Iniţiere în teoria operatorilor liniari

FLORIAN-HORIA VASILESCU INIŢIERE ÎN TEORIA OPERATORILOR LINIARI EDITURA TEHNICĂ BUCUREŞTI —1987 Lucrarea de faţă cu...

Author: Florian-Horia Vasilescu

181 downloads 440 Views 10MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

FLORIAN-HORIA VASILESCU

INIŢIERE ÎN TEORIA OPERATORILOR LINIARI

EDITURA TEHNICĂ BUCUREŞTI —1987

Lucrarea de faţă cuprinde o parte însemnată din problematica de bază a teoriei operatorilor liniari. Sînt înfăţişate construcţia calculului funcţional analitic in algebre Banach, descompunerea spectrală a operatorilor normali şi autoadjuncţi (inclusiv cei nemărginiţi), cîteva clase speciale de operatori, între careoperatorii compacţi şi operatorii Fredholm, precum şi unele aplicaţii ale acestei teorii la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale, integrale şi la soluţionarea altor probleme din fizica matematică, în particular din mecanica cuantică. Materialul principal este abordat direct, preliminariile fiind reduse la minim, iar prezentarea sa se axează pe conceptul unificator de calcul funcţional. Lucrarea este adresată tuturor persoanelor care doresc să se iniţieze în teoria operatorilor liniari, precum şi celor care urmăresc aplicarea acestei teorii în fizica matematică şi in alte domenii ale cunoaşterii.

PREFAŢĂ

Una din problemele pe care le ridică elaborarea unei lucrări de iniţiere în teoria operatorilor liniari este legată de volumul şi consistenţa preliminariilor. într-adevăr, pentru parcurgerea şi asimilarea unui asemenea material, cititorul are nevoie de numeroase cunoştinţe de analiză matematică şi analiză funcţională, de teoria funcţiilor de variabilă reală şi complexă, precum şi de algebră liniară şi elemente de topologie. Astfel de cunoştinţe sînt la îndemîna doar a' unui absolvent a cel puţin trei ani de studiu ai unei facultăţi de matematica. Pe de altă parte, atracţia pentru metodele şi aplicaţiile teoriei operatorilor liniari este în continuă creştere, în rîndul celor interesaţi aflîndu-se şi persoane din a căror pregătire matematică lipsesc unele din capitolele menţionate. Pentru a veni în ajutorul unor asemenea cititori, evitînd totuşi ca preliminariile să se transforme în scop în sine, autorul prezentei lucrări a elaborat un capitol introductiv în are sînt trecute în revistă principalele concepte şi rezultate folosite ulterior, demonstraţiile fiind cn general omise (pentru ele făcîndu-se însă trimiteri la alte lucrări, uşor accesibile). Sperăm ca taceastă modalitate, utilizată de altfel în numeroase tratate de matematică, să permită o familiarizare rapidă a cititorului cu terminologia şi rezultatele de bază utilizate în lucrare, netezindu-se astfel calea către problematica propriu-zisă. în afara capitolului preliminar, lucrarea conţine alte cinci capitole. Primul capitol este consacrat ideii de calcul funcţional analitic, concept unificator al întregii lucrări. Aici sînt incluse şi'două secţiuni privitoare la integrarea şi, respectiv, analiticitatea funcţiilor cu valori vectoriale secţiuni a căror parcurgere lămureşte, cel puţin parţial, şi situaţia funcţiilor scalare, ceea ce vine ca o completare a capitolului preliminar. Urmează apoi construcţia efectivă a calculului funcţional analitic în algebre Banach, cu varianta sa referitoare la operatorii liniari nemărginiţi, des întîlniţi în aplicaţii. Capitolul al doilea se ocupă de studiul descompunerii spectrale a operatorilor normali. O parte din rezultate sînt privite dintr-o perspectivă care le face aplicabile şi la situaţii mai generale. Al treilea capitol este dedicat studiului operatorilor autoadjuncţi nemărginiţi, clasă deosebit de importantă în special pentru fizica matematică. în afara studiului reprezentării integrale a acestor operatori, capitolul mai cuprinde rezultate privind extensia operatorilor simetrici şi elemente de teoria semigrupurilor tare continue de operatori. în [capitolul al patrulea sînt prezentate cîteva clase remarcabile de operatori, între care operatorii compacţi şi operatorii Fredholm. Ultimul capitol este rezervat cîtorva din numeroasele aplicaţii ale teoriei operatorilor. Apar aici rezolvarea unor clase de ecuaţii integrale, studiul unor probleme la limită legate de anumiţi operatori diferenţiali, o prezentare a operatorilor de undă, precum şi cîteva aspecte ale formalismului mecanicii cuantice. Cu excepţia ultimului, toate capitolele sînt prevăzute cu o secţiune finală de exerciţii şi completări, avînd rolul, pe de o parte, de a lărgi cadrul expunerilor şi, pe de alta, de a antrena cititorul într-o parcurgere activă a textului. Lucrarea de faţă a fost scrisă pe baza cursului special de teoria operatorilor ţinut de autor mai mulţi ani la rînd pentru studenţii anului al patrulea al Facultăţii de matematică a Universităţii din Bucureşti. Autorul profită de ocazie să exprime recunoştinţa sa conducerilor Secţiei de matematică a INC REST şi Facultăţii de matematică a Universităţii din Bucureşti, care i-au oferit posibilitatea de a iniţia cîteva serii de studenţi în problematica de bază a teoriei operatorilor.

3

Colegilor săi Grigore Arsene, Radu Gologan şi Dan Timotin autorul doreşte să le exprime caldele sale mulţumiri pentru discuţiile utile legate de elaborarea prezentei lucrări. în sftrşit, dar nu în ultimul rînd, autorul ar dori să mulţumească foştilor săi studenţi G. Nagg, A. Nica, V. Nistor şi F. Râdulescu, a căror participare activă la lecţiile autorului a condus adesea la îmbunătăţiri ale conţinutului lor, reflectate şi în actualul text. Lucrarea se adresează tuturor persoanelor care doresc să abordeze teoria operatorilor liniarir precum şi celor care urmăresc aplicarea acestei teorii în fizica matematică şi în alte domenii ale cunoaşterii. Bucureşti, februarie, 1987

Florian-Horia

Vasilescu

CUPRINS

LISTĂ DE NOTAŢII

6

0. PRELIMINARII

7

0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6.

Spaţii topologice Spaţii normate Operatori liniari Măsură şi integrare Algebre Banach Exerciţii şi completări

7 11 15 19 24 26

1. CALCUL FUNCŢIONAL ANALITIC

30

1.1. Integrarea funcţiilor vectoriale 1.2. Funcţii analitice vectoriale 1.3. Calcul funcţional analitic în algebre Banach 1.4. Proprietăţi ale calculului funcţional analitic 1.5. Teorema de existenţă a idempotenţilor 1.6. Calculul funcţional analitic al operatorilor nemărginiţi 1.7. Exerciţii şi completări 2. DESCOMPUNEREA SPECTRALĂ OPERATORILOR NORMALI

30 37 43 50 53 57 64

A

2.1. C*-algebre 2.2. Măsuri spectrale şi integrare 2.3. Reprezentarea integrală a operatorilor normali 2.4. Unicitatea măsurii spectrale ataşate unui operator normal 2.5. Calcul funcţional cu funcţii continue 2.6. Exerciţii şi completări

71 71 75 82 87 91 99

3. DESCOMPUNEREA SPECTRALĂ A OPERATORILOR AUTOADJUNCŢI (NEMĂRGINIŢI) 103 3.1. Adjunctul unui operator nemărginit 3.2. Operatorii autoadjuncţi şi reprezentarea lor integrală 3.3. Calcul funcţional borelian nemărginit 3.4. Prelungirea operatorilor simetrici 3.5. Operatori simetrici semimărginiţi 3.6. Semigrupuri de operatori 3.7. Semigrupuri unitare 3.8. Comutarea operatorilor autoadjuncţi 3.9. Exerciţii şi completări 4. CLASE SPECIALE D E LINIARI 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

106 113 117 121 125 136 141 144

OPERATORI

Operatori compacţi Spectrul operatorilor compacţi Clasele Schatten-von Neumann Operatori cu imagine închisă Operatori Fredholm Exerciţii şi completări

5. APLICAŢII 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

103

Ecuaţii integrale Operatori Sturm-Liouville Operatori de undă Aspecte ale formalismului mecanicii cuantice

151 151 154 157 165 168 176 183 183 187 192 195

Index alfabetic

201

Bibliografie

204

LISĂTg E NOTAŢII

A (0.1.3); A (0.1.3); A± (0.2.8); â (0.5.8); J*(H) (pag. 71); (1.3.5); [*! a ] (1.3.11); [ j 4 t ] (1.6.4); A(U, X) (1.2.3); Aoo(U, X) (1.2.11). B(&) (0,4.11.2°); B(Q, X) (1.1.4); B/Cl) (0.4.9); B^il, X) (1.1.1); B(x, r)(0.1.9); ^ ( p a g , 82); Bor (Q) (0.4.4). C — corpul numerelor complexe; C»(0.1.10.5°); Coo(0.1.8); C (C) (pag. 91) ; C(Q) (0.4.18) ; C(Q, X) (1.1.15); CP, C P (H) (4.3.3); tf (X), if(X, F) (pag. 16) X^T) (0.3.1); d i m - dimensiune algebrică; &A(0.1.3). f(a) (1.3.8); f(A) (rel. (3.3.1)); j(N) (2.3.7); /(T) (1.6.4); F r o (n,X) (1.7.2). G(T) (0.3.1); T(JB) (0.5.5); y(T) (4.4.4). # ± ( 5 . 3 . 5 ) ; ^ ( 5 . 3 . 3 ) ; ^ ( [ a , fl) (pag. 189); xs(0.4.9). 1 — unitatea imaginară; Im — parte imaginară ; ind (T) (4.5.1). &(X) (4.1,6); X(X, Y) [relaţia (4.1.2)]. Z2 (0.6.10); JL^n,^) (0.6.23); £(X), £(X, Y) (pag. 16); In — logaritm natural. M(Q) (0.4.5); ^„(2.2.11.1°). N(T) (0.3.1); H- || (normă; 0.2.1). <• * *> (produs scalar; 0.2.4). R — corpul numerelor reale; R+— partea nenegativă a lui R ; Boo(pag. 108) ; R»(0.1.1p.5°) ; #«(1.3.4.2°); r(a) (0.5.4) ; R e - parte reală; R(T) (0.3.1); pu(a) (1.3.1); p(T, X)(1.6.3.1°). 3>(R) (5.4.5); sk(T) (4.3.3); supp / (1.7.9); a ^ a ) (0.5.4); a(T,X) (1.6.1); a«>(T, X) (1.6.4). T»(0.3.1); T"1 (0.3.1); T* (0.3.10, 3.1.1). S) (0.4.6); V(x, (0.3.14). **(0.3.7); Xt(F) (2.5.12): i i i / (0.2.8). Z — inelul numerelor întregi.

6

0. PRELIMINARII

î n acest capitol vom face o trecere în revistă a principalelor concepte şi rezultate ce stau la baza expunerilor care vor urma. Ne vom limita la definiţii, notaţii, enunţuri, exemple şi observaţii simple; pentru demonstraţiile mai complicate vom face cuvenitele trimiteri la bibliografie. 0.1. SPAŢII TOPOLOGICE Vom considera cunoscute conceptul de mulţime şi operaţiile elementare cu mulţimi. Precizăm că semnele grafice U, n , \ , <=, e, X desemnează respectiv reuniune, intersecţie, diferenţă, incluziune, apartenenţă, produs cartezian. Mulţimea vidă va fi notată cu simbolul 0 . Pentru alte detalii trimitem la tratatele [11], [12], [8]. 0.1.1. DEFINIŢII. Fie fi o mulţime şi fie 3T o familie de părţi ale lui O. Familia ZT se numeşte topologie dacă verifică următoarele condiţii : 1° 0 G f , Q e f ; 2° reuniunea oricărei subfamilii de mulţimi din 3T aparţine lui 2T; 3° intersecţia oricărei subfamilii finite din ^"aparţine lui ZT. Elementele familiei 3T se numesc mulţimi deschise. Complementara unei mulţimi deschise se numeşte mulţime închisă. Perechea {£2, F} (iar uneori numai mulţimea Q pe care s-a precizat o topologie) se numeşte spaţiu topologic. 0.1.2. EXEMPLE. 1° Fie R corpul numerelor reale. Vom nota cu jr R familia reuniunilor de intervale deschise, nu neapărat mărginite, de numere reale (detalii privind numerele reale pot fi găsite în [4j sau [12]). Familia ZTR formează o topologie, numită topologia naturală a dreptei reale. 2° Fie C corpul numerelor complexe. Vom nota cu familia acelor submulţimi Va C cu proprietatea că, oricare ar fi punctul z e V, există un număr pozitiv r astfel încît discul de centru z şi de rază r să fie conţinut în V. Familia ^ c foimează o topologie numită topologia naturală a planului complex. (Detalii privind corpul numerelor complexe pot fi găsite în [1] sau [4].) 7

3° Dacă {fi, F } este un spaţiu topologic şi dacă 8 c= fi, atunci perechea {$, 8} este un spaţiu topologic, unde 3r\S = {A n 8: A e 9*}. Topologia 8 se numeşte topologia indusă de F pe 8 (sau restricţia topologiei la 8). î n particular, dacă privim pe R ca pe o submulţime a lui C, atunci este topologia indusă de pe R. 0 . 1 . 3 . DEFINIŢII. Fie {fi, F] un spaţiu topologic şi fie A c= fi. O submulţime V <= fi se numeşte vecinătate a mulţimii A dacă există TJ eZT astfel încît A c= ŢJ c= V. î n particular, dacă A = {. Un punct w e l se numeşte interior în mulţimea A dacă A este o vecinătate a lui
0.1.4. DEFINIŢII. Fie {fix, «Tj, {fi2, spaţii topologice şi să considerăm funcţia f : fi x -> fi 2 (detalii privind conceptul de funcţie pot fi găsite în [11] sau [14]). Yom spune că f este o funcţie continuă pe fi x dacă pentru orice V2 preimaginea V± = / - 1 ( V2) aparţine familiei Să presupunem că / este o funcţie bijectivă. Dacă atît funcţia / cît şi inversa sa f"1 sînt continue pe fi x şi, respectiv, pe fi 2 , atunci / se numeşte omeomorfism. î n acest caz spaţiile topologice {fi^ ^ J şi {fi2. se numesc omeomorfe. Teoria funcţiilor reale de variabilă reală [4] şi teoria funcţiilor complexe de variabilă complexă [1] ne furnizează numeroase exemple de funcţii continue şi de omeomorfisme. 0.1.5. DEFINIŢII. Fie {fi, F ] un spaţiu topologic. Yom spune că {fi, este un spaţiu topologic separat (sau Hausdorff) dacă pentru orice pereche de puncte co1? co2 din fi cu o^ ^
j e <7, atunci acoperirea se numeşte deschisă) se poate extrage o subacoperire finită. O parte K a unui spaţiu topologic separat {Q, se numeşte compactă dacă spaţiul topologic este compact (unde este definită ca în exemplul 0.1.2.3°). O parte A a unui spaţiu topologic separat {Q, se numeşte relativ compactă dacă aderenţa sa A este compactă. Un spaţiu topologic separat se numeşte local compact dacă fiecare punct al său are o vecinătate compactă. 0.1.6. OBSERVAŢII. 1° Spaţiile {R, şi {C,
Q\U

compactă}.

Detalii privind demonstraţia acestei teoreme pot fi găsite în [4], cap. II, §7. 0.1.8. OBSERVAŢIE. Teorema 0.1.7 ne permite, în particular, să obţinem ceea ce numim compactificarea planului complex C. Anume adăugind planului complex „punctul de la oo", obţinem un spaţiu topologic compact CU a cărui topologie restricţionată la C coincide cu cesu naturală a lui C. Vecinătăţile deschise ale punctului oo sînt deci complementarele părţilor compacte din C, reunite cu punctul oo. Spaţiul CU este omeomorf cu o sferă prin a şa-numita proiecţie stereografică (a se vedea [1], cap. 1, § 4), ceea ce justifică denumirea de sferă a lui Eiemann folosită uneori pentru desemnarea spaţiului CTO. 0.1.9. DEFINIŢII. Fie M o mulţime nevidă. Se numeşte metrică (sau distanţă) pe M o funcţie d definită pe produsul cartezian M x M 9

cu valori în R + (partea nenegativă a corpului real R), avînd următoarele proprietăţi: 1° d(Xj y) = 0 x = y; 2d(x,y) = d(y, x); 3° d(x,y) < + oricare ar fi elementele y, z ale lui M. Perechea {Jf, d} (uneori numai mulţimea M pe care s-a precizat o metrică) va fi numită spaţiu metric. O mulţime de forma B(x, r) = {y e M : d(y, o?) < r j , unde a? e este fixat iar r este un număr pozitiv dat, se numeşte sferă în M (de centru x şi de rază r). Familia 3Ta a tuturor părţilor TJ <= M, cu proprietatea că pentru orice x e U există r > 0 astfel încît B{x, r) <= U, formează o topologie pe M, numită topologia metrică a lui Jf (indusă de distanţa d). Un şir c= M este convergent către un element x e M (se scrie xk -> x cînd fc -> oo) dacă şirul numeric d(xk, x) -> 0 cînd k-> oo. Elementul o?, care este unic determinat datorită proprietăţilor distanţei, se numeşte limita şirului Un şir {xk}fmzl c I se numeşte fundamental (sau Cauchy) dacă d(xk, xm) -> 0 cînd fc, ra -> oo. Spaţiul metric {Jf,
= IM®» Vi)2 +

d2{x2,y2)*f'2,

oricare ar fi perechile (#x, xz) şi y2) din Mx x 3° O construcţie asemănătoare se poate face pentru un număr finit arbitrar de spaţii metrice. Anume, dacă {M XJ d5} , . . . , fMn, dn} sînt spaţii metrice şi dacă M = Mx x . . . X MUJ o metrică pe M este dată de relaţia

4° Mulţimile R şi C sînt spaţii metrice, cu metrica indusă de modul: d(a, b) 10

=

\a

-

b\

oricare ar fi a, b din R sau C. Evident, topologiile induse de această metrică sînt aceleaşi cu topologiile naturale. 5° Cu procedeul de la 3° putem construi o metrică pe spaţiul euclidian n-dimensional R" = R X . . . X R (de n ori), sau pe varianta sa complexă Cn = C X . . . X C (de n ori), utilizînd distanţa definită la punctul anterior. 0.1.11. DEFINIŢII. Fie {M19 dx}, {Jf 2 , d2} spaţii metrice. O funcţie 9 : M 1 -> M 2 cu proprietatea d2(
x,y e MXJ

se numeşte izometrie. Dacă funcţia 9 este bijectivă şi izometrie, atunci şi inversa sa este o izometrie. î n acest caz spaţiile {M19 d j , {M2, d2] se numesc izometrice. 0.1.12. OBSERVAŢII. 1° Fie {M1% dx}, {Jf a , d2} spaţii metrice. O funcţie / : Mt M? este continuă pe Mx dacă şi numai dacă, oricare ar fi şirul <=cu xk xe cînd 00, avem f(xk) -»/(#). î n particular, orice izometrie este o aplicaţie continuă (exerciţiul 0.6.4) 2° Aplicaţia 9 : R X R C dată de relaţia 9(a, b) = a (a, b e Ry i2 = — 1) este o izometrie. Deoarece 9 este bijectivă, spaţiile C şi R* sînt izometrice. Analog, spaţiile Cn şi R2n sînt izometrice (cu distanţele definite ca în observaţia 0.1.10.5°). 0.1.13. DEFINIŢIE. Fie {Jf, d} un spaţiu metric. O submulţime S cz M se numeşte total mărginită dacă pentru orice e > 0 există o parte finită Fe c M astfel încît M c \J {B(x, z) : xeFe}. 0.1.14. TEOREMĂ. Fie {M, d} un spaţiu metric complet şi fie 8 o submulţime a lui M. Sînt echivalente următoarele afirmaţii : 1° mulţimea 8 esie relativ compactă; 2° mulţimea 8 este total mărginită; 3° din orice şir cz S se poate extrage un subşir {Xkm}m^i care este convergent în M. Pentru demonstraţia acestui rezultat cititorul poate consulta [4] r cap. II, § 11 sau [8], cap. I, § 6. 0.2. SPAŢII NORMATE Pentru conceptul de spaţiu vectorial (sau spaţiu liniar) trimitem la, tratatul [4]. Menţionăm că toate spaţiile vectoriale pe care le vom întîlni în această lucrare vor fi automat considerate peste corpul complex Cy dacă un alt corp nu este explicit menţionat. 0.2.1. DEFINIŢII. Fie E un spaţiu vectorial. O aplicaţie || • || : E -> R se numeşte normă pe E dacă sînt îndeplinite următoarele condiţii: io ||a-1| = 0 => x = 0 B ; 2° || OLX|| = | a) || x!|, a e C, x e E (omogenitatea pozitivă a normei); 11

3° li x V li ^ II x II IIV II? x, y e E (subaditivitatea normei), unde Otf este elementul nul al spaţiului E (notat simplu cu 0 atunci cînd nici o confuzie nu este posibilă). Perechea {.E, || • ||} (sau numai spaţiul E cînd norma a fost precizată) se numeşte spaţiu normai. 0.2.2. OBSEKVAŢII. 1° Avem \\x\\ ^ 0 oricare ar fi xeE, deoarece, din definiţia normei, 0 = ||01| = || x — x \\ ^ 2|| a?||. 2° Un spaţiu normat este spaţiu metric, cu distanţa dată de egalitatea d(x>y) = II® — y II» oricare ar fi x,y eE. Din acest motiv putem vorbi de topologia unui spaţiu normat, care este o topologie metrică. Această topologie este compatibilă cu operaţiile liniare ale lui E, în sensul că operaţia de adunare E x EB (X, y) -> x -\-y e JB, precum şi cea de înmulţire cu scalari C X EB (a, x) ax eE sînt operaţii continue (normînd corespunzător pe E X E sau C X 23, ca în observaţia care urmează), după cum se poate constata uşor (exerciţiul 0.6.5). 3° Dacă {X, IHbr}, {Y, || • \\Y\ sînt spaţii normate, produsul cartezian X x T (care are structură naturală de spaţiu liniar cu adunarea şi înmulţirea cu scalari pe componente) poate fi privit ca spaţiu normat prin definirea normei ll(*,y)llx x r = (ll*lfc +\\y\\2r)1/2, x eX, definiţie compatibilă cu observaţia 0.1.10.2°.

y el,

0.2.3. DEFINIŢIE. Un spaţiu normat complet (ca spaţiu metric) va fi numit spaţiu Banach. Un spaţiu Banach este, aşadar, un spaţiu normat în care orice şir fundamental este convergent către un element al spaţiului. De aici rezultă, in particular, că produsul cartezian a două spaţii Banach este un spaţiu Banach (a se vedea observaţia 0.2.2.3°). 0.2.4. DEFINIŢIE. Fie E un spaţiu vectorial. O aplicaţie < •> : E x XE C se numeşte produs scalar dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1° < 0 ^ + cc2x2,yy = a + a2<#2, y>, a1? a2 G C, x±, x2,y e E ; 2° y} = (y, x,y eE (bara desemnează conjugatul complex); 3° x} > 0, x e E; 4° xy = 0 x = 0. 0.2.5. OBSERVAŢIE. Dacă < • , •> este un produs scalar pe spaţiul vectorial 23, atunci are loc inegalitatea lui Schwarz : \<®,y>\2 < O* 12

,

x,y

eE.

De aici rezultă că relaţia || x\\ = (<#, #» 1 / 2 defineşte o normă pe spaţiul E. într-un asemenea caz, se spune că norma lui E provine dintr-un produs scalar (exerciţiul 0.6.6). 0.2.6. DEFINIŢII. TTn spaţiu normat a cărui normă provine dintr-un produs scalar se numeşte spaţiu prehilbertian. Un spaţiu prehilbertian complet se numeşte spaţiu Hilbert. Evident, un spaţiu Hilbert este, în particular, spaţiu Banach. 0.2.7. EXEMPLE. 1° Spaţiul euclidian complex Cn poate fi înzestrat cu produsul scalar <(«,)?_!, mu

1> = 2 «tf* («,)?-!, ( P J î - j e P . y-1 Cu norma indusă de acest produs scalar, spaţiul Cn devine un spaţiu Hilbert. 2° Mai general, fie H19...,Hn spaţii Hilbert cu produsele scalare < • , •>!,.••?<•? •>». Atunci produsul cartezian H = H± x ... X Hn poate f i dotat cu produsul scalar n e <(Xj)Uu (Vs)U 1> = S <®i» !fi>i» j = 1, - • • > *» i-1 <sare-l transformă într-un spaţiu Hilbert. Din motive care se vor clarifica în cele ce urmează, mai notăm H = Hx ® . . . © Hn şi numim spaţiul H suma directă (ortogonală) a spaţiilor £T 1? ..., Hn. (Aceasta presupune identificarea spaţiului H j cu subspaţiul lui H format din elementele cu toate componentele nule, cu excepţia cel mult a celei de pe locul j.)

0.2.8. DEFINIŢII. Fie H un spaţiu Hilbert. Două submulţimi A şi B ale lui H se numesc ortogonale dacă y} = 0, oricare ar fi xe A şi y € B. Două elemente x,y eH se numesc ortogonale dacă mulţimile {x} şi {y} sînt ortogonale. Acest lucru se desemnează prin simbolul x±y. Dacă A c H este o submulţime arbitrară, notăm = {xeH:x

±y,

(W)yeA}.

L

Mulţimea A se numeşte complementul ortogonal al mulţimii A. Se vede uşor că A± este un subspaţiu liniar şi închis al lui II, deci un spaţiu Hilbert. 0.2.9. TEOREMĂ. Fie H 0 un subspaţiu liniar închis al spaţiului Hilbert H. Atunci orice element x e S se poate reprezenta în mod unic sub forma x = x0 +xv unde x0 e S0 şi xx e Aplicaţia H 3 x x0 e H0 se numeşte proiecţia spaţiului H pe sub spaţiul H0; elementul x0 se numeşte proiecţia elementului x pe subspaţiul H 0 . Descompunerea spaţiului H obţinută ca în teorema de mai sus se notează H = H0 © H^ şi se numeşte descompunerea spaţiului Hilbert E în suma directă a două subspatii ortogonale (a se vedea şi observaţia 0.2.7.2°). 13

Demonstraţia teoremei 0.2.9 şi alte detalii privind cele de mai sus pot fi găsite în [5], cap. VI. 0.2.10. DEFINIŢII. Fie H un spaţiu Hilbert. O familie de vectori {ej}jej din H cu proprietatea că es _L ek dacă j ^ Ic se numeşte sistem ortogonal. Dacă , în plus, = 1 pentru fiecare j e j , familia se numeşte sistem ortonormal. Un sistem ortonormal maximal se numeşte bază ortonormală a spaţiului Hilbert H. Cu ajutorul teoremei lui Zorn ([5], pag. 8), putem deduce uşor că orice spaţiu Hilbert are o bază ortonormală. 0.2.11. TEOREMĂ. Fie {fylie/ un sistem ortonormal în Hilbert H. Următoarele afirmaţii sînt echivalente : 1° {etfjej este bază ortonormală a lui H; 2° orice element x eH se poate reprezenta sub forma

spaţiul

x

a e = S i C, j e J; bTj 3° pentru orice x eH are loc egalitatea

INI 2 = 5]I <*, ie/ Pentru demonstraţie se poate consulta [5], cap. VI. Menţionăm că sumele de la 2° şi 3° sînt considerate în sensul teoriei familiilor sumabile (a se vedea [5], cap. H I , § 2.3). 0.2.12. OBSERVAŢIE. î n cazul în care spaţiul Hilbert este separabil (a se vedea definiţiile 0.1.9), orice bază ortonormală a sa este cel mult numărabilă. î n această situaţie, sumele din teorema 0.2.11 sînt sume obişnuite sau serii. Tot în acest caz, din orice sistem liniar independent de vectori din H care generează un subspaţiu dens în H se poate obţine o bază ortonormală, utilizîndu-se un procedeu constructiv numit GramSchmidt (a se vedea [5], cap. VI sau exerciţiul 0.6.9). 0.2.13. TEOREMĂ. într-un spaţiu Hilbert oricare două baze ortonormale au acelaşi cardinal. Acest rezultat ne permite să vorbim despre dimensiunea unui spaţiu Hilbert, ca fiind cardinalul bazelor sale ortonormale. Pentru detalii, recomandăm [5], cap. VI, § 2. 0.2.14. TEOREMĂ. Fie X un spaţiu liniar, normat. Exista atunci un spaţiu Banach X astfel încît X să fie izomorf cu un subspaţiu liniar dens în X, izomorfismul fiind şi izometrie. Bacă X este un spaţiu prehilbertian, atunci X este un spaţiu Hilbert• Spaţiul X este numit completatul spaţiului X. Prima parte a acestei teoreme se poate găsi în [5], cap. III,§2.2. Partea a doua a teoremei se poate obţine uşor din prima parte, dacă se ţine seama de rezultatul care urmează : 14

0.2.15. TEOREMĂ. TJn spaţiu normat X este un spaţiu dacă şi numai dacă norma sa satisface condiţia II x +y ||2 +1| o? - y ||2 = 2 (|| tf||2 +1|y ||2),

prehilbertian

x,yeX.

Un calcul simplu ne arată că orice normă provenind dintr-un produs scalar satisface relaţia din enunţul teoremei 0.2.15. Reciproc, dîndu-se o normă care satisface relaţia din enunţul teoremei 0.2.15, putem defini u n produs scalar prin egalitatea <x,y>

4

+y\\2 - I k - y l l

2

+ i | | 0 + i y l l 2 - i | N -iy!l2),

x,yeX.

Pentru detalii trimitem la [5], cap. YI, § 1.2.

0.3. OPERATORI LINIARI Conceptul de aplicaţie liniară are semnificaţia din algebra liniară (a ^e vedea de exemplu [4], cap. I I I , §2). 0.3.1. D E F I N I Ţ I I . Fie X, Y două spaţii Banach şi fie D c X un subspaţiu liniar, nu neapărat închis. Numim operator liniar (sau, simplu, operator) pe spaţiul D cu valori în Y orice aplicaţie liniară T : D -> Y. Spaţiul B se mai notează D( T) şi se numeşte domeniul de definiţie al operatorului T. Spaţiul liniar B(T) = {y = Tx e Y :

xeD(T)}

se numeşte imaginea (sau domeniul valorilor) lui T. Spaţiul liniar jV(T) ={xeD{T):

Tx = 0}

se numeşte nucleul lui T. Mulţimea G(T) = {(x,

Tx):xeB(T)}

se numeşte graficul lui T. Graficul lui T este un subspaţiu liniar al produsului cartezian X X Y. Fie T x : D(Ti) <= X-+Y şi T2:B(T2) c X -> Y operatori liniari. Dacă a1? a 2 e C , operatorul T = ax + o^ T2 are domeniul de definiţie D ( T ) = B(TX) n B(T2) şi se defineşte prin relaţia Tx = OLxTxX + oc2T2x pentru orice xeB(T). Fie Tx: B( Tx) c X Y şi T2:B(T2) c Y Z operatori liniari, unde Z este un alt spaţiu Banach. Operatorul T = T2T1 are domeniul de definiţie D(T) = {xeB{Tx) : Txx e B(T2)} şi se defineşte prin relaţia Tx = T2Txx dacă x e B(T). Definiţia se poate extinde la un număr finit de operatori T x , T n . î n particular, fiind dat un operator T :B(T) c l - > l , 15

putem defini puterile (sau iteraţele) sale prin egalităţile T'6 = TTT etc. Avem aşadar

T2 =

TT,

D( Tn) = {xeB( T"'1) : T*~*x e B( T)} şi Tnx = TTn~xx pentru xeB{ Tn) (n > 2). Dacă T: D(T) c= X -> X, prin vom înţelege întotdeauna operatorul identic al lui X în X. Fie T :D(T) c X Y un operator liniar cu proprietatea N( T) = = {0} (cu alte cuvinte, aplicaţia liniară T este injectivă). Putem defini atunci inversul său T" 1 : D( T"1) <= Y -> X prin relaţia == x, unde = y. Deci 1>( T"1) = JB(T). 0.3.2. DEFINIŢII. Fie T:B(T) c X Y un operator liniar. Operatorul T se numeşte preînchis dacă închiderea (?(T) a graficului său 6?(T) este încă un grafic. Cu alte cuvinte, dacă (x, y) e G(T) şi x = 0, atunci y = o. Operatorul T dat de relaţia Tx = y dacă (x, y) e G{ T) este o extensie a lui T (operatorul T2 : B( T2) <= X Y este o extensie a operatorului T± : D( Tx) c X Y dacă <7( T a ) 3 G( TJ ; altfel spus, B( T2) z> B( Tx) şi T2X = Txx, oricare ar fi x e B( TT)) şi se numeşte închiderea canonică a lui T. Dacă G( T) = 6r( T), operatorul T se numeşte închis. Este clar că operatorul T este închis dacă şi numai dacă pentru orice şir <= D( T), cu proprietăţile xk x şi Ta?* y (fc oo), deducem c& xeB( T) şi Ta? = y. Un rezultat important legat de conceptul de operator închis este aşa-numita teoremă a graficului închis datorată lui Banach : 0.3.3. TEOREMĂ. Fie T :B(T) c X-> Y un operator închis. Bacă B( T) = X, atunci T este o aplicaţie continuă. Detalii privind demonstraţia acestui rezultat pot fi găsite în [5],. cap. IV, §1. Dacă X, Y sînt spaţii Banach, vom nota cu #(X, Y) mulţimea operatorilor închişi, definiţi pe subspaţii liniare ale lui X, cu valori în Y*K Submulţimea operatorilor T e #(X, Y) cu proprietatea că B(T) = X va fi not a t ă cu J2?(X, Y). Dacă X = Y , vom scrie #(X) şi JSf(X) în loc de #(X, Y), respectiv «^(X, Y).Teorema graficului închis ne asigură că toţi operatorii din (ifX, Y) sînt aplicaţii continue. Reciproc, un operator liniar T : X Y care este continuu este operator închis. Aşadar, J2"(X, Y) coincide cu mulţimea tuturor operatorilor liniari şi continui de la X în Y. Dotată cu operaţiile naturale de adunare şi de înmulţire cu scalari (cazuri particulare ale operaţiilor definite la 0.3.1), familia J&?(X,Y) se organizează ca spaţiu liniar. 0.3.4. TEOREMĂ. Fie T : X Y o aplicaţie liniară. Următoarele condiţii sînt echivalente : 1° aplicaţia T este continuă; 2° cantitatea || TJ| = sup {\\Tx\\y : \\x\\x < 1} este finită. în plus, aplicaţia T || T|| defineşte o normă pe saţiul ££(X, Y), in raport cu care S£(X, Y) devine spaţiu Banach. *> Simbolul '(f vine de la cuvin tul englezesc closed (închis) ; nu are nici o legătură cu continuitatea.

16

(Aici || • || x , 11'Hjt sînt normele lui X şi Y, respectiv.) Pentru detalii recomandăm [5], cap. IV, §1.2. Norma spaţiului S£(Xy Y) dată de teorema 0.3.4 poate fi caracterizată în mai multe moduri (exerciţiul 0.6.13) : || T|| = sup

||T*|| F = s u p i ^

=

= i n f { i l / > 0 : \\Tx\\Y ^ I M I * , (V)a?eX}. Un alt rezultat fundamental în teoria operatorilor liniari este principiul mărginirii uniforme datorat lui Banach şi Steinhaus : 0.3.5. TEOREMĂ. Fie o familie în &{X, Y) cu proprietatea că sup || {Tfx\\y : j e J}
= (inf{|| x0 —y \\x - y e Y})'1; evident, norma lui / se calculează prin teorema 0.3.4 (a se vedea [8], cap. II). 0.3.10. DEFINIŢIE. Fie X, Y spaţii Banach şi fie T e <&(X, Y). Definim un operator T* : Y* X* prin formula T*g(x) = g(Tx) pentru orice g eY* şi xeX. Liniaritatea lui T* este evidentă. Utilizînd observaţia 0.3.9 (cazul Y = J0]), deducem uşor că || T*|| = || T||; în particular, T* e JSf( Y*, X*). Operatorul T* se numeşte adjunctul lui T. î n cazul spaţiilor Hilbert este convenabil să definim adjunctul unui operator într-o manieră uşor diferită. Motivul principal îl constituie următoarea teoremă de reprezentare datorată lui Riesz : 0.3.11. TEOREMĂ. Fie H un spaţiu Hilbert. Atunci pentru orice jeH* există un element unic determinat yfeH astfel încît f(x) = yf}H pentru toţi xeH şi ||/|| = \\yf\\HDemonstraţia poate fi găsită în [5], cap. VI, §3.1. Aplicaţia / -> yf a lui H* în H este aditivă şi antiomogenă în sensul că yaf = ayf pentru toţi a e C ş i / e H * . Fiind şi bijectivă, această aplicaţie permite identificarea naturală a spaţiului H* cu spaţiul H. 0.3.12. D E F I N I Ţ I I . Fie H, E spaţii Hilbert cu produsele scalare < < >x Şi fi^ Te se(H, K). Atunci adjunctul lui T (în sensul spaţiilor Hilbert) este operatorul dat de relaţia < T*y, x}H =
xeH,yeK.

H este liniară şi satisface relaţia || T*|| = ||T||.

[Dacă T* = T"1, operatorul T se numeşte unitar. î n acest caz || Tx\\\ = < Tx, Ta»* - < T* Txy x>H = <x,

=

oricare ar fi x e Jff, deci T este izometrie. Dacă H = E şi operatorul T satisface relaţia TT* = T*T, atunci T se numeşte operator normal. Dacă H = E şi operatorul T are proprietatea T = T*, atunci operatorul T se numeşte autoadjunct. Evident, un operator autoadjunct este normal. 0.3.13, OBSERVAŢIE. Dacă X este un spaţiu Banach, &{X) se poate organiza ca algebră asociativă, cu produsul definit prin compunerea aplicaţiilor. î n acest caz, operaţia de trecere la adjunct aplică algebra &{X) în algebra i?(X*). Dacă X = H este un spaţiu Hilbert, trecerea la adjunct ne lasă în cadrul algebrei S£(H). Această operaţie are următoarele proprietăţi (exerciţiul 0.6.15) : (i) (T*)* = T, (iii) (ocT)* = aT*, (ii) (T x + T2)* - T* + Tf, (iv) (T x T 2 )* - T*Tf, oricare ar fi T, T1? T 2 e &{H) şi a e C. Acest fapt ne îndreptăţeşte să spunem că operaţia T T* este o involuţie pe 3f(H) [6]. 18

0.3.14. DEFINIŢII. Fie E un spaţiu liniar şi fie E+ spaţiul tuturor aplicaţiilor liniare şi continue, definite pe E, cu valori scalare. Un subspaţiu liniar r c E+ se numeşte total dacă din i'aptul că f{x) = 0 pentru orice / e V rezultă x = 0. Fie r ci E+ un subspaţiu total. Yom considera mulţimile de forma V(x-,A, e) = [yeE:\f(y)

-f(x)\

<e,/eA},

unde 1 c T este o parte finită arbitrară şi e > 0. Reuniunile de mulţimi de acest tip (cînd x, A şi e variază) formează o topologie separată pe E numită G(E, T) -topologia lui E (exerciţiul 0.6.19). Pentru fiecare xeE fixat, familia {V(x; A, e)}AtC este ceea ce numim un sistem fundamental de vecinătăţi ale lui x. î n particular, dacă X este im spaţiu Banach, atunci putem vorbi despre o(X, X*)-topologia sa. Deoarece elementele lui X pot fi privite ca funcţionale liniare şi continue pe X* (prin aplicaţia x Fx, unde Fx(f) = = f(x) pentru orice x e X şi f e X*), putem de asemenea vorbi şi de g{X*> X)-topologia lui X*. Acestea sînt aşa-numitele topologii slabe pe spaţii Banach, în general diferite de topologiile induse de normele lor. Pentru detalii recomandăm [5], cap. I I şi [8], cap. Y. 0.4. MĂSURĂ ŞI INTEGRARE Există numeroase texte consacrate teoriei măsurii şi integrării funcţiilor scalare, între care ne-am oprit în special la [8], [10] şi [12]. Fără a ne situa în condiţiile cele mai generale, vom prezenta în acest paragraf cîteva fapte din teoria măsurii şi a integrării, adaptînd necesităţilor noastre unele rezultate fundamentale, în spiritul tratatului [8], cap. III. 0.4.1. DEFINIŢIE. Fie Q o mulţime arbitrară. O familie 2 de părţi ale lui £î se numeşte s-algebră dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1° 0 e 2 ; 2° S e 2 => Q \ S e 2 ; 3°

c S ^ kmzl u ^ g S .

0.4.2. EXEMPLE. 1° Familia tuturor părţilor mulţimii Q formează o a algebră. [2° Fie {Zj}jej o colecţie arbitrară de a-algebre. Atunci 2 = p | {2,: : j e J} este o a-algebră. 0.4.3. DEFINIŢIE. Fie £2 o mulţime arbitrară şi fie 2 o a-algebră de părţi ale lui Q. O aplicaţie jjl : 2 -> C se numeşte măsură (sau funcţie numărabil aditivă de mulţime) dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1° jx(0) = 0 ; 19

2° dacă {/StjţLi este un şir din 2 astfel încît S* o Sm =0 k ^ w, atunci \k=i

j

pentru

k=i

0.4.4. D E F I N I Ţ I E . Fie O un spaţiu topologic. Cea mai mică a-algebră de părţi ale lui fi care conţine toate submulţimile închise (şi deci şi pe cele deschise) ale lui fi se numeşte a-algebra boreliană a lui fi. Acesta a-algebră, care există în conformitate cu exemplele 0.4.2, va fi notată cu Bor(fi). Elementele familiei Bor(fi) se vor numi mulţimi boreliene. 0.4.5. D E F I N J Ţ I I . Fie fi un spaţiu topologic. O măsură jjl : Bor(fi) -> C se numeşte regulată dacă pentru orice e > 0 şi 8 e Boi (fi) există mulţimile Fa fi închisă şi G c= fi deschisă astfel încît F c S c G şi pentru orice 8' eBor(fi) cu F C 8' c G să avem | jjl(/S) — <s. Numim măsură Radon (sau simplu măsură, atunci cînd nici o confuzie nu este posibilă) orice funcţie numărabil aditivă şi regulată pe Bor(fi). De asemenea, în exprimarea curentă vom spune „măsură pe fi" în loc de „măsură pe Bor(fi)". O măsură jj. pe fi se numeşte pozitivă dacă (jl(/S)> 0 pentru orice # e B o r ( f i ) . Notăm acest lucru prin relaţia \ l > 0 . Mulţimea măsurilor (Radon) pe fi va fi desemnată prin simbolul M(fi). Este uşor de văzut că Jf(fi) este un spaţiu liniar. 0.4.6. D E F I N I Ţ I E . Fie y. e M(Q). Variaţia totală a măsurii jj. pe mulţimea 8 e Bor(fi) este dată de relaţia v(y.; S) = sup { £ I tfS,) | : { S J y e / c Bor(fi), ie/

J finită,

S, n S* = 0 ( j * fc), U Sj = 8}. jej Dacă [l > 0, atunci v(y.; 8) = y.(8) pentru orice 8 e Bor(fi). 0.4.7. TEOREMĂ. 1° Pentru Bor (fi) b 8

orice y. e M(Cl) ^([x; 8) e R +

este o măsură (pozitivă) pe fi, satisfăcînd sup S'cS S ' e Bor (Q)

aplicaţia

estimările

| u(8') | < v (ii; 8) < 4 sup

|^.(8') I.

S'CS

S' e Bor (Q)

2° Aplicaţia |( pi || =i?([Ji;fi), j i e Jf(Q), este o normă pe Jlf(fi), în raport cu care spaţiul Jlf(fi) devine un spaţiu Banach. Detalii privind demonstraţia acestor afirmaţii pot fi găsite în [8] cap. I I I . 20

0.4.8. DEFINIŢIE. Fie £2 un spaţiu topologic. O funcţie / : £2 -> C se numeşte boreliană (pe £2) dacă pentru orice A e Bor(C) avem f'KA) e eBor(£2). 0.4.9. EXEMPLU. Pentru fiecare submulţime 8 a lui £2 vom nota •cu Xs funcţia sa caracteristică. O aplicaţie de forma /(<*>) = S ^ s / 4 coe£2, ie/ unde J este o familie finită de indici, {âj}ye/

Bor(£2), U Ss = Cl, ie/ 8j n 8k =0 (j ^ fc) şi a.; e C(j e J) se numeşte funcţie simplă (sau etajată). î n această reprezentare valorile a, nu sînt presupuse distincte, şi deci scrierea nu este neapărat unică. Dacă cerem ca valorile a, să fie distincte, atunci mulţimile S} sînt bine determinate şi scrierea de mai sus este unică, în afara ordinei. Este uşor de văzut că orice funcţie simplă este boreliană. Se poate verifica de asemenea cu uşurinţă că suma şi produsul a două funcţii simple «este o funcţie simplă (exerciţiul 0.6.20). Aşadar, mulţimea funcţiilor simple pe £2, notată Be(Cl), formează o algebră [2], [5j. Vom dota spaţiul liniar Be(£2) cu norma li/ll =sup|/(
feBJt£2)

(de fapt, supremumul este în acest caz atins), urmînd ca structura multiplicativă să fie discutată mai tîrziu. 0.4.10. TEOREMĂ. 1° O funcţie scalară f pe Q este boreliană dacă şi numai dacă f este limita punctuală a unui şir de funcţii simple pe £2. 2° Orice funcţie boreliană şi mărginită pe £2 este limita uniformă a unui şir de funcţii simple pe £2. 3° Orice funcţie continuă şi mărginită pe £2 este boreliană. Detalii privind aceste rezultate pot fi găsite în [12], cap. XII. De fapt, asupra punctelor 2° şi 3° din teorema 0.4.10 vom reveni în paragraful consacrat integrării funcţiilor vectoriale din capitolul următor. 0.4.11. OBSERVAŢII. 1° Din teorema 0.4.10 rezultă uşor că mulţimea funcţiilor boreliene formează o algebră. 2° Dacă notăm cu B(Q) mulţimea funcţiilor boreliene mărginite p e £2, rezultă, în virtutea teoremei 0.4.10, că JB(£2) este completatul spaţiului normat J5e(£2) în sensul teoremei 0.2.14. Aşadar, B(i2) este un spaţiu Banach, cu norma definită ca în exemplul 0.4.9. 0.4.12. D E F I N I Ţ I E . Fie JJL E Jlf(Q) şi fie f e B e (£2) reprezentată ca în exemplul 0.4.9. Vom defini integrala funcţiei / în raport cu măsura |jl prin relaţia ţ/d|JL = £ J ie/ 21

Se poate constata uşor că această definiţie nu depinde de reprezentarea funcţiei / (exerciţiul 0.6.21). Integrala se mai notează şi în alte moduri r între care şi ^ /(co) dpi(co)# Dacă 8 e Bor(£2), definim integrala funcţiei / pe mulţimea 8 prin relaţia J / &V- - J X 8 făv. = Ş «^(fl, n S), 3 s notată uneori şi ^ /(co) dpi(co). s

0.4.13. DEFINIŢIE. Fie pi e M(Q). Un şir de funcţii boreliene {/,}£* pe Q converge tn măsura pi către funcţia boreliană / dacă pentru orice e > 0 avem lim t>(pi; {co : |/,(g>) —/(o>)1 ^ ej) = 0. M—K»

Să extindem integrala de la 0.4.12 la o clasă mult mai largă de funcţii. 0.4.14. DEFINIŢIE. Fie jx e Jf(Q) şi fie / o funcţie boreliană pe Q. Vom spune că / este integrabilă în raport cu măsura pi dacă există un şir {f»i£= i c care converge în măsura pi către funcţia /, avînd în plus proprietatea lim \ |/„(co) —/»(co) | t?(pi; dco) = 0 n,«j—kx> J (în care i?(pi; dco) desemnează integrarea în raport cu măsura S -> i?(pi; S)). î n aceste condiţii are sens să definim integrala funcţiei / în raport cu pu prin formula / dpi - - lim \ f n djx, n-Hx> J în care limita există şi nu depinde de şirul {fn ™-i cu proprietăţile menţionate mai sus. î n plus, integrala depinde liniar de / şi poate fi definită p e orice submulţime 8 e Bor(Q) (pentru detalii trimitem la [8], cap. I I I , § 2). 0.4.15. OBSERVAŢIE. Funcţiile din jB(£2) sînt integrabile în raport cu orice măsură pi € ilf(£î). într-adevăr, dacă / e Be{£2), atunci au loe estimările j^/(co)dpi(6))| ^^i/(co)|^(pi;d6)) ^ | | / | K p i ; Q ) . 22

(a se vedea [8], cap. I I I , § 2). D a c ă / e B(Q.), a t u n c i / e s t e limita uniformă a unui şir {/«!£.i c £*(fi), pe baza teoremei 0.4.10. î n particular, funcţiile fn converg în măsura către / şi îndeplinesc şi condiţia de convergenţă din definiţia 0.4.14, în virtutea estimărilor de mai înainte. Existenţa integralei funcţiei / este şi ea o consecinţă a acestor estimări. Rezultatul care urmează este cunoscut sub numele de Ierna, lui Fatou. 0.4.16. TEOREMĂ. Fie \x e Jf(fi) o măsură pozitivă şi fie {/*;*Li un şir defuncţii boreliene pozitive pe fi, integrabile în raport cu ţi. Dacă limV/jfcdjx < °o K'~HX> J

atunci funcţia lim fk este integrabilă în raport cu [x şi are loc estimarea V I u n fk d j x < l i m J k—*oo

d[i.

k—*oo J

Demonstraţia poate fi găsită în [8], cap. I I I , § 6. Dacă [x e M(fi) este o măsură pozitivă şi dacă o proprietate care depinde de punctele lui fi are loc cu excepţia unei mulţimi de puncte de măsură nulă, se spune că proprietatea are loc \i-aproape peste tot. î n particular, şi acesta este cazul chiar în teorema 0.4.16, putem integra funcţii definite doar ţx-aproape peste tot. Rezultatul următor este cunoscut ca teorema de convergenţă dominată a lui Lebesgue. 0.4.17. TEOREMĂ. Fie jx e M(CI),[L> 0, fie p> 1 şi fie {/JgLx un şir defuncţii boreliene cu Ifk\v integrabilă 1), care converge [L-aproape peste tot către o funcţie / . Să presupunem că există o funcţie integrabilă g> 0 astfel încît [/*(<*>) \v <
Pentru demonstraţie trimitem la [8 |, cap. I I I , §6. 0.4.18. OBSERVAŢIE. Să presupunem că fi este u n spaţiu topologic compact. Yom nota cu C(fi) mulţimea tuturor funcţiilor continue pe fi, cu valori complexe. Evident, C(fi) este un spaţiu liniar, înzestrat cu operaţiile uzuale. Relaţia H/ll = sup |/(G>)|,/eC(fi), cogQ

furnizează o normă pe (?(fi), în raport cu care C(fi) devine spaţiu Banach. Rezultatul cu care încheiem acest paragraf ne dă o reprezentare a dualului spaţiului C(fi) şi este datorat lui Riesz. 23

0.4.19. TEOEEMĂ. Fie £2 un spaţiu topologic compact. între dualul spaţiului <7(£2) şi spaţiul M(£l) există un izomorfism care este şi izometrie şi care leagă fiecare măsură pi e M(Q) de o funcţională 9^ e <7(£2)* prin relaţia ?n(/) =

d(Ji(co),

/eC(Q).

în plus, corespondenţa pi 9^ păstrează pozitivitatea *K Acest rezultat important ne va permite să „extindem" elementele dualului lui C(£2) la măsuri pe £2. Demonstraţia sa poate fi găsită în [8], cap. IV, §6. 0.5. ALGEBRE BANACH Pentru conceptul de algebră, deja întîlnit în paragraful precedent (exemplul 0.4.9), şi pentru proprietăţile generale ale algebrelor recomandăm lucrările [5] sau [2]. 0.5.1. D E F I N I Ţ I I . Se numeşte algebră normată un spaţiu normat B, care este şi algebră asociativă peste corpul complex, al cărei produs este compatibil cu topologia în sensul că ||ab|| < ||#ll||&ll> beB (submultiplicativitatea normei). O algebră normată completă se numeşte algebră Banach. Dacă algebra normată are unitate, aceasta va fi întotdeauna notată^ cu 1. î n acest caz vom identifica corpul complex C cu subalgebra {z • l} xeC şi vom scrie simplu z în loc de z • 1. 0.5.2. EXEMPLE. 1° Am văzut deja că spaţiul Be(Cl) este de fapt o algebră (exemplul 0.4.9). Deoarece norma sa este submultiplicativă, rezultă că J3C(£2) este o algebră normată (care nu este completă). 2° Spaţiul B(Q) dotat cu multiplicarea obişnuită a funcţiilor este o algebră, a cărei normă este submultiplicativă. Deoarece JB(£2) este completatul spaţiului normat Be (£2), rezultă că B(£l) este o algebră Banach ( a se vedea şi observaţia 0.4.11.2°). 3° Spaţiul C(£2) (definit în observaţia 0.4.18) înzestrat cu produsul natural este o algebră Banach. Deoarece norma sa se defineşte tot prin supremumul funcţiilor, rezultă că C(£2) este o subalgebră închisă a lui JB(£2). 4° Dacă X este un spaţiu Banach, atunci £P(X) este un spaţiu Banach (teorema 0.3.4). Definind operaţia de înmulţire prin compunerea operatorilor, se poate vedea uşor că acest produs este compatibil cu topologia^ deci &{X) este algebră Banach. 0.5.3. OBSERVAŢIE. Fie B o algebră normată cu unitate. Deoarece || 11| = ||l 2 || < || 11| ||11| şi || 11| ^ o, rezultă că ||11| > 1. F ă r ă a micşora, *) O funcţională 9 «= C(Ci)* este pozitivă

24

dacă 0 pentru orice / > 0 din C(Q).

generalitatea, putem întotdeauna presupune că | | 1 | | = 1 . putem redefini norma pe B prin relaţia

într-adevăr,

II* Ilo = Bup|| aa? ||, aeB, ii*n
va fi numit raza spectrală a elementului a. Evident, r(a) < || a||. întrucît conceptul de spectru joacă un rol central în prezentele expuneri, asupra sa vom reveni cu amănunte în capitolul următor. î n cele ce urmează vom enunţa ctîeva rezultate valabile în algebrele Banach comutative. 0.5.5. DEFINIŢIE. Fie B o algebră Banach comutativă, cu element unitate. Un caracter al algebrei B este un omomorfism de algebre cu unitate de la B în corpul complex C (adică o aplicaţie liniară, multiplicativă şi care duce unitatea lui B în 1 e C). Yom nota cu r(.B) mulţimea caracterelor pe algebra B. Se poate demonstra că mulţimea V(B) se identifică în mod natural cu mulţimea idealelor maximale ale lui B (a se vedea de pildă [161, cap. I I I , § 2). 0.5.6. PROPOZIŢIE. Pentru fiecare aeV

avem egalitatea

= t M : Y e V{B)}. Demonstraţia se poate găsi în [15], cap. I I I , § 2 . O consecinţă imediată a acestei propoziţii este estimarea |Y(*)I
0.5.8. TEOREMĂ. Fie B o algebră Banach comutativă, cu unitate. Există atunci un spaţiu topologic compact £2 şi un omomorfism de algebre cu unitate a â al algebrei B în C(£2) astfel încît | |

sup|â( â este o izometrie dacă şi numai dacă ||a2|| = \\a\\2pentru toate elementele aeB. Omomorfismul a â dat de teorema 0.5.8 se mai numeşte şi transformata Ghelfand. Detalii privind demonstraţia acestui rezultat pot fi găsite în [16], cap. I I I , § 2. Se ia, desigur, £2 = T(J5) şi a(y) = y(a) pentru orice y e V(B) (se poate consulta şi [7], cap. 2). Rezultatul care urmează reprezintă o extensie, datorată lui Stone, a teoremei clasice a lui Weierstrass privind aproximarea funcţiilor continue pe un interval compact al dreptei reale prin polinoame. 0.5.9. TEOREMĂ. Fie £2 un spaţiu topologic compact şi fie A o subalgebră a algebrei C(£2) cu următoarele proprietăţi: 1° algebra A conţine funcţiile constante; 2° dacă <*>!, ) =/(a>), ST^ spaţii topologice unde este compact iar Q 2 e s t e separat. Fie f : Q 1 - + Q 2 o aplicaţie continuă. Arătaţi atunci că mulţimea /(£2j) este compactă. Dacă /este şi aplicaţie bijectivă, arătaţi că inversa / _ 1 .-Da-^Qjeste o aplicaţie continuă (înlegătură cu observaţia 0.1.6.2°). 0.6.4. Fie {Mx, dj}, {Af 2 , d2} spaţii metrice şi fie funcţia / : Mx M2. Arătaţi că / este continuă In punctul x0 e Mx dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul {xjc}^l cz Mx cu xk —• x 0 (k oo) avem f(xjc) f(x0) (în legătură cu observaţia 0.1.12.2°).

26

0.6.5. Demonstraţi continuitatea operaţiilor de adunare şi de înmulţire cu scalari în spaţii normate (în legătură cu observaţia 0.2.2.2°). 0.6.6. Fie L un spaţiu liniar şi fie 9 : L X I - » C o aplicaţie cu următoarele proprietăţi: (x, x) > 0 oricare ar fi xe L, (ii) 9(01^3 + y) = oc^x^y) + Oa(x2, y) pentru orice x2,y e L şi a , , a 2 e C şi (iii) (x -f + ay, x -f- ocy) % 0 pentru orice a e C, unde x,y e L sînt vectori fixaţi, demonstraţi inegalitatea

i y) 12 < 9(*>x) 9(y> y)> care este o versiune a inegalităţii lui Schwarz. Utilizînd acest fapt, demonstraţi apoi inegalL. tateâ triunghiului: y)V2 <

9 ( x +y,x+

9(x,

x)1/2 +
<în legătură cu observaţia 0.2.5). 0.6.7. Fie H un spaţiu Hilbert. Un şir { a ^ c : H se numeşte slab convergent către vectorul x e H dacă şirul {<£*, z/>}* converge la z/> pentru fiecare y e H. Arătaţi că dacă şirul converge slab la XGH iar şirul {|| x*!!}]^ converge la || x||, atunci şirul converge la x în topologia lui H. 00

0.6.8.

un sistem ortogonal în spaţiul Hilbert B . Arătaţi că dacă J ]

I|£*ll2<

00

< 00, atunci seria JJ x* converge către un vector x eH şi are loc, „teorema lui Pitagora" :

£=1

00

l!*ll2 = J] !! **!!«. 0.6.9. Fie H un spaţiu Hilbert şi fie un sistem liniar independent de vectori din H. Vom defini şirul de vectori y} = xJ9 yn = xn — ( X » ^ + ... + X»f*_iî7»-i) (n ^ 2). (i) Determinaţi coeficienţii Xn* din condiţia yn e {ylf . .., yn-Sjl-Zin

> 2).

(ii) Dacă en = Hz/»!!-1 yn (n = 1, 2, 3, . . . ) , demonstraţi că spaţiul liniar generat de sistemul {xv x2, . . . } este egal cu spaţiul liniar generat de sistemul {elf e2, . . . } . Acesta este aşanumitul procedeu de ortogonalizare Gram-Schmidt (în legătură cu observaţia 0.2.12). 0.6.10. Arătaţi că orice spaţiu Hilbert separabil de dimensiune infinită este izomorf cu spaţiul Hilbert l2 format din toate şirurile a = (a 1? ccg, 03, . . . ) de numere complexe pentru care

(£ la*| J 00

\ l / 2

2

<00,

dotat cu operaţiile de adunare şi de înmulţire cu scalari pe componente, spaţiu pentru care aplicaţia a —• ||af| este o normă ce provine dintr-un produs scalar. Construiţi un izomorfism care să fie şi izometrie. Stabiliţi un rezultat similar pentru spaţiile Hilbert de dimensiune finită. 0.6.11. Fie L un spaţiu liniar şi fie 9 : L X L C o aplicaţie satisfăcînd condiţiile (ii) ş i (iii) de la exerciţiul 0.6.6. Arătaţi că are loc egalitatea 1 9(*> y) = —4

3

5j **9(

*=o

s +iky),

x,yeL,

unde i 2 = — 1. Această egalitate este cunoscută sub numele de relaţia de polarizare tură cu teorema 0.2.15).

(în legă-

27

0.6.12. Fie X un spaţiu Banach şi fie P : X —• X o aplicaţie liniară cu proprietatea P 2 = J> şi cu R(P), R( 1 — P ) închise. Utilizînd teorema graficului închis, arătaţi că P este un operator continuu. 0.6.13. Demonstraţi diversele caracterizări ale normei unui operator, enunţate după teorema 0.3.4. 0.6.14. Fie X, Y spaţii Banach şi fie T : X Y un operator liniar cu proprietatea (c0) : T este continuu în origine. Arătaţi echivalenţa dintre condiţia (c 0 ), condiţia (m) din observaţia 0.3.6.2° şi condiţiile 1® şi 2° din teorema 0.3.4. 0.6.15. Fie H, K spaţii Hilbert. Enunţaţi şi demonstraţi versiuni ale relaţiilor (i> (ii), (iii) şi (iv) din observaţia 0.3.13 pentru operaţia T T* definită de la K) în

H).

U.6.16. Fie H, K spaţii Hilbert şi fie T e K). Atunci au loc egalităţile (i) N(T*) = = R(T).l şi (ii) R(T*) = N(T)±. Indicaţie. în demonstrarea egalităţii (ii) folosiţi (i), relaţia (H^)1 = H0 valabilă pentruorice subspaţiu liniar H0 al lui H precum şi faptul că T**(= (T*)*) = T (conform exerciţiului 0.6.15). 0.6.17. Utilizînd teorema Hahn-Banach, arătaţi că aplicaţia x Fx a lui X în X** = ( X * ) * definită la 0.3.14 este o izometrie şi realizează un izomorfism între spaţiul BanachX şi un subspaţiu închis al lui X**. Spaţiul X se numeşte reflexiv dacă {Fx : i e X } = X**. Utilizînd teorema 0.3.11, arătaţi că orice spaţiu Hilbert este reflexiv. 0.6.18. Două spaţii Hilbert H şi K se numesc unitar echivalente dacă există o aplicaţie unitară U: H K. Arătaţi că orice spaţiu Hilbert separabil este unitar echivalent sau cu Cn pentru un anume n sau cu Z2. Mai general, arătaţi că două spaţii Hilbert sînt unitar echivalentedacă şi numai dacă bazele lor ortonormale au acelaşi cardinal (în legătură cu exerciţiul 0.6.10). 0.6.19. Cu notaţia din definiţia 0.3.14, arătaţi că intersecţiile finite de mulţimi din familia {V(x; A, s ) } se pot scrie ca reuniuni de mulţimi din familie. Pe baza acestui fapt, arătaţi că reuniunile arbitrare de mulţimi din această familie formează o topologie (care este a(Ef topologia lui E). 0.6.20. Fie Q, un spaţiu topologic. Arătaţi că orice combinaţie liniară de funcţii caracteristice de mulţimi boreliene este o funcţie simplă. Obţineţi de aici faptul că Be(Q) este o algebră: comutativă , cu unitate (în legătură cu exemplul 0.4.9). 0.6.21. Fie f e Be(Q) cu reprezentările f = *iX c' + ••• +

a

»Xc' =

••• +

ca în exemplul 0.4.9. Arătaţi că pentru orice pt 6 M(Q) avem + .. . +

anp.(S'n)

=

+ ... +

ceea ce îndreptăţeşte definiţia 0.4.12. 0.6.22. Fie {fk}°?=1 un şir de funcţii din B(Q) cu proprietatea că seria E/* este uniform convergentă în B(Cl). Folosind o variantă a estimărilor din observaţia 0.4.15, arătaţi că

A=1 J 0.6.23. Fie £2 un spaţiu topologic, fie pi e M(£l) o- măsură pozitivă şi fie p ^ 1 un număr fixat. (i) Arătaţi că adacă f e Be(Cl) atunci \f\p e Be(Cl) şi \f\v se poate reprezenta sub forma OL±XS -f • • • + »Xsn» 1111(16 ai> •••>«» s î n t nenegative.

