Il club dei matematici solitari del prof. Odifreddi

ILCLUB DEI MATEMATICI SOLITARI DEL PROF. ODIFREDDI A cura di Piergiorgio Odifreddi

I

•

I

I i\1ONDADORI

Di Piergiorgio Odifreddi in edizione Mondadori

Matematico e impertinente

,

1

I

www.librirnandadari.it

~ II Club dei matematici solitari del prof Odifreddi a cura di Piergiorgio Odifreddi

Collezione Saggi

ISBN 978-88·04·58598-5 © 2009 Arnalda Mondadori Editore S.p.A., Milano I edizione marzo 2009

,I

!

, I •

Indice

I •

3

Can un piccolo grande aiuto dei miei amici di Piergiorgio Odifreddi MATEMATICA E PENSIERO

11

17

Bellezza e verila in matematica di Michael Atiyah

•

Visionari, poeti e precursori di Alain Connes

23

Dccelli e rane: la maternatica come metafora di Freeman Dyson

29

Come un matematico concepisce i numeri di Douglas Hofstadler MATEMATICA E NATURA

37

n liscio, il ruvido e il meraviglioso di Benoil Mandelbrol •

45

Dove accadono Ie case che non accadono di John D. Barrow

51

La ricetta numerica del rnondo di Frank Wilczek INTERMEZZO ALLA SCACCHIERA

63

Partita fra un premia Nobel e un campione mondiale di Zhores Alferov e Boris Spassky, con Piergiorgio Odifreddi

, !

,!'

MATEMATICA ED ECONOMIA

79

La matematica e Ie scienze sociali di Amartya Sen

85

Incontro con una mente meravigliosa di John Nash, can Piergiorgio Odifreddi

99

Due premi Nobel giocano cooperativamente di Robert Aumann e John Nash, can Piergiorgio Odifreddi

MATEMATICA E UMANESIMO

123

Prospettiva, scorcio e scienza del teatro di DarioFo

129

La quarta dimensione e Salvador Dati di Thomas Banchoff

137

La matematica della fortuna e i suoi Iimiti di Hans Magnus Enzensberger, con Piergiorgio Odifreddi

151

Discorso suI metoda leUerario di Umberto Bco, con Piergiorgio Odifreddi

163

Indice dei nomi

!

I, ,

I ! •

,

•

II Club dei rnaternatici solitari del prof. Odifreddi

I A Giorgio Napolitano, ehe da presidente della Repubbliea ha onorato il festival A Walter Veltroni, ehe da sindaeo di Roma rha voluto Al personale dell'Aud.;torium Parco della Musica, ehe I'ha reso possibile Ai eonferenzieri e alle migliaia di partecipanti, ehe I'hanno realizzato

I I

,

•

Piergiorgio Odifreddi Con un piccolo grande aiuto dei miei amici

Nei favolosi anni '60, e pili precisamente il1° giugno 1967, usel 10 storieo album Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band (La banda del Club dei cuori solitari del sergente Pepe), nel quale i Beatles cantavano: «Tentero, con un piccolo aiuto dei miei amici. Riusciro, con un piccolo aiuto dei •

•

•

•

IDle! amICI».

•

1n una giornata estiva di una quarantina d'anni dopo,

e pili precisamente i120 luglio 2006, il ritornello di With a Little Help from My Friends continuava a risuonanni in testa mentre il sindaco di Roma mi spiegava, nel suo ufficio in Campidoglio, che voleva realizzare un suo vecchio sogno: organizzare, sorprendentemente, un festival della Matematica! Sulle prime I'idea mi sembro balzana. Di festival delle Scienze giil. ne esistevano, rna erano resi possibili dall'enorrme spettro di argomenti a disposizione. Limitarsi alla sola matematiea, invece, non sarebbe stato un azzardo troppo spinto? Molti indizi facevano pero sospettare che da qualche tempo qua1cosa stesse cambiando nella percezione del pubblico riguardo alla pili ostica e temuta delle discipline. Due eventi, in particolare, avevano contribuito a questa inversione di rotta. Da un lato, l'annuncio sulla prima pagina del «New York Times», il24 giugno 1993, della dimostrazione del cosiddetto «ultimo teorema di Fermat» da parte di Andrew Wiles, e la saga che ne era seguita. Dall'altro lato,

I I

4

II Club dei matematici solitari

l'assegnazione nel1994 del premio Nobel per l'economia a John Nash e il successo dellibro e del film A Beautiful Mind, che ne raccontavano la tragica storia e il suo lieto fine. Ora, per combinazione io conoscevo da qua1che anno sia Wiles che Nash, e pensai sub ito che, se veramente si voleva provare, bisognava farlo in grande e mirando il piu in alto possibile: il primo festivalfu dunque concepito, fin dagli inizi, con !'idea che doveva aprirsi e chiudersi con questi due personaggi-simbolo della matematica contemporanea. Convincerli non fu facile. La loro prima reazione, cosl come quella di molti degli altri partecipanti a quell'evento, fu infatti la stessa che avevo avuto io: «Un festival della Matematica? Che idea balzana!». Ma 1'attrazione della citta di Roma e del suo sindaco ebbero alla fine la meglio sulla perplessita e la riservatezza dei due gioielli della corona. Una volta avuto illoro assenso tutto poi risulto piu facile, perche i loro nomi fecero da traino agli altri. n 15 marzo 2007 Wiles aprl dunque il primo festival delIa Matematica d'Italia, e probabilmente del mondo, con una conferenza sulle «Equazioni famose» che attrasse migliaia di persone, una buona parte delle quali impossibilitate a entrare in sala e costrette ad accontentarsi di un collegamento su un maxischermo nella cavea. Una scena che si ripete identica il18 marzo per il gran finale della mia intervista pubblica a Nash, nonostante il cambio eli sala dalla Sinopoli da 1200 posti alla Santa Cecilia da 2800. II pubblico giustamente dimostro 10 stesso entusiastico interesse non solo per i due divi, rna anche per gli altri protagonisti, forse meno noti mediaticamente, ma sicuramente altrettanto titolati culturalmente: sir Michael Atiyah e Alain Connes (medaglie Fields per la matematical, Zohres Alferov (premio Nobel per la fisica), Dario Fo (premio Nobel per la letteratura), Benoit Mandelbrot (premio Wolf per la fisica), Douglas Hofstadter (premio Pulitzer per la saggistica), John Barrow (premio Templeton per la scienza e la religione) e Boris Spassky (campione mondiale di scacchi).

,,

I

Piergiorgio Odifreddi

'

I I

I

5

, Quest'ultimo, in particolare, gioco una simultanea con molti dei partecipanti al festival, mentre Dario Fo si esibl in una conferenza-spettacolo sulla prospettiva dal punto eli vista di un artista: due esempi, questi, di come il festival abbia fin dagli inizi mira to a dare un'immagine a tutto tondo della matematica, sondando in particolare Ie sue applicazioni e contaminazioni piu disparate. Lo scopo e stato raggiunto anche grazie a una lunga serie di attivita supplementari, che hanno fatto da contorno ai piatti forti delle conferenze: una tavola rotonda sulla filosofia della matematica (coordinata da Armando Massarenti, con Umberto Bottazzini, Carlo Cellucci, Giulio Giorello, Gabriele Lolli e Paolo Zellini), una serata di musica (coordinata da Serena Dandini, con Elio delle Storie Tese e la partecipazione del premio Oscar Nicola Piovani), una serata di cinema (con la proiezione e la discussione di Marte di un matematico napoietano di Mario Martone), un cicIo di letture urnanistico-matematiche (scelte e interpretate da Claudio Bartocci), una palestra di giochi matematici (coordinati da Giovanni Filocamo ed Ennio Peres) e una serie di mostre (in particolare, con Ie opere di Victor Simonetti e del Giardino di Archimede di Enrico Giusti). Un'attenzione speciale, soprattutto nelle attivita complementari, fu riservata agli studenti delle scuole inferiori e superiori, che spesso sono Ie vittime innocenti di metodi e programmi di insegnamento colpevolmente antiquati, responsabili in buona parte dell' avversione e del dis gusto che molti sentono per la matematica. Una delle pioniere storiche di una nuova concezione della didattica e stata Emma Castelnuovo, che ha avuto tra i suoi allievi alle medie 10 stesso Walter Veltroni: la genealogia del festival risale dunque, attraverso lui, a questa ultranovantenne ma indomita professoressa, che aprl di diritto Ie cerimonie la mattina dellS marzo 2007, con una lezione su come «Insegnare la matematica», di fronte a una platea gremita di ragazzi. In parte grazie al ruolo svolto da Veltroni nell'ideazione della manifestazione, e in parte a causa di una loro diret-

6

II Club dei matematici solitari

ta preoccupazione per Ie sorti della matematica nel nostro paese, Ie istituzioni ci furono fin da subito vicine: il ministro dell'Universita e della ricerca Fabio Mussi presenzio all'inaugurazione, insieme al sindaco di Roma, e il presi- . dente della Repubblica Giorgio Napolitano ricevette in visita privata al Quirinale, il13 marzo 2007, una delegazione di conferenzieri e studenti partecipanti al festival. Esattamente un anno dopo, il 13 marzo 2008, 10 stesso presidente del1a Repubblica ci onoro con la sua presenza all'inaugurazione del secondo festival della Matematica: 10 accompagnarono il ministro della Funzione pubblica e dell'Innovazione Luigi Nicolais e, per la delizia dei rni1leduecento studenti presenti in sala, un drappello di corazzieri in alta uniforme. Lo spettacolare successo del primo festival, testirnoniato da pili di 55.000 presenze in quattro giorni, e da un'attenzione dei media per la matematica assolutamente inedita nel nostro paese, ci aveva infatti indotto a ripetere un esperimento che aveva avuto echi anche all'estero, ad esempio in un servizio del18 marzo 2007 sui «The ObserYen>, rendendo pili agevole il successivo reclutamento dei conferenzieri. Se il motto del 2007 era stato La bellezza dei numeri e i numeri della bellezza, que110 del 2008 fu La regina delle scienze e delle arti, e la partecipazione scientifica fu altrettanto qualificata: due medaglie Fields e premi Wolf per la matematica (David Mumford e Steven Smale), due premi Nobel per la fisica (Sheldon Glashow e Frank Wilczek), tre premi Nobel per I'economia (Robert Aumann, John Nash e Amartya Sen), un premio Wolf per la fisica e premio Templeton per la scienza e la religione (Freeman Dyson) e un premio Turing per l'informatica (Juris Hartrnanis). Ancora una volta fu tenuto alto il vessillo del1'unione fra Ie due culture. Anzitutto, nelle conferenze che affrontarono direttamente Ie connessioni fra matematica e arte: «La quarta dimensione e Salvador Dali» di Thomas Banchoff, . «Zoomando sulla galleria di quadri di Eschen> di Hendrik

,,

!

,.

...-.-

-

Piergiorgio Odifreddi

,.

'

I I

I' •

7

Lenstra e «Matematica, arte e Zeitgeist» di David Mumford. Inoltre, con il singolare intervento «Matematica nel vento. La favola di Alinghi» di Alfio Quarteroni, direttore del team di modellistica matematica dell'Ecole Polytechnique di Losanna, che ha contribuito alle due vittorie della barca svizzera in Coppa America. E infine, con Ie lezioni di due letterati quali Umberto Eco e Hans Magnus Enzensberger, che aprirono il secondo festival: rispettivamente, la mattina per gli studenti e il pomeriggio per il pubblico. La cornucopia di attivita col1aterali per Ie scuole e il pubblico incluse una conferenza-esibizione di juggling (tenuta dal matematico-giocoliere Allen Knudson), una serata di musica (con I'esecuzione da parte del premio Oscar Nicola Piovani della sua nuova composizione Epta, basata sui numero sette), una serata di cinema (con la proiezione del documentario su Escher Raggiungere l'irraggiungibile, di Jean Bergeron), una serata di teatro (csm la rappresentazione del Dilemma del prigioniero, a cura di Maria Eugenia D'Aquino), una grande mostra di litografie di Escher (curata da Federico Giudiceandrea), una mostra di grafica algoritmica (realizzata da AIdo Spizzichino), un allestirnento di una storia matematica a fumetti (realizzato da Davide Osenda), un nuovo cicio di letture umanistico-matematiche (scelte e interpretate da Claudio Bartocci) e una nuova . palestra di giochi matematici (coordinati da Giovanni Filocamo, Federico Peiretti ed Ennio Peres). L'affluenza nel2008 supero quella gia eccezionale del 2007, e il ripetuto successo del secondo festival ha definitivamente mostrato che esiste in Italia una voglia di matematica che chiede a gran voce di essere soddisfatta. Per quanta ci concerne, continueremo sulla strada intrapresa: il terzo festival si terra dall9 al22 marzo 2009, e vedra la partecipazione di tre medaglie Fields (TunothyGowers, VaughamJones e Edward Witten) e sei premi Nobel (Richard Ernst, Roald Hoffmann, Robert Mundel1, John Nash, Arno Penzias e Thomas Schelling), oltre a numerose altre menti straordinarie. Per I'occasione pubblichiamo questa raccolta di momenti

-

8

--

It Club dd matematici solitari

significativi dei primi due festival, consistente degli articoIi che alcuni dei protagonisti hanno scritto appositamente per vari quotidiani nazionali (<
I

