Inventiones Mathematicae Volume 2, 1966

Inventiones math. 2, 1-14 (1966)

Beispiele znr Differentialtopologie von Singularitaten EGBERT BRIESKORN

(Cambridge, Mass.)*

Einleitung Nach einem bekannten Satz von MUMFORD [8] kann eiD 2-dimensionaler normaler komplexer Raum mit Singularitaten keine topologische 1 Mannigfaltigkeit sein . Für hohere Dimensionen gîlt keine derartige Aussage. Ein erstes Beispiel wurde in [2] angegeben. Die singulâre n HyperfHiche X im c mit der Gleichung

zî+···+Z;-1 +z;=O ist für gerades n eine topologische Mannigfaltigkeit. Âquivalent dazu ist die Feststellung, daB der Durchschnitt l von X mit der Sphare

s

2

n- 1=

{Z E C

n

1Z .1

2

+ ·.. + 1Zn 1

2

= 1}

homoomorph zur (2n- 3)-dimensionalen Sphare ist. Die Mannigfaltigkeit l hat in natürlicher Weise auch eine differenzierbare Struktur. HIRZEBRUCH [3] hat aIs erster bemerkt, daB für n::2(4) diese differenzierbare Struktur nicht die Standardstruktur von s2n-3 ist. Er hat gleichzeitig Beziehungen zur Theorie der Transformationsgruppen auf Spharen hergestellt, insbesondere zu [1,4,5]2, und hat in diesem Zusammenhang weitere Beispiele für topologisch triviale Sîngularitaten von HyperfHichen konstruiert. MILNOR hat dann ais Beispiele die folgenden Hyperflachen X a betrachtet: Es sei a=(a 1 , ••• , an) ein beliebiges n-tupel von ganzen n Zahlen ai> 1. Dann ist X a =X(al' ... , an) die Hyperflâche in c mit der Gleichung

Ferner wird eine (2n-3)-dimensionale kompakte differenzierbare orientierbare Mannigfaltigkeit ra =E(a 1 , ••• , an) definiert durch l ( al' ... , an) = X (a l'

* This

.•• ,

an) n S

2

n- 1•

Research was supported by Air Force Office of Scientific Research gran A-AFOSR 335-63. 1 Für hoher-dimensionale Singularitaten wurde z.B. von D. PRILL in [11] bewiesen, daB eiD singularer Kegel über einer projektiv algebraischen Mannigfaltigkeit keine topologische Mannigfaltigkeit sein kann. 2 Beispielsweise îst die weiter unten definierte (2n- 3)-dimensionale Mannigfaltigkeit I(2, ... , 2, 2k+ 1) diffeomorph zu BREDONS Mannigfaltigkeit Mi R - 3 • 1 Inventiones math., Vol. 2

Inventiones math. 2,15-58 (1966)

The Multiplicity of a Holomorphie Map WILHELM STOLL

* (Notre Dame, Indiana)

Dedicated to

MARILYN STOLL 1

Let M and N be pure dimensional complex spaces with dim M =m and dim N=n. Letf: M ~Nbe a holomorphie map whose fibersf-1(y) are pure dimensional and ail have the same dimension q. For every point aeM, a certain positive integer v/Ca) is introduced as the multiplicity of fat a. If bEN, the b-multiplicity of fat ais defined by vf(a; b)=O if f(a)=t:-b and v,(a; b) =v/(a) if 1(a) =b. At first, the case q =0 is studied. Here, the fibers consist of isolated points. If G is an open, relative compact subset of M, the sum nf(G; b)=