28

Utilizînd (i), vom putea deci defini cantitatea iVP \\f\\p= I V l f i * ^ ) , f

-ft'H •

e

Be(Q).

(ii) Acceptînd inegalitatea clasică a lui Minkowski

l(h + h)* + ... + ( , , + tn)p]U» < («f + . .. + s*)1'* + (tf + • • • + i*)1'** valabilă pentru orice numere nenegative sx, . . . , s», tJf . . . , tn, demonstraţi faptul că aplicaţia f WfWp are proprietăţile 2° şi 3° din definiţia 0.2.1 (z se vedea şi exerciţiul 4.6.9). Aşadar, ceea ce lipseşte aplicaţiei WfWp să fie normă este implicaţia \\f\\p = 0 => f = 0, care nu este,'în general, adevărată. într-adevăr, dacă S e Bor(Q), S # 0 dar jx(S) = 0, atunci Xs ^ O însă | | X * | | p = 0 . (iii) Arătaţi că mulţimea N*([L) = {f e Be(Q): WfWp = 0} formează un subspaţiu al lui Be(Q). Vom considera acum spaţiul factor

Jp(\l) = B^Q)lNp(\i)t pe

care vom defini aplicaţia

72,

|| f + A (^)IIp= WfWp, f e Be(Cl). (iv) Arătaţi că llf -f Atî,(ja)||j> nu depinde de reprezentantul f al clasei şi defineşte o normă p pe spaţiul J ([L). P p Vom nota cu L (Q, jx) spaţiul Banach obţinut prin completarea spaţiului normat J (\i) (în sensul teoremei 0.2.14). Identificînd funcţiile egale jx-aproape peste tot, spaţiul LP(Q, yî) poate fi şi el privit ca un spaţiu de funcţii (pentru detalii se pot consulta [8], [10] sau [12]). (v) Arătaţi că spaţiul L2(Q, jx) este un spaţiu Hilbert. 0.6.24. Fie Q x , Q 2 spaţii topologice compacte. Fie apoi 2e C(Q2)*. Vom considera subalgebra A a algebrei C(Q! X D 2 ) a funcţiilor cu „variabile separate" : /i(co5, co2) = J ] f}(<*x) g>(co2), Ue gs e C(Q2), ie/ unde J este o familie finită de indici. (i) Arătaţi că subalgebra A îndeplineşte condiţiile teoremei 0.5.9. în virtutea teoremei 0.5.9, algebra A este densă în C(fl 1 xfl 2 )- P r i n urmare, dacă F e C(Qj X X D £ ) este o funcţie arbitrară, pentru orice z> 0 există /ie A astfel încît \\f — h || < e. în particular, cu reprezentarea dc mai sus a lui h,

gj(<*2) < e, cox e Q 1 5 co2 = Q2. ie/ I Vom considera funcţia o>3 (F) = 2,«,(%. «*)))• e C(QX X Q2). F((o15 co2)

— Jj

(ii ) Arătaţi că q> este o funcţională liniară şi continuă pe C(Qj X Q2). Dacă ţilf TfXg sînt măsurîte care corespund fimcţionalelor şi respectiv
fx2 = ^

^

dfA2

)

=

^

**** d f A l )

^

pentru orice F e C(Qj x Q 2 ). Această formulă reprezintă o versiune a teoremei lui Fubini de permutare a integralelor iterate.

2»

1. CALCUL FUNCŢIONAL ANALITIC

î n cuprinsul acestui capitol vom prezenta construcţia calculului funcţional analitic pentru elementele unei algebre Banacli şi pentru operatorii liniari nemărginiţi într-un spaţiu Banach. Prezentarea este însoţită •de cîteva rezultate privind funcţiile cu valori vectoriale.

1.1. INTEGRAREA FUNCŢIILOR VECTORIALE Fie £2 un spaţiu topologic şi fie X un spaţiu Banach cu norma || • ||. JSTe propunem să construim integrala unor funcţii definite pe £2, cu valori în X, în raport cu o măsură jjl g Jf(£2) (a se vedea deifniţiile 0.4.5). Vom considera mai întîi funcţii vectoriale simple, definite prin analogie cu cele scalare (exemplul 0.4.9). 1.1.1 DEFINIŢIE. O aplicaţie de forma / M

— £

r

X s3/ ® ) ® *

G

unde J este o familie finită de indici, {8j}jej c Bor(£2), U {8j :j e j } = £2, Jgj n sk=z 0 (j ^ Jc) şi xj e X sej numeşte funcţie simplă (sau etajatăcu miori în X. iVom nota cu Be(Q2, X) mulţimea funcţiilor etajate pe £2, cu valori în X. Este uşor de văzut că suma a două funciţii etajate este o funcţie e t a j a t ă ; clasa fiind evident stabilă la înmulţirea cu scalari, rezultă că familia Be(£2, X) se poate organiza ca spaţiu liniar. P e spaţiul Be{C2, X) vom putea defini o normă prin relaţia 11/11 = s u p | | / ( « ) | | , / 6 B e ( Q , Z ) . 1.1.2. DEFINIŢIE. Fie p . e J f ( f i ) şi fie / e £,(£2, X), reprezentată ca în definiţia 1.1.1. Vom introduce integrala funcţiei / în raport cu măsura ja prin relaţia

30

Daca S eBor(Q), definim integrala funcţiei / în raport cu măsura mulţimea 8 prin relaţia ţ/dji } s

pe

= [ Xsf dfi - £ viS, n 8)xs. J ie/ ieJ

Vom mai nota aceste integrale prin ^/(co)dfi(co) şi respectiv ^/(a>)d|x(
Be (Q, X)3f-+

^/(<*>) djxfco) e X este corect

definită, liniară şi satisface estimările ^/(
; £).

| Demonstraţie. Independenţa integralei de reprezentarea funcţiei / se obţine ca şi în cazul scalar (exerciţiul 0.6.21). Mai precis, dacă / = Xs1 xi + • • • + Xsn°°nj printr-o grupare convenabilă a termenilor obţinem o reprezentare unică de forma / = Xs' xi + • • • + Xs' x*n unde 1 n ..., x'n, sînt vectori distincţi. Atunci avem egalitatea n 8)xx + + ... + \L(S» n 8) xn = [x(/Sfl n S) x[ + ... +\L(S'n, fi 8) x'n„ adică independenţa dorită. Vom obţine acum aditivitatea integralei pe spaţiul Be{Q, X). Fie / = JJ Xs' 9 = £ Xs" V* două funcţii din Ue(£î, -Z), cu reprezenjej

'

ksK

*

tarea din definiţia 1.1.1. Atunci funcţia f+9=

i>*

1

*

+V*)

este reprezentată ca în definiţia 1.1.1, prin urmare, pe baza primei părţi* vom putea scrie că (/ +g) djx = £ v.(S j.k

5

n

Si n £%)(*, +yk)

=

= £ \l(8 nfl}n 8i)xs + £ ^{S n S's n ;>*

= 1 / d^ +C«dii. Js sJ întrucît demonstrarea omogenităţii integralei este simplă, deducem de aici liniaritatea integralei pe spaţiul jBe(Q, X). 31

Fie din noii feBe(Q, X) cu reprezentarea din definiţia 1.1.1. Să remarcăm atunci că funcţia co -> ||/(co) || este din Be(Q) şi că putem scrie, în virtutea teoremei 0.4.7, următoarele relaţii: /(co) d{x(co)

<

\viS<\S,)\

jej

- [ II/(<•>) II t>(n; da>) = [ J

1

s

J

Xs(a>)

<

jej

11*0*5

s n

=

||/(
ridică estimările din enunţul lemei. Integrala introdusă prin definiţia 1.1.2 se poate extinde la o clasă mai largă de funcţii vectoriale, suficient de bogată pentru a satisface cerinţele noastre. 1.1.4. D E F I N I Ţ I I . Completatul spaţiului normat -Be(Q, X) (în sensul teoremei 0.2.14) va fi notat cu B(Q, X). Acesta este un spaţiu Bananch de funcţii pe £2, cu valori în X, care sînt limite (uniforme) de şiruri de funcţii din JBe(£î, JC), cu norma dată de aceeaşi formulă ca în definiţia 1.1.1 (exerciţiul 1.7.3). Fie / e B(Q, X) şi fie {/*}£,! <= Be (£2, X) astfel încît fk f (fc-* oo) In -B(£î, X). Pentru fiecare fx e J f ( Q ) şi S e Bor(Q) vom defini = l i m ^ / * d[j..

s 1.1.5. PROPOZIŢIE.

s

Aplicaţia

B(n, s

•este corect definită, liniară şi satisface

estimările

^ /(co) dfi(co) | < ^ ||/(co) || «(jjl ; dco) C s u p U ^ I K f x ; 0). s

s

Demonstraţie. Fie f e B(£l, X) şi fie {/*}*Li <= .Be(fl, X) un şir convergent către / în £(£2, X). î n baza liniarităţii integralei pe Be(Q, X) şi a estimărilor sale (lema (1.1.3), putem scrie că - ^ d p i l l ^ ||/, - / , | | i > 0 i ; flf)->0 (ft, m - > oo). 5

S

Aceasta ne arată că şirul | ^ f k dpi| este convergent 5

32

în X. Mai mult

decît atît, limita

dpi nu depinde de şirul {/*}*. într-adevăr,

dacă

s {9k}kLi c X) este un alt şir convergent către / în J3(£2, X), o relaţie similară cu cea de dinainte (în care înloucim pe fm cu gk) ne arată că şirul d[i| converge tot către ^ / dfx, ceea ce atestă corectitudinea defi5

5

niţiei integralei. Dacă /, g sînt funcţii arbitrare din 2?(£î, X) şi dacă / = lim/ fc , g = k-¥QO

= lim gk cu f g £-•00

k

G

X), atunci vom avea

J (/ + 9) du = l i m J (/* + g k ) dix s s

^

+ ^ djx, s

s

în baza aditivităţii integralei pe spaţiul B (£i, X). Demonstrarea omogenităţii integralei o lăsam pe seama cititorului. î n sfîrşit, estimările afirmate în enunţ se obţin din cele demonstrate în lema 1.1.3, prin simplă trecere la limită. 1.1.6. TEOREMĂ. Fie fit un spaţiu topologic, fie X, Y, spaţii Banach si fie T G V(X, Y). Vom considera o funcţie f e B(fi, X) astfel încît /(oo) GD( T) oricare ar fi o> GQ. Daca T ° / G B(Q, Y), atunci are loc egalitatea

s s oricare ar fi U. G M(Q) şi S G Bor(Q). Demonstraţie. Deoarece f G JB(H, X), pentru orice întreg m ^ 1 există o funcţie fm^ Be (O, X) astfel încît ||/ — < 1/(2m). î n mod analog există )= J] X s ' M ^ , flrjco) = ie/m

'

în sensul definit la 1.1.1. Yom nota <*jk e şi vom defini funcţia

£

Xs'/f*»)»»

Ae/Cm

=

n

*

vom fixa punctele

j,k Să remarcăm că pentru fiecare wgQ există o pereche unică de indici (j, 7;) astfel încît w e Sjk. Atunci / m (w) = /m(coifc), deci vom avea !!/(<*) - *»(«)ll < l l / M -/»(*>) II + | | / J c o ) - hm(<*)\\ < l/m, oricare ar fi co G £2. î n mod asemănător, (|( T o /)(*>) - (T o fej(co) || < 1 im,
Deoarece operatorul T este închis, graficul său G{ T) este un subspaţiu închis în X x Y. Proprietăţile şirului {Jim}m ne arată că funcţia ?

= (/, T •/) = lim (Km, T . Jim) m-* oo

este un element în B(Q, G(T)). Din modul în care se calculează integrala unei funcţii cu valori într-un spaţiu produs (a se vedea exerciţiul 1.7.4), rezultă că K / d n ^ I s s

s

Prin urmare,

dji e D( T) şi

-fd^eO(T).

^/dp.^ = ^ T <> f d(i.

1.1.7. COROLAR. Fie ft, Y ca în teorema precedentă. Daca Te: e JSf(X, Y) şifeB(Q, X), atunci T « / e B f Q , Y) si are loc egalitatea

s

oricare ar fi

s

e M(£l) şi S e Bor(£2). In particular, dacă Y = C,

s

s

oricare ar f i x* e X*. Demonstraţie. Vom rc marca doar faptul că dacă {/*} c Be(Q, X) şi / * - > / ( & - * oo) în JB(Q, X), atunci T *fke Be(a, Y) şi T • T • / în X). Restul afirmaţiilor rezultă din teorema precedentă. 1.1.8. OBSERVAŢII. 1° Teorema 1.1.6 se poate utiliza, în particular, la obţinerea unor rezultate legate de derivarea integralelor depinzînd de parametri (ea în exerciţiul 1.7.5). 2° A doua pai te a corolarului 1.1.7 se poate utiliza la stabilirea unor formule pe care le satisfac anumite integrale vectoriale, în baza validităţii variantelor scalare ale acestor formule (de exemplu formula lui Cauchy, teorema lui Fubini etc.). î n cele ce urmează vom avea nevoie de un concept mai general decît cel oferit de definiţia 0.4.8. 1.1.9. D E F I N I Ţ I E . Fie Q v spaţii topologice. O aplicaţie/: Q, -» -»£22 se numeşte boreliană d a c ă / " 1 ^ ) e B o r ^ ) , oricare ar fi £eBor(Q 2 ). 1.1.10. LE MĂ. 0 aplicaţie f : Clx -> fl 2 es^e boreliană dacă şi numai dacă f'\8) eBor(Q 1 ) pentru orice parte deschisă (închisă) 8 c £2a. 34

Demonstraţie. Necesitatea

condiţiei este evidentă. Invers, fie

£ = {S cz £î2 if-^S)

e

Bor^)}.

Să remarcăm că S este o cr-algebră. într-adevăr, 0 e ăi iar dacă S eâi, atunci f'HQ^S) = Q^f'HS) G B o r ^ ) , deci şi a 2 \ S G 3. î n sfirşit, dacă c atunci H U S*) = U f - W e B o r ^ ) , \k=i J k=\ deci { j {Sk : fc > 1} e Jf, ceea ce arată că B este o cr-algebră care conţine, prin ipoteză, părţile deschise (sau închise) ale lui Q2. Aşadar, ăt n n Bor(£î2), de unde rezultă faptul că / este boreliană. î n particular, avem următoarea afirmaţie : 1.1.11. COROLAR. Orice aplicaţie continuă f : Clz este boreliană. Situaţia care ne interesează, pentru moment, este aceea a funcţiilor cu valori vectoriale. 1.1.12. LEMĂ. Dacă / e B(Q, X), atunci f este o aplicaţie boreliană. Demonstraţie. Dacă funcţia / ia valori constante pe un număr finit de mulţimi boreliene a căror reuniune epuizează întreg spaţiul, rezultă că preimaginea oricărei submulţimi din X este o reuniune finită de mulţimi boreliene, deci ea însăşi boreliană. Aşadar funcţiile din Be{Cl, X) sînt boreliene. Fie acum / G JB(£Î, X) arbitrară şi fie {fk}t=i c X) un şir care converge la / în J5(Q, X). Fără a micşora generalitatea, vom putea presupune că ||/ —/* || ^ h" 1 oricare ar fi fc^ 1. Yom fixa o parte închisă JS c X şi vom defini mulţimile 8k = {xeX:

inf ||a? - y || <

yes

fc"1},

1.

Este uşor de văzut că mulţimile Sk sînt închise în X. Yom demonstra egalitatea r m

=

n / r w -

într-adevăr, dacă coe/ _1 (S), din relaţia ||/(a>) — /*(<*>) ]| < fc"1 rezultă f k (o>)eS k , deci w e / ^ ţ S t ) , oricare ar fi 1. Reciproc, dacă co G/* 1 ^*) pentru orcie fc> 1, în baza definiţiei mulţimii Sk vom putea alege un vector xke8 astfel încît ||/*(co) — xk\\ < ^ 2fe~1. Să remarcăm atunci că ll/M - ®*ll < ll/(<*>) —/*() (fe oo). Mulţimea $ fiind închisă, obţinem J(<*)eS. Din faptul că funcţiile simple sînt boreliene, din reprezentarea mulţimii / _1 (£) Şi din aceea că familia Bor(£î) este închisă şi la intersecţii 35

JWmăi abile (fiind închisă la reuniuni numărabile şi la operaţia de complementaie), rezultă că mulţimea / - 1 ($) este boreliană, oricare ar fi S c X închisă. Pe baza lemei 1.1.10 obţinem că / este boreliană. 1.1.13. LEMĂ. Dacă f e J3(Q, X), atunci şubmulţimea f(Q) este relativ compactă în X. Demonstraţie. Fie s > 0 şi fie / e J3e(£î, X) astfel încît ||/— / 6 || < < e/2. Funcţia fe are doar un număr finit de valori, să zicem yly ..., yn&. Fie 1 există un număr finit de puncte x} =• = j(W (j e Jm) astfel încît /(Q)

{xeX

c= ţ j

:

||a?

—

^

m'1}.

jejm Mulţimile Sj = / - 1 ( { # e X : \\x — xs\\ < m'1}) sînt în Bor(Q), prin ipoteză. Definind prin recurenţă, S1 = S2 = Sk = S'k\S1

U S2 U . . . U

k> 2,

obţinem o familie finită de mulţimi boreliene disjuncte două cîte două r a căror reuniune este întreg spaţiul fit. Definind funcţia simplă

/.(«)= £

jejm

/(«,),

obţinem !!/(") - f m (
ceea ce arată că şirul de funcţii simple converge uniform către funcţia / . Aşadar, / g JB(Q, X), ceea ce încheie demonstraţia. 36

1.1.15. D E F I N I Ţ I E . Fie £} un spaţiu topologie compact. Yom nota cu C(£î, X) mulţimea tuturor funcţiilor continue, definite pe £1, cu valori în X. Dotat cu operaţiile uzuale şi cu norma definită prin supremul funcţiilor pe £i, spaţiul C(£2, X) devine spaţiul Banach (exerciţiul 1.7.6). 1.1.16. COROLAR. Dacă £i este un spaţiu topologic compact, atunci C(Q, X) este un subspaţiu închis în I?(£î, X). Demonstraţie. Funcţiile continua sînt boreliene în virtutea corolarului 1.1.11. Prin urmare, teorema 1.1.14 ne asigură că orice funcţie continuă pe un spaţiu compact este din J3(Q, X). î n sfîrşit, deoarece normele în spaţiile £(£2, X) şi C(Q, X) se definesc prin aceeaşi formulă, 0(£2, X) este subspaţiu închis în JB(£2, X). Corolarul 1.1.16 permite integrarea funcţiilor vectoriale continue pe un spaţiu topologic compact în raport cu orice măsură Radon.

1.2. FUNCŢII ANALITICE VECTORIALE Fie X un spaţiu Banach fixat. 1.2.1. DEFINIŢIE. O expresie de forma f\w*xk9 A=0

(1.2.1)

unde w e C şi xk e X pentru orice fc^ 0, va fi numită serie formală (cu coeficienţi în X). Vom ataşa expresiei (1.2.1) cantitatea p =

SSjtfJ1'*. A-*oo

Baza de convergenţă a seriei formale (1.2.1) va fi dată de B = p"1, în care luăm R = oo dacă p = 0 şi R = 0 dacă p = oo. Situaţia care ne interesează este atunci cînd 0 < R < oo. 1.2.2. LEMĂ. Fie JJ wkxk o serie formală cu raza de convergenţă R>0. Această sene este convergentă pentru fiecare punct weC cu \w\ < 22; în plus, convergenta este uniformă pe mulţimile de forma {w e C : \w] < rj, unde 0 < r < R. Demonstraţie. Evident, a doua afirmaţie o implică pe prima. Fie deci p = R'1 (p # oo, datorită ipotezei) şi he 0 < r < R. Vom fixa un număr e > 0 cu e < r" 1 — p. Din definiţia lui p rezultă existenţa unui indice fc(e) astfel încît M

< (P + «*), * > « « ) -

Notînd J f e = max {1, \\xt ||/( p + e)*, fc = 1, . . . , fc(e)), 37

deducem că I M < Mz(9 + e)*, k>l. Deoarece p + e < r~ , avem r( p + e) < 1 şi deci x

£

w*

*to

1 — r( p-f-e)

de unde rezultă toate afirmaţiile lemei. 1.2.3. DEFINIŢIE. Fie JJ c C o submulţime deschisă. Yom spun© că funcţia / : JJ X este analitică (olomorfă) în JJ dacă pentru fiecare OD punct z0 € JJ exfttă o serie formală J] wkxk cu raza de convergenţă JS>0, *=e

astfel încît /(*)=E(*-*o

Y-x^zeU,

*=0

\z —£0]< -K-

Yom nota cu J.(J7, X) mulţimea funcţiilor analitice în 17, cu valori în X 1.2.4. LEMĂ. I 6 Dacă f e A(JJ, X), atunci f este continuă pe JJ. 2° J>ocâ o funcţie f : JJ X este analitică, atunci x* • / este o funcţie analitică scalară, oricare ar fi x* e X*. Demonstraţie. 1° Fie z0e U un punct fixat. î n baza definiţiei 1.2.3 şi a lemei 1.2.2, există o vecinătate compactă a punctului z0 astfel încît / este limita uniformă a unei serii ale cărei sume parţiale sînt evident funcţii continue. Aşadar, funcţia f este continuă în vecinătatea unui punct arbitrar, deci continuă peste tot în JJ. 2° Dacă / este analitică în JJ şi are în vecinătatea punctului z0 reprezentarea descrisă în definiţia 1.2.3, atunci, pentru orice x* e X * , seria oo

es

Yt

^ e convergentă pentru \z — ze f < E, deci funcţia x* • /

este o funcţie analitică scalară (a se vedea şi propoziţia 1.2.10). Pentru a determina proprietăţile algebrice ale spaţiului A(U, mai avem nevoie de cîteva afirmaţii privind seriile formale.

X),

1.2.5. LEMĂ. 1° Suma a două serii formale cu raza de convergenţă nenulă este o serie formală cu raza de convergenţă nenulă. 2° Dacă spaţiul valorilor este o algebră Banach cu unitate, atunci produsul a două serii formale cu raza de convergenţă nenulă este o serie formală cu raza de convergenţă nenulă. Demonstraţie. 1° Fie JJ wkxkJ wky* două serii formale astfel încît *>o

*>o

1

Pl

3&

= S m 11% II '* < oo, p2 = I t o | j y t | r < oo.

h-¥QO

k-*oo

Să obserrăm că u S ||®,||v* +k-*oo u 5 T | | y , r * = Pl + P2 < oo. h—*QO + y » i r < k-*oo Aşadar, seria formală J] wk(xk -\-yk) are raza de convergenţă nenulă. *>0 2° Să presupunem că X = B, unde B este o algebră Banach cu unitate. Să considerăm seriile formale (cu coeficienţii în B) W*AK şi *> o

J>]

şi să notăm, ca la punctul precedent, k-*oo

k-* oo

Să remarcăm că *>Q

*>0

*>0

/>+*«*

Folosind argumentul utilizat în demonstraţia lemei 1.2.2, existenţa unor numere 1, M'z' > l astfel încît \M <

deducem

+ »/2)*, HM 0 este un număr dat. Yom putea scrie atunci că II £

apb9\ < M'sM't'

£

(Pi + e / 2 ) M p 2 + e/2)f < Jf i If i' ( P l + P2 +«)*,

de unde lim

k—¥co

I

< Pl +P2,

deoarece £ > 0 este arbitrar, ceea ce încheie demonstraţia. 1.2.6. PROPOZIŢIE. Fie P c C o mulţime deschisă. Atunci A(TJ,X), dotată cu operaţiile uzuale de adunare şi de înmulţire cu scalari, este un spaţiu liniar. Dacă X este o algebră Banach cu unitate B, atunci A{ Z7, B) este o algebră. Demonstraţie. Fie / 2 e A( 17, X). Atunci funcţia / = fx + / 2 [unde f(z) = f±(z) +/ 2 (z), ^ G o funcţie analitică, în baza primei părţi a lemei precedente. Dacă X este o algebră Banach cu unitate, atunci funcţia g = /1/2 [unde 0(3) =/i(2)/ 2 (s), 3 e U] este o funcţie analitică, în baza părţii a doua a lemei 1.2.5. 1.2.7. D E F I N I Ţ I E . Fie I = f* € R : *0 < * < un interval compact al dreptei reale şi fie 5 : 1 C o funcţie continuă cu variaţie mărginită (a se vedea [4], cap. 5, §1). Yom presupune că £(s0) = tfo) dar £($') ^ £($") pentru orice altă pereche de puncte diferite ss" din I . î n acest caz imaginea Y = £(1) se va numi curbă jordaniană rectificdbilă. 39

D a c ă / e C( T, X), atunci putem defini integrala curbilinie a funcţiei / pe curba V prin formula

unde, în membrul drept, d£(s) desemnează măsura Lebesgue-Stieltjes asociată funcţiei cu variaţie mărginită ^ (a se vedea [8], cap. I I I , § 5). Integrala curbilinie depinde doar de funcţia / şi de mulţimea V, nu şi de reprezentarea lui V ca imagine a lui I prin funcţia \ (exerciţiul 1.7.8). Fie A c C o mulţime deschisă, relativ compactă. Yom nota cu T frontierea mulţimii A şi vom presupune că F = I \ U . . . U VmJ unde riy r m sînt curbe jordaniene rectificabile, care nu se intersectează două cîte două. Mai presupunem că = I j = [seR: s0J < s < 8U}, j = 1, ..., ra. î n baza teoremei clasice de separare a lui Jordan (o demonstraţie a acestei teoreme poate fi găsită în lucrarea [15]), fiecare curbă T, este frontiera unei mulţimi deschise, relativ compacte şi conexe A, (formată din punctele aflate în „interiorul" curbei T}). Yom spune că sistemul finit de curbe jordaniene rectificabile V este pozitiv orientat (în raport cu A) dacă acest sistem satisface următoarele cerinţe : (i) dacă A, n A ^ 0 , atunci curba r , este parcursă de către punctul ţjţs) în sens contrar acelor unui ceasornic, atunci cînd s variază de la s0t} la slt); (ii) dacă A; n A = 0 , atunci curba T; este parcursă de către punctul ţ}(s) în sensul acelor unui ceasornic, atunci cînd s variază de la 8 0J la s lt ). Indiferent de orientare, din aditivitatea integralei avem relaţia ^f(ţ)

di;,

r r; unde £ : V C este dată de \! Vj = Z} (j == 1, ..., m). Rezultatul care urmează reprezintă o extensie vectorială a formulei lui Caucliy. 1.2.8^ TEOREMĂ. Fie U c= C o mulţime deschisă şifiefeA(U, X). Fie A c= A c= U o mulţime deschisă, relaliv compactă, a cărei frontieră V este formată dintr-un sistem finit de curbe jordaniene rectificabile, care nu se intersectează două cîte două, pozitiv orientat. Atunci 2 TZ i J

l 0,

Demonstraţiîntr-adevăr, - M < * 2 7d j 40

«

daca z Ţ A.

dacă x* e X*, atunci u

= I ?m)> l 0,

T * * e A daca « ţ A,

în baza formulei lui Cauchy pentru cazul scalar (a se vedea [1], cap. III, § 2) şi a lemei 1.2.4.2°. Din corolarul 1.1.7 deducem însă că l ( i - sy-1 **(/(«) d i = ** [(l - sY''fi l) d i\ 2 ni J L 2tc1 J J r

r

Funcţionala x* fiind arbitrară, egalitatea din enunţ este o consecinţă simplă a observaţiei 0.3.9. Un alt rezultat clasic care se extinde la cazul vectorial (şi de care vom avea nevoie în viitor) este teorema lui Liouville : 1.2.9. TEOREMĂ. FiefeA(C, X). Baca mulţimea valorilor funcţiei f este mărginită în spaţiul X, atunci funcţia f este constantă. Demonstraţie. î n virtutea ipotezei, funcţia x* este mărginită pentru fiecare x* e X*. î n virtutea teoremei lui Liouville pentru funcţii scalare ( a se vedea [1], cap. II, §3), x* • / este o funcţie constantă. Dacă f(zi) # 2) pentru o pereche de puncte z2 din planul complex, atunci putem alege o funcţională x* e X * astfel încît x*(f(zî) — f(z2)) # 0 (în baza observaţiei 0.3.9), ceea ce contrazice faptul că x* este funcţie constantă. Să observăm, în continuare, câ olomorfia se păstrează prin aplicaţii liniare şi continue. 1.2.10. PROPOZIŢIE. Fie U c C o mulţime deschisă, X, Y spaţii Banach şi fie T e J?(X, Y). Pentru orice / e i ţ î J , X) acewi T*feA(U,Y). Demonstraţie. Fie, maîîntîi, J] wk'xko serie formală cu coeficienţi în X, avînd raza de convergenţă nenulă. Atunci seria formală, J]

Txk (cu coe-

o

ficieliţi în Y) are raza de convergenţă nenulă. deoarece ttm||Ta?t|p'*
h-* OO

Dacă f eA(U, X), atunci funeţia> T «/ este suma unei serii formale convergente în vecinătatea fiecărui punct z0 e Z7, în baza observaţiei de sus şi a continuităţii operatorului T, deci T ° / e C, Y). î n teoria spectrală a operatorilor un rol important este jucat de aşanumitele funcţii analitice la infinit. 1.2.11. D E F I N I Ţ I E . Fie ii c C o mulţime deschisă de forma Q = = C\2T, unde K cz C este o submulţime compactă. Fie / e j4(£2, X). Vom spune că / este analitică la infinit dacă lim f(z) există în X. Vom nota cu Z-¥ OO

^oo (Q, X) subspaţiul liniar al funcţiilor din JL(Q, X) care sînt analitice la infinit. Mai notăm /(00) = Z-*lim f(z). OO 1.2.12. LEMĂ. Fie TJ a C o mulţime deschisă şi fie z0 e U. Dacă feA( U\\z0},X) şi dacă sup {||/(»)||: z e U\{z0}} <00, aiuncif admite o extensie, notată tot eu / , astfel încît f e A( 17, X). 41

Demonstraţie. Fie r>O astfel încît {zeC: \z — zQ\ ^r} cz 17 şi fie p > O cu p O . Fie apoi V9 = dAp şi Tr =
J_

d(Ar\Âp)

= —-— \ (w — z) ~1f(w)dw 2 ni J

-— \ (w — z) ~l f(w)dw 2 ni ]

Tr

Fp

(semnul minus apare deoarece luăm pe cercul Tp orientarea pozitivă). Să observăm că lim—-—\ P-O 2 ni J r

(w

— z)~1f(w)w

=

P

2TZ

= lim-^- [ (z0 + peie - z ) - ^ f ( z 0 + peie) d6 = 0 P-O2TT J

o

(în care a m substituit w = z0 + peid, 0 < 8 <2tt;), deoarece funcţia car© apare sub cea de-a doua integrală este mărginită (datorită ipotezei asupra funcţiei /). Aşadar, avem f(z) = _ L _ i (W - z ) - 1 f(w)dw,

z e A r \{s 0 }.

2 7Tl J

rr Deoarece integrala din membrul drept al acestei egalităţi este o funcţie analitică şi în punctul z0, rezultă de aici că însăşi funcţia / se poate prelungi ca funcţie analitică în mulţimea Z7. 1.2.13. COROLAR. Fie £2 = C\J5C, unde EczC este compactă, şi fie XeQ. Definim £2q = {(z — X ) - 1 : e £2} U {0}. Atunci avemfeA^^X) dacă şi numai dacă g e A(Q0, X), unde g(w) =/(to" 1 + X), w e h0. Demonstraţie. Yom defini aplicaţia 9 : C» C», unde 9(z) = w = = (z — X)"1, cu 9(00) = 0 şi 9(X) = 00. Deoarece lim f(z) există dacă şi numai dacă lim g(u>) există, afirmaţia rezultă pe baza lemei precedent©. Mulţimea £20 este deschisă fiindcă Q0 = 9(Q U {00}) şi 9 este omeomorfism. 1.2.14. D E F I N I Ţ I E . Fie A c C o mulţime deschisă, cu proprietatea eă C \ A este compactă în C. Să presupunem că frontiera V a mulţimii A este formată dintr-un sistem finit de curbe jordaniene rectificabile, care nu se intersectează două cîte două. Sistemul V este atunci şi frontiera mulţimii deschis© A c = C \ A , care este relativ compactă. Yom spun© că T ©st© u n sistem de curbe jordaniene rectificabile pozitiv orientat (în raport cu A) dacă 42

F este negativ orientat în raport cu Ac (adică fiecare curbă din sistemul F este parcursă în sens invers faţă de cel considerat la orientarea pozitivă). Sîntem acum în măsură să demonstrăm formula, Cauchy la infinit. 1.2.15. TEOREMĂ. Fie £2 complementar ea unei mulţimi compacte din C. Dacă A c A cz Q este complementarea unei mulţimi compacte din C şi r = dA este un sistem finit de curbe jordaniene rectificabîle care nu se intersectează două cîte două, pozitiv orientat, atunci avem reprezentarea /(OO)

+

-

M

(

-

W

,)-!

f (

W ) ă W

=

1

/<*)'

2 7ri J [0, daca z $ A, r oricare ar fi f e ^4oo(£î, X). Demonstraţie. Deoarece r = dA ^ 0 , avem A c = C \ A ^ 0 , deci putem fixa un punct X e Ac. Yom considera apoi funcţia
-> C» definită ca în corolarul 1.2.13. Yom nota A0 =
-T^T-[ ( l 2 7Cl

J

- *)-V<»

= -t^T-((^T1+ x - z ) ^ g ( n ) ( 2 7Cl J r.

r

d

n

=

2tt1 J r0

Dacă z e A, atunci w =
1.3.1. DEFINIŢII. Fie ae B na element fixat şi fie aB(a) spectrul său (definiţiile 0.5.4). Oomplementarea spectrului pB(a) = C\
g (_l)*(s

-a)"*"1

A=0

este convergenta în B şi defineşte inversul elementului z — a. (ii) Dacă ze C satisface estimarea \z\ > r(a), atunci seria £ z-*"1 ak *=o

este convergentă în B şi defineşte inversul elementului z — a. Demonstraţie. (i) Să remarcăm că k-¥QO În baza lemei 1.2.2, dacă \z — z0\
- a)"* = 1.

Un calcul similar, cu z — a la dreapta, ne arată că seria din enunţ este inversul elementului z — a. (ii) Seria formală J] wk+1ak este convergentă pentru J w\ r(a). *>0

44

C n calcul asemănător cu cel de la (i), pe care-1 lăsăm pe seama cititorului ea exerciţiu, ne arată că această ultimă serie defineşte inversul elementului 2 — a. 1.3.3. TEOREMĂ. Pentru fiecare element aeB mulţimea aB{a) este o parte compactă şi nevidă a plamdui complex. Demonstraţie. Din lema 1.3.2 rezultă că mulţimea pB{a) este deschisă şi conţine submulţimea {z e C : \z\ > r(a)}; prin urmare, spectrul aB{a) este o sumbmulţime închisă şi mărginită în plan. Să demonstrăm că aB{a) # 0 . Pentru aceasta vom remarca mai întîi că funcţia z (z — a)~L este analitică în pB(a). î n plus, lim(2 —a)' 1 =0, «-•oo

ceea ce rezultă din partea a doua a lemei 1.3.2. Dacă Gb (a) = 0 , funcţia z -> (z — a)'1 fiind deci mărginită în întreg planul complex, trebuie să fie constantă, în virtutea teoremei 1.2.9; mai mult decît atît, este clar că valoarea acestei constante trebuie să fie zero. Cu alte cuvinte, obţinem iz — a)"1 = 0 pentru orice z e C, deci 1 = 0 , ceea ce este absurd. 1.3.4. OBSERVAŢII. 1° Fie ^ mulţimea polinoamelor complexe de o singură variabilă. Aşadar, P e & are forma P(z) = X0sw + X^*""1 + . . . . . . + Xn, unde X0, X1? . . . , Xn e C. Yom nota P ( a ) = X0an + Xja" -1 + . . . + Xw e B, *inde aeB

este un element fixat. Obţinem în felul acesta o aplicaţie &BP-+

P(a)eB

(1.3.1)

care este omomorfism de algebre cu unitate. Cu alte cuvinte (aP +

M»(a)

- aP(a)

+

pQ(a),

(PQ)(a) = P(a)Q(a), Px{a) =

1,

pentru orice P , Q e ^ şi a, 3 e C, unde Px(z) = 1. î n plus, ţ(a) = a, unde £ este polinomul Z{z) = z. 2° Apare următoarea problemă naturală : se poate extinde aplicaţia (1.3.1) la clase mai largi de funcţii? Familia 0t a tuturor expresiilor raţionale este prea largă. într-adevăr, dacă zQ e o^a) şi R(z) = (z0 — z)_1, nu putem da un sens expresiei R(a) în cadrul algebrei B. Sîntem obligaţi să ne limităm la familia 0ta formată din expresii raţionale P/Q, unde P, Q e şi zerourilelui Q sînt situate în afara mulţimii aB{a). Deci 0ta este o algebră cu unitate. Dacă B e R{z) = P(z)IQ{z) şi Q nu este constant, putem presupune că avem Q(z)

+ JX^"1 + . . . + jX» = (SS - Sh) • • • (* - *m),

unde z19 . . . , zm sînt rădăcinile (nu neapărat distincte) ale lui Q, situate în afara mulţimii aB(a). Putem defini Q(a)-1 = (a - z,)'1 .. .(a -

zm)~\

şi B(a) = P(a)Q(a)~\ Atunci aplicaţia ma 3 R-+ R(a) e B

(1.3.2) 45

este corect definită (nu depinde de scrierea lui R ca PJQ) şi reprezintă ui? omomorfism de algebre cu unitate, care extinde omomorfismul (1.3.1). Să remarcăm relaţia a(a — z)*1 = (a — z)_1 (a — z)a(a — z)_1 — (a — z)~xa pentru orice z e pB(a), ceea ce arată eomutativitatea tuturor expresiilor care apar în construcţia de mai sus. 1.3.5. DEFINIŢIE. Fie a e B un element fixat. Yom nota cu familia funcţiilor / : U f - > C care sînt analitice într-o mulţime deschisă Uf 3 oB(a) (mulţimea TJf depinzînd de funcţia /). Evident, s/a => 0ta. [Dacă R e atunci cu notaţia de mai susf R C, unde UR = C\{z 1 J ...,zn\ => oB(a)]. Familia de funcţii va fi cea mai largă clasă de funcţii / pentru care vom da sens expresiei/(a), oricare ar fi elementul a e B. 1.3.6. DEFINIŢIE. Fie E şi U mulţimi situate în planul complex, K o mulţime compactă, U o mulţime deschsă, K c U. Fie r = dA un sistem finit de curbe jordaniene rectificabile, care nu se intersectează două» cîte două, pozitiv orientat în raport cu A, unde K c A c A c U. Sistemul r se va numi contur admisibil ce încon]oarâ pe K în U. 1.3.7. OBSEEYAŢ1E. Din motive geometrice simple, pentru orice pereche de mulţimi K şi U ca în definiţia 1.3.6 se poate alege un contur admisibil ce înconjoară pe K în U. într-adevăr, mulţimile K ş i C \ î 7 a f l î n du-se la distanţă pozitivă d una de celaltă, putem lua o acoperire a mulţimii K formată din discuri de rază
2 7Tl

(*- a)' 1 dz. J

(1.3.3y

r Existenţa acestei integrale este asigurată de faptul că funcţia z (z—a)"1 este analitică (deci continuă) în mulţimea U f ^ a ^ a ) ^ I\ 1.3.9. LEMĂ. Integrala (1.3.3) satisface estimarea ||/(a)|| < M sup |/(z)|, *e a 46

unde M ^ O este o constantă ce nu depinde def, iar A este mulţimm desohisij relativ compactă, a cărei frontieră este T. Demonstraţie. Afirmaţia este o consecinţa directă a proprieţiei 1.1.5. Putem lua Jf = ^(T) sup xev

unde u(r) este variaţia măsurii Lebesgue-Stieltjes în raport cu care se face integrarea pe F (egală de fapt cu suma lungimilor curbelor care alcătuiesc sistemul T). 1.3.10. LEMĂ. Elementul f(a) dat de integrala (1.3.3) nu depinde de conturul admisibil T. Demonstraţie. Fie Vx şi Y2 două contururi admisibile ce înconjoară pe crB{a) în Uf. Avem = dAt şi V2 = 9A2. Vom alege apoi un contur admisibil r = 3A ce înconjoară aB(a) în Ax n A2. Deoarece aplicaţia z -> — a)~x este analitică într-o vecinătate a mulţimii A X \A, pe baza formulei lui Cauchy deducem că f(z) (z - a)'1 dz = 0 = [f(z)(z - a)" 1 d* - ^f(z) (*• - a)"1 d a r , d(V\A)

deoarece d(A x \A) = Analog,

r

U ( —T), unde —r este V cu orientarea opusă.

i m (* ~ r2 adică independenţa dorită.

a)'1

**

=

(* -

te,

r

1.3.11. OBSERVAŢIE. Familia stm (dată de definiţia 1.3.5) nu este o algebră de funcţii deoarece elementele sale nu au un domeniu comun de definiţie. Putem însă defini operaţiile (A +/.)(*) = A(*) +/.(*), » € u .. n u (fiU) ( * ) = A ( * ) / « ( * ) , *eUfl n uf2 ; (X/)(*) = X/(*)f seU"* pentru /, / x , / 2 în j / . şi X e C. Vom introduce în mulţimea s/a o relaţie de echivalenţă. Anume, vom spune că A este echivalentă cu/ 2 dacă există o mulţime deschisă U c TJfl n 0 TJft, U
Vom introduce acum în algebra [sta] un concept de convergenţă. Anume, vom spune că un şir <= [sta] este convergent către un element 9 e [J*a] dacă există o mulţime deschisă U => <;B(a) astfel încît 9* = [fk]r U c Ufk pentru orice fc, 9 = [/], U <= Uf şi lim sup A-+00

(z) -/(*)]

—0

z&K

pentru fiecare submulţime compactă K c JJ. Vom spune că o aplicaţie liniară <7 : [sta] Y (Y fiind spaţiu Banach) este continuă dacă pentru orice şir [9J* cz [sta] convergent către 9 e [staJ avem J(9*) «7(9) (fc -> 00) în Y. Să mai remarcăm că aplicaţia -> [sta] care asociază fiecărei expresii raţionale R e@a clasa sa în [sta] este injectivă, deoarece fiecare expresie R defineşte o funcţie analitică într-o mulţime conexă din plan. Aşadar, dta se poate identifica cu o subalgebră a algebrei [st a]. î n baza lemei 1.3.10, aplicaţia [s*a] * [/] -> [/](«) = /(«) e B (1.3.4) este corect definită. Proprietăţile ei sînt descrise de rezultatul care urmează. 1.3.12. TEOEEMĂ. Fie aeB un element fixat. Atunci aplicaţia (1.3.4) este un omomorfism continuu de algebre cu unitate, care extinde omomorfismul (1.3.2). Demonstraţie. Vom obţine acest rezultat în mai multe etape. 1° Liniaritatea aplicaţiei (1.3.4) este uşor de demonstrat. într-adevăr, dacă / 1 5 / 2 e sta şi X1? X2, g C, atunci putem scrie (X1/1 +

X2/2) ( a )

=

\ (Xx/i(s)

J 7Cl J

+

^2/2(2)) (s ~

a)-

1

dz

=

r = X j ^ a ) + X2/2(a), unde T este un contur admisibil ce înconjoară aB(a) în Ufi n JJh. D e aici obţinem egalitatea M l + x 2 / 2 ] ( a ) = X,[ M i a ) + X 2 [/ 2 ](a), adică liniaritatea dorită. 2° Vom demonstra acum multiplicaţivitatea aplicaţiei (1.3.4). Fie r mai întîi, f t J f 2 esta. Alegem mulţimile Ax c Ax c A2 c ^ c Ufl n Ufr astfel încît V} = dăj (j = 1, 2) să fie contururi admisibile ce înconjoară. <jB(a). Atunci putem scrie că fi(a)f2(a) =

A - J y ^ f * - a)"1 cbj ( ^f2(fv)(w-^a)-1dw^ r2

= 48

( jjA(*) f2(w) (z - a)~x (w - a)""1 d«*J dz =

=

= -

/.(«*) («* - s)" 1 ((« -

J( Ti

=

- («— a)"1) du? j cb =

r2

-L-^fMiz i\

- a)-i^f2(w)(w-zyi
+

4 fi

f2

2l

{w

/«(*)(* - a ^ d s

711 J

+

f,

~

a r i

(

"

= ( / i / z ) (a)

'

r2 rx în care am utilizat ecuaţia rezolvată (definiţiile 1.3.1), o vaiiantă vectorială a teoremei lui Fubini (a se vedea exerciţiul 0.6.24 şi observaţia 1.1.8.2°) şi egalitatea ^(sMw-s^ds^O T!

dată de formula lui Cauchy (avem w e T2, deci w 4=

De aici rezultă

C/l /.](«) = [/i](«) r/ 2 ](«); prin urmare, aplicaţia (1.3.4) este multiplicativă. 3° Yom obţine acum continuitatea aplicaţiei (1.3.4) (în sensul observaţiei 1.3.11). Fie deci U3 aB(a) o mulţime deschisă şi fie {fk]k c stfa un şir cu proprietatea că JJ c şi lim sup | fk(z) - f ( z ) \ =0, £ - • 0 0

Z G K

unde / e Uf 77, iar JC c= Z7 este o mulţime compactă arbitrară. Dacă T este un contur admisibil ce înconjoară a^a) în t7, Y =; dA, în baza lemei 1.3.9 putem scrie că lim ||/,(a) - f(a) !J < lim M sup | fk(z) - f(z) 1 = 0, *-*oo jc-+oo xeA deci continuitatea dorită. 4° Fie P(z) = X^* + X^*"1 + . . . + X, un polinom arbitrar. Yom demonstra că -±-\p(z) (z = Xoa» + X^*- 1 + . . . + Xn, 2 7Tl J r uude T este un contur admisibil ce înconjoară mulţimea a^a) în C. 4 — c. 788

49

Vom utiliza lema 1.3.2 (ii). Fie r> r(a). Atunci —\g*(z 2 7ti J

— a^ds

r

= —

t

ar" f y, s"*" 1 a*)

= —— 2 7îi

\ z"(z —a)-1d2 = J W ir

= V f - ^ — ( s " * " 1 ^ a* = a"

pentru orice O, unde am utilizat convergenţa uniformă a seriei Jar*"" 1 a* pe {|3j=rJ, ca şi egalitatea *>o

2 7ri

j

l 1, d a c ă j > = — 1 .

Aşadar 2 7Tl J

+ . • • + x,) (z - a)-1 d* = X3a» + X x a-i + . . . + X„

in virtutea relaţiilor obţinute mai înainte. 5° Fie zQe pB(«)- Considerăm expresia raţională R^(z) = (z — s 0 ) _1 . Yom arăta că -R0(a) = (a — ZQ)"1. într-adevăr, notînd P0(z) = z — z0, pe baza identităţii P0R0 z* 1 şi a celor demonstrate la punctele 2° şi 4° obţinem (P 9 R 0 )(a) = P0(a)R0(a) = R0(a)P0{a) = 1 ; deoarece P 0 (a) = a z07 din unicitatea inversului deducem că R0(a) = (a — 6° Mai general, dacă . . . , zm sînt numere complexe situate în afara mulţimii aB(a), şi dacă E/z) = (z — s,)" 1 (j = 1, . . . , m), pe baza punctului 2° deducem că ... Rm)(a) = JB^a) . . . B J a ) = (a - z^- 1 . . . (a - zm)'K utilizînd observaţia precedentă. 7° î n sfîrşit, dacă R = PjQ e 0ta, rezultatele stablite pînă acum ne arată că R{a) avînd sensul din observaţia 1.3.4.2° coincide cu R{a) obţinut prin formula (1.3.3); prin urmare, aplicaţia (1.3.4) extinde aplicaţia (1.3.2), ceea ce încheie demonstraţia teoremei. Aplicaţia liniară, multiplicativa şi continua (1.3.4) va fi desemnată în continuare sub numele de calcul funcţional analitic. î n capitolele următoare vom mai întîlni şi alte tipuri de calcule funcţionale, construite în condiţii mai speciale. 1.4. PROPRIETĂŢI ALE CALCULULUI FUNCŢIONAL ANALITIC Continuăm studiul calculului funcţional analitic deficit în secţiunea precedentă. Fie B o algebră Banach cu unitate şi fie a e B. î n practică nu vom folosi omomorfismul (1.3.4) ci direct integrala (1.3.3), mult mai co50

modă în aplicaţii. Un piim rezultat important legat de calculul funcţional analitic este teorema aplicaţiei spectrului. 1.4.1. TEOEEMĂ. Pentru orice aeB

şi f e $4a are loc egalitatea

**(/(«)) = f(<*B(a)). Demonstraţie. Yom alege, mai întîi, un punct ^ ^ / ( ^ ( a ) ) . Atunci funcţia z (w —/(z))" 1 este definită într-o vecinătate a mulţimii cB(a)j prin uimare, are sens elementul (w —/)_1(a) e B. î n baza multiplicativităţii calculului funcţional analitic şi a comutativităţii valorilor sale, vom putea scrie (i»-f(a))(w-f)-\a) = ((w — f)(w -/)-!)(<*)= 1 = (w-f)~i(a)(w-f(a))f w ceea ce ne arată că (w — = ( — / ( « ) ) A ş a d a r , w ţ <jB (f(a)). Punctul w fiind arbitrar, deducem că oB(f(a)) <^f(cB(a)). Invers, fie w 4 <*£(/(«))• Să admitem că avem w = /(30), u n d e l e GB(a)~ î n virtutea analiticităţii funcţiei / în z0 avem reprezentarea f(z0) — f(z) = = — unde 9 e<s*a- Atunci f(z0) —/(a) = (z0 — a)g(a), deci 1 g(a)(f(z0) —/(a))" este inversul elementului 20—a, ceea ce este absurd deoarece z0 e cB(a). Aşadar, w $ f(cB(a)), ceea ce ne arată că şi incluziunea inversă / ( c B ( d ) ) c: c^f(a)) este adevărată. Un alt rezultat remarcabil este teorema de compunere a calculului funcţional analitic : 1.4.2. TEOEEMĂ. Fiefe s/a şi fie g e stf{ay Atunci g°fesfa şi are loc egalitatea (g • f)(a) = g(f(a)). Demonstraţie. î n baza teoremei precedente avem <JB(f(a)) = f(c^a)). Dacă Uf şi Ug sînt domeniile de definiţie ale funcţiilor/şi respectiv gr, deoarece TJg cB(f(a)), atunci Uf zd f^iTJg) <jB(a), ceea ce arată că funcţia g o / , definită în mulţimea /~1( Ug), este în s/a. Pie r x = dAx u n contur admisibil ce înconjoară oB(f(a)) în TJg. Atunci /"*(Ax) <jB(a) şi putem alege mulţimea A=d aB(ă) astfel încît V = = dA ?ă fie un contur admisibil ce înconjoară aB(a) înf^A^. Să remarcăm ui mătoarele egalităţi : 9(f(a)) =^[g{w)(w^f(a))^dw

=

2 7Ul J

T!

2 7ci rJ

i

V 2tu1 J

t ( - ^ - r t f f M (w-f(z))~*

2 7C1 J V 2 7Cl J

J

r )

( « - a)"1 ds =

2 ni J în baza formulei lui Cauchy, deoarece/(T) c Ax, prin construcţie. 51

Pentru funcţiile analitice întregi, ca şi pentru polinoame, calculul funcţional analitic revine la simpla înlocuire a variabilei. 1.4.3. PROPOZIŢIE. Fie f(z) = £ \kz* o funcţie {scalară) analitică k=o oo

întreagă. Atunci f(a) =

X^a*, în care seria din membrul drept converge A=0

absolut în topologia algebrei Banacli B. Demonstraţie. Fie r> r(a) (definiţiile 0.5.4). Folosind un argument din demonstraţia lemei 1.2.2, deducem că există un număr M > 1 astfel încît ||a*|| ^ M r * pentru orice k = 0,1, 2, . . . Fie acum e > 0 astfel încît zr < 1 . Deoarece raza de convergenţă a serieif(z) este infinită, avem lim | X*!17* = 0. Acelaşi argument ne asigură că există un număr M ^ l k-*oo

astfel încît |X*|
deci seria este absolut convergentă în topologia lui B. Să remarcăm apoi că avem l /(*)(* - a)"1 & =

f(a) = 2 7Tl

J

K =r =

E

â

t ( £ M*) (^ - a)-*d* = 2 7Tl

J

V*to

/

W-r x

* (\ 2i trt ^i [J **{z -

=

/

x a E * *' *to

în care permutarea seriei cu integrala este posibilă datorită convergenţei uniforme a seriei pe domeniul de integrare. 1.4.4. EXEMPLU. Funcţia exponenţială f(z) = e* =

£ (fc!)" 1 ^ *=o

este o funcţie analitică întreagă, căreia îi putem aplica propoziţia precedentă. Dacă ae B, atunci vom nota f(a) = e a şi avem egalitatea 00 a* k=o

kl

iar seria din membrul drept converge absolut în B. 1.4.5. PROPOZIŢIE. Fie Bt, B2 algebre Banach cu unitate şi fie y : Bx-> B2 un omomorfism continuu. Atunci aBi (
deducem că# # <jBi (
— (p(a))" 1 .

Aşadar

<*n,(?(«)) <=

Fie acum f est a cu domejiiul de definiţie TJf. Dacă V este un contur admisibil ce înconjoară mulţimea GB^a) în Uf atunci avem, în virtutea corolarului 1.1.7 şi a celor arătate mai sus, că ?(/(")) = r

=

2 7tl

- o(a))~idz

=/(9(a)).

J

1.5. TEOREMA DE EXISTENŢĂ A IDEMPOTENŢILOR Una din cele mai importante aplicaţii ale calculului funcţional analitic este demonstrarea existenţei idempotenţilor corespunzînd părţilor separate ale spectrului unui element dat, care va fi prezentată în această secţiune, rezultat datorat lui Eiesz. 1.5.1. D E F I N I Ţ I E . Un element p al unei algebre Banach se numeşte idempotent (sau proiector) dacă p- — p. Deoarece expunerile noastre au ca scop principal studiul unor proprietăţi ale operatorilor liniari, vom demonstra rezultatul de bază al acestui paragraf în algebra Banach S£(X), unde X este un spaţiu Banach fixat. Deoarece &(X) este algebră Banach cu unitate (exemplul 0.5.2.4°), putem vorbi de spectrul unui operator T e &(X)j adică despre mulţimea T). Există un alt mod de a introduce spectrul unui operator, care nu implică algebra X) ci numai acţiunea operatorului pe spaţiul X. Anume putem considera mulţimea o(T, X) = {zeC:z

— T nu este bijectiv pe X}.

(1.5.1)

t n baza teoremei graficului închis (teorema 0.3.3), dacă z — T este bijectiv, atunci (z — T)" 1 e &(X); prin urmare, avem egalitatea X) =G#{X)(T). Vom prefera notaţia (1.5.1) pentru a desemna spectrul operatorului T [şi definiţia echivalentă dată de (1.5.1)]. 1.5.2. TEOREMĂ. Fie T e S£(X) un operator cu proprietatea că <j( I , X) = Kx U K2 unde Kx şi K2 sînt compacte, disjuncte şi nevide. Atunci există subspaţiile liniare, închise, nenule XXJ X2 ale lui X cu următoarele proprietăţi : 1 ° I = I 1 + X2 şi Xx n x2 = {0} ; 2 ° T(Xj) cz X} şi a ( T , Xj) = j = 1 , 2. Demonstraţie. Fie Uj 3 K} mulţimi deschise astfel încît Ux n TJ2 = = 0 . Fie xi funcţia caracteristică a mulţimii TJ1 în mulţimea TJX U ZJ2 z> o a(Tj X). Atunci Xi e stT, deci elementul Px = Xi(T) are sens. Deoarece 53

xî = Xi? avem şiP? = Pi pe baza multiplicativităţii calculului funcţional analitic; prin urmare, opera toiul P ± este idempotent. Deoarece X2 = 1 — Xi este funcţia caracteristică a mulţimii Z72, operatorul P 2 = T) este şi el idempotent. î n plus, din egalităţile ya + X2 — 1 X1X2 obţinem egalităţile Px + P 2 = 1 şi PXP2 = 0. Fie su^spa ţiul liniar Xj = P}(X). Deoarece P} este proiector, Xj este* închis. într-adevăr, fie <= X} un şir convergent către un vector y e X. Atunci prin urmare P}yk=P2jXk = PjXk = yk-+Pjy = y ( f c - ^ 0 0 ) , . deci y e XDin faptul că Px + P 2 = 1 rezultă că X = Xx + X 2 , iar din faptul că P X P 2 = 0 obţinem că X1 o X2 = {0j, ceea ce demonstrează, afirmaţiile de la 1°. Pentru a demonstra 2° vom remarca în primul rînd că T comută cu Pj (ca imagini de funcţii analitice prin calcul funcţional), deci că T(Xj) cz Xj. Aşadar, putem vorbi de mulţimea a( T, X}) (care este, de fapt, spectrul restricţiei operatorului T la subspaţiul Xj). Yom demonstra acum incluziunea a( T, Xj) czKj. Fie, pentru aceasta, un punct fixat w $ Kj. Yom considera funcţia g3(z) = (w — z)'1 Xj (2)7 carc^ este analitică în TJ1 U U2. î n plus, (w — z)gj (z)= ij(z) şi g5 = xi 9r D*11 aceste relaţii deducem că (w — T) g, ( T ) = Pj şi că g§( T) = P ^ ( T ) . înparticular, g}(T) invariază spaţiul Xj şi avem (w - TJ X,) (gj( T) 1

= (g3 (T) 1 X,) (w - T\Xj)y

= y,

y e X»

ceea ce arată că x Ţ G( T, X ; ). Din incluziunea demonstrată rezultă că mulţimea K = a( T, XJ) U U
a? e X ,

care are sens datorită alegerii punctului 20. Este limpede atunci că (zQ - T)V0x = P ^ + P2a? = # = VQ(z0 -

^ I ,

deci V0 este inversul lui 20 — T. Această concluzie este absurdă; prin urmare, va trebui să avem egalitatea K = IC, u JC2. î n sfîrşit, să observăm că subspaţiile X, nu pot fi nule. într-adevăr,, admiţînd de pildă că Xx = {0}, vom putea scrie că a(T, X) = a(T, X 2 ) = 3T2 # g(T, X), ceea ce nu se poate. Demonstraţia este completă. 1.5.3. COROLAK, Fie K Kr Â n (<*( T, X ) \ I T ) = 0 , astfel încît T = dA «â/ie ww contur admisibil ce înconjoară mulţimea K. Atunci integrala Px =

T)-i d* 2 jti J

r

54

nu depinde de conturul V şi defineşte un proiector cu următoarele proprietăţi : 1° Dacă V e SP(X) comută cu T, atunci V comută cu PK. 2° Spaţiul PK(X) este invariant la acţiunea lui T şi avem G(T, PK(X))=K. Demonstraţie. Dacă Ux z> A, U2 z> a( T, X)\K sînt mulţimi deschise cu proprietatea că ^ n — putem alege un contur admisibil ce înconjoară G(TjX) în TJ1 U U2J de forma T U F , unde F se află în T72. Funcţia caracteristică Xi a mulţimii Ux (în TJ1 u U2) fiind nulă pe U2y operatorul H(T) va fi dat exact de integrala PK din enunţ (a se vedea şi demonstraţia teoremei precedente). Dacă VT — TV, atunci V(z - T)"1 = (z - T)-\z

- T)V{z - T)"1 = (0 - T) - 1 F,

* £ <x( T, X),

de unde rezultă P x F = FP X , adică afirmaţia 1°. Afirmaţia 2° este o consecinţă imediată a teoremei 1.5.2. 1.5.4. OBSEB.VAŢIE. Fie B o algebră normată cu unitate, în care nu avem neapărat |[1|| = 1 . î n acest caz, conform observaţiei 0.5.3, put e m renorma algebra B cu o normă echivalentă || • ||0, astfel încît || 11|0 = 1 . Vom desemna în cele ce urmează cu numele de normă operatorială norma II • ||o ataşată unei norme date || • ||, prin acest procedeu. Să remarcăm că dacă norma || • || este deja operatorială^ norma operatorială || • ||0 trebuie să coincidă cu ea. Vom prezenta în cele ce urmează o versiune a teoremei 1.5.2. valabilă în algebre Banach comutative. 1.5.5. TEOREMĂ. Fie B o algebră Banach comutativă, cu unitate. Să presupunem că există un element a E B cu proprietatea că GB{a) = Kx U K2 unde K2 sînt mulţimi nevide, compacte şi disjuncte. Atunci au loc următoarele afirmaţii : 1° Unitatea lux B admite reprezentarea 1 = ex + Hi unde ev e2 sînt idempotenţi nenuli, cu exe2 — 0. 2° Dacă B}= e}B ( j = 1, 2), atunci B} este un ideal închis în J3, astfel încît B = Bx +B2 şi Bx n B2 = {0}. 3° Renormînd algebra B} cu norma, operatorială, B} devine o algebră Banach cu unitatea iar spaţiul r(J3,) se poate identifica, printr-un omeomorfism^cuopartealuiTţB). Cu această identificare, avem T(J5) = T(BX) U u V(B2) şi V(BX) n r ( B 2 ) = 0 . 4° <JBj(e}a) = Kj. Demonstraţie. Să considerăm aplicaţia Bsb Lb e S?(B), unde Lţx = bx{x g B). Este simplu de văzut că această aplicaţie este un omomorfism de algebre cu unitate, care este şi izometrie. Mai mult decît atît, avem egalitatea GB(b)= a{Lb, B) oricare ar fi b e B. într-adevăr, incluziunea G(LbJB) cz GB{b) rezultă din propoziţia 1.4.5. Invers, dacă V3 $ G{LB, J5), atunci elementul (W — LB)~X (1), care este evident invers la 55

dreapta pentru w — 6, este şi invers la stînga datorită comutativităţiii algebrei. î n particular, aB(a) = B) = KL U K2; prin urmare, putem, aplica operatorului i a teorema 1.5.2. Dacă P} este idempotentul corespunzînd mulţimii K 5 (construit ca în teorema 1.5.2), atunci P , = L , îni baza izomorfismului dintre algebra B şi algebra {Lb : b e B\ a £e(B). în, particular, 1 = e± + e21 e±e2 = 0 şi e19 e2 sînt idempotenţi nenuli în algebra B 2° Ca în teorema 1.5.2, avem Bj = e}B, prin urmare B = Bx + B2. şi o B2 = [Oj. Este clar că B3 este ideal în B. F a p t u l că Bj este închis, rezultă din teorema 1.5.2. 3° Idempotentul e} este unitate în algebra B3. Dacă renormăm algebra Bj cu norma operatorială, elementul e} va fi de normă unu în noua, normă, deci B} devine algebră Banach cu unitate în accepţiunea noastră. Fie acum mulţimile ri = {reT(B):y(ej)^0}9

j=

1,2.

