Geometria Diferencial

GEOMETR´IA DIFERENCIAL

´ Luis Javier HERNANDEZ PARICIO

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Apuntes de Geometr´ıa Diferencial

´Indice general ´ INTRODUCCON 1. Breves comentarios hist´oricos 2. Objetivos did´acticos 3. Prerequisitos

1 1 5 6

Cap´ıtulo 1. VARIEDADES DIFERENCIALES 1. Nociones previas y notaciones 2. La noci´on de variedad diferencial 3. La topolog´ıa de una variedad diferencial 4. Ejemplos de variedades diferenciales 5. Propiedades b´asicas de la topolog´ıa de una variedad

9 9 11 16 19 29

Cap´ıtulo 2. ESPACIO TANGENTE 1. Notaciones previas 2. Derivadas parciales. Propiedades 3. Vectores tangentes 4. Aplicaci´on tangente

33 33 33 35 37

Cap´ıtulo 3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE 1. Inmersiones 2. Submersiones 3. Las fibras de una submersi´on 4. Grupos discontinuos y variedades recubridoras 5. Miscel´anea

43 43 49 52 57 63

Cap´ıtulo 4. CAMPOS Y FORMAS 1. Fibrado tangente y cotangente 2. Campos y formas 3. Variedades paralelizables 4. Variedades orientables 5. Curvas integrales 6. Miscel´anea

69 69 71 77 79 83 86

Cap´ıtulo 5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS 91 1. Conexiones y derivada covariante 91 2. Variedades riemannianas 97 3. Longitudes de curvas y vol´ umenes 103 4. Conexiones riemannianas 104 iii

´INDICE GENERAL

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5. Curvatura 6. Miscel´anea

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Cap´ıtulo 6. Ap´endice 1. Preliminares topol´ogicos 2. Aplicaciones inform´aticas para la geometr´ıa 3. Enlaces interesantes

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´Indice alfab´etico

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Bibliograf´ıa

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[ ´ INTRODUCCI´ION]INTRODUCCION ´ Estos son unos apuntes sobre nociones y t´ecnicas b´asicas de Geo´ metr´ıa Diferencial. Unicamente se incluyen las nociones m´as importantes acompa˜ nadas de algunos ejemplos que faciliten la comprensi´on de las mismas y resalten aquellos aspectos m´as interesantes. S´olo se consideran algunos resultados muy b´asicos y no se prueban muchos de los teoremas considerados como b´asicos e importantes, no obstante s´ı que se hace referencia a ellos y se recomienda bibliograf´ıa adecuada para su estudio. La raz´on de presentar estos apuntes de este modo es doble, por una parte, queremos que el lector asimile las nociones y resultados b´asicos y por otra se trata de seleccionar unos contenidos que puedan presentarse en el poco tiempo que los programas actuales de la Licenciatura de Matem´aticas dejan en las universidades espa˜ nolas para impartir la Geometr´ıa Diferencial. La Geometr´ıa Diferencial es una t´ecnica que mediante m´etodos diferenciales da respuesta a numerosos problemas matem´aticos y adem´as es una teor´ıa que unifica la geometr´ıa euclidia, la llamada geometr´ıa anal´ıtica, la geometr´ıa proyectiva y la geometr´ıa hiperb´olica. En esta introducci´on hacemos unos breves comentarios hist´oricos, se˜ nalamos los objetivos que deseamos que el alumno alcance con estos apuntes y comentamos los prerequisitos que a nuestro juicio debe reunir ´este para leer sin dificultad estas notas sobre Geometr´ıa Diferencial. 1.

Breves comentarios hist´ oricos

La geometr´ıa de las culturas griega y egipcia quedo recogida de modo magistral en los Elementos de Euclides. Esta excepcional obra se fecha aproximadamente hacia el 300 a.C. y en ella se establecen fundamentos de geometr´ıa y a´lgebra griega que van a tener una influencia decisiva a lo largo de los dos milenios siguientes. Los Elementos se construyen a partir de unos postulados b´asicos que describen las propiedades elementales de los puntos y las rectas del plano. Se˜ nalaremos que con este tratado se plantea uno de los problemas que m´as pol´emica ha causado y para cuya resoluci´on completa se han necesitado m´as de dos milenios. Se trata simplemente de averiguar si los postulados son independientes y si uno de ellos, frecuentemente denominado quinto postulado y tambi´en postulado de las paralelas, 1

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depende de los dem´as. En geometr´ıa euclidia se verifica que por punto exterior a una recta pasa una u´nica recta paralela y va a ser esta propiedad la que hace que la resoluci´on del problema anterior se conozca tambi´en como la ciencia de las paralelas. Por brevedad y para centrarnos r´apidamente en los aspectos diferenciales de la geometr´ıa vamos a dar un gran salto en el tiempo para situarnos en el siglo XVII. Con ello no queremos que se desprenda que en el periodo intermedio no se dieran importantes avances geom´etricos. Empezamos esta nueva etapa mencionando a Ren´e Descartes (15861650), eminente cient´ıfico franc´es, que en su obra “Geometr´ıa”, asociaba a cada punto del plano dos coordenadas x, y que le permitieron formular anal´ıticamente numerosos problemas geom´etricos. Tambi´en el matem´atico franc´es P. Fermat (1601-1665) utilizaba en esta ´epoca coordenadas rectangulares en dimensi´on dos en su obra “Introducci´on a la teor´ıa de lugares planos y espaciales”. Las t´ecnicas de la perspectiva eran conocidas desde ´epocas remotas y especialmente fueron desarrolladas por artistas y arquitectos en la ´epoca del Renacimiento. Gerard Desargues (1593-1662) utilizaba en 1936 coordenadas para la construcci´on de perpectividades. A ´el se debe su c´elebre teorema de los tri´angulos coaxiales y copolares que juega un papel importante en la descripciones axiom´aticas y algebraicas de las geometr´ıas. Mencionaremos tambi´en a Blaise Pascal (1623-1662) y su teorema del hex´agrama m´ıstico. El uso de perspectividades necesitaba de puntos infinitamente alejados que poco a poco dieron lugar a la geometr´ıa proyectiva y sus transformaciones denominadas frecuentemente como proyectividades. Destacaremos que dos siglos m´as tarde la geometr´ıa proyectiva ya se hab´ıa desarrollado como se pone de manifiesto en la obra de Jean-Victor Poncelet (1788-1867) “Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras” que fue publicada en Paris en 1822 si bien fue planificada siendo prisionero en Mosc´ u a causa de las guerras napole´onicas. En el siglo XVII se produce un hito matem´atico importante: el nacimiento del c´alculo diferencial, impulsado principalmente por Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra, e independientemente, por G. W. Leibniz (1646-1716) en Alemania. Poco a poco el uso de t´ecnicas diferenciales para la resoluci´on de problemas geom´etricos iba determinando la disciplina matem´atica que hoy denominamos como Geometr´ıa Diferencial. A comienzos del siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) en su obra de 1704 “Enumeraci´on de las curvas de tercer orden” clasifica curvas seg´ un el grado de su ecuaci´on y encuentra su interpretaci´on geom´etrica como el m´aximo n´ umero posible de puntos de intersecci´on de la curva con una recta.

´ 1. BREVES COMENTARIOS HISTORICOS

3

El uso sistem´atico de coordenadas en dimensi´on tres puede verse ya en 1731 en el libro de A. Clairaut (1713-1765) “Investigaciones sobre curvas de doble curvatura”. Clairaut interpretaba correctamente una superficie como las soluciones de una ecuaci´on u ´nica y la curvas en el espacio las consideraba como intersecci´on de dos superficies; es decir, mediante dos ecuaciones. Es muy conocido sus resultados sobre las propiedades que tienen las geod´esicas de una superficie de revoluci´on (v´eanse los problemas del cap´ıtulo V de estos apuntes). A finales del siglo XVII S. F. Lacroix (1764-1848) acu˜ no la denominaci´on de Geometr´ıa Anal´ıtica. Leonard Euler (1707-1783) continua con la investigaci´on de geod´esicas sobre superficies, dando la ecuaci´on diferencial de una geod´esica en una superficie (v´ease secci´on 1 del cap´ıtulo 5 de estos apuntes). Analiz´o tambi´en la curvatura de las secciones planas de una superficie, dando expresiones para el c´alculo de las curvaturas principales. En 1771, en un art´ıculo sobre cuerpos cuyas superficies se pueden superponer en un plano, Euler introdujo el concepto de superficie desarrollable. Gaspard Monge (1746-1818), en el los a˜ nos 80 publica dos obras, en las que estudia propiedades de curvas en el espacio y de las superficies. Introduce nociones y terminolog´ıa todav´ıa utilizadas en la actualidad, como las de superficies desarrollable y rectificable, arista de retroceso, lugar geom´etrico de los centros de curvatura, etc. La traducci´on de hechos geom´etricos en t´erminos de ecuaciones en derivadas parciales y ecuaciones diferenciales ordinarias condujo a la geometr´ıa diferencial a una nueva fase en la que se interrelacionaban algunos aspectos geom´etricos con la teor´ıa de ecuaciones diferenciales. Una nueva etapa de la Geometr´ıa Diferencial se pone de manifiesto con las investigaciones de Karl Friedrich Gauss (1777-1855) sobre la geometr´ıa intr´ınseca de las superficies, es decir, aquellas que son invariantes por transformaciones que preservan las longitudes y los a´ngulos que forman las curvas contenidas en las superficie. Citaremos el llamado teorema egregio de Gauss que asegura que la curvatura de una superficie es intr´ınseca. A finales de siglo XVIII y principios del XIX aparecen los tres principales art´ıfices en la historia de la geometr´ıa no euclidiana: Gauss (Grunswick, 1777-Gotinga, 1855), Nikolai Ivanovich Lobachevski (Bajo Novgorod, actual Gorki, 1792-1856), J´anos Bolyai (Kolozsv´ar, actual Cluj-Napoca, Rumania, 1802-1860). Aunque la correspondencia de Gauss prueba los grandes avances realizados por ´este en la ciencias de las paralelas el m´erito de su descubrimiento se atribuye de modo independiente a Lobachevki y a Bolyai. Es sus publicaciones ellos desarrollan una nueva geometr´ıa suponiendo que a contrario de lo que sucede en la geometr´ıa euclidea por un punto exterior a una recta pasa m´as de una paralela. Esta nueva geometr´ıa se denomina geometr´ıa no euclidiana o hiperb´olica.

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A mediados del siglo XIX aparece un nuevo principio general de qu´e es lo que se puede entender por una geometr´ıa. Esta idea fue expuesta por Bernhard Riemann (1826-1886, alumno de Gauss) en el a˜ no 1854 en una conferencia titulada “Sobre las hip´otesis que yacen en los fundamentos de la Geometr´ıa”; posteriormente, esta conferencia, que se publica en 1887, ha sido frecuentemente citada. Seg´ un Riemann, para la construcci´on de una Geometr´ıa es necesario dar: una variedad de elementos, las coordenadas de estos elementos y la ley que mide la distancia entre elementos de la variedad infinitamente pr´oximos. Para ello se supone que las partes infinitesimales de la variedad se miden euclidiamente. Esto significa que hay que expresar en su forma m´as general el elemento de arco en funci´on de las coordenadas. Para ello se da el elemento gen´erico de arco para cada puntoP a trav´es de una forma cuadr´atica definida positiva de la forma ds2 = i,j gij dxi dxj . Eliminado la condici´on de ser defina positiva este modelo tambi´en se utiliza para formular la teor´ıa de la relatividad tanto en su versi´on restringida como en la generalizada mediante el uso de variedades de dimensi´on cuatro, tres coordenadas espaciales y una temporal. En estos modelos se consideran como transformaciones aquellas aplicaciones que dejan invariante el elemento de arco. Esta forma de concebir el espacio ha evolucionado con el tratamiento dado a comienzos del siglo XX en los trabajos de los matem´aticos italianos M. M. G. Ricci (1853-1925) y T. Levi-Civita (1873-1941) hasta la noci´on que hoy denominamos como variedad riemanniana. La definici´on que actualmente utilizamos de variedad diferencial se atribuye a Hassler Whitney [36] que en 1936 presentaba una variedad como una serie de piezas euclidias pegadas con funciones diferenciables. Aquellos lectores que deseen conocer otros aspectos hist´oricos del desarrollo de la geometr´ıa pueden consultar los libros [37] , [38]. Para aquellos aspectos relacionados con geometr´ıas euclidias y no euclidias consideramos interesante el libro de Bonola [39] y la p´agina web 3.1. En una variedad riemanniana se dispone de una forma bilineal en el espacio tangente de cada punto de la variedad que permite medir longitudes de vectores tangentes y el a´ngulo determinado por dos vectores. Utilizando las t´ecnicas usuales de integraci´on se pueden determinar las longitudes de las curvas que se consideren en dicha variedad y se puede calcular el volumen de adecuadas “regiones medibles” de la variedad. Por otra parte, dados dos puntos de una componente conexa se pueden considerar todas las curvas que existan en la variedad entre esos dos puntos. Si los dos puntos est´an “suficientemente pr´oximos”entonces existe una curva especial que es la que realiza el recorrido entre ellos con la menor longitud posible. Estas curvas se denominan geod´esicas. Tambi´en se introducen la noci´on de curvatura riemanniana que asocia un escalar a cada plano tangente a cada punto de la variedad y que para el caso de superficies coincide con la noci´on de curvatura de Gauss.

´ 2. OBJETIVOS DIDACTICOS

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En los casos en que la curvatura sea cero la variedad riemanniana se dice que es parab´olica, si es constante y mayor que cero se dice que es el´ıptica y si es constante y negativa se dice que es una variedad hiperb´olica. Este modelo matem´atico denominado variedad riemanniana contiene la mayor parte de los modelos geom´etricos estudiados hasta el siglo XX. Por una parte, los espacios eucl´ıdeos se pueden considerar como variedades riemannianas con curvatura de Riemann nula, las esferas y espacios proyectivos tienen estructura de variedades riemannianas el´ıpticas y los espacios no euclidianos son casos particulares de variedades riemannianas hiperb´olicas. Adem´as, las superficies e hipersuperficies de los espacios euclidianos admiten tambi´en de modo natural estructura de variedad riemanniana. Estas propiedades hacen que la geometr´ıa riemanniana sea un marco adecuado para el estudio de la geometr´ıa. No obstante, existen otras formas de abordar el estudio de la geometr´ıa; por ejemplo, el estudio de grupos discontinuos de transformaciones da una forma de presentar la geometr´ıa como el estudio de propiedades de grupos de transformaciones tal y como la present´o Klein en su famoso programa de Erlangen. Hemos de decir que existen modelos m´as generales que generalizan simult´aneamente la geometr´ıa riemanniana y el enfoque de geometr´ıa como estudio de las propiedades de los grupos de transformaciones.

2.

Objetivos did´ acticos

Los objetivos m´as importantes que se pretenden alcanzar con el programa de Geometr´ıa Diferencial son los siguientes: 1) Que se comprenda la noci´on de variedad diferencial as´ı como la importancia de sus aplicaciones en otras ciencias. 2) Que se adquieran las herramientas b´asicas de trabajo, aprendiendo nociones fundamentales tales como inmersi´on, submersi´on, campos, formas, etc. 3) Que se conozcan variedades importantes tales como esferas, espacios proyectivos, variedades de Grassmann, grupos de Lie, hipersuperficies de espacios eucl´ıdeos, etc. 4) Que se adquieran los procedimientos b´asicos para construir nuevas variedades: productos, espacios de o´rbitas de grupos de transformaciones discontinuos, cubiertas, fibrados, etc. 5) Que se comprenda que existen otras estructuras an´alogas o “pr´oximas” a la noci´on de variedad diferenciable, y que muchas de las t´ecnicas desarrolladas se pueden trasladar a otros contextos. Por ejemplo, variedades de clase C r , variedades anal´ıticas, variedades con singularidades, variedades con borde, etc. 6) Que se compruebe que la noci´on de variedad riemanniana proporciona un buen marco para el estudio de muchos aspectos geom´etricos.

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7) Que se valore positivamente el efecto unificador de la geometr´ıa riemanniana al contener como casos particulares, por un lado, las geometr´ıas el´ıpticas, parab´olicas e hiperb´olicas y, por otro, la geometr´ıa de curvas y superficies. 8) Que se conozca la t´ecnica de conexiones y conexiones riemannianas y su utilizaci´on en el estudio de geod´esicas y curvaturas. 9) Que el alumno conozca los hitos hist´oricos m´as importantes que han determinado la aportaciones mutuas y enriquecedoras de la geometr´ıa y el calculo diferencial dando lugar a una disciplina matem´atica consolidada y llamada Geometr´ıa Diferencial. Con este programa, adem´as de intentar dar una formaci´on muy b´asica sobre algunos aspectos geom´etricos, se ha intentado seleccionar los temas m´as motivadores. Se ha preferido renunciar a enfoques muy generales, escogiendo aquellos m´etodos que ilustran mejor las propiedades geom´etricas de las variedades.

3.

Prerequisitos

Se supone que el alumno ha realizado cursos de an´alisis en los que se han introducido la derivada lineal de funciones de varias variables, derivadas direccionales, derivadas parciales, teorema de la funci´on inversa y teorema de la funci´on impl´ıcita. Es tambi´en conveniente que el alumno conozca las t´ecnicas de integraci´on de funciones de una y varias variables tanto es sus aspectos te´oricos como en los m´as pr´acticos. Tambi´en supondemos que el alumno est´a familiarizado con la resoluci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, especialmente de las de primer y segundo orden y los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En estas notas aplicaremos principalmente estas t´ecnicas al estudio de geod´esicas en una variedad riemanniana y al calculo de curvas integrales de un campo. Tambi´en son fundamentales el conocimiento de las nociones y propiedades b´asicas topol´ogicas asi como las tecnicas usuales de construcci´on de espacios topol´ogicos. Respecto nociones, se˜ nalaremos principalmente un buen conocimiento de las propiedades de primero y segundo numerable, conexi´on y conexi´on por caminos y las correspondientes conexiones locales y tambi´en la propiedad de compacidad. En cuanto a m´etodos de construcci´on se˜ nalaremos el uso continuo de subespacios, productos y topolog´ıas cocientes. Estas notas contienen alguna construcci´on en la que se utliliza la noci´on y propiedades de los espacios recubridores y particularmente del recubridor universal. Si bien no es necesario para la lectura de estas notas si consideramos recomendable el conocimiento de las propiedades de los espacios recubridores y su relaci´on con el grupo fundamental. Finalmente, aunque tampoco es estrictamente necesario, recomendamos tambi´en adquirir una formaci´on elemental sobre la noci´on de

3. PREREQUISITOS

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grupo, aqu´ı utilizamos algunos grupos de transformaciones unas veces se trata de grupos continuos de Lie y otras grupos discontinuos de transformaciones que se utilizan para expresar una variedad como cociente de otra m´as conocida. Es tambien de inter´es el conocimiento de la nocion de m´odulo que utilizamos para el estudio de todos los campos tangentes y formas globales de una variedad sobre el anillo de las funciones globales reales. Tambi´en mencionamos los espacios vectoriales reales y sus corresponcientes aplicaciones lineales con las nociones asociadas dimensi´on y rango que son herramienas b´asicas para el an´alisis de funciones diferenciales.

