ERGEBNISSE DER M X H E M A T I K U N D IHRER GRENZGEBIETE U N T E R iLiIT\VlRKU&ti UER S C H R I F T L E I l ' U S G 13ES ,,%IXNTRr\Ll3W7'1' FOR h,l;\TI-IBI\lATIIC"
DES GROUPES CLASSIQUES
14ERAUSGECEBEN V O N
L.V.AHLFORS . R.BAER. R . C O U R A N T e J.L.DOOB S. E I L E N B E R G . T. NAKAYAMA . H. RADEMACliER F. IC. SCFIMIDIS. B. S E G R E - E. S P E R N E R XEUF, FOLGE . IiEFT 5
PAR
JEAN
DIEUDONNE
REIHE:
GRUPPENTHEORIE BESORGT VON
R. BAER
S P R I N G ER-VERLAG B E R L I S . G G O T T I N G E N. H E I D E J ~ E RR G
SPRINGER-VERLAG B E R L I X - G ~ T T I N G E N- I l E I D E L B E R G
1955
ipa5
iI'a1)lc clcs iiiatiCres .
VI1
Clia1)ili-c I l l . Lai-act~i~isatioiis gCorriCtriq~icstlcs groiil)c:s cl;issicl i i i . 5
.
72
3 1 . 1.1: lll6oi‘biil~I ' o ~ l d a ~ l l ~ l(le l t ala~ gdoiiikti-ic prt~jccti\~c: . . . . . . . $ 2. I.css Li-niisforiiiatioiis coiisci-vaiiI: l'((acljacciicc)). I . ' I ' i - : i i i ~ ; l o i ~ i i i ; i t iclc o~~
Table des matières . Cllapitre 1. Colliriéations c t corrélations
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!j 1. ~ ~ p p l i c a t i o liiiéaircs ii~ e t seiili-linhircs .
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S 2 . Dilatations c t transvections . . . . . . . . . S 3 . Iilvolutions e t semi-iilvoliitions . . . . . . . . . . S 4 . Cciltralisateui- d'une involutioil projective S 5 . CorrPlations et formes sesquilinéa.ires . . . . . $ 6. S 7. S S. 9.
s
S 10. S Il. $ 12.
S 13.
S
14.
15. 16.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Foriiies sesqnilinkaires réflexives . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-espaces orthogoilanx e t sous-espaccs isotropes . . . . . . . Equil-alence des forines sesquiliiléaires réflexives . . . . . . . . . Groupes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lTornies traciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des lormes traciques . . . . . . . . . . . . . . . . Quasi-symétries e t transvections dans les groupes uiiitaircs . Semi-involutions dans lcs groupcs unitaires e t leurs ccntralisalc~irs: Premier cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semi-involutions clans les groupcs unitaires et lcurs cciili-;il is;i 1t.11 rs . Second cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrélations permutables . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forines quadratiques e t groupes orthogonaux sur uii coi-1)s clc caractéristique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cliapitre I I . Structure des groupes classiques . . . . . . . . . . . . . .
S 1. S 2. S 3. S 4. S 5.
Centre e t groupe des conimutateurs de GL, (K) . . . . . . . . . . Structure du groupe SL, (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . Générateurs e t centre du groupe unitaire .
. . . . . . . . . .
Structxre d u groupe U,(IC. f ) (f forme tracique d'indice 11 2 1 . groupes orthogonaux exclus) . 1: Le groupe T,,(K. f) . . . . . . . . . . . . Structure d u groupe U,(K. /) (f forme tracique d'indice 2 1. gi-oiipes orthogonaux exclus) . I I : Le groupe U,(IC. f)/T,,(K. f ) . . . . . . . LJ
s 6 . Le
groupe O,[K. f ) (I<de caractéristique + 2 ) : groupe tlcs rotations e t groupe des cominutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 7. S S.
L'algèbre de CLIFFORDd'une forme qiiaclratique (IC de caractéristique +2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Structure du groupe O,(Ii'. f ) (Ii de caractéristique + 2 . f d'indicc 2 1. 7% 2 2 ) . 1 : Structure de O:/% et de 0, A 2, . . . . . . .
v
S 9.
Structure du groupe O,(Iii. f ) (K de caractéristique + 2 . f d'indicc v 2 1. n 2 3). I I : Structure du groupe R,/(0, n Z,, ) = P0,,(I<. f). 10. L e groupe O,(I<. Q ) (Ii'de caractéristique 2. Q forme non défective)
3 S I I . Le groupe O,(K. Q) (K de caractéristique 2. Q forme défective) . . . S 12. Groupes unitaires e t groupes orthogonaux corresponcla~~t à des Ior-iiics anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 13. Les groupes de similitude-s G U,(K. f )
.( .
. . . . . . . . . . . . .
72
;I-;~ss~~i;~iiiiicnncs . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Les tr;!nsCoi-iiiatioiiç coiisci-raiit L'((a
$ ?.
11'~sp;~ccs d e variétbs isolropcs (suitc) . . . :\iitrcs caractei-isalions rlc groupes classi
1
hutniii«rpliisiiies des gro~ipcsGi... ( I O
$ 2 . .4~itomorpl~isiiics des xi-o~ipcs.TI... ( I o $ 3 . .l~.~to~ii~>r-l~iiism,ç cles groiipcs SPI.,, (Io
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. 8 5 . . . 90 .
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~4ut»iiioi-pliisi~~cs clcs groupes U n ( K . 1) ([\' cor-11s (le cai-:ictéristi
csclassir~ucs . . . . . . . . II)?
5 9. Isoinorphisi~iesdes gi-oiil)cs classic~ucs(suitc) '1'al)lc clcs riotations
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 106
. I O S
Chapitre 1.
Collinéations et Corrélations.
5 1. Applications linéaires e t semi-linéaires. Nous s~ipposo~îs connus dans ce qui suit Ics notions ct r6sultats [ I l dont éldinentaires d'algèbre linéaire (\loir par exemplc N. BOUI
ZL(X i- y) = . U ( X ) i~(y) u(n.1) = ZL(X) A"
L'image par u d'un sous-espace de E est un sous-espace clc F ; l'inîagc réciproque par ZL d'un sous-espace de F est un sous-espace de E. Lc rang dc zr est la dimension de u(E), qui est aussi égal à la codimcnsion du noyau %+(O) de sr. Soit K" un troisième corps, t un ison~orphismede IC' sur l?'. Soit G un espace vectoriel sur Ii", v une application semidinéaire de F dans G,relative à I'isomorphisme t ; ,alors 7 c ~= vz6 est une application semi-linéaire de E dans C, relative à l'isomorphisme u t de K sur IC"' Si 21 est une application biunivoque de E sur F , u-1 est une application u-1. semi-linéaire de 1; sur E r relative à I'iso~î~orphisine Si IC = K. une application linéaire de E dails F n'est autre qu'une application semi-linéaire correspoildant à l'automorphisme identique de K. $, une base de E; l'application seini-linéairc u de E dans Soit (a,), F est entièrement déterminée par la donnée de l'isomorphisnle u ct des 11.
éléinei-its zi = zr(a,) (1 5 i ( n) de F; pour x = .i = 1 Tl
zd(")
=$ = 1 z i t i -
a,
[,, on a en effet 911.
Si (bj)] sjs., est une base de F , et zi = u(a,) =i =21 b, aji,
l'application u est donc déterminée par la matrice A = (afj)à m lignes ct ~z colonnes, dite matrice de u par rapport aux bases (a,) et (b,). Si zt est une application biunivoque de E sur 1; (cas où m =: n), la matrice de th-', par rapport aux bases ( b j ) e t (a,), est (A-')"-'. Si u est une Ergebn. d. Blnthern. h'. F H.5, Dieodonné.
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1. Collinéations ct Corrélations.
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applicatioii semi-linéaire de F dans G, relative à l'isomorpliisiiic r , B la matrice de v par rapport à la basc ( b j ) de F et à la base (c,) de G , la matrice de VZL par rapport aux l-iases (a,) et (c,) est B . il'. On appelle colli~zéationd'un espace vectoriel E sur un corps I
* C n d i t encore qu'une application linéaire b i u n i ~ ~ o q ude e E sur F (espaces de E s u r F ; les éléments vectoriels sur le n-ême corps K ) est u n iso~~zorphis~~ze de G L n ( K ) sont donc les autonzorphismes de l'espace vectoriel Rn.
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2. Dilatations ._. _ - c t trarisvcctions. ..--... -
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de Ii. inodiilo ic gruupc I dcs autoiiiorpliisiiics iiiliricurs de Ii (isoniorplic
5 ii*/Z*); @ csl Lin l~o~noriior~~liisinc de I'llL,(I<) sur lc gioupc i l l l , dont le noyau c ~ lc t groupc l'GT.,(I<) = (Ï L,(T<)/%,, des applicatioiis liiiéaircs projeclivcs dc 27,-,(X) sur lui-même (groz/l>el)i.oicclz/ giiiCi.(rl 12 variables sur 10;d'ou IJTL,(K),'PGL,,(li)s A / i . 2. Dilatations et traiisvections.
Nous ii'aborderoiis pas ici lc pi-oblènic dc la cin,ssi~zcnliolt dcs collinéations d'un cspace vectoriel E sur un corps (loelconquc IC: disoiis seiilement que lc problhme consiste à donner des critèrcs pour (111c deux collinéations u,v soielit telles cluc v = tz~t-', où t c GL,?(!<). Lorsqu'il s'agit d'un corps coinmutatif K et d'applicatioiis liiiéaiics I r , le problème est résolu par la tliéorie classiq~icdes diviseurs élénre~ztaii~c,~ (voir par exemple N. J ~ O U R I ~ - \ I < I[2]) Cctte theorie a été généralisic aux colliiiéations quelconques par N.JCOESON [l, 2 et 31, T. NAKAYAMA [l, 21, I<. ASANOet 1'.NI\KAY.IM:I [Il et J. HAAN-IJES [ I l . NOLIS rious bornerons ici à examiner quelqiies cas particuliers qui iious seroiit utiles par la suite. Soient Tf et TV deux sous-espaces supplémentaires de E de dimensions respectives ir, et IZ - $J (1 5 p < 72); toutc collinéatioii 7 1 dc E laissant invariants (globalement) V et W est entièrement détermiiiée par la doniiée de ses restrictions v et zo à V et 147 respectivcmeiit ; ces collinéations forment donc un groupe, isomorphe au soiis-groupe du l~rodoit I'L,(K) x TL,-,(I<), formé des couples ( 2 , w) tels que les automorphisrncs de Ii correspondaiit à v et ru soient les mêmes. Ce sous-groiipe contieiit évidemment le produit GL,(K) x GL,-,(IO formé des collinéa tions linéaires laissant invariants V et W . qui en est un sous-groupe distingué. Avec les mêmes notations, considérons maintenant les collinéations u laissant invariant chaque élément de V; il est immédiat que u est nécessairement li~zéai~e. et est déterminée par sa restriction à un supplémentaire W de V. Pour x c W . on peut écrire u(x) = v(x) + w(x), où v(x) C V e t zu(x) C W; v est ilne application linéaire arbitraire dc W dans V , w une application linéaire arbitraire de W sur lui-même. Les applications linéaires v et w dépeiident du clioix du ~upplénientaireTV de V , mais par passage au quotient, w donne une transformation linéaire de El17 sur lui-même, qui ne dépend que de ZL. Considérons plus particulièrement le cas où p = n - 1, autrement dit où V est un hyperplaiz donné. Soit W = al< une droite supplémeiitaire de V , e t soit w(a) = aa;l'élément a C I i * n'est pas détermilie complètement par u , mais bien la classe & des co7~jugué.sILaÂ-l de a. Il y a deus cas à distinguer, suivant que c i est ou non réduite à l'élément iiiiité I
+
de K. Si ; (I), on dit que est une dilatation; on montre alors facilement qu'il existe une droite W , = n,IC ct une seule, supplément aire 1*
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de V, et i7zvw~in7zte(globalement) par u. Si i = (1) et si z~ n'est pas l'identité, on dit que u est une tvn~zsvection,dont V est l'hyperplan; on peut alors écrire, pour tout x t E , ZL(;Y) = x -{- L L Q ( , Y ) , où Q est Lille / O T ~ C Linéaire sur E telle que Tf = p-l(O), et n E Tf; Q et n ne sont pas eritiiirement déterininés par u, on peut remplacer Q par Âp, où JL C I<*, et alors n est remplacé par le sous-espace I,', = a I<< V est appelé la droite de la transvectioil u. Il. n'y a aucune droite invariante par z~ ct non coiîtenue dans V. Les dilatations et transvections dont Tf est l'hyperplan forment, avec l'application ideiltique, un sous-groupe D(T7) du groupe G L , ( K ); les traiîsvections cl'lîyperplan Tf et l'application identique foriîîent un sous-groupe abélien distingué T(V) de Ll(V), isomorpl-ie au groupe additif V, c'est-à-dire à Kn,-l; le groupe quotient D(V)/T(V) est isomorphe au groupe multiplicatif K*. Les groupes D(T7) et T(V) ont une interprétation simple lorsque, dails l'espace projectif P.t,-l(I<), on prend l'hyperplan correspondaiît à TT coinme ((hyperplan à l'infini)); alors D(V) devient le groupe cles transforinations affines de Kn-I transformaiît toute droite eiî une droite parallèle, et T(V) le groupe des translatiolzs dans K7l-I. Deux dilatations (resp. deux dilatations de D(V)) sont coiljuguées dans GL,rL(I<)(resp. dans B ( V ) ) si et seulement si elles corresponclent à la même classe d'éléments conjugués de I<*. Deux transvections quelconques sont toujours conjuguées dans L I ) (7% 2 2 ) ; deux transvections de S ( V ) sont conjuguées dans D(V) si et seulemeiît si elles correspondent à la même droite Tf, < V. Pour qu'une transformation liiléaire v E GL,},(I<)soit permutable avec une transvection .th E 1'(V), il faut et il suffit que: 1" v(T7) = V; 2" v(V,) = Tf, (Tf, étant la droite correspondant à u ) ; 3"si zc(x) = x + ap(x) et si v(a) = al, on doit avoir p(v(x))= Le(x). Pour que cleux ti-ansvections soient pern~utables,il faut et il suffit que la droite de chacuile soit contenue dans l'hyperplan de l'autre. Le centraLisnteu~du groupe T(V) dans le groupe GLn(K) est le produit (direct) Z n T ( V ) ; en effet, une telle transfornîation u laisse invariant l'hyperplan Tf, et sa restriction à V laisse invariante toute droite de V; cette restriction est donc la restriction à V d'une homothétie centrale h, (chap. 11, 1 ) . On en cléduit que lzY1.u est une dilatation ou une transvection d'hyperplan V et on voit aisément que ce ne peut être qu'une trailsvectioiî.
$, 3. Involutions et semi-involutions. Une i.~zvolution dails le groupe GL,(I<) est une transformation linéaire u teIIe que uyx) x (ce que noüs écrirons aussi u3 = 1). La forme d'une teIle transformation diffère suivant que la caractilristique du corps I< est + 2 ou égale à 2 :
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3 . Iii\~olutionset seiiii-involutions.
1. Collinéations et Corrélatioiis.
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1" Si la caractéristique de l< cst 1 2 , E cst la somme directe dc cleus sous-espaces U1, U- (6vcntuellcmcnt rCcluits à O) tels cliic zc(x) = x dans Ut-, ~ ( x=) -- x daiîs U-; on dit que U.' et Cl- soiît lcs sous-espaces ; dirn ( U t ) = 6, on dit: aussi propres Positif et 7Légntif de l'involution Z Lsi que u est uiîe involution de type (6, 71 - 6) (ou une ($, V L - $)-i~~volz~tio~a). 1,'imagc dans PGL,,(I<) d'une involution clc type ($, YZ - 6) 011 ( f i - 6, 6) (6 5 7212) est: dite 6-ilzvolzctiolz. 2" Si I<est de caractéristique 2, on a u(x) = x -1- v(x), où v est une traiîsformation linéaire telle que v' = O, ou, cc cliii i-cvieiît au inêine, v ( E )< v-l(O) ; on dit encore que v-'(O) et v(E) sont lcs sous-espaces dc l'iiîvolution z ~si; dim (ei(E))= 6, on a néccssaircnîciit clim (v-'(O)) = I L - 6 ct 2 p 5 12 ; on dit encore que 7 , ~est de type (6, 12 - 6) ou est une (6, lz - i,)l'~~volz~tiolz, et que son iinagc dails PGL,,,(I<)est une p-i7~~0lz~tio7~. En particulier, les involutions de type 1 TL - 1) ne sont autres que les lralzsvectioi~s(5 2). Nous dirons qu'iine colliiî~atio~î ZL t rL,,,(K) est une sci~zi-i7zvolzctiolc si la collinéation projective correspoiîdaiîte ii est une involution dans L ( I ) c'est-à-dire si ,ù2= 1 ; il revient au ini?nîc de dire que ,1t3(x)= x y , où y C I<*, pour tout x F E. Si a est l'autoinoi-plîisme de Ir' correspondant à zs, on obtient, cri exprimant u3(x) clc clcus nîaiîières, la condition
ct, en exprimant 7,~-(x[)de deus manières, la coiîditioiî
pour tout 5 E K . Cela étant, on est amcné i distiiîgucr deux cas : A) y ~z'estpas de ln fo7'71ze   u (pour A E ii). Alors oiî peut définir ~iiîcexte?zsion qz~adîratiqueI<,de I<,qui est uil sui-corps cle K , de dimension sur K (à gauche et à droite) égale à 2, ayant une base (à clroite et à gauche) s u r K formée de 1 et d'un éléinent p tel*que p" y et 1 7 = ~ p 7" pour tout 17 E K. On peut ensuite définir sur E une structure d'espace vectoriel à droite sur Ic0en posant, pour ( = [ + p 17 t K0 ([ C K ,17 C Io, x( = x [ + zc(x)7; E est donc de dimeilsion 12/2 sui-' I<,,ce qui prouve incidemment que TL est nécessairement pair dans ce cas ( c . J. DIEUDONNÉ [Id]**). B) y = ILLG,où R E I<. Posons alors v(x) = .t~(x) A-'; c'est une semiinvolution relative à l'automorphisme z tel que =  50 Â-l et on a * On voit ainsi que si a n'est pas l'identité, K, est uil corps I I , O I I . c o 7 7 z 7 ? z u l a t i f , mêine si K lui-même est coinm~itatif;la nécessite cl'introd~iirc des corps non commutatifs dans la théorie apparaît clonc claireineilt. ** L a démoilstration d'existence du corps K,,donnée p. 175-179 dc ce travail, s'applique quelle quc soit la caractéristique cle K , mais si K est dc caractéristique 2 et si a laisse invariant chaque élément cl~icentre de IC, l'extension A,' de K ne sera pas galoisienne sur K.
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$ 4 . Cci~ti-alisaic~ir cl'unc irivolution projcctivc.
1. Collinéations e t Corrélations.
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v2(x)= x, t. Soit J(1 le sous-corps de li: formé des 6lémctits i~~vnringzts par z; deux cas sont possibles: B 1) ICI = K , autre~iient dit, t est l'a~~tornorphisineidentique, ct v est une involution dans GL,,(K);on a vu ci-dcssus la forine gériéralc d'une telle collinéa tion. B2) K est une extension qr.rnd?~ntiq.~,~e de I(,; E est alors un espacc vectoriel à droite de dimeilsion 2 % sur Iil, et v, considéré cornn-ic transde GL,,n(II;). formation linéaire de cet espace vectoriel, est unc i~zz~olz~tio~z Si I< est de caractéristicluc =b2, i< a une base siir formée de 1 et d'un élément Q tcl que Q? E I(, ct gT= - g ; E cst soinme directe des deus sous-espaces T/+et T l - (sur ICI) relatifs à v; commc v(xg) = -- v(x)0 , la collinéatioil x -> x e ti-anslorme Y+ en V-, donc V+ et V- ont la meme dimension .n, et une base (eJ1 i= i c= , l de Tl:sur IC, est aiissi uric base de E sur K, telle que u(e,) = ei A pour 1 5 i 5 7%. Si Ii est de caractéristique 2, I< a une base sur ICI formée de 1 ct d'un élément O tel que 02 T O = @ E Iil et Oc = O + 1 : 011 peut écrire v(x) = x -+ zcl(x), avec w(E) < w-l(0) = Y,et si fi est la dimension de w(E) (sur ICI), cela entraîne p 5 m. 011 vérifie aisément que w(x O) = zcl(x) 8 + w(x) -1- x ; donc, si x E T7, w(x @) = X, et commc la diinensioil de zcl(V O) (sur KI) est au plus égale à celle de w(E), on a i~écessaireinent p 1.1 et w(E) = V; en outre, conlme x i x O est unc collinéation, VO a une dimension (sur ICI) égale à celle de V, donc à gz, et comme V n (V O) = (O), T l et V O sont supplén~entaires. Cela prouve finalement que, si (e,), ,ll L est une base de T l sur I(,, c'est aussi une base de E sur I<,telle que u(e,) = e,A pour 1 5 i =( T L ; le résultat est donc le même que lorsque Ii est de caractéristique +9.
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§ 4. Ceil tralisateur d'une iilvolutioil projective. Soit ZL une involution de PI'L,n(Ii); nous nous proposons d'étudier le ce7ztraLisnteuj~ de ;M. dans PI'L,(Ii), c'est-à-dire le groupe des collinéations projectives 5 qui permutent avec zr. Il revient au même d'étudier le sous-groupe H des v 6 I'L,,(K) correspondant aux i: uile telle 'collinéation v est caractérisée par la propriété de «@ermuter Projective~nent»avec ZL, c'est-à-dire d'être telle que v(z~(x)) = ZI(V(X)) a, pour un a E K , relation que nous écrirons aussi vzt = ~ L Z J a par abus dc langage. Si o et z sont les automorphismes de I< correspondant à ZL et zl, en remplaçant x par x[ dans la relation ci-dessus, on obtient d'abord la conditioi-i
H
pour tout [ I< (on a posé t u T = (tu)"). Si u2(s)= x y, on a d'autre part les conditions (1) et (2); eii outre, en exprimant u(u(li(r))) de deux
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ini~nièrcsclilliii-cntrs. oii ol.)ticilt lx relatioii
On i-iotcra que, pour Ctuclicr notrc problème initial, 011 peut 3 volont6 remplacer ZL ct v pai- zr . a ct 7). fi, oii a ct 6 sont arbitraires dans K * ; n est alors rcmplack par a-lp-Gn a"p ct y par y a Gv.. Conformément à l'étude faitc au $ 3, nous distii-iguerons plusieurs cas (où ilo~isconservons les notations d u kj 3). A) 77 n'est fins clc Irr jo~17zeAILc(pour A E IC). El1 c011sic1Erant E comme espace vcctoricl dc dimension ~1/2sur IT,, 011 a vu quc z~ devient la collinéation x -r X Q ; les relations (3) ct (4) perinettent dc prolonger l'automorphisi-i~cz de i< e n un autoil-iorpl~isinet clc K, tel cluc gT = @(A., et alors la coiidition v(xg) = v(x),o a s'écrit v ( x ~= ) v(x)gr, autreincnt dit, v est une colliiléatioi~ de l'espace vectoriel IZ siir Ii',, relative l'automor-pllisme t. Inversement, poiir qu'une tcllc colliiléatioi-i f i réponde à la q~iestion,i l faut et il suffit que l'aiitori-iorpliisrne t cle I<,, qui lui corrcspond satisfasse aux deus co~lditioilss~iivat-ites:1." il laissc invariant K (globalement) ; 2" gT = g n, où n E Ii. Lc groupc H cst donc le sous-groupe de I'L,12(Ko) lormé dcs collinéations clont l'automorphisme associé z satisfait aux dcux conditions précédentes ; on observera que H contient ci7 tout cas IC g~ozrfieLi~~e'n.i~~e gkzL~aLGLT,12(I
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1. Collinéations c t Corrélations. ..-. - - .-. -- -. - .. ---.. . .- ----.- .-
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v,(x) E Cr' et v2(x) C U. On doit avoir rs(v,(x))= z ! ( w ( x ) )pour .i: C Ci', donc quand v, est donné, v est déterminé dans T'= ? a ( U f )ct peut ctre choisi arbitrairement clans un suppléinentaire Ti" de TI/ par rapport à U (de façoii à appliquer PV' dans U). O11 voit doilc tout d'aborcl que H / H , est isoinorphe à I'L,(I<). Dans N o , on a le soiis-groupe clistinguk H l formé des v laissant invariant tout élément dc U ,et qui est isoiuor~îl-ic a u groupe additif I
132) Supposons maintenant que o i-ie soit pas l'identité, ct soit Ii, le sous-corps cles éléments de I< invariants par o ; (4) donne alors nGn = 1. L'auton-iorpl-iisme o laisse donc globalenlent invariant le corps commutatif %(a); si la restriction de o à %(a) est l'identité, on a n" 1, n = 5 1. Dans le cas contraire, comine o est de période 2, il existe O c Z(n) tel que n = b l - O , e t si oi-i remplace v par v . O-l, on coi-istate que ,t~et vO-l permutent. 011 peut donc toujours supposer a = 1 1. = PTpour 011 notera en outre que la coi-idition (3) donne alors [ c I<; il eil résulte que I<, est (globalement) invariant par l'autoinorphisme z de I<. a ) Supposons d'abord que I< ne soit pas de caractéristique 2. Le sous-groupe H C TL,(I<) formé des v tels que v z = ~ 5 Mi! admet alors comme sous-groupe distingué d'indice 2 le centralisateur H, de u, et nous nous restreindrons à l'étucle de H,. On a v u que E, considéré con-ime espace cle dimensioil 212 sur I(,, est somme directe de U+et Ude dimension 12, avec U - = Ufe. Soit z l'automorphisme de I< relatif à v E H,;on doit avoir v(U+) = U-'-, v(U-) = U- et réciproquement, donc LI, restreinte à U+, est une collinéation de cet espace (sur IG). Comme en outre eTo = eoT= - et, on a nécessairement Q" = cc avec cc E 1%; si on pose = e-l[e pour [ E I<,,w est un automorphisme de
Q "
/3
B K I , on doit avoir
Pr
PP1p= a u K .
=
= QKQK,
-
-
dont les groupcs quotients successifs sont isomorphes 3
en outre, si
Iiiverserncnt, si z cst uii autoinoi-l~liismcde f i , \.Cri liarît (5) ct (6) ~ O U I cc c Kir,convenable, on pcut alors proloiiçcr ?r cn un automorpliisrnc dc K tel quc Q" = Q K , et toutc collinéation u clc I l ' (siir Tc,) 1-clativc à l'auton-iorphisme t se prolongc ci1 unc collini.atibn clc E (sur IC) c n posant 7 ) ( s ~= ) v(x)Q ~ ;c o n ~ m c alors v(U-) = I!--, oii a 7) C JI,. On conclut donc que If, est isoinorphc ail soiis-groupc clc l'Lt,(l<,) formé. cles collii-i~ationsrelativcs ails aiitomoi-pl-iisincs t clc I\; satisfaisant aux conditions (5) et (6) (pour un cc clépcndant clc z). O11 observera (lue le gjfoz~peLi~zéniregélzéral G12,,(I
dfoù (6)
c t d'autre part
011
a
p7 - p = Â2 4- IL.
(8)
Inversement, si z est un auton~orphismedc I\_; ~ ~ r i l i a i(7) l t et (8) pour un IL c I(, convenable, on peut proloi-igcr z en lin autoiiiorphisi-i-ie dc I< tel que O7 = O $ IL,et toute collinéation v dc C' (siir fi,)rel,cL t ive A l'automorphisme z se prolonge en une colliiléation dc E (sur I{) en posant v(x O) -. v(x) Or. On conclut que H est isoinorpl~e au sousgroupe d u groupe I1L,,(I(,) formé des collinéatioi-is relatives aux automorphisn-ies z de Ii, satisfaisant aux conditions (7) et (8) (pour un  dépendant de t ) . Le g~oupeli~z.éni~e çég~érnlGL,,(I<,) est un sous-groupc distingué de H . Pour l'étude clu ccntralisateur dans GL,,(Ii) d'unc transformation linéaire quelcoi-ique 11 c GL,(I<), nous i-ious borneroi-is à renvoyer à B. L. VAN DER PVAERDEXet O. SCHREIER[ I l , et 3 J. DIEUDONNÉ [3], où cettr: étudc est abordée moyenilailt certaines restrictions sur le corps K.
$ 5. Corrélations e t formes sesquilinéaires. On sait que le dual E* d'un espace vectoriel à droite E sur un corps I< est un espace vectoriel B gauche sur ICI de dimension égale à cclle de E ;
-
1O .
_
_
_ . . p _ -
-
- --
-
-
1. Collinéations et Corrélations. . .-..
-----
-
..--
-
--
-
-- .-..
_.--
- -
01-1écrira coinine d'ordinaire (x', x) au lieu dc xf(x)poiir x E E et 2:' E E*. On peut aussi considérer E* comme cspace vectoriel A droite sur le corps K 0 ofifiosé de Ii;il ne peut donc exister d'application senli-linéaire de E dans E* que si les corps I<et I<" sont isomorphes, autrement dit s'il esiste une application biunivoque J de K sur lui-mênic tcllc quc (CL + P)J = ccJ + PJ et (or /l)J = /?'orJ; nous dirons qu'une telle application cst un antiazttomo~fihis7~ze de IC. On notera que lorsque I< est coinrnutatif, un antiautomorphisme de Ir' est un automorphisme, et réciproquemeiit. Une application seini-linéaire p de E dans E*, relative à 1111 antiailtomorphisme J de I<, est donc telle que
+
pour x E E , Y E E , pour x E E , Â F_ I( .
cp(x -t y) = cp(x) cp(y) cp(x1,)= Â" p(x)
A une telle applicatioii semi-linéaire cp associons l'application (x, y) +f(x, y ) = (cpjx), y) de E x E dans K. qui satisfait évidemment aux conditions
Uiie c«i/i,élnlioiidc E sur E* cst par défiiiitioii iiiic al>plicatioli scinilinéaire bi~iiiivocluc de E siir E*, ou, ce qui rcviciit ;iii inêmc, riiic applicatioii senii-liiléairc de rang égal i la clirncnsioii dc L;. Unc formc scsq~iilinéairc/ siir E r E correspondant 21 iirie cori-élatioii q~ cst ditc ltolz dégbrzkréc; u11c telle forme est caractCris6c par la ~)ropriEtésuivaiitc:. tout vecteur n: C E tcl quc /(x, 3)) = O pour tout 31 E IT, est nkccçs,,~ircmci:t kgal à O. § 6. Formes sesquilinéaires réflexives. NOUS iic C O I I S ~ ~ ~ I - C ~ O I lus IS désorinais sur E x E (sniil nicntioii cxprcssc du contraire) que des lorincs scsq~iilin~aircs iioii dt!gém'rées (relatives dcs aiitiaiitoniorpliisines dc Ii). Jleos vccteiirs N, y tic Ji' pris dans cet ordre sont dits o ? ~ l l z o g o ~ ~130111~ ~ z ~iiiie x telle formc / si /(x, y) = O; dire qiic / est noii dégtnéréc sigiiific qu'il n'csiste aiiciiii i~ecteurx =/= O tel que s et y soient orthogoiiaux pour lout vecteur y de I;, Nous dirons quc la fornie f (ou la corrélatioii q.~ correspoiidante) cst ré/Zeïive si la relatioii d'orthogonalité cst symétrique, c'cst-à-dire si /(x. y) = O cst Cc1uivalente A /(y,x) = O ; nous allons déterminer (pour iz 2 2) Ics formes sesquiliii~airesréflexives ( G . I~IIII
FYIANIT
Une telle application sera dite forme sesgz,iiLi~zéai~~e sur E x E relative à l'antiautomorpliisme J ; lorsque Ic est commutatif et J l'identité,
f est donc une forme biLi7zéai~esur E x E. Inversement, il est immédiat qu'line telle forme s'écrit d'iiiie manière et d'une seule (cp(z), y) où p, est une applicatioii seini-linéaire de E dans E*. Soit (ei)l une base de E, ,, la hase duale de E*, telle que (e;, e,) = S,,. 12
Si on pose ?(e,)
=
rxije;, on a orij
j=l
pour s = 2 ei 6,. y = z
2 e, y,, 7,
= {cp(ei), e j ) = /(e,,
on a f (x, y) = 2
e,), e t par suite, = txJ . A . 31, [{ai
i,:i
eii identifiant x et y aux matrices à une colonne formées par leurs coordonnées e t en posant A = (oc,,) ; A , matrice de cp par rapport aux bases (e,) et (e:), est aussi appelée La matrice de la forme sesquilinéaire f par rapport à la base (zi) de E. Son rang, indépendant de la base (ei) choisie, est aussi le rang de l'application cp, et on dit que c'est le rang de la forme sesquilinéaire f. est une autre base de E , P la matrice de passage de Si (ëi), (e,) à (ëi), et A' la matrice de f par rapport à (ëi),on a A' = tI'+J A P . Lorsque K est commutatif, le déterminant de la matrice A est appel6 le discrimi7zant A de f par rapport A la base (e,) ; si A' est le discriminant de f par rapport à la base (i,),on a A' = (66")A , e11 désignant par 6 le déterminant de P.
[II).
On peut tout d'abord se rarneiier à lie coiisidércr que des forincs réflesives iioii dégérzéuécs. En effet, si f est réllcxii~ee t dégéiiéréc, l'enseniblc dcs vectcurs .c orthogonaux à tous les vectcurs dc E est u n soiis-espace vectoriel AT,ct les rclations x (mod. N), 31 = y, (lnod. 1V) entraînent /(s,y) = /(s,, y,). Par passage au quotient, f dblinit donc sur E/:V une forme r6fleitii.e rzoii dégénérée (dite associée à j ) , dont la connaissance détermine complètemciit f. Si J cst I'antiautomorphisme correspoiidant à j, l'hypothèse sigiiific qiie, pour tout x =+ O dans E, f(s, y) = O et (/(y, x ) ) ~ - = ' O sont des 6quations di1 inême Iiyperplan, donc que 1'011 a /(y, s) = m ( x )(/(x,y))J, où m(x) est un scalaire lie dépendant que de x. Si xl et x, sont linéairement indépendants, on déduit aisément nz(xl i x,) = nz(xl) = nz(n,) de la relation précédente; donc on a nécessairement /(y, x) = r-1 (/(%31))*', où r est un scalaire O indépendant de x et y. D'ailleurs, eii remplaçant y par y[ 011 voit aussitôt que 7. doit appartenir au centre dé I\i. En outre. en calculant ( / ( y , x))~cle deus manières, il vient
+
61''-=',,
6
pour tout
6 E 1-
ct en particiilici??-J -1. (10) Cela étant, distinguons deux cas: 1) On a é ir J p= O pour tout [ E 1i. Faisant l = 1, cela donne 7< = - 1, d'où 5' = 6 identiquement; cela n'est possible que si K est comrnzitati/ et J l'ide~iiité. Autrement dit, on a aiors identiquement
/(Y, x) = -f(x, Y)
(11)
-12 .
.-
_
- .. - --
- . -- - . .. -- - .. . .5 7. Sous-espaces ortliogonaux e t sous-cspaccs isotropes. - -.. . . .. .- -- --- .- .--...-.-. . .
. - p.
-
1. CollinCations e t Corrélations. -
-.
_
.
-
p p -
et o,n clit que la forme / esl antisynzétrique. 2) 11 existe ( E K tel que q = 5 t rJ('" O ; on cri tire aussitôt 9, = qJ q-l. Si 011 pose ET'= (q5q-1)5 et g(x, 31) = q-l/(x, y), on vérifi': alors que l'on a t"'= 5 pour tout [ E IC (12) et (13) g(y. x) = Mn-, Y))"' On dit que l'antiautomorphisn~eT est une ijzvolutian dans IC, et 13 relation (13) s'exprime en disant que g est une forinc sesquilinéairc hermitienne relative à cette involution. Si I< est comnlutatif et T l'identité, la relation (13) s'écrit
+
(14)
g(y. x) = g(x, Y)
et on dit encore alors que g est une forme bilinéaire synzétriqzce. Lorsquc X n'est pas l'identité, les éléments cc E K* tels que c c T = o! sont dits symétriques pour l'involution T ; ceux tels que a."= - c c (il cn existe toujours d'après ce qui précède) sont dits antisymélriques. Soit LY un élément symétrique (resp. antisymétrique) pour T ,et posons 5" aE7'a-l et h(x, y) = crg(x, y). On vérifie que S est encore une involution de IC, et que l'on a si a: est symétrique Iz(y, x) = (h(x, y ) ) S ('5) h(y, x) = - (h(x, y))S si cc est antisymétriclue.
1
Dans le second cas, on dit que h est une forme antiize~mllie~zne par rapport à S. Pour qu'une forme sesquilinéaire f soit I~ermitienne (resp. antihermitienne), il faut et il suffit que s a matrice A par rapport à une base quelconque de E satisfasse à l a condition ' A = AJ (resp. ' A = - AJ). Cette condition peut s'exprimer d'une autre manière. Si 94 est une application semi-linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F, relatif à u n isomorphisme o, l'application x + ((y', u(x)))"-' est une forme linéaire sur E pour tout élément y' d u dual F* de F ; on peut donc écrire (16) (Y', u ( 4 ) = tu(^'), 4 " où tu est une application semi-linéaire de F* dans E*, relative à l'isomorphisme a-'; c'est cette application que l'on appellc la transposée de l'application semi-linéaire u. E n particulier pour une corrélation p, de E sur E*, relative à l'antiautomorphisme J, Iq, est une corrélation de E sur E*, relative à l'antiautomorphisme J - l , telle que
Dire que la forme sesquilinéaire / correspondant à q, est Izermitzenne (resp. antihermitienne) signifie donc que tq, = p, (resp. e p = - 9).
-
-.
13 ..
.
Noiis avons montré qii'eii miiltipliaiit iiric forinc rii~lcsivcpar u n scalaire, oii peut toujours supposer quc cettc forinc cst licrmiticnnc oii antilierniiticnnc; noiis noiis bornerons dbsormriis e.rclrc.siver?ze~ztà la considération clc telles forn-ies, et quand nous parlcroi-is d'iine forme réflesive, il sera sous-cntcndu qu'clle est hermiticiinc oii aiitil.icrmiticnnc (ct en tout cas cluc j rst unc iiivol~ition).
5 7. Sous-espaces orthogonaux e t sous-espaces isotropes. Soit / une forinc iéilesivc (11011 d6géiii'i-éc) siIr un cspncc E clc dimension Ir. Poiir tout sous-espace vectoriel Tf d c E, I'eiiscinble V o clcs vecteurs clc E qui sont ortliogonaux à tous Ics vecteurs clc T l est un A C7. Inversemeiit, sous-espace vectoriel de E , dit sous-espace orthogo~~al V est le sous-espace orthogonal à Vn; si p est la diinension de V , V uest de dimension ~t - p. 011a ( V + W)O= V o nT/lfoct (TfnU/)o= V u I- TVo pour deux sous-espaces quelconques Tf, TV. On dit que le sous-cspace Tf est isotrope si Tf n I f 0 n'est pas réduit à 0; alors 17" cst aussi isotropc. I l revient au même de dire que la restriction dc / à l'/ x P' cst une forme dégénérée. 011dit qu'un sous-espace V est totalemenl isotropc si on a V c VO; il revient au même de dire que la restriction de f à V x V est ide7ztiquenzent nz~lle(ou que deux vecteurs quelconques de T/ sont orthogonaux). On a dans ce cas fi 5 7% - p, autrenient dit 275 n ; 11i7zdicc de la forme / est ln Plzes grande ~Linzelzsionv des sous-cspaccs totalemciit isotropes de E , et est donc tel que 2 v 5 9%. Pour tout sous-espace isotrope I f , V n VO cst totalement isotropc. Notons aussi que si V est totalement isotrope, et TT' un sous-espace totalciiicnt isotrope coi-itenu TV est encore totalement isotrope; il en résulte quc si dans V O ,V il a dimension de I f est égale à v, tout sous-espace totaleinent isotrope contenu dans TTO est nbccssairement contenu dans Tf. Un sous-espace ilon isotrope de E est encore clit a~zisotr.o+e;un tel sous-espace V est caractérisé par la propriété que lc sous-espace orthogonal V n est supplémentaire de 17. L a forme / elle-même est dite anisotrope si B est anisotrope, c'est-à-dire si v = 0. Un vecteur x O est dit isotrope si /(x, x) = O (autrement dit s'il est ortl-iogonal à lui-même). Tous les vecteurs d'un sous-espace totalement isotrope sont évidemment isotropes. Inversement, supposons que /(x, x) = O pour tout x appartenant à un sous-espace V de E. E n écrivant que /(x -1- y, x + y) = O pour x E V et y E Tf, il vient /(x, y) = E(/(x,y))J, où E = - 1 si / est hermitienne, E = 1 si / est antihermitienne. S i Tf n'est pas totalement isotrope, on voit, en remplaçant y par y(. que l'on a = Ât A-l pour un A =+ O et pour tout 5 E K , ce qui n'est possible que si Z< est commutatif et J l'iderztilé, et il est clair alors que / doit être antisymétrique. E n particulier, si /(x, x) = O pour tout x E E , la forme f est dite alternée et elle est alors antisymétrique;
+
--
-
-.
