Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis

Jörg Liesen | Volker Mehrmann Lineare Algebra

Bachelorkurs Mathematik Herausgegeben von: Prof. Dr. Martin Aigner, Prof. Dr. Heike Faßbender, Prof. Dr. Jürg Kramer, Prof. Dr. Peter Gritzmann, Prof. Dr. Volker Mehrmann, Prof. Dr. Gisbert Wüstholz Die Reihe ist zugeschnitten auf den Bachelor für mathematische Studiengänge. Sie bietet Studierenden einen schnellen Zugang zu den wichtigsten mathematischen Teilgebieten. Die Auswahl der Themen entspricht gängigen Modulen, die in einsemestrigen Lehrveranstaltungen abgehandelt werden können. Die Lehrbücher geben eine Einführung in ein mathematisches Teilgebiet. Sie sind im Vorlesungsstil geschrieben und benutzerfreundlich gegliedert. Die Reihe enthält Hochschultexte und kurz gefasste Skripte und soll durch Übungsbücher ergänzt werden.

Lars Grüne / Oliver Junge Gewöhnliche Differentialgleichungen Wolfgang Fischer / Ingo Lieb Einführung in die Komplexe Analysis Jörg Liesen / Volker Mehrmann Lineare Algebra Martin Aigner Zahlentheorie

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Jörg Liesen | Volker Mehrmann

Lineare Algebra Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis STUDIUM

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Prof. Dr. Jörg Liesen Technische Universität Berlin Institut für Mathematik Straße des 17. Juni 136 10623 Berlin [email protected] Prof. Dr. Volker Mehrmann Technische Universität Berlin Institut für Mathematik Straße des 17. Juni 136 10623 Berlin [email protected]

1. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0081-7

Vorwort

Das Instrument, welches die Vermittlung bewirkt zwischen Theorie und Praxis, zwischen Denken und Beobachten, ist die Mathematik; sie baut die verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger. Daher kommt es, dass unsere ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durchdringung und Dienstbarmachung der Natur beruht, ihre Grundlage in der Mathematik findet. (David Hilbert)

Diese Einschätzung des berühmten deutschen Mathematikers David Hilbert (1862–1943) ist heute aktueller denn je. Die Mathematik hat nicht nur die klassischen Naturwissenschaften Biologie, Chemie und Physik durchdrungen, ihre Methoden sind auch unverzichtbar geworden in den Ingenieurwissenschaften, im modernen Wirtschaftsleben, in der Medizin und in vielen anderen Lebensbereichen. Die fortschreitende Mathematisierung der Welt wird ermöglicht durch die transversale Stärke der Mathematik: Die in der Mathematik entwickelten abstrakten Objekte und Operationen können zur Beschreibung und Lösung von Problemen in den unterschiedlichsten Situationen benutzt werden. Während der hohe Abstraktionsgrad der modernen Mathematik ihre Einsatzmöglichkeiten ständig erweitert, stellt er für Studierende besonders in den ersten Semestern eine große Herausforderung dar. Viele neue und ungewohnte Begriffe sind zu verstehen und der sichere Umgang mit ihnen ist zu erlernen. Um die Studierenden für die Mathematik zu begeistern, ist es für uns als Lehrende einer Grundlagenvorlesung wie der Linearen Algebra besonders wichtig, die Mathematik als eine lebendige Wissenschaft in ihren Gesamtzusammenhängen zu vermitteln. In diesem Buch zeigen wir anhand kurzer historischer Notizen im Text und einer Liste ausgewählter historischer Arbeiten am Ende, dass der heutige Vorlesungsstoff der Linearen Algebra das Ergebnis eines von Menschen gestalteten, sich entwickelnden Prozesses ist. Ein wesentlicher Leitgedanke dieses Buches ist das Aufzeigen der unmittelbaren praktischen Relevanz der entwickelten Theorie. Gleich zu Beginn des Buches illustrieren wir das Auftreten von Konzepten der Linearen Algebra in einigen Alltagssituationen. Wir diskutieren unter anderem mathematische Grundlagen der Internet Suchmaschine Google und der Prämienberechnung in der KFZ-Versicherung. Diese und weitere am Anfang vorgestellte Anwendungen untersuchen wir in späteren Kapiteln mit Hilfe der theoretischen Resultate. Dabei geht es uns nicht vorrangig um die konkreten Beispiele selbst oder um ihre Lösung, sondern

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Vorwort

um die Darstellung der oben erwähnten transversalen Stärke mathematischer Methoden im Kontext der Linearen Algebra. Das zentrale Objekt in unserem Zugang zur Linearen Algebra ist die Matrix. Wir führen Matrizen sofort nach der Diskussion von unverzichtbaren mathematischen Grundlagen ein. Über mehrere Kapitel studieren wir ihre wichtigsten Eigenschaften, bevor wir den Sprung zu den abstrakten Vektorräumen und Homomorphismen machen. Unserer Erfahrung nach führt der matrizenorientierte Zugang zur Linearen Algebra zu einer besseren Anschauung und somit zum besseren Verständnis der abstrakten Konzepte. Diesem Ziel dienen auch die über das Buch verteilten MATLAB-Minuten,1 in denen die Leserinnen und Leser wichtige Resultate und Konzepte am Rechner nachvollziehen können. Die notwendigen Vorkenntnisse für diese kurzen Übungen werden im Anhang erläutert. Neben den MATLAB-Minuten gibt es eine Vielzahl von klassischen Übungsaufgaben, für die nur Papier und Bleistift benötigt werden. Ein weiterer Vorteil der matrizenorientierten Darstellung in der Linearen Algebra ist die Erleichterung der späteren Anwendung theoretischer Resultate und ihrer Umsetzung in praxisrelevante Algorithmen. Matrizen trifft man heute überall dort an, wo Daten systematisch geordnet und verarbeitet werden. Dies ist in fast allen typischen Berufsfeldern der Bachelor-Studierenden mathematischer Studiengänge von Bedeutung. Hierauf ausgerichtet ist auch die Stoffauswahl zu den Themen Matrix-Funktionen, Singulärwertzerlegung und Kroneckerprodukte im hinteren Teil des Buches. Trotz manchem Hinweis auch auf algorithmische und numerische Aspekte steht in diesem Buch die Theorie der Linearen Algebra im Vordergrund. Dem deutschen Physiker Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) wird der Satz zugeschrieben: Eine gute Theorie ist das Praktischste, was es gibt. In diesem Sinne möchten wir unseren Zugang verstanden wissen. Dieses Buch basiert auf unseren Vorlesungen an der TU Chemnitz und der TU Berlin. Wir möchten uns bei allen Studierenden, Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern sowie Kolleginnen und Kollegen bedanken, die uns beim Erstellen und Korrekturlesen von Skripten, Formulieren von Aufgaben und inhaltlichen Gestalten der Vorlesungen unterstützt haben. Insbesondere gilt unser Dank André Gaul, Florian Goßler, Daniel Kresser, Robert Luce, Christian Mehl, Matthias Pester, Robert Polzin, Timo Reis, Olivier Sète, Tatjana Stykel, Elif Topcu, Wolfgang Wülling und Andreas Zeiser. Ebenfalls bedanken möchten wir uns bei den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Vieweg+Teubner Verlags und hier insbesondere bei Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch, die unser Vorhaben stets freundlich unterstützt hat. Berlin, im Mai 2011

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R ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks Inc. MATLAB

Jörg Liesen Volker Mehrmann

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Algebra im Alltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Google und die Wichtigkeit von Internetseiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Schadensfreiheitsklassen in der Kraftfahrzeug-Versicherung . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Produktionsplanung in einem verarbeitenden Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Schaltkreissimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Mathematische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Mengen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grundlegende Definitionen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Matrizengruppen und -ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Rang und Äquivalenz von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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7 Determinanten von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Definition der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Einige Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Minoren und die Laplace-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1 Das charakteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . 93 8.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3 Eigenvektoren stochastischer Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von Vektorräumen . . . . . . . . . 105 9.2 Basen und Dimension von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3 Koordinaten und Basisübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.4 Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen . . . . . . . . . . . . 118 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 10.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von linearen Abbildungen . . . 123 10.2 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11 Linearformen und Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.1 Linearformen und Dualräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 11.3 Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 12 Euklidische und unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 12.1 Skalarprodukte und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 12.2 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 12.3 Das Vektor-Produkt im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 13 Adjungierte lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 13.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 13.2 Adjungierte Endomorphismen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 14 Eigenwerte von Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 14.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 14.2 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Inhaltsverzeichnis

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14.3 Triangulierung und der Satz von Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 15.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 15.2 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . 211 16.1 Zyklische f -invariante Unterräume und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 16.2 Die Jordan-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 16.3 Berechnung der Jordan-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 17.1 Matrix-Funktionen und die Matrix-Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 17.2 Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 18 Spezielle Klassen von Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 18.1 Normale Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 18.2 Unitäre und orthogonale Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 18.3 Selbstadjungierte Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 19 Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Anhang A MATLAB Kurzeinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Lehrbücher zur Linearen Algebra (Auswahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Weiterführende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Ausgewählte historische Arbeiten zur Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Kapitel 1

Lineare Algebra im Alltag

Man muss den Lernenden mit konkreten Fragestellungen aus den Anwendungen vertraut machen, dass er lernt, konkrete Fragen zu behandeln. (Lothar Collatz1 )

1.1 Google und die Wichtigkeit von Internetseiten Die Beliebtheit der Internet-Suchmaschine Google beruht zum großen Teil auf der Tatsache, dass Google in der Regel sehr schnell relevante Internetseiten für die vom Benutzer eingegebenen Suchbegriffe findet. Eine wichtige Komponente der Google-Suche ist der PageRank Algorithmus von den Firmengründern Sergey Brin und Larry Page, der die „Wichtigkeit“ von Internetseiten bewertet. Dazu ein Zitat von www.google.de/corporate/tech.html (gefunden im April 20102 ): Google verwendet PageRankTM , um die gesamte Linkstruktur des Internets zu analysieren und herauszufinden, welche Seiten die wichtigsten sind. ... Anstatt die direkten Links zu zählen, interpretiert PageRank im Wesentlichen einen Link von Seite A auf Seite B als Votum von Seite A für Seite B. PageRank bewertet dann die Wichtigkeit einer Seite nach den erzielten Voten. PageRank berücksichtigt auch die Wichtigkeit jeder Seite, die ein Votum abgibt, da Voten von einigen Seiten einen höheren Wert aufweisen und deshalb auch der Seite, auf die der Link verweist, einen höheren Wert geben. Wichtige Seiten werden von PageRank höher eingestuft und demnach auch in den Suchergebnissen an einer vorderen Position aufgeführt.

Wir wollen diese Idee nun mathematisch beschreiben (modellieren) und orientieren uns an der Darstellung im Artikel [BryL06]. Wir möchten jeder Internetseite k eine Wichtigkeit x k ≥ 0 zuordnen. Dabei ist Seite k wichtiger als Seite j, wenn xk > x j gilt. Die Verbindung einer Internetseite zum Rest des Internets erfolgt über Links, also über Verweise auf andere Seiten. Zudem benötigen wir den Begriff der Backlinks einer Internetseite, worunter die Links

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Lothar Collatz (1910–1990), deutscher Mathematiker.

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Im Mai 2011 schreibt Google auf der gleichen Seite: „Eine der Hauptinnovationen bei der Gründung von Google war der PageRank, eine Technologie, mit der die „Wichtigkeit“ einer Webseite anhand der Links von anderen Seiten sowie weiteren Faktoren bestimmt wurde. Heute verwenden wir neben dem PageRankAlgorithmus mehr als 200 Faktoren, um Websites einzuordnen, und wir aktualisieren diese Algorithmen jede Woche.“

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_1,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

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1 Lineare Algebra im Alltag

Abb. 1.1 Verknüpfungsstruktur in einem „4-Seiten-Internet“

von anderen Seiten auf diese Seite (in der Google-Beschreibung oben die Voten für diese Seite) verstanden werden. Im 4-seitigen Internet in Abb. 1.1 hat zum Beispiel Seite 1 Links auf die Seiten 2, 3 und 4, und einen Backlink von der Seite 3. Der einfachste Ansatz zur Definition der Wichtigkeit von Internetseiten ist die Zählung der Anzahl ihrer Backlinks – je mehr Seiten auf eine gegebene Seite zeigen, d. h. je mehr Seiten ein Votum für eine Seite abgeben, desto wichtiger ist diese Seite. Im 4-Seiten-Internet von Abb. 1.1 ergibt dieser Ansatz die folgenden Werte: x1 = 1,

x2 = 3,

x3 = 2,

x4 = 3.

Hier sind somit die Seiten 2 und 4 die wichtigsten Seiten und beide sind gleich wichtig. In diesem Ansatz ist jedoch die Wichtigkeit der Backlinks selbst nicht berücksichtigt. Dabei entspricht es sowohl der Intuition als auch der obigen Beschreibung von Google, dass eine Seite wichtiger sein sollte, wenn wichtige Seiten auf sie zeigen. Somit könnten wir x k als Summe der Wichtigkeiten aller Backlinks der Seite k definieren. Im Beispiel von Abb. 1.1 ergibt dies die folgenden vier Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen: x1 = x3 ,

x 2 = x 1 + x3 + x 4 ,

x3 = x1 + x4 ,

x 4 = x 1 + x2 + x 3 .

Dies ist schon fast die von Google beschriebene Strategie von PageRank. Allerdings wird hierbei nicht die Anzahl der Links einer Seite berücksichtigt, also wie viele Voten eine Seite für andere Seiten des Internets abgibt. Ohne diese Berücksichtigung wäre es jedoch möglich, durch Hinzufügen von Links die eigene Wichtigkeit zu erhöhen. Um Letzteres zu vermeiden, gewichten wir die Backlinks jeweils mit der Anzahl ihrer Links. Wir verwirklichen damit eine Art „Internet-Demokratie“: Jede Seite kann andere Seiten (aber nicht sich selbst) „wählen“ und jede Seite hat insgesamt eine „Stimme“ zu vergeben. Im Beispiel von Abb. 1.1 sehen die entsprechenden Gleichungen für die unbekannten Wichtigkeiten x1 , x2 , x3 und x4 so aus: x1 =

x3 , 3

x2 =

x1 x3 x4 + + , 3 3 2

x3 =

x1 x4 + , 3 2

x4 =

x1 x3 + x2 + . 3 3

(1.1)

Wir haben es hier mit vier Gleichungen für die vier unbekannten Wichtigkeiten zu tun. Alle diese Gleichungen sind linear,3 d. h. die Unbekannten xk treten nur in der ersten

3

Das Wort linear stammt vom lateinischen linea ab, was „(gerade) Linie“ bedeutet; linearis bedeutet „aus Linien bestehend“.

1.2

Schadensfreiheitsklassen in der Kraftfahrzeug-Versicherung

3

Potenz auf. Wir werden in Kap. 6 sehen, wie die Gleichungen in (1.1) zu einem linearen Gleichungssystem zusammengefasst werden können. Das Studium und die Lösung solcher Systeme ist eine der wichtigsten Aufgaben der Linearen Algebra. Dieses Beispiel zeigt, dass die Lineare Algebra ein mächtiges Modellierungswerkzeug darstellt: Wir haben ein konkretes Problem, die Bestimmung der Wichtigkeit von Internet-Seiten, auf ein Problem der Linearen Algebra überführt. Dieses Problem werden wir in Abschn. 8.3 genauer untersuchen. Der Vollständigkeit halber sei noch kurz erwähnt, dass eine Lösung für die vier Unbekannten (berechnet mit MATLAB und gerundet auf die zweite Nachkommastelle) durch x 1 = 0.14,

x2 = 0.54,

x3 = 0.41,

x4 = 0.72,

gegeben ist. Die wichtigste Seite ist also Seite 4. Man kann diese Lösung noch beliebig skalieren, d. h. alle Wichtigkeiten x k mit der gleichen positiven Konstante multiplizieren. Dadurch kann man z. B. stets die Wichtigkeit der wichtigsten Seite auf 1 oder jeden anderen positiven Wert setzen. Eine solche Skalierung ist manchmal aus rechentechnischen oder auch rein optischen Gründen vorteilhaft. Sie ist erlaubt, weil sie den wesentlichen Informationsgehalt der Lösung, nämlich die Rangfolge der Seiten entsprechend ihrer Wichtigkeit, unverändert lässt.

1.2 Schadensfreiheitsklassen in der Kraftfahrzeug-Versicherung Versicherungsunternehmen berechnen die zu zahlenden Beiträge ihrer Kunden, die sogenannten Versicherungsprämien, nach dem versicherten Risiko: je höher das Risiko, desto höher die Prämie. Entscheidend für den geschäftlichen Erfolg des Versicherers auf der einen Seite und den Geldbeutel des Kunden auf der anderen ist daher die Identifikation und Bewertung von Faktoren, die zu einem erhöhten Risiko beitragen. Im Fall einer KFZ-Versicherung sind unter den möglichen Faktoren zum Beispiel die jährliche Fahrleistung, die Entfernung zwischen Wohnung und Arbeitsplatz, der Familienstatus, das Geschlecht oder das Alter der Fahrerin oder des Fahrers, aber auch das Modell, die Motorleistung oder sogar die Farbe des Fahrzeugs. Vor Vertragsabschluss muss der Kunde seiner Versicherung Informationen über einige, manchmal alle dieser Faktoren mitteilen. Als bester Indikator für das Auftreten von Schadensfällen eines Kunden in der Zukunft gilt die Anzahl seiner Schadensfälle in der Vergangenheit. Um dies in die Prämienberechnung einzubeziehen, gibt es das System der „Schadensfreiheitsklassen“. In diesem System werden die Versicherten in relativ homogene Risikogruppen aufgeteilt, deren Prämien relativ zu ihrer Schadensvergangenheit bestimmt werden. Wer in der Vergangenheit wenige Schadensfälle hatte, erhält einen Nachlass auf seine Prämie. Zur mathematischen Beschreibung eines Systems von Schadensfreiheitsklassen benötigt man eine Menge solcher Klassen, {K 1 , . . . , K n }, und eine Übergangsregel zwischen den Klassen. Dabei sei K 1 die „Einsteigerklasse“ mit dem höchsten Beitrag und K n die Klasse mit dem niedrigsten Beitrag, d. h. dem höchsten Nachlass. Der Nachlass wird meist in Prozent vom „Einsteigerbeitrag“ angegeben. Wir betrachten ein einfaches Beispiel:

% Nachlass

K1 0

K2 10

K3 20

K4 40

4

1 Lineare Algebra im Alltag

Wir nehmen folgende Übergangsregel an: • Kein Schadensfall: Im Folgejahr eine Klasse höher (oder in K 4 bleiben). • Ein Schadensfall: Im Folgejahr eine Klasse zurück (oder in K 1 bleiben). • Mehr als ein Schadensfall: Im Folgejahr (zurück) in Klasse K 1 . Nun muss der Versicherer die Wahrscheinlichkeit einschätzen, dass ein Versicherter, der sich in diesem Jahr in Klasse K i befindet, im Folgejahr in Klasse K j wechselt. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit pi j . Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Wahrscheinlichkeit (genau) eines Schadens für jeden Versicherten 0.1 beträgt (also 10%) und die Wahrscheinlichkeit zweier oder mehr Schäden 0.05 (also 5%). (In der Praxis machen die Versicherer diese Wahrscheinlichkeiten natürlich von den jeweiligen Klassen abhängig.) Dann ergeben sich zum Beispiel folgende Werte: p11 = 0.15,

p12 = 0.85,

p13 = 0.00,

p14 = 0.00.

Wer in diesem Jahr in Klasse K 1 ist, bleibt in dieser Klasse bei einem oder mehreren Schäden. Dies tritt nach unserer Annahme mit Wahrscheinlichkeit p11 = 0.15 ein. Wer in Klasse K 1 ist, hat mit Wahrscheinlichkeit 0.85 keinen Schaden und daher p12 = 0.85. Letztlich besteht keine Möglichkeit, aus Klasse K 1 in diesem Jahr in eine der Klassen K 3 und K 4 im nächsten Jahr zu wechseln. Wir können die 16 Wahrscheinlichkeiten pi j , i, j = 1, 2, 3, 4, in einem Zahlenschema – einer Matrix – anordnen: ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 0.15 0.85 0.00 0.00 p11 p12 p13 p14 ⎢0.15 0.00 0.85 0.00⎥ ⎢ p21 p22 p23 p24 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ (1.2) ⎣ p31 p32 p33 p34 ⎦ = ⎣0.05 0.10 0.00 0.85⎦. p41 p42 p43 p44 0.05 0.00 0.10 0.85 Alle Einträge dieser Matrix sind nichtnegative reelle Zahlen und die Summe aller Einträge in jeder Zeile ist gleich 1.00. Eine solche Matrix wird zeilen-stochastisch genannt. Die Analyse der Eigenschaften von Matrizen ist ein wichtiges Thema der Linearen Algebra, das im gesamten Buch immer wieder aufgegriffen und weiterentwickelt wird. Wie im obigen Google-Beispiel haben wir hier ein praktisches Problem in die Sprache der Linearen Algebra übersetzt und können es mit Hilfe der Linearen Algebra weiter untersuchen. Das Beispiel der Schadensfreiheitsklassen wird uns im Kap. 4 wieder begegnen.

1.3 Produktionsplanung in einem verarbeitenden Betrieb Die Planung der Produktion in einem verarbeitenden Betrieb muss viele verschiedene Faktoren, z. B. Rohstoffpreise, Arbeitskosten und vorhandenes Kapital, berücksichtigen, um aus der Gesamtinformation dieser Faktoren eine Vorgabe für die Durchführung der Produktion zu machen. Wir betrachten ein einfaches Beispiel: Ein Betrieb produziert die zwei Produkte P1 und P2 . Die Herstellung einer Einheit von Produkt Pi kostet ai Euro für die eingesetzten Rohstoffe und bi Euro für den Arbeitslohn, wobei i = 1, 2 ist. Der Gewinn beim Verkauf einer Einheit von Produkt Pi sei mit gi

1.3

Produktionsplanung in einem verarbeitenden Betrieb

5

bezeichnet. Insgesamt stehen a Euro für den Einkauf von Rohstoffen und b Euro für die Arbeitslöhne zur Verfügung. Jedes denkbare Produktionsprogramm ist von der Form: Produziere x1 Einheiten von Produkt P1 und x2 Einheiten von Produkt P2 . Geometrisch kann jedes Produktionsprogramm als Zahlenpaar (x1 , x2 ) in einem Koordinatensystem dargestellt werden: x2 Punkt (x1,x2)

x1

Es sind nur Produktionsprogramme erlaubt, die mit den vorhandenen Ressourcen hergestellt werden können, d. h. es muss gelten: a1 x1 + a2 x2 ≤ a, b1 x1 + b2 x2 ≤ b. Ziel der Produktionsplanung ist meist die Gewinnmaximierung, d. h. man sucht ein Maximum der „Gewinnfunktion“ (x 1 , x2 ) = g1 x1 + g2 x2 . Wie kann man dieses Maximum finden? Im obigen Koordinatensystem aller Produktionsprogramme bilden die erlaubten Produktionsprogramme Halbebenen, die durch die Gradengleichungen a1 x1 + a2 x2 = a, b1 x1 + b2 x2 = b, beschränkt werden. Natürlich gibt es keine negativen Anzahlen von Produkten, d. h. es gilt x 1 ≥ 0 und x 2 ≥ 0. Damit erhalten wir eine Darstellung aller möglichen Produktionsprogramme: a1x1 + a2x2 = a

q1x1 + q2x2 = y2

b1x1 + b2x2 = b " optimale Losung Erlaubte Produktionsprogramme

q1x1 + q2x2 = y1

q1x1 + q2x2 = y3

6

1 Lineare Algebra im Alltag

Gilt g1 x1 + g2 x2 = y, so erzielt der Betrieb den Gewinn y. Für geplante Gewinne yi , i = 1, 2, 3, . . ., sind dies im Koordinatensystem parallele Geraden. Verschiebt man diese parallelen Geraden bis man die Ecke mit dem maximalen y erreicht, so hat man das Problem der Gewinnmaximierung gelöst. Dies ist ein Beispiel für ein „Lineares Programm“. Auch in diesem Beispiel haben wir ein wichtiges Anwendungsproblem als Problem der Linearen Algebra formuliert und wir können es damit mathematisch untersuchen und lösen.

1.4 Lineare Regression Die Vorhersage von Gewinn- oder Verlusterwartungen eines Betriebes ist ein zentrales Planungsinstrument der Wirtschaftswissenschaften. Analoge Probleme treten in vielen Bereichen der politischen Entscheidungsfindung, wie bei Aufstellung eines öffentlichen Haushalts, in der Steuerschätzung oder bei der Planung von Infrastrukturmaßnahmen im Verkehr auf. Wir betrachten ein konkretes Beispiel: In den vier Quartalen eines Jahres erzielt eine Firma Gewinne von 10, 8, 9, 11 Millionen Euro. Vor der Aktionärsversammlung macht die Firma eine Schätzung über den Verlauf der Geschäftsentwicklung im kommenden Jahr. Dazu sollen die Firmenergebnisse in den nächsten vier Quartalen geschätzt werden. Das Management verwendet auf der Basis der bekannten Ergebnisse und der Erfahrung aus den Vorjahren ein Modell, auf welche Weise die Daten in die Zukunft „extrapoliert“ werden sollen. Das Management nimmt an, dass der Gewinn „linear“ wächst. Stimmt dies exakt, so müsste es eine Gerade y(t) = αt + β geben, die durch die Punkte (1, 10), (2, 8), (3, 9), (4, 11) verläuft.

? 10

1

2

3

4

5

6

7

8

In der Praxis (und in diesem Beispiel) ist dies meist nicht erfüllt. Man kann aber versuchen, eine Gerade zu bestimmen, die möglichst wenig von den gegebenen Punkten abweicht. Hierbei ist es eine gute Idee, die Parameter α und β so zu wählen, dass die Summe der Quadrate der Abstände zwischen den gegebenen Punkten und den entsprechenden Punkten auf der Gerade minimiert wird. Dieses sogenannte „kleinste Quadrate-Problem“ ist ein Problem der Linearen Algebra, das wir in Kap. 12 abstrakt formulieren und lösen werden (siehe Beispiel 12.15). Es handelt sich um einen Spezialfall der Parameter-Identifikation. Wenn man gute Parameter α und β gefunden hat, kann man das gewonnene Modell verwenden, um den Gewinn in den nächsten

1.5

Schaltkreissimulation

7

Quartalen zu schätzen und damit Planungszahlen für das nächste Jahr zu berechnen. Diese Methode nennt sich lineare Regression.

1.5 Schaltkreissimulation Die Entwicklung elektronischer Geräte ist extrem schnell, so dass in sehr kurzen Abständen, von inzwischen weniger als einem Jahr, neue Modelle von Laptops oder Mobiltelefonen auf den Markt kommen. Um dies zu erreichen, müssen ständig neue Generationen von ComputerChips entwickelt werden, die typischerweise immer kleiner und leistunsgfähiger werden und die natürlich auch möglichst wenig Energie verbrauchen sollen. Ein wesentlicher Faktor bei dieser Entwicklung ist es, die zu entwickelnden Chips virtuell am Rechner zu planen und ihr Verhalten am Modell zu simulieren, ohne einen Prototyp physisch herzustellen. Diese modellbasierte Planung und Optimierung von Produkten ist heute in vielen anderen Bereichen der Technologieentwicklung, wie zum Beispiel im Flug- oder Fahrzeugbau, eine zentrale Technologie, die einen hohen Einsatz von modernster Mathematik erfordert. Das Schaltungsverhalten eines Chips wird durch ein mathematisches Modell beschrieben, das im Allgemeinen durch ein System aus Differenzialgleichungen und algebraischen Gleichungen gegeben ist und das die Beziehungen zwischen den Strömen und Spannungen beschreibt. Ohne in die Details zu gehen, betrachten wir zur Illustration den folgenden einfachen Schaltkreis:

+

−

Hier ist VS (t) die vorgegebene angelegte Spannung zum Zeitpunkt t, und die Kennwerte der Bauteile sind R beim Resistor, L bei der Induktivität und C für die Kapazität. Die Funktionen der Spannungsabfälle an den drei Bauteilen werden mit V R (t), VL (t), und VC (t) bezeichnet; I (t) ist die Stromstärke. Die Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetze der Elektrotechnik führt auf das folgende System von linearen Gleichungen und Differenzialgleichungen, das diesen Schaltkreis modelliert: L C

d I = VL , dt

d VC = I, dt R I = VR ,

VL + VC + V R = VS .

8

1 Lineare Algebra im Alltag

Man kann in diesem Beispiel sehr einfach die letzten beiden Gleichungen nach VL und V R auflösen. Dies liefert das System von Differenzialgleichungen 1 R 1 d I = − I − VC + VS , dt L L L d 1 VC = − I, dt C für die beiden Funktionen I und VC . Dieses System werden wir in Kap. 17 lösen (siehe Beispiel 17.12). Schon dieses einfache Beispiel zeigt, dass zur Simulation der Schaltung ein System von (linearen) Differenzialgleichungen und algebraischen Gleichungen zu lösen ist. Bei der Entwicklung moderner Computerchips werden heute in der industriellen Praxis Systeme mit Millionen solcher differenziell-algebraischer Gleichungen gelöst. Für die theoretische Untersuchung solcher Systeme und für die Entwicklung von effizienten Lösungsmethoden ist die Lineare Algebra eines der zentralen Hilfsmittel.

Kapitel 2

Mathematische Grundbegriffe

In diesem Kapitel stellen wir die wichtigsten mathematischen Grundbegriffe vor, auf denen die Entwicklungen in den folgenden Kapiteln beruhen.

2.1 Mengen und Aussagen Ausgangspunkt aller weiteren Entwicklungen ist der Begriff der Menge. Wir gehen hier von der folgenden Definition aus, die Cantor1 1895 in der mathematischen Fachzeitschrift „Mathematische Annalen“ veröffentlichte. Definition 2.1 Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten x unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Die Objekte x in dieser Definition sind als „bestimmt“ angenommen. Für jedes Objekt x können wir somit eindeutig feststellen, ob es zu einer gegebenen Menge M gehört oder nicht. Gehört x zur Menge M, so schreiben wir x ∈ M, falls nicht, so schreiben wir x ∈ / M. Zudem sind die Objekte, die zu einer Menge gehören, „wohlunterschieden“. Das heißt, alle zu M gehörenden Objekte sind (paarweise) verschieden. Sind zwei Objekte x und y gleich, so schreiben wir x = y, falls nicht, so schreiben wir x = y. Für mathematische Objekte muss oft eine formale Definition der „Gleichheit“ gegeben werden, denn aufgrund der Abstraktheit der Begriffe sind ihre Eigenschaften nicht unmittelbar klar oder anschaulich. Die „Gleichheit“ zweier Mengen definieren wir zum Beispiel in Definition 2.2. Wir geben Mengen an durch Aufzählung der Elemente, zum Beispiel {rot, gelb, grün},

{1, 2, 3, 4},

{2, 4, 6, . . . }

oder durch Angabe einer definierenden Eigenschaft, zum Beispiel

1 Georg Cantor (1845–1918), deutscher Mathematiker, Begründer der Mengenlehre. Cantor schrieb „Objecten m“ anstelle von „Objekten x“ in unserer Definition 2.1. (Wir geben die Nationalität, die Lebensdaten und das Arbeitsgebiet nur bei der jeweils ersten Nennung der Personen an.)

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_2,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

9

10

2 Mathematische Grundbegriffe

{x|x ist eine positive gerade Zahl}, {x|x ist eine Person, die in Deutschland ihren ersten Wohnsitz hat}. Die geschweiften Klammern „{ }“ sind eine übliche Notation zur Angabe von Mengen. Bekannte Zahlenmengen bezeichnen wir wie folgt: N = {1, 2, 3, . . . } Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2 . . . } Q = {x | x = a/b mit a ∈ Z und b ∈ N} R = {x | x ist eine reelle Zahl}

(die natürlichen Zahlen), (die ganzen Zahlen), (die rationalen Zahlen), (die reellen Zahlen).

Die Konstruktion und Charakterisierung der Menge der reellen Zahlen R ist im Regelfall Thema einer einführenden Vorlesung in die Analysis. Bei der Angabe einer Menge durch eine definierende Eigenschaft schreiben wir formal {x | P(x)}. Hier ist P ein Prädikat, welches auf ein Objekt x zutreffen kann oder nicht, und P(x) ist die Aussage „P trifft auf x zu“. Allgemein verstehen wir unter einer Aussage einen Sachverhalt, der als „wahr“ oder „falsch“ klassifizierbar ist. Zum Beispiel ist „Die Menge N hat unendlich viele Elemente“ eine wahre Aussage. Keine Aussage ist zum Beispiel „Morgen wird es gutes Wetter geben“. Aus mathematischer Sicht ist nicht nur die Unsicherheit der Wettervorhersage problematisch, sondern auch die Ungenauigkeit des auftretenden Begriffs „gutes Wetter“. Die Negation oder Verneinung einer Aussage A ist die Aussage „nicht A“, kurz geschrieben als ¬A. Diese ist genau dann wahr wenn A falsch ist und genau dann falsch, wenn A wahr ist. Zum Beispiel ist die Verneinung der (wahren) Aussage „Die Menge N hat unendlich viele Elemente“ gegeben durch „Die Menge N hat nicht unendlich viele Elemente“ (oder auch „Die Menge N hat endlich viele Elemente“). Dies ist eine falsche Aussage. Zwei Aussagen A und B können mit logischen Verknüpfungen, sogenannten Junktoren, zu einer neuen Aussage zusammengesetzt werden. Hier ist eine Liste der am meisten gebrauchten logischen Verknüpfungen mit ihren üblichen mathematischen Kurzschreibweisen (Notationen): Verknüpfung (Junktor) und oder daraus folgt

genau dann, wenn

Notation ∧ ∨ ⇒

⇔

Alternative textliche Beschreibung

A impliziert B Wenn A gilt, dann gilt auch B A ist eine hinreichende Bedingung für B B ist eine notwendige Bedingung für A A und B sind äquivalent A gilt dann und nur dann, wenn B gilt A ist notwendig und hinreichend für B B ist notwendig und hinreichend für A

Die Aussage „x ist eine reelle Zahl und x ist negativ“ kann man in mathematischer Kurzschreibweise zum Beispiel so formulieren: x ∈ R ∧ x < 0. Ob eine aus zwei Aussagen A und B zusammengesetzte Aussage wahr oder falsch ist, hängt von den Wahrheitswerten von A und B ab. Es gilt folgende Wahrheitstafel („w“ und „f“ stehen für „wahr“ und „falsch“):

2.1

Mengen und Aussagen

A w w f f

11

B w f w f

A∧B w f f f

A∨B w w w f

A⇒B w f w w

A⇔B w f f w

Zum Beispiel ist die Aussage „A und B“ bzw. A ∧ B nur wahr, wenn A und B beide wahr sind. Die Aussage „A impliziert B“ bzw. A ⇒ B ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Ist insbesondere A falsch, so ist die Aussage A ⇒ B wahr, und zwar unabhängig vom Wahrheitswert von B. Eine wahre Aussage ist zum Beispiel „Jedes negative Element der Menge N ist ohne Rest durch 3 teilbar“ bzw. (x ∈ N ∧ x < 0) ⇒ (x/3 ∈ Z), denn für jedes Objekt x ist die Aussage x ∈ N ∧ x < 0 falsch. Die Klammern auf den beiden Seiten der obigen Implikation haben wir zur Verdeutlichung gesetzt. Neben den obigen Junktoren benutzen wir häufig sogenannte Quantoren im Zusammenhang mit Aussagen: Quantor für alle es gibt ein

Notation ∀ ∃

Nach diesem kurzen Ausflug in die Aussagenlogik kehren wir zurück zur Mengenlehre. Zwischen Mengen kann man die folgenden Teilmengenrelationen definieren. Definition 2.2 Seien M, N Mengen. (1) M heißt Teilmenge von N , geschrieben M ⊆ N , wenn jedes Element von M auch Element von N ist. Wir schreiben M  N , falls dies nicht gilt. (2) M und N heißen gleich, geschrieben M = N , wenn M ⊆ N und N ⊆ M ist. Wir schreiben M = N , falls dies nicht gilt. (3) M heißt echte Teilmenge von N , geschrieben M ⊂ N , wenn M ⊆ N und M = N gelten. Mit Hilfe der Kurzschreibweisen der Aussagenlogik kann man die drei Teile dieser Definition auch wie folgt formulieren: (1) M ⊆ N (2) M = N (3) M ⊂ N

⇔ ⇔ ⇔

(∀ x : x ∈ M ⇒ x ∈ N ). (M ⊆ N ∧ N ⊆ M). (M ⊆ N ∧ ¬(M = N )).

Die Aussage auf der rechten Seite der Äquivalenz in (1) liest sich wie folgt: Für alle Objekte x gilt, dass aus x ∈ M die Aussage x ∈ N folgt. Insbesondere steht der Doppelpunkt „ : “ für das Wort „gilt“. Eine besondere Menge ist diejenige, die keine Elemente enthält. Diese Menge definieren wir formal wie folgt. Definition 2.3 Die Menge Ø := {x | x = x} heißt die leere Menge.

12

2 Mathematische Grundbegriffe

Das Zeichen „:=“ steht für ist definiert als. Wir haben die leere Menge durch eine definierende Eigenschaft angegeben: Jedes Objekt x, für das x = x gilt, ist ein Element von Ø. Offensichtlich kann dies für kein Objekt gelten und somit enthält die Menge Ø kein Element. Satz 2.4 Für jede Menge M gelten folgende Aussagen: (1) Ø ⊆ M. (2) M ⊆ Ø ⇒ M = Ø. Beweis (1) Zu zeigen ist die Aussage „∀ x : x ∈ Ø ⇒ x ∈ M“. Da es kein x ∈ Ø gibt, ist der erste Teil der Aussage „x ∈ Ø ⇒ x ∈ M“ für jedes x falsch, die gesamte Aussage ist also wahr für jedes x (vgl. die obigen Bemerkungen zu Aussagen des Typs „A ⇒ B“). (2) Sei M ⊆ Ø. Nach (1) gilt Ø ⊆ M, also insgesamt Ø ⊆ M ⊆ Ø, woraus M = Ø folgt. 2 Satz 2.5 Seien M, N , L Mengen, dann gelten folgende Aussagen für die Teilmengenrelation „⊆“: (1) M ⊆ M (Reflexivität). (2) Aus M ⊆ N und N ⊆ L folgt M ⊆ L (Transitivität). Beweis (1) Zu zeigen ist die Aussage „∀ x : x ∈ M ⇒ x ∈ M“. Die Aussage x ∈ M ist für jedes gegebene x entweder wahr oder falsch. Somit ist für alle x die Aussage „x ∈ M ⇒ x ∈ M“ eine Verknüpfung von Aussagen, die entweder beide wahr oder beide falsch sind. Die verknüpfte Aussage ist daher immer wahr. (2) Sei x ∈ M, dann folgt x ∈ N wegen M ⊆ N . Aus x ∈ N folgt x ∈ L, da N ⊆ L. Somit ist die Aussage „x ∈ M ⇒ x ∈ L“ wahr. Ist x kein Element von M, so ist die Aussage „x ∈ M“ falsch, die zusammengesetzte Aussage „x ∈ M ⇒ x ∈ L“ ist daher wahr. Die Aussage „x ∈ M ⇒ x ∈ L“ ist somit für alle Objekte x wahr, d. h. M ⊆ L. 2 Definition 2.6 Seien M, N Mengen. (1) Die Vereinigung2 von M und N ist M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }. (2) Der Durchschnitt von M und N ist M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N }. (3) Die Differenz von M und N ist M \ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ / N }.

Die Notationen „M ∪ N “ und „M ∩ N “ für die Vereinigung und den Durchschnitt von zwei Mengen M und N stammen aus dem Jahr 1888 und vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano (1858–1932), einem der Begründer der formalen Logik. Georg Cantors 1880 eingeführte Bezeichnungen und Notationen des „kleinsten gemeinsamen Multiplums M(M, N )“ und des „größten gemeinsamen Divisors D(M, N )“ der Mengen M und N haben sich nicht durchgesetzt. 2

2.1

Mengen und Aussagen

13

Ist M ∩ N = Ø, so nennen wir die Mengen M und N disjunkt. Die Mengenoperationen Vereinigung und Durchschnitt lassen sich auf mehr als zwei Mengen verallgemeinern: Ist I = Ø eine Menge und ist für jedes i ∈ I eine Menge Mi gegeben, dann sind  Mi := {x | ∃ i ∈ I mit x ∈ Mi } und Mi := {x | ∀ i ∈ I gilt x ∈ Mi }. i∈I

i∈I

Die Menge I wird in diesem Zusammenhang eine Indexmenge genannt. Insbesondere schreiben wir für I = {1, 2, . . . , n} ⊂ N die Vereinigung und den Durchschnitt der Mengen M1 , . . . , Mn als n n  Mi und Mi . i=1

i=1

Satz 2.7 Für zwei Mengen M, N gelte M ⊆ N . Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) M ⊂ N . (2) N \ M = Ø. Beweis Wir zeigen die Aussagen (1) ⇒ (2) und (2) ⇒ (1). (1) ⇒ (2) : Wegen M = N gibt es ein x ∈ N mit x ∈ / M. Somit ist x ∈ N \ M, d. h. es gilt N \ M = Ø. (2) ⇒ (1) : Es gibt ein x ∈ N mit x ∈ / M. Daher gilt N = M. Mit der Annahme M ⊆ N folgt M ⊂ N . 2 Satz 2.8 Seien M, N , L Mengen, dann gelten folgende Aussagen: (1) M ∩ N ⊆ M und M ⊆ M ∪ N . (2) M ∩ N = N ∩ M und M ∪ N = N ∪ M. (3) M ∩ (N ∩ L) = (M ∩ N ) ∩ L und M ∪ (N ∪ L) = (M ∪ N ) ∪ L. (4) M ∪ (N ∩ L) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ L) und M ∩ (N ∪ L) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ L). (5) M \ N ⊆ M. (6) M \ (N ∩ L) = (M \ N ) ∪ (M \ L) und M \ (N ∪ L) = (M \ N ) ∩ (M \ L). Beweis Übungsaufgabe.

(Kommutativgesetze) (Assoziativgesetze) (Distributivesetze)

2

Definition 2.9 Sei M eine Menge. (1) Die Mächtigkeit oder Kardinalität von M, bezeichnet mit |M|, ist die Anzahl der Elemente von M. (2) Die Potenzmenge von M, bezeichnet mit P(M), ist die Menge aller Teilmengen von M, d. h. P(M) := {N | N ⊆ M}. Die leere Menge Ø hat die Kardinalität Null und es gilt P(Ø) = {Ø}, also |P(Ø)| = 1. Für M = {1, 3} gilt |M| = 2 und

14

2 Mathematische Grundbegriffe

P(M) = { Ø, {1}, {3}, M }, also |P(M)| = 4 = 2|M| . Man kann zeigen, dass für jede Menge M mit endlich vielen Elementen, d. h. endlicher Kardinalität, |P(M)| = 2|M| gilt.

2.2 Abbildungen Wir kommen nun zum Begriff der Abbildung. Definition 2.10 Seien X, Y nicht leere Mengen. (1) Eine Abbildung von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ X genau ein y = f (x) ∈ Y zuordnet. Wir schreiben f : X → Y,

x → y = f (x).

Die Abbildungsvorschrift x → y = f (x) schreiben wir auch kurz f (x) = y. Die Mengen X bzw. Y heißen Definitions- bzw. Wertebereich von f . (2) Zwei Abbildungen f : X → Y und g : X → Y heißen gleich oder identisch, geschrieben f = g, wenn f (x) = g(x) für alle x ∈ X gilt. Anstatt Wertebereich wird oft auch der Begriff Zielbereich benutzt. In der Definition haben wir die gegebenen Mengen X und Y als nicht leer angenommen, damit überhaupt eine Zuordnung x → y = f (x) möglich ist. Wäre (mindestens) eine der Mengen X oder Y leer, so könnte man eine „leere Abbildung“ definieren. Wir werden im Folgenden immer annehmen, dass die Mengen zwischen denen abgebildet wird nicht leer sind, dies aber in der Regel nicht explizit erwähnen. Ist zum Beispiel X = Y = R, dann sind durch f : X → Y, f (x) = x 2 ,

0, x ≤ 0, g : X → Y, x → 1, x > 0,

(2.1) (2.2)

zwei Abbildungen gegeben. Für die Charakterisierung von Abbildungen benötigen wir weitere Begriffe. Definition 2.11 Seien X, Y nicht leere Mengen. (1) Die Abbildung Id X : X → X , x → x, heißt die Identität auf X . (2) Sei f : X → Y eine Abbildung und seien M ⊆ X und N ⊆ Y . Dann heißen f (M) := { f (x) ∈ Y | x ∈ M } f

−1

das Bild von M unter f ,

(N ) := { x ∈ X | f (x) ∈ N } das Urbild von N unter f .

(3) Ist f : X → Y , x → f (x) eine Abbildung und Ø = M ⊆ X , dann heißt f | M : M → Y , x → f (x), die Einschränkung von f auf M.

2.2

Abbildungen

15

Man beachte, dass f −1 (N ) in dieser Definition eine Menge ist. Mit dem Symbol f −1 ist somit nicht die Umkehrabbildung (oder Inverse) der Abbildung f gemeint. (Diese führen wir später in Definition 2.19 formal ein.) Für die in (2.1) und (2.2) betrachteten Abbildungen mit X = R und R− := {x ∈ R | x ≤ 0} ⊂ R ergeben sich f (X ) = {x ∈ R | x ≥ 0}, g(X ) = {0, 1},

f −1 (R− ) = {0} ,

f −1 ({−1}) = Ø,

g −1 (R− ) = g −1 ({0}) = R− .

Definition 2.12 Seien X, Y nicht leere Mengen. Eine Abbildung f : X → Y heißt (1) injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ X aus f (x1 ) = f (x2 ) folgt, dass x1 = x2 ist, (2) surjektiv, wenn f (X ) = Y ist, (3) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Das einfachste Beispiel einer bijektiven Abbildung für jede gegebene nicht leere Menge X ist die Identität auf X , für die Id X (x) = x gilt. Beispiel 2.13 Sei R+ := {x ∈ R | x ≥ 0}, dann gilt: f : R → R, f (x) = x 2 , ist weder injektiv noch surjektiv. f : R → R+ , f (x) = x 2 , ist surjektiv aber nicht injektiv. f : R+ → R, f (x) = x 2 , ist injektiv aber nicht surjektiv. f : R+ → R+ , f (x) = x 2 , ist bijektiv. Bei diesen Aussagen haben wir Eigenschaften der stetigen Abbildung f (x) = x 2 benutzt, die man in der Analysis lernt. Insbesondere bilden stetige Abbildungen reelle Intervalle auf reelle Intervalle ab. Die Aussagen zeigen, warum es bei der Untersuchung der Eigenschaften einer Abbildung wichtig ist, auf ihren Definitions- und Wertebereich zu achten. Satz 2.14 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann bijektiv, wenn es für jedes y ∈ Y genau ein x ∈ X mit f (x) = y gibt. Beweis ⇒: Sei f bijektiv, also injektiv und surjektiv. Sei y1 ∈ Y . Wegen der Surjektivität von f gibt es ein x 1 ∈ X mit f (x1 ) = y1 . Gibt es nun ein weiteres x 2 ∈ X mit f (x 2 ) = y1 , dann folgt x1 = x2 aus der Injektivität von f . Somit gibt es genau ein x1 ∈ X mit f (x1 ) = y1 . ⇐: Da es für alle y ∈ Y (genau) ein x ∈ X mit f (x) = y gibt, gilt f (X ) = Y . Somit ist f surjektiv. Seien nun x1 , x2 ∈ X mit f (x1 ) = f (x2 ) = y ∈ Y . Dann folgt aus der Annahme, dass x1 = x 2 ist, also ist f injektiv. 2 Man überlegt sich leicht, dass zwischen zwei Mengen M und N mit endlicher Kardinalität eine bijektive Abbildung genau dann existiert, wenn |M| = |N | gilt. Lemma 2.15 Sind M, N Mengen mit |M| = |N | = m ∈ N, so gibt es genau m! := 1·2·. . .·m paarweise verschiedene bijektive Abbildungen zwischen M und N . Beweis Übungsaufgabe.

2

Definition 2.16 Seien f : X → Y , x → f (x), und g : Y → Z , y → g(y), Abbildungen. Dann ist die Komposition oder Hintereinanderausführung von f und g die Abbildung

16

2 Mathematische Grundbegriffe

g ◦ f : X → Z,

x → g( f (x)).

Der Ausdruck g ◦ f wird oft „g nach f “ gelesen, woraus die Reihenfolge der Komposition deutlich wird: Erst wird f auf x und dann g auf f (x) angewandt. Man sieht leicht, dass f ◦ Id X = f = IdY ◦ f für jede Abbildung f : X → Y gilt. Satz 2.17 Seien f : W → X , g : X → Y , h : Y → Z Abbildungen, dann gilt: (1) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , d. h. die Komposition von Abbildungen ist assoziativ. (2) Sind f und g beide injektiv/surjektiv/bijektiv, so ist g ◦ f injektiv/surjektiv/bijektiv. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Satz 2.18 Eine Abbildung f : X → Y , x → f (x), ist genau dann bijektiv, wenn eine eindeutig bestimmte Abbildung g : Y → X , y → g(y), existiert, so dass g ◦ f = Id X

und

f ◦ g = IdY

gilt. Beweis ⇒: Ist f bijektiv, so gibt es nach Satz 2.14 zu jedem y ∈ Y genau ein x = x y ∈ X mit f (x y ) = y. Wir definieren die Abbildung g durch g : Y → X,

g(y) = x y .

Sei nun ein  y ∈ Y gegeben, dann gilt y, ( f ◦ g)( y) = f (g( y)) = f (xy ) = 

also

f ◦ g = IdY .

Ist andererseits ein  x ∈ X gegeben, dann ist  y = f ( x ) ∈ Y . Nach Satz 2.14 gibt es genau ein xy ∈ X mit f (xy ) =  y und aus der Injektivität von f folgt  x = xy . Somit y) = xy =  x, (g ◦ f )( x ) = (g ◦ f )(xy ) = g( f (xy )) = g(

also

g ◦ f = Id X .

Sei nun h : Y → X , y → h(y), mit f ◦ h = IdY gegeben. Dann gilt g = g ◦ IdY = g ◦ ( f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h = Id X ◦ h = h, d. h. g ist eindeutig. ⇐: Nach Annahme ist g ◦ f = Id X , also ist g ◦ f injektiv und daher ist f injektiv (vgl. Aufgabe 2.6). Außerdem ist f ◦ g = IdY , also ist f ◦ g surjektiv und daher ist f surjektiv (vgl. Aufgabe 2.6). Somit ist f bijektiv. 2 Dieser Satz führt uns auf die Definition der inversen Abbildung. Definition 2.19 Ist f : X → Y eine bijektive Abbildung, so heißt die (eindeutig bestimmte) Abbildung g : Y → X , für die g ◦ f = Id X gilt, die Inverse oder Umkehrabbildung von f . Wir bezeichnen die Inverse von f mit f −1 . Man sieht sofort, dass sowohl f −1 ◦ f = Id X als auch f ◦ f −1 = IdY gilt.

2.3

Relationen

17

Satz 2.20 Für zwei bijektive Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z gilt: (1) f −1 ist bijektiv mit ( f −1 )−1 = f . (2) g ◦ f ist bijektiv mit (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Beweis (1) Übungsaufgabe. (2) Wir wissen bereits aus Satz 2.17, dass g ◦ f : X → Z bijektiv ist. Es gibt somit eine (eindeutige) Inverse von g ◦ f . Für die Abbildung h := f −1 ◦ g −1 gilt

h ◦ (g ◦ f ) = ( f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g) ◦ f = f −1 ◦ f = Id X . Es folgt h = h ◦ Id Z = (h ◦ (g ◦ f )) ◦ (g ◦ f )−1 = Id X ◦ (g ◦ f )−1 = (g ◦ f )−1 .

2

2.3 Relationen Wir beginnen mit dem Begriff des kartesischen Produktes3 zweier Mengen. Definition 2.21 Sind M, N nicht leere Mengen, dann heißt die Menge M × N := {(x, y) | x ∈ M ∧ y ∈ N } das kartesische Produkt oder das Kreuzprodukt von M und N . Ist (mindestens) eine der Mengen M, N leer, so setzen wir M × N := Ø. Das kartesische Produkt von n Mengen M1 , . . . , Mn ist M1 × · · · × Mn := {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Mi für i = 1, . . . , n}. Für das n-fache kartesische Produkt einer Menge M benutzen wir auch die Notation M n , also · · × M = {(x1 , . . . , x n ) | xi ∈ M für i = 1, . . . , n}. M n := M × ·

(2.3)

n−mal

Ein Element (x, y) ∈ M × N bezeichnen wir auch als ein (geordnetes) Paar und ein Element (x1 , . . . , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn wird oft (geordnetes) n-Tupel genannt. Definition 2.22 Sind M, N Mengen, dann heißt eine Menge R ⊆ M × N eine Relation zwischen M und N . Ist M = N , so nennen wir R eine Relation auf M. Für (x, y) ∈ R schreiben wir auch x ∼ R y oder x ∼ y, wenn klar ist, um welche Relation es sich handelt.

3 Benannt nach René Descartes (1596–1650), französischer Philosoph und Mathematiker, einer der Begründer der analytischen Geometrie. Georg Cantor benutzte 1895 den Namen „Verbindungsmenge von M und N “ und die Notation (M.N ) = {(m, n)}.

18

2 Mathematische Grundbegriffe

Ist (mindestens) eine der Mengen M und N leer, so ist jede Relation zwischen M und N ebenfalls die leere Menge. Sind zum Beispiel M = N und N = Q, dann ist R = {(x, y) ∈ M × N | x y = 1} eine Relation zwischen M und N , die auch wie folgt angegeben werden kann: R = {(1, 1), (2, 1/2), (3, 1/3), . . . } = {(n, 1/n) | n ∈ N}. Definition 2.23 Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt (1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x, (2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y) ⇒ (y ∼ x), (3) transitiv, falls für alle x, y, z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z). Falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, so nennen wir R eine Äquivalenzrelation auf M. Beispiel 2.24 (1) Sei R = {(x, y) ∈ Q2 | x + y = 0}, d. h. x ∼ y gilt, wenn x + y = 0 ist. R ist nicht reflexiv, denn nur für x = 0 gilt x ∼ x. R ist symmetrisch, denn aus x + y = 0 folgt y + x = 0. R ist nicht transitiv, denn aus x ∼ y und y ∼ z folgt x = −y und z = −y, also x − z = 0 und nicht x + z = 0. (2) Die Relation R = {(x, y) ∈ Z2 | x ≤ y} ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. (3) Ist f : M → N eine Abbildung, dann ist R = {(x, y) ∈ M 2 | f (x) = f (y)} eine Äquivalenzrelation auf M, denn es gelten: Reflexivität: Symmetrie: Transitivität:

f (x) = f (x), ∀x ∈ M. f (x) = f (y) ⇒ f (y) = f (x), ∀x, y ∈ M. f (x) = f (y) ∧ f (y) = f (z) ⇒ f (x) = f (z), ∀x, y, z ∈ M.

Definition 2.25 Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Dann heißt für x ∈ M die Menge [x] R := {y ∈ M | (x, y) ∈ R} = {y ∈ M | x ∼ y} die Äquivalenzklasse von x (bezüglich R). Die Äquivalenzklasse [x] R eines Elements x ∈ M ist niemals die leere Menge, denn es gilt stets x ∼ x (Reflexivität) und somit x ∈ [x] R . Wenn klar ist, um welche Äquivalenzrelation R es sich handelt, schreiben wir oft lediglich [x] anstatt [x] R . Satz 2.26 Ist R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und sind x, y ∈ M, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) [x] = [y]. (2) [x] ∩ [y] = Ø. (3) x ∼ y.

2.3

Relationen

19

Beweis (1) ⇒ (2): Wegen x ∼ x ist x ∈ [x]. Aus [x] = [y] folgt dann x ∈ [y] und somit x ∈ [x] ∩ [y]. (2) ⇒ (3): Wegen [x] ∩ [y] = Ø, gibt es ein z ∈ [x] ∩ [y]. Für dieses gilt x ∼ z und y ∼ z, also x ∼ z und z ∼ y (Symmetrie) und somit x ∼ y (Transitivität). (3) ⇒ (1): Sei x ∼ y und sei z ∈ [x], d. h. x ∼ z. Aus x ∼ y folgt nun mit Hilfe der Transitivität und Symmetrie, dass y ∼ z, also z ∈ [y]. Das heißt, es gilt [x] ⊆ [y]. Genauso zeigt man [y] ⊆ [x], so dass [x] = [y] folgt. 2 Satz 2.26 zeigt, dass für zwei Äquivalenzklassen [x] und [y] stets entweder [x] = [y] oder [x] ∩ [y] = Ø gilt. Da jedes x ∈ M in einer Äquivalenzklasse liegt (nämlich in [x]), liefert uns eine Äquivalenzrelation R somit eine Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen. Jedes Element der Menge [x] heißt Vertreter oder Repräsentant der Äquivalenzklasse [x]. Insbesondere ist x ein Repräsentant von [x]. Später werden wir für bestimmte Mengen von Objekten (z. B. Mengen von Matrizen) Einteilungen in Äquivalenzklassen vornehmen und versuchen, in jeder Klasse einen Vertreter mit „besonders einfachen Eigenschaften“ zu bestimmen. Einen solchen Vertreter werden wir dann eine Normalform bezüglich der gegebenen Äquivalenzrelation nennen. Beispiel 2.27 Für eine gegebene Zahl n ∈ N ist die Menge Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar} eine Äquivalenzrelation auf Z, denn es gelten: Reflexivität: a − a = 0 ist ohne Rest durch n teilbar. Symmetrie: Falls a − b ohne Rest durch n teilbar ist, so gilt dies auch für b − a. Transitivität: Sind a − b und b − c ohne Rest durch n teilbar, dann gilt a − c = (a − b) + (b − c). Beide Summanden auf der rechten Seite sind ohne Rest durch n teilbar, daher gilt dies auch für a − c. Für a ∈ Z heißt die Äquivalenzklasse [a] bezüglich der Relation Rn die Restklasse von a modulo n. Wie man leicht sieht ist [a] = a + nZ := {a + nz | z ∈ Z}. Die Äquivalenzrelation Rn liefert uns eine Zerlegung der Menge Z in n disjunkte Teilmengen. Insbesondere gilt [0] ∪ [1] ∪ · · · ∪ [n − 1] =

n−1 

[a] = Z.

a=0

Die Menge aller Restklassen modulo n bezeichnet man häufig mit Z/nZ, also Z/nZ := {[0], [1], . . . , [n − 1]}. Diese Menge spielt im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

20

2 Mathematische Grundbegriffe

Aufgaben 2.1

Seien A, B, C Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen wahr sind: (a) [A ⇔ B] ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)]. (b) Für ∧ und ∨ gelten die Assoziativgesetze [(A ∧ B) ∧ C] ⇔ [A ∧ (B ∧ C)],

[(A ∨ B) ∨ C] ⇔ [ A ∨ (B ∨ C].

(c) Für ∧ und ∨ gelten die Kommutativgesetze (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A),

(A ∨ B) ⇔ (B ∨ A).

(d) Für ∧ und ∨ gelten die Distributivgesetze [(A ∧ B) ∨ C] ⇔ [(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)], [(A ∨ B) ∧ C] ⇔ [(A ∧ C) ∨ (B ∧ C)]. 2.2 2.3

Beweisen Sie Satz 2.8. Zeigen Sie, dass für zwei Mengen M, N gilt: N⊆M

2.4

2.5

⇔

M∩N =N

⇔

M ∪ N = M.

Seien X, Y nicht leere Mengen, U, V ⊆ Y nicht leere Teilmengen und sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f −1 (U ∩ V ) = f −1 (U ) ∩ f −1 (V ) gilt. Seien nun U, V ⊆ X nicht leer. Überprüfen Sie, ob f (U ∪ V ) = f (U ) ∪ f (V ) gilt. Sind folgende Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv? (a) f 1 : R2 → R, (x, y) → x + y. (b) f 2 : R2 → R, (x, y) → x 2 + y 2 − 1.

2.6

Beweisen Sie, dass für zwei Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z folgende Aussagen gelten: (a) g ◦ f ist surjektiv ⇒ g ist surjektiv. (b) g ◦ f ist injektiv ⇒ f ist injektiv.

2.7 2.8 2.9 2.10

Beweisen Sie Lemma 2.15. Beweisen Sie Satz 2.17. Beweisen Sie Satz 2.20 (1). Sei a ∈ Z gegeben. Zeigen Sie, dass die Abbildung f a : Z → Z, fa (x) = x + a, bijektiv ist. 2.11 Finden Sie Abbildungen f, g : N → N, so dass (gleichzeitig) gilt: • f ist nicht surjektiv, • g ist nicht injektiv und • g ◦ f ist bijektiv.

Kapitel 3

Algebraische Strukturen

Unter einer algebraischen Struktur versteht man eine Menge zusammen mit „Verknüpfungen“ ihrer Elemente, die gewissen Bedingungen genügen. Als Beispiel einer solchen Struktur stelle man sich die ganzen Zahlen und die Addition „+“ vor. Welche Eigenschaften hat die Addition? Bereits in der Grundschule lernt man, dass die Summe a + b zweier ganzer Zahlen a und b eine ganze Zahl ist. Zudem gibt es die ganze Zahl 0, für die a + 0 = a für jede ganze Zahl a gilt, und für jede ganze Zahl a gibt es die ganze Zahl −a, so dass a + (−a) = 0 ist. Die Analyse der Eigenschaften solcher konkreten Beispiele führt in der Mathematik häufig auf Definitionen abstrakter Konzepte, die aus wenigen und einfachen Grundsätzen, den sogenannten Axiomen, bestehen. Für die ganzen Zahlen und die Addition führt dies auf die algebraische Struktur der Gruppe. Das Prinzip der Abstraktion von konkreten Beispielen ist eine der Stärken und grundlegenden Arbeitsweisen der Mathematik. Indem wir den „mathematischen Kern herausgeschält und völlig enthüllt haben“ (David Hilbert) erleichtern wir uns auch die Folgearbeiten: Jede bewiesene Aussage über ein abstraktes Konzept gilt automatisch für alle konkreten Beispiele. Zudem können wir durch Kombination einmal definierter Konzepte zu allgemeineren fortschreiten und so die mathematische Theorie Stück für Stück erweitern. Der deutsche Mathematiker Hermann Günther Graßmann (1809–1877) beschrieb bereits 1844 dieses Vorgehen mit den Worten: „... die mathematische Methode hingegen schreitet von den einfachsten Begriffen zu den zusammengesetzteren fort, und gewinnt so durch Verknüpfung des Besonderen neue und allgemeinere Begriffe.“

3.1 Gruppen Wir beginnen mit einer Menge, auf der eine Verknüpfung mit bestimmten Eigenschaften definiert ist. Definition 3.1 Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Abbildung, genannt Operation oder Verknüpfung, ⊕ : G × G → G,

(a, b) → a ⊕ b,

für die folgende Regeln erfüllt sind: (1) Die Verknüpfung ⊕ ist assoziativ, d. h. (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) gilt für alle a, b, c ∈ G. (2) Es gibt ein Element e ∈ G, genannt neutrales Element, für das gilt: J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_3,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

21

22

3 Algebraische Strukturen

(a) e ⊕ a = a für alle a ∈ G. (b) Zu jedem a ∈ G gibt es ein  a ∈ G, genannt inverses Element zu a, mit  a ⊕ a = e. Falls a ⊕ b = b ⊕ a für alle a, b ∈ G gilt, so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.1 Als Kurzbezeichnung für eine Gruppe benutzen wir (G, ⊕) oder lediglich G, wenn klar ist, um welche Verknüpfung es sich handelt. In Definition 3.1 werden die Existenz mindestens eines neutralen Elementes e ∈ G, sowie zu jedem a ∈ G die Existenz mindestens eines inversen Elementes gefordert. Das folgende Resultat zeigt, dass sowohl das neutrale Element der Gruppe, als auch das zu a ∈ G inverse Element eindeutig bestimmt sind. Zudem kommutiert jedes a ∈ G sowohl mit dem neutralen Element, als auch mit seinem inversen Element. Satz 3.2 Für jede Gruppe (G, ⊕) gelten: (1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element  a ∈ G. Für dieses gilt  a⊕a = a ⊕ a = e. (2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt e ⊕ a = a ⊕ e = a für alle a ∈ G. Beweis Sei e ∈ G ein neutrales Element und sei a ∈ G beliebig. Per Definition einer Gruppe gibt es ein inverses Element a1 ∈ G, so dass a1 ⊕ a = e ist. Ist a2 ∈ G ein inverses Element zu a1 , d. h. es gilt a2 ⊕ a1 = e, dann folgt a ⊕ a1 = e ⊕ (a ⊕ a1 ) = (a2 ⊕ a1 ) ⊕ (a ⊕ a1 ) = a2 ⊕ (a1 ⊕ (a ⊕ a1 )) = a2 ⊕ ((a1 ⊕ a) ⊕ a1 ) = a2 ⊕ (e ⊕ a1 ) = a2 ⊕ a1 = e. Somit erhalten wir a ⊕ e = a ⊕ (a1 ⊕ a) = (a ⊕ a1 ) ⊕ a = e ⊕ a = a. Ist nun a3 ∈ G ein weiteres inverses Element zu a, so folgt a3 = a3 ⊕ e = a3 ⊕ (a ⊕ a1 ) = (a3 ⊕ a) ⊕ a1 = e ⊕ a1 = a1 , also ist das inverse Element zu a eindeutig. Ist schließlich  e ∈ G ein weiteres neutrales Element, dann gilt  e = e ⊕ e = e (die erste Gleichung gilt, weil e ein neutrales Element in G ist und  e ∈ G ist; die zweite Gleichung gilt, weil a ⊕  e = a für alle a ∈ G gilt). Das neutrale Element ist somit eindeutig. 2 Beispiel 3.3 (1) (Z, +), (Q, +) und (R, +) sind kommutative Gruppen. In allen diesen Gruppen ist das neutrale Element die Zahl 0 (Null) und das zu einer Zahl a inverse Element ist die Zahl −a. Anstelle von a + (−b) schreibt man a − b. Weil die Verknüpfung die Addition ist, nennt man diese Gruppen auch additive Gruppen.

1

Benannt nach Niels Henrik Abel (1802–1829), norwegischer Mathematiker, einer der Begründer der Gruppentheorie.

3.2

Ringe und Körper

23

Keine Gruppe bildet die Menge der natürlichen Zahlen N mit der Addition, denn es gibt in N kein neutrales Element bezüglich der Addition und auch keine inversen Elemente. (2) Die Mengen Q \ {0} und R \ {0} bilden jeweils mit der (gewöhnlichen) Multiplikation kommutative Gruppen. In diesen, die wegen der multiplikativen Verknüpfung auch multiplikative Gruppen genannt werden, ist das neutrale Element die Zahl 1 (Eins) und das zu einer Zahl a inverse Element die Zahl a1 (oder a −1 ). Anstelle von a · b−1 schreibt man ab oder a/b. Keine Gruppe bilden die ganzen Zahlen Z mit der Multiplikation. Zwar enthält die Menge Z die Zahl 1, für die 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ Z gilt, aber für a ∈ Z \ {−1, 1} existiert in Z kein inverses Element bezüglich der Multiplikation. Definition 3.4 Ist (G, ⊕) eine Gruppe und H ⊆ G, dann heißt (H, ⊕) Untergruppe von (G, ⊕), wenn (H, ⊕) selbst eine Gruppe ist. Der folgende Satz enthält eine alternative Charakterisierung des Begriffs der Untergruppe. Satz 3.5 (H, ⊕) ist genau dann eine Untergruppe der Gruppe (G, ⊕), wenn Folgendes gilt: (1) Ø = H ⊆ G. (2) a ⊕ b ∈ H für alle a, b ∈ H . (3) Für jedes a ∈ H ist sein inverses Element  a ∈ H. 2

Beweis Übungsaufgabe. Wir erwähnen noch die folgende Definition, auf die wir später zurückkommen werden. Definition 3.6 Seien (G 1 , ⊕) und (G 2 , ) Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G 1 → G 2,

g → ϕ(g)

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn ϕ(a ⊕ b) = ϕ(a)  ϕ(b),

∀ a, b ∈ G 1

gilt. Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus wird Gruppenisomorphismus genannt.

3.2 Ringe und Körper Nun wollen wir den Gruppenbegriff erweitern und mathematische Strukturen betrachten, die durch zwei Verknüpfungen gekennzeichnet sind. Als motivierendes Beispiel betrachten wir die ganzen Zahlen mit der Addition, also die Gruppe (Z, +). Die Elemente von Z können wir miteinander multiplizieren und diese Multiplikation ist assoziativ, d. h. es gilt (a · b) · c = a · (b · c) für alle a, b, c ∈ Z. Zudem gelten für die Addition und Multiplikation die sogenannten Distributivgesetze: a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c für alle ganzen Zahlen a, b, c. Diese Eigenschaften machen Z zusammen mit Addition und Multiplikation zu einem Ring.

24

3 Algebraische Strukturen

Definition 3.7 Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Abbildungen, genannt Operationen oder Verknüpfungen, + : R × R → R,

(a, b) → a + b,

(Addition)

∗ : R × R → R,

(a, b) → a ∗ b,

(Multiplikation)

für die folgende Regeln erfüllt sind: (1) (R, +) ist eine kommutative Gruppe. (Wir nennen das neutrale Element bzgl. der Addition Null, bezeichnen es mit 0, und bezeichnen das zu a ∈ R inverse Element mit −a. Wir schreiben a − b anstatt a + (−b).) (2) Die Multiplikation ∗ ist assoziativ, d. h. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) gilt für alle a, b, c ∈ R. (3) Es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle a, b, c ∈ R gilt a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c, (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c. Ein Ring heißt kommutativ, falls a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ R gilt. Ein Element 1 ∈ R heißt Einselement (kurz: Eins), falls 1 ∗ a = a ∗ 1 = a für alle a ∈ R gilt. In diesem Fall nennen wir den Ring einen Ring mit Eins. Analog zur Schreibweise für Gruppen bezeichnen wir einen Ring mit (R, +, ∗), bzw. nur mit R, wenn klar ist, um welche Verknüpfungen es sich handelt. Ist R ein Ring mit Einselement, dann ist das Einselement eindeutig. Gilt nämlich 1 ∗ a = a ∗ 1 = a für alle a ∈ R und gibt es ein e ∈ R mit e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ R, dann folgt 1 = e ∗ 1 = e. Sind a1 , a2 , . . . , an ∈ R, so benutzen wir die folgenden Abkürzungen für die Summe und das Produkt dieser Elemente: n 

a j := a1 + a2 + . . . + an

und

j=1

n 

a j := a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ an .

j=1

Ist  > k, so definieren wir die leere Summe und das leere Produkt durch k  j=

a j := 0 und

k 

a j := 1.

j=

Satz 3.8 In jedem Ring R gelten folgende Aussagen: (1) 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0 für alle a ∈ R. (2) a ∗ (−b) = −(a ∗ b) = (−a) ∗ b und (−a) ∗ (−b) = a ∗ b für alle a, b ∈ R. Beweis (1) Für jedes a ∈ R gilt 0 ∗ a = (0 + 0) ∗ a = (0 ∗ a) + (0 ∗ a). Addieren wir −(0 ∗ a) auf der linken und rechten Seite dieser Identität, so erhalten wir 0 = 0 ∗ a. Genauso zeigt man a ∗ 0 = 0 für alle a ∈ R.

3.2

Ringe und Körper

25

(2) Es gilt (a ∗ b) + (a ∗ (−b)) = a ∗ (b + (−b)) = a ∗ 0 = 0, also ist a ∗ (−b) das zu a ∗ b additiv inverse Element, d. h. a ∗ (−b) = −(a ∗ b). Ähnlich zeigt man (−a) ∗ b = −(a ∗ b). Zudem gilt 0 = 0 ∗ (−b) = (a + (−a)) ∗ (−b) = a ∗ (−b) + (−a) ∗ (−b) = −(a ∗ b) + (−a) ∗ (−b) und daher (−a) ∗ (−b) = a ∗ b.

2

Es ist leicht ersichtlich, dass (Z, +, ∗) ein kommutativer Ring mit Eins ist. Dies ist das Standardbeispiel, nach dem die Definition des Rings „modelliert“ ist. Beispiel 3.9 Sei M eine nicht leere Menge und sei R die Menge aller Abbildungen f : M → R. Dann ist (R, +, ∗) mit den Verknüpfungen + : R × R → R, ∗ : R × R → R,

( f, g) → f + g,

( f + g)(x) := f (x) + g(x),

( f, g) → f ∗ g,

( f ∗ g)(x) := f (x) · g(x)

ein kommutativer Ring mit Eins. Hierbei sind f (x) + g(x) bzw. f (x) · g(x) die Summe bzw. das Produkt zweier reeller Zahlen. Die Eins in diesem Ring ist die Abbildung f : M → R mit f (x) = 1 für alle x ∈ M. In der Definition eines Rings kommen inverse Elemente nur bezüglich der Addition vor. Das Konzept der multiplikativen Inversen wollen wir nun für einen Ring formal definieren. Definition 3.10 Sei (R, +, ∗) ein Ring mit Eins. Ein Element b ∈ R heißt invers (bezüglich ∗) zu a ∈ R, falls a ∗ b = b ∗ a = 1. Falls es zu a ∈ R ein inverses Element b ∈ R gibt, so nennen wir a invertierbar. Nicht jedes Element in einem Ring muss invertierbar sein. Falls aber ein Element invertierbar ist, so ist das inverse Element eindeutig, wie der folgende Satz zeigt. Satz 3.11 Sei (R, +, ∗) ein Ring mit Eins. (1) Falls zu a ∈ R ein inverses Element (bezüglich ∗) existiert, so ist dieses eindeutig. Wir bezeichnen es dann mit a −1 . (2) Sind a, b ∈ R invertierbar, so ist a ∗ b invertierbar und (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a −1 . Beweis (1) Sei a ∈ R und sei b ∈ R invers zu a. Ist nun  b ∈ R ebenfalls invers zu a, so folgt b = b ∗ 1 = b ∗ (a ∗  b) = (b ∗ a) ∗  b = 1 ∗ b = b. (2) Sei c = b−1 ∗ a −1 , dann gilt c ∗ (a ∗ b) = (c ∗ a) ∗ b = ((b−1 ∗ a −1 ) ∗ a)) ∗ b = (b−1 ∗ (a −1 ∗ a)) ∗ b = b−1 ∗ b = 1. Genauso zeigt man (a ∗ b) ∗ c = 1, so dass c = (a ∗ b)−1 ist.

2

26

3 Algebraische Strukturen

Was unterscheidet die ganzen Zahlen von den rationalen und den reellen Zahlen? Aus algebraischer Sicht ist der zentrale Unterschied, dass in den Mengen Q und R jedes Element (bis auf die Null) invertierbar ist. Diese Mengen haben somit „mehr Struktur“ als Z. Die zusätzliche Struktur macht Q und R zu Körpern. Definition 3.12 Ein kommutativer Ring R mit Eins heißt Körper, falls 0 = 1 gilt und jedes a ∈ R \ {0} invertierbar ist. Jeder Körper ist per Definition also ein kommutativer Ring mit Eins (aber nicht umgekehrt). Man kann den Begriff des Körpers alternativ auch wie folgt, aufbauend auf dem Begriff der Gruppe, definieren. Definition 3.13 Ein Körper ist eine Menge K mit zwei Abbildungen, genannt Operationen oder Verknüpfungen, + : K × K → K, ∗ : K × K → K,

(a, b) → a + b, (a, b) → a ∗ b,

(Addition) (Multiplikation)

für die die folgenden Regeln erfüllt sind: (1) (K , +) ist eine kommutative Gruppe. (Wir nennen das neutrale Element bzgl. der Addition Null, bezeichnen es mit 0, und bezeichnen das zu a ∈ K inverse Element mit −a. Wir schreiben a − b anstatt a + (−b).) (2) (K \ {0}, ∗) ist eine kommutative Gruppe. (Wir nennen das neutrale Element bzgl. der Multiplikation Eins, bezeichnen es mit 1, und bezeichnen das zu a ∈ K \ {0} inverse Element mit a −1 .) (3) Es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle a, b, c ∈ K gilt a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c, (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c. Wir zeigen nun eine Reihe von nützlichen Eigenschaften eines Körpers. Lemma 3.14 Für jeden Körper K gelten folgende Aussagen: (1) (2) (3) (4)

K hat mindestens zwei Elemente. 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0 für alle a ∈ K . a ∗ b = a ∗ c und a = 0 impliziert b = c für alle a, b, c ∈ K . a ∗ b = 0 impliziert a = 0 oder b = 0, für alle a, b ∈ K .

Beweis (1) Dies folgt aus der Definition, denn 0, 1 ∈ K mit 0 = 1. (2) Dies haben wir bereits für Ringe gezeigt, siehe Satz 3.8. (3) Gelten a ∗ b = a ∗ c und a = 0, so ist a invertierbar und Multiplikation mit a −1 von links auf beiden Seiten liefert b = c. (4) Angenommen es gilt a ∗ b = 0. Ist a = 0, so sind wir fertig. Ist a = 0, so existiert a −1 und aus a ∗ b = 0 folgt nach Linksmultiplikation mit a −1 , dass b = 0 ist. 2

3.2

Ringe und Körper

27

Ist R ein Ring, so heißt a ∈ R ein Teiler der Null oder Nullteiler,2 wenn ein b ∈ R mit a ∗ b = 0 existiert. Das Element a = 0 (also die Null selbst) wird als der triviale Nullteiler bezeichnet. Eigenschaft (4) in Lemma 3.14 bedeutet, dass es in einem Körper nur den trivialen Nullteiler gibt. Es gibt auch Ringe, in denen die Eigenschaft (4) gilt (zum Beispiel den Ring der ganzen Zahlen Z). Später werden wir am Beispiel der Matrizen Ringe kennenlernen, die nicht-triviale Nullteiler haben. Ähnlich wie bei Gruppen können wir auch bei Körpern Teilmengen identifizieren, die ihrerseits wieder Körper sind. Definition 3.15 Ist (K , +, ∗) ein Körper und L ⊆ K , dann heißt (L , +, ∗) Teilkörper von (K , +, ∗), wenn (L , +, ∗) selbst ein Körper ist. Wir betrachten nun zwei wichtige Beispiele für die obigen algebraischen Grundbegriffe, den Körper der komplexen Zahlen und den Ring der Polynome. Beispiel 3.16 Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als C := { (x, y) | x, y ∈ R }, also C = R × R. Auf dieser Menge definieren wir die folgenden Verknüpfungen als Addition und Multiplikation: + : C × C → C, · : C × C → C,

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x 2 , y1 + y2 ), (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 · x 2 − y1 · y2 , x 1 · y2 + x 2 · y1 ).

In diesen Definitionen benutzen wir jeweils auf der rechten Seite die Addition und die Multiplikation im Körper der reellen Zahlen. Es ist leicht zu sehen, dass neutrale Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation in C gegeben sind durch 0C = (0, 0) 1C = (1, 0)

(die Null in C), (die Eins in C).

Man kann nachrechnen, dass (C, +, ∗) ein Körper ist, wobei die inversen Elemente bezüglich Addition und Multiplikation gegeben sind durch −(x, y) = (−x, −y), für alle (x, y) ∈ C,   x y −1 , für alle (x, y) ∈ C \ {(0, 0)}. ,− 2 (x, y) = x 2 + y2 x + y2 Beim inversen Element bezüglich der Multiplikation haben wir die für R übliche Schreibweise ab (anstatt a · b−1 ) benutzt. Nun betrachten wir die Teilmenge L := {(x, 0) | x ∈ R} ⊂ C. Wir können jedes x ∈ R mit einem Element der Menge L mittels der (bijektiven) Abbildung x → (x, 0) identifizieren. 2

Der Begriff „Theiler der Null“ wurde 1883 vom deutschen Mathematiker Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897) eingeführt.

28

3 Algebraische Strukturen

Insbesondere gelten 0R → (0, 0) = 0C und 1R → (1, 0) = 1C . So können wir R als Teilkörper von C auffassen (obwohl R strenggenommen keine Teilmenge von C ist), und wir brauchen nicht zwischen den Null- und Einselementen in R und C zu unterscheiden. Eine besondere komplexe Zahl ist die imaginäre Einheit (0, 1). Für diese Zahl gilt (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1. Hier haben wir in der letzten Gleichung die reelle Zahl −1 mit der komplexen Zahl (−1, 0) identifiziert. Die imaginäre Einheit wird mit i bezeichnet, d. h. i := (0, 1), so dass die gerade gezeigte Identität als i2 = −1 geschrieben werden kann. Mit der Identifikation von x ∈ R mit (x, 0) ∈ C kann z = (x, y) ∈ C geschrieben werden als (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) = x + i y = Re(z) + i Im(z). Im letzten Ausdruck sind Re(z) = x und Im(z) = y die Kurzbezeichnungen für Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl z = (x, y). Es gilt (0, 1) · (y, 0) = (y, 0) · (0, 1), d. h. iy = yi. Daher ist es erlaubt, die komplexe Zahl x + iy als x + yi zu schreiben. Für eine gegebene komplexe Zahl z = (x, y) bzw. z = x + i y heißt z := (x, −y) bzw. z := x − i y die zugehörige konjugiert komplexe Zahl. Mit Hilfe der (reellen) Quadratwurzel definiert man den Betrag einer komplexen Zahl als

1/2 2

1/2 = x − i x y + i yx − i2 y 2 |z| : = (zz)1/2 = (x + i y) (x − i y) = (x 2 + y 2 )1/2 . Zur Vereinfachung der Schreibweise haben wir hier das Multiplikationszeichen zwischen zwei komplexen Zahlen weggelassen. Die obige Gleichung zeigt, dass der Betrag jeder komplexen Zahl eine nicht-negative reelle Zahl ist. Weitere Eigenschaften des Betrages von komplexen Zahlen sind in den Aufgaben am Ende des Kapitels nachzuweisen. Beispiel 3.17 Sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Polynom mit Koeffizienten in R in der „Unbekannten“ t (kurz: ein Polynom über R) ist ein Ausdruck der Form p = α0 · t 0 + α1 · t 1 + . . . + αn · t n ,

α0 , α1 , . . . , αn ∈ R.

Anstatt α0 · t 0 , t 1 und α j · t j schreiben wir oft nur α0 , t und α j t j . Der Grad des Polynoms p, bezeichnet mit Grad( p), ist definiert als der größte Index j, für den α j = 0 gilt. Gibt es keinen solchen Index, so ist p = 0 · t 0 = 0 (das „Nullpolynom“) und wir setzen Grad(0) := −∞. Die Menge aller Polynome über R bezeichnen wir mit R[t]. Zwei Polynome p, q ∈ K [t] heißen gleich, geschrieben p = q, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Somit sind die Polynome p = α0 + α1 · t + . . . + αn · t n ,

q = β0 + β1 · t + . . . + βm · t m

Aufgaben

29

genau dann gleich, wenn n = m und α j = β j für j = 0, 1, . . . , n gilt. Insbesondere ist p = α0 + α1 · t + . . . + αn · t n = αn · t n + . . . + α1 t 1 + α0 . Sind p, q ∈ R[t] wie oben mit n ≥ m, so setzen wir βm+1 = . . . = βn = 0 und definieren die folgenden Verknüpfungen: p + q := (α0 + β0 ) + (α1 + β1 ) · t + . . . + (αn + βn ) · t n ,  αi β j . p ∗ q := γ0 + γ1 · t + . . . + γn+m · t n+m , γk := i+ j=k

Man rechnet leicht nach, dass (R[t], +, ∗) mit diesen Verknüpfungen ein kommutativer Ring mit Eins ist. Die Null ist das Nullpolynom p = 0 und die Eins ist p = 1 · t 0 = 1. Es handelt sich nicht um einen Körper, denn nicht jedes Polynom p ∈ R[t] \ {0} ist invertierbar (selbst dann nicht, wenn R ein Körper ist). Bei Polynomen handelt es sich um algebraische Objekte, in die wir für die Unbekannte t andere Objekte „einsetzen“ können, wenn der entstehende Ausdruck noch algebraisch ausgewertet werden kann. Zum Beispiel läßt sich die Unbekannte t durch jedes λ ∈ R ersetzen und die Addition und Multiplikation können dann als die entsprechenden Operationen im Ring R interpretiert werden. Formal ist dies eine Abbildung von R nach R, λ → p(λ) = α0 + α1 · λ + . . . + αn · λn ,

λk := λ · . . . · λ, k = 1, . . . , n. k−mal

Bei p(λ) handelt es sich dann um ein Element des Rings R, das nicht mit dem eigentlichen Polynom p verwechselt werden sollte. Später werden wir noch andere Objekte, z. B. Matrizen oder Endomorphismen, in Polynome einsetzen. Die Eigenschaften der Polynome werden wir dann ausführlich studieren.

Aufgaben 3.1

Stellen Sie jeweils fest, ob (M, ⊕) eine Gruppe ist: (a) M = {x ∈ R | x > 0} und ⊕ : M × M → M, (a, b) → a b . (b) M = R \ {0} und ⊕ : M × M → M, (a, b) → ab .

3.2

Seien a, b ∈ R, die Abbildung f a,b : R × R → R × R,

3.3 3.4

(x, y) → (ax − by, ay),

und die Menge G := { f a,b | a, b ∈ R, a = 0} gegeben. Zeigen Sie, dass (G, ⊕) eine nicht-kommutative Gruppe ist, wobei die Verknüpfung ⊕ : G × G → G als die Komposition zweier Abbildungen definiert ist (vgl. Definition 2.16). Beweisen Sie Satz 3.5. Sei (G, ⊕) eine Gruppe. Für ein gegebenes a ∈ G definieren wir die Menge Z G (a) := {g ∈ G | a ⊕ g = g ⊕ a}. Zeigen Sie, dass Z G (a) eine Untergruppe von G ist.

30

3.5

3 Algebraische Strukturen

(Diese Untergruppe aller mit a kommutierender Elemente von G heißt der Zentralisator von a.) Sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus und seien eG und e H die neutralen Elemente der Gruppen G und H . (a) Zeigen Sie, dass ϕ(eG ) = e H ist. (b) Sei ker(ϕ) := {g ∈ G | ϕ(g) = e H }. Zeigen Sie, dass ϕ genau dann injektiv ist, wenn ker(ϕ) = {eG } gilt.

3.6

3.7 3.8

Weisen Sie die verschiedenen Eigenschaften aus Definition 3.7 für (R, +, ∗) aus Beispiel 3.9 nach, um zu zeigen, dass (R, +, ∗) ein kommutativer Ring mit Eins ist. Angenommen wir ersetzen in Beispiel 3.9 die Menge R (den Wertebereich der Abbildungen) durch einen kommutativen Ring mit Eins. Ist dann (R, +, ∗) immer noch ein kommutativer Ring mit Eins? Sei R ein Ring mit Eins. Zeigen Sie, dass entweder 1 = 0 oder R = {0} gilt. Sei (R, +, ∗) ein Ring mit Eins und sei R × die Menge aller invertierbaren Elemente von R. Bestimmen Sie die Mengen Z× , K × und K [t]× und zeigen Sie folgende Aussagen: (a) (R × , ∗) ist eine Gruppe. (b) Ist R kommutativ, so gilt (R[t])× = R × .

3.9

Sei (K , +, ∗) ein Körper. Zeigen Sie, dass (L , +, ∗) genau dann ein Teilkörper von (K , +, ∗) ist (vgl. Definition 3.15), wenn Folgendes gilt: (1) (2) (3) (4) (5)

L ⊆ K. 0, 1 ∈ L. a + b ∈ L und a ∗ b ∈ L für alle a, b ∈ L. −a ∈ L für alle a ∈ L. a −1 ∈ L für alle a ∈ L \ {0}.

3.10 Zeigen Sie, dass in einem Körper 1 + 1 = 0 genau dann gilt, wenn 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ist. 3.11 Sei K [t] die Menge der Polynome über dem Körper K . Wir definieren die Menge der   rationalen Funktionen über K durch K (t) := r = qp | p, q ∈ K [t], q = 0 . Zeigen Sie, dass (K (t), +, ·) mit den Verknüpfungen + : K (t) × K (t) → K (t), · : K (t) × K (t) → K (t),

(r1 , r2 ) → r1 + r2 = (r1 , r2 ) → r1 r2 =

p1 p2 p1 q2 + p2 q1 + := , q1 q2 q1 q 2

p 1 p2 p1 p 2 · := q1 q2 q1 q2

ein Körper ist. 3.12 Seien a = 2 + i ∈ C und b = 1 − 3i ∈ C. Berechnen Sie −a, −b, a + b, a − b, a −1 , b−1 , a −1 a, b−1 b, ab, ba.

Aufgaben

31

3.13 Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für die komplexen Zahlen: (a) (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 und (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 für alle z 1 , z 2 ∈ C. (b) z −1 = (z)−1 und Re(z −1 ) =

1 Re(z) |z|2

für alle z ∈ C \ {0}.