L vf(x; b) xeG

is defined. A main result is the generalization of the well-known Theorem of ROUCHÉ (Theorem 2.7). It asserts, that nf(G; b) is constant if f and b depend continuously on a parameter provided sorne reasonable assumptions are satisfied. As a further generalization, the co nti nuity of the fiber sum L vf(z; b) g(z) zeG

and the fiber product

Il g(z)v/(Z;

h)

reG

is shown if g is continuous on M. Then, the case q>O is studied. Here, more interesting results are only obtained if M is a complex manifold, if f is open and if q=m-n. Theorem 5.5 asserts: If a is a simple point of thefiber Fb=f-l(b) and if the pure n-dimensional, smooth, complex submanifold S of M intersects Fh at a simply, then VI (a) =Vj 1s(a). The map 1 S bas pure fiber dimension o in a neighborh~od of a on S. Theorem 5.6 shows that vI is locally constant on the set F b of simple points of Fb. If {Fb (À)} ).eA is the family of • branches of Fb' then vI is constant on each FbflFh(À); hence vI is almost everywhere constant on Fb(À) for each ÀEA. Therefore, vI shows the same behavior as the divisor of a holomorphie function. * This research was partially supported by the National Science Foundation under grant NSF OP-3988. 1

Ail complexes spaces are reduced. They are complex spaces in the sense of SERRE.

Inventiones math. 2, 59-78 (1966)

Un Theoreme sur les Homomorphismes de Schemas Abeliens A. GROTHENDIECK (Bures-sur-Yvettes) À

ANDRÉ WEIL,

pour son anniversaire

Introduction Soit S un préschéma, et A un préschéma abélien sur S, i. e. un S-préschéma en groupes propre et lisse sur S, à fibres connexes [10, Ch. 6]. Pour tout entier n>O, il est bien connu (et dû à WEIL) que l'endomorphisme n idA de multiplication par n est une isogénie fibre par fibre, donc [3, VI B , 2.2(i)] est plat fibre à fibre, ce qui implique [EGA VI 11.3.10] que n idA est un morphisme plat, donc que son noyau nA est plat sur S; comme il est de plus propre et de présentation finie sur S, et à fibres finies, il s'ensuit [EGA IV 8.11.1] que c'est un schéma en groupes sur S qui, comme S-préschéma, est «fini localement libre» i. e. défini par une Al .. gèbre sur (gs qui est localement libre de type fini comme ms-Module. 2g Si A est de dimension relative g sur S, alors le rang de nA sur S est n , comme il est bien connu [8, p.109]. Lorsque n croît multiplicativement, les nA forment un système inductif de schémas en groupes sur S. Il est parfois plus commode, avec WEIL et TATE, de considérer les nA comme les termes d'un système projectif, en convenant pour ni n' d'envoyer n~A dans nA par la multiplication par m=ni/n, qui est un morphisme fidèlement plat de noyau mA. Le système projectif obtenu ainsi, lorsqu'on fait parcourir à n les puissances d'un nombre premier fixé /, se dénote souvent par Tl(A). Il dépend fonctoriellement de A et sa formation est compatible avec tout changement de base. Lorsque 1 est distinct des caractéristiques résiduelles de S, les nA envisagés, n = IV, sont des groupes étales finis sur S, et il est licite de les regarder comme des faisceaux étales [1, VII] localement constants sur S, qui ont d'ailleurs l'interprétation cohomologique qu'on devine. Si alors S est connexe et muni d'un point géométrique ç, alors par la théorie de Galois [SGA V] la connaissance de Tz(A) équivaut à celle du groupe 1l(A(~)) = lim ,vA(ç) 0(

•

li

associé au groupe des points de A à valeurs dans ç, (groupe qui est un module libre de rang 2g sur l'anneau 'Il, des entiers l-adiques), muni des opérations naturelles de ni(S, ç) sur ce module, définissant un homomorphisme continu ni(S, ç) ~ GI(lI(A(ç)))= GI(M) ,

Inventiones math. 2, 79 - 80 (1966)

Aigebraic Group Schemes in Characteristic Zero are Reduced F.

