Geometrias no Euclidianas

,

'que

AB q>(x) y Be _.:.'.q,(y). Para se:cumpla la condición b) debe verificarse la relación . '. :cp(xy) , q>.<x)·-·+;~6)·' "::'. '(1.>-"

x

"

I

•

para todo valor de y de y. Ésto exige, ~_: poniendo que. la función q> sea continua, que 'cp(x) =klog:x, siendo-áunaconstante arbi• l'

trarra

.

•

, ..

,;.'

..'

.

Por' costumbre 'se toma Ji:_ Yz, y 'por lo' tanto se adopta la siguiente' :, DEFINICIÓN l. La' distancia ~ntre d~s pun- . tos. A y B está dada po.r la expresión ;

AB.= FICUl\A

42

=

zonc~ dobles. Pongamos AH

!',

Yz Iog (gVAB)

", (2)

.

Sean U y V los puntos en q'!le la recta'AB corta n~absoluto Q, puntos que quedan bien determinados -por el A y elB (fig. 46). La condición a) se 'cumple tomando como .. dísrancia AB una función cualquiera 'cp,. a valores reales, de la razón doble (UVAB) x, puesto que los movimientos conservan' las ra-

= q':~~).:

siendo U.y V los puntos en 'que la re~ta·:.AB corta al absoluto'. Esta distancia es, salvo' un .factor constante,'

es

1 La soluci6h de la ·ecuación. funcional •.( 1) in-.' mediata si se supone que cp es derivable,' B:ura observar; que, derivando respecto de x, por función de .funcién, eí.· " ".,,
•

= l/x y poniendo
lp'(x)

= k/x,

.

+

.....

,

,

.'

"

...

.

..... '-, ,

--.

,-

,

'

. :',:

',: '

"

la única que, satisfac~.1as,condiciones a) y b}, ,'Observemo~ dos propiedades jnmediatas de ~s~a distanc~a:, ' 1. ',Si

B~A,

es (UVAA)

= 1,

la recta ~, el coseno ~p~rb6lico de Ja distan'da AB está dado por la sencilla f6rmula .

<)?~hAB = (ABB' A')

Y por lo,

tanto la 'l~ngi,tud del segmento nulo es cero. corno debe ser. .:

B

, 2. Si B'~ende ~ V,!a raz6~ doble (UV AB)

:"

tiende a cero. y por lo tanto la distancia AB tiende a_; ex}.' Análogamente, si B tiende a U. (UV A.B) tiende a infinito, y por ,lo tanto AB también. Es decir, cualquiera que sea A su distancia ~ JoS puntos de Q vale siempre .: eo,

e

A=A' ,FIGURA

FIGURA

44

Es~o j~stifica n'~evamente que a los puntos de Q se les llame "puntos del Infinito" del plano. no euclidiano .hiperbólico. .! _9tra expresión importante de la, 'distancia' 4B ,seobtiene observando que la definición de coseno .hipcrbélico está dada, para AB,. por la ,relación' ,

(3 )

1/2 •

C'

45

6.3. Ángulo de dos rectas. A la definíciÓn de ángulo entre dos rectas que se cortan en un punto P sele exigen las mismas condiciones a) ,y b) del apartado .anterior, Por lo tanto, para tener una expresión invariante por movimientos necesitamos poder formar, con las dos rectas 'dadas y elementos de Q, una razón doble. Pata ello observemos que por P pasan las dos 'tangentes 11- y V a Q (imaginarias por ser P interior a Q), y por lo tanto podemos formar la razón doble (uvab). La única complicación es que ah?:fa las dos tangentes son

+

, \ cosh 1113 ' ~ [exp AB exp (-, AB)] ,donde exp indic'a la función exponencial (el , número e elevado al argumento indicado). Se-' gún (2) esta ~;x:presión,se puede escribir '" cosh AB de donde , c~slé "1

AB ,,1

= .~«UVAB)'1/2

+

(UVBA)

,.

= Y.í[:nIVAB)

Q

1/2]

'

+ (UVBA)

+ 2].

"

'..Teniendo en cuenta la _relación (14) del capítulo HI, resulta que si A' y B' son los pun,tos conjugados de A y B, respecto de Q, sobre

imaginarias. Este es un inconveniente grave desde el punto de vista geométrico' puro. En cambio, desde el punto de vista analítico, decir que u y v:son imaginarias significa única, mente que los coeficientes de sus ~cuaclOnes

.

.. .~., lo son, y como la. razón .doble de cuatro rectas de un haz es igual a la razón doble de sus coefi•. dentes angulares (ver 3.3) ,. el. hecho de. que los de 'JI, y o ~ea'n imaginarios no' ~s .ningún inconveniente, puesto que se sabe. operar con números complejos. . Por consiguiente, de manera completamente análoga a. 'la del caso de la distancia. entre dos .punros, se llega a. la conclusión de 'que el ángulo entre dos rectas debe definirse median-· te la expresión '. . i. (a,h). k log (uvah) : "

=.

.

:

.

';

. .

,.

.

'

;.

u i.·v.

1',"

I .'

son paralelas, las rectas. coinciden j(:o~í:Já.., tangente. a Q en t(punto' '(úriiC6) del;·Ül!i:!.:~;y:; nito de 'a.y b, o sea;u a.v~.¡Delaqi1í· (u1Íáb)~_:_:;~"" ypor 10 tinto··'(a;h).· Ó,.és·,decir~~'elá~~':i;. gulo entre dos rectas paraléla's :es .iguál' a :cer~~/ : '. como' debe ser. .' ':/' ::.. '..¡':¡~;. ;''-;'1 !.j:;i:.~

-:-1

¡'

N.'

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.·.·.',.•.• ~I~~ ·.·.I:,!·::.:,;,

!.:. "" :'!.}! :~. . ~~;" ~':""r ':'¡::' Si; J~f'~; . ..:'.:F~}:,;.'".{-...,'.

1 •

.'

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.

r,

'

.

,

...,nomb+1=0.

..

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~ 1

.'

I

1

.. i

moh'6

+ i(mb-'

o: bien, teniendo en cuenta

mo)

....

,

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',r.

I

~. . " "

. .¡ '. , • 0.

i. s,

1", ••

mb+i

+1 +1

(4), .

(+ i,-i, m4~~b) =-1. Por consiguiente es (l1,h) = kIog (--1)' y como log (- 1) = 1(;.. si debe ser (lI,h) =. ir/2, resulta k 1/2;. : . 'Queda 'así, como expresión del 'ángulo de dos rectas . '.

=

=

.,

~mo ¡

aplicación, observemos que si

11

!.

