Homologia Básica

“main2” i i 2009/6/19 page 1 i i Conte´ udo Pref´ acio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

Author: Elon Lages Lima

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Conte´ udo Pref´ acio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Cap´ıtulo I. Homologia formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. 2. 3. 4. 5.

Complexo de cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Homotopia alg´ebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Seq¨ uˆencias exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Limites indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Cap´ıtulo II. Cohomologia de deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1. O complexo de deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Invariˆancia homot´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. A seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Cohomologia com suportes compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. Recobrimentos vs cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 6. O Teorema de Jordan-Brouwer topol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7. O Teorema de Dualidade de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. O grau de uma aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9. Cohomologia de um compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 ˇ 10. A seq¨ uˆencia exata de Cech-Alexander-Spanier . . . . . . . . . . . . . 71 Cap´ıtulo III. Homologia Simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2. O complexo simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3. Primeiros exemplos de homologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. Subdivis˜ao baricˆentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5. Aproxima¸ca˜o simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. Pseudo-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7. O Teorema dos Pontos Fixos de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8. Homologia ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9. Cohomologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10. O anel de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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Cap´ıtulo IV. Homologia Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Primeiras defini¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Invariˆancia homot´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Subdivis˜ao baricˆentrica em homologia singular . . . . . . . . . . . . . 155 Cohomologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 Teorema de deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Cohomologia em termos da homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Referˆ encias Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 ´ Indice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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Pref´ acio A Topologia Alg´ebrica pode ser considerada como o estudo de functores, cada um dos quais vai de uma categoria de espa¸cos topol´ogicos a uma categoria de natureza alg´ebrica. Um exemplo de functor desse tipo ´e o grupo fundamental, visto no livro [GFER], publicado pelo Projeto Euclides. O presente livro se ocupa de grupos de homologia. Uma teoria de homologia ´e um m´etodo de associar, a cada espa¸co topol´ogico de uma certa categoria, uma s´erie de grupos (ou, mais geralmente, m´odulos), chamados os grupos de homologia desse espa¸co, de tal maneira que espa¸cos homeomorfos tˆem grupos de homologia isomorfos. Diferentemente do grupo fundamental, os grupos de homologia s˜ao abelianos. No Cap´ıtulo I s˜ao apresentadas, de modo abstrato, as no¸co˜es alg´ebricas e a linguagem homol´ogica adequada, para uso nos trˆes cap´ıtulos seguintes, cada um dos quais dedicado a uma teoria de homologia referente a um tipo de espa¸co topol´ogico. Os Cap´ıtulos II, III e IV s˜ao basicamente independentes, podendo ser lidos em qualquer ordem, embora o procedimento recomend´avel seja seguir a ordem em que s˜ao apresentados. O Cap´ıtulo II trata da cohomologia de deRham, que ´e baseada nas formas diferenciais numa variedade. Para simplificar a apresenta¸ca˜o (sem perder a generalidade), as variedades aqui consideradas acham-se todas mergulhadas no espa¸co euclidiano. Isto faz com que os seus espa¸cos tangentes sejam mais vis´ıveis e, principalmente, p˜oe a` nossa disposi¸ca˜o a vizinhan¸ca tubular, instrumento conveniente em v´arias situa¸co˜es. Neste cap´ıtulo s˜ao demonstrados teorema cl´assicos importantes como as dualidades de Poincar´e

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e de Alexander, o teorema de separa¸ca˜o de Jordan-Brouwer e a ´ ainda invariˆancia topol´ogica dos abertos do espa¸co euclidiano. E mostrado como, mediante uma passagem ao limite, pode-se adaptar a cohomologia de deRham a conjuntos que n˜ao s˜ao variedades, como os compactos do espa¸co euclidiano. Este cap´ıtulo tamb´em come¸ca a evidenciar a utilidade da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, que ser´a amplamente empregada no restante do livro. O Cap´ıtulo III estuda os grupos de homologia dos poliedros. As cadeias simpliciais nos levam de volta a`s id´eias seminais de Poincar´e, que foram aperfei¸coadas, estendidas e aprofundadas sucessivamente por Emmy Noether, S. Lefschetz, H. Hopf, J. Alexander e outros. ´ introduzido o anel de cohomologia e ´e demonstrado o teorema E dos pontos fixos de Lefschetz. O Cap´ıtulo IV se ocupa da homologia singular, cuja abrangˆencia ´ completada a tarefa de esinclui qualquer espa¸co topol´ogico. E tabelecer a compatibilidade das trˆes teorias estudadas no livro, provando-se que, num espa¸co triangul´avel, os grupos de homologia simplicial e singular s˜ao isomorfos e dando-se uma demonstra¸ca˜o do Teorema de deRham segundo o qual, numa variedade, os grupos de cohomologia singular s˜ao isomorfos aos grupos de cohomolo´ tamb´em demonstrado o teorema de Poincar´e, gia de deRham. E mostrando que o grupo de homologia singular de dimens˜ao 1 ´e o grupo fundamental abelianizado. Este livro foi concebido como um texto introdut´orio de Topologia Alg´ebrica, ao n´ıvel do in´ıcio de p´os-gradua¸ca˜o. Agrade¸co ao professor Cesar Camacho e aos estudantes do IMPA Jorge Eric e Renato Vianna pelo leitura cr´ıtica do manuscrito. A digita¸ca˜o ficou a cargo de Wilson G´oes, a quem tamb´em agrade¸co. Rio de Janeiro, maio de 2009 Elon Lages Lima

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Cap´ıtulo I Homologia formal Neste cap´ıtulo ser´a feita uma breve apresenta¸ca˜o dos conceitos e fatos b´asicos nos quais se fundamentam as diversas maneiras de desenvolver a teoria da homologia (e da cohomologia). De certo modo, os cap´ıtulos seguintes tratam de casos particulares das no¸co˜es gerais introduzidas aqui.

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Complexo de cadeias

Seja A um anel comutativo com unidade. Um complexo de cadeias com coeficientes em A ´e uma seq¨ uˆencia C = (Cp , ∂p ) de A-m´odulos Cp , p ≥ 0, inteiro, e homomorfismos ∂p : Cp → Cp−1 tais que ∂p ◦ ∂p+1 = 0. Escreve-se ∂p+1

∂p

∂

∂

1 0 C0 −→ 0. C : · · · → Cp+1 −→ Cp −→ Cp−1 → · · · → C1 −→

Cada elemento x ∈ Cp ´e chamado uma p-cadeia ou uma cadeia de dimens˜ao p. Se ∂p x = 0, diz-se que x ´e um p-ciclo ou simplesmente um ciclo. O conjunto Zp dos p-ciclos ´e um subm´odulo de Cp . De fato, Zp ´e o n´ ucleo do homomorfismo ∂p : Cp → Cp−1 . 1 i

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

Se y = ∂p+1 x, diz-se que a p-cadeia y ´e o bordo da (p + 1)cadeia x. O conjunto Bp das p-cadeias que s˜ao bordos de (p + 1)cadeias ´e um subm´odulo de Cp ; Bp ´e a imagem do homomorfismo ∂p+1 : Cp+1 → Cp . Cada homomorfismo ∂p : Cp → Cp−1 ´e chamado de operadorbordo. A menos que seja necess´ario ser mais expl´ıcito, escreve-se ∂ em vez de ∂p , de modo que ∂∂x = 0 para toda cadeia x ∈ Cp . A rela¸ca˜o fundamental ∂p ◦ ∂p+1 = 0 significa que todo bordo ´e um ciclo, ou seja, que Bp ⊂ Zp . O A-m´odulo quociente Hp = Hp (C) = Zp /Bp chama-se o grupo de homologia p-dimensional do complexo C com coeficientes em A. Seus elementos s˜ao as classes de homologia [z] = z + Bp = {z + ∂x ; x ∈ Cp+1 } dos ciclos z ∈ Zp . Se z e z 0 s˜ao ciclos p-dimensionais, tem-se [z] = [z 0 ] se, e somente se, z 0 − z = ∂x para algum x ∈ Cp+1 . Diz-se ent˜ao que z e z 0 s˜ao ciclos hom´ologos. Se, para cada p ≥ 0, tivermos um subm´odulo Cp0 ⊂ Cp tal que 0 ∂Cp+1 ⊂ Cp0 ent˜ao, pondo ∂p0 = ∂p | Cp0 , a seq¨ uˆencia C 0 = (Cp0 , ∂p0 ) ´e um complexo de cadeias, chamado um subcomplexo de C. Considerando, para cada p ≥ 0, o A-m´odulo quociente C p = Cp /Cp0 , existe um u ´nico homomorfismo ∂¯p : C p → C p−1 que torna comutativo o diagrama abaixo ∂p

Cp −−−→ Cp−1    j jy y ∂p

C p −−−→ C p−1 , ´ onde j ´e a aplica¸ca˜o quociente. Por defini¸ca˜o ∂(jx) = j(∂x). E claro que ∂ p ◦∂ p+1 = 0, logo a seq¨ uˆencia C = (C p , ∂ p ) ´e um complexo de cadeias, chamado o quociente de C por C 0 .

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[SEC. 1: COMPLEXO DE CADEIAS

Sejam X = (Xp , ∂p ) e Y = (Yp , ∂p ) complexos de cadeias, cujos operadores-bordo indicamos com o mesmo s´ımbolo ∂p = ∂. Um morfismo f : X → Y ´e uma seq¨ uˆencia de homomorfismos fp : Xp → Yp tais que fp (∂x) = ∂fp+1 (x) para todo x ∈ Xp . Isto significa que, no diagrama abaixo, todos os retˆangulos s˜ao comutativos ∂

· · · → Xp+1 −−−→  f y p+1 ∂

∂

Xp −−−→  f yp ∂

Xp−1 → · · · → X0   f f p−1 y0 y

· · · → Yp+1 −−−→ Yp −−−→ Yp−1 → · · · → Y0

Segue-se das rela¸co˜es ∂fp (x) = fp−1 (∂x) e fp (∂x) = ∂fp+1 (x) que, para todo p ≥ 0, o homomorfismo fp : Xp → Yp transforma pciclos de X em p-ciclos de Y e p-bordos tamb´em, ou seja, fp (Zp (X)) ⊂ Zp (Y) e fp (Bp (X)) ⊂ Bp (Y); logo fp induz, por passagem ao quociente, um homomorfismo (fp )∗ : Hp (X) → Hp (Y), definido por (fp )∗ [z] = [fp (z)] para toda classe [z] ∈ Hp (X) de um ciclo z ∈ Zp (X). Freq¨ uentemente se escreve apenas f∗ : Hp (X) → Hp (Y). O homomorfismo induzido f∗ : Hp (X) → Hp (Y) ´e natural no seguinte sentido: se g : Y → W ´e outro morfismo entre complexos de cadeias, induzindo, para cada p ≥ 0 o homomorfismo g∗: Hp (Y)→ Hp (W) ent˜ao o morfismo composto g◦f : X → W induz o homomorfismo (g◦f )∗ : Hp (X) → Hp (W) e tem-se (g◦f )∗ = g∗ ◦f∗ . Evidentemente, se id : X → X ´e o morfismo identidade, ent˜ao id∗ : Hp (X) → Hp (X) ´e a aplica¸ca˜o identidade. Segue-se imediatamente que se o morfismo f : X → Y admite o morfismo inverso g : Y → X ent˜ao f∗ : Hp (X) → Hp (Y) ´e invert´ıvel para todo p ≥ 0 sendo (f∗ )−1 = g∗ . Exemplos o´bvios de morfismos entre complexos de cadeias se obtˆem a partir de um subcomplexo C 0 ⊂ C. A aplica¸ca˜o de inclus˜ao i : C 0 ⊂ C e a proje¸ca˜o j : C → C/C 0 s˜ao morfismos. ´ da maior relevˆancia ressaltar que, embora i : Cp0 → Cp seja inE jetivo e j : Cp → Cp /Cp0 seja sobrejetivo, essas propriedades n˜ao s˜ao

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

necessariamente herdadas pelos homomorfismos induzidos i∗: Hp (C 0 ) → Hp (C) e j∗ : Hp (C) → Hp (C/C 0 ). Exemplo 1. Seja A o anel Z dos inteiros. Consideremos o complexo C no qual C0 ´e o grupo abeliano livre gerado pelos s´ımbolos a, b, c (que podemos imaginar como os v´ertices do triˆangulo abc), C1 ´e o grupo abeliano livre gerado pelos s´ımbolos ab, bc, ca (lados do triˆangulo) e C2 ´e o grupo c´ıclico cujo gerador livre chamamos de abc. Os grupos Cp com p > 2 s˜ao todos iguais a zero. Os operadores-bordo ∂2 : C2 → C1 , ∂1 : C1 → C0 s˜ao definidos assim: ∂(abc) = ab + bc + ca ∂(ab) = b − a, ∂(bc) = c − b e ∂(ca) = a − c. Obviamente, ∂a = ∂b = ∂c = 0. Vˆe-se sem dificuldade que ∂∂ = 0 em todas as dimens˜oes. Na verdade, basta verificar que ∂(∂(abc)) = 0. ´ claro que, em dimens˜ao 2, a cadeia nula ´e o u E ´nico ciclo, de modo que H2 (C) = {0}. Vejamos quais s˜ao os ciclos de dimens˜ao 1. Uma cadeia x ∈ C1 ´e da forma x = m · ab + n · bc + p · ca, onde m, n, p ∈ Z. Tem-se ∂x = ∂(m · ab + n · bc + p · ca) = m · b − m · a + n · c − n · b + p · a − p · c = (p − m)a + (m − n)b + (n − p)c. Portanto ∂x = 0 ⇔ m = n = p ⇔ x = m(ab + bc + ca). Assim, o ciclo z = ab + bc + ca ´e o gerador de Z1 (C). Como se tem z = ∂(abc), segue-se que Z1 (C) = B1 (C), portanto o grupo de homologia H1 (C) = Z1 (C)/B1 (C) ´e nulo. Falta calcular H0 (C). Toda 0-cadeia ´e, por defini¸ca˜o, um ciclo. Portanto Z0 (C) ´e o grupo abeliano livre gerado por a, b e c. J´a vimos que o bordo de uma 1-cadeia gen´erica x = m · ab + n · bc + p · ca tem a forma y = ∂x = (p − m)a + (m − n)b + (n − p)c. Como (p − m) + (m − n) + (n − p) = 0, conclu´ımos que se uma 0-cadeia y = k1 · a + k2 · b + k3 · c ´e um bordo ent˜ao k1 + k2 + k3 = 0. (A soma

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´ [SEC. 2: HOMOTOPIA ALGEBRICA

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k1 + k2 + k3 chama-se o ´ındice da cadeia y.) Ora, mudando bruscamente de nota¸ca˜o, um exerc´ıcio elementar mostra que o sistema de trˆes equa¸co˜es lineares x − y = k1 , y − z = k2 , z − x = k3 tem solu¸ca˜o se, e somente se, k1 + k2 + k3 = 0. Portanto uma 0-cadeia ´e um bordo se, e somente se, seu ´ındice ´e zero. (Ou ainda: duas 0-cadeias s˜ao hom´ologas se, e somente se, tˆem o mesmo ´ındice.) Assim, o homomorfismo In : C0 → Z, que associa a cada 0-cadeia seu ´ındice, tem como n´ ucleo o conjunto B0 das cadeias que s˜ao bordos. Passando ao quociente, obtemos o isomorfismo C0 /B0 ≈ Z, ou seja, H0 (C) ≈ Z, pois C0 = Z0 . Em suma: os grupos de homologia do complexo C s˜ao H0 (C) = Z, H1 (C) = H2 (C) = {0}. B Exemplo 2. Consideremos agora o subcomplexo C 0 ⊂ C no qual C20 = {0}, C10 = C1 e C00 = C0 . Ent˜ao H2 (C 0 ) = {0} e H0 (C 0 ) = H0 (C) ≈ Z mas, como ∂20 = 0, tem-se B10 = {0}, portanto H1 (C 0 ) = Z10 ≈ Z. Assim, os grupos de homologia do subcomplexo C 0 ⊂ C s˜ao isomorfos a Z nas dimens˜oes 0 e 1 e nulos nas demais dimens˜oes. Isto nos d´a um exemplo em que o homeomorfismo i∗ : H1 (C 0 ) → H1 (C), induzido pela inclus˜ao i : C 0 → C, n˜ao ´e injetivo. Ainda neste exemplo, no complexo quociente C = C/C 0 tem-se C 2 = C2 , C 1 = C 0 = {0}. Portanto H1 (C) = H0 (C) = {0} e H2 (C) ´e o grupo c´ıclico infinito gerado pela classe de homologia do 2-ciclo j(abc) ∈ C 2 , onde j : C2 → C 2 = C2 /C20 ´e a aplica¸ca˜o quociente. Portanto o homomorfismo induzido j∗ : H2 (C) → H2 (C) n˜ao ´e sobrejetivo. B

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Homotopia alg´ ebrica

Sejam X = (Xp , ∂p ) e Y = (Yp , ∂p ) complexos de cadeias e f, g : X → Y morfismos entre eles. Uma homotopia alg´ebrica entre f e g ´e uma seq¨ uˆencia de homomorfismos de A-m´odulos D = Dp : Xp → Yp+1 tais que ∂p+1 Dp + Dp−1 ∂p = fp − gp , ou simples-

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

mente ∂D + D∂ = f − g : Xp → Yp para todo p ≥ 0. Xp

Xp-1

D f-g Yp+1

D

Yp

A principal utilidade deste conceito reside no fato de que se f, g : X → Y s˜ao morfismos algebricamente homot´opicos, isto ´e, se existe uma homotopia alg´ebrica entre f e g, ent˜ao os homomorfismos induzidos por f e g nos grupos de homologia coincidem, ou seja, tem-se f∗ = g∗ : Hp (X) → Hp (Y) para p = 0, 1, 2, . . . Com efeito, sabendo que ∂Dx + D∂x = fp (x) − gp (x) para toda p-cadeia x ∈ Cp (X), se z ∈ Zp (X) ´e um p-ciclo tem-se ∂z = 0 logo, escrevendo y = Dx, resulta da´ı que fp (z) − gp (z) = ∂y. Assim, quando os morfismos f e g s˜ao algebricamente homot´opicos, as imagens fp (z) e gp (z) de todo ciclo z ∈ Zp (X) s˜ao ciclos hom´ologos. Logo, f∗ [z] = [fp (z)] = [gp (z)] = g∗ [z], portanto f∗ = g∗ . Nos cap´ıtulos que se seguem, veremos diversas situa¸co˜es nas quais a no¸ca˜o de homotopia alg´ebrica revelar´a sua utilidade.

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Seq¨ uˆ encias exatas Uma seq¨ uˆencia de homomorfismos de A-m´odulos fp+1

fp

−→ Mp+1 −→ Mp −→ Mp−1 −→ . . . chama-se exata quando o n´ ucleo de cada homomorfismo fp ´e igual a` imagem do homomorfismo anterior fp+1 . Um complexo de cadeias cujos grupos de homologia s˜ao iguais a zero em todas as dimens˜oes ´e uma seq¨ uˆencia exata.

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¨ ENCIAS ˆ [SEC. 3: SEQU EXATAS

Numa seq¨ uˆencia exata, o homomorfismo fp ´e injetivo se, e somente se, fp+1 = 0. Por sua vez, fp+1 ´e sobrejetivo se, e sof

mente se, fp = 0. Em particular, as seq¨ uˆencias 0 → M −→ N g e M −→ N → 0 s˜ao exatas se, e somente se, f ´e injetivo e g ´e f sobrejetivo. Portanto, a seq¨ uˆencia 0 → M −→ N → 0 ´e exata se, e somente se, f ´e um isomorfismo entre os A-m´odulos M e N . j i Uma seq¨ uˆencia exata do tipo 0 → M −→ N −→ P → 0 chamase curta. Neste caso, i ´e injetivo, j ´e sobrejetivo e j −1 (0) = i(M ). O exemplo t´ıpico de uma seq¨ uˆencia exata curta ´e aquele em que M ´e um subm´odulo de N , i : M → N ´e a inclus˜ao, P = M/N ´e o m´odulo quociente e j : M → P = M/N ´e a aplica¸ca˜o quociente. Um morfismo entre duas seq¨ uˆencias exatas (Mp , fp ) e (Np , gp ) ´e uma seq¨ uˆencia ϕ = (ϕp ) de homomorfismos ϕp : Mp → Np tais que ϕp−1 ◦ fp = gp ◦ ϕp para todo p ≥ 0. fp

Mp −−−→ Mp−1   ϕp−1  ϕp y y gp

Np −−−→ Np−1 ,

Seq¨ uˆencias exatas s˜ao um instrumento de uso cotidiano em Topologia Alg´ebrica. No que se segue, ao empreg´a-las, nos valeremos principalmente de duas de suas propriedades, que estabeleceremos agora. Uma delas ´e o Lema dos Cinco e a outra ´e a Seq¨ uˆencia Exata de Homologia associada a uma seq¨ uˆencia exata curta de morfismos entre complexos de cadeias. Lema dos cinco. Num morfismo entre seq¨ uˆencias exatas de Am´odulos, f5 f4 f3 f2 M5 −−−→ M4 −−−→ M3 −−−→ M2 −−−→ M1        ϕ2  ϕ3  ϕ4  ϕ5 ϕ1 y , y y y y N5 −−−→ N4 −−−→ N3 −−−→ N2 −−−→ N1 g5

g4

g3

g2

se ϕ1 , ϕ2 , ϕ4 e ϕ5 s˜ao isomorfismos ent˜ao ϕ3 tamb´em ´e um isomorfismo.

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

Demonstra¸c˜ ao: Seja x ∈ M3 tal que ϕ3 x = 0. (Por simplicidade, escrevemos f x em vez de f (x).) Ent˜ao ϕ2 f3 x = g3 ϕ3 x = 0 logo f3 x = 0 (pois ϕ2 ´e injetivo) donde x = f4 x¯ para algum x¯ ∈ M4 . Temos g4 ϕ4 x¯ = ϕ3 f4 x¯ = ϕ3 x = 0, logo ϕ4 x¯ = g5 y, y ∈ N5 . Como = = ϕ5 ´e sobrejetivo, temos y = ϕ5 x, x ∈ M5 . Ent˜ao ϕ4 x¯ = g5 y = = = = g5 ϕ5 x = ϕ4 f5 x, donde x¯ = f5 x pois ϕ4 ´e injetivo. Segue-se que = x = f4 x¯ = f4 f5 x = 0. Portanto ϕ3 ´e injetivo. A demonstra¸ca˜o de que ϕ3 ´e sobrejetivo ´e deixada a cargo do leitor. Em seguida, estabeleceremos a existˆencia da seq¨ uˆencia exata de homologia associada a uma seq¨ uˆencia exata curta de morfismos entre complexos de cadeias. j

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Teorema 1. Seja 0 → C 0 −→ C −→ C 00 → 0 uma seq¨ uˆencia exata curta de morfismos entre complexos de cadeias. Existe, para cada p > 0, um homomorfismo ∂∗ : Hp (C 00 ) → Hp−1 (C 0 ) tal que a seq¨ uˆencia i

j∗

∂

i

∗ ∗ ∗ · · · → Hp (C 0 ) −→ Hp−1 (C 0 ) −→ Hp (C) −→ Hp (C 00 ) −→ Hp−1 (C) → · · ·

´e exata. Demonstra¸c˜ ao: Primeiro definiremos o homomorfismo ∂∗: Hp (C 00 ) → Hp−1 (C) e depois verificaremos a exatid˜ao da seq¨ uˆencia. 00 00 Dada a classe [z ] ∈ Hp (C ), existe x ∈ Cp tal que jx = z 00 . 0 Como j∂x = ∂jx = ∂z 00 = 0, segue-se que existe z 0 ∈ Cp−1 tal que 0 0 0 0 iz = ∂x ∈ Cp−1 . Tem-se z ∈ Zp−1 . Com efeito, i(∂z ) = ∂iz 0 = ∂∂x = 0; sendo i injetivo, resulta que ∂z 0 = 0. P˜oe-se ent˜ao, por defini¸ca˜o, ∂∗ [z 00 ] = [z 0 ]. z‘’

x Cp

‘ Cp-1

z‘

i

j

Cp‘’

Cp-1 x

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i i

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¨ ENCIAS ˆ [SEC. 3: SEQU EXATAS

Devemos verificar que ∂∗ : Hp (C 00 ) → Hp−1 (C 0 ) est´a bem definido, ou seja, que as escolhas de z 00 na classe [z 00 ] e da cadeia x tal que jx = z 00 n˜ao afetam o valor de [z 0 ] ∈ Hp−1 (C). A escolha mais geral poss´ıvel em [z 00 ] seria da forma z 00 + ∂w00 = z 00 + ∂jw = z 00 + j∂w, w ∈ Cp+1 , conseq¨ uentemente a escolha mais geral de x ∈ Cp seria da forma x1 = x + ∂w + i(y 0 ), y 0 ∈ Cp0 , que daria jx1 = z 00 + ∂w00 . Neste caso, ter´ıamos ∂x1 = iz 0 + i∂y 0 = i(z 0 + ∂y 0 ). Portanto, com as novas escolhas, ter´ıamos ainda ∂∗ [z 00 + ∂w00 ] = [z 0 + ∂y 0 ] = [z 0 ] = ∂∗ [z 00 ]. Poupamo-nos (e ao leitor) da verifica¸ca˜o de que ∂∗ ´e um homomorfismo de A-m´odulos. A prova da exatid˜ao da seq¨ uˆencia de homologia tem trˆes etapas. j∗

∂

∗ Hp−1 (C 0 ) o n´ ucleo de ∂∗ ´e igual `a 1) Em Hp (C) −→ Hp (C 00 ) −→ imagem de j∗ .

1a) ∂∗ ◦ j∗ = 0. De fato, se [z 00 ] = j∗ [z] = [jz] com ∂z = 0 ent˜ao ∂z = i · 0, logo ∂∗ [z 00 ] = [∂z] = 0. 1b) O n´ ucleo de ∂∗ est´a contido na imagem de j∗ . Com efeito, se 0 = ∂∗ [z 00 ] = [z 0 ] ent˜ao z 0 = ∂w0 para algum w 0 ∈ Cp0 . Logo, tomando x ∈ Cp tal que jx = z 00 tem-se ∂x = iz 0 = i∂w0 = ∂(iw0 ). Da´ı ∂(x − iw 0 ) = 0. Assim z = x − iw 0 ´e um ciclo em Cp com jz = jx − jiw 0 = jx, donde j∗ [z] = [z 00 ]. i

∂

∗ ∗ Hp−1 (C) tem-se n´ ucleo de i∗ = Hp−1 (C 0 ) −→ 2) Em Hp (C 00 ) −→ imagem de ∂∗ .

2a) i∗ ◦∂∗ = 0. De fato, para todo [z 00 ] ∈ Hp (C 00 ) tem-se ∂∗ [z 00 ] = [z 0 ], onde z 0 ∈ Zp0 , iz 0 = ∂x e jx = z 00 . Logo i∗ ∂∗ [z 00 ] = i∗ [z 0 ] = [iz 0 ] = [∂x] = 0 ∈ Hp−1 (C). Logo imagem de ∂∗ ⊂ n´ ucleo de i∗ . 0 2b) Se 0 = i∗ [z 0 ] = [iz 0 ], z 0 ∈ Zp−1 , ent˜ao iz 0 = ∂x, x ∈ Cp . Pondo z 00 = jx, temos ∂∗ [z 00 ] = [z 0 ]. Logo n´ ucleo de i∗ ⊂ imagem de ∂∗ . i

j∗

∗ ucleo de j∗ = imagem Hp (C) −→ Hp (C 00 ) tem-se n´ 3) Em Hp (C 0 ) −→ de i∗ .

3a) Como j∗ ◦ i∗ = (j ◦ i)∗ = 0∗ = 0, vemos que imagem de i∗ ⊂ n´ ucleo de j∗ .

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

00 3b) Se 0 = j∗ [z] = [jz] ent˜ao existe x00 ∈ Cp+1 tal que jz = 00 00 ∂x . Como j ´e sobrejetivo, tem-se x = jx para algum x ∈ Cp+1 . Portanto jz = ∂jx = j∂x, logo j(z − ∂x) = 0. Pela exatid˜ao, existe z 0 ∈ Cp0 tal que z − ∂x = iz 0 . Ora, como i ´e injetora e vale

i∂z 0 = ∂iz 0 = ∂(z − ∂x) = ∂z − ∂∂x = 0 − 0 = 0, segue-se que ∂z 0 = 0. Assim z 0 ∈ Zp0 e i∗ [z 0 ] = [iz 0 ] = [z − ∂x] = [z]. Portanto n´ ucleo de j∗ ⊂ imagem de i∗ . As vezes ´e conveniente escrever ∂∗ [z 00 ] = [i−1 ∂j −1 z 00 ]. Evidentemente, i−1 e j −1 n˜ao s˜ao aplica¸co˜es un´ıvocas por´em a classe de homologia ∂∗ [z 00 ] est´a bem definida por esta f´ormula, como acabamos de ver. H´a dois exemplos particularmente importantes de seq¨ uˆencias exatas de homologia. O primeiro ´e quando se tem um subcomplexo C 0 ⊂ C e se toma C 00 = C/C 0 . Neste caso, i : C 0 → C ´e a aplica¸ca˜o de inclus˜ao e j : C → C 00 ´e a aplica¸ca˜o quociente. A seq¨ uˆencia exata j i de homologia associada a` seq¨ uˆencia exata curta 0 → C 0 −→ C −→ C/C 0 → 0 chama-se a seq¨ uˆencia exata do par (C, C 0 ) e os grupos de homologia Hp (C/C 0 ) = Hp (C 00 ) chamam-se os grupos de homologia relativa do par (C, C 0 ). O segundo exemplo ´e o da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, que desempenhar´a um papel central nos cap´ıtulos seguintes. Para obter a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, parte-se de dois sub0 00 complexos C , C ⊂ C, tais que C = C 0 + C 00 , isto ´e, tem-se Cp = Cp0 + Cp00 para todo p ≥ 0. Ent˜ao os A-m´odulos Cp0 ∩ Cp00 , com o mesmo operador ∂ de C, formam um complexo C 0 ∩ C 00 . Tamb´em as somas diretas Cp0 ⊕ Cp00 , cujos elementos escreveremos como pares (x0 , x00 ) com x0 ∈ Cp0 e x00 ∈ Cp00 , munidas do operador ∂ : Cp0 ⊕Cp00 → 0 00 Cp−1 ⊕ Cp−1 , dado por ∂(x0 , x00 ) = (∂x0 , ∂x00 ), formam o complexo C 0 ⊕C 00 , cujos grupos de homologia s˜ao Hp (C 0 ⊕C 00 ) ≈ Hp (C 0 )⊕Hp (C 00 ) como facilmente se verifica.

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i i

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i i

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¨ ENCIAS ˆ [SEC. 3: SEQU EXATAS

Os morfismos i : C 0 ∩ C 00 → C 0 ⊕ C 00 e j : C 0 ⊕ C 00 → C, dados por i(x) = (x, x) e j(x, y) = x − y, comp˜oem a seq¨ uˆencia curta j

i

0 → C 0 ∩ C 00 −→ C 0 ⊕ C 00 −→ C → 0, que ´e exata como se vˆe imediatamente. Dela resulta a seq¨ uˆencia exata de homologia j∗

i

∆

∗ · · · → Hp (C 0 ∩C 00 )−→ Hp (C 0 )⊕Hp (C 00 )−→ Hp (C)−→ Hp−1 (C 0 ∩C 00 ) → · · ·

chamada a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris do terno (C, C 0 , C 00 ). Nela, usamos a nota¸ca˜o ∆ em vez de ∂∗ . Os homomorfismos i∗ e j∗ s˜ao o´bvios: i∗ [z] = ([z], [z]) e j∗ ([z], [w]) = [z − w]. Quanto a ∆, tem-se ∆[z] = [∂x] = [∂y] onde x − y = z, x ∈ Cp0 , y ∈ Cp00 e ∂x = ∂y. A seq¨ uˆencia exata de homologia ´e natural, no sentido seguinte. Dado um morfismo i

0 → X0 −−−→   ϕ0 y i

j

X −−−→  ϕ y j

X00 −−−→ 0  ϕ00 y

0 → Y0 −−−→ Y −−−→ Y00 −−−→ 0

entre duas seq¨ uˆencias exatas curtas de complexos de cadeias, os homomorfismos induzidos em homologia por ϕ, ϕ0 e ϕ00 determinam um morfismo entre as seq¨ uˆencias exatas de homologia. Noutras palavras, o diagrama abaixo ´e comutativo. i

j∗

∂

i

j∗

∂

∗ ∗ → Hp−1 (X0 ) → · · · → Hp (X) −−−→ Hp (X00 ) −−− · · · → Hp (X0 ) −−−      ϕ0 ϕ00  ϕ∗  ϕ0 y ∗ y ∗ y y ∗

∗ ∗ → Hp−1 (Y0 ) → · · · → Hp (Y) −−−→ Hp (Y00 ) −−− · · · → Hp (Y0 ) −−−

Pelo morfismo entre as duas seq¨ uˆencias curtas, temos ϕ◦i = i◦ϕ0 e ϕ00 ◦ j = j ◦ ϕ, donde ϕ∗ ◦ i∗ = i∗ ◦ ϕ0∗ e ϕ00∗ ◦ j∗ = j∗ ◦ ϕ∗ . Para

i

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

provar que ϕ0∗ ◦ ∂∗ = ∂∗ ◦ ϕ00∗ , escreveremos ∂∗ [z 00 ] = [i−1 ∂j −1 z 00 ]. Ent˜ao ϕ0∗ ∂∗ [z 00 ] = ϕ0∗ [i−1 ∂j −1 z 00 ] = [ϕ0 i−1 ∂j −1 z 00 ] = [i−1 ϕ∂j −1 z 00 ] = [i−1 ∂ϕj −1 z 00 ] = [i−1 ∂j −1 ϕ00 z 00 ] = ∂∗ ϕ00∗ [z 00 ]. Resulta da´ı a naturalidade da seq¨ uˆencia de Mayer Vietoris: se 0 00 0 00 X = X + X e Y = Y + Y ent˜ao um morfismo ϕ : X → Y tal que ϕ(X0 ) ⊂ Y0 e ϕ(X00 ) ⊂ Y00 induz um morfismo entre as seq¨ uˆencias 0 00 0 00 de Mayer-Vietoris de (X, X , X ) e (Y, Y , Y ).

4

Cohomologia

Um complexo de cocadeias ´e uma seq¨ uˆencia C = (C p , δp ), p ≥ 0, de A-m´odulos C p e homomorfismos δp : C p → C p+1 tais que δp+1 ◦ δp = 0. Freq¨ uentemente escreve-se simplesmente δ em vez de δp : δ

δ

δp−1

δp

1 0 · · · → C p−1 −→ C p −→ C p+1 → . . . . C 1 −→ C 0 −→

Cada elemento u ∈ C p chama-se uma cocadeia de dimens˜ao p, ou uma p-cocadeia. Se δp u = 0, diz-se que u ´e um p-cociclo. O conjunto Z p = Z p (C) dos p-cociclos ´e um subm´odulo de C p , n´ ucleo p do homomorfismo δp . A imagem B do operador δp−1 tamb´em ´e um subm´odulo de C p e a rela¸ca˜o δ ◦ δ = 0 significa que B p ⊂ Z p . O m´odulo quociente H p (C) = Z p /B p chama-se o grupo de cohomologia de dimens˜ao p do complexo C. Seus elementos s˜ao as classes de cohomologia [u] = {u + δv; v ∈ C p−1 } dos cociclos u ∈ Z p . Tem-se [u] = [u0 ] se, e somente se, u − u0 = δv para algum v ∈ C p−1 . Neste caso, diz-se que u e u0 s˜ao cociclos cohom´ologos. As no¸co˜es e os fatos relativos a cohomologia s˜ao an´alogos a`queles j´a estabelecidos para a homologia, levando-se em conta apenas que o operador cobordo δ : C p−1 → C p aumenta a dimens˜ao, enquanto

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[SEC. 4: COHOMOLOGIA

que o operador bordo ∂ : C p → C p−1 diminui. Isto causa pequenas mudan¸cas. Por exemplo, se X e Y s˜ao complexos de cocadeias, o homomorfismo induzido em cohomologia por um morfismo f : X → Y entre complexos de cocadeias ´e designado por f ∗ : H p (X) → H p (Y) em vez de f∗ . Uma homotopia alg´ebrica entre os morfismos f, g : X → Y ´e uma seq¨ uˆencia de homomorfismos D : X p → Y p−1 tal que δD + Dδ = f − g. (No caso de cadeias, t´ınhamos D : Xp → Yp+1 .) Novamente, ´e claro que se f, g : X → Y s˜ao algebricamente homot´opicos os homomorfismos induzidos f ∗ , g ∗ : H p (X) → H p (Y) s˜ao iguais. Finalmente, a seq¨ uˆencia exata de cohomologia determinada pela j i seq¨ uˆencia exata curta 0 → C 0 −→ C −→ C 00 → 0 de morfismos entre complexos de cocadeias tem a forma i∗

j∗

δ∗

· · · → H p (C 0 ) −→ H p (C) −→ H p (C 00 ) −→ H p+1 (C 0 ) → . . . . Um importante exemplo de complexo de cocadeias se obt´em a partir de um complexo de cadeias C = (Cp , ∂p ), formado por Am´odulos. Para cada p ≥ 0, pomos C p = Hom(Cp ; A) = m´odulo dual de Cp , cujos elementos s˜ao os homomorfismos u : Cp → A. O operador δ = δp : C p → C p+1 ´e o adjunto de ∂ : Cp+1 → Cp , ou seja, se u ∈ C p ent˜ao δu ∈ C p+1 ´e o homomorfismo (funcional A-linear) definido por (δu)·x = u(∂x) para toda cadeia x ∈ Cp+1 . Isto nos d´a o complexo de cocadeias C ∗ = (C p , δp ), cujos grupos de cohomologia H p (C) s˜ao chamados os grupos de cohomologia do complexo de cadeias C. A todo morfismo f : X → Y entre complexos de cadeias corresponde o morfismo adjunto f | : Y∗ → X∗ . Para cada p ≥ 0, fp| : Y p → X p ´e definido por ¡ | ¢ fp v ·x = v·fp (x), v ∈ Y p , x ∈ Xp . Noutras palavras, fp| v = v ◦ fp .

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

O homomorfismo em cohomologia induzido pelo morfismo original f : X → Y ´e f ∗ : H p (Y) → H p (X), f ∗ = (f | )∗ , ou seja, f ∗ [v] = [f | v] para todo p-cociclo v ∈ Z p (Y). Se g : Y → Z ´e outro morfismo de cadeias, tem-se (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ : H p (Z) → H p (X). No contexto da cohomologia obtida a partir de um complexo de cadeias, deve-se observar que dada a seq¨ uˆencia de A-m´odulos e transforma¸co˜es A-lineares fp+1

fp

. . . −→ Mp+1 −→ Mp −→ Mp−1 −→ . . . , se ela ´e exata, n˜ao se segue geralmente que seja tamb´em exata a seq¨ uˆencia dual | fp+1

fp|

· · · → Hom(Mp−1 ; A) −→ Hom(Mp ; A) −−→ Hom(Mp+1 ; A) −→ · · · , na qual fp| ´e o homomorfismo adjunto de fp . Um exemplo simples ´e o da seq¨ uˆencia exata de grupos (Zf

g

m´odulos) 0 → Z −→ Z −→ Z2 → 0, onde Z2 = {0, 1} ´e o grupo dos inteiros m´odulo 2, f (n) = 2n e g ´e a proje¸ca˜o canˆonica: g(n) = 0 se n ´e par e g(n) = 1 se n ´e ´ımpar. A seq¨ uˆencia dual ´e g|

f|

0 → Hom(Z2 ; Z) −→ Hom(Z; Z) −→ Hom(Z; Z) → 0. O grupo Hom(Z2 ; Z) ´e zero e Hom(Z; Z) ´e c´ıclico infinito (isomorfo a Z), gerado pelo homomorfismo identidade u : Z → Z. Como f : Z → Z ´e a multiplica¸ca˜o por 2, o mesmo se d´a com f | : Hom(Z; Z) → Hom(Z; Z), logo f | n˜ao ´e sobrejetivo e a seq¨ uˆencia n˜ao ´e exata. f g De um modo geral, se a seq¨ uˆencia de A-m´odulos M1 −→ M2 −→ M3 ´e exata ent˜ao g ◦ f = 0 de modo que, considerando a seq¨ uˆencia dual g| f| Hom(M3 ; A) −→ Hom(M2 ; A) −→ Hom(M1 ; A) temos f | ◦ g | = (g ◦ f )| = 0, logo Im(g | ) ⊂ N (f | ). Se quisermos mostrar que esta seq¨ uˆencia tamb´em ´e exata, restar´a provar que

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[SEC. 4: COHOMOLOGIA

N (f | ) ⊂ Im(g | ). Para isto, tomamos v ∈ Hom(M2 ; A) tal que f | (v) = 0 e procuramos achar u ∈ Hom(M3 ; A) com g | (u) = v. Nossa hip´otese sobre v significa que v(f (x)) = 0 para todo x ∈ M1 , ou seja, que o homomorfismo v : M2 → A se anula sobre a imagem de f . Pela exatid˜ao da seq¨ uˆencia inicial, essa imagem coincide com o n´ ucleo de g. Portanto v(y) = 0 para todo y ∈ M2 tal que g(y) = 0. Ou ainda: se y, y 0 ∈ M2 s˜ao tais que g(y) = g(y 0 ) ent˜ao v(y) = v(y 0 ). Ora, estamos em procura de um homomorfismo u : M3 → A tal que u(g(y)) = v(y) para todo y ∈ M2 . Acabamos de ver que esta igualdade define univocamente um homomorfismo u : Im(g) → A. Se este homomorfismo puder ser estendido a todo o M3 , (n˜ao importa de que modo) teremos g | (u) = v. Assim, o problema de saber se a dual da seq¨ uˆencia exata de f g A-m´odulos M1 −→ M2 −→ M3 ´e ainda exata reduz-se a indagar se um homomorfismo definido no subm´odulo g(M2 ) ⊂ M3 pode ser estendido a todo o m´odulo M3 . Nem sempre isto ´e poss´ıvel. Por exemplo, se P ⊂ Z ´e o subgrupo formado pelos inteiros pares, o homomorfismo h : P → Z, definido por h(2n) = n, n˜ao pode ser estendido a todo o grupo Z. f

g

Na seq¨ uˆencia exata M1 −→ M2 −→ M3 h´a um caso em que todo homomorfismo h : g(M2 ) → P , definido no subm´odulo g(M2 ) ⊂ M3 , pode ser estendido a um homomorfismo h : M3 → P , definido ´ quando existe um subm´odulo N ⊂ M3 em todo o m´odulo M3 . E tal que M3 = g(M2 ) ⊕ N . Ent˜ao define-se a extens˜ao simplesmente fazendo-a assumir o valor zero em cada y ∈ N , lembrando que os elementos de M3 se escrevem de modo u ´nico como x + y com x ∈ g(M2 ) e y ∈ N . f

g

Uma seq¨ uˆencia exata M1 −→ M2 −→ M3 chama-se separ´avel quando existe um subm´odulo N ⊂ M2 tal que M2 = f (M1 ) ⊕ N . No caso de uma seq¨ uˆencia exata curta, como (*)

f

g

0 → M1 −→ M2 −→ M3 → 0,

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

dizer que ela ´e separ´avel significa que existe um subm´odulo N ⊂ M2 tal que M2 = f (M1 )⊕N . Neste caso, a seq¨ uˆencia dada ´e equivalente a g0

f0

0 → M1 −→ M1 ⊕ M3 −→ M3 → 0,

(**)

onde f 0 (x) = (x, 0) e g 0 (x, y) = y, ou seja, existe um isomorfismo h : M2 → M1 ⊕ M3 que torna comutativo o diagrama M2 g

f 0

h

M1 f‘

M3

0.

g‘ M1

M3

Com efeito, sendo f : M1 → f (M1 ) um isomorfismo e sabendo que todo z ∈ M2 se escreve, de modo u ´nico, como z = x + y, onde x ∈ f (M1 ), isto ´e, g(x) = 0, e y ∈ N , pomos h(z) = h(x + y) = (f −1 (x), g(y)). O homomorfismo h, assim definido, cumpre h ◦ f = f 0 e g 0 ◦ h = g, ou seja, torna comutativo o diagrama acima. A verifica¸ca˜o de que h ´e bijetivo recai imediatamente na exatid˜ao da seq¨ uˆencia (*) dada inicialmente. Portanto (**) ´e o modelo padr˜ao de uma seq¨ uˆencia exata curta separ´avel. Lema 1. Se a imagem g(M2 ) ´e um m´odulo livre (em particular, se A ´e um corpo, logo os A-m´odulos s˜ao espa¸cos vetoriais) ent˜ao a f

g

seq¨ uˆencia exata M1 −→ M2 −→ M3 ´e separ´avel. Em particular, se o m´odulo M3 ´e livre ent˜ao a seq¨ uˆencia exata curta 0 → M 1 → M2 → M3 → 0 ´e separ´avel.

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[SEC. 4: COHOMOLOGIA

Demonstra¸c˜ ao: Seja (aλ )λ∈L uma base do A-m´odulo g(M2 ). Definamos um homomorfismo ϕ : g(M2 ) → M2 escolhendo, para cada λ ∈ L, um elemento ϕ(aλ ) ∈ M2 tal que g(ϕ(aλ )) = aλ . Assim g(ϕ(z)) = z para todo z ∈ g(M2 ). Seja N a imagem de ϕ. Afirmamos que M2 = f (M1 ) ⊕ N . De fato, em primeiro lugar, todo x ∈ M2 se escreve como x = ϕ(g(x)) + (x − ϕ(g(x))), com ϕ(g(x)) ∈ N e g(x−ϕ(g(x))) = g(x)−g(ϕ(g(x))) = g(x)−g(x) = 0, logo x − ϕ(g(x)) ∈ f (M1 ) por exatid˜ao. Em segundo lugar, se y ∈ f (M1 ) ∩ N ent˜ao y = f (x), x ∈ M1 , e y = ϕ(z), z ∈ g(M2 ), logo z = g(ϕ(z)) = g(y) = g(f (x)) = 0 e da´ı y = ϕ(z) = ϕ(0) = 0. Um importante caso particular deste lema ´e o Corol´ ario 1. Seja C ⊂ B um subm´odulo. Se o m´odulo quociente B/C ´e livre ent˜ao C ´e um somando direto em B, isto ´e, existe um subm´odulo C 0 ⊂ B tal que B = C ⊕ C 0 . Com efeito, se i : C → B ´e a inclus˜ao e j : B → B/C ´e a projej i c¸a˜o natural ent˜ao a seq¨ uˆencia 0 → C −→ B −→ B/C → 0 ´e exata. Teorema 2. Se M3 ´e um A-m´odulo livre (em particular, se A ´e f

g

um corpo) e a seq¨ uˆencia 0 → M1 −→ M2 −→ M3 → 0 ´e exata, ent˜ao a seq¨ uˆencia dual g>

f>

0 → Hom(M3 ; A) −→ Hom(M2 ; A) −→ Hom(M1 ; A) → 0 ´e exata. Demonstra¸c˜ ao: > (1) g ´e injetivo: Seja u : M3 → A um homomorfismo tal que > g (u) = 0, isto ´e, u(g(x)) = 0 para todo x ∈ M2 . Como g ´e sobrejetivo, isto significa que u = 0. (2) Im(g > ) = N (f > ). S˜ao duas inclus˜oes a serem verificadas. A primeira, Im(g > ) ⊂ N (f > ), significa que f > ◦ g > = 0, o que ´e claro porque f > ◦ g > = (g ◦ f )> = 0 pois g ◦ f = 0. Para provar que N (f > ) ⊂ Im(g > ), tomemos um homomorfismo v : M2 → A tal

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

que f > (v) = 0, ou seja, v ◦ f = 0. Como g ´e sobrejetivo, podemos definir o homomorfismo u : M3 → A pondo u(g(x)) = v(x) para todo x ∈ M2 . Esta defini¸ca˜o ´e leg´ıtima pois se y ∈ M2 ´e tal que g(y) = g(x) ent˜ao g(x − y) = 0 e da´ı, pela exatid˜ao da seq¨ uˆencia inicial, existe z ∈ M1 tal que x − y = f (z). Como v ◦ f = 0, vemos que v(x−y) = v(f (z)) = 0, portanto v(x) = v(y), mostrando assim que o homomorfismo u : M3 → A est´a bem definido, sendo claro que u ◦ g = v, isto ´e, v = g > (u). (3) f > ´e sobrejetivo. Aqui fazemos uso do Lema 1, segundo o f

g

qual a seq¨ uˆencia exata 0 → M1 −→ M2 −→ M3 → 0 ´e separ´avel, logo ´e equivalente a` seq¨ uˆencia exata padr˜ao 0 → M1 → M1 ⊕ M3 → M3 → 0 e a sobrejetividade de f > equivale a dizer que todo homomorfismo u : M3 → A se estende a um homomorfismo u : M1 ⊕ M3 → A, o que ´e inteiramente o´bvio. Observa¸c˜ ao: Se E ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo K, ´e praxe escrever E ∗ em vez de Hom(E; K).

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Limites indutivos

Uma quase-ordem num conjunto L ´e uma rela¸ca˜o bin´aria ≤ em L que ´e reflexiva (λ ≤ λ para todo λ ∈ L) e transitiva (se λ, µ, ν ∈ L s˜ao tais que λ ≤ µ e µ ≤ ν ent˜ao λ ≤ ν). Uma quase-ordem antisim´etrica (λ ≤ µ e µ ≤ λ implicam λ = µ) chama-se uma rela¸ca˜o de ordem. Diz-se que a quase-ordem ≤ ´e filtrante quando, dados quaisquer λ, µ ∈ L, existe ν ∈ L tal que λ ≤ ν e µ ≤ ν. Exemplo 3. Seja L o conjunto dos intervalos abertos da reta que contˆem 0 e tˆem comprimento ≤ 1. Dados I, J ∈ L, se escrevermos I ≤ J para significar I ⊂ J, obteremos uma rela¸ca˜o de ordem em L, a qual n˜ao ´e filtrante. Se, entretanto, convencionarmos que I ≤ J significa J ⊂ I, obteremos uma rela¸ca˜o de ordem filtrante em L.

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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS

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Exemplo 4. Seja V o conjunto das vizinhan¸cas abertas de um determinado conjunto X ⊂ Rn . Dados U, V ∈ V, escrevendo U ≤ V para significar que X ⊂ V ⊂ U , obtemos uma rela¸ca˜o de ordem filtrante em V. A op¸ca˜o de escrever U ≤ V quando V ⊂ U traduz o fato de que V est´a mais pr´oxima de X do que U , ou que ´e uma melhor aproxima¸ca˜o aberta de X. Exemplo 5. Seja C o conjunto das coberturas abertas de um conjunto X ⊂ Rn . Dadas as coberturas α, β ∈ C, ponhamos α ≤ β para exprimir que β refina α, isto ´e, para cada B ∈ β existe A ∈ α tal que B ⊂ A. A rela¸ca˜o α ≤ β ´e uma quase-ordem filtrante em C. Com efeito, dadas α, β ∈ C, o conjunto γ das interse¸co˜es A ∩ B, com A ∈ α e B ∈ β, ´e uma cobertura aberta de X que refina α e β, ou seja, tem-se α ≤ γ e β ≤ γ. Note que esta quase-ordem n˜ao ´e anti-sim´etrica, ou seja, n˜ao ´e uma ordem. Dada uma quase-ordem ≤ no conjunto L, um subconjunto L0 ⊂ L diz-se cofinal quando, para todo λ ∈ L, existe µ ∈ L0 tal que λ ≤ µ. Exemplo 6. No Exemplo 3, se I ≤ J significa I ⊂ J, os intervalos com extremos racionais formam um conjunto cofinal. Se I ≤ J quer dizer J ⊂ I ent˜ao os intervalos do tipo (−1/n, 1/n) constituem um conjunto cofinal. No Exemplo 4, se X for compacto, as vizinhan¸cas abertas de X que tˆem fecho compacto formam um conjunto cofinal em V. No Exemplo 5, se X ´e uma superf´ıcie, o conjunto das coberturas abertas localmente finitas ´e cofinal em C. Uma fam´ılia (Eλ )λ∈L de A-m´odulos chama-se um sistema indutivo quando 1o¯ ) O conjunto L dos ´ındices ´e munido de uma quase-ordem filtrante. 2o¯ ) Para cada par de ´ındices λ, µ ∈ L com λ ≤ µ ´e dado um homomorfismo ϕλµ : Eλ → Eµ de modo que ϕλλ = id : Eλ → Eλ e ϕµν ◦ ϕλµ = ϕλν : Eλ → Eν se λ ≤ µ ≤ ν.