.-
-
.
.
-
__
___-__. ~
--.
-
. -
1. Collinéations e t Corrdlations.
16
_
-
_
_ -
sous-groupe d'indice 2 ; cf. L. E. DICKSON [l], p. 158); il y a donc dcux classes de formes symétriques équivalentes de rang n sur F,; pour la première, le discriminailt A (par rapport a une base quelconque) cst un carré dans F,, et pour la seconde il n'est jamqs un carrb. Si 12 = 2m 1 est impair, toute forme de la deuxième classe de déduit d'une forme dc la première par multiplication par un élément non carré dans F,,; l'indice de toute forme symétrique est alors nz = [n/2]. Si 72 = 2m est pair, l'indice est m = 1x12 si (- 1) est un carré dans F,, ln - 1 dans le cas contraire. Le problème d'équivalei-ice pour les formes symétriques a été complètement résolu lorsque IC est un coïps de ~zombresalgébriques [ l ] et H. HASSE[2]. La théorie moderile des formes par R. MINKOWSI O est encore indépendant de la base orthogonale choisie (loi d'inertie). Ce résultat est encore valable lorsque K est un corps de quaternions gé~zéralisésde centre K,, J étant l'unique involution de I<pour laquelle les éléments invariants sont les éléments de K,. Lorsqu'en outre Is', est un corps euclidien (K étant soit une extension quadratique, soit un corps de quaternions généralisés sur IC,), la condition nécessaire et suffisante d'équivalence de deux formes lzermitiennes sur I< est qu'elles aient même signaturc. Signalons aussi que lorsqiie K, est euclidien et K un corps de quaternions généralisés sur K,, pour toute forme anlilzermilien7ze f sur E x E, il existe une base orthogonale (e,) telle que f(e,, e,) = j pour 1 5 i 5 n, j étant un quaternion fixe de carré - 1; deus formes antihermitiennes de même rang sont donc toujours équivalentes dans ce cas (J. DIEUDONNÉ [13], p. 383). Supposons maintenant que K , soit un corps fini F, quelconque, K l'extension quadratique F,. de F,, J l'unique I<,-automorphisme 6+ ["de K , distinct de l'identité. Alors il esiste une base orthonormale pour toute forme hermitienne sur E x E; autrement dit, deux formes hermitiennes de même rang sont toujours équivalentes et par suite d'indice maximum [n/2]. Cela résulte aussitôt du fait que tout élément de IC, est norme d'un élément de K. Notons enfin que le problème d'équivalence pour les formes hermitiennes sur un corps de nombres algébriques a été résolu par W. LANDHERR [l].
+
.. . -. . .. . ~
-
-
.
-
.
_ $ 9. Groiipes unitaires.
----
-
-
-
..
- .- -
-- - ..
--
-...-.
.
17
-
:
$ 9. Groupes unitaires. Soit / unc Ioriiie r6flexive (non dégénérée) sur E x E corrcspondarit à l'involution J de K. Les; applications linCaires biunivoques u dc E sur lui-meme telles q ~ i /c soit égale à sa transport& p a r u (S 8 ) ,c'est-A-clirc telles que l'on ait /(th(-?-),
z~(y)) = /(xi;,y) pour x E E et y
cE
('8)
sont appelées tra~zs/o~~matio~zs unitmires de E, relatives à la forme f . Elles forment un sous-groupe de GL,(I<), que nous noterons U,(IC, /), et que l'on appelle le groupe unitaire à 1% variables, relatif à IC et à la forme f . La relation (18) peut s'écrire d'une autrc manière: si rp est la corrélation associéc à la forme /, ct 3;. la contragrédiente lu-1 dc 14, (18) équivaut à la relation
et comme z~(y)parcourt E tout entier avec y, cette relation est équivalente à ~ ( z L ( x=) )$(p(x)) pour tout x < E Plus généralement, soit u une collinéation dc E, relative à. un automorphisme de I< que nous noterons a ou a,. Nous dirons que la corrélation rp e t la collinéation 28 sont projectivement permutables s'il existe un scalaire I*, tel que l'on ait = %Ü(rp(x)) pour tout x E E , Y(TL(X))
(19)
en posant encore 2 = tu-1,co~ztragrédicntede u (qui est une colliiléation de E* relative au même automorphisme a que a).Cette relation équivaut à la relation pour tout x
E et tout y c E, ce qui, en vertu de (16) équivaut à
Remarquons que si, dans (19) on remplace x par xt, il vient la relation
CGJ = y, f J G r i 1 pour tout [ E K (21 et que si, dans (20), on permute x et y, on obtient, en tenant compte de ce que f est hermitienne ou antihennitienne .J= r,, .
(22)
Nous dirons encore qu'une collinéation u vérifiant (20) est une semi-similitude zlnitaire (relativement à la forme /) correspondant à Ergehn. d. Mathem. N. F. H.5 , Dieudonni.
2
I'autornorpliisil.ie 0, ct au multiplicntez~rY,; i l revient au ~nérnedc dire qpe, pour une base (e,) de E, on a f(u(ei),z4ej)) = j*, . (/(ci. e,)P ou que la matrice U de z~ par rapport à cette base vérifie la relation tUJAU=
Y,.
Au
(23)
en désignant par A la matrice de f par rapport à la base (e,). Il est immédiat que les semi-sin~ilitudes (relatives à f ) forment un sousgroupe rU,,(I<, f ) du groupe rL,,(IC) des collinéations. Une semisimilitude correspondant à l'automorphisme identique (autrement dit, linéaire) est encore appelée une sinzilitude u~zitaiq,e(relative à 1); ces transformations forment un sous-groupe distingué G Un (I<, f ) = r U n ( K , f ) n GL,(K) de rU,(Ii, f). Le groupe unitaire Un(K, /) est le sous-groupe distingué de GU,,,(IC,f ) formé des similitudes de multiplicateur 1, dites encore tl,ans/ownations unitnives. Si A est la matrice de f par rapport à une base de E, on écrit aussi U,(Ii, A ) au lieu de Un(K, f) et de même pour les autres groupcs. De façon plus précise, l'application 74 4 a, est un homomorphisme de FUn(I<,/) sur un sous-groupe du groupe des autoinorphismes de I<, sous-groupe sur lequel on ne sait rien en général, sinon qu'il contient le groupe des automorphicmes intérieurs de I<; le noyau de cet homomorphisme est le groupe GU,,(Ii, /). Pour u € GUn(IC,f), la relation (21) montre que le multiplicateur r, appartient nécessairement au centre Z de I-C, et la relation (22) prouve en outre que Y, appartient au souscorps Z, de Z formé des éléments invariants par l'involution J (souscorps identique à Z ou tel que Z en soit une extension quadratique séparable). L'application u 4 l;, est donc un homomorphisme de GU,,(K, f ) sur un sous-groupe (abélien) M(f) de z,*; on n'a aussi que fort peu de renseignements sur ce sous-groupe en général (cf. cliap. II, $ 13); le noyau de cet hornomorpl~ismeest le groupe unitaire U,(X, f ) . Nous désignerons par PrU,,(IC, J), PGU,(K, f ) , PU,(K, /) les images canoniques de r U n ( K , f), GU,(I<, f ) et U,,(K, f ) dans le groupe projectif PrL,(K). On voit immédiatement que toute homothétie x 4 x est une semi-similitude unitaire de multiplicateur IJÂ, d'où PTU, E TUn/Hn; de mênie, toute homothétie centrale est une similitude, et P G U n z GU,/Zn; enfin U n n Z n est formé des homothéties centrales x + xy telles que yJy = 1; on verra plus tard (chap. II, 5 3) qu'en général le groupe Ul = U n n Z n est le centre de Un; on a P U n = U,/U1. Si une forme réflexive jl sur E x E est transportée de la forme f par une application linéaire biunivoque v, on vérifie aussitôt que rU,(K, f,) (resp. GUn(K, f,), U,(K, f,)) sont transformés de r U n ( K ,/) (resp. GU,(K, j ) , U,(K, 1)) par l'automorphisme intérieur s -+v-lsv
dc i'L,,(l<). D'autre part, si a est iin C16i~icnt syn1Ctriquc oii antisymétrique de Ii (pour J), on voit que fU,,(K,uf) = I3U?,(IC,f ) , G&(II', al) = GU,,([(, l) et U,L(l\',o./) = Un([\', f). Lorsque I< est coinmutatif et / uiic forrnc allevizo'c, on rciiil,lacc partout l'adjectif «unitaire» par «sj~~~zplectigu.e» clans les dbfiiiitioils précédentes. Coinille deux formes altcriiircs dc inêiile rang (pair) 9% sont équivalentes, on ne note plus la forme / daiis lcs groupes corrcspendants, qu'on écrit .r.Sp,(?<), GSpn(IC) et Sjh,,(lC)(notations aiialogues pour les groupcs projcctifs corrcsponclants). On or-iiet de la mênw manière la mention de la forinc / daiis la notritioii cl'un groupe iinitairc toutes les fois que deux formes dc mCnie rang sont C
+
$ le. Formes traciques. Soit / une forme Jzermiticnne sui- E x E ; nous dii-ons quc f est uiic forme tracique si, pour tout x E E , f(x, x) est une «trace» dans I i , c'est-à-dire peut se mettre sous la forme  4- 3;' polir un  I<. Cornme y = /(x, 3i) est un Clément symétrique, il est clair que cette condition +2, car il suffit est toujours réalisCe lorsque K est de caraclé~~isliyue alors de prendre  = '1, y. II en est encore aiiisi lorsque I<est de caractéristique 2, mais que le sous-corps %, de % formé des éléments symétriques du centre est distinct de 2 (cas oii I'involiition J est ditc de secolrde espèce: c'est toujours ce qui se passe lorscluc I<est comnlutatif et J distinct de l'identité). En effet, il existe alors y E % tel quc y" + y, donc a = y + y" + O; si maintenant p est un éICrilei-it symétrique quelconque de I i , on a (a-l ,u).' = a-l ,U puisque a E 2, d'où p = y (a-ly) f yJ(x-l~)J= (y x-lp) + (y C C - I ~ )Par ~ . contre aucun élément symétrique autre que O n'est une ((trace))lorsque IC est commutatif (de caractéristique 2) et J l'identité: les formes traciques sont dans ce cas les formes alternées. On peut donner d'autres exemples de corps non commutatif K, de rang 4 sur son centre, dans lequel il y a des éléments symétriques qui ne sont pas des traces (cf. par exemple J. DIEUDONNÉ[4], p. 73). L'étude des groupes unitaires relatifs aux formes non traciques peut se ramener esse~itiellementà celle des groupes unitaires relatifs aux formes traciques (J. DIEUDONNÉ[16]). En effet si f est une forme réflexive non tracique sur E x E, considérons l'ensemble V des n- E E tels que f(x, x) soit une «trace»; on constate aussitôt que V est un 2*
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1. Collinéations et Corrélations. -
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sous-espace vectoriel de E. Soit li,= T T n Va (espace totalement isotrope), et soient V , et V3 des ssopplémentaircs de Vl par rapport à V et TT" respectiven~ent. 011démontre qu'il y a une base (ei)lsig2q dc (Ti, +- T/,)O = Vg n 170 telle qug les vecteurs ei d'indice i 5 q forment = 1 pour une base de T/, et que l'on ait f (e,, e,,.,) = O pour i =+ j, f (ci, $ i 5 q ; si V , est le sous-espace engendré par les et+, (1 5 i 5 q ) , E est somnie directe de TG, Ir,, V3, V., L'analyse des conditions cluc doit remplir une transformation unitaire u montre alors que le groiipc U,(IC, f ) a une suite de composition
telle que TOITet T soient des groupes abéliens, et que le q ~ ~ o t i e n t U,JTo soit isomorphe au groupe unitaire U,,,(Ii, f,), où f , est la restriction de f à V , x V , et m la dimension de V,; et par construction est unc forme trncique non dégénérée. Cette même décomposition de l'espace E permet de traiter Ic cas laissé de côté au § 8 en ce qui concerne l'existence des bases ortl~ogonales, savoir le cas ou K est commutatif, de caractéristique 2, et f une forme symétrique non alternée. En effet (avec les notations précédentes), V u VO ne peut être alors l'espace tout entier; si a 4 V w VO,a n'est pas isotrope et il existe des vecteurs non isotropes dans l'hyperplan H orthogonal à a (sans quoi on aurait H = TT et a Vo) ; on peut donc procéder par récurrence comme au S 8, et obtenir encore une basc orthogonale (A. ALBERT[ l ] ) .
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§ 11. Propriétés des formes traciques. Nous supposerons toujours désormais que les formes réflexives j considérées sont des formes traciqzies n o n dégénérées. Pour une telle forme (quc i-ious supposerons ici Izermitienne) on a d'abord le lemme suivant : Pour toul vecteur isotrope a de E et tout plan n o ~ zisotrope P contenant a , il existe dans P u n second vecteur isotrope b tel que / ( a , b) = 1. Il suffit en effet de considérer un vecteur c de P tel que /(c, a) = cc + O et de cherchcr b = c + a[ tel que f(b, b) = O ; on trouve l'équation a [ + P a J = - f(c, C ) et comme - f(c, c ) = A + AJ il suffit de prendre 5 = - a-ll, ce qui donne f(a, b) = ccJ +O, et en multipliant b par a-J on répond à la question. De ce résultat on déduit les deux suivants: 1 ) Pour tout soz~s-espace totalemelzt isotrope V de E , il existe urz second sous-espace totalement isotrope W de m i m e dimension q24e V tel que V n M7= { O ) et qu'aucun vecteur de V ne soit orthogonal à W . E n outre, pour tout coufile de sous-espaces totalement isotropes satisfaisant à cette co~zditionet de nzênze dimension fi, il existe une base (ei)lsisp de V et une base (e,ti),ri s p de W telles que /(es, c,,~) = dij.
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9 11. Proprictés dcs formes traciqucs. .-- .
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Il suffit d'appliquer le lenlrnc précédent par récurrcncc sur la clin~ei?sionde V . On observera que si fi est l'indice s de f, la relation 1' n Ti7 = {O), pour deus sous-espaces totalement isotropes dc dimciision entraîne qu'aucun vecteur de 17 n'est orthogonal à Tif. 2 ) 1,orsqu.e v 2 1, il e ~ i s t eune base de E conzposée tle vectezirs isotropes. Prenons en effet un vcctcur isotropc a dans E , et un seconcl vecteur isotrope b tcl que f(n, b) = 1. Lc plan P défini par a et b est alors noil isotrope; soit (~~),,~,,-~uiiebase de Po.Onvoit aussitôt quc f(D,a -t ci) $= 0, donc il csiste dail; le plan défini par b et n -1- ci un vecteur isotrope ei tcl quc j(b, e,) = 1. Alors a, b ct les e, (1 5 i 5 - 2) formcnt la base cliercl~ée. Deux sous-espaces V , Tri7 de mCine dimension dc E IIC pcuvcnt en gCnéral être transformés l'un dans l'autre par une trailsformation unitaire;. la condition pour qu'il cxistc une tcllc transformation cst clonnée par le tliéorèine fondaincntal suivant, dû à E. WITT [ l ] (voir [l]): aussi G. PALL[ I l et 1. I<APLANSI
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. 1. Colliildations e t Corrélations.
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On cn concliit quc I'hyperplan H orthogonal à b - a est conteiiu dans V ou dans PT', autrement dit,. .dans les conditions auxquelles nous nous sommes ramcnEs, 7n = n - 1. Supposons par exemple H = V; alors /(a, b a) = O, soit /(a, b) = /(a, a) = /(b, b) et par suite /(b, b - a) = O, d'où b E H, ct H = W. On est ainsi ramené au cas où V = W est un liyperplan H orthogonal à b - a ; b - n est donc un vecteur isotrope, et a et b sont orthogonaux à b a, ainsi que U. On cherclle alors à satisfaire aux conditions (A) en prenaiii z arbitraire, non dans Tf, posant z' = z 4- c -k (b - a) 6,ct cherchant à déterminer c et 5 par (A). On doit d'abord prendre c orthogonalà U, e t lacondition /(z', b) =/(z, a) donne/(c, b) = - /(z, U - a) = B $ 0 ; comme b $ U, il existe bien c E U0 tel que f(c, b) = p; en outre c ne peut Etre orthogonal à a, salis quoi il le serait à H = U 4. al< ct par suite à b; donc f(c, a) = a $. O. On en conclut d'abord que /(z', b - a) = /(z, b - a) + f(c, b - a) = -f(c, a) = a + O, donc z'$ H quel que soit 5. 11 reste à déterminer 6 par l'équation f(zf,z') = f(z, z), qni s'écrit -
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puisque / est tracique; 5 = cr-lA répond à la question. Avant de passer aux conséquences d u théorème de WITT, signalons qu'on en déduit facilement que, pour qu'on puisse transfornier V en W par une similitude, il faut et il suffit que la restriction de / à V x TT soit équivalente à la restriction de / à W x W, multipliée par un élément p d u groupe des mziltiplicateurs M(f) (§ 9). Le théorème d e WITT entraîne les résultats suivants: 3) Si V et W sont des sous-espaces totalement isotropes de mêmc dimension, i l existe une transfmmation u E U,(K, /) telle qwe zt(V) = W . 4) Tout sous-esfiace totalement isotrope V de E est contenu dans u n sous-espace totalement isotrope de dimension maxima 11. En effet, si la dimension r de Tf est < v, et si W est un sous-espace totalement isotropc de dimensioil v, et Vl un sous-espace de ?4f de dimension r , il existc u t U,(I<, f ) tel que u(Vl) = V; alors u(W) répond à la question. 5) Soient V un sous-espace totalement isotrope de dimension maxima 11, Mf un sous-espace totalement isotrope de dimension v tel que V n 'V = (0); M = V + W est un sous-espace non isotrope dc cliniension 2 v, car un vecteur isotrope orthogonal à V est nécessairement contenu dans V (9 7). E n outre, AC0 est un sous-espace de diniension n - 2 v ne contenant aucun vecteur isotrope, pour la même raison. Si niaintenant VI, W, sont deux sous-espaces totalement isotropes d e dimension v tels que 'V; n TVl (O}, il existe une tra7zsfor1natioi~unitaire 26 telle que u(V) = VI et u(W)= Wl, comme le montrent le théorème de WITT et l'existence de bases de V + W et VI + T.I/, d u type décrit dans 1); comme u(MO)= My, les restrictions de / à Mo x Ad0 et a M: x M; sont équivalentes. La restriction de f à Ad0 x ndO, q l i est
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g 12. Quasi-syiiiktrics e t trniisvcctio~isclans Ics groiipcs iiiiitaircs. .
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donc définie à une équivalence p i % ~est , appclEc la formc rinisotropc réduite de la forme /. Pour que deux formes Iicrmitie~incssoient éqtiivalcntes, il faut et il suffit qu'elles aient rnêmc indice et que les formes anisotropes rédnitcs soient équivale.nles. Si I<est un corps conimutatif ordonné (donc clc ciir:ictéristique 0) et /uneforinesymEtrique, lesélémeiitsci= 1/2(c.,-1- e,+,,),ci,,.= 1/2(e, - c,,.,,) (1 ( i g v) forment une base ortl-iogoiiale de A.I = V -t W pour laqucllc /(c,, ci) = 112 et /(cit,,, ci+,,)= - 112 p oui- 1 5 i 5 Y I ; cornl~létantla base (ci) cn une base orthogonrilc de E à l'aidc d'iinc bnsc ortliogoiiale (ci) (2 v 5 i 5 12) dc AfO,on voit que l'on a v 5 Min (p, 7% - fi) en désignant par $ lc nonibrc d'iiicliccs i pour lcsquels /(ci, c,) O. Si en outre K est euclidien, la base de ilBo est telle que /(ci, ci) = 1 pour i > 2 v ou /(ci, ci) = - 1 pour i > 2 Y, puisque M o ne contient aucun vecteur isotrope; on a clonc dans ce cas v = Min(fi. n - p ) . Ces résultats s'étendent aussitôt ail cas où / est une for~iic liermitienne, K unc extension quadratique ou un corps d e quaternions généralisés sur un corps ordonné. Remarquons enfin que le th. de WITTc t 1cs leiriines 1), 2 ) , 3), 4) de ce § sont encore valal~leslorsque / est uiic forme alternée.
§ 12. Quasi-symétries et tra~isvectionsdans les groupes unitaires. Le problème de la classificalio~zdcs traiisformations appartenant à U,?,(I<,/), OLI à GUn(I<, f) ou à rU,,(Ic, /) consiste A chercher des critères pour que deux traiisformatio~iszc, v appartciiant à un de ces groupes soient conjugz~éesdans ce groupe; nous n'étuclicrons que des cas particuliers de ce ]>roblèrne, qui a été traité de façon plus générale par T. SPRINGER[l] et FI. JACOBIN SI^^ [Il. Remarqnons d'abord que si une transformalion clc TU,(I<, f ) laisse invariant (globalement) un sous-espace vectoriel 17 de E, ellc laisse aussi invariant (globalement) l'orthogo~ial P.Lorsque V est non isotrope, une telle transformation est donc déterminée par ses restrictions aux deux sous-espaces supplémentaires V, 1/0, et l'ensemble de ces traiisformations est un groupe, isomorplie au sous-groupe dc rU,(I<, 1,) x TU,,_, (Ir, /,) formé des couples (v, w) tcls que les automorphismes et les niultiplicateurs associés à v et zo soient les mêmes (/,, 1, étant les restrictions de / à V x V e t V o x Tl0, la dimelision de V). Considérons maintenant les transformations d e TUn(IC, /) laissant invariant c h a p e élément de V; une telle transformation u appartient nécessairement à GrJn(IC,/), et si V n'est pas totalement isotrope, eile appartient à U,,(IC, 1). Soit VI = V n VO, et U uii supplémentaire d e Vl dans V ; tt est entièrement déterminé par s a restriction a u sousespzce non isotrope UO,dans lequel u est assujettie à laisser invariants les éléments de VI. Lorsque Vl = (O) (c'est-à-dire qpe V est non isotrope), les transformations u forment un groupe isomorphe à U,,-,, (Ic, 1,)
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1. Collinéatioils et Corrélations.
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(avec les mêmes notations que ci-dessus). L'autre cas extrême cst celui où V est totalement isotrope; occupoiis-nous seulement du cas où V est de dimension maxima v e t où en outre 2iv = n. Soit alors TV un second sous-espace totalement isotrope supplémentaire de V, et (e,), 2,, une base de E du type décrit dans le $ 11,l); si on pose u(x) = x + v(x), la relation f(u(x),u(y)) = f(x, y) donne d'abord /(x, v(y)) = 0 pour x E V, y E W , autrement dit, v est une application linéaire nuile dans V et appliquant W dans V. Pour x E W et y E Mf on obtient ensuite (pour une forme hermitienne f ) la relation f(x, v(y)) 4- f ( y , v ( ~ = ) ) 0~; si on rapporte u à la base (e,), la matrice de u est donc de la forme
,
(O i")
où tS = - S J (autrement dit, S est une matrice ar~tilzermitien~ze d'ordre v et de rang quelconque =( v) ;si 011 était parti d'une forme antiherniitieniie f , on trouverait que S est Izermitienne. Le sous-groupc de U,,(K, f ) laissant invariants les éléments de V est donc dans ce cas isomorphe au groupe additif des matrices antihermitiennes (resp. hermitiennes) d'ordre 11. Les transformations unitaires que nous venons de considérer sont dites transformations s$éciales. Pour que deux telles transformations u,, u, soient conjuguées dans Un(If, /), on voit sans peine qu'il faut et il suffit que les matrices S, et S, qui leur correspondent (ou, ce qui revient au même. les formes antiliermitiennes j(x, ü,(y)) et j(x, v2(y)) dans T.Tr, et MTz respectivement) soieiit équivale~ztes. Reprenons en particulier les transformations unitaires laissant invariants tous les éléments d'un /zyfie!$lan TJ, c'est-à-dire les dilatations et transvections unitaires (3 2). Si V est non isotrope et si a est uii vecteur orthogonal à V, onanécessairement u(a)=a a et aJf(a,a) a = f(n,a); une telle trailsformation est dite quasi-symétrie d'hyperplan Tr. Il en existe toujours qui sont distinctes de l'identité: si K n'est pas de caractéristique 2, il suffit de prendre a = - 1 (symét~ied'hyperplan V). Si au contraire K est de caractéristique 2, on a /(a, a) = Â + ÂJ; prenoiis alors a = 1-lÂJ; on a aJÂa = A et aJÂJa = ,IJ, d'où notre assertion, puisque ÂJ + A. On notera que dans le groupe orthogonal On(If, f ) (K de caractéristique + Z), la seule quasi-symétrie d'hyperplan V distincte de l'identité est la symétrie par rapport à V, et que le groupe symplectique Sp,(K) est le seul groupe unitaire dans lequel il n'y a pas de quasi-symétries (parce qu'il n'y a pas d'l~yperplannon isotrope). Quant aux transvections unitaires d'hyperplan V, elies n'existent que si l'hyperplan V est isotrope, et le vecteur a de la transvection est alors un vecteur isotrope orthogonal à V ;la transvection a donc la forme x + x + aÂf(a, x ) , où A est antisymétrique si f est hermitienne et symétrique si f est antihermitienne; si on cliange a en ap-1, A est changé en Pour que deux transvections correspondant aux éléments A, Â' soient conjuguées dans Un, il faut et il suffit que 2' = pJÂp
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13. Semi-involutions dans les groupes iiiiitaires et leurs ccutralisateurs ..----...-.
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pour un p convenable. On notera quc dès clu'il existe des vccteurs isotropes dans E, il existe des transvections unitaires, sauf pour le groupe orthogonal O,(Ii. f) (IC de caract6ristique + 2 ) , puisqu'il n'y a alors aucun élément antisymétrique et +O dans If.
$ 13. Semi-involutions dans les groupes unitaires et leurs centralisateurs: Premier cas. Soit u une semi-involutio~i dans FU,,(IC, f), relative à un automorphisme o de IC. Soit uyx) = xy et /(u(x), zr(y))= e(f(.z-,y))#. Récrivons les relations ( l ) , ( 2 ) , (21) et (22) qui donnent ici et d'autre part, en calculant f(u2(r),u2(y))cle deux maniércs, il vient Nous supposerons dans ce paragraphe que y n'est pas de la fornzc (cas A) du 5 3); on forme alors l'extension quadratique ICo = K(Q) de K. avec p2 = y et q e = e?lUpour 7 E IC, et E dcvient un espace vectoriel de dimension 7212 sur IC, en posant, pour [ = 6 + E ICo, ; désignerons cet espace vectoriel par Bo. et x E E, x5 = x 6 ~ ( x ) qnous On voit aisénielit qu'il existe une corrcspoiidancc biunivoquc x'<+x; entre le dual E* de E et le dual E t de E,, telle quc l'on ait ÂÂu
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(xi, x)
x)
+ e(x',
u(x))" y-'
(26) pour tout x E E. On vérifie en outre, en vertu de (24) ct (25). q~l'on peut étendre à Ko l'involution J , en posant pJ = eeUy-l. Alors, (26) montre qu'à la corrélation pl (associée à la formc f ) correspond l'application pl, de E, dans E,* définie par la formule =(XI,
(piO(n-), Y) = ( ~ ( 4 Y) )+ @(P(X), 43'))" y-=. (27) On vérifie alors, grâce à (24) et (23), que l'on a bien p-i,(n-5) = cJqo(x) pour tout ( E If,; autrement dit, p,l est une corrélation. En outre, si tv = E ? avec E = 5 1, on a aussi tq, = &pl,, car il résulte de (27) que l'on a ( % ( x ) , Y).' - &(?O(Y)~ 4 quels que soient x et y dans E,; mais le prcniier mcmbre est une fornie linéaire en x (sur IC,), donc ses valeurs ne peuvent être toujours dans QI< que si elle est identiquement nulle. La forme réflexive fo(x,y) associée à p, est donc donnée par la formule (traduction de (27))
ChercIlons maintenant le groupe H des semi-similitudes qui permutent projectivenzent avec la semi-involution u, ce qui revient à étudier le
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1. Collinéations et Corrdlations.
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centralisateur de l'involutioii Z E P f U,, dans le groupe projectif PI'U, (cf. § 4). Une telle transformation v, correspondant à l'aiitoinorpliisme t de IC, est telle que vz'= VZL .a (a E Ii), avec les deus conclitions (3) et (4) qui en découlent; en outre, on a q(v(x))= h . ;(~D(N)) où h est un élément symétrique de IC. On sait alors ($4) qu'on peut étendre z en un automorphisme de IC,, de sorte que v devienne une collinéation de E, relative à cet autoniorphisme. Lorsqu'il en est ainsi, il résulte de la formule (28) que 1'011 a /,(v(x), v(y)) - h(fo(x,y ) ) E~ QI< q ~ ~ eque ls soient x et y dans E,; niais comine cette expression, pour x fixe, est que semi-linéaire en y, elle ne peut prendre toutes ses valeurs dans QI< si elle est nulle. Par suite v appartient au groupe fo). Iiiversement, une collinéation v de ce groupe répondra à la question si l'automorphisme t cle v laisse K (globalement) invariant et est tel que p7 = ,a (avec a E I O , et si le multiplicateur de v appartient à K. On 1,) défini par ces conditions observera que le sous-groupe H de PU,,,(I(,, contient comme sous-groupe distingué le groufle unzlaire UnI2(IC0,1,).
$ 14. Semi-involutions dans les groupes unitaires et leurs centralisateurs: Second cas. Les notations étant celles du $ 13, supposons maintenant que y = a l " ; remplaçant 66 par ZL . A-L (ce qui revient à changer l'automorphisme et le multiplicateur de u) on peut siipposer que y = 1, d'où a2 = 1 et ee5 = 1. Nous distinguerons deux cas principaux, suivant que o est ou non l'identité. A) o est l'zrientilé, d'où e2 = 1. Trois cas sont A considérer: A 1) K n'est pas de caractéristique 2 et e = 1 ; ?L est ilne involution de U,(K, 1). On vérifie immédiatement que tout vecteur de U+ est orthogonal à tout vecteur de U-, ce qui implique que U+ et U- sont non isotropes, chacuii étant l'orthogonal de l'autre. Inversement, pour tout couple de sous-espaces non isotropes supplémentaires et orthogonaux V ,IV, la transformation linéaire si. telle que u(x) = x dans V, zc(x) = - i dans W, est une involution de U,(IC, 1). Soit alors v une semi-similitude, correspondant à l'automorpliisme t de IC et de multiplicateur h, telle que vu = UV . a ; la condition (4) donne a2 = 1, autrement dit vu = fuv; on ne peut d'ailleurs avoir vu = - zcv que si U+ et U- ont même dimension. Si H est le groupe des v c PU, q ~permutent ~ i projectivement avec u, et Ho le centralisateur de u dans TU,,, H o est d'indice 1 ou 2 dans H, et Ho est isomorphe au sous-groupe du produit TU,(I<, /,) x TU,-,(K, /,) (avec fi = dim U+, f, et /, étant les restrictions de i à U+ x U+ et U- x U- respectivement) formé des couples (a,, v,) ayant mêmes automorphisnies et mêmes multiplicate~irs. A2) K n'est pas de caractéristique 2 et e = - 1; cle la relation f(z~(x),%(y)) = - J ( x , y) on déduit aussitôt q ~ U+ ~ e et U- sont des
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14. Scmi-involutions dans les grolipcs iinilaircs ct Iciirs cciitralisntciirs.
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sous-espaces lotalemcrll isolvofies siipplCmc~~taircs, cc c l i i i i i i ~ ~ ) I iTE q ~=~ScV L et cliiii U' = clim TJ- = rn = v. Iiiverscmcnt, si ~t = ' i v , ct si 1/, I.I' sont deus sous-cspaccs totalenlent isotropes siipplérnei~tairesdc dimerision nlasima v, la colIin6ation (linkaire) ZL définie par n(x) = x dans J/, n(x) = - x daris TV, cst telle que /(zd(n-), u(j1)) = -/(s,y ) qiicls ~ u c soient n et ji dans B. Si maiiltci~antvu = trv . a pour CLI C T U n , on a encorc a" = 1, ct on peut se borner cornnie ci-dessus i considérer 1c ccntralisatcur If, clc 21 dans TU,,. Or, si CLI C Ho correspond à l'aiito~norphismct ct au inultiplicateur Iz, la relation v z ~= UV montre qiie v ( U h )= Ut, v(U-) = U-, cl la relaçion /(v(s), v(y)) = h ( / ( x ,31))' pour x E ZJl c t y 6 U - montrc. que les valeurs de dans U- sont cnti&rcnicnl dCtcrminécs par scs valeurs dans U+. Les collinéations v c H , soiit donc telles quc leurs restrictions à Ui sont des collinéations dont les automorphismes t ont la propriété que les antiautomorpliisrnes z/ et Jt ne diffkreiit que par un automorphisme interieur de IC; la réciproque cst imiiiédiate, et Ho peut donc être identifié au sous-groupc dc rL,,,,(Ir') lormb des collinéatioiis dont l'a~1tomorpliismecorresponclnnt a la propribté précbdente. On notera que Ho contient coinnie sous-groupe distingiié lc groupe li~léairegénéral GLJ,12(I<). = n- -1- zc~(x), A3) ICest de caractéristique 2 et e = 1. Alors ($3)on az~(n-) avec w(E) C zei-l(0) = U ; en écrivant que u est unitaire, 011 voit aussitôt que zv(E) doit être orthogonal à U, e t étant de m&mcdimension que UO, w(E)= U0 C U est totalement isotrope; la réciproque est iminécliate. Si v E I'Ci,(Ii, /) permute projectivement avec u, elle appartient ai1 centralisateur H de zr dans rU,(K, /), piriscltie a"011 a donc nécessairement v(TJ) = U et v(UO)= U O ; désignons par T l un sousespace (non isotrope) supplémentaire de U0 par rapport à U ; si fi = dimUo, V 0 est un sous-espace ilon isotrope de dimensioii 29 contenant U o , donc ($ 11) il existe dans V Oun sous-espace totalement isotrope Ti/ de dimension supplémentaire de U0 par rapport à VO. Soit Hl le sous-groupe distingué de H fonné des v tels que v(x) x (mod. U) poilr toilt s E E, et v(y) = y (mod. U u ) pour tout y E U. Cela entraîne d'abord que v est linéaire et de multiplicateur 1 si V + {O), autrement dit appartient à U,(IC,!). Eri outre, 011 peut écrire v(x) = s + v l ( x ) avec v'(x) f U; écrivant que !(v(x), v(y))= /(Ë, y) pour x E I.I' et y E UO,il vient / ( x , v(y) - y ) = O et comme WO = V + W et v(y) - y C UO, cela entraîne v(y) = y dans UO. Lorsque V = {O}, on voit de même que v(y) = ylz dans UO,h étant le multiplicateur de u (qui est alors dans le centre de IC). Soit H , le sous-groupe de Hl laissant invariant chaque élément de U , toute transformation v E Hz laissant invariant tout élément de V, est entièrement déterminée par sa restriction à V0= U0 W , et est une transformation unitaire de cet espace laissant invariant chaque ZJ
I
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27
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28
1. Collii~itationse t Corrélations. .
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élément d u sous-espace totalement isotrope U O ; c'est donc UII(. transforinati~n spéciale 12), ce qui montre que H, est un groupe nbélierz isomorphe au groupe additif des nîatriccs antihermitieiînes (resp.1îermitiennes) d'ordre p, si f est liermitieiîne (resp. antihermitienne). 1-e groupe H,/E-I, est d'autre part isomorplic ail groupe Ii!; dcç restrictions des v 6 Hl au sous-espace U. Si V (O), posoilç v(y) = y -t v"(y), avec v"(y) E UO, pour tout y V; posons d'autre part V ( X ) = x -t VI(%),avec zi'(x) C U, pour tout x E W. La i-clation /(v(x), v(y)) = f (x, y) donne alors f(vl(x),y) i- f ( x , v"(y)) = O ; pour toute application linéaire v" de V dans UO,011 constate en prenant des bases dans V et V0 = UO + W (par exemple une base orthogonale ou symplectique dans V, et dans V0 une base décrite dans le $ 11,l)) qu'il existe une application linéaire a' et une seule de W dans V satisfaisant à la relation précédente. Ccci montre que I;I,/H, est isomorphe au groupe additif des inatrices à p lignes et 7% - 2 p colonnes, soit à K Z ) ( ~ - ~ PSi) .V = (O), on a v(y) = yh dans U0 = U et on peut prendre v(x) = x dans W, donc H,/H2est isomorphe au groupe multiplicatif %" d u centre cle I<. Déterminons enfiil HIH,. Pour tout v E H , posons v(x) = v,(x) -t vl(x), avec v,(x) C W ct vf(x) C U pour tout x C W , et v(y) = v,(y) vU(y), avec v,(y) E V et v"(y) C UO, pour tout y E V. Définissons !a collinbation = v,(y) pour y € V ei suit: v ( x ) = v,(x) pour x C W , -v (2)comme appartient à TU,(IC, /) (avec = v(z) pour 2 t UO. On vérifie que le même automorpl~ismet ct le même multiplicateur lz que v) et quc pour que v commute avec ZL, il faut et il suffit qiie coniinute avec u. -
(s
+
+
On définit donc ainsi une représentation v -t G de H sur un-sous-groupe H de H , et comme le noyau de cette représentation est Hl, Ii est isomorphc à H/H,. Or, si on prend pour VO= U0 + W une base du type décrit dans le lj I l , l ) , on constate que la matrice de la restriction de à V" où A est une matrice carrée d'ordre p ; d'ailleurs la matrice de la restriction de
ZL
à V0 est de la forme
(O S)
- -_-
- - ---
._
où
S est
antihermitienne (resp. hermitienne) d'ordre si f est hermitienne (resp. antihermitienne) . L a condition de permutation de ZL et Ü dans V" s'écrit alors t A J S A = ~ S Sautrement , dit, la restriction cle v à V0 doit à V doit appartenir à I'U,(K,S). D'autre part, la restriction de appartenir à PUn-,,(Ji, /,), f, étant la restriction (non dégénérée) de / à V x V. Finalement H r H/H, est isonzorphe au sous-g~oupe de TU,-,,(I<, f,) x TU,(I<, S) f o ~ m édes couples de colli?zéations nya71l nzêmo azitomo~$hismeet nzê~ncmulti$Zicateuv. On observera que la forme réflexive correspondant à S est non dégénérée mais peut être non tracique (cf. $ 10).
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- .
. --
_
-
- -.. .
14. Semi-irivoliitions clans les groupes unitaires c t lciirs centralisateurs.
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99
.
