm)M(f)k m

(33) ( 34)

(35)

Stavivši npr. m = 1 , vidimo da red (31) konvergira apsolutno i jednoliko, dok jedna kost ( 30) slijedi iz formule ( 10) (provjeru toga prepuštamo čitatelju). Prelazimo sad na adjungirani operator. Primjetimo da M(f) < 1 ne povlači M(fO) < 1 . Ipak, prema ( 33 ) i ( 35) vrijedi9

M(fOk)

�

IQIMo (fh ) = !QIMo (fk) IQIMo (fm)M(f)k-m ,

�

( 36)

pa vrijede i sve izreke teorema za adjungiranu jednadžbu.

Primjedba 3.2. Iz dokazanog se vidi da je za valjanost prvog slučaja Fredhol move alternative dovoljno da vrijedi bilo M(f) < 1 bilo M(f*) < 1 .

Promatramo jednadžbu (1.1) odn. ( 3 . 5 ) uz iste uvjete kao u prethodnom para grafu, osim što za K ne pretpostavljamo da je maleno, već da je dovoljno blisko degeneriranoj jezgri. Točnije, pretpostavljamo da je K(x,y) = K1(x,y) + K2 (x, y) , (1) 9

II

Dogovorom ovdje slavljamo M(/) Ovdje koristimo očitu jednakost

l. .;eok .;eko . =

=

25.

233

NEPREKIDNE JEZGRE

pri čemu je KI degenerirana jezgra (2. 1). Zbroju (1) odgovara zbroj operatora I .x: = � + � , O pa (3.5) pišemo kao (2) C / - � - �)cp = t · Ako je � dosta maleno u smislu (3) M(�) < 1, tada po Teoremu 3.1 operator ,/ - � ima inverzni i on je oblika ,/ + JY , pri čemu je jezgra N dana formulom tipa (3.31). Primjenimo ,/ + JY na (2). Dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

( ,/ - Xj )cp = !t , tl = t + JYt , t = tl - �tJ , a jezgra operatora xj = � + JY.xi je degenerirana. Imamo naime

J N{x, YI ) KI (YI , y)

d VYI =

t bi(Y) J N(x, YI) ai(YI ) ,= 1

(4) (5)

d VYJ I

pa je i jezgra operatora xj degenerirana kao zbroj dvije degenerirane jezgre.

Teorem 4.1. Za jednadžbu (3.5) u prostoru � = C(e) s jezgrom K oblika (1), tako da je K] degenerirano a K2 malo u smislu (3), vrijede sva tri Fredholmova teorema. Dokaz. Prethodnim raZmatranjima jednadžba (3.5) svedena je na ekvivalentnu jednadžbu (4) i to tako da rješivost (3.5) za sve t E � povlači rješivost (4) za sve tl E � i obratno. Kako je K3 degenerirano, vrijedi Fredholmova alternativa. Adjungirana jednadžba ( ,/ - �* - $z* ) 1/J = g posve analogno prelazi u (6) (,/ .x:;* ) 1/J = gl , g l = g + JY .g , g = gl - �* g t -

.

pri čemu je jezgra operatora

(7) .x:;. = �. + �* .AJ'. opet degenerirana 1 1 , a (6) je adjungirano jednadžbi (4). Tako vrijedi i drugi i treći Fredholmov teorem.

Ovdje promatramo jednadžbu (1.1) odn. (3.5) u � = C(e) , a na K ne stavljamo nikakve druge pretpostavke osim neprekidnosti na e x e . Bilo koja funkcija K neprekidna na e x e može se po volji dobro jednoliko aproksimirati degeneriranima. Zaista, po poznatom Weierstrassovom teoremu za svako E > O postoji potinom Kl : R2n -+ R tako da je IKI (x, y) - K(x, Y) 1 < E za sve x,Y E e, ( 1) Općenito linearnu kombinaciju operatora definiramo n a prirodan način: (aXj + fJ.Jt2 )fP

fJ.Jt2 fP . 10

II

Podsjećamo na očitu jednakost (.PIB)*

ar .PI*

.

=

aXj fP +

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

234

ili ekvivalentno

m3!. IK1 (x, y)

x,)'EQ

K(x, y)1 < €

(2)

(v. Primjedbu 2.9.14). Kao polinom Kl je očito degenerirana jezgra, pa ako uzmemo € tako da bude € < 1 / 1 0 1 bit će jezgra K2 = K - Kl mala u smislu (4.3). Tako je svaka neprekidna jezgra bliska degeneriranima i za nju prema Teoremu 4.1. vrijede sva tri Fredholmova teorema. ,

Jezgru K zovemo slabo singularnom ako .je ona neprekidna na {(x , y) E O

O ; x =1= y} te na tom skupu vrijedi

x

const. ' O � a < n. ( 1) x I - yI a Skup svih K za koje vrijedi (1) sa zadanim a označimo s Ka . Očito je Ka linearan prostor i (2) Jezgre iz Ka nisu nužno ograničene, pa nije jasno da će one definirati linearne opera tore koji su definirani na prostoru svih neprekidnih funkcija. IK(x, y)1 �

Lema 6.1.

Neka je K; E Ka; , i 1, 2 . Tada za K(x, y)

vrijedi

=

J

(i) K E KaI +a2-n , al + a2 > n, (ii) K E na>oKa , al + a2 = n , (iii) K E C(O x O), al + a2 < n .

Dokaz.

Imamo

=

K1 (x,y t } K2 (YI , y) dV

(3)

2.6. SLABO SINGULARNE JEZGRE gdje je

D

2

235

I s I koriŠĆena je nejednakost 1 1 ls + u l ;:: I sl lu l � 1 ;1 2 1;1 = 2 I H

= diam Q , a za

-

�

n ((D-) n-al-a1 - 2n-a,-a1) ,

Prvi integral ne ovisi o {} i konačanje. Prelazeći na polarne koordinate za drugi integral dobivamo u slučaju a l + a2 # n

n lD/e

IS

l

r"- l-al -az dr =

2 a u slučaju al + a2 = n

IS I - a2

n - al

{}

(7) (8)

-

al + az > n dobivamo ( 1) za a = al + al n , za al + az = n dobivamo ( 9) IK(x, y) 1 � const. (ln lx - Y I + 1 ) , dok je za al + az > n funkcija K ograničena na čitavom O x Q . Preostaje ispitati svojstvo neprekidnosti funkcije K . Promotrimo najprije slučaj al + az � n i x # y . Uzmimo x",y" E Q . Neka je E > O ; tada je IK(x, y) - K(x" , y" ) 1 � IK(x, y) - K(x, y") I + IK(x, y" ) - K(x" , y" ) ! � IKI(x,yt } I IKz(Yt , y) - Kz (YI, y" ) 1 dVY1 ( 10)

Tako za

J + J !KZ (YI, y" ) ! !KI (x, Yl ) - KI(x" , YI ) 1 d Vyl •

Označimo s Gl , Gz , G3 , G4 otvorene kupe radijusa r oko točaka x,x" , y,y" ; uzevši r dosta malenim moguće je doprinos po G = Gl U G2 U G3 U G4 u gornja četiri integrala (za svaki od njih vrijedi gornja ocjena, koja vodi na (1) s a = al + a2 n ) učiniti po volji malim neovisno od položaja x" ,y" . Promotrimo npr. prvi integral na skupu G = 0\6 . Kako je integral

-

(11)

konačan, dovoljno je pokazati d a se

mli! IK2(YI ,y) - K2(Yt,y" )!