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

Dado o sistema indutivo (Eλ )λ∈L , definimos na reuni˜ao disjunta Eλ uma rela¸ca˜o de equivalˆencia dizendo que x ∈ Eλ ´e equiva-

λ∈L

lente a y ∈ Eµ quando existe ν ∈ Lν , com λ ≤ ν e µ ≤ ν, tal que ∨ ϕλν (x) = ϕµν (y). Indicaremos com x a classe de equivalˆencia do elemento x ∈ Eλ segundo esta rela¸ca˜o. O conjunto E das classes ∨ de equivalˆencia x dos elementos x ∈ Eλ , λ ∈ L, chama-se o limite indutivo do sistema (Eλ )λ∈L . Escreve-se E = lim Eλ . λ

∨

Quando se escreve um elemento de E = lim Eλ sob a forma x, ∨

λ

diz-se que x ∈ Eλ representa a classe x. Se λ ≤ µ e y = ϕλµ (x), ∨ ∨ ent˜ao o elemento y ∈ Eλ representa a mesma classe, pois x = y. O limite indutivo E = lim Eλ possui uma estrutura natural de ∨

∨

λ

A-m´odulo: dados x = y ∈ E, como L ´e filtrante, podemos supor que os representantes x, y pertencem ao mesmo m´odulo Eλ e ent˜ao ∨ ∨ ∨ pomos x + y = (x + y)∨ e, se a ∈ A, a · x = (a · x)∨ . N˜ao h´a dificuldade em verificar que estas opera¸co˜es est˜ao bem definidas e fazem de E = lim Eλ um A-m´odulo. λ

∨

Em particular, a classe x de x ∈ Eλ ´e o zero de A-m´odulo E, se, e somente se, existe µ ≥ λ tal que ϕλµ (x) = 0 ∈ Eµ . Noutras palavras, o elemento neutro da adi¸ca˜o em E = lim Eλ pode ser λ

representado pelo elemento neutro 0 ∈ Eµ para algum µ ∈ L. Seja E = lim Eλ . Para cada λ ∈ L, existe um homomorfismo ∨ ϕλ : Eλ → E, definido por ϕλ (x) = x, x ∈ Eλ . Valem as seguintes propriedades: a) Se λ ≤ µ ent˜ao ϕλ = ϕµ ◦ ϕλµ ; S ϕλ (Eλ ); b) E = λ∈L

c) Se x ∈ Eλ ´e tal que ϕλ (x) = 0 ent˜ao existe µ ∈ L tal que λ ≤ µ e ϕλµ (x) = 0.

Podemos tamb´em considerar sistemas indutivos de complexos. Para fixar id´eias, vejamos um sistema indutivo (Cλ )λ∈L de com-

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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS

plexos de cocadeias. Para cada λ ∈ L, temos um complexo d

λ Cλr+1 −→ · · · Cλ : Cλ0 −→ Cλ1 −→ · · · −→ Cλr −→

e, quando λ ≤ µ, um morfismo fλµ : Cλ → Cµ tal que fλλ = id : Cλ → Cλ e fλν = fµν ◦ fλµ : Cλ → Cν quando λ ≤ µ ≤ ν. O limite indutivo do sistema (Cλ )λ∈L ´e o complexo d

C : C 0 −→ C 1 −→ · · · −→ C r → − C r+1 −→ · · · , ∨

onde C r = lim Cλr e d : C r → C r+1 ´e definido por d(x) = (dx)∨ , λ

com x ∈ Cλr logo dx ∈ Cλr+1 . Escreve-se C = lim Cλ = lim Cλ . λ∈L

Se E = lim Eλ , definir um homomorfismo f : E → F , com λ∈L

valores no A-m´odulo F , equivale a definir, para cada λ ∈ L, um homomorfismo fλ : Eλ → F de tal modo que valha a rela¸ca˜o fλ = fµ ◦ ϕλµ sempre que λ ≤ µ. Com efeito, dado f , obt´em-se fλ pondo fλ = f ◦ ϕλ . Reciprocamente, dados os fλ , definimos f assim: para cada x ∈ E existe algum xλ ∈ Eλ tal que ϕλ (xλ ) = x. Ent˜ao pomos f (x) = fλ (xλ ). A rela¸ca˜o fλ = fµ ◦ ϕλµ mostra que esta defini¸ca˜o ´e leg´ıtima, isto ´e, que a escolha de xλ n˜ao afeta o valor f (x). O homomorfismo f : lim Eλ → F , definido a partir dos fλ : Eλ → F , ´e sobrejetivo se, e somente se, F = ∪ fλ (Eλ ) e ´e injetivo se, e somente se, fλ (x) = 0 implica que existe µ ≥ λ tal que ϕλµ (x) = 0. Por exemplo, se L0 ⊂ L ´e um subconjunto cofinal, o limite indutivo E 0 = lim Eλ0 ´e isomorfo a E = lim Eλ . Para chegar a 0 0 λ ∈L

λ∈L

esta conclus˜ao, definimos o homomorfismo f : E 0 → E pondo, para cada λ0 ∈ L0 , fλ0 = ϕλ0 : Eλ0 → E. Como se vˆe sem dificuldade, o homomorfismo f ´e sobrejetivo e injetivo, logo ´e um isomorfismo entre E 0 e E. Um exemplo u ´til de isomorfismo ´e o seguinte. A partir de um sistema indutivo (Cλ )λ∈L de complexos de cocadeias, obtemos um

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[CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

complexo C = lim Cλ , o qual possui grupos de cohomologia H r (C) = H r (lim Cλ ), r = 0, 1, . . . . Por sua vez, para cada r = 0, 1, 2, . . . , os grupos de cohomologia H r (Cλ ), λ ∈ L formam um sistema indutivo, o qual possui o limite lim H r (Cλ ). Afirmamos que existe λ

um isomorfismo natural f : lim H r (Cλ ) → H r (lim Cλ ). Afim de λ

λ

definir f , basta considerar, para cada λ ∈ L, o homomorfismo ∨ fλ : H r (Cλ ) → H r (lim Cλ ), definido por fλ [z] = [z], onde z ∈ Cλr λ

´e um cociclo de dimens˜ao r, [z] ∈ H r (Cλ ) ´e sua classe de coho∨ mologia e z = ϕλ (z) ´e sua imagem em lim Cλr pelo homomorfismo λ

natural ϕλ : Cλr → lim Cλr . Os homomorfismos fλ cumprem obviaλ

mente a condi¸ca˜o fλ = fµ ◦ ϕλµ quando λ ≤ µ, logo determinam um homomorfismo f : lim H r (Cλ ) → H r (lim Cλ ). Como se vˆe sem λ

λ

dificuldade, f ´e um isomorfismo. Assim, o processo de tomar o limite indutivo de complexos comuta com o de tomar grupo de cohomologia. Resulta da´ı, em particular, que o limite indutivo de um sistema de seq¨ uˆencias exatas ´e ainda uma seq¨ uˆencia exata pois esta ´e, em u ´ltima an´alise, um complexo cujos grupos de cohomologia em dimens˜ao > 0 s˜ao nulos.

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Cap´ıtulo II Cohomologia de deRham A cohomologia de deRham ser´a nosso primeiro exemplo de uma situa¸ca˜o espec´ıfica na qual se usam os conceitos gerais expostos no cap´ıtulo anterior. Este assunto ´e geralmente apresentado no contexto aparentemente mais geral de variedades diferenci´aveis. (Em vez de superf´ıcies no espa¸co euclidiano, como faremos aqui.) A op¸ca˜o que fizemos permite utilizar, sem mudan¸ca de terminologia ou nota¸ca˜o, as no¸co˜es j´a introduzidas e os resultados j´a demonstrados em [AR2] e, principalmente, [AR3], textos que contˆem os pr´e-requisitos para este cap´ıtulo. Al´em disso, como ´e bem conhecido, toda variedade diferenci´avel ´e difeomorfa a uma superf´ıcie contida num espa¸co euclidiano de dimens˜ao suficientemente alta, portanto n˜ao h´a perda essencial de generalidade em nossa exposi¸ca˜o. Uma vantagem adicional das superf´ıcies ´e a existˆencia da vizinhan¸ca tubular, cuja utiliza¸ca˜o em ocasi˜oes oportunas simplifica argumentos e permite demonstra¸co˜es convincentes, como vimos nos Cap´ıtulos 4 e 5 de [AR3]. Advertˆ encia: no que se segue, salvo men¸ca˜o expl´ıcita em contr´ario, superf´ıcies e formas ser˜ao sempre supostas diferenci´aveis e diferenci´avel significa “de classe C ∞ .” 23 i

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

O complexo de deRham

A diferencia¸ca˜o exterior d : Λr (M ) → Λr+1 (M ) ´e uma transforma¸ca˜o linear definida no espa¸co vetorial Λr (M ), cujos elementos s˜ao as r-formas na superf´ıcie m-dimensional M . Como ddω = 0 para toda ω ∈ Λr (M ), a seq¨ uˆencia d

d

Λ∗ (M ) : Λ0 (M ) → − Λ1 (M ) → · · · → Λm−1 (M ) → − Λm (M ) → 0 ´e um complexo de cocadeias, chamado o complexo de deRham da superf´ıcie M . Lembremos que Λ0 (M ) ´e o conjunto das fun¸co˜es diferenci´aveis f : M → R e Λr (M ) = 0 se r > m = dim M . O n´ ucleo Z r (M ) de d : Λr (M ) → Λr+1 (M ) e a imagem B r (M ) de d : Λr−1 (M ) → Λr (M ) s˜ao, respectivamente, o conjunto das rformas fechadas e das r-formas exatas. Tem-se B r (M ) ⊂ Z r (M ) e o espa¸co quociente ± H r (M ) = Z r (M ) B r (M ) chama-se o grupo de cohomologia de deRham da superf´ıcie M em dimens˜ao r (muito embora seja um espa¸co vetorial). Seus elementos s˜ao as classes de cohomologia [ω] = {ω + dα; α ∈ Λr−1 (M )} das formas fechadas ω ∈ Z r (M ). Exemplo 1. O caso mais simples da cohomologia de deRham ´e H 0 (M ). Tem-se B 0 (M ) = 0 e Z 0 (M ) ´e o conjunto das fun¸co˜es diferenci´aveis f : M → R tais que df = 0. Logo H 0 (M ) = Z 0 (M ) = conjunto das fun¸co˜es localmente constantes, ou seja, constantes em cada componente conexa de M . Em particular, se M ´e conexa ent˜ao S Mλ ´e a reuni˜ao de H 0 (M ) = R. No caso geral, em que M = λ∈L Q suas componentes conexas, tem-se H 0 (M ) = Rλ onde Rλ = R λ∈L

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ˆ ´ [SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA

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para todo λ ∈ L. Explicitamente, cada elemento de H0 (M ) ´e uma fam´ılia x = (xλ )λ∈L onde xλ ∈ R para todo λ ∈ L. (Note que L ´e enumer´avel.) Se M = M1 ∪ · · · ∪ Mk possui apenas um n´ umero 0 k finito k de componentes conexas ent˜ao H (M ) = R . B Exemplo 2. Seja M = R2 −{0}. Sabemos que H 0 (M ) = R pois M ´e conexa. Vejamos H 1 (M ). A cada forma fechada ω = adx + bdy R em M , fa¸camos corresponder o n´ umero ϕ(ω) = S 1 ω. A correspondˆencia ϕ : Z 1 (M ) → R assim definida ´e uma transforma¸ca˜o linear n˜ao-nula, portanto sobrejetiva. Seu n´ ucleo cont´em B 1 (M ) pois a integral de uma forma exata ao longo do caminho fechado S 1 ´e zero. Logo duas formas cohom´ologas ω e ω ¯ tˆem a mesma imagem ϕ(ω) = ϕ(¯ ω ). Ent˜ao, por passagem ao quociente, podemos definir uma transforma¸ca˜o linear ϕ˜ : H 1 (M ) → R, pondo ϕ([ω]) ˜ = ϕ(ω) 1 para toda ω ∈ Z (M ). Al´em de sobrejetiva, ϕ˜ ´e tamb´em injetiva. R R De fato, se ϕ([ω]) ˜ = S 1 ω = 0, afirmamos que γ ω = 0 para qualquer caminho fechado γ em M = R2 −{0}. Para ver isto lembremos que, como est´a no Cap´ıtulo 1 de [AR3], γ ´e livremente homot´opico em R2 − {0} a um caminho do tipo η : [0, 2π] → S 1 ⊂ R2 − {0}, R η(s) = (cos ks, sen ks), para algum k ∈ Z. Sendo assim, γ ω = R R ω = 0. Portanto ω ´e exata em M = R2 − {0}, ou seja, ω = k· S1 η [ω] = 0. Finalmente, tem-se ainda H 2 (M ) = 0 pois, como veremos logo a seguir, os grupos de cohomologia de deRham s˜ao invariantes homot´opicos e M = R2 − {0} tem o mesmo tipo de homotopia da “superf´ıcie” unidimensional S 1 , para a qual, evidentemente, vale H 2 (S 1 ) = 0. B

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Invariˆ ancia homot´ opica

Como sabemos, uma aplica¸ca˜o diferenci´avel f : M → N entre as superf´ıcies M , N induz, para cada r ≥ 0, uma transforma¸ca˜o linear f ∗ : Λr (N ) → Λr (M ), que associa a cada r-forma ω em N o

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

seu pullback f ∗ ω ∈ Λr (M ), onde (f ∗ ω)(p)·(v1 , . . . , vr ) = ω(f (p))·(f 0 (p)·v1 , . . . , f 0 (p)·vr ), para todo p ∈ M e quaisquer v1 , . . . , vr ∈ Tp M . ´ uma propriedade essencial da diferencia¸ca˜o exterior sua inE variˆancia por mudan¸ca de coordenadas, expressa pela igualdade f ∗ (dω) = d(f ∗ ω), em virtude da qual f ∗ ´e um morfismo do complexo de deRham Λ∗ (N ) em Λ∗ (M ). Como tal, f ∗ induz, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f ∗ : H r (N ) → H r (M ), indicado com a mesma nota¸ca˜o f ∗ . Quando h´a necessidade de ser mais preciso, escreve-se fr∗ em vez de f ∗ . O homomorfismo acima, definido por f ∗ ([ω]) = [f ∗ ω], ´e natural no sentido de que se tem (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ para f : M → N e g : N → P diferenci´aveis. Em particular, se f : M → N ´e um difeomorfismo e g : N → M ´e seu inverso ent˜ao f ∗ : H r (N ) → H r (M ) ´e, para todo r ≥ 0, um isomorfismo cujo inverso ´e g ∗ : H r (M ) → H ∗ (N ) pois g ∗ ◦ f ∗ = (f ◦ g)∗ = (idN )∗ = idH r (N ) e f ∗ ◦ g ∗ = (g ◦ f )∗ = (idM )∗ = idH r (M ) . Esta observa¸ca˜o caracteriza H ∗ (M ) como um invariante diferenci´avel. Mais geralmente (por´em ainda n˜ao definitivamente, conforme o Teorema 1 abaixo), H r (M ) ´e um invariante do tipo de homotopia diferenci´avel de M . Isto significa que se f : M → N e g : N → M s˜ao aplica¸co˜es diferenci´aveis tais que g ◦ f : M → M e f ◦ g : N → N s˜ao ambas diferenciavelmente homot´opicas a`s aplica¸co˜es identidades pertinentes ent˜ao, para todo r ≥ 0, f ∗ : H r (N ) → H r (M ) e g ∗ : H r (M ) → H r (M ) s˜ao isomorfismos, um inverso do outro. Na verdade, bem mais do que isto pode ser dito. Mostraremos agora o seguinte:

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Teorema 1. Uma aplica¸ca˜o cont´ınua f: M → N induz, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f ∗: H r (N ) → H r (M ). Se g : M → N ´e tamb´em cont´ınua e homot´opica a f (em classe C 0 ) ent˜ao g ∗ = f ∗ : H r (N ) → H r (M ). Conseq¨ uentemente, se M e N tˆem o mesmo tipo de homotopia (em particular, se s˜ao homeomorfas) ent˜ao H r(M) e H r (N ) s˜ao isomorfos para todo r ≥ 0. Demonstra¸c˜ ao: Isto resulta das seguintes observa¸co˜es: A) Pelo Teorema 8, Cap´ıtulo 4 em [AR3], se as aplica¸co˜es diferenci´aveis f, g : M → N s˜ao homot´opicas (homotopia C 0 ) ent˜ao elas s˜ao diferenciavelmente homot´opicas. Logo, pelo Teorema 3 loc. cit., para toda forma fechada ω ∈ Z r (N ), existe α ∈ Λr−1 (M ) tal que g ∗ ω − f ∗ ω = dα, portanto g ∗ [ω] = f ∗ [ω]. Assim, aplica¸co˜es diferenci´aveis que s˜ao C 0 -homot´opicas induzem o mesmo homomorfismo em cohomologia. B) Toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : M → N ´e homot´opica a uma aplica¸ca˜o diferenci´avel. Com efeito, seja Vε (N ) uma vizinhan¸ca tubular de N ⊂ Rs . Definamos a fun¸ca˜o cont´ınua α : M → R+ pondo, para cada x ∈ M , α(x) = d(f (x), Rs − Vε (N )). Pelo Teorema de Aproxima¸ca˜o ([AR3], Cap. 4, Teor. 6), existe g : M → N diferenci´avel tal que |g(x) − f (x)| < α(x) para todo x ∈ M . Ent˜ao, para todo x ∈ M , o segmento de reta [f (x), g(x)] est´a contido em Vε (N ). Seja π : Vε (N ) → N a proje¸ca˜o natural. A aplica¸ca˜o H : M ×[0, 1] → N , dada por H(x, t) = π((1 − t)f (x) + tg(x)), ´e uma homotopia entre f e a aplica¸ca˜o diferenci´avel g. Uma vez estabelecidas A) e B), o homomorfismo f ∗ : H r (N ) → H (M ), induzido pela aplica¸ca˜o cont´ınua f : M → N , ´e definido assim: toma-se uma aplica¸ca˜o diferenci´avel g : M → N que seja homot´opica a f e p˜oe-se, por defini¸ca˜o, f ∗ = g ∗ : H r (N ) → H r (M ). Deve-se observar que o homomorfismo f ∗ independe da escolha de g, em virtude da transitividade da rela¸ca˜o de homotopia: se r

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

g, h : M → N s˜ao diferenci´aveis e homot´opicas a f ent˜ao g ' h, logo g ∗ = h∗ . Do mesmo modo se mostra que se f : M → N e g : N → P s˜ao aplica¸co˜es cont´ınuas ent˜ao (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ e que se f, g : M → N s˜ao homot´opicas ent˜ao f ∗ = g ∗ . Em particular, se f : M → N ´e uma equivalˆencia homot´opica ent˜ao f ∗ : H r (N ) → H r (M ) ´e um isomorfismo para todo r ≥ 0. Um caso especial merece destaque: se f : M → N ´e um homeomorfismo ent˜ao f ∗ ´e um isomorfismo de H r (N ) sobre H r (M ) para todo r ≥ 0. Assim, embora a estrutura diferencial tenha sido fortemente utilizada na defini¸ca˜o de cohomologia de deRham, os grupos H r (M ) s˜ao invariantes topol´ogicos. Exemplo 3. Podemos agora completar o Exemplo 2. Como S 1 e R2 − {0} tˆem o mesmo tipo de homotopia, vale H r (R2 − {0}) ≈ H r (S 1 ) para todo r ≥ 0. Ora, H 2 (S 1 ) = 0 pois dim S 1 = 1. Por outro lado, da´ı resulta tamb´em que H 1 (S 1 ) ≈ R pois j´a vimos que H 1 (R2 − {0}) ≈ R. Mais geralmente, Rn+1 − {0} e S n tˆem o mesmo tipo de homotopia, seja qual for n > 0. Logo H n+1 (Rn+1 −{0}) = 0. Al´em disso, ´e claro que, para todo r > 0, vale H r (Rn ) = 0 pois Rn ´e contr´atil, ou seja, tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto. B A cohomologia de deRham possui ainda uma estrutura multiplicativa, induzida pelo produto exterior de formas diferenciais. Se ω ∈ Z r (M ) e ω ¯ ∈ Z s (M ) s˜ao formas fechadas em M ent˜ao o produto exterior ω ∧ ω ¯ ´e tamb´em uma forma fechada, pois d(ω ∧ ω ¯) = r r−1 dω ∧ ω ¯ + (−1) ω ∧ d¯ ω = 0. Al´em disso, se α ∈ Λ (M ) e s−1 α ¯ ∈ Λ (M ), (ω + dα) ∧ (¯ ω + d¯ α) = ω ∧ ω ¯ + ω ∧ d¯ α + dα ∧ ω ¯ + dα ∧ d¯ α =ω∧ω ¯ + d[(−1)r ω ∧ α ¯+α∧ω ¯ + α ∧ d¯ α] =ω∧ω ¯ + dβ, logo o produto exterior de formas fechadas conserva a rela¸ca˜o de

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¨ ENCIA ˆ [SEC. 3: A SEQU DE MAYER-VIETORIS

formas cohom´ologas, ou seja, a aplica¸ca˜o bilinear Λ : H r (M ) × H s (M ) → H r+s (M ), dada por [ω] ∧ [¯ ω ] = [ω ∧ ω ¯ ], est´a bem definida. Este produto exterior de classes de cohomologia dota a soma direta H ∗ (M ) = H 0 (M ) ⊕ H 1 (M ) ⊕ · · · ⊕ H m (M ), m = dim M, de uma estrutura de a´lgebra sobre os reais, usualmente conhecida como o anel de cohomologia de deRham da superf´ıcie M . O homomorfismo f ∗ : H ∗ (N ) → H ∗ (M ), induzido por uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : M → N , respeita essa multiplica¸ca˜o, ou seja, tem-se f ∗ ([ω] ∧ [¯ ω ]) = f ∗ [ω] ∧ f ∗ [¯ ω ]. Quando o espa¸co vetorial H r (M ) tem dimens˜ao finita, o n´ umero r βr = dim H (M ) chama-se o r-´esimo n´ umero de Betti da superf´ıcie M e a soma alternada χ(M ) = β0 − β1 + · · · + (−1)m βm chama-se a caracter´ıstica de Euler da superf´ıcie M .

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A seq¨ uˆ encia de Mayer-Vietoris

Sejam U, V ⊂ M abertos na superf´ıcie M , tais que M = U ∪ V . Para cada r ≥ 0, consideremos os morfismos α : Λr (M ) → Λr (U ) ⊕ Λr (V ) e β : Λr (U ) ⊕ Λr (V ) → Λr (U ∩ V ), definidos por α(ω) = (ω|U, ω|V ) e β(ω, ω ¯ ) = ω|(U ∩ V ) − ω ¯ |(U ∩ V ), lembrando que ω|W significa a restri¸ca˜o da forma ω ao conjunto aberto W ⊂ M . Os morfismos α e β d˜ao origem a` seq¨ uˆencia curta α

β

0 → Λr (M ) − → Λr (U ) ⊕ Λr (V ) → − Λr (U ∩ V ) → 0, ´ o´bvio que α ´e injetivo e que sua a qual afirmamos ser exata. E imagem ´e igual ao n´ ucleo de β. Resta apenas provar que β ´e sobrejetivo.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Para isto, tomamos uma parti¸ca˜o diferenci´avel da unidade ϕU + ϕV = 1 estritamente subordinada a` cobertura M = U ∪V , portanto supp. ϕU ⊂ U e supp. ϕV ⊂ V . Dada qualquer ω ∈ Λr (U ∩ V ), definimos as formas ω1 ∈ Λr (U ) e ω2 ∈ Λr (V ) pondo: ω1 = ϕV ·ω

em U ∩ V

e ω1 = 0 em U − (U ∩ V ),

ω2 = −ϕU ·ω

em U ∩ V

e ω2 = 0 em V − (U ∩ V ).

Tem-se ω1 |(U ∩V )−ω2 |(U ∩V )=ϕV ·ω +ϕU ·ω=ω, logo β(ω1 , ω2 )=ω. Como vimos no Cap´ıtulo I, esta seq¨ uˆencia exata curta d´a origem a uma seq¨ uˆencia exata de cohomologia α

β∗

∆

∗ · · · → H r (M ) −→ H r (U )⊕H r (V ) −→ H r (U ∩V ) − → H r+1 (M ) → . . .

que chamaremos a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris associada a` decomposi¸ca˜o M = U ∪ V . Os homomorfismos α∗ e β∗ s˜ao definidos por α∗ ([ω]) = ([ω|U ], [ω|V ]) e β∗ ([ω1 ], [ω2 ]) = [ω1 |(U ∩ V ) − ω2 |(U ∩ V )]. Por sua vez, ∆ : H r (U ∩ V ) → H r+1 (M ) ´e definido assim: dada ω ∈ Λr (U ∩ V ) fechada, como β ´e sobrejetivo, existem formas ω1 ∈ Λr (U ) e ω2 ∈ Λr (V ), n˜ao necessariamente fechadas, tais que ω = ω1 |(U ∩V )−ω2 |(U ∩V ). Ent˜ao 0 = dω = dω1 |(U ∩V )−dω2 |(U ∩V ) portanto dω1 e dω2 s˜ao (r+1)-formas em U e em V respectivamente, as quais s˜ao obviamente fechadas e coincidem em U ∩V logo definem conjuntamente uma forma fechada em M = U ∪ V , cuja classe de cohomologia ´e ∆[ω]. Exemplo 4. Vamos usar a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris a fim de r calcular os grupos H (M ) quando M = R2 −{p, q}, onde p = (−1, 0) e q = (1, 0). Para isso, tomaremos M = U ∪ V com U = {(x, y) ∈ M ; x < 1/2} e V = {(x, y) ∈ M ; s > −1/2}. Evidentemente, U e V s˜ao homeomorfos a R2 − {0}, logo seus grupos H r (U ) e H r (V ) j´a foram calculados no Exemplo 2. Al´em disso, U ∩ V = {(x, y) ∈ R2 ; −1/2 < x < 1/2} tem o mesmo tipo de homotopia

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de um ponto, portanto H r (U ∩ V ) = 0 se r > 0 e H 0 (U ∩ V ) = R. Como M ´e conexa, temos H 0 (M ) = R. O c´alculo de H 2 (M ) se faz olhando para o trecho H 1 (U ∩ V ) → H 2 (M ) → H 2 (U ) ⊕ H 2 (V ), ou seja, 0 → H 2 (M ) → 0, da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris. Da exatid˜ao resulta que H 2 (M ) = 0. Para calcular H 1 (M ), usamos o trecho β∗

∆

α

∗ → H 1 (M ) −→ H 0 (U ) ⊕ H 0 (V ) −→ H 0 (U ∩ V ) − H 1 (U )

β∗

⊕ H 1 (V ) −→ 0, (lembrando que H 1 (U ∩ V ) = 0), que equivale a` seq¨ uˆencia exata β∗

∆

α

∗ → H 1 (M ) −→ R ⊕ R → 0, R ⊕ R −→ R −

na qual β∗ (x, y) = x−y, logo β∗ n˜ao ´e identicamente nulo, portanto ´e sobrejetivo. Por exatid˜ao, o n´ ucleo de ∆ ´e todo o R, logo ∆ ´e identicamente nulo e ent˜ao α∗ ´e injetivo. Mas α∗ ´e tamb´em sobrejetivo pois a u ´ltima flexa ´e igual a zero. Assim, α∗ : H 1 (M ) → R ⊕ R ´e um isomorfismo. B Resumindo: se M ´e o plano menos dois pontos ent˜ao H 0 (M ) = R, H 1 (M ) = R2 e H r (M ) = 0 se r ≥ 2. A partir da´ı, por invariˆancia topol´ogica ou por tipo de homotopia, se pode calcular a cohomologia de outras superf´ıcies, como por exemplo aquela obtida do cilindro R × S 1 retirando-se dele um disco fechado. Exemplo 5. Se M ´e uma superf´ıcie simplesmente conexa ent˜ao H 1 (M ) = 0. Quando M ´e um aberto do espa¸co euclidiano, este ´e o Corol´ario 4, Cap´ıtulo 1 em [AR3]. No caso geral, tomamos uma vizinhan¸ca tubular V ⊃ M no espa¸co euclidiano em que M est´a contida. Ent˜ao V ´e tamb´em simplesmente conexa pois a proje¸ca˜o π : V → M ´e uma equivalˆencia homot´opica. Dada ω ∈ Λ1 (M ) fechada, sua extens˜ao π ∗ ω ´e uma forma fechada em V , portanto,

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em virtude do corol´ario acima mencionado, existe f : V → R tal que df = π ∗ ω. Ent˜ao, g = f |M ´e tal que ω = dg. Assim, toda 1-forma fechada em M ´e exata, ou seja, H 1 (M ) = 0. B Exemplo 6. Grupos de cohomologia da esfera S m . J´a os conhecemos quando m = 1: H 0 (S 1 ) = R, H 1 (S 1 ) = R e H r (S 1 ) = 0 se r > 1. Portanto suporemos m ≥ 2, o que nos d´a logo H 1 (S m ) = 0. Usaremos uma decomposi¸ca˜o S m = U ∪ V , onde U e V s˜ao abertos contr´ateis e U ∩ V tem o mesmo tipo de homotopia de S m−1 . Por exemplo, podemos tomar U = S m − {a} e V = S m − {b}, com a = (0, . . . , 0, 1) e b = (0, . . . , 0, −1), ou ent˜ao fixar um n´ umero m δ ∈ (0, 1) e pˆor U = {x = (x1 , . . . , xm+1 ) ∈ S ; xm+1 < δ}, V = {x = (x1 , . . . , xm+1 ∈ S m ; xm+1 > −δ}. Assim, teremos H r (U ) = H r (V ) = 0 se r > 0, H 0 (U ) = H 0 (V ) = R e, como m ≥ 2, H 0 (U ∩ V ) = R. Logo, o trecho abaixo da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, com r ≥ 2, H r−1 (U ) ⊕ H r−1 (V ) → H r−1 (U ∩ V ) → H r (S m ) → H r (U ) ⊕ H r (V ) pode ser escrito como 0 → H r−1 (S m−1 ) → H r (S m ) → 0 e da´ı resulta que H r (S m ) ´e isomorfo a H r−1 (S m−1 ). Portanto, H m (S m ) ≈ H m−1 (S m−1 ) ≈ · · · ≈ H 1 (S 1 ) = R (onde o s´ımbolo ≈ significa “´e isomorfo a”). Se, por´em, tivermos r < m, da´ı resultar´a m − r + 1 ≥ 2, logo H r (S m ) ≈ H r−1 (S m−1 ) ≈ · · · ≈ H 1 (S m−r+1 ) = 0. Resumindo: H m (S m ) = R para todo m > 0 e H r (S m ) = 0 se 0 < r < m. B Como observamos na Se¸ca˜o 2, os grupos de cohomologia de deRham de uma superf´ıcie, embora tenham sido definidos por meio de instrumentos do C´alculo Diferencial, s˜ao invariantes topol´ogicos:

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todo homeomorfismo h : M → N entre duas superf´ıcies induz um isomorfismo h∗ : H r (N ) → H r (M ). Ou seja: superf´ıcies homeomorfas tˆem a mesma cohomologia. Segue-se da´ı que se m 6= n ent˜ao as esferas S m e S n n˜ao s˜ao homeomorfas. Conseq¨ uentemente, n˜ao pode haver um homeomorfismo entre espa¸cos euclidianos Rm e Rn de dimens˜oes diferentes m e n. De fato, se considerarmos, mediante a proje¸ca˜o estereogr´afica os espa¸cos Rm = S m − {p} e Rn = S n − {q} como esferas com um ponto omitido, todo homeomor¯ : Sm → Sn fismo h : Rm → Rn se estenderia a um homeomorfismo h ¯ ¯ pondo-se h(p) = q e h(x) = h(x) se x 6= p. Exemplo 7. Seja T = S 1 × S 1 o toro bidimensional. Por meio da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, vamos determinar as dimens˜oes dos espa¸cos vetoriais H 1 (T ) e H 2 (T ). Para isto, tomemos T = U ∪ V , onde U e V s˜ao abertos difeomorfos a cilindros, tais que U ∩ V ´e a reuni˜ao de dois cilindros disjuntos. Lembrando que cada cilindro tem o mesmo tipo de homotopia de S 1 , vemos que a seq¨ uˆencia exata A

B

C

H 0 (U ) ⊕ H 0 (V ) − → H 0 (U ∩ V ) − → H 1 (T ) − → H 1 (U ) ⊕ D

⊕ H 1 (V ) − → H 1 (U ∩ V ) ´e equivalente a A

B

C

D

→ R2 . → H 1 (T ) − → R2 − → R2 − R2 − Acima temos A(x, y) = (x − y, x − y) e D(u, v) = (u − v, u − v). Pela exatid˜ao, dim Im(C) = dim N (D) = 1. Usando o Teorema do N´ ucleo e da Imagem, vemos que dim N (C) = dim Im(B) = 2 − dim N (B) = 2 − dim Im(A) = 2 − 1 = 1. Da´ı resulta que dim H 1 (T ) = dim N (C) + dim Im(C) = 1 + 1 = 2. Para obter a dimens˜ao de H 2 (T ), usamos a seq¨ uˆencia exata E

∆

H 1 (U ) ⊕ H 1 (V ) − → H 1 (U ∩ V ) − → H 2 (T ) → H 2 (U ) ⊕ H 2 (V ) E

∆

ou seja, R2 − → R2 − → H 2 (T ) → 0. Temos E(x, y) = (x − y, x − y), logo dim Im(E) = 1 = dim N (∆) e da´ı dim Im(∆) = 1.

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U ∩V U

V

T =U ∪V U ∩V

Figura 1.

Mas, pela exatid˜ao da seq¨ uˆencia, ∆ ´e sobrejetivo, portanto Im(∆) = 2 2 H (T ) e da´ı dim H (T ) = 1. B Uma transforma¸ca˜o linear entre dois espa¸cos vetoriais de dimens˜ao 1, ou ´e um isomorfismo ou ´e identicamente nula. Resulta desta observa¸ca˜o que a integra¸ca˜o define um isomorfismo R ϕ : H 2 (T ) → R, dado por ϕ([ω]) = T ω. De fato, a transforma¸ca˜o linear ϕ est´a bem definida, pois se [ω] = [¯ ω ] ent˜ao ω ¯ = ω + dα e, R R R como T dα = 0, temos T ω = T ω ¯ . Al´em disso, ϕ n˜ao ´e identicamente nula pois a forma elemento de a´rea de T tem integral diferente de zero. Pelo Exemplo 7, temos dim H 2 (T ) = dim R = 1, logo ϕ ´e um isomorfismo. Um caso an´alogo ´e o da esfera S m . Novamente a integra¸ca˜o R define um isomorfismo ϕ : H m (S m ) → R, onde ϕ([ω]) = S m ω. Podemos mesmo ir um pouco adiante e notar que a proje¸ca˜o radial ± f : Rm+1 −{0} → S m , f (x) = x |x| ´e uma equivalˆencia homot´opica, i

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logo H m (Rm+1 − {0}) tem a mesma dimens˜ao de H m (S m ), ou seja, R 1. Ent˜ao ϕ : H m (Rm+1 − {0}) → R, ϕ([ω]) = S m ω, ´e um isomorfismo. Mais geralmente, se B ⊂ Rm+1 ´e uma bola fechada de centro 0 ent˜ao claramente Rm+1 − B tem o mesmo tipo de homotopia de R Rm+1 − {0} e a aplica¸ca˜o ξ : H m (Rm+1 − B) → R, ξ([ω]) = S ω, ´e um isomorfismo, se S ´e qualquer esfera de centro 0 contida em Rm+1 − B (ou seja, de raio maior do que o de B). N˜ao importa qual a esfera S 0 que se tome nessas condi¸co˜es: em virtude do Teorema R R de Stokes tem-se S ω = S 0 ω pois S e S 0 formam o bordo de uma c´apsula esf´erica do tipo S × [0, 1]. R Em particular, se ω ∈ Λm (Rm+1 − B) ´e tal que S ω = 0 para alguma (e portanto qualquer) esfera de centro 0 e raio maior que o de B ent˜ao existe β ∈ Λm−1 (Rm+1 − B) tal que ω = dβ. Ainda com aux´ılio da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, mostraremos a seguir que se a superf´ıcie M ´e compacta ent˜ao, para todo r ≥ 0, o espa¸co vetorial H r (M ) tem dimens˜ao finita. Nossa argumenta¸ca˜o se basear´a na existˆencia de coberturas abertas simples em toda superf´ıcie. S Uma cobertura aberta M = Aλ da superf´ıcie M chamaλ∈L

se simples quando toda interse¸ca˜o finita Aλ1 ∩ · · · ∩ Aλk , com λ1 , . . . , λk ∈ L, ´e contr´atil. Come¸camos estabelecendo o Lema 1. Seja f : U → V um difeomorfismo entre os abertos U, V ⊂ Rn . Para todo a ∈ U , existe r > 0 tal que a imagem f (B) de qualquer bola B = B(a; s) com 0 < s ≤ r, ´e um aberto convexo.

Demonstra¸c˜ ao: Ponhamos g = f −1 : V → U , b = f (a) e consideremos a fun¸ca˜o ϕ : V → R definida por ϕ(y) = |g(y) − a|2 = ∂ϕ ∂g hg(y) − a, g(y) − ai. Temos ∂y (y) = 2h ∂y (y), g(y) − ai e j j ¿ 2 À ¿ À ∂2ϕ ∂g ∂ g ∂g (y) = 2 (y), g(y) − a + 2 (y), (y) . ∂yi ∂yj ∂yi ∂yj ∂yi ∂yj

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Como g(b) = a, vemos que ¿ À ∂2ϕ ∂g ∂g (b) = 2 (b), (b) . ∂yi ∂yj ∂yi ∂yj Assim, a matriz hessiana de ϕ no ponto b ´e igual a` matriz de Gram ∂g ∂g dos vetores linearmente independentes ∂y (b), logo ´e po(b), . . . , ∂y n 1 sitiva (cfr. [AL], pag. 213). Existe, portanto, uma bola B 0 de centro b contida em V , tal que a matriz hessiana de ϕ ´e positiva em todos os pontos de B 0 . Ent˜ao a fun¸ca˜o ϕ : B 0 → R ´e convexa (cfr. [AR2], pag. 77). Seja B = B(a; r) ⊂ U tal que f (B) ⊂ B 0 . Afirmamos que f (B) ´e um conjunto convexo. Com efeito, se y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ), com x1 , x2 ∈ B, e 0 ≤ t ≤ 1 ent˜ao, pela convexidade de ϕ em B 0 , temos |g((1− t)y1 +ty2 )− a|2 = ϕ((1− t)y1 + ty2 ) ≤ (1 − t)ϕ(y1 ) + tϕ(y2 ) = (1 − t)|g(y1 ) − a|2 + t|g(y2 ) − a|2 = (1−t)|x1 −a|2 +t|x2 −a|2 < (1−t)r 2 +tr2 = r2 . Portanto g((1 − t)y1 + ty2 ) ∈ B, logo (1 − t)y1 + ty2 ∈ f (B) e f (B) ´e convexo. Evidentemente, se 0 < s ≤ r ent˜ao f (B(a; s)) tamb´em ´e convexo. No teorema abaixo, em que M ⊂ Rn ´e uma superf´ıcie mdimensional, usamos a vizinhan¸ca tubular local Vε (U ). Nela, U = ϕ(U0 ) ´e um aberto em M , imagem de uma parametriza¸ca˜o ϕ : U0 → M , com U0 ⊂ Rm aberto. Tem-se n − m campos de vetores v1 , . . . , vn−m : U → Rn , diferenci´aveis, tais que, para cada y ∈ U , {v1 (y), . . . , vn−m (y)} ⊂ Ty M ⊥ ´e uma base ortonormal. A partir da´ı, define-se uma aplica¸ca˜o Φ : U0 × Rn−m → Rn , pondo Φ(x, α1 , . . . , n−m P αi vi (ϕ(x)). Fixado a = ϕ(x0 ) ∈ U , podemos αn−m ) = ϕ(x) + i=1

restringir suficientemente o aberto U0 3 x0 em Rm e o n´ umero ε > 0

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de modo que Φ : U0 ×B(0; ε) → Vε (U ) ⊂ Rn seja um difeomorfismo, com Φ(x, 0) = ϕ(x) para todo x ∈ U0 . Φ transforma isometricamente cada bola (n − m)-dimensional x × B(0; ε), x ∈ U0 , na bola normal B ⊥ (ϕ(x); ε) ⊂ Tϕ(x) M ⊥ . A proje¸ca˜o natural π : Vε (U ) → U ´e definida por π = π1 ◦ Φ−1 , onde π1 : U0 × B(0; ε) → U0 ´e a S ⊥ proje¸ca˜o sobre o primeiro fator. Temos Vε (U ) = B (y; ε) e y∈U

π(B ⊥ (y; ε)) = y. (Veja mais detalhes no Cap´ıtulo 4 de [AR3].)

Teorema 2. Toda cobertura aberta de uma superf´ıcie m-dimensional M ⊂ Rn pode ser refinada por uma cobertura simples. Demonstra¸c˜ ao: Para cada ponto a = ϕ(x0 ) ∈ M . tomemos uma vizinhan¸ca tubular local Vε (U ), com a ∈ U e U = ϕ(U0 ) contido em algum aberto da cobertura dada. Pelo Lema 1, existe uma bola n-dimensional B ⊂ U0 × B(0; ε), com centro (x0 , 0), tal que Φ(B) ´e convexo. Ent˜ao W0 = B ∩ (U0 × 0) ´e uma bola m-dimensional aberta, logo ´e difeomorfa a Rm . Seja W = Φ(W0 ). Como π1 (B) = W0 , tem-se π(Φ(B)) = W . O aberto W ⊂ M cont´em a e ´e πconvexo, no seguinte sentido: para quaisquer y1 , y2 ∈ W e t ∈ [0, 1], tem-se π((1−t)y1 +ty2 ) ∈ W . (Note que (1−t)y1 +ty2 ∈ Φ(B) pois Φ(B) ´e convexo e y1 , y2 ∈ Φ(B)). Sabemos que W ´e contr´atil por ser difeomorfo a Rm por´em, mais geralmente, ´e f´acil ver que todo conjunto π-convexo ´e contr´atil. Al´em disso, toda interse¸ca˜o finita de conjuntos π-convexos ´e ainda um conjunto π-convexo. (Observe que se U ∩ U 0 6= ∅ ent˜ao Vε (U ) ∩ Vδ (U 0 ) = Vη (U ∩ U 0 ), onde η = min{ε, δ}.) Portanto, os conjuntos W assim obtidos formam uma cobertura simples de M que refina a cobertura inicialmente dada. Teorema 3. Se a superf´ıcie M ´e compacta ent˜ao, para todo r ≥ 0, H r (M ) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Demonstra¸c˜ ao: Por compacidade, M admite uma cobertura aberta simples finita M = U1 ∪ · · · ∪ Uk . O teorema ser´a demonstrado por indu¸ca˜o. Supondo-o v´alido para um certo valor de k, seja M = U1 ∪ · · · ∪ Uk+1 . Escrevamos V = U1 ∪ · · · ∪ Uk , de modo que M =

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V ∪ Uk+1 . Pela hip´otese de indu¸ca˜o, H r (V ∩ Uk+1 ) tem dimens˜ao finita, para todo r ≥ 0, pois V ∩Uk+1 = (U1 ∩Uk+1 )∪· · ·∪(Uk ∩Uk+1 ) ´e uma cobertura simples. A seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris associada a` decomposi¸ca˜o M = V ∪ Uk+1 cont´em o trecho exato H r−1 (V ∩ Uk+1 ) → H r (M ) → H r (V ) ⊕ H r (Uk+1 ), logo H r (M ) tem dimens˜ao finita, em virtude do Teorema do N´ ucleo da Imagem.

4 Cohomologia com suportes compactos Dada a superf´ıcie M , para cada r ≥ 0, indicaremos com Λrc (M ) o subespa¸co vetorial de Λr (M ) cujos elementos s˜ao as r-formas ´ claro que ω ∈ Λrc (M ) ⇒ dω ∈ ω com suporte compacto. E Λrc (M ), de modo que os espa¸cos vetoriais Λrc (M ), r ≥ 0, constituem um subcomplexo Λ∗c (M ) de Λ∗ (M ), cujos grupos de cohomologia re-presentaremos por Hcr (M ). Quando M ´e compacta, tem-se Hcr (M ) = H r (M ). A fim de dar uma primeira indica¸ca˜o da diferen¸ca entre Hcr (M ) e H r (M ), consideraremos o caso em que M ´e a reta real R. Exemplo 8. As formas de grau zero em R s˜ao as fun¸co˜es diferenci´aveis f : R → R. Pertencem a Λ0c (R) aquelas fun¸co˜es f : R → R, de classe C ∞ , que se anulam fora de um intervalo [a, b]. Um exemplo t´ıpico disso ´e a fun¸ca˜o de Cauchy f : R → R, definida por f (x) = e−1/x(x−1) se 0 < x < 1 e f (x) = 0 se x ≤ 0 ou x ≥ 1. As formas fechadas de grau zero em R s˜ao as constantes, logo a constante 0 ´e a u ´nica forma fechada de grau zero com suporte compacto. Assim, Hc0 (R) = 0. Na verdade, este argumento mostra que Hc0 (M ) = 0 para toda superf´ıcie conexa n˜ao-compacta M ou, mais geralmente, para toda superf´ıcie cujas componentes conexas s˜ao todas n˜ao-compactas. Vejamos Hc1 (R). Toda ω ∈ Λ1c (R) ´e

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fechada. Temos ω(x) = f (x)dx, onde f : R → R tem suporte comR pacto. Afirmamos que ω ´e exata se, e somente se, R f (x)dx = 0. De fato, em primeiro lugar, se ω = dg, onde g : R → R tem suporte R compacto, ent˜ao, tomando [a, b] ⊃ supp. g, teremos R f (x)dx = R Rb 0 dg = g (x)x = g(b) − g(a) = 0. Reciprocamente, se tiverR a R R b mos R ω = a f (x)dx = 0 (onde supp. f ⊂ [a, b]) ent˜ao, definindo Rx g : R → R por g(x) = a f (t)dt, teremos obviamente g(x) = 0 se R Rb x ≤ a e, se for x > b, ser´a g(x) = a f (t)dt = R f (t)dt = 0, logo g tem suporte compacto. Al´em disso, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, vale g 0 (x) = f (x) portanto dg = ω e ω ´e exata. Isto mostra que a transforma¸ca˜o linear A0 : Λ1c (R) → R, definida R por A0 ·ω = R ω, tem como n´ ucleo o subespa¸co Bc1 (R) das formas exatas com suporte compacto. Como obviamente A0 n˜ao ´e identicamente nula (e portanto ´e sobrejetiva), segue-se que A0 induz um R isomorfismo A : Hc1 (R) → R, onde A·[ω] = R ω. B

O exemplo acima j´a mostra que a cohomologia com suportes compactos n˜ao ´e um invariante do tipo de homotopia, pois um espa¸co contr´atil como R tem cohomologia Hc1 (R) 6= 0. Na verdade, uma aplica¸ca˜o diferenci´avel f : M → N n˜ao induz, em geral, um homomorfismo f ∗ : Hcr (N ) → Hcr (M ) como no caso da cohomologia usual pois se ω ´e uma forma com suporte compacto em N n˜ao ´e sempre verdade que seu pullback f ∗ ω tamb´em tenha suporte compacto. Um exemplo disso ocorre com a aplica¸ca˜o de Euler E : R → S 1 , definida por E(t) = (cost, sent). Se Ω = −ydx + xdy ∈ Λ1 (S 1 ) ´e a forma elemento de aˆngulo em S 1 ent˜ao Ω tem obviamente suporte compacto mas o mesmo n˜ao se d´a com E ∗ Ω = dt em R. Para tratar da cohomologia com suportes compactos, as aplicac¸o˜es adequadas s˜ao as chamadas pr´oprias. Uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : X → Y , entre subconjuntos X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn , chama-se pr´opria quando a imagem inversa f −1 (K) de cada subconjunto compacto K ⊂ Y ´e um subconjunto compacto

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

de X. Equivalentemente, f diz-se pr´opria quando toda seq¨ uˆencia de pontos xk ∈ X sem subseq¨ uˆencia convergente ´e transformada por f numa seq¨ uˆencia (f (xk )) que tamb´em n˜ao possui subseq¨ uˆencia convergente em Y . Se X ´e compacto, n˜ao h´a seq¨ uˆencia sem subseq¨ uˆencia convergente em X, logo toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : X → Y ´e pr´opria. Se a aplica¸ca˜o diferenci´avel f : M → N ´e pr´opria e ω ∈ Λrc (N ) ent˜ao f ∗ ω ∈ Λrc (M ) pois supp. f ∗ ω ´e um subconjunto fechado do compacto f −1 (supp. ω). Portanto f induz um morfismo f ∗ : Λ∗c (N ) → Λ∗c (M ), logo um homomorfismo f ∗ : Hcr (N ) → Hcr (M ) em cada dimens˜ao r ≥ 0. Se g : N → P ´e outra aplica¸ca˜o diferenci´avel pr´opria, vale (g◦f )∗ = f ∗ ◦g ∗ : Hcr (P ) → Hcr (M ). No que diz respeito a homotopias, n˜ao ´e verdade em geral que duas aplica¸co˜es diferenci´aveis pr´oprias e homot´opicas induzam o mesmo homomorfismo na cohomologia com suportes compactos. Por exemplo, f, g : R → R, definidas por f (x) = x e g(x) = −x, s˜ao pr´oprias e homot´opicas (pois R ´e contr´atil) mas f ∗ , g ∗ : Hc1 (R) → Hc1 (R) s˜ao tais que f ∗ [ω] = [ω] e g ∗ [ω] = −[ω], logo f ∗ 6= g ∗ , j´a que Hc1 (R) 6= 0. Para que se tenha f ∗ = g ∗ , deve-se supor que as aplica¸co˜es diferenci´aveis f, g : M → N , al´em de pr´oprias e homot´opicas, sejam propriamente homot´opicas, isto ´e, que a homotopia H : M ×[0, 1] → N entre f e g seja uma aplica¸ca˜o pr´opria. Com efeito, a prova de que aplica¸co˜es diferenci´aveis homot´opicas induzem o mesmo homomorfismo em cohomologia tem por base o Teorema 2 do Cap´ıtulo 3 em [AR3], no qual se estabelece uma homotopia alg´ebrica entre f ∗ e g ∗ . No final daquela demonstra¸ca˜o se faz uso do homomorfismo H ∗ , induzido pela homotopia H : M → N entre f e g. Neste ponto, ´e necess´ario (e suficiente) supor que H ´e uma aplica¸ca˜o pr´opria, ou seja, que f e g s˜ao propriamente homot´opicas.

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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS

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Note-se que se a homotopia H : M × [0, 1] → N ´e pr´opria ent˜ao, para cada t ∈ [0, 1], a aplica¸ca˜o Ht : M → N , onde Ht (x) = H(x, t), ´e pr´opria. Em particular, f = H0 e g = H1 s˜ao pr´oprias. A rec´ıproca ´e falsa: ´e poss´ıvel que, para todo t ∈ [0, 1], Ht seja pr´opria sem que H : M × [0, 1] → N o seja. Exemplo 9. Se 0 ≤ r < m ent˜ao Hcr (Rm ) = 0. Isto ´e claro quando r = 0 pois Rm n˜ao ´e compacto. Seja 0 < r < m. Dada a forma fechada ω ∈ Λrc (Rm ), pelo Lema de Poincar´e existe uma forma α ∈ Λr−1 (Rm ) tal que dα = ω. O suporte de α, entretanto, pode n˜ao ser compacto. Devemos encontrar uma (r − 1)-forma com suporte compacto em Rm cuja diferencial seja igual a ω. Vejamos inicialmente o caso r = 1. Ent˜ao α : Rm → R ´e simplesmente uma fun¸ca˜o C ∞ . Seja B ⊂ Rm uma bola fechada de centro 0 tal que supp. ω ⊂ int. B. Como dα = ω se anula no conjunto conexo Rm − B, a fun¸ca˜o α ´e constante, digamos com α(x) = c, para todo x ∈ Rm − B. Ent˜ao a fun¸ca˜o β : Rm → R, definida por β(x) = α(x) − c, se anula em Rm − B logo tem suporte compacto e, al´em disso, dβ = dα = ω. Consideremos, em seguida, o caso em que 1 < r < m. Ent˜ao tomamos bolas fechadas B = B[0; ε], B 0 = B[0; 2ε] e C = B[0; 3ε] tais que supp.ω ⊂ int. B, e uma fun¸ca˜o f : Rm → [0, 1] de classe C ∞ , tal que f (B 0 ) = 0 e f (Rm −C) = 1. Lembremos que dα = ω se anula fora do suporte de ω, logo a restri¸ca˜o α|(Rm − B) ´e fechada. Como Rm − B tem o mesmo tipo de homotopia de S m−1 e o grau de α ´e r − 1 < m − 1, vemos que α ´e exata em Rm − B, ou seja, existe β ∈ Λr−2 (Rm − B) tal que dβ = α. Ent˜ao a forma γ, de grau r − 1 em Rm , definida por γ = α em B e γ = α − d(f ·β) em Rm − B, tem suporte compacto, contido em C, pois x ∈ Rm −C ⇒ f (x) = 1 ⇒ γ(x) = α(x)−dβ(x) = α(x)−α(x) = 0. Al´em disso, em todos os pontos de Rm , tem-se dγ = dα − dd(f · β) = dα = ω. B

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

A cohomologia m-dimensional de Rm com suportes compactos est´a contida no Teorema 4. Seja M uma superf´ıcie m-dimensional conexa e orientada (compacta ou n˜ao). A transforma¸ca˜o linear A : Hcm (M ) → R, R definida por A·[ω] = M ω, ´e um isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao: Em primeiro lugar, A est´a bem definida pois Z Z Z Z [¯ ω ] = [ω] ⇒ ω ¯ = ω + dα ⇒ ω ¯= ω+ dα = ω. M

M

M

M

Em segundo lugar, A n˜ao ´e identicamente nula. Se M ´e compacta, R basta tomar ω = elemento de volume para se ter M ω 6= 0. Em R geral, um modo f´acil de obter ω ∈ Λm c (M ) com M ω 6= 0 consiste em tomar uma parametriza¸ca˜o ϕ : B(0; 3) → U ⊂ M , uma fun¸ca˜o ξ : M → [0, 1] de classe C ∞ com ξ(ϕ(x)) = 1 se |x| ≤ 1, ξ(ϕ(x)) = 0 se 2 ≤ |x| ≤ 3, ξ(p) = 0 se p ∈ / U e pˆor ω(p) = ξ(p)dx1 ∧ · · · ∧ dxm para p ∈ U , ω(p) = 0 quando p ∈ M − U . Como dim R = 1, A ´e sobrejetiva. Resta mostrar que A ´e injetiva, isto ´e, que se R ω ∈ Λm (M ) ´ e tal que ω = 0 ent˜ao existe α ∈ Λm−1 (M ) com c c M ω = dα. Consideraremos inicialmente o caso em que M = Rm . Pelo Lema de Poincar´e, existe α ∈ Λm−1 (Rm ) tal que dα = ω, mas o suporte de α pode n˜ao ser compacto. Tomamos ent˜ao uma bola fechada B, de centro 0, contendo supp. ω em seu interior. Temos R R ω = ω. Seja S = ∂B. Pelo Teorema de Stokes, vˆe-se m R B R R R R que S α = B dα = B ω = Rm ω = 0. Como foi observado na Se¸ca˜o 3, resulta da´ı que a restri¸ca˜o de α a Rm − B ´e exata: existe β ∈ Λm−2 (Rm − B) tal que dβ = α|(Rm − B). A partir da´ı a demonstra¸ca˜o segue como no Exemplo 9: consideramos bolas fechadas B = B[0; ε], B 0 = B[0; 2ε] e C = B[0; 3ε] tais que supp.α ⊂ int. B e uma fun¸ca˜o f : Rm → [0, 1] de classe C ∞ , tal que f (B 0 ) = 0 e f (Rm − C) = 1. Ent˜ao definimos γ ∈ Λm−1 (Rm ) pondo γ = α − d(f · β) em Rm − B e γ = α em B. Vemos que γ tem suporte compacto, pois se anula fora de C, e dγ = dα = ω.