Deoarece y(e)) = y{e})2 = y(fy), numărul y{e5) este zero sau unu. Prin urmare, T(B) = Ti U r 2 , T± n r 2 = 0 ; întrucît r ; = [y eT(B) : y{e}) =1},. rezultă că Fj este o parte compactă a lui Vom identifica spaţiul caracterelor T(Bj) cu mulţimea r , . î n acest scop vom defini aplicaţia 1\} : -> V(Bj) prin relaţia li}(y) B}. Să, arătăm că hj este o aplicaţie bijectivă. într-adevăr, dacă y', y" e I \ si Jt^Y) = hj(y"), deci y'| B, = y " | B}, atunci Y(b) = Y((e, -HI - ej))b) = y'{ejb) = y"{e5b) = y"(6),

& e B,

deci aplicaţia hj este injectivă. Apoi, dacă y} e T(JBi), definim y e T(B) prin y(&) = yj(e3b) (b e B). Atunci hj(y) = y,, deci aplicaţia h3 este şi surjectivă. Mai mult decît atît, aplicaţia Ti} este continuă. Pentru a demonstra acest fapt, să considerăm în T(BS) o mulţime deschisă de forma {Yj e T(Bj) : 1 Y,(b k ) - yjo(bk)\ <£, Jc = 1, ..., cu

M},

. . . , bm e B} şi e > 0. Preimaginea sa este mulţimea deschisă {y e

\y(bk) —y0{bk)\ e

< e , fc = 1 ,

w},

)aza

unde hjiy) = ys şi A j ( y 0 ) = YY0> P ^ surjectivităţii aplicaţiei întrucît mulţimile de tipul considerat generează topologia lui r(Bj) (a se vedea, paragraful 0.5 şi definiţiile 0.3.14), rezultă continuitatea aplicaţiei Ti}. Spaţiile r , şi r ( ^ ) fiind compacte, inversa TiŢ1 este şi ea continuă (ceea ce sepoate vadea şi direct). Aşadar, este un omeomorfism, care permite identificarea mulţimii T(B}) cu Tj. 4° î n baza observaţiilor făcute la primul punct, avem egalităţile VBj (ej
1.6. C A L C U L U L

F U N C Ţ I O N A L

A N A L I T I C

A L

O P E R A T O R I L O R

N E M Ă R G I N I Ţ I

Fie X un spaţiu Banach. Reamintim că &(X) desemnează familia tuturor operatorilor închişi, definiţi pe subspaţii liniare ale lui X, cu valori în X. 1.6.1. DEFINIŢIE. Fie T e ^ ( I ) . Yom cosidera mulţimea de puncte din planul complex {zeC:z — T : D( T) X nu este bijectiv]. Această mulţime, notată cu a(T, X), va fi numită spectrul operatorului T în X. Este limpede că mulţimea a(T, .X) coincide cu mulţimea (1.5.1), în ipoteza că T e j £ f ( X ) . Ca şi în cazul operatorilor mărginiţi, dacă zţ a( T, X)j atunci (z — T)' 1 : X D(T) c= X este un operator continuu în baza teoremei graficului închis. Spre deosebire de operatorii mărginiţi, se poate întîmpla însă ca a(T, X) = C (exerciţiul 1.7.18). 1.6.2. LEMĂ. Mulţimea a(T, X) este închisă în C. Demonstraţie. Dacă a(T, X) = C, afirmaţia este evidentă. Putem deci presupune că a(l\ X) ^ C şi fie z0$ a(T, X). Ca şi în lema 1.3.2, dacă ze C satisface estimarea \z — z0\ < ||(£0 — T)-1!!"1, atunci seria g ( _ 1)* (3 _ zo)*

0

- T)-*" 1

(1.6.1)

hssO

este convergentă în <£{X). Yom arăta că şi în acest caz această serie defineşte inversul operatorului z— T. într-adevăr, fie jR(s, T) suma seriei (1.6.1). Este uşor de văzut că B(z, T)(z — T) x = x, xeD(T). Fie acum y e X un element arbitrar. Atunci m

(z - T) £ ( - !)' ( * •= £

A=0

( - 1 ) *

- T)~k~1y

(»

T)~t~1y

(z04 - f

=

( — 1 ) * (» - s r 0 ) * ( S o

isO ( s -»or+1(»o -

-

T)-*y

=

T)-™-1?/, calcul care are sens deoarece R((z0 — T)'1) = D (T) = D(z — T). Aşadar, şirul = y -f ( - i )

* «

=

i

( -

m

(* -

are proprietatea că xm -» JBfo | | ( - i r (* - *

0

r (*0 -

T

ceea ce arată că (z — T)R(z,

)

g D ( 2 -

~o)* («o -

T)

şi (s — T)a?m -> y cînd m^ —

^

T)y =

(j* - *

adică

0

!Po -

oo, deoarece

T ) ~ 1 | | " 1 ) " , + 1 | | y ||,

T) = (z — T)"1. 57

1.6.3. OBSERVAŢII. 1° Dezvoltarea în serie din lema precedenta ne arată că funcţia rezolvantă z (z — T)"1 este analitică în mulţimea. C \ a ( T , X). Yom nota uneori cu p(T, X) mulţimea C \ a ( T , X). 2° Dacă a, «0 e p( T, X), avem şi în acest caz ecuaţia rezolvantă (z - T)"1 - («0 - T)"1 = («o - z) (z - T)-\w

- T)"1,

care se obţine printr-un calcul simplu. 3° Deoarece spectrul unui operator închis nu mai este, în general,, o mulţime mărginită, este mult mai convenabil să lucrăm în planul complex compactificat cL1.6.4. DEFINIŢII. Fie T e <£(X). Yom defini spectrul extins G^T, X)• al operatorului T astfel: (i) dacă rezolvanta (z — T) _1 este definită în complementara unei submulţimi compacte din C si este analitică la infintit, vom pune (7oo(T, X) = G(T,

X);

(ii) dacă rezolvanta nu îndeplineşte condiţia de la (i), atunci vom pune GOO( T, X) = G(T, X) U {oo}. Evident, Goo( T, X) este o submulţime compactă a lui Coo. Vom nota cu mulţimea funcţiilor analitice, definite în vecinătăţi ale mulţimii aoo(T, X) (notaţia este compatibilă cu definiţia 1.3.5). Dacă Goo (T, X) b oo, atunci funcţiile din s/T sînt, evident, presupuse analitice la infinit. Să observăm că dacă aoo(T, X) = C», atunci sfT coţine numai constantele, în baza teoremei lui Liouville. Fie F şi TJ mulţimi situate în Coo, Fs oo, F închisă, TJ deschisă, F cz TJ. Fie r = dA un sistem finit de curbe jordaniene rectificabile r care nu se intersectează două cîte două, pozitiv orientat în raport cu A. (definiţia 1.2.14), unde F cz A cz A cz TJ. Sistemul T se va numi contur admisibil ce înconjoară pe F în U (această definiţie completează definiţia 1.3.6). Dacă f e «$/T, f : TJf C (TJf deschisă în Coo), vom alege un contur admisibil r = dA ce înconjoară mulţimea G^ (T, X) în TJf şi vom defini operatorul

f(T)

— — %/(*) (3 - T)-1 dz, 2 7ci J r /(oo) + - ^ 7 - [ F ( Z ) ( Z - T ^ d z ,

dacă a*, ( 1 \ X ) Ţ oo, (1.6.2>

dacă aoo(T,

X ) B

OO.

Ca şi în cazul formulei (1.3.3), definiţia lui J(T) nu depinde de conturul de integrare T, demonstraţia acestui fapt fiind analoagă cu demonstraţia lemei 1.3.10. Observaţia 1.3.11 ne permite să lucrăm cu clase de echivalenţă de funcţii din s f T j egale pe o vecinătate ă spectrului extins, şi să considerăm algebra a acestor clase. Vom putea vorbi şi în acest caz de convergenţa unui şir de clase de echivalenţă şi de continuitatea aplicaţiilor defi58

nite pe algebra [s/T]. î n particular, ne va interesa aplicaţia [sfT]s [j] -> [ / ] ( I ) ejST(X), unde \J]( T) =f(T), membrul drept fiind dat de (1.6.2). Cum am mai remarcat, operatorul j(T) nu depinde de funcţia/, ci numai de clasa sa de echivalenţă în 1.6.5. PROPOZIŢIE. Aplicaţia [j/t]9 \J] [/](T) e &(X) este un omomorjism continuu de algebre cu unitate. Demonstraţie. Dacă <7oo( T, X) ţ oo, afirmaţia rezultă ca în demonstraţia teoremei 1.3.12. Va fi deci suficent să considerăm cazul cînd CTOO(T, X)3 OO. Şi în acest caz liniaritatea aplicaţiei \J] [f}(T) se obţine uşor (a se vedea primul punct din demonstraţia teoremei 1.3.12), de aceea o vom lăsa pe seama cititorului, ca exerciţiu. Să ne ocupăm deci de multiplicativitatea aplicaţiei. Fie = 3AX, r 2 = dA2 contururi admisibile ce înconjoară mulţimea a<x>( T, X) în JJh n Uft astfel încît aoo(T, X)

<= A x c Â j c A ,

cĂ

2

Vfl

c

n

unde f17 sînt funcţii fixate din sfT iar U/l} Vft sînt domeniile lor de definiţie. Atunci MT)MT)

=Ji(oo)j2(oo) Wi(oo)-±-r[h(») 2m ]

(" " T^ăw

+

r,

2 7Tl J [ m te - î r 1 ( - ^ - ( A ( ^ ) (» - Tr* d w ) d*. 2 7T1 j

r

V 2TCI J f*

l

;

Utilizînd teorema lui Fubini, ecuaţia rezolvantă şi formula lui Gauchy la infinit (teorema 1.2.15), vom putea scrie că 2 7Cl ^

V 2 7C1 ^

= • ^ T - r U (*> ( ţ 2 7C1 J V 2 7C1 1 îi r2

—siri \u r,

(w)

(i^r

)

- »)-* dw) (0 - T)-1 d0 )

(w

r,

~ a)~x

(w

~T)1

ăw=

59

= -rr-r t/i(*) Ut (*) - Moo))

- 2V ds -

2 7T1 J

Ti

- A ( o o ) — 2 7T1 J ra (în aplicarea formulei lui Cauchy la infinit s-a ţinut seama de faptul cSb 0 e A2 şi w ţ Ax). Confruntînd calculele de mai sus, obţinem egalitatea < 2

TUI

J Ti

adică multiplica ti vitatea dorită. Pentru a obţine continuitatea, vom observa că integrala (1.6.2)* [cazul a» (TJ X)B oo] se poate estima astfel: \\j(T)\\ < Jf sup \j(z)\, ze A

unde Jf > 0 este o constantă ce nu depinde de j . De fapt putem lua M = 1 -f (2 7 c)- 1 ^(r) sup ||(0 - T)"1!! zer

(a se vedea şi lema 1.3.9). Utilizînd această estimare, obţinem continuitatea aplicaţiei [/] [f](T) ca în demonstraţia teoremei 1.3.12, punctul 3°.. In sfîrşit, să observăm că aplicaţia [/] [/](T) duce unitatea algebrei* [s/T] în unitatea algebrei S£(X). într-adevăr, dacă j = 1, în formula (1.6.2) (cazul (7OO(T, OO) contează doar termenul /(co) = 1, integrala din funcţia z -> (z — T) 1 fiind nulă, deoarece această funcţie este analitică în mulţimea deschisă, relativ compactă Ac (definiţia 1.2.14)» a cărei frontieră este T. 1.6.6. PROPOZIŢIE. Fie TEV(X)

astfel înetî ^ ( T , X) ţ> oo. Atunei

TEX(X).

Demonstraţie. Din ipoteză rezultă că există un număr r> 0 astfel încît funcţia z (z — T)'1 există pentru \z\> r şi este analitică la infinit. Din analiticitatea rezolvantei în jurul punctului de la infinit, obţinem o* dezvoltare în serie de forma (z— T) _1 = J] z~kAk1

\z\> r,

unde Ak e &(X). Yom defini operatorii continui E =—— ( (z2 Tri J 60

T)'1 dz,

A = —l— \ z(z - T)"1 dz, 2 Tri J

unde B> r. Utilizînd convergenţa uniformă pe submulţimile compacte a seriei care defineşte pe (z — T)"1, avem următoarele egalităţi:

în care am utilizat un argument din demonstraţia teoremei 1.3.12, punctul 4°. Evident, Ax = E şi, în virtutea propoziţiei 1.6.5, An+1 = An (n> 1). î n virtutea aceleiaşi propoziţii, ffi = E şi An = EA* = AnE. Să observăm apoi egalitatea (Z - T)"1 = A0 + E(z - A)~\

\z\>r}

(1.6.3)

care rezultă din dezvoltarea în serie a rezolvantei (z — T)~\ utilizînd relaţiile remarcate mai sus, unde r1 = max {r, || A\\}. Să arătăm mai întîi că A0 = 0. Pentru aceasta fie x e X un element fixat şi fie [zk)k un şir în mulţimea {| z\> rx} astfel încît zk -> oo(k -> oo). Yom nota yk = zk\zk — T)~lx şi vom observa că yk -> 0 cînd k -> oo. Remarcăm de asemenea că Tyk = zk* x + (zk — T)-1 x

A0x (k -» oo).

Opeiatorul T fiind închis, din convergenţa celor două şiruri deducem că A0x = 0. Vectoiul x fiind arbitrar, se obţine A0 = 0. Vom arăta apoi că E = 1. într-adevăr, operatorul E fiind idempotent, dacă E ^ 1, atunci există un vector xeX, x ^ 0, astfel încît Ex = 0. Scriind relaţia (1.6.3) în vectorul x, deducem atunci că(£ — T) - 1 x = 0, adică x = 0, ceea ce este absurd [remarcaţi că E şi (z — A)'1 comută!]. Aşadar, relaţia (1.6.3) se reduce la egalitatea (z — T) - 1 = (z — J)~17 ceea ce ne arată că T = A e&(X). 1.6.7. OBSERVAŢII. 1° Propoziţia 1.6.6 ne spune că g ^ T , X) Ţ> oo dacă şi numai dacă T e Jăf (X). 2° Tot din propoziţia 1.6.6 deducem uşor că dacă X ^ {0}, atunci <7oo( T, X) ^ 0 pentru orice T e V(X). într-adevăr, dacă <7oo( T, X) = 0, atunci T e&(X) şi a( T, X) = 0 , ceea ce este posibil doar dacă X = {0}. 1.6.8. LEMĂ. Fie T e V(X)\&(X) si fie J e astfel încît j(oo)=0. Atunci f(T)X c B(T) si g(T) = T/(T), unde g(z) =zj{z). In plus, Tt(T)x= = f( T) Tx oricare ar fi x e B( T). Demonstraţie. Dacă <Joo(T, X) = C*» atunci f = g = 0 şi afirmaţia este trivială. Vom putea deci presupune că <7oo( T, X) # C«>Deoarece /(oo) == 0, este clar că g e s/T. Fie r = dA un contur admisibil ce înconjoară mulţimea <Joo(T, X) în domeniul de definiţie al funcţiei g. Vom putea scrie atunci că g(T) = g(oo) -f -

zf(z)(z~

T)"1 te =

61

= 9(oo) +

2

711

J r

H

2 7C1 J r

TJ(z) (z -

=

în baza teoremei 1.1.6. Vom observa apoi că -±rij(z)âz=-±r[(* 2 711 ^ 2 7Tl

J

~ mz)Hz 0 —X

= — lim(2 -

=-p(oo),

*-oo

Tinde X £ A este nn punct fixat. Eeîntorcîndu-ne la calculul de mai sus, obţinem g( T) = Tf( T) [faptul că f( T)X e D( T) este o consecinţă a teoremei 1.1.6]. XTn calcul similar, pe care-1 lăsăm pe seama cititorului ca exerciţiu, ne arată că dacă xeD{ T), a t u n c i , / ( T ) T x = TJ(T)x. 1.6.9. COEOLAE. Fie Te<#(X) şi fie wţ a( T, X). Vom nota cu e j f T juncţia Jw(z) = (w — z)-1. Atunci JW{T) = (w — T)"1. Demonstraţie. Cazul mărginit fiind cunoscut, ne putem limita la situaţia <7oo( T, X) B oo. Deoarece/ w (oo)=0, în baza lemei precedente, gw{T) = T/JT), unde g„(z) = zj„{z). Obţinem deci (w - T)f9( T) = {wfw - gw){ T) = 1. Invers, dacă xeD( T), a t u n c i / J T) (w — T)x = (w — T) /„( T) a?= # tot pe baza lemei 1.6.8, prin urmare, j w (T) = (tu— I V 1 . Pentru orice operator T e şi orice polinim P e ^ , P(^) = + + . . . -f Xn, putem defini operatorul P(T) = X3 TN X„ pe subspaţiul D(P(T)) = Dv'T") (a se vedea definiţiile 0.3.1). Vom stringe la un loc cîteva din rezultatele obţinute pînă acum în legătură cu calculul funcţional analitic al unui operator închis. 1.6.10. TEOEEMĂ. Pentru orice operator morjism continuu de algebre cu unitate W->W(T)

ex

există un omo(X)

astfel încît (Pj)(I) = P(T)J(T) oricare ar ji j estT şi P pentru care PfestT. In plus, P(T)J(T)x =j(T)P(T)x pentru orice xeD(P(T)). Demonstraţie. Existenţa omomorfismului \J] -> [ f](T) a fost demonstrată în propoziţia 1.6.5. Dacă gradul polinomului P este <1, afirmaţiile teoremei rezultă din lema 1.6.8. Dacă gradul lui P este > 1, afirmaţiile teoremei se obţin printr-un raţionament inductiv, pe care-1 lăsăm ca -exerciţiu. Demonstrăm în continuare o versiune a teoremei 1.4.1. 1.6.11. TEOEEMĂ. Fie Te<$(X) şi jie j e s i T . Atunci are loc egalitatea a(j{ T), X) = j( Coo( T, X)). «2

Demonstraţie. Este suficient să ne ocupăm doar de cazul a00( T, X) 3oo: Fie, mai întâi X)). Ca şi în cazul mărginit, avem (X — f ) ~ l € s / T j prin urmare ( X - / ( T ))(X-/)-i(T) = 1 , ceea ce ne arată că (X — f(T))"1 = (X — adică X£ a(/(T), X). Eeciproc, fie X ţ a(j( T), X). Să admitem că ar exista un punct z0 G C7OO( Tj X) astfel încît X = f(z0). Vom deosebi două cazuri. Dacă z0 00, vom considera funcţia analitică g care satisface ecuaţia f(z0) — f(z) = (z0 — z)g(z) în domeniul de definiţie al funcţiei j. Este clar că g G S/T şi că <7(00) = 0. Prin aplicarea lemei 1.6.8 deducem că (z0-

T)g(T)(f(z0)-f(T)r*=l

Şi g(T)U(*0)-f(T))-Hz0-T)x

= x,

oricare ar fi x G D( T). Rezultă de aici că z0 4tf<X>(T, X), ceea ce nu se poate. Să presupunem acum că z0 = 00. Deoarece funcţia f(00) — f(z) este nulă la infinit, în baza lemei 1.6.8. avem (f(oo) — f(T))X c D( T). Pe de altă parte, cum ./(oo) £ a(/(T), X), ( / ( 0 0 ) - f(T))X = X. Aceasta îndeamnă că D(T) = X, prin uimare T e K, A n (<*oo(T, X)\K)= 0 astfel încît r = dA să fie un contur admisibil ce înconjoară mulţimea K. Atunci integrala PK = —— [(z 2 ni J r

T^dz

defineşte un proiector cu proprietatea că PK{X) c= D(T) si a(T, PK(X))= K. In plus, PK nu depinde de conturul I1. Demonstraţie. Evident, afirmaţia este o versiune a corolarului 1.5.3. Faptul că PK este un proiector (care nu depinde de conturul T) se obţine la fel ca în rezultatul citat. Mai precis, dacă JJ 3 A este o mulţime deschisă astfel încît TJ n F = 0 , unde F este o vecinătate deschisă a mulţimii <7OO(T, X)\K, şi dacă x este funcţia caracteristică a mulţimii Uîn Z7U F, atunci PK = x(T) e s t e idempotent. Dacă g00(T1X)3 00, atunci F a 00, deci x nulă la infinit. î n baza lemei 1.5.3, vom avea atunci PK(X) = = x(T)(X) c= D( T), deci T\ PK(X) e
Yom demonstra acum că proiectorul ataşat operatorului A şi mulţimii 9 ( K ) prin corolarul 1.5.3 coincide cu PK. î n primul rînd vom observa egalitatea {(w — z)'1 — (w — T)-1)-1 = w —z

— z)2(z — T)" 1 ,

care se obţine printr-un calcul simplu, unde z £ <7oo( T, X). Yom nota \ = 9(2), r x =
TUI J

r

2T* ds ^ ^ - [ ( ( ^ - A ) 2 7T1 J =

2 TUI

1

-

=

d5,

J

(1.6.4)

r*i

deoarece 0 £ Ax, ultima integrală definind proiectorul ataşat mulţimii 9(2?) şi operatorului A. î n baza corolarului 1.5.3, avem egalitatea A(A, PK(X)) = — 9(K). Din această egalitate vom deduce relaţia dorită. Mai remarcăm egalitatea între operatorii A | PK(X) şi
T\PK(X))

(A \ PK(X))

= (A\PK(X))

Va trebui, aşadar, să avem a(J., PK(X)) tivitatea aplicaţiei 9 vom deduce a(T, monstraţia.

(W -

T | PK(X))

= 9^
=

1|PK(X).

iar din bijeece încheie de-

1.7.1 EXERCIŢII ŞI COMPLETĂRI 1.7.1. Fie A'0 un subspaţiu liniar al unui spaţiu Banach Y. Vom nota cu X închiderea spaţiului A'0 in Y. Arătaţi că X este izomorf, printr-un izomorfism care este şi izometrie, cu completatul spaţiului X0 în sensul teoremei 0.2.14. 1.7.2. Fie O o mulţime arbitrară şi fie X un spaţiu BanaclvVom nota cu Fm(Q, X) mul* ţimea tuturor funcţiilor f: CI X cu proprietatea că l':f\l =

sup |if(
6>en

Mulţimea FmyQ, X), înzestrată cu operaţiile uzuale [deci(/ 1 -f f2X°>) = fi(<®) + fzi**) Ş* (XfX^) = = Xf(co) oricare ar fi f, flt /*2«= Fm(Q, X), Xe= C şi Q], devine spaţiu liniar. (i) Arătaţi că aplicaţia f

\\f\\9 definită mai sus, este o normă pe F m (Q, X).

(ii) Arătaţi că Fm(Q, X) este un spaţiu Banach. 1.7.3. Fie O un spaţiu topologic. In acest caz, spaţiul B^Q, X) (definiţia 1.1.1) este un subspaţiu al spaţiului Fm(£l, X), care nu este neapărat închis. Utilizînd exerciţiul 1.7.1, arătaţi că închiderea spaţiului B/Q, X) în Fm(Q, X) (definit la 1.7.2) coincide cu spaţiul B(Q, X) (definiţia 1.4.4).

64

1.7.4. Fie X9 Y spaţii Banach şi fie O un spaţiu topologie. Vom considera • funcţie f € £(£2, Xx Y). Dacă fx este proiecţia funcţiei f pe prima componentă şi f a este proiecţia lui f p e a doua componentă, atunci /^e 2?(Q, X), B(Q, Y) şi

•ricare ar fi {x e M(Q) şi S e Bor(D). Indicaţie. Afirmaţiile se obţin uşor pentru funcţii etajate* Afirmaţiile generale se deduc apoi prin aproximare cu funcţii etajate. 1.7.5. F i e Q = [0,1] şi fie Ar = Y=C(Q). Yom considera operatorul liniar T cu domeniul 4 e definiţie D(T) = {feC(Q);

f'eC(to)}9

unde f este derivata funcţiei f, dat de formula Tf = f'. (i) Arătaţi că operatorul T este închis. Fie apoi i p : f i x î i - + C o funcţie continuă cu proprietatea că âcp(s, t)Jdt există şi este «continuă. (ii) Utilizînd teorema 1.1.6, stabiliţi formula

h 1.7.6. Fie H un spaţiu topologic compact. Arătaţi că spaţiul C(Q, X) (definiţia 1.1.5) «este un subspaţiu închis al spaţiului F m (Q, X) (exerciţiul 1.7.2), deci este cl însuşi un spaţiu Banach. 1.7.7. Fie Q un spaţiu metric compact şi fie ţx : Bor (O) - + C o funcţie numărabil aditivă de mulţime (definiţia 0.4.3), nu neapărat regulată. Vom presupune (pentru simplitate) că 9 «ricare ar fi S C Bor(Q), deci că ţi este o aplicaţie pozitivă. (i) Urmărind schema din demonstraţia lemei 1.1.3 şi a propoziţiei 1.1.5, arătaţi că există o aplicaţie B(Q) 3 f

^ f djx e C cu proprietatea că J ^ / djx | < Hfl^D) (cu alte cuvinte, regula-

ritatea nu este necesară în construcţia integralei). (ii) Fie f e B(Q) o funcţie pozitivă. Arătaţi că se poate alege un şir de funcţii pozitive &fk}k cz 2?«(Q) care să conveargă în £(Q) către funcţia f. Deduceţi de aici că ^ f djx > 0. Din cele menţionate mai sus, rezultă, în particular, că aplicaţia 9(f)=^fd(x,

feC(Q)

•este o funcţională liniară, continuă şi pozitivă. în baza teoremei 0.4.19, există v e M(Q), v > 0, astfel încît
n = 1, 2, 3, . . . ,

infrf(')•

tt'eK

(iii) Arătaţi că {G*}* este un şir descrescător de mulţimi deschise, astfel încît 0 {Gu: n >

> 1 } - K.

* — «V 7»

(iv) Utilizînd aditivitateanumărabilă a funcţiei jz, obţineţi din - (iii) *faptul că p,(Gw) (n oo). Din (iv) rezultă că pentru orice e > 0 există o mulţime deschisă G 3 K astfel încît ji(G)— — [i(K) < e. O afirmaţie asemănătoare are loc şi pentru măsura pozitivă v (fie din acelaşi argument, fie din regularitatea lui v). Ycm alege apoi o funcţie f e C(Q) cu următoarele proprietăţi : 0 < f < l , / =lpei£şif—Ope Q\G. (v) Arătaţi că funcţia f definită de relaţia

—

f(co) = d(
weQ,

Îndeplineşte condiţiile cerute. (vi) Utilizînd egalitatea ^ fdjx = ^ f dv, deduceţi că |jjl(K) — v(2£)| < 2e. Numărul e > ( > fiind arbitrar, am obţinut egalitatea yi(K) — v(K) pentru orice parte compactă K cz CI. (vii) Pe baza punctului precedent deduceţi că jx(G)=v(G), pentru orice parte deschisă G eH. (viii) în sfîrşit, utilizînd regularitatea măsurii v, obţineţi pe baza celor de mai sus că jx(S) = v(S) pentru orice parte boreliană S e Bor(Q). Concluzie. Pe un spaţiu metric compact, orice funcţie numărabil aditivă de mulţime es* e regulată. Am obţinut afirmaţia numai pentru funcţii numărabil aditive de mulţime care sînt pozitive. Afirmaţia generală are loc deoarece orice funcţie numărabil aditivă este o combinaţie liniară de funcţii numărabil aditive care sînt şi pozitive. Pentru detalii se poate consulta [8], cap. III). 1.7.8. Fie flj, Q 2 spaţp metrice ccmpacte şi fie t : Qj 1.1.9). Fie apoi [ i 1 e M ( Q J ) . Yom defini aplicaţia ^(S) = ^(t'HS)),

o funcţie boreliană (definiţia*

S g Bor(Q 2 ).

(i) Arătaţi că ţz2 este o funcţie numărabil aditivă de mulţime, în baza discuţiei de la 1.7.7 rezultă că ţz2 6 M(D 2 ). (ii) Fie apoi

f e Bg(Q2, X),

unde

X este un spaţiu Banach. Arătaţi că /

©

-zeBe(Qv X) şi că*

a2f(*i] ° funcţie continuă, strict crescătoare. Atunci T este bijectivă, deci putem defini funcţia TJ(/) = =• \ o (f 0 < / < tj). Funcţia rj este şi ea continuă, cu variaţie mărginită. Fie [ij măsura Lebesgue-Stieltjes asociată cu funcţia £ şi fie \L2 măsura Lebesgue-Stieltjes asociată cu funcţia rj. Atunci avem relaţia =

S e Bor([/ 0 , /,]).

Din modul în care se definesc măsurile Lebesgue- Sticltjes, egalitatea aceasta este limpede pentrus intervale (deschise, închise, semi-închise). Din teoria generală a extensiei măsurilor, egalitatea va avea loc şi pentru mulţimi boreliene arbitrare. în baza comentariilor anterioare, deducem* atunci formula

h j m u

s

i î(0 = Ja<»T)(s)d^),

d7

care ne arată în particular, independenţa de reprezentarea parametrică a integralei curbiliniii {detalii privind măsurile Lebesgue-Stieltjes pot fi găsite în [8], cap. III, § 5).

66

1.7.9. Fie X un spaţiu Banach şi fie Kc.C o mulţime compactă. Vom considera spaţiul iBanach C(K, X). Pentru fiecare funcţie f e C(K, X) vom defini mulţimea

f= {weK:f(w)^ 0}, de suportul funcţiei f. Vom defini apoi o funcţie F supp

/mulţime cunoscută sub numele —• C(K, X) prin relaţia

t in

F(z)(w) = (w - z)'1 ţ(w), w e K, ze F(z)(w) = 0 ori de cîte ori w ţ supp f.

: C\supp

f-*

C \ s u p p f,

care punem (i) Fie U = C \ s u p p f şi fie z0 e U. Arătaţi că există un număr d0> 0 astfel încît seria oo

(w - 2)-1 = (w - ro)-1 £ (z - Zq)^ (W - z0)~1' A=0

să conveargă pentru \z — z0\ < d0, convergenţa fiind uniformă în w e supp f. k (ii) Vom defini funcţiile fk(w) =(w— z0)~ f(w) (extinse cu zero în afara suportului "lui f). Atunci avem reprezentarea oo

(">) = H (z - ^o)*Mw), \z-z0\
weK,

convergenţa avînd loc în topologia lui C(K, X). Arătaţi această convergenţă şi obţineţi de aici analiticitatea funcţiei F în U. (iii) Considerînd în locul spaţiului C(K, X) spaţiul B(L, X), unde I c C este o mulţime închisă arbitrară, obţineţi, ca mai sus, analiticitatea funcţiei F : C \ s u p p f B(L, X), definită printr-o formulă asemănătoare, unde f e B(L, X). 1.7.10. Fie B o algebră Banach cu unitate, fie aeB un element fixat şi fie familia claselor de echivalenţă de funcţii analitice, egale în vecinătăţi ale mulţimilor as(ă). Arătaţi că este algebră cu unitate, cu operaţiile .definite în observaţia 1.3.11. 1.7.11. Fie B o algebră Banach comutativă, cu unitate şi fie aeB un element fixat. Vom nota cu familia funcţiilor analitice f : U/-+B, unde Uf ^cj^a) este o mulţime deschisă din planul complex. Ca şi în observaţia 1.3.11, în familia j4a,B se poate introduce o relaţie de echivalenţă între funcţiile egale într-o vecinătate a mulţimii CB(O). Fie mulţimea claselor de echivalenţă. (i) Arătaţi că [*s/a,b] s e poate organiza ca algebră comutativă, cu unitate (a se vedea ş exerciţiul 1.7.10), care conţine o subalgebră izgmorfă cu [«54a]. (ii) Utilizînd o variantă a formulei (1.3.3), definiţi o aplicaţie [«**a,B] 9 [/] -*• [/](«) e B şi arătaţi că ea este un omomorfism continuu de algebre cu unitate (urmărind etapele demonstraţiei teoremei 1.3.12), care extinde omomorfismul (1.3.4). 1.7.12. Să se enunţe şi să se demonstreze o variantă a propoziţiei 1.4.3, în care funcţia f să fie analitică doar în discul Dr = {z : < f}, unde r> r(a). 1.7.13. Fie JvcC o mulţime compactă. Vom nota cu s4(K) subspaţiul liniar al spaţiulu* C(K) format din acele funcţii care sînt analitice în vecinătăţi ale lui K. Fie apoi &(K) mulţimea funcţiilor raţionale, cu polii situaţi în afara mulţimii K. Evident, &(K) c: «s/(K). Arătaţi că subspaţiile &(K) şi J4(K)2LU aceeaşi închidere în C(K). In particlar, orice funcţie analitică într-o vecinătate a mulţimii K este limita uniformă pe K a unui şir de funcţii raţionale, cu polii situaţii în afara lui K.

Indicaţie : Fie \i e M(K) cu proprietatea că ^ R(z) dfx(z) = 0 pentru orice R e &(K). Utilizînd reprezentarea funcţiei f es4(K) prin formula Cauchy precum şi teorema lui Fubini, deduceţi de aici că ^f(r) d[j.(z)=0. Deoarece M(K) este dm.lul spaţiului C(K) (teorema 0.4.19), în virtutea teoremei Hahn-Banach spaţiile &(K) şi

trebuie să aibă aceeaşi închidere în C(K).

67

1.7.14. Fie B o algebră Banach cu unitate, fit aeB un element fixat şi fie d>: [«**«]-+ un omomorfism continuu de algebre cu unitate, astfel Incit $(v) = a, unde v(z) •= z. (i) Arătaţi că pentru orice R e 3 f * avem egalitatea $(JR) = R(a). (ii) Pe baza continuităţii lui <î> şi a observaţiilor de la 1.7.13, arătaţi că $ ( [ / ] ) — f ( a ) oricare ar fi / 6 M a . Acest rezultat dovedeşte că există un singur calcul funcţional analitic ataşat unul element

aeB.

1.7.15. Fie B o algebră Banach comutativă, cu unitate şi fie a e B un element fixat. (i) Arătaţi egalitatea

y(f(a)) = f(y(a))

oricare ar fi

y e T(B).

(ii) Utilizînd propoziţia 0.5.6, deduceţi din (i) o verriune a teoremei 1.4.1. 1.7.16. Fie Xj spaţii Banach şi fie TjeSâ(Xj) ( j = 1, 2). Fie apoi X = ^ x A ' j şi T = = Tj x T2 [deci T((xlt x 2 )) = (Txx19 T2x2) pentru orice xx e Xx şi x2 e X2]. Arătaţi atunci că «(T, X) = c(T19 Xt) U c{T29 X2). 1.7.17. Fie X un spaţiu Banach şi fie Te &(X) astfel încît c(T, X) = Kt U K29 unde Kv K2 sînt mulţimi compacte şi disjuncte. Arătaţi că dacă X = Xt -f X 2 , unde X19 X2 sînt subspaţii liniare, închise ale lui X, invariante la acţiunea lui T, cu proprietatea că a(T, X j ) = = Kj (j = 1 , 2 ) , atunci XJ9 X2 sînt unic determinate. Existenţei unei asemenea descompuneri, dată de teorema 1.5.2, îi putem deci adăuga şi' unicitatea.

Indicaţie. Fie X = r , + Y2, unde Yj are aceleaşi proprietăţi ca şi Xj. Vom lua un element arbitrar yx e Yx şi-1 vom scrie sub forma y1= x2, unde Xj e X j . Vom considera apoi funcţia /(2) =

f (z - TjXJ"1 X29 dacă zţK29 1l (z-T\ YJ'1 yi-(z-T IXJ-1 x19

dacă z ţ

Kv

Se vede uşor că funcţia / este corect definită şi analitică în tot planul complex. Funcţia f fiind nulă la infinit, va trebui ca f(z) = 0, deci x2 = 0. Aşadar, Yx cz Xx iar schimbarea rolurilor celor două spaţii ne dă şi incluziunea inversă. Analog Y2 = X 2 . 1.7.18. Fie spaţiul Banach X = C([0,1]) şi fie operatorul liniar (Tf)(s) = f'(s) (/' fiind derivata lui /). (i) Dacă D(T) = {f e X : f e X}, operatorul T este închis (exerciţiul 1.7.5); arătaţi că o(T, X) = C.

Indicaţie. Arătaţi că X — T nu este injectiv pentru fiecare X e C. (ii) Dacă D(T) = {(/ e X : /' e X, /(O) = 0\, arătaţi că T este închis şi că o(T, X)= Indicaţie.

0.

Arătaţi că

(X -

T)"1

9(s) =

- e>* ^ e-**

g(t) d{9 g e X,

o «ricare ar fi X e C. 1.7.19. Fie K c: Coo o submulţime compactă, Ksoo. Vom nota (ca la 1 . 7 . 1 3 ) cu &(!£)> subspaţiul liniar al spaţiului C(K) format din funcţiile care sînt analitice ţii vecinătatea mulţimii K (deci analitice şi la infinit). Vom nota apoi cu &(K) subspaţiul lui format din funcţiile r a ţi on ale (analitice la infinit) care au polii în afara mulţimii K. Utilizînd ideea de la 1.7.13, arătaţi că orice funcţie din ât(K) este limita uniformă pe mulţimea K a unui şir de funcţii din &(K).

1.7.20. Fie T eV(X)\£(X) şi fie O : Jd/jr]-*#(X) un omomorfism continuu de algebre cu unitate (convergenţa In şi continuitatea aplicaţiilor definite pe [atT] se definesc la fefc ca In observaţia 1.3.11, mulţimile compacte din C fiiivd înlocuite cH mulţimi compacte din C«>).~

«8

Vom mai presupune că omomorfismul O are următoarea proprietate : Dacă f e s t r , t(°o) = 0, şi dacă g(z)=zf(z), atunci * ( [ / ] ) * c: D(T), <&([*!)= ţi a j = # ( [ / ] ) Tot pentru orice xeB(T). 1 (i) Arătaţi că pentru orice punct wţ<*oo(T, A'), dacă fw(z) = (w—z)" , atunci $ ( [ / » ] ) = 1 = {w - T)" . (ii) Folosind (i), rezultatul de aproximare de la 1.7.19 şi continuitatea lui O, arătaţi că * ( [ / ] ) = f ( T ) oricare ar fi f e s 4 T . Aşadar, şi In cazul operatorilor nemărginiţi (a se vedea şi exerciţiul 1.7.14) calculul funcţi• a l analitic este unic determinat, prin condiţii naturale. 1.7.21. Fie T e operatorul r f ( l - P ) ( X ) este definit p e D( T) H (1 — P ) ( * ) Şi are valori în (1 — P)(X), datorită condiţiei (1)). Arătaţi atunci egalitatea P = P& (ultimul fiind dat de propoziţia 1.6.12). Acest rezultat asigură unicitatea proiectorului P * , ce va fi numit proiectorul spectral ataşat operatorului T şi mulţimii K. Indicaţie. Fie un punct w $ <JQO( T, X) şi fie operatorul A = (w — T)'1 (ca în demonstraţia propoziţiei 1.6.12). Din condiţia (1) rezultă uşor că PA = AP, deci că A invariază spaţiile P(X) şi (1 - P)(X). Dacă v(z) = (w - z)"\ se demonstrează apoi că A\P(X) =
t( z ) =

£

*«0

(z -

iz ~

< Je»

unde presupunem r e finit, dat de relaţia

75-1= !ta H**»1'*. Arătaţi că pe frontiera discului D(z9, r 0 ) = {z; Jz — r t | < r 0 } funcţia / are cel puţin o singularitate. Indicaţie. Dacă toate punctele din dD(z9, r0) ar fi regulate, luncţia / ar putea Ii prelungită analitic într-un disc D(z 0 . T), unde r>rQ. Vom alege numerele r19 r a astfel încît r 0 < < r% < t . Notînd cu / prelungirea funcţiei iniţiale la D(z 0 , r), din dezvoltarea In serie 00

0» - zy1 = în care Caucky

€ T2 = *

- zj-1 £ <* -

dD(zQ, rjşize B(z0, rj

(* - zo)~k>

A-O

(a se vedea şi exerciţiul 1.7.9(ii)), prin utilizarea formulei

= -2r r7Tr1 (<® - *r* /(«O 3 r,

ze

*><2t> 6S

se poate deduce reprezentarea OO

/(*) = £ A=0

zeD

(*s> ri)>

în care

Â 7T1 J r2 Din relaţia (*) se obţine apoi că ||yţ|| ^ Mr~*, unde M ^ 0 nu depinde de nSTlly*!! 1 /^ r - 1 < r - l = lim K—*OQ

K-¥

Aşadar

llXfcli1/^.

o o

Pe de altă parte, va trebui să avem z/jt = > 0), deoarece reprezentarea funcţiei f ca serie convergentă în vecinătatea punctului z0 este unic determinată (formula (*) determină în mod unic coeficienţii dezvoltării In serie). Contradicţia obţinută ne arată că pe mulţimea dD(ze, r d ) se află cel puţin un punct singular al funcţiei /. 1.7.23. Fie B o algebră Banach cu unitate. Utilizînd exerciţiul 1.7.22, arătaţi că pentru orice element b e B are loc egalitatea sup{jzl; ZE GB (&)} = lim ii&*||V*.

K-TOO

Indicaţie. Deoarece funcţia z (z — b)'1 este analitică în afara celui mai mic disc cu centrul Ib origine care conţine spectrul, din exerciţiul 1.7.22 se obţine egalitatea sup {|r!; z e Gs(b)}=

ItoT \\bk II1/*. k—+oo

Pe de altă parte, dacă z e a^fr), atunci zk e oB(bk) (teorema 1.4.1). De aici se deduce că sup { U | ; z e GB(b)} < lim llft*|[V*. k-*oo Acest rezultat ne arată că raza spectrală se poate obţine ca o limită obişnuită.

2. DESCOMPUNEREA SPECTRALĂ A OPERATORILOR NORMALI

Acest capitol este consacrat studiului reprezentării integrale a operatorilor normali în spaţii Hilbert. O extensie a conceptului de operator normal va fi de asemenea studiată.

2.1. C*-ALGEBRE Fie B o algebră asociativă. Eeamintim că o aplicaţie B a b -> fc* e B se numeşte involuţie pe B dacă (i) (6*)* = b, (ii) (bx +& 2 )* = + (a6)* = otb* şi (iv) ( b ^ ) * = fcffc*? oricare ar fi b, b19 b2 e B şi a eC ( a se vedea observaţia 0.3.13). Dacă algebra B are şi unitate, atunci 1* = 1, deoarece 1*6 = 1*(6*)* = (6*1)* = (b*)* = b = 61*, oricare ar fi 6 e B. 2.1.1. DEFIKIŢIE. Fie B o algebră Banach cu involuţie. Yom spune că B este o C*-algebră dacă || 6||2 = ||6*6||, oricare ar fi b e B. Să observăm că dacă B este o C*-algebră cu unitate, atunci din ||11|2 = = ||i*i || = ||i || deducem că || 11| = 1. Este de asemenea simplu de văzut că || 6* || = ||6||, oricare ar fi b e B . 2.1.2. EXEMPLE. 1° Fie Q un spaţiu topologic şi fie J3(£î) algebra Banach a funcţiilor boreliene, mărginite pe Q, cu valori complexe (exemplul 0.5.2.2°). Aplicaţia f ->7? î n care J(ca) = /(că) (ca e £î), este o involuţie pe jB(fî). Condiţia din definiţia 2.1.1 fiind evident îndeplinită, putem spun că B(Cl) este o C*-algebră. 2° Fie £2 un spaţiu topologic compact şi fie C(Q) algebra Banach a funcţiilor continue pe Q (exemplul 0.5.2.3°). Algebra C(Q) este invariantă la involuţia indusă de J3(Q). Este deci clar că C(Q) este o C*-algebră şi anume o sub-C*-algebră a C*-algebrei B(£l) (definiţia 2.1.8). 3° Fie H un spaţiu Hilbert. Algebra are o involuţie naturală, dată de trecerea la adjunct (observaţia 0.3.13). Dotată cu această invo71

Iulie, algebra devine o C*-algebră. într-adevăr, dacă T e L(H), atunci ||2*|| = ||T|| (a se vedea 0.3), prin urmare ||T*T|| <\\T*\\ ||T]| = j|T||2. Reciproc, f|Tf|2 = sup ||2\r|| 2 = sup < T * T x , x> < \\T*T\\ în baza inegalităţii lui Schwarz (observaţia 0.2.5); prin urmare, ||T|| 2 = - [|2*T|| oricare ar fi T e & ( H ) . 2.1.3. DEFIKIŢIE. Fie B„ B2 două 0*-algebre. Fie 9 un omomorfism al algebrei B} în algebra B2. Yom spune că 9 este un omomorfism de C*-atgebre dacă 9(6*) = 9(6)*, oricare ar fi b e Bt. Să remarcam că în definiţia 2.1.3 omomorfismul 9 nu este presupus continuu. Continuitatea sa rezultă automat, pe baza afirmaţiei care urmează. 2.1.4. PROPOZIŢIE. Fie Bx, B2 două G*-algebre şi fie 9 : un omomorfism de C*-algebre. Atunci ||9(6)|| oricare ar fi b e Bx. Demonstraţie. Fie, mai întîi, un element a e Bx astfel încît a = Atunci || a21| = ||a*a|| = ||a||2, deci, prin inducţie, l!* 2 "ir - ||a|[,n = 1 , 2 , 3 , . . . î n baza exerciţiului 1.7.23, obţinem că r(a) = ||a||. Fie b e Bt un element arbitrar. Deoarece (propoziţia 1.4.5), avem r(
-

5

(

~~ ita) * fc!

=

= f 6 "*)" 1

(a se vedea exemplul 1.4.4). Această observaţie ne permite să scriem 1 = |Je~iu eUm || = ||(eita)* eli* || = ||eir'H2. Fia acum y e V(B) un caracter arbitrar. Remarcăm că 72

|v(e**)j < | | Y | | i|e"«|| - l ,

îfc baza exerciţiului 1.7.15. Aşadar, funcţia î eUY(*) este mărginită pe R. 1
= yK +

ia

2) = y(&)-

2.1.6. PBOPOZIŢIE. Fie B o C*-algebră comutativă cu unitate. Eodstă atunci un omomorfism de G*-algebre de la B în C(F(B))9 care este izometrie surjectivă. Demonstraţie. Teorema 0.5.8 ne furnizează un omomorfism B3t>->beC(r(B)),

(2.1.1)

in care b{y) = y(fc), oricare ar fi b e B şi y e T(B). î n virtutea lemei. 2JL.5 aplicaţia (2.1.1) este un omomorfism- de C*-algebre. Datorită comutativităţii algebrei B putem scrie că \m2

= P2WI

= I &V*b)*(b*b)W = \\b*b II2 = li&it4,

prin urmare, |[i>2|| = |[b||2, oricare ar fi b e B. î n baza teoremei 0.5.8 aplicaţia (2.1.1) este izometrie. Fie algebra B = {b; beB}. Yom arăta că B = 0( r(J3)). într-adevăr, 1 e B este funcţia identic egală cu 1 ; dacă beB, atunci b =b* e îi şi dacă yx, Ya caractere distincte în T(J5), deci există un element b^e B astfel încît b0(yx) = b0(y2). Algebra B fiind închisă (căci este imaginea unei C*-algebre printr-o izometrie), din teorema 0.5.9 obţinem egalitatea B = = C(T(J5)), ceea ce încheie demonstraţia. 2.1.7. OBSEEYAŢ1E. Propoziţia 2.1.6. ne arată că algebreie B şi C( T(B)) sînt izomorfe ca C*-algebre. Mai precis, dacă B2 sînt C*-algebre şi 9 : Bx -> B2 este un omomorfism bijectiv de C*-algebre, atunci 9""1: B2 -> Bx există şi este omomorfism de C*-algebre. î n baza propoziţiei 2.1.4 omomorfismul 9 este şi izometrie. î n acest caz spunem ca JBX şi Bz «Int izomorfe ca G*-algebre. 2.1.8. D E F l K t p i . Fie B o C*-algebră. O subalgebră Banach JB^ a lui B care este invariantă la involuţie (deci este ea însăşi o C*-algebră) se numeşte sub-C*-algebră a lui B. Este clar că intersecţia unei familii arbitrare de sub-C*-algebre ale lui B este o sub-C*-algebră a lui B. Să presupunem că B axe unitate şi să fixăm M c= B. Intersecţia BM a tuturor sub-C*-algebrelor ce conţin pe M U {1} se numeşte subkim-algebra cu unitate generată de M. Elementele mulţimii M vor fi numite generatorii lui BM. 73

Rezultatul care încheie acest paragraf se referă la aigebrele cu u n număr finit de generatori. 2.1.9. TEOREMĂ. Fie B o C*-algebră comutativă cu unitate, avînd n generatori. Atunci spaţiul T(B) este omeomorf cu o submulţime compactă KB CZ C\ în plus, aigebrele B şi C(EB) sînt izomorfe ca C*-algebre. Demonstraţie. Fie M = {615 . . . , 6n} o familie care generează C*-algebra cu unitate B. Vom considera aplicaţia h : V(B) -> Cw dată de relaţia Mt) = (y(M, • • •, y(6n)), y e T(B).

(2.1.2)

Aplicaţia h fiind evident continuă, imaginea sa KB = h(V(B)) este o parte compactă în C \ Yom demonstra, în primul rînd, că aplicaţia 7i este injectivă. P e n t r u aceasta vom utiliza faptul că algebra B este generată de mulţimea M (definiţia 2.1.8). Acest lucru se traduce prin aceea că luînd toate polinoamele complexe de 2 n variabile P(z19 ..., zn, z19 ...,

zn)

şi considerînd expresiile de forma •••,«) (2.1.3) (definite fără echivoc datorită comutativităţii algebrei B), obţinem o subalgebră cu involuţie densă în B (exerciţiul 2.6.1). Fie acum Yi72 e Y(B) cu proprietatea că h(Yl) = fe(y2); cu alte cuvinte, y x (bj) = Y2(^;) 0* = • • • 5 n)* Remarcăm apoi că YxtPt&x, = PivM,

= ...,

= P(Ya(&i)» • • • »

r M ,

• •, y M ) =

Ya(M» • • • » Ya<&»)) =

Acest calcul ne arată că omomorfismele Yi Şi Y2 coincid pe expresiile de forma (2.1.3). Deoarece mulţimea acestor expresii este densă în B şi caracterele Yiî Y2 sînt aplicaţii continue, rezultă y î = y2, adică aplicaţia h este injectivă. Aşadar, aplicaţia h este un omeomorfism între spaţiile topologice T(B) şi Kb (observaţia 0.1.6.2°). Omeomorfismul JI permite identificarea algebrelor C(V(B)) şi C(EB); mai precis, C{ V(B)) şi C(EB) sînt izomorfe ca C*-algebre, prin aplicaţia C(Kb) 3f->f°JieC(

Y(B)).

Deoarece şi aigebrele B şi C( V(B)) sînt izomorfe ca C*-algebre (propoziţia 2.1.7), rezultă că B şi C(KB) sînt izomorfe ca C*-algebre, prin aplicaţia Ba b

b* H'1 e C{EB),

oeea ce încheie demonstraţia teoremei. 74

(2.1.4)

2.2. MĂSURI SPECTRALE ŞI INTEGRARE Fiind dat un spaţiu Hilbert £T, vom nota cu s/(H) mulţimea operatorilor autoadjuncţi din Să observăm că este un spaţiu liniar peste corpul real. Fie, de asemenea, CI un spaţiu topologic. 2.2.1. DEFINIŢIE. Prin măsură spectrală pe Q cu valori în s/(H) se înţelege o aplicaţie E : Bor(£2) s/(H) avînd următoarele proprietăţi : (1) E(0) = 0 , JE?(Q) (2) E(8X n S2) = E{S1)E{82), (3) Dacă două, atunci

oricare ar fi 8„ £ 2 e B o r (£2);

<= Bor(fi) este un şir de mulţimi disjuncte două cîte oo

(

\

oo

{J Sk ) x = E(Sk)x, pentru fiecare xeH. h=1 ) Jc=1 Din condiţia (2) rezultă (pentru Sx = S2) că valorile unei măsuri spectrale sînt proiecţii (autoadjuncte), care comută două cîte două. 2.2.2. EXEMPLU. Fie H = i*(R) spaţiul claselor de funcţii măsurabile (a se vedea [8], I I I 2.10), egale aproape peste tot, de pătrat integrabil pe R în raport cu măsura Lebesgue (a se vedea exerciţiul 0.6.23). Pentru fiecare S e Bor(R) definim operatorul (E(8)f)(s) = xs(s)/(s), s e R , feL\R), unde, ca şi în celelalte capitole, xs desemnează funcţia caracteristică a mulţimii S. Atunci aplicaţia Bor(R) a S

E(S) e

R))

este o măsură spectrală (exerciţiul 2.6.2). întorcîndu-ne la definiţia 2.2.1, precizăm că proprietatea (3) se numeşte aditivitatea numărabilă tare a măsurilor spectrale. E a este echivalentă cu o proprietate aparent mai slabă : 2.2.3. LEMĂ. Fie Bor(Q) 3 S E ( 8 ) e sf(H) o aplicaţie cu proprietăţile (1) şi (2) din definiţie 2.2.1, precum şi cu următoarea proprietate : (3*) Dacă 1 <= Bor(fî) este un şir de mulţimi disjuncte două cîte două, atunci ^E

^ j j Skj x, y^

« § <E(S*)®> y>> oricare ar fi x,y e H.

- n aceste condiţii aplicaţia E este o măsură spectrală. Demonstraţie. Yom arăta că (3*) => (3). Pentru aceasta vom nota

75

unde xeH scrie că

este un vector fixat. Să remarcăm că pentru orice y e H putem

lim„îr> = lim / £ E(Sk)x,y\ - £ <E{Sk)x,y> = <J^(S)x J y} J #-<» I- 00 \*=1 / în baza relaţiei (3*). Să remarcăm apoi că sistemul de vectori {E(8k)$}t este ortogonal, deoarece <«(0,)*,

= <E(S9)E(Sk)x,

x> = 0

In baza proprietăţii (2), ori de cîte ori k & q. Utilizînd teorema lui Pitagora (exerciţiul 0.6.8), putem scrie lim|i

=Hm J

\msk)x\|2

= <^(5)®, *)> =

= lim V <E(S>)x, x> = POM*.

Aşadar, şirul {vs}, converge slab la vectorul E(S)x iar şirul {||t?, ||] j converge Ia p?(S)a?||, asigurînd convergenţa în norma lui H a şirului {v^j către vectorul E(8)x (exerciţiul 0.6.7), ceea ce este acelaşi lucru cu valabilitatea condiţiei (3) din definiţia 2.2.1. Deoarece condiţia (3) din definiţia 2.2.1 implica evident condiţia (3*) din lema 2.2.3 (care se numeşte aditivitatea număr abilă slabă a măsurii spectrale), rezultă că cele două proprietăţi sînt echivalente. Yom denumi a&itivitate numărabilă oricare din aceste două proprietăţi echivalente. O altă proprietate utilă a măsurilor spectrale este dată de rezultatul care urmează. 2.2.4. LEMĂ. Fie Bor(£î)a E(8) e st(H) o măsură spectrală. Dacă c Bor(£2) este un şir crescător, atunci E(8k)x -> E(S)ot cînd fc -> oo, oricare ar f i xe H, unde 8 este reuniunea familiei {Sk}k. Demonstraţie. Fie 8[ = Sî şi 8k = (k> 2). Atunci {Stfjffir este un şir de mulţimi disjuncte două cîte două, a căror reuniune este egală cu mulţimea 8. î n virtutea aditivităţii numărabile a măsurii spectrala Ef avem relaţiile limE(8 t )x = lim £ E(8'j)x = E(S)x,

k-¥oo

k-*oo j-xi

deoarece E(8'})x = E(Sj)x — E^S^Jx pentru orice j > 2. Ou ajutorul măsurilor spectrale vom putea efectua operaţia de integrare a funcţiilor boreliene mărginite (scalare). î n acest scop vom utiliza o schemă asemănătoare cu cea din paragraful 1.1. 2.2.5. DEFINIŢIE. Fie Bor(Q) B8 -> E(8) e O măsură spectrală şi fie / G Be{£l) reprezentată ca în exemplul 0.4.9. Vom defini integrala funcţiei / în raport cu măsura spectrală E prin relaţia $/() = 76

Dacă 8 € Bor(£2), se defineşte integrala funcţiei / în raport cu măsura pe mulţimea 8 prin relaţia f / [ « ) cLE(co) = £ a f f l S , n S). J jej 2.2.6. LEMĂ. Aplicaţia

Be(Q)a f

\/(co)dE<6>) e X(H) este coreei

definită, liniară şi satisface estimarea ||U)

<sup|/(a>)|. cogS

Demonstraţie. Să remarcăm că dacă ne dăm o mulţime £ e Bor(£î) care se scrie sub forma L = ; fc e K}, unde £ este o familie finită de indici şi {£*}*€* Bor(£2) este o colecţie de mulţimi disjuncte două cîte două, atunci, pe baza definiţiei 2.2.1 (3), putem scrie, în particular, că E(L) = £ E(Lk). keK Utilizînd această observaţie putem obţine independenţa integralei de reprezentarea funcţiei / ca şi în cazurile studiate anterior (exerciţiul 0.6.21, lema 1.1.3). Yom lăsa această verificare pe seama cititorului, ca şi stabilirea liniarităţii integralei pe Be(Cl). Pentru a obţine ultima afirmaţie, să observăm că sistemul de vectori {oLjEiSj n este ortogonal, unde x e H este fixat. î n virtutea teoremei lui Pitagora avem atunci : co) dJ5(o>)ja?|2 -

£ ct.jE(8j n S)x J€j

= £ | a ; | 2 | | E ( f i f , n ^ | | 2 ^ s weS u p l / ( c o ) | * £ l \ E ( S j n S)x\\* = jej /€/ = \\Xsf\\2 \ \ E ( 8 ) x I N I 2 [în care apare şi norma din spaţiul jBe(£2)]. Aceste estimări implică ultima afirmaţie a lemei. 2.2.7. D E F I M Ţ I E . Fie E :Bor(£2) s/(H) o măsură spectrală şi f i e / e B(Cl). Fie apoi {fk}k°Zi <=. Be(Q) un şir care converge c ă t r e / î n J5(£2). Pentru fiecare 8 e Bor(£2) vom defini integrala funcţiei f pe mulţimea 8 în raport cu măsura spectrală E prin formula [f(<»)âE( 6>) =Um\fk(o>)ăE(a>).

77

2.2.8. TEOEEMĂ. Fie E : Bor (Q) s/(H) o măsură spectrală şi fie 8 e Bor(Q) o mulţime fixată. Atunci aplicaţia B{Q)Bf-+^f(co)

ăE(o>)e
este un omomorfism de C*-algebre. Dacă S — CI, atunci imaginea unităţii din B(Cl) prin acest omomorfism este identitatea pe H. Demonstraţie. Corectitudinea definiţiei aplicaţiei din enunţ (şi deci şi a definiţiei 2.2.7) se obţine ca în demonstraţia proporţiei 1.1.5, pe baza estimării date de lema 2.2.6. Tot ca în propoziţia 1.1.5 se obţine şi liniaritatea aplicaţiei din enunţ. Verificarea acestor fapte o lăsăm pe seama cititorului. Ne vom ocupa acum de demonstrarea multiplicativităţii aplicaţiei din enunţ. Fie, mai întîi, funcţiile /(co) = £ a ^ / c o ) , g{co) = £ jej keK din J5e(£î), reprezentate ca în exemplul 0.4.9. Atunci

$

/()= £ ce.$kE(8 n Sj n Lk) = j.»

= Ş *,ms

n St) £

3

n £*) = ^/(
deci avem multiplicativitate pe subalgebra Be(Cl). Dacă /, g sînt funcţii arbitrare din B(C1) şi dacă {fm}m, {g m j m sînt şiruri din Be{Cl) care le aproximează (respectiv), atunci, pe baza rezultatului anterior, putem scrie [/(co)^co)dJS(co) = lim [fm(o*)gm(o>) dE(co) = J m-+oo J S 5 lim^/ w (co)dE(co)^ m (co) &E(co) =^/(co)d£7(co)^(co)d£(co), s

"

deci aplicaţia din enunţ este omomorfism de algebre Banacli. E a este chiar omomorfism de C*-algebre, deoarece, d a c ă / e Be(Q) are reprezentarea din exemplul 0.4.9, atunci £ ^/(co)d25(co))* = ( £ ajE(JS n 8,))* = s

= £ *jE(S n 8,) = fe) 4B(
Egalitatea ( ^/(co)dJB(co)j* s

dE(co) s

se obţine apoi pentru orice funcţie / e B(£l), aproximînd funcţia / cu funcţii din JBc(fî) şi ţinînd seama de continuitatea involuţiei. î n sfîrşit, să remarcăm că imaginea unităţii din J3(f2) prin omomorfismul considerat este proiecţia E{8). Deci dacă 8 = £2, atunci E(S) este operatorul identic pe H, ceea ce încheie demonstraţia. 2.2.9. COROLAR. în condiţiile teoremei precedente. operatorul Nf = = ^/(co)djE?(co) este normal pentru orice f e B(Cl). Demonstraţie. Deoarece aplicaţia din teorema precedentă este un omomorfism de 0*-algebre definit pe o algebră comutativă, rezultă că Uf = N} şi deci N f N , = N f N f . î n continuare vom enunţa şi demonstra teorema de schimbare de variabilă pentru măsurile spectrale. 2.2.10. TEOREMĂ. Fie £îx, Q2 spaţii topologice, fie x : -> Cl2 0 aplicaţie boreliană şi fie El : Bor(Qx) -» o măsură spectrală. Atunci aplicaţia E2(8) = E^x-'iS)),

8 e Bor(£î2)

(2.2.1)

defineşte o măsură spectrală pe Bor(£22) pentru care are loc formula /(co2) d^2(co2) = J (/• x K o J d E ^ ) , n2

(2.2.2)

O!

oricare ar fi f e B(Q,2). Demonstraţie, ldeea de demonstraţie este aceeaşi ca în cazul măsurilor scalare (exerciţiul 1.7.8). Yom verifica mai întîi că (2.2.1) defineşte o măsură spectrală. Deoarece aplicaţia t este boreliană, preimaginile mulţimilor din Bor(Q2) sînt mulţimi din B o r ^ ) (definiţia 1.1.9). Evident E2{0) = = E^Q) = 0 şi E2(Q2) = E^Qx) = 1. Apoi, dacă 8V S2 e Bor(£i2), atunci n s2) = X-M8J n deci E2(8X n S2) = E^SJE^), din proprietatea corespunzătoare a lui E ^ Dacă <= Bor(£î2) este un şir de mulţimi disjuncte două cîte două, atunci {t" 1 ^*)}*^! <= Bor(£21) este un şir de mulţimi disjuncte două cîte două, prin urmare E2(U

®=

®= f

E,(x~\8k))

x = f;

E2(8k)x,

oricare ar fi x e H , ceea ce atestă că (2.2.1) este măsură spectrală. 79

Yom demonstra acum egalitatea (2.2.2). Fie, mai întîi, / =

£

«iXsy

G

i ie/ reprezentată ca în exemplul 0.4.9. STotînd S'} = t ^ H S " ) , obţinem reprezentarea

deoarece

ftj ' t = x*- ^)* oricare ar fi $ eBor(Q 2 ). Prin urmare 1

[ ( / . T)(c0 1 )d^ 1 (6> 1 ) =

J

j;

«^(flfî) -

£

ie/

OC^S}')

=t/(0)2)d«(^).

ie/

J

î n cazul în care f e B(Q,2) este o funcţie arbitrară, vom lua un şir c Be(£l2) care converge la / în B(Q2) şi vom remarca estimarea sup COiCO!