MATEMATICA E PENSIERO

•

I I

--

•

,

,

- ...

~~~-----

-

------------

Michael Atiyah

Bellezza e verita in rnaternatica

e

La maternatiea modema divisa in aree apparentemente isolate fra

lora, ciascuna delle quali costituisce un tmeno di cacciil degli specitllisti. Qualeuno pensa ehe Ia specie del maternatico universale, in grado di dominare aree diverse, sitl ormai in viti di estinzione, ma ['esempio di Sir Michael Atiyah mos/ra ehe non si ecerto ancora estinta. Non a caso nel1966 ha vinto la medaglia Fields, ['analogo «un• der 40» del premio Nobel per la matematica, e nel2004 ha vinto il premio Abel, I'analogo del premio Oscar alia carriera. In entrambi i casi, per i suoi lavori di topologia: in particolare, per il famoso «Ieorema dell'indice» pravato con Isadore Singer, covincitore con lui del premia Abel. Questo risultato estato poi interpretato in termini di meecanica quantistica, e insieme ad allri sueeessivi lavori di Atiyah ha aperto la strada aile moderne interazioni fra la topologia algebrica e la teoria delle stringhe, 0 eorde. Oggi Atiyah viene considerato I'eminenza grigia di quel genere di matematiea che coniuga Ie proprie idee e i propri metodi con quel/i della fisiea teoriea, in un feeondo seambio a doppio senso. Dopo aver raccontato la sua vita e i suoi pensieri in Siamo tutti matematici (Di Renzo, 2007), il17 marzo 2007 ha tenuto al primo festival della Matematiea una lezione magistrale su «Bellezza e verita in matematica». 00

Per il grande pubblico la matematica euna disciplina austera e intellettuale, accessibile solo a pochi eccentrici incapaci di contatti umani. Molte persone hanna tristi ricordi

II ,

'

--

12

11 Club del matematici solitari •

'-

,• I

I

di strenue lotte a scuola, e ricordano con sollievo il giorno in cui si sono liberati dell'ultima equazione. Pochi contestano il fatto che la matematica sia vera, rna la bellezza e l'ultimo attributo che Ie ascriverebbero: la bellezza si trova nell'arte, nella musica, in letteratura, non certo in una materia fredda e ostica come la matematica! Eppure non mancano gli esempi di famosi matematici che non solo vedono la bellezza nella loro materia, rna Ie assegnano un'importanza suprema. Paul Dirac, uno dei fonda tori della meccanica quantistica, era notoriamente un uomo di poche parole; pertanto, la sua affermazione che «una legge fisica deve possedere bellezza matematica» ha una certa rilevanza. II famoso rna tematico tedesco Hermann Wey I ha COS! riassunto il proprio punto di vista: «Nel mio lavoro ho sempre cercato di unire il vero con il bello. E quando dovevo scegliere tra I'uno e l'altro, di solito sceglievo il bello». Quest' affermazione pub sembrare illogica e sconcertanteo non solo dovremmo vedere Ia bellezza nella matematica rna, come se non bastasse, dovremmo pure sacrificarIe Ia verita? Non e forse Ia ricerca della verita, sotto forma di ragionamenti precisi eben costruiti, come Ie dimostrazioni della geometria euc1idea c1assica, che dovrebbe stare alia base della matematica? I matematici si fanno addirittura vanto del fatto che la loro materia sia l'unica attivita umana in cui si puo raggiungere la certezza, con la dimostrazione come arma vincente. Dobbiamo dunque pensare che Hermann Weyl scherzasse e abbia solo fatto una battuta? Niente affatto: era serissimo, come ora spieghero. Forse il modo migliore'per trasmettere quello che i matematici intendono con bellezza e paragonare la matematica all'architettura: una disciplina che dovrebbe essere molto apprezzata nella terra di Michelangelo (del quale io porto il nome). L'architettura combina molti aspetti: un model10 e una visione artistici, una struttura ingegneristica, l'uso dei materiali, il dettaglio delle decorazioni e, naturalmente, Ie funzioni 0 gli scopi utilitaristici. Artisti diversi lavo-

!

I

I I I

,,,

I I

, , ,

-------

,• I

-'---

--

Michael Atiyah

13

I

!

rano su parti diverse della costruzione, ed esiste una tensione creativa tra la bellezza e l'utilita. Si puo considerare la matematica sotto la stessa luce: un edificio intellettuale, la cui struttura elegante ha una bellezza globale in cui si possono ammirare il dettaglio e la complessita, la cui solidita e sostenuta da una tecnica rigorosa, e che ha vaste applicazioni pratiche. In matematica, come in architettura, si possono elencare Ie qualita che costituiscono la bellezza: eleganza, simmetria, equilibrio, precisione, profondita, eccetera. Ma alia fine la riconosciamo solo quando la ,vediamo, perche la bellezza sfida qualunque definizione. E dunque meglio fare a1cuni esempi semplici in cui si possa vedere la bellezza. Uno famoso, rna elementare, e il ragionamento di Euelide secondo cui non c'e fine ai numeri primi (che sono i numeri divisibili solo per se stessi e per 1: ad esempio, 2, 3, 5, 7...; il numero 6 non e primo, invece, perche si ottiene da 2 moltiplicato per 3). Ora, il ragionamento «per assurdo» di Euc1ide e il seguenteo Supponiamo che l' elenco dei numeri primi finisca. Moltiplichiamo tutti i numeri dell'elenco, e aggiungiamo 1: si ottiene cosl un numero N. Adesso consideriamo qualsiasi numero primo che divide N: esso non puo stare nell'elenco di partenza, perche tutti i numeri primi di quell'elenco danno come resto 1, quando si divide N per uno di essi. E poiche avevamo supposto che il nostro elenco fosse completo, arriviamo a una contraddizione. Questo significa che la nostra ipotesi, che l'elenco dei numeri primi fosse finito, era falsa: l'elenco non finisce maL Se non 10 avete mai sentito prima, un tale ragionamento sembra quasi miracoloso: il che, sicuramente, e un attributo della bellezza. Ma anche se 10 avete gia sentito, il ragionamento continua a impressionare per la sua semplicita: la vera bellezza non svanisce con I'abitudine! Questo semplice esempio puo essere paragonato a un piccolo lavoro a intarsio: una bellezza su piccola scala. Ma per apprezzare la bellezza in grande, come nella cat-

I

,I ,I. i

14

Ii Club dei maiematici solitari

tedrale di San Pietro, dobbiamo cambiare scala: ripassiamo allora la famosa storia della soluzione delle equazioni. A scuola insegnano (0, almeno, insegnavano) la forIlLula per risolvere Ie equazioni di secondo grado, che avevano gia trovato i babilonesi. Dopo molti secoli sono state trovate fonnule per Ie equazioni di terzo e quarto grado, rna tutti i tentativi di trovarne una per il quinto grado sono falliti. Nell'Oltocento due giovani matematici, il norvegese Niels Henrik Abel e il francese Evariste Galois, hanno alla fine dimostrato che il fallimento era inevitabile: non esiste nessuna formula del genere[ Sulloro lavoro e stato costruito un edificio enonne, delto «teoria di Galois», che spiega la simmetria nascosta dietro Ie equazioni e la sfrulta per aiutare a capire l'intera questione. Questo e un esempio delle cattedrali dei matematici. Ma anche ammettendo che il ragionamento matematieo possa avere un certo fascino estetico, perche la bellezza e tanto importante? E come puo competere con la verita? La spiegazione sta nella scopo ultimo della matematica, che e la comprensione: un ragionamento lungo, complicato e brutto ci puo convincere della verita di qualco~a, rna non fornisce alcuna intuizione 0 comprensione. E proprio la bellezza, che contiene una semplicita essenziale e un' economia di espressione, la porta verso la comprensione. II matematico inglese Godfrey Hardy una volta ha detto: «La matematiea brutta non dura a lungo». E 10 poteva dire perche lui stesso, come tutti i bravi matematici del passato, nelle sue rieerche e scoperte era stato guidato dalla bellezza. Va bene, direte voi: la bellezza puo portarci alla verita, rna come puo sostituirla? Come ha potuto Hermann Weyl sostenere di preferire la bellezza alia verita, nel caso di un conflitto tra Ie due? La risposta e filosofica. La bellezza e soggettiva, e quindi possiamo esserne certi: io so che cosa mi piace, e gia gli antichi romani dicevano de gustibus non est disputandum. La verita invece e oggeltiva, e non possiamo esserne certi: esfuggente, e la nostra percezione di essa

,,,

, I

,I

,,

I

Michael Atiyah

15

puo essere imperfetta. Pertanto puo esserci un conflitto, perche quello che crediamo vero puo essere illusorio. Ma qualche esempio concreto epiu convincente di un ragionamento astratto, e ne faro anzitutto uno autobiografico. Durante un convegno in Massachusetts, trent' anni fa, io e il mio buon amico Raoul Bott di Harvard abbiamo avuto un'idea che secondo noi era molto bella. Possedeva un' armonia che ci pareva molto seducente, e pensavamo che potesse anche avere diverse applicazioni. Ma i matematici, anche se sono influenzati dalla bellezza, non sono degli irresponsabili: noi volevamo che la nostra idea passasse attraverso un vaglio molto accurato, perche anche una bellissima idea puo avere dei difetti strutturali, che ne inficiano la fattibilita. Allora abbiamo preso I'esempio piu semplice della nostra idea e 10 abbiamo proposto come sfida agli esperti del convegno. Dopo un breve esame, il verqetto e state negativo: la nostra idea era cad uta al primo vero ostacolo. Naturalmente avremmo dovulo lasciar perdere e accettare il fallimento, rna la bellezza era cosi seducente che eravamo un po' restii ad abbassare Ie arrni senza combattere. Abb~a­ mo esaminato attentamente la situazione da capo, e abblamo scoperto che gli esperti avevano commesso un errore: in tal modo noi vendicammo l'idea originale, e la bellezza trionfo. Un altro esempio storieo si trova direttamente nellavoro del gia citato Hermann Weyl. Ne11918, dopo che Einstein aveva enunciato la teoria della relativita generale che sostituiva quella di Newton sulla gravita, Weyl aveva provato a unificarla con la teoria di Maxwell sull' elettromagnetismo. La sua idea era un bellissimo esercizio di matematica, rna purtroppo 10 stesso Einstein mostro che contraddiceva la realta fisica. Nonostante questo, illavoro di Weyl venne pubblicato, con l'obiezione di Einstein in appendice. Alcuni anni dopo, in seguito alia comparsa della meccanica quantistica, I'idea di Weyl venne leggermente modificata e l'obiezione di Einstein cadde. La teoria di Weyl fu

-

16

--

II Club dei matematici solitari

accettata, ed epoi diventata la base di tutti i lavori successivi di fisica teorica: un ulteriore trionfo della bellezza sulla verita. Se lui non si fosse imFmntato, e non avesse insistito affinche iI suo lavoro venisse pubblicato, 10 sviluppo . della fisica sarebbe stato rallentato. Aveva dunque ben ragione WeyI, un matematico con l'animo di un poeta, a dire: «Credo che nella matematica, diversamente dalle scienze sperimentali, ci sia quakosa che I'accomuna alIa Iibera creazione artistica».

:,

•

I

-

..-------~---

--.-----

Alain Connes

Visionari, poeti e precursori

Tutti sanno, naturalmente, che gli eventi della vita non sono commutativi: ad esempio, sposarsi e avere dei figli non e uguale ad avere dei figli e sposarsi. Benche Ie solite operazioni di somma e prodotto siano invece commutative, non mancano esempi contrari anche in matematica: dai quaternioni di William Hamilton del 1843 aile algebre vettoriali di GUnther Grassmann del 1844, aile algebre matriciali di Arthur Cayley de/18SS. L'applicazione piD nota della non eommutativitil delle algebre matriciali eprobabilmente quella scoperta da Max Born e Pascual Jordan ne1192S, che traduce in termini algebrici il famoso principio di indeterminazione di Werner Heisenberg: quest'applicazione ha fornito il punta di partenza per una nuova geometria non commutativa che ha reso famoso Alain Cannes, vincitore della medaglia Fields ne11983. Oltre a essere uno dei piD apprezzati fisici matematici viventi, Alain Cannes enota a un pubblico piu vasto per aver difeso Ie sue radicali idee sulla filosofia della matematica in due libri di sueeesso: Pensiero e materia (Baringhieri, 1991), un'interessante conversazione a due can il neurobiolago Jean-Pierre Changeaux sulle basi biologiche della matematica, e Triangolo di pensieri (Boringhieri, 2001), un'affascinante conversazione a tre, con Andre Lichnerowicz e Marcel-Paul Schiltzenberger, sulla natura della matematica e Ie sue applicazioni.

:,

'

18

II Club dei matematici solitari

Connes ha tenuto al primo festival della Maternatica, il16 rnarzo 2007, una lezione rnagistrale su «Maternatica e jisica: una visione eretica». 00

A mio awiso la matematica eanzitutto uno strumento del pensiero, un generatore di concetti: anzi, si tratta della strumento e del genera tore di gran lunga piu raffinati di cui disponiamo per comprendere. La matematica e, insomma, un metodo di comprensione, i cui nuovi concetti sono generati attraverso un lento processo di distillazione nell'alambicco del pensiero. Li per II si etentati di suddividerla in settori distinti quaIi la geornetria, che e la scienza della spazio, I'algebra, che e I'arte di manipolare i simboli, e I'analisi, che consente I' accesso all'infinito, al continuo, alia teoria dei numeri, eccetera. Ma cosi facendo non si coglie un tratto distintivo di questa disciplina: che non si puo isolame una parte senza privare I'insieme della sua cssenza. Sotto questa profilo, il mondo matematico ecome un'entita biologica che puo sopravvivere solo se se ne preserva I'integrita.

Un alto di ribellione Per me non si diventa matematici imparando, ma facendo matematica. Non eil «sapere» a contare, a essere importante, bensi il «sa per fare». Ritengo quindi che si cominci a diventare realmente matematici con un atto di ribellione. Intendo dire che il futuro matematico, quando inizia a rifiettere su un dato problema, si rende conto che in realm cio che legge nei libri e nella letteratura del settore non corrisponde alla sua visione personale: anzi, spesso e volentieri quello che legge non 10 porta a sapere, ma a ignorare. Poco importa, pem, visto che il matematico si basa su un'intuizione personale e, naturalmente, sulla dimostrazione. Cio che si legge ein fondo irrilevante, visto che il matematico aile prese con un particolare problema capisce che in matemati-

...-~~--

..

--

....

__

.

Alain Connes I

I

19

ca non esiste, d.i fatto, un'autorita. Vi e uno spazio di grande liberta, aperto a chi sa scoprirlo rispettando Ie regole. E il primo requisito e di diventare l'autorita di se stessi. In altre parole, per capire un'idea non bisogna correre a controllare se sta scritta in un libro, perche cosi non si fa che ritardare 1a presa di coscienza della liberm: bisogna invece controllare nella propria testa se vi sia questa coscienza. Solo aIlora . si puo acquisire a poco a poco una grande familiarita con una piccola, piccolissima parte del territorio mato:m.atico e ~are un lungo viaggio attraverso contrade meravlgliose, che SI cerca di esplorare seguendo il proprio orientamento personale.

L'afflato poetico La scoperta, in matematica, si articola in due fasi. Nella prima bisogna arrampicarsi con coraggio su per una parete senza mai guardare in basso, perche se ~o si facesse si finirebbe per dire: «Mah, se qualcuno ha gia analizzato il problema e non e riuscito a risolverlo, perche rnai dovrei riuscirci io?», e si troverebbero trentasei motivi razionali per non salire in yetta. Occorre dunque prescindere del tutto dai tentativi altrui e cercare di «salvaguardare la propria ignoranza» per far germogliare un'idea senza scioglierla prematuramente nel bagno di nozioni dell'istante t. La seconda fase equella della dimostrazione, che consiste nel verificare: essa richiede una forte concentrazione, la quaIe a sua volta comporta un razionalismo eccessivo. Ma per fortuna permane la visione, che attiva I'intuizione della prima fase, non obbedisce a certezze ed epiu affine a uno slancio di natura poetica. Ripeto, vi sono due fasi nella scoperta matematica. Nella prima, l'intuizione non e ancora traducibile in termini che si possano comunicare in maniera razionale: qui conta la visione, e quel che importa non e tanto un atteggiamento statico, quanta una sorta di afflato poetico. E quasi impossibile esprimere a parole questa afflato: quando si prova a farlo, quando si prova a descriverlo, si finisce in certo

20

II Club dei maternatiei solitari

modo per ingessarlo e si perde quel «movimento» che eessenziale alia scoperta. Quando si sono collocate alloro posto abbastanza tessere del puzzle, ci si rende conto che la visione si traduce di. fatto in una risoluzione di problemi. Ma Ie dimostrazioni ottenute, benche perfettamente formulabili e comunicabiIi, non esauriscono il contenuto poetico, il meraviglioso accendersi dell'intuizione iniziale.

La realM matematica

,

Come si distingue un poeta da un matematico? Vi sono poeti, come Yves Bonnefoy, che ammiro molto per la loro affinitil, a livello metodologico, con i matematici. Secondo me, a distinguere il poeta dal matematico ela materia prima, che nel poeta e I'esperienza umana nel mondo materiale. La poesia ha per ingrediente principale il conflitto tra la reallil interiore dell'individuo e la reallil estema, un conflitto che non cessa di stupirci per la sua brutalita. n.matematico, invece, compie un periplo in un'altra geografia, un altro paesaggio, e lunge il percorso entra in conflitto con un'altra realta, la realta matematica, altrettanto dura e resistente della realta materiale in cui viviamo. La prima fase del processo matematico, quella della visione, non basta a fare di qualcuno un matematico. Deve infatti seguirle la fase della dimostrazione, durante la quale si vivono Ie ore dell'incertezza, della sofferenza, della costante paura di essersi sbagliati. A questo punto e un po' come se scendessimo dalla parete e fossimo costretti a guardare continua mente in basso, ripetendoci senza posa: «Chissil, potrei essellni sbagliato in questo punto, e magari mi sono sbagliato davvero». Non si sa niente, e si ha sempre paura. Capita che si passino ore e ore di ansia terribile, proprio perche si ein conflitto con una vera e propria realta. Certo, non ela realta nel senso comune del termine, rna e senza dubbio ancora piuspietata. II concetto di verita riguarda in questa caso un mondo «altro», che non e quello dell'esperienza umana nella real-

:•

Alain Connes

21

ta esterna, rna quello della realla matematica. Bisogna tener presente un aspetto fondamentale: tanti matematici hanno passato la vita a esplorare tale mondo, e tutti concordano sui suoi contorni e sulle sue connessioni. Qualunque sia il punto di partenza del proprio itinerario, un giorno 0 l'altro, se il percorso sara abbastanza lunge e se si evitera di confinarsi in aree di eccessiva specializzazione, si raggiungera una delle molte citta a noi note, come Ie funzioni ellittiche, Ie forme modulari, la funzione zeta, eccetera. Come «tutte Ie strade portano aRoma», cosl il mondo rnatematico e «connesso». Questo naturalmente non significa che tutte Ie sue parti si assomiglino. In Recoltes et semail/es Alexander Grothendieck descrive cosl il suo itinerario dai paesaggi dell'analisi, da cui era partito, a quelli della geometria algebrica: Ricordo ancora l'immensa (benche del.tutto soggettiva) impressione che rni fece, come se avessi lasciato delle steppe aride e impervie per ritrovarrni all'improvviso in una sorta di terra promessa colma di ricchezze lussureggianti che si moltiplicavano all'infinito, ovunque la mano si posasse per cogliere 0 toccare.

L'esempio di Galois Le scoperte di Evariste Galois rappresentano in un certo senso it punto di partenza dei matematici veramente modemi, dove «essere matematici moderni» significa saper andare al di Iii dei ca1coli. Cioe fare i ca1coli non sulla carta, rna mentalmente: capire quale sara la loro natura, quali saranno Ie difficoltil che si presenteranno lunge la strada e, senza effettuarli realmente e concretamente, comprendere quale forma assumedl it risultato, quale simmetria avra. Significa quindi super are quella palude in cui ci si impantanerebbe facilmente, se non si sollevassero gli occhi dal mirino: bisogna provare a uscire dalla palude e guardare verso l'allo, riflettendo ad esempio a livello di simmetrie.

I

I :I

• •

I

•

22

II Club dei matemalici salitari

Come disse 10 stesso Galois: «Saltare a piedi uniti i caIcoli, raggruppare Ie operazioni, cIassificarle secondo la difficolta e non secondo la fOllna: questa e, secondo me, la rnissione dei geometri futuri». Mentre i suoi predecessori cercavano funzioni simmetriche delle radici di un'equazione, Galois ruppe la simmetria per vederci chiaro. II suo punto di partenza fu scegIiere arbitrariamente una funzione delle radici che non ammetteva alcuna simmetria. II bello che il gruppo di invarianza che egli deduce dal passaggio da questa funzione aile radici e in real ta indipendente dalla scelta arbitraria iniziale. Lungi dalI'essere passate di moda, Ie idee di Galois fecondano ancora la matematica contemporanea, per la loro semplicita e gli stimoIi che generano. La teoria dei motivi di Grothendieck, ad esempio, euna generalizzazione naturale della teoria di Galois in dimensione maggiore di 0 (0, se si preferisce, per polinomi in pili variabili). Questi sviluppi recenti, cosi come quelIi della teoria di Galois differenziale, sono direttamentc derivati dalle sue idee. Cito qui, in conclusione, la parte finale della sua letteratestamento:

e

Mio caro Auguste,' tu sai che questi non sono gli unici terni che ho analizzato. Da qualche tempo Ie mie principali riflessioni erano concentrate sull'applicazione della teoria dell'ambiguita all'analisi trascendente. Si trattava di vedere a priori, in una relazione tra quantita 0 funzioni trascendenti, quali scambi si potessero fare, quali quantita si potessero sostituire aile quantita date senza che la relazione venisse meno. Questo permette di riconoscere subito I'impossibilita di molte espressioni che si potrebbero cercare. Ma non ho tempo, e Ie mie idee non sono ancora abbastanza sviluppate su questo terreno che appare immenso.

1 L'amico Auguste Chevalier, al

quale Galois scrisse la notte prima di essere

ucciso in duello il30 marzo 1832.

Freeman Dyson UcceIli e rane: la matematica come metiilfora '

Nel1965 iI premio Nobel per la fisica venne assegnato a Richard Feynman, Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga per iI.loro, !avoro sulla quantoelettrodinamica, 0 QED, che descrzve I mterazione fra la luce e la materia. Ma era stqto iI giovane Freeman Dyson, all' epoea ventiseienne, a d imostrare nel 1949 che i diagrammi di Feynman e gli opera tori di Schwinger e Tomonaga, apparentemente cosl diversi, deserivevano in realtii una sola identica teoria. Bencht! questa sia il suo lavoro piu conosciuto, esso non esaurisce per nulla la varieta degli interessi di Dyson, che e statu uno dei piD eclettici matematici puri e applicati del Novecento, e ha spesso affrontato e risolto i problemi con approeei talmente provocatori e immaginifici, da aver fatto diventare /'aggettivo «dysoniano» un sinonimo di «spiazzante originalita». Vinci tore dei premi piu disparati, dal Wolf per la fisica nel 1981 al Templeton per la scienza e la religione nel 2000, Dyson eautore di libri meravigliosi come Ie autobiografie Turbare l'universo (Bollati Boringhieri, 1981) e L'importanza di essere imprevedibile (Di Renzo, 1998), la serie di conferenze Infinito in ogni direzione (Rizzo/i, 1989) e i saggi Armi e speranza (Bollati Boringhieri, 1984), II sole, il genoma e internet (Bol/ati Boringhieri, 2000) e Lo scienziato come ribelIe (Longanesi, 2008).

24

It Club dei matematici salitari

Il16 marza 2008 questa ottantacinquenne visianario ha chiuso il secondo festival della Matematica can la lezione magistrale «Uccelli e ranee la matematica come metafora». 00

A1cuni matematici sono uccelli, altri sono rane. Gli uccelli volano alto nell'aria e scrutano Ie vaste distese della matematica, spingendo 10 sguardo fino all'orizzonte. Prediligono i concetti che unificano i nostri modi di pensare, e partendo da punti diversi del paesaggio riuniscono una molteplicitii. di problemi. Invece Ie rane vivono nel fango e vedono solo i fiori che crescono nei pressi. Preferiscono osservare i singoli oggetti nei loro minuti particolari e risolvono i problemi uno alia volta. Personalmente io sono una rana, rna molti dei miei migliori amici sono uccelli. La matematica ha bisogno sia degli uccelli, sia delle rane. La matematica Ie cosi ricca e affascinante, proprio perche gli uccelli assicurano I'ampiezza della prospettiva, e Ie rane l'attenzione alIa complessitil del dettaglio. La matematica einsieme grande arte e grande scienza, perche unisce la generalitii. dei concetti alIa profonditii. delle strutture. E sciocco sostenere che gli uccelli siano migliori delle rane perche vedono pib. lontano, 0 Ie rane migliori degli uccelli perche vedono pib. da vicino. II mondo della matematica Ie vasto e profondo al tempo stesso, e per esplorar10 serve che uccelli e rane sappiano lavorare insieme. All'inizio del XVII secolo due grandi filosofi, l'italiano Galileo Galilei e il francese Rene Descartes, annunciarono la nascita della scienza moderna. Descartes era un uccel10 e Galileo una rana. Ciascuno dei due presento una sua visione del futuro, I'una molto diversa dall'altra. Galileo disse: «II gran libro della Natura Ie scritto in simboli matematich>. Descartes disse: «Penso, dunque sono». Secondo Galileo, 10 scienziato deve osservare e misurare accuratamente cio che vede, finche la somma di tutte Ie misurazioni non rivela il funzionamento della Natura: a quel punto, partendo dai dati di fatto, 10 scienziato induce Ie leggi cui

•

Freeman Dyson

,

!

,, ,,

\

i•

,I I

I I

25

obbedisce la Natura. Invece, secondo Descartes, 10 scienziato deve restare a casa sua e dedurre Ie leggi della Natura per mezzo del puro pensiero: per dedurre correltamente Ie leggi della Natura, non gli occorrono altro che Ie regole della logica e la conoscenza dell' esistenza di Dio. Ora, nei quattro secoli trascorsi da quando Galileo e Descartes hanno aperto la via, la scienza e corsa avanti seguendo ambedue Ie piste contemporaneamente. Ne I'empirismo galileiano, ne il dogmatismo cartesiano hanno da soli il potere di svelare i segreti della Natura, rna insieme hanno compiuto conquiste sbalorditive. Da quattro secoli, gli scienziati inglesi sono tendenzialmente galileiani e gli scienziati francesi cartesiani: Faraday, Darwin e Rutherford erano galileiani; Pascal, Laplace e Poincare erano cartesiani. La scienza Ie stata grandemente arricchita dall'ibridazione di queste due opposte culture nazionali, rimaste entrambe operanti in ambedue i paesi. In fondo, Newton era un.cartesiano: ha usato il puro pensiero nel modo in cui 10 intendeva Descartes, e 10 ha usato per demo lire il dogma cartesiano dei vortici. In cuor suo Marie Curie era una galileiana, e ha falto «cuocere» tonnellate di minerale di uranio grezzo per demolire il dogma dell'indistruttibilita degli atomi. Nella storia della matematica del XX secolo spiccano due avvenimenti decisivi, I'uno appartenente alIa tradizione galileiana, l'altro a quella cartesiana. II primo fu il Congresso Internazionale dei Matematici tenuto a Parigi nel 1900, dove Hilbert pronuncio un memorabile discorso in cui propose un famoso elenco di ventitre grandi problemi rimasti irrisolti, tracciando cosi la rotta della matematica per il secolo a venire. Hilbert era un uccello che volava alto sopra l'intero territorio della matematica, rna affido i suoi problemi aile rane perche li risolvessero uno alIa volta. n secondo evento decisivo fu la costituzione, nella Francia degli anni '30, di un gruppo di matematici, riuniti sotto 10 pseudonimo di Bourbaki, i quaIi pubblicarono una serie di libri di testa che stabilissero un quadro unificante I'insieme della matematica. I problemi di sono stati di enorme utilitii. nell'orien-

26

II Club dei matematici solitari

tare la ricerca matematica in direzioni proficue. Alcuni di quei problemi sono stati risolti, per altri non si e ancora trovata una soluzione, rna quasi tutti hanno stimolato il sorgere di nuove idee e di nuovi ambiti della matematica. Il progetto Bourbaki e stato altrettanto influente: ha cambiato il modo di fare matematica per i cinquant'anni successivi, imponendo una coerenza logica quale non si era mai vista, e spostando l'attenzione dagli esempi concreti aile generalita astratte. Nello schema adottato dal gruppo Bourbaki, la matematica e la struttura astratta proposta nei testi del gruppo. Cio che non enei testi non e matematica; e gli esempi concreti, poiche non compaiono nei testi, non sono matematica. Insomma, il programma del gruppo Bourbaki e l'espressione estrema del modo cartesiano di fare matematica. Ha circoscritto la portata della matematica, esciudendone i bei fiori che un viaggiatore galileiano avrebbe potuto raccogliere lungo il cammino. Cio che pill manca nel programma Bourbaki, per me che sono galileiano, e I'elemento sorpresa. Quando ripenso alla sloria della matematica, vedo una successione di salli illogid, di coincidenze improbabili, di scherzi della natura. Uno degli scherzi della natura eI'esistenza dei quasicrista1li. Nel XIX secolo, 10 studio dei cristalli ha condotto all'enumerazione di tutti i possibili gruppi discreti di simmetria dello spazio euciideo. Sono stati dimostrati teoremi che stabiliscono che nella spazio tridimensionale i gruppi discreti di simmetria possono contenere soltanto rotazioni di ordine 3, 4 0 6. Poi, ne11984, sono stati scoperti i quasicristalli, oggetti solidi concreti che nascono da leghe di metallo liquido e possiedono la simmetria del gruppo icosaedrico, che comprende rotazioni quintuple. Nel frattempo il matematico Roger Penrose aveva scoperto la tassellatura del piano che reca il suo nome: si tratta di uno schema di parallelogrammi che coprono allimite il piano, con un ordine pentagonale. I quasicristalli sono analoghi tridimensionali delle tassellature di Penrose, che sono bidimensionali. Dopo queste scoperte, i matematici hanno dovuto ampliare la teoria dei gruppi cristallografici in maniera tale da in-

,

i

Freeman Dyson

II ,I

,

,I .

i , ,•

i

I

27

c1udervi i quasicristalli, dando avvio a un grande programma di ricerca che e tuttora in corso. Un altro scherzo di natura e costituito da un'analogia di comportamento fra i quasicristalli e gli zeri della funzione zeta di Riemann. I matematid si appassionano tanto agli zeri della funzione zeta perche sono situati su una linea retta, e nessuno capisce perch.? Secondo la famosa «ipotesi di Riemann», tutti questi zeri, a eccezione di quelli banali, sono situati su una linea retta. Da oltre un secolo, dimostrare I'ipotesi di Riemann e il sogno di ogni giovane matematico. Voglio ora suggerire un'idea scandalosa: potremmo usare i quasicristalli per dimostrare l'ipotesi di Riemann. Coloro tra voi che sono matematici potranno anche considerarla futile. Agli aItri, cioe ainon matematici, potra sembrare priva d'interessc. 10 pero vi chiedo di prenderla in seria considerazione. In giovenru, il fisico Leo Szilard decise che non era soddisfatto dei dieci comandamenti di Mose e alloro posto ne scrisse altri dieci. II secondo comandamento di Szilard dice: «Fa' che Ie tue azioni siano dirette verso uno scopo degno, rna non chiederti se possano raggiungerlo: dovranno essere modelli ed esempi, rna non mezzi rivolti a un fine». Szilard ha posto in pratica cio che predicava: e stato il primo fisieo a immaginare Ie armi nucieari, e il primo a impegnarsi attivamente nella campagna contro illoro uso. Ebbene, il suo secondo comandamento fa perfettamente al caso nostro: dimostrare l'ipotesi di Riemann e uno scopo meritevole, e non· sta a noi domandarci se possiamo raggiungerlo. I quasieristalli possono esistere in spazi a una, due 0 tre dimensioni. Dal punto di vista della fisiea i pill interessanti sono i quasieristalli tridimensionali, perche abitano il nostro mondo tridimensionale e possono essere studiati con metodi sperimentali. Ma dal punto di vista del matematico sono molto pill interessanti i quasicristalli unidimensionaIi, perche ne esiste una varieta molto maggiore. La definizione matematica di quasieristallo e la seguente: un quasieristallo e una distribuzione di masse puntiformi discrete che ha una struttura retieolare. Ed ecco qual e

-

28

Il Club dei rnatematici solitari

il rapporto fra i quasicristalli unidimensionali e I'ipotesi di Riemann: se I'ipotesi di Riemann evera, allora gli zeri della funzione zeta formano un quasicristallo unidimensionale, definito come sopra. Costituiscono cioe una distribuzione di punti-massa lungo una linea retta, e illoro spettro eanch'esso una distribuzione di punti-massa: uno per ciascun logaritmo dei normali numeri primi e delle loro potenze. n mio suggerimento e questo: facciamo finta di non sapere se I'ipotesi di Riemann sia vera e affrontiamo il problema, per cosi dire, da1l'altro capo. Cerchiamo cioe di ottenere un'enumerazione e una elassificazione completa dei quasicristalli unidimensionali. In altri termini, enumeriamo e classifichiamo tutte Ie distribuzioni di punti che hanno uno spettro discreto. Quella di raccogliere e elassificare specie nuove di oggetti e un'attivita squisitamente ga1ileiana, molto adatta aile rane matematiche. Troveremo cosi akuni quasicrista1li noti, ma anche tutto un universo di altri quasicristalli ignoti. Fra la moltitudine di questi altri quasicristalli, cerchiamone uno corrispondente alla funzione zeta di Riemann. Supponiamo di trovare uno dei quasicristalli inelusi nella nostra enumerazione dotato di proprieta che 10 identifichino con gli zeri della funzione zeta di Riemann. A quel punto avremo dimostrato l'ipotesi di Riemann e potremo metterci tranquilli e a ttendere la telefonata che ci annuncia che abbiamo vinto la medaglia Fields, l'equivalente per la matematica di un premio Nobel. Naturalmente, questi sono sogni oziosi. II problema di c1assificare i quasicristalli unidimensionali edi una difficolta spaventosa. Ma la storia della matematica, se la guardiamo dal punto di vista galileiano, e fatta di problemi spaventosamente difficili che sono stati risolti da giovani troppo ignoranti per sapere che erano insolubili. La c1assificazione dei quasicristalli e uno scopo meritevole e, chissa, potrebbe persino rivelarsi raggiungibile. Ma non e certo un vegliardo come me che pub risolvere un problema di questo grado di difficolta. Lascio quindi questa esercizio ai giovani ranocchi che mi leggono.

--

•

Douglas Hofstadter •

••

•

Come un matemahco conceplsce 1 numen ,

Se oggi la logica e alcune delle sue idee epocali sana note a un vasto pubblico, anche non scientifico, 10 si deve soprattutto a Codel, Escher, Bach di Douglas Hofstadter (Adelphi, 1984), ehe ha esibita una rete di connessiani, spesso insospettate e sorprendenti, fra i linguaggi naturali, artistici, logici, biologici, infarmatici e artificiali, ed evalso al suo autore il premio Pulitzer ne11980. Sulla scia del suceesso del libra, e in seguito al pensionamento di Martin Gardner, per due anni e mezzo «Scientific American» affido aHofstadter una rubrica mensile che lui ehiamo Metamagical Themas, in anagrammatico omaggio ai mitici Mathematical Cames di Gardner. Questi contributi sono stati riuniti in un omonimo volume, e costituiscono un singolare esempio di (ri)creazione scientifiea. Le aItre opere di Hofstadter, da Ambigrammi: un microcosmo ideale per 10 studio della creativita (Hopeful Monster, 1987) a Concetti fluidi e analogie creative (Adelphi, 1996), hanno infine (dOmostrato ehe epossibile studiare l'intelligenza umana in maniera «analogica» e naturale, eontrapposta a quella «digitale» e artificiale ehe trappo spesso monopolizza !'informatica. Grande amante dell'Italia e ereativo parlatore dell'italiano, Douglas Hofstadter ha tenuto il 16 marzo 2007, al primo festival della Matematiea, una lezione magistrale su «Come un matematieo eoneepisee i numeri». 00