(12)

YIEG može učiniti po volji malenim. To opet slijedi iz činjenice da je K2 jednoliko neprekid no na G ( G je kompaktan l). Isto razmatranje vrijedi i za slučaj al + a2 > n, x = y . Promotrimo sad slučaj al + az < n , x = y . Tada je doprinos po 6 integrala u ( 10) po volji malen neovisno o x,y, x",y" , jer je integral 1 u tom slučaju ograničen po x,y E O . Koristeći opet jednoliko neprekidnost na G , dobivamo neprekidnost K na čitavom Q x Q . Korolar 6.2. Integralni operator $' sa slabo singularnomjezgrom K preslikava C(Q) u C(Q) te za 1Jl = $' cp , cp E C(O) vrijedi ( 13) m � ! 1Jl (x) ! � M($') m� I cp(x) l , M($') < oo . xEQ xEQ

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

236

Dokaz. Primjenirno Lemu 6.1, stavljajući K2 (x, y) = rp (y) , rp E C(Q) , a za KJ jezgru K operatora j([ . Tako je a2 = O i iz al < n slijedi al + a2 < n , pa je funkcija

x --

J K(x, y)rp(y) dV

(14)

neprekidna na Q . Ocjena (13) je očita. O.E.D. Sad dokazujemo valjanost Fredholmovih teorema za slučaj slabo singularne jez gre. Ideja dokaza nije nova: slabo singularnu jezgru aproksimirat ćemo neprekidnom (a time i degeneriranom). Tako zapravo ponavljamo korake učinjene u točkama 3 i 4. U prvom koraku dokazujemo da vrijedi prvj slučaj Fredholmove alternative, ako je jezgra K dovoljno mala u smislu (3.22) (primjetirno da je veličina M(j([) i ovdje dobro definirana te ima svojstva (3.15) - (3.17)). Sve formule i ocjene (3.18) - (3.29) vrijede na isti način. Da bismo prenijeli i Teorem 3.1, primjetimo da j([ E Ka povlači j([2 E K2a-n i općenito

(IS) tako dugo dok je k( a - n) + n � O, a inače je j([k neprekidna. Sad možemo upotrijebiti ocjene (3.35) i (3.36) za dovoljno veliko m te k -- oo . U drugom koraku aproksimiramo slabo singularnu jezgru K neprekidnom

K{) (x, y) =

{

gdje je e = (n - a)/2 , a jezgra

K(x, y ) K(x, y) 6 aH

K(x,y) = K(x, y) lx

lx - YI

> 6,

lx - Y I � 6 ,

_

y l aH

( 16)

(17)

neprekidna na Q x Q . Zbog svojstava dokazanih u Lemi 6.1 možemo M(j([ - .xđ) učiniti po volji malim, npr. manjim od 1/2. Sad opet .xđ možemo aproksimirati s de generiranim ft tako da je M(.xđ - ft) < 1/2 . Stavivši sad xz = j([ - ft vrijedi očito (4.1) - (4.3), a mogu se ponavljati sva ostala razmatranja točke 4 Uključivši i Teorem 4.1, s time da je jezgra F operatora 9' iz (3.30), (3.31) opet slabo singularna, jer su u (3.31) sve jezgre osim najviše konačno njih neprekidne, a konvergencija reda u (3.31) je, kako znamo, također jednolika. za valjanost trećeg Fredholmovog teorema potrebno je još provjeriti identitet ( j([ rp , 1/J) = (rp, j([*1/J) za slabo singularne jezgre, tj. treba za taj slučaj opravdati zamjenu reda integracije u jednakosti

J 1/J(x) dVx J K(x,y)tp(y) dVy = J tp(y) dVy J K(x, y) (x) dVx : 1/J

(18)

2.7. INTEGRALNE JEDNADŽBE NA PROSTORU PO DIJELOVIMA NEPREKIDNIH FUNKCIJA Stavimo li ovd� � umjesto K, jednakost vrijedi jer funkcijama na Q odn. Q x Q . za 6 - O vrijedi

J Kđ (x,y)cp(y) J K.s(x, y)1.p (x)

se

J K(x, y)cp(y) - J K(x,y) 1.p(x)

237

sada radi o neprekidnim

d Vy -

dVy,

dVx

dVx,

( 19)

pri čemu je konvergencija jednolika po x odn. y .

Teorem 6.3. Za jednadžbu (1.1) sa slabo singularnom jezgrom vrijede sva tri Fredholmova teorema u prostoru funkcija � = c(Q) . Uprvom slučaju Fredholmove alternative integralna jednadžba (1.1) definira operator

gdje je

9

(J

- f)- l = J + 9 : � - �,

(20)

integralni operator sa slabo singularnom jezgrom.

Dokaz. Potrebno je dokazati samo posljednju tvrdnju. Zbog rješivosti jednadžbe (J - f) cp = 1 za sve 1 E � , definiran je operator (J f ) - l : � - � jednadžbom ( J - f)-11 = cp . Pišemo li kao gore � = .% � , M(�) < 1 , � degenerirano, prema Teoremu 3.1 (za koji smo pokazali da analogno vrijedi za slabo singulame jezgre) vrijedi ( J - Xz)- l = J + 92, 92 sa slabo singularnom jezgrom. Jednadžbu cp - .%cp = 1 pišemo kao -

-

(21) cp - Xzcp = tpz , tpz = � cp + 1 iIi, stavljajući cp = tpz + 92tpz , (22) cp .x3 CP = 1JI3 , 1JI3 = 1 + 9zf , .x3 = .:tt + 9zXt , gdje je jezgra K3 operatora � degenerirana. Prema jednadžbama (2.4), (2.7), (2.8)

vrijedi

cp (x) = L al (x) ;; + 1.p3(X) l � al(x) � Zik bk(y) 1JI3(y) dV + 1JI3 (x) ==

=

J

(23 )

1JI3 (x) + 931J13 (x) ,

93 operator s degeneriranom jezgrom L alex) L Zikbk(Y) , k a Z = (Zik ) inverzno matrici .ft' u (2.9). Tako je po (22) i (23) cp = 1 + 91, gdje $ = $2 + $3 + $3 92 ima očito slabo singularnu jezgru. gdje je

(24) (25)

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

238

željeli bismo poopćiti Fredholmove teoreme za jednadžbu (1.1) sa slabo singu larnom jezgrom, ali na prostoru
E
definirano

J K(x, y) cjJ(y) dV

lJ' E C( Q) i vrijedi 1lJ'(x) I � M(.Jt')Mrp , x E Q.

Dokaz. Imamo

lJ'(x)

=

� l� K(x, y)

cp(y) dV,

(1) (2)

(3)

gdje su Q l , . . . , Qs povezani dijelovi Q , na kojima je cp neprekidna. Sad se na svaki od integrala u (3) može primjeniti dokazni postupak Leme 6.1 i Korolara 6.1 12 , pa je lJ' E C(Q) . Nejednakost (2) je trivijalna. O.E.D. Teorem 2.1 očito vrijedi za naš izbor
(4)

gdjeje § operator sa slabo singularnom jezgrom. To rješenje ima "iste singularitete " kao i desna strana lJ' , tj. razlika cp - lJ' neprekidna je na Q .

12

Točnije. izreke Leme 6.1 vrijede i onda ako se u (6.3) inlegrira samo po f.!k .

2.8. INTEGRALNE JEDNADŽBE NA HIPERPLOHI

239

Ovdje prenosimo Fredholmove teoreme na integralnu jednadžbu 4p(x) =

dS

Ir K(x, y) 4p(y) dS + I (x) ,

x E r,

(1)

gdje je r glatka kompaktna n - l -dimenzionalna mnogostrukost (hiperploha) u R" , element površine te hiperplohe. Jezgra K je i ovdje slabo singularna. Da bismo a dokazali valjanost Fredholmovih teorema u «I> = C(r) , dovoljno je provjeriti valjanost Leme 6.1, Korolara 6.2 te činjenice da se svaka jezgra neprekidna na r može jednoliko aproksimirati degeneriranima. Počet ćemo s ovom posljednjom činjenicom. Lema 8.1. (Stone - Weierstrassov teorem) Neka je H � R' (r E N) kompak «I> = C(H) sa sljedećim svojstvima:

mo i neka je «1>0 podskup skupa

l. «1>0 je algebra s jedinicom, tj. la. iz I , g E «1>0 slijedi al + fJg E «1>0 , lb. iz I, g E «1>0 slijedi I g E «1>0 1 3 , lc. funkcija I (x) = 1 , x E H pripada skupu «1>0 . 2. «1>0 razlikuje točke, tj. za različite točke x, y E H postoji funkcija I E «1>0 , takva da je I (x) 1= 1 (y) .