CAP´ıTULO 1

VARIEDADES DIFERENCIALES En este cap´ıtulo, introducimos la noci´on de variedad diferencial y funci´on diferenciable, tambi´en vemos que una variedad determina una topolog´ıa en el correspondiente conjunto soporte y estudiamos las propiedades b´asicas de las estructuras diferenciable y topol´ogica de una variedad.

1.

Nociones previas y notaciones

´ n 1.1. Una funci´on ϕ : X → Y con dominio Dom ϕ ⊂ X Definicio es una correspondencia que asocia a cada x ∈ Dom ϕ un u ´nico elemento ϕx ∈ Y . El conjunto {ϕx|x ∈ Dom ϕ} lo llamaremos conjunto imagen, Im ϕ , rango de la funci´on o codominio de la funci´on, Codom ϕ . Diremos que X es el conjunto inicial y que Y es el conjunto final de ϕ . Dada una funci´on ϕ : X → Y si A es un subconjunto de X denotaremos por ϕ|A : X → Y la funci´on cuyo dominio es Dom (ϕ|A ) = A∩Dom ϕ y para cada x ∈ A ∩ Dom ϕ , ϕ|A (x) = ϕ(x) . Notemos que Codom (ϕ|A ) = {ϕx|x ∈ A ∩ Domϕ} . Dada una funci´on ϕ : X → Y si A es un subconjunto de X denotaremos por ϕ/A : A → Y la funci´on cuyo dominio es Dom (ϕ/A) = A∩Dom ϕ y para cada x ∈ A ∩ Dom ϕ , ϕ/A(x) = ϕ(x) . Notemos que Codom (ϕ|A ) = {ϕx|x ∈ A ∩ Domϕ} . A diferencia de ϕ|A la funci´on ϕ/A tiene como conjunto inicial A . Si ϕ : X → Y es una funci´on y B es un subconjunto de Y , entonces denotaremos por ϕ−1 B = {x ∈ X|ϕ(x) ∈ B} . Dadas dos funciones ϕ : X → Y , ψ : Y → Z se define la funci´on composici´on ψϕ : X → Z como aquella que tiene como dominio Dom (ψϕ) = ϕ−1 ( Dom ψ) y est´a definida por ψϕ(x) = ψ(ϕ(x)) . N´otese que Codom(ψϕ) = ψ(Codom ϕ) . Sea ϕ : X → Y una funci´on. Se dice que ϕ : X → Y es inyectiva cuando se verifica que si ϕ(x) = ϕ(y) , entonces x = y . Dada una funci´on inyectiva ϕ : X → Y , entonces podemos considerar la funci´on inversa ϕ−1 : Y → X que tiene por dominio Dom (ϕ−1 ) = Codom ϕ . Una funci´on ϕ : X → Y es suprayectiva o sobreyectiva si Codom ϕ = Y . En este caso tambi´en se dice que ϕ es una funci´on de X sobre Y . Diremos que una funci´on ϕ : X → Y es global si Dom ϕ = X . 9

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1. VARIEDADES DIFERENCIALES

´ n 1.2. Sean X e Y espacios topol´ogicos. Una funci´on Definicio f : X → Y es continua si la aplicaci´on f/ Dom f : Dom f → Y es continua donde en Dom f se considera la topolog´ıa relativa. ´ n 1.3. Se dice que una funci´on f : Rn → R es de clase Definicio C en un punto r0 ∈Dom f si existe un entorno abierto V de r0 tal que V ⊂Dom f y f tiene en todos los ordenes posibles todas las derivadas parciales y ´estas son continuas en V . Se dice que f es de clase C ∞ si f es de clase C ∞ en todos los puntos r0 de Dom f . ∞

´ n 1.4. Se dice que una funci´on f : Rn → Rm es de clase Definicio C en un punto r0 ∈Dom f si lo son cada una de sus componentes f1 , . . . , fm : Rn → R . Se dice que f es de clase C ∞ si f es de clase C ∞ en todos los puntos r0 de Dom f . ∞

Si f : Rn → R es una funci´on C ∞ si i-´esima derivada parcial la de∂f ∂f notaremos por ∂r = Dom f . El valor de , observemos que Dom ∂r i i la i-´esima  derivada parcial de f en un punto p ∈ Dom f lo denotaremos ∂f por ∂ri . Utilizaremos con frecuencia las siguientes propiedades de p

las funciones C ∞ . ´ n 1.1. Proposicio (i) Si f : Rn → Rm es una funci´on C ∞ en un punto r0 ∈Dom f , entonces f es continua en r0 . (ii) Sea f : Rn → Rm una funci´on C ∞ en un punto r0 ∈Dom f y sea g : Rm → Rl otra funci´on C ∞ en el punto f(r0 ) . Entonces gf es C ∞ en el punto r0 . (iii) Sean f, g : Rn → Rm funciones tales que Dom f ⊂ Dom g y g|Dom f = f . Si r0 ∈ Dom f y f es C ∞ en r0 , entonces g es C ∞ en r0 . (iv) Sea f : Rn → Rm una funci´on C ∞ y supongamos que un abierto U ⊂ Dom f . Entonces f|U es C ∞ . (v) Si f : Rn → Rm es una funci´on C ∞ , entonces Dom f es un abierto de Rn . PROBLEMAS 1.1. Sean f, g : Rn → R funciones. Demostrar que si f y g son C ∞ , entonces f + g , f · g son C ∞ . 1.2. Sea g : Rn → R funci´on tal que g(r) 6= 0 para r ∈ Dom g. Demostrar que si g es C ∞ , entonces g1 , es C ∞ . Probar que si adem´as f : Rn → R es es C ∞ , entonces fg es una funci´on C ∞ . 1.3. Demostrar que toda funci´on racional f : Rn −→ R es una funci´on C ∞ .

´ DE VARIEDAD DIFERENCIAL 2. LA NOCION

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Soluci´on: Es conocido que las proyecciones ri : Rm → R , para i ∈ {1, · · · , · · · } , y las aplicaciones constantes a : Rm → R son C ∞ . Aplicando el problema 1.1 se obtiene que las aplicaciones polin´omicas son C ∞ . Como consecuencia del problema 1.2 se sigue que las funciones racionales son C ∞ . 1

1.4. Demostrar que la funci´on f : R −→ R tal que f(r) = r 2 que tiene como dominio (0, ∞) es una funci´on C ∞ . 1.5. Comprobar que las funciones f, g : R −→ R dadas por f(x) = x y g(x) = x3 sirven de ejemplo para demostrar la falsedad de la siguiente afirmaci´on: “Dadas dos funciones f y g, tales que gf y g son de clase C ∞ en x y f(x) respectivamente, entonces f es de clase C ∞ en x”. 1 3

Soluci´on: Notemos que f no es de clase C 1 en el punto x = 0 . En −2 df = 13 x 3 ni est´a definida ni admite una extensi´on continua efecto dx para x = 0 . En este caso se tiene que gf = idR y g es una aplicaci´on polin´omica, por lo que ambas son de clase C ∞ . Luego gf es de clase C ∞ en 0 y g es de clase C ∞ en f(0) = 0 . Sin embargo f no es de clase C ∞ en 0 . 2.

La noci´ on de variedad diferencial

´ n 2.1. Sea M un conjunto cualquiera, una funci´on Definicio m x : M → R inyectiva con rango abierto se llama carta m-dimensional. Si tomamos las proyecciones can´onicas ri : Rn → R , a la composici´on xi = ri x : M → R se le llama la i-´esima coordenada de la carta. ´ n 2.2. Sea M un conjunto cualquiera. Una colecci´on Definicio A = {xα |xα carta n-dimensional sobre el conjunto M} es denominada atlas diferenciable n-dimensional de M si se satisfacen las siguientes condiciones: (i) La reuni´on de los dominios de las cartas es M . (ii) Para cada pareja de cartas xα, xβ de A la funci´on xβ x−1 α es de ∞ clase C . ´ n 2.3. Sea M un conjunto cualquiera. Dos atlas A , B Definicio diferenciables y m-dimensionales de M son compatibles si A ∪ B es un atlas diferenciable n-dimensional de M . ´ n 2.1. La relaci´on de compatibilidad en la familia de los Proposicio altas diferenciables m-dimensionales de un conjunto M es una relaci´on de equivalencia. ´ n. La propiedades reflexiva y sim´etrica se verifican Demostracio f´acilmente. Para comprobar la transitividad supongamos que A, B, C

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1. VARIEDADES DIFERENCIALES

son atlas diferenciables de M de modo que A, B son compatibles y B, C tambi´en lo son. Puesto que tanto A como B son atlas se verifica que la reuni´on de los dominios de A ∪ C es M . Para ver que se verifica la propiedad (ii), sean xα carta de A y xγ carta de C . Veamos que xγ x−1 α es C ∞ en cada uno de los puntos de su dominio. Sea r0 = xα(p0 ) con p0 ∈ Dom xγ , tomemos una carta xβ en el punto p0 . Notemos que −1 ∞ (xγ x−1 y su dominio U es un abierto tal que r0 ∈ U ⊂ β )(xβ xα ) es C −1 −1 −1 ∞ Dom(xγ xα ) . Entonces (xγ x−1 por α )|U = (xγ xβ )(xβ xα ) que es C ∞ ser composici´on de funciones C . v´ease (ii) de la proposicio´on 1.1 . ∞ en Aplicando ahora (iii) de la proposici´on 1.1 se tiene que xγ x−1 α es C −1 ∞ r0 , esto para cada r0 de su dominio por lo tanto xγ xα es C . De ∞ modo an´alogo se ve que un cambio de la forma xα x−1 .  γ es C ´ n 2.4. Una variedad diferencial m-dimensional1 consiste Definicio en un conjunto M y en una clase de equivalencia [A] del conjunto de atlas diferenciables n-dimensionales m´odulo la relaci´on de compatibilidad. Llamaremos a M el conjunto soporte de la variedad y la clase [A] diremos que es la estructura diferenciable dada sobre el conjunto M . Notemos que una variedad queda determinada por una pareja (M, A) donde A es una atlas diferenciable n-dimensional de M . Dos parejas (M, A) (M, B) determinan las misma variedad si A es compatible con B . Cuando el contexto no de lugar a confusi´on, diremos que A es la estructura diferenciable de la variedad en vez de su clase de equivalencia. Tambi´en ser´a frecuente que denotemos directamente por M a una variedad diferenciable de modo que unas veces M denota el conjunto soporte y otras la pareja formada por el conjunto soporte y la estructura diferenciable. En la familia de los atlas diferenciables m-dimensionales de un conjunto M , se puede considerar la relaci´on de contenido ⊂ . Los elementos maximales verifican la siguiente propiedad: ´ n 2.2. Las estructuras diferenciables m-dimensionales Proposicio sobre el conjunto M est´an en correspondencia biun´ıvoca con los elementos maximales del conjunto ordenado de los atlas diferenciables m-dimensionales de M . ´ n. Sea c una clase de equivalencia, y consideremos Demostracio Mc = ∪C∈c C . En primer lugar, comprobaremos que Mc es un atlas. Supongamos que xα ∈ A ∈ c y xβ ∈ B ∈ c . Puesto que A ∪ B es un ∞ atlas se tiene que x−1 . Adem´as es obvio que la reuni´on de β xα es C los miembros de Mc es M . Por lo tanto Mc es un atlas y tambi´en se tiene que Mc ∈ c . En segundo lugar veremos que Mc es maximal. Si 1

La definici´ on moderna de variedad diferencial se atribuye a Hassler Whitney

[36]

´ DE VARIEDAD DIFERENCIAL 2. LA NOCION

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Mc ⊂ D , entonces Mc ∪ D = D es un atlas luego D ∈ c y por lo tanto D ⊂ Mc . Por lo que Mc es maximal. Ahora a cada atlas maximal M le podemos asociar la clase cM = [M] . Sea c = [A] , entonces A ⊂ Mc y en consecuencia [Mc ] = [A] = c . Por otra parte, si C es maximal, se tiene que C ⊂ M[C] . Entonces C = M[C] .  Ejemplo 2.1. Sea U un abierto de Rn , consideremos la inclusi´on x = in: U → Rn que es inyectiva y tiene codominio abierto. Entonces el atlas A = {x} da una estructura diferenciable n-dimensional al abierto U . En particular la identidad de Rn induce una estructura can´onica de variedad en Rn . ´ n 2.3. Sean M y N variedades diferenciales y sea Proposicio f : M → N una funci´on. Sean un punto p ∈ M , cartas x , x¯ de M en p e y , y¯ de N en fp . Entonces yfx−1 es de clase C ∞ en x(p) si y s´olo si y¯f x¯−1 es de clase C ∞ en x¯(p) . ´ n. Supongamos que yfx−1 es de clase C ∞ en x(p) . Demostracio −1 ∞ Como x¯ x es C en x¯(p) y y¯y −1 es C ∞ en yf(p) si aplicamos (ii) de la proposici´on 1.1 se tiene que (¯ y y −1)(yfx−1 )(x¯ x−1 ) es C ∞ en x¯(p) . −1 −1 −1 −1 x ) ⊂ Dom(¯ y f x¯ ) . Por lo tanto como Adem´as Dom(¯ yy yfx x¯ consecuencia del apartado (iii) de la proposici´on 1.1 obtenemos que y¯f x¯−1 es de clase C ∞ en x¯(p) .  ´ n 2.5. Sean M y N variedades diferenciales y sea f : M → Definicio N una funci´on. Se dice que f es diferenciable en un punto p ∈ M si existen cartas x de M en p e y de N en fp tal que yfx−1 es de clase C ∞ en x(p) . Se dice que f es diferenciable si f es diferenciable en cada punto de su dominio. Diremos que f es un difeomorfismo si f es inyectiva y f , f −1 son diferenciables. Se dice que una variedad M es difeomorfa a una variedad N si existe un difeomorfismo global de M sobre N . ´ n 2.4. Una funci´on F : Rn → Rm es diferenciable si y Proposicio s´olo si F : Rn → Rm es de clase C ∞ . ´ n. Sea x = idRn e y = idRm , entonces yF x−1 = F . Demostracio De la definici´on de funci´on diferenciable se tiene que F es diferenciable si y s´olo si F es C ∞ .  Notemos que para dar la definici´on de variedad diferencial y funci´on diferenciable hemos utilizado los espacios Rn y las funciones C ∞ entre ellos. Si en vez de utilizar estas funciones utilizamos, por ejemplo, funciones de clase C k , se obtiene la noci´on de variedad de clase C k ndimensional. En particular, para k = 0 tenemos la noci´on de variedad topol´ogica. Otra familia interesante es la de las variedades anal´ıticas

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reales, para definir est´a noci´on se utilizan funciones anal´ıticas reales. Es tambi´en frecuente utilizar el semiespacio Rn+ = {(r1 , · · · , rn )|rn ≥ 0} para introducir la noci´on de variedad con borde. Para definir las variedades complejas se usa el espacio Cn . Tambi´en se consideran espacios de Banach para introducir variedades de dimensi´on infinita. PROBLEMAS 2.1. Demostrar que la funci´on β : R −→ R definida por β(x) = x3 es una carta que determina una estructura diferenciable en R diferente de la estructura est´andar. Soluci´on: Supondremos conocido que la funci´on β(x) = x3 es global y biyectiva. Entonces {β} es un atlas para el conjunto M . Notemos que id−1 β = β es de clase infinito. Sim embargo id β −1 = β −1 no es de clase C 1 ya que no es derivable en el punto x = 0 . Por lo tanto (R, [{id}]) 6= (R, [{β}]) . 2.2. Sea N el subconjunto de R2 que es uni´on de los siguientes conjuntos de puntos: N1 = {(x1 , x2)|x12 + x22 = 1} y N2 = {(0, x2)|1 < x2 < 2} . Demostrar que las funciones α, β : N −→ R definidas de la siguiente manera: α(0, t) = 1 − t si 1 < t < 2 y α(sen 2πt, cos 2πt) = t si 0 ≤ t < 1 y β(0, t) = 1 − t si 1 < t < 2 y β(sen 2πt, cos 2πt) = 1 − t si 0 < t ≤ 1, determinan estructuras diferenciables en N. ¿Son compatibles estas estructuras? 2.3. Consideramos en R las dos siguientes estructuras de variedad diferencial: a) la estructura est´andar, b) la que le dota la funci´on β : R −→ R definida por β(x) = x3 . Demostrar que estas dos variedades diferenciales son difeomorfas. Soluci´on: Consideremos la funci´on β −1 : (R, [{id}]) → (R, [{β}]) . Puesto que β es una biyecci´on solo es necesario comprobar que β, β −1 son diferenciables. Notemos que id−1 β −1 β = id es de clase C ∞ . Tambi´en β −1β id = id es de clase C ∞ . Esto implica que β es un difeomorfismo global y suprayectivo. Luego la variedades (R, [{id}]) , (R, [{β}]) , que ya hemos visto que son distintas, son difeomorfas. 2.4. Demostrar que las dos variedades distintas que se han definido sobre el conjunto N del ejercicio 2.2 son difeomorfas. 2.5. Sea f : A −→ M una biyecci´on definida en un conjunto A y que toma valores en una variedad diferencial M. Demostrar que: (i) Si α es una carta de M, αf es una carta para A. (ii) La colecci´on de todas las cartas definidas en el anterior apartado es un atlas diferenciable para A. (iii) f es un difeomorfismo entre las variedades A y M.