3.14 Zeigen Sie, dass der Betrag von komplexen Zahlen die folgenden Eigenschaften erfüllt: (a) |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 | für alle z 1 , z 2 ∈ C. (b) |z| ≥ 0 für alle z ∈ C mit Gleichheit genau dann, wenn z = 0 ist. (c) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | für alle z 1 , z 2 ∈ C.

Kapitel 4

Matrizen

In diesem Kapitel definieren wir Matrizen mit ihren wichtigsten Operationen und wir studieren verschiedene aus Matrizen gebildete Gruppen und Ringe. Der englische Mathematiker James Joseph Sylvester erfand den Begriff „Matrix“ im Jahre 1850.1 Die in diesem Kapitel definierten Matrix-Operationen führte Sylvesters Landsmann Arthur Cayley 1858 ein, als er in seinem Artikel „A memoir on the theory of matrices“ erstmals Matrizen als eigenständige algebraische Objekte betrachtete. Für uns bilden Matrizen den zentralen Zugang zur Theorie der Linearen Algebra.

4.1 Grundlegende Definitionen und Operationen Wir beginnen mit der formalen Definition der Matrizen. Definition 4.1 Sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins und seien n, m ∈ N0 := N∪{0}. Ein Feld der Form ⎡

a11 ⎢a ⎢ 21 A = [ai j ] = ⎢ ⎢ .. ⎣ . an1

a12 a22 .. . an2

··· ···

⎤ a1m a2m ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ . ⎦

· · · anm

mit ai j ∈ R, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, heißt (n × m)-Matrix mit Einträgen (Koeffizienten) in R (kurz: (n × m)-Matrix über R). Die Menge aller (n × m)-Matrizen über R bezeichnen wir mit R n,m . Formal erhalten wir für n = 0 oder m = 0 Matrizen der Form 0 × m, n × 0 oder 0 × 0. Diese „leeren Matrizen“ bezeichnen wir stets mit A = [ ]. Sie werden in manchen Beweisen aus technischen Gründen benötigt. Wenn wir jedoch später von algebraischen Strukturen wie Matrixgruppen oder -ringen sprechen, dann meinen wir stets Matrizen A ∈ R n,m mit n, m ≥ 1. 1

Das Wort „Matrix“ ist lateinisch und bedeutet „Gebärmutter“. Sylvester fasste in seiner Definition eine Matrix als ein Objekt auf, aus dem Determinanten (vgl. Kap. 7) „geboren werden“.

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_4,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

33

34

4 Matrizen

Die Nullmatrix in R n,m , bezeichnet mit 0n,m oder einfach 0, ist die Matrix bei der alle Einträge gleich 0 ∈ R sind. Ist n = m, so nennen wir A ∈ R n,n eine quadratische Matrix (oder nur quadratisch). Die Einträge aii für i = 1, . . . , n heißen die Diagonaleinträge von A. Die Einheitsmatrix in R n,n ist die Matrix In := [δi j ], wobei

δi j :=

1, falls i = j, 0, falls i = j,

(4.1)

die sogenannte Kronecker-Delta-Funktion2 ist. Wenn klar ist, um welches n es sich handelt, schreiben wir auch I anstatt In . Für n = 0 definieren wir I0 := [ ]. Die i-te Zeile von A ∈ R n,m ist [ai1 , ai2 , . . . , aim ] ∈ R 1,m , i = 1, . . . , n, wobei wir die Kommas zur optischen Trennung der einzelnen Einträge schreiben. Die j-te Spalte von A ist ⎡

⎤ a1 j ⎢ a2 j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ ∈ R n,1 , ⎣ . ⎦

j = 1, . . . , m.

an j Die Zeilen und Spalten einer Matrix sind somit für uns wieder Matrizen. Sind andererseits (1 × m)-Matrizen ai := [ai1 , ai2 , . . . , aim ] ∈ R 1,m , i = 1, . . . , n, gegeben, so können wir aus diesen die Matrix ⎤ ⎡ a11 a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢a21 ⎢ ⎥ ⎢ A=⎢ . ⎥=⎢ . ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎡

an

an1

a12 a22 .. . an2

··· ···

⎤ a1m a2m ⎥ ⎥ n,m .. ⎥ ∈ R . ⎦

· · · anm

bilden. Hier lassen wir die eckigen Klammern um die einzelnen Zeilen von A weg. Genauso entsteht aus den (n × 1)-Matrizen ⎤ ⎡ a1 j ⎢ a2 j ⎥ ⎥ ⎢ a j := ⎢ . ⎥ ∈ R n,1 , j = 1, . . . , m, ⎣ .. ⎦ an j die Matrix ⎡

2

a11 ⎢a21 ⎢ A = [a1 , a2 , . . . , am ] = ⎢ . ⎣ ..

a12 a22 .. .

an1

an2

Leopold Kronecker (1823–1891), deutscher Mathematiker.

··· ···

⎤ a1m a2m ⎥ ⎥ n,m .. ⎥ ∈ R . . ⎦

· · · anm

4.1

Grundlegende Definitionen und Operationen

35

Sind n 1 , n 2 , m 1 , m 2 ∈ N0 und Ai j ∈ R n i ,m j , i, j = 1, 2, so können wir aus diesen vier Matrizen die Matrix   A11 A12 A= ∈ R n 1 +n 2 ,m 1 +m 2 A21 A22 bilden. Die Matrizen Ai j heißen dann Blöcke der Blockmatrix A. Wir wollen nun vier verschiedene Operationen mit Matrizen definieren und beginnen mit der Addition: + : R n,m × R n,m → R n,m ,

(A, B) → A + B := [ai j + bi j ].

Die Addition in R n,m erfolgt also eintragsweise, basierend auf der Addition in R. Man beachte, dass die Addition nur für Matrizen gleicher Größe definiert ist. Die Multiplikation zweier Matrizen ist wie folgt definiert: ∗ : R n,m × R m,s → R n,s ,

(A, B) → A ∗ B = [ci j ],

ci j :=

m 

aik bk j .

k=1

Der Eintrag ci j des Produktes A ∗ B entsteht also durch die sukzessive Multiplikation und Aufsummierung der Einträge der i-ten Zeile von A und j-ten Spalte von B. Man beachte, dass wir in der Definition der Einträge ci j der Matrix A ∗ B kein Symbol für die multiplikative Verknüpfung von Elementen in R benutzt haben. Dies folgt der üblichen Konvention das Multiplikationszeichen einfach „wegzulassen“, wenn klar ist, um welche Multiplikation es sich handelt. Wir werden ab jetzt immer häufiger, insbesondere bei der Matrizenmultiplikation, von dieser Schreibvereinfachung Gebrauch machen. Um das Produkt A ∗ B definieren zu können, muss offensichtlich die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B sein. Die Merkregel cij gleich i-te Zeile von A mal j-te Spalte von B können wir wie folgt veranschaulichen: ⎡

b11 ⎢ .. ⎣ . bm1 ⎡

a11 ⎢ .. ⎢ . ⎢ ⎢[ai1 ⎢ ⎢ .. ⎣ . an1

⎤ a1m .. ⎥ . ⎥ ⎥ · · · aim ]⎥ ⎥ .. ⎥ . ⎦ · · · anm ···

··· ···

⎤ b1 j ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ ⎡

bm j

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

···

⎤ b1s .. ⎥ . ⎦

· · · bms

⎤

−→

↓ ci j

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Man beachte, dass die Matrizen-Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist!

36

4 Matrizen

Beispiel 4.2 Für die Matrizen 

 1 2 3 A= ∈ Z2,3 , 4 5 6

⎡

⎤ −1 1 B = ⎣ 0 0 ⎦ ∈ Z3,2 1 −1

gilt 

 2 −2 A∗B = ∈ Z2,2 . 2 −2 Andererseits ist B ∗ A ∈ Z3,3 . Obwohl also A ∗ B und B ∗ A beide definiert sind, gilt offensichtlich A ∗ B = B ∗ A. Die Nichtkommutativität der Matrizen-Multiplikation erkennt man in diesem Beispiel bereits an der Tatsache, dass die Matrizen A ∗ B und B ∗ A nicht die gleiche Größe haben. Aber auch wenn A ∗ B und B ∗ A beide definiert und gleich groß sind, muss nicht unbedingt A ∗ B = B ∗ A gelten. Zum Beispiel sind für     1 2 4 0 2,2 A= ∈Z , B= ∈ Z2,2 0 3 5 6 die beiden Produkte durch



A∗B =

14 12 15 18



 und

B∗A=



4 8 5 28

gegeben. Trotz der fehlenden Kommutativität erfüllt die Matrizenmultiplikation einige wichtige Eigenschaften. Insbesondere gelten Assoziativität und Distributivität.  ∈ R n,m , B,  Lemma 4.3 Für A, A B ∈ R m, und C ∈ R ,k gelten: (1) (2) (3) (4)

A ∗ (B ∗ C) = (A ∗ B) ∗ C.  ∗B = A∗B+ A  ∗ B. (A + A) A ∗ (B +  B) = A ∗ B + A ∗  B. In ∗ A = A ∗ Im = A.

Beweis Wir zeigen lediglich Eigenschaft (1); alle anderen sind Übungsaufgaben. Seien A ∈ R n,m , B ∈ R m, , C ∈ R ,k sowie [di j ] := (A ∗ B)∗C und [di j ] := A ∗(B ∗C). Per Definition der Matrizenmultiplikation und unter Ausnutzung der Distributivität und Assoziativität in R gilt dann  m       m m    

di j = ait bts cs j = ait bts cs j (ait bts ) cs j = s=1

=

m  t=1

t=1

ait

  

 bts cs j

s=1 t=1

s=1 t=1

= di j ,

s=1

für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ k, woraus (A ∗ B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C) folgt.

2

4.1

Grundlegende Definitionen und Operationen

37

Ist A ∈ R n,n , so definieren wir A := A ∗ A ∗. . . ∗ A,

für  ∈ N,

−mal

A0 := In . Es gibt noch eine weitere multiplikative Verknüpfung mit Matrizen, nämlich die Multiplikation mit einem Skalar 3 : · : R × R n,m → R n,m ,

(λ, A) → λ · A := [λai j ].

(4.2)

Für diese Multiplikation gelten folgende Eigenschaften. Lemma 4.4 Seien A, B ∈ R n,m , C ∈ R m, , λ, μ ∈ R, dann gelten: (1) (2) (3) (4)

(λμ) · A = λ · (μ · A). (λ + μ) · A = λ · A + μ · A, insbesondere 0 · A = A + (−1) · A = 0n,m . λ · (A + B) = λ · A + λ · B, insbesondere 1 · A = A. (λ · A) ∗ C = λ · (A ∗ C) = A ∗ (λ · C). 2

Beweis Übungsaufgabe. Die vierte Matrixoperation, die wir hier einführen, ist die Transposition: T : R n,m → R m,n ,

A = [ai j ] → A T = [bi j ],

also zum Beispiel   1 2 3 A= , 4 5 6

bi j := a ji ,

⎡ ⎤ 1 4 A T = ⎣2 5⎦. 3 6

Die Matrix A T nennen wir die Transponierte von A. Definition 4.5 Falls für A ∈ R n,n die Gleichung A = A T gilt, so nennen wir A eine symmetrische Matrix. Gilt die Gleichung A = −A T , so nennen wir A eine schiefsymmetrische Matrix. Für die Transposition gelten folgende Eigenschaften.  ∈ R n,m , B ∈ R m, , λ ∈ R, dann gelten: Lemma 4.6 Seien A, A (1) (2) (3) (4)

(A T )T = A.  T = AT + A T . (A + A) T T (λ · A) = λ · A . (A ∗ B)T = B T ∗ A T .

3 Der Begriff Skalar wurde im Jahre 1845 vom irischen Mathematiker Sir William Rowan Hamilton (1805– 1865) eingeführt. Er stammt ab von „scale“ (engl. für einen Zahlenbereich), was von „scala“ (lat. für „Leiter“) abstammt.

38

4 Matrizen

Beweis Die Eigenschaften (1)−(3) sind Übungsaufgaben. Zum Beweis von (4) seien A∗ B =  T [ci j ] mit ci j = m ai j ], B T = [ bi j ] und (A ∗ B)T = [ ci j ]. Dann gilt k=1 aik bk j , A = [  ci j = c ji =

m 

a jk bki =

k=1

m 

 ak j  bik =

k=1

m 

 ak j , bik

k=1

woraus (A ∗ B)T = B T ∗ A T unmittelbar ersichtlich ist.

2

Die MATLAB-Minute Führen Sie folgende Kommandos aus, um sich mit der Anwendung der in diesem Abschnitt vorgestellten Matrix-Operationen in MATLAB vertraut zu machen: A=ones(5,2), A+A, A-3*A, A’, A’*A, A*A’. Um die Ausgabe von MATLAB beobachten zu können, schließen Sie die jeweiligen Eingaben bitte nicht mit einem Semikolon ab.

Beispiel 4.7 Wir betrachten noch einmal das Anwendungsbeispiel der Schadensfreiheitsklassen in der KFZ-Versicherung aus Kap. 1. Dort hatten wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein Versicherungsnehmer, der sich in diesem Jahr in Klasse K i befindet, im nächsten Jahr in Klasse K j ist, mit pi j bezeichnet. Unser Beispiel hatte vier Klassen und so ergaben sich 16 Wahrscheinlichkeiten, die wir in einer (4 × 4)-Matrix angeordnet hatten (vgl. (1.2)). Diese Matrix bezeichnen wir nun mit P. Angenommen der Versicherer hat in diesem Jahr folgende Kundenverteilung in den vier Schadensfreiheitsklassen: 40% der Kunden sind in Klasse K 1 , 30% in Klasse K 2 , 20% in Klasse K 3 und 10% in Klasse K 4 . Dann lässt sich eine (1 × 4)-Matrix p0 := [0.4, 0.3, 0.2, 0.1] der Ausgangsverteilung bilden. Die Kundenverteilung im nächsten Jahr, die wir mit p1 bezeichnen wollen, berechnet sich mit Hilfe der Matrizen-Multiplikation wie folgt: ⎡ ⎤ 0.15 0.85 0.00 0.00 ⎢0.15 0.00 0.85 0.00⎥ ⎥ p1 = p0 ∗ P = [0.4, 0.3, 0.2, 0.1] ∗ ⎢ ⎣0.05 0.10 0.00 0.85⎦ 0.05 0.00 0.10 0.85 = [0.12, 0.36, 0.265, 0.255]. Warum ist das so? Als Beispiel betrachten wir den Eintrag von p0 ∗ P an der Stelle (1,4), der sich wie folgt berechnet, 0.4 · 0.00 + 0.3 · 0.00 + 0.2 · 0.85 + 0.1 · 0.85 = 0.255. Dieser Eintrag repräsentiert den Anteil der Kunden, die sich im nächsten Jahr in Klasse K 4 befinden (dies sind also 25,5%). Wer in diesem Jahr in Klasse K 1 bzw. Klasse K 2 ist, kann im Folgejahr nicht in K 4 kommen, daher multiplizieren sich die Werte der Ausgangsverteilungen

4.2

Matrizengruppen und -ringe

39

0.4 bzw. 0.3 mit den Wahrscheinlichkeiten p14 = 0.00 bzw. p24 = 0.00. Wer in Klasse K 3 oder K 4 ist, befindet sich im Folgejahr mit Wahrscheinlichkeit p34 = 0.85 bzw. p44 = 0.85 in Klasse K 3 bzw. K 4 , so ergeben sich die Produkte 0.2 · 0.85 und 0.1 · 0.85. Man sieht nun leicht, dass die Kundenverteilung nach  Jahren gegeben ist durch die Formel p = p0 · P  ,

 = 0, 1, 2, . . .

Die Formel gilt auch für  = 0, denn P 0 = I4 . Mit Hilfe dieser Formel kann der Versicherer nun die zu erwartenden Prämieneinnahmen in den kommenden Jahren berechnen. Dazu sei angenommen, dass die volle Prämie (Klasse K 1 ) für die Versicherung 500 Euro beträgt. Die Prämien in den Klassen K 2 , K 3 und K 4 sind dann 450, 400 und 300 Euro (10, 20 und 40% Nachlass). Sind zum Beispiel im Ausgangsjahr 1 000 Kunden versichert, so ergeben sich in diesem Jahr Prämieneinnahmen (in Euro) von   1000 · p0 ∗ [500, 450, 400, 300]T = 445 000. Die nach diesem Modell zu erwartenden Prämieneinnahmen im Jahr  ≥ 0 aus den Verträgen im Ausgangsjahr (falls kein Kunde in der Zwischenzeit gekündigt hat) sind dann gegeben durch     1 000 · p ∗ [500, 450, 400, 300]T = 1 000 · p0 ∗ (P  ∗ [500, 450, 400, 300]T ) . Zum Beispiel ergeben sich in den vier Folgejahren die Einnahmen 404 500, 372 025, 347 340 und 341 819 (gerundet auf volle Euro). Diese Beträge fallen von Jahr zu Jahr, doch anscheinend verlangsamt sich der Abfall. Gibt es hier einen „stationären Zustand“, also einen Zeitpunkt, an dem sich die Einnahmen nicht mehr (stark) ändern? Von welchen Eigenschaften des Systems wäre die Existenz eines solchen Zustandes abhängig? Offensichtlich sind dies wichtige praktische Fragen, die der Versicherer beantworten muss. Nur die gesicherte Existenz eines stationären Zustandes garantiert signifikante Prämieneinnahmen auch in der Zukunft. Da die Formel für die zukünftigen Prämieneinnahmen im Wesentlichen von den Einträgen der Matrizen P  abhängt, sind wir unmittelbar bei einem interessanten Problem der Linearen Algebra angekommen, nämlich der Analyse der Eigenschaften von zeilen-stochastischen Matrizen. Eigenschaften stochastischer Matrizen werden wir im Abschn. 8.3 weiter untersuchen.

4.2 Matrizengruppen und -ringe In diesem Abschnitt untersuchen wir algebraische Strukturen, die durch Matrizen und die für sie definierten Operationen gebildet werden. Wir beginnen mit der Addition in R n,m . Satz 4.8 (R n,m , +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0n,m (Nullmatrix) und zu A = [ai j ] ∈ R n,m inversem Element −A := [−ai j ] ∈ R n,m . (Anstelle von A + (−B) schreiben wir A − B.)

40

4 Matrizen

Beweis Für beliebige A, B, C ∈ R n,m gilt wegen der Assoziativität der Addition in R, dass (A + B) + C = [ai j + bi j ] + [ci j ] = [(ai j + bi j ) + ci j ] = [ai j + (bi j + ci j )] = [ai j ] + [bi j + ci j ] = A + (B + C). Somit ist die Addition in R n,m assoziativ. Für die Nullmatrix 0 ∈ R n,m gilt 0 + A = [0] + [ai j ] = [0 + ai j ] = [ai j ] = A. Zu  := [−ai j ] ∈ R n,m . Dann folgt A + A = gegebenem A = [ai j ] ∈ R n,m definieren wir A  = −A. [−ai j ] + [ai j ] = [−ai j + ai j ] = [0] = 0, also A Schließlich folgt wegen der Kommutativität der Addition in R, dass A + B = [ai j ] + [bi j ] = [ai j + bi j ] = [bi j + ai j ] = B + A ist. 2 Wegen (2) in Lemma 4.6 ist die Transposition ein Homomorphismus (sogar Isomorphismus) der Gruppen (R n,m , +) und (R m,n , +) (vgl. Definition 3.6). Nun kommen wir zu der Frage, ob und wann Matrizen invertierbar bezüglich der Multi plikation ∗ sind. Wie bei Ringen (vgl. Definition 3.10) verlangen wir von einer Inversen A   einer gegebenen Matrix A, dass sie die Gleichungen A ∗ A = I und A ∗ A = I erfüllt.  ∗ A und A ∗ A  definiert sein, was nur für quadratische Somit müssen die beiden Produkte A Matrizen möglich ist. Die Definition der invertierbaren Matrizen beschränkt sich damit auf die quadratischen Matrizen.  ∈ R n,n gibt Definition 4.9 Eine Matrix A ∈ R n,n heißt invertierbar, wenn es eine Matrix A   mit A ∗ A = A ∗ A = In . Nicht alle Matrizen A ∈ R n,n sind invertierbar, was für n = 1 durch die Matrix A = [0] gezeigt wird. Für ein etwas interessanteres Beispiel betrachten wir einen Ring R, in dem 0 = 1 gilt. Dann ist die Matrix A=

 1 0

 0 ∈ R 2,2 0

nicht invertierbar. Man beachte, dass eine Inverse einer Matrix A ∈ R n,n ebenfalls ein Element von R n,n sein muss. Sind zum Beispiel R = Z und 

1 A= 0

 1 ∈ R 2,2 , 2

dann gilt für B=

1 − 12 0

!

1 2

/ Z2,2 . Die Matrix A ist als Element von Z2,2 die Gleichung A ∗ B = B ∗ A = I2 , aber B ∈ 2,2 nicht invertierbar, als Element von Q aber schon. Es ist außerdem wichtig festzustellen, dass R n,n für n ≥ 2 nicht-triviale Nullteiler hat. Das heißt, es gibt Matrizen A ∈ R n,n \ {0}, für die es eine Matrix B ∈ R n,n \ {0} mit A ∗ B = 0 gibt. Beispielsweise gilt in R 2,2 die Gleichung

4.2

Matrizengruppen und -ringe

41

 0 0

  1 0 ∗ 0 0

  1 0 = 0 0

 0 . 0

Hier gilt also insbesondere A2 = 0, obwohl A = 0 ist. Man beachte, dass diese Identität auch gilt, wenn R ein Körper ist. Die Existenz nicht-trivialer Nullteiler zeigt, dass R n,n für n ≥ 2 kein Körper sein kann, selbst wenn R ein Körper ist (dies folgt auch aus der Nichtkommutativität der Matrizenmultiplikation). Allerdings gilt der folgende Satz. Satz 4.10 (R n,n , +, ∗) ist ein (nicht-kommutativer) Ring mit Einselement, welches durch die Einheitsmatrix In gegeben ist. Beweis Wir haben bereits gezeigt, dass (R n,n , +) eine kommutative Gruppe ist (Satz 4.8). Die weiteren Eigenschaften (Assoziativität, Distributivität und Einselement) folgen aus Lemma 4.3. 2 Aus Satz 4.10 und Lemma 3.11 folgt nun, dass die Inverse einer invertierbaren Matrix A ∈ R n,n eindeutig bestimmt ist. Diese Matrix bezeichnen wir mit A−1 . Für invertierbare Matrizen gilt folgendes Resultat. Lemma 4.11 Seien A, B ∈ R n,n invertierbar. Dann gelten: (1) A T ist invertierbar mit (A T )−1 = (A−1 )T . (Wir schreiben dafür auch A−T .) (2) A ∗ B ist invertierbar mit (A ∗ B)−1 = B −1 ∗ A−1 . Beweis (1) Mit Hilfe von Eigenschaft (4) aus Lemma 4.6 folgt (A−1 )T ∗ A T = (A ∗ A−1 )T = InT = In = A−1 ∗ A = (A−1 ∗ A)T = A T ∗ (A−1 )T , also ist (A−1 )T die Inverse von A T . (2) Dies wurde bereits in Lemma 3.11 für allgemeine Ringe mit Eins gezeigt. Es gilt also insbesondere für den Ring (R n,n , +, ∗). 2 Als Nächstes zeigen wir die Gruppeneigenschaft der invertierbaren Matrizen bezüglich der Multiplikation. Satz 4.12 Die Menge der invertierbaren Matrizen A ∈ R n,n bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine (nicht-kommutative) Gruppe. Beweis Die Abgeschlossenheit der Menge der invertierbaren Matrizen A ∈ R n,n bezüglich der Multiplikation wurde bereits in (2) in Lemma 4.11 gezeigt, die Assoziativität der Multiplikation in Lemma 4.3. Das neutrale Element dieser Menge ist In . Per Definition ist jedes Element der Menge invertierbar und es gilt (A−1 )−1 = A, also ist auch A−1 in der Menge. 2

42

4 Matrizen

Die Gruppe der invertierbaren Matrizen A ∈ R n,n bezeichnen wir mit G L n (R) („GL“ steht für „general linear group“). Definition 4.13 Sei A = [ai j ] ∈ R n,n . (1) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls ai j = 0 für alle i > j gilt. A heißt untere Dreiecksmatrix, falls ai j = 0 für alle j > i gilt (d. h. A T ist eine obere Dreiecksmatrix). (2) A heißt Diagonalmatrix, falls A eine obere und untere Dreiecksmatrix ist. Wir schreiben dann auch zur Vereinfachung A = diag(a11 , . . . , ann ). Wir wollen diese speziellen Mengen von Matrizen auf ihre Gruppeneigenschaften hin untersuchen. Wir beginnen mit den invertierbaren oberen und unteren Dreiecksmatrizen. Satz 4.14 Die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen A ∈ R n,n bzw. der invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen A ∈ R n,n bildet jeweils mit der Matrizenmultiplikation eine (nicht-kommutative) Untergruppe von G L n (R). Beweis Wir zeigen die Aussage nur für invertierbare obere Dreiecksmatrizen. Der Beweis für invertierbare untere Dreiecksmatrizen ist analog. Um zu zeigen, dass die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen mit der Matrizenmultiplikation eine Untergruppe von G L n (R) bilden, weisen wir die drei Eigenschaften aus Satz 3.5 nach. Da In eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist, ist die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine nichtleere Teilmenge von G L n (R). Nun zeigen wir, dass für zwei invertierbare obere Dreiecksmatrizen A, B ∈ R n,n das Produkt C = A ∗ B eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist. Die Invertierbarkeit von C = [ci j ] folgt aus (2) in Lemma 4.11. Für i > j gilt ci j =

n 

aik bk j

(hier ist bk j = 0 für k > j)

aik bk j

(hier ist aik = 0 für k = 1, . . . , j, da i > j ist)

k=1

=

j  k=1

= 0. Somit ist C eine obere Dreiecksmatrix. Nun ist noch zu zeigen, dass für eine gegebene invertierbare obere Dreiecksmatrix A die Inverse A−1 ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist. Für n = 1 ist diese Aussage trivial, daher nehmen wir n ≥ 2 an. Wir schreiben A−1 = [ci j ], dann lässt sich die Gleichung A ∗ A−1 = In in Form eines Systems von n Gleichungen schreiben als ⎡ a11 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ .. ⎣ . 0

⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ · · · · · · a1n c1 j δ1 j ⎢ .. ⎥ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ .. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . ⎥ ⎥ ∗ ⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥, ⎢ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎥ . . .. .. ⎣ .. ⎦ . . .. ⎦ ⎣ .. ⎦ · · · 0 ann cn j δn j

j = 1, . . . , n.

(4.3)

4.2

Matrizengruppen und -ringe

43

Hier ist δi j die in (4.1) definierte Kronecker-Delta-Funktion. Zu zeigen ist, dass ci j = 0 für i > j gilt. Wir behaupten (und zeigen induktiv) sogar: Die Diagonaleinträge aii von A sind invertierbar und für i = n, n − 1, . . . , 1 gilt ⎛ ci j = aii−1 ⎝δi j −

n 

⎞ ai cj ⎠,

j = 1, . . . , n,

(4.4)

=i+1

woraus insbesondere ci j = 0 für i > j folgt. (Man beachte, dass in (4.4) für i = n die leere  Summe n=n+1 ai cj = 0 auftritt.) Für i = n ist die letzte Zeile in (4.3) gegeben durch ann cn j = δn j ,

j = 1, . . . , n.

Insbesondere gilt für j = n, dass ann cnn = 1 = cnn ann ist, wobei wir in der zweiten Gleichung die Kommutativität der Multiplikation in R ausgenutzt haben. Somit ist ann in−1 . Es folgt vertierbar und es gilt cnn = ann −1 δn j , cn j = ann

j = 1, . . . , n.

Dies ist äquivalent mit (4.4) für i = n. Insbesondere gilt cn j = 0 für j = 1, 2, . . . , n − 1. Nun nehmen wir an, dass unsere Behauptung für i = n, . . . , k + 1 gilt, wobei 1 ≤ k ≤ n − 1. Insbesondere gilt also ci j = 0, falls k + 1 ≤ i ≤ n und i > j. Mit anderen Worten: Die Zeilen i = n, . . . , k + 1 von A−1 sind in „oberer Dreiecksform“. Um die Behauptung für i = k zu beweisen, betrachten wir die k-te Zeile in (4.3), akk ck j + ak,k+1 ck+1, j + . . . + akn cn j = δk j ,

j = 1, . . . , n.

(4.5)

Für j = k (< n) ergibt sich akk ckk + ak,k+1 ck+1,k + . . . + akn cnk = 1. Aufgrund der Induktionsannahme gilt ck+1,k = · · · = cn,k = 0, woraus akk ckk = 1 = ckk akk folgt. Hier haben wir erneut die Kommutativität der Multiplikation in R ausgenutzt. Somit ist −1 . Aus (4.5) folgt dann akk invertierbar mit ckk = akk

−1 ck j = akk δk j − ak,k+1 ck+1, j − . . . − akn cn j ,

j = 1, . . . , n,

also gilt (4.4) für i = k. Ist nun k > j, so sind δk j = 0 und ck+1, j = · · · = cnk = 0, also 2 folgt ck j = 0. In diesem Beweis haben wir in (4.4) eine rekursive Formel für die Einträge ci j der Inversen A−1 = [ci j ] einer invertierbaren oberen Dreiecksmatrix A = [ai j ] ∈ R n,n hergeleitet. Wir können somit die Einträge der Inversen explizit „von unten nach oben“ und „von rechts nach links“ berechnen. Dieser Prozess wird auch Rückwärts-Einsetzen genannt.

44

4 Matrizen

Die Regeln für die Invertierung von oberen (unteren) Dreiecksmatrizen kann man auf invertierbare Block-Dreiecksmatrizen übertragen. Dazu wähle man ein k, 1 ≤ k ≤ n − 1, und „partitioniere“ A ∈ R n,n in die Form  A=

 A11 A12 , A21 A22

mit A11 ∈ R k,k und A22 ∈ R n−k,n−k .

Sind A, B ∈ R n,n zwei so partitionierte Matrizen, dann kann deren Produkt A ∗ B „blockweise“ ausgewertet werden, d. h. 

     B11 B12 A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22 A11 A12 ∗ = . A21 A22 B21 B22 A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22

Ist nun  A=

A11 A12 0 A22



eine block-obere Dreiecksmatrix und sind A11 und A22 invertierbar, dann ist A invertierbar und man zeigt leicht durch Nachrechnen, dass A

−1

=

−1 −1 A−1 11 −A11 A12 A22

0

A−1 22

! (4.6)

gilt.

Die MATLAB-Minute Erstellen Sie Block-Matrizen in MATLAB durch Ausführen der folgenden Kommandos: k=5; A11=gallery(’tridiag’,-ones(k-1,1),2*ones(k,1),-ones(k-1,1)); A12=zeros(k,2); A12(1,1)=1; A12(2,2)=1; A22=-eye(2); A=full([A11 A12; A12’ A22]) B=full([A11 A12; zeros(2,n) -A22]) Sehen Sie sich die Bedeutung des Kommandos full an. Berechnen Sie die Produkte A*B und B*A sowie die Inversen inv(A) und inv(B). Berechnen Sie die Inverse von B in MATLAB mit Hilfe der Formel (4.6). Korollar 4.15 Die Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen aus R n,n mit der Matrizenmultiplikation ist eine kommutative Untergruppe der invertierbaren oberen (oder unteren) Dreiecksmatrizen aus R n,n . Beweis Die invertierbaren Diagonalmatrizen aus R n,n bilden eine nichtleere Teilmenge der invertierbaren oberen (oder unteren) Dreiecksmatrizen aus R n,n ; inbesondere ist In eine in-

4.2

Matrizengruppen und -ringe

45

vertierbare Diagonalmatrix. Sind A = [ai j ] ∈ R n,n und B = [bi j ] ∈ R n,n zwei invertierbare Diagonalmatrizen, so ist A ∗ B invertierbar und wegen der Kommutativität in R gilt A ∗ B = diag(a11 b11 , . . . , ann bnn ) = diag(b11 a11 , . . . , bnn ann ) = B ∗ A. Dies zeigt Abgeschlossenheit und Kommutativität der Multiplikation in der Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen. Zudem wissen wir aus Satz 4.14, dass die Inverse einer invertierbaren oberen (unteren) Dreiecksmatrix eine obere (untere) Dreiecksmatrix ist. Ist also A ∈ R n,n eine invertierbare Diagonalmatrix, so ist A obere und untere Dreiecksmatrix, also ist auch A−1 eine Diagonalmatrix. 2 Definition 4.16 Eine Matrix P ∈ R n,n heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte von P genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind. Der Begriff „Permutation“ bedeutet „Vertauschung“. Multipliziert man eine Matrix M ∈ R n,n mit einer Permutationsmatrix von links bzw. von rechts, so werden die Zeilen bzw. die Spalten von M vertauscht. Zum Beispiel gelten für ⎡

0 P = ⎣0 1

⎤ 1 0⎦, 0

0 1 0

⎡

1 M = ⎣4 7

2 5 8

⎤ 3 6⎦ ∈ Z3,3 9

die Gleichungen ⎡

7 ⎣ P∗M= 4 1

8 5 2

⎤ 9 6⎦ 3

⎡

und

3 ⎣ M∗P= 6 9

2 5 8

⎤ 1 4⎦. 7

Wir werden die Vertauschungseigenschaften von Permutationsmatrizen in späteren Kapiteln genauer untersuchen. Satz 4.17 Die Menge der Permutationsmatrizen P ∈ R n,n mit der Matrizenmultiplikation ist eine (nicht-kommutative) Untergruppe von G L n (R). Ist P ∈ R n,n eine Permutationsmatrix, so ist A invertierbar und es gilt P −1 = P T . Beweis Sei P = [ pi j ] ∈ R n,n eine Permutationsmatrix und sei P ∗ P T = C = [ci j ], dann gilt ci j =

n 

pik p jk = δi j ,

k=1

also C = In . Genauso zeigt man P T ∗ P = In . Die Permutationsmatrizen bilden somit eine (nichtleere) Teilmenge von G L n (R) und die Inverse jeder Permutationsmatrix P ist die transponierte Matrix P T , die per Definition ebenfalls eine Permutationsmatrix ist. Zuletzt ist noch zu zeigen, dass das Produkt zweier Permutationsmatrizen P1 , P2 ∈ R n,n ebenfalls eine Permutationsmatrix ist. Dies sieht man sofort aus der Tatsache, dass es in jeder Zeile und

46

4 Matrizen

Spalte von P1 und P2 jeweils nur einen Eintrag gleich 1 gibt und alle anderen Einträge gleich 0 sind. 2 Zur Vereinfachung der Schreibweise werden wir ab sofort das Multiplikationszeichen bei der Matrizenmultiplikation (bis auf wenige Ausnahmen) weglassen, d. h. wir schreiben AB anstatt A ∗ B.

Aufgaben (In den folgenden Aufgaben ist R stets ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins.) 4.1 Seien die folgenden Matrizen über Z gegeben:  A=

4.2

1 −2 −2 3

 4 , −5

⎡

⎤ 2 4 6⎦ , B = ⎣3 1 −2

C=

 −1 1

 0 . 1

Berechnen Sie (falls möglich) die Matrizen C A, BC, B T A, A T C, (−A)T C, B T A T , AC und C B. Gegeben seien die Matrizen & ' A = ai j ∈ R m,n ,

⎡ ⎤ x1 ⎢ .. ⎥ x = ⎣ . ⎦ ∈ R n,1 ,

& ' y = y1 y2 . . . ym ∈ R 1,m .

xn

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Welche der folgenden Ausdrücke sind für m = n bzw. m = n definiert? (a) y Ax, (b) y T Ax, (c) x T Ay T , (d) x T Ay, (e) (Ax)T y, T T T T T (h) Ax y , (i) yx A , (j) A T y T x T , (f) x (y A) , (g) Ax y, T T (k) y x A, (l) x y, (m) yx. Beweisen Sie Lemma 4.3 (2)–(4). Beweisen Sie Lemma 4.4. Beweisen⎡Sie Lemma⎤4.6 (1)–(3). 0 1 1 Sei A = ⎣0 0 1⎦ ∈ Z3,3 . Bestimmen Sie An für alle n ∈ N ∪ {0}. 0 0 0 Sei p = αn t n +. . .+α1 t +α0 t 0 ∈ R[t] ein Polynom (vgl. Beispiel 3.17) und M ∈ R m,m . Dann ist p(M) ∈ R m,m durch p(M) := αn M n + . . . + α1 M + α0 Im

4.8

definiert. (Formal wird t k durch M k ersetzt, k = 0, 1, . . . , n.)  1 0 2,2 Berechnen Sie p(M) für M = ∈ Z und p = t 2 − 2t + 1 ∈ Z[t]. 3 1 Sei K ein Körper mit 1 + 1 = 0. Zeigen Sie, dass sich jede Matrix A ∈ K n,n als A = M + S mit einer symmetrischen Matrix M ∈ K n,n (d. h. M T = M) und einer schiefsymmetrischen Matrix S ∈ K n,n (d. h. S T = −S) schreiben lässt.

Aufgaben

47

Gilt dies auch im Fall eines Körpers mit 1 + 1 = 0? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an. 4.9 Beweisen Sie den Binomischen Lehrsatz für kommutierende Matrizen: Sind k  k  j k− j A B , A, B ∈ R n,n mit AB = B A, so gilt (A + B)k = j=0 j   k! wobei kj := j! (k− j)! ist. n,n eine Matrix, für die In − A invertierbar ist. Zeigen Sie, dass für jedes 4.10 Sei A ∈ R  m ∈ N die Gleichung (In − A)−1 (In − Am+1 ) = mj=0 A j gilt. 4.11 Sei (R, +, ·) ein Ring. Eine Teilmenge S ⊆ R heißt Unterring von R, wenn (S, +, ·) ein Ring ist. Wie bei Körpern zeigt man, dass S = Ø genau dann ein Unterring von R ist, wenn S die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: (a) 0 R ∈ S, (b) für alle r, s ∈ S sind r + s ∈ S und r · s ∈ S, (c) für jedes r ∈ S ist −r ∈ S. Sei nun (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins und sei ) (& ' * An,n := ai, j ∈ R n,n ) an, j = 0 für j = 1, 2, . . . , n . (a) Zeigen Sie, dass An,n ein Unterring von R n,n ist. (b) Zeigen Sie, dass AM ∈ An,n für alle M ∈ R n,n und A ∈ An,n gilt. (Ein Unterring mit dieser Eigenschaft heißt Rechtsideal von R n,n .) (c) Finden Sie einen zu An,n analogen Unterring B n,n von R n,n , so dass M · B ∈ B n,n für alle M ∈ R n,n und B ∈ B n,n gilt. Beweisen Sie ihre Aussage. (Ein Unterring mit dieser Eigenschaft heißt Linksideal von R n,n .) 4.12 Seien A11 ∈ R n 1 ,n 1 , A12 ∈ R n 1 ,n 2 , A21 ∈ R n 2 ,n 1 , A22 ∈ R n 2 ,n 2 und   A11 A12 A= ∈ R n 1 +n 2 ,n 1 +n 2 . A21 A22 (a) Sei A11 ∈ G L n 1 (R). Zeigen Sie, dass A genau dann invertierbar ist, wenn A22 − −1 an. A21 A−1 11 A12 invertierbar ist und geben Sie in diesem Fall eine Formel für A (b) Sei A22 ∈ G L n 2 (R). Zeigen Sie, dass A genau dann invertierbar ist, wenn A11 − −1 an. A12 A−1 22 A21 invertierbar ist und geben Sie in diesem Fall eine Formel für A 4.13 Seien A ∈ G L n (R), U ∈ R n,m und V ∈ R m,n . Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) A + U V ∈ G L n (R) gilt genau dann, wenn Im + V A−1 U ∈ G L m (R) ist. (b) Ist Im + V A−1 U ∈ G L m (R), so gilt (A + U V )−1 = A−1 − A−1 U (Im + V A−1 U )−1 V A−1 . Die letzte Gleichung wird auch als die Sherman-Morrison-Woodbury Formel bezeichnet (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury).

48

4 Matrizen

4.14 Zeigen Sie, dass die Menge der oberen Block-Dreiecksmatrizen mit invertierbaren (2 × 2)-Diagonalblöcken, d. h. die Menge der Matrizen ⎡

A11 ⎢ 0 ⎢ ⎢ .. ⎣ . 0

A12 A22 .. .

··· ··· .. .

···

A1m A2m .. .

0

Amm

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

Aii ∈ G L 2 (R),

i = 1, . . . , m,

mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet. 4.15 Zeigen Sie, dass die folgende Relation auf der Menge R n,n eine Äquivalenzrelation ist: A∼B

⇔

Es gibt eine Permutationsmatrix P mit A = P T B P.

4.16 In einem Betrieb werden aus vier Rohstoffen R1 , R2 , R3 , R4 fünf Zwischenprodukte Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 , Z 5 hergestellt, aus denen drei Endprodukte E 1 , E 2 , E 3 gefertigt werden. In den folgenden Tabellen ist angegeben, wie viele Einheiten der Ri bzw. Z j zur Produktion einer Einheit von Z k bzw. E  benötigt werden:

R1 R2 R3 R4

Z1 0 5 1 0

Z2 1 0 1 2

Z3 1 1 1 0

Z4 1 2 1 1

Z5 2 1 0 0

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5

E1 1 1 0 4 3

E2 1 2 1 1 1

E3 1 0 1 1 1

(Zum Beispiel benötigt man 5 Einheiten von R2 zur Herstellung einer Einheit von Z 1 .) (a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Matrizenrechnung eine entsprechende Tabelle, aus der entnommen werden kann, wie viele Einheiten des Rohstoffs Ri zur Produktion einer Einheit des Endprodukts E  benötigt werden. (b) Ermitteln Sie nun, wie viele Einheiten der vier Rohstoffe bereitzustellen sind, wenn 100 Einheiten von E 1 , 200 Einheiten von E 2 und 300 Einheiten von E 3 hergestellt werden sollen.

Kapitel 5

Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

In vielen Anwendungen interessiert man sich dafür, ob eine (quadratische) Matrix A invertierbar ist und man möchte gegebenenfalls die Inverse A−1 berechnen oder, wie wir in Kap. 6 sehen werden, lineare Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A lösen. In diesem Kapitel werden wir ein systematisches Verfahren entwickeln, das für eine invertierbare Matrix A, die über einem Körper definiert ist, die Inverse A−1 als ein Produkt von sogenannten Elementarmatrizen liefert. Multipliziert man diese Elementarmatrizen von links an die Matrix A, so erhält man daher die Einheitsmatrix. Angewandt auf eine nicht-invertierbare Matrix A führt das gleiche Verfahren zwar nicht auf die Einheitsmatrix, jedoch ergibt sich eine Matrix, die in einem gewissen Sinn „möglichst nahe“ an der Einheitsmatrix ist. Dies wird den Begriff des Rangs von Matrizen motivieren, der in der Linearen Algebra von großer Bedeutung ist und in späteren Kapiteln noch häufig auftreten wird.

5.1 Elementarmatrizen Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, sei In ∈ R n,n die Einheitsmatrix und sei ei die i-te Spalte von In , d. h. In = [e1 , . . . , en ]. Für i, j ∈ N mit 1 ≤ i, j ≤ n definieren wir die Matrix E i j := [0, . . . , 0,

ei , 0, . . . , 0] ∈ R n,n ,  Spalte j

d. h. der Eintrag (i, j) der Matrix Ei j ist 1, alle anderen Einträge sind 0. In den folgenden drei Definitionen von Elementarmatrizen seien i und j stets gegebene natürliche Zahlen zwischen 1 und n. Ist n ≥ 2 und i < j, so definieren wir die Matrix Pi j := [e1 , . . . , ei−1 , e j , ei+1 , . . . , e j−1 , ei , e j+1 , . . . , en ] ∈ R n,n .

(5.1)

Die i-te Spalte von Pi j ist also e j und die j-te Spalte ist ei . Man überzeugt sich leicht, dass Pi j eine Permutationsmatrix ist (vgl. Definition 4.13). Multipliziert man eine Matrix A ∈ R n,m von links mit einer solchen Matrix Pi j , so werden die Zeilen i und j von A vertauscht (permutiert). Zum Beispiel: J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_5,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

49

50

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

⎡

1 A = ⎣4 7 ⎡ 7 P13 A = ⎣4 1

2 5 8 8 5 2

⎤ 3 6⎦ , 9 ⎤ 9 6⎦ . 3

⎡

P13

0 = [e3 , e2 , e1 ] = ⎣0 1

⎤ 1 0⎦ , 0

0 1 0

Für λ ∈ R definieren wir die Matrix Mi (λ) := [e1 , . . . , ei−1 , λei , ei+1 , . . . , en ] ∈ R n,n .

(5.2)

Die i-te Spalte von Mi (λ) ist also λei . Offensichtlich ist Mi (λ) eine Diagonalmatrix mit i-tem Diagonalelement λ und allen anderen Diagonalelementen 1. Multipliziert man eine Matrix A ∈ R n,m von links mit einer solchen Matrix Mi (λ), so wird die Zeile i von A mit λ multipliziert. Zum Beispiel: ⎡

1 A = ⎣4 7 ⎡

2 5 8

⎤ 3 6⎦ , 9

⎡

1 M2 (−1) = [e1 , −e2 , e3 ] = ⎣0 0 ⎤ 1 2 3 M2 (−1)A = ⎣−4 −5 −6⎦ . 7 8 9

⎤ 0 0 −1 0⎦ , 0 1

Ist n ≥ 2, i < j und λ ∈ R, so definieren wir die Matrix G i j (λ) := In + λ · E ji = [e1 , . . . , ei−1 , ei + λe j , ei+1 , . . . , en ] ∈ R n,n .

(5.3)

Die i-te Spalte von G i j (λ) ist also ei + λe j . Multipliziert man eine Matrix A ∈ R n,m von links mit einer solchen unteren Dreiecksmatrix G i j (λ), so wird das λ-fache der i-ten Zeile von A zur j-ten Zeile A addiert. Die Multiplikation von links mit der oberen Dreiecksmatrix G i j (λ)T bewirkt, dass das λ-fache der j-ten Zeile von A zur i-ten Zeile von A addiert wird. Zum Beispiel: ⎡

⎤ 1 2 3 A = ⎣4 5 6⎦ , 7 8 9 ⎡ ⎤ 1 2 3 G 23 (−1)A = ⎣4 5 6⎦ , 3 3 3

⎡

⎤ 1 0 0 1 0⎦ , G 23 (−1) = [e1 , e2 − e3 , e3 ] = ⎣0 0 −1 1 ⎡ ⎤ 1 2 3 G 23 (−1)T A = ⎣−3 −3 −3⎦ . 7 8 9

Lemma 5.1 Die in (5.1), (5.2) und (5.3) definierten Elementarmatrizen Pi j , Mi (λ) für invertierbares λ ∈ R und G i j (λ) sind invertierbar und es gelten: T (1) Pi−1 j = Pi j = Pi j .

5.2

Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus

51

(2) Mi (λ)−1 = Mi (λ−1 ). (3) G i j (λ)−1 = G i j (−λ). Beweis = PiTj wurde bereits in Satz 4.17 gezeigt; die (1) Die Invertierbarkeit von Pi j mit Pi−1 j Symmetrie von Pi j ist offensichtlich. (2) Dies folgt sofort aus Korollar 4.15. (3) Es gilt G i j (λ)G i j (−λ) = (In + λ · E ji )(In + (−λ) · E ji ) = In + λ · E ji + (−λ) · E ji + (−λ2 ) · E 2ji = In = G i j (λ)G i j (−λ). Hier haben wir E 2ji = 0 für i < j ausgenutzt.

2

5.2 Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus Wir wollen nun die Elementarmatrizen verwenden, um die Invertierbarkeit von Matrizen zu untersuchen. Der konstruktive Beweis des folgenden Satzes beruht auf dem Gauß’schen Algorithmus,1 welcher zu jeder Matrix A ∈ K n,m eine Matrix B ∈ GLn (K ) konstruiert, so dass B A = C eine (eindeutig bestimmte) quasi-obere Dreiecksgestalt hat, die wir die Treppennormalform von A nennen. Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn C = In und B = A−1 sind. Die Treppennormalform erreichen wir durch Linksmultiplikation von A mit Elementarmatrizen Pi j , Mi j (λ) und G i j (λ). Jede dieser Linksmultiplikationen entspricht der Anwendung einer der sogenannten „elementaren Zeilenoperationen“ auf die Matrix A: • Pi j : Vertauschen zweier Zeilen von A. • Mi (λ): Multiplizieren einer Zeile von A mit einem invertierbaren Skalar. • G i j (λ): Addition eines Vielfachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A. Wir nehmen an, dass A eine Matrix über einem Körper K ist (und nicht über einem Ring R), denn im folgenden Beweis benötigen wir ständig, dass von Null verschiedene Einträge von A invertierbar sind. Diese Tatsache ist im Allgemeinen für Matrizen über einem Ring nicht gegeben. Es gibt eine Verallgemeinerung der Treppennormalform auf Matrizen, die über gewissen Ringen (z. B. den ganzen Zahlen Z) definiert sind. Diese sogenannte HermiteNormalform2 spielt in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

1 Nach dem deutschen Mathematiker und Astronom Carl Friedrich Gauß (1777–1855) benannt. Ein ähnliches Verfahren wurde bereits in den „Neun Büchern arithmetischer Technik“ beschrieben, die seit ca. 200 vor Chr. in China zur Ausbildung von Verwaltungsbeamten eingesetzt wurden. Der älteste erhaltene Text stammt von Liu Hui (220–280 nach Chr.). Seine Entstehung wird auf ca. 260 nach Chr. geschätzt. 2

Charles Hermite (1822–1901), französischer Mathematiker.

52

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Satz 5.2 Sei K ein Körper und sei A ∈ K n,m . Dann gibt es (invertierbare) Matrizen S1 , . . . , St ∈ K n,n (dies sind Produkte von Elementarmatrizen), so dass C := St · · · S1 A in Treppennormalform ist, d. h., C hat die Form ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ C = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

1



1

0

0 1

0

0

0

⎤

0 .. . .. 0

. 0 1 0

⎥ ⎥ ⎥

⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Hier steht jeweils für beliebige Einträge (gleich oder ungleich Null) in der Matrix C. Präziser: C = [ci j ] ist entweder die Nullmatrix oder es gibt eine Folge von natürlichen Zahlen j1 , . . . , jr (die „Stufen“ der Treppennormalform), wobei 1 ≤ j1 < · · · < jr ≤ m und 1 ≤ r ≤ min{n, m}, so dass (1) ci j = 0 für 1 ≤ i ≤ r und 1 ≤ j < ji , (2) ci j = 0 für r < i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m, (3) ci, ji = 1 für 1 ≤ i ≤ r und alle anderen Einträge in Spalte ji sind Null. Ist n = m, so ist A ∈ K n,n genau dann invertierbar, wenn C = In gilt. In diesem Fall ist dann A−1 = St · · · S1 . Beweis Ist A = 0, so setzen wir t = 1, S1 = In und sind fertig. Sei also A = 0 und sei j1 der Index der ersten Spalte von , + (1) A(1) = ai j := A, das erste Element in dieser Spalte, welches nicht die nicht aus lauter Nullen besteht. Sei ai(1) 1 , j1 (1) Null ist, d. h. A hat die Form ⎡

A(1)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

) ) ) 0 ) ) . ) ) . ) ) . ) ) ) ) 0 ) ) (1) ) ) )a ) i 1 , j1 ) ) ) ) ) ) . ) ) .. ) ) ) ) ) j1

⎤



⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Wir gehen nun wie folgt vor: Zunächst vertauschen (permutieren) wir die Zeilen i 1 und 1 (falls i 1 > 1). Dann normieren wir die neue erste Zeile, d. h. wir multiplizieren sie mit

5.2

Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus

53

  (1) −1 ai1 , j1 . Schließlich eliminieren wir unterhalb des ersten Eintrags in der Spalte j1 . Vertauschen und Normieren führt auf ⎡ ⎢  , −1  + ⎢ (1) ⎢ 0 A˜ (1) = a˜ i,(1)j := M1 ai(1) P A = 1,i 1 ⎢ 1 , j1 ⎣

) ) ) 1 ) ) (1) ) ) ) a˜ ) 2, j1 ) ) . ) ) . ) ) . ) ) (1) ) ) a˜ n, j ) 1 j1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦



Nun haben wir noch unterhalb der 1 in der Spalte j1 zu eliminieren. Dies geschieht durch Linksmultiplikation von A˜ (1) mit den Matrizen     (1) (1) G 1,n −a˜ n, ˜ 2, j1 . j1 , . . . , G 1,2 −a Damit gilt ⎡

0

⎢ ⎢ S1 A(1) = ⎢ ⎣ 0

1 0 .. .

A(2)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

0 j1 mit        (1) (1) (1) −1 S1 := G 1,n −a˜ n, a P1,i1 · · · G − a ˜ M 1,2 1 j1 i 1 , j1 2, j1 + , (2) und A(2) = ai j mit i = 2, . . . , n, j = j1 + 1, . . . , m, d. h. wir behalten die Indizes aus der „großen“ Matrix A(1) in der „kleineren“ Matrix A(2) bei. Ist A(2) = [ ] oder A(2) = 0, so sind wir fertig, denn C := S1 A(1) ist in Treppennormalform. In diesem Fall ist r = 1. Ist mindestens ein Eintrag der Matrix A(2) ungleich Null, so führen wir die oben beschriebenen Schritte für die Matrix A(2) aus. Für k = 2, 3, . . . seien die Matrizen Sk rekursiv definiert durch

Sk =

Ik−1 0

0  Sk

⎡

! ,

0

⎢ ⎢ mit  Sk A(k) = ⎢ ⎣ 0

1 0 .. . 0 jk

A(k+1)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎦

54

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Die Matrix  Sk konstruieren wir analog zu S1 : Zunächst identifizieren wir die erste Spalte jk von A(k) , die nicht aus lauter Nullen besteht sowie den ersten Eintrag ai(k) dieser Spalte, der k , jk ungleich Null ist. Dann liefert Vertauschen und Normieren die Matrix  + ,   (k) (k) −1 (k)  A =  Pk,ik A(k) ai j := Mk ai k , jk und es folgt        (k) (k) (k) −1  Sk = G k,n − Pk,ik . an, jk · · · G k,k+1 − ak+1, jk Mk ai k , jk Hier müssen wir beachten, dass die Elementarmatrizen aus denen  Sk gebildet wird natürlich nicht n ×n Matrizen sind, sondern die gleiche Größe wie A(k) haben. Man sieht jedoch sofort, dass Sk wieder ein Produkt von Elementarmatrizen ist, die alle die Form Ik−1

0

0

T

!

haben, wobei T eine Elementarmatrix der kleineren Größe ist. Wenn wir dieses Verfahren induktiv fortsetzen, so bricht es nach r ≤ min{n, m} Schritten ab, wenn entweder A(r +1) = 0 oder A(r +1) = [ ] gilt. Nach r Schritten haben wir Sr · · · S1 A(1) = ⎡ 1



⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣



⎤







1

.. . ..

0

.

1 0

⎥ ⎥ ⎥

⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.4)

Nach Konstruktion stehen die Einsen in (5.4) in den Positionen (1, j1 ), (2, j2 ), . . . , (r, jr ).

(5.5)

Ist r = 1, so ist die Matrix S1 A(1) in Treppennormalform (siehe oben). Ist r > 1, so müssen wir noch die Einträge ungleich Null über den Einsen in den j2 , . . . , jr , + Spalten (1) (1) eliminieren. Dazu bezeichnen wir die Matrix in (5.4) mit R = ri j und bilden für k = 2, . . . , r rekursiv + , (k) := Sr +k−1 R (k−1) , R (k) = ri j

5.2

Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus

55

wobei 

Sr +k−1 :=

 T  T  (k−1) (k−1) G 1,k −r1, jk · · · G k−1,k −rk−1, jk .

Für t := 2r − 1 ist dann die Matrix C := St St−1 · · · S1 A in Treppennormalform. Sei nun n = m und C := St St−1 · · · S1 A in Treppennormalform. Ist A invertierbar, so ist C das Produkt von invertierbaren Matrizen und daher ebenfalls invertierbar. Da eine invertierbare Matrix keine Null-Zeilen oder -Spalten haben kann, folgt C = In . Ist andererseits C = In , so gilt wegen der Invertierbarkeit der Elementarmatrizen, dass S1−1 · · · St−1 = A ist. Somit ist A als Produkt von invertierbaren Matrizen ebenfalls invertierbar, wobei A−1 = St · · · S1 gilt. 2 Die Treppennormalform wird in der Literatur auch als Echelon-Form oder (normierte) Zeilenstufenform bezeichnet. Beispiel 5.3 Transformation einer Matrix aus Q3,5 durch Linksmultiplikation mit Elementarmatrizen auf Treppennormalform: ⎡

0 ⎣ 0 0 j1 = 2, i 1 = 1 −→   M1 12

⎡

0 ⎣ 0 0 ⎡

−→ G 12 (−2)

0 ⎢ ⎣ 0 0 ⎡

−→ G 23 (1)

2 2 2

1 0 0

1 2 2

3 1 1

⎤ 3 1 ⎦ 1

1 2

3 2

0 0

1 1

3 ⎤ 2

⎡ −→ G 13 (−2)

1 ⎦ 1

1

1 2

3 2

0 0

−1 −1

−2 −2

⎤

3 2 ⎥

−2 ⎦ −2

1

1 2

3 2

0

1

2

⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎦

0

0

0

0

0

⎡

0 ⎢ ⎣ 0 0 ⎡

⎤

0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

3 2

j2 = 3, i 2 = 2 −→ M2 (−1)

0 ⎣ 0 0

−→  T G 12 − 12

1 2 0

1 2

3 2

0 −1

1 −2

3 ⎤ 2

1 ⎦ −2 ⎤

1

1 2

3 2

0 0

1 −1

2 −2

3 2 ⎥

2 ⎦ −2 ⎤

0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

1

0

1 2

0

1

2

⎥ ⎥ 2 ⎥. ⎦

0

0

0

0

0

1 2

Die MATLAB-Minute Die Treppennormalform einer Matrix berechnet man in MATLAB mit dem Kommando rref („reduced row echolon form“). Wenden Sie rref auf [A eye(n)] an, um die Inverse der Matrix A=gallery(’tridiag’,-ones(n,1),2*ones(n+1,1),-ones (n,1)) für n=1,2,3,4,5 zu berechnen (vgl. Aufgabe 5.4). Stellen Sie eine Vermutung über die allgemeine Form von A−1 auf. (Können Sie diese Vermutung beweisen?)

Die Treppennormalform einer Matrix A ∈ K n,n führt auf die sogenannte LU -Zerlegung von A.

56

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Satz 5.4 Für jede Matrix A ∈ K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ K n,n , eine untere Dreiecksmatrix L ∈ GLn (K ) mit 1-Diagonale und eine obere Dreiecksmatrix U ∈ K n,n , so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. , wobei U  eine obere DreiBeweis Ist A ∈ K n,n , so hat (5.4) die Form Sn · · · S1 A = U ecksmatrix ist. Ist r < n, so setzen wir Sn = Sn−1 = · · · = Sr +1 = In . Da die Matri genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. Für zen S1 , . . . , Sn invertierbar sind, ist U i = 1, . . . , n hat jede Matrix Si die Form ⎡

⎤

1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Si = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

..

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Pi, j , i ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1

. 1 si,i si+1,i .. .

1

..

.

sn,i

wobei ji ≥ i für i = 1, . . . , n und Pi,i := In (ist ji = i, so war kein Zeilentausch vorzunehmen). Also folgt ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ Sn · · · S1 = ⎢ ⎢ ⎣

1

⎤⎡ ..

1

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

. 1 1

⎤ ..

1 sn−1,n−1 sn,n−1

sn,n ⎡

1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

⎤ ..

. 1 sn−2,n−2 sn−1,n−2 sn,n−2

⎡

⎤

1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Pn−1, jn−1 ⎥ ⎦

.

s22 s32 .. . sn,2

1

..

1 0 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Pn−2, jn−2 · · · ⎥ ⎥ ⎦

s11 ⎥ ⎢ s21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ P2, j2 ⎢ s31 ⎥ ⎢ .. ⎦ ⎣ .

. 1

⎤

⎡

sn,1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ P1, j1 . ⎥ ⎦

1 1

..

. 1

Aus der Form der Permutationsmatrizen folgt für k = 2, . . . , n − 1 und  = 1, . . . , k − 1 die Gleichung

5.2

Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus

⎡

Pk, jk

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎤

1

..

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

. 1 s, s+1, .. .

1

sn,

..

.

57

⎤

1

..

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Pk, j , k ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

. 1 s,  s+1, .. .

1

..

 sn,

1

. 1

für gewisse  s j, ∈ K , j =  + 1, . . . , n. Somit gilt Sn · · · S1 = ⎡ 1 ⎢ .. ⎢ . ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎣ ⎡

1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

s22  s32 .. .

 sn2

⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎣

sn−1,n−1 sn,n sn,n−1 sn,n ⎤⎡ s11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ s21 1 ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ s31 ⎥ ⎢ .. .. ⎦⎣ . . 1

⎤ ..

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥··· ⎥ ⎥ ⎦

. 1 sn−2,n−2  sn−1,n−2  sn,n−2 ⎤

..

 sn,1

.

1 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Pn−1, jn−1 · · · P1, j1 . ⎥ ⎦ 1

Die invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen und die Permutationsmatrizen bilden Gruppen  wobei  bezüglich der Multiplikation (vgl. Sätze 4.14 und 4.17). Somit gilt Sn · · · S1 =  L P, L  eine Permutationsmatrix sind. Da  eine invertierbare untere Dreiecksmatrix und P L = [ i j ] invertierbar ist, ist auch die Matrix D = diag( l11 , . . . , lnn ) invertierbar und wir erhalten A = D −1 U , bzw. A = PLU mit P := P −1 , L :=   in der L −1 D und U := D −1U D −1  LP gewünschten Form. 2 Beispiel 5.5 Berechnung der LU -Zerlegung einer Matrix aus Q3,3 : ⎡

j1 = 2, i 1 = 1 −→   M1

1 2

⎤ 2 2 4 ⎣2 2 1⎦ 2 0 1 ⎡ ⎤ 1 1 2 ⎣2 2 1⎦ 2 0 1 ⎡

−→ G 12 (−2)

1 ⎣0 0

⎤ 1 2 0 −3⎦ −2 −3

−→ G 13 (−2)

⎡ 1 ⎣2 0

⎤ 1 2 2 1⎦ −2 −3

−→ P23

⎡ 1 ⎣0 0

⎤ 1 2 . −2 −3⎦ = U 0 −3

58

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

 = P23 , Damit haben wir P ⎡ 1   2 1  L = G 12 (−2)G 13 (−2)M1 = ⎣−2 2 −2

⎤ 0 0 1 0⎦ , 1 1

 1 , 1, 1 , D = diag 2 

T = P T = P23 , also P = P 23 ⎡

1 L= L −1 D = ⎣1 1

0 1 0

⎤ 0 0⎦ , 1

⎡

⎤ 2 2 4  = ⎣0 −2 −3⎦. U = D −1 U 0 0 −3

Ist A ∈ GLn (K ), so liefert die LU -Zerlegung A−1 = U −1 L −1 P T . Nach der Berechnung der LU -Zerlegung erhält man die Inverse von A somit im Wesentlichen durch die Invertierung von Dreiecksmatrizen. Da hierfür eine effiziente rekursive Formel bekannt ist (vgl. (4.4)), wird die LU -Zerlegung häufig in Anwendungen des wissenschaftlichen Rechnens benutzt. In diesem Zusammenhang verwendet man jedoch andere Strategien für die Auswahl der Permutationsmatrizen. Anstatt das erste von Null verschiedene Element für die Elimination zu verwenden, tauscht man das Element mit dem größten Absolutbetrag in diese Position. Durch diese Strategie wird der Einfluß von Rundungsfehlern reduziert.

Die MATLAB-Minute Die „Hilbert-Matrix“ A = [ai j ] ∈ Qn,n hat die Einträge ai j = 1/(i + j − 1) für i, j = 1, . . . , n. Sie wird in MATLAB mit dem Kommando hilb(n) generiert. Führen Sie das Kommando [L,U,P]=lu(hilb(4)) aus, um eine Zerlegung der Form hilb(5)=PLU zu berechnen. Wie sehen die Matrizen P, L und U aus? Berechnen Sie auch eine LU -Zerlegung der Matrix gallery(’tridiag’,-ones(3,1),2*ones(4,1),-ones(3,1)) und sehen Sie sich die entsprechenden Matrizen P, L und U an.

Wir wollen nun den Namen Treppennormalform rechtfertigen, indem wir zeigen, dass diese Form für jede Matrix A ∈ K n,m eindeutig bestimmt ist. Hierfür benötigen wir die folgende Definition. Definition 5.6 Ist C ∈ K n,m eine Matrix in Treppennormalform (wie in Satz 5.2), dann werden die „Stufenpositionen“ (1, j1 ), . . . , (r, jr ) als die Pivotpositionen von C bezeichnet. Zudem benötigen wir für den Beweis der Eindeutigkeit das folgende Resultat. Lemma 5.7 Ist Z ∈ GLn (K ) und x ∈ K n,1 , so gilt Z x = 0 genau dann, wenn x = 0 ist. Beweis Übungsaufgabe.

2

Satz 5.8 Seien A, B ∈ K n,m in Treppennormalform. Falls A = Z B für eine Matrix Z ∈ GLn (K ) gilt, dann folgt A = B.

5.2

Die Treppennormalform und der Gauß’sche Algorithmus

59

Beweis Ist B die Nullmatrix, so ist A = ZB = 0, also gilt A = B. Sei nun B = 0 und seien A, B in Treppennormalform mit den jeweiligen Spalten ai , bi , 1 ≤ i ≤ m, d. h. A = [a1 , . . . , am ] und B = [b1 , . . . , bm ]. Weiterhin seien (1, j1 ), . . . , (r, jr ) die r ≥ 1 Pivotpositionen von B. Wir zeigen, dass jede Matrix Z ∈ GLn (K ), für die A = ZB gilt, die Form  Z=





Ir 0

Z n−r

hat, wobei Z n−r ∈ GLn−r (K ) ist. Da B in Treppennormalform ist und alle Einträge von B unterhalb von Zeile r gleich Null sind, folgt ZB = B und somit A = B. Da (1, j1 ) die erste Pivotposition von B ist, gilt bi = 0 ∈ K n,1 für 1 ≤ i ≤ j1 − 1 und b j1 = e1 (die erste Spalte der Einheitsmatrix In ). Aus A = Z B folgen ai = 0 ∈ K n,1 für 1 ≤ i ≤ j1 − 1 und a j1 = Z b j1 = Z e1 . Da Z invertierbar ist, gilt a j1 = 0 ∈ K n,1 (vgl. Lemma 5.7). Da A in Treppennormalform ist, folgt a j1 = e1 = b j1 . Weiterhin folgt  Z = Z n :=

1 0

Z n−1

 ,

wobei Z n−1 ∈ GLn−1 (K ) ist. Im Fall r = 1 sind wir fertig. Ist r > 1, so gehen wir die weiteren Pivotpositionen analog durch. Da B in Treppennormalform ist, ergibt sich b jk = ek für die Pivotposition (k, jk ). Aus a jk = Z b jk und der Invertierbarkeit von Z n−k+1 folgt wie oben a jk = b jk und ⎡

Ik−1 Z = ⎣ 0 0 wobei Z n−k ∈ GLn−k (K ) ist.

0 1 0



⎤ ⎦,

Z n−k 2

Mit Hilfe dieses Satzes zeigen wir nun die Eindeutigkeit der Treppennormalform einer Matrix. Korollar 5.9 Für A ∈ K n,m gelten: (1) Es gibt genau eine Matrix C ∈ K n,m in Treppennormalform, in die sich A durch elementare Zeilenoperationen bzw. durch Linksmultiplikation mit Elementarmatrizen überführen lässt. Diese Matrix C nennen wir die Treppennormalform von A. (2) Ist M ∈ GLn (K ), so ist C auch die Treppennormalform von M A, d. h. die Treppennormalform ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen. Beweis (1) Sind S1 A = C1 und S2 A =C2 , wobei  C 1 , C 2 in Treppennormalform und S1 , S2 inver−1 tierbar sind, dann gilt C 1 = S1 S2 C2 . Aus Satz 5.8 folgt nun C1 = C2 .

60

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

(2) Ist M ∈ GL  n (K ) und S3 (M A) = C3 in Treppennormalform, so folgt mit S1 A = C1 , dass C3 = S3 M S1−1 C1 ist. Satz 5.8 zeigt C3 = C1 . 2

5.3 Rang und Äquivalenz von Matrizen Wie wir in Korollar 5.9 gesehen haben, ist die Treppennormalform einer Matrix A ∈ K n,m eindeutig bestimmt. Insbesondere gibt es zu jeder Matrix A ∈ K n,m eine eindeutig bestimmte Anzahl von Pivotpositionen (vgl. Definition 5.6) in ihrer Treppennormalform. Dies rechtfertigt die folgende Definition. Definition 5.10 Die Anzahl r der Pivotpositionen in der Treppennormalform von A ∈ K n,m wird der Rang3 von A genannt und mit Rang(A) bezeichnet. Wir sehen sofort, dass für A ∈ K n,m immer Rang(A) ≤ min{n, m} gilt. Außerdem folgt aus Satz 5.2, dass A ∈ K n,n genau dann invertierbar ist, wenn Rang(A) = n gilt. Weitere Eigenschaften des Rangs sind im folgenden Satz zusammengestellt. Satz 5.11 Für A ∈ K n,m gelten: (1) Es gibt Matrizen Q ∈ GLn (K ) und Z ∈ GLm (K ) mit  QAZ =

Ir 0

0 0



genau dann, wenn Rang(A) = r ist. (2) Sind Q ∈ GLn (K ) und Z ∈ GLm (K ), so gilt Rang(A) = Rang(QAZ). (3) Ist A = BC mit B ∈ K n, und C ∈ K ,m , so gilt (a) Rang(A) ≤ Rang(B), (b) Rang(A) ≤ Rang(C). (4) Rang(A) = Rang(A T ). (5) Es gibt Matrizen B ∈ K n, und C ∈ K ,m mit A = BC genau dann, wenn Rang(A) ≤  ist. Beweis Wir zeigen zuerst (3a). Sei Q ∈ GLn (K ), so dass QB in Treppennormalform ist. Dann gilt QA = QBC. In der Matrix QBC sind höchstens die ersten Rang(B) Zeilen von Null verschieden. Die Treppennormalform von QA ist nach Korollar 5.9 gleich der Treppennormalform von A. Somit können in der Treppennormalform von A ebenfalls höchstens die ersten Rang(B) Zeilen von Null verschieden sein, woraus Rang(A) ≤ Rang(B) folgt.

3

Der Begriff Rang wurde (im Zusammenhang mit Bilinearformen) erstmals 1879 vom deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917) benutzt.

5.3

Rang und Äquivalenz von Matrizen

61

(1) ⇐: Ist Rang(A) = r = 0, dann ist A = 0 und wir sind fertig. Sei nun r ≥ 1. Dann gibt es eine Matrix Q ∈ GLn (K ), so dass QA in Treppennormalform mit r Pivotpositionen ist. Es gibt dann eine Permutationsmatrix P ∈ K m,m , die ein Produkt von Permutationsmatrizen Pi j ist, so dass  T

PA Q

T

=



0 0

Ir



Ir V

=:

0 0



gilt, wobei V ∈ K m−r,r ist. (Ist r = 0, so sind hier I0 = [ ] und V = [ ].) Dann ist die Matrix   0 Ir ∈ K m,m Y := −V Im−r invertierbar mit Y

−1

 =



0

Ir V

∈ K m,m .

Im−r

Es folgt  T

YPA Q

T

=

Ir 0

0 0

 .

Mit Z := P T Y T ∈ K m,m ergibt sich somit  QAZ =

Ir 0

0 0

 .

(5.6)

⇒: Es gelte (5.6) für A ∈ K n,m und Matrizen Q ∈ GLn (K ) und Z ∈ GLm (K ). Dann folgt mit Hilfe von (3a), Rang(A) = Rang(AZ Z −1 ) ≤ Rang(AZ) ≤ Rang(A), also insbesondere Rang(A) = Rang(AZ). Wegen der Invarianz der Treppennormalform unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen (Korollar 5.9) folgt  Rang(A) = Rang(AZ) = Rang(QAZ) = Rang

Ir 0

0 0

 = r.

(2) Sei Rang(QAZ) = r . Nach (1) gibt es Matrizen N ∈ GLn (K ) und L ∈ GLm (K ) mit  N (QAZ)L = Mit Hilfe von (3a) folgt

Ir 0

0 0

 .

62

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

r = Rang(QAZ) = Rang(AZ)



≤ Rang(A) = Rang(NQA) = Rang   Ir 0 ≤ Rang =r 0 0

Ir 0

0 0

 L

−1

Z

−1



und daher Rang(A) = r = Rang(QAZ). (4) Sei Rang(A) = r ,dann gibt es nach (1) Matrizen Q ∈ GLn (K ) und Z ∈ GLm (K ) mit  Ir 0 . Somit gilt QAZ = 0 0   Ir 0 Rang(A) = Rang(QAZ) = Rang 0 0  T  Ir 0 = Rang = Rang((QAZ)T ) 0 0 = Rang(Z T A T Q T ) = Rang(A T ). (3b) Mit Hilfe von (3a) und (4) folgt Rang(A) = Rang(A T ) = Rang(C T B T ) ≤ Rang(C T ) = Rang(C). (5) Sei A = BC mit B ∈ K n, , C ∈ K ,m . Dann gilt nach (3a), Rang(A) = Rang(BC) ≤ Rang(B) ≤ . Sei andererseits Rang(A) = r ≤ . Dann gibt es Matrizen Q ∈ GLn (K ) und Z ∈  Ir 0 . Also erhalten wir GLm (K ) mit QAZ = 0 0  A=

Q

−1



Ir

0r,−r

0n−r,r

0n−r,−r

 

Ir 0−r,r

0r,m−r 0−r,m−r

 Z

−1



=: BC, wobei B ∈ K n, und C ∈ K ,m sind.

2

Beispiel 5.12 Für die Matrix aus Beispiel 5.3, ⎡

0 A=⎣ 0 0 hatten wir die Treppennormalform

2 2 2

1 0 0

3 1 1

⎤ 3 1 ⎦ ∈ Q3,5 , 1

5.3

Rang und Äquivalenz von Matrizen

63

⎡

0

⎢ ⎣ 0 0

1

0

0

1

0

0

1 2

1 2

⎤

⎥ 2 2 ⎦. 0 0

berechnet. Da es zwei Pivotpositionen gibt, gilt Rang(A) = 2. Wenn wir die Matrix A von rechts mit ⎡ ⎤ 1 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 5,5 ⎢ 0 0 ⎥ B=⎢ 0 0 0 ⎥∈Q ⎣ 0 0 0 −1 −1 ⎦ 0 0 0 −1 −1 multiplizieren, erhalten wir ⎡

0 AB = ⎣ 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎤ 0 0 ⎦ ∈ Q3,5 0

und damit ist Rang(AB) = 0. Die Aussage (1) in Satz 5.11 motiviert die folgende Definition. Definition 5.13 Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen äquivalent, wenn es Matrizen Q ∈ GLn (K ) und Z ∈ GLm (K ) mit A = QBZ gibt. Wie der Name bereits andeutet, ist die Äquivalenz von Matrizen eine Äquivalenzrelation auf der Menge K n,m , denn es gelten: • Reflexivität: A = QAZ mit Q = In und Z = Im . • Symmetrie: Ist A = QBZ, dann ist B = Q −1 AZ −1 . • Transitivität: Sind A = Q 1 B Z 1 und B = Q 2 C Z 2 , dann ist A = (Q 1 Q 2 )C(Z 1 Z 2 ). Die Äquivalenzklasse von A ∈ K n,m ist gegeben durch [A] = {QAZ | Q ∈ GLn (K ) und Z ∈ GLm (K )}. Ist Rang(A) = r , so gilt nach (1) in Satz 5.11 

Ir 0

0 0

Ir 0

0 0

 ∈ [A]

und daher 

 = [ A].

64

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Der Rang von A bestimmt somit vollständig, wie die Äquivalenzklasse [A] aussieht. Die Matrix   Ir 0 ∈ K n,m 0 0 nennen wir die Normalform von A unter Äquivalenz oder Äquivalenz-Normalform von A. Wir erhalten K

n,m



=

min{n,m}  

0 0

Ir 0

Ir 0 r =0  

0 0 I 0

 , 0 0

wobei

 = Ø,

falls r =  ist.

Bezüglich der Äquivalenz von Matrizen aus K n,m gibt es somit 1 + min{n, m} verschiedene Äquivalenzklassen und die Menge



Ir 0

0 0



) ) ∈ K n,m )) r = 0, 1, . . . , min{n, m}

bildet eine vollständige Menge von Repräsentanten. Aus Satz 4.10 wissen wir, dass (K n,n , +, ∗) ein (nicht-kommutativer) Ring mit Eins ist. Für n ≥ 2 gibt es in diesem Ring nicht-triviale Nullteiler (vgl. die Beispiele nach Definition 4.9). Mit Hilfe der Äquivalenz-Normalform können wir diese Nullteiler charakterisieren: Ist A ∈ K n,n invertierbar, so kann A kein Nullteiler sein, denn aus AB = 0 folgt B = −1 A ∗ 0 = 0. Ist A ∈ K n,n \ {0} ein Nullteiler, so kann A nicht invertierbar sein. Also gilt 1 ≤ Rang(A) = r < n und die Äquivalenz-Normalform von A ist ungleich der Einheitsmatrix In . Es gibt dann Matrizen Q, Z ∈ GLn (K ), so dass  QAZ =

Ir

0r,n−r

0n−r,r

0n−r,n−r

 .

Für jede Matrix der Form  V :=

0r,r

0r,n−r

 ∈ K n,n

und B := Z V gilt dann AB = Q

−1



Ir

0r,n−r

0n−r,r

0n−r,n−r



Ist V = 0, dann ist B = 0, denn Z ist invertierbar.

0r,r

0r,n−r

 = 0.

Aufgaben

65

Aufgaben (In den folgenden Aufgaben ist K stets ein beliebiger Körper.) 5.1 Berechnen Sie die Treppennormalformen von A=

 1 2

 3 ∈ Q2,3 , 48

2 4

 B=

1 i i −1



 2,2

∈C

,

C=

1 i i 1

 ∈ C2,2 ,

⎡

⎤ 1 i −i 0 ⎢ 0 0 0 1 ⎥ 4,4 ⎥ D=⎢ ⎣ 5 0 −6i 0 ⎦ ∈ C . 0 1 0 0

5.2 5.3

Geben Sie die verwendeten Elementarmatrizen an. Ist einer der Matrizen A, B, C, D invertierbar? Falls ja, dann berechnen Sie die entsprechende Inverse als Produkt der Elementarmatrizen.   α β Sei A = ∈ K 2,2 mit αδ = βγ . Berechnen Sie die Treppennormalform von A γ δ und bestimmen Sie mit Hilfe dieser Rechnung eine Formel für A−1 . Gegeben sei die Matrix

A=

5.4

5.5 5.6

t−1 t2 t−1 t+1

! ∈ (K (t))2,2 ,

wobei K (t) der Körper der rationalen Funktionen ist (vgl. Aufgabe 3.11). Untersuchen Sie, ob A invertierbar ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls A−1 und überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Berechnung von A−1 A. Zeigen Sie,&dass A' ∈ K n,n genau dann invertierbar & ' ist, wenn die Treppennormalform der Matrix A In ∈ K n,2n die Gestalt In A−1 hat. (Die Inverse einer & ' Matrix A ∈ GLn (K ) kann man somit berechnen, indem man die Matrix A In in Treppennormalform bringt; vgl. die MATLAB-Minute auf Seite 55.) Beweisen Sie Lemma 5.7. Bestimmen Sie die LU -Zerlegungen der Matrizen ⎡

1 ⎢4 A=⎢ ⎣5 0

5.7

t+1 t−1 t2 t+1

2 0 0 1

3 0 6 0

⎤ 0 1⎥ ⎥, 0⎦ 0

⎡

⎤ 2 0 −2 0 ⎢ −4 0 4 −1 ⎥ 4,4 ⎥ B=⎢ ⎣ 0 −1 −1 −2 ⎦ ∈ R 0 0 1 1

(vgl. Satz 5.4). Stellen Sie fest, ob die Matrizen invertierbar sind und berechnen Sie gegebenenfalls die Inversen mit Hilfe der LU -Zerlegung. Sei A die (4 × 4)-Hilbert-Matrix (vgl. die MATLAB Minute auf Seite 58). Bestimmen Sie Rang(A). Existiert für A eine LU -Zerlegung wie in Satz 5.4 mit P = I4 ?

66

5.8

5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Bestimmen Sie den Rang der Matrix ⎡

0 A = ⎣ −α −β

5.9

α 0 −γ

⎤ β γ ⎦ ∈ R3,3 0

in Abhängigkeit von α, β, γ ∈ R. Seien A, B ∈ K n,n gegeben. Zeigen Sie, dass  Rang(A) + Rang(B) ≤ Rang

A 0

C B



für alle C ∈ K n,n gilt. Überlegen Sie, wann diese Ungleichung strikt ist bzw. wann Gleichheit gilt. 5.10 Seien a, b, c ∈ Rn,1 . (a) Bestimmen Sie Rang(ba T ). (b) Sei nun M(a, b) := ba T − ab T . Zeigen Sie, dass Folgendes gilt: (i) M(a, b) = −M(b, a) und M(a, b)c + M(b, c)a + M(c, a)b = 0, (ii) M(λa + μb, c) = λM(a, c) + μM(b, c) für λ, μ ∈ R, (iii) Rang(M(a, b)) = 0 genau dann, wenn es λ, μ ∈ R mit λ = 0 oder μ = 0 und λa + μb = 0 gibt, (iv) Rang(M(a, b)) ∈ {0, 2}.

Kapitel 6

Lineare Gleichungssysteme

Die Lösung linearer Gleichungssysteme ist ein zentrales Problem der Linearen Algebra. Solche Systeme treten in vielen wissenschaftlich-technischen Anwendungen auf, wie zum Beispiel bei der Diskretisierung von Differenzialgleichungen oder der Linearisierung einer nichtlinearen Gleichung. Somit ist das Thema dieses Kapitels weit über die Lineare Algebra hinaus von großem Interesse. Definition 6.1 Ein lineares Gleichungssystem über einem Körper K mit n Gleichungen für m Unbekannte x 1 , . . . , xm hat die Form a11 x1 + . . . + a1m xm = b1 , a21 x1 + . . . + a2m xm = b2 , .. . an1 x1 + . . . + anm xm = bn

(6.1)

oder Ax = b,

(6.2)

wobei die Koeffizientenmatrix A = [ai j ] ∈ K n,m und die rechte Seite b = [bi ] ∈ K n,1 gegeben sind. Ist b = 0, so heißt das lineare Gleichungssystem homogen, andernfalls inhomogen. Jedes  x ∈ K m,1 , für das A x = b gilt, heißt Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Menge aller Lösungen wird Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems genannt. Diese Menge bezeichnen wir mit L (A, b). Wir charakterisieren nun die Lösungsmenge L (A, b) des linearen Gleichungssystems Ax = b mit Hilfe der Lösungsmenge L (A, 0) des zugeordneten homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0. x ∈ L (A, b), so Lemma 6.2 Seien A ∈ K n,m und b ∈ K n,1 mit L (A, b) = Ø gegeben. Ist  gilt L (A, b) =  x + L (A, 0) := { x + z | z ∈ L (A, 0)}. Beweis Ist  z ∈ L (A, 0), also  x + z ∈ x + L (A, 0), dann gilt J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_6,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

67

68

6 Lineare Gleichungssysteme

A( x + z) = A x + A z =b+0=b und somit  x + z ∈ L (A, b), woraus  x + L (A, 0) ⊆ L (A, b) folgt. Sei nun  x1 ∈ L (A, b) und sei  z :=  x1 −  x , dann gilt A z = A x1 − A x = b − b = 0, also  z ∈ L (A, 0) und somit  x1 =  x + z ∈ x + L (A, 0), woraus L (A, b) ⊆  x + L (A, 0) folgt. 2 Wir sehen uns nun die Menge L (A, 0) etwas genauer an: Offensichtlich gilt für 0 ∈ K m,1 , dass A ∗ 0 = 0 ∈ K n,1 ist und daher ist L (A, 0) = Ø. Ist  z ∈ L (A, 0), dann folgt für alle λ ∈ K , dass A(λ ·  z) = λ · (A z) = λ · 0 = 0, also λ ·  z ∈ L (A, 0). Somit sind für jedes  z ∈ L (A, 0) alle skalaren Vielfachen von  z ebenfalls Elemente von L (A, 0). Zudem gilt für  z 1 , z 2 ∈ L (A, 0), dass A( z 1 + z 2 ) = A z 1 + A z 2 = 0 + 0 = 0, also  z 1 + z 2 ∈ L (A, 0). Lemma 6.3 Sind A ∈ K n,m , b ∈ K n,1 und S ∈ K n,n , so gilt L (A, b) ⊆ L (S A, Sb). Ist S invertierbar, so gilt sogar L (A, b) = L (S A, Sb). Beweis Ist  x ∈ L (A, b), dann gilt S A x = Sb, also auch  x ∈ L (S A, Sb) und daher L (A, b) ⊆ L (S A, Sb). Ist S invertierbar und  y ∈ L (S A, Sb), also S A y = Sb, so folgt y) = S −1 (Sb) und damit A y = b. Es folgen  y ∈ L (A, b) und L (S A, Sb) ⊆ S −1 (S A L (A, b). 2 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b gegeben. Nach Satz 5.2 können wir eine Matrix S ∈ G L n (K ) finden, so dass S A in Treppennormalform ist. Sei  b = [ bi ] := Sb, dann gilt L (A, b) = L (S A,  b) nach Lemma 6.3 und das lineare Gleichungssystem S Ax =  b sieht wie folgt aus: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

1



1

0

0

0 1

0

0

0

.. . ..

0

. 0 1

⎤

⎡ ⎤ b1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ x = ⎢ .. ⎥ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦  0 bn

Seien j1 , j2 , . . . , jr die Pivotspalten von S A, also Rang(A) = r , und sei die Permutationsmatrix P T ∈ K m,m gegeben durch P T := [e j1 , . . . , e jr , e1 , . . . , e j1 −1 , e j1 +1 , . . . , e j2 −1 , e j2 +1 , . . . , e jr −1 , e jr +1 , . . . , em ]. Dann gilt  := S A P T = A



Ir

12 A

0n−r,r 0n−r,m−r

 ,

6 Lineare Gleichungssysteme

69

12 ∈ K r,m−r . Im Fall r = m ist A 12 = [ ]. Rechtsmultiplikation von S A mit für eine Matrix A T P tauscht somit die r Pivotspalten von S A „nach vorn“. (Dies führt im Folgenden zu einer Vereinfachung der Darstellung, kann aber bei einer „praktischen“ Berechnung weggelassen werden.) b auch in der Form Da P T P = Im gilt, können wir das lineare Gleichungssystem S Ax =   APx =  b schreiben. Mit y := P x ergibt sich

⎢ Ir ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0n−r,r 

⎤ ⎡  ⎤ b1 y1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ yr ⎥ ⎢  ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ br ⎥. ⎥ ⎢ yr +1 ⎥ ⎢  ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ br +1 ⎥ ⎦ ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦  bn  ym       ⎤

⎡ 12 A

0n−r,m−r 

 = A:=S APT

⎡

=y:=P x

(6.3)

= b:=Sb

Die Linksmultiplikation von P an x entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten  x1 , . . . , xm . Wir haben  y ∈ L ( A, b) genau dann, wenn  x := P T  y ∈ L (S A,  b) = L (A, b) ist. Ob das lineare Gleichungssystem (6.3) Lösungen hat, läßt sich an der erweiterten Koeffi  entsteht. Es gilt zientenmatrix [ A, b] ∈ K n,m+1 ablesen, die durch „Anhängen“ von  b an A  ≤ Rang([ A,  Rang( A) b]), mit Gleichheit genau dann, wenn  br +1 = · · · =  bn = 0 ist.  < Rang([ A,  bn ungleich 0 und das Ist Rang( A) b]), so ist mindestens eines der  br +1 , . . . ,   = lineare Gleichungssystem Ay b kann keine Lösung haben, denn alle Einträge in den Zeilen  sind 0. r + 1, . . . , n von A  = Rang([ A,  Ist andererseits Rang( A) b]), so gilt  br +1 = · · · =  bn = 0 und (6.3) kann geschrieben werden als ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤  b1 yr +1 y1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥  ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ = ⎣ . ⎦ − A12 ⎣ . ⎦.  yr ym br ⎡

(6.4)

Aus dieser Darstellung ergibt sich  [ b1 , . . . ,  br , 0, . . . , 0]T =  b ∈ L ( A, b) = Ø.  0) zu bestimmen, setzten wir  br = 0 in (6.4), woraus Um die Menge L ( A, b1 = · · · =   0) = L ( A,

(

[ y1 , . . . ,  ym ]T |  yr +1 , . . . ,  ym beliebig und * 12 [ [ y1 , . . . ,  yr ]T = 0 − A yr +1 , . . . ,  ym ]T

(6.5)

 0) = {0} und somit |L ( A,  12 = [ ], L ( A, b)| = 1, d. h. zu ersehen ist. Ist r = m so gilt A   die Lösung von Ay = b ist eindeutig bestimmt.