"

~or otra part~

m~-i . ---mo+i _ mom''b-i(mb-mai

:

f -. ,

(4)

.C~,· i,-i,mo,mb)

:.;

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la

'. I

':~\.J

.):.;

. <.r' ~¡~;/:ii:::f

.: '.:'. ; .....~'~,.. :.. ' .. : ..... ·.f.~:,;· 1:" ~ 1

1 ,

siendo '11. y v las tangentes al absoluto por el vértice P. -En este caso la constante k puededeterminarse si se impone condición de que el án-' guló recto debe valer .1t/2. En efecto, elígien'do convenientemente los ejes coordenados, se puede conseguir .que la ecuación que liga los .coeficientes angulares, in y m', de dos rectas perpendiculares (homólogas enIa involución de [rectas conjugadas respecto de Q), sea 1 = O (3.7). Las tangentes son entonces ;jlas rectas unidas de esta' involución, o sea, .las rectas de coeficientes angulares + i Y - i. Si a y b son rectas perpendiculares, sus coeficientes angulares m4 y mbcumplen la condición ".

i

.~. ~'"

y: b

.

;'

,

. -.'

-,

"

'o,

-

o',·

..!.!'

•( ,

.

,

.... '..

.

"

,

. '. : : Sea R el polo de r, F el polo de la normal m, y E·.el, polo' de la' paralela a;::::; P A a r por P. Según (6),'poniendo',n';::::;PF y a'==PE es 2 cos a!::::, (maa'm'). (SNEF) o, bien, por proyección desde A 'sobre m, c~~~a = (SPRM) • Por otra parte, en la recta m los pares P,S y '. M,R son conjugados y, entonces, por (3) es ,

cos~2d-:-'(PMRS)

='(PMSR)-l=

= [1- (PSMR) I" = [1- (SPRM)

," .

=

jo

(1-cos2

ar

r

1

=

1

o sea, sen a

= cosh'"

d.

De aquí se deduce, cos a = tgh d, y' por Jo tanto l-cos a sen- a

tga/2=----

= cosh 'ti -

senh d

= e_-d,

que' 'es la expresión, ya encontrada por .Lobachevsky, que liga el ángulo de paralelismo, , correspondierite a un 'punto P y a una recta T, con la distancia entre ambos ·e1ementos.

CAPíTULO VII

"

GEOMETRíA NO EUCLIDIANA mPERBóLICA: .' , ,

,,

IIl. AREAS, y CURVAS ESPEClfAiES

':7;1~,~rea' d~l 'Irián'gWo., Volvamos de ':nuevo .a la .construcción. de las figuras 39a y '39b,' según 1a cual cadalado BC' de un triángulo ABC determina u:U cuadrilátero de Saccheri .BB'C'C" con los: ángulos rectos en B', . y:c.~.A estos cuadriláteros, (uno para, cada lado' 'del.triéngulo) 10;5 Ilamarernos cuadriláteros.de Saccheri asociados al~tri,ángu'lo ABe.' : '",De las propiedadesde 5.8 y del razonamien,to hecho púa la 'demo'scráción del teorema 1 :del capírulo ' VI, -se deducen' los siguientes

' Introduzcamos

ahora la siguiente

1. Se, llama detecto', de, un a la diferencia entre 2 rectos y la'

DEFINICIÓN

triángulo suma de sus ángulos interiores. ' " TEOREMA'

,

" .

1'. Dos triángulos con igual 'de-

[ecto son equ~valent~s·.. Sean los triángulos ABC y AlBICl, .con la construcción de la figura 39a ó 39b. Para la demostración se consideran dos casos: • - a), Los dos triángulos tienen un lado 'igual. -lemas;' ': ,'," Sea BC:::; BICI. ' , ' :,~,L~Á .I. Cada ~1Z0, de los ángulos agudos, Los, cuadriláteros de Sáccheri de los dos ,~e; u'n:·cuadrilá.teTo,',d~Saccberi asociado, a u~ triángulos 'correspondienres a estos' lados' .son trhjngulo,'es jgu~l 'a la mitad de la sumade los, .congruentes, pues llevando BC sobre BIC~, y, ~ng~ll!s<del ,triángl,t~o.:" ,::' , -: '. "" " " teniendo los 'dos triángulos ig~al~ defecto,' las, ,",j ;LEMA' 2. :Tod(),:tr¡41~gulo,,es equivalente a' direcciones de los lados CC' y e1Cl" (lo mismo ;,~~/quie.ra de. s~ts'¡:cuadriláteros' de Saccheri que las deBBr y BlBl') coincidirán. También: :asociados. ' . , T ",¡,;, '" '; : i',' ," '.' ' , ' , los pun tos E' y Bl' ,y los C~ Y CI' deberán :,\ Por, :~quiv~ien~'e\~:,e~tien'de que tienen la . coincidir, puesto que 'en caso 'contrario ~~n~ irea, es, decir,' 'que' pueden descompo- " driarnos un' cuadrilátero B'C'Cx'Bl' con cua:..',ners,e en partes' respectivamente congr~entes. '~ró ángulos rectos. PO:1" lo' tanto, ~iendo e~ui-

','ini~~a

•••

I

"

-Ó,

:.

valen tes 'Jos 40s cuadriláteros

de Saccherí, por

. el lema 2 también .lo serán los triángulos de partida.

.'

¡

b) Todos .Ios lados son desiguales. Supongamos, por ejemplo, AlGl > AG.

ciene un lado i~~l concada -uno de ellos, pbi " el. . caso a) resulta probado: el- 'teorema," •. 7j~~;\··

';Uri '}~

El teorema l'nos: dice,!que~·;·ebáre:l··.de triángulo es solamente fim'ción :dé"Su ·de:fe¿to.~;~':. Ilamémosla F-(b J~ Descomponiendo uii:~t~áii-t·: gulo en otros dos inediante·.'uri:l~haitS~ersál:·, cualqiiiera, -el ..defedo.:"del ItriingiIlo' :süini ,~és:' la suma' de los"defe'c'tos ~b~ ~~I de '105 'trián~~ l. los parciales, y como la·'nlism~~.cendición di· . aditividadse cumple 'para las are:as, resulta la función F debe cumplir ·la: condición; .:

'y-

Al'

que

+ b )'= F'(b )'+ ").

F (bl

2

.

l.,,·

I

. :...

.

P'(~2) •.

l

(1)

'~ieh~'pos:

Esta ecuación funcional solución. única (suponiendo: qué.' P seli'::contintia) :. ..' (b) =';b ./:'. ".

.. F

. FICURA 48

(2)': .

I·.~

•

•••••

,

',11,

'o'.

.

• • -,'

siendo e una constante' que se elige' de 'un~ vez' .para siempre'

l.

Será ~AlCl > ~AC > CC'. Por lo tanto se puede tomar CNl ~AICl de manera que Nl 'esté sobre B~~, y prolongar el segmento otro tanto; se tiene así CAl' = CIAl (fig. 48). El triángulo G.A..lB tiene el mismo cuadrilát-ro de Saccheri'BC<;::'B' que el triángulo ABC, .'puesto que por ser Al' Al" = ce' (por la igualdad de los triángulos CC'Nl y NIAt' Al") y por se,r ce' BB', resulta Al' Al" =·BB'. Por lo tanto los triángulos 'Al'Al"M.y BB'M son iguales, y por' consiguiente BM -:- MAl.