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Soluci´on: (i) Puesto que la composici´on de funciones inyectivas en inyectiva, se tiene que αf es inyectiva. Por ser f una biyecci´on se obtiene que Codom(αf) = Codom(α) es un abierto. Entonces cada αf es una carta diferenciable de la misma dimensi´on que la de M . (ii) La reuni´on de los dominio es la siguiente: ∪ Dom(αf) = ∪f −1 (Dom α) = f −1 (∪ Dom α) = f −1 M = A . Para α, β cartas de M , el cambio de cartas viene dado por (αf)(βf)−1 = αff −1 β −1 = αβ −1 que es una funci´on de clase C ∞ . (iii) Para cada carta α se tiene que αf(αf)−1 = id y (αf)f −1 (α)−1 = id son de clase C ∞ . Entonces f es un difeomorfismo global y sobre de A en M . 2.6. Sea A un conjunto con cardinalidad del continuo y n un entero no negativo. Probar que A admite al menos un estructura de variedad diferencial n-dimensional. Soluci´on: Para n = 0 , para cada elemento a ∈ A se puede considerar una carta aˆ : A → R0 tal que Dom aˆ = {a} y definida por aˆ(a) = 0 . El atlas {ˆ a|a ∈ A} dota a A de una estructura de variedad diferencial 0-dimensional. Para cada n > 0 , puesto que cada Rn tambi´en tiene la cardinalidad del continuo, existen una biyecci´on x : A → Rn de modo que (A, [{x}]) es una variedad diferencial de dimensi´on n . 2.7. Sea ∅ el conjunto vacio y n un entero no negativo. Probar que ∅ admite exactamente un estructura de variedad diferencial ndimensional para cada n . 2.8. Probar que el atlas determinado por las proyeciones del ejemplo 4.2 y el atlas determimado al tomar argumentos en el ejemplo 4.3 para S 1 son equivalentes. 2.9. Probar que el atlas determinado por las proyeciones del ejemplo 4.2 y el atlas estereogr´afico del ejemplo 4.4 para S n−1 son equivalentes. 2.10. Sea M una variedad diferencial de dimensi´on n. Demostrar que: (i) Toda carta de M es un difeomorfismo. (ii) Todo difeomorfismo f : M −→ Rm es una carta de M. Soluci´on: (i) Hemos de probar que si x : M → Rm es una carta de M , entonces x, x−1 son diferenciables en cada punto de su dominio. Para cada p ∈ Dom x tomemos las cartas x en p e idRm en x(p) . Notemos que idRm xx−1 = id |Codom x y xx−1 id−1 Rm = id |Codom x son de ∞ −1 clase C . Por lo tanto x, x son diferenciables. Para probar (ii) supongamos que f es un difeomorfismo. Para probar que f es una carta hemos de ver que es compatible con todas las cartas de un atlas de M . Si x es una carta de M , entonces aplicado (i) se tiene que fx−1 y xf −1 son diferenciables. Puesto que adem´as son

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1. VARIEDADES DIFERENCIALES

funciones de Rm en Rm se tiene que fx−1 y xf −1 son de clase C ∞ . Por lo tanto f es compatible con todas las cartas de un atlas, luego f es una carta de M . 2.11. Sean M y M 0 dos variedades de la misma dimensi´on sobre el mismo conjunto soporte. Demostrar que si la aplicaci´on identidad id : M −→ M 0 es un difeomorfismo, M y M 0 tienen el mismo atlas maximal y por lo tanto M = M 0 . 2.12. Sea f : M −→ N una funci´on entre variedades diferenciales. Demostrar que f es diferenciable en un punto p de su dominio si y s´olo si ψf es diferenciable en p para toda funci´on ψ : N −→ R que es diferenciable en f(p). Soluci´on: Si f es diferenciable en p , aplicando las propiedades de composici´on de funciones diferenciables, se obtiene que ψf es diferenciable en p . Reciprocamente, sea x una carta en p e y una carta en f(p) con componentes yi : N → R . Entonces se tiene que yfx−1 = (y1fx−1 , · · · , yn fx−1 ) . Teniendo en cuenta que y1 f, · · · , yn f son diferenciables en p , se concluye que f es diferenciable en p . 3.

La topolog´ıa de una variedad diferencial

´ n 3.1. Sea A una atlas diferenciable m-dimensional Proposicio sobre un conjunto M . Sea x una carta de A y supongamos que W ⊂ Dom x tal que x(W ) es una abierto de Rn , entonces A ∪ {x|W } es compatible con A . ´ n. Sea y una carta de A . Entonces Demostracio y(x|W )−1 = yx−1|x(W )∩Dom(yx−1 ) (x|W )y −1 = (xy −1)|(xy−1 )−1 xW . Aplicando la proposici´on 1.1 se obtiene que estas funciones son C ∞ . Adem´as la reuni´on de los dominios de A ∪ {x|W } contiene a la reuni´on de los dominios de A que es M .  ´ n 3.2. Los dominios de las cartas del atlas maximal de Proposicio una variedad diferencial M verifican las condiciones necesarias para ser la base de una topolog´ıa en el conjunto M . ´ n. En primer lugar, n´otese que la reuni´on de los Demostracio dominios de las cartas de un atlas maximal M es el conjunto M . En segundo lugar, si x, y son cartas de M entonces x(Dom x ∩ Dom y) = Dom(yx−1 ) que es un abierto por ser dominio de una funci´on C ∞ . Aplicando la proposici´on 3.1 se obtiene que x|Dom x∩Dom y es tambi´en una carta del atlas maximal. Consecuentemente Dom x ∩ Dom y es tambi´en el dominio de una carta del atlas maximal. 

3. LA TOPOLOG´IA DE UNA VARIEDAD DIFERENCIAL

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´ n 3.3. Sea una variedad diferencial M con su topoProposicio log´ıa inducida. Si x es una carta de M , entonces la funci´on x es un homeomorfismo. ´ n. Puesto que Dom x es un abierto para ver que x Demostracio es una funci´on abierta es suficiente ver que las im´agenes de los abiertos b´asicos son abiertos eucl´ıdeos. Sea W ⊂ Dom x un abierto b´asico que ser´a el dominio de una carta y . Teniendo en cuenta que el dominio de yx−1 es abierto y que Dom(yx−1) = x(W ) se deduce que x(W ) es abierto. Para ver que x es continua, sea U abierto de Rm , si W = x−1 (U) se tiene que x(W ) = Codom x ∩ U es un abierto. Aplicando la proposici´on 3.1 obtenemos que x|W es tambi´en una carta y su dominio W es un abierto b´asico y por lo tanto abierto. Luego la funci´on x es un homeomorfismo.  ´ n 3.4. Sean M y N variedades diferenciales y sea Proposicio f : M → N una funci´on. Si f es diferenciable en un punto p de M , entonces la funci´on f es continua en p . ´ n. Sean x e y cartas de M y N en los puntos p Demostracio y f(p) , respectivamente. Entonces yfx−1 es C ∞ en el punto x(p) . Por lo tanto existe un abierto U de Rm tal que U ⊂ Dom(yfx−1) y F = yfx−1 |U es C ∞ . Adem´as podemos suponer que U ⊂ Codom x . Aplicando la proposici´on 1.1 tenemos que F es continua en U . Por ser la funci´on x continua se tiene que x−1 U es un abierto. Teniendo en cuenta que y es un homeomorfismo se concluye que y −1F x es continua en el abierto x−1 U ⊂ Dom f. Por otra parte f|x−1 U = y −1 F x . Por lo tanto f es continua en x−1 U y en consecuencia en el punto p .  ´ n 3.5. Sean M y N variedades diferenciales, f : M → Proposicio N una funci´on y U un abierto de M . Si f es diferenciable, entonces la funci´on f|U es diferenciable. Si f es un difeomorfismo, entonces la funci´on f|U es un difeomorfismo. ´ n. Sea p ∈ Dom(f|U ) = Dom f ∩ U . Sean x e y Demostracio cartas de M y N en los puntos p y f(p) , respectivamente. Notemos que y(f|U )x−1 = yfx−1 |x(f −1(Dom y)∩U ) . Por ser f diferenciable, aplicando la proposici´on 3.4, obtenemos que f es continua y por lo tanto f −1 (Dom y) es un abierto de M . Por la proposici´on 3.3 se tiene que x es un homeomorfismo y en consecuencia x(f −1 (Dom y) ∩ U) es un abierto. Por ser f diferenciable en el punto p , entonces yfx−1 es C ∞ en el punto x(p) ∈ x(f −1 (Dom y) ∩ U) ⊂ x(f −1 (Dom y)) = Dom(yfx−1) . Aplicando la proposici´on 1.1 se obtiene que y(f|U )x−1 es C ∞ en el punto x(p) . Luego f|U es diferenciable en cada punto de su dominio, y por lo tanto f|U es diferenciable. Supongamos ahora que f es un difeomorfismo. Entonces f|U es tambi´en inyectiva y diferenciable por el argumento anterior. Por ser

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1. VARIEDADES DIFERENCIALES

f −1 continua se tiene que f(U) = (f −1 )−1 (U) es abierto. Notemos que (f|U )−1 = f −1 |f (U ) tambi´en es diferenciable. Entonces tenemos que f|U es un difeomorfismo.  ´ n 3.6. Sean P , Q , R variedades diferenciales, f : P → Proposicio Q , g : Q → R funciones diferenciables. Si f , g son diferenciables, entonces gf es diferenciable. ´ n. Sea a ∈ Dom(gf) y tomemos cartas x, y, z en a , Demostracio f(a) y gf(a) , respectivamente. Notemos que Dom((zgy −1 )(yfx−1 )) ⊂ Dom(zgfx−1 ) . Adem´as zgfx−1 |Dom((zgy−1 )(yf x−1 )) = (zgy −1 )(yfx−1 ) . Sabemos que yfx−1 es C ∞ en x(a) y que zgy −1 es C ∞ en yf(a) . Aplicando la proposici´on 1.1 se obtiene que (zgy −1)(yfx−1 ) es C ∞ en x(a) . Por lo tanto zgfx−1 es C ∞ en x(a) . De aqu´ı se obtiene que gf es diferenciable en cada a de su dominio. Luego gf es diferenciable.  PROBLEMAS 3.1. Sea M una variedad diferencial n-dimensional y sea x una carta en un punto p de M sea Bε (x(p)) una bola de centro x(p) contenida en Codom x . Probar que {x−1 Bδ (x(p))|δ < ε} es una base de entornos de p en la topolog´ıa inducida por la variedad M . Soluci´on: Por un resultado obtenido en un ejercio anterior sabemos que la carta x : M → Rm es un homeormorfismo. Sea G un entorno de p en M , entonces existe un abierto U tal que p ∈ U ⊂ G . Notemos que V = U ∩ Dom x es tambi´en un entorno abierto de p en Dom x . Aplicando que x es un homeoemorfismo se tiene que x(V ) es un entorno abierto de x(p) en Codom x , Puesto que {Bδ (x(p))|δ < ε} es una base de entornos de x(p) en Codom x , tenemos que existe δ tal que x(p) ∈ Bδ (x(p)) ⊂ x(V ) . Entonces p ∈ x−1 Bδ (x(p)) ⊂ V ⊂ U ⊂ G . Por lo tanto se deduce que {x−1 Bδ (x(p))|δ < ε} es una base de entornos de p en la topolog´ıa inducida por la variedad M . 3.2. Encontrar un espacio topol´ogico que no admita estructura de variedad. Es decir que las estructuras diferenciables que admita el conjunto que soporta a dicho espacio tengan topolog´ıas inducidas distinta de la dada. 3.3. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmaci´on: Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables distintas. 3.4. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmaci´on: Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables no isomorfas. 3.5. Encontrar una funci´on continua entre variedades que no sea diferenciable.

4. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIALES

4.

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Ejemplos de variedades diferenciales

Ejemplo 4.1. Espacios vectoriales reales de dimensi´on finita. Sea e1, e2, · · · , en una base de un espacio vectorial real E. Notemos que el isomorfismo f : E −→ Rn que asocia a cada vector de E sus coordenadas en la base anterior, es una carta que define una estructura diferenciable en el conjunto E. Tenemos que probar que la estructura diferenciqable es independiente de la base elegida. Sea e01, e02, · · · , e0n otra base de E y sea f 0 : E → R es la correspondiente P aplicaci´on coordenada. Si el cambio de base viene dado por e0i = aij ej , i, j ∈ {1, · · · , n} , en0 −1 tonces el cambio · , rn ) = P P de cartas esat´a determinado por f f (r1 , 0· ·−1 ( ri ai1, · · · , ri ain ) . Puesto que cada componente de f f es de clase C ∞ , se tiene que los atlas {f} y {f 0 } son compatibles. (Esta estructura se llama estructura diferenciable est´andar de un espacio vectorial real.) La siguiente notaci´on facilitar´a la descripci´on y demostraci´on de algunos resultados de esta secci´on , dada una n-tupla (r1 , · · · , ri , · · · , rn ) y un i ∈ {1, · · · , n} , la (n − 1)-tupla obtenida al suprimir la componente i-´esima, (r1, · · · , ri−1 , ri+i · · · , rn ) la denotaremos a veces por (r1 , · · · , rˆi , · · · , rn ) . Ejemplo 4.2. Sea S n−1 = {r ∈ Rn |r12 + · · · + rn2 − 1 = 0} . Para cada i ∈ {1, · · · , n} sean xi+ , xi− funciones de S n−1 en Rn−1 con dominios Dom xi+ = {r ∈ S n−1 |ri > 0} , Dom xi− = {r ∈ S n−1 |ri < 0} y definidas por xi+ (r1 , · · · , ri , · · · , rn ) = (r1, · · · , rˆi , · · · , rn ), xi− (r1 , · · · , ri , · · · , rn ) = (r1, · · · , rˆi , · · · , rn ) . Entonces el atlas {x1+, x1− , x2+ , x2−, · · · , xn+ , xn− } dota a S n−1 de una estructura de variedad diferencial (n − 1)-dimensional. Ejemplo 4.3. Sea S 1 = {(cos r, sen r) ∈ R2 |r ∈ R} . Consideremos U = {(cos s, sen s) ∈ R2 | − π < s < π} y V = {(cos t, sen t) ∈ R2 |0 < t < 2π} . Sean x, y dos funciones de S 1 en R con dominios Dom x = U , Dom y = V y definidas por x(cos s, sen s) = s , y(cos t, sen t) = t . El cambio de cartas viene dado por   2π + s si −π ≤ s ≤ 0, −1 yx )(s) =  s si 0 ≤ s ≤ π, que es una funci´on C ∞ . Entonces el atlas {x, y} dota a S 1 de una estructura de variedad diferencial 1-dimensional. Ejemplo 4.4. El atlas estereogr´afico de la esfera S n−1 = {r ∈ R |r12 + · · · + rn2 − 1 = 0} . Sean x , y funciones de S n−1 en Rn−1 con dominios Dom x = S n−1 \ {−N} (donde N = (0, · · · , 0, 1) es el n

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1. VARIEDADES DIFERENCIALES

“polo Norte”) y Dom y = S n−1 \ {N} definidas por x(r1, · · · , rn ) = rn−1 rn−1 r1 r1 ( 1−r , · · · , 1−r ) , y(r1 , · · · , rn ) = ( 1+r , · · · , 1+r ) . Entonces el atlas n n n n n−1 de una estructura {x, y} , que llamaremos estereogr´afico, dota a S de variedad diferencial (n − 1)-dimensional. Notemos que el cambio de cartas viene dado por xi yi = 2 (x1 ) + · · · + (xn−1 )2 Ejemplo 4.5. En Rn+1 \{0} definimos la siguiente relaci´on de equivalencia (r0 , · · · , rn ) ∼ (s0 , · · · , sn ) si existe t 6= 0 tal que (r0 , · · · , rn ) = (ts0, · · · , tsn ) . Denotemos la clase de equivalencia de (r0, · · · , rn ) por [r0, · · · , rn ] y al conjunto cociente por RP n y lo llamaremos espacio proyectivo real de dimensi´on n . Para cada i ∈ {0, · · · , n} sea xi la funci´on de RP n en Rn con dominio Dom xi = {[r0 , · · · , rn ] ∈ RP n |ri 6= 0} , y definida por xi [r0, · · · , ri , · · · , rn ] = (r0/ri , · · · , rˆi, · · · , rn /ri ) . Entonces el atlas {x0, · · · , xn } dota a RP n de una estructura de variedad diferencial n-dimensional. Ejemplo 4.6. Sea U un abierto de una variedad diferencial mdimensional M . Entonces U admite una estructura de variedad diferencial m-dimensional de tal modo que la inclusi´on i : U → M es un difeomorfismo. En efecto supongamos que A es un atlas para M , entonces consideremos la familia AU = {x/U|x ∈ A} de cartas del conjunto U son un atlas diferenciable m-dimensional que da estructura de m-variedad a U . Es claro que la reuni´on de los dominios es U . Los cambios de cartas vienen dados por (y/U)(x/U)−1 = yx−1 |x(U) que son funciones C ∞ . Por otra parte la inclusi´on in U → M es inyectiva y tanto ella como su inversa son diferenciables. En efecto para cada carta x de M se tiene que x in(x/U)−1 = id|x(U ) = (x/U) in−1 x−1 . Ejemplo 4.7. M(n×p, R) matrices reales de orden n×p . Tiene estructura de variedal diferencial np-dimensional ya que es un espacio vestorial real de dimensi´on np . Se puede tomar como atlas el formado por la funci´on coordenada asociada a la base E11 , · · · , E1p , · · · , En1 , · · · , Enp que en esencia asocia a una matr´ız la tupla obtenida al colocar cada fila a continuaci´on de anterior. Un caso particular es la variedad de matrices cuadradas M(n, R) = M(n × n, R) que tiene dimensi´on n2 . Ejemplo 4.8. GL(n, R) matrices cuadradas reales y no singulares, tambi´en se llama el grupo lineal real n-dimensional. Tiene estructura de variedal diferencial n2-dimensional ya que es un abierto de M(n, R) que tiene dimensi´on n2 . Para ver que es un abierto se puede considar la aplicacion determinante det : M(n, R) → R , que por ser una funci´on polin´omica es continua, v´ease 1.3 .

4. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIALES

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Recordamos a continuaci´on el siguiente resultado que se suele denominar como el teorema de la funci´on impl´ıcita. Aqu´ı utilizaremos una versi´on enunciada en t´erminos de funciones C ∞ . Teorema 4.1. (Funci´on impl´ıcita) Sea (a, b) un punto del do∞ p q p minio  de una funci´on C f : R × R → R tal que f(a, b) = 0 y ∂fi det ∂r 6= 0 , i, j = 1, · · · , p . Entonces existen entornos abierj (a,b)

tos V de a en Rp y W de b en Rq tal que para todo w ∈ W existe un u ´nico ϕ(w) ∈ V tal que f(ϕ(w), w) = 0 . Adem´as la funci´on ϕ : Rq → Rp es de clase C ∞ . Este resultado facilita la demostraci´on de que en buenas condiciones los ceros de una funci´on de varias variables con valores reales tiene estructura de variedad. Teorema 4.2. Sea f : Rn → R una funci´on C ∞ y sea S = f −1 0 . Supongamos que para cada z ∈ S existe un i ∈ {1, . . . , n} tal que   ∂f 6= 0 . Entonces f induce una estructura de variedad diferencial ∂ri z

(n − 1)-dimensional tal que la topolog´ıa de la variedad S coincide con la topolog´ıa de S como subespacio de Rn . ´ n. Sea s ∈ S y sea i = i(s) un entero tal que o   Demostraci ∂f 6= 0 . Como consecuencia del teorema de la funci´on impl´ıci∂ri s

ta, existen entornos abiertos W de (s1 , · · · , sˆi , · · · , sn ) y V de si tal que para cada w = (z1, · · · , zi−1, zi+1 , · · · , zn ) ∈ W existe un u ´nico ϕi (w) ∈ V tal que f(z1, · · · , zi−1 , ϕi (z1, · · · , zi−1 , zi+1 , · · · , zn ), zi+1 , · · · , zn ) = 0 Adem´as la funci´on ϕi : W → V es C ∞ . Sea ahora ¯ = {(z1 , · · · , zi , · · · , zn )|(z1 , · · · , zi−1 , zi+1, · · · , zn ) ∈ W , zi ∈ V } W ×V que es un abierto de Rn . Sea θi la funci´on de Rn en Rn−1 que tiene como ¯ y que aplica (z1 , · · · , zi , · · · , zn ) en (z1, · · · , zˆi , · · · , zn ) , dominio W ×V es decir es la restricci´on de una proyecci´on a un abierto. Consideremos la funci´on x : S → Rn−1 definida por la composici´on x = θi in , siendo in : S → Rn la inclusi´on can´onica. N´otese que Codom x = ¯ )) ⊂ W . Por el teorema de la funci´on impl´ıcita daθi (S ∩ (W ×V ´nico ϕi (w) ∈ V do w = (z1, · · · , zi−1 , zi+1, · · · , zn ) ∈ W existe un u tal que u = (z1, · · · , zi−1 , ϕi(z1 , · · · , zi−1 , zi+1 , · · · , zn ), zi+1 , · · · , zn ) ∈ ¯ )) = Dom x es tal que x(u) = w . f −1 (0) = S . Luego u ∈ (S ∩ (W ×V De donde se obtiene que Codom x = W es un abierto de Rn−1 . Sean ahora u = (z1 , · · · , zi , · · · , zn ) y u0 = (z10 , · · · , zi0 , · · · , zn0 ) puntos de Dom x tales que x(u) = x(u0) . Entonces (z1, · · · , zˆi, · · · , zn ) = (z10 , · · · , zˆi0, · · · , zn0 ) aplicando la unicidad del teorema de la funci´on impl´ıcita se obtiene que zi = zi0 . Por lo tanto u = u0 y se tiene que x es inyectiva.

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1. VARIEDADES DIFERENCIALES

Sea ahora otra carta de la forma y = θj in . El dominio de yx−1 es θi (S ∩ Dom θi ∩ Dom θj ) = θi(S ∩ Dom θi ) ∩ θi(Dom θj ) = Codom x ∩ θi (Dom θj ) que es un abierto por ser x una carta y θi una aplicaci´on abierta. Adem´as si j > i , se tiene que yx−1(z1 , · · · , zˆi , · · · , zn ) = y(z1, · · · , zi−1, ϕi (z1, · · · , zˆi , · · · , zn ), · · · , zn ) = (z1 , · · · , zi−1 , ϕi (z1, · · · , zˆi, · · · , zn ), zi+1 , · · · , zˆj , · · · , zn ) es una funci´on C ∞ . An´alogamente se procede para j < i y en el caso i = j , yx−1 es la identidad de un abierto. Por lo tanto los cambios de cartas son C ∞ . Notemos que para cada s ∈ S hemos construido una carta en s , as´ı que f´acilmente se deduce que la reuni´on de los dominios de las cartas es el propio S . Para ver que la topolog´ıa de la variedad S es precisamente la topolog´ıa traza. Veamos por una parte que la inclusi´on in : S → Rn es diferenciable. En efecto sea x una carta de S, entonces idRninx−1(z1 , · · · , zˆi , · · · , zn ) = (z1, · · · , ϕi (z1, · · · , zˆi, · · · , zn ), · · · , zn ) que es una funci´on C ∞ . Por otra parte si U es un entorno abierto de s ¯ ) contenido en el dominio de una carta x se tiene que U = S ∩ (x(U)×V y por lo tanto tambi´en es un entorno abierto de s en la topolog´ıa traza. Ejemplo 4.9. Variedades de Grassmann 2 . Sea G(np, R) el espacio de todos los p-planos de de Rn . Una base de un p-plano se puede representar por una matriz A de dimensi´on n × p que tenga rango p . Notemos que dos matrices A y B representan el mismo p-plano si y s´olo si existe una matriz T no singular p × p tal que B = AT . De este modo representaremos un p-plano como la clase de equivalencia [A] inducida por la relaci´on de equivalencia anterior. Supongamos que α : {1, · · · , p} → {1, · · · , n} es una aplicaci´on creciente e inyectiva. Para cada matriz A denotemos por Aα la submatriz formada por las filas α(1), · · · , α(p) y por Aα la submatriz formada por el resto de las filas de A . Notemos que si B = AT con T no singular, se tiene que las filas α de B tienen rango m´aximo si y s´olo si se verifica lo mismo para las de A . Definamos una carta xα : G(np, R) → R(n−p)p de tal modo que Dom xα = {[A]|Aα es no singular} y que viene dada por α a bien la f´ormula xα ([A]) = (AA−1 α ) . En primer lugar veamos que est´ −1 α definida. Si B = AT con T matriz regular, se tiene que (BBα ) = α −1 α −1 α −1 α (AT (AT )−1 α ) = (AT (AαTα ) ) = (AT Tα Aα ) = (AAα ) . α Las funciones xα son inyectivas. En efecto si xα([A]) = (AA−1 α ) = −1 α α −1 −1 (BBα ) = x ([B]) Entonces AAα = BBα . Por lo tanto, B = AA−1 α Bα . En consecuencia, [A] = [B] . Por otra parte dado Z ∈ R(n−p)p , podemos suponer que Z es una matriz (n−p)×p para despues 2Las

variedades de Grassmann juegan un papel importante en la categor´ıa de las variedades diferenciales. Se ulilizan para el estudio de transversalidad a variedades inmersas en variedades riemannianas. Adem´ as sus grupos de homotop´ıa y de homotop´ıa estable determinan las clases de cobordismo

4. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIALES

23

contruir una u ´nica matriz α Z de dimensidones n × p tal que al extraer las filas α-´esimas se obtenga la matriz identidad, (α Z)α = I y el resto de las filas sean precisamente sea la matriz Z , (α Z)α = Z . Entonces xα([α Z]) = Z . Es decir que las funciones xα son suprayectivas, o dicho de otro modo Codom xα = R(n−p)p . Puesto que la reuni´on de los dominios es precisamente G(np, R) y los cambios de cartas son funciones racionales, que son C ∞ , entonces A = {xα |α es inyectiva y creciente } es un atlas diferencialble (n − p)pdimensional.  PROBLEMAS 4.1. Demostrar que en S 2 el atlas dado por las 6 cartas como subvariedad de R3 (hipersuperficie) y el atlas estereogr´afico son equivalentes. 4.2. Demostrar que la funci´on f : R3 −→ R dada por f(r1 , r2 , r3) = r13 + 2r23 + r33 + 6r12 r2 − 1 determina en f −1 (0) la estructura de una variedad diferencial. V´ease la figuras 1. 1 -1 -0.5 0.5

0 0.5

0

1

-0.5

-1 2

1

0

-1

-2

Figura 1. r13 + 2r23 + r33 + 6r12 r2 − 1 = 0

24

1. VARIEDADES DIFERENCIALES

4.3. Considerar el conjunto de puntos O = {(sen 2s, sen s)|s ∈ R} . Probar que la funci´on x : O → R definida por x(sen 2s, sen s) = s si 0 < s < 2π , es una funci´on inyectiva con codominio abierto y dominio O . N´otese que esta carta determina una estructura diferenciable en O . Probar tambi´en que la funci´on y : O → R definida por y(sen 2t, sen t) = t si −π < s < π , es una funci´on inyectiva con codominio abierto y dominio O . Probar que estas estructuras diferenciables aunque son distintas son difeomorfas. Soluci´on: Estudiemos el cambio de cartas xy −1 . Se tiene que Dom(xy −1 ) = (−π, π) y su codiminio es Codom(xy −1 ) = (0, 2π) . El cambio viene dado por la funci´on  t + 2π si −π < t < 0,     π si t = 0, xy −1 (t) =     t si 0 < t < π que no es continua. Luego las estructuras [{x}] ,[{y}] son distintas. Sin embargo, si consideramos el difeomorfismo, φ : (−π, π) → (0, π) definido por φ(t) = t + π , se tiene que x−1φy es un difeomorfismo global y suprayectivo de (O, [{y}]) en (O, [{x}]) . 4.4. Considerar la funci´on f : R2 −→ R dada por 1 f(r1 , r2) = r24 − r22 + r12 4 Comprobar que f y sus derivadas parciales se anulan simultaneamente en algun punto. Demostrar que f −1 (0) es la figura Ocho. V´ease figura 2. ∂f ∂f Soluci´on: Notemos que ∂r = r21 y ∂r = 4r23 − 2r2 . Entonces si 1 2 0 = r21 y 0 = 4r23 − 2r2 . Tiene como soluciones (0, 0) y (0, √12 ) . La primera es tambi´en soluci´on de f pero la segunda no es un zero de f . Es f´acil comprobar que r1 = sen 2s y r2 = sen s satisface la ecuaci´on f(r1 , r2 ) = 0 . Reciprocamente, sea (r1 , r2) una pareja tal que
2 r22 (r21 − 1) = r21 . Entonces r22 ≤ 1 , por lo tanto existe t ∈ R tal que r2 = sen t = sen(π − t) . En consecuencia r22 (r21 − 1) = (sen t cos t)2 =

sen 2t 2 r1 2 = . De aqui se tiene que r1 = sen 2t o r1 = − sen 2t = 2 2 sen 2(π − t) . En cualquier de los casos se tiene que (r1 , r2) es de la forma (sen 2s, sen s) para alg´ un s .

4.5. Sea F : Rn −→ R un funci´on de clase C ∞ homog´enea de grado mayor o igual que 1 y con al menos un valor positivo. Demostrar que la funci´on f : Rn −→ R dada por f(r) = F (r) − 1 determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferencial. Soluci´on: Si F es homog´enea de grado k significa que para cada n-tupla r = (r1 , · · · , rn ) y cada escalar λ se verifica que F (λr) =

4. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIALES

25

Figura 2. Ocho: r24 − r22 + 14 r12 = 0 ∂F ∂F λk F (r) . Esta funciones verifican que r1 ∂r + · · · + rn ∂r = kF . En n 1 k efecto, derivando la expresi´    on F (λx) = λ F (x) respecto λ se tiene que ∂F ∂F x1 ∂r + · · · + xn ∂r = kλk−1 F (x) . Teniendo en cuenta que n 1 λx λx     ∂F rn ∂F r = λx , obtenemos que rλ1 ∂r + · · · + = kλk−1 F ( λr ) = λ ∂rn 1 k F (x) λ

r

r

. Multiplicando por λ se obitene la expresi´on deseeada. Sea aho∂f ∂F ra un r tal que f(r) = F (r) − 1 = 0 . Entonces ∂r = ∂r . Si suponemos i i ∂f que en el punto r es tal que ∂ri = 0 para i ∈ {1, · · · , n} . Entonces     ∂F ∂F kF (r) = r1 ∂r1 +· · ·+rn ∂r = 0 . Pero como F (r) = 1 se tendr´ıa n r r que k = 0 . Esta contradicci´on viene de suponer que todas las derivadas parciales se anulan en el punto r . Entonces siempre existe alguna derivada parcial que no anula en cada punto r con f(r) = 0 . En consecuencia {r|f(r) = 0} es un variedad diferencial (n −1)-dimensional.  Es interesante observar si para un r0 , F (r0) 6= 0 , F Por lo tanto {r|f(r) = 0} es no vacia.

r0

1

(F (r0 ) k

=1.

4.6. Demostrar que las funciones f, g : R3 −→ R dadas por f(r1 , r2, r3 ) = r12 + r22 − r32 − 1 g(r1 , r2, r3 ) = r12 − r22 − r32 − 1 determinan en f −1 (0) y en g −1 (0) una estructura de variedad diferencial (notar que en el primer caso se trata del hiperboloide de una hoja y en el segundo del de dos hojas,v´ease figura 3). Dar en cada caso un atlas finito que defina su estructura diferenciable. 4.7. Sea F : Rn−1 −→ R una funci´on cualquiera que es diferenciable en Rn−1 . (a) Demostrar que la funci´on f : Rn −→ R dada por f(r1 , · · · , rn ) = F (r1, · · · , rn−1 ) − rn

26

1. VARIEDADES DIFERENCIALES

Figura 3. Hiperboloides de una, r12 + r22 − r32 − 1 = 0 , y de dos hojas, r12 − r22 − r32 − 1 = 0 . determina en f −1 (0) , que es el grafo de F , una estructura de variedad diferencial. (b) Demostrar que esta variedad de difeomorfa a Rn−1 . (c) Considerar como ejemplo las variedades diferenciales en R3 determinadas por las funciones f, g : R3 −→ R , v´ease 4 , dadas por: (i) f(r1 , r2, r3 ) = r12 + r22 − r3 (ii) g(r1 , r2 , r3) = r12 − r22 − r3 .

Figura 4. Paraboloide r12 + r22 − r3 = 0 , y silla de montar, r12 − r22 − r3 = 0 . 4.8. Sea f : U ⊂ Rn −→ R una funci´on C ∞ y sea S = f −1 (0) una hipersuperficie ((n − 1)−variedad diferencial) en Rn (Df(p) 6=

4. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIALES

27

0, ∀p ∈ S). Definimos g : U × R −→ R por la f´ormula g(r1 , . . . , rn+1 ) = f(r1 , . . . , rn ) . Demostrar que g −1 (0) es una hipersuperficie en Rn+1 (Esta nueva variedad se llama cilindro sobre S . V´ease figura 5)

1

-1 1

0.75 -0.5 0.5 0.5 0 0.25 0

0

0 1

0.5

0.5 0 1

-0.5 -1

Figura 5. Cilindro 4.9. Sea f : R2 −→ R una funci´on C ∞ y C = f −1 (0) una hipersuperficie (curva plana) en R2 (Df(p) 6= 0, ∀p ∈ S) situada en el semiplano r2 > 0. Sea S = g −1 (c) donde g : R3 −→ R es la funci´on definida de la siguiente manera: g(r1 , r2 , r3) = f(r1 , (r22 + r32 )1/2) on Demostrar que S = g −1 (0) es una 2-variedad (superficie de revoluci´ obtenida por rotaci´on de la curva C alrededor del eje r1 .) Soluci´on: Sea la curva de ecuaci´on f(s1 , s2) = 0 de tal modo que ∂f ∂f , ∂s es no nula. s2 > 0 y adem´as una de las derivadas paerciales ∂s 1 2 Entonces, se tiene que ∂f ∂g = ∂r1 ∂s1 ∂f ∂g r2 = ∂r2 ∂s2 (r2 + r3 ) 12 ∂g r3 ∂f = ∂r3 ∂s2 (r2 + r3 ) 12 De donde se obtiene que  2  2  2 ∂g ∂g ∂f + = ∂r2 ∂r3 ∂s2

28

1. VARIEDADES DIFERENCIALES

De las igualdades anteriores se sigue que no se pueden anular simultaneamente las tres derivadas parciales de la g . 4.10. Aplicar el ejercicio anterior para encontrar la ecuaci´on en impli´ıcitas del toro generado al girar alrededor del primer eje una circunferencia de radio uno. 4.11. Sea f : R3 −→ R3 dadas por: f(r1 , r2, r3 ) = (r1 cos r3 − r2 sen r3 , r1 sen r3 + r2 cos r3 , r3 ) Demostrar que f|S 2 toma valores en S 2. Demostrar que la aplicaci´on inducida de S 2 en S 2 es un difeomorfismo. 4.12. Consideramos G(1, R3 ) y G(2, R3 ). A cada 1-plano en R3 con matr´ız A = (a1, a2, a3)t le hacemos corresponder el 2-plano en R3 que es soluci´on del sistema homog´eneo At r = 0. Demostrar que esta biyecci´on es un difeomorfismo. 4.13. Sea Q el cuerpo de los cuaterniones de Hamilton. Definir el espacio proyectivo P n (Q) y demostrar que tiene una estructura diferenciable de dimensi´on 4n determinada por un atlas de n + 1 cartas. 4.14. Demostrar que la recta proyectiva cuaterni´onica P 1 (Q) es difeomorfa a la esfera S 4 . 4.15. El conjunto Mn (C) de las matrices complejas n × n, tiene una estructura C ∞ est´andar de dimensi´on 2n2 . Tal estructura est´a definida por una carta global: 2

α : Mn (C) −→ R2n

dada por α(a + bi) = (u(a), u(b)), siendo (a) y (b) las correspondientes matrices reales (parte real y parte imaginaria) y u la carta que define la estructura C ∞ de Mn (R). Demostrar que el conjunto GL(n, C) de las matrices regulares complejas puede ser dotado de estructura de subvariedad abierta de Mn (C). 4.16. Demostrar que el conjunto Mp (n × p, R) de las matrices n × p reales de rango p es un subconjunto abierto de la variedad M(n × p, R) y tiene por lo tanto una estructura estandar como subvariedad abierta de esta variedad. 4.17. Consideremos un p´endulo, que podemos representar por un segmento de longitud fija situado en un plano y en el que uno de sus extremos pasa por un punto fijo. Dar estructura de 1-variedad a la variedad de todas las posiciones posibles de dicho p´endulo.

