Kopplung des Einzelpartikel- und des Zwei-Kontinua-Verfahrens fur die Simulation von Gas-Feststoff-Stromungen

Kopplung des Einzelpartikel- und des Zwei-Kontinua-Verfahrens fu ¨ r die Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨ omungen Zur E...

Author: Grüner C.

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Kopplung des Einzelpartikel- und des Zwei-Kontinua-Verfahrens fu ¨ r die Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨ omungen

Zur Erlangung des akademischen Grades eines Dr.-Ing. vom Fachbereich Bio- und Chemieingenieurwesen der Universit¨at Dortmund genehmigte Dissertation vorgelegt von Dipl.-Ing. Christof Gru ¨ ner aus Tarnowitz Tag der m¨undlichen Pr¨ufung: 22. Oktober 2004 1. Gutachter: Prof. Dr. Karl Strauß 2. Gutachter: Prof. Dr. Herbert Koch Dortmund 2004

Berichte aus der Strömungstechnik

Christof Grüner

Kopplung des Einzelpartikel- und des Zwei-Kontinua-Verfahrens für die Simulation von Gas-Feststoff-Strömungen

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D 290 (Diss. Universität Dortmund)

Shaker Verlag Aachen 2004

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Zugl.: Dortmund, Univ., Diss., 2004

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Copyright Shaker Verlag 2004 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany.

ISBN 3-8322-3458-6 ISSN 0945-2230 Shaker Verlag GmbH • Postfach 101818 • 52018 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected]

Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen meiner T¨atigkeit als wissenschaftlicher Angestellter am Lehrstuhl Energieprozeßtechnik & Str¨omungsmechanik des Fachbereiches Biound Chemieingenieurwesen der Universit¨at Dortmund. Herrn Prof. Dr. K. Strauß danke ich herzlich f¨ ur die Unterst¨ utzung dieser Arbeit und f¨ ur das mir entgegengebrachte Vertrauen. Mit seinen Anregungen und Ratschl¨agen hat er maßgeblich zum Gelingen der Arbeit beigetragen. ¨ Danken m¨ochte ich auch Herrn Prof. Dr. H. Koch f¨ ur die freundliche Ubernahme des Korreferates. Frau Prof. Dr. G. Sadowski und Herrn Prof. Dr. P. Walzel danke ich f¨ ur die ¨ Mitwirkung an der Pr¨ ufung sowie Herrn Prof. Dr. U. K¨oster f¨ ur die Ubernahme des Kommissionsvorsitzes. Den studentischen Hilfskr¨aften, Studien- und Diplomarbeitern danke ich f¨ ur ihren vorbildlichen Einsatz bei der Bearbeitung der gestellten Themen. Den Mitarbeitern und Kollegen des Lehrstuhls Energieprozeßtechnik & Str¨omungsmechanik sei f¨ ur ihre Herzlichkeit und Hilfsbereitschaft gedankt. Mein ganz besonderer Dank geb¨ uhrt meinen Eltern, meinen Geschwistern und deren Familien f¨ ur den langj¨ahrigen R¨ uckhalt, das große Interesse, mit dem sie meinen Werdegang verfolgt haben, sowie die stets vorbehaltlose Unterst¨ utzung meiner Ziele. Meiner Frau Silvia danke ich f¨ ur ihre liebevolle und verst¨andnisvolle Unterst¨ utzung. Ihr sonniges Gem¨ ut und ihre Geduld waren mir stets eine Quelle meiner Bem¨ uhungen.

Meinen Eltern in Dankbarkeit

Zusammenfassung In der hier vorliegenden Arbeit wird ein gekoppeltes Verfahren f¨ ur die Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen entwickelt. Als Basis f¨ ur die Kopplung dienen zwei etablierte Simulationsverfahren. Dies ist zum einen das deterministische Zwei-Kontinua-Verfahren, bei dem sowohl die Gasphase als auch der dispers verteilte Feststoﬀ als koexistierende Kontinua aufgefasst werden. Zum anderen wird das stochastische Einzelpartikel-Verfahren eingesetzt, bei dem die Beschreibung der Bewegung der Feststoﬀteilchen mit Hilfe einer detaillierten Einzelpartikelbetrachtung vorgenommen wird. Die Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in stochastische und deterministische Zonen erfolgt unter Verwendung eines Gebietszerlegungskriteriums, das zwei Bedingungen miteinander kombiniert, welche die G¨ ultigkeit des Zwei-Kontinua-Verfahrens pr¨ ufen. Zu diesem Zweck wird ein funktionaler Zusammenhang entwickelt, der den so genannten KTGFDeformationsanteil beschreibt. Mit dessen Hilfe ist die Beschreibung von Deformationen einer Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten m¨oglich, die aus den Gradienten der granularen Temperatur und der Partikelgeschwindigkeit resultieren. Bei diesen Deformationen handelt es sich um Abweichungen der Verteilungsfunktion von der Maxwell-Verteilung, die in der Herleitung der beschreibenden Gleichungen f¨ ur das Zwei-Kontinua-Verfahren zugrundegelegt sind. Die Formulierung des KTGF-Deformationsanteils ist so gew¨ahlt, dass ein direkter Vergleich mit einer Bewertungsfunktion DEq,p , die weitergehende Deformationen einer Verteilungsfunktion von der Gleichgewichtsverteilung erfasst, erfolgen kann. Eine weitere Bedingung ist die G¨ ultigkeit der Kontinuumsannahme, die ebenfalls eine notwendige Voraussetzung f¨ ur das Zwei-Kontinua-Verfahren ist. Die logische Verkn¨ upfung beider Bedingungen erm¨oglicht eine Zuordnung eines der beiden numerischen Berechnungsverfahren zu einem bestimmten Bereich der Str¨omungsgeometrie. F¨ ur die Konstruktion des gekoppelten Simulationsverfahrens wird das entwickelte Kriterium in einen adaptiven Gebietszerlegungsalgorithmus integriert. Ausgehend von der Deﬁnition einer Randzone, welche die stochastische Zone von der deterministischen Zone trennt, kann einer r¨aumlichen Ver¨anderung der Zonen im Verlaufe der Simulation Rechnung getragen werden. Innerhalb des gekoppelten Simulationsverfahrens spielt der Informationsaustausch an der Grenzﬂ¨ache zwischen den beiden numerischen Verfahren eine entscheidende Rolle. Um eine konservative Behandlung der Bilanzgr¨oßen an dieser Grenzﬂ¨ache zu gew¨ahr¨ leisten, werden entsprechende Ubergangsbedingungen vorgestellt. F¨ ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem gekoppelten Simulationsverfahren wird eine Zwei-Schritt-L¨osungstrategie vorgeschlagen. Diese sieht im ersten Schritt eine Initialisierung vor, in der auf eﬃziente Weise eine N¨aherungsl¨osung erzeugt wird. Im Anschluss daran erfolgt eine erste Gebietsaufteilung. Im zweiten Schritt ﬁndet die gekoppelte Berechnung der Feststoﬀphase auf der Basis der adaptiven Gebietszerlegung statt. Das vorgestellte gekoppelte Simulationsverfahren wird anhand von Simulationen einer GasFeststoﬀ-Str¨omung in ausgew¨ahlten Str¨omungskonﬁgurationen getestet. Dabei kann eine ¨ gute Ubereinstimmung zwischen den Ergebnissen des gekoppelten Verfahrens und denen des Einzelpartikel-Verfahrens, das als bestm¨ogliche Approximation zu Referenzzwecken herangezogen wird, festgestellt werden.

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ziele dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3

2 Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨ omungen 2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mathematische Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 8

3 Formulierung der Bilanzgleichungen 3.1 Beschreibung der Gasphase . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Modellierung der Turbulenz . . . . . . . . . . . . . 3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Zwei-Kontinua-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Einzelpartikel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Randbedingungen f¨ ur das Zwei-Kontinua-Verfahren 3.3.2 Randbedingungen f¨ ur das Einzelpartikel-Verfahren 3.4 Numerisches Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . .

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13 13 13 14 18 19 24 32 32 35 36

4 Analyse des Verhaltens der Feststoﬀphase 4.1 Das granulardynamische Gleichgewicht . . . . . . . . . . 4.2 Erkennung granulardynamischer Gleichgewichtszust¨ande 4.3 Granulare Transportkoeﬃzienten . . . . . . . . . . . . . 4.4 Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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39 39 40 43 44

5 Gebietszerlegungskriterium 5.1 G¨ ultigkeitsbereich der Kontinuumsannahme 5.2 KTGF-Deformationsanteil DKT GF . . . . . . 5.3 Signiﬁkanz-Niveau-Beschr¨ankung . . . . . . 5.4 Gebietszerlegungskriterium . . . . . . . . . . 5.5 Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . .

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47 47 49 55 56 56

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens 6.1 Konzept der adaptiven Verfahrenskopplung . . . . . . . 6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen . . . . . . 6.2.1 Korrektur der Widerstandskraft . . . . . . . . . 6.2.2 Modellierung der Geschwindigkeitskovarianz . . ¨ 6.2.3 Formulierung der Ubergangsbedingungen . . . . 6.3 Beschreibung der L¨osungstrategie . . . . . . . . . . . .

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59 59 62 62 66 68 74

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Inhaltsverzeichnis 6.4 6.5

Modiﬁkation des Mehrgitterverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens 7.1 Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Zylinderumstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Umstr¨omung eines einseitigen Hindernisses . . . . . . . . . . . . . 7.2 Untersuchung der L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens 7.2.1 Zylinderumstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Umstr¨omung eines einseitigen Hindernisses . . . . . . . . . . . . . 7.3 Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Zusammenfassung und Ausblick

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76 79

81 . 81 . 82 . 88 . 91 . 91 . 96 . 100 103

Variablenverzeichnis Lateinische Buchstaben DKT GF D DEq Ep Fr I Ip Kgp Kn L M Ma F N P R Re Rep ReS S St T T TR Wg Y+ c cd ckt cM cR dp e f fp fw g

KTGF-Deformationsanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Abmessung des Str¨omungsgebietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] Bewertungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] kinetische Energie eines Partikels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [J] Froude-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Einheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Tr¨agheitsmoment einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg m2 ] Geschwindigkeitskovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s2 ] Knudsen-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] L¨angenmaßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] Momentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Nm] Mach-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Kraftvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N] Partikelanzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Partikel-Reynolds-Zahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[–] Reynolds-Zahl der Scherstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Kontrollvolumengrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 ] Stokes-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N/m2 ] thermodynamische Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[K] Tensor der Reynoldsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N/m2 ] mittlere Eintrittsgeschwindigkeit der Gasphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] dimensionsloser Wandabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Fluktuationsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] Widerstandsbeiwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[–] Korrekturfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Auftriebsbeiwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Rotationsbeiwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Partikeldurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m] Stoßzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [verschieden] Reibungsbeiwert Partikel-Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Reibungsbeiwert Partikel-Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Vektor der Erdbeschleunigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m/s2 ] iii

Variablenverzeichnis g g0 k kgp m, m mp n np p t u v x

Partikelgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] radiale Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] turbulente kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s2 ] Volumenkraft des Impulsaustausches zwischen Gas- und Partikelphase . . . [N/m3 ] freie Wegl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] statistische Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [verschieden] Masse eines Partikels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg] Einheitsnormalenvektor einer Oberﬂ¨ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Anzahldichte der Partikelphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/m3 ] Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N/m2 ] Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] Vektor der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] Vektor der Geschwindigkeit eines Einzelpartikels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]

Griechische Buchstaben Γ Ω Φ β ε η γp κp µ µt νC ω φ ρ σ τ τC τK τp Θ ζ

Eintrittsﬂ¨ache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m2 ] Kontrollvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m3 ] Korrekturpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Widerstandsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 /s] Dissipationsrate der turbulenten kinetischen Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m2 /s3 ] Kolmogorowsche L¨angenskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] Dissipationsrate der granularen Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m/s3 ] Leitf¨ahigkeit der Partikelphase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[kg/m/s] Viskosit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Pa s] turbulente Viskosit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[Pa s] Kollisionsfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] Vektor der Rotationsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] Volumenanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ] Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [verschieden] Subzeitschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] Kollisionszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] Kolmogorov-Zeitskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] aerodynamische Partikelrelaxationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] granulare Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s2 ] Volumenviskosit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Pa s]

Indizes Eq M W iv

bezeichnet den Gleichgewichtszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] an der Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–]

Variablenverzeichnis g in i, j, k p ps rel

bezeichnet die Gasphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] bezeichnet die Eintrittsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] ganzzahliger Lauﬁndex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] bezeichnet die Partikelphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] simulierte Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] relativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–]

Hochgestellte Symbole (i)

Bezeichnung des Grades der Approximation zur Boltzmann-Gleichung. . . . . . . .[–]

Abk¨ urzungen DNS KTGF LES PSIC

Direkte Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Kinetische Theorie granularer Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Large Eddy Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–] Particle Source In Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [–]

v

Variablenverzeichnis

vi

1

Einleitung

Mehrphasenstr¨omungen treten in zahlreichen Anwendungen der industriellen Praxis auf. In der chemischen Verfahrenstechnik sind Mehrphasenstr¨omungen in vielen Grundoperationen wie beispielsweise Verdampfung, Kondensation, Mischen oder Trennen vertreten. Dabei lassen sich diese in vier Kategorien einteilen: Gas-Fl¨ ussig-, Gas-Feststoﬀ-, Fl¨ ussig-Feststoﬀund Dreiphasenstr¨omungen. Die genannten Str¨omungskategorien k¨onnen in unterschiedlichen Konﬁgurationen auftreten. So stellt eine Blasens¨aule ein Gas-Fl¨ ussig-System dar, in dem die Fl¨ ussigkeit die kontinuierliche und die Gasblasen die disperse Phase darstellen. Ein Fl¨ ussigkeitszerst¨auber zielt auf die Dispersion feinster Fl¨ ussigkeitstropfen ab, wobei hier das Gas die kontinuierliche und die Tropfen die disperse Phase bilden. Als Beispiel f¨ ur eine weitere Konﬁguration eines Gas-Fl¨ ussig-Systems kann eine geschichtete Rohrstr¨omung dienen. Hier bilden sowohl die Fl¨ ussigkeit als auch das Gas jeweils eine kontinuierliche Phase. Konkretisiert man die genannten Beispiele, so ist eine Unterscheidung in Ein- und Mehrkomponenten Mehrphasenstr¨omungen notwendig. Eine Dampf/Wasser Str¨omung stellt eine Gas-Fl¨ ussig-Str¨omung einer Komponente dar, w¨ahrend eine Luft/Wasser Str¨omung ein Beispiel einer mehrkomponentigen Gas-Fl¨ ussig-Str¨omung ist. Die Vielfalt und zugleich die Komplexit¨at der unterschiedlichen Str¨omungsformen stellen hohe Anspr¨ uche an den Ingenieur in Hinblick auf die Entwicklung, Auslegung und Optimierung zugeh¨origer Anlagenkomponenten. Lange Zeit stellten empirische Erfahrungen die Grundlage f¨ ur das Design derartiger verfahrenstechnischer Systeme dar. Das Fehlen einer leistungsf¨ahigen Messtechnik sowie der M¨oglichkeit einer Vorausberechnung wichtiger Einﬂußgr¨oßen machten Verfahrensverbesserungen außerordentlich schwierig. Erst die Fortschritte auf dem Gebiet der Messanalyse und die Bereitstellung hoher Rechnerleistungen haben dazu gef¨ uhrt, dass praxisrelevante Aufgabenstellungen deutlich eﬃzienter bearbeitet werden k¨onnen. So erm¨oglicht die Entwicklung neuer Messtechniken eine zuverl¨assige Prozesskontrolle und die Ermittlung fundamentaler Prozessparameter. Wachsende Computerressourcen unterst¨ utzen den Einsatz moderner, numerischer Verfahren, die das Werkzeug eines Ingenieurs erg¨anzen. Insbesondere der anhaltende Fortschritt in der Entwicklung von Parallelrechnern, die aus mehreren tausend Prozessoren bestehen k¨onnen, erm¨oglicht Einblicke in bislang unerforschte Gebiete zu denen auch Aspekte der Mehrphasenstr¨omungen geh¨oren. Dabei liegen die Vorteile numerischer Simulationen in der schnellen und kosteng¨ unstigen Durchf¨ uhrung von Parameterstudien, wodurch zeitintensive und teure experimentelle Untersuchungen zumindest teilweise ersetzt werden k¨onnen. Zudem sind bestimmte Gr¨oßen einer experimentellen Untersuchung nicht zug¨anglich, so dass numerische Berechnungen die einzige M¨oglichkeit bieten, entsprechende Zusammenh¨ange zu untersuchen.

1

1 Einleitung

1.1

Motivation

Bei der theoretischen Beschreibung von zweiphasigen Str¨omungen haben sich zwei Verfahren etabliert, die sich in ihren Annahmen und Einsatzvoraussetzungen, vor allem aber in der Genauigkeit der L¨osung unterscheiden. W¨ahrend der Beschreibung der Gasphase ¨ jeweils gleiche Uberlegungen zugrunde liegen, ergeben sich die Unterschiede aus der Betrachtungsweise der dispersen Phase. Im so genannten Zwei-Kontinua-Verfahren wird die disperse Phase ausschließlich durch deren mittlere Eigenschaften beschrieben. Die L¨osung liefert keinerlei Informationen u ¨ber das Verhalten einzelner Elemente der dispersen Phase, insbesondere ist es nicht m¨oglich aus den zur Verf¨ ugung stehenden Informationen die Bahnkurve eines Partikels, Tropfens oder einer Gasblase in der Str¨omungsgeometrie anzugeben. Aufgrund der deterministischen Berechnung der zugrunde liegenden Transportgleichungen zeichnet sich das Verfahren durch eine hohe Eﬃzienz im Hinblick auf die Rechengeschwindigkeit aus, liefert aber in Bereichen inhomogener Bewegung der dispersen Phase, beispielsweise vor Str¨omungshindernissen, unzutreﬀende Ergebnisse, die eine korrekte Vorausberechnung der Str¨omungsentwicklung verhindern. Einschr¨ankend ist weiterhin die Forderung, dass die Abst¨ande zwischen den Teilchen sehr viel kleiner sein m¨ ussen als die Abmessungen des Str¨omungsfeldes. Zudem erweist es sich als problematisch geeignete Randbedingungen f¨ ur einen weiten Anwendungsbereich zu formulieren. Dieses Problem tritt bei dem zweiten Verfahren nicht auf. Das so genannte EinzelpartikelVerfahren bei dem stochastische Methoden zum Einsatz kommen, liefert alle beschreibenden Zustandsgr¨oßen jedes einzelnen diskreten Partikels innerhalb der Geometrie. Als Partikel sind in diesem Zusammenhang sowohl Gasblasen, als auch Fl¨ ussigkeitstropfen und Feststoﬀteilchen zu verstehen. Wegen seiner detaillierten Modelle bietet dieses Verfahren die derzeit maximale Vorhersage-Genauigkeit f¨ ur die numerische Berechnung praxisrelevanter, zweiphasiger Str¨omungen. Die Formulierung der Randbedingungen erfolgt hier ebenfalls wesentlich detaillierter als bei dem Zwei-Kontinua-Verfahren und stellt keine Schwierigkeit dar. Dem steht als Nachteil der hohe Berechnungsaufwand gegen¨ uber, insbesondere dann, wenn Wechselwirkungen zwischen den Phasen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. In zahlreichen Anwendungen mit dispersen, zweiphasigen Systemen existieren Bereiche innerhalb des Str¨omungsgebietes, in denen das Verhalten der dispersen Phase durch das individuelle Verhalten jedes einzelnen Teilchens bestimmt wird. Da die Annahmen f¨ ur den Einsatz des Zwei-Kontinua-Verfahrens hier nicht eingehalten sind, ist die Anwendung des Einzelpartikel-Verfahrens zwingend erforderlich. In weiten Teilen der Str¨omungsgeometrie jedoch, wie das beispielsweise in Bereichen ungest¨orter Partikelbewegung der Fall ist, erlaubt das Verhalten der dispersen Phase den Einsatz des eﬃzienten Zwei-KontinuaVerfahrens. Dabei kann in technisch relevanten Str¨omungskonﬁgurationen der Anteil der Geometrie, in dem das Zwei-Kontinua-Verfahren einsetzbar ist, deutlich u ¨ berwiegen. Hier wird ein Potential zur Rechenzeitersparnis erkennbar, wenn es gelingt die Str¨omungsgeometrie im Verlaufe der numerischen Berechnung in zwei Gebiete mit jeweils deterministischer und stochastischer Beschreibungsweise der dispersen Phase einzuteilen. Das rechenintensive Einzelpartikel-Verfahren kann dann auf den Bereich eingeschr¨ankt werden, in dem es unverzichtbar ist. Im verbleibenden Großteil des Rechengebietes kann auf das eﬃziente 2

1.2 Ziele dieser Arbeit Zwei-Kontinua-Verfahren zur¨ uckgegriﬀen werden. Somit kann die numerische Berechnung wesentlich zeitsparender durchgef¨ uhrt werden, ohne einen nennenswerten Verlust in der Genauigkeit in Kauf nehmen zu m¨ ussen.

1.2

Ziele dieser Arbeit

In der vorliegenden Arbeit soll f¨ ur Konﬁgurationen turbulenter Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen ein neuartiges, eﬃzientes Verfahren zur Beschreibung der dispersen Phase entwickelt werden. Ziel ist es, das stochastische Einzelpartikel-Verfahren und das deterministische Zwei-Kontinua-Verfahren auf der Basis einer adaptiven Gebietszerlegung zu koppeln. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Entwicklung von Kriterien und Techniken welche die Konstruktion des kombinierten Verfahrens erm¨oglichen. Mit dessen Hilfe sollen die Vorteile des numerisch sehr eﬃzienten Zwei-Kontinua-Verfahrens mit der hohen Genauigkeit des Einzelpartikel-Verfahrens kombiniert werden. Im folgenden Kapitel werden zun¨achst wichtige charakteristische Eigenschaften von ¨ Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen erl¨autert sowie ein Uberblick u ¨ber die numerischen Berechnungsmethoden zur Beschreibung von Zwei-Phasen-Str¨omungen gegeben. In Kapitel 3 werden die Bilanzgleichungen zur Beschreibung der Gas- und der Feststoﬀphase vorgestellt. Dabei wird der Formulierung der Bilanzgleichungen der Feststoﬀphase sowohl der kontinuierlicher Charakter des Zwei-Kontinua-Verfahrens als auch die diskrete Beschreibungsweise des Einzelpartikels-Verfahrens Rechnung getragen. Im Kapitel 4 wird auf Basis der kinetischen Theorie granularer Fluide das Verhalten der Feststoﬀphase analysiert. Die Entwicklung eines Gebietszerlegungskriteriums, dessen Einsatz eine Voraussetzung f¨ ur die Durchf¨ uhrbarkeit der Verfahrenskopplung darstellt, steht im Mittelpunkt von Kapitel 5. In dem darauf folgenden Kapitel 6 wird das Konzept f¨ ur die Entwicklung eines adaptiven Simulationsverfahrens dargelegt. Sowohl die notwendigen Techniken zur Umsetzung des neuen Verfahrens als auch die erforderliche Gesamt-L¨osungstrategie werden hier beschrieben und diskutiert. In Kapitel 7 schließlich wird die L¨osungsqualit¨at und die Rechenzeitersparnis des entwickelten Simulationsverfahrens analysiert. Dabei werden anhand von Simulationen in ausgew¨ahlten Str¨omungskonﬁgurationen die Ergebnisse der Berechnung des Bewegungsverhaltens der Feststoﬀphase, die mit dem Einzelpartikel- und dem gekoppelten Simulationsverfahren erhalten wurden, miteinander verglichen.

3

1 Einleitung

4

2

Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨ omungen

Die Vielzahl technischer Anwendungsbereiche f¨ ur Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen impliziert bereits, dass ein breiter Wertebereich f¨ ur die str¨omungstechnisch relevanten Parameter besteht. Dabei ist die Kenntnis u ¨ber die Auspr¨agung dieser Parameter von großer Bedeutung f¨ ur die theoretische Modellbildung. So nimmt beispielsweise die H¨ohe des Volumens, das von der Feststoﬀphase in einem Bezugsvolumen eingenommen wird, einen entscheidenden Einﬂuss auf die Auswahl der Modelle zur Beschreibung der Wechselwirkungsmechanismen innerhalb der dispersen Phase. In diesem Kapitel werden zun¨achst die wichtigsten Kennzah¨ len erl¨autert, die eine Gas-Feststoﬀ-Str¨omung charakterisieren. Danach wird ein Uberblick u ¨ber die verschiedenen Verfahren zur Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen gegeben sowie eine Eingrenzung des Bereiches der in dieser Arbeit untersuchten Konﬁgurationen vorgenommen.

2.1

Grundlagen

Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen besitzen eine Reihe charakteristischer Merkmale anhand derer eine Klassiﬁzierung m¨oglich ist. Ein wichtiger Parameter ist der relative Volumenanteil φ, der den Anteil des Volumens angibt, den eine Phase der Suspension pro Einheitsvolumen einnimmt. Bezeichnet man den Volumenanteil der Feststoﬀphase mit φp und den der Gasphase mit φg , so gilt f¨ ur die Summe beider Anteile: φp + φg = 1.

(2.1)

Wird nun eine Phase als Kontinuum betrachtet, so sind nur die makroskopischen Eigenschaften derselben interessant. Sie werden durch eine Mittelung der lokalen mikroskopischen Ereignisse gebildet. Der Bereich auf den sich diese Mittelwertbildung erstreckt, wird Kontrollvolumen genannt. Der Gr¨oße des Kontrollvolumens der Mittelwertbildung kommt eine entscheidende Rolle zu. Um eine statistisch signiﬁkante Mittelwertbildung sicherzustellen, muss das Volumen eine ausreichend große Anzahl von dispersen Elementen, hier zusammenfassend als Partikel bezeichnet, enthalten. So ist beispielsweise bei einer Anzahl von 104 Partikeln innerhalb eines Kontrollvolumens der Fehler, den man bei einer Mittelwertbildung macht, kleiner als 1% [Reif65]. F¨ ur ein Gas unter Normalbedingungen w¨are hierzu ein w¨ urfelf¨ormiges Volumen mit einer Kantenl¨ange von ca 1µm erforderlich [Cro82]. Da die Abmessungen der meisten Str¨omungskonﬁgurationen deutlich gr¨oßer sind als diese Skala, ist hier die Kontinuumsannahme f¨ ur die Gasmolek¨ ule gerechtfertigt. Betrachtet man jedoch die disperse Phase einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung, so kann das erforderliche Kontrollvolumen aufgrund eines geringen Volumenanteils der Feststoﬀphase oder eines großen Eigenvolumens der Partikel schnell die charakteristischen Dimensionen der Geometrie erreichen, wenn der Fehler ebenfalls weniger als 1% betragen soll. In solchen F¨allen ist die 5

2 Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen Kontinuumsannahme f¨ ur die Feststoﬀphase nicht mehr zutreﬀend. Daher ist im Einzelfall zu u ufen, ob eine Kontinuumsbetrachtung der dispersen Phase zul¨assig ist. ¨berpr¨ Ein weiterer wichtiger Parameter zur Klassiﬁzierung von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen ist die Stokes-Zahl St. Diese ist deﬁniert als das Verh¨altnis aus der aerodynamischen Partikelrelaxationszeit τp und einer charakteristischen Zeitskala des Str¨omungssystems, die in turbulenten Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen h¨auﬁg aus dem so genannten Kolmogorov-Zeitmaß τK gebildet wird: St =

τp . τK

(2.2)

Die aerodynamische Partikelrelaxationszeit τp ist deﬁniert als die Zeitspanne in der ein Partikel aus seiner Ruhelage heraus 63%, dies entspricht dem Wert 1 − exp(−1), der station¨aren Endgeschwindigkeit erreicht. Sie kennzeichnet damit das dynamische Antwortver¨ halten der Partikel bei Anderung der umgebenden Gasphasengeschwindigkeit. τp kann aus den Eigenschaften des Systems abgeleitet werden: τp =

ρp d2p . 18 µg

(2.3)

Dabei kennzeichnen ρp und dp die Dichte und den Durchmesser eines Partikels, w¨ahrend µg die molekulare Viskosit¨at der Gasphase darstellt. Das Kolmogorov-Zeitmaß τK gibt die Lebensdauer der kleinsten turbulenten Wirbel der Gasphase an. Sie stellt somit ein Maß f¨ ur das dynamische Verhalten der Gasphase dar. F¨ ur τK gilt: µg . (2.4) τK = ρg ε Hier sind ρg die Dichte der Gasphase und ε die Dissipationsrate der turbulenten kinetischen Energie k, auf die in Kapitel 3 genauer eingegangen wird. W¨ahrend τp und τK die ¨ Zeitskalen f¨ ur die Anderung der Geschwindigkeit jeweils einer Phase angeben, beschreibt die Stokes-Zahl den Grad des Folgeverm¨ogens der Partikel in der Gasphase. F¨ ur St 1 ¨ erfolgt die Reaktion der Partikelgeschwindigkeit auf eine Anderung der Gasgeschwindigkeit nahezu ohne Zeitverzug. Die Bahnlinie eines Partikels stimmt dann in guter N¨aherung mit der Bahnlinie eines benachbarten Fluidelementes u ur St ¨berein (vgl. Abbildung 2.1). F¨ ¨ 1 dagegen ist die Anderungsgeschwindigkeit der Gasphase so groß, dass die Partikel aufgrund ihrer Tr¨agheit kaum darauf reagieren k¨onnen. Das Folgeverm¨ogen der Partikel ist in diesem Fall gering, sie werden in ihrer Bewegung nur geringf¨ ugig von den Fluktuationen der Gasphase beeinﬂusst. Bei St ≈ 1 neigen die Partikel dazu den turbulenten Strukturen der Gasphase zu folgen. Aufgrund von Zentrifugaleﬀekten kommt es jedoch zur Kr¨ ummung ihrer Bahnlinien. Tang, der diese Thematik numerisch untersucht hat, beobachtete eine Aufkonzentrierung der Partikel an den R¨andern der Wirbelstrukturen [TWY92], die von Yang experimentell nachgewiesen werden konnte [YCC95]. Ein weiterer wichtiger Klassiﬁzierungsparameter ist die Kollisionszeit τC . Diese kennzeichnet die mittlere Zeit, die vergeht, bis ein Partikel nach einer Kollision erneut mit einem 6

2.1 Grundlagen Bahnlinie eines Partikels

St1

Bahnlinie der Gasphase

St1 St≈1

Abbildung 2.1: Einﬂuss der Stokes-Zahl auf die Partikelbewegung in turbulenten Strukturen der Gasphase. anderen Partikel kollidiert. τC kann aus der Kollisionsfrequenz νC berechnet werden, auf die in Kapitel 3 genauer eingegangen wird: τC =

1 . νC

(2.5)

Wird nun die aerodynamische Partikelrelaxationszeit τp auf die Kollisionszeit τC bezogen, so k¨onnen wichtige Aussagen u ¨ber die dominanten Phasenwechselwirkungen getroﬀen werden. Ist der Quotient τp 1 (2.6) τC so spricht man von einer durch aerodynamische Kr¨afte dominierten Gas-Feststoﬀ-Str¨omung. Hier wird die Partikelbewegung maßgeblich von der Gasphase beeinﬂusst. Die Partikel ha¨ ben gen¨ ugend Zeit um auf Anderungen der Gasgeschwindigkeit zu reagieren, bevor eine Kollision stattﬁndet. In diesem Zusammenhang spricht man auch von einer verd¨ unnten Str¨omung [CST98]. Ist auf der anderen Seite τp 1, (2.7) τC so liegt eine kollisionsdominierte Str¨omung vor. Die Partikel kollidieren im zeitlichen Mit¨ tel mit einem anderen Partikel, bevor sie auf die Anderungsgeschwindigkeit der Gasphase reagieren k¨onnen. In diesem Parameterbereich verwendet man den Begriﬀ einer dichten Gas-Feststoﬀ-Str¨omung [CST98]. Zwischen der Kollisionszeit τC und dem Volumenanteil besteht ein einfacher Zusammenhang: steigt der Volumenanteil an, so verringert sich die Kollisionszeit τC aufgrund kleiner werdender Abst¨ande zwischen den Partikeln. Der Quotient aus τp und τC wird dementsprechend gr¨oßer. Nach einer Einteilung von Elghobashi ¨ ﬁndet bei einem Volumenanteil von φp = 10−3 der Ubergang von einer verd¨ unnten zur einer dichten Suspension statt [Elg94]. Bei geringeren Volumenanteilen d.h. beim Vorliegen einer verd¨ unnten Suspension k¨onnen die interpartikul¨aren Wechselwirkungen vernachl¨assigt werden. Eine Phasenwechselwirkung kann dagegen auch bei weit kleineren Volumenanteilen eine wichtige Rolle spielen. So ist in einem Volumenanteil-Bereich zwischen 7

2 Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen φp = 10−6 und φp = 10−3 die R¨ uckwirkung der Partikel auf die Bewegung der Gasphase in die Modellierung einzubeziehen. In diesem Parameterbereich spricht man von einer Zwei-Wege-Kopplung. Dabei wird sowohl die Geschwindigkeit als auch die Intensit¨at der ¨ Gasphasenturbulenz von der Pr¨asenz der Feststoﬀphase beeinﬂusst. Die Anderung der Gasphasengeschwindigkeit resultiert aus der Impuls¨anderung der Feststoﬀphase. Die Intensit¨at der Gasphasenturbulenz kann in Anwesenheit der Partikel sowohl angefacht als auch ged¨ampft werden. So erh¨ohen Partikel in einem Gas-Feststoﬀ-System mit St < 100 die Turbulenzdissipation, bei h¨oheren St-Zahlen dagegen wird die Turbulenzproduktion verst¨arkt [Elg94]. Bei Volumenanteilen φp < 10−6 liegt eine Ein-Wege-Kopplung vor, da lediglich die Gasphase einen Einﬂuss auf die Partikel aus¨ ubt. Erh¨oht man den Volumenanteil der dispersen Phase u ¨ber einen Wert von φp > 10−3 , liegt also eine dichte Suspension vor, so m¨ ussen auch Partikel-Partikel-Kollisionen in die Modellierung einbezogen werden. In diesem Zusammenhang spricht man von einer Vier-Wege-Kopplung. In der vorliegenden Arbeit werden sowohl verd¨ unnte als auch dichte Gas-FeststoﬀStr¨omungen untersucht. Die Einbeziehung von Str¨omungshindernissen in die Gesamtbetrachtung verursacht hohe lokale Unterschiede in der Auspr¨agung der einzelnen Str¨omungsparameter, wie beispielsweise des Volumenanteils. Deshalb m¨ ussen a priori alle Wechselwirkungsmechanismen zwischen der Gas- und der Feststoﬀphase in die Betrachtung einbezogen werden, um eine realit¨atsnahe Beschreibung derartiger Gas-Feststoﬀ-Systeme zu gew¨ahrleisten.