\M^i))

~J«<»i))\

Acest fapt ne arată că şirul î n plus,

<

supj/^cog) Wjgiîj

t]* converge către / • t în J B ^ V

{]» T X w J d ^ K ) = l i m ( ( / t « k~*oo J

= Jî^^W6^)

=-

co2) = y(o>2)dJ5(o>2),

ceea ce încheie demonstraţia. 2.2.11. OBSERVAŢII. 1° Fie £i un spaţiu metric compact şi fie E : T$or(Cl)->sf(H) o măsură spectrală. Pentru fiecare pereche (x,y) e H x H vom defini o aplicaţie \L*.y(S)

= <E(S)x, y)y, S e Bor(O).

(2.2.3 >

î n virtutea aditivităţii numărabile a măsurii spectrale, este limpede ca \Lx,y este o măsură pe Bor(Q), în sensul definiţiei 0.4.3. î n baza exerciţiului 1.7.7. avem ţx*,y e JJf(Q), deci măsurile \Lx,y sînt chiar regulate. (Este suficient să obţinem regularitatea măsurilor pozitive { j c a în exerciţiul 1.7.7. Regularitatea unei măsuri arbitrare [iXty se obţine apoi prin utilizarea relaţiei de polarizare, enunţată la exerciţiul 0.6.11.) Măsurile \j.x,y date de (2.2.3) vor fi numite măsurile scalare ataşate măsurii spectrale E. Pentru a sublinia provenienţa acestor măsuri, vom mai utiliza notaţia ^(
(2.2.4)

2° Vom putea aplica observaţiile precedente şi la condiţii ceva mai generale. Anume, fie £î un spaţiu local compact şi fie f î » spaţiul compact 80

care se obţine din Q prin adăugarea punctului oo (teorema 0.1.7). Fiind! dată o măsură spectrală E : Bor(Q) $£{H), aceasta poate fi extinsă la o» măsură spectrală E : BorfQ») s*(H) punînd E(S) = E(S n £2) pentru fiecare S e Bor^,»). Să presupunem că O» este spaţiu metric (compact). Atunci măsurile {p.x,y)x,y date de formula (2.2.3) sînt încă regulate. într-adevăr, notînd cu y.x,y măsura care se obţine din E prin relaţia (2.2.3), din 1° avem \ix,y e g M(Clao)' Deoarece jjl x,y = £x,y | Bor(Q), obţinem şi faptul că \ix,y e € Jf(Q).

Yom continua să spunem şi în acest caz că \ix,y sînt măsurile scalare ataşate măsurii spectrale E şi vom utiliza notaţia (2.2.4). 3° Situaţia de la 2° se poate aplica, în particular, planului complex C. într-adevăr, C<» este omeomorf cu o sferă, deci are structură de spaţiu metric compact, echivalentă cu topologia sa naturală (observaţia 0.1.8). 2.2.12. PROPOZIŢIE. Fie £2 un spaţiu topologic local compact cu proprietatea că topologia spaţiului compact £2» este dată de o metrică. Fie E: Bor(Q) st(H) o măsura spectrală. Atunci măsurile scalare ataşate măsurii spectrale E au următoarele proprietăţi: (1)

yy -

dB(©)J X, y y ;

a (2)

n I 1

(3)

y ) > | < ll/H | | * | | II.'/ II; 1

â

J |/( = J ^

/(
a o oricare ar f i x, y e H ştj e B( Q). Demonstraţie. Dacă / este o funcţie etajată, deci / =

J]

fej

«iXS/î

atunci V/( = £ a j <Ei8 s )x J yy = jeJ

i

Q D a c ă / e JB(£2) este arbitrară, relaţia (1) se obţine pe baza calcululid de mai sus, aproximînd funcţia / cu un şir de funcţii din Be(Cl). Pentru a obţine relaţia (2), vom observa mai întîi estimarea ^/(o)d-B(co)

< 1 1 / 1 1 , / 6 J3(Q),

(2.2.5)

o

81 « — C. 78»

consecinţă a teoremei 2.2.8 şi a propoziţiei 2.1.4 [relaţia (2.2.5) se poate obţine şi din estimarea dată de lema 2.2.6, prin trecere la limită]. Folosind egalitatea (1), inegalitatea lui Schwarz şi estimarea (2.2.5) deducem uşor proprietatea (2). Relaţia (3) se po^te obţine tot din (1), prin teorema 2.2.8. într-adevăr J |/(fc>) I2 d<(25(co)#, ?/> = CI

=

J/N)

CI

( J / ( « ) c L B ( a > ) j x, y ^

n = ^

\j(<*)\*&E(<*)x9 x^

=

=

ci

J/(a>) cLE(a>) J x,

(J/«o)

j

= | ( J /(")

^J2

CI CI CI oricare ar fi / e B(Q) şi xeH, ceea ce încheie demonstraţia. 2.3. REPREZENTAREA INTEGRALĂ A OPERATORILOR NORMAU î n paragraful precedent am văzut că fiind dată o măsură spectrală, integrala unei funcţii scalare în raport cu aceasta este un operator norm al (corolarul 2.2.9). Aici ne vom ocupa de problema inversă, anume de reprezentarea unui operator normal arbitrar ca integrală dintr-o funcţie scalară în raport cu o măsură spectrală. FieH un spaţiu Hilbert şi fie N e J£? (H) un operator normal fixat. Yom nota cu BN sub-C*-algebra cu unitate generată de mulţimea în j&(H) (definiţia 2.1.8). 2.3.1. LEMĂ. Algebra BN este o C*-algebră comutativă, cu unitate. în plus, Bn şi C(Gn) sînt izomorfe ca C*-algebre, unde AN = GBn(N)> Demonstraţie. Faptul că BN este o C*-algebră comutativă rezultă din exerciţiul 2.6.1. Algebra BN fiind generată de {N}9 aplicaţia (2.1.2) este dată de T(BN) 3 y y(N) e Gn, prin egalitatea {

Y

(N):

Y

SR(B

N

)}=

CBN(N),

obţinută din propoziţia 0.5.6. Din teorema 2.1.9 deducem atunci că BN şi C( aN) sînt izomorfe ca C*-algebre. 2.3.2. OBSERVAŢIE. Fie TY : BN -» C(GN) izomorfismul dat de leme 2.3.1. Să remarcăm că
= P(y(j\T), y ( N ) ) = P(z9 z).

2.3.3. LEMĂ. Avem egalitatea II) = aN. Demonstraţie. Reamintim egalitatea a(2VT, H) = o^{H)(N) (paragraful 1.5) şi remarcăm incluziunea G#{H)(N) c= <Jn, deoarece, dacă operatorul z — N este inversabil în BN, atunci z —N este inversabil şi în £?{H). Vom arăta că această incluziune este, de fapt, egalitate. î n acest scop vom utiliza izomorfismul O : C(a N ) B y , care este inversul izomorfismului <j/ din observaţia 2.3.2. î n baza observaţiei 2.1.7, aplicaţia <1> este şi izometrie. Să presupunem că GN\G(N, H) # 0 . Vom lua atunci o funcţie/ e C( a A ), 0, al cărei suport (exerciţiul 1.7.9) să nu intersecteze mulţimea G(N,H) [construcţia unei asemenea funcţii se poate face ca în exerciţiul 1.7.7 (v)]. Deoarece <& este izometrie, avem $(/) 0. Definim apoi funcţia fw(z) = = (w — z)-1 f(z) (z e (Tjv, wţ supp /), în care fw(z) = 0 dacă £ supp / . î n baza exerciţiului 1.7.9, aplicaţia

F^

C \ supp f b w

fw e C( <jn)

este analitică. Deci şi aplicaţia C\supp este analitică (propoziţia 1.2.10). Să definim funcţia F(w) =

I ®(/«) I

_

supp/, JXT)-1 (/),

Funcţia F este corect definită, deoarece, dacă (supp/) U o(N,H)j atunci $(/„,) = (w — i? r )~ I 0((/). într-adevăr, dacă v(2) = z, atunci O(v) =N pe baza observaţiei 2.3.2. Apoi, deoarece (w — v)/w = 1 iar $ este omomorfism, avem (w — N)Q>(fw) = 1. Mai mult decît atît, funcţia F este analitică în întreg planul complex şi lim F(W) = lim (tr — -V)" 1 ^/) = 0.

W-+ oo

w-*co

Din teorema lui Liouville (teorema (1.2.9) rezultă atunci că F = 0. Aşadar c e e a c e es e ®(jf) == ^ absurd. Va trebui deci să avem a(Nj H) = oN2.3.4 TEOREMĂ. Fie N un operator normal. Există atunci un omomorfism de C*-algebre Ctc(N, H))Bf-+

f(N) e st{B)

(2.3.1)

cu următoarele proprietăţi : (1) II/W II = 11/11 oricare ar fi feC( H)); (2) aplicaţia (2.3.1) extinde calcului funcţional analitic al operatorului N. Demonstraţie. Aplicaţia (2.3.1) va fi, desigur, omomorfismul <]> din lema precedentă, care are, după cum am văzut, proprietatea (1). Vom arăta că omomorfismul O are şi proprietatea (2). Mai precis, vom arăta că dacă / e s/N, atunci 0(/) = /(JT), unde f(N) este dat de definiţia 1.3.8. Acest fapt va rezulta prin explicitarea aplicaţiei (2.1.4). Procedînd ca în observaţia 2.3.2, dacă z e aN = a(N, H) (lema 2.3.3), atunci 2 = y{N) 83

pentru un y e V(BN); prin urmare, f(N)(y) = pe baza exerciţiului 1.7.15(i). Eelaţia (2.1.4) ne arată atunci că <\>{f{N)) = / , deci că
C o aplicaţie cu

următoarele

(i) 6 ( 0 ^ + a 2 x 2 ,y) = ^6(0?!, y) + a20(a?2, y), (ii) Q(y, x) = Q(x,y), (iii) \Q(x,y)\ < C\\x\\ \\y\\, oricare ar fi x, xv x2, y eH şi a x , a 2 e C, unde C ^ O este o constantă. Există atunci un operator autoadjunct A e &(H) astfel încît Q(x, y) = = (Ax, oricare ar f i x, y e H. Demonstraţie. Fie y e j f f u n element fixat. Din proprietăţile aplicaţiei 0 rezultă că H 3 §{x,y)e C este o funcţională liniară şi continuă pe H. î n baza teoremei 0.3.11 există un vector unic determinat A(y) e H astfel încît Q{x,y) = <0, A(y)>. Deoarece +

=

«2^2) =

3/i) +

â20(a?, y 2 )

JL(^)> + a 2 < # , J.(y g )> =
=

a2A(y2)>,

din unicitatea dată de teorema 0.3.11 rezultă că A(<xlyî -f- a2/y2) = = o ^ J l ^ ) + <x2A(y2) pentru orice y19 y2eH şi a1? a 2 eC, deci 1 este o aplicaţie liniară. Tot în virtutea teoremei 0.3.11 obţinem \\A(y) || = sap| 6(0, sr)| < < % | | ; IWKi

prin urmare, A este o aplicaţie continuă. î n sfîrşit, să remarcăm că <.A*x, y> = <x,

= 0(o?,

= 6(y, a?) =
=

y>,

adică A* = A. Rezultatul care urmează este cunoscut şi sub denumirea de teorema spectrală pentru operatorii normali. 2.3.6. TEOREMĂ. Fie N e&(H) o măsuţă spectrală E : Bor(a(jV, H)) N =

un operator normal. Exista s/{H) a&tfel inc&t

atunci

^ 0 dE(z). o(N9H)

Demonstraţie. Vom utiliza în mod esenţial teorema 2.3.4. P e n t r a fiecare pereche x, y eH r o m defini aplicaţia f*M) 84

» f>. / € 0(

H))f

unde f{N) este dat de (2.3.1). Deoarece \\f{N) H = ||/||, avem evaluarea M ) ) \

< ll/ll N i l Ibrllt

ceea ce arata ca yx,y e C( H))* pentru fiecare pereche x,y eH. î n baza teoremei 0.4.19, exista [Lx,y e M{ a( JV, H)) astfel încît ?*;y(f) =

\ M

/ € C(«(2r,

H)).

A[N,H)

Fie 8 e Bor(a(J?T, H)) o submulţime fixată. Vom considera aplicaţia 8^(0?, y) : H x H - * C dată de egalitatea y) = ^7Us dfiM,yj

x,yeH.

Deoarece avem în mod evident ?«!*!+«!»,,y =

a

i9*i»y +

a

2

o relaţie similară are loc şi pentru măsuri : în baza unicităţii date de teorema 0.4.19. Aşadar (i)

+ oc 2 # 2 ,y) = o c ^ a ^ y ) + a

2

e ^ , y)

oricare ar fi x19 x2, y e H şi a1? a2 e C. Avem apoi că 9*»y(/) = < / W

= <*,/U0»> = ( / W ^

= ?».
unde 9y,x(f) =
dlT y „ =

J / dfxy,„ /

g B ( a(-y,

ff)).

In particular, (ii) 6 ^ ) = ^ Xsdfly,*

fcdfx^

=

a?, y),

oricare ar fi x,ye H. î n sfîrşit, (iii) \Qs(*,y)\ < I i t o i i i i ^ n ^ I i 9 w II< M

Ifell»

deoarece corespondenţa dată de teorema 0.4.19 este izometrie. Proprietăţile (i), (ii), şi (iii) ne arată că sînt satisfăcute condiţiile propoziţiei 2.3.5, Aceasta ne asigură existenţa unui operator autoadjunct E(8) e ^f(£T), astfel încît (*•) J xAv** = f x,y

eH. 35

î n continuare vom arăta că aplicaţia S E(S) este o măsură spectrală.. Pentru aceasta vom avea nevoie de relaţia (V)

XsV-x,y = \LE[S)x,y ,

S G Boi'( G(N,

ff)),

X,1J eH.

într-adevăr, fie / şi gr funcţii continue pe a(JJr, H). Atunci 9*Mg) = <mg(N)v,y> = = deci şi egalitatea de măsuri g\ixty=\ix,~g(N)yj în baza teoremei 0.4.19. De aici,,, dacă S e Bor( <j( JV, H)), atunci ^ Xsfifty**= ^ X s d j i ^ y = <E(S)x, g(N)yy = < g ( N ) E ( S ) x, y} = ^

d[x£(S)*,y„

ceea ce probează valabilitatea relaţiei (v). Folosind egalitatea (v) vom putea scrie <E(81oS2)x,yy

Xs1 ns2

djx*,y = ^ ^Xs2 d[i*,y =

= ^ XSi d[X£(s2)^,y = ^ d[X£ (Sl )£(s 2 )^y =

. E ( £ 2 ) x, 2/> ;

aşadar oricare ar fi S19 S2 e Bor( G(N, n S 2 ) = jB(^) E(S2) întrucît egalităţile E{ G(N, JET)) = 1 şi E(0) = 0 sînt evidente, ne~ rămîne de verificat doar condiţia de aditivitate numărabilă. Fie {/S*}*^ c: Bor(G(N, H)) O familie numărabilă de mulţimi disjuncte două cîte două.. Deoarece \ix,y este măsură putem scrie

^

(us*)

yy = v*»(u

= f; M & ) = 5

ceea ce, în baza lemei 2.2.3, ne arată că aplicaţia S -> E(S) este o măsură, spectrală. Ne-a rămas de demonstrat doar reprezentarea integrală a operatorului N. Yom obţine o afirmaţie mai generală, anume (vi)

f(N) =

J /(s) dB(0),

/ e C( « ( J T , H ) ) .

într-adevăr, dacă

/ = jeJ£ este o funcţie etajată, atunci din (iv) deducem

A{N,B) =

86

E « j l W ^ H

1€J

\ / ( « ) d|X,, y (2). J O(N,H)

Utilizînd acest calcul şi aproximînd funcţiile continue cu funcţii simple, deducem egalitatea (vi). In particular, pentru f(z) = z obţinem reprezentarea integrală a lui JV" din enunţ, ceea ce încheie demonstraţia. 2.3.7.0OROLAR Fie N e &(H) un operator normal. Există atunci un omomorfism de G*-algebre B(c(N,H))Bf-*f(N)e&(H), care extinde omomorfismul (2.3.1). Demonstraţie. Este clar că membrul drept al relaţiei (vi) din teorema precedentă are sens chiar pentru funcţii f e B(a(N, H)), deci vom putea defini aplicaţia (2.3.2) printr-o formulă similară. Restul afirmaţiilor rezultă din teorema 2.2.8. 2.4. UNICITATEA MĂSURII SPECTRALE ATAŞATE UNUI OPERATOR NORMAL Scopul acestui paragraf este de a arăta că măsura spectrală ataşată unui operator normal prin teorema 2.3.6 este unic determinată. Yom începe eu un rezultat general privind intervertirea operatorilor normali. 2.4.1. TEOREMĂ. Fie H} spaţii Hilbert, fie JNT, e jSf(H,) operatori normali şi fie O, : C(a{N^ Hj)) -> ^(H^ omomorfisme continue de algebre Banach cu unitate astfel încît
H±)) =
Ht))T,

oricare ar fi f e C(G(NV H±) U C(N2J H2)). Yom demonstra în prealabil un rezultat auxiliar. 2.4.2 LEMĂ. Fie H un spaţiu Hilbert, fie E c C o submulţime compactă şi fie • S£(H) un omomorfism continuu de algebre Banach cu unitate. Atunci are loc egalitatea = 0(e*), oricare ar fi h e G(E). In plus, fixînd o funcţie h e C(2T), aplicaţia C 9 w -> 0(ewA) e Sâ{H) este o funcţie analitică întreagă. Demonstraţie. Deoarece eh =

j k=0 (exemplul 1.4.4) şi O este un omomorfism continuu, avem 0>(e») =

£

(fc!)_1(0(fe))fc

=

k=0 Să observăm apoi că dacă w e C, atunci e«* =

f; *=o

87

Şl l i m | | ( f c ! ) _ I h*\\ k->oc

lim ( f c ! ) - » / » = 0 ; k~>oo

prin urmare, aplicaţia Cb w ewh e C(K) este o funcţie analitică întreagă. h Atunci şi aplicaţia w -> <&(e" ) = este o funcţie analitică întreagă,, în baza propoziţiei 1.2.10. Demonstraţia teoremei 2.4.1. Fie N} = unde v(^) = 5. Yom. demonstra mm întîi egalitatea TNX

=N2T.

(2.4.1)»

înt-adevăr, din relaţia TNX = N2T, obţinem uşor prin. inducţie TNţ = = 2T$T, oricare ar fi numărul fc > 0. Prin urmare, fixînd w e C, avem. egalităţile e-^a

T = V &

T

fc!

=

v

=

A

Te--^

fc!

deci E-WN2

=

J

înmulţind această relaţie cu ewN* la stînga şi cu gt>N2-wN2 r£ ^ Y j - ^ V j _

la dreapta, obţinem,

Te"®^!,

(2.4.2)*

deoarece Şî

ewiV2

_ <J)2(e«n/-t*v) _ q,wN2-WN2 ^

în virtutea lemei 2.4.2. î n plus, deoarece e®*-"" = e 2 * 1 ™^. Analog, arată că funcţia C 3 w - » e®**

||®all- Aceste estimări ne» € JSf(H19 H2)

(2.4.3)*

este mărginită, datorită egalităţii (2.4.2). Mai mult decît atît, funcţia (2.4.3) este analitică întreagă, în virtutea lemei 2.4.2 şi a propoziţiei 1.2.6.Teorema 1.2.9 ne asigură că (2.4.3) este o funcţie constantă. întrucît

= T + w(fî2T

- TNX) +

deducem N2T — TNX = 0 , adică relaţia (2.4.1). Dacă P(z, z) este u n polinom complex arbitrar, expresiile Pi&u şi P{N2, N2) sînt definite fără echivoc (deoareee comută cu Nly şi comută cu N 2 j înmod evident). Mai mult decît atît, P(.NSJ = Oj (P).. 88

Folosind ipoteza asupra lui T precum şi relaţia (2.4.1), yom putea scrie T^P) = TP(Nly N,) = P(N2j N2)T = 0>2(P)T. (2.4.4) Fie / € C(K), unde K = a(NXJ Hx) U G(N2J H2). In baza corolarului €.5.10 există u n şir de polinoame {P*(#, £)}*2i care aproximează funcţia / în C{E). In particular, /fa^Jff^^UmP.la^H,). K->QO

Utilizînd continuitatea aplicaţiilor
= lim *APk\a(K„ oo

H2))T = ®z(f\a(N2,

HJ)T,

ceea ce încheie demonstraţia teoremei. 2.4.3. COEOLAE. Fie H, spaţii Hilbert şi jie e JS?(£T,) operatori normali ( j = 1,2). Bacă Te:^(H19H2) are proprietatea TN1—N2TJ atunci TN* = N* T. Demonstraţie. Fie O, aplicaţia (2.3.1) corespunzînd operatorului normal Nj. Atunci 3>;(v") = Nf şi afirmaţia noastră nu este altceva decî relaţia (2.4.1). 2.4.4. COEOLAE. Fie H un spaţiu HUbert şi fie N e&(H) rator normal. Dacă 9,:Cia(X,H))-+X(H)

( j =

un ope-

1,2)

sînt omomorfisme continue de algebre Bamch cu unitate astfel încît ®/v) = JT, atunci = 2. Demonstraţie. Eezultatul se obţine ca un caz particular al teoremei 2.4.1, pentru Nt = N2 = JV şi T = 1. Acest corolar ne arată că aplicaţia (2.3.1) este unic determinată. 2.4.5. COEOLAE. Fie N e&(H)

un operator normal şi fie

Ej : Bor( H)) -> j / ( H ) măsuri spectrale cu proprietatea

( j = 1, 2)

N = ^z dBx(z) = ^ s dJBg(^). Atunci Ex = E2. Demonstraţie. Aplicaţiile •itf) = J

d-W,

f e C(a(#, I?)), j = 1, 2,

o(AMT)

sînt omomorfisme continue de algebre Banach cu unitate (teorema 2.2.8) cu proprietatea că <&A(v) — 4>a(v) = N. In baza corolarului precedent avem = <&2. 89

Fie apoi {y.{£y}x,yen măsurile scalare ataşate măsurii spectrale Ej (observaţia 2.2.11.1°). Din propoziţia 2.2.12 deducem J M

df!&(*) =

A(N,M)

J

M

A(N,H)

pentru orice / e G(G(N, JT)). Din teorema 0.4.19 obţinem atunci că [i^ = = \L{i}y pentru orice pereche x,y e H, ceea ce implică egalitatea Ex = Ez~ (utilizînd încă o dată propoziţia 2.2.12). Acest rezultat este o completare a teoremei spectrale pentru operatorii normali (teorema 2.3.6) deci vom putea vorbi de măsura spectrala a unui operator normal. 2.4.6. EXEMPLU. Fie r > 0 un număr dat şi fie Br = {z e C : \z\ < r\. Considerăm spaţiul Hilbert H = L 2 (D r ) format din clasele de funcţii măsurabile, egale aproape peste tot, de pătrat integrabil în raport cu măsura Lebesgue pe D r . Să considerăm operatorul N eJ?(H) dat de relaţia (Nh)(z) = zh(z),

heH,

zeDr.

Se poate vedea uşor că N este un operator normal, că <j(jV, H) = Dr şi că măsura spectrală a lui N este dată de relaţia (.E(S)h)(z) = xs(z)h(z),

S e Bor(D r ), z e Dr

(exerciţiul 2.6.5). î n capitolul următor vom avea nevoie de o variantă întărită a corolarului 2.4.5, rezultat cu care încheiem această paragraf. 2.4.7. PROPOZIŢIE. Fie 2? e &(H) un operator normal, fie CI a C o submulţime închisă cu proprietatea că £2 => G(N, H) şi fie E : Bor(Q) -> să(H) o măsură spectrală astfel încît N = ^z dE(z). a H)) = 0 şi jEjBor(a(-Sr, H)) coincide cu măsura spectrală

Atunci E(Q\G(N, a operatorului N. Demonstraţie. Yom arăta mai întîi că E(Q\G(N, H)) = 0. Pentru? aceasta fie 8 c: O o submulţime închisă cu proprietatea 8 n H) = 0 . Reamintim că aplicaţia *U)=[m

W*),

JeB(Q),

este un omomorfism continuu de algebre Banach cu unitate, în virtutea teoremei 2.2.8. Yom demonstra că E(S) = ®(xs) = 0. î n acest scop vonn aplica un argument de tipul celui utilizat în demonstraţia lemei 2.3.3. Anume, vom considera funcţia hw(z) = (w — z)'1 unde wţS9 extinsă cu zero pentru z e Q\S. Atunci aplicaţia C \ $ s w h„ e J3(Q) 90

este analitică [exerciţiul 1.7.9 (iii)], deci şi aplicaţia C \ S 3 w -> Q>(hw) e e este analitică. Yom defini apoi funcţia F(w) = I \(w-N)-^(xs)

W

*

wţo(N,H),

care este corect definită [căci (w — v)h„ = xsi deci i w — = = O(xs)], analitică în tot planul complex si nulă la infinit. Aşadar, F = 0, deci
H) = U Sk, k=l

unde {Sk}k este un şir crescător de mulţimi închise. Deoarece E(Sk) = 0 pe baza celor demonstrate, lema 2.2.4 ne permite să afirmăm că E ( Q \ \G(N,H)) — 0. De aici rezultă N = ^zdE(z) = J zdE(z); Q a{N,H) prin urmare, E | Bor(a(JV,S)) este chiar măsura spectrală a lui JV (corolarul 2.4.5), ceea ce încheie demonstraţia. 2.5. CALCUL FUNCŢIONAL CU FUNCŢII CONTINUE Aşadar, fiecărui operator normal N pe un spaţiul Hilbert H îi putem ataşa un omomorfism continuu de la algebra Banach a funcţiilor continue pe cr(JV, H) CU valori în £?{H), omomorfism care extinde calculul funcţional analitic al lui N (teorema 2.3.5) şi este unic determinat (corolarul 2.4.4). Vom deduce unele consecinţe ale existenţei unor asemenea omomorfisme de la spaţii de funcţii continue cu valori operatori liniari. Deşi vom ieşi din cadrul spaţiilor Hilbert şi al operatorilor normali, o parte din tehnica utilizată în paragrafele precedente rămîne aplicabilă (ceea ce justifică includerea prezentului paragraf în acest capitol). Fie X un spaţiu Banach şi fie C(C) algebra funcţiilor continue pe C, cu valori complexe. Pentru început ne vor interesa aplicaţiile liniare ale algebrei C(C) în J?(X), avînd anumite proprietăţi de continuitate. 2.5.1. DEFINIŢIE. Fie : C(C) -» <£(X) o aplicaţie liniară şi fie K cz C o submulţime compactă. Vom spune că mulţimea K suportă aplicaţia O (sau că O este suportată de mulţimea -SC) dacă pentru orice vecinătate compactă V a lui K există o constantă MF ^ 0 astfel încît ||0(/)||< M v \\f\\ v ,

C),

(2.5.1)

unde notăm \\f\\L = sup \J(z)\ pentru orice parte compactă L c C. xeL Este clar că (2.5.1) exprimă o anume continuitate a. aplicaţiei O (asemănătoare cu cea dată de lema 1.3.9). 91

2.5.2. PROPOZIŢIE. Fie 9 : C(C) -> &(X) o aplicaţie liniară suportată de o parte compactă a lui C. Există atunci o cea mai mică mulţime compactă din C care suportă pe Demonstraţie. Fie {Ka}aeÂ familia tuturor părţilor compacte din C" care suportă pe O. Vom demonstra că şi mulţimea K = n {Ka : <x e A} suportă pe O. Fie F 0 o vecinătate deschisă, relativ compactă a mulţimii K înC. Va fi mai comod să lucrăm cu planul complex compactificat C<». (observaţia 0.1.8). Deoarece Coo\VQ este o parte compactă în Coo şi familia {COO\-2QAE A formează o acoperire deschisă a sa, există un număr finit de indici ocv •.., o*» astfel încît mulţimile deschise Vj = Coo\K a j să formeze încă o acoperire a mulţimii Coo\V0. Să remarcăm că familia {T^}?»* este o acoperire deschisă a spaţiului (metric) compact C». Yom putea deci* alege o partiţie a unităţii subordonată acestei acoperiri; vom lua aşadar o familie {fy}JL0 c ) astfel încît 0 < A, < 1, supp h} cz Vj (j = = 0,1, ..., m) şi h0 + -f . . . + Jim = 1 (exerciţiul 2.6.9). Yom alegeapoi o vecinătate JVj a mulţimii Kaj, W} compactă în C, astfel încît supp l ^ o Wj =0 pentru fiecare j > 1. Vom nota cu Mj constanta MW} dată de (2.5.1) pentru vecinătatea W}. Yom observa acum că orice funcţie JeC(C) se poate scrie ca / = / 0 +fx + . . . -f Jm, unde fs = J(h\Cs). Esteclar că supp f j cz (supp h}) a C, prin urmare II < X, \\h\WS = 0, j = 1, . . . , w, (2.5.2) deoarece supp j } n Wj = 0 . Fie M 0 = m a x [ J f : 1 ^ j ^ m). Deoarece (2.5.1) are loc pe fiecare Wj, avem \\<S>(j)\\ ^ M0 max \\f\\Wj.

(2.5.3)>

1 <j<m

Să remarcăm însă că €>(/) = ®(f0) pe baza relaţiei (2.5.2) şi că max \\f0\\Wj = max||fe0 j&(X) o aplicaţie liniară suportată, de o parte compactă a lui C. Cea mai mică mulţime compactă care suportă pe O (dată de propoziţia 2.5.2) va fi numită suportul aplicaţiei O şi va f* notată supp <S>. Despre aplicaţia O vom spune că are suport compact. 2.5.4. OBSERVAŢIE. Studiul aplicaţiilor cu suport compact, definite mai sus, necesită un rezultat mai adînc din teoria funcţiilor continueAnume, fiind date o submulţime închisă F <= C şi o funcţie continuă J :F C, există atunci o funcţie continuă g : C C astfel încît g |F = f şi gr(C) c= co(/(.F)), unde prin co(A) înţelegem cea mai mică mulţime convexă ae conţine mulţimea A. In particular, dacă \J(z)\ ^ 1 orieare ar f î zeF, atunci |j(te) | ^ 1 oricare ar fi w e C. Această afirmaţie este un caz particular al teoremei lui Tietze în varianta lui Dugundji (a se vedea, de exemplm, [15], III, N). 92

2.5.5. TEOREMĂ. FU O : G(C) 2(X) o aplicaţie liniară cu suport compad şi fie K = supp Există atunci o constantă M^O astfel încît I W ) I U -ar IU IU, / 6Cf(C). (2.5.4) Demonstraţie. Yom fixa o vecinătate compactă V a lui E şi vom defini numărul ||» 1 ^ = sup ||0(/)||. l\/l\y
Vom arăta că mărimea ||$|| r nu depinde de V. Pentru aceasta fie, mai întîi, o vecinătate compactă JV c= V a lui E. Din faptul că ||/|| F < 1 impică \\f\\w < 1 rezultă ||*L, > ||0|| F . Reciproc, fie s > O un număr arbitrar şi fie f e C(C) astfel încît I I > ll®llw — e. î n baza observaţiei 2.5.4, există o funcţie g e G(C) astfel încît g\W =f\W şi \\g\\v < 1. Atunci Pl!r

> \ \ m \ \ =

W ) l l

>

ll^llir-e,

deoarece f = g pe mulţimea TF, care este vecinătate a mulţimii supp O, deci <&(/) = <&(#). Numărul £ > 0 fiind arbitrar, obţinem şi că ||3>||r ^ ^ ||®||IP, deci egalitate. Dacă W este o vecinătate compată a lui K nu neapărat conţinută în F, atunci, pe baza argumentului de mai sus, ||®|| r = ||0||rniF = II® Hm ceea ce demonstrează independenţa dorită. Yom nota cu ||01| numărul ll^lirVom demonstra acum relaţia (2.5.4), cu M = ||®||. Fie f e C(C) şi fie {V k ] un şir descrescător de vecinătăţi compacte ale mulţimii E astfel încît D {Vk ^ 1} = E. Funcţia / fiind continuă, pentru fiecare indice fc vom putea alege un punct zk e Vk astfel încît \f(zk) | = \\f\\vk, pe baza binecunoscutei proprietăţi a funcţiilor continue reale de a-şi atinge maximumul pe mulţimile compacte (a se vedea, de exemplu, [4], cap. I I , § 5). Şirul {s^jtîi <= V1 fiind mărginit, înlocuindu-1 eventual cu un subşir al său îl vom putea presupune convergent către un punct z0 e K. Deoarece lim

= lim \\f\\vk > II/IU,

va trebui să avem | f ( z 0 ) | = \\f\\K. Aşadar ||d>(/)||
| | » | | H/ll,

ceea ce încheie demonstraţia. 2.5.6. OBSERVAŢIE. Fie O : C(C) &(X) o aplicaţie liniară cu suport compact. Există atunci o aplicaţie liniară şi continuă Y : C(supp 0-) -> &(X) astfel încît Y(/) == 4>(gr), unde g este o extensie arbitrara a funcţiei / e C(supp 4>) la C. într-adevăr, dacă gl şi g2 sînt extensii ale funcţ i e i / l a C, atunci <^(g1 — g2) = 0 pe baza estimării (2.5.4). Tot din estimarea (2.5.4) rezultă ||*F|| = |j*||, unde ||*|| are semnificaţia din teorema 2.5.5. Yom nota în continuare tot cu * aplicaţia Y, specificînd, atunci cînd este cazul, că este vorba de aplicaţia €>: C{supp($) JS?(X). 93

2.5.7. DEFINIŢIE. Operatorul T e i f ( I ) va fi numit C-scalar dacă există un omomorfism de algebre cu unitate O : C{C) -> &(X) cu suport compact (în sensul definiţiei 2.5.3) astfel încît O(v) = T, unde v(z) = 2. 2.5.8. EXEMPLE. 1° Un operator normal, mai general un operator de forma T = A^NA, unde N e este un operator normal şi A e c este un operator inversabil, este C-scalar. într-adevăr, dacă notăm cu ty omomorfismul (2.3.1) corespunzînd operatorului normal N, atunci
zeK

•este C-scalar. într-adevăr, aplicaţia / -> $(/) dată de ((®(/)W(*) = /(?(*)) f e 0(C), JieX,zeE, este un omomorfism de algebre cu unitate cu suport compact, cu prorietatea că O(v) = Tv (exerciţiul 2.6.10). 2.5.9. OBSERVAŢIE. Omomorfismul O din definiţia 2.5.7 este unic determinat. Demonstraţia acestei afirmaţii se face la fel cu demonstraţia corolarului 2.4.4. Detaliile sînt lăsate pe seama cititorului (exerciţiul 2.6.11). Omomorfismul <J> va fi desemnat sub numele de calcul funcţionat cu funcţii contnue al operatorului T. Aplicaţia O va putea fi privită şi ca funcţie definită pe C(supp O), în sensul precizat în observaţia 2.5.6. Mai mult decît atît, vom utiliza uneori notaţia. 3>(/) pentru <J>(/|supp O), unde / este definită şi continuă într-o vecinătate a mulţimii supp O. 2.5.10. PROPOZIŢIE, jFie 0> : C(C )-> &(X) un omomorfism de algebre cu unitate avînd suportul compact. Atunci au loc următoarele afirmaţii : (1) mulţimea supp O este cea mai mică mulţime compactă K a C •cu proprietatea că <S>(f) = 0 pentru orice f e C(C) cu s u p p / c= C\E; (2) aplicaţia
=

ll<W)ll

<

II®II l l f t i / l k n r ^

II®II 11/k.nK,

deoarece supp ( h 2 f ) n E = 0 şi supp (7ix/) <= V. Din minimalitatea mulţimii E0 (propoziţia 2.5.2) rezultă incluziunea E0 n V E0, deci V 3 E0. Deoarece V este o vecinătate compactă arbitrară a mulţimii K, va trebui să avem E E0. 94

(2) Pentru obţinerea acestei afirmaţii vom avea nevoie de multiplicaţivitatea aplicaţiei O. Fie / e C(supp O) astfel încît $(/) = 0. Fie apoi g e C(C) o extensie a lui/, g = 1 în afara unui disc ce conţine supp G>. Yom considera mulţimea deschisă G = {zeC:g{z) ^ 0} şi vom arăta că 3>(fe) = 0 pentru orice h e C(C) cu supp h cz G. într-adevăr, pentru o astfel de funcţie fe, aplicaţia q(z) egală cu Ji(z)jg(z) dacă z eG şi egală cu zero dacă z ţ G este continuă. Atunci ®W = < % « ) = = $ ( / ) ®(«) = 0. D e aici deducem că supp O n O = 0 , în baza primei părţi a demonstraţiei ^ prin urmare, g\ supp O = f = 0. 2.5.11. TEOEEMĂ. Fie TeJS?(X) un operator C-scalar şi fie O calculul funcţional cu funcţii continue al lui T. Atunci au loc următoareleafirmaţii : (1) supp extinde calculul funcţional analitic al lui T. Demonstraţie. (1) Fie supp O. Atunci fw={w — v)~1 este ofuncţie continuă pe supp O ; deoarece (w — \>)fw = 1, deducem că 0(/ w ) = = (w — T) _1 . Aşadar wţ a(T, X), ceea ce demonstrează incluziunea a( T, X) cz supp <î>. Beciproc, să presupunem că supp ® \ a ( T , X) ^ 0 . Atunci există o funcţie H E C(supp O) astfel încît fe # 0 şi supp JI n a(T, X) = 0 . Definim atunci aplicaţia jt/^x

-

=

-

v

)*lfc)> T)" 1

w

t SU PP wţ g(T, X).

Se constată eu uşurinţă că F este corect definită, analitică în tot planul complex şi nulă la infinit fa se vedea şi demonstraţia lemei 2.3.3). Aşadar F == 0, de unde rezultă O(h) = 0. î n baza propoziţiei 2.5.10(2) obţinem de aici h — 0, ceea ce nu se poate. Contradicţa obţinută încheie demonstraţia primei afirmaţii. (2) Fie / o funcţie analitică într-o vecinătate a mulţimii a(T, X) = supp O. Yom alege o vecinătate compactă V a mulţimii a(T, X) aflată în domeniul de definiţie al funcţiei / . Există un şir de funcţii raţionale {12*}* cu polii aflaţi în afara mulţimii F, astfel încît Rk f(k -> oo) în 'G(V) (exerciţiul 1/7.13). Din teorema 1.3.12 rezultă atunci că Rk(T)-> - > / ( T ) . Să remarcăm acum că Rk(T) = ^(.R*), observaţie simplă a cărei demonstraţie o lăsăm pe seama cititorului. Din continuitatea aplicaţiei <î> deducem ®(Rk) = Rk(T) <&(/) = / ( T ) , deci afirmaţia (2) este dovedită. 2.5.12. D E F I N I Ţ I E . Fie T un operator (7-scalar şi fie 0> calculul funcţional cu funcţii continue asociat lui T. Pentru fiecare submulţime închisă F c o(T, X) vom defini spaţiul liniar XT[F) = n {N{{f)) s / 6 0(supp0), s u p p / n î = 0 } [unde N(Q>(f)) este nucleul operatorului ®(/)]. 95

î n cele ce urmează ne propunem să arătăm că aplicaţia F -> XT(F) joaca, într-un anume sens, rolul pe care-1 are măsura spectrală pentru operatorii normali. Yom enunţa un şir de rezultate ajutătoare în care păstrăm condiţiile şi notaţia din definiţia 2.5.12. 2.5.13. LEMĂ. Spaţiul liniar XT(F) este închis şi invariant la acţiunea operatorului <&(li) pentru orice heC{ supp®). In plus, a(T, XT(F)J a F. Demonstraţie. Este evident faptul că XT(F) este un subspaţiu închisDacă s u p p / n F = 0 şi x e XT(F), atunci <&(/) 4>(fe) x = <î>(fc) &(f)x = 0, adică &(Ji)x e XT(F)j ceea ce arată că XT(F) este invariant la acţiunea operatorului <1>(fe). Să presupunem că funcţia continuă Ti este egală cu 1 într-o vecinătate a mulţimii F. Atunci O(fe) \XT(F) este identitatea pe XT(F), pe care o notăm cu 1 F . într-adevăr, supp (1 — fe) este o mulţime disjunctă de F , deci dacă # e XT(F), atunci 0(1 — = o? — =0. Fie w ţ F. Yom lua o funcţie continuă h egală cu 1 într-o vecinătate a mulţimii F, dar cu w $ supp h. Atunci funcţia hw = (w — v)_1fe (extinsă cu zero în afara suportului lui h) este continuă şi avem {w — T)<&(h») = =
T\XT{F))

MK)\XT(F))

=

1^,

de unde rezultă *(K)\ Xt(F)

= («* -

Avem, aşadar, incluziunea a(T, XT(F))

T|X,(Z)).-*. c JP.

2.5.14. LEMĂ. Fie TJ cz C o mulţime deschisă şi fie y e A(U, X) astfel încît (z — T) 9(2) = 0 pentru z e U. Atunci

JieC (supp <î>),

(2.5.5)

ceea ce rezultă direct din definiţia 2.5.12. Să presupunem o(z0) # 0 pentru un punct zQ e TJ. Fie 00

?(*) = E (* — dezvoltarea în serie a funcţiei analitice
}) pentru orice fc ^ 0. Pentru aceasta fie h e C(supp O) astfel încît s 0 £ jff, unde H = supp fc. Din (2.5.5) obţinem O ( ^ 0 g I t ( H ) ; prin urmare ®(ft) (*0 - T)a?0 = (0O - T|X y (H)) ®(&)a?e - 0, de unde rezultă 3>(&)#0 = 0, căci z0 ţ a(T, XT(H)) (lema 2.5.13). Aşadar, <5 XT({z0}). Să admitem că xh e XT({za}) pentru un anume indice fc ^ 0. Dacă Ji este ca mai sus, avem •(»)(*• - T)xk+l - (*0 - T\Xt(H))
=

= 0,

prin urmare Q>(h)xk+1 = O, ceea ce implică apartenenţa xk+1

eXT({z0}).

Coeficienţii dezvoltării în serie a funcţiei 9(2) fiind în spaţiul X r ((z 0 }), din convergenţa seriei rezultă că avem 9(2) e XT({zQ)) în vecinătatea punctului zQ. P e de altă parte, relaţia (z -

T) 9 ( z ) =(z

-

T\XT({Z0}))

?(*) =0,

z±

z0,

implică 9(z) = 0, deoarece G{T, XT([z0\)) = [z0\ (lema 2.5.13). Din continuitate rezultă atunci şi ®(z0) = 0, ceea ce este absurd. Aşadar, 9 = 0 în JJ. 2.5.15. LEMĂ. Fie Y a X un spaţiu liniar închis, invariant la acţiunea lui T, astfel încît a( T, Y) c F. Atunci Y c XT(F). Demonstraţie. Fie y e Y şi fie h e 0(supp O) astfel încît supp h n F = = 0 . Vrem să arătăm că {h)y = 0. Yom utiliza un procedeu deja familiar cititorului acestei lucrări. Anume, vom defini funcţia {w -

G(w) =

T\XT(H))-I

®{h){w -

0>(h)y,

T\Y)~HJ,

WŢH,

wţF,

unde H = supp h. Corectitudinea definiţiei rezultă din aceea că fiecare ramură din formula funcţiei G este analitică şi {w-T)(w

- T\.XAH))-1

<&(h)y = <&(h)y = (w - T)®(h)(w -

T|Y) _ 1 y,

dacă w ţ E U F. î n baza lemei 2.5.14 cele două ramuri coincid în domeniul comun de definiţie. Analiticitatea funcţiei G în tot planul compleţ şi anularea ei la infinit vor implica G = 0, deci <S>(h)y = 0. Funcţia h fiind arbitrară, deducem că y e XT(F). 2.5.16. LEMĂ. Fie [F^fii o familie de mulţimi închise din a(T, X)} disjuncte două cîte două. Atunci avem egalitatea (2.5.6) Demonstraţie. Să remarcăm mai întîi că avem E1=K1

^ E

2

= E2

^

XT{EX)

C XT(E2),

(2.5.7)

ceea ce rezultă uşor din definiţia 2.5.12. De aici se obţine că membrul drept al relaţiei (2.5.6) este conţinut în membrul stîng. Reciproc, deoarece a(T, XT{F)) A JF, unde F = U {FJ : 1 < j < m}, atunci a(T, XŢ(F)) = \J{EJ : 1 < j < M\, unde EJ =F5 n XT(F)\ sînt mulţimi disjuncte două cîte două. î n baza teoremei 1.5.2 şi a unui raţionament inductiv simplu deducem reprezentarea XT(F) = XX + ... ... + XM, unde XJ sînt subspaţii liniare şi închise, invariante la acţiunea lui T, cu proprietatea că g( T, XJ) = EJ. Din lema 2.5.15 obţinem că XJ c XT(FJ) ; prin urmare, şi membrul stîng al relaţiei (2.5.6) este conţinut în membrul drept. 97

2.5.17. LEMĂ. Fie {Fj}^ Atunci avem egalitatea

o familie de mulţimi închise din o( T, X)~

X t ( n Vi) = n

(2.5.8)

Demonstraţie. î n baza incluziunii (2.5.7), membrul stîng al relaţiei (2.5.8) este conţinut în membrul drept. Pentru a demonstra incluziunea inversă, vom considera o funcţie h e C(supp O) astfel încît supp h n P l {Fj : j > 1} = 0 . Deoarece familia {supp \F/ să formeze o acoperire a mulţimii supp h (fc == 1, . . . , m). Definind G0 = supp 0 \ s u p p h, obţinem o acoperire a mulţimii supp O. Fie {/*}*" 0 o partiţie a unităţii subordonată acoperirii {6r*]*™0. Cu alte cuvinte, /* e O(suppO), supp/* c: (?* şi / 0 + + / i + ••• + / » = 1 . Fie x un element din membrul drept al relaţiei (2.5.8). Avem atunci ®(h)x - £ ®(fkh)x=

0,

A=0

deoarece €>(/*fc)a; = 0>(fc) <£(/*)# = 0 (fc = 1, . . . , m) [căci x e XT(Fjk} şi supp/* n Fjk = 0 ] j i a r ®(/o h)x = 0 fiindcă s u p p / 0 şi supp h sînt mulţimi disjuncte. Aceasta încheie demonstraţia egalităţii (2.5.8). 2.5.18. TEOEEMĂ. Fie Te:V(X) un operator C-scalar. Pentru orice parte închisă F <= a( T, X) există un subspaţiu închis XT(F) al lui X avînd următoarele proprietăţi : (1) subspaţiul XT(F) este invariant la acţiunea lui Tşi a ( T , XT(F)) AF? (2) XT(0)=

{0}, XR(A(T,

( oo

\

1

X))

=

X ,

oo

J = p \ XT(Fj) / ;=i

pentru orice familie numărabilă

{F}}^

de părţi închise ale mulţimii a( T, X ) ; (4) X t ( F ) = XT{GX n F) + . . . + XR(GM n F) pentru orice parte închisă lui F. (5) FXTa ^o( U T, X) j =şiX torice ( F 1 )acoperire + . . . +deschisă X T (F m ) {Gj}"Li pentru a orice familie finită {FJ} JLi de părţi închise ale lui G( T, X), disjuncte două cîte două. Demonstraţie. S u b s p a ţ i u l X T ( F ) este, desigur, cel dat de definiţia 2.5.12. Afirmaţia (1) este dată de lema 2.5.13. Afirmaţia (2) este o consecinţă imediată a definiţiei 2.5.12. Afirmaţia (3) formează conţinutul lemei 2.5.17. Vom demonstra acum afirmaţia (4). Va fi suficient să tratăm cazul F = supp €>. într-adevăr, aplicaţia dată de egalitatea <$F{f) = = (/) |XT(F)(f e C(C)) este un calcul funcţional cu funcţii continue pentru operatorul TF = T\XT(F). Deoarece supp 0>F = O(TF, XŢ(F)) CZ F , este clar că putem considera doar cazul cînd F = supp $ (prin lema 2.5.15). 98

Fie {Gj}Ţ=i o acoperire deschisă a mulţimii supp O. Yom alege o partiţie a unităţii {hjjŢ^ <= C(supp(®), subordonată acestei acoperiri. Aşadar, supp h} c ^ o supp * şi h^ + . . . + hm = 1. Orice vector x e X se va putea scrie atunci ca x = ^(hjx + ... + ®{hm)x. î n plus, *b{hj)x g JC/pţsupp hj)

c

XT{Gj n

supp®)?

în baza relaţiilor (2.5.5) şi (2.5.7). Deoarece afirmaţia (5) rezultă din lema 2.5.16, demonstraţia este completă. 2.6. EXERCIŢII ŞI COMPLETĂRI 2.6.1. Fie B o C*-algebră cu unitate şi fie M — {bly . . . , & » } o familie finită în B astfel încît bjbk = bjcbj şi bjbţ — bŞbj, oricare ar fi indicii j, k — 1, ..., n. Arătaţi că sub -C*-algebra cu unitate BM (definiţia 2.1.8) se obţine luind închiderea în B a algebrei cu involuţie a expresiilor de forma (2.1.3) şi că BM este o algebră comutativă. 2.6.2. Arătaţi că aplicaţia Bor(R) s S - E(S)<=

R))

(spaţiul claselor de funcţii măsurabile, egale aproape peste tot, de pătrat integrabil în raport cu măsura jx). Să considerăm operatorul (N0h)(z) = zh(z), /ie 1° unde fţf 2° 3°

H,

z^K.

Arătaţi că un punct w f a ( T , H) dacă şi numai dacă /W/IG H oricare ar fi /IE H, — — (jv — v)" 1 (punem f2(z) = 0). în particular, a(N, H) a IC. Calculaţi operatorul iV* şi arătaţi că N 0 este operator normal. Arătaţi că aplicaţia (E(S)h)(z)

= XS(Z)H*H S^

'BOT(K),

H ,

z<=

K ,

defineşte o măsură spectrală pe K astfel încit N0 = j z dE(z).

K 4° Determinaţi măsura spectrală a operatorului N0. (în legtură cu exemplul 2.4.6.) 2.6.6. Fie N un operator normal pe spaţiul Hilbert H şi să presupunem că există un vector H astfel încît subspaţiul liniar al expresiilor de ferma P(N, N*)x9 [unde P(z, 5) eşti un polinom complex arbitrar în două variabile] să îie dens în H. Arătaţi că există atimei o măsură pozitivă jx pe mulţimea K = H) şi un operator unitar U: H L2(K, jx) astfel încît UN = = N9U, unde Ar0 este operatorul definit în exerciţiul anterior. Cu alte cuvinte, operatorii N şi N0 sînt unitar echivalenţi.

99

Indicaţie.

Se stabileşte corespondenţa U0 : P(N, N*)x0 - P(z, z),

care este o izometrie de la un subspaţiu dens al lui H pe un subspaţiu dens al lui L2(K, pi), unde ja(iS) = <E(S) rc0 [ S e Bor(iv)]. Se arată că U0 sc extinde la un operator unitar cu proprietăţile dorite. 2.6.7. Fie II un spaţiu Hilbert şi f i e Q e ££{H) un operator pozitiv, deci un operator pentru oare 0, oricare ar fi z e II. 1° Arătaţi că operatorul Q este autoadjunct. Indicaţie. Utilizaţi relaţia de polarizare dată de exerciţiul 0.6.11. 2° Arătaţi ca <s(Q, II) c {s e R : s ^ 01. Indicaţie. Operatorul Q fiind autoadjunct (deci normal), din rezultatele secţiunii 2.3 se obţine că a(Q, H) cz R. Se arată apoi că 110 -

Q)xji2 > t2 Uzii2, x<= H,

pentru orice * < 0. D e aici rezultă că / — Q este injectiv şi că R(t — Q) este închis. în sfirşit, dacă y e H este un vector ortogonal pe JR(/ — Q), atunci trebuie să avem y — 0. Aşadar, *(t - Q) = H. 3° Folosind calculul funcţional cu funcţii continue pentru operatorul Q, arătaţi că există un operator pozitiv A e= S£(H) astfel încît A2 = Q. Operatorul A se numeşte rădăcina pătrată a operatorului pozitiv Q. 4° Să presupunem că operatorul Q satisface o condiţie mai tare, anume că există M> 0 astfel încît
<*» = «rW>

2° Arătaţi că există un izomorfism de C*-algebre 0> : C(ON) astfel încît
^ i j dE(z),

j =

1,

...,m.

a

N

Indicaţie. Se utilizează demonstraţia teoremei 2.3.6, care funcţionează cu modificări neesenţiale [de exemplu, aplicaţia (2.3.1) se înlocuieşte cu izomorfismul O]. Acest exerciţiu ne furnizează un exemplu de măsură spectrală definită pe o mulţime compactă care ne este neapărat conţinută in planul complex. Mulţimea ajf joacă rolul unui spectru pentru sistemul ccmutativ A". Detalii legate de teoria spectrilă a sistemelor comutative finte de operatori lnuri pot fi găsite în lucrarea [16J. 2.6.9. Fie {M, d} un spaţiu metric, fie C(M) spaţiul liniar al funcţiilor continue pe M şi fie {Gj}™^ o acoperire deschisă a lui M. Arătaţi că există o familie de funcţii {fyîJLj c; C(M) astfel încît 0 < fy < 1, supp hj c Gj (1 < ./ < m) şi + . . . + hm = 1 (reamintim că prin supp h se înţelege suportul funcţiei /i€= C(M), adică închiderea în M a mulţimii { i g M : /i(x) # 0}). O asemenea familie de funcţii ihj}™^ c C(M) se va numi partiţie a unităţii (cu funcţii continue) subordonată acoperirii desihise {Gj}™=1. Indicaţie. Se ştie că pentru orice pereche de mulţimi F, L din M, F închisă, L deschisă şi F a L există o funcţie /?e= C(M) astfel incit 0 < / z < l , 7 z = l p e F ş i / z = 0 p e M\L (exerciţiul 1.7.7(v); în existenţa acestei funcţii ipoteza de compacitate a spaţiului nu este esenţială).

100

Yom alege pjentru fiecare indice j cîte o mulţime închisă Fj şi o mulţime deschisă Lj astfel Fj c= Lj c Lj a Gj şi M = ţ j {Fj : 1 < j < m}. Vom lua apoi cîte o funcţie pozitivă g$e c= C{M) astfel încît gj\ Fj = 1 şi gj\M\Lj = 0. în particular, supp gj c: Gy. Atunci hj = ~ + ... + ne furnizează familia căutată. 2.6.10. Demonstraţi afirmaţia conţinută în exemplul 2.5.8.2°. 2.6.11. Fie KjdC mulţimi ccmpacte, fie Xj spaţii Banacli, fie
fti,

•

9») e Z» : 1 < qk < p}9 p = 1, 2, 3, . . .

1° Arătaţi că mulţimea N(p) are p n elemente. 2° Fie k<= {1, . . . , /i} un indice fixat. Să considerăm o sumă de forma

£ (9*(%))~ 9k(g*-0(q)), geN(p) unde 0(q) = <jf1 ...

gq* . Arătaţi că în această sumă există cel mult 2 p * ' 1 termeni nenuli.

3° Fie acum funcţia n

(*) 9(9) = S (9t(ff) -
9(0) <

y

9 ( 6 ( 9 ) ) < 2Mnpn~1,

p = 1, 2, 3, . . . ,

Hnde Af = max {II9*» : 1 < A' < /i}. Este limpede atunci că ( • • ) inf 9te) < 0. gGG

4® Să notăm cu L spaţiul liniar închis generat în Fm(G) de sumele de forma (*), cu n arbitrar, In care 9 ^ . . . ,
* Im fx( 9 ) + t* T(0 < 1,

unde t ( / ) este o funcţie reală de variabila i, mărginită într-o vecinătate a originii. Obţineţi de aici că Im fi(9) = 0, deci că funcţionala fi are valori reale pe mulţimea funcţiilor reale. 6° Fie 9<e Fm(G)f 0 < 9 < 1. Din egalitatea {1(9) + fi( 1 - 9)=1 deduceţi că jx(9) > 0. Obţineţi apoi că ^(9) > 0 pentru orice 9 ^ Fm(G), 9 ^ 0. Cu alte cuvinte, funcţionala u este pozitivă pe Fm(G). O aplicaţie liniară şi pozitivă y.: Fm(G) — C astfel încît f x ( l ) = l şi jz(9,) = fx( ? ) pentru orice 9 <= Fm(G) şi g e G se numeşte medie invariantă pe grupul G (a cărei existenţă este dovedită pe calea indicată mai sus).

101

2.6.13. Fie G un grup abelian cu unitatea c şi fie H un spaţiu Hilbert. Se numeşte reprezentare a lui G in H o aplicaţie G =>g — e Sâ(H) cu proprietatea că Te = 1 şi Tglgz = TglTg% oricare ar fi gv g2e G. Reprezentarea g Tg se numeşte mărginită dacă există o constantă M> 0 astfel incit UT1,!! < M oricare ar fi g*= G. Fie g Tg o reprezentare mărginită a grupului G în spaţiul Hilbert H şi fie (i o medie invariantă pe G(exerciţiul 2.6.12). Evident, funcţia 9Xty(g) = este un element al spaţiului Fm(G) oricare ar fi x, y <= H. Are deci sens să definim aplicaţia 0 : H x H C prin egalitatea 6(x,y) = n( H). 2° Arătaţi că operatorul Q satisface estimarea < > M'2 I I x i e

H.

în baza exerciţiului 2.6.7.4°, vom putea considera rădăcina pătrată A a operatorului Q «are este un operator inversabil. = 3° Utilizînd proprietatea de invarianţă a aplicaţiei JA [deci 1*49*,y)> •x, y e jff], demonstraţi faptul că Vg — ATgATx este un operator unitar oricare ar fi G. Concluzie. Pentru orice reprezentare mărginită G=> g T G ££(H) a grupului abelian O în spaţiul Hilbert H există un operator pozitiv, inversabil A <= i£(H) şi o reprezentare O s g -»• Vg e &(H) astfel incit Ug = ATgA~x şi fiecare ope rator Ug este unitar. 2.6.14. Fie H un spaţiu Hilbert, fie T e Sâ(H) un operator C-scalar şi fie
că

2

aplicaţia R 3 (s, t)

+

,Imv)

T(s,t) e &(H)

). este o reprezentare mărginită a

în baza exerciţiului 2.6.13 există un operator pozitiv şi inversabil A e SB(H) astfel încît operatorul U(s*t) = AT(S,<)A~1 să fie unitar pentru orice (s, t) es R 2 . 2° Fie U(s) = U(s,o) = A<&(e isRev )A _1 ( s e R.) Utilizînd dezvoltarea în serie a funcţiei e l s R e v , demonstraţi că lim

is

~~

1

= A€>(Rev)A"1,

în topologia lui &(H). Tot de aici deduceţi faptul că operatorul R = AO(Rev)A _ 1 este autoadjunct. în mod analog, operatorul S — A<$(Im v) A"1 este autoadjunct. Deoarece operatorii R şi S comută, operatorul N = R + iS = ATA'1 este normal. Concluzie. Fiind dat un operator C-scalar pe un spaţiu Hilbert H, există un operator pozitiv şi inversabil A<= &(H) astfel încit operatorul N = A TA 1 să fie normal. Aşadar exemplul 2.5.8.1° descrie întreaga clasă a operatorilor C-scalari pe un spaţiu Hilbert. Există însă operatori G-scalari pe spaţii Banach care nu sînt Hilbert (exemplul 2.5.8.2°). 2.6.15. Fie X un spaţiu Banach, fie KczC o submulţime compactă şi fie F X ( F ) o aplicaţie definită pe familia părţilor închise ale lui K, cu valori subspaţii liniare închise ale lui X. Aplicaţia F X(F) se numeşte capacitate spectrală dacă are proprietăţile ( 2 ) , (3) şi (4) din teorema 2.5.18 (în care înlocuim a(T, X) — K); proprietatea (4) o cerem doar pentru F = K. Fie apoi T e S£(X) şi fie F — X(F) o capacitate spectrală definită pe <j( T, X). Da că este îndeplinită si condiţia (1) din teorema 2.5.18, spunem că T este un operator decompo zabil. Teorema 2 5 18 exprimă, in esenţă, că orice operator C-scalar este decompozabil. Arătaţi c ă orice operator C-scalar posedă o capacitate spectrală unic determinată. (De fapt, orice operato r decompozabil are o capacitate spectrală unic determinată. Pentru detalii se poate consulta lucrarea [16]).

3. DESCOMPUNEREA SPECTRALĂ A OPERATORILOR AUTOADJUNCŢI (NEMĂRGINIŢI)

î n acest capitol se studiază reprezentarea integrală a operatorilor autoadjuncţi, nu neapărat mărginiţi, în spaţii Hilbert. Sînt de asemenea prezentate unele consecinţe ale acestei reprezentări integrale preeum şi rezultate apropiate de acest context.

3.1. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR NEMĂRGINIT Fie E j K spaţii Hilbert cu produsele scalare <., . pectiv.

<., .

res-

3.1.1. D E F I N I Ţ I I . Fie T : D ( T ) ^ H ^ K un operator liniar. Yom spune că T este dens definit dacă D( T) = H. Fie deci T operator liniar dens definit. Vom defini adjunctul T* :JD( T*) aK^H al operatorului T în modul următor : spaţiul D( T*) va fi format din mulţimea tuturor vectorilor y e K pentru care există v € H astfel încît K =

X>B9 xeD( T).

(3.1.1)

Elementul v din (3.1.1) este unic determinat deoarece, dacă v v v 2 e H satisfac relaţia (3.1.1), atunci — t?2, x}H = 0 pentru orice xeB( T). Spaţiul B( T) fiind dens în H, rezultă vx = v2. Aşadar, putem defini în mod univoc T*(y) = v. Să observăm că dacă T e:£?(#, 2f), operatorul T* definit mai sus coincide cu operatorul dat de definiţia 0.3.12. 3.1.2. LEMĂ. Fie T : D(T) H K un operator liniar, dens definit. Atunci adjunctul său T* este un operator liniar şi închis. Demonstraţie. Fie //,, y2 e I)(T*), fie otj, a 2 e C şi fie xeD(T). Atunci + «2^2»

<*IVI

=

Tx

>K =

TX}k

+ <x2
=

xy H + a 2
x)H. 103

Vectorul xeD(T)

fiind arbitrar, din (3.1.1) deducem T ^ y , +a 2y2) = a.T^y,)

+a

2T*(y2),

ceea ce atestă liniaritatea lui T*. Fie [Ut k un şir de vectori din D(T*) astfel încît yk -> y şi T*yk cînd fc -> oo. Atunci
= lim
=

k-¥00

lim^ =

.r>„,

k-too

oricare ar fi xeD(T). Din (3.1.1) rezultă că yeD(T*) Aşadar, T* e /f).

v

si că T*y

3.1.3. LEMĂ. (1) Fie T:D(T) cz H -> K un operator liniar, dens definit. Atunci (al 7 )* — a T * oricare ar f i a e C. (2) Fie Tji D{Tj) a H - > jBl(j = 1, 2 ) operatori liniari cu proprietatea că spaţiul DiTJ fi D(T2) este dens în H. Atunci [Tx + T2)* => z> Tf + T f ' Daca T^&iH. K), atunci [T1 + T 2 )* = Tf + T f . (3) Fie Tt : D(T 3 ) c j f f - ^ J5T, T2:D(T2) cz K L (L un alt spaţiu Hilbert) doi operatori liniari. Dacă spatiile D(T0) si D(T2TÎ) sînt densey Munci (T2T3)*z> T f T f . Demonstraţie. Afirmaţiile lemei sînt versiuni ale relaţiilor (ii), (iii) şi (iv) de la observaţia 0.3.13. Afirmaţia (1) este imediată şi o lăsăm pe sema cititorului, ca exerciţiu. Yom demonstra afirmaţia (2). Evident, spaţiile D(TX) si D(T2) sînt dense în H. Fie y eD( T f ) n D{ T f ) şi fie xsD{Tx+ T2) = D(TJ n D( T2) (a se vedea paragraful 0.3 pentru unele detalii). Atunci =
+ = <(T* + T*)y,

prin urmare yeD[(T, + T2)*) şi (T, + T2)*y = (Tf + T f ) y . Să presupunem acum că Tx e £e{H, K). Fie y e DftTj. + T2)*). Dacă i r e D ( T 1 + T2) = D{ T2), atunci <( 2 \ +

T2)* y,

-

=

;

prin urmare, y eD(Tf) şi T f y = (2\ + T2)*y — T f y . Aşadar, în acest caz avem egalitatea (Tx + T2)* = Tf + T f . î n sfîrşit, să demonstrăm şi proprietatea (3). Este limpede că spaţiul D{TJ este şi el dens. Fie weD( Tf T f ) şi fie x e D( T1T2). Atunci ( T f T f w , x> = <Wj

T21»,

deci w e D{(T2T1)*) şi (T2Tt)* x = Tf Tf x, ceea ce încheie demonstraţia lemei. Yom considera în cele ce urmează un operator J J : H ® K - > K ® H dat de relaţia TJ{x®y) 104

=iy

0 (-ia?), xeH,yeK,

(3.1.2)

unde i 2 = —1. Este uşor de văzut că operatorul TJ este unitar. în particular, dacă G cz E © K este un subspaţiu liniar, atunci TJ{GL) = TJ(G)1 (deoarece TJ duce vectorii ortogonali în vectori orotogonali). Asemănător fie V : K ® E - ^ E ® K operatorul dat de relaţia V(y © x) = ix © (—i?/), xeE,

y GK.