Tada je «1>0 gusto U «1>, tj. za svako I E jednoliko /con.vergira prema I 1 4 :

«I>

postoji niz funkcija ft ,/2, . . . E «1>0 koji

max tfk(x) - / (x) I - O , k - oo . xEH

(2 )

U našem slučaju H = r x r skup «1>0 bit će upravo skup svih degeneriranih jezgri (2. 1). Svojstvo 1 Leme 8.1 provjerava se neposredno. Da bismo provjerili svojstvo 2, pretpostavimo da za točke x, y i l!, yi vrijedi npr. x 1= l! . Tada postoji funkcija a E «I> takva da je a(x) 1= a (l!) . 15 Stavimo K(x, y) = ax , x, y E H. (3) Tada je K(x,y) = a(x) 1= a (l!) = K(l! , y') . Po Lemi 8.1 može se dakle svaka nepre kidna jezgra aproksimirati degeneriranima. Sad prelazimo na Lemu 6.1, gdje u (6.3) Treba ocijeniti integral umjesto dV dolazi element površine

dS .

- = 1 x dSY1

(4) . l - Y1 1al !>'1 - ylaz Kako je mnogostrukost r kompaktna i glatka, posjeduje ona konačan atlas .PI = { ( tl, h ) } kod kojeg bez ograničenja općenitosti, za svako tl možemo uzeti dovoljno I

r

Kod operncija u la. i lb. podrazumjevaju se uobičajeno zbrajanje i množenje "po točkama". 5OY g teorema predmet je naprednijih kurseva analize. Radi potpunosti donosimo Dokaz Stone-Weierslrll5o njegov dokaz na mju ovog patagrafa. IS Ovdje koristimo svojstvo da C(H) razlikuje točke. 13

14

DODATAK 2. LINEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

240

malu kuglu, tako da h' ima maksimalan rang na (j . Tada za svako « (j, h) E PI vrijedi 16

(5)

Koristeći Teorem o srednjoj vrijednosti i stavljajući x = h(u) , YI = h(vl ) , Y = h(v) , u, v, Vt E (j imamo (6) x - YI = h' (uT ) (u - vd, YI - Y = h' (Ui ) (Vl - v) ,

uj , ui E (j . Odatle

lx - YI I CIt

Koristeći još formulu

� const. lu - V l iaI , IYI - YICl2 � const. l vl - v1 Cl2 .

(7)

dS = D(vd dVvl

(8)

(v. 2.1) kao i neprekidnost h' na (j , dobivamo konačno dVvI (9) I � I = const. a (j , u - Vl I , I Vl - V I CI2 ' Ostala razmatranja Leme 6.1 prenose se neposredno. Tako Lema 6.1, a onda i Koro lar 6.2 vrijede i za (1). Jednako tako se prenose rezultati na prostor I'J> funkcija po dijelovima neprekidnih na r . Zaključimo:

-

1

Teorem 8.2. Na glatkoj kompaktnoj hiperplohi r u Rn za jednadžbu (1) vrijede sva tri Fredholmova teorema ( i) za slučaj I'J> = C(r) , (ii) za slučaj da je I'J> prostor svih po dijelovima neprekidnih funkcija na r . Uprvom slučaju Fredholmove alterna tive vrijedi cp == I + §I , § sa slabo singularnom jezgrom, te je cp - I neprekidno na r .

Dokaz Leme B.1. Dokaz ćemo podijeliti u nekoliko koraka. (i) Neka su Xl , x2 dvije različite točke iz H i a, b E R . Tada postoji u E 1'J>0 , tako da je u(x d a , U (X2) = b . Znamo da postoji lo E 1'J>0 koji razlikuje ft , X2 : lo (Xl ) 1= IO(X2) ' Stavimo li

( 10) Il (X) = (Jo (x) -10(X2» /(fO(Xl ) -IO(X2» to je II E l'J>o (Pretpostavka 1 Leme 8.1 !) te ft (Xl ) 1 , ft (X2) = O . Slično se nalazi h E l'J>o uz h(xt} = O, h(X2) = 1 . Sad stavljamo u = aft + bh · (ii) Neka je /l , . . . ,fm E l'J>o i U..

m = max{fl , ' " ,fm } g =gl n · · · n gm = min{gl , ' " , gm }

I =/t

·

U/

16 SvojsIvo je posljedica kompakIoosli sirupa 7f kao i jedinične sfere u Rn- l . ZaiSIli, u prolivnom poslojali Ul E 7fi , ;- .) E Rn- 1 , Jako daje 1I;-(i) 1I = t , Ih' (ul);;1 -- O , i -- cio . Zbog kompaktnosti oba niza

(

;-(., možemo birati konvrgentnima, pa se zbog neprekidnosti h' dobiva h' (Uo);-(O) 1 ;-(0) 1 = t , a to protuslovi činjenici da h' i m a n a 7i maksimalan rang.

bi nizovi Ui,

( 1 1)

=

O

za

neko uo E

7i,

2.8. INTEGRALNE JEDNADŽBE NA HIPERPLOHI

241

J,

J,

Tada je g E i svaka od funkcija g je limes funkcija iz <1>0 u smislu (2). Dovoljno je promotriti slučaj m = 2 . Zbog identiteta 1 1 ( 12) U h = Z (f + g + V - gl ) , n h = Z (f + g - V - g l ) ,

Jt dovoljno je pokazati da je svaka funkcija Vo l , Jo E <1>0 limes funkcija iz <1>0 . Zaista, Jt

neka je

e

= max Vo{x) l . Stavljamo rEH

h(x)

=

Vo (x) I , e ho(x) � 1

1-

Tada je O � h(x) � 1 , O � ekvivalentno kao

h= 1

_

JO{�)2 . e

i jednadžbu

Vo(x)12

(13) =

Jo(x?

pišemo ( 14)

a ovu rješavamo iteracijama:

(15 ) ho = O , hlc+ l = Z1 (h- + hi) , k = O, 1 , 2 , . . . . Očito je ho , hl , h2' . . . E cl»o i h l ± ho = hl � O . Indukcijom dobivamo hic+ ! - hic = Z1 (h- + hic2 ) - 21 (h- + h2ic_l ) ( 16) 1 = Z (hic + hlc-1)(hlc - hic-l), pa zaključujemo da je hic monotono rastući niz nenegativnih funkcija. Opet indukci jom zaključujemo da je hic � 1 . Tako je niz hk (x) za svako x E H odozgo ograničen 1

i monotono rastući, dakle, konvergentan. Ta je konvergencija jednolika. 7 Zaista, u protivnom bi postojao E > O i niz XI , X2 , . . . E H takav da je ( 17) Ihk (xlc) - h(xlc)1 = h(xlc) - hk (xk ) � E. Zbog kompaktnosti H niz Xl , X2, . . . možemo izabrati konvergentnim, tj . Xlc -+ X E H. Zbog ( 17) kao i činjenice da niz hic monotono raste slijedi za m < k ( 18) h{xlc) - hm{xlc) � h(xlc) - hk (x1c) � E. Prijeđemo li ovdje na limes za k -+ oo , izlazi zbog neprekidnosti funkcija h, hm (19) hCx-) - hm(x) � E za svako m , a to je protuslovlje. Tako po (15) hk -+ h , a onda i 1 - ehlc prema V I jednoliko na H i ( ii) je dokazano. (iii) Konstrukcija aproksimacije. Neka je E > O i E «1> . Neka su cr, f bilo koje različite točke iz H te neka je UrCl funkcija iz <1>0 za koju je UTCI('t') = f('t') , UrCl( cr) = ( cr) (prema (i» . Definirajmo (očito otvorene) skupove E UTCI = {X E H : U1:CI(X) < J(x) + Z } , (20) E > (x) = TCI(X) }. E H V1:CI {X : U -

J

J

J

Z

17 Činjenica koju ovdje dokazujelllQ, naime da iz monotone konvergencije po točkama niza neprekidnih funkcija prema neprekidnoj funkciji na kompaktnom skupu slijedi jednolika konvergencija, naziva se Dinijevi1/'l

teoremom.