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I

•

...

I

.

Se tiene así el importante .; 1:'. '. '. ~ : ," .: ,. TEOREMA 2. El área.de triángulo es pro-' porcional a SlI. dejecto. . i..'. fó~ula (2) Ji hemos demostrado para:'. triángulos que .tienen los tres;vértices propios .. Ella vale también, poi' pas~ al límite, para triángulos con uno o más vértices impropios, en cuyo caso los ángulos correspondiences, por ser ángulos formados. por. rectas' paralelas, 501'1: nulos. Se tiene así :.': ~'..;' . '..•

un

La

FleURA

49

De aquí se deduce que el triángulo AlEe tiene igual defecto que el ABe y por lo tanto, por hipótesis; que el AlBlci. Corno, además,

COROLARIO

¿

1.

El irelJ. da;.:..:1tn. triángülo . '. e: .

.

1 ecuación fut1cjoni (1) 'se ~~~for~:\. ~n¡1~:'(1)'. del capítulo VI poi' el cambio ci~,variables ~ !og.x, . -con ]0 cual la Joluc:ión (2) resulta' de b allí. enconuada.. " .' . : .' .,' '.:"

=

49

.

:

.

'

.,.~ . ....". . '"

"

'

." ABe,

.

.

con' el: vériic«,

·:'!a.le".F==:c.(n:-, A-,

C. improPio B).

. .(fig. 49).

.

'El:: área ti" un' triángulo A'B'e'; C01I los. dos vértices B' y e' impro. pios (fig ...49), vale P=·c(1t-A'). ·/C~R.Pr.;~IC?'·j; :.Er- área de Ull tTiá~gulo ABe, ~o11.1C?s tres. vértices improPios (fig. 50), .vale F == ~JJ" '1 ';' I . . . . :,COROLAllIO:·2.·

Nota. La sel1-cilÍafórmula (2) para el área del trián~ 'gulo no es fácilmente generalizable a mú dimensiones. El volumen del tetraedro no puede expresarse, en geometría ·no euclidiana, mediante funcionés simples de sus elementos. Su estudio, que empezó con 'el mismo: 10-' bachevsky, y la generalización a más de tres dimensiones, han dad? lugar a numerosos trabajos. Uno reciente, que contiene abundante bibliografía', es el de Bóhrn PO). _

7.2. «;::urv.asespecíales, En el plano' hiperbólico se suelen considerar ciertas curvas espccial~s que vamos a mencionar a c~)ntitiua-' .ción, cuyas. propiedades resultan' muy' comprensibles a partir de su interpretación p~oyectiva. . I , l. Ciclo '0. Circunferencia. Es lugar geométrico de 195 puntos que equidistan de otro .

..

.

el

fijo, llamado centro.

FIGURA 11 .v,

/.1

•

I

•

En los tres casos hemos puesto 1t en lugar de dos rectos, 10 'que puede hacerse tomando la unidad de medida de ángulos de manera que el ángulo recto mida 1t/i (ver 6.~). . " .. Obsérvese que. 'CTC es el máximo valor que puede tomar el área de 'un triángulo. Es decir: e» ge01;letrí~ hiper(Jólifa no hay triángulos de. área infinitamen~e grand«, " ".TaIllPoco·los· hayen ¡la geometría elíptica, puesto que todo.el plano elíptico es finito' (c~.mo.se deduce de ~u:interpretación corno la superficie de una esfera, 'ver 2.3). Por consiguiente' se puede enunciar, con Gauss, que el

·P.9stula4o de las p~ralelas es equivalente a adm~tir la existencia .:tl:e triángulos de. área tan grande como se quier«. '. . .

los..

Aunque todos, triángulos sean' de área . finita,' todo·.e(:p'lano. hiperbólico es 'de área 'infinita (a "diferencia 'del plano elíptico). En efecto, consideremos por un punto. O' rectas que formen cnúe sí un ángulo a == 2TC/n; ellas determinan el-polígono A1A2.Aa... An de vértices.impropios (fig. ~l). EJ.'área de este polí.gono .. es . F -. e (te -. . a yñ -:- TCC ( 1~-2) , que tiende a~infinirocou n.. 'V.' .

50 -'.

FIGURA 52

Sea el punto A y consideremos,' sobre la recta m que pasa por él, el punto M tal que (UVAM) tenga un valor constante dado, 10 I cual equivale a decir que el segmento AM tiene una longitud dada (fig. 52). Si a es la polar de A, y H es su punto de intersección con m, al girar tn alrededor. de ·A manteniéndose (UV AM) constante, ~\l.ro,piéllse .'.

constante (AVUM) , , y como (AHVU) ,= -. 1y.por lo tanto' (AVHU) = 2, también 'será constante el producto (AVHU) . (AVUM) = (AVHM). En con-

mantendrá

=

secuencia

resulta' constante

la razón

doble

,(AHVM). Esto nos dice (3.1 O,' al final), que la curva descripta por M es-la homológica de ..

su polo A, o sea, cónicas bitangentes a, Q en . ., , sus puntos de mterseCCIon ,con '4. ",},:'..1 ; .: Esto prueba 'que,. en geometría híperbéliéa; las curvas de distancia no :sÓn:.rectas.~Précisamente, como.ya. se .ob~e.rV6!,'antes (v:e~',;1.3h postular que Ios puntos ,;equidistantes :d.Lun~' recta y situados de un mismo' lado .de: ella: es~ tán sobre otra recta,' equivale a admitir-el postulado de Euclides. 1" ': : ",;'. : ., 'j:,; ~< ,>::. j~ Curva limite u,'oridclo. -Es ,toda :trayfc-, toria 'ortogonal 1 a un haz,de':rectas,paralelas." Corresponde 'al caso e~' qu~',:et'punto A'pei: tenece a Q. Por paso al Ilmite, en' el .modelo proyectivo '(fig,' 54 lás 'curVas 'esta n repre...: sentadas, ,por, cónicas -homológícas 'al'abs'Ohito. respecto de la homología' de'-centro "A, eje: coincidente, conIa ta'ngeii~e"J en este-punto,'. Son, por lo tanto,' cónicas' 'que tienen 'con ~Q , cuatro 'puntos comunesconfundidos en,'A;~r:as'" ", rectas que pasan por A se llaman diámetros 'del' oricíclo. : i:¡ , : ' ":'! ' ',oo, ,:;~.

r¡:

i:

'1

í '

'ti : ,,'