13) o n'est pas l'idc~~titc'.On désignera par K, lc sous-corps dcs 61kineiîts dc Ii invariants par cr; 011 notera qu'en général Ii', n'est pas invariant (globalcmc~it)par J . On sait alors que l'ensemble U+ dcs x E E tels quc zl.(x)= x est un sous-cspacc dc IZ par rapport à KI, dc dimeiision 12, une base de u"-sur Ii, étant aussi une base cle E sur Ic ($ 3). Or, on a f(x, 31) c /(x, 31)" pour x € Uk et y f U+; cn remplaçant x par x f , où [ E ICI, on cn conclut cliie = e e l u e-l; par suite, si e = f 1, Ii, est globalcmcnt invariant par J. Nous allons voir clu'cn multipliant la forme f par un iilkmciî t symétrique ou antisyiniitrique convciîablc, on pciit toujours sc raincner au cas où e = 1. Supposons d'abord que 1. = 1 -t c $= O; alors r" = r, et ru = re-l, soit e = Y - " ; si on pose g(x, y) = Y-] /(x, y), g cst hermitienne (resp. antihcriîliticniie) pour l'involution [ -> 5' = r - - l P ~si/ f est hermitic~inc(resp. aiîtiliermitienne) pour J , et 011 a g(z~(.z-), z,~(y)) = (g(x, y))". Le seul cas qui reste à examiner est celui où c = - 1, Ii n'étant pas de caractdristique 2; nîais alors K = I<,(@),avec Q" = - Q ; si 011 forme Y = @J f @, r est + O pour iin ail moiils des d e u s signes, c t on a lyJ = ,t Y et ru = - r , d'oii cncorc e = ~ ~ - 0 et on procède comme ci-dessus. Supposons donc désormais que e = 1. Alors, pour x C U+ ct y E U-'-, 011 a / ( Y , y) = (f(n, y))", donc /(x, y) € ICI, et f est une forme réflexive sui- U-'- x Uf, no,n dé
-
.---
.-
eJ
-
/? E ri;, et si on pose tW = ment twJ = ,uEJwC~-' pour ;' C I(, avec C KI, et alors B = cc-l/$J = pWP-1. * Si on
DoUr [ E KI, on a nécessaire-
a pZ =
,LLJ
= LL,
=
/?, pJ/? = p ! ~ " '
,
--
~-
30
1. Collinéations et Corrélations. -pp.-p-.
p p p
j, E U i ; autrcinent dit, on a v c r U n ( K ,f ) ct cornrnc U - = U+Q, v(U-) = U-, d'où v E N o . En résuiné, Ho est isomorpl-ie au sous-groupe de rU,,(IC,, f,) formé des semi-similitudes dont l'automorphisine z et le multiplicateur h vérifient les conditions ( 5 ) ,(6)et (29)(pour uii LX c ICI dépendant de v). On notera que ce sous-groupe contient le groupe unitaire Un(I(,, fi) comme sous-groupe distiiigué. B 2) K est de caractéristique 2. On a alors ( I j 4) K = IC,(O), avec Ou = O + 1, et larelation @O' = O" donne ici va= OJ + 1, donc OJ = O + 6 , avec 6 c Ii;. Le groupe H est ici le centralisateur de u dans PUn(K, 1). La restriction de v à U+ est, avec les mêmes conventioris que dans B l ) , une transformation de i'LTn(Kl, f,), dont l'automorpliisn~et doit vérifier les conditions (7) et (8) du Ij 4 ; cn outre le multiplicateur h E I(, de cette semi-similitude doit satisfaire à la condition OrJ = ha"'h-l, qui clonne ici
O n conclut comme dans B 1) que H est isomorphe au sous-groupe de TUn(I(,, f,) formé des semi-similitudes dont l'automorphisme et le multiplicateur satisfont à (7,(8) et (30) (pour uiî  I(, dépendant de v) ; ce groupe contient le groupe unitaire Un(&, 1,) comme sous-groupe distingué. § 15. Corrélations permutables. Nous avons défini la notion de collinéation .fierggzzcta~ztproiectivemenl avec Line collinéation (§ 4 ) ou avec une corrélatioi-i ( $ 9 ) . Si maintenant q et y sont deux corrélations de E sur E*, est une collinéation de E ; nous dirons que les corrélations p, et y sont projectivement permutables si y-ly est une semi-involulion (3 3 ) de rL,(K), autrement dit s'il existe y E K tel que l'on ait pour tout x E E ~7-l(y(x= ) ) Y-=(cP(x))Y . (31) Il est clair que cette notion ne dépend pas de l'ordre dans lequel et y. E n outre, les trois notions de «permutabilité on considère projectivei) ainsi définies sont cohérentes, au sens suivant: si une collinéation u (resp. une corrélation O ) permute projectivement avec deux corrélations q, y, elle permute projectivement avec la collinéation p-'y; si une collinéation u permute projectivement avec une collinéation v et avec une corrélation q , elle permute projectivement avec la corrélation pv; enfin si une corrélation y permute projectivement avec une collinéation v et avec une corrélation p, elle permute projectivement avec la corrélation qv. La déterinination du centralisateur d'une involution de P r L , (§ 4 ) ou d'une involution de P r U n (§§ 13 et 14) est un cas particulier d u problème général suivant, dont nous rencontrerons d'autres exemples (chap. IV, § 8 ) : Etant don& u n certain nombre de semi-iîzvolutions uiE r L n ( K ) ( 1 (= i 5 q) et de corrélations réflexives cp, (1 5 i (= Y), desx
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.
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$ 15. Corrélations pcrtiiutables. --
..
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--.-----p.
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:iI
à dma: projective?nent jhermzclalilcs, délci,nziuicr les colli7~~iutiot~~ O qz~i pen~zzctcizt p~,oiectivement avec Les ?di (1 5 i S q) et Les cp, ( 1 5 1 _I 7,). Les reiilarques précédentes pcrmcttcnt dc se ramener au cas où 1, = O ou s = 1 (en remplaçant r - 1 des pj par lcs collinéations piJ pi). Cela étant, si IC est de caractéristique + 2 , on peut utiliserlcs résultats des SIj 4, 13 et 14 pour indiquer un procCdé dc récurrence sur lc nomhrc y des semi-ii-ivoli~tioiisuj,permettant d'étudier le groupe H des v pcrmiitai-it projectivemelit avec les ui et avec pl ( J . ~ ) I E U D O N N I ? [ I 4 ] ) .Consid~roils en e f f e t la semi-involution u , ct distinguons plusieurs cas: 1) ul répond aux coiiditions du $ 13; alors (avec les notations clc cc paragraplie), les ui ( 2 $ i ( q) peuvcnt être considérées cornrnc q - 1 semi-involutions de TU,,,,(IC0, Io), ct v con-in-ic une transforination ci(: i'U,,i-(Ko, permutant projcctiven-icnt avec les u , (2 5 i 5 q ) , et dont l'automorpl-iisme et le multiplicateur satisfont aux conditions précisées au S 13. 2) u, répond aux conditions d u cas 13) du Ij 14; les u, ( 2 S i $ q) éventuellemerit miiltipliés par des scalaires coi-ivcnablcs, peuvci-it être considérées comme q - l senii-involutions de fUn(Ii,, f,), et v coinnic une transformation de TU,(K,, f,) permutant projectivciilent avec Ics ui ( 2 5 i I q) et satisfaisant en outre aux conditions indiquées au 14 en ce qui concerne l'automorpliisn~eet le inultiplicatcur correspo~iclant. 3) u,, répond aux conditions du cas A 1) du $ 14. Si U+ et U - n'ont pas même dimension, les u, (2 1 i ( q) laisscnt ces deux sous-cspaccs globalement invariants, ainsi que tout v H e t , à des conditions près sur le multiplicateur et l'automorpliisme de v, on est raincné au problème initial pour chacun des espaces W+ et U-, mais avec seulement q - 1 semi-involutions ui. Il en est de mênie si U+et U - ont même diniensiori, et si u,u,= %ui pour 2 $ i $ q, à cela près qu'on passe de If à un sous-groupe Ho d'indice 2. Si enlin u,u, = - uluZi on peut supposer que uiu, = ului pour i 2 3 (en remplaçant éventuellement u, par u,z~,); on a alors u,(U+) = U-, u,(U-) = U f , ui(U+)= U+ et u,(U-) = Lipour i 2 3 ; en passant à un sous-groupe Ho d'indice 2 dans N ,on peut se borner au cas où vzl, = u,v, et alors on a aussi v ( U C )= U+,v(U-) =V-. La restriction v' de v au sous-espace U+ est donc une transformation de r U n I 2 ( Kf') , (où f' est la restriction de f à U+ x Ut-) qui permute projectivement aux restrictions des u,. (3 5 i 5 q) à U+; on constate que réciproquement une telle transformation ne se prolongc pas nécessairement à une collinéation v E Ho, mais qu'il en est toutefois ainsi lorsqu'elle appartient à UnI2(K,f')et qu'elle permute avec les ui (i 2 3). 4 ) u, répond aux conditions d u cas A 2 ) du Ej 14. Si zt,u, = ului pour 2 S i S q, les tri laissent Ies espaces U+et U - globaIement invariants, et on peut supposer qu'il en est de même de v, en passant à un sousgroupe Ho d'indice 2 dans H. Ici, la restriction v' de v & Ui est une collinéation qui doit permuter projectivement aux restrictions à U+
f,)
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p .
1. Colli~iéationsct Corrélations.
32 ._-__
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-... .- -- - -- -. .. --p. -. . .-- - - -- -. - ---- .
des ni (2 5 i 5 q) ; une telle colliiiéatioii nc se laisse pas iiéccssaireinent prolonger à une colliiiéatioii u Ho, iiiais il en est ainsi de celles qui appartiennent à GL,t,2(11)et permutelit avcc les 24 (1 > 2). Si enfin u 2 u , = -u,u2, on peut encore supposer que U ~ I A= , ului pour i > 3 . Si T est l'autoinorphisme correspondant à zr,, la forme sesquilinéaire f f ( n , y) = f(u,(x), y ) définie pour r E Ut et y C U i est réflexive, relativement à l'antiaiitomorphisine r J . Alors, la restriction a' de v à U+ doit appartenir A rU,,e(l<, /') et permuter projectivement aux restrictioiis des ui( 3 5 i 5 q) à Iif; ici encore la réciproque n'est pas toujours exacte, mais elle l'est pour les v' qui appartiennent à U,,,,,(Ii, f ' ) et permutent avcc les u i (i2 3 ) .
est u n sous-cspace vectoriel de K (sur Ii" cle dimension I I - 2$ - q = c l ; on a donc d 5 [Ir' : 1\17], et cn particulier, lorscli~eI\' est pa~faz1 (donc Cgal à K 2 ) , d = O oii cl = I ; I I - q est appel6 le I ~ ~ L ~ L ;de : Q. Soit U i i r i sous-espace de diincnsion 2 p , supplémentaire dci E0 dans 6,ct TT lin sous-espace de EO dc dinicnsioii d, supplénicntairc dc 1; psi* 1-;11)port k E0 ; si 011 prend une base syniplectique (e,), ,i de U (pour la forinc f ) , iinc base cluelconclue (e,)* + , a.igop d de T f ct une base quclconcluc
caractéristique 2.
Si I< est un corps commutatif de caractéristique (2, f une forine bilinéaire symétrique sur E x E , on appelle forme quad~~atique associée à f l'application x + Q ( x ) = f(r, z ) de E dans I f . On \.oit imniédiatement que l'on a
Q(Ax + p y )
+ p"(y) + 2 A p / ( x , y)
= A2Q(x)
(32)
quels que soient les scalaires 1,p , ce qui en particulier donne f ( x , y) = 1/ 2 ( Q ( x4- y ) - Q ( x ) - Q ( y ) ) . Inversement, si une application Q de E dans I< vérifie une identité de la forme (32), où f est une forme bilinéaire sur E x E , on en tire aussitôt que Q(Âx) = Ib2Q(x),que f est symétrique et que Q ( x ) = f (x, x ) . Supposons maintenant que I i soit un corps comniutatif de caractéristique 2. 011 appelle alors /orme qzradratique une applicatioii Q de E dans I< qui satisfait à une identité de la forme
+
(33) Q ( A x -i- p y ) = Ib2Q(z) p 2 Q ( y )+ A p f ( x , y) où f est une forme bilinéaire sur E x E. Cette forme est entièrement déterminée par Q , car on tire de (33) que (34) f ( x , Y ) = Q ( % + y ) -i- Q ( x ) -i- Q ( Y ) . E n outre, on a Q ( Â x ) = 1,"(x) et par suite f(x, x ) = O ; f est une fornie alternée. Soit 273 5 ?z le rang de f, et soit E0 le sous-espace de E . de dimension n - 2 6 , ortliogonal à E. Si on désigne par k la restriction de Q à EQ,on a, pour x E E0 et y C EO h(Â x I ,LL y )
=
Â%(x)
+ p 2 h ( y ).
(35)
Or, [ 1 f 2 est un isomorphisme de K sur son sous-corps I i 2 ; la formule (35) signifie que lz est une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E 0 sur I l , dans l'espace vectoriel I i sur Ii" relative à I'isoniorphisme l-> t2; le noyau 1; de cette applicatioii est donc un sousespace vectoriel de EO,de dimension q 5 n - 2 6 , et l'image M = h ( E O )
,
( t : i ) 2 y .;
dc
J;,
l'expression dc
, ,,
Q ( x ) , 1)oiii.
;
Q ( r ) = J'(ai i=
+ (2
[:
6,
a i=Q?fl
Y
.Y =
20 i (1
11
.7p
g 16. Formes quadratiques et groupes orthogonaux sur un corps de
.,-
=O
Y i [;j
i flj[i[yli+
entraînalit
ci
=O
+ {)
i-. ,l =z
27) I l
pour 3P -1- 1 5 t
_C,
(Yi [:,
121
..
e, [,,
est
1-elatioii
2$ 4- d. Nous dirons
que Q est ,1101z dégé~téréesi q = O; d = 11 - 2fi est alors appelé le défazrl dc Q, et Q est dite défective si d > O (ce qui est toujours lc cas pour un espace E de diniension impaire). Nous supposero~istoujours désormais que la forme quadratique Q ( x ) est I Z O I Z dégénérée; sa restriction à tout supplémentaire U de E0 est alors I Z O I Z défective. Un vecteur non nul x $ E est dit s i ~ z g u l i esi ~ ~ Q ( x ) = O ; uii sousespace Tf de E est dit sinpliel/ si Q ( x ) = O pour tout x f I f ; comine Q ( x ) $ O en tout point x $ O de Eo, on a V n Eu = (O) et par suite Ti est contenu dans uii supplémentaire E, de EO,et en vertu de ( 3 4 ) , il est Lotalement isotrope (pour la fornie f), donc sa dimension est SI$. 011 appelle indice de Q la diinension maxima 77 des sous-espaces si;izguliers de E ; on a donc v 1 p, et on peut choisir un sous-espace El suppliimentaire de EO, coiitenant un sous-espace singulier dc dimension maxima v ; on supposera désormais E, clîoisi une fois pour toutes de dans E, sera toujours entendue relativenîent cette façon; l'ortlzogo~~alité à la forme alternée f . On a alors le lemme analogue au premier leminc d u 11: Pour tout vecte.ur singulier n de El et tout filan non isotrope P cogztenagzt a, il existe dans P u n second vecteur si1zgzrl7.e1/et zr~z seul O tel que f(a, b) = 1. Si f(a, c) 0, l'équation Q(c -1- a [ ) = O s'écrit en cffet / ( a , c) [ Q(c) = O. De là on déduit que les résultats 1) et 2) du $ I l sont valables en remplaçant E par E, et «totalcinent isotrope)) par «singulier». On notera aussi que si TfcE, est singulier et W un sousespace singulier contenu dans V 0 (orthogoiial de 17 dmzs E,), V + TV est encore singulier; si V est de dimension riiaxima v , tout vecteur sii~guliercontenu dans I f 0 est donc dans V .
+
+
' S i E et F sont des espaces vectoriels de même dimension sur IC, et u un isomorphisme de F sur E , la forme x -t Q(u.(x))sur 1; est évidemment une fornie quadratique, qu'on dit obtenue en t~a~zsfiortant la forme Q au moyen de u ; la fornie alternée correspondante est transportéc de f par u. Deux formes quadratiques sont dites éqz.tivnlela1e.s si elles Ergebn. d. SIathern. Nu'. F. H.5' Dieudoriné.
3
---
34
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- -
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- -
1. Colli116ations et Corrélations. -- -
~
-
- -- --
-
sont transportées l'une d e l'autre; elles ont alors m ê m e rang, ainsi que les formes alternées associées, e t même indice. ' Le problème d'équivalence n'est résolu que dans u n petit noinbre d e c a s ; o n se bornera a u x formes n o n dégénérées. Si I< est algéb~iqu.eme7zt clos, o n a p = v, u n e équation quadratique ayant toujours des solutioi~s dans I<; comme e n outre d = O ou d = 1 , o n voit qu'il existe toujours d e E telle que I ' o n ait u n e base (e,),
Lorsque I< = F, (q = 29 il existe toujours u n c base (e,) de E tellc q u e l'on ait
o ù o n a , clans le second cas, cr. = O ou oc tel que le polynôme rxXZ+ X + oc soit irréductible sur K ( L . E. D I C K S O N[ I l , p. 197-199); dans le premier cas, o n a donc d = 1 , g i = $, dans le second d = O, Y = p ou Y = +j - 1 suivant que cr. = O ou rx =+ 0. Pour cl'autres résultats sur le problème d'équivalence, voir CAHIT ARE [ I l . O n appelle semi-similitude ortlzogo~iale (relativement à la forme quadratique Q) une collinéation u dans E vérifiant la relation Q ( u ( x ) )= r,(Q(x))"
pour tout x t E
(36)
o ù o = gu est l'automorphisme correspondant à ZL,et r, t K * est appelé le multiplicateur d e u ; la formule (34) montre que u est u n e semisimilitude sym$lectique de m ê m e multiplicateur si Q n'est pas défective. Ces semi-similitudes forment u n sous-groupe noté I'O,(K, Q ) d u groupe r L , ( K ) des collinéations. Les transformations d u sous-groupe distingué GO,(K, Q) = r O n ( K , Q) n GL,(K) sont appelées similitudes (relatives à Q ) e t celles d e multiplicateur 1 sont dites transformations ortlzogo7~.ales; elles forment un sous-groupe distingué O,(K, Q ) de GOn(K, Q ) , que l'on appelle le groupe orthogonal (relatif à Q). L'application u + 5, est u n homomorphisme d e rO,(K, Q) sur u n sous-groupe d u groupe des automorphismes d e K , d e n o y a u GOn(K, Q), et u -i Y, u n homomorphisme d e GOn(K, Q ) sur u n sous-groupe d u groupe multiplicatif K*, d e n o y a u O,(I<, Q). O n a évidemment Zn = H,,C G O , ( K , Q ) , le multiplicateur de l'homothétie x + x y étant y 2 ; les images P r O n ( K , Q) e t PGO,(K, Q) d e r0, et GO, dans le groupe projectif P r L , ( K ) sont respectivement isomorphes à rO,/Z, e t à GO,/Z,. O n verra plus tard (chap. I I , $ 10) qu'en général le centre d e 0, est réduit à l'élément neutre, d e sorte que 0, est isomorphe a u groupe projectif PO, qui est son image dans PrL,.
Lcs groupes ortliogonaus cori-csr>o~-iclnntà d c u s foriucs <~~i;iclratiqticç équivalentes soiit isoinorpIies, e t pour t o u t cr t K * , on n l'O,,(I<, a Q ) = I'O,,(lC, Q ) , GO,,(I<, KQ) = GO,,(Ii, Q ) ct O,, (IC, ocQ) = O,,(I<, Q). Si 51, cst uiie trnnsformation orlIiogonale, on coiîstate aisbn~ciit(lut u ( E o )= E0 e t cluc la restriction d c zt à Eo cst l'identité (parcc c1u'oi-i peut écrire Q(zl(x))= Q ( x ) soiis la forme Q(zt(x)- x ) = O si ;c Bo); ~r cst donc entièrement clétcri~iinécpar sa restriction à E,, e t pour x C E , , on peut poser u ( x ) = u , ( x ) + u 2 ( x ) , où u I ( x ) C El et zt,(x) t Bo. O n constate quc u, doit apparte~iirau groupe sym$lectique S$,,(K), c t êtrc tel que Q(u,(x)) +- Q ( x ) CM pour tout x E E,; e t réciproqucinent si u, possède ces d e u x propriétils, il existe u n zt, ct un seul tel que u1 -1- us F On(Ic, Q ) ( J . D I B U D O N N É [4], p. 53-54) ; lc groupc O,([<, Q) peut donc être considéré comme le soz~s-groupe de S$,,(iC) foî,7né des trans/or7natio1zs v telles que Q(zl(x))+ Q ( x ) C Ad pour tout x E E,. Si Q cst non défective, cette dernière condition se rbduit bicii ciltendu à Q ( v ( x ) )= Q ( x ) , Lorsquc I< est u n corps parlait, uiie forme Q non clkgiliiili-Ec est non défective si n est pair, a pour d é f a u t 1 si 7% est impair; dans ce dernier cas, le groupe O,(I<, Q ) est identique au groupc symplectiquc Sp,,(I<). Lorsque Q est une forme non défective, le tliéorèinc de WITT a été généralisé par CAHITARF [ I l sous la f o r m e : Pour qu'il esiste une translornzation ortlzogoîrale Z L F O,(I<, Q) telle que Z L ( V= ) W , il f a z ~ tet il suffit que les restrictions de (2 d TT et k W soient équivalentes. c les seules L a démoristration de CHEVALLEY ($ 11) s ' a p p l ~ q ~ lavec modifications suivantes: dans les conditions ( A ) , il Faut remplacer , par Q(z) = Q ( z l ) ; puis, à la fin de la cléinonstration, f(z, z) = f ( ~ ' 2') 011 remarque que, conilne / ( a , a ) = O , o n a / ( a , b) = / ( a , b - a ) 0, d'o2 Q(b - a ) = Q(b) + Q(a) = O en v e r t u d e l'liypotlièse. Alors la relation Q(z + c + jb - a ) [ ) = Q(z) se réduit à
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qui <&termine t,puisque cr O. O n déduit aussitôt de ce résultat que les propriétils 3 ) , 4 ) et 5 ) d u 5 I I sont encore valables e n y remplaçant «to:aleinent isotrope)) par «singulier ». U n e tra~zsvection dans le groupe orthogonal O,(K, Q) (considéré comme sous-groupe d u groupe symplectique S$,,(K)) est u n e transvection symplectique x + ;i:+ ii/(x, a)a, o ù n doit donc être un vecteur isotrope. Eil écrivant que cette transformation est orthogo~lale,o n trouve que l'on doit avoir R + PQ(aj i M , 3*
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II. Structurc des groupes classiques.
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Chapitre II.
Structure des groupes classiques. $ 1. Centre et groupe des commutateurs de C L , , ( [ < ) . Soit E un espace vectoriel de dimension 7z sur I<. Toute collinéatioiî I L cle E qui permute avec toutes les transformatioiîs linkaires de E permute en particulier (pour 12 > 1) avec les trans\~ectionsde E (cllap. 1, 5 2) et par suite laisse invariante toute droite de E. Prenant une base claiis E, on en déduit aussitôt que u est une homothétie, ce qui prouvc q u e l e ce~ztrnlisateurde GLn(I<)clans rL,(I<) est le groupe Hn des homothéties; la proposition est triviale pour 12 = 1. Pour 12 2 2, on appelle groupe linéaire spécial ou g~oupezr~zimodulairc (à ,iz variables, sur le corps 1 0 , le sous-groupe SL,(I<) de GL,(i<) engendré par les transvections de GL,(K); il est immédiat que ce groupe est distingzté. E n outre, S L ,(10 est le groupe des comm.utnteur.s de GL,n(K) snuf lo~tsque n 2 et que le c o ~ p sI< est le corps F, r i deux éléments (J. D I E U D O N N[l]). ~ La démonstration se fait en plusieurs étapes: a) Identifiant le groupe GL,(I<) au groupe des matrices inversibles d'ordre 12, on commence par mettre toute matrice A sous forme d'un produit de transvections et d'une dilatation, de la façon suivante. Désignailt par I la matrice unité, par E,, la matrice ayant tous ses élémeilts nuls, sauf celui dans la i-ème ligne et la j-ème colonne, égal à 1 , soit BijoL)= I + LEij (i j), et D(p) = 1 t. ( p - l)En,,; Bij(Â) est la matrice d'une transvection et D(p) la matrice d'une dilatation. On observera que la matrice Bi ,(Â)A se déduit de A en ajoutant à la i-ènîe ligne la j-ème ligne multipliée à gauche par Â; si Pij= Bi j(- 1)Bi,(- 1)B,,(l), Pij A s'obtient en remplaçant dans A la i-ème ligne par la j-ème et la j-ème par la i-ènîe changée de signe. A l'aide de ces remarques, il est alors facile de mettre toute matrice A inversible sous la forme 11 =. B - D(,LL), où B est une matrice de SLn(K)produit d'un certain nombre de matrices Bij(Â) (la décomposition n'étant naturellement pas unique; cf. L. E. DICI<SON [l]). Remarquons en passant que le nombre minimum de termes nécessaires dans une décomposition d'une transformation arbitraire de SL,(K) en produit de transvections est n si la transfornlation n'est pas [19]). une homothétie, 13 -1- 1 dans le cas contraire (,J. DIEUDONNI? b) On montre ensuite que le groupe SL,(K) contient en tous cas le groupe des commutateurs de GL,(K), autrement dit que GL,/SL,,, est abélien. Comme il est aisé de voir que D(p) . B est de la forme B' - D(p) pour toute matrice B produit d'un certain nombre de B, j(Â) (avec B' E SL,), il résulte de a) que tout revient à prouver que D (Ap Â-lp-l) E SL,, (IO. Or, on a D(ApÂ-lp-l) = D(Â) (D( p Âp-]))-l; il suffit donc de démontrer que deux dilatations de même classe (chap. 1, 3 2) sont conjuguées dans SLn(K). Cela résulte aisément des deux remarques suivantes :
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S 1 . Ccii tre ct groupc des corniiiritateurs - .
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dc GL,, ( I o . .
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I o Ctant donnés dcus vecteurs a,11 distincts de O dans E , il esistc toujours une transvection, ou un procluit tle deux trailsvcctions, qui transforme n cn b; 2" ktant donnés deus hyperplans Hl, Ii, ct [in vecteur a non coiltcnu clans Hl iîi clans H,, il existe toujours u i ~ ctransvcctioii laissant invariant (1 et transformaiît LI, en H,. c) Dciis transvections quelconques soilt toujoiirs conjuguées clans GL,,(I<); tout lionîon~orplîismcO de GL,,(K) sur uri groupc ;~l>élicntransforme donc toutes les transvections en lc même éléiiîeiît o. hlais coiîîmc Hl,(Â)B12(~c) = B,,(Â -1- p ) , on a o3 = o, donc o cst l'idcntite, pourvu (lu'il existe clans I\' deux éléments noii nuls Â, , ~ c tcls que 4- ,LA =+ O: ceci est toujours le cas sauf lorsquc IC = F,. Si I\' = F, et I L > 2, toutcs les transvections ayant même hyperplaii H fornicnt (avec l'identité) iin groupe T H ) isomorphe à I (chap. 1, S 2) donc ayant plus clc 2 éléments, et on en conclut encore, en considérant I'iinage par O du produit de deux transvections de l'(Ii) distinctes cle l'identité, (-1uc o2 = o. Le cas où 12 = 2 et K = F, cst esceptioniîel; on a alors GL,(F,) = SL,(F,) (car il n'y a pas dc dilatation distincte dc l'identité) ct ce groupe, isomorplie au groupe symétriclue G,, est résoliiblc, donc distinct de son groupe des commutateurs. Toute transformation zt E SL, peut être rcprbscntée conilme l~rocliiit de [1z/2] + 1 conlmutateurs au plus ( J .D I E U D O N[19]) N ~ sauf dans Ic cas exceptionnel IZ = 2, I< = F,; lorsquc Ii' est cornmutatif, cela est un cas particulier d'un théorème général sur les groupes de LIE algébriclucs (C. CHEVALLEY 121, p. 122), et le noinbre [ I Z / ~-1- ] 1 pcut Ctrc rkcliiit cri tenant compte des propriétés des valcurs proprcs dc 14 (K. H O I:1, 21, H. To\..~al;\ [1 1). Désignons par C le groupe des comiiî~itateurs du groupe multiplicatif IC*; alors, pour tout 12 2 2, le grou;he quobie.11.t GL,,(I<)/SL,(IC) rst isonzolfphe nu groz.~;heabélien I<*/C (,J. D I E U U O N X [Il). ~ Le théorènîc est immédiat lorsque K est commutatif, en utilisant la représentation cle GL,n(IC)sur K* fournie par l'existence du détermiiîant. On procède clc même dans le cas général eiî définissant, pour toute matrice in\~ersil>le A d'ordre 12, un élémeiît det (A) du groz,~;heI<*/C, appelé encore détermi~zalztde A , et tel que l'applicatioiî X + det (X) soit une rcl~résentatioil de GL,(I<) sur I<*, de noyau SL,,,(I<); Ie théorème énoncé plus haiit cn résulte. Pour définir det(A), on procède par récurrence sur .M. Soit g, l'application canonique de I<* sur K*/C; si A = (aij) et si a,, O, on pose det (A) = q((- l),+l ail) det (A,,) en désignant par A,, la matrice obtenue cn supprimant dans A la première coloiîne et la i-&me lignc. On prouve par récurrence sur IZ que cette définition est indépeiîclante de l'indice i choisi (tel que a,, =+ O), que la valeur de det ( A ) ne clîaiîgc pas lorsclu'on remplace A par B i ,(],)A, et enfin que det (A) est multiplié par y(p) lorsqu'on remplace -4 par la matrice obtenue en multipliant
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condition 5 4- 7 + O, on obtient 57 + 1 7 5 E %; on cil déduit aisémcnt que le corps Z(5, TI) engendré par 5 et 17 a un rang au plus égal à 4 sur %; Z étant fini, ce corps le serait aussi, donc serait commutatif. Cela entraîne que K serait coinmiitatif, cas qui a été exclu. c) On a donc prouvé qu'il existe une transvectioiî B,,(p,) E G (avec p, + O). On recommence sur cette matrice les opérations faites plus haut sur U; on peut alors prendre 7 = 5-l et choisir 5 et ,u de sorte que gPe'-l - p = 5"p$EZpo - p soit égal à 1. Considérons en effet le corps commutatif Z(p,); s'il est infini, on peut prendre 5 c Z(p,) de sorte que t4+ 1, et il suffit alors de prendrc p = (t4- 1)-l. Si Z(p,) est fini, son centralisateur dans K ne peut l'être (sans quoi I< serait commutatif), on prend ( dans ce centralisateur tel que t 4f 1, puis de nouveau p = (t4- l)-l. d ) Ayant montré que B,,(l) c G, moiitroiîs enfin que B,,(il) C G pour tout il E IC*. Pour cela, on recommence sur B,,(l) les opérations faites sur U. Soit N le centralisateur de Z(Â) dans I<, dont le centre contient donc Z(1). On voit aussitôt que N est infini et on en déduit comme dans Ir>) qu'ail ne peut avoir 5" 1 pour tout 5 c hl*; prenant 5 N* tel que f 4 f 1, il suffit alors de prendre p = IL(t" 11-1, élément qui permute avec ilet 5. e) Il reste à examiner le cas où, dans la matrice U,on a /3 = 0. Si y
+=
O, on remplace U par P,,UP;i
=
(OS -y)
qui appartient h G.
O, on a nécessairement ~ (8 )a= 1 puisque U est dans SL, ; * ; on est ramené au cas a) sauf si = on a ~ l , ( pUBÏ~(P) ) 8p 8 = o ~ ppour tout p c K ; mais cela iinpliqiierait a = 8 et cr = Z*, ce qui est contraire à l'hypothèse que G n'est pas contenu dans le centre de SL,(K). La démonstration est donc achevée pour K distinct de F,, F3 et F,. . B2) Si I<= F,, on voit comme dans e) qu'on peut supposer que . En prenant 5 =
=
y
=
i-
(
I
@)
(O-' rl"
\
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4-
tout Q + O dans K, on peut prendre q2 = - 1, et U, est alors une matrice -B,,(p) avec p + 0 ; U:= B12(2p) est telle que 2 p 4 0, et les puissances de B,,(2 p) sont alors toutes les matrices B,,(A), jl E K. Si au contraire 8 = O, la matrice B,(p) B,(A) UB52(4 UBZ;(p) appartient à G quels que soient A et p , et est égale à
en prenant ,921.p= 1 , le premier terme diagonal de cette matrice est nul, le second, égal à - (2 + jl2@2), donc à - 1 ou -3. On est ainsi
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$ 3 . Générateiirs e t
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ceiitrc di1 groupe uiiitaire.
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ramcné au prcmier cas examiné, et on voit cllie PSL,(FJ) est siinplr (cf. chap. IV, 8). B3) Rcstc à esaiiiiner les cas exceptioiincls F, ct F,. En giii-i(.ral le groupe GL,L(F,)a un ordre kgal à (4'" 1)(q1" q) . . . (q" - q11--l); il suffit dc remarquer que ce nonibre est 4gal ni1 iiombrc de toutes Ics bases de l'espace vectoriel Fi. Le groupe GL,,ISL,, isomorphe à F,*, a q - 1 éléments, donc l'ordre de SL,,(F,) cst 1) - q) , . . (qn - q ~ t - ? ) .
s
Le centre de SL,(F,,), isomorplic au sous-groupc de FR formé dcs racines .PC-èmesde l'unité, est un groiipe cyclicliic d'ordre d, plus graiid commun diviseur de q - 1 et de 72; l'ordre de PSL,(F,) est par suite (9'"
1)(qn - q) , . . (qn - y?"--) qv'-l,!d
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En ~articulier,PSL,(F,) est un groupe d'ordre G ct PSL,(F,) i l i l groupe d'ordre 12, tous deux résolubles (cf. chap. IV, 8). A ces dcus exceptions près, les groupes PSL,,(F,) formeiît une suite (dbpendant de deus paramètres 72, q, où q est puissance d'un noii~ùrepremicr) de groupes fiiris sivzples (cf. L. E.DICILSON[l], p. 309-310). 011notera enfin que les raisoniîeniei~tsfaits dans ce paragraphe prouvent aussi que tout sous-groupe distingué de GL,(Ii), 11011 coiîtcnii dans le centre Zn, cowtient le groiipe unimodulaire SL,,(I<) saur lorsqiic I-'SL,&(#)n'est pas simple. $ 3 . Générateurs et centre d u groupe unitaire. Dans ce qui suit, lorsqu'il est qucstion de groupes unitaires U,JK, f ) , les groupes syniplectiques et orthogonaux (ccs derniers sur un corps Z< de caractéristique f2) sont compris comme cas particuliers, sauf mciltion expresse du contraire. On supposc toujours que 71 2 2, et que la forme f est tracique lorsque I<est de caractéristique 2. Si le groupe unitaire U,(I<, J ) n'est pas un groupe symplectique (autrement dit, si f n'est pas une forme alternée), il est c7zge7zdré par les quasi-symétl-ies (chap. 1, 12), à l'excefition du groupe U,(F4) (J. DIEUDONNI? [lG]); l'idée de la démoi-istratioi~consiste à procéder par réclirrence sur 7%; pour u € U, et x vecteur non isotrope de E, l'un au moins des deux vecteurs u(x) - x, u(x) + x (lorsque K n'est pas de caractéristique 2) est non isotrope, et il y a une quasi-symétrie d'hyperplan orthogonal à ce vecteur et transformant x en u(x) ou en - u(x); dans le second cas, une seconde quasi-symétrie transforme - u(x) en u(x); il y a donc toujours un produit s de quasi-symétries tel que s-lu laisse invariant x, et peut donc être considéré comme transformation unitaire dans l'hyperplan orthogonal à x, d'où la conclusion. L'étude du cas où I< est de caractéristique 2 est plus délicate. On peut d'ailleurs
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montrer que toute transformation d'un groupe ortliogonal O,(Ir',/) est produit de ,n symétries au plus (E. CARTAN[Z], J. DIEUDONNI? [4], P. SCHERIC [ I l ) ; toute transformation d'un groupe unitaire quelconque N~ U,,(IC) est produit de n 4-1 quasi-symétries au plus (J.D I E U D O N[19]), le groupe U,(F,) étant bien entendu excepté, et le maxiinuni 7z j-1 ponvant être atteint. L'antiautomorpliisme J de IC laisse évidemment invariant (globalement) le groupe des commutateurs C de IC*, et donne donc, par passage au quotient, un automorphisme involutif (qiie nous noterons encore .7) du groupe quotient IC*/C. Du résultat précédent, on conclut aisément que pour un groupe unitaire non orthogonal, le déterminant ($ 1) de toute transformation du groupe est de la forme avec y E K*/C. Pour les groupes orthogonaux, on voit de même que le déterminant de toute transformation orthogoriale est & 1 (cf. 5 13). Toute transformation du centralisateur dans rLn(IC) d'un groupe unitaire U,(K, f ) permute avec toute quasi-symétrie, et laisse donc invariant tout hyperplan non isotrope; elle permute aussi avec toute transvection unitaire (lorsque de telles transvections existent) et laisse donc invariante toute droite isotrope. Cela démontre déjà que le centralisateur de U,(I<, j ) est le groupe des homothéties H,, lorsque Un n'est pas un groupe orthogonal ; le centre de Un,est donc U , nZ, groupe des homothéties centrales x + xy telles que y J y = l . Pour un groupe orthogonal O,(IC, f), le centralisateur est encore H , pour n 2 3 ; cela résulte de ce qui précède, et dli lemme suivant : 1) Pour n 2 3, toute droite isotrope dans E est intersectiogz de deux plans non isotropes. En effet, si x est un vecteur isotrope, y un vecteur orthogonal à x et non colinéaire à x , z un vecteur non isotrope et non orthogonal à x, le plan défini par x et z, et le plan défini par x et y + z, répondent à la question. Reste le cas des groupes O,(I<, /); soit (el, e,) une base orthogonale 2) a plus de 3 éléments, il existe de E. Si K (de caractéristique u E K* tel que e, + e, u ne soit pas isotrope; un'élément u du centralisateur de O, dans T L , doit laisser invariante la droite portant le vecteur 3 + e,a, ainsi que les axes de coordonnées, ce qui donne les conditions u(e,) = c,y,, u(e,) = e2y,, et au= ap, où p = ylyil (a étant l'automorphisme de R correspondant à u). Remarquons maintenant qu'il y a au plus deux valeurs de a E K* telles que e, + e,a -soit isotrope. Si IC* a au moins G.éléments, il existe donc deux éléments a , @ de K* tels que el + e,a, el + e,p et e, + e z u p soient non isotropes; écrivant , a ,u2= p , d'où p = 1 et que a" = u p , Bu = fip et fi)^ = ( a p ) ~on au = a sauf peut-être pour 2 éléments de K * ; mais le sous-groupe .des éléments de K * invariants par G est d'indice au moins 2 si a n'est pas l'identité, donc si K a ail moins 7 éléments, a est l'identité et u une.
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. . g 4. Structure d u groupe LI, .. - - . . -- - -
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(IC,
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1).
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homothétie. Lc mêmc résultat est encore valable pour I< = F,, car il n'y a aucun automorphisrne non identique de cc corps. Pour I< = F,, il y a deux cas à distinguer, siiivt~iit qiic /(el, el) = /(e,, e,) ou /(el, el) = -/(e,, e,); dans le premier cas, l'iildicc 1) = O, il n'y a pas de vecteiir isotrope, donc u doit Ctre une Iiomothé,tic. Au contraire, dans Ic second cas, v = 1, les axes de coordonnées sont les seules droites non isotropes de E , et 0,(F3, 1) est un groupe abélien d'ordrc 4 (produit dc 2 groupes cycliques d'ordre 2), qui est son propre cci~tralisateurdans JZ2(F3)= GL,(F,).
§ 4. Structure du groupe U,,(Ii', f ) . (/ forme tracique d'indice 2 1, groupes ortliogonaiis csclus.)