DODATAK 2. LiNEARNE INTEGRALNE JEDNADŽBE

242

Za svako fiksno a i sve T -:f. a skupovi Um čine pokrivač skupa H . Zbogkompaktno sti možemo naći konačan potpokrivač UTl a , . . . , UTm a . Stavimo ga = UTlan· · ·nuTm a E <1> ; tada je E ga(X) < I (X) + 2: ' x E H, (21) m E ga(X) > I (X) - 2: ' X E Va = n V.,,· a. j=l

l

Skupovi Va , a E H čine očito opet otvoreni pokrivač skupa H, pa ponovnim odva janjem konačnog potpokrivača Val " ' " Vat dobivamo funkciju, (22) g = gal U . . . U gat E za koju vrijedi E E (23) I (X) - 2: < g(X) < I (X) + 2: ' X E H. Taj rezultat treba spojiti s rezultatom dokazanim u (ii) . Prema (ii) za svako 6 > O i svako i = 1 , . . . , k postoji h; E <1>0 tako da je �� Iga, (x) - h;(x) I < 6. ( 24) Stavljajući 11;

=

ga, - h; E <1> , imamo g = (hl + 111 ) U . . . U (h.\: + 11.\:) = hl U . . . U h.\: + /10,

( 25)

gdje je 110 = max(ll1d, . . . , 1 11.\: 1) � 6 . Primjenjujući opet ( ii) zaključujemo da po stoji fI E <1>0 tako da je. lfl (x) - (hl U . . . U h.\:) (x) I � 6 za sve X E H . Stavljajući 6 = E/4 izlazi lf (x) - /J (x) I � E , X E H. (26) Zadatak 8.1. Dokažite klasični Weierstassov teorem o jednolikoj aproksimaciji polinomima (v. Teorem 2.9.13) koristeći Lemu 8.1.

Zadatak 8.2. Koristeći Lemu 8.1 dokažite da se svaka neprekidna funkcija na r dade jednoliko aproksimirati funkcijama jz eOO (r) . Zadatak 8.3. Koristeći Lemu 8.1 dokažite da se svaka neprekidna funkcija na jediničnoj kružnici dade jednoliko aproksimirati trigonometrijskim polinomirna (v. Teorem 2.9.12) . Primjedba 8.3. Čitava Fredholmova teorija, izložena u prethodnim paragrafi ma, neposredno se proširuje i na slučaj po dijelovima glatke kompaktne hiperplohe. r e R" . Ključni korak je prenijeti Lemu 6.1 u kojoj se integral l u (6.5) uzima po hiperplohi. Osnovne pretpostavke potrebne za analognu ocjenu integral a l u (6.5) jesu po dijelovima neprekidnost vektora normale te svojstvo Ih(u) - h(v) 1 � const. l u - v l s istom konstantom za svaku parametrizaciju h nekog konačnog atlasa.

DOdatak3.

-------

Svoj stvene vrijednosti i funkcije simetričnih integralnih operatora

Promatrajući integralnu jednadžbu

(Dodatak 2.1.1) koristili smo sličnost integral

nih operatora s konačnim matricama. Ta se sličnost pojavljuje i u problemu svojstvenih vrijednosti koji promatramo u ovom poglavlju. Ako je

$

operator iz

Rn

u

Rn , iden

tificiramo ga s matricom pa problem svojstvenih vrijednosti glasi

$x = Ax

ili

L k;jXj j

=

(1)

AX;,

pri čemu se traži neiščezavajući vektor x (svojstveni vektor) i broj A (svojstvena vrijednost koja pripada svojstvenom vektoru x ) tako da vrijedi (1). Posve analogno za integralni operator

$

$cp = A cp

s jezgrom ili

K

problem glasi

lo K(x, y) cp(y)

dV

=

A cp (x) , cp :f. O.

(2)

'91 )

U linearnoj algebri dokazuje se da simetrična matrica ($ = $1 tj. 14j = posjeduje ortonormiranu bazu svojstvenih vektora. Dokazu analogne činjenice za in

tegralne operatore bit će posvećeno ovo poglavlje. Kako je prostor funkcija C(Q) u kojem promatramo jednadžbu (2) beskonaČDodimenzionalan, treba očekivati besko· načan niz svojstvenih funkcija, koji će činiti ortogonalan sustav. Osnovno pitanje jest

pitanje potpunosti takvih sustava. Pojam simetrične matrice neposredno se prenosi na

$ = $* , 2.1 . 1 1) simetričan

integralne operatore. Kažemo da je integralni operator simetričan ako je

K(y, x) . operator zadovoljava identitet 1 tj. ako vrijedi

K(x,y)

=

Uz skalarni produkt (Dodatak

($cp , 1p) = ( cp , $1p) Pretpostavljat ćemo da je K slabo singularno. 1

1p, cp E

C(Q ) .

(3)

Lako je dokazati j obrat, tj. da svojstvo (3) npr. u slučaju slabo singularne jezgRl povlači simetriju jezgre:

K(x,y)

=

K(y,x) .

243

DODATAK 3. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI J FUNKCIJE SIMETRJČNIH

244

.

•

.

Lema 1.1. Neka su A , II međusobno različite svojstvene vrijednosti simetričnog operatora X � a ({J i tp pripadne svojstvene funkcije. Tada su ({J i tp međusobno ortogonaln� tj. « ({J , tp ) = O .

Dokaz. Množeći jednakosti

X ({J = A ({J , Xtp = II tp skalamo s tp odn. ({J i odbijajući ih, dobivamo (A - 1l)(qJ, tp ) = (X({J, tp) - (X1p , ({J) = « ({J, X tp ) - (Xtp , ({J ) = O. Zbog A Il ::f:. O slijedi « ({J , tp ) = O .

(4) ( 5)

Odsada unaprijed pretpostavljamo da j e jezgra K integralnog operatora X si metrična i slabo singularna na g x tJ . Isto tako stavljamo <1> = C(tJ) . ,

Lema 2.1. Za operator X postoje brojevi

A+ = A+(X)

Pri tom vrijedi 2 Nadalje za

CPt E

=

sup (X({J, ({J) , N.

11'1'11=1

A_

=

inf (X({J, ({J). A_ (X) = M ·

IIX({JII � max{ I A_ I , 14 I } I I ({J II

11",11=1

,

({J E <1> .

<1> , I I ({Jk l l = 1 i (X({Jk, ((Jk) -t 4 , za p = 1 , 2, . . . vrijedi k - oo. II XP ({Jk - A� ({Jk ll -t O,

Dokaz. Postojanje brojeva ( 1) slijedi iz slijedećih ocjena: I (X({J , ({J) I � IIX({J I I II({JII , I X({J(x) 12 � �

J J

2

Ako je K q;

==

J

(2) (3) (4)

IK(x, y) l i I K(x, y) l ! I ({JCY) I d V

J ;

(5)

IXcp(x) 1 2 dV � M(X)M(X* ) II ({J112

(6)

IK(x, y)1 dVy

� M(X)

II X ({J II 2 =

(1)

O, onda je (2) trivijalno.

J

IK(x, ) I I ({JCY) 12 dVy

IK(x , y) I I ({JCYW dVy ,

3.2.

KONSTRUKCIJA EKSTREMALNIH SVOJSTVENIH. . .

245

(ovdje je zbog simetrije M(X* ) = M(X» . Dalje imamo 1 (X qJ, tp ) = 4[(X( qJ + tp ) , tp + qJ ) - (X( qJ - tp ) , qJ - tp ») . sup I (XqJ , qJ) 1 o!>

'PE "'I'U =1

= max{ I A_ I , 1 4 1 };

(8)

označivši desnu stranu (8) s q . dobivamo 1 (X qJ, tp ) :s;; 4q( l I qJ + tp l1 2 + I I qJ _ tpIl2 ) Stavljajući ovdje IIqJl!