2.2

Mathematische Berechnungsverfahren

Die Entwicklung mathematischer Berechnungsverfahren, die eine vollst¨andige Beschreibung von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen erm¨oglichen, stellt seit langem eine Herausforderung an die Wissenschaft dar. Obwohl ein allgemein g¨ ultiger L¨osungsansatz bislang nicht verf¨ ugbar ist, existieren bereits mehrere Modellans¨atze, die eine Vorhersage des Bewegungsverhaltens einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung erm¨oglichen und sich insbesondere in industriellen Anwendungen bew¨ahrt haben. Neben einer einphasigen Berechnung beider Phasen konnten sich vor allem die zweiphasigen Berechnungsverfahren etablieren. Zu den Letzten geh¨oren das Zwei-Kontinua-Verfahren und das Einzelpartikel-Verfahren. Beide Verfahren unterscheiden sich in der Beschreibung der Feststoﬀphase und werden zur Berechnung von verd¨ unnten sowie dichten Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen bis zu einem Volumenanteil von 10−1 eingesetzt. Bevor die Grundideen der zweiphasigen Berechnungsverfahren vorgestellt werden, soll kurz auf die Methode der einphasigen Beschreibung einer Zweiphasenstr¨omung eingegangen werden. Wie bereits im letzten Abschnitt erw¨ahnt, implizieren kleine St-Zahlen (St 1) ein sehr gutes Folgeverm¨ogen der Partikel gegen¨ uber der Gasphase. In einem solchen Fall k¨onnen beide Phasen als eine quasi Einphasenstr¨omung betrachtet werden. Hierzu werden die beschreibenden Gr¨oßen der Bewegung und der Stoﬀeigenschaften jeder Einzelphase zu Mischungsgr¨oßen zusammengefasst. Der Vorteil dieses Ansatzes besteht in der Reduktion der Anzahl der beschreibenden Diﬀerentialgleichungen des Systems. Aus diesem Grund besitzt das Verfahren eine hohe numerische Eﬃzienz. Als nachteilig ist die mangelnde phy8

2.2 Mathematische Berechnungsverfahren sikalische Motivation bei der Deﬁnition einiger Mischungsgr¨oßen zu nennen, insbesondere dann, wenn das Folgeverm¨ogen der Partikel gegen¨ uber der Gasphase nachl¨asst. Desweiteren werden Phasenwechselwirkungen nicht erfasst, und Informationen u ¨ber das Bewegungsverhalten der dispersen Phase sind nicht verf¨ ugbar. Da f¨ ur das im Rahmen dieser Arbeit verfolgte Ziel eine detaillierte Beschreibung der dispersen Phase erforderlich ist, kann hier die einphasige Beschreibung keine Anwendung ﬁnden. Zwei-Kontinua-Verfahren Untersuchungsziel einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung ist oftmals nicht die vollst¨andige, mikroskopische Beschreibung des gesamten Str¨omungsbereiches, sondern die Kenntnis der ortsund zeitaufgel¨osten mittleren, makroskopischen Gr¨oßen, wie der Geschwindigkeit, des Volumenanteils oder der Temperatur beider Phasen. Das Zwei-Kontinua-Verfahren, in der Literatur auch unter dem Namen Euler/Euler-Verfahren bekannt, behandelt Gas- und Feststoﬀphase als zwei koexistierende Kontinua und liefert so die mittleren Str¨omungseigenschaften beider Phasen. W¨ahrend die Kontinuumsannahme f¨ ur die Gasphase in den meisten F¨allen zutriﬀt - ausgenommen bei stark verd¨ unnten Gasen - sollte eine kontinuierliche Behandlung der Feststoﬀphase aufgrund des individuellen Bewegungsverhaltens der Partikel kritisch u uft werden. Deshalb ist die Wahl eines geeigneten Kontrollvolu¨berpr¨ mens f¨ ur die Kontinuumsbetrachtung eine wichtige Vor¨ uberlegung. Wie bereits im vorigen Abschnitt erw¨ahnt, sollte dieses zum einen eine ausreichende Anzahl von Partikeln enthalten, zum anderen sollte es klein genug gegen¨ uber den charakteristischen Abmessungen der Str¨omungsgeometrie sein. Um die mikroskopischen Eﬀekte, die in einem Kontrollvolumen stattﬁnden, auf eine makroskopische Ebene zu u ¨bertragen, werden die zugrunde liegenden Transportgleichungen beider Phasen einem Mittelungsprozeß unterzogen, das in Kapitel 3 erl¨autert wird. Die Ber¨ ucksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Phasen erfolgt durch die Einf¨ uhrung lokaler, gemittelter Austauschterme. Die Hauptprobleme bei der Verwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens liegen einerseits in der Bestimmung der Transportkoeﬃzienten der Feststoﬀphase, wie beispielsweise der Partikelviskosit¨at, andererseits in der Formulierung geeigneter Randbedingungen f¨ ur die Feststoﬀphase. F¨ ur die Ermittlung der Transportkoeﬃzienten wurden in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Ans¨atze entwickelt, die weitestgehend auf experimentelle Daten zur¨ uckgreifen und damit nur f¨ ur einen beschr¨ankten Parameterbereich g¨ ultig sind [CSL86, RE89]. Eine allgemein g¨ ultige M¨oglichkeit zur Berechnung der Transportkoeﬃzienten bieten analytische Ans¨atze, zu denen die weit verbreitete kinetische Theorie granularer Fluide (KTGF) geh¨ort. Zur Entwicklung dieser Theorie wurde die Analogie zwischen der Bewegung der Molek¨ ule eines Gases und der Bewegung der Partikel eines ﬂuidisierten Feststoﬀs verwendet [CC70, Gid94]. Eine Einschr¨ankung bei der Verwendung dieses Ansatzes stellt die Annahme dar, dass die Partikelgeschwindigkeiten einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung unterliegen. Wird diese Verteilung durch ¨außere Einﬂ¨ usse, beispielsweise durch Hindernisse, stark deformiert, kann die KTGF nicht ohne Einschr¨ankungen verwendet werden [Kan03]. Eine weitere Schwierigkeit bei der Verwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens stellt die 9

2 Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen Formulierung geeigneter Randbedingungen f¨ ur die Partikelphase dar. Wechselwirkungen zwischen der Feststoﬀphase und der Bewandung, wie beispielsweise inelastische Kollisionen oder Wandrauhigkeitseﬀekte, erschweren die Beschreibung solcher Vorg¨ange auf der makroskopischen Ebene. Um diesem Problem zu begegnen, wurden zahlreiche Modelle entwickelt, von denen jedoch viele problemspeziﬁsch sind und daher keine Allgemeing¨ ultigkeit besitzen [Ind01]. Eine weitere Einschr¨ankung ergibt sich, wenn Partikelkollektive mit einer Gr¨oßenverteilung analysiert werden sollen. Die Einbeziehung einer polydispersen Partikelphase in die Simulation ist bei der Anwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens zwar m¨oglich, erfordert aber eine Einteilung des Partikelkollektivs in Gr¨oßenklassen [Boe96, Sya87]. Da jede Klasse als eine disperse Phase betrachtet werden muss, ist diese Vorgehensweise mit einem Eﬃzienzverlust verbunden. Desweiteren bleibt der Einﬂuss der Partikelrotation auf das Feststoﬀverhalten unber¨ ucksichtigt. Insbesondere in wandnahen Bereichen sind durch zahlreiche Partikel-Wand-Kollisionen erh¨ohte Rotationsgeschwindigkeiten der Partikel zu beobachten [Som96]. Diese sind die Ursache einer am Partikel angreifenden Querkraft, welche die Partikelbewegung entscheidend beeinﬂussen kann. Auf diese Problematik wird in Kapitel 3 genauer eingegangen. Der Vorteil des Zwei-Kontinua-Verfahrens besteht darin, dass aufgrund einer makroskopischen Betrachtung beider Phasen selbst bei hohen Volumenanteilen der Feststoﬀphase eine eﬃziente Berechnung m¨oglich ist. Die f¨ ur die Gasphase aufgestellten Gleichungen k¨onnen in einer ¨ahnlichen Weise f¨ ur die Feststoﬀphase formuliert werden. F¨ ur diesen Gleichungstyp existieren leistungsstarke, numerische Methoden, woraus die besondere Eﬃzienz dieses Verfahrens resultiert. Das im Rahmen dieser Arbeit neu entwickelte Verfahren zur Berechnung von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen schließt das Zwei-Kontinua-Verfahren ein. Dabei wird der Vorteil der numerischen Eﬃzienz ausgenutzt. Die wesentlichen Schwachstellen des Zwei-Kontinua-Verfahrens werden durch die Kopplung mit dem im n¨achsten Abschnitt beschriebenen Einzelpartikel-Verfahren vermieden. Einzelpartikel-Verfahren Die diskrete Natur der Feststoﬀphase in einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung legt den Gedanken nahe, eine individuelle Betrachtung jedes einzelnen Partikels vorzunehmen. Das Einzelpartikel-Verfahren, in der Literatur auch unter dem Namen Euler/Lagrange-Verfahren bekannt, tr¨agt dieser mikroskopischen Betrachtungsweise Rechnung, indem die Bahnlinien der einzelnen Partikel unter dem Einﬂuss der auf sie wirkenden Kr¨afte bestimmt werden. Hierzu ist f¨ ur jedes Partikel die so genannte Basset-Boussinesq-Oseen Gleichung unter Einhaltung gegebener Randbedingungen auszuwerten. Die Beschreibung von Wechselwirkungen, wie der Partikel-Partikel- und Partikel-Wand-Kollisionen, erfolgt ebenfalls auf mikroskopischer Ebene durch entsprechende Modelle. Die mittleren Eigenschaften der Feststoﬀphase werden nach der Berechnung einer Vielzahl von Bahnlinien als Ergebnis einer statistischen Mittelung gewonnen. An dieser Stelle erkennt man bereits den Nachteil dieses Verfahrens, der sich aus der Notwendigkeit der Berechnung einer großen Anzahl von Partikelbahnen ergibt, die f¨ ur eine statistisch zuverl¨assige Mittelwertbildung unerl¨asslich sind. Diesem Nachteil steht eine Reihe von Vorteilen gegen¨ uber, die dieses Verfahren in den vergangenen Jahren 10

2.2 Mathematische Berechnungsverfahren zu einem wichtigen Werkzeug f¨ ur die Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen gemacht haben. Hierzu geh¨ort insbesondere die M¨oglichkeit einer detaillierten Beschreibung der physikalischen Vorg¨ange, denen die Partikelbewegung unterliegt. So ist die Ermittlung der Partikelrotationsgeschwindigkeit, die f¨ ur die Berechnung der Partikelquerkr¨afte (Magnusund Saﬀman-Kraft) ben¨otigt wird, problemlos m¨oglich. Wechselwirkungen wie beispielsweise Partikel-Partikel-Kollisionen k¨onnen pr¨azise mit den Gesetzen der Stoßmechanik beschrieben werden. Ein weiterer Vorteil ist der breite Einsatzbereich des EinzelpartikelVerfahrens. So ist die Untersuchung eines polydispersen Feststoﬀsystems m¨oglich, indem eine Partikelgr¨oßenverteilung ber¨ ucksichtigt wird. Aufgrund der detaillierten Betrachtung der Vorg¨ange, die sich an einem einzelnen Partikel abspielen, k¨onnen zus¨atzliche Einﬂ¨ usse, wie beispielsweise eine Verbrennungsreaktion in die Modellierung mit einbezogen werden. Auch die Formulierung von Randbedingungen f¨ ur die Str¨omungsgr¨oßen der Partikelphase an der Bewandung stellt im Gegensatz zum Zwei-Kontinua-Verfahren keine Schwierigkeit dar [Som96]. Die oben genannte Einschr¨ankung des Einzelpartikel-Verfahrens, der hohe Zeitbedarf, oﬀenbart sich insbesondere bei der Berechnung von dichten Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen. Hier kann allein die Anzahl der vorliegenden Partikel schnell Dimensionen erreichen, welche selbst die Kapazit¨at leistungsstarker Computer u ucksichtigung weiterer ¨bersteigt. Die Ber¨ Vorg¨ange wie z.B. der Partikel-Partikel-Kollisionen oder der R¨ uckwirkung der Partikel auf die Gasphase kann eine Simulation derartiger Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen aufgrund der sehr hohen Berechnungszeit unvertretbar machen [CST98]. Das im Rahmen dieser Arbeit neu entwickelte Verfahren tr¨agt zur L¨osung dieser Problematik bei, indem es die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Einzelpartikel-Verfahren auf einen begrenzten Bereich beschr¨ankt, innerhalb dessen die Anwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens aufgrund der im vorigen Abschnitt genannten Einschr¨ankungen nicht in Frage kommt. Dieser Bereich zeichnet sich durch ein hohes Maß an Unregelm¨aßigkeit in der Bewegung der Partikel aus und ist vorwiegend in der N¨ahe fester Hindernisse sowie an der Geometriebegrenzung vorzuﬁnden. Hier k¨onnen die Vorteile des Einzelpartikel-Verfahrens, insbesondere die detaillierte Beschreibung des Feststoﬀverhaltens, ausgenutzt werden. Zudem er¨oﬀnet die M¨oglichkeit der Beschr¨ankung der Simulation auf einen kleinen Bereich, in dem das Einzelpartikel-Verfahren zum Einsatz kommt, eine echte Perspektive zur Berechnung von dichten Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen innerhalb einer angemessenen Zeit.

11

2 Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen

12

3

Formulierung der Bilanzgleichungen

Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Verfahren zur Simulation von Gas-FeststoﬀStr¨omungen ist ein Hybridverfahren. Es kombiniert das Zwei-Kontinua-Verfahren mit dem Einzelpartikel-Verfahren. W¨ahrend die Beschreibung der Gasphase f¨ ur beide Verfahren identisch ist, existieren, wie in Kapitel 2 ausgef¨ uhrt, bei der Behandlung der Feststoﬀphase gravierende Unterschiede. In diesem Kapitel werden zun¨achst die zugrunde liegenden Bilanzgleichungen zur Berechnung der Gasphase vorgestellt. Anschließend werden ausgehend von der Formulierung der Boltzmann-Gleichung die beschreibenden Gleichungen der Feststoﬀphase nach dem Zwei-Kontinua- und dem Einzelpartikel-Verfahren hergeleitet. Dabei erfolgt die Formulierung der Bilanzgleichungen unter der Annahme isothermer Bedingungen und unter Ausschluss chemischer Reaktionen. Die Feststoﬀphase besteht aus ideal sph¨arischen, monodispersen Partikeln.

3.1 3.1.1

Beschreibung der Gasphase Bewegungsgleichungen

Die Bewegung der Gasphase wird durch die Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie beschrieben. Dar¨ uber hinaus ist ein rheologisches Stoﬀgesetz sowie eine thermodynamische Zustandsgleichung zur vollst¨andigen Modellierung erforderlich. Betrachtet man ein beliebig geformtes, ortsfestes Kontrollvolumen Ω mit der Oberﬂ¨ache S, das von einer Gasphase mit der Geschwindigkeit ug durchstr¨omt wird (vgl. Abbildung 3.1), so ergibt sich f¨ ur die Massenbilanz der folgende Zusammenhang: ∂ φg ρg dΩ + φg ρg ug · n dS = 0, (3.1) ∂t Ω S wobei dS ein inﬁnitesimal kleines Element der Oberﬂ¨ache S und n den zu dS geh¨orenden nach außen gerichteten Normalenvektor darstellen. Der erste Term auf der linken Seite

S

n

Ω

ug

Abbildung 3.1: Allgemeines Kontrollvolumen. 13

3 Formulierung der Bilanzgleichungen von (3.1) beschreibt die Massen¨anderung im Kontrollvolumen Ω innerhalb der Zeitspanne ∂t, der zweite Term kennzeichnet den konvektiven Transport von Masse durch die Begrenzungsﬂ¨ache S. Da in den hier untersuchten Str¨omungskonﬁgurationen keine Phasen¨ uberg¨ange ber¨ ucksichtigt werden, ﬁnden sich auf der rechten Seite von (3.1) keine Quelloder Senkenterme. Geht man nun von einer Inkompressibilit¨at der Gasphase aus, was bei niedrigen Str¨omungsgeschwindigkeiten (Ma < 0.2) physikalisch gerechtfertigt und numerisch erforderlich ist, l¨asst sich die Gasdichte ρg aus (3.1) eliminieren [Str91]. Wird nun f¨ ur das Kontrollvolumen Ω die Bilanzgleichung f¨ ur den Impuls formuliert, so erh¨alt man: ∂ φg ρg ug dΩ + φg ρg ug ug · n dS = Tg · n dS + φg ρg g dΩ + kgp dΩ. (3.2) ∂t Ω S S Ω Ω ¨ Die linke Seite von (3.2) beschreibt die zeitliche Anderung des Impulses sowie den konvektiven Impulsﬂuss u ¨ber die Oberﬂ¨ache von Ω. Der erste Term der rechten Seite repr¨asentiert den diﬀusiven Impulsﬂuss u ¨ber die Oberﬂ¨ache. Der Spannungstensor der Gasphase Tg auf der rechten Seite von (3.2) gibt die Normal- und Tangentialspannungen an der Oberﬂ¨ache des Kontrollvolumens wieder und ist f¨ ur inkompressible, newtonsche Fluide durch das zugeh¨orige rheologische Stoﬀgesetz gegeben: 2 (3.3) Tg = − pg + µg − ζg ∇ · ug I + µg ∇ug + (∇ug )T . 3 Hierbei bezeichnet ζg die Volumenviskosit¨at, die f¨ ur kompressible Medien ber¨ ucksichtigt werden muss. F¨ ur das hier betrachtete inkompressible Fluid nimmt diese folglich den Wert Null an. Die Gr¨oßen pg und I kennzeichnen den statischen Druck innerhalb der Gasphase sowie den Einheitstensor. Das zweite und dritte Integral der rechten Seite von (3.2) beschreiben den Einﬂuss der Schwerkraft sowie einen Impulsaustauschterm, der sich aus der Wechselwirkung mit der dispersen Phase ergibt. Die Gr¨oßen g und kgp bezeichnen in diesem Zusammenhang die Erdbeschleunigung und eine Volumenkraft, die sich aus der Partikelwechselwirkung ergibt. Die Diskussion von kgp erfolgt in Abschnitt 3.2. Die oben formulierten Gleichungen f¨ ur Masse und Impuls sind f¨ ur eine Zweiphasenstr¨omung deﬁniert. Betrachtet man eine einphasige Str¨omung (φg =1 und kgp=0), so reduzieren sich (3.1) und (3.2) zur Kontinuit¨atsgleichung und Navier-Stokes-Gleichung in der allgemein bekannten Form. Aufgrund isothermer Bedingungen ist eine L¨osung der Energiebilanz nicht erforderlich.

3.1.2

Modellierung der Turbulenz

Eine turbulente Str¨omung ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass sich die Schwankungsbewegungen auf unterschiedlichen L¨angenskalen vollziehen. Die Abmessungen der einzelnen Turbulenzelemente k¨onnen in der Gr¨oßenordnung der Str¨omungsgeometrie liegen, bis hin zu den kleinsten Elementen, deren Ausdehnung durch die so genannte Kolmogorovsche L¨angenskala η gegeben ist. Obwohl die kleinen Turbulenzelemente zahlenm¨aßig 14

3.1 Beschreibung der Gasphase u ¨berwiegen, ist der gr¨oßte Teil der Turbulenzenergie in den großskaligen Wirbeln enthalten [Fr¨o00]. Diese werden von der mittleren Str¨omung erzeugt und zerfallen in immer kleinere Wirbel. Mit abnehmender Wirbelgr¨oße werden viskose Kr¨afte dominant, welche die kinetische Energie der Turbulenzbewegung irreversibel in innere Energie der Str¨omung u uhren. Der Zusammenhang zwischen dem Energieinhalt und der Wirbelgr¨oße wird ¨berf¨ auch als Kolmogorov’sche Energiekaskade bezeichnet [Leo74]. Die in Abschnitt 3.1.1 formulierten Transportgleichungen gelten f¨ ur laminare und turbulente Str¨omungsvorg¨ange. Eine vollst¨andige ¨ortliche Beschreibung des turbulenten Str¨omungsfeldes setzt ein Rechengitter voraus, das auch noch die kleinsten Wirbel hinreichend genau erfasst. Dar¨ uber hinaus sollte der Zeitschritt auf eine Gr¨oße reduziert werden, welche das turbulente Zeitmaß auﬂ¨osen kann. Ein Verfahren, welches die erforderliche ¨ortliche und zeitliche Auﬂ¨osung besitzt, um alle Turbulenzeﬀekte erfassen zu k¨onnen, wird als die Direkte Numerische Simulation (DNS) bezeichnet. Hierbei werden die dreidimensionalen, zeitabh¨angigen Transportgleichungen durch eine entsprechende Diskretisierung des Str¨omungsfeldes in den Kontrollvolumina direkt d.h. ohne den Einsatz eines Turbulenzmodells gel¨ost. Die Ausdehnung der Kontrollvolumina h¨angt von der Gr¨oße der kleinsten turbulenten Wirbel ab, die durch die Kolmogorovsche L¨angenskala gegeben ist. Bei gr¨oßer werdender Turbulenzintensit¨at der Str¨omung nimmt der Wert dieses L¨angenmaßes ab. Dadurch erh¨oht sich der Rechenaufwand drastisch, da eine h¨ohere Auﬂ¨osung des Str¨omungsgebietes erforderlich ist. Aus diesem Grund ist die Anwendung der Direkten Numerischen Simulation bislang auf einfache Str¨omungsgeometrien (z.B. Kanalstr¨omung) bei moderater Turbulenzintensit¨at beschr¨ankt und somit f¨ ur die Praxis zur Zeit noch unbedeutend. Ein Verfahren, das den Rechenaufwand im Vergleich zu einer DNS erheblich reduziert, ist die Large-Eddy-Simulation (LES). Hierbei werden nur die großen, energiereichen Wirbel aufgel¨ost, w¨ahrend der Einﬂuss kleiner turbulenter Strukturen durch entsprechende Modelle (Feinstrukturmodelle) ber¨ ucksichtigt wird [Sma63, Fer96, DS97]. Ein bekanntes Feinstrukturmodell ist das Smagorinsky-Modell, das f¨ ur den Fall einer isotropen Turbulenz ¨ eine gute Ubereinstimmung mit experimentellen Untersuchungen liefert [BFR80]. Trotz eines bereits erheblich geringeren Rechenaufwandes der LES gegen¨ uber einer DNS, ist die Large-Eddy-Simulation derzeit noch als ein Verfahren zur Berechnung vergleichsweise einfacher Str¨omungskonﬁgurationen zu sehen. Ihr großes Potential bei der Analyse zahlreicher Str¨omungsph¨anomene l¨asst jedoch vermuten, dass sich die LES in naher Zukunft zu einem wichtigen Werkzeug f¨ ur die Simulation praxisrelevanter, turbulenter Str¨omungen entwickeln wird. In turbulenten Str¨omungen sind s¨amtliche Feldgr¨oßen Funktionen des Ortes und der Zeit. In vielen F¨allen, insbesondere bei industriellen Anwendungen, ist man lediglich an den Mittelwerten dieser Gr¨oßen interessiert, da meist auch nur diese messtechnisch erfasst werden k¨onnen. Zur mathematischen Behandlung werden alle zeitabh¨angigen Gr¨oßen Φ in einen Mittelwert Φ und einen Schwankungswert Φ aufgespalten: Φ(t, x) = Φ(x) + Φ (t, x).

(3.4)

Der Mittelwert in (3.4) wird u uber ¨ber die Zeit T bestimmt, die vergleichsweise ”lang” gegen¨ 15

3 Formulierung der Bilanzgleichungen der Zeit sein muss, in der sich die turbulenten Schwankungen vollziehen: Φ(x) =

1 T

T Φ(t, x) dt.

(3.5)

0

Wird nun f¨ ur die Feldgr¨oßen in (3.1) und (3.2) eine Aufspaltung gem¨aß (3.5) vorgenommen und eine zeitliche Mittelung der gesamten Gleichung durchgef¨ uhrt, so ergibt sich die so genannte Reynolds-gemittelte Massenbilanz: ∂ φg dΩ + φg ug · n dS = 0, (3.6) ∂t Ω S wobei alle Korrelationen mit φg wegen ihrer geringen Bedeutung vernachl¨assigt werden. F¨ ur die Reynolds-gemittelte Impulsbilanz gilt entsprechend ∂ ∂t

Ω

φg ρg ug ug · n dS + φg ρg ug ug T · n dS S S = Tg · n dS + φg ρg g dΩ + kgp dΩ,

φg ρg ug dΩ +

S

Ω

mit Tg als Reynolds-gemitteltem Spannungstensor: 2 Tg = − pg + µg ∇ · ug I + µg ∇ug + (∇ug )T . 3

(3.7)

Ω

(3.8)

Die Reynolds-gemittelte Impulsbilanz (3.7) unterscheidet sich von der Impulsbilanz (3.2) nur durch die Korrelation der Schwankungsgr¨oßen TR = −ρg ug ug T , die als Reynoldsspannungen bezeichnet werden. Sie sind durch die Mittelung des nichtlinearen Konvektionsterms entstanden und k¨onnen als zus¨atzliche Scherspannungen interpretiert werden, die durch die turbulenten Geschwindigkeitsﬂuktuationen hervorgerufen werden. Die Berechnung dieser Korrelationen erfordert weitere Informationen, die aus Turbulenzmodellen gewonnen werden k¨onnen. Dabei kann die Formulierung geeigneter Modellans¨atze auf zwei unterschiedlichen Wegen erfolgen. Zum einen lassen sich so genannte ReynoldsspannungsModelle herleiten, die f¨ ur die Bestimmung der Schwankungsgr¨oßen exakte Gleichungen bereitstellen [LRR75, Rodi87]. Infolgedessen zeichnet sich dieser Ansatz durch eine hohe Genauigkeit aus, ist jedoch aufgrund seiner Komplexit¨at (mehr als 6 zus¨atzliche partielle Diﬀerential-Gleichungen mit Termen h¨oherer Ordnung) rechenaufw¨andig und anspruchsvoll bez¨ uglich der Deﬁnition von Randbedingungen. Zum anderen k¨onnen die unbekannten Korrelationen u ¨ber einen Gradientenansatz ermittelt werden. Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass die Koeﬃzienten empirisch ermittelt oder aus halbempirischen Bestimmungsgleichungen berechnet werden k¨onnen, wobei die Anzahl zus¨atzlicher Transportgleichungen im Allgemeinen gering ist. Grundgedanke des Gradientenansatzes ist die Wirbelviskosit¨atshypothese nach Bousinesque, wonach die Reynoldsspannungen TR aus den 16

3.1 Beschreibung der Gasphase zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsgradienten abgeleitet werden k¨onnen [LS72]: 2 TR = −ρg ug ug T = µt ∇ug + (∇ug )T − ρg k I. 3

(3.9)

Die turbulente kinetische Energie k ist hierbei deﬁniert als: 1 k = (ug ug + vg vg + wg wg ). 2

(3.10)

Die Gr¨oße µt kennzeichnet die so genannte turbulente Viskosit¨at, die im Gegensatz zu der molekularen Viskosit¨at µg keine Materialkonstante, sondern eine ¨ortlich und zeitlich variable Gr¨oße darstellt. F¨ ur deren Berechnung existieren unterschiedliche Ans¨atze. Je nach der Anzahl der zus¨atzlichen Transportgleichungen werden diese in Null-, Ein- und Zweigleichungsmodelle unterteilt. Im Rahmen dieser Arbeit wird das von Launder & Spalding entwickelte und in der industriellen Praxis weit verbreitete k-ε-Modell, ein Zweigleichungsmodell, verwendet [LS72]. Hierzu werden die Transportgleichungen f¨ ur die turbulente kinetische Energie k und die Dissipationsrate ε gel¨ost. Die Dissipationsrate ε ist dabei wie folgt deﬁniert: ε=

µg ∇ug : (∇ug )T . ρg

(3.11)

Mit diesen Gr¨oßen l¨asst sich die turbulente Viskosit¨at nach einer Kolmogorov-PrandtlBeziehung ermitteln [Kol42, Pra45]: µT = Cµ ρg

k2 , ε

(3.12)

ur die turbulente wobei Cµ eine empirische Konstante darstellt. Die Transportgleichungen f¨ kinetische Energie und die Dissipationsrate werden aus den gemittelten und zeitabh¨angigen Impulserhaltungss¨atzen hergeleitet [Hin75]. Unbekannte Korrelationen m¨ ussen dann noch durch die bekannten Gr¨oßen ug , k und ε ersetzt werden. Als Ergebnis erh¨alt man die Transportgleichungen f¨ ur die turbulente kinetische Energie k ∂ µt ρg k dΩ + ρg k ug · n dS = ∇k · n dS + TR : ∇ug − ρg ε dΩ (3.13) ∂t Ω S S σk Ω und f¨ ur die Dissipationsrate ε ∂ µt ε ε2 ρg ε dΩ+ ρg ε ug ·n dS = ∇ε·n dS + Cε1 TR : ∇ug −Cε2 ρg dΩ, (3.14) ∂t Ω σ k k S S ε Ω wobei der Ausdruck TR : ∇ug das Skalarprodukt zweier Tensoren kennzeichnet. Die Konstanten in (3.12), (3.13) und (3.14) wurden durch Regression an eine Vielzahl experimenteller Ergebnisse angepasst. Ein h¨auﬁg verwendeter Konstantensatz lautet [LS72]: 17

3 Formulierung der Bilanzgleichungen Cµ 0.09

Cε1 1.44

Cε2 1.92

σk 1.0

σε 1.3

Das Standard-k-ε Modell (3.13, 3.14) reduziert die Berechnung der komplexen Vorg¨ange der Turbulenz auf die L¨osung zweier Bilanzgleichungen. Aufgrund der getroﬀenen Annahmen (z.B. Isotropie der Turbulenz) und des Einsatzes von empirisch angepassten Konstanten sind dem Modell Grenzen hinsichtlich seiner G¨ ultigkeit gesetzt. Eine Anpassung ¨ ist zum Beispiel bei der Anwesenheit einer zweiten Phase erforderlich. Uber den Einﬂuss der dispersen Phase auf die Turbulenz gibt es jedoch widerspr¨ uchliche Aussagen, die eine Modellerweiterung erschweren. Es existieren zwar zahlreiche Vorschl¨age das k-ε-Modell zu erweitern, derartige Korrekturen sind aber nur von eingeschr¨anktem Nutzen, da sie f¨ ur spezielle Anwendungsf¨alle entwickelt wurden und somit keine Allgemeing¨ ultigkeit besitzen [CW86, TF94, GNN83]. Trotz dieser Einschr¨ankungen stellt das k-ε-Modell einen guten Kompromiss zwischen der erreichbaren Genauigkeit und dem erforderlichen Berechnungsaufwand dar. Dar¨ uber hinaus ergibt sich ein Vorteil bei der Anwendung im Zusammenhang mit mehrphasigen Str¨omungen, da die Modellkonstanten bereits gut angepasst sind und f¨ ur verschiedene Anwendungsf¨alle validiert wurden.

3.2

Beschreibung der Feststoﬀphase

Die Beschreibung des Bewegungsverhaltens der dispersen Feststoﬀphase erfolgt in Analogie zur Beschreibung der Molek¨ ulbewegung in einem idealen Gas. Hier wird die Annahme getroﬀen, die Molek¨ ule stellen harte Kugeln dar mit ausschließlich translatorischen Freiheitsgraden der Bewegung. Die intermolekularen Kollisionen sind bin¨ar und vollst¨andig elastisch. Der Bewegungszustand eines Molek¨ ulkollektivs l¨asst sich allgemein durch die Angabe von Ort und Geschwindigkeit jedes einzelnen Teilchens zu jedem Zeitpunkt beschreiben. Eine Funktion, die den Zustand eines Gases vollst¨andig beschreibt, ist die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung f (x, v, t). Das Produkt f (x, v, t) dx dv

(3.15)

gibt die Anzahl der Molek¨ ule an, deren Schwerpunkt sich zum Zeitpunkt t im Volumen (x, x + dx) beﬁndet und die eine Geschwindigkeit im Intervall (v, v + dv) aufweisen. Die zeitliche und r¨aumliche Evolution von f wird durch die Boltzmann-Gleichung beschrieben (z.B. nach [Gid94]): ∂f ∂f ∂f ∂f +v· +F· = . (3.16) ∂t ∂x ∂v ∂t coll Dabei stellt die linke Seite von (3.16) die kinetischen Terme dar, welche den Transport von f aufgrund einer ungest¨orten Molek¨ ulbewegung sowie einer durch die ¨außeren Kr¨afte beeinﬂussten Bewegung beschreiben. Die Summe der ¨außeren Kr¨afte wird in F zusammengefasst. Die rechte Seite von (3.16) repr¨asentiert die durch bin¨are St¨oße zwischen den ¨ Molek¨ ulen bedingte Anderung der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung f . 18

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase Eine analytische L¨osung der Boltzmann-Gleichung ist bislang nur unter vereinfachenden Annahmen m¨oglich. Ein Spezialfall stellt hierbei die Annahme eines thermodynamischen Gleichgewichts dar. Beﬁndet sich ein Molek¨ ulkollektiv in einem thermodynamischen Gleichgewicht, d.h. es ﬁnden keinerlei Ausgleichsprozesse mehr statt, dann werden die drei Summanden auf der linken Seite von (3.16) zu Null. Damit (3.16) weiterhin erf¨ ullt ist, muss f¨ ur den als Kollisionsoperator bekannten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung gelten: ∂f ≡ 0. (3.17) ∂t coll Dies ist dann der Fall, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f die Form der bekannten Maxwell-Verteilung fM einnimmt: ρ |v − u|2 fM (v) = . (3.18) − 3 exp 2RT (2πRT ) 2 Dabei beschreiben ρ die Gasdichte, u die mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeit und T die thermodynamische Temperatur, die ein Maß f¨ ur die kinetische Energie der Fluktuationsbewegung darstellt. Die Maxwell-Verteilung stellt somit die L¨osung der Boltzmann-Gleichung f¨ ur den Fall eines thermodynamischen Gleichgewichts dar. Unter dieser Voraussetzung lassen sich nun aus (3.16) Bilanzgleichungen herleiten, die den Transport von Masse, Impuls und Energie in einem idealen Gas beschreiben. Die hier kurz skizzierte Methodik der Beschreibung des Bewegungsverhaltens idealer Gase geh¨ort zum Gebiet der kinetischen Gastheorie. Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung dieser Theorie ist dem Standardwerk von Chapman & Cowling zu entnehmen [CC70]. Um den Bewegungszustand eines dispersen Feststoﬀs mit vergleichbaren Methoden zu beschreiben, wurde die kinetische Gastheorie zu Beginn der achtziger Jahre zur kinetischen Theorie granularer Fluide (KTGF) erweitert. In dem folgenden Abschnitt 3.2.1 werden die Grundz¨ uge dieser Methode sowie die sich hieraus ergebenden Transportgleichungen f¨ ur die Feststoﬀphase vorgestellt. Eine andere M¨oglichkeit der L¨osung von (3.16) besteht in der Verwendung stochastischer Verfahren. Hierbei wird die zeitliche Evolution eines Molek¨ ulkollektivs mit stochastischen Methoden approximiert. Die Beschreibung der dazu notwendigen Techniken sowie der zu ber¨ ucksichtigenden Annahmen, insbesondere im Hinblick auf disperse Partikelkollektive, sind Gegenstand von Abschnitt 3.2.2.

3.2.1

Zwei-Kontinua-Verfahren

Beim Zwei-Kontinua-Verfahren wird angenommen, dass sowohl die Gas- als auch die Feststoﬀphase als zwei koexistierende Kontinua dargestellt werden k¨onnen. Die zeitlich gemittelten Erhaltungsgleichungen der Gasphase (3.6, 3.7) sind bereits in Abschnitt 3.1.2 vorgestellt worden. Die Transportgleichungen der Feststoﬀphase ergeben sich aus einer zeitlichen Mittelung der so genannten Maxwellschen Transportgleichungen, die ihren Ursprung in 19

3 Formulierung der Bilanzgleichungen der Boltzmann-Gleichung haben. Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt im Rahmen der kinetischen Theorie granularer Fluide, die im Gegensatz zur kinetischen Gastheorie eine Betrachtung von dispersen Feststoﬀsystemen erlaubt. Da die KTGF ausf¨ uhrlich von Gidaspow beschrieben wurde [Gid94], sollen an dieser Stelle lediglich die zu treﬀenden Annahmen sowie eine Skizze der Herleitung bis hin zur Formulierung der Transportgleichungen der Feststoﬀphase gegeben werden. Eine zweiphasige Gas-Feststoﬀ-Str¨omung unterscheidet sich von der Str¨omung eines ¨ Molek¨ ulkollektivs durch die Anwesenheit einer zweiten Phase. Daher sind trotz der Ahnlichkeit des Bewegungsverhaltens des ﬂuidisierten Feststoﬀs zu dem eines idealen Gases wesentliche Unterschiede festzustellen. Die wichtigsten lassen sich wie folgt zusammenfassen: • die Partikel-Partikel-Kollisionen erfolgen inelastisch, das heißt, um eine Fluidisierung der Feststoﬀphase aufrechtzuerhalten, muss der Verlust an kinetischer Energie infolge der Kollisionen durch einen Energietransfer von der Gasphase zur Feststoﬀphase kompensiert werden, • zwischen den Kollisionen wirken auf die Partikel ¨außere Kr¨afte, die zum einen aus der Druckverteilung um das Partikel, zum anderen aus den Schubspannungen an der Oberﬂ¨ache des Partikels resultieren, • die Gravitationskraft sowie die Rotationsbewegung der Partikel ist zu ber¨ ucksichtigen, • die turbulenten Strukturen der Gasphase beeinﬂussen die Fluktuationsbewegung der Partikel. Die hier aufgef¨ uhrten Unterschiede zwischen einem dispersen Feststoﬀsystem und einem Molek¨ ulkollektiv werden bis auf den Schwerkrafteinﬂuß und die Rotationsbewegung in der kinetischen Theorie granularer Fluide ber¨ ucksichtigt. Die Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht, die aus der Existenz treibender Kr¨afte herr¨ uhren, werden allgemein durch folgenden Ansatz erfasst [Gid94]: f = f (0) + f (1) = f (0) (1 + Φ(1) ).

(3.19)

f stellt die zweite Approximation zur Boltzmann-Gleichung dar (die Maxwell-Verteilung f (0) wird in diesem Zusammenhang auch als erste Approximation bezeichnet); der Ausdruck Φ(1) steht f¨ ur ein Korrekturpolynom, das bestimmte Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht ber¨ ucksichtigt. Die Herleitung sowie die Diskussion dieser Gr¨oße erfolgt in Kapitel 5. Unter Verwendung von (3.19) k¨onnen nun die Transportgleichungen der Feststoﬀphase in analoger Weise zum Vorgehen in der kinetischen Gastheorie hergeleitet werden. Hierzu wird die Boltzmann-Gleichung mit einer Gr¨oße q, die den Transport einer Str¨omungseigenschaft beschreibt, multipliziert und u ¨ber den gesamten Geschwindigkeitsraum integriert: ∂f ∂f ∂f ∂f q +v· +F· dv = q dv. (3.20) ∂t ∂x ∂v ∂t coll 20

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase Das Ergebnis der Integration stellt die Maxwellschen Transportgleichungen dar. F¨ ur q = φp ρp ergibt sich die Massenerhaltungsgleichung der Partikelphase: ∂ φp dΩ + φp up · n dS = 0, (3.21) ∂t Ω S mit dem mittleren Volumenanteil φp und der mittleren Geschwindigkeit der Partikel up . Setzt man nun q = φp ρp up , so kann die Impulserhaltungsgleichung wie folgt angegeben werden: ∂ φp ρp up dΩ + φp ρp up up · n dS = Tp · n dS + φp ρp g dΩ − kgp dΩ, (3.22) ∂t Ω S S Ω Ω wobei Tp den Spannungstensor der Partikelphase darstellt: 2 µp − ζp ∇ · up I + µp ∇up + (∇up )T . Tp = − pp + 3

(3.23)

Hier bezeichnen pp , ζp und µp den Partikeldruck, die Volumen- und die Scherviskosit¨at der Partikelphase. Die drei Unbekannten sowie der Impulsaustauschterm kgp in (3.22), kgp = β (up − ug ), der als Produkt aus einer Widerstandsfunktion β und der Relativgeschwindigkeit zwischen Partikelensemble und Gas modelliert wird, sind weiter unten erl¨autert. Die dritte Maxwellsche Transportgleichung wird f¨ ur die Fluktuationsenergie der Partikelphase formuliert. Dabei wird angenommen, dass die Fluktuationsbewegungen der Partikel isotrop sind und sich deshalb aus der Deﬁnition der kinetischen Energie Ep ein Zusammenhang zwischen der Fluktuationsbewegung u p und der granularer Temperatur Θ ergibt: 1 1 1 3 2 Ep = mp up 2 + mp u p = mp up 2 + mp Θ. 2 2 2 2

(3.24)

Setzt man nun in (3.20) q = 3/2mp Θ, so kann folgende Bilanzgleichung f¨ ur die granulare Temperatur Θ gefunden werden: ∂ 3 3 φp ρp Θ dΩ + φp ρp up · nΘ dS (3.25) ∂t Ω 2 S 2 = Tp : ∇up dΩ + κp ∇Θ · n dS − γp dΩ + Ψp dΩ. Ω

S

Ω

Ω

¨ Die linke Seite von (3.25) beschreibt die zeitliche Anderung und den konvektiven Transport der Fluktuationsenergie der Partikel. Die ersten beiden Terme der rechten Seite stellen die Produktion sowie den diﬀusiven Transport der granularen Temperatur dar. Die verbleibenden beiden Summanden bezeichnen die Dissipation sowie den Austausch der Fluktuationsenergie zwischen Gas und Partikel. Die Geschwindigkeitsgradienten der Partikelstr¨omung werden durch den Spannungstensor Tp (3.23) charakterisiert. Die hierin enthaltene Gr¨oße pp bezeichnet den Partikeldruck. 21

3 Formulierung der Bilanzgleichungen Er repr¨asentiert das Bestreben der Partikel sich innerhalb der Gasphase r¨aumlich auszubreiten und w¨ urde bei Abwesenheit anderer Kr¨afte zu einer gleichm¨aßigen Partikelbeladung im gesamten Str¨omungsgebiet f¨ uhren. Die Berechnung des Partikeldruckes erfolgt aus einem Kinetik- und einem Kollisionsterm [LSJ84]: pp = pp,kin + pp,koll .