¡

FIGUllA

~

, '. J,

"J

:

t,'

f3

0',: .,

Q' respecto de la. homología de "centro A, eje a

el

y razón (ARUM) ~Es decirven' modelo proyectivo de la geometría hiper~ólica, los ciclos están representados por elipses transformadas del absoluto según l!l homología especificada. . ,2. Curva de distancia o hiperciclo~ Es el lu,gar .gcornétrico de los puntos que equidistan de una recta dada; . ",' Con 'las mismas not~ciones anteriores, pero suponiendo ahora que A es exterior y la recta a secante a Q, por ser (UV1vIA) constante y (UVAR) =:- 1, el producto de estas razones dobles, o sea (UVMH) , también será constante. Es decir, al girar 111- alrededor de A se, mantiene constante la distancia MH, y M describe' curva de distancia: (fig. 53). Por . .0 tanto, según' el resultado anterior se tiene: las curvas de' distancia de una recta. a están representadas por cónicas homológicas de Q , respecto de la.homología de eje, 4.Y centro en

'0, "

Q

••

•

,

0"

,

una

, "

,.04

FICURA. ,

"

,',

,1

"

I

',',

'

,

Un oricicIo queda determinado poi:~ p,wi~" to límite A y uno' de sus puntos M. Dado' otro ' oricíclo determinado 'por, los, puntos ariálogos A' y M' existe. siempre ,m],:movimiento :que transforma A en A"y M .en ,M'. Por lo tanto':' dos oriciclos cualesquierason congruentes;' " •

•

'.

•

I

•

•

•

.'

y'

1 S~ dice que ~a curva es ,un~: tr~y~tOria 'ortogo:' 'nal a las rectas de un haz' cuando eorea á, eltas' rectas ortogonalrn.:nte. ' , ",: ,1:.

I

..... .. :' ~.Estc,11~(:ho:~e~rD.ite'definir, en geometzia , hiperbólica, ~~ unidad absoluta de Ioagitud, ..-,1h,st¡¡, '~nside~ ~1'arco de oricielo compren, ~~; entre 'l;Jñ:,p'u~~ :M: y el punto N' corres, pendiente al' diámco:o paralelo a la tangente ~n"'~f;(fig" ~4):Estos-arcos son siempre con, gruentes,'pues'si'MN"y'Mt.Nl. son dos de ellos, , correspcndíentes respectivamente a los puntos + límites A,y Al, basta considerar el movimiento .:.quelleva 4- a ,Al y .M .a Ml; entonces los ori:cidos ~respec~yo~.}~oinciden y, dad~.la' cons<trucción, también. N coincidid con NI. ,

'

:~¡ ': :<,' L..:':'~ ',..,', ., ," ,

,:

.j.I:' (: ..

, " ",7.3. ¡Sobre lit Unidad de medida. Tanta ,~~) :J01 :;gcomc~.t~':,,~~,di~a, como en la no •

,'.

•

I

""'.

',-,>.

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•.

,.~.cli&apa,: los':ángulcs, tienen una. unidad na~~., de medi~: ~,á.D~o .recto.: En efecto, ~ ambas geometrías, .Ias .dcfinicicnes de án, iu.Io~, adyacentes. .d~Igualded entre, ellos " :.:-:-d,Cfiniciones;q~e entrañan la, de ángulo recto-- son consecuencias inmediatas' de los con",cePto.s' de recta,' ánguJ.9, Y congruencia entre figuras, -sin necesidad de otros convenios. ' '. No ocurre ~o nli.m.;t~ con la .unidad de Iongirud, En la geometríaeuclidiana, por existir figuras sen1ejantes",:no~.,«;S 'posible definir una ,unidad. Je" Iongitud .con carácter absoluto a partir de Jos, fundamentales. Si rodas las figuras' cuyo :es.tudio "es el objeto de Ia 'geometría se, suSti~ye.n por otras semejantes, más grandes 'o ni;isTpequeñas, todo el sistema ;-lógico permanece. Invarianre, Por, esto, para definir: una unidad' 'de; medida para' la:.~IDngi~ tudcs,:'h~y, que 1recurrir a -Ia experiencia. El metro, ya. que se 10 defina' como la diez.millonésima parte :del-Cuadrante de meridiano ,terrestre, o como la Iongimd .del metro patrón de/platino iridiado qu~ :se ,co~serva en París, es siempre, una, definición "experimental", ajena a': la'~gcómetría como 'Ciencia del pensamiento. : Es, distinta ID 'que' ocurre en las geometrías ', no.euclidianas. No existiendo en' ellas figuras .' semejáritcs, basraráldefinir 'una figura cualquiera por sus propiedades angulares para 'poder. ;t\?~ar una' 'de/sus' magnitudes Iongítudi~~~~",c~mo unidad absoluta de medida. En la .geometría "díptica, siendo las rectas finitas r de igual Ióngirud, .se puede tomar ésta como

'r'

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unidad absoluta. En la, geometría .hiperbólica la unida? de Iongirud pued~ ser, 'por ejemplo: a) La dis~ancla correspondiente, a un ángulo , de paralelismo dado; b) el cateto de un triángulo rectángulo isósceles cuyos ángulos agudos tengan un valor dado (menor de 45 °); e) El arco de oríciclo comprendido entre uno de sus puntos y el extremo del diámetro paralelo a la ' tangente en dicho punto. , Para las áreas ocurre la misma, cosa. En geometría euclidiana la unidad es un cuadrado de lado igual. a la unidad de longitud y, por 10 tanto, .sín conocer previamente ésta, no se puede definir la unidad de área. En cambio, en la geometría no euclidiana el área de cualquier figura, definida a partir de sus ángulos Q de una longitud absoluta como las, vistas, puede servir corno unidad absoluta de área. En la geometría elíptica puede ser el ~rea de un' triángulo trirrcctángulo, En la geometría hiperbólica puede ser, por ejemplo:' a) El área de un cuadrilátero de Saccheri de hase igual a los lados Iarerales, y cuyos ángulos agudos tengan un valor dado (menor de,900); b) El área de un triángulo equilátero cuyos ángulos tengan un valor dado (menor de 60°); e) El' 'área del sector de oricielo de Iongitud igual a la unidad. ' unidad !de longitud, una vez elegida, para determinar la constante k dé la' fórmula de la distancia (ver 6.2), y l~ unidad de área sirve para hacer 10 propio 'con cons'tante e de (2) del capítulo. VII. No .habría , ningún inconveniente en mantener desvincu-: Iadas entre s:í:ambas constantes. Sin embargo, se acostumbra a relacionarlas suponiendo que para' figuras, infinitesimales la expresión del área-debe coincidir con la euclidiana. Por ejernplo, una vez elegida la ..unidad de.Iongítud, la :',unidad de' á.r;e~se elige de, manera tal que el área s, de un, triángulo rectángulo isósceles, de catetos iguales ~ una longitud 'a, satisfaga la . I relaciónIim ,(2s/~) -:- '1, para ti rendiendo a cero (Coxeter [8, pág. -242]), que es la relación que vale el caso euclidiano. ' Vemos, pues" que las geometrías no euclidianas tienen la propiedad de poseer un mayor