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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS

Vejamos agora o caso geral, em que M ´e qualquer superf´ıcie m-dimensional orientada e conexa. Tomamos um aberto U0 ⊂ M difeomorfo a Rm e uma forma R ω0 ∈ Λ m ao c (M ) com supp. ω0 ⊂ U0 e M ω0 = 1. Mostraremos ent˜ que toda m-forma com suporte compacto em M ´e cohom´ologa a um m´ ultiplo constante de ω0 . Ou seja, dada arbitrariamente ω ∈ m (M ) tais que ω = k ·ω0 + dα. Λc (M ), existem k ∈ R e α ∈ Λm−1 c Usando parti¸ca˜o da unidade, vemos que basta provar isto quando o suporte de ω est´a contido num aberto U ⊂ M difeomorfo a Rm , pois toda ω ∈ Λm e soma de formas deste tipo. c (M ) ´

U U0 W1

W2

W3

Figura 2.

Como M ´e conexa, existe uma cadeia de abertos W0 = U0 , W1 , . . . , Wr = U em M , todos difeomorfos a Rm , tais que Wi−1 ∩ Wi 6= ∅, i = 1, . . . , r. Para cada um desses valores de i, tomemos uma forma ωi ∈ Λm c (M ), com suporte contido em Wi−1 ∩ Wi , tal R que M ωi 6= 0. Resulta do que vem de ser provado acima que, escrevendo α ∼ β quando α e β s˜ao formas cohom´ologas com suporte compacto, existem constantes k1 , . . . , kr para as quais valem as rela¸co˜es ω1 ∼ k1 ·ω0 , ω2 ∼ k2 ·ω1 , . . . , ω = kr ·ωr , portanto ω ∼ k·ω0 onde k = k1 ·k2 · . . . , ·kr . Fica assim estabelecido que dim Hcm (M ) ≤ 1. Mas j´a vimos que R a transforma¸ca˜o linear A : Hcm (M ) → R, definida por A·[ω] = M ω, ´e sobrejetiva. Logo dim Hcm (M ) = 1 e A ´e um isomorfismo.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Resulta do Teorema 4 que se M ´e m-dimensional, compacta, R orientada e conexa ent˜ao uma forma ω ∈ Λm (M ) tal que M ω = 0 ´e exata. Uma importante conseq¨ uˆencia do Teorema 4 ´e a Invariˆ ancia da dimens˜ ao: Se as superf´ıcies diferenci´aveis M e N s˜ao homeomorfas ent˜ao dim. M = dim. N . Em particular, se U ⊂ Rm e V ⊂ Rn s˜ao abertos homeomorfos ent˜ao m = n.

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Recobrimentos vs cohomologia

f e M superf´ıcies. Uma aplica¸ca˜o π : M f → M chama-se Sejam M um recobrimento quando M ´e conexa e todo ponto y ∈ M possui S uma vizinhan¸ca V cuja imagem inversa π −1 (V ) = Vλ ´e reuni˜ao disjunta de abertos Vλ , cada um dos quais ´e aplicado por π homeomorficamente sobre V . Segue-se imediatamente da defini¸ca˜o que todo recobrimento f π : M → M ´e uma aplica¸ca˜o sobrejetiva. Chamaremos recobrimento diferenci´avel a uma aplica¸ca˜o de ref → M que seja um difeomorfismo local entre as cobrimento π : M f e M . Ele se chamar´a regular quando para quaisquer superf´ıcies M f com π(x1 ) = π(x2 ) existir um difeomorfismo g : M f→ x1 , x 2 ∈ M f (dito um automorfismo de recobrimento) tal que π ◦ g = π e M g(x1 ) = x2 . Diz-se ainda que o recobrimento π ´e finito quando, para todo y ∈ M , a fibra π −1 (y) for um conjunto finito. Neste caso, o conjunto G dos automorfismos de recobrimento ´e um grupo f → M ´e pr´opria, logo induz finito e, al´em disso, a aplica¸ca˜o π : M ∗ r r f f). homomorfismos π : H (M ) → H (M ) e π ∗ : Hcr (M ) → Hcr (M (Nossa referˆencia para estes fatos ´e [GFER].) f → M um recobrimento diferenci´avel, reguTeorema 5. Seja π : M lar e finito. Para todo r ≥ 0, o homomorfismo induzido π ∗ : H r (M ) f) ´e injetivo. → H r (M

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[SEC. 5: RECOBRIMENTOS V S COHOMOLOGIA

Demonstra¸c˜ ao: Indiquemos com |G| o n´ umero de elementos do grupo G de automorfismos do recobrimento π. Tem-se g ∈ G se, e f→M f ´e um homeomorfismo (portanto um difeosomente se, g : M morfismo) tal que π ◦g = π. Se ω ∈ Λr (M ) ´e uma forma fechada P ∗ 1 tal que π ∗ ω = dα ´e exata, introduzamos a forma α ˜ = |G| g α. g∈G

Levando em conta que g ∗ ◦ π ∗ = (π ◦ g)∗ = π ∗ para todo g ∈ G, constatamos que 1 X ∗ 1 X ∗ ∗ 1 X ∗ d˜ α= g (dα) = g π ω= π ω = π ∗ ω = dα. |G| g∈G |G| g∈G |G| g∈G

Al´em disso, ´e claro que h∗ α ˜=α ˜ para todo h ∈ G. Isto se exprime dizendo que a forma α ˜ ´e invariante sob o grupo G. Em conseq¨ uˆencia r−1 ∗ disto, mostraremos que existe β ∈ Λ (M ) tal que π β = α ˜. ∗ f Com efeito, a igualdade g α ˜=α ˜ significa que, para todo x ∈ M 0 0 f, tem-se α e quaisquer v1 , . . . , vr−1 ∈ Tx M ˜ (g(x))·(g (x)·v1 , . . . , g (x)· vr−1 ) = α ˜ (x)·(v1 , . . . , vr−1 ). Ent˜ao definimos β ∈ Λr−1 (M ) pondo, para cada y = π(x) ∈ M e quaisquer w1 = π 0 (x) · v1 , . . . , wr−1 = π 0 (x)·vr−1 , β(y)·(w1 , . . . , wr−1 ) = α ˜ (x)·(v1 , . . . , vr−1 ). Como π 0 (x) : f → Ty M ´e um isomorfismo, as escolhas dos vi tais que π 0 (x)·vi = Tx M wi s˜ao u ´nicas. Assim, a u ´nica arbitrariedade cometida na defini¸ca˜o de β foi a de termos escrito y = π(x) em vez de y = π(g(x)) com algum g ∈ G. (Neste momento estamos usando o fato de que o recobrimento ´e regular.) Se tiv´essemos posto y = π(g(x)), como wi = π 0 (x)·vi = (π ◦g)0 (x)·vi = π 0 (g(x))·g 0 (x)·vi , i = 1, . . . , r − 1, nossa defini¸ca˜o forneceria o mesmo resultado, pois β(y) · (w1 , . . . , wr−1 ) = α ˜ (g(x)) · (g 0 (x) · v1 , . . . , g 0 (x) · vr−1 ) =α ˜ (x) · (v1 , . . . , vr−1 ). Assim, a forma β ∈ Λr−1 (M ) tal que π ∗ β = α ˜ est´a bem definida. Para finalizar, mostraremos que ω = dβ. Como π ´e um difeof → Ty M , y = π(x), ´e um isomorfismo local, logo π 0 (x) : Tx M f, segue-se que π ∗ : Λr (M ) → Λr (M f) ´e morfismo para todo x ∈ M i

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

injetiva (na verdade, um isomorfismo sobre as r-formas invariantes f). Portanto, para concluir que ω = dβ, basta mostrar que em M ∗ π ω = π ∗ (dβ), ou seja, que dα = d(π ∗ β). Mas j´a vimos que π ∗ β = α ˜ e que d˜ α = dα. Logo, temos ω = dβ. f) implica [ω] = 0 em H r (M ) e π ∗ ´e Assim, π ∗ [ω] = 0 em H r (M injetivo. B f → M ´e um recobrimento diferenci´avel, Teorema 5c. Se π : M f e M ent˜ao, para todo r ≥ 0, regular e finito entre as superf´ıcies M ∗ r f) ´e injetivo. o homomorfismo induzido π : Hc (M ) → Hcr (M

Demonstra¸c˜ ao: Embora Λrc (M ) seja um subespa¸co vetorial de f), e at´e a nota¸ca˜o que Λr (M ) e a defini¸ca˜o de π ∗ : Hcr (M ) → Hcr (M f), n˜ao usamos, seja formalmente a mesma de π ∗ : H r (M ) → H r (M ´e verdade que o primeiro desses homomorfismos seja uma restri¸ca˜o do segundo, mesmo porque Hcr (M ) n˜ao ´e um subespa¸co de H r (M ). Entretanto, se revirmos, passo a passo, a demonstra¸ca˜o do Teorema 5, perceberemos que se a r-forma ω em M tiver suporte comf, ent˜ao o pacto e π ∗ ω = dα, onde α tem suporte compacto em M argumento l´a desenvolvido nos fornece uma (r − 1)-forma β em M com suporte compacto, tal que dβ = ω, o que prova o Teorema 5c. Um caso particular interessante ocorre quando o recobrimento f π: M → M tem duas folhas, isto ´e, a imagem inversa π −1 (y) = {x1 , x2 } de cada ponto y ∈ M tem dois elementos. Neste caso, o grupo G dos automorfismos do recobrimento π tem dois elemenf→M f e o difeomorfismo tos, a saber, a aplica¸ca˜o identidade id : M f → M f, que associa a cada ponto x1 ∈ M f o outro ponto g: M f tal que π(x2 ) = π(x1 ). Tem especial relevˆancia a situa¸ca˜o x2 ∈ M f ´e orientada, M ´e conexa e, para todo x1 ∈ M f, o isomorem que M 0 f → T x2 M f inverte orienta¸ca˜o. Diz-se ent˜ao que fismo g (x1 ) : Tx1 M f → M ´e o recobrimento duplo orientado de M . π: M f → M tem duas folhas Observemos que se o recobrimento π : M f tem, no m´aximo, duas componentes conexas. e M ´e conexa ent˜ao M i

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f, todo ponto x ∈ M f pode ser ligado, por um De fato, fixado a ∈ M f, ao ponto a ou a g(a). Para ver isto, tomamos um caminho em M caminho λ : [0, 1] → M tal que λ(0) = π(x) e λ(1) = π(a). Em seguida consideramos o levantamento de λ a partir de x, que ´e um ˜ : [0, 1] → M ˜ ˜ = λ. (A existˆencia de f, com λ(0) caminho λ = x e π◦ λ ˜ ´e f´acil de provar e pode ser vista em [GFER], pag. 129.) Como λ ˜ ˜ ˜ π(λ(1)) = λ(1) = π(a), segue-se que λ(1) = a ou λ(1) = g(a). f → M um recobrimento duplo orientado. Teorema 6. Seja π : M f ´e desconexa. A superf´ıcie M ´e orient´avel se, e somente se, M

f = A∪B ´e uma cis˜ao n˜ao-trivial de M ent˜ao Demonstra¸c˜ ao: Se M ´e claro que π aplica cada uma das componentes conexas A e B difeomorficamente sobre M , logo M ´e orient´avel. Reciprocamente, se M admite uma orienta¸ca˜o, seja A ⊂ M o aberto formado pelos f tais que π 0 (x) : Tx M f → Tπ(x) M preserva orienta¸ca˜o. pontos x ∈ M f tais que Evidentemente, g(A) = B ´e o conjunto dos pontos y ∈ M f = A ∪ B ´e uma π 0 (y) inverte orienta¸ca˜o. A reuni˜ao disjunta M f, logo M f ´e desconexa. cis˜ao n˜ao-trivial de M f ´e orientada e M ´e conexa, um recobrimento Observa¸c˜ ao: Se M f → M n˜ao ´e necesssariamente diferenci´avel de duas folhas π : M

aquilo que chamamos acima de recobrimento duplo orientado. Para ter este nome, ´e necess´ario que o difeomorfismo sem pontos fixos f→M f, tal que π ◦g = π, inverta orienta¸ca˜o. Por exemplo, se g: M T = S 1 × S 1 ´e o toro bidimensional ent˜ao π : T → T , definido por π(z, w) = (z 2 , w), ´e um recobrimento de duas folhas mas n˜ao ´e um recobrimento duplo orientado (nem poderia ser, pois seu dom´ınio ´e conexo e sua imagem ´e orient´avel). Mais geralmente, pode-se afirmar (e ´e f´acil provar) que se N ´e orient´avel e f : M → N ´e um difeomorfismo local ent˜ao M ´e orient´avel.

Exemplo 10. Seja P m o espa¸co projetivo (real) de dimens˜ao m, apresentado aqui como o conjunto das matrizes (m+1)×(m+1) da forma [xi ·xj ] onde x = (x1 , . . . , xm+1 ) ∈ S m . (Veja [AR3], pags. 66 e 134). A aplica¸ca˜o π : S m → P m definida por π(x) = [xi · xj ] se

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

x = (x1 , . . . , xm+1 ) ´e um difeomorfismo local tal que π(x) = π(y) ⇔ y = ±x, logo π ´e um recobrimento de duas folhas e a involu¸ca˜o sem ponto fixo g : S m → S m tal que π ◦ g = π ´e simplesmente a aplica¸ca˜o ant´ıpoda g(x) = −x, a qual, como se sabe, preserva orienta¸ca˜o quando m ´e ´ımpar e inverte se m ´e par. Portanto o espa¸co projetivo P m ´e orient´avel quando m ´e ´ımpar e, quando m ´e par, P m ´e n˜ao-orient´avel e a aplica¸ca˜o natural π : S m → P m ´e um recobrimento duplo orientado. Quer m seja par ou ´ımpar, quando 0 < r < m tem-se H r (S m ) = 0 e, como π ∗ : H r (P m ) → H r (S m ) ´e injetivo, da´ı resulta que H r (P m ) = 0. Resta calcular H m (P m ). Se m ´e ´ımpar, H m (P m ) tem dimens˜ao 1 como ocorre com qualquer superf´ıcie m-dimensional compacta orient´avel. E se m ´e par, temse H m (P m ) = 0 como resulta do teorema seguinte. Nele se usa o fato de que toda superf´ıcie n˜ao-orient´avel possui um recobrimento duplo orientado. (Vide [GFER], Cap´ıtulo 6.) Teorema 7. Se a superf´ıcie m-dimensional conexa M ´e n˜aoorient´avel ent˜ao Hcm (M ) = H m (M ) = 0. f → M o recobrimento duplo orientado Demonstra¸c˜ ao: Seja π : M f) → R, de M . Pelo Teorema 4 a transforma¸ca˜o linear A : Hcm (M R f→M fo definida por A·[ω] = M e um isomorfismo. Seja g : M f ω, ´ f → M . Para difeomorfismo sem pontos fixos tal que π ◦g = π : M toda ω ∈ Λm ca˜o, temos c (M ), como g inverte orienta¸ Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ A·π [ω] = π ω= g (π ω) = − π ∗ ω = −A·π ∗ [ω], f M

f M

f M

logo A·π ∗ [ω] = 0 e, como A ´e injetiva, π ∗ [ω] = 0. Mas, pelo Teorema 5, π ∗ [ω] = 0 ⇒ [ω] = 0. Ent˜ao Hcm (M ) = 0. Isto inclui H m (M ) = 0 se M for compacta. Caso M seja n˜ao-compacta, o mesmo se d´a f. Ent˜ao, pelo Teorema de Dualidade de Poincar´e, que ser´a com M £ ¤ f) = Hc0 (M f) ∗ = 0 e, pelo Teorema provado logo mais, temos H m (M 5, conclu´ımos que H m (M ) = 0. B Exemplo 11. Sejam M ⊂ Rm+1 uma hiperf´ıcie conexa n˜aoorient´avel (necessariamente n˜ao-fechada) e V2ε (M ) uma vizinhan¸ca

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f da vizinhan¸ca tubular fechada Vε [M ] ´e uma tubular. O bordo M hiperf´ıcie orient´avel (como ocorre com o bordo de toda superf´ıcie f → M ´e um reco(m + 1)-dimensional em Rm+1 ). A proje¸ca˜o π : M brimento de duas folhas pois ´e um difeomorfismo local e, para cada y ∈ M , π −1 (y) consiste nos dois extremos do segmento B ⊥ [y; ε(y)] f ´e conexa porque, do (bola normal unidimensional). Al´em disso, M contr´ario, teria duas componentes, cada uma das quais seria aplicada difeomorficamente por π sobre M , e ent˜ao M seria orient´avel. f → M ´e um recobrimento duplo Segue-se do Teorema 6 que π : M orientado.

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O Teorema de Jordan-Brouwer topol´ ogico

Foi provado no Cap´ıtulo 4 de [AR3] que se a hiperf´ıcie diferenci´avel M ´e um subconjunto fechado conexo do espa¸co euclidiano Rm ent˜ao seu complemento Rm −M tem duas componentes conexas, das quais M ´e a fronteira comum. O teorema original de Jordan, de onde prov´em este resultado, diz respeito, entretanto, ao que hoje se chama uma curva de Jordan, que ´e a imagem C da circunferˆencia unit´aria S 1 por um homeomorfismo (de classe C 0 ) h : S 1 → C ⊂ R2 . Vamos agora eliminar a hip´otese de diferenciabilidade, provando que o Teorema de Jordan (generalizado por Brouwer) vale para todo conjunto conexo fechado F ⊂ Rm que seja imagem da esfera S m−1 (ou, mais geralmente, de uma hiperf´ıcie diferenci´avel M ⊂ Rm ) por um homeomorfismo. Come¸camos indagando se os complementos Rm − F1 e Rm − F2 de dois conjuntos fechados homeomorfos F1 , F2 ⊂ Rm s˜ao ainda homeomorfos. Um exemplo simples mostra que n˜ao. Exemplo 12. Sejam F1 e F2 conjuntos fechados do plano, ambos formados pela reuni˜ao de duas circunferˆencias disjuntas. S´o que em

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

F1 essas circunferˆencias s˜ao concˆentricas e em F2 elas s˜ao exteriores uma a` outra. Evidentemente, F1 e F2 s˜ao homeomorfos mas seus complementos R2 − F1 e R2 − F2 nem ao menos tˆem o mesmo tipo

F1

F2 Figura 3.

de homotopia. De fato, R2 − F1 tem o tipo de homotopia de um ponto mais duas circunferˆencias disjuntas, enquanto que R2 − F2 tem o tipo de homotopia de dois pontos mais o algarismo 8. B

G1

G2

Figura 4. G1 e G2 tˆem respectivamente os mesmos tipos de homotopia que R2 − F1 e R2 − F2 .

Neste exemplo, embora os tipos de homotopia sejam diferentes, vemos que R2 −F1 e R2 −F2 tˆem os mesmos grupos de cohomologia, que s˜ao isomorfos a R3 em dimens˜ao 0, a R2 em dimens˜ao 1 e s˜ao nulos em dimens˜ao ≥ 2.

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´ [SEC. 6: O TEOREMA DE JORDAN-BROUWER TOPOLOGICO

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Nosso objetivo ´e provar que isto vale em geral: se os fechados F1 , F2 ⊂ Rm s˜ao homeomorfos ent˜ao H r (Rm − F1 ) ´e isomorfo a H r (Rm − F2 ) para todo r ≥ 0. Este fato resultar´a dos dois lemas seguintes. No Lema 2, consideramos R2m = Rm × Rm . No Lema 3, Rm+1 = Rm × R e F ⊂ Rm ´e identificado com F × 0 ⊂ Rm+1 . Lema 2. Se os conjuntos fechados F1 , F2 ⊂ Rm s˜ao homeomorfos ent˜ao R2m − (F1 × 0) e R2m − (0 × F2 ) s˜ao homeomorfos. Demonstra¸c˜ ao: Sejam ϕ : F1 → F2 e ψ : F2 → F1 homeomorfismos, inversos um do outro. Pelo Teorema de Extens˜ao de Tietze ([ETG], Cap.10), existem aplica¸co˜es cont´ınuas Φ,Ψ: Rm →Rm tais que Φ|F1 = ϕ e Ψ|F2 = ψ. Definamos as aplica¸co˜es h, k : R2m → R2m pondo h(x, y) = (x, y − Φ(x)),

k(x, y) = (x − Ψ(y), y).

Vemos que h e k s˜ao homeomorfismos, cujos inversos h−1 , k −1: R2m→ R2m s˜ao dados por h−1 (x, y) = (x, y + Φ(x)) e k −1 (x, y) = (x + Ψ(y), y). Afirmamos que o homeomorfismo k ◦h−1 : R2m → R2m transforma F1 × 0 em 0 × F2 . De fato, se x ∈ F1 ent˜ao Φ(x) = ϕ(x) ∈ F2 , logo k(h−1 (x, 0)) = k(x, ϕ(x)) = (x−Ψ(ϕ(x)), ϕ(x)) = (0, ϕ(x)) ∈ 0×F 2 . ¡ ¢−1 Analogamente se vˆe que k◦h−1 transforma 0×F2 em F1 ×0, logo −1 2m 2m o homeomorfismo k◦h : R → R transforma R2m −(F1 ×0) em R2m − (0 × F2 ). Lema 3. Se F ⊂ Rm ´e fechado ent˜ao, para todo r > 0, tem-se H r (Rm − F ) ≈ H r+1 (Rm+1 − F ). Quando r = 0, existe uma transforma¸ca˜o linear sobrejetiva H 0 (Rm − F ) → H 1 (Rm+1 − F ) cujo n´ ucleo tem dimens˜ao 1.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Demonstra¸c˜ ao: Sejam U = {(x, t) ∈ Rm+1 ; x ∈ / F ou t > 0} e V = {(x, t) ∈ Rm+1 ; x ∈ / F ou t < 0}. Ent˜ao identificamos U ∪ V = Rm+1 − (F × 0) com Rm+1 − F e observamos que U ∩ V = [Rm − F ] × R tem o mesmo tipo de homotopia de Rm − F . R

R

U F

Rm F

Rm V

Figura 5.

Consideremos o seguinte trecho da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris: ∆

H r (U )⊕H r (V ) → H r (U ∩V ) − → H r+1 (U ∪V ) → H r+1 (U )⊕H r+1 (V ). Como U e V s˜ao contr´ateis, os extremos da seq¨ uˆencia acima s˜ao nulos quando r > 0, logo ∆ ´e um isomorfismo: H r (Rm − F ) ≈ H r+1 (Rm+1 − F). Quando r = 0, a seq¨ uˆencia exata acima se escreve ∆

H 0 (U ) ⊕ H 0 (V ) → H 0 (U ∩ V ) − → H 1 (U ∪ V ) → H 1 (U ) ⊕ H 1 (V ). Levando em conta que U , V s˜ao contr´ateis, que H 0 (U ∩ V ) = H 0 (Rm − F ) e H 1 (U ∪ V ) = H 1 (Rm+1 − F ), ela se reduz a A

∆

R⊕R− → H 0 (Rm − F ) − → H 1 (Rm+1 − F ) → 0.

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Lembremos que H 0 (M ) ´e o conjunto das fun¸co˜es que s˜ao constantes em cada componente conexa de M , logo H 0 (M ) = R se M ´e conexa. Assim, a transforma¸ca˜o linear A leva cada par (x, y) ∈ R ⊕ R na fun¸ca˜o constante A(x, y) = x − y em Rm − F . A imagem de A (ou seja, o n´ ucleo de ∆) tem portanto dimens˜ao 1. Al´em disso, ∆ ´e sobrejetivo pois a u ´ltima seta da seq¨ uˆencia ´e a transforma¸ca˜o nula. Teorema 8. Se os conjuntos fechados F1 , F2 ⊂ Rm s˜ao homeomorfos ent˜ao, para todo r ≥ 0, os grupos H r (Rm − F1 ) e H r (Rm − F2 ) s˜ao isomorfos. Demonstra¸c˜ ao: Consideremos as trˆes transforma¸co˜es lineares H r (Rm −F1 ) → H r+m (R2m −F1 ) → H r+m (R2m −F2 ) → H r (Rm −F2 ). Se r > 0, todas elas s˜ao isomorfismos: a primeira e a terceira por m repetidas aplica¸co˜es do Lema 2 e a segunda por ser induzida pelo homeomorfismo entre R2m − F1 e R2m − F2 . Logo H r (Rm − F1 ) e H r (Rm − F2 ) s˜ao isomorfos. Novamente o uso do Lema 2, no caso r = 0, leva a transforma¸co˜es lineares sobrejetivas H 0 (Rm − F1 ) → H m (R2m −F1 ) e H 0 (Rm −F2 ) → H m (R2m −F2 ), ambas com n´ ucleos 2m 2m unidimensionais. Como R − F1 e R − F2 s˜ao homeomorfos, segue-se que H 0 (Rm − F1 ) ´e isomorfo a H 0 (Rm − F2 ). Segue-se do Teorema 8 que se B ´e uma bola fechada em Rm , com m ≥ 2, e f : B → X ´e um homeomorfismo sobre um subconjunto X ⊂ Rm ent˜ao Rm − X ´e conexo. Teorema 9 (Jordan-Brouwer.) Sejam M, X ⊂ Rm conjuntos fechados homeomorfos. Se M ´e uma hiperf´ıcie diferenci´avel conexa ent˜ao: 1) Rm − X tem duas componentes conexas; 2) O complemento Rm − Y de todo conjunto fechado Y propriamente contido em X ´e conexo; 3) X ´e a fronteira de ambas componentes conexas de Rm − X.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

p X

Γ q Q

V

x W

P Figura 6.

Demonstra¸c˜ ao: 1) Segundo o Teorema 9 e o Apˆendice do Cap´ıtulo 4 de [AR3], Rm − M tem duas componentes conexas, logo H 0 (Rm − M ) = R2 . Pelo Teorema 6 acima, segue-se que H 0 (Rm − X) = R2 , logo Rm − X tem duas componentes tamb´em. 2) Seja Y0 ⊂ M o subconjunto fechado que corresponde a Y pelo homeomorfismo entre M e X. Se A e B s˜ao as componentes conexas de Rm − M ent˜ao, como A ⊂ A ∪ (M − Y0 ) ⊂ A ∪ M = A, resulta do Teorema 25, Cap´ıtulo 1 de [AR2] que A ∪ (M − Y0 ) e (analogamente) B ∪ (M − Y0 ) s˜ao conexos. Pelo mesmo teorema, Rm − Y0 = [A ∪ (M − Y0 )] ∪ [B ∪ (M − Y0 )] ´e conexo. Segue-se do Teorema 6 que Rm − Y ´e conexo. 3) Seja Rm − X = P ∪ Q a express˜ao de Rm − X como reuni˜ao de suas componentes conexas. Como P e Q s˜ao abertos, nenhum ponto de um deles pode pertencer a` fronteira de qualquer dos dois, logo fr. P ∪ fr. Q ⊂ X. Mostraremos ent˜ao que X ⊂ fr. P ∩ fr. Q e da´ı resultar´a que X = fr. P = fr. Q. Dado arbitrariamente x ∈ X, seja W ⊂ Rm um aberto contendo x. Veremos que W deve conter pontos de P e Q. Para isto, tomemos p ∈ P e q ∈ Q. Sem perda de generalidade, podemos admitir que W n˜ao cont´em X, de modo que, pondo V = W ∩X, o fechado X −V ´e um subconjunto pr´oprio de X e ent˜ao o aberto Rm −(X −V ) = (Rm −X)∪V ´e conexo, logo conexo

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por caminhos. Seja γ : [0, 1] → (Rm − X) ∪ V um caminho ligando p a q. Pondo Γ = {γ(t); t ∈ [0, 1]}, vemos que ∅ 6= Γ ∩ X = Γ ∩ V , logo Γ ∩ V ´e um compacto n˜ao-vazio. Seja t0 o menor valor de t tal que γ(t) ∈ V . Ent˜ao γ([0, t0 )) ⊂ P e γ(t0 ) ∈ V ⊂ W . Para todos os valores de t suficientemente pr´oximos de t0 tem-se γ(t) ∈ W ∩ P , logo x pertence a` fronteira de P . Analogamente se mostra que x pertence a` fronteira de Q. Exemplo 13. Na Figura 7, o conjunto X = C ∪ I ∪ J ´e formado pela circunferˆencia C mais dois pequenos segmentos de reta I, J, um apontando para dentro e outro para fora de C. X ´e conexo e R2 − X tem duas componentes conexas: uma com fronteira C ∪ I e outra com fronteira C ∪ J. B

I

J

X =C ∪I ∪J C Figura 7.

Este exemplo ´e poss´ıvel porque h´a subconjuntos pr´oprios de X, como por exemplo C, tais que R2 − C n˜ao ´e conexo, coisa que n˜ao acontece quando X ´e homeomorfo a uma hiperf´ıcie fechada. O teorema seguinte ´e um resultado cl´assico, que ser´a provado como conseq¨ uˆencia direta do Teorema de Jordan-Brouwer. Teorema 10 (Invariˆancia dos abertos.) Se o conjunto X ⊂ Rm ´e homeomorfo a um aberto U ⊂ Rm ent˜ao X ´e aberto.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Demonstra¸c˜ ao: Seja f : U → X um homeomorfismo. O aberto U pode ser expresso como reuni˜ao de bolas abertas B tais que B ⊂ U , logo f aplica B homeomorficamente sobre f (B). Basta ent˜ao provar que a imagem f (B) de cada uma delas ´e um aberto em Rm . Isto ´e o´bvio quando m = 1. Caso seja m ≥ 2 e a esfera S ´e o bordo de B ent˜ao B = B ∪ S, logo Rm = f (B) ∪ f (S) ∪ [Rm − f (B)], reuni˜ao disjunta de conjuntos conexos. (V. Teorema 8.) Logo Rm − f (S) = f (B) ∪ [Rm − f (B)]. Por outro lado, o Teorema de Jordan-Brouwer nos d´a Rm − f (S) = A1 ∪ A2 , como reuni˜ao de duas componentes conexas (abertas). Comparando as duas express˜oes Rm − f (S) = f (B) ∪ [Rm − f (B)] e Rm − f (S) = A1 ∪ A2 , vemos que cada um dos conjuntos f (B) e Rm −f (B), sendo conexo, est´a contido numa das componentes A1 , A2 . Deve-se ter ent˜ao, digamos f (B) ⊂ A1 e Rm −f (B) ⊂ A2 . Como f (B)∪[Rm −f (B)] = A1 ∪ A2 , segue-se que f (B) = A1 e Rm − f (B) = A2 . Portanto f (B) ´e aberto. Corol´ ario 1. Seja f : U → Rn cont´ınua e injetiva no aberto U ⊂ Rm . Se o interior de f (U ) n˜ao for vazio ent˜ao m = n e f ´e um homeomorfismo de U sobre o aberto f (U ). Com efeito, tomando Z = int. f (U ) e W = f −1 (Z) obteremos, por restri¸ca˜o, uma bije¸ca˜o cont´ınua f : W → Z entre os abertos W ⊂ Rm e Z ⊂ Rn . Ora, W ´e reuni˜ao enumer´avel de bolas fechadas, cada uma das quais ´e aplicada homeomorficamente por f sobre um subconjunto compacto de Z. Pelo Teorema de Baire ([EM], pags. 190 e 191), pelo menos um desses compactos tem interior n˜ao-vazio. Chamando de Z o esse interior e W o sua imagem inversa obtemos, por restri¸ca˜o, um homeomorfismo f : W o → Z o entre o aberto W o ⊂ Rm e o aberto Z o ⊂ Rn . Pela invariˆancia da dimens˜ao, tem-se m = n. Pelo Teorema 10, para cada bola fechada B ⊂ U , a imagem f (B) ´e aberta. Logo f ´e um homeomorfismo de U sobre f (U ) e f (U ) ´e aberto.

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´ [SEC. 7: O TEOREMA DE DUALIDADE DE POINCARE

A prop´osito do Corol´ario 1, ´e bem sabido, a partir do conhecido exemplo da curva de Peano ([EM], pag. 230), que uma aplica¸ca˜o cont´ınua pode transformar um aberto U ⊂ Rm sobre um aberto V ⊂ Rn mesmo com m < n. O corol´ario acima assegura que uma tal aplica¸ca˜o n˜ao pode ser injetiva.

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O Teorema de Dualidade de Poincar´ e

Em sua vers˜ao mais popular, o Teorema de Dualidade de Poincar´e estabelece uma simetria entre os n´ umeros de Betti βr = dim H r(M) (r = 0,1, . . . , m) de uma superf´ıcie compacta orient´avel m-dimensional M , expressa pelas igualdades βr = βm−r . Trata-se de um dos resultados mais tradicionais da Topologia. A fim de prov´a-lo tamb´em no caso em que M n˜ao ´e compacta, utilizaremos a cohomologia com suportes compactos, a` qual estenderemos a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris. Uma forma diferencial ω na superf´ıcie M pode ter suporte compacto sem que sua restri¸ca˜o a um aberto U ⊂ M tenha ainda essa propriedade. Por isso, a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris associada a uma decomposi¸ca˜o M = U ∪V deve ser modificada no caso da cohomologia com suportes compactos. Em vez de restri¸ca˜o, considera-se a extens˜ao a zero. Seja ω ∈ Λrc (U ) uma r-forma com suporte compacto no aberto U ⊂ M . Sua extens˜ao a zero em M ´e a r-forma ωM ∈ Λrc (M ) que coincide com ω em U e ´e identicamente nula em M −U . Como ω j´a era nula desde uma distˆancia positiva da fronteira de U , a forma ωM ´e de classe C ∞ em M , da mesma maneira como ω era em U . Assim, dada uma decomposi¸ca˜o M = U ∪ V da superf´ıcie M como reuni˜ao dos abertos U , V , somos conduzidos a` seq¨ uˆencia exata curta: (*)

α

β

0 → Λrc (U ∩ V ) − → Λrc (U ) ⊕ Λrc (V ) → − Λrc (M ) → 0,

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

na qual α(ω) = (ωU , ωV ) e β(ϕ, ψ) = ϕM − ψM onde, conforme a nota¸ca˜o acima estabelecida, ωU , ωV , ϕM e ψM indicam as extens˜oes a zero das formas ω, ϕ e ψ nos novos dom´ınios U , V e M respectivamente. Nesta seq¨ uˆencia, ´e claro que α e β s˜ao morfismos, isto ´e, α(dω) = ´ tamb´em claro que α ´e injetivo e que d(α(ω)) e β(dω) = d(β(ω)). E sua imagem coincide com o n´ ucleo de β. Para mostrar que (*) ´e, de fato, uma seq¨ uˆencia exata, resta provar que β ´e sobrejetivo. Ora, dada ω ∈ Λrc (M ), seja ξU + ξV = 1 uma parti¸ca˜o diferenci´avel da unidade subordinada a` cobertura M = U ∪V . Definamos as formas ϕ ∈ Λrc (U ) e ψ ∈ Λrc (V ) pondo ϕ = (ξU ·ω)|U e ψ = −(ξV ·ω)|V . Ent˜ao, como os suportes de ξU e ξV s˜ao compactos contidos em U ´ e V respectivamente, vemos que ϕ e ψ tˆem suportes compactos. E claro que β(ϕ, ψ) = ω, portanto β ´e sobrejetivo e a seq¨ uˆencia (*) ´e exata. Da´ı obtemos a seq¨ uˆencia exata de cohomologia α

β∗

∆

∗ Hcr (U )⊕Hcr (V ) −→ Hcr (M ) − → Hcr+1 (U ∩V ) → · · · · · · → Hcr (U ∩V ) −→

chamada a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris com suportes compactos associada a` decomposi¸ca˜o M = U ∪ V . Nela, os homomorfismos α∗ e β∗ s˜ao induzidos de modo natural pelos morfismos α, β. O homomorfismo ∆ opera do seguinte modo: Dada [ω] ∈ Hcr (M ), como o morfismo β na seq¨ uˆencia (*) ´e r r sobrejetivo, existem formas ϕ ∈ Λc (U ) e ψ ∈ Λc (V ) que, quando estendidas a zero em M , cumprem ϕM −ψM = ω. Em U ∩ V tem-se ϕM = ϕ e ψM = ψ. Como ω ´e fechada, vale 0 = dω = dϕ − dψ em todos os pontos de U ∩ V , ou seja, dϕ|(U ∩ V ) = dψ|(U ∩ V ). Ent˜ao ∆[ω] = i∗ [dϕM ] = i∗ [dψM ], onde i : U ∩ V → M ´e a aplica¸ca˜o de inclus˜ao, portanto i∗ : H r (M ) → H r (U ∩ V ) ´e a restri¸ca˜o. Notemos que ϕ|(U ∩ V ) e ψ|(U ∩ V ) n˜ao tˆem necessariamente suportes compactos, logo dϕ = dψ pode n˜ao ser exata em U ∩ V . Por outro lado, dϕ tem suporte compacto, contido em U ∩ V , pois

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em U − V temos 0 = dω = dϕ − dψ = dϕ porque supp. ψ ⊂ V . Analogamente, supp. dψ ´e compacto, contido em U ∩ V . Isto confirma que a defini¸ca˜o de ∆ ´e leg´ıtima. Considerando, a partir da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, os espa¸cos vetoriais duais e as transforma¸co˜es lineares adjuntas α| , β | e ∆| , obtemos a seq¨ uˆencia α|

· · · ← Hcr (U ∩ V )∗ ←− Hcr (U )∗ ⊕ Hcr (V )∗ β|

∆|

←− Hcr (M )∗ ←− Hcr+1 (U ∩ V )∗ ← a qual tamb´em ´e exata, pelo Teorema 2 do Cap´ıtulo I. (Estamos designando por α| e β | as transforma¸co˜es lineares adjuntas de α∗ e β∗ respectivamente.) A demonstra¸ca˜o do Teorema de Dualidade de Poincar´e se baseia num morfismo de seq¨ uˆencias exatas que liga a seq¨ uˆencia de cohomologia de uma superf´ıcie orientada a esta seq¨ uˆencia de espa¸cos r r vetoriais duais dos espa¸cos Hc (M ), H (U ∩ V ) etc., conforme veremos a seguir. Seja M uma superf´ıcie m-dimensional orientada. A aplica¸ca˜o de dualidade de Poincar´e ´e a transforma¸ca˜o linear DM : H r (M ) → Hcm−r (M )∗ que associa a cada [α] ∈ H r(M) o funcional linear DM [α] ∈ Hcm−r(M)∗ , definido por DM [α]·[β] =

Z

α ∧ β, M

[β] ∈ Hcm−r (M ), 0 ≤ r ≤ m.

Teorema de Dualidade de Poincar´ e. Para todo r = 0, 1, . . . , m, DM ´e um isomorfismo. A demonstra¸ca˜o faz uso dos trˆes lemas abaixo.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Lema 4. Se M = U ∪ V , onde U, V ⊂ M s˜ao abertos, o diagrama abaixo ´e comutativo. D ⊕−D

V H r−1 (U ) ⊕ H r−1 (V ) −−U−−−−→ Hcm−r+1 (U )∗ ⊕ Hcm−r+1 (V )∗     | β∗ y yα

D

H r−1 (U ∩ V )   ±∆y

∩V −−U− →

H r (U ) ⊕ H r (V )   β∗ y

−−−−−−→

H r (M )   α∗ y

H r (U ∩ V )

Hcm−r+1 (U ∩ V )∗   | y∆

D

M −−− →

DU ⊕−DV

−−−→ DU ∩V

Hcm−r (M )∗  β | y

Hcm−r (U )∗ ⊕ Hcm−r (V )∗   | yα Hcm−r (U ∩ V )∗

Neste diagrama, ±∆ significa (−1)r ∆. (Verifica¸ca˜o a cargo do leitor.) Lema 5. Seja B uma base da topologia de M tal que U, V ∈ B ⇒ U ∩ V ∈ B. Se DU : H r (U ) → Hcm−r (U )∗ ´e um isomorfismo para todo U ∈ B ent˜ao DM : H r (M ) → H m−r (M )∗ ´e um isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao: Em trˆes etapas, A, B e C: A. Seja B 0 o conjunto das uni˜oes finitas de elementos de B. Note-se que W, Z ∈ B 0 ⇒ W ∩ Z ∈ B 0 . Pelo Lema dos Cinco, segue-se do Lema 4 que se DU , DV e DU ∩V s˜ao isomorfismos, o mesmo ocorre com DU ∪V . Ent˜ao DW ´e um isomorfismo para todo W ∈ B0 . S B. Se M = Mλ ´e reuni˜ao disjunta de abertos n˜ao-vazios e cada DMλ ´e um isomorfismo ent˜ao DM ´e um isomorfismo. Com L r Q r Hc (Mλ ), logo H (Mλ ) e Hcr (M ) = efeito, temos H r (M ) = λ λ Q Hcr (M )∗ = Hcr (Mλ )∗ . Como DM (xλ ) = (DMλ · xλ ), a afirma¸ca˜o λ segue-se.

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C. A superf´ıcie M pode ser expressa como reuni˜ao enumer´avel S M = Vi de abertos Vi ∈ B 0 tais que Vi ∩ Vi+j = ∅ se j ≥ 2. S Para provar C, tomamos uma exaust˜ao M = Ki , i ∈ N, onde cada Ki ´e compacto e Ki ⊂ int. Ki+1 (cfr. [AR3], Cap.4, Lema 3). Definimos os abertos Vi indutivamente. V1 ´e a reuni˜ao dos elementos de uma cobertura finita de K1 por abertos pertencentes a B, escolhidos de modo a termos K1 ⊂ V1 ⊂ V 1 ⊂ int. K2 . Por sua vez, V2 ´e a reuni˜ao dos conjuntos de uma cobertura finita do compacto K2 − int. K1 por abertos pertencentes a B, tomados de modo que se tenha V 2 ⊂ int. K3 . Para i ≥ 3, Vi ´e a reuni˜ao dos conjuntos de uma cobertura finita do compacto Ki − int. Ki−1 por abertos pertencentes a B, escolhidos de modo a ter-se V i ⊂ int. Ki+1 e Vi ∩ V i−2 = ∅. Uma vez provadas A, B e C, consideramos as reuni˜oes disjuntas S S S U = V2i e V = V2i−1 . Temos M = U ∪V e U ∩V = (Vi ∩Vi+1 ). Ent˜ao DU , DV e DU ∩V s˜ao isomorfismos. (Note que U ∩ V tamb´em ´e reuni˜ao disjunta e Vi ∩ Vi+1 pertence a B 0 .) Segue-se do Lema dos Cinco que DM = DU ∪V ´e um isomorfismo. Isto prova o Lema 5. Lema 6. Se M = Rm ent˜ao DM ´e um isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao: Quando 0 < r ≤ m, sabemos que H r (Rm ) = 0 = Hcm−r (Rm )∗ . Sabemos tamb´em que H 0 (Rm ) ≈ R ≈ Hcm (Rm )∗ . Basta portanto verificar que a transforma¸ca˜o linear DRm: H 0 (Rm ) → Hcm (Rm )∗ n˜ao ´e identicamente nula. Ora, se ξ : Rm → R ´e qualquer fun¸ca˜o diferenci´avel com suporte compacto e integral diferente de R zero, pondo ω = ξ(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxm temos DRm [1]·[ω] = Rm ω 6= 0.

Segue-se do Lema 5 que se M ⊂ Rm ´e um subconjunto aberto ent˜ao DM ´e um isomorfismo. Basta tomar em M uma base B formada por blocos retangulares abertos com arestas paralelas aos eixos. A interse¸ca˜o de dois desses blocos ainda ´e um deles e, para cada U ∈ B, DU ´e um isomorfismo pois U ´e difeomorfo a Rm . Logo DM ´e um isomorfismo.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Finalmente, seja M uma superf´ıcie orient´avel qualquer de dimens˜ao m. Consideremos a base B de M formada por conjuntos difeomorfos a abertos de Rm . Se U, V ∈ B ent˜ao U ∩ V ∈ B e cada DU ´e um isomorfismo. Corol´ ario 2. Se M ´e m-dimensional, conexa e n˜ao-compacta ent˜ao H m (M ) = 0. Com efeito, neste caso tem-se Hc0 (M ) = 0, logo H m (M ) = 0 quando M ´e orient´avel, em virtude do Teorema de Dualidade de Poincar´e. O caso n˜ao-orient´avel j´a foi tratado no Teorema 7. Corol´ ario 3. Se uma superf´ıcie compacta orient´avel M tem dimens˜ao ´ımpar, sua caracter´ıstica de Euler ´e igual a zero. Com efeito, sendo m ´ımpar, a caracter´ıstica de Euler χ(M ) tem o valor χ(M ) = β0 − β1 + β2 − · · · − βm−2 + βm−1 − βm = β0 − β1 + β2 − · · · − β2 + β1 − β0 = 0, levando em conta que βr = βm−r .

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O grau de uma aplica¸c˜ ao

Sejam M , N superf´ıcies conexas, orientadas, de mesma dimens˜ao m e f : M → N uma aplica¸ca˜o pr´opria, a qual induz uma transforma¸ca˜o linear f ∗ : Hcm (N ) → Hcm (M ). Sabemos que, quando M ´e conexa e orientada, a integra¸ca˜o de formas com suporte compacto determina isomorfismos ϕ : Hcm (M ) → R, ψ : Hcm (N ) → R, onde R R ϕ([α]) = M α e ψ[β] = N β. Por composi¸ca˜o, obtemos a transforma¸ca˜o linear T = ϕ◦f ∗ ◦ψ −1 : R → R e o diagrama comutativo abaixo: f∗ Hcm (N ) −−−→ Hcm (M )    ϕ ψy y R

−−−→ T

R.

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˜ [SEC. 8: O GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

Como ocorre com toda transforma¸ca˜o linear de R em R, T ´e a multiplica¸ca˜o por um n´ umero real gr(f ), chamado o grau da aplica¸ca˜o f . A igualdade ϕ◦f ∗ = T ◦ψ significa que Z

∗

f ω = gr(f ) · M

Z

N

ω, para toda ω ∈ Λm c (N ).

Interpretando f ∗ ω como a express˜ao de ω ap´os a mudan¸ca de vari´aveis dada por f , a igualdade acima apresenta-se como uma generaliza¸ca˜o do Teorema da Mudan¸ca de Vari´aveis para integrais m´ ultiplas. O grau ´e um invariante que desempenha papel crucial em An´alise, Geometria etc. A seguir, veremos algumas de suas propriedades b´asicas. Antes, uma aplica¸ca˜o interessante a` Topologia. Uma apresenta¸ca˜o detalhada da teoria do grau, sem uso de cohomologia, pode ser vista em [CA2]. Teorema 11. Sejam M , N superf´ıcies compactas conexas, orientadas, de mesma dimens˜ao. Se a aplica¸ca˜o f : M → N tem grau 6= 0 ent˜ao, para todo r ≥ 0, a transforma¸ca˜o linear induzida f ∗ : H r (N ) → H r (M ) ´e injetiva. Demonstra¸c˜ ao: Seja 0 6= [α] ∈ H r (N ). Devemos mostrar que 0 6= f ∗ [α] ∈ H r (M ). Pelo Teorema de Dualidade de Poincar´e, o funcional linear DN [α] ∈ H m−r (N )∗ ´e n˜ao-nulo, logo existe [β] ∈ R H m−r (N ) tal que N α ∧ β = DN [α]·[β] 6= 0. Ent˜ao ∗

∗

DM [f α]·[f β] =

Z

∗

∗

f α∧f β = M

Z

∗

f (α∧β) = gr(f )· M

Z

α∧β 6= 0,

M

portanto [f ∗ α] 6= 0.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

D M Figura 8. Colando duas c´opias do disco aberto perfurado D ao longo da parte hachurada, obt´em-se a superf´ıcie M , de gˆenero 2.

Exemplo 14. Seja M uma superf´ıcie bidimensional compacta, ´ claro conexa, orientada, de gˆenero g > 0 (esfera com g asas). E que H 0 (M ) = H 2 (M ) = R. Al´em disso, H 1 (M ) = R2g , como se pode ver por Mayer-Vietoris, escrevendo M = U ∪ V , onde U e V s˜ao difeomorfos a um disco aberto, do qual se omitiram g discos fechados disjuntos, e U ∩ V ´e a reuni˜ao de g + 1 an´eis disjuntos. Ent˜ao toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : S 2 → M tem grau zero, pois H 1 (S 2 ) = 0. O teorema seguinte resume as propriedades b´asicas do grau. Nele, as superf´ıcies s˜ao conexas, orientadas, todas de mesma dimens˜ao m, e as aplica¸ca˜o s˜ao pr´oprias. Teorema 12. (i) Se f, g : M → N s˜ao propriamente homot´opicas ent˜ao gr(f ) = gr(g); (ii) Se f : M → N e g : N → P ent˜ao gr(g ◦ f ) = gr(g)·gr(f ); (iii) Se gr(f ) 6= 0 ent˜ao f : M → N ´e sobrejetiva. Demonstra¸c˜ ao: (i) Sendo f e g propriamente homot´opicas, temos R R ∗ ∗ f ω = M g ω para toda forma ω ∈ Λm c (N ), logo gr(f ) = gr(g). M R (ii) Seja ω ∈ Λm (P ) tal que ω = 6 0. Ent˜ao c P Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ gr(g ◦ f ) · ω= (g ◦ f ) ω = f (g ω) = gr(f ) · g∗ω P M N Z M = gr(f )·gr(g) · ω, P

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˜ [SEC. 8: O GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

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logo gr(g ◦ f ) = gr(g)·gr(f ). (iii) Como f : M → N ´e pr´opria, sua imagem ´e um conjunto fechado em N . Se f n˜ao fosse sobrejetiva, tomar´ıamos uma forma ω ∈ Λm (N ), com suporte contido no aberto n˜ao-vazio N −f (M ), cR tal que N ω 6= 0. Ent˜ao f ∗ ω = 0, logo gr(f ) = 0. Outro fato de grande relevˆancia sobre o grau de uma aplica¸ca˜o ´e que ele ´e um n´ umero inteiro que, em muitos casos, pode ser identificado sem grande dificuldade, gra¸cas a` sua caracteriza¸ca˜o que mostraremos agora. Lembremos que o ponto y ∈ N chama-se um valor regular de uma aplica¸ca˜o diferenci´avel f : M → N quando para todo x ∈ f −1 (y) a derivada f 0 (x) : Tx M → Ty N ´e sobrejetiva. Se dim. M = dim. N , isto significa que f 0 (x) ´e um isomorfismo para todo x ∈ f −1 (y). Supondo M e N orientadas, diremos que o ponto x ∈ f −1 (y) ´e positivo, e escreveremos εx = +1, quando o isomorfismo f 0 (x) : Tx M → Ty N preservar orienta¸ca˜o. Se, entretanto, f 0 (x) inverter orienta¸ca˜o, diremos que x ∈ f −1 (y) ´e um ponto negativo e escreveremos εx = −1. Supondo ainda que f seja pr´opria, a imagem inversa f −1 (y) do valor regular y ´e um conjunto compacto formado por pontos isolados (pois, pelo Teorema da Fun¸ca˜o Inversa, f ´e injetiva na vizinhan¸ca de cada ponto x ∈ f −1 (y)) logo ´e finito. Dadas, portanto, as superf´ıcies orientadas M , N , de mesma dimens˜ao m, a aplica¸ca˜o diferenci´avel pr´opria f : M → N e o valor regular y ∈ N , definiremos o grau de f no ponto y como sendo o P εx . n´ umero inteiro gry (f ) = x∈f −1 (y)

Teorema 13. Sejam M , N superf´ıcies conexas, orientadas, de mesma dimens˜ao m. Seja ainda f : M → N uma aplica¸ca˜o diferenci´avel pr´opria. Ent˜ao, para qualquer valor regular y ∈ N de f tem-se gry (f ) = gr(f ).