1. Le groupe T,,(I<,j ) . Dans l'étude de la structure des groupes uilitaircs, il est csscntiel de distinguer deux cas, suivant que v 21 ou 11 = O (cf. $ 12). Dans ce #arag~aphe et le suivant, ~zous supposons toujozirs v 2 1. Les groupes orthogonaux étant esclus, il existe donc dans L',(Ir', /) des transvections unitaires. Nous supposerons la formc f antihermitien~ze,cc qui ne restreint pas la généralité (chap. 1, $ 6 ) ; une transvection unitaire est alors de la forme x -> x + a Af(a, x), où a est isotrope e t A est symétrique (chap. 1, $ 12). Nous désignerons par T n ( K ,f ) le sous-groupe distingué de Un(K,f) engend~épar les tvtz~zsvectioizs uizitaires. Pour l'étude de la structure de T,, on utilise les lemmes suivants: 1 ) S i le corps Ii fi'est pas conzmutatif et J =+ 1, I< est engendré par l'enscmble S des élé?ncnts symétriques, sauf lorsque I< est u n cor@ de gz~aternions génhalisés de caractéristique f 2, et qz~cS est identique azr. [13]). Lorsque K est commutatif et J $- 1 , centra 2 de K ( J . DIEUDONNI? S est évidemment un sous-corps de K tel que I< soit une extension quadratique séparable de S. Un plan non isotrope contenant au moins un vecteur isotrope est dit plan hype+boliqzte; il existe alors deux vecteurs isotropes a , b formant une base de ce plan et tels que / ( a , b) = l (chap. 1, § 11). En outre, l'hypothèse que Un n'est pas un groupe orthogonal entraîne qu'il existe toujours au moins trois droites isotropes distinctes dans un plan hyperbolique. 2) Poztr 7%2 3, toute droite non isotrope cst intersection de d e z ~ x+lav~s hyperboliques. E n effet, soit s un vecteur non isotrope, y un vecteur isotrope. z un vecteur non orthogonal à x ni à y et non situé dans le plan P passant par x et y ; un tel vecteur existe, car s'il existe un vecteur 1 orthogonal à x et à y et non situé dans P, il suffit de prendre z dans le plan déterminé par n. et t et non colinéaire à x ni à t ; dans le cas contraire (qui ne peut se produire que pour 9% = 3), si t est un vecteur orthogonal
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à x et non colinéaire à y, on prend encore z dans le plan déterminé par x et t, et non colinéaire à x ni à t. Le plan Q déterminé par y ct z est
alors hyperbolique et contient trois vecteurs isotropes y, y,, y, non deux à deus colinéaires; deux au moins de ces vecteurs sont donc non à x , et définissent avec x deux plans hyperboliques orthogonaux répondant à la question. La propriété 2) est encore valable pour un groupe orthogonal O,(K,f ) (lC de caractéristique 2, v 2 1) sauf lorsque K = F, et 12=3 (J.DIEU DON NI^ [4], p. 30-31). 3) Si a el b sont deux vecteurs isotropes non colinéaij*es,il existe une transformation z~ E T,,, telle que @.(a)el b soient colinéaires. Si /(a, b) 0, EL= (/(a, b))-1 est tel que c a + b,u soit isotrope, et la transvection x -r .z. + c/(c, x) répond à la question. Si /(a, b) = O le plan défini par a et b est totalement isotrope, donc l a 2 3, et il existe un WCteur z tel que /(a, z ) =+ O et f(b, z) =+ O; le plan défini par a ct z est hyperbolique et contient un vecteur isotrope a, non colinéaire à a, et par suite non orthogonal à b. Coinme /(a, a,) O et f(a,, b) O. on est ramené au premier cas. Pour r, = 2, E est un plan hyperbolique; nous prendrons comme base dans ce plan deux vecteurs isotropes el, e, tels que /(el, e-) = 1. Avec une telle base (et les notations du $ 1): 4) Le groufle T,(K, 1) est engendré par les transvections unitaires Bl,(A) et B,,(,u) (où A et parcourent l'ensemble des éléments symétriqz~es de Ii'). Il suffit de remarquer que la conditioil pour que n. = e,a + e,p soit isotrope s'écrit aJp - PJa = O et exprime donc que ab-' est symétrique si p =+ O; la transvection Br,(-aP-l) transforme alors r en un vecteur colinéaire à e,, et par suite toute transvection de vecteur x est transformée par BI,(- ap-l) en une transvection de la forme B,,(A), d'où le lemme. Ces lemmes permettent d'abord de voir que le centre de T, est l'intersection W, = T, nZn de T, avec le centre de GL,(K). Une transformation de Tn permutant avec toute transvection de T,, laisse en effet invariante toute droite isotrope, donc tout plan hyperbolique, et par suite aussi toute droite si 2 3, en raison du lemme 2. Pour ?z = 2, une transformation du centre de T,%doit permuter avec les transvections RI,(].)
-+
+
-
-+
et B,,(p), ce qui signifie que sa matrice est de la forme
(i
(a!,)J)
a l = A(a-l).' pour tout élément symétrique 1 de K. Le lemme 1 montre alors que a est dans le centre de I<,sauf peut-être lorsque Ii' est réflexif, de caractéristique 2 et que l'ensemble S est identique au centre 17 de Ii'. Mais dans ce cas, les matrices B,,(Â) et B,,(,u) ont leurs éléments dam 2 , et il en est de même de toutes les matrices de T,, en vertu du lemme 4 ; en particulier, on doit avoir a E 2,ce qui démontre encore le théorème dans ce cas.
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Striict~ired u groiipc U n (I<, 1). -.
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La structure de î,/T.ti,, cst élilcldCe par les théoi-&nies s~iivants aussi L. I<. H U A[lu]). A) Si ï',/I4', est simple, T,L(R, f)/VT,',,est simple pour 2 3 (pour toute forme tracique / d'iiidice > 1). On notcra que les transvections unitaires ne sont pas en général deux à deux conjugiiées dans T,,; toutefois il résulte du len-ime 3 que si un sous-groupe distingué G dc T,, contient toutes les transvections correspondant à un même vecteur a, il contient toutes les transvections et est donc 6gal à T,. On est donc ramené à démontrer cette propriéti: pour uii sous-groupe distingué quelconque G de Tn non contenu clans TVn. Soit ZL E G, n'appartenant il y a un vecteur isotrope x E E tel que x et w(x) ne soiciit pas à y,; pas colinCaires (sans quoi u serait une homothétie, en raison du leinine 2). Supposons d'abord que /(x, ~ ( x )=) O ; il y a alors un vecteur z orthogonal à zr(.x), mais non à x, et le plan I-' contenant x et z est hyperboliclue et contient un vecteur isotrope y non colinéaire (I x. Le lemme 3 montre qu'il y a une transvection v transformant x en ?!A, e t dont le w vecteur est dans P; donc o(u(x)) = u(x), u, = ~ u - ~ v - ~appartient i G et Z ~ ~ (= X yA. ) On peut donc toujours se ramener au cas où f(x,u(x))=#0. Si alors m est une transvection de vecteur x, urwu-l est une transvection de vecteur ~ ( x )ne, permutant donc pas avec W . Si Q est le plan l-iyper-~ à G et laisse bolique détermink par x et zt(x), u, = ~ U - ~ U Z W Uappartient invariant tout vecteur du sous-espace QO orthogonal au plan Q ; on peut donc considérer u, comme appartenant au groupe U,(Ii', Il), où 1, est la restriction de / à Q ; d'autre part, zr, est produit de deux transvections, donc appartient à T,(I<, 1,) et n'est pas dans le centre de ce groupe, puisqu'elle ne permute pas avec W . L'hypotlièse montre que G contient alors toute transformation de T,(Ii', il),en particulier toute transvection de vecteur x, ce qui démontre le théorème. 6) Si le corps Ii' a plus de 25 élénzents, le groupe T,(K, / ) / W , est si.mpie (pour toute forme tracique / d'indice 2 1). La démonstration suit une marche analogue à la démonstration de la simplicité de PSL,(K) donnée au $ 2 ; il faut naturellement utiliser les conditions pour qu'une
(1.DIEUDONNE [13]; voir
matrice CT =
(y $) soit unitaire, mais d'autre
part les transvections
U,,(A) et B,,(,u) doivent être unitaires, c'est-à-dire que A et p doivent être symétriques; on utilise enfin les leinmes 1 et 4 (J. DIEUDONNÉ [13], p. 371-375). C.) Supposons K commutatif. Si J = 1, tout élément de K est symétrique; en vertu du lemme 4, T,(K, f ) est engendré par les matrices B,,(il) et B,,(p), où ilE K et p E K, donc est le groupe uîzimodulaire SL,(I<). Si J =+ 1, l'ensemble des éléments symétriques est un souscorps K , de X, tel que K soit une extension quadratique séparable de K,; le même raisonnement montre que T,(K, f ) est le gvoufle uninodulaire SL,(K,). De ces remarques et des résultats du $ 2, on déduit
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p p
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TI. Structure des groupes classicliies.
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que, lorsque I< a au plus 25 Cléinents, le groupe T,/I/I/, est simple sauf dans les cas suivants: a ) J = 1, I<= F, et: I<= F,. b) J + 1, K = F, et I<== F,. D'après A), on en conclut que, sauf dans ces q u n h e ca,s, Le g 7 . 0 ~ 9 ~ T,,/Wn est simple p o z ~IZ 2 2. Les cas esceptionnels donncnt les résultats suivants : a) Si J = 1 (groupes symplectiques), T,,(F,)/T/V,, est simple pour I Z = 2772 2 6 ; pour IZ = 4, S,(F,)/Wa a un sous-groupe simple d'indicc 2 (cf. chap. IV, 5 8); T,,(F,)/T/V, est simple pour yz = 21n >= 4 ( L . E. DICI<SON [ I l , p. 94- 100; J. DIEUDONNÉ [4], p. 11-16). b) Si J + 1 (groupes unitaires), Tn(F,)/T/Vn est simple pour IZ 2 4 ; i:,(F,) a une suite de composition T,] T i ] TV3] (11, où 1,/T3 est isomorphe au groupe symétrique 6, et T;/T/I/, est cyclique d'ordre 3 ; l',(F,)/W, est simple pour IZ 2 3 (L. E. DICKSON[ l ] , p. 140- 144). Les raisonnen;cnts précédents montrent en outre que tout sousgroupe distingué de Un(I<,f ) , noii contenu dans le centre, co~zlie~zt le groupe T,(I<, f ) sauf lorsque T,/I/TJn n'est pas simple.
5. Structure du groupe Ul,(IL, f). ( f forme tracique d'indice 1 1 , groupes orthogoiiaux exclus.) II. Le groupe bTrt(K,f)/Tl,(I<,f). 011 ignore la structure du groupe U,(K, f)/Tn(I<,f ) lorsque l'on ne fait aucune hypothèse supplémentaire sur I< ou sur f (en dehors de l'hypotl-ièse v 2 1). Toutefois, de nombreux résultats partiels ont été tion toüte transformation obtenus. Appelons t ~ a ~ z s f o ~ / ~ n a hyperbolique u E Un qui laisse invariants les éléments d'un sous-espace Q0 de dimension n - 2, orthogonal à un plan hyperbolique Q; alors on démontre aisément, à l'aide d u t h . de WITT, le lemnle suivant: 1) T o u t e lransformation unitaire esi p~roduit d e transf o ~ ~ r n a t i o ~ z s hyperboliques (J. DIEUDONNÉ [13], p. 377). Les hypotl-ièses particulières permettant d'aboutir à des conclusions sur U,/T, concerileilt, soit la forme f, soit le corps I<. A) S i l'indice v > 3 ( c e q u i implique IZ 14), Le groupe Tn(K, f ) est Le groupe des c o m m u t a t e z ~ ~de~ s T , ( K ,f), et Le p o u p e quotient Un/Tn est isomorphe à U I Z p o u p e quotient d u groupe abélien K*/C ( C groupe des commutateurs de I<*) (J. DIEUDONNÉ [13], p. 380 ; voir aussi L. K. HUA [10]). La démonstration repose sur le lemme 1) et sur les deux propriétés suivantes, valables pour v 2 2: 2) S i est Le s o u s - g ~ ~ o u pde e U,, j o ~ m é des tra~zsformatio~zs hyperOotiques c o ~ r e s f i o n d a ~2 z t u n m e m e plan hyperboliqzce P, Le groupe quotie~zt r / T n T,) est isomorphe 2 un groupe quotient de I<*/C. 3) S i P, et P, sont d e u x plans hyperboliqz~es, il existe un.e transformation w C T, telle que 7a(P1) = P,.
r
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. ... -. . $ 5. Structure clii groLipc U,,,(I<,1). -. --. .-. .. . . .. - .. - - -.. .
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37 . .
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Tl paraît vraiseinblal~lc cluc ces deus lemincs sont encorc csacts lorsque v 1 et 12 1 3, mais A) iî'a été démoiitr6 alors que pour d'es corps I< particuliers, notamment les corps de quatel-ilions g6néralis~:s de caractéristique + 2 (-7. DIEUDONNI? [17]). -4 plus forte raisoii, on ignore si (poiir v 2 l ) , étant donil6s dciis sous-cspaces T l , T.1' de E tcls que lcs restrictions de / à Tf x I/ et TV x Tli soient équivalentes, il existc iine transforination u € Y;, tellc que u ( V )= TF. B) Supposoiis maintenant que le corps K soit de rang fini 1n3 siiison centre %. O11 montre alors qu'il y a trois cas possihlcs pour l'involution J d u corps I{: 1. J laisse in~rariantstous les déments de %, et la dimension (sur %) dc l'espace S des éléments syinétriques est nz(71z -1- 1)/2. II. J laisse invariants tous les éléincnts de %, et la diincnsioii (siir %) de l'cspace S des éléinents symétriqucs est I I Z ( I I Z - 1)/2. I I I . La restriction de J à Z n'est pas l'autoinorphisme identicliic, les éléments syinétriques de % formant un sous-corps Z0 tel. que % soit cstensicn quadratique séparable de Z0; S est alors un cspace vectoriel de dimension 1?z2 sur LO. On dit que J est de prenziè~.e espèce dans les cas T et I I , de s e c o ~ ~ d e espèce dans le cas I I I (on est évideminent dans cc dernier cas si J 1 et si K est corninutatif) ; on notera que si J est du typc 1 ct si c*' = -- x, l'involution ( + ~ [ ~ ' c c - l est du type I I . 1) Cela étant, si LJilzvoLzctio7a J est de t y p e 1, olz n Cl,,(/<, 1)= ï',?,(l<, (J. D T E U D O N[13], N ~ p. 379); ceci s'applique cn pal-ticiilicr ail cas des groupes synzPlectiq~.~es(J= I ) , et oil voit aiilsi quc le groupe projectif PSp,,(I<), quotient de Splz(/<) par son centrc (réduit ici h un ou deus éléments, suivant que I< est ou non de caractéristiqiie 2) cst sinzple, sauf pour K = F,, l z = 2 et I7 = F,, I Z = 2 ou I Z 4 ( L . E. DICI~SON [Il). En outre, toute Ira7asfo1~11zatio~z sy?~zplectique est ulz $roduit de t ~ ~ n ~ z s vections s~inzpLecliq~~es; on pcut même inontrer clu'ui~etelle translorinatioii est produit de 7z + 1 transvections syn-iplectiques au plus, le maximuin pouvant être atteint ( J . DIEUDONNÉ [19]). Si l'involution J est de type 1, toute transformatioil de Un a un déterminant (5 1) égal à 1, d'après ce qui précède; il en est de inêmc d'ailleurs si l'in\rolution est de type I I , car dans les deux cas on montre aisément que l'automorphisme de I<*/C obtenu par passage au quotient à partir de J est l'identité. C'est d'ailleurs là le seul résultat général connu lorsque J est de type I I ; comme iîous l'avons signalé plus liaut, on n'a de résultats plus précis (pour v = 1) que si I( est un corps de quaternions généralisés; on sait alors que T, est le groupe des commutateurs de U, poiir la 2 3, mais par contre il n'en est pas aiilsi pour IZ = 2 (cf. chap. IV, $8).
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La structure de U,,/T,, n'est guère mieus coi~riueIorsque J est dc type I I I ; on sait seulement alors qu'il y a toujours des transforinations
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II. Structtire des groiipes classiques. -- - -----
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4) L e groupe des com~nz~taleursQn est engeqzdué par les Produits s(wszct-') de dezlx symétries conjuguées; il est aussi engendvé par les [l], p. 218, J. DIEUDONNÉ[4], carrés des élévzents de On (L. E . DICKSON p. 23). Pour démontrer que tout commutateur uvu-lv-1 est produit de transforniations s(wsw-') où s est une symhtrie, on procède par récurrence sur le nombre des symétries dont v est un produit ( $ 3 ) ; on utilise la même méthode pour montrer que tout carré vZ appartient à On conclut de là que tout élément + 1 d u groupe O,/Rn est d'ordre 2 ; la structure de ce groupe abélien est donc entièrement déterminée quand on connaît le nombre cardinal (fini et de la forme 2", ou infini) de l'ensen~blede ses éléments. 5 ) Pour .iz 1 3 , le groupe Qn est aussi le grou.@ des commu1ateu.r~ dzt groupe O z . Il suffit d'utiliser la propriété 1 ) ; en raisonnant comme dans 4), on voit que le groupe des commutateurs de On est engendré par les carrés des éléments de 0:. D'autre part, en raisonnant comme dans la première partie de 4), on voit que SZ, est engendré par les de deux symétries arbitraires s, t ; Q, est commutateurs sts-'t-l= donc contenu dans le groupe des commutateurs de O:, et il le contient évidemment. Pour n 2 , on a encore RnCO,+, mais 0: est abélien comme on l'a vu. Pour n 2 3, on a donc dans On(I<, f ) une suite de composition
an.
-
Si n est impair, on a vu que 0: nZ,, se réduit à l'identité, donc il en est de même de 9, n2,.Dans tous les cas, pour n 2 3 le groupe& nZn est le centre de Q,. En effet, une transformation semi-linéaire u qui permute avec tous les éléments de Q,, permute en particulier avec les carrés v2 des transformations v laissant invariants tous les éléments d'un sous-espace non isotrope Q de dimension n - 2, e t qu'on peut par suite identifier aux transformations orthogonales dans le plan Q0 orthogonal à Q. Sauf si K = F, et si Q0 est un plan hyperbolique, il existe de telles transforn~ationsu telles que v2 ne soit pas l'identité; u doit donc laisser invariants tous les sous-espaces non isotropes de dimension l z - 2, donc toutes les droites non isotropes, et on voit comme dans 3 ) que u est une homothétie. Si K = F,, u laisse invariant 5; les plans elliptiques (dans lesquels la restriction de f ( x , x ) est par rapport à une base orthogonale); or, pour n > 4, toute droite non isotrope est intersection de deux plans elliptiques, d'où la conclusion dans ce cas; enfin, pour n = 3, il y a une base de E telle que les trois plans de coordonnées soient elliptiques, et ce sont les seuls; u ne peut donc que laisser invariant ou changer le signe de chaciin des vecteurs de la base considérée, et on constate aisément que seule l'identité, parmi ces transformations, permute avec les transformations de Q,.
+
On dCsignc par I'Oi(Ii, f), P D , ( K , f ) lcs iinagcs caiioiiiqucs de O;t(Ii, /), Q,(K, 1) dans PGL,,(I<), isoinorl)lics à O;/(O,+ nZn) ct Clfl/(f2, n Zr!)respcctivcinent. Dans les paragraphes qui suivcnt, nous alloris csposer Ics résultats connus sur les groupes quotients clc la suite dc conlposition cl'iin groupc orthogonal décrite ci-dessus.
§ 7. L'algèbre de CL~FFORD d'une forme quadratique (IC cle caractéristiqiic +2.) Nous désignons comme précédemment par f ( r , y ) une foi-inc n sur I i . bilinéaire symétrique non clégénérbc sur I'espacc E clc dimci~sio~l Considérons, dans l'algèbre tensorielle T ( E ) sur B, l'idéal bilatérc a engendré par les élémeilts de la forme x @ y 4-y @ x - 2 / ( x , y ) ; on appelle algèbve de CLIFFO~ZD de la forme / I'algèbrc quotient C ( / )= î ( E ) / a (W.K . CLIFFORD[l , 21, R. LIPSCHIT~ [II). Soit (a,)l sis, une basc orthogonale de E , et désignons par ei la classe dc ai niodiilo a dans l'algèbre C ( f ) ; pour toute partie H de l'ensemble des eiiticrs 1, 2, . . . , n , posoris e,, = e,,eix. . . ci,, où (i,)lsn;5p est lasiiite des éléments de If rangés par ordre croissant (eH = 1 si FI est vide). On démontre (C. CI.~EVALLEY [l]) que les eTf forment une base dc 2n Eléments de C ( f ) sur K , avec la table de multiplication CA e ~ = y..~,nC A C U (2) où A A B est l'additioil dans l'anneau booléien des parties de l'ensemble des entiers 1, 2, . . . , 7% (autrement dit, la fonction caractéristique de A A B est la soinme des fonctions caractéristiques de A et de 8 , prisc mod. 2), B ) est le «nombre d'inversions)) dans la suite obtenue en et @(A, juxtaposant A et B, autrement dit
@ ( A j), désignant le nombre d'éléments de A qui sont > j. En particulier, on a Ciej = - Ciei pour j i et e: = /(a,, a,) pour tout indice i. L'ensemble L, des combinaisons linéaires des e,, correspondant aux parties H ayant a u $LUS p éléments (O 5 fi 5 n) est un sous-espace vectoriel de C ( f ) , indépendant de la base (a,) choisie. E n particulier, l'espace vectoriel E peut être identifié au sous-espace des éléments de C ( f ) qui sont conibinaisons linéaires des e,; on identifie alors ai à ei. Pour tout couple d'éléments x, y de E, on a donc, dans C ( f j ,
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et en particulier
= /(x, X)
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L'algèbre dc CLIPFORD CI'UIIC
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Iormç q ~ ~ a c l r a t i c ] ~ ~ ~ . .-. ..
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(6)
il
avec e,, on voit que y,, = O pour toutes les parties A contenant u n nonibrc impair d'indices i, d'où le résultat. Les combinaisons linéaires des c, correspoildant ails parties H ayant un nombre pair d'éléments, forment une sous-algèbre C+(f) dc C(/), de rang 2n-1 sur K, indépenclarite de la base (a,), engcndrée par les produits e,e, (i < j ) et par l'élément unit&. Les combinaisons linéaires des e,, correspondant aux parties H ayant un nombre inzfiair d'éléments forment un sous-espace vectoriel C-(1) de C(/), sul~plémeiitairc de C+(/) et indépendant de la base (a,). On dit pour abréger que les éléments de C+(f)sont de degîfé pair, ceux de C-(1) de degré i~npnir. 2) Le ce.izlre de C+(/) se réduit c i Ii s i n est impair, el est égal h Ii + Kc,e,. . . en si n est pair. Avec les notations précédentes, si on écrit que z E C+(/) permute avec e,e,, on voit que y, = O pour les partics 4 telles que j E A et i 4 A , d'où le résultat. Pour une étude algébrique approfondie de l'algèbre de CLIFFOIID, et d e ses relations avec la ((représeiltation spinorielle)) d u groupe ortliogonal. O,,(K, /), nous renvoyons aux ouvrages de C. CHEVALLEY[Il et de 11. EICHLER [ 2 ] . L a méthode élémentaire que nous allons suivre, en ce qui concerne l'utilisation de C(/) pour l'étude de la structure de O,n(Ii,/), ne nécessite pas ces résultats; nous suivons essentiellement [2]. l'exposé de M. EICHLER 3 ) Pour toute transformation ortlzogonale u E On(Zi, /), i l existe u n élémelzt inz'ersible su E C(/) ayant les Propriétés suivantes : a ) si zt est une rotation, s,, est de degré pair et on a
+
21(x) = suxs;' pour tout w E E ; b ) s i zr. est un retournement, su est de degré impair et on a
(7)
fioul. tout w E E. E n outre, tout élément t E C(/) tel que t xt-' = u(x) pour tout x E E lvusque u est une rotation (resp. txtkl = - u(x) pour tout x C E lorsque il est u n retournement) et qui appartient à CC(/) (resp. à C-(1)) est pro$ortionnel à su. E n effet, supposons d'abord que u soit la symétrie par rapport à un hyperplan orthogonal à un vecteur non isotrope a E. Alors ,,(x)= x - 2!!?fLa= fia. a,)
- ( a %+ x a ) a - 2 ~ = -axa-l
(9)
50
- .
cn vcrtude (5) ct (6). Si rc. = I - , Z I , . . . v,,, oii v,.cst 1asymCiiie p i - rapport i I'liyl~crplanorthogorial à un vectcur noii isolrope a i , on a donc
. . a,,)-'
u ( x ) = (- 1)''(ala2 . . . a,,) s(n,n, .
11 est é ~ ~ i d e rque i t les ei e t l'éléme~itunité er~gendreiztC(/). 1) Le centl,e de C(/) se rédztit à If s i n est fiair, et est égal à ZC -1- l<e, e, . . . e,, s i IL est inzpair. E n effet, si on écrit qu'un élémeiit z = C y,, eIi perniutc
-
cl'où (7) et (8)avec s,, = n,a, . . . a,. Eii outre, s l t satisfait rius conditions dc I'éno~icC, si't est clans Ci (1) et coinniutc avec tout éléincnt dc B , donc cst à la fois dans Ic ccntrc de C(/) ct clniis ccliii de C+(/),cbt par suite dans K en vertu de 1) et 2). 4) Kéciproqu,enze7zt, portr tout élé71zent L I Z P ~ C I ~ .Y~ i~ ~C(/) ~ C tel que s E . s - ~= E, la fraizsfon~zatio~z x + sxs-' de E est rlrie tran.s/on~zatio~~ du groupe On(Ii, 1); en ozttre, s i s C+(/), cette tralzsfo~nzatioizest idne rtotation. La premièrc assertion rCsultc aussitôt de (5). D'aiitrc part, si poiir s E C+(/), la transformation x - t v(x) = sxs-' iitait un retournement, il existerait un élément inversible t E C(f), dc degré impair, tel qiie v(x) = -txt-l, en vertu de 3). L'élément r = t--'s scrait donc tel que rxr-l = - x pour tout .Y E E. Si on pose s = y+,,e;, et qu'on hcrit
2
L;
,,e.y-1 = - e.,, pour 1 5 i 5 n, on voit quc y-, = O lorsr~iicA conticlit un nombre pair d'indices Ci;on ne peut donc a\:oir qiie r = y e, e, . . . e7,, c t seulement lorsque n est pair; mais alors s = tu scrait de dcgrC impair, coiitrairement à l'liypothèse. Remarquons maintenant que, dans l'algkbre tcrisorielle T ( E ) , l'application linéaire J telle que (x,@ x, g . - - @ x,)"= x , @ x,,@. . . @ x, cst un antiautomorphisme, qui laisse évidemment invariant l'idéal a ; par passagc au quotient, il donne donc un nr~tinuto~nor~lzisnze i~rvolz,ti/ (noté encore J) de lJnlgèb~,ede CLJFFORD C(/), tel qiie pour x, E E , 1 IS n ; il est clair que J laisse invariants (globaleme~~t) Ct(/) et C-(/). Soit maintenant ZL une rotation qiielcoiique, produit de 2fi syiniitries par rapport à des hyperplans orthogonaux aux vecteurs non isotropes a,, . . . , a,,; on a alors la formule (7), avec s,, = a,a, . . . a,,. 011a donc su s i = a, a, . . . a,, a,, . . . a, al = /(a,,%) /(a,, a?) . . . /(a,,, a,,) =+ O, en vertu de (6); lorsque su est remplacé par As,, avec 1, C- I<*, le scalaire s u s i est n~ultipliépar X2;il résulte de 3) que sa clnsse nzoditlo le grou.pe IC*, des carrés des éléments d e I i * est un élément O(zt) qui ne dkpend que dc u. E n outre, pour deux rotations u, v, il résulte d e 3) que su, et sus,. ne diffèrent que par un facteur scalaire, d'où
E n d'autres termes, 8 est une refirésentation. du groupe 0; sur le sous-groupe du groztpc K*/K*" engendré par les classes des éLéme~zlsde ln /orme / ( x , x)/(y, y) (x, 31 vecteurs non isotropes arbitraires de E).
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II. Structure des groupes classiclues. -. -
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On dit que O ( ~ L )est la .~zornzespi7zo~iellede ZI (M. EICHLER [SI). Le noyazr Q,(K, f ) ; c'est O:,(If, f ) = 0-'(1) contient Le g~.oz~pedes com?nz~tatezc~~s évident si 7% 2 3, puisqu'alors Q, est groupe des coinmutateurs de O:; mais c'est encore exact pour 7% = 2, car si S, S' sont deux symétries conjuguées, par rapport aux hyperplans orthogonaux à deux vecteurs a, a' tels que /(a, a) = f (a', a') + O, on a O(ssf) (/(a, a)),.
-
p .
- --
-
- ...
-- - ...-
.-
.
-
-
(Oal)
forrilée de dcus vecteurs isotropcs e,, e, tels que /(el, c,)
55 ---- ---
= 1,
une
; il est iriiinédiat qu'elle est le produit
de deux symétries. l'une par rapport 5 la droite orthogonale à e, - e,, l'autre par rapport à la droite ortllogonale à ae, - e,. Or, /(el - e,, e, - e,) = - 2, f(ael - e,, mel - e,) = - 2 a , d'où O(s) = 2 (classe de a E I<* dans le groulx I<*/I<*2). Le tl-iéorènie en résulte aussitôt, car si O(s) = 1, a = p2, et s est le carr6 de la rotation
$ 8. Structure du groupe 0,,(Ii7f ) . (K de caractéristique +2, f d'indice v 2 1, 12 2 2.) et de 52,, n Z,,.
Rappelons (S 5) qu'une transformation orthogonale z~ (resp. une rotation 21) est hyperbolique si elle laisse invariants les vecteurs d'un sous-espace de dimension n - 2 ortliogonal à un plan hyperbolique. orthogonale u est pi~oduitde tra~zs1) S i v 2 1, toute t~~~nsformation fornzations hyperboliques. Il suffit de le démontrer pour une symétrie s par rapport à un hyperplan (non isotrope) H (S 3) ; or, si a + O est un vecteur orthogonal à II, il existe un vecteur isotrope b non orthogonal à a (chap. 1, 5 11, 2)) : le plan P déterminé par a et b est un plan hyperbolique, et s laisse invariants les vecteurs de P o ; s est donc une transformation hyperbolique. 2) Soit P u.n plan hyperboliqzce. Toute t~~a~zsformatio~z (resp. rotation) hyperbolique u peut s'écrire u = S V , où s est une transformatio~z (resp. ~otatio~z) hype~boliquede plan P , et v E GR. C'est immédiat si u est une transformation hyperbolique de plan I", car il y a t €0, tel que t(P) = P', en vertu du th. de WITT,donc on a u = t st-l= s(s-l t st-1). Si zc est un produit de p transformations hyperboliques, on raisonne par récurrence sur p. Enfin, si u est une rotation, comme il eil est de même de v, s est une rotation. [Il, Pour une autre démonstration de 2), voir C. CHEVALI>EY p. 53-55. 3) S i P et P' s07zt deux plans hype~*boliques,il existe une kfa]zsformation v E Q,(I<, f ) telle que v ( P ) = P'. La proposition est évidente pour 12 = 2; si 7% > 2, il existe zc c O,, tel que u ( P ) = P', en vertu du th. de WITT; on a alors, d'après 2), ZL = sv, où v E Q, et s est une transformation hyperbolique de plan P'; comme s(P1)= P', on :i. v ( P ) = P'. Ces résultats permettent de démontrer le théorème suivant (M.EICHLER [2]): S i ,v.Z 1 et 72 2 2, la norme spinorielle O est un.e ~~eprése~ztatio~z de 0 :i sur Le gjsoupe I<*/K*" dont Le noyau est Le groupe des comrnz~tateu~~s Q*(K,f). En effet, d'après 2), on a O(su) = O(s),puisque ,S, est dans le noyau de O ; on est donc ramené au cas n = 2, v = 1. Par rapport à une basc
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-
rotation s a pour matrice
-
1. Structure de 0:/$2,
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9. Striict~ircd u groupe O,(K, f ) (I
- .----- ---.
(0 ,O4
donc (S 6) appartient à 0,. De ce théorème on déduit aussitôt les corollaires suivants: a) S i 72 2 2 et v 2 1, O;;(I<, f)/Q,,,(IC,/) est iso?norPhe à IC*/I<*2. b) S i 7'1 )= 2 et 2 1 pour que la symétrz'e x -t - x appa~.tie?z~ze d QT1(K,f ) , il faut et il suffit que n soit pair et que le discrimina7zt de f soit 2~7% carré dans IC. En effet, la symétrie x - x est produit de 7% symétries par rapport aux hyperplans de coordonnées pour une base orthogonale de f ; la valeur de la norme spinorielle de cette transformation est donc la classe mod. I<*, du discriminant de f par rapport à cette base. On notera d'ailleurs que la condition que le discriminant de / soit un carré est toujours nécessai~feet suffisa?ztepour que x -t - x appartienne à On (mêine si v = 0). J
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$ 9. Structure du groupe 0,,(Ii7f). (I<de caractéristique +2, f d'indice v 2 1, 7z 2 3.) II. Structure du groupe 52,,/(Q,, n Zn)= ~Q,,(fc,f ) . La structure particulière des algèbres de CLIFFORD pour 71. = 3 et donne des renseignements importants sur la structure des groupes ortl~ogonauxcorrespondants (cf. aussi chap. IV, S 8), et nous commençons par l'étude de ces deux cas, qui sera faite sans restrictio~zSUT L'indice v (qui peut donc prendre la valeur O). A) 7% = 3. Soit (eJl s i une base orthogonale de E. La sous-algèbre C+(f)est alors de rang 4 ; elle a une base formée de l'élément 1 et des trois éléments i l = e 2 e 3 , i2=e5e1, i3=ele2 (12) 7% = 4
avec la table de multiplication . . z,z,
,
= - z,z,
iS = p, , i i = pz ,
.
2;'
pour Irz =
-BlB,
+ h) j
(13)
où 011 a posé a, = f (e,, e,), pl = - or, a,, /?,= - a, a,. Ci (f) est donc une algèbre de quaternions gL?zéralisés sur le corps K , correspondant aux éléments pl, P, de K. Les résultats du 5 7 se précisent de la façon suivante : 1) Pour toute rotation u E 03, su est un quaternion inversible, et réci$roquome~zt,tout quaternion i~tversibleest de la forme s,,.
56 . --
--.- -
-
-
-
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.-.
La première partie a été vue au $ 7 . Pour démontrer la réciprocluc, on peut procéder comme suit (M. E I C H L E R[ S I ) : 011 dit qu'un quater~iioii z est pur s'il ne contient pas de coniposante scalaire ;l'antiautoinorpliisme J de ,CC(/) ($7) est l'uiîique antiautomorphisme de cette algébre laissant invariants les éléments de IC, et les quaternions purs peuvent êtrc définis encore comme ceux pour lesquels zJ = - z . Soit d'autre part j = ie,e,; E étant toujours considéré comme plongé dans C ( / ) , l'application x --+ x j est un ison~orphismed'espace vectoriel de B sur l'espace des quaternions purs. Mais on voit aussitôt (en raison du fait que N ( t ) = t t J = t J t I< pour tout quaternion t ) que pour tout quaternion pur z , tzt-l est encore un quaternion pur, quel que soit le quaternion inversible t ; comme, pour tout x t E, t x t - l = t(xj)t-'j-', on a txl-' E, ce qui prouve la proposition (cf. $ 7 , 4)). Ce résultat entraîne aussitôt comme corollaire : 2 ) Le p o u p e O i ( K , f ) est isomorphe a u groupe C+*/K*, ou C+* désigne Le groupe des quaternioms inversibles dans C + ( / ) ;le groupe Oh(I1, f ) est isomorphe a u quotient dzt groupe des quaternions t de norlne Ar(t) = 1 , par Le groupe {- 1, 1). On sait que la condition pour qu'un quaternion z soit inversible est que sa norme N ( z ) = z$ ne soit pas nulle; on constate aussitôt que sur l'espace des quaternions purs, la forme bilinéaire x yJ + 31 xTest équivalente à la fornie / et que, si N ( z )= O pour un quaternion z O, il existe LIII quaternion pur z' O tel que N (2')= O. Donc, si v= O, C f (/) est un corps. Si au contraire v = 1, il existe des diviseurs de O dans C C,.. ( / ) qui , est alors nécessairement isomorphe à l'algèbre K(,) des matrices d'ordre 2 sur K. Le groupe C+* est donc isomorphe à G L , ( K ) , et par suite ( $ 2 ) : 3) S i v = 1, le groupe 0 t ( K , 1) est isowzorphe azt gYozLpe p~oiectif P G L , ( K ) , et son groupe des commutateurs Q,(K, /) à P S L 2 ( K ) ;le groupe Q 3 ( K , f) est donc simple si K 'f F,. B ) n = 4. Le centre T de C+(/) est alors somme directe de K et (e,), lés, étant une base orthogonale de E; en outre, on a de Ke,e,e,e,, (qe,e,e,)2 = A, A désignant le discriminant de / par rapport à la base (e,) ; suivant que A est ou non un carré dans K, T est somme directe de deux corps isomorphes à K , ou une extension quadratique de K . On notera que, d'après le th. de W I T T , on est toujours dans le premier cas pour v = 2, et toujours dans le second pour v = 1 ; pour v = O, l'un ou l'autre cas peuvent se présenter. De toute façon, les éléments i, définis par (12) engendrent une sous-algèbre L de C + ( f ) qui est une algèbre de quaternions généralisés sur .K; en outre, C C ( / ) peut être identifiée au produit tensoriel T a L (sur IC), car T n L = K , et tout élément de T est permutable avcc tout Clément de L ; si = ele,e,e4, on a
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+
+
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,
1; 1
4
----.. .--. 5 9. Structure d u groupc O,,,(I<,f ) ( K clc caracthristiquc 2). ~... --. . . . - -. .. . .. - ..
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II. Structure des groupes classic~ues. .-
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Pour Coiit 6li.iiicnL 1 = A, -i- Ali, -1- A,i, i- A:,f:, CL(/), n v c c A,, ( 7', * . on a 1" = A, - À , i , - A,Z, - %,i,,car J laisse invariants les ~16iiiciits 1-AiB,,?, apii:u-de 1.; oii en clédilit que N ( t ) = t1" = 1,; - ASp, tient à T. 4 ) Pour qu',un élément i~i.uersibLe t E 1'@ L soit de In /onnç s,,, 01.; 7 r E O z , il faut et il s u f f i t que N(L) aPpartie?zne à I'\ (M.E r c ~ r . ~121). n La coidition est en effet nkcessaire (ÿ 7 ); iii\~erserne~it, si Al(/) c Ii, pour tout x I$ E . y = t xt-' = t xtJ/lV(t) est coii-ibiiiaison linéaire d'di.ments de degré impair de C ( / ) , niais comme y"= y, il 11e pcut contcniid'éléments de degré 3, donc appariiciit à E , cc qui démontre le criter? ($ 7 # 4 ) ) . Ce qui précède iliontre que Le g7,onpe O;(I\', /) est iso~norplzeau qzrotie~r/ par {- 1 , 1) d u grsoupe des quaternioî~st E 1'8 L de norme N ( t ) = 1. Disti~iguoi-ismaintcnant les deux cas envisagés ci-dessus: B I ) A n'est pas u n carré d a m I i . Si on désigne par /,(x, y) la rcstriction de f ( x , y) à l'l-iyperplan H orthogonal à e,, il résulte de 2) cluc' Le gro.u$e O ; ( I i , /) est isonzorphe a71 grou$e O&(I<(llz),1,). Si l'indice de / est égal à 1 , on peut supposer quc /, est aussi d'indicc 1, doiic, d'après 3) : 5 ) S i 11 = 1, Le groupe R , ( I i , f ) est simple et isofizorplze a u grozrpr P S L , ( K ( l ! Z ) ) (on notera que si Ii' est fini, I < ( v ) a au moins 9 éléments). El1 effet, s'il J. Si = O, la forme /, est aussi d'indice O sur Ii'(]/d). avait deus vecteurs x, y11011nuls dans H tels que f(x + x 4- ~lzy) - 0, on en déduirait que s et y sont ortliogonaux et que f ( x , x) = - A / ( > ] , y). Mais en vertu de la définition de A , cela entraînerait qu'il existe un vecteur isotrope (pour f ) dans le plan orthogonal x et y, contrairerncnt à l'hypothése. B I 1 ) d eslulzcnw,éw2dansI<. Soientcl= 1!2(1 + w-'j),cU= 1/2(1 - ( o - I j ) , c' et c" sont deux idempotents ortliogonaux dans C C ( / ) ,qui est somnie directe des deux algèbres de quaternions Lc' et Lc" isomorplies à L (de centres Iic', Icc"). Tout élément inversible de C+(/) peut s'écrirc t = ac' -: b-'c", où a et Z, sont dans L , et la condition que N ( t ) c IC équivaut à N ( a ) N ( b )= 1. E n particulier, pour que N ( t ) = 1 , il faut et il suffit que N ( a ) = N ( b ) = 1 ; si on remarque que 0; n Z 4 est ici un groupe à 2 éléments ($ 7 ) . on voit que 0;/0;n Z 4 ) est isomorphe a u groztpc produit Oa(IC, x O$(I<, Eii particulier: 6 ) S i v = 2, Le p o u p e R4/(Q4 n 2,)est isomor$he a u groupe prodfdrt P S L , ( K ) x PSL,(I<) (dont les facteurs sont simples si X i + F3). On peut préciser ces résultats de la façon suivante: pour tout x E, .on a xi = -y%, donc c' x = xc", c" x = xc' ; comme t-1 = a-lc' + bc". on a t x k l = ( a xb) c' (b-' xa-l) cf' = ( a x b )c' + ( a ~ b ) ~ c(en " rais011 de la relation AT(n)N(b)= 1 ) . D'autre part, on peut supposer pour simplifier clue /(e,, e,) = 1 (en multipliant / par une constante) ; tout
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II. Structure des groupcs classiques.