(3.26)

Der kinetische Term erfasst die translatorische Bewegung der Partikel und ergibt sich zu: pp,kin = φp ρp Θ,

(3.27)

der Kollisionsterm ber¨ ucksichtigt Partikelkollisionen und lautet: pp,koll = 2(1 + e)g0φp 2 ρp Θ.

(3.28)

Hierbei bezeichnen e und g0 die Stoßzahl und die radiale Verteilungsfunktion. Die Stoßzahl e beschreibt den Verlust an kinetischer Energie bei einer Kollision. Ein vollkommen elastischer Stoß wird mit e = 1 beschrieben; e = 0 f¨ uhrt zu einer maximalen Dissipation kinetischer Energie w¨ahrend einer Kollision. Im Rahmen dieser Arbeit wird e als eine Materialkonstante behandelt, die Abh¨angigkeit von anderen Randbedingungen wie Auftreﬀwinkel oder Auftreﬀgeschwindigkeit wird vernachl¨assigt. Die radiale Verteilungsfunktion g0 ist ein Maß f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Teilchen eines dichten Partikelkollektivs ber¨ uhren. F¨ ur die Modellierung dieser Gr¨oße existiert eine Vielzahl von ¨ Ans¨atzen; einen Uberblick dar¨ uber gibt Boemer [Boe96]. In dieser Arbeit wird der Ansatz von Ma & Ahmadi verwendet, der f¨ ur Suspensionen mit Volumenanteilen im Bereich von φp < 10−2 eine gute N¨aherung darstellt [MA90, Ind01]: 3 −0.678

φp . g0 = 1 + 4φp 1 + 2.5φp + 4.59φp 2 + 4.515φp 3 1 − 0.644

(3.29)

Eine weitere Unbekannte in (3.23) ist die Scherviskosit¨at µp , die keine Stoﬀgr¨oße ist, son¨ dern eine Variable, die vom Str¨omungszustand abh¨angig ist. Ahnlich wie beim Partikeldruck setzt sie sich aus einem kinetischen und einem kollisionalen Term zusammen. Das Ergebnis kann wie folgt angegeben werden [Gid94]: 2 Θ 10 π 4 4 2 µp = ρp dp (3.30) 1 + (1 + e)g0 φp + (1 + e)g0φp . π 96 (1 + e)g0 5 5 Die Volumenviskosit¨at ζp resultiert aus einer lokalen Kompression der Partikelphase und wird in folgender Form verwendet [LSJ84]: Θ 4 ζp = φp 2 ρp dp g0 (1 + e) . (3.31) 3 π 22

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase Der zweite Term der rechten Seite von (3.25) stellt den diﬀusiven Transport der granularen Temperatur dar. Die darin enthaltene Gr¨oße κp wird als W¨armeleitf¨ahigkeit der Partikelphase bezeichnet und kann angegeben werden als [Gid94]: 2 Θ 150 π 6 (3.32) κp = ρp dp 1 + (1 + e)g0 φp + 2φp 2 g0 (1 + e) . π 384 (1 + e)g0 5 Die Dissipationsrate γp in (3.25) beschreibt die Energiedissipation aufgrund inelastischer Partikelkollisionen [Gid94]: 4 Θ − ∇ · up . (3.33) γp = 3(1 − e2 )φp 2 ρp g0 Θ dp π Bei v¨ollig elastischen St¨oßen (e = 1) ﬁndet keine Dissipation kinetischer Energie statt ucksichtigt die Produktion (γp = 0). Die Gr¨oße Ψ im letzten Summanden in (3.25) ber¨ bzw. Dissipation der Fluktuationsenergie Θ aufgrund von Reibungskr¨aften zwischen den Partikeln und der Gasphase: Ψp = β(Kgp − 3Θ).

(3.34)

upfung Die Gr¨oße Kgp wird als Geschwindigkeitskovarianz bezeichnet und stellt eine Verkn¨ zwischen der Gas- und Partikelﬂuktuation dar. Sie wird in Kapitel 6 genauer beschrieben. Die im Rahmen des Zwei-Kontinua-Verfahrens noch nicht n¨aher speziﬁzierte Gr¨oße ist der Impulsaustauschterm kgp aus (3.7) und (3.22). Dieser beschreibt die Impuls¨anderung aufgrund der Wechselwirkung zwischen der Gas- und Partikelphase. Die in diesem enthaltenen wesentlichen Kraftbeitr¨age sind: • die Widerstandskraft FW und • die Querkr¨afte (Magnus- und Saffman-Kraft). Weitere Kr¨afte, wie die virtuelle Massenkraft oder die Basset-Kraft ber¨ ucksichtigen die instation¨are Bewegung der Partikel und den daraus resultierenden Einﬂuss des Mediums, welches das Partikel unmittelbar umgibt. Diese Kraftbeitr¨age k¨onnen jedoch aufgrund ¨ des hohen Dichteverh¨altnisses ρp /ρg vernachl¨assigt werden [KES98]. Ahnliches gilt f¨ ur die Druckkraft, die sich aus dem dynamischen Druckgradienten in der Gasstr¨omung ergibt. Auch diese kann aufgrund ihrer geringen Bedeutung in turbulenten Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen vernachl¨assigt werden [Som96]. Im Gegensatz dazu k¨onnen die Querkr¨afte einen entscheidenden Einﬂuss auf die Partikelbewegung haben. Deren Bedeutung h¨angt jeweils von den Randbedingungen der Str¨omung ab. Wichtig in diesem Zusammenhang ist vor allem die Geometrie der Str¨omung sowie die Feststoﬀeigenschaften wie z.B. der Partikeldurchmesser. Beide Querkr¨afte entstehen durch eine unterschiedliche Anstr¨omgeschwindigkeit an der Oberﬂ¨ache des Partikels, so dass sich eine unsymmetrische Druckverteilung auf der Partikeloberﬂ¨ache ausbildet. Die resultierende Kraft wirkt dann in Richtung des geringeren Druckes. Die Saffman-Kraft, die aus einem Geschwindigkeitsgradienten der Str¨omung 23

3 Formulierung der Bilanzgleichungen resultiert, kann insbesondere in Wandn¨ahe große Werte annehmen [Som96]. Die MagnusKraft ergibt sich aus der Rotation der Partikel im Str¨omungsfeld der Gasphase. Hohe Rotationsgeschwindigkeiten k¨onnen vor allem in solchen Str¨omungsgeometrien auftreten, wo begrenzende W¨ande oder Hindernisse h¨auﬁge Partikel-Wand-Kollisionen induzieren. Da im Rahmen dieser Arbeit die Umstr¨omung von Hindernissen in einer Kanalgeometrie untersucht wird, darf der Einﬂuss der Magnus- sowie der Saffman-Kraft in der N¨ahe dieser Begrenzungen auf keinen Fall vernachl¨assigt werden. Im Kernbereich der Str¨omung hingegen, wo die Partikelbewegung vorwiegend von aerodynamischen Kr¨aften dominiert wird und der Schergradient der Str¨omung gering ist, kann der Beitrag beider Querkr¨afte außer acht gelassen werden. Da das Zwei-Kontinua-Verfahren in dem zuletzt genannten Bereich der Str¨omung Anwendung ﬁndet (s. Kapitel 7), kann auf den Einsatz beider Kraftkomponenten innerhalb dieses Verfahrens verzichtet werden. Das Einzelpartikel-Verfahren, das in den u ¨brigen Bereichen der Str¨omungsgeometrie eingesetzt wird, muss dagegen den Einﬂuss beider Querkr¨afte auf das Partikelverhalten aus den genannten Gr¨ unden ber¨ ucksichtigen. Die Formulierung der beschreibenden Gleichungen dieser Kraftbeitr¨age erfolgt im folgenden Abschnitt zusammen mit der Beschreibung der Widerstandskraft, die in beiden Verfahren Ber¨ ucksichtigung ﬁndet.

3.2.2

Einzelpartikel-Verfahren

Wie bereits in Abschnitt 3.2 erw¨ahnt, ist man nur in Ausnahmef¨allen in der Lage eine analytische L¨osung der Boltzmann-Gleichung anzugeben. Um dennoch praxisrelevante Probleme, wie beispielsweise den Wiedereintritt eines Raumgleiters in die Erdatmosph¨are, behandeln zu k¨onnen, wurden stochastische Simulationsverfahren entwickelt. Diese wurden zun¨achst f¨ ur die Untersuchung von Molek¨ ulkollektiven eingesetzt und approximieren die zeitliche Evolution eines Partikelsystems [Bird76]. Das Einzelpartikel-Verfahren, das im Folgenden vorgestellt wird, erm¨oglicht die Beschreibung des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs in einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung. Dabei wird auf Methoden sowie Simulationstechniken zur¨ uckgegriﬀen, die denen zur Beschreibung von Molek¨ ulsystemen weitestgehend entsprechen. Die Simulation der Bewegung eines Partikelkollektivs basiert auf einer von Bird vorgeschlagenen Splitting-Technik [Bird76]. In einem ersten Schritt erfolgt die simultane Berechnung einer Vielzahl von Partikelbahnen ohne Ber¨ ucksichtigung interpartikul¨arer Kollisionen: t+∆t

xj (t + ∆t) = xj (t) +

vj (s)ds.

(3.35)

t

Im Zeitintervall ∆t, in dem die Berechnung stattﬁndet, ¨andert sich die Partikelgeschwindigkeit vj nur aufgrund der auf das Partikel wirkenden Kr¨afte oder der Wechselwirkung mit der Geometrieberandung. Dabei muss die Anzahl der simulierten Partikel groß genug sein, um statistisch zuverl¨assige Aussagen u ¨ber das mittlere Bewegungsverhalten der Partikelphase treﬀen zu k¨onnen. Der zweite Schritt beinhaltet die Berechnung der interparti24

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase kul¨aren Kollisionen, welche die Partikel im Verlaufe des vergangenen Zeitschrittes erfahren haben. Die Bestimmung des mittleren Bewegungsverhaltens der Partikel erfolgt durch eine Auswertung der, durch das Einzelpartikel-Verfahren bestimmten, Approximation der Verteilungsfunktion f (t, x, v). Translatorische Partikelbewegung ¨ Die Anderung des Bewegungszustandes eines Einzelpartikels resultiert aus den an diesem Partikel angreifenden Kr¨aften und Momenten. Betrachtet man die translatorische Bewegung eines Partikels in einer Gasstr¨omung, welches zun¨achst keinerlei Wechselwirkung mit ¨ anderen Partikeln oder der Berandung erf¨ahrt, so kann die zeitliche Anderung seines Impulses durch die folgende Gleichung beschrieben werden: mp

dvp = FG + FA + FW + FS + FM . dt

(3.36)

Die ersten beiden Kraftbeitr¨age auf der rechten Seite von (3.36) stellen die K¨orperkr¨afte Gewichtskraft FG und Auftriebskraft FA - dar: FG =

π ρp dp 3 g, 6

FA =

π ρg dp 3 g. 6

(3.37)

Die verbleibenden drei Kraftkomponenten werden als aerodynamische Kr¨afte bezeichnet; es sind die Widerstandskraft, die Saﬀman-Kraft und die Magnus-Kraft. Die Widerstandskraft FW , die auf ein Partikel in einer parallelen Fluidstr¨omung wirkt, resultiert aus einem Reibungs- und einem Druckwiderstand. Die Gleichung zur Bestimmung des Gesamtwiderstandes lautet: FW = cd

ρg πdp 2 |vrel |vrel , 2 4

vrel = ug − vp ,

(3.38)

wobei vrel die Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Partikel ist. Der Widerstandsbeiwert cd ist eine Funktion der mit vrel gebildeten Partikel-Reynolds-Zahl Rep Rep =

ρp dp |vrel | µg

(3.39)

und kann mit Hilfe der Korrelation von Turton & Levenspiel f¨ ur Rep < 2·105 angegeben werden [TL86]: cd =

0.413 24 1 + 0.173 Rep0.657 + . Rep 1 + 16300 Re−1.09 p

(3.40)

Eine Modiﬁkation dieser Gleichung ergibt sich aus der Wechselwirkung eines Partikels mit den turbulenten Strukturen der Gasphase. Es wird angenommen, dass der Einﬂuss der Fluidturbulenz auf den Widerstandsbeiwert durch Interaktionen der kleinen Wirbel mit 25

3 Formulierung der Bilanzgleichungen der Partikeloberﬂ¨ache zustande kommt [BGM98]. Dies f¨ uhrt zu einer Erh¨ohung des Widerstandsbeiwertes. Eine Beziehung die diesen Zusammenhang beschreibt lautet [BGM98]: 3 dp −4 cdt = cd 1 + 8.76 · 10 , (3.41) η mit η als der Kolmogorow´schen-L¨angenskala: η=

µg 3 ρg 3 ε

14 .

(3.42)

Ermittelt man nun in einer Volumeneinheit die mittlere Widerstandskraft FW sowie die mittlere Relativgeschwindigkeit vrel = ug − up , so kann die im letzten Abschnitt 3.2.1 eingef¨ uhrte Widerstandsfunktion β zur Ber¨ ucksichtigung der Impulswechselwirkung zwischen Gas und Partikel aus folgender Gleichung berechnet werden: β=

np |FW | , |vrel |

(3.43)

wobei np die lokale Anzahldichte darstellt. Die Bedeutung der Querkr¨afte, der Saﬀmanund der Magnus-Kraft, wurde bereits in Abschnitt 3.2.1 erl¨autert. Beide Kraftkomponenten werden in der Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren ber¨ ucksichtigt. Die Gleichung zur Bestimmung der Saﬀman-Kraft lautet: FS = 6.46

d2p 4

ρg µg (vrel × ωg ) f (Rep , ReS ) , |ωg |

(3.44)

wobei ωg = ∇ × ug /2 der Vektor der Rotationsgeschwindigkeit der Gasphase ist. Der Korrekturfaktor f (Rep , ReS ) erlaubt die Anwendung dieser Gleichung auch bei h¨oheren Partikel-Reynolds-Zahlen. Nach Mei gilt [Mei92]: ⎧ √ √ Rep ⎨ ur Rep ≤ 40 (1 − 0.3314 ) exp − + 0.3314 f¨ f (Rep , ReS ) = , (3.45) 10 ⎩ f¨ ur Rep > 40 0.0524 Rep mit = ReS /2Rep . ReS stellt die Reynolds-Zahl der Scherstr¨omung dar: ReS =

ρg d2p |ωrel | , µg

ωrel = ωg − ωp .

(3.46)

Die Gleichung zur Bestimmung der Magnus-Kraft lautet: FM = cM 26

π d2p ρg |vrel | (ωrel × vrel ) , 2 |ωrel | 4

(3.47)

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase wobei cM den Auftriebsbeiwert kennzeichnet. Die Bestimmung von cM ist in der Vergangenheit Gegenstand zahlreicher Untersuchungen gewesen. Die Ergebnisse sind unter anderem in der Arbeit von Sommerfeld verglichen worden und zeigen widerspr¨ uchliche Resultate [Som96]. In der vorliegenden Arbeit wird der Zusammenhang nach Tsuji et. al verwendet, da dieser den hier untersuchten Partikelreynoldszahlenbereich am besten beschreibt [TMM85]: 1 dp |ωrel | 0.4G falls G ≤ 1 cM = . (3.48) , G= 0.4 falls G > 1 2 |vrel | Der Einﬂuss weiterer Kr¨afte wie der virtuellen Massenkraft, der Basset-Kraft und der Druckkraft wird, wie schon beim Zwei-Kontinua-Verfahren (s. Abschnitt 3.2.1), vernachl¨assigt. Damit sind alle relevanten Kr¨afte erfasst, welche die translatorische Partikelbewegung entscheidend beeinﬂussen. Die resultierende Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Partikelgeschwindigkeit lautet: ∂vp 3 ρg |vrel | = (ωrel × vrel ) (3.49) cd |vrel |vrel + cM ∂t 4 ρp dp |ωrel | 0.5 2 µg + 6.46 cS (vrel × ωg ) + g. π ρg |ωg | Die L¨osung von (3.49) erfolgt mit Hilfe des Polygonzug-Verfahrens: ∆t (t) F . (3.50) mp (t) Hierbei bezeichnet F die Summe der im Zeitschritt t auf das Partikel wirkenden, a¨ußeren Kr¨afte, w¨ahrend ∆t den Zeitschritt der Berechnung repr¨asentiert. Die nach dem Zeitschritt ∆t neu eingenommene Partikelposition ergibt sich entsprechend zu: vp(t+∆t) ≈ vp(t) +

(t) ≈ x(t) x(t+∆t) p p + vp ∆t.

(3.51)

Rotatorische Partikelbewegung ¨ Die Anderung des Drehimpulses eines Partikels ist gleich der Summe aller an ihm angreifenden Momente Mi : dωp = Mi . (3.52) Ip dt i Hierbei bezeichnet Ip das Tr¨agheitsmoment einer Kugel, f¨ ur das gilt: Ip =

1 mp dp 2 . 10

(3.53)

Die Summe der am Partikel angreifenden Momente resultiert aus der Bewegung des umgebenden Fluides sowie aus der Wechselwirkung mit W¨anden oder anderen Partikeln. 27

3 Formulierung der Bilanzgleichungen W¨ahrend der Einﬂuss der Kollisionen weiter unten beschrieben wird, l¨asst sich f¨ ur die Wirkung des Fluides auf die Rotation des Partikels eine von Dennis formulierte Beziehung angeben [DSI80]: M = cR

ρg dp 5 |ωrel |ωrel . 64

(3.54)

cR stellt den Rotationsbeiwert dar. Dessen Abh¨angigkeit von der Reynolds-Zahl der Rotation ReR = ρg dp 2

|ωrel | 4µg

l¨asst sich wie folgt zusammenfassen: ⎧ 16π ⎪ ⎪ f¨ ur 0 ≤ ReR < 101 ⎪ ⎪ ReR ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6.45 32.1 ⎪ ⎪ ⎪ √ + f¨ ur 101 ≤ ReR < 103 ⎪ ⎪ Re Re R ⎪ R ⎪ ⎨ 6.8 √ f¨ ur 103 ≤ ReR < 4 · 104 . cR (ReR ) = ⎪ ReR ⎪ ⎪ ⎪ 0.058 ⎪ ⎪ ⎪ √ f¨ ur 4 · 104 ≤ ReR < 4 · 105 ⎪ 20 ⎪ ReR ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.397 ⎪ ⎪ f¨ ur 4 · 105 ≤ ReR < 107 ⎩ √ 5 ReR

(3.55)

(3.56)

Setzt man nun (3.54) in (3.52) ein, so ergibt sich folgende Diﬀerentialgleichung zur Bestimmung der Rotationsgeschwindigkeit eines Partikels: dωp 15 ρg cR = |ωrel |ωrel . dt 16 ρp π

(3.57)

Die L¨osung von (3.57) erfolgt wie im translatorischen Fall mit Hilfe des PolygonzugVerfahrens. Einﬂuss der Fluidturbulenz auf die Partikelbewegung Die Berechnung der Partikelbewegung in einer turbulenten Gas-Feststoﬀ-Str¨omung erfordert die Kenntnis der Momentangeschwindigkeit der Gasphase am Aufenthaltsort des Partikels. Wie bereits in Abschnitt 3.1.2 erw¨ahnt, setzt sich diese aus einem zeitlichen Mittelwert und einem Schwankungsanteil zusammen. Die zeitlich gemittelte Gasgeschwindigkeit ergibt sich direkt aus der L¨osung der in Abschnitt 3.1 vorgestellten Gleichungen zur Berechnung der Gasphase; der Schwankungsanteil, der insbesondere bei kleinen Partikeln zu verst¨arkter Partikeldispersion f¨ uhren kann, muss durch ein geeignetes Modell erfasst werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird ein stochastisches Modell, das so genannte Diskrete-Wirbel-Modell 28

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase verwendet [Mil90]. Hierin werden die Turbulenzeigenschaften der Gasphase entlang einer jeden Partikeltrajektorie ber¨ ucksichtigt. Die Verteilung der Schwankungsgeschwindigkeit an einem festen Ort wird unter der Annahme isotroper Turbulenz durch eine Gaussverteilung mit der Standardabweichung σg modelliert: 2 σg = k, (3.58) 3 wobei k die turbulente kinetische Energie der Gasphase ist. Es wird nun angenommen, dass die aus einem Zufallsprozeß erzeugte Schwankungsgeschwindigkeit, der ein Partikel ausgesetzt ist, u ¨ber einen festgelegten Zeitraum ∆tint entlang der Partikelbahn konstant bleibt. Dabei ist ∆tint durch das Minimum aus der Wirbelzerfallszeit TE und der Durchquerungszeit TD gegeben: ∆tint = min (TE , TD ) ,

(3.59)

mit TE = 0.3k/ε und TD = TE σg /|vrel |. Ist ∆tint gr¨oßer als eine der beiden Zeitskalen, so wird eine neue Schwankungsgeschwindigkeit bestimmt, mit der das Partikel in Wechselwirkung tritt. Das Diskrete-Wirbel-Modell stellt eine einfache und eﬃziente Methode dar, Fluidﬂuktuation entlang der Partikelbahn zu berechnen und ist in der Lage die Partikeldispersion selbst in komplexeren zweiphasigen Str¨omungen zu beschreiben. Einﬂuss der Partikel auf die Fluidbewegung ¨ Die Anderung der Geschwindigkeit eines Partikels aufgrund des Impulsaustausches mit dem umgebenden Fluid impliziert, dass auch die Bewegung der Gasphase durch die Bewegung der Partikel beeinﬂusst wird. Um dem Impuls¨ ubertrag bei der Berechnung der Gasphase Rechnung zu tragen, wurde von Crowe die so genannte Particle-Source-In-Cell (PSIC) Methode entwickelt [CSS77]. Hierin wird die Impuls¨anderung aller Partikel aufsummiert, die ein gegebenes Kontrollvolumen ∆Ω im Zeitschritt ∆t durchqueren. Als Ergebnis erh¨alt man den in (3.7) enthaltenen Impulsaustauschterm kgp: kgp =

Nτ N ∆Ω,j 1 (j) (j−1) − g ∆τj , mp,k vp,k − vp,k ∆Ω ∆t j=1

(3.60)

k=1

wobei ∆t die Summe der Subzeitschritte ∆τ repr¨asentiert, in denen die Berechnung der Partikelphase erfolgt. Die Impuls¨anderung in (3.60) wird um den Schwerkraftterm mp,k g∆τj verringert, da dieser zwar bei der Berechnung der Impuls¨anderung eines Partikels ber¨ ucksichtigt wird, jedoch kein Resultat der Gasphase ist. Partikel-Wand-Kollisionen Die Modellierung der Partikel-Wand-Kollisionen spielt bei der Beschreibung der Partikelbewegung in einer berandeten Gas-Feststoﬀ-Str¨omung eine wichtige Rolle. So kann das 29

3 Formulierung der Bilanzgleichungen Bewegungsverhalten der Partikelphase durch vermehrte Wandkollisionen stark beeinﬂusst werden. Dies gilt insbesondere f¨ ur große Partikel, die aufgrund ihrer h¨oheren Tr¨agheit langsamer auf die Kr¨afte der Gasphase reagieren k¨onnen und somit h¨auﬁger mit der Berandung kollidieren. Die dabei induzierte Partikelrotation hat durch die Wirkung der Magnus-Kraft einen entscheidenden Einﬂuss auf die Partikelbewegung. Der Kollisionsvorgang ist von mehreren Einﬂussparametern abh¨angig; die wichtigsten davon sind [Som96]: • der Auftreﬀwinkel, • die Translations- und Rotationsgeschwindigkeit des Partikels vor dem Aufprall, • die Materialpaarung zwischen Wand und Partikel, • die Form des Teilchens und • die Rauigkeit der Wand. Im Rahmen dieser Arbeit ﬁndet die Modellierung der Partikel-Wand-Kollisionen ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit an glatten W¨anden und unter Verwendung von sph¨arischen Partikeln statt. Die Berechnung der translatorischen und rotatorischen Partikelgeschwindigkeit nach einer Wandkollision erfolgt mit Hilfe der Impuls- und Drehimpulsgleichungen, die zu den bekannten Stoßgesetzen f¨ uhren. Hierzu werden Informationen u ¨ ber den Restitutionskoeﬃzienten eW und den Gleitreibungsbeiwert µW ben¨otigt. Beide Parameter sind im Wesentlichen von der Materialpaarung abh¨angig. Die in Kapitel 7 durchgef¨ uhrten Simulationen gehen von Polystyrol-Partikeln aus, die sich in einem Glaskanal bewegen. Aus Experimenten konnte hierf¨ ur ein Parametersatz von ew = 0.96 und µW = 0.201 gefunden werden [Ind01]. Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung des Stoßvorganges kann der Arbeit von Sommerfeld entnommen werden [Som96]. Partikel-Partikel-Kollisionen Der Einﬂuss von Partikel-Partikel-Kollisionen auf das Bewegungsverhalten der Feststoﬀphase in einer dispersen Gas-Feststoﬀ-Str¨omung oﬀenbart sich bereits bei moderaten Beladungen. Experimentelle Untersuchungen von Tanaka et al. in einem vertikalen Rohr mit einem Feststoﬀvolumenanteil von φp = 4 · 10−4 haben gezeigt, dass interpartikul¨are Kollisionen zu einer verst¨arkten Dispersion der Partikel und damit zu einer gleichm¨aßigeren Konzentrationsverteilung im Rohrquerschnitt f¨ uhren [TTT89]. Diese Messungen wurden durch entsprechende Simulationen von Tanaka & Tsuji best¨atigt [TT91]. Die Bedeutung von Partikel-Partikel-Kollisionen kann, wie bereits in Kapitel 2 ausgef¨ uhrt, durch den Vergleich der Partikelrelaxationszeit τp mit der Kollisionszeit τC abgesch¨atzt werden. In einer dichten Gas-Feststoﬀ-Str¨omung beispielsweise ist die Kollisionszeit deutlich kleiner als die Partikelrelaxationszeit. Hier wird die Partikelbewegung in entscheidendem Maße durch die interpartikul¨aren Kollisionen bestimmt. Die Modelle zur Simulation von Partikel-Partikel-Kollisionen unterscheiden sich in den Verfahren zur Detektion einer Kollision sowie in der Auswahl eines Kollisionspartners. Allen Modellen ist jedoch gemeinsam, dass die Ermittlung der Bewegungszust¨ande nach dem 30

3.2 Beschreibung der Feststoﬀphase Stoß aus der L¨osung der Impuls- und Drehimpuls-Erhaltungsgleichungen hervorgeht. Unter der Annahme, die Partikelphase bestehe aus starren Kugeln, werden dabei Inelastizit¨atsund Reibungseﬀekte u ¨ber den Restitutionskoeﬃzienten und den Gleitreibungsbeiwert in die Betrachtung miteinbezogen (Details siehe unter [Som96]). Zur Detektion einer Partikelkollision stehen sowohl deterministische als auch stochastische Modelle zur Verf¨ ugung. Bei einer deterministischen Kollisionsdetektion, wie es beispielsweise beim Modell von Tanaka & Tsuji der Fall ist, werden alle kombinatorisch denkbaren Partikelpaarungen in jedem Zeitschritt u uft [TT91]. Dies f¨ uhrt zu einem enormen Rechenaufwand, der ¨berpr¨ proportional zum Quadrat der Anzahl der Partikel ist. Daher ist diese Methode f¨ ur numerische Simulationen praxisrelevanter Zweiphasenstr¨omungen ungeeignet [CST98]. Um dennoch eine eﬃziente Berechnung von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen unter Ber¨ ucksichtigung von Partikelkollisionen zu erm¨oglichen, wurden stochastische Kollisionsmodelle entwickelt. Bei diesen wird die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten einer Kollision abgesch¨atzt und die Kollisionsentscheidung anhand von Zufallszahlen getroﬀen. Ein Beispiel eines sehr genauen und eﬃzienten, stochastischen Kollisionsmodells stellt die modiﬁzierte Nanbu-Methode dar [Nan80, IN87]. Bei diesem Modell wird der Kollisionspartner zuf¨allig aus den N∆Ω Partikeln ausgew¨ahlt, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt t in der gleichen Zelle ∆Ω beﬁnden. Die Wahrscheinlichkeit Pij f¨ ur das Auftreten einer Kollision zwischen dem i-ten und dem j-ten Partikel ist durch Pij =

νij ∆t N∆Ω

(3.61)

gegeben, wobei νij die Kollisionsfrequenz zwischen dem i-ten und j-ten Partikel darstellt und sich wie folgt berechnen l¨asst: νij = np π d2p |vij | .

(3.62)

Dabei bezeichnet np die lokale Anzahldichte der realen Feststoﬀpartikel. Die Wahrscheinlichkeit Pij entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des j-ten Partikels im Kollisionszylinder, der vom i-ten und j-ten Partikel gebildet wird. Ein Kollisionszylinder, wie er schematisch in Abbildung 3.2 dargestellt ist, schließt alle geometrischen Orte ein, an denen innerhalb des Zeitschrittes ∆t eine Kollision zwischen den Partikeln i und j stattﬁnden kann. Hierzu muss sich der Schwerpunkt des j-ten Partikels im Inneren des Kollisionszylinders beﬁnden, dessen Querschnittsﬂ¨ache sich bei monodispersen Partikeln zu πdp 2 ergibt. Die L¨ange des Zylinders entspricht dem Produkt aus der Relativgeschwindigkeit zwischen beiden Partikeln und der Zeitspanne ∆t. Der Kollisionspartner j wird mit Hilfe einer gleichverteilten Zufallszahl ψ ∈ [0, 1] ausgew¨ahlt, j = ψN∆Ω + 1,

(3.63)

wobei ψN∆Ω der ganzzahlige Anteil des Produkts ψN∆Ω ist. Das i-te Partikel kollidiert dann mit dem j-ten Partikel, falls folgende Bedingung erf¨ ullt ist: ψ>

j − Pij . N∆Ω

(3.64) 31

3 Formulierung der Bilanzgleichungen Hierbei sollte N∆Ω Pij < 1 gelten. Der Vorteil der modiﬁzierten Nanbu-Methode liegt darin, dass der Rechenzeitbedarf direkt proportional zur Anzahl der Partikel in der betrachteten Zelle ist (O(N∆Ω)). Weiterhin besitzt der im Zufallsprozeß ausgew¨ahlte Kollisionspartner die Eigenschaften eines der simulierten Partikel innerhalb der Zelle ∆Ω. Dadurch wird sichergestellt, dass die Verteilungsfunktion der Partikeleigenschaften exakt repr¨asentiert wird. Dies verhindert im Gegensatz zu Kollisionsverfahren, die einen Kollisionspartner mit mittleren Partikeleigenschaften f¨ ur alle simulierten Partikel ausw¨ahlen ([OP93]), einen systematischen Modellfehler, der unter bestimmten Umst¨anden gravierende Auswirkungen auf die Str¨omungseigenschaften haben kann [Kan03]. Aus diesen Gr¨ unden kommt im Rahmen dieser Arbeit die modiﬁzierte Nanbu-Methode zum Einsatz. Nach der Auswahl eines Kollisionspartners z und einer positiven Kollisionsentscheidung (Bedingung (3.64) ist erf¨ ullt) wird der Stoßpunkt j vij zwischen beiden Partikel bestimmt. Hierzu wird y das globale Koordinatensystem in das Koordinatensystem des Kollisionszylinders gem¨aß Abi bildung 3.2 transformiert. Anhand zweier gleichverteilter Zufallszahlen Γ1,2 ∈ [0, 1] erfolgt dann x die Erzeugung des Stoßnormaleneinheitsvektors auf einer Halbkugeloberﬂ¨ache des i-ten Parti¨ kels. Uber eine Koordinatentransformation wird der Stoßnormaleneinheitsvektor zur¨ uck in das Abbildung 3.2: Kollisionszylinder. globale Koordinatensystem transformiert. Aus der Position des Stoßnormaleneinheitsvektors ergibt sich schließlich der gesuchte Stoßpunkt zwischen den beiden Kollisionspartnern [Bab89].

3.3

Randbedingungen

In den vorangehenden Abschnitten 3.1 und 3.2 wurden die Bewegungsgleichungen f¨ ur beide Phasen einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung vorgestellt. Die Formulierung der Randbedingungen vervollst¨andigt dieses Gleichungssystem und erm¨oglicht die Berechnung von konkreten Str¨omungsproblemen. Im Folgenden sollen jeweils f¨ ur das Zwei-Kontinua- und das Einzelpartikel-Verfahren die Randbedingungen an den Grenzen des Berechnungsgebietes f¨ ur die Gas- und Feststoﬀphase beschrieben werden.

3.3.1

Randbedingungen f¨ ur das Zwei-Kontinua-Verfahren

Randbedingungen f¨ ur die Gasphase An Eintrittsr¨andern wird die so genannte Dirichlet-Randbedingung verwendet, d.h. Werte aller Str¨omungsgr¨oßen der Gasphase werden fest vorgegeben. Am Austrittsrand werden die Gradienten in Fl¨achennormalenrichtung f¨ ur alle Variablen gleich Null gesetzt. An Symmetrier¨andern kann kein gerichteter Fluss einer Gr¨oße stattﬁnden, woraus folgt, dass 32

3.3 Randbedingungen ∂ug /∂n = 0 ist. Die Vorgabe eines Gradienten einer Gr¨oße am Geometrierand, wie es an Austritts- und an den Symmetrier¨andern erfolgt ist, wird als Neumann-Randbedingung bezeichnet. An festen W¨anden gilt die Haftbedingung f¨ ur die Geschwindigkeit der Gasphase, ug = 0. Die Turbulenzgr¨oßen an einer Wand betragen: ε = k = 0. Da diese Bedingung wegen der Notwendigkeit der Auﬂ¨osung des Wandnahbereiches nicht praktikabel ist, wird Folgendes gefordert: ∂k ∂ε = 0, = 0, (3.65) ∂n W ∂n W wobei n die Koordinatenrichtung normal zur Wand ist. Um die turbulenten Gr¨oßen im wandnahen Bereich zu simulieren, kommen spezielle Wandfunktionen zum Einsatz. Hierzu wird der wandnahe Bereich in zwei Schichten aufgeteilt. In unmittelbarer Wandn¨ahe ist die Str¨omung haupts¨achlich durch die viskosen Spannungen gepr¨agt, man spricht in diesem Bereich von einer viskosen Unterschicht. Durch ¨ einen Ubergangsbereich, wo sowohl viskose Spannungen als auch Reynolds-Spannungen gleichermaßen bedeutsam sind, gelangt man in den Bereich der turbulenten Grenzschicht. Hier wird der Impulstransport von den Reynolds-Spannungen dominiert. Um den G¨ ultigkeitsbereich der beiden Schichten anzugeben, wird ein dimensionsloser Wandabstand Y + eingef¨ uhrt: Y+ =

ρg uτ y . µg

(3.66)

(3.66) enth¨alt die Wandschubspannungsgeschwindigkeit uτ , die sich aus der Wandschubspannung ergibt: τW uτ = . (3.67) ρg Der Bereich der viskosen Unterschicht liegt zwischen Y + = 0 und Y + = 5. Der Bereich der turbulenten Grenzschicht erstreckt sich u ¨ber 50 ≤ Y + ≤ 5000, wobei die obere Grenze des G¨ ultigkeitsbereiches von der Reynolds-Zahl der Kernstr¨omung abh¨angig ist. Der ¨ Ubergangsbereich kann somit durch 5 ≤ Y + ≤ 50 beschrieben werden. Aufgrund der sehr geringen Ausdehnung der viskosen Unterschicht wird diese im Allgemeinen nicht durch das Rechengitter aufgel¨ost. Der wandn¨achste Punkt des numerischen ¨ Gitters liegt somit im Ubergangsbereich der turbulenten Grenzschicht und die zugeh¨orige Wandfunktion f¨ ur die Berechnung der mittleren Gasgeschwindigkeit kann wie folgt angegeben werden: |ug | =

uτ log Y + + 5.2, κ

(3.68)

wobei κ die von K´arm´an-Konstante mit κ = 0.4 darstellt. (3.68) wird als logarithmisches Wandgesetz bezeichnet. Um nun die Turbulenzgr¨oßen am wandn¨achsten Punkt zu berechnen, wird angenommen, dass sich die Produktion und die Dissipation der Turbulenz im 33

3 Formulierung der Bilanzgleichungen Gleichgewicht beﬁnden. Unter dieser Annahme ergibt sich f¨ ur die Dissipationsrate der folgende Ausdruck [LS74]: ε=

u3τ . κy

(3.69)

Die turbulente kinetische Energie k l¨asst sich dann aus der L¨osung von (3.13) bestimmen. Randbedingungen f¨ ur die Feststoﬀphase Die Formulierung der Randbedingungen f¨ ur die Feststoﬀphase an Eintritts- und Austrittsr¨andern des Berechnungsgebietes erfolgt analog zur Gasphase. Als schwierig erweist sich die Behandlung der Randbedingungen an festen, undurchl¨assigen W¨anden. Die Problematik soll anhand der Formulierung der Randbedingung f¨ ur die Geschwindigkeit der Feststoﬀphase kurz skizziert werden. Die auf die Wand treﬀenden Partikel werden von der Wand selbst und von anderen Partikeln in Wandn¨ahe beeinﬂusst. Drei verschiedene Szenarien sind bei der Vorgabe der Randbedingungen f¨ ur die Geschwindigkeit an der Wand m¨oglich: • die Haftbedingung [CP95, HS97], wenn das Wandrauhigkeitsmaß gr¨oßer als der Partikeldurchmesser ist, die Partikel eine sehr geringe Tr¨agheit besitzen und somit eine vernachl¨assigbare Relativgeschwindigkeit zur Gasphase haben. In diesem Fall gilt: vp = 0.