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Lema 7. Se y ∈ N ´e um valor regular de f ent˜ao existe uma vizinhan¸ca aberta V de y em N tal que f −1 (V ) = U1 ∪ · · · ∪ Uk ´e uma reuni˜ao disjunta de abertos em M , cada um dos quais se aplica por f difeomorficamente sobre V . Demonstra¸c˜ ao do Lema 7: Sabemos que f −1 (y) = {x1 , . . . , xk } ´e um conjunto finito. Pelo Teorema da Aplica¸ca˜o Inversa, para cada i = 1, . . . , k existe um aberto Ui0 , com xi ∈ Ui0 ⊂ M , que ´e aplicado por f difeomorficamente sobre um aberto Vi , com y ∈ Vi ⊂ N . A aplica¸ca˜o pr´opria f transforma o fechado F = M−(U10 ∪· · ·∪Uk0 ) num subconjunto fechado f (F ) ⊂ N que n˜ao cont´em y. Seja V ⊂ M um aberto tal que y ∈ V ⊂ (V1 ∩ · · · ∩ Vk ) ∩ (N − f (F )). Pondo Ui = Ui0 ∩ f −1 (V ), o Lema 7 fica demonstrado. Demonstra¸c˜ ao do Teorema 13: Usando a nota¸ca˜o do Lema, consideremos uma forma ω ∈ Λm c (M ), com suporte contido em V , R R tal que N ω = V ω 6= 0. Sem perda de generalidade, podemos supor que cada Ui ´e conexo, logo o difeomorfismo f : Ui → V preserva ou inverte orienta¸ca˜o, conforme se tenha εxi = +1 ou εxi = −1. R R Segue-se que Ui f ∗ ω = εxi · V ω. Portanto Ã k ! Z Z Z k Z X X gr(f ) · ω= f ∗ω = f ∗ω = ε xi · ω N

M

i=1

Ui

= gry (f ) ·

Z

i=1

V

ωN ,

conseq¨ uentemente, gr(f ) = gry (f ). Evidentemente, o Teorema 13 s´o tem interesse se existir em N algum valor regular de f . Na verdade, quase todos os pontos de N s˜ao valores regulares pois, em virtude do Teorema de Sard (cfr. [CA2], Cap. 6, Se¸ca˜o 2), o conjunto dos valores regulares de f ´e denso em N , e at´e mesmo aberto quando f ´e pr´opria. Exemplo 15. Um difeomorfismo entre superf´ıcies conexas orientadas tem grau 1 quando preserva orienta¸ca˜o e grau −1 quando

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[SEC. 9: COHOMOLOGIA DE UM COMPACTO

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inverte. Uma transforma¸ca˜o linear T : Rm → Rm tem grau 1 se det T > 0, grau −1 se det T < 0 e grau zero se det T = 0. A aplica¸ca˜o ant´ıpoda A : S m → S m , A(x) = −x, tem grau 1 se m ´e ´ımpar e grau −1 se m ´e par. Exemplo 16. (Como de praxe, identificamos o conjunto C dos n´ umeros complexos com R2 .) Se f : U → C ´e uma fun¸ca˜o holomorfa, sua derivada f 0 (z) : R2 → R2 ´e a transforma¸ca˜o linear que consiste na multiplica¸ca˜o por um n´ umero complexo, tamb´em deno0 0 tado por f (z). Logo, ou f (z) = 0 ou o determinante jacobiano det f 0 (z) ´e positivo. Assim, se o ponto w ∈ C ´e valor regular de f ent˜ao grw (f ) ´e o n´ umero de elementos em f −1 (w). Consideremos, em particular, um polinˆomio p : C → C, de grau n. Sabe-se que lim p(z) = ∞, portanto p : C → C ´e uma aplica¸ca˜o pr´opria. Vaz→∞

mos mostrar que seu grau topol´ogico gr(p) tamb´em ´e n. Sem perda de generalidade, podemos admitir que p(z) = z n + q(z), onde q ´e um polinˆomio de grau ≤ n − 1. A aplica¸ca˜o H : C × [0, 1] → C, definida por H(z, t) = z n + (1 − t)q(z), ´e uma homotopia pr´opria entre p e o polinˆomio ϕ : C → C, dado por ϕ(z) = z n . Como, para todo a 6= 0 em C, a equa¸ca˜o z n = a tem exatamente n ra´ızes, temos gr(ϕ) = n e da´ı gr(p) = n. Em particular, p : C → C ´e sobrejetiva ´ e isto prova o Teorema Fundamental da Algebra.

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Cohomologia de um compacto

Aplicar-se apenas a superf´ıcies ´e uma consider´avel restri¸ca˜o que sofre a cohomologia de deRham. Vamos agora estendˆe-la nos subconjuntos compactos do espa¸co euclidiano, usando id´eias que reˇ montam a Cech, Alexander e Spanier. Consideremos um subconjunto compacto K do espa¸co euclidiano Rn . Por simplicidade, diremos a`s vezes apenas “vizinhan¸ca”, para significar um conjunto aberto em Rn , contendo K.

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Diremos que as r-formas α ∈ Λr (U ) e β ∈ Λr (V ), definidas em vizinhan¸cas de K, tˆem o mesmo germe quando existir uma vizinhan¸ca W ⊂ U ∩ V tal que α|W = β|W , ou seja, quando α e β coincidirem numa vizinhan¸ca menor W . A rela¸ca˜o “α e β tˆem o mesmo germe” ´e uma equivalˆencia no conjunto das r-formas definidas em vizinhan¸cas de K. A classe de ∨ equivalˆencia α da r-forma α ∈ Λr (U ) segundo esta rela¸ca˜o chama-se o germe de α. ∨

∨

Assim, dadas α ∈ Λr (U ) e β ∈ Λr (V ), tem-se α = β se, e somente se, α|W = β|W para alguma vizinhan¸ca W ⊂ U ∩ V . ∨ Diz-se que a forma α ´e um representante do germe α. Dados ∨

∨

os germes α e β, podemos sempre represent´a-los por formas α, β ∈ Λr (W ), definidas na mesma vizinhan¸ca W . O conjunto C r (K) dos germes de r-formas definidas em vizinhan¸cas de K ´e, de modo natural, um espa¸co vetorial relativamente ∨

∨

∨

a`s opera¸co˜es α + β = (α + β)∨ e c · α = (c · α)∨ . c ∈ R. Podemos definir sem ambig¨ uidade uma transforma¸ca˜o linear ∨ r r+1 ´ claro que d ◦ d = 0, d:C (K) → C (K) pondo dα = (dα)∨ . E logo temos o complexo de cocadeias d

C 0 (K) → − C 1 (K) −→ · · · −→ C n (K) −→ 0. Os grupos de cohomologia deste complexo, representados por H (K), ser˜ao chamados os grupos de cohomologia do compacto K. (Quando houver necessidade de sermos mais espec´ıficos, diremos ˇ “cohomologia de Cech-Alexander-Spanier”.) Usando a terminologia introduzida na Se¸ca˜o 5 do Cap´ıtulo I (mais especificamente no Exemplo 4), vemos que C r (K) = lim Λr (U ) r

U

´e o limite indutivo do sistema formado pelos espa¸cos vetoriais Λr (U ), cujos ´ındices s˜ao as vizinhan¸cas U ⊃ K, quase-ordenadas pela inclus˜ao reversa e, quando U ⊃ V ⊃ K, o homomorfismo ϕU V : Λr (U ) → Λr (V ) ´e a restri¸ca˜o. Os homomorfismos d : C r (K) → C r+1 (K)

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[SEC. 9: COHOMOLOGIA DE UM COMPACTO

definem o complexo de cocadeias C ∗ (K) = lim C ∗ (U ) e as defini¸co˜es U

que vˆem de ser dadas significam que Hr (K) = H r (C ∗ (K)) = = H r (lim C ∗ (U )). U

Ora, como vimos no final da Se¸ca˜o 5, Cap´ıtulo I, a opera¸ca˜o de limite indutivo comuta com os grupos de cohomologia. Por conseguinte, Hr (K) = lim H r (C ∗ (U )). U

Assim, uma maneira equivalente de definir Hr (K) consiste em considerar diretamente, para cada vizinhan¸ca U ⊃ K, os germes das classes de cohomologia em H r (U ), duas classes [α] ∈ H r (U ) e [β] ∈ H r (V ) possuindo o mesmo germe quando, para alguma vizinhan¸ca W ⊂ U ∩ V vale [α]|W = [β]|W . Ent˜ao H r (K) ´e o conjunto dos germes das classes [α] ∈ H r (U ), U ⊃ K. Seja U o conjunto das vizinhan¸cas de K. Se W ⊂ U ´e cofinal (isto ´e, para cada U ∈ U existe W ∈ W tal que K ⊂ W ⊂ U ) ent˜ao Hr (K) = lim H r (W ). Noutras palavras, para obter Hr (K) basta W ∈W

considerar um conjunto cofinal de vizinhan¸cas de K. Exemplo 17. Dado o compacto K ⊂ Rn , seja, para cada k ∈ N, Wk = {x ∈ Rn ; d(x, K) < 1/k}. O conjunto W = {W1 , . . . , Wk , . . . } ´e cofinal no conjunto U de todas as vizinhan¸cas de K, logo Hr (K) = lim H r (Wk ). (Note que W1 ⊃ W2 ⊃ · · · ⊃ Wk ⊃ . . . .) / k→∞

Consideremos o caso em que K ⊂ Rn ´e uma superf´ıcie mdimensional compacta. Na nota¸ca˜o do exemplo acima, para todo k suficientemente grande, Wk ´e a vizinhan¸ca tubular de 1/k da superf´ıcie K. Ent˜ao, para todo s > k, a inclus˜ao i : Ws → Wk ´e uma equivalˆencia homot´opica, portanto a aplica¸ca˜o de restri¸ca˜o i∗ : H r (Wk ) → H r (Ws ) ´e um isomorfismo. Por sua vez, cada projec¸a˜o natural π : Wk → K tamb´em ´e uma equivalˆencia homot´opica e da´ı π ∗ : Hr (K) → H r (Wk ) ´e um isomorfismo, para todo k ∈ N. Isto nos permite concluir que, quando o compacto K ´e uma superf´ıcie, Hr (K) coincide com a cohomologia de deRham H r (K).

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Se o compacto K est´a contido numa superf´ıcie M , ao definirmos H (K) podemos obter o mesmo resultado considerando r-formas definidas em vizinhan¸cas de K em M , em vez de abertos de Rn . Isto se mostra observando que se pode obter um conjunto cofinal de vizinhan¸cas W de K em Rn , todas contidas na mesma vizinhan¸ca tubular V de M , tais que a proje¸ca˜o natural π : V → M ´e uma equivalˆencia homot´opica de cada uma dessas W sobre um aberto π(W ) ⊂ M e os π(W ) formam um conjunto cofinal de vizinhan¸cas de K em M . Uma conseq¨ uˆencia imediata desta observa¸ca˜o ´e que se o compacto K est´a propriamente contido numa superf´ıcie m-dimensional M ent˜ao, para todo r ≥ m, temos Hr (K) = 0 pois H r (U ) = 0 quando r ≥ m e U ⊂ M ´e aberto. (Corol´ario 2.) r

Exemplo 18. Seja K ⊂ R2 a reuni˜ao de duas circunferˆencias tangentes externamente (“algarismo oito”). As vizinhan¸cas Vk = {z ∈ R2 ; d(z, K) < 1/k} s˜ao, para todo k ∈ N suficientemente grande, homeomorfas a R2 menos dois pontos, logo H 0 (Vk ) = R, H r (Vk ) = 0 se r > 1 e H 1 (Vk ) = R2 . (Cfr. Exemplo 4.) Al´em disso, cada aplica¸ca˜o de inclus˜ao Vk+1 → Vk ´e uma equivalˆencia homot´opica. Segue-se que H0 (K) = R, H1 (K) = R2 e Hr (K) = 0 se r > 1. / Teorema 14. Sejam K ⊂ Rn , L ⊂ Rs compactos. Toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L induz, em cada dimens˜ao r ≥ 0, um homomorfismo f ∨ : Hr (L) → Hr (K) com as seguintes propriedades: 1) Se g : L → P ´e outra aplica¸ca˜o cont´ınua entre compactos ent˜ao (g ◦ f )∨ = f ∨ ◦ g ∨ : Hr (P ) → Hr (K) e f ∨ = id : Hr (K) → Hr (K) se f = id : K → K. 2) Se f, g : K → L s˜ao homot´opicas ent˜ao f ∨ = g ∨ . Demonstra¸c˜ ao: O ponto crucial ´e provar a existˆencia de f ∨ . Come¸camos usando o Teorema de Tietze [ETG, Cap. 10], segundo o qual existe uma aplica¸ca˜o cont´ınua F : Rn → Rs tal que F |K = f . Fixemos em Rn um conjunto cofinal U de vizinhan¸cas de K. Para

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ˇ ¨ ENCIA ˆ [SEC. 10: A SEQU EXATA DE CECH-ALEXANDER-SPANIER

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cada vizinhan¸ca V ⊃ L em Rs , existe U ∈ U tal que F (U ) ⊂ V . Definimos o homomorfismo F ∨ : Hr (L) → Hr (K) pondo F ∨ ([α]∨ ) = ((F |U )∗ [α])∨ , onde (F |U )∗ : H r (V ) → H r (U ) ´e o homomorfismo induzido pela restri¸ca˜o F |U : U → V . N˜ao h´a dificuldade em verificar que esta defini¸ca˜o de F ∨ n˜ao depende da escolha do representante [α] na classe [α]∨ . Resta, entretanto, mostrar que se G : Rn → Rs for outra extens˜ao cont´ınua de f , tem-se G∨ = F ∨ . Ora, dada V ⊃ L, existe ε > 0 tal que toda bola aberta de raio 2ε e centro num ponto de L est´a contida em V . Como F (x) = G(x) para todo x ∈ K, podemos escolher a vizinhan¸ca U ⊃ K de modo que, para todo x ∈ U se tenha d(F (x), L) < ε e d(F (x), G(x)) < ε. Ent˜ao, para todo x ∈ U , os pontos F (x), G(x) pertencem a uma bola aberta de raio < 2ε e centro em algum ponto de L logo o segmento de reta [F (x), G(x)] est´a contido em V . Por conseguinte F, G : U → V s˜ao linearmente homot´opicos, donde (F |U )∗ = (G|U )∗ e podemos, sem ∨

ambig¨ uidade, definir o homomorfismo f : Hr (L) → Hr (K) usando qualquer extens˜ao cont´ınua F : Rn → Rs da aplica¸ca˜o f : K → L. As afirma¸co˜es 1) e 2) s˜ao facilmente verificadas.

10

ˇ A seq¨ uˆ encia exata de Cech-Alexander-Spanier

Seja K um subconjunto compacto da superf´ıcie m-dimensional M ⊂ Rn . Temos a seq¨ uˆencia exata curta i

j

0 −→ Λrc (M − K) → − Λrc (M ) → − C r (K) −→ 0, onde i ´e a extens˜ao a zero e j associa a cada r-forma seu germe ∨ relativamente a K, ou seja j(ω) = ω para toda ω ∈ Λr (M ). (Aqui, estamos fazendo uso da observa¸ca˜o feita na se¸ca˜o anterior, segundo a qual, levando em conta que K ⊂ M , para definir Hr (K), podemos basear-nos em formas definidas em vizinhan¸cas de K em M em vez de formas cujos dom´ınios s˜ao abertos em Rn .)

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

Evidentemente, i ´e injetivo e j ◦ i = 0. Al´em disso, se ω ∈ ∨ ´e tal que j(ω) = ω = 0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U ⊃ K em M tal que ω|U = 0, logo supp. ω ⊂ M − K e da´ı ω = i(α), α ∈ Λrc (M − K). Para completar a verifica¸ca˜o de que a seq¨ uˆencia curta acima ´e exata, basta portanto mostrar que j ´e sobrejetivo. ∨ Ora, dado o germe ω ∈ C r (K), temos ω ∈ Λr (U ), onde U ´e uma vizinhan¸ca de K em M . sem perda de generalidade, podemos supor U compacto. Tomamos V , W abertos em M com K ⊂ V ⊂ V ⊂ W ⊂ W ⊂ U e uma fun¸ca˜o f : M → R de classe C ∞ tal que f (V ) = 1 e f (M − W ) = 0. Ent˜ao a forma α = f · ω ∈ Λrc (U ) ´e tal ∨ ∨ ∨ que α = ω (pois α|V = ω|V ) e α = j(α0 ), onde α0 ´e a extens˜ao de α a zero em M − W . ˇ A seq¨ uˆencia exata curta acima d´a origem a` seq¨ uˆencia (de CechAlexander-Spanier) de cohomologia do compacto K ⊂ M , que ´e a seguinte: Λrc (M )

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j∗

∆

∗ · · · −→ Hcr (M −K) − → Hr (K) − → Hcr+1 (M −K) −→ · · · → Hcr (M ) −

Exemplo 19. (Cohomologia do espa¸co projetivo complexo.) Usaremos a seq¨ uˆencia exata de um compacto a fim de mostrar que os grupos de cohomologia do espa¸co projetivo complexo CP n s˜ao H r (CP n ) = R quando r ∈ [0, 2n] ´e par e H r (CP n ) = 0 quando r ´e ´ımpar ou > 2n. Isto ser´a feito por indu¸ca˜o em n. Precisaremos, al´em do fato de CP n ser uma superf´ıcie compacta, conexa, orient´avel, de dimens˜ao 2n, saber que CP 1 = S 2 e que CP n−1 ⊂ CP n de tal modo que CP n − CP n−1 ´e difeomorfo a R2n . A igualdade CP 1 = S 2 prova nossa afirma¸ca˜o para n = 1. Admitindo sua veracidade para n − 1, come¸camos escrevendo a seq¨ uˆencia exata do compacto CP n−1 , contido na superf´ıcie CP n , da seguinte forma: · · · → H r−1 (CP n−1 ) → Hcr (R2n ) → H r (CP n ) → H r (CP n−1 ) → H r+1 (R2n ) → · · ·

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ˇ ¨ ENCIA ˆ [SEC. 10: A SEQU EXATA DE CECH-ALEXANDER-SPANIER

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Da´ı extra´ımos trˆes seq¨ uˆencias exatas: r ´ımpar: 0 → H r (CP n ) → 0, r par ≤ 2n − 2: 0 → H r (CP n ) → R → 0, r par = 2n: 0 → R → H 2n (CP n ) → 0. Com isto, ficam determinados os grupos H r (CP n ). Resta agora, por completeza, dizer quem ´e CP n e justificar a validez das propriedades admitidas. Come¸camos observando que os pontos da esfera S 2n+1 podem ser vistos sob a forma z = (z1 , . . . , zn+1 ), onde cada zj ∈ C e n+1 P |zj |2 = 1. Assim, fica claro como o grupo multiplicativo S 1 = j=1

{u ∈ C; |u| = 1} opera sobre S 2n+1 : para cada u ∈ S 1 e cada z = (z1 , . . . , zn+1 ) ∈ S 2n+1 , p˜oe-se u · z = (uz1 , . . . , uzn+1 ). O espa¸co projetivo complexo CP n ´e definido como o espa¸co das o´rbitas desta a¸ca˜o de S 1 sobre S 2n+1 . Ou seja, CP n ´e o espa¸co quociente de S 2n+1 pela rela¸ca˜o de equivalˆencia que identifica z ∈ S 2n+1 com u · z para todo u ∈ S 1 . Podemos tamb´em dizer que CP n ´e o espa¸co quociente de Cn+1 − {0} pela rela¸ca˜o segundo a qual z e w s˜ao equivalentes se, e somente se, w = λ·z, com λ ∈ C−{0}. Como ´e natural, consideramos Cn ⊂ Cn+1 identificando cada z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn com (z1 , . . . , zn , 0) ∈ Cn+1 , o que nos d´a CP n−1 ⊂ CP n . Ent˜ao CP n −CP n−1 ´e o conjunto das classes de equivalˆencia [z] dos pontos z = (z1 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 tais que zn+1 6= 0. A aplica¸ca˜o ϕ : CP n − CP n−1 → Cn , dada por ϕ([z]) = (z1 /zn+1 , . . . , zn /zn+1 ) ´e bem definida e, na realidade, ´e um homeomorfismo, cujo inverso ϕ−1 : Cn → CP n − CP n−1 ´e dado por ϕ−1 (z1 , . . . , zn ) = [z1 , . . . , zn , 1]. Analogamente ao caso real (v.[AR3], pags. 66 e 134), podemos considerar o espa¸co projetivo complexo como uma superf´ıcie compacta e conexa de dimens˜ao 2n em Rk , onde k = 4(n + 1)2 . Para isto, basta tomar a aplica¸ca˜o f : S 2n+1 → Rk , que associa a cada z = (z1 , . . . , zn+1 ) ∈ S 2n+1 a matriz complexa f (z) = [zi · z¯j ] de or-

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

dem (n+1)×(n+1). Vˆe-se facilmente que f (z) = f (w) ⇔ w = u·z, u ∈ S 1 , logo f induz, por passagem ao quociente, um homeomorfismo entre CP n e f (S 2n+1 ). A orientabilidade de CP n resulta da igualdade H 2n (CP n ) = R. Resta mostrar que CP 1 = S 2 . Para tal, usaremos a fibra¸ca˜o de Hopf, um exemplo cl´assico em Topologia. A fibra¸ca˜o de Hopf ´e uma aplica¸cao diferenci´avel sobrejetiva h : S 3 → S 2 que goza da seguinte propriedade: h(z) = h(w) se, e somente se, existe u ∈ S 1 tal que w = u·z. Segue-se da´ı que S 2 = CP 1 . Falta somente definir h. Um modo simples e elegante de fazer isso ´e usando quat´ernios. (Vide [GFER], p´agina 84.) S 3 ´e o conjunto (grupo multiplicativo) dos quat´ernios de norma 1. Para cada q ∈ S 3 , pomos h(q) = q · i · q −1 , onde i ´e a segunda das unidades quaterniˆonicas 1, i, j, k. Se q = a + bi + cj + dk, um c´alculo imediato, usando a tabela i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, mostra que a parte real do quat´ernio h(q) = q · i · q −1 ´e zero. Assim, h(q) ´e, para todo q ∈ S 3 , um imagin´ario puro, logo pode ser considerado como um elemento de S 2 . A defini¸ca˜o de h deixa claro que h(z) = h(w) ⇔ w = u · z com u ∈ S 1 . A seq¨ uˆencia exata de um compacto serve ainda para provar o Teorema de Dualidade de Alexander, como veremos agora. Seja K um subconjunto compacto pr´oprio (∅ 6= K 6= M ) da superf´ıcie m-dimensional M . Na seq¨ uˆencia exata · · · → Hcr (M ) → Hr (K) → Hcr+1 (M − K) → Hcr+1 (M ) . . . , fa¸camos a hip´otese Hcr (M ) = Hcr+1 (M ) = 0. Ent˜ao obtemos a seq¨ uˆencia exata curta 0 → Hr (K) → Hcr+1 (M − K) → 0 e da´ı conclu´ımos o isomorfismo Hr (K) ≈ Hcr+1 (M − K). Suponhamos, al´em disso, que M seja orient´avel. Ent˜ao, pela Dualidade de Poincar´e [Hcr+1 (M −K)]∗ ≈ H m−r−1 (M −K). Toman-

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do duais no isomorfismo anterior, resulta ent˜ao que [Hr (K)]∗ ≈ H m−r−1 (M − K). Em particular, vemos que, para todo compacto n˜ao-vazio K ⊂ R , vale o isomorfismo m

[Hr (K)]∗ ≈ Hcm−r−1 (Rm − K) para 0 ≤ r < m − 1. Vejamos o que acontece quando r = m − 1. Como K ´e um subconjunto compacto de Rm , temos Hm (K) = 0. Levando em conta que Hcm−1 (Rm ) = 0 e Hcm (Rm ) = R, constatamos que a seq¨ uˆencia exata Hcm−1 (Rm ) → Hm−1 (K) → Hcm (Rm − K) → Hcm (Rm ) → Hm (K), ˇ contida na seq¨ uˆencia de Cech-Alexander-Spanier, se reduz a 0 → Hm−1 (K) → Hcm (Rm − K) → R → 0 e da´ı resulta que Hcm (Rm − K) ≈ Hm−1 (K) ⊕ R. Tomando duais e usando a Dualidade de Poincar´e, conclu´ımos, finalmente, que H 0 (Rm − K) ≈ [Hm−1 (K)]∗ ⊕ R. Isto nos d´a uma vers˜ao um pouco mais geral do Teorema de Jordan-Brouwer, segundo a qual, se K ´e homeomorfo a uma hiperf´ıcie compacta (mesmo desconexa) em Rm ent˜ao Rm − K possui uma componente conexa a mais do que K. Tamb´em resulta desse isomorfismo que se K ´e homeomorfo a uma superf´ıcie de dimens˜ao < m − 1 ent˜ao Rm − K ´e conexo. Consideremos agora o caso r = 0. A seq¨ uˆencia exata Hc0 (Rm − K) → Hc0 (Rm ) → H0 (K) → Hc1 (Rm − K) → Hc1 (Rm )

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reduz-se a 0 → 0 → H0 (K) → Hc1 (Rm − K) → Hc1 (Rm ). Se m > 1, temos Hc1 (Rm ) = 0 e da´ı resulta que H0 (K) ≈ Hc1 (Rm − K). Portanto, tomando duais e aplicando a Dualidade de Poincar´e, vemos que [H0 (K)]∗ ≈ H m−1 (Rm − K) quando m > 1. Eis uma observa¸ca˜o que resulta deste isomorfismo: se M ⊂ Rm ´e um dom´ınio compacto conexo com fronteira regular (= superf´ıcie m-dimensional compacta, conexa com bordo) e ∂M ´e conexo ent˜ao H m−1(M ) = 0. Com efeito, como ∂M ´e conexo, vemos que [H0 (∂M )]∗ = R. Resulta ent˜ao do isomorfismo [H0 (∂M )]∗ ≈ H m−1 (Rm − ∂M ) ⊕ R que H m−1 (Rm − ∂M ) = 0. Pelo Teorema de JordanBrouwer, Rm − ∂M tem duas componentes conexas, uma das quais ´e M − ∂M . Logo H m−1 (M − ∂M ) = 0. Ora, para ε > 0 suficientemente pequeno, o conjunto V = {x ∈ Rm ; d(x, M ) < ε} ´e uma “vizinhan¸ca tubular” de M , difeomorfa a M − ∂M e a proje¸ca˜o π : V → M ´e uma equivalˆencia homot´opica. Portanto H m−1 (M ) ≈ H m−1 (V ) ≈ H m−1 (M − ∂M ) = 0. A superf´ıcie M = {x ∈ R3 ; 1 ≤ |x| ≤ 2} ´e um dom´ınio compacto com fronteira regular em R3 mas H 2 (M ) = R. Isto ´e poss´ıvel porque ∂M = S[0; 1] ∪ S[0; 2] ´e desconexa. Os isomorfismos [Hr (K)]∗ ≈ H m−r−1 (Rm − K) para 0 ≤ r < m − 1, [Hm−1 (K)]∗ ⊕ R ≈ H 0 (Rm − K) [H0 (K)]∗ ≈ H m−1 (Rm − K) ⊕ R se m > 1, constituem o chamado Teorema de Dualidade de Alexander. O grupo [Hr (K)]∗ , dual da cohomologia de K, coincide com o ˇ r-´esimo grupo de homologia de Cech de K com coeficientes em R

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e o Teorema de Dualidade de Alexander diz, sucintamente, que a homologia de dimens˜ao r de K ⊂ Rm concide com a cohomologia de dimens˜ao m − r − 1 do seu complemento Rm − K. Exemplo 20. Seja X = A ∪ B ∪ C ⊂ R2 , onde A ´e o intervalo [−1, 1] do eixo y, B ´e o gr´afico da fun¸ca˜o cont´ınua f : (0, 1/2π] → R, dada por f (x) = sen(1/x), e C ´e um arco simples ligando os pontos (0, −1) e (1/2π, 0) sem tocar em nenhum outro ponto de A ∪ B. O conjunto X ´e compacto e conexo por caminhos. Al´em disso, dado qualquer ε tal que 0 < ε < 1/2π, se chamarmos de B 0 o gr´afico da restri¸ca˜o de f ao intervalo [ε, 1/2π], o conjunto X 0 = A ∪ B 0 ∪ C ´e homeomorfo a um intervalo, logo ´e contr´atil. Ora, todo caminho em X est´a contido em X 0 para algum ε > 0. Logo X ´e simplesmente conexo. Entretanto, como mostraremos agora, tem-se H1 (X) = R. De fato, para todo k suficientemente grande, a vizinhan¸ca Vk = {z ∈ R2 ; d(z, X) < 1/k} ´e homeomorfa a R2 − {0}, logo H 1 (Vk ) = R. Al´em disso, sempre que k < s, a inclus˜ao i : Vs → Vk ´e uma equivalˆencia homot´opica, logo a restri¸ca˜o ϕks : H 1 (Vk ) → H 1 (Vs ) ´e um isomorfismo e da´ı H1 (X) = lim H 1 (Vk ) = R. Este simples k→∞

exemplo ilustra o fato geral de que a cohomologia Hr (K) se adapta bem a conjuntos ex´oticos, fornecendo informa¸co˜es n˜ao detectadas por invariantes mais tradicionais como o grupo fundamental e a cohomologia singular. Exemplo 21. (A solen´oide.) Seja T ⊂ R3 o toro s´olido padr˜ao, gerado pela rota¸ca˜o, em torno do eixo Oz, de um disco vertical de raio < 1, cujo centro descreve a circunferˆencia C = {(x, y, 0) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1}. Consideremos outro toro s´olido T 0 , contido no interior de T , o qual ´e a reuni˜ao disjunta de discos de mesmo raio, cujos centros descrevem uma curva diferenci´avel fechada C 0 , que d´a duas voltas em torno do eixo vertical Oz. (Ver figura.) A proje¸ca˜o de cada um dos discos acima mencionados sobre seu centro define equivalˆencias homot´opicas T → C e T 0 → C 0 , portanto H 1 (T ) e

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[CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

H 1 (T 0 ) s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao 1. Como bases desses espa¸cos, tomamos as classes de cohomologia das formas fechadas R R ω ∈ Λ1 (T ) e ω 0 ∈ Λ1 (T 0 ) tais que C ω = 1 e C 0 ω 0 = 1. Por ¡ −y ¢ 1 x exemplo, podemos tomar ω(x, y, z) = 2π dx + dy e 2 2 2 2 x +y R x +y assim, para cada caminho fechado γ em T a integral γ ω ´e igual ao n´ umero de voltas que γ d´a em torno do eixo Oz. Considerando a aplica¸ca˜o de inclus˜ao i : T 0 → T , vemos que i ◦ C 0 ´e uma curva em R T que d´a duas voltas em torno do eixo Oz, portanto i◦C 0 ω = 2. Assim, o homomorfismo induzido i∗ : H 1 (T ) → H 1 (T 0 ) ´e tal que R R R ∗ i ω = i◦C 0 ω = 2 = 2 · C 0 ω. Segue-se que i∗ [ω] = 2 · [ω 0 ], logo C0 i∗ : H 1 (T ) → H 1 (T 0 ) ´e um isomorfismo.

Figura 10. Um toro dando duas voltas dentro de outro; primeira etapa da constru¸ca˜o do solen´oide.

Iterando a constru¸ca˜o acima, obtemos uma seq¨ uˆencia decrescente T1 ⊃ T2 ⊃ · · · ⊃ Tk ⊃ . . . de toros s´olidos tridimensionais, cada um deles dando duas voltas no interior do precedente. A inT terse¸ca˜o S = Tk chama-se uma solen´oide. k∈N

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A solen´oide S ´e um conjunto compacto, conexo e n˜ao-vazio. [CA2, pags.59 e 65.] ´ claro que H0 (S) = R e Hr (S) = 0 se r ≥ 2. A fim de E determinar H1 (S), consideramos, para cada k ∈ N, o aberto Vk = int. Tk . Ent˜ao V1 ⊃ V2 ⊃ · · · ⊃ Vk ⊃ . . . ´e um conjunto cofinal de vizinhan¸cas de S. (Vide [CA2], pag.50.) Cada inclus˜ao j : Vk → Tk ´e uma equivalˆencia homot´opica, logo H 1 (Vk ) tem dimens˜ao 1 e, al´em disso, cada aplica¸ca˜o de restri¸ca˜o H 1 (Vk ) → H 1 (Vk+1 ) ´e um isomorfismo, portanto H1 (S) = lim H 1 (Vk ) tem dimens˜ao 1. k→∞

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Cap´ıtulo III Homologia Simplicial Veremos neste cap´ıtulo o segundo exemplo de um complexo de cadeias associado a um espa¸co topol´ogico, a saber, o complexo simplicial. Com ele, definiremos os grupos de homologia e cohomologia de um poliedro e, mais geralmente, de um espa¸co topol´ogico triangul´avel, isto ´e, homeomorfo a um poliedro. Trata-se de uma situa¸ca˜o mais abrangente do que a cohomologia de deRham, em primeiro lugar porque toda superf´ıcie diferenci´avel ´e triangul´avel. (Vide [M].) Em segundo lugar, porque esses grupos (que, na realidade, s˜ao m´odulos) podem ser tomados com coeficientes num anel comutativo arbitr´ario. Poder´ıamos acrescentar ainda que disporemos de homologia, al´em da cohomologia, mas devemos admitir que, no cap´ıtulo anterior, a homologia ocorreu disfar¸cada, como dual da cohomologia nos teoremas de dualidade de Poincar´e e de Alexander.

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Poliedros

Diz-se que a0 , a1 , . . . , ar em Rn s˜ao pontos independentes quando os vetores a1 −a0 , a2 −a0 , . . . , ar −a0 s˜ao linearmente independentes. 80 i

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[SEC. 1: POLIEDROS

Como se vˆe sem dificuldade, esta defini¸ca˜o n˜ao depende da ordem em que os pontos foram listados inicialmente. Exemplo 1. Dois pontos distintos s˜ao independentes. Trˆes pontos s˜ao independentes quando s˜ao n˜ao-colineares e quatro pontos independentes s˜ao pontos n˜ao-coplanares. Se {e1 , . . . , en } ´e a base canˆonica de Rn , os pontos 0, e1 , . . . , en s˜ao independentes. O n´ umero m´aximo de pontos independentes em Rn ´e n + 1. Uma combina¸ca˜o afim de pontos a0 , a1 , . . . , ar em Rn ´e uma express˜ao do tipo p = α0 · a0 + α1 · a1 + · · · + αr · ar com α0 + α1 + · · · + αr = 1. Se, al´em disso, tivermos α0 ≥ 0, α1 ≥ 0, . . . , αr ≥ 0, diremos que p ´e uma combina¸ca˜o convexa dos pontos a0 , a1 , . . . , ar . Um conjunto X ⊂ Rn ´e convexo se, e somente se, toda combina¸ca˜o convexa de elementos de X ainda pertence a X. O conjunto de todas as combina¸co˜es convexas de um conjunto arbitr´ario X ⊂ Rn ´e convexo. Ele ´e chamado a envolt´oria convexa de X e est´a contido em qualquer conjunto convexo que contenha X. Neste sentido, a envolt´oria convexa de X ´e o menor conjunto convexo contendo X. Podemos descrevˆe-la como a interse¸ca˜o de todos os conjuntos convexos que contˆem X. Teorema 1. Sejam a0 , a1 , . . . , ar pontos de Rn . As seguintes afirma¸co˜es s˜ao equivalentes: (1) a0 , a1 , . . . , ar s˜ao pontos independentes; r r P P βi ai s˜ao iguais α i ai e q = (2) Se as combina¸co˜es afins p = i=0

i=0

ent˜ao α0 = β0 , α1 = β1 , . . . , αr = βr .

Demonstra¸c˜ ao: Supondo (1), admitamos que p = q. Fazendo as substitui¸co˜es α0 = 1 − (α1 + · · · + αr ) e βo = 1 − (β1 + · · · + βr ), obtemos a0 +

r X i=1

αi (ai − a0 ) = a0 +

r X

βi (ai − a0 ),

i=1

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

portanto α1 = β1 , . . . , αr = βr , pois os vetores a1 − a0 , . . . , ar − a0 s˜ao linearmente independentes. Conseq¨ uentemente α0 = β0 e assim (1) ⇒ (2). Reciprocamente, supondo (2) verdadeira, admitamos por absurdo que um dos vetores ai −a0 seja combina¸ca˜o linear dos demais, digamos que se tenha a1 − a0 = α2 (a2 − a0 ) + · · · + αr (ar − a0 ), ou seja, que a1 = (1 − α2 − · · · − αr )a0 + α2 a2 + · · · + αr ar . Os dois membros desta u ´ltima igualdade nos d˜ao duas combina¸co˜es afins dos pontos a0 , a1 , . . . , ar , as quais s˜ao iguais por´em tˆem coeficientes diferentes, o que contraria a hip´otese (2). Portanto (2) ⇒ (1). Sejam a0 , a1 , . . . , ar pontos independentes em Rn . O simplexo r-dimensional que tem estes pontos como v´ertices ´e o conjunto r P s = ha0 , a1 , . . . , ar i de todas as combina¸co˜es convexas p = α i ai , i=0

ou seja, ´e a envolt´oria convexa do conjunto {a0 , a1 , . . . , αr }. r P Se p = αi ai ∈ s com α0 ≥ 0, α1 ≥ 0, . . . , αr ≥ 0, e α1 + i=0

· · · + αr = 1, os n´ umeros α0 , α1 , . . . , αr chamam-se as coordenadas baricˆentricas do ponto p. Se todas as coordenadas baricˆentricas do ponto p ∈ s s˜ao positivas, diz-se que p ´e um ponto interior de s. O conjunto dos pontos interiores de s ´e convexo e constitui o que se chama um simplexo aberto. Os pontos de s que n˜ao s˜ao interiores, ou seja, que tˆem alguma coordenada baricˆentrica nula, formam o bordo de s. Fixado um subconjunto {i0 , i1 , . . . , ik } ⊂ {0, 1, . . . , r}, o simplexo hai0 , ai1 , . . . , aik i ´e chamado uma face de s. Em particular, cada v´ertice de s ´e uma face (de dimens˜ao zero). Para cada i = 0, 1, . . . , r, a face s(i) = ha0 , a1 , . . . , abi , . . . , ar i chama-se a face oposta ao v´ertice ai .

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[SEC. 1: POLIEDROS

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Observa¸c˜ ao. As denomina¸co˜es de ponto interior, simplexo aberto, etc, tˆem significados referentes ao simplexo e n˜ao ao espa¸co euclidiano que o cont´em. Por exemplo, se a, b, c ∈ R3 s˜ao pontos n˜aocolineares, p = 31 a + 31 b + 31 c ´e um ponto interior do simplexo (triˆangulo) s = ha, b, ci mas, considerando s como subconjunto de R3 , seu interior ´e vazio. Do lado positivo, se a0 , a1 , . . . , ar s˜ao pontos independentes em Rn e V ´e a variedade afim (r-dimensional) por eles gerada ent˜ao o simplexo aberto que tem esses pontos como v´ertices ´e um subconjunto aberto de V e os pontos interiores do simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i pertencem ao interior (topol´ogico) de s em V . Dado um conjunto convexo arbitr´ario C ⊂ Rn , diz-se que p ∈ C ´e um ponto extremo de C quando p n˜ao pertence a segmento de reta aberto algum contido em C. Por exemplo, se B ´e uma bola fechada em rela¸ca˜o a` norma euclidiana em Rn e a esfera S ´e o bordo de B ent˜ao todo ponto de S ´e um ponto extremo do conjunto convexo ´ claro que nenhum ponto interior a C pode ser extremo. B. E Teorema 2. Os pontos extremos do simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i s˜ao os seus v´ertices. Demonstra¸c˜ ao: Em primeiro lugar, se p 6= q pertencem a s, um ponto interior do segmento de reta [p, q] ´e da forma (1−t)p+tq com 0 < t < 1, logo nenhuma de suas coordenadas baricˆentricas pode ser igual a 1. Portanto esse ponto n˜ao ´e v´ertice de s e assim todo ai ´e extremo. Reciprocamente, se p ∈ s n˜ao ´e v´ertice de s ent˜ao, chamando de t a face de s de menor dimens˜ao que cont´em o ponto p, temos dim t > 0 e p pertence ao interior de t. Logo p n˜ao ´e um ponto extremo de t e, conseq¨ uentemente, n˜ao ´e um ponto extremo de s. O teorema acima caracteriza, de forma intr´ınseca e un´ıvoca, os v´ertices de um simplexo.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

Um poliedro ´e um subconjunto K ⊂ Rn , no qual foi especificada uma cole¸ca˜o finita de simplexos de Rn , chamados os simplexos de K, de modo que as condi¸co˜es abaixo s˜ao satisfeitas: 1) Todo ponto de K pertence a algum simplexo de K (ou seja, K ´e a reuni˜ao dos seus simplexos); 2) Toda face de um simplexo de K ´e ainda um simplexo de K; 3) Se s e t s˜ao simplexos de K ent˜ao s ∩ t ´e vazio ou ´e uma face comum a s e t (e portanto ´e um simplexo de K). Por abuso de nota¸ca˜o, escreveremos s ∈ K quando s for um simplexo de K. Exemplo 2. O poliedro mais simples ´e um simplexo, juntamente com suas faces. Em dimens˜oes 0, 1, 2 e 3, ele ´e respectivamente um ponto, um segmento de reta, um triˆangulo ou um tetraedro. /

a0

a2

a1

a1

a2 a0

a1 a3 a0

a0

Figura 11. Simplexos de dimens˜oes 0, 1, 2 e 3.

Todo ponto de um poliedro K pertence ao interior de um u ´nico simplexo de K, a saber, o simplexo de dimens˜ao m´ınima que cont´em esse ponto. Segue-se de 3) que se s e t s˜ao simplexos de K ent˜ao o interior de s e o interior de t coincidem (se s = t) ou s˜ao disjuntos. Por isso, um poliedro pode tamb´em ser definido como uma reuni˜ao finita de simplexos abertos, dois a dois disjuntos, tais que cada face de um desses simplexos ´e ainda um deles. A dimens˜ao de um poliedro ´e a maior dimens˜ao de um dos seus simplexos.

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Um subpoliedro do poliedro K ´e um poliedro L cujos simplexos s˜ao tamb´em simplexos de K. Uma aplica¸ca˜o f : K → L do poliedro K no poliedro L chama-se simplicial quando, para todo simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i ∈ K, as imagens f (a0 ), f (a1 ), . . . , f (ar ) s˜ao v´ertices de um mesmo simplexo P t ∈ L e, al´em disso, para todo ponto p = αi · ai em s, tem-se P f (p) = αi · f (ai ) ∈ t.

Toda aplica¸ca˜o simplicial f : K → L ´e cont´ınua, pois K ´e uma reuni˜ao finita de conjuntos compactos (seus simplexos), restrita a cada um dos quais f ´e cont´ınua.

A fim de definir uma aplica¸ca˜o simplicial f : K → L basta especificar a imagem f (a) de cada v´ertice a ∈ K contanto que, para todo simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i ∈ K, os pontos f (a0 ), f (a1 ), . . . , f (ar ) sejam v´ertices (n˜ao necessariamente distintos) de um mesmo simplexo t ∈ L. O esqueleto r-dimensional de um poliedro K ´e o subpoliedro K formado pelos simplexos de K que tˆem dimens˜ao ≤ r. r

Por exemplo, se K ´e o poliedro que se resume a um u ´nico simplexo (n + 1)-dimensional s, com suas faces, seu esqueleto ndimensional K n ´e o bordo do simplexo s, portanto ´e homeomorfo a` esfera S n . Isto mostra que a esfera S n ´e um espa¸co triangul´avel, isto ´e, homeomorfa a um poliedro. Uma triangula¸ca˜o (homeomorfismo) f : K m → S n ´e, por exemplo, a proje¸ca˜o central a partir do baricentro de s. No que se segue, ocorrer˜ao alguns outros exemplos de espa¸cos triangul´aveis, os quais trataremos como poliedros, inclusive calculando a homologia simplicial dos mesmos. Ainda neste cap´ıtulo, mostraremos que essa homologia n˜ao depende da triangula¸ca˜o considerada. Diz-se que os poliedros K e L s˜ao isomorfos quando existem aplica¸co˜es simpliciais f : K → L e g : L → K tais que g ◦ f = idK e f ◦ g = idL . Ent˜ao f e g s˜ao isomorfismos, um inverso do outro.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

A fim de obter um isomorfismo entre os poliedros K e L, basta estabelecer uma bije¸ca˜o entre os v´ertices de K e os de L, de tal modo que a v´ertices de K pertencentes ao mesmo simplexo correspondam v´ertices de L que tamb´em est˜ao num mesmo simplexo. Por isso um poliedro fica determinado (a menos de um isomorfismo) pelo esquema simplicial por ele definido. Um esquema simplicial ´e um conjunto finito K, cujos elementos s˜ao chamados v´ertices, juntamente com uma fam´ılia Φ de subconjuntos n˜ao-vazios de K, chamados simplexos, com as seguintes propriedades: S 1) K = s; s∈Φ

2) Se s ∈ Φ e t ´e um subconjunto n˜ao-vazio de s ent˜ao t ∈ Φ.

Se s ∈ Φ tem r + 1 elementos, dizemos que o simplexo s tem dimens˜ao r. Se (K, Φ) e (L, Ψ) s˜ao esquemas simpliciais, uma aplica¸ca˜o f : K → L chama-se simplicial quando f (Φ) ⊂ Ψ. Um isomorfismo entre os esquemas K e L ´e uma aplica¸ca˜o simplicial bijetiva f : K → L. (A inversa f −1 : L → K ´e necessariamente simplicial.) O exemplo mais imediato de um esquema simplicial ´e aquele definido por um poliedro K. Os elementos de K s˜ao os v´ertices de K e um simplexo de K ´e o conjunto dos v´ertices de um simplexo de K. Num certo sentido, este ´e o exemplo mais geral. Com efeito, dado o esquema simplicial K = {a1 , a2 , . . . , an } consideremos, no espa¸co euclidiano Rn , a base canˆonica {e1 , . . . , en } e o poliedro K cujos v´ertices s˜ao os pontos ei e cujos simplexos s˜ao os s = hei0 , ei1 , . . . , eir i tais que {ai0 , ai1 , . . . , air } ´e um simplexo de K. Ent˜ao o esquema do poliedro K ´e obviamente isomorfo a K. Dizemos neste caso, que K ´e a realiza¸ca˜o geom´etrica do esquema simplicial K. Exemplo 3. Seja U = {U1 , . . . , Un } uma cobertura finita do espa¸co topol´ogico X. (Geralmente, X ´e compacto e U ´e aberta

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[SEC. 1: POLIEDROS

mas a defini¸ca˜o geral n˜ao faz uso destas hip´oteses.) O nervo da cobertura U ´e o esquema simplicial N (U) cujos v´ertices s˜ao os elementos Ui da cobertura dada e cujos simplexos s˜ao os conjuntos s = {Ui0 , Ui1 , . . . , Uir } tais que Ui0 ∩ Ui1 ∩ · · · ∩ Uir 6= ∅. Quando X ´e compacto e U ´e aberta, a realiza¸ca˜o geom´etrica do nervo N (U) ´e pensada como uma aproxima¸ca˜o poliedral de X. (Tanto mais aproximada quanto mais fina ´e a cobertura U.) Este ´e o passo ˇ inicial para a defini¸ca˜o da homologia de Cech. / δ

γ

α

β

Figura 12.

Exemplo 4. O toro T 2 pode ser pensado como o espa¸co quociente de um retˆangulo pela rela¸ca˜o de equivalˆencia que identifica cada lado com o lado oposto mantendo as orienta¸co˜es. Mais explicitamente, se o retˆangulo ´e [α, β] × [γ, δ], as identifica¸co˜es s˜ao (x, γ) ≡ (x, δ) e (α, y) ≡ (β, y) para todo x ∈ [α, β] e todo y ∈ [γ, δ]. O esquema indicado na Figura 12 mostra uma triangula¸ca˜o do toro que o exibe como um poliedro com 9 v´ertices, 27 arestas (simplexos de dimens˜ao 1) e 18 faces (simplexos de dimens˜ao 2). / Exemplo 5. O plano projetivo P 2 , visto como o espa¸co quociente de um disco plano pela rela¸ca˜o de equivalˆencia que identifica

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cada ponto do bordo com o seu ant´ıpoda, pode ser considerado, na forma indicada pela Figura 13, como um poliedro com 9 v´ertices, 24 arestas e 16 faces. Na verdade, a figura define com precis˜ao um esquema abstrato cuja realiza¸ca˜o geom´etrica ´e um poliedro s0

s00

s000

s

s000

s

s0

s00

Figura 13.

homeomorfo a P 2 . Como ´e uma superf´ıcie bidimensional compacta n˜ao-orient´avel, sabemos que P 2 n˜ao pode ser mergulhado em R3 . /

2

O complexo simplicial

Existem (r +1)! maneiras de ordenar os v´ertices de um simplexo de dimens˜ao r. Consideremos equivalentes duas dessas ordena¸co˜es quando uma delas puder ser obtida da outra por meio de uma permuta¸ca˜o par dos r + 1 v´ertices. H´a duas classes de equivalˆencia segundo esta rela¸ca˜o. Cada uma dessas classes chama-se uma orienta¸ca˜o do simplexo. Orientar um simplexo ´e dot´a-lo de uma dessas duas orienta¸co˜es poss´ıveis. (Isto pressup˜oe r > 0. Se r = 0, orientar um ponto ´e apenas precedˆe-lo do sinal + ou do sinal −.)

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Escreveremos s = [a0 , a1 , . . . , ar ] para indicar o simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i munido da orienta¸ca˜o determinada pela ordem a0 < a1 < · · · < ar . O mesmo simplexo, quando munido da outra orienta¸ca˜o (chamada orienta¸ca˜o oposta), ser´a indicado com −ss. Assim, por exemplo, se tomarmos no triˆangulo s = ha, b, ci a orienta¸ca˜o s = [a, b, c], a orienta¸ca˜o oposta ser´a −ss = [b, a, c]. Note que [a, b, c] = [c, a, b] = [b, c, a] = −[a, c, b] = −[b, a, c] = −[c, b, a]. Analogamente, as duas orienta¸co˜es poss´ıveis do tetraedro s = ha, b, c, di s˜ao s = [a, b, c, d] e −ss = [b, a, c, d]. a2

s

a1

a0 s = [a0 , a1 , a2 ], s(0) = [a1 , a2 ], s(1) = [a2 , a0 ], s(2) = [a0 , a1 ] Figura 14.

Dado o simplexo orientado s = [a0 , a1 , . . . , ar ], a orienta¸ca˜o induzida por s na face s(0) = ha1 , a2 , . . . , ar i, oposta ao v´ertice a0 , ´e s (0) = [a1 , a2 , . . . , ar ]. Levando em conta que [ai , a0 , a1 ,. . ., abi ,. . ., ar ] = (−1)i s , segue-se que a orienta¸ca˜o induzida por s na i-´esima face s (i) = ha0 , . . . , abi , . . . , ar i ´e s (i) = (−1)i [a0 , . . . , abi , . . . , ar ]. Quando orientamos um simplexo r-dimensional, suas faces de dimens˜ao r − 1 herdam as orienta¸co˜es induzidas. O mesmo n˜ao se

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d´a com as faces de dimens˜ao r − 2, conforme esclarece o teorema seguinte. a3

a2

a0

a1 ¡ ¢ ¡ ¢ s = [a0 , a1 , a2 , a3 ], s(0) (2) = [a3 , a1 ], s(2) (0) = [a1 , a3 ] Figura 15.

Teorema 3. Num simplexo r-dimensional orientado s toda face (r − 2)-dimensional t pertence a duas faces de dimens˜ao r − 1, as quais, com as orienta¸co˜es nelas induzidas por s , induzem orienta¸co˜es opostas em t. Demonstra¸c˜ ao: Sejam s = [a0 , a1 , . . . , ar ] e t = ha0 , . . . , abi , . . . , abj , . . . , ar i, com i < j. As faces (r − 1)-dimensionais de s (com as orienta¸co˜es induzidas) que contˆem t s˜ao s (i) = (−1)i [a0 , . . . , abi , . . . , aj , . . . , ar ] e

s (j) = (−1)j [a0 , . . . , ai , . . . , abj , . . . , ar ].

As orienta¸co˜es que s (i) e s (j) , induzem em t s˜ao, respectivamente, (ss(i) )(j) = (−1)i+j−1 [a0 , . . . , abi , . . . , abj , . . . , ar ] e

(ss(j) )(i) = (−1)i+j [a0 , . . . , abi , . . . , abj , . . . , ar ], i

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as quais s˜ao opostas uma da outra. O Teorema 3 ´e o ponto de partida para a defini¸ca˜o do complexo de cadeias que associaremos a cada poliedro. Vejamos como. Dados o poliedro K e o anel comutativo com unidade A (anel dos coeficientes), consideramos, para cada inteiro r ≥ 0, o Am´odulo Cr (K, A), que na intimidade chamaremos de “grupo” e denotaremos por Cr (K), salvo quando houver necessidade de sermos mais expl´ıcitos. Os elementos de Cr (K), chamados cadeias P r-dimensionais, s˜ao as combina¸co˜es lineares formais x = xis i de simplexos r-dimensionais orientados s i ∈ K, com coeficientes xi ∈ A. Cada Cr (K), r = 0, 1, . . . ´e um A-m´odulo livre: escolhendo em cada r-simplexo s ∈ K uma orienta¸ca˜o, as r-cadeias s assim obtidas formam uma base de Cr (K). A fim de definir o operador-bordo ∂ : Cr (K) → Cr−1 (K) basta dar o significado de ∂ss para cada r-simplexo orientado s . r P Poremos ent˜ao ∂ss = s (i) , onde s (i) ´e a i-´esima face de s com i=0

a orienta¸ca˜o induzida. Se s = [a0 , a1 , . . . , ar ] ent˜ao s (i) = (−1)i [a0 ,. . . ,abi , . . . , ar ]. Portanto r X (−1)i [a0 , . . . , abi , . . . , ar ]. ∂[a0 , a1 , . . . , ar ] = i=0

Segue-se do Teorema 3 que ∂◦∂ = 0 e, se dim K = n, a seq¨ uˆencia ∂

∂

∂

∂

C(K) : Cn (K) −→ Cn−1 (K) −→ . . . −→ C1 (K) −→ C0 (K) → 0 ´e um complexo de cadeias. Por completeza, pomos ∂x = 0 para P toda cadeia de dimens˜ao 0, x = xi ai , combina¸ca˜o linear dos P v´ertices ai do poliedro K. Mais geralmente, se x = xisi ´e uma combina¸ca˜o linear de r-simplexos orientados s i ∈ K com coefiP cientes xi ∈ A, por defini¸ca˜o tem-se ∂x = xi ∂ssi . i

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

A fim de tornar mais expedito o manuseio alg´ebrico das cadeias (principalmente ao tratarmos de aplica¸co˜es simpliciais), vamos ampliar a no¸ca˜o de simplexo orientado, admitindo que, ao escrevermos s = [a0 , a1 , . . . , ar ], os pontos a0 , a1 , . . . , ar sejam ainda v´ertices de um mesmo simplexo em K, por´em agora sendo permitidas repetic¸o˜es, ou seja, podendo-se ter ai = aj com i 6= j. Mas continuaremos impondo que, ao se submeterem os v´ertices de s a uma permuta¸ca˜o ´ımpar, passa-se de s a −ss. Mais explicitamente: se s = [a0 , a1 , . . . , ar ] e σ ´e uma permuta¸ca˜o do conjunto {0, 1, . . . , r} ent˜ao [aσ(0) , aσ(1) , . . . , aσ(r) ] = ±[a0 , a1 , . . . , ar ], conforme a permuta¸ca˜o σ seja par ou ´ımpar. Em consonˆancia com o fato de que um simplexo orientado muda de sinal quando seus v´ertices s˜ao submetidos a uma permuta¸ca˜o ´ımpar, imporemos que seja [a0 , a1 , . . . , ar ] = 0 caso se tenha ai = aj para algum par (i, j) com i 6= j. Noutras palavras, todo simplexo orientado degenerado (com um ou mais v´ertices repetidos) ´e igual a zero. Observa¸c˜ ao. Seja s = [a0 , a1 , . . . , ar ] um simplexo orientado degenerado, digamos com ai = aj , i 6= j. Trocando as posi¸co˜es dos v´ertices ai e aj , sem mover os demais, dever´ıamos ter [a0 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , ar ] = −[a0 , . . . , aj , . . . , ai , . . . , ar ]. Como ai = aj , isto nos diz que s = −ss para todo simplexo degenerado s . Se o anel A dos coeficientes ´e tal que 1 + 1 6= 0, conclu´ımos que todo simplexo degenerado ´e nulo, sem haver necessidade de adotar este fato por defini¸ca˜o. Ocorre, entretanto, que h´a situa¸co˜es relevantes em que ´e conveniente considerar homologia com coeficiente em Z2 ou noutros an´eis onde 1 + 1 = 0. Por isso foi necess´ario impor que s = 0 quando s ´e degenerado. A fim de mostrar que a defini¸ca˜o de ∂ continua v´alida mesmo diante do fato de que s = 0 quando s ´e degenerado, ´e preciso provar que, neste caso, tem-se necessariamente ∂ss = 0.