(3.1.3)

Operatorul V este şi el unitar ; în plus VTJ este chiar identitatea pe E © K. 3.1.4. LEMĂ. Fie T : D(T) cr E K un operator liniar, dens definit. Atunci are loc egalitatea G(T*) = C^G^T))-1-, und* TJ este operatorul unitar dat de relaţia (3.1.2). Demonstraţie. Fie y © T*yeG(T*) şi x © TxeG(T) elemente arbitrare. Avem <9 ® T* y> u(x

© Tx)^ = (y © T*y, iTx © (—Lr)> =

= = i«T»y,

-

Tx»

=0

1

Aşadar, ?/ © T*// € £/"((?( T)) . Invers, fie y © v e TJ(G(T))L. Atunci 0 =(y unde xeD(T)

® % TJ(x © Tx)} = i«f?,

-
este arbitrar. Prin urmare y eD(T*)

şi T*y = v.

3.1.5. PROPOZIŢIE. Dacă T e<#(E,K) este dens definit, aftmci adjunctul său T* e ^(JBC, i f ) st este dens definit. Demonstraţie. Faptul că T* E) rezultă din lema 3.1.2. Va fi deci suficient să arătăm că T* este dens definit. Fie un vector ortogonal pe subspaţiul liniar D(T*). Atunci y0 © 0 eGiT*)1 = U(G(T)), ultima egalitate rezultînd din lema precedentă şi din faptul că spaţiul G( T) este închis. De aici se obţine că 0 © y0 e G( T), deci y0 = 0 deoarece G(T) este un grafic. Demonstraţia este completă. î n baza propoziţiei 3.1.5, dacă T e<$(E, JBT), atunci are sens să considerăm operatorul l7** = (T*)*. 3.1.6. LEMĂ. Fie

TG^(E,K)

un operator dens definit.

Atunci

Demonstraţie. Ne vom baza pe observaţia simplă că doi operatori liniari sînt egali dacă şi numai dacă graficele lor sînt egale. Fie F, operatorul dat de (3.1.3). î n baza lemei 3.1.4 vom putea scrie egalităţile G(T**) - V(G(T*))± = V(U(G(T))^

= VU(G(T))J-± = G(T),

în care am folosit faptul că VTJ este identitatea pe E © K. 3.1.7. LEMĂ. Fie au loc egalităţile :

Te<$(E,K)

(1) N{T*) = R( T ) 1 ;

un

operator dens definit.

(2) B(T*)

Atunci

= 105

Demonstraţie. Pentru a demonstra egalitatea (1), fie y e N ( T * ) . Atunci < T*y, a?> = 0 = (y, Tx>, oricare ar fixe D(T). Aşadar, y e*E( T) x . Eeciproc, fie y eR(T)1. Atunci oricare ar fi x e D( T). Avem deci y e D(T*) şi T*y = 0, ceea ce înseamnă că y e T*). Pentru a obţine relaţia (2), vom utiliza (1) şi lema 3.1.6. Avem B(T*) = (i?(T*)^)x

= jV^T**)1 = ^(T)-L.

3.1.8. LEMĂ. Fie T e K) un operator dens definit şi bijectiv Atunci (T*)" 1 E J$F(£r, JBL) SI (T*)" 1 = (T -1 )*. Demonstraţie. Deoarece T 1 e if(JT, ff), avem (T" 1 )* e JS?(ir, # ) . Fie vectorii veH şi xeD(T). Din egalităţile (Tx, (T- 1 )*»)* = deducem (T"1)* veD(T*) Invers, fie yeD(T*)

Tx, vyH =
şi T*( T-*)*v = v. şi w eK vectori arbitrari. Atunci

<(T-*)*T*y, w>K =
= K,

1

deoarece T'hv e D( T). Aşadar, (T' )* T*y = y, ceea ce dovedeşte egalitatea (T -1 )* = ( T * ) _ 1 , pe baza unicităţii inversului. Exemple semnificative de operatori liniari nemărginiţi şi de adjuncţi ai acestora vor apărea în paragrafele care urmează (a se vedea, de pildă, exemplul 3.2.2).

3.2.

OPERATORII

AUTOADJUNCŢI

ŞI

REPREZENTAREA

LOR

INTEGRALĂ

Fie H un spaţiu Hilbert cu produsul scalar <.,.>. 3.2.1. DEFINIŢIE. Fie A : D(A) c H H un operator liniar, dens definit. Yom spune că A este autoadjunct dacă A = A* Existenţa lui A* este asigurată de densitatea spaţiului D(A) în H. Egalitatea i * = 4 ne arată, în particular, că D(A*) = D(A) şi că A este un operator închis (lema 3.1.2). 3.2.2. EXEMPLU. Fie H = L2(R) (spaţiul claselor de funcţii măsurabile pe dreapta reală, egale aproape peste tot şi al căror modul la pătrat este o funcţie integrabilă în raport cu măsura Lebesgue). Definim operatorul A pe subspaţiul liniar D(A) = [h{t) e H : th{t) e H}

(t e

R),

prin relaţia Ah(t) = th(t) (heD(A)). Operatorul A este autoadjunct (exerciţiul 3.9.3). într-un anume sens, acesta este un exemplu tipic de operator autoadjunct (nemărgint). Ca şi în cazul operatorilor continui (a se vedea exerciţiul 2.6.7), operatorii autoadjuncţi nemărginiţi au spectru real. 106

3.2.3. PROPOZIŢIE. Fie AeW(H) a(A, B )

un operator autoadjunct. Atunci

Demonstraţie. Fie xeD(A) vom putea scrie că |K* - A)x||«

şi z e C. Utilizînd ipoteza asupra lui A,

= <(» - A)w, (z - A)x> = |*|» M *

-

2

— zix, Axy — z(Ax, xy + ||A#|| = 2

= (Im z) \\x\\2 + (Re z)2 \\x\\2 - 2(Re*) (Im z)2 l^ll2 + ((Rez) ||*|| Din acest calcul deducem că M < llmsr1 \$z - A)x%

\\Ax\$2 >(Imz)* ||#||2. I m * # 0, xeD(A).

(3.2.1)

Relaţia. (3.2.1) arată că operatorul z — A este injectiv pentru orice * e C \ R . Vom demonstra că * — A este şi surjectiv. Pentru aceasta, vom observa în primul rînd că B(z — A) este dens în H. Într-adevăr, avem egalităţile R{z - A) = N((z

A)*)± = N(z - A)*- = ff,

-

pe baza lemelor 3.1.7(1), 3.1.3(2) şi a injectivităţii lui * — A. Fie apoi un vector y e H fixat. Utilizînd densitatea lui R(z — A) în H, vom putea alege un şir {yk}k de forma yk = (z — A)xk1 astfel încît yk cînd fc oo. î n plus, din relaţia (3.2.1) deducem — < |Im * j j t — y w || -»- 0 (fc, oo). Aşadar, există un vector xeH, astfel încît xk-+x(k-> oo). Deoarece yk = (z — A)xk->y şi operatorul * — JL este închis, deducem că xe eD(z — A) = D(A) şi că (z — A)x = y, adică surjectivitatea operatorului z — A. î n concluzie, pentru orice * e C \ R operatorul * — A este injectiv şi surjectiv, ceea ce este echivalent cu faptul că * £ o(A, H), în baza teoremei graficului închis. 3.2.4. LEMĂ. Fie AG^(H) torul (z — A)_1 e «Sf(JT) este normal Demonstraţie. Fie * e C \ R şi propoziţiei precedente). Din lema

un operator autoadjunct. Atunci operaoricare ar fi z e C \ R . să notăm Nt = (z — A)'1 (în virtutea 3.1.8 obţinem -apoi că

Nt = ((z - A)-*p = ((* - A)*)-1= (z - A)-1 = N j . Avem, aşadar, N t N* = ca un caz particular al comutării în ecuaţia rezolvantă (observaţia 1.6.3.2°) 3.2.5. PROPOZIŢIE. Fie A e <$(H) un operator autoadjunct şi fie operatorul normal JV = = (i — -l)" 1 . Există atunci o măsură spectrală E : Bor(R) - » s/(H)

astfel

încît N

(3.2.2) R

107

Demonstraţie. Dacă A e yom defini aplicaţia

şi dacă E0 este măsura spectrală a lui A,

E(S) = E0(8 fi a(A,ff)), $ e Bor(R). Este limpede că 23 este o măsură spectrală pe R şi că avem egalitatea (3.2.2), în baza corolarului 2.3.7. Yom putea presupune, aşadar, că A e -> C funcţia dată de 0(s) = (i — z)'1 (z # i). Corolarul 1.6.9 ne asigură atunci că 6(A) = N; prin urmare, avem şi că a(jy, H) = 6(a00(A,flr)) B 0, ceea ce rezultă din teorema 1.6.11 şi din faptul că CJ^A, H) B OO (observaţia 1.6.7.1° şi ipoteza noastră). Yom nota R ^ = R U {oo} c C^ şi vom considera aplicaţia 6 • R<x> C dată de Q(t) = Q(t) dacă t e R şi §(oo) == 0. Evident, aplicaţia § este continuă. Yom nota cu Q mulţimea compactă 0(R«>)- Din consideraţiile de mai înainte rezultă că fi d a(_A7, H). Fie E N măsura spectrală a operatorului normal JV. Yom extinde pe EN (aşa cum am mai procedat la o măsură spectrală EN pe Ci prin relaţia EN(L) == EN{L

n

a(2T, ff)), XeBor(Q).

(3.2.3)

Să remarcăm apoi că aplicaţia 0 este bijectivă pe R ^ şi că inversa sa t : fi Roo este dată de T(W) = i — w~\ dacă w ^ 0 şi' t(0) = oo. Vom putea deci defini aplicaţia E pe Bor (R») prin relaţia E(8)

= En(t

- i ) (£)),

8 g Bo^Rqq).

Din teorema 2.2.10 rtezultă căjîj este o măsură spectrală. considerăm aplicaţia S G Bor(R).

E(S) = E(8),

(3.2.4)

î n sfîrşit, să (3.2.5)

Yom demonstra că E .este măsura spectrală căutată. Pentru a obţine faptul că E este măsură spectrală va fi suficient să probăm egalitatea 23(R) = 1 ; celelalte cerinţe din definiţia măsurii spectrale sînt evident verificate, deoarece E este măsură spectrală. Remarcăm că E({oo}) = i ^ { 0 } ) = EN{{0}). Să presupunem acum că EN({0}) # 0. Atunci există un vector x0eH\{Q} astfel încît x0 = = EN({0})X0. Utilizînd .reprezentarea integrală a operatorului normal N (teorema 3.2.6), vom putea scrie că Nx0

djBjf (*)Jx 0 =

= ( ^z dEN(z) J ^ ^ O(N,H)

~( J* A(N,H)

108

X{0}

A(N,H)

(*) dE N (Z) \ x0 = x

o

= 0,

deoarece *X{o> (2) = 0. Aceasta arată că (i — A) Nx0 = 0 = (i — A)~1x0 = x0J ceea ce este o contradicţie. deducem JE(R) =

Aşadar,

E(R)

+

E#( [0]) = 0 = (22{00]). De aici

E ( { 00}) =

EWoo) =

1,

-ceea ce arată că E este o măsură spectrală. î n baza teoremei 2.2.10, pentru orice / e B(R) putem scrie că ^f(t) dE(t) = R

dE(t)

dEN(w) =

Roo

=

H

^ (f . x)(w) dEs(w), o(N»H)

unde / este o extensie arbitrară a lui / la R^. î n particular, N = ^ wdEN (w) = ^ (i - t)'1 dE(t), A(N,H)

R

adică relaţia (3.2.2), ceea ce încheie demonstraţia. Sîntem acum în măsură să enunţăm şi să demonstrăm teorema spectrală pentru operatorii autoadjuncţi (nemărginiţi), variantă a teoremei 2.3.6, bazată însă pe demonstraţia acesteia din urmă. Pentru măsurile scalare ataşate unei măsuri spectrale vom utiliza notaţia (2.2.4). 3.2.6. TEOREMĂ. Fie Ae^(H) un operator autoadjunct. Există atunci o măsură spectrală E : Bor(R) -> ^(R) cu următoatele proprietăţi : (1)

D(A) = | xeH

d(E(t)x,x> < 00 J; R

(2)

im (^ \ t dE(t) dE(t) j) x, xe D(A). Ax = lim —k

Demonstraţie. Dacă A e «Sf(H), existenţa măsurii E (extinsă de la Bor( H)) la B o r ( R ) ca în demonstraţia propoziţiei 3.2.5) se obţine direct din teorema 2.3.6), iar relaţiile (1) şi (2) se comprimă în egalitatea Ax =

j x,

xeH,

dată de aceeaşi teoremă. Va fi deci suficient să presupunem c a l e % ( H ) \ \ & ( H ) . Vom nota, ca în demonstraţia propoziţiei 3.2.5, cu N operatorul 109

normal (i — A)'1, cu EN măsura spectrală a lui N şi cu E măsura spectrală (3.2.5), arătind că E satisface (1) şi (2). Fie deci un vector x e D(A) şi să notăm y = (i — A)x. Avem atunci x = (i — A)~hf — Ny, deci putem scrie că x=('

zdEN{z)^y

J

=

X(H,N)

(

J(i-l)-idJB(l)Jy, R

în baza formulei (3.2.2). De aici deducem dJE?

( ^ t dE(t) J x = ^ t t dE(t) ) ( ^ (i | t\
(*)) 'J =

[ t(i - t)-1 dE(t) J y. 1 *!<*

î n virtutea propoziţiei 2.2.12(3), putem scrie apoi că

J ( J* )

* |2 = ^

\t\
f2

\t\
î n baza teormei de convergenţă dominată a lui Lebesgue (teorema 0.4.17) şi utilizînd calculele de mai sus, vom avea lim \ t2 d<E(t)x, x} = lim ( \ «dE(t) \ x | = k-+ oo J A-+oo \ J / II \t\
=

l
= limC I«(i — t)-11*ă<m K-*QO

y,y> =

J

l
-

- t)-i\*d<E(t)y,yy

< oo,

R

deoarece funcţia t->t(i — J)"1 este continuă, şi mărginită pe R. Lema lui Fatou (teorema 0.4.16) ne asigură atunci că ^ t2 d(E(t) x,xy R

^ lim

d(E(t) x, xy < oo, |#]<*

ceea ce dovedeşte că JD{A) este conţinut în membrul drept al relaţiei (1)» 110

Yom demonstra acum incluziunea inversă. Să notăm, pentru simplitate, cu Ik mulţimea [teH : \t\ < fc). Mai întîi să remarcăm că E(Ik) = (i - A)"1\

(i - t) dE(t),

(3.2.6)

deoarece ^dE(t) = ( ^(i - t)'1 MKt) )

(i - *)

)

şi avem egalitatea (3.2.2). Relaţia (3.2.6) ne arată, în particular, că E(Ik)(H) c B((i — A)'1) c &(A). Mai facem observaţia că lim E(Ik) x = x,

xeH,

(3.2.7)

i-*oo

•ceea ce se obţine din lema 2.2.4. Fie x e H un vector aflat în membrul al doilea al relaţiei (2); cu alte •cuvinte, funcţia t-> t2 este integrabilă pe R în raport cu măsura scalară $ -> (E(S) x, x}. Din egalitatea (3.2.6) deducem AE(Ik)x

-

^

- ^

= A(i - A)-1 { yi

- t) dE(t)) x =

(i ~ t) dE{t) j x + i(i - A)'1 ^ (i - t)dE{t) ^x + ^ d J B ( < ) j ^

(i - t) dE{t) J # = =

(^ tdE{t) J x.

Tom arăta apoi că şirul yk = ^ t dE(t) j x este convergent în E. într-ade văr, dacă m > fe„ atunci lly. I

m\Ik

'

11

I

m\I.k

prin utilizarea propoziţiei 2.2.12(3). Din integrabilitatea funcţiei t rezultă atunci că

C

Um lim V n,k-+oo j

t2

t2d<E(t)x, xy = 0,

deci convergenţa şirului {y*]*. Rescriind observaţiile de mai sus, observăm că şirul xk = MIk)x'-> x (Tc -> oo) din (3.2.7), şi că şirul yk = Axk = = AE(Ik)x este şi el convergent. Operatorul A fiind închis, deducem că 111

x e D ( A ) şi că Ax = lim yk = lim k->oo

U d25(J) I a?,

k-*co I J

/

ceea ce completează demonstraţia egalităţii (1) şi stabileşte şi relaţia (2), încheind astfel demonstraţia teoremei. Ca şi în cazul operatorilor continui (corolarul 2.4.5, propoziţia 2.4.7), avem şi de astă dată o teoremă de unicitate a măsurii spectrale ataşate unui operator autoadjunct prin teorema 3.2.6. 3.2.7. TEOEEMĂ. Fie Ae
5

F(Im).r} = 12

2

= | ( t * &F(t)}\X I < 0 0 R fL prin utilizarea propoziţiei 2.2.12(3)). Apoi, pe baza relaţiei (2), | ^ i d F ( t ) ) F(Im) x

(i - A)F(Im)

x = lim

F(Im)x

=

lim ( J jjm(t) (i - t) dF(t) j * = ( C (i - t) dF(t) ) x. **

hn

Deoarece W.) =

(i - *) m t ) (

-

t ) ' 1 dF(*)j •

rezultă F(Im) = (i - A)F(Im)

C (i - t)"1 dF(t) = (i - A) C (i - J)"1 M»

/»»

de unde (i - A)'1 F(IU) = ^ (i - t)-1 dF(t).

112

Treeînd la limită în această ultimă relaţie, Nx = (i —

deducem

- t)'1 dF(t) ^ x, xeH,

=

(3.2.8)

R

ceea ce este posibil deoarece t -> (i — t) - 1 este o funcţie continuă şi mărginită pe R (exerciţiul 3.9.5). Yom face acum apel la notaţia (şi discuţia) din demonstraţia propoziţiei 3.2.5. Yom defini o măsură spectrală F s pe mulţimea Q = B(Roo) prin relaţia FN(L) = F{ 6-Hi)), L e Bor(Q),

(3.2.9)

unde F este extensia trivială a lui F la Bor(Roo) [deci F({oo]) = 0 ] , ceea ce este posibil în baza teoremei 2.2.10. Mai mult decît atît, aceeaşi teoremă şi relaţia (3.2.8) ne spun că

a

Roo

prin urmare, F* = E(S)

= E(S)

R

în virtutea propoziţiei 2.4.7. De aici obţinem = EAÎ-HS))

^ W - H S ) ) = ^«"'(Î-MIS))) = F(S)

=

=

F(S)J

oricare ar fi S e B o r ( R ) , în care am utilizat definiţiile (3.2.4), (3.2.5), (3.2.9) şi faptul că § şi î sînt una inversa celeilalte. Demonstraţia este completă. 3.2.8. OBSERVAŢIE. Alegerea operatorului normal N = = = (i — JL)"1 în propoziţia 3.2.5 este oarecum arbitrară. De fapt, putem lua în locul lui N orice operator normal de forma Nz = (z — A)'1 (z ţ R). Cu modificări neesenţiale, consideraţiile din proi>oziţia 3.2.5 şi teorema 3.2.6 funcţionează şi în acest caz. Teorema 3.2.7 ne arată că măsura spectrală astfel construită nu depinde de alegerea operatorului Ng. Ea va fi numită măsura spectrală ataşată operatorului autoadjunct A e H).

3.3.

CALCULUL

FUNCŢIONAL

BORELIAN

NEMĂRGINIT

Continuăm discuţia din paragraful precedent . Fie lA e ^(H) un operator autoadjunct şi fie E măsura sa spectrală. Dacă / e B(R), atunci putem defini operatorul M)=^f(*)

AE(t)e#(H).

R

8

—

C.

788

113

Această relaţie defineşte chiar nn omomorfism de C*-algebre de la B(R) în în baza teoreei 2.2.8. Se poate ridica următoarea problemă : ce se întîmplă dacă / este o funcţie boreliană nemărginită ? î n acest paragraf vom încerca să răspundem la această întrebare. Fie deci / : R C o funcţie boreliană (definiţia 0.4.8), nu neapărat mărginită. Yom asocia acestei funcţii şirul de funcţii trunchiate f(t)=lm>

dacă

(O,

^ dacă | f ( t ) | > fc, fc = 1 , 2 , 3 , . . .

Atunci fk e B(R) şi deci putem defini operatorul fk(A) e
există în fl},

*-+oo

f(A)x

= lim fk{A)x, k-+ OO

x e D{f(A)).

(3.3.1)

î n particular, dacă /(J) = t, atunci fc

fk(A) =[

tdW),

deci /(A) = A în virtutea teoremei 3.2.6. 3.3.1. TEOEEMĂ. Fie Ae
x>, x 6 D(f(A)); R

(2) D(/(A)) = i x g H s C ]/(*)

d<JBCI)®,

< oo l ;

R

(3) /(A)* = /(A). Demonstraţie. Din modul în tare a fost definit (definiţia (3.3.1), este limpede că f(A) este operator liniar. Să arătăm că/(A) este dens defiait şi închis. Pentru aceasta, vom nota cu Sk mulţimea j f e R : \f(t) | ^ fc}. Atunci, pentru un m fixat, din (3.3.1) deducem lim fk(A)E(Sm)x 00

prin urmare, E(Sm)x e D{f(A))

şi

f(A) E(Sm)x = fm(A)x, 114

=fm(A)x,

xeH.

(3.3.2)

Asemănător,

dacă

x e D v /( J.)), acelaşi argument

ne

arată

E(8m)f(A)x=fm(A)x.

(3.3.3)

Deoarece şirul {8m}m este crescător şi reuniunea sa este atunci E(8m)x x (m -> oo) pentru orice x e H, în baza Aşadar, operatorul f(A) este dens definit. Yom arăta acum că f(A) este un operator închis. Fie c D(f(A)) un şir cu proprietatea că xk x şi f(A)xk y ITtilizînd relaţia (3.3.3), putem scrie fm(A)x = lim fm(A)xk k-*oo

că

= lim E(Sm)f(A)xk k-+oo

mulţimea R, lemei 2.2.4. deci {#*}* <= cînd fc oo.

= E(Sm)y.

Aşadar, y = lim E(SJy

= lim fm(A)x,

m-+ oo

m-*oo

ceea ce ne arată că x e D(f(A)) şi f(A)x = y. Vom demonstra acum celelalte afirmaţii. Pentru afirmaţia (1) să observăm că dacă x e JD(f(A))} atunci \\f(A)x\\2 = l i m \\fk(A)x\\2 = limC |/(t)| 2 d(E{t) x, x> =

*-»<x>

k-*oo J

R

în baza propoziţiei 2.2.12(3), convergenţa integralelor fiind asigurată de teoremele 0.4.16 şi 0.4.17. Pentru afirmaţia (2), să remarcăm că dacă xeD(f(A)), atunci x se află în membrul al doilea al relaţiei (2) pe baza relaţiei (1) demonstrate mai sus. Eeciproc, daca x e H se află în membrul drept al relaţiei (2) atunci, pentru m> fc, avem IIfm(A)x —fk(A)x\\2 = C If(t) I2 d<E(t) x, -SWVS*

şi membrul drept tinde la zero cînd m, fc -> oo (teorema 0.4.17), deci limita din (3.3.1) există. î n sfîrşit, vom demonstra egalitatea (3). Din (1) rezultă că D(f(A)) = = D(/(A)). x, <J y eD('f(A)). deci = lim =Atunci lim fk (A)y> = /(A)y>, k(A) x, deoarece fk(A)* = fk(A), funcţiile fiind boreliene şi mărginite. Acest calcul ne arată că f{A)* zo f(A). Invers, fie y e D(f(A)*). Dacă xeH este arbitrar, atunci E(Sk)f(A)*

y> = <J(A)E(Sk)x,

= <Jk(A) x,

=

fk(A)y> 115

în care am folosit relaţia (3.3.2), prin urmare Jk(A)y =

E(Sk)f(A)*y.

Trecînd la limită după Ic în această ultimă relaţie, deoarece limita din membrul al doilea există, deducem că y eD(f(A)) şi că f{A)y = /(A)*y, ceea ce încheie demonstraţia. 3.3.2. OBSERVAŢIE. Definiţia 3.3.1 nu depinde de şirul {Sk]k
pentru fiecare fc, atun i f(A) = lim/i(A)#, x e D(f(A)) (exerciţiul 3.9.6). Vom prezenta acum cîteva consecinţe ale teoremei 3.3.1. 3.3.3. PROPOZIŢIE. Fie A un operator autoadjunct în H şi fie f j : R-»C {j = 1,2) funcţii boreliene arbitrare. Atunci au loc relaţiile: K/i +a2/2)(^)=> *Ji(A) +oc 2 / 2 (A), a i , a 2 g C; (2) ifJt)(A) => / i ( A ) / 2 ( A ) . Demonstraţie. Deoarece este uşor de văzut că (<%,/,)( A) = olJ^A) (j = 1 , 2 ) , va fi suficient să demonstrăm (1) doar în cazul cînd ax = = a2 = 1. Fie mulţimile (1)

Si = {te R : ]/,(*)] ^ fc} (j = 1, 2 ; fc = 1, 2, 3, . •.). Atunci 8k = Sk n Sk este un şir crescător a cărui reuniune este R ; în plus, toate funcţiile xs*/i> Xs*/2> Xs*(/i +/ 2 )> Xst(fJ2) sînt mărginite. î n baza obsevaţiei 3.3.2, dacă xeD(fx(A)) n D(/ 2 (A)), atunci

= Um I( [1 lUt) / x w d E ( t') )I x + l i m f [ f 2 ( t ) dE(t)\x k-*oo

\ J Sk

/

= fx(A)x Aşadar, x e Ddf,+f2)(A)) relaţia (1). Fie apoi xeDif^MA)), Avem

116

=

k-*oo \ j St

+f2(A).x.

şi ( f x +f2)(A)x

= fx(A)x + / 2 ( A ) x, adică

deci xeD(f2(A))

şi f2(A)x G D(A(A)).

= lim^

Mt) dE(t) J ^/2(*) dE(t) j * =

= lim lim [ ^(t)

dE(t) j ( ^ f2(t) dE(t) j o; =

*ft

Sm

= l i m f e i ) dE(t)J f2(A)x = Aşadar, x e D((fJ2)(A))

fî(A)f2(A)x.

şi (fJ2)(A) x = fl(A)f2(A)x,

3.3.4. COROLAR. Fie A e spectrală a lui A şi fie z e C\R.

adică (2).

H) un operator autoadjunct, fie E măsura Atunci

(z — A)"1

(z - t)'1 dE(t).

Demonstraţie. Formula din enunţ este o variantă a relaţiei (3.3.2). Yom prezentajun argument baz at pe rezultatele din acest paragraf. Integrala din enunţ există deoarece t -» (z — t)'1 este o funcţie boreliană şi mărginită pe R. Să notăm cu R(z) valoarea acestei integrale. Din propoziţia precedentă deducem că R(z)(z — A)x = x, oricare ar fi xeD(A), şi că (z — A)R(z)y = y, oricare ar fi y eD((z — A) R(z)). Avem însă D((z — A) R(z)) = H, deoarece ^t*ă(E(t)R(z)y,R(z)y>=^t*\z R

< oo

R

pentru orice y e UT, deci R{z) y

3.4.

- t\~* ă(E(t)y,y>

PRELUNGIREA

eD(A).

OPERATORILOR

SIMETRICI

Verificarea faptului că un operator nemărginit este autoadjunct constituie adesea o operaţie dificilă. Există însă unele condiţii mai simple care ne asigură că anumiţi operatori liniari se pot extinde pînă la operatori autoadjuncţi. Găsirea unor asemenea situaţii formează obiectul acestei secţiuni, precum şi al celei care urmează. Vom continua să notăm cu H un spaţiu Hilbert fixat. Cuvîntul „extensie" nu va exclude egalitatea, 3.4.1. D E F I N I Ţ I E . Fie T:D{T)cH-+H un operator liniar, dens definit. Vom spune că T este simetric dacă < Txy y} = Ty} pentru toţi x,yeD{T). Este clar că pentru orice operator simetric T avem T* T. î n general însă T* # T, după cum rezultă din unele exemple simple (a se vedea exerciţiul 3.9.7). 117

3.4.2. OBSERVAŢIE. Dacă T este un operator simetric, atunci T este preînscris deoarece T c T* şi T* este totdeauna închis (lema 3.1.2). Din acest motiv, fără a micşora generalitatea, vom presupune de aici înainte că un operator simetric dat este automat închis, deoarece îl putem eventual înlocui cu închiderea sa canonică (definiţia 0.3.2), ceea ce păstrează proprietatea de a fi simetric. Vom utiliza în această secţiune o anumită transformare, prin care operatorii simetrici trec într-o clasă de operatori care pot fi manevraţi mai uşor. Mai întîi vom defini această nouă clasă şi vom preciza cîteva proprietăţi ale ei. 3.4.3. D E F I N I Ţ I I . Fie E± subspaţii liniare, închise în E. Un operator V e J?(E+? H_) se numeşte izometrie parţială în E (cu spaţiul iniţial E+ şi cu spaţiul final E-) dacă V este o aplicaţie unitară de la JT+ pe . Dimensiunile spaţiilor H± se numesc indicii de defect ai izometriei parţiale V. Izometria parţială V poate fi privită, în particular, ca un operator din V(H), cu D(V) = E+ şi cu R(V) = JT_. 3.4.4. LEMĂ. Izometria parţială V se extinde la un operator unitar pe E dacă şi numai dacă indicii de defect ai lui V sînt egali. Demonstraţie. Se ştie că două spaţii Hilbert sînt unitar echivalente dacă şi numai dacă au aceeaşi dimensiune (exerciţiul0.6.18). Dacă dimensiunile spaţiilor Eţ şi fîi sint egale, atunci există o aplicaţie unitară W a lui Ei pe H±, şi deci operatorul TJ = V ® W e ^(E) este unitar pe E. Reciproc, dacă V admite o extensie unitară TJ e &{E), atunci TJ(H+) = = E ± j deci E ± şi H i au aceeaşi dimensiune. 3.4.5. LEMĂ. Fie T un operator simetric. Atunci E± = 22( T ± i) sînt subspaţii închise în E şi V = (T — i) (T + i ) - 1 este o izometrie parţială a lui E cu spaţiul iniţial E+ şi cu spaţiul final E_. Demonstraţie. Să remarcăm mai întîi că pentru orice xeD( T), folosind faptul că T este simetric, putem deduce ||(T ± i)#||2 = || 2 ± i Tx> =F i (Tx, x> + M = \\Tx\\* + M * .

2

= (3.4.1)

Relaţia (3.4.1) ne spune atît că operatorii T ± i sînt injectivi, cît şi faptul că E± = M( T zt i) sînt subspaţii închise în E, în care utilizăm ipoteza că T este un operator închis (lăsăm acest raţionament pe seama cititorului, ca exerciţiu). Deoarece orice y eE+ se reprezintă sub forma y = ( T + i ) # , unde xeD(T) este unic determinat, vom putea defini Vy = (T — i)x. Tot din (3.4.1) deducem \\Vy\\ = ||(T — i)x | | = | K T + i ) ® | | = ||y||, prin urmare, V este o izometrie. Dacă w e 2Z_, atunci există un vector unic determinat v e D( T) astfel încît w = (T — i)v. Întrucît elementul y = (T +i)t? satisface ecuaţia Vy = w, rezultă R(V) = J3_, deci V este o aplicaţie unitară a lui E+ pe E_. 118

3.4.6. OBSERVAŢIE. î n condiţiile lemei precedente, să remarcăm «că un vector xeH este în B{T) dacă şi numai dacă există y e H + astfel încît y — Vy = x. î n acest caz, Tx = i{y + Vy). într-adevăr, dacă x eB{ T) şi notăm y0 = (T + i) x, atunci y0 e H+ .şi Vy0 = (T — i) x, ca în lema precedentă. De aici deducem că (1 — V)y0 = 2ix şi că (1 + V)y0 = 2 Tx. Vom putea deci lua y = (2i) _1 yQ. Invers, fie xeH astfel încît x = y — Vy, unde y e H + . Atunci y = = (T + i)x0, cu x0 e B{ T), iar Vy = (T — i)a?0. Aşadar, a? == (T + i)a?0 — — (T -i)x0 = 2ix0eB[T). 3.4.7. LEMĂ. în condiţiile lemei precedente, operatorul T este autoadjunct dacă şi numai dacă H+ = H- = ii, eîect daca şi numai dacă operatorul V este unitar pe H. D3monstraţie. Dacă T este autoadjunct, atunci H+ = H_ =H {propoziţia 3.2.3) şi deci V este unitar. Reciproc, să presupunem ca V este unitar pe H. Fie x* e B(T*), fie y+ — T*x* şi fie xeB{T). Vom scrie x =y — Vy şi deci Tx = i(y + + Vy) (observaţia 3.4.6). Deoarece (Tx, x*} =
+ KVy, a**) == (y, y*) -
Deoarece F este unitar, înlocuind (y, cu şi (y,y*y
cu

(Vy, - iVx* - ia?* - Vy* + y+y = 0. Atunci cînd x parcurge B{ T), vectorul Vy parcurge întreg spaţiul H = = B(T — i), deci conchidem că —iFa?* — ia?* — Vy* + y* = 0, relaţie care se poate scrie fie sub forma x* = (1 — V){2~\x* — i^#)), fie sub forma y* = i(l + F)(2 -1 (^* — î n baza observaţiei 3.4.6, putem afirma că x* eB{ T) şi că Tx* = y*. Aceasta ne arată că T* a T. Relaţia inversă fiind trivial satisfăcută, obţinem faptul că T este autoadjunct. 3.4.8. D E F I N I Ţ I E . Fie T e V(H) un operator simetric. Izometria parţială F e&(H+, £L) dată de lema 3.4.5 va fi numită transformata Cayley a operatorului T. 3.4.9. LEMĂ. Fie U e &(H) un operator unitar astfel încît 1 —U să fie injectiv. Exista atunci un operator autoadjunct A e a cărui transformată Cayley să fie operatorul U. Bemonstraţie. Din faptul că 1 — 17 este injectiv, rezultă că şi 1 — U* este injectiv. într-adevăr, dacă U*x = x, atunci UU*x = x = Ux, deci x = 0. Avem deci B(1 — TJ) = N( 1 — C*)-L = jff, în baza lemei 3.1.7, 1 Aşadar, (1 — U)' există şi este dens definit. 119

Yom defini acnm operatorul A = i(l + U)(l — TJ)"1 pe D(A) = = jR(1 — TJ). Să observăm eă A este un oerator simetric. într-adevăr, dacă x, y eD(A), atunci x = (1 — Z7)t? şi y = (1 — Î7)w, deci A a? = = i(l + şi = i(l + TJ)w. Avem {Ax, yy = ,

(1 - 0 »

=
= <(1 - U)v, i(l + U)wy = < jr, A#>,

ceea ce arată că A este operator simetric. Să arătăm în continuare că A este operator încliis. într-adevăr, dacă xk = (1 — U)vk eD(A) este un şir cu proprietatea că xk x şi Axk = = i(l + U)vk -> y cînd fc -> oo, atunci şirul % = — iAa?*) converge către v = 2_1(a? — i#), deci x = (1 — 17)® eD(A) şi A a? = i(l + U) t? = Operatorul A fiind simetric şi închis, vom putea vorbi de transformata sa Cayley, pe care o vom nota cu W. Operatorul W este definit pe spaţiul E(A + i). Să remarcăm însă că dacă v eH este arbitrar, atunci x = (1 — U)v gD(A) şi Ax = i(l + U)v. Notînd y = (A + i)x, avem y = i(i + U)V + i(l — TJ)v = 2i^ e R(A + i) şi deci Wy = (A — i)x = = i(l + TJ)v — i(l — TJ) v = 2iUv = TJy, ceea ce arată că W = TJ. Aşadar, transformata Oayley a lui A este chiar operatorul unitar U, ceea ce implică faptul că A este autoadjunct, în virtutea lemei 3.4.7. Yom sintetiza toate rezultatele obţinute în acest paragraf într-o teoremă datorată lui J. von Neumann. 3.4.10. TEOEEMĂ. Fie Te<#(H) un operator simetrie. O condiţie necesară şi suficientă pentru ca T să admită o extensie autoadjuncta este ca indicii de defect ai transformatei Cayley a lui T să fie egali. Demonstraţie. Fie V transformata Cayley a lui T. Să presupunem că T admite o extensie autoadjunctă A. Atunci transformata Oayley TJ a lui A este un operator unitar pe H, în baza lemei 3.4.7. Să observăm că TJ este o extensie a lui V. într-adevăr, dacă y = (T + i)x cu xeD( T), atunci y = (A + i)x, prin urmare TJy = (A —i)x = (T—i)x = Vx. Din lema 3.4.4 obţinem atunci că indicii de defect ai lui V sînt egali. Reciproc, dacă indicii de defect ai lui V sînt egali, tot din lema 3.4.4 ştim eă operatorul V se extinde la un operator unitar TJ pe H. Să observăm că 1 — TJ este injectiv. Fie deci v eH astfel încît (1 — TJ)v = 0. Fie, de asemenea, x e H şi y = (1 — TJ)x. Atunci yy =

—

Uxy = (Uv, Uxy

= < — (1 — TJ) v, Uxy

Uxy =

=o.

Aşadar, vectorul v este ortogonal pe R( 1 — TJ), deci cu atît mai mult pe 12(1 — V) = D(T) (observaţia 3.4.6). Deoarece D(T) este dens în £T, rezultă v = 0. î n virtutea lemei 3.4.9, operatorul TJ este transformata Oayley a unui operator autoadjunct A. Nu ne rămîne decît să probăm că A extinde pe T. într-adevăr, dacă x e D( T), atunci x = y — Vy = 120

= (1 — U)y pentru un anume y e B(T + i). Atunci Ax =i(y + Uy) = = ify + Vy) = Tx (observaţia 3.4.6), ceea ce încheie demonstraţia teoremei. 34.11. 0 OR OLAR. Fie TeV(H) un operator simetric. Operatorul T admite o extensie autoadjunctă dacă şi numai dacă subspaţiile N(T* + i) şi -AT( T* — i) au aceeaşi dimensiune. Demonstraţie. Ou notaţia lemei 3.4.5, avem E± i), deci E i = R ( T ± i) L = K ( T * T i ) (lema 3.1.7). Aşadar, indicii de defect ai lui V sînt daţi de dimensiunea spaţiilor JV( T* ± i). 3.5. OPERATORI SIMETRICI SEMIMĂRGINIŢI î n acest paragraf continuăm studiul extinderii unor operatori. simetrici pînă la operatori autoadjuncţi, început în paragraful precedent. 3.5.1. DEFINIŢII. Fie T: D(T) a H H un operator liniar. Yom spune că T este mărginit inferior (respectiv mărginit superior) de constanta c e R dacă < T x , ^ c\\x\\2 (respectiv < T x , x> < cjMI2), oricare ar fi x e D(T). Vom spune că T este semimărginit dacă T este mărginit inferior sau superior (de o anumită constantă reală). Yom spune că T este pozitiv (respectiv negativ> dacă < Tx, x} ^ 0 (respectiv < T x , x> < 0), oricare ar fi xeD(T). Este limpede că T este pozitiv (negativ) dacă şi numai dacă T este mărginit inferior (superior) de constanta O e R . Invers, T este mărginit inferior (superior) de constanta ce R dacă şi numai dacă T—c este pozitiv (negativ). 3.5.2. LEMĂ. Fie T:D(T) c E -> H un operator semimărginit. Atunci T este simetric. Demonstraţie. Vom presupune mai întîi că T este pozitiv. Pe baza relaţiei de polarizare (exerciţiul 0.6.11) vom putea scrie < Tx,y> = 4- £ ik<,T(x + i'y), x+iky> 4 *=0 k T 4 hZo ^ < (y

y +

=
=

= <*> Ty>>

oricare ar fi x,yeD(T), deoarece ( T(x + iky), x + iky} sînt numere reale (de fapt, pozitive.) Aşadar, T este simetric. Dacă T este mărginit inferior (superior) de constant a c e R , atunci aplicăm raţionamentul precedent operatorului pozitiv T — c (respectiv e — T). Din faptul că T — c (respectiv c — T) este simetric, deducem uşor că însuşi T este simetric. 121

3.5.3. OBSERVAŢIE. Orice operator semimărginit este preînchis y deoarece este simetric (observaţia 3.4.2). Din acest motiv, fără a micşora> generalitatea, vom presupune de aici înainte că un operator semimărginit dat este închis, deoarece îl putem înlocui, dacă este nevoie, cu închiderea sa canonică. Se vede uşor că această înlocuire păstrează proprietatea de seinimărginire şi nu modifică nici constanta din definiţia 3.5.1. 3.5.4. OBSERVAŢIE. Fie B un spaţiu prehilbertian (definiţia 0.2.5) cu norma || • ||0. Vom nota cu c(B) familia tuturor şirurilor fundamentale (în raport cu norma || • ||0) formate cu elemente din B şi cu c0(B) familia şirurilor din B care converg la zero. Atunci c(B) are structură naturală de spaţiu liniar (indusă de operaţiile obişnuite de adunare şi de înmulţire cu scalari ale şirurilor) şi c0(B) este un subspaţiu al său. Spaţiul factor H0 = = c(B)lc0(B) poate fi privit ca fiind completatul spaţiului B în sensul teoremei 0.2.14 (partea a doua). Norma pe spaţiul completat H0 este dată de egalitatea II l + co(B) ||0 = lim H^llo, l = [xk\>x

e c(D),

(3.5.1)

expresie care nu depinde de şirul particular \ ce reprezintă clasa \ + c 0 (B) r şi care transformă pe H0 într-un spaţiu Hilbert. Produsul scalar asociat normei (3.5.1) este de foima + c0(D), TQ + c0(D)>o = lim h-+oo

yk>0,

(3.5.2)

unde \ = {#*}*, 7) = [yk\k sînt şiruri arbitrare din c(B). Definiţia (3.5.2) nu depinde nici ea de şirurile particulare \ şi tj ce reprezintă clasele c, + + c0(D) şi, respectiv v; + %(B). Notăm cu şirul constant ...} pentru fiecare xeB; atunci aplicaţia Ba x lx + c0 (B) e H0 este o izometrie liniară (deci este, în particular, injectivă) iar imaginea sa este submuţime densă în spaţiul JT0( a se vedea exerciţiul 3.9.9). Rezultatul de extensie care urmează a fost demonstrat de către Friedrichs. 3.5.5. TEOREMĂ. Fie Te<#(H) un operator pozitiv. Atunci există un operator autoadjunct şi pozitiv A e care extinde operatorul T. Demonstraţie. Deoarece operatorul T este pozitiv, expresia <*, y\

=<x,y> + < Tx, îf>, X, y e B{ T),

(3.5.3)

defineşte un produs scalar pe spaţiul liniar D = D( T). Acest produs scalar induce norma Ml

= IMI2 + , xeD.

(3.5.4)

Vom nota cu H0 spaţiul Hilbert obţinut prin completarea spaţiului D în raport cu norma (3.5.4) (observaţia 3.5.4). Vom arăta că H 0 poate fi identificat cu un subspaţiu liniar al lui H. Anume, fie D 0 submulţimea acelor 122

elemente xeH cu proprietatea că există un şir în D astfel încît xk -> x (fc -> oo) în norma lui H şi k este şi fundamental în norma (3.5.4) Este clar că D 0 este un subspaţiu liniar al lui H ce conţine pe D. î n continuare, dacă x e D0 şi {x k ] k a D converge către x în H şi este fundamental în norma (3.5.4), vom numi şirul {#*}* şir fundamental asociat elementului x. Definim apoi o aplicaţie L : D 0 H0 prin relaţia Lx ~ {a*!* + c0(D), unde [xk}k este un şir fundamental asociat lui x (în care folosim notaţia din observaţia 3.5.4). Yom demonstra în primul rînd că aplicaţia L este corect definită. Cu alte cuvinte, vom arăta că dacă \yk}k este un alt şir fundamental asociat lui x, atunci \xk\k — {yk\keec(D). Vom nota vk = xk —y k . Evident, vk 0 (fc oo) în H. î n plus, IK» -

*>n llo <

II®» ~

IIo + ll^m ~ Vn Ho

0 (»», W - > OO),

deci este fundamental în norma (3.5.4). î n particular, există un M ^ 0 astfel încît \\vk\\ 0 < M pentru toţi fc ^ 1. Fie apoi e > 0 fixat. Vom alege un indice n(z) astfel încît \\vm — flB||0<s dacă n(z). Pentru astfel de indici ra, n avem K i l o = O » , %>o Vm> ol + I < X , Vn — tfro>0 I <

*«>ol +

(3.5.5)

Să remarcăm însă că l<X, Ool prin urmare

= l<*«> *»> + <«., Tvmy\ ^ IKH K+

Tvm||,

lim|
Intorcîndu-ne la evaluarea (3.5.5), obţinem Mz. Deoarece z> 0 este arbitrar, rezultă de fapt că || vn\\0 0, deci e e c0(D), ceea ce demonstrează corectitudinea definiţiei aplicaţiei L. Este uşor de văzut că aplicaţia L este liniară. Vom arăta că L este şi injectivă. într-adevăr, dacă Lx = 0, atunci orice şir fundamental asociat lui x este în c0(J9), deci limita unui asemenea şir în H trebuie să fie zero, deci x = 0. Aplicaţia L este surjectivă. într-adevăr, dacă £ + c0(D) este un element arbitrar din J?0, în baza observaţiei 3.5.4 există un şir { din e(D), es unde ^e un şir constant de forma {x k , xkJ xk, . . . } cu xk eD pentru orice fc, astfel încît + c0(D) -> \ + c0(B). Atunci şirul {xk}k este fundamental în norma (3.5.4), deci şi în norma iniţială a lui H. Dacă x este limita şirului {xk}k în J3, este clar că x e D 0 şi că Lx — i; + c0(D). 123

Aplicaţia L fiind bijectivă iar spaţiul H 0 fiind Hilbert, există pe D 0 o structură de spaţiu Hilbert indusă de cea din H0. Mai precis, putem defini pe D0 produsul scalar V\ =

Ly\

= lim k-+co

yk\,

x, y e D0,

(3.5.6)

unde {#*]* şi sînt şiruri fundamentale asociate elementelor x, respectiv y. Fiind dat de formula (3.5.2), produsul scalar (3.5.6) nu depinde de şirurile fundamentale asociate elementaelor x, y eJ) 0 . Din acest moment vom începe să ne ocupăm efectiv de problema prelungirii operatorului T. Operatorul T fiind simetric (lema 3.5.2), avem T <= cz T*. Yom defini un operator A pe spaţiul liniar D(A) = D(T*) n !?<> prin egalitatea Ax = T*x(x e D(A)). Deoarece D c I) 0 şi T* z> T, este clar că A este o extensie a lui T. Ne propunem să arătăm că A este autoadjunct şi pozitiv. Yom obţine aceste proprietăţi în mai multe etape. Arătăm, mai întîi, că operatorul A este simetric. Fie deci x, y e D( A) = — D(T*) n D0 ŞÎ tie şiruri fundamentale asociate cu x, respectiv y. Putem serie că = <x, T*y> = Umţx» T*y> = lim = k-too

k-+co

= lim lim < Txk, ym> = lim lim«.î; t , ym\ k-+oo m-+ oo

=

y\

-

k~koo m-+ oo

y> =

=
— <xk, ym}) = =

y>,

deci A este simetric şi avem şi egalitatea =

y >0 -

y>,

y e D(A).

(3.5.7)

Vom arăta apoi că operatoru 1 + A este surjectiv. Pentru aceasta, fie y € H arbitrar. Aplicaţia D0 y} eC este liniară şi continuă pe D0 deoarece I <11*11 \\y\\ = <*, v>o =

+ < Tx, v} = <(1 + T)x, vy,

[obţinute din (3.5.6) şi (3.5.6)], rezultă « e D ( l + T*) = D(T*) şi (1 + 4- T*)v = ?/. Aşadar, t> e D(A) şi (1 + A)v == y. Să observăm că operatorul 1 + A * este injectiv. într-adevăr, I ( ( l + + A)*) = B( 1 + A)-1- = H L = {0}, în virtutea surjectivităţii lui A şi lemei 3.1.7. Avem aşadar, 1 + A cz 1 + A* (deoarece A este simetric) unde 1 + A este surjectiv iar 1 + A* este injectiv. Dacă x e D(A*), exi124

stă atunci x1 G D ( J L ) astfel încît (1 + A)xx = (1 + A*)x, deci (1 + A*) (Xj — x) = 0. De aici, x = xxe B(A), ceea ce înseamnă că şi A extinde pe A*, adică A = A*. î n sfîrşit, din relaţia (3.5.7) obţinem că (Ax, x> = (x, x\

— < j?, jp> ^ 0, x e B(A);

prin urmare, A este şi pozitiv. Demonstraţia este completă. 3.5.6. COEOLAE. Fie Te<&(H) un operator mărginit inferior {superior) de constanta c e R . Există atunci un operator autoadjunct A e %>(B.) care extinde pe Tşi care este de asemenea mărginit inferior (superior) de constanta c. Bemonstraţie. Deoarece T este mărginit inferior (superior) de constanta c, operatorul T — c (respectiv c — T)' este pozitiv. î n baza teoremei precedente, există un operator autoadjunct şi pozitiv Ac care extinde pe T — c respectiv c — T). Atunci operatorul Ac + c (respectiv c — Ac) este un (perator autoadjunct care extinde pe T şi este mărginit inferior (supeoior) de constanta c. 3.6. SEMIGRUPURI DE OPERATORI Întrucît în această secţiune nu avem nevoie de structura specială a spaţilor Hilbert, vom presupune că lucrăm într-un spaţiu Banach X. 3.6.1. DEFINIŢIE. O familie {T(s))0<s
81382 > o ;

(2) T(0) = 1 ;

(3) aplicaţia s -> T(s)x este continuă pe intervalul [0, oo) pentru fiecare x eX. Proprietăţile (1) şi (2) conferă familiei jT(s)\^o calitatea de a fi semigrup de operatori (parametrizat pe semidreapta pozitivă). Condiţia (3) este o proprietatea de continuitate în topologia operatorială tare (a se vedea exerciţiul 3.9.4), ceea ce explică denumirea de semigrup tare continuu. 3.6.2. EXEMPLU. Fie B e &(X) un operator fixat. Să notăm T(s) = =5 exp($B), unde s ^ 0. Este uşor de văzut că familia [T(s)]s>0 este un semigrup tare continuu de operatori. De fapt, aplicaţia s -> T(s) este continuă chiar în topologia lui J?(X) (deci avem ceea ce numim un semigrup uniform continuu de operatori). Yom considera în cele ce urmează o funcţie subaditivă U { —oo], deci o funcţie cu proprietatea că c^(sl + s2) ^ w ^ ) + + 0. 125

3.6.3. LEMĂ. Fie
$

s-* 00

S

Demonstraţie. Fie 0], deci — 0 0 . Yom fixa un număr p > co0 şi vom alege s0> O astfel încît <*(s0)ls0 O sub forma s = w(s)s0 + r(s), unde n(s) > O este întreg iar O ^r(s) <s0. Atunci <*(*) s

<

<*(n(ş)So) + u(r(8))_ ^ n(s)<*(s0) s s w(s)s0+r(*) <»(So) . S0 + r(s)ln(s) —

, j—

<»(r(s)) ^ s

«(K*))

Deoarece <0 este mărginită superior pe intervalul [0, s 0 ], din calculul de mai sus deducem că lim—— < t-> oo s

s0

întru cît co0 < lim co(s)/s şi p>
3.6.4. LEMĂ. Fie există limita

c

un semtgrup tare continuu.

Atunci

în plus, pentru fiecare număr p> 1 astfel încît ||T(*)K M^e?* (s> 0). Demonstraţie. Voni defini funcţia 0 şi fie x eX. Din definiţia 3.6.1 (3) rezultă M x = sup HTM® || < 00. Din principiul mărginirii uniforme (teorema 0.3.5) deducem atunci că M = sup || T(s)

|| <

00,

0 <«<s 0

de unde rezultă că funcţia <0 este mărginită superior pe [0, sQ]. î n baza lemei precedente, lim s^lnHTMH =
126

Să fixăm un număr p > o>0. Este limpede acum că există un număr sP > O astfel încît a>(s) < ps dacă s> *p. Atunci ||T(*)|] ^ ep* pentru s> sp Kotînd Mp = sup e~p*||T(s)|| ^ 1, O<s <$p

obţinem estimarea dorită. Există exemple de semigrupuri tare continui de operatori pentru care avem efectiv co0 = —oo (exerciţiul 3.9.13). 3.6.5. DEFINIŢIE. Fie {T(*)\ >0 <= &(X) un semigrup tare continuu. Pentru t > 0 să considerăm operatorul B^X = -Z~1(T(T)X

— X),

XEX.

Yom defini un operator liniar B pe subspaţiul liniar D ( B ) = {xeX

: lim BTx există în

X\,

T—>0

prin formula Bx =limBTx,

xeD(B).

T-0

Operatorul B astfel definitj se va numi generatorul infinitezimal al semigrupului {T(s)}s>0. 3.6.6. OBSERVAŢIE. înainte de a studia unele consecinţe ale definiţiei 3.6.5, să remarcăm că dacă f : [a, b] -> X este o funcţie continuă atunci are loc formula «+T

lim —[/(«)dl = / ( « ) . T->0 T J a Într-adevăr, •+T

«+T

«

a < sup \\J(t) -j(a) II

şi ultima expresie tinde la zero cînd t ţiei J.

0, în virtutea continuităţii func-

3.6.7. LEMĂ. Cu notaţia din definiţia 3.6.5, dacă xeD(B), T(S)XGD(B)

şi BT(S)x

=

T(S)BX,

oricare

ar f i S>

atunci

0.

127

Demonstraţie. Fie s şi x ca în enunţ şi fie T > 0. Atunci T(s) Brx = T(s) t - ^ T C t ) x - x) = t-HTCt) T{s)x =

T(s)x)

B^T(s)x,

prin urmare limT(s)

= T(s)Bx = lim

BTT(S)X.

T-+0

T-*0

De aici conchidem că T(s)xeB(B)

şi că BT(s)x =

T(s)Bx.

3.6.8. LEMĂ. Cu notaţia din definiţia 3.6.5, subspaţiul dens în X iar generatorul infinitezimal B este închis. Demonstraţie. Fie « E L , s> 0 şi T > 0. Atunci t

s

T(u)xdu

B(B)

este

s

= —^ T{u + T) xdu — — ^ T(u) x du =

0

0

o

*+T

$

S+T

o

o

$

o

Utilizînd observaţia 3.6.6, din calculul de mai sus deducem s

lim Bx \ T(u) x du = T(s) x — T(0) x = T(*)a? — T-0

Aşadar,

J 0

s s' ^ T(u)x du e B(B) 1

şi

o s 1

s-

T(u) xdu=

S^iT(s)x—

x) = B,x,

o

Tot din observaţia 3.6.6 deducem s

lim «-U T(u)x du = T(0)# = a?, s-0

J 0

de unde rezultă că D(B) este un subspaţiu dens în X. 128

xeX.

(3.6.1)

Să menţionăm şi formula s-1 ^ T(u) Bx du = s'H T(s) x — x) =

a? e

(3.6.2)

o

care se obţine printr-un argument similar cu cel utilizat la demonstrarea formulei (3.6.1), pe care-1 lăsăm ca exerciţiu. Vom arăta că operatorul B este închis. F i e deci :x k t c D(B) un şir cu proprietatea că xk -> x şi Bxk y cînd fc -> oo. î n basa formulei (3.6.2) deducem atunci că S

5 1

Bgx = lim Bsxk = lim s ' H T(u) BxK du = s" \ T(u) y du, k~+ao

căci T(u) Bxk

J 0

J U

T(t% uniform pe [0, s], de unde

y = lim s-*0

T(u)y du = lim Bsx, J

'

s-* 0

0

prin urmare, x e D(B) şi Bx = y. 3.6.9. PROPOZIŢIE. Fie {T(s)] $>0 c &(X) tinuu, /te iî generatorul său infinitezimal, /ie

un semigrup tare con-

g>0 = lim s _ 1 ln||T(s)|| S-*QO şi fie X e C ctt E e X > w0. ^Lfamct X£
(X -

B)~x x =

xeX.

Demonstraţie. Fie p > o>0 astfel încît ReX> p. î n virtutea lemei 3.6.4, există J f p ^ l astfel încît ||T(*)|| ^ M ^ ( s > 0). Acest lucru implică existenţa integralei oo

^ e-*T(s)

xdSy

xe X, ReX >
(3.6.3)

o

129 f — e. 7M

>care defineşte un operator mărginit. Într-adevăr, măsura dfx(s) = e ^ - ^ ă » este mărginită pe [0, oo], deoarece oo

I ds = C e^-**)* ds

ReX — p

î n plus, funcţia e~**T(s)x este continuă şi mărginită. Aşadar integrala oo

oo Xs

o? e5 ds

^ e- T(s) X ds = ^ o

o

există în X şi avem estimarea

IS^

T(s) X ds

Jfp

- INI,

EeX —p

ceea ce arată, în particular, că această integrală este un operator liniar şi continuu. Să notăm cu i?(X) operatorul definit de integrala (3.6.3.) Cu BT ca in definiţia 3.6.5, avem oo

oo

£ t 2?(X) X = — jj e"** T(s +

— — ^ e - X s T ( s ) x ds

t ) xds

o

o

oo

=

=

oo

Q-MS-T) T(s) xds o

-Je-^rw o

OO

T

xds

=

T

— J e*"^ T(«) # ds - — J

T(s) x ds

0

şi deci lini BxR(X)x = JB(X) # — T—> 0

în baza observaţiei 3.6.6. Aceasta ne arată că R(X)x e B(B) şi că (X —

B) JB(X) x = x,

xeX.

Fie acum x e D ( B ) . Atunci T(s)x e B(B), oricare ar fi s > 0 şi BT(s)x= = T(s)Bx, în conformitate cu lema 3.6.7. Utilizînd teorema 1.1.16, vom scrie oo

oo

oo

Xs

^ e~ T(s) Bx ds = ^ B(e~* T(s) x) ds = o

130

o

ds, o

adică B{\)Bx

= BR(k)x.

Aşadar

JS(X)(X — B)x = (X - B) R(X)x = x,

xeD(B\

ceea ce arată că JK(X) = (X — B)"1. 3.6.10. OBSEEYAŢTE. Fie { T(s)}s>o <= &(X) un semigrup tare continuu şi fie B generatorul său infinitezimal. Să presupunem că ||T(s)||^l pentru orice s > 0. Atunci (X — J5)_1 e &(X) pentru orice X e C c u ReX> 0 şi ||(X — ^(ReX)"1. într-adevăr, în acest caz 0 şifie{Cs)o<8<s9 o familie cu următoarele proprietăţi : (1) C comută cu T(s) pentru orice 8 şi s; (2) sup ||e'c* || = N(s), 0 <*<s

Ainde N(s) este o constantă ce nu depinde de 8; (3) lim C8x = Bx,

xeD(B).

8-+Q

Atunci T(s)x = lim esC« x, 8-> 0

x e X.

In plus, convergenţa este uniformă pentru s aparţinînd unui interval compact arbitrar din [0, oo). Demonstraţie. î n baza condiţiei (1), pentru orice număr întreg n> 1 putem scrie T(s) - e^s = (T(s[n))n - (e{sln)Cs )n = = (T(s[n) -

( e

*/n)Cs)

k=0

T(ksln)e{i*-h-î)sln)Cs.

Fie M(s) = sup[|| T(t)\\ t^s] < o o ( a se vedea lema 3.6.4). Utilizînd condiţia (2) şi observaţia 3.6.10, avem estimările |KT(S) -

M(s)ms)\\(T(s[n)

E ^ ) «J| ^

- Jsln)Cs)x\\

0

Dacă 2î t are semnificaţia din definiţia 3.6.5, să observăm că t-M|(T(t) - e ^ a l l = || Brx - t"» (e*» - l)s|| < < ||(Bt -

+ Mt-He*

- 1) -

Cs)x\\.

î n baza estimării 00

_

i) _

Cs

\\

=

T*-1CSll

T —rr • 2

fc!

||

00

T* -1

< X ^ r r - imit fc!

=

şi deci a faptului că lim I I t - V 0 » - 1 ) - 0,|| = 0 , T—O

deducem ll( T(s) - e**)x\\ ^K(s)Wm\\(B T—O T Presupunind acum că xeB(B),

-

0B)xl

obţinem

lim|KBT - C8)x|| -

||Bx -

C8x||.

T-»0

pnn urmare lim ||( T(s) - e**)x || = 0,

(3.6.4)

5-0

în baza condiţiei (3). Evident, convergenţa este uniformă dacă s se află într-un interval compact din [0, oo). Relaţia (3.6.4) are însă loc pentru orice xeX, deoarece B(B) este dens în X (lema 3.6.8) şi mulţimile {|| T(s) ||} şi \ ||e5Cs||} sînt înăgrinite cînd s variază într-un interval compact. Demonstraţia este completă. 3.6.12. OBSERVAŢIE. Fie BuB2e <£(X) astfel încît BXB2 =B2BX. Să definim (ca în exemplul 3.6.2) semigrupurile tare continue T}(s) = esBi (s> 0, j = 1, 2). Este uşor de văzut că generatorul infinitezimal al semigrupului [ Tj(s)\s>o este chiar Bj (excerciţiul 3.9.11). Folosind ideea din demonstraţia propoziţiei precedente (şi faptul că generatorii infinitezimali sînt operatori continui), putem deduce existenţa unei constante K(s0) > 0 132

cu proprietatea ca |Ke«* - e**>) x\\ < K(s0) 11(5, - B2)x||, «

x e l

(3.6.5)

Detaliile le lăsăm p e seama cititorului. 3.6.13. P R O P O Z I Ţ I E . Fie ţT(s)}s>o <= X) un semigrup tare continuu şi fie B generatorul său infinitezimal. Pentru fiecare xeX avem egalitatea T(s)x = lim eB*x, unde = S _1 (T(S) — 1). In plus, convergenţa este uniformă pentru s aparţinînd unui interval compact arbitrar din [0, oo). Demonstraţie. Vom arăta că familia { J58]0<s 0 arbitrar, l i r w i l = | | T ( W ) T(s - W ) | | = \\TM*T(8 - M ) N *w+l unde [>] este partea întreagă a lui s. Apoi, deoarece ||T(8)*|| =||T(k8)|| ^

| | e ^ | | = ||e"",/a em)T{S) < e-s/5 V

—

M»+

l

|| ^

=

^

If

i U î l s ;

unde am folosit faptul că J-^Jf® -— 1) < Jf — 1 (cum rezultă uşor prin dezvoltarea în serie a lui Jf* = e81nAf), întrucît 8 < 1. Afirmaţia se obţine acum din lema 3.6.11. 3.6.14. LEMĂ Fie B e W(X) un operator dens definit astfel încît (1 - i B ) ' 1 eSf(X) şi ||(1 - 8B) 1 !! <1 pentru orice 8 > 0. Fie Cs = . 8 ( 1 —8JB)"1. Atunci au loc relaţiile : ||e*c«|| < 1, s> 0 ;

(3.6.6)

lim C*x = Bx, x G 2>(B). Demonstraţie.