Mi hanno chiesto di scrivere sulla bellezza dei numeri. OtI

I i •

j

tomila battute, 0 giu di ll. Sarebbe geniale, ma io purtroppo non conosco ottomila battute, per non parlare di battute sulla

30

II Club dei matematici solitari

bellezza dei numeri. Questa battuta (quale?) e forse l'unica che io conosca, e non e neanche sull'argomento giusto. AIlora invece scrivero delle parole sulla bellezza dei numeri, Ie parole essendo assai pill semplici delle battute. Dunque, ci troviamo nell'anno 2007, per caso il300esimo anniversario del grande matematico svizzero Leonardo Eulero (il cui nome rni fa pensare all' autore inglese Carlo Diccheni e al politico americana Giovanni Fizzogeraldo Chennedio). Noi esseri umani abbiamo l'abitudine di festeggiare anniversari come il300esimo. Ma perche? Che c'e d'interessante nel numero 300? E vero che e uguale a 3 per 100, rna , 100 e interessante? E vero che 100 e il quadrato eli 10, rna 10 e interessante? Mah ... e il numero eli dita che abbiamo noi esseri umani. Alia fine, non ha molto ache vedere con la matematica. E se chiedete a un matematico se trova interessante 300, dira sicuramente «No!». I matematici hanno un gusto un po' particolare. Anzi, molto particolare. Vi daro un esempio di un bel numero dal punto di vista di un matematico. Si tratta infatti di me, e io di profcssione non sono un matematico, rna, vabbe, sono qualcuno che si occupa fin dall'infanzia della matematica, allora per questo scopo credo di contare (per cosl dire). (Contate Ie battute voi? 10 no.) Dunque. Stavo guidando, un paio di anni fa, sulla strada 231 delle stato d'lndiana. Niente di sorprendente, siccome vivo in quello stato, rna quel che interessa, almeno un po', e che avevo guidato su quell a strada dozzine eli volte senza mai aver fatto caso al numero 231, rna quel giorno, chissa perche, mi elissi: «Ah! Mi pare di ricordare quel numero. Dove l'ho visto prima?». E dopo un attimo di riflessione rni venne la risposta: e un numero «triangolare», il che vuol dire che ela somma eli tutti gli interi fino a un certo punto. Per esempio, 10 e triangolare:

• • • • • •

• • • •

I

I•

.,.---

Douglas Hofstadler

I

I

I

31

5i puo concepire come una pila bidimensionale eli palle di cannone. Per dirlo in cifre, 10 e uguale a 1 + 2 + 3 + 4. Immaginatevi adesso la stessa cosa, rna invece di avere solo 4 livelli ne ha 21. Quante palle di cannone ci sarebbero? Cioe, quanto fa 1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 + 217 La risposta? 231! 51, il numero di quella strada statale, e io non avevo mai notato questa proprieta interessante del numero231. Ma mi chiederete, perche 231 e interessante se 10 non 10 e? Tutt'e due sono numeri triangolari! Ah, sl, avete ragione. Pero, c'e qualcos'altro che ho dimenticato eli dirvi, e che aumenta di gran lunga ['interesse eli 231. AI momento di riconoscere il fatto che 231 e il numero triangolare eli 21, mi elissi: «Ah, rna 21 non e anche lui un numero triangolare?». Vedete, Ie cose diventano pill intricate. Eh, sl, in effetti, 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. Dunque 21 eil numero triangolare eli 6. Ma non siamo giunti alla fine! Anche 6 e un numero triangolare, perche 6 = 1 + 2 + 3. Abbiamo finalmente finito? Eh, no, rni dispiace. Anche 3 e un numero triangolare: 3 = 1 + 2. E qui si finisce davvero. Per riassumere, allora, 231 e il numero triangolare del numero triangolare del numero triangolare del numero triangolare eli 2. Non c'e male, eh? Ecco perche si puo dire che 231 e interessante dal punto di vista di un matematico: perche possiede una descrizione molto semplice e sorprendente e, in un certo senso, molto bella. E finalmente, in pill, questa proprieta di 231 si puo generalizzare. Cioe, esiste una sequenza infinita di tali «triangoli iterati», dove ogni nuovo elemento e il numero triangolare del suo predecessore. Guardate: 2 -> 3 -> 6 -> 21 -> 231 -> 26796 -> 359026206 -> 64419908476890321-> 2076895351339769460477611370186681-> 2156747150208372213435450937462082366919951682912789656986079991221

Come diciamo in inglese, «Let's quit while we're ahead» . Crescono in modo incredibilmente rapido questi triangoli iterati, non e vero? La ragione non e difficile da scoprire. C'e una formula per il numero triangolare di qualI I

:

j

•

32

1l Club dei matematici solitari

sias! numero n, doe n (n + 1)/2. Prendiamo I'esempio di n = 21. Si calcola che 21 x 22/2 = 21 x 11 = 231. Giusto! Questa formula semplice implica che il numero triangolare di n conterra (pili 0 meno) due volte il numero di cifre in n. E vedete che questa fatto si realizza nella sequenza qui sopra. II triangolo iterato successivo, se ve 10 facessi vedere, occuperebbe due righe intere di testo, quello successivo occuperebbe quattro righe, poi otto, poi sedici, trentadue, e buonanotte. Se avessi voglia di finire in fretta questa articolo con Ie sue ottomila battute, mi basterebbe estendere la sequenza di triangoli iterati di solo quattro 0 cinque elementi, e zacchete! Ecco fatto! Ma non sono cosi pigro. Per niente.moltre ho ancora delle cose da dirvi. La nostra lezione non e ancora finita. Se si guardano questi triangoli iterati, si vede che finiscono tutti 0 in 1 0 in 6. Non all'inizio della sequenza, certo, rna dal terzo numero in poi e cosio E questa si puo facilmente dirnostrare (non 10 facdo qui, rna e una buona sfida per quelli che si divertono matematizzando). Ma quando compare un 1 e quando compare un 6? Ahime, la domanda diventa molto pili dura. Ci stiamo in effetli chiedendo: «Quando sara pari un triangolo iterato, e quando sara dispari?». Se rappresentiamo i triangoli iterati pari con p e quelli dispari con d, allora viene fuori questa serie di lettere: pdpddppddddppdpdddpppddppdpddd ...

Si percepisce qualche regolarita qui dentro? Ebbene, proviamo. Contiamo, per esempio, la lunghezza dei gruppetti di dedi p. Otteniamo questa nuova sequenza: •

111 2 2 4 2 11 33 2 2 1 1 3 ... •

. E intrigante, rna non si vede nessuna regola chiara. Magari tutti gli elementi della sequenza sono inferiori a 5. Una buona ipotesi! Sarebbe bellissimo, rna perche mai sarebbe cosi? o magari (saltando il primo 1) c'e un ritmo di coppie: 11,22, 42,11,33,22,11, ... Un'altra buona ipotesi! Sarebbe bellissimo anche in questa caso, rna perche mai sarebbe cosi?

Douglas Hofstadler

33

II mio arnico fisico Greg Huber ha trovato un bel trucco per calcolare i termini della sequenza nascosta nei triangoIi iterati, ed eccone i primi 50 per voi: 111224211332211323131311212113134232223111291111111 ...

jAy, ay, caramba! Quel 9 scassa tutto! Da dove diavolo viene? m uno scambio transatlantico di messaggi elettronici, un gruppo di arnicimatematici indago suI piccolo mistero, e fu il matematico rnilanese Enrico Laeng a vedere pili chiaramente di tutti. Egli dimostro che tutto dipende dalla fattorizzazione in numeri primi di questi triangoli iterati enorrni, e in particolare il segreto si nasconde nel numero di fattori primi della forma 4n + 3 (per esempio, 19 023, rna non 17 o 13). Non entrero qui nei dettagli perche e troppo tecnico, rna si vede che una piccola domanda innocente che mi posi mentre guidavo sulla strada divento per. pili di una settimana un fine rompicapo per a1cuni matematici sparpagliati qua e la nel mondf' e che la risoluzione della domanda ci porto fino alla distribuzione dei numeri prirni, un ramo molto ricco e profondo della teoria dei numeri. Tutti i matematici passano illoro tempo cosi? Be', la maggior parte fa indagini simili, solo in spazi molto pili astratti. Ma ovunque facdano Ie lora indagini, i matematici cercano regolarita nascoste, cercano sorprese, misteri, ordine nel caos, e caos nell'ordine. E come abbiamo appena visto, dei grandi misteri dove ordine e caos sono intimamente mescolati possono spuntare nei contesti pili modesti e quotidiani. Basta avere la mente aperta e curiosa. Dunque, sono finalmente giunto alla fine del mio articoletto sulla bellezza dei numeri. Mi domando quante battute contiene. Guardiamo un po'. II programma Word ne conta 8192, e ogni battuta contiene 8 bits, allora 65.536 bits in tutto. Ah! Mi pare di ricordare quel numero. Dove rho visto prima? Che proprieta matematica potrebbe avere? Hmm ...

-

•

-~

~ ..

~

,

MATEMATICA E NATURA

•

! !,

,,

I

1

•

Benoit Mandelbrot

Iiliscio, i1 ruvido e il meraviglioso

Tra Ie novitii della matematica moderna ehe sono arrivate anehe alia gente comune, fino a catturarne l'immaginario, c'e certamente la parola frattale. Letteralmente signifiea «oggetto fratturato», e teenieamente indica unafigura costituita di parti che riproducono in scala piu piccola l'intera figura, con un efjetto di mise en abyme che ha reso questi oggetti papolari non solo nella computer grafica, rna anehe nei poster e sulle magliette. Ii re dei frattali eBenoit Mandelbrot, che ha introdotto la parala nel1975 in Gli oggetti frattali (Einaudi, 2000), e ne ha fatto diventare 10 studio uno dei campi piu papolari della matematica, con applieazioni ehe vanno da La geometria della natura (Theoria, 1990) a II disordine dei mereati (Einaudi, 2005). Al suo nome i! naturalmente legato il famoso insieme di Mandelbrot, i cui anfratti riproducono un'infinita varieta di forme e eostituiseono una sorta di catalogo universale di tutti i frattali. Questo arzillo ed entusiasta ottantenne, che ama parlare e raecantare, ha partecipato il18 marzo 2007 al primo festival della Matematica can una lezione magistrale su «Iiliscio, il ruvido e il meraviglioso». 00

Vengono in mente i maghi e Ie fate, quando un'idea in apparenza insignificante eomineia all'irnprovviso a produrre Ie piu svariate e importanti conseguenze.

,

-

38

--.

II Club dei matematici solitari

Per introdurre I'argomento dei frattali in maniera comprensibile, domandiamoci anzitutto se un oggetto geometrico possa avere la stessa forma quando 10 si guarda da vicino 0 da lontano. Se e cos1, si parla di «autosomiglianza»: sembra del tutto insignificante, e invece questa proprieta e stata il seme di una fioritura di sviluppi che sono arrivati a costituire un'intera geometria. . «Insignificante» e anche il termine adatto a designare la retta e il piano ideali, che sono esempi di autosomiglianza noti a tutti. La sfera invece non e autosomigliante: se la si guarda da vicino sembra piatta, mentre da lontano appare puntiforme, come tutti gli oggetti limitati. Cent'anni fa, tra il1875 e il1925, alcuni perspicaci matematici notarono degli oggetti curiosi 0 «mostruosi», ma sicuramente nuovi e apparentemente non esistenti in natura, oltre che controintuitivi dal punto di vista della geometria corrente: alcuni di quegli oggetti erano autosomiglianti, e questa qualita li rendeva piu facili da descrivere. Molto tempo dopo io Ii separai dalle altre curiosita esaminate dai matematici del passato, dedicai la mia vita scientifica alloro studio e li battezzai «frattali». Con un'enorme prima sorpresa, e con la piu grande gioia intellettuale della mia vita, mi accorsi che quei mostri avevano un ruolo assolutamente inedito: erano stati imprudentemente definiti «eccezionali», ma io dimostrai che la frattalita era invece quasi una regola di natura, che a seconda dei casi poteva riguardare gli accidenti 0 I'essenza. Poiche in genere questa tesi audace e interdisciplinare suscita incredulita, voglio illustrarla rneglio e cercare di renderla «naturale». L'idea fondamentale e che la retta e il piano sono perfettamente lisci, mentre di regola gli oggetti sono rugosi, sia in piccolo che in grande. Proviamo a pensare all'insieme dei messaggi che riceviamo dai nostri sensi. La vista e l'udito, che sono considerati raHinati, furono analizzati per primi e in maniera piu accurata degli altri (anche perche, relativamente parlando, erano i piu facili da analizzare).

I

..,..~

--

------ --- - - - ---- -

39

Benoit Mandelbrot

I

Il senso delliscio 0 del rugoso, che si collocava all'estrerno opposto, rimase al di fuori dell'indagine scientifica: apparteneva al mondo della meccanica pratica, degli ingegneri che cercavano di eliminare gli attriti, e pareva impossibiIe che se ne potesse trarre un qualunque concetto generaIe. Gli interrogativi che poneva la rugosita non erano stupidi, bens1 inaccessibili, e ricevevano al massimo risposte evasive e inadeguate. Pensiamo, per esempio, a domande ineludibili come queste: - Come misurare la volubilita dell' andamento della Borsa, se non altro per valutare i rischi finanziari in maniera realistica? - Come misurare la costa della Bretagna? - Come rappresentare la forma di una costa, di un fiume di uno spartiacque e dei confini di un bacino d'attrazione, nel contesto dell'idraulica 0 dei sistemi dinamici? - Come definire la velocita del vento in pieno uragano? - Come misurare e confrontare Ie rugbsita degli oggetti comuni, come una pietra spaccata, una scarpata, una mon-

tagna 0 un pezzo di ferro? . - Qual e la forma di una nuvola, una fiamma saldatura? - Qual e la densita delle galassie nell'universo? - Come varia l'attivita nella rete di Internet?

0

una

A tutte queste domande, 0 frammenti di domande, estata la geometria fratlale (e, in seguito, la geometria multifrattale) a rispondere per prima in maniera soddisfacente. E ciascuna risposta si basa sull' osservazione, a sua volta sorprendente, che spesso e la stessa rugosita a essere frattale. In molti casi, dall'ambito dei fenomeni naturali a quel10 delle creazioni umane (come la Borsa 0 Internet), la geometria frattale si e rivelata la base per la prima teoria del rugoso «semplice». Per soddisfare la curiosita che i frattali potrebbero avere suscitato, diro che ho dato vita a questa nuova geometria coniugando una certa matematica esoterica con il piu roz•

j

40

II Club dei matematici solitari

zo dei nostri sensi. Essa ha preso piede, ha dato frutti, si e imposta, e ormai non manchera piu di offrire problemi da risolvere: gia oggi il suo orizzonte si e notevolmente ampliato in conseguenza dei miei lavori scientifici e delle avvisaglie storiche che Ii hanno preceduti. Quanto alle conseguenze, la geometria frattale ha condotto a un'incredibile seconda sorpresa, questa volta di natura estetica: Ie nuove immagini frattali, ricchissimo frutto di quella che all'inizio era parsa un'unione mal assortita, che generava solo progenie informatica, vengono sempre piu spesso considerate belle 0, almeno, molto decorative. L'esempio inevitabile eI'insieme di Mandelbrot: una formula antica e apparentemente insignificante si e rivelata fonte di immagini fantastiche che ormai sono diventate ubique, al punto da essere entrate a far parte del patrimonio estetico universale dell'umanita. Tali immagini non passeranno di moda perche, secondo la bella espressione di un mio amico, il compianto Marcel-Paul Schiitzenberger, hanno inaugurato un nuovo stile. Ora che gli effetti della geometria frattale si sono aggiunti alla sua singolare interdisciplinarita, I'incredulita rinasce in forme nuove e ancora piu potenti. Considerato che tale geometria svolge simultaneamente tanti ruoIi diversi, viene infatti da chiedersi come mai essa abbia solo trent'anni, e i primi «protofrattali» risalgano soltanto a un secolo fa. Quello di avere innescato il meccanismo, grazie alia circostanza di essere stato l'uomo giusto nel posto giusto al momenta giusto, e un meraviglioso privilegio che devo accettare con umiltii.. Da quando e stato pubblicato il mio libro ne11975, e soprattutto da quando e uscita I'edizione inglese nel 1982, la geometria frattale ha spiccato il volo in maniera eclatante e completamente spontanea. 10 non ho mai avuto la presunzione di avere <
,.,

~-

--.----Benoit Mandelbrot

41

estemporanee, benche nessuno di lora possa essere considerato un vero e proprio «inventore». Quale corda sensibile dell'umanita aveva dunque atteso che uno come me la facesse suonare? Mentre indagavo su questa grande mistero, mi sono imbattuto in una lerza sorpresa, che riguardava il periodo precedente i miei lavori. Le mie opere mi hanno procurato molti lettori di ogni tipo e una corrispondenza abbondante, ricca di spunti e suggerimenti utili. COS! ho appreso che, nella storia dei frattali, il periodo 1875-1925 e stato intenso e specialistico, rna fuorviante, tanto da poter concludere che non vi si possa rinvenire nessun vero inizio della geometria frattale. Precisero che i frattali sono forme in cui il particolare riproduce la parte e la parte riproduce il tutto. Per assicurarsi che questa avvenga, diverse procedure tracciano a grandi linee una figura, e poi utilizzano.un generatore per aggiungere particolari via via piu min uti: e dunque essenziale avere una progressione senza fine. Stranamente, questa e un'idea gia nota ai teologi. Nel buddismo zen si trova il tema, poi ripreso da Leibniz, della goccia di rugiada nella quale einel usa in minia tura un' in tera riproduzione del mondo, ivi comprese Ie gocce di rugiada che a lora volta riproducono il mondo, e cosi all'infinito. La teologia della goccia d' acqua trova un' eco nei numerosi mandala tibetani, con i loro Buddha di tutte Ie misure, e anche nel quadro L'onda del pittore Hokusai. Per cambiare continente e mestiere, il tema del genera tore di mondi dentro mondi si ritrova nell'universo di Immanuel Kant, fatto di galassie raggruppate in ammassi, superammassi, e cosi via. 0 nei celebri disegni delle «fontane» di Leonardo da Vinci, con i loro mulinelli sovrapposti. 0 nell'angelo di Gustave Dore, fatto di angeli piu piccoli. 0 nei teschi del Volta della guerra di Salvador Dali ... Per cambiare ancora continente, da poco abbiamo appreso che Ie tradizioni artistiche di numerosi paesi africani sono una miniera di frattali, di una finezza colma di signi-

42

II Club dei maternatici solitari

fica to. Per citare un pittore, trovo splendida questa frase di Eugene Delacroix: Nella sua teoria della natura, Swedenborg afferma che i polmoni sana composti da tanti piccoli polmoni, il fegato da tanti piccoli fegati, la milza da tante piccole milze, eccetera. Pur non essendo un osservatore cosi fine, mi sono ac-

corto da tempo di questa verita e ho spesso ripetuto che i rami dell'arte sono essi stessi alberelli completi, i frammenti di roecia sono simili a grandi rocce, e i granelli di terra assomigliano a enormi cumuli di terra. Sona convinto che

troveremo innumerevoli analogie del genere. Una piuma e composta da un milione di piume.

Sofferrniamoci su Swedenborg, Ie cui parole sono state citate da Delacroix: non brillava per la sua erudizione in campo biologico, ma aveva intuito in base ad autentiche osservazioni che il mondo e fatto in questa maniera. Delacroix, da parte sua, ci avrebbe fatto arricciare menD il naso se avesse scelto il cavolfiore. Nessuno di questi esempi e valida dal punto di vista scientifico, e sono anzi tutti fallaci, ma Ii ho riportati per attirare l'attenzione su un fatto evidente: l'idea di autosomiglianza e innata negli esseri umani, e l'intuizione della frattalita fa parte del patrimonio dell'umaniti'l, tanto in Asia quanta in Africa 0 Europa. n bipede implume e divenuto uomo solo dopo aver conquistato il fuoco, aver imparato a condire il cibo e aver decorato il proprio corpo, la propria dimora e il proprio tempio. Nel corso dei rnillenni i suoi motivi decorativi si sono affinati e alcuni di essi, dalle spille aile collane, aile strutture murarie, hanno contribuito alia nascita di una geometria che sarebbe stata poi codificata da Euclide e che, assai piu tardi, sarebbe divenuta 10 strumento fondamentale di molte scienze. Altri elementi decorativi furono scartati agli inizi, ma in seguito hanno contribuito alia rivoluzione antieuclidea in matematica e hanno infine dato forma a oggetti che I'anti-

......

~

-

-

-

~---

----

Be""i! Mmdelbrol

43

ca geometria e I'antica scienza erano state costrette ad accantonare come «amorf;.., cioe appunto come privi di una fOlma analizzabile e descrivibile in maniera sintetica. Dopo aver attraversato e fecondato diversi territori teorici e pratici, e aver effettuato varie incursioni nell'arte, Ie premesse e Ie conseguenze di una lunga vita al servizio della scienza si sono appena ricongiunte davanti ai miei occhi in un anello frattale: il mio lungo e confuso periplo, che era partito molto, molto tempo fa dall' arte, e ora finalmente tomato aile sue origini.

•

•

,, •

, •

I

-

-

,.,--

-

-

John D. Barrow

Dove aeeadono Ie cose ehe non aeeadono

,, ,

I I,'

i ,

John D. Barrow, uno dei piu apprezzati divulgatori scientifici anglosassani, enota in Italia da quando la Sigma Tau gli ha dapprima eommissianato una delle sue prestigiase Leziani Italiane (Perehe it mondo e matematico, Laterza, 1991) e l'ha poi invitato piu valte aile manifestazioni di Spoleto Scienza. ' A lanciarlo editarialmente estata l'Adelphi, ehe ha pubblieato aleuni dei suoi libri piu noti, da Teorie del tuuo (1992) a La luna nel pozzo cosmico (1994). In seguita se 10 sana eontesi Rizzali (Impossibilita, 1999; Le origini de11'universo, 2001), Cortina (Oa11'io al cosmo, 2000) e Mondadori (Oa zero a infinito, 2002; I numeri de11'universo, 2003; L'infinito, 2006). Nella primavera del 2002, infine, Luea Roneani ha messo in seena alia Bovisa di Milano il suo testa teatrale Infinities. Ma alia ribalta Barrow era salito gill nel1986, grazie al suo primo ponderosa libra, nprincipio antropico, seritto insieme a Frank Tipler (Adelphi, 2002). Per aver can questa principia sastanzialmente fatto rientrare dalla finestra quel Dio ehe la srienza aveva fatto useire dalla porta, Barrow ha vinto nel2006 il premia Templeton, ehe eostituisee una specie di premia Nobel per la religione. E al primo festival di Matematiea ha appunto tenuta, il17 marza 2007, una leziane magistrale su «Questioni matematiehe e teologiehe». 00

L'infinito ossessiona Ie menti urnane da migliaia di anni. Sfida teologi e scienziati a riuscire a comprenderlo, a ridur10 a un'unita di misura, a scoprire se si presenta in diver-

, j

46

11 Club dei matematici solitari

se forme 0 dimensioni e a decidere se metterlo fuori legge, oppure accoglierlo a braccia aperte nella descrizione umana dell'Universo. II un problema perennemente aperto. Agli inizi, la ricerca dei fisici di una Teoria del Tutto e stata guidata da una costante attenzione per gli infiniti. La presenza di una risposta infinita a un problema di teoria delle particelle e sempre stata considerata corne un avvertimento che si stava prendendo una direzione errata nella ricerca di una Teoria del Tutto. Per decenni, l'inevitabile comparsa dell'infinito e stata gestita con una strana procedura, che rimuoveva la parte infinita dal caJcolo e lasciava sol tanto un residuo finito da confrontare con I'osservazione. Benche i risultati del cosiddetto processo di «rinormalizzazione» dessero delle concordanze spettacolari con gli esperimenti, rimanevano comunque un profondo disagio e la sensazione che una tale bruttura non potesse far parte della realta fisica. Tutto questa cambib ne11982. L'entusiasmo con cui fu accolta dai fisid la teoria delle stringhe era una conseguenza della sua ingegnosa soluzione al problema degli infiniti, che aveva afflitto tutte Ie teorie precedenti: la teoria delle stringhe era una teoria finita, e pertanto venne universa!mente percepita corne rnigliore delle precedenti. n problema e se ci si debba aspettare che la materia sia infinitamente divisibile. Si troveranno sempre particelle via via piu piccole e piu elementari dentro tutto cib che verra scoperto, corne in una sequenza infinita di matrioske? Oppure c'e unlirnite, una particella minuscola, una dirnensione infinitesima, un tempo brevissimo, dove tutto arriva a una fine? Oggi sembra che la risposta probabile sia quest'ultima, e che la fine debba essere la dimensione della stringa fondamentale: gli ultirni mattoni dell'edificio non sono piccoIe «palle», che si possono scomporre infinitamente. Ma non abbiarno ancora idea se 10 spazio e il tempo siano discreti 0 continul, anche se sappiamo che Ie strutture discrete e discontinue sono infinitamente piu complicate da gestire di quelle continue.

w_w------ ____________ _

John D. Barrow

,

!-

I !,

,

I, ,

,

,-

I

I

I, ,

, I I

I, I

I

-

,, •

47

La teoria delle stringhe e una conseguenza della prassi generale dellavoro degli scienziati, che credono che la comparsa di un infinito reale in una teoria fisica sia un segno che quella teoria e stata estesa oltre il proprio dominic naturale di applicazione: dey'essere rnigliorata, e quando sara aggiornata gli infiniti verranno invariabilrnente ridotti a quantita magari grandi, rna finite. Esiste perb un' area della scienza in cui, tradizionalmente, gli specialisti sono disposti a prendere piu seriamente l'esistenza di infiniti reali, benche rimanga anche qui la possibilita che essi possano essere un segnale di fallimento delle teorie attuali. Quest' area e la cosmologia, in cui si ha da sempre una certa farniliarita con gli infiniti: I'universo pub avere dimensioni infinite, pub avere una durata infinita, pub contenere un numero infinito di stelle. Tutti questi sono infiniti potenziali: non rappresentano una minaccia locale al tessuto della realta, perche non• si raggiungeranno maL Ma ce ne sono altri, piu allarmanti, che sembrano essere infiniti «reali».

Per decenni, i cosmologi sono stati felici di convivere con la nozione che 10 spaziotempo sia iniziato con una «singolarita», in cui la temperatura, la densita, e piu 0 meno tutto il resto, siano stati infiniti in un determinate periodo finito nel passato. Analogamente Ie grandi stelle, quando esauriscono il combustibile e implodono per Ie contrazioni gravitazionali, sono destinate a raggiungere uno state di densita infinita in un tempo finito: una crisi che pub arrivare a sfociare in un buco nero, di cui non si possono ne vedere ne sentire gli effetti nel mondo esterno. Roger Penrose, che non e disturbato da! fatto che un buco nero possa contenere degli infiniti reali, ha suggerito una volta che Ie leggi di natura possono fomire una sorta di censura cosmica: che, cioe, gli infiniti fisici devono sempre essere confinati all'interno di quaJche buco nero. Si tratta di una reminiscenza dell' Agente Celeste che veniva invocato dai filosofi medievali, per evitare la creazione di un vero vuoto in un qualunque processo fisico.

48

II Club dei matematici solitari

I cosmologi hanno un altro strano infinito da contemplareo la possibilita di un futuro infinito. L'universo durera per sempre? Tra l'altro, che significa «per sempre»? E la vita, in qualunque sua forma, puo continuare per sempre? E che significa vivere per sempre, da un punto di vista sociale, personale, mentale, legale, materiale e psicologico? Negli universi a dimensioni infinite, possono sorgere paradossi legati alla ripetizione: se la durata e 10 spazio sono infiniti, e Ie cose accadono casualmente, allora qualunque evento che abbia una probabilita finita deve accadere infinite volte, in qualunque istante. Inoltre, di qual un que storia devono anche accadere tulte Ie sue possibili alternative. • E una sfida difficile per qualsiasi tipo di etica e di teologia umana, e a1cuni scienziati pensano che tulto cio sia semplicemente impossibile. Ma ebene ricordare che la finitezza della velocita della luce ci isola dal contatto con i nostri doppi: in pratica, noi possiamo sol tanto osservare e comunicare con una parte finita dell'universo, e quello che accade al di fuori non ci tocca. Anche i matematicihanno a che fare con la realta dell'infinito: anzi, questa e una delle pili grandi questioni che essi abbiano mai affrontato. Cent'anni fa si e combattuta una vera e propria guerra civile matematica sui significato degli infiniti: una guerra che ha fatto molte vittime, e ha lasciato molta amarezza. Qua1cuno voleva bandire gli infiniti dalla matematica, e ridefinirne i confini in modo da escludere qualunque possibilita di considerare gli infiniti come «oggetti» reali. Sono state chiuse riviste di matematica, e si sono ostracizzati ricercatori di matematica. • E state il genio di Georg Cantor a mostrare come dare un senso ai paradossi dell'infinito, sui quali Alberto di Sassonia e Galileo avevano per primi attirato I'attenzione. Ad esempio, qual e la definizione di insieme infinito? Un infinito puo essere pili grande di un altro? Esiste un infinito ultimo, del quale non si puo costruire 0 concepire niente di pili grande? Oppure gli infiniti continuano senza fine? •

-=-- - ------ ---- --- -- --

John D. Barrow

Cantor non visse abbastanza per vedere i frutti del proprio genio, che oggi fanno ufficialmente parte del corpo di conoscenze della matematica. Isolato e insidiato da influenti oppositori dell'infinito, rinuncio alla matematica per lunghi periodi e soffrl di forti altacchi di depressione prima di • •• monre ill un mamcOIruo. Fu incredibilmente un teologo, invece che un matematico, a cogliere per primo I'importanza dellavoro di Cantor. D'altronde i teologi, antichi e moderni, si sono sempre sforzati di dare un senso agli infiniti nascosti all'interno delle dottrine e dei credi: Dio e infinito? Non dovrebbe essere «pili grande» di qualunque altro infinito, come la lista dei numeri positivi? Oggi abbiamo l' opportunita di distinguere, dopo Cantor, diverse varieta di infinito: matematico, fisico e trascendente. Gli antichi filosofi, a cominciare da Zenone, erano stati messi in scacco dai paradossi dell'infinito. E quelli moderni, di quali problemi si occupano? Ci sono questioni aperte nell'interfaccia tra la scienza e la filosofia, a proposito delIa possibilita di eseguire un numero infinito di compiti in un tempo finito. Naturalmente la questione necessita di un chiarimento: ad esempio, che cosa si intende con «possibilita», con «compiti»1 con «infinito» e «finito» e da ultimo, rna non in ordine di importanza, con «tempo». Dato che la varieta all'interno della scienza moderna e ampia, incontriamo una schiera di strani problemi sull'infinito: l'universo efinito 0 infinito? continuera per sempre? il passato einfinito? in un univers~ infinito puo 0 devesuccedere tutto? ci sono problemi che richiedono un tempo infinito per essere risolti da un computer? La maggior parte della gente pensa che l'infinito e l'illimitato coincidano: curiosamente, non ecost. Esistono cose finite rna illimitate: ad esempio, la superficie di una palla da biliardo. Esistono anche modi insoliti di concepire il tempo come finito rna illimitato. Di solito noi pensiamo al tempo come a una linea retta che si estende davanti a noi, come una fila di soldati che marciano uno dietro l'altro, in •

I

I [

!

•

•

;

••

;

•

,•

,

49

50

Ii Club dei matematici solitari

cui ognuno vede chi ha davanti ed e visto da chi ha dietro. Se pero facciamo marciare i soldati in circolo, ognuno di loro sara contemporaneamente davanti e dietro a tutti gli altri! Se il tempo fosse circolare allo stesso modo, permetterebbe di andare sempre avanti verso il futuro e di ritrovarsi indietro nel passato, con tutti i paradossi che ne conseguono. Leggere questa articolo, e ripetermi parola per parola il suo contenuto, per voi sarebbe come viaggiare indietro nel tempo: voi avreste appreso I'articolo da me, rna io poi 10 udirei da voi.

•

Frank Wilczek

La rieetta numeriea del mondo

• •,

In natura esistono va Tie forze, che a prima vista appaiono diverse jra loro. Gia nell'Ottocento, pera, James Maxwell dimostra che due, di queste forze, l'elettricita e iI magnetismo, sono in reallii soltanto aspetti complementari di un'unicaforza, chiamata appunto elettromagnetismo: II successo di questa prima «teoria uniJicata» stimola i fisici a eereare un'uniJieazione di tutie Ie forze: non soltanlo l'elettromagnetismo e la gravitil, ma anche Ie forze nucleari debole (responsabile del decadimento radioattivo) e forte (responsabile della eoesione del nucleo). Un primo passo verso la realizzazione di questo sogno fu compiuto nei primi anni '60 da Sheldon Glashow, Steven Weinberg e Abdus Salam, che trovarono una nuova unifieazione: questa volta, dell' elettromagnetismo e deUa forza nucleare debole, nella cosiddetta forza elettrodebole. Per questo risultato, i Ire condivisero il premio Nobel per la fisica ne11979. Un secondo pas so fu compiuto nei primi anni '70 da David Gross e dal suo giovane studente Frank Wilczek, che unificarono la forza elettrodebole con la forza nucleare forte in una sintesi chiamata quantocromodinamica 0 QeD, per la quale anch'essi condivisero il premio Nobel per la fisica nel 2004. Wilczek, che racconta i risuItati delle sue ricerche in La musica del vuoto (Di Renzo, 2007), ha partecipato il14 marzo 2008

52

II Club dei matematici solitari

al secondo festival della Matematica con una lezione magistrale su «La ricetta numerica del mondo». 00

La fisica del XX secolo einiziata intomo al600 a.c. quando Pitagora di Samo annuncib la sua maestosa visione. Studiando Ie note emesse da strumenti a corda egli scopri che la percezione umana dell'armonia e legata a rapporti numerici. Esaminb corde dello stesso materiale, con 10 stesso spessore e sottoposte alla stessa tensione, rna di diverse lunghezze. E scoprl che il suono delle note risulta armonioso quando il rapporto delle lunghezze delle corde si pub esprimere mediante piccoli numeri interi: per esempio, il rapporto 2/1 e un'ottava, 3/2 una quinta e 4/3 una quarta. La visione ispirata da questa scoperta e riassunta nella massima «tutto e numero», che divenne il credo della Fratellanza Pitagorica: una societa mista, maschile e femrniniIe, che combinava elementi di un culto religioso anarchico e di una moderna accadernia sdentifica .. AHa Fratellanza spetta il merito di aver fatto molte scoperte, tutte attribuite a Pitagora. La pili famosa eil teorema che porta il suo nome: un risultato centrale nei corsi introduttivi di geometria, rna anche il punto di partenza delle teorie di Riemann-Einstein sullo spazio curvo e sulla gravita. Purtroppo, quello stesso risultato mino il credo della Fratellanza. Utilizzando il teorema di Pitagora non einfatti difficile dimostrare che il rapporto tra l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele e un lato non puo essere espresso in numeri interi. Un membro della Fratellanza che rivelo questo terribile segreto annego poco dopo in circostanze misteriose. Oggi, quando diciamo che la radice quadrata di 2 e irrazionale, il nostro linguaggio riflette ancora quelIe antiche angosce. Eppure la visione pitagorica, una volta che sia stata ben recepita e spogliata di orpelli religiosi, 0 addirittura rnistid, erimasta per secoli una pietra rniliare per i pionieri delle scienze matematiche. Chi lavorava seguendo questa tra-

Frank Wilczek

53