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[SEC. 2: O COMPLEXO SIMPLICIAL

Com efeito, seja s = [a0 , a1 , . . . , ar ], onde ai = aj (= b) com 0 ≤ i < j ≤ r. Por defini¸ca˜o, temos ∂ss =

r X k=0

(−1)k [a0 , . . . , abk , . . . , ar ].

No somat´orio acima, exceto as parcelas em que k = i ou k = j, as demais correspondem a simplexos degenerados, logo s˜ao nulas. A soma reduz-se portanto a ∂ss = (−1)i [a0 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , aj−1 , b, aj+1 , . . . , ar ] + (−1)j [a0 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , aj−1 , aj+1 , . . . , ar ] = 0 pois o segundo simplexo se transforma no primeiro fazendo b dar j − i − 1 saltos, ap´os cada um dos quais h´a uma mudan¸ca de sinal. No fim, a segunda parcela aparece com o coeficiente (−1)j+j−i−1 = (−1)i+1 , logo anula a primeira. Temos assim associado a cada poliedro K e cada anel comutativo com unidade A, o complexo de cadeias ∂

∂

∂

C(K; A) = C(K) : Cn (K) −→ Cn−1 (K) −→ . . . −→ ∂

C1 (K) −→ C0 (K). Isto nos p˜oe em condi¸co˜es de utilizar o formalismo desenvolvido no Cap´ıtulo 1. Por exemplo, se L ⊂ K ´e um subpoliedro, temos a homologia relativa Hr (K; L) com a respectiva seq¨ uˆencia exata e, se K = K1 ∪ K2 onde K1 e K2 s˜ao subpoliedros, vale a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris correspondente. Uma aplica¸ca˜o simplicial f : K → L, do poliedro K no poliedro L, induz um morfismo do complexo de cadeias C(K) em C(L), o qual indicamos com o mesmo s´ımbolo f . Para cada r ≥ 0, o homomorfismo f : Cr (K) → Cr (L) ´e definido, de modo natural pondo, para cada r-simplexo orientado s = [a0 , . . . , ar ], f (ss) = [f (a0 ), . . . , f (ar )]. Isto nos d´a imediatamente f (ss) = 0 se f (ai ) =

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f (aj ) com i 6= j. Al´em dissso, vˆe-se facilmente que f (∂ s ) = ∂ f (ss), logo f : C(K) → C(L) ´e, de fato, um morfismo, o qual determina, em cada dimens˜ao r, o homomorfismo f∗ : Hr (K) → Hr (L), dado por f∗ ([z]) = [f (z)]. Diz-se que f∗ ´e o homomorfismo induzido pela aplica¸ca˜o simplicial f : K → L. Se f : K → L e g : L → M s˜ao aplica¸co˜es simpliciais ´e claro que g ◦f : K → M tamb´em ´e simplicial e tem-se (g ◦f )∗ = g∗ ◦f∗ . Al´em disso, como a aplica¸ca˜o identidade de K → K induz o homomorfismo identidade Hr (K) → Hr (K), segue-se que um isomorfismo de poliedros f : K → L induz isomorfismos f∗ : Hr (M ) → Hr (L) em todas as dimens˜oes. H´a ainda o complexo C ∗ (K) formado pelos A-m´odulos C r (K) = Hom(Cr (K); A) das cocadeias, cujos grupos de cohomologia H r (K) = H r (K; A) desempenham papel relevante no desenvolvimento da teoria.

3

Primeiros exemplos de homologia simplicial

Exemplo 6. A homologia de dimens˜ao zero. Como o bordo de um P v´ertice ´e zero, toda cadeia 0-dimensional x = xi ai no poliedro K ´e um ciclo, ou seja C0 (K) = Z0 (K). A fim de determinar o conjunto B0 (K) dos bordos de dimens˜ao 0, suporemos inicialmente que o poliedro K seja conexo. Como se vˆe facilmente, isto equivale a dizer que existe um caminho de arestas em K ligando dois v´ertices quaisquer. Explicitamente: dados dois v´ertices arbitr´arios a, b ∈ K, existem v´ertices a0 = a, a1 , . . . , am = b em K tais que [ai−1 , ai ] ´e uma aresta (simplexo unidimensional) em K para i = 1, 2, . . . , m. Dado o poliedro conexo K, definimos o homomorfismo In: C0 (K) P P → A pondo, para cada 0-cadeia x = xi ai em K, In(x) = xi . O elemento In(x) ∈ A chama-se o ´ındice de Kronecker de 0-cadeia x. Pois bem, a cadeia x ∈ C0 (K) ´e um bordo se, e somente se, seu

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´ındice de Kronecker ´e igual a zero. De fato, se existir y ∈ C1 (K) tal que ∂y = x ent˜ao, escrevendo P P P P y= yi [bi , ci ] temos xi ai = x = ∂y = yi ci − yi bi portanto P P P In(x) = yi − yi = 0. Reciprocamente, se a 0-cadeia x = x i ai P ´e tal que In(x) = xi = 0 ent˜ao, fixando um v´ertice arbitr´ario a ∈ K, usamos a conexidade de K a fim de obter, para cada i, um caminho de arestas em K ligando a e ai , ou seja, uma 1-cadeia ci P tal que ∂ci = ai − a. Ent˜ao, considerando a 1-cadeia y = xi c i ¡P ¢ P P xi ai = x, portanto x ´e um xi a = vemos que ∂y = x i ai − bordo. O caso em que o poliedro K n˜ao ´e conexo resulta de um fato m S Ki ´e a express˜ao de K como reuni˜ao de mais geral: se K = i=1

suas componentes conexas (cada uma das quais ´e um poliedro, pois todo simplexo ´e conexo) ent˜ao, para todo r ≥ 0 tem-se Hr (K) = Hr (K1 ) ⊕ Hr (K2 ) ⊕ · · · ⊕ Hr (Km ), como se vˆe sem dificuldade. Em particular, tomando r = 0 obtemos H0 (K) = Am , onde m ´e o n´ umero de componentes de K. / Exemplo 7. A homologia de um cone. Quando t = ha, a0 , . . . , ar i e s = ha0 , . . . , ar i ´e a face de t oposta ao v´ertice a, escrevemos t = a ∗ s. Se a ´e um v´ertice do poliedro K, diz-se que K ´e um cone de v´ertice a quando, para todo simplexo s ∈ K que n˜ao tem a como v´ertice, t = a ∗ s ´e um simplexo de K. A reuni˜ao L dos simplexos de K dos quais a n˜ao ´e v´ertice ´e um subpoliedro. Tem-se S a ∗ s, portanto ´e natural escrever K = a ∗ L e dizer que L ´e K= s∈L

a base do cone K com v´ertice a. Um caso particular ocorre quando L ´e um poliedro contido numa variedade afim V ⊂ Rn de dimens˜ao S ≤ n − 1, a ∈ /V eK= a ∗ s. s∈L

Seja K um cone de v´ertice a. Como todo ponto de K pode ser ligado a a por um segmento de reta, K ´e conexo, logo H0 (K) = A. Para calcular Hr (K) com r ≥ 1, consideremos a aplica¸ca˜o A-linear a∗ : Cr (K) → Cr+1 (K) definida pondo-se, para cada

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

s = [a0 , a1 , . . . , ar ] ∈ Cr (K), a ∗ s = [a, a0 , . . . , ar ], logo a ∗ x = P P xi · a ∗ si quando x = xisi . Notemos que a ∗ s = 0 quando a ´e um v´ertice do simplexo s. Verifica-se facilmente que, quando s ∈ K tem dimens˜ao ≥ 1, ∂(a ∗ s ) = s − a ∗ ∂ss para todo s ∈ K e da´ı ∂(a ∗ x) = x − a ∗ ∂x para toda cadeia x ∈ Cr (K). Ent˜ao, se z ∈ Zr (K) ´e um ciclo de dimens˜ao ≥ 1, tem-se z = ∂(a ∗ z). Portanto, quando r ≥ 1, todo r-ciclo ´e um bordo, ou seja, Hr (K) = 0. Em particular, se s ´e um simplexo, podemos consider´a-lo como um cone em rela¸ca˜o a qualquer dos seus v´ertices, portanto Hr (s) = 0 se r ≥ 1 e H0 (s) = A. / Exemplo 8. A homologia da esfera S n . Seja K o poliedro formado pelo simplexo s = ha0 , a1 , . . . , an+1 i e suas faces. A esfera S n ´e o esqueleto n-dimensional de K. Como K ´e um cone (com v´ertice em qualquer dos ai ) temos Hr (K) = 0 para todo r > 0 e H0 (K) = A. Se 0 < r < n tem-se tamb´em Hr (S n ) = 0 pois, para esses valores de r, todo ciclo z ∈ Zr (S n ) = Zr (K) ´e da forma z = ∂x, com x ∈ Cr+1 (K) = Cr+1 (S n ). Resta determinar Hn (S n ). A cadeia z = ∂ss, soma de todas as n-faces de S n com as orienta¸co˜es induzidas por s , ´e certamente um n-ciclo em S n , o qual n˜ao ´e bordo pois n˜ao h´a simplexos de dimens˜ao n + 1 em S n . Portanto [z] 6= 0 e conseq¨ uentemente Hn (S n ) 6= 0. Na verdade, [z] ´e um gerador de Hn (S n ) pois se tomarmos arbitrariamente um ciclo w ∈ Zn (S n ) = Zn (K), como Hn (K) = 0, existe x ∈ Cn+1 (K) tal que ∂x = w. Como K tem apenas o simplexo s em dimens˜ao n+1, temos x = α·ss, α ∈ A, logo w = ∂x = α · ∂ss = α · z. Portanto todo n-ciclo em S n ´e m´ ultiplo de z e da´ı Hn (S n ) = A. / Exemplo 9. A homologia do anel circular. O anel circular, subconjunto compacto do plano compreendido entre duas circunferˆencias concˆentricas, pode ser triangulado na forma da figura abaixo e assim ´e identificado a um poliedro bidimensional K com 6 v´ertices,

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[SEC. 3: PRIMEIROS EXEMPLOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL

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12 arestas e 6 faces.

t0

s

Figura 16.

Como K ´e conexo, temos H0 (K) = A. Para determinar H1 (K), P consideremos um ciclo z = xtt ∈ Z1 (K). A soma estende-se a todas as arestas t de K e, para obtermos uma base de C1 (K), fixamos arbitrariamente uma orienta¸ca˜o em cada uma dessas arestas. Se alguma t0 est´a situada na circunferˆencia externa de K, ela ´e lado de um (´ unico) triˆangulo s. Ent˜ao, ajustando a orienta¸ca˜o de s, vemos que z 0 = z−∂(xt0 ·ss) ´e um ciclo hom´ologo a z, em cuja express˜ao P z0 = mtt a aresta t0 aparece um coeficiente 0. Repetindo este argumento (mais duas vezes, no m´aximo), conclu´ımos que todo ciclo z ∈ Z1 (K) ´e hom´ologo a um w ∈ Z1 (K) que ´e combina¸ca˜o linear de arestas, nenhuma das quais est´a sobre a circunferˆencia externa de K. Assim, w ´e um ciclo do segundo poliedro da Figura 16. O mesmo tipo de racioc´ınio nos diz que w, por sua vez, ´e hom´ologo a um ciclo do terceiro poliedro da Figura 16, o qual ´e, na realidade, um ciclo na circunferˆencia interna (pois, do contr´ario, seu bordo conteria pelo menos um dos v´ertices salientes). Se chamarmos de S 1 a circunferˆencia interna de K, vemos assim que H1 (K) = H1 (S 1 ) = A. Resta mostrar que H2 (K) = 0. A raz˜ao para isto ´e simplesmente que Z2 (K) = 0, ou seja, n˜ao h´a 2-ciclos n˜ao-nulos no poliedro K. De fato, se atribuirmos a cada 2-simplexo de K a orienta¸ca˜o indicada

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Figura 17.

P na Figura 17 e tivermos z = xs · s ∈ Z2 (K) ent˜ao, como cada aresta de K situada numa das duas circunferˆencias da fronteira ´e face de apenas um triˆangulo, de ∂z = 0 conclu´ımos que xs = 0 para todo triˆangulo s que tenha um lado na fronteira, ou seja, para todo triˆangulo s. Portanto z = 0. Assim os grupos de homologia do anel circular K, com coeficientes em A, s˜ao H0 (K) = A, H1 (K) = A e H2 (A) = 0. / Sob o ponto de vista topol´ogico, o anel circular ´e o mesmo que o cilindro S 1 × [0, 1]. Pode parecer coincidˆencia que sua homologia seja a mesma de S 1 mas veremos na se¸ca˜o 5 que isto resulta do fato de S 1 e S 1 × [0, 1] terem o mesmo tipo de homotopia. Um modo alternativo de tratar o Exemplo 9 consiste em usar a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris. Podemos considerar a Figura 17 como uma triangula¸ca˜o do disco maior D = K ∪ L, onde K ´e, como antes, o anel circular e L ´e o disco interior, triangulado como um 2-simplexo. Levando em conta que L e K ∪ L s˜ao triangula¸co˜es

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[SEC. 3: PRIMEIROS EXEMPLOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL

de simplexos bidimensionais, enquanto K ∩ L ´e uma triangula¸ca˜o de S 1 , examinemos dois trechos da seq¨ uˆencia de Mayer-Victoris associada a` decomposi¸ca˜o D = K ∪ L. Eles s˜ao H2 (K ∩ L) → H2 (K) ⊕ H2 (L) → H2 (K ∪ L) e H2 (K ∪ L) → H1 (K ∩ L) → H1 (K) ⊕ H1 (L) → H1 (K ∪ L). Pelo que sabemos sobre as homologias de K ∪ L, L e K ∩ L, estas seq¨ uˆencias exatas se reduzem a 0 → H2 (K) → 0 e 0 → A → H1 (K) → 0, portanto H2 (K) = 0 e H1 (K) = A. Exemplo 10. Um poliedro K diz-se ac´ıclico quando ´e conexo e, al´em disso, Hr (K) = 0 para todo r > 0. Dito de outro modo, um poliedro ac´ıclico ´e aquele que tem a mesma homologia de um ponto. Por exemplo, todo cone ´e um poliedro ac´ıclico. Segue-se imediatamente da seq¨ uˆencia de Mayer-Victoris que se o poliedro K = L∪M ´e reuni˜ao de dois subpoliedros cuja interse¸ca˜o L ∩ M ´e ac´ıclica ent˜ao, para todo r > 0, tem-se Hr (K) = Hr (L) ⊕ Hr (M ), sendo claro que H0 (K) = A. (No caso de H1 (K), observar que, como L ∩ M ´e conexo, o homomorfismo H1 (K) → H0 (L ∩ M ) na seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris ´e zero.) Em particular, se K ´e a figura 8, reuni˜ao de duas circunferˆencias com um ponto em comum, ent˜ao H1 (K) = A ⊕ A. Exemplo 11. Homologia do toro bidimensional T 2 . Consideremos a triangula¸ca˜o de T 2 vista no Exemplo 4. Atribuindo a cada P 2-simplexo s a orienta¸ca˜o anti-hor´aria, a cadeia Γ = s ´e um ciclo, pois cada aresta do toro herda orienta¸co˜es opostas dos dois P triˆangulos que nela incidem. Al´em disso, se w = wss ´e qualquer s

2-ciclo, sempre que os triˆangulos s0 e s00 tiverem em comum uma aresta t, deve ser ws0 = ws00 pois ws0 − ws00 ´e o coeficiente de t na

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

P P express˜ao de 0 = ∂w = ws · ∂ss = αt · t . Como dois triˆangulos 2 quaisquer em T podem ser ligados por uma cadeia de triˆangulos P adjacentes, conclu´ımos que se w = wss ´e um 2-ciclo ent˜ao todos os coeficientes ws s˜ao iguais, digamos a α ∈ A, e ent˜ao w = α · Γ. Portanto H2 (T 2 ) ´e o A-m´odulo livre c´ıclico, gerado por Γ ou, mais simplesmente, H2 (T 2 ) = A. / 2 Mostraremos, em seguida, que H1 (T ) = A ⊕ A ´e o A-m´odulo livre gerado pelas classes de homologia dos ciclos representados pelos lados a, b do retˆangulo da Figura 18, os quais correspondem a um paralelo e um meridiano do toro. Para isto, come¸camos com um 1-ciclo arbitr´ario z e provamos que ele ´e hom´ologo a outro, formado por arestas contidas no contorno do retˆangulo.

a

b

b

a Figura 18.

Partindo de z e somando sucessivamente bordos de triˆangulos escolhidos de modo adequado, obteremos uma seq¨ uˆencia de ciclos hom´ologos a z, cada um com menos arestas internas do que o anterior, at´e chegar a um ciclo w, hom´ologo a z, formado apenas por arestas contidas no contorno do retˆangulo. Primeiro eliminamos, uma a uma, cada aresta interna, horizontal ou inclinada, que esteja

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[SEC. 3: PRIMEIROS EXEMPLOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL

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na primeira coluna a` esquerda, somando ao ciclo z sucessivamente, de baixo para cima, o bordo do triˆangulo situado imediatamente abaixo dela (devidamente multiplicado por −α se a aresta aparece no ciclo multiplicada por α, α ∈ A). Ap´os estas opera¸co˜es, obtemos um ciclo z 0 , hom´ologo ao z inicial, formado por arestas do contorno do retˆangulo ou das duas colunas da direita. Em seguida, eliminamos as arestas verticais que est˜ao a` esquerda da coluna do meio somando a cada uma delas um m´ ultiplo conveniente do bordo do triˆangulo do qual ela ´e um cateto.

Figura 19.

Chegamos assim a um ciclo z 0 , hom´ologo ao inicial, cujas arestas est˜ao no contorno do retˆangulo ou entre as mais acentuadas no segundo quadro da Figura 19. Somando mais trˆes bordos de triˆangulos, obtemos um ciclo cujas arestas est˜ao no contorno ou entre aquelas destacadas no u ´ltimo quadro da Figura 19. Al´ı, os dois segmentos horizontais sobressalentes s˜ao ilus´orios pois um ciclo de dimens˜ao 1 n˜ao pode possuir v´ertices livres (isto ´e, que pertencem a uma u ´nica aresta). Ent˜ao o ciclo original z ´e hom´ologo a um cujas arestas est˜ao sobre o contorno ou sobre a u ´ltima coluna vertical. Podemos assim usar o argumento que nos levou do segundo para ou ´ltimo quadro da Figura 19, e provamos finalmente que todo 1ciclo em T 2 ´e hom´ologo a outro que est´a contido no contorno do retˆangulo, portanto ´e uma combina¸ca˜o linear x · a + y · b do paralelo a com o meridiano b do toro. Assim, as classes de homologia de a e b geram H1 (T 2 ). Na verdade, essas classes s˜ao linearmente independentes, logo H1 (T 2 ) ´e um A-m´odulo livre com dois geradores.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

Com efeito, se tivermos α[a] + β ˙[b] = 0, isto ´e, se houver uma 2P cadeia w tal que ∂w = α · a + β · b, ent˜ao, escrevendo w = ws · [ss], 2 onde s percorre todos os 2-simplexos de T , vemos que, para toda aresta t que n˜ao esteja em a nem b, se s0 e s00 s˜ao os 2-simplexos que incidem sobre t, deve ser ws0 = ws00 . Da´ı resulta que ws0 = ws00 e conseq¨ uentemente w ´e m´ ultiplo de Γ. Segue-se imediatamente que α = β = 0. Isto conclui a determina¸ca˜o da homologia de T 2 . / Exemplo 12. Homologia do plano projetivo. Consideremos a triangula¸ca˜o do plano projetivo P 2 apresentada no Exemplo 5. Atribuindo a cada 2-simplexo a orienta¸ca˜o anti-hor´aria, obtemos P uma 2-cadeia Γ = s , cujo bordo ´e ∂Γ = 2a, onde a ´e a reta pros∈P 2

jetiva (ciclo de dimens˜ao 1), soma de quatro arestas consecutivas do contorno da Figura 13, com as orienta¸co˜es induzidas pelas parcelas de Γ. Para simplificar a discuss˜ao, tomemos Z como o anel dos coeficientes. (Depois consideraremos o caso geral.) N˜ao h´a 2-ciclos P diferentes de zero. De fato, se a 2-cadeia z = zss ´e tal que ∂z = 0 ent˜ao, como j´a vimos antes, para quaisquer triˆangulos s0 , s00 , tem-se zs0 = zs00 = n ∈ Z, logo z = n · Γ e da´ı 0 = ∂z = n · ∂Γ = 2n · a, portanto n = 0 e z = 0. Assim, tomando coeficientes inteiros, temos H2 (P 2 ) = 0. Quanto a H1 (P 2 ), um argumento an´alogo ao do Exemplo 11, partindo do centro do c´ırculo que representa P 2 e espiralando na dire¸ca˜o do contorno, dado um ciclo z ∈ Z1 (P 2 ), somamos sucessivamente bordos de triˆangulos, de modo a obter z 0 , hom´ologo a z, formado por arestas do contorno. Ent˜ao z 0 ´e hom´ologo a a ou a zero. Por sua vez, a reta projetiva a n˜ao ´e o bordo de uma cadeia de dimens˜ao 2, ou seja, tem-se [a] 6= 0. De fato, uma cadeia y ∈ C2 (P 2 ), para ter seu bordo, contido no contorno da Figura 13, deve ter a forma z = n·Γ e ent˜ao ∂z = 2n·a 6= a. Conseq¨ uentemente, H1 (P 2 ) = Z2 . Se tomarmos coeficientes em Z2 ent˜ao a 2-cadeia Γ ´e um ciclo e, neste caso, teremos H2 (P 2 ) = Z2 , H1 (P 2 ) = Z2 e H0 (P 2 ) = Z2 .

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˜ BARICENTRICA ˆ [SEC. 4: SUBDIVISAO

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Com coeficientes num anel arbitr´ario A, podemos dizer que H2 (P 2 ) = Z2 (P 2 ) = {x ∈ A; 2x = 0}, H1 (P 2 ) ´e o A-m´odulo quociente A/2A. Por exemplo, H1 (P 2 ) = Z2 quando A = Z ou A = Z2 e H2 (P 2 ) = 0 se A ´e um corpo de caracter´ıstica 6= 2. /

4

Subdivis˜ ao baricˆ entrica

Estritamente falando, nos exemplos apresentados at´e agora, n˜ao obtivemos grupos de homologia dos espa¸cos considerados, mas sim ´ natural indagar se, triangudas triangula¸co˜es neles tomadas. E lando o mesmo espa¸co X por meio de dois poliedros distintos K1 e K2 (necessariamente homeomorfos mas) n˜ao isomorfos, devemos ter Hr (K1 ) ≈ Hr (K2 ) para todo r = 0, 1, 2, . . . . A resposta ´e afirmativa. Na realidade, um resultado mais geral vale: se os espa¸cos triangul´aveis X e Y tˆem o mesmo tipo de homotopia, seus grupos de homologia s˜ao isomorfos. (Analogamente ao que vimos no Cap´ıtulo 2 com a cohomologia de deRham.) Preparando o terreno para provar esses fatos, come¸camos estudando a subdivis˜ao baricˆentrica de um poliedro. Uma subdivis˜ao de um poliedro K ´e um poliedro K1 que, como conjunto de pontos, ´e igual a K por´em com mais e menores simplexos. Mais precisamente, todo simplexo de K ´e a reuni˜ao dos simplexos de K1 nele contidos. O exemplo mais freq¨ uente ´e a subdivis˜ao baricˆentrica. O baricentro do simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i ´e o ponto bs = (a0 + ± a1 + · · · + ar ) (r + 1), que tem todas as coordenadas baricˆentricas iguais a 1/(r + 1). Este ponto est´a em posi¸ca˜o geral relativamente • ao bordo s do simplexo, ou seja, se p e q s˜ao pontos distintos do • bordo s, os segmentos de reta [bs , p] e [bs , q] tˆem apenas o ponto bs • em comum. Portanto, se t ⊂ s ´e um simplexo m-dimensional ent˜ao o cone bs ∗ t ´e um simplexo de dimens˜ao m + 1 contido em s.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

A subdivis˜ao baricˆentrica K 0 do poliedro K ´e definida indutivamente. A subdivis˜ao de cada v´ertice ´e, obviamente, o pr´oprio v´ertice. Supondo definida a subdivis˜ao baricˆentrica (K r )0 do esqueleto r-dimensional K r tomamos, em cada (r + 1)-simplexo s, o baricentro bs e ³definimos a subdivis˜ao baricˆentrica de s como o ´0 • • poliedro s0 = bs ∗ s , onde s ´e o bordo de s (contido em K r , logo ³ • ´0 s est´a definido). S Ent˜ao pomos (K r+1 )0 = s0 , onde s varia entre todos os (r +1)simplexos de K.

s

Figura 20. Subdivis˜ao baricˆentrica de um 2-simplexo.

Segue-se desta defini¸ca˜o que os v´ertices da subdivis˜ao baricˆentrica K 0 s˜ao os baricentros bs dos simplexos s ∈ K e os simplexos de K 0 tˆem a forma hbs0 , bs1 , . . . , bsr i, onde cada si ´e um simplexo de K e s0 ⊂ s1 ⊂ · · · ⊂ sr , ou seja, cada si ´e uma face de si+1 . Se, em vez do baricentro, tiv´essemos escolhido um outro ponto ps no interior de cada simplexo s, a defini¸ca˜o indutiva dada acima ainda produziria uma subdivis˜ao do poliedro K. A vantagem da subdivis˜ao baricˆentrica est´a na regularidade com que ela reduz o tamanho dos simplexos, conforme exprime o teorema seguinte. Antes de prov´a-lo, observemos que se [a, b] ´e um segmento de reta

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em Rn e p ´e um ponto arbitr´ario desse espa¸co ent˜ao o maior valor da distˆancia |p − x| de p a um ponto qualquer x ∈ [a, b] ´e atingido quando x = a ou x = b. Como os v´ertices de um simplexo s s˜ao os u ´nicos de s que n˜ao s˜ao interiores a segmento de reta algum contido em s (pontos extremos), segue-se que a maior distˆancia de um ponto qualquer p ∈ Rn a um ponto de um simplexo s ⊂ Rn tem o valor |p − ai |, onde ai ´e um v´ertice de s. Em particular, o diˆametro do simplexo s = ha0 , a1 , . . . , ar i ´e diam s = m´ax{|ai − aj |; i, j = 0, 1, . . . , r}. Teorema 4. Se o simplexo r-dimensional s tem diˆametro d ent˜ao sua subdivis˜ao baricˆentrica s0 ´e um poliedro cujos simplexos tˆem r todos diˆametro ≤ r+1 · d. Demonstra¸c˜ ao: Seja t um simplexo de s0 . Ent˜ao diam t = |p − q|, 1 1 onde p = m+1 (a0 + · · · + am ) e q = n+1 (a0 + · · · + an ), com m ≤ n, s˜ao v´ertices de t: p ´e o baricentro da face ha0 , . . . , am i de s, a qual, por sua vez, ´e face de ha0 , . . . , an i. Como p ´e interior ao simplexo ha0 , . . . , am i, temos |p − q| ≤ max{|ai − q|; i = 0, . . . , m}. Levando em conta que cada ai (i = 0, . . . , m) ´e um dos aj (j = 0, . . . , n), vemos que, para todo i = 0, . . . , m, vale n X X 1 1 |ai − q| = |ai − aj | = | (ai − aj )| n + 1 n + 1 j=0 j6=i n n r ≤ max |ai − aj | = diam s ≤ · d. n+1 n+1 r+1 r Logo diam t ≤ r+1 · d. Iterando um n´ umero suficientemente grande de vezes a subdivis˜ao baricˆentrica de um poliedro, pode-se fazer com que todos os simplexos tenham diˆametros arbitrariamente pequenos. Com efeito, se definirmos indutivamente a n-´esima subdivis˜ao baricˆentrica K (n) do poliedro K ponto K (1) = K 0 e K (n) = [K (n−1) ]0 , vale o Corol´ ario 1. Dados o poliedro K e o n´ umero real ε > 0, existe (n) n ∈ N tal que todos os simplexos de K tˆem diˆametro < ε.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

De fato, se d ´e o maior diˆametro e r ´e a maior dimens˜ao de um simplexo de K ent˜ao o maior diˆametro de um simplexo de K (n) ´e ¡ r ¢n = 0. ≤ [r/(r + 1)]n e lim r+1 n→∞

Vamos, em seguida, mostrar que o poliedro K e sua subdivis˜ao baricˆentrica K 0 tˆem os mesmos grupos de homologia. Para isso, faremos uso da no¸ca˜o de transporte ac´ıclico, a qual possui outras aplica¸co˜es. Um complexo de cadeias chama-se ac´ıclico quando seus grupos de homologia em dimens˜oes > 0 s˜ao todos nulos e o grupo de dimens˜ao zero reduz-se ao anel de coeficientes. Um transporte ac´ıclico Γ do poliedro K para o poliedro L ´e uma correspondˆencia que associa a cada simplexo s de K um subcomplexo Γ(s) ⊂ C(L), com as seguintes propriedades: 1) Se t ´e uma face de s ent˜ao Γ(t) ⊂ Γ(s); 2) Para todo s em K, o complexo Γ(s) ´e ac´ıclico.

Diz-se que um morfismo f : C(K) → C(L) ´e transportado por Γ quando, para todo simplexo s em K tem-se f (ss) ∈ Γ(s). Uma aplica¸ca˜o simplicial diz-se transportada por Γ quando o morfismo por ela induzido nas cadeias o ´e. Duas aplica¸co˜es simpliciais f, g : K → L chamam-se cont´ıguas quando, para todo simplexo s em K, f (s) e g(s) s˜ao faces de um mesmo simplexo em L. A rela¸ca˜o “f e g s˜ao cont´ıguas” ´e reflexiva e sim´etrica mas n˜ao ´e transitiva, logo n˜ao ´e uma equivalˆencia. Dadas as aplica¸co˜es simpliciais cont´ıguas f, g : K → L ponhamos, para cada simplexo s em K, Γ(s) = C(t), onde t ´e o simplexo de menor dimens˜ao em L que tem ao mesmo tempo f (s) e g(s) como faces. A correspondˆencia s 7→ Γ(s) ´e um transporte ac´ıclico e f , g s˜ao transportadas por Γ. O teorema seguinte, referente a poliedros K e L, justifica nosso interesse em transportes ac´ıclicos.

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˜ BARICENTRICA ˆ [SEC. 4: SUBDIVISAO

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Teorema 5. Seja Γ um transporte ac´ıclico de K para L. Se os morfismos f, g : C(K) → C(L) s˜ao ambos transportados por Γ e In(f (x)) = In(g(x)) para toda 0-cadeia x ∈ C0 (K) ent˜ao f∗ = g∗ : Hr (K) → Hr (L). Demonstra¸c˜ ao: Definiremos, por indu¸ca˜o em r, uma homotopia alg´ebrica entre f e g, ou seja, uma seq¨ uˆencia de homomorfismos D = Dr : Cr (K) → Cr+1 (L) tais que D∂x + ∂Dx = f (x) − g(x) para toda cadeia x ∈ Cr (K). Basta definir Ds quando s ´e um r-simplexo arbitr´ario em K. Come¸camos com r = 0. Dado um v´ertice a ∈ K, temos f (a) − g(a) ∈ Γ(a). Como Γ(a) ´e ac´ıclico e In(f (a) − g(a)) = In f (a) − In g(a) = 0, vemos que f (a) − g(a) = ∂x para alguma cadeia x ∈ C1 (Γ(a)). Escolhemos arbitrariamente uma tal x e pomos Da = x. Ent˜ao D∂a + ∂Da = ∂x = f (a) − g(a). Em seguida, suponhamos que D tenha sido definido em Cr−1 (K), de tal modo que D∂ + ∂D = f − g e D(t) ∈ Cr (Γ(t)) para todo (r − 1)-simplexo t em K. Seja s um r-simplexo em K. Ent˜ao £ ¤ ∂ f (ss) − g(ss) − D∂ss = f (∂ss) − g(∂s) − ∂D∂ss = D∂∂ss = 0.

Assim, f (ss) − g(ss) − D∂ss ´e um ciclo no complexo ac´ıclico Γ(s). Portanto, podemos escolher uma cadeia D(ss) ∈ Cr (Γ(s)) ⊂ Cr (L) tal que ∂D(ss) = f (ss) − g(ss) − D∂(ss). Isto completa a defini¸ca˜o da homotopia alg´ebrica D e a demonstra¸ca˜o do teorema. Corol´ ario 2. Duas aplica¸co˜es simpliciais cont´ıguas f, g : K → L induzem o mesmo homomorfismo f∗ = g∗ : Hr (K) → Hr (L) em cada grupo de homologia.

O morfismo Sd : C(K) → C(K 0 ), que induz o isomorfismo entre os grupos de homologia do poliedro K e de sua subdivis˜ao baricˆentrica, K 0 ´e definido por indu¸ca˜o. Se a ∈ K ´e um v´ertice, pomos Sd(a) = a. Supondo definido Sd : Cr−1 (K) → Cr−1 (K 0 ) pomos, P para cada r-simplexo s em K, Sd(ss) = bs ∗ Sd(∂ss). Se x = aisi P ´e uma cadeia em Cr (K), pomos Sdx = ai · Sd(ssi ). Admitindo, i

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

indutivamente, que vale ∂(Sdx) = Sd(∂x) quando a cadeia x tem dimens˜ao ≤ r − 1 e usando a igualdade ∂(a ∗ x) = x − a ∗ ∂x, vˆe-se que ∂(Sdx) = Sd(∂x) tamb´em para dim x = r. Isto completa a verifica¸ca˜o de que Sd : C(K) → C(K 0 ) ´e um morfismo. A fim de provar que Sd : C(K) → C(K 0 ) induz isomorfismos nos grupos de homologia, definiremos o morfismo ϕ : C(K 0 ) → C(K) que ser´a o inverso homot´opico (alg´ebrico) de Sd. Na realidade, ϕ ser´a induzido por uma aplica¸ca˜o simplicial de mesmo nome, ϕ : K 0 → K, que come¸ca com a introdu¸ca˜o, entre os v´ertices de K, de uma rela¸ca˜o de ordem segundo a qual os v´ertices de um mesmo simplexo ficam linearmente ordenados. (Poder´ıamos mesmo tomar uma ordem linear entre todos os v´ertices de K.) Lembrando que os v´ertices de K 0 s˜ao os baricentros dos simplexos de K, definimos a aplica¸ca˜o simplicial ϕ : K 0 → K pondo, para cada simplexo s ∈ K, ϕ(bs ) = “maior” v´ertice de s. Por exemplo, se s = ha, b, ci ´e um triˆangulo cujos v´ertices foram ordenados alfabeticamente ent˜ao os v´ertices de s0 s˜ao a, b, c, b1 , b2 , b3 , b4 onde b1 = (a + b)/2, b2 = (a + c)/2, b3 = (b + c)/2, b4 = (a + b + c)/3 e ϕ : s0 → s ´e dada por ϕ(a) = a, ϕ(b) = b, ϕ(c) = c, ϕ(b1 ) = b, ϕ(b2 ) = c, ϕ(b3 ) = c e ϕ(b4 ) = c. Vemos assim que ϕ transforma o triˆangulo ha, b1 , b4 i sobre s e os demais triˆangulos de s0 s˜ao colapsados em lados ou v´ertices de s. De um modo geral, todo r-simplexo s em K ´e subdividido em r-simplexos de s0 , um u ´nico dos quais ´e transformado por ϕ sobre s enquanto os demais s˜ao reduzidos a faces de dimens˜ao menor, de modo que o morfismo ϕ : Cr (K 0 ) → Cr (K) os aplica em 0. Tendo definido os morfismos Sd : C(K) → C(K 0 ) e ϕ : C(K 0 ) → C(K), observamos que cada um dos compostos Sd ◦ ϕ : C(K 0 ) → C(K 0 ) e ϕ ◦ Sd : C(K) → C(K)

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˜ BARICENTRICA ˆ [SEC. 4: SUBDIVISAO

´e transportado pela aplica¸ca˜o identidade respectiva, a qual ´e o transporte ac´ıclico mais simples que existe. (Na verdade, ϕ ◦ Sd ´e a pr´opria aplica¸ca˜o identidade.) Segue-se ent˜ao que, para todo r, tem-se (Sd)∗ ◦ ϕ∗ = (Sd ◦ ϕ)∗ = id : Hr (K 0 ) → Hr (K 0 ) e ϕ∗ ◦ (Sd)∗ = (ϕ ◦ Sd)∗ = id : Hr (K) → Hr (K), portanto (Sd)∗ : Hr (K) → Hr (K 0 ) ´e um isomorfismo. Observa¸c˜ ao. Se, para cada simplexo s em K, escolhermos arbitrariamente um ponto bs em seu interior (n˜ao necessariamente o baricentro), toda a argumenta¸ca˜o acima se aplica. A subdivis˜ao baricˆentrica s´o se faz essencial quando tivermos de utilizar o Teorema 4, conforme faremos na se¸ca˜o seguinte. A subdivis˜ao baricˆentrica e o morfismo Sd : C(K) → C(K 0 ) por ela induzido s˜ao “naturais” no sentido seguinte: uma aplica¸ca˜o simplicial ϕ : K → L induz, entre as subdivis˜oes baricˆentricas K 0 e L0 , uma aplica¸ca˜o simplicial ϕ0 : K 0 → L0 de tal modo que (continuando a indicar com o mesmo s´ımbolo a aplica¸ca˜o simplicial ϕ e o morfismo por ela induzido nos complexos de cadeias) o diagrama abaixo ´e comutativo: ϕ C(K) −−−→ C(L)     Sdy ySd ϕ0

C(K 0 ) −−−→ C(L0 ) A fim de definir ϕ0 : K 0 → L0 , lembramos que um v´ertice qualquer de K 0 ´e o baricentro bs de um simplexo s = ha0 , . . . , ar i em K. Ent˜ao as imagens ϕ(a0 ), . . . , ϕ(ar ) s˜ao v´ertices (n˜ao necessariamente distintos) de um simplexo de L. Pomos ϕ0 (bs ) = baricentro do simplexo de L cujos v´ertices s˜ao os elementos distintos da lista (ϕ(a0 ), . . . , ϕ(ar )). Se n˜ao houver repeti¸ca˜o nela, ent˜ao dim ϕ(s) = s e ϕ0 (bs ) = bϕ(s) .

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

A comutatividade do diagrama acima ser´a provada por indu¸ca˜o. O morfismo ϕ0 : C(K 0 ) → C(L0 ), induzido pela aplica¸ca˜o simplicial ϕ0 : K 0 → L0 , ´e tal que, para todo simplexo orientado t = [bs0 , . . . , bsr ] em K 0 , tem-se ϕ0 (tt) = [bϕ(s0 ) , . . . , bϕ(sr ) ]. [Lembrando que [a0 , . . . , ar ] = 0 quando ai = aj para algum i 6= j.] Dado um rsimplexo s em K, ´e imediato que Sd ϕ(ss) = 0 = ϕ0 (Sd s ) caso ϕ(ss) seja degenerado. Supondo que este n˜ao seja o caso e admitindo a P comutatividade em dimens˜ao r−1, temos Sd s = (−1)i bs ∗Sd s (i) logo X X ϕ0 (Sd s ) = (−1)i ϕ0 (bs ∗ Sd s (i) ) = (−1)i bϕ(s) ∗ ϕ0 (Sd s (i) ) X X = (−1)i bϕ(s) ∗ Sd ϕ(ss(i) ) = (−1)i bϕ(s) ∗ Sd(ϕ(ss)(i) ) = Sd ϕ(ss).

´ claro que, dada uma aplica¸ca˜o simplicial ϕ : K → L, uma E itera¸ca˜o o´bvia fornece, para cada n ∈ N, uma aplica¸ca˜o simplicial ϕ(n) : K (n) → L(n) entre as n-´esimas subdivis˜oes baricˆentricas K (n) e L(n) , de tal modo que o diagrama abaixo ´e comutativo: K   n Sd y

ϕ

−−−→

ϕ(n)

L   n ySd

K (n) −−−→ L(n) .

5

Aproxima¸c˜ ao simplicial

A fim de definir o homomorfismo induzido em homologia por uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L entre poliedros, substitui-se f por uma aproxima¸ca˜o simplicial, analogamente a` aproxima¸ca˜o diferenci´avel utilizada no caso da cohomologia de deRham. A estrela do v´ertice a num poliedro K ´e a reuni˜ao St(a) dos simplexos abertos de K que tˆem a como um dos seus v´ertices. St(a)

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˜ SIMPLICIAL [SEC. 5: APROXIMAC ¸ AO

´e uma vizinhan¸ca aberta de a em K pois seu complemento K−St(a) ´e a reuni˜ao dos simplexos abertos que n˜ao tˆem a como v´ertice e, se a n˜ao ´e v´ertice de um simplexo aberto, tamb´em n˜ao ´e v´ertice do seu fecho.

a

Figura 21. A estrela do v´ertice a no toro T 2 .

O conjunto das estrelas dos v´ertices de um poliedro K ´e uma cobertura aberta de K. Na verdade, toda cobertura aberta U de K pode ser refinada pela cobertura formada pelas estrelas de alguma subdivis˜ao baricˆentrica iterada K (n) . De fato, basta considerar o n´ umero de Lebesgue δ da cobertura U [AR2, pag.176] e tornar n tal que todo simplexo em K (n) tenha diˆametro menor do que δ. Sejam K e L poliedros. Uma aplica¸ca˜o simplicial ϕ : K → L chama-se uma aproxima¸ca˜o simplicial de f : K → L quando cumpre a seguinte condi¸ca˜o: Se a ∈ K ´e v´ertice do simplexo aberto que cont´em o ponto x ∈ K ent˜ao ϕ(a) ´e v´ertice do simplexo aberto de L que cont´em f (x).

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

a

x

f (x) ϕ(a)

Figura 22.

Noutras palavras, ϕ ´e uma aproxima¸ca˜o simplicial de f quando, para todo v´ertice a ∈ K, tem-se f (St(a)) ⊂ St(ϕ(a)). Observemos que, dada f : K → L, se ϕ ´e uma aplica¸ca˜o de v´ertices de K em v´ertices de L tal que f (St(a)) ⊂ St(ϕ(a)) para todo v´ertice a ∈ K ent˜ao ϕ ´e simplicial, ou seja, para todo simplexo s = ha0 , . . . , ar i em K, os pontos ϕ(a0 ), . . . , ϕ(ar ) s˜ao v´ertices de um simplexo em L. Com efeito, se s = ha0 , . . . , ar i ´e um simplexo em K, tomamos um ponto x no interior de s. Ent˜ao x ∈ St(a0 )∩· · ·∩St(ar ) logo f (x) ∈ St(ϕ(a0 )) ∩ · · · ∩ St(ϕ(ar )). Logo o simplexo de L que cont´em f (x) em seu interior tem ϕ(a0 ), . . . , ϕ(ar ) como v´ertices. Para efeito do pr´oximo teorema, lembremos que a n-´esima subdivis˜ao baricˆentrica K (n) do poliedro K ´e, como conjunto de pontos, o mesmo que K, apenas subdividido num n´ umero maior de simplexos menores. Assim, uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L ´e o mesmo que f : K (n) → L. Teorema 6. Toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L entre poliedros possui uma aproxima¸ca˜o simplicial ϕ : K (n) → L para n suficientemente grande. Demonstra¸c˜ ao: Seja δ um n´ umero de Lebesgue da cobertura aberta de L formada pelas estrelas de seus v´ertices. Pela continuidade uniforme de f , existe ε > 0 tal que todo subconjunto de

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˜ SIMPLICIAL [SEC. 5: APROXIMAC ¸ AO

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K com diˆametro inferior a ε tem imagem com diˆametro < δ, logo contida na estrela de algum v´ertice de L. Seja n ∈ N tal que todos os simplexos da subdivis˜ao baricˆentrica K (n) tˆem diˆametro menor do que ε/2. Ent˜ao, para todo v´ertice a em K (n) , a estrela St(a) tem diˆametro menor do que ε, logo podemos escolher, para todo v´ertice a em K (n) , um v´ertice ϕ(a) em L tal que f (St(a)) ⊂ St(ϕ(a)). A aplica¸ca˜o simplicial ϕ : K (n) → L assim definida ´e uma aproxima¸ca˜o simplicial de f . Estamos agora em condi¸co˜es de mostrar que uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L entre poliedros induz, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f∗ : Hr (K) → Hr (L) com a importante propriedade de que se g : L → M ´e outra aplica¸ca˜o cont´ınua, ent˜ao (g◦f )∗ = g∗ ◦ f∗ : Hr (K) → Hr (M ). Como a aplica¸ca˜o identidade induz o homomorfismo identidade, resultar´a que se f : K → L ´e um homeomorfismo cujo inverso ´e f −1 : L → K ent˜ao f∗ : Hr (K) → Hr (L) ser´a para todo r ≥ 0, um isomorfismo, com (f∗ )−1 = (f −1 )∗ : Hr (L) → Hr (K). Isto nos permitir´a concluir que os grupos de homologia de um espa¸co topol´ogico triangul´avel X s˜ao topologicamente invariantes. Mais precisamente, se f : K → X e g : L → X forem homeomorfismos de poliedros K, L sobre X ent˜ao (g −1 ◦ f )∗ = (g∗ )−1 ◦ f∗ : Hr (K) → Hr (L) ser´a um isomorfismo, para todo r ≥ 0. A fim de definir o homomorfismo induzido em homologia por uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L entre poliedros, come¸camos usando o Teorema 6, segundo o qual existe uma aplica¸ca˜o simplicial ϕ : K (n) → L, definida, para um certo n ∈ N, na n-´esima subdivis˜ao baricˆentrica de K, a qual ´e uma aproxima¸ca˜o simplicial de f . Ent˜ao pomos f∗ = (ϕ ◦ Sdn )∗ = ϕ∗ ◦ (Sdn )∗ : Hr (K) → Hr (L), onde Sdn : C(K) → C(K (n) ) ´e o morfismo dado pela itera¸ca˜o da subdivis˜ao baricˆentrica Sd : C(K) → C(K 0 ). Para um dado n, esta defini¸ca˜o de f∗ n˜ao depende da aproxima¸ca˜o simplicial ϕ escolhida pois duas quaisquer delas s˜ao cont´ı-

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guas, logo induzem o mesmo homomorfismo em homologia. Resta ver se a defini¸ca˜o de f∗ n˜ao depende quantas vezes Sd foi iterada. Ora, se iterarmos Sd m + n vezes, com uma aproxima¸ca˜o simplicial ϕ : K (m+n) → L para f , chegaremos ao diagrama no C(K

Sd

(n)

j

)

C(L)

m

C(K

m+n

)

qual chamamos de ϕ e ψ (como de h´abito) os morfismos de cadeias induzidos pelas aplica¸co˜es simpliciais de mesmo nome. A n´ıvel de homologia, esse diagrama ´e comutativo, isto ´e, tem-se ϕ∗ = ψ∗ ◦ (Sdm )∗ = (ψ ◦ Sdm )∗ pois os morfismos ϕ e ψ ◦ Sdm s˜ao ambos transportados por Γ, onde Γ ´e o transporte ac´ıclico que associa a cada simplexo s em K (n) o subcomplexo Γ(s) = C(ϕ(s)) ⊂ C(L). Portanto f∗ = (ϕ ◦ Sdn )∗ = ϕ∗ ◦ (Sdn )∗ = (ψ ◦ Sdm )∗ ◦ (Sdn )∗ = (ψ ◦ Sdm ◦ Sdn )∗ = (ψ ◦ Sdm+n )∗ e a defini¸ca˜o de f∗ , por conseguinte, n˜ao depende de n. Mostremos, em seguida, que se f : K → L e g : L → M s˜ao aplica¸co˜es cont´ınuas entre os poliedros K, L e M ent˜ao vale a igualdade (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ : Hr (K) → Hr (M ), para todo r ≥ 0. Com efeito, se ψ : C(L(n) ) → C(M ) e ϕ : C(K (m) ) → C(L(n) ) s˜ao morfismos induzidos por aproxima¸co˜es simpliciais ψ : L(n) → M e ϕ : K (m) → L(n) respectivamente, ent˜ao f∗ = (ϕ ◦ Sdm )∗ : Hr (K) → Hr (L) e, posto que ψ ◦ ϕ(n) : K (m+n) → M ´e uma aproxima¸ca˜o simplicial de g ◦f , temos (g ◦f )∗ = (ψ ◦ϕ(n) ◦Sdn ◦Sdm )∗ : Hr (K) →

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Hr (M ). Mas, em virtude da comutatividade do diagrama abaixo, podemos escrever: (g ◦ f )∗ = (ϕ ◦ ϕ(n) ◦ Sdn ◦ Sdm )∗ = (ψ ◦ Sdn ) ◦ (ϕ ◦ Sdm ) = g∗ ◦ f∗ . C(K)   m Sd y

ϕ

C(K (m) ) −−−→   Sdn y ϕ(n)

C(L)   n ySd

ψ

C(K (m+n) ) −−−→ C(L(n) ) −−−→ C(M ) Resumindo: acabamos de provar que toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L, entre poliedros, induz, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f∗ : Hr (K) → Hr (L) de tal modo que se g : L → M tamb´em ´e cont´ınua ent˜ao o homomorfismo induzido pela aplica¸ca˜o composta g ◦ f : K → M ´e (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ : Hr (K) → Hr (M ). Al´em disso, como a aplica¸ca˜o identidade induz o homomorfismo identidade, segue-se que, se f : K → L ´e um homeomorfismo ent˜ao, para todo r ≥ 0, f∗ : Hr (K) → Hr (L) ´e um isomorfismo e (f∗ )−1 = (f −1 )∗ . ´ Na linguagem da Algebra Homol´ogica, isto exprime que K 7→ Hr (K) ´e um functor da categoria dos espa¸cos triangul´aveis na categoria dos A-m´odulos. A fim de provar que duas aplica¸co˜es cont´ınuas homot´opicas f, g : K → L entre poliedros induzem iguais homomorfismos f∗ = g∗ : Hr (K) → Hr (L) para todo r ≥ 0, ´e necess´ario dar uma estrutura de poliedro ao produto cartesiano K × [0, 1]. De um modo geral, o produto cartesiano K ×L de dois poliedros pode, de v´arias maneiras, ser decomposto simplicialmente como poliedro. Um modo de fazer isto consiste em observar primeiro que K × L ´e a reuni˜ao dos produtos s × t de um simplexo s ∈ K por um simplexo t ∈ L e, em seguida, notar que o bordo (s × t)• do

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conjunto convexo s×t ´e (s×t)• = (s• ×t)∪(s× t). Ent˜ao, admitindo indutivamente que cada produto s1 × t1 com dim s1 + dim t1 < dim s + dim t j´a foi decomposto simplicialmente (portanto s × t)• j´a ´e um poliedro), fixar um ponto pst no interior de cada s × t e considerar este produto como o cone pst ∗(s×t)• , portanto como um poliedro, obtendo deste modo a decomposi¸ca˜o simplicial de K × L. No caso particular em que L = [0, 1], h´a um modo mais simples e mais conveniente de considerar o produto cartesiano K ×[0, 1] como poliedro (imitando a forma como Euclides decompˆos um prisma de base triangular como reuni˜ao de trˆes pirˆamides justapostas, a fim de calcular o volume da pirˆamide). S s × [0, 1], de modo que basta descrever, Temos K × [0, 1] = s∈K

para cada simplexo s = ha0 , . . . , ar i em K, quais os simplexos que decomp˜oem o prisma s × [0, 1] como poliedro. Para cada v´ertice ai do simplexo s, ponhamos a ¯i = (ai , 0) e = ai = (ai , 1). Ent˜ao s × [0, 1] =

r [

−

−

=

=

=

ha0 , . . . , ai , ai , ai+1 , . . . , ar i

i=0

e esta ´e a decomposi¸ca˜o de d × [0, 1] como reuni˜ao dos simplexos − − = = (r + 1)-dimensionais ha0 , . . . , ai , ai , . . . , ar i. Definamos, em seguida, as aplica¸co˜es simpliciais α, β : K → K × [0, 1] pondo, para cada simplexo s = ha0 , . . . , ar i em K, α(s) = = = h¯ a0 , . . . , a ¯r i e β(s) = ha0 , . . . , ar i. Como sempre, indiquemos ainda com α, β : C(K) → C(K × [0, 1]) os morfismos induzidos por α e β no complexo de cadeias C(K). Lema 1. Os morfismos α, β : C(K) → C(K × [0, 1]) s˜ao algebricamente homot´opicos. Demonstra¸c˜ ao: Para cada r ≥ 0, definamos o homomorfismo P D : Cr (K) → Cr+1 (K × [0, 1]) estipulando que D(ss) = (−1)i · − − = = [a0 , . . . , ai , ai , . . . , ar ] seja a imagem do r-simplexo orientado

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s = [a0 , . . . , ar ] de K. Uma verifica¸ca˜o cuidadosa, mas inteiramente mecˆanica, mostra que, para todo simplexo s, e portanto pra toda cadeia em Cr (K), tem-se ∂D(ss) + D(∂ss) = β(ss) − α(ss). Geometricamente, esta igualdade significa que, com um ajuste nas orienta¸co˜es, o bordo do prisma s × [0, 1] com base no simplexo s ´e igual ao prisma sobre o bordo de s (ou seja, a reuni˜ao das faces laterais) mais a base α(s) e o topo β(s). Exemplo 13. Usando uma nota¸ca˜o condensada, a fim de simplificar a escrita, o prisma sobre o triˆangulo orientado s = abc ´e −===

−−==

−−−=

D abc = a a b c − a b b c + a b c c (soma de trˆes tetraedros). Ent˜ao ===

−==

−==

−==

−−=

−−=

−−−

−==

−==

−−=

−−=

−−=

∂Dabc = a b c − a b c + a a c − a a b − b b c + a b c − a b c + a b b + b c c − ac c − ab c − ab c

Como ∂abc = bc − ac + ab, temos −==

−−=

−==

−−=

===

−−−

−==

−−=

D∂abc = b b c − b c c − a a c + a c c + a a b − a b b. Segue-se que ∂Dabc + D∂abc = a b c − a b c. ou seja, ∂Ds + D∂s = β(s) − α(s). Este exemplo fornece uma verifica¸ca˜o expl´ıcita do Lema 1 para um simplexo s de dimens˜ao 2. Teorema 7. Sejam K e L poliedros. Aplica¸co˜es cont´ınuas homot´opicas f, g : K → L induzem homomorfismos iguais f∗ = g∗ : Hr (K) → Hr (L) nos grupos de homologia. Demonstra¸c˜ ao: Seja H : K × [0, 1] → L uma homotopia entre f e g. Isto significa que, considerando as aplica¸co˜es simpliciais α, β : K → K × [0, 1], dadas por α(x) = (x, 0) e β(x) = (x, 1) para todo x ∈ K, temos H ◦ α = f e H ◦ β = g. Ora, segundo o Lema 1, os morfismos α, β : C(K) → C(K × [0, 1]) s˜ao algebricamente homot´opicos, portanto induzem os mesmos homomorfismos α∗ = β∗ : Hr (K) → Hr (K ×[0, 1]) nos grupos de homologia. Segue-se que

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f∗ = (H ◦α)∗ = H∗ ◦α∗ = H∗ ◦β∗ = (H ◦β)∗ = g∗ : Hr (K) → Hr (L) para todo r ≥ 0. Corol´ ario 3. Dois poliedros com o mesmo tipo de homotopia tˆem grupos de homologia isomorfos. Em particular, todo poliedro contr´atil ´e ac´ıclico. Esta ´e outra forma de concluir que o grupo de homologia de uma bola ´e igual a zero em toda dimens˜ao positiva e que os grupos de homologia de um anel circular s˜ao iguais ao anel de coeficientes em dimens˜oes 0 e 1 e iguais a zero nas demais dimens˜oes pois o anel circular tem o tipo de homotopia de S 1 .