70

6 Lineare Gleichungssysteme

Beispiel 6.4 Für die erweiterte Koeffizientenmatrix ⎡

1 0 3  [ A, b] = ⎣ 0 1 4 0 0 0

⎤  b1  b2 ⎦ ∈ Q3,4  b3

 = Rang([ A,  gilt Rang( A) b]) genau dann, wenn  b3 = 0 ist. Ist  b3 = 0, so kann das lineare  = Gleichungssystem Ay b geschrieben werden als 

y1 y2





    b1 3 =  − [y3 ]. 4 b2

 b2 , 0]T ∈ L ( A, b) und Somit ist [ b1 ,   0) = L ( A,

(

* [ y1 ,  y2 ,  y3 ]T |  y3 beliebig und [ y1 ,  y2 ]T = −[3, 4]T [ y3 ]. .

 Ist andererseits  b3 = 0, so ist L ( A, b) = Ø. Lemma 6.5 Sind A ∈ K n,m und b ∈ K n,1 , so gilt L (A, b) = Ø genau dann, wenn Rang(A) = Rang([A, b]) ist.  = Rang(A) und Beweis Dies folgt aus der obigen Diskussion sowie den Identitäten Rang( A)   Rang([ A, b]) = Rang([A, b]). 2 Wir können nun die obigen Überlegungen zusammenfassen und einen Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b angeben. Algorithmus 6.6 Gegeben seien A ∈ K n,m und b ∈ K n,1 . (1) Wende den Gauß’schen Algorithmus an, um S ∈ G L n (A) zu berechnen, so dass S A in Treppennormalform ist. Bilde  b := Sb. (2a) Ist Rang(S A) < Rang([S A,  b]), so gilt L (S A,  b) = L (A, b) = Ø.  := S A P T wie in (6.3). (2b) Ist r = Rang(A) = Rang([S A,  b]), so betrachte A    0), wobei L ( A,  0) wie in (6.5) bestimmt Es gilt  b ∈ L ( A, b) und L ( A, b) =  b+L ( A,  y | y ∈ L ( A, b)}. ist, sowie L (A, b) = {P T  Korollar 6.7 Für A ∈ K n,m und b ∈ K n,1 gelten die folgenden Aussagen über die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems Ax = b: (1) Ist Rang(A) < Rang([A, b]), so gilt L (A, b) = Ø. (2) Ist Rang(A) = Rang([A, b]) = m, so gilt |L (A, b)| = 1 (d. h. es gibt genau eine Lösung). (3) Ist Rang(A) = Rang([A, b]) < m, so gibt es „viele“ Lösungen. Falls der Körper K unendlich viele Elemente hat (also z. B. K = Q, K = R oder K = C), so gibt es in diesem Fall auch unendlich viele (paarweise) verschiedene Lösungen. Den letzten Fall in Korollar 6.7 werden wir besser charakterisieren können, wenn wir später den Begriff der Dimension eingeführt haben.

6 Lineare Gleichungssysteme

71

Beispiel 6.8 Sei K = Q und das lineare Gleichungssystem Ax = b mit ⎡

1 ⎢0 ⎢ A=⎢ ⎢1 ⎣2 1

2 1 0 3 1

2 0 3 5 3

⎤ 1 3⎥ ⎥ 0⎥ ⎥, 4⎦ 3

⎡ ⎤ 1 ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ b=⎢ ⎢2⎥. ⎣3⎦ 2

Wir bilden nun die erweiterte Koeffizientenmatrix [A, b] und wenden den Gauß’schen Algorithmus an, um A in Treppennormalform zu bringen: ⎡

1 2 ⎢0 1 ⎢ 0 −2 [A, b] ; ⎢ ⎢ ⎣0 −1 0 −1 ⎡

1 ⎢0 ⎢ ;⎢ ⎢0 ⎣0 0 ⎡

1 ⎢0 ⎢ ;⎢ ⎢0 ⎣0 0

2 1 0 3 1 −1 1 2 1 2

⎡ ⎤ 1 2 1 ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎥ ; ⎢0 0 ⎣0 0 ⎦ 1 0 0 1

2 0 1 1 1

⎤ ⎡ 1 0 2 −5 1 ⎢0 1 0 3 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 1⎥ 5 ; ⎥ ⎢ ⎣0 0 0 0 0⎦ 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0

2 0 1 0 0

1 3 5 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

−15 3 5 0 0

1 3 5 5 5

⎤ 1 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦ 1 ⎤ 1 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 0⎦ 0

⎤ −1 0⎥ ⎥  1⎥ ⎥ = [S A|b]. 0⎦ 0

Es gilt Rang(S A) = Rang([S A,  b]) = 3, daher gibt es Lösungen. Außerdem gilt für die  = S A. Das lineare Pivotspalten ji = i, i = 1, 2, 3. Somit ist P = P T = I4 und A Gleichungssystem S Ax =  b können wir schreiben als ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1 −15 x1 ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ − ⎣ 3 ⎦ [x4 ]. x3 1 5 ⎡

b + L (A, 0), wobei Es folgt  b = [−1, 0, 1, 0]T ∈ L (A, b) und L (A, b) =  ( * L (A, 0) = [ x1 , . . . ,  x 4 ]T |  x4 beliebig und [ x1 ,  x2 ,  x3 ]T = −[−15, 3, 5]T [ x4 ]. ist.

72

6 Lineare Gleichungssysteme

Aufgaben 6.1 Finden Sie einen Körper K , Zahlen n, m ∈ N sowie Matrizen A ∈ K n,m , S ∈ K n,n und b ∈ K n,1 mit L (A, b) = L (S A, Sb). 6.2 Bestimmen Sie L (A, b) für die folgenden A und b: ⎡

1 A = ⎣1 1

⎤ 1 1 2 −1⎦ ∈ R3,3 , −1 6

⎡

1 1 2 A = ⎣1 1 −1

⎡

⎤ 1 b = ⎣ −2 ⎦ ∈ R3,1 , 3

⎤ 1 0 −1 −1⎦ ∈ R3,4 , 6 2

⎡

⎤ 1 1 1 ⎢1 2 −1⎥ ⎥ ∈ R4,3 , A=⎢ ⎣1 −1 6⎦ 1 1 1 ⎡

⎤ 1 1 1 ⎢1 2 −1⎥ ⎥ ∈ R4,3 , A=⎢ ⎣1 −1 6⎦ 1 1 1

⎡

⎤ 1 b = ⎣ −2 ⎦ ∈ R3,1 , 3 ⎡

⎤ 1 ⎢ −2 ⎥ 4,1 ⎥ b=⎢ ⎣ 3⎦ ∈ R , 1 ⎡

⎤ 1 ⎢ −2 ⎥ 4,1 ⎥ b=⎢ ⎣ 3⎦ ∈ R . 0

6.3 Es seien α ∈ Q, ⎡

⎤ 3 2 1 A = ⎣1 1 1⎦ ∈ Q3,3 , 2 1 0

⎡ ⎤ 6 bα = ⎣ 3 ⎦ ∈ Q3,1 . α

Bestimmen Sie die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme Ax = 0 und Ax = bα (in Abhängigkeit von α). 6.4 Seien K ein Körper, m, n, s ∈ N, A ∈ K n,m und B ∈ K n,s . Für i = 1, . . . , s bezeichne bi die i-te Spalte von B. Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem AX = B genau dann mindestens eine Lösung X ∈ K m,s hat, wenn Rang(A) = Rang([A, b1 ]) = Rang([A, b2 ]) = · · · = Rang([A, bs ]) gilt. Unter welcher Bedingung ist diese Lösung eindeutig?

Aufgaben

73

6.5 Sei K ein Körper. Gegeben seien ⎡

0 ⎢q2 ⎢ ⎢0 ⎢ A=⎢. ⎢ .. ⎢ ⎣0 0

p1 0 0 0 p2 0 q3 0 p3 .. .. . . · · · 0 qn−1 ··· 0 0

··· ··· ··· .. .

0 0 0 .. .

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∈ K n,n , ⎥ ⎥ 0 pn−1 ⎦ qn p n

⎡ ⎤ b1 ⎢ .. ⎥ b = ⎣ . ⎦ ∈ K n,1 bn

mit pi , qi = 0 für alle i. Bestimmen Sie eine rekursive Formel zur Berechnung der Einträge der Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b.

Kapitel 7

Determinanten von Matrizen

Die Determinante ist eine Abbildung, die jeder quadratischen Matrix A ∈ R n,n , wobei R ein kommutativer Ring mit Eins ist, ein Element des Rings R zuordnet. Diese Abbildung hat interessante und wichtige Eigenschaften. Unter anderem erhalten wir durch sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Matrix A ∈ R n,n invertierbar ist. Zudem bildet die Determinante eine Grundlage für zentrale Begriffe der Linearen Algebra, die wir in den folgenden Kapiteln einführen werden (insbesondere das charakteristische Polynom von Matrizen).

7.1 Definition der Determinante Unter den verschiedenen Zugängen zur Definition der Determinante wählen wir den konstruktiven Weg über die Permutationen. Definition 7.1 Sei n ∈ N gegeben. Eine bijektive Abbildung σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n},

j → σ ( j)

heißt Permutation der Zahlen {1, 2, . . . , n}. Die Menge aller dieser Abbildungen bezeichnen wir mit Sn . Eine Permutation σ ∈ Sn schreiben wir in der Form &

' σ (1) σ (2) . . . σ (n) .

Somit sind S1 = {[1]}, S2 = {[1 2], [2 1]} und S3 = { [1 2 3], [1 3 2], [2 1 3], [2 3 1], [3 1 2], [3 2 1] }. Aus Lemma 2.15 folgt |Sn | = n! = 1 · 2 · . . . · n. Die Menge Sn bildet zusammen mit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe: Offensichtlich gilt σ1 ◦ σ2 ∈ Sn für alle σ1 , σ2 ∈ Sn , wobei die Verknüpfung ◦ assoziativ ist (vgl. Satz 2.17). Das neutrale Element ist die Identität auf {1, 2, . . . , n}, also die Permutation [1 2 . . . n]. Da jedes gegebene σ ∈ Sn bijektiv ist, gibt es zu σ eine eindeutig bestimmte J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_7,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

75

76

7 Determinanten von Matrizen

inverse Permutation σ −1 ∈ Sn . Die Gruppe (Sn , ◦) wird auch als die symmetrische Gruppe bezeichnet. Während S1 und S2 kommutative Gruppen sind, ist Sn für n ≥ 3 nicht kommutativ. Zum Beispiel gilt für σ1 = [2 3 1] ∈ S3 und σ2 = [1 3 2] ∈ S3 : σ1 ◦ σ2 = [σ1 (σ2 (1)) σ1 (σ2 (2)) σ1 (σ2 (3))] = [σ1 (1) σ1 (3) σ1 (2)] = [2 1 3], σ2 ◦ σ1 = [σ2 (σ1 (1)) σ2 (σ1 (2)) σ2 (σ1 (3))] = [σ2 (2) σ2 (3) σ2 (1)] = [3 2 1]. Definition 7.2 Seien n ∈ N, n ≥ 2 und σ ∈ Sn . Ein Paar (i, j) ∈ N × N mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ (i) > σ ( j) heißt Fehlstand von σ . Ist k die Anzahl der Fehlstände von σ , so heißt sgn(σ ) := (−1)k das Signum (oder Vorzeichen) von σ . Für n = 1 definieren wir sgn([1]) := 1. Beispiel 7.3 Die Permutation [2 3 1 4] ∈ S4 hat die Fehlstände (1, 3) und (2, 3), also gilt sgn([2 3 1 4]) = 1. Die Permutation [4 1 2 3] ∈ S4 hat die Fehlstände (1, 2), (1, 3), (1, 4) und somit sgn([4 1 2 3]) = −1. Nun kommen wir zur Definition der Determinante. Definition 7.4 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und sei n ∈ N. Die Abbildung det : R

n,n

→ R,

A = [ai j ] → det(A) :=

 σ ∈Sn

sgn(σ )

n 

ai,σ (i)

(7.1)

i=1

heißt die Determinante und det(A) heißt die Determinante der Matrix A. Die in (7.1) angegebene Formel für det(A) in wird als die Signaturformel von Leibniz1 bezeichnet. Der Ausdruck sgn(σ ) in dieser Definition ist als Element des Rings R zu deuten. Das heißt, entweder sgn(σ ) = 1 ∈ R oder sgn(σ ) = −1 ∈ R, wobei −1 ∈ R das zu 1 ∈ R eindeutig bestimmte additiv inverse Element bezeichnet. Beispiel 7.5 Für n = 1 gilt A = [a11 ] und somit det(A) = sgn([1])a11 = a11 . Für n = 2 erhalten wir   a11 a12 det(A) = det = sgn([1 2])a11 a22 + sgn([2 1])a12 a21 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 . Für n = 3 ergibt sich die Regel von Sarrus,2 det(A) =

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 .

1

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), deutscher Universalgelehrter.

2

Pierre Frédéric Sarrus (1798–1861), französischer Mathematiker.

7.1

Definition der Determinante

77

Lemma 7.6 Für n ∈ N, A ∈ R n,n und λ ∈ R gilt  det

λ 0n,1

A



 = det

λ

01,n A

 = λ det(A). 2

Beweis Übungsaufgabe.

Zur Berechnung der Determinante von A ∈ R n,n mit der Signaturformel müssen insgesamt n! Produkte mit je n Faktoren gebildet werden. Dies ist für große n selbst auf modernen Computern zu aufwändig. Wie wir später sehen werden, gibt es effizientere Möglichkeiten, det(A) zu berechnen. Die Signaturformel ist vor allem von theoretischer Bedeutung, denn sie stellt die Determinante von A explizit als Funktion der Einträge von A dar. Betrachtet man die n 2 Einträge als Variablen, so ist det(A) ein Polynom in diesen n 2 Variablen. Ist R = R oder R = C, so kann man anhand der Signaturformel mit Mitteln der Analysis zeigen, dass det(A) eine stetige Funktion der Einträge von A ist. Um die algebraischen Eigenschaften der Determinante genauer zu untersuchen, müssen wir zunächst die Gruppe der Permutationen besser kennen lernen. Ist σ = [3 2 1] ∈ S3 , dann gilt  1≤i< j≤1

σ ( j) − σ (i) σ (2) − σ (1) σ (3) − σ (1) σ (3) − σ (2) = · · j −i 2−1 3−1 3−2 =

2−3 1−3 1−2 · · = (−1)3 = −1 = sgn(σ ). 2−1 3−1 3−2

Dies ist kein Zufall, sondern gilt allgemein, wie das folgende Resultat zeigt. Lemma 7.7 Für n ∈ N und σ ∈ Sn gilt sgn(σ ) =

 1≤i< j≤n

σ ( j) − σ (i) . j −i

(7.2)

Beweis Im Fall n = 1 steht auf der rechten Seite von (7.2) ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist (vgl. Abschn. 3.2). Die Formel (7.2) gilt somit für n = 1. Sei nun n > 1 und σ ∈ Sn mit sgn(σ ) = (−1)k , d. h. k ist die Anzahl der Paare (i, j) mit i < j aber σ (i) > σ ( j). Dann gilt 

(σ ( j) − σ (i)) = (−1)k ·

1≤i< j≤n

 1≤i< j≤n

|σ ( j) − σ (i)| = (−1)k ·



( j − i).

1≤i< j≤n

In der letzten Gleichung haben wir ausgenutzt, dass die beiden Produkte (eventuell bis auf die Reihenfolge) die gleichen Faktoren besitzen. 2 Satz 7.8 Für alle σ1 , σ2 ∈ Sn gilt sgn(σ1 ◦ σ2 ) = sgn(σ1 ) · sgn(σ2 ). Insbesondere gilt also sgn(σ −1 ) = sgn(σ ) für alle σ ∈ Sn . Beweis Nach Lemma 7.7 gilt

78

7 Determinanten von Matrizen



sgn(σ1 ◦ σ2 ) =

1≤i< j≤n

⎛

σ1 (σ2 ( j)) − σ1 (σ2 (i)) j −i

⎞ ⎛ ⎞  σ (σ ( j)) − σ (σ (i)) σ ( j) − σ (i) 1 2 1 2 2 2 ⎠·⎝ ⎠ =⎝ σ2 ( j) − σ2 (i) j −i 1≤i< j≤n 1≤i< j≤n ⎞ ⎛  σ (σ ( j)) − σ (σ (i)) 1 2 1 2 ⎠ · sgn(σ2 ) =⎝ σ2 ( j) − σ2 (i) 1≤σ2 (i)<σ2 ( j)≤n ⎞ ⎛  σ1 ( j) − σ1 (i) ⎠ · sgn(σ2 ) =⎝ j −i 

1≤i< j≤n

= sgn(σ1 ) · sgn(σ2 ). Für jedes σ ∈ Sn folgt 1 = sgn([1 2 . . . n]) = sgn(σ ◦ σ −1 ) = sgn(σ ) · sgn(σ −1 ) und daher 2 sgn(σ ) = sgn(σ −1 ). Bei der Abbildung sgn handelt es sich somit um einen Homomorphisums der Gruppen (Sn , ◦) und ({1, −1}, ·), wobei in der zweiten Gruppe die Verknüpfung der Elemente die gewöhnliche Multiplikation der ganzen Zahlen 1 und −1 ist. Definition 7.9 Eine Transposition ist eine Permutation τ ∈ Sn , n ≥ 2, die genau zwei verschiedene Elemente k,  ∈ {1, 2, . . . , n} miteinander vertauscht, d. h. τ (k) = , τ () = k und τ ( j) = j für alle j ∈ {1, 2, . . . , n} \ {k, }. Offensichtlich gilt τ −1 = τ für jede Transposition τ ∈ Sn . Lemma 7.10 Sei τ ∈ Sn die Transposition, die k und  vertauscht, wobei 1 ≤ k <  ≤ n ist. Dann hat τ genau 2( − k) − 1 Fehlstände. Insbesondere gilt sgn(τ ) = −1. Beweis Es gilt  = k + j für ein j ≥ 1 und τ ist gegeben durch τ = [1 . . . k − 1, k + j, k + 1 . . . k + ( j − 1), k,  + 1 . . . n], wobei an den Punkten die Werte von τ in aufsteigender und „richtiger“ Reihenfolge stehen. Durch Abzählen sieht man nun leicht dass τ genau 2( − k) − 1 = 2 j − 1 Fehlstände hat. Diese sind gegeben durch (k, k + 1), . . . , (k, k + j), (k + 1, k + 2), . . . , (k + j − 1, k + j) .       j Fehlstände

j − 1 Fehlstände

(Im Fall j = 1 ist hierbei die zweite Aufzählung leer.) Insbesondere folgt daraus sgn(τ ) = 2 (−1)2 j−1 = −1.

7.2

Einige Eigenschaften der Determinante

79

7.2 Einige Eigenschaften der Determinante In diesem Abschnitt beweisen wir wichtige Eigenschaften der Determinantenabbildung aus Definition 7.4. Lemma 7.11 Für A ∈ R n,n gelten: (1) (2) (3) (4)

Ist A = [ai j ] eine obere oder untere Dreiecksmatrix, so ist det(A) = Hat A eine Nullzeile oder Nullspalte, so ist det(A) = 0. Ist n ≥ 2 und hat A zwei gleiche Zeilen, so ist det(A) = 0. det(A) = det(A T ).

.n

i=1 aii .

Beweis (1) Dies folgt durch n-fache Anwendung von Lemma 7.6 auf die obere (oder untere) Dreiecksmatrix A. .n ai,σ (i) (2) Hat A eine Nullzeile oder -spalte, so ist für jedes σ ∈ Sn in dem Produkt i=1 mindestens einer der Faktoren gleich Null und daher muss auch det(A) = 0 sein. (3) Die Zeilen k und  mit k <  von A = [ai j ] seien gleich, also ak j = aj für j = 1, . . . , n. Sei τ ∈ Sn die Transposition, die die Elemente k und  vertauscht. Sei Tn := {σ ∈ Sn | σ (k) < σ ()}. Da die Menge Tn alle Permutationen σ ∈ Sn enthält, für die σ (k) < σ () gilt, folgt |Tn | = |Sn |/2 sowie Sn \ Tn = {σ ◦ τ | σ ∈ Tn }. Zudem gilt

ai,(σ ◦τ )(i)

⎧ ⎪ ⎨ai,σ (i) , i = k, , = ak,σ () , i = k, ⎪ ⎩ a,σ (k) , i = .

Nun gilt jedoch ak,σ () = a,σ () und a,σ (k) = ak,σ (k) und daher folgt mit Hilfe von Satz 7.8 und Lemma 7.10,  σ ∈Sn \Tn

sgn(σ )

n 

ai,σ (i) =



sgn(σ ◦ τ )

σ ∈Tn

i=1

=



(−sgn(σ ))

σ ∈Tn

=−

 σ ∈Tn

woraus sich

sgn(σ )

n  i=1 n 

i=1 n 

ai,(σ ◦τ )(i) ai,(σ ◦τ )(i)

ai,σ (i) ,

i=1

80

7 Determinanten von Matrizen

det(A) =



sgn(σ )

σ ∈Sn

=



sgn(σ )

σ ∈Tn

n  i=1 n 

ai,σ (i) 

ai,σ (i) +

sgn(σ )

σ ∈Sn \Tn

i=1

n 

ai,σ (i) = 0

i=1

ergibt. (4) Wir überlegen uns zunächst, dass { (σ (i), i) | 1 ≤ i ≤ n } = { (i, σ −1 (i)) | 1 ≤ i ≤ n } für jedes σ ∈ Sn gilt. Sei dazu ein i mit 1 ≤ i ≤ n fest gewählt. Es gilt σ (i) = j genau dann wenn i = σ −1 ( j). Somit ist das Paar (σ (i), i) = ( j, i) ein Element der ersten Menge, genau dann wenn das Paar ( j, σ −1 ( j)) = ( j, i) ein Element der zweiten Menge ist. Aufgrund der Bijektivität von σ müssen die Mengen also gleich sein. Sei nun A = [ai j ] und A T = [bi j ] mit bi j = a ji . Dann gilt det(A T ) =



sgn(σ )

σ ∈Sn

=



=

σ ∈Sn

bi,σ (i) =

sgn(σ −1 )

n 

aσ (i),i =

sgn(σ )

sgn(σ )



n 

aσ (i),i

i=1

sgn(σ −1 )

σ ∈Sn

i=1 n 

 σ ∈Sn

i=1

σ ∈Sn



n 

n 

ai,σ −1 (i)

i=1

ai,σ (i) = det(A).

i=1

Hier haben benutzt, dass.sgn(σ ) = sgn(σ −1 ) gilt (vgl. Satz 7.8) und dass die beiden .wir n n ai,σ −1 (i) die gleichen Faktoren besitzen. Produkte i=1 aσ (i),i bzw. i=1 2 Beispiel 7.12 Für die ganzzahligen Matrizen ⎡

⎡ ⎤ 1 2 3 1 A = ⎣1 2 3⎦ , B = ⎣1 1 2 4 1

2 3 4

⎤   0 1 2 0⎦ , C = 0 3 0

gilt det(A) = det(B) = 0 und det(C) = 3, was man auch leicht mit Hilfe der in Beispiel 7.5 angegebenen Formeln für (2 × 2)- und (3 × 3)-Matrizen überprüfen kann. Punkt (1) in Lemma 7.11 zeigt, dass det(In ) = 1 für die Einheitsmatrix In = [e1 , e2 , . . . , en ] ∈ R n,n gilt. Aufgrund dieser Eigenschaft nennt man die Abbildung det : R n,n → R auch normiert. Ist σ ∈ Sn , dann nennen wir Pσ := [eσ (1) , eσ (2) , . . . , eσ (n) ]

7.2

Einige Eigenschaften der Determinante

81

die der Permutation σ zugeordnete Permutationsmatrix. Diese Abbildung von der Gruppe Sn auf die Gruppe der Permutationsmatrizen aus R n,n ist offensichtlich bijektiv, d. h. jeder Permutationsmatrix aus R n,n entspricht auch genau eine Permutation σ ∈ Sn . Die Inverse einer Permutationsmatrix ist deren Transponierte (vgl. Satz 4.17) und es gilt Pσ−1 = PσT = Pσ −1 . Ist A = [a1 , a2 , . . . , an ] ∈ R n,n , d. h. a j ∈ R n,1 ist die j-te Spalte von A, so gilt A Pσ = [aσ (1) , aσ (2) , . . . , aσ (n) ]. Die Rechtsmultiplikation von A mit Pσ vertauscht somit die Spalten von A entsprechend der Permutation σ . Ist andererseits ai ∈ R 1,n die i-te Zeile von A, so gilt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ aσ (1) a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢ aσ (2) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ PσT A = PσT ⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ , ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦ an

aσ (n)

d. h. die Linksmultiplikation der transponierten Permutationsmatrix PσT an A vertauscht die Zeilen von A entsprechend der Permutation σ . Wir betrachten nun die Determinanten der Elementarmatrizen. Lemma 7.13 (1) Für σ ∈ Sn und die zugeordnete Permutationsmatrix Pσ ∈ R n,n gilt sgn(σ ) = det(Pσ ). Ist n ≥ 2 und Pi j wie in (5.1) definiert, so gilt det(Pi j ) = −1. (2) Sei λ ∈ R und seien Mi (λ) bzw. G i j (λ) wie in (5.2) bzw. (5.3) definiert. Dann gelten det(Mi (λ)) = λ und det(G i j (λ)) = 1. Beweis n,n , so ist a (1) Sind  σ ∈ Sn und P σ = [ai j ] ∈ R  σ ( j), j = 1, j = 1, 2, . . . , n, und alle anderen sind 0. Es folgt Einträge von P σ

T det(P σ ) = det(P σ )=

 σ ∈Sn

sgn(σ )

n  j=1



aσ ( j), j = sgn( σ) 



n  j=1

a σ ). σ ( j), j = sgn(    =1

=0 für σ = σ

Die Permutationsmatrix Pi j ist der Transposition zugeordnet, die i und j vertauscht. Somit folgt det(Pi j ) = −1 aus Lemma 7.10. (2) Da Mi (λ) und G i j (λ) untere Dreiecksmatrizen sind, folgt die Aussage aus (1) in Lemma 7.11. 2 Nun können wir einige wichtige „Rechenregeln“ für Determinanten zeigen. Lemma 7.14 Für A ∈ R n,n , n ≥ 2, und λ ∈ R gelten: (1) Die Multiplikation einer Zeile von A mit λ führt zur Multiplikation von det(A) mit λ: det(Mi (λ)A) = λ · det A = det(Mi (λ)) · det(A).

82

7 Determinanten von Matrizen

(2) Die Addition des λ-fachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A ändert det(A) nicht: det(G i j (λ)A) = det(A) = det(G i j (λ)) · det(A), det(G i j (λ)T A) = det(A) = det(G i j (λ)T ) · det(A). (3) Das Vertauschen zweier Zeilen von A ändert das Vorzeichen von det(A): det(Pi j A) = − det(A) = det(Pi j ) · det A. Beweis  = Mi (λ)A = [ (1) Sei A = [amk ] und A amk ], also  amk

3 m = i, amk , = λamk , m = i,

dann gilt  = det( A)



sgn(σ )

σ ∈Sn

n  m=1

 am,σ (m) =

 σ ∈Sn

n  sgn(σ ) ·  ai,σ (i) ·  am,σ (m)    m=1    =λai,σ (i)

m =i

=am,σ (m)

= λ · det(A).  = G i j (λ)A = [ (2) Sei A = [amk ] und A amk ], also  amk

3 amk , = a jk + λaik ,

m = j, m = j,

dann gilt  = det( A)



sgn(σ ) · (a j,σ ( j) + λai,σ ( j) ) ·

σ ∈Sn

=

 σ ∈Sn

n 

am,σ (m)

m=1 m = j

sgn(σ )

n  m=1

am,σ (m) + λ ·



sgn(σ ) · ai,σ ( j) ·

σ ∈Sn

n 

am,σ (m) .

m=1 m = j

Der erste Summand im obigen Ausdruck ist gleich det(A), der zweite ist gleich einer Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Zeilen und somit gleich Null. Der Beweis für die Matrix G i j (λ)T A geht genauso. (3) Die Permutationsmatrix Pi j vertauscht die Zeilen i und j von A, wobei i < j ist. Diese Vertauschung ergibt sich auch durch die folgenden vier, nacheinander ausgeführten elementaren Zeilenoperationen: Multipliziere Zeile j mit −1; addiere Zeile i zur Zeile j; addiere das (−1)-fache von Zeile j zur Zeile i; addiere Zeile i zur Zeile j. Daher gilt Pi j = G i j (1)(G i j (−1))T G i j (1)M j (−1).

7.2

Einige Eigenschaften der Determinante

83

(Man kann dies auch durch elementare Rechnung verifizieren.) Aus (1) und (2) folgt   det(Pi j A) = det G i j (1)(G i j (−1))T G i j (1)M j (−1)A = det(G i j (1)) · det((G i j (−1))T ) · det(G i j (1)) · det(M j (−1)) · det(A) = (−1) · det(A).

2

det(A T ) ist (vgl. (4) in Lemma 7.11), gelten die in Lemma 7.14 festgestellten

Da det(A) = Aussagen für die Zeilen von A analog auch für die Spalten von A.

Beispiel 7.15 Wir betrachten die Matrizen ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 3 0 3 1 0 A = ⎣1 2 0⎦ , B = ⎣2 1 0⎦ ∈ Z3,3 . 1 2 4 2 1 4 Eine einfache Rechnung zeigt, dass det(A) = −4 ist. Da B aus A durch Vertauschen der ersten beiden Spalten entstanden ist, gilt det(B) = − det(A) = 4. Die Determinante kann man als eine Abbildung von (R n,1 )n nach R interpretieren, d. h. als eine Abbildung der n Spalten der Matrix A ∈ R n,n in den Ring R. Sind ai , a j ∈ R n,1 zwei Spalten von A, also A = [. . . ai . . . a j . . .], dann gilt det(A) = det([. . . ai . . . a j . . .]) = − det([. . . a j . . . ai . . .]) nach (3) in Lemma 7.14. Aufgrund dieser Eigenschaft nennt man die Determinante auch eine alternierende Abbildung der Spalten von A (analog für die Zeilen von A). (1) (2) ( j) + Ist die k-te ,Zeile von A von der Form λa + μa für gewisse λ, μ ∈ R und a = ( j) ( j) ak1 , . . . , akn ∈ R 1,n , j = 1, 2, dann gilt ⎤⎞ .. n .    ⎥⎟ ⎜⎢ (1) (1) (2) ⎢ λa + μa (2) ⎥⎟ = sgn(σ ) λa + μa ai,σ (i) det(A) = det ⎜ k,σ (k) k,σ (k) ⎦⎠ ⎝⎣ .. i=1 σ ∈Sn i =k . ⎛⎡

=λ

 σ ∈Sn

(1)

sgn(σ ) ak,σ (k)

n  i=1 i =k

ak,σ (k) + μ

 σ ∈Sn

⎛⎡ ⎤⎞ ⎤⎞ .. .. . . ⎜⎢ (2) ⎥⎟ ⎜⎢ (1) ⎥⎟ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎢ = λ det ⎜ ⎝⎣ a ⎦⎠ + μ det ⎝⎣ a ⎦⎠ . .. .. . . ⎛⎡

(2)

sgn(σ ) ak,σ (k)

n  i=1 i =k

ai,σ (i)

84

7 Determinanten von Matrizen

Diese Eigenschaft wird die Linearität der Determinante bezüglich der Zeilen von A genannt (analog: Linearität bezüglich der Spalten). Lineare Abbildungen werden wir später noch genau studieren. Das folgende Resultat wird aus naheliegenden Gründen Determinantenmultiplikationssatz genannt. Satz 7.16 Sei K ein Körper und seien A, B ∈ K n,n , dann gilt det(AB) = det(A) · det(B). Beweis Aus Satz 5.2 wissen wir, dass es für A ∈ K n,n invertierbare Elementarmatrizen  := St . . . S1 A in Treppennormalform ist. Aus Lemma 7.14 folgt S1 , . . . , St gibt, so dass A      det(A) = det S1−1 · . . . · det St−1 · det( A), sowie    det(AB) = det S1−1 . . . St−1 AB      = det S1−1 · . . . · det St−1 · det( AB).  und damit AB  eine Nun können zwei Fälle auftreten: Ist A nicht invertierbar, so hat A  = det( AB)  Nullzeile. Dann folgt det( A) = 0, woraus sich det(A) = 0 und schließlich det(AB) = det(A) det(B) = 0 ergeben.  ist in Treppennormalform. Mit det(In ) = 1 folgt  = In , denn A Ist A invertierbar, so gilt A wieder det(AB) = det(A) det(B). 2 Der Determinantenmultiplikationssatz gilt auch auch für Matrizen über einem kommutativen Ring mit Eins, d. h. det(AB) = det(A) · det(B) für A, B ∈ R n,n . Unser Beweis beruht jedoch auf Satz 5.2 und dieser setzt Matrizen über einem Körper voraus. Wie wir in Satz 5.4 gesehen haben, kann jede Matrix A ∈ K n,n faktorisiert werden als A = P LU . Es gilt nun det(A) = det(P) · det(L) · det(U ), wobei alle drei Determinanten auf der rechten Seite leicht zu berechnen sind, denn es handelt sich um eine Permutationsund zwei Dreiecksmatrizen. Die LU -Zerlegung einer Matrix, d. h. der Gauß-Algorithmus, bietet daher eine wesentlich effizientere Möglichkeit zur Berechnung der Determinante als die Signaturformel von Leibniz.

Die MATLAB-Minute Sehen Sie sich die Matrizen wilkinson(n) für n=2,3,...,10 an. Können Sie an diesen Beispielen eine allgemeine Bildungsvorschrift für diese Matrizen erkennen? Berechnen Sie für n=2,3,...,10: A=wilkinson(n) [L,U,P]=lu(A) (LU -Zerlegung; vgl. die MATLAB-Minute auf Seite 58). det(L), det(U), det(P), det(P)*det(L)*det(U) det(A) Welche Permutation gehört jeweils zu der berechneten Matrix P? Warum ist det(A) für ungerades n eine ganze Zahl?

7.3

Minoren und die Laplace-Entwicklung

85

7.3 Minoren und die Laplace-Entwicklung Determinanten können wir verwenden, um Formeln für die Lösung von Gleichungssystemen bzw. die Inversen von Matrizen herzuleiten, die jedoch im Wesentlichen von theoretischer Bedeutung sind. Definition 7.17 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und sei A ∈ R n,n , n ≥ 2. Dann heißt die Matrix A( j, i) ∈ R n−1,n−1 , die durch das Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte von A entsteht, ein Minor von A. Die Matrix adj(A) = [bi j ] ∈ R n,n

bi j := (−1)i+ j det(A( j, i)),

mit

heißt die Adjungte von A. Die zunächst etwas merkwürdig anmutende Matrix adj(A) stellt sich, falls A invertierbar sein sollte, bis auf einen skalaren Faktor als die Inverse von A heraus. Satz 7.18 Für eine Matrix A ∈ R n,n , n ≥ 2, gilt: A adj(A) = adj(A) A = det(A) · In . Insbesondere ist A genau dann invertierbar, wenn det(A) ∈ R invertierbar ist. In diesem Fall gilt A−1 = (det(A))−1 adj(A). Beweis Sei B = [bi j ] mit bi j = (−1)i+ j · det(A( j, i)), dann gilt für C = [ci j ] = adj(A)A, ci j =

n 

bik ak j =

k=1

n 

(−1)i+k det(A(k, i))ak j .

k=1

Sei a die -te Spalte von A, seien i, k mit 1 ≤ i, k ≤ n gegeben und sei  i) := [a1 , . . . , ai−1 , ek , ai+1 , . . . , an ], A(k, wobei ek die k-te Spalte der Einheitsmatrix In ist. Dann gibt es Permutationsmatrizen P, Q ∈ R n,n , die k − 1 Zeilen-, i − 1 Spaltenvertauschungen durchführen, so dass  i)Q = P A(k,

 1 0



. A(k, i)

Es gilt (vgl. Lemma 7.6) 

 i)Q) = det(P A(k, A(k, i)  i)) · det(Q) = det(P) · det( A(k, 

det(A(k, i)) = det

1 0

 i)) = (−1)(k−1)+(i−1) det( A(k,  i)), = (−1)k+i det( A(k,

86

7 Determinanten von Matrizen

also ci j =

n  k=1

 i)) · ak j (−1)i+k · (−1)k+i · det( A(k,    =1

= det([a1 , . . . , ai−1 , a j , ai+1 , . . . , an ]) 3 0, i = j, = det(A), i = j, = δi j · det(A), woraus adj(A)A = det(A) · In folgt. Analog zeigt man A adj(A) = det(A) · In . Ist nun det(A) ∈ R invertierbar, so gilt In = (det(A))−1 adj(A)A = A(det(A))−1 adj(A), d. h. A ist invertierbar mit A−1 = (det(A))−1 adj(A). Ist andererseits A invertierbar, so gilt 1 = det(In ) = det(A A−1 ) = det(A) det(A−1 ). Somit ist det(A) invertierbar und wieder gilt A−1 = (det(A))−1 adj(A). Für eine quadratische Matrix A über einem Körper, d. h. A ∈ folgenden Aussagen zur Invertierbarkeit:

K n,n ,

2 gelten somit die

Satz 5.2

A ∈ G L n (K ) ⇐⇒ Die Treppennormalform von A ist die Einheitsmatrix In Def. 5.10

⇐⇒ Rang(A) = n klar

⇐⇒ Rang(A) = Rang([A, b]) = n für alle b ∈ K n,1 Alg. 6.6

⇐⇒ |L (A, b)| = 1 für alle b ∈ K n,1

Satz 7.18

⇐⇒ det(A) = 0.

(7.3)

Alternativ erhalten wir: Satz 5.2

A∈ / G L n (K ) ⇐⇒ Die Treppennormalform von A hat mind. eine Nullzeile Def. 5.10

⇐⇒ Rang(A) < n klar

⇐⇒ Rang([A, 0]) < n Alg. 6.6

⇐⇒ L (A, 0) = {0}

Satz 7.18

⇐⇒ det(A) = 0.

(7.4)

Für die bekannten Zahlenkörper Q, R und C, in denen der (gewöhnliche) Absolutbetrag | · | definiert ist, können wir das folgende nützliche Kriterium für die Invertierbarkeit von Matrizen zeigen.

7.3

Minoren und die Laplace-Entwicklung

87

Satz 7.19 Ist A ∈ K n,n mit K ∈ {Q, R, C} diagonaldominant, d. h., ist |aii | >

n 

|ai j |

für alle i = 1, . . . , n,

(7.5)

j=1 j =i

so gilt det(A) = 0. Beweis Wir zeigen die entgegengesetzte Implikation: Ist det(A) = 0, so ist A nicht diagonaldominant. Ist det(A) = 0, so ist L (A, 0) = {0}, d. h. das homogene lineare Gleichungssystem xn ]T = 0. Sei  xm ein Eintrag von  x mit Ax = 0 hat mindestens eine Lösung  x = [ x1 , . . . ,  maximalem Betrag, also | xm | ≥ | x j | für alle j = 1, . . . , n. Insbesondere gilt dann | xm | > 0. Die m-te Zeile von A x = 0 ist gegeben durch x 1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0 am1

⇔

amm  xm = −

n 

am j  xj.

j=1 j =m

In der letzten Gleichung bilden wir die Beträge auf beiden Seiten und nutzen die Dreiecksungleichung aus. Dies ergibt xm | ≤ |amm | |

n 

|am j | | xj| ≤

j=1 j =m

n 

|am j || x m |,

also |amm | ≤

j=1 j =m

n 

|am j |.

j=1 j =m

2

Somit ist A nicht diagonaldominant. Die Umkehrung der Aussage dieses Satzes gilt nicht: Ist zum Beispiel   1 2 A= ∈ Q2,2 , 1 0

so gilt det(A) = −2 = 0, doch A ist nicht diagonaldominant. Aus Satz 7.18 erhalten wir die sogenannte Laplace-Entwicklung,3 die eine alternative Möglichkeit zur Berechnung der Determinante darstellt. Korollar 7.20 Für A ∈ R n,n , n ≥ 2, gelten die folgenden Regeln: (1) Für alle i = 1, 2, . . . , n ist det(A) =

n 

(−1)i+ j ai j det(A(i, j))

j=1

(Laplace-Entwicklung von det(A) nach der i-ten Zeile von A). 3

Pierre-Simon Laplace (1749–1827), französischer Mathematiker, veröffentlichte diese Entwicklung 1772.

88

7 Determinanten von Matrizen

(2) Für alle j = 1, 2, . . . , n ist det(A) =

n 

(−1)i+ j ai j det(A(i, j))

i=1

(Laplace-Entwicklung von det(A) nach der j-ten Spalte von A). Beweis Die beiden Formeln für det(A) folgen unmittelbar aus einem Vergleich der Diagonaleinträge in den Matrix-Gleichungen det(A) · In = A adj(A) und det(A) · In = adj(A) A 2 Schließlich erwähnen wir noch die Cramer’sche Regel,4 die die explizite Lösung eines linearen Gleichungssystems in Form von Determinanten angibt. Diese Regel ist nur von theoretischem Wert, denn um die n Komponenten der Lösung zu berechnen erfordert sie die Auswertung von n + 1 Determinanten. Korollar 7.21 Sei K ein Körper, A ∈ G L n (K ) und b ∈ K n,1 . Dann ist die eindeutige Lösung des linearen Gleichungsystems Ax = b gegeben durch [x 1 , . . . , xn ]T = A−1 b = (det(A))−1 · adj(A)b, mit xi =

det[a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ] , det(A)

i = 1, . . . , n.

Beispiel 7.22 Seien ⎡

1 ⎢1 A=⎢ ⎣1 1

3 2 2 2

0 0 1 3

⎤ 0 0⎥ ⎥ ∈ Q4,4 , 0⎦ 1

⎡ ⎤ 1 ⎢2⎥ 4,1 ⎥ b=⎢ ⎣1⎦ ∈ Q . 0

Wenden wir die Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte auf die Matrix A an, so erhalten wir   1 3 det(A) = 1 · 1 · det = −1. 1 2 Die Matrix A ist somit invertierbar und das linearen Gleichungssystem Ax = b hat eine eindeutige Lösung  x = A−1 b ∈ Q4,1 . Mit der Cramer’schen Regel ergeben sich die Einträge von  x als

4

Gabriel Cramer (1704–1746), schweizer Mathematiker.

Aufgaben

89

⎛⎡

x1

x2

x3

x4

1 ⎜ ⎢2 ⎢ = det ⎜ ⎝ ⎣1 0 ⎛⎡ 1 ⎜ ⎢1 ⎢ = det ⎜ ⎝ ⎣1 1 ⎛⎡ 1 ⎜ ⎢1 ⎢ = det ⎜ ⎝ ⎣1 1 ⎛⎡ 1 ⎜ ⎢1 ⎢ = det ⎜ ⎝ ⎣1 1

3 2 2 2

0 0 1 3

1 2 1 0

0 0 1 3

3 2 2 2

1 2 1 0

3 2 2 2

0 0 1 3

⎤⎞ 0 ⎟ 0⎥ ⎥⎟ / det(A) = −4/(−1) = 4, ⎦ 0 ⎠ 1 ⎤⎞ 0 ⎟ 0⎥ ⎥⎟ / det(A) = 1/(−1) = −1, ⎦ 0 ⎠ 1 ⎤⎞ 0 ⎟ 0⎥ ⎥⎟ / det(A) = 1/(−1) = −1, ⎦ 0 ⎠ 1 ⎤⎞ 1 ⎟ 2⎥ ⎥⎟ / det(A) = −1/(−1) = 1. ⎦ 1 ⎠ 0

Aufgaben 7.1

Falls es für σ ∈ Sn eine Teilmenge {i 1 , . . . , ir } ⊆ {1, 2, . . . , n} mit r Elementen und σ (i k ) = i k+1 für k = 1, 2, . . . , r − 1,

σ (ir ) = i 1 ,

σ (i) = i für i ∈ / {i 1 , . . . , ir },

gibt, so nennen wir σ einen Zykel (genauer einen r -Zykel). Wir schreiben einen r -Zykel als σ = (i 1 , i 2 , . . . , ir ). Insbesondere ist eine Transposition in τ ∈ Sn ein 2-Zykel. (a) Seien für n = 4 die 2-Zykel τ1,2 = (1, 2), τ2,3 = (2, 3) und τ3,4 = (3, 4) gegeben. −1 und τ1,2 ◦ τ2,3 ◦ τ3,4 . Berechnen Sie τ1,2 ◦ τ2,3 , τ1,2 ◦ τ2,3 ◦ τ1,2 (b) Seien n ≥ 4 und σ = (1, 2, 3, 4). Berechnen Sie σ j für j = 2, 3, 4, 5. (c) Zeigen Sie, dass die Inverse des Zykels (i1 , . . . , ir ) durch (ir , . . . , i 1 ) gegeben ist. (d) Zeigen Sie, dass zwei elementfremde Zykel, d. h. Zykel (i 1 , . . . , ir ) und ( j1 , . . . , jr ) mit {i 1 , . . . , ir } ∩ { j1 , . . . , jr } = ∅, kommutieren. (e) Zeigen Sie, dass jede Permutation σ ∈ Sn als ein Produkt von elementfremden Zykeln geschrieben werden kann, die bis auf ihre Reihenfolge eindeutig durch σ bestimmt sind. 7.2 7.3

Beweisen Sie Lemma 7.6 mit Hilfe der Signaturformel (7.1). Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: & ' (a) A = en en−1 . . . e1 ∈ Zn,n , wobei ei die i-te Spalte der Einheitsmatrix ist. & ' (b) B = bi j ∈ Zn,n mit

90

7 Determinanten von Matrizen

⎧ ⎪ für |i − j| = 0, ⎨2 bi j = −1 für |i − j| = 1, ⎪ ⎩ 0 für |i − j| ≥ 2. (c) ⎡

1 ⎢e ⎢ 2 ⎢e ⎢ 3 C =⎢ ⎢e ⎢e 4 ⎢ ⎣e6 0

0 0 1 0 0 0 0

1 eπ 17 31

−e 10001 √ 2 1

0 √4 6 π 0 0 0

0 5 √ 7 e π −1 0 0

0 1 √ 8 0 0 0 0

⎤ √0 ⎥ √π ⎥ 10⎥ ⎥ 7,7 πe ⎥ ⎥∈R . 2 ⎥ e π⎥ −1 ⎦ 0

(d) Die (4 × 4)-Wilkinson-Matrix5 (vgl. die MATLAB-Minute auf Seite 84). 7.4 7.5 7.6

Finden Sie Matrizen A, B ∈ Rn,n für ein n ≥ 2 mit det(A + B) = det(A) + det(B). Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und sei A ∈ R n,n , n ≥ 2, so dass det(A) ∈ R invertierbar ist. Zeigen Sie, dass dann det(adj(A)) = (det(A))n−1 gilt. 1 Sei K ein Körper und A = [ai j ] ∈ K n,n mit ai j = xi +y für gewisse x 1 , . . . , x n , j y1 , . . . , yn ∈ K . (Insbesondere gilt also xi + y j = 0 für alle i, j.) (a) Zeigen Sie, dass . det(A) =

1≤i< j≤n (x j .n i, j=1

− xi )(y j − yi ) xi + y j

gilt. (b) Leiten Sie mit dem Ergebnis aus (a) eine Formel für die Determinate der (n × n)Hilbert-Matrix her (vgl. die MATLAB-Minute auf Seite 58). 7.7

Sind α1 , . . . , αn ∈ R, dann wird ⎡

1 , ⎢1 + ⎢ Vn := αij−1 = ⎢ . ⎣ .. 1

α1 α2 .. .

αn

α12 α22 .. . αn2

... ... ...

⎤ α1n−1 α2n−1 ⎥ ⎥ ∈ R n,n .. ⎥ ⎦ . αnn−1

eine (n × n)-Vandermonde-Matrix6 genannt.

5

James Hardy Wilkinson (1919–1986), englischer Mathematiker.

6

Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796), französischer Mathematiker.

Aufgaben

91

(a) Zeigen Sie, dass det(Vn ) =



(α j − αi )

1≤i< j≤n

gilt. (b) Sei K ein Körper und K [t]≤n−1 die Menge der Polynome in der Unbekannten t vom Grad höchstens n − 1. Zeigen Sie, dass zwei Polynome p, q ∈ K [t]≤n−1 gleich sind, wenn p(β j ) = q(β j ) für paarweise verschiedene β1 , . . . , βn ∈ K gilt. 7.8

Zeigen Sie die folgenden Aussagen: (a) Sei K ein Körper mit 1 + 1 = 0 und A ∈ K n,n mit A T = −A. Ist n ungerade, so gilt det(A) = 0. (b) Ist A ∈ G L n (R) mit A T = A−1 , so gilt det(A) ∈ {1, −1}.

7.9

Sei K ein Körper, A11 ∈ K n 1 ,n 1 , A12 ∈ K n 1 ,n 2 , A21 ∈ K n 2 ,n 1 , A22 ∈ K n 2 ,n 2 sowie  A=

 A11 A12 . A21 A22

Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln:   (a) Ist A11 ∈ G L n 1 (K ), so gilt det(A) = det(A11 ) det A22 − A21 A−1 11 A12 .   . A (b) Ist A22 ∈ G L n 2 (K ), so gilt det(A) = det(A22 ) det A11 − A12 A−1 21 22 (c) Ist A 21 = 0, so gilt det(A) = det(A11 ) det(A22 ). Können Sie diese Regeln auch beweisen, wenn die Matrizen über einem kommutativen Ring mit Eins definiert sind? 7.10 Finden Sie Matrizen A11 , A12 , A21 , A22 ∈ Rn,n für ein n ≥ 2 mit   A11 A12 = det(A11 ) det(A22 ) − det(A12 ) det(A21 ). det A21 A22 & ' 7.11 Sei A = ai j ∈ G L n (R) mit ai j ∈ Z. Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) A−1 ∈ Qn,n . (b) A−1 ∈ Zn,n gilt genau dann, wenn det(A) ∈ {±1} ist. (c) Das lineare Gleichungssystem Ax = b hat für jedes b ∈ Zn,1 eine eindeutige Lösung  x ∈ Zn,1 genau dann, wenn det(A) ∈ {±1} ist.

Kapitel 8

Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen

In den vorherigen Kapiteln haben wir den Rang und die Determinante als charakterisierende Größen von Matrizen kennengelernt. Nun wollen wir als weitere wichtige Größen das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von Matrizen kennenlernen.

8.1 Das charakteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton Im Beispiel 3.17 haben wir den Ring R[t] der Polynome über einem kommutativen Ring mit Eins und in der Unbekannten t betrachtet. Ist A = [ai j ] ∈ R n,n , so setzen wir ⎡ t − a11 ⎢ ⎢ −a21 t In − A = ⎢ ⎢ .. ⎣ . −an1

−a12 t − a22 .. . ···

··· .. . .. . −an,n−1

⎤ −a1n ⎥ .. ⎥ . ⎥ ∈ (R[t])n,n . ⎥ −an−1,n ⎦ t − ann

Die Einträge der Matrix t In − A sind also Elemente von R[t], wobei die Diagonaleinträge die linearen Polynome (d. h. Polynome vom Grad 1) t − aii , i = 1, . . . , n, sind. Alle anderen Einträge sind die konstanten Polynome −ai j für i = j. Da die Einträge von t In − A Elemente eines kommutativen Rings mit Eins sind, können wir die Determinante dieser Matrix bilden, die wieder ein Element von R[t] ist (vgl. Definition 7.4). Definition 8.1 Sind R ein kommutativer Ring mit Eins und A ∈ R n,n , dann heißt PA := det(t In − A) ∈ R[t] das charakteristische Polynom von A. Beispiel 8.2 Ist n = 1 und A = [a11 ], dann ist PA = det(t I1 − A) = det([t − a11 ]) = t − a11 . Für n = 2 und J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_8,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

93

94

8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen

A=

 a11 a21

a12 a22



erhalten wir  PA = det

−a12 t − a22

t − a11 −a21

 = t 2 − (a11 + a22 )t + (a11 a22 − a12 a21 ).

Mit Hilfe von Definition 7.4 ergibt sich die allgemeine Form von PA für eine Matrix A ∈ R n,n als PA =



sgn(σ )

σ ∈Sn

n 

δi,σ (i) t − ai,σ (i) .

(8.1)

i=1

Das folgende Lemma gibt weitere Informationen über das charakteristische Polynom PA . Lemma 8.3 Für A ∈ R n,n ist PA = t n − αn−1 t n−1 + . . . + (−1)n−1 α1 t + (−1)n α0 , mit αn−1 =

n

i=1 aii

und α0 = det(A).

Beweis Nach (8.1) gilt n  PA = (t − aii ) +



n 

sgn(σ ) δi,σ (i) t − ai,σ (i) .

σ =[1 ··· n]

i=1

i=1

In der Summe auf der rechten Seite hat der erste Summand die Form   n  n t − aii t n−1 + (Polynom vom Grad ≤ n − 2) i=1

und der zweite Summand ist ein Polynom vom Grad ≤ n − 2. Somit gilt αn−1 = wie behauptet. Aus (8.1) folgt außerdem PA (0) =

 σ ∈Sn

sgn(σ )

n i=1

aii

n 

−ai,σ (i) = (−1)n det(A) i=1

und somit α0 = det(A).

2

hat somit stets den Grad n. Der KoeffiDas charakteristische Polynom PA von A ∈ zient α1 vor t n−1 ist die Summe der Diagonalelemente und wird als Spur der Matrix bezeichnet, d. h. R n,n

Spur(A) :=

n  i=1

aii .

8.1

Das charakteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton

95

Der Koeffizient von t n ist gleich 1 ∈ R. Ein solches Polynom wird monisch oder auch normiert genannt. Das folgende Lemma zeigt, dass es zu jedem monischen Polynom p ∈ R[t] vom Grad n ≥ 1 eine Matrix A ∈ R n,n mit PA = p gibt. Lemma 8.4 Sei n ≥ 1 und p = t n + βn−1 t n−1 + . . . + β0 ∈ R[t]. Dann ist p das charakteristische Polynom der Matrix ⎡

0

⎢ ⎢1 A=⎢ ⎢ ⎣

.. ..

. .

⎤ −β0 .. ⎥ . ⎥ ⎥ ∈ R n,n . ⎥ 0 −βn−2 ⎦ 1 −βn−1

(Für n = 1 ist A = [−β0 ].) Die Matrix A heißt die Begleitmatrix von p. Beweis Wir beweisen die Aussage durch Induktion über n. Für n = 1 ist p = t + β0 , A = [−β0 ] und PA = det([t + β0 ]) = p. Die Aussage gelte nun für ein n ≥ 1. Wir betrachten p = t n+1 + βn t n + . . . + β0 und ⎡

0

⎢ ⎢1 A=⎢ ⎢ ⎣

.. ..

. .

⎤ −β0 .. ⎥ . ⎥ ⎥ ∈ R n+1,n+1 . ⎥ 0 −βn−1 ⎦ 1 −βn

Mit Hilfe der Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile (vgl. Korollar 7.20) erhalten wir PA = det(t In+1 − A) ⎛⎡ t ⎜⎢ ⎜⎢−1 . . . ⎢ = t · det ⎜ ⎜⎢ .. ⎝⎣ .

⎤⎞ β1 .. ⎥⎟ ⎟ . ⎥ ⎥⎟ ⎥⎟ βn−1 ⎦⎠ t + αn

t −1 ⎛⎡ −1 ⎜⎢ ⎜⎢ ⎢ +(−1)n+2 · β0 · det ⎜ ⎜⎢ ⎝⎣

t .. .

.. ..

. .

⎤⎞ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥⎟ t ⎦⎠ −1

= t · (t n + βn t n−1 + . . . + β1 ) + β0 = t n+1 + βn t n + . . . + β1 t + β0 . In der vorletzten Gleichung haben wir die Induktionsannahme ausgenutzt.

2

96

8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen

Beispiel 8.5 Das Polynom p = (t − 1)3 = t 3 − 3t 2 + 3t − 1 hat die Begleitmatrix ⎡

0 A = ⎣1 0

0 0 1

⎤ 1 −3⎦ . 3

Die Einheitsmatrix I3 hat das charakteristische Polynom PI3 = det(t I3 − I3 ) = (t − 1)3 = PA . Wir sehen, dass unterschiedliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom besitzen können. Im Beispiel 3.17 haben wir gesehen, wie man Skalare λ ∈ R in ein Polynom p ∈ R[t] „einsetzt“. Analog kann man dies für Matrizen M ∈ R m,m definieren. Für p = βn t n + βn−1 t n−1 + . . . + β0 ∈ R[t] ist p(M) := βn M n + βn−1 M n−1 + . . . + β0 Im ∈ R m,m , wobei die Multiplikation auf der rechten Seite als skalare Multiplikation von β j ∈ R und M j ∈ R m,m , j = 0, 1, . . . , n, zu verstehen ist (vgl. auch Aufgabe 4.7). Es gilt M 0 := Im . Das „Einsetzen“ einer Matrix M ∈ R m,m in ein Polynom p ∈ R[t] ist somit eine Abbildung von R m,m nach R m,m . Insbesondere gilt nach (8.1) für das charakteristische Polynom PA einer Matrix A ∈ R n,n und eine Matrix M ∈ R m,m die Gleichung PA (M) =

 σ ∈Sn

 n 

δi,σ (i) · M − ai,σ (i) · Im . sgn(σ )



(8.2)

i=1

Achtung: Die aus sich für M ∈ R n,n aus der Definition PA = det(t In − A) „offensichtlich anbietende“ Gleichung PA (M) = det(M − A) ist falsch. Per Definition ist PA (M) ∈ R n,n und det(M − A) ∈ R. Somit können diese beiden Ausdrücke (selbst für n = 1) niemals identisch sein! Die folgende fundamentale Aussage wird als Satz von Cayley-Hamilton1 bezeichnet. Satz 8.6 Für eine Matrix A ∈ R n,n und ihr charakteristisches Polynom gilt PA (A) = 0 ∈ R n,n . Arthur Cayley bewies diesen Satz 1858 für n = 2 und behauptete, ihn ebenfalls für n = 3 verifiziert zu haben. Er hielt es nicht für nötig, einen Beweis für allgemeines n zu liefern. Sir William Rowan Hamilton bewies 1853 ebenfalls einen Spezialfall, nämlich den Fall n = 4 im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen der Quaternionen. Einen der ersten Beweise für allgemeines n gab Ferdinand Georg Frobenius 1878. James Joseph Sylvester sorgte 1884 für die Namensgebung, als er den Satz als „no-little-marvellous Hamilton-Cayley theorem“ bezeichnete.

1

8.1

Das charakteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton

97

Beweis Für n = 1 ist der Satz trivial, daher sei n ≥ 2. Sei ei die i-te Spalte der Einheitsmatrix In ∈ R n,n , dann gilt A[e1 , . . . , en ] = [e1 , . . . , en ]A. Aus dieser Identität erhalten wir n Gleichungen für die n Spalten, Aei = a1i e1 + a2i e2 + . . . + ani en , 1 ≤ i ≤ n n  (−a ji In )e j = 0n,1 , 1 ≤ i ≤ n. ⇔ (A − aii In )ei + j=1 j =i

Die letzten n Gleichungen können wir schreiben als ⎡

⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ e1 0 ⎢0⎥ ⎥ ⎢ e2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ .. ⎥ = ⎢ .. ⎥, ⎣.⎦ ⎦⎣.⎦ en 0 · · · A − ann In

A − a11 In −a21 In · · · ⎢ −a12 In A − a22 In · · · ⎢ ⎢ .. .. ⎣ . . −a1n In

−a2n In

−an1 In −an2 In .. .

kurz

Bε =  0.

Es gilt B ∈ (R[A])n,n mit R[A] := { p(A) | p ∈ R[t]}, d. h. die Einträge von B sind Polynome aus R[t], in die die Matrix A eingesetzt wurde. Die Menge R[A] bildet einen kommutativen Ring mit Eins (gegeben durch In ); offensichtlich gilt p(A)q(A) = q(A) p(A) für alle p, q ∈ R[t]. Nach Annahme gilt n ≥ 2 und somit folgt adj(B) B = det(B) ·  In aus Satz 7.18, wobei det(B) ∈ R[A] und  In die Einheitsmatrix in (R[A])n,n sind (diese Matrix hat also n-mal die Einheitsmatrix In auf ihrer Diagonalen). Wir multiplizieren diese Identität von rechts mit ε und erhalten In ε, adj(B)  B ε = det(B) ·  = 0

woraus det(B) = 0 ∈ R[A] folgt. Um den Beweis zu beenden, betrachten wir die Matrix det(B) = [bi j ] ∈ R n,n genauer. Per Definition der Determinante gilt (vgl. (7.1), (8.1) und auch den Beweis von (4) in Lemma 7.11), det(B) =



sgn(σ )

σ ∈Sn

=

 σ ∈Sn

=

 σ ∈Sn

sgn(σ )

n  i=1 n 

bi,σ (i) =



sgn(σ )

σ ∈Sn

n 

(δi,σ (i) A − aσ (i),i In )

i=1

(δσ (i),i A − aσ (i),i In )

i=1

sgn(σ −1 )

n  i=1

(δi,σ −1 (i) A − ai,σ −1 (i) In )

98

8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen

=



sgn(σ )

σ ∈Sn

n 

(δi,σ (i) A − ai,σ (i) In )

i=1

= PA (A), 2

was den Beweis beendet.

8.2 Eigenwerte und Eigenvektoren In diesem Abschnitt geben wir eine Einführung in das Thema der Eigenwerte und Eigenvektoren von quadratische Matrizen über einem Körper K . Diese wichtigen Begriffe werden wir in späteren Kapiteln sehr detailliert untersuchen. Wir beginnen mit einer hinreichenden Bedingung dafür, dass zwei Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben (vgl. Beispiel 8.5). Definition 8.7 Zwei Matrizen A, B ∈ K n,n heißen ähnlich, wenn es eine Matrix Z ∈ G L n (K ) mit A = Z B Z −1 gibt. Man überzeugt sich leicht, dass Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation auf der Menge K n,n ist. Satz 8.8 Sind zwei Matrizen A, B ∈ K n,n ähnlich, so gilt PA = PB . Beweis Sei A = Z B Z −1 , dann folgt aus Satz 7.16 PA = det(t In − A) = det(t In − Z B Z −1 ) = det(Z (t In − B)Z −1 ) = det(Z ) det(t In − B) det(Z −1 ) = det(t In − B) det(Z Z −1 ) = PB 2

(vgl. die Bemerkungen nach Satz 7.16)

Die Bedingung für PA = PB in Satz 8.8 ist hinreichend, aber nicht notwendig. Seien zum Beispiel A, B ∈ Q2,2 gegeben durch  1 A= 0

 1 , 1

 1 B= 0

 0 = I2 . 1

Dann gilt PA = t 2 − 2t + 1 = PB , aber für jede Matrix Z ∈ G L n (Q) gilt Z B Z −1 = I2 = A. Also sind A und B nicht ähnlich. Definition 8.9 Sei A ∈ K n,n . Falls v ∈ K n,1 \ {0} und λ ∈ K die Gleichung Av = λv erfüllen, so heißt v Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Falls A ∈ K n,n einen Eigenvektor v ∈ K n,1 \ {0} zum Eigenwert λ ∈ K hat, so sagen wir auch kurz: λ ist ein Eigenwert von A. Während v = 0 per Definition niemals ein Eigenvektor einer Matrix A ist, kann λ = 0 als Eigenwert auftreten. Zum Beispiel gilt

8.2

Eigenwerte und Eigenvektoren

99



    1 −1 1 1 = 0 . −1 1 1 1

Ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ von A, so ist auch αv für jedes α ∈ K \ {0} ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, denn es gilt αv = 0 und A (αv) = α (Av) = α (λv) = λ (αv). Der folgende Satz stellt einen wichtigen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von A ∈ K n,n und dem charakteristischen Polynom PA von A her. Satz 8.10 Ist A ∈ K n,n , so gelten: (1) λ ∈ K ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A ist, d. h. wenn PA (λ) = 0 ∈ K gilt. (2) λ = 0 ∈ K ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn det(A) = 0 ist. (3) λ ∈ K ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn λ ∈ K ein Eigenwert von AT ist (A und A T haben die gleichen Eigenwerte, aber nicht unbedingt die gleichen Eigenvektoren). Beweis (1) Sei λ ∈ K mit PA (λ) = 0, also det(λIn − A) = 0. Dies gilt genau dann, wenn die Matrix λIn − A nicht invertierbar ist (vgl. (7.4)), was äquivalent ist mit der Aussage L (λIn − A, 0) = {0}, so dass ein  x = 0 mit (λIn − A) x = 0 bzw. A x = λ x existiert. (2) Nach (1) ist λ = 0 genau dann ein Eigenwert von A, wenn PA (0) = 0 ist. Die Aussage folgt nun aus PA (0) = (−1)n det(A) (vgl. Lemma 8.3). (3) Nach (1) ist λ genau dann ein Eigenwert von A, wenn PA (λ) = 0 ist. Aus (4) in Lemma 7.11 folgt dann 0 = det(λIn − A) = det((λIn − A)T ) = PA T (λ), womit die Behauptung bewiesen ist.

2

hat also genau dann Eigenwerte, wenn PA Nullstellen besitzt. Dies Eine Matrix A ∈ muss nicht immer der Fall sein. Zum Beispiel ist für K = R und   0 1 A= ∈ R2,2 −1 0 K n,n

das charakteristische Polynom gegeben durch PA = t 2 + 1 ∈ R[t]. Dieses Polynom hat keine Nullstellen, denn es gibt keine reellen Lösungen der Gleichung t 2 = −1. Fassen wir A als komplexe Matrix auf (d. h. als ein Element von C2,2 ), so hat PA ∈ C[t] die beiden komplexen Nullstellen i und −i. Aufgefasst als komplexe Matrix hat A daher die beiden Eigenwerte i und −i. Die Existenz von Eigenwerten kann somit davon abhängen, über welchem Körper man eine gegebene Matrix betrachtet! Aus Satz 8.10 folgt ebenfalls, dass zwei ähnliche Matrizen A, B ∈ K n,n die gleichen Eigenwerte besitzen, denn ihre charakteristischen Polynome sind gleich (vgl. Satz 8.8). Zudem folgen zusammen mit (7.3) weitere nützliche Kriterien für die Invertierbarkeit von A ∈ K n,n :

100

8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen

A ∈ G L n (K ) ⇔ 0 ist kein Eigenwert von A ⇔ 0 ist keine Nullstelle von PA

(8.3)

8.3 Eigenvektoren stochastischer Matrizen Wir betrachten nun das in Kap. 1 beschriebene „Google-Eigenwertproblem“. Die Modellierung der Verbindungsstruktur im Internet führt auf eine Gleichung der Form Ax = 1x = x. Hierbei ist A = [ai j ] ∈ Rn,n (n=Anzahl der Internetseiten) mit ai j ≥ 0 und

n 

ai j = 1 für

j = 1, . . . , n.

i=1

Eine solche Matrix A nennt man spalten-stochastisch. x =  x und  x = [x 1 , . . . , xn ]T = 0, wobei der Gesucht ist nun ein  x ∈ Rn,1 mit A Eintrag xi die „Wichtigkeit“ der Internetseite i darstellt. Gewünscht sind nur nicht-negative „Wichtigkeiten“, d. h. es soll xi ≥ 0 für i = 1, . . . , n gelten. Wir haben daher das folgende Problem zu lösen: Bestimme einen Eigenvektor von A mit nicht-negativen Einträgen zum Eigenwert λ = 1. Wir überzeugen uns zunächst davon, dass dieses Problem eine Lösung hat. Danach untersuchen wir die Eindeutigkeit dieser Lösung. Unsere Darstellung orientiert sich an [BryL06]. Lemma 8.11 Eine spalten-stochastische Matrix A ∈ Rn,n hat einen Eigenvektor zum Eigenwert 1. Beweis Sei A = [ai j ] spalten-stochastisch. Nach Satz 8.10 ist 1 genau dann ein Eigenwert von A, wenn 1 ein Eigenwert von A T ist. Für e := [1, . . . , 1]T ∈ Rn,1 gilt ⎡n

i=1 ai1

⎢ .. AT e = ⎣ n .

⎤ ⎥ ⎦=e

i=1 ain

und somit gibt es auch einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 von A.

2

Wir nennen eine Matrix mit reellen Einträgen positiv, wenn alle ihre Einträge positiv sind. x ∈ Rn,1 ein Eigenvektor Lemma 8.12 Ist A ∈ Rn,n positiv und spalten-stochastisch und ist  von A zum Eigenwert 1, dann ist entweder  x oder − x positiv. x = A x, Beweis Ist  x = [x 1 , . . . , x n ]T ein Eigenvektor von A = [ai j ] zum Eigenwert 1, d. h.  dann gilt xi =

n  j=1

ai j x j ,

i = 1, . . . , n.

8.3

Eigenvektoren stochastischer Matrizen

101

Sind nicht alle Einträge von  x positiv (oder sind nicht alle Einträge negativ), so gibt es mindestens einen Index k mit |xk | <

n 

ak j |x j |.

j=1

Es folgt n 

|xi | <

n  n 

i=1

ai j |x j | =

i=1 j=1

n  n 

ai j |x j | =

j=1 i=1

n  

|x j | ·

j=1

n 

 ai j

i=1

  

=

n 

|x j |,

j=1

=1

was offensichtlich ein Widerspruch ist. Die Einträge von  x sind somit alle positiv oder alle negativ. 2 Mit diesem Lemma können wir den folgenden Satz über die Eindeutigkeit des Eigenvektors zum Eigenwert 1 einer positiven spalten-stochastischen Matrix zeigen. Satz 8.13 Ist A ∈ Rn,n positiv und spalten-stochastisch, so gibt es ein eindeutig bestimmtes n xi = 1 und A x = x. positives  x = [x1 , . . . , x n ]T ∈ Rn,1 mit i=1 Beweis Nach Lemma 8.12 hat A mindestens einen positiven Eigenvektor zum Eigenwert 1. , , + + (1) (1) T (2) (2) T und  x (2) = x 1 , . . . , xn zwei posiWir nehmen nun an, dass  x (1) = x 1 , . . . , xn n ( j) tive Eigenvektoren von A zum Eigenwert 1 sind, für die i=1 xi = 1, j = 1, 2, gilt. Zu zeigen ist  x (1) =  x (2) . x (2) ∈ Rn,1 , dann gilt Für α ∈ R definieren wir x(α) :=  x (1) + α   Ax(α) = A  x (1) + α x (1) + α A x (2) = A x (2) =  x (1) + α x (2) = x(α). α ) gleich Null, also kann nach Nun setzte  α := −x 1(1) /x 2(1) . Dann ist der erste Eintrag von x( Lemma 8.12 x( α ) kein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 sein. Da aber Ax( α ) = x( α) gilt, muss x( α ) = 0 sein. Daraus folgt (2) xi(1) −  α xi = 0,

für i = 1, . . . , n.

(8.4)

Aufsummieren dieser n Gleichungen für i = 1, . . . , n liefert n 

(1)

xi

i=1

   =1

(1)

Aus (8.4) folgt x i

(2)

= xi

− α

n 

(2)

xi

= 0,

also  α = 1.

i=1

   =1

für i = 1, . . . , n und somit  x (1) =  x (2) .

2

102

8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen

Den eindeutig bestimmten positiven Eigenvektor  x in diesem Satz nennt man den PerronFrobenius-Eigenvektor2 der positiven Matrix A. Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren positiver (oder allgemeiner: nicht-negativer) Matrizen ist ein wichtiges Teilgebiet der Matrizentheorie, denn wie das „Google-Beispiel“ zeigt, treten solche Matrizen in vielen Anwendungen auf. Die „Google-Matrix“ A ∈ Rn,n ist, wie beschrieben, zwar spalten-stochastisch, aber nicht positiv, denn es gibt (viele!) Einträge ai j = 0. Um ein eindeutig lösbares Problem zu bekommen, benutzt man daher den folgenden Trick: Sei S = [si j ] ∈ Rn,n mit si j = 1/n. Offensichtlich ist S positiv und spalten-stochastisch. Wir definieren nun für eine reelle Zahl m ∈ (0, 1] die Matrix  A(m) := (1 − m) A + m S.  Dann ist A(m) positiv nund spalten-stochastisch, hat also einen eindeutig bestimmten positiven Eigenvektor  u mit i=1 u i = 1 zum Eigenwert 1. Für dieses  u gilt: m  u = (1 − m)A  u = A(m) u + m S u = (1 − m)A u + [1, . . . , 1]T. n Da n die Anzahl der Internetseiten darstellt und 0 < m ≤ 1 gilt, ist die Zahl m/n sehr  u = klein. Löst man das Eigenwertproblem A(m) u für kleines m, so erhält man daher mit n,1  u eine gute Approximation eines u ∈ R , für das Au = u gilt (wie das Eigenwertproblem  mit der Matrix A(m) praktisch gelöst werden kann ist ein Thema der Numerischen Linearen Algebra). Der Trick mit der Einführung der Matrix S hat eine interessante Interpretation: Die Matrix S stellt die Verbindungsstruktur eines Internets dar, in dem jede Seite auf jede andere Seite zeigt. Das heißt, in diesem Internet sind alle Seiten gleich wichtig. Die Matrix  A(m) = (1 − m)A + m S kann daher als Modell für folgendes „Surfverhalten“ gelten: Mit der Wahrscheinlichkeit 1 − m folgt ein Internetsurfer einem vorgeschlagenen Link und mit der Wahrscheinlichkeit m folgt er einem beliebigen Link. Ursprünglich benutzte Google den Wert m = 0.15.

Aufgaben 8.1 Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome der (rationalen) Matrizen   2 0 A= , 0 2

 B=



4 4 , −1 0

 2 C= 0



1 , 2

⎡

2 0 D=⎣ 0 2 −4 0

⎤ −1 0⎦ 2

und verifizieren Sie jeweils durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton. Sind die Matrizen A, B, C ähnlich? 2

Benannt nach den deutschen Mathematikern Oskar Perron (1880–1975) und Ferdinand Georg Frobenius.

Aufgaben

103

8.2 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. (a) Zeigen Sie, dass es für jede invertierbare Matrix A ∈ R n,n , n ≥ 2, ein Polynom p ∈ R[t] vom Grad höchstens n − 1 gibt, so dass adj(A) = p(A) ist. Folgern Sie, dass in diesem Fall A−1 = q(A) für ein Polynom q ∈ R[t] vom Grad höchstens n − 1 gilt. (b) Sei A ∈ R n,n gegeben. Wenden Sie Satz 7.18 auf die Matrix t In − A ∈ (R[t])n,n an und leiten Sie aus der Formel det(t In − A) In = (t In − A) adj(t In − A) einen alternativen Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton her. 8.3 Sei K ein Körper. Eine Matrix A ∈ K n,n heißt nilpotent, wenn es ein k ∈ N mit Ak = 0 gibt. Sei A ∈ K n,n nilpotent. (a) Zeigen Sie, dass A nur λ = 0 als Eigenwert hat. (b) Bestimmen Sie PA und zeigen Sie, dass An = 0 ist. n . Hinweis: Sie dürfen annehmen, dass PA = (t − λi ) gilt. i=1

(c) Zeigen Sie, dass μIn − A genau dann invertierbar ist, wenn μ ∈ K \ {0} ist. (d) Zeigen Sie, dass (In − A)−1 = In + A + A2 + . . . + An−1 gilt. 8.4 Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen über R: ⎡

1 A = ⎣0 0

1 1 0

⎤ 1 1⎦ , 1

⎡

3 B = ⎣0 0

⎤ 8 16 7 8⎦ , −4 −5

⎡

0 −1 ⎢1 0 ⎢ C =⎣ 0 0 0 0

0 0 −2 0

⎤ 0 0⎥ ⎥. 1⎦ −2

Was ändert sich, wenn Sie A, B, C als Matrizen über C betrachten? 8.5 Berechnen Sie die Eigenwerte und alle Eigenvektoren von ⎡

2 A = ⎣0 0

2−a 4−a −4 + 2a

⎤ 2−a 2 − a ⎦ ∈ R3,3 , −2 + 2a

⎡ ⎤ 1 1 0 B = ⎣1 0 1⎦ ∈ (Z/2Z)3,3 . 0 1 1

8.6 Seien K ein Körper, A ∈ K n,n , B ∈ K m,m , n ≥ m, und C ∈ K n,m mit Rang(C) = m und AC = C B. Zeigen Sie, dass dann jeder Eigenwert von B ein Eigenwert von A ist. 8.7 Seien A, B ∈ K n,n . Zeigen oder widerlegen Sie: (a) Es gilt Spur(AB) = Spur(B A). (b) Sind A und B ähnlich, so gilt Spur(A) = Spur(B). (c) Hat p = t n + βn−1 t n−1 + . . . + β1 t + β0 ∈ K [t] die n Nullstellen μ1 , μ2 , . . . , μn n  ∈ K , so gilt βn−1 = − μi . i=1 n n .  (t − λi ), so gilt Spur(A) = λi . (d) Ist PA = i=1

i=1

Kapitel 9

Vektorräume

In den letzten Kapiteln haben wir anhand von Matrizen einige wichtige Begriffe der Linearen Algebra, wie die Determinante, den Rang, das charakteristische Polynom und die Eigenwerte, eingeführt und zahlreiche Ergebnisse über diese Begriffe hergeleitet. In diesem Kapitel beginnen wir nun, diese Begriffe in einen etwas abstrakteren Rahmen zu stellen. Wir führen dazu eine neue algebraische Struktur ein, den Vektorraum.

9.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von Vektorräumen Wir beginnen mit dem Begriff des Vektorraumes über einem Körper K . Definition 9.1 Sei K ein Körper. Ein Vektorraum über K (kurz: K -Vektorraum) ist eine Menge V mit zwei Abbildungen, + : V × V → V, · : K × V → V,

(v, w) → v + w, (λ, v) → λ · v,

(Addition) (skalare Multiplikation)

für die folgende Regeln erfüllt sind: (1) (V, +) ist eine kommutative Gruppe. (2) Für alle v, w ∈ V und λ, μ ∈ K gelten: (a) (b) (c) (d)

λ · (μ · v) = (λμ) · v. 1 · v = v. λ · (v + w) = λ · v + λ · w. (λ + μ) · v = λ · v + μ · v.

Ein Element v ∈ V nennen wir einen Vektor,1 ein Element λ ∈ K nennen wir einen Skalar. Das Multiplikationszeichen der skalaren Multiplikation lassen wir oft weg, d. h. wir schreiben oft λv anstatt λ · v. Wenn klar oder unbedeutend ist, um welchen Körper es sich handelt, schreiben wir oft lediglich Vektorraum anstatt K -Vektorraum. 1 Der Begriff Vektor wurde 1845 von Sir William Rowan Hamilton im Zusammenhang mit seinen Quaternionen eingeführt. Er ist abgeleitet vom lateinischen Verb „vehi“ („vehor“, „vectus sum“), das „fahren“ bedeutet. Auch der Begriff Skalar stammt von Hamilton; siehe die Fußnote auf Seite 37.

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_9,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

105

106

9 Vektorräume

Beispiel 9.2 (1) Die Menge K n,m bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der skalaren Multiplikation (vgl. Kap. 4) einen K -Vektorraum. (2) Die Menge K [t] aller Polynome über einem Körper K und in der Unbekannten t bildet einen K -Vektorraum, wenn die Addition wie im Beispiel 3.17 definiert ist (gewöhnliche Addition von Polynomen) und die skalare Multiplikation für p = α0 +α1 t +. . .+αn t n ∈ K [t] durch λ · p := (λ α0 ) + (λ α1 )t + . . . + (λ αn )t n gegeben ist. (3) Die auf dem reellen Intervall [α, β] stetigen reellwertigen Funktionen bilden mit der „punktweisen“ Addition, d. h. ( f + g)(x) := f (x) + g(x), und entsprechenden skalaren Multiplikation, d. h. (λ · f )(x) := λ f (x), einen R-Vektorraum. Um dies zu zeigen, benötigt man Hilfsmittel aus der Analysis: Addiert man zwei stetige Funktionen oder multipliziert man eine stetige Funktion mit einer (reellen) Zahl, so erhält man wieder eine stetige Funktion. Da per Definition (V, +) stets eine kommutative Gruppe ist, kennen wir bereits einige Vektorraumeigenschaften aus der Theorie der Gruppen (vgl. Kap. 2). Insbesondere gibt es in jedem K -Vektorraum einen eindeutig bestimmten Vektor vV = 0, den wir den Nullvektor nennen. Zu jedem Vektor v ∈ V gibt es einen eindeutig bestimmten (additiv) inversen Vektor −v ∈ V, so dass v +(−v) = v −v = 0V . Wir schreiben wie gewohnt v −w anstatt v +(−w). Lemma 9.3 Ist V ein K -Vektorraum und sind 0 K bzw. 0V die Nullelemente des Körpers bzw. des Vektorraums, so gelten: (1) 0 K · v = 0V für alle v ∈ V. (2) λ · 0V = 0V für alle λ ∈ K . (3) −(λ · v) = (−λ) · v = λ · (−v) für alle v ∈ V und λ ∈ K . Beweis (1) Für alle v ∈ V gilt 0 K · v = (0 K + 0 K ) · v = 0 K · v + 0 K · v. Nach Addition von −(0 K · v) auf beiden Seiten dieser Identität erhalten wir 0V = 0 K · v. (2) Für alle λ ∈ K gilt λ · 0V = λ · (0V + 0V ) = λ · 0V + λ · 0V . Nach Addition von −(λ · 0V ) auf beiden Seiten dieser Identität erhalten wir 0V = λ · 0V . (3) Für alle λ ∈ K und v ∈ V gilt λ · v + (−λ) · v = (λ − λ) · v = 0 K · v = 0V , sowie λ · v + λ · (−v) = λ · (v − v) = λ · 0V = 0V . 2 Im Folgenden werden wir anstatt 0 K und 0V lediglich 0 schreiben, wenn klar ist, welches Nullelement gemeint ist. Ähnlich wie bei Gruppen, Ringen und Körpern können wir auch in K -Vektorräumen Teilstrukturen identifizieren, die selbst wieder K -Vektorräume sind. Definition 9.4 Sei (V, +, ·) ein K -Vektorraum und sei U K -Vektorraum, so heißt dieser ein Unterraum von (V, +, ·).

⊆

V. Ist (U, +, ·) ein

9.1

Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von Vektorräumen

107

Wesentliches Kriterium für einen Unterraum ist die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation. Lemma 9.5 (U, +, ·) ist genau dann ein Unterraum von (V, +, ·), wenn U eine nicht leere Teilmenge von V ist, für die gilt: (1) v + w ∈ U für alle v, w ∈ U, (2) λv ∈ U für alle λ ∈ K und v ∈ U. 2

Beweis Übungsaufgabe. Beispiel 9.6

(1) Jeder Vektorraum V hat die „trivialen“ Unterräume U = V und U = {0}. (2) Sei A ∈ K n,m und U := L (A, 0) ⊆ K m,1 , d. h. U ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0. Da 0 ∈ U gilt, ist U nicht leer. Sind v, w ∈ U, so gilt A(v + w) = Av + Aw = 0 + 0 = 0, d. h. v + w ∈ U. Zudem gilt für jedes λ ∈ K , A(λ v) = λ (Av) = λ 0 = 0, d. h. λv ∈ U. Also ist U ein Unterraum von K m,1 . (3) Für jedes n ∈ N ∪ {0} bildet die Menge aller Polynome in der Unbekannten t vom Grad höchstens n, d. h. die Menge K [t]≤n := { p ∈ K [t] | Grad( p) ≤ n}, einen Unterraum von K [t]. Definition 9.7 Sei V ein K -Vektorraum und seien v1 , . . . , vn ∈ V gegeben. Ein Vektor n λi vi ∈ V heißt Linearkombination von v1 , . . . , vn mit den Koeffizienten der Form i=1 λ1 , . . . , λn ∈ K . Die lineare Hülle von v1 , . . . , vn ist die Menge Span{v1 , . . . , vn } :=

3 n  i=1

) 6 ) ) λi vi ) λ1 , . . . , λn ∈ K . )

Sei M eine Menge und sei für jedes m ∈ M ein Vektor vm ∈ V gegeben. Die Gesamtheit dieser Vektoren, auch das entsprechende System von Vektoren genannt, sei bezeichnet mit (vm )m∈M . Dann ist die lineare Hülle des Systems (vm )m∈M , bezeichnet mit Span (vm )m∈M , definiert als die Menge aller v ∈ V, die Linearkombinationen von endlich vielen Vektoren des Systems sind. Wir sagen auch, dass Span{v1 , . . . , vn } das Erzeugnis der Vektoren v1 , . . . , vn ist oder dass diese Menge von den Vektoren v1 , . . . , vn „aufgespannt“ wird. Letzteres erklärt die Bezeichnung „Span“.

108

9 Vektorräume

Beispiel 9.8 Sei K ein Körper. Im Vektorraum K 1,3 = {[α1 , α2 , α3 ] | α1 , α2 , α3 ∈ K }, welcher von den Vektoren [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] aufgespannt wird, bildet die Menge {[α1 , α2 , 0] | α1 , α2 ∈ K } einen Unterraum, der von den Vektoren [1, 0, 0], [0, 1, 0] aufgespannt wird. Lemma 9.9 Ist V ein K -Vektorraum, so ist Span{v1 , . . . , vn } für gegebene Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V ein Unterraum von V . Beweis Offensichtlich ist Span{v1 , . . . , vn } eine nichtleere Teilmenge von V. Zudem ist Span{v1 , . . . , vn }, per Definition, abgeschlossen bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation, d. h. die Eigenschaften (1) und (2) in Lemma 9.5 sind erfüllt. 2

9.2 Basen und Dimension von Vektorräumen Wir kommen nun zur Theorie der Basis und der Dimension von Vektorräumen und beginnen mit dem folgenden Begriff. Definition 9.10 Sei V ein K -Vektorraum.

n λi vi = 0 (1) Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V heißen linear unabhängig, wenn aus i=1 mit λ , . . . , λ ∈ K folgt, dass λ = · · · = λ = 0 gilt. Folgt dies nicht, d. h. gilt n 1 n n 1 λ v = 0 für gewisse Skalare λ , . . . , λ ∈ K , die nicht alle gleich Null sind, so 1 n i=1 i i heißen v1 , . . . , vn linear abhängig. (2) Die leere Menge Ø bezeichnen wir als linear unabhängig. (3) Ist M eine Menge und ist für jedes m ∈ M ein Vektor vm ∈ V gegeben, so nennen wir das entsprechende System (vm )m∈M linear unabhängig, wenn jedes endliche Teilsystem dieser Vektoren linear unabhängig ist. Gilt dies nicht, so nennen wir das System linear abhängig. Nach dieser Definition sind die n Vektoren v1 , . . . , vn genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor aus ihnen nur auf „triviale Art“, d. h. lediglich in der Form 0 = 0 · v1 + . . . + 0 · vn , linear kombinieren lässt. Ein System (vm )m∈M ist genau dann linear abhängig, wenn es (mindestens) ein endliches Teilsystem, bei entsprechender Nummerierung die Vektoren v1 , . . . , vk , gibt, für das λ1 v1 + . . . + λk vk = 0 gilt, wobei nicht alle λ j gleich Null sind. Aus der Definition folgt zudem unmittelbar, dass ein einzelner Vektor v ∈ V genau dann linear unabhängig ist, wenn v = 0 gilt. Das folgende Resultat gibt eine äquivalente und „anschaulichere“ Charakterisierung der linearen Unabhängigkeit im Fall von endlich vielen, aber mindestens zwei gegebenen Vektoren. Lemma 9.11 Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V, n ≥ 2, sind linear unabhängig genau dann wenn keines der vi , i = 1, . . . , n, Linearkombination der anderen ist.

9.2

Basen und Dimension von Vektorräumen

109

Beweis Die Vektoren v1 , . . . , vn sind genau dann linear abhängig, wenn n 

λi vi = 0

i=1

mit mindestens einem Skalar λ j = 0 gilt. Letzteres gilt genau dann, wenn vj = −

n 

(λ−1 j λi ) vi ,

i=1 i = j

gilt, d. h. wenn v j Linearkombination der anderen Vektoren ist.