dizione ha continuato a postulare che la struttura profonda del mondo fisico possa essere compresa attraverso costruzioni puramente concettuali, anche se non ha insistito sui numeri interi: a integrazione della semplice aritrnetica sono infatti state ammesse considerazioni di simmetria e di geometria astratta. Nellavoro dell'astronomo tedesco Johannes Keplero questo programma ha raggiunto l'apoteosi, per poi crollare completamente. Gli studenti oggi studiano Ie sue tre leggi dei moti dei pianeti, rna, prima di formulare queste leggi tanto famose, quel grande pensatore ne aveva enunciata un'altra, che potremmo chiamare «1a legge zeresima di Keplero». Non ne sentiamo parlare spesso per il semplice motivo che e errata, rna e stata la sua formulazione ad alimentare il suo interesse per I'astronomia, in particolare per il sistema copemicano, e a lanciare la • sua carrlera. . La legge zeresima di Keplero riguarda la dimensione relativa delle orbite di diversi pianeti. Immaginiamo che i pianeti orbitino su sfere concentriche intomo al Sole: la legge afferma allora che Ie dimensioni di queste sfere sono tali da poter essere inscritte e circoscritte entro i cinque solidi platonici. Questi cinque solidi (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro), aventi ciascuno per facce uno stesso poligono regolare,! sono stati studiati dai pitagorid, usati da Platone nella cosmologia speculativa del Timeo, e portati al massimo splendore negli Elementi di Euelide, con la famosa dimostrazione che essi sono gli unid solidi regolari. Keplero fu estasiato dalla propria scoperta. Immagino che Ie sfere celesti emettessero una musica mentre ruotavano, e fece congetture sulla loro melodia: da qui deriva I'espressione «musica celeste». Essendo una bella realizza-

1 IT tetraedro ha 4 facce triangolari, il cuba 6 facce quadrate; l'ottaedro 8 facre trian-

go1ar~ il dodecaedro 12 facce

pentagonali e l'icosaedro 20 facce triangolari.

- - --54

II Club dei matematici solitari

zione dell'ideale pitagorico, puramente concettuale ma sensualmente attraente, la regola base sembro il degno pensiero di un Creatore matematicamente sofisticato. A suo onore, di uomo onesto e di (proto )scienziato, bisagna dire che Keplero non si crogiolo nell'estasi mistica, ma lavoro attivamente per capire se la sua legge rispecchiasse veramente la realtii. Dopo aver lottato con Ie precise osservazioni di Tycho Brahe, scopri di no: fu cosi obbligato a rinunciare aile orbite circolari a favore di quelle elIittiche, e non pote salvare Ie idee che 10 avevano ispirato. In seguito la visione pitagorica entro in un lungo periado di oscurita. Nella sintesi classica di Newton suI mota e Ia gravita, non c'e nessun motivo per cui la struttura sia govemata da costruzioni numeriche 0 concettuali: tutto e pura dinamica. Date Ie posizioni, Ie velocita e Ie masse di un sistema di corpi gravitanti in un determinato momento, Ie leggi di Newton ci dicono sol tanto come essi si muoveranno in futuro. Niente determina un'unica dimensione o un'unica struttura per il sistema solare, e infatti Ie recenti scoperte di sistemi planetari intomo a stelle distanti hanno esibito modeIli diversi. I grandi sviluppi della fisica del XIX secolo, riassunti dalIe equazioni dell' elettrodinamica di Maxwell, hanno mostrato molti fenomeni nuovi all'intemo della fisica, ma non hanno alterato in modo significativo la situazione. Non c'e nulla nelle equazioni della fisica classica che puo determinare una scala di dimensioni per i sistemi di pianeti, di atomi 0 di qualsiasi altra cosa. II sistema del mondo della fisica classica e diviso tra Ie condizioni iniziaIi, che possono essere assegnate arbitrariamente, e Ie equazioni dinamiche, in cui ne i numeri interi ne qualsiasi altro elemento puramente concettuale ha un ruolo fondamentale. La meccanica quantistica ha cambiato tutto. II model10 atomico proposto da Niels Bohr nel 1913 e stato storicamente decisivo ed e diventato l'emblema della nuova fisica. Sebbene sia applicabile a domini estremamente diversi, il modello di Bohr dell'atomo d'idrogeno presenta una stra-

-,=

~--

_. __ .. _-

-----

Frank Wilczek

55

na somiglianza con Ie sfere celesti di Keplero: la forza in azione e elettrica, invece che gravitazionale; a orbitare sono elettroni intomo a dei protoni, invece che pianeti intomo al Sole; la dimensione e un fattore pili piccolo di 10-22• Ma il filo conduttore rimane indubbiamente il motto che ,
56

II Club dei matematici solitari

Ii delle costruzioni umane e che i disegni della Natura dipendono non da una maestria raffinata dall' esperienza, rna piuttosto dall'applicazione spietatamente precisa di regole semplici. Se sfogliate un testo di meccanica quantistica, 0 se osservate i pattern di vlorazione atomica mediante i moderni strumenti di visualizzazione, l'aggettivo «semplice» non sara forse la prima parola che vi viene in mente, rna si puc certo usare in maniera precisa e oggettiva. Una teoria e tanto pill semplice quanti meno sono gli elementi concettuali che rientrano nella sua costruzione, e devono essere desunti dall'osservazione. In questa senso, la regola base di Keplero forniva una teoria pill semplice (anche se, purtroppo, eccessivamente semplice) del sistema solare rispetto a quella di Newton, perche in quest' ultima Ie dimensioni relative delle orbite planetarie devono essere desunte dall'osservazione, mentre nella teoria di Keplero venivano determinate concettualmente. Da questa punto di vista, la modema teoria atomica e incredibilmente semplice. L'equazione di Schrodinger, che regola il mota degli elettroni negli atomi, contiene due sole quantita non concettuali: la massa dell' elettrone e la cosiddetta costante di struttura fine u, che specifica la forza globale dell'interazione elettromagnetica. Risolvendo I' equazione e trovando Ie vibrazioni che essa determina, si ottiene un modello concettuale che riproduce una gran quantita di dati del mondo reale: in particolare, Ie linee spettrali degli atomi che codificano la loro struttura interna, e che si conoscono in maniera molto accurata. La meravigliosa teoria degli elettroni e delle loro interazioni con la luce e detta elettrodinamica quantistica, 0 QED. In questa modello iniziale degli atomi I'interesse si concentrc sulle parti esterne pill accessibili: Ie nuvole di elettroni. I nuclei, che contengono la maggior parte della massa e tutta la carica positiva, furono invece trattati come minuscole scatole nere nascoste nel centro degli atomi: non esistevano teorie sui valori delle masse nucleari e su altre proprieta, che venivano semplicemente desunte in modo sperimentale.

--

---

Frank Wilczek

57

L'approccio pragmatico e state molto fruttuoso, ed e ancora la base per Ie applicazioni pratiche della fisica nella chimica, nella scienza dei materiali e nella biologia. Ma non e riuscito a fomire una teoria semplice nel senso appena descritto, e non ha soddisfatto Ie ambizioni di una fisica pitagorica. Dai primi anni '30, con gli elettroni ormai sotto controllo, l'attenzione della fisica teorica si erivolta all'interno dell'atomo, verso i nuclei. Non e questa illuogo per raccontare la complessa storia delle eroiche costruzioni e delle ingegnose deduzioni che alia fine, dopo cinquant'anni di duri sforzi internazionali, hanno svelato i segreti di questa dominic apparentemente inaccessibite. Per fortuna, la risposta finale efacile da descrivere, e completa it nostro discorso. La teoria che regola i nuclei degli atomi e la cromodinamica quantistica, 0 QeD. Come suggerisce it suo nome, essa si basa sulla meccanica quantistica: la sua base matematica e una diretta generalizzazione della QED, rna include una struttura pill intricata che supporta una simmetria potenziata. Metaforicamente parJando, la QeD sta alla QED come un icosaedro sta a un triangolo. Nella QeD entrano in gioco i quark e i gluoni. Per la costruzione di un modello preciso della materia ordinaria e necessario considerare solo due tipi di quark, detti up e down,o semplicemente u e d (ne esistono almeno altri quattro tipi, rna sono altamente instabili, e ininfluenti per la materia ordinaria): i protoni, i neutroni, i mesoni 1t e una vasta gamma di particelle effimere, dette risonanze, vengono ricostruiti partendo da queste particelle elementari. Le particelle e Ie risonanze osservate nel mondo reale rispecchiano i pattern ondulatori risonanti dei quark e dei gluoni nel modello concettuale della QCD, tanto quanto gli stati degli atomi rispecchiano i pattern ondulatori risonanti degli elettroni: in particolare, risolvendo direttamente Ie equazioni si possono prevedere Ie loro masse e Ie loro proprieta. Una caratteristica particolare della QeD, che e anche uno dei motivi per cui estate difficile scoprirJa, eche i quark e i

58

II Club dei matematici solitari

gluoni non si trovano mai in isolamento, rna sempre in associazioni complesse: questo «isolamento)} e previsto dalla QCD, benche non sia facile da dimostrare. La QeD e una teoria incredibilmente semplice, nel senso che abbiamo dato alla parola, perche Ie sue equazioni contengono solo tre ingredienti non concettuali: Ie masse dei quark u e d e la costante di interazione forte ex" analoga alla costante di struttura fine ex della QED, che specifica con quale potenza i quark si accoppiano ai gluoni (i quali risultano automaticamente senza massa). In realta, il numero di tre ingredienti una sovrastima: la coppia quark-gluone varia infatti con la distanza, e la si . puo dunque permutare con un'unita di distanza. Si ottiene cosi una nuova QCD, COn un diverso valore di ex" che si comporta in modo esattamente identico alla precedente, rna usa unita c1i misura diverse. Inoltre, si escoperto che Ie masse dei quark u e d non sono molto importanti dal punto di vista quantitativo: infatti sono molto piu piccole delle masse dei protoni e delle altre particelle che li contengono (per curiosita, Ie masse di queste particelle pesanti sono dovute, in massima parte, all'energia pura dei quark e dei gluoni in movimento in esse contenuti, secondo l' equazione inversa di Einstein m = E/c 2). Mettendo tutto insieme, arriviamo alia conclusione piu impressionante: se ci accontentiamo di utilizzare il protone come metro di misura, e di ignorare Ie piccole correzioni dovute aile masse dei quark u e d, possiamo dire che la QCD

e

euna leoria che non contiene alcun elemento non concettuale.

Forse e iJ caso di riassumere. A partire da quattro ingredienti numerici, che devono essere desunti sperimentalmente, la QED e QCD inventano un modello concettuale di oggetti matematici it cui comportamento rispecchia, con estrema precisione, quello della materia nel mondo reale. Questi oggetti sono pattern ondulatori vibratori, e gli elementi stabili della realta (protoni, nuclei atomici, atomi) corrispondono a toni puri, in maniera non solo vaga e metaforica, rna precisa e matematica. Keplero ne sarebbe contento!

-

.

Frank Wilczek

59

La storia continua in diverse direzioni. Aggiungendo un paio di ingredienti, come la costante di Newton G N e la costante di Fermi G F, che parametrizzano rispettivamente la gravita e I'interazione debole, possiamo estendere iJ nostro modello concettuale oltre la materia ordinaria e descrivere virtualmente I'intera astrofisica. C'e tutta una serie c1i idee, che vanno dalla teoria unificata di campo alia supersirnmetria, che potrebbero pennetterci di cavarcela con cinque soli ingredienti: sembra poco, rna quando si arriva a numeri cosi piccoli ogni riduzione ulteriore ha una portata storica. Queste idee saranno messe alla prova in modo definitivo nei prossimi anni dal Large Hadron Collider (LHC) del CERN, vicino a Ginevra, che e diventato da poco operativo . Se pero cerchiamo di rendere giustizia alle proprieta delle moJte particelle esotiche ed effimere scoperte con gli acceleratori ad alta energia, la faccenda si complica parecchio e non si ottengono risultati sodc1isfacenti. Dobbiamo aggiungere pizzichi di nuovi ingrec1ienii alla nostra ricetta, e a volte sembra che, invece di ricavare un profitto di intuizioni da questa nuovo investimento, si ottenga il contrario. Lo stato odierno della conoscenza nella fisica fondamentale e questa: allo stesso tempo trionfante, eccitante e disordinato. L'ultima parola la lasciamo ad Einstein: Vorrei dimostrare un teorema che, al momento, non puo

basarsi che sulla fiducia nella sernplicita, cioe nell'intelligibilita, della Natura: il teorerna che non esistono costanti arbitrarie. E questa vorrebbe dire che la Natura e fatta in rnaniera tale da perrnettere la derivazione di leggi cosi stringenti da far intervenire soltanto IIcostanti" determinate in maniera puramente razionale: non-costanti, dunque,

il cui valore nurnerico potrebbe essere carnbiato senza distruggere la teoria.

--

-~

~

INTERMEZZO ALLA SCACCHlERA

•

-

•

_._..

., ....:=. - - -

Zhores Alferov e Boris Spassky

Partita fra un premio Nobel e un campione mondiale

II pili famoso match di scacchi della storia mediatica Ie certamente stato quello giocato nel 1972 a Reykjavik tra il campione del mondo in carica, il russo Boris Spassky, e 10 sfidante statunitense Bobby Fischer: un prolungamento sulla scacchiera della guerra jredda, in cui ironicamente I'Unione Sovietica e gli Stati Uniti furono rappresentati da due dissidenti, (he in seguito finirono entrambi rocambolescamente in esilio dai rispettivi paesi. Nel1992 il match fu amichevolmente ripetuto a f3elgrado. Per aver «viola to l'embarga» contra la Serbia, Fischer fu condannato dagli Stati Uniti a dieei anni di prigiane, ed esprapriato dei suoi beni. In seguito non pote pili rimettere piede in patria: dopa essere stato arrestato in Giappone neI2004, e aver trascorso alcuni mesi in prigione in attesa di estradizione, ricevette la eittadinanza islandese e visse i suoi ultimi giarni a Reykjavik, dove morl a sessantaquattro anni agli inizi del 2008. ' Spassky continua invece a girare il mondo, e illS marzo 2007 ha giacato al primo festival di Matematica una simultanea con una dozzina di matematici e scienziati, jra i quali ben due premi Nobel: John Nash e Zhores Alferov. Quest'ultimo Ie suo amico da mezzo secolo, ed Ie stato premiato nel2000 per Ie sue ricerche sulIe strutture semiconduttrici a strati multipli, 0 eterostrutture semiconduttrici, che han no permesso la costruzione di microcomponenti che vanno dai transistor veloei utilizzati nei telefonini ai diodi laser utilizzati nelle fibre ottiche. A differenza di Spassky, che se n'era andato fin dagli anni '70, AI-

-.

64

I1 Club dei matematici soIitari

ferav eperl! rimasto in Russia anche dopa la eaduta del comunismo: senza abiurare, eom'e di moda di questi tempi, e continuando inveee a far parte del gruppo parlamentare eomunista alia Duma fino a oggi, E ha raccontato la sua storia in Scienza e sodeta (Sandra Teti, 2006), che fin dal suo programmatico titolo annuncia i due piani della narrazione: quello sCientijico, dalle vicende dell'Aecademia delle scienze di Leningrado alia storia della fisica sovietica, e quello umana e politico, di un combattente indomito ehe continua a difendere, quasi solitario, gli ideali di un tempo ormai perduto, Prima della simultanea contra i matematici, Zhores Alferav (ZA) e Boris Spassky (BS) hanno dialogato sulla matematiea e la lora vita, 00

Vorrei cominciare ehiedendo a entrambi quando e come vi siete eonosciuti, BS: Non 10 so esattamente, Credo a meta degli anni '50, ZA: 10 invece mi ricordo benissimo, Un giorno stavo andando a lavorare all'Istituto Ioffe, a Leningrado, Seeso dal tram diedi un' occhiata alla «Pravda», che veniva distribuita per la strada, e vidi la mia foto! Naturalmente mi sorpresi molto: era solo un giovane scienziato sconosciuto, perche mai avrei dovuto essere sulla «Pravda»? Ma guardando meglio mi accorsi che era la tua foto, perche avevi vinto il Campionato mondiale juniores di scacchi del 1955, Questo dice quanta ci assomigliassimo da giovani: fu allora che decisi che avrei dovuto conoseerti. E siete rimasti amici da allora, sembra, vista ehe quando ho in-

vitato Boris a venire a gioeare qui, lui mi ha risposto: «A un festival di Matematica c'entro poco, rna ci vengo volentieri se posso portare un arnica che invece c'entra molto di piu, avendo vinto un premio Nobel in fisica», In realtii perl! un po' e'entra anehe lei, con la matematica, vero? BS: In effetti, mi sono iseritto a matematiea all'universitil,. Ma quando ho eominciato a gioeare seriamente agli seacchi,

-~

~

~---

,-

Zhores Alferov e Boris Spassky

65

in tornei internazionali, sono passato a filologia per motivi pratici: in sostanza, perche non si faceva nulla. Anche il mio secondo allenatore, il grande maestro Igor Bondarevskij, che mi ha infuso tanta autostima quando ho iniziato la mia scalata verso l'Olimpo, aveva dovuto lasciare la maternatica per studiare qualcosa di meno impegnativo: l'economia, nel suo easo, Ma gli rimase sempre un'enorme capacitil di calcolo: era un computer vivente, utilissimo nelle analisi notturne, Perche oggi, con i computer elettronici, Ie partite di scacchi devono finire entro la giornata, Una volta, invece, si giocava per cinque ore e ci si aggiornava al giorno dopo, e durante la nolle lui stava sveglio ad analizzare la situazione,

Mentre lei dormiva? BS: S1. Anche se non bene, perche di solito era molto nervoso.

A propos ito di computer, non stanno uccidendo l'arle degli seaeehi? BS: Evera, Noi giocavamo usando principalmente il talento, a volte senza una grande eonoscenza delle aperture, Adesso invece molte partite iniziano veramente solo alia trentesima mossa, perche fino ad allora tullo gia stato analizzato e calcolato,

e

Tornando alia matematica, come ha deciso di smettere? BS: E state il mio primo allenatore, Aleksandr Tolus, a convincere il rettore, il grande matematico Aleksandr Danilovic Aleksandrav, che invece di cacciarmi dall'universita poteva lasciarmi trasferire a filologia, Andammo a trovarlo insieme, e io ere rosso dalla vergogna, rna lui era un uomo simpatico e spiritoso, e accondiscese,

. Immagino che la branca della matematiea a cui lei si sentiva piu porlato fosse" , l'analisi? BS: Ah, ah! Sicuramente di analisi ne ho fatta molta, nel-' la mia carriera di scacchista, rna di un altra tipo!

66

II Club dei matemalici solitari

E lei, Zhares, giaca a scacchi? ZA: Ho iniziato a cinque anni, e il mio «alIena tore» era mio fratello maggiore, che aveva sei anni pili di me (dico «aveva», perche e stato ucciso durante la seconda guerra mondiale, al fronte). Anove anni ho avuto la quinta categoria, e a dieci la quarta, rna poi e appunto scoppiata la guerra, e non ho pili continua to.

II giaco continua a interessarla? ZA: Certamente. E ho conosciuto molti ottimi giocatori, a parte Boris: tra gli altri, Mark Taimanov e Anatolij Karpov, oltre naturalmente a Bondarevskij. Mi ricordo che prima delle partite lui calcolava il bioritmo di Boris, e decideva in base a quello se era un giorno favorevole 0 no.

Insomma, possiamo dire che lei, Zhores, i! uno scacchista mancata, e lei, Boris, un matematica mancata? BS: Per me, e sicuramente cosi. Ho molto rispetto per i matematici, e poter giocare oggi con lora e un grande piacere per me. Per questa ho deciso che non vincerb nessuna partita.

Stia attento, periJ, perche patrebbe perdeme qualcunal BS: Quello cercherb di evitarlo.

Ha mai giocato contra dei premi Nobel? B5: No, e oggi ne avrb addirittura due control

A parle giocare in pratica con dei malematici, ci puiJ dire come vede in astratto il rapporla fra scacchi e matematica? B5: Naturalmente in entrambi i casi c'e un grande senso della logica e la capacita di trarre conseguenze da una situazione. Ma se si osservano i migliori giocatori di scacchi, si nota che tutti 0 quasi hanno delle facce diaboliche! Perche giocare ad alto livello non eaffatto un piacere, e non da

•

Zhores Alferov e Boris Spassky

67

molta felicitii.: porta piuttosto a essere dei lottatori, 0 degli assassini. E la bellezza degli scacchi va a farsi benedire.

Dunque lei non Ii cansiglierebbe ai bambini, 0 ai giovani? B5: Come no! Quello eun altro livello, e oltre a essere divertente e anche un' ottima scuola di vita.

Forse perche gli scacchi sana una versione miniaturizzala del gioca della vila? B5: Non saprei come definirli: me 10 sono domandato recentemente, rna non sono riuscito a travare una risposta. Per alcuni grandi campioni sono stati una lotta, per altri un'arte. Per me, forse, una partita con la Giustizia.

In ehe sensa? BS: Perche io sono sempre stato molto pigra, e preferivo dormire piuttosto che allenarmi. E quando sono stato punito ho capito che la Giustizia esiste. 0, se preferisce, che Dio esiste.

Un Dia degli scacchi, intende? B5: S1. Ma in realta e una dea, e si chiama Kaissa. C'i! anche un programma che si chiama COSl, vera?

B5: II nome viene appunto da lei. E la vede a volle, a riesce a parlarci?

B5: No, purtroppo. Ma da al gioco una specie di spiritualita, se cosi vogliamo dire. Succede 10 stesso con la religiosita canonica: sappiamo che Dio esiste, rna non 10 incontriamo mai. A parte nei sogni, forse.

Lei ereligiosa? B5: 5i, ortodosso, rna non strettamente: so solo che Dio esiste, altrimenti non potremmo esistere nemmeno noi. Invece sento molto la spiritualita degli scacchi, che li rende di-

68

II Club del mate/natid solitari

versi dalla maggior parte degli altri giochi. In questa sono vicini alla matematica, credo.

Zhores, lei ci vede una spiritualilii nella matematiea? ZA: No. Per me la matematica e solo un linguaggio, uno strumento, per Ie scienze naturali.

0

Pero nella sua autobiografia lei dice ehe da bambino era molto piu attratto dalla matematiea ehe dalla scienza. •

ZA: E vero. Ma in seguito sono diventato un fisico sperimentale, invece che un fisico teorico, e la matematica non ha avuto una grande importanza nel mio lavoro: anche nei lavori per i quali ho vinto il premio Nobel non se ne usa molta.

Puo cercare di spiegarceli un po', questi suoi lavori? Perche ho cereato di leggere la sua lezione per il premio Nobel, ehe lei presenta come una «esposizione non teeniea», ma non sono riuscito ad andare oltre la prima pagina! ZA: A me sembrava popolare e semplice! Prima di tenere quella lezione ero molto nervoso, rna un mio vecchio amico mi ha delto: «Zhores, non preoccuparti, aile cerimonie del premio Nobel non si fanno domande, perche non sarebbe educato mettere il vincitore nella condizione di non saper rispondere sull'argomento per cui ha vinto».

ehe eosa sono, comunque, Ie eterostrutture ehe lei ha seaperta? ZA: In pratica sono cristalli falti dall'uomo. La maggior parte dei materiali sono fatti dalla natura, rna cambiando un alomo qua e la noi possiamo modificame Ie proprieta e creare materiali che non esistono in natura. •

•

E nanoteenalagza?

ZA: Anche, rna non solo. E soprattutto un nuovo capitolo della fisica allo state solido, in cui si ha a che fare con proprieta cosi strane che, commentando una delle scoper-

Zhores Alferov e Boris Spassky

69

te piu importanti in questa campo (l'effetto Hall quantistico frazionario), qualcuno ha esclamato che in fisica chi dimostra che due piu due non fa quattro di solito finisce per prendere il premio Nobel. •

A propos ito, quanta cambia la vita di uno seienziato ehe vince il premio Nobel? ZA: Sicuramente c'e la soddisfazione per il grande riconoscimento che viene oltenuto. E c'e la possibilita di essere ascoltati quando si fanno proposte scientifiche, i1 che ad esempio e molto importante nella Russia di oggi. Ma ci sono anche aspetti negativi e fastidiosi, perche si e costretti ad accollarsi molti nuovi oneri. E quanta cambia la vita di uno seacchista che vince il campio-

nato del mondo? BS: Naturalmente si emolto orgogliosi di quello che si e raggiunto, rna gli anni in cui sono state campione del mondo per me sono stati i peggiori della mia vita.

A ddirittura? BS: Sl, per Ie responsabilita che mi piombarono addosso. n mondo degli scacchi sovietici era come una piramide, alla cima della quale sedeva i1 campione del mondo, che veniva costretto a prendersi cura dell'intera piramide. 10, ad esempio, rni sono trovato a presiedere una specie di sindacato dei grandi maestri, che aveva un'infinita di compiti: organizzare Ie squadre, decidere i giocatori da mandare all'estero, propagandare gli scacchi nella societa ... Di colpo, i1 mio castello (di pezzi) d' avorio fu fagocitato dal sistema. I gioeatari sovietici erano dunque come impiegati statali? BS: Assolutamente. In Occidente pochissirni erano professionisti e potevano permettersi di vivere di scacchi, almeno fino all'avvento di Bobby Fischer; gli altri erano piu o meno dilettanti, e si mantenevano in allri modi. In Unione Sovietica invece il gioco era finanziato dallo stato, e noi

70

II Club dei matematici solitari

eravamo tutti stipendiati: io, ad esempio, ricevevo duecentocinquanta rubli al mese.

Com'era in confronto al salario di un operaio? BS: Un po' maggiore, perche nelle fabbriche in quel periodo se ne guadagnavano centosessanta 0 centosettanta. Ma l'altra faccia della medaglia era che non avevamo nessuna liberta professionale. 10 non potevo nemmeno scegliere a quali tornei partecipare, e dovevo andare dove mi .mandavano. Quando sono emigrato in Occidente ho dovuto ricominciare tutto da capo, rna ero felice di poter decidere dove giocare, e sperimentavo un fantastico senso di liberta.

Durante la sfida con Fischer si diceva che lei avrebbe defezionato, alia fine. Ci ha pensato? BS: Si diceva, rna non so chi abbia messo in giro la voce. All'epoca non potevo farlo, perche un re non scappa.

Da noi il re l'ha fatto, purtroppo! Ma mi sembra che siamo arrivati a un punto di disaccordo fra voi, sui modo di considerare I'Unione Sovietica. BS: 10 rispetto moltissimo I'approccio di Zhores, e non vorrei nemmeno generalizzare troppo il mio caso: in fondo, come poteva sentirsi a suo agio nel sistema sovietico, che non ama ire, uno come me, che ha passato la vita a difenderli! Per questo sono monarchico ...

E solo una battuta, 0 dice sui serio? BS: SuI serio! Ho studiato un po' di storia, e mi sembra che il periodo migliore della Russia sia stato 10 zarismo.

Ma non era uno zar anche Stalin? BS: No, no! Mi spiace, rna Stalin non era uno zar: non aveva responsabilita, aveva dimenticato il suo popolo, poteva uccidere chi voleva e quando voleva.

Zhores Alferov e Boris Spassky

71

E 10 zar no?

BS: No. Uno zar 0 un re sono responsabili!

Zhores, immagino che lei non sia d'accordo? ZA: 10 penso che se vogliamo restaurare la monarchia in Russia, dobbiamo trovare un nuovo zar tra i re degli scacchi.

Vuol dire uno come Spassky, 0 come Kasparov? ZA: Non Kasparov, Spassky! BS: 10 non sono in corsa: preferisco il mondo dei giochi.

Tornando al jinanziamento statale degli scacchi, anche la scienza in Unione Sovietica era nella stessa situazione, no? ZA: Gli anni '60 e '70 sono stati un periodo felice nel nostro paese sia per gli scacchi sia per la scienza. Entrambe Ie attivita fiorivano, e anche gli scienziati percepivano stipendi come quelli citati da Boris per gli scacchisti.

Lei pensa che la scienza e la ricerca debbano .essere finanziate dallo stato, e non dai privati? ZA: Certo, perche I'industria finanzia solo db che pub dare un profitto immediato. E un mito che I'industria finanzi la scienza, anche se a volte e successo: alla IBM e alla Bell Telephone, ad esempio. Ma persino negli Stati Uniti di oggi, che sono il principale paese capitalista, il supporto basilare alla scienza e aile universita e dato da fondi federali e statali.

Passando al persona Ie, posso chiederle qual e if miglior fisico che ha conosciuto? ZA: Probabilmente John Bardeen, che e stato I'unico al mondo a prendere due premi Nobel per la fisica: uno nel 1956 per i transistor e un altro ne11972 per i superconduttori. 10 ero in sabbatico a Urbana-Champaign quando annunciarono il secondo, e poiche 10 conoscevo bene andai alia sua conferenza stampa. Un giornalista, che 10 sapeva

72

II Club dei matematici solitari

molto orgoglioso di aver fatto un giorno a golf una buca in un colpo solo, gli chiese cos' era meglio: quel colpo, 0 un premio Nobel? E lui rispose: «Due premi Nobel sono meglio di una buca in un colpo solo».

E lei, Boris, qual e10 scacchista che preferisce? BS: Direi Alexandre Alechine, un personaggio tragico nella storia degli scacchi. In un certo senso un analogo di Bardeen, perche e state per due volte campione del mondo.

Non l'ha certo conosciuto, pero, vista che emarta nel1946. BS: Direttamente, no. Ma indirettamente, sl: in sogno ci ho giocato e gli ho parlato.

Davvero? E che cosa gli ha delta? BS: Lui stava facendo una simultanea, come quella che io faro tra poco con i matematici, e ha aperto molto bene. Abbiamo scambiato un paio di mosse, poi io ho fatto un gambetto di reo Lui ha detto: «Ah, molto interessante, vuoi giocare il gambetto di re". E io ho risposto: «Mi spiace, sono un grande maestro, rna se vuoi dopo la prossima mossa possiamo fare un'ana1isi di questa apertura». E lui ha accettato. Strano sogno, vero?

Direi di sl. Le succede spesso di sognare incontri can campioni del passato? BS: Per fortuna no, se no finirei in manicomio.

E fra i giocatori che ha incontrato di persona, invece, qual e stato il piu interessante? BS: Paul Keres. Era il mio idolo: una personalita fantaslica, un gran senso di collegialita, molta modestia. Mi ha enonnemente influenza to, dal punto di vista culturale.

Dopa i modelli, passiamo ai rivali: ehe si prova a dividere il premia Nobel can qualcun altro? ZA: 10 rho vinto con Herbert Kroemer, un fisico americano di origine tedesca. Ma la nostra estata una specie di collabo-

- ....

-

-

Zhores Alferov e Boris Spassky

73

razione: lui faceva proposte teoriche, e io Ie realizzavo sperimentalmente. Ero molto contento quando ho saputo che dovevamo condividere it premio, e lui anche: estate it primo a fanni Ie congratulazioni, un paio d'ore dopo l'annuncio.

E ehe si prova a lasciare il titolo di campione del mondo nelIe mani di un altro? BS: Lei vorrebbe che parlassi di Bobby Fischer, vero? Giit BS: Sono un po' restio a farlo, perche so quanto lui sia suscettibite. 10 mi considero un suo amico. Lui invece mi considera un «amico-nemico»: frenemy, secondo la sua stessa definizione. Immagino che sia il massimo a cui puo arrivare uno come lui.

Lei perf) l'ha difeso pubblicamente in una leltera al presidenIe Bush. . B5: 5i, perche in quel periodo era in una posizione estremamente vulnerabile. L'avevano arrestato in Ciappone, e io ho chiesto al signor Bush di permettermi di condividere la sua situazione, visto che ero state complice del suo presunto reato. Ho chiesto che fossimo messi nella stessa cella, con una scacchiera.

Perehe cosl Fischer sarebbe stato costretto a giocare can lei? BS: Cia. Ma Bobby poi mi ha detto che non avrebbe voluto avere it suo «amico-nemico» con lui in cella: avrebbe preferito la bella Alexandra Kosteniuk. 1 In effetti, e un'ottima idea.

A proposito di Fischer, lei giocherebbe alla maniera da lui proposta, can posizioni iniziali casuali? BS: Ci ho gia giocato.

1Alexandra Kosteniuk ha vinto il campionato mondiale fernminile di scacchi ne12008.

74

II Club dei matematici solitari

Anche con lui? BS: No comment!

Oggi invece giochera alla maniera solita. E pronto? BS: Certo, rna questa occasione speciale mi fa venire in mente che nel1933 Alechine, di cui abbiamo parlato poco fa, giocb una sirnultanea con i rnernbri del parlarnento irlandese.

E un Jatto vero, 0 l'ha sognato? ,

BS: E vero. E per la particolarita dell'occasione fu permesso a tutti di bere alcolici a volonta. COS1 dopo un paio d'ore erano tutti addormentati, cornpreso Alechine. Poi si risvegliarono, ripresero a giocare, e andarono avanti un bel po'.

Non vorra ripetere l'esperimento qui! BS: No, rna vorrei che la partita fosse it pili possibile rilassata. Un vero gioco, non una lotta.

Bene. Ma, prima di congedarci, vorrei finire con Ie vostre autobiograJie. Lei ne sta scrivendo una, vera? BS: S1, rna finora sono arrivato solo a11950. E il capitolo suI periodo in cui fui campione del mondo si intitolera «II re e nudo», come la famosa frase della fiaba di Andersen.

Comemai? BS: Perche a quel tempo non avevo protezione e rni sentivo completamente. solo, anche prima di perdere it campionato.

Strano. Noi pensavamo che avesse il sostegno di tutta la nazione, in quella versione scacchistica della guerra fredda. BS: Chissa. Forse sono semplicemente stato stupido, e avrei potuto gestire tutto molto meglio. Dopo aver vinto it titolo, it mio allenatore Bondarevskij mi disse: «Boris, ades-

Zhores Alferov e Boris Spassky

75

so hai tutte Ie porte aperte: entri nel partito, diventi il direttore di «64»,1 viaggi per it mondo». E aveva ragione. E invece, che successe?

BS: Che io risposi: «Mi spiace, rna non fa per me».

Per pigrizia 0 per disinteresse? BS: Per stupidita, come ho detto.

Qualcuno sostiene che lei sia arrivato impreparato alIa sfida can Fischer. BS: Non credo fosse una questione di preparazione. E stato il mio sistema nervoso a crollare, e si sa che un siste• rna nervoso sal do eindispensabile per affrontare un periodo di lunga lotta. In fondo, l'avversario pili difficile con cui ho dovuto lottare sono sempre stato io stesso. E quale fu il motivo del crol/o, col senno di poi? BS: Credo che volessi farla firiita con la vita da campione, che era molto pesante. Avrei potuto mantenere il titolo, non assecondando Ie bizze di Fischer e lasciando che 10 squalificassero. Ma ho rifiutato di farlo: ho preferito lottare e essere ucciso, per finire degnamente questa bella attivita.

Estata anche una guerra psicologica? BS: Soprattutto. A quel tempo Bobby era pili forte di me, rna lui non 10 sapeva ancora e all'inizio mi temeva. 10 ho commesso suicidio quando ho accettato di giocare la terza partita a porte chiuse, e ho perso: e stato in quel momento che Bobby ha capito di essere pili forte, e da allora gli e venuta la voglia di lottare e di uccidermi.

1 «64>~

era la piu importante rivista di scacchi sovietica.

76

Il Club dei matematici solitari

Mi sembra ehe lei abbia avuto problemi psieologiei aneora maggiori eon Karpav. , BS: E vera, chissa perehe. I nostri giochi sene incompatibili, rna recentemente abbiamo fatto due partite in Corsica, e io ho vinto: un punto e mezzo contra mezzo. 0 meglio, e state lui a perdere, perche in una posizione di pareggio ha commesso un errare suicida. Sono stato molto contento: quando un vecchio coccodrillo ne morde uno giovane, e sempre felice.

A lei piaeeiana queste metafore animali: mi rieordo ehe me ne ha detta un'altra sulle sue due sfide mondiali eon Petrasian, la prima persa e la seeonda vinta. ,

BS: E vera. Lui era una tigre: in fondo, si chiamava Tigran. Nella prima sfida io era un micino, al suo confranto, rna nella seconda avevo acquistato esperienza ed era ormai diventato un orso, che prese la tigre per il collo e la morse fino alia fine.

Lei inveee, Zhares, la sua autobiografia /'ha giil seritta. ZA: Non completamente. Per ora arriva solo ai primi anni '50: per la precisione, al30 gennaio 1953, quando arrivai allo Ioffe Institute. Che e, pili 0 meno, il periodo in cui incontrai per la prima volta Boris. Sto ancora cercando di and are oltre, rna come dico nell'epigrafe: «Da mol to meditavo di scrivere del mio passato, rna non riuscivo a trovare il tempo. Ora temo di non farcela». Una parte importante del libra e dedicata a scienza e societa, e alla situazione dE;lla ricerca e dell'istruzione in Russia. Oggi, si interessa di pili di questi prablemi la comunitii. internazionale ehe 10 stesso governo russo. E questo dimostra quanto la scienza sia un'impresa sovranazionale, e quanto possano fare i vari paesi per aiutarsi a vicenda.

.--

-

MATEMATICAEDECONOMITA

•

-

--

.---

Amartya Sen

La rnaternatica e Ie scienze sociali