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veces he expresado el -deseo.de que la' geornetría euclidiana' no fuese la verdadera, pues' aSí tendríamos una medida absoluta" priori:'¡, ::":1.' ",",

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OTROS MODELOS •

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8.1.. Interpretación proyeetíva de la geo'metría no euelídiana elíptieá, Como ya observamos antes (2.3), .el mejor modelo para la geometría no euclidiana elíptica 10 constituye la geometría ordinaria sobre la esfera, con el convenio de considerar Ios puntos -diametralmente opuestos como un solo punto, y las circunferencias máximas como rectas.' Sin embargo, también cabe dar a esta geometríu modelo proyectivo al; estilo del estudiado con detalle para la geometría hiperbólica, .Se tiene: La geometria ell l"ica es la geometría, sobre todo el plano proyectiuo en el, cual: a) los punto» y las rectas son los mismos de la geornetrl« pmyectivt1j b] los movimientos son las pomografias que dejan ,invarianle tena 'Cónica ima ginaria (absolttto Q del planp). Por la condición a),. como 'dos rectas del plano proyectivo tienen siempre punto común (propio o .impropio ), resulta que no se cumple el postulado de EucIj~e$, sino qué: PQr un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela. Las rectas son, aparentemente, infinitas, pero por tener un solo punto impropio resultan líneas cerradas, y' ~demás, con la métrica análoga :1 la del caso hiperbólico (6.2), que aquí debe tomarse de acuerdo con b), resultan de. longitud finita. ': Una cónica imaginaria puede definirse analítica. o sintéticamente. Desde el punto de vista 3n~'í{tico se trata de una Curva cuya ecuación es de segundo grado y carece de Runtos reales, por ejemplo X2 y2 1 O. -Si se hace el

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estudio del Capítulo IV analíticamente" no' .hay apenas diferencia entre el'caso-real y el imagi.:, 'nano. 'Por ejemplo, los conceptos de. polo" Y ¡ .polar, que aPí juegan.un papel fundamental,' se estudian, por medio desusecuacíoaes, exac-' amente delmismo modosi la cónica es iinagi-' naria,

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Si se quiere proceder sintéticamente J:¡aYi.ql:Íe' partir. del concepto de polarúlatl, como co-. rrespondencia biunlvoca .entre .puntos y del plano, tál que a-puntos alineados les corres-:

~t2.S.:

penden rectas de un haz. Entonces los puntos . ,que pertenecen :1 su polar constituyen ¡-:-por. definición- una cónica, que puede ser, real , o imaginada, aun siendo la poIaridad.una;éorrespondencia siempre real Así procede, por ejemplo, Enriques (23 J. ;"(,'I '; ¡' '.' ; . Desde este punto de vista,- la. ,mayoría de los razonamientos del: capítulo' V;. sigjten' ,va-, Hendo, y dan n'$uli:ado~ .de' .ta, geometría 'elip~. tica. Respecto de las:·d.ist3nCias y, heisJ13:Y.· que .observare /1)' la distanciá'; está dada:,por la misma fórmula. del,6.2~·.sól~_que:;uora y V son puntos iirutgt'lanos (cuYaS,"~oordé::"" nadas se obtienen buscando los puntos: de'· ," intersección de la recta AB. con 1:i cóDicá 'ab- . soluta}, y pam que la distancia' sea .real la constante 1(.. debe ser imaginaria; ':b) , con esto, la fórmula para. Iavdistancia entre-dos puntos toma exactamente [a-misma fOnn3'que la (5) del capítulo VI parael ángulo dedos rectas, de manera que la dualidad se 'manifiesta también en la medida; la longitud de.la recta resulta finita, así como lo' es la-medida del.ángúlo completo (el formado por todas :w' rec-

U:'

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"

tas que pasan. por un punto); e) la suma de los, ángulos de .un triángulo es mayor que dos rectos y el área del mismo, está dada por la fórmula .F=c(A+B+C-x), que es la bien conocida 'de los triángulos esféricos, y que difiere de la, ..del caso hiperbólico únicamente en que el 'defecto del triángulo es sus· '~twdp' por: el exceso: .. ~?,',2~:,.Otros .'mo~cl08 para la geometría , 110::euclidiana hiperbólica. Así como la geometría elíptica, ademá~ del modelo proyectivo, tiene el de la geometría sobre la esfera, 'se puede pensarsi existirá alguna superficie del · espacio ordinario :tal! que, con convenciones · adecuadas, la geometría sobre ella coincida' con la geometría plana hiperbólica. 'La primera condición es saber qué curvas de. la superficie harán el papel de rect-as, y la contestación es . naruralr las rectas serán lás' geodésicas de la su· perficíe,' o sea/ las curvas que (por lo menos para puntos. próximos)' ~e.~n Ias de longitud mínima entre .rodas las' qu~ tengan Jos mis,mos extremos, 'Recordemos qu~, en el caso de la geometría elíptíca, las circunferencias rnáxi-rnas. son, efectivamente, las geodésicas de la esfera.' ",:' ..' . · , El problema: así planteado fue resuelto por Beltrami [29],"~1. demosrrar que' la geometría plana hiperbólica coincide con la geometría so-' b'~~',:un:as. supe~~iSies.·:, ,espeCiales l1am~das "de ..curvatura constante.negativa", El ejemplo más si~ple de 'estas:;~up'~rficies" pero no el único, es' el' de la llamada 'pseudoesfera, que es la supe!~icie ~obtenidapor :re:volu~i6n, alrededor del. eje J, de la curva Ilamada tractriz, cuya ecuación es ..' '!'.;', .f ' ,'.. . :--;.' . .

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2

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. ~, ~: . . .siendo" una constante ·tal 'que precisamente , la.curvatura.de la superficie.'es'-1/a2• J .Esta superficie tiene el inconveniente de tener. una curva singular (la circunferencia AA' dela fig. 5.5). Habría'sido muy deseable tener ~ mano una superficie de curvatura constante : negativa de extensión infinita (análogamente " ;"

54

, -al . plano) y sin singularidades, pero Hilbert . demostró que tal 'superficie no existe 'en el espacio ordinario [ 35]. En cambio' existe, 'y Bieberbach dio un ejemplo, en un espacio de infinitas dimensiones [33]. Sin embargo, para zonas limitadas, la geometría sobrev la pseudoesfera coincide con la' de Lobachevsky-Bolyai, Un estudio detallado en esta dirección puede verse en el libro de

y

A':

x

I

1

I Schilling [1.3] ..Como su estudio 'se hace a par'tir de la geoinerria euclidiana del espacio de tres dimensiones que contiene aIa pseudoesfera, resulta jarnbién demostrado ppr este, camino que la' geometría hiperbólica no puede contener contradicción si no la tiene la geometría euclidiana, Más aún, puesto que se pro, cede analíticamente, no puede haber contradicción si no la hay en la geometría analítica, es decir, al fin de. cuentas, si no.lahay en la aritmética. Esta fue la demostración de Beltrami, en 1868, de' la índemostrabílidad ¡, del' postulado de' Euclides. . . Resulta así que la geometría elíptica es la :de la superficie esférica (para zonas limitadas) ; superficie cuya curvatura (llamada cur-