2

Mit dem Begriff der linearen Unabhängigkeit läßt sich nun der Begriff der Basis eines Vektorraumes definieren. Definition 9.12 Sei V ein K -Vektorraum. (1) Eine Menge {v1 , . . . , vn } ⊆ V heißt Basis von V, wenn gilt: (a) v1 , . . . , vn sind linear unabhängig. (b) v1 , . . . , vn erzeugen den Vektorraum V, d. h. Span{v1 , . . . , vn } = V. (2) Die Basis des Vektorraumes V = {0} ist die leere Menge Ø. (3) Ist M eine Menge und ist für jedes m ∈ M ein Vektor vm ∈ V gegeben, so nennen wir die Menge {vm | m ∈ M} eine Basis von V, wenn das entsprechende System (vm )m∈M linear unabhängig ist und wenn Span (vm )m∈M = V gilt. Beispiel 9.13 Wir haben bereits gesehen, dass die Menge K n,m zusammen mit der Matrizenaddition und der skalaren Multiplikation einen K -Vektorraum bildet (vgl. (1) in Beispiel 9.2). Ist E i j ∈ K n,m die Matrix mit dem Eintrag 1 an der Position (i, j) und allen anderen Einträgen gleich 0 (vgl. Abschn. 5.1), dann ist die Menge { Ei j | 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m}

(9.1)

eine Basis des K -Vektorraumes K n,m . Ist nämlich 0 =

n  m 

λi j E i j ,

i=1 j=1

so folgt λi j = 0 für i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , m. Die Matrizen E i j ∈ K n,m , 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m, sind daher linear unabhängig. Ist A = [ai j ] ∈ K n,m gegeben, so gilt A =

n  m 

ai j E i j

i=1 j=1

und daher bilden die Matrizen E i j auch ein Erzeugendensystem von K n,m , d. h. es gilt Span{E i j | 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m} = K n,m . Die Basis (9.1) nennen wir die

110

9 Vektorräume

Standardbasis (oder auch kanonische Basis) des Vektorraumes K n,m . Im Spezialfall m = 1 bezeichnen wir die Standardbasis des K n,1 mit ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 0 ⎢0⎥ ⎢1⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (9.2) e1 := ⎢ 0 ⎥ , e2 := ⎢ 0 ⎥ , . . . , en := ⎢ 0 ⎥. ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎣.⎦ ⎣.⎦ ⎣0⎦ 0 0 1 Diese, auch Einheitsvektoren genannten Vektoren, sind die n Spalten der Einheitsmatrix In . Beispiel 9.14 Eine Basis des Vektorraumes K [t] der Polynome über dem Körper K und in der Unbekannten t ist gegeben durch die Menge {t m | m ∈ N0 }, denn das entsprechende System (t m )m∈N0 ist linear unabhängig und jedes Polynom p ∈ K [t] ist eine Linearkombination endlich vieler Vektoren des Systems. Im folgenden Basisergänzungssatz zeigen wir, dass eine gegebene Menge linear unabhängiger Vektoren in einem aus endlich vielen Vektoren erzeugten Vektorraum V stets zu einer Basis von V ergänzt werden kann. Satz 9.15 Sei V ein K -Vektorraum und seien v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w ∈ V. Wenn v1 , . . . , vr linear unabhängig sind und Span{v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w } = V gilt, so kann man die Menge {v1 , . . . , vr } durch geeignete Hinzunahme von Elementen aus der Menge {w1 , . . . , w } zu einer Basis von V ergänzen. Beweis Die Aussage ist trivial für V = {0}. Sei daher V = {0}. Wir beweisen den Satz durch Induktion über . Ist  = 0, so ist Span{v1 , . . . , vr } = V und {v1 , . . . , vr } ist wegen der linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vr eine Basis von V. Die Behauptung gelte nun für ein  ≥ 0. Seien v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w+1 ∈ V mit v1 , . . . , vr linear unabhängig und Span{v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w+1 } = V. Falls {v1 , . . . , vr } eine Basis von V ist, so sind wir fertig. Sei also Span{v1 , . . . , vr } ⊂ V. Dann gibt es mindestens ein j, 1 ≤ j ≤  + 1, so dass w j ∈ / Span{v1 , . . . , vr }. Insbesondere gilt w j = 0. Aus λw j +

r 

λi vi = 0

i=1

folgt λ = 0 (sonst wäre w j ∈ Span{v1 , . . . , vr }) und damit λ1 = · · · = λr = 0 wegen der linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vr . Damit sind v1 , . . . , vr , w j linear unabhängig. Nach Induktionsvoraussetzung können wir diese Vektoren durch geeignete Hinzunahme von Vektoren aus der Menge {w1 , . . . , w+1 } \ {w j }, die s Elemente enthält, zu einer Basis von V ergänzen. 2 Beispiel 9.16 Sei V = K [t]≤5 und seien die Mengen V = {vm = t m | m = 1, 2, 3, 4, 5},

W = {w1 = t 2 + 1, w2 = t 5 − t 3 }

9.2

Basen und Dimension von Vektorräumen

111

gegeben. Es gilt V = Span{v1 , . . . , v5 , w1 , w2 }, d. h. der Vektorraum V wird aus den Elementen von V und W erzeugt. Die Elemente von V sind linear unabhängig, doch diese Menge bildet keine Basis von V, denn insbesondere kann das Polynom t 0 = 1 ∈ K [t]≤5 nicht aus den Elementen von V linear kombiniert werden. Durch Hinzunahme von w1 in die Menge V ergibt sich die Menge {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , w1 }, die eine Basis von K [t]≤5 bildet. Der Basisergänzungssatz zeigt, dass jeder aus endlich vielen Vektoren erzeugte Vektorraum eine Basis aus endlich vielen Elementen besitzt. Ein zentraler Punkt der Vektorraumtheorie ist, dass jede solche Basis gleich viele Elemente hat. Um dieses Resultat zu beweisen, zeigen wir zunächst das folgende Austauschlemma. Lemma 9.17 Sei V ein K -Vektorraum, seien v1 , . . . , vm ∈ V und sei w = mit λ1 = 0. Dann gilt Span{v1 , . . . , vm } = Span{w, v2 , . . . , vm }.

m

i=1 λi vi

∈V

Beweis Nach Voraussetzung gilt v1 = λ−1 1 w−

m  

 λ−1 1 λi vi .

i=2

Ist nun y ∈ Span{v1 , . . . , vm }, etwa y =  y = γ1

λ−1 1 w

−

m  

m

i=1 γi vi ,

λ−1 1 λi

i=2 m  

  w + = γ1 λ−1 1



 vi

+

so folgt

m 

γi vi

i=2

 γi − γ1 λ−1 vi ∈ Span{w, v2 , . . . , vm }. λ i 1

i=2

Ist andererseits y = α1 w + y = α1

m

i=2 αi vi

 m 

∈ Span{w, v2 , . . . , vm }, so folgt

 λi vi

i=1

= α1 λ1 v1 +

+

m 

αi vi

i=2 m 

(α1 λi + αi ) vi ∈ Span{v1 , . . . , vm },

i=2

also gilt Span{v1 , . . . , vm } = Span{w, v2 , . . . , vm }.

2

Mit Hilfe dieses Lemmas beweisen wir nun den folgenden wichtigen Austauschsatz.2 Satz 9.18 Seien W = {w1 , . . . , wn } und U = {u 1 , . . . , u m } zwei endliche Teilmengen eines K -Vektorraumes. Seien zudem w1 , . . . , wn linear unabhängig. Ist W ⊆ Span{u 1 , . . . , u m }, so gilt n ≤ m, und man kann n Elemente von U , bei geeigneter Nummerierung u 1 , . . . , u n , gegen die n Elemente von W so austauschen, dass 2 Dieser Satz wird in der Literatur oft nach dem deutschen Mathematiker Ernst Steinitz (1871–1928) benannt, er wurde jedoch ursprünglich von Hermann Günther Graßmann bewiesen.

112

9 Vektorräume

Span{w1 , . . . , wn , u n+1 , . . . , u m } = Span{u 1 , . . . , u m } gilt. m Beweis Nach Annahme gilt w1 = i=1 λi u i für gewisse Skalare λ1 , . . . , λm ∈ K , die nicht alle gleich Null sind (sonst wäre w1 = 0, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von w1 , . . . , wn ). Nach geeigneter Nummerierung ist λ1 = 0, also Span{u 1 , . . . , u m } = Span{w1 , u 2 , . . . , u m } nach Lemma 9.17. Seien nun für ein r , 1 ≤ r ≤ n − 1, die Vektoren u 1 , . . . , u r gegen w1 , . . . , wr ausgetauscht, so dass Span{u 1 , . . . , u m } = Span{w1 , . . . , wr , u r +1 , . . . , u m }. Es ist klar, dass hier r ≤ m gelten muss. Nach Annahme gilt wr +1 ∈ Span{u 1 , . . . , u m } und daher folgt wr +1 =

r  i=1

λi wi +

m 

λi u i

i=r +1

für gewisse Skalare λ1 , . . . , λm ∈ K . Hier muss einer der Skalare λr +1 , . . . , λm ungleich Null sein, denn sonst wäre wr +1 ∈ Span{w1 , . . . , wr }, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von w1 , . . . , wm . Nach geeigneter Nummerierung gilt λr +1 = 0. Aus Lemma 9.17 folgt nun Span{w1 , . . . , wr , u r +1 , . . . , u m } = Span{w1 , . . . , wr , wr +1 , u r +2 , . . . , u m }. Führt man diese Konstruktion fort bis r = n − 1, so ergibt sich Span{u 1 , . . . , u m } = Span{w1 , . . . , wn , u n+1 , . . . , u m }, woraus auch n ≤ m folgt.

2

Nach diesem fundamentalen Satz ist die zentrale Folgerung über die eindeutig bestimmte Anzahl der Basiselemente leicht zu beweisen. Korollar 9.19 Ist V ein von endlich vielen Vektoren erzeugter K -Vektorraum, so besitzt V eine Basis und je zwei Basen von V haben gleich viele Elemente. Beweis Die Aussage ist klar für V = {0} (vgl. (2) in Definition 9.12). Sei nun V = Span{v1 , . . . , vm } mit v1 = 0. Nach Satz 9.15 kann man Span{v1 } durch geeignete Hinzunahme von Elementen aus {v2 , . . . , vm } zu einer Basis von V ergänzen. Somit hat V eine Basis mit endlich vielen Elementen. Seien U := {u 1 , . . . , u  } und W := {w1 , . . . , wk } zwei solche Basen. Dann gelten Satz 9.18

W ⊆ V = Span{u 1 , . . . , u  } ⇒ k ≤ , Satz 9.18

U ⊆ V = Span{w1 , . . . , wk } ⇒  ≤ k, und daher  = k, was zu zeigen war. Wir sind nun beim Begriff der Dimension eines Vektorraumes angelangt.

2

9.2

Basen und Dimension von Vektorräumen

113

Definition 9.20 Sei V ein K -Vektorraum. Falls es eine endliche Teilmenge von V gibt, die eine Basis von V bildet, so nennen wir V endlichdimensional. Die (eindeutig bestimmte) Anzahl der Basiselemente nennen wir die Dimension von V. Wir bezeichnen diese mit dim K (V) oder auch dim(V), wenn klar (oder unerheblich) ist, um welchen Körper es sich handelt. Ist V nicht aus endlich vielen Vektoren erzeugt, so nennen wir V unendlichdimensional und wir schreiben dim K (V) = ∞. Wir bemerken, dass der Vektorraum V = {0} die Basis Ø besitzt (vgl. Definition 9.12) und somit die Dimension Null hat. Aus der Definition der Dimension folgt: Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sind v1 , . . . , vm ∈ V mit m > dim(V), so müssen die Vektoren v1 , . . . , vm linear abhängig sein. Wären diese Vektoren linear unabhängig, so könnten wir sie nach Satz 9.15 zu einer Basis von V ergänzen, die dann mehr als dim(V) Elemente hätte. Dies ist unmöglich. Beispiel 9.21 Im Beispiel 9.13 haben wir gesehen, dass die Menge (9.1) eine Basis des K -Vektorraumes K n,m bildet. Diese Basis hat n · m Elemente, also gilt dim(K n,m ) = n · m. Andererseits wird der Vektorraum K [t] nicht aus endlich vielen Vektoren erzeugt (vgl. Beispiel 9.14) und er ist somit unendlichdimensional. Beispiel 9.22 Sei V der Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem reellen Intervall [0, 1] (vgl. (3) in Beispiel 9.2). Wir zeigen, dass dim(V) = ∞ gilt: Sei für n = 1, 2, . . . die Funktion f n ∈ V definiert durch ⎧ 1 0, x < n+1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 0, ⎨ n < x,   f n (x) = 1 1 1 1 ⎪ ⎪ ≤ x ≤ + 2n(n + 1)x − 2n, ⎪ n+1 2 n n+1 , ⎪ ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ ⎩ −2n(n + 1)x + 2n + 2, 1 1 + 1 < x ≤ 1 . 2 n n+1 n

1

E E  E  E  E  E  E 1 n+1

Jede Linearkombination

k 

λ j f j hat an der Stelle

j=1 k  j=1

1

1 n

1 2



1 j

+

1 j+1



den Wert λ j . Die Gleichung

λ j f j = 0 gilt also nur dann, wenn alle λ j gleich Null sind. Es folgt, dass f 1 , . . . , f k ∈ V

für alle k ∈ N linear unabhängig sind.

114

9 Vektorräume

9.3 Koordinaten und Basisübergang Wir beschäftigen uns nun näher mit den Linearkombinationen aus Basisvektoren eines endlichdimensionalen Vektorraumes. Insbesondere wollen wir studieren, was sich an der Linearkombination ändert, wenn wir zu einer anderen Basis des Raumes wechseln. Lemma 9.23 Ist {v1 , . . . , vn } eine Basis eines K -Vektorraumes V, so gibt es zu jedem v ∈ V eindeutig bestimmte Skalare λ1 , . . . , λn ∈ K mit v = λ1 v1 + . . . + λn vn . n n λi vi = i=1 μi vi für gewisse Skalare λi , μi ∈ K , i = 1, . . . , n, Beweis Sei v = i=1 dann gilt 0=v−v =

n 

(λi − μi )vi .

i=1

Aus der linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vn folgt λi = μi für i = 1, . . . , n.

2

Die in Lemma 9.23 eingeführten, eindeutig bestimmten λ1 , . . . , λn nennen wir die Koordinaten von v bezüglich der Basis {v1 , . . . , vn }. Für eine feste Basis {v1 , . . . , vn } von V sind also die Koordinaten jedes Vektors v ∈ V bezüglich dieser Basis eindeutig bestimmt. Die Koordinaten selbst hängen offensichtlich von der Basis ab, d. h. für eine andere Basis erhält man im Allgemeinen auch andere Koordinaten. Insbesondere hängen die Koordinaten von der Reihenfolge bzw. Nummerierung der Basisvektoren ab. Aus diesem Grund unterscheiden manche Autoren zwischen der Basis als „Menge“ (Zusammenfassung von Elementen ohne vorgegebene Ordnung) und einer „geordneten Basis“. Hier wollen wir es bei der Mengenschreibweise {v1 , . . . , vn } belassen. Sind die Vektoren indiziert, so ist v1 der erste Basisvektor, v2 der zweite usw. Seien nun V ein beliebiger K -Vektorraum, v1 , . . . , vn ∈ V (wobei diese Vektoren nicht unbedingt linear unabhängig sein müssen) und v = λ1 v1 + . . . + λn vn für gewisse Koeffizienten λ1 , . . . , λn ∈ K . Dann definieren wir die folgende alternative Schreibweise für den Vektor v: ⎡ ⎤ λ1 ⎢ .. ⎥ (9.3) (v1 , . . . , vn ) ⎣ . ⎦ := λ1 v1 + . . . + λn vn . λn

Hier bezeichnet (v1 , . . . , vn ) einen n-Tupel über V, d. h. (v1 , . . . , vn ) ∈ V n := V × · · · × V

(vgl. (2.3)).

n

Es gilt V 1 = V, daher lassen wir bei einem 1-Tupel die Klammern weg und schreiben v anstatt (v). Die Schreibweise (9.3) definiert formal eine „Multiplikation“ als Abbildung der Form V n × K n,1 → V.

9.3

Koordinaten und Basisübergang

115

Für alle α ∈ K gilt ⎡

⎤ αλ1 ⎢ ⎥ α · v = (α · λ1 )v1 + . . . + (α · λn )vn = (v1 , . . . , vn ) ⎣ ... ⎦. αλn

Sind μ1 , . . . , μn ∈ K sowie ⎤ μ1 ⎢ ⎥ u = μ1 v1 + . . . + μn vn = (v1 , . . . , vn ) ⎣ ... ⎦, ⎡

μn

so gilt ⎤ λ1 + μ1 ⎥ ⎢ .. v + u = (λ1 + μ1 )v1 + . . . + (λn + μn )vn = (v1 , . . . , vn ) ⎣ ⎦. . ⎡

λn + μn

Diese Schreibweise verdeutlicht, dass die Vektorraumoperationen „skalare Multiplikation“ und „Addition“ eigentlich Operationen mit den Koeffizienten der durch Linearkombinationen gegebenen Vektoren sind. Wir können diese Schreibweise noch verallgemeinern. Sei A = [ai j ] ∈ K n,m und sei ⎤ a1 j ⎥ ⎢ u j = (v1 , . . . , vn ) ⎣ ... ⎦, ⎡

j = 1, . . . , m.

an j Dann schreiben wir die m Linearkombinationen für u 1 , . . . , u m als „System“ (u 1 , . . . , u m ) =: (v1 , . . . , vn ) A.

(9.4)

In dieser Gleichung stehen links und rechts jeweils Elemente aus V m . Formal haben wir hier eine „Multiplikation“ V n × K n,m → V m definiert. Die Rechtsmultiplikation eines beliebigen n-Tupels (v1 , . . . , vn ) ∈ V n mit einer Matrix A ∈ K n,m entspricht also der Bildung von m Linearkombinationen der Vektoren v1 , . . . , vn , mit den jeweiligen Koeffizienten bestimmt durch die Einträge von A. Jede Spalte von A liefert einen „Satz“ Koeffizienten. Lemma 9.24 Sei V ein K -Vektorraum, seien v1 , . . . , vn ∈ V linear unabhängig, sei A ∈ K n,m und sei (u 1 , . . . , u m ) = (v1 , . . . , vn )A, dann gilt: Die Vektoren u 1 , . . . , u m sind genau dann linear unabhängig, wenn Rang(A) = m ist. Beweis Übungsaufgabe. Sei nun noch B = [bi j ] ∈ K m, und

2

116

9 Vektorräume

⎤ b1 j ⎥ ⎢  u j := (u 1 , . . . , u m ) ⎣ ... ⎦, bm j ⎡

j = 1, . . . , .

Dann ergibt sich mit Hilfe von (9.4) die Identität ( u1, . . . ,  u  ) = (u 1 , . . . , u m ) B = ((v1 , . . . , vn ) A) B. Lemma 9.25 Sei V ein K -Vektorraum und seien v1 , . . . , vn ∈ V. Dann gilt ((v1 , . . . , vn ) A) B = (v1 , . . . , vn ) (A B)

(9.5)

für alle A ∈ K n,m und B ∈ K m, . 2

Beweis Übungsaufgabe.

Ist V ein n-dimensionaler K -Vektorraum (n < ∞) mit den zwei Basen {v1 , . . . , vn }, {w1 , . . . , wn } und ist v ∈ V, so gibt es eindeutig bestimmte Koordinaten λ1 , . . . , λn , μ1 , . . . , μn ∈ K mit ⎤ ⎡ ⎤ λ1 μ1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ v = (v1 , . . . , vn ) ⎣ . ⎦ = (w1 , . . . , wn ) ⎣ . ⎦. λn μn ⎡

Wir wollen nun eine Methode beschreiben, mit der wir die Koordinaten λ1 , . . . , λn bezüglich der Basis {v1 , . . . , vn } in die Koordinaten μ1 , . . . , μn bezüglich der Basis {w1 , . . . , wn } „umrechnen“ können. Nach Lemma 9.23 gibt es für jeden Basisvektor v j , j = 1, . . . , n, eindeutig bestimmte Koordinaten pi j ∈ K , i = 1, . . . , n, so dass ⎤ p1 j ⎥ ⎢ v j = (w1 , . . . , wn ) ⎣ ... ⎦, ⎡

j = 1, . . . , n

pn j gilt. Setzen wir P = [ pi j ] ∈ K n,n , so können wir analog zu (9.4) die n Gleichungen für die Vektoren v j als System schreiben: (v1 , . . . , vn ) = (w1 , . . . , wn ) P.

(9.6)

Ebenso gibt es für jeden Basisvektor w j , j = 1, . . . , n, eindeutig bestimmte Koordinaten qi j ∈ K , i = 1, . . . , n, so dass ⎤ q1 j ⎥ ⎢ w j = (v1 , . . . , vn ) ⎣ ... ⎦, ⎡

qn j

j = 1, . . . , n.

9.3

Koordinaten und Basisübergang

117

Setzen wir nun Q = [qi j ] ∈ K n,n , so erhalten wir analog zu (9.6) das System (w1 , . . . , wn ) = (v1 , . . . , vn ) Q.

(9.7)

Es gilt somit (w1 , . . . , wn ) = (v1 , . . . , vn ) Q = ((w1 , . . . , wn ) P) Q = (w1 , . . . , wn ) (P Q), woraus (w1 , . . . , wn ) (In − P Q) = (0, . . . , 0) folgt. Das heißt, die n Linearkombinationen der Basisvektoren w1 , . . . , wn mit den jeweiligen Koordinaten gegeben durch die Einträge der n Spalten der Matrix In − P Q sind alle gleich dem Nullvektor. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren müssen alle Koordinaten gleich Null sein, also In − P Q = 0 ∈ K n,n , bzw. P Q = In . Analog erhalten wir die Gleichung Q P = In . Die Matrix P ∈ K n,n ist damit invertierbar und es gilt P −1 = Q. Zudem folgt ⎤ ⎡ ⎤ λ1 λ1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ v = (v1 , . . . , vn ) ⎣ . ⎦ = ((w1 , . . . , wn ) P) ⎣ . ⎦ λn λn ⎛ ⎡ ⎤⎞ λ1 ⎜ ⎢ ⎥⎟ = (w1 , . . . , wn ) ⎝ P ⎣ ... ⎦⎠. ⎡

λn

Wegen der Eindeutigkeit der Koordinaten von v bezüglich der Basis {w1 , . . . , wn } ergibt sich ⎡

⎤ ⎡ ⎤ μ1 λ1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦= P ⎣ . ⎦ μn λn

⎤ ⎡ ⎤ μ1 λ1 ⎢ .. ⎥ −1 ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ = P ⎣ . ⎦. λn μn ⎡

bzw.

Die Matrix P bzw. ihre Inverse P −1 erlaubt somit den Basisübergang, d. h. die Berechnung der Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis aus gegebenen Koordinaten bezüglich einer anderen Basis. Sie wird als Basisübergangsmatrix bezeichnet. Die bisher erzielten Ergebnisse fassen wir wie folgt zusammen. Satz 9.26 Sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum und seien {v1 , . . . , vn }, {w1 , . . . , wn } n,n invertierzwei Basen von n V. Dann ist die durch (9.6) n eindeutig bestimmte Matrix P ∈ K bar. Ist v = i=1 λi vi ∈ V, so gilt v = i=1 μi wi , wobei für die Koordinaten die folgende Beziehung gilt:

118

9 Vektorräume

⎡

⎤ ⎡ ⎤ μ1 λ1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ = P ⎣ . ⎦. μn λn Beispiel 9.27 Wir betrachten den Vektorraum V = {(α1 , α2 ) | α1 , α2 ∈ R} mit der elementweisen Addition und der skalaren Multiplikation λ(α1 , α2 ) = (λα1 , λα2 ). Dieser Vektorraum der Tupel entspricht intuitiv dem „zweidimensionalen geometrischen Raum“. Eine Basis von V ist zum Beispiel gegeben durch die Menge {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}. Es gilt (α1 , α2 ) = α1 e1 + α2 e2 für alle (α1 , α2 ) ∈ V. Eine weitere Basis von V ist die Menge {v1 = (1, 1), v2 = (1, 2)}. Die entsprechenden Basisübergangsmatrizen ergeben sich durch die definierenden Gleichungen (v1 , v2 ) = (e1 , e2 )P und (e1 , e2 ) = (v1 , v2 )Q als   1 1 P= , 1 2

Q=P

−1



2 = −1

 −1 . 1

9.4 Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen Wir betrachten nun verschiedene Resultate zur Beziehung zwischen Unterräumen. Unser erstes Resultat beschreibt die Beziehung zwischen einem Vektorraum V und einem Unterraum U. Lemma 9.28 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und sei U ⊆ V ein Unterraum. Dann gilt dim(U) ≤ dim(V), mit Gleichheit genau dann, wenn U = V ist. Beweis Ist U ⊆ V und ist {u 1 , . . . , u m } eine Basis von U, so können wir nach dem Basisergänzungssatz (Satz 9.15) diese Menge zu einer Basis von V ergänzen. Sollte U eine echte Teilmenge von V sein, so kommt mindestens ein Basisvektor hinzu und damit gilt dim(U) < dim(V). Ist U = V, so ist jede Basis von V auch eine Basis von U, also gilt dim(U) = dim(V). 2 Sind U1 und U2 zwei Unterräume eines K -Vektorraumes V, so ist ihr Durchschnitt gegeben durch U1 ∩ U2 = {u ∈ V | u ∈ U1 ∧ u ∈ U2 } (vgl. Definition 2.6). Ihre Summe definieren wir als U1 + U2 := {u 1 + u 2 ∈ V | u 1 ∈ U1 ∧ u 2 ∈ U2 }. Ist V = U1 + U2 mit U1 ∩ U2 = {0}, so heißt V die direkte Summe von U1 und U2 . Wir schreiben dann V = U1 ⊕ U2 . Für den Durchschnitt und die Summe von Vektorräumen gelten folgende Regeln.

(9.8)

9.4

Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen

119

Lemma 9.29 Sind U1 und U2 zwei Unterräume eines K -Vektorraumes V, so gelten folgende Aussagen: (1) (2) (3) (4)

U1 ∩ U2 und U1 + U2 sind Unterräume von V. U 1 + U1 = U 1 . U1 + {0} = U1 . U1 ⊆ U1 + U2 , mit Gleichheit genau dann wenn U2 ⊆ U1 . 2

Beweis Übungsaufgabe. Ein zentrales Resultat ist die folgende Dimensionsformel für Unterräume.

Satz 9.30 Sind U1 und U2 zwei endlichdimensionale Unterräume eines K -Vektorraumes V, so gilt dim(U1 ∩ U2 ) + dim(U1 + U2 ) = dim(U1 ) + dim(U2 ). Beweis Sei {v1 , . . . , vr } eine Basis von U1 ∩ U2 . Wir ergänzen diese zu einer Basis {v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w } von U1 sowie zu einer Basis {v1 , . . . , vr , x1 , . . . , xk } von U2 . Es reicht nun zu zeigen, dass {v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w , x1 , . . . , xk } eine Basis von U1 + U2 ist. Offensichtlich gilt Span{v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w , x1 , . . . , xk } = U1 + U2 , also ist nur noch zu zeigen, dass v1 , . . . , vr , w1 , . . . , w , x1 , . . . , xk linear unabhängig sind. Sei r 

λi vi +

i=1

 

μi wi +

i=1

k 

γi xi = 0,

i=1

dann gilt k 

 γi xi = −

i=1

r 

λi vi +

i=1

 

 μi wi .

i=1

Auf der linken Seite dieser Gleichung steht per Definition ein Vektor aus U2 , auf der rechten k ein Vektor aus U1 . Somit gilt i=1 γi xi ∈ U1 ∩U2 . Nach Konstruktion ist jedoch {v1 , . . . , vr } eine Basis k von U1 ∩U2 und die Vektoren v1 , . . . , vr , x1 , . . . , xk sind linear unabhängig. Daher muss i=1 γi xi = 0 sein, also μ1 = · · · = μ = 0. Aber dann gilt auch r  i=1

λi vi +

k 

γi xi = 0

i=1

und somit λ1 = · · · = λr = γ1 = · · · = γk = 0 wegen der linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vr , x 1 , . . . , xk . 2

120

9 Vektorräume

Beispiel 9.31 Für die beiden Unterräume U1 = {[α1 , α2 , 0] | α1 , α2 ∈ K }, U2 = {[0, α2 , α3 ] | α2 , α3 ∈ K } ⊂ K 1,3 gilt dim(U1 ) = dim(U2 ) = 2, U1 ∩ U2 = {[0, α2 , 0] | α2 ∈ K },

dim(U1 ∩ U2 ) = 1,

U1 + U2 = K

dim(U1 + U2 ) = 3.

1,3

,

Aufgaben (In den folgenden Aufgaben ist K stets ein beliebiger Körper.) 9.1

Welche der folgenden Mengen bilden (jeweils mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation) R-Vektorräume? 

   [α1 , α2 ] ∈ R1,2 | α12 + α22 = 1 , [α1 , α2 ] ∈ R1,2 | α1 = α2 ,     [α1 , α2 ] ∈ R1,2 | α1 − α2 = 0 und 2α1 + α2 = 0 . [α1 , α2 ] ∈ R1,2 | α1 ≥ α2 ,

9.2

Wird ein R-Vektorraum gebildet, so bestimmen Sie dessen Dimension und geben Sie eine Basis an. Sei V ein K -Vektorraum,  eine nichtleere Menge und Abb(, V) die Menge aller Abbildungen von  nach V . Untersuchen Sie, ob Abb(, V) mit den Verknüpfungen + : Abb(, V) × Abb(, V) → Abb(, V), ( f, g) → f + g, mit ( f + g)(x) := f (x) + g(x) ∀ x ∈ , · : K × Abb(, V) → Abb(, V), (λ, f ) → λ · f, mit (λ · f )(x) := λ f (x) ∀ x ∈ ,

9.3 9.4 9.5

einen K -Vektorraum bildet. Zeigen Sie, dass (K n,m , +, ·) ein K -Vektorraum ist (vgl. (1) in Beispiel 9.2). Geben Sie einen Unterraum dieses K -Vektorraumes an. Zeigen Sie, dass (K [t], +, ·) ein K -Vektorraum ist (vgl. (2) in Beispiel 9.2). Zeigen Sie weiter, dass K [t]≤n ein Unterraum von K [t] ist. (vgl. (3) in Beispiel 9.6). Sei n ∈ N und

K [t1 , t2 ] :=

⎧ n ⎨ ⎩

i, j=0

j αi j t1i t2

⎫ ⎬ ) ) αi j ∈ K . ⎭

Aufgaben

121

Ein Element von K [t1 , t2 ] heißt bivariates Polynom über K in den Unbekannten t1 und t2 . Geben Sie eine skalare Multiplikation und eine Addition an, so dass K [t1 , t2 ] zu einem Vektorraum wird. Bestimmen Sie eine Basis von K [t1 , t2 ]. 9.6 Beweisen Sie Lemma 9.5. 9.7 Sei A ∈ K n,m und b ∈ K n,1 . Ist dann die Lösungsmenge L (A, b) von Ax = b ein Unterraum von K m,1 ? 9.8 Sei A ∈ K n,n und sei λ ∈ K ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass die Menge {v ∈ K n,1 | Av = λv} einen Unterraum von K n,1 bildet. 9.9 Sei A ∈ K n,n und seien λ1 und λ2 zwei verschiedene Eigenwerte von A, also λ1 = λ2 . Zeigen Sie, dass die zugehörigen Eigenvektoren v1 und v2 linear unabhängig sind. 9.10 Untersuchen Sie die Elemente der folgenden Mengen auf ihre lineare Unabhängigkeit im Vektorraum K [t]≤3 : U1 = {t, t 2 + 2t, t 2 + 3t + 1, t 3 }, U2 = {1, t, t + t 2 , t 2 + t 3 }, U3 = {1, t 2 − t, t 2 + t, t 3 }.

9.11

9.12 9.13 9.14

Berechnen Sie die Dimensionen der von den Elementen von U1 , U2 , U3 aufgespannten Unterräume. Bildet eine dieser Mengen eine Basis von K [t]≤3 ? Zeigen Sie, dass die Menge der Folgen F := {(α1 , α2 , α3 , . . .) | αi ∈ Q, i ∈ N} mit der elementweisen Addition und der elementweisen skalaren Multiplikation einen unendlichdimensionalen Vektorraum bildet und geben Sie ein Basissystem an. Beweisen Sie Lemma 9.24. Beweisen Sie Lemma 9.25. Zeigen Sie, dass die Mengen     

1 1 1 0 1 , B2 = , B3 = B = B1 = 0 0 0 0 1

  0 1 , B4 = 0 0

1 1

       1 0 1 0 1 0 0 C = C1 = , C2 = , C3 = , C4 = 0 1 0 0 1 0 0

0 1

-

und -

Basen des Vektorraumes K 2,2 bilden und berechnen Sie die Basisübergangsmatrizen von B nach C und von C nach B. 9.15 Beweisen Sie Lemma 9.29.

Kapitel 10

Lineare Abbildungen

Wir kommen nun zum zentralen Begriff der linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Wir werden inbesondere zeigen, dass im Falle von endlichdimensionalen Vektorräumen jede lineare Abbildung durch eine Matrix dargestellt werden kann, sobald Basen in den entsprechenden Räumen gewählt sind.

10.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von linearen Abbildungen Wir beginnen mit der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen. Definition 10.1 Seien V, W zwei K -Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt K -linear (kurz: linear), wenn für alle v, w ∈ V und λ ∈ K die Gleichungen (1) f (λv) = λ f (v), (2) f (v + w) = f (v) + f (w), gelten. Die Menge aller dieser Abbildungen bezeichnen wir mit L(V, W). Eine lineare Abbildung f : V → W wird auch lineare Transformation oder (Vektorraum-) Homomorphismus genannt. Eine bijektive lineare Abbildung nennt man Isomorphismus. Gibt es für zwei K -Vektorräume V und W einen Isomorphismus f ∈ L(V, W ), so nennt man die Räume V und W isomorph, geschrieben V ∼ = W. Eine Abbildung f ∈ L(V, V) nennt man Endomorphismus bzw. Automorphismus falls f bijektiv ist. Beispiel 10.2 Wir haben bereits ein wichtiges Beispiel linearer Abbildungen kennengelernt, nämlich die Multiplikation mit Matrizen A ∈ K n,m . Jede Matrix definiert durch die Multiplikation eine lineare Abbildung von K m,1 nach K n,1 : A : K m,1 → K n,1 ,

x → Ax.

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_10,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

123

124

10 Lineare Abbildungen

Diese Abbildung ist linear, denn für die skalare Multiplikation und Addition in der Menge K n,m gelten (vgl. Lemma 4.3 und 4.4): A(λx) = λAx, A(x + y) = Ax + Ay,

für alle x ∈ K m,1 und λ ∈ K , für alle x, y ∈ K m,1 .

Beispiel 10.3 Die Abbildung f : Q[t]≤3 → Q[t]≤2 ,

α3 t 3 + α2 t 2 + α1 t + α0 → 2α2 t 2 + 3α1 t + 4α0

ist linear, also f ∈ L(Q[t]≤3 , Q[t]≤2 ) (man weise dies zur Übung nach). Die Abbildung g : Q[t]≤3 → Q[t]≤2 ,

α3 t 3 + α2 t 2 + α1 t + α0 → α2 t 2 + α1 t + α02

ist nicht linear. Sind zum Beispiel p1 = t + 2 und p2 = t + 1, dann gilt g( p1 + p2 ) = t + 9 = g( p1 ) + g( p2 ) = t + 5. Die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei K -Vektorräumen mit entsprechenden Operationen bildet wiederum einen K -Vektorraum. Lemma 10.4 Seien V und W zwei K -Vektorräume. Für f, g ∈ L(V, W), v ∈ V und λ ∈ K seien eine Addition und eine skalare Multiplikation definiert durch + : ( f + g)(v) := f (v) + g(v), · : (λ · f )(v) := λ f (v). Dann ist (L(V, W), +, ·) ein K -Vektorraum. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Wir zeigen nun, dass es für einen endlichdimensionalen Vektorraum V und einen weiteren beliebigen Vektorraum W immer eine Abbildung f ∈ L(V, W) gibt, die durch Wahl einer Basis von V und Festlegung der Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt ist. Satz 10.5 Seien V und W zwei K -Vektorräume. Ist {v1 , . . . , vm } eine Basis von V und sind w1 , . . . , wm ∈ W, dann gibt es genau eine lineare Abbildung f ∈ L(V, W) mit f (vi ) = wi , i = 1, . . . , m. Beweis Für jedes v ∈ V gibt es nach Lemma 9.23 eindeutig bestimmte Koordinaten m (v) m (v) (v) (v) λi vi . Wir definieren f : V → W durch f (v) := i=1 λi wi λ1 , . . . , λm mit v = i=1 für alle v ∈ V. Offensichtlich gilt dann f (v ) = w für i = 1, . . . , m. Für jedes λ ∈ K gilt i i  m (v) vi , also λv = i=1 λ · λi f (λv) =

m  m    (v) (v) λ · λi wi = λ λi wi = λ f (v). i=1

i=1

10.1

Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von linearen Abbildungen

Ist u =

m

(u) i=1 λi vi

f (v + u) =

∈ V, so gilt v + u =

125

 m  (v) (u) vi und daher i=1 λi + λi

m  m m     λi(v) + λi(u) wi = λi(v) wi + λi(u) wi = f (v) + f (u). i=1

i=1

i=1

Die so bestimmte Abbildung f : V → W ist also linear. Seien nun f, g ∈ L(V, W ) mit f (vi ) = g(vi ) = wi für i = 1, . . . , m. Ist dann v = m (v) i=1 λi vi , so folgt f (v) =

m  i=1

(v) λi wi

=

m 

(v) λi g(vi )

=g

i=1

 m 

 (v) λi vi

= g(v),

i=1

d. h. es gilt f = g und f ist somit eindeutig bestimmt.

2

Nun wollen wir die Eigenschaften von linearen Abbildungen genauer untersuchen. In Definition 2.11 haben wir bereits das Bild und das Urbild von Abbildungen definiert. Der Vollständigkeit halber wiederholen wir hier diese Definitionen und ergänzen sie um den Begriff des Kerns einer linearen Abbildung. Definition 10.6 Seien V und W zwei K -Vektorräume und sei f ∈ L(V, W), dann definieren wir Kern( f ) := {v ∈ V | f (v) = 0},

Bild( f ) := { f (v) ∈ W | v ∈ V}.

Für w ∈ W definieren wir das Urbild von w in V als f −1 (w) := f −1 ({w}) = {v ∈ V | f (v) = w}. Wie bereits nach Definition 2.11 erwähnt wurde, ist in der Definition des Urbildes f −1 (w) nicht die Umkehrabbildung von f angewendet auf w gemeint, sondern eine Teilmenge von V. Insbesondere gilt f −1 (0) = Kern( f ). Lemma 10.7 Sind V, W zwei K -Vektorräume, so gelten für jedes f ∈ L(V, W) die folgenden Aussagen: f (0) = 0 und f (−v) = − f (v) für alle v ∈ V. Ist f ein Isomorphismus, so ist f −1 ∈ L(W, V). Kern( f ) ist ein Unterraum von V, Bild( f ) ist ein Unterraum von W. f ist genau dann surjektiv, wenn Bild( f ) = W ist. f ist genau dann injektiv, wenn Kern( f ) = {0} ist. Ist f injektiv und sind v1 , . . . , vm ∈ V linear unabhängig, so sind auch die Bilder f (v1 ), . . . , f (vm ) ∈ W linear unabhängig. (7) Sind v1 , . . . , vm ∈ V linear abhängig, so sind auch die Bilder f (v1 ), . . . , f (vm ) ∈ W linear abhängig. (Äquivalent: Sind f (v1 ), . . . , f (vm ) ∈ W linear unabhängig, so sind v1 , . . . , vm ∈ V linear unabhängig.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

126

10 Lineare Abbildungen

(8) Ist w ∈ Bild( f ) und ist u ∈ f −1 (w) beliebig, so gilt f −1 (w) = u + Kern( f ) := {u + v | v ∈ Kern( f )}. Beweis (1) Es gelten f (0) = f (0 · 0) = 0 · f (0) = 0 sowie f (v) + f (−v) = f (v + (−v)) = f (0) = 0, für alle v ∈ V. (2) Die Existenz der Umkehrabbildung f −1 : W → V ist nach Satz 2.18 gesichert. Wir haben zu zeigen, dass f −1 linear ist. Sind w1 , w2 ∈ W, so gibt es eindeutig bestimmte v1 , v2 ∈ V mit w1 = f (v1 ) und w2 = f (v2 ). Es gilt dann f −1 (w1 + w2 ) = f −1 ( f (v1 ) + f (v2 )) = f −1 ( f (v1 + v2 )) = v1 + v2 = f −1 (w1 ) + f −1 (w2 ). Zudem gilt f −1 (λw1 ) = f −1 (λ f (v1 )) = f −1 ( f (λv1 )) = λv1 = λ f −1 (w1 ) für jedes λ ∈ K . (3) und (4) sind offensichtlich aus den jeweiligen Definitionen. (5) Sei f injektiv und v ∈ Kern( f ), d. h. f (v) = 0. Aus (1) wissen wir, dass f (0) = 0 gilt, also folgt f (v) = f (0). Daher gilt v = 0 aufgrund der Injektivität von f . Sei nun Kern( f ) = {0} und seien u, v ∈ V mit f (u) = f (v). Dann folgt f (u − v) = 0, also u − v ∈ Kern( f ) und somit u − v = 0 bzw. u = v. m λi f (vi ) = 0. Aus der Linearität von f folgt (6) Sei i=1 f

 m 

 λi vi

= 0,

i=1

also

m 

λi vi ∈ Kern( f ).

i=1

m Aus der Injektivität folgt i=1 λi vi = 0 und damit λ1 = . . . = λm = 0 wegen der linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vm . (7) Sind v1 , . . . , vm linearabhängig, so existieren Skalare λ1 , . . . , λm ∈ K , die nicht alle m gleich Null sind, mit i=1 λi vi= 0. Nach Anwendung von f auf beiden Seiten und m λi f (vi ) = 0, also sind f (v1 ), . . . , f (vm ) linear Ausnutzen der Linearität folgt i=1 abhängig. v ∈ f −1 (w), so gilt f ( v ) = f (u), daher f ( v− (8) Sei w ∈ Bild( f ) und u ∈ f −1 (w). Ist  u) = 0, also  v − u ∈ Kern( f ) bzw.  v ∈ u + Kern( f ), d. h. f −1 (w) ⊆ u + Kern( f ). Ist nun  v ∈ u + Kern( f ), so gilt f ( v ) = f (u) = w, also  v ∈ f −1 (w), d. h. u + Kern( f ) ⊆ −1 f (w). 2 Beispiel 10.8 Für die lineare Abbildung ⎤ ⎡ ⎤    α1  α1 1 0 1 ⎣ α2 ⎦ = α1 + α3 ⎣ α2 ⎦  → 1 0 1 α1 + α3 α3 α3 ⎡ f : Q3,1 → Q2,1 ,

10.1

Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von linearen Abbildungen

127

sind

  ) x )) x ∈Q , Bild( f ) = x )

⎫ ⎧⎡ ⎤) α1 )) ⎬ ⎨ Kern( f ) = ⎣ α2 ⎦ )) α1 , α2 ∈ Q . ⎭ ⎩ −α1 )

Wir können nun die folgende wichtige Dimensionsformel für lineare Abbildungen beweisen. Satz 10.9 Seien V und W zwei K -Vektorräume und sei V endlichdimensional. Dann gilt dim(V) = dim(Bild( f )) + dim(Kern( f )) für jedes f ∈ L(V, W). Beweis Seien v1 , . . . , vn ∈ V. Sind f (v1 ), . . . , f (vn ) ∈ W linear unabhängig, so sind nach (7) in Lemma 10.7 auch v1 , . . . , vn linear unabhängig, also gilt dim(Bild( f )) ≤ dim(V). Aus Kern( f ) ⊆ V folgt dim(Kern( f )) ≤ dim(V), so dass Bild( f ) und Kern( f ) beide endlichdimensional sind. Seien {w1 , . . . , wr } bzw. {v1 , . . . , vk } Basen von Bild( f ) bzw. Kern( f ) und seien u 1 ∈ f −1 (w1 ), . . . , u r ∈ f −1 (wr ). Wir zeigen, dass {u 1 , . . . , u r , v1 , . . . , vk } eine Basis von V ist, woraus die Behauptung folgt. Ist v ∈ V,  so gibt es nach Lemma  9.23 eindeutige Koordinaten μ1 , . . . , μr ∈ K , so dass f (v) = ri=1 μi wi . Sei  v := ri=1 μi u i , dann folgt f ( v ) = f (v), also v −  v ∈ Kern( f ), k d. h. v −  v = i=1 λi vi für gewisse Koordinaten λ1 , . . . , λk ∈ K . Es folgt v = v +

k 

r 

λi vi =

i=1

μi u i +

i=1

k 

λi vi ,

i=1

also v ∈ Span{u 1 , . . . , u r , v1 , . . . , vk }. Wegen {u 1 , . . . , u r , v1 , . . . , vk } ⊂ V gilt somit V = Span{u 1 , . . . , u r , v1 , . . . , vk } und es bleibt zu zeigen, dass u 1 , . . . , u r , v1 , . . . , vk linear unabhängig sind. Sei r 

αi u i +

i=1

k 

βi vi = 0,

i=1

dann folgt  0 = f (0) = f

r  i=1

αi u i +

k  i=1

 βi vi

=

r  i=1

αi f (u i ) =

r  i=1

αi wi

128

10 Lineare Abbildungen

und somit α1 = . . . = αr = 0, denn w1 , . . . , wr sind linear unabhängig. Aus der linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vk folgt dann β1 = . . . = βk = 0. 2 Mit Hilfe der Dimensionsformel können wir nun charakterisieren, wann zwei endlichdimensionale Vektorräume isomorph sind. Korollar 10.10 Zwei endlichdimensionale K -Vektorräume V und W sind genau dann isomorph, wenn dim(V) = dim(W) gilt. Beweis Gilt V ∼ = W, so gibt es eine bijektive Abbildung f ∈ L(V, W). Nach (4) und (5) in Lemma 10.7 sind dann Bild( f ) = W und Kern( f ) = {0}. Mit der Dimensionsformel aus Satz 10.9 erhalten wir dim(V) = dim(Bild( f )) + dim(Kern( f )) = dim(W) + dim({0}) = dim(W). Sei nun dim(V) = dim(W) und seien {v1 , . . . , vn } und {w1 , . . . , wn } Basen von V und W. Nach Satz 10.5 gibt es genau eine Abbildung f ∈ L(V, W) mit f (vi ) = wi , i = 1, . . . , n. Ist v = λ1 v1 + . . . + λn vn ∈ Kern( f ), so gilt 0 = f (v) = f (λ1 v1 + . . . + λn vn ) = λ1 f (v1 ) + . . . + λn f (vn ) = λ1 w1 + . . . + λn wn . Aus der linearen Unabhängigkeit von w1 , . . . , wn folgt λ1 = . . . = λn = 0, also v = 0 und daher Kern( f ) = {0}. Aus der Dimensionsformel erhalten wir dann dim(V) = dim(Bild( f )) = dim(W) und somit Bild( f ) = W (vgl. Lemma 9.28), d. h. f ist surjektiv. 2 Beispiel 10.11 (1) Die Vektorräume K n,m und K m,n sind isomorph, denn beide haben die Dimension n · m. Die Abbildung A → A T ist ein Isomorphismus zwischen diesen beiden Vektorräumen. (2) Die R-Vektorräume V = R1,2 und W = C = {x + iy | x, y ∈ R}, die beide die Dimension 2 haben, sind isomorph. Zwischen diesen ist f : V → W, v = [x, y] → f (v) := x + iy ein Isomorphismus. (3) Die Vektorräume Q[t]≤2 und Q3,1 haben beide die Dimension 3 und sind daher isomorph. Ein Isomorphismus ist durch die Abbildung f : Q[t]≤2 → Q3,1 , α2 t 2 + α1 t + α0 → [α2 , α1 , α0 ] gegeben. Obwohl die Mathematik eine formale und exakte Wissenschaft ist, in der es auf Genauigkeit und kleinste Details ankommt, benutzt man manchmal den Kunstgriff des „Notationsmissbrauchs“ (engl. „abuse of notation“), um die Darstellung zu vereinfachen oder die wesentlichen Punkte nicht durch unnötige technische Details zu verschleiern. Wir haben bereits Gebrauch von diesem Hilfsmittel gemacht. Zum Beispiel haben wir im induktiven Beweis der Existenz der Treppennormalform +(Satz, 5.2) die Indizes der Matrizen A( j) nicht (2) angepasst. Dies führte etwa auf eine Matrix ai(2) j , für die kein Eintrag a11 definiert war. Durch das Beibehalten der Indizes in der Induktion wurden die technischen Details des Beweises wesentlich vereinfacht, die Logik des Beweises selbst blieb aber formal korrekt.

10.2

Lineare Abbildungen und Matrizen

129

Ein „Notationsmissbrauch“ darf auf keinen Fall mit einem „falschen Gebrauch“ von Notation verwechselt werden und er sollte stets gerechtfertigt sein. In der Linearen Algebra ist eine solche Rechtfertigung oft durch Isomorphie gegeben. Sind zwei Vektorräume isomorph, so können sie miteinander identifiziert werden, was viele Autoren dazu veranlasst, sie mit der gleichen Notation zu bezeichnen. Dies gilt insbesondere für die Notation Rn (bzw. K n , Qn , Cn , etc.), die eigentlich die Menge der n-Tupel mit Elementen aus R bezeichnet, die aber je nach Kontext auch für den „geometrischen n-dimensionalen reellen Raum“ oder für die Matrizenmengen Rn,1 oder R1,n stehen kann. Für die geübte Leserin bzw. den geübten Leser mathematischer Texte stellt diese Praxis, wenn sie sparsam und sorgfältig angewandt wird, kein Problem dar. Wer beim Lesen mitdenkt, weiß was jeweils gemeint ist.

10.2 Lineare Abbildungen und Matrizen Seien V und W zwei endlichdimensionale K -Vektorräume mit Basen {v1 , . . . , vm } von V und {w1 , . . . , wn } von W und sei f ∈ L(V, W). Nach Lemma 9.23 gibt es zu jedem f (v j ) ∈ W, j = 1, . . . , m, eindeutig bestimmte Koordinaten ai j ∈ K , i = 1, . . . , n, mit f (v j ) = a1 j w1 + . . . + an j wn . Wie in (9.4) können wir mit Hilfe der Matrix A := [ai j ] ∈ K n,m die m Gleichungen für die Vektoren f (v j ) als System schreiben: ( f (v1 ), . . . , f (vm )) = (w1 , . . . , wn ) A.

(10.1)

Die Matrix A ist durch f und die gewählten Basen von V und W eindeutig bestimmt. Ist v = λ1 v1 + . . . + λm vm ∈ V, dann gilt f (v) = f (λ1 v1 + . . . + λm vm ) = λ1 f (v1 ) + . . . + λm f (vm ) ⎡ ⎤ λ1 ⎢ .. ⎥ = ( f (v1 ), . . . , f (vm )) ⎣ . ⎦ λm ⎤ λ1 ⎢ ⎥ = ((w1 , . . . , wn ) A) ⎣ ... ⎦ λm ⎛ ⎡ ⎤⎞ λ1 ⎜ ⎢ .. ⎥⎟ = (w1 , . . . , wn ) ⎝ A ⎣ . ⎦⎠ . ⎡

λm

Die Koordinaten des Bildvektors f (v) bezüglich der Basis {w1 , . . . , wn } von W sind also gegeben durch

130

10 Lineare Abbildungen

⎤ λ1 ⎢ ⎥ A ⎣ ... ⎦ . λm ⎡

Die Koordinaten von f (v) in der gewählten Basis von W lassen sich somit durch die Koordinaten von v in der gewählten Basis von V mit Hilfe der Matrix A ∈ K n,m aus (10.1) berechnen. Die Abbildung f muss dabei nicht explizit benutzt werden. Definition 10.12 Die durch (10.1) eindeutig bestimmte Matrix heißt die Matrixdarstellung oder die darstellende Matrix von f ∈ L(V, W) bezüglich der Basen B1 = {v1 , . . . , vm } von V und B2 = {w1 , . . . , wn } von W. Wir bezeichnen diese Matrix mit [ f ] B1 ,B2 . Für die Matrixdarstellung linearer Abbildungen gibt es in der Literatur die unterschiedlichsten, jedoch nicht immer idealen Notationen. Es ist wichtig anzugeben, dass es sich um eine Matrix handelt, die von der linearen Abbildung f ∈ L(V, W) sowie von den jeweils gewählten Basen B1 = {v1 , . . . , vm } von V und B2 = {w1 , . . . , wn } von W abhängt. Beispiel 10.13 Im Vektorraum Q[t]≤1 mit den Basen B1 = {1, t} bzw. B2 = {t + 1, t − 1} erhalten wir für die lineare Abbildung f : Q[t]≤2 → Q[t]≤2 ,

α1 t + α0 → 2α1 t + α0

die Matrixdarstellungen 

[ f ] B1 ,B1

 1 0 = , 0 2

1 2 − 12

[ f ] B1 ,B2 =

1 2 1 2

! ,

[ f ] B2 ,B2 =

3 2 1 2

1 2 3 2

! .

Satz 10.14 Seien V und W zwei endlichdimensionale K -Vektorräume mit Basen B1 = {v1 , . . . , vm } von V und B2 = {w1 , . . . , wn } von W. Dann ist die Abbildung L(V, W) → K n,m ,

f → [ f ] B1 ,B2

ein Isomorphismus, also L(V, W) ∼ = K n,m und dim(L(V, W)) = dim(K n,m ) = n · m. Beweis In diesem Beweis bezeichnen wir die Abbildung f → [ f ] B1 ,B2 mit mat. Zunächst zeigen wir, dass diese Abbildung linear ist. Sei also mat( f ) = [ f ] B1 ,B2 . Seien f, g ∈ L(V, W), mat( f ) = [ f ] B1 ,B2 = [ f i j ] und mat(g) = [g] B1 ,B2 = [gi j ]. Für j = 1, . . . , m gilt ( f + g)(v j ) = f (v j ) + g(v j ) =

n  i=1

f i j wi +

n  i=1

gi j wi =

n 

( f i j + gi j )wi

i=1

und somit mat( f + g) = [ f i j + gi j ] = [ f i j ] + [gi j ] = mat( f ) + mat(g). Für λ ∈ K und j = 1, . . . , m gilt

10.2

Lineare Abbildungen und Matrizen

(λ f )(v j ) = λ f (v j ) = λ

131 n  i=1

f i j wi =

n 

(λ f i j )wi

i=1

und daher mat(λ f ) = [λ f i j ] = λ [ f i j ] = λ mat( f ). Nun ist noch Bijektivität der Abbildung nachzuweisen. Ist f ∈ Kern(mat), so gilt mat( f ) = 0 ∈ K n,m , also f (v j ) = 0, für j = 1, . . . , m. Daher ist f (v) = 0 für alle v ∈ V , also f = 0 (die Nullabbildung). Somit ist f injektiv (vgl. (5) in Lemma 10.7). Ist n,m beliebig, so definieren wir die Abbildung f : V → W durch andererseits nA = [ai j ] ∈ K f (v j ) := i=1 ai j wi , j = 1, . . . , m. Dann ist f linear (vgl. den Beweis von Satz 10.5) und es gilt mat( f ) = A, also ist mat auch surjektiv (vgl. (4) in Lemma 10.7). Nach Korollar 10.10 gilt damit dim(L(V, W)) = dim(K n,m ) = n · m (vgl. auch Beispiel 9.21). 2 Wir haben gesehen, dass wir jeder linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen bei vorgegebenen Basen eine eindeutige Matrix zuordnen können. Wir haben zudem gesehen, dass jeder Vektor bezüglich einer gegebenen Basis eindeutige Koordinaten besitzt. Die Abbildung eines Vektors auf seine Koordinaten wird durch folgende wichtige lineare Abbildung beschrieben. Lemma 10.15 Ist B = {v1 , . . . , vn } eine Basis des K -Vektorraumes V, so ist die Abbildung ⎡

 B : V → K n,1 ,

⎤ λ1 ⎢ ⎥ v = λ1 v1 + . . . + λn vn →  B (v) := ⎣ ... ⎦

(10.2)

λn

ein Isomorphismus, den wir die Koordinatenabbildung von V bezüglich der Basis B nennen. Beweis Die Linearität von  B ist klar. Zudem gilt offensichtlich  B (V) = K n,1 , d. h.  B ist surjektiv. Ist v ∈ Kern( B ), dann sind die Koordinaten von v bezüglich der Basis B gegeben durch λ1 = . . . = λn = 0, woraus v = 0 und damit Kern( B ) = {0} folgt. Also ist  B injektiv (vgl. (5) in Lemma 10.7). 2 Beispiel 10.16 Im Vektorraum K [t]≤n mit der Standardbasis B = {t j−1 | j = 1, . . . , n + 1} ist die Koordinatenabbildung gegeben durch ⎡

⎤ α0 ⎢ α1 ⎥ ⎢ ⎥  B (αn t n + αn−1 t n−1 + . . . + α1 t + α0 ) = ⎢ . ⎥ ∈ K n+1 . ⎣ .. ⎦ αn

Für die lineare Abbildung f : K [t]≤n → K [t]≤n , αn t n + αn−1 t n−1 + . . . + α1 t + α0 → α0 t n + α1 t n−1 + . . . + αn−1 t + αn

132

10 Lineare Abbildungen

ergibt sich ⎡ ⎢ [ f ] B,B = ⎣

..

.

1

⎤ ⎥ n+1,n+1 . ⎦∈K

1 Die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basis B ist somit eine Permutationsmatrix. Sind  B1 bzw.  B2 die Koordinatenabbildungen von Vektorräumen V und W der Dimensionen m bzw. n bezüglich der Basen B1 bzw. B2 , dann können wir den Inhalt von Definition 10.12 und die Bedeutung der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung durch das folgende Diagramm veranschaulichen:

V  B1

K

f

/W

 [ f ] B ,B 1 /2 m,1

K

 B2  n,1

Dies ist ein Beispiel für ein sogenanntes „kommutatives Diagramm“, in dem dargestellt wird, dass verschiedene Hintereinanderausführungen von Abbildungen das gleiche Ergebnis liefern. In diesem Fall gilt f = −1 B2 ◦ [ f ] B1 ,B2 ◦  B1 ,

(10.3)

wobei die Matrix [ f ] B1 ,B2 ∈ K n,m als lineare Abbildung von K m,1 nach K n,1 interpretiert wird und zudem ausgenutzt wird, dass die Koordinatenabbildung  B2 invertierbar ist. Einen Spezialfall erhalten wir für V = W, also m = n, und f = IdV (die Identität auf V) gilt. Für die Matrixdarstellung von IdV bezüglich gegebener Basen B1 = {v1 , . . . , vn } und B2 = {w1 , . . . , wn } von V gilt dann (v1 , . . . , vn ) = (w1 , . . . , wn ) [IdV ] B1 ,B2 .

(10.4)

Die Matrix [IdV ] B1 ,B2 ist somit genau die Matrix P in (9.6), also die Basisübergangsmatrix aus Lemma 9.26, mit der man die Koordinaten von v ∈ V bezüglich B1 in Koordinaten bezüglich B2 umrechnen kann. Andererseits ist (w1 , . . . , wn ) = (v1 , . . . , vn ) [IdV ] B2 ,B1 und daher gilt

[IdV ] B1 ,B2

−1

= [IdV ] B2 ,B1 .

Im folgenden Satz zeigen wir, dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen der Multiplikation ihrer darstellenden Matrizen entspricht.

10.2

Lineare Abbildungen und Matrizen

133

Satz 10.17 Seien V, W und Y drei K -Vektorräume. Sind f ∈ L(V, W) und g ∈ L(W, Y), dann gilt g ◦ f ∈ L(V, Y). Sind V, W und Y endlichdimensional mit entsprechenden Basen B1 = {v1 , . . . , vm }, B2 = {w1 , . . . , wn } und B3 = {y1 , . . . , ys }, so gilt [g ◦ f ] B1 ,B3 = [g] B2 ,B3 [ f ] B1 ,B2 . Beweis Sei h := g ◦ f . Wir zeigen zunächst, dass h ∈ L(V, Y) ist. Für u, v ∈ V und λ, μ ∈ K gilt h(λu + μv) = g( f (λu + μv)) = g(λ f (u) + μf (v)) = λg( f (u)) + μg( f (v)) = λh(u) + μh(v). Sind [ f ] B1 ,B2 = [ fi j ] und [g] B2 ,B3 = [gi j ], dann gilt für j = 1, . . . , m,  h(v j ) = g( f (v j )) = g =

 n s   i=1

k=1

n 

 f k j wk

k=1

 f k j gik

yi =

=

n 

f k j g(wk ) =

k=1  n s  



k=1

 =: h i j

fk j

s 

k=1



gik yi

i=1

yi .

gik f k j

i=1

n 



Also gilt [h] B1 ,B3 = [h i j ] = [gi j ] [ fi j ] = [g] B2 ,B3 [ f ] B1 ,B2 wie behauptet.

2

Mit Hilfe dieses Satzes zeigen wir nun, wie sich ein Wechsel der Basen von V und W auf die Matrixdarstellung f ∈ L(V, W) auswirkt. B1 von V und B2 Korollar 10.18 Seien V und W zwei K -Vektorräume mit Basen B1 bzw.  bzw.  B2 von W. Ist f ∈ L(V, W), so gilt [ f ] B1 ,B2 = [IdW ]  B2 [IdV ] B1 ,  B1 . B2 ,B2 [ f ]  B1 , 

(10.5)

Insbesondere sind die Matrizen [ f ] B1 ,B2 und [ f ]  B1 ,  B2 äquivalent. Beweis Aus der zweimaligen Anwendung von Satz 10.17 auf die triviale Identität f = IdW ◦ f ◦ IdV ergibt sich [ f ] B1 ,B2 = [(IdW ◦ f ) ◦ IdV ] B1 ,B2 = [IdW ◦ f ]  B1 ,B2 [IdV ] B1 ,  B1 = [IdW ]  B2 ,B2 [ f ]  B1 ,  B2 [IdV ] B1 ,  B1 . Die Matrizen [ f ]  B1 ,  B2 ,B2 und [IdV ] B1 ,  B2 sind äquivalent, da [IdW ]  B1 beide invertierbar sind. 2 Falls V = W, B1 = B2 und  B1 =  B2 gelten, dann liefert (10.5) die Identität

134

10 Lineare Abbildungen

[ f ] B1 ,B1 = [IdV ]  B1 ,B1 [ f ]  B1 ,  B1 [IdV ] B1 ,  B1 . Die darstellenden Matrizen [ f ] B1 ,B1 und [ f ]  B1 ,  B1 des Endomorphismus f ∈ L(V, V) sind −1 = ([Id ] somit ähnlich, denn es gilt [IdV ]  V B1 ,B1 B1 ,  B1 ) . Die Zusammenhänge aus Korollar 10.18 werden mit Hilfe der entsprechenden Koordinatenabbildungen im folgenden kommutativen Diagramm veranschaulicht: [ f ] B1 ,B2

/ K n,1  B2 yyy< O yy yy y f /W [IdV ] B ,  [IdW ]  B2 ,B2 V 1 B1 EE  y  y  EE B2 B1 y y EE yy EE  |yy " [ f ] B1 ,  B2 / m,1 n,1

K m,1bEE

EE B1 EE EE

K

(10.6)

K

Analog zu (10.3) gilt −1 ◦ [ f ] f = −1 B1 ,  B1 . B2 ◦   B2 ◦ [ f ] B1 ,B2 ◦  B1 =   B 2

Beispiel 10.19 Für die folgenden zwei Basen des Vektorraums Q2,2 ,



  1 0 0 , B1 = 0 0 0

   1 0 1 B2 = , 0 1 0

 1 , 0  0 , 0

 0 1  1 0

  0 0 , 0 0   1 0 , 0 1

0 1 0 0

, -

ergeben sich die Basisübergangsmatrizen ⎡

[IdV ] B1 ,B2

0 ⎢1 =⎢ ⎣0 0

0 −1 1 0

0 0 0 1

⎤ 1 −1⎥ ⎥ 0⎦ 0

und ⎡

[IdV ] B2 ,B1 = ([IdV ] B1 ,B2 )−1

Die Koordinatenabbildungen sind

1 ⎢0 =⎢ ⎣0 1

1 0 0 0

1 1 0 0

⎤ 0 0⎥ ⎥. 1⎦ 0

(10.7)

10.2

Lineare Abbildungen und Matrizen

 a11  B1 a21

a12 a22

135

⎤ a11 ⎢ a12 ⎥ ⎥ =⎢ ⎣ a21 ⎦ , a22 ⎡



 a11  B2 a21

a12 a22



⎤ a22 ⎢ a11 − a12 − a22 ⎥ ⎥. =⎢ ⎦ ⎣ a12 a21 ⎡

Man rechnet leicht nach, dass  B2

 a11 a21

a12 a22

 = ([IdV ] B1 ,B2 ◦  B1 )

 a11 a21

a12 a22



gilt. Satz 10.20 Seien V und W zwei endlichdimensionale K -Vektorräume. Dann gibt es Basen B1 von V und B2 von W mit  [ f ] B1 ,B2 =

 Ir 0 , 0 0

wobei 0 ≤ r = dim(Bild( f )) ≤ min{n, m} gilt. Außerdem gilt r = Rang(F), wobei F die Matrixdarstellung von f bezüglich beliebiger Basen von V und W ist. v1 , . . . , vm } und  B2 = { w1 , . . . , w n } zwei beliebige Basen von V Beweis Seien  B1 = { und W. Sei r := Rang([ f ]  ). Dann gibt es nach Satz 5.11 zwei invertierbare Matrizen B1 ,  B2 Q ∈ K n,n und Z ∈ K m,m mit  Q [ f ] B1 ,  B2 Z =

 Ir 0 , 0 0

(10.8)

wobei r = Rang([ f ]  B1 ,  B2 ) ≤ min{n, m} ist. Definiere nun zwei Basen B1 = {v1 , . . . , vm } und B2 = {w1 , . . . , wn } von V und W durch (v1 , . . . , vm ) := ( v1 , . . . , vm )Z , (w1 , . . . , wn ) := ( w1 , . . . , w n )Q −1 ,

also ( w1 , . . . , w n ) = (w1 , . . . , wn )Q.

Dann gilt per Konstruktion Z = [IdV ] B1 ,  B1 ,

Q = [IdW ]  B2 ,B2

und mit Hilfe von (10.8) und Korollar 10.18 ergibt sich 

Ir 0 0 0

 = [IdW ]  B2 ,B2 [ f ]  B1 ,  B2 [IdV ] B1 ,  B1 = [ f ] B1 ,B2 .

136

10 Lineare Abbildungen

Wir haben also zwei Basen B1 und B2 gefunden, die die gewünschte Matrixdarstellung von f liefern. Jede andere Wahl von Basen führt nach Korollar 10.18 auf eine mit [ f ] B1 ,B2 äquivalente Matrix, die somit ebenfalls Rang r hat. Es verbleibt zu zeigen, dass r = dim(Bild( f )) gilt. Seien  B1 und  B2 die Koordinatenabbildungen von V und W bezüglich der Basen B1 und B2 . Dann gilt



−1 f (v j ) = −1 B2 [ f ] B1 ,B2  B1 (v j ) =  B2 [ f ] B1 ,B2 e j ,

j = 1, . . . , m,

für die Basisvektoren von V, wobei e j ∈ K m,1 der j-te Standardbasisvektor des K m,1 ist (vgl. (9.2)). Es folgt [ f ] B1 ,B2 e j = e j für j = 1, . . . , r und [ f ] B1 ,B2 e j = 0 für j = r + 1, . . . , m, also 3 w j , 1 ≤ j ≤ r, f (v j ) = 0, r + 1 ≤ j ≤ m. Somit sind vr +1 , . . . , vm ∈ Kern( f ), also folgt dim(Kern( f )) ≥ m − r . Andererseits sind w1 , . . . , w j ∈ Bild( f ), also folgt dim(Bild( f )) ≥ r . Nach Satz 10.9 gilt dim(V) = m = dim(Bild( f )) + dim(Kern( f )), woraus sich schließlich dim(Kern( f )) = m − r und dim(Bild( f )) = r ergeben.

2

Dieser Satz motiviert die Definition Rang( f ) := dim(Bild( f )) für f ∈ L(V, W). Zudem gibt der Satz ein erstes Beispiel für eine allgemeine Strategie, die uns in späteren Kapiteln immer wieder begegnen wird: Durch „geschickte Wahl“ von Basen möchten wir eine gewünschte Information über eine lineare Abbildung möglichst effizient darstellen. Im obigen Satz ist diese Information der Rang der linearen Abbildung f . Satz 10.21 Sind V, W, Y endlichdimensionale K -Vektorräume, f ∈ L(V, W) und g ∈ L(W, Y), dann gilt dim(Bild(g ◦ f )) = dim(Bild( f )) − dim(Bild( f ) ∩ Kern(g)). Beweis Sei  g := g|Bild( f ) die Einschränkung von g auf das Bild von f , d. h. die Abbildung  g ∈ L(Bild( f ), Y),

v → g(v).

Wenden wir die Dimensionsformel für lineare Abbildungen (Satz 10.9) auf  g an, dann ergibt sich dim(Bild( f )) = dim(Bild( g )) + dim(Kern( g )).

Aufgaben

137

Es gilt Bild( g ) = {g(v) ∈ Y | v ∈ Bild( f )} = Bild(g ◦ f ) und Kern( g ) = {v ∈ Bild( f ) |  g (v) = 0} = dim(Bild( f ) ∩ Kern(g)), 2

woraus die Behauptung folgt.

Fassen wir zwei Matrizen A ∈ K n,m und B ∈ K s,n als lineare Abbildungen auf, so folgt aus diesem Satz die Gleichung Rang(B A) = Rang(A) − dim(Bild(A) ∩ Kern(B)). Für den Spezialfall K = R und B = A T erhalten wir das folgende Resultat. Korollar 10.22 Für jede Matrix A ∈ Rn,m gilt Rang(AT A) = Rang(A). Beweis Sei w = [ω1 , . . . , ωn ]T ∈ Bild(A) ∩ Kern(A T ). Dann ist w = Ay für einen Vektor y ∈ K m,1 . Multiplizieren wir diese Gleichung von links mit A T , so erhalten wir mit w ∈ Kern(A T ) die Gleichung 0 = A T w = A T Ay, woraus sich 0 = y A Ay = w w = T

T

T

n 

ω2j

j=1

ergibt. Letzteres gilt nur für w = 0 und somit ist Bild(A) ∩ Kern(A T ) = {0}.

2

Aufgaben (In den folgenden Aufgaben ist K stets ein beliebiger Körper.) 10.1 10.2

Konstruieren Sie eine Abbildung f ∈ L(V, W), so dass für linear unabhängige Vektoren v1 , . . . , vr ∈ V die Vektoren f (v1 ), . . . , f (vr ) linear abhängig sind. Die Abbildung f : K [t]≤n → K [t]≤n−1 , αn t n + αn−1 t n−1 + . . . + α1 t + α0 → nαn t n−1 + (n − 1)αn−1 t n−2 + . . . + 2α2 t + α1

10.3

wird die Ableitung des Polynoms p ∈ K [t]≤n nach der Unbekannten t genannt. Zeigen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie Kern( f ) sowie Bild( f ). Finden Sie eine Abbildung f ∈ L(K [t], K [t]) mit den folgenden Eigenschaften: (1) f ( pq) = ( f ( p))q + p( f (q)) für alle p, q ∈ K [t]. (2) f (t) = 1.

138

10.4

10 Lineare Abbildungen

Ist die von Ihnen bestimmte Abbildung durch die angegebenen Eigenschaften eindeutig bestimmt, oder gibt es noch weitere Abbildungen mit den gleichen Eigenschaften? Seien α ∈ K und A ∈ K n,n . Zeigen Sie, dass die beiden Abbildungen K [t] → K ,

10.5 10.6 10.7

p → p(α)

und

p → p(A)

linear sind und rechtfertigen Sie damit den Namen Einsetzhomomorphismus für diese Abbildungen. Beweisen Sie Lemma 10.4. Sei T ∈ G L n (K ). Zeigen Sie, dass die Abbildung f : K n,n → K n,n , A → T −1 AT ein Isomorphismus ist. Sei K ein Körper mit 1 + 1 = 0 und sei A ∈ K n,n . Betrachten Sie die Abbildung f : K n,1 → K ,

10.8

K [t] → K m,m ,

x → x T Ax.

Ist f linear? Zeigen Sie, dass f = 0 genau dann gilt, wenn A + A T = 0 ist. Sei V ein K -Vektorraum mit Basis B1 = {v1 , . . . , vn }. Betrachten Sie die Abbildung 3 f : V → V,

v j →

v j + v j+1 , v1 + vn ,

j = 1, . . . , n − 1, j = n.

(a) Zeigen Sie, dass f linear ist und berechnen Sie [ f ] B1 ,B1 . (b) Sei B2 = {w1 , . . . , wn } mit w j = jvn+1− j , j = 1, . . . , n. Zeigen Sie, dass B2 eine Basis von V ist. Berechnen Sie die Basisübergangsmatrizen [IdV ] B1 ,B2 und [IdV ] B2 ,B1 , sowie die Matrixdarstellungen [ f ] B1 ,B2 und [ f ] B2 ,B2 . 10.9

Betrachten Sie die Abbildung f : K [t]≤n → K [t]≤n+1 , αn t n + αn−1 t n−1 + . . . + α1 t + α0 →

1 αn t n+1 n+1 1 1 + αn−1 t n + . . . + α1 t 2 + α0 t. n 2

(a) Zeigen Sie, dass f linear ist. Bestimmen Sie Kern( f ) und Bild( f ). (b) Wählen Sie Basen B1 , B2 in den beiden Vektorräumen und verifizieren Sie, dass für Ihre Wahl Rang([ f ] B1 ,B2 ) = dim(Bild( f )) gilt. 10.10 Seien α1 , . . . , αn ∈ R, n ≥ 2, paarweise verschiedene Zahlen und seien n Polynome in R[t] definiert durch pj =

n  k=1 k = j

1 (t − αk ), α j − αk

j = 1, . . . , n.

Aufgaben

139

(a) Zeigen Sie, dass die Menge { p1 , . . . , pn } eine Basis von R[t]≤n−1 bildet. (Diese Basis wird auch die Lagrange-Basis1 von R[t]≤n−1 genannt.) (b) Zeigen Sie, dass die entsprechende Koordinatenabbildung durch ⎡

 B : R[t]≤n−1 → Rn,1 ,

⎤ p(α1 ) ⎢ ⎥ p → ⎣ ... ⎦ p(αn )

gegeben ist. Hinweis: Hierbei können Sie die Aussage von Aufgabe 7.7 (b) benutzen. 10.11 Verifizieren Sie die Aussagen des kommutativen Diagramms (10.6) anhand der Vektorräume und Basen aus Beispiel10.19 und für die lineare Abbildung f : Q2,2 → 1 1 . Q2,2 , A → F A mit F = −1 1

1

Joseph-Louis de Lagrange (1736–1813), italienischer Mathematiker und Astronom.

Kapitel 11

Linearformen und Bilinearformen

Jeder Körper K kann als eindimensionaler K -Vektorraum aufgefasst werden. Wir wollen in diesem Kapitel Abbildungen zwischen K -Vektorräumen und dem K -Vektorraum K genauer betrachten. Diese Abbildungen spielen unter anderem eine wichtige Rolle in der Analysis, der Funktionalanalysis und bei der Lösung von Differenzialgleichungen.

11.1 Linearformen und Dualräume Wir beginnen die Betrachtungen mit der Menge der linearen Abbildungen in den Vektorraum K . Definition 11.1 Ist V ein K -Vektorraum, so nennen wir eine Abbildung f ∈ L(V, K ) eine Linearform auf V. Den K -Vektorraum V ∗ := L(V, K ) nennen wir den Dualraum von V. Ist dim(V) = n, so folgt dim(V ∗ ) = n aus Satz 10.14. Sei B1 = {v1 , . . . , vn } eine Basis von V und B2 = {1} eine Basis des K -Vektorraumes K . Ist f ∈ V ∗ , dann gilt f (vi ) = αi für gewisse αi ∈ K , i = 1, . . . , n, und [ f ] B1 ,B2 = [α1 , . . . , αn ] ∈ K 1,n . Für ein Element v =

n 

λi vi ∈ V gilt

i=1

f (v) = f

 n  i=1

 λi vi

⎡

⎤ λ1 ⎢ ⎥ λi f (vi ) = λi αi = [α1 , . . . , αn ] ⎣ ... ⎦ =    i=1 i=1 λn ∈K 1,n    n 

n 

∈K n,1

= [ f ] B1 ,B2  B1 (v), wobei wir die isomorphen Vektorräume K und K 1,1 miteinander identifiziert haben. Beispiel 11.2 Ist V der R-Vektorraum der auf dem reellen Intervall [α, β] stetigen reellwertigen Funktionen und ist γ ∈ [α, β], dann sind die zwei Abbildungen J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_11,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

141

142

11 Linearformen und Bilinearformen

f 1 : V → R, f 2 : V → R,

g → g(γ ), : β g → g(x)d x, α

Linearformen auf V. Wir werden nun für eine gegebene Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes V eine besondere, eindeutig bestimmte Basis des Dualraumes V ∗ konstruieren. Satz 11.3 Sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum mit einer gegebenen Basis B = ( * {v1 , . . . , vn }. Dann gibt es genau eine Basis B ∗ = v1∗ , . . . , vn∗ von V ∗ mit der Eigenschaft vi∗ (v j ) = δi j ,

i, j = 1, . . . , n.

Wir nennen B ∗ die zu B duale Basis von V ∗ . Beweis Wir zeigen zunächst die Existenz. ( Sei B = {v*1 , . . . , vn } eine gegebene Basis von V. Die Menge {1} ist eine Basis von K . Sei e1T , . . . , enT die Standardbasis des K 1,n , also eiT = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0], 

i = 1, . . . , n

i

(vgl. Beispiel 9.13). Wir betrachten den Isomorphismus mat : V ∗ → K 1,n ,

f → [ f ] B,{1} ,

der eine Linearform f ∈ V ∗ auf ihre Matrixdarstellung bezüglich der gegebenen Basen B von V und {1} von K abbildet (vgl. Satz 10.14). Wir definieren   vi∗ := mat−1 eiT , i = 1, . . . , n. Dann ist vi∗ eine Linearform auf V, deren Matrixdarstellung bezüglich der Basen B und {1} durch eiT gegeben ist, & ' mat vi∗ = vi∗ B,{1} = eiT ,

i = 1, . . . , n.

Es folgt vi∗ (v j )

=

1, 0,

i= j i = j

= δi j .

Wir zeigen nun, dass die so konstruierten Vektoren v1∗ , . . . , vn∗ ∈ V ∗ linear unabhängig sind. Seien λ1 , . . . , λn ∈ K mit n  j=1

λ j v ∗j = 0V ∗ ∈ V ∗ .

11.1

Linearformen und Dualräume

143

Für jeden der Basisvektoren vi von V gilt dann 0 = 0V ∗ (vi ) = B∗

(

n 

λ j v ∗j (vi ) = λi .

j=1

*

v1∗ , . . . , vn∗ ⊂ V ∗ aus B ∗ eine Basis von V ∗ .

Da die Menge := n linear unabhängigen Vektoren besteht und dim(V ∗ ) =(n ist, bildet* Sei nun  v1∗ , . . . , vn∗ eine weitere Basis von V ∗ mit  vi∗ (v j ) = δi j . Dann gibt es für jeden ∗ Basisvektor  v j , j = 1, . . . , n, eindeutig bestimmte Skalare αk j ∈ K , k = 1, . . . , n, mit  v ∗j =

n 

αk j vk∗ .

k=1

Es folgt δi j = δ ji =  v ∗j (vi ) =

n 

αk j vk∗ (vi ) =

k=1

n 

αk j δki = αi j ,

i, j = 1, . . . , n,

k=1

und somit  v ∗j = v ∗j für j = 1, . . . , n.

(

* ∗

2

Beispiel 11.4 Sei V = K n,1 mit der Standardbasis B = {e1 , . . . , en }. Ist e1∗ , . . . , en die zu B duale Basis von V ∗ , so gilt ei∗ (e j ) = δi j . Somit sind die Matrixdarstellungen der Basisele& ' mente von V ∗ gegeben durch ei∗ B,{1} = eiT , i = 1, . . . , n. Definition 11.5 Seien V, W zwei K -Vektorräume mit ihren jeweiligen Dualräumen V ∗ , W ∗ und sei f ∈ L(V, W). Dann heißt f ∗ : W ∗ → V ∗,

h → h ◦ f,

also f ∗ (h) = h ◦ f für alle h ∈ W ∗ , die zu f duale Abbildung. Wir beweisen nun Eigenschaften der dualen Abbildung. Lemma 11.6 Seien V, W, U drei K -Vektorräume. (1) Ist f ∈ L(V, W), so ist die duale Abbildung f ∗ linear, also f ∗ ∈ L(W ∗ , V ∗ ). (2) Sind f ∈ L(V, W) und g ∈ L(W, U), so ist (g ◦ f )∗ ∈ L(U ∗ , V ∗ ) und es gilt (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g∗. (3) Ist f ∈ L(V, W) bijektiv, so ist f ∗ ∈ L(W ∗ , V ∗ ) bijektiv und es gilt ( f ∗ )−1 = ( f −1 )∗ . Beweis (1) Seien h 1 , h 2 ∈ W ∗ , λ1 , λ2 ∈ K , dann gilt f ∗ (λ1 h 1 + λ2 h 2 ) = (λ1 h 1 + λ2 h 2 ) ◦ f = (λ1 h 1 ) ◦ f + (λ2 h 2 ) ◦ f = λ1 (h 1 ◦ f ) + λ2 (h 2 ◦ f ) = λ1 f ∗ (h 1 ) + λ2 f ∗ (h 2 ). (2) und (3) sind Übungsaufgaben.

2

Wie der folgende Satz zeigt, sind im endlichdimensionalen Fall die Konzepte der dualen Abbildung und der transponierten Matrix eng miteinander verwandt.

144

11 Linearformen und Bilinearformen

Satz 11.7 Seien V, W zwei endlichdimensionale K -Vektorräume mit Basen B1 , B2 und seien B1∗ , B2∗ die entsprechenden dualen Basen von V ∗ , W ∗ . Ist f ∈ L(V, W), so gilt ([ f ] B1 ,B2 )T = [ f ∗ ] B2∗ ,B1∗ , das heißt, die Transponierte der Matrixdarstellung von f ∈ L(V, W) bezüglich der Basen B1 , B2 ist gleich der Matrixdarstellung der dualen Abbildung f ∗ ∈ L(W ∗ , V ∗ ) bezüglich der dualen Basen B2∗ , B1∗ . ( * ∗ , B∗ = Seien B1 = {v1 , . . . , vm }, B2 = {w1 , . . . , wn } und B1∗ = v1∗ , . . . , vm 2 (Beweis * w1∗ , . . . , wn∗ die entsprechenden dualen Basen. Seien [ f ] B1 ,B2 = [ai j ] ∈ K n,m , also f (v j ) =

n 

ai j wi ,

j = 1, . . . , m,

i=1

und [ f ∗ ] B2∗ ,B1∗ = [bi j ] ∈ K m,n , also m    ∗ bi j vi∗ , f wj = ∗

j = 1, . . . , n.

i=1

Für jedes Paar (k, ) mit 1 ≤ k ≤ n und 1 ≤  ≤ m gilt dann ak =

n 

ai wk∗ (wi )

i=1 m 

 =

i=1

=

wk∗

 bik vi∗ (v ) =

 n 

 ai wi

= wk∗ ( f (v )) = f ∗ wk∗ (v )

i=1 m 

bik vi∗ (v )

i=1

= bk , wobei wir die Definition der dualen Abbildung sowie die Eigenschaften wk∗ (wi ) = δki und vi∗ (v ) = δi ausgenutzt haben. 2 Für Matrizen ergeben sich aus diesem Satz und aus Lemma 11.6 die uns bereits aus Kap. 4 bekannten Regeln (AB)T = B T A T

für A ∈ K n,m und B ∈ K m,

und (A−1 )T = (A T )−1

für A ∈ G L n (K ).

Manche Autoren benutzen wegen des engen Zusammenhangs von transponierter Matrix und dualer Abbildung auch den Begriff der transponierten linearen Abbildung anstatt den der dualen Abbildung.

11.2

Bilinearformen

145

Beispiel 11.8 Für die zwei Basen von R2,1 ,

   1 0 , v2 = , B1 = v1 = 0 2

   1 1 B2 = w1 = , w2 = , 0 1

sind die Elemente der entsprechenden dualen Basen gegeben durch  α1 → α1 + 0, α2   α1 → R, → α1 − α2 , α2

v1∗ : R2,1 → R, w1∗ : R2,1



  1 α1  → 0 + α2 , α2 2   α1 → R,  → 0 + α2 . α2

v2∗ : R2,1 → R, w2∗ : R2,1

Die Matrixdarstellungen dieser Abbildungen sind & ∗' & ' v1 B ,{1} = 1 0 , 1 & ∗' & ' w1 B ,{1} = 1 −1 ,

& ∗' & v2 B ,{1} = 0 1 & ∗' & w2 B ,{1} = 0

2

2

1 2

' '

,

1 .

Für die lineare Abbildung  f :R

2,1

→R

2,1

,

α1 α2





α1 + α2 → 3α2



gilt 

[ f ] B1 ,B2

 1 −4 = , 0 6

∗

[ f ] B2∗ ,B1∗



 1 0 = . −4 6

11.2 Bilinearformen Eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen, diesmal von Paaren von K-Vektorräumen in den Vektorraum K , sind die Bilinearformen. Diese spielen eine wichtige Rolle bei der Klassifikation von Lösungsmengen quadratischer Gleichungen (den sogenannten Quadriken) und bei der Lösung von partiellen Differenzialgleichungen. Definition 11.9 Seien V, W zwei K -Vektorräume. Eine Abbildung β : V × W → K heißt Bilinearform auf V × W, wenn (1) β(v1 + v2 , w) = β(v1 , w) + β(v2 , w), (2) β(v, w1 + w2 ) = β(v, w1 ) + β(v, w2 ), (3) β(λv, w) = β(v, λw) = λβ(v, w), für alle v, v1 , v2 ∈ V, w, w1 , w2 ∈ W und λ ∈ K gilt. Eine Bilinearform β auf V × W heißt nicht ausgeartet in der ersten Variablen, wenn aus β(v, w) = 0 für alle w ∈ W folgt, dass v = 0 ist. Analog heißt β nicht ausgeartet in der zweiten Variablen, wenn aus β(v, w) = 0 für alle v ∈ V folgt, dass w = 0 ist. Falls β in

146

11 Linearformen und Bilinearformen

beiden Variablen nicht ausgeartet ist, so nennen wir β eine nicht ausgeartete Bilinearform und die Räume V, W nennen wir ein duales Paar von Räumen oder duales Raumpaar bezüglich β. Ist V = W, so nennen wir β eine Bilinearform auf V. Eine Bilinearform β auf V heißt symmetrisch, wenn β(v, w) = β(w, v) für alle v, w ∈ V gilt. Gilt dies nicht, so nennen wir β unsymmetrisch. Beispiel 11.10 Ist A ∈ K m,n , so ist β : K m,1 × K n,1 → K ,

(v, w) → v T Aw

eine Bilinearform auf K m,1 × K n,1 , denn für alle v, v1 , v2 ∈ V, w, w1 , w2 ∈ W und λ ∈ K gelten: β(v1 + v2 , w) = (v1 + v2 )T Aw = v1T Aw + v2T Aw = β(v1 , w) + β(v2 , w), β(v, w1 + w2 ) = v T A(w1 + w2 ) = v T Aw1 + v T Aw2 = β(v, w1 ) + β(v, w2 ), β(λv, w) = (λv)T Aw = λ(v T Aw) = λβ(v, w) = v T A(λw) = β(v, λw). Diese Bilinearform β ist genau dann nicht ausgeartet, wenn n = m und A ∈ G L n (K ) gilt (vgl. Aufgabe 11.9). Beispiel 11.11 Definieren wir eine Bilinearform β auf R2,1 durch  β(x, y) =

x1 x2

T  1 1



1 1

 y1 , y2

so ist die Menge aller x ∈ R2,1 mit β(x, x) = 1 gleich der Lösungsmenge der quadratischen Gleichung x12 +2x1 x2 + x22 = 1 oder (x1 + x 2 )2 = 1, für x 1 , x2 ∈ R. Geometrisch können wir diese Lösungsmenge durch die beiden Geraden x1 + x2 = 1 und x1 + x2 = −1 im kartesischen Koordinatensystem des R2 beschreiben. Die Bilinearform β ist in beiden Variablen ausgeartet: Für  x = [1, −1]T ist β( x , y) = 0 für alle y und für  y = [1, −1]T ist β(x,  y) = 0 für alle x. Beispiel 11.12 Ist V ein K -Vektorraum, so ist β : V × V∗ → K ,

(v, f ) → f (v)

eine Bilinearform auf V × V ∗ , denn es gelten β(v1 + v2 , f ) = f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) = β(v1 , f ) + β(v2 , f ), β(v, f1 + f 2 ) = ( f 1 + f 2 )(v) = f 1 (v) + f 2 (v) = β(v, f 1 ) + β(v, f 2 ), β(λv, f ) = f (λv) = λ f (v) = λβ(v, f ) = (λ f )(v) = β(v, λ f ),

11.2

Bilinearformen

147

für alle v, v1 , v2 ∈ V, f, f1 , f 2 ∈ W und λ ∈ K . Diese Bilinearform ist nicht ausgeartet und V, V ∗ bilden somit ein duales Raumpaar bezüglich β. Für den Fall eines endlichdimensionalen Vektorraumes V soll dies in Aufgabe 11.10 gezeigt werden. Definition 11.13 Sind V, W zwei K -Vektorräume mit Basen B1 = {v1 , . . . , vm }, B2 = {w1 , . . . , wn } und ist β eine Bilinearform auf V × W, so heißt [β] B1 ×B2 = [bi j ] ∈ K m,n ,

bi j := β(vi , w j )

die Matrixdarstellung oder die darstellende Matrix von β bezüglich der Basen B1 und B2 . Man beachte, dass die darstellende Matrix einer Bilinearform β auf V × W mit dim(V) = m und dim(W) = n die Größe m × n hat. Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f ∈ L(V, W) hat hingegen die Größe n × m (vgl. Definition 10.12). B2 = {w1 , . . . , wn } Basen von V bzw. W und sind v = mSind B1 = {v1 , . . . , vm }bzw. n λ v ∈ V sowie w = μ i=1 i i j=1 j w j ∈ W, so gilt β(v, w) =

m  n 

λi β(vi , w j )μ j =  B1 (v)T [β] B1 ×B2  B2 (w),

i=1 j=1

wobei wir auf der rechten Seite die Koordinatenabbildung aus Lemma 10.15 benutzt haben.     (m) (m) (n) (n) Beispiel 11.14 Sind B1 = e1 , . . . , em bzw. B2 = e1 , . . . , en die Standardbasen von K m,1 bzw. K n,1 und ist β die Bilinearform aus Beispiel 11.10, dann ist [β] B1 ×B2 = [bi j ] mit     (m) T = e Ae(n) bi j = β ei(m) , e(n) j i j = ai j und somit gilt [β] B1 ×B2 = A ∈ K m,n . Wir wollen nun beschreiben, wie sich ein Basiswechsel auf die Matrixdarstellung einer Bilinearform auswirkt. B1 von V Satz 11.15 Seien V, W zwei endlichdimensionale K -Vektorräume mit Basen B1 ,  B2 von W. Ist β eine Bilinearform auf V × W, so gilt und B2 ,  [β] B1 ×B2 =

T  [IdV ] B1 ,  [β]  B1 ×  B1 B2 [IdW ] B2 ,  B2 .