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x E E peut s'écrire d'une seule manière x = e,a + jnz, oii a I<, 7 , = e,e,e, et z est un quaternion pur de L ; associons à r le quaternion x = a + z , et cherchons le quaternion associé à txt-l; tenant compte de ce que e, commute et j,~.anticommute avec les éléments de L, ct de la relation A-li,,j = -e4, on constate que le quaternion associé à txt-l est a x b . Identifiant E à L au moyen de l'application linéaire x - t X, on voit donc que toute rotation de Oz pezd s'écrire y + a y b , ou a el b sont deux quaternions tels que N ( a ) N ( b )= 1, et réciproquement. C ) n 2 5 . On a le théorème fondamei-ital suivant (L. E . DICIZSON [l, 2, 31, J. DIEUDONNE [4]): S i 12 2 5 et Y 2 1, le groupe Q J ( 9 , A Z,,) est simple. La démonstration donnée dans J . DIEUDONNÉ [4]utilise les propriétés spéciales des groupes orthogonaux à 3, 4, 5 et 6 variables ( c f . chap. IV, §8); celle de M . EICHLER[2] comporte de nombreux calculs de matrices dont l'interprétation géométrique n'est pas simple; nous allons esqiiisser une troisième démonstration n'utilisant que la structure du groupe O,(I<, f ) pour K =I= F3, et celle de 0 4 ( K ,/) pour K = F, et n 2 6. 1. I< $ F,. Soit G u n sous-groupe distingué de Cl,, non contenu dans le centre; pour prouver que G = QqZ,on procède en deux étapes: 1a) S i G contient le carré (distinct de l'identité) d'une rotation hypevbolip~e,G = 9,. Soient s, s' deux symétries conjuguées, par rapport à cles hyperplans orthogonaux à deux vecteurs non isotropes a, n' tels que /(a, a) = f(at, a ' ) ; il suffit de prouver que ss' G (S 6,4)). Soit P le plan (non totalement isotrope) déterminé par a et a'; il y a un sousespace non isotrope V de dimension 3, co~ztenantP et contenant au moins .un vecteur isotvofie. E n e f f e t , si P est u n plan isotrope, bI< l'unique droite isotrope de P, c E E u n vecteur isotrope et non orthogonal A b, CI< P = V ne peut être isotrope, car u n vecteur isotrope a E V orthoCI< (qui gonal à TT ne peut être colinéaire à b, ni dans le plan bK iserait totalement isotrope, contrairement à l'hypothèse); le plan rK + CI< serait alors totalement isotrope et rencontrerait P suivant une droite isotrope distincte de bK, ce qui est absurde. Si P e s t hyperbolique, V = cK + P répond à la question pour tout vecteur non isotrope c orthogonal à P. Si P ne contient aucun vecteur isotrope, et si c E E est isotrope et non orthogonal à P, cK + P = V ne peut être isotrope, car un vecteur isotrope x E V orthogonal à TT ne peut être colinéaire à c, donc CI<+ al< serait u n plan totalement isotrope, qui rencontrerait P suivant une droite isotrope, contrairement à l'hypothèse. Cela étant, les éléments du sous-espace V nsont invariants par w = ss', donc ZL peut être considéré comine appartenant à Q,(I<, f,), oii f , est la restriction de f à V x V . Soit alors v une rotation hyperbolique de plan Q , telle que v2 (- G et v2 1;il existe dans V u n plan hyperbolique Q', et il existe w € 52, tel que w(Q) = Q' (5 5,3)); la trai-isformation
+
+
5 9. .
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- -- .. .- -..- - - - --.. . . .. Structure ciil groupe O,([<. /) (I<de catact6risticlue $. 2). 59 -~ ---.... .. .. - - ~ -- ". .- .---- - - .. ~~
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~-~
( z w v z ~ ~appartient -')~ à SS,, ct est lc carrC cl'iinc rotation IiyperI)oliqiic dc plan Q ' ; d'autre part, W V ~ Z O E- ~C par hypotlièse. D'api-ès 3), le sous-groupe distingué de GJ,(f<,1,) ei-igendrb par la restriction dc ïov%u-' à Tf est identique à QS(K,f,), donc C contient u,. I l i ) G contient le carré (disti~zct[le 1'iden.tilé) d'une rotatio~z I~yperbolzquc. On établit successivement les points suivants: cu.) G coi-itient une transformation laissant invariant un vectcur a 4 0. En e f f e t , soit u E G, u 6 Z,,; il existe au moins u n plan hyperbolique R te1 que x ( R ) R, sans quoi u laisserait invariante toute droite d c E ( f j 3 , I ) )et serait donc iine hoinothétic. Soit v une rotation hyperbolique à G et n'est dc plan P telle que vZ 1 ; alors n, = UV%-'v-"appartient pas une l-iomothétie; elle laisse évidemment invariants les points dc qui est (en raison de l'hypothèse 1% 2 5) de dimension 2 1 . Rn /.i (zL(R))O, Supposons désormais que u E G ne soit pas l'identité et soit telle que u ( a ) = a, pour un a + 0. if?) Supposons d'abord a isotrope. Soit b un vecteur tcl que /(a, b) $; 0, ,!une base orthogonale d u sous-espace orthogonal ail plan hyperl~oliqiieal< + b K ; les vecteurs e, = a, e, = b et e, = b -t ci pour i 2 3 forment une base de E , et le plan Pi= e,I< -4- e,K (i 2 2) cst liyperbolique. Il est impossible que u laisse (globalement) invariant chacui~ des P L , car une transformation orthogonale d'iin pIan hyperbolique laissant invariant un vecteur isotrope est l'identité. Il y a donc un plan hyperbolique P contenant a tel que u ( P ) P. Supposons d'abord que V = P + zt(P) soit un sous-espace non isotrope; si v est une rotation hyperbolique de plan P telle que v2 1, w = v-%v%t-l appartient à G et laisse invariants les éléments dc TT0; on peut considérer 20 comme appartenant à Q,(I<, f,), où est la restriction de f à V x V ; comme 7ei n'est pas l'identité, la simplicité de Q,(K, /,) entraîne que G contient le carré d'une rotation hyperbolique de plan coritenu dans V . Si au contraire V est isotrope, on ne peut en tout cas avoir V n C If, commc on le voit aisément, du fait que V contient des plans hyperboliques; définissant w comme ci-dessus, on voit que w laisse invariants des vecteurs non isotropes de TT0, et on est ramené aux cas siiivants. y ) Supposons en second lieu a non isotrope, mais que tout plan I-' contenant a et un vecteur isotrope b soit invariant par u ; si P est isotrope, zh laisse invariant bI<, sinon il laisse invariant Of< ou l'échange avec l'autre droite isotrope de P. De toutes façons, u2 laisse invariantes toutes les droites isotropes de E , donc est une homothétie ( f j 2, l ) ) , et comme rt2(a)= n, on a u L 1, 51 est une involution. Soient V et W = V n les sous-espaces positif et négatif de $6 (chap. 1, fj I I ) ; W est au moins de dimension 2 (21 étant une rotation). II esistc dans E un vecteur isotrope c n'appartenant ni à V ni a ct tel quesi c = c' c", où c' E V,cl' C W, ni c' ni c" ne soient isotropes (si d'ailleurs l'un d'eux est isotrope, l'autre l'est aussi, parce que c est iovtw-~ -
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. -. -.-- . -$ 9. 1c. groupe O,(Ii. f ) ( I i
II. Structure des groupes classiques.
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isotrope). Cela est évident si l'un des sous-espaces V , W IIC contient aucun vccteur isotrope. Si a u contraire TV, par eseinplc, contient dcs vecteurs isotropes, on considère un vecteur non isotropc z E V , e t on applique la remarque précédente au sous-espace non isotropc zl< I M/ de E. Le vecteur isotropc c étant supposé avoir les propriétb pr6cédcntes, soit alors P C TV un plan non isotrope contenant c". Il existc iiii vecteur d E P tel que d ne soit ni colinéaire à c", ni orthogonal à c", ni ortl-iogoiiaI à c (car tout plan contient au moins 4 droites distinctcs. ct ni c ni c" ne sont orthogonaux à P ) . Le plan Q = cK + dl< est alors hyperbolique; montroi-is que le sous-espace R = Q + zr(Q), de dimcnsioi-i 3, est non isotrope. Sinon, il existerait un vecteur z $= O dans R, orthogonal à R ; comme u(R) = R, u(z) serait aussi orthogonal k R, donc il cn scrait de même d e y = z u(z). On ne peut avoir y = 0, sans quoi on aurait z E V , donc z E c'K, ce qui est absurde, car cf n'est pas isotropc. On aurait donc y E W n R = P et y serait orthogonal à P, ce qui est encore coiitraire à l'hypothèse. La fin d u raisonnenicnt est alors la même que dans 8). 6) Supposons a non isotrope, et qii'il existe un plun hyperbolique P contenant n e t tel que u ( P ) P. Alors si 17 = P + zr(P) est un sousespace non isotrope, le raisonnement se termine comme précédemi-i-ient. Sinon, dans l'hyperplan non isotrope H orthogonal à a , il existc dcs droites isotropes, et on est ramené au cas snivant. E ) Supposons que dans l'hyperplan H orthogonal à a il existe dcs droites isotropes. L a rotation zt laisse (globalement) invariant H, si elle laisse invariantes toutes les droites isotropes de H, elle est ui-ic homothétie dans H, et par suite est la syinétrie x + - x dans H puisque u 1; on est alors ramené au cas traité dans y). Sinon, il existe un vecteur isotrope b orthogonal à a et tel que le plan isotrope P contenant a et b ne soit pas invariant par .LI.. Soit c E P un vecteur non isotropc non colinéaire à a et tel que /(a, a) = /(c, c), et soient sa, s, les symétries par rapport aux hyperplans ortl-iogonaux à a et c respectivement. et si c' = u(c), v' = 1.tvzt-l= sascf, s,, étant la O n a v = sasc E symétrie par rapport à l'hyperplan ortl-iogonal & c'. Alors w = v'-'v = ~ v - l z l - ~ v= s,,sc appartient à G et n'est pas l'identité; en outre, il existe un sous-espace non isotrope 1' de dimension 3, contenant c, c' et un vecteur isotrope (voir I a ) ) ; comme rci laisse invariants les éléments d e VO,on peut encore raisonner comme ci-dessus. et le théor6me est complètement démontré pour Ii F,. II. IC = F,, 7% 2 6. Rappelons qu'un plail PC E est dit elLiplique s'il admet une base orthonormale (e,, cg) (f (el, el) = /(e2, e2) = 1); les deux autres droites e , K , e,K d e P sont alors orthogonales e t telles que !(es, e,) = f(e,, e,) = - 1 . Tout vecteur non isotrope est contenu dails a u moins un plan elliptique. On dit qu'une transformation orthogonale -
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I
~
e l ! t + l ~ q ~si~ crllc I;~isçc invariniits Ics 6li:mcnts clc 1'01-tliogonal In' d'un plan cllipt~c~uc. Ori inontrc d'abord coininc au i;. 8, l ) , que O,,(F:,,/) cst e~~geildri $ni Ics 17~airs/oi~ntalio~is cllipliql~es, cl'oii oii concltit clc 121 mtmc iliaiii&re (lue deux plails ellipliqucs flczcveirl ÊLre Lrnr~s/ormé.s~'.i.orr de Q,,, Idil clCinoi-istration clc la duits I'azrtre +ar LIILC ti~t.~~s/o~n~atioli siinpliciti. de O,,/(l2,, n%,) suit alors la mêinc triarclie que dans 1 , cn reinplaçant lcs rotations hyperboliques (dont ici lc carre cst toiijoiii-s I'idciitit6) par Ics rotations cllipticliics, ct iitilisarit In siiiililicit? dc C14/(.f2d n Z 4 ) pour i* = 1 (au licu dc faire iiitcrve~ii~lc groupe fj:,,q i ~ i Ir'= F:,). Ile façon prCcise, on utilisc d':~liorcl n'cst pliis siinplc ~~oriiIc fait cluc tout sous-espacc I/ clc dimcnsioii 3 coiiticiit lou.jo~rr?,sd(:s droites isoti-opcs, cil outre, si ;1 co~iticiit lin plan clliptiquc, 1; cst contenu clans un sous-cspacc ITf clc din-icnsioii 4, clans Iccliicl 121 i-csti-ic.lion dc / cst d'indicc 1: en cffet, si tout d'abord Iiil'cst pas isotropc, ct si 1' cst un plan hyperbolique dans V, n iiii vccteiir clc 1' 01-tliogonal ' à P , il suffit dc prcndrc dans V u iin vectciir b tcl (liic / ( O , h) = /(a,a), ct dc considbrer le sous-espacc TT' = 1,' 1 hl<. Si 1' cst isotrol~cct contient un plan cllipticlue Q , il y a daiis If uii vcctcur isotropc r ortliogonal à Q ; commc dans Qo, x csi: contenii dans un plan tiy[>erbolic, ou 11ie11 il y a un plan elliptique P contciiant n ct tcl cltic n ( P ) =b I', ou I~icnLI' = 1. Dans le premier cas, on procèdc coninic clans 1b), 8 ) cn appliquant à T T = P -1- 71(P) la remarquc faite ci-dcssiis; dans Ic ct second, si 1' et TT' sont les sous-espaces positil ct ni.gatif dc u, C.V sont dc diinensi011 2 2, et on peut siipposcr que Ir cst dc cliiiicnsion 2 3 (en rcrnplaçant au besoin ZL par - u). Soit b un vecteur non isotropc dans U', c" un \:ecteur de W non isotropc ct 01-tliogonal i O ; si !(c", c") = / ( b , b), c = c' + c", où c' V cst isotropc, cst tcl (lue I' /(c, c) = / ( b , b), donc le plan P = bli' 4- cl< est elliptique, on a 1.4(1') e t u ( P ) f P est dc dimension 3, on peut donc achevcr le 1-aisonncincnt de la maniere habituelle. Si au contraire /(c", c") = - / ( b , b), on prend c c' + c", où c' t V est tel que /(cl, cf) = - / ( b , b), ct on achbvr Ic raisonnement de la même façon. Si a est isotrope, il n'est pas possible que la restriction cle u à l'l-iypcrplan H orthogonal a a soit l'identité; donc, ou bien il existe 1111 plan isotrope P, non totalement isotrope, contenant a et tel que u ( P ) I), ou bien on a z t ( P ) = P pour tous ces plans, mais la restriction de z~ l'un d'eus n'est pas l'identité. Dans le premier cas, soient b, c deux vecteurs non isotropes et non colinéaires dans P; on a /(b, h) = /(c, c) ; soit v = s,s, Rn,produit des symétries par rapport aux hypcrplans ortliogonaux à b et c. L a transformation ru = v-luvu-1 appartient à G, est 1, et si on pose V = P + u ( P ) ,ïo laisse invariants les éléments cle Irn.
CS(
+
-
+
+
--
--
62
.
II. Structure des groupes classiques. --
-
-.
Commc on ne pourrait avoir TfnCTf que si n = 5, il y a au moins 1111 vecteur non isotrope invariant par 78, et on est ramené aux cas antérieurs. Supposoi~sau contraire que u(P) = P pour tout plan isotropc et non totalement isotrope P contenant a ; si est un sous-espacc nori isotrope supplémentaire de a K dans H, on peut supposer qu'il cxistc au moins un plan elliptique Q C V non invariant par z ~ sans ; quoi 011 verrait aisément que u serait une involution, cas déjà traité. L'hypothèse entraîne alors que Q n u(Q) est de dimension 1 ; comme Q + u(Q) est un espace de dimension 3, on peut achever le raisonnement commc précédemment. III. I< = F,, n = 5 . On utilise alors le fait que PQ,(F,) est isomorphe au groupe simple PSp,(F,) (chap. IV, $ 5 ) . La démonstration du théorème précédent établit en outre que tout sous-groupe distingué de OR(I<,f ) (n 2 5 , v 2 1) non contenzt dans Zn contielzt le groupe des conzmutateurs Q,,(K, f). Notons enfin que le nombre d'éléments du groupe des royations O,:(F,> f) est (pn-l - 1) q y q n p 3 - 1) gn-4. . . (q" 1) q pour n impair (tous les groupes orthogonaux à n variables sur F , sont alors isomorphes), et, pour n = 2m pair où
E =1
si (- l)mA est un carré dans F,,
E =-1
dans le cas contraire,
A étant le discriminant de f (L. E. DICI<SON[l], p. 160). Comme l'indice de f est toujours 2 1 pour n 2 3, et que le groupe K*/K*2 est d'ordre 2 pour un corps fini, on voit que Qn(F,, f ) est d'indice 2 dans O,t(K, f) ( $ 8 ) ,et que, pour n pair, Q n n Z n est d'ordre 2 ou 1 suivant que le disçrimi ant A est ou non un carré dans F,.
.$
5 10. Le groupe O,(rc,
Q). ( K corqs de caractéristique 2, Q forme non défective.) Rappelons que n = 2m doit être pair, et que le groupe O,(K, Q) est un sous-groupe du groupe s~rmplectiqueSp,(K) correspondant à la forme bilinéaire f associée à la forme quadratique Q (chap. 1, $ 16). Le centralisateur de O,(K, Q) dans I'Ln(K) s'obtient en raisonnant comme au $ 3 (les transvections orthogonales remplaçant les symétries, et les vecteurs singuliers les vecteurs isotropes). On voit ainsi que ce centralisateur est le groupe des homothéties Hm, sauf dans les deux cas suivants: l0 n = 2, K = F,, v = 1, où le centralisateur comprend en outre la transformation semi-linéaire échangeant deux vecteurs singuliers e,, e, tels que f(e,, e,) = 1; Znn = 2, K = F Z , v = 1 , le groupe O,(K, Q) étant alors un groupe d'ordre 2, qui est son propre centralisateur. Sauf dans ce dernier cas, le centre de O,(K, Q) est donc réduit à l'unité.
-
~
- -- ---
g 10. Le groupe O,,(I<, Q) (Ji de caracLdristjquc + 2 ) . -
A
--- -- -
-
-
--
-.
-
--
_
. -
G 3: .
On associe encore à la forme non défective Q son algi.bre de Cr.ii;ilo~~i> C(Q) (C. AIZF [ I l , C. CHEV:\I-LEY [ l ] ) ; c'cst le quotient dc l'algèbre tensorielle T ( E ) par l'idéal bilatère a, engendré par les éléments de la fonne n . 8 -~ Q(x) (idéal qui contient celui engendré par les 'G@ y 4- y @x - f(x, y)). L'algèbre C(Q) est encore une algèbre sur Ii, de rang ZZnz;E peut être identifié au sous-espace des élémerits de degrd 1 de C(Q), et on a alors, pour tout couple d'élén~ci~ts x , y dc E r y + y % = / ( % y, ) , (14) r" Q(x) . (15) E n particulier, si (ei)lSis2,1Lest une base sympleclique de E (pour la forme /) , telle que /(e,, ej) = f (e,,,+ ,, en,,j) = O et f (e,, c,, ,-;) = 6 , pour l$iSrn, 151(m,ona
l
+ i = Q(e,, + i ) , 8%= Q(ei) , (16) e.e. z = e.e.~r entsietn+i=em+jer,,+ i , I eie,,,, 4 e,,.jei= di, C pour 1 5 i 5 nt, 1 j 5 m. Le centre de C(Q) est rEduit A K. Les combinaisons linéaires des eu (définis comme au § 7) correspondant aux parties Ii ayant un nombre pair d'éléments (éléments de degré $ail( de C(Q)) forment une sous-algebre C+(Q) de C(Q), de rang 22"-l sur K , engendrée par les produits eiej (1 5 i Sq I 2 m ) et l'unité. Le centre T de C+(Q) est une algèbre de rang 2 sur K. ayant pour base 1 et l'élément
vérifiant l'équation où
011
<" T
=
A(Q)
,
(18)
Q(e,) Q(e,,,,) .
(1'4
a posé A(Q)= Q(e,) Q(e,+,)
+ . - . -1-
On dit que A(Q) est le pseudo-discriminant de Q relativement à la R Soit u une base symplectique (eJ1 sis-,,,t(C. ARF [l], M. I ~ N E S E[2]). transformation symplectique, et posons rn
na
+j 2 =l
~ ( e i= ) j =,Zi a i j
bjj e,,1 + j
Si on pose Q,(x) = Q(u(x)),et si on désigne par A(Ql) le pseudodiscriminant de Q, par rapport à Ia même base (ci), on a
A ( Q J = A (Q) + b(D(u)) où on a posé
$(l)= 6 + 12,et où, D(u) =,Z(oc,aiicij 2.3
(20)
en écrivant Q(e,) = cci, Q(e,,+J = pi,
+
bijclij f bij cij)
(21)
-54
.
-
II. StrucCurc des groupes classiq~ics.
.
- _ - --__
- -
_-
. .
.
_ __
___
est l'invariant de Drcrcsol\i de zt (L. E. Drcr<sox Li], p. 206, J . DIEUD O N N E [20]). POLI^ une transformation orthogo~~ale ZL,011 a donc D(uj = O ou D ( u ) = 1; en outre l'application u + D(zt) est unc représentation de O,,(I<, Q) clans Ic groupe additif IC. Les transformations orthogonales u telles que D(zc) = O lorment do~icun sous-groupe d'indice 2 de O,(Ir', Q), qu'on appelle encore groupe des rotations et qu'on désigne par OL(I<, Q). Pour une transvection orthogonale t , on a toiijours D ( t ) = 1. 1) Toute transformatio~zde O,(K, Q) est u n $î,oduit de tra?zsz'ectio7zs ortlzogo~zales,sazrf lorsque IC = P,, = 4 et v = 2 ( J . D I E U D O N N É [4] ; autre démonstration dans C. CHEVALLEI- Cl], p. 20-21). 011 peut même montrer que, sauf dans le cas singulier précédcnt, toute transformation orthogonale est produit de n transvections orthogonales au [Ig]). Lorsqu'oii n'est pas dans ce cas singulier, plus (J. DIEUDONNE les rotations sont donc les transformations orthogonales qui sont produits d'un nombre pair de transvectioris orthogonales. Les remarques Eaitcs au $ 6 quant à la possibilité dc transformer par une rotation Lin. sousespace I/ de E en un autre W (tel que les restrictions de Q à V et TV soient équivalentes) subsistent en remplaçant ((totalement isotrope)) par «singulier)) (inême dans le cas singulier signalé ci-dessus). 2) Pour n 2 4 , le centre dzr groupe OX(I<,f ) est réduit d L'identité: la démonstration procède exactement comme clans le S 6, en remarquant que pour tout plan non isotrope P il existe une rotation (produit de deux transvections ortliogonales dont les vecteurs sont dans P) dont le sous-espace des vecteurs invariants est Po. 3) L e groupe Oi(I<, Q ) est commutatif. On distingue encore deux cas suivaiit l'indice v de Q: a) si 11 = 1, en rapportant E à une basc formée de deux vecteurs singuliers, on constate que les matrices de 0: sont les matrices
(ô
,.O,)
, où
1, c IC*, donc O;(I<, Q) est isomorphe à IC* ;
7, = O, on peut rapporter E à une base syinplectiq~ie telle que Q ( x )= [;+ tit2i- cl(;, le polynbme X2 + X + OL étant irréductible
b) si
sur IC. Soit 1-11 = I<(w) l'extension quadratique séparable obtenue en adjoignant à I
+
c=
_ _.._
__
- . .-~. 5 10. 1.xgroupc O,,(Ii. (Ii d c caract6ristiquc 2). . . . . - . __ .. - - ~ __ . - - --- . _ .-.
a)
ô5
-
-
cellc du fi G,4), satif pour le cas sii~gulierI<= F2, .ri. = 4, = 2, q u i cleiîîancle i i i î exarnci-i spCcial (J. D I I : U » O N N J(-43, ~ p. 4 5 ) . Dans toutc la suite de ce nous caclzroi~s,sauf nic~itioncsprcssc. du coi~traire,le cas singulier If = F,, 71. = 4 , r = 2. 5) Pozi.q* 7% 2 4, le groupe Q,, est az~ssile grolipe des conz~~zuLntccrr.s drt groufie des rntotiolrs On. La déinonstratiori doiinéc au 6,s) ne s'ktcrid pas ici, mais on peut démontrer directement 1;i proposition cn étal)lissiint quc pour deus transvections orthogonales cliielcoiiclues s , 1, sls-'t-' appartient au groupe des comi~~utatcurs dc O: (C. C~inv~\r.i.r<ï ( 1 J, p. 54-55). Le centre de Q,, est réduit à l'identite (et donc cgal à Q,, ri Z,,) I>oiir n 2 4. La démonstration est tout à lait analoguc à cellc donnkc au 5 6 pour les corps de caractéristique +2. 11 faut eiicorc ici traitcr séparément le cas 1C = F,, en considéraiit lcs plans clliftiques, c'est-à-dirc -1- 5, -1- it; P"rral'l)~rt ceux dans lesquelles la restriction de Q ( x ) est à une base symplectique; on remarque ensuite que toutc clroitc 11o1-i singulière est l'interçectioii de deux plans elliptiques (le cas singiilicr I< = F2, 1% = 4 , v = 2 ayant été esclu). G) Pour tozcte transfor~natio~zorthogor~nle rL t O,,(Ir', Q ) , il ezLslc* ~ r i i élément inversible s, C ( Q ) , déterminé à un facteur scalaire près, el tel qz~czc(r)= s,,xsU1 $our tout z E . Pour que zr soit 7oze rotati@~z.,il f n r ~ l et il szcffit que s, soit de degré paiî. Aéci$roque~ael~t,pour to~,/,téldincnl inversible s c C(Q) tel que SES-]= E , la transformalima x + sxs-' de E est une l~~aizsfonnatio~z &as groupe O,(I-l, Q). La démonstration se fait comn-ic dans le $ 7,3) et il),cri rcmplnçant les symétries par les traiisvections orthogonales. On définit ensuite pour toute rotation zr. O la nov7nc spi7i.orzcLlc~ O(u) I C * / K * ~ o m m eau ', 7 ; l'image cle 0,; par cctte rcpr6scritatiori est le sous-groupe de Ii*/Z<*" engendré par les classcs des procluits Q(n)Q(y), et son noyau O;,(If, Q) = 0-'(1) contient le groupc des coinmutateurs Q,(K, Q). On notera quc O,,',= 0.:; lorsque lc corps I< est $nr/al:t (et en particulier lorsque IC est linij. Appelons plun hyperbolique tout plan non isotrope contenant uiie droite singulière (et par suite contenai-it exactemcnt deux telles droitcs) ; Irans/ovnzatio~z hyperboliqz~e (resp. rotation i~y$e~,Doliqz~e) toute transformation orthogonale (resp. rotation) laissaiit ii~variailtsles 6lémcnts d'un sous-espace Q orthogonal à un plan hyperbolique. orth.ogoircllr 7 ) Soit P u n filan Izy~erDoliqzcc. Toute translo~~malio~z (resp. toute rotation) peut s'écrire u = S V , O& s est une Lra?bs/ornzalzo~~ (resp. rotation) hyflerbolique de pplaiz P, et v é Q,. S i P' est u72 s e ~ o ~ d plan Iz~~perlioliquc, il existe une tra~zsjonnationzü E Q , telle que rei(P)= P'. On raisonne (pour les transformations ortl-iogonales) comme dans le S 8,2), en remarquant qu'une transvection orthogonale est une traisformation hyperbolique; en outre, si u est une rotation et ze = s u , 5 Ergebn. d. Mathem. N.F. A. 5 , DieiidonnB. ,II
s,
z2
--
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-
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--- ---
.
II. Structure clcs groupcs classicjucs.
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-
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-
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+
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- -- . ... - -
..- -- -..~ -
-
-
-
- --
.
JZ). .--(fid e caractdi-istiquc 2 ) . -- - - -. - -
$ 10. I L groopc O,(Ii',
~
où u Qn et s est une transformation llyperbolique de plan P , s cst nécessairement une rotation hyperbolique. La seconde partie de la proposition se démontre comme dans le $ 8 , 3 ) . 8) Si n 2 2 et v 2 1 (le cas si~zgulier I<= F,, ?z = 4 , v = 2 étanl toujours exclu), la norme spi~zorielleest u n e repvésentatio?~de 0: sur le groupe I<*[Ir'*2, dont le ~ z o y a zest ~ le groupe des commz~tateursQ;, le gro.ti.pe quotient O;i[Qn est donc isomorphe à I<*/I<*,. La démonstration se fait comme dans le 5 S. La structure de l'algèbre de CLIPEORDpour qz = 4 permet encorc d'étudier les groupes 04(1<, Q). Soit (ci),s i r une base symplectiqiie telle que f(el, e,) = f(e,, e,) = 1 , f(e,, ei) = 0 pour tout autre couple d'indices, et posons Q(el) = a , Q(e,) = j3, Q(e3)= y , Q(e,) = 6. Le centre T de C+(Q) est somme directe de I<et de IC[, où [ = ele, -t c,c,, et on a (2 4- [ = A, A = u y + 8 6 étant le pseudo-discriminant de Q ; suivant que A est ou non de la forme 6 ( Q ) pour p K , T est somme directe de deux corps isomorphes à K, ou une extension quadratique séparable de K. D'après le th. de WITT, on est toujours dans le premier cas pour Y = 2 (cas où on peut supposer a = = y = 6 = O) et toujours dans le second pour v = 1 (cas où on peut supposer B = 8 = O , a y n'étant ; ou l'autre cas peuvent se présenter pour v = 0. pas de la forme , $ ( Q ) )l'uil L'involution J de C ( Q ) étant définie comme au $ 7 , on a encore le critère suivant, qui se démontre comme dans le cas de caractéristique + 2 ( 5 9!4)) : 9) P o u r qu'un élément invevsible t de C+(Q) soit de la fmnze s, avcc u E O:, i l faut et i l suffit que N ( t ) = tt.' appartienne à K. Il en résulte que le groupe O;(K, Q ) est isomorphe a u grou$e des éléments inversibles de C f ( Q ) , de norme N ( t ) = 1. Distinguons plusieurs cas : 1. Y = 2. Alors C + ( Q ) est somme directe de deux algèbres simples dont les centres (1 + [ ) K et [ I - sont isomorplles à K ; la première a la seconde les pour base les éléments 1 [, ele,, e3e4 et j = e,e,e,e,, On voit facileéléments e,e4, e,e,, e,e,C = j + ele3 e t e,e4[ = j + e,e,. ment que chacune de ces deux algèbres est isomorphe à l'algèbre des matrices d'ordre 2 sur K , et que si on l'identifie avec cette algèbre, la norme N ( t ) se réduit au déterminant. On en conclut que: 10) S i Y = 2 , K =+ Et, le groupe Q,(K, Q ) est isonzorphe a u produit SL,(K) x SL,(I<) (dont chacun des facteurs est simple ($ 2)). A ce cas se rattache le cas exceptionnel exclu plus haut (K = F,, v = 2 ) . On constate que O: est alors isomorphe au groupe des éléments de C + ( Q ) de norme N ( t ) = 1 , e t par suite au produit SL,(F,) x SL,(F,), dont les facteurs sont ici des groupes résolubles d'ordre 6. Le groupe Q,, engendrC par les produits de transvections (en nombre pair) (J.DIEUDONNÉ[4], p. 45) est ici un sous-groupe d'indice 2 de O,', et le groupe
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-
- --.- - -.. -----.- ---
.. . --- --
-
-
67
- - - ..
des con~miitatcursde Oj' est uii sous-groupc d'indice 2 dc Sj,, qui cst abélien, produit de dcux groupcs cycliques cl'ordrc 3. II. v = l , Le centre T de C+(Q) est ici une cstension cluadraticluc. séparable de K ; on constatc qiic lcs é1Crnciits 1 , e,e,, e:,e, et i = e,e,c,e, forment unc l~aseclc C i ( Q ) sur T , ct on vérifie sans peinc quc cctte algèbrc est isomorphe l'algbbrc dcs inatriccs d'orcli-c 2 sur T , et cluc, si on l'identifie avcc cctle der~iière,N ( t ) se réduit encore ail determinant. Donc: I l ) S i v = 1 , le groztjbc Q,(I<, Q ) est isom~rfllzearr groupe SL,(T), et est donc siwzple ( T ayant au moins 4 CICincnts) (S 2 ) . III. v = O. Comme signalé plus Iinut, cc cas SC partage cil drus autres: a) A = , $ ( p ) ,pour p C K ; C i ( Q ) est somme clirccte dc deux algèbrcs simples dont les centres sont rcspcctivcincnt ( p + ( ) K et (1 + Q + ;)K (on prend p = 1 lorsque A = 0 ) ; la premi6rc a pour base les é1Cmcrits Q C, ( Q + [) ci e,, ( Q 5) e3e4, ( p [) e I c , e 3 ~ ;, elle cst isomorphe A l'algèbre de quaternions A , sur K, ayant pour tablc de niultiplic at'ion ., . ,. .. z; = or/?, 2: = y b, 2 , t 1 = t1z2 -1- Q . La seconde a pour base les élénicnts Q -1- i + 1 , ( Q + (- + l)e,e,, 1.) e,e,, (g -1- [ 1 ) (ele, e,c,c,e,); cllc est isoinorl~lieà l'algèbre (p + de q~latcrnionsA, sur Ii, ayant pour table dc multiplication
+
+
+
.V
<+
+
+
..
j;z=ad, i e = j 3 y , 1 2 1 1 = ? i j z + p . On vérifie aisément qu'en raison de I'hypothèsc v = O, ces deus algèbres sont des corps. En effet, dans A,, la norme d'il11 éléincnt xo + x1i, a,i, x,i,i, est la forme quadratique
+
+ + Q xaxa i- q'3y 8 a8 -1-
x:
x/3
XI -1-
g xi x, I Y 6 x i
.
Mais il est facile de voir que cettc forme est équivalciite (d un facteur
Qi.1
près) à
=
+ 5% +
+
+ z2i4+ 6
2 (OP x =
iZiC,),
.i= 1
par
le cllangement de variables 21 =
xo
+ ayx3,
z,
=
ax,
+ 6x2,
z3 = G C Q X , ,
2,
=ex,.
On traite de même l'algèbre A,. Par suitc, si on désigne par ATl (resp. N,) le groupe des élénzents de A, (resp. A,) de norme 1, on voit que SZ,(K, Q ) est isovzorphe a u produit N I x AT,. b) A n'est pas de la forme 6 ( p ) Alors 7' est une extension quadratique séparable de K, et C+(Q) est une algèbre de quaternions sur T, ayant pour base les éléments 1 , qe,, e3e4, elc,e3e,, dont la table de multiplication est la même que celle de A,, à cela près que Q est remplacé par 1 5. La norme dans cette algèbre est encore ilne forme quadratique équivalente (à un facteur près) à Q(z) considérée comme forme quadratique sur T. La relation Y = O entraîne encore ici que Q ( z ) est d'indice O s u T~ .
+
5*
__
. _ . _.
68
__
-
II. Striicture dcs groupcs classiques.
_
_- -- _- - _--
___-
-
.
-
Eii eiCet, s'il y avait iin vectcur x iiy tel que Q(x -k 5 y ) = O, oii cn conclurait que les deux vecteurs n-, y seraient tels que Q(x) = A(?()/) et = /(x, y), e t on déduit aisément cle là qu'il existerait u n vcctcur singulier $ 0 dans le plan orthogorial au plan x I i -1- yIC, compte tenu de l'expression d u pseudo-discriminant d . P a r suite, C+(Q) cst LIII corps de quaterizio~zssur T , et le groupe B,(IC, Q) est isonlorphc au groz~fiedes élénzcizts de uorme 1 de ce corps. Pour n 2 6, on a le théorème suivant (L. E. D ~ c r t s o n[ l ] , J. D I I ~ U DOXNE [4]): 12) Si n ',G el v 2 1, le groupe R,(I<, Q) (Q non cléfcctive) est sinzfile. L a déinonstration se fait en suivant une marche analogue à cclle d u théorème correspondailt d u 9 9. Mais on ne peut ici, de cette façon, éviter d'utiliser les cas particuliers du théorème correspondant, non seulement à 12 = 4 e t v = 1, démontré ci-dessus en I l ) , mais aussi les cas 11. = 6, 7, = 3 et 1%= 6 , 1, = 2, pour lesquels il faut utiliser l'isomorpi-iic d e ces groupes e t d e groupes (linéaires ou unitaires) dont la simpliciti: a déjà été établie (cf. chap. IV, $ 8 ) : cela est d û à l'exceptioi~introduite par le cas 12 = 4, v = 2 e t au fait qu'on ne peut ici se limiter à des sousespaces de E de dimensi011 3. Le cas IC = F, nécessite un traitement spécial. La démonstration prouve en outre que tout sous-groupe distingui: de 0;(K, Q) (n 2 6, v 2 1)contient le groupe des commutateurs &(K, Q). Notons enfin que le nombre d'éléments d u groupe des rotations O;,,,(F,, Q) = Qzm(FQ,Q), où q = zh, est (4" - 1) (q2("-') - 1) q2(m-l)
..
,
(qt
-
5
- 1) 9 2
( K d e caractéristique 2, Q forme défective.) Rappelons.(chap. 1, $ 16) que le défaut d de Q est tel que IZ - d = 275 soit u n nombre pair, e t qu'on peut toujours considérer O,(I(, Q) comme le sous-groupe d u groupe symplectique Sfi,,(I<) formé des transformations u telles que Q(u(x)) + Q(x) t M, M étant u n sous-espace vectoriel de K par rapport à K2, qu'on peut supposer contenir l'unité; le seul cas à considérer est celui où M K, c'est-à-dire où IC est imParlait (donc infini). E n outre, la restriction QI d e Q à l'espace E, de dimension 2 p que l'on considère est non défective, et la relation v >= I entraîne qu'il Q,) est un existe dans El des vecteurs singuliers =k O. Comme O&, sous-groupe d e O,,(K, Q), le centre de On(K, Q) est réduit à l'unité (3 10).
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U r i vcctciir n t El cst dit semi-si~lgzrlirr si (?(a)t 114, loiitc traiislorrnation dc O,,(Ii', Q) transforme uii vcctcur scnii-siiigiilicr cn un vcctcur semi-singulier. Lcs transvcctions orthogoi~alcs (cliap. 1, 16) dont Ic vecteiir n est scn~i-singuliersont d i k s .senzz-silrgr11~2rcs; unc tcllc transvectioii n: -> z + Âj(s, a ) a est caract6risi.e par la coiiditioii 1 C 11f (toujours rbalisbc pour 3, = 1). 1) ï'outc L~~aiisjor~~znlioit orthogo~~alc esl 1 6 1 ~ p~osizrilde L~ P' , sont dciis plans liyperboliqiies dans E,, il existe une transformation clc l>,,( ~ i i it r a n s f o m ~P~ en P'. Or, en utilisaiît I'hypoil-ièse v = 2, oii ]>c~itcl€cctivcmci-it démontrer qu'il ei-i cst bien airisi en suivant, à iiilc ti-ts 1Cgérc iiiodification près, la méthode cloiinéc pour Ic groulx unitaire dalis (J. DIEUDONNÉ [13], p. 380-382). La modification cst In suivaiilc: étant doniibc iinc base syinplectique (e,), cle E,, loriii6c clc \rcctcurs singuliers et telle que !(el, e2) = /(e,, e,) = 1, j(e,, e,) = O pour Ics auti-CS coiiplcs d'indices (i < y), on montre qu'un procluit u dc trois (ail lieu de dcl~x) ti-aiisvections ortliogonales de vecteurs a, = 3,,1:, y, e:,, laisse invariniits (globalement) les plans e,K + e,K et e,l< -1- c,lC, et cst tcl quc ~ ( c ,= ) el T e,a, avcc O: += O ; il suffit pour cela de i-cmarclucr clu'il est possible de trouver dans K six éléinciits A,, p, (1 5 1: 1 3) tels cluc Al 4- 1, 4- = 0, pl p, t p, = O, Al p, f A2 p2 Â, p3 0. 71
?G3
§ 11. Le groupe O,,(IL,Q).
- -. .--. .- - 12. Cas des loriiics anisotropes. .
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§ 12. Groupes unitaires e t groupes orthogonaux correspondant à des formes anisotropes. La plupart des résultats démontrés dans Ics SS 4 à I I sur la structure des groupes orthogonaux et unitaires perdent leur validité lorsque les [ormes sesquilinéaires ou quadratiques considérées sont anisotro;hes. Considérons par exemple un corps fi-adique rationnel Q,, et soit f ilne forme bilinéaire symétrique non dégénérée à = 3 ou n = 4 variables sur Q,, qui soit d'indice 0. On peut alors trouver une base orthogonale de E telle que, par rapport à cette base, toute transformatioiî d e O,n(Q,, j) admette une matrice dont tous les éléments soieiit des e~ztiersp-acliques (M. EICHLER[SI, p. 57). Soit alors G , l'eiisemble des trai~sformations
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. . --I I . Structure des groiipcs clnssiqucs.