(3.70)

Fast immer ist der Partikeldurchmesser gr¨oßer als die L¨angenskala der Wandrauigkeit, so dass Partikel an der Wand abgleiten k¨onnen. Auch bei einem so genannten Haftstoß, bei dem das Partikel schon w¨ahrend der Kompressionsphase des Stoßes auf der Wand abzurollen beginnt, ist die Haftbedingung nicht erf¨ ullt, weil es aufgrund eines Abrollens zu einer Relativbewegung zwischen der Wandﬂ¨ache und dem Partikel kommt, • die kinetische Gleichgewichtsbedingung [CSL86], d.h. die Partikel k¨onnen auf der Wand frei abgleiten und es tritt keine Diﬀerenz zwischen der mittleren Geschwindigkeit unmittelbar an der Wand und im Mittelpunkt der wandn¨achsten Zelle. Es gilt: ∂up vp = 0, = 0, (3.71) ∂n W wobei die Gr¨oßen vp und up die Normal- und Tangentialgeschwindigkeit der Partikel an der Wand darstellen. Diese Bedingung ist nur dann sinnvoll, wenn der Einﬂuss der Wandreibung vernachl¨assigt werden kann,

34

3.3 Randbedingungen • die Schlupfbedingung, d.h. die Partikel werden an der Wand teilweise abgebremst. Es wird angenommen, dass die Schlupfgeschwindigkeit proportional zum lokalen Geschwindigkeitsgradienten ist [Soo67]: ∂up up = lp , (3.72) ∂n W wobei lp ein L¨angenmaß kennzeichnet, f¨ ur den der mittlere Partikelabstand eingesetzt wird [DLS93]. (3.72) ist aus der kinetischen Theorie verd¨ unnter Gase abgeleitet worden und kann nur unter bestimmten Einschr¨ankungen auf makroskopische Partikel angewendet werden [Ind01]. Die hier vorgestellten Randbedingungen f¨ ur die wandparallelen Geschwindigkeitskomponenten der dispersen Phase ber¨ ucksichtigen nicht die mechanischen Vorg¨ange bei PartikelWand-Kollisionen. Eine k¨ urzlich von Indenbirken vorgestellte Methode l¨ost diese Problematik, indem die Partikelphase in zwei Teilphasen aufgespalten wird, die unterschiedliche Bewegungsrichtungen (eine Teilphase bewegt sich auf die Wand zu, die andere von der Wand weg) besitzen k¨onnen [Ind01]. Die mechanischen Vorg¨ange der Kollision eines Einzelpartikels ﬁnden dabei ihre Ber¨ ucksichtigung. Dieses Modell liefert neue Randbedingungen, die einen wesentlich allgemein g¨ ultigen Charakter aufweisen, als es bei den vorhergehenden Modellen der Fall war. Die Aufspaltung und Zusammenf¨ uhrung der Teilphasen f¨ uhrt jedoch zu einem h¨oherem Speicher- und Rechenaufwand, insbesondere dann, wenn die Anzahl der Teilphasen groß wird. Die oben dargelegte, oﬀensichtliche Problematik bei der Formulierung von Randbedingungen f¨ ur die Geschwindigkeit der dispersen Phase tritt ebenfalls bei der Vorgabe von Randbedingungen f¨ ur die granulare Temperatur Θ auf. Im Rahmen dieser Arbeit wird im Bereich von festen, undurchl¨assigen W¨anden das Einzelpartikel-Verfahren eingesetzt. Aufgrund seiner detaillierten Modellierung stellt die Formulierung der Randbedingungen f¨ ur die disperse Phase an festen Grenzen des Berechnungsgebietes kein Problem mehr dar. Im Folgenden soll der Vorteil des Einzelpartikel-Verfahrens diesbez¨ uglich kurz erl¨autert werden.

3.3.2

Randbedingungen f¨ ur das Einzelpartikel-Verfahren

Die Formulierung der Randbedingungen f¨ ur die Gasphase bleibt bei der Verwendung des Einzelpartikel-Verfahrens f¨ ur die Feststoﬀphase unver¨andert. Aufgrund der individuellen Betrachtung eines jeden einzelnen Partikels der Feststoﬀphase ist die Behandlung der Randbedingungen f¨ ur die disperse Phase g¨anzlich unterschiedlich. Am Str¨omungseintritt werden gem¨aß entsprechender Verteilungsfunktionen eine Str¨omungsgeschwindigkeit sowie eine Partikelverteilung angenommen. Am Str¨omungsaustritt verlassen die Partikel ungehindert das Str¨omungsgebiet und werden in der Simulation nicht weiter ber¨ ucksichtigt. An festen, undurchl¨assigen W¨anden kollidieren die Partikel mit der Berandung. Im Gegensatz zu der kollektivistischen Betrachtungsweise im Zwei-Kontinua-Verfahren erm¨oglicht die Einzelpartikelbetrachtung eine detaillierte Beschreibung von Partikel-Wand-Wechselwirkungen. 35

3 Formulierung der Bilanzgleichungen Hierf¨ ur werden Informationen u ¨ber die mechanischen Eigenschaften der Kombination Partikel/Wand sowie u ¨ber den Bewegungszustand der Partikel vor der Kollision verwendet (s. Abschnitt 3.2.2). Durch die Anwendung der mechanischen Stoßgesetze zur Berechnung einer Wandkollision entf¨allt damit die Notwendigkeit der Formulierung von Randbedingungen f¨ ur die Feststoﬀphase an festen R¨andern. Aus diesem Grund wird im Rahmen dieser Arbeit in Bereichen fester Str¨omungsbegrenzungen ausschließlich das EinzelpartikelVerfahren verwendet.

3.4

Numerisches Berechnungsverfahren

Die in den Abschnitten 3.1 und 3.2.1 vorgestellten Gleichungen zur Berechnung der Gasphase und der dispersen Phase im Rahmen des Zwei-Kontinua-Verfahrens stellen ein System partieller, nichtlinearer Diﬀerentialgleichungen mit einer intensiven Kopplung der Variablen dar. Da eine analytische L¨osung des Gleichungssystems nicht m¨oglich ist, m¨ ussen eﬃziente, numerische Verfahren eingesetzt werden. Diese sind in der Literatur ausf¨ uhrlich dokumentiert [Fle88, FP96, Wen96] und sollen daher in dieser Arbeit nur kurz skizziert werden. Auf die L¨osung der Bewegungsgleichungen f¨ ur die disperse Phase im Rahmen des Einzelpartikel-Verfahrens (s. Abschnitt 3.2.2) soll am Ende dieses Abschnittes eingegangen werden. Zur numerischen L¨osung des Diﬀerentialgleichungssystems wird dieses in einem Diskretisierungsschritt durch ein algebraisches Gleichungssystem approximiert. Die Diskretisierung der Diﬀerentialgleichungen erfolgt nach der Finite-Volumen-Methode. Hierzu wird das Str¨omungsfeld in Kontrollvolumina unterteilt, die als Bilanzr¨aume zur L¨osung der integralen Transportgleichungen dienen. Alle Interpolationen und Gradientenapproximationen sind von zweiter Ordnung. Das verwendete Rechengitter ist blockstrukturiert, die Zellen stellen ausschließlich Hexaederelemente dar. Die Druck-Geschwindigkeit-Kopplung wird u ¨ber den SIMPLE-Consistent Algorithmus [VR84], ein Druckkorrektur-Verfahren sichergestellt. Das resultierende nichtlineare und gekoppelte Gleichungssystem wird iterativ gel¨ost. Die zur Zeit eﬃzientesten Methoden zur iterativen L¨osung solcher Gleichungssysteme stellen die Mehrgitter-Verfahren dar. Dabei werden neben dem eigentlichen Rechengitter (Feingitter), auf dem die L¨osung des Problems erfolgen soll, zus¨atzlich eine Sequenz von Grobgittern mit einer geringeren Anzahl von Knotenpunkten erzeugt. Das Problem wird nun schrittweise auf die gr¨oberen Gitter u ¨bertragen, um dann auf dem gr¨obsten Gitter gel¨ost zu werden. Anschließend wird aus der Grobgitter-L¨osung und der Feingitter-Approximation eine Korrektur ermittelt, mit der die L¨osung auf dem urspr¨ unglichen Rechengitter verbessert wird. Eine detaillierte Beschreibung des eingesetzten Mehrgitter-Verfahrens erfolgt in der Arbeit von St¨ uben und Trottenberg [ST84]. Die Berechnung einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren f¨ ur die disperse Phase erfolgt iterativ in zwei Teilschritten. Im ersten Schritt werden die Gleichungen zur Berechnung der Gasphase unter Anwendung des oben erw¨ahnten MehrgitterVerfahrens f¨ ur einen Zeitschritt ∆t gel¨ost. In einem zweiten Schritt erfolgt die Simulation 36

3.4 Numerisches Berechnungsverfahren der Feststoﬀphase. Um den Rechen- und Speicheraufwand zu begrenzen, werden im Allgemeinen nicht alle Partikel durch das Str¨omungsfeld verfolgt, sondern nur eine repr¨asentative Anzahl. Ein Simulationspartikel entspricht dann einer bestimmten Anzahl realer Partikel mit denselben physikalischen Eigenschaften. Bei der Simulation der Feststoﬀphase werden Wechselwirkungen sowohl mit der Gasphase als auch mit anderen Partikeln ber¨ ucksichtigt. Dabei m¨ ussen Zeitschrittbeschr¨ankungen eingehalten werden, die eine Aufteilung des Zeitschrittes ∆t in Subzeitschritte ∆τ erforderlich machen [Som96]. Bei der Ausf¨ uhrung eines Subzeitschrittes kommt die, im Abschnitt 3.2.2 bereits erw¨ahnte, Splitting-Technik zum Einsatz [Bird76]. Es handelt sich hier um eine Entkoppelung der Partikelbewegung von den interpartikul¨aren Kollisionen. Alle simulierten Partikel werden zun¨achst innerhalb von ∆τ kollisionsfrei bewegt. Treten w¨ahrend dieses Subzeitschrittes Wechselwirkungen mit der Berandung auf, so werden diese unmittelbar berechnet. Erst am Ende von ∆τ erfolgt die stochastische Ausf¨ uhrung der Partikel-Partikel-Kollisionen. Die Berechnung der Partikeltrajektorien wird solange fortgef¨ uhrt, bis die Summe aller Subzeitschritte den Zeitschritt ∆t der Gasphase erreicht. Nun k¨onnen die mittleren Eigenschaften der Partikelphase in jeder Zelle des Berechnungsgebietes ermittelt werden. Aus diesen Informationen werden schließlich die Quellterme in den Gleichungen der Gasphase, nach dem in Abschnitt 3.2.2 dargestellten PSIC-Verfahren, berechnet. Mit der erneuten Berechnung der Gasphase ist der erste Iterationszyklus abgeschlossen. Das iterative Verfahren wird solange fortgef¨ uhrt, bis ein Abbruchkriterium erf¨ ullt ist. Damit sind die numerischen Berechnungsmethoden f¨ ur die Berechnung einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung jeweils unter Anwendung des Zwei-Kontinua- und des Einzelpartikel-Verfahrens f¨ ur die disperse Phase erl¨autert. Im Rahmen dieser Arbeit werden beide Verfahren zur Beschreibung der Feststoﬀphase miteinander kombiniert. Der Ablauf des gekoppelten Simulationsverfahrens wird in Kapitel 6 ausf¨ uhrlich beschrieben.

37

3 Formulierung der Bilanzgleichungen

38

4

Analyse des Verhaltens der Feststoﬀphase

Wie im vorigen Kapitel erl¨autert, l¨asst sich das Bewegungsverhalten eines Molek¨ ulkollektivs in einem idealen Gas durch die Angabe einer Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung f (t, x, v) beschreiben. Wirken auf das System keinerlei Ausgleichsprozesse infolge treibender Kr¨afte, so beﬁndet sich das Molek¨ ulkollektiv im thermodynamischen Gleichgewicht. In diesem Zustand entspricht die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der bekannten MaxwellVerteilung. Das Bewegungsverhalten eines Partikelkollektivs in einer turbulenten Gasstr¨omung ist trotz seiner Analogie zur Bewegung eines Molek¨ ulkollektivs erheblich komplexer. Der Gleichgewichtszustand entspricht nicht dem eines idealen Gases. Die Abweichung vom thermodynamischen Gleichgewicht resultiert aus der Existenz zus¨atzlicher Einﬂußfaktoren, die in der Natur einer Feststoﬀstr¨omung liegen (s. Abschnitt 3.2.1). In diesem Kapitel soll ausgehend von der Deﬁnition des Gleichgewichtszustandes f¨ ur ein Partikelkollektiv, ein Gleichgewichtskriterium vorgestellt werden, welches das Ausmaß der Abweichung einer Verteilungsfunktion von der Gleichgewichtsverteilung bewertet. Auf der Grundlage dieses Kriteriums sollen dann Richtlinien f¨ ur die Anwendbarkeit des Zwei-Kontinua- bzw. Einzelpartikel-Verfahrens zur Berechnung der Feststoﬀphase formuliert werden.

4.1

Das granulardynamische Gleichgewicht

Betrachtet man ein Partikelkollektiv in einem unendlich ausgedehnten Raum, so stellt sich nach unendlich langer Zeit f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Partikelgeschwindigkeiten f (v) ein Gleichgewichtszustand ein. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass sich die Verteilungsfunktion nicht mehr ¨andert und somit keine Ausgleichsprozesse mehr stattﬁnden. F¨ ur diesen Zustand hat Kanther in seiner Arbeit den Begriﬀ des granulardynamischen Gleichgewichts eingef¨ uhrt [Kan03]. Beﬁndet sich ein Partikelkollektiv im granulardynamischen Gleichgewicht, so unterscheidet sich die zugeh¨orige Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten f (v) von der Maxwell-Verteilung durch zwei charakteristische Deformationen. Zum einen durch die Anisotropie, die aus dem Einﬂuss der Gravitationskraft resultiert, zum anderen durch eine strukturelle Abweichung in der Asymptotik infolge inelastischer Partikel-Partikel-Kollisionen. Bei der Anisotropie handelt es sich um eine achsensymmetrische Deformation der Maxwell-Verteilung, d.h. die Schwankungsgeschwindigkeiten der Partikel besitzen eine unterschiedliche Auspr¨agung in den Koordinatenrichtungen. Die strukturelle Abweichung in der Asymptotik einer Verteilungsfunktion spielt eine wichtige Rolle nur im Bereich kleiner Stokes-Zahlen und f¨ ur sehr geringe Restitutionskoeﬃzienten. Betrachtet man dreidimensionale, berandete Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen, so ist der Einﬂuss inelastischer Kollisionen auf die Geschwindigkeitsverteilung der Partikel vernachl¨assig39

4 Analyse des Verhaltens der Feststoﬀphase bar klein. Die Gr¨ unde hierf¨ ur liegen darin, dass die Kollisionen nahezu elastisch erfolgen und bei h¨oheren Partikel-Reynoldszahlen (Rep > 1) von der Anisotropie der Str¨omung dominiert werden. Da in technisch relevanten Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen deutlich h¨ohere Partikel-Reynoldszahlen zu erwarten sind, wird die Geschwindigkeitsverteilung maßgeblich von der Anisotropie beeinﬂusst. Damit l¨asst sich das granulardynamische Gleichgewicht durch eine angen¨aherte Gleichgewichtsverteilung fEq,p charakterisieren, die anisotrope Geschwindigkeitsﬂuktuationen bereits ber¨ ucksichtigt [Kan03]: 3 1 (vi − ui )2 √ fEq,p (v) = np exp − . (4.1) 2Θi 2πΘi i=1 Der Unterschied zur Maxwell-Verteilung (3.18) liegt in der Verwendung richtungsabh¨angiger granularer Temperaturen Θi . Bisher wurde Θ unter der Annahme isotroper Geschwindigkeitsﬂuktuationen als eine richtungsunabh¨angige Gr¨oße verwendet. Diese Annahme ist beim Vorliegen anisotroper Fluktuationen nicht mehr zul¨assig. Zur Charakterisierung der Abweichungen von (4.1) l¨asst sich eine Bewertungsfunktion formulieren, die in folgendem Abschnitt vorgestellt wird.

4.2

Erkennung granulardynamischer Gleichgewichtszust¨ ande

Um das Ausmaß der Abweichung einer beliebigen Verteilungsfunktion fp der Partikelgeschwindigkeiten von der Gleichgewichtsverteilung (4.1) bewerten zu k¨onnen, kann eine Bewertungsfunktion DEq,p formuliert werden, f¨ ur deren Herleitung die Eigenschaften beider Verteilungsfunktionen fp und fEq,p verglichen werden. Als Eigenschaften eignen sich statistische Momente, die sich f¨ ur beide Funktionen explizit bestimmen lassen. Aus den Diﬀerenzen dieser Gr¨oßen und unter Verwendung eines geeigneten Normierungsmaßstabes kann dann eine skalare Gr¨oße gefunden werden, welche eine Beurteilung der Verteilungsfunktion fp der Partikelgeschwindigkeiten erm¨oglicht. Bevor ein entsprechendes Kriterium zur Beurteilung von Verteilungsfunktionen gegen¨ uber dem granulardynamischen Gleichgewicht vorgestellt wird, sollen zun¨achst zwei Methoden skizziert werden, mit denen eine Bewertungsfunktion angegeben werden kann, welche die Abweichungen einer beliebigen Verteilungsfunktion fp der Partikelgeschwindigkeiten von der Maxwell-Verteilung fM erfasst. Hierzu wird jeweils ein r¨aumlich homogenes System von N Feststoﬀpartikeln betrachtet. Die erste Methode stellt eine exakte M¨oglichkeit zur Berechnung des Abstandes DEq einer Verteilungsfunktion fp zur lokalen MaxwellVerteilung fM dar. Hierbei wird DEq unter Verwendung der so genannten Sobolev-Norm bestimmt [TR97]: DEq := fM − fp = 40

R3

|fˆM (ω) − fˆp (ω)|2 dω (1 + |ω|2 )

12 ,

(4.2)

4.2 Erkennung granulardynamischer Gleichgewichtszust¨ande wobei die Gr¨oßen fˆM (ω) bzw. fˆp (ω) Fourier-Transformierte im Frequenzraum ω ∈ R3 darstellen. (4.2) erfasst alle Deformationen einer Verteilungsfunktion gegen¨ uber einer MaxwellVerteilung. Im Folgenden soll die Gesamtheit der auf eine Verteilungsfunktion einwirkenden Deformationen als Typ-I-Deformationen bezeichnet werden. Ergibt die Ermittlung von (4.2) einen Wert gleich Null, so liegt mit Sicherheit eine Maxwell-Verteilung vor, anderenfalls existieren strukturelle Abweichungen von dieser. Der Nachteil dieser Methode ist, dass zur Auswertung von (4.2) ein Aufwand der Ordnung O(N 2) erforderlich ist, weshalb diese Methode f¨ ur die Praxis ungeeignet ist. In einer weiteren von Tiwari vorgestellten Methode wird f¨ ur die zu untersuchende Verteilungsfunktion fp eine Abweichung von der Maxwell-Verteilung durch den folgenden Zusammenhang ber¨ ucksichtigt [Tiw98a, Tiw98b]: fp (v) = fM (v) [1 + χ(v)] .

(4.3)

F¨ ur die Funktion χ(v) wird ein polynomialer Ansatz nach der Grad´schen 13 Momente Methode [Grad49] gemacht, die Kanther f¨ ur die Beschreibung von Partikelkollektiven um ein Moment vierter Ordnung erweitert hat [Kan03]: χ(v) = a + b · (v − u) + (v − u)t C (v − u) + d · (v − u) |v − u|2 + e · |v − u|4 . (4.4) Gleichung (4.4) enth¨alt 14 Unbekannte, von denen a und e skalare Gr¨oßen, b und d Vektoren und C einen symmetrischen Tensor charakterisieren. Zur Ermittlung der unbekannten Koeﬃzienten werden statistische Momente nullter bis vierter Ordnung der diskreten Verteilungsfunktion bestimmt: m(0) =

N

gj ,

m(1) =

j=1

m(3) =

N j=1

N

gj vj ,

m(2) =

N

j=1

gj vj |vj |2 ,

m(4) =

gj vj vjT ,

(4.5)

j=1 N

gj |vj |4 .

j=1

Hierbei bezeichnet gj das Partikelgewicht. Mit Hilfe dieses Gewichtungsfaktors muss die Anzahl an simulierten Partikeln im Str¨omungsgebiet nicht mit der Anzahl real existierender Partikel u ¨bereinstimmen. Aus den statistischen Momenten lassen sich nun die ben¨otigten makroskopischen Gr¨oßen bestimmen. Die Anzahldichte np entspricht dabei dem Quotienten aus dem Moment nullter Ordnung und dem Volumen einer Zelle: np =

m(0) . ∆Ω

(4.6)

Die drei Komponenten der mittleren Partikelgeschwindigkeit k¨onnen unter Einbeziehung des Momentes erster Ordnung gebildet werden: u=

m(1) . m(0)

(4.7) 41

4 Analyse des Verhaltens der Feststoﬀphase Der symmetrische Spannungstensor T, die granulare Temperatur Θ und der W¨armeﬂußvektor q ergeben sich aus: T = m(2) − m(0) uuT ,

Θ=

3 1 Tii , 3m(0) i=1

(4.8)

3 1 1 (2) q = m(3) − m(2) u + u m(0) |u|2 − mii . 2 2 i=1 F¨ ur die Bestimmung der Bewertungsfunktion DEq ist die Angabe zweier weiterer Gr¨oßen erforderlich, des spurfreien Spannungstensors τ und des zentralen Momentes vierter Ordnung γ: τ = T − m(0) ΘI,

(4.9)

γ = m(4) − 8 u · m(3) + 4 uT m(2) u + 2 m(2) I |u|2 − 3 |u|4 − 15m(0) Θ2 . Unter Verwendung von (4.8) und (4.9) sowie einer Normierungsfunktion f¨ ur den polynomialen Ansatz χ(v) DEq ≈ χ :=

R3

fM (v) 2 χ (v) dv ρ

12 (4.10)

ur die Distanz zwischen der erh¨alt man schließlich die Bewertungsfunktion DEq , als ein Maß f¨ Maxwell-Verteilung fM und einer beliebigen Verteilung fp der Partikelgeschwindigkeiten [Kan03]: DEq ≈ χ =

1 1 γ2 2 |q|2 τ 2E + + (0) m Θ 2 5 Θ 120 Θ2 1

12 .

(4.11)

Hierbei bezeichnet ||τ ||E die Euklidische Norm des spurfreien Spannungstensors. Die in der eckigen Klammer von (4.11) enthaltenen Summanden beschreiben drei unterschiedliche Deformationsarten. Anisotrope Abweichungen von der Maxwell-Verteilung werden durch den Spannungstensor ||τ ||E erfasst, asymmetrische Deformationen in der Verteilung der kinetischen Energie ber¨ ucksichtigt der W¨armeﬂußvektor q. Den strukturellen Abweichungen in der Asymptotik einer Verteilungsfunktion fp wird schließlich durch das zentrale Moment vierter Ordnung γ Rechnung getragen. Diese drei Deformationsarten werden im Folgenden als Typ-II-Deformationen bezeichnet. Gleichung (4.11) stellt eine Bewertungsfunktion zur Beurteilung einer beliebigen Verteilungsfunktion fp der Partikelgeschwindigkeiten gegen¨ uber der Maxwell-Verteilung fM dar. Der Aufwand f¨ ur die Auswertung von (4.11) ist von der Ordnung O(N ). Um Abweichungen einer Verteilungsfunktion fp von der granulardynamischen Gleichgewichtsverteilung fEq,p detektieren zu k¨onnen, muss die Bewertungsfunktion DEq durch die Verwendung richtungsabh¨angiger granularer Temperaturen Θi modiﬁziert werden. Die neue Bewertungsfunktion 42

4.3 Granulare Transportkoeﬃzienten DEq,p nimmt dann die folgende Form an: DEq,p =

12 1 2 2 2 1 1 Dτ + Dq + Dγ2 , (0) m 2 5 120

(4.12)

wobei die einzelnen Summanden Dτ , Dq und Dγ wiederum die Deformationsarten Anisotropie, Asymmetrie und Asymptotik bezeichnen. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung dieser Terme ﬁndet sich in der Arbeit von Kanther [Kan03]. Mit (4.12) k¨onnen Abweichungen vom granulardynamischen Gleichgewicht zuverl¨assig erfasst werden, solange diese zum Typ-II-Deformationen geh¨oren. Da (4.12) in jeder Zelle des Berechnungsgebietes ermittelt wird, k¨onnen innerhalb der Rechengeometrie Partikelkollektive, die sich in einem granulardynamischen Nicht-Gleichgewichts-Zustand beﬁnden, lokalisiert werden. Diese Bereiche werden als Nicht-Gleichgewichts-Zonen bezeichnet.

4.3

Granulare Transportkoeﬃzienten

Eine detaillierte Beschreibung der Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten ist von großer Bedeutung f¨ ur die korrekte Berechnung des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs. In diesem Zusammenhang sind drei Gr¨oßen zu nennen, die bei der Str¨omungsanalyse eine zentrale Position einnehmen. Es handelt sich dabei um die mittlere Kollisionsfrequenz ν, die mittlere Fluktuationsgeschwindigkeit c und die mittlere freie Wegl¨ange , f¨ ur die folgender Zusammenhang gilt: =

c . ν

(4.13)

W¨ahrend die mittlere Kollisionsfrequenz ν die mittlere Anzahl der St¨oße eines Partikels in einer Zeiteinheit angibt und somit maßgeblich f¨ ur die pr¨azise Beschreibung des Kollisionsverhaltens der Partikel ist, sind die Gr¨oßen c und wichtig f¨ ur die Herleitung der Transportkoeﬃzienten im Rahmen des Zwei-Kontinua-Verfahrens. Um die Abh¨angigkeit der drei Gr¨oßen von der Gestalt der Geschwindigkeitsverteilung zu untersuchen, hat Kanther entsprechende Parameterstudien durchgef¨ uhrt [Kan03]. Diese haben gezeigt, dass bereits geringe Abweichungen der Verteilungsfunktion fp von der Gleichgewichtsverteilung fEq,p zu erheblichen Abweichungen der Kollisionsfrequenz ν gegen¨ uber der Kollisionsfrequenz ν M einer energiegleichen Maxwell-Verteilung f¨ uhren k¨onnen. In diesem Zusammenhang ist auch die Wahl eines geeigneten Kollisionsmodells diskutiert worden. Es konnte aufgezeigt werden, dass die zur Detektion der Partikelkollisionen verwendete Nanbu-Methode die mittlere Kollisionsfrequenz ν eines Partikelkollektivs richtig wiedergibt. F¨ ur die Untersuchung der Abh¨angigkeit der granularen Transportkoeﬃzienten von der Form der Verteilungsfunktion fp wurde die Viskosit¨at µp eines Partikelkollektivs ausgew¨ahlt. Die Untersuchungen haben gezeigt, dass die Ber¨ ucksichtigung der Anisotropie im granulardynamischen Gleichgewicht zu einer anisotropen Viskosit¨at µp f¨ uhrt. Die Unterschiede in den gerichteten Komponenten der Viskosit¨at nehmen stark zu, 43

4 Analyse des Verhaltens der Feststoﬀphase wenn sich das Partikelkollektiv vom granulardynamischen Gleichgewicht entfernt. Dabei k¨onnen die Unterschiede zum Teil Gr¨oßenordnungen betragen. Dar¨ uber hinaus weichen die absoluten Gr¨oßen der Komponenten der Viskosit¨at betr¨achtlich von der Viskosit¨at µM eines Partikelkollektivs mit einer energiegleichen Maxwell-Verteilung ab. Diese Ergebnisse sind auch auf andere granulare Transportkoeﬃzienten u ¨bertragbar.

4.4

Schlussfolgerung

In diesem Kapitel wurde eine Bewertungsfunktion DEq,p vorgestellt, welche alle Abweichungen einer Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten fp von der granulardynamischen Gleichgewichtsverteilung fEq,p zuverl¨assig erfasst, solange diese eine anisotrope, asymmetrische oder asymptotische Deformation der Verteilungsfunktion zur Folge haben. Damit l¨asst sich eine beliebige Verteilungsfunktion eines Partikelkollektivs hinsichtlich ihres Abstandes vom Gleichgewichtszustand bewerten. Beﬁndet sich ein Partikelkollektiv nicht in einem granulardynamischen Gleichgewicht, so hat dies entscheidende Konsequenzen f¨ ur die Ermittlung der Transportkoeﬃzienten, die im Rahmen des Zwei-Kontinua-Verfahrens ben¨otigt werden. Bereits bei der Annahme einer granulardynamischen Gleichgewichtsverteilung weisen die Transportkoeﬃzienten einen anisotropen Charakter auf. Dieser wird verst¨arkt, sobald sich das Partikelkollektiv vom Gleichgewicht entfernt. In diesem Fall werden nicht nur die Unterschiede in den gerichteten Transportkoeﬃzienten wesentlich gr¨oßer, sondern sie weichen auch betr¨achtlich von den Transportkoeﬃzienten ab, die eine energiegleiche Maxwell-Verteilung aufweist. Das Zwei-Kontinua-Verfahren, welches sich aus der deterministischen L¨osung der Boltzmann-Gleichung ergibt (vgl. Abschnitt 3.2.1), setzt an jedem Ort des Berechnungsgebietes und zu jeder Zeit die Maxwell-Verteilung sowie geringe Abweichungen von dieser voraus. Wegen der Annahme einer isotropen Geschwindigkeitsverteilung, besteht bei der Herleitung der Transportkoeﬃzienten ein prinzipieller Modellfehler. Dieser wird jedoch vernachl¨assigbar klein, wenn Partikelkollektive mit h¨oheren Volumenanteilen untersucht werden. Hier sind die Abweichungen aufgrund der Anisotropie meistens nur geringf¨ ugig. Bei gravierenden Deformationen der Geschwindigkeitsverteilung jedoch, kann das Bewegungsverhalten eines Partikelkollektivs im Rahmen des Zwei-Kontinua-Verfahrens nicht richtig wiedergegeben werden. Solche Deformationen der Verteilungsfunktion treten insbesondere in komplexen Geometrien auf, beispielsweise vor Str¨omungshindernissen, wo die Annahme einer isotropen Geschwindigkeitsverteilung zur Berechnung der Transportkoeﬃzienten auf keinen Fall gerechtfertigt ist. In diesen Nicht-Gleichgewichts-Zonen f¨ uhrt die Berechnung einer Partikelstr¨omung mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren zu fehlerhaften Ergebnissen. ¨ Die oben formulierten Uberlegungen legen den Schluss nahe, dass die Verwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens auf Bereiche innerhalb der Str¨omungsgeometrie begrenzt werden sollte, in denen sich das Partikelkollektiv in einem Zustand nahe dem granulardynamischen Gleichgewicht beﬁndet. Außerhalb dieser Bereiche, in denen die Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten eine starke Deformation erf¨ahrt, ist die Verwendung des stochastischen Einzelpartikel-Verfahrens notwendig. Hier werden keine Einschr¨ankungen 44

4.4 Schlussfolgerung bez¨ uglich der Verteilungsfunktion gemacht, d.h. alle Abweichungen vom granulardynamischen Gleichgewicht ﬂießen in die Auswertung der mittleren Partikeleigenschaften ein und werden insbesondere durch die Nanbu-Methode ber¨ ucksichtigt. Damit stellt sich aber auch die Frage nach welchem Kriterium eine Aufteilung der Str¨omungsgeometrie erfolgen soll, in der eine unterschiedliche numerische Behandlung der Berechnung der Feststoﬀphase zum Einsatz kommt. Dieser Frage widmet sich das folgende Kapitel, in dem die Herleitung eines Gebietszerlegungskriteriums vorgestellt wird.

45

4 Analyse des Verhaltens der Feststoﬀphase

46

5

Gebietszerlegungskriterium

Bei der Berechnung des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren werden f¨ ur die Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten im granulardynamischen Gleichgewicht eine Maxwell-Verteilung vorausgesetzt sowie bestimmte Abweichungen von dieser zugelassen. Weitere Abweichungen von diesem Zustandsraum f¨ uhren zu einer fehlerhaften Berechnung der Transportkoeﬃzienten und damit zu einer unrealistischen Vorhersage des Partikelverhaltens. Wie im vorigen Kapitel erl¨autert, muss in Bereichen, in denen die Deformationen der Geschwindigkeitsverteilung stark anisotrope Transportkoeﬃzienten zur Folge haben, das stochastiHindernis sche Einzelpartikel-Verfahren eingesetzt werden. Diese Bereiche werden im Folgenden als stochastische Zonen bezeichnet. Im restlichen Teil der Geometrie kann das Zwei-Kontinua-Verfahren verstochastische Zone wendet werden. Diese Bereiche werden als deterministische Zonen bezeichnet. Die Entscheidung f¨ ur die Verwendung eines der beiden numedeterministische Zone rischen Berechnungsverfahren kann mit Hilfe eines Gebietszerlegungskriteriums erfolgen. Dieses Abbildung 5.1: Gebietszerlegung. sollte die zeitliche Evolution der Eigenschaften des Partikelkollektivs ber¨ ucksichtigen und damit eine adaptive Berechnungsweise erm¨oglichen, ohne den G¨ ultigkeitsbereich des Zwei-Kontinua-Verfahrens zu verletzen. In Abbildung 5.1 ist am Beispiel der Umstr¨omung eines Hindernisses schematisch die Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in zwei Bereiche dargestellt, in denen die Berechnung des Partikelkollektivs auf numerisch unterschiedlichem Wege erfolgt. In diesem Kapitel werden zwei Bedingungen vorgestellt, die eine Aufteilung der Geometrie in Gebiete erm¨oglichen, in denen das jeweils geeignete Berechnungsverfahren zum Einsatz kommt. Diese m¨ ussen dann durch logische Verkn¨ upfungen zu einem Gebietszerlegungskriterium zusammengefasst werden.

5.1

Gu ¨ ltigkeitsbereich der Kontinuumsannahme

Der Berechnung einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren liegt die Annahme zugrunde, dass sich sowohl die Gas- als auch die Feststoﬀphase als zwei kontinuierliche Fluide verhalten, sich gegenseitig durchdringen und miteinander in Wechselwirkung stehen. Die Grundvoraussetzung f¨ ur eine Kontinuumsbeschreibung beider Phasen ist, dass f¨ ur einen Mittelwert eines beliebigen Kontrollvolumens des durchstr¨omten Gebietes die mittleren, lokalen Zustandsgr¨oßen jeweils in geeigneter und statistisch sinnvoller Weise deﬁniert werden k¨onnen. Daraus resultiert die Forderung, dass die Anzahl von Einzelelemen47

5 Gebietszerlegungskriterium ten beider Phasen f¨ ur jedes betrachtete Kontrollvolumen im Str¨omungsgebiet hinreichend groß sein muss. F¨ ur die Feststoﬀphase bedeutet dies insbesondere, dass der mittlere Partikelabstand deutlich geringer sein sollte als die Abmessungen des gew¨ahlten numerischen ¨ Gitters. Zur Uberpr¨ ufung der Kontinuumsannahme ist es u ¨blich, statt des mittleren Partikelabstandes die mittlere freie Wegl¨ange zu verwenden, f¨ ur die folgende Absch¨atzung verwendet werden kann [EPA99]: =

dp . 6 φp

(5.1)

Es handelt sich hier um die mittlere Wegstrecke, die zwischen zwei aufeinander folgenden Kollisionen eines Partikels mit einem anderen Partikel oder einer Berandung zur¨ uckgelegt wird. Mit der mittleren freien Wegl¨ange und einer charakteristischen Abmessung lchar eines Kontrollvolumens l¨asst sich nun eine dimensionslose Kennzahl, die Knudsen-Zahl Kn deﬁnieren, welche als Bedingung f¨ ur die G¨ ultigkeit der Kontinuumshypothese verwendet werden kann: Kn =

≤ Kncrit , lchar

(5.2)

√ wobei lchar z.B. aus dem Volumen einer Gitterzelle berechnet werden kann: lchar = 3 V∆Ω . Schaaf&Chambr` e teilen die Knudsen-Zahl in drei Bereiche ein (s. Abbildung 5.2), in denen eine unterschiedliche mathematische Beschreibung eines Gases erfolgt [SC61]. So

10−8

10−4

10−6

Kontinuums-Bereich

10−2

¨ Ubergangs-Bereich

1

102

104

Kn

freie Molek¨ ulstr¨omung

Abbildung 5.2: Bereiche der Knudsen-Zahl. ist die G¨ ultigkeit der Kontinuumsbetrachtung bis zu Kncrit = 10−3 gew¨ahrleistet. F¨ ur −1 Kn ≥ 10 ist f¨ ur eine statistische Mittelung die Anzahl der Molek¨ ule in einem Kontrollvolumen nicht ausreichend groß, weshalb hier eine Einzelbetrachtung der Molek¨ ule erfol¨ gen sollte (freie Molek¨ ulstr¨omung). Zwischen den beiden Bereichen, im Ubergangs-Bereich (10−3 ≤ Kn ≤ 10−1 ), muss im Einzelfall entschieden werden, welche Berechnungsmethode zum Einsatz kommt. W¨ahrend die Gasphase die Bedingung Kn ≤ 10−3 in jedem Fall erf¨ ullt, ist sie f¨ ur die in dieser Arbeit betrachteten Partikelkollektive nicht realisierbar. Dies gilt insbesondere dann, wenn die charakteristische L¨ange lchar sehr klein wird. Es hat sich jedoch gezeigt, dass viele praxisrelevante Mehrphasenstr¨omungen in sehr guter N¨aherung mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren beschrieben werden k¨onnen. Der Grund daf¨ ur liegt darin, dass 48

5.2 KTGF-Deformationsanteil DKT GF zumeist station¨are oder zumindest quasistation¨are Str¨omungen betrachtet werden. In solchen F¨allen k¨onnen nach Goedicke die Ensemble-Mittelwerte durch Langzeitmittelwerte ersetzt werden [Goe92]. Folglich l¨asst sich die Kontinuumsannahme durch die Verwendung hinreichend langer Mittelungszeitr¨aume rechtfertigen. Um dennoch bei der Berechnung der Bewegung eines Partikelkollektivs mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren eine Mindestanzahl an Partikeln in einer Zelle des numerischen Gitters zu gew¨ahrleisten, wird f¨ ur die Simulation der Feststoﬀphase die Knudsen-Zahl wie folgt festgelegt: Kncrit = 10−1 . Damit kann als Bedingung f¨ ur die Anwendbarkeit des Zwei-Kontinua-Verfahrens die folgende Grenze f¨ ur den Feststoﬀvolumenanteil angegeben werden: φp >

dp . 0.6 lchar

(5.3)

Sinkt der Feststoﬀvolumenanteil in einem Kontrollvolumen unter den angegebenen Wert ab, so kann eine repr¨asentative Anzahl an Partikeln f¨ ur eine instation¨are Kontinuumsbetrachtung nicht gew¨ahrleistet werden. Somit muss die Beschreibung des Bewegungsverhaltens des Partikelkollektivs in dem betrachteten Kontrollvolumen mit dem EinzelpartikelVerfahren approximiert werden.