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8.3~El modelo de Pohicaré. . Desdé" el punto de vista geométrico,' pa~a estudiar una superficie de curvatura-constante y' neg~tivi' .es cómodo disponer "de un:'umapa" o representación de la misma sobre i.e1,plall'o;¡'o'.,sobre una parte de éste. En 'esta represenrscién conviene que las geodésicas·;·(rectas. de)a·.géo~. metría hiperbólica y .'paSen:: ~ :ser' curvas' "4tn~ ples, por' ejemplo red¡s.: (j';'circunJereridas~ , . Una representación'. muy' útil, af inismo tiempo constituye un modelo interesante .de la geometría hiperb6lica; es 'la dada por ,IPoiÍtcaré en 1882 [37J.· .. ;.: : :." i;· .... con la geometria de la esfera beyo' radio es' la Para estudiar esta'; representación- c~~~i~~e suponer en el plano 'un par: de ejesortogonaunidad imaginaria i = Y :.l~ . .Esta observación es-futiy u-til 'para construir ,.' "lesx e y, y representar cada puntopor elaémero complejo z=x+'iy.iEntonces, 'Ias!catoda la trigonorneería hiperbólica a partir' de racterísticas de' la representación' 'd~ Poínéaré la. trigonometría esférica ordinaria. Bastará, son: en efecto, dejar en -rodas sus fórmulas los ánl. El plano' hiperbólico esd constituido por: gulos sin modificación y, en cambio, sustituir el semiplano euclidiano y > O~ : los lados por su cociente por'í (radio de la 'esfera), teniendo luego en cuenta que para. volver al campo real se pueden introducir las y .funciones hiperbólicas en virtud de las relaClone:! . vatura de Gauss) vale l/r' (si' la esfera tiene radio .a) decir, es constante y positiva. La geométrla 'hiperbólica es, en cambio, la geometría sobre las superficies. de curvatura _. l/ro Analíticamente, la diferencia entre ambas superficies,' en cuanto a su comportamien to in trínseco, independiente del espacio .en que están contenidas, consiste en que si el ra. dio de la esfera es a, el de la pseudoesfera es ia, . para que la curvatura resulte,' para ambas, Igual a la inversa del cuadrado del radio. Se explica así la observación importante de Lambert de que la geometría hiPerbólica coincide

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senh

ti

a cos -.

= cosh

'que'

ti ;

1

de las cuales se pueden deducir las restantes funciones trigonométricas. ~ Por ejemplo, las dos relaciones clásicas. "del . seno" y "del coseno" de los tr~ángulos esféricos: sena sen c sen b senA senB sehC ' 'cos ti -:- cos b cos e + sen b sen e cos A , se transforman, para la rrigonometr!a bólica, e~ senh a senh b senh c sen A . sen B sen C cosh a .' cosh b cosh e -

hiper-

senh b senh e cos A .

De aquí'se pueden d~ducir t~das la-sférmulas de la trigonometría hiperbólica (ver, por ejemplo, Norden [11], Coxeter [8], Lieb-' .mann [10]). , . f

x

v

u '.

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FIGURA 16 ",

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2. Los puntos son los misri1ó~del plano. Las

rectas son las semicircunferencias cúyo -centro está sobre el eje' x'y, como caso limite, las. rectas perpendiculares': al eJe· x. '.". . .. .

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3. Los movimientos sonlas transfo~mación~ , .'. ('1) .'

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.con la condición de ser a, b, 'C' y á reales; y ad-, be > O.' , ,,','Con estos convenios, es fácil comprobar que:: " ' , ,

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....: a) , Una, 'recta

puntos,

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duccn todas las propiedades sobre rectas per,pendiculares del plano hiperbólico. ;, e) .Para, medir distancias ~ puesto que los movimientos están dados por la ecuaciónj 1), que es la de una proycctividad entre las: va-

:',i.': b)

Como ét': ej~' x 1~6 pertenece al plano 'hiperbólico, las rectas :50n ilimitadas, (no tic'nen extremos).

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, riables complejas z y z', se conservan las razones dobles y, por lo tanto, los mismos argumentos de s.z conducen a que la distancia' entre dos, puntos A y B esté dada' por la expresión ' '

u

e .FIGURA

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v,

x

17

..¡ un punto A (lig. ) 6), las' rectas

..1D = klog

CUV AB)

.

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La razón doble entre los cuatro puntos U, V, A y B hay que entenderla corno la razón doble de Íos.números complejos que los repre-

e) Dada una, recta r~UV

.que no pertenece; a" ella

que pasan ,'por

'{1.' pueden

ser secantes, .no secantes..« {como.caso límite entre ellas. ya que por: A: pasan :Ia~",.dos' rectas AV 'y AV) paralelas. El ángulo;U AVes el doble del án-gulo de paralelis~o';:', ' , Como 1~ funcíón '(1), que relaciona z , ' 'con' z',.es analítica, da' una representación con'forme' (es decir, :que conserva 'los ángulos), .. ' "del semiplano y .>..:0'sobre', sí mismo. Es decir: los. movimiento; conservanlos ángulos (en el , ..~!!~ti~~-euclidiaao) ...E~~ significa, que en e! ,.w?d~!.():der.~in~~~é~19~\ángulosestán dados en :~?-verdadera magnitud. ,Naturalrnente, se trata 'de .ángulos' entre circunferencias, que hay qu,e,medir por el de.las tangentes alas mismas. Por; ejemployIas rectas perpendiculares están representadas por semicircunferencias ortogo'~!lalescon su centro en eleje x. De aquí se de',"'á)

56,

FIGURA

>9'

senran. Llamando ,u y v a las abscisas de u y V (números reales) , r al radio de la semicircunferencia que contiene a A y B, Y (l y'p a los ángulos v CA y VeR, si C' es la abscisa del centro C, recordando la fórmula general '

+

e" = cos x i sen x , las abscisas de U, V, A y B serán (fig. 57)': r& = e - r , , v == e r ia a == e + re , b == e 1'ellJ •

+ +

Por Jo tanto, aplicando

(3) "del Cap. III

resulta

r

(UV AB)

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+1

: e~P~

1

erl! -

e'" -

== tg eP/2) :

== 1

[tg (~/2

tg ~(aí2)].