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E O, dont la matrice cst de la foi-me I - p1,'T-,où T/ cst iine matrice dont les éléments sont entiers p-adiques. Ida remarquc précédente montre que G, est un sous-g7,oz~pedistingzlé cle O,,, et on prouvc aisé~nent ~LIC G,/G,+, est un fi-groupe abélien non réduit à I'uriité, et clue l'intersection des G, est l'élément neutrc de O,, (J. DIEUDONNI? [Il]). La comparaison avec le $ 9 inontrc que ce cas est en quelque sorte à l'oppos6 du cas où l'indice v >= 1. On peut donner des exemples analogues pour les groupes ortliogoriaux O,(I<, f ) à un nombre quelco~zqztede variables, ainsi que pour les groupes orthogonaux On(I<, Q) sur un corps de caractéristique 2 et pour les [4]). En outre, les résultats groupes unitaires Un(IC, f ) (J. DIEUDONNÉ du $ 8 sur les groupes O,t/Rn et Q, nL, cessent aussi d'être valables pour les formes anisotropes. Par exemple, pour I< = R (corps dcs nombres réels), f définie positive, on a Q,, = O :, bien que le groupc R*/R*Zsoit d'ordre 2; et on peut donner un exemple d'une forille bilinbaire symétrique anisotrope / à 4 variables sur le corps Q des noinbres rationnels, dont Ic discriminarit est un carré, mais pour laquclle la symétrie x - + - x n'appartient pas au groupe des commutateurs Q,, (J. DIEUDONNE[9], p. 93). De même, on peut donner un exemple dc groupe unitaire Un([<,f ) à 2 variables sur le corps Q(I/?) tel que U t nc soit pas égal à son groupe des commutateurs, cot~trastantavec les résul[IO], p. 948). tats du $ 5 (J.DIEUDONNÉ Les exemples précédents sont construits sur des corps K particuliers. On constate aisément que la structure du groupe O,(K, f ) (par exemplc) pour une forme anisotrope / dépend esserztzellenzetzt d u corps de base Ii. C'est ainsi qu'il est bien connu que le groupe On(R, f), pour une foi-nlc anisotrope f , est simple pour i z 2 3 et IZ $= 4, alors que la structure dcs groupes orthogonaux A 3 variables sur les corps 9-adiques, cominc I I a été vu plus haut, est toute différente. Les seuls types de corps qui aient jusqu'ici Eté étudiés de CC poinl de vue de façon approfondie sont les corps zlalz~és localenzent compacts (de caractéristique +2) et les corps de nombres algébriques. Your les premiers, la situation décrite ci-dessus pour les corps p-adiques SC présente de façon générale (J. DIEUDOSXÉ[Il], M. EICHLER[2], p. 57) ; seuls les cas n = 3 et 7z = 4 interviennent pour les corps fi-adiqucs e t p-adiques, car pour n 2 5, toute forme bilinéaire symétrique sur uii tel corps est nécessairement d'indice 2 1 (E. V'ITT [l], p. 40). L'étude des groupes orthogoilaux sur un corps de nombres algébriques K est étroitement liée à la théorie de l'équivalence des formes quadratiques sur un tel corps (chap. 1, $ 8 ) . Sans entrer dans le détail de cette théorie, signalons que son principe consiste à étudier les formes quadratiques obtenues à partir de la forme f par extension dic corps I<à chacun de ses cor+ locaux I<,, (p place finie ou infinie de K ) ; et les principaux résultats s'expriment de la facon la plus frappante sous forme d'un principe de
ZL
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g 13. Lcs groupcs clc siiiiilituclcs GU,(K. _ -- _ -
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«firrssaçe d u local a.2~global)):par csemplc, pour quc f soit cl'indicc 1, 5 1. il faut et il suffit clu'clle soit d'indice > 1 clans clzacun des corps K p . On est donc amené à la conjccture qu'un principe anaiogiic régit la structure des groupes orthogonaux. Cettc conjccturc sc trouve particllcment confirmée 13ar les travaus dc M. I < ~ ~ s r a[Il, n dont Ic i-Csiilt;~ifondamental (améliorant dcs résultats obtenus antbrieiirement par -1. DIEUDOSXÉr9, 10, 121 par unc rnktliode moiils p~iissantc)est quc, pozw 72 2 5, In slruclurc des p o ~ c p e sorthogot~auxO,,([<, f ) szcr zllz corps dc ~zonzbr,esalgéb~iqnesI<,est indé$eri.dnizte de l'irzdicc v de /. I>c Iaçoii pliis précise, pour ~r2 5 et 11 = O, le groupe Q, est le noyau O;,dc la normc spinorielle, le groupc 0L/Q,, est isomorplic à K*/IP3, et le groii1)r Q,,!(-S), A Z,) cst siniple. Tl restc à élucider la structure di1 groiipe O,,(I<,/) lorsquc rJ = O , K étant un corps de nombres algébriques (la structure di1 groLipc O,(Ir', i ) s'y ramène en vertu dcs résultats du $ 9 ) . On n'a jusqu'à présent de résultats que lorsque I< cst le corps Q dcs rationnels, ou, plus génbralement, un corps n'ayant qu'une seule place infilzic réelle: on peut alors montrer, en utilisant la structure du groupe orthogonal à 3 variables sur un corps p-adique, que pour 11 = O, le groupc O,({<, /) adinet une suite décroissante de sous-groupes distingués G,;, telbe qm~c G,!G,, soi/ abélien et l'zîltdrseckion des G, 7récl.uite à l'élément nczrtre (J. DIEUDOXNÉ [I 11). Signalons que M.I < s s s ~ n[ l ] a obtenu des résultats anaiogucs pour les groupes unitaires sur les corps dc nombres algébriqucs.
5 13. Les groupes d e similitudes G Lr,,(lC, f ) . Sous nous bornerons au cas où I< est co~nmotatif. Si rl et 1. sont le déterminant et le multiplicateur d'une similitude u E GU?,(IC,1). la relation (23) du chap. 1, S 9, donne l'équation A d " = rn . Si .n = 2nz 4- 1 est i l n p n i ~ en , posant A = ~ ' " pon , tire de l'Cc1uatio1-1 précédente r = p P J , d'où k;lu 6 IJ,,(K, /), h,' étant l'homothétie x + x p ; dans ce cas, G q , ( K ,f) est produit (non direct en général) d u gl,ou$e Zn des homothéties et d u groz+hc unitai?,e U,,(I-, f). Pour les groupes orthogonaus sur un corps I - de caractéristique =/= 2, le groupe GO,,(I<,/), pour 11 impair, est produit direcr de Z,, et du groupe des ~,otationsO,t(I<,f ) (cj G,?)). Si 7z = 21n est pair, on peut écrire A = p r m , où pCtJ = 1 ; les similitudes telles que A = sm forment un sous-groupe distingué GU:(IC, f ) de GU,(K, f ) , dont les éléments sont appelés sinzilitudes di~fectes;pour J 1, comme il existe dans U,(I<, f ) des transformations dont lc déterminant est uil élément quelconque de norme 1, le groupe quoticnt Gü,,jGUR est isomorphe au groupe des éléments de Ii' de norme 1 . Le groupe des multzfilicatezkv.i M ( / ) des similitudes est le même pour GCizet GU: d'après ce qui précède. En outre, si /, est la forme anisotrope
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111. Caractériçatioiis g6om6triqiics dcs
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groupes classi
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séduite de / (à 2(nz - v) variables ; cf. chap. 1, 3 I l ) , 011 a M(/) = At(/,). En particulier, pour le p o u p e symplectiqzt,e, il/l(j)= IC*; plus généralement, il en est ainsi lorsque v = 112. La structure du groupe ilil(/) poiir n = 292 pair, ct f anisotrope, n'cst pas connue en général. On peut seulement niontrer (J. DIIZUDONKI? [SI]) que il[(/) est sous-groupe dii groupe Ar@) des élémcnts de I<, (corps des in\rariailts de J) de la forme na.' + (- I)vpldb b J ; mais en général on a A f ( J )+ N ( d ) . Toutefois, si I( cst un corfls de nombres algébriques, OII peut caractCriser complètement le sous-groupe M ( f )de N ( A ) (loc. cit.), aiissi bien pour Ics groupcs unitaires (J+1) que pour les groupes ortl~ogonaux. Pour le groupe GO,,(/<, !) des similitudes ortl-iogoiiales (sur un corps li de caractéristique +2), 011 peut encore exprinlcr les similitudes 2t l'aide [ l , 21). Pour toute similitude u,, de l'algèbre de CLIPFORD (M. EICHLEIZ de multiplicateur Y,, et pour tout produit x l x , . . . x,, d'un nombre pair de vecteurs de E ( E étantplongé dans C ( f ) ) , posons z ( x l . . . xzk) = ~ ; ' ~ u ( x ,.). . u(x,,). On montre que cette définition est iildépei~dante de la décomposition dc l'élément considéré en produit de vecteurs dc E , et que l'applicatiori G , ainsi définie dans C + ( f ) ,est un automorphisme de cet anneau. Pour que u soit une similitude directc (lorsq~ie3% =. 2m), il faut et il suffit que u" laisse invariants les éléments du centre T de C + ( f ) ; dans ce cas, Ü est un automorphisme intérieur z - t s,zs;', où su est un élément de C+(f)qui est déterminé A un facteur près appartenant à T. En outre, sus$ appartient A T , et même à 7< pour rn impair.
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tlc la gCoiii6tric lxojcctivc. -
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incI6pcndaiits, y-(l;) cst coiitcnuc dans la v:iristC liiieairc projcctivc T.-' engeiidrEe par les i, ;1 points rp(a,I<); niais ccs points sont projectiverncnt indhpendants, siiioii, eii coiiip[Clt:~ntla fninillc (a,),sis,, ., cil iinc base (a,), . = L ~ , , de E , les n points y(crili) clc I'(R1) ciigcndrcraicrit iinc variété liiiéaire pi-ojective de dirnciisioii 5 7 -~ f . coiiti-:iii.cniciil- :i I'hypotlièsc rp(P(E))= />(El). Si alors ~ ( 1 &lit ~ ) distii~ctcclc la vari6ti. Ir', il y aurait 1111 point dc If' iinagc par (~icl'iin poiiit al( ii'appartcnaiit pas i TT; l'image par rp cle la variE.tC I.', clc dirncnsion i, I 1 rngc1idr6r ) . clc dimcnsioi-i p, coiitraii-cpal- V ci: al< serait contenue dans ~ ( 1 ~ donc ment 2t ce ~ L I ' O I I vient de voir. ConsiclCrons alors iine basc (e,), g i s ,, dc B. Ics trois points et/<, c,lï et e,,I< de P ( E ) et lcursinlages e ; K ' = p ( c , I i ) , r(,I<'= y(c,li), c,:l<' = v(e,,/<) dans P(E'); ei. e; et e:, sont liili.niren~enti ~ ~ c i ~ ~ ~ c idaiis i ~ l ~8'. i i iD6sigiions ts par D la droite-projective engendrée par e,K ct e,IC., par 1)' = p(D) soli image, par F le plan projectif engcndrC par D' ct e,,li, par 1:' = q)(F) soi1 image. Tout point de F 11oi.isur 0 pciit s'tcrirr cl'uric sciilc 11iniiii:rc (cl ' A ~f e,a, -; (,,JI\', dc sorte que le coinplérneiitaire cle il dans F s'idcntifie avcc l'espacc vectorielL = e I R + e21\T;toutc droite projectil-c de F , distincte de D, corre.IF Pr er cc e, fa +p/ ~:i,. spoild à une droitc dans L , et deiix droites de F d o i ~ t l'intersection cst dans D correspondeiit à deux droites parallèles dans L (Le.déduites l'une de l'autre par une translation). Par une identification semblable du complémentaire de D' dans F'avecl'espace vectoriel L' = cil<' 'e.iï<', on obtient, à partir de p, l:in. 2 une application biunivoque g de L sur L', qui transforme toute droite cri droite et deux droites parallèles en droites parallèles et est telle que g(0)= O , g(e,) = e ; , g(e2)= e;. Cela étant, les figures ci-dessus montreilt comrneilt, par des coiistructions de droites parallèles dans L, on peut ohteriir, étant donilés deux éléments a , p de IC, les é1Cments o: + fi et ap comme abscisses de points sur e,l< (Fig. 1 et 2).
LzL ,
Caractérisations géométriques des groupes classiques.
5 1. Le théorème fondamental de la géométrie projective. Soient E , E' deux espaces vectoriels à droite de mêmc dimension 7 z sur deux corps IC, Ii" respectivement. Si IC et X' sont isoinorphes, une application semi-linéaire biunivoque 2i de E sur E' donne, par passage aux quotients, une application biunivoque G de l'espace projectif P ( E ) sur l'espace projectif P ( E f ) ,qui transforme toute variété linéaire projective en une variété linéaire projective de même dimension. Le ((théorème fondamental de la géométrie projective)) est une réciproque de cette propriété. De façon précise: 1 ) Soit rp u n e application 6iunivogu.e de P ( E ) sur P ( E 1 ) , telle que trois points en ligne droite dans P ( E ) soient tra~zsforméspar / en trois points e n ligne droite dalzs P ( E J ) , Alors, s i 12 2 3, K et IC sonl isomorphes et p = Ü, o ù za est une application semi-linéaire biunivoque de E sur E'. On note d'abord que l'hypothèse entraîne que pour toute variété linéaire projective V de dimension p 5 n - 1, rp(V) est une variété linéaire projective de dimension p. En effet, il est clair que si ail< (1 5 i 5 p 1) S O I I ~des points de P(E) engendrant rf et projectivement
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t e tliforoiiic [ondaiiiciital
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Chapitre III.
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111. Cai-actErisatioiis gEoni6triqlics dcs groupcs classic~~ics.
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On peut donc écrire g(e,[) = e; [", et ,t -t [" cst une application l~iuiiivoqucde I< sur K ' , telle que (t -1- 17)" = ["-?- 17" et (t17)" = 1.'"17", autrement dit, un zsomorplzisnze de l<sur I<'. En outre, coinme la droite joignant e l [ et e,[ est parallèle à la di-oite joignant e, et e, dans L , on a g(e,[) = C L [ " ; ciifin, le point elcc + e,/? dans L s'obtient eii inenant par e l a et e,p les parallèies respectives à e, et cl, d'où g ( e l a 4- c,P) = e; x u 4- e i b u , et on voit que g est une application seini-linéaire (rclativc à l'isomorpliisnie a ) de L sur L'. On raisonne de inêine sur tout couple de points (e,K, ejI<) de P(Ii'). Si 16 est l'application seini-linéaire de E sur E ' relative à a , d4finic par zh(ei) = el (1 5 i 5 I Z ) , et ii l'application correspondante de P ( E ) sur P ( E ' ) , on voit que Z-l p est une application de P ( E ) sur lui-même transformant toute droite cn droite, et laissant invariants les points de toute droite joignant deux des points e,K, ejli'; on en déduit aussitôt que cette transformation laisse invariant tout point de la variété linéaire à dimensions déterminée par fi -1- 1 des points -e,K, par récurrence sur p ; pour p = 12 - 1 , on obtient la relation rp = u. Une variante du tl-iéorènle fondamental est la suivante: 2 ) S o i t p zuze afiplicntio~z biu~zivoqu,ede P ( E ) S Z L I , P ( E ' ) , telle que L'inzage par rp de toute variété 1i1zéail.e pl.ojective de dimension p ( o u fi est z ~ e z ~ n e variété I . L ~e~ztie~tfixe tel que 1 5 p 5 I Z - 2 ) soit c o ~ z t e ~ ~dans s i IZ 2 3, ba co~zclz~sio?z linéaire de dinze~zsio~zp. D a n s ces co~zdit.io~zs, de 1) subsiste. Lc cas p = 1 est celui traité dans 1). On s'y ramèiie par récurrence clescenclante sur p 2 2 : il suffit de montrer que l'imag-e par p d'unc variété linkaire V de clinieiision p - 1 est contenue dans une variété linéaire cle climension fi - 1. Or, V est l'intersection cles variétés de dimension p qui la contiennent, et les images par cp de ces variétés ne peuvent être toutes contenues clans une même variété de climension p, sans quoi on aurait p ( P ( E ) ) =+ P ( E ' ) ; si Wl et PT/, sont des variétés de dimension p telles que V = ,'tP n T / l r 2 , sont des variétés et que l'on ait rp(TV1)(IV;, rp(W,) ( TV.;, où TV; et linéaires distinctes de dimension p , on a ~ ( 1 7() TT; n TT;, ce qui établit notre assertion. Pour E = E l , les théorèmes précédents caractérisent géométriquement les collinéations de E , autrement dit les éléments du groupe P I ' L , , ( K ) . Ils sont éviclemment inexacts pour 12 = 2. On peut caractériser dans ce cas les collinéations (ou corrélations) par la propriété de laisser invariants les rapports anharmoniques égaux à un élément d u centre de l
4 2. Lcs trniisformatioiis coiiservniit
l'((adjaceiice~. 1. Transformations de grassmannicnncs.
T.cs iiotatioiis i'taii t cclles clil 5 1, soit G , ( E ) l'ciiscinl~ii~ cl(~svol-iitts linbaircs l~rojcctivcsclc P(Li), clc dimciiisioii T (O 5 i. 5 i i - - 1); «il :i ( E = ( E ) pour T > O, oii dit iluc G,.(i?) est la jr~i.s.si~zosem , ( V )= l'(TV'), v:rribtC linéaire projcctivc clc dimciision u claiis I>(E*). II s'agit dc caractériser «gc'omélriqucmcnt )> lcs traiislormations ,El. ct ru,. pour r O, coinnic lc t1iéori.m~ foiiclameiital dc la géoinitric ~)rojecti\:c caractkrisc les M,,. On introduit pour cela la notion d ' é c a ~ l de dcua variétes C', V, :ippartenaiit à G,(E) : si la cliniciisioii cle 1; i\ I (:si u - t , l'écart de V l et I f , cst 1 ; il rcvieiit a u niCinc dc clirc que la climeiision de la plus petite variété liiiéairc contenant Ilr, ct V 2 csl 1, i 1. Ileux variétés linéaires I;, 1.; dc dinicnsion 1/ sont ditcs ndjaceiries si leur écart cst 1. L16c;irl de deux variétfs linéaires If,, J7, dc Ç,(h) peut cncore Ctre défini commc le plus petit entier t tcl qu'il csistc iiti(: suite finie (U,) cle 1 i- 1 \rai-iétés linéaires de G , ( E ) , tclle ~ L I CU, P.,, C i , ,., = V,, et quc U,ct l i i soient adjaccntes pour 1 _( i 2 6 . Cette dernière remartjuc muntrc qiic, si ip est unc tr;~iisforiiiiitioii hiunivoque dc G , ( E ) sur G,(E1),il est équivalent de dirc qiic pl cl y--' Lvans/ovmeizt de~,t.u nariétés ndj(zcciztes IL nadélés adjacente.^, oii (lue t7/a1zs/o~wze d c z ~ xzla~/iétése u d e u x variétés de mC~?zeéca7.t. La car-actbrisatioii cherchée est alors fournie par Ic tliCorCme suivant (W. L. Ciro~v[ I I ) . P o z ~ rn 2 3, et O < r < iz - Y , t o ~ ~ t ~e ~ n s / o ~ ~ w z a tbi~,~liziloqz~c ioiz de G,(E) ~211' G,.(E1)q u i ~ T U Y ~ S / O I / ~dcz.~,v IZE valfiétés clz deztx vn~ié1é.s de 11z2tne écaift es1 de la /o~/nzeU).si 21, =+ 11. - 2 , ZL étaizt u,iie n f l f l l i c ~ ~ l i.sewil,o~~ lirzéaiue 6iznzivoqzrr de E siii. E l ; s i 21. i z - 2, cp est de l n jorilze il,) o u de la f o i ~ m e5,.(O,, o u 71 cst ulLe izpfilicaLio~z semi-linéniile iiiunivoqu,e d c IZ* SZLI' E ' . Noiis nous borneroiis ?i csc~uissci-les grandes lignes de la db~iioiist ration : a) 011 considère d;iiis G,(L') Ics eiisembles maw&arr;~ clc variétks linéaircs cle dimension i, d c i ~ x2 c l e ~ ~adjace~ztes, x et on inoiitrc qu7iin tcl ;
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--.. . . -. III. Caractérisatioiis gConiétriques dcs groupes classiques. -
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ensemble consiste, soit en toutes les variétés contenant unc mCriie variété linéaire de dimension r - 1 (ensemble du premier type), soit en toutes les variétés contenues dans uiic même variCté linéairc de dimension Y + 1 (ensemble du second type). b) Le transformé par rp d'un enseiiible maximal du premier type cst uil ensemble maximal dans G,(Ef),qui peut n priori être clu premieiou du second type. Mais si pour un eiiseinble maximal du prcinicr typc Ti, cp(911) est du premier type, le transformé par rp de tozdt autrc ensemble maximal du premier type 31, dans G,(E), est encore un cnscmble du premier type. On se ramène pour ccla au cas où -r( et 921, correspondent à deux variétés linéaires de diniension r - 1 qui sont adjacentes; on remarque alors que n 3 i , n'a qu'un seul éléincnt, alors que si LIII ensemble du premier type et un ensemble du second typc ont une intersection non vide, cette intersection a au moins deux éléments. c) D'après la caractérisation des ensembles masimaux donnée dans a), il résulte de b) qu'il y a uile application biunivoclue rp, de l'ensemble Gr-,(E), soit sur G,r-,(E'), soit sur G,.+,(Ei); cil outre, dirc que deux variétés linéaires de dimension r - 1 (resp. 7, + 1) sont adjaccntes signific que les ensembles maximaux correspondants ont un élément commun; on en conclut que q~,et c p ~ ltransforment deux variétés adjacentes en variétés adjacentes. d) Si 2 r 72 - 2, on conclut de l i que pl transforme G,,(E) en G,.-,JE') : en effet, si 2 r < 1% - 2, l'écart de deus variétés linéaires dc dimension 7 - 1 est au plus r , tandis que deus variétés linéaires de dimension r + 1 peuvent avoir un écart égal 5 Y + 1 ; de niêrne, si 2 r > n - 2, l'écart de deux variétés linéaires de dimensioi.i 7, i- 1 cst au plus iz - r - 1, tandis qu'il y a des variétés linéaires cle dimension 7. - 1 qui ont un écart au moins égaI à n - r . Par récurrence descendaiitc on définit ainsi une applicatioil biunivoque yi de P ( E ) sur P ( E f ) qui =)g,(T/) pour toute variété linéaire de dimension r est telle que ~ J ( V dans P ( E ) ; le résultat 2) du S 1 permet de concIure. e) Si 2 r = n - 2 , et si g, transforme tout ensemble maximal du premier type en ensemble maximal du second type, p, ru;'transforme tout ensemble maximal du premier type de P(E*) en enscmble maximal du premier type dans P ( E f ) ,et on peut lui appliquer le résultat précédent, ce qui achève la démonstration.
+
5 3. Les transformations conservant l'«adiacence*. II. Transformations d'espaces de variétés isotropes. Supposons maintenant donnée sur E une forme sesquilinéaire f(x,y ) non dégénérée, hermitienne ou antihermitienne; si K est de caractéristique 2, nous supposerons que f est une forme tracique (chap. 1, § 10). En outre, nous supposerons que l'ilzrizce r + 1 de f est au moins égal à 1;
nous dirons qu'une variété linhaire V dails IJ(E) est isotrope (rcsp. totalenzcj~Lisotrofie) si cllc est de la formc P(T.[/),où T.I/ cst un sous-espace isotropc (resp. totalemerit isotrope) de B (pour la forme /) e t nous désignerons par N,y(E) (ou il!,) l'ensemble des variétks totalement isotropes dc I'(E) qui sont de diwzensioi~ S. Unc scnii-sirnilitudc u E I'C',(K, j) definit é\~idcminerit une translormation biunivoqiie E,. dc AT,sur lui-msmc, ct il s'agit cncorc ici dc caractériser géom6triquerneiit ces translormations. Cettc caractérisation est donnée par lc théorèmc suivant, très analogue à celui du $ 2 (W. 1,. CHOW[l], j.DIEUDONNB [SI) :
variétés udfacerztes eiz varie'tés adjacentes, esL dc In jor~~ze G,., o$c. u. est une semi-similitude. On utilise les propriétés des sous-espaces totalement isotropes (chap. 1, 5 I l ) pour Ctablir d'abord les deus lemmcs suivants: a) Soient TG. V , deux variétés totalement isotropes de même dimension s 5 r; alors il existe deux variCtés totalement isotropes W,, IV, de dimensioii maxima Y, telles que T/, C Ti/,, V,c Hl, et 1% n Hf, = V, n V,. b) Soient VI, TT, deux variétés totaleinent isotropes de même dimension s 5 v , ct soit s - t la dimei~sionde leur intersection; il existe alors une suite finie de variétés totalement isotropes de - dimension s, telles que W , = VI, W,,, = TT,, et que W , et W,+l soient adjacentes pour 1 5 12 t. Comme dans le 2, on considère alors les ensembles m a x i m a u x de variétés totalement isotropes de dimension Y, deux d dezix adjacentes. On établit successiveme~itles propriétés suivantes: c) Tout ensemble masimal est formé des variétés totalement isotropes contenant une même variété totalement isotrope de dimension Y - 1. d) Comme le transformé par a, (resp. rp-l) d'un ensemble maxin-ial est un ensemble maximal, cela permet, d'après c), de définir une application biunivoque (nl de l'ensemble Nr-l(E) des variétés totalement isotropes de diinension r - 1, sur lui-même. On montre en outre (en utilisant a)) que y, et rp;' transforment deus variétés adjacentes cn variétés adjacentes, et que les transformées par p., des variétés totalement isotropes de dimension r - 1 contenues dans une variété totalement isotrope V de dimension Y , sont les variétés totalement isotropes de dimension r - 1 contenues dans ~ ( v ) . e) Par récurrence descendante sur la dimensi011 s, 011 définit ainsi une application biunivoque rpr-, de l'ensemble N,(E) sur lui-même, teIIe que cette application et sa réciproque transforment deux variétés adjacentes en variétés adjacentes. Pour s = O, on aboutit ainsi à une
application b i i i ~ ~ i v o qg~=~ y, c d e I'ensemblc N,(E) des 90i72l.s isoli.o$es clc P ( E ) , sur li~i-1nCmc. Cette transformation ;L la propriétk qiic, si V = P(1.l') cst unc VariétC totalcinent isotropc dc dimension s 5 r, 1'ensenil)le g(V) des transformés par g des points de V est cp,-,(V). L'hypothèse r 2 2 pcrinct alors cl'appliquer Ic tl~koriirncfondainciîtal de la géométrie projecti\?e (S l ) , et par suitc, pour toutc variét6 totalement isotrope T/ = P(plï)de diincnsion r, si on pose p(V) = P(PV1), la restriction de g à V cst d e la fornie ü,,., où .it,,- est une applicalio77. semi-lilzénire biunivoque dc W sur TV'. Eii-outre, pour toutcs Ics variCtiis V de Arr(E), l'autoinorphisme de IC correspondaiit à l'applicatioii ,ull. cst le .~zênzeà un autoinoi-pliisrne intéricur près, et peut donc etrc pris le inênic pour toutes les V .' hT,.(E) : on Ic voit d'al~ordpour dcux variktks adjacentes I;', T,J puis on applique b). Lorsque *n cst pair et la [orme f nllenzée, 011 a N,(E) = P ( E ) ;g cst alors iine application biiinivoquc dc P ( E ) sur lui-mêmc, qui a la propriété d e trançformcr deux points ortliogonaus (pour la formc /) en deux points orthogonaux; comine tout hyperplan dc P ( E ) est alors foriné de points orthogonaiix it iin de ses points, g traiisformc tout hyperplan en un hyperplan, et le thkorème fondamental de la géométrie projective montre que g = Ü, où u est une application semi-IiiiCairc de E sur lui-même. EII prenant une base syrnplectique d c E et en écrivant que 2.1 transforme deux vecteurs orthogoiiaux en vccteurs orthogonaux, on constate aisénient que u est une semi-similitude. f) Dans le cas g-énéral, co1lsid6rons deus variétés V I , V , de N,.(E) n'ayant aucun point commun, et soit U, la variété linéaire projcctivc de dimension 21, + 1 qu'elles engendrent. On montre d'abord quc, si U, = P(W,), il existe une application semi-linéaire biunivoque v, d e TVosur un sous-espace de E de dimension 2 r + 2, telle que, pour tout point isotrope x E U,, on ait Z,(x) = g(x) (W. L. CHOW [Il, p. 47). 011 forme ensuite une suite croissante U,, U,, . . . , Un-,,-, de variétés linéaires projectives dans P ( E ) , telle que U,,, soit la variété linéairc engendrée par U, e t par un point isotrope non orthogonal à U,; on montre alors que, si U , = P(W,), il est possible de définir par récurrence = u d'applications semi-linéaires biunivoques, une suite v,, v,, ... , v,telle que v, soit définie dans W,, que v, + prolonge v,, et que, pour tout [BI, p.298-299). point isotrope x E U,,on ait G,(x) = g(x) (J. DIEUDOXNÉ L'application semi-linéaire biunivoque u de E sur lui-même est alors telle que Ü(V) = y(V) pour toute variété V de AIJE); en outre, on montre qu'elle transforme deux vecteurs orthogonaux en vecteurs orthogonaux, en utilisant le fait qu'une droite isotrope mais non totalement isotrope est caractérisée par la propriété de ne contenir qii'un seul point isotrope, e t par suite est transformée en une droite de même nature par G ; la fin d u raisonnement est alors la même que dans e).
,,-,
,
lierizn~q~~s.~. - 1) Aii 11ci1clr coiisic161-crics traiislorinnLionç clc !\',.(IC) sur Iiii-in61iie qui consci-\.ent l'adjacc~icc,oii 11c~itl ~ l u sgiiiiiialcii~c~nL cii\~isagcruii sccond espace E' de mêiiic dimcnsioi-i cluc E , tiiic ron-ric sescluilinéaire /' ilon d6gCiiCrCc, hci-miticnne oli antilicrniilic~inc,dliiiiir dans E ' x 1:' et clc niCine indicc r I 1 (lu<: /, ct coiisidCrci- Ics trniisforniatioiis biiinivoclucs Q d r :Y,.(/<) sur N,(E') qui conscrvciit I'adjacciicc., ainsi que lcur rbciproclur. La iii6inc diinionstratioil ii~oiitrc: cliic I r s corps drs sc;ilaircs I i , Ii' dc Ii, E' doivciit êtrc alors isonioi.plics, ci: cluc l'on a = E,., oii 14 cst iiiic traiisform:itioii scini-IiiiCaire biiini\~oqi~r de E sur E', tcllc quc l'on ait iclciiticlucniciit / ' ( r r ( s ) , ? ( ( y ) )= ,p(/(x, oii LJ est l'isomorpl.iisinc clc T i sur IC' corrcspoiidaiit A r , ct [ L lin ClCiiiciit dc K' rion nul. 2) Les raisonncmcnts l)r6cCdciits s'6tcnclciit a i ~ ~ n i c iXII i t cas oii I i cst cle cal-actkristiqiic 2, Q iinc lorinc quadraticlue iioii cléicctivc sur E , d'indice r -1- 1 2 1 ; si 011 appcllc .siizgzclièscs lcs val-iCtés Iiii6aircs projectives T/ = P(I.1') de I->(E)telles quc 14' soit singuiikrc clans E (pour la Forme Q), et si on désignr pal- !V,(E) I'c~iseniblcdes v:irikLks singiili6res de cliinension s 5 Y, le tliCorCme énoncé ail d é l ~ u tde cc p;~rrigrrlpliccst encorc valable, et sa démoiistration est incliangbc, h c(:l:i prCs qii'il faut remplacer partout les \.ariétks totalcment isotrolics par Ics vari6tCs singulières (J. DIEC'DONXÉ:SI). 3) Le théoréme déinontrc plus liaut soiis la coiidition r 2 2 cst inexact pour r = 0, puisqu'alors la condition cl' ((adjaccncc))cst trivialement remplie par d e u s variétés qiiclconc~ucsde !\J,.(l:');il cst aussi inexact pour r =1, ~r= 4 lors(]uc i<est coinniiitatil' ct / unc formc bilinéaire symétrique: cela résultc de cc que N,(,E) cst alors rCiriiioii de deux sous-ensembles 1 4 7 ct iV; tcls cliie dcus vririktiis al,l,artcilarit à l'un d'eux ne soient jamais adjacciites, alors clu'uiic v:iri6té dc Ar,! ct une variété de N;le sont to~ijours(pro11riEtés classiques clcs «gé116ratrices des quadriques)); voir cliap. II, S 6, ct ci-dcssoiis, $ 4 ) ; toutc transforrnatioii q (lui perniiitc entre elles dc [acon quelcoiiqiic les variétés de N:, d'une part, ct ccllcs d e A;', d e l'autre, riipond donc à l'énoncé d u tlléorème. On ignorc si le thkorèmc cst valablc dans d'autres cas lorsque r = 1. 4) Les résultats de CH@\\.entraîiient comme cas particuliers ],lusieurs théorèmes démontrés antéricurement par L. I<. HUA[ I , 2, 4, 61 ct csprimés en langage de la théorie des rnatriccs. Considéroiis par exeinplc le cas où E est de dimension paire 27n, la forme j étant alternéc (ct par suite IC commutatif). Soit (eJl5 i,2,,, une base symplcctiquc de E pour cctte forme; pour conserver les notations de HUA,associons A chaque vecteur de E la matrice à une ligne et Sm colonnes formCe par ses coniposantes sur (e,), et pour 11% vecteurs z,, . . . , z ,,!, dksignons par (X, Y) la matrice à m Jignes et 2nz colonnes dont les lignes sont les zi, X e t Y étant des matrices carrées d'ordre m. Si z;, . . . , z;, sorii: nt autres
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S 4. Lcs
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transIoriliations coiiscrvant l'ra,jjace,,,,, .. ...- - .
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81 -
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vecteurs, (X', Y') la matricc correspondante, on vérifie aussitôt que la matrice (f(z,, 4 ) ) n'est autre que F ( X , Y, X', Y') = (X, )'1
(o.., Io
(:-;:)
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La condition exprimarit quc les wz vecteurs zi sont dcux à deux orthogonaux est donc, sous lormc matricielle F ( X , Y, S. Y) = O .
0)
En outre, pour quc le sous-espace W (totalemeilt isotrope) engendré par les z, soit de dimension m, il faut et il suffit évidemment que la matrice (X, Y ) soit cle rang m. Lorsqu'un couple (X, Y) de matriccs carrées d'ordre nz vérifie ces coiiditions, HUAdit que c'est un couple symétrique; si par exemple Y est de rang m , la condition (1) s'écrit (Y-1X) = "Y-1X) et signifie donc que la matrice Z = Y-'X est Y), (XI, Y,) définissent symétrique. Pour que deux couplessymétriques (X, le même sous-espace totalement isotrope TT', il faut et il suffit qu'il existe une matrice carrée inversible (! d'ordre m telle que (X,, Y,) = Q(X, Y), ce qui donne Y;'& = Y-lx lorsque Y et Y, soiit inversibles. L'espace IV,,-,(E) peut donc être identifié à l'ensemble des classes de couples symétriques, pour la relation d'équivalence précédente, ou encorc à l'ensemble des matrices symétriq~ies d'ordre m , «complété» par l'adjonction d'«éléments à l'infini)) (correspondant aux matriccs Y non inversibles). Oii montre en outre que si T'' = P ( W ) , Vl = P(Wl) correspondent aux deux couples (X, Y ) , (X,, Y,), l'écart de V et V , est égal au rang de la matrice carrée F(X, Y , XI, Y,) (ou au rang de la différence Z, - Z des matrices symétriques correspondantes, si Y e t Y, sont inversibles). Il est alors facile d'interpréter, à l'aide de ces définitions, le théorème de CHOW;il est intéressant de remarquer que, dans ce langage, la transformation p s'écrit, sous forme «non homogène» Z 4 a ( A Z Gf B ) (CZa + D)-1 où a
K et les matrices carrées A , 8 , C, D sont soumises aux conditions A .tB=B.tA,
C.'D=D.'C,
A .'D-B.'C=I.
$ 4. Les transformations conservant I'aadjacence*. II. Transformations d'espaces de variétés isotropes (suite). Les notations étant les mêmes qu'au 3, supposons que K soit commutatif et de caractéristique 42, q u e / soit une forme bilinéaire symétrique, et que ?z soit pair et r égal à sa valeur m a x i m a (n - 2)/2. On a déjà signalé (chap. II, § 6) que l'espace AT,(E)se décompose alors en deux classes d'intransitivité AT;(E), N;(E) pour le groupe des rotations Oi(K, /) (ou plutôt son image dans le groupe projectif); en outre, si
VI, TJ, sont deus variétés dc M,.(E), poiir clii'cllc~appartiennent a la rnêriie ciasse cl'i~ltraiisiti\~ité, ii [sut c t il suffit que ia dirneilsioi~de T/,n V , soit de la formc r - 2 k (/c cnticr); on dit alors cjue et T/-, sont adfacentes si V I n V , est de dimension r - 2. Avcc ces définitions, on a le tlikorèiiic suivant (W. L. CHOW [Il) : I>our 1, > 4 , toz~tctra~zslon.nnlior~6inrzivoq.i.c qj de Ar,?(B)SI.LI' lui-lnêvzc deux unriétés vn~ljnce~ifcs ~ 1 7 vvnriétés . ndfnce7~tcs. tcllc que p, cl p,-' lïar~slor~lrcrzt où 7 t est u n e scmi-si~nililrrde. est dc la formc On considère encore les enscinblcs ~naxi7nc~rrr dc variétés linéaii-CS appartenant à N:(E), deux ci d e u s ntljace~iles,ct oii ktablit succcssi\~cinciit les propriétks suivantes : a) Un enscnible masiinal cst formi', soit cles varibtés clc AT,: (1;) ayant UIIC intersection de dinicnsioii Y - 1 avcc unc même variété dc hr;(E) (ensemble du premier type), soit clcs variétfs de l\r:(B) contcnaiit une même variété totalement isotropc clc cliiiiciision r - 3 (ensemblc du second type). b) Le transforinil par rp d'uii enscniblc inasinial clii preiiiicr type est un cnsemble maximal, qui a priori peut etrc du premier ou clu sccoiid ~ ) type. Mais si pour u n ensemble maximal du prcniicr type 911, q ~ (cst du premier type, le transformé par rp de tout. autrc cnscmble maximal du premier type est encore du premier iypc. c) Si r 2 4, le transformé d'un enseiiiblc maxiinal bu prcinicr type, ne peut être du second type. On en déduit qu'il est possiblc clc ~~rolongcip, à N,(E) tout entier, de façon que p vérifie lcs Iiypotlièses dii tliéorèinc du 3 3, et il suffit d'appliquer ce clernicr pour aclievcr la démonstration. On pcut préciser les semi-si~iiilitiidcs u tellcs quc G,. translormc~ * ( E ) en lui-même: on voit aisément quc si Tf est une variété dc AI: (i!), il y a une semi-similitude v ayant intme rapport et même auto~norpliisrn~ que u, et laissant V invariant; v-'IL cst alors iiile transforination ortliogonale qui transforme V en uiie autre varikt6 dc N:(E), et par siiitc cst nécessairement une rotatio?~. R e m a ~ q u e s .- 1 ) On peut étendre Ic rbsultat précédent au cas où on considère deux espaces distincts E. E' ct uiic application y dc Ai: ( E ) sur - V ( E J )(voir 3). 2) Si K est de caractéristique 2, Q unc forme quadratique 11011dffectix-c. d'indice inasimurn sur E, on a vu que AI,(E) se décompose encorc ail deiix classes d'intransitivité Ar:(,!?), N ; ( E ) pour le groupe des rot a t'loris O,t(IC, Q) (chap. II, 10); les résultats prhcédents s'ftenclciit sans modification aux transforn~ationsde N:(E). 3) Pour 7,=1 et r = 2, le théorèmc de CHOW est inexact, car la condition d'«adjacente» est vérifiée pour deux variétés quelconqiics de N : ( E ) . Le cas T = 3 est également exceptionnel: il cxiste aiors en effct une transformation biunivoque de N;(E) sur N,(E) transformaiit deux variétés «adjacentes)> en deus points isotropes orthogonaux,
Tc
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Er6eùn.d. Matliem.
N.F.1-1. 5 , Dieudcnnc.
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I I I . Cüractérisatioiis géoniétriques clcs groupcs classiq~ies.