B1 := { v1 , . . . , vm } sowie B2 := {w1 , . . . , wn } und Beweis Seien B1 := {v1 , . . . , vm },   B2 := { w1 , . . . , w n }. Wir betrachten den Basisübergang von B1 zu  B1 sowie von B2 zu  B2 , d. h. v1 , . . . , vm ] [IdV ] B1 ,  [v1 , . . . , vm ] = [ B1 ,

[w1 , . . . , wn ] = [ w1 , . . . , w n ] [IdW ] B2 ,  B2 .

148

11 Linearformen und Bilinearformen

Es gilt   vi = [ v1 , . . . , vm ] [IdV ] B1 ,  B1 ei ,

  w j = [ w1 , . . . , w n ] [IdW ] B2 ,  B2 e j ,

wobei ei und e j die entsprechenden Standardbasisvektoren von K m,1 und K n,1 sind. Sind m,m und [Id ] n,n , dann folgt für die Matrixdar[IdV ] B1 ,  W B2 ,  B1 = [ pk ] ∈ K B2 = [qk ] ∈ K m,n stellung [β] B1 ×B2 = [β(vi , w j )] ∈ K , eiT [β] B1 ×B2 e j

= β(vi , v j ) = β ⎡

 m 

pki  vk ,

k=1

n  =1

 qj w 

=

m  n 

pki β( vk , w  )qj

k=1 =1

⎤T ⎡ ⎤ p1i q1 j ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ = ⎣ ... ⎦ [β]  B2 ⎣ .. ⎦ B1 ×  pmi qn j  T   = [IdV ] B1 ,  [Id e [β] ] e    i j W B1 × B2 B1 B2 , B2  

T T [IdV ] B1 ,  [β]  = ei B1 ×  B1 B2 [IdW ] B2 ,  B2 e j , woraus die Aussage unmittelbar ersichtlich ist.

2

Ist V = W endlichdimensional, β eine Bilinearform auf V und sind B1 , B2 zwei Basen von V, dann erhalten wir den folgenden Spezialfall der Aussage des obigen Satzes:

T [β] B1 ×B1 = [IdV ] B1 ,B2 [β] B2 ×B2 [IdV ] B1 ,B2 . Die beiden darstellenden Matrizen [β] B1 ×B1 und [β] B2 ×B2 von β sind in diesem Fall kongruent, was wir wie folgt definieren. Definition 11.16 Falls für zwei Matrizen A, B ∈ K n,n eine Matrix Z ∈ G L n (K ) mit B = Z T AZ existiert, so heißen A und B kongruent. Lemma 11.17 Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge K n,n . Beweis Übungsaufgabe.

2

Lemma 11.18 Eine Bilinearform β auf einem endlichdimensionalen K -Vektorraum V ist genau dann symmetrisch, wenn [β] B×B für jede Basis B von V eine symmetrische Matrix ist. Beweis Übungsaufgabe.

2

11.3

Sesquilinearformen

149

11.3 Sesquilinearformen Wir betrachten nun noch eine spezielle Klasse von Formen auf komplexen Vektorräumen. Definition 11.19 Seien V, W zwei C-Vektorräume. Eine Abbildung s : V × W → C heißt Sesquilinearform auf V × W, wenn (1) (2) (3) (4)

s(v1 + v2 , w) = s(v1 , w) + s(v2 , w), s(λv, w) = λs(v, w), s(v, w1 + w2 ) = s(v, w1 ) + s(v, w2 ), s(v, λw) = λs(v, w),

für alle v, v1 , v2 ∈ V, w, w1 , w2 ∈ W und λ ∈ C gilt. Ist V = W, so nennen wir s eine Sesquilinearform auf V. Eine Sesquilinearform s auf V heißt hermitesch,1 wenn s(v, w) = s(w, v) für alle v, w ∈ V gilt. Das Wort „sesqui“ ist lateinisch und bedeutet „um die Häfte mehr“. Es beschreibt, dass eine Sesquilinearform s auf V × W linear in der ersten Komponente und semilinear (also nur „halb linear“) in der zweiten Komponente ist. Das folgende Resultat gibt eine Charakterisierung hermitescher Sesquilinearformen. Lemma 11.20 Eine Sesquilinearform auf dem C-Vektorraum V ist genau dann hermitesch, wenn s(v, v) ∈ R für alle v ∈ V gilt. Beweis Ist s hermitesch, so gilt insbesondere s(v, v) = s(v, v) für alle v ∈ V und somit ist s(v, v) ∈ R. Sind andererseits v, w ∈ V, dann gilt per Definition s(v + w, v + w) = s(v, v) + s(v, w) + s(w, v) + s(w, w), s(v + iw, v + iw) = s(v, v) + is(w, v) − is(v, w) + s(w, w).

(11.1) (11.2)

Aus der ersten Gleichung folgt s(v, w) + s(w, v) ∈ R (denn s(v + w, v + w), s(v, v) und s(w, w) sind per Annahme reell) und aus der zweiten Gleichung folgt analog is(w, v) − is(v, w) ∈ R. Daher gelten s(v, w) + s(w, v) = s(v, w) + s(w, v), −is(v, w) + is(w, v) = is(v, w) − is(w, v). Multiplizieren wir die zweite Gleichung mit i und addieren wir die resultierende Gleichung 2 zur ersten, so folgt s(v, w) = s(w, v), was zu zeigen war. Korollar 11.21 Für eine Sesquilinearform s auf dem C-Vektorraum V gilt 2 s(v, w) = s(v + w, v + w) + is(v + iw, v + iw) − (i + 1) (s(v, v) + s(w, w)). für alle v, w ∈ V. 1

Benannt nach Charles Hermite.

150

11 Linearformen und Bilinearformen

Beweis Die Gleichung folgt aus der Multiplikation von (11.2) mit i und der Addition des Resultats zu (11.1). 2 Die obige Formel zeigt, dass eine Sesquilinearform durch Vorgabe der Werte von s(v, v) für alle v ∈ V eindeutig festgelegt wird. Definition 11.22 Ist A = [ai j ] ∈ Cn,m , so ist die hermitesch Transponierte von A die Matrix A H := [a i j ]T ∈ Cm,n . Ist A = A H , so nennen wir A eine hermitesche Matrix. Hat eine Matrix A reelle Einträge, so gilt offensichtlich A H = A T . Ist A = [ai j ] ∈ Cn,n eine hermitesche Matrix, so gilt insbesondere aii = a ii für i = 1, . . . , n, d. h. hermitesche Matrizen haben reelle Diagonaleinträge. Für die hermitesche Transposition gelten analoge Regeln wie für die Transposition (vgl. Lemma 4.6).  ∈ Cn,m , B ∈ Cm, , λ ∈ C, dann gelten: Lemma 11.23 Seien A, A (1) (2) (3) (4)

(A H ) H = A. H .  H = AH + A (A + A) H H (λA) = λ A . (AB) H = B H A H . 2

Beweis Übungsaufgabe. Beispiel 11.24 Für A ∈ Cn,m ist die Abbildung s : Cm,1 × Cn,1 → C,

(v, w) → w H Av

eine Sesquilinearform, denn für alle v, v1 , v2 ∈ Cm,1 , w, w1 , w2 ∈ Cn,1 und λ ∈ C gilt: s(v1 + v2 , w) = w H A(v1 + v2 ) = w H Av1 + w H Av2 = s(v1 , w) + s(v2 , w), s(λv, w) = w H (A (λv)) = λ (w H Av) = λs(v, w), s(v, w1 + w2 ) = (w1 + w2 ) H Av = w1H Av + w2H Av = s(v, w1 ) + s(v, w2 ), s(v, λw) = (λw) H Av = λ(w H Av) = λs(v, w). Die Matrixdarstellung von Sesquilinearformen definieren wir analog zur Matrixdarstellung von Bilinearformen (vgl. Definition 11.13). Definition 11.25 Sind V, W zwei C-Vektorräume mit Basen B1 = {v1 , . . . , vm }, B2 = {w1 , . . . , wn } und ist s eine Sesquilinearform auf V × W, so heißt [s] B1 ×B2 = [bi j ] ∈ Cm,n ,

bi j := s(vi , w j )

die Matrixdarstellung oder die darstellende Matrix von s bezüglich der Basen B1 und B2 .

Aufgaben

151

    (m) (m) (n) (n) bzw. B2 = e1 , . . . , en die Standardbasen Beispiel 11.26 Sind B1 = e1 , . . . , em von Cm,1 bzw. Cn,1 und ist s die Sesquilinearform aus Beispiel 11.24, dann ist [s] B1 ×B2 = [bi j ] mit   H   T (m) (n) (n) (m) (n) (m) = ej Aei = e j Aei = a ji bi j = s ei , e j und somit gilt [s] B1 ×B2 = A T ∈ Cm,n .

Aufgaben (In den folgenden Aufgaben ist K stets ein beliebiger Körper.) 11.1 11.2 11.3

11.4

11.5

Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und v ∈ V. Zeigen Sie, dass f (v) = 0 für alle f ∈ V ∗ genau dann gilt, wenn v = 0 ist. Gegeben sei die Basis B = {10, t − 1, t 2 − t} des 3-dimensionalen Vektorraums R[t]≤2 . Berechnen Sie die zu B duale Basis B ∗ . ( * Sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum und sei v1∗ , . . . , vn∗ eine Basis von V ∗ . Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt genau eine Basis {v1 , . . . , vn } von V mit vi∗ (v j ) = δi j . Sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum und seien f, g ∈ V ∗ mit f = 0. Zeigen Sie, dass g = λ f für ein λ ∈ K \ {0} genau dann gilt, wenn Kern( f ) = Kern(g) ist. Kann auf die Voraussetzung f = 0 verzichtet werden? Sei V ein K -Vektorraum und sei U ein Unterraum von V. Die Menge U 0 := { f ∈ V ∗ | f (u) = 0

∀ u ∈ U}

heißt der Annihilator von U. Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) U 0 ist ein Unterraum von V ∗ . (b) Für Teilräume U1 , U2 von V gilt (U1 + U2 )0 = U10 ∩ U20 ,

(U1 ∩ U2 )0 = U10 + U20

und ist U1 ⊆ U2 , so folgt U20 ⊆ U10 . (c) Ist W ein K -Vektorraum und f ∈ L(V, W), so gilt Kern( f ∗ ) = (Bild( f ))0 . 11.6 11.7

Beweisen Sie Lemma 11.6 (2) und (3). Zeigen Sie, dass die Menge aller Bilinearformen auf V ×W zusammen mit den Operationen + : (β1 + β2 )(v, w) := β1 (v, w) + β2 (v, w), · : (λ · β)(v, w) := λ · β(v, w)

11.8

einen K -Vektorraum bildet. Sei V der R-Vektorraum der auf dem reellen Intervall [α, β] stetigen reellwertigen Funktionen. Zeigen Sie, dass

152

11 Linearformen und Bilinearformen

: β : V × V → R,

( f, g) →

α

β

f (x)g(x)d x,

eine symmetrische Bilinearform auf V ist. Ist β ausgeartet? Zeigen Sie, dass die Bilinearform β in Beispiel 11.10 genau dann nicht ausgeartet ist, wenn n = m und A ∈ G L n (K ) gilt. 11.10 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum. Zeigen Sie, dass V, V ∗ ein duales Raumpaar bezüglich der Bilinearform β in Beispiel 11.12 bilden, d. h., dass die Bilinearform β nicht ausgeartet ist. 11.11 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und seien U ⊆ V und W ⊆ V ∗ zwei Unterräume mit dim(U) = dim(W). Zeigen Sie, dass die Bilinearform 11.9

β : U × W → K,

(v, h) → h(v)

nicht ausgeartet ist, so dass U, W ein duales Raumpaar bezüglich β bilden. 11.12 Seien V, W zwei endlichdimensionale K -Vektorräume und sei β eine Bilinearform auf V × W. Seien B1 , B2 zwei beliebige Basen von V, W. (a) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (1) [β] B1 ×B2 ist nicht invertierbar. (2) β ist ausgeartet in der 2. Variablen. (3) β ist ausgeartet in der 1. Variablen. (b) Folgern Sie aus (a): β ist genau dann nicht ausgeartet ist, wenn [β] B1 ×B2 invertierbar ist. 11.13 Beweisen Sie Lemma 11.17. 11.14 Beweisen Sie Lemma 11.18. 11.15 Gegeben sind die folgenden Abbildungen von C3,1 × C3,1 nach C: (a) (b) (c) (d)

β1 (x, y) = 3x1 x 1 + 3y1 y 1 + x 2 y 3 − x 3 y 2 , β2 (x, y) = x1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 , β3 (x, y) = x1 y2 + x 2 y3 + x 3 y1 , β4 (x, y) = 3x1 y 1 + x1 y 2 + x 2 y 1 + 2ix2 y 3 − 2ix3 y 2 + x 3 y 3 .

Welche davon sind Bilinearformen oder Sesquilinearformen auf C3,1 ? Testen Sie, ob die Bilinearformen symmetrisch bzw. die Sesquilinearformen hermitesch sind und geben Sie die jeweiligen Matrixdarstellungen bezüglich der kanonischen Basis B1 = {e1 , e2 , e3 } und der Basis B2 = {e1 , e1 + ie2 , e2 + ie3 } an. 11.16 Beweisen Sie Lemma 11.23. 11.17 Sei A ∈ Cn,n eine hermitesche Matrix. Zeigen Sie, dass die Abbildung s : Cn,1 × Cn,1 ,

(v, w) → w H Av

eine hermitesche Sesquilinearform auf Cn,1 ist. 11.18 Sei V ein endlichdimensionaler C-Vektorraum, sei B eine Basis von V und sei s eine Sesquilinearform auf V. Zeigen Sie, dass s genau dann hermitesch ist, wenn [s] B×B eine hermitesche Matrix ist.

Kapitel 12

Euklidische und unitäre Vektorräume

In diesem Kapitel erweitern wir die bisher betrachte Theorie der Vektorräume und linearen Abbildungen. Wir werden Konzepte betrachten, die Verallgemeinerungen vertrauter Begriffe aus der elementaren Geometrie des R2 und R3 , wie zum Beispiel Längen und Winkel, auf allgemeine reelle und komplexe Vektorräume erlauben.

12.1 Skalarprodukte und Normen Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist der Begriff des Skalarprodukts. Definition 12.1 Sei V ein K -Vektorraum, wobei entweder K = R oder K = C gelten soll. Eine Abbildung ·, · : V × V → K ,

(v, w) → v, w

heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt auf V, wenn gilt: (1) Ist K = R, so ist ·, · eine symmetrische Bilinearform. Ist K = C, so ist ·, · eine hermitesche Sesquilinearform. (2) ·, · ist positiv definit, d. h. es gilt v, v ≥ 0 für alle v ∈ V, mit Gleichheit genau dann, wenn v = 0 ist. Ein R-Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum und ein C-Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt unitärer Vektorraum. Man beachte, dass v, v sowohl in einem euklidischen als auch in einem unitären Vektorraum eine nichtnegative reelle Zahl ist. Wir bemerken zudem, dass ein Unterraum U eines euklidischen bzw. unitären Vektorraumes V wieder ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum ist, wenn man das Skalarprodukt des Raumes V auf den Raum U einschränkt. Beispiel 12.2 (1) Auf dem Vektorraum Rn,1 ist v, w := w T v ein Skalarprodukt, welches das Standardskalarprodukt des Rn,1 genannt wird. J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_12,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

153

154

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

(2) Auf dem Vektorraum Cn,1 ist v, w := w H v ein Skalarprodukt, welches das Standardskalarprodukt des Cn,1 genannt wird. (3) Für K = R und K = C ist A, B := Spur(B H A) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum K n,m . (4) Auf dem Vektorraum der auf dem reellen Intervall [α, β] stetigen reellwertigen Funktionen ist

:β f (x)g(x)d x

 f, g := α

ein Skalarprodukt. Wir werden im Folgenden zeigen, wie die euklidische bzw. unitäre Struktur eines Vektorraums genutzt werden kann, um in diesem Raum geometrische Konzepte wie die Länge von Vektoren und den Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Zur Motivation eines allgemeinen Begriffs der Länge benutzen wir den Betrag von reellen bzw. komplexen Zahlen. In beiden Fällen hat die Abbildung x → |x| von R bzw. C nach R die folgenden Eigenschaften: (1) |λx| = |λ| · |x| für alle λ, x ∈ R bzw. C. (2) |x| ≥ 0 für alle x ∈ R bzw. C mit Gleichheit genau dann, wenn x = 0 ist. (3) |x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y ∈ R bzw. C. Diese Eigenschaften können wir für einen allgemeinen reellen oder komplexen Vektorraum wie folgt verallgemeinern. Definition 12.3 Sei V ein K -Vektorraum, wobei entweder K = R oder K = C gelten soll. Eine Abbildung ·

: V → R,

v → v

heißt Norm auf V, wenn für alle v, w ∈ V und λ ∈ K gilt: (1) (2) (3)

λv = |λ| · v . v ≥ 0, mit Gleichheit genau dann, wenn v = 0 ist. v + w ≤ v + w (Dreiecksungleichung).

Ein K -Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt normierter Raum. Beispiel 12.4 (1) Ist ·, · das Standardskalarprodukt des Rn,1 , dann ist durch

12.1

Skalarprodukte und Normen

155

v := v, v1/2 = (v T v)1/2 eine Norm definiert, die wir die euklidische Norm des Rn,1 nennen. (2) Ist ·, · das Standardskalarprodukt des Cn,1 , dann ist durch v := v, v1/2 = (v H v)1/2 eine Norm definiert, die wir die euklidische Norm des Cn,1 nennen. Diese Bezeichnung ist etwas inkonsistent, hat sich aber gegen den alternativen Begriff der „unitären Norm“ weitgehend durchgesetzt. (3) Für K = R und K = C ist

A

F

:= (Spur(A H A))1/2

⎛ ⎞1/2 m n   =⎝ |ai j |2 ⎠ . i=1 j=1

eine Norm auf K n,m , die wir die Frobenius-Norm1 des K n,m nennen. Für m = 1 ist die Frobenius-Norm gleich der euklidischen Norm des K n,1 . Allgemeiner entspricht die Frobenius-Norm des K n,m der euklidischen Norm des K nm,1 (oder K nm ), wenn wir diese Vektorräume durch Isomorphie miteinander identifizieren. (4) Ist V der R-Vektorraum der auf dem reellen Intervall [α, β] stetigen reellwertigen Funktionen, so ist

f :=  f, f 1/2

⎛ β ⎞1/2 : = ⎝ ( f (x))2 d x ⎠ α

eine Norm auf V. (5) Sei K = R oder K = C und sei p ∈ R, p ≥ 1, gegeben. Dann ist für v = [ν1 , . . . , νn ]T ∈ K n,1 durch v

p

:=

 n 

1/ p |νi |

p

i=1

eine Norm auf K n,1 gegeben, die wir die p-Norm des K n,1 nennen. Für p = 2 erhalten wir die euklidische Norm des K n,1 . Für diese Norm lassen wir die 2 oft weg und schreiben · anstatt · 2 (wie in (1) und (2) oben). Mit Hilfe dieser Norm definieren wir die Matrix- p-Norm auf K n,m durch A

1

p

Benannt nach Ferdinand Georg Frobenius.

:=

sup v∈K m,1 \{0}

Av p . v p

156

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

Hierbei wird die p-Norm des K m,1 im Nenner und die p-Norm des K n,1 im Zähler benutzt. Die Bezeichnung sup steht für das aus der Analysis bekannte Supremum, d. h. die kleinste obere Schranke. Man kann zeigen, dass dieses Supremum von einem Vektor v angenommen wird und somit kann man in der Definition der Matrix p-Norm auch max anstatt sup schreiben. In den obigen Beispielen (1)–(4) haben die Normen die Form v = v, v1/2 , wobei ·, · ein gegebenes Skalarprodukt ist. Wir werden nun beweisen, dass die Abbildung v → v, v1/2 stets eine Norm definiert. Zum Beweis benötigen wir den folgenden Satz. Satz 12.5 Ist V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, ·, so gilt |v, w|2 ≤ v, v · w, w

für alle v, w ∈ V,

(12.1)

mit Gleichheit genau dann, wenn v, w linear abhängig sind. Beweis Die Ungleichung ist trivial für w = 0. Sei daher w = 0 und sei λ :=

v, w , w, w

dann gilt 0 ≤ v − λw, v − λw = v, v − λv, w − λw, v − λ(−λ)w, w v, w |v, w|2 v, w v, w + w, w v, w − w, w w, w w, w2 |v, w|2 , = v, v − w, w = v, v −

woraus (12.1) folgt. (Wenn λ reell ist, gilt hier natürlich λ = λ.) Sind nun v, w linear abhängig, dann ist v = λw für einen Skalar λ und es folgt |v, w|2 = |λw, w|2 = |λw, w|2 = |λ|2 |w, w|2 = λλ w, w w, w = λw, λw w, w = v, v w, w. Andererseits gelte |v, w|2 = v, vw, w. Ist w = 0, so sind v, w linear abhängig. Ist w = 0, so setzen wir λ wie oben und erhalten dann v − λw, v − λw = v, v −

|v, w|2 = 0. w, w

Da das Skalarprodukt positiv definit ist, muss v − λw = 0 gelten, also sind v, w linear abhängig. 2

12.2

Orthogonalität

157

Die Ungleichung (12.1) wird die Cauchy-Schwarz-Ungleichung2 genannt. Sie ist ein wichtiges Werkzeug der Analysis, insbesondere bei der Abschätzung von Approximations- und Interpolationsfehlern. Korollar 12.6 Ist V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, ·, so ist ·

: V → R,

v → v := v, v1/2

eine Norm auf V. Beweis Wir haben die drei definierenden Eigenschaften der Norm nachzuweisen. Offensichtlich gilt v ≥ 0, mit Gleichheit genau dann, wenn v = 0 ist, denn ·, · ist positiv definit. Sind v ∈ V und λ ∈ K (wobei im euklidischen Fall K = R und im unitären Fall K = C ist), dann folgt λv

2

= λv, λv = λλv, v = |λ|2 v, v,

also λv = |λ| v . Zum Nachweis der Dreiecksungleichung benutzen wir die CauchySchwarz-Ungleichung und die Tatsache, dass Re(z) ≤ |z| für jede komplexe Zahl z gilt. Sind v, w ∈ V, dann gilt v+w

2

= v + w, v + w = v, v + v, w + w, v + w, w = v, v + v, w + v, w + w, w = v

2

+ 2 Re(v, w) + w

≤ v

2

+ 2 |v, w| + w

2

≤ v

2

+2 v

2

w + w

2

= ( v + w )2 , also v + w ≤ v + w .

2

Die durch v = v, v1/2 gegebene Norm nennen wir die dem Skalarprodukt zugeordnete Norm.

12.2 Orthogonalität Wir werden nun das Skalarprodukt benutzen, um den Begriff des Winkels zwischen Vektoren zu definieren. Zur Motivation betrachten wir den euklidischen Vektorraum R2,1 mit dem Standardskalarprodukt und der zugeordneten euklidischen Norm v = v, v1/2 . Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt 2

Benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) und dem deutschen Mathematiker Hermann Amandus Schwarz (1843–1921).

158

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

−1≤

v, w ≤ 1, v w

für alle v, w ∈ R2,1 \ {0}.

(12.2)

Sind v, w ∈ R2,1 \ {0}, so ist der Winkel zwischen v und w die eindeutig bestimmte reelle Zahl ϕ ∈ [0, π ) mit cos(ϕ) =

v, w . v w

Die Vektoren v und w stehen senkrecht aufeinander (wir sagen auch sie sind orthogonal), wenn ϕ = π/2 bzw. cos(ϕ) = 0 gilt. Somit sind v und w genau dann orthogonal, wenn v, w = 0 ist. Eine elementare Rechnung zeigt den Kosinus-Satz für Dreiecke: v−w

2

= v − w, v − w = v, v − 2v, w + w, w = v

2

+ w

2

−2 v

w cos(ϕ).

Bildlich erhalten wir:

w− v

v v w

·

w

Sind v und w orthogonal, d. h. gilt v, w = 0, so ergibt sich aus dem Kosinus-Satz der Satz des Pythagoras: v − w 2 = v 2 + w 2 . Die Konzepte des Winkels und der Orthogonalität lassen sich wie folgt verallgemeinern. Definition 12.7 Sei V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, ·. (1) Im euklidischen Fall ist der Winkel zwischen zwei Vektoren v, w ∈ V \ {0} die eindeutig bestimmte reelle Zahl ϕ ∈ [0, π ) mit cos(ϕ) =

v, w . v w

(2) Zwei Vektoren v, w ∈ V heißen orthogonal bezüglich des gegebenen Skalarprodukts ·, ·, wenn v, w = 0 gilt. (3) Eine Basis {v1 , . . . , vn } von V heißt Orthogonalbasis, wenn

12.2

Orthogonalität

159

vi , v j  = 0,

i, j = 1, . . . , n und i = j,

gilt. Falls zusätzlich vi = 1,

i = 1, . . . , n,

gilt, wobei v = v, v1/2 die dem Skalarprodukt zugeordnete Norm ist, so heißt {v1 , . . . , vn } eine Orthonormalbasis von V. (Für eine Orthonormalbasis gilt also vi , v j  = δi j .) Wir zeigen nun, dass jeder endlichdimensionale euklidische oder unitäre Vektorraum eine Orthonormalbasis besitzt. Satz 12.8 Sei V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit der Basis {v1 , . . . , vn }. Dann gibt es eine Orthonormalbasis {u 1 , . . . , u n } von V, für die span{u 1 , . . . , u k } = span{v1 , . . . , vk },

k = 1, . . . , n,

gilt. Beweis Wir führen den Beweis induktiv über dim(V) = n. Ist n = 1, so setzen wir u 1 := v1 −1 v1 . Dann gilt u 1 = 1 und {u 1 } ist eine Orthonormalbasis von V, für die span{u 1 } = span{v1 } gilt. Die Aussage gelte nun für ein n ≥ 1. Sei dim(V) = n + 1 und sei {v1 , . . . , vn+1 } eine Basis von V. Dann ist Vn := span{v1 , . . . , vn } ein n-dimensionaler Unterraum von V. Nach Voraussetzung gibt es eine Orthonormalbasis {u 1 , . . . , u n } von Vn mit span{u 1 , . . . , u k } = span{v1 , . . . , vk } für k = 1, . . . , n. Wir definieren nun  u n+1 := vn+1 −

n 

vn+1 , u k u k ,

u n+1 := || u n+1 ||−1 u n+1 .

k=1

/ Vn = span{u 1 , . . . , u n } folgt  u n+1 = 0 und aus dem Austauschlemma (LemAus vn+1 ∈ ma 9.17) ergibt sich span{u 1 , . . . , u n+1 } = span{v1 , . . . , vn+1 }. Für j = 1, . . . , n gilt −1

u n+1 , u j  =   u n+1 =  u n+1

 u n+1 , u j  

−1

vn+1 , u j  −

n 

 vn+1 , u k  u k , u j 

k=1

=  u n+1 = 0.

−1

u n+1 Die Identität u n+1 , u n+1  = 

vn+1 , u j  − vn+1 , u j 

−2  u n+1 ,  u n+1 

= 1 beendet den Beweis.

2

Der obige Beweis zeigt, wie man eine gegebene Basis {v1 , . . . , vn } „orthonormalisiert“, d. h. in eine Orthonormalbasis {u 1 , . . . , u n } mit

160

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

span{u 1 , . . . , u k } = span{v1 , . . . , vk },

k = 1, . . . , n,

überführt. Dieses sogenannte Gram-Schmidt-Verfahren3 können wir algorithmisch wie folgt formulieren: Algorithmus 12.9 Gegeben sei eine Basis {v1 , . . . , vn } von V. (1) Setze u 1 := v1 −1 v1 . (2) Für j = 1, . . . , n − 1 setze  u j+1 := v j+1 − u j+1 u j+1 := 

j 

v j+1 , u k u k ,

k=1 −1

 u j+1 .

Eine leichte Umstellung und Zusammenfassung aller Schritte im Gram-SchmidtVerfahren liefert ⎞ ⎛ v1 v2 , u 1  . . . vn , u 1  ⎟ ⎜ .. .. ⎟ ⎜ . .  u2 ⎟. (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u 1 , u 2 , . . . , u n ) ⎜ ⎟ ⎜ ..    ⎝   ⎠ . v , u  n n−1 ∈V n ∈V n  un Die obere Dreiecksmatrix auf der rechten Seite ist invertierbar, denn alle ihre Diagonalelemente sind ungleich Null. Wir haben somit das folgende Resultat bewiesen. Satz 12.10 Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum mit einer gegebenen Basis B1 , dann liefert das Gram-Schmidt-Verfahren angewandt auf B1 eine Orthonormalbasis B2 von V, so dass [IdV ] B1 ,B2 eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist. Betrachten wir einen m-dimensionalen Unterraum von Rn,1 oder Cn,1 mit dem Standardskalarprodukt ·, · und schreiben wir die m Vektoren einer Orthonormalbasis {q1 , . . . , qm } als Spalten in eine Matrix, Q := [q1 , . . . , qm ], so gilt im reellen Fall , & + ' & ' Q T Q = qiT q j = q j , qi  = δ ji = Im und im komplexen Fall gilt analog , & + ' & ' Q H Q = qiH q j = q j , qi  = δ ji = Im .

3

Benannt nach dem dänischen Versicherungsmathematiker Jørgen Pedersen Gram (1850–1916) und dem deutschen Mathematiker Erhard Schmidt (1876–1959).

12.2

Orthogonalität

161

Gilt andererseits Q T Q = Im bzw. Q H Q = Im für eine Matrix Q ∈ Rn,m bzw. Q ∈ Cn,m , so bilden die m Spalten von Q eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarprodukts) eines m-dimensionalen Unterraums von Rn,1 bzw. Cn,1 . Eine „Matrix-Version“ von Satz 12.10 läßt sich nun wie folgt formulieren. Korollar 12.11 Seien v1 , . . . , vm ∈ K n,1 , wobei entweder K = R oder K = C gelten soll, linear unabhängige Vektoren. Dann gibt es eine Matrix Q ∈ K n,m deren m Spalten orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts des K n,1 sind (d. h. es gilt Q T Q = Im für K = R oder Q H Q = Im für K = C) und eine obere Dreiecksmatrix R ∈ G L m (K ) mit [v1 , . . . , vm ] = Q R.

(12.3)

Die Faktorisierung (12.3) heißt die Q R-Zerlegung der Matrix [v1 , . . . , vm ]. Diese Zerlegung spielt in der Numerischen Mathematik eine wichtige Rolle. Von besonderer Bedeutung in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, dass die Multiplikation mit einer Matrix, die orthonormale Spalten bezüglich des Standardskalarproduktes hat, die euklidische Norm eines Vektors nicht verändert. Genauer gilt das folgende Resultat. Lemma 12.12 Hat die Matrix Q ∈ K n,m , wobei entweder K = R oder K = C gelten soll, orthonormale Spalten bezüglich des Standardskalarproduktes des K n,1 , so gilt v = Qv für alle v ∈ K m,1 . (Hier bezeichnet · auf der linken bzw. rechten Seite die euklidische Norm des K m,1 bzw. K n,1 .) Beweis Im Fall K = R gilt v

2

= v, v = v T v = v T (Q T Q)v = Qv, Qv = Qv

2

und im Fall K = C gilt analog v

2

= v, v = v H v = v H (Q H Q)v = Qv, Qv = Qv 2 .

2

Wir führen nun noch zwei wichtige Klassen von quadratischen Matrizen ein. Definition 12.13 (1) Eine Matrix Q ∈ Rn,n , deren Spalten eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes des Rn,1 bilden, heißt orthogonale Matrix. (2) Eine Matrix Q ∈ Cn,n , deren Spalten eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes des Cn,1 bilden, heißt unitäre Matrix. Eine Matrix Q = [q1 , . . . , qn ] ∈ Rn,n ist somit genau dann orthogonal, wenn , & + ' & ' Q T Q = qiT q j = q j , qi  = δ ji = In gilt. Insbesondere folgt, dass eine orthogonale Matrix Q invertierbar ist mit Q −1 = Q T . Die Gleichung Q Q T = In bedeutet, dass die n Zeilen von Q eine Orthonormalbasis von R1,n bilden (bezüglich des Skalarproduktes v, w:= vw T ).

162

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

Analog ist eine unitäre Matrix Q ∈ Cn,n invertierbar und es gilt Q H Q = In = Q Q H , also Q −1 = Q H . Die n Zeilen von Q bilden eine Orthonormalbasis von C1,n . Lemma 12.14 Die Mengen O(n) der orthogonalen bzw. U(n) der unitären (n × n)-Matrizen bilden Untergruppen von G L n (R) bzw. G L n (C). Beweis Wir betrachten nur die Menge O(n); der Beweis für U(n) ist analog. Die Einheitsmatrix In ist orthogonal, d. h. In ∈ O(n) = ∅. Da jede orthogonale Matrix invertierbar ist, gilt O(n) ⊂ G L n (R). Ist Q ∈ O(n), so ist auch Q T = Q −1 ∈ O(n), denn es gilt (Q T )T Q T = Q Q T = In . Sind schließlich Q 1 , Q 2 ∈ O(n), dann folgt (Q 1 Q 2 )T (Q 1 Q 2 ) = Q 2T (Q 1T Q 1 )Q 2 = Q 2T Q 2 = In , also gilt Q 1 Q 2 ∈ O(n).

2

Beispiel 12.15 In vielen Anwendungen führen Messungen oder Stichproben auf eine Datenmenge, die durch Tupel (τi , μi ) ∈ R2 , i = 1, . . . , m, repräsentiert ist. Hierbei sind τ1 < · · · < τm die (paarweise verschiedenen) Messpunkte und μ1 , . . . , μm die entsprechenden Messwerte. Um die gegebene Datenmenge durch ein einfaches Modell zu approximieren, kann man versuchen, ein Polynom mit kleinem Grad zu konstruieren, dass sich der Punktmenge (τi , μi ), i = 1, . . . , m, möglichst genau annähert. Der einfachste Fall ist die Approximation der Punkte durch ein (reelles) Polynom vom Grad 1. Geometrisch entspricht dies der Konstruktion einer Gerade im R2 , die einen möglichst kleinem Abstand zu den gegebenen Punkten hat (vgl. das folgende Bild). Hierbei gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Abstand zu messen. Im Folgenden werden wir eine davon näher beschreiben und das Gram-Schmidt-Verfahren bzw. die Q R-Zerlegung zur Konstruktion einer entsprechenden Gerade benutzen. Im Bereich der Statistik ist das beschriebene Verfahren unter dem Namen lineare Regression bekannt.

Ein reelles Polynom vom Grad 1 hat die allgemeine Form p = αt + β. Gesucht sind Koeffizienten α, β ∈ R mit p(τi ) = ατi + β ≈ μi ,

i = 1, . . . , m.

12.2

Orthogonalität

163

Mit der Hilfe von Matrizen können wir dies wie folgt schreiben: ⎡

τ1 ⎢ .. ⎣ .

τm

⎤ ⎤ ⎡ 1   μ1 .. ⎥ α ≈ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ .⎦ β 1 μm

bzw.

  α [v1 , v2 ] ≈ y. β

Wie oben erwähnt, gibt es verschiedene Möglichkeiten für die Interpretation des Zeichens „≈“. Das heißt, es gibt verschiedene Normen, in denen man den Abstand zwischen den gegebenen Messwerten μi und den Werten des Polynoms an den Messpunkten, d. h. den Werten p(τi ), ermitteln kann. Hier benutzen wir die euklidische Norm · , und wir betrachten das Minimierungsproblem ; ;   ; ; α ;. , v ] − y min ; [v 1 2 ; ; β α,β∈R Die Vektoren v1 , v2 ∈ Rm,1 sind linear unabhängig, denn die Einträge von v1 sind paarweise verschieden, während alle Einträge von v2 gleich sind. Sei [v1 , v2 ] = [q1 , q2 ]R die Q R-Zerlegung. Wir ergänzen die Vektoren q1 , q2 ∈ Rm,1 zu einer Orthonormalbasis {q1 , q2 , q3 , . . . , qm } des Rm,1 . Dann ist Q = [q1 , . . . , qm ] ∈ Rm,m eine orthogonale Matrix und es folgt ; ; ; ;     ; ; ; ; α α ; ; ; − y ; = min ; [q1 , q2 ]R − y; min ; [v1 , v2 ] ; β β α,β∈R α,β∈R ;  ;   ; ; R α ; = min ; Q − y ; ; 0m−2,2 β α,β∈R ;  ;   ; ; R α T ; y Q = min ; − Q ; ; 0m−2,2 β α,β∈R ;⎡   ⎤ ⎡ T ⎤; ; q1 y ; ; R α ; ;⎢ ⎥ ; ⎢ β ⎥ ⎢ q2T y ⎥ ;⎢ ; ⎥ ;⎢ 0 ⎥ ⎢ q T y ⎥; = min ;⎢ ⎥ − ⎢ 3 ⎥; . ⎥; . ⎥ ⎢ α,β∈R ;⎢ ;⎣ .. ⎦ ⎣ ... ⎦; ; ; ; 0 qT y ; m

Hier haben ausgenutzt, dass Q Q T = Im und Qv = v für alle v ∈ Rm,1 gilt. Die obere Dreiecksmatrix R ist invertierbar und somit wird das Minimierungsproblem gelöst durch  T     α −1 q1 y = R .  β q2T y Unter Ausnutzung der Definition der euklidischen Norm kann man die Minimierungseigen schreiben als schaft des Polynoms  p :=  αt + β

164

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

; ;2    m ; ; α ; [v1 , v2 ]  ; = p (τi ) − μi )2 − y ( ; ;  β i=1

 = min

α,β∈R

m 

 2

((ατi + β) − μi )

.

i=1

Da für das Polynom  p die Summe der quadrierten Abstände zwischen den Messwerten μi und den entsprechenden Werten  p (τi ) minimal ist, wird dieses Polynom auch als kleinste Quadrate Approximation (engl. least squares approximation) der Messwerte bezeichnet. Wir betrachten noch ein konkretes Beispiel. In den vier Quartalen eines Jahres erzielt ein Unternehmen Gewinne von 10, 8, 9, 11 Millionen Euro. Es soll der Gewinn im letzten Quartal des folgenden Jahres geschätzt werden unter der Vermutung, dass der Gewinn linear wächst, sich also wie eine Gerade verhält.

? 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Die gegebenen Daten führen auf das das Approximationsproblem ⎡

1 ⎢2 ⎢ ⎣3 4

⎡ ⎤ ⎤ 1   10 ⎢ 8⎥ α 1⎥ ⎥ ⎥ ≈⎢ ⎣ 9⎦ 1⎦ β 1 11

bzw.

  α [v1 , v2 ] ≈ y. β

Die numerische Berechnung der Q R-Zerlegung von [v1 , v2 ] führt auf   √  α 30  = β 0 

√ −1 1 3 √30 1 6 3 

=R −1

√1 30 √2 6

√2 30 √1 6

√3 30



0

⎡

⎤ 10   √4 ⎢ ⎥ 30 ⎢ 8 ⎥ = 0.4 . 8.5 − √1 ⎣ 9 ⎦ 6  11 !

=[q1 ,q2 ]T

Um den Gewinn im letzten Quartal des folgenden Jahres zu schätzen, berechnen wir  p (8) = 11.7. Es wird somit ein Gewinn von 11.7 Millionen Euro erwartet.

12.2

Orthogonalität

165

Die MATLAB-Minute Bei der Entwicklung der Firmengewinne in Beispiel 12.15 könnte man auf die Idee kommen, dass die Gewinne nicht linear (wie eine Gerade) sondern quadratisch (wie ein quadratisches Polynom) wachsen. Bestimmen Sie analog zum Vorgehen in Beit +  γ , das das kleinste Quadrate Minimierungsspiel 12.15 ein Polynom  p = αt 2 + β problem 4  i=1

p (τi ) − μi ) = min ( 2

α,β,γ ∈R

 4  2    2 ατi + βτi + γ − μi i=1

löst. Benutzen Sie das MATLAB-Kommando qr, um die Q R-Zerlegung zu berechnen und berechnen Sie den geschätzten Gewinn im letzten Quartal des Folgejahres.

Wir wollen nun die Eigenschaften von Orthonormalbasen genauer untersuchen. Lemma 12.16 Ist V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, · und der Orthonormalbasis {u 1 , . . . , u n }, so gilt v=

n 

v, u i u i

i=1

für jedes v ∈ V. Beweis Für jedes v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte  n Koordinaten λ1 , . . . , λn mit v = n λ u . Für jedes j = 1, . . . , n folgt v, u  = 2 i i j i=1 i=1 λi u i , u j  = λ j . Die Koordinaten v, u i , i = 1, . . . , n, von v bezüglich einer Orthonormalbasis 4 {u 1 , . . . , u n } werden auch n die Fourier-Koeffizienten von v bezüglich dieser Basis genannt. Die Darstellung v = i=1 v, u i u i heißt die (abstrakte) Fourier-Entwicklung von v in der gegebenen Orthonormalbasis. Korollar 12.17 Ist V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, · und der Orthonormalbasis {u 1 , . . . , u n }, so gelten: n n (1) v, w = i=1 v, u i u i , w = i=1 v, u i w, u i  für alle v, w ∈ V (Identität von 5 ). Parseval  n (2) v, v = i=1 |v, u i |2 für alle v ∈ V (Identität von Bessel6 ).

4

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), französischer Mathematiker und Physiker.

5

Marc-Antoine Parseval (1755–1836), französischer Mathematiker.

6

Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), deutscher Astronom und Mathematiker.

166

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

Beweis (1) Es gilt v =

n

i=1 v, u i u i

v, w =

< n 

und daher =

v, u i u i , w =

i=1

n 

v, u i u i , w =

i=1

n 

v, u i w, u i .

i=1

Die Aussage (2) ist ein Spezialfall von (1) für v = w.

2

Ist V ein euklidischer Vektorraum und v ∈ V ein normierter Vektor, d. h. gilt v = 1, und ist ϕi der Winkel zwischen v und dem Basisvektor u i , i = 1, . . . , n, so folgt aus der Identität von Bessel die Gleichung 1= v

2

= v, v =

n 

|v, u i |2 =

i=1

n 

cos2 (ϕi ).

i=1

Nach Bessels Identität gilt zudem im euklidischen und im unitären Fall für jeden Vektor v ∈ V die Ungleichung v

2

= v, v =

n 

|v, u i |2 ≥ max |v, u i |2 ,

i=1

1≤i≤n

wobei · die dem Skalarprodukt zugeordnete Norm ist. Der Betrag jeder Koordinate des Vektors v bezüglich einer Orthonormalbasis von V ist somit beschränkt durch die Norm von v. Für eine allgemeine Basis von V gilt dies nicht. Beispiel 12.18 Ist zum Beispiel V = R2,1 mit dem Standardskalarprodukt und der euklidischen Norm, dann ist für jedes reelle ε = 0 die Menge

   1 1 , 0 ε eine Basis von V. Für jeden Vektor v = [ν1 , ν2 ]T gilt dann      ν2  1 ν2 1 . + v = ν1 − 0 ε ε ε Sind |ν1 |, |ν2 | „moderat“ und ist |ε| sehr klein, so sind |ν1 − ν2 /ε| und |ν2 /ε| sehr groß. In Algorithmen der numerischen Mathematik kann eine solche Situation zu Problemen (zum Beispiel durch Rundungsfehler) führen, die durch die Verwendung von Orthonormalbasen oft vermieden werden können. Definition 12.19 Sei V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, · und sei U ⊆ V ein Unterraum. Dann heißt

12.3

Das Vektor-Produkt im R3

167

U ⊥ := { v ∈ V | v, u = 0 für alle u ∈ U } das orthogonale Komplement von U (in V). Lemma 12.20 Sei V ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, · und sei U ⊆ V ein Unterraum. Dann ist U ⊥ ein Unterraum von V. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Lemma 12.21 Ist V ein n-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum, und ist U ⊆ V ein m-dimensionaler Unterraum, so gilt dim(U ⊥ ) = n − m und V = U ⊕ U ⊥ . Beweis Es gilt m ≤ n (vgl. Lemma 9.28). Ist m = n, so gilt U = V, also U ⊥ = V ⊥ = { v ∈ V | v, u = 0 für alle u ∈ V } = {0} und die Aussage ist trivial. Sei daher m < n und sei {u 1 , . . . , u m } eine Orthonormalbasis von U. Wir ergänzen diese mit Hilfe des Basisergänzungssatzes zu einer Basis von V und wenden das Gram-Schmidt-Verfahren an, um eine Orthonormalbasis {u 1 , . . . , u m , u m+1 , . . . , u n } von V zu erhalten. Dann gilt span{u m+1 , . . . , u n } ⊆ U ⊥ und somit V = U + U ⊥ . Sei w ∈ U ∩ U ⊥ , dann gilt w, w = 0, also w = 0, denn das Skalarprodukt ist positiv definit. Es folgt U ∩ U ⊥ = {0} und daher V = U ⊕ U ⊥ und dim(U ⊥ ) = n − m (vgl. die Dimensionsformel für Unterräume in Satz 9.30). 2

12.3 Das Vektor-Produkt im R3 Wir betrachten in diesem Abschnitt ein weiteres wichtiges Produkt auf dem Vektorraum R3 , das eine große Bedeutung in der Physik und der Elektrotechnik hat. Definition 12.22 Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt im R3 ist die Abbildung R3 × R3 → R3 ,

(u, v) → u × v,

mit u × v := (μ2 ν3 − μ3 ν2 , μ3 ν1 − μ1 ν3 , μ1 ν2 − μ2 ν1 ) für u = (μ1 , μ2 , μ3 ), v = (ν1 , ν2 , ν3 ) ∈ R3 . Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Vektorprodukt zweier Elemente des Vektorraums R3 also kein Skalar, d. h. keine reelle Zahl, sondern wieder ein Vektor des R3 . Mit Hilfe der Standardbasisvektoren des R3 , e1 = (1, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0),

können wir das Vektorprodukt schreiben als

e3 = (0, 0, 1)

168

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

 u × v = det

μ2 μ3

ν2 ν3

 e1 − det

 μ1 μ3

ν1 ν3



 e2 + det

μ1 μ2

ν1 ν2

 e3 .

Lemma 12.23 Das Vektorprodukt ist bezüglich beider Komponenten linear und für alle u, v ∈ R3 gilt: (1) u × v = −v × u, d. h. das Vektorprodukt ist alternierend. (2) u × v 2 = u 2 · v 2 − u, v2 , wobei ·, · das Standardskalarprodukt und euklidische Norm auf R3 sind. (3) u, u × v = v, u × v = 0.

·

die

2

Beweis Übungsaufgabe.

Aus (2) und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (12.1) folgt, dass u × v = 0 genau dann gilt, wenn u, v linear abhängig sind. Aus (3) folgt λu + μv, u × w = λu, u × w + μv, u × w = 0, für beliebige λ, μ ∈ R. Sind u, v linear unabhängig, so steht also das Produkt u × v senkrecht auf der von u und v aufgespannten Ebene im R3 durch den Nullpunkt, d. h. u × v ∈ {λu + μv | λ, μ ∈ R}⊥ . Anschaulich gibt es hierfür zwei Möglichkeiten:

u v v

v

”

u Rechte-Hand-Regel“

oder

u

u v

Um dies genauer zu untersuchen, muss man den Begriff der „Orientierung“ einführen, worauf wir hier verzichten wollen. Anschaulich entspricht die Lage der drei Vektoren u, v, u × v in der Abbildung links dem gewöhnlichen „rechtsorientierten“ Koordinatensystem des R3 . Man spricht in diesem Fall von der „Rechte-Hand-Regel“, denn gewöhnlich identifiziert man die Standardbasisvektoren e1 , e2 , e3 mit Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. Ist ϕ ∈ [0, π ) der Winkel zwischen den Vektoren u und v, so gilt u, v = u

v cos(ϕ)

(vgl. Definition 12.7) und wir können Lemma 12.23 (2) schreiben als

Aufgaben

169

u×v

2

= u

2

v

2

− u

2

v

2

cos2 (ϕ) = u

2

v

2

sin2 (ϕ),

d. h. u × v = u v sin(ϕ). Eine geometrische Interpretation dieser Gleichung ist: Die Länge des Vektorprodukts von u und v ist gleich dem Flächeninhalt des von u, v aufgespannten Parallelogramms.

Mit μ = v sin(ϕ) ergibt sich die Fläche des von u, v aufgespannten Parallelogramms als  μ 2 ν + ( u − ν) μ = νμ + u μ − νμ = u μ = u 2

v sin(ϕ).

Aufgaben 12.1 12.2 12.3 12.4

12.5 12.6

Sei V ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum. Zeigen Sie, dass es ein Skalarprodukt auf V gibt. Zeigen Sie, dass die in Beispiel 12.2 definierten Abbildungen Skalarprodukte auf den jeweiligen Vektorräumen sind. Sei ·, · ein beliebiges Skalarprodukt auf Rn,1 . Zeigen Sie, dass es eine Matrix A ∈ Rn,n mit v, w = w T Av für alle v, w ∈ Rn,1 gibt. Sei V ein endlichdimensionaler R- oder C-Vektorraum. Seien s1 und s2 Skalarprodukte auf V mit folgender Eigenschaft: Sind v, w ∈ V mit s1 (v, w) = 0, so folgt s2 (v, w) = 0. Zeigen oder widerlegen Sie: Es existiert ein (reeller) Skalar λ > 0 mit s1 (v, w) = λs2 (v, w) für alle v, w ∈ V. Zeigen Sie, dass die in Beispiel 12.4 definierten Abbildungen Normen auf den jeweiligen Vektorräumen sind. Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei · die dem Skalarprodukt auf V zugeordnete Norm. Zeigen Sie, dass · die Parallelogrammgleichung v+w

12.7 12.8

2

+ v−w

2

= 2( v

2

+ w 2)

für alle v, w ∈ V erfüllt. Gibt es ein Skalarprodukt ·, · auf Cn,1 , so dass die 1-Norm auf Cn,1 (vgl. (5) im Beispiel 12.4) die diesem Skalarprodukt zugeordnete Norm ist? Zeigen Sie, dass die Ungleichung

170

12 Euklidische und unitäre Vektorräume

 n 

2 αi βi

i=1

 ≤

n 

γi αi

2  n 2  βi

i=1

i=1

γi

für beliebige reelle Zahlen α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn und positive reelle Zahlen γ1 , . . . , γn gilt. 12.9 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, ·. Weiter sei f : V → V eine Abbildung, für die  f (v), f (w) = v, w für alle v, w ∈ V gilt. Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist. 12.10 Sei V ein unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) mit  f (v), v = 0 für alle v ∈ V. Zeigen oder widerlegen Sie, dass f = 0 gilt. Gilt die gleiche Aussage auch für euklidische Vektorräume? 12.11 Sei D = diag(d1 , . . . , dn ) mit d1 , . . . , dn > 0. Zeigen Sie, dass durch v, w = w T Dv ein Skalarprodukt auf Rn,1 gegeben ist. Untersuchen Sie, welche Eigenschaften eines Skalarprodukts verletzt sind, wenn eines oder mehrere der di gleich Null sind oder wenn alle di von Null verschieden sind, jedoch nicht alle das gleiche Vorzeichen haben. 12.12 Orthonormalisieren Sie die folgende Basis des Vektorraums C2,2 bezüglich des Skalarprodukts A, B = Spur(B H A):



1 0

 0 , 0

 1 0

 0 , 1



1 0

 1 , 1

 1 1

1 1

.

12.13 Sei Q ∈ Rn,n eine orthogonale oder Q ∈ Cn,n eine unitäre Matrix. Welche Werte kann dann det(Q) haben? 12.14 Sei u ∈ Rn,1 \ {0} und sei H (u) = In − 2

1 uT u

uu T ∈ Rn,n .

Zeigen Sie, dass die n Spalten von H (u) eine Orthonormalbasis von Rn,1 bezüglich des Standardskalarprodukts bilden. Matrizen dieser Form heißen HouseholderMatrizen.7 Wir werden sie in Kap. 18 genauer studieren (siehe Beispiel 18.15). 12.15 Beweisen Sie Lemma 12.20. 12.16 Sei ⎡ 1 ⎤ √ 0 √1 2 2 ⎢ ⎥ [v1 , v2 , v3 ] = ⎣− √1 0 √1 ⎦ ∈ R3,3 . 2

0

2

0

0

Untersuchen Sie die Vektoren v1 , v2 , v3 auf Orthonormalität bezüglich des Standardskalarprodukts und berechnen Sie das orthogonale Komplement von Span{v1 , v2 , v3 }. 12.17 Beweisen Sie Lemma 12.23.

7

Alston S. Householder (1904–1993), amerikanischer Pionier der Numerischen Linearen Algebra.

Kapitel 13

Adjungierte lineare Abbildungen

Ein für viele Anwendungen (inbesondere in der Optimierung) wichtiges Konzept der Linearen Algebra ist die zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Bilinearform adjungierte Abbildung. Diese wollen wir in diesem Kapitel betrachten.

13.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Nachdem wir im vorherigen Kapitel ausschließlich euklidische und unitäre Vektorräume und somit R- und C-Vektorräume betrachtet haben, seien nun V und W wieder zwei Vektorräume über einem allgemeinen Körper K . Sei β eine Bilinearform auf V × W. Für jedes fest gegebene v ∈ V ist die Abbildung βv : W → K ,

w → β(v, w)

eine Linearform auf W. Jedem v ∈ V kann somit ein βv ∈ W ∗ zugeordnet werden, welches die Abbildung β (1) : V → W ∗ ,

v → βv

(13.1)

w  → βw ,

(13.2)

definiert. Analog können wir die Abbildung β (2) : W → V ∗ ,

wobei βw : V → K mit v → β(v, w) für jedes gegebene w ∈ W definiert ist. Lemma 13.1 Die in (13.1) and (13.2) definierten Abbildungen β (1) und β (2) sind linear, also β (1) ∈ L(V, W ∗ ) und β (2) ∈ L(W, V ∗ ). Ist dim(V) = dim(W) < ∞ und ist β nicht ausgeartet (vgl. Definition 11.9), so sind β (1) und β (2) bijektiv, und damit Isomorphismen. Beweis Wir zeigen die Aussage nur für die Abbildung β (1) ; der Beweis für β (2) ist analog. Wir zeigen zunächst die Linearität. Seien dazu v1 , v2 ∈ V und λ1 , λ2 ∈ K . Für jedes w ∈ W gilt dann J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_13,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

171

172

13 Adjungierte lineare Abbildungen

β (1) (λ1 v1 + λ2 v2 )(w) = β(λ1 v1 + λ2 v2 , w) = λ1 β(v1 , w) + λ2 β(v2 , w) = λ1 β (1) (v1 )(w) + λ2 β (1) (v2 )(w)

= λ1 β (1) (v1 ) + λ2 β (1) (v2 ) (w), also β (1) (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 β (1) (v1 ) + λ2 β (1) (v2 ) und daher β (1) ∈ L(V, W ∗ ). Seien nun dim(V) = dim(W) < ∞ und sei β nicht ausgeartet. Wir zeigen, dass β (1) ∈ L(V, W ∗ ) injektiv ist. Nach (5) in Lemma 10.7 gilt dies genau dann, wenn Kern(β (1) ) = {0} ist. Ist v ∈ Kern(β (1) ), dann gilt β (1) (v) = βv = 0 ∈ W ∗ , also βv (w) = β(v, w) = 0

für alle w ∈ W.

Da β nicht ausgeartet ist, folgt v = 0. Aus dim V = dim W und dim W = dim W ∗ folgt nun dim V = dim W ∗ . Somit folgt aus der Injektivität von β (1) die Surjektivität, also ist β (1) bijektiv. 2 Wir kommen nun zur Existenz der sogenannten adjungierten Abbildungen. Satz 13.2 Seien V, W zwei K -Vektorräume mit dim(V) = dim(W) < ∞ und sei β eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V × W. (1) Für jede Abbildung f ∈ L(V, V) gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung g ∈ L(W, W) mit β( f (v), w) = β(v, g(w))

für alle v ∈ V und w ∈ W,

die wir die Rechts-Adjungierte von f nennen. (2) Für jede Abbildung h ∈ L(W, W) gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung k ∈ L(V, V) mit β(v, h(w)) = β(k(v), w)

für alle v ∈ V und w ∈ W,

die wir die Links-Adjungierte von h nennen. Beweis Wir zeigen lediglich (1); der Beweis von (2) ist analog. Sei V ∗ der Dualraum von V, f ∗ ∈ L(V ∗ , V ∗ ) die zu f duale Abbildung und β (2) ∈ L(W, V ∗ ) wie in (13.2) definiert. Die Abbildung β (2) ist bijektiv, denn β ist nicht ausgeartet (vgl. Lemma 13.1). Definiere nun g := (β (2) )−1 ◦ f ∗ ◦ β (2) ∈ L(W, W).

13.1

Grundlegende Definitionen und Eigenschaften

173

Für alle v ∈ V und w ∈ W gilt dann β(v, g(w)) = β(v, ((β (2) )−1 ◦ f ∗ ◦ β (2) )(w))

= β (2) ((β (2) )−1 ◦ f ∗ ◦ β (2) )(w) (v)

= β (2) (β (2) )−1 ( f ∗ (β (2) (w))) (v)

= β (2) ◦ (β (2) )−1 ◦ β (2) (w) ◦ f ) (v) = β (2) (w)( f (v)) = β( f (v), w). Wir haben dabei benutzt, dass für die adjungierte Abbildung f ∗ (β (2) (w)) = β (2) (w) ◦ f gilt. Nun ist noch die Eindeutigkeit von g zu zeigen. Sei  g ∈ L(W, W) mit β(v,  g (w)) = β( f (v), w) für alle v ∈ V und w ∈ W. Dann gilt β(v,  g (w)) = β(v, g(w)) und es folgt β(v, ( g − g)(w)) = 0 für alle v ∈ V und w ∈ W. Da β nicht ausgeartet in der zweiten Variablen ist, muss nun ( g − g)(w) = 0 für alle w ∈ W gelten, woraus sich g =  g ergibt. 2 Beispiel 13.3 Sei V = W = K n,1 und β(v, w) = w T Bv mit einer Matrix B ∈ G L n (K ). Wir betrachten die lineare Abbildung f : V → V, v → Fv, mit einer Matrix F ∈ K n,n und die lineare Abbildung h : W → W, w → H w, mit einer Matrix H ∈ K n,n . Wir erhalten βv : W → K ,

w → w T (Bv),

β (1) : V → W ∗ ,

v → (Bv)T ,

β (2) : W → V ∗ ,

w → w T B,

wobei wir die isomorphen Vektorräume W ∗ und K 1,n bzw. V ∗ und K 1,n miteinander identifizieren. Ist g ∈ L(W, W) die Rechtsadjungierte von f , so gilt β( f (v), w) = w T B f (v) = w T B Fv = β(v, g(w)) = g(w)T Bv für alle v ∈ V und w ∈ W. Wenn wir die lineare Abbildung g durch die Multiplikation mit einer Matrix G ∈ K n,n darstellen, also g(w) = Gw, so ergibt sich, dass w T B Fv = w T G T Bv für alle v, w ∈ K n,1 gelten muss. Also muss B F = G T B sein. Da B invertierbar ist, ist die eindeutige Rechtsadjungierte gegeben durch G = (B F B −1 )T = B −T F T B T . Analog gilt für die Linksadjungierte k ∈ L(V, V) von h die Gleichung β(v, h(w)) = (h(w))T Bv = w T H T Bv = β(k(v), w) = w T Bk(v) für alle v ∈ V und w ∈ W. Mit k(v) = K v für eine Matrix K ∈ K n,n ergibt sich H T B = B K und damit K = B −1 H T B. Die Bilinearform β ist genau dann symmetrisch, wenn B = B T ist. In diesem Fall gilt G = B −1 F T B und K = B −1 H B.

174

13 Adjungierte lineare Abbildungen

Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum und β eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V, so gibt es nach dem obigen Satz zu jeder Abbildung f ∈ L(V, V) eine eindeutig bestimmte Rechts-Adjungierte g und eine eindeutig bestimmte Links-Adjungierte k, so dass β( f (v), w) = β(v, g(w))

und

β(v, f (w)) = β(k(v), w)

(13.3)

für alle v, w ∈ V gilt. Ist β nun symmetrisch, d. h. gilt β(v, w) = β(w, v) für alle v, w ∈ V, so folgt aus (13.3) dass β(v, g(w)) = β( f (v), w) = β(w, f (v)) = β(k(w), v) = β(v, k(w)). Somit gilt β(v, (g − k)(w)) = 0 für alle v, w ∈ V, also g = k, denn β ist nicht ausgeartet. Wir haben damit das folgende Ergebnis gezeigt. Korollar 13.4 Ist β eine symmetrische und nicht ausgeartete Bilinearform auf dem endlichdimensionalen K -Vektorraum V, so gibt es zu jeder Abbildung f ∈ L(V, V) eine eindeutig bestimmte Abbildung g ∈ L(V, V) mit β( f (v), w) = β(v, g(w))

und

β(v, f (w)) = β(g(v), w)

für alle v, w ∈ V. Wir haben bereits in Kap. 12 gesehen, dass ein Skalarprodukt ·, · auf einem euklidischen Vektorraum V eine symmetrische und nicht ausgeartete Bilinearform ist. Somit ergibt sich das nächste Korollar. Korollar 13.5 Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, ·, so gibt es zu jeder Abbildung f ∈ L(V, V) eine eindeutig bestimmte Abbildung f ad ∈ L(V, V) für die  f (v), w = v, f ad (w) und

v, f (w) =  f ad (v), w

für alle v, w ∈ V gilt. Wir nennen die Abbildung f ad in Korollar 13.5 die adjungierte Abbildung von f bezüglich ·, ·. Beispiel 13.6 Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R3,1 mit dem Skalarprodukt v, w = w T Dv,

und die lineare Abbildung

mit

⎡ 1 D = ⎣0 0

0 2 0

⎤ 0 0⎦ 1

13.1

Grundlegende Definitionen und Eigenschaften

175

⎡

f : R3,1 → R3,1 ,

v → Fv,

mit

1 F = ⎣1 2

⎤ 2 1⎦ . 0

2 0 0

Für alle v, w ∈ R3,1 gilt dann  f (v), w = w T D Fv = w T D F D −1 Dv = (D −T F T D T w)T Dv = v, f ad (w) und damit ⎡

1 v → D −1 F T Dv = ⎣1 2

f ad : R3,1 → R3,1 ,

2 0 2

⎤ 2 0⎦ v, 0

wobei wir ausgenutzt haben, dass D symmetrisch ist. Wir werden nun zeigen, dass es auch in einem endlichdimensionalen unitären Vektorraum zu jeder linearen Abbildung eine eindeutig bestimmte adjungierte Abbildung gibt. Dies können wir jedoch nicht unmittelbar aus Korollar 13.4 folgern, denn ein Skalarprodukt ·, · auf einem C-Vektorraum ist keine symmetrische Bilinearform, sondern eine hermitesche Sesqulinearform. Zum Nachweis der Existenz der adjungierten Abbildung im unitären Fall konstruieren wir diese explizit. Die Konstruktion ist auch für einen euklidischen Vektorraum gültig. Sei V ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, · und sei {u 1 , . . . , u n } eine Orthonormalbasis von V. Für eine gegebene Abbildung f ∈ L(V, V) definieren wir die Abbildung g : V → V,

v →

n 

v, f (u i )u i .

i=1

Sind v, w ∈ V und λ, μ ∈ C, dann gilt g(λv + μw) =

n 

λv + μw, f (u i )u i =

i=1

n 

λv, f (u i )u i + μv, f (u i )u i i=1

= λg(v) + μg(w). Somit ist g ∈ L(V, V). Sei nun v = < v, g(w) =

n 

λi u i ,

i=1

=  f (v), w.

n  j=1

n

i=1 λi u i

∈ V und w ∈ V, dann gilt

= w, f (u j )u j =

n  i=1

λi w, f (u i ) =

n  i=1

λi  f (u i ), w

176

13 Adjungierte lineare Abbildungen

Zudem gilt v, f (w) =  f (w), v = w, g(v) = g(v), w für alle v, w ∈ V. Ist  g ∈ L(V, V) mit  f (v), w = v,  g (w) für alle v, w ∈ V, so folgt wieder g =  g , denn das Skalarprodukt ist positiv definit. Analog zu Korollar 13.5 können wir somit das folgende Resultat formulieren. Korollar 13.7 Ist V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, ·, so gibt es zu jeder Abbildung f ∈ L(V, V) eine eindeutig bestimmte Abbildung f ad ∈ L(V, V) für die  f (v), w = v, f ad (w) und

v, f (w) =  f ad (v), w

für alle v, w ∈ V gilt. Analog zum euklidischen Fall nennen wir die Abbildung f ad in Korollar 13.7 die adjungierte Abbildung von f bezüglich ·, ·. Beispiel 13.8 Wir betrachten den unitären Vektorraum C3,1 mit dem Skalarprodukt ⎡

v, w = w Dv, H

mit

⎤ 1 0 0 D = ⎣0 2 0⎦ 0 0 1

und die lineare Abbildung ⎡

f : C3,1 → C3,1 ,

v → Fv,

mit

⎤ 1 2i 2 F = ⎣ i 0 −i⎦ . 2 0 3i

Für alle v, w ∈ C3,1 gilt dann  f (v), w = w H D Fv = w H D F D −1 Dv = (D −H F H D H w) H Dv = v, f ad (w) und damit ⎡

f ad : C3,1 → C3,1 ,

⎤ 1 −2i 2 0 0⎦ v, v → D −1 F H Dv = ⎣−i 2 2i −3i

wobei wir ausgenutzt haben, dass D reell und symmetrisch ist. Wir untersuchen nun die Eigenschaften der adjungierten Abbildung.

13.2

Adjungierte Endomorphismen und Matrizen

177

Lemma 13.9 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. (1) Sind f 1 , f 2 ∈ L(V, V) sowie λ1 , λ2 ∈ K (wobei K = R im euklidischen bzw. K = C im unitären Fall ist), dann gilt (λ1 f 1 + λ2 f 2 )ad = λ1 f 1ad + λ2 f 2ad . Im euklidischen Fall ist die Abbildung f → f ad somit linear, im unitären Fall ist sie „semilinear“ (linear bezüglich der Addition, aber nicht linear bezüglich der skalaren Multiplikation). (2) Es gilt (IdV )ad = IdV . (3) Für jedes f ∈ L(V, V) gilt ( f ad )ad = f . (4) Sind f 1 , f 2 ∈ L(V, V), so gilt ( f 2 ◦ f 1 )ad = f 1ad ◦ f 2ad . Beweis (1) Für alle v, w ∈ V und λ1 , λ2 ∈ K gilt (λ1 f 1 + λ2 f 2 )(v), w = λ1  f 1 (v), w + λ2  f 2 (v), w > > ? ? = λ1 v, f 1ad (w) + λ2 v, f 2ad (w) ? > = v, λ1 f 1ad (w) + λ2 f 2ad (w)  ? >  = v, λ1 f 1ad + λ2 f 2ad (w) , und somit ist (λ1 f 1 + λ2 f 2 )ad = λ1 f 1ad + λ2 f 2ad . (2) Für alle v, w ∈ V gilt IdV (v), w = v, w = v, IdV (w) und somit ist (IdV )ad = IdV . (3) Für alle v, w ∈ V gilt  f ad (v), w = w, f ad (v) =  f (w), v = v, f (w) und somit ist ( f ad )ad = f . (4) Für alle v, w ∈ V gilt > ? > ?  ( f 2 ◦ f 1 )(v), w =  f 2 ( f 1 (v)), w = f 1 (v), f 2ad (w) = v, f 1ad f 2ad (w)  ? >  = v, f 1ad ◦ f 2ad (w) und somit ist ( f 2 ◦ f 1 )ad = f 1ad ◦ f 2ad .

2

13.2 Adjungierte Endomorphismen und Matrizen Wir wollen nun eine Beziehung zwischen den Matrixdarstellungen (bezüglich einer gegebenen Orthonormalbasis) einer Abbildung f und ihrer adjungierten Abbildung f ad herstellen. Sei zunächst V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ·, · und sei f ∈ L(V, V). Sei B = {u 1 , . . . , u n } eine Orthonormalbasis von V und sei [ f ] B,B = [ai j ] ∈ Rn,n , also

178

13 Adjungierte lineare Abbildungen

f (u j ) =

n 

ak j u k ,

j = 1, . . . , n.

k=1

Dann folgt <  f (u j ), u i  =

n 

= ak j u k , u i = ai j ,

i, j = 1, . . . , n.

k=1

Ist [ f ad ] B,B = [bi j ] ∈ Rn,n , also f ad (u j ) =

n 

bk j u k ,

j = 1, . . . , n,

k=1

dann folgt aufgrund der Definition von f ad und der Symmetrie des Skalarproduktes bi j =  f ad (u j ), u i  = u j , f (u i ) =  f (u i ), u j  = a ji . & ' & ' T Somit gilt f B,B = f ad B,B . Ist V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, so erhalten wir analog bi j =  f ad (u j ), u i  = u j , f (u i ) =  f (u i ), u j  = a ji , also [ f ] B,B = ([ f ad ] B,B ) H . Für eine reelle Matrix sind ihre Transponierte und ihre hermitesch Transponierte gleich. Daher können wir das folgende Resultat formulieren. Satz 13.10 Sind V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum mit einer Orthonormalbasis B und f ∈ L(V, V ), so gilt & ad ' H & ' f . f B,B = B,B Eine besondere Rolle in vielen Anwendungen, insbesondere in der Optimierung, spielt die folgende Klasse von Endomorphismen. Definition 13.11 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Eine Abbildung f ∈ L(V, V) heißt selbstadjungiert, wenn f = f ad gilt. Die trivialen Beispiele von selbstadjungierten Abbildungen in L(V, V) sind f = 0 und IdV . Korollar 13.12 (1) Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, f ∈ L(V, V) selbstadjungiert und B eine Orthonormalbasis von V, so ist [ f ] B,B eine symmetrische Matrix. (2) Ist V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, f ∈ L(V, V) selbstadjungiert und B eine Orthonormalbasis von V, so ist [ f ] B,B eine hermitesche Matrix.

13.2

Adjungierte Endomorphismen und Matrizen

179

Die selbstadjungierten Endomorphismen bilden selbst wieder einen Vektorraum. Hierbei muss man jedoch genau aufpassen, über welchem Körper dieser Vektorraum definiert ist. Insbesondere bildet die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen auf einem unitären Vektorraum V keinen C-Vektorraum. Ist f = f ad ∈ L(V, V), dann gilt im Allgemeinen (i · f )ad = −i · f ad = i · f ad (vgl. (1) im Lemma 13.9). Lemma 13.13 (1) Ist V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, dann bildet die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen, also { f ∈ L(V, V) | f = f ad } einen R-Vektorraum der Dimension n(n + 1)/2. (2) Ist V ein n-dimensionaler unitärer Vektorraum, dann bildet die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen, also { f ∈ L(V, V) | f = f ad } einen R-Vektorraum der Dimension n 2 . 2

Beweis Übungsaufgabe.

Während also die hermiteschen Matrizen aus Cn,n keinen C-Vektorraum bilden, wird ein solcher gebildet durch die komplex-symmetrischen Matrizen, d. h. die Matrizen M ∈ Cn,n mit M = M T . Dieser C-Vektorraum hat die Dimension n(n + 1)/2 (vgl. Aufgabe 13.10). Diese Dimensionsaussagen werden wir in Kap. 15 im Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra benutzten. Satz 13.14 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum, dann gelten für alle f ∈ L(V, V): (1) Kern( f ad ) = Bild( f )⊥ . (2) Kern( f ) = Bild( f ad )⊥ . Beweis (1) Sei w ∈ Kern( f ad ), dann gilt f ad (w) = 0 und somit 0 = v, f ad (w) =  f (v), w, für alle v ∈ V, also w ∈ Bild( f )⊥ . Ist andererseits w ∈ Bild( f )⊥ , so gilt 0 =  f (v), w = v, f ad (w), ad für alle v ∈ V. Da ·, · nicht ausgeartet ist, muss f (w) = 0 sein und es folgt w ∈ Kern f ad .

ad

ad

⊥ = f folgt Kern( f ) = Kern f ad = Bild f ad , wobei wir bei der (2) Aus f ad letzten Gleichheit die Aussage (1) benutzt haben. 2

Beispiel 13.15 Wir betrachten den unitären Vektorraum C3,1 mit dem Standardskalarprodukt und die lineare Abbildung

180

13 Adjungierte lineare Abbildungen

⎡

f : C3,1 → C3,1 ,

v → Fv,

1 F = ⎣i 1

mit

i 0 0

⎤ i 0⎦ . 0

Dann ist ⎡

f ad : C3,1 → C3,1 ,

v → F H v,

FH

mit

1 = ⎣−i −i

⎤ −i 1 0 0⎦ . 0 0



Die Matrizen F und F H haben den Rang 2. Somit sind Kern( f ) und Kern f ad eindimensional. Eine einfache Rechnung zeigt ⎧⎡ ⎤⎫ 0 ⎬ ⎨ Kern( f ) = Span ⎣ 1 ⎦ , ⎩ ⎭ −1



Kern f

ad

⎧⎡ ⎤⎫ ⎨ 0 ⎬ = Span ⎣ 1 ⎦ . ⎩ ⎭ i

Aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen folgt, dass Bild( f ) und Bild f ad jeweils zweidimensional sind. An den Matrizen F und F H kann man ablesen, dass ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫ 1 ⎬ ⎨ 1 ad = Span ⎣ −i ⎦ , ⎣ 0 ⎦ Bild f ⎩ ⎭ −i 0

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫ 1 ⎬ ⎨ 1 Bild( f ) = Span ⎣ i ⎦ , ⎣ 0 ⎦ , ⎩ ⎭ 1 0



⊥ gilt. Die Gleichungen Kern f ad = Bild( f )⊥ und Kern( f ) = Bild f ad verifiziert man in diesem Beispiel leicht durch Nachrechnen.

Aufgaben 13.1

Sei β(v, w) = w T Bv mit B = diag(1, −1) für v, w ∈ R2,1 definiert. Betrachten Sie die lineare Abbildung f : R2,1 → R2,1 , v → w = Fv mit F ∈ R2,2 und die lineare Abbildung h : R2,1 → R2,1 , w → v = H w mit H ∈ R2,2 , wobei  1 F= 0

13.2

 2 , 1

 1 H= 1

 0 . 1

Berechnen Sie βv , β (1) und β (2) (siehe (13.1)–(13.2)) sowie die Rechtsadjungierte von f und die Linksadjungierte von h bezüglich β. Sei v, w = w T Bv mit  B=

 2 1 . 1 1

Aufgaben

181

(a) Zeigen Sie, dass v, w = w T Bv ein Skalarprodukt auf R2,1 ist. (b) Berechnen Sie die zu f : R2,1 → R2,1 , v → Fv mit F ∈ R2,2 bezüglich ·, · adjungierte Abbildung f ad . (c) Untersuchen Sie, welche Eigenschaften für F gelten müssen, damit f selbstadjungiert bezüglich ·, · ist. Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und f ∈ L(V, V). Zeigen Sie, dass Kern( f ad ◦ f ) = Kern( f ) und Bild( f ad ◦ f ) = Bild( f ad ) gilt. 13.4 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum, U ⊆ V ein Unterraum und f ∈ L(V, V) mit f (U) ⊆ U. Zeigen Sie, dass dann f ad (U ⊥ ) ⊆ U ⊥ gilt. 13.5 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum, f ∈ L(V, V) und v ∈ V. Zeigen Sie: Es gilt v ∈ Bild( f ) genau dann, wenn v ⊥ Kern( f ad ) ist. („Matrix-Version“: Das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ Cn,n und b ∈ Cn,1 hat eine Lösung, d. h. es gilt L (A, b) = ∅, genau dann, wenn b ⊥ L (A H , 0) ist.) 13.6 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und seien f, g ∈ L(V, V) selbstadjungiert. Zeigen Sie, dass f ◦ g genau dann selbstadjungiert ist, wenn f und g kommutieren, d. h. wenn f ◦ g = g ◦ f gilt. 13.7 Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und f ∈ L(V, V). Zeigen Sie, dass f genau dann selbstadjungiert ist, wenn  f (v), v ∈ R für alle v ∈ V gilt. 13.8 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) eine Projektion, d. h. es gilt f 2 = f . Zeigen Sie, dass f genau dann selbstadjungiert ist, wenn Kern( f ) ⊥ Bild( f ) gilt (d. h. für alle v ∈ Kern( f ) und w ∈ Bild( f ) gilt v, w = 0). 13.9 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und seien f, g ∈ L(V, V). Zeigen Sie: Ist g ad ◦ f = 0 ∈ L(V, V), dann folgt v, w = 0 für alle v ∈ Bild( f ) und w ∈ Bild(g). 13.10 Beweisen Sie Lemma 13.13 und zeigen Sie, dass die Menge der komplexsymmetrischen (n × n)-Matrizen einen C-Vektorraum der Dimension n(n + 1)/2 bildet. 13.11 Für zwei Polynome p, q ∈ R[t]≤n sei 13.3

:  p, q :=

1

−1

p(t)q(t) dt.

(a) Zeigen Sie, dass ·, · ein Skalarprodukt auf R[t]≤n definiert. (b) Betrachten Sie die Abbildung f : R[t]≤n → R[t]≤n ,

p=

n  i=0

αi t → i

n 

iαi t i−1

i=1

und berechnen Sie f ad , Kern( f ad ), Bild( f ), Kern( f ad )⊥ und Bild( f )⊥ .

Kapitel 14

Eigenwerte von Endomorphismen

In Kap. 8 haben wir uns bereits mit Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen A ∈ K n,n beschäftigt (vgl. Definition 8.9). Diese Begriffe werden wir in diesem Kapitel auf Endomorphismen verallgemeinern und wir werden sie näher untersuchen.

14.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Wir gehen zunächst von einem beliebigen Vektorraum aus, werden uns aber später auf den endlichdimensionalen Fall konzentrieren. Definition 14.1 Sei V ein K -Vektorraum und sei f ∈ L(V, V). Falls für ein v ∈ V, v = 0, und ein λ ∈ K die Gleichung f (v) = λv gilt, so nennen wir λ einen Eigenwert von f und v einen zum Eigenwert λ gehörenden Eigenvektor von f . Per Definition kann v = 0 kein Eigenvektor von f ∈ L(V, V) sein. Ein Eigenwert λ = 0 ∈ K kann jedoch vorkommen. Die Gleichung f (v) = λv ist äquivalent mit 0 = λv − f (v) = (λ IdV − f )(v). Somit ist λ ∈ K genau dann ein Eigenwert von f , wenn Kern(λ IdV − f ) = {0} ist. Wir wissen bereits, dass der Kern eines Endomorphismus auf V einen Unterraum von V bildet (vgl. Lemma 10.7). Dies gilt insbesondere für den Raum Kern(λ IdV − f ). Definition 14.2 Sind V ein K -Vektorraum und λ ∈ K ein Eigenwert von f ∈ L(V, V), so heißt der Unterraum V f (λ) := Kern(λ IdV − f ) J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_14,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

183

184

14 Eigenwerte von Endomorphismen

der Eigenraum von f zum Eigenwert λ und g(λ, f ) := dim(V f (λ)) heißt die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ von f . Per Definition wird der Eigenraum V f (λ) von allen Eigenvektoren von f zum Eigenwert λ aufgespannt. Sind v, w ∈ V f (λ) und α, μ ∈ K , so gilt αv + μw ∈ V f (λ). Ist dim(V f (λ)) < ∞, so ist diese Dimension, also die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ von f , gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren von f zum Eigenwert λ. Eigenräume von Endomorphismen werden wir mit Hilfe des Konzepts der f -Invarianz besonders untersuchen. Definition 14.3 Sei V ein K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und U ⊆ V ein Unterraum. Gilt f (U) ⊆ U, also f (u) ∈ U für alle u ∈ U, so heißt U ein f -invarianter Unterraum von V. Lemma 14.4 Sind V ein K -Vektorraum und λ ∈ K ein Eigenwert von f ∈ L(V, V), so ist V f (λ) ein f -invarianter Unterraum von V. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Wir stellen nun für den Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums V einen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten eines Endomorphismus f und den Eigenwerten der Matrixdarstellung von f her. Lemma 14.5 Sind V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) λ ∈ K ist ein Eigenwert von f . (2) Ist B eine Basis von V, so ist λ ∈ K ein Eigenwert der Matrix [ f ] B,B . Beweis Sei λ ∈ K ein Eigenwert von f und B = {v1 , . . . , vn } eine beliebige Basis von V. Ist v ∈ V ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ, dann gilt f (v) = λv und es gibt  eindeutig bestimmte Koordinaten μ1 , . . . , μn ∈ K , die nicht alle gleich Null sind, mit v = nj=1 μ j v j . Mit Hilfe der Definition der Matrixdarstellung [ f ] B,B folgt dann ⎤⎞ ⎡ ⎤⎞ ⎛ μ1 μ1 ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜ (v1 , . . . , vn ) ⎝λ ⎣ ... ⎦⎠ = λv = f (v) = (v1 , . . . , vn ) ⎝[ f ] B,B ⎣ ... ⎦⎠ . μn μn ⎛ ⎡

Somit gilt ⎡ [ f ] B,B

⎤ ⎡ ⎤ μ1 μ1 ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ = λ ⎣ . ⎦, μn μn

und λ ∈ K ist ein Eigenwert von [ f ] B,B .

⎤ μ1 ⎢ .. ⎥ n,1 ⎣ . ⎦ ∈ K \ {0} ⎡

μn

(14.1)

14.1

Grundlegende Definitionen und Eigenschaften

185

Gilt andererseits  (14.1) für eine gegebene (beliebige) Basis B = {v1 , . . . , vn } von V, so setzen wir v := nj=1 μ j v j . Dann ist v = 0 und es gilt f (v) = λv, also ist λ ein Eigenwert von f . 2 Aus Lemma 14.5 folgt, dass die Eigenwerte von f die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix [ f ] B,B sind (vgl. Satz 8.10). Diese Aussage gilt jedoch im Allgemeinen  nicht für eine Matrixdarstellung der Form [ f ] B,  B , wobei B und B zwei verschiedene Basen von V sind. Man überzeugt sich leicht davon, dass die Matrizen [ f ] B,  B = [IdV ] B,  B [ f ] B,B

[ f ] B,B

und

im Allgemeinen nicht die gleichen Eigenwerte haben. Allerdings sind für zwei verschiedene Basen B und  B von V die Matrizen [ f ] B,B und [ f ] B,  B ähnlich (vgl. Korollar 10.18 und die folgende Diskussion). Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom (vgl. Satz 8.8) und daher ist das folgende Konzept wohldefiniert. Definition 14.6 Sind V ein n-dimensionaler K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und B eine Basis von V, dann nennen wir P f := det(t In − [ f ] B,B ) ∈ K [t] das charakteristische Polynom von f . Beispiel 14.7 Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2,1 mit den Basen B=

   1 0 , , 0 1

 B=



  1 1 , . −1 1

Dann hat der Endomorphismus  f : R2,1 → R2,1 ,

v → Fv,

F=

mit

0 1 1 0



die Matrixdarstellungen [ f ] B,B

 0 = 1

 1 , 0

[ f ] B,  B =

1 2 1 2

1 2 − 12

! .

Es gilt P f = det(t I2 − [ f ] B,B ) = t 2 − 1 und somit hat f die Eigenwerte −1 und 1. Ande2 rerseits ist das charakteristische Polynom von [ f ] B,  B gleich t , d. h. diese Matrix hat nur den Eigenwert 0. Das charakteristische Polynom P f ist stets ein monisches Polynom mit Grad(P f ) = n = dim(V).

186

14 Eigenwerte von Endomorphismen

Wie wir oben erläutert haben, ist P f unabhängig von der Wahl der Basis von V. Ein Skalar λ ∈ K ist genau dann ein Eigenwert von f , wenn λ eine Nullstelle von P f ist, d. h. wenn P f (λ) = 0 gilt. Wie die Diskussion nach Satz 8.10 zeigt, gibt es auf reellen Vektorräumen (mit Dimension mindestens 2) Endomorphismen, die keine Eigenwerte besitzen. Ist λ ∈ K ein Eigenwert von f , so ist P f = (t − λ) · q für ein monisches Polynom q ∈ K [t], d. h. der Linearfaktor t − λ teilt das Polynom P f (dies werden wir im folgenden Kap. 15 formal beweisen). Ist auch q(λ) = 0, so gilt q = (t − λ) ·  q für ein monisches q . Diese Konstruktion führen wir fort, bis Polynom  q ∈ K [t] und somit P f = (t − λ)2 ·  P f = (t − λ)d · g für ein g ∈ K [t] mit g(λ) = 0 gilt, was auf die folgende Definition führt. Definition 14.8 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und sei λ ∈ K ein Eigenwert von f . Hat das charakteristische Polynom die Form P f = (t − λ)d · g für ein g ∈ K [t] mit g(λ) = 0, so nennen wir d die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ von f . Wir bezeichnen diese mit a(λ, f ). Sind λ1 , . . . , λk die paarweise verschiedenen Eigenwerte von f mit ihren jeweiligen algebraischen Vielfachheiten a(λ1 , f ), . . . , a(λk , f ), und ist dim(V) = n, so gilt a(λ1 , f ) + . . . + a(λk , f ) ≤ n, denn Grad(P f ) = dim(V) = n. Beispiel 14.9 Die Abbildung f : R4,1 → R4,1 , v → Fv, mit der Matrix ⎡

1 ⎢0 F =⎢ ⎣0 0

2 1 0 0

⎤ 3 4 2 3⎥ ⎥ 0 1⎦ −1 0

hat das charakteristische Polynom P f = (t − 1)2 (t 2 + 1). Die einzige (reelle) Nullstelle von P f ist 1 und es gilt a(λ1 , f ) = 2 < 4 = dim(R4,1 ). Sei λ ∈ K ein Eigenwert von f mit geometrischer Vielfachheit m = g(λ, f ). Dann gibt es m linear unabhängige Eigenvektoren v1 , . . . , vm ∈ V von f zum Eigenwert λ. Ist m = dim(V), so bilden diese m Eigenvektoren eine Basis B von V. Ist m < dim(V) = n, so können wir die m Eigenvektoren zu einer Basis B = {v1 , . . . , vm , vm+1 , . . . , vn } von V ergänzen. Es gilt f (v j ) = λv j für j = 1, . . . , m und daher ist  [ f ] B,B =

λ Im

0n−m,m

Z1 Z2



für zwei Matrizen Z 1 ∈ K m,n−m und Z 2 ∈ K n−m,n−m . Mit Hilfe der Laplace-Entwicklung nach den ersten m Spalten der Matrix t In − [ f ] B,B folgt nun

14.2

Diagonalisierbarkeit

187

P f = det(t In − [ f ] B,B ) = (t − λ)m · det(t In−m − Z 2 ). Wir sehen, dass der Eigenwert λ eine mindestens m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms von f ist. Dieses Resultat halten wir im folgenden Lemma fest. Lemma 14.10 Sind V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), so gilt g(λ, f ) ≤ a(λ, f ) für jeden Eigenwert λ von f . Unser Ziel im Folgenden ist, eine Basis B von V zu finden, so dass wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P f möglichst leicht bestimmen können. Wir suchen also eine Matrixdarstellung [ f ] B,B , deren Determinante man leicht berechen kann, z. B. eine Dreiecksoder Diagonalmatrix.