OORT

(Amsterdam)

Theorem. Let K be a field of characteristic zero, S = Spec(K), and let G be an algebraic group scheme over S. Then G=Gred •

This theorem Îs due to CARTIER (cf. [1], footnote on p. 109). The proof suggested by CARTIER is to be found in lecture notes of MUMFORD (cf. [3], lecture 25). Also compare [2], exp. VI B , Corollary 1.6.1. In this note we present another proof of this fact, based on an elementary calculation concerning bialgebras. Pro of. We write e: S ~ G for the identity section of G, A for the local ring of e, 1 for the maximal ideal of A, and N for the ideal of nilpotent elements of A. We have to show N =0. 2 Suppose we can show N c 1 • Then we are done: as A is a noetherian 2 local ring such that Ared is regular, N cI implies N =0 (the arguments of [5], p. 13, Lemma 6 are: Ared is regular implies

and hence dim A = dim Ared = dimK(Ired / 1:ed) = dimK(111

2

);

thus A is a regular local ring, which implies that A has no zero-divisors). 2 Choose xeN; we are going to show that XE/ • Suppose x::f::O. n 1 Choose the integer n > 1 such that xn =0, and x - 9= O. As A is a noetherian local ring Ii = 0 (cf. [4], p. 50, Theorem 3), hence we can find an integer q n 1 q such that x - rt/ . We write A/lq =B, I/Iq =J, and p: A ~ A/lq =B for the canonical map. The group structure on G yields a ringhomomorphism

n

s:A--+B&;B A

1\

1\

1\

(tensor product taken over K) (we could also consider A ) A ® A, etc.). As e: S --+ G is a left- and right-identity for s, we easily deduce sx=px(8)1+1(8)px+y,

yEJ®J.

Thus O=s(xn)=(s x)n=(p x ® 1 + 1 cg) p x+ y)n.

Direct verification shows:

n (px)n-l®px e[(px)n-l.J®B+B<8>J2]cB®B. 1

Inventiones math. 2, 81- 86 (1966)

Indicatrices de croissance des fonctions entières de N-variables ANDRÉ MARTINEAU

(Montpellier, France)

Je me propose dans cet article de caractériser les régularisées semicontinues supérieurement des fonctions entières d'ordre fini. L'outil essentiel est un théorème d'extension pour les fonctions d'ordre fini définies sur un sous-espace linéaire d'un espace vectoriel complexe de dimension finie. Monsieur KISELMAN [3] m'a communiqué le manuscrit d'un article où il démontre mon théorème dans le cas du type exponentiel. Sa méthode consiste à remarquer que le domaine naturel de convergence de l'intégrale de Laplace projective que j'ai introduite en [6] est un ouvert d'holomorphie d'un espace projectif. Elle est distincte du procédé que je vais employer. Mon résultat a été présenté au séminaire d'analyse de Monsieur LELONG.

Une fonction holomorphe f définie sur 0 si on a une maj oration : N

N

(1)

log f(z)I~B+A·lzlk

Iz1

où

2

=

L Zje Z

j .

j=l

On introduit alors la fonction définie par: (2)

k

Âf(Z) = lim r- • log z-+ + 00

If(r· z) 1

et sa régularisée semi-continue supérieurement, c'est à dire la plus petite majorante semi-continue supérieurement de Âf' que nous noterons AI et désignerons par indicatrice de croissance régularisée de fe Il résulte de théorèmes prouvés par LELONG [4] et aussi des méthodes de [5], enfin de l'article de KISELMAN [3], que AI est une fonction plurisousharmonique (j'admets - 00). En outre, elle est clairement positivement homogène d'ordre k. On a le Théorème 1. Les indicatrices de croissance régularisées des fonctions entières d'ordre fini k, k>O, sont exactement les fonctions pluri-sousharmoniques positivement homogènes d'ordre k. N

Si qJ est une fonction définie sur
Inventiones math. 2, 87 - 133 (1966)