Se WI data pUG servire a smascherare la natura occidentalista del premia Nobel, eche l'abbiano vinto soltanto cinque indiani. L'ultimo e Amartya Sen, che I'ha ottenuto nel1998 per l'economia, piu in particolare per i suoi lavori matematici sulla teo ria delle scelte sociali da un lata, e per i suoi studi etici sulla poverta e Ie carestie dall'allro. Dopa aver insegnato per quindici anni a Calcutta e Delhi, Sen ha lasciato /'India nel 1971 per la London School of Economics. Dal 1987 Jza una doppia caltcdra a Harvard in economia efilosofia morale, e dal1998 al 2004 eanche stato rettore del Trinity College di Cambridge. Ma non ha mai smesso di interessarsi ai destini del suo paese: ne ha sempre mantenuto la cittadinanza esclusiva, vi ritorna regolarmente almeno due volte all 'anno, e ne 1111 studiato a fondo Ie problematiehe economiche e soeiali. In vastita degli interessi e dell'impegno intellettuale di Amartya Sen, che I'ha fatto paragonare a Adam Smith e K11rI Marx, etestimoniata da opere che vanna da Scella, benessere, equita (iI Mulino, 1986) e Razionalita e liberta (iI Mulino, 2005), a Laicismo indiano (Feltrinelli, 1998) e I:altra India (Mondadori, 2005). In sua partecipazione al secondo festival di Matematica I'ha visto tenere, il13 marzo 2008, una Iezione magistrale su «In matematica e Ie seienze socia/i». II ragionamento matematico riveste una grande importanza nelle scienze sociali moderne, soprattutto in econo. mia. Cia nonoslante, non si Ie ancora sopito i1 vecchio di-

80

[[ Club dei matematici solitari

battito fra chi ritiene che la matematica abbia impoverito Ie scienze sociali e chi sostiene che Ie abbia arricchite. Forse, sono vere entrambe Ie cose. Per Quintiliano, intellettuale romano del I secolo, c'erano due buoni motivi per studiare la geometria: fa comodo nella vita quotidiana e aHena la mente. Esaminiamoli brevemente entrambi

La matematica eutile Perche la matematica e utile per capire e formulare cio che vogliamo studiare? Galileo aveva gia risposto ne11623, scrivendo nel Saggiatore che il «gran libro» dell'universo e scritto <
--Amartya Sen

81

la logica matematica e I'algebra relazionale. E non sarebbe stato possibile arrivare a quello stupendo risultato senza un ragionamento formale. C'e un nesso tra Ie storie recenti della materna tic a e dell'economia, sui quale vale la pena soffermarsi. Agli inizi del Novecento gli studi materna tid presero un nuovo orientamento, e dopo i contributi di Bertrand Russell, Kurt Godel e altri ci furono importanti lavori sui fondamenti della disciplina e sulle loro implicazioni filosofiche. Molti di questi sviluppi matematici erano stati preannundati dal grande David Hilbert, che aveva evidenziato Ie analogie tra Ie strutture formali relative a campi di indagini analitiche molto distanti tra loro. n nuovo interesse per gli insiemi e Ie relazioni, per l'analisi e la topologia, per la teoria delle decisioni e la teoria dei giochi, e via dicendo, si concentrava in un settore ben diverso dalla meccanica. Agli inizi la divisione tra matematica pura e applicata, dove «applicata» significava soprattutto «applicata alla fisica», risulto essere di impedimento: fu necessario ridefinire i confini per potersi occupare di variabili appartenenti a generi molto diversi, come quelle legate aile decisioni umane. Oggi il Novecento puo essere considerato come il cardine di una doppia trasformazione: l'economia e cambiata verso la meta del secolo, sulle orme degli sviluppi della matematica avvenuti poco prima. Un anno dopo aver dimostrato il teorema di impossibilita dell'aggregazione sociale, Kenneth Arrow trovo infatti un sistema per rappresentare Ie relazioni del mercato in termini di interazioni competitive, senza alcune delle restrizioni imposte da precedenti inquadramenti matematid. Negli anni seguenti, si assistette a un'esplosione di ricerche matematiche in entrambe Ie discipline. E sempre nel 1950 John Nash, un matematico puro che oggi e considerato anche un grande economista, ottenne due risultati fondamentali nella teoria dei giochi: dimostro l' esistenza di relazioni d'equilibrio in giochi non cooperati-

82

11 Club dei matematici soIitari

vi, e defin1 i termini salienti per la cooperazione tra individui. II primo a orientarsi verso la teoria dei giochi era state il matematico John von Neumann, autore insieme a Oskar Morgenstern del classico Teoria dei giochi e comportamento economico (1944), che ebbe una grande influenza sull'analisi economica. Un usa fruttuoso del ragionamento matematico in economia richiede di valutare criticamente il tipo di matematica da usare per ogni problema, e di decidere se sia il caso di ricorrere a tecniche matematiche non ancora ben sviluppate. In altre parole, enecessario tener conto della domanda del10 scienziato sociale, oltre che dell'offerta del matematico. ~n ~a certa misura, questa e accaduto. Si e fatta parecchia ncerca su strutture «meno rigide» delle relazioni e degli insiemi: ad esempio, sugli ordinamenti incompleti (con ordini parziali, 0 serniordini, di diverso genere) e su classi di insiemi e di relazioni
1 LaJuzzy logic, I~tteralme~te «iogica sfumata», e una parte della logica che ammette un contmuum dl valori intermedi fra vero e falso.

----,.._.--

e

La matematica formativa

Vorrei venire ora al secondo motivo di cui parlava Quintiliano: it ruolo formativo della matematica. A volte questa sua virtU viene contestata. A quanta riferisce Platone nella Repubblica, Glaucone disse a Socrate: «Non ho mai conosciuto un matematico che sapesse ragionare». Forse Glaucone alludeva alla tendenza che certi matematici hanno a rinchiudersi nel ragionamento matematico, cos1 come Michio Morishima alludeva alla mentalita ristretta di certi economisti matematici. Nel Seicento, la stessa diagnosi faceva dire al matematico (e filosofo) Blaise Pascal nei Pensieri: «I matematici me non sono altro che matematici, ragionano correttamente quando tulto viene spiegato loro con definizioni e assiomi. Ma quando cos1 non e, sono imprecisi e insopportabili, perche vedono chiaro soltanto a partire da prindpi altrettanto chiari». Non dico certo questa per schierarmi contro un'educazione matematica: piuttosto, per mettere in guardia contro una fiducia eccessiva ed esclusiva nel ragionamento matematico.

e

La matematica divertente

Infine, aggiungerei un terzo motivo a quelli di Quintiliano: la matematica puo essere divertente (anche se, ovviamente, tutto dipende dai gusti). C'e un bell'aneddoto, forse apocrifo, suI grande matematico indiana Bhaskara, nato nel1114 (delto anche Bhaskara II, per non confonderlo con un altro celebre matematico omonimo del VII secolo a.c.). Dei tre famosi libri di matematica di Bhaskara, uno eintitolato Lilavati. In sanscrito la parola significa, tra I'altro, una certa bellezza ed eleganza femminile, e pare fosse il nome della figlia dell' autore, alla quale illibro e dedicato. Dice dunque I'aneddoto che Bhaskara avrebbe cercato di convincere la vivace ragazzina a studiare matematica, sostenendo che gli amici I'avrebbero invitata a molte feste se

84

II Club dei matematici solifari

lei avesse saputo rallegrare i presenli offrendo loro enigmi matematici da risolvere. Non sappiamo luttavia se LilavaIi sperimentil quel sistema per assicurarsi un alto indice di gradimento. Ne, sopratlutto, se dopo averlo utilizzato sia stata invitata ad altre feste. Oltre ad avere uno scopo edonistico, I'uso ludico della matematica influisce anche suI comportamento, sulle scelte, e persino sull'evoluzione delle materie accademiche. Qualcuno sostiene, con una certa plausibilita, che gli economisti matematici scelgono solo problemi che si prestano al formalismo matematico, e che 10 fanno soprattutto per divertire i colleghi e far colpo su di loro. Concludendo, possiamo comunque dire che per mol- . to tempo l'economia e Ie scienze sociali hanno beneficiato enormemente del ragionamento matematico, anche se a volte hanno sofferto di un suo ruolo esclusivo. In ogni caso, dovrebbe esser possibile usarlo utilmente e senza subirne i limiti. Vorrei peril lasciare l'ultima parola a un altro personaggio del I secolo, Marco Valerio Marziale, di cui Roma apprezzava molto Ie poesie satiriche. Marziale era contento che Ie sue opere fossero tanto amate, rna un giorno sugged a un estimatore eccessivo dei suoi versi di «teggere anche altro». Potrebbe essere un buon consiglio per gli economisti matematici e, se ha ragione Pascal, anche per i matemalici.

-

John Nash Incontro con una mente meravigliosa

Un libro di Sylvia Nasar (Rizzoli, 1999) e un film di Ron Howard, entrambi intitolati A Beautiful Mind e di grande successo, hanna raccontato la strana storia di John Forbes Nash, il genio che ha legato il suo nome a una serie di risultati otienuti ne/ giro di una decina d'anni e pubblicati in una decina di artieoli, raeeoW da Harold Kuhn e Sylvia Nasar in Giochi non cooperativi e altri scritIi (Zaniehelli, 2004), un paio dei quali gli sana valsi iI premia Nobel Fer I'economia nelI994. E una tragica ironia del destino ehe un uomo che ha vissuto venticinque anni da squilibrato, soffrendo di schizoJrenia paranoide e credendosi l'imperatore dell'Antartide e iI Messia, sia passato alia storia per aver introdotto la nazione di equilibria oggi universalmente usata nella teoria dei giochi: un compartamenta, ciae, che non pub essere migliorato can azioni unilaterali, nel sensa che 10 si sarebbe tenuto anche avendo saputo in anticipo iI comportamenta dell'avversario. La conc/usione del primo festival di Matematica estata i/ trionfale incontro pubblico del 18 marzo 2007 can questa Beautiful Mind, che ha parlato a yuata libera di matematica e pazzia, e ripercorso alcune tappe della sua singolare vicenda scientifica e umana. 00

Stamani lei ha giacato a seaechi can Boris Spassky, nella simultanea. Com'e andata? A un certo momenta Spassky ha mosso in avanti l'alfiereo C'e una risposta standard, cioe muovere in avanli un pe-

, •

-

86

Il Club de; malematici solitari

done per respingerlo, rna sembrava troppo ovvia per una mossa di 5passky. Cosl ho pensato che forse c'era qualcosa sotto, e non ho fatto quel che avrei dovuto.

Essenda sia un matematiea che uno scacchista, che relazione vede tra Ie due discipline? Vedrei meglio un parallelo tra scacchi e informatica, vis to che ormai ci sono programmi molto potenti per • glOcare.

Pensavo aile similitudini tra Ie attivita del matematico e del10 scacchista. Una partita e sicuramente simile a una dimostrazione, nel senso che entrambe devono essere strutturalmente solide e logicamente impeccabili. E uno scacco matto puo essere visto, allo stesso tempo, sia come una verifica della strategia risultata vincente, sia come una refutazione di quella perdente.

A proposito di giochi, ci parli di quello che ha inventato lei e ehe si ehiama Hex. Fu agli inizi dei miei studi a Princeton, credo ne11949. L'ho inventato perche volevo illustrare alcuni aspetti della teoria dei giochi, rna per un certo periodo e stato popolare fra i membri del dipartimento di matematica, a Fine Hall.

5i giocava su una seacehiera virtuale? No, su una vera scacchiera con Ie caselle esagonali, a forma di un grande rombo. Ha resistito per vari anni, rna poi non so che fine abbia fatto.

Ha provato a eommercializzare if gioco? 10 no, rna il mio collega David Gale, che e un teorico dei giochi piuttosto noto, provo a venderlo alia Parker Brothers. Credo che la Parker I' abbia giudicato un plagio, perche saIto fuori che era gia stato inventato ne11942 da qualcun altro.

--~

-.,~.

-

John Nash

87

Chi? Un matematico danese di nome Piet Hein, dell'lstituto Niels Bohr. 11 quale, tra l' altro, era un discendente del famoso e omonimo ammiraglio olandese del 5eicento. In seguito divenne nota anche come scrittore di poesie, sotto uno pseudonimo norvegese.

Ma alia fine il gioco fu commercializzato? 51, la Parker Brothers ne fece una versione, rna solo 10 per 10. Non era molto divertente, perche su scacchiere piccole il gioco diventa facile. La nostra era molto meglio, 14 per 14.

Ha accennato al fatto che i suoi scapi erano divulgativi: in che senso? Perche si puo dimostrare abbastanza facilmcnte, in maniera non costrultiva e puramente esistenziale, che il primo giocatore ha una strategia vincente; Cioe, si sa che la strategia c'e, rna non si sa quale sia. Ed e anche interessante il falto che la dimostrazione usi mezzi topologici.

Passiamo ora da que! gioco partieolare alia teoria dei giochi in generale. Quando lei ha iniziato non era ancora molta popolare, mi sembra. Direi che era abbastanza sconosciuta, a parte illibro Teoria dei giochi e comportamento economico pubblicato da von Neumann e Morgenstern neI1944. 11 titolo era ambizioso, rna giustificato: in seguito la teoria dei giochi ha infatti dimostrato di avere molti legami con I'economia. E quellibro, oltre a mostrare I'importanza dell' argomento, ha anche indicato il modo di svilupparlo in vista delle applicazioni economiche.

All'epoca lei era interessato solo alia teo ria dei giochi 0 anche aile sue applicaziani? Ho sempre avuto un interesse per I'economia. Gia prima di andare a Princeton avevo seguito un corso di economia internazionale, credo insegnato da un austriaco. An-

•

88

It Club dei matematici solitari

che se poi e rimasto l'unico corso ufficiale di economia che abbia mai seguito.

Ma giil nella sua tesi lei generalizzo a giachi qualunque i risultati di von Neumann per i giochi a somma zero. 51, ma all'epoca quella generalizzazione non e stata immediatamente accettata come importante. Anche se alcuni dei miei metodi sono stati quasi subito recepiti da Kenneth Arrow e Gerard Debreu. I quali, tra l'altra, hanna presa il premia Nobel per l'econamia prima di lei, rispettivamente nel 1972 e 1983. Ma che relaziane

esiste fra la lora teoria del/'equilibria generale dei mercati e la tearia dei giachi? Pill che fra Ie teorie, la relazione efra i metodi di dimostrazione: sia Arrow che Debreu usarono il teorema del punto fisso di Kakutani, che io avevo giit usato un anno 0 due prima per dimostrare I'esistenza di quello che oggi si chiama «equilibrio di Nash». E a me l'aveva suggerito David Gale, al quale ho giit accennato a proposito di Hex: agli inizi io pensavo invece di usare il teorema del punto fisso di Brouwer.

E quel teorema di esistenza che Ie ha fruttata il premia Nobel, vera? Nell'annuncio della Fondazione Nobel vengono citati due soli miei articoli, uno dei quali e appunto quello di un'unica pagina sugli equilibri, pubblicato nel1950 nei Proceedings dell' Accademia Nazionale delle Scienze. Ma Ie citazioni sono un po' lacunose, e in realta mi hanno premiato in generale per 10 studio dei giochi hon cooperativi a pill persone.

A lei com?: venuta l'idea di utilizzare un teorema di punta fisso per dimastrare l'esistenza di un equilibria? Col senno di poi, sembra abbastanza naturale: ad esempio, 10 si fa anche per trovare Ie soluzioni di certe equazioni differenziali.

John Nash

89

La chiedeva, perche giii von Neumann aveva usato un tearema del punta fisso per dimastrare l'esistenza di un equilibrio per i giochi a somma zero. E vero. Non nellibro, dove usb qualcosa di equivalente. E neppure nel suo articolo originale del 1928. Ma in un articolo degli anni '30 aveva effettivamente us~to .il teorem~ del punto fisso di Brouwer: fu propno quell arlic.olo a sllmolare Shizuo Kakutani a sviluppare la sua verSlone, che poi io ho usa to nella mia tesi.

A propos ito di von Neumann, lei l'ha mai incantrato? 51, a Princeton. Andai una volta da lui, quando ormai la mia tesi era a buon punto. Lui ascoltb l'enunciato del mio teorema, e mi chiese inunediatamente se nella dimostrazione usavo un punto fisso. All' epoca rimasi sorpreso, ma quel10 che ho appena detto spiega in parte la reazione di von Neumann. . E canferma anche la sua praverbiale velaeita di pensiero.

51. Ma non tanto quanto la storia che si racconta, a proposito del problema di ca1colare la distanz.a percorsa .d.a un'ape che va avanti e indietro fra due trem che SI aV~lcl­ nano a certe velocita note. n trucco sta nel calcolare pnma il tempo che i due treni impiegano a incontrarsi, e poi 13 distanza percorsa dall'ape in quel tempo, ma dicono che von Neumann ca1colb a mente in un attimo la somma aella serie infinita dei percorsi dell'ape.

Dava l'impressione di sapere tutto, eh? Sicuramente era molto acuto, rna nessuno sa tutto.

Certa, si fa per dire. Ma a Princeton c'erano un paio di persone che sapevano malto! Anche Einstein, cioe, oltre a von Neumann. Von Neumann forse sapeva piu di Einstein, perche Einstein era piu specializzato.

_.

11 Club dei matematici solitari

90

Ha incontrato pure lui? 51. A quel tempo mi interessavo anche di cosmologia, e mi venne !'idea che un fotone di luce che viaggia attraverso 10 spazio potrebbe subire un rallentamento dovuto all'interazione con Ie onde gravitazionali.

Un 'idea per spiegare 10 spostamento verso il rosso delle galassie? 51. Anche se naturalmente la spiegazione canonica, che il red shift sia causato dall'espansione dell'universo, oggi eben supportata da prove a favore, a cominciare dalla radiazione di fondo. Comunque, in seguito qualche fisico ha avuto la mia stessa idea e ci ha lavorato.

Tornando ad Einstein? 5apere che era a Princeton aveva un effetto stimolante. Ad esempio, penso che abbia anche influenza to il mio lavoro sulle varieta differenziali, tramite il suo uso della geometria riemanniana nella relativita generale. •

E andato a trovarlo per parlargli delle sue idee eosmologiehe?

51, anche se non e stato semplice. Anzitutto, Einstein non aveva molti contatti con gli sludenti. E poi, aveva sempre al fianco una specie di guardia del corpo, illogico matematico John Kemeny: forse temevano che potesse essere il bersaglio di certi individui, essendo cosl conosciuto.

Che ne disse, della sua teoria? Non era una vera e propria teoria, solo un'idea. Cliene parlai un po', nel breve tempo che mi concessero, e lui mi disse: «Ciovanotto, se vuol pensare a queste cose deve studiare parecchio».

L'ha rimandata a scuola, in altre parole. Direi di si.

-

--....

".,-

John Nash

91

A propos ito di scuola, in A Beautiful Mind e'i! un'uniea seena ehe parla di matematica, ed i! ambientata proprio nei suoi anni di Princeton. Anzitutto, come Ie esembrato quel film? Lo sceneggialore sembra avere talento: e 10 stesso del Codice da Vinci. E ehe ne pensa di quella scena, ehe illustra (fra I' altro in ma-

niera sbagliata) l'equilibrio di Nash attraverso Ie diseussionifra lei e i suoi compagni su come scegliere Ie ragazze? In una trasposizione cinematografica serve pill la psicologia che la teoria dei giochi: ad esempio, io credo che se Alicia fosse stata bionda, 10 sceneggiatore avrebbe scritto qualcosa di diverso. Non penso, comunque, che abbia fatto un tentativo serio di spiegare una nozione come I'equilibrio di Nash.

Puo provarci lei ora, in due parole? Prendiamo un gioco come il poker, in cui ciascuno gioca da solo contro gli altri: non ci sono squadre, 0 coalizioni, 0 lrattati segreti. In un gioco finilo di quel genere, ciascun giocalore ha un numero finito di possibili strategie, che interagiscono con Ie possibili strategie degli altri giocatori. L'equilibrio c'e quando tutti i giocatori hanno scelto strategie che nessuno di loro puo migliorare in maniera unilaterale.

Italo Calvino, ehe non so se lei conosee, ha scritto in un famoso romanzo intitolato 5e \Ina notte d'inverno un viaggiatore questa frase, che qualcuno ha utilizzato per descrivere il suo equilibrio: «Nella vita non possiamo mai ottenere il meglio, ma a volte possiamo evitare il peggio». Che ne pensa? Ottenere il meglio non e impossibile, ma richiede cooperazione. La mia tesi invece si intitolava Giochi non eooperativi: in tal caso, agendo indipendentemente gli uni dagli altri, i giocatori non possono far di meglio che evitare il peggio.

Finora abbiamo parlato soprattutto di teoria dei giochi, ma i suoi lavori in que! campo sono solo una parte di cia che lei ha fatto negli anni '50, introducendo nozioni e dimostrando risulta·

92

11 Club dei matematici soUtari

ti ehe ora sana diventati di usa eamune. Ad esempio, ehe eos'i! il teorema dell'immersiane di Nash? ,

E un risultato di geometria che dimostra come una varieta riemanniana si possa sempre immergere in uno spazio euclideo, preservando Ie lunghezze delle curve. L'ho pubblicato nel1952 in un articolo intitolato Varietii algebriche reali, che tenevo pronto come tesi di ripiego per il dottorato, nel caso che illavoro sulla teoria dei giochi non fosse stato accettato.

Come avrebbe patuto non essere sufficiente per una tesi, un lavora ehe poi 10 i! stalo per un premia Nobel? Poteva, perche a quei tempi la teoria dei giochi veniva considerata matematica applicata, e non matematica pura.

Quindi, in pratiea, lei ha scritta due tesi? Diciamo che potenzialmente ne avevo due. E, come ho detto, la seconda e stata pubblicata come articolo solo nel 1952, quando ormai avevo lasciato Princeton.

Che cas'i! inveee la diseguaglianza di Nash? Ha a che fare con un mio lavoro di analisi degli anni '50, relativo a un problema aperto sulle equazioni differenziali parziali ellittiche. 10 ho avuto l'idea di collegarlo al problema analogo delle equazioni paraboliche, riuscendo a risolvere entrambi i casi. Nel corso di questo processo ho usato alcune disuguaglianze, che poi sono state chiamate col mio nome. Ma, nel frattempo, alla soluzione del problema per Ie equazioni ellittiche era gia arrivato indipendentemente Ennio De Giorgi, che rni ha battuto nell'obiettivo. E non solo in quella, forse. Lei ha infalli delia una volta ehe forse questa vostra seoperta indipendente fu il motivo per cui nes-

suna di vai due vinse la medaglia Fields ne11958. Vien da pensarlo. Anche se nel1958 sarebbe stato comunque presto, perche quel tipo di risultati non viene apprezzato subito.

John Nash

93

Sembra ehe quell'anna lei abbia perso per un solo voto, a favore di Rene Thom. Non so se sia andata veramente COSI. Ma se 10 fosse, vorrebbe dire che avevano considerato illavoro sulle varieta algebriche reali, che era effettivamente un buon lavoro, ed era gia uscito da un po'.

Insomma, una delle sue «due tesi" Ie ha fatto vincere un premia Nobel, e l"altra Ie ha quasifatto vincere la medaglia Fields! Per la medaglia Fields, io credo che il mio anno avrebbe dovuto essere il1962, perche ai risultati sulla teoria dei giochi e sulla geometria algebrica si era aggiunto anche quel10 sull'analisi, rna purtroppo ci furono due intoppi. Uno, come ho giii. detto, fu la sovrapposizione con la ricerca di De Giorgi. E l'altro il fatto che nel frattempo avevo avuto una specie di esaurimento.

A questa propos ito, che ne pensa della scena di A Beautiful Mind in cui l"insorgere della sua malattia mentale viene rappresentato come l'arrivo fisieo di un suo campagna di stanza immaginario? Lui era interpretato da Paul Bettany, che dopo il film si e sposato con Jennifer Connelly, che aveva vinto rOscar come miglior attrice non protagonista. E non Ie viene in mente nient'altro su quella seena, a parte la

vita reale degli attori? La musica di James Corner. Mi ricorda quella di sant'Ildegarda, priora di Bingen, che fu una delle prime donne a comporre. La musica antica e in linea con i miei gusti.

t. veritiera l'immagine ehe si dii della sua malattia nel film, in particalare per quanta riguarda Ie allucinazioni visive? Quel genere di allucinazioni pub essere comune in alcuni tipi di psicosi, rna e relativamente raro per la schizofrenia che a me era stata diagnosticata.

II Club dei matematici solitari

94

Sentiva invece delle voci? Agli inizi no, rna dopo qualche anno s1.

Se non aveva allucinazioni, ne visive ne acustiche, quali erano i suoi sintomi? Le allucinazioni non devono per forza essere sensoriali, riguardare cib che vedi 0 senti: possono essere mentali.

Pensieri deliranti, cioe? 51.

Per esempio? 5i pub immaginare una persona che dovrebbe essere un democratico, rna pensa di essere un repubblicano. 0 viceversa.

. Lei crede che ci sia una certa connessione fra la matematica e il pensiero delirante, 0 pili in generale la pazzia? 10 non l'ho rilevata. Anzi, direi che il pensare in modo razionale e realistico fa parte dellavoro del matematico. Mi sembra di aver letto che lei perii vede una connessione fra

la logica e la pazzia. Non solo io: anche Giancarlo Rota I'ha osservato, in un suo libro. 5embra che ci siano parecchi logici che si comportano in modo strano. Non tutti naturalmente, e nemmeno il novanta per cento: magari il trenta per cento. E quale sarebbe il motivo di questa connessione Ira logica e

pazzia? •

Forse ci sono difficolta intrinseche nel pensiero astratto. Forse la logica richlede troppa introspezione, sicuramente piu della matematica.

Ha qualche esempio specifico in menle? Georg Cantor, che in certi periodi della sua vita non ha avuto una mente stabile. 0 Friedrich Nietzsche, che e finito in manicomio.

~

.

-

John

Nash

95

In che senso, Nietzsche sarebbe stato un logical Magari non 10 era tecnicamente, rna non era totalmente estraneo alla logica, no?

Lei ha conosciuto personalmente qua/che logico un po' fuori di testa? Ho avuto una grossa discussione col mio amico Harold Kuhn sull'opportunita di menzionare un certo professore, il quale non sara stato veramente pazzo 0 oltre illimite, rna certo si comportava in modo molto strano: aveva la caratteristica di parlare da solo ad alta voce, che spesso viene sviluppata da pazienti con problemi menta Ii.

Non era Glidel, per casal No. Ma Gi.idel eun altro esempio, perche era piuttosto eccentrico. 5i eaddirittura lasciato morire per fame, e in questi casi la pazzia e una spiegazione ~requente. II fatto che questa 11011 abbia impedito, nea lui nea Cantor, di esse-

re dei grandi matematici, signiftca che forse Ie due cose sana compatibili. Lei, ad esempio, riusciva a lavorare durante la sua malattia? Nei primi anni, dopo il disturbo mentale, sono stato in case di cura che mi obbligavano al conformismo: mi sembrava di essere in prigione e avevo pensieri non solo irrazionali, rna anche disapprovati dalla societa. Ma quando ero fuori a volte riuscivo a lavorare, anche se non avevo una posizione ufficiale in universita: e stato allora che ho trovato alcuni dei miei risultati di gflometria algebrica. Di che periodo parliamo? Degli anni '60. E dopa? Negli anni '70 non ho piu lavorato per niente. E negli anni '80, quando ecominciata la remissione, si potrebbe dire che ho avuto piu degli hobby che dei lavori.

96

Il Club dei matematici solitari

Sempre in matematiea, eomunque? S1. Ho studiato il computer e ho cominciato a sviluppare dei programmi.

Crede ehe la matematiea Ie sia stata d'aiuto durante la malattia? Una persona con problemi mentali e fuori dagli schemi, e qualsiasi terapia occupazionale che coinvolga Ie funzioni cognitive potrebbe essere positiva. Recentemente si ecominciato a parlare proprio di «terapia cognitiva», che sostituisce ai farmaci illavoro interattivo con il terapista. .

Prima ha detto ehe, almena da un certo punta, lei ha cominciato a sentire delle voci. Che paragone farebbe con altri easi storici di esperienze simili? Soerate, ad esempio, ehe eitava eontinuamente un daimon ehe gli suggeriva ehe cosa non fare. La Bibbia e piena di storie di gente che riceve messaggi da Dio in sogno.

Ma un eonto esognare, e un altro sentire una voce. Di per se i sogni non sono considerati allucinatori, rna se uno ci crede 10 diventano. In fondo, non si tratta forse di un'allucinazione se uno pensa di udire la voce di Dio, rna Dio non esiste?

•

Dunque, lei classificherebbe semplicemente come sehizofrenici i personaggi storici ehe hanna delta di sentire delle voei? Potrebbe essere pericoloso: bisogna stare attenti a cosa si dice di Socrate, e soprattutto dei profeti. Certo non e un buon segno che uno pensi e dica di sen tire delle voci. •

Lei perC! eriuscito a guarire. Pensa di aver fatto qualeosa che I'ha aiutata a ristabilirsi ache si sia trattato semplieemente di un caso fortunato? 10 ho cercato, in modo piu 0

menD graduale e progressivo, di applicarmi intellettualmente e di essere menD distratto da pensieri senza fondamento. Sono arrivato a riconoscere alcune delle mie allucinazioni come manifestazioni deliran-

-John Nash

97

ti, mi sono accorto che esse avevano una connotazione politica, e ho capito che potevo sviluppare una coscienza critica nei loro riguardi. In fondo, uno non dovrebbe pensare troppo alla politica, se non vi partecipa attivamente.

E Ie voci sana scomparse? ,

E come se fossero andate scomparendo.

E alia fine earrivato il premia Nobel. Anche se la eerimonia non estata eertamente come ci ha fatto vedere il film, can un suo discorso al pubblico in sala, vera? La scena finale ediventata molto popolare, e ho ricevuto molte lettere da persone che ne sono state toccate. Ma naturalmente non e cosi che succede a Stoccolma. .

E com'l! che vanno Ie case nella sua vita, dopa quel giomo? Non vorrei scendere troppo nei d~ttagli, rna certamente Ie stato fondamentale per me. Molte persone il premio Nobel se 10 aspettano, e quando arriva non influenza la loro vita in maniera radicale: al massimo, ottengono un aumento di stipendio 0 una cattedra in un'universita piu prestigiosa.

Lei era disoccupato, inveee, vero? Si, non avevo neppure un ufficio. npremio mi ha messo nella posizione di avere diverse ragioni per ricominciare a lavorare, e in particolare per trovare una motivazjone per cercare di sviluppare a1cune idee cosmologiche che avevo avuto prima del 1994, rna alle quali non avevo dedicato molto tempo.

E tomato anche alia teo ria dei giochi? S1. Adesso mi considero un esperto di denaro ideale.

Se perC! avesse una seconda possibilita, se Ie fosse offerta una second life, seeglierebbe la medaglia Fields 0 il premia Nobel? Atiyah, che ha partecipato a questo festival, ha avuto sia la medaglia Fields che il premio Abel, una sorta di premio Nobel per la matematica che viene dato in Norvegia.

98

II Club dei matematici solitari

E un modo indiretto per dire che lei avrebbe voluto enlrambi i riconoscimenti? Be', di pill e meglio.

Certo, ma almena il premia Nobel Ie ha in parle restituito alIa fine cio che Ie era stato tolto agli inizi. La ringraziamo di aver condiviso can noi questi momenti, e ci auguriamo di poterla riavere presto fra noi. Speriamo. Possiamo abbandonare il palco, ora?

•

......

-

Robert Aumann e John Nash

Due premi Nobel giocano cooperativamente

Nel 19941a teoria dei gioclli eentrata ufficialmente nell'Olimpo delle discipline matematiche, con l'assegnazione del premia Nobel per I'economia a John Harsanyi, John Nash e Reinhard Selten «per la lora analisi degli equilibri per i giochi non cooperalivi». E nel 2005 ha ottenuto la consacrazione definitiva can l'assegnazione di un secondo premia Nobel a Robert Aumann e Thomas Schelling «per aver migliorato la nostra comprensione del confiitto e della cooperazione attraverso Ie analisi della teoria dei giochi». Al secondo festival di Matematica erano presenti John Nash e Robert Aumann, in ideale rappresentanza dei due gruppi. Del primo abbiamo gill citato la biografia di Sylvia Nasar A Beauti· ful Mind (Rizzoli, 1999) e la collezione di arlicoli curati da Harold Kuhn e Sylvia Nasar Giochi non cooperativi e altri scritti (Zanichelli, 2004). Del secondo citiamo illvece la lunga intervista Razionalita, cooperazione, confJitto (Morcelliana, 2008), che si addentra anche nel personale, fino a spiegare come abbia fatto crescere la sua lunga e caratteristica barba in segno di lutto per la morte del figlio nella guerra israeliana del Libano. La conversazione pubblica Ira John Nash (IN) e Robert Aumann (RA) del 16 marzo 2008, seguita due giorni dopa da un bis a Brescia organizzato daW/SED (lstituto per 10 sviluppo economico e l'occupazione) fondato da Franco Modigliani e presieduto da Robert Solow, ha spaziato sui risultati e Ie applicazioni della teoria dei giochi, permettendo ai due protagonisti di narrare una vera e propria sloria a due voci della lora disciplina. 00

100

II Club dei matemafici solitari

16 MARZO 2008

Vista che siete entrambi dei matematici, ci potete raccontare come siete arrivati alia teo ria dei giochi?

IN: 10 ho cominciato subito da Ii, visto che il mio relatore di tesi a Princeton era Albert Tucker, un esperto del campo, noto per aver introdotto l'espressione «dilemma del •• • pnglOmero» . RA: Invece io ho falto una tesi sulla teoria dei nodi al MIT. E uno dei miei assistenti e stato proprio John, che era venuto a Boston dopo il suo dottorato: e da lui che ho sentito parlare per la prima volta di teoria dei giochi. Qualche anno dopo, quando lavoravo a Princeton in una societa di consulenza, ho dovuto affrontare un problema molto pratico: come difendere una citta da un attacco aereo in cui un piccolo numero di velivoli porta armi nucleari, e la maggior parte einvece semplicemente un' esca. In quell' occasione mi torna in mente cia di cui mi aveva parlato John. Poi una cosa tira l' altra, e oggi eccoci entrambi qui. •

Insegnante e studente, ed entrambi premi Nobel! IN: Detta cosi, e un po' eccessiva: non credo di poter considerare Bob un mio studente. In fondo, all' epoca ero solo un assistente, e non posso prendermi dei meriti per qua1che insegnamento informale. Ma quello che lui ha detto mi ricorda la Rand Corporation, dove ho lavorato due 0 tre estati: la Rand era specializzata nell'usare la teoria dei giochi per I'analisi delle problematiche sollevate dalla guerra fredda. •

Ci ha lava rata anche lei, Bob? RA: 10 devo confessare due grandi fallimenti della mia vita. II primo e che, dopo aver finito il college alla City University di New York, ho fatto domanda in varie universita per il dottorato, e sono stato accettato da tutte, tranne una: Princeton, dove sono poi andato come borsista dopo il dottorato. II secondo fallimento e che, dopo aver finito il dot-

Robert Aumann e John Nash

101

torato al MIT, ho fatto domanda di lavoro in varie universita e aziende, e sono stato accettato da tutte, tranne una: la Rand Corporation, anche se poi ci sono andato varie volte come consulente. Ricardo che una volta fu nell'estate del 1967, subito dopo la guerra dei Sei giorni in Medio Oriente: una guerra molto pericolosa, che noi israeliani abbiamo vinto soltanto perche gli egiziani fecero 10 stupido errore di lasciare a terra i loro aerei, e noi glieli distruggemmo tutti nella prima ora . Se non Fosse per questo, e per la grazia di Dio, oggi non sarei qui a raccontarvela. Comunque, in agosto andai alla Rand e i generali che giravano per i corridoi mi dissero: «Bob, non siamo mai stati preoccupati per voi. Sapevamo che avreste vinto». E allora io ho risposto: «Certo! Se io fossi stato a Santa Monica e voi a Gerusalemme, nemmeno io mi sarei preoccupato per voi!». .

Per entrare nel nostro argomento, vogliamo cominciare col dare una dejinizione della teoria dei giochi? IN: 10 sarei piuttosto reticente a cercare di dare una definizione troppo breve. A meno di lirnitarsi a dire che la teoria dei giochi e quella che viene chiamata cosi da chi la fa. RA: 10 invece penso di poter dare una definizione ragionevole. 0, almeno, pili ragionevole di quella che diede Russell della matematica, come di «una materia in cui non sappiamo di che cosa stiamo parlando, ne se quello che stiamo dicendo e vero». Naturalmente la sua era una battuta, riferita al fatto che in matematica si parte sempre da nozioni non definite e da assiomi non dimostrati, ma detta cosi fa pili effetto. . Per quanto riguarda la teoria dei giochi, dunque, direi che ha che fare con alcune entita che interagiscono fra loro, perseguendo obiettivi diversi. Questi obiettivi possono essere contrapposti, come nel caso degli scacchi, in cui entrambi i giocatori giocano per vincere, rna solo uno pua riuscirci.

102

II Ciub del matematici solitari

Pero gli obiettivi possono anche essere compatibili fra loro, come di solito avviene in politica, in economia 0 in biologia, e di questo bisogna tener conto quando si decide come agire.