(7)

(9)

= l , tp = XqJ! I !XqJ l! , dobivamo

( 10) I I XqJl I :S;; q. Za bilo koje qJ =I- O supstitucijom qJ -+ qJ l llqJll dobivamo (2). Sad pretpostavimo da je npr. 14 1 � I .iL 1 3 i uzmimo niz qJIe! za koji vrijedi (XqJk, qJle) -+ 4 , I I qJkll = 1 . Imamo ( 11 ) II X qJk - 4 qJlell2 = (XqJk, XqJk ) - 24 (XqJk, qJk ) + AJ. :s;; 1 4 f - 24 (XqJk, qJle ) + AJ. -+ O, a to je (3) za p 1 . za P > 1 koristimo očitu jednakost (12) XP - aP,/ = (X - a ,/ )(Xp-t + aXp-2 + . . . + aP-1 ,/ ) . . . -l -1 f = (Xp + aXp 2 + + aP / )(X a ) za a E R . Sad pomoću ( 6) dobivamo

I I XP qJk - A�qJkll = II (XP - A� ) qJkl l ( 13) :s;; (M(XP- I ) + l a l M(Xp- l ) + . . . + ! a lp-t ) 1 1 (X - A+) qJkll -+ O. Tako vrijedi (3) za svako p . Preostaje još slučaj (XqJk, qJk ) -+ A_ , I I qJle ll = 1 . Sta vimo � = 4 / - X . Očito je 4 ( � ) = 4 (X) - .A_ (X) � O i A_ (�) = O i stoga (� qJk' qJk ) -+ 4 (� ) . Operator � nije doduše integralan ali je simetričan u smislu ( � qJ, tp ) = ( qJ , .Jtt tp) , a to je sve što je potrebno za primjenjivost relacija (5 ) - ( 1 1 ) i na .Jtt . To daje I I X qJk - A- qJkll2 = 11 (4 - A_ ) qJk - (4 ,/ - X) qJle ll = II � qJk - 4 (� ) qJle ll -+ O. Ocjena analogna ( 1 3) dobiva se stavljajući a = A� u (12). Lema 2.2. Neka je npr. 4 (X) > O . Tada je 4 = max (XqJ, qJ) . o!> ",E 11",1=1

Taj se maksimum poprima na nekoj svojstvenoj funkciji qJ pripadna svojstvena vrijednost je 4 . 3

U suprotnom se proman operator

-x . za koji vrijedi A� (-X)

=

=

( 14)

( 15) qJ+ operatora X , a

'fA± (X) .

DODATAK 3. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI J FUNKCIJE SIMETRIĆNJH

246

•

•

.

Dokaz. Zbog (1) vrijedi 4 X > O i postoji niz lfik t lfik l ! 1 tako da je (Xlfik, lfik) - A+(X) . Po gornjoj( lemi) vrijedi (16) I Xlfik - 4 lfik l - O. Ako bismo znali da niz lfik (ili barem neki njegov podniz) jednoliko konvergira prema nekoj funkciji q;u, moglo bi se u ( 1 1 ) prijeći na limes po k i dobilo bi se I t Xq;u - 4q;u1 1 = O , što bi dokazalo našu lemu. Vođeni tom idejom promatramo niz XP lfik , gdje je p dovoljno velik, tako da je prema (Dodatak 2.6.15) jezgra K(P) neprekidna. Imamo ( 1 7) I XPlfik (X) I � J IK(P)(x, y) ! l lfik (Y)1 d Vy ! 2 ! � (J IK(P)(x,y)1 dVy) (j l lfik (YW dV) � I Q I� Mo( XP). E <1> ,

1

l

Isto tako je

! XPlfik(X) - XPlfik(X') ! � J !K(P)(X,Yl ) - K(P)(Y,Yl ) l ! lfik(Ydl dVY1 (18) � ma� !K(P)(X, Yl) -K(P)(Y,Yl) ! J Ilfik (Y)1 d V � ma� IK(P)(X,Yl) - K(P)(Y,Yl ) I I Q !. Sad zbog jednolike neprekidnosti funkcije K(P} , za svako e > O postoji 6. > O takvo da za niz 1J1k = XPlfik vrijedi ( 19) Ix -x'l < 6 :=> ! 1J1k(x') - 1J1k(x)1 < e 4 svojstvo zove jednolika neprekidnost niza funkcija 1J1k , dok je za sve k . To svojstvo (17) jednolika ograničenost. Treba nam ova Lema 2.3. (Anela - Ascolijev teorem) Neka je 1J1k c( Q ) niz jednoliko ogra ničen i jednoliko neprekidan. Tada 1J1k posjeduje jednoliko konvergentan podniz. Dokaz. Neka su X"X2, . . sve točke iz Q s racionalnim komponentama. Iz niza 1J1k možemo izdvojiti podniz XJ. tako, da je XJ.(Xi) konvergentno za sve i . Zaista, zbog ograničenosti 1J1k (Xl ) postoji konvergentan podniz 1J111) (Xl) . Zbog ograničenosti 1J1P) (X2) postoji konvergentan podni� 1J1F} (X2) itd. Očito je XJ. = 1J11k} traženi podniz. S druge strane za lj > O zbog kompaktnosti Q i gustoće skupa {X t, X2, . . } u Q postoji m = m( lj ) , takvo da je �in (20) i�m lx -xd < lj za sve X Q, Neka je, konačno, e > O . Tada je za sve i 1XJ.(x) - X/t) I � 1 XJ. (x) - XJ.(Xi) ! + !XJ. (Xi) - Xj(Xi) ! + !Xj(Xi ) - Xj(x) ! . (21) YIEQ YIEQ

se

E

.

.

E

.

.

4 To svojstvo (katkad znano i kao ekvikontinuiranost) srodno je svojstvu jednolike neprekidnosti jedne funkcije; kako se radi o različitim objektima, isto ime neće dovesti do pometnje.

3.2.

247

KONSTRUKCIJA EKSTREMALNIH SVOJSTVENIH . . .

Odaberimo � tako da v"rijedi ( 19) i m = m(�, E ) tako da vrijedi (20) te IXk (Xi ) Xj (Xi) I < E za k,j � m ; tada iz (21) dobivamo (22) IXk (x) - Xj (X) I � 3 E za sve x E Q, = čim je k, j � m = m( � ( E ) , E ) m( E ) . Time je dokazana jednolika konvergencija niza Xk · Nastavak dokaza Leme 2.2. Prema definiciji ( 1) vrijedi (23) A+ = lim(X IPk, IPk ) k za neki niz funkcija IPk E «> , Il lPkll = 1 , pri čemu zbog Leme 2.3 možemo niz fPlPk smatrati jednoliko konvergentnim; njegov limes označimo s 1jJ . Zbog jedno like konvergencije je 1jJ E «> . Osim toga 1jJ ne iščezava. Zaista, prema Lemi 2.1 vrijedi X A lP + A� ll lPkl l ) 1l 1jJ 1I = lim I I XP lPk ll = lim( k I I PIPkIl - �ll kll l (24) � lipl ll XPlPk - A� lPkl l + A� = A� > O.

Stavimo li sad 1jJk = XPIPk , imamo (25) X1jJ - 4 1jJ = XP(Xtpk - 4 IPk ) + X( 1jJ - 1jJk ) - 4 ( 1jJ - 1jJk), pri čemu se lako vidi da sva tri sumanda na desnoj strani teže jednoliko prema nuli. Dakle je 1jJ svojstveni vektor za svojstvenu vrijednost 4 ; za IP+ = 1jJ / II 1jJ ll vrijedi izreka leme. rator

Primjedba 2.4. za slučaj A_ < O Lema 2.2 vrijedi analogno (promatra se ope :x = - X ), jedino što umjesto ( 15) stoji (26)

Slučajevi A_ > O , 4 < O (osim u slučaju degenerirane jezgre) nemogući su, točnije vrijedi (27) (dokaz ćemo dati na kraju točke 3). Zadatak 2.1. Dokažite da u slučaju degenerirane jezgre vrijedi Lema 2.2 i za slučaj A_ > O odn. 4 < O . Korolar 2.5.

Postoji

i taj se maksimum poprima na nekom svojstvenom vektoru Ao apsolutna vrijednost pripadne svojstvene vrijednosti. Dokaz.

2.4 i tada je

(28)

lP

operatora

X,

dok je

Ako je 4 =f. O ili A_ =f. O , onda tvrdnja slijedi iz Leme 2.2 ili Primjedbe

Slučaj A+ = A_ = O je trivijalan jer tada po Lemi 2. 1 vrijedi XlP = tj. X ima jezgru nula.

(29) O za sve lP E «> ,

248

DODATAK 3 . SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI I FUNKCIJE SIMETRIČNIH

•

•

•

Rezultat prethodnog paragrafa jest da svaki integralni operator s neprekidnom simetričnom jezgrom ima bar jednu svojstvenu funkciju, kojoj pripada "ekstremalna" svojstvena vrijednost. Pokazat ćemo najprije da se taj postupak može iterirati, do bivajući na taj način u pravilu beskonačan niz međusobno ortogonalnih svojstvenih funkcija. Postupak iteracije sastoji se od ponavljanja dva koraka: Korak I (konstrukcija svojstvenog vektora) . Primjenjujući Korolar 2.5 dobivamo svojstveni vektor qJ] , I l cpI II = 1 i pripadnu svojstvenu vrijednost AI , takvu da je 1(�cp, cp ) I � IAl l ll cp Il 2 za sve CP E <1>. ( 1)

KorakII (deJlacija). Stavimo KI (x, y) = K (x, y) i K2 (x, y) = Kt (x, y) - AI qJ] (X)cpt (y) .