5. PROPIEDADES B´ aSICAS DE LA TOPOLOG´IA DE UNA VARIEDAD

29

4.18. Encontrar una variedad que modele todas posiciones posibles de un s´olido r´ıgido. 4.19. ¿ Es adecuada la noci´on de variedad modelada sobre abiertos eucl´ıdeos, que se ha considerado, para modelizar matem´aticamente todas las posiciones posibles de un oscilador? 4.20. Consideremos un brazo articulado de un robot formado por dos segmentos articulados en el que uno de los extremos (el hombro) esta fijo en un punto del espacio. ¿Qu´e variedad podemos utilizar para realizar una programaci´on de todos los movimientos posibles de este brazo? 5.

Propiedades b´ asicas de la topolog´ıa de una variedad

´ n 5.1. Sea M una variedad diferencial. Entonces el Proposicio espacio topol´ogico subyacente verifica: (i) M es un espacio T1 . (ii) M es primero contable. (iii) M es localmente conexa. ´ n. Sea p un punto de una variedad diferencial M , Demostracio consideremos una carta x de M en p . Si q es otro punto de M distinto de p pueden ocurrir dos casos, que q 6∈ Dom x o que q ∈ Dom x . En el primero, Dom x es un entorno abierto de p al cual no pertenece q . En el segundo, por ser Dom x homeomorfo a un abierto eucl´ıdeo, se tiene que Dom x es T1 , luego existe U abierto de Dom x tal que p ∈ U y q 6∈ U , adem´as puesto que Dom x es abierto en M se tiene que U es abierto en M luego U es un entorno abierto de p en M . Para probar (ii) y (iii), tomemos p ∈ M y una carta x en el punto p . Puesto que Dom x es homeomorfo a un abierto eucl´ıdeo se tiene que existe una base contable de entornos conexos de p en Dom x . Adem´as por ser Dom x abierto en M se concluye que tambi´en es una base de entornos de p en M . Luego M es primero contable y localmente conexa.  Un espacio X se dice que es localmente compacto si para x ∈ X y cada entorno N , entonces existe un entorno V tal que x ∈ V ⊂ V¯ ⊂ N tal que V¯ es compacto. ´ n 5.2. Sea M una variedad diferencial. Si M es HausProposicio dorff, entonces M es locamente compacta. ´ n. Sea N un entorno de un punto p de una variedad Demostracio M . Tomemos una carta x de M en p tal que Dom x ⊂ N. Sea B un entorno de x(p) en Codom x tal que clB sea compacto, donde cl denota el operador clausura, y clB ⊂ Codom x . Por ser x−1 continua se tiene que x−1 B ⊂ x−1 (clB) ⊂clDom x (x−1 B) ⊂clM (x−1 B) . Por otra parte

30

1. VARIEDADES DIFERENCIALES

x−1 (clB) es un compacto en el espacio Hausdorff M luego es cerrado en M . Entonces clM (x−1 B) ⊂ x−1 (clB) . En consecuencia x−1 B es un entorno abierto de p en M cuya clausura x−1 (clB) es un entorno compacto de p contenido en N .  ´ n 5.3. Sea M una variedad diferencial. Entonces M Proposicio tiene un atlas contable si y s´olo si M es segundo contable. ´ n. Sea A un atlas contable, para cada carta x ∈ A se Demostracio tiene que Dom x es homeomorfo a un abierto eucl´ıdeo que es segundo contable. Si {Bix|i ∈ N} es una base contable de Dom x , entonces {Bix|x ∈ A , i ∈ N} es una base contable de M . Rec´ıprocamente, si M es segundo contable y B es una base contable y A un atlas, entonces la familia B 0 = {B ∈ B| existe una carta xB ∈ A tal que B ⊂ Dom xB }  es contable y {xB |B ∈ B 0} es un atlas de M . PROBLEMAS 5.1. Demostrar que un espacio topol´ogico discreto no puede ser dotado de una estructura diferenciable de dimensi´on ≥ 1 . 5.2. Sea L el subconjunto de R2 que es uni´on de los conjuntos U = {(r, 0) | r ∈ R} y V = {(r, 1) | r ∈ R, r ≥ 0}. Sea U1 el subconjunto obtenido de U reemplazando los puntos (r, 0) por (r, 1) ∀r ≥ 0. Definimos dos cartas α y α1 con dominios U y U1 respectivamente dadas por α(r, 0) = r α1(r, 0) = r (r < 0); α1 (r, 1) = r (r ≥ 0) (i) Demostrar que estas cartas forman un atlas diferenciable de L en R. Demostrar que la topolog´ıa inducida no es Hausdorff. (ii) Definimos otra carta α2 con dominio U2 dada por α2 (r, 0) = r3 (r < 0); α2 (r, 1) = r3 (r ≥ 0) Demostrar que las cartas α y α2 forman un atlas diferenciable de L en R. (iii) Demostrar que los dos atlas anteriores determinan dos estructuras diferenciables diferentes sobre el mismo espacio topol´ogico. 5.3. Sea F : Rn −→ R una funci´on polin´omica homog´enea de grado r ≥ 1 que toma al menos un valor positivo. Sabemos que la funci´on f : Rn −→ R definida por f(r) = F (r) − 1 determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferencial. Demostrar que f −1 (0) es compacta si y s´olo si F (r) > 0 ∀r 6= 0.

5. PROPIEDADES B´ aSICAS DE LA TOPOLOG´IA DE UNA VARIEDAD

31

Soluci´on: Sea r1 6= 0 un punto tal que F (r1) > 0 . Supongamos que existe un punto r0 6= 0 tal que F (r0) ≤ 0 . Puesto que Rn \ {0} es conexo, supondremos que n > 1 , se tiene que existe un camino β en Rn \ {0} tal que β(0) = r0 y β(1) = r1 . La funci´on fβ verifica que existe un t0 tal que 0 ≤ t0 < 1 de modo que  F (β(t0)) = 0 y para t0 < t ≤ 1 se tiene que F β(t) > 0 . Entonces F embargo l´ımt−>t0 k

β(t) 1

(F β(t)) k

β(t) 1

(F β(t)) k

= 1 . Pero sin

k = ∞ . Esto implica que la variedad no es

acotada. Puesto que su topolog´ıa es la de subespacio de Rn se tiene que si fuera compacta tambi´en ser´ıa acotada. Por lo tanto no es compacta. Reciprocamente, si F (r) = 1 , entonces r 6= 0 . Si Z = F −1(1) , entonces r la aplicaci´on φ : Z → S n−1 definida por φ(r) = krk est´a bien definda y es continua. Por otro lado, sea r tal que krk = 1 , entonces F (r) > 0 y r r n−1 se tiene que → Z dada por ψ(r) = 1 ∈ Z, luego ψ : S 1 (F (r)) k

(F (r)) k

est´a bien definida y es continua. Por lo tanto el espacio subyancente de Z es homoeomorfo a un espacio compacto, luego Z es una variedad compacta. 5.4. Demostrar que el hiperboloide de dos hojas no es conexo. 5.5. Demostrar que P n (R) es conexo y compacto. 5.6. Sean a, b y c tres n´ uneros reales no todos nulos. Demostrar que la funci´on f : R3 −→ R dada por f(r1 , r2, r3 ) = ar2r3 + br3r1 + cr1 r2 − 1 determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferencial no compacta. 5.7. Demostrar que P n (C) es una variedad conexa y compacta. 5.8. ¿Admite la 2-esfera un atlas con una sola carta? ¿Y el espacio proyectivo?

CAP´ıTULO 2

ESPACIO TANGENTE 1.

Notaciones previas

Dada f : Rn → Rl una funci´on C ∞ , asociado a cada r ∈Dom f la diferencial de la funci´on en dicho punto Df(r) : Rn → Rl es una aplicaci´on lineal cuya matriz en la base can´onica se denotar´a por Jf (r) y se denomina matriz jacobiana. Si g : Rn → R es una funci´on C ∞ , ∂g denotamos sus derivadas parciales por ∂r : Rn → R y su valor en un i   ∂g ∂g punto r ∈Dom g se denotar´a por ∂r (r) o bien por . ∂ri i r

Si las componentes de f : Rn → Rl funci´on C ∞ , son f1, . . . , fl : Rn → R entonces la matriz jacobiana es la siguiente:   ∂f1 ∂f1 . . . ∂r ∂r1 n  ..  Jf =  ... . . . .  ∂fl ∂fl . . . ∂rn ∂r1 Sea X un conjunto, en la familia de funciones de X en R podemos considerar la suma de funciones, el producto de funciones y el producto de una funci´on por un escalar definidos del modo siguiente: Dadas f, g : X → R definimos f + g como la funci´on cuyo dominio Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g y definida por (f + g)x = fx + gx , x ∈ Dom(f + g) . Similarmente, Dom(f · g) = Dom f ∩ Dom g y (f · g)x = (fx) · (gx) . Para α ∈ R se define αf como la funci´on cuyo dominio es Dom(αf) = Dom f y (αf)x = α(fx) , x ∈ Dom(αf) . PROBLEMAS 1.1. Sea X un conjunto. Probar que el conjunto de aplicaciones de X en R tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad. Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo al anillo de los n´ umeros reales. 2.

Derivadas parciales. Propiedades

´ n 2.1. Sea x : M → Rm una carta y f : M → R una Definicio ∞ funci´on C . Entonces la derivada parcial de f con respecto la i-´esima −1 ∂f = ∂(f∂rxi ) x . Notemos coordenada xi se define como la composici´on ∂x i
∂f que su dominio es Dom ∂x = Dom f ∩Dom x . El valor de la derivada i 33

34

2. ESPACIO TANGENTE

parcial en un punto p ∈ Dom
∂f por ∂x . i p

∂f ∂xi




se denotar´a por

∂f ∂xi




(p) y tambi´en

´ n 2.1. Supongamos que f, g : M → R son funciones Proposicio C y α, β ∈ R , entonces ∞

(i) (ii)

∂(αf +βg) ∂f ∂g = α ∂x + β ∂x ∂xi i i ∂(f ·g) ∂f ∂g = · g + f · ∂xi ∂xi ∂xi

, .

´ n. Para probar (i), consideremos las igualdades: Demostracio ∂(αf +βg) ∂((αf +βg)x−1) ∂(f x−1) ∂(gx−1) ∂f ∂g = x = α x + β x = α ∂x + β ∂x . ∂xi ∂ri ∂ri ∂ri i i Para (ii), tenemos las siguientes: ∂(f ·g) ∂xi

= =

−1 ∂((f ·g)x−1) x = ∂(f∂rxi ) x ∂ri ∂f ∂g · g + f · ∂x ∂xi i

· (gx−1 )x + (fx−1 )x ·

∂(gx−1 ) x ∂ri



PROBLEMAS 2.1. Si x es una carta en una variedad diferencial demostrar que es una funci´on constante de valor δij (delta de Kroneker).

∂xi ∂xj

Soluci´on: Aplicando la definici´on de derivada parcial se tiene ∂xix ∂ri ∂xi = x= x = δij |Dom x j ∂x ∂rj ∂rj 2.2. Si x es una carta en una varidad M y f : M −→ R es una ∂f funci´on definida por f = sen x1 + cos x2 , demostrar que ∂x = cos x1 y 1 ∂f = − sen x2. ∂x2 Soluci´on: Utilizaremos la notaci´on ri para denotar la i-´esima coordenada de una m-tupla (r1 , · · · , rm ) y tambi´en para la i-´esima proyecci´on del producto ri : Rm → R . Entonces tenemos f = sen x1 + cos x2 = sen r1 x + cos r2x = (sen r1 + cos r2 )x Por lo tanto ∂f ∂x1

∂f ∂x2

=

= =

r2 )xx−1 ∂f x−1 x = ∂(sen r1 +cos x ∂r1 ∂r1 ∂(sen r1 +cos r2 ) x = (cos r1 )x = ∂r1

r2 )xx−1 ∂f x−1 x = ∂(sen r1 +cos x ∂r2 ∂r2 ∂(sen r1 +cos r2 ) = x = (− sen r2 )x ∂r2

cos x1

= − sen x2

3. VECTORES TANGENTES

3.

35

Vectores tangentes

Sea M una variedad diferencial y p ∈ M . Denotemos por C ∞ (p) = {f : M → R|f es diferenciable y p ∈ Dom f} . Notemos que si α ∈ R , f, g ∈ C ∞ (p) , entonces αf ∈ C ∞ (p) , f + g ∈ C ∞(p) y f · g ∈ C ∞ (p) . ´ n 3.1. Un operador Λ : C ∞ (p) → R se dice que es lineal Definicio si verifica que Λ(αf +βg) = αΛf +βΛg) para α, β ∈ R y f, g ∈ C ∞ (p) . ´ n 3.1. Sea Λ : C ∞ (p) → R un operador lineal. Si f, g ∈ Proposicio C ∞ (p) coinciden en un entorno de p , entonces Λf = Λg . ´ n. Supongamos que existe un entorno abierto U de Demostracio p en M tal que U ⊂ Dom f ∩ Dom g y f|U = g|U . N´otese que Dom(f − f|U ) = U y que f − f|U = 0|U = 0(0|U ) . Entonces Λ(f − f|U ) = Λ(0|U ) = Λ(0(0|U )) = 0Λ(0|U ) = 0 . Por lo tanto Λ(f) = Λ(f|U ) . An´alogamente se obtiene que Λ(g) = Λ(g|U ) . Entonces Λ(f) = Λ(g) .  En C ∞ (p) podemos definir la siguiente relaci´on. Dadas f, g ∈ C ∞ (p) , diremos que f tiene el mismo germen que g en p si existe un entorno abierto U de p en M tal que U ⊂ Dom f ∩ Dom g y f|U = g|U . El cociente con las operaciones inducidas tiene una estructura natural de R-´algebra y ser´a denotado por Cp∞ . N´otese que un operador lineal Λ : C ∞ (p) → R factoriza de modo natural del modo siguiente: Λ : C ∞(p) → Cp∞ → R . ´ n 3.2. Sea M una variedad. Una derivaci´ Definicio on o vector ∞ tangente en un punto p ∈ M es un operador lineal Λ : C (p) → R que adem´as verifica que si f, g ∈ C ∞(p) , entonces Λ(fg) = f(p)Λ(g) + Λ(f)g(p) . Ejemplo 3.1. Sea x una carta de  una  variedad M y p ∈ Dom x un punto. Entonces podemos definir ∂x∂ i : C ∞ (p) → R mediante la p       ∂f ∂ f´ormula ∂xi f = ∂xi . Es inmediato comprobar que ∂x∂ i es un p

p

p

vector tangente en el punto p de M . ´ n 3.2. Sea Λ : C ∞ (p) → R una derivaci´on en el punto Proposicio p . Si f ∈ C ∞(p) es constante en un entorno de p , entonces Λf = 0 . ´ n. Supongamos que existe un entorno abierto U de Demostracio p en M tal que U ⊂ Dom f y f|U = c|U , donde c denota la funci´on constante con valor c . Aplicando la proposici´on 3.1 se tiene que Λ(f) = Λ(c) = Λ(c · 1) = c · Λ(1) . Por ser Λ una derivaci´on tenemos las igualdades Λ(1) = Λ(1 · 1) = 1 · Λ(1) + Λ(1) · 1 = 2Λ(1) . Esto implica que Λ(1) = 0 . Entonces Λ(f) = c · Λ(1) = 0 . 

36

2. ESPACIO TANGENTE

Si Λ y Λ0 son vectores tangentes en un punto p de una variedad M , entonces la suma Λ + Λ0 definida por la f´ormula (Λ + Λ0)(f) = Λ(f) + Λ0(f) es tambi´en un vector tangente. Tambi´en se tiene que si α ∈ R podemos definir αΛ por (αΛ)(f) = α(Λ(f)) . De modo rutinario de comprueba que αΛ es de nuevo un vector tangente en el punto p . El conjunto de los vectores tangentes en un punto p de una variedad M con las operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorial real. ´ n 3.3. Denotaremos por TpM al espacio vectorial real de Definicio los vectores tangentes en el punto p de una variedad M . Diremos que TpM es el espacio tangente de la variedad en el punto p de M . Para estudiar la dimensi´on de este espacio tangente utilizaremos el resultado siguiente: Lema 3.1. Sea x una carta de una variedad M m-dimensional y p ∈ Dom x un punto tal que x(p) = a . Si f ∈ C ∞ (p) entonces existen h1 , . . . , hm ∈ C ∞ (p) tal que f tiene el mismo germen que la funci´on X f(p) + (xi − ai )hi i

´ n. Tomemos la nueva carta y = x − a que veriDemostracio fica que y(p) = 0 . Sea B una bola contenida en Dom(fy −1 ) y de centro y(p) = 0 y sea F = (fy −1 )|B . Para r = (r1 , · · · , rm ) ∈ B aplicando la regla de Barrow se tiene F (r1, · · · , rm ) − F (0, · · · , 0) = R 1 P ∂F R 1 dF (sr1 ,··· ,srm ) P ds = 0 ri Hi (r1 , · · · , rm ) ri ∂ri (sr1 , · · · , srm )ds = ds 0 R 1 ∂F donde Hi (r1 , · · · , rm ) = (sr1 , · · · , srm )ds para cada 0 ∂ri −1 (r1 , · · · , rm ) ∈ B . Tomemos hi = Hi y . Para cada q ∈ yP B se tiene −1 −1 ri Hi (r) = que P f(q) − f(p) =Pfy (r) − fy (0) = F (r) − F (0) = yi (q)Hi y(q) = ( yi hi )(q) . De donde se obtiene el resultado deseado.  ´ n 3.3. Sea x una Proposicio de una variedad M y p ∈  carta  ∂ Dom x . Entonces los vectores ∂xi para i = 1, . . . m forman una p

base de Tp M . Un vector v ∈ TpM admite en dicha base la   tangente P expresi´on v = i v(xi) ∂x∂ i . p

´ n. Sea Λ una derivaci´on en el punto p de M . SuponDemostracio gamos que f es una funci´on real definida en el punto p . P Por el lema 3.1 y las proposiciones 3.1 , 3.2 se tiene que Λ(f) = Λ(f(p)+ i (x  i −ai)hi ) = P ∂ la f´ormula i Λ(xi )hi (p) . En particular para el vector tangente ∂xi p     P ∂xj ∂f anterior determina que ∂x = hj (p) = hi (p) . Sustituyen∂xi i p p   P ∂f = do en la primera f´ormula obtenemos que Λ(f) = i Λ(xi) ∂x i p

´ TANGENTE 4. APLICACION



P i

Λ(xi )

∂ ∂xi

 (f) . Por lo tanto Λ = p

37



P i

Λ(xi )

∂ ∂xi

 . Es decir, las p

derivadas parciales en el punto p constituyen un sistema generador. P  ∂  Para ver que son independientes supongamos que 0 = λi ∂xi . p   P ∂x λi ∂xji = λj para cada j . Luego el sistema Entonces 0 = 0(xj ) = p



de vectores es independiente.