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Pseudo-variedades

Um poliedro M chama-se uma pseudo-variedade n-dimensional quando cumpre as seguintes condi¸co˜es: a) Todo simplexo de M ´e face de algum simplexo n-dimensional; b) Todo (n − 1)-simplexo de M ´e face de precisamente dois n-simplexos; c) Dois quaisquer n-simplexos s, t em M s˜ao encadeados, isto ´e, existem n-simplexos s0 , . . . , sk em M tais que s0 = s, sk = t e, para cada i = 0, . . . , k − 1, si ∩ si+1 ´e uma face de dimens˜ao n − 1. Dois n-simplexos que tˆem uma face comum de dimens˜ao n − 1 chamam-se adjacentes. Exemplo 14. A esfera S n , triangulada como o bordo de um (n + 1)-simplexo, ´e uma pseudo-variedade n-dimensional. O toro T 2 e o plano projetivo, vistos nos Exemplos 11 e 12, s˜ao pseudovariedades de dimens˜ao 2. De um modo geral, prova-se que toda superf´ıcie diferenci´avel ´e triangul´avel e que toda sua triangula¸ca˜o ´e realizada por uma pseudo-variedade. A Figura 23 exibe uma pseudo-variedade que n˜ao ´e uma superf´ıcie.

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Figura 23.

Teorema 8. Seja M uma pseudo-variedade n-dimensional. Tomando coeficientes em Z2 , tem-se Hn (M ) = Z2 . Com coeficientes em Z, tem-se Hn (M ) = Z ou Hn (M ) = 0. P Demonstra¸c˜ ao: Considerando coeficientes em Z2 , seja Γ = s a soma de todos os simplexos n-dimensionais de M . (N˜ao h´a necessidade de orient´a-los pois −ss = −1ss = 1ss = s .) Em virtude P da condi¸ca˜o b), tem-se ∂Γ = 2 · t (soma estendida a todos os simplexos (n − 1)-dimensionais) logo ∂Γ = 0 e Γ ´e um n-ciclo em M , o qual n˜ao ´e hom´ologo a zero pois n˜ao h´a cadeias de dimens˜ao n + 1. Como os coeficientes s´o podem ser 0 ou 1, toda n-cadeia ´e uma soma x = s1 + · · · + sk , de alguns n-simplexos. Se ∂x = 0 e s ´e uma parcela desta soma ent˜ao todo simplexo s0 , adjacente a s tamb´em ´e parcela, a fim de anular em ∂x o coeficiente da face t = s ∩ s0 . Resulta ent˜ao da condi¸ca˜o c) que o ciclo x ou ´e igual a 0 ou igual a Γ. Portanto Hn (M ) = Zn (M ) = Z2 . Vejamos agora o caso de coeficientes inteiros. H´a duas possibilidades. A primeira ´e que seja poss´ıvel escolher, para cada n-simplexo s em M , uma orienta¸ca˜o s de tal modo que simplexos adjacentes induzam na face comum orienta¸co˜es opostas. Com essas escolhas, a

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P

s ´e um ciclo, n˜ao hom´ologo a zero pois n˜ao h´a simP mss ´e um n-ciclo, plexos de dimens˜ao n + 1. Al´em disso, se z =

cadeia Γ =

s∈M

s∈M

atribuindo arbitrariamente orienta¸co˜es aos (n − 1)-simplexos t de P ktt . Se s e s0 s˜ao n-simplexos adjacentes, M , teremos 0 = ∂z = t∈M P com s ∩ s0 = t, tem-se 0 = kt = ms − ms0 . Portanto, se z = mss 0 ´e um n-ciclo, vale ms = ms0 sempre que s e s forem adjacentes. Segue-se da condi¸ca˜o c) que ms = ms0 quaisquer que sejam os nP simplexos s, s0 , isto ´e, que z = m · s = m · Γ. Conclus˜ao: todo n-ciclo em M ´e um m´ ultiplo de Γ e Hn (M ) = Zn (M ) = Z. A segunda possibilidade ´e a nega¸ca˜o da primeira: que n˜ao seja poss´ıvel orientar todos os n-simplexos de M de tal modo que simplexos adjacentes s , s 0 induzam sobre a face comum t = s ∩ s0 orienta¸co˜es opostas. Neste caso, afirmamos, o u ´nico n-ciclo ´e 0, P mss ´e um m-ciclo ent˜ao logo Hn (M ) = 0. De fato, se z = s∈M P 0 = ∂z = ktt , logo kt = 0 para todo (n − 1)-simplexo t em M . t∈M

Dado t, se s e s0 s˜ao os dois n-simplexos tais que t = s ∩ s0 , temos 0 = kt = ±ms ±ms0 , os sinais sendo + ou − conforme as orienta¸co˜es induzidas por s e s 0 sobre t. Seja como for, temos |ms | = |ms0 | para dois quaisquer n-simplexos adjacentes e, por c), para quaisquer dois n-simplexos s, s0 . Ent˜ao o ciclo z ´e a soma de parcelas do tipo m ·ss ou −m · s 0 , com o mesmo m para todo s. Como −m · s = m · −ss, trocando a orienta¸ca˜o de s quando necess´ario, podemos escrever P P s ´e z = m· s . Como ∂z = 0, conclu´ımos que ou m = 0 ou s∈M

s∈M

um ciclo, o que significaria que as novas orienta¸co˜es fazem com que cada um dos (n − 1)-simplexos herde orienta¸co˜es opostas dos dois n-simplexos que sobre ele incidem, o que contradiz nossa hip´otese. Conclu´ımos ent˜ao que m = 0, ou seja, que todo n-ciclo ´e nulo e Hn (M ) = 0.

Uma pseudo-variedade n-dimensional M chama-se orient´avel quando ´e poss´ıvel atribuir a cada um dos seus n-simplexos uma

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orienta¸ca˜o de tal modo que n-simplexos adjacentes induzam orienta¸co˜es opostas sobre a face comum. (Diz-se ent˜ao que eles est˜ao coerentemente orientados.) Um tal processo determina um n-ciclo P s, que gera Hn (M ) e ´e chamado uma orienta¸ca˜o de M . Γ = (Note que o ciclo Γ ´e sua pr´opria classe de homologia, pois n˜ao h´a cadeias de dimens˜ao n + 1.) Quando n˜ao se podem orientar coerentemente os n-simplexos de M ent˜ao n˜ao h´a n-ciclos com coeficientes inteiros e M diz-se n˜ao-orient´avel. O Teorema 8 diz que, usando coeficientes inteiros, tem-se Hn (M ) = Z se M ´e orient´avel e Hn (M ) = 0 se M ´e n˜ao-orient´avel. Exemplo 15. A esfera S n e o toro T 2 s˜ao pseudo-variedades orient´aveis. J´a o plano projetivo P 2 ´e uma pseudo-variedade n˜aoorient´avel pois seu grupo de homologia H2 (P 2 ) com coeficientes inteiros ´e igual a zero. / Uma rota numa pseudo-variedade n-dimensional M e uma seq¨ uˆencia R = (ss1 , . . . , sk ) de n-simplexos tais que, para todo i = 1, . . . , k − 1, si e si +1 s˜ao adjacentes e coerentemente orientados. Se sk = −ss1 , diz-se que a rota R ´e um circuito desorientador. Seja s um n-simplexo orientado em M . Dado qualquer outro n-simplexo t, existe uma rota R come¸cando em s e terminado no simplexo orientado t . Se outra rota R0 come¸car em s e terminar em −t ent˜ao a rota composta R0 R−1 (defini¸ca˜o o´bvia) ´e um circuito desorientador. Portanto, se n˜ao h´a em M circuitos desorientadores, um n-simplexo orientado s determina, de modo un´ıvoco, orienta¸ca˜o em todos os n-simplexos t de M , o que faz de M uma pseudovariedade orientada. Reciprocamente, se M ´e orientada, n˜ao pode haver circuito desorientador em M , pois os simplexos de uma rota ou s˜ao todos orientados positiva ou negativamente em rela¸ca˜o a M . Em suma: uma pseudo-variedade ´e orient´avel se, e somente se, n˜ao admite circuitos desorientadores. Se a pseudo-variedade n-dimensional M ´e n˜ao-orient´avel ent˜ao todo n-simplexo orientado s em M ´e elemento de algum circuito

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desorientador. Com efeito, se R0 ´e um circuito desorientador em M , tomamos uma rota R come¸cando em s e terminando num elemento qualquer de R0 . Ent˜ao a rota composta RR0 R−1 ´e um circuito desorientador que come¸ca e termina em s. (Poderia ser alegado que o simplexo final de R talvez ocorra em R0 com a orienta¸ca˜o contr´aria. Mas se este for o caso, inverte-se a orienta¸ca˜o de todos os simples de R0 , continuando ainda com um circuito desorientador.) No que se segue, consideraremos o espa¸co projetivo n-dimensional P n . Ele ´e o quociente da esfera S n pela rela¸ca˜o de equivalˆencia que identifica cada ponto x ∈ S n com o seu sim´etrico −x. A fim de dotar P n de uma estrutura de poliedro, come¸camos com uma triangula¸ca˜o de S n que seja sim´etrica em rela¸ca˜o a` origem, isto ´e, que contenha, junto com cada simplexo s = ha0 , . . . , ar i, seu sim´etrico −s = h − a0 , . . . , −ar i. Este ´e o caso da triangula¸ca˜o octa´edrica, que vamos adotar. Ela consiste nos 2n+1 n-simplexos ´ claro que, para cada um s = h ± e0 , . . . , ±en+1 i e suas faces. E deles, seu sim´etrico −s tamb´em pertence a` fam´ılia. Com a triangula¸ca˜o octa´edrica, a defini¸ca˜o expl´ıcita de uma orienta¸ca˜o ´e imediata. Com efeito, cada s-simplexo s = ha0 , . . . , an i origina uma matriz (n + 1) × (n + 1) cujas colunas s˜ao a0 , . . . , an , nesta ordem. Daremos a s a orienta¸ca˜o s = [a0 , . . . , an ] quando o determinante dessa matriz for positivo. Diremos ent˜ao que s ´e positivo. A fim de ver que isto fornece uma orienta¸ca˜o em S n , mostraremos que dois n-simplexos positivos adjacentes induzem orienta¸co˜es opostas na face comum. Ora, n-simplexos adjacentes tˆem a forma s = ha0 , . . . , ai , . . . , ar i e s0 = ha0 , . . . , −ai , . . . , ar i. Como det[a0 , . . . , −a0 , . . . , ar ] = − det[a0 , . . . , ai , . . . , ar ], se supusermos que s = [a0 , . . . , ai , . . . , ar ] ´e positivo ent˜ao a orienta¸ca˜o positiva de s0 ser´a −s0 = −[a0 , . . . ,−a0 , . . . , ar ]. As orienta¸co˜es induzidas pelos simplexos positivos s e −s 0 sobre a face comum t = ha0 , . . . , abi , . . . , ar i = ha0 , . . . , −abi , . . . , ar i s˜ao respectivamente (−1)i [a0 , . . . , abi , . . . , i

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ar ] e (−1)i+1 [a0 , . . . , abi , . . . , ar ], portanto s˜ao opostas. Um papel essencial no estudo do espa¸co projetivo P n ´e desempenhado pela aplica¸ca˜o ant´ıpoda α : S n → S n , definida por α(x) = −x. Se, para cada i = 0, 1, . . . , n, chamarmos de αi : S n → S n a reflex˜ao dada por αi (x0 , . . . , xi , . . . , xn ) = (x0 , . . . , −xi , . . . , xn ), ´e claro que α = α0 ◦ α1 ◦ · · · ◦ αn . O homomorfismo α∗ : Hn (S n ) → Hn (S n ), induzido pela aplicac¸a˜o ant´ıpoda α, ´e a multiplica¸ca˜o por (−1)n+1 . Para concluir isto, basta mostrar que cada αi induz o homomorfismo (αi )∗ : H( S n ) → Hn (S n ) que consiste na multiplica¸ca˜o por −1. De fato, para cada n-simplexo orientado s = [a0 , . . . , ai , . . . , an ], temos αi (ss) = [a0 , . . . , −ai , . . . , an ] = −ss. Em particular, se n ´e par ent˜ao α∗ : Hn (S n ) → Hn (S n ) ´e a multiplica¸ca˜o por −1. Portanto, no caso em que n ´e par, os simplexos orientados s 0 = [a0 , . . . , an ] e s 00 = [−a0 , . . . , −an ] = α(ss) n˜ao podem ser parcelas P s quando ∂Γ = 0. da mesma soma Γ = s∈M

Tratemos agora do espa¸co projetivo P n . Formalmente, os pontos de P n s˜ao os pares n˜ao-ordenados {x,−x}, x ∈ S n . A aplica¸ca˜o π : S n → P n , dada por π(x) = {x, −x}, ´e chamada a proje¸ca˜o natural. Por defini¸ca˜o, um conjunto U ⊂ P n ´e aberto quando π −1 (U ) ´e um subconjunto aberto de S n . Isto faz de P n um espa¸co topol´ogico compacto e de π uma aplica¸ca˜o cont´ınua (de fato, um homeomorfismo local). P n pode ser representado como uma superf´ıcie do espa¸co euclidiano, como em [AR3, pag.66], ou como um poliedro, a saber, a realiza¸ca˜o geom´etrica do esquema simplicial que mostraremos agora. A proje¸ca˜o natural π : S n → P n aplica homeomorficamente cada n-simplexo s da triangula¸ca˜o octa´edrica de S n sobre sua imagem π(s). P n ´e a reuni˜ao dessas imagens π(s) = π(α(s)) mas elas n˜ao determinam uma triangula¸ca˜o de P n pois duas quaisquer delas tˆem os mesmos v´ertices.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

A fim de obter P n como poliedro, tomamos em S n a subdivis˜ao baricˆentrica da triangula¸ca˜o octa´edrica. Agora, os simplexos de S n s˜ao suficientemente pequenos de modo que, se dois deles, digamos s e s0 , tˆem interse¸ca˜o n˜ao-vazia ent˜ao s ∪ s0 n˜ao cont´em pontos ant´ıpodas e assim π aplica s ∪ s0 homeomorficamente sobre π(s) ∪ π(s0 ). Por conseguinte, π(s) ∩ π(s0 ) = π(s ∩ s0 ). Ent˜ao podemos considerar as imagens π(s) dos n-simplexos s ∈ S n e suas faces π(t), t ⊂ s, como os simplexos do poliedro P n , o qual ´e uma pseudovariedade, como se vˆe imediatamente. Observe-se que, em virtude do Teorema 8, a orientabilidade de uma pseudo-variedade n˜ao depende da forma como ela foi triangulada. Se M ´e uma pseudo-variedade n-dimensional orient´avel, dois n-simplexos s 0 e s 00 em M dizem-se igualmente orientados quando P s , onde ∂Γ = 0. Uma vez fixada a s˜ao parcelas da soma Γ = s∈M

orienta¸ca˜o Γ, suas parcelas s˜ao os simplexos orientados positivos. A fim de calcular os grupos de homologia de P n , como faremos a seguir, ´e preciso saber quando P n ´e orient´avel e quando n˜ao ´e. A resposta ´e dada pelo Teorema 9. O espa¸co projetivo P n ´e orient´avel se, e somente se, n ´e ´ımpar. Demonstra¸c˜ ao: Quando n ´e ´ımpar, atribuimos a π(s) em P n a orienta¸ca˜o s¯ = [π(a0 ), . . . , π(an )], onde s = [a0 , . . . , an ] ´e a orienta¸ca˜o ´ verdade que se tem tamb´em π(s) = π(α(s)), positiva de s em S n . E com α(s) = h − a0 , . . . , −an i mas, como n ´e ´ımpar, sendo s positivo, α(ss) tamb´em ´e, logo a orienta¸cao s¯ dada a π(s), est´a bem definida. P Considerando a cadeia Γ = s¯, vemos que Γ = π(Γ), onde s¯∈P n P s , logo ∂Γ = ∂π(Γ) = π(∂Γ) = 0. Assim, Hn (P n ) 6= 0 e Γ= s∈S n

conseq¨ uentemente P n ´e orient´avel. Se, entretanto, n ´e par, admitamos por absurdo que P n seja oriP ent´avel e tomemos um gerador Γ = s¯ do grupo Hn (P n ). Em cada

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[SEC. 6: PSEUDO-VARIEDADES

n-simplexo de S n fixemos uma orienta¸ca˜o s de modo que π(ss) = s¯ seja positivo, isto ´e, seja uma das parcelas de Γ. Assim orientados, P s¯, que ´e um nos n-simplexos de S n formam uma cadeia Γ = ciclo pois se s1 e s2 s˜ao adjacentes ent˜ao s¯1 = π(ss1 ) e s¯2 = π(ss2 ) tamb´em s˜ao, logo induzem orienta¸co˜es opostas na face comum e da´ı o mesmo ocorre com s1 e s2 . Isto nos d´a uma contradi¸ca˜o pois s e seu ant´ıpoda α(ss) s˜ao parcelas de Γ. Teorema 10. Seja M uma pseudo-variedade n-dimensional. Se M ´e orient´avel ent˜ao, tomando coeficientes em Z, o grupo Hn−1 (M ) ´e livre. Por outro lado, se M ´e n˜ao-orient´avel, Hn−1 (M ) possui um u ´nico elemento α 6= 0 de ordem finita, com 2 · α = 0. Noutas palavras, se M ´e n˜ao-orient´avel ent˜ao Hn−1 (M ) = F ⊕ Z2 , onde F ´e um grupo livre. Demonstra¸c˜ ao: Evidentemente, os grupos de homologia de um poliedro s˜ao finitamente gerados. Assim, para provar que Hn−1 (M ) ´e livre quando M ´e orient´avel, basta mostrar que sua tor¸ca˜o ´e nula. Seja ent˜ao y ∈ Cn (M ) tal que, para algum p ≥ 0, tem-se p · y = ∂x, com x ∈ Cn (M ). Em cada n-simplexo s ∈ M , fixemos uma P orienta¸ca˜o de modo que a soma Γ = s seja um dos dois ciclos s∈M

que geram Hn (M ). Tomemos ainda uma orienta¸ca˜o (arbitr´aria) t P P em cada (n − 1)-simplexo. Ent˜ao x = mj · s e y = kt · t , s

t

um ms , kt ∈ Z. Qualquer par de n-simplexos adjacentes s0 e s00 induz orienta¸co˜es opostas na face comum t = s0 ∩ s00 . De ∂x = p · y resulta ent˜ao que ms0 − ms00 = ±p · kt , ou seja, que ms0 = ms00 (mod.p), quando s0 e s00 s˜ao adjacentes. Da condi¸ca˜o c) segue-se que os coeficientes ms s˜ao dois a dois cˆongruos mod.p, isto ´e, existe um n´ umero r, com 0 ≤ r < p, tal que ms = p · qs + r para todo s. P Ent˜ao, pondo x0 = qs0 · s temos x=

X

ms · s = p ·

X

qs · s + r ·

X

s = p · x0 + r · Γ,

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

logo p · y = ∂x = p · ∂x0 (pois ∂Γ = 0) e da´ı y = ∂x0 . Portanto p[y] = 0 implica [y] = 0 e Hn−1 (M ) n˜ao tem tor¸ca˜o. Seja agora M n˜ao-orient´avel. Fixemos orienta¸co˜es arbitr´arias P em seus n-simplexos s e ponhamos x = s . Ent˜ao ∂x = 2 · a, P onde 0 6= a = t ´e a soma dos (n − 1)-simplexos t que herdam a mesma orienta¸ca˜o dos dois n-simplexos s0 , s00 tais que s0 ∩ s00 = t. A cadeia a ´e um ciclo pois 2 · ∂a = ∂∂x = 0, mas n˜ao ´e hom´ologa a zero. De fato, se tiv´essemos a = ∂x0 , da´ı decorreria ∂x = 2 · ∂x0 , logo ∂(x−2x0 ) = 0 e, como n˜ao h´a n-ciclos n˜ao-nulos, seria x = 2x0 , mas esta igualdade ´e absurda pois os coeficientes de x em termos da base formada pelos s em Cn (M ) s˜ao todos iguais a 1. Portanto a classe de homologia [a] ∈ Hn−1 (M ), tal que 2 · [a] = 0, n˜ao ´e nula. A classe [a] ∈ Hn−1 (M ) n˜ao depende das orienta¸co˜es escolhidas P nos n-simplexos de M . Com efeito, se tomarmos cadeias x = s P 0 0 e x = s formadas tomando essas orienta¸co˜es de duas maneiras diferentes, e pusermos ∂x = 2 · a, ∂x0 = 2 · a0 , os (n − 1)-ciclos a e a0 s˜ao hom´ologos. Para provar isto, basta observar que, como as parcelas de x0 diferem das de x apenas por alguns sinais trocados, tem-se x − x0 = 2 · x00 . Ent˜ao 2 · ∂x00 = 2 · (∂x − ∂x0 ) = 2 · (a − a0 ). Da´ı a − a0 = ∂x00 e [a0 ] = [a]. Mostremos agora que, quando M ´e n˜ao-orient´avel, a classe [a] acima considerada ´e o u ´nico elemento de ordem finita no grupo abeliano Hn−1 (M). Suponhamos ent˜ao que y seja um (n−1)-ciclo tal que p·y = ∂x para algum n´ umero p 6= 0 e uma cadeia n-dimensional P P P x= ms ·ss. Se y = kt ·tt ent˜ao p·y = p·kt ·tt. Para cada (n−1)simplexo t, a rela¸ca˜o p · y = ∂x fornece p · kt = ms0 − ms00 ou p · kt = ms0 +ms00 , conforme os simplexos s0 , s00 , tais que t = s∩s0 , induzam orienta¸co˜es opostas ou a mesma orienta¸ca˜o em t. Assim, vemos que ms0 = ±ms00 (mod.p) para n-simplexos adjacentes s0 , s00 e, pela condi¸ca˜o c), para dois n-simplexos quaisquer. Fazendo as trocas de orienta¸ca˜o que forem necess´arias nos n-simplexos, podemos supor

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[SEC. 6: PSEUDO-VARIEDADES

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P que x = ms ·ss ´e tal que ms0 ≡ ms00 (mod.p) para quaisquer s 0 e s00 . P Ent˜ao, como antes, podemos escrever x = p·x0 +r ·γ, onde γ = s ´e a soma dos n-simplexos de M , com as orienta¸co˜es adequadas. Pondo ∂γ = 2 · a, vem p · y = ∂x = p · ∂x0 + r · ∂γ = p · ∂x0 + 2 · r · a, logo p · (y − ∂x0 ) = 2r · a. Como a (n − 1)-cadeia a ´e soma de simplexos orientados, todos com coeficiente 1, a igualdade p · (y − ∂x0 ) = 2r · a implica que 2 · r ´e m´ ultiplo de p. Ent˜ao p · (y − ∂x0 ) = p · q · a e y − ∂x0 = q · a. Da´ı [y] = q · [a]. Como [a] tem ordem 2, conclu´ımos que q = 0 ou q = 1. Portanto, toda classe de homotopia [y] 6= 0 com ordem finita em Hn−1 (M ) concide com [a]. Calcularemos agora os grupos de homologia Hr (P n ) do espa¸co projetivo n-dimensional, com coeficientes inteiros. Usaremos dois fatos b´asicos. O primeiro ´e que P n pode ser triangulado, como fizemos acima, sob a forma de uma pseudo-variedade n-dimensional, orient´avel quando n ´e ´ımpar e n˜ao-orient´avel se n ´e par. O segundo ´e que se U ´e o interior de um simplexo n-dimensional em P n ent˜ao o poliedro P n − U tem o subpoliedro P n−1 como retrato de deforma¸ca˜o. Isto significa que existe uma aplica¸ca˜o cont´ınua ρ : P n − U → P n − U , homot´opica a` identidade, cuja imagem ´e P n−1 , tal que ρ(x) = x para todo x ∈ P n−1 . Para definir ρ, consideraremos o hemisf´erio norte da triangula¸ca˜o octa´edrica de S n ou, equivalentemente, uma triangula¸ca˜o da bola unit´aria B n que, restrita ao bordo S n−1 , seja sim´etrica, isto ´e, junto com cada (n − 1)-simplexo s ∈ S n−1 contenha tamb´em seu sim´etrico s∗ = {−x ∈ S n−1 ; x ∈ s}. Ent˜ao, identificando cada ponto x ∈ S n−1 com −x, e portanto cada simplexo s ∈ S n−1 com s∗ , sem qualquer outra identifica¸ca˜o em B n , obtemos o espa¸co projetivo P n , tendoP n−1 como subpoliedro. Dado U = interior de um n-simplexo em B n (portanto em P n ), fixamos um ponto p ∈ U e definimos a retra¸ca˜o ρ0 : B n − U → B n − U como sendo a proje¸ca˜o radial sobre S n−1 a partir de p:

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL *

para cada x ∈ B n − U , ρ0 (x) ´e o ponto em que a semi-reta px ± corta a esfera S n−1 . Se pusermos u = (x − p) |x − p|, teremos q ´ ρ0 (x) = −hx, ui + hx, ui2 + 1 − |x|2 . (Vide [AR3, pag.112.) E claro que ρ0 ´e linearmente homot´opica a` identidade, A aplica¸ca˜o ρ : P n − I → P n − U procurada ´e simplesmente ρ = π ◦ ρ0 , onde π : S n−1 → P n−1 ´e a proje¸ca˜o natural. Exemplo 16. Grupos de homologia do espa¸co projetivo. J´a sabemos que, tomando coeficientes inteiros, temos Hn (P n ) = Z quando n ´e ´ımpar e Hn (P n ) = 0 se n ´e par. Seja agora 0 < r < n. Se z ∈ Zr (P n ) ´e um r-ciclo, tomando um qualquer n-simplexo s, e chamando U = int. s, vemos que z ∈ Zr (P n − U ). A aplica¸ca˜o ρ : P n − U → P n − U , acima definida, sendo homot´opica a` identidade, induz o homomorfismo identidade ρ∗: Hr(P n−U ) → Hr(P n−U ), portanto [z] = ρ∗ [z], ou seja, o r-ciclo z ´e hom´ologo em P n − U a um ciclo z 0 , situado sobre P n−1 = ρ(P n − U ). Iterando o processo, chegamos a um r-ciclo w sobre P r , hom´ologo a z em P n − U (logo em P n ). Se r ´e par ent˜ao w = 0 pois zero ´e o u ´nico r-ciclo em P r . Assim, quando r ´e par e 0 < r < n, temos Hr (P n ) = 0. Seja agora r um n´ umero ´ımpar < n. Ent˜ao w = m · γ ´e um m´ ultiplo do ciclo b´asico γ, gerador de Hr (P r ). Assim, todo rciclo z em P n ´e hom´ologo a um m´ ultiplo de γ, portanto Hr (P n ) ´e um grupo c´ıclico, gerado pela classe de homologia de γ em P n . Considerando P r ⊂ P r+1 ⊂ P n , sabemos que 2γ = ∂x, onde x ´e uma (r+1)-cadeia em P r+1 . Logo, vendo γ como um r-ciclo em P n , temos 2[γ] = 0 e assim o grupo c´ıclico Hr (P n ) ´e igual a 0 ou a Z2 . Para concluir que Hr (P n ) = Z2 , basta mostrar que γ n˜ao ´e bordo de uma (r +1)-cadeia em P n . Isto ´e verdade quando r = n−1, pelo Teorema 10. Se for r < n − 1 ent˜ao P r+1 ⊂ P n − U e, analogamente a ρ, temos uma retra¸ca˜o ρ¯ : P n − U → P n − U , cuja imagem ´e P r+1 . Se fosse [γ] = 0 em Hr (P n ), ter´ıamos [γ] = ρ¯∗ [γ] = 0 em Hr (P r+1 ), ou seja, γ seria hom´ologo a zero em P r+1 mas j´a vimos que, pelo Teorema 10, isto n˜ao acontece.

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[SEC. 7: O TEOREMA DOS PONTOS FIXOS DE LEFSCHETZ

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Podemos ent˜ao, em conclus˜ao, enunciar o Teorema 11. Os grupos de homologia com coeficientes inteiros do espa¸co projetivo P n s˜ao: Hn (P n ) = 0 se n ´e par e Hn (P n ) = Z se n ´e ´ımpar. Se 0 < r < n ent˜ao Hr (P n ) = 0 se r ´e par e Hr (P n ) = Z2 se r ´e ´ımpar. Observa¸c˜ ao: Usando coeficientes em Z2 , tem-se Hr (P n ) = Z2 para todo r = 0, 1, . . . , n.

7

O Teorema dos Pontos Fixos de Lefschetz

Nesta se¸ca˜o, os grupos de homologia de um poliedro K ser˜ao tomados com coeficientes num corpo. Assim, Hr (K) ´e um espa¸co vetorial, cuja dimens˜ao βr = βr (K) ´e chamada o n´ umero de Betti de dimens˜ao r de K. Num espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, um operador T : E → E que deixa invariante um subespa¸co F ⊂ E induz no espa¸co quociente um operador Te : E/F → E/F , definido por Te(x + F ) = T · x + F , x ∈ E. Diz-se que Te ´e obtido de T por passagem ao quociente. Se indicarmos por tr ·T o tra¸co (soma dos elementos da diagonal de uma matriz) de T , veremos que, sendo T |F : F → F a restri¸ca˜o de T vale tr ·T = tr ·(T |F ) + tr ·Te.

Para ver isto, basta usar uma base {v1 , . . . , vn } ⊂ E cujos primeiros m elementos formem uma base de F , observar que {vm+1 +F,. . ., vn + F } ´e uma base de E/F e olhar para as matrizes de T , T |F e Te nestas bases. Tenha-se em mente que tr ·T ´e um elemento do corpo dos coeficientes.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

A caracter´ıstica de Euler do poliedro K ´e a soma alternada n P (−1)r αr , onde αr ´e o n´ umero de simplexos de dimens˜ao χ(K) = r=0

r e n ´e a dimens˜ao de K. Este importante n´ umero inteiro foi introduzido por Euler em 1758 sob a forma χ(K) = V −A+F , onde V ´e o n´ umero de v´ertices, A ´e o n´ umero de arestas e F ´e o n´ umero de faces de um poliedro 2 homeomorfo a` esfera S . Euler percebeu que, neste caso, tem-se sempre χ(K) = 2. Bem mais tarde, em 1893, Poincar´e mostrou que, considerando homologia com coeficientes inteiros, χ(K) = n P (−1)r βr ´e igual a` soma alternada dos n´ umeros de Betti de K, r=0

portanto ´e um invariante topol´ogico (e mesmo do tipo de homotopia) de K. Seja f : K → K uma aplica¸ca˜o cont´ınua do poliedro K em si mesmo. Indicaremos com fr : Cr (K) → Cr (K) o morfismo (operador linear) induzido nas cadeias r-dimensionais por alguma aproxima¸ca˜o simplicial que fixaremos arbitrariamente. A nota¸ca˜o fr∗ : Hr (K) → Hr (K) significar´a o homomorfismo induzido por fr (ou, equivalentemente, por f ) em Hr (K), o qual n˜ao depende da escolha da aproxima¸ca˜o simplicial. Se dim. K = n, o n´ umero de Lefschetz de f ´e, por defini¸ca˜o: n

L(f ) = tr .(f0∗ )−tr .(f1∗ )+· · ·+(−1) tr .(fn∗ ) =

n X

(−1)r tr .(fr∗ ).

r=0

Na verdade, L(f ) pertence ao corpo dos coeficientes da homologia. Se, por exemplo, tomarmos o corpo Q dos racionais, ent˜ao L(f ) ser´a um verdadeiro n´ umero, e mesmo um n´ umero inteiro, como veremos logo a seguir. Quando f : K → K ´e homot´opica a` identidade, fr∗ ´e, para todo r, o operador identidade, portanto seu tra¸co ´e igual a` dimens˜ao de Hr (K) vezes o elemento unidade do corpo. Se o corpo tem caracter´ıstica zero, podemos identificar esse elemento unidade com

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[SEC. 7: O TEOREMA DOS PONTOS FIXOS DE LEFSCHETZ

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o n´ umero 1 e ent˜ao afirmar que tr .(fr∗ ) = βr . Assim, se o corpo dos coeficientes tem caracter´ıstica zero e f ´e homot´opica a` identidade ent˜ao L(f ) = χ(K). Lema de Hopf.

n P

(−1)r tr .(fr∗ ) =

r=0

n P

(−1)r tr .(fr ).

r=0

Demonstra¸c˜ ao: Lembrando que Hr (K) = Zr /Br , vemos que o homomorfismo fr∗ ´e obtido de fr |Zr : Zr → Zr por passagem ao quociente, logo tr .(fr |Zr ) = tr .(fr |Br ) + tr .(fr∗ ). Analogamente, f˜r : Cr /Zr → Cr /Zr ´e obtido de fr : Cr → Cr por passagem ao quociente, logo tr .(fr ) = tr .(fr |Zr ) + tr .(f˜r ). (Estamos escrevendo Cr = Cr (K), Zr = Zr (K) e Br = Br (K).) Ora, o homomorfismo bordo ∂ : Cr → Br−1 induz um isomorfismo ∂¯ : Cr /Zr → Br−1 o qual, como fr−1 ◦ ∂ = ∂ ◦ fr , torna comutativo o diagrama Cr /Zr   ¯ ∂y

f˜r

−−−→

fr−1 |Br−1

Cr /Zr  ¯ y∂

Br−1 −−−−−−→ Br−1

Portanto tr .(f˜r ) = tr .(fr−1 |Br−1 ). Da´ı tr .(fr ) = tr .(fr |Zr ) + tr .(fr−1 |Br−1 ). Escrevendo tr .(f−1 |B−1 ) = 0 = tr .(fn |Bn ), temos n X

r

(−1) tr .(fr−1 |Br−1 ) =

n X

(−1)r [− tr .(fr |Br )].

r=0

r=0

Logo n X

(−1)r tr .fr =

n X

(−1)r · [tr .(fr |Zr ) + tr .(fr−1 |Br−1 )]

r=0

r=0

=

n X

(−1)r · [(fr |Zr ) − tr .(fr |Br )]

r=0

=

X

(−1)r · tr .(fr∗ ).

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

Corol´ ario do Lema. Se o corpo dos coeficientes tem caracter´ıstica n P (−1)r βr . zero ent˜ao χ(K) = r=0

Por conseguinte, a caracter´ıstica de Euler de um poliedro n˜ao depende de sua triangula¸ca˜o. Ou seja: poliedros homeomorfos tˆem a mesma caracter´ıstica de Euler. Teorema 12 (Lefschetz). Seja f : K → K uma aplica¸ca˜o cont´ınua. Se L(f ) 6= 0 ent˜ao f admite pelo menos um ponto fixo.

Demonstra¸c˜ ao: Por absurdo, suponhamos que f n˜ao possua pontos fixos. Ent˜ao existe c > 0 tal que |x − f (x)| ≥ c para todo x ∈ K. Como a homologia de K n˜ao depende da triangula¸ca˜o, podemos supor que todos os seus simplexos tˆem diˆametro < c/2. Seja ϕ : K (m) → K uma aproxima¸ca˜o simplicial de f . Para todo x ∈ K (m) , os pontos f (x) e ϕ(x) pertencem ao mesmo simplexo de K, logo |x − ϕ(x)| ≥ |x − f (x)| − |f (x) − ϕ(x)| ≥ c − c/2 = c/2. Assim, se s ´e um simplexo em K (m) e x ∈ s, o ponto ϕ(x) n˜ao pertence a s. Noutras palavras, s ∩ ϕ(s) = ∅ para todo s em K (m) . O morfismo fr : Cr (K) → Cr (K) ´e definido como fr = ϕ ◦ Sdm logo, para todo s ∈ Cr (K), sua imagem fr (ss) ´e uma combina¸ca˜o linear de simplexos do tipo ϕ(tt), com t ⊂ s, portanto todos eles disjuntos de s. Assim, na cadeia fr (ss) ∈ Cr (K), escrita como combina¸ca˜o linear dos elementos da base de Cr (K) formada pelos r-simplexos de K, o coeficiente de s ´e zero. Isto significa que a matriz de fr nesta base tem todos os elementos da diagonal nulos, logo tr .(fr ) = 0. Segue-se do Lema de Hopf que L(f ) = 0, uma contradi¸ca˜o. Exemplo 17. Se o poliedro K ´e ac´ıclico (em particular, contr´atil) ent˜ao toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → K tem pontos fixos. Isto nos d´a o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, pois a bola B n ´e contr´atil. / Exemplo 18. Seja f : S n → S n cont´ınua, com grau d, ou seja, f∗ ([z]) = d · [z] para toda classe [z] ∈ Hn (S n ). Ent˜ao L(f ) =

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[SEC. 7: O TEOREMA DOS PONTOS FIXOS DE LEFSCHETZ

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1 + (−1)n d. Assim, quando n ´e par, toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : S n → S n de grau 6= −1 tem pontos fixos e, se n ´e ´ımpar, tˆem necessariamente pontos fixos as aplica¸co˜es de grau 6= 1. Isto permite a` aplica¸ca˜o ant´ıpoda S n → S n n˜ao ter ponto fixo. / Exemplo 19. Consideremos uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : P n → P n , do espa¸co projetivo n-dimensional P n em si mesmo. Tomando coeficientes no corpo Z2 , temos dim Hr (P n ) = 1 para todo r com 0 ≤ r ≤ n, logo L(f ) = 0 ou L(f ) = 1, conforme seja par ou ´ımpar o n´ umero de valores de r para os quais o operador linear f∗ : Hr (P n ) → Hr (P n ) ´e diferente de zero (portanto igual a` identidade). Se, entretanto, tomarmos coeficientes no corpo Q dos n´ umeros racionais, teremos dois casos poss´ıveis. Se n for par ent˜ao Hr (P n ) = 0 para todo r > 0. (N˜ao h´a tor¸ca˜o: se uma cadeia x ¢ ¡ ´e tal que p · x = ∂y ent˜ao x = ∂ p1 · y . Logo, aqueles grupos Hr (P n ) que eram Z2 com coeficientes inteiros passam a ser nulos com coeficientes racionais.) Ent˜ao L(f ) = 1. Assim, quando n ´e par, toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : P n → P n tem pontos fixos. Se n ´e ´ımpar, a homologia de P n com coeficientes racionais ´e Hr (P n ) = 0 se 0 < r < n e Hr (P n ) = Q se r = 0 ou r = n. Ent˜ao L(f ) = 1 − d onde d ´e o grau de f . Vemos assim que, para n ´ımpar, d 6= 1 assegura a existˆencia de pontos fixos de f . Como a aplica¸ca˜o ant´ıpoda n˜ao tem ponto fixo, isto mostra outra vez que, quando n ´e ´ımpar, seu grau ´e 1. / Observa¸co ˜es: 1. Como todo grupo abeliano finitamente gerado, o grupo de homologia Hr (K) com coeficientes inteiros se escreve, de modo u ´nico, como soma direta Hr (K) = F ⊕ T onde F ´e um grupo livre e T ´e um grupo finito no qual, naturalmente, todos os elemen´ claro que, se usarmos coeficientes racionais, todas tos tˆem tor¸ca˜o. E as classes de homologia pertencentes a T anulam-se pois p · [z] = 0 implica [z] = p1 · p[z] = 0 caso p 6= 0. Mais ainda: tomando coeficientes racionais, a dimens˜ao do espa¸co vetorial Hr (K) coincide

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

com o posto (n´ umero de geradores livres) de T . Para concluir isto, P basta ver que toda rela¸ca˜o mi · [zi ] = 0 com coeficientes racionais P implica na rela¸ca˜o q mi [zi ] = 0 com coeficientes inteiros se tomarmos q = m.m.c. dos denominadores dos mi . (O resto do argumento s˜ao detalhes.) Segue-se que βr (K) = posto da parte livre de Hr (K), com coeficientes inteiros. Assim, por exemplo, χ(S n ) = 0 se n ´e ´ımpar e χ(S n ) = 2 se n ´e par. 2. O Teorema 12 implica num resultado b´asico de Topologia Diferencial e de Sistemas Dinˆamicos: se uma superf´ıcie compacta M tem caracter´ıstica de Euler diferente de zero ent˜ao todo campo cont´ınuo de vetores tangentes a M possui ao menos uma singularidade (isto ´e, em algum ponto de M o campo se anula). Com efeito, supondo o contr´ario, ter´ıamos um campo v de vetores tangentes a M , o qual podemos supor diferenci´avel, com v(x) 6= 0 para todo x ∈ M . Definimos ent˜ao uma aplica¸ca˜o f : M → M , sem pontos fixos, homot´opica a` identidade, fixando um n´ umero ε > 0 suficientemente pequeno e pondo, para cada x ∈ M , f (x) = ponto obtido deslocando x ao longo da o´rbita que se origina em x, por um tempo ε. 3. O significado do n´ umero L(f ), conforme concebido originalmente por Lefschetz ´e o seguinte: se K ´e uma superf´ıcie triangulada, a cada ponto fixo isolado a da aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → K associa-se um ´ındice, que ´e o grau local da aplica¸ca˜o x 7→ f (x) − x (em termos de uma parametriza¸ca˜o de uma vizinhan¸ca de a), aplica¸ca˜o essa que tem a como zero isolado. Lefschetz provou que toda f : K → K pode ser aproximada por (logo ´e homot´opica a) uma aplica¸ca˜o cujos pontos fixos s˜ao todos isolados e que a soma dos ´ındices ´e igual a L(f ). Por exemplo, se f : S 2 → S 2 ´e dada por f (z) = z 2 , seus pontos fixos s˜ao 0, 1 e ∞. Considerando ϕ(z) = z 2 −z, temos ϕ0 (z) = 2z−1, logo os graus locais s˜ao iguais a 1. A soma dos graus locais ´e 3, o que coincide com o n´ umero de Lefschetz L(f ) = 10 + 2 = 3.

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[SEC. 8: HOMOLOGIA ORDENADA

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Homologia ordenada

Um r-simplexo ordenado num poliedro K ´e uma seq¨ uˆencia (s) = (a0 , . . . , ar ) cujos termos ai s˜ao v´ertices (n˜ao necessariamente distintos) de um mesmo simplexo de K. Os elementos do A-m´odulo livre cr (K), gerado pelos r-simplexos de K, s˜ao chamados as r-cadeias ordenadas de K com coeficientes P em A. Cada uma destas ´e uma combina¸ca˜o linear x = x(s) · (s), onde x(s) ∈ A para cada r-simplexo ordenado (s). Os homomorfismos ∂ : cr (K) → cr−1 (K), definidos por X ∂(s) = (−1)i (a0 , . . . , abi , . . . , ar ) se (s) = (a0 , . . . , ar ), cumprem a condi¸ca˜o ∂∂ = 0, logo a seq¨ uˆencia

c (K) : · · · → cr (K) → cr−1 (K) → · · · → c0 (K) ´e um complexo de cadeias, cujos grupos de homologia ser˜ao denotados por hr (K) e chamado os grupos de homologia ordenada de K, em contraposi¸ca˜o aos grupos de homologia orientada Hr (K) que v´ınhamos considerando at´e agora. Para provar que ∂∂ = 0, indiquemos com ∂i (s) = (a0 , . . . , abi , . . . , ar ) a i-´esima face do simplexo ordenado (s) = (a0 , . . . , ar ). Temos ∂j ∂i (s) = ∂i−1 ∂j (s) se 0 ≤ j < i e ∂j ∂i (s) = ∂i ∂j+1 (s) quando 0 ≤ i ≤ j. Por conseguinte, para todo r-simplexo ordenado (s) vale: ! Ã X X (−1)i ∂i (s) = (−1)i+j ∂j ∂i (s) ∂∂(s) = ∂ =

X j
i

(−1)

i,j

i+j

∂j ∂i (s) +

X

(−1)i+j ∂i ∂j+1 (s).

i≤j

Substituindo, no segundo somat´orio, i por j e j + 1 por i temos: X X ∂∂(s) = (−1)i+j ∂j ∂i (s) + (−1)i+j−1 ∂j ∂i (s) = 0. j
j
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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

Uma aplica¸ca˜o simplicial f : K → L induz um morfismo f : c (K) c → (L), indicado com o mesmo s´ımbolo f e definido, em cada dimens˜ao r, pelo homomorfismo fr : cr (K) → cr (L), dado pelas igualdades fr (a0 , . . . , ar ) = (f (a0 ), . . . , f (ar )), onde (a0 , . . . , ar ) = (s) ´e um simplexo ordenado de K. A condi¸ca˜o ∂ ◦ fr = fr−1 ◦ ∂ ´e facilmente verificada. Quando n˜ao houver perigo de confus˜ao, escreveremos simplesmente f : cr (K) → cr (L) em vez de fr . Tem-se ent˜ao os homomorfismos f∗ : hr (K) → hr (L), induzidos em homologia ordenada, com (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ se g : L → M ´e tamb´em simplicial. Vamos mostrar que hr (K) ´e isomorfo a Hr (K) para todo r ≥ 0. H´a um morfismo natural ϕ : c(K) → C(K), definido pondo-se ϕ(a0 , . . . , ar ) = [a0 , . . . , ar ] para todo r-simplexo (s) = (a0 , . . . , ar ). (Lembremos que [a0 , . . . , ar ] = 0 se a seq¨ uˆencia (s) tem termos P repetidos.) Conforme vimos no final da Se¸ca˜o 2, vale (−1)i [a0 , . . ., abi , . . . , ar ] = 0 se o simplexo [a0 , . . . , ar ] ´e degenerado. Aquele P mesmo argumento mostra que (−1)i · (a0 , . . . , abi , . . . , ar ) = 0 se a seq¨ uˆencia (a0 , . . . , ar ) tem repeti¸co˜es. Segue-se da´ı que ϕ◦∂ = ∂ ◦ϕ, logo ϕ : c (K) → C(K) ´e um morfismo. Afirmamos que o homomorfismo induzido ϕ∗ : hr (K) → Hr (K) ´e, para todo r ≥ 0, um isomorfismo. Para provar isto, definimos um morfismo ψ : C(K) → c(K) tal que ψ∗ ◦ ϕ∗ = id : hr (K) → hr (K) e ϕ∗ ◦ ψ∗ = id : Hr (K) → Hr (K). Para obter ψ, usaremos uma rela¸ca˜o de ordem entre os v´ertices de K, que fixaremos agora (de modo um tanto arbitr´ario), em rela¸ca˜o a` qual os v´ertices de um mesmo simplexo est˜ao linearmente ordenados. (Uma tal rela¸ca˜o de ordem chama-se admiss´ıvel.) Em seguida tomamos a base de Cr (K) formada pelos r-simplexos orientados s = [a0 , . . . , ar ] tais que a0 < a1 < · · · < ar na ordem que adotamos. Ent˜ao pomos ψ(ss) = (a0 , . . . , ar ) e isto determina homomorfismos ψ : Cr (K) → cr (K), para r ≥ 0, sendo claro que ψ ◦ ∂ = ∂ ◦ ψ. Temos ϕ◦ψ = id : Cr (K) → Cr (K), logo ϕ∗ ◦ψ∗ = id : Hr (K) → Hr (K). Al´em disso ψ ◦ ϕ : cr (K) → cr (K) ´e transportado pela

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[SEC. 9: COHOMOLOGIA SIMPLICIAL

identidade (vista como transporte ac´ıclico), logo ψ∗ ◦ϕ∗ = (ψ◦ϕ)∗ = id : hr (K) → hr (K), como quer´ıamos demonstrar. (Aqui, estamos usando o Teorema 5 para cadeias ordenadas, mas ´e claro que ele tamb´em vale neste caso, com a mesma demonstra¸ca˜o.) Embora n˜ao se preste t˜ao bem para calcular a homologia em exemplos elementares, a homologia ordenada possui uma flexibilidade que a torna u ´til em situa¸co˜es de natureza geral, como veremos adiante.

9

Cohomologia simplicial

Conforme as defini¸co˜es gerais do Cap´ıtulo I, as r-cocadeias (orientadas) de um poliedro K, com coeficientes no anel A, s˜ao os homomorfismos u : Cr (K) → A. Elas constituem o A-m´odulo C r (K) ou, quando convier ser mais espec´ıfico, C r (K; A). Estes m´odulos comp˜oem o complexo δ

δ

δ

δ

C ∗ (K) = C ∗(K;A): C 0(K) −→ C 1(K) −→ . . . −→ C n−1(K) −→ C n(K), onde n ´e a dimens˜ao de K e δ : C r (K) → C r+1 (K) ´e o homomorfismo adjunto de ∂ : Cr+1 (K) → Cr , isto ´e, (δu)(x) = u(∂x) para toda cadeia x ∈ Cr+1 (K) e toda cocadeia u ∈ C r (K). Como toda cadeia x ∈ Cr (K) se escreve, de modo u ´nico, sob a P forma x = xs ·ss, com xs ∈ A, a fim de definir um homomorfismo u : Cr (K) → A basta atribuir arbitrariamente o valor u(ss) ∈ A para cada r-simplexo orientado s , exigindo apenas que se tenha u(−ss) = −u(ss). Portanto, podemos considerar as r-cocadeias u ∈ C r (K) simplesmente como fun¸co˜es definidas nesses simplexos, com valores em A, tais que u(−ss) = −u(ss). Uma base natural de r-cocadeias, dual da base formada por r-simplexos orientados, ´e o conjunto das cocadeias s∗ tais que s∗ (ss) = 1, s∗ (−ss) = −1 e s∗ (tt) = 0 se t 6= s. P Segue-se das defini¸co˜es de ∂ e δ que δss∗ = t , soma estendida aos (r + 1)-simplexos orientados t dos quais s ´e uma face (com as

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

b

s2 c

s1

t

d

δt∗ = s∗1 + s∗2 a Figura 24.

orienta¸co˜es induzidas). Esta observa¸ca˜o nos permite olhar para os elementos de C r (K) como cadeias orientadas munidas do operador de cobordo δ em vez do operador de bordo ∂. Exemplo 20. Numa pseudo-variedade de dimens˜ao 2, se t = [a, b] ´e um 1-simplexo orientado, com t = s1 ∩ s2 onde s 1 = [c, a, b] e s 2 = [d, a, b] ent˜ao δtt∗ = s ∗1 + s ∗2 . / r Esta interpreta¸ca˜o geom´etrica de C (K) e δ ´e conveniente nos exemplos e na vis˜ao intuitiva da cohomologia simplicial, por´em, em argumentos de natureza geral e nas demonstra¸co˜es, a defini¸ca˜o inicial C r (K) = Hom(Cr (K), A) ´e bem superior. Podemos tamb´em considerar o A-m´odulo cr (K) das cocadeias ordenadas, cada uma das quais ´e um homomorfismo u : cr (K) → A. Estes m´odulos comp˜oem o complexo c ∗ (K) no qual o cobordo δ : cr (K) → cr+1 (K) ´e definido como o homomorfismo adjunto do bordo ∂: cr+1 (K) → cr (K), isto ´e, (δu)(x) = u(∂x) para toda x ∈ cr+1 (K). Novamente, como cr (K) ´e livre, tendo como base o conjunto dos r-simplexos ordenados (s) = (a0 , . . . , ar ), podemos olhar para uma r-cocadeia ordenada como uma fun¸ca˜o arbitr´aria u, definida nos r-simplexos ordenados de K, com valores em A, e

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[SEC. 9: COHOMOLOGIA SIMPLICIAL

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δu ∈ cr+1 (K) como a fun¸ca˜o dada por (δu)(s) =

r+1 X i=0

(−1)i u(a0 , . . . , abi , . . . , ar+1 ) se (s) = (a0 , . . . , ar+1 ).