( 2) Dobivamo opet operator .:t2 sa simetričnom i slabo singularnom jezgrom K2 pa ponovno primjenjujemo Korolar 2.5. Ako je K2 = O , proces se prekida, a ako ni je, dobivamo A2 #- O i cf>l pri čemu je (CPl , Cf>l) = O . Zaista, množeći jednakost .:t2Cf>l = A2 Cf>l skalamo s CP! dobivamo 2 A2 (Cf>l, cPJ ) = (�Cf>l, CP1 ) - Al ! 1 qJ] 1 I ( Cf>l , qJ] ) (3) = (Cf>l, �CP1 ) - Al ( Cf>l , CPt ) = AI (Cf>l , cPt ) - Al (Cf>l, CPI ) = 0, pa zbog A2 #- O izlazi (Cf>l, cpd = O . Osim toga je IA2 1 � l At i . Zaista, po (l) je (4) (.:t2 cp, cp) (�CP, cp) - Al (CPJ , qJ] )2 , a odatle (5) I A2 1 = sup 1 ( .:t2cp, cp) I � sup I(� CP, cp) I = lAd . 11'1'11=1

11'1'11=1

Funkcije CPl , cf>l su svojstvene i za operator � 5 : (6) � cf>l = .:t2 Cf>l + Al ( qJ] , Cf>l) = A2 Cf>l , �CPJ = O. Ponavljajući sad korake I i II (formalno provođenje indukcije prepuštamo čitate Iju) dobivamo niz operatora Jti = � , .:t2 , . . s jezgrama .

Kk+ l (X, y) = Kk (x, y) - A.!:CPk(X)CPk (Y) k = K(x, y) L A;CPi(X) CPi (y)' -

i= l

( 7)

Funkcije CP1 ! Cf>l , . . su svojstvene za operator � , ortonormirane su (tj. 6ij ) vrijedi IAI I � IA2 1 � . i .

,

.

.

.JfkCPi =

{O

l. '-.;CPi

i>k . � k,

l

I (.Jfk+l cp, cp) I � 1A.!:+d I I cp 1l 2 , cp E <1>. 5

Tako taj korak ispu�ta (lat. def]are) "već potrošenu" svojstvenu vrijednost Al a ostale ne mijenja.

(8 ) (9)

249

3.3. RAzvOJ PO SVOJSTVENIM FUNKCUAMA

Ako se proces negdje prekida, dobivamo

m

K(x, y) = L A/IP; (X) IPI (Y), 1=1

( 10)

tj. jezgra K je degenerirana. Inače dobivamo beskonačan ortonorrnirani niz

IPk .

Teorem 3.1. (Hilbert-Scbmidt) Nekoje .;e E Ka , a < n /2 (vidi Dodatak 2.6) simetričan. Tada postoji niz IPk E CI> = C ( C ) ortonormiranih svojstvenih funkcija operatora .;e, takov da za svako l obliko I = .;elP , lP E CI> vrijedi

(11)

k

pri čemu red (1J), ako je beskonačan konvergira apsolutno i jednoliko na slučaju pripadne svojstvene vrijednosti "* teže prema nuli.

C

a u tom

Dokoz. Promotrimo najprije degenerirani slučaj /fl

K(x,y) = L A.;IP; (x) IP; (Y) , ( IP/, IPj) = (Jij , A; ::j: O. 1=1

( 12)

Tada za bilo koje lP E CI> imamo I (x)

=

.;e lP (x) = m

/fl

/fl

L A.; ( IP , IP; ) IPI (X) L ( IP, .;eIP1) IPI (X) ;=1 1=1 =

/fl

( 13)

= L ( .;eIP , IPi)IPI (X) = Lif, IPi ) IPi (X)

1=\

;= 1

(ovdje je pitanje konvergencije trivijalno, jer je red konačan). Manje je trivijalan slu čaj, kad je red ( 1 1 ) beskonačan. Fourierovi koeficijenti funkcije I = .;e lP jesu kao gore ( 14) if , lP;) = A.; ( lP, lP;) · Apsolutnu i jednoliku konvergenciju reda ( 1 1 ) dokazat ćemo pomoću Cauchyjevog kriterija. Imamo

[t;

m+p

]

p+m

p+m

I ( lP, IP/) I I A.;IPI(X) I � t;( lP, IPI ) 2 t; AlIPI (X) 2. 2

( 15)

Primjena Besselove nejednakosti (2.10.23) daje

L ( IP , IPY � II IP II 2, L A?IP; (x) 2 = � l

l

( 16)

[1 K(x, y) IPI(Y) f 1 dvy

�

K(x, y) 2 dVy ,

( 1 7)

DODATAK 3. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI I FUNKCIJE SIMETRIČNIH . . .

250

tako da desna strana u ( 15) postaje po volji mala, ako je m dovoljno veliko 6 . Dakle red ( 1 1 ) konvergira apsolutno i jednoliko prema nekoj funkciji lo . Treba još dokazati da je lo = 1 Integrirajući ( 17 ) dobivamo 7 .

f Al � J J K(x,y)2 dVx dVy !

( 18)

,; 1

odakle slijedi

Ak - O, k - oo . Sad je k k Ilt l)r, q>i) q>dI 2 = Il fq> - L A; ( q> , q>i)q>iI1 2 i; 1 ;;1 = ( �+Iq>' �+l q» � �+l 1Iq>11 2 _ O.

( 19)

Tako red ( 1 1) konvergira u srednjem prema I a isto tako i prema lo (jednolika konvergencija povlači konvergenciju u srednjem). pa je lo = I . Zadatak 3.1. Dokažite da je

oo

(u srednjem na SJ

x

SJ ) i

K(x,y) = L A;q>i (X) q>i(y)

(20)

f A? = J J K(x,y)2 dVx dVy •

(21)

i=1

.=1

Korolar 3.2. Osim vrijednosti Ak , k = 1 , 2, . . . iz Teorema 3.1 operator f nema drugih svojstvenih vrijednosti različitih od nule. Svaka svojstvena funkcija q> operatora f (fq> = Aq» je linearna kombinacija onih q>i (iz Teorema 3.1), koje pripadaju svojstvenoj vrijednosti A .

Dokaz. Neka je fq> = A q> , A i= O , q> E tf> . Tada je HUbert - Schmidtovom teoremu jednoliko konvergira prikaz

q> = f q>/ A , pa po

oo 1 oo 1 q> = L ;: (fq>, IPi ) q>i = L ;: ( q>, fq>i)q>i i= 1

1=1

(22)

Ai = L ( q>, q>i) q>; . A ;=1 Po Lemi 1 . 1 vrijedi ( q> , q>i) = O svugdje gdje je A; = A , dok s druge strane zbog A;. - O skup A = {k; � = A} mora biti konačan. Sada (22) daje (23) q> L ( q>, q>1)q>I ' oo

=

6

7

Zbog Zbog

a

a

lEA

< fI/2 izraz (17) je konačan i neprekidno zavisi od < fI/2 taj je izraz konačan.

x

E

Q (Lema Dodatak 2.6.1).

3.3.