Notemos que si x e y son dos cartas en el punto p , entonces el cambio de bases viene dado por   X  ∂yj   ∂  ∂ = . ∂xi p ∂xi p ∂yj p j PROBLEMAS 3.1. Consideramos el subconjunto Cs∞ (p) de C ∞ (p) dado por las funciones f : M −→ R que en alg´ un entorno de p sean de la forma X f =c+ fα gα α

donde c es una funci´on constante y el segundo t´ermino es una suma finita de funciones fα , gα de C ∞ (p) que verifican que fα (p) = gα (p) = 0. Demostrar que un operador lineal Λ : C ∞ (p) −→ R es una derivaci´on si y s´olo si es cero sobre Cs∞(p). Soluci´on: Supongamos que Λ : C ∞ (p) −→ R se anula sobre las funciones de la forma indicada. En particular se tiene que la funci´on −f(p)g(p) + (f − f(p))(g − g(p)) = fg − f(p)g − g(p)f est´a en Cs∞ (p) . Por lo tanto se tiene que Λ(fg − f(p)g − g(p)f) = 0 . Equivalentemente Λ(fg) = −f(p)Λ(g) + Λ(f)g(p) . 4.

Aplicaci´ on tangente

Sea p un punto de una variedad diferencial M que est´a en el dominio de una funci´on diferenciable φ : M → N . Entonces φ induce una aplicaci´on lineal φ∗p : TpM → Tφ(p)N del modo siguiente: Si v es un vector tangente en p a M y f : M → R una funci´on diferenciable definida en p , entonces φ∗p(v)(f) = v(fφ) . Llamaremos a φ∗p la aplicaci´on tangente en el punto p y a veces la derivada lineal de φ en el punto p . Adem´as de la notaci´on anterior tambi´en se utilizar´a Tpφ = φ∗p . N´otese
cartaPen p e y es ∂un
carta en φ(p) , entonces P que si x es∂una φ∗pv = j φ∗p v(yj )( ∂yj φ(p) = j v(yj φ) ∂yj φ(p) . En particular para
v = ∂x∂ i p se obtiene   X  ∂(yj φ)   ∂  ∂ = φ∗p ∂xi p ∂xi ∂yj φ(p) p j

38

2. ESPACIO TANGENTE

∂(y φ)
∂(yj φx−1 )
Teniendo en cuenta que ( ∂xji p = se tiene que la matriz ∂ri x(p) lineal de φ∗p respecto a las bases asociadas a las cartas x e y , que llamaremos matriz jacobiana de φ en el punto p y denotaremos por Jφy,x (p) , es la siguiente

 Jφy,x (p) =

∂(yj φ) ∂xi

!

 =

p

∂(yj φx−1) ∂ri

!



= Jyφx−1 (x(p)) x(p)

que coincide con la matriz jacobiana de yφx−1 en el punto x(p) . Recordemos que si F : Rn → Rm es diferenciable y r est´a en su dominio, entonces la matriz jacobiana de F en el punto r respecto las coordenadas can´onicas es precisamente la matriz de la aplicaci´on lineal DF (r) . ´ n 4.1. La aplicaci´on tangente verifica las siguientes Proposicio propiedades: (i) Si φ : M → N y ψ : N → Q son funciones diferenciables y p est´a en el dominio de ψφ , entonces (ψφ)∗p = ψ∗φ(p)φ∗p . (ii) Sea U un abierto de una variedad M y sea p ∈ U . Entonces (id |U )∗p = idTp M . ´ n. Sea v una derivaci´on en el punto p y f una funDemostracio ci´on diferenciable real definida en el punto p . Entonces (ψφ)∗p(v)(f) = v(fψφ) = φ∗p(v)(fψ) = (ψ∗φ(p)φ∗p)(v)(f) . De aqu´ı se concluye que (ψφ)∗p = ψ∗φ(p)φ∗p . Para la segunda parte se tiene que (id |U )∗p(v)(f) =  v(f id |U ) = v(f|U ) = v(f) = idTp M (v)(f) . Ejemplo 4.1. Sea σ : R → M una funci´on diferenciable. Si s ∈ Dom σ , se llama vector velocidad de la
curva en el punto s al vector d tangente en σ(s) a M dado por σ∗s dt s . Si A es un espacio vectorial y a ∈ A , se puede definir un isomorfismo can´onico θa : A → Ta A del modo siguiente para cada v ∈ A considere
mos la curva σ v (t) = a + tv , entonces se toma θa (v) = (σ v )∗0 ddt 0 . Recordemos que si φ∗p : Tp M → TφpN es una aplicaci´on lineal, llamamos rango de φ∗p a la dimensi´on de la imagen de la aplicaci´on lineal. ´ n 4.1. Sea φ : M → N una aplicaci´on diferenciable y p Definicio un punto de su dominio. Llamaremos rango de φ en p precisamente al rango de φ∗p . Es conveniente tener en cuenta que para la aplicaci´on lineal φ∗p : TpM → Tφp N la suma de su rango y la dimensi´on de su n´ ucleo es igual a la dimensi´on del espacio vectorial Tp M . Utilizaremos el siguiente teorema de la funci´on inversa para probar una versi´on similar para variedades.

´ TANGENTE 4. APLICACION

39

Teorema 4.1. Sea r un punto del dominio de una funci´on C ∞ , h : Rm → Rm . Entonces la diferencial de h en r , D(h)(r) es un isomorfismo si y s´olo si existe un entorno abierto V de r tal que h|V es un difeomorfismo. Para variedades diferenciables se tiene la siguiente versi´on: Teorema 4.2. (Funci´on inversa) Sea p un punto del dominio de una funci´on diferenciable φ : M → N . La aplicaci´on tangente φ∗p es un isomorfismo si y s´olo si existe un entorno abierto U de p tal que φ|U es un difeomorfismo. ´ n. Supongamos que φ|U es un difeomorfismo. EnDemostracio tonces (φ|U )∗p es un isomorfismo. Ahora bien en f´acil comprobar que (φ|U )∗p = φ∗p , por lo que φ∗p es un isomorfismo. Rec´ıprocamente si φ∗p es un isomorfismo, entonces m =dimM = dimN = n . Sean x e y cartas en p y en φ(p) , respectivamente. La matriz jacobiana de φ en el punto p , que es la matriz jacobiana de yφx−1 en x(p) , es inversible. Entonces existe un entorno abierto V de x(p) contenido en el dominio de yφx−1 tal que (yφx−1)|V es un difeomorfismo. Sea U = x−1V y consideremos φ|U . N´otese que φ|U = y −1 ((yφx−1)|V )x , por lo que φ|U es un difeomorfismo.  ´ n 4.2. Sea φ : M → N una aplicaci´on diferenciable y Definicio p un punto de su dominio. Se dice que φ es un difeomorfismo local en el punto p si existe un entorno abierto U de p tal que φ|U es un difeomorfismo. Si φ es un difeomorfismo local en todos los puntos de su dominio diremos que φ es un difeomorfismo local. Dadas dos variedades M y M 0 de la misma dimensi´on, podemos construir la suma disjunta de ´estas tomando en la reuni´on disjunta M t M 0 un altas que sea la reuni´on disjunta de dos atlas A y A0 de M y M 0 , respectivamente. Con una construcci´on similar se realiza la suma disjunta de un familia arbitraria de variedades de la misma dimensi´on. En f´acil ver que una variedad es difeomorfa a la suma disjunta de sus componentes conexas. Por otro lado, dadas dos variedades M y N de dimensiones m y n , en el producto cartesiano M × N se puede dar una estructura de variedad (m + n)-dimensional tomando como atlas la familia de cartas {x × y| donde x es carta de M e y es carta de N} . N´otese que el cambio de cartas viene dado por (x0 × y 0)(x × y)−1 = x0x−1 × y 0y −1 , que claramente es una funci´on C ∞ . ´ n 4.2. Sean M y N variedades, φ : M × N → M y Proposicio ψ : M × N → N las proyecciones can´onicas. Sea (p, q) un punto de M × N y denotemos por φ∗ = φ∗(p,q) y ψ∗ = ψ∗(p,q) . Entonces la aplicaci´on lineal (φ∗ , ψ∗) : T(p,q)(M × N) → Tp M ⊕ Tq N es un isomorfismo.

40

2. ESPACIO TANGENTE

´ n. Sean iq : M → M × N , ip : N → M × N las Demostracio inclusiones definidas por iq (p0 ) = (p0 , q) , ip(q 0) = (p, q 0) . Sea la aplicaci´on ξ : TpM ⊕ Tq N → T(p,q)(M × N) dada por ξ(u, v) = (iq )∗ u + (ip)∗ v . N´otese que (φ∗, ψ∗)ξ(u, v) = (φ∗, ψ∗ )((iq )∗ u + (ip)∗ v) = (φ∗((iq )∗ u + (ip)∗ v), ψ∗((iq )∗ u+(ip)∗ v)) = (φ∗ (iq )∗ u+φ∗ (ip)∗ v, ψ∗(iq )∗ u+ψ∗(ip )∗v) = ((φiq )∗ u + (φip)∗ v, (ψiq)∗ u + (ψip)∗v) = (u, v) , donde hemos utilizado que la aplicaci´on tangente en un punto de una aplicaci´on constante es nula. Consecuentemente, la aplicaci´on lineal (φ∗ , ψ∗) entre espacios vectoriales de la misma dimensi´on es suprayectiva, lo que implica que es un isomorfismo.  ´ n 4.3. Sea (p, q) un punto de M × N y denotemos por Proposicio φ∗ = φ∗(p,q) y ψ∗ = ψ∗(p,q) . Sean iq : M → M × N , ip : N → M × N las inclusiones definidas por iq (p0 ) = (p0 , q) , ip (q 0) = (p, q 0) . Si (p, q) est´a en el dominio de una funci´on diferenciable f : M × N → L , entonces para w ∈ T(p,q)(M × N) se tiene que f∗(p,q)(w) = (fiq )∗φ∗ (w) + (fip )∗ ψ∗(w) ´ n. Aplicando la proposici´on anterior se tiene que Demostracio w = (ib)∗ φ∗ (w) + (ia)∗ ψ∗(w) . Entonces f∗(p,q)(w) = (fiq )∗φ∗ (w) +  (fip )∗ψ∗ (w) . PROBLEMAS 4.1. Sean φ, ψ : M −→ N funciones diferenciables que coinciden en alg´ un entorno de p . Demostrar que Tp (φ) = Tp (ψ). Soluci´on: Sabemos que existe un entorno abierto U del punto p tal que f|U = g|U . Entonces, Tp(f|U) = Tp (f id |U ) = Tp (f)Tp(id |U ) = Tp(f) idTpM = Tp (f) y an´alogamente Tp(g|U) = Tp(g) . Entonces Tp (f) = Tp(g) . 4.2. Si φ : M −→ N es una aplicaci´on constante en alg´ un entorno de un punto p ∈ M, demostrar que Tp(φ) es la aplicaci´on nula. 4.3. Sean A y B dos espacios vectoriales reales de dimensi´on finita y φ : A −→ B una aplicaci´on lineal. Dado un vector a ∈ A, demostar que ∀v ∈ A se verifica φ∗(θa v) = θφ(a)(φ(v)) Es decir, que salvo isomorfismos can´onicos la aplicaci´on tangente de una aplicaci´on lineal es ella misma. Soluci´on: Sea σ : R → M una funci´on diferenciable. Si s ∈ Dom σ , se llama vector velocidad de la
curva en el punto s al vector tangente d en σ(s) a M dado por σ∗s dt s .

´ TANGENTE 4. APLICACION

41

Si A es un espacio vectorial y a ∈ A , se puede definir un isomorfismo can´onico θa : A → Ta A del modo siguiente para cada v ∈ A considere
mos la curva σ v (t) = a + tv , entonces se toma θa (v) = (σ v )∗0 ddt 0 . Notemos que φσ v (t) = φ(a) + tφ(v)
= σ φ(v)(t)
φ∗ (θav) = φ∗(σ v )∗0 ddt
0 = (φσ v )∗0 ddt 0 = (σ φ(v))∗0 ddt 0 = θφ(a)(φ(v)) Por lo tanto φ∗ θa = θφ(a)φ . 4.4. Si M es el hiperboloide de dos hojas, demostrar que la inyecci´on natural j : M −→ R3 tiene rango dos en todo punto. Soluci´on: El hiperboliode de dos hojas tiene por ecuaci´on. r12 − r22 − r32 − 1 = 0 . Consideremos el atlas dado por x+ , x− de modo que Dom x+ = {(r1, r2 , r3) ∈ M|r1 > 0} , Dom x− = {(r1, r2 , r3) ∈ M|r1 < 0} y est´an definidas por x+ (r1 , r2, r3 ) = (r2 , r3) y x− (r1 , r2, r3 ) = (r2 , r3) . 2 2 1 ız Entonces idR2 jx−1 + (a, b) = ((1 + a + b ) 2 , a, b) que tiene por matr´ jacobiana   a b 1

J (a, b) = 

1

(1+a2 +b2 ) 2

(1+a2+b2 ) 2

1 0

0 1



que evidentenete tiene rango dos. Para la otra carta se obtiene la misma matriz salvo que hay que considerar signo negativo en las raices cuadradas. Nota. Admitiendo probados los resultados del cap´ıtulo 3, la soluci´on es inmediata. La fibras de una submersi´on son subvariedades regulares. ∂ )f (p), 4.5. Si f ∈ C ∞ (p) y v ∈ Tp(M), demostrar que Tp (f)(v) = a( ∂t siendo a = v(f).

4.6. Demostrar que dos variedades difeomorfas tienen la misma dimensi´on. 4.7. Demostrar que la funci´on f : −→ RP 2 que asocia a cada punto z ∈ S 2 el 1-plano (la recta) de R3 determinada por z, es un difeomorfismo local. Soluci´on: Utilizando resultados del cap´ıtulo 3 se pueden dar solucines m´as elaboradas utilizando t´ecnicas de secciones locales o de grupos de transformaciones. Sin embargo aqu´ı vamos a calcular directamene la matriz jacobiana y calculremos su rango. Lo haremos respecto una pareja de cartas y de modo an´alogo se procede en el resto de los casos. Sea p = (r1, r2 , r3) ∈ S 2 con r1 > 0 y tomemos la carta x en p

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2. ESPACIO TANGENTE

tal que x(r1 , r2, r3 ) = (r2 , r3) y la carta y en [(r1, r2, r3 )] definida por y[(r1, r2, r3 )] = ( rr21 , rr31 ) . Entonces yfx−1 (a, b) = yf((1 − a2 − b2) 2 , a, b) = y[((1 − a2 − b2) 2 , a, b)] = a b ( 1 , 1 ) (1 − a2 − b2) 2 (1 − a2 − b2) 2 Por tanto la matriz jacobiana ser´a   2 1

1

1−b

J (a, b) =

ab

 (1−a2 −b2 ) 2 ab

3

(1−a2−b2 ) 2 1−b2

3

3 (1−a2 −b2 ) 2

3 (1−a2−b2 ) 2



cuyo determinante es no nulo: det(J (a, b)) =

1 1

(1 − a2 − b2) 2 Por lo que f es un difeomorfismo local. 4.8. Demostrar que la funci´on f : R −→ S 1 definida por f(s) = (sen 2πs, cos 2πs) es un difeomorfismo local 4.9. Sea a un n´ umero real mayor que cero. Consideramos el difeomorfismo λa : Rn+1 \ {0} −→ Rn+1 \ {0} definida por λa (z) = az, que satisface la condici´on σλa = σ, siendo σ : Rn+1 \ {0} −→ S n z la aplicaci´on dada por σ(z) = |z| . Deducir que σ tiene en todos los puntos rango n.

4.10. Sabemos que las variedades M1 y M2 definidas sobre el subespacio H de R2 que consiste de los puntos (x, 0) (x ∈ R), junto con el punto (0, 1) que vienen definidas por S los siguientes atlas: Sean U = {(x, 0)|x ∈ R} y U1 = {(x, 0)|x 6= 0} {(0, 1)} El atlas de M1 por las cartas, α : U −→ R definida de la siguiente manera, α(x, 0) = x y α1 : U1 −→ R definida por, α1 ((x, 0)) = x; α1 (0, 1) = 0 . El atlas de M2 por las cartas: α : U −→ R definida por , α(x, 0) = x y α2 : U1 −→ R definida por α2((x, 0)) = x3; α2(0, 1) = 0. Demostrar que estas dos variedades no son difeomorfas.

CAP´ıTULO 3

SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE El rango de una funci´on diferenciable tiene especial inter´es si coincide con la dimensi´on de la variedad inicial o de la variedad final. En el caso que el rango coincida con ambas se trata de un difeomorfismo local. 1.