14.2 Diagonalisierbarkeit In diesem Abschnitt untersuchen wir, wann für einen gegebenen Endomorphismus f ∈ L(V, V) eine Basis B des endlichdimensionalen K -Vektorraumes V existiert, so dass die Matrixdarstellung [ f ] B,B eine Diagonalmatrix ist. Diese Eigenschaft definieren wir formal wie folgt. Definition 14.11 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum. Ein Endomorphismus f ∈ L(V, V) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so dass [ f ] B,B eine Diagonalmatrix ist. Entsprechend nennt man eine Matrix A ∈ K n,n diagonalisierbar, wenn es eine Matrix S ∈ G L n (K ) und eine Diagonalmatrix D gibt mit A = S DS −1 . Wir beginnen die Untersuchung der Diagonalisierbarkeit mit einem hinreichenden Kriterium dafür, dass Eigenvektoren von f linear unabhängig sind. Dieses Kriterium gilt auch, wenn V unendlichdimensional ist. Lemma 14.12 Sei V ein K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und m ∈ N. Seien λ1 , . . . , λm ∈ K Eigenwerte von f mit zugehörigen Eigenvektoren v1 , . . . , vm ∈ V und |{λ1 , . . . , λm }| = m. Dann sind die Vektoren v1 , . . . , vm linear unabhängig. Beweis Wir beweisen die Aussage per Induktion über m. Ist m = 1, so ist v1 linear unabhängig, denn es gilt v1 = 0. Die Aussage gelte nun für ein m ∈ N. Seien λ1 , . . . , λm+1 Eigenwerte von f mit zugehörigen Eigenvektoren v1 , . . . , vm+1 ∈ V und |{λ1 , . . . , λm+1 }| = m + 1, d. h. die Eigenwerte λ1 , . . . , λm+1 sind paarweise verschieden. Sei μ1 v1 + . . . + μm vm + μm+1 vm+1 = 0

(14.2)

für gewisse Skalare μ1 , . . . , μm+1 ∈ K . Nach Anwendung von f auf diese Gleichung folgt μ1 λ1 v1 + . . . + μm λm vm + μm+1 λm+1 vm+1 = 0.

188

14 Eigenwerte von Endomorphismen

Andererseits liefert eine Multiplikation von (14.2) mit λm+1 die Gleichung μ1 λm+1 v1 + . . . + μm λm+1 vm + μm+1 λm+1 vm+1 = 0. Subtrahieren wir nun die beiden letzten Gleichungen voneinander, so erhalten wir μ1 (λ1 − λm+1 )v1 + . . . + μm (λm − λm+1 )vm = 0. Da λ1 , . . . , λm+1 paarweise verschieden sind, folgt aus der Induktionsvoraussetzung μ1 = · · · = μm = 0, denn v1 , . . . , vm sind linear unabhängig. Aus (14.2) folgt dann aber auch μm+1 = 0 und somit sind v1 , . . . , vm+1 linear unabhängig. 2 Eine analoge Aussage gilt für die Eigenräume von f zu paarweise verschiedenen Eigenwerten. Lemma 14.13 Sind V ein K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und λ1 , λ2 ∈ K zwei verschiedene Eigenwerte von f , so gilt V f (λ1 ) ∩ V f (λ2 ) = {0}. Beweis Ist v ∈ V f (λ1 ) ∩ V f (λ2 ), so gelten f (v) = λ1 v und f (v) = λ2 v, woraus nach Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten 0 = (λ1 − λ2 )v folgt. Aus λ1 = λ2 folgt nun die Behauptung.

2

Für die Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus können wir nun den folgenden Satz zeigen. Satz 14.14 Sind V ein n-dimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) f ist diagonalisierbar. (2) Es gibt eine Basis von V bestehend aus Eigenvektoren von f . (3) Das charakteristische Polynom P f zerfällt in Linearfaktoren über K , d. h. es gilt P f = (t − λ1 ) · . . . · (t − λn ),

mit λ1 , . . . , λn ∈ K

und für jeden Eigenwert λ j von f gilt g(λ j , f ) = a(λ j , f ), j = 1, . . . , n. Beweis (1) ⇔ (2): Ist f ∈ L(V, V) diagonalisierbar, so gibt es eine Basis B = {v1 , . . . , vn } von V und Skalare λ1 , . . . , λn ∈ K mit ⎡ ⎢ [ f ] B,B = ⎣

λ1

⎤ ..

.

⎥ ⎦. λn

(14.3)

14.2

Diagonalisierbarkeit

189

Es folgt f (v j ) = λ j v j , j = 1, . . . , n. Die Skalare λ1 , . . . , λn sind somit Eigenwerte von f und die zugehörigen Eigenvektoren sind die Vektoren v1 , . . . , vn der Basis B. Gibt es andererseits eine Basis B = {v1 , . . . , vn } von V bestehend aus Eigenvektoren von f , so gilt f (v j ) = λ j v j , j = 1, . . . , n, für gewisse Skalare λ1 , . . . , λn ∈ K (die zugehörigen Eigenwerte) und es folgt, dass [ f ] B,B die Form (14.3) hat. (2) ⇒ (3): Sei B = {v1 , . . . , vn } eine Basis von V bestehend aus Eigenvektoren von f und seien λ1 , . . . , λn ∈ K die zugehörigen Eigenwerte. Dann hat [ f ] B,B die Form (14.3) und es gilt ⎛⎡

t − λ1

⎜⎢ P f = det ⎝⎣

⎤⎞ ..

⎥⎟ ⎦⎠ = (t − λ1 ) · . . . · (t − λn ),

. t − λn

d. h. P f zerfällt in Linearfaktoren über K . Wir haben noch zu zeigen, dass g(λ j , f ) = a(λ j , f ) für jeden Eigenwert λ j , j = 1, . . . , n, gilt. Der Eigenwert λ j hat die algebraische Vielfachheit m j := a(λ j , f ) genau dann, wenn er m j -mal auf der Diagonalen der Diagonalmatrix [ f ] B,B steht. Dies gilt genau dann, wenn (genau) m j Vektoren der Basis B Eigenvektoren von f zum Eigenwert λ j sind. Jeder dieser m j linear unabhängigen Vektoren ist ein Element des Eigenraumes V f (λ j ) und somit ist dim(V f (λ j )) = g(λ j , f ) ≥ m j = a(λ j , f ). Nach Lemma 14.10 gilt g(λ j , f ) ≤ a(λ j , f ) und somit folgt g(λ j , f ) = a(λ j , f ). λk die paarweise verschiedenen Eigenwerte von f mit ihren (3) ⇒ (2): Seien  λ1 , . . . ,  jeweiligen geometrischen und algebraischen Vielfachheiten g( λ j , f ) und a( λ j , f ), j = 1, . . . , k. Da P f in Linearfaktoren zerfällt, gilt k 

a( λ j , f ) = n = dim(V).

j=1

λ j , f ), j = 1, . . . , k, folgt dann Aus g( λ j , f ) = a( k 

g( λ j , f ) = n = dim(V).

j=1

λ j ) ∩ V f ( λ ) = {0} für j =  (vgl. Lemma 14.13) und somit Es gilt V f ( V f ( λ1 ) ⊕ · · · ⊕ V f ( λk ) = V. Wählen wir nun Basen der jeweiligen Eigenräume V f ( λ j ), j = 1, . . . , k, so erhalten wir 2 eine Basis von V, die aus Eigenvektoren von f besteht.

190

14 Eigenwerte von Endomorphismen

Aus Satz 14.14 und Lemma 14.12 folgt ein wichtiges Kriterium für die Diagonalisierbarkeit. Korollar 14.15 Sind V ein n-dimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V) mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten, dann ist f diagonalisierbar. Das Kriterium der n paarweise verschiedenen Eigenwerte ist hinreichend aber nicht notwendig für die Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus. Zum Beispiel gilt [IdV ] B,B = In für jede Basis B von V. Somit hat die Identität IdV den n-fachen Eigenwert 1, ist aber diagonalisierbar. Andererseits gibt es Endomorphismen mit mehrfachen Eigenwerten, die nicht diagonalisierbar sind. Die genaue Analyse dieses Falls wird uns noch intensiv beschäftigen. Beispiel 14.16 Der Endomorphismus f :R

2,1

→R

2,1

,

v → Fv,

mit

 1 F= 0

 1 , 1

hat das charakteristische Polynom (t − 1)2 und hat somit nur den Eigenwert 1. Es gilt Kern(V f (1)) = Span{[1, 0]T } und damit g(1, f ) = 1 < a(1, f ) = 2.

14.3 Triangulierung und der Satz von Schur Falls das charakteristische Polynom P f in Linearfaktoren zerfällt, aber die Eigenschaft g(λ j , f ) = a(λ j , f ) nicht für alle Eigenwerte λ j von f gilt, so ist f nach Satz 14.14 nicht diagonalisierbar. Trotzdem kann in diesem Fall durch Wahl einer speziellen Basis B von V eine besondere Matrixdarstellung [ f ] B,B erreicht werden. Satz 14.17 Ist V ein n-dimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), so sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) Das charakteristische Polynom P f zerfällt in Linearfaktoren über K . (2) Es gibt eine Basis B von V, so dass [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist, d. h. f ist triangulierbar. Beweis (2) ⇒ (1): Ist [ f ] B,B = [ri j ] ∈ K n,n eine obere Dreiecksmatrix, so gilt P f = (t − r11 ) · . . . · (t − rnn ) und somit zerfällt P f in Linearfaktoren. (1) ⇒ (2): Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über n = dim(V). Der Fall n = 1 ist klar, denn dann ist [ f ] B,B ∈ K 1,1 . Die Aussage gelte nun für ein n ≥ 1. Sei dim(V) = n + 1. Nach unserer Annahme ist P f = (t − λ1 ) · . . . · (t − λn+1 ),

(14.4)

wobei λ1 , . . . , λn+1 ∈ K die Eigenwerte von f sind. Es gibt einen Eigenvektor v1 ∈ V zum Eigenwert λ1 ∈ K . Wir ergänzen diesen Vektor zu einer Basis B1 = {v1 , w2 , . . . , wn+1 } von V. Dann gilt

14.3

Triangulierung und der Satz von Schur

191

V = Span{v1 } ⊕ W,

mit W := Span{w2 , . . . , wn+1 }

und ⎡

[ f ] B1 ,B1

λ1 ⎢0 ⎢ =⎢. ⎣ .. 0

··· ... .. .

a12 a22 .. . an+1,2

a1,n+1 a2,n+1 .. .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎦

(14.5)

· · · an+1,n+1

Ist ⎤ a22 · · · a2,n+1 ⎥ . .. ..  := ⎢ A ⎦, ⎣ .. . . an+1,2 · · · an+1,n+1 ⎡

so folgt aus (14.4) und (14.5), ˜ = (t − λ1 ) · (t − λ2 ) · . . . · (t − λn+1 ). P f = (t − λ1 ) · det(t In − A)

(14.6)

Definiere nun h ∈ L(W, Span{v1 }) und g ∈ L(W, W) durch h(w j ) := a1 j v1

und

g(w j ) :=

n+1 

ak j w k ,

j = 2, . . . , n + 1,

k=2

so dass f (w) = h(w) + g(w) für alle w ∈ W gilt.  und daher Per Konstruktion ist (g(w2 ), . . . , g(wn+1 )) = (w2 , . . . , wn+1 ) A  = (t − λ2 ) · . . . · (t − λn+1 ), Pg = det(t In − A) wobei wir (14.6) für die zweite Gleichung benutzt haben. Nun ist also dim(W) = n und das charakteristische Polynom Pg von g ∈ L(W, W) zerfällt in Linearfaktoren. Nach der Induktionsvoraussetzung gibt es eine Basis B2 = { w2 , . . . , w n+1 } von W, so dass C := [g] B2 ,B2 eine obere Dreiecksmatrix ist. Es folgt ⎤ a12 . . .  a1,n+1 λ1  ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ w2 ), . . . , f ( wn+1 )) = (v1 , w 2 , . . . , w n ) ⎢ . ( f (v1 ), f ( ⎥, ⎦ ⎣ .. C 0 ⎡

2 , . . . , w n+1 } von V die Matrix [ f ] B3 ,B3 eine obere so dass für die Basis B3 := {v1 , w 2 Dreiecksmatrix ist. Die „Matrix-Version“ dieses Satzes für A ∈ K n,n ist: Das charakteristische Polynom PA zerfällt genau dann in Linearfaktoren, wenn A triangulierbar ist, d. h. wenn es eine Matrix S ∈ G L n (K ) und eine obere Dreiecksmatrix R ∈ K n,n mit A = S RS −1 gibt.

192

14 Eigenwerte von Endomorphismen

Korollar 14.18 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und f ∈ L(V, V). Zerfällt P f über R (im euklidischen Fall) oder C (im unitären Fall) in Linearfaktoren, so gibt es eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist. Beweis Zerfällt P f in Linearfaktoren, so gibt es nach Satz 14.17 eine Basis B1 von V, so dass [ f ] B1 ,B1 eine obere Dreiecksmatrix ist. Wenden wir nun das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Basis B1 an, so erhalten wir eine Orthonormalbasis B2 von V, so dass [IdV ] B1 ,B2 eine obere Dreiecksmatrix ist (vgl. Satz 12.10). Es gilt dann [ f ] B2 ,B2 = [IdV ] B1 ,B2 [ f ] B1 ,B1 [IdV ] B2 ,B1 = [IdV ]−1 B2 ,B1 [ f ] B1 ,B1 [IdV ] B2 ,B1 . Die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen bilden eine Gruppe bezüglich der MatrizenMultiplikation (vgl. Satz 4.14). Auf der rechten Seite steht daher ein Produkt oberer Drei2 ecksmatrizen und somit ist auch [ f ] B2 ,B2 eine obere Dreiecksmatrix. Beispiel 14.19 Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R[t]≤1 mit dem Skalarprodukt @1  p, q = 0 p(t)q(t) dt sowie die lineare Abbildung f : R[t]≤1 → R[t]≤1 ,

α1 t + α0 → 2α1 t + α0 .

Es gilt f (1) = 1 und f (t) = 2t, d. h. die Polynome 1 und t sind Eigenvektoren von f zu den (verschiedenen) Eigenwerten 1 und 2. Folglich ist  B = {1, t} eine Basis von R[t]≤1 , für die  [ f ] B,  B eine Diagonalmatrix ist. Allerdings ist B keine Orthonormalbasis, denn insbesondere gilt 1, t = 0. Da P f in Linearfaktoren zerfällt, ist die Existenz einer Orthonormalbasis B, für die [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist, durch Korollar 14.18 gesichert. Im Beweis der Implikation (1) ⇒ (2) von Satz 14.17 wird zunächst ein Eigenvektor von f gewählt und die Triangulierung von f wird dann induktiv fortgesetzt. In diesem Beispiel setzen wir q1 = 1. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von f mit Norm 1 zum Eigenwert 1 und er ist der erste Vektor unserer Orthonormalbasis. Ist nun q2 ∈ R[t]≤1 ein Vektor mit Norm 1 und q1 , q2  = 0, dann ist B = {q1 , q2 } eine Orthonormalbasis, für die [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist. Den Vektor q2 konstruieren wir durch Orthogonalisierung von t gegen q1 (per Gram-Schmidt-Verfahren), also 1  q2 = t − t, q1 q1 = t − , 2 A B1/2 1 1 1 =√ ,  q2 = t − , t − 2 2 12 √ √ −1 q2  q2 = 12t − 3, q2 =  woraus sich die Triangulierung  [ f ] B,B = ergibt.

1 0

√  3 ∈ R2,2 2

14.3

Triangulierung und der Satz von Schur

193

√ Wählen wir q1 = 3t, so ist dies ein Eigenvektor von f mit Norm 1 zum Eigenwert 2. Orthogonalisieren wir nun den Vektor 1 gegen q1 , so führt eine analoge Rechnung wie oben auf den zweiten Basisvektor q2 = −3t + 2. Mit der entsprechenden Basis B1 erhalten wir die Triangulierung  √  2 − 3 ∈ R2,2 . [ f ] B1 ,B1 = 0 1 Dieses Beispiel zeigt, dass in der Triangulierung von f die Elemente oberhalb der Diagonalen für verschiedene Orthonormalbasen verschieden sein können. Lediglich die Diagonalelemente sind (bis auf ihre Reihenfolge) eindeutig bestimmt, denn dieses sind die Eigenwerte von f . Eine genauere Aussage zur Eindeutigkeit machen wir in Lemma 14.22. Wir werden im nächsten Abschnitt den Fundamentalsatz der Algebra zeigen, der aussagt, dass jedes nicht-konstante Polynom über C in Linearfaktoren zerfällt. Mit diesem Fundamentalsatz ergibt sich das folgende Korollar, welches als der Satz von Schur 1 bekannt ist. Korollar 14.20 Ist V = {0} ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, so ist jeder Endomorphismus auf V unitär triangulierbar, d. h. für jedes f ∈ L(V, V) gibt es eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist. Eine unitäre Triangulierung eines Endomorphismus nennen wir eine Schur-Form des Endomorphismus. Betrachten wir den unitären Vektorraum Cn,1 mit dem Standardskalarprodukt, so erhalten wir die folgende „Matrix-Version“ von Korollar 14.20. Korollar 14.21 Ist A ∈ Cn,n , so gibt es eine unitäre Matrix Q ∈ Cn,n und eine obere Dreiecksmatrix R ∈ Cn,n mit A = Q R Q H . Analog zur obigen Bezeichnung für einen Endomorphismus nennen wir die Matrix R in diesem Korollar eine Schur-Form der Matrix A. Wir wollen nun noch zeigen, dass die Schur-Form einer Matrix A ∈ Cn,n mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten „nahezu eindeutig“ ist. Lemma 14.22 Sei A ∈ Cn,n mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten und seien R1 , R2 ∈ Cn,n zwei Schur-Formen von A. Sind die Diagonalen von R1 und R2 gleich, dann gilt R1 = U R2 U H für eine unitäre Diagonalmatrix U . Beweis Es gilt Q 1 R1 Q 1H = Q 2 R2 Q 2H und somit R1 = U R2 U H bzw. R1 U = U R2 für die unitäre Matrix U := Q 1H Q 2 . Es folgt, dass U eine Diagonalmatrix ist (vgl. Aufgabe 14.15). 2 Eine ausführliche Zusammenfassung von Resultaten über die unitäre Ähnlichkeit von Matrizen findet man im Artikel [Sha91]. 1 Benannt nach Issai Schur (1875–1941), Mathematiker, der im heutigen Weißrussland geboren wurde und die meiste Zeit seines Lebens in Deutschland arbeitete, aber wegen der Judenverfolgung in Deutschland 1939 nach Palästina emigrierte.

194

14 Eigenwerte von Endomorphismen

Die MATLAB-Minute Betrachten Sie für n ≥ 2 die Matrix ⎡

1 ⎢1 ⎢ ⎢ A = ⎢1 ⎢ .. ⎣. 1

2 3 4 .. .

n+1

··· ··· ···

3 4 5 .. .

n+2

...

⎤ n n+1⎥ ⎥ n+2⎥ ⎥ ∈ Cn,n . .. ⎥ . ⎦ 2n − 1

Berechnen Sie eine Schur-Form von A durch das Kommando [U,R]=schur(A) für n = 2, 3, 4, . . . 10. Wie sehen die Eigenwerte von A aus? Stellen Sie eine Vermutung für den Rang von A für allgemeines n auf. (Können Sie Ihre Vermutung beweisen?)

Aufgaben 14.1 14.2 14.3 14.4

14.5

14.6

Beweisen Sie Lemma 14.4. Sei V ein K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und λ ∈ K ein Eigenwert von f . Zeigen Sie, dass Bild(λIdV − f ) ein f -invarianter Unterraum ist. Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V) bijektiv. Zeigen Sie, dass f und f −1 die gleichen invarianten Unterräume besitzen. Sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum, f ∈ L(V, V) und U ein m-dimensionaler f -invarianter Unterraum von V. Zeigen Sie, dass eine Basis B von V existiert, so dass   A1 A2 [ f ] B,B = 0 A3 für gewisse Matrizen A1 ∈ K m,m , A2 ∈ K m,n−m und A3 ∈ K n−m,n−m gilt. Sei K ∈ {R, C} und f : K 4,1 → K 4,1 , v → Fv mit der Matrix ⎡ ⎤ 1 2 3 4 ⎢0 1 2 3⎥ ⎥. F =⎢ ⎣0 0 1 1⎦ 0 0 −1 0 Berechnen Sie P f und bestimmen Sie für K = R bzw. K = C die Eigenwerte von f mit ihren algebraischen und geometrischen Vielfachheiten sowie die Eigenvektoren bzw. Eigenräume. Betrachten Sie den Vektorraum R[t]≤n mit der Standardbasis {1, t, . . . , t n } und die lineare Abbildung f : R[t]≤n → R[t]≤n ,

n  i=0

αi t  → i

n  i=2

i(i − 1)αi t i−2 =

d2 p. dt 2

Aufgaben

14.7 14.8

195

Berechnen Sie P f , die Eigenwerte von f mit ihren algebraischen und geometrischen Vielfachheiten und untersuchen Sie, ob f diagonalisierbar ist. Was ändert sich, wenn man als Abbildung die k-te Ableitung (für k = 3, 4, . . . , n) betrachtet? Sei K ein Körper und D die Menge aller diagonalisierbaren und invertierbaren Matrizen. Ist D eine Untergruppe von G L n (K )? Sei n ∈ N0 . Betrachten Sie den R-Vektorraum R[t]≤n und die Abbildung f : R[t]≤n → R[t]≤n ,

14.9

p(t) → p(t + 1) − p(t).

Zeigen Sie, dass f linear ist. Für welche n ist f diagonalisierbar, für welche n nicht? Sei V ein R-Vektorraum mit der Basis {v1 , . . . , vn }. Untersuchen Sie die folgenden Endomorphismem auf Diagonalisierbarkeit: (a) f (v j ) = v j + v j+1 , j = 1, . . . , n − 1, und f (vn ) = vn , (b) f (v j ) = jv j + v j+1 , j = 1, . . . , n − 1, und f (vn ) = nvn .

14.10 Seien V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und f ∈ L(V, V) mit f + f ad = 0 ∈ L(V, V). Zeigen Sie, dass f = 0 genau dann gilt, wenn f nicht diagonalisierbar ist. 14.11 Seien V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum, f ∈ L(V, V ) und p(t) :=

m 

(t − μ j ) = (t − μ1 )(t − μ2 ) · . . . · (t − μm ) ∈ K [t]≤m .

j=1

Zeigen Sie, dass p( f ) genau dann bijektiv ist, wenn μ1 , . . . , μm keine Eigenwerte von f sind. 14.12 Geben Sie Bedingungen an die Einträge von   α β A= ∈ R2,2 γ δ an, so dass A diagonalisierbar bzw. triangulierbar ist. 14.13 Geben Sie einen nicht diagonalisierbaren und einen nicht triangulierbaren Endomorphismus auf R[t]≤3 an. 14.14 Sei V ein K -Vektorraum mit dim(V) = n < ∞. Zeigen Sie, dass f ∈ L(V, V) genau dann triangulierbar ist, wenn es Unterräume V0 , V1 , . . . , Vn von V gibt mit (a) V j  V j+1 für j = 0, 1, . . . , n − 1, (b) dim(V j ) = j für j = 0, 1, . . . , n und (c) V j ist f -invariant für j = 0, 1, . . . , n. + , + , (1) (2) (1) (2) 14.15 Seien R1 = ri j , R2 = ri j ∈ Cn,n zwei obere Dreiecksmatrizen mit rii = rii für i = 1, . . . , n und mit R1 U = U R2 für eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n . Zeigen Sie, dass dann U eine Diagonalmatrix ist.

Kapitel 15

Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Aus der Untersuchung der Eigenwerte von Matrizen und Endomorphismen wissen wir, dass diese die Nullstellen der charakteristischen Polynome sind. Wir haben bereits gesehen, dass nicht jedes Polynom in Linearfaktoren über dem Körper zerfällt (vgl. Beispiel 14.9). Damit stellt sich die Frage, wann ein Endomorphismus Eigenwerte besitzt und wann er triangulierbar ist. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns zunächst im Detail mit Polynomen beschäftigen.

15.1 Polynome Wir beginnen mit einer kurzen Wiederholung der wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit dem Ring der Polynome. Ist K ein Körper, so ist p = α0 + α1 t + . . . + αn t n mit n ∈ N0

und α0 , α1 , . . . αn ∈ K ,

ein Poynom über K in der Unbekannten t. Die Menge aller dieser Polynome, bezeichnet mit K [t], bildet einen kommutativen Ring mit Eins; vgl. Beispiel 3.17. Ist αn = 0, so heißt n der Grad von p und wir schreiben Grad( p) = n. Ist αn = 1, so nennen wir p ein monisches Polynom. Ist p = 0, so setzen wir Grad( p) := −∞. Ist Grad( p) < 1, also p = α0 für ein α0 ∈ K , so nennen wir p ein konstantes Polynom. Lemma 15.1 Für zwei Polynome p, q ∈ K [t] gilt: (1) Grad( p + q) ≤ max{Grad( p), Grad(q)}. (2) Grad( p · q) = Grad( p) + Grad(q). Beweis Übungsaufgabe.

2

Ist V = {0} ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V ), so ist das charakteristische Polynom P f ein monisches Polynom mit Grad(P f ) = dim(V). Um Aussagen über die Existenz und Vielfachheit von Eigenwerten zu machen, werden wir zunächst einige wichtige Begriffe zur Teilbarkeit von Polynomen definieren. Definition 15.2 Sei K ein Körper und K [t] der Ring der Polynome über K . (1) Wenn es für zwei Polynome p, s ∈ K [t] ein Polynom q ∈ K [t] mit p = s · q gibt, dann heißt s ein Teiler von p und wir schreiben s| p (gelesen: „ s teilt p“). J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_15,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

197

198

15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

(2) Zwei Polynome p, s ∈ K [t] heißen teilerfremd, wenn aus q| p und q|s für ein q ∈ K [t] folgt, dass q ein konstantes Polynom ist. (3) Ein nicht-konstantes Polynom p ∈ K [t] heißt irreduzibel (über K ), wenn aus p = s · q für zwei Polynome s, q ∈ K [t] folgt, dass s oder q ein konstantes Polynom ist. Falls es zwei nicht-konstante Polynome s, q ∈ K [t] mit p = s · q gibt, so heißt p reduzibel (über K ). Man beachte, dass die Eigenschaft der Irreduzibilität nur für Polynome vom Grad mindestens 1 definiert ist. Ein Polynom vom Grad 1 ist stets irreduzibel. Ob ein Polynom vom Grad mindestens 2 irreduzibel ist, kann vom Körper abhängen, über dem man es betrachtet. Beispiel 15.3 Das Polynom 2 − t 2 ∈ Q[t] ist irreduzibel, aber aus 2 − t2 =

√

 √  2−t · 2+t

folgt, dass 2 − t 2 ∈ R[t] reduzibel ist. Das Polynom 1 + t 2 ∈ R[t] ist irreduzibel, aber mit Hilfe der imaginären Einheit i folgt die Gleichung 1 + t 2 = (−i + t) · (i + t), so dass 1 + t 2 ∈ C[t] reduzibel ist. Wir kommen nun zur Division mit Rest von Polynomen. Satz 15.4 Sind p ∈ K [t] und s ∈ K [t] \ {0}, so gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K [t] mit p = s ·q +r

und

Grad(r ) < Grad(s).

(15.1)

Beweis Wir zeigen zunächst die Existenz von Polynomen q, r ∈ K [t], so dass (15.1) gilt. Die Eindeutigkeit zeigen wir am Ende. Der Fall Grad(s) = 0 ist trivial, denn dann gilt s = s1 für ein s1 ∈ K \ {0} und (15.1) folgt mit q := s1−1 · p und r := 0, wobei Grad(r ) < Grad(s) ist. Wir nehmen nun Grad(s) ≥ 1 an. Ist Grad( p) < Grad(s) so setzen wir q := 0 und r := p, dann gilt p = s · q + r mit Grad(r ) < Grad(s). Sei n := Grad( p) ≥ Grad(s) =: m ≥ 1. Wir zeigen (15.1) durch Induktion über n. Ist n = 1, dann gilt m = 1, also p = p1 · t + p0 mit p1 = 0 und s = s1 · t + s0 mit s1 = 0. Es folgt p = s ·q +r

für q := p1 s1−1 ,

r := p0 − p1 s1−1 s0 ,

wobei Grad(r ) < Grad(s) ist. Die Behauptung gelte nun für ein n ≥ 1. Seien zwei Polynome p und s mit n + 1 = Grad( p) ≥ Grad(s) = m gegeben und seien pn+1 (= 0) und sm (= 0) die höchsten Koeffizienten von p und s. Ist

15.1

Polynome

199

h := p − pn+1 sm−1 s · t n+1−m ∈ K [t], so gilt Grad(h) < Grad( p) = n + 1. Nach der Induktionsvoraussetzung gibt es Polynome  q , r ∈ K [t] mit h = s · q +r

und

Grad(r ) < Grad(s).

Es folgt p = s ·q +r

mit q :=  q + pn+1 sm−1 t n+1−m ,

wobei Grad(r ) < Grad(s) ist. Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit. Angenommen es gilt (15.1) und es gibt zudem Polynome  q , r ∈ K [t] mit p = s ·  q + r und Grad( r ) < Grad(s). Dann folgt r − r = s · ( q − q). Ist  r − r = 0, dann ist  q − q = 0, denn es gilt Grad(s) ≥ 0 und somit q − q) ≥ Grad(s). Grad(r −  r ) = Grad(s · ( q − q)) = Grad(s) + Grad( Allerdings gilt auch Grad(r −  r ) ≤ max{Grad(r ), Grad( r )} < Grad(s). Dies ist ein Widerspruch. Es folgt r =  r und somit auch q =  q.

2

Aus diesem Satz erhalten wir einige wichtige Folgerungen über die Nullstellen von Polynomen. Die erste dieser Folgerungen wird in der Literatur oft als Satz von Ruffini1 bezeichnet. Korollar 15.5 Ist λ ∈ K eine Nullstelle von p ∈ K [t], d. h. gilt p(λ) = 0, dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom q ∈ K [t] mit p = (t − λ) · q. Beweis Wenden wir Satz 15.4 auf die Polynome p und s = t − λ = 0 an, so erhalten wir eindeutig bestimmte Polynome q und r mit Grad(r ) < Grad(s) = 1 und p = (t − λ) · q + r. Das Polynom r ist konstant und Einsetzen von λ ergibt 0 = p(λ) = (λ − λ) · q(λ) + r (λ) = r (λ), woraus r = 0 und p = (t − λ) · q folgt.

1

Paolo Ruffini (1765–1822), italienischer Mathematiker, Mediziner und Philosoph.

2

200

15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Falls ein Polynom p ∈ K [t] mindestens den Grad 2 und eine Nullstelle λ ∈ K hat, so ist der Linearfaktor t − λ ein Teiler von p und insbesondere ist p reduzibel. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht. Zum Beispiel ist das Polynom 4−4t 2 +t 4 = (2−t 2 )·(2−t 2 ) ∈ Q[t] reduzibel, es hat jedoch keine Nullstelle in Q. Korollar 15.5 motiviert die folgende Definition. Definition 15.6 Seien p ∈ K [t] und λ ∈ K eine Nullstelle von p. Dann ist die Vielfachheit der Nullstelle λ die eindeutig bestimmte natürliche Zahl m, so dass p = (t − λ)m · q für ein Polynom q ∈ K [t] mit q(λ) = 0 ist. Aus der wiederholten Anwendung von Korollar 15.5 auf ein gegebenes Polynom p ∈ K [t] folgt dann sofort die folgende Aussage. Korollar 15.7 Sind λ1 . . . , λk ∈ K paarweise verschiedene Nullstellen von p ∈ K [t] mit jeweiligen Vielfachheiten m 1 , . . . , m k , so gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom q ∈ K [t] mit p = (t − λ1 )m 1 · . . . · (t − λk )m k · q und q(λ j ) = 0 für j = 1, . . . , k. Insbesondere ist die Summe der Vielfachheiten aller paarweise verschiedener Nullstellen eines Polynoms p ∈ K [t] \ {0} kleiner oder gleich Grad( p). Die nächste Aussage wird oft als das Lemma von Bézout2 bezeichnet. Lemma 15.8 Sind p, s ∈ K [t] \ {0} teilerfremd, so gibt es Polynome q1 , q2 ∈ K [t] mit p · q1 + s · q2 = 1. Beweis Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass Grad( p) ≥ Grad(s) (≥ 0) ist. Wir beweisen die Aussage per Induktion über Grad(s). Ist Grad(s) = 0, also s = s0 für ein s0 ∈ K \ {0}, so folgt p · q1 + s · q2 = 1 mit q1 := 0,

q2 := s0−1 .

Sei nun die Aussage bewiesen für alle Polynome p, s ∈ K [t] \ {0} mit Grad(s) = n für ein n ≥ 0. Seien p, s ∈ K [t] \ {0} mit Grad( p) ≥ Grad(s) = n + 1 gegeben. Nach Satz 15.4 (Division mit Rest) gibt es dann Polynome q und r mit p = s ·q +r

und

Grad(r ) < Grad(s).

Hier muss r = 0 sein, denn p und s sind nach Voraussetzung teilerfremd. Angenommen es gibt ein nicht-konstantes Polynom h ∈ K [t], das sowohl s als auch r teilt. Dann würde h auch p teilen, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass p und s teilerfremd sind. Die Polynome s und r sind somit teilerfremd. Es gilt Grad(r ) < Grad(s) und somit

2

Étienne Bézout (1730–1783), französischer Mathematiker.

15.1

Polynome

201

können wir die Induktionsvoraussetzung auf die Polynome s, r ∈ K [t] \ {0} anwenden. Es gibt daher Polynome  q1 ,  q2 ∈ K [t] mit q2 = 1. s · q1 + r ·  Aus r = p − s · q folgt dann 1 = s · q1 + ( p − s · q) ·  q2 = p ·  q2 + s · ( q1 − q ·  q2 ), 2

was zu beweisen war. Mit dem Lemma von Bézout beweisen wir nun leicht das folgende Resultat.

Lemma 15.9 Ist p ∈ K [t] irreduzibel und ein Teiler des Produkts s · h zweier Polynome s, h ∈ K [t], so teilt p mindestens einen der Faktoren, d. h. es gilt p|s oder p|h. Beweis Ist s = 0, so gilt p|s, denn jedes Polynom ist Teiler des Polynoms 0. Sei nun s = 0. Ist p kein Teiler von s, so sind p und s teilerfremd, denn p ist irreduzibel. Nach dem Lemma von Bézout gibt es somit Polynome q1 , q2 ∈ K [t] mit p · q1 + s · q2 = 1. Es folgt h = h · 1 = (q1 · h) · p + q2 · (s · h). Das Polynom p teilt beide Summanden auf der rechten Seite und somit p|h.

2

Durch mehrfache Anwendung von Lemma 15.9 erhalten wir nun den euklidischen Hauptsatz, der eine „Primfaktorzerlegung“ im Ring der Polynome darstellt. Satz 15.10 Jedes Polynom p = α0 + α1 t + . . . + αn t n ∈ K [t] \ {0} besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung p = μ · p1 · . . . · pk mit μ ∈ K und monischen irreduziblen Polynomen p1 , . . . , pk ∈ K [t]. Beweis Ist Grad( p) = 0, also p = α0 , so gilt die Aussage mit k = 0 und μ = α0 . Sei nun Grad( p) ≥ 1, d. h. p ist nicht konstant. Ist nun p irreduzibel, so gilt die Aussage mit p1 = μ−1 p und μ = αn ist der höchste Koeffizient von p. Ist p jedoch reduzibel, so gilt p = p1 · p2 für zwei nicht-konstante Polynome p1 und p2 . Diese sind entweder irreduzibel oder wir können sie weiter zerlegen. Jede so erhaltene multiplikative Zerlegung von p hat höchstens Grad( p) = n nicht-konstante Faktoren. Angenommen es gilt p = μ · p1 · . . . · p k = β · q 1 · . . . · q 

(15.2)

mit gewissen k, , wobei 1 ≤  ≤ k ≤ n, μ, β ∈ K , sowie monischen irreduziblen Polynomen p1 , . . . , pk , q1 , . . . , q ∈ K [t]. Dann gilt p1 | p und somit p1 |q j für ein j. Die Polynome p1 und q j sind irreduzibel und daher muss p1 = q j sein.

202

15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit j = 1 annehmen und das Polynom p1 = q1 aus der Identität (15.2) „kürzen“, woraus sich μ · p2 · . . . · pk = β · q2 · . . . · q ergibt. Verfährt man analog für die Polynome p2 , . . . , pk , so erhält man schließlich k = , 2 μ = β und p j = q j für j = 1, . . . , k.

15.2 Der Fundamentalsatz der Algebra Wir haben bereits gesehen, dass die Frage der Existenz und Vielfachkeit der Nullstellen eines Polynoms vom Körper abhängen kann, über dem man es betrachtet. Ein Besonderheit stellt dabei der Körper C dar, denn es gilt der Fundamentalsatz der Algebra. Die „klassische“ Formulierung3 dieses Satzes ist: Jedes nicht-konstante Polynom über C hat eine Nullstelle in C. Um diesen Satz in unserem Kontext zu behandeln, geben wir zunächst eine äquivalente Formulierung in der Sprache der Linearen Algebra. Satz 15.11 Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) Jedes nicht-konstante Polynom p ∈ C[t] hat eine Nullstelle in C. (2) Ist V = {0} ein endlichdimensionaler C-Vektorraum, so hat jeder Endomorphismus f ∈ L(V, V) einen Eigenvektor. Beweis (1) ⇒ (2): Ist V = {0} und f ∈ L(V, V), so ist das charakteristische Polynom P f nicht konstant, denn es gilt Grad(P f ) = dim(V) > 0. Gilt nun die Aussage (1), so hat P f ∈ C[t] eine Nullstelle in C und somit hat f einen Eigenvektor. (2) ⇒ (1): Sei p = α0 + α1 t + . . . + αn t n ∈ C[t] ein nicht-konstantes Polynom, d. h. n ≥ 1 und αn = 0. Die Nullstellen von p sind identisch mit den Nullstellen des monischen Polynoms  p := αn−1 p. Zu diesem Polynom  p gibt es eine Matrix A ∈ Cn,n deren p ist (eine solche Matrix ist die Begleitmatrix charakteristisches Polynom PA gleich  des Polynoms  p ; vgl. Lemma 8.4). Ist V ein n-dimensionaler C-Vektorraum und ist B eine beliebige Basis von V, so gibt es einen eindeutig bestimmten Endomorphismus f ∈ L(V, V) mit [ f ] B,B = A (vgl. Satz 10.14). Gilt nun (2), so hat f einen Eigenvektor, also auch einen Eigenwert, und somit hat  p = PA eine Nullstelle. 2 Den Fundamentalsatz der Algebra kann man nicht ohne Hilfsmittel der Analysis beweisen. Insbesondere benötigt man den Begriff der Stetigkeit von Polynomen, den wir im Beweis des folgenden Standardresultats aus der Analysis benutzen.

3 Den ersten vollständigen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra gab Carl Friedrich Gauß in seiner Dissertation von 1799. Die Geschichte dieses Resultats wird in dem sehr lesenswerten Buch [Ebb08] ausführlich dargestellt.

15.2

Der Fundamentalsatz der Algebra

203

Lemma 15.12 Jedes Polynom p ∈ R[t] mit ungeradem Grad hat eine (reelle) Nullstelle. Beweis Sei der höchste Koeffizient von p positiv. Dann gilt lim p(t) = +∞,

t→∞

lim p(t) = −∞.

t→−∞

Da die reelle Funktion p(t) stetig ist, folgt aus dem Zwischenwertsatz der reellen Analysis die Existenz einer Nullstelle des Polynoms p. Der Beweis im Fall eines negativen höchsten Koeffizienten ist analog. 2 Unser Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (siehe Satz 15.14 unten) orientiert sich an der Darstellung im Artikel [Der03]. Der Beweis ist per Induktion über die Dimension von V. Dabei verfahren wir aber nicht wie gewöhnlich in fortlaufender Reihenfolge, d. h. dim(V) = 1, 2, 3, . . . , sondern in einer Reihenfolge, die auf den Mengen M j := {2m ·  | 0 ≤ m ≤ j − 1,  ungerade} ⊂ N,

für j ∈ N

basiert. Zum Beispiel sind M1 = { |  ungerade} = {1, 3, 5, 7, . . . },

M2 = M1 ∪ {2, 6, 10, 14, . . . }.

Wir beweisen zunächst ein Lemma, dessen Aussagen wir im Beweis des Fundamentalsatzes benötigen. Lemma 15.13 (1) Ist V ein R-Vektorraum und ist dim(V) ungerade, gilt also dim(V) ∈ M1 , so hat jeder Endomorphismus f ∈ L(V, V) einen Eigenvektor. (2) Sei eine natürliche Zahl j ≥ 1 gegeben. Falls für jeden K -Vektorraum V mit dim(V) ∈ M j jeder Endomorphismus f ∈ L(V, V) einen Eigenvektor hat, so haben zwei kommutierende Endomorphismen f 1 , f 2 ∈ L(V, V) einen gemeinsamen Eigenvektor, d. h. falls f 1 ◦ f 2 = f 2 ◦ f 1 gilt, so gibt es einen Vektor v ∈ V \ {0} und zwei Skalare λ1 , λ2 ∈ K mit f 1 (v) = λ1 v und f 2 (v) = λ2 v. (3) Ist V ein R-Vektorraum und ist dim(V) ungerade, so haben zwei kommutierende Endomorphismen f 1 , f 2 ∈ L(V, V) einen gemeinsamen Eigenvektor. Beweis (1) Für jedes f ∈ L(V, V) ist der Grad von P f ∈ R[t] ungerade. Somit hat P f mit Lemma 15.12 eine Nullstelle und f hat damit einen Eigenvektor. (2) Wir bemerken zunächst, dass es sich bei (2) nicht um eine leere Aussage handelt, denn aus (1) wissen wir, dass die Annahme der Aussage (2) für j = 1 und K = R erfüllt ist. Wir nehmen an, dass für eine gegebene natürliche Zahl j ≥ 1 und für jeden K Vektorraum V mit dim(V) ∈ M j jeder Endomorphismus f ∈ L(V, V) einen Eigenvektor hat. Unter dieser Annahme müssen wir zeigen, dass jedes Paar kommutierender Endomorphismen auf V einen gemeinsamen Eigenvektor hat. Wir führen diesen Beweis per Induktion über dim(V), wobei dim(V) die Elemente aus M j in aufsteigender Reihenfolge durchläuft. Die Menge M j ist eine (echte) Teilmenge von N, die aus allen natürlichen

204

15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Zahlen besteht, welche nicht durch 2 j teilbar sind. Insbesondere ist 1 das kleinste Element von M j . Ist dim(V) = 1 ∈ M j , so haben nach Voraussetzung zwei (beliebige) Endomorphismen f 1 , f 2 ∈ L(V, V) jeweils einen Eigenvektor, f 1 (v1 ) = λ1 v1 ,

f 2 (v2 ) = λ2 v2 .

Da dim(V) = 1 ist, muss v1 = αv2 für ein α ∈ K \ {0} sein. Somit gilt f 2 (v1 ) = f 2 (αv2 ) = α f 2 (v2 ) = λ2 (αv2 ) = λ2 v1 , d. h. v1 ist ein gemeinsamer Eigenvektor von f 1 und f 2 . Sei nun dim(V) ∈ M j und sei die Behauptung bewiesen für alle K -Vektorräume, deren Dimension ein Element von M j ist, welches kleiner als dim(V) ist. Seien f 1 , f 2 ∈ L(V, V) mit f 1 ◦ f 2 = f 2 ◦ f 1 . Nach unserer Annahme hat f 1 einen Eigenvektor v1 mit zugehörigem Eigenwert λ1 . Seien U := Bild(λ1 IdV − f 1 ),

W := V f1 (λ1 ) = Kern(λ1 IdV − f 1 ).

Die Unterräume U und W von V sind f 1 -invariant, d. h. es gilt f 1 (U) ⊆ U und f 1 (W) ⊆ W. Für den Raum W haben wir dies bereits in Lemma 14.4 festgestellt und für den Raum U sieht man die Aussage leicht ein (vgl. Aufgabe 14.2). Wir zeigen nun, dass U und W auch f 2 -invariant sind: Ist u ∈ U, so gilt u = (λ1 IdV − f 1 )(v) für ein v ∈ V. Da f 1 und f 2 kommutieren folgt f 2 (u) = ( f 2 ◦ (λ1 IdV − f 1 ))(v) = ((λ1 IdV − f 1 ) ◦ f 2 )(v) = (λ1 IdV − f 1 )( f 2 (v)) ∈ U. Ist w ∈ W, dann gilt (λ1 IdV − f 1 )( f 2 (w)) = ((λ1 IdV − f 1 ) ◦ f 2 )(w) = ( f 2 ◦ (λ1 IdV − f 1 ))(w) = f 2 ((λ1 IdV − f 1 )(w)) = f 2 (0) = 0, also f 2 (w) ∈ W. Es gilt dim(V) = dim(U) + dim(W) und da dim(V) nicht durch 2 j teilbar ist, ist entweder dim(U) oder dim(W) nicht durch 2 j teilbar. Also gilt entweder dim(U) ∈ M j oder dim(W) ∈ M j . Falls der entsprechende Unterraum ein echter Unterraum von V ist, so ist dessen Dimension ein Element von M j , das kleiner als dim(V) ist. Nach der Induktionsvoraussetzung haben dann f1 und f 2 einen gemeinsamen Eigenvektor in diesem Unterraum. Somit haben f 1 und f 2 einen gemeinsamen Eigenvektor in V. Falls der entsprechende Unterraum gleich V ist, so muss dies der Unterraum W sein, denn es gilt dim(W) ≥ 1 (λ1 ist Eigenwert von f 1 ). Gilt jedoch V = W, so ist jeder Vektor in V \ {0} ein Eigenvektor von f 1 . Nach unserer Annahme hat aber auch

15.2

Der Fundamentalsatz der Algebra

205

f 2 einen Eigenvektor, so dass mindestens ein gemeinsamer Eigenvektor von f 1 und f 2 existiert. (3) Diese Aussage folgt unmittelbar aus (1) und (2). 2 Wir beweisen nun den Fundamentalsatz der Algebra in der Formulierung (2) des Satzes 15.11. Satz 15.14 Ist V = {0} ein endlichdimensionaler C-Vektorraum, so hat jeder Endomorphismus f ∈ L(V, V) einen Eigenvektor. Beweis Wir beweisen die Aussage per Induktion über j = 1, 2, 3, . . . und dim(V) ∈ M j . Wir beginnen mit j = 1, d. h., wir zeigen die Behauptung für alle C-Vektorräume mit ungerader Dimension. Sei dazu V ein beliebiger C-Vektorraum mit n := dim(V) ∈ M1 . Sei f ∈ L(V, V) und sei ein beliebiges Skalarprodukt auf V gegeben. Wir betrachten die Menge der selbstadjungierten Abbildungen bezüglich dieses Skalarproduktes, Hn := {g ∈ L(V, V) | g = g ad }. Aus Lemma 13.13 wissen wir, dass die Menge Hn einen R-Vektorraum der Dimension n 2 bildet. Wir definieren nun zwei Endomorphismen auf Hn durch h 1 : Hn → Hn , h 2 : Hn → Hn ,

1 ( f ◦ g + g ◦ f ad ), 2 1 g → ( f ◦ g − g ◦ f ad ). 2i g →

Es gilt h 1 ◦ h 2 = h 2 ◦ h 1 (vgl. Aufgabe 15.5). Da n ungerade ist, ist n 2 ungerade und somit haben h 1 und h 2 nach Lemma 15.13 (3) einen gemeinsamen Eigenvektor. Es existiert also ein  g ∈ Hn \ {0} mit h 1 ( g ) = λ 1 g,

h 2 ( g ) = λ2 g,

für gewisse

λ1 , λ2 ∈ R.

Es gilt (h 1 + ih 2 )( g ) = f ◦ g für alle g ∈ Hn und somit insbesondere g ) = (λ1 + iλ2 ) g. f ◦ g = (h 1 + ih 2 )( Wegen  g = 0 gibt es einen Vektor v ∈ V mit  g (v) = 0. Dann folgt f ( g (v)) = (λ1 + iλ2 ) ( g (v)), also ist  g (v) ∈ V ein Eigenvektor von f , was den Beweis für j = 1 beendet. Wir nehmen nun an, dass für ein j ≥ 1 und jeden C-Vektorraum V mit dim(V) ∈ M j jeder Endomorphismus auf V einen Eigenvektor hat. Unter dieser Annahme hat nach Lemma 15.13 (2) jedes Paar kommutierender Endomorphismen f 1 , f 2 ∈ L(V, V) einen gemeinsamen Eigenvektor.

206

15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Wir haben zu zeigen, dass für jeden C-Vektorraum V mit dim(V) ∈ M j+1 jeder Endomorphismus auf V einen Eigenvektor hat. Es gilt M j+1 = M j ∪ {2 j q | q ungerade}. Die Behauptung ist somit nur für C-Vektorräume V mit n := dim(V) = 2 j q für eine ungerade natürliche Zahl q zu zeigen. Sei V ein solcher Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) gegeben. Wir wählen eine beliebige Basis von V und bezeichnen die Matrixdarstellung von f bezüglich dieser Basis mit A f ∈ Cn,n . Sei Sn := {M ∈ Cn,n | M = M T } die Menge der komplex-symmetrischen (n × n)-Matrizen. Wir definieren h 1 , h 2 ∈ L(Sn , Sn ) durch h 1 : Sn → Sn ,

B → A f B + B A Tf ,

h 2 : Sn → Sn ,

B → A f B A Tf ,

dann gilt h 1 ◦ h 2 = h 2 ◦ h 1 (vgl. Aufgabe 15.6). Die Menge Sn bildet einen C-Vektorraum der Dimension n(n + 1)/2 (vgl. die Bemerkungen nach Lemma 13.13). Es gilt n = 2 j q für eine ungerade natürliche Zahl q und daher 2 j q (2 j q + 1) n(n + 1) = = 2 j−1 q · (2 j q + 1) ∈ M j . 2 2 Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass die kommutierenden Endomorphismen h 1 und B ∈ Sn \ {0} mit h 2 einen gemeinsamen Eigenvektor haben, d. h. es existiert ein  h 1(  B, B) = λ1 

h2(  B, B) = λ2 

für gewisse λ1 , λ2 ∈ C.

B = Af  B+ B ATf . Multiplizieren wir diese Gleichung von links Es gilt somit insbesondere λ1  mit A f , so erhalten wir λ1 A f  B = A2f  B + Af  B A Tf = A2f  B + h2(  B + λ2  B. B) = A2f  B = A2f  B + λ2  B ist äquivalent mit Die Identität λ1 A f  

 A2f − λ1 A f + λ2 In  B = 0.

Wir faktorisieren nun das monische Polynom t 2 − λ1 t + λ2 als t 2 − λ1 t + λ2 = (t − α)(t − β), wobei C C λ1 + λ21 − 4λ2 λ1 − λ21 − 4λ2 α= , β= . 2 2

15.2

Der Fundamentalsatz der Algebra

207

Für diese Faktorisierung benutzen wir, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Dann ergibt sich (A f − α In )(A f − β In )  B = 0. Wegen  B = 0 existiert ein Vektor v ∈ Cn,1 mit  Bv = 0. Falls nun (A f − β In )  Bv = 0  Bv = 0, so ist ist, so ist Bv ein Eigenvektor von A f zum Eigenwert β. Ist (A f − β In )  (A f − β In )  Bv ein Eigenvektor on A f zum Eigenwert α. Da A f einen Eigenvektor hat, hat auch f einen Eigenvektor. 2

Die MATLAB-Minute Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix ⎡ 1 ⎢1 ⎢ A=⎢ ⎢2 ⎣5 4

2 2 3 1 2

3 4 4 4 3

4 3 1 2 1

⎤ 5 5⎥ ⎥ 5,5 5⎥ ⎥∈R 3⎦ 5

durch das Kommando L=eig(A). Das berechnete Ergebnis stimmt nicht mit unserer Theorie überein, denn als reelle Matrix darf A nur reelle Eigenwerte haben. Der Grund für das Auftreten komplexer Eigenwerte ist, dass MATLAB jede Matrix als komplexe Matrix interpretiert. Insbesondere ist für MATLAB jede Matrix unitär triangulierbar, denn jedes komplexe Polynom (vom Grad mindestens 1) zerfällt in Linearfaktoren.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra und Lemma 15.13 (2) folgt unmittelbar das nächste Resultat. Korollar 15.15 Ist V = {0} ein endlichdimensionaler C-Vektorraum, so haben zwei kommutierende Endomorphismen f 1 , f 2 ∈ L(V, V) einen gemeinsamen Eigenvektor. Beispiel 15.16 Man rechnet leicht nach, dass die beiden reellen Matrizen  A=

3 1



1 3

und

B=

 5 1

 1 5

kommutieren. Ein gemeinsamer Eigenvektor zum Eigenwert 4 von A und 6 von B ist der Vektor [1, 1]T . Zwei kommutierende Endomorphismen haben jedoch nicht immer einen gemeinsamen Eigenwert, was am Beispiel der beiden kommutierenden Endomorphismen IdV und 0 ∈ L(V, V) gezeigt wird.

208

15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Mit Hilfe von Korollar 15.15 kann man den Satz von Schur (vgl. Korollar 14.20) wie folgt verallgemeinern. Satz 15.17 Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und seien f 1 , f2 ∈ L(V, V) zwei kommutierende Endomorphismen. Dann sind f 1 und f 2 gleichzeitig unitär triangulierbar, d. h. es gibt eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f 1 ] B,B und [ f 2 ] B,B obere Dreiecksmatrizen sind. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Aufgaben 15.1 15.2

15.3

Beweisen Sie Lemma 15.1. Untersuchen Sie die folgenden Polynome auf Irreduzibilität: p1 = t 3 − t 2 + t − 1 ∈ Q[t],

p2 = t 3 − t 2 + t − 1 ∈ R[t],

p3 = t 3 − t 2 + t − 1 ∈ C[t],

p4 = 4t 3 − 4t 2 − t + 1 ∈ Q[t],

p5 = 4t 3 − 4t 2 − t + 1 ∈ R[t],

p6 = 4t 3 − 4t 2 − t + 1 ∈ C[t].

Bestimmen Sie zudem die Zerlegung in irreduzible Faktoren. Sei A ∈ G L n (C), n ≥ 2, und sei adj(A) ∈ Cn,n die Adjunkte von A. Zeigen Sie, dass es n − 1 Matrizen A j ∈ Cn,n mit det(−A j ) = det(A), j = 1, . . . , n − 1 und adj(A) =

n−1 

Aj

j=1

15.4

15.5

gibt. Hinweis: Konstruieren Sie mit Hilfe von PA ein Polynom p ∈ C[t]≤n−1 mit adj(A) = p(A) und schreiben Sie p als Produkt von Linearfaktoren. Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass zwei Polynome p, q ∈ K [t] \ {0} genau dann eine gemeinsame Nullstelle haben, wenn es Polynome r1 , r2 ∈ K [t] mit 0 ≤ Grad(r1 ) < Grad( p), 0 ≤ Grad(r2 ) < Grad(q) und p · r2 + q · r1 = 0 gibt. Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, f ∈ L(V, V), H := {g ∈ L(V, V) | g = gad } und seien zwei Endomorphismen auf H gegeben durch h 1 : H → H, h 2 : H → H,

15.6

1 ( f ◦ g + g ◦ f ad ), 2 1 g → ( f ◦ g − g ◦ f ad ). 2i g →

Zeigen Sie, dass h 1 ◦ h 2 = h 2 ◦ h 1 gilt. Sei Sn := {M ∈ Cn,n | M = M T } und seien h 1 , h 2 ∈ L(Sn , Sn ) mit

Aufgaben

15.7

209

h 1 : Sn → Sn ,

B → A f B + B A Tf ,

h 2 : Sn → Sn ,

B → A f B A Tf .

Zeigen Sie, dass h 1 ◦ h 2 = h 2 ◦ h 1 gilt. Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V). Zeigen Sie: (a) Ist K = C, so gibt es einen f -invarianten Unterraum U von V mit dim(U) = 1. (b) Ist K = R, so gibt es einen f -invarianten Unterraum U von V mit dim(U) ∈ {1, 2}.

15.8 15.9

Beweisen Sie Satz 15.17. Zeigen Sie durch Angabe eine Beispiels, dass die Bedingung f ◦ g = g ◦ f in Satz 15.17 hinreichend aber nicht notwendig für die gleichzeitige unitäre Triangulierbarkeit von f und g ist. 15.10 Seien K ein Körper, A ∈ K n,n eine Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Diagonaleinträgen und B ∈ K n,n mit AB = B A. Zeigen Sie, dass dann B eine Diagonalmatrix sein muss. Wie sieht B aus, wenn die Diagonaleinträge von A nicht paarweise verschieden sind? 15.11 Zeigen Sie, dass die Matrizen A=

 −1 1

 1 , −1

B=

 0 1



1 0

kommutieren und bestimmen Sie eine unitäre Matrix Q, so dass Q H AQ und Q H B Q in oberer Dreiecksform sind. 15.12 Seien K ein Körper und p ∈ K [t]. Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) Für alle A ∈ K n,n und S ∈ G L n (K ) gilt p(S AS −1 ) = Sp(A)S −1 . (b) Für alle A, B, C ∈ K n,n mit AB = C A gilt Ap(B) = p(C)A. (c) Ist K = C und A ∈ Cn,n , so gibt es eine unitäre Matrix Q so dass Q H AQ und Q H p(A)Q obere Dreiecksmatrizen sind.

Kapitel 16

Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

In diesem Kapitel werden wir die Theorie der Dualität benutzen, um die Eigenschaften eines Endomorphismus f auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V genauer zu untersuchen. Hierbei geht es uns insbesondere um die algebraische und geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte von f und die Charakterisierung der entsprechenden Eigenräume. Unsere Strategie in dieser Untersuchung ist, den Vektorraum V so in eine direkte Summe f -invarianter Unterräume zu zerlegen, dass bei einer geeigneten Wahl von Basen in den jeweiligen Unterräumen die Eigenschaften von f anhand der entsprechenden Matrixdarstellung offensichtlich werden. Diese Idee wird uns auf die Jordan-Normalform von Endomorphismen führen. Wegen der großen Bedeutung der Jordan-Normalform hat es seit ihrer Entdeckung zahlreiche weitere Herleitungen mit den unterschiedlichsten mathematischen Hilfsmitteln gegeben. Unser Zugang mit der Dualitätstheorie basiert auf einer Arbeit des tschechischen Mathematikers Vlastimil Pták (1925–1999) aus dem Jahre 1956 [Pta56].

16.1 Zyklische f -invariante Unterräume und Dualität Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum. Ist f ∈ L(V, V) und v0 ∈ V \ {0}, dann gibt es ein eindeutig definiertes kleinstes m = m( f, v0 ) ∈ N, so dass die Vektoren v0 , f (v0 ), . . . , f m−1 (v0 ) linear unabhängig und die Vektoren v0 , f (v0 ), . . . , f m−1 (v0 ), f m (v0 ) linear abhängig sind. Offensichtlich gilt m ≤ dim(V), denn es können maximal dim(V) Vektoren des Vektorraumes V linear unabhängig sein. Wir nennen die natürliche Zahl m( f, v0 ) den Grad von v0 bezüglich f . Der Vektor v0 = 0 ist linear abhängig und daher sagen wir, dass v0 = 0 den Grad 0 bezüglich f hat. Der Grad von v0 = 0 ist genau dann gleich 1, wenn die Vektoren v0 , f (v0 ) linear abhängig sind. Dies gilt genau dann, wenn v0 ein Eigenvektor von f ist. Ist v0 = 0 kein Eigenvektor von f , so hat v0 mindestens den Grad 2 bezüglich f . Für jedes j ∈ N definieren wir den Unterraum J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_16,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

211

212

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

K j ( f, v0 ) := Span{v0 , f (v0 ), . . . , f

j−1

(v0 )} ⊆ V.

Der Raum K j ( f, v0 ) heißt der j-te Krylov-Raum1 von f und v0 . Lemma 16.1 Ist V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und ist f ∈ L(V, V), dann gelten folgende Aussagen: (1) Hat v0 ∈ V \ {0} den Grad m bezüglich f , so ist Km ( f, v0 ) ein f -invarianter Unterraum und es gilt Span{v0 } = K1 ( f, v0 ) ⊂ K2 ( f, v0 ) ⊂ . . . ⊂ Km ( f, v0 ) = Km+ j ( f, v0 ) für alle j ∈ N. (2) Hat v0 ∈ V \ {0} den Grad m bezüglich f und ist U ⊆ V ein f -invarianter Unterraum, der den Vektor v0 enthält, so gilt Km ( f, v0 ) ⊆ U. Das bedeutet, dass unter allen f -invarianten Unterräumen von V die den Vektor v0 enthalten, Km ( f, v0 ) derjenige mit der kleinsten Dimension ist. (3) Ist v0 ∈ V mit f m−1 (v0 ) = 0 und f m (v0 ) = 0 für ein m ∈ N, so gilt dim(K j ( f, v0 )) = j, für j = 1, . . . , m. Beweis (1) Übungsaufgabe. (2) Sei U ⊆ V ein f -invarianter Unterraum, der den Vektor v0 enthält. Dann enthält U auch die linear unabhängigen Vektoren f (v0 ), . . . , f m−1 (v0 ), also gilt Km ( f, v0 ) ⊆ U. Somit ist dim(U) ≥ m = dim(Km ( f, v0 ). (3) Die Aussage ist klar für m = 1 und für j = 1. Sei m > 1 und sei ein j, 2 ≤ j ≤ m, gegeben und sei γ0 v0 + γ1 f (v0 ) + . . . + γ j−1 f

j−1

(v0 ) = 0

(16.1)

für gewisse Skalare γ0 , . . . , γ j−1 ∈ K . Dann folgt nach Anwendung von f m−1 auf beiden Seiten die Gleichung γ0 f m−1 (v0 ) + γ1 f m (v0 ) + . . . + γ j f m+ j−2 (v0 ) = 0. Nach Voraussetzung gilt f m (v0 ) = . . . = f m+ j−2 (v0 ) = 0 und somit folgt γ0 f m−1 (v0 ) = 0. Da f m−1 (v0 ) = 0 ist, muss γ0 = 0 sein. Ist j > 1, so zeigt man induktiv durch Anwendung von f m−k für k = 2, . . . , j auf (16.1), dass γ1 = . . . = γ j−1 = 0 gilt und somit folgt 2 dim(K j ( f, v0 )) = j. Hat v0 den Grad m ≥ 1 bezüglich f und ist j < m, so ist K j ( f, v0 ) kein f -invarianter / K j ( f, v0 ). Unterraum von V, denn es gilt 0 = f ( f j−1 (v0 )) = f j (v0 ) ∈ Die Vektoren v0 , f (v0 ), . . . , f m−1 (v0 ) bilden per Konstruktion eine Basis des Raumes Km ( f, v0 ). Die Anwendung von f auf einen Vektor f k (v0 ) dieser Basis liefert somit den nächsten Vektor f k+1 (v0 ), k = 0, 1, . . . , m − 2. Die Anwendung von f auf den letzten 1

Alexei Nikolajewitsch Krylov (1863–1945), russischer Schiffsbauingenieur und Mathematiker.

16.1

Zyklische f -invariante Unterräume und Dualität

213

Vektor f m−1 (v0 ) liefert eine Linearkombination aller Basisvektoren, denn es gilt f m (v0 ) ∈ Km ( f, v0 ). Aufgrund dieser speziellen Struktur wird der Raum Km ( f, v0 ) zum Grad m auch zyklischer f -invarianter Unterraum zu v0 bzgl. f genannt. Wir führen nun eine wichtige Klasse von Endomorphismen ein. Definition 16.2 Sei V ein K -Vektorraum. Ein Endomorphismus f ∈ L(V, V) heißt nilpotent, wenn f k = 0 für eine natürliche Zahl k gilt. Gilt gleichzeitig f k−1 = 0, so heißt f nilpotent vom Grad k und k heißt der Nilpotenzindex von f . Beispiel 16.3 Auf dem Vektorraum K 3,1 ist ⎡ ⎤ ⎤ 0 ν1 ⎣ ν2 ⎦ → ⎣ ν1 ⎦ , ν3 ν2 ⎡ f : K 3,1 → K 3,1 ,

ein nilpotenter Endomorphismus vom Grad 3, denn es gilt f = 0, f 2 = 0 und f 3 = 0. Ist U ein f -invarianter Unterraum von V, so ist f |U ∈ L(U, U) mit f |U : U → U,

u → f (u)

die Einschränkung von f auf den Unterraum U (vgl. Definition 2.11). Satz 16.4 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V). Dann existieren f -invariante Unterräume U1 ⊆ V und U2 ⊆ V mit V = U1 ⊕ U2 , so dass f |U1 ∈ L(U1 , U1 ) bijektiv und f |U2 ∈ L(U2 , U2 ) nilpotent ist. Beweis Ist v ∈ Kern( f ), so gilt f 2 (v) = f ( f (v)) = f (0) = 0. Somit ist v ∈ Kern( f 2 ) und daher gilt Kern( f ) ⊆ Kern( f 2 ). Induktiv folgt {0} ⊆ Kern( f ) ⊆ Kern( f 2 ) ⊆ Kern( f 3 ) ⊆ · · · . Da V endlichdimensional ist, gibt es in dieser Folge von Räumen eine kleinste Zahl m ∈ N mit Kern( f m ) = Kern( f m+ j ) für alle j ∈ N. Für diese Zahl m seien U1 := Bild( f m ),

U2 := Kern( f m ).

(Ist f bijektiv, so sind m = 0, U1 = V und U2 = {0}.) Wir zeigen nun, dass für die so konstruierten Räume U1 und U2 die Behauptung gilt. Man sieht leicht, dass U1 und U2 beide f -invariant sind, denn ist v ∈ U1 , so ist v = f m (w) für ein w ∈ V und somit folgt f (v) = f ( f m (w)) = f m ( f (w)) ∈ U1 . Ist v ∈ U2 , so gilt f m ( f (v)) = f ( f m (v)) = f (0) = 0 und somit ist f (v) ∈ U2 . Wenden wir die Dimensionsformel für lineare Abbildungen (vgl. Satz 10.9) auf die Abbildung f m an, so erhalten wir dim(V) = dim(U1 ) + dim(U2 ). Ist nun v ∈ U1 ∩ U2 , so gilt v = f m (w) für ein w ∈ V (da v ∈ U1 ist) und es folgt

214

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

0 = f m (v) = f m ( f m (w)) = f 2m (w). Die erste Gleichung gilt, da v ∈ U2 ist. Nach der Definition von m gilt Kern( f m ) = Kern( f 2m ), woraus f m (w) = 0 und damit v = f m (w) = 0 folgt. Aus U1 ∩ U2 = {0} und der Dimensionsformel für lineare Abbildungen folgt V = U1 ⊕ U2 . Sei nun v ∈ Kern( f |U1 ) ⊆ U1 gegeben. Da v ∈ U1 ist, gibt es einen Vektor w ∈ V mit v = f m (w), woraus 0 = f (v) = f ( f m (w)) = f m+1 (w) folgt. Nach der Definition von m ist Kern( f m ) = Kern( f m+1 ), also ist w ∈ Kern( f m ) und daher gilt v = f m (w) = 0. Damit folgt Kern( f |U1 ) = {0}, d. h. f |U1 ist injektiv und somit auch bijektiv. Ist andererseits v ∈ U2 , so gilt per Definition 0 = f m (v) = ( f |U2 )m (v), also ist ( f |U2 )m die 0-Abbildung in L(U2 , U2 ), d. h. f |U2 ist nilpotent. 2 Für die weitere Entwicklung wiederholen wir zunächst einige Begriffe aus Kap. 11. Sei V weiterhin ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und sei V ∗ der Dualraum von V. Sind U ⊆ V und W ⊆ V ∗ zwei Unterräume und ist die Bilinearform β : U × W → K,

(v, h) → h(v)

(16.2)

nicht ausgeartet, so bilden U, W ein duales Raumpaar bezüglich β. Notwendig hierfür ist, dass dim(U) = dim(W) gilt. Für f ∈ L(U, U) ist die duale Abbildung f ∗ ∈ L(U ∗ , U ∗ ) definiert durch f ∗ : U ∗ → U ∗,

h → h ◦ f.

Für alle v ∈ U und h ∈ U ∗ gilt also ( f ∗ (h))(v) = h( f (v)). Zudem ist ( f k )∗ = ( f ∗ )k für alle k ∈ N0 . Die Menge U 0 := {h ∈ V ∗ | h(u) = 0 für alle u ∈ U} heißt der Annihilator von U. Diese Menge bildet einen Unterraum von V ∗ (vgl. Aufgabe 11.5). Analog heißt W 0 := {v ∈ V | h(v) = 0 für alle h ∈ W} der Annihilator von W. Diese Menge bildet einen Unterraum von V. Lemma 16.5 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum, f ∈ L(V, V), V ∗ der Dualraum von V, f ∗ ∈ L(V ∗ , V ∗ ) die duale Abbildung zu f , sowie U ⊆ V und W ⊆ V ∗ zwei Unterräume. Dann gelten die folgenden Aussagen: (1) dim(V) = dim(W) + dim(W 0 ) = dim(U) + dim(U 0 ). (2) Ist f nilpotent vom Grad m ≥ 1, so ist auch die duale Abbildung f ∗ nilpotent vom Grad m. (3) Ist W ⊆ V ∗ ein f ∗ -invarianter Unterraum, so ist W 0 ⊆ V ein f -invarianter Unterraum. (4) Bilden U, W ein duales Raumpaar bezüglich der in (16.2) definierten Bilinearform, so gilt V = U ⊕ W 0 .

16.1

Zyklische f -invariante Unterräume und Dualität

215

Beweis (1) Übungsaufgabe. (2) Für alle v ∈ V gilt f m (v) = 0. Somit folgt 0 = h( f m (v)) = (( f m )∗ (h))(v) = (( f ∗ )m (h))(v) für jedes h ∈ V ∗ und v ∈ V, d. h. f ∗ ist nilpotent vom Grad höchstens m. Ist ( f ∗ )m−1 = 0, so folgt ( f ∗ )m−1 (h) = 0 für alle h ∈ V ∗ und somit 0 = (( f ∗ )m−1 (h))(v) = h( f m−1 (v)) für alle v ∈ V. Hieraus folgt f m−1 = 0 im Widerspruch zur Annahme, dass f nilpotent vom Grad m ist. Also ist f ∗ nilpotent vom Grad m. (3) Ist w ∈ W 0 , so gilt h( f (w)) = ( f ∗ (h))(w) = 0 für jedes h ∈ W. Hier haben wir benutzt, dass f ∗ (h) ∈ W ist, da W als f ∗ -invariant vorausgesetzt wird. Somit ist f (w) ∈ W 0 , d. h. W 0 ist f -invariant. (4) Ist u ∈ U ∩ W 0 , so ist h(u) = 0 für alle h ∈ W, denn es gilt u ∈ W 0 . Da U, W ein duales Raumpaar bezüglich der in (16.2) definierten Bilinearform bilden, folgt u = 0. Zudem gilt dim(U) = dim(W) und mit Hilfe von (1) folgt dim(V) = dim(W) + dim(W 0 ) = dim(U) + dim(W 0 ). Aus U ∩ W 0 = {0} ergibt sich schließlich V = U ⊕ W 0 .

2

Beispiel 16.6 Wir betrachten den Vektorraum V = R2,1 mit der Standardbasis B = {e1 , e2 }. Für die Unterräume

 0 U = Span ⊂ V, 1 ) ( * W = h ∈ V ∗ ) [h] B,{1} = [α, α] für ein α ∈ R ⊂ V ∗ erhalten wir ) ( * U 0 = h ∈ V ∗ ) [h] B,{1} = [α, 0] für ein α ∈ R ⊂ V ∗ ,

 1 0 ⊂ V. W = Span −1 In diesem Beispiel sieht man leicht, dass dim(V) = dim(W) + dim(W 0 ) = dim(U) + dim(U 0 ) gilt. Zudem bilden U, W ein duales Raumpaar bezüglich der in (16.2) definierten Bilinearform (mit K = R) und es gilt V = U ⊕ W 0 . Im nun folgenden Satz, der für nilpotentes f eine Zerlegung von V in f -invariante Unterräume angibt, führen wir die Konzepte der zyklischen f -invarianten Unterräume und der Dualräume zusammen. Die Idee der Zerlegung ist, ein duales Paar U ⊆ V und W ⊆ V ∗ von Unterräumen zu finden, wobei U f -invariant und W f ∗ -invariant ist. Nach Lemma 16.5 (3) ist dann W 0 f -invariant und mit Lemma 16.5 (4) folgt V = U ⊕ W 0 .

216

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

Satz 16.7 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) nilpotent vom Grad m ∈ N. Sei v0 ∈ V ein beliebiger Vektor mit f m−1 (v0 ) = 0 und sei h 0 ∈ V ∗ ein beliebiger Vektor mit h 0 ( f m−1 (v0 )) = 0. Dann sind v0 bzw. h 0 vom Grad m bezüglich f bzw. f ∗ und die beiden Räume Km ( f, v0 ) bzw. Km ( f ∗ , h 0 ) sind zyklische f - bzw. f ∗ -invariante Unterräume von V bzw. V ∗ . Diese beiden Räume bilden ein duales Raumpaar bezüglich der in (16.2) definierten Bilinearform und es gilt V = Km ( f, v0 ) ⊕ (Km ( f ∗ , h 0 ))0 . Beweis Da f nilpotent vom Grad m ist, gilt f m−1 = 0. Sei v0 ∈ V ein Vektor mit f m−1 (v0 ) = 0. Da f m (v0 ) = 0 ist, ist der Raum Km ( f, v0 ) ein m-dimensionaler zyklischer f -invarianter Unterraum von V (vgl. Lemma 16.1 (3)). Sei h 0 ∈ V ∗ ein Vektor mit 0 = h 0 ( f m−1 (v0 )) = (( f ∗ )m−1 (h 0 ))(v0 ). Insbesondere ist also 0 = ( f ∗ )m−1 (h 0 ) ∈ L(V ∗ , V ∗ ). Da f nilpotent vom Grad m ist, ist auch f ∗ nilpotent vom Grad m (vgl. Lemma 16.5 (2)), d. h. es gilt ( f ∗ )m (h 0 ) = 0 ∈ L(V ∗ , V ∗ ). Somit ist Km ( f ∗ , h 0 ) = Span{h 0 , f ∗ (h 0 ), . . . , ( f ∗ )m−1 (h 0 )} ein m-dimensionaler zyklischer f ∗ -invarianter Unterraum von V ∗ (vgl. Lemma 16.1 (3)). Wir haben noch zu zeigen, dass Km ( f, v0 ), Km ( f ∗ , h 0 ) ein duales Raumpaar bilden. Sei v1 =

m−1 

γ j f j (v0 ) ∈ Km ( f, v0 )

j=0

ein Vektor mit h(v1 ) = β(v1 , h) = 0 für alle h ∈ Km ( f ∗ , h 0 ). Wir zeigen nun induktiv, dass dann γ0 = γ1 = . . . = γm−1 = 0 gilt, dass also v1 = 0 ist. Aus ( f ∗ )m−1 (h 0 ) ∈ Km ( f ∗ , h 0 ) folgt nach unserer Annahme über den Vektor v1 , 0 = (( f ∗ )m−1 (h 0 ))(v1 ) = h 0 ( f m−1 (v1 )) =

m−1 

γ j h 0 ( f m−1+ j (v0 ))

j=0

= γ0 h 0 ( f

m−1

(v0 )).

Die letzte Gleichung gilt, da f m−1+ j (v0 ) = 0 für j = 1, . . . , m − 1 ist (denn f m = 0). Aus h 0 ( f m−1 (v0 )) = 0 ergibt sich nun γ0 = 0. Seien nun γ0 = . . . = γk−1 = 0 für ein k, 1 ≤ k ≤ m − 2. Aus ( f ∗ )m−1−k (h 0 ) ∈ Km ( f ∗ , h 0 ) folgt nach unserer Annahme über den Vektor v1 ,

16.2

Die Jordan-Normalform ∗ m−1−k

0 = (( f )

217

(h 0 ))(v1 ) = h 0 ( f

m−1−k

(v1 )) =

m−1 

γ j h 0 ( f m−1+ j−k (v0 ))

j=0

= γk h 0 ( f

m−1

(v0 )).

Die letzte Gleichung gilt, da γ j = 0 für j = 0, . . . , k − 1 und f m−1+ j−k (v0 ) = 0 für j = k + 1, . . . , m − 1 sind. Es gilt v1 = 0 wie oben behauptet und somit ist die in (16.2) definierte Bilinearform für die Räume Km ( f, v0 ), Km ( f ∗ , h 0 ) nicht ausgeartet in der ersten Variablen. Analog zeigt man, dass diese Bilinearform nicht ausgeartet in der zweiten Variablen ist, woraus folgt, dass Km ( f, v0 ), Km ( f ∗ , h 0 ) ein duales Raumpaar bilden. Mit Hilfe von Lemma 16.5 (4) folgt nun V = Km ( f, v0 ) ⊕ (Km ( f ∗ , h 0 ))0 , wobei der Raum (Km ( f ∗ , h 0 ))0 nach Lemma 16.5 (3) ein f -invarianter Unterraum von V ist. 2

16.2 Die Jordan-Normalform Seien V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V). Falls es eine Basis B von V bestehend aus Eigenvektoren von f gibt, so ist [ f ] B,B eine Diagonalmatrix, das heißt f ist diagonalisierbar. Notwendig und hinreichend hierfür ist, dass das charakteristische Polynom P f in Linearfaktoren zerfällt und dass zusätzlich g( f, λ j ) = a( f, λ j ) für jeden Eigenwert λ j gilt (vgl. Satz 14.14). Zerfällt P f in Linearfaktoren und ist g( f, λ j ) < a( f, λ j ) für mindestens einen Eigenwert λ j , so ist f nicht diagonalisierbar, kann aber trianguliert werden. Das heißt, es gibt eine Basis B von V, so dass [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist (vgl. Satz 14.17). An dieser Form können wir zwar die algebraischen, im Allgemeinen jedoch nicht die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte ablesen. Ziel der unten folgenden Konstruktion ist die Bestimmung einer Basis B von V, so dass [ f ] B,B eine obere Dreiecksform hat, die „möglichst nahe“ an einer Diagonalmatrix ist und von der die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte abgelesen werden können. Unter der Annahme, dass P f in Linearfaktoren zerfällt, werden wir eine Basis B von V konstruieren, für die [ f ] B,B eine Block-Diagonalmatrix der Form ⎡ ⎢ [ f ] B,B = ⎣

⎤

Jd1 (λ1 )

..

⎥ ⎦

.

(16.3)

Jdm (λm ) ist, wobei jeder Diagonalblock die Form ⎡ ⎢ ⎢ Jd j (λ j ) := ⎢ ⎢ ⎣

λj

1 .. .

⎤ .. ..

. .

⎥ ⎥ ⎥ ∈ K d j ,d j ⎥ 1⎦ λj

(16.4)

218

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

für ein λ j ∈ K und ein d j ∈ N hat, j = 1, . . . , m. Eine Matrix der Form (16.4) nennen wir einen Jordan-Block der Größe d j zum Eigenwert λ j . Um mit der Konstruktion zu beginnen, nehmen wir zunächst nicht an, dass P f in Linearfaktoren zerfällt, sondern wir setzen lediglich die Existenz eines Eigenwertes λ1 ∈ K von f voraus. Mit diesem definieren wir den Endomorphismus g := f − λ1 IdV ∈ L(V, V). Nach Satz 16.4 existieren g-invariante Unterräume U ⊆ V und W ⊆ V mit V = U ⊕ W, so dass g1 := g|U nilpotent und g|W bijektiv ist. Es gilt U = {0}, denn andernfalls wäre W = V und g|W = g|V = g wäre bijektiv, was der Annahme widerspricht, dass λ1 ein Eigenwert von f ist. Sei g1 nilpotent vom Grad d1 . Dann gilt per Konstruktion 1 ≤ d1 ≤ dim(U). Sei w1 ∈ U d −1 d d −1 ein Vektor mit g1 1 (w1 ) = 0. Aus g1 1 (w1 ) = 0 folgt, dass der Vektor g1 1 (w1 ) ein Eigenvektor von g1 (zum einzigen Eigenwert 0) ist. Nach Lemma 16.1 sind die d1 Vektoren w1 , g1 (w1 ), . . . , g1d1 −1 (w1 ) linear unabhängig und U1 := Kd1 (g1 , w1 ) ist ein d1 -dimensionaler zyklischer g1 -invarianter Unterraum von U. Wir betrachten nun die Basis   B1 := g1d1 −1 (w1 ), . . . , g1 (w1 ), w1 von U1 . Dann ist die Matrixdarstellung von g1 |U1 bezüglich der Basis B1 gegeben durch ⎡

[g1 |U1 ] B1 ,B1

0 ⎢ .. ⎢. = ⎢ ⎢. ⎣ .. 0

1 .. . ...

⎤ .. ..

.

. ...

⎥ ⎥ ⎥ = Jd (0) ∈ K d1 ,d1 1 ⎥ 1⎦ 0

und per Konstruktion gilt [g1 |U1 ] B1 ,B1 = [g|U1 ] B1 ,B1 . Die Anwendung von Satz 16.7 auf g1 ∈ L(U, U) zeigt, dass es einen g1 -invarianten Unter ⊂ U mit U = U1 ⊕ U  gibt. Ist d1 = dim(U), so gilt hierbei U = U1 sowie U  = {0} raum U und unsere Konstruktion ist vorerst abgeschlossen.  = {0} und wir betrachten Ist andererseits d1 < dim(U), so ist U g2 := g1 |U.

16.2

Die Jordan-Normalform

219

 gilt. Wir führen Diese Abbildung hat den Nilpotenzindex d2 , wobei 1 ≤ d2 ≤ d1 ≤ dim(U) nun die gleiche Konstruktion wie oben durch:  mit g d2 −1 (w2 ) = 0. Dann ist g d2 −1 (w2 ) ein Wir bestimmen einen Vektor w2 ∈ U 2 2 Eigenvektor von g2 , U2 := Kd2 (g2 , w2 ) ist ein d2 -dimensionaler zyklischer g2 -invarianter  ⊂ U und für die Basis Unterraum von U   d −1 B2 := g2 2 (w2 ), . . . , g2 (w2 ), w2 von U2 folgt ⎡

[g2 |U2 ] B2 ,B2

0 ⎢ .. ⎢. = ⎢ ⎢. ⎣ .. 0

1 .. . ...

⎤ .. ..

.

. ...

⎥ ⎥ ⎥ = Jd (0) ∈ K d2 ,d2 2 ⎥ 1⎦ 0

und per Konstruktion gilt [g2 |U2 ] B2 ,B2 = [g|U2 ] B2 ,B2 . Nach k ≤ dim(U) Schritten bricht dieses Verfahren ab. Wir haben dann eine Zerlegung von U der Form U = Kd1 (g1 , w1 ) ⊕ . . . ⊕ Kdk (gk , wk ) = Kd1 (g, w1 ) ⊕ . . . ⊕ Kdk (g, wk ). In der zweiten Gleichung haben wir benutzt, dass Kd j (g j , w j ) = Kd j (g, wk ) für j = 1, . . . , k ist. Fassen wir die konstruierten Basen B1 , . . . , Bk in einer Basis B von U zusammen, so folgt ⎡ ⎢ [g|U ] B,B = ⎣

[g|U1 ] B1 ,B1

⎡

⎤ ..

.

⎢ ⎥ ⎦ = ⎣

Jd1 (0)

[g|Uk ] Bk ,Bk

⎤ ..

.

⎥ ⎦. Jdk (0)

Wir übertragen nun diese Ergebnisse auf f = g + λ1 IdV . Offensichtlich ist jeder g-invariante Unterraum auch f -invariant. Man sieht zudem leicht, dass Kd j ( f, w j ) = Kd j (g, w j ),

j = 1, . . . , k,

gilt. Damit folgt U = Kd1 ( f, w1 ) ⊕ . . . ⊕ Kdk ( f, wk ). Für jedes gegebene j = 1, . . . , k und 0 ≤  ≤ d j − 1 ist

(16.5)

220

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

 f

g  (w j )



  = g g  (w j ) + λ1 g  (w j ) = λ1 g  (w j ) + g +1 (w j ),

(16.6)

wobei g d j (w j ) = 0 gilt. Die Matrixdarstellung von f |U bezüglich der Basis B von U ist daher gegeben durch ⎡ ⎢ [ f |U ] B,B = ⎣

⎤

[ f |U1 ] B1 ,B1

..

⎡

⎥ ⎢ ⎦ = ⎣

.

Jd1 (λ1 )

⎤ ..

⎥ ⎦.

.

[ f |Uk ] Bk ,Bk

(16.7)

Jdk (λ1 )

Der Vektor g d j −1 (w j ) ist ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ1 . Ist d j −1

v=



α g  (w j ) ∈ Kd j ( f, w j )

=0

ein beliebiger Vektor, so folgt mit Hilfe von (16.6), dass d j −1

f (v) =



d j −1 j −1   d  α f g  (w j ) = α λ1 g  (w j ) + α g +1 (w j )

=0

=0

=0

d j −2

= λ1 v +



α g +1 (w j ).

=0

Die Vektoren g(w1 ), . . . , g d j −1 (w1 ) sind linear unabhängig. Somit gilt f (v) = λ1 v genau dann, wenn α0 = α1 = . . . = αd j −2 = 0 ist. Es folgt, dass f im Unterraum Kd j ( f, w j ) genau einen Eigenvektor zum Eigenwert λ1 besitzt. Die Abbildung g|W = f |W − λ1 IdW ist per Konstruktion bijektiv, d. h. λ1 ist kein Eigenwert dieser Abbildung. Daher ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ1 von f gleich der Dimension von U. Die geometrische Vielfachheit ist gleich der Anzahl der Krylov-Räume in der Zerlegung (16.5). Diese Zahl ist gleich der Anzahl der Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ1 in der Matrixdarstellung (16.7). Wir fassen die obige Konstruktion im folgenden Satz zusammen. Satz 16.8 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und sei f ∈ L(V, V). Ist λ1 ∈ K ein Eigenwert von f , so gelten die folgenden Aussagen. (1) Es gibt f -invariante Unterräume {0} = U ⊆ V und W ⊂ V mit V = U ⊕ W. Die Abbildung f |U −λ1 IdU ist nilpotent und die Abbildung f |W −λ1 IdW ist bijektiv. Insbesondere ist λ1 kein Eigenwert der Abbildung f |W . (2) Der Unterraum U aus (1) kann geschrieben werden als U = Kd1 ( f, w1 ) ⊕ . . . ⊕ Kdk ( f, wk )

16.2

Die Jordan-Normalform

221

für gewisse Vektoren w1 , . . . , wk ∈ U, wobei Kd j ( f, w j ) ein d j -dimensionaler zyklischer f -invarianter Unterraum von V ist, j = 1, . . . , k. (3) Es gibt eine Basis B von U mit ⎡ ⎢ [ f |U ] B,B = ⎣

⎤

Jd1 (λ1 )

..

⎥ ⎦.

. Jdk (λ1 )

(4) Es gelten a( f, λ1 ) = d1 + . . . + dk und g( f, λ1 ) = k. Hat f einen weiteren Eigenwert λ2 = λ1 , so ist dieser ein Eigenwert der Einschränkung f |W ∈ L(W, W) und wir können den obigen Satz auf f |W anwenden. Der Vektorraum W ist dann eine direkte Summe der Form W = X ⊕ Y, wobei f |X − λ2 IdX nilpotent und f |Y − λ2 IdY bijektiv ist. Der Raum X ist eine direkte Summe von Krylov-Räumen analog zu (2) im obigen Satz und es gibt eine Matrixdarstellung von f |X analog zu (3). Dies läßt sich für alle Eigenwerte von f durchführen. Zerfällt das charakteristische Polynom P f in Linearfaktoren, so erhalten wir schließlich eine Zerlegung des gesamten Raumes V in eine direkte Summe von Krylov-Räumen, und damit den folgenden Satz. Satz 16.9 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und sei f ∈ L(V, V). Zerfällt das charakteristische Polynom P f in Linearfaktoren, so gibt es eine Basis B von V, so dass ⎡ ⎢ [ f ] B,B = ⎣

Jd1 (λ1 )

⎤ ..

.

⎥ ⎦

(16.8)

Jdm (λm )

ist, wobei λ1 , . . . , λm ∈ K die (nicht unbedingt paarweise verschiedenen) Eigenwerte von f sind. Für jeden Eigenwert  λ j von f ist a( f,  λ j ) gleich der Summe der Größen aller Jordan Blöcke zu λ j in (16.8) und g( f,  λ j ) ist gleich der Anzahl aller Jordan-Blöcke zu  λ j in (16.8). Eine Matrixdarstellung der Form (16.8) nennen wir eine Jordan-Normalform2 von f . Die Eindeutigkeitsaussage des folgenden Satzes rechtfertigt den Namen Normalform. Satz 16.10 Sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum. Hat f ∈ L(V, V) eine JordanNormalform, so ist diese bis auf die Reihenfolge der Jordan-Blöcke auf ihrer Diagonalen eindeutig. Beweis Sei dim(V) = n und seien B1 , B2 zwei Basen von V mit

2 Benannt nach Marie Ennemond Camille Jordan (1838–1922), französischer Mathematiker, der diese Form 1870 fand. Zwei Jahre vor Jordan bewies Karl Weierstraß ein Resultat, aus dem sich die Jordan-Normalform ergibt.