Ent˜ao C r (K) pode ser considerado como o subm´odulo de cr (K) formado pelas r-cocadeias anti-sim´etricas u, isto ´e, tais que u(aσ(0) , . . . , aσ(r) ) = εσ · u(a0 , . . . , ar ) para todo simplexo ordenado (s) = (a0 , . . . , ar ) e toda permuta¸ca˜o σ de {0, 1, . . . , r}. Esta igualdade assegura que u(s) = 0 se o simplexo (s) ´e degenerado, e que u(−ss) = −u(ss). A aplica¸ca˜o de inclus˜ao i : C r (K) → cr (K) induz o isomorfismo i∗ : H r (K) → hr (K) entre as cohomologias orientada e ordenada de K. Com efeito, vimos h´a pouco que os morfismos ϕ : cr (K) → Cr (K) e ψ : Cr (K) → cr (K), definidos na Se¸ca˜o 8, s˜ao tais que ψ ◦ϕ e ϕ ◦ ψ s˜ao algebricamente homot´opicos a`s aplica¸co˜es identidades correspondentes, logo induzem isomorfismos ϕ∗ : hr (K) → Hr (K) e ψ∗ : Hr (K) → hr (K), inversos um do outro. Tomando os homomorfismos adjuntos ϕ> : C r (K) → cr (K), ϕ> : cr (K) → C r (K), bem como os adjuntos das homotopias alg´ebricas consideradas, vemos que ϕ> e ψ > induzem isomorfismos (um inverso do outro) entre os grupos de cohomologia H r (K) e hr (K). Assim, todo cociclo ordenado ´e cohom´ologo a um cociclo anti-sim´etrico. ´ u E ´til observar que se os cociclos u, v ∈ cr (K) coincidem nos simplexos (s) = (a0 , . . . , ar ) cujos v´ertices est˜ao ordenados crescentemente em rela¸ca˜o a uma ordem admiss´ıvel ent˜ao u e v s˜ao cohom´ologos (em cr (K)). Com efeito, [u] = ϕ∗ ψ ∗ [u] = ϕ∗ [ψ > (u)] = ϕ∗ [ψ > (v)] = ϕ∗ ψ ∗ [v] = [v]. Conforme mencionamos anteriormente, a correspondˆencia K7→ Hr (K) ´e um functor covariante da categoria dos poliedros na categoria dos A-m´odulos, isto significando que a cada aplica¸ca˜o cont´ınua

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

f : K → L entre poliedros corresponde um homomorfismo f∗: Hr (K) → Hr (L) de A-m´odulos, de tal modo que se f : K → K ´e a aplica¸ca˜o identidade ent˜ao f∗ : Hr (K) → Hr (K) ´e o homomorfismo identidade e, se g : L → P ´e outra aplica¸ca˜o cont´ınua entre poliedros, tem-se f∗ ◦ g∗ = (g ◦ f )∗ : Hr (K) → Hr (P ). Analogamente, a correspondˆencia K 7→ H r (K) ´e um functor, s´o que desta vez contravariante: a cada aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L corresponde um homomorfismo f ∗ : H r (L) → H r (K) de tal modo que (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ : H r (P ) → H r (K) se g : L → P ´e outra aplica¸ca˜o cont´ınua entre poliedros; al´em disso (id)∗ = id : H r (K) → H r (K). Isto se comprova simplesmente chamando de f ∗ : H r (K) → H r (K) o homomorfismo induzido pelo adjunto f > : C r (L) → C r (L) do morfismo f : Cr (K) → Cr (L) definido a partir de uma aproxima¸ca˜o simplicial de f , como na Se¸ca˜o 5. Teorema 13. Seja M uma pseudo-variedade n-dimensional. O grupo de cohomologia H n (M ), com coeficientes inteiros, ´e c´ıclico infinito (portanto isomorfo a Z) se M ´e orient´avel e ´e isomorfo a Z2 se M ´e n˜ao-orient´avel. Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos inicialmente que M seja orient´avel e P fixemos o ciclo Γ = s , gerador de Hn (M ), ou seja, adotemos uma orienta¸ca˜o em M . Como n˜ao h´a simplexos de dimens˜ao n + 1, toda n-cocadeia ´e um cociclo. Em particular, se s ´e qualquer n-simplexo orientado, s∗ ´e um cociclo. Afirmamos que nenhum m´ ultiplo p · s∗ , com p 6= 0, ´e um cobordo. De fato, p · s∗ = δu implicaria p = p · s ∗ (s) = p · s ∗ (Γ) = δu(Γ) = u(∂Γ) = u(0) = 0. Mostremos agora que a classe de cohomologia [ss∗ ] gera H n (M ) que ´e, portanto, c´ıclico infinito. Com efeito, se s1 e s2 s˜ao nsimplexos adjacentes, positivamente orientados, com s1 ∩ s2 = t ent˜ao, tomando em t a orienta¸ca˜o induzida por s1 , temos δtt∗ = s∗1 − s∗2 , logo [ss∗1 ] = [ss∗2 ]. Segue-se ent˜ao da condi¸ca˜o c) da defini¸ca˜o de

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pseudo-variedade que [ss1∗ ] = [ss2∗ ], sejam quais forem os n-simplexos positivamente orientados s1 e s2 . Como H n (M ) ´e gerado pelas classes de cohomologia [ss∗ ], conclu´ımos que este grupo ´e c´ıclico infinito. Caso M seja n˜ao-orient´avel, mostraremos que, dado qualquer nsimplexos orientado s , H n (M ) ´e gerado pela classe de cohomologia [ss∗ ], que ´e 6= 0 e cumpre 2 · [ss∗ ] = 0. Com efeito, seja (ss1 , . . . , sk ) um circuito desorientador em M com s1 = s . Lembrando que sk = −ss1 , atribuamos a cada face comum ti = si ∩ si+1 (i = 1, . . . , k − 1) a orienta¸ca˜o ti nela induzida por si e formemos a cocadeia u = t ∗1 + · · · + t ∗k−1 . Temos δtt∗i = s ∗i − s ∗i+1 para i = 1, . . . , k − 2 e δtt∗k−1 = s ∗k−1 − s ∗k = s ∗k−1 + s ∗1 . Portanto δu = s ∗1 − s ∗2 + s ∗2 − s ∗3 + · · · + s ∗k = 2ss∗1 . Assim, 2[ss∗ ] = 0. Como as classes da cohomologia do tipo [ss∗ ] geram H n (M ), conclu´ımos que 2α = 0 para toda α ∈ H n (M ). A cocadeia s∗ n˜ao ´e cohom´ologa a zero. Isto se vˆe quando se observa que, se P ∗ P chamarmos de par a uma n-cocadeia kss tal que a soma ks dos coeficientes ´e um n´ umero par, ent˜ao o cobordo da cocadeia ∗ t , associada ao (n − 1)-simplexo t = s1 ∩ s2 ´e a cocadeia par δt∗ = ±(ss∗1 −ss∗2 ) e da´ı o cobordo de qualquer (n − 1)-cocadeia ´e par. Como s∗ n˜ao ´e par, tem-se [ss∗ ] 6= 0. Para completar a prova de que H n (M ) = Z2 , basta ver que se s1 e s2 s˜ao n-simplexos adjacentes, com s1 ∩ s2 = t, ent˜ao δtt∗ = ±ss∗1 ± s∗2 logo [ss∗1 ] = [ss∗2 ] pois α = −α para todo α ∈ H n (M ). Segue-se da condi¸ca˜o c) da defini¸ca˜o de pseudo-variedade que [ss∗1 ] = [ss∗2 ] para quaisquer dois n-simplexos em M , portanto H n (M ) = Z2 .

Exemplo 21. A Figura 25 representa o esquema simplicial de uma ´ um quadrado, decomposto em triangula¸ca˜o da garrafa de Klein. E 18 triˆangulos. Como no caso do toro, cada aresta do bordo ´e identificada com uma aresta do lado oposto, s´o que agora, imaginando

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a

c

b

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d

d

e

e

a

c

b

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Figura 25.

o quadrado como [0, 1]×[0, 1] em R2 , cada ponto (0, y) ´e identificado com (1, y) mas cada ponto (x, 0) ´e identificado com (1−x, 1). Assim, a colagem dos dois lados verticais ´e a mesma do toro mas nos lados horizontais do bordo, faz-se uma invers˜ao do sentido antes de colar. A linha em ziguezague acentuada na figura ´e uma 1-cocadeia cujo cobordo ´e 2ss∗ , onde s ´e o triˆangulo hachurado. / Exemplo 22. Cohomologia de dimens˜ao zero. Ao contr´ario da homologia, nem toda cocadeia 0-dimensional ´e um cociclo. Por exemplo, se a ´e um v´ertice do poliedro K e a∗ ´e sua cocadeia dual, P temos δa∗= s ∗i , soma estendida a todos os 1-simplexos s i=[bi , a] em K que tˆem a como um dos seus v´ertices. A Figura 26 exibe o cobordo δa∗ , onde a ´e um v´ertice do toro T 2 . Como n˜ao h´a cocadeias de dimens˜ao −1, temos H 0 (K) = Z 0 (cociclos de dimens˜ao zero). Se a1 , . . . , ap s˜ao os v´ertices do poliedro K e, para cada i = 1, . . . , p, a∗i ´e a 0-cocadeia igual a 1 no v´ertice ai e zero nos demais v´ertices ent˜ao u = a∗1 + · · · + a∗p ´e uma 0-cocadeia que assume o valor 1 em cada v´ertice de K, logo ´e um cociclo pois, P as · s com s = [as , bs ] temos para toda 1-cocadeia x = s

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d

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f

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g

δa∗ = [b, a]∗ + [c, a]∗ + [d, a]∗ + [e, a]∗ + [f, a]∗ + [g, a]∗ Figura 26.

¢ P ¡ (δu)x = u(δx) = xs u(bs ) − u(as ) = 0. Se s = [a, b] ´e um 1-simplexo e v ∈ Z 0 ´e um 0-cociclo ent˜ao 0 = δv(ss) = v(∂ss) = v(b) − v(a), logo v(b) = v(a). Se K ´e conexo, segue-se que todo 0-cociclo ´e constante nos v´ertices de K, portanto ´e um m´ ultiplo 0 de u. Conclu´ımos que se K ´e um poliedro conexo ent˜ao H (K) = A = anel dos coeficientes. Se K = K1 ∪ · · · ∪ Kp ´e a reuni˜ao de p componentes conexas, ´e claro que H r (K) ´e a soma direta H r (K1 ) ⊕ · · · ⊕ H r (Kp ) e isto vale, em particular, quando r = 0. / Exemplo 23. Cohomologia do toro T 2 . Novamente consideraremos a triangula¸ca˜o do toro bidimensional T 2 que o representa como o poliedro descrito no Exemplo 4. Como se trata de uma pseudovariedade orient´avel, temos H 0 (T 2 ) = A = H 2 (T 2 ), onde A ´e o anel dos coeficientes. Vamos mostrar que H 1 (T 2 ) = A ⊕ A ´e um A-m´odulo livre com dois geradores [u] e [v], onde os cociclos u e v est˜ao indicados na Figura 27.

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

v

u

Figura 27. Os cociclos u e v cujas classes de cohomologia geram H 1 (T 2 ).

Lembremos que H1 (T 2 ) ´e um A-m´odulo livre, gerado pelas classes de homologia [a] e [b], onde a ´e a soma dos segmentos horizontais do bordo do quadrado, orientados da esquerda para a direita, e b ´e a soma dos segmentos verticais do bordo, orientados de baixo para cima. (Vide Exemplo 11.) As classes de cohomologia [u] e ]v] s˜ao linearmente independentes pois se tiv´essemos α · [u] + β · [v] = 0, com α, β ∈ A, ou seja, α · u + β · v = δw, w ∈ C 0 (T 2 ), da´ı resultaria α = (αu + βv)(a) = δw(a) = w(∂a) = w(0) = 0 e, analogamente, β = 0. Resta mostrar que [u] e [v] geram H 1 (T 2 ). Ora, dado qualquer cociclo w ∈ Z 1 , tomando α = w(a) e β = w(b), afirmamos que [w] = α · [u] + β · [v], ou seja, que w = w − α · u − β · v ´e um ´ claro que w(a) = w(b) = 0. Como todo 1-ciclo ´e cobordo. E da forma z = α · a + β · b + ∂x, com x ∈ C2 (T 2 ), segue-se que w(z) = 0 para todo 1-ciclo z. Resta apenas mostrar que, num poliedro conexo K, uma 1-cocadeia w que se anula em todo 1ciclo ´e um cobordo. Para achar uma 0-cocadeia c tal que δc = w, notemos que esta condi¸ca˜o j´a defina c no subm´odulo B0 (K) pondo c(∂x) = w(x). N˜ao h´a ambig¨ uidade, pois ∂x = ∂x0 ⇒ ∂(x − x0 ) = 0 ⇒ w(x − x0 ) = 0 ⇒ w(x) = w(x0 ). Em seguida, estendemos o homomorfismo c : B0 (K) → A a todo o m´odulo C0 (K) fixando um v´ertice a ∈ K, notando que toda cadeia y ∈ C0 (K) se escreve, de

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[SEC. 10: O ANEL DE COHOMOLOGIA

modo u ´nico, como soma y = (In y)·a+(y−(In y)·a) de um m´ ultiplo de a com a cadeia y − (In y) · a, que tem ´ındice zero, logo pertence a B0 (K) conforme o Exemplo 6. Ou seja, y = (In y) · a + ∂x, x ∈ C1 (K). Pomos ent˜ao c(y) = c(∂x) = w(x) e temos w = δc. Observa¸c˜ ao. Admitindo que A ´e um anel principal, B0 (K) ´e livre, como subm´odulo do m´odulo livre C0 (K) e ent˜ao podemos omitir o argumento final da demonstra¸ca˜o, invocando o Teorema 2 do Cap´ıtulo I.

10

O anel de cohomologia

Vamos introduzir uma aplica¸ca˜o bilinear H q (K) × H r (K) → H q+r (K), ou seja, uma multiplica¸ca˜o, que torna a soma direta L r H (K) um anel, chamado o anel de cohomologia do H ∗ (K) = poliedro K.

r

Inicialmente, definimos o produto u·v de duas cadeias ordenadas u ∈ cq (K), v ∈ cr (K) como a (q + r)-cocadeia tal que (u · v)(a0 , . . . , aq+r ) = u(a0 , . . . , aq ) · v(aq , . . . , aq+r ) para todo (q + r)-simplexo ordenado (s) = (a0 , . . . , aq+r ) em K. A aplica¸ca˜o bilinear cq (K) × cr (K) → cq+r (K) que esta multiplica¸ca˜o L r define torna a soma direta c∗ (K) = c (K) um anel, no qual se r

tem

δ(u · v) = δu · v + (−1)q u · δv se u ∈ cq (K) e v ∈ cr (K), como se verifica sem dificuldade. Segue-se da´ı que o produto de dois cociclos ´e um cociclo e o produto de um cobordo por qualquer L r z (K) ´e um subanel cocadeia ´e ainda um cobordo, logo z ∗ (K) = r L br (K) ´e um ideal bilateral e assim de c∗ (K), no qual b∗ (K) = r

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

h∗ (K) =

L

hr (K) =

r

L r

± (z r (K)) br (K) ´e um anel no qual o produto

de [u] ∈ hq (K) por [v] ∈ hr (K) ´e [u] · [v] = [u · v] ∈ hq+r (K).

Em rela¸ca˜o a` multiplica¸ca˜o acima definida em c∗ (K), o subm´oL r dulo C ∗ (K) = C (K) das cocadeias anti-sim´etricas n˜ao ´e um r

subanel de c∗ (K). Al´em disso, embora seja verdade que [v] · [u] = (−1)qr [u] · [v] quando [u] ∈ hq (K) e [v] ∈ hr (K), isto n˜ao ´e o´bvio a partir da defini¸ca˜o dada. Para remediar a situa¸ca˜o, passamos a definir o produto de cocadeias anti-sim´etricas. Com este fim, introduzimos uma ordem admiss´ıvel entre os v´ertices de K. (Logo em seguida, veremos que, no n´ıvel de cohomologia, a ordem escolhida ´e irrelevante.) Usando essa rela¸ca˜o de ordem, definimos o produto das cocadeias anti-sim´etricas u ∈ C q (K), v ∈ C r (K) como a cocadeia anti-sim´etrica u ∪ v ∈ C q+r (K) tal que (u ∪ v)(a0 , . . . , aq+r ) = u(a0 , . . . , aq ) · v(aq , . . . , aq+r )

se o simplexo (s) = (a0 , . . . , aq+r ) tem seus v´ertices a0 < · · · < aq+r em ordem crescente. (Se (s) ´e degenerado, tem-se (u ∪ v)(s) = 0 e se (s) = (aσ(0) , . . . , aσ(q+r) ) com a0 < · · · < aq+r ent˜ao (u ∪ v)(s) = εσ · (u ∪ v)(a0 , . . . , aq+r ). L r Com esta defini¸ca˜o, C r (K) = C (K) ´e um subanel de c∗ (K) r

e δ(u ∪ v) = (δu) ∪ v + (−1)q u ∪ δv se u ∈ C q (K) e v ∈ C r (K). Da´ı L r Z (K) no resulta que os cociclos formam um subanel Z ∗ (K) = r L B r (K), qual os cobordos constituem um ideal bilateral B ∗ (K) = r

portanto a multiplica¸ca˜o H q (K) × H r (K) → H q+r (K), dada por [u] ∪ [v] = [u ∪ v], est´a bem definida. Se u ∈ C q (K) e v ∈ C r (K) s˜ao cadeias anti-sim´etricas, elas s˜ao, em particular, cocadeias ordenadas, logo tˆem sentido os produtos u · v e u ∪ v em cq+r . Estes produtos s˜ao, em geral, diferentes por´em se u e v s˜ao cociclos tem-se [u · v] = [u ∪ v], ou seja [u] · [v] = [u] ∪ [v].

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[SEC. 10: O ANEL DE COHOMOLOGIA

Com efeito, os cociclos u · v e u ∪ v coincidem nos simplexos (a0 , . . . , aq+r ) tais que a0 < · · · < aq+r e, como vimos na Se¸ca˜o 9, isto assegura que [u · v] = [u ∪ v]. A igualdade [u]·[v] = [u]∪]v] quando [u] ∈ H q (K) e [v] ∈ H r (K) mostra que o produto [u] ∪ [v] n˜ao depende da ordem admiss´ıvel usada para defini-lo. Provaremos a seguir que esta multiplica¸ca˜o faz de H ∗ (K) = L r H (K) um anel graduado anti-comutativo, isto ´e, que se tem r

[u] ∪ [v] = (−1)qr [v] ∪ [u] se [u] ∈ H q (K) e [v] ∈ H r (K).

A fim de facilitar as manipula¸co˜es, para todo q ∈ N, escrevamos d ≡ qb = 1 + 2 + · · · + q = q(q + 1)/2. Notemos que qb + rb + q+r qr(mod 2). Com efeito, as express˜oes qb = q(q + 1)/2, rb = r(r + 1)/2 d = (q + r)(q + r + 1)/2) nos d˜ao imediatamente qb+ rb + q+r d = e q+r 2b q + 2b r + qr ≡ qr(mod 2). Observemos ainda que, escolhida uma ordem admiss´ıvel em K, a partir dela podemos definir o produto u ∪ v de cocadeias e, usando a ordem inversa, o produto u ∨ v. Como a multiplica¸ca˜o em cohomologia n˜ao depende da ordem escolhida, se u e v s˜ao cociclos tem-se [u] ∪ [b] = [u] ∨ [v]. Dadas as cocadeias u ∈ C q (K), v ∈ C r (K), se os v´ertices do simplexo (a0 , . . . , aq+r ) est˜ao em ordem crescente, temos: (u ∪ v)(a0 , . . . , aq+r ) = u(a0 , . . . , aq ) · v(aq , . . . , aq+r ) = (−1)qb · u(aq , . . . , a0 )·(−1)rb · v(aq+r , . . . , aq )

= (−1)qb+br v(aq+r , . . . , aq ) · u(aq , . . . , a0 ) c

= (−1)qb+br+q+r (v ∪ u)(aq+r , . . . , a0 )

= (−1)qr (v ∨ u)(a0 , . . . , ar ). Se u e v s˜ao cociclos, conclu´ımos que

[u] ∪ [v] = (−1)qr [v] ∨ [u] = (−1)qr [v] ∪ [u].

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[CAP. III: HOMOLOGIA SIMPLICIAL

Exemplo 24. Em qualquer poliedro conexo, a multiplica¸ca˜o H 0 (K) × H r (K) → H r (K) ´e simplesmente (α · [u]) 7→ α · [u], α ∈ A. Na esfera S n , o produto [u] ∪ [v] ´e zero se dim[u] > 0 e dim[v] > 0. Um exemplo n˜ao-trivial ´e dado pelo toro T 2 . A fim de determinar a multiplica¸ca˜o H 1 (T 2 ) × H 1 (T 2 ) → H 2 (T 2 ), a u ´nica n˜aotrivial, ´e suficiente calcular o produto [v] ∪ [u], onde [v] e [u] s˜ao os geradores livres de H 1 (T 2 ) mencionados no Exemplo 23, pois [u] ∪ [u] = [v] ∪ [v] = 0 pela anti-simetria do produto.

4

3

u

1

2

v Figura 28. Esta figura cont´em as cocadeias u e v da figura 27. Vˆe-se que u ∪ v ´e a cocadeia [1, 2, 3]∗ .

Escrevendo a cocadeia u como soma de parcelas do tipo [a, b]∗ e v como soma de parcelas [x, y]∗ , vemos que todos os produtos [x, y]∗ ∪[a, b]∗ s˜ao nulos, exceto w = [1, 2]∗ ∪[2, 3]∗ pois, diretamente a partir da defini¸ca˜o, w([1, 2, 3]) = [1, 2]∗ ([1, 2]) · [2, 3]∗ ([2, 3]) = 1. Assim v ∪ u = w. Como w(s) = 0 para todos os 2-simplexos de T 2

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[SEC. 10: O ANEL DE COHOMOLOGIA

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diferentes de [1, 2, 3], temos w = [1, 2, 3]∗ . (Na defini¸ca˜o do produto v ∪ u estamos utilizando qualquer rela¸ca˜o de ordem admiss´ıvel na qual 1 < 2 < 3.) Portanto [v] ∪ [u] ´e a classe de cohomologia de um gerador de H 2 (T 2 ). Uma aplica¸ca˜o simplicial f : K → L entre os poliedros K e L induz, como sabemos, para cada r = 0, 1, . . . , um homomorfismo f : cr (K) → cr (L), cujo adjunto f > : cr (L) → cr (K) satisfaz, al´em da condi¸ca˜o f >(δu) = δf > (u) para toda u ∈ cr (L), a igualdade f > (u · v) = f > (u) · f > (v). Portanto os homomorfismos induzidos f ∗ : H r (L) → H r (K), definidos por f ∗ ([u]) = [f > (u)], cumprem a condi¸ca˜o f ∗ ([u] ∪ [v]) = f ∗ ([u]) = f ∗ ([v]), ou seja, s˜ao homomorfismos de anel. Usando aproxima¸ca˜o simplicial, vemos que toda aplica¸ca˜o cont´ınua f : K → L induz homomorfismos de anel f ∗ : H r (L) → H r (K). Como (g◦f )∗ = f ∗ ◦g ∗ e (idK )∗ = idH r (K) , conclu´ımos que poliedros homeomorfos tˆem an´eis de cohomologia isomorfos. O exemplo seguinte exibe dois poliedros cujos m´odulos de cohomologia s˜ao isomorfos mas os an´eis n˜ao s˜ao. ´ praxe em Topologia escrever X ∨Y para represenExemplo 25. E tar a reuni˜ao dos espa¸cos topol´ogicos X e Y que tˆem um ponto em comum. Com esta nota¸ca˜o vemos que o poliedro K = S 2 ∨ S 1 ∨ S 1 tem os mesmos grupos de homologia e de cohomologia que o toro T 2 por´em a multiplica¸ca˜o na cohomologia de K ´e trivial, o que n˜ao ocorre em T 2 . Noutras palavras, os grupos de cohomologia de K e T 2 s˜ao isomorfos mas os an´eis n˜ao.

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Cap´ıtulo IV Homologia Singular Diferentemente da cohomologia de deRham, que ´e definida apenas para superf´ıcies diferenci´aveis, e da homologia simplicial, que s´o se aplica a espa¸cos homeomorfos a poliedros, a homologia singular tem sentido para todos os espa¸cos topol´ogicos, ou seja, sua abrangˆencia ´e a maior poss´ıvel. Al´em disso, suas defini¸co˜es b´asicas s˜ao as mais simples e sua invariˆancia topol´ogica ´e imediata. Em compensa¸ca˜o, em muitos casos concretos ela perde no significado intuitivo e na calculabilidade.

1

Primeiras defini¸co ˜es

Indicaremos com ∆r o simplexo r-dimensional cujos v´ertices e0 , e1 , . . . , er formam a base canˆonica de Rr+1 . Assim, ∆r = {(t0 , . . . , tr ); ti ≥ 0,

r X

ti = 1}.

i=0

Um r-simplexo singular no espa¸co topol´ogico X ´e uma aplica¸ca˜o cont´ınua σ : ∆r → X. Seja Sr (X) o A-m´odulo livre gerado pelos r-simplexos singulares de X. Os elementos de Sr (X), chamados as r-cadeias sin150 i

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˜ [SEC. 1: PRIMEIRAS DEFINIC ¸ OES

gulares de X com coeficientes no anel A, s˜ao portanto as comP bina¸co˜es lineares finitas x = xσ · σ de r-simplexos singulares σ, σ

onde xσ ∈ A. Quando houver necessidade, escreveremos Sr (X; A) em vez de Sr (X).

Para i = 0, 1, . . . , r, a i-´esima face dos r-simplexo σ : ∆r → X ´e o (r − 1)-simplexo ∂i σ : ∆r−1 → X, definido por ∂i σ(t0 , . . . , tr−1 ) = σ(t0 , . . . , ti−1 , 0, ti , . . . , tr ). O operador bordo ∂ : Sr (X) → Sr−1 (X) ´e o homomorfismo defir P nido por ∂σ = (−1)i ∂i σ para todo r-simplexo σ : ∆r → X. i=0

Com o mesmo argumento usado para cadeias simpliciais ordenadas, mostra-se que ∂ ◦ ∂ = 0, de modo que a seq¨ uˆencia ∂

∂

∂

S(X) : · · · → Sr (X) −→ Sr−1 (X) −→ · · · −→ S1 (X) −→ S0 (X) ´e um complexo de cadeias, chamado o complexo singular do espa¸co X. Os grupos de homologia Hr (X) desse complexo s˜ao chamados os grupos de homologia singular de X. Uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : X → Y induz, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f : Sr (X) → Sr (Y ), indicado com o mesmo s´ımbolo f e definido por f (σ) = f ◦ σ : ∆r → Y para todo r-simplexo ´ imediato que ∂f (σ) = f (∂σ), portanto fica singular σ : ∆r → X. E definido um morfismo f : S(K) → S(Y ), e da´ı, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f∗ : Hr (X) → Hr (Y ), chamado o homomorfismo induzido por f . Tem-se (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ : Hr (X) → Hr (Z) se g : Y → Z ´e outra aplica¸ca˜o cont´ınua, e a aplica¸ca˜o identidade X → X induz o homomorfismo identidade Hr (X) → Hr (X). Portanto, quando f : X → Y ´e um homeomorfismo, f∗ : Hr (X) → Hr (Y ) ´e um isomorfismo. Se Y ⊂ X ´e um subespa¸co, os A-m´odulos Sr (Y ), com o operador bordo ∂ : Sr (Y ) → Sr−1 (Y ), formam um subcomplexo S(Y ) ⊂ S(X) e os grupos de homologia do complexo quociente, formado

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

± ± pelos A-m´odulos Sr (X) Sr (Y ) com o operador ∂ : Sr (X) Sr (Y ) → ± Sr−1 (X) Sr−1 (Y ), s˜ao indicados por Hr (X, Y ) e chamados os grupos de homologia relativa de X mod Y . Se Y ⊂ X e Y 0 ⊂ X 0 , uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : X → X 0 tal que f (Y ) ⊂ Y 0 chama-se uma aplica¸ca˜o cont´ınua do par (X, Y ) no par (X 0 , Y 0 ) e escreve-se f : (X, Y ) → (X 0 , Y 0 ). Ent˜ao o morfismo f : S(X) → S(X 0 ) ´e tal que f (S(Y )) ⊂ S(Y 0 ) e, por passagem ao ± ± quociente, fica bem definido o morfismo f : S(X) S(Y ) → S(X 0 ) S(Y 0 ), donde o homomorfismo induzido f∗ : Hr (X, Y ) → Hr (X 0 , Y 0 ) para cada r ≥ 0. As seq¨ uˆencias exatas curtas ± j i 0 −→ Sr (Y ) −→ Sr (X) −→ Sr (X) Sr (Y ) −→ 0 d˜ao origem a` seq¨ uˆencia exata de homologia singular do par (X, Y ): j∗

i

∂

∗ ∗ Hr−1 (Y ) −→ · · · · · · −→ Hr (Y ) −→ Hr (X) −→ Hr (X, Y ) −→

Exemplo 1. Homologia de dimens˜ao zero. Um 0-simplexo no espa¸co topol´ogico X ´e simplesmente um ponto p ∈ X. Como n˜ao h´a simplexos de dimens˜ao −1, tem-se ∂p = 0. Assim, toda 0cadeia ´e um ciclo. Como no Exemplo 6 do Cap´ıtulo III, definimos um homomorfismo In : S0 (X) → A estipulando que In(p) = 1 para P P xp · p. Quando a 0-cadeia xp se x = todo p ∈ X, logo In(x) = p p P P x = xp · p ´e um bordo, digamos x = ∂y, com y = yσ · σ, p

σ

cada σ : ∆1 → X (onde ∆1 = he0 , e1 i) ´e um caminho em X, com σ(e0 ) = pσ e σ(e1 ) = qσ , logo ∂σ = qσ − pσ e In(x) = In(∂y) = ¢ ¢ ¡P ¡P P yσ · In(qσ − pσ ) = 0. yσ · (qσ − pσ ) = yσ · ∂σ = In In σ

σ

σ

Portanto o ´ındice In(x) de todo 0-bordo ´e zero. No caso em que X ´e conexo por caminhos, vale a rec´ıproca: se In(x) = 0 ent˜ao a 0-cadeia k P xi · pi ´e da forma x = ∂y com y ∈ S1 (X). De fato, fixando x= i=1

um ponto a ∈ X, tomamos caminhos σ1 , . . . , σk : ∆1 → X tais que

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ˆ ´ [SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA

k P xi σi , temos σi (e0 ) = a e σi (e1 ) = pi e, formando a 1-cadeia y = i=1 ¡ ¢ P P ∂y = xi p i − xi a = x. Portanto o n´ ucleo do homomorfismo In : S0 (X) → A ´e B0 (X). Equivalentemente: duas 0-cadeias em X s˜ao hom´ologas se, e somente se, tˆem o mesmo ´ındice. Como S0 (X) = Z0 (X), conclu´ımos que In induz um isomorfismo H0 (X) ≈ A quando X ´e conexo por caminhos. O caso de um espa¸co X qualquer se reduz a este se notarmos que, para todo r ≥ 0, vale L Hr (X) = Hr (Xλ ), onde (Xλ )λ∈L ´e a fam´ılia das componentes λ∈L

conexas por caminhos do espa¸co X. .

Exemplo 2. A homologia singular de um ponto. Quando o espa¸co topol´ogico X se reduz a um u ´nico ponto p, todo r-simplexo ´e constante, igual a p, logo Sr (X) = A · p para todo r ≥ 0. Al´em disso, r P como (−1)i ´e igual a zero quando r ´e ´ımpar e igual a 1 quando r ´e i=0

par, vemos que o operador bordo ∂ : Sr (X) → Sr−1 (X) ´e nulo para todo r ´ımpar e igual a` identidade se r > 0 ´e par. Ent˜ao, quando X = {p} consta de um s´o ponto, o complexo singular de X ´e id

0

id

0

· · · −→ A2k −→ A2k−1 −→ · · · −→ A1 −→ A0 −→ 0, onde Ar = A para todo r ≥ 0. Segue-se que Hr (X) = 0 se r > 0 e H0 (X) = A. .

2

Invariˆ ancia homot´ opica

Seja H : X × [0, 1] → Y uma homotopia entre as aplica¸co˜es cont´ınuas f, g : X → Y . Assim, H ´e cont´ınua, com H0 = f e H1 = g, onde, para todo t ∈ [0, 1], Ht : X → Y ´e definida por Ht (x) = H(x, t). Neste caso, provaremos que f∗ = g∗ : Hr (X) → Hr (Y ) para todo r ≥ 0. Com este objetivo, estabeleceremos uma s´erie de nota¸co˜es.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

Para cada t ∈ [0, 1], it : ∆r → ∆r × [0, 1] ´e a aplica¸ca˜o cont´ınua dada por it (y) = (y, t). Assim, f = H ◦ i0 e g = H ◦ i1 . Se σ : ∆r → X ´e um r-simplexo, σ ˜ : ∆r × [0, 1] → X × [0, 1] ´e a aplica¸ca˜o cont´ınua definida por σ ˜ (y, t) = (σ(y), t). Pi : ∆r+1 → ∆r × [0, 1], com 0 ≤ i ≤ r + 1, ´e a aplica¸ca˜o afim caracterizada por Pi (ej ) = (ej , 0) se j ≤ i e Pi (ej ) = (ej−1 , 1) se j > i. (Aqui, 0 ≤ j ≤ r.) Para todo r-simplexo σ : ∆r → X e todo i = 0, 1, . . . , r + 1, σ ˜ ◦ Pi : ∆r+1 → X × [0, 1] ´e um (r + 1)-simplexo. Ent˜ao definimos o homomorfismo D : Sr (X) → Sr+1 (X × [0, 1]) pondo, para cada σ : ∆r → X, r+1 X Dσ = (−1)i σ ˜ ◦ Pi . i=0

Verifica-se que ∂Dσ +D∂σ = σ ˜ ◦i1 − σ ˜ ◦i0 . Portanto, se indicarmos ainda com H : S(X × [0, 1]) → S(Y ) o morfismo determinado por H nas cadeias e pusermos D = H ◦ D, veremos que ∂Dσ + D∂σ = H(˜ σ ◦ i1 ) − H(˜ σ ◦ i1 ) = g(σ) − f (σ),

logo D ´e uma homotopia alg´ebrica entre os morfismos f, g : S(X) → S(Y ). Conseq¨ uentemente f∗ = g∗ : Hr (X) → Hr (Y ) para todo r ≥ 0. Segue-se que dois espa¸cos topol´ogicos com o mesmo tipo de homotopia tˆem grupos de homologia singular isomorfos em todas as dimens˜oes. Em particular, se X ´e contr´atil ent˜ao Hr (X) = 0 para todo r > 0. A fim de fornecer exemplos de grupos de homologia singular, vamos necessitar de instrumentos como a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris. Tentando estabelecˆe-la, tomamos abertos U , V tais que X = U ∪V . Considerando os homomorfismos i : Sr (U ∩ V ) → Sr (U ) ⊕ Sr (V ) e j : Sr (U ) ⊕ Sr (V ) → Sr (X). dados por i(x) = (x, x) e j(x, y) = x − y, vemos que a seq¨ uˆencia curta i

j

0 −→ Sr (U ∩ V ) −→ Sr (U ) ⊕ Sr (V ) −→ Sr (X) −→ 0

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˜ BARICENTRICA ˆ [SEC. 3: SUBDIVISAO EM HOMOLOGIA SINGULAR

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n˜ao ´e exata, apenas porque o homomorfismo j n˜ao ´e sobrejetivo: embora se tenha X = U ∪ V , n˜ao ´e verdade que toda cadeia em Sr (X) seja soma de uma cadeia em U com uma cadeia em V . A fim de superar esta dificuldade, vamos mostrar, na se¸ca˜o seguinte, que a homologia singular do espa¸co X = U ∪ V pode ser calculada com base em simplexos cujas imagens est˜ao contidas num dos dois conjuntos U ou V .

3

Subdivis˜ ao baricˆ entrica em homologia singular

Um simplexo afim no espa¸co euclidiano Rn ´e uma aplica¸ca˜o afim ` : ∆q → Rn . Como ` fica determinada pelas imagens a0 = `(e0 ), . . . , aq = `(eq ), escrevemos ` = ha0 , . . . , aq i. Um q-subsimplexo do simplexo singular σ : ∆r → X ´e um simplexo do tipo σ ◦ ` : ∆q → X, onde ` : ∆q → ∆r ´e afim. Tem-se ∂(σ ◦ `) = σ ◦ ∂`. Indicamos com Sq (σ) o subm´odulo de Sr (X) gerado pelos qsubsimplexos de σ : ∆r → X. Temos ∂Sq (σ) ⊂ Sq−1 (σ), o que nos d´a um subcomplexo S(σ) = (Sq (σ), ∂) do complexo singular S(X) = (Sr (X), ∂). Para todo r-simplexo singular σ : ∆r → X, vamos definir o operador cone K = Kσ : Sq (σ) → Sq+1 (σ). Se ` = ha0 , . . . , aq i ´e um simplexo afim em ∆r , chamamos de b o baricentro de ∆r e pomos K` = hb, a0 , . . . , ar i. Tem-se ∂K` + K∂` = ` se dim ` > 0 e ∂K` + K∂` = ` − hbi se dim ` = 0. Resulta da´ı que para toda q-cadeia afim x =

P

xi `i vale

∂Kx + K∂x = x se q > 0 e ∂Kx + K∂x = x − In x · b se q = 0, onde In x =

P

xi ´e o ´ındice da 0-cadeia afim x.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

Em seguida, dados σ : ∆r → X e ` : ∆q → ∆r afins, pomos K(σ ◦ `) = σ ◦ K`. Fica assim completada a defini¸ca˜o do operador cone K : S(σ) → S(σ) tal que K(Sq (σ)) ⊂ Sq+1 (σ). P Para toda q-cadeia x = xi · (σ ◦ `i ) em S(σ) vale (com K = Kσ ): ∂Kx + K∂x = x se q > 0 e ∂Kx + K∂x = x − In x · σ(b) se q = 0. Segue-se imediatamente que o subcomplexo S(σ) ⊂ S(X) ´e ac´ıclico, isto ´e, seus grupos de homologia s˜ao zero em todas as dimens˜oes positivas e igual a A na dimens˜ao zero. O homomorfismo de subdivis˜ao baricˆentrica β : Sr (X) → Sr (X) ´e definido indutivamente, de modo a cumprir as seguintes condi¸co˜es: 0) β(Sr (σ)) ⊂ Sr (σ); 1) β(x) = x se x ∈ S0 (X); 2) β(σ) = Kσ β(∂σ) se σ : ∆r → X com r > 0. Teorema 1. a) β(∂σ) = ∂β(σ) para todo simplexo σ : ∆r → X, logo β : S(X) → S(X) ´e um morfismo. b) Para todo r ≥ 0 existe um homomorfismo D : Sr (X) → Sr+1 (X) tal que D∂σ + ∂Dσ = σ − β(σ) seja qual for o r-simplexo σ : ∆r → X. Demonstra¸c˜ ao: A afirma¸ca˜o a) ´e clara quando r = 0. Supondo-a verdadeira para r − 1, com r > 0, seja σ : ∆r → X. Ent˜ao ∂β(σ) = ∂Kσ β(∂σ) = β(∂σ) − Kσ ∂β(∂σ) = β(∂σ) − Kσ β(∂∂σ) = β(∂σ). Para provar b), definiremos D indutivamente, com as seguintes propriedades: 0) D(S(σ)) ⊂ S(σ) para todo simplexo singular σ; 1) Dσ = 0 se dim σ = 0; 2) ∂Dx + ∂Dx = x − β(x) para todo x ∈ Sq (X), ) < q < r. Supondo D definido em Sr−1 (X), considere o r-simplexo σ : ∆r → X, com r > 0. A cadeia z = σ − β(σ) − D∂σ cumpre ∂z = ∂σ − β(∂σ) − ∂D∂σ = ∂σ − β(∂σ) − ∂σ + β(∂σ) + D∂∂σ = 0.

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Portanto z ´e um ciclo em S(σ). Como S(X) ´e ac´ıclico, podemos escolher uma cadeia (r + 1)-dimensional Dσ ∈ S(σ) tal que ∂Dσ = z e da´ı ∂Dσ + D∂σ = σ − β(σ). Com isto, fica definido o homomorfismo D. A condi¸ca˜o b) acima significa que o morfismo β : S(X) → S(X) induz o isomorfismo identidade β∗ : Hr (X) → Hr (X) nos grupos de homologia Hr (X), r = 0, 1, 2, . . . . Seja α uma cobertura de X por conjuntos cujos interiores ainda cobrem X (em particular, uma cobertura aberta de X). Diremos que um simplexo singular σ : ∆r → X ´e α-pequeno quando sua imagem σ(∆r ) estiver contida em algum conjunto V da cobertura α. Usaremos a nota¸ca˜o Srα (X) para indicar o subm´odulo de Sr (X) P formado pelas cadeias x = xσ σ que s˜ao α-pequenas, isto ´e, que σ

´ imediato s˜ao combina¸co˜es lineares de r-simplexos α-pequenos. E α (X), de forma que os m´odulos Srα (X), com que ∂(Srα (X)) ⊂ Sr−1 r ≥ 0, constituem um subcomplexo S α (X) ⊂ S(X), cujos grupos de homologia indicaremos com Hrα (X). Teorema 2. Hrα (X) = Hr (X) para todo r ≥ 0

Demonstra¸c˜ ao: Come¸camos lembrando que, para todo simplexo σ : ∆r → X, a cadeia β(σ) ´e uma combina¸ca˜o linear de subsimplexos do tipo σ◦`, onde a imagem do simplexo afim ` ´e um simplexo da subdivis˜ao baricˆentrica de ∆r . Segue-se ent˜ao do Corol´ario 1 do Cap´ıtulo III que, dado qualquer ε > 0, existe q tal que a q-´esima subdivis˜ao baricˆentrica β q (σ) ´e combina¸ca˜o linear de subsimplexos σ ◦ `, onde a imagem de ` ´e um (simplexo) subconjunto de ∆r com diˆametro < ε. Dito isto, consideremos um simplexo singular σ : ∆r → X. Seja ε > 0 um n´ umero de Lebesgue da cobertura de ∆r formada pelas imagens inversas σ −1 (V ), V ∈ α. Existe q tal que todos os simplexos da subdivis˜ao baricˆentrica iterada β q (σ) tˆem diˆametro < ε, logo β q (σ) ´e uma cadeia em Srα (X). Mais geralmente, para cada

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cadeia x ∈ Sr (X) existe q tal que β q (x) ∈ Srα (X). Ora, como acabamos de ver, para todo ciclo z ∈ Sr (X), as classes de homologia de z e de β q (z) coincidem, pois (β q )∗ : Hr (X) → Hr (X) ´e o isomorfismo identidade. Logo Hrα (X) = Hr (X). Agora estamos em condi¸co˜es de estabelecer a seq¨ uˆencia de MayerVietoris para homologia singular. Sejam U, V ⊂ X tais que int.U ∪ int.V = X. Chamando de α a cobertura {U, V }, vˆe-se imediatamente que ´e exata a seq¨ uˆencia curta abaixo, onde i(x) = (x, x) e j(x, y) = x − y: j

i

0 −→ Srα (U ∩ V ) −→ Srα (U ) ⊕ Srα (V ) −→ Srα (X) −→ 0. Levando em conta que H α (X) = H(X), obtemos a seq¨ uˆencia exata de Mayer-Vietoris para homologia singular: j∗

i

∂

∗ ∗ · · · → Hr(U ∩V ) −→ Hr(U )⊕Hr(V ) −→ Hr(X) −→ Hr−1(U ∩V ) → · · ·

na qual, para toda classe [z] ∈ Hr (X), ∂∗ [z] se define assim: tem-se z = x−y com x ∈ Sr (U ), y ∈ Sr (V ) e ∂x = ∂y. Ent˜ao ∂∗ [z] = [∂x]. Como ∂x ∈ Sr (U ) e ∂y ∈ Sr (V ), tem-se ∂x = ∂y ∈ Sr (U )∩Sr (V ) = Sr (U ∩ V ). Exemplo 3. Como primeira aplica¸ca˜o da seq¨ uˆencia de MayerVietoris, calcularemos a homologia singular da esfera S n . Sem preju´ızo da leitura, este exemplo pode ser omitido pois no Teorema 3 a seguir faremos a demonstra¸ca˜o de que, para poliedros, as homologias simplicial e singular coincidem. Come¸camos com S 1 . Sejam U , V arcos abertos, tais que S 1 = U ∪ V e U ∩ V ´e a reuni˜ao de dois arcos disjuntos, logo tem o tipo de homotopia de um par de pontos. Na seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris correspondente 1 a` decomposi¸ca˜o S = U ∪ V , destaquemos o trecho j∗

∂

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∗ ∗ H0 (U ) ⊕ H0 (V ). H0 (U ∩ V ) −→ H1 (U ) ⊕ H1 (V ) −→ H1 (S 1 ) −→

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U S1

U ∩V

U ∩V

V Figura 29.