Ha parlato di «entitii», al plurale, ma non ha specificato quante: due, molle, infinite? RA: In teoria potrebbe anche essere una sola, ma perche il gioco sia interessante devono essere almeno due. Possono pero anche essere un continuum, perche a volte e utile idealizzare molti individui come se fossero un fiusso continuo: non solo nel caso degli atomi in un fiuido, ad esempio, ma anche delle auto su una strada.

Voi avete mai lavorato can un numero infinito di giocatori? IN: 10 no, ma il concetto e piuttosto vecchio. Cia ai primi tempi della Rand c' erano persone come John Milnor e Lloyd Shapley, che studiavano i cosiddetti «giochi oceanici». RA: Shapley e Milnor sono stati miei insegnanti, ed e stato proprio illoro lavoro del 1961 a ispirare in larga misura quello mio del 1964, sui «mercati con un continuum di mercanti».

John, lei ha definito un lavoro del 1961 come «piuttosto vecchio», ma it suo i! addirittura di una decina di anni prima! IN: Si, del 1949.

Ce ne vuole accennare?

IN: Nel caso pili semplice si considerano giochi finiti, in cui ciascun giocatore ha un numero finito di possibili strategie, ciascuna delle quali dipende dalle strategie altrui, e si tratta di trovare un equilibrio: di scegliere cioe queste strategie in modo che nessuno dei giocatori sia insoddisfatto, nel senso che nessuno possa migliorare Ie sue strategie in maniera unilaterale. In genere non e possibile farlo direttamente con Ie strategie pure: bisogna assegnare loro delle probabilita 0, come si dice, considerare delle strategie miste. E io ho dimostra-

Robert Aumann e John Nash

103

to che esistono appunto equilibri per Ie strategie miste, nel caso di giochi con un numero finito di giocatori.

Stiamo parlando di giochi che vengono giocati un'unica volta, vera? IN: Si, si gioca una volta sola. Ma si puo immaginare che uno stesso gioco sia in realtil giocato da una popolazione di giocatori che giocano una volta sola ciascuno: in tal caso, invece di assegnare probabilitil aile strategie pure individuali, si puo descrivere illoro comportamento medio statistico, nel senso di considerare la loro percentuale di utilizzo nella popolazione. Cosi si evita l'introduzione delle strategie miste. RA: Le strategie miste si possono evitare anche nel caso dei giochi che vengano giocati un'unica volta ma da un continuum di giocatori, per motivi analoghi: radunando, cioe, i giocatori in blocchi in cui tutti giocano la stessa strategia, e calibrando i blocchi in proporzioni che rispecchino Ie probabilita delle corrispondenti strategie. In tal modo si puo dimostrare direttamente I'esistenza di un equilibrio per Ie strategie pure.

Che succede quando invece si considerano giochi ripetuti? RA: La situazione si complica, perche i giocatori (due, molti, infiniti) ripetono illoro gioco una partita dopo l'altra, ricordando quello che hanno fatto loro e i loro avversario Ora, l'intera serie delle ripetizioni equivale a un nuovo gioco singolo, del quale si puo considerare I'equilibrio di Nash, e si ottengono risultati molto interessanti: ad esempio, si scopre che e molto pili facile ottenere una collaborazione quando si gioca ripetutamente che non quando si gioca una volta sola.

Pub fare qualche esempio concreto? RA: Naturalmente non ci puo essere collaborazione nei giochi a somma zero, in situazioni in cui quando uno viri· ce l'altro perde, per quante volte si ripeta il gioco.

104

It CllJb dei matematici solitari

Nel caso del «dilemma del prigioniero», che John ha citato prima, succede invece diversamente. 5e si gioca una volta sola, i giocatori preferiscono non collaborare, anche se converrebbe loro farlo. Ma quando il gioco viene ripetuto un numero sufficiente di volte, alia fine risulta chiaro che la collaborazione conviene, ed essa diventa un equilibrio.

Nella forma del "pan per focaccia»? RA: 51, e non solo in senso metaforico. Un esperimento condotto molto tempo fa da Robert Axelrod ha infatti dimostrato che la strategia del «fare agli altri cib che essi hanno fatto ate», 0 del «collaborare con chi collabora e tradire con chi tradisce», e evoluzionisticamente vincente, rispetto aIle altre strategie. Pari an do di evoluzione, mi viene tra l' altro in mente che una ventina di anni fa andai a una conferenza in Germania sulle applicazioni biologiche della teoria dei giochi, in cui distribuirono un articolo che mostrava come il comportamento della cinciallegra (che in inglese si chiamagreat tit), aveva molto ache vedere con il «pan per focaccia» (tit for tat). Per cui l'articolo era intitolato «Pan per focaccia cinciallegramente» (Tit for tat in the great tit).

A propos ito di giochi ripetuti, ci pui'! spiegare il suo cosiddetto «teorema papolare» (folk theorem)? ,

RA: E l'affermazione che in un gioco ripetuto qualunque comportamento individualmente razionale, nel senso che nessun giocatore pub garantire di piu per se stesso, pub diventare un equilibrio di Nash. •

Perche questa teorema si chiama «popolare»? RA: Perche e molto semplice, tanto semplice che io non l'ho neppure pubblicato. In fondo, si riduce all'osservazione che basta che gli altri giocatori decidano di punire chiunque si allontana da quel comportamento, ogni volta che 10 fa, esattamente di quanto egli guadagna nell'allontanarsene, perche quel comportamento diventi obbligato.

Robert Aumann e John Nash

105

Cib nonostante il risultato e molto importante, e il connubio tra semplicita e importanza non e inusuale in matematica. Un tipico esempio e il famoso metodo diagonale di Cantor, che dimostra come i numeri reali siano di un infinito superiore a quello dei numeri interi.

Nel caso del «teorema papolare», peri'!, dove risiede questa importanza? RA: Fa bene a domandarmelo, anche perche all' epoca io mi sono accorto della sua semplicita, ma non della sua importanza! Che sta nel fatto di mostrare come, attraverso la punizione, si possa ottenere qualunque tipo di collaborazione, eccetto quelle palesemente irrazionali.

Cioe, Ie punizioni sana pili fondamentali delle ricompense? RA: 5i, la paura della punizione sta alla base dell'equilibrio sociale. C'e un detto nel Talmud: «Prega per il benessere dello stato, perche senza di esso l'uomo ingoierebbe vivo I'altro uomo». L'equilibrio, il fatto che l'uomo non ingoi vivo l'altro uomo, e determinato dalla paura delle punizioni che 10 stato potrebbe infliggere a chi 10 facesse.

Dunque e passibile solo un'etica negativa, di contenimento del male? RA: Questo no, perche il forte legame fra teoria dei giochi e biologia evolutiva, al quale abbiamo gia accennato, ci fa pensare che a volte l'equilibrio strategico possa essere stato selezionato geneticamente.1n altre parole, un comportamento pub essere seguito inconsciamente perche e diventato parte del nostro modo di essere, e non solo per paura cosciente di una possibile punizione.

In quel caso, un cambiamento di comportamento corrisponderebbe a una mutazione genetical RA: 5arebbe una mutazione memetica, nel senso di Dawkins. Ese fosse evolutivamente vantaggiosa, potrebbe

II Club dei matematici solitari

106

alia lunga essere selezionata come un nuovo equilibrio, da mantenere socialmente con minacce di nuove punizioni.

John, qual e la sua opinione al riguardo? IN: Nella rnia ricerca mi e capitato di considerare incentivi ripetuti, invece di punizioni ripetute, nello studio dei giochi con tre giocatori, in cui due di essi potrebbero coalizzarsi c~ntro il terzo. Volevo vedere se in tal modo si poteva eliminare la base collaborativa e ridurre il comportamento al puro interesse individuale.

A proposilo, sembra che il passaggio da due a Ire giocalori faccia una gran differenza in leoria dei giochi. •

IN: E vero anche in ma tema tica: basta pensare alia differenza di difficolta tra I'equazione di secondo grado, che sapevano risolvere gia i babilonesi, e quella di terzo grado, che non si riusci a risolvere fino al Rinascimento. Ed e vero anche nella teoria delle scelte sociali, dove due opzioni si trattano facilmente, ma tre producono il paradosso di Condorcet e il teorema di Arrow. 0 nella teoria degli equilibri dei mercati, dove il numero delle merci ha un ruolo analogo. RA: In teoria dei giochi, una differenza fondamentale e che con due giocatori si possono avere giochi a somma zero, in cui gli interessi in gioco sono completamente opposti ed e impossibile una cooperazione. Con pili di due giocatori, invece, e impossibile che tutti abbiano interessi completamente oppo~ti: ci possono essere due direzioni a 180 gradi, ma non tre! E per questa motivo che si gioca a poker in pili persone, non solo in due: tra I'altro, e state proprio John a fare uno studio del poker con tre giocatori.

Can tre persone inizia la possibililiJ di collaborare can qualcuno contra qualcun allro. RA: Esattamente. E, viceversa, con due sole persone e possibile una collaborazione totale, senza che dei terzi possano intromettersi a formare delle sottocoalizioni a dan-

•

Robert AU1ffi2nn e John Nash

107

no di uno dei due: e per questa motivo che i matrimoni si fanno tra due persone sole.

Non dov'e ammessa la poligamia ... RA: Allora si ha un problema! Gli ebrei hanno esperienza di poligarnia, come dimostra una lettura della Bibbia, e non e un caso che in ebraico il termine ufficiale con cui una moglie ne chiama un'altra sia dl rnio dolore».

II marito evidentemente non la pensa COSI, se ha piu mogli. RA: Rimane il fatto che in tal caso e impossibile una collaborazione totale fra il marito e una delle mogli. I giochi a due sono interessanti proprio per questa loro doppia caratteristica: di permetlere sia una contrapposizione assoluta, sia una collaborazione assoluta.

. Finora abbiamo parlato della teoria dei giochi «classica», in cui i giocatori hanno una razionalitiJ e un'infermazione perfette. Che succede quando l'informazione e imperfetta, invece? IN: II problema e venuto fuori molto tempo fa, nel rnio studio del poker con tre giocatori al quale Bob ha alluso poco fa. Ii risultato, ad esempio, che c'e una semplificazione delle strategie nel caso in cui, benche i giocatori non abbiano informazione perfetta delle carte in mane agli altri giocatori, hanno comunque una memoria perfetta delle carte che sono state giocate.

Vari premi Nobel sono poi stali assegnati per 10 studio dell' informazione imperfetta: ad esempio, a George Akelrof, Michael Spence e Joseph Stiglitz ne12001. RA: L'argomento e molto naturale, perche spesso nella vita dobbiamo decidere il da farsi, anche senza saper bene che cosa stiano facendo gli aItri. Giochi come gli scacchi non sono buoni modelli di queste situazioni, perche sulla scacchiera tutlo e chiaro e alia luce del sole. Ma ci sono giochi come il Kriegspiel, che si giocano su due scacchiere separate: i giocatori dell'una non vedono Ie mosse esegui-

108

Il Club dei matematici solitari

te sull' altra, e ricevono solo a1cuni indizi da un arbitro che vede entrambe Ie scacchiere.

Non a caso, gli ufficiali prussiani 10 giocavano come addestramenta alia scuola di guerra. RA: Davvero? Non 10 sapevo! Ma vorrei aggiungere che esiste un tipo di informazione ancora piu imperfetta di quella in cui non si sa che cosa gli altri stiano facendo, ed e quando non si sa nemmeno che cosa vogliano!

Ad esempio? ,

RA: E il caso del terrorismo internazionale. Che cosa si prefiggono esattamente, i terroristi? Tra l'altro, probabilmente, anche loro hanno un'informazione molto imperfetta su di noi e sui nostri scopi. Dovremmo cercare di capire tutto cib prima di continuare a giocare questa particolare «gioco». . La teoria dei giochi a informazione incompleta in questa senso e molto difficile, ed e stata sviluppata da John Harsanyi in una trilogia di articoli del 1967 e 1968 pubblicati sulla rivista «Management Science», che gli sono valsi il premio Nobel del 1994, 10 stesso anno in cui l'ha vinto John.

Oltre aile imperfezioni dell' informazione, ci sana poi anche quelIe della razionalita studiate da Daniel Kahneman e Vernon Smith, che hanna ricevuto pure lora il premia Nobel, nel2002. Mi sembra ehe in questa caso lei sia un po' critico al riguardo, vera? RA: E difficile non esserlo, visto che sono stati premiati due contributi che portano a conclusioni opposte: secondo Kahneman, infatti, la·teoria economica standard e errata, mentre secondo Smith e corretta. Credo che il riconoscimento sia andato, pili che ai loro risultati, ai loro metodi: al fatto, cioe, che essi abbiano introdotto la sperimentazione attiva in economia, a fianco della semplice raccolta passiva di dati alia quale ci si limitava fino ad allora.

--

--

Robert Aumann e John Nash

109

Come possono, peri'), degli esperimenti dare risultati con trapposti? RA: In parte, perchi' Smith eseguiva esperimenti realistici, osservando che cosafanno Ie persone in determinate situazioni. Kahneman invece eseguiva esperimenti ipotetici, domandando alia gente che cosa avrebbe fatto in altre situazioni. Inoltre, Smith ha cercato di proporre situazioni normali e quotidiane: studiando i mercati, ad esempio, ha inventato un gioco che effettivamente Ii simula. Kahneman, invece, proponeva situazioni sconosciute e inusuali, nelle quali eovvio che Ie persone tendono a dare risposte sbagliate. Non sorprende, dunque, che Smith abbia trovato che Ie persone dei suoi esperimenti aderiscano di norma aile previsioni della teoria economica, e che Kahneman abbia invece trovato che esse vi si discostino. In fondo, si poteva anche prevederlo: si tratta soltante di un esempio del fatto generale, cui abbiamo gUt accennato, che Ie persone seguono modi di comportamento inconsci che di solito funzionano in maniera ottimale, rna non sempre.

Pui') fare un esempio? RA: Uno lampante eil gioco dell'ultimatum, proposto agli inizi degli anni '80 da un team di teorici dei giochi tedeschi guidato da Verner Giith. Loro offrivano cento marchi, e credo che allora il marco valesse piu dell' euro attuale ... IN: No. RA: Tenuto conto dell'inflazione, intendo. IN: Quello che importa e il valore reale rispetto al costo della vita.

Interessante, due premi Nobel dell'economia in disaccordo sui valore del denaro! . RA: Va be', non equesto il problema adesso. Comunque sia, si offrivano cento marchi, e qualunque valore avessero erano comunque una bella somma per gli studenti che facevano da

110

II Club dei matematici solitari

cavie. Gli studenti non si conoscevano tra loro, non si vedevano, entravano e useivano da porte diverse, e non avrebbero mai saputo con chi giocavano. Ora, uno veniva seelto come offerente e proponeva un modo di spartirsi la somma: se l' altro acceltava, la somma veniva spartita nel modo convenuto, altrimenti nessuno dei due prendeva nulla. Sembra sensato che l' offerente offra una somma minima, e che l'altro l'accetti; se no, non guadagna nemmeno quel minimo. Ma non andb cosi. In media venivano acceltate solo Ie offerte che concedevano almeno un trenta 0 trentacinque per cento della somma, e quelle considerevolrnente minori, ad esempio del venti per cento, venivano sistematicamente rifiutate. Tu Ito questa non ha senso: si poteva bere un bel po' di birra, con venti marchi, e non si sarebbe nemmeno persa la faccia, visto che si agiva al buio. Ma entrava in azione un comportamento inconscio basato su una buona regola di vita, del tipo: «Non farti prendere a pesci in faccia». Quello che succede in casi come questo, cosi corne negli altri messi in evidenza da Kahnernan, e che noi ottirnizziamo non Ie azioni singole che compiamo, bensi Ie regole in base aile quali agiamo.

John, Lei accetterebbe venti marchi come spartizione?

IN: 10 rni sono distratto, a dire il vero, perche sto ancora pensando a quanto varrebbero veramente i marchi oggi...

Ancora? Torni fra noi! Prima di conc/udere, vorrei infatti parlare un po' delle applicazioni della teoria dei giochi. IN: Sicurarnente ce ne sono in informatica, ad esempio nella teoria delle reti. E Reinhard Selten, che ha preso il pre~ mio Nobel con me, ha studiato il comportamento dei guidatori nel traffico, usando la teoria dei giochi.

E non dobbiamo dimenticarci la political RA: Assolutarnente. Qui il pioniere eLloyd Shapley, che sicuramente avrebbe dovuto prendere il premio Nobel prima di me: credo che abbiano fatto un grande errore a Stoccolrna, ne1200S, benche io non abbia contestato la decisione.

--- ---111

Robert Aumann e John Nash

Eravate solo due: avreste potuto essere tre! RA: Si. 0 avrebbe potuto essere anche lui solo! Comunque, in politica efondamentale I'indice di potere introdotto da Shapley, che rnisura la capacita di un partito di formare coalizioni in grado di raggiungere la maggioranza. Ad esempio, se un partito ottiene aile elezioni la maggioranza assoluta del parlamento, aHora il suo indice di Shapley e 100%. Se ottiene un terzo dei seggi, e il resto e suddiviso tra partiti piccoli, aHora il suo valore scende aISO%. Ma se invece ci sono due partiti con un terzo dei seggi ciaseuno, e il resto e suddiviso tra partiti piccoli, aHora iI valore dei due partiti maggiori scende aI2S%, mentre cresee proporzionalmente iI potere dei partiti minorL II valore di Shapley riflette in maniera quantitativa I'intuizione che il peso politico di un partito piccolo non e direttamente proporzionale alla sua rappresentanza numerica, e pub essere utilizzato per prevedere 0 spiegare Ie coalizioni di governo all'interno dei parlamenti.

Rimanendo alia poiitiea, evero ehe tra gli anni '50 e '60 Henry Kissinger era interessato alia teoria dei giaehi e frequentava i vastri incantri? •

RA: Succedevano cose interessanti, in quegli anru. La guerra fredda era una faccenda seria, e la crisi di Cuba del 1962 dimostrb che c'era iI rischio concreto di un olocausto nucleareo La teoria dei giochi offriva un possibile modello di ragionamento neHe relazioni fra Ie superpotenze, e Kissinger era uno degli scienziati politici di punta a Harvard. Cosi nell' ottobre del 1961 fu invitato a parlare a una conferenza sugli sviluppi recenti della teoria dei giochi che si tenne a Princeton, organizzata da Harold Kuhn e Oskar Morgenstern.

Malta interessante, ma per oggi direi che abbiamo caperto abbastanza terrena. Passiamo dunque fermarci qui, prima di riprendere il discarso dopodomani.

112

Il Club dei matematici solitari

18 MARZO 2008

Rieccoci di nuovo insieme a Brescia, a riprendere il cammino che abbiamo interrotto a Roma I'altroieri. Vogliamo ricominciare dagli inizi, cioe da come enata la teoria dei giochi? IN: Negli anni '20 Emile Borel incomincia a studiare i giochi a due persone e a somma zero, in cui cioe quando qua1cuno vince I' altro perde, cercando di dimostrarne l'esistenza di equilibri. Si era reso conto che si trattava di una questione importante, rna, pur essendo un matematico molto famoso e competente, non era piu giovanissimo e non riusci a risolverla. Chi 10 fece fu von Neumann, che ne parla a un seminario a Gottingen e un paio d' anni dopo pubblica il suo famoso lavoro del 1928, in cui si dimostra I'esistenza di un equilibrio che pua essere interpretato come un minimax: ogni giocatore ha una strategia perfettamente difensiva, e la sceglie in maniera ottimale contro la strategia difensiva dell' altro giocatore. Von Neumann e Morgenstern generalizzarono il risultato a un numero qualunque di giocatori, rna sempre per giochi a somma zero. Nella mia tesi io estesi poi la generalizzazione a giochi qualunque, e i cosiddetti equilibri di Nash si riducono ai minimax di von Neumann e Morgenstern non appena si specifica che il gioco in questione e a somma zero.

Lei come arrivo a interessarsi di questi temi? IN: 10 ho studiato alia fine degli anni' 40 a Princeton, e sia il periodo che illuogo potevano essere favorevoli alia teoria dei giochi. Anzitutto, era fresco di pochi anni il testa fondamentale di von Neumann e Morgenstern, Teoria dei giochi e comportamento economico. E poi, von Neumann viveva a Princeton. Forse sana state queste Ie mie due ispirazioni. RA: Dobbiamo comunque sottolineare I'importanza di Morgenstern, che in genere viene un po' surclassato dal-

Robert Aumann e John Nash

113

la memoria di von Neumann. In fondo, I'economista era lui! Ed e stato illoro connubio a essere cosi fecondo, per.che von Neumann era certamente un matematico brillante, rna non aveva nessuna percezione dell'importanza del suo lavoro teorico e astratto per Ie applicazioni pratiche e concrete. Percezione che invece aveva Morgenstern: senza di lui, Ie brillanti idee di von Neumann sarebbero rimaste lettera morta. In termini metaforici, si potrebbe dire che von Neumann ha fornito 10 sperma che ha fecondato I' ovulo, e Morgenstern l'utero in cui il feto e cresciuto. 0, se si preferisce, che von Neumann estato il padre e Morgenstern la madre delIa teoria dei giochi. Entrambi i ruoli sono indispensabili per il concepimento, rna nella gestazione la madre fa praticamente tutto da sola. L'altro giorno abbiamo cercato di defin ire che cos'l! la teoria dei

giochi: vogliamo riprovare?

.

RA: Ela scienza delle interazioni strategiche tra entita che si battono al meglio per raggiungere i propri scopi. Le entita non devono essere necessariamente persone: possono essere nazioni, corporazioni, sindacati, rna anche animali o piante. E gli scopi possono anche essere opposti, rna non e necessario che 10 siano. L'esempio migliore e una normale partita di giochi come gJi scacchi, 0 il poker, 0 il ca1cio. Ma esistono applicazioni piu importanti, come il commercio, l'economia, Ie relazioni internazionali, la politica, Ie elezioni, Ie coalizioni, Ie aste, la guerra. E addirittura I'ecologia, il modo in cui ogni organismo lotta per la sopravvivenza e la riproduzione.

Lei, John, eancora riluttante a dare una deJinizione?

.IN: Piu che essere riluttante, e che non ne ho una. L'uso delle parole e dei concetti si evolve, e «teoria dei giochi» pua voler dire cose diverse in periodi diversi 0 per persone diverse.

114

II Club dei matematici solitari

Ad esempio, quando io ho cominciato si consideravano soltanto giochi con un numero finito di giocatori, rna in seguito Bob ha studiato quelli con un continuum di giocatori.

A prima vista sembrerebbe un po' accademico, visto che nel mondo reale l'infinito non c'e. ,

RA: E vero, rna il continuo puo essere considerato come un'utile approssimazione dei grandi numeri. Ad esempio, in idrodinamica preferiamo lavorare pensando a un fluido continuo, invece che a un insieme finito rna molto numeroso di singole molecole: anche perche i ca1coli differenziale e integrale sui numeri reali sono pili facili da maneggiare che non Ie differenze e Ie somme finite su grandi numeri interi. Lo stesso vale anche in altri campi: la geometria, ad esempio, dove e pili facile pensare a un segmento continuo che a un gran numero di punti. E la teoria dei giochi non fa eccezione.

PeriJ, storicamente, in fisica si e cominciato con I'approccio continuo e solo di recente si e arrivati aile approssimazioni finite, grazie anche alia possibilita di usare il computer nei calcoli. In teoria dei giochi, al contrario, si e cominciato con un numero finito di giocatori, e solo in seguito si earrivati all'astrazione del continuo. ,

RA: E vero. Ma appena sono stati introdotti i giochi continui, si e cominciato a guardare all'esatta natura delle loro rel~zioni con i giochi finiti, in entrambe Ie direzioni. E un po' come nel puntinismo, dove 10 stesso quadro si puo guardare da lantana per avere una percezione della totalita dell'immagine, 0 da vicino per vedere la struttura fine dei punti che 10 costituiscono.

Lei come interviene nella storia? RA: Per 10 studio dei giochi ripetuti, anche se essi in realta sono solo delle mosse singole in particolari giochi non ripetuti. Basta infatti considerare Ie ripetizioni di uno stesso gioco come un'unica partita, in maniera non dissimile da quel10 che si fa con Ie singole mosse nel gioco degli scacchi.

Robert Aumann e John Nash

115

PuiJ fare un esempio? RA: Prendiamo un negozio che vende mobili. Se andate a comprare una sedia 0 un tavolo, il negoziante puo anche vendervi un oggetto scadente che si rompe dopo due giomi. Se fa questa gioco una sola volta, gli puo anche andar bene. Ma se vuole restare in attivita, non gli conviene fregarvi, perche altrimenti voi non tomereste da lui. Deve piuttosto pensare in termini di un gioco ripetuto, in cui voi possiate tornare varie volte a comprare: il vero gioco non e dunque una qualunque delle vendite, rna l'intera situazione interattiva, considerata come un'unica partita. E succede che, mentre in partite singole puo essere difficile ottenere una cooperazione tra i giocatori, in partite ripetute si sviluppa una cooperazione, anche se il tipo di analisi per arrivare all'equilibrio e esattamente 10 stesso in entrambi i casi. . E il pun to qual e?

RA: Un concetto abbastanza ovvio: che e pili probabile cooperare nelle relazioni a lungo termine che negli incontri occasionali, in tutti i sensi della parola. Intendiamoci, in entrambi i casi ciascuno persegue il proprio interesse! Ma il fatto e che I'interesse a lungo termine non coincide con quello a breve termine.

Come si caratterizzano, esattamente, i giochi cooperativi? RA: II punto cruciale non e tanto che i giocatori abbiano la possibilitadi fare degli accordi, quanta piuttosto che ci siano dei meccanismi in grado di imporIi una volta che Ii fanno: ad esempio, la possibilita di portare in tribunale chi non Ii rispetta. Nei giochi strategici, invece, gli accordi si possono fare rna non imporre. Un tipico esempio sono gli accordi internazionali, perche se un govemo firma un trattato e poi non 10 rispetta che cosa si puo fare?

116

II Club dei matematici solitari

Denunciarlo alla Corte inlernazionale deU'Aia. RA: Certo, e tutti sappiamo come andra a finire. Non basta un sistema di tribunali: ci vorrebbe un sistema efficace ed effeltivo che fosse in grado di imporre il rispelto degli accordi, rna non c'e.

Siamo partili dai giochi ripetuti e siamo jiniti nei giochi cooperativi: dove sta it collegamento? RA: Nel falto che gli equilibri del gioco ripetuto corrispondono agli equilibri di un'unica parti~a .giocata m~­ niera cooperativa. In altre parole, la npellzlOne formsce II meccanismo di imposizione, e funziona come un tribunaIe: se tu non cooperi oggi, io domani ti punisco.

n:

Che cosa l'ha spinta a studiare i giochi ripetuti? RA: La corsa agli armamenti fra gli Stati Uniti e I'Unione Sovietica, a meta degli anni '60. A fianco di questo gioco pericoloso, se ne giocava. anche w:'0 ripetuto ~ui negoziati per il controllo e la riduzlOne degh armamenll, che Sl tenevano abbastanza regolarmente a Ginevra. II problema era che gli americani non sapevano quante testate nucleari avessero i russi, e viceversa. Da un lato, bisognava aIlora cercare di dedurre dal tipo di offerte che venivano poste suI tavolo deIle informazioni su cio che non si conosceva. DalI'altro lato, bisognava evitare di fare delle offerte che fomissero informazioni che non si volevano divulgare. La teoria dei giochi ripetuti fu dunque sviluppata in una versione molto sottile e sofisticata, che tenesse conto del fatto che l'informazione era incompleta e asimmetrica.

Lei, John, ha mai lavorato con queste limitazioni dell'informazione? IN: Tutti ci hanno lavorato, perchl§ sono temi fondamentali: anche in un gioco a due sole persone, una deIle due parti potrebbe avere informazioni migliori deIl' aItra.

Robert Aumann e John Nash

117

Ad esempio? IN: A volte i maestri degli scacchi giocano alIa cieca, ricevendo solo Ie informazioni sulle mosse altrui, con, tro avversari che invece vedono la scacchiera. E ovvio che chi vede ha un vantaggio, mentre chi non vede deve costruirsi nella testa un computer che memorizzi Ie posizioni dei pezzi. Una situazione un po' diversa e il gia citato Kriegspiel, che si gioca come gli scacchi, rna senza vedere la scacchiera, e ricevendo solo informazioni incomplete su cib che ha falto I'avversario: ad esempio, si sa che si e stati messi in scacco, rna non si sa esaltamente come. E nella

vita pralica?

IN: Basta pensare a una corporazione che ne voglia comprare un'aItra: un conto sono Ie inforrn~ioni ufficiali sui profitti 0 l'indebitamento, e un aItro queUe reali. E per coImare il divario di infoIlILazione, a volte si chiede l'accesso ai libri contabili, anche se pure quelli possono non raccontare tutta la storia.

Tornando alle relazioni internazionali, Bob, it suo discorso pey il premio Nobel si intitolava appunto Guerra e pace. Ce 10 pull riassumere? RA: II succo era che dovremmo spendere piu energie a studiare la guerra, che a cercare di fare la pace. Si trattava di una provocazione? RA: No, ero serissimo. Perche esistono molte istituzioni e iniziative per la pace in tulto it mondo, ma tulte finiscono per concentrarsi a studiare situazioni specifiche in particolari aree di confIitto, per cercare di risolverle. Naturalmente tutto qllesto e lodevole, ma e un po' come cercare di trovare la cura per Ie malattie infettive lavorando solo su pazienti e casi singoli, invece che chiedendosi cos'e che Ie causa in generale. II primo approccio e queIlo di Louis Pasteur, il secondo queIlo di Robert Koch, e alIa

118

II Club dei matematici solitari

lunga quest' ultimo si e rivelato piu efficace, perche ha portato alla scoperta dei batteri e dei genni Nel caso della pace, il secondo approccio consiste nel troyare Ie radici della guerra. Gli uomini combattono da sempre fra loro, e bisogna chiedersi perche 10 fanno, perche ci sono Ie guerre. Rispondere che e un problema di irrazionalita non solo e troppo facile, rna e anche sbagliato: in realta, . la gente va in guerra per promuovere razionalmente i propri interessi, e non si risolve il problema in questa modo! 10 propongo di usare la teoria dei giochi per studiare in generale la guerra e Ie sue motivazioni da una prospettiva razionale, storica, economica, psicologica. E dopo aver capito perche si fa la guerra, si capira anche come si pub fare la pace. E lei crede che questa sia possibile?

RA: 51, perche qualcosa di simile e gia stato fatto da Kenneth Arrow a proposito di un altro male che ha motivazioni razionali: la discriminazjone razziale. Di nuovo, non si pub pensare di superare la discriminazione dicendo che e cattiva, 0 pensando di abolirla per legge: bisogna analizzare cos'e che porta la gente a discriminare il prossimo su basi razziali, e cercare di non rendere Ie motivazioni attraenti. Attenzione, non proibirle, perche questo non serve a niente: renderle non attraenti! E io propongo di fare ugualrnente con la guerra.

. Cos'!? piu facile, affrontare it discorso su guerra e pace 0 i problemi dei mercati finanziari? RA: Nonostante Ie apparenze, e I'attenzione che i mercati finanziari ricevono dai media di questi tempi, io credo che i problemi della pace e della guerra siano piu difficili. E anche piu importanti, direi.

A propos ito di guerra, avete mai avuto problemi morali a lavorare per la Rand Corporation, che era appunto un'organizzazlOne fondata e gestita dall'esercito? IN: 10 ne avrei avuti se avessi veramente lavorato al loro obiettivo principale, che era il pensiero strategico sul-

Robert Aumann e John Nash

119

la guerra fredda. Ma in realta ero solo un consulente temporaneo, che lavorava sui suoi problemi: in pratica, stavo solo cercando di migliorare i miei risultati e prepararli per la pubblicazione. E non avevo accesso a informazioni riservate, tipo quelle sugli armamenti nucleari. Pili in generale, corne deve comportarsi uno scienziato: resta-

re fuori dalla politica per non sporearsi Ie mani, 0 entrarei per migliorare Ie cose? IN: Si tratta di una questione personale, ed esistono diversi tipi di moralita. Basta pensare al dibattito interno sugli interventi militari in cui sono coinvolti gli Stati Uniti, a proposito dell' Afganistan 0 dell'Iraq: si tratta di problematiche molto controverse.

Lei corne la vede, Bob? RA: In maniera inequivocabile: per me illavoro della Rand Corporation, e piu in generale quello dei militari americani, ha pellnesso al mondo di rimanere relativamcntc in pace nella seconda meta del XX secolo. Se non e scoppiata la terza guerra mondiale e anche perche ventiquattro ore al giorno, e trecentosessantacinque giorni all'anno, comprese Ie feste, gli aerei e gli arsenali nucleari sono rimasti annati e pronti a essere usati. Questa e I'essenza della teoria dei giochi: costruire e mantenere Ie armi, rna fare tutto il possibile per non usarle . Le arrni corne meccanismo di imposizione degli accordi, dunque?

RA: Precisamente. Poiche non si pub andare in tribunale per impedire che si faccia una guerra, I'unico modo per far s1 che non venga la voglia di farla edi rendere la guerra non conveniente e irrazionale. Non esiste un problema morale negli eserciti e negli armamenti. 0 meglio, esiste il problema morale di averli, in modo che mantengano la pace.

MATEMATICA E UMANESIMO

•

-

DarioFo

Prospettiva, scorcio e scienza del teatro

Il9 ollobre 1997l'Accademia svedese fece un annuncio che causa sensazione: il premio Nobel per la lelleratura era stato assegnato a Dario Fo, «che nella tradizione dei giullari medievali fustiga il potere e riabilita la dignita degli umiliati». L'annuncio continuava sottolineando da un lato i'estrema serielii della satira di Fo, Mistero bu£fo in testa, e daIl' allro lato i prezz; che egli aveva dDvuto pagare per esercitarla: dai tre lustri di ostracisma televisiva nell'era democristiana, aIle violenze verbali e fisiche di cui egli e Franca Rame sana stati spessa vittime. Fo intitola la sua lezione magistrale, tenuta in occasione del conferimento del premio, Contra jogulatores obloquentes, Contro i giullari diffamatori: una citazione del/'edilta del 1221 di Federico II, che permetteva di infliggere violenza ai giul/ari, senza incarrere in alcuna pena 0 sanzione. In quel/a stessa lezione Fo sve/a un profondo interesse per la scienza e Ie sue implicazioni saciali, prendenda apertamente pasizione contra la manipolazione genetica. Ed eproprio su temi legati aI/a scienza, e piu specificamente alIa prospettiva, che egli ein tervenu to al primo festival del/a Matematica illS marza 2007, con una lezione-spettacolo su "Prospettiva, scorcia e scienza del teatro». 00

Cos'i'! la prospettiva? Ela scienza che permette di collocare in un dipinto 0 disegno figure, oggetti, case, palazzi, in • una progressione simile al vero. E risaputo che ogni figura,

124

II Club dei matematici solitari

umana 0 architettonica, man mano che si allontana dai nostri occhi, si rimpicciolisce e Ie pareti di sguincio si rastremano verso il fondo. Ma la scoperta pili importante e che Ie fughe prospettiche in cui sono inseriti gli oggetti si proiettano tutte in un solo punto dello spazio frontale, un punto che si chiama punto di fuga 0 principale. Nel punto di fuga passa, attraversando 10 spazio frontaimente, la linea d'orizzonte. Tutte Ie coordinate della rastremazione sono dedotte dalla pianta e dall'alzato delle figure dell'insieme. Scusate... Mi pare d'essere una hostess che dii. spiegazioni sui punto di fuga in caso di incidente! Con questo linguaggio vi porto a non intendere nulla della prospettiva. Quindi andiamo per ordine. Ancora oggi si dibatte se la prospettiva sia nata prima in teatro, oppure disegnata e poi dipinta su tavole 0 tele, nonche sui muri, sulle pareti degli affreschi. Guarda caso, I'impianto geometrico delle linee di fuga e del punto di vista su cui concorrono Ie linee prospettiche viene applicato nella scenografia teatrale, negli stessi anni in cui si usano 10 scorcio e gli effetti prospettici in pittura. Fino agli inizi del Quattrocento non esistevano veri teatri, ma piuttosto saloni adattati a platea con I'aggiunta di un palcoscenico ridotto. Furono proprio pittori e architetti, amanti appassionati di geometria e di teatro, come Leon Battista Alberti, Brunelleschi, Leonardo, Mantegna e Raffaello, e pili tardi il maestro di tutti, Giacomo Torelli di Fano, che progettarono e «misero in azione» i primi autentici spazi da rappresentazione. Acominciare dalla platea con i palchi, quindi il tavolato sui quale si svolge il dramma 0 la commedia, la soffitta dalla quale scendono fondali e spezzati di scena. II tutto era mosso da macchine che stavano nel sottopalco e permettevano non solo di far entrare in scena gli spezzati, ma anche sagome che alludevano a cavalli con cavaliere che si scontravano nel mezzo, mostri che avanzavano dal fondo, onde di mari in tempesta che si seguivano una dietro I'altra ... Questo e giii. spettacolo!