222

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

⎡ ⎢ A1 := [ f ] B1 ,B1 = ⎣

Jd1 (λ1 )

⎤ ..

⎥ n,n ⎦ ∈ K

. Jdm (λm )

sowie ⎡ ⎢ A2 := [ f ] B2 ,B2 = ⎣

Jc1 (μ1 )

⎤ ..

⎥ n,n ⎦ ∈ K .

. Jcm (μk )

Für einen gegebenen Eigenwert λ j , 1 ≤ j ≤ m, definieren wir

rs(1) (λ j ) := Rang (A1 − λ j In )s ,

s = 0, 1, 2, . . . .

Dann ist (1) ds(1) (λ j ) := rs−1 (λ j ) − rs(1) (λ j ),

s = 1, 2, . . . ,

gleich der Anzahl der Jordan-Blöcke J (λ j ) ∈ K , auf der Diagonalen von A1 mit  ≥ s. Die Anzahl der Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ j mit exakter Größe s ist somit (1)

(1)

(1)

ds(1) (λ j ) − ds+1 (λ j ) = rs−1 (λ j ) − 2rs(1) (λ j ) + rs+1 (λ j )

(16.9)

(vgl. Beispiel 16.11). Die Matrizen A1 und A2 sind ähnlich und haben daher die gleichen Eigenwerte, d. h. es gilt {λ1 , . . . , λm } = {μ1 , . . . , μk }. Zudem gilt Rang



A 1 − α In

m

= Rang



A 2 − α In

m

für alle α ∈ K und m ∈ N0 . Insbesondere gibt es für jedes gegebene λ j ein μi ∈ {μ1 , . . . , μk } mit μi = λ j und für dieses μi und die Matrix A2 ergibt sich rs(2) (μi ) := Rang



A2 − μi In

s

= rs(1) (λ j ),

s = 0, 1, 2, . . . .

Mit (16.9) folgt, dass die Matrix A2 auf ihrer Diagonalen bis auf die Reihenfolge die gleichen Jordan-Blöcke wie die Matrix A1 enthält. 2 Beispiel 16.11 Dieses Beispiel verdeutlicht die Konstruktion im Beweis von Satz 16.10. Ist

16.2

Die Jordan-Normalform

⎡ A=⎣

223

⎡

⎤

J2 (1)

⎢ ⎢ ⎦=⎢ ⎢ ⎣ J2 (0)

J1 (1)

1

⎤

1 1 1

⎥ ⎥ ⎥ ∈ K 5,5 , ⎥ 0 1 ⎦ 0

(16.10)

dann ist (A − 1 · I5 )0 = I5 , ⎡ ⎢ ⎢ A − 1 · I5 = ⎢ ⎢ ⎣

0

⎤

1 0 0

⎡

⎥ ⎥ ⎥, ⎥ −1 1 ⎦ −1

⎢ ⎢ (A − 1 · I5 )2 = ⎢ ⎢ ⎣

0

⎤

0 0 0 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −2 ⎦ 1

und wir erhalten r0 (1) = 5,

r1 (1) = 3,

rs (1) = 2,

s ≥ 2,

d1 (1) = 2,

d2 (1) = 1,

ds (1) = 0,

s ≥ 2,

d1 (1) − d2 (1) = 1,

d2 (1) − d3 (1) = 1,

ds (1) − ds+1 (1) = 0,

s ≥ 3.

Aus Satz 14.14 wissen wir, dass f ∈ L(V, V) genau dann diagonalisierbar ist, wenn λ j ) = a( f,  λ j ) für jeden Eigenwert  λ j von f gilt. P f in Linearfaktoren zerfällt und g( f,  Zerfällt P f in Linearfaktoren, so hat f eine Jordan-Normalform und Satz 16.9 zeigt, dass λ j ) genau dann gilt, wenn die Summe der Größen aller die Bedingung g( f,  λ j ) = a( f,   Jordan-Blöcke zu λ j gleich der Anzahl aller Jordan-Blöcke zu  λ j ist. Letzteres gilt genau dann, wenn jeder Jordan-Block zum Eigenwert  λ j die Größe 1 hat. Mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra erhalten wir dann das folgende Korollar aus Satz 16.9. Korollar 16.12 Ist V ein endlichdimensionaler C-Vektorraum, so besitzt jedes f ∈ L(V, V) eine Jordan-Normalform. Wir betrachten nun Potenzen eines Jordan-Blocks Jd (λ) ∈ K d,d . Da Id und Jd (0) kommutieren, gilt für jedes k ∈ N0 die Gleichung (Jd (λ))k = (λId + Jd (0))k =

k    k j=0

j

λk− j (Jd (0)) j =

k  p ( j) (λ) (Jd (0)) j , j! j=0

wobei p ( j) die j-te Ableitung des Polynoms p = t k nach t ist, also p (0) = (t k )(0) = t k ,

p ( j) = (t k )( j) = k(k − 1) . . . (k − j + 1) t k− j ,

j = 1, . . . , k.

Mit Hilfe dieses Ergebnisses für die Monome t k zeigt man nun das folgende Resultat.

224

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

Lemma 16.13 Ist p ∈ K [t] ein Polynom vom Grad k ≥ 0, so gilt p (Jd (λ)) =

k  p ( j) (λ) (Jd (0)) j . j!

(16.11)

j=0

2

Beweis Übungsaufgabe. Aufgefasst als lineare Abbildung von „Verschiebung nach oben“, denn es gilt

K d,1

⎡ ⎤ ⎤ α1 α2 ⎢ α2 ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Jd (0) ⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦ ⎣ αd ⎦ 0 αd

nach

K d,1

repräsentiert die Matrix Jd (0) eine ⎡

⎡

für alle

⎤ α1 ⎢ α2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ ∈ K d,1 . ⎣ . ⎦ αd

Wie man sich leicht überlegt, ist daher (Jd (0)) = 0 ∈ K d,d ,

 = 0, 1, . . . , d − 1,

(Jd (0))d = 0 ∈ K d,d .

Insbesondere ist die lineare Abbildung Jd (0) nilpotent vom Grad d. Die Summe auf der rechten Seite von (16.11) hat also höchstens d Terme, selbst wenn Grad( p) > d ist. Die rechte Seite von (16.11) zeigt zudem, dass p (Jd (λ)) eine obere Dreiecksmatrix mit konstanten Einträgen auf ihren Diagonalen ist.3 Insbesondere steht auf der Hauptdiagonalen der Eintrag p(λ). An (16.11) sehen wir, dass p(Jn (λ)) = 0 genau dann gilt, wenn p(λ) = p $ (λ) = . . . = p (d−1) (λ) = 0 ist. Wir haben damit das folgende Resultat bewiesen. Lemma 16.14 Seien Jd (λ) ∈ K d,d ein Jordan-Block und p ∈ K [t] ein Polynom. (1) Die Matrix p(Jd (λ)) ist genau dann invertierbar, wenn λ keine Nullstelle von p ist. (2) Es gilt p(Jd (λ)) = 0 ∈ K d,d genau dann, wenn λ eine d-fache Nullstelle von p ist, d. h. wenn der Linearfaktor (t − λ)d ein Teiler von p ist. Seien nun V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), wobei wir nicht voraussetzen, dass P f in Linearfaktoren zerfällt. Aus dem Satz von Cayley-Hamilton (vgl. Satz 8.6) wissen wir, dass P f ( f ) = 0 ∈ L(V, V) ist, d. h. es gibt ein monisches Polynom vom Grad höchstens dim(V), welches den Endomorphismus f annuliert. Seien p1 , p2 ∈ K [t] zwei monische Polynome kleinsten Grades, für die p1 ( f ) = p2 ( f ) = 0 gilt. Es folgt ( p1 − p2 )( f ) = 0 und da p1 und p2 monisch sind, ist p1 − p2 ∈ K [t] ein Polynom mit

3

Eine Matrix mit konstanten Diagonalen wird nach dem deutschen Mathematiker Otto Toeplitz (1881–1940) als Toeplitz-Matrix bezeichnet.

16.2

Die Jordan-Normalform

225

Grad( p1 − p2 ) < Grad( p1 ) = Grad( p2 ). Aus der Minimalitätsannahme an Grad( p1 ) und Grad( p2 ) folgt p1 − p2 = 0 ∈ K [t], d. h. p1 = p2 . Daher existiert für jedes f ∈ L(V, V) ein eindeutig bestimmtes monisches Polynom kleinsten Grades, welches f annuliert. Dies motiviert die folgende Definition. Definition 16.15 Ist V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), so nennen wir das eindeutig bestimmte monische Polynom kleinsten Grades, das f annuliert das Minimalpolynom von f . Wir bezeichnen dieses Polynom mit M f . Per Konstruktion gilt stets Grad(M f ) ≤ Grad(P f ) = dim(V). Ist p ∈ K [t] ein Polynom mit p( f ) = 0, dann gilt Grad(M f ) ≤ Grad( p). Nach der Division mit Rest (vgl. Satz 15.4) gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K [t] mit p = q · M f + r und Grad(r ) < Grad(M f ). Es folgt 0 = p( f ) = q( f ) M f ( f ) + r ( f ) = r ( f ). Aus der Minimalitätsannahme an Grad(M f ) folgt r = 0, also p = q · M f und somit gilt das folgende Resultat. Lemma 16.16 Sind V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ L(V, V), so ist das Minimalpolynom M f ein Teiler jedes Polynoms, das f annuliert und somit insbesondere ein Teiler des charakteristischen Polynoms P f . Zerfällt P f in Linearfaktoren, so können wir M f mit Hilfe der Jordan-Normalform von f explizit konstruieren. Lemma 16.17 Sei V ein Vektorraum mit dim(V) = n. Hat f ∈ L(V, V) eine JordanNormalform mit paarweise verschiedenen Eigenwerten  λ1 , . . . ,  λk und sind d1 , . . . , dk die jeweils maximalen Größen eines zugehörigen Jordan-Blocks, so ist Mf =

k 



(t −  λ j )d j .

(16.12)

j=1

Beweis Wir wissen aus Lemma 16.17, dass M f ein Teiler von P f ist. Daher gilt Mf =

m 

(t −  λ j ) j

j=1

für gewisse Exponenten 1 , . . . , m . Ist ⎡ ⎢ A=⎣

Jd1 (λ1 )

⎤ ..

.

⎥ ⎦ Jdm (λm )

eine Jordan-Normalform von f , so ist M f ( f ) = 0 ∈ L(V, V) äquivalent zu M f (A) = 0 ∈ K n,n . Es gilt M f (A) = 0 genau dann, wenn M f (Jd j (λ j )) = 0 für j = 1, . . . , m ist.

226

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

Notwendig und hinreichend hierfür ist M f (Jdj ( λ j )) = 0 für j = 1, . . . , k. Aus Lemma 16.14  folgt, dass dies genau dann gilt, wenn jeder der Linearfaktoren (t −  λ j )d j , j = 1, . . . , k, ein Teiler von M f ist. Somit hat M f die behauptete Form. 2 Beispiel 16.18 Ist f ein Endomorphismus mit der Jordan-Normalform A in (16.10), so gilt P f = (t − 1)3 t 2 ,

M f = (t − 1)2 t 2

und ⎤⎡

⎡

M f (A) = (A − 1 · I5 ) A 2

2

0 0 ⎢ 0 ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣

0 1

1 2 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ −2 ⎦ ⎣ 1

⎤ 1

⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 0 0 ⎦ 0

woraus M f (A) = 0 ∈ K 5,5 und M f ( f ) = 0 ∈ L(V, V) unmittelbar ersichtlich sind.

16.3 Berechnung der Jordan-Normalform Die Jordan-Normalform hat eine überragende Bedeutung in der Theorie der Linearen Algebra. Ihre Bedeutung in praktischen Anwendungen ist jedoch begrenzt, denn es gibt kein adäquates numerisches Verfahren zu ihrer Berechnung im Fall einer allgemeinen quadratischen Matrix A (bzw. eines allgemeinen Endomorphismus f ). Der Grund hierfür ist, dass die Einträge der Jordan-Normalform nicht stetig von den Einträgen von A abhängen. Beispiel 16.19 Wir betrachten die Matrix  A(ε) =

 ε 0 , 1 0

ε ∈ R.

Für jedes gegebene ε = 0 hat A(ε) zwei verschiedene Eigenwerte, ε und 0. Für jedes ε = 0 ist daher die Diagonalmatrix  J (ε) =

ε 0



0 0

eine Jordan-Normalform von A(ε). Für ε → 0 ergibt sich jedoch  A(ε) →

 0 0 , 1 0

 J (ε) →

 0 0 , 0 0

also konvergiert J (ε) für ε → 0 nicht gegen eine Jordan-Normalform von A(0).

16.3

Berechnung der Jordan-Normalform

227

Die MATLAB-Minute Sei A = T −1

 1 1

 0 T ∈ C2,2 , 1

wobei T ∈ C2,2 eine mit dem Kommando T=rand(2) erzeugte (Pseudo-) Zufallsmatrix ist. Erzeugen Sie mehrfach eine solche Matrix A und berechnen Sie jeweils die Eigenwerte durch das Kommando L=eig(A). Man beobachtet, dass die Eigenwerte reell oder komplex sind und stets einen Fehler ab der 8. Nachkommastelle aufweisen. Dies ist kein Zufall, sondern eine Folge des Störungsverhaltens von Eigenwerten, welches durch die Rundungsfehler im Rechner entsteht. Wir leiten nun ein Verfahren zur Berechnung der Jordan-Normalform eines Endomorphismus f auf einem endlichdimensionalen K -Vektorraum V her. Dabei setzen wir voraus, dass P f in Linearfaktoren zerfällt und dass die Nullstellen von P f (also die Eigenwerte von f ) exakt bekannt sind. Die Herleitung orientiert sich an den wichtigsten Schritten im Beweis der Existenz der Jordan-Normalform in Abschn. 16.2. Wir nehmen zunächst an, dass λ ∈ K ein Eigenwert von f ist und dass f einen dazugehörigen Jordan-Block der Größe s hat. Dann existieren linear unabhängige Vektoren t1 , . . . , ts  mit [ f ]  B,  B = Js (λ) für B = {t1 , . . . , ts }. Es gilt somit ( f − λId)(t1 ) = 0, ( f − λId)(t2 ) = t1 , .. . ( f − λId)(ts ) = ts−1 , d. h. ts− j = ( f − λId) j (ts ) für j = 0, 1, . . . , s und t0 := 0. (Wir schreiben hier und im Rest dieses Abschnitts zur Vereinfachung der Notation Id anstatt IdV .) Die Vektoren ts , ts−1 , . . . , t1 bilden somit eine Folge, wie wir sie bei den Krylov-Räumen kennengelernt haben und es gilt Span{ts , ts−1 , . . . , t1 } = Ks ( f − λId, ts ). Wir nennen die umgekehrte Folge, d. h. die Vektoren t1 , t2 , . . . , ts eine Jordan-Kette von f zum Eigenwert λ. Der Vektor t1 ist ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ. Für den Vektor t2 gilt ( f − λId)2 (t2 ) = ( f − λId)(t1 ) = 0,

228

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

also t2 ∈ Kern(( f − λId)2 )\Kern( f − λId) und allgemein t j ∈ Kern(( f − λId) j )\Kern(( f − λId) j−1 ),

j = 1, . . . , s.

Dies motiviert die folgende Definition. Definition 16.20 Seien V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum, f ∈ L(V, V), λ ∈ K ein Eigenwert von f und k ∈ N. Ein Vektor v ∈ V mit v ∈ Kern(( f − λId)k )\Kern(( f − λId)k−1 ). heißt Hauptvektor k-ter Stufe von f zum Eigenwert λ. Hauptvektoren erster Stufe sind Eigenvektoren. Hauptvektoren höherer Stufe können als Verallgemeinerungen von Eigenvektoren betrachtet werden und sie werden daher manchmal als verallgemeinerte Eigenvektoren bezeichnet. Zur Berechnung der Jordan-Normalform von f benötigen wir somit die Anzahl und Länge der Jordan-Ketten zu den verschiedenen Eigenwerten von f . Diese entsprechen der Anzahl und Größe der Jordan-Blöcke von f . Ist F eine Matrixdarstellung von f bezüglich einer beliebigen Basis, so ist (vgl. den Beweis von Satz 16.10) ds (λ) :=Rang((F − λI )s−1 ) − Rang((F − λI )s ) = dim(Bild(( f − λId)s−1 )) − dim(Bild(( f − λId)s )) = dim(V) − dim(Kern(( f − λId)s−1 )) − (dim(V) − dim(Kern(( f − λId)s ))) = dim(Kern(( f − λId)s )) − dim(Kern(( f − λId)s−1 )) die Anzahl der Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ der Größe mindestens s. Damit folgt insbesondere ds (λ) ≥ ds+1 (λ) ≥ 0,

s = 1, 2, . . . ,

und ds (λ) − ds+1 (λ) ist die Anzahl der Jordan-Blöcke der exakten Größe s zum Eigenwert λ. Ist λ ein Eigenwert von f , so existiert eine kleinste natürliche Zahl m mit {0} = Kern(( f − λId)0 )  Kern(( f − λId)1 )  Kern(( f − λId)2 )  . . .  Kern(( f − λId)m ) = Kern(( f − λId)m+1 ), d. h. m ist die kleinste Zahl, für die Kern(( f − λId)m ) = Kern(( f − λId)m+1 ) gilt. Es folgt dm+1 (λ) = dim(Kern(( f − λId)m+1 )) − dim(Kern(( f − λId)m )) = 0, d. h. es gibt keine Jordan-Blöcke, der Größe m + 1 oder größer. Insbesondere gilt ds (λ) = 0 für alle s ≥ m + 1. Zur Berechnung der Jordan-Normalform gehen wir nun wie folgt vor:

16.3

Berechnung der Jordan-Normalform

229

(1) Bestimme die Eigenwerte von f als Nullstellen von P f . (2) Für jeden Eigenwert λ von f führe folgende Schritte durch: (a) Bestimme Kern(( f − λId)0 )  Kern(( f − λId)1 )  · · ·  Kern(( f − λId)m ), wobei m die kleinste natürliche Zahl mit Kern(( f − λId)m ) = Kern(( f − λId)m+1 ) ist. Dies ist die kleinste natürliche Zahl m, für die dim(Kern(( f − λId)m )) = a(λ, f ) gilt. (b) Für s = 1, 2, . . . , m bestimme die Zahlen ds (λ) = dim(Kern(( f − λId)s )) − dim(Kern(( f − λId)s−1 )) > 0. Für s ≥ m + 1 ist ds (λ) = 0 und d1 (λ) = dim(Kern( f − λId)) = g(λ, f ) ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert λ. (c) Zur Bestimmung der Jordan-Ketten gehen wir wie folgt vor: (i) Wegen dm − dm+1 = dm gibt es dm Jordan-Blöcke der Größe m. Für jeden dieser Blöcke bestimmen wir eine Jordan-Kette aus dm Hauptvektoren m-ter Stufe, d. h. Vektoren t1,m , t2,m , . . . , tdm ,m ∈ Kern(( f − λId)m )\Kern(( f − λId)m−1 ) mit folgender Eigenschaft: Sind α1 , . . . , αdm ∈ K mit

dm 

αi ti,m ∈ Kern(( f − λId)m−1 ), so folgt α1 =

i=1

. . . = αdm = 0. Dabei steht der erste Index bei den ti, j für die Nummer der Kette und der zweite Index für die Stufe des Hauptvektors (aus Kern(( f − λId) j ) aber nicht aus Kern(( f − λId) j−1 )). (ii) Für j = m, m − 1, . . . , 2 fahren wir wie folgt fort: Wenn wir d j Hauptvektoren j-ter Stufe t1, j , t2, j , . . . , td j , j gefunden haben, wenden wir auf jeden dieser Vektoren f − λId an, also ti, j−1 := ( f − λId)(ti, j ),

1 ≤ i ≤ dj,

um die Hauptvektoren ( j − 1)-ter Stufe zu erhalten.

230

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform dj 

Seien α1 , . . . , αd j ∈ K mit

αi ti, j−1 ∈ Kern(( f − λId) j−2 ), so folgt

i=1

⎛ 0 = ( f − λId) j−2 ⎝

dj 

⎞

⎛ ⎞ dj  αi ti, j−1 ⎠ = ( f − λId) j−1 ⎝ αi ti, j ⎠ ,

i=1 dj 

αi ti, j i=1 Falls d j−1 > also

i=1

∈ Kern(( f − λId) j−1 ) und damit α1 = . . . = αd j = 0.

d j ist, so gibt es d j − d j−1 Jordan-Blöcke der Größe j − 1. Für diese benötigen wir Jordan-Ketten der Länge j − 1. Daher ergänzen wir die bereits erhaltenen t1, j−1 , t2, j−1 , . . . , td j , j−1 ∈ Kern(( f − λId) j−1 )\Kern(( f − λId) j−2 ) zu d j−1 Hauptvektoren ( j − 1)-ter Stufe (nur wenn d j−1 > d j ) durch t1, j−1 , t2, j−1 , . . . , td j−1 , j−1 ∈ Kern(( f − λId) j−1 )\Kern(( f − λId) j−2 ) so, dass gilt: Sind α1 , . . . , αd j−1 ∈ K mit α1 = . . . = αd j−1 = 0.

d j−1

αi ti, j−1 ∈ Kern(( f − λId) j−2 ), so folgt

i=1

Nach dem Schritt für j = 2 haben wir t1,1 , t2,1 , . . . , td1 ,1 ∈ Kern( f −λId) gefunden. Wegen Kern(( f − λId)0 ) = {0} sind diese Vektoren dank der Zusatzbedingung linear unabhängig. Da dim(Kern( f − λId)) = d1 ist, haben wir eine Basis von Kern( f −λId) gefunden. Wir haben damit d1 verschiedene Jordan-Ketten gefunden, die wir wie folgt zusammenfassen:

Tλ := t1,1 , t1,2 , . . . , t1,m ; t2,1 , t2,2 , . . . , t2,∗ ; . . . ; td1 ,1 , . . . , td1 ,∗ . Jede Kette beginnt mit dem Eigenvektor, dann kommt der Hauptvektor 2-ter Stufe, dann der Hauptvektor 3-ter Stufe, usw. Dabei verwenden wir die Konvention, dass die Ketten der Größe nach geordnet werden, also zuerst die längste Kette, dann die zweitlängste Kette, usw. (3) Sind λ1 , . . . , λ die verschiedenen Eigenwerte von f , dann ist

T = Tλ1 , . . . , Tλ eine Basis, für die [ f ]T,T in Jordan-Normalform ist. Im ersten Diagonalblock der Größe a(λ1 , f ) stehen dann Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ1 , deren Größen den Längen der Jordan-Ketten entsprechen. Im zweiten Diagonalblock (der Größe a(λ2 , f )) stehen die Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ2 , usw.

16.3

Berechnung der Jordan-Normalform

Beispiel 16.21 Wir fassen die Matrix ⎡

5 ⎢ 0 ⎢ F =⎢ ⎢−1 ⎣ 0 0

231

⎤ 0 1 0 0 1 0 0 0⎥ ⎥ 5,5 0 3 0 0⎥ ⎥∈R ⎦ 0 0 1 0 0 0 0 4

als Endomorphismus auf R5,1 auf. (1) Die Eigenwerte von F sind die Nullstellen von PF = (t − 1)2 (t − 4)3 . Insbesondere zerfällt PF in Linearfaktoren und F hat eine Jordan-Normalform. (2) Wir gehen nun die verschiedenen Eigenwerte von F durch: (a) Für den Eigenwert λ1 = 1 mit a(λ1 , F) = 2 erhalten wir: ⎤⎞ 4 0 1 0 0 ⎜⎢ 0 0 0 0 0⎥⎟ ⎥⎟ ⎜⎢ ⎢ ⎥⎟ Kern(F − I ) = Kern ⎜ ⎜⎢−1 0 2 0 0⎥⎟ = Span{e2 , e4 }. ⎝⎣ 0 0 0 0 0⎦⎠ 0 0 0 0 3 ⎛⎡

Da dim(Kern(F − I )) = 2 = a(1, F) gilt, sind wir fertig. Für den Eigenwert λ2 = 4 mit a(λ2 , F) = 3 erhalten wir: ⎤⎞ ⎛⎡ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜⎢ 0 −3 0 0 0⎥ ⎥⎟ ⎜⎢ ⎢ ⎥ ⎜ 0 −1 0 0⎥⎟ Kern(F − 4 I ) = Kern ⎜⎢−1 ⎟ = Span{e1 − e3 , e5 }, ⎝⎣ 0 0 0 −3 0⎦⎠ 0 0 0 0 0 ⎤⎞ ⎛⎡ 0 0 0 0 0 ⎜⎢0 9 0 0 0⎥⎟ ⎥⎟ ⎜⎢ ⎢ ⎥⎟ Kern((F − 4 I )2 ) = Kern ⎜ ⎜⎢0 0 0 0 0⎥⎟ = Span{e1 , e3 , e5 }. ⎝⎣0 0 0 9 0⎦⎠ 0 0 0 0 0 Nun sind wir wegen dim(Kern((F − 4 I )2 )) = 3 = a(4, F) fertig. (b) Für λ1 = 1 ist d1 (1) = dim(Kern(F − I )) = 2. Für λ2 = 4 ist d1 (4) = dim(Kern(F − 4 I )) = 2 und d2 (4) dim(Kern((F − 4 I )2 )) − dim(Kern(F − 4 I )) = 3 − 2 = 1. (c) Bestimmung der Jordan-Ketten:

=

• Für λ1 = 1 ist m = 1. Wähle als Hauptvektoren erster Stufe t1,1 = e2 und t2,1 = e4 . Diese bilden eine Basis von Kern(F − I ). Somit gilt: Sind α1 , α2 ∈ R mit α1 e2 + α2 e4 = 0, so sind α1 = α2 = 0. Für λ2 = 4 ist m = 2. Es sind Kern((F − 4 I )2 ) = Span{e1 , e3 , e5 }, Kern(F − 4 I ) = Span{e1 − e3 , e5 }.

232

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

Wegen d2 (4) = 1 wählen wir einen Hauptvektor zweiter Stufe, z. B. t1,2 = e1 . Für diesen gilt: Ist α1 ∈ R mit α1 e1 ∈ Span{e1 − e3 , e5 }, so folgt α1 = 0. • Für λ1 = 1 sind wir fertig. Für λ2 = 4 berechnen wir t1,1 := (F − 4 I )t1,2 = e1 − e3 . Nun ist d1 (4) = 2 > 1 = d2 (4), also müssen wir zu t1,1 einen weiteren Hauptvektor erster Stufe hinzufügen. Wir wählen t2,1 = e5 . Da beide Vektoren linear unabhängig sind, gilt: Sind α1 t1,1 + α2 t2,1 ∈ Kern((F − 4 I )0 ) = {0}, so folgt α1 = α2 = 0. Damit ergeben sich ⎡

Tλ1

0 ⎢1 ⎢ =⎢ ⎢0 ⎣0 0

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ 0

⎡

und

Tλ2

⎤ 1 1 0 ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ =⎢ ⎢−1 0 0⎥ . ⎣ 0 0 0⎦ 0 0 1

(3) Für die Basisübergangsmatrix erhalten wir ⎡

& T = Tλ1

0 ⎢1 ' ⎢ Tλ4 = ⎢ ⎢0 ⎣0 0

0 0 0 1 0

1 0 −1 0 0

1 0 0 0 0

und schließlich die Jordan-Normalform ⎡

1 ⎢0 ⎢ T −1 F T = ⎢ ⎢0 ⎣0 0

⎡

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥, 0⎦ 1

0 1 0 0 0

T −1

0 0 4 0 0

0 0 1 4 0

0 1 ⎢0 0 ⎢ =⎢ ⎢0 0 ⎣1 0 0 0

⎤ 0 0 0 0 1 0⎥ ⎥ −1 0 0⎥ ⎥ 1 0 0⎦ 0 0 1

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥. 0⎦ 4

Aufgaben (In den folgenden Aufgaben ist K stets ein beliebiger Körper.) 16.1 16.2 16.3

16.4 16.5 16.6

Beweisen Sie Lemma 16.1 (1). Beweisen Sie Lemma 16.5 (1). Seien V ein K -Vektorraum, f ∈ L(V, V), λ ein Eigenwert von f und g = f − λIdV . Zeigen Sie, dass jeder g-invariante Unterraum auch f -invariant ist, und dass K ( f, v) = K (g, v) für alle  = 1, 2, . . . und alle v ∈ V gilt. Beweisen Sie Lemma 16.13. Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) selbstadjungiert und nilpotent. Zeigen Sie, dass dann f = 0 ist. Bestimmen Sie die Jordan-Normalform der Matrizen

Aufgaben

233

⎡

⎤ 1 −1 0 0 ⎢1 −1 0 0⎥ ⎥ ∈ R4,4 , A=⎢ ⎣3 0 3 −3⎦ 4 −1 3 −3

16.7

16.9

2 1 0 0 ⎢−1 1 1 0 ⎢ 0 3 0 B=⎢ ⎢−1 ⎣−1 −1 0 1 −2 −1 1 −1

⎤ 0 0⎥ ⎥ 5,5 0⎥ ⎥∈R ⎦ 1 3

mit Hilfe des im letzten Abschnitt dieses Kapitels angegebenen Verfahrens. Bestimmen Sie jeweils auch die Minimalpolynome. Bestimmen Sie die Jordan-Normalform und das Minimalpolynom der linearen Abbildung f : C≤3 [t] → C≤3 [t],

16.8

⎡

α0 + α1 t + α2 t 2 + α3 t 3 → α1 + α2 t + α3 t 3 .

Bestimmen Sie (bis auf die Reihenfolge der Blöcke) alle Matrizen J in JordanNormalform mit PJ = (t + 1)3 (t − 1)3 und M J = (t + 1)2 (t − 1)2 . Seien V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ein Endomorphismus auf V, dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) P f = M f gilt genau dann, wenn g(λ, f ) = 1 für alle Eigenwerte λ von f ist. (b) f ist genau dann diagonalisierbar, wenn M f nur einfache Nullstellen besitzt. (c) Eine Nullstelle λ ∈ K von M f ist genau dann einfach, wenn Kern( f − λIdV ) = Kern(( f − λIdV )2 ) ist.

16.10 Sei V ein K -Vektorraum der Dimension 2 oder 3 und sei f ∈ L(V, V), so dass P f in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie, dass die Jordan-Normalform von f eindeutig durch die Angabe von P f und M f bestimmt ist. Warum gilt dies nicht mehr, wenn dim(V) ≥ 4 ist? 16.11 Sei A ∈ K n,n eine Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie, dass eine diagonalisierbare Matrix D und eine nilpotente Matrix N existieren mit A = D + N und D N = N D. 16.12 Sei A ∈ K n,n eine Matrix, die eine Jordan-Normalform hat. Wir definieren ⎡

InR

0 ... ⎢ .. . & ' ⎢. .. := δi,n+1− j = ⎢ ⎢ ⎣0 1 1 0

0 . ..

. .. ...

1

⎤

⎥ 0⎥ ⎥ .. ⎥ , .⎦ 0

⎡

0 ⎢0 ⎢ ⎢ .. R Jn (λ) := ⎢ ⎢. ⎢ ⎣0 λ

... ... . ..

0 0 . ..

λ 1

. 0

..

0 λ 1 . .. ...

⎤ λ 1⎥ ⎥ ⎥ n,n 0⎥ ⎥∈K . ⎥ .. .⎦ 0

Zeigen Sie, dass gilt: (a) (b) (c) (d)

InR Jn (λ)InR = Jn (λ)T . A und A T sind ähnlich. Jn (λ) = InR JnR (λ). A kann als Produkt zweier symmetrischer Matrizen geschrieben werden.

234

16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform

16.13 Berechnen Sie für die Matrix ⎡

5 A = ⎣0 0

1 5 0

⎤ 1 1⎦ ∈ R3,3 4

zwei symmetrische Matrizen S1 , S2 ∈ R3,3 mit A = S1 S2 .

Kapitel 17

Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

Matrix-Funktionen spielen in vielen Anwendungen eine wichtige Rolle. Sie treten zum Beispiel bei der Lösung von Differenzialgleichungen, in der Stochastik, der Kontrolltheorie und der Optimierung auf. Umfangreiche Beschreibungen von Anwendungen, theoretischen Resultaten und Algorithmen im Kontext von Matrix-Funktionen enthält das Buch [Hig08]. Eine wichtige Matrix-Funktion, mit der wir uns genauer beschäftigen werden, ist die Matrix-Exponentialfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion werden wir im zweiten Abschnitt dieses Kapitels die Lösung von Systemen linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen studieren.

17.1 Matrix-Funktionen und die Matrix-Exponentialfunktion In diesem Abschnitt werden wir die Jordan-Normalform benutzen, um Matrix-Funktionen zu definieren. Um zu garantieren, dass jede auftretende Matrix eine Jordan-Normalform besitzt, werden wir stets von quadratischen Matrizen über C ausgehen. Unsere Betrachtungen gelten auch für quadratische Matrizen über R, solange sie eine Jordan-Normalform besitzen. Der Begriff einer „Matrix-Funktion“ kann verschiedene Bedeutungen haben. Zum Beispiel kann man die Determinanten-Abbildung det : Cn,n → C,

A → det(A)

als eine Funktion mit der Definitionsmenge Cn,n und der Zielmenge C deuten. Da es sich um eine für alle komplexen (n × n)-Matrizen definierte Funktion handelt, kann man die Determinanten-Abbildung als Matrix-Funktion interpretieren. Matrix-Funktionen im diesem Sinne sind auch der Rang, die Spur und jede Matrix-Norm auf Cn,n . Hier werden wir uns allerdings nicht mit Funktionen von Cn,n nach C sondern mit Funktionen von Cn,n nach Cn,n beschäftigen. Eine mögliche Definition solcher Matrix-Funktionen ist gegeben durch auf Matrizen. Man & Funktionen ' ' elementweise Anwendung skalarer & die könnte für A = ai j ∈ Cn,n z. B. sin(A) durch sin(A) := sin(ai j ) definieren. Diese Art der Definition einer Matrix-Funktion+ist jedoch nicht verträglich mit der Matrizen-Multiplikation, , da im Allgemeinen schon A2 = ai2j ist. Das folgende Konzept der „primären Matrix-Funktion“ (vgl. [Hig08, Definition 1.1–1.2]) wird sich hingegen als konsistent mit der Matrizen-Multiplikation herausstellen.

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_17,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

235

236

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

Definition 17.1 Sei A ∈ Cn,n mit der Jordan-Normalform J = diag(Jd1 (λ1 ), . . . , Jdm (λm )) = S −1 AS gegeben und sei  ⊂ C, so dass {λ1 , . . . , λm } ⊆ . Eine Funktion f :  → C heißt definiert auf dem Spektrum von A, wenn die Werte f ( j) (λi )

für i = 1, . . . , m

und

j = 0, 1 . . . , di − 1

(17.1)

existieren. Bei f ( j) (λi ), j = 1, . . . , di − 1, in (17.1) handelt es sich um die j-te Ableitung der Funktion f nach λ an der Stelle λi ∈ K . Gilt λi ∈ R, so ist hier die reelle Ableitung gemeint; für λi ∈ C \ R ist es die komplexe Ableitung. Ist f auf dem Spektrum von A definiert, so definieren wir die primäre Matrix-Funktion f (A) durch f (A) := S f (J )S −1

f (J ) := diag( f (Jd1 (λ1 )), . . . , f (Jdm (λm )))

mit

(17.2)

und ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

f Jdi (λi ) := ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

f (λi )

f $ (λi )

f $$ (λi ) 2

f (λi )

f $ (λi ) .. .

... .. . .. . .. .

⎤

f (di −1) (λi ) (di −1)! ⎥

.. .

⎥ ⎥ ⎥ $$ f (λi ) ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎥ $ f (λi ) ⎦ f (λi )

(17.3)

für i = 1, . . . , m. Man beachte, dass für die Definition von f (A) in (17.2)–(17.3) lediglich die Existenz der Werte in (17.1) benötigt wird. In Kap. 16 haben wir gezeigt, dass die Jordan-Normalform von A bis auf die Reihenfolge der Blöcke auf der Diagonalen von J = diag(Jd1 (λ1 ), . . . , Jdm (λm )) eindeutig bestimmt ist. Ist J = diag(Jd1 ( λ1 ), . . . , Jdm ( λm )) =  S −1 A S eine weitere Jordan-Normalform von A, so gelten  S = S P und J = P T J P für eine n,n Permutationsmatrix P ∈ R , wobei die Matrizen J und J bis auf die Reihenfolge ihrer Diagonalblöcke übereinstimmen. Es folgt dann f (J ) = diag( f (Jd1 (λ1 )), . . . , f (Jdm (λm )))   = P P T diag( f (Jd1 (λ1 )), . . . , f (Jdm (λm ))) P P T   = P diag( f (Jd1 ( λ1 )), . . . , f (Jdm ( λm ))) P T = P f ( J)P T

17.1

Matrix-Funktionen und die Matrix-Exponentialfunktion

237

und f (A) = S f (J )S −1 = S P f ( J)P T S −1 =  S f ( J) S −1 . Das Konzept der primären Matrix-Funktion ist somit unabhängig von der Wahl (d. h. der Reihenfolge der Blöcke in) der Jordan-Normalform von A. √ Beispiel √ 17.2 Ist A = I2 ∈ C2,2 , f√ (z) = z die Quadratwurzel-Funktion und setzen wir f (1) = 1 = +1, so gilt f (A) = A = I2 nach√Definition 17.1. Wählt man den anderen √ Zweig der Quadratwurzel-Funktion, also f (1) = 1 = −1, so erhält man f (A) = A = −I2 . Die Matrizen I2 und −I2 sind primäre Quadratwurzeln von A = I2 . Unverträglich mit Definition 17.1 ist eine nicht-eindeutige Festlegung der Werte (17.1). Zum Beispiel fallen die Matrizen     1 0 −1 0 X1 = und X 2 = 0 −1 0 1 nicht unter die Definition 17.1, obwohl für sie X 12 = I2 und X 22 = I2 gilt. Man bezeichnet alle Lösungen X ∈ Cn,n der Gleichung X 2 = A als Quadratwurzeln der Matrix A ∈ Cn,n . Wie Beispiel 17.2 zeigt, müssen nicht alle dieser Lösungen primäre Quadratwurzeln nach Definition 17.1 sein. Im Folgenden werden wir unter f (A) stets eine primäre Matrix-Funktion nach Definition 17.1 verstehen und den Zusatz „primär“ meist weglassen. In (16.11) haben wir gezeigt, dass p(Jdi (λi )) =

k  p ( j) (λi ) (Jdi (0)) j j!

(17.4)

j=0

für ein Polynom p ∈ C[t] vom Grad k ≥ 0 gilt. Ein einfacher Vergleich zeigt, dass diese Formel mit (17.3) für f = p übereinstimmt. Das heißt, die Berechnung von p(Jdi (λi )) mit (17.4) führt auf das gleiche Ergebnis wie die Definition von p(Jdi (λi )) durch (17.3). Lemma 17.3 Seien A ∈ Cn,n und p = αk t k + . . . + α1 t + α0 ∈ C[t]. Ist f (A) wie in (17.2)–(17.3) mit f = p definiert, so gilt f (A) = αk Ak + . . . + α1 A + α0 In . Beweis Übungsaufgabe.

2

Insbesondere gilt f (A) = A2 für die Funktion f (z) = z 2 und somit ist die Definition der primären Matrix-Funktion f (A) konsistent mit der Matrizen-Multiplikation. Man kann zeigen, dass für A ∈ Cn,n die Matrix f (A) stets als ein Polynom in A geschrieben werden kann. Satz 17.4 Sei A ∈ Cn,n , M A das Minimalpolynom von A und f (A) wie in Definition 17.1. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom p ∈ C[t] vom Grad höchstens Grad(M A ) − 1 mit f (A) = p(A). Insbesondere folgen A f (A) = f (A)A, f (A T ) = f (A)T sowie f (V AV −1 ) = V f (A)V −1 für alle V ∈ G L n (C).

238

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

Beweis Wir werden den Beweis hier nicht führen, da dieser weiterführende Ergebnisse aus der Interpolationstheorie benötigt. Details findet man im Buch [Hig08]. 2 Wir betrachten nun die Exponentialfunktion f (z) = ez , die in ganz C unendlich oft komplex differenzierbar ist. Insbesondere ist e z im Sinne von Definition 17.1 auf dem Spektrum jeder gegebenen Matrix A = S diag(Jd1 (λ1 ), . . . , Jdm (λm )) S −1 ∈ Cn,n definiert. Ist t ∈ C beliebig (aber fest) gewählt, so gelten für die Ableitungen der Funktion et z nach der Variablen z die Gleichungen d j tz e = t j et z , dz j

j = 0, 1, 2, . . . .

Zur Definition der Exponentialfunktion einer Matrix M benutzen wir die Bezeichnung exp(M) anstatt e M . Für jeden Jordan-Block der Matrix t A = S diag(t Jd1 (λ1 ), . . . , t Jdm (λm )) S −1 gilt dann nach (17.3) mit f (z) = ez die Gleichung ⎡ 1

exp(t Jdi (λi )) = etλi

=e

tλi

t2 2

t

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

d i −1 k=0

t .. .

... .. . .. . .. .

⎤

t di −1 (di −1)! ⎥

.. .

t2 2

t 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

k 1 t Jdi (0) k!

(17.5)

und die Matrix-Exponentialfunktion exp(t A) ist gegeben durch exp(t A) = S diag(exp(t Jd1 (λ1 )), . . . , exp(t Jdm (λm ))) S −1 .

(17.6)

Den zusätzlich eingeführten Parameter t werden wir im nächsten Abschnitt im Zusammenhang mit der Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen benutzen. In der Analysis zeigt man, dass e z für jedes z ∈ C durch die absolut konvergente Reihe ez =

∞  zj j! j=0

(17.7)

17.1

Matrix-Funktionen und die Matrix-Exponentialfunktion

239

gegeben ist. Mit Hilfe dieser Reihe und der Gleichung (Jdi (0)) = 0 für alle  ≥ di erhalten wir ⎛ ⎞   d ∞ ∞ i −1 j  

 1 (tλ ) 1  i tλi ⎠· t Jdi (0) = ⎝ t Jdi (0) exp(t Jdi (λi )) = e ! j! ! =0

=

∞  j=0

⎛ ⎝

j=0

=0

⎞

 1 · t Jdi (0) ⎠ ( j − )! !

j  (tλi ) j− =0

⎞ ⎛ j   ∞ j  

t j  j− ⎝ λi = Jdi (0) ⎠  j! j=0

=

=0

∞ 

j tj λi Idi + Jdi (0) j! j=0

=

∞ 

j 1 t Jdi (λi ) . j!

(17.8)

j=0

In dieser Herleitung haben wir die absolute Konvergenz der Exponentialreihe und die Endlichkeit der Reihe mit der Matrix Jdi (0) benutzt. Dies erlaubt die Anwendung der Produktformel von Cauchy für absolut konvergente Reihen, deren Gültigkeit in der Analysis bewiesen wird. Wir fassen die bisherigen Resultate über die Matrix-Exponentialfunktion zusammen. Lemma 17.5 Sind A ∈ Cn,n , t ∈ C und exp(t A) die Matrix-Exponentialfunktion in (17.5)– (17.6), so gilt exp(t A) =

∞  1 (t A) j . j! j=0

Beweis In (17.8) haben wir die zu beweisende Identität bereits für Jordan-Blöcke gezeigt. Das Resultat folgt nun aus ⎛ ⎞ ∞ ∞   1 1 (t S J S −1 ) j = S ⎝ (t J ) j ⎠ S −1 j! j! j=0

j=0

und aus der Darstellung (17.6) der Matrix-Exponentialfunktion.

2

Wir sehen aus Lemma 17.5 sofort, dass für eine Matrix A ∈ Rn,n und jedes reelle t die Matrix-Exponentialfunktion exp(t A) eine reelle Matrix ist. Das folgende Resultat zeigt weitere wichtige Eigenschaften der Matrix-Exponentialfunktion.

240

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

Lemma 17.6 Kommutieren die beiden Matrizen A, B ∈ Cn,n , so gilt exp(A + B) = exp(A) exp(B). Für jede Matrix A ∈ Cn,n ist exp(A) ∈ G L n (C) mit (exp(A))−1 = exp(−A). Beweis Wenn A und B kommutieren, so folgt mit Hilfe der Produktformel von Cauchy, dass ⎞ ⎛ ⎞  j ∞ ∞ ∞     1 1 1 1 ⎝ Aj⎠ B = A B j− ⎠ exp(A) exp(B) = ⎝ j! ! ! ( j − )! ⎛

=0

j=0

=

∞  j=0

⎛

 ⎝1 j! j

=0

j=0

=0

⎞   ∞  1 j (A + B) j A B j− ⎠ = j!  j=0

= exp(A + B). Da A und −A kommutieren gilt exp(A) exp(−A) = exp(A − A) = exp(0) =

∞  1 j 0 = In , j! j=0

also ist exp(A) ∈ G L n (C) mit (exp(A))−1 = exp(−A).

2

Für nicht kommutierende Matrizen gilt Lemma 17.6 im Allgemeinen nicht (vgl. Aufgabe 17.6).

Die MATLAB-Minute Berechnen Sie die Matrix-Exponentialfunktion exp(A) für die Matrix ⎤ 1 −1 3 4 5 ⎢−1 −2 4 3 5⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −3 1 5⎥ ∈ R5,5 A=⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣ 3 0 0 −2 −3⎦ 4 0 0 −3 −5 ⎡

durch das Kommando E1=expm(A). (Sehen Sie sich help expm an.) Berechnen Sie auch die Diagonalisierung von A, d. h. die Faktorisierung A = V DV −1 , mit dem Kommando [V,D]=eig(A) und mit diesen Daten die MatrixExponentialfunktion exp(A) durch E2=V*expm(D)/V. Vergleichen Sie die Matrizen E1 und E2 und berechnen Sie den relativen Fehler norm(E1-E2)/norm(E2).

17.2

Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen

241

17.2 Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen Eine Differenzialgleichung beschreibt einen Zusammenhang zwischen einer gesuchten Funktion und ihren Ableitungen. Diese Gleichungen werden in fast allen Gebieten der Naturund Ingenieurwissenschaften zur Modellierung realer physikalischer Vorgänge verwendet. In gewöhnlichen Differenzialgleichungen treten eine Funktion einer Variablen und Ableitungen dieser Funktion auf. Partielle Differenzialgleichungen hingegen stellen einen Zusammenhang zwischen Funktionen mehrerer Variablen und ihren partiellen Ableitungen her. Hier werden wir uns auf den gewöhnlichen Fall und die reelle Differenziation konzentrieren. Zudem werden wir uns für die Lösungstheorie auf Differenzialgleichungen erster Ordnung beschränken. Das heißt, in den von uns betrachteten Gleichungen tritt lediglich die gesuchte Funktion und ihre erste Ableitung auf. Ein einfaches Beispiel für die Modellierung mit Hilfe einer gewöhnlichen Differenzialgleichung erster Ordnung ist die Beschreibung des Wachstums oder der Schrumpfung einer biologischen Population, etwa Bakterien in einer Petrischale. Sei y = y(t) die Größe der Population zum Zeitpunkt t. Ist genügend Nahrung vorhanden und sind die äußeren Bedingungen (z. B. die Temperatur) konstant, so wächst die Population mit einer (reellen) Rate k > 0, die proportional zur Zahl der gegenwärtig vorhandenen Individuen ist. Dies wird beschrieben durch die Gleichung y˙ :=

d y = k y. dt

(17.9)

Natürlich kann man k auch negativ wählen, dann schrumpft die Population. Gesucht ist dann eine Funktion y : D ⊂ R → R, die (17.9) erfüllt. Die allgemeine Lösung von (17.9) ist gegeben durch die Exponentialfunktion y = cetk ,

(17.10)

wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist. Zur eindeutigen Lösung von (17.9) benötigt man die Größe der Population η0 zu einem Anfangszeitpunkt t0 . Man erhält so das Anfangswertproblem y˙ = k y,

y(t0 ) = η0 ,

(17.11)

das (wie wir später zeigen werden) durch die Funktion y = e(t−t0 )k η0

(17.12)

eindeutig gelöst wird. Beispiel 17.7 Ein Anfangswertproblem der Form (17.11) tritt z. B. in der chemischen Kinetik, die sich mit dem zeitlichen Ablauf chemischer Reaktionen beschäftigt, auf. Bei einer Reaktion werden gegebene Ausgangsstoffe (Edukte) in andere Stoffe (Produkte) umgewandelt. Reaktionen kann man hinsichtlich ihrer Ordnung unterscheiden. In einer Reaktion erster Ordnung wird die Reaktionsrate von nur einem Edukt bestimmt. Wird zum Beispiel aus dem Edukt A1 das Produkt A2 mit einer Rate −k1 < 0, so schreiben wir diese Reaktion symbolisch als

242

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

A1

k1

/ A2

und wir beschreiben diese Reaktion mathematisch durch die gewöhnliche Differenzialgleichung y˙1 = −k1 y1 . Hier ist der Wert y1 (t) die Konzentration des Stoffes A1 zum Zeitpunkt t. Da aus A1 lediglich der Stoff A2 entsteht, gilt für die Konzentration von A2 die Gleichung y˙2 = k1 y1 . Bei Reaktionen zweiter und höherer Ordnung treten nichtlineare Differenzialgleichungen auf. Wir wollen hier jedoch nur lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen und daher Reaktionen erster Ordnung betrachten. Viele Reaktionen erster Ordnung können in beide Richtungen ablaufen. Entsteht zum Beispiel aus dem Stoff A1 mit der Rate −k1 der Stoff A2 und aus diesem mit der Rate −k2 wieder A1 , also symbolisch k1

A1 o

/

A2 ,

k2

so läßt sich diese Reaktion mathematisch modellieren durch das lineare Differenzialgleichungssystem y˙1 = −k1 y1 + k2 y2 , y˙2 = k1 y1 − k2 y2 . Fassen wir die Funktionen y1 und y2 formal in einer vektorwertigen Funktion y = [y1 , y2 ]T zusammen, so können wir dieses System schreiben als y˙ = Ay

mit

 −k1 k1

A=

 k2 . −k2

Die Ableitung der Funktion y(t) versteht sich eintragsweise, also  y˙ =

 y˙1 . y˙2

Reaktionen können auch mehrere Schritte haben. Zum Beispiel führt eine Reaktion der Form A1

k1

/ A2 o

auf das System von Differenzialgleichungen

k2 k3

/

A3

k4

/ A4

17.2

Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen

243

y˙1 = −k1 y1 , y˙2 = k1 y1 − k2 y2 + k3 y3 , y˙3 = k2 y2 − (k3 + k4 ) y3 , y˙4 = k4 y3 und auf das entsprechende System ⎡

y˙ = Ay

−k1 ⎢ k1 A=⎢ ⎣ 0 0

mit

0 −k2 k2 0

⎤ 0 0 k3 0⎥ ⎥. −(k3 + k4 ) 0⎦ k4 0

Die Summe der Einträge in jeder Spalte von A ist gleich Null, denn für jeden Abbau eines Stoffes y j mit einer gewissen Rate bauen sich andere Stoffe mit der gleichen Rate auf. Eine separate Gleichung für y4 ist eigentlich nicht erforderlich, denn es gilt y˙4 = k4 y3 , d. h. y4 ergibt sich direkt aus y3 . Durch Weglassen dieser Gleichung würde man eine invertierbare (3 × 3)-Matrix erhalten. Zusammenfassend stellen wir fest, dass eine Reaktion erster Ordnung stets auf ein System linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung führt, das in der Form y˙ = Ay mit einer quadratischen und reellen Matrix A geschrieben werden kann. Nach diesem Beispiel kommen wir nun zur allgemeinen Theorie für Systeme linearer (reeller oder komplexer) gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung der Form y˙ = Ay + g,

t ∈ [0, a].

(17.13)

Hier ist A ∈ K n,n eine gegebene Matrix, a eine gegebene positive reelle Zahl, g : [0, a] → K n,1 eine gegebene Funktion und y : [0, a] → K n,1 die gesuchte Lösung. Dabei ist entweder K = R oder K = C. Ist g(t) = 0 ∈ K n,1 für alle t ∈ [0, a], so heißt das System (17.13) homogen, andernfalls heißt es inhomogen. Für ein gegebenes System der Form (17.13) heißt y˙ = Ay,

t ∈ [0, a]

(17.14)

das zugeordnete homogene System. Lemma 17.8 Die Lösungen des homogenen Systems (17.14) bilden einen Unterraum des (unendlichdimensionalen) K -Vektorraums der stetig differenzierbaren Funktionen vom Intervall [0, a] nach K n,1 . Beweis Da die Funktion w = 0 auf [0, a] stetig differenzierbar ist und das homogene System (17.14) löst, ist die Lösungsmenge dieses Systems nicht leer. Sind w1 , w2 : [0, a] → K n,1 stetig differenzierbare Lösungen und sind α1 , α2 ∈ K , so ist w = α1 w1 + α2 w2 auf [0, a] stetig differenzierbar und es gilt

244

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

w˙ = α1 w˙ 1 + α2 w˙ 2 = α1 Aw1 + α2 Aw2 = Aw. Die Funktion w ist eine Lösung des homogenen Systems und die Behauptung folgt nun aus Lemma 9.5. 2 Die folgende Charakterisierung der Lösungen des inhomogenen Systems (17.13) ist vergleichbar mit der Charakterisierung der Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in Lemma 6.2. Lemma 17.9 Ist w1 : [0, a] → K n,1 eine Lösung des inhomogenen Systems (17.13), dann kann jede weitere Lösung y geschrieben werden als y = w1 + w2 , wobei w2 eine Lösung des zugeordneten homogenen Systems (17.14) ist. Beweis Sind w1 und y Lösungen von (17.13), dann gilt d (y − w1 ) = y˙ − w˙ 1 = (Ay + g) − (Aw1 + g) dt = A(y − w1 ). Die Differenz w2 := y − w1 ist somit eine Lösung des zugeordneten homogenen Systems 2 und es gilt y = w1 + w2 . Um die Lösungen von Differenzialgleichungssystemen zu beschreiben, betrachten wir für die gegebene Matrix A ∈ K n,n die Matrix-Exponentialfunktion exp(t A) aus Lemma 17.5 bzw. (17.5)–(17.6), wobei wir nun t ∈ [0, a] als reelle Variable auffassen. Die Potenzreihe der Matrix-Exponentialfunktion in Lemma 17.5 konvergiert und kann gliedweise nach der Variablen t differenziert werden, wobei die Ableitung einer Matrix nach der Variablen t jeweils eintragsweise erfolgt. Dies liefert d d exp(t A) = dt dt



1 1 I + (t A) + (t A)2 + (t A)3 + . . . 2 6 1 = A + t A2 + t 2 A3 + . . . 2 = A exp(t A).

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die weise nach t differenziert. Mit ⎡ 2 1 t t2 ⎢ ⎢ ⎢ 1 t ⎢ ⎢ .. M(t) := ⎢ . ⎢ ⎢ ⎣



Matrix exp(t A) in (17.5)–(17.6) eintrags... .. . .. . .. .

⎤

t di −1 (di −1)! ⎥

.. .

t2 2

t 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

17.2

Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen

245

gilt

d d tλi exp(t Jdi (λi )) = e M(t) dt dt ˙ = λi etλi M(t) + etλi M(t) = λi etλi M(t) + etλi Jdi (0)M(t) = (λi Idi + Jdi (0)) etλi M(t) = Jdi (λi ) exp(t Jdi (λi )), woraus sich ebenfalls

d dt

exp(t A) = A exp(t A) ergibt.

Satz 17.10 Sei K = R oder K = C und sei A ∈ K n,n . (1) Die eindeutige Lösung des homogenen Differenzialgleichungssystems (17.14) für eine gegebene Anfangsbedingung y(0) = y0 ∈ K n,1 ist gegeben durch die Funktion y = exp(t A)y0 . (2) Die Gesamtheit aller Lösungen des homogenen Differenzialgleichungssystems (17.14) bildet einen n-dimensionalen K -Vektorraum mit Basis {exp(t A)e1 , . . . , exp(t A)en }. Beweis (1) Ist y = exp(t A)y0 , so gilt   d d (exp(t A)y0 ) = exp(t A) y0 = (A exp(t A)) y0 dt dt = A (exp(t A)y0 ) = Ay

y˙ =

und y(0) = exp(0)y0 = In y0 = y0 , d. h. y ist eine Lösung von (17.14), die die Anfangsbedingung erfüllt. Ist w eine weitere solche Lösung, dann folgt für die Funktion u := exp(−t A)w, d (exp(−t A)w) = −A exp(−t A)w + exp(−t A)w˙ dt = exp(−t A) (Aw − w) ˙ = 0 ∈ K n,1 .

u˙ =

Die Funktion u hat also konstante Einträge. Insbesondere folgen nun u = u(0) = w(0) = y0 = y(0) und w = exp(t A)y0 , wobei wir die Identität exp(−t A) = (exp(t A))−1 benutzt haben (vgl. Lemma 17.6). (2) Da die Matrix exp(t A) ∈ Rn,n für jedes t invertierbar ist (vgl. Lemma 17.6), sind die Funktionen exp(t A)e1 , . . . , exp(t A)en : [0, a] → K n,1 linear unabhängig. Jede d dieser Funktionen löst das homogene System y˙ = Ay, denn es gilt dt (exp(t A)e j ) = A exp(t A)e j , j = 1, . . . , n. Ist andererseits  y eine beliebige Lösung dieses Systems, so gilt  y(0) = y0 für ein y0 ∈ K n,1 . Nach (1) ist  y dann die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems mit

246

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

y(0) = y0 , so dass  y = exp(t A)y0 gelten muss. Folglich ist  y eine Linearkombination der Funktionen exp(t A)e1 , . . . , exp(t A)en . 2 Um die Lösung des inhomogenen Systems (17.13) zu beschreiben, benötigen wir das Integral von Funktionen der Form ⎡

⎤ w1 ⎢ ⎥ w = ⎣ ... ⎦ : [0, a] → K n,1 . wn

Für jedes feste t ∈ [0, a] definieren wir : 0

⎡@t t

⎢ w(z)dz := ⎣

0

@t 0

⎤ w1 (z)dz ⎥ .. n,1 ⎦ ∈ K , .

wn (z)dz

das heißt, wir wenden das Integral eintragsweise auf die Funktion w an. Aus dieser Definition folgt d dt

:

t

 w(z)dz

= w(t)

0

für alle t ∈ [0, a]. Damit können wir eine explizite Lösungsformel für Systeme linearer Differenzialgleichungen mit Hilfe des sogenannten Duhamel-Integrals1 angeben. Satz 17.11 Das inhomogene Differenzialgleichungssystem (17.13) mit der Anfangsbedingung y(0) = y0 ∈ K n,1 wird (eindeutig) gelöst durch die Funktion : y = exp(t A)y0 + exp(t A)

t

exp(−z A)g(z)dz. 0

Beweis Die Ableitung der in (17.15) definierten Funktion y liefert   : t exp(−z A)g(z)dz exp(t A) 0 : t = A exp(t A)y0 + A exp(t A) exp(−z A)g(z)dz + exp(t A) exp(−t A)g 0 : t = A exp(t A)y0 + A exp(t A) exp(−z A)g(z)dz + g

d d y˙ = (exp(t A)y0 ) + dt dt

0

= Ay + g.

1

Jean-Marie Constant Duhamel (1797–1872), französischer Mathematiker und Physiker.

(17.15)

17.2

Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Außerdem gilt

: y(0) = exp(0)y0 + exp(0)

0

247

exp(−z A)g(z)dz = y0 ,

0

so dass y auch die Anfangsbedingung erfüllt.

2

Wir haben in den vorherigen Sätzen gezeigt, dass zur expliziten Lösung von Systemen linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung die MatrixExponentialfunktion exp(t A) zu berechnen ist. Während wir exp(t A) mit Hilfe der JordanNormalform von A (sofern diese existiert) eingeführt haben, ist die numerische Berechnung von exp(t A) mit Hilfe der Jordan-Normalform nicht zu empfehlen (vgl. die Bemerkungen am Ende von Kap. 16). Es gibt eine Vielzahl von Algorithmen zur Berechnung von exp(t A), jedoch ist keiner von diesen uneingeschränkt empfehlenswert. Eine Übersicht von Algorithmen für die Matrix-Exponentialfunktion mit ihren Vor- und Nachteilen findet man in [Hig08]. Beispiel 17.12 Das in Kap. 1 beschriebene Beispiel aus der Schaltkreissimulation führte auf das lineare Differenzialgleichungssystem 1 d R 1 I = − I − VC + VS , dt L L L 1 d VC = − I. dt C Mit den Anfangswerten I (0) = I 0 und VC (0) = VC0 erhalten wir aus (17.15) die Lösung      0   I −R/L −1/L I = exp t −1/C 0 VC VC0      : t −R/L −1/L VS (s) + exp (t − s) ds. −1/C 0 0 0 Wir betrachten nun noch ein Beispiel aus der Mechanik. Beispiel 17.13 Ein Gewicht mit Masse m > 0 sei an einer Schraubenfeder mit der Federkonstante μ > 0 aufgehängt. Das Gewicht sei um die Strecke x 0 > 0 „nach unten“ ausgelenkt (d. h. der Abstand des Gewichts von seiner Ruhelage beträgt x 0 ; siehe Abb. 17.1). Gesucht ist die Auslenkung x(t) des Gewichts zum Zeitpunkt t ≥ 0, wobei x(0) = x 0 ist. Die Auslenkung wird beschrieben durch das Hooksche Gesetz.2 Die entsprechende gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung lautet x¨ =

μ d2 x = − x, dt 2 m

˙ = v0 , wobei v0 > 0 die Anfangsgeschwindigmit Anfangsbedingungen x(0) = x0 und x(0) keit des Gewichtes ist. 2

Sir Robert Hooke (1635–1703), britischer Physiker und Mathematiker.

248

17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme

Ruhelage

m

x0

Abb. 17.1 Ein Gewicht mit Masse m ist an einer Schraubenfeder aufgehängt und wird um die Strecke x 0 ausgelenkt

Wir können diese Differenzialgleichung zweiter Ordnung für x in ein System erster Ordnung umschreiben. Dazu führen wir die Geschwindigkeit v als eine neue Variable ein. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Ableitung der Auslenkung nach der Zeit, also v = x˙ und somit v˙ = x, ¨ woraus wir das System  y˙ = Ay

mit

A=

0 μ −m

 1 , 0

y=

  x v

erhalten. Die Anfangsbedingung ist nun y(0) = y0 = [x0 , v0 ]T . Nach Satz 17.10 ist die eindeutige Lösung dieses homogenen Anfangswertproblems gegeben durch die Funktion y = exp(t A)y0 . Wir fassen A als Element von C2,2 auf. Die Eigenwerte von ACsind die beiden komplexen (nicht-rellen) Zahlen λ1 = iρ und λ2 = −iρ = λ1 , wobei ρ :=

μ m

ist. Zugehörige Eigenvektoren sind  s1 =

1 iρ



 ∈ C2,1 ,

s2 =

1 −iρ

S −1 y0 ,

S=

 ∈ C2,1

und somit ist  exp(t A)y0 = S

eitρ 0

0

e−itρ





1 iρ

 1 ∈ C2,2 . −iρ

Aufgaben

249

Aufgaben + , 17.1 Konstruieren Sie eine Matrix A = [ai j ] ∈ C2,2 mit A3 = ai3j . 17.2 Sei A = I2 ∈ C2,2 . Bestimmen Sie alle Lösungen X ∈ C2,2 der Matrix-Gleichung X 2 = A und geben Sie an, welche dieser Lösungen primäre Quadratwurzeln von A sind. 17.3 Beweisen Sie Lemma 17.3. 17.4 Sei A = S diag(Jd1 (λ1 ), . . . , Jdm (λm )) S −1 ∈ Cn,n mit Rang(A) = n. Berechnen Sie die primäre Matrix-Funktion f (A) für f (z) = z −1 . Gibt es diese Funktion auch, wenn Rang(A) < n ist? 17.5 Berechnen Sie ⎛⎡ ⎤⎞     π 1 1 0 1 −1 1 exp , exp , sin ⎝⎣ 0 π 1 ⎦⎠ . −1 0 −1 −3 0 0 π 17.6 Geben Sie zwei Matrizen A, B ∈ C2,2 mit exp(A + B) = exp(A) exp(B) an. 17.7 Sei ⎡ ⎤ 5 1 1 A = ⎣0 5 1⎦ ∈ R3,3 . 0 0 4 Berechnen Sie exp(t A) für t ∈ R und lösen Sie das homogene Differenzialgleichungs& 'T system y˙ = Ay mit der Anfangsbedingung y(0) = 1, 1, 1 . 17.8 Berechnen Sie die Matrix exp(t A) aus Beispiel 17.13 explizit und weisen Sie somit nach, dass exp(t A) ∈ R2,2 (für t ∈ R) gilt, obwohl die Eigenwerte und Eigenvektoren von A nicht reell sind.

Kapitel 18

Spezielle Klassen von Endomorphismen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit speziellen Klassen von Endomorphismen und Matrizen, für die starke Aussagen über ihre Eigenwerte und Eigenvektoren gemacht werden können. Solche Aussagen sind nur unter zusätzlichen Annahmen möglich. Hier werden wir insbesondere Endomorphismen von euklidischen oder unitären Vektorräumen betrachten, die eine besondere Beziehung zu dem jeweils adjungierten Endomorphismus haben. Dies wird uns auf die Klassen der normalen, der unitären bzw. orthogonalen und der selbstadjungierten Endomorphismen führen. Jede dieser Klassen hat eine natürliche Entsprechung in der Menge der quadratischen (reellen oder komplexen) Matrizen.

18.1 Normale Endomorphismen Der folgende Begriff wurde von Otto Toeplitz1 im Zusammenhang mit Bilinearformen eingeführt. Definition 18.1 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus f ∈ L(V, V) heißt normal, wenn f ◦ f ad = f ad ◦ f gilt. Eine Matrix A ∈ Rn,n bzw. A ∈ Cn,n heißt normal, wenn A T A = A A T bzw. A H A = A A H gilt. Offensichtlich ist jede Matrix A ∈ C1,1 normal, denn für alle z ∈ C gilt zz = |z|2 = zz. Die Normalität von Endomorphismen oder Matrizen kann somit als eine Verallgemeinerung dieser Eigenschaft der komplexen Zahlen interpretiert werden. Wir untersuchen zunächst die Eigenschaften von normalen Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen unitären Vektorraum V. Dazu erinnern wir an die folgenden Resultate:

H & ad ' (1) Ist B eine Orthonormalbasis von V und ist f ∈ L(V, V), so gilt [ f ] B,B = f B,B (vgl. Satz 13.10). (2) Für jedes f ∈ L(V, V) gibt es eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist, das heißt, jedes f ∈ L(V, V) ist unitär triangulierbar (vgl. Korollar 14.20, Satz von Schur). Diese Aussage gilt nicht im euklidischen Fall, denn nicht jedes reelle Polynom zerfällt in Linearfaktoren über R. 1

In einem Artikel von 1918 definierte Toeplitz: „Eine Bilinearform C(x, y) heiße normal, wenn sie mit ihrer $ begleitenden Form C vertauschbar ist.“

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_18,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

251

252

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

Mit Hilfe dieser Resultate können wir die folgende Charakterisierung von normalen Endomorphismen auf unitären Vektorräumen zeigen. Satz 18.2 Ist V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, so ist f ∈ L(V, V) genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis B von V gibt, so dass [ f ] B,B eine Diagonalmatrix ist, d. h. f ist unitär diagonalisierbar. Beweis Sei f ∈ L(V, V) normal und sei B eine Orthonormalbasis von V, so dass R := & ' [ f ] B,B eine obere Dreiecksmatrix ist. Es gilt R H = f ad B,B und aus f ◦ f ad = f ad ◦ f folgt & & ' ' R R H = f ◦ f ad B,B = f ad ◦ f B,B = R H R. Wir zeigen nun per Induktion über n, dass die obere Dreiecksmatrix R eine Diagonalmatrix ist. Die Aussage ist klar für n = 1. Die Aussage gelte für ein n ≥ 1. Sei R ∈ Cn+1,n+1 eine obere Dreiecksmatrix mit R R H = H R R. Wir schreiben R als   R1 r 1 , R= 0 α1 wobei R1 ∈ Cn,n eine obere Dreiecksmatrix, r1 ∈ Cn,1 und α1 ∈ C sind. Dann gilt RRH =

R1 R1H + r1r1H

α 1r1

α1 r1H

|α1 |2

! = RH R =

R1H R1

R1H r1

r1H R1

r1H r1 + |α1 |2

! .

Aus |α1 |2 = r1H r1 + |α1 |2 folgt r1H r1 = 0, daher r1 = 0 und R1 R1H = R1H R1 . Nach Induktionsvoraussetzung ist R1 ∈ Cn,n eine Diagonalmatrix, also ist  R=

R1 0

0 α1



eine Diagonalmatrix, was zu beweisen war. Andererseits existiere nun eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f ] B,B eine Diagonal '

H & matrix ist. Dann ist f ad B,B = [ f ] B,B eine Diagonalmatrix und da zwei Diagonalmatrizen kommutieren folgt &

f ◦ f ad

' B,B

& ' & & & ' ' ' & ' = f B,B f ad B,B = f ad B,B f B,B = f ad ◦ f B,B ,

woraus sich f ◦ f ad = f ad ◦ f ergibt. Also ist f normal.

2 Cn,1

Die Anwendung dieses Satzes auf den unitären Vektorraum V = mit Standardskalarprodukt und eine Matrix A ∈ Cn,n aufgefasst als Element von L(V, V) liefert die folgende „Matrix-Version“.

18.1

Normale Endomorphismen

253



Korollar 18.3 Eine Matrix A ∈ Cn,n ist normal d. h. es gilt A H A = A A H genau dann, wenn es eine Orthonormalbasis von Cn,1 bestehend aus Eigenvektoren von A gibt, d. h. A ist unitär diagonalisierbar. Der folgende Satz gibt eine weitere Charakterisierung von normalen Endomorphismen auf unitären Vektorräumen. Satz 18.4 Ist V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, so ist f ∈ L(V, V) normal genau dann, wenn es ein Polynom p ∈ C[t] mit p( f ) = f ad gibt. Beweis Ist p( f ) = f ad für ein Polynom p ∈ C[t], so gilt f ◦ f ad = f ◦ p( f ) = p( f ) ◦ f = f ad ◦ f, also ist f normal. Ist andererseits f normal, dann gibt es eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f ] B,B = diag(λ1 , . . . , λn ) ist. Außerdem gilt &

f ad

' B,B



H

= [ f ] B,B = diag λ1 , . . . , λn .

Sei nun p ∈ C[t] ein Polynom mit p(λ j ) = λ j für j = 1, . . . , n. Ein solches Polynom können wir mit Hilfe der Lagrange-Basis von C[t]≤n−1 explizit hinschreiben (vgl. Aufgabe 10.10). Dann folgt &

f ad

' B,B



= diag λ1 , . . . , λn = diag p(λ1 ), . . . , p(λn ) = p(diag(λ1 , . . . , λn ))

= p [ f ] B,B

und somit gilt auch f ad = p( f ).

2

Viele weitere Charakterisierungen von normalen Endomorphismen auf unitären Vektorräumen bzw. Matrizen A ∈ Cn,n findet man in [HorJ85] (siehe auch Aufgabe 18.7). Wir betrachten nun den euklidischen Fall, wobei wir uns auf die reellen (quadratischen) Matrizen konzentrieren. Die Resultate können jeweils analog für normale Endomorphismen auf endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen formuliert werden. Sei A ∈ Rn,n normal, d. h. es gilt A T A = A A T . Dann ist A aufgefasst als Element von n,n C ebenfalls normal und damit unitär diagonalisierbar. Es gilt also S H AS = D für eine unitäre Matrix S ∈ Cn,n und eine Diagonalmatrix D ∈ Cn,n . Obwohl A reelle Einträge hat, n,n müssen weder S noch D reell  sein, denn  als Element von R muss A nicht diagonalisierbar 1 2 sein. Zum Beispiel ist A = ∈ R2,2 eine normale Matrix, die über R nicht diagona−2 1 lisierbar ist. Aufgefasst als Element von C2,2 hat A die Eigenwerte 1 + 2i und 1 − 2i und ist unitär diagonalisierbar. Um den Fall einer reellen normalen Matrix genauer zu untersuchen, beweisen wir nun eine „reelle Version“ des Satzes von Schur.

254

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

Satz 18.5 Für jede Matrix A ∈ Rn,n gibt es eine orthogonale Matrix U ∈ Rn,n mit ⎡ ⎢ U T AU = R = ⎣

... .. .

R11

⎤ R1m .. ⎥ ∈ Rn,n . . ⎦ Rmm

Hierbei ist für jedes j = 1, . . . , m entweder R j j ∈ R1,1 oder ( j) !

( j)

Rjj =

r1

r2

( j) r3

( j) r4

∈ R2,2

( j)

mit r3 = 0

hat, aufgefaßt als komplexe Matrix, ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte der Form α j ± iβ j mit α j ∈ R und β j ∈ R \ {0}. Beweis Wir führen den Beweis per Induktion über n. Für n = 1 ist die Aussage klar. Hier gilt A = [a11 ] = R und U = [1]. Die Aussage gelte nun für ein n ≥ 1. Sei A ∈ Rn+1,n+1 gegeben. Wir fassen A als Element von Cn+1,n+1 auf. Dann hat A einen Eigenwert λ = α + iβ ∈ C, α, β ∈ R, zum Eigenvektor v = x + iy ∈ Cn+1,1 , x, y ∈ Rn+1,1 , und es gilt Av = λv. Fall 1: Die Vektoren x, y sind linear abhängig. Mindestens einer dieser Vektoren muss ungleich 0 sein, sonst wäre v = 0. Ist x = 0, so gibt es ein γ ∈ R mit y = γ x und es folgt v = (1 + iγ )x. Aus Av = λv folgt dann Ax = λx. Da A und x reell sind, muss λ reell sein. Ist x = 0, so folgt aus Av = λv, dass Ay = λy ist und wieder ist λ reell. Sei nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit x = 0 ein reeller Eigenvektor von A zum reellen Eigenwert λ. (Ist x = 0, so muss y = 0 sein und wir können y in x umbenennen.) Wir ergänzen x durch die Vektoren w2 , . . . , wn+1 zu einer Orthonormalbasis von Rn+1,1 bezüglich des Standardskalarprodukts. Die Matrix U1 := [x, w2 , . . . , wn+1 ] ∈ Rn+1,n+1

ist dann eine orthogonale Matrix und es gilt U1T x = e1 . Mit Ax = λx folgen U1T AU1 e1 = U1T Ax = U1T (λx) = λe1 und somit ⎡ ⎢ ⎢ U1T AU1 = ⎢ ⎣

λ 0 .. .

A1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 für eine Matrix A1 ∈ Rn,n . Per Induktionsvoraussetzung gibt es eine orthogonale Matrix U2 ∈ Rn,n , so dass R1 := U2T A1 U2 die gewünschte Form hat. Sei nun ⎡ ⎢ ⎢ U := U1 ⎢ ⎣

1 0 .. . 0

0 U2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ∈ Rn+1,n+1 . ⎦

18.1

Normale Endomorphismen

255

Dann ist U orthogonal und es gilt ⎡ ⎢ ⎢ U T AU = ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎣

1 0 .. .

⎤

0

⎥ ⎢ ⎥ T ⎢ ⎥ U1 AU1 ⎢ ⎦ ⎣

U2T

0 1 0 .. .

⎤⎡

0

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

U2T

0

λ 0 .. .

R1

⎡

0

λ 0 .. .

A1

U2 ⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

0

⎤

⎤

0

1 0 .. .

1 0 .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 U2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0

⎥ ⎥ ⎥ =: R. ⎦

0 Die Matrix R hat die gewünschte Form. Fall 2: Die Vektoren x, y sind linear unabhängig. Wir schreiben die Gleichung Av = λv als A(x + iy) = (α + iβ)(x + iy). Konjugieren wir diese Gleichung, so erhalten wir A(x − iy) = (α − iβ)(x − iy). Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen liefert  Ax = αx − βy = [x, y]

α −β

 Ay = βx + αy = [x, y]

bzw.

  β . α

Diese Gleichungen können wir zu dem System 

α A[x, y] = [x, y] −β

β α

 (18.1)

zusammenfassen, wobei Rang([x, y]) = 2 gilt. Die Anwendung des Gram-SchmidtVerfahrens bezüglich des Standardskalarprodukts des Rn+1,1 auf die Matrix [x, y] ∈ Rn+1,2 liefert [x, y] = [q1 , q2 ]

 r11 0

 r12 =: Q R1 , r22

256

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

wobei Q T Q = I2 und R1 ∈ G L 2 (R) gilt. Mit (18.1) folgt & ' & ' AQ = A x, y R1−1 = x, y



α −β

  α β R1−1 = Q R1 −β α

 β R −1 . α 1

Die (reelle) Matrix  R2 := R1

 β R −1 α 1

α −β

hat, aufgefasst als Element von C2,2 , das Paar konjugiert komplexer Eigenwerte α ± iβ ∈ C. Wir ergänzen nun q1 , q2 durch die Vektoren w3 , . . . , wn+1 zu einer Orthonormalbasis des Rn+1,1 bezüglich des Standardskalarprodukts. Dann ist U1 := [Q, w3 , . . . , wn+1 ] ∈ Rn+1,n+1 orthogonal und es gilt ' ' & & U1T AU1 = U1T AQ, A[w3 , . . . , wn+1 ] = U1T Q R2 , A[w3 , . . . , wn+1 ]   R2

= 0 A1 für eine Matrix A1 ∈ Rn−1,n−1 . Ist β = 0, so ist R2 = α I2 und der obere Block zerfällt in zwei (1 × 1)-Blöcke. Für die Matrix A1 können wir analog zur Konstruktion im Fall 1 die Induktionsvoraussetzung benutzen, was den Beweis beendet. 2 Mit der obigen „reellen Schur-Form“ kann man das folgende Korollar über reelle normale Matrizen beweisen. Korollar 18.6 Eine Matrix A ∈ Rn,n ist genau dann normal, wenn es eine orthogonale Matrix U ∈ Rn,n gibt mit U T AU = diag(R1 , . . . , Rm ). Hierbei ist für jedes j = 1, . . . , m entweder R j ∈ R1,1 oder 

αj Rj = −β j

 βj ∈ R2,2 αj

mit β j = 0.

Im zweiten Fall hat R j , aufgefaßt als komplexe Matrix, das Paar komplex konjugierter Eigenwerte α j ± iβ j . 2

Beweis Übungsaufgabe. Beispiel 18.7 Die Matrix ⎡

√0 1 A = ⎣−√2 2 2

√ 2 1 1

√ ⎤ − 2 1⎦ ∈ R3,3 1

18.2

Unitäre und orthogonale Endomorphismen

257

hat (aufgefaßt als komplexe Matrix) die Eigenwerte 1, i, −i und ist damit weder reell diagonalisierbar noch reell triangulierbar. Für die orthogonale Matrix ⎡ ⎤ 0 2 √0 1⎣ √ −√2 0 √2⎦ ∈ R3,3 U= 2 2 0 2 ist ⎡

⎤ 0 1 0 U T AU = ⎣−1 0 0⎦ 0 0 1 in reeller Schur-Form.

18.2 Unitäre und orthogonale Endomorphismen Wir haben bereits die orthogonalen bzw. unitären Matrizen kennengelernt. Die Definition dieser Matrizen wollen wir nun auf Endomorphismen auf allgemeinen (endlichdimensionalen) euklidischen bzw. unitären Vektorräumen verallgemeinern. Definition 18.8 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus f ∈ L(V, V) heißt orthogonal bzw. unitär, wenn f ◦ f ad = f ad ◦ f = IdV gilt. Offensichtlich ist ein orthogonaler bzw. unitärer Endomorphismus f normal und somit gelten für f die Aussagen aus dem vorherigen Abschnitt. Lemma 18.9 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) orthogonal bzw. unitär. Für jede Orthonormalbasis B von V ist dann [ f ] B,B eine orthogonale bzw. unitäre Matrix. Beweis Sei dim(V) = n. Für jede Orthonormalbasis B von V gilt & ' & ' In = [IdV ] B,B = f ◦ f ad B,B = [ f ] B,B f ad B,B = [ f ] B,B ([ f ] B,B ) H . Genauso erhält man ([ f ] B,B ) H [ f ] B,B = In und somit ist [ f ] B,B orthogonal bzw. unitär. (Im euklidischen Fall kann hierbei „H“ durch „T“ ersetzt werden.) 2 Wie wir im folgenden Satz zeigen, ist ein orthogonaler bzw. unitärer Endomorphismus dadurch charakterisiert, dass er das Skalarprodukt beliebiger Vektoren nicht verändert. Lemma 18.10 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt ·, ·. Ein Endomorphismus f ∈ L(V, V) ist genau dann orthogonal bzw. unitär, wenn  f (v), f (w) = v, w für alle v, w ∈ V gilt.

258

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

Beweis Ist f ist orthogonal bzw. unitär und sind v, w ∈ V, dann gilt v, w = IdV (v), w =

D

E f ad ◦ f (v), w =  f (v), f (w).

Sei nun v, w =  f (v), f (w) für alle v, w ∈ V. Dann gilt

E D 0 = v, w −  f (v), f (w) = v, w − v, f ad ◦ f (w) D

E = v, IdV − f ad ◦ f (w) . Da das Skalarprodukt nicht ausgeartet ist und v beliebig gewählt werden kann, folgt (IdV − f ad ◦ f )(w) = 0 für alle w ∈ V, also IdV = f ad ◦ f . Genauso kann auch f ◦ f ad = IdV gezeigt werden. 2 Das folgende Resultat ergibt sich direkt aus dem vorherigen Lemma. Korollar 18.11 Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt ·, ·, f ∈ L(V, V) orthogonal bzw. unitär und · = ·, ·1/2 die vom Skalarprodukt induzierte Norm, so gilt f (v) = v für alle v ∈ V. Für den Vektorraum V = Cn,1 mit dem Standardskalarprodukt und zugeordneter Norm v 2 = (v H v)1/2 sowie eine unitäre Matrix A ∈ Cn,n gilt nach diesem Korollar Av 2 = v 2 für alle v ∈ V. Es folgt A

2

=

sup v∈Cn,1 \{0}

Av 2 = 1. v 2

Dies zeigt man analog auch für orthogonale Matrizen. Wir studieren nun die Eigenwerte und Eigenvektoren von orthogonalen und unitären Endomorphismen. Lemma 18.12 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) orthogonal bzw. unitär. Ist λ ein Eigenwert von f , so gilt |λ| = 1. Beweis Sei ·, · das Skalarprodukt auf V. Ist f (v) = λv mit v = 0, dann gilt v, v = IdV (v), v = ( f ad ◦ f )(v), v =  f (v), f (v) = λv, λv = |λ|2 v, v. Aus v, v = 0 folgt dann |λ| = 1.

2

Die Aussage des obige Lemmas gilt insbesondere auch für unitäre und orthogonale Matrizen. Man beachte jedoch, dass ein orthogonaler Endomorphismus bzw. eine orthogonale Matrix nicht unbedingt Eigenwerte hat. Zum Beispiel ist die Matrix

18.2

Unitäre und orthogonale Endomorphismen

A=

 0 1

259

 −1 ∈ R2,2 0

orthogonal. Allerdings hat das charakteristische Polynom PA = t 2 + 1 keine (reellen) Nullstellen und daher hat A keine Eigenwerte. Aufgefasst als Element von C2,2 hat A die Eigenwerte i und −i. Satz 18.13 (1) Ist A ∈ Cn,n unitär, dann gibt es eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n mit U H AU = diag(λ1 , . . . , λn ) und |λ j | = 1 für j = 1, . . . , n. (2) Ist A ∈ Rn,n orthogonal, dann gibt es eine orthogonale Matrix U ∈ Rn,n mit U T AU = diag(R1 , . . . , Rm ). & ' Hierbei ist für jedes j = 1, . . . , m entweder R j = λ j ∈ R1,1 mit |λ j | = 1 oder  Rj =

cj −s j

 sj ∈ R2,2 cj

mit s j = 0

und

c2j + s 2j = 1.

Beweis (1) Eine unitäre Matrix A ∈ Cn,n ist normal und somit unitär diagonalisierbar (vgl. Korollar 18.3). Nach Lemma 18.12 haben alle Eigenwerte von A den Betrag 1. (2) Eine orthogonale Matrix A ist normal und somit gibt es nach Korollar 18.6 eine orthogonale Matrix U ∈ Rn,n mit U T AU = diag(R1 , . . . , Rm ). Hierbei gilt entweder R j ∈ R1,1 oder  Rj =

αj −β j

 βj ∈ R2,2 αj

) ) & ' mit β j = 0. Im ersten Fall folgt R j = λ j mit )λ j ) = 1 aus Lemma 18.12. Da A und U orthogonal sind, ist auch U T AU orthogonal, also muss jeder Diagonalblock R j ebenfalls orthogonal sein. Aus R Tj R j = I2 folgt nun sofort α 2j + β 2j = 1, so dass R j die geforderte Form hat. 2 Die orthogonalen Matrizen in Rn,n bzw. die unitären Matrizen in Cn,n bilden jeweils Untergruppen der G L n (R) bzw. G L n (C) (vgl. Lemma 12.14). Die folgenden Beispiele orthogonaler Matrizen sind in vielen Anwendungen wichtig.

260

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

Beispiel 18.14 Seien i, j, n ∈ N mit 1 ≤ i < j ≤ n und sei α ∈ R. Wir definieren ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ .. ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥← i cos α sin α ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. Ri j (α) := ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥← j − sin α cos α ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . .. ⎣ ⎦ 1 . ↑ i

(18.2)

↑ j

Die Matrix Ri j (α) = [ri j ] ∈ Rn,n ist somit bis auf die Einträge rii = cos α,

ri j = sin α,

r ji = − sin α,

r j j = cos α

gleich der (n × n)-Einheitsmatrix In . Insbesondere erhalten wir für n = 2 die Matrix   cos α sin α R12 (α) = . − sin α cos α Es gilt

   cos α − sin α cos α sin α sin α cos α − sin α cos α  2  0 cos α + sin2 α = 0 cos2 α + sin2 α

R12 (α)T R12 (α) =

= I2 = R12 (α)R12 (α)T . Die Matrix R12 (α) ist somit orthogonal. Man sieht daraus leicht, dass jede der Matrizen Ri j (α) ∈ Rn,n orthogonal ist. Die Multiplikation eines Vektors v ∈ Rn,1 mit der Matrix Ri j (α) beschreibt eine Drehung oder Rotation von v um den Winkel α (im mathematisch negativen Sinne) in der (i, j)Koordinatenebene. Für v = [1, 1]T ∈ R2,1 und α = π/2 erhält man zum Beispiel   1 R12 (π/2)v = . −1 Die Matrizen Ri j (α) werden in der Numerischen Mathematik als Givens-Rotationen2 bezeichnet. 2

Wallace Givens (1910–1993), amerikanischer Pionier der Numerischen Linearen Algebra.

18.2

Unitäre und orthogonale Endomorphismen

261

Beispiel 18.15 Für u ∈ Rn,1 definieren wir die Householder-Matrix H (u) := In −

2 uu T ∈ Rn,n . uT u

(18.3)

Für u = 0 setzen wir H (0) := In . Für jedes u ∈ Rn,1 ist H (u) eine orthogonale Matrix (vgl. Aufgabe 12.14). Die Multiplikation eines Vektors x ∈ Rn,1 mit der Matrix H (u) bewirkt eine Spiegelung von x an der durch u beschriebenen „Hyperebene“ aller Vektoren, die zu u orthogonal sind, d. h. der Menge ( *

⊥ = y ∈ Rn,1 | u T y = 0 . span{u} In Abb. 18.1 ist dies für den Vektor u = [−1, 1]T ∈ R2,1 und die entsprechende Matrix   0 1 H (u) = 1 0 dargestellt. Aufgrund ihrer geometrischen Interpretation werden die Householder-Matrizen auch Spiegelungsmatrizen genannt. H ( u) x

u

x



Abb. 18.1 Die Multiplikation eines Vektors x ∈ R2,1 mit der Matrix H (u) hier ist u = [−1, 1]T ∈ R2,1

⊥ bewirkt eine Spiegelung von x an der Hyperebene span{u}

Die MATLAB-Minute ∈ R3,1 . Berechnen Sie durch das Kommando Sei x = [5, 3, 1]T norm(x) die euklidische Norm von x. Bilden Sie die Householder-Matrix H=eye(3)-(2/(x’*x))*(x*x’). Überprüfen die Orthogonalität von H durch Berechnung von norm(H’*H-eye(3)). Bilden Sie den Vektor y=H’*x und vergleichen Sie die euklidischen Normen von x und y.