5.2

KTGF-Deformationsanteil DKT GF

Die in dem vorigen Kapitel vorgestellte Gleichgewichtsverteilung fEq,p der Partikelgeschwindigkeiten (4.1) beschreibt den Bewegungszustand eines Partikelkollektivs, das sich in einem granulardynamischen Gleichgewicht beﬁndet. Abweichungen von diesem Zustand werden mit Hilfe der Bewertungsfunktion DEq,p (4.12) detektiert. Dabei werden alle St¨orungen der Verteilungsfunktion fp zuverl¨assig erfasst, die als eine anisotrope, asymmetrische oder asymptotische Deformation der Geschwindigkeitsverteilung aufgefasst werden k¨onnen (Typ-II-Deformationen). Damit kann die Bewertungsfunktion DEq,p als ein Unterscheidungskriterium zwischen einer Gleichgewichts- und einer Nicht-Gleichgewichts-Verteilung der Partikelgeschwindigkeiten verwendet werden. Beim Zwei-Kontinua-Verfahren werden im granulardynamischen Gleichgewicht bestimmte Abweichungen einer Verteilungsfunktion von der Maxwell-Verteilung ber¨ ucksichtigt. Um den Abweichungsgrad genauer zu charakterisieren, wird ein, urspr¨ unglich von Chapman & Cowling vorgestellter [CC70] und von Gidaspow auf Partikelkollektive u ¨bertragener Ansatz zur Beschreibung dichter Gase verwendet [Gid94], der eine Approximation der Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten darstellt: f = f (0) + f (1) + f (2) + .... .

(5.4)

f (0) bezeichnet die erste Approximation zur Boltzmann-Gleichung und stellt die bekannte Maxwell-Verteilung dar. f = f (0) ist somit eine erste Approximation der Geschwindigkeitsverteilung und gilt zun¨achst f¨ ur r¨aumlich homogene Partikelkollektive mit vollkommen elastischen Partikel-Partikel-Kollisionen. Abweichungen von diesem Zustand werden 49

5 Gebietszerlegungskriterium durch weitere Glieder in (5.4) ber¨ ucksichtigt. So bezeichnen f (0) + f (1) die zweite und (0) (1) (2) f + f + f die dritte Approximation zur Boltzmann-Gleichung. Zur Ermittlung von f (1) in (5.4) wird folgender Ansatz verwendet: f (1) = f (0) Φ(1) ,

(5.5)

wobei Φ(1) ein skalares Abweichungspolynom darstellt, welches bestimmte Deformationen der Maxwell-Verteilung erfasst. Unter Verwendung der Boltzmann-Gleichung (3.16) kann f¨ ur Φ(1) der folgende Zusammenhang gefunden werden [Gid94]: Φ(1) = −

1 2 A · ∇lnΘ − B : ∇uTp , np np

(5.6)

wobei A eine vektorielle und B eine tensorielle Gr¨oße darstellen. Beide sind Funktionen der Partikelgeschwindigkeit v. F¨ ur A wird folgender Ansatz verwendet: A = A(ξ) ξ,

(5.7)

wobei ξ eine dimensionslose Variable mit ξ=

1 2Θ

12 v

(5.8)

darstellt und die Funktion A(ξ) eine konvergente Reihe der Form A(ξ) =

∞ p=0

(p)

ap S 3 (ξ 2 )

(5.9)

2

ist. Im Rahmen dieser Arbeit wird die unendliche Reihe in (5.9) durch die zweite Approximation von A(ξ) ersetzt: A(ξ) ≈ A(ξ)(2) =

2 p=0

(p)

2 a(2) p S 3 (ξ ).

(5.10)

2

(2)

Dabei erfolgt die Ermittlung der Koeﬃzienten ap aus der Auswertung folgender Gleichung: 2

a(2) p apq = αq , (q = 1, 2).

(5.11)

p=0

Hierbei sind α1 = −15/4 und α2 = 0. Die fehlenden Koeﬃzienten apq k¨onnen [CC70] (p) entnommen werden. In (5.9) bezeichnet S 3 (ξ 2 ) das so genannte Sonin-Polynom, das sich 2 aus einer Reihendarstellung ergibt: p 2 k 3 1 (p)

+p . (5.12) −ξ S 3 ξ2 = 2 2 k!(p − k)! p−k k=0 50

5.2 KTGF-Deformationsanteil DKT GF Die Auswertung von (5.11) sowie (5.12) f¨ uhrt schließlich zu folgender Beziehung f¨ ur A(ξ): A(ξ) ≈ −

15 130 − 59ξ 2 + 2ξ 4 . 1 1408 d2p (π Θ) 2

(5.13) ◦

Zur Ermittlung der tensoriellen Gr¨oße B wird das Produkt aus einem spurfreien Tensor ξξ und einer konvergenten Reihe B(ξ) gebildet: ◦

B =ξξ B(ξ).

(5.14)

◦

Der Tensor ξξ ist deﬁniert als: ◦

ξξ= ξξ −

1 (ξx ξx + ξy ξy + ξz ξz ) I, 3

(5.15)

wobei ξξ das dyadische Produkt der beiden ξ-Vektoren darstellt. Die Berechnung von B(ξ) erfolgt in analoger Weise zu A(ξ) aus der Auswertung von B(ξ)(2) =

2

(p−1)

(ξ 2 )

(5.16)

b(2) p bpq = βq , (q = 1, 2),

(5.17)

p=0

b(2) p S5 2

sowie 2 p=0

ur B(ξ) ergibt sich danach der folgende Zusamwobei β1 = 5/2 und β2 = 0 betragen. F¨ menhang : B(ξ) ≈ −

5 −247 + 12ξ 2 . 3232 d2 (π Θ) 12 p

(5.18)

Mit (5.6) ist es nun m¨oglich zwei unterschiedliche Ursachen f¨ ur die Deformationen einer Verteilungsfunktion anzugeben. Der erste Summand in (5.6) ber¨ ucksichtigt Abweichungen von der Maxwell-Verteilung aufgrund eines Gradienten der granularen Temperatur. Der zweite Summand erm¨oglicht die Erfassung aller Abweichungen, die aus dem Gradienten der Partikelgeschwindigkeit resultieren. Damit ist die zweite Approximation der Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten in der Lage Verteilungsfunktionen von Partikelkollektiven richtig zu beschreiben, solange deren Form durch die beiden genannten Gradienten deformiert worden ist. Um weitere Abweichungen von der Gleichgewichtsverteilung zu ber¨ ucksichtigen, welche beispielsweise aufgrund h¨oherer Ableitungen entstehen, m¨ ussen h¨ohere Approximationen der Verteilungsfunktion in die Berechnung einbezogen werden. Da f¨ ur die Herleitung der Transportgleichungen des Zwei-Kontinua-Verfahrens die 51

5 Gebietszerlegungskriterium

zweite Approximation der Verteilungsfunktion f = f (0) 1 + Φ(1) verwendet wird (vgl. Abschnitt 3.2.1), kann im Weiteren auf eine Auswertung entsprechender Abweichungspolynome h¨oherer Ordnung verzichtet werden. Mit der Angabe des Abweichungspolynoms (5.6) lassen sich nun folgende Aussagen formulieren. Kommt es zu einer Deformation der Verteilungsfunktion aufgrund von Gradienten der granularen Temperatur oder der Partikelgeschwindigkeit, so werden diese im Rahmen des Zwei-Kontinua-Verfahrens erfasst. Treten jedoch zus¨atzliche Abweichungen der Verteilungsfunktion von der Gleichgewichtsverteilung auf, die ihren Ursprung nicht in den genannten St¨orungen haben, so bleiben diese innerhalb des genannten Verfahrens unber¨ ucksichtigt. In diesem Fall w¨ urde die Berechnung des Partikelverhaltens zu systematisch falschen Ergebnissen f¨ uhren. Das Abweichungspolynom Φ(1) und die im letzten Kapitel vorgestellte Bewertungsfunktion DEq,p sollen nun dazu dienen eine Bedingung zu formulieren, die eine Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in stochastische und deterministische Zonen erm¨oglicht, in denen jeweils das Einzelpartikel- und das Zwei-Kontinua-Verfahren zum Einsatz kommen. Wie bereits oben ausgef¨ uhrt, ber¨ ucksichtigt das Abweichungspolynom Φ(1) Deformationen aus Gradienten der Geschwindigkeit und der granularer Temperatur. Die Bewertungsfunktion DEq,p dagegen ist in der Lage alle Deformationsarten aufgrund von Anisotropie, Asymmetrie und Asymptotik zu erfassen. Diese schließen ebenfalls die vom Abweichungspolynom Φ(1) beschriebenen Deformationen ein. Somit stellt die Bewertungsfunktion DEq,p ein zuverl¨assiges Maß dar, um den aus den erw¨ahnten Deformationen resultierenden Abweichungsgrad einer Verteilungsfunktion vom granulardynamischen Gleichgewicht zu bewerten. Die Idee einer Gebietszerlegung besteht nun darin, das Abweichungspolynom Φ(1) mit dem Maßstab DEq,p zu bewerten. Um die beiden Gr¨oßen Φ(1) und DEq,p miteinander vergleichen zu k¨onnen, muss (5.6) mit einer geeigneten Normierungsfunktion verrechnet werden. Die hier verwendete Norm entspricht der f¨ ur die Herleitung der Bewertungsfunktion beschriebenen Darstellung [Tiw98a, Tiw98b]: χ :=

R3

fM (v) 2 χ (v) dv ρ

12 ,

(5.19)

in welcher f¨ ur die Funktion χ(v) zuvor ein polynomialer Ansatz nach der Grad´schen 13 Momenten Methode gemacht wurde. Wird χ(v) durch das Abweichungspolynom Φ(1) ersetzt, so ergibt sich der folgende Ausdruck: DKT GF =

R3

f (0) (v) (1) 2 Φ dv np

12 .

(5.20)

Setzt man nun (5.6) in (5.20) ein, so l¨asst sich f¨ ur DKT GF nach einigen Umformungen die nachstehende Formulierung ﬁnden: DKT GF = 52

0.763 1

Θ np dp 2 π 2

|∇Θ| +

0.184 2

np dp (Θ π)

1

1 2

(2A1 + A2 + 3A3 ) 2 ,

(5.21)

5.2 KTGF-Deformationsanteil DKT GF wobei folgende Abk¨ urzungen gelten: 2 2 2 ∂up ∂vp ∂wp A1 = + + , ∂x ∂y ∂z A2 = A3 =

∂up ∂vp − ∂x ∂y ∂up ∂vp + ∂y ∂x

2 +

2 +

∂up ∂wp − ∂x ∂z ∂up ∂wp + ∂z ∂x

(5.22)

2 +

2 +

∂vp ∂wp − ∂y ∂z ∂vp ∂wp + ∂z ∂y

2 ,

(5.23)

.

(5.24)

2

Gleichung (5.21) stellt den KTGF-Deformationsanteil dar, der alle Abweichungen von der Maxwell-Verteilung erfasst, solange diese ihren Ursprung in den Gradienten der granularen Temperatur und der Partikelgeschwindigkeit haben. Dieser Typ von Deformationen wird im Folgenden als Typ-III-Deformationen bezeichnet. Zus¨atzliche Deformationen der Verteilungsfunktion werden von DKT GF nicht ber¨ ucksichtigt. Es ist nun m¨oglich den KTGF-Deformationsanteil DKT GF (5.21) direkt mit der Bewertungsfunktion DEq,p (4.12) zu vergleichen. In der Abbildung 5.3 sind beide Gr¨oßen in einem Balkendiagramm dargestellt. Ausgehend vom granulardynamischen Gleichgewicht DEq,p , DKT GF Typ-I-Deformationen DEq,p (Typ-II-Deformat.)

Asymptotik Abweichungen von der KTGF Asymmetrie

DKT GF (Typ-III-Deformat.)

∇Θ ∇Θ

Anisotropie

∇vT EinzelpartikelVerfahren

∇vT Zwei-KontinuaVerfahren

granulardynamisches Gleichgewicht

Abbildung 5.3: Vergleich der Bewertungsfunktion DEq,p mit dem KTGF-Deformationsanteil DKT GF . zeigt der linke Balken die Gesamtheit aller Deformationen, denen eine Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten ausgesetzt werden kann. In der Abbildung 5.3 wird dieser 53

5 Gebietszerlegungskriterium Zustand durch die gestrichelte, horizontale Linie mit dem Index: Typ-I-Deformationen gekennzeichnet. Abweichungen vom granulardynamischen Gleichgewicht, welche von der Bewertungsfunktion DEq,p erfasst werden, sind durch die horizontale Linie mit dem Index: DEq,p (Typ-II-Deformationen) gekennzeichnet. Hierin enthalten sind die Anisotropie, die Asymmetrie und die Asymptotik. Die anisotropen St¨orungen der Verteilungsfunktion k¨onnen zu einem Teil aus den Gradienten der Partikelgeschwindigkeit (∇vT ) resultieren. Der restliche Teil, hier durch die untere, schraﬃerte Fl¨ache dargestellt, enth¨alt weitere St¨orungen, wie sie beispielsweise vor Str¨omungshindernissen entstehen. Sie werucksichtigt. Anders stellt sich die Situation f¨ ur den in der Bewertungsfunktion DEq,p ber¨ den KTGF-Deformationsanteil DKT GF dar, der durch den rechten Balken charakterisiert wird. Ausschließlich St¨orungen, die aus dem Gradienten der Partikelgeschwindigkeit re¨ sultieren, tragen zu einer anisotropen Deformation der Verteilungsfunktion bei. Ahnlich verh¨alt es sich beim Vergleich der asymmetrischen Deformationen einer Verteilungsfunktion. So ber¨ ucksichtigt der KTGF-Deformationsanteil DKT GF nur Abweichungen aufgrund des Gradienten der granularen Temperatur ∇Θ. Weitere St¨orungen der Verteilungsfunktion, die zur einer asymmetrischen Deformation f¨ uhren, werden im Gegensatz zur DEq,p , hier durch die schraﬃerte, mittlere Fl¨ache dargestellt, nicht ber¨ ucksichtigt. Eine asymptotische Deformation einer Verteilungsfunktion wird schließlich nur von der Bewertungsfunktion DEq,p detektiert, im KTGF-Deformationsanteil ﬁndet sie keine Ber¨ ucksichtigung. Die Tatsache, dass der KTGF-Deformationsanteil ausschließlich Typ-III-Deformationen erfasst, f¨ uhrt dazu, dass das Zwei-Kontinua-Verfahren eine gute Approximation des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs liefert, solange die vorliegenden Deformationen zu diesem Deformationstyp geh¨oren. In der Abbildung (5.3) ist dieser Zustand durch die gestrichelte, horizontale Linie mit dem Index: DKT GF (Typ-III-Deformationen) gekennzeichnet. Tragen weitere Abweichungen zur Deformation der Verteilungsfunktion bei, so werden diese vom DKT GF nicht detektiert und f¨ uhren somit bei einer Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren zur fehlerhaften Ergebnissen. In diesen F¨allen ist der Einsatz des Einzelpartikel-Verfahrens zwingend erforderlich. Zus¨atzliche Abweichungen, die nicht zum Typ-III-Deformationen geh¨oren, sind in der Abbildung 5.3 als Abweichungen von der KTGF gekennzeichnet und werden zu einem großen Teil von der Bewertungsfunktion DEq,p detektiert. Die verbleibenden Deformationen, in der Abbildung (5.3) durch die obere, schraﬃerte Fl¨ache dargestellt, geh¨oren zum Typ-I-Deformationen. Deren Erfassung kann mit Hilfe der in Kapitel 4 beschriebenen Sobolev-Norm erfolgen. Damit kann eine weitere Bedingung formuliert werden, deren G¨ ultigkeit den zwingenden Einsatz des Einzelpartikel-Verfahrens fordert: DEq,p > DKT GF .

(5.25)

Im Falle, dass DEq,p = DKT GF kann das Zwei-Kontinua-Verfahren angewendet werden.

54

5.3 Signiﬁkanz-Niveau-Beschr¨ankung

5.3

Signiﬁkanz-Niveau-Beschr¨ ankung

Bei der Simulation des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs werden die beiden Gr¨oßen DEq,p und DKT GF nach jedem Zeitschritt ∆t und in jeder Zelle der stochastischen Zone ermittelt. Folglich unterliegt die Berechnung beider Gr¨oßen stochastischen Fluktuationen. W¨ahrend diese f¨ ur die Ermittlung des KTGF-Deformationsanteils DKT GF eine untergeordnete Rolle spielen, hier wird ausschließlich auf die in den Zellenmittelpunkten vorliegenden Gradienten zur¨ uckgegriﬀen, k¨onnen sich bei der Berechnung der Bewertungsfunktion DEq,p sehr hohe Unsicherheiten ergeben. Diese sind umso gr¨oßer, je kleiner die Anzahl der zur Auswertung ben¨otigten Partikel ist. Folglich kann die Ermittlung der im vorigen Abschnitt vorgestellten Bedingung (5.25) zu einer falschen Entscheidung hinsichtlich der Wahl des numerischen Berechnungsverfahrens f¨ uhren. Um dies zu vermeiden, wird die Bewertungsfunktion DEq,p mit einer Funktion verglichen, die sich aus einem numerischen Experiment ergibt. Hierzu werden r¨aumlich homogene Partikelkollektive im granulardyna0,9 0.9

DEq,p,hom

0.6 0,6

Mittelwert D Eq,p,hom Standardabweichung σ(DEq,p,hom )

0,3

0.3

0

0

200 200

400 400

np

600 600

800 800

1000 1000

Abbildung 5.4: Signiﬁkanz-Niveau der Bewertungsfunktion DEq,p . mischen Gleichgewicht erzeugt, die jeweils die gleiche Anzahl an Partikeln besitzen. Deren Simulation ergibt im station¨aren Endzustand eine Bewertungsfunktion DEq,p,hom . Aus der Vielzahl dieser Simulationen kann schließlich f¨ ur eine deﬁnierte Anzahl von Partikeln ein Mittelwert D Eq,p,hom und eine Standardabweichung σ(DEq,p,hom ) ermittelt werden. Dieses Experiment wird f¨ ur verschiedene Partikelzahlen fortgef¨ uhrt. In der Abbildung 5.4 sind die beiden Parameter in Abh¨angigkeit der Partikelanzahl np dargestellt. Es sind bereits die an die Simulationsdaten angepassten Ausgleichsgeraden eingezeichnet. Es ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der mittleren Bewertungsfunktion DEq,p,hom bzw. deren Standardabweichung σ(DEq,p,hom ) und der Partikelanzahl np : DEq,p,hom = 2.795 n−0.493 , p σ(DEq,p,hom ) =

0.835 n−0.525 . p

(5.26) (5.27) 55

5 Gebietszerlegungskriterium Bei sehr großen Partikelzahlen streben beide Gr¨oßen asymptotisch einem sehr kleinen Wert entgegen. Damit l¨asst sich nun zusammen mit (5.25) die folgende Bedingung f¨ ur die Anwendbarkeit eines der beiden numerischen Berechnungsverfahren in einer beliebigen Zelle ∆Ω der Rechengeometrie formulieren: DEq,p > DKT GF + 1.96 σ(DEq,p,hom ),

(5.28)

wobei hier ein 95%-Konﬁdenzintervall angenommen wird. Ist (5.28) erf¨ ullt, so liegt eine stochastische Zone vor und das Einzelpartikel-Verfahren kommt in jedem Fall zum Einsatz.

5.4

Gebietszerlegungskriterium

Mit Hilfe der in den Abschnitten 5.1 und 5.3 vorgestellten Bedingungen (5.3) und (5.25) sowie unter Ber¨ ucksichtigung von (5.28) kann das folgende Gebietszerlegungskriterium formuliert werden. F¨ ur den Einsatz des Einzelpartikel-Verfahrens gilt: ∗ DEq,p > DKT GF

oder

Kn > Kncrit ,

(5.29)

∗ wobei DKT ur den GF = DKT GF + 1.96 σ(DEq,p,hom ). Es liegt eine stochastische Zone vor. F¨ Einsatz des Zwei-Kontinua-Verfahrens gilt: ∗ DEq,p ≤ DKT GF

und

Kn ≤ Kncrit .

(5.30)

In diesem Fall liegt eine deterministische Zone vor.

5.5

Schlussfolgerung

In diesem Kapitel wurde ein Kriterium (5.29) und (5.30) vorgestellt, mit dessen Hilfe eine Entscheidung bez¨ uglich der Anwendung eines der beiden numerischen Berechnungsverfahren getroﬀen wird. Das Kriterium basiert auf zwei Bedingungen. W¨ahrend die erste (5.3) die Kontinuumsannahme und damit die G¨ ultigkeit des Zwei-Kontinua-Verfahrens u uft, ¨berpr¨ nutzt die zweite Bedingung (5.25) die entscheidenden Annahmen aus, die f¨ ur die Herleitung des Zwei-Kontinua-Verfahrens aus der Boltzmann-Gleichung zugrunde gelegt worden sind. In diesem Zusammenhang ist der so genannte KTGF-Deformationsanteil entwickelt worden, mit dessen Hilfe die Erfassung bestimmter Deformationen und ein direkter Vergleich mit der Bewertungsfunktion DEq,p m¨oglich sind. Die Ber¨ ucksichtigung von statistischen Schwankungen, denen die Auswertung der Bedingung (5.25) ausgesetzt ist, erfolgt durch die Einbeziehung einer Signiﬁkanzfunktion. Die Auswertung des Kriteriums in jeder Zelle des Berechnungsgebietes erm¨oglicht in jedem Zeitschritt der Simulation eine Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in stochastische und deterministische Zonen. In den deterministischen Zonen ist eine aggregierte Beschreibung des Einzelpartikelverhaltens eines Partikelkollektivs mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren zul¨assig. In den stochastischen Zonen dagegen sind detaillierte Informationen u ¨ber die Verteilung der Partikelgeschwindigkeiten erforderlich, 56

5.5 Schlussfolgerung um das Bewegungsverhalten der Feststoﬀphase zuverl¨assig zu beschreiben. Hier ist der Einsatz des Einzelpartikel-Verfahrens zwingend erforderlich. Durch die Zuordnung eines numerischen Berechnungsverfahrens zu bestimmten Bereichen der Str¨omungsgeometrie ist es nun m¨oglich komplexe Str¨omungsprobleme unabh¨angig von dem Verhalten der sich darin beﬁndlichen Partikel zu untersuchen. Als Voraussetzung daf¨ ur m¨ ussen allerdings Techniken entwickelt werden, die eine adaptive Berechnung der gesamten Str¨omungsgeometrie mit einer Kombination beider Einzelverfahren erm¨oglichen. Im Mittelpunkt des n¨achsten Kapitels steht daher die Konstruktion eines neuen, gekoppelten Verfahrens, welches die Berechnungsstrategien der beiden Einzelverfahren integriert und damit eine eﬃziente Simulation eines erweiterten Anwendungsbereichs erm¨oglicht.

57

5 Gebietszerlegungskriterium

58

6

Konstruktion eines gekoppelten, adaptiven Simulationsverfahrens

Im vorherigen Kapitel wurde ein Gebietszerlegungskriterium vorgestellt, das eine Aufteilung der Berechnungsgeometrie in zwei Bereiche erm¨oglicht, in denen eine unterschiedliche numerische Behandlung der Feststoﬀphase stattﬁnden soll. Die Ermittlung des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs erfolgt in beiden Geometriebereichen unter Verwendung der in Kapitel 3 vorgestellten Modellans¨atze f¨ ur das Einzelpartikel- bzw. das Zwei-Kontinua-Verfahren. Da es sich bei einer turbulenten Gas-Feststoﬀ-Str¨omung prinzipiell um einen instation¨aren Vorgang handelt, muss nach jedem Iterationsschritt im Verlaufe der Simulation eine erneute Auswertung des in dem letzten Kapitel gefundenen Gebietszerlegungskriteriums (5.29) und (5.30) erfolgen. Dies impliziert, dass die r¨aumliche Ausdehnung der Bereiche in denen ein bestimmtes numerisches Verfahren verwendet wird, ¨ variieren kann und somit eine kontinuierliche Uberwachung der Gebietsaufteilung nicht nur numerisch sinnvoll, sondern auch aus Gr¨ unden der Modellkonsistenz erforderlich ist. In diesem Kapitel soll zun¨achst das Konzept der adaptiven Zerlegung des Berechnungsgebietes vorgestellt werden. Im Weiteren werden Techniken behandelt, die einen Austausch der Informationen zwischen den numerischen Verfahren erm¨oglichen. Anschließend wird die L¨osungstrategie des gekoppelten Simulationsverfahrens erl¨autert.

6.1

Konzept der adaptiven Verfahrenskopplung

Die Anwendung des im vorigen Kapitel vorgestellten Gebietszerlegungskriteriums erm¨oglicht eine eindeutige Zuordnung einzelner Geometriebereiche zu einem der beiden numerischen Berechnungsverfahren. Eine Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in zwei Zonen, d.h. in eine stochastische Zone (S) in der das Einzelpartikel-Verfahren und eine zweite, deterministische Zone (D) in der das Zwei-Kontinua-Verfahren verwendet wird (s. Abbildung 6.1), w¨ urde je¨ doch eine automatische Uberwachung der Gebietsaufteilung verhindern. Der Grund daf¨ ur stochastische Zone (Einzelpartikel-Verfahren) deterministische Zone (Zwei-Kontinua-Verfahren)

S

∗ DEq,p > DKT GF ∨ Kn > Kncrit

D

∗ DEq,p ≤ DKT GF ∧ Kn ≤ Kncrit

Abbildung 6.1: Gebietszerlegung in zwei Zonen. liegt darin, dass die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums ausschließlich in Berei59

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens chen m¨oglich ist, in denen das Einzelpartikel-Verfahren eingesetzt wird. Eine r¨aumliche Ausdehnung der stochastischen Zone (S) w¨are damit nicht feststellbar. Eine L¨osung dieses Problems erm¨oglicht die Deﬁnition einer Randzone (R). Diese besitzt die Breite von mindestens einer Zelle und ist dadurch charakterisiert, dass hier das Einzelpartikel-Verfahren zum Einsatz kommt, obwohl die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums eine deterministische Zone anzeigt (s. Abbildung 6.2). Der Vorteil dieser Methode ist, dass die Randzone S

∗ DEq,p > DKT GF ∨ Kn > Kncrit

Einzelpartikel-Verfahren R ∗ DEq,p ≤ DKT GF ∧ Kn ≤ Kncrit

Zwei-Kontinua-Verfahren

D

Abbildung 6.2: Gebietszerlegung in drei Zonen. nach jedem Zeitschritt r¨aumlich neu angepasst werden kann. Damit ist sichergestellt, dass die Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in stochastische (S) und deterministische Zonen (D) nur von der Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums abh¨angig ist und w¨ahrend der Simulation vollst¨andig adaptiv erfolgt. Ergibt die Auswertung des Gebietszerlegungs∗ kriteriums in einer Randzone: DEq,p > DKT GF oder Kn > Kncrit , so wird aus der Randzone (R) eine stochastische Zone (S). Umgekehrt kann aus der Randzone eine deterministische Zone (D) werden, wenn in allen benachbarten stochastischen Zonen (S) die Auswertung ∗ des Gebietszerlegungskriteriums DEq,p ≤ DKT GF und Kn ≤ Kncrit ergibt. Hierbei ist zu beachten, dass eine stochastische Zone (S) niemals an eine deterministische Zone (D) grenzen kann, d.h. sie muss stets von Randzonen (R) umgeben sein. In der Abbildung 6.3 ist die r¨aumliche Evolution der Gebietsaufteilung w¨ahrend einer Simulation f¨ ur die stochastische Zone (S) schematisch dargestellt. Die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums erfolgt nach jedem Zeitschritt und in jeder Zelle, die zur Rand- bzw. zur stochastischen Zone geh¨ort. Muss eine R-Zelle, in der Abbildung 6.3 links oben mit R gekennzeichnet, zu einer S-Zelle werden, so expandiert die stochastische Zone und alle benachbarten D-Zellen, ¨ mit D gekennzeichnet, der neuen S-Zelle werden zu R-Zellen (Expansion). Ahnliches gilt f¨ ur die Kontraktion der stochastischen Zone; soll aus einer S-Zelle, in der Abbildung 6.3 rechts unten mit S gekennzeichnet, eine D-Zelle werden, so wechselt der Status dieser Zelle aufgrund der Nachbarschaft einer S-Zelle zun¨achst zu einer R-Zelle. Alle benachbarten R-Zellen, die ihrerseits keine S-Zelle als Nachbar haben, werden zu D-Zellen (Kontraktion). Nach jeder Ver¨anderung der Zellenzugeh¨origkeit muss sichergestellt sein, dass die stochastische Zone vollst¨andig von Randzellen umgeben ist. Auf diese Weise k¨onnen even¨ tuelle Anderungen des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs erkannt und in der oben beschriebenen Prozedur der Gebietszerlegung ber¨ ucksichtigt werden. ¨ Den bisherigen Uberlegungen ist gemeinsam, dass sie f¨ ur eine Erweiterung bzw. eine Verringerung der stochastischen Zone stets eine r¨aumliche Verschiebung der Randzone 60

6.1 Konzept der adaptiven Verfahrenskopplung Expansion D R

D D

D R

D

D

D R

R

D

R

S

R

D

R

S

S

D

R

S

S

R

D R

D

D

D R

D

D

D R

R

D

Kontraktion D D R

D

D R

R

D

D R

R

D

D R

S

R

R

R

S

R

R

S

S

R

D D R

D

D R

R

D

D R

R

D

Abbildung 6.3: Expansion und Kontraktion der stochastischen Zone (S). voraussetzen. Im Folgenden soll gekl¨art werden, ob eine stochastische Zone auch innerhalb eines Bereiches entstehen kann, der vollst¨andig zur deterministischen Zone geh¨ort. Die Ausbildung einer stochastischen Zone verlangt die Erf¨ ullung mindestens einer der bei∗ ultigkeit der ersten Bedinden Bedingungen: DEq,p > DKT GF oder Kn > Kncrit . Die G¨ ∗ gung (DEq,p > DKT orung des Bewegungsverhaltens des Partikelkollektivs GF ) setzt eine St¨ voraus, die vom KTGF-Deformationsanteil nicht erfasst wird. Eine solche St¨orung kann jedoch bei einer station¨aren Simulation nur u ¨ber Randbedingungen aufgepr¨agt werden. Diese k¨onnen im Verlaufe einer Simulation durch die Pr¨asenz von festen Berandungen entstehen. Da in dem hier verwendeten Algorithmus sichergestellt wird, dass s¨amtliche wandn¨achsten Zellen zur stochastischen Zone geh¨oren, k¨onnen etwaige St¨orungen durch die erste Bedingung erfasst werden. Somit kann innerhalb einer deterministischen Zone der ∗ Fall DEq,p > DKT GF gar nicht auftreten. Die Ausbildung einer stochastischen Zone aufgrund der G¨ ultigkeit der ersten Bedingung kann daher ausgeschlossen werden. In diesem Zusammenhang sei darauf hingewiesen, dass die Erfassung von stochastischen Inseln bereits zu Beginn einer Simulation erfolgen muss. Diese haben die Funktion einer Keimzelle und k¨onnen im Verlaufe der Simulation ihre endg¨ ultige Gestalt annehmen. Auf diese Weise k¨onnen Nicht-Gleichgewichts-Zonen, die beispielsweise eine Folge der sich gegenseitig durchdringenden Partikelkollektive sind, erfasst werden. Aus der Erf¨ ullung der zweiten Bedingung Kn > Kncrit folgt, dass der Volumenanteil der Feststoﬀphase in der betrachteten Zelle so gering ist, dass die Kontinuumsannahme f¨ ur die Anwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens nicht mehr erf¨ ullt ist. In diesem Fall muss die betreﬀende Zelle in eine stochastische Zelle umgewandelt werden. Bisher erfolgt die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums nur in den stochastischen- und den Randzo∗ ¨ nen. Der Grund daf¨ ur ist, dass die Uberpr¨ ufung der ersten Bedingung (DEq,p > DKT GF ) die Kenntnis u ur die ¨ber die Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten erfordert. F¨ Auswertung der zweiten Bedingung Kn > Kncrit wird lediglich der Volumenanteil der Fest61

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens D

D

D

D

D

D

D

R

D

D

D

D

D

S

D

R

S

R

D

D

D

D

D

D

D

R

D

Abbildung 6.4: Ausbildung einer S-Zelle innerhalb einer deterministischen Zone (D) aufgrund der G¨ultigkeit der Bedingung Kn > Kncrit . stoﬀphase ben¨otigt, der im gesamten Rechengebiet zur Verf¨ ugung steht. Somit kann die Auswertung der zweiten Bedingung auch in den zur deterministischen Zone geh¨orenden DZellen erfolgen. In der Abbildung 6.4 ist der Vorgang der Ausbildung einer stochastischen Zelle innerhalb einer deterministischen Zone schematisch dargestellt. Ein Ablaufdiagramm der gekoppelten Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung wird im Abschnitt 6.3 beschrieben.

6.2

Informationsaustausch an den Zonengrenzen

Die Ermittlung der Str¨omungseigenschaften eines Feststoﬀkollektivs mit einem hybriden Simulationsverfahren setzt voraus, dass sowohl das Einzelpartikel-Verfahren als auch das Zwei-Kontinua-Verfahren in einem Bereich, in dem dessen Anwendung zul¨assig ist, vergleichbare Ergebnisse liefern. Hierzu ist ein Vergleich beider Verfahren notwendig, um eventuelle Unterschiede in der Vorhersage des Partikelverhaltens zu lokalisieren. Ein weiteres wichtiges Element in der Entwicklung des neuen Verfahrens stellt der Informationsaustausch zwischen den beiden Einzelverfahren an der Zonengrenze dar. Es m¨ ussen ¨ entsprechende Rand- und Ubergangsbedingungen formuliert werden, die eine konservative Behandlung der Bewegungsgleichungen im gesamten Rechengebiet gew¨ahrleisten. Die oben genannten Aspekte sollen nun in den folgenden Abschnitten genauer behandelt werden.

6.2.1

Korrektur der Widerstandskraft

Die translatorische Bewegung eines Einzelpartikels wird in entscheidendem Maße von der Widerstandskraft FW gepr¨agt: FW = cd

ρg πdp 2 |vrel |vrel , 2 4

vrel = ug − vp .

(6.1)

Die Ermittlung des Widerstandsbeiwertes cd erfolgt dabei in Abh¨angigkeit der ReynoldsZahl der Partikel Rep . F¨ ur Rep < 0.25 spricht man vom Stokes-Bereich; auf die Partikel wirken vorwiegend Reibungskr¨afte. F¨ ur den Widerstandsbeiwert und die Widerstandskraft

62

6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen gelten in diesem Bereich folgende Beziehungen: cd =

24 Rep

⇒

FW = 3π dp µ vrel .

(6.2)

F¨ ur Rep > 1000 sind es die Tr¨agheitskr¨afte, die einen entscheidenden Einﬂuss auf die Partikel aus¨ uben. In diesem so genannten Newton-Bereich liegt eine turbulente Umstr¨omung der Partikel vor und die Widerstandskraft ist proportional zum Quadrat der Relativgeschwindigkeit: cd = 0.44,

FW = 0.44

ρg π d2p vrel |vrel |. 8

(6.3)

¨ Im Ubergangsbereich 0.25 ≤ Rep ≤ 1000 sind sowohl Reibungs- als auch Tr¨agheitskr¨afte gleichermaßen relevant. In Kapitel 3 wurde zur Berechnung der Widerstandskraft eine empirische Korrelation angegeben (3.40), welche die in den drei Bereichen vorherrschenden Kraftverh¨altnisse ber¨ ucksichtigt. Wie (6.2) und (6.3) zeigen, ist die Widerstandskraft von der Relativgeschwindigkeit abh¨angig. Dabei ist vrel keine konstante Gr¨oße, sondern durch eine Verteilungsfunktion bestimmt. Schwankungen der Relativgeschwindigkeit werden somit auf die Widerstandskraft u ¨bertragen. Im Stokes-Bereich ergibt sich ein proportionaler Zusammenhang zwischen den Varianzen der Widerstandskraft σF2 W und der Relativgeschwindigkeit σv2 rel [Kan03]: σF2 W = (3π dp µ)2 σv2 rel .

(6.4)

Hierin ist σF2 W unabh¨angig von der mittleren Relativgeschwindigkeit vrel = ug − up . Im ¨ Ubergangssowie im Newton-Bereich ergibt sich dagegen ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen σF2 W und σv2 rel . Zudem ist σF2 W zunehmend von der mittleren Relativgeschwindigkeit vrel abh¨angig. F¨ ur den Newton-Bereich ergibt sich zwischen σF2 W und σv2 rel bzw. vrel n¨aherungsweise folgende Abh¨angigkeit: 2

ρg σF2 W ≈ 2 0.44 π d2p σv2 rel σv2 rel + 2 |vrel |2 . (6.5) 8 (6.5) bedeutet, dass aufgrund der zus¨atzlichen Abh¨angigkeit der Varianz der Widerstandskraft von vrel die Schwankungen der Relativgeschwindigkeit anisotrop auf die Schwankungen der Widerstandskraft u ¨bertragen werden. Daraus resultiert eine wichtige Konsequenz f¨ ur die Berechnung der Widerstandskraft. W¨ahrend das Zwei-Kontinua-Verfahren die Widerstandskraft aus der mittleren Relativgeschwindigkeit vrel ermittelt, FW (Rep ) = cd (Rep )

ρg πdp 2 |vrel |vrel , 2 4

Rep =

vrel ρg dp , µg

(6.6)

verwendet das Einzelpartikel-Verfahren die vollst¨andige Verteilung der Relativgeschwindigur ein Partikelkollektiv folgende mittlere Widerstandskraft ergibt: keit vrel , so dass sich f¨ vrel ρg dp FW (Rep ) = FW (Rep ) f (vrel ) dvrel , Rep = . (6.7) µg R3 63

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens vrel,z

FW,z Stokes-Bereich

vrel,z

F W,z FW,x

vrel,x

vrel,x

F W,x FW,z

¨ Ubergangsund Newton -Bereich

FW,z (Rep ) FW,z (Rep ) FW,x FW,x (Rep ) FW,x (Rep )

¨ Abbildung 6.5: Anisotrope Ubertragung der Schwankungen der Relativgeschwindigkeit auf die Widerstandskraft. Aufgrund der anisotropen Schwankungs¨ ubertragung von vrel auf FW sind die Gr¨oßen der Widerstandskraft, wie sie sich durch die Anwendung der beiden Einzelverfahren ergeben, voneinander verschieden. In der Abbildung 6.5 ist diese Problematik f¨ ur einen zweidimensionalen Fall noch einmal schematisch dargestellt. F¨ ur den Stokes-Bereich f¨ uhrt die Berechnung der Widerstandskraft sowohl mit dem Zwei-Kontinua- als auch mit dem Einzelpartikel-Verfahren aufgrund der direkten Proportionalit¨at zwischen σF2 W und σv2 rel zu ¨ und Newton-Bereich ergeben sich den gleichen Ergebnissen (F W,z , F W,x). Im Ubergangszwei unterschiedliche Werte f¨ ur die Widerstandskraft. Im Einzelpartikel-Verfahren f¨ uhrt die Nicht-Linearit¨at zwischen σF2 W und σv2 rel bzw. vrel zu einer Verschiebung der mittleren Widerstandskraft FW (Rep ) zu h¨oheren Werten hin. Der Grund daf¨ ur ist, dass Partikel mit einer h¨oheren Relativgeschwindigkeit vrel einer u ¨berproportional h¨oheren Widerstandskraft ausgesetzt sind, als dies bei Partikel mit geringeren Relativgeschwindigkeiten der Fall ist. Die Berechnung der Widerstandskraft mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren ist daher durch die Verwendung von mittleren Werten f¨ ur die Relativgeschwindigkeit mit einem systematischen Fehler behaftet. Um diese Abweichung quantitativ zu erfassen, werden die Widerstandsbeiwerte cd , wie sie sich aus den beiden numerischen Verfahren in Abh¨angigkeit der mittleren Reynolds-Zahl der Partikel Rep und der Standardabweichung der Relativgeschwindigkeit σvrel ergeben, miteinander verglichen. Hierzu wird f¨ ur den Widerstandsbeiwert die in Kapitel 3 eingef¨ uhrte Korrelation nach Turton&Levenspiel verwendet. Der aus dem Einzelpartikel-Verfahren resultierende mittlere Widerstandsbeiwert errechnet sich aus: cd (Rep ) = cd (Rep ) f (vrel ) dvrel , (6.8) R3

64

6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen mit der Verteilungsfunktion der Relativgeschwindigkeit: 1 (vrel − vrel )2 f (vrel ) = .