Über die Methode der diskret bewerteten Ringe in der nicbt-archilnedischen Analysis HANS GRAUERT

und REINHOLD REMMERT (Gottingen)*

Die nicht-archimedische Analysis ist in jüngster Zeit in mehreren Arbeiten systematisch behandelt worden [3, 5, 6, 9, 10]. Dabei war es hin und wieder notwendig, die Untersuchungen auf den FaU eines diskret bewerteten Grundkorpers zu beschranken, da die naheliegenden Iterationsverfahren für beliebig bewertete Grundkorper nicht ohne weiteres konvergieren. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daB man bei solchen Iterationsverfahren den Grundkorper durch einen Unterring ersetzen kann, dessen Wertehalbgruppe diskret ist. Die Konvergenz bereitet dann keine Schwierigkeiten mehr. lm § 1 werden verallgemeinerte Bewertungsringe, kurz B- Ringe genannt, eingeführt. Besonders wichtig sind die quasi-noetherschen B-Ringe, ihre Wertehalbgruppen sind diskret. Ist {av}, 1 av 1 ~ l, eine Nullfolge, so ist der kleinste {av} umfassende B-Ring quasi-noethersch. Da die Koeffizientenfolgen der Potenzreihen von affinoiden Funktionen Nullfolgen sind, darf man praktisch stets annehmen, daB die Potenzreihen über einem B- Ring definiert sind. Die §§ 2, 3 und 4 bringen Anwendungen. Wir bezeichnen mit T n die n-dimensionale Banachalgebra der strikt konvergenten Potenzreihen über einem vollstândig nicht-archimedisch nicht trivial bewerteten Koro per k und setzen: Tn:={feTn: Ifl ~I}. Es wird gezeigt(Satz2.2),daB o 0 0 für jedes Tn-Ideal a das T,,-ldeal an Tn endlich erzeugbar im Ring T,. ist. Wir bezeichnen weiter mit A: = Tnla eine reduzierte Restklasseno algebra von Tn nach einem Ideal und mit A den Unterring der potenzbeschriinkten Elemente (ist X der zu a gehorende affinoide Unterraum o des n-dimensionalen Einheitspolyzylinders, so besteht A gerade aus denjenigen affinoiden Funktionen f auf X, für welche gilt: If(x) ~ 1 für aIle XE X). Unter der Voraussetzung, daB der Grundkorper k algebraisch o 0 abgeschlossen ist, zeigen wir im § 4, daB A ein endlicher Tn-Modul ist. Einschrânkungslos gilt dieser Satz nicht, wie wir am Beispiel einer nulldimensionalen Algebra A zeigen. Dadurch wird eine Frage von TATE ([10], p. 16) beantwortet.

* Die Arbeit entstand zum Teil im Herbst 1965

wâhrend eines Studienaufenthaltes der Autoren an der University of Notre Dame, Indiana. Beide Autoren wurden unterstützt durch ein NSF-grant GP-3988. 7 Inventiones math., Vol. 2

Inventiones math. 2, 134-144 (1966)

Endomorphisms of Abelian Varieties over Finite Fields JOHN TATE

(Cambridge, USA)

§ 1. The Main Theorem Almost aIl of the general facts about abelian varieties which we use without comment or refer to as "weIl known" are due to WEIL, and the references for them are [12] and [3]. Let k be a field, kits algebraic closure, and A an abelian variety defined over k, of dimension g. For each integer m~ 1, let Am denote the group of elements aEA(k) such that ma =0. Let 1 be a prime number different from the characteristic of k, and let T,(A) den ote the projective limit of the groups AIn with respect to the maps A,n+ 1 --+ Ain which are induced by multiplication by l. It is weIl known that T1(A) is a free module of rank 2g over the ring Z, of /-adic integers. The group G=Gal(kjk) operates on Tr(A). Let A' and A" be abelian varieties defined over k. The group Homk(A', Ali) of homomorphisms of A' into Ali defined over k is Z-free, and the canonical map (1)

Zz ® Homk(A', Ali) ) Hom G (1l(A'), Tl (Ali) )

is injective. The aim of this paper is ta prove the following result and give sorne applications of it.