262

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

18.3 Selbstadjungierte Endomorphismen Wir haben bereits die selbstadjungierten Endomorphismen f auf einem endlichdimensionalen euklidischen bzw. unitären Vektorraum V kennengelernt. Die definierende Eigenschaft für diese Klasse von Endomorphismen ist f = f ad (vgl. Definition 13.11). Offensichtlich sind selbstadjungierte Endomorphismen normal und somit gelten für sie die Aussagen aus Abschn. 18.1. Im Folgenden werden wir diese Aussagen noch wesentlich verstärken. Bezüglich einer Orthonormalbasis B von V ist [ f ] B,B eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix (vgl. Korollar 13.12). Die Umkehrung dieser Aussage gilt ebenfalls, wie wir nun zeigen werden. Lemma 18.16 Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum, so ist f ∈ L(V, V) genau dann selbstadjungiert, wenn [ f ] B,B = ([ f ] B,B )T bzw. [ f ] B,B = ([ f ] B,B ) H für jede Orthonormalbasis B von V gilt. Beweis Wir müssen nur eine Richtung zeigen: Es gelte [ f ] B,B = ([ f ] B,B ) H für jede Orthonormalbasis B von V, wobei im euklidischen Fall „H“ durch „T“ ersetzt werden kann. Aus & & ' H ' 2 [ f ] B,B = f ad B,B folgt dann [ f ] B,B = f ad B,B und somit muss f = f ad sein. Zur Diagonalisierbarkeit von selbstadjungierten Endomorphismen im euklidischen und unitären Fall können wir die folgende starke Aussage machen. Satz 18.17 Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und ist f ∈ L(V, V) selbstadjungiert, dann gibt es eine Orthonormalbasis B von V, so dass [ f ] B,B eine reelle Diagonalmatrix ist. Beweis Wir betrachten zunächst den unitären Fall. Ist f selbstadjungiert, so ist f normal und damit unitär diagonalisierbar (Satz 18.2). Sei B eine Orthonormalbasis von V, so dass [ f ] B,B eine Diagonalmatrix ist. Aus [ f ] B,B = ([ f ] B,B ) H folgt dann, dass alle Diagonaleinträge von [ f ] B,B reell sind. Sei V nun ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Ist  B = {v1 , . . . , vn } eine Orthosymmetrisch und insbesondere normal. Nach Korolnormalbasis von V, dann ist [ f ]   B, B & ' lar 18.6 gibt es eine orthogonale Matrix U = u i j ∈ Rn,n mit U T [ f ] B,  B U = diag(R1 , . . . , Rm ), wobei für j = 1, . . . , m entweder R j ∈ R1,1 oder  Rj =

αj −β j

 βj ∈ R2,2 αj

mit β j = 0

ist. Da U T [ f ]  B,  B U symmetrisch ist, kann kein (2 × 2)-Block R j mit β j  = 0 auftreten. Also ist U T [ f ]  U eine reelle Diagonalmatrix. B,  B Wir definieren die Basis B = {w1 , . . . , wn } von V durch (w1 , . . . , wn ) = (v1 , . . . , vn )U.

18.3

Selbstadjungierte Endomorphismen

263

T = U −1 = [Id ] Per Konstruktion ist U = [IdV ] B,  V  B,B und damit B und es gilt U U T [ f ] U = [ f ] . Ist ·, · das Skalarprodukt auf V, so gilt v , v  B,B i j = δi j , i, j = B,  B T 1, . . . , n. Mit U U = In folgt

< wi , w j  =

n  k=1

u ki vk ,

n 

= u j v =

=1

n  n 

u ki u j vk , v  =

k=1 =1

n 

u ki u k j = δi j .

k=1

Die Basis B ist somit eine Orthogonalbasis von V.

2

Wir können diesen Satz direkt auf hermitesche bzw. symmetrische Matrizen übertragen. Korollar 18.18 (1) Ist A ∈ Cn,n hermitesch, so gibt es eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n und eine Diagonalmatrix D ∈ Rn,n mit A = U DU H . (2) Ist A ∈ Rn,n symmetrisch, so gibt es eine orthogonale Matrix U ∈ Rn,n und eine Diagonalmatrix D ∈ Rn,n mit A = U DU T . Die Aussage (2) in diesem Korollar wird oft als Satz über die Hauptachsentransformation bezeichnet. Wir wollen hier nur kurz auf den Hintergrund dieser Bezeichnung, die aus der Theorie der Bilinearformen und ihren Anwendungen in der Geometrie stammt, eingehen. Für eine gegebene symmetrische Matrix A = [ai j ] ∈ Rn,n ist β A : Rn,1 × Rn,1 → R,

n n  

(x, y) → x T Ay =

ai j xi y j

i=1 j=1

eine symmetrische Bilinearform auf Rn,1 . Die Abbildung q A : Rn,1 → R,

y → β A (x, x) = x T Ax

nennt man die zu dieser symmetrischen Bilinearform gehörige quadratische Form. Da A symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix U = [u 1 , . . . , u n ], so dass U T AU = D eine reelle Diagonalmatrix ist. Ist B1 = {e1 , . . . , en }, dann gilt [β A ] B1 ×B1 = A. Die Menge B2 = {u 1 , . . . , u n } bildet eine Orthonormalbasis von Rn,1 bezüglich des Standardskalarprodukts und es gilt [u 1 , . . . , u n ] = [e1 , . . . , en ]U , also U = [IdRn,1 ] B2 ,B1 . Für den Basiswechsel von B1 zu B2 folgt [β A ] B2 ×B2 =

& ' IdRn,1 B

2 ,B1

T & ' βA B

1 ×B1

& ' IdRn,1 B

2 ,B1

= U T AU = D.

Das heißt, die reelle Diagonalmatrix D stellt die durch A definierte Bilinearform β A bezüglich der Basis B2 dar. Die zu β A gehörige quadratische Form q A wird durch den Basiswechsel ebenfalls in eine einfachere Gestalt transformiert, denn es gilt analog

264

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

⎤ y1 ⎢ ⎥ y = ⎣ ... ⎦ := U T x. ⎡

q A (x) = x T Ax = x T U DU T x = y T Dy =

n 

λi yi2 = q D (y),

i=1

yn

Durch den Wechsel der Basis von B1 zu B2 wird die quadratische Form q A somit in eine „Summe von Quadraten“ transformiert, die durch die quadratische Form q D gegeben ist. Die Hauptachsentransformation ist gegeben durch den Übergang von der kanonischen Basis des Rn,1 zu der durch die paarweise orthonormalen Eigenvektoren von A gegeben Basis des Rn,1 . Die n paarweise orthogonalen Eigenräume Vλ j (A) = Span{u j }, j = 1, . . . , n, bilden die n Hauptachsen. Die geometrische Bedeutung dieses Begriffs erklären wir am folgenden Beispiel. Beispiel 18.19 Für die symmetrische Matrix A=

 4 1

 1 ∈ R2,2 2

ist q A (x) = 4x 12 + 2x1 x2 + 2x22 . Sei E A = {x ∈ R2,1 | q A (x) − 1 = 0}.

(18.4)

Es gilt √  3+ 2 U AU = 0 T

 0√ =D 3− 2

für die orthogonale Matrix U = [u 1 , u 2 ] ∈ R2,2 mit   c u1 = , s



 −s u2 = , c

√ 1+ 2 , c= C √ (1 + 2)2 + 1

s=C

1 . √ (1 + 2)2 + 1

Wie oben erwähnt, besteht die Hauptachsentransformation aus dem Übergang vom kanonischen Koordinatensystem des gegebenen Raumes zu einem Koordinatensystem, das durch eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren von A gebildet wird. Führen wir diese durch und ersetzen q A durch die quadratische Form q D , so erhalten wir die Menge 3  2,1 = y ∈ R | q D (y) − 1 = 0 = [y1 , y2 ]T ∈ R2,1 

ED

F mit

β1 =

) 6 ) y2 y22 ) 1 ) 2 + 2 −1=0 , ) β1 β2

F 1 √ , 3+ 2

β2 =

1 √ . 3− 2

(18.5)

18.3

Selbstadjungierte Endomorphismen

265

y2

y2

e2

b

y1 a

y1

e1

Abb. 18.2 Das linke Bild zeigt die Ellipse E D in (18.5), die man aus E A in (18.4) durch die Hauptachsentransformation erhält. Das rechte Bild zeigt die Ellipse E D im kanonischen Koordinatensystem mit der Basis {e1 , e2 }; dies ist die Ellipse E A

Die Menge E D bildet eine Ellipse, die im linken Bild von Abb. 18.2 dargestellt ist. Transformieren wir diese Ellipse mit der Matrix U , d. h. bilden wir U y für alle Elemente y der Menge E D , so erhalten wir die Ellipse im rechten Bild von Abb. 18.2. Dies ist die Menge E A . Im rechten Bild sehen wir die geometrische Bedeutung der Eigenvektoren von A als „Hauptachsen“ der Ellipse E A . Die Transformationsmatrix U ist in diesem Fall eine Rotationsmatrix (vgl. Beispiel 18.14). Somit entsteht E D durch eine Drehung aus E A (und umgekehrt), was ebenfalls in Abb. 18.2 deutlich wird. Sei wieder A ∈ Rn,n symmetrisch. Für einen gegebenen Vektor v ∈ Rn,1 und einen Skalar α ∈ R ist Q(x) = x T Ax + v T x + α,

x ∈ Rn,1 ,

eine quadratische Funktion in n Variablen (den Einträgen des Vektors x). Die Menge der „Nullstellen“ dieser Funktion, d. h. die Menge {x ∈ Rn,1 | Q(x) = 0}, nennt man eine Hyperfäche vom Grad 2 oder eine Quadrik. In Beispiel 18.19 haben wir bereits Quadriken im Fall n = 2 und mit v = 0 betrachtet. Wir geben nun noch einige weitere Beispiele an. Beispiel 18.20 (1) Seien n = 3, A = I3 , v = [0, 0, 0]T und α = −1. Die entsprechende Quadrik 

 [x 1 , x2 , x3 ]T ∈ R3,1 | x12 + x 22 + x32 − 1 = 0

ist die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 um den Nullpunkt.

266

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

 1 (2) Seien n = 2, A = 0

 0 , v = [0, 2]T und α = 0. 0

x2

x1

Die entsprechende Quadrik   [x1 , x2 ]T ∈ R2,1 | x12 + 2x 2 = 0 ist eine Parabel.

⎡

1 (3) Seien n = 3, A = ⎣0 0

0 0 0

⎤ 0 0⎦, v = [0, 2, 0]T und α = 0. 0

x2

x3 x1

Die entsprechende Quadrik   [x1 , x2 , x 3 ]T ∈ R3,1 | x12 + 2x 2 = 0 ist ein Parabelzylinder. Definition 18.21 Ist A ∈ Rn,n symmetrisch oder A ∈ Cn,n hermitesch mit n + positiven, n − negativen und n 0 Null Eigenwerten, dann heißt der Tripel (n + , n − , n 0 ) der Trägheitsindex von A. Wir führen zur Vereinfachung der Darstellung die folgende Konstruktion nur für reelle symmetrische Matrizen durch. Sei A ∈ Rn,n symmetrisch und sei A = U DU T mit einer orthogonalen Matrix U ∈ Rn,n und D = diag(λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn,n . Hat A den Tägheitsindex (n + , n − , n 0 ), so können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass D = diag(n + , n − , 0n 0 ) gilt, wobei in den Diagonalmatrizen n + bzw. n − die positiven bzw. negativen Eigenwerte von A stehen und 0n 0 = 0 ∈ Rn 0 ,n 0 ist. Es folgt D = S A  mit S A := diag(In + , −In − , 0n 0 ) ∈ Rn,n ,  := diag((n + )1/2 , (−n − )1/2 , In 0 ) ∈ G L n (R). √ √ Hierbei ist (diag(μ1 , . . . , μm ))1/2 = diag( μ1 , . . . , μm ). Wir erhalten A = U DU T = U S A U T = (U )S A (U )T und haben somit die folgende Aussage bewiesen. Lemma 18.22 Ist A ∈ Rn,n symmetrisch mit dem Trägheitsindex (n + , n − , n 0 ), dann sind A und S A = diag(In + , In − , 0n 0 ) kongruent. Dieses Resultat benutzen wir im Beweis des folgenden Trägheitssatzes von Sylvester.3 3

James Joseph Sylvester bewies dieses Resultat für quadratische Formen in einem Artikel von 1852. Er selbst vergab den Namen Trägheitsgesetz (engl. law of inertia), wobei er sich durch die Physik motivieren ließ.

18.3

Selbstadjungierte Endomorphismen

267

Satz 18.23 Der Trägheitsindex einer symmetrischen Matrix A ∈ Rn,n ist invariant unter Kongruenz (das heißt, für jede Matrix G ∈ G L n (R) haben A und G T AG den gleichen Trägheitsindex). Beweis Die Aussage ist trivial für A = 0. Sei A = 0 mit dem Trägheitsindex (n + , n − , n 0 ) gegeben. Da A = 0 ist, können n + und n − nicht beide gleich 0 sein. Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit n + > 0 an. (Wäre n + = 0, so können wir das folgende Argument mit n − > 0 durchführen.) Nach Lemma 18.22 gilt A = G 1T S A G 1 mit S A = diag(In + , In − , 0n 0 ) und einer Matrix G 1 ∈ G L n (R). Seien nun G 2 ∈ G L n (R) beliebig und B := G 2T AG 2 . Dann ist B n − , n 0 ). Es gilt daher B = G 3T S B G 3 für symmetrisch und hat einen Trägheitsindex ( n + , S B = diag(I n + und n + , I n − , 0 n 0 ) und eine Matrix G 3 ∈ G L n (R). Zu zeigen sind n + =  n 0 , dann gilt auch n − =  n−. n0 =  Es gilt   T T −1 T A = G −1 BG −1 G 3T S B G 3 G −1 2 2 = G2 2 = G 4 SB G 4,

G 4 := G 3 G −1 2 .

n0. Aus G 4 ∈ G L n (R) folgt Rang(A) = Rang(S B ) = Rang(B) und somit n 0 =  Wir setzen G −1 1 = [u 1 , . . . , u n + , v1 , . . . , vn − , w1 , . . . , wn 0 ] G −1 4

und

= [ u 1 , . . . , u v1 , . . . , v 1 , . . . , w  n + , n− , w n 0 ].

v1 , . . . , v 1 , . . . , w  Seien V1 := Span{u 1 , . . . , u n + } und V2 := Span{ n− , w n 0 }. Wegen n + > 0 ist dim(V1 ) ≥ 1. Ist x ∈ V1 \ {0}, dann gilt x=

n+ 

T α j u j = G −1 1 [α1 , . . . , αn + , 0, . . . , 0]

j=1

für gewisse α1 , . . . , αn + ∈ R, die nicht alle gleich 0 sind. Daraus folgt x T Ax =

n+ 

α 2j u Tj u j > 0.

j=1

Ist andererseits x ∈ V2 , dann zeigt ein analoges Argument, dass x T Ax ≤ 0 ist. Somit folgt V1 ∩ V2 = {0} und mit der Dimensionsformel für Unterräume (Satz 9.30) ergibt sich dim(V1 ) + dim(V2 ) − dim(V1 ∩ V2 ) = dim(V1 + V2 ) ≤ dim(Rn,1 ) = n,          =n +

=n− n+

=0

also n + ≤  n + . Wiederholen wir die gleiche Konstruktion mit vertauschten Rollen von n + und  n + , so ergibt sich  n + ≤ n + . Damit folgt n + =  n+ . 2 Im folgenden Resultat übertragen wir Lemma 18.22 und Satz 18.23 auf komplexe hermitesche Matrizen.

268

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

Satz 18.24 Sei A ∈ Cn,n hermitesch mit dem Trägheitsindex (n + , n − , n 0 ). Dann gibt es eine Matrix K ∈ G L n (C) mit A = K H diag(In + , In − , 0n 0 ) K . Zudem haben A und K H AK für jedes K ∈ G L n (C) denselben Trägheitsindex. Beweis Übungsaufgabe.

2

Wir betrachten nun noch eine spezielle Klasse symmetrischer bzw. hermitescher Matrizen. Definition 18.25 Eine reelle symmetrische bzw. komplexe hermitesche (n × n)-Matrix A heißt (1) positiv semidefinit, wenn v H Av ≥ 0 für alle v ∈ Rn,1 bzw. v ∈ Cn,1 gilt, (2) positiv definit, wenn v H Av > 0 für alle v ∈ Rn,1 \ {0} bzw. v ∈ Cn,1 \ {0} gilt. (Im reellen Fall kann hierbei „H“ durch „T“ ersetzt werden.) Gelten in (1) und (2) jeweils die umgekehrten Ungleichungen, so nennt man die entsprechenden Matrizen negativ semidefinit und negativ definit. Für selbstadjungierte Endomorphismen definiert man analog: Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt ·, · und ist f ∈ L(V, V) selbstadjungiert, so heißt f positiv semidefinit bzw. positiv definit, wenn  f (v), v ≥ 0 für alle v ∈ V bzw.  f (v), v > 0 für alle v ∈ V \ {0} gilt. Der folgende Satz charakterisiert die symmetrisch positiv definiten Matrizen; siehe Aufgabe 18.17 bzw. Aufgabe 18.18 für Übertragungen auf positiv semidefinite Matrizen bzw. positiv definite Endomorphismen. Satz 18.26 Ist A ∈ Rn,n symmetrisch, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) A ist positiv definit. (2) Alle Eigenwerte von A sind reell und positiv. (3) Es gibt eine untere Dreiecksmatrix L ∈ G L n (R) mit A = L L T . Beweis (1) ⇒ (2) : Die symmetrische Matrix A ist diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten. Ist λ ein Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor v, d. h. Av = λv, dann folgt λv T v = v T Av > 0 und somit λ > 0. (2) ⇒ (1) : Sei A = U T diag(λ1 , . . . , λn ) U eine Diagonalisierung von A mit einer orthogonalen Matrix U ∈ Rn,n und λ j > 0, j = 1, . . . , n. Sei v ∈ Rn,1 \ {0} beliebig und sei w := U v. Dann ist w = 0 sowie v = U T w und es folgt v T Av = (U T w)T U T diag(λ1 , . . . , λn ) U (U T w) = w T diag(λ1 , . . . , λn ) w =

n  j=1

λ j w2j > 0.

18.3

Selbstadjungierte Endomorphismen

269

(3) ⇒ (1) : Ist A = L L T , so gilt v T Av = v T L L T v = L T v

2 2

>0

für jeden Vektor v ∈ Cn,1 \ {0}, denn L T ist invertierbar. (1) ⇒ (3) : Sei A = U T diag(λ1 , . . . , λn ) U eine Diagonalisierung von A mit einer orthogonalen Matrix U ∈ Rn,n . Da A positiv definit ist, folgt λ j > 0, j = 1, . . . , n, aus (2). Wir setzen G G 1/2 := diag( λ1 , . . . , λn ), dann gilt A = (U 1/2 )(1/2 U T ) =: B T B. Sei B = Q R die Q R-Zerlegung der invertierbaren Matrix B (vgl. (12.3)), wobei Q ∈ Rn,n orthogonal und R ∈ Rn,n eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist. Dann folgt A = B T B = (Q R)T (Q R) = L L T , wobei L := R T ist. 2 Man sieht leicht, dass ein analoger Satz für komplexe hermitesche Matrizen A ∈ Cn,n gilt. In diesem Fall ist in Aussage (3) die untere Dreiecksmatrix L ∈ G L n (C) mit A = L L H . Die Faktorisierung A = L L T in (3) heißt die Cholesky-Faktorisierung4 von A. Sie kann als Spezialfall der LU -Faktorisierung (vgl. Satz 5.4) betrachtet werden. Ist A symmetrisch, so erhalten wir eine LU -Faktorisierung von A mit U = L T . Der obige Satz zeigt, dass diese Faktorisierung im Fall einer positiv definiten Matrix ohne Zeilenvertauschungen berechnet werden kann. Um die Cholesky-Faktorisierung einer symmetrisch positiv definiten Matrix A = [ai j ] ∈ Rn,n zu berechnen, betrachten wir die Gleichung ⎡ l11 ⎢ .. T A = LL = ⎣ . ln1

..

. · · · lnn

⎤⎡ l11 ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ · · · ln1 .. ⎥. .. . . ⎦ lnn

Für die erste Zeile von A gilt 2 a11 = l11 ⇒ l11 =

a1 j = l11l j1 ⇒ l j1 =

√ a11 , a1 j , l11

(18.6) j = 2, . . . , n.

(18.7)

Analog gilt für die Zeilen i = 2, . . . , n von A: aii =

i  j=1

4

⎛ li j li j ⇒ lii = ⎝aii −

i−1 

⎞1/2 li2j ⎠ ,

j=1

André-Louis Cholesky (1875–1918), französischer Offizier und Mathematiker.

(18.8)

270

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

ai j =

n 

lik l jk =

k=1

⇒ l ji

i 

lik l jk =

k=1

i−1 

lik l jk + lii l ji

k=1

  i−1  1 ai j − = lik l jk , lii

für j > i.

(18.9)

k=1

Die symmetrisch bzw. hermitesch positiv definiten Matrizen sind eng verwandt mit den positiv definiten Bilinearformen auf euklidischen bzw. unitären Vektorräumen. Satz 18.27 Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und ist β eine symmetrische bzw. hermitesche Bilinearform auf V, dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) β ist positiv definit, d. h. es gilt β(v, v) > 0 für alle v ∈ V \ {0}. (2) Für jede Basis B von V ist [β] B×B eine (symmetrisch bzw. hermitesch) positiv definite Matrix. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Aufgaben 18.1 18.2 18.3

Sei A ∈ Rn,n normal. Zeigen Sie, dass α A für jedes α ∈ R, Ak für jedes k ∈ N und p(A) für jedes p ∈ R[t] normal sind. Seien A, B ∈ Rn,n normal. Sind dann A + B und AB normal? Sei A ∈ R2,2 normal aber nicht symmetrisch. Zeigen Sie, dass dann  A=

18.4 18.5

18.6

18.7

α −β

β α



für gewisse α ∈ R und β ∈ R \ {0} gilt. Beweisen Sie Korollar 18.6 mit Hilfe von Satz 18.5. Zeigen Sie, dass reelle schief-symmetrische Matrizen (d. h. Matrizen mit A = −A T ∈ Rn,n ) und komplexe schief-hermitesche Matrizen (d. h. Matrizen mit A = −A H ∈ Cn,n ) normal sind. Sei V = {0} ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) diagonalisierbar. Zeigen Sie, dass es ein Skalarprodukt auf V gibt, so dass f normal bezüglich dieses Skalarproduktes ist. Sei A ∈ Cn,n . Zeigen Sie die folgenden Aussagen: (a) A ist genau dann normal, wenn es eine normale Matrix B mit paarweise verschiedenen Eigenwerten gibt, die mit A kommutiert. (b) A ist genau dann normal, wenn A + a I für jedes a ∈ C normal ist. (c) Seien H (A) := 12 (A + A H ) der hermitesche und S(A) := 12 (A − A H ) der schiefhermitesche Teil von A. Zeigen Sie, dass A = H (A) + S(A), H (A) H =

Aufgaben

271

H (A) und S(A) H = −S(A) gelten. Zeigen Sie weiter, dass A genau dann normal ist, wenn H (A) und S(A) kommutieren. Zeigen Sie: Ist A ∈ Cn,n normal und f (z) = az+b cz+d mit ad −bc  = 0 auf dem Spektrum von A definiert, so gilt f (A) = (a A + bI )(c A + d I )−1 . (Bei f (z) handelt es sich um eine Möbius-Transformation5 , die eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie spielt.) 18.9 Sei V = {0} ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) orthogonal bzw. unitär. Zeigen Sie, dass f −1 existiert und ebenfalls orthogonal bzw. unitär ist. 18.10 Sei u ∈ Rn,1 und die Householder-Matrix H (u) wie in (18.3) definiert. Zeigen Sie: ' & (a) Für u = 0 sind H (u) und −e1 e2 · · · en orthogonal ähnlich, d. h. es existiert eine orthogonale Matrix Q ∈ Rn,n mit & ' Q T H (u)Q = −e1 e2 . . . en . 18.8

(Hieraus folgt, dass H (u) nur die Eigenwerte 1 und −1 mit den jeweiligen algebraischen Vielfachheiten n − 1 und 1 hat.) (b) Jede orthogonale Matrix S ∈ Rn,n kann als Produkt von n Householder-Matrizen n . geschrieben werden, d. h. es existieren u 1 , . . . , u n ∈ Rn,1 mit S = H (u i ). i=1

18.11 Sei v ∈ Rn,1 mit v T v = 1. Zeigen Sie, dass es eine orthogonale Matrix U ∈ Rn,n mit U v = e1 gibt. 18.12 Übertragen Sie die Beweise von Lemma 18.22 und Satz 18.23 auf komplexe hermitesche Matrizen, um Satz 18.24 zu beweisen. 18.13 Berechnen Sie für die symmetrische Matrix A=

  10 6 ∈ R2,2 . 6 10

eine orthogonale Matrix U ∈ R2,2 , so dass U T AU diagonal ist. Ist A positiv (semi-)definit? 18.14 Sei K ∈ {R, C} und sei {v1 , . . . , vn } eine Basis von K n,1 . Zeigen oder widerlegen Sie: Eine Matrix A = A H ∈ K n,n ist genau dann positiv definit, wenn v H j Av j > 0 für alle j = 1, . . . , n gilt. 18.15 Testen Sie mit Hilfe von Definition 18.25, ob die folgenden symmetrischen Matrizen 

 1 1 , 1 1



 1 2 , 2 1

  2 1 ∈ R2,2 1 2

positiv definit/semidefinit sind. Bestimmen Sie jeweils den Trägheitsindex.

5

August Ferdinand Möbius (1790–1868), deutscher Mathematiker und Astronom.

272

18 Spezielle Klassen von Endomorphismen

18.16 Sei 

 A12 ∈ Rn,n A22

A11 A= T A12

T ∈ G L (R), A ∈ Rm,n−m und A = A T ∈ Rn−m,n−m . Die Matrix mit A11 = A11 m 12 22 22 T A−1 A m,m nennt man das Schur-Komplement6 von A in A. S := A22 − A12 ∈ R 11 11 12 Zeigen Sie, dass A genau dann positiv definit ist, wenn A11 und S positiv definit sind. 18.17 Beweisen Sie die folgende Übertragung von Satz 18.26 auf positiv semidefinite Matrizen. Ist A ∈ Rn,n symmetrisch, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) A ist positiv semidefinit. (2) Alle Eigenwerte von A sind reell und nicht-negativ. (3) Es gibt eine untere Dreiecksmatrix L ∈ Rn,n mit A = L L T . 18.18 Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V) selbstadjungiert. Zeigen Sie, dass f genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte von f reell und positiv sind. 18.19 Sei A ∈ Rn,n . Eine Matrix X ∈ Rn,n mit X 2 = A wird eine Quadratwurzel von A genannt (vgl. Kap. 17). (a) Zeigen Sie, dass eine symmetrisch positiv definite Matrix A ∈ Rn,n eine symmetrisch positiv definite Quadratwurzel besitzt. (b) Zeigen Sie, dass die Matrix ⎡

⎤ 33 6 6 24 −12⎦ A=⎣ 6 6 −12 24 symmetrisch positiv definit ist und berechnen Sie eine symmetrisch positiv definite Quadratwurzel von A. (c) Zeigen Sie, dass die Matrix A = Jn (0), n ≥ 2, keine Quadratwurzel besitzt. 18.20 Zeigen Sie, dass die Matrix ⎡

2 ⎣ A= 1 0

1 2 1

⎤ 0 1⎦ 2

positiv definit ist und berechnen Sie die Cholesky-Zerlegung von A mit Hilfe von (18.6)–(18.9). 18.21 Beweisen Sie Satz 18.27.

6

Benannt nach Issai Schur.

Kapitel 19

Die Singulärwertzerlegung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einer weiteren Matrix-Zerlegung, der sogenannten Singulärwertzerlegung (oft abgekürzt als SVD, was vom englischen Begriff singular value decomposition stammt). Diese Zerlegung spielt in vielen Anwendungen eine zentrale Rolle. Dies werden wir weiter unten genauer erklären. Im folgenden Satz beweisen wir zunächst die Existenz der Zerlegung. Satz 19.1 Sei A ∈ Cn,m mit n ≥ m gegeben. Dann gibt es unitäre Matrizen V ∈ Cn,n und W ∈ Cm,m , so dass   r 0n−r,r H ∈ Rn,m , r = diag(σ1 , . . . , σr ) (19.1) mit  = A = V W 0r,m−r 0n−r,m−r gilt, wobei σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > 0 und r = Rang(A) sind. Beweis Ist A = 0, so setzen wir V = In ,  = 0 ∈ Cn,m , r = [ ], W = Im und sind fertig. Sei nun A = 0 und sei r := Rang(A). Aus n ≥ m folgt 1 ≤ r ≤ m. Da A H A ∈ Cm,m hermitesch ist, existiert eine unitäre Matrix W = [w1 , . . . , wm ] ∈ Cm,m mit W H (A H A)W = diag(λ1 , . . . , λm ) ∈ Rm,m . Für jedes j = 1, . . . , m gilt A H Aw j = λ j w j . Es folgt H H λ j wH j w j = w j A Aw j = Aw j

2 2

≥ 0,

also λ j ≥ 0 für j = 1, . . . , m. Es gilt Rang(A H A) = Rang(A) = r (man modifiziere dafür den Beweis von Lemma 10.22 für den komplexen Fall). Somit hat die Matrix A H A genau r positive Eigenwerte λ1 , . . . , λr und (m − r )-mal den Eigenwert 0. Wir definieren 1/2 nun σ j := λ j , j = 1, . . . , r . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir davon aus, dass diese Werte bereits ihrer Größe nach absteigend sortiert sind. Sei nun r wie in (19.1), D :=

 r 0

0 Im−r

 ∈ G L m (R),

X = [x1 , . . . , x m ] := AW D −1 ,

Vr := [x1 , . . . , xr ] und Z := [xr +1 , . . . , xm ]. Dann gilt J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_19,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

273

274

19 Die Singulärwertzerlegung



VrH Vr Z H Vr

  H VrH Z Vr [Vr , Z ] = X H X = D −1 W H A H AW D −1 = ZH Z ZH   Ir 0 = , 0 0

woraus insbesondere Z = 0 und VrH Vr = Ir folgen. Wir ergänzen die Vektoren x1 , . . . , xr zu einer Orthonormalbasis {x1 , . . . , xr ,  xr +1 , . . . ,  xn } von Cn,1 bezüglich des Standardskalarprodukts. Dann ist die Matrix V := [Vr ,  xr +1 , . . . ,  xn ] ∈ Cn,n unitär. Aus X = AW D −1 und X = [Vr , Z ] = [Vr , 0] erhalten wir A = [Vr , 0]DW H und 2 schließlich A = V W H mit  wie in (19.1). Wie man leicht am Beweis sieht, kann man Satz 19.1 analog für reelle Matrizen A ∈ Rn,m mit n ≥ m formulieren. In diesem Fall sind die beiden Matrizen V und W orthogonal. Ist n < m, so kann man den Satz auf A H (bzw. A T im reellen Fall) anwenden. Definition 19.2 Eine Zerlegung der Form (19.1) heißt eine Singulärwertzerlegung1 der Matrix A. Die Diagonaleinträge der Matrix r heißen die Singulärwerte und die Spalten von V bzw. W heißen linke bzw. rechte Singulärvektoren von A. Aus (19.1) erhält man unmittelbar die unitären Diagonalisierungen der Matrizen A H A und A AH , AH A = W

 2 r 0

 0 WH 0

und

A AH = V

 2 r 0

 0 V H. 0

Die Singulärwerte von A sind eindeutig bestimmt als die positiven Quadratwurzeln der positiven Eigenwerte von A H A (oder A A H ). Die unitären Matrizen V und W in der Singulärwertzerlegung sind jedoch (wie Eigenvektoren im Allgemeinen) nicht eindeutig bestimmt. Schreibt man die Singulärwertzerlegung von A in der Form   I A = V W H = V r 0

0 In−r,m−r



 WH

 W

r 0

0 0m−r



 WH

=: U P,

so hat U ∈ Cn,m orthonormale Spalten (d. h. U H U = Im ) und P = P H ∈ Cm,m ist positiv semidefinit mit dem Trägheitsindex (r, 0, m −r ). Die Faktorisierung A = U P nennt man eine Porlarzerlegung von A. Sie kann als Verallgemeinerung der Polardarstellung von komplexen Zahlen (z = eiϕ |z|) betrachtet werden. 1 An der Entwicklung dieser Zerlegung von bereits Mitte des 19. Jahrhunderts bekannten Spezialfällen bis zu ihrer heutigen allgemeinen Form waren viele der Hauptpersonen der Linearen Algebra beteiligt. In den historischen Bemerkungen zur Singulärwertzerlegung in [HorJ91] findet man unter anderem Beiträge von Jordan (1873), Sylvester (1889/1890) und Schmidt (1907). Die heutige Form wurde 1939 von den amerikanischen Physikern Carl Henry Eckart (1902–1973) und Gale Young bewiesen.

19 Die Singulärwertzerlegung

275

Lemma 19.3 Die Matrix A ∈ Cn,m mit Rang(A) = r habe eine Singulärwertzerlegung der Form (19.1) mit V = [v1 , . . . , vn ] und W = [w1 , . . . , wm ]. Fassen wir A als Element von L(Cm,1 , Cn,1 ) auf, dann gelten Bild(A) = span{v1 , . . . , vr } und Kern(A) = span{wr +1 , . . . , wm }. Beweis Für j = 1, . . . , r gilt Aw j = σ j v j = 0 mit σ j = 0. Somit sind die r linear unabhängigen Vektoren v1 , . . . , vr ∈ Bild(A). Aus r = Rang(A) = dim(Bild(A)) folgt nun Bild(A) = span{v1 , . . . , vr }. Für j = r + 1, . . . , m gilt Aw j = V W H w j = V e j = 0. Somit sind die m − r linear unabhängigen Vektoren wr +1 , . . . , wm ∈ Kern(A). Aus dim(Kern(A)) = m − dim(Bild(A)) = m − r folgt nun Kern(A) = span{wr +1 , . . . , wm }. 2 Eine Singulärwertzerlegung der Form (19.1) kann man schreiben als A=

r 

σ j v j wH j .

(19.2)

j=1

Die Matrix A wird hierbei als eine Summe von r Matrizen der Form σ j v j w H j dargestellt,   = 1 gilt. Sei wobei Rang σ j v j w H j Ak :=

k 

σ j v j wH j

für ein k,

1 ≤ k ≤ r.

(19.3)

j=1

Dann gilt Rang(Ak ) = k und mit Hilfe der unitären Invarianz der Matrix 2-Norm (vgl. Aufgabe 19.1) folgt A − Ak

2

= diag(σk+1 , . . . , σr )

2

= σk+1 .

(19.4)

Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung kann somit die Matrix A durch Ak approximiert werden, wobei der Rang der approximierenden Matrix und der Approximationsfehler in der Matrix 2-Norm explizit bekannt sind. Die Singulärwertzerlegung liefert dabei sogar die bestmögliche Approximation von A durch eine Matrix vom Rang k bezüglich der Matrix 2-Norm. Satz 19.4 Mit der Notation in (19.3) gilt A − Ak mit Rang(B) = k.

2

≤ A−B

2

für jede Matrix B ∈ Cn,m

Beweis Die Aussage ist trivial für k = Rang(A), denn dann ist Ak = A und A − Ak 2 = 0. Sei daher k < Rang(A) ≤ m. Ist B ∈ Cn,m mit Rang(B) = k gegeben, dann gilt dim(Kern(B)) = m − k, wobei wir B als Element von L(Cm,1 , Cn,1 ) auffassen. Sind w1 , . . . , wm die rechten Singulärvektoren von A aus (19.1), dann hat der Unterraum U := span{w1 , . . . , wk+1 } die Dimension k + 1. Da Kern(B) und U zwei Unterräume von Cm,1 mit dim(Kern(B)) + dim(U) = m + 1 sind, muss Kern(B) ∩ U = {0} gelten. Sei v ∈ Kern(B) ∩ U mit v 2 = 1 gegeben. Dann gibt es α1 , . . . , αk+1 ∈ C mit v = k+1 k+1 2 α w und j=1 j j j=1 |α j | = 1. Es folgt

276

19 Die Singulärwertzerlegung

(A − B)v = Av −  Bv = =0

k+1 

α j Aw j =

j=1

k+1 

αjσjvj

j=1

und somit A−B

2

= max y

2 =1

(A − B)y

2

≥ (A − B)v

2

k+1 ; ; =; α j σ j v j ;2 j=1

⎞1/2 ⎛ k+1  =⎝ |α j σ j |2 ⎠

(denn v1 , . . . , vk+1 sind paarweise orthonormal)

j=1

⎛ ⎞1/2 k+1  ≥ σk+1 ⎝ |α j |2 ⎠

(es gilt σ1 ≥ · · · ≥ σk+1 )

j=1

= σk+1 = A − Ak

2,

was zu zeigen war.

2

Die MATLAB-Minute Das Kommando A=magic(n) generiert für n ≥ 3 eine (n × n)-Matrix A mit Einträgen von 1 bis n 2 , so dass alle Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen von A gleich sind. Die Einträge von A bilden also ein „magisches Quadrat“. Berechnen Sie die Singulärwertzerlegung von A=magic(10) durch das Kommando [V,S,W]=svd(A). Wie sehen die Singulärwerte von A aus und was ist Rang(A)? Bilden Sie Ak für k = 1, 2, . . . , Rang(A) wie in (19.3) und verifizieren Sie numerisch Gleichung (19.4).

Diese Approximationseigenschaft der Singulärwertzerlegung macht Sie zu einem der wichtigsten mathematischen Werkzeuge in fast allen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften, Wirtschaftswissenschaften, in der Medizin und selbst in der Psychologie. Seit einigen Jahren wird die Singulärwertzerlegung auch in großem Maße zur Textanalyse und zum Vergleich der Ähnlichkeit von Texten eingesetzt. Ihre große Bedeutung beruht darauf, dass sie es oft ermöglicht, „wichtige“ Informationen eines Datensatzes von „unwichtigen“ zu trennen. Zu den Letzteren gehören zum Beispiel Meßungenauigkeiten, Rauschen in der Übertragung von Daten, oder auch feine Details in einem Signal oder Bild, die nur ein geringe Rolle spielen. Oft korrespondieren die „wichtigen“ Informationen in einer Anwendung zu den großen Singulärwerten, die „unwichtigen“ zu den kleinen. In vielen Anwendungen beobachtet man zudem, dass die Singulärwerte der gegebenen Matrizen schnell abfallen, dass es also nur wenige große und viele sehr kleine Singulärwerte gibt. Gilt dies, so kann eine Matrix bezüglich der 2-Norm gut durch eine Matrix mit kleinem Rang approximiert werden, denn bereits für ein kleines k ist A − Ak 2 = σk+1 klein. Eine solche „Niedrig-Rang-Approximation“ Ak benötigt wenig Speicherplatz im Computer (lediglich k Skalare und 2k Vektoren sind zu speichern). Dies macht die Singulärwertzerlegung zu

19 Die Singulärwertzerlegung

277

einem mächtigen Werkzeug in allen Anwendungen, bei denen Datenkompression von Interesse ist. Beispiel 19.5 Wir illustrieren den Einsatz der Singulärwertzerlegung in der Bildkompression an einem Foto, das uns das DFG Forschungszentrum „M ATHEON: Mathematik für Schlüsseltechnologien“ zur Verfügung gestellt hat.2 Das Schwarzweiß-Foto zeigt ein Modell des „M ATHEON-Bären“, dessen Original vor dem Mathematik-Gebäude der TU Berlin aufgestellt ist. Es besteht aus 286 × 152 Bildpunkten; siehe das linke Bild in Abb. 19.1. Jeder der Bildpunkte liegt als „Grauwert“ zwischen 0 und 64 vor. Diese sind in einer txt-Datei gespeichert, die mit dem Befehl load in MATLAB geladen werden kann. Von der resultierenden (286×152)-Matrix A, die den (vollen) Rang 152 hat, berechnen wir die Singulärwertzerlegung mit dem Kommando [V,S,W]=svd(A). Die Diagonaleinträge der Matrix S, also die Singulärwerte von A, werden von MATLAB absteigend sortiert (wie in Satz 19.1). Für k=100,20,10 berechnen wir nun Matrizen mit Rang k wie in (19.3) durch das Kommando A_k=V(:,1:k)*S(1:k,1:k)*W(:,1:k)’. Diese Matrizen stellen Approximationen des ursprünglichen Bildes mit Hilfe der k größten Singulärwerte und den entsprechenden Singulärvektoren dar. Die drei Approximationen sind in Abb. 19.1 neben dem ursprünglichen Foto dargestellt. Die Abbildung zeigt, dass selbst bei kleinem Rang k noch wesentliche Details des M ATHEON-Bären zu erkennen sind. Wir betrachten nun die Anwendung der Singulärwertzerlegung auf die Lösung linearer Gleichungssysteme. Hat A ∈ Cn,m eine Singulärwertzerlegung der Form (19.1), so definieren wir die Matrix   −1 0 r † † H m,n † ∈ Rm,n . mit  := (19.5) A := W  V ∈ C 0 0

Abb. 19.1 Foto des „M ATHEON-Bären“ (links) und Approximationen mit Hilfe der Singulärwertzerlegung durch Matrizen mit Rang 100, 20 und 10

2

Wir danken Falk Ebert für seine Unterstützung bei diesem Beispiel.

278

19 Die Singulärwertzerlegung

Man sieht leicht, dass dann  A† A =

 0 ∈ Rm,m 0

Ir 0

gilt. Ist r = m = n, so ist A invertierbar und auf der rechten Seite dieser Gleichung steht die Einheitsmatrix In . In diesem Fall gilt also A† = A−1 . Die Matrix A† kann daher als eine verallgemeinerte Inverse aufgefaßt werden, die im Fall einer invertierbaren Matrix A gleich der Inversen von A ist. Definition 19.6 Die Matrix A† in (19.5) heißt Moore-Penrose-Inverse3 oder Pseudoinverse von A. Sei b ∈ Cn,1 gegeben. Ist b ∈ Bild(A), so gibt es eine Lösung  x des linearen Gleichungssystems Ax = b. Ist jedoch b ∈ / Bild(A), so können wir b lediglich durch Vektoren aus dem Raum Bild(A), d. h. durch Vektoren der Form A x mit  x ∈ Cm,1 , approximieren. Die Approximation von b durch Vektoren aus dem Bildraum einer Matrix nennt man auch ein lineares Ausgleichsproblem. Die Singulärwertzerlegung und die Moore-Penrose-Inverse liefern eine spezielle und in Anwendungen wichtige Lösung dieses Problems. Satz 19.7 Seien A ∈ Cn,m mit n ≥ m und b ∈ Cn,1 gegeben. Sind A = V W H eine x = A† b, so gilt Singulärwertzerlegung wie in (19.1), A† = W  † V H wie in (19.5) und  b − A x

2

≤ b − Ay

2

für alle

y ∈ Cm,1 .

Zudem gilt

y

2

≥  x

2

⎛ ) ) ⎞1/2 r ) v H b )2  ) j ) ⎠ =⎝ ) ) ) σj ) j=1

für jedes y ∈ Cm,1 mit b − A x

2

= b − Ay 2 .

Beweis Sei y ∈ Cm,1 gegeben und sei z = [ξ1 , . . . , ξm ]T := W H y. Dann gilt b − Ay

2 2

= b − V W Hy 22 = V (V H b − z) r ) n ) )2 )   ) H ) ) H )2 = )v j b − σ j ξ j ) + )v j b) ≥

j=1 n 

2 2

= V H b − z

2 2

j=r +1

) ) ) H )2 )v j b) .

(19.6)

j=r +1

3

Eliakim Hastings Moore (1862–1932), amerikanischer Mathematiker; Sir Roger Penrose (geb. 1931), englischer Mathematiker und theoretischer Physiker.

19 Die Singulärwertzerlegung

279

  Gleichheit gilt genau dann, wenn ξ j = v H b /(σ j ) für alle j = 1, . . . , r ist. Dies ist erfüllt, j wenn z = W H y =  + V H b ist. Die letzte Gleichung gilt genau dann, wenn x y = W  + V H b = A† b =  ist. Für den Vektor  x ist somit die untere Schranke (19.6) erreicht. Die Gleichung

 x

2

⎛ ) ) ⎞1/2 r ) v H b )2  ) j ) ⎠ =⎝ ) ) ) σj ) j=1

rechnet man leicht nach. Jeder Vektor y ∈ Cm,1 , der die untere Schranke (19.6) erreicht, muss von der Form y=W

v1H b vH b , . . . , r , yr +1 , . . . , ym σ1 σr

für gewisse yr +1 , . . . , ym ∈ C sein. Daraus folgt sofort y Vektor y.

2

!T

≥  x

2

für jeden solchen 2

Die Aussage dieses Satzes kann man auch so formulieren: Der Vektor A x ist bezüglich der euklidischen Norm eine bestmögliche Approximation des Vektors b unter allen Vektoren aus dem Raum Bild(A) und der Vektor  x hat unter allen Vektoren, die diese beste Approximation erreichen, die kleinste euklidische Norm. Das Minimierungsproblem für den Vektor  x können wir schreiben als b − A x

2

= min

y∈Cm,1

b − Ay 2 .

Ist ⎡

τ1 ⎢ .. A=⎣ .

τm

⎤ 1 .. ⎥ ∈ Rm,2 .⎦ 1

für (paarweise verschiedene) τ1 , . . . , τm ∈ R, so entspricht dieses Minimierungsproblem dem Problem der linearen Regression bzw. dem kleinste Quadrate-Problem in Beispiel 12.15, das wir mit der Q R-Zerlegung von A gelöst hatten. Ist A = Q R diese Zerlegung, so folgt aus A† = (A H A)−1 A H (vgl. Aufgabe 19.3) die Gleichung A† = (R H Q H Q R)−1 R H Q H = R −1 (R H )−1 R H Q H = R −1 Q H . Somit ist die kleinste Quadrate Approximation in Beispiel 12.15 identisch mit der Lösung des obigen Minimierungsproblems mit Hilfe der Singulärwertzerlegung von A.

280

19 Die Singulärwertzerlegung

Aufgaben 19.1 Zeigen Sie, dass die Frobenius-Norm und die Matrix 2-Norm unitär invariant sind, dass also P AQ F = A F und P AQ 2 = A 2 für alle A ∈ Cn,m und unitären Matrizen P ∈ Cn,n , Q ∈ Cm,m gilt. (Hinweis: Für die Frobenius-Norm kann man A 2F = Spur(A H A) benutzen.) 19.2 Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 19.1, um zu zeigen, dass A F = σ12 + . . .

1/2 +σr2 und A 2 = σ1 gelten, wenn A ∈ Cn,m die Singulärwerte σ1 ≥ · · · ≥ σr > 0 hat. 19.3 Sei A ∈ Cn,m und sei A† die Moore-Penrose-Inverse von A. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten: (a) Ist Rang(A) = m, so gilt A† = (A H A)−1 A H . (b) Die Matrix X = A † ist die eindeutig bestimmte Matrix, die die folgenden vier Bedingungen erfüllt: • • • •

AX A = A, X AX = X , (AX ) H = AX , (X A) H = X A.

19.4 Seien ⎡

⎤ 2 1 3 ⎦ ∈ R3,2 , A = ⎣0 1 −2

⎡

⎤ 5 b = ⎣ 2 ⎦ ∈ R3,1 . −5

Berechnen Sie die Moore-Penrose-Inverse von A und geben Sie ein  x ∈ R2,1 an, so dass • •

b − A x 2 ≤ b − Ay 2 für alle y ∈ R2,1 und x  x 2 ≤ y 2 für alle y ∈ R2,1 mit b − Ay 2 = b − A

2

gilt. 19.5 Beweisen Sie den folgenden Satz: Seien A ∈ Cn,m und B ∈ C,m mit m ≤ n ≤ . Es gilt A H A = B H B genau dann, wenn B = U A für eine Matrix U ∈ C,n mit U H U = In ist. Falls A und B reell sind, kann U ebenfalls reell gewählt werden. (Hinweis: Die eine Richtung ist trivial. Für die andere Richtung betrachten Sie die unitäre Diagonalisierung von A H A = B H B. Diese liefert Ihnen die Matrix W in der Singulärwertzerlegung von A und in der von B. Zeigen Sie nun die Aussage unter Ausnutzung dieser beiden Zerlegungen. Diesen Satz und seine Anwendungen findet man im Artikel [HorO96].)

Kapitel 20

Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

Viele Anwendungen, insbesondere die Stabilitätsuntersuchung von Differenzialgleichungen, führen auf lineare Matrixgleichungen, wie etwa die Sylvester-Gleichung AX + X B = C. Hier sind die Matrizen A, B, C gegeben und eine Matrix X , die die Gleichung erfüllt, ist gesucht (wir geben später eine formale Definition). Bei der Beschreibung der Lösung solcher Gleichungen tritt mit dem Kroneckerprodukt1 ein weiteres Produkt von Matrizen auf. In diesem Kapitel leiten wir die wichtigsten Eigenschaften dieses Produkts her und wir studieren seine Anwendung im Kontext linearer Matrixgleichungen. Viele weitere Resultate zu diesen Themen findet man in [HorJ91] und [LanT85]. Definition 20.1 Ist K ein Körper, A = [ai j ] ∈ K m,m und B ∈ K n,n , dann heißt ⎡

⊗ : K m,m × K n,n → K mn,mn ,

a11 B ⎢ .. (A, B) → A ⊗ B := [ai j B] = ⎣ . am1 B

···

⎤ a1m B .. ⎥ . ⎦

· · · amm B

das Kroneckerprodukt von A und B. Das Kroneckerprodukt wird manchmal auch als Tensorprodukt von Matrizen bezeichnet. Die Definition kann auf rechteckige Matrizen erweitert werden, doch der Einfachheit halber betrachten wir hier nur den Fall quadratischer Matrizen. Das folgende Lemma beschreibt die grundlegenden Rechenregeln dieses Produkts. Lemma 20.2 Das Kroneckerprodukt ist assoziativ und in beiden Faktoren linear (also bilinear), d. h. für alle quadratischen Matrizen A, B, C über K gelten (1) A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C, (2) (μA) ⊗ B = A ⊗ (μB) = μ(A ⊗ B) für alle μ ∈ K , (3) (A + B) ⊗ C = (A ⊗ C) + (B ⊗ C), wenn A + B definiert ist und A ⊗ (B + C) = (A ⊗ B) + (A ⊗ C), wenn B + C definiert ist.

1 Benannt nach Leopold Kronecker, der dieses Produkt in den 1880er Jahren in seinen Vorlesungen in Berlin benutzt haben soll, jedoch erstmals definiert 1858 von Johann Georg Zehfuss (1832–1901), deutscher Lehrer und Direktor der Gewerbeschule in Frankfurt am Main.

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5_20,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

281

282

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

Zudem gilt (4) (A ⊗ B)T = A) ⊗ B T und somit ist das Kroneckerprodukt zweier symmetrischer Matrizen symmetrisch. 2

Beweis Übungsaufgabe.

Insbesondere bleibt im Gegensatz zum gewöhnlichen Matrixprodukt die Reihenfolge der Faktoren des Kroneckerprodukts beim Transponieren unverändert. Einen Zusammenhang zwischen der Matrix-Multiplikation und dem Kroneckerprodukt erhalten wir im folgenden Resultat. Lemma 20.3 Für A, C ∈ K m,m und B, D ∈ K n,n gilt (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (B D). Insbesondere folgen (1) A ⊗ B = (A ⊗ In )(Im ⊗ B) = (Im ⊗ B)(A ⊗ In ), (2) (A ⊗ B)−1 = A−1 ⊗ B −1 , falls A und B invertierbar sind. Beweis Aus A ⊗ B = [ai j B] und C ⊗ D = [ci j D] folgt, dass der Block Fi j ∈ K n,n in der Blockmatrix [Fi j ] = (A ⊗ B)(C ⊗ D) gegeben ist durch Fi j =

m 

(aik B)(ck j D) =

k=1

m 

 aik ck j B D =

k=1

m 

 aik ck j

B D.

k=1

Für die Blockmatrix [G i j ] = (AC) ⊗ (B D) mit G i j ∈ K n,n erhalten wir G i j = gi j B D

mit

gi j =

m 

aik ck j .

k=1

Dies zeigt die Gleichung (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (B D). Mit B = In und C = Im (und der Umbenennung von D in B) erhält man (1). Setzt man C = A−1 und D = B −1 , so folgt (A ⊗ B)(A−1 ⊗ B −1 ) = (A A−1 ) ⊗ (B B −1 ) = Im ⊗ In = Inm und somit gilt auch (2). 2 Im Allgemeinen ist das Kroneckerprodukt nicht kommutativ (vgl. Aufgabe 20.2), aber es gilt der folgende Zusammenhang zwischen A ⊗ B und B ⊗ A. Lemma 20.4 Für A ∈ K m,m und B ∈ K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ K mn,mn mit P T (A ⊗ B)P = B ⊗ A. Beweis Übungsaufgabe.

2

Für die Berechnung von Determinante, Spur und Rang eines Kroneckerprodukts gibt es einfache Formeln.

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

283

Satz 20.5 Für A ∈ K m,m und B ∈ K n,n gelten: (1) det(A ⊗ B) = (det A)n (det B)m = det(B ⊗ A). (2) Spur(A ⊗ B) = Spur(A) Spur(B) = Spur(B ⊗ A). (3) Rang(A ⊗ B) = Rang(A) Rang(B) = Rang(B ⊗ A). Beweis (1) Aus Lemma 20.3 (1) und dem Determinantenmultiplikationssatz (Satz 7.16) folgt det(A ⊗ B) = det ((A ⊗ In ) (Im ⊗ B)) = det(A ⊗ In ) det(Im ⊗ B). Nach Lemma 20.4 gibt es eine Permutationsmatrix P mit A ⊗ In = P(In ⊗ A)P T . Hieraus folgt   det(A ⊗ In ) = det P(In ⊗ A)P T = det(In ⊗ A) = (det A)n . Aus det(Im ⊗ B) = (det B)m folgt dann det(A ⊗ B) = (det A)n (det B)m und somit gilt auch det(A ⊗ B) = det(B ⊗ A). (2) Aus (A ⊗ B) = [ai j B] folgt Spur(A ⊗ B) =

n m   i=1 j=1

aii b j j =

 m  i=1

⎛ aii ⎝

n 

⎞ b j j ⎠ = Spur(A) Spur(B)

j=1

= Spur(B) Spur(A) = Spur(B ⊗ A). (3) Übungsaufgabe. 2 Für eine Matrix A = [a1 , . . . , an ] ∈ K m,n mit den Spalten a j ∈ K m,1 , j = 1, . . . , n, definieren wir ⎡ ⎤ a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢ ⎥ Vec(A) := ⎢ . ⎥ ∈ K mn,1 . ⎣ .. ⎦ an Durch die Anwendung von Vec wird aus der Matrix A ein „Spaltenvektor“ und somit wird A „vektorisiert“. Lemma 20.6 Die Abbildung Vec : K m,n → K mn,1 ist ein Isomorphismus. Insbesondere sind somit A1 , . . . , Ak ∈ K m,n genau dann linear unabhängig, wenn Vec(A1 ), . . . , Vec(Ak ) ∈ K mn,1 linear unabhängig sind. Beweis Übungsaufgabe.

2

Wir betrachten nun den Zusammenhang zwischen dem Kroneckerprodukt und der VecAbbildung.

284

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

Satz 20.7 Für A ∈ K m,m , B ∈ K n,n und C ∈ K m,n gilt Vec(AC B) = (B T ⊗ A)Vec(C). Insbesondere folgen (1) Vec(AC) = (In ⊗ A)Vec(C) und Vec(C B) = (B T ⊗ Im )Vec(C), (2) Vec(AC + C B) = (In ⊗ A) + (B T ⊗ Im ) Vec(C). Beweis Für j = 1, . . . , n ist die j-te Spalte von AC B gegeben durch (AC B)e j = (AC)(Be j ) =

n 

bk j (AC)ek =

k=1

n 

(bk j A)(Cek )

k=1

= [ b1 j A, b2 j A, . . . , bn j A ] Vec(C), woraus Vec(AC B) = (B T ⊗ A)Vec(C) folgt. Setzen wir B = In bzw. A = Im , so erhalten wir (1). Aus (1) und der Linearität von Vec folgt (2). 2 Um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten der Matrizen A, B und denen ihres Kroneckerprodukts A ⊗ B zu studieren, benutzten wir bivariate Polynome, d. h. Polynome in zwei Unbekannten (vgl. Aufgabe 9.5). Ist p(t1 , t2 ) =

l 

j

αi j t1i t2 ∈ K [t1 , t2 ]

i, j=0

ein solches Polynom, so definieren wir für A ∈ K m,m und B ∈ K n,n die Matrix p(A, B) :=

l 

αi j Ai ⊗ B j .

(20.1)

i, j=0

Beispiel 20.8 Für A ∈ K m,m , B ∈ K n,n und p(t1 , t2 ) = 2t1 + 3t1 t22 = 2t11 t20 + 3t11 t22 ∈ R[t1 , t2 ] erhalten wir die Matrix p(A, B) = 2A ⊗ In + 3A ⊗ B 2 . Das folgende Resultat ist als der Satz von Stephanos2 bekannt. Satz 20.9 Seien A ∈ K m,m bzw. B ∈ K n,n zwei Matrizen, die Jordan-Normalformen und die Eigenwerte λ1 , . . . , λm ∈ K bzw. μ1 , . . . , μn ∈ K besitzen. Ist p(A, B) wie in (20.1) definiert, dann gelten: (1) Die Eigenwerte von p(A, B) sind p(λk , μ ), für k = 1, . . . , m und  = 1, . . . , n. (2) Die Eigenwerte von A ⊗ B sind λk · μ , für k = 1, . . . , m,  = 1, . . . , n. (3) Die Eigenwerte von A ⊗ In + Im ⊗ B sind λk + μ , für k = 1, . . . , m,  = 1, . . . , n. 2

Benannt nach C. Stephanos, griechischer Mathematiker, der in einem Artikel des Jahres 1900 neben diesem Satz auch vermutlich als erster die Aussage von Lemma 20.3 bewies. Er studierte von 1878 bis 1884 in Paris (u.a. bei Hermite und Jordan) und arbeitete danach an der Universität Athen. Seine genauen Lebensdaten sind uns nicht bekannt.

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

285

Beweis Seien S ∈ G L m (K ) und T ∈ G L n (K ), so dass S −1 AS = J A und T −1 BT = J B in Jordan-Normalform sind. Die Matrizen J A und J B sind obere Dreiecksmatrizen. Somit j j sind für alle i, j ∈ N ∪ {0} die Matrizen J Ai , J B und J Ai ⊗ J B obere Dreiecksmatrizen. j j j Die Eigenwerte von J Ai bzw. J B sind λi1 , . . . , λim bzw. μ1 , . . . , μn . Somit sind p(λk , μ ), k = 1, . . . , m,  = 1, . . . , n die Diagonaleinträge der Matrix p(J A , J B ). Mit Hilfe von Lemma 20.3 folgt p(A, B) = = =

l  i, j=0 l  i, j=0 l  i, j=0

l  i  j      j αi j S J A S −1 ⊗ T J B T −1 = αi j S J Ai S −1 ⊗ T J B T −1 i, j=0

αi j







j

S J Ai ⊗ T J B



(S −1 ⊗ T −1 )

  j αi j (S ⊗ T ) J Ai ⊗ J B (S ⊗ T )−1 ⎛

= (S ⊗ T ) ⎝

l 

αi j



⎞  j J Ai ⊗ JB ⎠ (S ⊗ T )−1

i, j=0

= (S ⊗ T ) p(J A , J B )(S ⊗ T )−1 , woraus sich (1) ergibt. Die Aussagen (2) bzw. (3) sind Spezialfälle von (1) für die bivariaten Polynome p(t1 , t2 ) = 2 t1 t2 bzw. p(t1 , t2 ) = t1 + t2 . Das folgende Resultat über die Matrix-Exponentialfunktion eines Kroneckerprodukts ist hilfreich in vielen Anwendungen, in denen (lineare) Differenzialgleichungssysteme auftreten. Lemma 20.10 Für A ∈ Cm,m , B ∈ Cn,n und C := (A ⊗ In ) + (Im ⊗ B) gilt exp(C) = exp(A) ⊗ exp(B). Beweis Aus Lemma 20.3 wissen wir, dass die Matrizen A ⊗ In und Im ⊗ B kommutieren. Mit Hilfe von Lemma 17.6 folgt exp(C) = exp(A ⊗ In + Im ⊗ B) = exp(A ⊗ In ) exp(Im ⊗ B) ⎛ ⎞  ∞ ∞   1 1 =⎝ (A ⊗ In ) j ⎠ (Im ⊗ B)i j! i! j=0

i=0

∞ ∞  1 1 (A ⊗ In ) j (Im ⊗ B)i = j! i! j=0

i=0

∞ ∞  1 1 j = (A ⊗ B i ) j! i! j=0

i=0

= exp(A) ⊗ exp(B).

286

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

Hierbei haben wir die Eigenschaften der Matrix-Exponentialreihe ausgenutzt (vgl. Kap. 17). 2 Für gegebene Matrizen A j ∈ K m,m , B j ∈ K n,n , j = 1, . . . , q, und C ∈ K m,n heißt eine Gleichung der Form A1 X B1 + A2 X B2 + . . . + Aq X Bq = C

(20.2)

eine lineare Matrixgleichung für die (gesuchte) Matrix X ∈ K m,n . x := Vec(  X ) ∈ K mn,1 das Satz 20.11 Eine Matrix  X ∈ K m,n löst (20.2) genau dann, wenn  lineare Gleichungssystem Gx = Vec(C)

mit

G :=

q 

B) j ⊗ Aj

j=1

löst. 2

Beweis Übungsaufgabe. Wir betrachten nun zwei Spezialfälle von (20.2). Satz 20.12 Für A ∈ Cm,m , B ∈ Cn,n und C ∈ Cm,n hat die Sylvester-Gleichung3 AX + X B = C

(20.3)

genau dann eine eindeutige Lösung, wenn A und −B keine gemeinsamen Eigenwerte besitzen. Haben alle Eigenwerte von A und B einen negativen Realteil, so ist die eindeutige Lösung von (20.3) gegeben durch  X =−

:∞ exp(t A)C exp(t B)dt.

(20.4)

0

(Wie in Abschn. 17.2 ist das Integral hier eintragsweise definiert.) Beweis Analog zur Darstellung in Satz 20.11 können wir die Sylvester-Gleichung (20.3) schreiben als (In ⊗ A + B T ⊗ Im )x = Vec(C). Haben A bzw. B die Eigenwerte λ1 , . . . , λm bzw. μ1 , . . . , μn , so hat G := In ⊗ A + B T ⊗ Im nach Satz 20.9 (3) die Eigenwerte λk + μ , k = 1, . . . , m,  = 1, . . . , n. Somit ist G genau

3

Benannt nach James Joseph Sylvester.

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

287

dann invertierbar (und die Sylvester-Gleichung eindeutig lösbar), wenn λk + μ = 0 für alle k = 1, . . . , m und  = 1, . . . , n gilt. Seien nun A und B Matrizen, deren Eigenwerte negative Realteile haben. Dann haben A und −B keine gemeinsamen Eigenwerte und (20.3) hat eine eindeutige Lösung. Seien J A = S −1 AS und J B = T −1 BT Jordan-Normalformen von A und B. Wir betrachten die lineare Differenzialgleichung dZ = AZ + Z B, dt

Z (0) = C,

(20.5)

die durch die Funktion Z (t) = exp(t A)C exp(t B) : [0, ∞) → Cm,n gelöst wird (vgl. Aufgabe 20.10). Für diese Funktion gilt lim Z (t) = lim exp(t A)C exp(t B)

t→∞

t→∞

= lim S exp(t J A ) S −1C T exp(t J B ) T −1 = 0. t→∞       konstant

→0

→0

Integration der Gleichung (20.5) von t = 0 bis t = ∞ ergibt :∞ − Z (0) = lim (Z (t) − Z (0)) = A t→∞

⎛∞ ⎞ : Z (t)dt + ⎝ Z (t)dt ⎠ B.

0

(20.6)

0

(Wir benutzen hier ohne Beweis die Existenz der uneigentlichen Integrale.) Hieraus folgt, dass  X := −

:∞

:∞ Z (t)dt = −

0

exp(t A)C exp(t B)dt 0

die eindeutige Lösung von (20.3) ist.

2

Satz 20.12 liefert die Lösung einer weiteren wichtigen Matrixgleichung. Korollar 20.13 Für A ∈ Cn,n und C ∈ Cn,n hat die Lyapunov-Gleichung4 AX + X A H = −C

(20.7)

eine eindeutige Lösung  X ∈ Cn,n , wenn die Eigenwerte von A negative Realteile haben. Ist zusätzlich C hermitesch positiv definit, dann ist auch  X hermitesch positiv definit. 4

Alexander Michailowitsch Lyapunov (auch Ljapunow oder Liapunov; 1857–1918), russischer Mathematiker und Physiker.

288

20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen

Beweis Da nach Voraussetzung A und −A H keine gemeinsamen Eigenwerte haben, folgt die eindeutige Lösbarkeit von (20.7) aus Satz 20.12, wobei die Lösung durch die Matrix  X =−

:∞



exp(t A)(−C) exp t A H dt =

0

:∞



exp(t A)C exp t A H dt

0

gegeben ist. Ist nun C hermitesch positiv definit, so ist  X hermitesch und für x ∈ Cn,1 \ {0} gilt ⎛∞ ⎞ : :∞

H H ⎝ H ⎠ x Xx = x exp(t A)C exp t A dt x = x H exp(t A)C exp t A H x dt > 0.    0

0

>0

Dabei folgt die letzte Ungleichung aus der Monotonie des Integrals und

der Tatsache, dass 2 für x = 0 auch exp(t A H )x = 0 ist, denn für jedes reelle t ist exp t A H invertierbar.

Aufgaben 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

Beweisen Sie Lemma 20.2. Finden sie zwei quadratische Matrizen A, B mit A ⊗ B = B ⊗ A. Beweisen Sie Lemma 20.4. Beweisen Sie Satz 20.5 (3). Beweisen Sie Lemma 20.6. Zeigen Sie, dass A ⊗ B normal ist, wenn A ∈ Cm,m und B ∈ Cn,n normal sind. Ist A ⊗ B unitär, wenn A und B unitär sind? 20.7 Leiten Sie mit den Singulärwertzerlegungen A = V A  A W AH ∈ Cm,m und B = VB  B W BH ∈ Cn,n eine Singulärwertzerlegung von A ⊗ B her. 20.8 Zeigen Sie, dass für A ∈ Cm,m und B ∈ Cn,n und die Matrix 2-Norm die Gleichung A ⊗ B 2 = A 2 B 2 gilt. 20.9 Beweisen Sie Satz 20.11. 20.10 Seien A ∈ Cm,m , B ∈ Cn,n und C ∈ Cm,n . Zeigen Sie, dass Z (t) = exp(t A)C exp(t B) eine Lösung der Matrix-Differenzialgleichung ddtZ = AZ + Z B mit der Anfangsbedingung Z (0) = C ist.

Anhang A

MATLAB Kurzeinführung

MATLAB1 ist ein interaktives Software-System für numerische Berechnungen, Simulationen und Visualisierungen. Es enthält eine Vielzahl von vordefinierten Funktionen und ermöglicht zudem die Erstellung eigener Programme (sogenannter m-files). In diesem Buch benutzen wir ausschließlich vordefinierte Funktionen. Der Name MATLAB stammt vom Englischen MATrix LABoratory ab, was die MatrixOrientierung der Software andeutet. In der Tat sind Matrizen die wesentlichen Objekte, mit denen MATLAB operiert. Aufgrund der einfachen Bedienung und dem intuitiven Umgang mit Matrizen halten wir MATLAB für besonders geeignet für den Einsatz in der Lehre im Bereich der Linearen Algebra. In dieser Kurzeinführung erläutern wir die wichtigsten Möglichkeiten zur Eingabe von und zum Zugriff auf Matrizen in MATLAB. Die wesentlichen Matrix-Operationen sowie viele wichtige Algorithmen und Konzepte im Zusammenhang mit Matrizen (und der Linearen Algebra im Allgemeinen) lernt man durch aktive Nutzung der MATLAB-Minuten in diesem Buch kennen. Eine Matrix kann in MATLAB in Form einer von eckigen Klammern umschlossenen Liste der Einträge eingegeben werden. In der Liste werden die Einträge zeilenweise und in der natürlichen Reihenfolge der Indizes (d. h. „von oben nach unten“ und „von links nach rechts“) angeordnet. Nach jedem Semikolon innerhalb der Liste beginnt eine neue Zeile der Matrix. Zum Beispiel wird die Matrix ⎡

⎤ 1 2 3 A = ⎣4 5 6 ⎦ 7 8 9

erzeugt durch die Eingabe A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

Das Semikolon hinter der Matrix A unterdrückt die Ausgabe von MATLAB. Wird es weggelassen, so gibt MATLAB sämtliche eingegebene (oder berechnete) Größen aus. Zum Beispiel folgt auf die Eingabe A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

1

R ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks Inc. MATLAB

J. Liesen, V. Mehrmann, Lineare Algebra, DOI 10.1007/978-3-8348-8290-5,  C Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

289

290

Anhang A MATLAB Kurzeinführung

die Ausgabe A

= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Auf Teile von Matrizen wird durch Angabe der entsprechenden Indizes zugegriffen. Die Liste der Indizes von k bis m kürzt man dabei durch k:m ab. Alle Zeilen zu angegebenen Spaltenindizes bzw. alle Zeilen zu angegebenen Spaltenindizes erhält man durch Angabe eines Doppelpunktes. Ist A wie oben, so sind zum Beispiel A(2, 1)

die Matrix

A(3, 1 : 2)

die Matrix

A(:, 2 : 3)

die Matrix

[4], [7 8], ⎡ ⎤ 2 3 ⎣5 6⎦. 8 9

Es gibt eine Reihe von vordefinierten Funktionen, mit denen Matrizen erzeugt werden können. Insbesondere sind für gegebene natürliche Zahlen n und m eye(n)

die Einheitsmatrix In ,

zeros(n, m) ones(n, m) rand(n, m)

eine (n × m)-Matrix mit lauter Nullen, eine (n × m)-Matrix mit lauter Einsen, eine (n × m)-„Zufallsmatrix“.

Mehrere Matrizen können bei passenden Größen zu einer neuen Matrix zusammengesetzt werden (concatenation). Zum Beispiel erzeugt A = eye(2); B = [4; 3]; C = [2 − 1]; D = [−5]; E = [A B; C D] die Ausgabe E

= 1 0 2

0 1 -1

4 3 -5

Die MATLAB-Hilfe wird durch Eingabe des Befehls help gestartet. Um Informationen über konkrete Funktionen oder Operationen zu erhalten, sind deren Namen mit anzugeben. Zum Beispiel:

Anhang A

MATLAB Kurzeinführung

Eingabe:

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Operationen und Operatoren in MATLAB (insbesondere Addition, Multiplikation, Transposition) help matfun MATLAB-Funktionen, die mit Matrizen operieren help gallery Sammlung von Beispiel-Matrizen help det Determinanten-Funktion help expm Matrix-Exponentialfuntion help ops

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Literaturverzeichnis

Lehrbücher zur Linearen Algebra (Auswahl) • A. B EUTELSPACHER, Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen, 7. Auflage, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010. • S. B OSCH, Lineare Algebra, 4., überarbeitete Auflage, Springer, Berlin, 2008. • G. F ISCHER, Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, 17., aktualisierte Auflage, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2009. • P. G ABRIEL, Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhäuser, Basel, 1996. • B. H UPPERT UND W. W ILLEMS, Lineare Algebra. Mit zahlreichen Anwendungen in Kryptographie, Codierungstheorie, Mathematischer Physik und Stochastischen Prozessen, 2. Auflage, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010. • K. JÄNICH, Lineare Algebra. Mit 110 Testfragen, 11. Auflage, Springer, Berlin, 2008. • H.-J. KOWALSKY UND G. O. M ICHLER, Lineare Algebra, 12., überarbeitete Auflage, W. de Gruyter, Berlin, 2003. • F. L ORENZ, Lineare Algebra, 2 Bde., 4. Auflage bzw. 3., überarbeitete Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2003 bzw. 1996. • H. J. M UTHSAM, Lineare Algebra und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2006. • G. S TRANG, Lineare Algebra, Springer, Berlin, 2003.

Weiterführende Literatur [BryL06] K. B RYAN AND T. L EISE, The $25,000,000,000 eigenvector: The Linear Algebra behind Google, SIAM Rev., 48 (2006), pp. 569–581. [Der03] H. D ERKSEN, The fundamental theorem of algebra and linear algebra, Am. Math. Monthly, 110 (2003), pp. 620–623. [Ebb08] H.-D. E BBINGHAUS ET AL ., Zahlen, 3., verbesserte Auflage, Springer, Berlin, 2008. [Gan00] F. R. G ANTMACHER, Matrix Theory, Vol. 1+2, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2000. [GolV96] G. H. G OLUB UND C. F. VAN L OAN, Matrix Computations, 3rd ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1996. 293

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[Hig08] N. J. H IGHAM, Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, Philadelphia, PA, 2008. [HorJ85] R. A. H ORN UND C. R. J OHNSON, Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1985. [HorJ91] R. A. H ORN UND C. R. J OHNSON, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1991. [HorO96] R. A. H ORN UND I. O LKIN, When does A∗ A = B ∗ B and why does one want to know?, Am. Math. Monthly, 103 (1996), pp. 470–482. [LanT85] P. L ANCASTER UND M. T ISMENETSKY, The Theory of Matrices: With Applications, 2nd ed., Academic, San Diego, CA, 1985. [Pta56] V. P TÁK, Eine Bemerkung zur Jordanschen Normalform von Matrizen, Acta Sci. Math. Szeged, 17 (1956), pp. 190–194. [Sha91] H. S HAPIRO, A survey of canonical forms and invariants for unitary similarity, Linear Algebra. Appl., 147 (1991), pp. 101–167.

Ausgewählte historische Arbeiten zur Linearen Algebra (In den Kommentaren verwenden wir moderne Begriffe, um den Inhalt der jeweiligen Arbeiten zu beschreiben.) • A. L. C AUCHY, Sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Exercises de Mathématiques, 4 (1829). Erster Beweis, dass reelle symmetrische Matrizen reelle Eigenwerte haben. • H. G RASSMANN, Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Otto Wiegand, Leipzig, 1844. Entwickelt u.a. erstmals die abstrakten Konzepte des Vektorraums und der linearen Unabhängigkeit inklusive Austauschsatz und Dimensionsformel für Unterräume. • J. J. S YLVESTER, Additions to the articles in the September Number of this Journal, “On a new Class of Theorems,” and on Pascal’s Theorem, Philos. Mag., 37 (1850), pp. 363–370. Erstmalige Definition der Begriffe „Matrix“ und „Minor“. • J. J. S YLVESTER, A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares, Philos. Mag., 4 (1852), pp. 138–142. Enthält den „Trägheitssatz“. • A. C AYLEY, A memoir on the theory of matrices, Proc. Royal Soc. London, 148 (1858), pp. 17–37. Erstmalige Darstellung von Matrizen als selbständige algebraische Objekte. Enthält u.a. die Definition der Matrix-Operationen, den Satz von Cayley-Hamilton (Beweis nur für (3 × 3)-Matrizen) und das Konzept der Quadratwurzel von Matrizen. • K. W EIERSTRASS, Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen, Monatsber. Königl. Preußischen Akad. Wiss. Berlin (1868), pp. 311–338. Beweis der „Weiserstraß-Normalform“ (diese impliziert die Jordan-Normalform). • C. J ORDAN, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, 1870. Enthält u.a. den Beweis der Jordan-Normalform (unabhängig von Weierstraß’ Arbeit).

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• G. F ROBENIUS, Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen, J. reine angew. Math., 84 (1878), pp. 1–63. Enthält u.a. das Konzept des Minimalpolynoms, den (wahrscheinlich) ersten vollständigen Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton sowie Ergebnisse zur Äquivalenz, Ähnlichkeit und Kongruenz von Matrizen bzw. Bilinearformen. • G. P EANO, Calcolo Geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva, Fratelli Bocca, Torino, 1888. Enthält die erste axiomatische Definition des Vektorraumbegriffs (von Peano „sistemi lineari“ genannt). • I. S CHUR, Über die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen, Math. Annalen, 66 (1909), pp. 488–510. Enthält den „Satz von Schur“. • O. T OEPLITZ, Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejér, Math. Zeitschrift, 2 (1918), pp. 187–197. Führt den Begriff der „normalen Bilinearform“ ein und beweist die Äquivalenz von Normalität und unitärer Diagonalisierbarkeit. • F. D. M URNAGHAN UND A. W INTNER, A canonical form for real matrices under orthogonal transformations, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 17 (1931), pp. 417–420. Erster Beweis der „reellen Schur-Form“. • C. E CKART UND G. Y OUNG, A principal axis transformation for non-hermitian matrices, Bull. Am. Math. Soc., 45 (1939), pp. 118–121. Enthält die heutige Form der Singulärwertzerlegung einer allgemeinen komplexen Matrix.

Sachverzeichnis

A Äquivalenznormalform, 64 Äquivalenzrelation, 18 Äquivalenzklasse, 18 ähnliche Matrizen, 98 äquivalente Matrizen, 63 kongruente Matrizen, 148 Normalform, 19 reflexiv, transitiv, symmetrisch, 18 Abbildung, 14 Bild, 14 Definitions- und Wertebereich, 14 Einschränkung, 14 Identität, 14 injektiv, surjektiv, bijektiv, 15 Inverse, 16 Komposition, 15 Urbild, 14 adjungierte Abbildung, 172 euklidischer Fall, 174 Matrixdarstellung, 178 Rechts- und Linksadjungierte, 172 unitärer Fall, 176 Anfangswertproblem, 241 Aussage, 10 Austauschsatz, 111 B Basis, 109 des Vektorraums der Polynome, 110 Lagrange-, 139 orthogonal, 158 orthonormal, 159 Standardbasis des K n,m , 110 Basisergänzungssatz, 110 Basisübergang, 132 bijektiv, 15 Bilinearform, 145 Matrixdarstellung, 147 nicht ausgeartet, 145 symmetrisch, 146

C Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 156 Cayley-Hamilton, Satz von, 96 charakteristisches Polynom einer Matrix, 93 eines Endomorphismus, 185 Cholesky-Faktorisierung, 269 Cramersche Regel, 88 D Determinante, 76 alternierend, 83 Berechnung durch LU -Zerlegung, 84 einer Dreicksmatrix, 79 Laplace-Entwicklung, 87 Linearität, 84 Multiplikationssatz, 84 normiert, 80 Rechenregeln, 81 Regel von Sarrus, 76 Signaturformel, 76 Dimension, 113 Dimensionsformel für lineare Abbildungen, 127 für Unterräume, 119 direkte Summe, 118 duale Abbildung, 143 Matrixdarstellung, 144 duale Basis, 142 duales Raumpaar, 146 Dualraum, 141 Duhamel-Integral, 246 E Eigenvektor einer Matrix, 98 eines Endomorphismus, 183 Eigenwert algebraische Vielfachheit, 186 einer Matrix, 98

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298 eines Endomorphismus, 183 geometrische Vielfachheit, 184 elementare Zeilenoperationen, 51 Endomorphismus diagonalisierbar, 187 Eigenraum, 183 gleichzeitig unitär triangulierbar, 208 Hauptvektor, 228 invarianter Unterraum, 184 Jordan-Kette, 227 Jordan-Normalform, 221 nilpotent, 213 Nilpotenzindex, 213 normal, 251 orthogonal, 257 positiv (semi-)definit, 268 Projektion, 181 triangulierbar, 190 unitär, 257 unitär diagonalisierbar, 252 unitär triangulierbar, 193 zyklischer Unterraum, 213 euklidischer Hauptsatz, 201 F Fourier-Entwicklung, 165 Fundamentalsatz der Algebra, 202 Lineare Algebra Version, 205 G Gauß’scher Algorithmus, 51 geordnetes Paar, 17 Givens-Rotation, 260 Gram-Schmidt-Verfahren, 160 Gruppe, 21 additive, 22 Gruppenhomomorphismus, 23 invertierbare Matrizen, G L n (R), 41 Matrizen mit Addition, 39 multiplikative, 23 orthogonale und unitäre Matrizen, 162 Permutationsmatrizen, 45 symmetrische Gruppe, Sn , 76 Zentralisator, 30 H Hauptachsentransformation, 263 I injektiv, 15 J Jordan-Normalform, 221 Algorithmus zur Berechnung, 228 Junktor, 10

Sachverzeichnis K kartesisches Produkt, 17 kleinste Quadrate Approximation, 164, 279 komplexe Zahlen, 27 Koordinaten, 114 Koordinatenabbildung, 131 Kreuzprodukt, 167 Kronecker-Delta-Funktion, 34 Krylov-Raum, 212 Körper, 26 L leere Summe, 24 leeres Produkt, 24 linear, 2 linear unabhängig, 108 lineare Abbildung, 123 Automorphismus, 123 Basiswechsel, 133 Bild, 125 Endomorphismus, 123 Homomorphismus, 123 Isomorphismus, 123 Kern, 125 Matrixdarstellung, 130 Rang, 136 Urbild, 125 lineare Hülle, 107 lineare Matrixgleichung, 286 lineare Regression, 162, 279 lineares Ausgleichsproblem, 278 lineares Differenzialgleichungssystem, 243 lineares Gleichungssystem, 67 erweiterte Koeffizientenmatrix, 69 homogen, 67 inhomogen, 67 Lösungsalgorithmus, 70 Lösungsmenge, 67 Linearform, 141 LU-Zerlegung, 56 Lyapunov-Gleichung, 287 M MATLAB-Minute, 38, 44, 55, 58, 84, 165, 194, 207, 227, 240, 261, 276 Matrix, 33 ähnliche Matrizen, 98 Addition, 35 Adjungte, 85 Basisübergangs-, 117 Begleit-, 95 Blockmultiplikation, 44 Diagonal-, 42 diagonaldominant, 87 Diagonale, 34

Sachverzeichnis diagonalisierbar, 187 Dreiecks-, 42 Einheits-, 34 Elementarmatrizen, 49 hermitesch, 150 hermitesch Transponierte, 150 Hilbert-, 58, 65, 90 Householder-, 170, 261 invertierbar, 40 Invertierbarkeitskriterien, 86, 99 komplex-symmetrisch, 179 kongruente Matrizen, 148 Kroneckerprodukt, 281 Minor, 85 Moore-Penrose-Inverse, 278 Multiplikation, 35 negativ (semi-)definit, 268 nilpotent, 103 normal, 251 Nullteiler, 40, 64 orthogonal, 161 Permutations-, 45 Pivotpositionen, 58 positiv, 100 positiv (semi-)definit, 268 Pseudoinverse, 278 quadratisch, 34 Rang, 60 Rotations-, 260 schiefsymmetrisch, 37 skalare Multiplikation, 37 spalten-stochastisch, 100 Spiegelungs-, 261 Spur, 94 symmetrisch, 37 Toeplitz-, 224 Transposition, 37 Treppennormalform, 52 triangulierbar, 191 Trägheitsindex, 266 unitär, 161 unitär diagonalisierbar, 253 unitär triangulierbar, 193 Vandermonde-, 90 Wilkinson-, 84, 90 Matrix-Funktion, 235 Exponentialfunktion, 239 Matrixdarstellung, 130 Menge, 9 disjunkt, 13 Element, 9 kartesisches Produkt, 17 leere Menge, 11 Mengenoperationen, 12 Mächtigkeit, 13

299 Potenzmenge, 13 Teilmenge, 11 Zahlmengen, 10 N n-Tupel, 17 Norm, 154 dem Skalarprodukt zugeordnet, 157 euklidische, 155 Frobenius-, 155 Matrix p-, 155 unitär invariant, 280 Normalform, 19 Nullteiler, 27 O orthogonale Vektoren, 158 orthogonales Komplement, 166 P Parallelogrammgleichung, 169 Permutation, 75 Signum, 76 zugeordnete Permutationsmatrix, 81 Zykel, 89 Personen Abel, Niels Henrik (1802–1829), 22 Bessel, Friedrich Wilhelm (1784–1846), 165 Bézout, Étienne (1730–1783), 200 Cantor, Georg (1845–1918), 9, 12, 17 Cauchy, Augustin Louis (1789–1857), 157, 239 Cayley, Arthur (1821–1895), 33, 96 Cholesky, André-Louis (1875–1918), 269 Collatz, Lothar (1910–1990), 1 Descartes, René (1596–1650), 17 Duhamel, Jean-Marie Constant (1797–1872), 246 Eckart, Carl Henry (1902–1973), 274 Fourier, Jean Baptiste Joseph (1768–1830), 165 Frobenius, Ferdinand Georg (1849–1917), 60, 96, 102, 155 Gauß, Carl Friedrich (1777–1855), 51, 202 Givens, Wallace (1910–1993), 260 Gram, Jørgen Pedersen (1850–1916), 160 Graßmann, Hermann Günther (1809–1877), 21, 111 Hamilton, Sir William Rowan (1805–1865), 37, 96, 105 Hermite, Charles (1822–1901), 51, 149, 284 Hilbert, David (1862–1943), V, 21 Hooke, Sir Robert (1635–1703), 247 Householder, Alston S. (1904–1993), 170 Jordan, Marie Ennemond Camille (1838–1922), 221, 274, 284 Kirchhoff, Gustav Robert (1824–1887), VI Kronecker, Leopold (1832–1891), 34, 281

300 Krylov, Alexei Nikolajewitsch (1863–1945), 212 Lagrange, Joseph-Louis (1736–1813), 139 Laplace, Pierre-Simon (1749–1827), 87 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646–1716), 76 Lyapunov, Alexander Michailowitsch (1857–1918), 287 Moore, Eliakim Hastings (1862–1932), 278 Möbius, August Ferdinand (1790–1868), 271 Parseval, Marc-Antoine (1755–1836), 165 Peano, Giuseppe (1858–1932), 12 Penrose, Sir Roger (geb. 1931), 278 Perron, Oskar (1880–1975), 102 Pták, Vlastimil (1925–1999), 211 Ruffini, Paolo (1765–1822), 199 Sarrus, Pierre Frédéric (1798–1861), 76 Schmidt, Erhard (1876–1959), 160, 274 Schur, Issai (1875–1941), 193, 272 Schwarz, Hermann Amandus (1843–1921), 157 Steinitz, Ernst (1871–1928), 111 Sylvester, James Joseph (1814–1897), 33, 96, 266, 274, 286 Toeplitz, Otto (1881–1940), 224, 251 Vandermonde, Alexandre-Théophile (1735–1796), 90 Weierstraß, Karl Theodor Wilhelm (1815–1897), 27, 221 Wilkinson, James Hardy (1919–1986), 90 Zehfuss, Johann Georg (1832–1901), 281 Pivotpositionen, 58 Polarzerlegung, 274 Polynom, 28 bivariat, 121 Division mit Rest, 198 Einsetzhomomorphismus, 138 gemeinsame Nullstelle, 208 Grad, 28, 94 Gradformeln, 197 irreduzibel, 198 konstantes, 197 Linearfaktor, 186 monisch, 95 normiert, 95 Nullstelle, 99 reduzibel, 198 Teiler, 197 teilerfremd, 198 Vielfachheit einer Nullstelle, 200 zerfällt in Linearfaktoren, 188 Prädikat, 10 Q QR-Zerlegung, 161 quadratische Form, 263

Sachverzeichnis Quadrik, 265 Quantor, 11 R rationale Funktion, 30 Rechte-Hand-Regel, 168 Relation, 17 Restklasse, 19 Ring, 24 der Matrizen, 41 der Polynome, 28 Linksideal, 47 multiplikative Inverse, 25 Rechtsideal, 47 S Schaltkreissimulation, 7, 247 Schur, Satz von, 193 Schur-Form einer Matrix, 193 eines Endomorphismus, 193 reelle, 254 Schur-Komplement, 272 Sesquilinearform, 149 hermitesch, 149 Matrixdarstellung, 150 Sherman-Morrison-Woodbury Formel, 47 Singulärwertzerlegung, 274 Skalarprodukt, 153 Standardskalarprodukt des Cn,1 , 154 Standardskalarprodukt des Rn,1 , 153 Stephanos, Satz von, 284 surjektiv, 15 Sylvester-Gleichung, 286 T Teilkörper, 27 Transposition, 78 Trägheitsindex, 266 Trägheitssatz von Sylvester, 266 U Untergruppe, 23 Unterraum, 106 Annihilator, 151 direkte Summe, 118 Durchschnitt, 118 Summe, 118 Unterring, 47 V Vec-Abbildung, 283 Vektorprodukt, 167 Vektorraum, 105 der Bilinearformen, 151

Sachverzeichnis der Homomorphismen, 124 der Matrizen, 106 der Polynome, 106 der stetigen Funktionen, 106 Dimension, 113 euklidischer, 153

301 Nullvektor, 106 unitärer, 153 W Wahrheitstafel, 10 Winkel zwischen Vektoren, 158