3 exp − 2 σv2 rel 2 π σ2 2

(6.9)

vrel

F¨ ur einen Vergleich zwischen cd (Rep ) und dem mittleren Widerstandsbeiwert, wie er sich aus dem Zwei-Kontinua-Verfahren in Abh¨angigkeit der mittleren Relativgeschwindigkeit vrel ergibt, muss (6.8) numerisch approximiert werden. Bildet man nun aus dem Ergebnis f¨ ur cd (Rep ) und aus dem mittleren Widerstandsbeiwert cd (Rep ) einen Quotienten, so l¨asst sich folgender Korrekturfaktor ckt deﬁnieren: ckt =

cd (Rep ) . cd (Rep )

(6.10)

In der Abbildung 6.6 ist ckt in Abh¨angigkeit der mittleren Reynoldszahl der Partikel Rep und der Standardabweichung σvrel dargestellt. F¨ ur erh¨ohte Werte von Rep und σvrel erkennt

1.5 1.4 ckt

1.3 1.2 1.1 1 300

200 100 Rep

0

0

0.6 0.4 0.2 σvrel

0.8

Abbildung 6.6: Korrekturfaktor ckt . man einen erheblichen Anstieg des Korrekturfaktors. In diesem Fall wird die mit dem ZweiKontinua-Verfahren ermittelte Gr¨oße der Widerstandskraft untersch¨atzt. Um diesen oﬀensichtlichen Modellfehler des Zwei-Kontinua-Verfahrens zu beheben, wird der aus der mittleren Relativgeschwindigkeit resultierende, mittlere Widerstandsbeiwert cd (Rep ) mit dem Korrekturfaktor ckt multipliziert. Hierzu soll der in Abbildung 6.6 dargestellte Zusammenhang zwischen ckt und Rep bzw. σvrel durch eine Korrelation wiedergegeben werden. F¨ ur ckt wird folgender Ansatz verwendet:

ckt ≈ 1 + a log b Rep + 1 . (6.11) F¨ ur die Koeﬃzienten a und b erh¨alt man durch Regression: a = −0.0087 σvrel + 0.2497 σv2 rel − 0.0635 σv3 rel ,

(6.12) 65

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens b = 1.6007 − 0.2457 σvrel + 2.5786 σv2 rel − 4.6241 σv3 rel + 2.0599 σv4 rel .

(6.13)

Durch die Ber¨ ucksichtigung der vorstehenden Korrelation ist sichergestellt, dass die mit dem Zwei-Kontinua- sowie mit dem Einzelpartikel-Verfahren ermittelten Werte der Widerstandskraft nahezu identisch sind.

6.2.2

Modellierung der Geschwindigkeitskovarianz

Das Ausmaß der Schwankungsgeschwindigkeit eines Partikelkollektivs wird durch die Angabe der granularen Temperatur Θ beschrieben. W¨ahrend im Einzelpartikel-Verfahren die Berechnung der granularen Temperatur direkt aus den Schwankungsgeschwindigkeiten der Partikel Θ = |vp |2 /3 ermittelt wird, ist im Falle des Zwei-Kontinua-Verfahrens eine Transportgleichung f¨ ur Θ zu l¨osen (vgl. (3.25)). Wie in Kapitel 3 beschrieben, ber¨ ucksichtigt diese neben dem konvektiven und diﬀusiven Transport der granularen Temperatur auch die Produktion bzw. Dissipation der Fluktuationsenergie, die aus dem Einﬂuss der Reibungskraft zwischen den Partikeln und dem umgebenden Gas resultieren. Sie werden in der Gr¨oße Ψ zusammengefasst: Ψp = β(Kgp − 3Θ).

(6.14)

Kgp ist die Geschwindigkeitskovarianz, sie stellt eine Korrelation zwischen den Fluktuationsgeschwindigkeiten vp einzelner Partikel und den Fluktuationsgeschwindigkeiten der Gasphase ug dar: Kgp = ug vp .

(6.15)

Zur Modellierung von (6.15) wird ein vereinfachtes Kr¨aftegleichgewicht am Einzelpartikel betrachtet [SM98]: 3 ρg dvp = cd (Rep ) |up − vp | (ug − vp ) . dt 4 ρp dp

(6.16)

Nach der Subtraktion der entsprechenden zeitgemittelten Gr¨oßen erh¨alt man die Bewegungsgleichung eines Partikels unter dem Einﬂuss der Fluktuationsgeschwindigkeit der Gasphase:

dvp 3 ρg = cd (Rep ) |up − vp | ug − vp . dt 4 ρp dp

(6.17)

Setzt man nun die G¨ ultigkeit des Stokes-Bereiches f¨ ur den Widerstandsbeiwert cd voraus, so gilt:

dvp 1 u − vp , = dt τp g

τp =

18 µg , ρp d2p

(6.18)

wobei τp die aerodynamische Partikelrelaxationszeit bezeichnet. Zur L¨osung von (6.18) wird angenommen, dass die von einem Partikel entlang seiner Bahnkurve erfahrene Fluktuation 66

6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen der Gasphase als ein periodischer Vorgang beschrieben werden kann. So ist es m¨oglich die Fluktuationsgeschwindigkeit der kontinuierlichen Phase durch eine Sinusfunktion mit einer Amplitude A und der Frequenz ω auszudr¨ ucken: ug (t) = A sin (ω t) .

(6.19)

F¨ ur die eingeschwungene L¨osung der Bewegungsgleichung eines Partikels unter Einwirkung dieser Gasﬂuktuation gilt: vp (t) =

ug (t) ω τp −A cos (ω t) . 1 + ω 2 τp2 1 + ω 2 τp2

(6.20)

Die Bildung des Produktes ug vp und eine anschließende zeitliche Mittelung f¨ uhrt u ¨ber einen Koeﬃzientenvergleich zu folgendem Ergebnis: √ √ ug vp = 2k 3Θ. (6.21)

f (Rep )

Dieser Ansatz, der bereits in der Arbeit von Sinclair & Mallo verwendet wurde [SM98], stellt das Produkt der gemittelten Betr¨age der Fluktuationsgeschwindigkeiten dar und darf zun¨achst bei geringen mittleren Reynolds-Zahlen der Partikel Rep << 1 verwendet werden. Um (6.21) auch f¨ ur Anwendungen in Verbindung mit h¨oheren mittleren Reynolds1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

4

5 6 Rep

7

8

9

10

Abbildung 6.7: Abh¨angigkeit des Multiplikators f (Rep ) von der mittleren Reynolds-Zahl der Partikel Rep . Zahlen nutzen zu k¨onnen, wird eine auf einer entsprechenden Parameterstudie basierende Erweiterung vorgenommen. Dabei werden Partikelkollektive mit jeweils unterschiedlichem Partikeldurchmesser im granulardynamischen Gleichgewicht erzeugt und mit Hilfe des Einzelpartikel-Verfahrens simuliert. Die sich im station¨aren Endzustand der Simulation ergebende Gr¨oße f¨ ur die granulare Temperatur Θ muss mit dem Ergebnis aus der 67

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens Simulation mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren u ¨bereinstimmen. Hieraus kann ein Faktor f ¨ eingef¨ uhrt werden, mit dem (6.21) multipliziert werden muss, um die genannte Ubereinstimmung zu gew¨ahrleisten. Der aus der geschilderten Untersuchung resultierende Zusammenhang zwischen dem Faktor f und der mittleren Reynolds-Zahl der Partikel Rep kann wie folgt angegeben werden: 1 f¨ ur Rep ≤ 0.062

f Rep = . (6.22) −0.457 0.28 Rep f¨ ur 0.062 < Rep In der Abbildung 6.7 ist dieser Zusammenhang noch einmal f¨ ur einen Reynolds-Zahlen Bereich von Rep < 10 graﬁsch dargestellt. F¨ ur Rep << 1 wird die Fluktuationsgeschwindigkeit der Partikel stark von derjenigen der Gasphase beeinﬂusst. Es besteht eine starke Korrelation zwischen beiden Fluktuationsgeschwindigkeiten; in diesem Bereich nimmt f einen Wert von eins ein. Bei h¨oheren mittleren Reynolds-Zahlen der Partikel dagegen nimmt die Tr¨agheit der Partikel zu und bewirkt einen geringeren Einﬂuss der Gasﬂuktuationen auf die Partikelbewegung. Die Korrelation zwischen den Fluktuationsgeschwindigkeiten nimmt daher ab (f < 1).

6.2.3

¨ Formulierung der Ubergangsbedingungen

Die Berechnung des Bewegungsverhaltens eines Partikelkollektivs mit einem gekoppelten Simulationsverfahren erfordert einen pr¨azisen Informationstransfer im Randbereich zwi¨ schen den beiden numerischen Berechnungsverfahren. Zu diesem Zweck m¨ ussen Ubergangsbedingungen formuliert werden, die eine konservative Behandlung der Erhaltungsgr¨oßen ¨ beim Ubergang vom deterministischen in den stochastischen Bereich, wie auch in die entgegengesetzte Richtung gew¨ahrleisten. Bevor diese Thematik genauer behandelt wird, soll an dieser Stelle zun¨achst eine Formulierung gegeben werden, welche die Erzeugung von Partikeln auf der Fl¨ache eines Kontrollvolumens erm¨oglicht. Bei dem betrachteten Kontrollvolumen handelt es sich um den Eintrittsbereich einer Str¨omungsgeometrie; die Fl¨ache stellt eine Eintrittsﬂ¨ache dar. Dabei sollen auf der Grundlage einer Verteilungsfunktion sowohl die Partikelanzahl als auch die zugeh¨origen Geschwindigkeiten ermittelt werden. Modellierung der Eintrittsrandbedingungen Ausgehend von einer gegebenen Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten fp (t, x, v) l¨asst sich die Anzahl der Partikel in einem betrachteten Kontrollvolumen Ω zu einem beliebigen Zeitpunkt t wie folgt angeben: np (t) = fp (t, x, v) dv dx. (6.23) Ω

R3v

Es soll nun die Anzahl der Partikel ermittelt werden, die im Zeitintervall τ die Eintrittsﬂ¨ache Γ des betrachteten Kontrollvolumens Ω passieren (s. Abbildung 6.8). Dabei ist zu 68

6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen Eintrittsﬂ¨ache Γ m ˙ nx

Ω

Abbildung 6.8: Eintrittsrand. beachten, dass der zu berechnende Partikel-Nettoﬂuss m ˙ auch solche Partikel ber¨ ucksichtigen muss, die im gleichen Zeitintervall das Kontrollvolumen aufgrund einer negativen Geschwindigkeit wieder verlassen. Eine geeignete Formulierung stellt das folgende Integral dar [RW01]: τ np,in(τ ) = − (v · nx ) fin (t, x, v) dv dFx dt, (6.24) 0

Γ

v·nx ≤0

wobei dFx ein inﬁnitesimales Fl¨achenelement bezeichnet und nx den Einheitsnormalenvektor der Fl¨ache Γ bei x ∈ Γ darstellt. F¨ ur die Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten auf der Eintrittsﬂ¨ache fin kann die Maxwell-Verteilung verwendet werden: n∗p,in |v − uin|2 fin(t, x, v) = fM (t, x, v) = . (6.25) exp − 3 2Θin (2πΘin) 2 Hierbei kennzeichnen die mit dem Index in versehenen Gr¨oßen die bekannten Eintrittsparameter auf der Eintrittsﬂ¨ache. Dies sind im Einzelnen die mittlere Partikelgeschwindigkeit uin, die granulare Temperatur Θin sowie die Partikelanzahldichte n∗p,in, die sich aus dem mittleren Volumenanteil φp ergibt n∗p,in =

6 φp . π d3p

(6.26)

W¨ahrend n∗p,in die Anzahl der Partikel angibt, die nach einem Zeitintervall ∆τ in Ω vorliegen, charakterisiert np,in die Anzahl der Partikel, die innerhalb von ∆τ die Eintrittsﬂ¨ache passieren m¨ ussen, um n∗p,in einzuhalten. Diese Parameter werden im Weiteren als konstant u ber die Fl¨ a che Γ und die Zeit t angenommen. Die Auswertung des inneren Integrals in ¨ (6.24) erfolgt unter Zuhilfenahme folgender Substitution: v = uin +

2Θin ξ,

3

dv = (2Θin ) 2 dξ,

(6.27) 69

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens so dass gilt: −

v·nx ≤0

(v · nx ) fin (t, x, v) dv √

2Θin = (a + (ξ · (−nx ))) exp −ξ 2 dξ. 3 π2 ξ·nx ≤a

(6.28)

Hierbei stellt a eine Abk¨ urzung mit: a=

(uin · (−nx )) √ 2 Θin

dar. F¨ uhrt man nun die Deﬁnition der Fehler-Funktion erf(x) ein x 2 exp(−z 2 ) dz erf(x) = √ π 0

(6.29)

(6.30)

und setzt die Konstanz des Einheitsnormalenvektors nx u ¨ber die Fl¨ache Γ voraus, so vereinfacht sich (6.24) zu:

1 1 np,in(τ ) = τ |Γ| n∗p,in 2Θin a (1 + erf(a)) + √ exp −a2 . (6.31) 2 π Die Anzahl der in das Kontrollvolumen Ω eintretenden, simulierten Partikel ergibt sich dann unter Ber¨ ucksichtigung des Partikelgewichtes g aus: np,in nps,in = , (6.32) g wobei der Klammerausdruck den unteren ganzzahligen Anteil des Quotienten in (6.32) darstellt. Ein weiteres Partikel wird dann erzeugt, wenn (np,in − nps,in) gr¨oßer ist als eine gleichverteilte Zufallszahl ψ ∈ [0, 1]. Nachdem die Anzahl der in Ω eintretenden Partikel festgelegt ist, werden diese gleichverteilt auf der Eintrittsﬂ¨ache Γ positioniert. Jeder Zeitpunkt, zu dem ein Partikel innerhalb des Zeitintervalls ∆τ durch eine Eintrittsﬂ¨ache in das Str¨omungsgebiet eintritt, ist gleichermaßen wahrscheinlich. Daher wird eine gleichverteilte Zufallszahl ∆τ ∗ ∈ [0, ∆τ ] erzeugt und das Partikel um diesen Zeitschritt fortbewegt. Die Ermittlung der Geschwindigkeit eines Partikels erfolgt unter Verwendung einer Verteilungsfunktion, die auf der Eintrittsﬂ¨ache der so genannten Maxwell-HS-Verteilung (HS: half-space) entspricht [RW01]: ⎧ ⎨ fin (x, v) (v · nx ) f¨ ur v · n x ≤ 0 − v·nx ≤0 fin (x, v) (v · nx ) dv fHS (v) = . (6.33) ⎩ 0 f¨ ur v · n x > 0 Die Auswertung des Integralausdrucks in (6.33) erfolgt analog zur Ermittlung der Partikelanzahl np,in und liefert:

1 1 − fin (x, v) (v · nx ) dv = n∗p,in 2Θin a (1 + erf(a)) + √ exp −a2 . (6.34) 2 π v·nx ≤0 70

6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen Damit sind die Randbedingungen auf der Eintrittsﬂ¨ache eines Kontrollvolumens f¨ ur ein Partikelkollektiv, im Rahmen der Berechnung mit dem Einzelpartikel-Verfahren, bestimmt. Die n¨achsten Schritte der Simulation bestehen in der Ermittlung der einzelnen Partikeltrajektorien sowie der Ausf¨ uhrung von interpartikul¨aren Kollisionen. Diese Schritte sind bereits in Kapitel 3 erl¨autert worden. Die hier vorgestellten Randbedingungen (6.31) und (6.33) sollen im Folgenden bei der ¨ Beschreibung der Ubergangsbedingungen im Randgebiet zwischen den beiden numerischen Berechnungsverfahren zum Einsatz kommen. ¨ Modellierung der Ubergangsbedingungen ¨ Im Folgenden werden die Ubergangsbedingungen an der Grenzﬂ¨ache zwischen der deterministischen- und der Randzone beschrieben. Die Beschreibung erfolgt gesondert f¨ ur eine Rund eine D-Zelle. Betrachtet wird zun¨achst ein beliebiges Kontrollvolumen aus dem Randbereich (R) der Str¨omungsgeometrie, dessen unmittelbare Nachbarzelle zum deterministischen Bereich (D) geh¨ort (vgl. Abbildung 6.9). Wie bereits im Abschnitt 6.1 beschrieben, erfolgt die Berechnung der Feststoﬀphase im Randbereich mit Hilfe des Einzelpartikel-Verfahrens. Innerhalb des deterministischen Bereiches wird das Zwei-Kontinua-Verfahren verwendet. Der Informationsﬂuss I durch die Grenzﬂ¨ache AG erfolgt hier von der D-Zelle zur R-Zelle. Um die AG I D

R

¨ Abbildung 6.9: Ubergangsbedingung f¨ur die R-Zelle. Bewegung eines Partikelkollektivs in der Randzelle (R) zu berechnen, m¨ ussen entsprechen¨ de Ubergangsbedingungen auf der Grenzﬂ¨ache AG formuliert werden. Dies bedeutet, dass der bisherigen kontinuierlichen Beschreibungsweise der Partikelphase (D) nun eine Einzelpartikelbetrachtung (R) folgt. Die f¨ ur die Erzeugung der Partikel auf der Grenzﬂ¨ache erforderlichen Informationen werden aus den in den Mittelpunkten der beiden Zellen gespeicherten Daten ermittelt. In diesem Zusammenhang wird ein Hybrid-Verfahren verwendet, welches die Ermittlung des mittleren Volumenanteils sowie der mittleren Geschwindigkeiten der Feststoﬀphase aus der Kombination des so genannten UPWIND-Verfahrens und der zentralen Diﬀerenzen vornimmt. Als Entscheidungskriterium dient die Zell-Peclet-Zahl Pe, die sich aus dem Verh¨altnis des konvektiven und diﬀusiven Informationstransportes

71

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens ergibt: Pe =

ρp (vp · n) ∆x , µp

(6.35)

wobei ∆x die Entfernung zwischen den Mittelpunkten beider Zellen bezeichnet. Nachdem die erforderlichen Parameter, d.h. der Volumenanteil φp,G , die mittlere Partikelgeschwindigkeit up,G und die granulare Temperatur ΘG an der Grenzﬂ¨ache bestimmt sind, kann die Partikelanzahl und die Geschwindigkeit der einzelnen Partikel ermittelt werden. Hierzu werden die im letzten Abschnitt vorgestellten Beziehungen (6.31) und (6.33) verwendet. Die Anwendung beider Gleichungen an einer Grenzﬂ¨ache zur Kopplung einer kontinuierlichen und einer Einzelpartikel-Beschreibungsweise der Feststoﬀphase ist in der Literatur als Maxwell-Marshak-Kopplungsbedingung bekannt. Eine allgemeine Formulierung der ¨ ¨ Ubergangsbedingung, die einen stetigen Ubergang der Fl¨ usse u ¨ber die Grenzﬂ¨ache fordert, kann f¨ ur die Massen- bzw. Impulserhaltung wie folgt angegeben werden [Que99]: − (v · nx ) fEq (x, v) dv = − (v · nx ) fp (x, v) dv, (6.36) v·nx ≤0

bzw.:

v·nx ≤0

−

v·nx ≤0

(v · nx ) vp fEq (x, v) dv = −

v·nx ≤0

(v · nx ) vp fp (x, v) dv,

(6.37)

wobei fEq eine Gleichgewichtsverteilung der Partikelgeschwindigkeiten in der D-Zelle darstellt. Im Verlaufe einer Simulation sind beide Gleichungen, (6.36) und (6.37), im statistischen Mittel erf¨ ullt. In einem weiteren Schritt soll ein Kontrollvolumen aus dem deterministischen Bereich betrachtet werden, in dem die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Zwei-KontinuaVerfahren erfolgt. Die Anordnung der Nachbarzellen sowie die Richtung der Informationsﬂ¨ usse I durch die Grenzﬂ¨achen AG sind in der Abbildung 6.10 dargestellt. F¨ ur die BeAG,l

AG,r Il

R

Ir D

R

¨ Abbildung 6.10: Ubergangsbedingung f¨ur die D-Zelle. rechnung des Bewegungsverhaltens der Feststoﬀphase mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren m¨ ussen s¨amtliche Fl¨ usse u ¨ber die Fl¨achen des Kontrollvolumens bekannt sein. Zur Ermittlung der Fl¨ usse Il u ¨ber die Grenzﬂ¨ache AG,l werden die Eigenschaften der Partikel, 72

6.2 Informationsaustausch an den Zonengrenzen welche die R-Zelle u ¨ber die Grenzﬂ¨ache AG,l verlassen, notiert. Aus der Anzahl dieser Partikel, deren Geschwindigkeit sowie der Fluktuationsgeschwindigkeit k¨onnen der Massen-, Impuls- und Fluktuationsenergieﬂuss bestimmt werden. Anders stellt sich die Situation an der Grenzﬂ¨ache AG,r dar. Hier f¨ uhrt die Verwendung der Partikeleigenschaften, die f¨ ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Einzelpartikel-Verfahren in der R-Zelle erzeugt wurden, zu einer instabilen Ermittlung der Fl¨ usse Ir u ¨ber die Grenzﬂ¨ache AG,r . Der Grund f¨ ur diese Instabilit¨aten liegt darin, dass die Generierung von Partikeleigenschaften auf AG,r in der R-Zelle stochastischen Schwankungen unterworfen ist. Diese Schwankungen werden uhren zu neuen mittauf die Berechnung der Fl¨ usse Ir in der D-Zelle u ¨bertragen und f¨ leren Feststoﬀeigenschaften (Volumenanteil, Geschwindigkeit und granulare Temperatur) in der D-Zelle. Aus diesen Informationen werden im n¨achsten Zeitschritt erneut Partikel auf AG,r in der R-Zelle erzeugt, d.h. die urspr¨ unglichen stochastischen Schwankungen gehen in die Generierung neuer Partikel ein. Diese Instabilit¨aten k¨onnen im Laufe der Simulation zunehmen und f¨ uhren schließlich zur Divergenz. Um dies zu verhindern, werden s¨amtliche Fl¨ usse u ¨ ber AG,r aus den in den Mittelpunkten der beiden Zellen gespeicherten Informationen berechnet. Dieses Vorgehen stabilisiert die auftretenden Fluktuationen. Die erforderlichen Interpolationen werden mit dem bereits oben erw¨ahnten Hybrid-Verfahren vorgenommen. Im Folgenden soll anhand eines Beispiels die Funktionsweise der gekoppelten Simulation an der Grenzﬂ¨ache zwischen einer deterministischen- und einer Randzone erl¨autert werden. Betrachtet wird die SiAG,o D mulation einer aufw¨ahrtsgerichteten Gas-FeststoﬀStr¨omung in einem vertikalen Kanal. In der AbbilIo dung 6.11 sind drei aus der Rechengeometrie entnommene Zellen dargestellt, von denen die mittlere eine R-Zelle, die beiden verbleibenden D-Zellen darR stellen. Bei der Berechnung des Feststoﬀverhaltens Iu f¨ ur einen Subzeitschritt ∆τ in der Randzone wird AG,u f¨ ur jedes einzelne Partikel die Bewegungsgleichung gel¨ost. Dies gilt f¨ ur Partikel, die sich in der R-Zelle D bereits beﬁnden, als auch f¨ ur Partikel, die durch die Fl¨ache AG,u in die R-Zelle eintreten. Um die Anzahl und Geschwindigkeit der eintretenden Partikel zu bestimmen, m¨ ussen zun¨achst die mittlere Geschwindigkeit up,G , die granulare Temperatur ΘG und der Abbildung 6.11: Feststoﬀvolumenanteil Φp,G an der Grenzﬂ¨ache AG,u ¨ Ubergangsbedingungen am Beispiel ermittelt werden. Diese drei Parameter beschreiben der Simulation einer Gas-Feststoﬀdie in (6.36) und (6.37) angegebene GleichgewichtsStr¨omung. verteilung der Partikelgeschwindigkeiten fEq . Aus der Anwendung des Hybrid-Verfahrens ergeben sich f¨ ur die gesuchten Gr¨oßen die folgenden

73

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens Zahlenwerte: uz,p,G = 0.8766,

ΘG = 9.25 · 10−4 ,

φp,G = 0.001,

(6.38)

wobei uz,p,G die aufw¨artsgerichtete Komponente der mittleren Geschwindigkeit der Partikelphase darstellt. Setzt man die Zahlenwerte aus (6.38) in (6.31) ein, so kann die Anzahl der Partikel np,in, die u ¨ber die Eintrittsﬂ¨ache AG,u und innerhalb des Subzeitschrittes ∆τ = 0.01 in die R-Zelle eintreten, berechnet werden. F¨ ur np,in ergibt sich ein Wert von 17.75. Aus dem Vergleich der Wahrscheinlichkeit (np,in − nps,in) mit einer gleichverteilten Zufallszahl ψ ∈ [0, 1] ergibt sich die Anzahl der eintretenden simulierten Partikel zu nps,in = 17. Nachdem nps,in berechnet ist, wird jedem Partikel eine Geschwindigkeit zugeordnet. Dies erfolgt durch die Auswertung von (6.33) und unter Ber¨ ucksichtigung von (6.38). Bei der Berechnung des Bewegungsverhaltens der Feststoﬀphase im Zeitintervall ∆τ wird eine bestimmte Anzahl von Partikeln die R-Zelle durch die Grenzﬂ¨ache AG,o verlassen. Die Eigenschaften dieser Partikel, deren Geschwindigkeit und granulare Temperatur, werden als statistische Momente nullter, erster und zweiter Ordnung (s. Kapitel 4) an der Grenzﬂ¨ache AG,o gespeichert. In dem hier vorgestellten Beispiel verlassen in jedem Subzeitschritt ∆τ im Mittel 17.4 Partikel die R-Zelle. Da der Zeitschritt f¨ ur die Simulation der Gasphase ∆t aus zehn Subzeitschritten besteht, betr¨agt die gesamte Anzahl der austretenden Partikel nach Ablauf eines Zeitschrittes ∆t 174. Die mittlere Partikelgeschwindigkeit uz,p,G ergibt sich aus dem statistischen Moment erster Ordnung, sie nimmt einen Wert von 0.8762 ein, f¨ ur die granulare Temperatur, die das Ergebnis der statistischen Momente zweiter Ordnung ist, gilt ΘG = 1.07 · 10−3 . Die gespeicherten Daten werden nun dazu verwendet den Massen-, Impuls-, und Energieﬂuß Io u ¨ber die Grenzﬂ¨ache AG,o zu berechnen. Zusammen mit den entsprechenden Fl¨ ussen u ¨ ber die verbleibenden Fl¨achen der oberen DZelle kann dann das Bewegungsverhalten der Feststoﬀphase in der deterministischen Zone ermittelt werden.

6.3

Beschreibung der L¨ osungstrategie

Die Konstruktion eines gekoppelten Simulationsverfahrens aus dem Zwei-Kontinua- und dem Einzelpartikel-Verfahren schließt das Konzept einer L¨osungstrategie ein, nach der die Berechnung der Feststoﬀphase im gesamten Str¨omungsgebiet erfolgt. Dabei ist f¨ ur eine simultane Anwendung der beiden numerischen Verfahren die Auswertung des in Kapitel 5 vorgestellten Gebietszerlegungskriteriums erforderlich. Die erstmalige Aufteilung des Rechengebietes setzt eine vorherige Berechnung der Feststoﬀphase mit dem EinzelpartikelVerfahren voraus, was sehr zeitaufwendig sein kann. Um dies zu vermeiden, besteht der erste Schritt der L¨osungstrategie in einer Approximation der Bewegung der Feststoﬀphase auf der Basis des Zwei-Kontinua-Verfahrens (s. Abbildung 6.12). Auf diese Weise erh¨alt man bereits nach wenigen Zeitschritten eine N¨aherungsl¨osung. Als problematisch erweist sich dabei die Formulierung der Randbedingungen f¨ ur die granulare Temperatur Θ. Desweiteren ist in Nicht-Gleichgewichts-Zonen (s. Kapitel 7) ein u ¨berproportionaler Anstieg von 74

6.3 Beschreibung der L¨osungstrategie

Initialisierung mit Einzelpartikel-Verf.

adaptive Gebietszerlegung gem¨aß Kriterium

D-Bereich

R-Bereich

S-Bereich

N¨aherungsl¨osung mit Zwei-Kontinua-Verf. Berechnung mit Zwei-Kont.-Verf.

¨ UB

Berechnung mit Einzelpart.-Verf.

Auswertung des Zerlegungskriteriums

Initialisierung

gekoppeltes Simulationsverfahren mit adaptiver Gebietszerlegung

Abbildung 6.12: L¨osungstrategie f¨ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem gekoppelten Simulationsverfahren. Θ zu erwarten. Um eine St¨orung der numerischen Stabilit¨at zu vermeiden, wird daher die granulare Temperatur bei der Bestimmung einer N¨aherungsl¨osung als eine konstante Gr¨oße behandelt. Aus den erhaltenen Daten k¨onnen nun im gesamten Str¨omungsgebiet Partikel generiert werden, deren Bewegung im Folgenden mit dem Einzelpartikel-Verfahren berechnet wird. Durch die Ber¨ ucksichtigung der in Kapitel 5 beschriebenen Signiﬁkanz-NiveauBeschr¨ankung der Bewertungsfunktion DEq,p kann bereits nach Ablauf weniger Zeitschritte eine Auswertung des f¨ ur die Gebietsaufteilung erforderlichen Gebietszerlegungskriteriums vorgenommen werden. Damit ist der Schritt der Initialisierung beendet und das rechenintensive EinzelpartikelVerfahren kann durch das gekoppelte Simulationsverfahren mit adaptiver Gebietszerlegung abgel¨ost werden. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die f¨ ur den Schritt der Initialisierung ben¨otigte Zeit weniger als 10% der Gesamtzeit in Anspruch nimmt, die f¨ ur das Gesamtverfahren ben¨otigt wird. Das Rechengebiet wird nun gem¨aß des Kriteriums in die deterministische-, die stochastische- und die Randzone eingeteilt, wobei in der deterministischen Zone das Zwei-Kontinua-, in der stochastischen- und der Randzone jeweils das Einzelpartikel-Verfahren zur Berechnung des Bewegungsverhaltens der Feststoﬀpha75

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens se verwendet wird. Bevor der Berechnungsvorgang beginnt, m¨ ussen zun¨achst die Grenzﬂ¨achen identiﬁziert werden, an denen der Informationstransfer zwischen den numerisch unterschiedlich behandelten Zonen stattﬁndet. Die Berechnung der Partikelbewegung f¨ ur einen Zeitschritt ∆t erfolgt dann zuerst mit dem Einzelpartikel-Verfahren, wobei die Si mulation in Subzeitschritten ∆τ mit ∆τ = ∆t durchgef¨ uhrt wird. Zur Ermittlung der mittleren Partikeleigenschaften erfolgt die Auswertung der statistischen Momente nach Ablauf von ∆t in den Mittelpunkten der stochastischen Zonen und der Randzonen sowie auf den Grenzﬂ¨achen. Erst jetzt kann die Berechnung der Partikelbewegung mit dem ¨ Zwei-Kontinua-Verfahren f¨ ur ∆t und unter Ber¨ ucksichtigung der Ubergangsbedingungen vorgenommen werden. Nach jedem Zeitschritt wird das Zerlegungskriterium in der stochastischen Zone und in der Randzone erneut ausgewertet, um eine eventuelle r¨aumliche Verschiebung der einzelnen Zonen zu detektieren. So wird sichergestellt, dass zu jedem Zeitpunkt der Simulation eine dem Zerlegungskriterium entsprechende Gebietsaufteilung vorliegt und damit eine korrekte numerische Berechnung der Feststoﬀphase erfolgt. Eine wichtige Fragestellung, die sich bei der Konstruktion des gekoppelten Simulationsverfahrens ergibt, ist der Aspekt einer Parallelisierung. Durch das große Leistungspotential paralleler Rechner kann eine signiﬁkante Verk¨ urzung der Rechenzeit einer Simulation erreicht werden. W¨ahrend der Einsatz eﬃzienter, paralleler Algorithmen f¨ ur die Berechnung von dispersen Mehrphasenstr¨omungen mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren bereits den Stand der Technik darstellt, beﬁnden sich Parallelisierungsverfahren f¨ ur das EinzelpartikelVerfahren noch am Anfang ihrer Entwicklung [Was98, Fra02]. Das in dieser Arbeit entwickelte gekoppelte Simulationsverfahren zur Berechnung von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen stellt f¨ ur den Einsatz eines Parallelrechnersystems im Vergleich zum Einzelpartikel-Verfahren kein zus¨atzliches Hindernis dar. Die Zerlegung der Rechengeometrie in Partitionen sowie deren Zuordnung zu den einzelnen Prozessoren ist unabh¨angig von der Gebietsaufteilung der Str¨omungsgeometrie in stochastische-, deterministische- und Randzonen. Legt die Partitionierung die Prozessorgrenze in der stochastischen Zone bzw. in der Randzone fest, so erfolgt der Datenaustausch zwischen den Prozessoren wie beim EinzelpartikelVerfahren. Beﬁndet sich die Prozessorgrenze in der deterministischen Zone, so erfolgt der Informationstransfer wie bei der Berechnung der Gasphase.

6.4

Modiﬁkation des Mehrgitterverfahrens

Wie bereits in Kapitel 3 erl¨autert, besteht die Eﬃzienz des Zwei-Kontinua-Verfahrens in der Verf¨ ugbarkeit von leistungsf¨ahigen Methoden, die eine iterative L¨osung des zugrunde liegenden nichtlinearen und gekoppelten Gleichungssystems erm¨oglichen. Eine solche Methode stellt das Mehrgitter-Verfahren dar (vgl. Abschnitt 3.4). Durch die Konstruktion eines gekoppelten Simulationsverfahrens ergeben sich f¨ ur den Einsatz der Mehrgittertechnik wichtige Anpassungen. Bei der so genannten Restriktion des Problems werden Feingitterzellen zu Grobgitterzellen zusammengefasst. Beim Einsatz des gekoppelten Simulationsverfahrens muss der Vorgang der Restriktion die Gebietsaufteilung der Str¨omungsgeometrie ber¨ ucksichtigen. Insbesondere ist hierbei die Frage zu kl¨aren, wel76

6.4 Modiﬁkation des Mehrgitterverfahrens chen Zellenstatus soll eine Grobgitterzelle erhalten wenn sie aus Feingitterzellen besteht, die unterschiedlichen Zonen angeh¨oren. Die weiteren Schritte des Mehrgitter-Verfahrens bestehen in der Berechnung des Defektes dF in den Feingitterzellen sowie einer L¨osung des behandelten Problems auf dem Grobgitter. Bei diesen Vorg¨angen muss er¨ortert werden, wie die stochastischen- und die Randzellen in die Berechnung einbezogen werden sollen. Bei der Prolongation wird die berechnete Korrektur eF auf das Feingitter u ¨bertragen. Auch hier ist zu kl¨aren, in welchen Zellen des Feingitters eine Modiﬁkation der entsprechenden Gr¨oßen vorgenommen werden muss, um den Vorgang der Prolongation zu erm¨oglichen. Zun¨achst soll die Frage beantwortet werden, wie die zur stochastischen- bzw. zur Randzone geh¨orenden Zellen in das Mehrgitter-Verfahren einbezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass das Einzelpartikel-Verfahren, das in diesen Bereichen eingesetzt wird, bereits die bestm¨ogliche Approximation des Feststoﬀverhaltens liefert. Daher darf der Einsatz des Mehrgitter-Verfahrens zu keinen Ver¨anderungen des Partikelverhaltens in den betreﬀenden Zellen f¨ uhren. Dies hat zur Folge, dass die R- bzw. S-Zellen zwar zur Bildung von Grobgitterzellen verwendet werden d¨ urfen; eine Korrektur der Partikeleigenschaften aus der L¨osung einer Gr¨oße in der Grobgitterzelle ist jedoch ausgeschlossen. In der Abbildung R

R

R

S

R

R

R

R

R,S S

S

R

S

S

S

R

S

R

S

S

S

Abbildung 6.13: Erzeugung einer Grobgitterzelle aus Feingitterzellen der R- bzw. S-Zone. 6.13 sind schematisch die verschiedenen M¨oglichkeiten zur Erzeugung einer Grobgitterzelle dargestellt, die jeweils aus vier Feingitterzellen der R- bzw. S-Zone gebildet wird. Da in der gebildeten Grobgitterzelle eine Berechnung der Feststoﬀphase nicht stattﬁndet, ist eine Unterscheidung zwischen einer R- bzw. S-Grobgitterzelle nicht erforderlich. Abbildung 6.14 zeigt schematisch die M¨oglichkeiten zur Bildung einer D-Grobgitterzelle aus vier Feingitterzellen der unterschiedlichen Zonen. Wie in der Abbildung 6.14 dargestellt, ist f¨ ur die Erzeugung einer D-Grobgitterzelle das Vorliegen von mindestens einer D-Feingitterzelle erforderlich. Anordnungen von D-Grobgitterzellen mit mehreren R- bzw. 77

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens

D

D

D

R

D

D

D

D

D D

R

R

S D

R

R

R

D

R

D

R

Abbildung 6.14: Erzeugung einer D-Grobgitterzelle aus Feingitterzellen der D-, R- bzw. SZone. S-Zellen sind ebenfalls m¨oglich. Entscheidend ist an dieser Stelle, dass im weiteren Verlauf des Mehrgitter-Verfahrens die Berechnung des Defektes dF nur in den D-Feingitterzellen erfolgt und die in der D-Grobgitterzelle berechnete Korrektur eF ebenfalls ausschließlich in den D-Feingitterzellen Anwendung ﬁndet, da in den R- bzw. S-Zellen bereits die bestm¨ogliche Approximation durch das Einzelpartikel-Verfahren gew¨ahrleistet ist. ¨ Im Folgenden sind die wesentlichen Anderungen, die sich f¨ ur das Mehrgitter-Verfahren ergeben, zusammengefasst: • Bei der Restriktion eines Problems auf das Grobgitter, erfolgt die Berechnung des Defektes dF nur in den D-Feingitterzellen; in den entsprechenden S- bzw. R-Zellen wird der Defekt gleich Null gesetzt. ˆ G aus der interpolierten Approximation ΦG und • Die exakte L¨osung einer Gr¨oße Φ dem Defekt dG erfolgt auf dem Grobgitter ausschließlich in den D-Grobgitterzellen. • Bei der Prolongation wird die in den D-Grobgitterzellen berechnete Korrektur eF auf das Feingitter u ¨bertragen. Dabei werden nur die entsprechenden Gr¨oßen in den D-Feingitterzellen korrigiert (ΦF = ΦF + eF ). In der Abbildung 6.15 ist diese Prozedur f¨ ur eine aus jeweils zwei D- und R-Zellen gebildete D-Grobgitterzelle schematisch dargestellt. Durch die Anwendung des modiﬁzierten Mehrgitter-Verfahrens wird der Rechenaufwand betr¨achtlich reduziert, ohne dabei die Genauigkeit der L¨osung zu beeintr¨achtigen. Das Konvergenzverhalten wird dadurch ebenfalls nicht gest¨ort. Im Rahmen dieser Arbeit werden zur Bildung einer D-Grobgitterzelle ausschließlich D-Feingitterzellen verwendet. 78

6.5 Schlussfolgerung ΦF , dF = 0

ΦF , dF ΦG , dG

R

D

R

D

Restriktion D

ΦF + eF

ΦF

L¨osung ˆG Φ

R

D

R

D

Prolongation D

Abbildung 6.15: Schema der modiﬁzierten Mehrgittertechnik. Dabei enth¨alt eine Grobgitterzelle jeweils acht Feingitterzellen. Grobgitterzellen, die bereits eine R- bzw. eine S-Feingitterzelle enthalten, werden als R,S-Grobgitterzellen deklariert.