(3.6.7)

Să remarcăm că

C8 = JB(1 - 8B)- 1 = 8"H(1 - 8B)" 1 - 1 )

G

<£{X\ 133

prm urmare f|esC*|| = iieW®)"1-^-1-1) || = e~ $/s \ \ e ^ l - 8 B ) ~ l || ^

în care am utilizat ipoteza şi faptul că ||e r || pentru orice T e &(X), ceea ce este clar prin dezvoltare în serie. Pentru a obţine <3.6.7), vom demonstra în prealabil că lim(l -

- j/,

V e X.

(3.6.8)

8-0

într-adevăr, dacă y eD(J5), atunci egalitatea evidentă (1 - 8B)~hj - y = 8(1 - 8 B ) - 1 By implică relaţia (3.6.8) pentru asemenea vectori, deoarece ||(1 — SB)' 1 1| ^ ; relaţia (3.6.8) are loc pentru vectorii arbitrari, în baza densităţii spaţiului B(B). Din egalitatea (3.6.8) obţinem l i m C8x 8-0

= lim(l -

8 B ) ' 1 Bx

= Bx,

x e

B(B),

5-0

adică tocmai relaţia (3.6.7). 3.6.15. TEOREMĂ. Fie {T(s))s>o <= J£?(X) un semigrup tare cu proprietatea că ||T(*)|| <1, s > 0, şijie B generatorul său infinitezimal.

continuu (3.6.9)

Atunci

(1 - 8 B ^ e X i X ) şi ||(1 - 8B)' 1 !! < 1, în plus, dacă C8 = B(1 — 8B)"1, pentru fiecare xeX T(s)x = lim e** x,

0.

(3.6.10)

are loc egalitatea (3.6.11)

5-0

convergenţa fiind uniformă pentru s aparţinînd unui interval compact arbirtar din mulţimea [0, oo). Reciproc, dacă Be^(X) este un operator dens definit care satisface condiţia (3.6.10), atunci există un semigrup tare continuu [T(s)}s>o <= &(X) cu proprietatea (3.6.9), al cărui generator infinitezimal este chiar B. Bemonstraţie. Yom începe cu prima parte a teoremei. Din cauza condiţiei (3.6.9) si în virtutea observaţiei 3.6.10, obţinem faptul că ( l ~ S J 8 ) - 1 e se{X) ş i 11(1 _

134

»B)-1|| =

-

B)-1!! < 1 ,

8>

0,

deci că generatorul infinitezimal B are proprietatea exprimată de relaţia (3.6.10). Pentru a demonstra (3.6.11) va fi suficient să arătăm că familia [C8}8>0 satisface condiţiile lemei 3,6.11. Întrucît C8 == ((1 — SB)1 —1), rezultă că C8 comută cu T(s) [folosind de exemplu, reprezentarea integrală a lui (1 — indusă de formula (3.6.3)], deci condiţia (1) din lema 3.6.11 este îndeplinită. Deoarece generatorul infinitezimal satisface ipotezele lemei 3.6.14, concluzia acestei leme, mai precis relaţiile (3.6.6) şi (3.6.7), nu înseamnă altceva decît îndeplinirea condiţiilor (2) şi (3) cerute de lema 3.6.11. Lema 3.6.11 ne asigură atunci realizarea convergenţei exprimate prin (3.6.11). Aceasta încheie prima parte a demonstraţiei. Ne vom ocupa acum de partea a doua a teoremei. Fie deci B e C€(X) un operator dens definit care satisface (3.6.10). Yom defini operatorul C8 = = B(l — 8B)~1'y sînt, din nou, îndeplinite condiţiile lemei 3.6.14, deci vom putea folosi relaţiile (3.6.6) şi (3.6.7). Pentru fiecare S > 0 vom defini un semigrup de operatori \ T8(s) punînd T8(S) = esCfi. Făcînd apel la observaţia 3.6.12, vom obţine o estimare de forma ||(T8(S)

-

Te(s))x||

^K(t)\\(C8 - Ce)x||, 8 < I,

(3.6.12)

pentru toţi £ > 0 şi x e X. [Utilizînd (3.6.6), se poate arăta că avem chiar K(t) ^ t, dar nu vom folosi acest fapt.] Relaţia (3.6.12) iplică existenţa limitei T(s)x = lim T8(s) x, s > 0, xe X. 8-0

(2.6.13)

într-adevăr, dacă xeD(B), existenţa acestei limite rezultă din (3.6.12) si (3.6.7). Deoarece | | T s ( s ) | | ^ l [din (3.6.6)], existenţa limitei (3.6.11) se obţine pentru orice vector x e X, pe baza densităţii spaţiului D(B). Mai mult decît atît, avem T(s) e &(X) şi|| T(s)\\ pentru fiecare s> 0, în virtutea teoremei 0.3.5 (a se vedea şi exerciţiul 3.9.4). Yom arăta că [T(sy. s>o este un semigrup tare continuu, al cărui generator infinitezimal este B. îndeplinirea cerinţelor de a fi semigrup se obţine tot din (3.6.13). Evident, T(0) = 1 . Apoi, dacă s19 s 2 > 0 şi x e X , avem \\T(8X +

+

s2)x

-

\\T8(S1)\\\\T8(S2)X~

T(8X)

T(s2)xI! < IIT(SL + s2)x - T8(st + *2) x\\ + T(S2)X||+

||T8(8L)

T(S2)X-

T(8L)T(S2)xl

şi membrul, drept tinde la zero cînd 0, ceea ce asigură îndeplinirea condiţiei (1) din definiţia 3.6.1. Să observăm apoi că pentru x e D(B), din (3.6.12) obţinem că limita (3.6.13) este uniformă pentru s aflat într-un interval compact arbitrar. Acest fapt atrage după sine continuitatea aplicaţiei s-*T(s)x. Dacă xeX este arbitrar, în baza densităţii spaţiului B(B) în X şi prin utilizarea estimării (3.6.6) se obţine continuitatea aplicaţiei s -> T(s)x şi în acest caz. î n consecinţă [T(s)\s>o este un semigrup tare continuu de operatori, cu proprietatea (3.6.9). 135

Din egalitatea (3.6.2) rezută că -

S'H T8(S)X

x)

=

S T

8

( U ) C

s

X ĂU7

x e X ,

S > O.

(3.6.14)

o

Dacă xeB{B), atunci T8(u)G8 x converge la T(u)Bx cînd în w e[0, *], prin urmare, trecînd la limită în (3.6.14), obţinem

uniform

s

s ^ i T(*)a? - .r)

^ T(tt)

d«

o

ceeea ce ne conduce la egalitatea lim 8'1( T(s) x — x) = Ba?, în baza observaţiei 3.6.6. Aşadar dacă B este generatorul infinitezimal al semigrupului [T(*)î«>o, avem B => JB. Reciproc, fie x e B ( B ) şi fie y = == (1 — $B)x, pentru un S > 0 fixat. Din (3.6.10) rezultă că putem găsi un x0 e B(B) astfel î n c î t y = ( l — 8B)x0. Prin urmare, (1 — 8B)(x —_x0) = = 0, deci x = x0eB(B) datorită inversabilităţii operatorului 1 — &B (dată de prima parte a demonstraţiei). Vom putea conchide că B = B, ceea ce încheie demonstraţia teoremei. Acest rezultat de caracterizare a generatorului infinitezimal al unui semigrup tare continuu de operatori cu proprietatea (3.6.9) este datorat lui Hille şi Yosida. Restricţia impusă de condiţia (3.6.9) nu este esenţială. Pentru o versiune mai generală a acestei teoreme se poate consulta [8], cap. VIII, §1. 3.7. SEMI GRUPURI UNITARE î n acest paragraf ne vom plasa din nou în cadrul unui spaţiu Hilbert H. 3.7.1. DEFINIŢIE. Un semigrup tare continuu \U(s)}s>0 <= se numeşte unitar dacă U(s) este operator unitar pentru fiecare număr s > 0. înainte de a trece la studiul unor proprietăţi ale semigurpurilor unitare, vom demonstra un rezultat de funcţii reale, necesar argumentaţiei noastre. 3.7.2. LEMĂ. Fie jf :[0, oo) sura Lebesgue. Bacă

C o funcţie integrabilă în raport cu mă-

r

e — 1 ' / ( f ) dt

=

o

atunci f{t) = 0 aproape peste tot. 136

0, n =

0,1,2,

...

Demonstraţie. Yom face schimbarea de variabilă u = t = — In u şi oo

Atunci

oo

e-*7(«) dt = ^ ^flr(w) dii, o

o

unde = u"1 f( —In w)(t* # 0). Funcţia g (extinsă oricum în 0) este integrabilă pe segmentul [0,1]. î n plus, din egalitatea de mai înainte se obţine h(u)g(u)du

=0

(3.7.1)

o

pentru orice polinom h (restricţionat la intervalul [0,1]). Utilizînd teorema lui Weierstrass de aproximare a funcţiilor continue cu polinoame (teorema 0.5.9), deducem că (3.7.1) are loc pentru orice funcţie h continuă pe [0,1]. Teorema 0.4.19 ne spune atunci că măsura djji(w) = g(u)du este nulă; prin urmare, funcţia g trebuie să fie nulă aproape peste tot. Atunci funcţia iniţială jf trebuie să fie nulă aproape peste tot, ceea ce încheie demonstraţia. Vom trece acum la studiul semigrupurilor unitare. 3.7.3. LEMĂ. Fie j U(s))s>o c &{H) un semigrup unitar şi fie B generatmui său infinitezimal. Atunci {l'(f$)s>o este un semigrup unitar al cărui generator infinitezimal este — B. Bemonstraţie. Vom nota, pentru simplitate, V(s) = U(s)* (s > 0). Este limpede că V(0) = 1. Apoi, dacă sx, s2 > 0, V(8X + s2) = U(Sl + s2)* = U(Sl)* U(s2)* = V(Sl) V(s2). Vom verifica acum condiţia (3) din definiţia 3.6.1. Să fixăm s0 > 0. Dacă s > Stf atunci ||V(s)x - V(s0)x\\ = || V(s0) (V(s - s0)x = 11 V(s~s0)(x Asemănător, dacă s

-

x)\\ = ||(V(s - s0)ti - x\\

U(s - «0)*)ll =

-

V(s -

s0)x\\

atunci

IIV(s)x - V(s0)x\\ = \\x -

U(s0 - 8)w\\,

prin urmare, pentru s şi s0 arbitrari, IIV(s)x -

V(s0)xII

=

II* -

de unde rezultă continuitatea aplicaţiei s pentru fiecare vector x eH.

U(\8 -

80\)X\\,

V(s)x în fiecare punct s0 > 0 şi

137

Să remarcăm că dacă xeD{B), lim x-^Vi^x

atunci

— x) = lim T^V^X

T-»0

— U(x)x) = — Bx.

T—*0

Aşadar, dacă Bx este generatorul infinitezimal al semigrupului {F(s)}$>o, atunci Bx 3 — B. Deoarece şi U(s) = F(s)*, acelaşi raţionament ne arată c& B —Bv prin urmare Bx — —B. Orice operator autoadjunct poate fi asociat cu un semigrup unitar, după cum rezultă din afirmaţia care urmează. 3.7.4. LEMĂ. Fie A e H) un operator autoadjunct şi fie E măsura sa spectrală. Atunci formula U(s) = ^e*' dE(t), s> 0, R

defineşte un semigrup unitar al cărui generator infinitezimal este i A . Demonstraţie. Este limpede că 1J(81 -f- s2) = Uis^Uis*,) pentru orice *i» «2 > 0 ŞÎ ^(0) = 1- Vom fixa apoi un s0> 0. Atunci IIU(8)x - U(s0)x\\2 = ^

I2 d (E(t)x,

-

R

îu baza proproziţiei 2.2.12. Dacă sk

s0 cînd

lim | eistt __ k-+oo

|

=

fc

00, atunci

Q

pentru fiecare te R. Funcţiile fiind continue şi mărginite, teorema 0.4.17 ne asigură că integralele corespunzătoare tind la zero, ceea ce probează continuitatea aplicaţiei s U(s)x în s 0 . Aşadar, {U(s)}s>o este un semigrup tare continuu. Să mai remarcăm că U(s)* = J e - * djE(t) = U(s)'1, s>0 ; R

prin urmare, operatorii U(s) sînt unitari. iTie acum Bx

=

t-i(U(t) - 1 )

=

^t-*(ew -

1) d E ( t )

R

Luînd un şir de numere pozitive t* lim t k-*oo 138

—

0 (cînd

fc

00), avem

1) = i* şi t ^ 1 | eÎT*' - 11 < |«|

pentru fiecare te R fixat. De aici rezultă că şirul {BXkx}k are limită atunci şi numai atunci cînd x e D(iA) = D(A) şi că generatorul infinitezimal al lui {U(s)}s>o trebuie să fie iA (a se vedea şi exerciţiul 3.9.6). Eezultatul care urmează, datoiat lui Stone, arată că orice semigrup unitar este de forma acelora descrise de lema precedentă. 3.7.5. TEOEEMĂ. Fie {U(s)}s>o <=un semigrup unitar. Atunci există o măsură spectrală E : Bor(R) sf(H) astfel încît

R

Demonstraţie. Fie B generatorul infinitezimalalsemigrupului [U(s)}s>o. î n baza propoziţiei 3.6.9, oo

1

(X — B)- X = ^ e- Xs U(s) X d8, xeH,

EeX >0,

(3.7.2)

o

deoarece 6>Q = lim

1&||U($) || = 0 .

s->oo

Aplicînd propoziţia 3.6.9 şi semigrupului unitar {U(s)*}s>o (lema 3.7.3), obţinem relaţia (X +

x = ^

U(s)* xds,

a? e f l , E e X > 0 .

(3.7.3)

Yom defini operatorul A = —\B. Notînd \i — — iX, deducem (pl -

= (-i)-MX - JB)-i - i(X -

B)~\

prin urmare, utilizînd (3.7.2), putem serie oo

1

(pi — A)'

x = i ^ e - ^ U(s)xds,

x e JST, Imţx < 0.

(3.7.4)

Asemănător, dacă jx = iX, atunci (fx — A)" 1 = — i(X + jB)"1 iar din (3.7.3) căpătăm relaţia oo

([X

1

— A)" X — —

U(8)* XDSJ XEH,

lm[x>0.

(3.7.5)

o

139

Vom fixa acum vectorii x,yeH precum şi un număr ţi e C cu I m ţt > 0. Egalităţile (3.7.5) şi (3.7.4) ne permit atunci să scriem oo

x

<(|X - A)~ x,yy

= — i^

= - i ^ e ^ <1700* x,yyds

U(s)yyăs

=<x,(ţL -

=

i^e-*»"

=

U(8)yăsy

A)^yyy

în care am utilizat o variantă (valabilă în spaţii Hilbert) a corolarului 1.1.7. Acest calcul arată că A)-1,

((n - A)-*)* = (Pl - A*)-* = (F -

pe baza lemei 3.1.8. Ultima egalitate ne spune că A* = A, deci operatorul A este autoadjunct. Fie E măsura spectrală a operatorului A. Yom defini, ca în lema 3.7.4, operatorii (unitari) W(s)

dE(t),

0.

R

Ne propunem să arătăm că W(s) = U(s) pentru orice 8> 0 . Fie v > 0 un număr fixat. In virtutea teoremei lui Fubini (exerciţiul 0.6.24), avem următoarele egalităţi: oo

^e

oo

-vs

(W(s) X,

0

ds ^

e -(v-io*

d ( E ( t ) X, »> J d* =

OR

oo

R

0

= <(v — iA)_1 x , y y = -

i<( — iv — A)"" 1 a ? , = ^e-*
în care am utilizat corolarul 3.3.4 şi (3.7.4). Putem scrie deoi că oo

U(s)) o

140

d» = 0, v > 0 .

î n particular, notînd f(t) = e-'<(W r (t) — U{t))x,yy,

putem spune că

e~ntf(t) dt = 0, n = 0, 1, 2, . . .

Lema 3.7.2 ne permite atunci să afirmăm că f(t) = 0 aproape peste tot. Funcţia / fiind continuă, egalitatea f(t) = 0 trebuie să aibă loc pentru orice t > 0 (ca în exerciţiul 3.9.3). De aici deducem că W(t) = U(t) pentru orice tj ceea ce încheie demonstraţia. 3.7.6. OOEOLAE. Fie A e<&(H) un operator autoadjunct. Atunci avem egalităţile oo

([X

1

—A)-

X=

i^e-itAS o

eisA xdsj l m j x < 0 , ([x — A)~xx o

Imtx > 0, oricare ar fi xe H. Demonstraţie. Formulele din enunţ nu sînt altceva decît relaţiile (3.7.4) şi (3.7.5), via lema 3.7.4 (şi notaţia uzuală, introdusă la începutul paragrafului 3.3). 3.8. COMUTAREA OPERATORILOR AUTOADJUNCŢI Fie A si B doi operatori autoadjuncţi, nu neapărat mărginiţi, acţionînd în spaţiul Hilbert H. î n acest paragraf vom încerca să răspundem următoarei întrebări : în ce sens se poate vorbi despre comutarea operatorilor i şi jB! Vom începe cu o caracterizare a comutării operatorilor normali, în termeni de măsuri spectrale. 3.8.1. LEMĂ. Fie e &(H) operatori nvrmali şi fie Ei : Bor( E)) —> s/(H) măsurile lor spectrale ( j = 1 , 2 ) . Următoarele afirmaţii sînt echivalente : (1) jVJ comută cu N2; (S) E^S'W^S") = E^S'^E^S') pentru orice S' e B o r (G(N11 H)) si S"

GBOT(G(N21H)).

Demonstraţie. Fie extinderea trivială a măsurii Ej la Bor(C) [deci jjj^S) = Ej(S fi a(NijH)) pentru orice SeBor(C)]. Presupunînd (2) îndeplinită, vom avea că comută cu jE?2($") pentru orice S" e eBor(C). Este limpede că f^Nj) comută cu f2(N2), oricare ar fi f2 G e Be(C). Folosind densitatea spaţiului Be( C) în B(C) şi continuitatea calculului funcţional cu funcţii boreliene mărginite (corolarul 2.3.7 şi propoziţia 2.1.4), este uşor de văzut că/j(jV"3) comută cu f2(N2) pentru orice f2 G B(C). î n particular, dacă f,(t) = t pentru t e a(NfJ H) şi f,(t) = o 141

dacă

T$ <J(NHH)R

atunci /j(-J^) —

deci

comută cu

N2.

Aşadar r

(2) = > ( 1 ) .

Să presupunem condiţia (1) îndeplinită. Deoarece N2 comută cu Nlr atunci N 2 comută cu orice funcţie continuă de N tJ în baza teoremei 2.4.1 (a se vedea şi corolarul 2.4.3). Fie {fi-i^U^e// măsurile scalare ataşate măsurii spectrale (observaţia 2.2.11.1°), prin urmare
y> = ^

/€ 0(a(jyi, JET)),

A(NV H)

pentru fiecare pereche de vectori x, y e H. Să remarcăm însă că (fiNJN.x,

y> = { N j m x, y> =
Nţy},

ceea ce implică egalitatea de măsuri pi1 = ui* * , în baza teoremei N2%» y xt No y 0.4.19. Folosind această egalitate şi fixînd o mulţime S e Bor( a H))r putem seri® (E^S) X2x, y> = ^

ă'A'.y = ^ Xs M.xŞy = (N.E^S)

=

^

=

x, y>.

Vectorii x, y e H fiind arbitrari, deducem E1(S)N2 = N2E1(S), oricare ar fi mulţimea S e Bor( H)). Fixînd o mulţime S' eBor( a(JNT1, IZ")), raţionamentul se poate repeta, înlocuind pe N2 cu E^S') si pe 3 r 1 cu J\72. Această operaţie ne conduce la concluzia că E}(S')E2(S") = E^A^E^S'), oricare ar fi Bor( G(N2, H))Y ceea ce încheie demonstraţia. 3.8.2. OBSERVAŢIE. Dacă A,B e S?{H) sînt operatori autoadjuncţi şi dacă notăm cu EAJ respectiv EB măsurile lor spectrale trivial extinse la Bor(R), putem afirma că AB = BA dacă si numai dacă EA(S')EB(S")= EB(S")EA(S') pentru orice $"eBor(R)'. Demonstraţia este practic aceeaşi cu a lemei 3.8.1. 3.8.3. DEFINIŢIE. Fie Q un spaţiu topologic şi fie E} : Bor(O) ->s/(H) măsuri spectrale (j = 1,2). Vom spune că EX comută cu E2 dacă E^S') E2(S") = E2(S") Ex(8')J oricare ar fi S" e Bor(Q). Ou această definiţie şi în baza observaţiei 3.8.2, putem afirma ca operatorii autoadjuncţi A, B e J?(H) comută dacă şi numai dacă măsurile lor spectrale EA' şi EB comută. î n cazul în care cel puţin unul din operatorii A, B este nemărginit, relaţia AB — BA trebuie definită cu anumite precauţii şi, după cum vom vedea, nu pe această cale este recomandabil să se introducă ideea de comutare a operatorilor A şi B. Folosind observaţia 3.8.2, este rezonabil să atacăm problema comutării operatorilor autoadjuncţi nemărginiţi prin utilizarea măsurilor spectrale. 142

3.8.4. D E F I N I Ţ I E . Fie A, B e <&(H) operatori autoadjuneţi şi fie J3Aj respectiv EB măsurile lor spectrale. Yom spune că A corrmta cu B -dacă EA comută cu EB. 3.8.5. TEOREMĂ. Fie A, Be^(H) rele afirmaţii sînt echivalente : (1) A şi B comută; (2) există X, {JL G C \ R astfel încît

operatori"autoadjuneţi.

A)'1;

(X - A)-H^ - B)-i = (n - B)-i (X (3) eisA eitB = ei/B eis^ orimre ar / î

Următoa-

^gR.

Bemonstraţie. Este clar că (1) => (2) şi că (1) => (3) deoarece expresiile care apar în (2) şi (3) sînt funcţii continue şi mărginite de operatorii A, B; întrucît măsurile spectrale ale acestor operatori comută, şi funcţiile boreliene şi mărginite de aceşti operatori comută (ca în prima parte a demonstraţiei lemei 3.8.1). Să arătăm apoi că (2) => (1). într-adevăr, operatorii ( X — A ) - 1 şi (pi — jB)-1 sînt normali (lema 3.2.4), deci comutarea lor atrage după sine •comutarea măsurilor lor spectrale, în virtutea lemei 3.8.1. Deoarece măsurile spectrale ale lui A şi B se deduc din măsurile spectrale ale lui (X — A) -respectiv ({jl — B ) - 1 (observaţia 3.2.8) prin relaţii de tipul (3.2.3), (3.2.4) şi (3.2.5), devine clar că şi măsurile spectrale ale lui A şi B comută. î n sfîrşit, să demonstrăm că şi (3) => (2). într-adevăr, să presupunem, pentru fixarea ideilor, că alegem punctele X, JL G C \ R CU ImX < 0 şi Imjji < 0. Atunci oo

x

(X — A)~ x = i ^ e- iXs e is4 x ds. o

(JJL-B)-

x =

oricare ar fi x e H, în virtutea corolarului 3.7.6. Relaţia de comutare de la <2) va fi demonstrată dacă vom arăta că oo

oo

^ e - i X s ehA | ^

oo

eitB

x ă t

j

As

^

oo iXs

X D$

Jd t,

(3.8.1)

143

ceea ce va rezulta din proprietatea de comutare presupusă şi din varianta vectorială a teoremei lui Fubini (pentru detalii se poate consulta [8], 113.11). Să arătăm că această teoremă este aplicabilă într-adevăr, funcţia (8jt)-+ eisAeitBx este continuă pe [0, oo) x [0, oo) deoarece, fixînd un punct (s0J t0)j avem estimarea \\eisA eitB x — &*A e^^lK

\\eitB x — eu*B x\\ +

+ ||(eis^ — eis«A) eu*B x\\; această estimare (împreună cu lema 3.7.4) ne dă continuitatea dorită, întrucît ||E_IXS

E_I|X/

EISA e iTB

^u ^ e(ImX)5 e ^ ^ ' l ^ l l

iar membrul drept este o funcţie scalară integrabilă, rezultă că integrala oo oo

^ ^ e~iXs e~i|A/ eisA xitB xds dt o o

există şi este egală cu oricare din integralele de la (3.8.1). (A se vedea şi exerciţiul 3.9.16.) Pentru alte alegeri ale punctelor X şi u în C \ R se procedează asemănător şi se obţine aceeaşi concluzie. Raţionamentul nostru arată că de fapt putem formula condiţia (2) înlocuind cuvîntul „există" cu expresia „oricare ar fi", cu păstrarea echivalenţei. Demonstraţia este încheiată. 3.8.6. OBSERVAŢIE. Există un exemplu remarcabil, datorat lui Nelson, care arată că folosirea relaţiei AB = BA în definirea comutării operatorilor autoadjuncţi nemărginiţi este improprie. Nelson construieşte un spaţiu Hilbert If, un subspaţiu liniar D dens în H şi operatorii liniari A0 : D D, B0 : D -> D care sînt esenţial autoadjuncţi, adică A0 şi B0 sînt preînchişi şi închiderile lor canonice A, respectiv B sînt operatori autoadjuncţi. î n plus, A0B0x=B0A0x, oricare ar fi x e D. Cu toate acestea, operatorii eisA şi eitB nu comută, deci, în baza teoremei 3.8.5, măsurile spectrale ale lui A şi B nu comută. Pentru detalii privind această construcţie a lui Nelson se poate consulta [14], cap. VIII, § 5.

3.9. EXERCIŢII ŞI COMPLETĂRI 3.9.1. Fie H, K spaţii Hilbert, fie Tt: ZK TJ c: H şi fie T2 => 2\. Arătaţi că T* ^ T*-

K un operator liniar, dens definit

3.9.2. Fie H, K, L spaţii Hilbert, fie Tx : DţTJ c H — K un operator liniar, dens definit şi fie T2e&(K,L). Atunci are loc egalitatea ( r a TJ* = T* T* [completare la lema 3.1.3(3)]^

144

3.9.3. Fie H şi A ca tn exemplul 3.2.2. Vom începe prin a remarca faptul că două îuncţi continue pe R, egale aproape peste tot in raport cu măsura Lebesgue, trebuie să fie egale peste tot, deoarece mulţimile de măsură Lebesgue nulă nu pot avea puncte interioare, deci toate punctele lor se pot aproxima cu şiruri de puncte din afara mulţimii. Din acest motiv, putem identifica o clasă de funcţii egale aproape peste tot care conţine o funcţie continuă cu însăşi funcţia continuă, ceea ce vom face în continuare. Din modul în care este definit subspaţiul D(A) rezultă că acesta conţine spaţiul funcţiilor continue, cu suport compact în R, pe care-1 voin nota cu 1* Arătaţi că spaţiul C«(R) este dens in H = L2(H). Indicaţie. Dacă C 0 (R) nu ar fi dens în II, cu ajutorul teoremei 0.3.11 am deduce existenţa unui element neriul h € H astfel încît f(t) h(t) d/ = 0, f€ C 0 (7f). R Fie [a, fc] un interval compact în R şi fie e > 0. Pentru orice funcţie f e C([o, b]) vom nota cu f e funcţiaj egală cu f pe [a, b], egală cu 0 in afara lui [a — e, b + e] şi prelungită liniar în rest. Atunci U C 0 (R); prin urmare. h(t)h(t)

d/ =- 0.

R

Prin trecere la limită după z obţinem b \l(t)h(t)6t

= 0,/€E C([«,*]),

deci h(t) — 0 aproape peste tot în [a, &J, pe baza teoremei 0.4.19. l)e aici deducem că h(t) = 0 aproape peste tot tn R, ceea ce este absurd. Punctul 1° ne arată că operatorul A este dens definit. 2® Fie f(t) = (1 + t*)'1!*. Arătaţi că / « H, dar că / ţ D(A) ; prin urmare, A nu este definit peste tot în H. Găsiţi un şir {gt}t c: D(A) astfel încît Hptll < 1 pentru orice k, dar \\Agk\\ — oo cînd A' — oo. 3® Arătaţi că A este simetric, deci dacă /KE D(A), atunci /NE D(A*) şi A*li = Ah. 4° Invers, arătaţi că, oricare ar fi /ie D(A*), avem h*= D(A) şi A*h = Ah, adică faptul că A este autoadjunct. 3.9.4. Fie A' un spaţiu Banach şi fie {7Y}* un şir în &(X). Se spune că şirul {7Y}* este tare convergent către operatorul Te &(X) dacă Tkx Tx(k oo) pentru fiecare i e X. Se spune că şirul { 7*}* este slab convergent către operatorul T e St(X) dacă x*(Tt x) x*(Tx) (k —• oo), oricare ar fi x e X şi x*») (k oo) şi I /*()

* =

1,2,3,...

Q

145 10 —

C.

789

este tare convergent (în sensul definit in exerciţiul 3.9.4) către operatorul /(co) dE(co).

n Indicaţie. Folosiţi propoziţia 2.2.12(3) şi teorema 0.4.17. 3.9.6. Fie H un spaţiu Hilbert, fie A s H) un operator autoadjunct şi fie E : Bor(R) măsura spectrală a lui A. Fie, de asemenea, / : R - + C o funcţie boreliană arbitrară şi fie {gt}tczB(B) un şir cu proprietatea că gk(t) -/(O (k - oo)şi |<7*(0l < !/(/)| (k = 1,2, 3, . . . ) pentru fiecare / e R. Fie f(A) operatorul definit prin relaţia (3.3.1). Arătaţi că D(f(A)) = { i e H : lim gk(A)x există in 11} k -+00 .şi că f(A)x == lim gk(A) x, x e D(/(A)). Ou alte cuvinte, definiţia operatorului f(A) nu depinde de şirul de funcţii din B(R) care converge punctual (şi dominat) către funcţia /. Indicaţie. Fie x<= H pentru care şirul {gk(A)x}k este convergent în H. Atunci ^ 1/(012 d<E(/) x, x> = ^ lim| gk(t)|2 d<£(0, x7 x> < R

R

< lim V |flfjt(/)|2 d<£(/)x, x> = lim||0*(A) x!!2 < oo, k-+oo J

&-+OO

R

în baza teoremei 0.4.6; prin urmare, x e D(f(A)). Deoarece j g t f t ) — /*(0l 2 < 4 | / ( f ) l 2 [/* definit în (3.3.1)], în virtutea teoremei 0.4.17 putem scrie lim||0*(A)x - fk(A)x ||2 *-+oo

lim \ | 9k(t) - /*(*)l2 = 0, k-+oo J

R

adică g^A)xf(A)x (k-> oo). Dacă x e D(f(A)), convergenţa şirului {, oricare ar fi x,yeH şi a e C. Fie 7*e un operator simetric cu proprietatea că J(D(T))cz czD(T) şi Tj(x) = J(Tx) pentru oricc x e D(T). Arătaţi că un asemenea operator simetric are întotdeauna o extensie autoadjunctă. Indicaţie. Arătaţi mai întîi că J(D(T*)) cD(T*) şi că T*J(x) = J(T»x) pentru orice x^D(T*). Arătaţi apoi că J stabileşte o corespondenţă biunivocă între spaţiile N(T*-f-i) şi N(T* — i), care păstrează dimensiunea. Afirmaţia rezultă atunci din corolarul 3.4.11. în particular, dacă H = Lr(Cl,\L) (definit la exerciţiul 0.6.23), putem defini conjugarea (naturală) J : H H prin relaţia (J(/)) (co) = /(co) ( e H). în .baza celor discutate, orice operator simetric Te cu proprietatea că T/=r/~[/€= D(T)] admite o extensie autoadjunctă-

146

3.9.9. Folosim notaţia din observaţia 3.5.4 Să definim cantitatea \\l\}0 = limi|x*|lo,

l = {xk}kec(D).

(3.9.1)

A-»oo

1° Arătaţi că limita (3.9.1) există şi are proprietăţile: |j£'-f £"|!o < 11^'iioH- llS"L0 Şi Ilarii® = I a | 11^Oo pentru orice $"€= c(D) şi a e C. Este clar insă că (3.9.1) na este o normă. Avem de fapt egalitatea c0(D) =

c(D):

\\l\\0 = 0}

şi c0(JD) ^ {0}. Fie deci spaţiul factor lt0 = c(D)lc0(D) pe care considerăm aplicaţia (3.5.1). 2° Arătaţi că mărimea c0(D)f!0 nu depinde de reprezentantul £şi că ea defineşte o normă pe H 0 . 3° Arătaţi că aplicaţia D=> x -f c0(H) este o izometrie liniară, deci este, in particular, injectivă. Acest fapt ne permite să regăsim pe JD, printr-o identiiicare, ca subspaţiu liniar al lui i f 0 . 4° Arătaţi că subspaţii.l D (identificat cu subspaţiul ţ c0(D) : x e D}) este dens in H0, 5° Folosind punctul precedent, arătaţi că spaţiul H 0 este complet. 6° Utilizînd faptul că D este prchilbertian, precum şi teorema 0.2.15, arătaţi eă H0 este spaţiu Hilbert, cu produsul scalar dat de (3.5.2). 3.9.10. Fie {a*} w > 1 un şir de numere reale cu proprietatea că a M 4m
n

a« = inf — • »>1

n

Indicaţie. Se utilizează ideca din demonstraţia lemei 3.6.3. 2° Fie B o algebră Banach cu unitate şi fie B. Utilizînd punctul precedent, arătaţi că {lift* II1'*}» este un şir numeric convergent (a se vedea şi exerciţiul 1.7.23). 3.9.11. Să se calculeze generatorul infinitezimal al semigrupului {e*Bj$>e, unde B*=S£(X) (exemplul 3.6.2). Indicaţie. Utilizînd estimarea \]x~\e x B - 1) -

< T- 1 (c t ! | B ' , ! - 1) -

11*11, -T > 0

(a se vedea demonstraţia lemei 3.6.11), se obţine faptul că generatorul infinitezimal al semigrupului este chiar B. 3.9.12. Fie A' un spaţiu Banach şi fie T e lf(-Y). Vom defini numerele v + (T) = Hm s ^lnjle^il), v"(T) = lim s" J (ln\z s T \\). S-»+00 S-+—OO Arătaţi că v ± ( T ) sint limite obişnuite şi că v+(

T) = sup{ Re r : : e
Indicaţie. Faptul că sup {Re z : zte a(T, A ) } < v + ( T ) se obţine din propoziţia 3.6.9. Dacă inegalitatea ar fi strictă, am putea alege un pătrat A cu frontiera T. care conţine pe a(T, X) în interior şi lasă punctul v+(7") de pe axa reală in afară. Atunci, din formula integrală c8T = -i- ^ esz(z - T )

1

dz

T T

se deduce o estimare de forma [|e* |[ < Ce*P , unde C^O şi p < v + ( T ) nu depind de s. Este însă uşor de văzut că această estimare contrazice definiţia numărului v + (T). Toate proprietăţile privitoare la numărul v~( T) se obţin din egalitatea v~( T) = v+(— T).

147

3.9.13. Fie spaţiul Banach X = { f e C([0, 1]) : f(l) = 0}, cu topologia indusă de C([0, 1]). Vom presupune că fiecare funcţie / din X este definită pe toată semiaxa [0, oo), punind f(t) = 0 pentru t^ 1. Vom putea deci considera operatorii

(T(s)f)(t)=f(t+

s), s>L,t

> 0.

1° Arătaţi că familia {T(s))s>o este un semigrup tare continuu de operatori pe X. Indicaţie. Folosind faptul că o funcţie continuă pe un interval compact este uniform continuă ([12], 13.5). 2° Arătaţi că 0 definit în propoziţia 3.6.9). :3° Calculaţi generatorul infinitezimal B al semigrupului {T(s)}s>0 şi arătaţi că aoo(B, X)= =

{oo}.

= r-

Indicaţie. Se va arăta că D(B) = {/*= X : / ' e A'} (unde /' este derivata funcţiei /) si că Bţ =

3.9.14. Fie X spaţiul Banach al funcţiilor scalare, definite în intervalul [0, oo), pe care sînt presupuse a fi mărginite şi uniform continue, cu norma dată de supremum. Fie operatorii (T(s)fX0=

f(t+

s),

0.

1° Arătaţi că {T(s)}$>o este un semigrup tare continuu de operatori pe X şi calculaţi generatorul său infinitezimal. 2° Arătaţi că are loc formula k oo i / s \ f(i + *) = lim £ — — (A<*> /)(0, (3.9.2) T - O , £ 0 k\ \ T ) unde «> / k \ (A<*> tx0 = «r 1. în acest mod obţinem / e X, unde A' a fost definit în exerciţiul anterior. Fie E> 0 şi fie T suficient de mic astfel încît f(s + 0 -

X

- i

m

TT I —

n (0

I

— > 2

(3.9.3)

pentru orice [0, oo) şi s e [0,1], pe baza formulei (3.9.2). Punînd t = 0 şi înlocuind seria din (3.9.3) cu o sumă parţială astfel încît restul să fie majorat de e /2, obţinem un polinom p&(s) cu proprietatea că | f(s) — p«(s) | < £ pentru orice s e [0,1]. 3.9/16. Arătaţi că în demonstraţia teoremei 3.8.5 se poate utiliza următoarea variantă a teoremei lui Fubini: Fie Qj spaţii topologice compacte, fie fi^e M(Clj) ( j = l , 2) şi fie X un spaţiu BanachPentru orice F e Q Q j x £î2> x ) a r e l o c egalitatea ^

co2) d^, X ^ ( c ^ ,
QiXQj

=

\ (S Q2

f(o>i

'

^

)(o>i)=\ A2

(\

f(

dfAi

^)

OL

(Această afirmaţie se obţine din exerciţiul 0.6.24, via observaţia 1.1.8.2°.)

148

dM,2(< 2)

° -

Indicaţie. Se ia spaţiul compact CI = = Q a = [0, oo] (privit ca Închidere a lui JO, oo) fu Coo). Cu notaţia Qin demonstraţia teoremei 3.8.5, vom fixa numerele reale a şi ^ astfel incit lm X < a < 0 şi Im (x<J3<0. Atunci funcţia (, s , /,)v este în C(Q x

H), iar măsurile

(ImX e

e as + 3t e " a ) s ds şi

(ImţA e

eJtB x_ ~ 0 ) ' dt sînt mărginite pe Q.

fie AT = (A\, . . . , A7m) o familie finită de operatori asemenea, B& şi a ^ ca în exerciţiul 2.6.8. variabilele zlf ..., zm şi fie P ( N ) = P(Nlt ..ATm).

3.9.17. F i e / / un spaţiu Hilbert şi normali care comută doi cîte doi. Fie, de 1° Considerăm un polinom P în Demonstraţi egalitatea g(P(K),

II) = P(<jAr).

Indicaţie.

Egalitatea < j P ( G # ) se obţine din propoziţia 0.5.6 şi definiţia mulţimii crjv. Se demonstrează apoi că <jfijsr(P(A'))= <j(P(AT), / / ) , utilizîndu-se tehnica din lema 2.3.3. Anume, incluziunea <j(P(AT), II)cz GBn(P(X)) fiind clară, ne ocupăm doar de incluziunea inversă. Considerăm izomorfismul de C*-algebre O : C(a#) B # dat de exerciţiul 2.6.8. Să presupunem că H) # 0 şi să alegem o funcţie nenulă f e C(<JA') as'fel încît supp / n P 1 (<j(P(Ar), H)) = 0 . Definim apoi funcţia /«(z) = (w — P(z))~ 1 /(z) pentru z e zero în afara mulţimii supp. f. Atunci

unde w ţ P(supp /), extinsă cu uţP(supp

j'W

=

; 1

1

P(AT)) O(0,

/),

wţo(P(N), H)y

•este o funcţie corect definită, analitică in tot planul complex şi nulă la infinit. Aşadar, $ ( / ) = 0 ,
Njt

oN

prin urmare Ej este măsura spectrală a operatorului normal Nj. 3.9.18. Fie H un spaţiu Hilbert şi fie (Al9 . . A m ) c: V(H) o familie finită de operatori autoadjuncţi, care comută doi? cîte doi (în sensul definiţiei 3,8.4). Utilizînd exerciţiul precedent, arătaţi că există o măsură spectrală E : Bor(R m ) s4(H) astfel încît Ajx = lim

\

t) dE(t)x,

xe

D(Af),

lWK* unde

D(A5)=

|X<E

H:

^ «5D<£(0X, x > < o o |

R Aici t = (tlf ...,tm)

(j=

1, . . . , / N ) .

m

este variabila spaţiului R m şi ||/||2 = tj -f ... -f

i2m.

149

Indicaţie. Fie Nj — (i — Ai) - 1 (j = 1, . . . ,m). în baza lemei 3.8.1, sistemul N (=Nlf • • •» Nm) este o familie de operatori normali care comută doi cîte doi. Fie E& : Bor( G (H) măsura spectrală ataşată familiei N prin exerciţiul 2.6.8. Vom defini o aplicaţie t : GN —»• C» (unde C™ — Coo x . . . X Coo de m ori) in modul următor : dacă w = (wl9 . .., wm) €<7jv atunci t(W) = z = (rx, ..., zm), unde Zj = i — WŢ1 dacă Wj # 0 şi Zj=cc dacă Wj = 0., Să remarcăm că de fapt T(ay ) c R J (R™ este închiderea lui R w în C^). Acest lucru rezultă din formula G(NJ, H) = {(i - TI)'1 : U e G^AJ, H)} (teorema 1.6.11) şi din faptul că dacă w = (wly . . . , wm)e 2° din exerciţiul precedent). Vom defini măsura spectrală. h(S) =

GN,

atunci

ws
S e Bor(R*).

Dacă voin arăta că E(Rm) = 1, atunci restricţia E = E J Bor(R w ) va fi tot o măsură spectrală. Să dovedim deci că E(Rm) = 1. într-adevăr,

R<£\RW = ({oo} x RS"1) U ... U (OST1 x {oo}), £(({<x>} X R S " 1 ) U . . . U ( R S _ 1 x {oo})) - 0. De fapt avem mai mult, anume £({oo} X R S " 1 ) = . . . = ^(RS)" 1 x { o o » = 0. Să obţinem, de pildă, egalitatea cu zero la primul caz. Din definiţia lui E rezultă £({oo}x X « S T 1 ) = E y i L J , unde l

J — {(°>

••• > w*n) ^ aji).

Pe de altă parte, dacă Ej este măsura spectrală a operatorului din punctul 3° al exerciţiului precedent rezultă /:,({()}). în sfîrşit, să remarcăm că Ey([0}) = 0, fapt stabilit în demonstraţia propoziţiei 3.2.5. Aşadar, E este o măsură spectrală. Din acest moment demonstraţia afirmaţiilor decurge la fel cu demonstraţia teoremei 3.2.6 (cu modificări minore), ţinîndu-se seama de faptul că

Nj= ^ zjdEx(z)= ^ ( i R* în

baza teoremei 2.2.10.

t^dEO),

...

4. CLASE SPECIALE DE OPERATORI LINIARI

î n acest capitol ne propunem să studiem cîteva clase particulare importante de operatori liniari, între care menţionăm clasa operatorilor compacţi şi pe cea a operatorilor Fredholm. 4.1. OPERATORI COMPACŢI Fie X şi Y spaţii Banach, cu normele || • || x , respectiv || • || r . 4.1.1. DEFINIŢIE. Un operator liniar T : X Y se numeşte compact dacă pentru orice submulţime mărginită M <=. X imaginea ei T(M) cz Y este relativ compactă. 4.1.2. EXEMPLE. 1° Fie q^, . . < p w un număr finit de elemente ale spaţiului X* şi fie yî9 . . . , ym vectori din Y. Vom defini operatorul liniar T.x = £

9k(x)ykJ

xeX.

(4.1.1)

A= 1

Deoarece imaginea lui T este conţinută într-un subspaţiu liniar al lui Y avînd dimensiunea finită (anume subspaţiul liniar generat în Y <Ja către vectorii y19 . . . , ym), iar imaginea oricărei mulţimi mărginite prin T ramîne mulţime mărginită (deoarece m sînt continue), deci relativ com pactă în virtutea unei proprietăţi binecunoscute a spaţiilor de dimensiune finită (a se vedea, de exemplu [4], cap. III, teorema 6.29), rezultă că T este operator compact. Operatorii de forma (4.1.1) se numesc operatori de rang finit. î n particular, operatorul T = 0 : X Y este compact. 2° Operatorul 1 : X X nu este compact, în general. Acest operator este compact dacă şi numai dacă spaţiul X are dimensiunea finită (afirmaţia se poate obţine tot din rezultatul din [4] citat mai sus; a se vedea şi exerciţiul 4.6.2). 4.1.3. LEMĂ. Fie T : X -+Y un operator liniar. TJr mătoareie afifmaţii sînt echivalente : (1) T este operator compact; (2) pentru orice mulţime mărginim M c i , mulţimea T(M) este total mărginită; 151

(3) pentru orice şir mărginit {xk}k cz X, din şirul {Txk}k cz Y se poate extrage un subşir convergent; (4) dam B = {x e X : || x\\x ^ 1} atunci T(B) este mulţime relativ compactă. Demonstraţie. Echivalenţa proprietăţilor (1), (2) şi (3) se obţine uşor din teorema 0.1.14. Este limpede apoi că (1) => (4). Reciproc, dacă T are proprietatea (4) şi dacă M czX este o submulţime mărginită, atunci există un număr r > 0 astfel încît M cz rB = \rx : x e B}. Prin urmare, T(M) cz T(rB) = rT(B) şi ultima mulţime este relativ compactă în baza ipotezei (şi a continuităţii operaţiei de înmulţire cu scalari). 4.1.4. OBSERVAŢIE. Dacă T : X atunci T e<£?(X, Y). într-adevăr, sup{||T^|| y : xeX,

Y este un operator compact,

\\x\\z ^ 1} < oo,

ceea ce rezultă din mărginirea mulţimii (relativ compacte) T(B), B este ca în lema precedentă. Yom face notaţia JT(X, Y) = {T : X

Y : T compact}

unde (4.1.2)

î n baza observaţiei 4.1.4 avem j f ( X , Y) cz Y). Fie Z un alt spaţiu Banach. Dacă SF cz JSffX, Y) şi / c &(Y, atunci F • Sf va desemna mulţimea { T S e j£?(X, Z) : S e TefJ. 4.1.5. PROPOZIŢIE. Mulţimea J f ( X , Y) este un subspaţiu şi închis în &(Xj Y). în plus, avem incluziunile :

Z)y

liniar

J&f( Y, Z) • J f (X, Y) cz j f ( X , Z ) , J f (X, Y) • if(Z, X) c JT (Z, Y). (4.1.3) Demonstraţie. Fie Atunci

T 2 e ^ ( X , Y) şi fie mulţimea mărginită M cz X.

( T t + T 2 )(J»f) c= z y j f ) + T a ( J f ) . Adunarea fiind operaţie continuă în Y, membrul al doilea al acestei relaţii este o submulţime compactă, deci şi primul membru trebuie să fie submulţime compactă. Deoarece stabilitatea clasei j f ( X , Y) la înmulţirea cu scalari este evidentă, j f ( X , Y) este subspaţiu liniar. Să arătăm că familia j f ( X , Y) este subspaţiu închis al lui J£?(X, Y). Fie deci {Tk}k cz j f ( X , Y) un şir care converge uniform către operatorul TgjS?(X, Y) şi fie Jf cz X o parte mărginită. Fie, de asemenea, e>0 şi a = sup {\\x\\x : x e M). Yom fixa un număr natural fc astfel încît lî Tk — T|| < e(l + 2 a ) 1 . Deoarece Tk(M) este total mărginită (lema, 4.1.3), există o familie finită {xly ..., xm} cz M cu proprietatea că sup inf \\Tkx — TKXJ\\Y < e(l + 2a)" 1 .

x£M l<j<m

152

Fie y = Tx un element arbitrar din T(M) şi fie un indice j astfel încît II Tkx — Tkx} \\y < e(l + 2 a ) " 1 . Atunci || Tx - Tx,\\r < II T - Tk\\ || a?|br + II Tkx - Tkx}lY + +|| T - Tk || || x} \\x <

ea(l

+

2a)"1 +

e(l

2a)"1 +

+

e«(l

2a)"1 =

+

s.

Aşadar, mulţimea T(M) este total mărginită, ceea ce asigură compacitatea operatorului T, în baza lemei 4.1.3. Yom demonstra acum relaţiile (4.1.3). Fie T e / ( I , Y) şi 8 e&{Y,Z). Dacă M a X este o parte mărginită, atunci (ST) (M) ci S( T(M)), ceea ce arată că mulţimea (ST)(M) este relativ compactă. Analog, dacă TeJT(X, I"), V e&(Z,X) iar L c Z este mărginită, atunci V(L) este mărginită, deci (TV)(L) = T(V(L)) este relativ compactă. Demonstraţia este completă. 4.1.6. COROLAR. Familia JT(X) = j f ( X , X) este ideal bilateral închis în &(X). Demonstraţie. Faptul că familia J f ( X ) este ideal bilateral în rezultă ca un caz particular al relaţiilor (4.1.3). Rezultatul ere urmează este datorat lui Schauder. 4.1.7. PROPOZIŢIE. Dacă TejT(X,Y), atunci T* e Jf(Y*, X*). Demonstraţie. Yom utiliza criteriul de compacitate Arzela-Ascoli ([8], cap. IY, § 6 ; a se vedea şi exerciţiul 4.6.5). Fie M c= T* o parte mărginită şi fie B cz X ca în lema 4.1.3(4). Considerăm spaţiul metric compact £2 = T ( J B ) , pe care vom defini funcţiile f*(y) =

Este clar că

?(SF),

y e M ,

y

EQ.

e C(f2) pentru orice 9 e M. Avem apoi sup ||/ || = sup sup | 9(y) | < 0 0 , qpeAf

q>€M y e n

deoarece ambele mulţimi M şi Q sînt mărginite. î n sfîrşit, deoarece \ Î M

-

f

M

I =

I

-

ya) I <

s u

P II ? IIII Vi qpGM

-

II»

obţinem faptul că familia { f 9 \ e M este şi egal continuă. î n baza amintitului criteriu Arzela-Ascoli, rezultă că familia este relativ compactă în C(Q). Vom putea arăta acum că mulţimea T*(M) este relativ compactă. Ya fi suficient să arătăm că pentru orice şir {YK}K c= Jf, din şirul {T*Q>K)K se poate extrage un subşir convergent. î n baza primei părţi a demonstraţiei, înlocuind la nevoie şirul iniţial cu un subşir al său, putem presupune că şirul {fvk}k este convergent. Atunci i]

- T*
(T*9K

-

T*Vm)X\

=

| < \\Uk - U J ,

i|*!lx

ceea ce arată convergenţa şirului {T*^}*. 153

4.1.8. GOEOLAE. Dacă X = Y = H, unde H este un spaţiu Hilbertj atunci spaţiul operatorilor compacţi Jf(H) este invariant la involuţia din (fc oo). Fie t?* = || xk II"1 xk. Avem || || = 1 şi (X - T)vk = yk\ || 0 (fc oo). înlocuind la nevoie şirul } Tvk}k printr-un subşir al său, putem presupune că {Tvk}k este convergent. Prin urmare, şirul vk = X_1(y*/ \\xk || + -f Tvk) este convergent către un vector veX. Eezultă că \\v\\ = 1 şi că (X—T)v = 0 , ceea ce contrazice injectivitatea operatorului X — T. Aşadar, muriai prima posibilitate se poate îndeplini, ceea ce implică faptul că i£(X — T) este închis. 4.2.2. DEFINIŢII. Fie Te<#(X). Un număr XeC se numeşte valoare proprie a operatorului T dacă există un vector x e D( T), x # 0, astfel încît Tx = X#. Elementul 0) se numeşte atunci vector propriu al operatorului T, corespunzînd valorii proprii X. Evident, valoarea proprie X este în <J( T, X). 4.2.3. OOEOLAE. Fie T e j f ( X ) şi fie Xe X), X * 0. Atunci X este valoare proprie sau pentru T sau pentru T*. Demonstraţie. Dacă X nu este valoare proprie pentru T, atunci operatorul X — T este injectiv, deci spaţiul 2?(X — T) este închis, în baza lemei 4.2.1. Dacă am avea egalitatea JR(X — T) = X, atunci X — T ar fi inversabil, ceea ce contrazice apartenenţa punctului X la spectru. Avem aşadar J2(X — T) # X. î n baza teoremei 0.3.8 fa se vedea şi observaţia 0.3.9), există un element x* e X*, x* # o, astfel încît x* ]i?(X — T) — 0. Atunci ((X - T*)x*)(x) deci

= #*((X - T)x) = 0 ,

xeX,

este vector propriu al operatorului T* iar X este valoare proprie.

4.2.4. OBSEEYAŢIE. Dacă X = H, unde H este un spaţiu Hilbert, corolarul 4.2.3 se enunţă astfel. Fie T e J T ( H ) şi fie Xe H), X * 0. 154

Atunci sau X este valoare proprie pentru T sau \ este valoare proprie pentru T*. Demonstraţia este practic aceeaşi cu demonstraţia corolarului 4.2.3 şi o lăsăm pe seama cititorului. Fie Y un subspaţiu liniar şi închis al spaţiului Banach X. î n cele ce urmează vom utiliza următoarea notaţie : d{x, Y) = inf \\x —y ||, xeX.

(4.2.1)

yey

Numărul (4.2.1) reprezintă de fapt norma clasei x + Y în spaţiul factor X/T (a se vedea exerciţiul 4.6.6). Rezultatul care urmează este cunscut sub numele de lema lui Riesz (a se vedea şi exerciţiul 4.6.2). 4.2.5. LEMĂ. Fie Y un subspaţiu liniar şi închis al lui X, Y ^ X. Pentru orice e > 0 există atunci un vector x e X astfel încît ||.r|| — 1 şi d(x, Y) ^ 1 — r. Demonstraţie. Fie x0 $ Y. Deoarece Y este închis, trebuie să avem d= d(x0, Y ) > 0. Vom alege apoi un vector y0 e Y astfel încît \\x0 — y0\\ d(l— e)"1 (putem, desigurj presupune că e < 1 deoarece pentru e ^ 1 lema este trivială). Fie xx = x0 — y0. Avem || a^H ^ d(l — s) - 1 şi d(XlJ Y) = inf

- y || = inf ||a0 - y || = d > (1 -

y£Y

yeY

e)

||^||.

Deoarece funcţia (4.2.1) este omogenă pentru scalarii pozitivi, vom putea lua x = X}/11^! ||. 4.2.6. LEMĂ. .Fie T e J f ( X ) şi {X*1* un şir de miori proprii distincte ale lui T. Atunci X* 0 (fc -> cx>). Demonstraţie. Presupunînd că şirul [ X t ] t n u tinde către zero, deducem existenţa unui număr e n > 0 astfel încît, înlocuind eventual şirul {Xj* printr-un subşir al său, să avem \ \ k ] ^ e0 oricare ar fi fc. Fie xk un yector propriu corespunzînd valorii proprii pentru fiecare Ic. Vom nota cu Xk spaţiul liniar generat de familia de vectori [x M . . . , xk}. Deoarece dimensiunea algebrică a lui Xk este finită, spaţiul Xk este închis în X (exerciţiul 4.6.1). Evident, Xk c= Xk+Î. Vom arăta însă că Xk Xk+1. Vom obţine această afirmaţie dovedind prin recurenţă că vectorii xly x2, - - ., xk sînt liniar independenţi. Să presupunem că am arătat liniar independenţa vectorilor ii/jj . . . , xk__x şi sa admitem că am avea xk = x1xl + ... ... + Atunci 0 =

(X* — T)xk

=

a x (X f c -

Xj)^ +

. . . +

— X*^)

xk_^

Deoarece X* — ^ 0 pentru 1 < j < fc — 1, deducem că a,- = 0 pentru orice j, adică xk = 0, ceea ce nu se poate. Aşadar, sistemul de vectori xly .. ., xk este liniar independent. î n baza celor de mai înainte şi a lemei 4.2.5, pentru fiecare fc ^ 2 există un vector yk e Xk astfel încît \\yk || = 1 şi d{yk, X ^ 1/2. Deoarece V* = + • •• + avem (X* -

T)yk

=

Xjt -

Xt)

xx + .. .

155

Aşadar, dacă m!> fc, nzxTym

- -kî'TytW = \\ym - {ym - X " 1 ! ^ + KîTyk)

|| > 1/2,

deoarece ym-'K^1Tym-\-'KklTykeXm_1. Aceasta ne arată că şirul {IXXjrty*)}* nu conţine nici un subşir convergent, cu toate că şirul j X*1?/*}* este mărginit. Contradicţia obţinută ne arată că şirul {X*'* trebuie să conveargă către zero, ceea ce încheie demonstraţia. 4.2.7. LEMĂ. Fie T e Jt(X) şi fie X e a( T, X), X # 0. Atunci X este un punct izolat în mulţimea cr( T, X). Demonstraţie. Dacă punctul X nu ar fi izolat în T, X), atunci ar exista un şir {X*}* <= cr( T, X) astfel încît X* ^ \ m pentru fc # m şi Xfc X cînd fc oo. Există două posibilităţi. 1) Şirul {X*;* are printre termenii săi o infinitate de valori proprii ale lui T. î n acest caz, în baza lemei 4.2.6, un subşir al şirului precedent trebuie să conveargă către zero, deci X = 0, ceea ce nu se poate. 2) Şirul {Xjtjjt nu conţine o infinitate de valori proprii ale lui T. î n acest caz, în virtutea corolarului 4.2.3, şirul {Xj* include o infinitate de valori proprii ale operatorului T*, care este şi el compact (propoziţia 4.1.7). Aplicînd raţionamentul de la primul punct operatorului T*, ajungem din nou la concluzia că X = 0, ceea ce nu se poate. Aşadar, punctul X trebuie să fie izolat în cr(T, X). 4.2.8. LEMĂ. Fie T e j f ( X ) şi fie Xe(X) cz cz D(T) să fie invariant la acţiunea operatorului T şi <J(T, X x ) = [X}. De fapt, P x este ceea ce numim (conform exerciţiului 1.7.21) proiectorul spectral ataşat operatorului T şi mulţimii {X}. Dacă, în plus, spaţiul X x este de Aimensiune finită, atunci X este chiar valoare proprie pentru T. 156

Dimensiunea spaţiului Xx = P-j.(X) va fi numită multiplicitatea valorii proprii X, unde X este o valoare proprie izolată arbitrară a operatorului T. 4 . 2 . 1 0 . T E O R E M Ă . Fie T e JfT(X). Atunci <J(T, X)\{0] este o mulţime cel mult numărabilă de valori proprii ale lui T, de multiplicitate finită, care se pot acumula cel mult în zero. Bacă dim X = oo, atunci 0 e a( T, X). (Aici dim X desemnează dimensiunea algebrică a lui X). Demonstraţie. Lemele 4 . 2 . 6 , 4 . 2 . 7 , 4 . 2 . 8 şi observaţia 4 . 2 . 9 ne arată că mulţimea a( T, X ) \ { 0 [ este formată din valori proprii izolate, de multiplicitate finită, care se pot acumula cel mult în zero. Este uşor de văzut că o asemenea mulţime este cel mult numărabilă (introducînd-o, de pildă, într-o reuniune de pătrate disjuncte, cu coordonate raţionale). î n sfîrşit, dacă dim X = oo şi 0 4 <j(T, X), atunci 1 = T~lT este operator compact, ceea ce nu se poate. Vom încheia acest paragraf cu un rezultat privind operatorii cu rezolvantă compactă (sensul acestei expresii va rezulta din enunţul care urmează). 4 . 2 . 1 1 . P R O P O Z I Ţ I E . Fie Te<$(X) un operator cu proprietatea că (w0 — T)~xejf(X) pentru un punct w04 a( T, X). Atunci <J(T, X) este o mulţime formată din valori proprii izolate, de multiplicitate finită. în plus, operatorul (w — T)"1 este compact, pentru orice w ţ o( T, X). Demonstraţie. Fie A0 = (ic0 — T)~~l. Deoarece mulţimea a(A^ X) este imaginea mulţimii <J( T, X) prin aplicaţia z -> (wQ — este limpede că spectrul a( T, X) nu poate fi format decît din puncte izolate, care se pot acumula cel mult la infinit. Să remarcăm apoi că proiectorul spectral corespunzînd operatorului T şi mulţimii {Xţ coincide cu proiectorul spectral corespunzînd operatorului A0 şi mulţimii {tx}, unde \x = (w0 — X)"1 este valoare proprie pentru A0. Acest lucru rezultă din demonstraţia propoziţiei 1.6.12 [a se vedea formula ( 1 . 6 . 4 ) ] . î n particular, X este valoare proprie de multiplicitate finită. Să mai remarcăm că avem egalitatea (W -

T)-1 -

(w0 -

2 T 1 (1 -

(w -

w0)(w

-

T)"1),

obţinută din ecuaţia rezolvantă. Această egalitate ne arată că operatorul («? — T)1 este compact, oricare ar fi w ţ a( T, X), ceea ce încheie demonstraţia. Operatorii cu rezolvantă compactă se întîlnesc adesea în fizica matematică. Este vorba în special de operatori diferenţiali, ataşaţi problemelor la limită clasice (a se vedea, de pildă, [8], cap. XIX). 4.3. CLASELE SCHATTEN — VON NEUMANN î n acest paragraf vom lucra pe un spaţiu Hilbert II cu produsul scalar <. , .>. Scopul nostru este de a introduce unele subclase remarcabile ale familiei operatorilor compacţi pe H. 157

Reamintim faptul că un operator pozitiv pe H are spectrul -situat în semiaxa reală pozitivă (exerciţiul 2.6.7). De asemenea, G(B, H) către funcţia r?(t,)=tfi2. Deoarece
= j ^ t d . E ( t ) j x = XE({X})#, {X}

{X>

'

de unde rezultă A! HA = X| H}. Deci H> cz — A). Această incluziune este de fapt egalitate. într-adevăr, dacă xeiV(X — A), este clar că şi E(["kl)x e JVr(X — A), prin urmare, ?/ = (1 — E({X) ))x e JT(X - A). P e de altă parte, y e (1 — P>.)(H) si <j(Â, (1 — P-/%)(H)) £ X (ceea ce rezultă din teorema 1.5.2 şi corolarul 1.5.3); prin urmare, din (X— A)y = 0 obţinem // = 0, adică x e i f x . î n sfîrşit, deoarece restricţia operatorului A la spaţiul H~A este operator compact şi multiplu scalar (nenul) al identităţii, va trebui să avem dim H} < oo. 4.3.3. DEFINIŢII. Fie T e JT{H) şi fie A = (l 7 *! 7 ) 1 / 2 . Ştim că mulţimea <j(A, jff)\{0} este cel mult numărabilă şi conţine numai valori proprii de multiplicitate finită ale operatorului A (teorema 4.2.10). î n plus, aceste numere sînt pozitive. Vom aşeza numerele din mulţimea
lema 4.3.2). Vom nota cu J s * ( T ) ] Î L i şirul astfel obţinut, iar valorile sk(T) vor fi numite numerele caracteristice ale operatorului T. Vom fixa un număr p > 0 şi vom defini cantitatea iim, =

( ^ W )

1

^ .