Inmersiones

´ n 1.1. Una funci´on f : M → N se dice que es una inDefinicio mersi´ on en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincide con la dimensi´on de M . Si f es inmersi´on en todos los puntos de su dominio diremos que f es una inmersi´ on. Cuando el dominio de f es M se dice que f es una inmersi´ on global. Si f es una inmersi´on global inyectiva se dice que f es un encaje. Si f : M → f(M) estambi´en un homeomorfismo, diremos que f es un encaje regular. En este u ´ltimo caso si adem´as f es una inclusi´on se dice que M es subvariedad y respectivamente subvariedad regular de N . Lema 1.1. Sea a ∈ Dom g donde g : Rm → Rn es diferenciable. Si g tiene rango m en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rn → Rn de modo que la funci´on hg coincide con r → (r, 0) en un entorno abierto de a . ´ n. Si g tiene rango Demostracio  m en
a , entonces existen 1 ≤ ∂g σ1 < σ2 < · · · < σm ≤ n tal que det ∂rσji a 6= 0 , i ∈ {1, · · · , m} . Podemos extender σ : {1, · · · , m} → {1, · · · , n} a una permutaci´on σ : {1, · · · , n} → {1, · · · , n} y definir θ : Rn → Rn mediante ormula   la f´
i θ(r1 , · · · , rn ) = (rσ1 , · · · , rσn ) . Notemos que det ∂(θg) = ∂rj a  
∂g det ∂rσji a 6= 0 . n Consideremos la funci´on ϕ : Rm × Rn−m dada →R  por ϕ(r, s) =
∂ϕi θg(r) + (0, s) . Entonces se tiene que det ∂rj (a,0) 6= 0 . Aplicando el teorema de la funci´on inversa podemos asegurar que existe una f : Rn → Rm × Rn−m tal que Codom f = U × V con U entorno abierto de a contenido en Dom(θg) y V entorno abierto de 0 y adem´as ϕ|U ×V = f −1 . Tomemos h = fθ . Para r ∈ U tenemos hg(r) = fθg(r) = f(θg(r) + (0, 0)) = fϕ(r, 0) = (r, 0) . 

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3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

´ n 1.1. Si f : M → N es una inmersi´on en un punto p , Proposicio entonces existen cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente, tal que yfx−1 (r) = (r, 0) para r ∈ Dom(yfx−1 ) . ´ n. Sea x¯ una carta de M en p y sea y¯ una carta Demostracio de N en f(p) , entonces y¯f x¯−1 es una inmersi´on en el punto x¯(p) . El lema 1.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rn tal que para cada r ∈ Dom(h¯ yf x¯−1 ) se tiene que h¯ y f x¯−1 (r) = (r, 0) . Tomemos y = h¯ y y x = x¯ . Entonces si r ∈ Dom(yfx−1 ) se obtiene que yfx−1 (r) = (r, 0) .  Corolario 1.1. Supongamos que p est´a en el dominio de una funci´on diferenciable f : M → N . Entonces f es una inmersi´on en p si y s´olo si existe un entorno abierto U de p y una funci´on diferenciable r : N → M tal que r(f|U ) =id|U . ´ n. Supongamos que f es una inmersi´on en p . EnDemostracio tonces por la proposici´on anterior, existen cartas x en p e y en f(p) tal que yfx−1 (r) = (r, 0) . Consideremos la descomposici´on Rn = Rm × Rn−m y sea pr : Rn → Rm la proyecci´on natural. Sea U = Dom x∩f −1 (Dom y) y r = x−1 pr y . Entonces r(f|U ) = x−1 pr y(f|U ) = x−1 pr y(f|U )x−1 x = x−1 id|x(f −1(Dom y)) x =id|U . Rec´ıprocamente, si r(f|U ) =id|U , entonces r∗f (p)(f|U )∗p =idTp M . Luego r∗p = (f|U )∗p es un monomorfismo. Por lo tanto f es una inmersi´on en p .  ´ n 1.2. Sea f : M → N una inmersi´on global y sea Proposicio g : L → M una funci´on continua. Entonces si fg es diferenciable se tiene que g es diferenciable. ´ n. Sea p ∈ Dom g . Por ser f una inmersi´on en Demostracio g(p) , aplicando corolario 1.1, existe V entorno abierto de g(p) y existe r : M → N tal que r(f|V ) =id|V . Por ser g continua U = g −1 V es un entorno abierto de p . Entonces g|U =(id|V )(g|U ) = r(f|V )(g|U ) = r(fg|U ) . Por ser (fg|U ) diferenciable se obtiene que g|U es diferenciable. Luego g es diferenciable en cada punto de su dominio. Por lo tanto g es diferenciable.  ´ n 1.3. Sea f : M → N un encaje regular y sea g : L → Proposicio M una funci´on. Entonces si fg es diferenciable se tiene que g es diferenciable. ´ n. Notemos que g = f −1 (fg) . Entonces fg es conDemostracio tinua por ser diferenciable y f −1 es continua si la consideramos como una aplicaci´on de f(M) con la topolog´ıa traza en M con la topolog´ıa inducida por su estructura de variedad ya que f es un encaje. Puesto que la composici´on de aplicaciones continuas es continua, se tiene que

1. INMERSIONES

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g es continua. Aplicando la proposici´on anterior se concluye que g es diferenciable.  Obs´ervese que un encaje de una variedad compacta en una Hausdorff es un encaje regular. Existe un notable teorema de Whitney que asegura que dada una variedad compacta de dimensi´on n se puede encajar regularmente en R2n . PROBLEMAS 1.1. Determinar si las funciones globales c1 , c2 : R −→ R2 definidas por c1 (s) = (sen 2s, sen s) y c2(s) = (cos 2s, cos s) son inmersiones. Calcular el rango de cada una de ellas en los puntos de sus dominios. Representar gr´aficamente los conjuntos imagen de las aplicaciones anteriores. 1.2. Determinar los puntos en los que la funci´on ψ : R2 −→ R3 definida por: ψ(r1, r2) = (r2 cos r1, r2 sen r1, r2 ) es una inmersi´on. Representar gr´aficamente el conjunto imagen de la aplicaci´on anterior. V´ease figura 1

Figura 1. Cono Soluci´on: La matriz jacobiana   −r2 sen r1 cos r1  r2 cos r1 sen r1  0 1 tiene rango dos para r2 6= 0 y rango uno para r2 = 0 . Por lo tanto la aplicaci´on es una inmersi´on en {(r1 , r2)|r2 6= 0} .

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3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

1.3. Demostrar que la funci´on f : R −→ R3 dada por f(t) = (cos 2πt, sen 2πt, t) es una inmersi´on. Representar gr´aficamente el conjunto imagen de la aplicaci´on anterior.V´ease figura 2 -1 1 0.5 0

-0.5

0

0.5

1

-0.5 -1 1 2

1

0

-1

-2

Figura 2. H´elice Soluci´on: La matriz jacobiana   −2π sen t  2π cos t  1 tiene rango uno en todos los puntos . Por lo tanto la aplicac´on es una inmersi´on. Tambi´en es global e inyectiva; es decir, es un encaje. 1.4. Demostrar que las funciones f, g : (1, ∞) −→ R2 definidas por: f(t) = (( 1t ) cos 2πt, ( 1t ) sen 2πt) y g(t) = ( t+1 cos 2πt, ( t+1 ) sen 2πt) 2t 2t son inmersiones. Representar gr´aficamente los conjuntos imagen de las aplicaciones anteriores. Soluci´on: La matriz jacobiana de f es la siguiente   1 − cos 2πt − 2πt sen 2πt t2 − sen 2πt + 2πt cos 2πt tiene rango uno en todos los puntos . Notemos que la norma del vector 2 anterior es 1+(2πt) , que es mayor que cero. Por lo tanto la aplicaci´on t2 es una inmersi´on global e inyectiva; es decir, es un encaje. La matriz jacobiana de g es la siguiente Denotemos por A(t) = t+1 2t     dA(t) cos 2πt − sen 2πt + 2πA(t) sen 2πt cos 2πt dt El rango sera uno salvo en los puntos tales que A(t) = 0 y dA(t) =0. dt Puesto que t ≥ 1 el sistema anterior no tiene soluci´on se obtiene que la aplicaci´on g es una inmersi´on global e inyectiva; es decir, es un encaje.

1. INMERSIONES

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1.5. Si ψ : M −→ N es una inmersi´on y ψ 0 : M −→ N 0 es una funci´on diferenciable, demostrar que (ψ, ψ 0) : M −→ N × N 0 es una inmersi´on. 1.6. Si ψ : M −→ N y φ : M 0 −→ N 0 son inmersiones, demostrar que ψ × φ : M × M 0 −→ N × N 0 es tambi´en una inmersi´on. S 1.7. Sea M el siguiente subconjunto de R2: M = (R × 0) (R × 1). Consideramos el atlas sobre M formado por las siguientes cartas: x : M −→ R dada por x(s, 0) = s y x1 : M −→ R dada por x1(s, 1) = s. Sean ahora φ : R −→ M definida por φ(s) = (s, 1) si s 6= 0 y φ(0) = (0, 0) y ψ : M −→ R definida por ψ(s, 1) = ψ(s, 0) = s. Demostrar que ψ es una inmersi´on, ψφ es diferenciable pero φ no es diferenciable. 1.8. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de variedad diferencial que definimos en el problema 2.2 del cap´ıtulo 1, el conjunto N no es una subvariedad de R2 1.9. Definir una estructura C ∞ sobre el conjunto de las matrices sim´etricas de tal forma que lleguen a ser una subvariedad de Mn (R). ¿Forman las matrices sim´etricas un conjunto abierto de Mn (R)? Soluci´on: Denotemos por Sn (R) el conjunto de matrices sim´etricas que es un subconjunto de Mn (R) . Con el objetivo de dar una estructura de variedad diferenciable a Sn (R) notemos que para cada entero s ≥ 1 existen un u ´nico i ≥ 1 y j ≥ 1 tales que s = 1 + 2 + 3 + · · · + (i − 1) + j . De modo an´alogo, para cada entero t ≥ 1 existen u ´nicos enteros k ≥ 1 y l ≥ 1 tales que t = (k − 1)n + l . Recordemos que la biyecci´on 2 x : Mn (R) → Rn definida por xs ((aαβ )) = akl . 2 Definamos ahora la biyecci´on y : Sn (R) → Rn definida por ys ((aαβ )) = aij . Denotemos por in: Sn (R) → Mn (R) la inclusi´on can´onica, entonces se tiene que para t = (k − 1)n + l   y1+···+(l−1)+k si k ≤ l xt in =  y 1+···+(k−1)+l si l ≤ k Por lo tanto x in es diferenciable y tambi´en lo sera in = x−1x in . De modo an´alogo se ve que la aplicaci´on τ : Mn (R) → Sn (R) , t definida por τ (A) = A+A , es diferenciable, donde At denota la matriz 2 transpuesta. De la igualdad τ in = id se desprende que Sn (R) es una subvariedad regular. Excepto para n = 1 la dimensi´on de Sn (R) es estrictamente menor que la de Mn (R) , entonces para n > 1 no puede ser un abierto.

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3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

1.10. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de variedad diferenciable de que se ha dotado a la figura Ocho es una subvariedad de R2 1.11. Sea M 00 una subvariedad de M 0 y M 0 una subvariedad de M. Demostrar que M 00 es subvariedad de M. 1.12. Recordemos que una inyecci´on φ : M −→ N induce una estructura C ∞ en su rango φ(M). Si φ es una inmersi´on, demostrar que φ(M) es una subvariedad de N difeomorfa a M . 1.13. Encontrar un encaje regular del toro S 1 × S 1 en R3 . V´ease figura 3

Figura 3. Toro Soluci´on: Definamos la aplicaci´on E : R2 → R3 definida por E(φ, ψ) = (2 cos 2πφ, 2 sen 2πφ, 0) + (cos 2πψ cos 2πφ, cos 2πψ sen 2πφ, sen 2πψ) = = (2 cos 2πφ+cos 2πψ cos 2πφ, 2 sen 2πφ+cos 2πψ sen 2πφ, sen 2πψ) ´ Esta es diferenciable y su matriz jacobiana se comprueba que tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´on es una inmersi´on. Si consideramos el difeomorfismo local pr : R2 → (S 1)2 se tiene que E factoriza a trav´es de dicho cociente para determinar el encaje buscado. Notemos que el encaje es regular ya que la aplicaci´on inducida es una inyecci´on continua de una variedad compacta en una variedad Hausdorff. 1.14. La funci´on f : R3 −→ R definida por: f(r1 , r2 , r3) = (r12 + r22 − 1) determina en f −1 (0) una estructura de variedad ecuacionable S (cilindro circular). Si t es la funci´on identidad en R y si j : S 1 −→ R2 es la inclusi´on natural, demostrar que t×j es una inmersi´on cuya imagen es S. Deducir que R × S 1 es difeomorfa al cilindro circular.

2. SUBMERSIONES

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1.15. Sea M1 una subvariedad de M que est´a contenida en una subvariedad regular M 0 de M. Demostar que M1 es una subvariedad de M 0 . 1.16. W es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensi´on finita. Cuando se dan en ambas sus estructuras C ∞ estandar, demostrar que W es una subvariedad regular de V . 1.17. Demostrar que una subvariedad conexa de M es necesariamente un subconjunto conexo de M. Encontrar una subvariedad de R2 que no sea conexa y que sin embargo sea un subconjunto conexo de R2 . 1.18. Demostrar que una subvariedad compacta de M es necesariamente un subconjunto compacto de M. Usar la figura Ocho para dar un ejemplo de una subvariedad de R2 que no es compacto aunque es un subconjunto compacto de R2 . 1.19. Demostrar que una componente de una variedad M es una subvariedad conexa de M. 1.20. Sea f : R2 −→ R3 la aplicaci´on definida por f(θ, φ) = (cos φ cos θ, cos φ sen θ, φ) Encontrar los puntos en los que f es una inmersi´on. 1.21. Considerar la aplicacion g : S 1 tR → R2 de la reuni´on disjunta de una circunferencia y una recta en el plano, definida por g/S 1 =inclusi´on y g(t) = (1 + et )(cos t, sen t). Contestar razonadamente si g es o no es un encaje regular. 2.

Submersiones

´ n 2.1. Una funci´on f : M → N se dice que es una subDefinicio mersi´ on en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincide con la dimensi´on de N . Si f es una submersi´on en todos los puntos de su dominio diremos que f es una submersi´ on. Cuando el dominio de f es M diremos que f es una submersi´ on global. Si f es una submersi´on global sobreyectiva diremos que N es un cociente de M . Lema 2.1. Sea a ∈ Dom g donde g : Rm → Rn es diferenciable. Si g tiene rango n en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rm → Rm de modo que la funci´on gh coincide con la proyecci´on (r1, r2 ) → r1 en un entorno abierto de h−1 a .

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3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

´ n. Si g tiene rango n en a, entonces existen 1 ≤ Demostracio
∂gi σ1 < σ2 < · · · < σn ≤ m tal que det ∂r 6= 0 . Podemos extena σ j

der σ : {1, · · · , n} → {1, · · · , m} a una permutaci´on σ : {1, · · · , m} → {1, · · · , m} y definir θ : Rm → Rm mediante la f´ormula θ(r1 , · · · , rm ) = (rσ1 , · · · , rσm ) .   

 ∂gi i N´otese que det ∂(gθ) = det 6= 0 , i, j ∈ {1, · · · , n} . ∂rj ∂rσ a θ−1 a j

m−n Consideremos la funci´on ϕ : Rm → Rn ×  por ϕ(r) =  R
dada ∂ϕi (gθ(r), pr2 (r)) . Entonces se tiene que det ∂rj θ−1 a 6= 0 , i, j ∈ {1, · · · , m} . Aplicando el teorema de la funci´on inversa podemos asegurar que existe una f : Rn × Rm−n → Rm tal que Codom f es un entorno abierto de θ−1 a contenido en Dom(gθ) y adem´as ϕ|Codom f = f −1 . Tomemos h = θf . Para (r1 , r2) ∈ Dom f tenemos gh(r1 , r2 ) = gθf(r1 , r2 ) = pr1 ϕf(r1 , r2 ) = r1 . 

´ n 2.1. Si f : M → N es una submersi´on en un punto Proposicio p , entonces existen cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente, tal que yfx−1 (r1, r2 ) = r1 para (r1, r2 ) ∈ Dom(yfx−1 ) ⊂ Rn × Rm−n . ´ n. Sea x¯ una carta de M en p y sea y¯ una carta de Demostracio N en f(p) . Entonces y¯f x¯−1 es una submersi´on en el punto x¯(p) . El lema 2.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rn tal que y f x¯−1 h) se tiene que y¯f x¯−1 h(r1 , r2 ) = r1 . para cada (r1 , r2 ) ∈ Dom(¯ Tomemos y = y¯ y x = h−1 x¯ . Entonces si (r1 , r2) ∈ Dom(yfx−1) se obtiene que yfx−1 (r1 , r2) = y¯f x¯−1 h(r1 , r2) = r1 .  Corolario 2.1. Supongamos que p est´a en el dominio de una funci´on diferenciable f : M → N . Entonces f es una submersi´on en p si y s´olo si existe una funci´on diferenciable s : N → M definida en f(p) tal que fs =id|Dom s y sf(p) = p . ´ n. Si f es una submersi´on en p , entonces exisDemostracio ten cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente, tal que yfx−1 (r1, r2 ) = r1 para (r1 , r2) ∈ Dom(yfx−1) ⊂ Rn × Rm−n . Supongamos que x(p) = (a, b) y sea pr : Rn × Rm−n → Rn la proyecci´on can´onica, denotemos por ib : Rn → Rm la aplicaci´on ib (r1 ) = (r1 , b) . Sea el entorno abierto de yf(p) = a determinado por W = −1 i−1 b (x(Dom f)) ∩ Codom y y sea S = ib |W Tomemos como s = x Sy . −1 Es f´acil ver que sf(p) = p . N´otese tambi´en que Codom(fx Sy) ⊂ Dom y . Entonces fs = fx−1 Sy = y −1 yfx−1 Sy = y −1 pr(ib W )y = y −1 id|W y =id|y−1 W =id|Dom s . Rec´ıprocamente, suppongamos que existe dicha secci´on local s . Entonces f∗ps∗f (p) = (id |Dom s )∗f (p) = id∗f (p) = idTf (p) N . De la f´ormula anterior se deduce que f∗p es un epimorfismo. Luego f es una submersi´on en p . 