6.5

Schlussfolgerung

In diesem Kapitel wurden Methoden und Techniken vorgestellt, die eine Konstruktion des gekoppelten Simulationsverfahrens aus dem Zwei-Kontinua- und dem EinzelpartikelVerfahren erm¨oglichen. Die Durchf¨ uhrbarkeit der adaptiven Gebietszerlegung innerhalb der Str¨omungsgeometrie wurde durch die Deﬁnition einer Randzone sichergestellt. Die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums erfolgt hier zu jedem Zeitpunkt der Berechnung auf der Basis des Einzelpartikel-Verfahrens. Auf diese Weise kann eine r¨aumliche Verschiebung der deterministischen bzw. der stochastischen Zone im Verlaufe der Simulation detektiert werden. Die Verwendung der mittleren Relativgeschwindigkeit außerhalb des Stokes-Bereiches f¨ uhrt bei der Berechnung der Widerstandskraft zu einem systematischen Fehler innerhalb des Zwei-Kontinua-Verfahrens. Die hieraus resultierende Untersch¨atzung der Widerstandskraft hat Konsequenzen f¨ ur das Str¨omungsverhalten der Feststoﬀphase. So ist in Abh¨angigkeit der gew¨ahlten Str¨omungskonﬁguration eine Erh¨ohung bzw. Reduzierung der Partikelgeschwindigkeit festzustellen. Durch die Verwendung eines Korrekturfaktors, der ¨ die vollst¨andige Verteilung der Relativgeschwindigkeit ber¨ ucksichtigt, konnte eine Ubereinstimmung der Ergebnisse erzielt werden, wie sie sich f¨ ur die Widerstandskraft aus dem Zwei-Kontinua- und dem Einzelpartikel-Verfahren ergeben. Eine weitere Modiﬁkation des Zwei-Kontinua-Verfahrens wurde bei der Berechnung der granularen Temperatur vorgenommen. Die getroﬀene Annahme der G¨ ultigkeit des Stokes79

6 Konstruktion eines adaptiven Simulationsverfahrens Bereiches bei der Modellierung der Geschwindigkeitskovarianz konnte durch die Verwendung einer aus einer Parameterstudie gewonnenen Funktion modiﬁziert werden, die den G¨ ultigkeitsbereich auf h¨ohere Reynoldszahlen erweitert. Ausgehend von einer geeigneten Formulierung der Randbedingungen auf der Eintritts¨ ﬂ¨ache der Str¨omungsgeometrie, wurde ein Konzept f¨ ur die Ermittlung von Ubergangsbedingungen vorgestellt, der eine konservative Behandlung der Erhaltungsgr¨oßen auf der Grenzﬂ¨ache gew¨ahrleistet. Die Strategie mit der die Berechnung der Partikeleigenschaften an einer Grenzﬂ¨ache erfolgt, h¨angt von der Richtung des Informationsﬂusses ab. Erfolgt der Informationstransfer von einer deterministischen Zelle in eine Randzelle, so wird ein Hybrid-Verfahren eingesetzt. Findet der Informationstransfer von einer Randzelle in eine deterministische Zelle statt, so werden die Partikeleigenschaften auf der Grenzﬂ¨ache mit Hilfe von statistischen Momenten ermittelt. F¨ ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem gekoppelten Simulationsverfahren wurde eine aus zwei Schritten bestehende L¨osungstrategie pr¨asentiert. Im ersten Schritt, der Initialisierung, werden beide Einzelverfahren nacheinander zur Erzeugung einer N¨aherungsl¨osung sowie f¨ ur eine erste Bewertung des Partikelverhaltens eingesetzt. Im zweiten Schritt erfolgt die gekoppelte Berechnung der Feststoﬀphase unter simultaner Anwendung beider Einzelverfahren auf der Basis einer adaptiven Gebietszerlegung. Um die Leistungsf¨ahigkeit des gekoppelten Simulationsverfahrens zur erh¨ohen, wurde das Mehrgitter-Verfahren an die Gebietszerlegung angepasst. Dadurch konnte eine wesentliche Zeiteinsparung bei gleich bleibender Genauigkeit erzielt werden.

80

7

Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens

In diesem Kapitel soll die L¨osungsqualit¨at sowie die numerische Eﬃzienz des gekoppelten, adaptiven Simulationsverfahrens f¨ ur die Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen analysiert werden. F¨ ur diesen Zweck werden die aus der Simulation mit dem gekoppelten Verfahren erhaltenen Ergebnisse mit denen aus der Berechnung mit dem EinzelpartikelVerfahren verglichen. Die Verwendung des Einzelpartikel-Verfahrens als Referenzverfah¨ ren erscheint hier sinnvoll, da eine gute Ubereinstimmung zwischen Simulationsergebnissen und entsprechenden experimentellen Daten existiert, was zahlreiche Studien belegen [Som96, Sch00, St¨o03]. Die gew¨ahlte Str¨omungsgeometrie besteht aus einem vertikalen, quadratischen Kanal, in dem zwei unterschiedliche Hindernisse jeweils einzeln platziert werden. Die Wahl dieser Geometriekonﬁguration f¨ ur die Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens wurde getroﬀen, weil sich innerhalb der aufw¨ahrtsgerichteten Str¨omung Bereiche mit unterschiedlicher Komplexit¨at des Bewegungsverhaltens der Feststoﬀphase ausbilden k¨onnen. Durch eine geeignete Wahl der Parameter ist sichergestellt, dass w¨ahrend des Berechnungsvorgangs sowohl das Einzelpartikel- als auch das Zwei-Kontinua-Verfahren in den entsprechenden Geometriebereichen zum Einsatz kommen.

7.1

Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨ omung

Bevor die L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens analysiert wird, soll zun¨achst die zeitliche Entwicklung der Gebietsaufteilung bis zur Ausbildung eines station¨aren Zustands vorgestellt werden, die w¨ahrend der Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung mit dem gekoppelten Simulationsverfahren beobachtet werden kann. F¨ ur die entsprechenden Simulationen wird eine Geometriekonﬁguration mit jeweils unterschiedlichen Hindernissen verwendet. In der zuerst gew¨ahlten Str¨omungsgeometrie wird die Umstr¨omung eines horizontalen Zylinders betrachtet. Die darauf folgende Untersuchung behandelt die Umstr¨omung eines keilf¨ormigen Hindernisses, welches an einer Kanalseite befestigt wird. Die Beschreibung der Str¨omungsgeometrie sowie des Str¨omungsverhaltens beider Phasen erfolgt unter Verwendung normierter Gr¨oßen sowie dimensionsloser Kennzahlen. Die Berechnung der station¨aren Gas-Feststoﬀ-Str¨omung ist dreidimensional und erfolgt auf einem blockstrukturierten Gitter unter Verwendung von Hexaederelementen. In der N¨ahe der Hindernisse wird eine Gitterverfeinerung vorgenommen, um eine h¨ohere Genauigkeit der numerischen Approximation zu erzielen. Die Konvergenzbeschleunigung erfolgt durch den Einsatz des Mehrgitter-Verfahrens. Die Anzahl der Gitterelemente auf dem feinsten Gitter liegt in der Gr¨oßenordnung von 120000. Die zur Beschreibung des Gas- und des Feststoﬀverhaltens ben¨otigten Modelle sind in Kapitel 3 ausf¨ uhrlich beschrieben.

81

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens

7.1.1

Zylinderumstr¨ omung

L

Die Abbildung 7.1 zeigt die f¨ ur die Simulation der Austritt Zylinderumstr¨omung verwendete Geometrie. Alle dargestellten L¨angenangaben werden auf die Kantenl¨ange D der quadratischen Querschnittsﬂ¨ache des vertikalen Kanals bezogen. Die L¨ange L des Kanals betr¨agt L/D = 4. Das zylindrische Hindernis erstreckt sich u ¨ber die gesamte Kanalbreite D und hat einen Radius RZ von RZ /D = 0.05. 2RZ Das Hindernis wird in einer H¨ohe von z/D = 2 platziert. Die mittlere Geschwindigkeit der Gasphase am Eintritt Wg wird zur Normierung der Geschwindigkeiten beider Phasen verwendet. Die Wg Feststoﬀphase besteht aus monodispersen Partiz y keln mit einem Durchmesser dp von dp /D = 5.0 · x D 10−4 und einer Dichte ρp von ρp /ρg = 860. Der Vo−3 lumenanteil der Feststoﬀphase φp betr¨agt 1.0·10 . D Das Partikelgewicht g, welches das Verh¨altnis aus realen und simulierten Partikeln angibt, wurde auf einen Wert von 40 festgelegt. Die beiden dimensi- Abbildung 7.1: onslosen Kennzahlen, die Reynolds-Zahl Re√und Kanalgeometrie mit einem die Froude-Zahl Fr, die sich aus Fr = Wg / gD zylindrischen Hindernis. ergibt, betragen: Re = 150000 und Fr = 2.8. Der Str¨omungseintritt bzw. -austritt beﬁnden sich an der Unter- bzw. Oberseite des Kanals. Im Eintritt sind Gas- und Partikelgeschwindigkeit u ¨ber den Querschnitt konstant, und die Partikel weisen eine homogene Verteilung auf. Weitere f¨ ur die Simulation ben¨otigte Parameter sind in der Tabelle 7.1 zusammengefasst. Tabelle 7.1: Simulationsparameter charakteristische Gr¨oße

Symbol

Wert

Stoßzahl Partikel-Wand Stoßzahl Partikel-Partikel

ew ep

0.9 0.95

Reibungsbeiwert Partikel-Wand Reibungsbeiwert Partikel-Partikel

fw fp

0.2 0.3

Partikel-Subzeitschritt

∆τ

10−4

Die im Folgenden vorgestellten Simulationsergebnisse werden jeweils in der x, z-Symmetrieebene dargestellt. Abbildung 7.2 zeigt die Momentaufnahmen der Gebietsaufteilung w¨ahrend des zeitlichen Fortschritts der Simulation. Dabei repr¨asentieren die dunklen Be82

7.1 Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung

⇒

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

⇒

⇒

−→ z/D

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

⇒

−→ z/D

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

⇒

−→ z/D

⇒

−→ z/D

reiche der Str¨omungsgeometrie die stochastische, die farblosen die deterministische Zone. Der dazwischen liegende graue Bereich kennzeichnet die Randzone. Wie bereits in Kapitel 6 erl¨autert, wird in der stochastischen und in der Randzone das Einzelpartikel-Verfahren, in der deterministischen Zone das Zwei-Kontinua-Verfahren verwendet. Vor dem Start einer Simulation erfolgt f¨ ur jede verwendete Str¨omungsgeometrie eine automatische Zuordnung der wandn¨achsten Zellen zur stochastischen Zone (s. Abschnitt 6.1). 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

Abbildung 7.2: Ver¨anderung der Gebietsaufteilung w¨ahrend der Simulation der Zylinderumstr¨omung. Zu Beginn der Simulation ergibt die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums (5.29 und 5.30) die in Abbildung 7.2 links oben dargestellte Gebietsaufteilung. Man erkennt, dass die zur stochastischen Zone geh¨orenden Geometriebereiche sich vorwiegend in der Umgebung fester Berandungen sowie im Nachlaufgebiet des Zylinders beﬁnden. Die Pr¨asenz des Zy83

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens linders verursacht eine starke Abnahme des Volumenanteils der Feststoﬀphase im dahinter liegenden Bereich. Das hat zur Folge, dass die Kontinuumsannahme f¨ ur die Anwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens und damit die Bedingung (5.3) nicht mehr erf¨ ullt sind, wodurch der Einsatz des Einzelpartikel-Verfahrens in dieser Zone erforderlich wird. Im Bereich unmittelbar vor dem Zylinder erkennt man die Ausbildung einer, zu diesem Zeitpunkt der Simulation noch relativ kleinen, stochastischen Zone. In diesem Bereich, der auch als Relaxationszone bezeichnet wird, kollidieren die vom Zylinder reﬂektierten Partikel mit den Partikeln der Anstr¨omung. Der hieraus resultierende Bewegungszustand der Feststoﬀphase weist Deformationen der Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten auf, die vom KTGF-Deformationsanteil DKT GF nicht mehr erfasst werden k¨onnen. Die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums, insbesondere der Bedingung (5.25), weist damit diesem Bereich die stochastische Zone zu. Die verbleibenden, im gesamten Str¨omungsgebiet vereinzelt auftretenden, stochastischen Bereiche sind auf die geringe Datenbasis zur¨ uckzuf¨ uhren, die zu Unsicherheiten bei der Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums f¨ uhrt. Diese werden von der Signiﬁkanz-Niveau-Beschr¨ankung (s. Kapitel 5) ber¨ ucksichtigt. Im weiteren Verlauf der gekoppelten Simulation k¨onnen folgende Ver¨anderungen der Gebietsaufteilung beobachtet werden. Zum einen wird die Datenbasis f¨ ur die statistische Auswertung zunehmend gr¨oßer, wodurch die zu Beginn der Simulation vorliegenden Schwankungen ausgeglichen werden. Zum anderen ist ein Anwachsen der stochastischen Zone vor dem Zylinder bis zum station¨aren Endzustand zu beobachten (s. Abbildung 7.2 rechts unten), was weiterhin auf die Erf¨ ullung der Bedingung (5.25) zur¨ uckzuf¨ uhren ist. In Abbildung 7.3 ist links f¨ ur die Zylinderumstr¨omung der Verlauf der Bewertungsfunktion DEq,p im station¨aren Endzustand dargestellt, der sich aus der Simulation mit dem 3

DEq,p

10

3

2.8 2.6

8

2.6

4

2.2

6

2 1.8

4

1.6 2

1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

−→ z/D

1.6 1.4

8

2.4 6

2 1.8

10

2.8

2.4 2.2

DKT GF

1.4

2

1.2 0

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0

Abbildung 7.3: Bewertungsfunktion DEq,p (links) und KTGF-Deformationsanteil DKT GF (rechts) im station¨aren Endzustand bei der Umstr¨omung eines Zylinders. 84

7.1 Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung Einzelpartikel-Verfahren ergibt. Man erkennt in einem bestimmten Abstand vor dem Zylinder einen sprunghaften Anstieg der Bewertungsfunktion, die im weiteren Verlauf bis zur Zylinderoberﬂ¨ache auf einen Wert nahe Null monoton abnimmt. Im Nachlaufgebiet des Zylinders liegt eine sehr geringe Partikeldichte vor. Die resultierende geringe Anzahl an Partikelkollisionen verhindert die Einstellung des granulardynamischen Gleichgewichts bevor die Partikel das Nachlaufgebiet wieder verlassen. Die Folge ist ein erh¨ohter Wert der Bewertungsfunktion in diesem Bereich. Eine ausf¨ uhrliche Untersuchung der Gestalt einer Relaxationszone kann der Arbeit von Kanther entnommen werden [Kan03]. Ebenfalls in der Abbildung 7.3 dargestellt, ist der Verlauf des KTGF-Deformationsanteils DKT GF , wie er sich im station¨aren Endzustand aus der Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren ergibt. Vergleicht man beide Simulationsergebnisse, so erkennt man f¨ ur DKT GF eine wesentlich geringer ausgepr¨agte Relaxationszone. Wie bereits in Kapitel 5 erl¨autert, ber¨ ucksichtigt der KTGF-Deformationsanteil DKT GF ausschließlich Typ-III-Deformationen einer Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten. Treten weitere Deformationen einer Verteilungsfunktion auf, so werden diese nicht ber¨ ucksichtigt. Die Bewertungsfunktion DEq,p dagegen, ist in der Lage ein wesentlich breiteres St¨orungsspektrum einer Verteilungsfunktion zu erfassen (Typ-II-Deformationen), weshalb hier die Relaxationszone st¨arker ausgepr¨agt erscheint. Damit f¨ uhrt die Ermittlung der Transportkoeﬃzienten der Partikelphase mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren in diesem Bereich zu fehlerhaften Ergebnissen. Diese Tatsache verdeutlicht die Notwendigkeit der Berechnung der Relaxationszone mit dem Einzelpartikel-Verfahren, welches den schnellen Ver¨anderungen der Str¨omungseigenschaften der Feststoﬀphase Rechnung tr¨agt. Eine aggregierte Beschreibung des Einzelpartikelverhaltens als Partikelkollektiv, wie im Falle des Zwei-Kontinua-Verfahrens, ist in diesem Bereich unzureichend. Im Nachlaufgebiet des Zylinders beobachtet man f¨ ur DKT GF erheblich h¨ohere Werte als f¨ ur DEq,p . Die geringe Anzahl von Partikeln f¨ uhrt in diesem Bereich zur Verletzung der Kontinuumsannahme (5.3), wodurch die Anwendung des Zwei-KontinuaVerfahrens unzul¨assig wird. Die Auswertung des KTGF-Deformationsanteils ist somit im Nachlaufgebiet des Zylinders nicht sinnvoll. In Abbildung 7.4 ist die Gebietsaufteilung dargestellt, wie sie sich im station¨aren Endzustand bei der Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten ¨ Berechnungsverfahren (rechts) ergibt. Man erkennt eine sehr gute Ubereinstimmung der von beiden Verfahren ausgewiesenen stochastischen Zonen. Dieses Ergebnis zeigt, dass die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums und somit die Aufteilung der Rechengeometrie in die unterschiedlichen Zonen von der Berechnungsstrategie des gekoppelten Simulationsverfahrens nahezu unbeeinﬂusst bleibt. Die Kopplung des Einzelpartikel- und des Zwei-Kontinua-Verfahrens zu einem hybriden Simulationsverfahren l¨ost die Problematik der Formulierung von Randbedingungen f¨ ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren. Damit k¨onnen zahlreiche technisch bedeutsame Str¨omungsformen, wie die Umstr¨omung von Hindernissen (z.B. W¨armetauscherrohren), die bisher mit dem konventionellen Zwei-Kontinua-Verfahren nur mit speziellen Anpassungen beschrieben werden konnten, mit dem hier entwickelten, allgemein g¨ ultigen Berechnungsverfahren erfasst werden. Ein weiterer Aspekt, der aus der Verfahrensentwicklung resultiert, betriﬀt die numerische Eﬃzienz des gekoppelten Simula85

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens Einzelpartikel-Verf.

3

2.8

2.8

2.6

2.6

2.4

2.4 −→ z/D

−→ z/D

3

2.2 2

2.2 2

1.8

1.8

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

gekoppeltes Verf.

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

Abbildung 7.4: Gebietsaufteilung im station¨aren Endzustand der Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten Verfahren (rechts). tionsverfahrens. Tabelle 7.2 zeigt die prozentuale Aufteilung der Zellen- und Partikelanzahl auf die deterministische-, die stochastische- und die Randzone, die sich bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem gekoppelten Simulationsverfahren im station¨aren Zustand ergeben hat. Man erkennt, dass 57% der Gesamtanzahl der Zellen sich innerhalb der R- und S-Zone beﬁnden. Dieser relativ hohe Zellenanteil resultiert aus der a priori Zuordnung aller wandn¨achsten Zellen zur stochastischen Zone. F¨ ur die numerische Eﬃzienz ist jedoch der Partikelanteil entscheidend. Bei der Aufteilung der Partikel auf die drei Zonen stellt man fest, dass deutlich mehr als die H¨alfte aller Partikel (61%) sich innerhalb der deterministischen Zone beﬁnden. Hier wird der Vorteil des gekoppelten SimulationsverTabelle 7.2: Prozentuale Aufteilung der Zellen- und Partikelanzahl auf die D-, R- und S-Zone innerhalb des Str¨omungsgebietes. D-Zone

R-Zone

S-Zone

Zellenanteil in %

43

15

42

Partikelanteil in %

61

16

23

fahrens sichtbar. Durch die geringere Anzahl von Partikeln innerhalb der stochastischenbzw. der Randzone wird der Rechenaufwand f¨ ur die Berechnung einzelner Partikel mit dem Einzelpartikel-Verfahren wesentlich reduziert. Dies f¨ uhrt zu einer deutlichen Rechenzeitersparnis gegen¨ uber einer Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren. F¨ ur die hier behandelte Str¨omungskonﬁguration wurde eine Rechenzeitersparnis von 42% erzielt. Hierbei ist 86

7.1 Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung anzumerken, dass die Rechenzeitersparnis sehr stark von den gew¨ahlten Str¨omungsparametern der Feststoﬀphase sowie von der Geometriekonﬁguration abh¨angig ist. Die Zunahme des Volumenanteils der Feststoﬀphase f¨ uhrt zu einer schmaler werdenden Relaxationszone und damit einer kleineren stochastischen Zone. Der Grund daf¨ ur liegt in den verst¨arkt auftretenden Partikel-Partikel Kollisionen, die eine Anpassung der Verteilung der Partikelgeschwindigkeiten an den neuen Gleichgewichtszustand auf einem engerem Raum stattﬁnden lassen. Eine weitere Maßnahme, die zu einer Kontraktion der Relaxationszone f¨ uhrt, ist der Einsatz von Partikelkollektiven mit kleinerem Durchmesser. Bei einem konstanten Volumenanteil der Feststoﬀphase nimmt die Anzahldichte der Partikel in einem Kontrollvolumen zu. Die hieraus resultierende Abnahme der freien mittleren Wegl¨ange hat eine erneute Zunahme der Partikel-Partikel-Kollisionen zur Folge. Die beiden hier beschriebenen Maßnahmen verursachen eine Verkleinerung der stochastischen Zone und f¨ uhren damit zu einer h¨oheren Rechenzeitersparnis. In der Abbildung 7.5 sind die Bewertungsfunktion DEq,p und die Gebietsaufteilung bei der Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung mit einem normierten Partikeldurchmesser der Feststoﬀphase von dp /D = 1.25 · 10−4 dargestellt. Die Str¨omungskonﬁguration wird unver¨andert beibehalten. Aus der Darstellung der Bewer3

DEq,p

2.8

2.8

2.6

2.6 0.67

2.2 2 0.33

2 1.6 1.4

1.4

1.2

1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

2.2 1.8

1.8 1.6

Gebietsaufteilung

2.4 −→ z/D

2.4 −→ z/D

3

1

0

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

Abbildung 7.5: Bewertungsfunktion DEq,p und Gebietsaufteilung bei der Simulation einer GasFeststoﬀ-Str¨omung mit einem normierten Partikeldurchmesser von dp /D = 1.25 · 10−4 . tungsfunktion erkennt man eine deutlich schmaler ausgepr¨agte Relaxationszone vor dem Zylinder. Folglich beschr¨ankt sich auch die stochastische Zone auf einen schmalen Bereich nahe des Hindernisses. Die resultierende Rechenzeitersparnis betr¨agt hier 55%. Neben der Variation der Str¨omungsparameter der Feststoﬀphase hat jede Ver¨anderung der Geometriekonﬁguration eine neue Gebietsaufteilung zur Folge. Dabei spielt die r¨aumliche Ausdehnung von Bereichen mit einer beispielsweise durch Hindernisse gest¨orten 87

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens Partikelbewegung eine entscheidende Rolle. Ein Spezialfall stellt hier sicherlich die einfache Kanalstr¨omung dar. Es ist leicht zu erkennen, dass in einer Str¨omungsgeometrie mit einem weitgehend ungest¨orten Partikelverhalten bzw. einer lediglich geringen St¨orung der Partikelbewegung durch Hindernisse eine Rechenzeitersparnis wie bei der einfachen Kanalstr¨omung erzielt werden kann.

7.1.2

Umstr¨ omung eines einseitigen Hindernisses

Bei der hier untersuchten Str¨omungskonﬁguration handelt es sich um die Umstr¨omung eines einseitigen Hindernisses in einem vertikalen Kanal. W¨ahrend die Kanalgeometrie

a/2

Austritt

a

a

L

a

Wg z

y

x

D

D

Abbildung 7.6: Kanalgeometrie mit einem einseitigen Hindernis. bereits im letzten Abschnitt ausf¨ uhrlich beschrieben wurde, sind die Abmessungen des einseitigen Hindernisses, das im Folgenden als Prisma bezeichnet wird, in der Abbildung 7.6 dargestellt. Das Prisma besitzt eine dreieckige Grundﬂ¨ache und ist in einer H¨ohe von z/D = 2 an der Wand des Kanals angebracht. F¨ ur den Parameter a gilt: a/D = 0.25. Die Str¨omungsparameter f¨ ur die Simulation der Gas-Feststoﬀ-Str¨omung bleiben gegen¨ uber denen im Abschnitt 7.1.1 unver¨andert. Die Ergebnisse werden in der x, z-Symmetrieebene dargestellt. Abbildung 7.7 zeigt die Ver¨anderung der Gebietsaufteilung w¨ahrend der Simulation der Prismenumstr¨omung. Zur Beginn der Simulation liegen die stochastischen Zonen vorwiegend in der Wandn¨ahe, was auf die festgelegte Zuordnung der wandn¨achsten Zellen zum stochastischen Bereich zur¨ uckzuf¨ uhren ist, sowie im Nachlaufgebiet des Prismas ¨ vor. Ahnlich wie bei der Zylinderumstr¨omung ist der Volumenanteil der Feststoﬀphase im 88

⇒

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

⇒

⇒

−→ z/D

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

⇒

−→ z/D

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

⇒

−→ z/D

⇒

−→ z/D

7.1 Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

Abbildung 7.7: Ver¨anderung der Gebietsaufteilung w¨ahrend der Simulation der Umstr¨omung eines einseitigen Hindernisses. Nachlaufgebiet des Prismas sehr gering, so dass die Kontinuumsannahme keine G¨ ultigkeit besitzt. Die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums (5.29) und (5.30), insbesondere der Bedingung (5.3), weist diesem Bereich die stochastische Zone zu. Vor dem Hindernis kollidieren die vom Prisma reﬂektierten Partikel mit den Partikeln der Hauptstr¨omung. Die Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten weicht in diesem Bereich sehr stark von der Gleichgewichtsverteilung ab. Durch die Erf¨ ullung der Bedingung (5.25) f¨ uhrt daher die Auswertung des Gebietszerlegungskriteriums vor dem Prisma zur Ausbildung einer stochastischen Zone. Diese w¨achst dann im weiteren Verlauf der Simulation an, bis ein station¨arer Endzustand erreicht ist. Die in der Abbildung 7.7 links oben vereinzelt auftretenden Bereiche mit stochastischer Zone sind, wie bereits fr¨ uher erl¨autert, auf die statistischen Schwan89

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens kungen zu Beginn der Simulation zur¨ uckzuf¨ uhren. Mit zunehmender Gr¨oße der Datenbasis treten diese nicht mehr auf. Abbildung 7.8 stellt den Verlauf der Bewertungsfunktion 3

DEq,p

15

3

2.8 2.6

12

2.6

6

2.2

9

2 1.8

6

1.6 3

1.2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

−→ z/D

9

1.6 1.4

12

2.4

2 1.8

15

2.8

2.4 2.2

DKT GF

1.4

3

1.2 0

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0

Abbildung 7.8: Bewertungsfunktion DEq,p (links) und Gebietsaufteilung (rechts) im station¨aren Endzustand bei der Umstr¨omung eines einseitigen Hindernisses. DEq,p dar, der sich im station¨aren Endzustand aus der Simulation mit dem EinzelpartikelVerfahren ergibt. Man erkennt vor dem Hindernis eine ausgepr¨agte Relaxationszone, die direkt an der Wand beginnt und in einer Kr¨ ummung weit in das Str¨omungsgebiet hinein ragt. Sie markiert den Bereich, in dem Ausgleichsprozesse in der Verteilung der Partikelgeschwindigkeiten stattﬁnden. Ebenfalls in der Abbildung 7.8 dargestellt, ist der Verlauf des KTGF-Deformationsanteils DKT GF , wie er sich im station¨aren Endzustand aus der Simu¨ lation mit dem Einzelpartikel-Verfahren ergibt. Ahnlich wie bei der Zylinderumstr¨omung ist die vom DKT GF ausgewiesene Relaxationszone weniger ausgepr¨agt als es beim DEq,p der Fall ist. Auch in diesem Fall liegen zus¨atzliche Deformationen der Verteilungsfunktion vor, die vom KTGF-Deformationsanteil nicht erfasst werden k¨onnen. Daher ist hier der Einsatz des Zwei-Kontinua-Verfahrens unzul¨assig. Im Bereich der Anstr¨omung des Hindernisses liefert die Auswertung beider Gr¨oßen (DEq,p und DKT GF ) ein ¨ahnliches Ergebnis. In dieser Zone liegt oﬀenbar eine Gleichgewichtsverteilung vor, womit die Anwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens gerechtfertigt wird. Im Nachlaufgebiet des Hindernisses kann f¨ ur den KTGF-Deformationsanteil, ¨ahnlich wie bei der Zylinderumstr¨omung, keine Aussage getroﬀen werden. Die Simulation der Umstr¨omung des einseitigen Hindernisses mit dem gekoppelten Simulationsverfahren f¨ uhrt gegen¨ uber einer Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren und unter Beachtung der in diesem Beispiel gew¨ahlten Str¨omungsparametern der Feststoﬀphase zu einer Rechenzeitersparnis von 52%. 90

7.2 Untersuchung der L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens

7.2

Untersuchung der L¨ osungsqualit¨ at des gekoppelten Simulationsverfahrens

Im Folgenden soll die L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens f¨ ur die Umstr¨omung des zylindrischen und des einseitigen Hindernisses analysiert werden. Hierzu werden die erhaltenen Simulationsergebnisse mit denen aus der Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren verglichen. Die geometrischen Verh¨altnisse sowie die Str¨omungsparameter der Gas- und der Feststoﬀphase entsprechen denen aus dem vorigen Abschnitt. Die Diskussion der Ergebnisse erfolgt anhand der Darstellung verschiedener Str¨omungsgr¨oßen auf der x, z-Symmetrieebene sowie an ausgew¨ahlten z/D-Positionen der Kanalgeometrie.

7.2.1

Zylinderumstr¨ omung

In Abbildung 7.9 sind die Absolutgeschwindigkeiten der Feststoﬀphase im station¨aren Endzustand bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem Einzelpartikel- und dem gekoppelten Simulationsverfahren dargestellt. Um einen quantitativen Vergleich der Ergebnisse zu erm¨oglichen, sind in der Abbildung 7.10 die Verl¨aufe der Absolutgeschwindigkeiten an vier unterschiedlichen z/D-Positionen dargestellt. Dabei geben z/D = 1.5 und Einzelpartikel-Verf.

1.1

3

gekoppeltes Verf.

1.1

2.8

1.04

2.8

1.04

2.6

0.98

2.6

0.98

2.4

0.92

2.4

0.92

2.2

0.86

2.2

0.86

2

0.8

−→ z/D

−→ z/D

3

2

0.8

1.8

0.74

1.8

0.74

1.6

0.68

1.6

0.68

1.4

0.62

1.4

0.62

1.2

0.56

1.2

0.56

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0.5

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0.5

Abbildung 7.9: Absolutgeschwindigkeiten der Partikelphase |up | /Wg bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (rechts). z/D = 1.9 die jeweilige Kanalh¨ohe vor dem Hindernis an, w¨ahrend z/D = 2.2 und z/D = 4 jeweils die Kanalh¨ohe hinter den gew¨ahlten Hindernissen kennzeichnen. Die Str¨omung der Feststoﬀpartikel wird stromauf des Zylinders bei z/D = 1.5 kaum beeinﬂusst. Erst in unmittelbarer N¨ahe des Hindernisses (z/D = 1.9) reduziert sich deren Geschwindigkeit. Die 91

0.92 0.9 0.88 0.86 0.84 0.82 0.8 0.78 0.76 0.74 0

|up | /Wg

|up | /Wg

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

z/D = 1.5

z/D = 1.9

0.95 0.9 0.85 0.8 0.75

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/D = 2.2

0.7 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.8

1

z/D = 4

1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

0.65 0

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

Abbildung 7.10: Absolutgeschwindigkeiten der Partikelphase |up | /Wg in unterschiedlicher Kanalh¨ohe bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem EinzelpartikelVerfahren (◦) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (–). Stokes-Zahl der Partikel liegt in dieser Zone in einem Bereich zwischen 10 und 100. Folglich k¨onnen sie der Bewegung der Gasphase nicht folgen und kollidieren mit dem Hindernis. Die reﬂektierten Partikel f¨ uhren ihrerseits interpartikul¨are Kollisionen mit den Partikeln der Hauptstr¨omung aus, wodurch deren mittlere Absolutgeschwindigkeit vor dem Hindernis reduziert wird. Der Anstieg der Geschwindigkeit der Feststoﬀphase weiter stromabw¨arts des Zylinders, bei z/D = 2.2 und z/D = 4, ist auf die erh¨ohte Gasgeschwindigkeit zur¨ uckzuf¨ uhren, die aus dem Verdr¨angungseﬀekt des Hindernisses resultiert und auf die Partikel u ¨bertragen wird. Im Nachlaufgebiet des Zylinders bildet sich eine Rezirkulationszone aus; die Partikel besitzen hier eine wesentlich reduzierte Geschwindigkeit. Bei z/D = 2.2 betr¨agt diese beispielsweise 0.06. Mit zunehmender Entfernung vom Zylinder nimmt sie allm¨ahlich zu, was auf die weiter unten beschriebene Partikeldispersion zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Der Vergleich der mittleren Partikelgeschwindigkeit aus der Simulation mit dem gekoppelten Simulationsverfahren und dem Ergebnis aus dem Einzelpartikel-Verfahren zeigt ¨ eine sehr gute Ubereinstimmung in den wesentlichen Bereichen der Str¨omungsgeometrie. 92

7.2 Untersuchung der L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens Sowohl die Zone vor dem Zylinder mit den Bereichen der ungest¨orten Partikelbewegung und der reduzierten Partikelgeschwindigkeit unmittelbar vor dem Hindernis als auch die Zone stromabw¨arts des Zylinders mit dem Partikelverhalten im Nachlaufgebiet werden vom gekoppelten Verfahren richtig wiedergegeben. Der Verlauf des Volumenanteils der FestEinzelpartikel-Verf.

1.9

3

gekoppeltes Verf.