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E n outre, K. B A I ~Cl] ~ ? a dénioiitré quc la propriétb analogue 3 la ((libre mobilité)), inais où on remplace les cliaînes TL-dirneiisioiiiielles par les cliaînes (12 - 1)-dimensionnelles, caractérise les sous-gvoufics de rotations O*(IC, f ) des groupes orttiogonaux O,,(Ii, /) ayaiit la propriCté de libre mobilité, pour n 2 3. Un exemple de G. PICKEIY~ ([l], p. 498) montre que ce résultat cessc dlCtre valable pour 11 = 2. J. TITS [Il a caractérisé les groupes projectifs PGL2(I<) sur i r r i corps corninutatif Ii en les considérant comiiie groupes de permutatioiis de la droite projective P,(K), par des propriétés dc transitivité: i i i i tel groupe est en effet triplemeqzt tra~zsitif,en cntendant par 1:i que si (a, b, c), (a', b', c') sont deux triplets quelcoiiques de poiiits dc P,(I<), dont chacun est formé de points distincts, il existe zuze et une sez~lt. transformation du groupe qui transforme a en a', O en b', c en c'. Cettc condition n'est pas suffisante à elle seule pour caractériser les groupes PGL2(II); mais J. TITS a énoncé (ioc. cit.) diverses conditions supplémentaires qui, jointes à la propriété de triple transitivité, entraînent que le groupe considéré est isoinorphe à un groiipe PGL,(K). Ces conditions sont inspirées de définitions et constructions classiques clc géométrie projective; par exemple, un groupc triplement transitif G de permutations d'un eiisemble E est isomorphe à un groupe PGL2(II) si, pour tout couple d'éléments distincts a, b de E. tout couple de transformations de G qui laissent invariants n et 6,est formé de transformations permutables. Ces méthodes ont d'ailleurs permis à J. TITS[I j de déterminer compiètement tous les groupes triplement traiisitils finis. 11 a récemment étendu ses résultats aux groupes projectifs PGL,(II) sur un corps commutatif, n étant quelconque (J. TITS [2]): un groupe G de permutatioiis d'un ensemble E est dit à ficu firès qz-uplement hansitif s'il existe dans G des «repères» formés de 12 points tels que seule l'identité laisse invariant cliacuii de ces points, et si, pour deux ((repères))quelconques (a,) et (b,) il existe une (et une seule) transformation de G amenant chaque n i el1 b, (1 5 i S n). Une étudc approfoiidie de cette notion lui permet de caractériser les groupes PGL,(K) parmi les groupes à peu près rz-upleinent transitifs. Une autre caractérisation des groupes PGL,(I<) (I< cornmu tati f e t de caractéristique + 2) a été donnée par F. XACHMANN[Il ; elle repose sur le fait que toute transformation de ce groupe peut s'écrire comme produit de deux involutions (comme il résulte immédiatement de l'isomorphie de PGL2(K) et d'un groupe de rotations OJ(K, f ) où 1 est d'indice 1, vue au chap. I I , 5 9, et du fait que toute rotation est alors produit de deux renversements, commc on l'a signalé au chap. II, $ 6). F. BACEIMANN montre comment on peut caractériser PGL2(K) parmi les groupes ayant la propriété précéclente, par quatre conditions suppléinentaires qui ne font intervenir que les involutions d u groupe e t leurs produits, et la propriété d'un tel produit d'être ou de ne pas
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$ 1 . Auton~orpliisizicsclcs groripcs Gr*,,(10.
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être iiiic involution. 1 . I I [ I J et 1;. B-ACHMANN [ I J ont c101iiiC cles caractilirisatioiis aiialogucs des groupes O i ( ) où I cst dc cal-actCristiqiic ii!et !d'iiidicc O (groupcs cluc 1'011 peut- considi.rfr conimc les grol~fies dc cléfilaccnzents d'z/,nc géo~~zétrieIZOTI, czsclillic~c~~c clLifitique). C'cst aussi à l'aide dcs in\7olutioiis quc 1 J I ] a caractérisd ccs groupes par plusieurs autres systèiiies de coiiclitioiis. Le plus 1-cmai-quablccst sans cloutc le suivaiit: à tout groupe G associons cleiis ciiscmbles I' (ciiseinble des ((points)))ct H (ensemble dcs nli~-pcl-plaiis))) dont cliacun cst cn cori-cspoiidaricc biuiii;~oquc avec G. 011 définit ensuite la relatioii «lc point fi cst clans l'hyperplaii h » par la condition que fil2 cst une iiivoliition dc G (fi et lz étant jdcntifids ails 6lémeiits corresl~oiidantsde G). Ceci l~criiictde définir iinc iiotion dc ((dépeiidance linéaire)) dans P : fi dLpcnd liiiiiaireiiient d'un ciiseiublc dc points S s'il cst daiis tout liyperplaii contenant tous les poiiits clc S . On définit eiisuitc lcs ((variktks liiiéaircs)) daiis Y cornnlc lcs sousciisenibles 114 tels quc tout point cldl~cndant lintiairenicnt de 11f soit clans flf. Cela ktant, pour que lcs ((vari6tés liiikaircs)) dails P satisfasscii(;LUS asiomcs cle la géoinétrie projcctivc ?L 11 > 1 dimciisioiis, il laiit ct il suffit q u e G soit isomoryhc à uii groiipc dc déplacemciits cl'iiiic g6oiiiétric elliptique, auquel cas oii a cl'aillcurs II = 3.
Automorphismes et isomorphismes des groupes classiques. 1. Automorphismes des groupes C L , , ( [ { ) . La plupart des métiiodes coiiiiues pour dCteriiiiiicr les autoiiioi-pliisincs (i'iiii groiipe classique G (ou lrs isoiiloi-pliisnies d'un tel gi-oupr siir 1111 groupe dc niême nature) reposent sur la considération des ~ I Z ~ O ~ I I ~ ~ ' O I L S dii groupe G, et siir le fait qu'uii autoiiiorpiiisiiie (rcsp. ~ i i isomorl~liisiiic) i transfoi-inc une involutioii eii involution. 1,'Ctiide dcs involutioiis cles groupes classicliies, faite au cliap. 1, montre qu'on peut Iciir associer cle façoii intrinsèque des sous-espaces dc l'espace où opère lc çroiipc: iin autoinorphisme cle G induit donc iiiie traiisfori-riatioii entrc ces sous-espaces, ct dans la plupart des cas, Ic théorèine foiidanicntal clc la géoiiiétric projective (cliap. I I I , $ 1) perinet de voir quc cettc traiisformation provient d'une collinéatioii ou d'une corrélalioii, ce qui conduit filialenient à la dkterniination dcs automorpliismes dc G. Noiis conimeiicerons par l'étude des automorpliisines d'un groopc GL,n(II),où Ii: est un corps commutatif ou noil; la forme différente cles involutions de GL,(II), suivant que Ii a une caractéristique +? ou figale à 2, conduit à étudier séparément ces deux cas. 1. I L 2 3. K est de cauacléristique 2. Nous dirons qu'uiie (fi, ri - fi)involutioii (cliap. 1, § 3) est ext~~é~~zale si on a p = 1 ou p = n - 1. La première étape consiste à prouvei- que:
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) O au~omorphisme p> de GL,n(Z<) trans/orme uiie i ~ ~ v o l u t i o ~ ~ cxiré~nalcel2 une ir~volulionextrémale. Il s'agit pour cela de caractérise1 les involutions extrémales parmi toutes les involutions de GL,(I<), par des propriétés qui ne fasscnt intervenir que la structure de groupe de GL,(II), et non sa dClinitio11 A pirtir de l'espace vectoriel E de dimension 9% où il opère. 011I'OLI~ procéder de plusieurs manieres, en développant des idCcs qiii ont leiilE Y La méthode la plus origine dans un mémoire de G. W. ~ ~ ~ A C H [Il. [ 7E] , p. 5): on considérc rapide est sans doute la siiivante (J. D I E ~ D O N N (dans dans GL,(K) les ensembles m a x i m a u x d'involutions cofi+ées GL,(K)) et deux à deux permutabies. E n utilisant le fait qu'unc transformation permutant avec une involution de GL,(K) conserve les sousespaces propres de cette involi~tion,on voit aisément qu'i~ntel ensemblc éléments s'il est composé de ($, 12 - p)-involutions,
et que toute (p. n - $)-involution appartient à un tel ensemble (ail moins); d'où la caractérisation cherchée des involutions extrémales. L'autre méthode, développée par C. RICICARI.[Il, égaleincrit à. partir d'idées de G. W. MACKEY [Il, se rattache davantage à la suite du raisonnement et s'étend, comme on le verra ($§ 3, 4 et 7) a d'autres groupes classiques. De façon génhrale, si S est un ensemble d'in~~olutions dans GL,t(K), désignons par c ( S ) l'ensemble des involutions qui permutent avec toutes les ii~volutions de S. Pour deus involutions ficrniutables u, u , désignons par v(u, v) le nombre des éléments de c(c(u, u ) ) ; et, poiir toute involution u , désipons par V(U) le maximum des nombres ~ ( uV ), lorsque v parcourt l'ensemble des iilvolutions permutables avec u. On peut alors montrer que, pour n > 3, on a , ( u ) = 16 si u n'est pas estréinale, et v(u) = 8 dans le cas contraire, ce qui donne une nouvelle caractérisation des involutions estrémales (pour .YL = 2 OU n = 3, toute involution est extrémale). L'étape suivante du raisonnement consiste à considérer, avec M n c x ~ y les , coufiles qnininzaz~xd'involutions extrémales: par définition, d e i n involutions extrémales ZL,v forment un couple minimal si elles ne sont pas permutables et ont un sous-espace propre en cornmuil. On montre alors que: 2\ T o u t automorphis9nc 91 de GL,(II) tralzsforme u n couple ?ninimal d'inuolutio~zsextrénzales elz u n coufile minillzal. 11 s'agit encore ici de caractériser les couples minimaux par des propriétés ne faisant intervenir que la structure de groupe. La méthode imaginée par MACKEY (toc cit.) repose sur la propriété suivante: si u et v sont deux involutions extrkmales ~zofz$er~~zutaOles, elles forment un couple minimal si et seulenient si, pour tout couple d'involutions extrémales non perrniitables u', v' appartenant à c(c(u, v)), on a c(c(I,L', = C(C(ZL, v)). V I ) )
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IV. A ~ t ~ n i o r p h i s n i ectç içomorpliis~nesdes groupes -- claîsiqucs. _ - ..____ ___C__-.-_-_
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$ 1 .-\~itoiiiorpl~isiiics dcs groiipcs G L , ( f q . - - . ;IL= ;=-- - .. - -.-~-. _ -
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A partir de Ià, on peut procéder de deux mariièrcs cliffbrentcs (poiir 2 3). La première consiste à associer à cliaquc involiition extrénlalc lc couple ( D , H) FormE des sous-espaces propres de cette involiition, consistant en une droite B ct un hyperplan H tcls q ~ i cD -1- N = B ; l'a~~tomorphisine rp définit donc une perrn~itation111 dc l'ensemble de ces couples. Disons que deiix couples minimaiix tu,, v,), (u,, v,) d'invol~~tions estrPrnales sont sc~~zb?alilcs si les dimcnsioiis des soiis-cspaccs à u,,zr, d'une part, a u,, v, dc l'autre, sont les incmcs; propres comn~ui~s on montre alors aisément que g, transfornic deux couples ininimaus i i r 13. 459). semblables en coi~plcsminimaux semblables (C. I < i c ~ < ~[LI, D'après 21,11) transforme donc tous les coiiplcs ( D , H) correspoiidant à la même droitc D, soit en un ensemblc dc couples correspondant à la même droitc, soit e n un ensemblc de couples correspondant au même liyperplan. et c'est toujours le même cas qui SC préseilte, quelle que soit la droite D considérée. La pcrmiitation y, definit clonc unc application biunivoque O, soit de P ( E ) sur lui-mêmc. soit de l'(E) sur P(E*). En outre. si on considkre trois droites distinctes Dl, D,, D, de E situées dans 1111 inêine plan, et un hypcrplan H ile coiltcnant aucune de ces droites, il est facile de voir que, si ut clésigne l'involution correspondant au couple (Di, N) ij = 1 , 2, 3),chacunc clcs ui appartient à l'ensemble c(c(uj, u,)) déterminé par les deus autrcs; d'où l'on conclut saris peine que O transforme les trois points en lignc droite B I , LI,, D, de P(E) en trois points en ligne droite. On peut tloiic appliquer le th. fondamental de la géométrie projective (chap. III, $ I ) , et il existe. soit une collinéation g de E telle que g = O, soit Linc corrélatioii Iz de E sur E* telle que iz = O. Dans le premicr cas, p, coïncide avec l'automorphisme u + gzcg-= pour tolites les involutions extrémales, et dans désignant la contrale second, avec I'automorpl~isme u+ hüh-l, grédiente de u. Supposons par exemple qu'on soit dans lc premier cas. Comme toute transvection est le produit de deux involutions extrémales, et que SLn(I<)est engendré par les transvections, les a~itomorphismcsp et u -t gug" coïncident dans SL,(Z<). E n considérant l'automorphisme u + g - l p ( ~ j g on se ramène au cas cles aiitomorpliismes rl,, laissant invariantes toutes les transvectioils de GL,(Ic); mais si t est une transvection quelconque, 2.5 un élément arbitraire de GL,(K), u t u - i est une transvection, donc p,,(w)t(p,(u))-l= utu-1, ce qui montre q ~ i cu-lpo(u) est permutable avec tolite transvection, donc laisse invariante toute droite de E, et est par suite une homothétie ce7ztrale X ( ~ ) il; est clair ) un homomorphisme de GL. dans son centre Z. d'ailleurs que u -+ ~ ( uest On voit donc finalement que 1'011a, dans le cas envisagé 11
= X ( U ) PB-] (1) y étant uqt honomo~$hismede GL,(K) dans o n centre Zn, et g une co"i%éation de E. En écrivant que la restriction de p à%, est biunivoc~iie,
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IV. Autonzorplzismes e t isoinorpl.iisrnes des groupes classiclues. ._
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on trouve pour la coiiditioli ni-cessairc suivaiitc: %,, étant idcntifié au groupe multiplicatif Z* du centre de IC, la relation = i-l doit i i n 1 i = 1 11 est irnmédiat que cette coiiditioii est siiffisante. Si on était dans le second cas, on trou~reraitde inêrne
~(c)
x était1 ZL7Z h o ~ z o ~ ~ ~ o ~de~ hGL,,(I<) i ~ r n e (lmis son ce~ztreZ?2(soumis à 1.1 même condition) et lz une corrélntio~zde E szw E*. L'autre inétliode pour obtenir ces résultats coilsiste à utiliser le fait, rappelé ci-dess~is,que toute traiisvection est Lin produit de deiis involutions estréinales formant un couple minimal, et réciproquemciit. Il en résulte que cp traiisfornie toute transvectioii en transvection. On utilise ensuite un raisoiii-iemeilt de O. SCHREIER et B.L. V A N nm? WAERDEN( [Il, p. 315-31G), basé sur le fait que le produit de deiis transvections tl, i, n'est une transvection que si i, et t, ont, ou bien mêrne hyperplaii, ou bien mêine droite. Un sous-groupe de GL,(Ii-) ne peut donc être formé de transvections (et de l'identité) que s'il est un groupe T(H)foriné des transvections ayant inêine hyperplan FI, ou un groupe T(D) formé des transvections ayant même droite D ; en outre, une transvection ile peut appartenir à T ( D )n T ( H ) que si D C Hl et uil groupe T(H) ne peut être conjugué d'un groupe T(I1) dans GL,(I<). On déduit aussitôt de ces remarques que y définit uiie application biunivoque O de P ( E ) sur P ( E ) ou sur P ( E * ) ; et, dails le premier cas, par exemple, O transforme les points d'un hyperplan eii les points d'un liyperplan, ce qui perinet de terminer le raisonneillent comme ci-dessus. 2. Les trailsvectioils sont ici les I I . la 2 3, I< esi de caracté~~istiq.tle (1, 7% - 1)-iilvolutions de GL,(II); il suffit de les distinguer des aiitres involutioils par une propriété ne faisant intervenir que la structure de DER WAERDES,rappelée ci-dessus, groupe; la niétl~odede SCHREIER-VAN conduit alors à l a même coiiclusion que dans le cas 1. Il n'y a de problème que pour 1" 2 4. Pour n => G, on aboutit à la distinction cherchée eii remarquailt que le produit de deus traiisvections permutables cst une transvection ou une (2, n - 2)-involutioii, tandis que le produit de deus (9, n - p)-involutions permutables peiit appartenir à pliis de deux [7], classes d'éléments conjugués dans GL,,(II) si p > 1 (J. DIEUDONNÉ p. 14). Pour iz = 4 ou 12 = 5, il s'agit de distinguer entre les deux classes C,, C , d'involutions dans GL,(I<). Pour cela, on coilsidère, pour iine involutioii u, l'ensemble P*(u) des involutions permutables avec .tt e t n'appartenant pas à la classe de ZL, puis l'ensemble P**(u) des involutions permutables avec toutes celles de P*(zr) e t apparteiiant à la classe de z ~ . Si zt est une transvection, le pi-odiiit de deux éléments de P**(zL)est dans la classe de TA,mais il n'en est pas ainsi si ZL n'est pas une transvection, d'où la distinction chercliée.
I I I . I L = 2. Si I< est de caractkristicliic: 2, le raisoiiiîcillciit dc TI 131-ouve encore cjue cp transforine les trans\~cctionsci1 traiisvcclioi~set par suite déterniiiic une application biu~ii\~oquc dc la droite projccti\~c~ P,(K) sur clle-niênic. 0 1 1 peut toujours supposer que cette application laisse invariant un point (clioisi coinnic point 1 c:t l'infini) dc ( par suite définit uiic application biunivocl~icI + I" dc I< sur Ilii-niêiiic ; on peut i~lêinefairc en sorte cluc O0 = O, l o = 1. Eii outre, cil iitilisaiit le fait que, si s et I sont des trai~svectioi~s, il en est de 111Cmc de sis-l, on montre facileiiient que l'oii a les deus 1-clatioris ( x -1- y)* = xD j yfi, ct (XY.x)" = , L ' ~ ) ' " X' ( o . C I I I R - .. V DER A I [l], p. 317-31s). 11 résulte alors d'iiii tlikorèine de 1 . 1 . 1 1-71 qiic t + tu est iiéccssairement un autoiiiorl~liicmcou un aiitiautoiiior~~l~isinc cle I<, et il est facile alors de conclure que p cst clonnC par iinc dcs clcux forinules (1) ou (2). La inême méthode a été einl3loyCc 13x1-0 . SCI-~I~EIER ct E. 1,. V A N 1)r:i; WAERDENpour un corps conam~~iatif 1< dc caractéristiclue += 2, iiiais leur raisoi~nemcntcontient unc crreur dans la déinonstratioii du fait que cp traiisformc (ail signe près) une traiisvcction cil trans\icctioli. Ce point a été démontré par L. Ii. HUA(153, p. 75Gj, qui a rcinarqiié que l'oii peut (pour un corps Ii- coiiimutatif) caractériser les transvectioiis ! par les propriktés suivantes: si Ii- est de cal-actéristiqiic fi =I= O, on a. t2"= 1; si I< est de caractéristiqiic 0, les trailsvectioiis sont Ics seulcs transformations de L ( ) telles qu'il existe une infinité clc ti-:~llsformations de SL,(I<) conjuguées de I ct l~crmutabIes avec I . 1,a clétermination de y par les foriiliilcs (1) ou ( 2 ) cst donc cncoi-c \,alal,lc clans ce cas. Eiifiii, en s'appuyaiit sur cc clcrnici- r6sultat, L. I<. HU;\ ($11 ri. p ~ i inoiltrer que tout autoiiioi-phisme cle GL,(Ii') est encorc don116 par Ics formules (1) et (2) lorsque I< est un corps lion coininiitatif quclconcliic. Lc problème de la détermination des aiitoiii«rpl~isinesclc GL,,(I<) cst donc complètenlent résolu. Remarques. - 1)Les automorphisn~csdugroupePL,(Ic) dcscollinéatioi~s de E sont encore donnés (pour 7% 2 3) 1x1les - formules (1) ct (2)) o
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IV. Autoinorpliismcs e t isoniorpliisnics des groupes classiqucs.
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Ii est de caractéristique 2, il suffit d'observer que si GL,, zi, sont deux involutions de n'appartenant pas à GL,,(IC), conjuguées et permutables dans rL,(Ii), leur produit appartient 2 GLn(K) et ne peut clonc être conjugué à 21,. contrairement à ce qui se passe lorsque u, et z ~ , sont des transvections (J. DIEUDONNÉ[7], p. 17); ce dernier raisonnement s'applique aussi pour II = 2, et donne donc les automorphismes de TL,(I<) lorsque Ii est de caractéristique 2. 2) C. RICICART[ l , 31 a montré comment ses niéthodes s'étendent à la détermination cles automorphismes de groupes linéaires GL(E) lorsque E est un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps quelconque K de caractéristique + 2. C'est d'ailleurs en traitant un problème analogue (pour Ii réel ou complexe) que MACICEP[ l ] avait introduit sa méthode des ((couples minimaux ». Signalons aussi une autre généralisation, due à G. EHRLICH[ l ] , où GL,, (Ii)est remplacé par le groupe des éléments iiiversibles de l'anneau «régulier» associé à une ((géométrie continue)) de VON NEUMANN.
§ 2. Automorphismes des groupes S L , , ( l r ) . Il est immédiat que tout automorphisme p, du groupe GL,,(K), donné par les formules (1) ou (2). induit sur SL,(I<) un automorphisme de ce groupe, pourvu que la restrictioii de à SL,n(K)soit une représentation de ce groupe dans son centre. Comme SL,n(I<)est son propre groupe des commutateurs sauf lorsque IZ = 2 et Ii = F, ou If = F, (chap. I I , 5 2), oii a nécessairement x = 1 sauf peut-être dans les deux cas précités; mais, pour IZ = 2 et K = F,, le centre de SL, est réduit à l'unité. et pour n = 2, K = F, l'indice dans SL, du groupe des commutateurs est égal à 3 alors que le centre est d'ordre 2, donc dans tous les cas est nécessairement égal à 1. I l s'agit cle savoir si, inversement, tout automo~~phisme de SL,n(K) est ir~duitpar un automorphisme de GL,(Ii). Nous allons voir que le problème est résolu dans l'affirmative, sauf un seul cas qui reste ouvert. E n premier lieu, si Ii est de caractéristique +2 et si n est impair, SL,(K) contient les (1, n - 1)-involutions, et les raisonnements du 5 1 s'appliquent clonc pour n 2 3, Il en est de même si Ii est non commutatif c i de caractéristique f 2 et si - 1 appartient au groupe des commutateurs de If* (ce qui est le cas, par exemple, pour le corps des quaternions); car alors toute involution de GL,,(K) appartient à SL,n(Ii). Enfin, si I<est de caractéristique 2, les transvections appartiennent à SL,(K); toutefois, la méthode décrite au 3 l utilise le fait que deux involutions de même type (9, n - p) (où 2P 5 n) sont conjuguées dans le groupe GL,,(I<); elles sont encore conjuguées dans SL,,(K) si 2 9 < n, mais non nécessairement si n = 2p. On constate cependant que le raisonnement montrant qu'un automorphisme de GL,(K) transforme une transvection en transvection s'applique encore sans modification aux
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A ii toniorpliisrncs clcs grou pcs -
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aiitomorpliisincs clc SL,,(IC), saul pool- I L = 4. Daiis cc dcrnicr cas, il faut utiliser unc autrc méthodc pour déiiioiitrcr cc fait; la inéthode indiquée dans (J. D~I~LTDONNI? [7], p. 19) S C ~ O S C ~111- LIIIC asscrtion incaacte; cetic erreur a été corrigéc par L. 1<. 1-TUA ct C. 13. WAIS[ I l , ct la coiiclusioii est qnc pour Ii dc caractéristiiluc 2,lcs aiitoinorpliisnics dc SL,,(I<) sont iilduits par ceux dc GL,,(I() pour tout 7z 2 2. II reste i considérer lc cas où IZ est pair, Ii est dc caractéristique + 2 ct - 1 n'appartient pas au groupe dcs cominutateiirs C de Ii*. Alors lcs iiivolutions cstrémales de GLn(Ii) n'apparticniicnt plus 5 SL,,(I<); pour lz 2 6. oii peut appliquer aux (2. 1%- 2)-involutioiis (qui appartiennent toujours à SL,(I<)) cles niétliodcs analogues i cellcs du 1 et montrer ainsi quc tout automorphismc dc SL,,(Ii) est cncorc induit par un automorphisme de GL,(I<) (J. D I E U D O N N [7], ~ 11. 20-21). Le même résultat a été établi par L. K. 1-Iun [t)] pour IL = 4 par Iinc tout autre méthodc: il étudie d'abord lcs auioniorpliismes clu groupe SLH(Ii) formé dcs transformations linéaires dont lc détcrniinant est l'unité ou l'image de - 1 dans I<*/C, et montrc quc ccs automorphismcs sont induits par ceux de GL,(K) ; en s'appuyant sur ce résultat, et par un raisonnement asscz coinpliqué, il parvicnt finalcnlciit à dbterminer les automorphismes de SL,(IT() dans lc cas considéré. E n ce qui conceriic enfiii les automorphismes dc S ( I ) tout revieiit (comme ce groupe peut ne contenir aucune iiivolution distincte de I'identité) h caractkriser les transi7ections par des propriétés nc faisant intervenir que la structure de groupe; on a vo à la fin di1 $ 1 que cela est possible lorsque If est commutatif. L. I<.H U A et C.H. WAX[ l ] ont montré aussi que lorsque Ii est non commutntii ct de caractérislicl~ic fJ > O, les transvections sont les éléments d'ordre 1) dii groupe SL,(I<). Le seul cas qui reste ouvert est donc celui où IC est non commutatif, dc caractéristique 0, ci où - 1 ii'appartient pas no groupe des comniotateurs de K*.
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$ 3. Automorphismes des groupes SI,-,,, (cc). On sait que le groupe symplectique SfJ,(Ii) est identique au groupe unimodulaire SL,(Ii) (chap. II, 3 4), et ses a~itoniorpl~ismes sont donc connus puisque I< est commutatif 2 ) . Oii peut donc se borner aux dimensions 2772 2 4 ; le résultat est alors le suivant: Tout nutom,o~~phism,e p du çrozrpe symplectipue Sp2,,,(Ii)peut ,s'écrire sous Ln fovilzc p(u) = gug-', oh g apparlie~ztnzL groupe TSp2,,,(I<)(chap. 1, 9) 2 I'exceptio,rz du cas IIZ = 2, Ii = F,. Les méthodes de démonstration, ici encore, diffèrent suivant que K cst oii non de caractéristique 2.
(s
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1. I< est de cacnvté~~istique+2. Une première méthode utilise les involutions du groupc Sp,,),(IC). Une telle ini.olutioii est dite ici extré~izale
- ~IV. Autoinorphismes et isomorphisineç des groupes classiques. -. - . . . - .--- -. ~
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- - ... . .. - . .---. ... . g 4. Autoiiiorpliisliics clcs groupes Ci,,([<, 1). -- - . ,...... - -- . . . ..- --. - .. . -,
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si elle est de type (2, 2 ~ n 22) ou (2m - 2, 2); oii distingue les involutions de type (2p, 2112 - $) par le fait qu'un système maximal dc telles involutions (nécessairemeiit conjuguées) dcus i deux perrnutables
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d'un groupe S1),,,,-,(I-). Utilisant I'li~~potlièsc dc ri.ciirrciicc, or1 sc 1) . ramène au cas où rp laisse invariants Ics Cléments de S ~ J ~ , , , - ~ (0[1< parvient enfin au résultat final cn examinant la façon dont Lraiistorinc certains sous-groupes de II. K est de caractéristique 2. 11 s'agit ici encorc dc carnctt.riscr Ics transvections par cles propriétés dc structure de groupc, parini lcs autres involutions de Sp,,,,(IC). On y parvient pour ITL 2 3 par l'i't~lclc du centralisateur d'uiic i~i~~oltitioil dans S$,,l,(Ii) (cllap. 1, 14), ct cn montrant (par récurrcncc sur 112) qu'lin groupe S$,,,&(IC)Tic petit pris êtrc isomorphe à un gi-oupc S$,,(Ii) pour g < 112. Pour TIZ = 2, il faiit cxclure le cas où K = F,, a f i n dc pouvoir utiliser la siiiiplicitt. clii gro~ipc SL,(K), dans un raisoi-inei-iiciit plus compliqué clistiilguaiit lcs transvections de deux types distincts d'involutions de type (2, 2) (.[. DIEUDONNÉ ['/], P. 37-38). Les raison~icmenis analogues à ceus du $ 1 (pour un corps K de caractbristique 2) achèvent dc dCrnontrcr Ic théorème. Le tliéorème ne s'applique pas au groupc Sp,(F,), qui est isomor~)lic au groupe symétrique 6, ( $ 8 ) , car on sait que ce çroupc acli-iict clcs automorphismes non intérieurs.
r.
('3
éléments. Une autre méthode coiisistc à considkrcr Ic nombre v ( ~ L ) défini au 1, et à montrer que v(u) = 16 si zc n'cst pas extrémale, y(%) = S dans le cas contraire, pour 2m 2 8 (pour 2112 = 4 ou 2m = 6, toutes les involutic as sont cstrkmales) (C. R r c i c . 4 ~ [2]). ~ On introduit ensuite la notion de co~~.pLe 17zilzirnal d'iiivolutiolis extrémales: pour 2m ;r 6, ce sont les couples (24, v) formés de dcux involutions extrémales, dont les sous-espaces propres de dimension 2 ont une intersection de dimensioii 1. O11 montre alors que lc critèrt! de MACKEY(pour Ies couples miilimaux de GL,(Ii)) caractérise encore ici les couples minimaux, et par suite que tout automorpl-iisiue dc Sp,,,,(IC) transforme un couple minimal en couple minimal ( J . DIEUDONNE [7], p. 26; C. RICKART [2], p. 710). Pour 2112 = 4, on appellc couple mininznl d'iiivolutions tout couplc (u, v) d'involutions non perrnutables tel que l'uii des sous-espaces propres de u ait une intersection de dimensioii 1 avec un des sous-espaces propres de u. 011 caractérise alors les couples niinin~aux parmi tous les couples d'involutions (u, v) en étudiant la structure di1 centralisateur d'un couplc (zc, v), qui se trouve être résoluble lorsque (z*, u) est un couple minimal, F,; si K = F,, les deux et non dans les autres cas (tout au moins si I{ groupes n'ont pas le même ordre dans les deux cas). Ayant caractérisé ainsi les couples inii-iiniaux, il faut ensuite, eii utilisant cette caractérisation, montrer que si Z(D) est l'ensemble des involutions extrémales dont le sous-espace propre de dimensioil 2 contient une même droite D, tout autoinorpliisme de Sp,,(I<) transforille I ( D ) eii un ensemble I ( D f ) ;cela s'établit assez aisément pour 2m 1 6 (J. DIEUDOWNÉ [7], p. 26-27; C. RICICART[2], p. 711-712); mais pour 2m = 4, il faut un raisonnement différent et beaucoup plus long (J. DIEUDONNÉ [7], p. 29-30). Posant alors y ( D ) = D', on voit que ip est une application biunivoque de P(E) sur lui-même qui transforme deux droites orthogonales de E en droites ortliogonales, et par suite transforme les points de P(E) situes dans un même hyperplan en des points d'un même hyperplan. Le th. foiidamental de la géométrie projective (§ 1) est alors applicable, et conduit aussitôt au résultat final. L. K. HUA[5] a obtenu ce résultat par une méthode toute différente, qui consiste à raisonner par récurrence sur 112, en s'appuyant sur la connaissance des automorphismes du groupe SL,(K) ( 5 2) : tout automorphisme q de Sp,,,(K) transformant les involutions extrérnales en involutions extrémales, on peut se ramener au cas où g> laisse invariante une involution extrémale, et par suite aussi le centralisateur I' de cette involution, qui est produit direct d'un groupe Sp,(I<) = SL,(K) et
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con~porte
1
$ 4. Automorphismes dcs groupes U,,(ri, f). (K corps de caractéristique +2.) Nous supposons que f est une forme hel,~?zitiennetraciqiic sur un corps Ii' He cav,actéristiqz~c+2. Dans ccs conditions:
+
f I
1
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!
i
i
l
Pour lz 1 3 , et sauJ Peut-être pour les groupes U,(F,) et U,,(F2,), tout nzctofizorphisme clu grou$e zcnitaire U,,(Ii, /) peut s'écrirc sorrs la /orme ~ ( z c )= ~ ( u ) g u g - l ,ou g appartient au gvoz~pel1U,(K, /), et est un itomomor~lzismede U,(I<, /) dans son centre. La première étape, coiiime dans les $$ précédents, coiisistc à caractériser les involutions extrCmalcs de U,(K, f), qui ici IIC sont autres que les symétries par rapport aux Ilyperplans non isotropes dc E. On y parvient (pour 12 2 4, le seul cas où le problème se posc) par la méthode de MACICEY-RICIURT décrite au $ 1: pour toute involution zc de U,(K, f), on a v ( z ~ )= 16 si .u n'est pas extréinale, v(u) = 8 dans lc cas contraire. Tout automorpliisme p de U,(K, /) transforine donc une symétrie en une symétrie, et par suite définit une translorniation biunivoque ?y de l'enseinble des droites no7z isotropes de E sur lui-inêmc, qui transforme deux droites ortl~ogonales en droites ortliogonales. Lorsque l'indice de / est 0, on peut donc appliquer à y le th. fondamental de la géométrie projective (chap. III, $ l ) , et le tliéorème en résulte comme dans les 3s précédents (C. RICKART[2]). Si au contraire il existe des droites isotropes dans E , il faut montrer qu'on peut étendre y à P ( E ) tout entier, de façon que ?y transforme cncore deus droites orthogonales de E (isotropes ou non) en droites
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I V . Automorphisincs c t isomor-pliisrnes cles groupes classiques.
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orthogoiiales. On ilote d'abord que 7p transfornic toutes les droites 1ion isotropes d'un même plan lion isotrope P en droites non isotropcs d'un même plan y ( P ) , eii rcmarquaiit que les droites de P sont orthogonales à un système de a - 2 droites non isotropes et deus à deux orthogonales dans E , et réciproquement. De la même façon oii montre que si 1%. P, sont deux plans non isotropes dont l'intersection est isotropc ct la sonime (de dimensioii 3) non isotrope, leurs transformés y(P,), y ( P 2 ) ont les rnênies propriétés. Slipposons alors n 2 4, et soit A une droite isotrope; il s'agit de prouver que si P parcourt l'ensemble I(A) des plans non isotropes conte ant A, les plans y ( P ) contiennent une même droite isotrope On montre que cela découle de la propositioii suivaiite ( J . DIEU[7], p. 48-49): si P est un plan non isotrope, D une droite non isotrope dans P, et a , 6,c trois points distincts de D, il existe un quatrième point d dans P,non sur D t tel que les vecteurs d - a , d - 01 d - c soieiit non isotropes. Pour démontrer ce résultat, on peut on peut alors prendre d sur la droite à D et passant par 0, pourvu que la fonction 5 1t a ? de K ) prenne plus de deux valeurs + O dans K. à celui de ( J . D I E U D O N N [13], ~ p. 374), propriété est toujours vraie lorsque IIi commutatif, on considère le sous-corps ; il en est de même si K est fini et si le sousde J a plus de 5 kléments. Le cas IIio = F5 par un raisonnement voisin, mais le cas Ii, = F, nécessite des différentes ( J . DIEUDONNI?171, p. 50-51 et 76-77) pour de la droite y(A). Cela fait, on peut de nouveau appliquer le th. fondamental de la géométrie projective comme ci-dessus. 1% = 3; pour le cas J +1, u n raisonnement de plane permet encore d'étendre y à PIE) tout Ii ait plus de 25 éléments (J. DIEUDONNÉ171, Le même raisonnement s'appliquerait pour les groupes pourvu que IIi ait un nombre d'éléments assez grand; simple d'utiliser alors l'isomorphie de Ob(I<, f ) avec II, 5 9) et la détermination des automorphismes de ce groupe (voir $ 6 ) . automorpliismes des groupes U,(F,) et U,(F,,) n'ont pas été non plus que ceux des groupes unitaires ou orthogonaux infini de caractéristique 2 (cf. 5 7).
h
(
15. Automorphismes des groupes UA(lG f) (I
=
+2.)
n est impair, les involutions de type ( 1 , n - 1 ) appartiennent f ) et les raisonnements du 5 4 s'appliquent sans modification.
Au contraire pour r L pair, lcs inoolotioiis cxlréinalcs dc U,),(K,j ) n'appartieiineiit jilus à U : ( K , f ) ; on raisoiiiic alors sur les iii\~olutioiis de type (2, I L - 2) ou jn - 2, 2). Mais ici oti peut avoir i ) ( z ~ )= S 130Uldes involutions qui ne sont pas des types prc'cc'dciits, ct on iic coiinait pour le moiiient aucoii critère distinguant ccs iii\~olutioirsclcs autrcs dans le cas gcnCra1. Toutefois, lorsque la fornic j a un iizdice > 1, on peut caractkriser les involutions de type (2,r - 2) ou (12 - 2, 2) doiit le sous-espace propre de dimensioli lz - 2 coizlie~rldes vecleurs isoirofie.~, eii coiisidérant le centralisateur dans U: ( K . /) d'une telle involution et eii montrant (grâce aux résultats sur la strocturc des groupes unitaires obteiius au chap. II) qu'lin tel groupc iic pciit jarnais être isoniorl>lic au centralisateur d7uiie involution qui ii'est pas dc tylic (2, I L - 2 ) oii (n - 2, 2) (J.DIEUDOXNÉ [7], p. 52-53 ct 79-80), pour 72 2 8 (si lz 5 6, toutes les iiioolutions sont de cc type ct il ii'y a rien idéinoiitrci-). Il faut ensuite un raisonnement supplénieiitaire (utilisalit la conditioii de permutabilité de deux involutions) pour tiioiitrer qu'uii a~itoiiiorpliisiiic de U i ( I < . j ) transforme toute involution dc type (2, IZ - 2) ou ( P L - 2, 2) en une involution d'un de ces mêmes types (loc. cil., p. 53-54). Ponr poursuivre le raisonnement. oii sii~ilioscV L è 6. Soit S l'eiisemble des inrolutions de type (2, n - 2) oo ( l z - 2, 2 ) ; si u et v sorit deux involutions permutables de S, U + , V j- (rcsp. U-, Tf-) Ics soosespaces propres de dimension 2 (rcsp. I Z - 2) de zr et v, il peut se faire que U+ (7V+ soit de dimension 1, ou que (J-i- C V- ct Vi C U - ; oii dit s , dans dans le premier cas que Z L et v sont i w é , ~ z ~ l i è r e ~ ~~zec~~lzilz u t n D l eet le second régz(li2remelzt $evmutables. 0ii conimeiicc à distilig~icr ccs deux sortes de permutabilité en remarquant, pour n > 6, que uii appartient à S si et seulement si 14 et v sont irr4gulikrcnient perinutables. pour n = 6, il faut un raisonnement différciit ( J . D I E U D O N N[7], ~ p. 54 et 80). Cela fait, apl~elonscol.$jble l7zini~~zaLd'involutions de S deux involritions u , v dont les sous-espaces propi-es dc dimension 2 ont une intersection de dimension 1 ; désignons d'autre part, pour deux involutions quelconques ZL,v de S. p u c l ( u , v ) l'ensemble clcs involutions de S qui permutent régulièrement avec u et v, par c'(c'(z4, v ) ) l'ensemble des involutions de S qui permutent régulièrenient avcc toutes celles de ct(zt, v). Avec ces modifications, le critère de MACICEY ( § 1) caractérise encore les couples minimaux. Cela fait, on procède comme pour le groupe Sjb,,(K) ( § 3) pour définir, à partir d'un automorphisme rp de U:(Ii. f ) , une application biunivoque de PIE) sur lui-même, dont on montre aisément qu'elle transforme deux droites de E orthogonales en droites orthogonales. On conclut comme dans les 58 précédents, et par suite: Pozw 7z pair et > 6, tout automorphisme de U,I(IC,f j (IC cor$s commutatif de caj'@cléristique 2,f forme /zermitieqzne ( o u symétrique) d'ilzdice 2 1 ) esl i n d u i t par zm automorphis~zede U,(IC, f ) . -
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5
I V . Autoinorpl~ismese t isoinorpl~isnicsdcs groupes classic~ues ___.