251

RAzVOJ PO SVOJSTVENIM FUNKCIJAMA

PrinUedba 3.3. Nešto oslabljen, Hilbert - Schmidtov teorem vrijedi za sve slabo singularne jezgre. Ako je .Je E Ka bit će .JeP E KIl , (3 < n /2 za neko p . Sad je jednolika konvergencija reda ( 1 1 ) osigurana za sve funkcije / oblika / = .JePcp , cp E tt> . Dokaz Teorema 3.1 provodi se posve analogno. Korolar 3.2 vrijedi očito i u tom slučaju. PrinUer 3.2. Stavimo

K(x, y) =

{

x( l - y), ( l - x)y,

(24)

na Q = (0, 1 ) . Svojstvene funkcije su ovdje a svojstvene vrijednosti

CPk (X) = v'2 sin k.nx,

(25)

1 � = k2:rr.2 •

(26)

To se može provjeriti direktno, a neovisno od toga i iz činjenice da je K Greenova funkcija rubnog problema -/ " = cp , / (0) = / (1) = O , cp E e«(O, l]) s rješenjem / = .Je cp . Primjenom operatora .Je na , cp; + �:rr.'l CPk = O (27) izlazi (25). Tako ovdje Hilbert - Schmidtov teorem garantira jednoliku konvergenciju Fourierovog reda po sinusima, ako je / E e2 ( [0, l]) , J (0) = / ( 1) = O . To nam je po znato iz teorije Fourierovih redova, dakle znamo, da je za to dovoljno i / E Cl ([O, ID (v. 2.9). Sad možemo dokazati nejednakost (2.27). Iz nejednakosti A_ � (.Je cp, cp) � 4 , cp E til i iz .JelP = AlP , lP =F O slijedi

(28)

(29) tj. sve su svojstvene vrijednosti ukliještene između A_ i A+ Ako jezgra nije degene rirana, onda svojstvene vrijednosti teže prema nuli pa slijedi spomenuta nejednakost. Operatori .JeP imaju očito iste svojstvene funkcije CPk a svojstvene su verijednosti Af . Slično, za polinom P(,X') = CJ.or;/' + a1 .Je + . . . + am .Jem svojstvene će vrijed nosti biti P(�) . To svojstvo "preslikavanja spektra" prenosi se i na druge jednostavne funkcije. Tako ( a r;/' + {3.Je)- 1 postoji ako i samo ako acp + {3.Jecp = O , cp E til povlači cp = O ; tada su svojstvene vrijednosti operatora ( a / + {3.Je) - 1 dane s 1 (30) a + {3� ' dok su svojstvene funkcije CPk nepromjenjene. Slijedeći rezultat nećemo dokazivati. .

.

'Thorem 3.4. Od svojstvenih funkcija simetričnog integralnog operatora sa slabo singuiarnom jezgrom uvijek se dade načiniti ortonormiran potpun sustav. '

DODATAK 3. SVOJSTVENE VRUEDNOSTI I FUNKCUE SIMETRIČNIH

252

•

.

.

Kako smo vidjeli, "rubne" svojstvene vrijednosti su ekstremi funkcionala rp (frp, rpt de1Cmiranog na jediničnoj sferi S(cI» = {rp E cI> ; !l rp ll = l } skupa CI> = C(Q) . Zeljeli bismo slične ekstremaine karakterizacije dobiti i za ostale svoj stvene vrijednosti. Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo da je operator f E Ka , a < n pozitivno semidefinitan, tj. da vrijedi

(frp , rp) =

J J K(x,

y) rp (x) rp(y) d Vx d Vy ;:;:: O ,

rp E cI> .

(1)

Ovdje za svojstvene vrijednosti, dobivene našom konstrukcijom u točki 3 vrijedi

Al ;:;:: A2 ;:;:: . . . ;:;:: O.

Zaista, iz te konstrukcije slijedi � = max(Xt+l rp, rp ) = max �e � �E � 11,,11='

11",11='

=

(2)

k (frp, rp) - " � A,( rp, rpi)2 ;=1 max (frp, rp).

[

l

'Pe '"

11 .. 11=' ('I','I" )=" ' =(\,Wk_, )=fl

(3)

Pri tom su svi operatori � , Jt2, Jt3, . , . opet pozitivno semidefinitni:

k (Xtrp, rp) = (frp , rp ) L Ai (rp, rpi? ;=1 =

( ( t. ) t.( ) ( Je'

(

-

;.

(4)

O.

S druge strane vrijedi komplementarna formula �=

k min L A.;sF = =1

š;+" '+šf

I- I ._

min �

",e

f rp rp) ,

,

(5)

11'1'11=1

gdje je l:2 potprostor razapet funkcijama rpl , , . . , rpk . Formule (3) i (5) daju sve svojstvene vrijednosti nekim ekstremainim izrazima. Ti se izrazi mogu tako "poboljšati", da u njima više ne stoje svojstvene funkcija rp, . Lema 4.1. Neka su 2:k, l:k-l e CI> potprostori dimenzija k odn. k - l . Tada CI> , 'lJ! :f= O tako da je 'lJ! E l.:k i 'lJ! ..L l.:k-l (tj. ('lJ!, rp ) = O za sve

postoji 'lJ! E

rp E l:k- 1 ).

Dokaz. Definirajmo potprostor cI>o � CI> kao cI>o = { rp = X + 'lJ! : X E l:k , 'lJ! E

l.:k- l r

( 6) Taj je prostor očito konačnodimenzionalan. U njemu se može formirati ortonormirana b aza rp! , . . . , rpk- 1 , rpk, . . . , rps takva da je i rp1 , . . . , rpk-l baza u l.:k- 1 . Uzimajući 'lJ! = rpk dobivamo traženu funkciju.

3.4.

253

EKSTREMALNA SVOJSTVA SVOJSTVENIH VRIJEDNOSTI Lema 4.2. Za bilo /wje prirodno k postoji A (1':.\: , X)

=

max (XIP , lP) . 11'1'11=1

(7)

tp.Ll:}:

Dokaz. Neka je IPI , . . , lP.\: neka ortonormirana baza'u 1':.\: . Stavimo .

X = C / - .5")XC/ - .5"), gdje je .5" operator s jezgrom .\: S(x,y) = L 1P; (X)IPi(y) · j",,1 Očito je lP E 1':.\: {::::::> .5"1P = lP , lP ..L 1':.\: {::::::> .5" lP = O,

(8)

(9)

( 10)

�X ima opet simetričnu slabo singulamu jezgru i pozitivno je semidefinitan. Slučaj X = O je trivijalan, inače po Lemi 2.2 vrijedi 4 (X) = max (XIP , IP) > O '" ""'1= ' 'PE

-

za neko IP+ E fI),

(X lP, lP)

-

XIP+ = 4 (X)IP+ ,

!l 1P+!I =

=

( 12)

1 . Sad je za lP ..L 1':b !lIPI! = 1

(X(f - .5") lP , C � - .5")IP)

(U)

=

(XIP, lP) � 4 (X).

(13)

S druge strane je X lP = O za lP E 1':.\: , pa po Lemi 4.1 vrijedi IP+ ..L 1':.\: , tj. .5" IP+ = O ; odatle ( 14) (XIP+ , IP+ ) = (XIP+, IP+ ) = A+(X) , dakle postoji desna strana u (7) i jednaka je 4 (X) .

Teorem 4.3. (o minimaxu) Neka je X pozitivno definitan. Tada za svojstvene

vrijednosti (2) vrijedi8

( 15 )

1JJ

..L

Dokaz. za bilo koji par potprostora 1':.\: , 1':.\:- 1 po Lemi 4 . 1 postoji 1JJ E 1':,1:, 1':.\:-1 , !llJJ ! I = 1 . Odatle

(16)

ft Ovdje maxIk označuje da se maksimum uzima po svim potprostorima dimenzije k prostora 4> (I sl ičuo m inIk_l ) . Dogovorom stavljamo � {O} . =

DODATAK 3. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI I FUNKCIJE SIMETRIČNIH

254

•

•

.

Pritom lijevi minimum postoji, jer je Lk konačnodimenziona1no i stoga { ep E l} kompaktno. Desni maksimum postoji po Lemi 4.2. Kako ( 16) Lk , I l ep l l vrijedi za svaki izbor Lk, Lk-I , imamo sup min (.Jeep, ep) � inf max (.Jeep, ep). I

•

�eIk II'1'H�'

I.t- . �.LI'_ I 11 .. 11='

( 17)

Birajući Lk-l tako da bude razapeto ortonormiranim svojstvenim funkcijama Cf>I , epk-l dobivenim u točki 3 (tj. Lk-l = SL I ) ' vidimo, da desna stnina u (16) nije veća •

•

• ,

od At . Slično birajući Lk = L2 , vidimo da lijeva strana u ( 16) nije manja od Ak . Dakle su obje strane u ( 16) baš jednake At , a sup odn. inf mogu se zamijeniti s max odn. min. O.E.D.