Dario Fo

125

Gli operai che manovravano queste macchine venivano chiamati appunto macchinisti, e si chiamano cos1 ancora oggi. II palcoscenico era rialzato, anzi in declivio, la platea in controdeclivio rispetto al palcoscenico. Questo pennetteva al pubblico, come a voi che state nel parterre, cioe in platea, di scorgere per intiero i recitanti, anche se vi trovate davanti molte file di altri spettatori. Ma il nuovo tpatro non ha finestre dalle quali far trapelare la luce, percie dev'essere illuminato dall'interno. Nei primi spazi da rappresentazione la luce era prodotta da enormi lampadari, tanto a vantaggio degli spettatori che degli attori. Poi si introdussero i proiettori. La sala rimaneva all'oscuro e soltanto il palcoscenico veniva illuminato. Giii. gli antichi greci che allestivano i propri spettacoli all'aperto si servivano, nel momento in cui il sole iniziava a calare lasciando 10 spazio scenico nella penombra, di grandi specchi posti lungo Ie ultime gradinate della cavea (0 delIa conca). Questi specchi riprendevano la luce dell'ultimo sole e la proiettavano nel centro del palco di rappresentazione: una soluzione di straordinario effetto. Ecco da dove nasce il termine proiettore, in uso ancora oggi. I proiettori del Rinascimento erano ancora composti da specchi che in coperta (cioe restando tra Ie quinte) riflettevano la luce prodotta da lampade alimentate a olio 0 da grandi candele. In coperta, 0 sottocoperta: questa significato del termine e 10 stesso usato in marina, soprattutto sulIe navi a vela. E cos1 come sulle navi a vela si issano rande e fiocchi, egualmente in teatro si issano scenari e fondali. E ancora i termini «in prima», «in seconda», «in terza» provengono dalla marineria. Oggi la tecnologia di cui ci serviamo in teatro si e sviluppata in modo imprevedibile. Possiamo servirci di impianti scenici che ci permettono un'acustica eccellente e di lampade che proiettano luce ed effetti speciali straordinari. n centro, perc, del teatro rimane sempre I'uomo con la sua presenza, la sua voce, il suo gesto. La tecnologia ci permette di migliorare la qualitii. della rappresentazione ma a poco

126

II Club dei matematici solitari

serve se, come da sempre si dice in teatro, chi sta sulla tavola scenica non possiede il quid, cioe un insieme di doti e conoscenze specifiche che vanno dal coinvolgimento all'affascinazione, il potere indispensabile di creare il c1ima drammatico o cornico e il fantastico, fondamento assoluto del teatro. Ribadisco che i1 conoscere la macchina e Ie sue funzionaIita e un arricchimento spesso essenziale al successo scenico. Ma alla dote e alla conoscenza della tecnica va aggiunta l'improvvisazione, cioe la facolta di inventare dialogo, gestualita e situazioni che non si trovano nel copione e che arricchiscono, se usate con sapienza, I'intero spettacolo, e soprattutto 10 rendono vivo e spesso magico. Attenti pero! C'e un detto essenziale in teatro, che cosi recita: «Sul palcoscenico non esistono regole, nessuna regola, ma esistono disciplina e conoscenza in gran quantita». A questa viene aggiunto un altro adagio: «L'improvvisazione non efmtto di casualita, ma di preparazione: in teatro non c'e nulla di menD improvvisato dell'improvvisazione». Queste sono Ie lezioni che ogni giovane teatrante dovrebbe conoscere, a cominciare dalla facolta di sdoppiarsi nell'uso del cervello. Erisaputo che noi usiamo solo una parte del nostro apparato cerebrale: c'e una vasta sezione che non viene posta in azione, un'altra ancora che agisce senza che noi 10 si ordini 0 diriga. Noi camminiamo senza bisogno che i1 cervello controlli i movimenti dei piedi e delle gambe. Ogni tanto i1 cervel10 direttivo entra in azione per ordinare un' accelerazione, un cambio di ritrno, uno stop. Cosi quando teniamo un discorso Ie nostre mani, Ie braccia, e spesso anche i1 corpo, agiscono sostenendo· 0 quasi dirigendo Ie nostre parole. Anche la commozione 0 la rabbia vengono sostenute dal- . la gestualita, ma noi non ne siamo quasi mai consci. Quella parte del nostro cervello, che impone movimenti a braccia, mani, gambe, corpo tutto e perfino Ie espressioni del viso, agisce spesso per proprio con to. La differenza che si evidenzia in un attore sui palcoscenico e la coscienza delIa propria gestualita.

...... Daria Fa

127

Ma questa non e di tutti i recitanti. Esempio: nella ripresa cinematografica 0 televisiva di uno spettacolo, mostrata poi agli interpreti, si scopre all'istante un loro mota di meraviglia. Non si ritrovano: «Sono stato io a muovere Ie braccia cosl? Non me ne sono accorto!». E poi ammettono . che gran parte di quei gesti 0 atteggiamenti e venuta loro spontanea, non calcolata ne prevista. E qui si palesa la grande differenza tra un commediante cosciente e carico di mestiere e un giovane apprendista non coltivato. Per esperienza vi posso assicurare che i grandi interpreti coscienti e controllati si rendono conto in ogni momento della propria gestualita. La inventano 0 la modificano ogni volta, consci dell'effetto e del risultato. Soprattutto, mentre un giovane aile prime arrni difficilmente riesce a coordinare gesti e parole, quindi si ritrova ad esagerare con i1 roteare delle braccia e delle mani e consuma inutilmente grandi energie, i1 recitante esperto si preoccupa di risparrniare la propria carica emotiva e gestuale, e dimostra sempre una sobriet" e una sintesi che vanno a tutto vantaggio della propria esibizione. A questo proposito rni viene in mente uno spettacolo di De Filippo dal titolo Sabato, domenica e lunedi. Nella commedia si raccontava una situazione di conflitto che nasceva dentro una famiglia numerosa. Nel secondo atto la situazione si faceva davvero infuocata, ognuno odiava un parente e veniva odiato da un altro. L'unita della farniglia! La famiglia al centro della societa umana! Lo dice anche il Papa ... In questa commedia amori, passioni, vendetta caricavano di fermento tragico e cornico la scena. II personaggio principale era Eduardo De Filippo, che copriva il ruolo del capofarniglia al quale ognuno aveva fatto in modo di togliere ogni potesta e rispetto. In tutta la scena, Eduardo s'era posto seduto in un lato del salone e ascoltava. Commentava appena ogni situazione con sguardi accennati e ogni tanto beveva da un bicchiere che s'era riempito di vino. Nient'altro! . Gli attori andavano, venivano, gridavano, insultavano, ridevano, si facevano sberleffi e cattiverie, esplodevano in

128

I1 Club dei matematici solitari

lacrime e pianti... Eppure gli spettatori non riuscivano a distogliere l'attenzione dalla figura di Eduardo, che esprimeva man mana piccoli commenti ad ogni azione. II pubblico seguiva senza perdersi un solo contrappunto mimico del capocomico, e a ritmo crescente esplodeva in boati di sghignazzi irrefrenabili. AHa fine scoppiava un applauso incredibile rivolto a Eduardo che, sempre seduto Iii neH'angolo, restava solo. Tutti se n'erano andati.

•

Thomas Banchoff

La quarta dirnensione e Salvador DaH

Da quando Bernhard Riemann introdusse nel 18S4 la nozione di spazio a piu dimensioni, /'idea del superamento della tridimensionalita ha affascinato e stimolato scienziati,filosafi, letterati e artisti. In fisica, ad esempio, la relativita ha portato alia cansideraziane della spazio di Minkowski, nor .'elidea e a quattro dimensioni, e la meccanica quantistica allo ,pazio di Hilbert, euelideo e a infinite dimensioni. Ma un conto elavorare formalmente, e un altro riuscire a visualizzare indirettamente anche solo una dimensiane in piu delle tre che la natura ci ha concesso di percepire direttamente. Un famoso tentativo di suggerire come procedere per analogia i! il romanzo di Edwin Abbott Flatlandia, rna esolo con l' avvento della computer grafica che si everamente riusciti a stimolare ed estendere /'intuizione visiva mediante immagini realistiche e con vincenti. II pioniere e campione di questa campo a cavallo tra Ia matematica e l'arte eThomas Banchoff al quale si devono opere ehe vanna dal film L'ipercubo (1978) a/libro i/lustrato Oltre la terza dimensione (Zanichelli, 1993), alia eonsulenza scientifiea per il recente film di animazione Flatlandia di Teffrey Travis e Dana Johnson (2007). IllS marzo 2008, al seconao festival della Matematica, Banehoffha parlato de «La quarta dimensione e Salvador Dali», mostrando autobiagraficamente came un matematico e un artista

130

II Club dei malematici solilari

possono sviluppare una proficua collaborazione che testimoni della sostanziale unitii delle cosiddette «due culture». 00

La mia collaborazione con Salvador Dati ebbe inizio nel 1975. n 22 gennaio di quell' anno iI «Washington Post» pubblieb un articolo sui nostro lavoro sull'uso della computer grafica interattiva per la visualizzazione della quarta dimensione. Nella foto ehe corredava I' articolo c'ero io con un modello pieghevole dell'ipercubo che avevo inventato, una rappresentazione della figura che aveva usato Dali nei suoi quadri vent' anni prima. Sullo sfondo c'era un dettaglio del quadro, e fu questa ad attirare I'attenzione dell'artista.Amarzo di quell'anno fui contattato da un rappresentante di Dall e venni invitato, insieme al mio esperto di computer grafica Charles Strauss, a andare aNew York per incontrare I'artista. Fu I'inizio di una serie di storie molto interessanti. Dali aveva appena completato iI progetto di una scultura o]ogrammatica e stava per imbarearsi in una nuova avventura: dipinti tridimensionali a olio. Voleva una consulenza su questioni precise, incluse Ie lenti di Fresnel che permettono la visione delle irrunagini affianeate senza I'uso di specchi. Gli mostrai alcune delle nostre irrunagini in un visore stereoseopico, e lui fu particolarmente interessato ad avere piu infonnazioni sulle nostre tecniche, eompresi i film tridimensionali. Mi eolpi ehe di alcune di queste moderne tecniehe di visualizzazione avesse una conoscenza che andava oltre la sempliee lettura di «Scientific American». Gli piacque anche l'ipercubo pieghevole e disse: «Potrei averlo», piu come affermazione ehe come ·richiesta. Ci spiegb che iI suo museo a Figueres in Catalogna aveva aperto I' anno preeedente, e lui voleva inserire iI mio modello tra Ie opere. 10 colsi I'oecasione per domandargli da dove gli fosse venuta l'ispirazione per iI Corpus hypercubicus, aspettandomi che si fosse basato su una forma apparsa in una serie di Iibri di geometria e design all'inizio del XX seeolo. Fui sorpreso di apprendere che la fonte dell'immagine del cuba

Thomas Banchoff

131

dispiegato a croce risaliva invece all'erudito catalano Raimondo Lullo. 10 conoscevo la De nova geometria di Lullo, e Dali ne fu a sua volta sorpreso. Disse che la geometria piana di Lullo era stata tridimensionalizzata parecchi secoIi dopo da Juan de Herrera, I'architetto dell'Escorial: questo discepolo di Lullo aveva trattato iI dispiegamento del cuba nel suo Discorso sulla forma cubica. Dali si considerava un discendente spirituale in linea diretta di questi famosi pensatori e scrittori catalani e voleva spingersi un passo avanti, nella quarta dimensione. A questa punto potrebbe essere utile accennare a come ho utilizzato i modelli pieghevoli nel mio lavoro sulla geometria dei poliedri a tre e quattro dimensioni. La storia comincia con quattro bastoncini di uguale lunghezza, messi in fila con Ie estremita a contatto. Se spostiamo i bastoncini sui piano a due dimensioni possiamo congiungere iI vertice sinistro al vertice destro e formare un quadrato. Salendo di una dimensione abbiamo la possibilita di formare un cubo con sei pezzi quadrati di cartone, iniziando con un quadrato circondato da altri quattro quadrati e un ulteriore quadrato sul fondo, fino a formare una figura crucifonne. Per costruire la scatola enecessario piegare quattro dei quadrati nella terza dimensione per formare una scatola aperta, e poi utilizzare I'ultimo quadrato per la parte superiore della scatola. Qual eI' analogia nella dimensione successiva? Possiamo cominciare con un cubo e mettere un altro cuba su ognuna delle sei facce quadrate, per un totale di sette cubi, e poi possiamo attaccare un ottavo cuba sul fondo. Come la croce bidimensionale pub essere piegata nella terza dimensione per formare un cubo, cosi la figura tridimensionale con otto cubi pub essere piegata nella quarta dimensione per formare un «ipercubo», a volte chlamato «tessaratto». Non possiamo effettuare questa costruzione nel nostro spazio tridimensionale, perche non abbiamo accesso a una dimensione perpendicolare aile solite tre, rna possiamo imparare qualcosa sul cuba quadridimensionale studiando la sua forma dispiegata. Questa e la forma che ha ispirato Salvador Dali a combi-

132

11 Club dei matematici solitari

nare Ie idee religiose dell'incarnazione e della redenzione sulla croce con !'idea geometrica di un cuba quadridimensionale dispiegato nelle tre dimensioni. II nostro interesse comune verso questa affascinante oggetto ha dato inizio alia nostra collaborazione, che duro per dieci anni. Tra il1975 e il1985 andai a trovare Dati quasi ogni primavera, quando veniva a New York, pill una volta a Parigi e due volte in Spagna. Ogni volta lui voleva vedere i nostri nuovi progetti, e ci mostrava quelli che aveva in cantiere lui. Tre di questi progetti, in partieolare, erano legati alIa geometria: dipinti che cambiavano fonna a seconda della distanza da cui li si guardava; dipinti che presentavano una prospettiva esagerata, 0 singole immagini, 0 coppie tridimensionali; e dipinti che presentavano particolarita geometriche, soprattutto quelle apparse nell'opera del matematico Rene Thorn, vincitore della medaglia Fields e inventore della teoria delle catastrofi. Ne11975, due settimane dopo il primo incontro con Dali, fummo invitati a tornare a New York per proiettare alcuni dei nostri film tridimensionali e la prima versione di Ipercubo: proiezioni e sezioni. L'argomento del film era una superficie descritta per la prima volta nell'Ottocento da Giuseppe Veronese: un piano reale proiettivo non orientabile, fOImato attaccando un disco al bordo di un nastro di Moebius. Questa superficie non puo essere costruita senza autointersezioni nella spazio tridimensionale, rna puo essere assemblata nella spazio quadridimensionale, e poi visualizzata attraverso Ie sue proiezioni nella spazio tridimensionale. Durante la proiezione Dali e Gala guardarono il film con occhiali tridimensionali, rna rimasero delusi dagli effetti, che non erano abbastimza spettacolari: Ie immagini infatti illustravano a sufficienza la geometria anche senza la visione binoculare. Ma queste imrnagini della superficie di Veronese divennero in seguito Ie preferite di Dali, quando si interesso alIa teoria delle catastrofi. Nel1976 portammo con noi alcuni dei nostri primi video sulle superfici quadridimensionali, e potemmo a nostra volta vedere un'opera ancora in fase di lavorazione, che epoi di-

Thomas Banchoff

133

ventata uno dei dipinti pill riconoscibili di Dali: la seconda versione di Gala guarda il mar Mediterraneo che a venti metri si

trasforma in ritratto di Abramo Lincoln - Omaggio a Rothko. Nel1973 «Scientific American» aveva pubblicato un artieolo sui riconoscimento facciaJe, che spiegava come Leon Hannon e Bela Julesz avessero preso un famoso ritratto di Abraham Lincoln e l'avessero scomposto in centinaia di quadrati grigi: da una certa distanza, 0 quando I'immagine era sfuocata, il volta di Lincoln diventava immediatamente riconoscibile. Ora Dali aveva trasformato quelI'illustrazione in un'immagine a colori con Gala che guarda fuori da una finestra. Osservandolo all' opera potei vedere come otteneva l'effetto. Aveva un piccolo binocolo da teatro, che utilizzava al rove. scio per avere I'illusione che la tela fosse distante venti metrio Poi si avvicinava e faeeva un piccolo cambiamento nel colore di un quadrato, e si allontanava di nuovo per avere la visione da lontano. Comprai poi una copia di una stampa, che Dali firma: A man ami, Banchof! Hommage de Dal{. Dali aveva giil creato diversi dipinti che cambiavano forma a seconda della distanza, per esempio II teschio di Zurbarfin (1956) e Cinquanta dipinti astratti (1963). Lo entusiasmava I'uso della computer grafica, che forniva un nuovo approccio ai suoi precedenti sforzi sperimentali. Nei suoi dipinti stereoscopici Dali partiva da fotografie, e poi Ie modificava in diversi modi per ottenere effetti diversi. Aveva gia utilizzato la prospettiva esagerata in Lo spettro di Vermeer che pub anche servire come tavola, e nel 1977 aveva impiegato 10 stesso metoda in Dall che solleva

un Zembo del mar Mediterraneo per mostrare a Gala la Nascita di Venere. Molto pill tardi, nella studio parigino di Robert Descharnes, il biografo di Dali, vidi Ie fotografie originali che avevano ispirato questo dipinto. Ne11978, durante una delle visite a Dali e Gala a New York, credo di aver visto parzialmente finita I'opera stereoscopica Atene brucia! La scuola di Atene e l'incendio nel Borgo. Nelle altre opere stereoscopiche, la maggior parte degli elementi erano rappresentazioni realistiche delle componenti

134

II Club del matematici solitari

sinistra 0 destra della visione, sia pure con leggere alterazioni del colore 0 della consistenza. In questo caso, invece, Ie due componenti condividevano la stessa cornice, rna erano molto diverse nei particolari. Anziche rappresentare immagini che potevano fondersi nel cervello, questa quadro dipendeva dall'idea di «rivaIita retinica»: nel cervello sarebbe stata presente una delle due componenti dell'immagine, rna non entrambe. ncolore era delicatamente caIibrato in modo che l'immagine si spostasse avanti e indietro, quasi casualmente. Nel dipinto terminato Dati aggiunse una serie di rettangoli a forti colori, che presentavano un effetto stereoscopico piu standard, rna non mi ricordo che ci fossero gia quando il lavoro era in preparazione. All'incirca in questa periodo Dati concepi il progetto del cavallo, su cui lavorammo per molti anni successivi. In una visita nel 1980 mi diede i suoi schizzi (fatti usando un pennarello sulla scatola di una camicia) che riproducevano un cavallo di 30 mem, che sembrava nonnale solo da una precisa angolazione. La testa era vicina all'osservatore, Ie grandi spalle stavano a una certa distanza, e I'enonne groppa era molto lontana. Vanno successivo il progetto si era evoluto in una scultura di 300 metri, con la groppa su una montagna lontanissima. Ne11981, quando andai a trovarlo a Parigi, Dali voleva che Ie spalle fossero su una montagna lantana e la groppa sulla luna! La scultura sarebbe stata visibile solo da un punto particolare, a un orario particolare. La matematica necessaria era un semplice esercizio nel disegno a prospettiva, rna noi offrimmo la nostra disponibilita a fornire irnmagini che mostrassero come si sarebbe potuto ottenereo All'apertura della sua mostra stereoscopica al Guggenheim Museum di New York, Dali e io ci sedemmo su una panchina da soli, separati dai visitatori da un drappo di velluto, e io gli mostrai Ie irnmagini prelirninari di un'opera che non sarebbe mai stata realizzata. Nel1980 Dati mi aveva chiesto se conoscevo Rene Thorn, ed era rimasto colpito quando gti avevo detto che avrei fatto ricerca l'anno successivo nell'istituto in cui lui aveva una cat-

Thomas Banchoff

135

tedra. Fu ancora piu impressionato l'anno dopo, quando gli dissi che avevo scritto un articolo con Thorn, basato sull'analisi di una singolarita che era stata osservata per la prima volta in un film che avevo precedentemente mostrato a Dati. Que! film faceva parte della nostra presentazione al Congresso internazionale dei matematici di Helsinki ne11978, e ne mostrai a Dali una versione migliorata durante uno dei nostri ultimi incontri nel1983 al castello di Piibol, a sud di Barcellona, dove si era ritirato dopo la morte di Gala, avvenuta I'anno prima. Mentre guardava la superficie di Veronese, Dali esclamava «C'est merveilleux», e indicava entusiasta ogni cambio di forma corrispondente a una delle catastrofi ombelicali. In tale occasiorie riuscii a visitare 10 studio in cui Dali lavorava alla tela che sarebbe diventata la sua ultima opera importante, un'opera che combinava idee matematiche con simboli religiosi. Una curva cubica suggeriva il simbo10 f di integrale, rna anche la forma'di un violoncello posto a lato del cavallctto. La superficie della catastrofe per la curva cubica era presentata come una forma a calice al centro del dipinto. Su un tavolo a lato del cavalletto c'era un libro di Rene Thorn sulla teo ria delle catastrofi, e una copia delIa monografia Cuspidi della mappa di Gauss che avevo scrilto con i miei colleghi Clint McCrory e Terry Gaffney. La mia ultima visita a Dali avvenne nel 1985, a casa sua, . vicino al Museo Salvador Dali a Figueres. Era presente anche il professor George Wagensburg, che I'anna successivo organizzo la conferenza durante la quale Thorn ebbe un dibattito molto applaudito con il premio Nobel per la chimica Ilya Prigogine. In quell'occasione visitai il museD per vedere il mio ipercubo dispiegato, esposto nella stessa teca del modello di legno che Dali aveva utilizzato per il suo dipinto di trent'anni prima. Avevamo avuto una collaborazione eccellente, in quei dieci anni, e mi piace raccontare queste storie.

Hans Magnus Enzensberger

La matematica della fortuna e i suoi limiti

Hans Magnus Enzensberger eda qualche an no universalmente conosciuto in Italia per due ragioni. Anzitutto, perche nel film Caro diario di Nanni Moretti e l'idolo di un intellettuale che non ha mai acceso la televisione, rna che alia fine si converte a Beautiful. E poi, perche un suo librq di matematica per bambini, II mago dei numeri (Einaudi, 1997), i! diventato un fortunato bestseller per adulti. Pili in generale, Enzensberger enota in Europa da piu di quarant'anni come poeta, filosofo, saggista, giornalista, inviato speciale, traduttore poliglotta, critico letterario, analista sociale e militante politico, ollre che per capolavori come il romanzo La breve estate dell'anarchia (Feitrinelli, 1978) e il poema La fine del Titanic (Einaudi, 1990). II suo libro Gli elisir della scienza (Einaudi, 2004) raccoglie una serie di poesie e saggi su temi che coprono ['intero arco delle discipline scientifiche (matematica, fisica, biologia, medicina, scienze umane e sociali), e dimostrano un interesse confermato dal suo intervento del 13 marzo 2008 al secondo festival della Matematica su «La matematica della fortuna», al quale eseguito un nostro colloquio. 00

Incertezza, sempre incertezza! Solo i morti non corrono pill rischl. L'umanita, per quanta si voglia risalire all'indietro can la memoria, ha sempre inventato pratiche per far

138

II Club dei matematici salitarl

fronte aile vicissitudini palesemente imprevedibili della sua esistenza. Nessuna societii. antica se l'e mai cavata senza sciamani, indovini, maghi, astrologi e sacerdoti. OracoIi, amuleti, formule apotropaiche hanno sempre fatto parte delle indispensabili tecniche per interpretare e influenzare Ie sorti della collettivita e del singolo. E ancora oggi, com'e noto, tutti questi mezzi godono di grande popolarita. Fra Ie divinitii. antiche vi furono la Tyche dei greci e la Fortuna dei romani: a loro bisognava rivolgersi per carpire un briciolo di fortuna. Ma, naturalmente, quelle capricciose divinita non erano competenti in materia di salvezza eterna: solo delle occasioni che la vita terrena concede onega. E anche Ii, bisogna saper scegliere il momento giusto. II rapporto con il tempo era incarnato da un dio 0 demone particolarmente piccolo: Kairas. Nella mitologia greca, Kairas e il figlio minore di Zeus e si riconosce facilmente dall'acconciatura. Chi cerca di ghermirlo da dietro resta con in mano un pugno di mosche, perche Kairas ha la nuca rasata. Bisogna affcrrarlo da davanti, dal ciuffo, per cogliere l'istante fortunato. Naturalmente, la modernita non ha voluto accontentarsi di questi metodi antichissimi e sperimentati. AI contrario, il pensiero scientifico era ben deciso a far piazza pulita di quelle che definiva superstizioni. Al posto dell'irrazionale doveva entrare il calcolo: un progetto, questo, che si prefiggeva niente di meno che di razionalizzare la fortuna. Non si doveva pili parlare di destino, rna del suo grado zero, della sua riduzione all' osso: il caso. Sui fronte pili avanzato di quell'offensiva troviamo i matematici. Nel1663 fu pubblicato De ludo aleae, un trattato di Girolamo Cardano sui gioco dei dadi: fu l'inizio della storia della teoria delle probabilitii.. II dotto rinascimentale, nativo di Pavia, era un appassionato del gioco d'azzardo e nel suo libro, oltre ai calcoli matematici, offriva anche consigli ai bari e agli imbroglioni. E forse non e un caso (sebbene il senso del suo trattato fosse proprio quello di provare ad aggirare il caso).

Hans Magnus Enzensberger

139

In epoche successive, anche altri campioni del calcolo delle probabilitii. - come Pascal, Fermat, Huygens e Bernoullisono stati affascinati dalle scommesse e dal gioco d'azzardo. Ma gia ne erano schiavi gli dei dell'Olimpo: a quanta pare, i tre fratelli Zeus, Poseidone e Ade si spartirono il mondo proprio tirando a sorte, cosicche a Zeus tOCCD il cielo, a Poseidone il mare e a Ade gli inferi. Del resto la parola «calcolo» deriva dallatino calculus, cioe "pietruzza». In origine, difatti, sassolini bianchi e neri venivano usati come oracoIi e talismani, oppure per ricordare gli eventi fausti 0 infausti. In seguito i sassolini furono utilizzati per emettere verdetti di condanna 0 di assoluzione, e solo alia fine della loro carriera sono finiti sulle nostre scacchiere. A quanta pare, la teoria classica e riuscita a calcolare con grande precisione I'esito probabile di un lancio di dadi 0 di monete. Non soltanto illancio presuppone monete e dadi ideali, come non ne esistono nel mondo reale, rna poiche il calcolo sottosta anche alia legge aei grandi numeri, soltanto se l'esperimento vicnc ripctuto all'infinito si arriva al valore-limite della probabilita che si e calcolato. Purtroppo, pero, nessuno siede all'infinito al tavolo da gioco, anche perche la vita umana e gia abbastanza breve. Naturalmente, i matematici dell'era modema non si sono fermati aile conclusioni dei classici. Le loro eroiche fatiche hanno affinato sempre pili la teoria classica, fino ai nostri giorni. Cio facendo hanno scoperto varie cose sorprendenti, e ben presto si e visto che dietro il caso si nascondono tranelli e ghiribizzi metafisici. Non e questa la sede adatta per avventurarsi nelle sottigliezze degli assiomi di Kolmogorov 0 delle simulazioni del metoda Monte Carlo. Ma gia la semplice domanda «testa 0 croce?», «rosso 0 nero?», puo mettere a dura prova il buonsenso. Poniamo che stiate giocando alia roulette, e che la pallina si fermi 20 0 30 volte su una casella rossa. Una serie del genere non vi sembra estremamente improbabile? Non vi prudono Ie mani dalla voglia di puntare sui nero, perche vi figurate che a ogni nuovo lancio Ie probabilita che esca il

140

II Club dei matematici solitari

nero aumentino? Errore! Ogni nuovo lancio della pallina e indifferente a tutti quelli che l'hanno preceduto. Ma aspettate: la vostra situazione si presenta ancora peggiore. Secondo la legge dei grandi numeri, infatti, il rapporto fra i lanci con esito nero e quelli con esito rosso si avvicina tanto pill alla parita - 50 a 50 - quanta pill a lungo si gioca. Ma i risultati effettivi possono anche deviare fortemente da questa regola. Ad esempio, su 100 lanci, se nei primi 60 euscito 60 volte il rosso, nei rimanenti 40 lanci Ie probabilita che esca il rosso diminuiscono del 50% di 40, quindi del 20% e non del 50%. Quanto pill a lungo si gioca, tanto pill improbabiIe e il pareggio fra rosso e nero! Percib, se vi foste fidati del vostro intuito, alla lunga sareste andati in rovina. Per questi e altri motivi falliscono anche i vari sistemi col cui aiuto molti giocatori d' azzardo sperano di giocare un tiro al caso. Spesso questi trucchl infallibili vengono offerti su Internet. Mi ricordano la famosa inserzione in cui qualcuno prometteva, dietro invio di 5 euro, un metoda sicuro per diventare ricchi velocemente e senza rischl. La ricetta proposta dall'inventore era questa: «Fate come me». Nel gioco d'azzardo, solo questa esicuro: che alla lunga vince sempre il banco. Anche Ie varie lotterie ridistribuiscono soltanto la meta circa delle puntate: l'altra meta la intascano gli organizzatori. Non si servono altrettanto generosamente Ie banche e gli agenti che partecipano a un altro gioco, quello delle speculazioni in Borsa: rna anche qui, indipendentemente dal fatto che Ie quotazioni salgano 0 scendano, si applicano costi di transazione e provvigioni; e anche qui i pill elaborati metodi di analisi tecnica possono indurre in errore. Sembra che certi opera tori di mercato preferiscano addirittura affidarsi ai loro astrologi, piuttosto che ai loro analisti. Altri ancora lasciano che a decidere sia la donna di servizio. Quali insidie si celino nel concetto di caso 10 dirnostra anche la difficolta di formalizzarlo. Molti sforzi sono stati dedicati a generare una serie numerica puramente casuale. A tal fine ogni computer contiene un apposito software, il cosiddetto «genera tore di numeri casuali». Ma, purtroppo, a

Hans Magnus Enzensberger

141

una pill attenta osservazione si nota che nessun calcolatore e in grado di generare una simile serie, perche questa e pill complessa del suo stesso programma. Percib il computer non e in grado di rispondere al quesito se un dato elenco di numeri sia casuale (il che peraltro dimostra la validita del famoso teorema di Kurt Codel, secondo cui e impossibile dimostrare la mancanza di contraddizioni logiche di un sistema all'interno del sistema stesso). Con questi e altri trabocchetti deve fare i conti chi si affida alla sorella povera della teoria delle probabilita: la statistica. Di questa servizievole fantasma si dice, non del tutto a torto, che intrattenga una certa complicita con la menzogna. Di cib, naturalmente, hanno meno colpe Ie teorie da osteria della prassi senza scrupoli. Tutto ha inizio gia dai dati statistici grezzi. Per esempio, nel prod otto sociale lordo rientrano anche i costi di tutte Ie riparazioni e Ie terapie: di conseguenza, questa bella cifra di riferirnento aumenta incessantemente a ogni incidente, ogni malattia e ogni delitto che capita. E ancora: la disoccupazione, per motivi politici, si misura con metodi diversi - e di regola estremamente ingannevolida un paese all'altro. Secondo una definizione della Commissione europea, eda considerarsi povero chi guadagna meno della meta del reddito medio degli abitanti del suo paese. n che significa, naturalmente, che la poverta edestinata a vita eterna, perche se anche il reddito medio annuo pro capite salisse a 2 milioni, i semplici milionari sarebbero considerati dei miserabili. Per contro, si pub escludere con certezza pressoche assoluta un tasso di crescita del 200%: rna cio serve ben poco a chi deve campare con pochl euro al mese. Si e delto che in questa modo possono sorgere errori molto grossolani. Ma onestamente, chi saprebbe spiegare su due piedi che cosa si intende quando si parIa di «valore medio»? Si tratta della media aritmetica, 0 della mediana? Finche questo non e chiaro, da un calcolo statistico si potrebbe trarre la conclusione che Ie forniture idriche funzionano a perfezione anche quando meta della popolazione affoga e l'altra meta muore di sete.

142

Il Club dei malematici solilari

Naturalmente, errori cosl marchiani di interpretazione possono succedere soltanto a un pubblico inesperto e credulone, mentre 10 statistico scaltro ne e immune. E la dove c'e in ballo un sacco di soldi, ad esempio nella matematica delle assicurazioni, il caleolo delle probabilita estato sperimentato a fondo. Anche qui vale il detto ehe alla fine vince sempre il banco. E torna in gioco la legge dei grandi numeri di Bernoulli: quanti piu clienti l'assicuratore ha nel suo portafoglio, tanto meno deve temere Ie perdite. E lit dove i rischi sane particolarmente grandi, essi vengono distribuiti su spalle aneor piu larghe grazie alle riassicurazioni. II eonto sale proprio perche alIa societit di assicurazioni puo essere del tutto indifferente se la casa dell'assicurato prende fuoco 0 se il titolare muore. Ma questa non e la prospettiva dell'interessato, che si rapporta al rischio in tutt'altro modo. Da una parte e afflitto da tutte Ie preoccupazioni possibili e inunaginabiIi. In quanta investitore, oscilla continuamente fra rabbia e avidita, istinto gregario e avversione al rischio, e non di rado la conseguenza eche prende Ie sue decisioni in modo del tutto irrazionale, proprio perche cerea di proteggersi da ogni rischio concepibile. II che, si capisce, conviene molto non soltanto aile assicurazioni, rna anche allo zelo dei politici. D' altro canto, pero, in ogni pusillanime si nasconde anche un avventuriero. Perche dove il rischio sembra escluso, ein agguato la noia. E allora, ecco il prode capufficio che corre a rotta di collo in sella alia sua mountain bike, il praticante della cassa di risparmio che si diverte a fare surf sui binari del tram, l'insegnante di econornia domestica che pratica il saito nel vuoto con I'elastico e il vicepreside che deve a ogni costo fare la traversata del Sahara, dove viene preso in ostaggio da una banda di rapitori: cosl per una volta va anche lui in tv, dopo che questa 0 quel ministro si e adoperato per il suo rilascio. In questa caso, il costo - sotto forma di un riscatto di svariati milioni - se 10 accolla il contribuente.

Hans Magnus Enzensberger

143

Ma non occorre prendere in considerazione casi cosl estrerni per capire quanta poco il nostro comportamento sia determinato dal caleolo del rischio. Chi contrae un matrimonio d'amore non si preoccupa certo del fatto che Ie sue probabilita di trovare l'unico partner «giusto» sono piuttosto limitate. Ponendo (con grossolana approssimazione) che i possibili candidati siano un miliardo, Ie probabilita di incontrado si caleolano cosl: casi favorevoli

casi possibili

_ -=-=,.,1"",== , 1.000.000.000