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la considération clcs ensenibles masiinaux ~l'involutions conjuguées et permutables, sauf lorsque 12 = 4 et que - 1 n'est pas u11 carrc dalis 1< (cf. J. DIEUDONNI? [7]); dans ce dernier cas, on distingue les iiivolutioiis extrémales des involutions de seconde espèce, en notant que si z ~ v, , zh', v' sont q ~ i a t r eiiivolutioiis conjuguées de seconde espèce (corrcspondani à uii élément y Ii qui n'est pas un carré dans I<),u ct v étant perinutables, ainsi que u' et v', les produits uv et u'v' ne sont pas néccssairement conjugués dans PGL,(I<). Cela fait, les méthodes du $ 1 s'appliquent sans niodificatioii aux involutions extréniales, et montrent que LouL nutonzorphisiize de PGL,(K) provient, pnr Pasçuge uau quotielzt, d'uri aulonzorPhis71ze de GL,n(I<). Ce résiiltat est encore valable pour i l = 2 et Ii de caractéristique +2, coinme l'a montré L. K. H U A [9], l>ar les mêmes métliodes que celles qu'il a appliquées à la détermination des automorphismes de GL,(I<). Lorsque I<est de caractéristique 2, les involution^ de seconde espècc dans PGL,(I<) (12 > 2) peuvent aisément être distinguées des autres, en notant que si u, v sont deux telles involutions, conjuguées et permutables, le prod~iituv n'est jamais conjugué de u , contrairement à ce qui se passe pour les involutions de GLn(K). Cela fait, les méthodes du 1 sont applicables, et le résultat énoncé ci-dessus est donc encore valable. Des méthodes analogues s'appliquent pour les groupes PSLn(K) sauf lorsque lz est pair, K de caractéristique + 2 et où - 1 n'appartient pas au groupe des cominutateurs de K (J. D ~ E U D O N N [ 7E] , p. 19). Dans ce dernier cas, pour distinguer les 2-invol ltions des involutions de secoirde espèce (pour n 2 4) on utilise les propriétés des centralisateurs de ces involutions dans PSL,(K) (chap. 1, § 4). Les méthodes utilisées au S 2 s'appliquent ensuite, et la concliision est encore que, dans tous les cas où les automorphismes de SLn(K) sont connus, ceux de PSL,(I<) s'obtiennent par passage au quotient. La même conclusion est enfin valable pour les groupes symplectiques projectifs PSp,,(K) ; ici encore, tout revient à distinguer les involutions extréniales des involutions de seconde espèce, ce que se fait en examinant les centralisateurs de ces involutions (cf. chap. 1, §§ 13 et 14, et
J. DIEUDONNÉ [ 7 ] , p. 32-34).
5 7. Automorphismes des groupes PU,(K,f ), PUk(IL,i') et l'Ldtt(li,f) Les inêmes difficultés relatives aux involutions de deuxième espèce se présentent pour la détermination des automorphismes de PU,,,(I<,/), mais aggravées du fait que les métliodes du $ G ne sont pllis applicables sans hypothèse particulière sur K ou f . Toutefois, J. WALTER[ l ] est parvenu récemment à déterminer les autoinorphismes de PU,,(I<, f ) sous les seules hypothèses que K est un corps (commutatif ou non) de caractéristique +2, et ayant plus de 3 éléments, et que ~r= 5 ou
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2 7 ; dans ces contlitioi~s,tolrt n t ~ L o r ~ z o ~ ~ Pdel ~ i,s ~( ~1~ c/ ) $r.ozlirlzt
ficlssagc qztotiozf rl's1~11r~1~to71zor$lz~is~~c rEc l , ( l i J) J (ccs aiitoiiiorphisincs ont Cté détcrn-iinks au $ 4 ) . Lc poiiii: cssciiticl c,onsistc ;:I distinguer lcs involutions cstri.males clc l'>(/;,(Tir, /) des autrcs involutions clc cc groupe; cela fait, les inétl-iodcs du Sc 4 s'appliqiicnt salis iuoclification siibstantielle. La ni6tliode dc J . WALTERcst 1111 clévclo~>~)c~iient ch: cclle de RICI<.-IICT (gC l ) , et rcposc cn premier licii sur la consid6ratioii clu nonibre ~(21) pour une invol~itioiiq~ielcoiiquc7i tie lJU,,(I{, /). La difficulté proviciit ici de cc qiic, si l'on a v(Z)=-l po~ii-1c.s iiivolutions cstrémnles, et ~ ( 2 > ) 4 POLN 1cs invol~itioi~s imii c ~ t r i ' i n ~ clul ~ l ~pros vieilnent d'une involiition 21, clc li,(Ir', /), oii peut aussi avoir ~ ~ ( i=i )4 pour certaines involiitions elc secoiide espèce. J . J I coiisicldrc alors l'cnscnible des in\.oliitioiis dc PU,,l(tr',/) pour lcs(liicl1cs i.(Z) = 4 ; ~ O I U tout systènie cle trois involutions distinctcs 5,zi, G apl~artci~ant à 114 ct deus k deus perinutables, soit cc>@, Ü, F ) lc noinl~rcc1'élCiiiciits de c(c(Ü, G, G)) (la notation c(S) a le même scns qiic daiis le 1, inais clans le groupe /) coiisidéri:) ; crifiri, soit co(E) lc. inasiiii~imdc co(LL, Ü, G ) lorsqiie S et G varieiit en satisfaisarit a u s coiidi tions préII (basée sur les cédentcs. Grâce i unc btrrde précise de l'ei~seiilble: rdsultats du chap. 1, 5s 13 c l 1 ) J. WALTEI;parvient à montrer cluc la relation o(G) = S caractkrise les involutioiis cstréiiialcs parmi lcs éICnieiits de i1f, sauf pour II. = S et I L = 12, cas qui pciivciit Ctrc traités par des métliodes particiilièrcs (loc. cil.). Auparavant, les automorphismes des groupes 130,,,(Ii,/) avaient ttk clbterminés par J. D I E U D O N ([7], S ~ p. 55-57) lorsclue / est unc foi-nie syniétrique d'i.~zdice2 1 , inais 12 pouvant cettc lois être lin entier quelconque 2 3 , et Iil un corps coiiiiiiutatif quelconqiic de caractéristiqlic + 2 ; pour 7z impair, O ( ) cst isoniorphe A 0 ) , ct les autoniorphisincs ont été détci-minCs au 5; pour TL pair, la ni6tlioclc consiste à distinguer des involutions non estrémales les ii~\~olutions extrén~ales dont l'hyperplaii contient des droites isotropes, au moycii clcs propriétés clu centralisateur d'une involution: cette distinction cst asscz lacile, cn considdrant les deus premiers groupes des cominutateurs de ces centralisateurs, et en utilisant le fait que le carré de tout élément de O,,(I<, /) appartient au groupe des conimutate~irs de ce groupe. Le résuItat final est encore que les autoiriorpliismcs dc PO,,(I<, /) sorit ol->teiiuspar passage au qiiotieiit i partir de ceus de O,ll(Ii',/). Les autornorpliismes des groupes POi(I<,J) oiit aiissi été cléterminés par une méthode analogue pour IL = 6 ou 7z pair ct 2 10, lorsc~uef est d'indice 2 1 (J. D I E U D O L ~[7], X ~p. 57-60). I l s'agit encore cle niontrcr que le centralisateur d'une S-involution Ü de PO:(K, /) telle que le sous-espace propre de zt de dirnensioil n - 2 contienne des droites isotropes, ne peut être isornorplie au centralisateur d'une involutioil de seconde espèce. Cela se fait ici en considérant, dans ces deux groiipes,
a
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s
7*
100
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.4iitoiiiorl>liisiiicse t
IV
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. isoiiiorphisiiics
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dcs groupcs classiqrics.
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.. . . . .." .-. .. $ 7 .~utoiiiorpliisiiics(Irs g r o u p a PU,,(li, f ) , I'lf,;(li,i) c t PQ,, (ii,1). 101 . . . . . . -. ~
les sjislènzes ?îz.ani7iznrrx rl'zicvolulioizs $crmutablcs, et cil iiioiitrarit (1 tic ces systèmes n'on1 pas inênie nombre d'C1Cmcnts dans lcs dciis cas. Dans les cas considérCs, les automorpliismcs de PO;:(I<, /) sont cncorc obteniis par passage au quotient à partir d'autoniorphismes de O;(I<, /) (détcrininés au $5, iiioycnnant les mêmes Iiypothéscs sur 1). La niênic coiiclusioii cst encore valable pour 76 = 4 et f d'indicc 2 1 (sauf peut-être lorsque I<= F, et que / cst d'indice 2), conimc on Ic voit en raisonnant comme au $ 5, e t en tenant compte dc la striicturc particulièrc des groupes O;(IC, f). tout à fait Pour n = 8, il se produit par contre des plié~ioinè~ics exceptionnels. E n effet, si f est d'indice 2 1 et s'il existe uiie base de E
=zE:, S
par rapport à laqucllc / ( x , x)
la Lliéoric dc la c(trialit6jj
i= l
(cf. E. CAI
des (traites isotvofies sur lui-mêinc, clui trrinsfoi-inc cleus droites ortllogoilales en clroites orthogo~iales. 11 s'agit cl'étciidrc y~à l'ciiscnil~lcde toiitcs lcs droitcs clc E, de façon à poiivoir ciisuite appliquer coniine d'ordiiiairc le tli. fondnincntal clc la géon-iCtric projcctivc; on iitilisc dc pour cela dcs variantes clc la miilhodc dcs «couples niii~iiiiaus~) n4acsa~;on prouvc ainsi cil prcniicr licii qiic 7ii peut 6trc: btcndiic cri iiiie transformation biunivoque de I'c~iscmblecles plans non isotrolxs sur lui-même, puis que si dciis tels plans P,, IJ,ont une droite comnlunc, il cri est de inCine dc y~(l->,) et y)(lJ,), et enfin quc l'cnscinblc dcs plans non isotropes contcnant une niêinc droite D cst transformé par y~ cn l'ensemble des plans non isotropes contenant uric niême droite y)(L)). Ici cncore, le cas 7c = 2est ramené à la détermination clcs aiitomorphisnics de PSL2(I<,), qui sont connus ($3 8 et G). Nous avons déjà signal6 qu'cn général on iic connaît pas Ics auto~norphisnicsdes groupcs fdn(I<,f) lorsque Ii cst iiifiiii (voir ccpenclaiit [9], 11. 91-92). Par conlre, on un cas particulier dans J. DIEUDONNE. peut déterrniiicr les automorl~liismesclcs groupcs PQn(li-, f ) lorscluc Ii est un corps fixi de caractéristique +2. Lcs rriiitliodcs sont (pour n 2 G e t n 9 5) de la même nature que clans lcs cas traités l~réci.dcn~incnt, en utilisant le fait qu'on sait ici, grâcc ?I la iiormc spinorielle (chap. II, 3 S), caractériscr les involutions de O,, qui alq~articnncntà Q,,, ct d'autre part que l'on peut distinguer les divcrscs iiivoliitions dc l'O,, en considérant les ordres de leurs centralisatciirs. 011aboutit ainsi à la conclusion quc, dans les cas considérés, les a~itoniorpliismcsdc PQn(I<, f ) s'obtiennent à partir d'un automorphismc dc O,,([<, f ) (J. D I E U D O N N ~ [ 7 ] , p. 61-65]. Pour 7z = 8, les autoii~orpl-iisincssont cncore de ce type si le discriminant de f n'est pas un carré; dans le cas contraire, ces autoinorphisines iorment un sous-groupe distingiii: d'indice 3 dans le groupe d e tous les automorphismes dc PQ8(li-,f). Pour 3 n S 5 . on peut ramencr la détermination des autoniorl)liismes de PQn(I<, f ) à celles des automorphismes de groupes PSL,,,(K) oii PSfi,(I<)(cf. $ 8) qui ont déjà été déterminés. Enfin, pour 7% pair et 2 10, on peut déterminer les automorphismes des groupes PQ7,(I<,Q) lorsque I< cst un co7,ps /ini de casacté~,istique2. Ici, on a Qn= P 4 , et il n'y a donc pas d'involutions de seconde espèce; mais les transvections orthogonales n'appartiennent pas à Qn, et il faut donc étudier les 2-involutions. On constate qu'elles sont d e deux types distincts, l'un d e ces types (Ie «type produit))) étant formé des involutions qui sont produits de deux transvections permutables; cc sont ces dernières que l'on caractérise, en utilisant encore la structnrc du centralisateur d'une involution. I l faut ensuite distinguer, parmi les couples (u, u) de 2-involutions d e ((type produit)) qui sont permutables, ceux qui sont ((régulièrement perinutables)), c'est-à-dire tels que les sous-espaces d e dimension 2 de zi et 7) aicnt une intersection
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102 -
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Li'. !-\iitoiiiorl~liisii~cs ct isonior~~liisiilcs clcs groiipcs classicliics. . - .- - .. .- . .
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de ditiiciisioii 1 ; ccln se fait eii rciii;irq~iant cliie cc cas est car:icti.i-isï par Ic fait qiic le produit ztzl n'est pas une 2-involutioi~. Enfin, uiic variante clti procédé des ~(couplcsrniiiiiiiaiis~)permet de montrer qii'tiii autoinorphismc de PR,,,(I<, /) transi'ornic la fainillc des 2-involutions d u « t y p e produit)) doiit les sous-espaces de dimension 2 ont uiic clroitc~ coiniiiuiic, cil iinc famillc d ~ iiiicmc type; on peut alors appliqiicr Ir th. fondanici-ital de la géon~ktricprojcctivc, ct coiiclure q ~ i ctout alitoinorpliisnie de Q,,(I<, Q) est de la fornie ZL -> gug-', où appai-ticiit A rO,,(I<, Q) (J.D I E U D O N N [7], ~ p. 63-70). Les cas I L 4 ct la = (5 peuvent cricore être raiiienés à la cléteriiiination des autoriiorl)hisincs de groupes d e la foriiie IJSL,(I(,), PU:(IC,) ou P.SL,(Ii,), I<, i.ta.111 i i i i corps fini de cal-actéristiclue 2 (cf. 5 S), et ces autoniorpliismcs oiit Cté clétci-niinés plus haiit; on iir coiinait p;is par c o i ~ t r cIcs a~itornorpl~ismcsdes groupes PQ,(I<, Q).
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$ 8. ~sornorpl~isrnes des groupes classiques. Un gro~ipeclassic~ue G(Iz,K ,/) dépend d'un corps IC, d'uil ciltier ~r (di~nensionde l'espace où opère lc groupe) et éventuellement d'uiic. forme sesquiliiîéaire f (ou d'une forme quadratique Q ) d'indice clonni., nous dirons qii'un isomorpliiçrue de G(n, K , j) sur G1(7t',K r ,jl) est gé,né~/zqzsesi sa définition ne lait pas iilterveilir la structure particulière d u corps IC (sinon, éveiituelleinent, le fait clue I<est coiuniutatif), ct si par suite pour n'importe quel corps K (éventuellemeiit comnî~itatif) on obtient i i i i isomorphisme des groupes correspondants ( K ' dépendant iiaturellement de K). Daiis les autres cas, nous cliroiis clu'il s'agit cl'iso~norphismesexceptio7z~iel.s. Nous avons déjà rencontré des isomorphismes généi-iqiics, savoir l'isomorphisme de Sp,(I<) sur SL,(Ii') pour tout corps cominutatif, et l'isomorpliisme de UT(I<,f) siir SLI(II',) lorsque K cst coininutatif, J + l et / d'indice 1, K , étant le corps des invariants de J (cliap. II, $5 4 et 5). Tous les autres isoinorpl-iismes génériques coiîiîus (dont nous avons rencontré certains lors de l'étude des groupes O, et O, au chap. II, 9) peuvent être rattachés à uil seul d'entre eux, suivant une méthode développée systéinatiqueinent par B. L. VAN DEI; WAERDEN CI], p. 15-28. Le point de départ d e cette iîîéthode est le suivant: I<étant d'abord supposé de caractéristique + 3 , soit 1; l'espace K i , E l'espace des bz7:ectez~~ssur F , qui est de diinension 6; si (e,), est une base de 17, les ci A e, (i < j ) fornient une base de E , et le produit extérieur de deux bivecteurs x, y peut s'écrire ,Y A = ,/(,Y, y) el A e, A e, A e,, où le scalairc j(x, y ) est une forme bilinéaire syinétrique sur E , non dégéi~éréeet d'i~zdice3. L a relation /(x, A-) = 0 signifie que x est un bivecteur décomposablc (correspondant 1 Lin sous-espace de dimension 2 d e 1;); on peut cloric identifier la gi-assinarinienne Gl(F) à l'enseniblc des oints ?J
+
clc 1'(13) dOfinis par l'kliiatioii i ( s , ,Y) = O (< 2 ) ; aiiti-eincnt dit, 11, est iiiie ~ ~ : 7 7 ~ ~ - ~ ~ 1 . 7 ~ ~pour i I i t l ~ la ( l j formc i: /. l~éciproqircineilt, si I L est iine telle scnii-sii~iilitiiclc,l'application projective corrcsponclantc 6 traiisforinc G,(I;) cii lui-niSine; comme clcus 6lémcnts (<;idjaceiits )) de G,(l;) (au scns cl~icliap. 1 [ 1, 5 2) sont cles él6nients tels (lue la clroitc qui les joint dans I'(E) soit conteiiuc dans C , ( I ; ) , E cl: 6-' traiisfoi-nient dciis clémciits adjacents en Clénîciits adjacciits. 011peut par suitc ~ippliqucrlc tli. clc L ~ r o w(cliap. I I I , $ 3). si i~ ii'écliaiigc pas cxntrc elles les d e u s classcs de plans N i - ( E ) ,A'; (E) clc la clu:~clricliic (;,(F), il y a une applicatioii seini-linéairc v clc I; telle (lue oc2)u-' laisse i i ~ ~ ~ a r i a itous i t s les points de ]-'(fi), et par suite soit iiilc hoiiiotIiétic. Eii cl'autrcs tcrmcs, oii a r~ = i.c . vP), où ,LL C IC*; ci1 outre, la relation ,ch . = çc, . T>(,") inipliqiie, coinnic on lc vbrifie sxns ~ w i i ~ c(lue , 71, = ILo et p = jL2/~, (ILE I<*). Si au contraire I I i.cliaiigrc entre clles 9';(E) et AT;(E), I r est produit de la 1>iiissailcc cstéi-icurc sccoiide d'une :ipplicatioi~ semi-lin taire clc F sur 17* (autrenicnt dit, uiic corrklation de F), ct cle l'applicatioii caiioiiicluc (définie à 1111 lactcur pri.s) dc l'cspace dcs bivecteurs sur I;* sui- l'cspace des bivcctcurs siir 1;. Lorscluc 7 ' pst linéaire, zc est une siinilitzcde cii~ectepour la foi-lnc j, ct i-éciproclucniciit ; on voit donc que l'on a ddlini un ho~zo~?zor$his,~zc (,u, a ) ;1 2!(,) du produit I{* ?: GL,(I{) szlu le groupe GOi; (K, /) des siniilit~iclcsdirectes i-elativcs à la forine 1, le noyau dc cet l~oii~omorphisnic liismc génériqiie pour les groupes orthogonaux relatifs à dc telles formes. A partir de là, la métliode de \JAN DER MTAERDEWsJapl>uics u r les d e u s remarques suivantes: I o si f est une formc bilinéairc symétrique noii dégénérée sur un espace E de dimensioiî 7z sur K , H un liyperplan noii isotrope dans E , f , la restriction de / à H, alors le groiipc Oj[-,(I<, 1,) est le sous-groupe de O;(I<, f ) , ou de GOZ(I<,j ) , qui laisse invariante ilne forme linéaire z~ telle que u.(x) = O soit une équation dc N ;3" si Ii, est un sous-corps de Ii tel que [I< : 1(,] = 2, ct a l'automorphisine de Ii: sur I(, distinct de l'identité, le groupe GO;(Icl, /) est lc sous-groupe de GOn(K, j ) formé des transformations qui permutent avec la seiniinvolutioil (ti)-t ([y) de rO,,(I<, /) (les ti étant les coordonnées d'un el(-)
point de E par rapport à uile base quelconquc). Or, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E devient uiie lortne d'i~zdicc
9 8.
mariJ?Zum en ~1npla$alltle Corps par uiic extension de (( ohteiiuc par un certain nonibre d'crtc~isionsy~iadratiqlgi>isine calioiiiqiic, cil tradi~isant les conditions précédenlcs eii conditions portant sur le grOllF quotient de ii* x GL,(i<) isoinorl~iic 5GO:(I<, /) dans l'isomorpliisnie décrit ci-dcssiis (poiir / d'indice 3). On obtient ainsi 18 isoniorpliismcs grnéiiques de groupes 0,: poi113 B YZ 5 6 , CnumCrés partiellenieiit par B. L. 1i.u DER WAEIZDLN (111, p. 18-28. où l'on trouvera iine bibliogral~hie des travaux anterierirs sur cette question) et complètemeiit dans J . D I E U D O N N( [~I I ] , p. 200-225); cette méthode coiidiiit eiitre a u t r a d utiliser le procbdé général décrit au chap. 1, § 15. Noiis lie reviendrons pas sur les iiomorphismes des groupes 0; et O:, décrits aii chap. 11, 9 9; nous noiis bornerons ici 2i indiquer les isomorphismes géniriques que l'on obtient ainsi entre groupes simples (donc pour des groupes orthogonaux correspondant à une fornie d'indice $1 et aux diinenrions 5 et 6 ) : 1. n =- 6. Si la forme symétrique / est d1i7tdicc3, le groupe siiiipic PQG(I<,f ) est isomorphe au groupe simple PSL,(K). f ) est isornorplie au groupc simple Si / est d'indice 2, Pn6(ri, PU:(IC(V:A), g), où A est le discriminant dc /, ct g une formr hermitienne d'indice 2. Si / e s t d'indice 1 et si - A est uri ca7,ré, P Q h , /) est isomorphe ;LLI groupe simple PSL,(R,), où I<,est un corps de qiiaternions généralisés sur K. Si / est d'indice 1 et si - A n'est pas un carré, PQa(I<,f) est isomorpli<, au groupe T,(L. g)/nf2 (notations du chap TI, j i), où L est Lin corps de q~iateriiioiis généralisés sur le corps K ( Y 1 A ) , et g une forme hermitienne (ou aiitihermitienne) d'indice 1, relative :i une ii>volution J de dnixième ~sfièce.qui sur IC(]/=d) coïncide alrec I'automorphi~nr de ce corps sur K distinct de l'identité. II. n = 5. Si la formr / est d'i~zdice2, le g1-011pesiinple IJQ,(I<, /) est isomorphe au groupe symplectique PSfi4(~(J. Si f est d'indice 1 . le groupe simple PR,(K, /) est isomorphe ail groupe TdL. g)/W2 (notations du chap. II. g 4). où L est un corps de quaternions généralisés sur K. g une forme antihermitienne d'indice 1, relative à l'uniqiie invoiution J de L pour laquelle I'e~isenible des éléments invariants est le centre K. - Lertains de ces résultats peuvent s'obtenir, comme pour les dimensions 3 et 4, par la considération de l'algèl~rede CLIFFORD (M. PICH121. p. 33-35, et C. CHEVALLEY[l], p. 102-103). Mentiolinons aussi parmi les isomorphismes obteniis par ces in&thodes (et non signalé au chap. II. 5 9) l'isomorphisme entre le groupe ortiiog o n d O$((< /). oh / est d'indice 0. et le qiiotient par le groupe des homothéties d'lin groupe de similitudes unitaires directes G-(K,, g),
_ Isoiiiorpliisiiies dcs groupes classirl~lcs. -- - - -._ -__ - _- _ _- _-__
__
-. ._
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._
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10s -
-
où I<, est ilne crtcnsioii qtiadntiI(I<, Q) IOI-S~(IIC @ est d'indice 2 ( A désignant cette fois le psciido-discriminant de Q (clisp. IL, 6 et où Q est d'indice i Z n'ont pas été exalnili6s. 10));les cas Rappelons POU' mkrnoirc les isoniorpi>isines géii6riqiies des groupes Q,(i<, Q) étudiés aii cliap. II, 3 10 (scols ICS cas 7% = 6 et TL = 4 sont ici à considérer). En considérant d'autres types de sciiii-i~ivolutionsdans Lin gioUjX 0,:(I<, 1)(/d'indicc3),011 obtient par ianif me in~t~lodcdcs isoniorphismes de groupes ilnitaires siIr un corps de quaternions génbralisés; si L est un tel corps, J i.iiniglle involiitioii de L dont l'ciiwmùlc des invariants est le centre de L, on montre par csempk (avec ICS notatio~lsd o chap. 11. $ 4 ) tionnels entre les groupes finis des types PSL.(I<), PS$2,(I<). PU:(K. f ) . aurqucls s et les groupes a1tnté.s convient ici de joindre les groupes s y m é t r ~ u e G,% si.. Ces iso~norphismes,qui ont été décoiiverts par C JORDAN [l] et L. DICKSON [Il, sont les suivants : 1) le groupe PSL2(Fr)est isomorphe m groupe symétriclue 6 ; 2) le groupe PSL,(F,) est isoinorphe au groupe alterné 2[&; 3) les groupes PSL2(FJ et PSL,(F,) sont tous deux isomorphes au groupe alterné ?t5; 41 les groiipes PSL,(F,) e t PSL,(F,) sont des groupes siml>les isomorphes d'ordre 168; 5) le groupe PSL2(Fr) est isomorphe au groupe alterné 21,; 6) le groupe PSL4(FJ est isomorphe au groupe alterné pl,; 7) le g r o u p symplectique PSP4(FZ) est isomorphe au groupe symétriqG 6,; 8 ) les groupes PSp4(F,) et PUi(F4) sont Ces groupes simples isomorphes d'ordre 25920.
e).
I
~ ~ / r ~
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........
.....
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-
106
IV.
h~itoiiiorpliisiiiese t
-- ...
........
isoiiiorpliisiiies des . - ...... . . . . . . . . . .
. . . . . .
groupes classicliics. ...........
.....
Les méthodcs employées par Ics auteurs précités pour établir les isomorpliisines précédents consistent à forn-ier pour les groupes finis considérés, dcs systèn-ics de générateurs liés par certaincs rclatio~is,et à constater qu'en choisissant conve~iablementces générateurs, ils soiit cn nombrc égal et satisfont ails mêmes relations dails les groupes dolit on veut dénionti-er l'isomorpliie. On peut obtenir ces isomorpliis~ncs esceptioi-iiiels par d'autres n-iétl-iodes, qui ticnnent compte davantage [It)], de l'origine géométrique des groupes envisagés ( J . DIRUDONNE W . L. EDGE [l, 2, 31).
9. Isoinorphismes des groupes classiques (suite). Les résultats d u $ S conduisei-it i-iaturellement à se dcnlander s'il existc des isoinorphismes (génériques ou exceptionnels) entre les groupes classiques, autres que ceux décrits dans ce paragraphe. Cette question n'est pas encore résolue d e façon déiii-iitive; nous allons indiqucr les principaux résultats obtenus jusqu'ici. E n premier lieu, les groupes PSL,,(IC) et PSL,,,(IS') ( I L 2 2, rîl. 2 2) fie peuveizt être isomor$h.es que s i .rc = m, Ù l'exception des deux grorl.pes PSL,(F,) et PSL,(F,); en outre, pour l z = In > 2, I< et lit doivel~Lêtre isoînor$hes ou n~ztiiso~norfihes.I l en est de même Pour n = nz = 3, lorsque K et Ir sont comnzutntifs, ù l'exception d u cas IC = F,, Ii' = F,. Ce rCsultat a été acquis en plusieurs étapes. I l a d'abord été déinoi-iti-C par 0 . SCHREIERet B. L. VAN DER \V.~ERDEN[l] lorsqiie IC et I<' sont commutatifs, puis par J. DIEUDONXÉ ([ï],p. 22-25 e t [6],p. 91-91) lorsque IC et K ' sont quelconques, avec un certain nombre de cas laissés ouverts; ces derniers ont été traités par L. IC. H U A et C. H. W.xs [Il. On peut distinguer deux cas, suivant que ZC e t K ' soi-it tous d e u s finis, ou tous deux infinis. Dans le premier cas, la méthode de SCHREIEI~ et \JAN DER WAERDENconsiste à montrer que, pour n r 3, les transvections sont les éléinents de PSL,(I<) distincts de l'élément neutre, dont le centralisateur est d'ordre m a x i m u m . Pour n 2 3 et 112 2 3 , la méthode esquissée dans le $ 1 pour la détermination des automorphismes de GL,(K) permet alors d e montrer qu'un isomorphisme de PSL,,(I<) sur P S L , , , ( K f )détermine une application semi-linéaire de I P sur ICIm (ou sur le dual de ce dernier espace) d'où la conclusion. Reste à examincr le cas où l'un des entiers 12, m est égal à 2; on utilise alors le fait que dans PSL,(I<) (IC fini) le centralisateur de tout élément distinct de l'élément neutre est résoluble, et on achève le raisonnement par la considération des ordres des groupes finis qui interviennent. Lorsque I< et K' sont tous deux infinis, la méthode qui s'applique au cas le plus général repose sur l'étude des involutions des groupes considérés. Tout d'abord, I< e t IS' doivent tous deux être de caractéristique $=2 ou tous deux de caractéristique 2; cela résulte du fait que si I< est de caractéristique 2, il existe dans PSL,,(I<) des systèmes
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9 9. Isoiiiorpliisirres tics groupes clnssiq~ics( s i i i l c ) -.-. .-
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107
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iiiiiiiis cl'involutions coiijiiguécs ct pcrii~utnl)les.niais qu'il n'cil cst pas ainsi lorsqiic I i n'est pas clc caractcristiquc 2. Siipl~osaiitcl'aborcl quc I i ct ii' sont toiis dcus de c;~ractériçticliic+ 2 , oii iiioiltrc q u e l'on a n6cessaircmeiit rn = I L cil consiclilrant Ics noml)rcs d'6liiinciits dans les systèiiies ii-iaximaur d'involiitions pcrmii t:~l->lcsct coiij iigii6cs dc I->SL,,(li);pour les petitcs \,alcurs de nr ct 1 1 , i l faut clcs rriisoniicmcnts co~nplCnicntaircspour cxclure les cas que la inétlioclc pr6cildente nc pernict pas de traitcr; Ic 111~sdifficilc. éliicidC par 1 H u ~ct MJAN(loc. cit.) cst celui où 7 1 = 2, 17% = 3. Unc fois ktablic l'bçalitt 772 = .il, les inCtliodcs d u § 6 s'appliquent pour prouver quc K ct K' soiit isomorphes ou antiisomorpl-ies, lorscluc nz = 71 > 2. Si R et K' sont dc cal-act6risticluc 2, ct si 11 6 , les traiisvcctions clc P S L , , ( I i ) sont déteriniiiiics par unc prol~riétil ind6l>cndantc de I I ($5 1 et (3); tout isornor~~liisrnc dc P S L , , ( R ) sur .l'SL,,,(I\"), ~ 0 ~ I L1 1 - 6 ct m 2 6, doit donc traiisforincr Ics transvcctioiis en traiisvectioiis, d'où aisilmcnt le rksiiltat. Si l'un des noinl->rcs172, I L est t6, i l faut encorc des raisoiiiieii-icnts conipléincntaircs; Ics cas Ics plus difficiles, correspondant ails coiiplcs (2, 3) ct (4, 5), ont ttil traitïs par WU;\ e t M ~ A N(loc. c d ) . O. SCHREIER et fi. L. \'.-\N r)nri \YAEI;I)HN ):I] ont aiissi dkmontri. ( ~ u ' a u c t ~poncpe n P S L , , ( I i ) lie Pe14,t être iso~nor$lze à 1 c 7 t groupe altcrlté al,. crr d e h o ~ sdes cas ~ne~rlioriii&s a?L S Y ; leur n16thodc consistc il proccdrr par récurrence sur I I , en iitilisaiit lc fait quc Ics cciitralis~ttcursclcs clans élémeiits de PSL,?(l<) (I< fini) ont des suitcs clc .J~I~I>~\N-TH~)I.I>EI~ lesquelles les facteurs simples sont isoinorplics i dcs groiil~csI'SL,(I<') avcc h < lt. E n ce qui concernc lcs groii]->es sy~-i-iplccti~~ucs, on r>cut montrcr quc les proufies PSp,,,,(I<) el I-'Sp,,,(I<') Ize fieuvei~t être isomorfihes qiic s i 172 - 71 et si I< et IC' so~cti.somo~$hes,exceplio~r/ni/[:(lu cas ln = 7 1 = 2 , I< = F,, ZC' = F, (J. DIECIIONNI?[ï], p. 39-41). La rnétliocle est analogue aux précédentes, en considérant Ics cci~tralisatciii-sdes iilvolutions dans les groupes considérés. D'autre part, fioz1.r m > 1, auczvn groupe I->Sfi,,,,(I\') rze peut être iso~ n o ~ p hàe u n groupe de La /orme PSL,(I<'), oU Ii' csl conzlnzdnti/, 7zi h 2m grozrpc nlterné P[,. ( J . DIEUDONNÉ [ï],p. 41-45) ; les 1ii6tliodes soiit encore similaires, en procédant par r6currence sur m. Les isomorpliismes possibles entre un groupe classiq~icde la lormc commutatif) et un autre groupe classiqiic PQ,(I<, f ) ou Po'N(Ii,/) ( f i n'ont pas été déterminils en général. 011peut toutelois faire cette Ctudc lorsque I< est /inz; en utilisant lcs résultats précédents, ct dcs métl-iodes d e même type (reposant essentiellement sur l'étuclc des centralisateurs des involutions), on arrive finalement à. la conclusion qu'en delzors des isomorplzisnzes (gé'nériqires o u exceptionnels) décrils au 8 8, i l ~ z ' y n aucun az~tveiso~norplzisnzceizlrc deux grou.pes fi7rrs qziclcongues de 1'111i
-. . Index des définitions et des principaux tlidor&iiics. - .. .-- - .. -....--- -
--
110
(
so(71. q)
p0:(73, q)
(
P Q A F ~f) ,
( j de discriminant v non carr6 claiis Fp)
FH(2m, q) SH(271z.q) (?.
+
1 OdIC, Q) ~ ( nIC, , Q) (I< de caractéristique 2 ct pariait) 1 Q h k J C QI J ~ ( z n t1 ,0 (Ir' clc caract6ristiquc 2 et parfait, iL2pscudo-rliscriminant de Q) QI Q%,n(Fp> Jo(2nz. q ) (Q d'indice wz) JI.(^% 4) Q?m(Fq.8) O, Q d'indice m -1)
i
Signaloiis aussi, chcz divers auteurs, la notation SO(?i,Ii, Q) pour Oi(I<. J ) (avec Q(x) = f ( ~ x)), , abrégée en SO(n, K) lorsquc f acliiiet iinc base orthonormale.
Index des définitions et des principaux théorèmes. 'Adjacentes (variétés -) : cliap. III. $$2 et 4. Algèbre de CLIPFORDI cliap. II, $$ 7 et 10. Anisotrope (forme -, sous-espace -): chap. 1. S 7. Antiautomorphisme: cliap. 1, § 5. Antiliermitienne (forme -) : chap. 1, $ 6 . Antisymétrique (élément -, forme -) : chap. 1, $ 6. Base orthogonale, - orthonorniale, - symplectique: chap. 1, $ 8. Collinéation: cliap. 1. 9 1; - projective: chap. 1, 5: 1 ; - permutalit projectivcment avec une colliiiéation: chap. 1. g 4; - permutant projectiveiiiciit avec une corrélation: chap. 1, $ 9. Corrélation: chap. 1, 9 5; - permutant projectivcmciit avec iinc corri:lation: chap. 1, § 15. Couple minimal: chap. IV, § 1. Critères de simplicité: chap. II, $S. 2, 4, 9, 10, 11, 12. Défaut d'une fornie quadratique: chap. 1, S 16. Dafective (forme quadratique -): chap. 1. $ 16. Déterminant (sur un corps non comniutatif) : chap. 11, 5 1. Dilatation: chap. 1, 5 2. Discriminant: chap. 1, 5 5. Ecart de deux variétés: chap. III, 3 2. Elément de degré pair (- de degré impair) : cliap. II, $5 7 ct 10. Elliptique (plan -, transformation -): chap. II, $9 6. 9 et IO. Eqnivalentes (formes -) : cliap. 1, $5 8 et 16. Extrémale (involution -) : chap. IV, 5 1. Groupe des rotations: cliap. II, $5 6 et 10; - liiiéairc gCnéral: cliap. 1, S 1 ; - linkaire spécial: chap. II, S 1; - orthogonal: cliap. 1, $5 9 et 16; - projectif gén6ral: chap. 1, S 1; - projectif spécial (ou unimodulaire): chap. II. 5 2: - symplectique: chap. 1, § 9; - unimodulaire: cliap. TT, 1 , - unitaire chap. 1, 5 9. Hermitienne (forme -) : chap. 1, S 6. Homothétie.: chap. 1, 5 1 ; - centrale: cliap. 1, 5 1. Hyperbolique (plan -, transformation -): chap. II, $S 4. 5 ct 10. Indice d'une forme: chap. 1, 5$7 et 16. Invariant de DICKSON:cliap. II, $ 10. Involutiondansuncorps: chap. 1. $ 6 ; - de première (seconde) espèce: chap. II, $ 5 .
Jii\~olutioiidans (;I.,,(Ii). cliap. 1, 5 3 ; - tlc typc ( P . 11, - fi) (oit (fi, 97, - $)-involution): cliap. 1. 5 3; $-iiivolutioii: cliap. 1, $ 3. Isotiopc (vcctcur -, soiis-cspace -): cliap. 1, 9 7; (variet6 -): cllap. III, 3. Loi cl'incrtic. cliap. - 1, S.. S. Matrice cl'iinc aliplicalion scnii-lincairc: chal,. 1, $ 1 ; -- cl'unc foriiic sesquilinéaire: chai,. 1,.i 5. i\Iultiplicatcur d'unc sciiii-siriiilitudc: chap. T, 5 9. Koii dcgéiiéree (iornic scsqiiiliiiéaii-e-) : chap. 1, S. 5 , ([orme rkflesive - associCc à ilne fortiic cl6gCndréc): cliap. 1, 5 6 ; (Forme quadratique -): cliap. 1, S 16. Noriiic spinoricllc: chal>. II, SI 7 et 10. Orthogonal (soiis-cspace - à 1111sous-espace) : cliap. t, $ 7. Orthogoiialc (transiorliiatioii -): cliap. 1, $$ 9 ct 16. Orthogonaus (vccteiirs -): cliap. 1, 5 6. I'seuclo-discriiiiinant: chap. II, g 10. Quadratique (iornic -): cliap. 1, S 16. Quasi-syiiiétrie: cliap. 1, g 12. Rang cl'uiic applicatioii sciiii-lindairc: chap. 1. $ 1 : - d'unc foriiic sesquiliiiéaire. chap. 1, 5 5, - cl'itne foriiic quadratiquc: cliap. 1. g 16. Réflesive (fornic scsqiiiliii6airc --) : chap. 1, S 6. Rcnverseincnt: clial). II, g G. Retournenicnt: cliap. II, g 6. Rotation : cliap. II, $ g 6 et 10. Semi-in\-olutioii: c h a ~1. . 6 3. Semi-linéaire (application -): cliap. 1, '; 1. Senii-similitude ortliogonalc. cliap. 1, $'$ 9 ct 16, - syiiililcctique. chap. 1, g 9 : - unitaire: cliap. 1, S 9. Seini-singulier (vccteur -) : cliap. II. g 11. Scsqnilinéairc (Tornic -): chal'. 1, 5 5. Signature. c h a. ~1. .. $., 8. Similitude ortliogonale: cliap. 1. $9 9 et 16; - syiiiplcctir~uc:cliap. 1. S 9; -- unitaire. cliap. r, § 9. Similitiidc dircctc- chap. II, 5 13. Singulier (vectcur -, sous-espace -): chap. 1, $ 16. Sous-espaces propres d'unc in\rolution: cliap. 1. 5 3. SymBtrie: cliap. 1, g 12, Symétrique (616ment -, fornic -): chap. 1, $ 6. .1.héorèine dc \VITI: cliap. 1, $5 11 et 16. ThéorPiiie fondaiiiental de la géométrie projective: chap. III, S 1. Totalement isotrope (soiis-espace -): chap. 1, S 7. Tracique (formc lierniitienne -) : cliap. 1, § 10. Transport d'une foriiie sesquilin6aire: cliap. 1, § 8. Transvection: cliap. 1, $ 2; (droite d'une -, hyperplan d'une -): cliap. 1, 2. ünitaire (Cransforination -) : cliap. 1, g 9.
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,
S
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Bibliographie. Y-B. - La bibliographie ne vise nullement à être complète pour les travaus antérieurs à 1935; pour ces derniers, Ic lecteur est prié de se reporter au fascicule de B. L. VAS DER ~VAERDEN [Il. ALBERT,A. A.: [Il Syiiirnetric and alternate matrices in an arbitrary field, 1. Trans. Ailier. Biatli. Soc. 43, 386-436 (1938). . , N C O C H E AG.: , [II Le thborèine de VON STAUDT en géométrie projectivc quaternionicnnc. J . 1-einc angel!,. Math. 184, 193-198 (1942).
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Bibliographie -
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