Teorem 4.3 može se proširiti i na opće simetrične jezgre, samo što se tamo pozi tivne i negativne svojstvene vrijednosti tretiraju zasebno i imaju posebne minimaksne formule. Teorem 4.3 omogućuje da uređene svojstvene vrijednosti operatora .Je promat ramo kao funkcije operatora .Je , tj. da u minimaksnoj formuli (15) pišemo At

=

At(.Je) .

( 18)

Pišemo � :;}> Jt2 ako je � - Jt2 pozitivno semidefinitno. Relacija :;}> je očito uređajna. Osim toga vrijedi � :;}> Jt2 :;}>

O :::} At(� )

� At(Jt2)

,

k=

1 , 2, . . . .

(19)

Drugim rječima, svojstvene vrijednosti "monotono ovise" o .Je . Dokažimo (19). Stavivši u ( 15) Lk = L2 kao prostor razapet s prvih k svojstvenih funkcija operatora Jt2 , dobivamo Ak(Jt2)

=

min (Jt2ep, ep) lI'1'II�1 'l'e IZ

(20)

255

KAzALO

KAZALO

adjungirani operator, 225 atlas, 25 brzina vala, 180, 192 caucbyevi podaci, 206 - uvjeti, 177 dekompozicija jedinice, 30 difuzija vaJa, 195 - smjese, 48, 159 d irektna vrijednost potencijala, 144, 147 divergencija , 37, 39 duljina krivulje, 3 1 ekvikontinuiranost, 246 elastična sila, 52 elektrostatičko polje, 49 faza vala, 197 formul a DalembertoYa, 181 - Gaussova, 36 - Greenova, 42, S3, 54, 57, 58 - Kirchoffova, 194 - Uouvilleova. 17, 19, 219, 221 - PoiSllO,OOV8 68, 165, 195 - Rodriguesova, 1 17 Fourierov koeficijent, 85, 105 - metoda, 85, 171, 197 - red, 85, 94 - transformat, 169 - zakon, 6 Fredbolmova alternativa, 223, 225 front vala, 1 82, 192, 194 funkcija, Besselova (cilindrična), 1 29, 132, 133, 1 34 - gama, 33 - Greenova, 1 5, 66, 67, 70, 157 - harmonijska, 71 - kuglina, 126 - po dijelovima neprekidna, 34 - po dijelovima glatka, 34 - pridružena Legendreova, 122 regularna u beskonačnosti, 152 - sferna, 125 gradijent, 27, 40 hiperploha, 25 Huygensov princip, ] 94 integral druge vrste, 42 Gaussov, 167 nepravi, 62 po mnogostrukosti, 30

integralna reprezentacija, 64, 66, 120 inverzija na sferi, 4 1 izvodnica, 1 2 1 jedinična normala, 35 jednadžba, adjungirana, 15 1 , 225 - Besselova, 129 - eliptička, 50, 157, 203 - hiperbolička, 177, 203 integralna, 150, 223, 238, 239 - karakteristična, 207, 222 - kontinuiteta, 49, 176 - kvazilinearna, 202 - Lameova, 51 - Laplaceova, 48 - Legendreova, 1 16 - obična, 4, 220 - parabol ička, 159, 203 - provođenja, 158 - ravnoteže, 4 - singularna, 222 - stanja, 176 - Tricomijeva, 213 - valna, 1 75 jednakost, Besselova, 129 - Pa�ova, 92, 106, 107 jezgra bliska degeneriranoj, 233 - degenerirana, 226 - integralne jednadžbe, 224 - mala, 231 - Poissonova, 68 - slabo singularna , 151, 234 kanonski oblik, 205, 212, 213 karakteristike, 1 80, 188, 207 karta, 25 Kelvinova transformacija, 41 klasa N(Q) , 53 koeficijent difuzije, 48 - elastičnosti sredstva, 50 - Lameov, 5 1 - provođenja. 158 kontaktno polje, 43 - uravnoteženo, 43 konus budućnosti, 180 - prošlosti, 180 konvergencija u srednjem, 89, 106 koordinatni sustav, cilindrični, 40 - - lokalni, 25 - - ortogonal ni, 32, 38

256 koordinatni sustav, sferni, 32, 40 korektnost, 9, 20, 73, 78, 1 57, 1 64, 1 67, 182, 196 krivulja, 25 kružna frekvencija, 1 97 Laplaceov operator, 40 Legendreov polinom, 1 1 7 lokalna parametrizacija, 25 lokalni koordinatni sustav, 25 metoda spuštanja, 194

- zrcaljenja, 66 mnogostrukost, 25 - glatka, 25 - konačno povezana, 25 - po dijelovima glatka, 34 . - povezana, 34 nejednakost, Cauchyjeva, 104 - Besselova, 88, 105 - trokuta, 104 neprekidna orijentacija, 35 norma, 104 normalna derivacija, 53 obrat Teorema srednje vrijednosti, 73 ortogonalni sustav funkcija, 104, 106 - potpun, 1 06 oscilacije, 175, 1 76, 177, 1 84, 199, 200 parabolička granica, 162 permeabil nost, 49 početni (inicijalni) uvjet, 1 59, 177, 216, 220 područje ovisnosti, 182, 1 92, 209 - utjecaja, 1 82, 194 potencijal, 49, 135 - retardirani, 1 84, 1 95, 1 % površina, 3 1 - sfere, 32 princip maksimuma, 72, 162 pritisak, 49 . problem, Cauchyjev, 1 78, 207, 2 1 6, 220 - Dirichletov, 53, 78, 84, 97, 98, 99, 1 3 1 , 150, 1 56 inicijalni, 1 60, 1 78 inicijalno-rubni, 1 59, 1 78 - Neumannov, 53, 79, 94, 1 50, 156 - optjecanja, 80 singularni, 22 Sturm-Liouvilleov, 108, 1 15 - svojstvenih vrijednosti, 83, 108, 1 1 4 provodenje, 5, 48, 1 58 ravnoteža, 1 , 46, 50 rekurzivne relacije, 121 , 1 34 rezonancija, 199 rješenje, formalno, 85, 172, 198 rješenje, fundamentalno, 6 1 , 1 65

KAZALO - generalizirano, 69, 96, 1 57, 1 67 klasično, 53, 160, 1 78, 1 98 opće, 2 1 9 sl abo, 183 rubni uvjet, 6, 7, 5 1 - Dirichletov, 7 , 5 1 , 159, 177 - mješoviti, 52 Neumannov, 7, 52, 159, 1 77 Robinov, 7, 52 - transmisije, 1 1 , 53, 159 - u beskonačnosti , 77 singularitet, 22, 74, 222 regularni, 22, 222 slabi, 1 51 uklonjiv, 74 skalami produkt, 103, 107 sukcesivne aproksimacije, 216, 229 sustav, Cauchy-Riemannov, 75 fundamental ni, 218, 221 - običnih jednadžbi prvog reda, 216 tangencijalni prostor, 29 tenzor deformacije, 5 1 naprezanja, 5 1 , 176 Teorem, Azzelil-Ascolijev, 246 - Cauchyjev, 44, 46 Fredholmov, 1 5 1 , 223 - Hilbert-Schmidtov, 249, 251 - o divergenciji, 38 - o gradijentu, 38 o lokalizaciji, 38 - o minimaxu, 253 - srednje vrijednosti, 7 1 , 73 - Stone-Weierstrassov, 239 - WeierstRlssov, 101 time-like krivulja, 210 tok kroz poroznu sredinu, 49 - potencijalni, 49 trigonometrijski red, 84 uvjeti kompatibil nosti, 160, 1 78 val , desni, 1 80 l ijevi, 1 80 stojni, 197 višedi menziona lna aproksimacija, 55 volumen kugle, 34 Wronskijan, 215, 221 Youngov modul, 5 zakon, Darcyjev, 49 - Hookeov, 5 1 - održanja, 49, 158, 1 75, 176 - ponašanja, 3, 5, 6, 48 � ravnoteže, 1 , 5 - toplinske ravnoteže, 48 zanemariv skup, 28

Zbirka zadataka iz linearne algebre

Read more

Recommend Documents

Zbirka zadataka iz linearne algebre

Urednik ZLATKO ŠPORER Recenzenti BRANKO NAJMAN MIRKO PRIMC I,.ektor MARIJA ROŽIĆ CIP Katalogizacija u publikaciji Naci...