"De aquí se deduce, por ejemplo, que

+

Las circunferencias '"no euclidianas de centro 0, por ser trayectorias ortogonales ~ las circunferencias de centro sobre el eje" x que pasan por 0, resultan también circunferencias ordinarias, aunque" no de centro ,0 (fíg, 58). " ": : ": : ' Los oricidos son circunferencias tangentes al eje x (fig. 59). , " : ,!", ; '; Los hiperciclos son' circunferencias q~,ecórtan al eje x (fíg. 60): ' ' :"! !" ' J'

tg (a/~)

y en consecuencia

AH = /dog

f)

AU

==

= co, AV =- co, es decir, el eje x pertenece al infinito" del plano, puesto que cualq~ier punto está a una distancia infinita del rmsmo.

g) "Es un ejercicio interesante construir "to- ' da la geometría hiperbólica a partir (le 'este modelo de Poincaré. Pueden 'demostrarse 'con" él todas" las propiedades los' capítulos 'V a VII, las cuales dan" lugar, tomadas a la" iD;::. versa, a propiedades de los .sisternas de: círculos del plano euclidiano. ': '1:: .."":,",ji .. ~/.)I .'

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INFLUENCIA

DE LAS GEOMETRtAS

'EN LA FUNDAMENTACIúNY .

APl):NDICE

NO EUCLIDIANAS

DESARROLLO DE LA GEOMETRtA

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El' descubrimiento de 'las geometrías no euclidianas fue" para la matemática; uno de ,)os principales del siglo XIX. Tanto por el descubrimiento en sí, que terminó con los trabajos y discusiones de más de dos milenios acerca de la dernosrrabilidad o no del postulado de Euclides, como ,por 'las consecuencias que tuvo en la fundamentación y desarrollo de la geometría-y aun de otras ramas de la matemática. " Con las geometrías no euclidianas, sistemas lógicos elaborados por el pensamiento con completa independencia de la experiencia, se recuperaba el sentido platónico de la geometría y se volvía a lo que la obra de Euclides significó para 'el pensamiento.matemático. Seterminó con la idea, de la geometría como Cien" cia 'del espacio o' de la realidad circundante, ideaqueaún el propio Gauss parecía sustentar cuando en I~17 escribía, en una carta a 01bers '[18, pág. 177]: "Talvez en otra vida tengamos otros puntos de vista sobre la esen, cía .del espacio, que ahora nos son inasequibles. Mientras tanto, la, geometría no debería corn" pararse con laarirmética, que existe puramente a 'priori, sino, niás bien, ser, colocada en el 'mismo plano qu~ .la mecánica." Por otra parte, elhecho de ,obtener tan vasto-campo de novedades con solo sustituir un postulado por otro" despertó, por, un, lado, la idea de axiomatizar -todas las ramas de la maccmátj~:l, analizando a fo~do sus principios , 58

básicos, y por 'otro, la afición al juego de sustituir postulados y obtener, así, una gran variedad de geometrías, muchas de ellas sin interés intrínseco, pero siempre útiles para comprender mejor las bases sobre las que descansa la geometría. , Al primer respecto cabe señalar que fue, ' efectivamente, en la segunda mitad del siglo XIX cuando tuvo lugar la gran revisión de la matemática desde el punto de vista del rigor. Conceptos usados tradicionalmente fueron por primera vez enunciados con claridad y puestos en' el lugar que como postulado o teorema les correspondía. Ejemplo típico es el postulado de la continuidad y la consecuente definición de lQS núm~¡:os reales por Dedekind. Respecto de la fundamentación rigurosa de la geometría, el máximo exponente fue la obra Fundamentos ~ie la geometría de Hilbert, de la cual existen 'numerosas ediciones y una traducción castellana [25], y que puede considerarse como la réplica moderna de los Elemm tos de Euclides. Se trata de una construcción axiomática con todas las exigencias .del rigor lógico. Para cada axioma se prueba su jndependencia y su compatibilidad con los demás, de manera que ya no cabe una nueva controversia como la suscitada por el postulado de las paralelas; La demostración de la independencia obliga -del mismo' modo que las geometrías no

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II

J.¡

euclidianas sirvieron para demostrar la independencia del postulado V respecto de los de,más- a construir en cada caso una geometría , en la cual se niega el postulado o axioma, en cuestión, manteniendo los restantes, Nacen así, , -como ya dijimos, geometrías muy diversas: Por ejemplo, si no se, admite el postulado de , Arquímedes, se obtienen las geometrías no arquimedianas, de las cuales hizo un estudioprofundo M. Dehn [34]. Siendo el postulado de Arquímedes tan "natural" para la intuición, se comprende que, al no exigirsu cumplimiento, la geometría, que resulta .puede presentar aspectos muy chocantes. Por ejemplo, puede 'ocurrir que por un punto exterior a una recta pasen infinitas rectas no secantes y que, sin embargo, -la suma de los ángulos de un triángulo sea mayor que 'dos rectos. ' También se puede construir una geometría, no pitagórica, en la cual no valga, ni para figuras infinitesimales,' el teorema de Pitágoras. En ella cabe la posibilidad de, que dos' triángulos rectángulos tengan catetos iguales y distinta hipotenusa, ' En ciertas construcciones axiomáticas debe tornarse corno axioma el comúnmente Ila~ado teorema de Desargues, a saber: si en dos triángulos los lados homólogos se cortan en puntos de una recta, las rectas que unen vértices homólogos concurren en un punto. Si no se acepta este axioma se tienen las geometrías no argueslanas. . El teorema de Pappus ...Pascal (en un hexágono inscripto en dos rectas, con los vértices alternativamente en 'una y otra, los puntos en que se cortan Ios pares' de lados opuestos están en línea recta) también debe tomarse como postulado si no se acepta 'el de la continuidad. Su no admisión conduce a las geometrías no pascalianas, ' Todas estas geometr ías, y otras varias que se podría mencionar, han sido estudiadas con detalle. Su construcción debe hacerse casi siempre analíticamente, pues la intuición geométrica deja de' ser útil. Así, los puntos son las ternas de 'elementos de un cierto cuerpo de números (ternas que constituyen las coordenadas homogéneas del punto) y las rectas son

.