(4.3.1)

Vom nota cu Cp(Ii) (sau simplu Cp) mulţimea operatorilor T e Jf(Jf) cu proprietatea că || T\\p < oo. Familiile de operatori \CP]P>0 vor fi numite clasele Schatten-von Neumann. 4.3.4. LEMĂ. Fie Betf(H) un operator pozitiv. Atunci numărul || B || este valoare proprie a lui B. Demonstraţie. î n virtutea teoremei 4.2.10, va fi suficient să arătăm că ||J3||e g(B, H). într-adevăr, dacă r(B) este raza spectrală a lui B, atunci r(B) =||JB|| [acest lucru rezultă din faptul că aplicaţia (2.2.1) este o izometrie]. Întrucît a(J5, H) este o submulţime compactă a semiaxei pozitive, trebuie să avem r(J3) e a(JB, H). Rezultatul care urmează este cunoscut sub numele de „principiul minim-maxim". El oferă o formulă explicită de calcul pentru numerele caracteristice. 4.3.5. TEOREMĂ. Fie Tejf(H). Numerele caracteristice ale operatorului T sînt date de formula sk+1('T) = min max i| T.r||, k ^ 0. (4.3.2) I

LczH

1

(Aici L desemnează un subspaţiu liniar de dimensiune finită în H). Demonstraţie. Va fi suficient să arătăm că (sk+1( T))2 = min max
k ^ 0,

(4.3.3)

±

dim L ^ H

,

unde B — T*T = A2. Ine ţi* = (sk(T))2. Din teorema de aplicaţie a spectrului (teorema. 1.4.1) rezultă că {fi.*}* sînt valorile proprii ale operatorului compact şi pozitiv B, aşezate în ordine descrescătoare. Să remarcăm că şi multiplicităţile lor coincid. într-adevăr, dacă |a = X2, unde X e g{A, H)\{0}, atunci xm(B) = x{{*,(^2) = întrucît XM (t2) = X{X} (t) pentru t > 0. Dar XW(B) şi X{X}(_A) sînt chiar proiectorii spectrali ataşaţi respectiv operatorilor B şi A şi mulţimilor {ţi} şi {X}, cum rezultă din lema 4.3.2. Vom demonstra egalitatea (4.3.3) ţinînd feeama de această semnificaţie a numerelor ţi* == (sk{T))2. Fie F măsura spectrală a operatorului B. Să remarcăm că şirul stc âe forma H-l =

H-2 =

--•

=

^ 1 +1 = . . . >

••• —

{XnJ,_l + l =

. . . =

> ^«j-fl = \ln p >

•••

=

H*"s >

• ••

. . . *,

prin urmare, şirul {\LHp} este descrescător şi este format din numere distincte. Fie Lp = F({\inp}){H). Avem dim Lp = np —np^î (j)> 1), pe 159

baza observaţiei privind multiplicităţile valorilor proprii ale lui A şi B. Este limpede că Lv _L Lq dacă p ^ q. Yom alege apoi bazele ortonormale {x19 . . . , x^} În Lu {Xn1+1J . . . , x»,} în £ a , {xn+1, ..., xHp} în Lp şi aşa mai departe. Avem deci un sistem ortonormal fa?*}* în H cu proprietatea că Bxk = pikxkJ oricare ar fi fc > 1 (deoarece B\LP = [Lnp\LPJ din lema 4.3.2). Yom demonstra egalitatea [Lk+1 =

max
fc

> 0.

(4.3.4)

Pentru aceasta vom considera spaţiul Hilbert Hk = {x^ ..xk}L. remarcăm că B(Hk) c fl*. într-adevăr, dacă x E HkJ atunci =

=

JJLX^

= 0 ,

j = 1,

Să

. . f c .

Aşadar, restricţia Bk = B\Hk este un operator compact şi pozitiv pe Hk. Fie u* +1 = ||Bfc||. Yom arăta că jî*+5 = într-adevăr, în baza lemei 4.3.4, îLk+1 este cea mai mare valoare proprie a lui Bk. întrucît Bkxk+1 = = Bxk+1 = iXk+î şi xk+1eHk, rezultă [1*+! ^ f^+i- Să presupunem acum > fjLfc+J. Deoarece este valoare proprie şi pentru J3, există un indice np astfel încît ţinp = î n plus, nv < fc. Deoarece Lp = = N(iinp — B) (lema 4.3.2), va trebui să avem Lp n Bk # {0}. Acest lucru nu este cu putinţă deoarece Lp este conţinut în spaţiul genera de ..., spaţiu ortogonal lui H k . Aşadar, trebuie să avem = = 115*11 = [Lk+1. Prin urmare = sup || Bkx\\ ^ sup ^ = *€Hk \XV<1

xGHj. j ;*! i < 1

ceea ce arată că (4.3.4) are loc, supremumul fiind atins. Pentru a obţine formula (4.3.3) vom considera un subspaţiu liniar L c: II eu dim L < fc. Fie Mk+Î spaţiul liniar generat de sistemul ortonormal . . t f j t + i } . Să observăm că LL n {0}. într-adevăr, dacă x = a ^ -f ... + oLk+1xk+1 este un element din Mk+1 şi dacă [;t/3, . . . . . . , ym] este o bază ortonormală în L (m < fc), atunci sistemul de ecuaţi «1

y>> +

••• +

<*A-+1

?/;> = 0 ,

j =

1, . . . , m,

are cel puţin o soluţie netrivială. Există deci un element de forma x0 = = Pi®! + . . . + ^k+1xk+1eLJn Mk+1 cu || x0\\ = 1. Atunci

<

*+i

=

E^ilPil2 i-i

>

*+i

'Xlfrl2 =

=

Să remarcăm însă că sup = max jreL 1 ii^FK1

160

JT6L1 li*ll< 1

jreL 1 l(*ll< 1

a?>,

în care QL este proiecţia spaţiului Hpe i 1 , deoarece QL{B\LL) este un operator compact şi pozitiv pe LL iar supremul este atins, ca în cazul formulei (4.3.4) (din pricina lemei 4.3.4). Aşadar inf

max < Ba?, a?> >

LczH

i

de unde obţinem formula (4.3.3), via formula (4.3.4), aceasta din urmă arătînd că minimumul este atins pentru spaţiul L == Mk. Demonstraţia este completă. 4.3.6. OOEOLAE. Fie T1? T2 g Jf(£T). Atunci numerele caracteristice ale acestor operatori satisfac următoarele estimări : s

S»+m + 1 ( ^ 1 ~f" ^2) ^ ^«+1(^1) +

m +l(T2),

oricare ar fi numerele întregi n > 0, m > 0. Demonstraţie. Utilizînd formula (4.3.2), deducem următoarele estimări : sn+m+i{ Ti + T2) =

min

max || (T, + T2)x\\ <

LczH

I

dim L<*+w

^

min dimV
dim L"<m

max

(|| Txx\\ +1| T2x\\) <

^ ( l / 1ntL") 1 Ml*

< min (max dim U
=

min I/cH '

dîmL
|| Txx\\ + max ||Taa?||) = L xe{W\ 1

li*!!*

II*'!*

max || Txx\\ + /

min

max

X

r//

fw!Vl

|| T2a?|| =

X

dim L"<m

= ^n+lf

T2).

Asemănător, ^ + m + 1 (T x T 2 ) -

min

max || T, T3o?||

Lctt

«czf1

aimL
<

mm

|| T1(T2X)\\ ,.

M

.I

|| T 11

dim L'<» *S(L') n(L") dim L"<wi r^gtO

^

mm L',L"
dim L'<» dim L"<m

max

L

||

T x\\

- — - — - — 2i i

max

L',L"cH

9

X \ \

2 II

WT^TM - — 2 7 " max \\T2X\\ 11

2

1

\\X\\

II ^ II

\\T2x\\ —^ || x\ II

'

161 11 — c. 788

. < /( min

li^ih/ max -—^Ji-1|

dim JL'<» yS(L') o =

»

. mm

'

11\\T22X\ 1

max

r.»** *€(£") x&O

Tj) Sm+i(T2),

deoarece mm LcIi dim L<»

IITiTa^H

^

.

1 2 max—— " ^ mm jl \\T X\\ L
* "

*W0

<

max

dimZ.
„uu m a x Ic// I dim L
(1) (2) (3)

Am ioc

^

»

<

2 "

JLM.. II | / | | n*"

întrucît {L : dim i ^ n) => {T2*(Z) : dim i < 4.3.7. OOEOLAE.

|| T i T o ^ H

——1 2 11 || T2a?||

şi

^(TîWJci1-

estimările

^ ( T ^ - ^ T , ) ) ^ IITx — T21|; s*(TS) < sn(T) \\81|; su(ST) <\\S\\8JLT),

oricare ar fi T, T x , T2 G Jf (ff), £ e J^ H) şi n > 1. Demonstraţie. Deoarece n > 1, corolarul precedent ne permite s& scriem sJTJ

^ s ^ -

T2)+sn(T2);

Folosind şi relaţia simetrică, deducem \sJTJ

-sn(T2)\

<

Ti — T2).

î n baza formulei (4.3.2), avem insă egalităţile : (^(Ti - T2))2 = max <(TX - T2)* (T x - T 2 )*, xeH IWK*

= max || ( T x - T 2 )#|| 2 = || Tx - T2||2, xeH ll*il
ceea ce implica estimarea (1). Pentru a obţine (2), vom scrie 89+1(TS) =

min ma^x LCH

di m L < n x ^ L

^ . < mm

162

max

\\T8x\\

^

II®11II

11

||T>Sa?t| \\Sx\\ -- <

=

< || 01| min

max l ^ j i = || S || sn+1( T),

LcH dim L
J. yeL O

tt IIJl1

pentru w > 0 , în care am procedat ca în ultima parte a demonstraţiei corolarului precedent. Demonstraţia estimării (3) se obţine direct din formule şi va fi lăsata pe seama cititorului, ca exerciţiu. Pentru a obţine unele afirmaţii legate de clasele Sehatten-von î$eumann, vom avea nevoie de cîteva inegalităţi clasice, pe care le vom reaminti în cele ce urmează. Fie {a*] Jli şi două şiruri de numere nenegative. Atunci au loc următoarele inegalităţi: oo

\vp

(

/ oo

\ !//>'/ <»

vW

unde p, p', p" sînt numere pozitive satisfăeind relaţia 1 jp = l / p ' + H- l / P " î oo

(E («* +

\ 1 fp

P»)*J

/ oo

< r

\1 IP

«?)

/ oo

\1//>

+ ( E P?)

(4-3-6>

pentru orice p > 1 ; £ (a, + (3*)* < J] a? + JJ 13?

(4.3.7)

dacă 0 

< (£

dacă 0 < p ^ p'. Inegalitatea (4.3.5) este cunoscută sub denumirea de inegalitatea Holder (a se vedea şi exerciţiul 4.6.8) iar (4.3.6) este inegalitatea Miriko-vski (exerciţiul 4.6.9). Inegalităţile (4.3.7) şi (4.3.8) sînt elementare (exerciţiul 4.6.10). 4.3.8. P R O P O Z I Ţ I E . Clasele {Cp} au următoarele proprietăţi : (1) daca p < j>', atunci Cp a (2) dacă T„ T 2 e C9, atunci Tx+ T2eCp; (3) dacă Tx e Cv, si T2 e Cp„, atunci TXT2 e Cp, unde ljp = ljp' +

W

+

;

(4) dacă T e Cp şi 8 e S£(JB.), atunci ST, TS e Cp. Demonstraţie. Dacă p ^ p', atunci OO \1/P / OO xljp*

(

£ *JLD» J

£ sk(Tf

j

= II T\\r,

I » baza inegalităţii (4.3.8), prin urmare Cp <= Cv-, adică (1).

163

Din corolarul 4.3.6 avem estimările : «2»+i(Ti +

T s K W ^ )

+

W T

) ;

2

+ T2) ^ W ^ i ) + sn+2(T)2. Dacă p > 1, pe baza inegalităţii (4.3.6) obţinem 00 \\/p / 00 \i//>

(

JS (

W

^

+ ( E

O

+

W

J

W ^ ) * )

1

< ' *

= 11

W R I H T

i\\>

+11

+

T

*w»-

Asemănător, T , ) ) " ) " * < || T J p + U

T J , ,

de unde II T i +

«

=

f

(s^T, +

T Z ) Y < 2 ( | | ^ I I , + || T J , ) * .

Aşadar \\T± + T2\\p ^ 2^(11 T J . + II T,IU ceea ce arata că Gp Gp e Gp, adică afirmaţia (2) pentru p > 1. Gazul 0 < p < 1 se tratează în mod similar, înlocuindu-se inegalitatea (4.3.6) cu (4.3.7). Lăsăm detaliile pe seama cititorului. Folosind încă o dată corolarul 4.3.6, obţinem şi estimările $2»+1(^1^2) ^

8

n+i(T1)8n+1(T2)j

Inegalitatea (4.3.5) ne permite atunci să scriem 00 \i//> / 00 \i/p'/ 00

(

£ s2t+1(TxT2r *«0 /

<

£ St+jCTi)1" } £ s \ft=0 H I ^ I U I T J ,/ " . \ * « 0

\i//>"

t + 1

î n mod asemănător,

de unde se obţine I I I V T 2 II,

^ ^ I I ^ I H I T . I ^ .

ceea ce ne arată că şi proprietatea (3) este adevărată. 164

(T2r

) /

=

î n sfîrşit. din corolarul 4.3.7 deducem

n fiT ii* =

< II 011 ( £

= 11 «II n

II TBII, < II T\\p \\S\\ ceea ce atestă valabilitatea ultimei aiirmaţii. 4.3.9. COEOLAE. Clasa de operatori CP este un ideal bilateral în &(H) pentru fiecare p> 0. Demonstraţie. Proprietăţile (2) şi (4) arată închiderea clasei CP faţă de operaţiile de adunare si de înmulţire la dreapta şi la stînga cu elemente din &{H). Dintre toate clasele Cp. cele mai des întîlnite atît în teorie cît şi în aplicaţii sînt (clasa operatorilor nucleari) şi C2(clasa operatorilor Hilbert-Schmidt). Se poate demonstra că relaţia (4.3.3 ) defineşte o normă care transformă clasa Cp într-un spaţiu Banach. Aceste fapte precum şi alte detalii privind clasele CP pot fi găsite în tratatul [8J, cap. XI. 4.4. OPERATORI CU IMAGINE ÎNCHISĂ Fie X şi Y spatii Banach. Pentru simplitate, vom nota cu acelaşi simbkl, anume || • ||, atît norma lui X cît şi norma lui Y. î n acest paragraf vom fi interesaţi de operatorii T Y) a căror imagine R( T) este un subspaţiu închis în Y. Aceşti operatori vor fi desemnaţi sub numele de operatori cu imagine închisă. Există exemple simple de operatori continui a căror imagine nu este un subspaţiu închis (exerciţiul 4.6.11.1°.). 4.4.1. LEMĂ. Fie Te&(X, Y), fie X0 = N(T) şi fie T0:XIX0 Y o aplicaţie definită prin egalitatea T0(x + X0) = Tx pentru orice x e X. Atunci T0 este un operator liniar, injectiv şi continuu. Demonstraţie. Să observăm în primul rînd că X0 este un subspaţiu închis în X (ca fiind nucleul unui operator continuu), deci spaţiul factor XjX0 este un spaţiu Banach (exerciţiul 4.6.6), şi că T0 este o aplicaţie corect definită, deoarece dacă Tx± = Tx2, atunci x1 — x2e X0. Faptul că T0 este operator liniar şi injectiv se obţine cu uşurinţă. Să arătăm că T0 este un operator continuu. î n baza teoremei 0.3.3 va fi suficient să arătăm că T0 este un operator închis. Fie deci {^SLi cz X/X0 un şir astfel încît 5» 5 şi -> y cînd fc oo. Fără a micşora generalitatea (extrăgînd eventual un subşir din şirul iniţial), vom putea presupune || ţk+1 — 5*||< 2~k-2 pentru orice fc > 1. Procedînd ca în exerciţiul 4.6.6, vom putea alege un şir [xk}f=î c= X astfel încît x1 e xk+1 e — ţk şi |\xk+11| < pentru orice fc ^ 1. Atunci seria x1 + x, + ... • • . + #* + • • • e s ^e absolut convergentă către un element x <= X. Deoarece ţk -> x + X0 (fc-> oo), este limpede că trebuie să avem 5 = = x + X0. Aşadar, T0ik = T(x} + .. . + xk) Tx = y (fc oo). Prin urmare, operatorul T0 este închis, deci continuu, fiind definit peste tot. 165

4.4.2. OOEOLAE. Fie TeJ?(X, Y) un operator cu imagine închisă şi fie T0 : XIX0 Y0 cz Y operatorul dat de lema precedentă. unde Y0 — = R( T). Atunci operatorul T 0 -1 : Y0 XjX0 este continuu. Demonstraţie. Operatorul Tj"1 există pe R{ T) în baza lemei precedente şi este închis, ca invers de operator închis. Spaţiul Y0 = R( T) fiind închis, folosind teorema 0.3.3, putem afirma că TQ1 este continuu. 4.4.3. COEOLAE. Fie T e Y) un operator cu imagine închisă. Există atunci o constantă C> 0 astfel încît oricare ar fi y e R[T) să existe, xe X satisfăcînd Tx = y şi |j j?|| < C\\y j|. Demonstraţie. Fie T0 ca în corolarul precedent şi fie C>\\ IV1!! u n număr fixat. Atunci, dacă yeR{ T) si £ = T^1//, avem |j £ i | < f | ! >/jj. Această inegalitate fiind strictă, din definiţia normei pe spaţiul factor (exerciţiul 4.6.6) rezultă că putem alege x e\ astfel încît || a?|| ^ C|| // jj. Evident, Tx 4.4.4. DEFINIŢIE. Fie T e redus al lui T prin relaţia

Y). Yom defini modulul

y(T) = supjy ^ 0 : ||T®|| ^ yd(#, JST(T)), xeX\.

minimal (4.4.1)

Să remarcăm că pentru T = 0 avem y( T) = oo. 4.4.5. LEMĂ. Fie T e£(X, Y). Atunci y ( T ) > 0 dacă şi numai dacă T are imaginea închisă. Demonstraţie. Să presupunem că T are imaginea închisă. Fie G > 0 constanta dată de corolarul 4.4.3. Atunci, oricare ar fi y e R( T), există xe X astfel încît Tx = y şi || Tx\\ > C-11| ®|| ^ O -1 inf \\x + v\\ = G~l d{x, N(T)). veN{T)

1

aici rezultă că y(T) > G" >0. Eeciproc. să presupunem că y(T) > 0 . Fie T0 operatorul dat de lema 4.4.1. Deoarece T0 este injectiv, operatorul TQ1 există pe R{T) şi este închis. Luînd un număr pozitiv y < y( T), din definiţia modulului minimal redus rezultă || Ta?|| ^ yd(x,

T)) = y|| x +

T) ||, x e X;

prin urmare || To\ Tx) || = || * +

T) || ^ y""11| Tx ||,

deci operatorul TQ"1 este mărginit. Operatorul To 1 fiind închis şi mărginit, domeniul său de definiţie R( T) trebuie să fie un subspaţiu închis în Y, deci T are imaginea închisă. 4.4.6. OBSEEYAŢIE. Dacă T e £{X. Y) este un operator cu imagine închisă, atunci avem egalitatea y(T) = j| TQ1 ||_1, unde T0 este operatorul din corolarul 4.4.2. într-adevăr, prima parte a demonstraţiei lemei 4.4.5 şi alegerea constantei G în demonstraţia corolarului 4.4.3 ne arată că y(T) ^ sup [O -1 : C > | | To"1!!! = II To"1!!"1. 166

Partea a doua a demonstraţiei lemei 4.4.5 ne spune că || To"11| ^ inf fr-i : ^ < Y( T)J - y( T) 4.4.7. LEMĂ. Fie Y) un operator cu imagine închisă. Dacă X1 =3 Y( T) este un subspaţiu închis în X, atunci T{X±) este închis în Y. Demonstraţie. Deoarece Xt este închis în X, spaţiul factor XJN{T) este închis în X[N(T) (exerciţiul 4.6.6.3°). î n virtutea corolarului 4.4.2. operatorul T0 : X/JVr( T) 22 ( T) este un izomorfism topologic. De aici rezultă că T(Xx) = T^XJFi T)) trebuie să fe închis în 22( T), deci în Y. 4.4.8. PROPOZIŢIE. Fie T e Y) un operator cu proprietatea dim Y!R( T) < oo. Atunci T are imaginea încinsă. Demonstraţie. Yom arăta mai întîi că există un subspaţiu liniar M C: Y cu dim M = dim YjR( T), astfel încît 22( T) + M - Y şi R(T) n TJ»! a spaţiului Y/22(T). n Jf = {0}. într-adevăr, fie o bază {T^, Vectorii ^ fiind de forma y} + 22( T) (j = 1, . . . , m), fixînd ^ e ^ , vom arăta că sistemul de vectori . . . , y m \ este liniar independent în Y. într-adevăr, o combinaţie liniară de forma + . . . + cLmym = One conduce la relaţia 04 r^ + . . . + oLmrim = 0 deci trebuie să avem 04 = . . . . . . == am == 0. Fie M spaţiul generat în Y de sistemul de vectori {y^ . . . • • Vm\' Fie y e Y un vector arbitrar. Deoarece y + R(T) = •.. • • • + Krimj atunci y — Xl?/1 - . . . — Xmym e R( T), deci y e M + + 22( T). Apoi, dacă y e 2?( T) n M şi dacă y = [X^ + . . . + JJ.^», atunci + . . . + \imrim = 0, deci u^ = . . . = = 0, adică y = 0. Deoarece dim ilf < 00, rezultă că M este subspaţiu închis în Y (exerciţiul 4.6.1). Yom considera spaţiul Xx = X x M şi vom defini un operator T1:X1-+Y prin relaţia Tx({x, v)) = Tx + v (x e Xx v e M). care este continuu şi surjectiv. ceea ce se verifică uşor. Mai observăm că JV^Tj) = = JV(T) X (0}.' Deoarece X x [0] o N( Tx), subspaţiul T^X x }0>) = = T(X) este închis în Y în baza lemei 4.4.7, ceea ce încheie demonstraţia. 4.4.9. PROPOZIŢIE. Fie TtS£{X, Y) un operator cu imagine închisă. Atunci T* .£?( Y*, X*) este un operator cu imagine închisă. Demonstraţie. Yom arăta egalitatea JR(T*) =

a*(x) - 0 ,

xe

2T(T)Î,

(4.4.2)

de unde va rezulta, în particular, că R( T*) este un subspaţiu închis [membrul al doilea din (4.4.2) fiind subspaţiu închis]. Fie x* eR( T*), deci x* = T*y* pentru un vector y* e Y*. Atunci, oricare ar fi x e JV( T), avem x*(x) = T*y*(x) = y*( Tx) = 0 ; prin urmare, x* aparţine spaţiului din membrul al doilea al relaţiei (4.4.2). Reciproc, fie x* e l * astfel încît x*(x) =0 pentru orice x eN(T). Yom nota Y0 = R( T) c Y şi vom defini o funcţională liniară yŞ pe Y0 punînd y*(Tx) = x*{x) {xeX). Definiţia este corectă, deoarece, dacă Txx=Tx2, atunci x1 — x2 e N( T), deci = x*(x2). Fie G> 0 o 167

constantă ca în corolarul 4.4.3. Pentru fiecare y e Y0 vom alege un x e X astfel încît y = Tx şi \\x\\ ^ 0||y||. Atunci \y*0{ Tx) \ = \x*(x)\ < 011®* || || Tx|| şi relaţia se extinde prin continuitate la subspaţiul închis Y0, ceea ce demonstrează c ă e YJ. î n virtutea teoremei 0.3.8, există o funcţională* y* e Y* care extinde funcţionala y*. Din acest motiv, vom avea (T*y*)(x) =y*(Tx)

=y$(Tx)

= a*(x),

xeX,

adică T*y* = x*, ceea ce încheie demonstraţia egalităţii (4.4.2) şi deci a propoziţiei. 4.4.10. OBSERVAŢIE. Fie Te&{X,

Y). Este uşor de văzut că

N( T*) = {y* e Y* : y*{ Tx)

=

0,

# G

X],

Lăsăm verificarea acestei egalităţi pe seama cititorului. 4.4.11. LEMĂ. Fie Te
Y) un operator cu imagine

R(T)={yeY:y*(y)

= 0,

y*eN(T*)}.

închisă. (4.4.3)

Demonstraţie. Dacă y G JB( T), atunci y = Tx pentru un x e X. Prin urmare, pentru orice y* eN{T*) avem y*(y) =y*(Tx) = T*y*(x) = 0. Reciproc, dacă t / e l are proprietatea y*{y) = 0 pentru orice e eN(T*), presupunînd că y ţ R( T) am putea construi un element y* e GY* astfel încît y*\R(T) = 0 , dar ^ o (teorema 0.3.8). Atunci y* eN(T*)j pe baza observaţiei 4.4.10; prin urmare y*(y) = 0 , ceea ce nu se poate. Aşadar, avem egalitatea (4.4.3). 4.5. OPERATORI FREDHOLM Ca şi în paragraful precedent, X şi Y vor fi două spatii Banach. 4.5.1. DEFINIŢII. Un operator T * Y) se numeşte Fredholm dacă dim N(T) < oo si dim Y/R( T) < oo. Definim indexul operatorului Fredholm T prin egalitatea ind( T) = dim N( T) - dim Y/R( T). 4.5.2. OBSERVAŢII. 1°. Dacă T e S£{X, Y) este un operator Fredholm, în baza propoziţiei 4.4.8 operatorul T are imaginea închisă. 2° Dacă X şi Y sînt spatii de dimensiune finită, atunci, oricare ar fi T G X, Y), avem ind( T) = dim X — dim Y. într-adevăr, dacă Xx este un complement al spaţiului X0 = N( T), atunci Xx este izomorf cu Yx = R( T). Considerînd un complement Y0 al lui 168

Y2 §i Y (a se vedea demonstraţia propoziţiei 4.4.8), vom avea dim Y0 = = dim YJR( T). Aşadar ind( T) = dim JC0 — dim Y0 = dim JL0 + dim Xx — dim Y0 — — dim Yx = dim X — dim Y. Acest lucru ne arată că operatorii Fredholm sînt lipsiţi de interes în spaţii de dimensiune finită. Ei devin interesanţi în spaţii de dimensiune infinită. 3° Orice operator invei sabil este operator Fredholm, avînd indexul zero. î n particular, identitatea pe un spaţiu Banach este operator Fredholm de index zero. Operatorul identic nul este Fredholm dacă şi numai dacă spaţiile între care acţionează sînt de dimensiune finită. 4.5.3. LEMĂ. Fie Te&(X, Y) un operator injectiv, cu imagine închisă. Dacă T eJ?(X, Y) are proprietatea că || T — T|| < y(T), atunci T este injectiv, cu imagine închisă. Demonstraţie. Fie 8 = || T — T|| şi fie y > 0 astfel încît 8 < y < y(T). Deoarece T este injectiv, din (4.4.1) deducem că || Tx\\ oricare ar fi x eX. Să observăm că \\Tx\\

>

\ \ T X \ \ - U T - T)X\\

>(Y-*)iU'll,

XBX.

De aici rezultă că T este injectiv, şi y( T) > 0. î n consecinţă, T are imaginea închisă, în virtutea lemei 4.4.5. Jb.5.4. LEMĂ. Fie Te&(X, Y) un operator surjectiv. Dacă T e &(X,Y) şi || T — T || < y( T), atunci şi T este surjectiv. Demonstraţie. Fie 8 = || T — T|| şi fie r>y(T)~1 astfel încît < 1 Yom fixa un vector y e Y. Atunci există xx e X astfel încît Txx = y si IKII oo). Prin trecere la limită vom obţine deci Tx ceea ce ne arată că operatorul T este surjectiv. 4.5.5. OOEOLAE. Fie Te&(X,Y) un operator bijectiv. Dacă T e Y) are proprietatea || T — T|| < y(T), atunci T este şi el bijectiv. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă prin combinarea lemelor 4.5.3 şi 4.5.4. Eezultatul care urmează este cunoscut ca lema lui Auerbach. 169

4.5.6. LEMĂ. Fie X 0 un subspaţiu liniar al spaţiului Banach X cu dim X0 = n < oo. Există atunci o bază ..., xn] a lui X0 şi un sistem de funcţionale liniare {
X^)^

+

. . . +

X»(Sf)ffc,

cu G C. De fapt aplicaţia y -> este o funcţională liniară (din unicitatea reprezentării) şi continuă pe X 0 (exerciţiul 4.6.3) pentru fiecare indice j. Vom defini o funcţie continuă F : X© C (X£ fiind produsul cartezian X0 X . . . X l 0 de w factori) prin relaţia ---,»«.) = det( X ; ( 2 / * ) ) ? , 6 JC0, j == 1, . . . , unde „det" înseamnă determinant. Fie = {t/ e X0 : \\ y || = 1}. Deoarece dim X0 < 00, mulţimea 80 este compactă (fiind închisă şi mărginită). Atunci şi mulţimea 8g este compactă în XJ. Funcţia F fiind continuă, vom putea alege vectorii x} e 80 ( j = 1, . . . , n) astfel încît |F(X19

xn)\ = s u p | F ( y „ . . . , y , ) | > 0 . 1

Fixînd o asemenea familie x19 ..., F ( X l y

=

'

xnJ vom putea defini aplicaţiile

Xj+19

' "

? a î w )

Fix» . . . , XN)

^ e J

0

, j = l , . . .

w.

Evident, pentru orice j. î n plus, tyj sînt aplicaţii liniare şi = 0 pentru j ^ fc, ceea ce rezultă din proprietăţile elementare ale determinanţilor. în sfîrşit, II

M =

s u p i tyj(x) 1 = 1

=

II®,II,

j = 1, 2, . . . ,

»,

din modul în care am ales vectorii Xj. Vom extinde aplicaţiile liniare la întreg spaţiul X, cu păstrarea normei, obţinînd (respectiv) elemente
X0, X 170

G

X.

Este uşor de văzut că P2x = Px pentru orice x G X, deci P este proiecţie (evident, pe X 0 ) . î n plus,

i=1

deci | | P | | < n. 4.5.8. LEMĂ. Fie X 0 , Xx două subspaiii închise ale spaţiului Banach X astfel încît X0 n Xx = [0}, X0 + Xl = X si dim X 0 < oo. Fie apoi T } e l f ( X h Y) 0 = 0 , 1). Vom defini operatorul T e Sf(X, Y) prin relaţia T(x0 + xt) = T0x0 -F- Txx± (x() G X 0 , G .Xj). Atunci avem egalitatea dim Y( T)/Ax( Tx) + dim R( T)[B( Tx) = dim X 0 . Demonstraţie. Deoarece orice x e X se reprezintă în mod unic sub forma x = x0 + xx cu xs eXs(j = 0,1), operatorul T este corect definit: Aplicaţia P 0 : X -> X0 dată de P0x = x0 (x e X) fiind proiecţie continuă a lui X pe X0 (exerciţiul 4.6.13), rezultă că operatorul T = T0P0 + + Tx{\ — P0) este continuu. Din faptul că dim X0 < oo, obţinem că şi dim R{ T)0 < oo. Yom scrie R( T0) = -f. unde = R{ T0) n R{ Tx) iar N2 este un. complement al lui în JB(T0); în particular, Nx n = [0}. Evident, R{ T) = R(TX) + N2 n B(TX) = {0], deci cîtul R( T)(R( Tx) este algebric izomorf cu JV2. î n particular, dim R{T)IR(TX) = d i m J V 2 . Fie apoi M1 = T^i^). Kotînd cu M2 un complement al spaţiului n T0\N2) în ToHN,), în baza egalităţii X 0 = T^W + T«HN2) decit obţinem Mx + M2 = X0 şi Mx n = x0)*- M a i T0 : M2Z> e .W2 este izomorfism. într-adevăr, dacă T0x'2' = 0, unde 1 atunci x'2' G I V ^ ) = Jf 1? deci = 0. P e de altă parte, N2 <="i?(T0), deci aplicaţia este surjectivă. Fie acum x = x0 + xx G N{ T), unde x0 = x'Q -f cu G Jlf x , x'0' G Jf 2 , ^ GX x şi T0XQ + T0x'0' + Txxx = 0. De aici rezultă x'0' = 0 (pe baza faptului că T0 : M2 N2 este izomorfism). Aşadar, avem egalitatea N(T) = {xi + x± : XQ G -M^, x1eX1,

T0x{'0 + Txxx = 0 } .

Dacă vom considera aplicaţia liniară S : R { T X ) d a t ă de S( Txxx) = xx + IF( T,) pentru xx G XX (a se vedea şi lema 4.4.1), deducem că spaţiul ^(TJ/JV^Tj) este izomorf cu spaţiul {{—ST0x'0,

xl) : x'0 G Mx} c= (XJNiTJ)

X Jfx

prin aplicaţia x'* + x1 +

Tx) -> (-ST0x'0,

x'0)y x^ + xxe N( T).

Este însă clar că spaţiul {(— ST0 x'Q, x'0) : x'0 G Mx} este izomorf la rîndul său cu Mx; prin urmare, dim T)jJSf{ Tx) = dim Mx. Ţinînd seama şi de faptul că dim R{T)IR{TX) = dim Y 2 = dim M2 (obţinut anterior)^ afirmaţia lemei se deduce cu uşurinţă. î n continuare, un operator T construit ca mai sus va fi numit extensie a operatorului Tx în sensul lemei 4.5.8.

4.5.9. TEOREMĂ. Fie T e Y) un operator Fredholm. Atunci există un număr 8 > 0 astfel încît dacă T e Y) satisface estimarea II T - T|| < 8, rezultă că T este Fredholm, dim N(T) ^ dim N(T), dim Y (R(T) < dim Y R(T) şi ind(T) = ind(T). Demonstraţie. Deoarece operatorul T este Fredholm, subspaţiul N — N(T) este de dimensiune finită; în plus, există un subspaţiu de dimensiune finită M c Y astfel încît R(T) + M = Y şi R{T) n M = = {0}. Mai mult decît atît, dim M = dim Y/R( T) (a se vedea demonstraţia propoziţiei 4.4.8). Fie P o proiecţie a spaţiului X pe N (corolarul 4.5.7) şi fie Xx = (1 — —- P)(X). Definim apoi spaţiul X2 = Xx x M şi considerăm operatorul T2 : X2 Y dat de relaţia T2((X, V)) = Tx + V, xeX„

veM.

Operatorul T2 este bijectiv. într-adevăr, dacă y e Y, atunci y = Tx0 + + v cu x0 eX şi v e M. Dacă x = (1 — P)x0, atunci Tx = Tx0, deci T2((XJ V)) = TX0 + ^ = adică T2 este operator surjectiv. Apoi, dacă Tx + v = 0, avem Tx = 0 şi 0 = 0. Deoarece T\Xx este injectiv, rezultă că x — 0 dacă x e Xx. Aşadar, T2 este şi injectiv. J?ie T e £?{X, Y) un operator arbitrar. Să definim operatorul T2 : Y prin relaţia T2((X,

v)) =

f x + v, x e X x ,

veM.

Să remarcăm că avem evaluarea II T2 - T J =

sup || Tx - Ta?|| ^ || T — T||. \H*>V))\<1

Prin urmare, dacă || T — T|| < 8 cu 8 > 0 suficient de mic [de pildă, putem lua 8 ^ y(T 2 )], atunci şi operatorul T 2 este bijectiv, pe baza corolarului 4.5.5. Să presupunem că o asemenea condiţie este îndeplinită. Fie Tx operatorul T ] ^ . Atunci T2 este o extensie a operatorului Tx în sensul lemei 4.5.8 (în care identificăm pe Xx cu Xx X {0] şi pe M cu {0} X M). î n virtutea, lemei 4.5.8 vom putea» scrie dim N( T2) JN(%) + dim R( T 2 )/S('T 1 ) = dim M. Ştim însă că dim N( T2) = 0, deci dim N( Tx) = 0 ; de asemenea, R( T2) = = Y, deci dim Y/R( f x ) = dim ML Să remarcăm că şi operatorul T poate fi privit ca o extensie a operatorului f x în sensul lemei 4.5.8. Putem scrie deci dim

T)IN(%)

+ dim R( T)JR( Tx) = dim N.

Deoarece ^ ( T ^ = [0}, avem de fapt dim N( T) + dim R( T)IB(Tt) 172

= dim N.

(4.5.1)

întrucît dim Y/R( fx) = dim M şi dim Y[R{ T±) = dim Y/J2( T) + dim R( f)/J2( Tx), ceea ce rezultă dintr-un argument algebric simplu, vom putea scrie dim M == dim

— dim

T) + dim YjR{ T),

(4.5.2)

de unde ind( T) = dim N(T) — dim Y/B( T) = dimJV" — dim M = ind( T). Din relaţia (4.5.1) deducem că dim N(T) ^ dim N iar din relaţia (4.5.2) se obţine dim Y[R(T) ^ dim M, ceea ce încheie demonstraţia. Teorema 4.5.9 este cunoscută ca teorema de stabilitate a indexului operatorilor Fredholm la perturbaţii mici. Ea exprimă, în particular, faptul că familia operatorilor Fredholm este o mulţime deschisă în spaţiul «£?(X, Y). Mai mult decît atît, se pot găsi estimări mai precise pentru numărul S din teorema 4.5.9 în funcţie de datele iniţiale (exerciţiul 4.6.16). Ne vom ocupa în continuare de proprietăţile de stabilitate ale clasei operatorilor Fredholm la perturbaţiile compacte. Yom începe printr-o caracterizare a operatorilor Fredholm. 4.5.10. TEOEEMĂ. Operatorul Te&(X,Y) este Fredholm dacă şi numai dacă există S» S2 e JS?( Y, X), E1ejf(X) şiK2ejf(Y) astfel incit J3±T = + şi TS2 = l r + K2, unde 1A, lr sînt identităţile pe X, respectiv pe Y. Demonstraţie. Yom arăta mai întîi suficienţa condiţiilor. Yom presupune deci că există operatorii 8XJ S 2 , Kly K2 cu proprietăţile menţionate şi să arătăm că operatorul T este Fredholm. Yom admite, prin absurd, că dim(JV(T) = oo. î n baza lemei 4.2.5, vom putea atunci găsi un şir c N(T) cu || xk\\ =51 pentru orice fc şi cu || xk — xm\\ > 1/2, ori de cîte ori fc # m. î n particular, şirul {#*}* nu conţine nici un subşir convergent. Pe de altă parte, putem scrie eă 0 = 8xTxk = xk + Kxxk; operatorul K± fiind compact, din şirul {Kîxk}k se poate extrage un subşir convergent, deci şirul {xk}k are un subşir convergent. Această concluzie este absurdă; prin urmare, dim T) < oo. Vom arăta apoi că imaginea lui T este închisă. Să admitem că acest lucru este fals. Atunci există un şir yk = Txk (fc = 1, 2, . . . ) astfel încît yk 0 iar || xk + N( T) || = 1 (adică operatorul T0 din lema 4.4.1 nu are invers continuu). Să observăm însă că S^jk = 81Txk = xk + Etxk -> 0(fc -> oo) şi CĂ şirul {K1xk}k are un subşir convergent (deoar.ece || xk + + ^ * ( î , ) | | = l , reprezentanţii xk pot fi aleşi astfel încît ^3/2). Yom putea presupune, extrăgînd eventual un subşir, că xk e X(fc -> -> oo), î n plus, Txk = yk-*> Tx0 = 0, adică x0 e N(T). Acest lucru este imposibil întrucît || xk + JST(r)||= 1 || x0 + T)|| = 1. Aşadar, spaţiul R(T) trebuie să fie închis. î n sfîrşit, să arătăm că dim Y[R( T) < oo. Dacă nu ar fi aşa, aplicînd din nou lema 4.2.5 în spaţiul Y[R( T), am putea găsi un şir {•/)*}* <= Y[R( T) ce nu ar conţine nici un subşir convergent, cu || TQ* || = 1 pentru orice fc. Să alegem apoi un vector yk e r\k astfel încît ||y*|| ^ 3/2. Avem egalitatea 173

T8xyk = yk+K2yk, iar şirul {K2y^ k are un subşir convergent. Atunci şirul y)k — —K2yk + R(T) conţine un subşir convergent, ceea ce este absurd. Conchidem că operatorul T este Fredholm. Invers, să presupunem că operatorul T este Fredholm. î n particular, spaţiul R(T) este închis. Fie P o proiecţie a spaţiului X pe spaţiul de dimensiune finită T) si fie Q o proiecţie a spaţiului Y pe R( T) (exerciţiul 4.6.15). Fie apoi Tq ( l x - P)(X) R{ T) operatorul T\{lxP){X). Operatorul T0 are un invers continuu pe care-1 vom nota cu 80. Fie, în sfîrşit, 8 = S0Q. Atunci vom avea ST = 80QT0(1X - P) = 80T0(1x

- P) = 1 x -

P

Şi

TS = T0(lx - P) 80Q = T0S0Q = Q= LR - (LR - 0), iar operatorii K x = —P şi K 2 — Q— l r sînt compacţi deoarece sînt de rang finit (exemplul 4.1.2.2°), avînd ca imagini spaţii de dimensiune finită. Demonstraţia este completă. 4.5.11. COEOLAE. Fie Te&(XjY) un operator Fredholm. Atunci oricare ar fi K e j f ( X , Y), operatorul T + E este Fredholm. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din aceea că dacă T satisface condiţiile teoremei 4.5.10, atunci T + K satisface condiţiile acestei teoreme. Lăsăm verificarea acestui fapt simplu pe seama cititorului. Demonstrăm acum stabilitatea indexului la perturbaţii compacte. 4.5.12. TEOBEMĂ. Fie T e Y) un operator Fredholm. Atunciy pentru orice K e JT(X, Y), operatorul T + K este Fredholm şi ind ( T + K) = = ind(T). Demonstraţie. Faptul că T + K este Fredholm rezultă din corolarul precedent. Ya trebui deci să arătăm doar că ind( T + JBL) = ind( T). Pentru aceasta vom considera funcţia T(s) = T + sK, unde 0 ^ s ^ 1. î n baza corolarului precedent, operatorul T(s) este Fredholm, oricare ar fi s. Deoarece || T(s) — T\\^ dacă parametrul s este suficient de mic vom avea ind(T(s)) = i n d ( T ) , în virtutea teoremei 4.5.9. î n baza aceleaşi teoreme, funcţia s ind( T(s)) este continuă pe intervalul [0, 1]. Valorile acestei funcţii fiind numere întregi şi neexistînd salturi datorită continuităţii, va trebui să avem egalitatea ind( T(s)) = ind(T). î n particular, ind( T + K) = ind( T), ceea ce încheie demonstraţia. 4.5.13. PEOPOZIŢIE. Dacă Te&(X, Y) este un operator Fredholmy atunci T* eJ*?(Y*, X*) este un operator Fredholm şi ind(T*) = —ind(T). Demonstraţie. Fie Sly S2, Kly K2 operatori cu proprietăţile din teorema 4.5.10. Atunci T*8ţ = lx* + K* şi 8$ T* =1Y* + K f , unde K*, K* sînt compacţi (propoziţia 4.1.7). Teorema 4.5.10 ne asigură atunci că operatorul T* este Fredholm. Folosind relaţia (4.4.2), observaţia 4.4.10 şi notaţia şi afirmaţiile din exerciţiul 4.6.14 şi 4.6.17, vom avea N(T*) =R(T)± X*jR{T*) 174

~ (Y/i?(T))*,

=X*/N(T)±

~

N{T)*,

Tindea înseamnă izomorfism. î n particular, dimJV(T*)= dim Y/2î(T) şi dim X*jR(T*) = dim3T(T), fiind spaţii de dimensiune finită. Aşadar, ind(T*) = — ind(T) şi demonstraţia este completa. Este adevărată şi afirmaţia inversă, pe care o vom obţine în continuare. 4.5.14. PROPOZIŢIE. Fie Te&(X9Y). Dacă T* este operator Fredholm, atunci şi T este operator Fredholm. Demonstraţie. Yom folosi faptul că spaţiile X şi Y pot fi privite ca subspaţii închise în X**, respectiv Y** şi că operatorul T** este în acest caz o extensie a operatorului T (exerciţiul 4.6.18). Să arătăm mai întîi că imaginea operatorului T este închisă. Acest lucru se va obţine printr-o mică modificare a unei părţi din demonstraţia teoremei 4.5.10. Anume, presupunînd că R(T) nu este închis, deducem existenţa unui şir cu yk = TxkJ astfel încît yk -> 0 (fc-> oo) dar || xk + N{ T) || = 1 . î n puls, şirul {xk]k poate fi presupus mărginit. Operatorul T* fiind Fredholm, rezultă că şi operatorul T** este Fredhom (propoziţia 4.5.13); prin urmare, există operatorii Sxe &(Y**, X**) şi Ex e e j f ( X * * ) astfel încît SXT** = 1**+ E 19 unde este identitatea pe X** (teorema 4.5.10). Atunci, cu identificările menţionate la începutul demonstraţiei, S^u = fi^T**^ = xk + Exxk pentru orice fc. Deoarece SiVk 0 (fc -> ooj şi [E^t) k are un subşir convergent, şirul {xk]k va trebui să aibă un subşir convergent. înlocuind deci pe k printr-un subşir al său, putem presupune că xk x0 e X(fc oo). Ca şi în demonstraţia teoremei 4.5.10, obţinem, pe de o parte, că xe e N( T), iar, pe de altă parte, că || x0 + ^ ( T ) | | = 1 . Această contradicţie arată că R( T) trebuie să fie subspaţiu închis. Deoarece X*/i2( T*) şi N( T*) sînt spaţii de dimensiune finită, din relaţiile de dualitate folosite în demonstraţia propoziţiei 4.5.13 obţinem şi finitudinea spaţiilor N( T) şi YjR( T), ceea ce încheie demonstaţia. Enunţînd concomitent propoziţiile 4.5.13 şi 4.5.14, obţinem următorul rezultat. 4.5.15. TEOREMĂ. TJn operator T e Y) este Fredholm dacă şi numai dacă adjunctul său T* este Fredholm. In acest caz avem egalitatea ind( T*) = —ind(T). O consecinţă importantă a rezultatelor din acest paragraf este ceea ce numim alternativa lui Fredholm, utilizată în rezolvarea ecuaţiilor integrale. Alternativa lui Fredholm, în forma sa abstractă, se enunţă astfel: 4.5.16. PROPOZIŢIE. Fie EejT(X)

un operator fixat şi fie ecua-

ţiile (1) x -Kx

= y, (1*)

- E*x* = y*,

undey eX şiy* e X* sînt vectori daţi iar x e X şi x* e X* sînt necunoscute. Fie şi ecuaţiile omogene asociate (2) v - Ev =

(2*)

- E*v* = 0. 175

Atunci sau ecuaţiile (1) şi (1*) admit soluţii unice pentru orice vectori daţi y şi y*, în care caz ecuaţiile (2) şi (2*) admit doar soluţia trivială, sau ecuaţiile omogene admit soluţii nenule, numărul soluţiilor liniar independente fiind finit şi acelaşi pentru ambele ecuaţii. In al doilea caz, o condiţie necesară şi suficientă pentru ca ecuaţiile (1) şi (1*) să admită soluţii este ca y să se afle în nucleul tuturor soluţiilor ecuaţiei (2*) şi y* să conţină în nucleul său toate soluţiile ecuaţiei (2). Demonstraţie. Fie T operatorul 1 — E. î n baza teoremei 4.5.12 operatorul T este Fredholm şi ind( T) = ind(l) == 0. î n particular, dim N( T) = = dim XjR( T). Sînt posibile două situaţii. (a) Operatorul T este inversabil. Atunci şi operatorul T* este inversabil şi ecuaţiile (1) şi (1*) au soluţii unice date de x=T~ly şi, respectiv, x* = T* hj*. î n particular, ecuaţiile (2) şi (2*) admit numai soluţia trivială. (b) Operatorul T nu este inversabil. Atunci 2T(T) # [0}. într-adevăr, dacă N(T)={0}j atunci dim X[R(T) = 0, deci R(T) = X, adică T ar fi inversabil, contrar ipotezei noastre. Să remarcăm că dim

T*) = dim(X/JR( T))* = d i m XJR{ T) = d i m N{ T)

(a se vedea demonstraţia propoziţiei 4.5.13), deci ecuaţiile (2) şi (2*) au soluţii netriviale şi numărul de soluţii liniar independente este acelaşi pentru ambele ecuaţii. î n sfîrşit, pentru ca (1) şi (1*) să aibă soluţii este necesar ca y e e R( T) şi y* e R( T*), ceea ce este echivalent cu faptul că y e{veX

: y*(v) =0,

y* e N( T*)}

Şi

y* e

E X* :

v*{y)

= 0 ,

y e N(

T)},

pe baza relaţiilor (4.4.3) şi (4.4.2). Acest fapt nu exprimă altceva decît ultima parte a afirmaţiei noastre. Demonstraţia este completă. Yom încheia acest paragraf menţionînd că se poate dezvolta o teorie de acest tip şi pentru operatori închişi, nu neapărat mărginiţi. O asemenea teorie nu este însă esenţial mai generală decît cea prezentată aici, deoarece cazul operatorilor nemărginiţi poate fi redus, printr-un anume artificiu, la cazul mărginit (exerciţiul 4.6.19). 4.6. EXERCIŢII ŞI COMPLETĂRI 4.6.1. Fie Y un spaţiu liniar normat. Vom nota cu dim Y dimensiunea algebrică a spaţiului liniar Y peste corpul complex (pentru detalii privind dimensiunea algebrică recomandăm lucrarea [4], cap. III, § 4). Ducă n — dim Y < oo, este binecunoscut faptul că spaţiul Y este izomorf algebric si topologic cu spaţiul euclidian Cw (a se vedea [5], cap. III, teorema 1.2.1). Fie A' un spaţiu Banach arbitrar şi fie Y cz X un subspaţiu liniar, cu dim Y <00. Folosind rezultatul enunţat şi faptul că spaţiul Cw este complet, arătaţi că Y este un subspaţiu închis al lui X .

176

4.6.2. Fie X un spaţiu Banach. Arătaţi că dim X < oo dacă şi numai dacă orice mulţime mărginită din X este relativ compactă. (Acest rezultat este datorat lui F.Riesz.) Indicaţie. După cum s-a menţionat la exerciţiul precedent, dacă n = dim X < oo , atunci X este izomorf algebric şi topologic cu spaţiul C* iar compacitatea mulţimilor mărginite şi închise se obţine în acest caz din lema clasică a lui Cesâro ([12], 6.16). Reciproc, dacă dim X = oo, in baza lemei 4.2.5 rezultă că există un şir {^Jfcî^j czX cu ||x*|| = 1 şi ||x» — XTOII^ 1/2 (k ^ m) pentru orice numere naturale k şi m, deci şirul {x*}* nu poate conţine nici un subşir convergent. Şirul { x ^ se construieşte inductiv, folosindu-se faptul că un subspaţiu de dimensiune finită este automat închis (exerciţiul 4.6.1), condiţie cerută pentru aplicarea lemei 4.2.5. 4.6.3. Fie X, Y două spaţii, normate, avind fiecare dimensiunea finită. Arătaţi că orice aplicaţie liniară T: X —• Y este continuă. Indicaţie. Se arată mai întîi că orice aplicaţie liniară 9 : C n C este continuă. într-adevăr, dacă {e 3 , . . . , « » } este baza canonică a spaţiului C w [deci e / = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) cu 1 pe poziţia JJ, atunci sv vede uşor că |
Cn este o aplicaţie liniară, atunci avem reprezentarea n

£ 9j(x)er

y=i

cw

>

unde 9^ : Cm —• C sînf aplicaţii liniare, deci continue în baza primei părţi. De aici rezultă că T este aplicaţie continuă. în sfirşit, dacă T : X Y este o aplicaţie liniară iar X şi Y J n t spaţii normate de dimensiune finită, utilizarea izomorfismului menţionat în exerciţiul 4.6.1 reduce prolema continuităţii lui T la cazul precedent. 4.6.4. Fie A' un spaţiu normat de dimensiune finită (deci A este complet în baza exerciţiului 4.6.1). Arătaţi că pentru orice T e spectrul a(T, X) este format numai din valori proprii. Indicaţie. F i e X e a(T, X). Dacă operatorul X — T ar fi injectiv, atunci dim R(k — 7 ) = = dim A (deoarece imaginea unui sistem liniar independent printr-un operator injectiv este tot un sistem liniar independent), deci ar trebui să avem R(X — T) = X. Aşadar, operatorul X — T ar fi inversabil, ceea ce nu se poate. 4.6.5. Fie Q un spaţiu metric compact. Reamintim că o familie & cz C(Q) se numeşte egal continuă dacă pentru orice e > 0 şi orice punct co 0 e O există o vecinătate V 0 a lu i co0 astfel încît | /(co) — /(w0)L < E, oricare ar fi QG V0 şi / E 0. Arătaţi că orice familie 0 cz C(Q) egal continuă şi mărginită este relativ compactă (în legătură cu propoziţia 4.1.7). Indicaţie. Este suficient să se arate că din orice şir {fn^^i ci & se poate extrage un -subşir convergent (teorema 0.1.14). Spaţiul O fiind metric şi compact, există o submulţime «umărabilă {G)*}^^,. densă în Q. Şirul {tn(°^i)}n fiind mirginit, din el putem extrage un subşir {/i«( w i)}« convergent. Din şirul {fin(<»>2)}n extragem apoi subşirul convergent {/2»(co2)}«. Procedeul •se continuă şi ne conduce la un şir de funcţii gn = fnn> extras din şirul iniţial, convergent în fiecare punct co*. Fie e > 0. Există <*v . . . , 6 > j > e Q şi Vj vecinătate a lui c5/ astfel încît | f(o>) — f() ~ 9n(<*) \ < £ dacă n ^ n(s), m ^ 1, co = Q. Aşidir, gn g= C Q ) (n 00 ). Invers, st poate arăta că o iamilie 0 cz C[Q) relativ compactă este mirginită ş i ega 1 continuă (rezultat pe care nu-1 folosim). Mii mult decît atît, taptul (presupus pantrn sim> litate) că O este spaţiu metric nu este esenţial. Aceste afirm iţii formîi? 1 cunoscutul criteriu de com pacitate datorat lui Arzela-Ascoli (pentru detalii trimitem la lajrar&i [8J, ci?.' IV" , §6).

177

4.6.6. Fie X un spaţiu liniar şi fie Y un subspaţiu liniar al lui X. Reamintim că spaţiul factor (sau spaţiul cit) X/Y este o mulţime ale cărei elemente sînt claselc de echivalenţă modula Y, adică mulţimile de forma * + Y = {x + y : y e

Y}, x e

X,

care se poate organiza ca spaţiu liniar, cu operaţii naturale (a se vedea [5], cap. I, § 1.6)* Să presupunem că A" este un spaţiu Banach şi că Y este închis în X . Vom defini mărimea || .x + l r îj = inf O .x + y\\ = d(x, Y), x e X.

(4.6.1)

yGY

1° Arătaţi că relaţia (4.6.1) defineşte o normă pe spaţiul factor XjY. 2® Arătaţi că spaţiul factor A / Y , dotat cu norma (4!6.1), devine spaţiu Banach. Indicaţie. Fie {£*}* un şir fundamental in norma (4.6.1), format din elemente ale spaţiului X/ Y. înlocuind la nevoie şirul {£*}* printr-un subşir al său, vom putea presupune că — < 2~*~ 2 pentru orice k. Vom lua un reprezentant arbitrar x t e iar pentru k ^ 1 vom alegexjt+1e £*4l — astfel încît !!»* +1 || < 2"*' 1 . Atunci seria x x + x 2 + . . . -f xjc + . . . este absolut convergentă în spaţiul X . Fie x suma acestei serii. Definind clasa \ = x + Y, avem £ cînd k oo, deci spaţiul XjY este complet. 3° Fie A 0 cz X un subspaţiu liniar, închis în X, astfel încît X0 => Y. Arătaţi că A 0 / Y este un subspaţiu închis în A/Y. Indicaţie. Procedînd ca la punctul 2°, dacă {£*}* este un şir din A 0 / Y convergent în X / Y , atunci suma seriei xY -f x 2 -f . . . trebuie să fie un element din Ar0, deci limita şirului {£*}* e s ^ e în X Q IX. 4.6.7. Fie H un spaţiu Hilbert şi fie A ' e # ( / / ) un operator compact şi normal. Fie lr| t^Ve/ ult numărabilă de valori proprii distincte, nenule ale lui N (teorema 4.2.10). Dovediţi existenţa unei familii de proiecţii {Pj\jej C : J4(H) C U următoarele proprietăţi: 1° N\Hj— Xj, unde II j~ P}{H) pentru orice j e J ; 2 e PjPk = 0 dacă j ^ k; 3° N = £ XjPj,

jej convergenţa avînd lcc în topologia uniformă a spaţiului 4® fiecare vector x e II se poate scrie a s t f e l :

*= Po*+ £ PJ*> Jej P 0 este proiecţia lui H pe nucleul operatorului AT. Aceasta este o variantă a teoremei spectrale (teorema 2.3.6), valabilă pentru operatorii normali care slnt şi compacţi. Indicaţie. Fie E măsura spectrală a lui X şi fie Pj proiectorul spectral ataşat valorii proprii Aj (prin c< rolarul 1.5.3). Argumentul din lema 4.3.2 (în care pozitivitatea nu joacă nici un rol) ne arată că Pj ~ E({-kj}) si că Pj{H) este chiar nucleul operatorului Xj - AT, oricare ar fi j e J. în particular, au loc afirmaţiile 1° şi 2°. JFie apoi I cz J o familie finită de indici. Se vede uşor că unde

I j P j ii2 0 şi fie ct = {Xe <j (N, JV =

adică

178

H) : | X | < s } . Atunci

\

X d E ( \ ) = lim ( \ X d£(X) +

J

- M J

afirmaţia 3°.

V

} = V

)

&

X^,

(folosind

Dacă P0 = £({0}), atunci P0 este proiecţia lui H pe nucleul lui N. într-adevăr, dacă x = P0x, atunci Nx = NPşx = 0, iri baza calculului funcţional cu funcţii boreliene. Invers, dacă x se află în nucleul lui N, atunci Pfx = 0, oricare ar t i j e J (căci NPjX = 0 = XjP/x). Prin urmare, * = E({0})x. Reprezentînd mulţimea
0,

0

<4-6 2>

+

într-adevăr, considerind funcţia /(/) = tp>)p' + tp"\p" ( / > 0) şi observlnd că \\l) < 0 dacă t < 1, /'(/)> 0 dacă t > 1 şi că f'(\) = 0 fiind derivaţi lui f), deducem că / are un minim l/p î/p tn t = 1. Scriind că ftl) = 1 < f(a "b~ ')9 obţinem inegalitatea (4.6.2). Se aplică apoi (4.6.2) numerelor «=«»(ş «rr

1

^

,

*= w ş

wrl,p";

insuBiind după indicele k, se obţine (4.3.5) pentru acest caz. Cazul general se reduce la cel precedent, observîndu-se că 1 /(p'/P) + 1/(P"/P) == 4.6.9. Demonstraţi inegalitatea (4.3.6) (inegalitatea lui Indicaţie. Se poate presupune p > 1. Se scrie £ ( « , + .3*)* = £ k k

Minkouski).

+ .V"-1 + £ k

+ !VP"1

şi se aplică inegalitatea lui Holder [cu p' = p şi p" — p/(p — 1)] fiecărei sume din membrul al doilea al acestei egalităţi.

a>

4.6.10. Demonstraţi inegalităţile (4.3.7) şi (4.3.8). Indicaţie. Inegalitatea (4.3.7) se obţine din faptul că (a -f- b)* < aP + bp pentru orice 0, b ^ 0 şi 0 < p < l . Pentru inegalitatea (4.3.8), se observă că

(£<«?/£ °VP'IP)VP' < <£ «px °.»J'P' = k m k m 4.6.11. Fie X = C<[0, 1]) şi fie T e

(27)00 = J r ( / ) d / ,

definit prin relaţia

X,

0 < s < 1.