1.9

2.8

1.71

2.8

1.71

2.6

1.52

2.6

1.52

2.4

1.33

2.4

1.33

2.2

1.14

2.2

1.14

2

0.95

2

0.95

1.8

0.76

1.8

0.76

1.6

0.57

1.6

0.57

1.4

0.38

1.4

0.38

1.2

0.19

1.2

0.19

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

−→ z/D

−→ z/D

3

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

Abbildung 7.11: Volumenanteil φp · 10−3 der Feststoﬀphase bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (rechts). stoﬀphase auf der x, z-Symmetrieebene und an den unterschiedlichen z/D-Positionen der Kanalgeometrie ist f¨ ur die Zylinderumstr¨omung in der Abbildung 7.11 sowie 7.12 dargestellt. In der vom Zylinder unbeeinﬂußten Zone (z/D = 1.5) erkennt man in einer geringen Entfernung von der Berandung einen Anstieg des Volumenanteils. Der Grund daf¨ ur liegt in der in Kapitel 3 beschriebenen Wirkung der Saﬀman-Kraft. Die Zunahme des Feststoﬀvolumenanteils in diesem Bereich ist jedoch im Falle der Simulation mit dem gekoppelten Verfahren weniger ausgepr¨agt als mit dem Einzelpartikel-Verfahren. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass der Kernbereich der Str¨omung (0.05 < x/D < 0.95) zur deterministischen Zone geh¨ort. Durch die Anwendung des Zwei-Kontinua-Verfahrens ist jedoch eine Ber¨ ucksichtigung der Saﬀman-Kraft nicht m¨oglich. Damit sind die Partikel der Wirkung dieser Querkraft ausschließlich in den stochastischen- und den Randzonen ausgesetzt. Die Schwankungen des Volumenanteils im Kernbereich der Str¨omung, die bei der Simulation mit dem Einzelpartikel-Verfahren auftreten, resultieren aus der geringen Gr¨oße der Datenbasis. Weiter stromabw¨arts erkennt man die Ausbildung von zwei Partikelstr¨ahnen mit einem erh¨ohten Volumenanteil, die vom Zylinder abgel¨ost werden. In der unmittelbaren N¨ahe des Hindernisses (z/D = 1.9) ist der Volumenanteil besonders hoch. Aufgrund der Tr¨agheit der Partikel ereignen sich in diesem Bereich zahlreiche Partikel-ZylinderKollisionen, die ihrerseits zu verst¨arkten interpartikul¨aren Wechselwirkungen f¨ uhren. Die 93

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens z/D = 1.5

11

2 φp · 10−3

φp · 10−4

10.5 10 9.5 9

1.8 1.6 1.4 1.2

8.5 8 0

1 0.2

0.6

0.8

1

0.2

1.4

1.6

1.2

1.4

1 0.8 0.6

0.4

0.6

0.8

1

0.8

1

z/D = 4

1.8

φp · 10−3

φp · 10−3

0.4

0.8 0

z/D = 2.2

1.6

1.2 1 0.8

0.4

0.6

0.2 0 0

z/D = 1.9

2.2

0.4 0.2

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

0.2 0

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

Abbildung 7.12: Volumenanteil der Partikelphase φp in unterschiedlicher Kanalh¨ohe bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (◦) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (-). hieraus resultierende Abnahme der Partikelgeschwindigkeit hat eine Aufkonzentrierung der Partikel in dieser Zone zur Folge. Im Nachlaufgebiet f¨ uhrt die Abschirmung des Zylinders zu einem sehr geringen Volumenanteil der Feststoﬀphase. Da die vom Zylinder abgel¨osten Partikelstr¨ahnen auf die Kanalwand gerichtet sind, nimmt der Eﬀekt der Abschirmung mit gr¨oßer werdender Entfernung vom Hindernis zu, so dass das Nachlaufgebiet breiter wird (z/D = 4). Das aus der Simulation mit dem gekoppelten Verfahren erhaltene Ergebnis f¨ ur den Feststoﬀvolumenanteil stimmt mit dem Ergebnis aus dem Einzelpartikel-Verfahren gut u ¨berein. Beim Verlauf der normierten granularen Temperatur beobachtet man stromauf des Zylinders (z/D = 1.5), im Kernbereich der Str¨omung, die Ausbildung eines Plateaus mit Θ/Wg2 ≈ 1.6 · 10−4 . In der Wandn¨ahe ist ein Anstieg von Θ/Wg2 zu erkennen, was aus den vermehrten Partikel-Wand-Kollisionen resultiert (s. Abbildung 7.14). Die hohe Anzahl an interpartikul¨aren Kollisionen vor dem Zylinder (z/D = 1.9) sowie im Bereich der Abl¨osung der Partikelstr¨ahnen f¨ uhrt zu einer erheblichen Zunahme der Schwankungsgeschwindigkeit 94

7.2 Untersuchung der L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens 3

0.01

gekoppeltes Verf.

0.01

2.8

0.009

2.8

0.009

2.6

0.008

2.6

0.008

2.4

0.007

2.4

0.007

2.2

0.006

2.2

0.006

2

0.005

2

0.005

1.8

0.004

1.8

0.004

1.6

0.003

1.6

0.003

1.4

0.002

1.4

0.002

1.2

0.001

1.2

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0

−→ z/D

−→ z/D

Einzelpartikel-Verf. 3

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0.001 0

Abbildung 7.13: Normierte granulare Temperatur Θ/Wg2 bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (rechts). und damit auch der granularen Temperatur, wie in Abbildung 7.13 und 7.14 dargestellt. Im Nachlaufgebiet des Zylinders sind nur wenige Partikel vorhanden. Deren Bewegungsverhalten unterscheidet sich stark voneinander, woraus der hohe Wert f¨ ur Θ/Wg2 resultiert (z/D = 2.2). Mit zunehmender Entfernung vom Hindernis nimmt das Gesamt-Niveau der granularen Temperatur ab. Bei z/D = 4 weist Θ/Wg2 in einem x/D-Bereich zwischen 0.4 und 0.6 einen Wert von 1.3 · 10−3 auf. Dieser geht bei x/D = 0.2 und x/D = 0.8 auf einen Wert von 0.2 · 10−3 zur¨ uck, um anschließend ein h¨oheres Niveau an der Kanalwand zu erreichen. Der Grund f¨ ur die Abnahme der granularen Temperatur liegt in der Verschiebung der Partikelstr¨ahne in Richtung der Kanalwand. Wie der Abbildung 7.12 bei z/D = 2.2 zu entnehmen ist, wird der maximale Volumenanteil der Partikelphase an der Stelle x/D = 0.1 erreicht. Der Bereich mit einer geringen Schwankungsgeschwindigkeit liegt somit auf der von der Partikelstr¨ahne abgeschirmten Seite. Die Partikelbewegung ist an dieser Stelle weit weniger interpartikul¨aren Wechselwirkungen ausgesetzt, als es auf der, der Hauptstr¨omung zugewandten Seite der Fall ist. Vergleicht man die Ergebnisse f¨ ur den Verlauf der normierten granularen Temperatur wie sie sich aus der Simulation mit dem Einzelpartikel- und dem gekoppelten Berechnungsverfahren ergeben, so stellt man ¨ bei z/D = 1.5 und z/D = 1.9 eine sehr gute Ubereinstimmung fest. Abweichungen im Verlauf der Schwankungsgeschwindigkeit bei z/D = 2.2 und z/D = 4 treten jeweils in deterministischen Zonen des gekoppelten Simulationsverfahrens auf. Die Kontinuumsannahme des Zwei-Kontinua-Verfahrens f¨ uhrt hier zu einem homogenisierenden Eﬀekt bei der Berechnung der granularen Temperatur, was sich in einem ﬂacheren Verlauf von Θ/Wg2 wiederspiegelt. 95

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens z/D = 1.5

4.5

5 Θ/Wg2 · 10−2

Θ/Wg2 · 10−4

4 3.5 3 2.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

3 2

0 0

1

z/D = 2.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.8

1

z/D = 4

1.6 1.4 Θ/Wg2 · 10−3

Θ/Wg2 · 10−2

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

4

1

1.5 0

z/D = 1.9

6

1.2 1 0.8 0.6 0.4

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

0.2 0

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

Abbildung 7.14: Normierte granulare Temperatur Θ/Wg2 in unterschiedlicher Kanalh¨ohe bei der Simulation der Zylinderumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (◦) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (-).

7.2.2

Umstr¨ omung eines einseitigen Hindernisses

Die Umstr¨omung eines einseitigen Hindernisses f¨ uhrt ¨ahnlich wie bei der Zylinderumstr¨omung erst in der unmittelbaren Umgebung des Hindernisses zu einer Abnahme der mittleren Partikelgeschwindigkeit (s. Abbildung 7.15 und 7.16 bei z/D = 0.9). Weiter stromauf bleibt die Str¨omung der Feststoﬀphase vom Hindernis unbeeinﬂusst. Aufgrund des Verdr¨angungseﬀektes der Gasphase erfahren die Partikel stromabw¨arts des Prismas bei z/D = 2.2 eine geringf¨ ugige Beschleunigung. Im Nachlaufgebiet k¨onnen einzelne Partikel durch den Schwerkrafteinﬂuß auf das Prisma fallen, bevor sie wieder in die Hauptstr¨omung eintreten. In der Abbildung 7.16 ist bei z/D = 4 und x/D = 0.9 eine erh¨ohte Absolutgeschwindigkeit der Partikel zu erkennen. Es sind stromabw¨arts gerichtete Partikel, die durch interpartikul¨are Wechselwirkungen in das Nachlaufgebiet eingetreten sind.

96

7.2 Untersuchung der L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens

−→ z/D

3

Einzelpartikel-Verf.

1.1 3

gekoppeltes Verf.

1.1

2.8

1 2.8

1

2.6

0.92.6

0.9

2.4

0.82.4

0.8

2.2

0.72.2

0.7

2

0.6 2

0.6

1.8

0.51.8

0.5

1.6

0.41.6

0.4

1.4

0.31.4

0.3

1.2

0.21.2

0.2

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

z/D = 0.9

0.95

|up | /Wg

z/D = 1.9

1 0.9

0.94

0.8 0.7

0.93

0.6 0.92

0.5 0.4

0.91 0.9 0

0.3 0.2

1.2

0.4 0.6 z/D = 2.2

0.8

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

0.2 0

0.2

0.4 0.6 z/D = 4

0.8

1

1

1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.88 0.86 0.84 0.82 0

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

1 0.8 |up | /Wg

Abbildung 7.15: Absolutgeschwindigkeiten der Partikelphase |up | /Wg bei der Simulation der Prismenumstr¨omung mit dem EinzelpartikelVerfahren (links) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (rechts).

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0

0.2

Abbildung 7.16: Absolutgeschwindigkeiten der Partikelphase |up | /Wg in unterschiedlicher Kanalh¨ohe bei der Simulation der Prismenumstr¨omung mit dem EinzelpartikelVerfahren (◦) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (-). 97

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens

−→ z/D

3

Einzelpartikel-Verf.

2.1 3

gekoppeltes Verf.

2.1

2.8

1.89 2.8

1.89

2.6

1.68 2.6

1.68

2.4

1.47 2.4

1.47

2.2

1.26 2.2

1.26

2

1.052

1.05

1.8

0.84 1.8

0.84

1.6

0.63 1.6

0.63

1.4

0.42 1.4

0.42

1.2

0.21 1.2

0.21

0 0 1 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D −→ x/D z/D = 0.9 1.15 4

1 0.95 0.9

0.2

0.4 0.6 z/D = 2.2

0.8

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

0.5 0

0.2

0.8

1

1

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.4 0.6 z/D = 4

0.2

0.4 0.6 −→ x/D

0.8

1

2 1.5

φp · 10−3

φp · 10−3

2

1

2.5

1 0.5 0 0

3 2.5

1.5

0.85 0.8 0

z/D = 1.9

3.5

1.05

φp · 10−3

φp · 10−3

1.1

Abbildung 7.17: Volumenanteil φp · 10−3 der Feststoﬀphase bei der Simulation der Prismenumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (rechts).

0.2

Abbildung 7.18: Volumenanteil der Feststoﬀphase φp in unterschiedlicher Kanalh¨ohe bei der Simulation der Prismenumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (◦) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (-). 98

7.2 Untersuchung der L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens Die zahlreichen Partikel-Partikel-Kollisionen zwischen den vom Prisma reﬂektierten Partikeln und denen der Hauptstr¨omung f¨ uhren vor dem Hindernis zu einem erheblichen Anstieg des Volumenanteils der Feststoﬀphase (s. Abbildung 7.17 und 7.18 bei z/D = 1.9). Es bildet sich eine Partikelstr¨ahne aus, deren Intensit¨at mit gr¨oßer werdendem Abstand vom Hindernis abnimmt. Der Grund daf¨ ur liegt zum einen in der Wechselwirkung zwischen den sich in der Partikelstr¨ahne beﬁndlichen Partikeln und denen der Hauptstr¨omung, zum anderen in der nat¨ urlichen Dispersion, hervorgerufen durch die Schwankungen der Partikel in der Str¨ahne. Beides f¨ uhrt zu einer Homogenisierung der Volumenanteilverteilung. Die normierte granulare Temperatur Θ, deren Verlauf in der Abbildung 7.19 auf der x, z3

0.03

gekoppeltes Verf.

0.03

2.8

0.027

2.8

0.027

2.6

0.024

2.6

0.024

2.4

0.021

2.4

0.021

2.2

0.018

2.2

0.018

2

0.015

2

0.015

1.8

0.012

1.8

0.012

1.6

0.009

1.6

0.009

1.4

0.006

1.4

0.006

1.2

0.003

1.2

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0

−→ z/D

−→ z/D

Einzelpartikel-Verf. 3

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −→ x/D

0.003 0

Abbildung 7.19: Normierte granulare Temperatur Θ/Wg2 bei der Simulation der Prismenumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (links) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (rechts). Symmetrieebene und in 7.20 an unterschiedlichen z/D-Positionen dargestellt ist, erreicht das Maximum unmittelbar vor dem Hindernis. In diesem Bereich erfahren die Partikel eine Vielzahl von Kollisionen sowohl mit dem Prisma als auch untereinander. Weiter stromabw¨arts nehmen die Schwankungsgeschwindigkeiten der Partikel ab, was auf die homogenisierende Wirkung der Partikeldispersion innerhalb der Str¨ahne zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Vergleicht man nun die Simulationsergebnisse f¨ ur die oben beschriebenen Str¨omungsgr¨oßen der Feststoﬀphase, die mit dem Einzelpartikel- und dem gekoppelten Simulations¨ verfahren erhalten wurden, so zeigt sich eine gute Ubereinstimmung in den wesentlichen Bereichen der Str¨omungsgeometrie, was den Abbildungen 7.15, 7.17 und 7.19 sowie 7.16, 7.18 und 7.20 entnommen werden kann. Die in Abbildung 7.18 bei z/D = 2.2 und z/D = 4 dargestellten geringen Abweichungen in den Verl¨aufen des Volumenanteils der Feststoﬀphase sind, wie bereits bei der Zylinderumstr¨omung erl¨autert, auf die Querkr¨afte (Saﬀmanund Magnus-Kraft) zur¨ uckzuf¨ uhren, die bei der Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren nicht ber¨ ucksichtigt werden. 99

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens z/D = 1.5

3.2

Θ/Wg2 · 10−2

Θ/Wg2 · 10−4

3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 0

0.2

0.6

0.8

1

z/D = 2.2

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

z/D = 1.9

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.8

1

z/D = 4

2.5 Θ/Wg2 · 10−3

Θ/Wg2 · 10−2

0.4

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

2 1.5 1 0.5

0.2

0.6 0.4 −→ x/D

0.8

1

0 0

0.2

0.6 0.4 −→ x/D

Abbildung 7.20: Normierte granulare Temperatur Θ/Wg2 in unterschiedlicher Kanalh¨ohe bei der Simulation der Prismenumstr¨omung mit dem Einzelpartikel-Verfahren (◦) und dem gekoppelten Simulationsverfahren (-).

7.3

Schlussfolgerung

In diesem Kapitel wurde die zeitliche Ver¨anderung der Gebietsaufteilung bei der station¨aren Simulation einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung f¨ ur zwei unterschiedliche Str¨omungskonﬁgurationen diskutiert. Die Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in deterministische-, stochastischeund Randzonen erfolgt dabei unabh¨angig von der L¨osungstrategie des gekoppelten Verfahrens, was anhand eines Vergleichs mit einer Gebietsaufteilung aus dem EinzelpartikelVerfahren best¨atigt werden konnte. Die sich im station¨aren Endzustand der Simulation ergebende Gebietsaufteilung spiegelt den vorliegenden Str¨omungszustand der Feststoﬀphase wieder. Die Notwendigkeit der Zuordnung eines Teilbereichs der Relaxationszone zur stochastischen Zone ergibt sich hierbei aus der unzureichenden Bewertung des Verhaltens der Partikel durch den KTGF-Deformationsanteil. Im Nachlaufgebiet der Hindernisse muss wegen der Verletzung der Kontinuumsannahme auf das stochastische Verfahren zur¨ uckgegriﬀen werden. 100

7.3 Schlussfolgerung Anhand von Simulationen einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung in zwei ausgew¨ahlten Str¨omungskonﬁgurationen wurde die L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens ¨ getestet. Es zeigte sich eine gute Ubereinstimmung zwischen den ermittelten Str¨omungsgr¨oßen des gekoppelten Verfahrens und denen des Einzelpartikel-Verfahrens. F¨ ur die L¨osungsqualit¨at des gekoppelten Simulationsverfahrens in den hier untersuchten Str¨omungsgeometrien bedeutet es, dass die simultane Anwendung des Einzelpartikel- und des ZweiKontinua-Verfahrens keine Einschr¨ankung f¨ ur die Vorhersagef¨ahigkeit darstellt. Somit ist ¨ das in Kapitel 6 vorgestellte Konzept zur Behandlung von Ubergangsbedingungen ein geeigneter Ansatz um den Informationsaustausch an den Zonengrenzen zwischen einer diskreten und einer aggregierten Beschreibungsweise eines Partikelkollektivs zu gew¨ahrleisten.

101

7 Analyse des gekoppelten Simulationsverfahrens

102

8

Zusammenfassung und Ausblick

In der hier vorliegenden Arbeit wurde ein gekoppeltes Verfahren f¨ ur die Simulation von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen entwickelt. Als Basis f¨ ur die Kopplung dienen zwei etablierte Simulationsverfahren. Dies ist zum einen das deterministische Zwei-Kontinua-Verfahren, bei dem sowohl die Gasphase als auch der dispers verteilte Feststoﬀ als koexistierende Kontinua aufgefasst werden. Zum anderen wird das stochastische Einzelpartikel-Verfahren eingesetzt, bei dem die Beschreibung der Bewegung der Feststoﬀteilchen mit Hilfe einer detaillierten Einzelpartikelbetrachtung vorgenommen wird. Die Aufteilung der Str¨omungsgeometrie in stochastische und deterministische Zonen erfolgte unter Verwendung eines Gebietszerlegungskriteriums, das zwei Bedingungen miteinander kombiniert, welche die G¨ ultigkeit des Zwei-Kontinua-Verfahrens pr¨ ufen. Zu diesem Zweck wurde ein funktionaler Zusammenhang entwickelt, der den so genannten KTGFDeformationsanteil beschreibt. Mit dessen Hilfe ist die Beschreibung von Deformationen einer Verteilungsfunktion der Partikelgeschwindigkeiten m¨oglich, die aus den Gradienten der granularen Temperatur und der Partikelgeschwindigkeit resultieren. Bei diesen Deformationen handelt es sich um Abweichungen der Verteilungsfunktion von der Maxwell-Verteilung, die in der Herleitung der beschreibenden Gleichungen f¨ ur das Zwei-Kontinua-Verfahren zugrundegelegt sind. Die Formulierung des KTGF-Deformationsanteils ist so gew¨ahlt, dass ein direkter Vergleich mit einer Bewertungsfunktion DEq,p , die weitergehende Deformationen einer Verteilungsfunktion von der Gleichgewichtsverteilung erfasst, erfolgen kann. Eine weitere Bedingung ist die G¨ ultigkeit der Kontinuumsannahme, die ebenfalls eine notwendige Voraussetzung f¨ ur das Zwei-Kontinua-Verfahren ist. Die logische Verkn¨ upfung beider Bedingungen erm¨oglicht eine Zuordnung eines der beiden numerischen Berechnungsverfahren zu einem bestimmten Bereich der Str¨omungsgeometrie. F¨ ur die Konstruktion des gekoppelten Simulationsverfahrens wurde das entwickelte Kriterium in einen adaptiven Gebietszerlegungsalgorithmus integriert. Ausgehend von der Deﬁnition einer Randzone, welche die stochastische Zone von der deterministischen Zone trennt, kann einer r¨aumlichen Ver¨anderung der Zonen im Verlaufe der Simulation Rechnung getragen werden. Innerhalb des gekoppelten Simulationsverfahrens spielt der Informationsaustausch an der Grenzﬂ¨ache zwischen den beiden numerischen Verfahren eine entscheidende Rolle. Um eine konservative Behandlung der Bilanzgr¨oßen an dieser Grenzﬂ¨ache zu gew¨ahrleisten, ¨ wurden entsprechende Ubergangsbedingungen vorgestellt. Der simultane Einsatz beider Verfahren innerhalb einer Str¨omungskonﬁguration ist nur dann sinnvoll, wenn die Ermittlung der gesuchten Str¨omungsgr¨oßen mit beiden Verfahren vergleichbare Ergebnisse liefert. Diese Forderung konnte durch Modiﬁkationen des Zwei-Kontinua-Verfahrens erf¨ ullt werden. In diesem Zusammenhang wurden Korrekturfunktionen der Widerstandskraft und der Geschwindigkeitskovarianz vorgestellt, die einen erweiterten G¨ ultigkeitsbereich besitzen. F¨ ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem gekoppelten Simulationsverfahren wurde eine Zwei-Schritt-L¨osungstrategie vorgeschlagen. Diese sieht im ersten Schritt eine In103

8 Zusammenfassung und Ausblick itialisierung vor, in der auf eﬃziente Weise eine N¨aherungsl¨osung erzeugt wird. Im Anschluss daran erfolgt eine erste Gebietsaufteilung. Im zweiten Schritt ﬁndet die gekoppelte Berechnung der Feststoﬀphase auf der Basis der adaptiven Gebietszerlegung statt. Durch den Einsatz des gekoppelten Simulationsverfahrens konnte weiterhin die Problematik der Formulierung von Randbedingungen f¨ ur die Berechnung der Feststoﬀphase mit dem Zwei-Kontinua-Verfahren gel¨ost werden. Zu diesem Zweck wird der wandn¨achste Bereich a priori der stochastischen Zone zugeordnet. Dies erm¨oglicht eine erheblich detailliertere physikalische Beschreibung der dort ablaufenden Vorg¨ange. Diese Vorgehensweise kann als ein allgemein g¨ ultiger Ansatz zur Berechnung von Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen verstanden werden, der seine St¨arke insbesondere in komplexen Geometrien zeigt. Das vorgestellte gekoppelte Simulationsverfahren wurde anhand von Simulationen einer Gas-Feststoﬀ-Str¨omung in ausgew¨ahlten Str¨omungskonﬁgurationen getestet. Dabei konn¨ te eine gute Ubereinstimmung zwischen den Ergebnissen des gekoppelten Verfahrens und denen des Einzelpartikel-Verfahrens festgestellt werden. Letzteres wurde als bestm¨ogliche Approximation zu Referenzzwecken herangezogen. Die durchgef¨ uhrten Untersuchungen offenbarten einen weiteren Vorteil des neuen Verfahrens: seine numerische Eﬃzienz. So konnte f¨ ur die hier untersuchten Str¨omungskonﬁgurationen eine signiﬁkante Rechenzeitersparnis realisiert werden. Dabei ist deren Ausmaß stark von den gew¨ahlten Str¨omungsparametern der Feststoﬀphase und der verwendeten Str¨omungskonﬁguration abh¨angig. Die Kopplung des Einzelpartikel- und des Zwei-Kontinua-Verfahrens zu einem adaptiven Simulationsverfahren stellt einen eﬃzienten und physikalisch plausiblen Berechnungsansatz zur Beschreibung granularer Str¨omungen dar. In weiteren Forschungsarbeiten auf diesem Gebiet sollte eine Erweiterung des in dieser Arbeit entwickelten Verfahrens f¨ ur die Simulation von polydispersen Feststoﬀsystemen erfolgen. W¨ahrend die Ber¨ ucksichtigung des polydispersen Charakters der Feststoﬀphase im Rahmen der beiden Einzelverfahren bereits den Stand der Forschung darstellt, erfordert diese Modiﬁkation f¨ ur das gekoppelte Simulationsverfahren eine angepasste Formulierung der ¨ Ubergangsbedingungen. Insbesondere ist in diesem Zusammenhang die konservative Behandlung des Informationstransfers zu beachten. Da es sich bei dem vorgestellten gekoppelten Verfahren um eine Metatechnik handelt, ist es m¨oglich, die eingesetzten Modelle durch weiterentwickelte Modelle zu ersetzen, welche den Einsatz eines erweiterten Anwendungsbereichs von Gas-Feststoﬀ- Str¨omungen erm¨oglichen.

104

Literaturverzeichnis [Bab89]

Babovsky, H., Convergence proof for Nanbu’s Boltzmann simulation scheme, Europ. J. of Mech. B/Fluids 1 (1989), 41–55.

[BFR80] Bardina, J., Ferziger, J. H. und Reynolds, W. C., Improved subgrid models for large eddy simulation, AIAA-Paper 80 (1980), 1357. [BGM98] Brucato, A., Grisaﬁ, F. und Montante, G., Particle drag coeﬃcients in turbulent ﬂuids, Chemical Engineering Science 53 (1998), Nr. 18, 3295–3314. [Bird76]

Bird, G. A., Molecular Gas Dynamics, Clarendon, Oxford, 1976.

[Boe96]

Boemer, A., Euler/Euler-Simulation der Fluiddynamik blasenbildender Wirbelschichten, Dissertation, RWTH Aachen, 1996.

[CC70]

Chapman, S. und Cowling, T. G., The mathematical theory of non-uniform gases, Cambridge University Press, Cambridge, 1970.

[CP95]

Chen, X. Q. und Pereira, J. C. F., Eulerian-Eulerian predictions of dilute turbulent gas-particle ﬂows, Gas Particle Flows (ASME-FED) 228 (1995), 265–272.

[Cro82]

Crowe, C. T., REVIEW – Numerical models for dilute gas-particle ﬂows, J. Fluids Eng. 104 (1982), 297–303.

[CSL86]

Chung, M. K., Sung, H. J. und Lee, K. B., Computational study of turbulent gas-particle ﬂow in a venturi, J. Fluids Engr. 108 (1986), 248.

[CSS77]

Crowe, C. T., Sharma, M. P. und Stock, D. E., The Particle-Source-In-Cell method for gas-droplet ﬂow, J. Fluid Engr. 99 (1977), 325–332.

[CST98]

Crowe, C. T., Sommerfeld, M. und Tsuji, Y., Multiphase ﬂows with droplets and particles, CRC Press, Boca Raton, Boston, New York, washington, London, 1998.

[CW86]

Chen, C. P. und Wood, P. E., Turbulence closure modeling of the dilute gasparticle axissymmetric jet, AIChE Journal 32 (1986), Nr. 1, 163–166.

[DLS93]

Ding, J., Lyczkowski, R. W. und Sha, W. T., Numerical analysis of liquidsolids suspension velocities and concentration obtained by NMR imaging, Powder Technology 77 (1993), 301–312.

[DS97]

Domaradzki, J. A. und Saiki, E. M., A subgrid-scale model based on the estimation of unresolved scales of turbulence, Phys. Fluids 9 (1997), 2148–2164.

105

LITERATURVERZEICHNIS [DSI80]

Dennis, S. C. R., Singh, S. N. und Ingham, D. B., The steady ﬂow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers, Journal of Fluid Mechanics 101 (1980), 257–279.

[Elg94]

Elgobashi, S. E., On predicting particle-laden turbulent ﬂows, Applied Scientiﬁc Research 52 (1994), 309–329.

[EPA99]

Enwald, H., Peirano, E. und Almstedt, A. E., Simulation of the ﬂuid dynamics of a bubbling ﬂuidized bed, Chemical Engineering Science 54 (1999), 311–328.

[Fer96]

Ferziger, J. H., Large eddy simulation; in Gatski, T. B. and Hussaini, M. Y. and Lumley, J. L. Simulation and Modeling of Turbulent Flows, Oxford University Press, Oxford, 1996.

[Fle88]

Fletcher, C. A. J., Computational Techniques for Fluid Dynamics, vol. 1-2, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1988.

[FP96]

Ferziger, J. H. und Peric, M., Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996.

[Fr¨o00]

Fr¨ohlich, J., Numerische Berechnung turbulenter Str¨omungen in Forschung und Praxis; Large-Eddy-Simulation, Institut f¨ ur Hydromechanik, Karlsruhe, 2000.

[Fra02]

Frank, T., Parallele Algorithmen f¨ ur die numerische Simulation dreidimensionaler, disperser Mehrphasenstr¨omungen und deren Anwendung in der Verfahrenstechnik, Habilitationsschrift, Universit¨at Chemnitz, 2002.

[Gid94]

Gidaspow, D., Multiphase Flow and Fluidization, Academic Press, Boston, San Diego, New York, 1994.

[GNN83] Gavin, L. B., Naumov, V. A. und Nikulin, N. M., Use of an equation describing the transport pulsations to calculate two-phase jets, Fluid Dynamics 18 (1983), 34–39. [Goe92]

Goedicke, F., Str¨omungsmechanik und W¨arme¨ ubergang in zirkulierenden Wirbelschichten, Dissertation, ETH Z¨ urich, 1992.

[Grad49] Grad, H., On the kinetic theory of rariﬁed gases, Comm. Pure Appl. Math. 2 (1949), 331. [Hin75]

Hinze, J. O., Turbulenz, McGraw Hill, New York, 1975.

[HS97]

Hrenya, C. M. und Sinclair, J. L., Eﬀects of particle-phase turbulence in gas-solid ﬂows, AIChE Journal 43 (1997), Nr. 4, 853–869.

[IN87]

Illner, R. und Neunzert, H., On simulation methods for the Boltzmann equation, Trans. Theory and Stat. Phys. 16 (1987), 141.

106

LITERATURVERZEICHNIS [Ind01]

Indenbirken, M., Beitrag zur Modellierung berandeter Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen mit dem Euler/Euler-Verfahren, Dissertation, Universit¨at Dortmund, Shaker Verlag, Aachen, 2001.

[Kan03]

Kanther, W., Gas-Feststoﬀ-Str¨omungen in komplexen Geometrien, Dissertation, Universit¨at Dortmund, Shaker Verlag, Aachen, 2003.

[KES98]

Kim, I., Elghobashi, S. E. und Sirignano, W. A., On the equation for sphericalparticle motion: eﬀect of Reynolds and accelaration numbers, Journal of Fluid Mechanics 367 (1998), 221–253.

[Kol42]

Kolmogorov, A. N., Equations of turbulent motion in an incompressible ﬂuid, Izv. Akad. Nauk., SSSR, Seria ﬁzicheska Vi, (English translation: Imperial College, Mech. Eng. Rept. ON 1968) (1942), Nr. 1-2, 56–58.

[Leo74]

Leonard, A., Energy cascade in large eddy simulations in turbulent ﬂuid ﬂows, Adv. Geophys. 18A (1974), 237.

[LRR75] Launder, B. E., Reece, G. J. und Rodi, W., Progress in the development of a Reynoldsstress turbulence closure, J. Fluid. Mech 68 (1975), 537–566. [LS72]

Launder, B. E. und Spalding, D. B., Lectures in Mathematical Models of Turbulence, Academic Press, London, 1972.

[LS74]

Launder, B. E. und Spalding, D. B., The numerical computation of turbulent ﬂows, Comp. Meth. in Appl. Mechanics and Eng. 3 (1974), 269–289.

[LSJ84]

Lun, C. K. K., Savage, F. B. und Jeﬀrey, D. J., Kinetic theories for granular ﬂow: inelastic particles in couette ﬂow and slightly inelastic particles in a general ﬂowﬁeld, J. Fluid. Mech. 140 (1984), 223–256.

[MA90]

Ma, D. und Ahmadi, G., A thermodynamical formulation for dispersed multiphase turbulent ﬂows -II, Int. J. Multiphase Flow 16 (1990), Nr. 2, 341–351.

[Mei92]

Mei, R., An approximate expression for the shear lift force on a spherical particle at ﬁnite Reynolds number, Int. J. Multiphase Flow 18 (1992), 145–147.

[Mil90]

Milojevic, D., Lagrangian stochastic-deterministic (LSD) prediction of particle dispersion in turbulence, Particle and Particle Systems Characterization 7 (1990), 181–190.

[Nan80]

Nanbu, K., Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. I. Monocomponent gases, J. Phys. Soc. Japan 49 (1980), Nr. 5, 2042–2049.

[OP93]

Oesterle, B. und Petitjean, A., Simulation of particle-to-particle interactions in gas-solid ﬂows, Int. J. Multiphase Flow 19 (1993), Nr. 1, 199–211. 107

LITERATURVERZEICHNIS [Pra45]

¨ Prandtl, L., Uber ein neues Formelsystem f¨ ur die ausgebildete Turbulenz, Nachr. Adad. Wiss. G¨ottingen, Math.-Phys. Klasse (1945), 6.

[Que99]

Quell, P., Stabilit¨atsuntersuchungen bei der numerischen Kopplung von Boltzmanngleichung und Eulergleichungen, Dissertation, Universit¨at des Saarlandes, 1999.

[RE89]

Rizk, M. A. und Elghobashi, S. E., A two-equation turbulence model for disperse, dilute, conﬁned two-phase ﬂows, Int. J. Multiphase Flows 15 (1989), 119.

[Reif65]

Reif, Fundamentals of Statistics and Thermal Physics, McGraw-Hill, 1965.

[Rodi87] Rodi, W., The state of the art in turbulence modelling, Frontiers of Fluid Mechanics, Proc. of the Beijing International Conference on Fluid Mechanics, Beijing, PRC (1987), 33–43. [RW01]

Rjasanow, S. und Wagner, W., Simulation of Rare Events by the Stochastic Weighted Particle Method for the Boltzmann Equation, Math. Comput. Modelling 33 (2001), Nr. 8-9, 907–926.

[SC61]

Schaaf, S. A. und Chambr`e, P. L., Flow in rareﬁed gases, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1961.

[Sch00]

Schroth, G., Euler-Lagrange-Verfahren zur numerischen Simulation von Kohlestaubﬂammen, Dissertation, Universit¨at Darmstadt, 2000.

[SM98]

Sinclair, J. L. und Mallo, T., Describing particle-turbulence interaction in a twoﬂuid modeling framework, Proceedings of FEDSM 98, ASME Fluids Engineering Division (1998).

[Sma63]

Smagorinsky, J., General circulation experiments with the primitive equations, part I: the basic experiment, Monthly Weather Rev. 91 (1963), 99–164.

[Som96]

Sommerfeld, M., Modellierung und numerische Berechnung von partikelbeladenen turbulenten Str¨omungen mit Hilfe des Euler/Lagrange-Verfahrens, Habilitationsschrift, Universit¨at Erlangen-N¨ urnberg, 1996.

[Soo67]

Soo, S. L., Fluid Dynamics of Multiphase Systems, Blaisdell, Waltham, MA, 1967.

[ST84]

St¨ uben, K. und Trottenberg, U., Multigrid Methods: Fundamental Algorithms, Model Problem Analysis and Applications, GMD-Studien Nr. 96, Bonn, 1984.

[St¨o03]

St¨olting, E., Euler/Lagrange Modellierung reagierender Mehrphasenstr¨omungen, Dissertation, Ruhr-Universit¨at Bochum, Shaker Verlag, Aachen, 2003.

[Str91]

uhrung f¨ Strauß, K., Str¨omungsmechanik: Eine Einf¨ ur Verfahrensingenieure, VCH-Verlag, Weinheim, 1991.

108

LITERATURVERZEICHNIS [Sya87]

Syamlal, M., The particle-particle drag term in a multiparticle model of ﬂuidization, Technical Report DOE/MC/21353-2373, DE87 006500, Morgantown Energy Technology Center, Morgantown, 1987.

[TF94]

Tu, J. Y. und Fletcher, C. A. J., An improved model for particulate turbulence modulation in conﬁned two-phase ﬂows, International Communications in Heat and Mass Transfer 21 (1994), Nr. 6, 775–783.

[Tiw98a] Tiwari, S., Coupling of the Boltzmann and Euler Equations with Automatic Domain Decomposition, J. Comput. Phys. 144 (1998), 710–726. [Tiw98b] Tiwari, S., Domain Decomposition in the Particle Methods for the Boltzmann and Euler Equations, Ph. d. thesis, University of Kaiserslautern, Shaker Verlag, 1998. [TL86]

Turton, R. und Levenspiel, O., A short note on the drag coeﬃcients for spheres, Powder Technology 47 (1986), 83–86.

[TMM85] Tsuji, Y., Morikawa, Y. und Mizuno, O., Experimental measurement of the Magnus-force on a rotating sphere at low Reynolds numbers, Transactions of ASME, J. Fluids Eng. 107 (1985), 484–488. [TR97]

Tiwari, S. und Rjasanow, S., Sobolev norm as a criterion of local thermal equilibrium, European J. Mech. B Fluids 16 (1997), Nr. 6, 863–876.

[TT91]

Tanaka, T. und Tsuji, Y., Numerical simulation of gas-solid two-phase ﬂow in a vertical pipe: on the eﬀect of interparticle collision, ASME FED 121 (1991), 123–128.

[TTT89] Tanaka, T., Takagi, Y. und Tsuji, Y., Measurement of gas-solid two-phase ﬂow in a vertical pipe, Transaction of JSME 55 (1989), Nr. 516B, 2302–2309. [TWY92] Tang, L., Wen, F. und Yang, Y., Self-organizing particle dispersion mechanism in free shear ﬂows, Phys. Fluids A 4 (1992), 2244. [VR84]

Vandoormaal, J. P. und Raithby, G. D., Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows, Numer. Heat Transfer 7 (1984), 147– 163.

[Was98]

Wassen, E., Entwicklung paralleler Algorithmen zur numerischen Simulation von Gas-Partikel-Str¨omungen unter Ber¨ ucksichtigung von Partikel-PartikelKollisionen, Dissertation, Universit¨at Chemnitz, 1998.

[Wen96]

Wendt, J. F., Computational ﬂuid dynamics: an introduction, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996.

[YCC95] Yang, Y., Crowe, C. und Chung, J., Experiments on particle dispersion in a plane wake, WSU MMO Rep. 95-7 (1995). 109

Lebenslauf Pers¨ onliche Daten Name:

Christof Gr¨ uner

Anschrift:

Kleyer Feld 2 44149 Dortmund

Geburtsdatum:

14. August 1973

Geburtsort:

Tarnowskie G´ory (Polen)

Staatsangeh¨origkeit:

deutsch

Familienstand:

verheiratet, Silvia Gr¨ uner

Schulausbildung 1980 – 1988

Volksschule, Tarnowskie G´ory

1988 – 1994

Heinrich von Kleist Gymnasium, Bochum

06 / 1994

Allgemeine Hochschulreife

Studium 10 / 1995 – 01 / 2001

Studium der Chemietechnik an der Universit¨at Dortmund

01 / 2001

Abschluß des Studiums als Diplom-Ingenieur

seit 04 / 2001

Aufbaustudium zum Wirtschaftsingenieur an der Fern-Universit¨at Hagen

Beruf liche T¨ atigkeit seit 03 / 2001

Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl Energieprozeßtechnik & Str¨omungsmechanik der Universit¨at Dortmund

seit 08 / 2004

Anstellung bei der Degussa AG, Fluidverfahrenstechnik, Hanau

Dortmund 2004