il che tuttavia non ha ancora impedito a nessuno di correre un rischio cosl enorme. Uomini e donne che aspirano al matrimonio si aggrappano imperterriti alla convinzione di aver azzeccato I'unica scelta possibile. Ecco fino ache punto eprecaria la nostra fortuna. A quanto pare, ha perfettamente ragione Pierre Basieux, quando scrive nel suo libro Avventure matematiche che il caleolo delle probabilita e una branca della matematica altretlanto precisa della geometria, dell'algebra 0 dell' analisi. Ma poi prosegue: «Non bisogna tutlavia confondere il caleolo delle probabilitit con Ie conclusioni che si possono trarre dall'applicazione del modello probabilistico al mondo in cui viviamo. Cosl come e impossibile dimostrare un assioma, e impossibile anche dimostrare che Ie probabilita esistano al di fuori della mente matematica». In conc1usione, non mi sembra che la Bcienza abbia ottenuto il pieno successo del suo progetto, perseguito con tenacia, di scacciare Fortuna dalla nostra vita. Cio dipende forse dal fatto che noi umani dobbiamo la nostra stessa esistenza a una lunga catena di eventi estremamente improbabili. La nostra fortuna, e la nostra sfortuna, sfuggono dunque ai portentosi caleoli che abbiamo escogitato nel corso dei secoli, e non ci rimane altro che la possibilita di afferrare ogni tanto Kairos per il ciuffo. 00

144

IT Club dei matematici solitari

Vedo tre possibilitii, per l'interesse ehe ha appena dimostrato per la probabilitii e la statisliea. La prima eehe lei sia un gioeatore aeeanito, e ehe ei rifletta su corne il Dostoevskij del romanzo n giocatore. La seeonda eehe lei veda nell'argomento delle possibilitii letterarie, corne il Tom Stoppard di Rosencrantz e Cuildestem sono marti, ehe inizia can un'improbabile serie di liri di monetina in eui esce testa per novantadue volte di seguito. La terza e. ehe lei sia semplieemente e genuinamente interessato alia matematiea. La prima possibilita esicuramente sbagliata, visto che io mi annoio al casino: e dimostrato che si perde quasi sempre, e non ci trovo niente di interessante nel perdere soldi. Le altre due possibilita, invece, non si esc1udono a vicenda: Ie strutture matematiche aprono la visione su un universo alternativo, sia esso un iperuranio platonico 0 una costruzione umana. Nelle faccende matematiche io sono naturalmente un dilettante assoluto, e arrivo solo fino a un certo punto, rna Ie pratico come una specie di allenamento mentale, allo stesso modo in cui altri fanno palestra per allenare it fisico.

Ma perche ha seelto di parlare proprio della teo ria delle probabilitii, invece di qualehe altro aspetto della matematica? Perche i suoi risultati sono molto controintuitivi: it senso comune si rib ella, non ci crede e persiste a seguire la propria intuizione, a volte con risultati fatali.

Ad esempio? Succede spesso in medicina, quando si guarda ai rischi e ai benefici di una cura 0 di una operazione sotto forma di percentuali di guarigioni 0 di morti. Si tratta di faccen· de in cui sono coinvolti giganteschi capitali ed enormi interessi, e a seconda di come si presentano i dati si puo far credere che sia molto conveniente prendere un certo medicinale 0 fare un certo intervento, quando chi conosce la matematica capisce che Ie cose non stanno forse cosi. Interessante, no?

Hans Magnus Enzensberger

145

Molto interessante, anehe da un punta di vista teorieo! Molti di questi easi di illusioni cognitive sana infatti stati studiati da Daniel Kahneman, ehe ha vinto per questa if premio Nobel dell'eeonomia ne12002. E l'essenza del suo lavora ela seoperta ehe nella . nostra vita quotidiana noi agiamo in base a una logica intuitiva molto diversa da quella maternatiea usata nelle seienze. Bisognerebbe chiedersi come mai ci siano questi due tipi diversi di logica, e perche l'evoluzione ci abbia fornito di un apparato cognitivo che ci fa agire nella pratica in maniera diversa da quella suggerita dalla tearia: ad esempio,, perche spendiamo i nostri soldi in maniera irrazionale. E molto strano! ,

E vero. E questa ci fa anche meditare suI problema, al quale lei ha giii in parte aec1!nnato di sfuggita, se la matematica sia oggettiva e venga seoperta, oppure sia soggettiva e venga inventatao Lei ehe ne pensa? . C'e una terza ipotesi, che io preferisco, ed e che siccome il cervello fa parte della natura, e soggetto aile stesse leggi ed e evoluzionisticamente adattato ad essa: dunque, Ie sue libere creazioni rispecchiano almeno in parte cio che esiste nella realta. Questa via intermedia non piace ai filosoH, pero, che la trovano troppo semplice. E non credo ehe piaecia nemmeno a Benedetto XVI, perehe

fornisce una eonJutazione della sua prava dell' esistenza di Dio basata suII'esistenza della matematica. Secondo lui, infatti, solo un'armonia prestabilita pUG spiegare eome mai una libera ereazione soggettiva possa adattarsi perfettamente alla descrizione del mondo oggettivo della natura. Ho sentito ehe una dimostrazione matematica dell'esistenza di Dio e stata data da Kurt Codel, it pill grande 10gico del seeolo passato. Lei la conosee? 51.

E una versione della famosa prava ontologiea di sanl'An-

selmo, e si pUG spiegare faci/mente. Si vuol dimostrare il teorema ehe Dio esiste, e per far questa si deve anzitutto definire Dio: la

146

II Club dei matematici solitari

via scelta da Anselmo equella adollata aneor oggi dal Catechismo, e eonsiste nel definire Dio corne I'essere perjettissimo. A questa punto, per dimostrare che Dio esiste basta porre corne assioma il jatto che I'esistenza euna perjezione, e in partieolare ehe e meglio esistere ehe non esistere. Se si aeeetta questo, la dimostrazione del teorema diventa banale: se Dio ha tulle Ie perjezioni, ha pure quella dell'esistenza, e dunque e'e. Ma il problema sta appunto nell'aeeellare I'assiorna: Dostoevskij, ad esempio, ehe abbiamo citato poco ja, non sarebbe d'aeeordo, e con lui nernmeno i niehilisti. Gia fra i greci c'era chi diceva che sarebbe stato meglio non essere nati.

Appunto. Ma anche accellando l'assioma, la dimostrazione e troppo banale per essere eonvincente. Leibniz cereD di migliorarla dimostrando ehe la dejinizione di Dio corne essere perjettissimo e possibile, jacendo vedere ehe Ie perjezioni sono due a due eompatibili, e dedueendone ehe allora 10 sono tulle insieme. Ora, questa eun errore logico da jar rizzare i capelli: ad esernpio, essere maggiore di 1 euna proprieta compatibile con essere maggiore di 4, perehe qualunque numero ehe sia maggiore di 4 eanehe maggiore di 1, e questa vale per ogui eoppia di numeri, rna non ne segue che allora e'e qualehe numero ehe emaggiore di tutti. E ju proprio per rimediare a questa errore ehe Godel cereD di riformulare questa dimostrazione in termini matematici, anche se non volle pubbliearla per non dare l'impressione di erederci. Ma visto ehe ci siamo soffermati su di lui, so che lei ha seritto nel 1971 un Omaggio a Godel, malta prima che egli diventasse jamoso grazie al bestseller di Douglas Hojstadter Codel, Escher, Bach (Adelphi, 1984). L'ha mai conosciuto? Purtroppo no. Ho pravato a chiedergli udienza, una volta che sono andato a Princeton, rna non mi ha ricevuto. Peccato.

Corne si einteressato a lui? E perehe ha scritto quella poesia? Mi affascinava il suo teorema di incompletezza della matematica, e mi chiedevo se sarebbe stato possibile estender-

Hans Magnus Enzensberger

147

10 ad altri campi della vita che pretendono di avere una loro completezza, dalla politica alia fisica. Intuitivamente, io non credo a questa loro pretesa, e penso che in essi sia sempre possibile trovare qualche buco.

P. molto rischioso, proeedere per analogie! Certo. Ma devo dire di aver sempre trovato una grande tolleranza fra i matematici: mi piacciono proprio perche si sono spesso dimostrati disponibili a discutere anche Ie idee di dilettanti come me, concedendo che magari pure noi a volte possiamo avere qualche idea non troppo malvagia. D' altra parte, a noi e concesso di fare cose che a loro non sono permesse, come pensare in maniera non completamente fonnale e logica. La nostra relazione e interessante, comunque, perche c'e una specie di invidia recipraca: il povero poeta ammira questi giganti d'intelligenza, rna i matematici forse rimpiangono il fatto di doversi immergere cosi tremendamente nei loro problemi, a scapito di tanti altri aspetti della vita.

Voleva pero eoncludere il discorso sulle analogie del teorema di Glidel, perche spesso risultano juorvianti: non solo in altri campi del sapere, rna anche all'interno della matematica. Ad esempio, e vera ehe /'aritmetica estrulluralmente ineompleta, proprio per il teorema di Godel, ma la geometria non 10 e: esistono sue assiomatizzazioni complete, prima fra tulle quella data da David Hilbert ne11899. 5i, rna non sono anch'esse parziali?

No, e proprio questa eil punta: sono complete, e permettono di derivare tutti i teoremi veri della geometria. 11 jatto eehe 10 spazio e il tempo, da cui originano la geometria e l'aritmetiea, sono intuizioni molto diverse: l'incompletezza e un jenomeno ehe riguarda il disereto e i numeri, ma non il continuo e i punti. Allargando ora un po' il diseorso, ricordo ehe Ie poesie di Cli elisir della scienza sono dedicate a personaggi ehe vanno da Con,

-

148

Il Club dei matematici solitari

doreet e Babbage a Turing e von Neumann. Dunque il suo interesse non si limita alia matematiea, ma spazia su tutte Ie scienze. ,

E vero. Ammetto che, fin da giovane, io non ho mai provato piacere nell'esser tonto. Intendiamoci, si puo essere felici anche essendo tonti, e qualcuno sostiene che pensar troppo sia rischioso. Ma io non corro certo questo rischio, da buon dilettante.

Mi viene in mente ehe, in una delle sue ultime interviste, Carlo Emilio Gadda diehiara: «Non tutti sono eondannati a essere intelligenti». II ehe signifiea ehe, in fondo, l'intelligenza pua anehe essere una eondanna. Ma si potrebbe anche dire che «Non tutti sono condannati a essere troppo intelligenti», perche ollre un certo limite l'intelligenza puo anche diventare un ostaco10 all'umanita.

to il easo dei matematiei? Non direi, in generale. Ho giil detto che la mia esperienza e che essi siano gentili, e questo in fondo dimostra una certa umanita. C'e naturalmente it cliche che la matematica sia una materia fredda, astratta: questa e una delle cause per cui la gente ha in genere paura della matematica. Io penso che i matematici non siano diversi dai musicisti, che usano anch' essi un sistema di notazioni schematico e formale: eppure, dei musicisti non si dice che siano freddi 0 astratti!

II parallelo fra musica e matematiea, benehe interessante, e eomplesso. to vera ehe III musica riehiede, come la matematiea,

la eonoseenza di un'enorme eonoseenza teenica, ehe va dal solfeggio al eontrappunto, e per potersela eavare con uno strumento si deve fare un lungo apprendistato. Ma il vantaggio della musiea eehe fin dagli inizi si possono suonare dei piccoli brani ehe danno soddisfazione e piacere, mentre in matematiea si pub arrivare a godere della bellezza di una dimostrazione soltanto dopo molta tempo. E poi, in musica e'e sempre l'oreeehio

-- 4

.---

Hans Magnus Enzensberger

149

ad aiutare, e si pub fruirne anehe da analfabeti musicali, menIre in matematiea questa non epossibile. ,

. E vero: in matematica si deve versare un grosso anticipo prima di poter incassare it capitale. Ma questo non significa che I'anticipo debba essere costituito dai compiti che vengono oggi assegnati ai bambini! La matematica viene ancora insegnata come una collezione di ricette da applicare meccanicamente, senza capirci nulla, e questo non stimo, la nessun interesse in una persona intelligente. E mortale, e idiota, ebalordo, e non c'entra niente con la matematica! Se non si vuole rischiare di distruggere I'interesse suI nascere, bisogna cercare di mostrare Ie idee brillanti 0 geniali che stanno dietro Ie tecniche. Ma mi sembra che qui al festival voi 10 stiate facendo in modo egregio!

•

-

•

-UmbertoEco Discorso sui metodo letterario

Umberto Eco eun meraviglioso esempio di anacronismo vivente: forse l'ultimo esemplare dell'umanista rinascimentale 0 dell'inteUettuale universale, dotalo di un'insaziabile sete di conoscere e di un'inesauribile disposizione a comunicare. Addiritlura, qualcuno e arrivato a sostenere che Eco sia in realia soltanlo un preslanome di molti l.etterali diversi, ciascuno impegnalo a produrre opere a tempo pieno: il semiologo di Trattato di semiotica generale (1975), Semiotica e filosofia del linguaggio (1984) e Dall'albero allabirinto (2007); il filosofo di Opera aperta (1962), La struttura assente (1968), I limiti dell'interpretazione (1990) e Kant e l'ornitorinco (1997); il critico letterario di Lector in fabula (1979), Sei passeggiate nei boschi narrativi (1994), Sulla letteratura (2002) e Dire quasi la stessa cosa (2003); il critico d'arte di Storia della bellezza (2004) e Storia della bruttezza (2007); il giornalista di II costume di casa (1973), Dalla periferia dell'impero (1977), Sette anni di desiderio (1983) e A passo di gambero (2006); l'elzevirisla di Diario minimo (1963), II secondo diario minimo (1992) e La bU5tina di Minerva (2000); e il romanziere di II nome della rosa (1980), II pendolo di Foucault (1988), 1'i50la del giorno prima (1994), Baudolino (2000) e La misteriosa fiamma della Regina Loana (2004).

Non stupisce, dunque, che nei suoi romanzi, saggi e articoli affiorino qua e Iii riferimenti, allusioni e citazioni che lasciano intravedere Jrequentazioni scientifiche e matematiche, apparentemente inusuali in un letterato. Abbiamo approfittato della sua presenza al secondo

152

II Club dd matematici solitari

festival di Matematica di Roma, ehe ha aperto il13 marzo 2008 con una prolusione sugli «Usi perversi della maternatica, dalle numerologie folli agli occultisti», di fronte al presidente della Repubblica e a pili di un migliaio di studenti, per rivolgergli alcune domande a proposito di questa lato nascosto della sua poliedrica personalita. 00

Per parlare del rapporto tra matematica e letteratura, partirei dalla constatazione ehe nella sua Opera aperta ci sono addirittura delle formule! II motivo e che in quell'epoca la teoria dell'informazione di Shannon e Weaver veniva applicata, anche illegittimamente, ai fenomeni artistici, considerandoli in base ai loro stati di ordine 0 di disordine. E cosl il mio primo approccio alla descrizione dei fenomeni dell'arte contemporanea epassato anche di ll, prima di sfociare nell'interesse semiotico.

Perche «anche illegittimamente»? Perche c'era una forte ambiguita nella nozione di entropia, che si rifletteva in un duplice valore assunto dal termine «informazione». Da un lato, significava l'informazione che arriva a destinazione decodificata. Dall'altro lato, significava quello che Forse si potrebbe chiamare invece «informativita»: cioe, la possibilita massimale di un sistema di generare informazione. Questo era ed e chiaro nelle definizioni matematiche del concetto di informazione, rna nelle sue applicazioni all' arte la situazione e abbastanza confusa.

La matematiea compare-perl! non soltanto nei suoi lavori teorici, rna anche nei suoi romanzi: ad esempio, ne II pendolo di Foucault c'e una pagina sui pi greco. Sl, rna II mi ero fatto aiutare.

Da chi? Da uno dei pill grandi personaggi mai vissuti, che era Mario Salvadori: un matematico, ingegnere e architetto che

Umberto Eeo

153

insegnava alia Columbia University. Ebreo fuggito inAmerica, aveva lavorato con Fermi per il Progetto Manhattan. Era uno scienziato di grande sensibilita umanistica, amico di Berio e di altri artisti, e mi aveva avvicinato proprio dopo aver letto Opera aperta. Un personaggio straordinario, che andato in pensione si mise a insegnare ai ragazzini di Harlem: ad esempio, per spiegare loro fino ache punto un ba1cone poteva stare su, e quando invece cadeva gill, usava scatole di fiammiferi.

Le bus tine di Minerva, come lei? No, Ie scatoline di fiammiferi svedesi. 10 gli ho fatto pubblicare da Bompiani Perche gli edifici stanno in piedi e Perche gli edifici cadono: due fantastici libri di scienza delle costruzioni, raccontati senza neanche una formula, rna dai quali si capiscono un sacco di cose. •

E come contribul a II pendolo di Foucault? Mi consultai molto con lui, e lui mi diede molte spiegazioni che ho usato direttamente nel romanzo: compreso il mota dell'impiccato al pendolo, che sembra una bella invenzione romanzesca, e invece e presa di peso dai suoi appunti tecnici.

Quel romanzo non e comunque I' unico in cui ci siano aspetIi scientifici. No, perche io non ho mai capito niente di matematica 0 fisica, rna ne sono sempre rimasto affascinato, me ne sono sempre interessato e Ie ho sempre usate. Ad esempio, ne II nome'della rosa c'e un personaggio che usa per la prima volta gli occhiali e manovra l'astrolabio. E II pendolo di Foucault si svolge direttamente in un museo della scienza e della tecnologia. E ne L'isola del giorno prima ci sono i calcoli sui paralleli e sui meridiani, e la tecnica di fare il punto. Ma ho anche usato la pseudoscienza del passato: ad esempio, I'idea dell'unguentum armarium e dell'azione a distanza.

154

II Club dei matematici solitari

Ollre ai contenuti scientifici, c'e anche una struttura matematica nei suoi romanzi? In tutti, direi. Se si va a guardare nei miei appunti, si vede che sono sempre pieni di diagramrni, relativi alia struttura dei flashback 0 delle scansioni temporali del racconto. Come accade talora per la sezione aurea nella facciata delle cattedrali, ci sono piani di costruzione e simmetrie molto rigorose, che sono importanti per me quando scrivo, rna che non devono apparire allettore quando legge. II grande matematico Carl Gauss diceva la stessa cosa a pro-

posito delle strutture della matematica, che paragonava aile impalcature dell'architeltura: servono a costruire, ma una volta tolte I'edificio deve restare in piedi da solo. Vede? tra piemontesi, potremmo dire: «Boia Gauss!».

PUG fare qualche esempio di struttura nei suoi romanzi? Ne L'isola del giorno prima ci sono strutture per cosi dire profonde: il romanzo procede, grosso modo, con un capito10 che parla del presente, e un capitolo di rievocazione del passato. Questo sino alia meta del racconto, quando dalla rievocazione del passato si capisce perche il personaggio e arrivato dove si trova. A quel punto inizia un altro procedimento parallelo, un capitolo sui presente e uno in cui il personaggio immagina proceda un suo fratello-fantasma, un suo doppio. Ora, questi parallelismi sono accuratamente calcolati: ho persino dei diagramrni che mi pennettevano di «vedere» questa ritmo di un passo avanti e uno indietro. Pili in superficie, c'e poi una nave piena di bugigattoli e passaggi, in cui il protagonista si perde: lavorando su modelli seicenteschi, questa nave io l'ho disegnata e costruita, sia in spaccato che vista dall'alto, per poter far muovere il mio personaggio in ogni centimetro con una giustificazione. L'editore tedesco voleva stampare la planimetria collibro, rna io gli ho detto che era pazzo: iJlettore non deve vederlo, perche deve sentirsi tanto sperduto quanta il personaggio!

UmbertoEco

155

Anche Joyce, ad esempio, non ha voluto che fossero stampati i titoli dei capi/oli del/'Ulisse che aveva usato per stabilire i paralleli con I'Odissea. Certo. In fondo, si tratta dell'ars celandi artem. Come mai, con questi suoi interessi, lei non i! mai entrato afar parte dell'Oulipo? Sono satrapo trascendentale! i

5l, perG quella epatafisica. Ma gli oulipiani originari erano tutti patafisici! Comunque ho avuto anche rapporti diretti con l'Oulipo, perche fin dagli inizi avevo conosciuto Fran<;ois Le Lionnais. E ci sono aspetti del mio lavoro che sono sicuramente oulipisti: gli acrostici, Ie poesie monovocaliche e tanti altri giochi del genere, contenuti ad esempio ne II secondo diario minimo 0 in Povero Pinocchio. .

E nei romanzi? In tutti e sicuramente presente un concetto oulipista, che e quello della costrizione: solo che non credo di averlo ricevuto dagli oulipisti, mi e venuto spontaneo. Ho sempre fatto della litUrature il contraintes, anche se la contrainte non enecessariamente matematica: e narrativa, e spesso ha un'origine, una giustificazione del tutto casuale.

PUG di nuovo fare un esempio? II racconto finale di Baudolino doveva svolgersi ne11204, durante la caduta di Costantinopoli, dove lui arriva al ritorno del suo viaggio nel regno del Prete Gianni. Per ragioni varie, Baudolino doveva essere nato vers? gli anni '30 del XII secolo, in modo da poter inventare IUlla lettera del Prete Gianni, che apparve storicamente verso la meta di quel secolo. Passavano dunque pili di cinquant'anni tra la lettera e la cad uta di Costantinopoli, e inizialmente non sapevo che cosa farvi accadere. Certo, Baudolino poteva

-

156

~--

11 Club dei matematici solitari

partire subito per cercare il regno del Prete Gianni, rna allora (per tanto che fosse durato il viaggio) non sarebbe arrivato a Costantinopoli nel 1204. E invece la costrizione che mi ero posto, in se immotivata, era proprio quella data come anno finale. Percio ho costruito quella che e forse la parte pili interessante del romanzo: il fatto di dilazionare per eventi molteplici il viaggio ha creato un'attesa e uno spasimo. E questi anni di spasimo sono per me la parte pili interessante della storia.

Vien voglia di sen tire altri esempiJ Per II pendola di Foucault, io volevo che cominciasse intomo al '68, rna volevo anche che Jacopo Belbo scrivesse sui computer, che apparve in commercio solo all'inizio degli anni '80. Questa volta avevo pili di dieci anni da far passare, e ho sbattuto il mio protagonista in Brasile per tutto il tempo. Qualcuno si e lamentato per questi dieci anni in Brasile, rna se uno va a leggere bene trova che c'e condensata tutta la storia che si svolge in seguito. E anche in questa caso, la costrizione e diventata un elemento narrativo di grande importanza.

Se pero qualcuno Ie chiedesse perche mai porsi costrizioni, che risponderebbe? Che e come fare una penitenza, 0 come mettersi il cilicio: se non te 10 metti, non riesci a star sveglio e in tensione. E la letteratura e piena di costrizioni: talune esplicite e matematiche, come la rima 0 l'endecasillabo in Dante, e altre meno, come quella che lei citava prima di Joyce, sui parallelo tra l'Odissea ~ l'Ulisse. E chissa quanti altri autori hanno adottato costrizioni che non sappiamo, 0 aile quaIi non abbiamo mai fatto caso, e hanno lavorato bene proprio grazie a esse! Perche senza costrizioni uno puo fare cia che vuole, rna con Ie costrizioni si puo dire solo quello che la storia vuole che si dica.

E l'idea di Queneau, che «il classico che scrive la sua trage-

dia osservando un certo numero di regale che conosce epiu libe-

-

---

Umberto Eco

157

ro del poeta che scrive que! che gli passa per la testa ed eschiavo di regale che ignora». 51. Anche se io Ie costrizioni nei miei romanzi Ie ho messe d'istinto: quasi per un retaggio dell'educazione cattolica. Nel senso che per guadagnare i1 paradiso bisogna soffrire.

Leggendo i suoi primi tre romanzi, ho sempre pensato che esemplificassero tre diversi tipi di serittura: a mano II nome della rosa, al computer II pendolo di Foucault, e a ipertesto L'isola del giorno prima, Lei coneorderebbe? Non sapreL Qua1cuno ha pensato che avessi scritto II nome della rosa al computer: l'idea che illibro avesse avuto successo induceva gli sciocchi a pensare che solo una macchina avesse potuto elaborare la formula giusta. Nessuno ha pensato che quando scrivevo quel romanzo, uscito poi ne11980, i1 personal ancora non esisteva. Qualcun altro ha detto che II pendolo di Foucault e stato chiaramente pensato col computer: salvo la seena finale del cimitero, pero, che si sente che e stata scritta a mano, perche e «vera poesia». E invece quella scena «poetica» e I'unica che ho scritto soltanto col computer. Perche usare gli schemi e Ie costruzioni di cui abbiamo parlato richiede di fare disegnini a mano, e spesso di scrivere e riscrivere a mano un capitolo, 0 di correggere a mano almeno dieci volte gli stampati del computer. Ma a quella scena avevo continuato a pensare per tutti gli otto anni che mi e costato illibro, e quando ci sono finalmente arrivato ero come un pianista da pianobar che si mette a suonare, con la sigaretta all'angolo della bocca e il bicchiere di whisky sui pianoforte. Mi e venuto tutto d'istinto in tre quarti d'ora. Al computer, appunto. E dopo ho dovuto fare pochissime correzioni. l

I

,

,

I ! l l

. Per tornare alia matematica, quando ha tradotto gli Esercizi di stile di Queneau ha avuto difficolta eon Ie parti piu tecniche? Non direi, perche erano cose abbastanza elementari. E comunque, come tutti quelli che si sono occupati di filoso-

•

l

-

158

II Club de; rnaternatic; solitari

fia, Ie mie buone letture e i miei bravi esercizi di logica Ii ho fatti anch'io. Solo che non posso essere uno specialista, perche non ho una mente matematica, e devo limitarmi a usare la matematica solo come stimolo fantastico.

Pera avra incontrato della matematica non banale nel suo studio di Peirce. Si. Ad esempio, ho usato la matematica dell'infinito nel saggio su di lui in Dall'albero allabirinto. Ma era solo quel10 sciocco di Snow che credeva che gli umanisti non conoscessero il secondo principio della termodinamica, e che ci fosse una divisione tra Ie due culture. Non e vero, e negli ultimi sessant'anni il secondo principia della termodinamica ha ossessionato gli umanisti anche troppo! Semmai, certe volte c'e da rimproverar loro di usarlo un po' alla carlona.

A proposito di buone letture, quali ha fatto lei nel campo della divulgazione? Direi che i libri degli scienziati che si sono occupati di epistemologia, da Einstein e Heisenberg in avanti, me Ii sono sorbiti tutti. Ma un conto e sorbirseli, e un conto e non parlame troppo perche non ci si sen te all' al tezza. II fa tto e che io leggo queste cose, rna poi me Ie dimentico.

El'effetto della divulgazione. No, no, e proprio un problema diforma mentis. Ad esempia, io ho imparato tutti i giochi di carte: compreso il bridge, che e considerato uno dei pili difficili. Li ho giocati, rna poi Ii ho dimenticati, evidentemente per disinteresse. Ci sono campi da cui puoi essere affascinato, e che frequenti in un certo momento, rna che non fanno parte della tua forma mentis: 10 dico con molto rammarico.

Cos'altro avrebbe voluto fare nella vita? Essere un grande pianista.

-Umberto Eeo

159

E invece suona il flauto.

Si, rna c'e differenza tra andare in bicicletta ed essere Coppi! Lo stesso vale anche per quella che chiamiamo creativita, che io credo sia semplicemente una combinatoria che certa gente riesce a fare pili in fretta degli altri: e come la spalliera svedese, su cui Ie persone normali riescono a fare solo due 0 tre movimenti, mentre I'atleta ci fa delle cose incredibili.

Perche «combinatoria»? Perche dipende dal modo in cui qualcuno, avendo evidentemente una struttura cerebrale diversa dagli altri, riesce a percorrere pili rapidamente l'universo delle possibiIi soluzioni e a trovare quella giusta. Pensi, ad esempio, a Dante che si mette al tavolino e scrive: «Nel mezzo del cammin di nostra vita I mi ritrovai per una selva oscura». Poi, se non fosse stato Dante, gli sarebbe·venuto in mente: «che la diritta via era perduta». Poi avrebbe corretto: «che la diritta via era finita». Quindi si sarebbe fermata senza sapere come andare avanti. Invece a Dante viene in mente: «che la diritta via era smarrita». o pensi a Michelangelo, che diceva che la statua e gia Ii dentro il blocco, e basta tirarla fuori. Ma mentre tutti gli senltori hanno avuto pili 0 meno gli stessi blocchi fra Ie mani, con dentro aile venature il Mose, I'unico ad averce10 tirato fuori e stato lui.

Immagino che la combinatoria la affascini, vista ehe euno dei temi de La ricerca della lingua perfetta. A dire il vero, io sono pili affascinato dalla stupidita: in fonda II pendolo di Foucault e un romanzo sulla stupidita, anche se poi c'e stato un signore di nome Dan Brown che ha scoperto che si puo vendere 10 stesso materiale sui serio alla gente, visto che il mondo e appunto pieno di stupidi. Ora, un modo di mostrare la propria stupidita e fare paralogismi, e cioe dei sillogismi sbagliati, del tipo: «tutti gli

•

160

II Club dei matematici solitari

uomini sono mortali, Socrate e mortale, dunque Socrate e un uomo». Eun paralogismo perche, come ci insegnate voi logici, il medio non viene quantificato: il fatto che Socra· te sia mortale non prova che sia un uomo, potrebbe essere anche un canguro. Ma anche i visionari fanno paralogismi, e ne hanno fatti di bellissimi ricercando lingue ideali 0 im· possibili, proprio giocando sulla combinatoria: per questa ho seritto La ricerca della lingua perfetta.

Oltre ehe alla linguistica, i pazzi bazzicano anche attarno alla scienza: basta ricordare Ie pseudoscienze catalagate da Queneau in Figli del limo, e da Paolo Albani e Paolo della Bella in For· seQueneau. E infatti io sono affaseinato da tutte Ie scienze assurde, anche come collezionista di libri antichi 0 rari: ne ho una collezione abbastanza affascinante. Riguardo aile scienze vere, inveee, potrei forse riassumere il mio atteggiamento dicendo che in fondo sono come un impotente che per tut· ta la vita ha scritto libri erotici.

•

•

•

I, ;

Indice dei nomi

, I'

i

iI I' I, '' ,

•

,

l

I

-

,

II Abbott, Edwin, 129 Abet Niels Heruik, 14

Born, Max, 17

Akelrof, George, 107

Bott, Raoul. 15

Albani, Paolo, 160 Alberti, Leon Battista, 124 Alberto di Sassonia, 48 Alechine, Alexandre, 72, 74 Aleksandrov, Aleksandr Danilovic, 65 Alferov, Zohres, 4, 63-64, 68-72, 76 Andersen.. Hans Christian, 74 Anselmo d'Aosta, santo, 145-46 Arrow, Kenneth, 80-81. 88, 106, 118 Atiyah, Michael, 3-4, 97 Aumann, Robert, 6, 99-119 Axelrod, Robert, 104

Bottazzini, Umberto, 5 Bourbaki (pseud.), 25-26

Babbage, Charles, 148 Bach, Johann Sebastian, 146

Banchoff, Thomas, 6, 129-35 Bardeen,]ohn,71-72

Barrow, John, 4, 45 Bartocci, Claudio, 5, 7 Basieux, Pierre, 143 Benedetto XVI, papa, 145 Bergeron, Jean, 7 Berio, Luciano, 153 Bernoulli,Jakob, 139, 142

Bettany, Paul, 93

Borgna, Gianni, 8

Brahe, Tycho, 54 Brouwer, Luitzen, 88-89 • Brown, Dan, 159 BrunelleschL Filippo, 124 Buddha (Siddhartha Gautama),41 Bush, George H. W., 73 Calvina, Halo, 91 Cantor, Georg, 48-49, 94-95, 105 Cardano, Girolamo, 138 Castelnuovo, Enuna, 5 Cayley, Arthur, 17 Cellucci, Carlo, 5 Changeaux, Jean-Pierre, 17 Chevalier, Auguste, 22 Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de

Caritat, marchese eli, 106, 147-48 Connelly, Jennifer, 93

Connes, Alain, 4,17-18 Coppi, Fausto, 159 Corner, James, 13 Cremonini, Anna, 8 Curie, Marie, 25

Bhaskara II, 83

Bohr, Niels, 54-55 Bondarevskij, Igor Sacharovic, 65-66, 74 BOMefoy, Yves, 20 Borel, Emile, 112

D'Aquino, Maria Eugenia, 7 DaH, Gala, 132-33 DalI, Salvador, 6, 41, 129-35 Dandini, Serena, 5

164

II Club dei matematici solitari

Dante Alighieri, 156-59 Darwin, Charles, 25 Dawkins, Richard, 105 De Filippo, Eduardo, 127-28 De Giorgi, Ennio, 92-93 Debreu, Gerard, 88 Delacroix, Eugene, 42 della Bella, Paolo, 160 Descartes, Rene, 24-25 Descharnes, Robert, 133 Dirac, Paul, 12 Donnini, Francesca, 8 Don;:;, Gustave, 41 Dostoevskij, Fedor, Michajlovic, 144, 146 Dyson,. Freeman,. 6, 23 Eco, Umberto, 7, 151-60 EWel, Gustave, 40 Einstein, Albert, IS, 52, 55, 58-59, 89-

90,158 EUo delle Storie Tese (Stefano Belisari), 5 Enzensberger, Hans Magnus, 7, 137 Ernst, Richard, 7 Escher, Maurits Cornelis, 6-7, 146 Euc1ide, 13, 42, 53 Eulero, Leonardo (Leonhard Euler), 30 Faraday, Michael, 25 Federico II, 123 Fermat, Pierre de, 3, 139 Fermi.. Enrico, 153 Feynman, Richard, 23 Filocamo, GiovalUli, 5, 7

Fischer, Bobby, 63, 69-70, 73, 75 Fo, Dario, 4-5, 123-28 Foucault, Michel, 151-53 Fresnel, Augustin-Jean, 130 Fuortes, Carlo, 8 Gadda, Carlo Emilio, 148 Gaffney, Terry, 135 Gale, David, 86, 88 Galileo Galilei, 24-25, 48, 80 Galois, Evariste, 14, 21-22 Gardner, Martin, 29 Gauss, Carl, 135, 154 Giorello, Giulio, 5

Giudiceandrea, Federico, 7 Giusti, Enrico,S Glashow, Sheldon,. 6, 51 Glaucone, 83

GOdel, Kurt, 81, 95, 141, 145-47 Gowers, Timothy, 7 Grassmann, GUnther, 17 Gross, David, 51 Grothendieck, Alexander, 21-22 Guth, Verner, 109 Hall, Edwin Herbert (effeUo), 69 Hamilton, William, 17 Hardy, Godfrey, 14 Harmon, Leon, 133 Harsanyi,John, 99,108 Hartmanis, Juris, 6 Hein, Piet, 87 Heisenberg, Werner, 17,55, 158 Herrera, Juan de, 131 Hilbert, David, 25, 81, 129,147

Hoffmann, Roald, 7 Hofstadter, Douglas, 4, 29,146 Hokusai, Katsushika, 41 Howard, Ron, 85 Huber, Greg, 33 Huygens, Christiaan, 139 Ildegarda, santa, 93 Irigoyen, Jose, 8 Tohnson,. Dano, 129 Jones, Vaugham, 7 Jordan, Pascual, 17 Joyce, James, 155-56 Julesz, Bela, 133 Kahneman, Daniel, 108-10, 145 Kakutani, Shizuo, 88-89 Kant, Immanuel, 41, 151 Karpov, Anatolij, 66, 76 Kasparov, Garri Kimovic (nato Vajnstejn),

71 Kemeny, John, 90

,',

Keplero, Giovanni (Johannes Kepler),

53-56 Keres, Paul, 72 KisSinger, Henry, 111

,

I

Indice dei nomi

165

I'

I,

Knudson, Allen, 7 Koch, Robert, 117 Kolmogorov,Andrej Nikolaevic (assiomi

di),139

i

Kosteniuk, Ale):.andra, 73 Kroemer, Herbert, 72 Kuhn, Harold, 85, 95, 99, 111

I

Laeng, Enrico, 33 Laplace, Pierre Simon, marchese di, 25 Le Lionnais, Fran~ois, 155 Leibniz, Gottfried Wllhelm von, 41, 146 Lenstra, Hendrik, 6-7 Leonardo da Vinci,41, 124 Lichnerowicz, Andre, 17

Lilavati, 83-84 Lincoln, Abramo, 133 Lolli, Gabriele, 5 Lulia, Raimondo, 13 1

I I' I

Mandelbrot, Benoit, 4, 37, 40 Mantegna, Andrea, 124 Martone, Mario, 5 Marx, Karl, 79 Marziale, Marco Valerio, 84 Massarenti, Armando, 5 Maxwell, James Clerk, 15, 51, 54

McCrory, Clint, 135 Michelangelo Buonarroti, 12, 159

Milnor, John, 102 I

Minkowski, Hermann, 129 MilUlai, Emanuela, 8 Modigliani, Franco, 99 Morgenstern, Oskar, 82,87,111-13 Moretti,~anni,137

Morishirna, Michio, 82-83 Moro, Elisa, 8 Mumford, David, 6-7 Mundell, Robert, 7 Mussi, Fabio, 6 Napolitano, GiorgiO, 6 Nasar, Sylvia, 85, 99 Nash, John, 4, 6-7, 63, 81, 85-104, 106-

07,109-10,112-13,116-19 Neumann, John von, 82, 87-89, 112-

I

13, 148 Newton, Isaac, 15, 25, 54, 56

Nicolais, Luigi, 6 Nietzsche, Friedrich, 94-95 Osenda, Davide, 7 Pascal, Blaise, 25, 83-84, 139 PasqUini, Massimo, 8 Pasteur, Louis, 117 Peirce, Charles Sanders, 158 Peiretti, Federico, 7 Penrose, Roger, 26, 47 Penzias, Arno, 7 Peres, Ennio, 5, 7 Petrosian, Tigran Vartanovi~, 76 Piovani, Nicola, 5, 7 Pitagora, 52, 55 Platone, 53, 83 Poincare, Henri, 25 Prete Gianni, 155-56 Prigogine, liya, 135 Quarantelli, Noemi, 8 . Quarteroni, Alfio, 7 Queneau, Raymond, 156-57, 160 Quintiliano, Marco Fabio, 80, 83 Raffaello Sanzio, 124 Rame, Franca, 123 Regini, Monica, 8 Riemann, Bernhard, 27-28, 52, 129 Ronconi, Luca, 45 Rota, Giancarlo, 94 Rathko, Mark (Markus Rotkowics), 133 Russell, Bertrand, 81, 101 Rutherford, Ernest, 25

Salam, Abctus, 51 Salvadori, Mario, 152 Schelling, Thomas, 7, 99 Schroedinger, Erwin, 55-56 SchUtzenberger, Marcel-Paul, 17,40 Schwinger, Julian, 23 Selten, Reinhard, 99, 110 Sen, Amartya Kumar, 6, 79 Shannon, Claude, 152

Shapley, Lloyd, 102, 110-11 Simonetti, Victor,S Singer, Isadore, 3

-

166

II Club dei matematici solitari

Smale, Steven, 6

Torelli di Fano, Giacomo, 124 Travis, Jeffrey. 129 Tucker, Albert, 100 Turing, Alan Mathison, 148

5mit!c Adam, 79

Smith.. Vernon, 79 Snow, Charles Percy, 158 Socrate, 83, 96, 160 Solow, Robert, 99 5passky, Boris, 4, 6%7, 69-76, 85-86

Spence, :Michael, 107 Spizzichino, Aldo, 7 Stalin, losif Vissarionovic Dzuga~vilL detto,70 Stiglitz, Joseph, 107 Strauss, Charles, 130 Swedenborg, Emanuel, 42 Szilard, Leo, 27 TaimanoY, Mark. 66 1l1om, Rene, 93, 132, 134-35 Tipler, Frank, 45 Talus, Aleksandr, 65 Tomonaga, Sin-Hira, 23

Veltroni, Walter, 5 Venneer, Jan, 133 Veronese, Giuseppe, 132, 135 Wagensburg, George, 135 Weaver, Warren, 152 Weinberg, Steven, 51 Weyt, Hermann, 12, 14-16 Wilczek, Frank, 6, 51 Wiles, Andrew, 3-4 Witten, Edward, 7 Zarcone, Chiara, 8 Zellini, Paolo, 5 Zenone,49 Zurbafi:ln, Francisco de, 133

-

.. ---

-. r-

,

,, , '

i; I, I I

i I

I

i:

•

, ,,

,,

,

i,

, !,

i

i

I, i "