(4.6.3)

o 1* Arătaţi că operatorul T nu are imagine închisă. Indicaţie. Se vede uşor că /?(?) = {/«= *:/'<= X, /"(0) == 0}. în plus, R(T) c X 0 = ( f e X : /(0) = 0} ( X 0 este închis în X), R(T) este dens in X 0 (consecinţă a teoremei de aproximare a lui Weierstrass), dar R(T) ^ X0. 2° Arătaţi că operatorul T este compact. Indicaţie. Fie I c X o familie mărginită. Atunci familia 0 = T(9) este mărginită şi egal continuă, deci este relativ compactă (exerciţiul 4.6.5). Operatorul (4.6.3) se mai numeşte operatorul Volterra. Acesta poate fi definit ş i pe alte spaţii de funcţii, de pildă pe spaţiile Banach L?([0, 1], ţx) (1 < p < oo). 4.6.12. Fie X şi Y spaţii Banacb. Un operator T «= St(X, F) se numeşte aplicaţie chisă dacă imaginea oricărei mulţimi deschise din X este o mulţime deschisă în Y.

des-

179

Fie T e i?(A, Y) cu R(T) = Y. Arătaţi că T este aplicaţie deschisă. (Acest rezultat este? cunoscut ca teorema aplicaţiei deschise şi este datorat lui Banach). Indiiaţie. Dacă G cz X este deschisă, atunci G 0 = { x + N(T) : x e G} este deschisă în XlK(T). *ie T0 : XjNiT) Y definit ca în corolarul 4.4.2. Atunci Te are invers continuu; prin uimare, mulţiirea T(G) = T0(G0) este deschisă. 4.6.13. Fie A' un spaţiu Banach şi fie Xlf A 2 subspaţii liniare, Închise în X, astfel încî£ A = A j -f Ar2 şi A j f| = {0}. In particular, fiecare x e A se scrie în mod unic sub formai x = x1 -f- x 2 cu x , e A, şi x s e A 2 . De aici rezultă că aplicaţia PjX = x1 ( x e A) este liniară ş i satisface ecuaţia = Px. Cu alte cuvinte, Px este o proiecţie a lui A pe Xv Arătaţi că P 3 este o proiecţie continuă. Indicaţie. Se utilizează teorema 0.3.3. Aplicaţia P 3 se numeşte proiecţia spaţiului A pe spaţiul Xt paralelă cu spaţiul X2. 4.6.14. Fie A un spaţiu Banach de dimensiune finită. Arătaţi că dim A* = dim X. Indicaţie. Se aplică lema 4.5.6 spaţiului A'0 = A . Funcţicnalele date de această lemă formează o bază a spaţiului X*. 4.6.15. Fie A un spaţiu Banach şi fie Y un subspaţiu liniar şi închis al său, astfel încît n = dim A / Y < oo. Arătaţi că pentru orice e > 0 există o proiecţie Q a lui A pe Y astfel Încît IIQH < n + 1 + e. Indicaţie. Fie sistemele de vectori . . . , H*} c= XjY şi {€>ly . . .,
x e A,

defineşte o proiecţie a lui A pe Y cu llQll < n + 1 + 4.6.16. Yom folosi notaţia din enunţul şi demonstraţia teoremei 4.5.9. Fie Q : Y —• R(T) o proiecţie cu ||Q|| < m + 1 + e, unde m = dim Y/i?(T) şi s > 0 este un număr dat (exerciţiul 4.6.15). Este limpede că putem lua M = (1 —Q)(Y) în demonstraţia teoremei 4.5.9. Ne? propunem să găsim o estimare pentru y(T2) în funcţir de y( T), m şi n = dim N. Să remarcăm că putem presupune ||P|1 < n (corolarul 4.5.7.) Să mai kixăm un număr r > y(T)"1. Fie i/e Y arbitrar. Avem y = yx -f z/2, unde R(T) şi ifee M. Aşadar, ||i/2I| = H(1 — - Q)y\\ < IU - 611IIVL!. 1° Analizînd indicaţia de la exerciţiul 4.6.15, arătaţi că || 1 — Q|| < m + e. Să reţinem, aşadar, că ||i/ 2 || < (m + e)lly||. 2° Arătaţi că există un vector x 2 e Xx astfel încît Tx2 = yx şi || x21| < r(n + 1 )(m + 1 -fH- e)ll^llaici rezultă tl

î/a) li < (r 2 (n 4- 1 ) 2 ( m + 1 +

£)

2

+ (m + e ) 2 ) 1 / 2

||.

d

3 Deoarece T 2 ((x 2 , ij2)) = y, deduceţi din 2° că y ( T 2 ) > (Y(T)-2(n + l) a (/n + l) 2 + m2)"1/2.

(4.6.4)

în particular, dacă mărimea \\T — T|| este strict mai mică decît membrul drept al relaţiei (4.6.4), atunci pentru T au loc toate afirmaţiile teoremei 4.5.9. 4° Dacă A si Y sînt spaţii Hilbert, arătaţi că T ( r a ) > y( T ) (i + r COT 1 /* . 4:6.17. Fie X un spaţiu Banach şi fie A'e un subspaţiu liniar, Închis în A. Vom face notaţia A ^ = { x * e A* : x * | A e = 0}. Mulţimea Xq1

IM

este un subspaţiu închis al lui A* numit ortogonalul spaţiului A § .

l f Arătaţi că dualul spaţiului X 9 este izorr.orf cu spaţiul factor A*/A^* iar izomorfismul este chiar izometrie. Indicaţie. Pentru fiecare (x) =
(4.6.5)

1° Arătaţi ca (4.6.5) dcfir.cşte o ncin ă pe aţiiîl liniar D(T), care devine astfel spaţiu Banach. Fie XT spaţiul D ( T ) detat-cu r e m a (4.C.5). F/udent, XT, Y); în plus, dacă T este Fredholm, rtunci el csle Fredholm şi ca ejerator ccntinuu de la AŢ în y . 2° Fie T e ^ ( A , Y) m c j eri.ter FrcdfccJm. Arătaţi <â exista un iu măr l> 0 cstfelîncît, dacă T :D(T) -+ Y este un operater liniar cu proprietatea că sup || Tx — Tx|i <

[l*j|r
atunci T este Fredlio'm, d m A \ 1 ) < dim A ( 7 ) . c m Y :R{T) < dim YIR{T) si ind(T) = = iirdţT). 3° Fie T e ¥ ( A , Y) şi fie KGX(X9 Y). Arătaţi atunci că avem K\XT €= X(A>, Y)4° Fie T c ¥(X, Y) v.n eperate r Fredholm şi fie K<~X(A, y). Atunci operatorul T -f K este Fredholm şi ii d(T -f K) = ind(T). Pentru fiecare eperater A, Y), dcmeniul de definiţie D(T) este algebric izomorf cu graficul G(T) cz A X y. Noima (4.6.5) induce şi o identificare topologică a celcr două mulţimi. 4.6.20. F i e A un spaţiu Banach şi fie X«=i£(A). Problema subspaţiilor invariante la acţiunea operatorului T înseamnă găsirea acelor subspaţii liniare şi închise Y cz X cu proprietatea T(Y) cz Y. Sînt, desipur, interesante spaţiile invariante Y care sînt netriviole (deci {0} # ^ y # X). Această problemă nu are întotdeauna soluţie (un exemplu de operator fără subspaţii invariante netriviale a fost construit de C. J. Read). In cele ce urmează vem schiţa dcmenstiaţia vnui rezultat afirmativ în această direcţie» rezultat datorat lui V. Lcmonosov (a se vedea [13], pag. 219, pentru detalii). Fie T e J T ( A ) , T ^ 0 , şi fie CT = {Vg#(A) : VT = TV}. 1° Arătaţi că CT este o subalgebră închisă a algebrei Banach &(X).

161

2° Fie N=N(T). Atunci V(N) cz N, oricare ar fi F e C j . Aşadar, dacă N {0}, atunci JVeste subspaţiu invariant netrivial pentru orice V e C p . Vom presupune In continuare că N ~ {0}, deci că T este injectiv. Fie xQ e X un vector cu proprietatea că II 7*x0H> |ir||. Vom nota cu S0 mulţimea { x e X : j| x — x 0 || < 1}. 3® Arătaţi că inf {|| T x | | : x e £ „ } > 0. Fie K = T(,S'0). Deoarece T este compact, mulţimea K este compactă în X. D i n 3 # rezultă că 0 ţ K. Vom discuta în continuare două posibilităţi: (a) Există un vector yB e K astfel încît \\Vy9 — x 0 | | > 1, oricare ar fi V e Ci». Vom considera mulţimea A'o = (Vi/ 0 : V
pentru y

= max {0, 1 - |j T§) -

x 0 ||}, f,(y) =

9)(y)l

( ]£ g j y ) \k=l

K şi j = 1, . . . , m , care sînt evident continue. Fie apoi m

G(y)=

£ fl(y)V}y, y=i

y
6° Demonstraţi incluziunea G(K) c: S 0 . Se consideră apoi aplicaţia F = G • T. în baza punctului 6°, avem F(S0) c: S 0 . Mulţimea F(S0) fiind compactă (din cauza compacităţii lui T), ne situăm Î11 condiţiile u n e i bine cunoscute teoreme de punct fix a lui Schauder (a se vedea, de pildă, [15], propoziţia 3.60), care afirmă existenţa unui punct i>0e S0 astfel încît F(v0) = v0. Definim apoi operatorul m

T. =

£

U(T»o)VjT.

7 a Arătaţi că T 0 e J f ( X ) 0 Qr> şi că 1 este valoare proprie a lui T0. în particular, AT0 = a- 2Vr(l — T6) este un subspaţiu invariant netrivial al lui T, avlnd dimensiunea finită. Din 7® şi din faptul că T este injectiv, rezultă ca T|A r 0 are cel puţin o valoare proprie nenulă, pe care o notăm cu X. 8® Arătaţi dkN\— N(\ — T) este un subspaţiu invariant netrivial pentru orice V e Cy. Concluzie. Fiind dat un operator V e SB(X) cu proprietatea dkVT — TV pentru un anume T&df(A), T # 0, atunci V are cel puţin un subspaţiu invariant netrivial.

5. APLICAŢII

î n acest capitol vom prezenta, în scop ilustrativ, cîteva din numeroasele aplicaţii ale teoriei operatorilor liniari. 5.1. ECUAŢII INTEGRALE Yom lucra în spaţii de (clase de) funcţii măsurabile (egale aproape peste tot) al căror modul la pătrat este o funcţie integrabilă în raport cu măsura Lebesgue sau pe intervalul [a, b'\ (—00
a

a

în baza inegalităţii lui Schwarz; prin urmare, integrala (5.1.1) există. Avem apoi bb \\TKH\\2

W)d*j2ds

< IIXII 2 II feII2,

• a in baza teoremei lui Fubini, deci || T£\\ ^ \\K\\.

183

5.1.2. OBSERVAŢIE. Fie funcţiile fk{s) = sk, a ^s fc = 0,1, 2, . . . Familia {/*}*>o este un sistem liniar independent în H, deoarece polinoamele nenule au doar un număr finit de zerouri. î n plus, spaţiul generat de {fk}k este dens în H. într-adevăr, în baza teoremei de aproximare a lui Weierstrass, funcţiile continue se pot aproxima uniform pe [a, ft] cu polinoame. Dacă / e H este o funcţie ortogonală pe spaţiul polinoamelor, atunci / trebuie să fie ortogonală pe spaţiul funcţiilor continue, deci / trebuie să fie nulă aproape peste tot, în baza teoremei 0.4.19. Aplicînd procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt (exerciţiul 0.6.9), vom găsi o bază ortogonală {e*}*>0 a spaţiului H formată tot din polinoame (cum se poate constata uşor, prin inducţie). 5.1.3. LEMĂ. Fie ejk {#, t) = e}(s) ek(t)y j,fc^ 0, s, te [«,&]. Atunci familia {e}k\j, k>o este o bază ortonormală a spaţiului L2([a, b] x [a, &J). Demonstraţie. Să remarcăm că b

b

a

a

de unde deducem că (e}k1 ePiy = 0 dacă (j, fc) # (p, q) şi <e)k, ejky = 1 Aşadar, {e3k}j, este sistem ortonormal. Fie acum F e JD2([a, b)] X [a, 6]) astfel încît , fe], în virtutea teoremei 0.5.9. î n sfirşit, teorema 0.4.19 ne spune atunci că F trebuie să fie nulă aproape peste tot. Aceasta ne arată că subspaţiul generat de sistemul ortonormal {eJk}j,k> o trebuie să coincidă cu întreg spaţiul Z2([>,&] X [a, b]). 5.1.4. LEMĂ. Operatorul TK este compact. Demonstraţie. Fie o baza ortonormală obţinută în lema 5.1.3. Atunci avem reprezentarea K=

£

j, *=o

dată de teorema 0.2.11. Să definim funcţia Kn = £

<JT, eJky ejkeL*([a, 6)] X [a, 6]) 0

şi fie Tn operatorul integral generat de nucleul integral Kn(n = 0 , 1 , 2 , . . . ) Fiind operator de rang finit, operatorul Tn este compact. P e baza lemei 5.1.1 avem |jT* - Tn\\ <|[JC

- J C . I I o o ) ,

ceea ce asigură compacitatea operatorului TK, în baza propoziţiei 4.1.5. 184

5.1.5. LEMĂ. Fie KeL*([a, fc] x [a, fc)] şi fie Kf(s,t) = K(t,s), s, te [a, fc]. Atunci operatorul integral generat de nucleul integral K* chiar operatorul T*. Demonstraţie. Să remarcăm că pentru orice /, g e H avem b b b 6 = ^ K(s, t)f(t) Atlfi) 9(s) am

a

a

în baza teoremei lui Fubini; prin urmare b ( 9 ) (s) = [ K*(s, t) g(t) dt, g eH. Vom trece acum la enunţarea şi demonstrarea unor rezultate privind ecuaţiile integrale de un anume tip. Yom începe cu o variantă a alternativei lui Fredholm : 5.1.6. TEOREMĂ. Fie K e X2 ([a, fc] X [a, fc)], fie K*(s,t) = K(t,s) (s, te[a, fc]) şi fie TK, SK, operatorii integrali generaţi de nucleele integrale Kj respectiv K*. Să considerăm ecuaţiile integrale (1)

n -

piT k ji = f , a * ) ^

-fir^

=/*,

unde f,f* e H sînt funcţii date, ^ 0 este un parametru complex iar fe, A* sînt necunoscute. Fie şi ecuaţiile omogene asociate (2)

fe

-

pt

= 0,

(2*) K

-

VT

k

M

=

0.

Există atunci un şir de numere complexe astfel încît | jj^i -» cx> (fc oo), cu următoarele proprietăţi : (a) Dacă [i ţ {jx*}t, ecuaţiile (1) şi (1*) admit soluţii unice oricare ar f i f , /* e H. în particular, ecuaţiile (2) {2*) admit numai soluţia trivială. (b) Dacă ţj. = ţi* pentru un anume fc, ecuaţiile (2) şi (2*) admit soluţii netriviale, numărul soluţiilor liniar independente fiind finit şi acelaşi pentru ambele ecuaţii. în acest caz, o condiţie necesară şi suficientă pentru ca (1) şi (1*) să aibă soluţii este ca f să fie ortogonală pe soluţiile ecuaţiei (2*) şi ca /* să fie ortogonală pe soluţiile ecuaţiei (2). Demonstraţie. Afirmaţiile rezultă din alternativa lui Fredholm (propoziţia 4.5.16), cu mici modificări datorate faptului că TKm este adjunctul operatorului TK în sensul spaţiilor Hilbert (lema 5.1.5). Vom defini \l k = = XJ1, unde X* e G( TK, Jff)\{0} (fc = 1, 2, 3, . . . ) sînt valorile proprii ale operatorului compact TK (teorema 4.2.10). î n particular, | oo (fc-> -> oo). Dacă jI <£ {fx*}*, atunci operatorul 1 — \LTK (deci şi operatorul 1 — — ptTjjfJ este inversabil şi avem afirmaţia (a)- Dacă jx = fi* pentru un anume fc, atunci avem afirmaţia (b) ca în demonstraţia propoziţiei 4.5.16. î n cazul operatorilor integrali autoadjuncţi, soluţiile ecuaţiilor integrale de tipul considerat în teorema precedentă pot fi date într-o formă mai explicită. 185

5.1.7. TEOREMĂ. Fie KeL2([a,b] X (a ? b]) astfel încît K* = K fi fie Tk operatorul integral generat de nucleul integral K. Să considerăm ecuaţia integrală (i) h - ţLTKh = / , unde f eH este o funcţie dată iar jx # 0 este un parametru complex. Există atunci un şir de numere reale { f i * } * ^ cu | [jl*| - > o o (fc o o ) şi un şir de proiecţii {P*!*«i cu următoarele proprietăţi : (a) Dacă {y.*}*? atunci ecuaţia (i) are soluţie unică oricare ar f i feH. Această soluţie se poate reprezenta sub forma seriei convergente * = / +

% TIV-* -

V-R1

PJ-

k=i (b) Daca JJL = JJL^. pentru un anume fc, ecuaţia (i) are soluţie dacă şi numai dacă funcţia f este ortogonală pe nucleul operatorului 1 — \IKTK. în aeest caz, soluţia generală a ecuaţiei (i) se poate scrie sub forma seriei convergente h =/ + X

— V-k^Pmf + V,

unde v este o funcţie arbitrară din N(1 — \ikTK). Demonstraţie. Deoarece E = K*, operatorul TK este autoadjunct. Oa şi în teorema precedentă, definim JJL* = X*1, unde ea (TKJH)\{0\ sînt, în acest caz, numere reale. Fie Pk proiecţia spaţiului H pe JST( Xk — TK) = = N( 1 — \LkTK). Atunci, ca în exerciţiul 4.6.7, dacă ;JL £ [ { J . * ! * , putem scrie (1 -

txT)"1/ = ^ O{TK)

J

(1 -

,iX)-*cU&(X)J/ =

E({0})/+

g

(1-,x\k)-*Pkf=

H)

k=l în care E este măsura spectrală a operatorului TK, ceea ce demonstrează punctul (a). Să presupunem acum că JJL = JJL pentru un anume Ic. Atunci ecuaţia (i) are soluţie dacă şi numai dacă funcţia / este ortogonală pe nucleul operatorului (1 — fi.*!^)* = 1 — ţikTK, în baza teoremei 5.1.6 (b). Să presupunem deci că feHk = (1 — Pk)(H). Deoarece TK{Hk) E(8) I Hk (ceea ce se vede uşor, folosindu-se unicitatea măsurii spectrale.) Din prima parte a demonstraţiei, obţinem FC

(1, - v.kTK\ Hk)-y

=/

+ £ v-Av-m mjtk

unde 1* este identitatea pe H kJ ceea ce ne conduce la componenta din spaţiul H k a oricărui soluţii a ecuaţiei (i). Dacă la această componentă adăugăm un vector arbitrar din H i = JV(1 — fx*!7*), obţinem soluţia generală a ecuaţiei (i), ceea ce completează demonstraţia punctului (b) al teoremei. 186

P e n t r u alte proprietăţi ale operatorilor integrali de tipul consierat în acest paragraf se poate consulta lucrarea [9]. 5.2. OPERATORI STURM-LIOUVILLE Ca şi în paragraful precedent, vom lucra cu funcţii definite în inter* valul compact ya, fc] <= R. Vom nota cu A2([a, fc]) spaţiul funcţiilor scalare f care au derivată / ' absolut continuă pe [a, fc], deci pentru care derivata secundă / " este definită aproape peste tot şi este o funcţie integrabilă în raport cu măsura Lebesgue pe [a, fc] (a se vedea [12] pentru detalii). Mai notăm cu X ^ O , fc]) spaţiul claselor de funcţii măsurabile, egale aproape peste tot, care sînt integrabile în raport cu măsura Lebesgue pe [a, fc]. Vom considera operatori diferenţiali de forma Tff = (py'Y +qy,

ye A 2 ([a, 6)],

(5.2.1)

în care funcţiile p, p', q sînt continue pe [a, fc], au valori reale şi p(s) ^ o pentru orice s e [a, fc]. Operatorii de forma (5.2.1) sînt adesea numiţi operatori SturmLiouville [8]. Vom folosi această denumire într-un cadru mai restrîns (ca în [9]). 5.2.1 T E O E E M Ă . Fie / e X 1 ( [ a , fc]), fie s0 e [a, fc] şi fie constantele complexe c0 şi c r Există atunci o funcţie unic determinată geA2 ([a, fc]) astfel încît tg = / , g(s0) = c0 şi g'(s0) = c±. Demonstraţie. Vom înlocui ecuaţia rg = f cu sistemul de ecuaţii 9o = 9u ti + P'HP'91 + Q9o) = P^f, (5.2.2) unde p~ (s) = p(s)" (s e [a, fc]). Este limpede că aplicaţia g (g, g') stabileşte o corespondenţă biunivocă între soluţiile ecuaţiei zg = / şi soluţiile sistemului (5.2.2). Va fi deci suficient să rezolvăm sistemul (5.2.2). Este convenabil să lucrăm cu funcţii avînd valori în C2, deci cu perechi de funcţii. Notînd G(s) = (g0(s), g^s)) şi F(s) = (0, pţs)-*f(8)), sistemul (5.2.2) se scrie sub forma G'(s) + A(s)G(s) =F(S), x

1

unde A(s)=f

° \ Pis^qis)

1

V p(s)-Y(s)J

Condiţia g(s0) = c0, g'(s0) = cx devine G(s0) = C, unde 0 = (c0, cx). Vom scrie sistemul (5.2.2) împreună cu această condiţie sub forma ecuaţiei integrale s

6(8) + [A(t)G(t)

dt =

(5.2.3)

187

unde s

3>(s) =

C + [ j F ( l ) dt.

Yom considera produsul cartezian X = [a, b]) X Ll([a, bj) şi al perechilor de funcţii integrabile V(s) = v^s)), pe care vom defini operatorul s

(TAV)(s) = \A(t)

V(t)tt.

Ecuaţia (5.2.3) devine atunci (1 +TA)G = pretîndu-se acum la o rezolvare prin metode de teoria operatorilor. într-adevăr, admiţînd că avem estimarea b 1 1 ||(T3F)(S)|| < ( ( » l ) ! ) - M»\ s - «ol»" ^ \\V(t)|| dt a pentru un anume întreg 1, unde M = sup {\\A(s) |j: a ^s ^fe}, deducem IKTT^WII

=|i^i)(25F)(«)dij

^

1 s

«

s <((» -1)

1

î)- Jf^H

b A(t) || 11 - «o I""

1

( J II 7(1) II dej <

ceea ce atestă valabilitatea estimării pentru orice întreg 1. De aici obţinem b b b ^ ll(T%V) (s)|| ds < ( ( » - l ) ! ) " i J f » ^ | | F W | | d l j ^ l » - » c ) | - l d » ) < a

a

a

b < ( n ! ) - i Wl

^ | | ( F ( I ) | | d*,

a unde JTj = M{b — a); prin urmare, TA e dar, seria 1 - TA + T\ - ... + 188

şi || TÂ\\ +

...

Aşa-

este absolut convergentă în J£?(X) şi defineşte inversul operatorului 1 -f TA. Obţinem deci soluţia unică a ecuaţiei (5.2.3), anume G = ( 1 + Tii)-1® = f

( - i m ® ,

n=* 0

ceea ce încheie demonstraţia. 5.2.2. OBSERVAŢII. 1° Dacă feJ?([a,b]) are valori reale şi c0, cx e R, atunci soluţia g a ecuaţiei zg = / care satisface condiţiile gr(s0) = c0 Şi fl^o) = c i e s ^ e ° funcţie cu valori reale. într-adevăr, în construcţia (efectivă) făcută în demonstraţia teoremei precedente nu apar, în acest caz, valori complexe. 2° Dacă / este o funcţie continuă, atunci derivata a doua g" a soluţiei ecuaţiei rg = / dată de teorema precedentă este o funcţie continuă. întradevăr, avem aproape peste tot egalitatea ff" = P'Hf - PV - qg) iar funcţia din membrul al doilea este continuă, de unde rezultă uşor că derivata funcţiei g' trebuie să fie continuă. 3° Dacă geN(x), atunci g" este funcţie continuă. Afirmaţia rezultă din punctul precedent. 4° Avem dimJV(T) = 2. într-adevăr, pentru orice pereche (c0, cx) e C2 există o funcţie unic determinată g e A2([a, &]) astfel încît rg = 0, g(s0) = = coj 9'(so) = ci- Avem deci un izomorfism între mulţimea soluţiilor ecuaţiei zg == 0 şi spaţiul C2. 5° Dacă [x este un număr complex, din punctul precedent rezultă că în spaţiul z — fi) există două şi numai două funcţii liniar independente. î n continuare vom studia operatori de forma (5.2.1) în spaţiul Hilbert i 2 ( [ a , 6]). Fie ff2([a, b]) spaţiul funcţiilor / avînd derivată/' absolut continuă, pentru care derivata secundă/" este în spaţiul X2([a, fc]). Evident, ff2([a,&])

c=A2([a,6]).

5.2.3. DEFINIŢII. Un sistem Sturm-Liouville este o ecuaţie de forma Ty = / , unde z este un operator diferenţial de tipul (5.2.1) iarfeL 2 {[a,6]), împreună cu condiţiile la limită a1y(a) + a 2 y \ a ) = 0,

f3^(6) + $2y\b) = 0,

(5.2.4)

unde a1? a 2 , ^ ^ numere reale cu <*î + al # 0, pî + ^ 0. Definim apoi operatorul Sturm-Liouville asociat condiţiilor la limită (5.2.4) ca fiind restricţia L a operatorului z la subspaţiul D(L) cz JT2( [>,&]) format din acele funcţii care satisfac (5.2.4). 5.2.4. OBSERVAŢII. 1° Pentru cele ce urmează va fi esenţial ca operatorul Sturm-Liouville asociat condiţiilor la limită (5.2.4) să fie injectiv. Se poate vedea că pentru suficient de multe alegeri ale constantelor a 1 , a 2 , px, operatorul L este injectiv. într-adevăr, dacă hv h2 sînt soluţii liniar independente ale ecuaţiei zy = 0, atunci orice g e jN'(L) se poate pune sub forma g = W + W (observaţia 5.2.2.4°). Scriind faptul că g satis189

face (5.2.4), din sistemul de ecuaţii liniare în X3 şi X2 astfel obţinut, regula lui Cramer ne dă o condiţie care să implice Xx = X2 = 0, deci g = 0. Yom face de aici înainte ipoteza că operatorul L este injectiv 2° Teorema 5.2.1 ne peimite să alegefti două soluţii nenule g^ şi g2 ale ecuaţiei ry = 0 astfel încît ocţ&fa) + a2g[{a) = 0 şi (35g2(b) + ^gCib) = 0 . în plus, funcţiile gg2 sînt reale iar gi', g'2' sînt continue (observaţiile 5.2.2.1° şi 3°). Să remarcăm apoi că g1 şi g2 sînt liniar independente. într-adevăr, dacă de pildă am avea gx = atunci g} ar satisface ambele condiţii de la (5.2.4), deci am avea gl=g2 = 0, deoarece L este presupus injectiv, ceea ce nu se poate. Să considerăm funcţia W(s) = gi(s)9&s) —{t)9>{8)> ( 5 . 2 . 5 ) Funcţia O este numită funcţia Green asociată operatorului Sturm-Liouville jj c u ajutorul funcţiei G definim operatorul integral b

(TGf)(s) = [©(*, t)f(t) dt, f eL2([a} &]). Eezultatul care urmează ne arată că operatorul Sturm-Liouville este un operator cu rezolvantă compactă (în sensul propoziţiei 4.2.11). 5.2.5. TEOREMĂ. Fie L un operator Sturm-Liouville asociat condiţiilor la limită (5.2.4). Vom presupune că L este injectiv şi vom construi operatorul integral TG prin relaţia (5.2.6). Atunci operatorul TG este compact, autoadjunct şi satisface relaţiile LTG = 1 pe £2([a, &]) şi TGLg = g pentru orice g e D(L). In particular, spectrul operatorului L este format dintr-o f a m i l i e număr abilă {[**]* de valori proprii izolate cu proprietatea că | J J I * | -» oo (fc -> oo) şi dim N(\ik — X) = 1, oricare ar fi fc. Demonstraţie. Funcţia (?, dată de (5.2.5), este reală şi satisface relaţia q/8 f ) G{t,sj; prin urmare, operatorul TG este compact (lema 25.1.4) şi autoadjunct (lema 5.1.5). Yom demonstra acum că pentru orice feL (\ a, &]) funcţia g = TGf este în D(L) şi Lg = / . într-adevăr, funcţia g se scrie ca g(s) =g1(s)Ji2(s) +92(s)hi(s)j 190

unde M«) = c ^ 9i(t) f m t , a

h(s) = c ^ g2(t)f(t) d t. s

Funcţia g fiind absolut continuă, vom avea aproape peste tot egalitatea &(*) =g[(s)h2(s) — cgx(s)g2(s) f(s) +gf2(s)hl(s) + cgt(s) g2(s) f(s) = = g'i(*)h(*) Deoarece funcţia g[h2 + <7^1 (absolut) continuă pe [a, b], se vede uşor că g trebuie să aibă derivată continuă. Mai mult, g' are derivată aproape peste tot, şi egalitatea 9"(9) =gi(8)hz(s) - cg[(s)g2(s)f(s) +gf2f(8)hi(8) +egMg'2(8)f(8) (care are loc aproape peste tot) ne arată că g" e L2([a, b]). Aşadar, ae 2 eH ([a, b]). Să remarcăm în continuare că axg{a) + a 2g'{a) = ( a ^ a ) + cc2g^a))h2(a) + M*\gM

+ *2gm<*))h(a)

Asemănător, g(b) + 32g'{b) = 0, prin urmare g e D(L). Vom arăta apoi că Lg — /. într-adevăr, (pg'Y = (pg'ih +pg^Y

= (pg'iYh +(?gQ\

+

- 9igz)f = - ggA - qg*A +/ = —qg +f aproape peste tot, datorită definiţiei constantei c şi proprietăţilor funcţiilor 9i Şi 02 (observaţiile 5.2.4.2°) şi 3°). De aici deducem că Lg = f . Invers, dacă g e B(L), aplicînd raţionamentul precedent funcţiei Lg, obţinem egalitatea LTGLg = Lg, de unde TGLg = g, în virtutea injectivităţii operatorului L. Propoziţia 4.2.H ne spune că operatorul L are rezolvantă compactă, deci spectrul său este format dintr-o familie numărabilă {fi*]* de valori proprii izolate, astfel încît | fi*| 0 0 ( f c - > 0 0 ) . î n plus, multiplicitatea fiecărei valori proprii este finită. Aici putem da o afirmaţie mai precisă, folosind observaţia 5.2.2.5°. într-adevăr, să presupunem că ar exista două soluţii liniar independente şi u2 în D(L), care ar satisface ecuaţia (T — —\Li)y = 0. Atunci orice altă soluţie a acestei ecuaţii ar trebui să fie combinaţie liniară a acestor două soluţii, deci, în particular, să verifice condiţiile la limită (5.2.4). î n baza teoremei 5.2.1, există însă soluţii ale ecuaţiei (t — \Lk)y = 0 care pot fi alese astfel încît să nu satisfacă una din condiţiile (5.2.4). Contradicţia obţinută ne arată că dim — L) = 1 ceea ce încheie demonstraţia teoremei. O tratare mai completă a problemelor de acest tip, incluzînd operatori diferenţiali de ordin arbitrar ai căror coeficienţi pot avea unele singularităţi, poate fi găsită în [8], cap. XIII. 191

5.3. OPERATORI DE UNDĂ Operatorii de undă, formalizaţi într-o primă variantă de către C. Meller, sînt obiecte de bază în teoria difuziei. î n cuprinsul acestui paragraf vom defini aceste obiecte şi vom prezenta cîteva proprietăţi elementare ale lor. Fie H un spaţiu Hilbert. Pentiu orice operator autoadjunct Ae^(H) vom nota cu EA : Bor(R) s/(H) măsura sa spectrală. 5.3.1. D E F I N I Ţ I I . Fie Ae<€{H) un operator autoadjunct. Pentru orice xeH vom nota cu măsura pozitivă definită prin relaţia = = <EA(S)X, x>[Se Bor(R)]. TTn vector xeH se numeşte absolut continuu în raport cu A dacă măsura este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue pe dreapta reală. Cu alte cuvinte, pentru orice submulţime 8 e Bor(R) de măsură Lebesgue nulă avem = 0. Yom nota cu HA mulţimea vectorilor din H care sînt absolut continui în raport cu A. 5.3.2. LEMĂ. Mulţimea HA este un subspaţiu liniar, închis în H. Demonstraţie. P e n t i u orice X e C şi xe H avem egalitatea — jXi2^Deci, dacă x e H A , atunci h x e H A . Să remarcăm apoi că pentiu orice x, y e H şi 8 e Bor(R) avem vi+m = v-HS) + 2 Re<E(8)x,y> ^ De aici lezultă că dacă y eHA, atunci x -\-y eHA. î n sfîrşit, dacă {#*} k c HA este un şir convergent către un vector xeH şi dacă 8 e Bor(R) este o submulţime de măsură Lebesgue nulă, atuncf liAx(8) = lim <EA(8)xk, xk> = 0, k-*co prin urmare xeHA. 5.3.3. D E F I N I Ţ I E . Spaţiul HA se numeşte spaţiul absolut al opeiatoiului autoadjunct A. Yom nota cu PA pioiectia lui H pe subspaţiul HA.

continuu

5.3.4. LEMĂ. Fie A, B e<6(H) operatori autoadjuncti, fie p i e C \ R şi fie T e S£{H) astfel încît (y. — A)~lT = T([i — jB)"1. Atunci T(HB) c HA. Demonstraţie. Opeiatorii NA = (pt — A ) - 1 şi 2TB = (ţi — B)~x fiind noimali, în baza teoremei 2.4.1 avem f(NA)T = Tf(NB), oricare ar fi funcţia continnă / definită pe a(NA, H) U c{JSfB, H). Utilizînd egalitatea if{NA) Tx, yy = (Tf{NB)x, yy pentiu orice x, y e H precum şi un argument din demonstiaţia lemei 3.8.1 (lăsăm detaliile pe seama cititorului), deducem că EA{8)T = T%{8) oricare ar fi /SeBor(C), unde EAj EB sînt măsurile spectrale ale lui respectiv JS?"*. Deoarece măsurile şi EB se obţin din măsurile EA, respectiv EB (piopoziţia 3.2.5), este clar că trebuie să avem EA{8)T = TEB(S), oricare ar fi 8 e Bor(R). Fie acum y e R(T), deci y = Tx pentru un x e H. Atunci f 4 ( 8 ) = <EA(8)TX,

192

Txy

=
Txy

^IIT^MS)1'2,

oricaie ar fi &eBoi(R). în jaiticular, daca aeE B , relaţia obţinută ne a i a t ă că y = Toc e EAJ sdică afiimaţia rcastiă. Sîntem aci:m în măsuiă Fă definim obiectele de bază ale acestui paragiaf. 5.3.5. DEFINIŢII. Fie A, Be<6(E) opeiatoii autoadjuncţi. Yom spune că operoterii de undă W±(AJ B) există, dacă limitele W±(A, B)x = lim eitA e~itB PBx

(5.3.1)

t~* Too

există, oiicaie ar fi x e E (a se vedea şi exerciţiul 3.9.4). Cînd opeiatoiii de undă W± = W±(AJ B) există, definim spaţiile + H+— ) ţi H - = 2?(TF"). Convenţia potrivit căieia opeiatoiii corespund lui este preluată din fizică. Motivul jcntiu caie a j a i e pioiecţia PB în foimula (5.3.1) este legat de picbhira existentei opeiatoiilor W ± . Anume, există exemple simple (a tevedea [14], voi. III, cseieiţiull5) caie aiată că limita din (5.3.1) există f ă i ă ca limita compunzătoaie, caie se obţine înlocuind PB cu identitatea, s-ă existe. 5.3.6. PBOFOZ1ŢIE. Să presupunem eă operatorii W± = W±(A, B) există. Atunci au loc afirmaţiile: (1) W± sînt izometrii parţiale cu spaţiul iniţial IIB st cu spatiile finale* B±. (2) Spatiile E± sînt invariante la acţiunea lui A ; anume, W±(D(B)) <=aD(A) şi ÂW±x = W±Bx dacă xeD(B). (3) E± c Ea. Demonstraţie. Dacă xeEţ, atunci W±x = 0, din definiţie. Dacă> x e H B j folosind faptul că eiM şi e~iiB sînt operatori unitari (lema 3.7.4} obţinem \\eUAe-itBPBx\\^\\x\\ oricaie ar fi te R, ceea ce implică afirmaţia (1). Fie apoi s e R fixat. Atunci, din egalitatea lim eitAe~itB PBx = lim eV+^e-V+W t-* Too /-»=F oo 1 obţinem că W± = e^TF^e- *®, adică

PBx,

B) = W±(A, B)e-lsB< Din această relaţie pe baza corolarului 3.7.6, printr-o operaţie simplă de integrare deducem - A)~lW±(A, B) = W±(A, B) (il - B)-1 (5.3.2) pentru orice JX GC\R. Fixînd un asemenea JX, pentru orice xeD(B) putem scrie (pi - A)-1 W±(AJ B) (\l- B)x = 'W±{A, B)x, (îx

ceea ce ne arată că W±x e D ( i ) şi W±(jx — B)x = (fx — A)W±xJ afirmaţia (2).

adic& 193

î n baza egalităţii (5.3.2) şi a lemei 5.3.4, mai obţinem şi incluziunea C HA, adică afirmaţia (3).

W±(HB)

5.3.7. PROPOZIŢIE. Fie A, B, G e
oricare ar fi a? e H. Yom putea scrie deci lim eîtAe-itcPcx

= lim eitAe-itBPBeUBe-ltcPcx

+

t-+T oo

+ lime , w e-" B (l - PB)eilBe-uc = TF±(A, £ )

Pcx =

0)a?,

ceea ce este iM posibil pe baza primei observaţii şi a faptului că familiile de operatori {e ]t, {eUB}t si (e uc ] t sînt uniform mărginite. 5.3.8 DEFINIŢIE. Să presupunem că operatorii W±(A, B) există. Aceşti operatori se numesc compleţi dacă H+ = H_ = HA. 5.3.9. OBSERVAŢIE. Completitudinea operatorilor W±(A, B) are o semnificaţie fizică importantă [14]. Din punct de vedere matematic proprietatea de completitudine exprimă, în particular, faptul că operatorul S = (W'(A, B))* B) este unitar pe spaţiul HB, ceea ce se vede uşor datorită propoziţiei 5.3.6(1). Operatorul S poartă numele de operator de difuzie. Problema completitudinii este de fapt echivalentă cu o problemă de existenţă. 5.3.10. PROPOZIŢIE. Să presupunem că operatorii W±(AJ B) există. Aceşti operatori sînt compleţi dacă şi numai dacă operatorii W±(BJ A) există. Demonstraţie. Să presupunem că operatorii W±(A, B) şi Tlr±(B, A) există. î n baza propoziţiei 5.3.7 avem BA = W*(A, A) = W*(A, B)W±(B,

A),

prin urmare HAA R{W±{A^ B)). Incluziunea inversă fiind dată de propoziţia 5.3.6(3), avem egalitate. Invers, să presupunem că operatorii W±(A, B) există şi sînt compleţi. Fie y eHA. Există atunci x± eH astfel încît y— W±(AJ B)x±. î n plus, lim||e UB e" iM ?/ - PBx± || = lim|| y - eitAe-itBPBx± t - + T OO

|| = 0,

t-*=r OO

în care am folosit faptul că eitB şi e~HA sînt unitari. Aşadar, W±(B, A) există. Rezultatul cu care încheiem acest paragraf reprezintă o metodă de demonstrare a existenţei operatorilor de undă, datorată lui Cook. 194

5.3.11. TEOEEMĂ. Fie A, B e operatori autoadjuncţi şi să presupunem că există o mulţime M c= D(B) n HB, M densă în HB, astfel încît pentru orice x e M să se poată găsi un număr 8(x) > 0 cu următoarele proprietăţi : (1) eitBxeD(A) (2)

Funcţiile t

+oo

(3)

dacă \t\> 8(a>). Ae±UBx

sînt continue pe

($(#),

oo).

— A)e±UB x\\ăt < oo.

Atunci operatorii de undă W±(A, B) există. Demonstraţie. Fie xeM şi fie funcţia h(t) = eUAe~itBx. ipotezele şi un argument din lema 3.7.4, deducem

Folosind

i'(fo) = lim (t - t0)-i(h(t) - h(Q) = ltA = lim - e~u*Bx) + t-+teo (t - tj-^e-^x + lim(J — - e1'*4) e-lt*Bx = - i e u ^ ( B — A) e-u*Bx,

pentru orice punct fixat t0 e (&(#), +oo). Cu alte cuvinte, funcţia vectorială h este derivabilă în intervalul (&(#), +oo). î n plus, derivata h' este o funcţie continuă. într-adevăr, funcţia Ae~itBx fiind continuă prin ipoteză, continuitatea funcţiei ¥ se obţine uşor din proprietăţile generale de continuitate ale semigrupurilor de operatori. Folosind varianta vectorială a formulei Leibniz-Newton (observaţia 1.1.8.2°; formula clasică LeibnizNewton poate fi găsită în [4], cap. 5, § 4), avem pentru s>t>8(x) estimarea

II Hs) - Mt) || ^ Y h'(u) || du = ^ || ( B - A)e-»Bx\\ du t t ceea ce arată că 1tA UB liixie e~ PBx = lime itA e~ U2? x

există, în baza condiţiei (3). Mulţimea M fiind densă în HBj această limită există pentru orice element x e HBj pe baza densităţii mulţimii M în HB şi a mărginirii uniforme a familiilor {eUA]t şi {eUB]f. Existenţa limitei este trivială pentru x e HL, deci operatorul W~(A, B) există. Existenţa operatorului W+(A, B) se obţine asemănător. 195

O amplă discuţie privind operatorii de undă şi rolul lor în teoria dif u ziei se află în lucrarea [14], voi. III. Condiţia (2) din teorema 5.3.11, im pusă pentru simplitate, nu este necesară. Afirmaţia teoremei rezultă nu mai din condiţiile (1) şi (3) ( a se vedea, de exemplu [8], XX.5.1). 5.4 ASPECTE ALE FORMALISMULUI MECANICII CUANTICE î n mecanica cuantică fiecărui sistem fizic i se asociază, într-o primă aproximaţie, un spaţiu Hilbert separabil H. Un vector xeH cu ||#|| = 1 reprezintă o stare a sistemului fizic (de altfel, în acest punct de vedere, nu se face distincţie între x şi Xx, unde X e C, | X| = 1). Mărimile fizice care se pot măsura, numite observabile, sînt reprezentate de operatori autoadjuncţi (nu neapărat mărginiţi) în H. Presupunînd că sistemul fizic dat se află în starea observabila A poate fi cunoscută doar prin măsura pozitivă p(x, A, •) == (EA{ • )x, x> pe Bor (R), unde EA este măsura spectrală a lui A. Deoarece p(x, A, R) = 1 (căci ||#|| = 1 ) , măsura p(x,A,- ) este o măsură de probabilitate pe R. Să presupunem că a(A, H) == unde X* sînt valori proprii ale lui A (aceasta corespunde faptului că respectiva mărime fizică nu poate lua decît valori particulare, cum se întîmplă, de exemplu, în cazul energiei). Dacă notăm cu Pk = ^({X*}), obţinem p(x, A, 8) = S \\P*x||2, 8 e Bor(R). x, es în particular, observabila A ia valoarea X* cu probabilitatea ||Pjfca?||2( = A — > {**}))• Dacă observabila A are spectru arbitrar, vom putea vorbi, în general, doar de probabilitatea de a obţine o valoare Xe [X0 — e, XQ + e], care va fi p(xj A, [X0 — s, XQ + E]). Cu alte cuvinte, dacă sistemul fizic se află în starea x, atunci observabila A ia valoarea Xe8[8 eBor(R)] cu probabilitatea p(x, A, 8). 5.4.1. DEFIKIŢIE. Să presupunem că un sistem fizic se află în starea x şi fie A o observabilă cu măsura spectrală EA. Atunci, p e n t r u orice 8 e Bor(R), după efectuarea unei măsurări asupra observabilei A care a dat valoarea Xe 8, starea sistemului fizic va fi dată, prin definiţie, de vectorul y =

EA(S)XI\\EA(S)X\\

(care are sens deoarece probabilitatea p(x, A, 8) este pozitivă). Definiţia 5.4.1 este fundamentală în axiomatica mecanicii cuantice. 196

Din ea obţinem uşor p(y, A, L) = p(x, A, fif N LMx,

L G Bor(R),

A, S)9

ceea ee arată condiţionarea măsurii de probabilitate p(y, JL, •) în raport cu mulţimea Yom discuta şi alte consecinţe ale definiţiei 5.4.1. Să presupunem că sistemul fizic se află în starea x şi să considerăm două observabile A şi B, cu măsurile spectrale EAJ respectiv EB. Efectuând o măsurare asupra observabilei A care a dat o valoare XG S[S e Bor(R)], în baza definiţiei 5.4.1 starea sistemului fizic devine y = EA(S)x[\\EA(S)x\\. Efectuînd apoi o măsurare asupra observabilei B care a dat o valoare v G L(L G Bor(R)), starea sistemului fizic devine EB{L)y[\\EB(L)y\\

=

EB{L)EA(S)xl\\EB(L)EA(S)x\\.

5.4.2. D E F I N I Ţ I E . Observabilele A şi B se numesc simultane dacă starea sistemului după efectuarea unei măsurări asupra observabilei A urmată de una efectuată asupra observabilei B coincide cu starea sistemului care se obţine efectuînd mai întîi o măsurare asupra observabilei J5, urm a t ă de o măsurare asupra observabilei A. Ou alte cuvinte, observabilele A şi B sînt simultane dacă şi numai dacă Eb(L)Ea(S)X

^

II Eb(L)Ea(S)X\\

~

EA(8)Eb(L)X

\\EA(8)Eb(L)X\\

9

oricare ar fi starea x şi mulţimile boreliene S, L din R (probabilităţile implicate sînt presupuse pozitive, deci relaţia are sens). 5.4.3. P R O P O Z I Ţ I E . Observabilele A şi B sînt simultane daca şi numai dacă operatorii autoadjuncţi A şi B comută. Demonstraţie. Este limpede că dacă operatorii Aşi B comută (definiţia 3.8.4), observabilele A şi B sînt simultane. Ya fi suficient să obţinem afirmaţia inversă. Fie, pentru simplitate, P = EA(S) şi Q = EB(L). Relaţia (5.4.1) se scrie atunci sub forma \\PQx\\QPx

= \\QPx\\PQx.

(5.4.2)

înmulţind scalar egalitatea (5.4.2) cu vectorul PQx, obţinem după o simplificare <
=

<{QP)2

xy =

(PQYxy

=

||P
\\QPx\\, 197

relaţie care ne arata ea operatorii (QP)2, (PQ) 2 sînt pozitivi şi (PQ)2 = = (QP)2. Din această egalitate obţinem (PQ)2 = PQP; asemănător (QP)2 = QPQ, de unde PQP = QPQ. Să notăm R = PQ — QP. P e baza egalităţilor obţinute deducem R2 = (PQ)2+ (QP)2—PQP—QPQ=0. î n plus, R* = -R, ceea ce ne permite să scriem || Rx\\2 = = -

- 0,

adică R = 0. Mulţimile $ şi i fiind arbitrare, putem conchide că operatorii A şi B comută. Ne vom ocupa în continuare de cazul în care observabilele A şi B nu comută. Să facem mai întîi notaţiile XDţE A Ck)x y x> =
m(A,x) R

v(A,

x)

= y x

— m(A, ^ d ^ f X ^ ^ H I ^ I f

2

-

^Aa?,

R

în care presupunem, evident, că x eD(A). Să remarcăm că mărimile introduse se pot calcula numai cu ajutorul observabilei A, fără a cunoaşte explicit măsura spectrală a acesteia. Oonsiderînd apoi observabilele arbitrare A şi B, vom introduce comutatorul lor [A, JB] ca fiind operatorul AB —BA definit pe spaţiul liniar D([A, B]) — D(AB) n D(BA). Rezultatul care urmează este cunoscut ca inegalitatea lui Heisenberg. 5.4.4. P R O P O Z I Ţ I E .

galitatea

Pentru orice stare xeD(\_A,

JB)]

are loc ine-

v (A, x) v (B, x) > ]<[A, B]x, x> | 2 /4.

(5.4.3 )

Demonstraţie. Deoarece <[.4,

= — = 2i Im^ Bx,

Ax),

obţinem evaluarea Kti, I2 ||B®||». Vom înlocui în această inegalitate operatorul A cu A — m(A, x) şi operatorul B cu B — m(B, a?). Atunci ||A#|| 2 se va înlocui cu || Ax— m(A, #)#|| 2 =t?(A, o?) iar || jB#||2 se va înlocui cu v (JB, x). Întrucît această înlocuire nu afectează comutatorul, inegalitatea de mai sus devine | <[A, B]x, #>I 2 ^v(A, adică tocmai estimarea (5.4.3). 198

x) v(B, x),

5.4.5. EXEMPLU. Pentru a se studia mişcarea liberă a unei particule pe dreapta reală, se consideră spaţiul Hilbert H = _L2(R). Se introduc apoi operatorul de poziţie, notat cu Q, şi operatorul de impuls, notat cu P. Aceşti operatori sint iniţial definiţi pe aşa-numitul spaţiu Schwartz <9^(R), format din funcţiile indefinit derivabile, cu descreştere rapidă. Mai precis, f e ^(R) dacă şi numai dacă sup| smfn)(s) 1 <00, seR

oricare ar fi numerele Întregi m ^ 0 şi n ^ 0. Este uşor de văzut că ^(R) c czL2(R). Operatorul Q se defineşte atunci prin relaţia #9(3) = so ataşat sistemului în evoluţie, care are următoarea semnificaţie : dacă starea sistemului fizic la momentul t = t± este x, atunci starea sistemului la momentul t —t2 va fi dată de U(t2 — t j x (aici se reflectă atît aspectul deterministic al fenomenelor fizice cît şi ipoteza, nu întotdeauna verificată, conform căreia sistemul evoluează fără memorie a trecutului, exprimată prin dependenţa doar de diferenţa t2 — tx). In baza teoremei 3.7.5, deducem existenţa unui operator autoadjunct X e ^{H) astfel încît să avem U(t) = exp' — itX) (t> 0). Operatorul X se numeşte operatorul de energie sau Jiamiltonianul sistemului. Acest operator ne permite să descriem evoluţia sistemului cu ajutorul unei anumite ecuaţii diferenţiale. Pentru a vedea acest lucru, să presupunem că starea sistemului la momentul t = 0 este x Din consideraţiile de mai sus, starea sistemului la momentul t va fi dată de egalitatea x(t) = exp( —itX)x. Ea satisface deci ecuaţia diferenţială dt

= - i X x ( t ) , x(0) = x,

(5.4.4)

ceea ce rezultă din teoria generală a semigrupurilor. Ecuaţia (5.4.4) poartă numele de ecuaţia Schrodinger (în formă abstractă). 199

Fie acum A o observabilă arbitrară. î n principiu, observabila A nu se modifică în timp. Dacă o asociem sistemului evolutiv considerat, măsura d e probabilitate p{x(t), A, •) va depinde, în general, de parametrul t. Să remarcăm egalitatea p(x(t),A,

S) =

x, x>, Se Bor(R).

(5.4.5)

5.4.6. DEFINIŢIE. Yom spune că observabila A este X-staţionară dacă măsura de probabilitate p(x(t)j A, •) nu depinde de timpul t. 5.4.7. PROPOZIŢIE. Observabila A este X-staţionară dacă şi numai dacă operatorii A şi X comută. Demonstraţie. Rezultatul este, în fapt, o condiţie echivalentă cu cele din teorema 3.8.5. Dacă operatorii A şi X comută, deci dacă măsurile lor spectrale comută, printr-o operaţie de integrare (via teorema 3.7.5) deducem că EA(S)U(t) = U(t)EA{8) pentru orice t> 0 şi Se Bor(R), deci membrul stîng din (5.4.5) nu depinde de t. Reciproc, dacă membrul stîng în (5.4.5) nu depinde de f, atunci va trebui să avem Uit^E^Uit) = EJS), oricare ar fi t> 0 şi 8 eBor(R), adică EA(8)U(t) = U(t)EA(S). Utilizînd această proprietate de comutare, printr-o operaţie de integrare (folosind din nou teorema 3.7.5), obţinem îndeplinirea condiţiei (3) din teorema 3.8.% deci comutarea operatorilor A şi J B . încheiem aici sumara trecere în revistă a unor aspecte ale formalismului mecanicii cuantice, legate de rezultatele de teoria operatorilor conţinute în prezenta lucrare. Cititorul interesat poate găsi mai multe detalii cu privire la mecanica cuantică în alte lucrări, în particular în [3], cap. 6.

INDEX ALFABETIC

Acoperire 8 — deschisă 9 aderenţă 8 a di ti vita te numărabilă 76 — slabă 76 — tare 75 adjunct 18, 103 algebră Banach 24 — normată 24 algebre izomorfe 73 apartenenţă 7 aplicaţie boreliană 34 — deschisă 179 — liniară continuă 16 — mărginită

17

Bază ortonormală

14

C*-algebră 71 calculul funcţional analitic 50 — — cu funcţii continue 94 capacitate spectrală 1 0 2 caracter al unei algebre 25 clasa operatorilor Hilbert-Schmidt 165 —- — nucleari 165 — Schatten-von Neumann 159 clase de echivalenţă 178 compactificare a planului complex 9 complement ortogonal 13 completat al unui spaţiu 14 comutator 197 conjugare 146 continuitate a unor aplicaţii 91 contur admisibil 46 conervgenţa unui şir 10 criteriu de compacitate 177 curbă jordaniană rectificabilă 39 Descompunerea spaţiului 13 «diferenţă 7 — de ordinul k 148
Ecuaţia lui Schrodinger 199 eetxaţie rezolvantă 44 element idempotent 53 — nul 12 elemente ortogonale 13 extensie a unui operator 16 Familie egal continuă 177 formula lui Cauchy 40 — — — la infinit 43 — schimbării variabilei de integrare 66 frontiera mulţimii 3 funcţie analitică 37 — — la infinit 41 — boreliană 21 — continuă 8 — etajată 21 — Green 190 — integrabilă 22 — numărabil aditivă de mulţime 19 — olomorfă 37 — rezolvantă 44 — simplă 21 — subaditivă 125 funcţională continuă 17 — liniară 17 — pozitivă 24 Generator infinitezimal 127 grafic al unei aplicaţii 15 grup abelian 101 Hamiltonian

199

Idempotent 53 imagine 15 indice de defect 118 index 168 incluziune 7 inegalitatea lui Holder 163 — — Heisenberg 197 — — Minkovski 163 — — Schwarz 12 integrală curbilinie 40 — în raport cu o măsură 31 — — — — spectrală 76 interior 8 intervertirea operatorilor normali 87

201

inversul unui operator 16 involuţie 71 it eratele unui operator 16 intersecţie 7 izometrie 11 — parţială 118 Lema lui Auerbach 169 Fatou 23 — — Riesz 155 limită a unui şir 10 liărime fizică observabilă 196 măsură 20 — pozitivă 20 — produs 29 — Radon 20 — regulată 20 — scalară ataşată măsurii spectrale 80 — spectrală 75 — — ataşată operatorului autoadjunct 113 — — a unui operator normal 90 medie invariantă pe grup 101 metrică 9 modul minimal redus 166 multiplicitatea valorii proprii 157 mulţime deschisă 7 — închisă 7 — mărginită 17 — rezolvantă 44 Normă 11 — operatorială 55 norme echivalente 25 numere caracteristice 159 nucleu 15 — integral 183 Observabilă 196 — X-staţionară 199 observabile simultane 196 omeomorfism 8 omogenitatea pozitivă a normei 11 omomorfism de C*-algebre 72 operator 15 — adjunct 18, 103 — autoadjunct 18, 106 — compact 151 — cu imagine închisă 165 — — rezolvantă compactă 157 — decompozabil 102 — de difuzie 194 — — energie 199 — — impuls 198 — — pzoiţie 198 — — rang finit 151 undă 193 — — — complet 194 — Fredholm 168 — integral 183

202

operator închis 16 — liniar 15 — — dens definit 103 —- esenţial autoadjunct 144 — mărginit inferior 121 — — superior 125 — negativ 121 — normal 18 — pozitiv 100 — preînchis 16 — rădăcină pătrată 100 — semimărginit 121 — simetric 117 — Sturm-Liouville 189 — unitar 18 — Volterra 179 operatori unitar echivalenţi 99 Parte compactă 9 — relativ compactă 9 partiţie a unităţii subordonate acoperirii deschise 100 principiul mărginirii uniforme 17 problema subspaţiilor invariante 181 procedeu de ortogonalizare Gram-Schmidt 27 produs scalar 12 proiector 53 — spectral 69 proiecţie a unui element 13 — — — spaţiu 13 — paralelă 180 — stereografică 9 proprietatea intersecţiei finite 26 proprietate fx-aproape peste tot 23 punct aderent 8 — interior 8 — regulat 69 — singular 69 puterile unui operator 16 Raza de convergenţă 37 — spectrală 25 rădăcină pătrată 100 relaţia de incertitudine a lui Heisenberg 198 relaţie de polarizare 27 reprezentare 102 — mărginită 102 restricţia topologiei 8 reuniune 7 rezolvantă 44 Semigrup tare continuu 125 — uniform continuu 125 serie formală 37 sfera lui Riemann 10 sferă 10 o-algebră 20 — — boreliană 21 o(E, r)>topologie 19 singularitate 69

sistem de curbe jordaniene rectificabile pozitiv orientat 40 — fundamental de vecinătăţi 19 — ortogonal 14 — Sturm-Liouville 189 spaţii Hilbert unitar echivalente 28 — invariante netriviale 181 — izometrice 11 — omeomorfe 8 spaţiu absolut continuu 192 — Banach 12 — bidual 181 — compact 8 — cit 178 — dual 17 — factor 178 — final 118 — Hilbert 13 — iniţial 118 — metric 10 — — complet 10 — — separat 10 — normat 12 — prehilbertian 13 — reflexiv 28 — Schwartz 198 — topologic 7 — — separat 8 — — Hausdorff 8 — — local compact 9 spectru al unui element 25 __ _ __ operator 53, 57 — extins 58 stabilitatea indexului 173, 174 stare 195 subaditivitatea normei 12 sub-C*-algebră 73 — — — cu unitate 73 submultiplicativitatea normei 24 submulţime densă 10 — total mărginită 11 subspaţiu total 19 sumă directă de spaţii 13 — — ortogonală a spaţiilor 13 suport al unei aplicaţii 92 — — — funcţii 67 — compact 92

Şir Cauchy 10 — convergent 10 — într-o măsură 22 — fundamental 10 — — asociat 123 — slab convergent 145 — tare convergent 145 •— uniform convergent 145 Teorema — — —

aplicaţiei deschise 179 — spectrului 51 de compactificare a lui Alexandrov 9 — compunere a calculului funcţoinal analitic 51 — — convergenţă dominată a lui Lebesgue 23 — — reprezentare a lui Riesz 24 — — schimbare de variabilă 79 — — stabilitate a indexului 173,174 — graficului închis 16 — lui Fubini 29 — — Liouville 41 — — Zorn 14 — spectrală pentru operatorii autoadjuncţi (nemărginiţi) 109 topologie 7 — metrică 10 — naturală 7 — indusă 8 — separată 7 — slabă 19 transformata Cayley 119 — Fourier 198 — Ghelfand 26 Valoare proprie 154 variaţie totală a unei măsuri vecinătate a unei mulţimi 8 — — unui punct 8 vector absolut continuu 192 — propriu 154 Wronskian

190

20

BIBLIOGRAFIE

a) Lucrări citate în text 1. Boboc, X. Funcţii complexe Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1969. 2. Bourbaki, N. Théories spectrales. Paris, Hermann, 1967. 3. Buchhalter, H., Tarral D., Théorie spectrale. Lyon, Université Claude Bernard, Publications du Département de Mathématiques, 1982. 4. Colojoară, I., Analiză matematică. Bucureş'i, Editura Didactică şi Pedagogică, 1983. 5. Cristescu, R., Analiză funcţională. Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1979. 6. Dixmier J., Les C*-algèbres et leurs représentations. Paris, Gauthier-Villars, 1969. 7. Douglas, R. G., Banach algebra techniques in operator theory. New York, Academic Press, 1972. 8. Dun lord, N., Schwartz, J. T., Linear operators, Part I, 1958 ; Part II, 1963, Interscience: Publishers ; Part III, 1971, New York, Wiley-Interscience. 9. Gohberg, I., Goldberg, S., Basic operator theory, Birkhäuser, Basel, 1981. 10. Haimos, P. R., Measure theory. Van Nostrand, Princeton, 1950. 11. Kuratowski, K., Mostowskf, A.. Set theory. North-Holland, Amsterdam, 1967. 12. Nieolescu, M., Analiză matematică, I, 1957 ; II, 1958 : III, 1960. Bucureşti, Editura Tehnică. 13. Pearey C., (editor). Topics in operator theory. Mathematical Surveys 13, American Mathematical Society, Providence, 1974. 14. Reed, M., Simon, В., Methods of modern mathematical physics. I : Functional analysis, Academic Press, New York, 1972 ; II : i ourier analysis, self-adjointness, ibidem, 1975; III : Scattering theory, ibidem, 1979 ; IV : Analysis of operators, ibidem, 1978. 15. Schwartz, J. T., Nonlinear functional analysis. New York, Gordon and Breach, 1969. 16. Vasileseu, F.-H., Analytic functional calculus and spectral decompositions. Bucureşti, Editura Academiei R.S.R., D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1982.

b) Alte lucrări recomandate de autor 1. Gobberg, I., Krcin, M. G., У vedenie v teoriu lineinîh nescmosopriajitnnîh operatorou. Moscova Nauka, 1965. 2. Green leaf, F. P., Invariant means of topological groups and their applications. New York, Van Nostrand, Reinhold Company, 1969. 3. Kato, T. Perturbation theory for linear operators. New York, Springer-Verlag, 1966. 4. Mackey, G. M., The mathematical foundations of quantum mechanics. New York, Benjamin* Inc., 1963. 5. Marineseu G., Spaţii vectoriale normate. Bucureşti, Editura Academiei, 1956. 6. Pölya, G., Szegö G., Problems and theorems in analysis. Berlin, Springer-Verlag, 1972. 7. Read, C. J., A solution to the invariant subspace problem. Bull. London Math. Soc., 16(1984)* 337-401. 8. Riesz, F., Nag у В. Sz. Leçons d'analyse fonctionelle. Budapest, Akadémiai Kiadö, 1952.

INITIATION IN OPERATOR THEORY SUMMARY

The present work is an introducticn to some of the basic topics of the linear operator theory. It is an improved and expanded (written) version of the special cour e in operator theory delivered by the author at the Faculty of Mathematics of the University of Bucharest. The work is divided into six chapters, whose contents will be briefly described in the following. The preliminary chapter contains the main concepts and results to be used in the sequel. The proofs are omitted but proper quotations are made after the statements. The first chapter (strictly speaking) deals with the construction of the analytic functional calculus for elements in Banach algebras, as well as its version for unbounded operators. As a matter of fact, the analytic functional calculus is regarded as the unifying concept of the v ork. The next chapter is dedicated to the study of the spectral representation of normal operators. An extension of this concept in Banach spaces (with respect to the functional calculus) is also included. The integral representation of unbounded self-adjoint operators is the main topic dealt with in the thiid si etie;n. It also contains results concerning extensions of symmetric operators and strongly continuous semi-groups of operators. The fourth chapter presents seme important classes of linear operators, in particular compact and Fredholm operators. The last ehapter includes a few frcm the numerous applications of operator theory: the solution cf seme integral equations; differential operators of Sturm-Liouville t y p e ; wave operators ar.d seme aspects of the quantum mechanics formalism. Eaeh ehapter but the last one is accompanied by a section of exercises and comments. The bock is receirmended to those Mho want to learn some basic facts of operator theory, as well as those interested to apply operator theory in mathematical physics and other areas of knowledge. The authcr graduated from the Faculty of Mathematics of the University of Bucharest in 1S65, and received his Ph. D. frcm the same university in 1969. He has published over 65 researeh papers in various journals of mathematics, both in Romania and abroad, and two monographs. He is currently senior researcher at the Department of Mathematics, INCREST, Bucharest.

Redactor : VALENTINA CREŢU Tehnoredactor: V. E. UNGUREANU Bun de tipar: 02.02.1987. Coli de tipar: 13 C.Z. : 517.98 I. P. Informaţia Str. Brezoianu nr. 23—25, Bucureşti, c. 788

Iniţiere în teoria operatorilor liniari

Read more

Teoria lexical

Read more

Teoria sprawiedliwości

Read more

Teoria sprawiedliwości

Read more

Teoria Cultural

Read more

Teoria Obwodów

Read more

Teoria estetica

Read more

Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

Read more

Teoria estetica

Read more

N)

Read more

N

Read more

Now + n, Now - n

Read more

Teoria obliczeń i złożoności

Read more

Teoria obwodów elektrycznych

Read more

La Teoria De Cartera

Read more

Teoria Y Estructura Social

Read more

Teoria Semiotica do Texto

Read more

Anarcosindicalismo (Teoria y Practica)

Read more

Teoria obliczeń i złożoności

Read more

A Magnanimidade da Teoria

Read more

Teoria Unicista De Evolucion

Read more

Teoria da Religiao

Read more

Teoria Y Praxis

Read more

Teoria social hoje

Read more

Teoria Del Delito (mx)

Read more

Teoria obwodów, Part 1

Read more

Introduzione alla teoria logica

Read more

Teoria dei segnali

Read more

N-Space 01 - N-Space

Read more

Medytacja - Teoria i Praktyka

Read more

Recommend Documents

Iniţiere în teoria operatorilor liniari

Teoria lexical

Margarida Basílio Doutora em Lingüística pela Universidade do Texas Professora da Pontifícia Universidade Católica do Ri...

Teoria sprawiedliwości

Teoria sprawiedliwości

Teoria Cultural

Teoria Obwodów

Seria: Akademickie Podręczniki Multimedialne Teoria Obwodów Autor: prof. dr hab. inż. Stanisław Osowski Opracowanie mu...

Teoria estetica

THEODOR W. ADORNO TEORIA ESTÉTICA Título original: Asthetische Theorie © Suhrkamp-Verlag Frankfurt am Main, 1970 Trad...

Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Stefania Gabelli Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Springer STE...

Teoria estetica

...

N)