las ecuaciones lineales entre :ellas, también, con coeficientes del cuerpo.rSi este cuerpo es muy general; se', obtienen, geometrías raras~~;Por ejemplo, sí es finitcvresultanlas 'geometríás'fil nitas, con' un número finito de, puntos y' de' , rectas. Si no es conmutativo, no se cumple el, teorema de Pappus y resulta' una geometría no pascalíana. En esta, dirección, para llegar las geometrías ordinarias (euclidianas o no) debe admitirse: a) la conmutarividád del cuerpo; " b) su continuidad (que ,puede enunciarse' así: 10$ elementos del cuerpo forman un espado' topológico conexo y localmente compacto}. Con estas condiciones, L. S.. Pontriaguin ,ha demostrado que el cuerpo de la geometría pro- . yectiva debe ser elde números reales o el, de los complejos [38]. " Aparte de esta influencia sobre la fundamentación, el ambiente -matemático creado', a raíz de los estudi~s: sobre las diversas geometrías posibles motivó un gran-florecimiento de ideas nuevas, que a' su vez repercutieron en el desarrollo, de la geometria.' La posibilidad 'de geometrías' distintas 'de .Ia 'tradicional 'planteó el problema de las relaciones 'entre el espació y las 'figuras en él con tenidas; y con ello: el 'problema de los movimientos de' figuras, la defi-,' nición de movimiento -como transformación, del espacio en sí mismo, idea' de grupo de movimientos, etcétera. ". ,: .. ' '" El fracaso de la intuición, lejos de reducir el ; campo de la geometría fue 'un acicate parasu progreso. Riemann abre horizontes 'inmensos' al definir el espacio como conjunto 'de' puntos dados por sus coordenadas: y con una "rnétrica", que, puede ser muy general, para medir, la distancia: entre dos de ellos o la longitud 'de" una curva' [39]. Se encuentra que la$ geome-" 'trías no euclidianas son las 'correspondientes a espacios muy particulares ,(los de curvatura ' constante), caracterizados por la "libre movilidad", en ellos, de las figuras. Se entra de esta manera en la llamada: geornetrfa. de 'los espa- ': dos de Riernann, 'de:,toda'la geometría, moderna y punto de partida de 'gran' número de generalizaciones. ':', , ' Como es común en la historia de la matemá-

a

'los

la

base

,

........'

.tic;:a,.por suerte para. ella, la conclusión del milenario ..enigma 'del postulado de Euclides no fuco un; 'punto:'final"sino más bien.ipunto de partida de' y de nuevos . .'. otras investigaciones .

problemas que' aparecieron, como nueva alborada, justo al cerrarse el crepúsculo del Iumínoso día que amaneció COIl Euclides. allá· en . .Alejandría" tres siglos antes de nuestra era.

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10. LumMANN, 11. NORDEN"

3. Geometrías no euclldíanas 14.

15.

{historla}

BOLYAI, \VOLFANG, Tentamen jmll!1lt71tem sllldioslZm in element« matbeseos purae, eleme~ltaris ac sublimioris meibodo intaitiva ev¡dentiaque btüc propia, introducendi, Mar05V:.1s~rhelyini, 1832.' " ,, ' BOLYAI, JOfU\NN, APPmclix scientian» spalji absolete vr.rl11n exbibens: a ve,Úale aut lalsiJa/e Axiomatis Xl Euclídei (a priori hm~á 1tnqulJm decide7Jda) indepenáenJem, publicado como apéndice de 1:1 obra cneerior, Existe traducci6n francesa (por Hoüe1, 1868) e in-

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62

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PR6LOGO

5

CAPíTULO I. .Los Elementos de Euclides

7

1.1. Euclides, 7; ,}.2. Los Elementos, de las 'paralelas, ~.

Il: "Las geometrías

CAPÍiu!o

7; 1.3.:E~ postulado',V

o postulado

no euclidianas

.1 I

2.1.. Las obras de Gauss, Lobschevsky y Bolyai. 12; 2.2. Las geometría,' .. no euclidianas, I.}; 2.3. La geom e tr] a.no euclidiana elíptica, '104;, 2.4'• .1a· " geometría' no euclidiana hiperbólica, 14; 2.f. Geometría' y, reaJid~d,;H;" ;' 2.6. Nuestro' programa, 16. '" ,.. , "

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CAPÍTULO

111. Geometría proyectiva: formaciones

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.. -.'' .. t: ..:',:'.:.r' ¡ " I. El plano proyectivo ~ysus ti-anl-': . '. . ,,' .:'. '. . .. '. . ..

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CAPÍTULO

IV.

Geometría

proyectiva:

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'.9.

n. Las cónicas

4.1. Lar cónicas, 27; 4.2. Teoremas de Pascal y de Brianchon, 28; Determinación de cónicas, 29; 4.4. Poluidad en las cónicas, 29; 4.". mentes conjugados, 31; 4.6. Elementos notables de uña' cónica, 4.7. Homograflss que rransforman una cónica en otra; 32; 4.8. , yectividad entre cónicas, H. .' CAPÍTULO

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27 04.1. Ele- ' .. ' 31; : Pro- : ..

V. Geometría no euclidiana hiperbólica: 1. Propiedades gráficas

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,.,1. El modelo proyectivo del .plano no euclidiano, 34; f:2. Los 'movi- : mientes del plano .no euclidiano, 35; 1.3. Ángulos rectos, 36; 1.4.. Los cuatro primeros postulados de Euclides, 37; 5.5. El quinto postulado, 37; . 1.6: Primeras propiedades de la, geometría no euclidiana. 38; 5,7. Cons- .. trueciones -elemenrales, 39; 5.8. Cuadriláteros de Saccherí, 41.

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3.1. El plano proyectivo, 17; 3:2. R.azÓn doble de cuatro ~~~'i~s:' ~ui . variancia 'por proyección y SeCCiQD,18; j~J. Rai~n doble de cuatro ree-. ras, 19; 3.4. Cuaternas annónicas, 20, l~f. Teoeema .fundameiúal~'·,21; i 1.6. Puntuales proyectivas y. perspectivas, 22;, 3.7. Involución,' 2-3; ~J;8. :.'\Proyectividad entre haces de rectas, 24; Homografias O :coline~Cio- ; . nes, 21; 3.10. Homografias particularesr Jiomologla,.26.· ,

I

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..

:

CAPiTuLQ VI: Geometría

no euclidiana

n.

hiperbólica:

tancias

.

y

Ángulos

dis-

.

43

6.1. Suma' de los ángulos interiores de un triángulo, 43; 6.2. Distancia entre dos puntos, 45; 6.3. Ángulo de dos rectas, :46; 6.4. Ángulo de ',. ' ..' par.;Iclismo,. 47. . GAl?ÍTULO

VII.

GeomccrIa no euclidiana hiperbólica: .espccialcs .

IIl. Árcas y curvas 48

7.1. Área del triángulo. ·4~; 7.2:' Curvas especiales,

'unidad

",

de medida, 52.

VIII.

CAPÍTULO

50; 7.3. Sobre la

Otros modelos para las geometrías

110

euclidianas' .

53

8.1. Incerprctaciónproyecriva de la geometría no euclidiana cliprica, 53; 3.2. Otros modelos para la gccmerríc no euclidiana hiperbólica, 54; 8.3. El modelo de Poincaré, H. ApÉNDICE.

).

"

Influencia de las geometrías no euclidianas en la fund:lnlcnt:tción y desarrollo de la geomctria . . . . . . . . . 58 ,

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.a e a 116 dcj ro p r i m.i r el 25 de enero de 19GG en 'los' talleres 'grMicos de LA PRENSA Mi:m~A! ARGENTINA

Junín

8'15 • Buenos

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