Main Theorem.lf k isfinite, the map (1) is bijective. In case A' and A" are elliptic curves this theorem is an easy consequence of results of DEURING [2], as Mumford pointed out to me four years aga. The proof in the general case uses methods similar to those of DEURING, except that one must keep track of polarizations. l heartily thank S. LICHTENBAUM for having suggested to me that a proof might be based on the fact that a hypothesis like the one labelled Hyp(k,A,d,l) in § 2 below holds when k is finite. One can hope [10] that the map (1) is bijective for fields k which are finitely generated over the prime field. SERRE [7] and [8] has proved this for el1iptic curves over number fields in case either A' =A", or the modular invariant of one of the curves is not an algebraic integer. Since the methods of this paper May possibly be of use over non-finite fields 1 have axiomatised them to sorne extent, postponing the assumption that k is finite until the end of the proof in § 2.

Inventiones math. 2, 145 -170 (1966)

Analytische Modulgarben und EndromisbÜOdel OTTO FORSTER

und KARL JOSEF RAMSPOTT (München) Einleitung

Eine d-dimensionale analytische Teilmenge Y eiDer n-dimensionalen Steinschen Mannigfaltigkeit X heiBt ein vollstandiger Durchschnitt, wenn das Ideal 1(Y) aller auf Y verschwindenden holomorphen Funktionen auf X durch n-d Elemente erzeugt werden kann. Die Frage, ob Y eiD vollstandiger Durchschnitt ist, ist ein verallgemeinertes Cousin-IIProblem. Denn für d=n-l ist Y genau dann eiD vollstandiger Durchschnitt, wenn der durch Y mit der Vielfachheit eins bestimmte Divisor lôsbar ist. Es liegt nahe zu vermuten, daB sich für das verallgemeinerte CousinProblem die topologische Theorie der Faserbündel nutzbar mach en liiBt, wie das beim gewohnlichen Cousin-Problem der FaU ist. Zu zeigen, daB dies in der Tat zutrifft, ist das Ziel der vorliegenden Arbeit. Wir gehen von folgender Situation aus. Sei (X, iD) ein holomorphvollstandiger komplexer Raum und !F eine koharente analytische Garbe über X. Der Modul HO (X, ff) besitze über dem Ring HO (X, m) ein endIiches Erzeugendensystem /, und s sei eine natÜIliche Zahl. Wir konstruieren zu diesen Daten einen Faserraum E=E(~,f, s) über X mit folgender Eigenschaft: E ) X la8t geoau dann einen stetigen Schnitt zu, wenn HO (X, !F) durch s Elemente erzeugt werden kaon (Satz 6). Zum Beweis benutzen wir die in [7] entwickelte Theorie der Okaschen Paare. Der Faserraum E, den wir ais Endromisbündel bezeichnen, ist im allgemeioen nicht lokal-trivial. Es gibt aber eine aufsteigende Folge 0=XO cX1 c: ... cXm=X von analytischeD Teilmengen von X, so daB E über X k + l "'-Xk eiD lokal-triviales Faserbündel ist, dessen Faser bis auf einen Faktor der Form RN eine komplexe Stiefel-Mannigfaltigkeit ist. Die allgemeine Theorie der Endromisbündel nimmt die Paragraphen 1 bis 3 eio. In § 4 beweisen wir u. a. eio Okasches Prinzip für niederdimensionale Cousin-Probleme, welche etwas allgemeiner sind, aIs die eingangs genannten (Satz 7). In den letzten beiden Paragraphen 5 und 6 zeigen wir, daB man mit Hilfe der Endromisbündel auch konkrete Resultate über vollstandige Durchschnitte herleiten kann. Zurn Beispiel gilt: Jede singularitatenfreie analytische Kurve in einer mindestens dreidimensionalen Steinschen Mannigfa/tigkeit ist ein vollstiindiger Durchschnitt (Coro/lar 2 zu Satz 9).