Como H1 (U ) = H1 (V ) = 0, vemos que ∂∗ ´e injetivo, ou seja, ´e um isomorfismo de H1 (S 1 ) sobre sua imagem, a qual ´e o n´ ucleo de i∗ . Toda 0-cadeia em U ∩ V ´e da forma z = x + y, onde x e y s˜ao 0-cadeias em cada uma das duas componentes conexas de U ∩ V , e a classe [z] ´e caracterizada pelos ´ındices α = In(x), β = In(y), pertencentes a A. Escrevemos ent˜ao [z] = (α, β). O homomorfismo i∗ ´e dado por i∗ (α, β) = (α + β, α + β). Por conseguinte, seu n´ ucleo corresponde aos pares (α, −α) com α ∈ A, logo ´e isomorfo a A. Conclu´ımos ent˜ao que H1 (S 1 ) = A. Se r > 1 ent˜ao a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris cont´em a parte Hr (U ) ⊕ Hr (V ) → Hr (S 1 ) → Hr−1 (U ∩ V ), ou seja, 0 → Hr (S 1 ) → 0, o que nos mostra que Hr (S 1 ) = 0 quando r > 1. Para o caso geral, fixamos ε ∈ (0, 1) e usamos a decomposi¸ca˜o n S = U ∪ V , onde U = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ S n ; xn+1 > −ε} e V = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ S n ; xn+1 < ε} portanto U ∩ V tem o tipo de homotopia de S n−1 . Da seq¨ uˆencia n de Mayer-Vietoris relativa a` decomposi¸ca˜o S = U ∪ V retiramos o

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trecho Hr (U ) ⊕ Hr (V ) → Hr (S n ) → Hr−1 (U ∩ V ) → Hr−1 (U ) ⊕ Hr−1 (V ), que se reduz a 0 → Hr (S n ) → Hr−1 (S n−1 ) → 0 quando r > 1 e n > 1. Logo, nestes casos, temos Hr (S n ) isomorfo a Hr−1 (S n−1 ). Prosseguindo, vemos que Hn (S n ) ´e isomorfo a H1 (S 1 ) = A. Se r > n, digamos r = n + k, ent˜ao Hr (S n ) ´e isomorfo a Hk+1 (S 1 ), logo ´e zero. Finalmente, se r < n ent˜ao Hr (S n ) ´e isomorfo a H1 (S n−r+1 ), logo concluiremos que Hr (S n ) = 0 se mostrarmos que Hr (S m ) = 0 quando m ≥ 2. Isto, por´em, resultar´a ∂∗ i∗ imediatamente da seq¨ uˆencia exata 0 → H1 (S m ) −→ A −→ A⊕A m−1 onde A = H0 (S ) e A ⊕ A = H0 (U ) ⊕ H0 (V ), notando que i∗ (α) = (α, α), logo o n´ ucleo de i∗ , ou seja, a imagem do homomorfismo injetivo ∂∗ , ´e zero. Conclus˜ao: Hr (S n )=0 se 0n e Hn (S n )=A. . Teorema 3. Num poliedro, os grupos de homologia simplicial e singular s˜ao isomorfos. Demonstra¸c˜ ao: Para cada r ≥ 0, sejam cr (K) e Sr (K), respectivamente, os grupos de cadeias simpliciais ordenadas e singulares do poliedro K, ambos com coeficientes no mesmo anel A. A cada simplexo ordenado (s) = (a0 , . . . , ar ) associemos o simplexo singular afim ϕ(s) : ∆r → K, tal que ϕ(e0 ) = a0 , . . . , ϕ(er ) = ar . Isto define o morfismo ϕ : c(K) → S(K). Indiquemos com Hr (K) e H r (K) respectivamente os grupos de homologia simplicial e singular de K. A fim de mostrar que cada homomorfismo ϕ∗ : Hr (K) → H r (K), induzido por ϕ, ´e um isomorfismo, usaremos indu¸ca˜o sobre o n´ umero de simplexos de K. A afirma¸ca˜o ´e o´bvia se K tem apenas um simplexo, pois neste caso K se reduz a um ponto. Supondo que ϕ∗ : Hr (K) → H r (K) ´e um isomorfismo para todo poliedro com

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menos do que k simplexos, seja k o n´ umero de simplexos de K. Ent˜ao, se s ´e um simplexo de K com dimens˜ao m´axima, os poliedros L = K − int.s e s tˆem menos de k simplexos. Na homologia simplicial, a decomposi¸ca˜o K = L ∪ s determina uma seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris, mesmo que os interiores de L e s n˜ao cubram K, pois toda cadeia em K ´e soma de uma cadeia em L com outra em s. A fim de obter uma seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris em homologia singular, substitu´ımos a decomposi¸ca˜o K = L ∪ s por K = U ∪ s, onde U = K − {b}, b = baricentro de s. Assim, U ´e aberto, vale K = int.U ∪ int.s e, ademais, uma deforma¸ca˜o radial a partir de b, de s − {b} sobre a fronteira de s, mostra que L ´e um retrato de deforma¸ca˜o de U . Portanto, na seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris associada a` decomposi¸ca˜o K = U ∪ s em homologia singular podemos substituir U por L. Os homomorfismos ϕ∗ : Hr (K) → H r (K) levam ao diagrama comutativo abaixo:

Hr (L ∩ s) −−−→ Hr (L) ⊕ Hr (s) −−−→ Hr (K) −−−→     ϕ∗   2 1 y y y

H r (L ∩ s) −−−→ H r (L) ⊕ H r (s) −−−→ H r (K) −−−→

−→

−→

Hr−1 (L ∩ s) −−−→ Hr−1 (L) ⊕ Hr−1 (s)     y3 y4

H r−1 (L ∩ s) −−−→ Hr−1 (L) ⊕ Hr−1 (s)

Como L e L ∩ s tˆem menos simplexos do que K, a hip´otese de indu¸ca˜o assegura que os homomorfismos 1, 2, 3 e 4 s˜ao isomorfismos. Resulta ent˜ao do Lema dos Cinco que ϕ∗ ´e um isomorfismo.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

Cohomologia singular

Conforme as defini¸co˜es gerais, se Sr (X) ´e o A-m´odulo das cadeias singulares de dimens˜ao r e coeficientes em A ent˜ao S r (X) = Hom(Sr (X), A) ´e o A-m´odulo das cocadeias de mesma dimens˜ao, no mesmo espa¸co X, com os mesmos coeficientes. Os elementos de S r (X) s˜ao os homomorfismos u : Sr (X) → A. Como Sr (X) ´e um A-m´odulo livre, tendo como base o conjunto dos simplexos singulares σ : ∆r → X, uma cocadeia u ∈ S r (X) fica determinada quando s˜ao dados os valores u(σ) ∈ A, para todo r-simplexo σ em X, e esses valores podem ser atribu´ıdos de modo inteiramente arbitr´ario. Como h´a infinitos σ (salvo no caso trivial em que X ´e finito), segue-se que se pode ter, para uma determinada u ∈ S r (X), u(σ) 6= 0 para infinitos valores de σ. Assim, ao contr´ario do que ocorre com poliedros, as cocadeias do tipo u = σ ∗ , tais que u(σ) = 1 e u(σ 0 ) = 0 se σ 0 6= σ, n˜ao formam uma base de S r (X). Mais preQ L Aσ e S r (X) ≈ Aσ , onde Aσ = A cisamente, temos Sr (X) ≈ σ

σ

para todo σ : ∆r → X. O operador cobordo δ : S r (X) → S r+1 (X) ´e definido como o adjunto do operador bordo ∂ : Sr+1 (X) → Sr (X), ou seja (δu)(x) = u(∂x) para toda x ∈ Sr+1 (X). Evidentemente, como δ = ∂ > , tem-se δ◦δ = ∂ > ◦∂ > = (∂◦∂)> = 0. Portanto a seq¨ uˆencia δ

δ

δ

δ

S ∗ (X) : S 0 (X) −→ S 1 (X) −→ · · · −→ S r (X) −→ · · · ´e um complexo de cocadeias, cujos grupos de cohomologia H r (S ∗ (X)) = H r (X) s˜ao os grupos de cohomologia singular do espa¸co X. Como sabemos, uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : X → Y induz, para cada r ≥ 0, um homomorfismo f : Sr (X) → Sr (Y ), que indicamos ainda com f , definido por f σ = f ◦ σ, σ : ∆r → X, o qual cumpre f ◦ ∂ = ∂ ◦ f logo define um morfismo f : S(X) → S(Y ) entre

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[SEC. 4: COHOMOLOGIA SINGULAR

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os complexos singulares e por conseguinte induz homomorfismos f∗ : Hr (X) → Hr (Y ), para todo r ≥ 0. Os homomorfismos adjuntos f > : S r (Y ) → S r (X), dados por (f > u)(y) = u(f y) para toda y ∈ Sr (Y ), s˜ao tais que δ ◦ f > = f > ◦ δ logo induzem homomorfismos f ∗ : H r (Y ) → H r (X), r ≥ 0. Se g : Y → Z ´e outra aplica¸ca˜o cont´ınua, tem-se (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ : H r (Z) → H r (X) e se f = id : X → X ent˜ao f ∗ = id : H r (X) → H r (X). Se as aplica¸co˜es cont´ınuas f, g : X → Y s˜ao homot´opicas ent˜ao f = g ∗ : H r (Y ) → H r (X) para todo r ≥ 0. Com efeito, sabemos que existem homomorfismos D : Sr (X) → Sr+1 (Y ) tais que ∂D + D∂ = f − g : Sr (X) → Sr (Y ). (Homotopia alg´ebrica.) Ent˜ao os homomorfismos adjuntos D > : S r+1 (Y ) → S r (X) cumprem D > δ + δD> = f > − g > , logo f > (v) − g > (v) = D > δ(v) + δD > (v) = δ(D > v) para todo cociclo v ∈ S r (Y ), portanto f ∗ [v] = g ∗ [v], ou seja f ∗ = g ∗ : H r (Y ) → H r (X). ∗

H´a tamb´em uma seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris para a cohomologia singular, conforme mostraremos agora. Se α ´e uma cobertura do espa¸co X por conjuntos cujos interiores ainda cobrem X, sabemos que os simplexos singulares α-pequenos geram um subcomplexo S α (X) ⊂ S(X) cujos grupos de homologia s˜ao naturalmente isomorfos aos de S(X): as aplica¸co˜es de inclus˜ao ϕ : Srα (X) → Sr (X) possuem inversas homot´opicas ψ : Sr (X) → Srα (X), ou seja, existem homomorfismos D: Sr (X) → Sr+1 (X) tais que (∂D + D∂)x = ψ(ϕ(x)) − x para toda cadeia x ∈ Sr (X), al´em do que ϕ(ψ(y)) = y para toda y ∈ Srα (X). Portanto, chamando de Hrα (X) os grupos de homologia de S α (X), cada ϕ∗ : Hrα (X) → Hr (X) ´e um isomorfismo, cujo inverso ´e ψ∗ : Hr (X) → Hrα (X). (Na verdade, ψ ´e um iterado da subdivis˜ao baricˆentrica.) Considerando os grupos de cocadeias Sαr (X) = Hom(Srα (X); A) e os adjuntos ϕ> : S r (X) → Sαr (X), ψ > : Sαr (X) → S r (X) e D> : S r+1 (X) → S r (X) vemos que, para toda cocadeia u ∈ S r (X) temse (δD> + D> δ)u = ϕ> (ψ > (u)) − u e ψ > (ϕ> (v)) = v para toda

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

v ∈ Sαr (X). Portanto ϕ∗ : H r (X) → Hαr (X) e ψ ∗ : Hαr (X) → H r (X) s˜ao isomorfismos, inversos um do outro. Se U e V s˜ao subconjuntos de X tais que X = int.U ∪ int.V , em rela¸ca˜o a` cobertura α = {U, V } temos as seq¨ uˆencias exatas curtas (∗)

j

i

0 → Srα (U ∩V ) −→ Srα (U )⊕Srα (V ) −→ Srα (X) → 0, r ≥ 0,

cujas duais j>

i>

0 → Sαr (X) −→ Sαr (U ) ⊕ Sαr (V ) −→ Sαr (U ∩ V ) → 0 s˜ao ainda exatas pois Srα (X) ´e um m´odulo livre, portanto cada seq¨ uˆencia (∗) ´e separ´avel. Isto fornece a seq¨ uˆencia exata de cohomologia j∗

i∗

∂

∗ H r+1 (U ) → H r (X) −→ H r (U ) ⊕ H r (V ) −→ H r (U ∩ V ) −→

⊕ H r+1 (V ) → · · · onde escrevemos H r (X) em vez de Hαr (X), etc. Esta ´e a seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris para cohomologia singular. Utilizando-a, do mesmo modo como fizemos para homologia, concluiremos que a cohomologia singular de um poliedro K ´e naturalmente isomorfa a` cohomologia simplicial com os mesmos coeficientes. Mais precisamente, considerando o morfismo natural ϕ : c(K) → S(K), introduzido na demonstra¸ca˜o do Teorema 3, vemos que o r morfismo adjunto ϕ>: S ∗(K) → c∗(K) induz isomorfismos ϕ∗: H (K) → H r(K) dos grupos de cohomologia singular de K sobre os grupos de cohomologia simplicial. Estes s˜ao tamb´em isomorfismos de an´eis, desde que definamos, da forma evidente, a multiplica¸ca˜o de cocadeias singulares, como faremos agora. Sejam u ∈ S q (X), v ∈ S r (X) cocadeias no espa¸co topol´ogico X, ambas com coeficientes no anel A. Seu produto (chamado cupproduct) ´e a cocadeia u ∪ v ∈ S q+r (X), definida estipulando-se seu

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valor em cada (q + r)-simplexo singular σ : ∆q+r → X pondo-se (u ∪ v)(σ) = u(σ 0 ) · v(σ 00 ), onde σ 0 : ∆q → X e σ 00 : ∆r → X s˜ao dados por σ 0 (t0 , . . . , tq ) = σ(t0 , . . . , tq , 0, . . . , 0)

e

σ 00 (t0 , . . . , tr ) = σ(0, . . . , 0, tq , . . . , tq+r ). Tem-se δ(u ∪ v) = (δu) ∪ v + (−1)q u ∪ δv, logo a defini¸ca˜o [u] ∪ [v] = [u ∪ v] produz aplica¸co˜es bilineares H q (X) × H r (X) → H q+r (X) que d˜ao a` soma direta H ∗ (X) = L r H (X) uma estrutura de anel. Com o mesmo argumento usado r

no caso simplicial, mostra-se que [u] ∪ [v] = (−1)qr [v] ∪ [u] e u ∈ S q (X) e v ∈ S r (X) s˜ao cociclos. Vˆe-se ainda que, se K ´e um poliedro, o morfismo ϕ> : S ∗ (K) → c∗ (K) respeita a multiplica¸ca˜o r de cocadeias, logo ϕ∗ : H (K) → H r (K) ´e um isomorfismo de an´eis. (Na nota¸ca˜o da prova do Teorema 3.)

INTERMEZZO:

Rela¸c˜ ao entre π1 (X, x0 ) e H1 (X)

Neste intervalo, demonstramos o teorema devido a Poincar´e, segundo o qual o grupo de homologia singular H1 (X) com coeficientes inteiros, de um espa¸co conexo por caminhos, ´e o grupo fundamental π1 (X; x0 ) abelianizado, ou seja, ´e isomorfo ao grupo quociente ± π1 (X; x0 ) [π1 , π1 ], onde [π1 , π1 ] ⊂ π1 (X; x0 ) ´e o subgrupo dos comutadores. Nossa referˆencia para o grupo fundamental ´e [GFER]. Inicialmente, lembremos que se σ : ∆2 → X ´e um 2-simplexo singular ent˜ao seu bordo ∂σ ∈ S1 (X) ´e dado por ∂σ = ∂0 σ − ∂1 σ + ∂2 σ onde ∂0 σ, ∂1 σ, ∂2 σ : ∆1 → X s˜ao definidos por ∂0 σ(t0 , t1 ) = σ(0, t0 , t1 ), ∂1 σ(t0 , t1 ) = σ(t0 , 0, t1 ) e ∂2 σ(t0 , t1 ) = σ(t0 , t1 , 0).

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Identificaremos ∆1 com o intervalo I = [0, 1] por meio do homeomorfismo h : I → ∆1 , h(t) = (t, 1 − t). Assim, teremos os caminhos ∂0 σ, ∂1 σ, ∂2 σ : I → X, definidos por ∂0 σ(t) = σ(0, t, 1 − t), ∂1 σ(t) = σ(t, 0, 1 − t) e ∂2 σ = σ(t, 1 − t, 0). t2 ∂1 σ X

∂0 σ ∂1 σ

∂0 σ t1 ∂2 σ

∂2 σ

t0 Figura 30.

Cada caminho a : I → X pode ent˜ao ser identificado a um 1simplexo singular em X e vice-versa. Se a(0) = a(1) = x0 a classe de homotopia de a ser´a indicada com {a} ∈ π1 (X; x0 ) e sua classe de homologia ser´a [a] ∈ H1 (X). (Evidentemente, a ∈ S1 (X) ´e um ciclo.) Sejam a, b : I → X caminhos fechados com ponto b´asico x0 , isto ´e, a(0) = a(1) = b(0) = b(1) = x0 . Se a e b s˜ao homot´opicos, ou seja, {a} = {b}, ent˜ao [a] = [b] ∈ H1 (X), isto ´e, os ciclos a e b s˜ao hom´ologos. Com efeito a homotopia at : [0, 1] → X define, conforme diagrama abaixo, um simplexo σ : ∆2 → X cujo bordo ´e ∂σ = b − a + x0 , onde x0 : I → X ´e constante. Ora, x0 = ∂y, onde y : ∆2 → X ´e constante = x0 . Logo b − a = ∂(σ − y) e ϕ [b] = [a] ∈ H1 (X). Assim, a aplica¸ca˜o π1 (X; x0 ) −→ H1 (X), dada por ϕ{a} = [a], est´a bem definida.

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x0

a

b at

x0 Figura 31.

1 ϕ ´e um homomorfismo O diagrama abaixo descreve um 2-simplexo σ : ∆2 → X tal que ∂σ = a − ab + b, logo [ab] = [a] + [b], isto ´e, ϕ(ab) = ϕ(a) + ϕ(b)

a

a a

b b

b Figura 32.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

2 ϕ ´e sobrejetivo Aqui usamos a hip´otese de que X ´e conexo por caminhos. Para cada ponto p ∈ X escolhamos, de uma vez por todas, um caminho ap : I → X ligando x0 a p. A cada 1-simplexo σ : I → X, com σ(0) = p e σ(1) = q associamos o caminho σ e : I → X, com −1 base x0 , onde σ e = a p σ aq . p q

σ

ap σ ˜ aq

x0

Figura 33.

P P Seja z = ni σi ∈Z1 (X) um ciclo, portanto 0=∂z= ni (qi −pi ), onde pi e qi s˜ao as extremidades de σi . Escrevamos ai = api e b i = a qi . Como n˜ao h´a rela¸co˜es entre os pi e os qi , e muito menos entre P os ai e os bi , conclu´ımos, a partir de ni (qi − pi ) = 0, que X X ni (bi − ai ) = 0, logo ni (ai + σi − bi ) = z. Portanto, [z] = ϕ(α), onde α =

Q

{e σ i } ni .

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3 O n´ ucleo de ϕ ´e o subgrupo comutador [π1 , π1 ] ⊂ π1 (X; x0 ) Como H1 (X) ´e comutativo, [π1 , π1 ] ⊂ n´ ucleo de ϕ. Reciprocamente, seja a : (I, ∂I) → (X; x0 ) tal que a ∈ S1 (X) ´e um bordo: P P a = ∂( ni σi ) = ni ∂σi , com σi : ∆2 → X. Seja ∂σi = ci −bi +ai . Ent˜ao X (*) ni (ci − bi + ai ) = a. bi

ai σi

ci

x0 Figura 34.

Como ai ci ' bi , logo e ai · e ci ' ebi , ou seja, e ai e cieb−1 i ' x0 , podemos © ª n i −1 ˜ escrever Π a ˜i · c˜i · bi = 1. (A) Por outro lado, se trocarmos livremente a ordem dos fatores em © −1 ªni π1 (X, x0 ), resultar´a de (*) que Π e ci˜bi e ai = {a}. (B). Comparando (A) e (B), concluimos que {a} pertence ao subgrupo dos comutadores de π1 (X; x0 ). Como conseq¨ uˆencia do Teorema de Poincar´e, vemos que se M ´e uma superf´ıcie bidimensional orient´avel compacta de gˆenero g

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

ent˜ao H1 (M ), com coeficientes inteiros, ´e um grupo abeliano livre com 2g geradores. Isto inclui H1 (T 2 ) = Z ⊕ Z, pois o toro T 2 ´e uma superf´ıcie de gˆenero 1, a esfera S 2 , que tem gˆenero zero, logo H1 (S 2 ) = 0, o bitoro, de gˆenero 2, com H1 (M ) = Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z, etc. De fato, est´a provado em ([GFER]), pag. 176) que o grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta M , de gˆenero g, ´e um grupo com 2g geradores α1 , β1 , . . . , αg , βg e uma u ´nica rela¸ca˜o −1 −1 −1 −1 α1 β1 α1 β1 . . . αg βg αg βg = 1. Abelianizando, esta rela¸ca˜o se torna trivial logo H1 (M ) ´e um grupo abeliano livre, com 2g geradores. J´a o grupo fundamental de uma superf´ıcie bidimensional compacta n˜ao-orient´avel M de gˆenero g possui h = g + 1 geradores γ1 , . . . , γh , sujeitos a` u ´nica rela¸ca˜o γ12 γ22 . . . γh2 = 1. Assim, seu abelianizado H1 (M ) ´e gerado pelas classes de homologia dos γi com au ´nica rela¸ca˜o 2(γ1 + γ2 + · · · + γh ) = 0. Em particular, o plano projetivo P 2 , que tem gˆenero zero, tem o grupo H1 (P 2 ) com o u ´nico gerador γ (a reta projetiva) com 2γ = 0. A garrafa de Klein K, que tem gˆenero 1, apresenta H1 (K) = Z ⊕ Z2 , isto ´e, dois geradores, um sem tor¸ca˜o e o outro com tor¸ca˜o 2, conforme se vˆe a partir dos geradores α = γ1 e β = γ1 + γ2 , os quais cumprem a rela¸ca˜o 2β = 2(γ1 + γ2 ) = 0. Mais geralmente, tomando como geradores do grupo de homologia com coeficientes inteiros de uma superf´ıcie n˜ao-orient´avel M as classes γ1 , . . . , γk−1 e γ = γ1 + · · · + γk−1 + γk vemos que H1 (M ) ´e gerado por γ1 , . . . , γk−1 , γ com a u ´nica rela¸ca˜o k−1 2γ = 0, logo tem-se H1 (M ) = Z ⊕ Z2 .

5

Teorema de deRham

Assim como a homologia e a cohomologia singulares coincidem com as simpliciais nos espa¸cos homeomorfos a poliedros, tamb´em a cohomologia singular, com coeficientes no corpo dos n´ umeros reais,

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numa superf´ıcie diferenci´avel orient´avel M , coincide com a cohomologia de deRham de M . Esta afirma¸ca˜o ´e o cl´assico Teorema de deRham, que provaremos aqui. Inicialmente mostraremos que, para obter os grupos de homologia (e tamb´em cohomologia) singular de uma superf´ıcie diferenci´avel M , basta considerar os simplexos diferenci´aveis σ : ∆r → M , isto ´e, as restri¸co˜es de aplica¸co˜es diferenci´aveis definidas em abertos do espa¸co euclidiano que cont´em ∆r . Indicaremos com S ∞ (M ) ⊂ S(M ) o subcomplexo gerado pelos simplexos diferenci´aveis da superf´ıcie M , com Sr∞ (M ) o A-m´odulo das r-cadeias diferenci´aveis e com Hr∞ (M ) o grupo de homologia de dimens˜ao r de S ∞ (M ). Teorema 4. A inclus˜ao i : S ∞ (M ) → S(M ) induz, para cada r ≥ 0, um isomorfismo i∗ : Hr∞ (M ) → Hr (M ). Demonstra¸c˜ ao: Sejam π : V → M uma vizinhan¸ca tubular de M no espa¸co euclidiano e α a cobertura aberta de M formada pelas interse¸co˜es U = B ∩ M , onde B ´e uma bola aberta do espa¸co euclidiano, contida em V . Para cada simplexo α-pequeno σ : ∆r → M , o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer da imagem σ(∆r ) est´a contido em V . Assim, V cont´em o simplexo afim hσ(e0 ), . . . , σ(er )i, logo tem sentido a composta σ = π ◦ hσ(e0 ), . . . , σ(er )i : ∆r → M , que ´e um simplexo diferenci´avel. Definimos ent˜ao o morfismo ϕ : S α (M ) → S ∞ (M ), pondo ϕ(σ) = σ. Mostraremos agora que ϕ∗ : Hrα (M ) → Hr∞ (M ) ´e, para cada r ≥ 0, um isomorfismo, cujo inverso ´e i∗ . (Lembremos que Hrα (M ) = Hr (M ).) Para tal, construiremos, sobre cada σ ∈ Srα (M ), o prisma singular Pσ : ∆r × [0, 1] → M , o qual ´e a homotopia composta da homotopia retil´ınea entre σ e hσ(e0 ), . . . , σ(er )i com a homotopia retil´ınea entre a aplica¸ca˜o identidade V → V e a proje¸ca˜o π : V → M ⊂ V . Os prismas Pσ tˆem as seguintes propriedades: (1) Pσ (x, 0) = σ(x) e Pσ (x, 1) = σ(x) para todo x ∈ ∆r ;

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

(2) ∂i Pσ = P∂i σ (onde ∂i Pσ = Pσ |(∂i ∆r × [0, 1])). Escrevendo Ai = (ei , 0) e Bi = (ei , 1), definimos o homomorfismo D : Srα (M ) → Sr∞ (M ) pondo Dσ =

r X (−1)i (Pσ |hA0 , . . . , Ai , Bi , . . . , Br i). i=0

Ent˜ao verificamos que ∂Dσ + D∂σ = σ − σ. Resulta imediatamente da´ı que todo r-ciclo z ∈ Srα (M ) ´e hom´ologo ao r-ciclo diferenci´avel z = ϕ(z), logo ϕ∗ : Hrα (M ) → Hr∞ (M ) ´e um isomorfismo, inverso de i∗ : Hr∞ (M ) → Hrα (M ). Agora ´e s´o lembrar que Hrα (M ) = Hr (M ). r Os homomorfismos adjuntos ϕ> : S∞ (M ) → Sαr (M ), r ≥ 0, ∗ (M ) → Sα∗ (M ) do complexo de codefinem um morfismo ϕ> : S∞ ∗ cadeias S∞ (M ), baseado nos simplexos diferenci´aveis, no complexo de cocadeias singulares Sα∗ (M ), baseado nos simplexos singulares α-pequenos, o qual induz, para todo r ≥ 0, o isomorfismo r ϕ∗ : H ∞ (M ) → H r (M ), do grupo de cohomologia “diferenci´avel” r H∞ (M ) no grupo de cohomologia singular de M . Note-e que ϕ∗ ([u]) ´e a classe de cohomologia da restri¸ca˜o do cociclo u a`s cadeias diferenci´aveis. Sendo assim, ϕ∗ ´e induzido pelo homomorfismo adjunto da inclus˜ao Sr∞ (M ) → Sr (M ). Doravante, todos os simplexos singulares numa superf´ıcie ser˜ao supostos diferenci´aveis e as cadeias/cocadeias ter˜ao coeficientes em R. O r-´esimo grupo de cohomologia de deRham da superf´ıcie M ser´a indicado com HD r (M ), para distingui-lo da cohomologia singular H r (M ). O espa¸co vetorial das r-formas diferenciais continuar´a sendo Λr (M ), bem como o complexo de deRham Λ∗ (M ). Ao definirmos a homologia singular, escolhemos ∆r =he0 , . . . , er i ⊂ Rr+1 como simplexo padr˜ao. Mas ´e claro que qualquer outro rsimplexo euclidiano teria dado origem a uma teoria inteira e evidentemente equivalente. Uma alternativa razo´avel ´e usar como padr˜ao

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[SEC. 5: TEOREMA DE DERHAM

o simplexo ∇r = h0, e1 , . . . , er i ⊂ Rr , como faremos agora. Tem-se X © ª ∇r = (x1 , . . . , xr ) ∈ Rr ; x1 ≥ 0, . . . , xr ≥ 0, xi ≤ 1 .

As faces (r − 1)-dimensionais de ∇r s˜ao ∂0 ∇r = ∆r−1 e X © ª ∂i ∇r = (x1 ,. . ., xi−1 , 0, xi+1 ,. . ., xr ); xj ≤1, xj ≥ 0, j=1, . . . , r © ª se i > 0. Noutras palavras, ∂i ∇r = (x1 , . . . , xr ) ∈ ∇r ; xi = 0 se i > 0. Olhando ∇r como simplexo singular afim em Rr , temos P ∂∇r = (−1)i ∂i ∇r . e3 e2

∇3

∇2

∇1 1

e2

e1 e1 Figura 35. Os simplexos ∇1 , ∇2 e ∇3 .

A cada r-forma ω ∈ Λr (M ) na superf´ıcie orientada M associaR mos a cocadeia singular ξ(ω) ∈ S r (M ), definida por ξ(ω) · σ = σ ω se σ : ∇r → M ´e um r-simplexo (diferenci´avel). Bem entendido, R R ω = σ ∗ ω, onde o pullback σ ∗ ω ´e uma r-forma definida na σ ∇r vizinhan¸ca de ∇r que serve de dom´ınio para σ. Isto nos d´a um homomorfismo ξ : Λr (M ) → S r (M ) para todo r ≥ 0. Em seguida, mostraremos que ξ(dω) = δ(ξ(ω)), portanto ξ induz, para todo r ≥ 0, um homomorfismo ξ∗ : HDr (M ) → H r (M ), chamado homomorfismo de deRham. O Teorema de deRham afirma que ξ∗ ´e um isomorfismo.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

A fim de simplificar a nota¸ca˜o e (portanto) facilitar o entendimento, provaremos a igualdade ξ(dω) = δ(ξ(ω)) quando ω = ady ∧ dz − bdx ∧ dz + cdx ∧ dy ´e uma 2-forma, definida num aberto de R3 contendo ∇3 . O caso geral se trata de modo an´alogo, apenas com uma nota¸ca˜o mais elaborada. Devemos mostrar que, para todo simplexo diferenci´avel σ : ∇3 → R R M , tem-se σ dω = ∂σ ω. Inicialmente, consideraremos o caso em que σ ´e o simplexo afim ∇3 = h0, e1 , e2 , e3 i ⊂ R3 , cujo bordo ´e a cadeia afim ∂∇3 = ∂0 ∇3 − ∂1 ∇3 + ∂2 ∇3 − ∂3 ∇3 = he1 , e2 , e3 i − h0, e2 , e3 i + h0, e1 , e3 i − h0, e1 , e2 i. Assim, Z

ω= ∂∇2

Z

ω− ∂0 ∇ 3

Z

ω+ ∂1 ∇ 3

Z

− ∂2 ∇ 3

Z

ω. ∂3 ∇ 3

Se (x, y, z) ∈ ∂0 ∇3 ent˜ao x, y, z ∈ [0, 1] e z = 1 − x − y. Usando os parˆametros x = s, y = t temos, em ∂0 ∇3 , (x, y, z) = (s, t, 1 − s − t), dx = ds, dy = dt e dz = −(ds + dt), portanto dy ∧ dz = −dt ∧ ds = ds ∧ dt, dx ∧ dz = ds ∧ (−ds − dt) = ds ∧ dt e dx ∧ dy = ds ∧ dt. Logo Z

∂0 ∇ 3

ω=

Z

[a(s, t, 1−s−t)+b(s, t, 1−s−t)+c(s, t, 1−s−t)]ds∧dt. ∇2

´ claro que dx = 0 em ∂1 ∇3 , dy = 0 em ∂2 ∇3 e dz = 0 em E ∂3 ∇ 3 .

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[SEC. 5: TEOREMA DE DERHAM

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Portanto, escrevendo a(s, t) = a(s, t, 1−s−t), b(s, t) = b(s, t, 1− s − t) e c(s, t) = c(s, t, 1 − s − t), temos Z

ω= ∂∇3

=

Z

Z

ady ∧ dz − bdx ∧ dz + cdx ∧ dz ∂∇3

[a(s, t) + b(s, t) + c(s, t) ∇2

− a(0, s, t) − b(s, 0, t) − c(s, t, 0)]ds ∧ dt.

Por outro lado, o uso direto do Teorema Fundamental do C´alculo nos d´a: ¸ Z · Z ∂a ∂b ∂c dω = (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) dxdydz ∂y ∂z ∇3 ∂x ∇3 Z £ = a(1 − s − t, s, t) − a(0, s, t) + b(s, 1 − s − t, t) ∇2 ¤ − b(s, 0, t) + c(s, t, 1 − s − t) − c(s, t, 0) dsdt.

Levando em conta que as mudan¸cas de coordenadas (s, t, 1−s−t) 7→ (1 − s − t, s, t), (s, t, 1 − s − t) 7→ (s, 1 − s − t, t) e (s, t, 1−s−t) 7→ (s, t, 1−s−t) s˜ao difeomorfismos de ∇2 sobre si mesmo cujos determinantes jacobianos tˆem valor absoluto 1, o Teorema de Mudan¸ca de Vari´avies d´a Z Z [a(s, t) + b(s, t) + c(s, t)]dsdt dω = ∇2 ∇3 Z − [a(0, s, t) + b(s, 0, t) + c(s, t, 0)]dsdt, ∇2

R R portanto ∇3 dω = ∂∇3 ω quando ∇3 ´e o simplexo afim padr˜ao h0, e1 , e2 , e3 i em R3 . Em seguida, considerando o simplexo σ : ∆3 → M numa suR R perf´ıcie M , mostraremos que se tem σ dω = ∂σ ω se ω ´e uma 2-forma em M . Usando o que acabamos de provar e o fato de que

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

σ ◦ ∂i ∇3 = ∂i σ (f´acil verifica¸ca˜o), temos Z Z Z Z Z 3 X ∗ ∗ ∗ i dω = σ dω = d(σ ω) = σ ω= (−1) σ

∇3

=

3 X i=0

(−1)i

∇3

Z

∂∇3

ω= σ◦∂i ∇3

Podemos ent˜ao enunciar o

3 X

(−1)i

i=0

Z

i=0

ω= ∂i σ

Z

σ∗ω ∂i ∇ 3

ω. ∂σ

Teorema 5. (Stokes simplicial.) Para todo (r − 1)-forma ω na superf´ıcie orientada M e toda cadeia singular (diferenciavel) x ∈ R R Sr (M ) tem-se x dω = ∂x ω.

Fica assim estabelecido que os homomorfismos ξ : Λr (M ) → S r (M ) definem um morfismo do complexo de deRham Λ∗ (M ) no complexo singular S ∗ (M ). Para provar que cada homomorfismo induzido ξ∗ : HDr (M ) → H r (M ) ´e um isomorfismo, faremos uso da seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris. Conforme vimos no Cap´ıtulo I, temos o diagrama comutativo abaixo, no qual as setas horizontais representam homomorfismos induzidos por ξ e as verticais fazem parte das seq¨ uˆencias de Mayer-Vietoris (relativas a dois abertos U, V ⊂ M ) nas cohomologias de deRham e singular. 1

HDr (U ) ⊕ HD r (V )   y

−−−→

HDr+1 (U ∪ V )   y

−−−→

HDr+1 (U ∩ V )

−−−→

HDr (U ∩ V )   y

2

−−−→

3

4

H r (U ) ⊕ H r (V )   y H r (U ∩ V )   y

H r+1 (U ∪ V )   y

HDr+1 (U ) ⊕ HD r+1 (V ) −−−→ H r+1 (U ) ⊕ H r+1 (V )     y y 5

H r+1 (U ∩ V )

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Cabem duas observa¸co˜es, a primeira das quais ´e o´bvia e a segunda ´e o Lema dos Cinco, visto no Cap´ıtulo I. 1. Se o aberto W ⊂ M ´e contr´atil ent˜ao, para todo r ≥ 0, ξ∗ : HDr (W ) → H r (W ) ´e um isomorfismo. 2. Se os homomorfismos 1, 2, 4 e 5 s˜ao isomorfismos, ent˜ao 3 ´e um isomorfismo. Usando o Teorema 2, Cap´ıtulo II, tomemos uma cobertura aberta simples α na superf´ıcie M . Para quaisquer U1 , . . . , Uk pertencentes a α, o homomorfismo ξ∗ : HDr (U1 ∩ · · · ∩ Uk ) → H r (U1 ∩ · · · ∩ Uk ) ´e um isomorfismo. Isto ´e claro quando r = 0, pois ξ∗ : HD0 (M ) → H 0 (M ) ´e a aplica¸ca˜o identidade, e quando r > 0 porque seu dom´ınio e seu contradom´ınio s˜ao iguais a 0. Usando indu¸ca˜o em k, segue-se da observa¸ca˜o 2 que, para toda reuni˜ao finita U1 ∪ · · · ∪ Uk de abertos pertencentes a α e todo r ≥ 0, ξ∗ : HDr (U1 ∪ · · · ∪ Uk ) → H r (U1 ∪ · · · ∪ Uk ) ´e um isomorfismo. Da´ı j´a resulta o Teorema de deRham para superf´ıcies compactas e mais geralmente, para superf´ıcies de tipo finito, isto ´e, que admitem uma cobertura aberta simples e finita. Se a superf´ıcie M n˜ao ´e compacta, lembrando a demonstra¸ca˜o do Lema 5, Cap´ıtulo II, escrevemos M = U ∪ V , onde U e V s˜ao ambos reuni˜oes disjuntas de “faixas” abertas, cada uma das quais ´e uma superf´ıcie do tipo finito (reuni˜ao finita de elementos da cobertura α). Como naquela ocasi˜ao, vemos que U ∩ V tem a mesma estrutura de U e V . Portanto ξ∗ ´e, para todo r ≥ 0, um isomorfismo de HD r (U ) sobre H r (U ), de HD r (V ) sobre H r (V ) e de HDr (U ∩ V ) sobre H r (U ∩ V ). Resulta ent˜ao do Lema dos Cinco que ξ∗ : HDr (M ) → H r (M ) ´e um isomorfismo, e com isto fica provado o Teorema 6. (deRham.) Em toda superf´ıcie diferenci´avel orient´avel M , os grupos de cohomologia de deRham HD r (M ) e os grupos de cohomologia singular com coeficientes reais H r (M ) s˜ao isomorfos.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

Combinando o isomorfismo ξ∗ : HDr (M ) → H r (M ) com a dualidade de Poincar´e em cohomologia de deRham numa superf´ıcie compacta m-dimensional orient´avel M , obtemos um isomorfismo H m−r (M ) ≈ [H r (M )]∗ . Isto nos levar´a ao Teorema de Dualidade de Poincar´e Hr (M )≈ H m−r (M ) para homologia e cohomologia singulares se provarmos que, nestas condi¸co˜es, vale Hr (M ) ≈ [H r (M )]∗ . Isto ´e um corol´ario do Teorema 7. Para todo espa¸co topol´ogico X e todo r ≥ 0, se a homologia e a cohomologia singulares s˜ao tomadas com coeficientes num corpo K, tem-se um isomorfismo H r (X) ≈ [Hr (X)]∗ . Demonstra¸c˜ ao: Definimos um homomorfismo ϕ: H r(X) → [Hr(X)]∗ pondo, para cada [u] ∈ H r (X) e cada [z] ∈ Hr (X), (ϕ[u]) · [z] = u(z). Provamos os seguintes fatos: 1) ϕ est´a bem definido. Com efeito, temos [u] = [u + δv] e [z] = [z + ∂x] com v ∈ S r−1 (X) e x ∈ Sr+1 (X). Lembrando que δu = 0 e ∂z = 0, vem: (u + δv) · (z + ∂x) = u(z) + u(∂x) + (δv) · (z) + (δv) · (∂x) = u(z) + (δu) · (x) + v(∂z) + v(∂∂x) = u(z). ± 2) ϕ ´e sobrejetivo. Dada f ∈ [Hr (X)]∗ , podemos ver f: Zr (X) Br (X) → R como um homomorfismo f : Zr (X) → R tal que f (∂x) = 0 para todo x ∈ Sr+1 (X). Como Zr (X) ⊂ Sr (X) ´e um subespa¸co vetorial, existe uma cocadeia u : Sr (X) → R tal que u|Zr (X) = f . Ent˜ao, para toda x ∈ Sr+1 (X), temos (δu)(x) = u(∂x) = f (∂x) = 0, logo u ∈ Zr (X) e u(z) = f (z) para todo z ∈ Zr (X), portanto ϕ([u]) = f . 3) ϕ ´e injetivo. Seja u : Sr (X) → K um cociclo tal que ϕ([u]) = 0. Isto significa que u(z) = 0 para todo z ∈ Zr (X). Vamos mostrar que existe v : Sr−1 (X) → K tal que δv = u, ou seja,

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[SEC. 5: TEOREMA DE DERHAM

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com v(∂x) = u(x) para toda cadeia x ∈ Sr (X). Ora, como o conjunto Br−1 (X) das (r − 1)-cadeias que s˜ao bordos ´e um subespa¸co vetorial de Sr−1 (X), existe outro subespa¸co E ⊂ Sr−1 (X) tal que Sr−1 (X) = Br−1 (X)⊕E. Definimos ent˜ao v : Sr−1 (X) → K pondo v(∂x + e) = u(x) para todo x ∈ Sr (X) e todo e ∈ E. Se y ∈ Sr (X) for tal que ∂y = ∂x temos u(x) − u(y) = u(x − y) = 0 pois ∂(x − y) = ∂x − ∂y = 0. Assim, a cocadeia v ∈ S r−1 (X) est´a bem definida. Al´em disso, tem-se (∂v)(x) = v(∂x) = u(x) para toda x ∈ Sr (X), portanto δv = u. Corol´ ario 1. Se Hr (X), com coeficientes num corpo, ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita ent˜ao Hr (X) ´e, para todo r ≥ 0, isomorfo ao dual [H r (X)]∗ do espa¸co vetorial de cohomologia H r (X). Com efeito, de H r (X) ≈ [Hr (X)]∗ resulta, tomando os duais, que [H r (X)]∗ ≈ [Hr (X)]∗∗ . Como Hr (X) tem dimens˜ao finita, ´e isomorfo a seu bidual. Logo [H r (X)]∗ ≈ Hr (X). Assim, para toda superf´ıcie compacta orient´avel M de dimens˜ao m, tomando homologia e cohomologia singulares com coeficientes reais, vale a Dualidade de Poincar´e Hr (M ) ≈ H m−r (M ) para todo r ≥ 0. Observa¸c˜ ao. O Teorema de Dualidade de Poincar´e ´e v´alido sob condi¸co˜es mais gerais: as superf´ıcies n˜ao precisam ser diferenci´aveis e os coeficientes n˜ao precisam ser n´ umeros reais. Uma bela apresenta¸ca˜o para superf´ıcies poliedrais ´e feita no cl´assico texto de Seifert e Threlfall [ST]. Esses autores, por´em, n˜ao tratam de cohomologia (que ainda n˜ao se desenvolvera na ´epoca), por isso o enunciado ´e dado na forma original de Poincar´e, em termos de n´ umeros de Betti e coeficientes de tor¸ca˜o, numa superf´ıcie triangul´avel. Apresenta¸co˜es atuais (sem a mesma elegˆancia) do caso poliedral se encontram nos livros de Cairns [C], Franz [F] e Prasolov [P]. O caso mais geral da dualidade de Poincar´e em variedades topol´ogicas ´e tratado nos livros de Spanier [S], Greenberg [G] e Prasolov [P], entre outros.

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[CAP. IV: HOMOLOGIA SINGULAR

Cohomologia em termos da homologia

Quando tratarmos aqui de homologia e cohomologia, ficar´a subentendido o qualificativo “singular”. Se tomarmos coeficientes num corpo, cada espa¸co vetorial H r (X) ´e isomorfo ao dual [Hr (X]∗ , como vimos acima. Estudaremos agora o que ocorre quando no A-m´odulo de cohomologia H r (X; A) os coeficientes pertencem a um anel comutativo qualquer A, dotado de unidade. Vamos estabelecer rela¸co˜es entre o A-m´odulo H r (X; A) e os grupos de homologia Hr (X) com coeficientes inteiros. Ao escrevermos Sr (X), Zr (X), Br (X) e Hr (X) estaremos sempre admitindo coeficientes em Z, u ´nicos a serem usados aqui para homologia. Inicialmente observamos que, se G ´e um grupo abeliano e A ´e um anel comutativo com unidade, o grupo Hom(G; A) dos homomorfismos de G no grupo aditivo de A possui uma estrutura natural de A-m´odulo, que usaremos sem maiores coment´arios. Como antes, para cada r ≥ 0 temos o homomorfismo ϕ : H r (X; A) → Hom(Hr (X); A), definido por ϕ([u]) · [z] = u(z) para toda u ∈ Z r (X; A) e todo z ∈ Zr (X). Vimos que, quando A ´e um corpo, o homomorfismo ϕ ´e sobrejetivo. Isto ainda ´e verdade para todo anel A. De fato, considerando que Hr (X) = Zr (X)/Br (X), cada f ∈ Hom(Hr (X); A) ´e um homomorfismo de Zr (X) em A que se anula sobre Br (X), logo podemos estender f a um homomorfismo u : Sr (X) → A, novamente porque existe um subgrupo G ⊂ Sr (X) tal que Sr (X) = Zr (X) ⊕ G. Desta vez, a existˆencia de G (cfr. Lema 1, Cap´ıtulo I) se deve ao fato de que o grupo quociente Sr (X)/Zr (X) ≈ Br−1 (X) ´e livre, como subgrupo do grupo livre Sr−1 (X).

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[SEC. 6: COHOMOLOGIA EM TERMOS DA HOMOLOGIA

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Portanto, existe uma cocadeia u : Sr (X) → A tal que u|Zr (X) = f . Como f se anula em Br (X), u ´e um cociclo. Com efeito, (δu)(x) = u(∂x) = 0 para toda cadeia x ∈ Sr+1 (X). Para qualquer z ∈ Zr (X), temos ϕ([u]) · [z] = u(z) = f (z), logo ϕ([u]) = f , portanto ϕ ´e sobrejetivo. Vejamos qual ´e o n´ ucleo de ϕ. Chamando de Zr⊥ o conjunto das cocadeias u : Sr (X) → A que se anulam sobre Zr (X), veremos que B r (X; A) ⊂ Zr⊥ e que o n´ ucleo de ϕ : H r (X; A) → Hom(Hr (X); A) ´e o A-m´odulo quociente Zr⊥ /B r (X; A). Uma descri¸ca˜o alternativa, e mais adequada, para o n´ ucleo ϕ−1 (0) ser´a obtida identificando-o com Hom(Br−1 (X); A)/F , onde F ´e o A-m´odulo formado pelos homomorfismos f : Br−1 (X) → A que se estendem a Zr−1 (X) (e portanto a Sr−1 (X)). O isomorfismo ψ : Zr⊥ /B r (X; A) → Hom(Br−1 (X); A)/F resulta, por passagem ao quociente, da aplica¸ca˜o u 7→ u, de Zr⊥ em Hom(Br−1 (X); A), onde u(∂x) = u(x), a qual est´a bem definida pois, sendo u ∈ Zr⊥ , de ∂x = ∂y se tira ∂(x − y) = 0, logo u(x) − u(y) = u(x − y) = 0. Para justificar a obten¸ca˜o de ψ por passagem ao quociente, a partir do homomorfismo ψ : Zr⊥ → Hom(Br−1 (X); A), dado por ψ(u) = u, onde u(∂x) = u(x), devemos mostrar que ψ(B r (X; A)) = F . Isto se faz observando que se u = δv ent˜ao u = v ◦ ∂, logo u(∂x) = u(x) = v(∂x), portanto u : Br−1 (X) → A ´e a restri¸ca˜o de v : Sr−1 (X) → A, logo u ∈ E. Assim, ψ(B r (X; A)) ⊂ F . A inclus˜ao oposta ´e o´bvia. ´ O A-m´odulo Hom(Br−1 (X); A)/F ´e conhecido em Algebra Homol´ogica como Ext(Hr−1 (X); A) e assim, podemos escrever a seq¨ uˆencia exata ϕ

(∗) 0 → Ext(Hr−1 (X); A) → H r (X; A) −→ Hom(Hr (X); A) → 0. Compete-nos explicar o motivo da nota¸ca˜o Ext(Hr−1 (X); A)

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para indicar o n´ ucleo do homomorfismo ϕ. Isto requer um pou´ quinho de Algebra, para mostrar que, uma vez fixado o anel A, tal n´ ucleo depende apenas de Hr−1 (X). Vejamos como. Suponhamos que B e Z sejam grupos abelianos livres e que i

j

0 → B −→ Z −→ H → 0 seja uma seq¨ uˆencia exata. Ent˜ao, para todo anel A (comutativo, com unidade), a seq¨ uˆencia j>

i>

0 → Hom(H; A) −→ Hom(Z; A) −→ Hom(B; A) ´e tamb´em exata. Pondo E = imagem de i> = conjunto dos homomorfismos de B em A que se estendem a Z, afirmamos que o quociente Hom(B; A)/E depende apenas de H. Com efeito, dada outra seq¨ uˆencia exata i0

j0

0 → B 0 −→ Z 0 −→ H 0 → 0, com B 0 e Z 0 livres, e dado um homomorfismo f : H → H 0 , fazendo uso de bases em B, Z, B 0 , Z 0 e das exatid˜oes, podemos definir homomorfismos indicados pelas setas verticais, que tornam comutativo o diagrama i

0 −→ B −−−→   y

j

Z −−−→   y

H −−−→ 0  f y

0 −→ B 0 −−− → Z 0 −−−0→ H 0 −−−→ 0 0 i

z

Considerando Hom( , A) para os seis grupos acima, obtemos o diagrama comutativo j>

i>

0 −→ Hom(H; A) −−−→ Hom(Z; A) −−−→ Hom(B; A) x x x    #   f

0 −→ Hom(H 0 ; A) −−−→ Hom(Z 0 ; A) −−−→ Hom(B 0 ; A) j 0>

i0>

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no qual as duas linhas s˜ao seq¨ uˆencias exatas e, como de costume, > indica o homomorfismo adjunto. Assim, o homomorfismo f : H → H 0 induz f # : Hom(B 0 ; A) → Hom(B; A), tal que f # (Im.i0> ) ⊂ Im i> . Resulta da´ı que f # , por sua vez, induz o homomorfismo f∗ :

Hom(B; A) Hom(B 0 ; A) −→ , 0 E E

onde E = Im.i> = conjunto dos homomorfismos ϕ : B → A que se “estendem” a homomorfismos Z → A, isto ´e, que admitem uma fatora¸ca˜o do tipo ϕ = ϕ ◦ i. An´aloga defini¸ca˜o para E 0 . As escolhas de bases e pr´e-imagens feitas para definir os homomorfismos verticais afetam f # mas, ap´os passagem ao quociente, n˜ao afetam f ∗ . A partir desta observa¸ca˜o (que o leitor pode comprovar) se conclui que (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ . Resulta da´ı que se f : H → H 0 ´e um isomorfismo, o mesmo acontece com f ∗ . Assim, o m´odulo quociente Hom(B; A)/E depende apenas de H (que ´e isomorfo a Z/B) mas n˜ao de B e Z individualmente. Escreve-se ent˜ao Hom(B; A)/E = Ext(H; A). Acabamos de ver que Ext(H; A) ´e um functor contravariante em H. Obviamente, ele ´e covariane em A. A seq¨ uˆencia exata 0 → B → Z → H → 0 ´e conhecida como uma “resolu¸ca˜o livre” do grupo abeliano H. O que foi mostrado acima ´e que Ext(H; A) n˜ao depende da resolu¸ca˜o livre tomada. O functor Ext goza das propriedades abaixo, que podem ser demonstradas com maiores dificuldades, ou vistas em [P], [S] bem ´ como (com crescentes graus de generalidade) em livros de Algebra Homol´ogica. 1. Se H ´e livre, ent˜ao Ext(H; A) = 0; 2. Ext(H ⊕ H 0 ; A) = Ext(H; A) ⊕ Ext(H 0 ; A); 3. Se H= Zm ent˜ao Ext(H; A)= A/m.A. Assim, Ext(Zm ; Z) = Zm .

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A seq¨ uˆencia exata i

ϕ

0 → Ext(Hr−1 (X); A) −→ H r (X; A) −→ Hom(Hr (X); A) → 0, onde i ´e a inclus˜ao, constitui o que se chama o Teorema dos Coeficientes Universais. Quando A ´e um corpo ou quando Hr−1 (X) ´e um grupo livre, o Teorema dos Coeficientes Universais se reduz ao isomorfismo H r (X; A) ≈ Hom(Hr (X); A). Um importante fato a respeito desta seq¨ uˆencia ´e que ele ´e separ´avel, o que nos permite concluir que H r (X; A) = Hom(Hr (X); A) ⊕ Ext(Hr−1 (X); A), conforme mostraremos a seguir. Come¸camos com o Lema 2.Existe um homomorfismo λ: Hom(Hr(X); A) → H r(X; A) tal que ϕ(λ(v)) = v para todo v ∈ Hom(Hr (X); A). Demonstra¸c˜ ao: Os elementos de Hom(Hr (X); A) s˜ao os homomorfismos v : Zr (X) → A tais que v(∂x) = 0 para toda cadeia x ∈ Sr+1 (X). A cada um desses homomorfismos v devemos fazer corresponder uma classe de cohomologia [v] = λ(v) ∈ H r (X; A) tal que ϕ([v]) = v, ou seja, v(z) = v(z) para todo ciclo z ∈ Zr (X). Como o quociente Sr (X)/Zr (X) ≈ Br−1 (X) ´e um grupo livre, podemos encontrar um subgrupo N ⊂ Sr (X) tal que Sr (X) = Zr (X) ⊕ N , ou seja, toda cadeia x ∈ Sr (X) se escreve, de modo u ´nico, como x = z + y, onde z ∈ Zr (X) e y ∈ N . Ent˜ao definimos a cocadeia v : Sr (X) → A pondo, para cada x = z + y, v(x) = v(z). Mostremos que v ´e um cociclo. De fato, para toda w ∈ Sr+1 (X), vale δv(w) = v(∂w) = v(∂w) = 0 pois v se anula nos bordos. Evidentemente, se z ∈ Zr (X), temos v(z) = v(z), portanto λ(v) = v define o homomorfismo desejado. Teorema 8. A seq¨ uˆencia exata i

ϕ

0 → Ext(Hr−1 (X); A) −→ H r (X; A) −→ Hom(Hr (X); A) → 0

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´e separ´avel, portanto tem-se H r (X; A) = Hom(Hr (X); A) ⊕ Ext(Hr−1 (X); A). Demonstra¸c˜ ao: Acima, i ´e a aplica¸ca˜o de inclus˜ao. Com a nota¸ca˜o do Lema 2, devemos mostrar que H r (X; A) = Im(λ) ⊕ N (ϕ) = Im(λ) ⊕ Im(i). Com efeito, todo elemento α ∈ H r (X; A) se escreve como α = λϕ(α)+(α−λϕ(α)), onde λϕ(α), evidentemente, pertence a Im(λ) enquanto α − λϕ(α) pertence a N (ϕ) pois ϕ(α − λϕ(α)) = ϕ(α) − ϕλ(α) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0. Al´em disso, tem-se Im(λ) ∩ N (ϕ) = {0} pois se α ∈ Im(λ) ∩ N (ϕ) ent˜ao α = λ(β) = λϕλ(β) = λϕ(α) = λ(0) = 0. Isto completa a prova do teorema.

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Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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Referˆ encias Bibliogr´ aficas [CA2] Elon Lages Lima. Curso de An´alise, vol. 2, Projeto Euclides, IMPA, 10a¯ edi¸ca˜o, 2008. [AR3] Elon Lages Lima. An´alise Real, vol. 3, Cole¸ca˜o Matem´atica Universit´aria, IMPA, 3a¯ edi¸ca˜o, 2008. [GFER] Elon Lages Lima. Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento, Projeto Euclides, IMPA, 2a¯ edi¸ca˜o 1998. [ETG] Elon Lages Lima. LTC, Rio, 1970.

Elementos de Topologia Geral, Editora

[EM] Elon Lages Lima. Espa¸co M´etricos, Projeto Euclides, IMPA, 4a¯ edi¸ca˜o 2005. [C] S. Cairns. Introductory Topology, Ronald Press 196 ´ ements d’Analyse, Tome IX, Gauthier[D] J. Dieudonn´e. El´ Villars 1982. [F] W. Franz. Topologie. De Gruyter 1964. [G] M. Greenberg. Lectures on Algebraic Topology, W.A. Benjamin 1967. [H] A. Hatcher. Algebraic Topology, Camdridge U. Press 2002. [M] J. Munkres. 1966.

Elementary Differential Topology, Princeton

[P] V. Prasolov. Elements of Homology Theory, American Mathematical Society, 2007. [S] E. Spanier. Algebraic Topology, McGraw-Hill 1966. [S-T] H. Seifert-W. Threlfall. A Textbook of Topology, Academic Press 1980.

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´Indice Remissivo de homologia 2 cocadeia 11 cocadeias anti-sim´etricas 125 cociclo 11 coerentemente orientados (simplexos) 109 cofinal 17 cohomologia com suportes compactos 34 combina¸ca˜o afim 73 convexa 73 complexo de cadeias 1 de cocadeias 11 de deRham 22 quociente 2 singular 137 cone 80 coordenadas baricˆentricas 74 cup-product 149

i-´esima face 137 p-cadeia 1 p-ciclo 1 p-cocadeia 11 p-cociclo 11 ac´ıclico 80 anel de cohomologia 131 aplica¸ca˜o ant´ıpoda 111 aplica¸ca˜o cont´ınua entre pares 137 aplica¸co˜es simpliciais cont´ıguas 96 aplica¸ca˜o simplicial 76 aproxima¸ca˜o simplicial 100 bordo 1 cadeia 1 ordenada 122 simplicial 82 singular 136 caracter´ıstica de Euler 117 ciclo 1 circuito desorientador 109 classe de cohomologia 11 de uma forma fechada 22

diferenci´avel 21 envolt´oria convexa 73 espa¸co projetivo complexo 65 real 43 189

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190 espa¸co triangul´avel 77 esqueleto 76 esquema simplicial 77 estrela de um v´ertice 100 face 74 oposta 74 fibra¸ca˜o de Hopf 66 forma exata 22 fechada 22 invariante sob um grupo 40 functor 104, 126 germe 61 grau 56, 59 grupo de cohomologia 11 de deRham 22 de um compacto 61 de um complexo de cadeias 12 grupo de homologia 2 ordenada 122 singular 137 homormorfismo induzido 3, 137 hom´ologos (ciclos) 2 homomorfismo natural 3 homotopia alg´ebrica 5 invariˆancia da dimens˜ao 39 Lema dos Cinco 7 limite indutivo 18 morfismo de complexos 2

´Indice Remissivo de seq¨ uˆencias exatas 7 nervo 78 n´ umero de Betti 26, 116 de Lefschetz 117 operador-bordo 2, 137 orienta¸ca˜o 80, 109 poliedro 75 ponto extremo 74 ponto positivo e negativo 58 pontos independentes 72 produto de cocadeias singulares 149 pseudo-variedade 107, 109 pullback 23 quase-ordem 17 filtrante 17 realiza¸ca˜o geom´etrica 78 recobrimento diferenci´avel 40 finito 40 regular 40 duplo orientado 42 seq¨ uˆencia de Mayer-Vietoris 10 com suportes compactos 52 em cohomologia singular 148 em homologia singular 143 na cohomologia de deRham 27 seq¨ uˆencia exata 6 curta 6

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´Indice Remissivo de cohomologia 12 de um compacto 64 de homologia 7, 8 separ´avel 14 seq¨ uˆencias exatas equivalentes 14, 15 simplexo 74 aberto 74 afim 140 ordenado 122 orientado 80 singular 136 simplexos adjacentes 107 igualmente orientados 109, 112 sistema indutivo 18 solen´oide 70 subcomplexo 2 subdivis˜ao baricˆentrica 93 de uma cadeia singular 141 subdivis˜ao de um poliedro 93 subpoliedro 76 subsimplexo 140 superf´ıcie de tipo finito 160

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166 Pontos fixos de Lefschetz 119 transporte ac´ıclico 95 triangula¸ca˜o 77 octa´edrica 110 Valor regular 58

Teorema de deRham 161 Dualidade de Alexander 6668 de Poincar´e 53 de Invariˆancia dos Abertos 50 de Jordan-Brouwer 48 dos Coeficientes Universais

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