2. SUBMERSIONES

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´ n 2.2. Si f : M → N es una submersi´on, entonces f es Proposicio una funci´on abierta. ´ n. Si U un abierto de M , se tiene que f|U es tamDemostracio bi´en una submersi´on. Adem´as Im(f|U ) = f(U) . Entonces ser´a suficiente que veamos que la imagen de una submersi´on es un abierto. Supongamos que f(p) ∈Imf . Por ser f una submersi´on en el punto p , sabemos por el corolario 2.1 que existe una funci´on diferenciable s : N → M tal que sf(p) = p y fs =id|Dom s . De aqu´ı se concluye que Dom s ⊂Imf . Adem´as Dom s es un abierto por ser el dominio de una funci´on diferenciable. Luego Imf es entorno de cada uno de sus puntos. ´ Esto implica que Imf es abierto.  ´ n 2.3. Sea f : M → N una submersi´on sobreyectiva y Proposicio sea g : N → L una funci´on. Entonces si gf es diferenciable se tiene que g es diferenciable. ´ n. Sea q ∈ N . Puesto que f es sobreyectiva existe Demostracio p ∈ M tal que f(p) = q . Por el corolario 2.1 existe s diferenciable tal que fs =id|Dom s . Entonces g|Dom s = (gf)s que es diferenciable por ser composici´on de diferenciables. Por lo tanto g es diferenciable en q para cada q ∈ N . Luego g es diferenciable.  PROBLEMAS 2.1. Demostrar que la proyecci´on p1 es una submersi´on de la variedad producto M1 × M2 sobre M1 . 2.2. Demostrar que la funci´on ξ : C2 −→ P 1 (C) definida en C2 − {(0, 0)} por ξ(z) = 1 - plano de C2 que contiene a z es una submersi´on. 2.3. Sea M la variedad que hemos definido en el problema 1.7 sobre S el conjunto (R×0) (R×1). Sea M1 la variedad definida en el problema 4.10 del Cap´ıtulo 2 por medio de las cartas α y α1 (definidas en el problema referido). Consideramos la funci´on φ : M −→ M1 definida por φ(s, 0) = (s, 0) s ∈ R φ(s, 1) = (s, 0) s ∈ R − {0} ; φ(0, 1) = (0, 1). Demostrar que φ es una submersi´on de M sobre M1 . 2.4. ¿Es Hausdorff una variedad cociente de una variedad Hausdorff? 2.5. Si φ : M −→ M 0 y ψ : N −→ N 0 son submersiones, demostrar que es una submersi´on.

φ × ψ : M × N −→ M 0 × N 0

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3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

3.

Las fibras de una submersi´ on

´ n 3.1. Si f : M → N es una submersi´on y q ∈ Codom f , Proposicio entonces S = f −1 (q) es una subvariedad regular de dimensi´on m − n . ´ n. En primer lugar, supongamos que dimM = m = Demostracio n =dimN . Entonces para cada p ∈ f −1 (q) , por el teorema 1.1 , existe un entorno abierto U de p tal que f|U es un difeomorfismo. En consecuencia U ∩ f −1 (q) = {p} . Es decir, f −1 (q) es un espacio discreto que admite de modo natural estructura de variedad diferencial 0-dimensional. Es tambi´en inmediato comprobar que S es una subvariedad regular de dimensi´on m − n = 0 . En segundo lugar, supongamos que m > n . Consideremos la descomposici´on can´onica Rm = Rn × Rm−n . Sea pr2 : Rm → Rm−n la segunda proyecci´on can´onica e in2 : Rm−n → Rm la inclusi´on definida por in2 (r2 ) = (0, r2 ) . Notemos que ambas son aplicaciones diferenciables. Para cada p ∈ S = f −1 (q) existen cartas u en p y v en f(p) tales que Dom u ⊂ Dom(fv) , v(q) = 0 y vfu−1 = pr1 |Dom(vf u−1 ) . Sea p0 ∈ Dom u ∩ S , y supongamos que u(p0 ) = (r10 , r20 ) , entonces r10 = pr1 u(p0 ) = vf(p0) = v(q) = 0 . Por lo tanto u(p0 ) ∈ Codom u ∩ (0 × Rm−n ) . Sea ahora (0, r20 ) ∈ Codom u∩(0×Rm−n ) , entonces u−1(0, r20 ) ∈ Dom u ∩ S . Luego u(Dom u ∩ S) = Codom u ∩ (0 × Rm−n ) . Denotemos por in: S → M la inclusi´on can´onica. Para cada p ∈ S podemos considerar la carta x = pr2 u in que es inyectiva y tiene por codominio el abierto in−1 2 (Codom u) . Supongamos que tenemos dos cartas del tipo anterior x = pr2 u in , x¯ = pr2 u¯ in . Estudiemos la composici´on x¯x−1 . Puesto que x−1 = in−1 u−1 in2 , entonces x¯x−1 = pr2 u¯ in in−1 u−1 in2 = pr2 u¯u−1 in2 que es una funci´on diferenciable. Adem´as es claro que la reuni´on de los dominios de las cartas as´ı definidas es S . Entonces S admite estructura de variedad (m − n)dimensional. Ahora vamos a ver que la inclusi´on in: S → M es una inmersi´on. Para p ∈ S consideremos las cartas x y u . Entonces u in x−1 = u in in−1 u−1 in2 = uu−1 in2 = in2 que es una inmersi´on. Luego in es una inmersi´on en p para cada p ∈ S . Es decir que in es una inmersi´on. Para ver que es regular, queda por ver que la topolog´ıa de S es m´as fina que la topolog´ıa traza. Sea U un entorno abierto de p contenido en el dominio de una carta x , entonces x(U) = in−1 2 W con W abierto de Rm contenido en codominio de u . Entonces U = S ∩ u−1 W . Luego U es un abierto de la topolog´ıa traza.  ´ n 3.2. Sea f : M → N diferenciable, q ∈ Codom f y Proposicio f es submersi´on en todo punto p ∈ f −1 (q) , entonces f −1 (q) es una subvariedad regular de dimensi´on m − n .

´ 3. LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSION

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´ n. Para cada p ∈ f −1 (q) se tiene que si tomamos Demostracio cartas x, y en p, f(p) , respectivamente, entonces detJfy,x es diferenciable y como su valor en p es no nulo tambi´en lo ser´a en un entorno abierto Up de p en M . En consecuencia si U = ∪p Up , p ∈ f −1 (q) , entonces f|U es una submersi´on luego f −1 (q) es una subvariedad regular de M .  ´ n 3.3. Sea f : M → N una submersi´on, q ∈ Codom f , Proposicio −1 p ∈ f (q) = S y j : S → M la inclusi´on can´onica, entonces j∗p TpS = ker f∗p . ´ n. N´otese que fj es una funci´on constante. EntonDemostracio ces f∗p j∗p = 0 , de donde se tiene que j∗p TpS ⊂ ker f∗p . Teniendo en cuenta que los espacios vectoriales anteriores tienen la misma dimensi´on se sigue que j∗pTp S = ker f∗p .  PROBLEMAS 3.1. Demostrar que la funci´on f : R3 −→ R2 definida en R3 por: f1 (r1 , r2, r3 ) = r12 − r22 + 2r1 r3 + 2r2 r3 − 1 f2 (r1, r2 , r3) = 2r1 + r2 − r3 determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferenciable. 3.2. a) Demostrar que las funciones f : R3 −→ R y g : R3 −→ R definidas en R3 por: f(r1 , r2, r3 ) = r12 + r22 − r32 − 1 g(r1 , r2, r3 ) = r1 + r2 − r3 − 1 determinan una estructura de variedad diferenciable en f −1 (0) y en g −1 (0). b) Demostrar que la funci´on (f, g) : R3 −→ R2 no verifica las condiciones usuales para que (f, g)−1(0) tenga estrutura de subvariedad. 3.3. Sea f : R3 −→ R la aplicaci´on definida por f(x, y, z) = x2 y 2 + y 2z 2 + z 2 x2 a) Encontrar los puntos en los que f es una submersi´on. b) Probar que el subconjunto (d > 0) M = {(x, y, z)|x2y 2 + y 2z 2 + z 2x2 = 3d4 } es una subvariedad regular de R3 .

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3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

c) Teniendo en cuenta que las u ´nicas 1-variedades conexas Hausdorff que existen son difeomorfas a S 1 o a R . Describir las componentes conexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano z = c en funci´on de los valores de c . Probar que M no es compacta. d) Probar que cada recta que pasa por el origen y no es un eje corta a M exactamente en dos puntos. Deducir que M es difeomorfa a la 2-esfera menos seis puntos. V´ease figura 4

Figura 4. Esfera con seis agujeros Soluci´on: (a) La matriz jacobiana de f es la siguiente (2x(y 2 + z 2), 2y(x2 + z 2), 2z(x2 + y 2)) Es f´acil comprobar que el conjunto de soluciones de las expresiones anteriores igualadas a cero son exactamente los puntos de los ejes coordenados. Entonces f es submersi´on en R3 menos los ejes coordenados. (b) Notemos que puesto que d > 0 la intersecci´on de M con los ejes coordenados es vacia. Entonces se tiene que f es una submersi´on en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular. (c) Si consideramos la aplicaci´on diferenciable (f, z) : R3 → R2 se tiene que la intersecci´on de M y el plano z = c es la fibra de (3d4 , c) . Comprobemos que (f, z) es una submersi´on, su matriz jacobiana es la siguiente:   2x(y 2 + z 2 ) 2y(x2 + z 2) 2z(x2 + y 2 ) 0 0 1 que tiene en todos los puntos de M rango 2. Entonces la intersecci´on de M con el plano z = c es una 1-variedad. Para c 6= 0 se tiene que 4 x2 + y 2 + c2 < 3d + c2 por los que la intersecci´on es una variedad c2 compacta. En este caso se comprueba que s´olo tiene una componente conexa.

´ 3. LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSION

55

Para c = 0 se tiene que x2 y 2 = 3d4 . En este caso no es compacta y tiene cuatro componentes cada una de las cuales es homeomorfa a R. Puesto que las subvariedades son regulares y son subconjuntos cerrados, si M fuera compacta entonces toda subvariedad cerrada tambi´en lo ser´ıa. La subvariedad obtenida para c = 0 no es compacta, luego M no es compacta. 3.4. Sea F : R3 −→ R la aplicaci´on definida por F (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´on. b) Probar que el subconjunto M = {(x, y, z)|x3 + y 3 + z 3 = 1} es una subvariedad regular de R3 . c) Teniendo en cuenta que las u ´nicas 1-variedades conexas Hausdorff que 1 existen son difeomorfas a S o a R . Describir las componentes conexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano π de de ecuaci´on z = c en funci´on de los valores de c . Probar que M no es compacta. Probar que M es homeomorfa a R2 . d) Probar que cada recta que pasa por el origen o no corta a M o la corta exactamente en un punto. V´ease figura 5

Figura 5. Superficie Soluci´on: (a) La matriz jacobiana de F es la siguiente (3x2 , 3y 2, 3z 2 ) Es f´acil comprobar que el conjunto de soluciones del sistema 3x2 = 0 ,

3y 2 = 0 ,

3z 2 = 0

56

3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

est´a formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) . (b) Notemos que (0, 0, 0) 6∈ M . Entonces se tiene que F es una submersi´on en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular. (c) Si consideramos la aplicaci´on diferenciable (F, z) : R3 → R2 se tiene que la intersecci´on de M y el plano π de ecuaci´on z = c es la fibra de (1, c) . Veamos si (F, z) es una submersi´on, su matriz jacobiana es la siguiente:  2  3x 3y 2 3z 2 0 0 1 que para c 6= 1 se tiene que si suponemos que simultaneamente x = 0 y y = 0 , entonces c3 = 1 pero esto es imposible ya que c 6= 1 . Por lo tanto (F, z) tiene en todos los puntos de M ∩ π rango 2. Entonces la intersecci´on de M con el plano z = c es una 1-variedad. Para z = 1 se tiene que x3 + y 3 = 0 . Equivalentemente x + y = 0 . En este caso la intersecci´on es una recta. Notemos que puesto que M contiene a una recta, entonces M no es compacta con la topolog´ıa relativa. Aplicando que M es una subvariedad regular tambin se tiene que M con su topolog´ıa subyacente es no compacta. Para ver que M es homeomorfa a R2 consideremos la aplicaci´on φ : M → R2 definida por φ(x, y, z) = (x, y) que es continua por ser la restricci´on de una continua. Su inversa ψR2 → M se define como 1 ψ(x, y) = (x, y, (1 − x3 − y 3) 3 ) . Notemos que 1

φψ(x, y) = φ(x, y, (1 − x3 − y 3) 3 ) = (x, y) 1

Si un punto (x, y, z) ∈ M entonces z = (1 − x3 − y 3) 3 , por lo tanto 1

ψφ(x, y, z) = ψ(x, y) = (x, y, (1 − x3 − y 3 ) 3 ) = (x, y, z) Luego M es homoeomorfa a R2 . d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector direccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si adem´as est´a en M se tiene ´nica soluci´on es λ = 3 31 3 1 en el que λ3 (a3 + b3 + c3 ) = 1 cuya u (a +b +c ) 3

caso que (a + b + c ) 6= 0 . Si (a + b + c ) = 0 la ecuaci´on no tiene soluci´on. Por lo tanto la correspondiente recta no corta a M . 3

3

3

3

3

3

3.5. Considerar la relaci´on de equivalencia ρ en R2 dada por (z, w) ∈ ρ ⇐⇒ |z| = |w|. a) Demostrar que el conjunto cociente no admite la estructura de variedad cociente. b) Demostrar que cuando la relaci´on de equivalencia se restringe a R2 − {0} el conjunto cociente admite tal estructura. 3.6. Sea M una variedad diferencial y ρ una relaci´on de equivalencia en M. Denotamos por M 0 la estructura de variedad cociente dada al

4. GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS

57

conjunto M/ρ (se supone que admite esta estructura). Sea f : M −→ M1 una aplicaci´on invariante. a) Demostrar que si f es inmersi´on tambi´en es inmersi´on la aplicaci´on f 0 : M 0 −→ M1 inducida por f. b) Demostrar que si f es submersi´on tambi´en es submersi´on la aplicaci´on f 0 : M 0 −→ M1 inducida por f. 3.7. Sea S(2, R) la variedad de las matrices sim´etricas reales 2 × 2 . a) Demostrar que el conjunto M de todas las matrices sim´etricas reales 2 × 2 con valores propios distintos es un subconjunto abierto de S(2, R) .. b) Consideramos la siguiente relaci´on de equivalencia ρ en M: AρB ⇐⇒ B = T −1 AT ; ∃T ∈ GL(2, R). Demostrar que si a M se le dota de estructura de subvariedad abierta de S(2, R) entonces el conjunto cociente admite la estructura de una variedad cociente M 0 . c) Observad que las funciones con valores reales traza y determinante son invariantes diferenciables sobre M. Obtener las correspondientes funciones inducidas en M 0 . 3.8. Sea O(2) el grupo ortogonal real. a) Probar que O(2) tiene una estructura de 1-variedad compacta con dos componentes conexas. b) Si M(2) denota las matrices 2×2, probar que la inclusi´on de i : O(2) → M(2) es una subvariedad regular. c) Si I denota la matr´ız identidad, probar que i∗I TI O(2) se puede identificar con el espacio de matrices antisim´etricas 2×2. 3.9. Sea F : R → R una funci´on C ∞ y sea q un entero mayor que cero. Definamos la funci´on f : R2 → R mediante la f´ormula f(r, s) = F (r) − sq . Consideremos el conjunto de ceros de esta funci´on S = {(r, s)|f(r, s) = 0} . a) Probar que si en conjunto de soluciones de sistema de ecuaciones F = 0 , dF = 0 es vacio, entonces S es una subvariedad regular de dr R2 de dimensi´on uno. Es decir una curva sin singularidades. b) Probar que si F es un polinomio sin raices multiples, entonces S es una subvariedad regular. c) Estudiar si S es o no es subvariedad regular en los siguientes casos 1) Tomar F (r) = r2 y q = 2 . 2) Tomar F (r) = r3 y q = 3 . 4.

Grupos discontinuos y variedades recubridoras

En esta secci´on llamaremos transformaci´ on de una variedad M a un difeomorfismo global y sobreyectivo de M en M . Denotaremos por Dif(M) el grupo de todas las transformaciones de M .

58

3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

´ n 4.1. Una acci´ Definicio on de un grupo G en una variedad M es una aplicaci´on φ : G × M → M tal que φ(1, p) = p , φ(g, φ(h, p)) = ¯ : M → M , definida por φ(g)(p) ¯ φ(gh, p) y adem´as φ(g) = φ(g, p) , es diferenciable. Si no hay lugar a confusi´on denotaremos φ(g, p) = g · p y ¯ a la transformaci´on Φ(g) por φ¯g . Se dice que la acci´on es eficiente si g · p = p para todo p implica que g = 1 . Diremos que es libre cuando verifica que si para un p ∈ M se tiene que g · p = p , entonces g = 1 . Se dice que una acci´on es discontinua si para cada p ∈ M existe un entorno abierto U tal que si g · U ∩ U 6= ∅ entonces g = 1 . Obs´ervese que una acci´on discontinua es libre y una libre es eficiente. Una acci´on si no es eficiente se le puede asociar una eficiente dividiendo el grupo por los elementos no eficientes. Si en G se considera una estructura de 0-variedad entonces φ : G×M → M es diferenciable. Una acci´on φ : G× M → M determina un homomorfismo φ¯ : G → Dif(M) y rec´ıprocamente. Si la acci´on es eficiente entonces φ¯ es monomorfismo y se puede considerar que G es un subgrupo de Dif(M) . Para las acciones eficientes tambi´en se dice que G es un grupo de transformaciones, o en su caso, que es un grupo de transformaciones discontinuo. Si un grupo G act´ ua en una variedad M , entonces diremos que 0 p, p ∈ M est´an en la misma ´ orbita si existe un g ∈ G tal que g · p = p0 . Denotaremos por G\M el espacio de todas las o´rbitas de M y la proyecci´on can´onica se denotar´a por pr : M → G\M . La o´rbita de p se denotara por pr(p) y tambi´en por G · p . ´ n 4.1. Si G act´ Proposicio ua discont´ınuamente en una variedad M , entonces G\M admite una u ´nica estructura de variedad tal que pr : M → G\M es un difeomorfismo local. Adem´as la proyecci´on can´onica es una aplicaci´on recubridora regular. ´ n. Por ser G discontinuo, podemos encontrar un atDemostracio las A tal que si x ∈ A y g ∈ G , g 6= 1 , entonces g(Dom x)∩Dom x = ∅ . N´otese que pr |Dom x es inyectiva, continua y abierta. Consideremos en G\M la siguiente familia de cartas {x(pr |Dom x )−1 |x ∈ A} que verifica que la reuni´on de sus dominios es G\M . Ahora supongamos que x, y ∈ A y veamos si el cambio y(pr |Dom y )−1 (x(pr |Dom x )−1 )−1 = y(pr |Dom y )−1 (pr |Dom x )x−1 es diferenciable. Sea p ∈ (Dom x) ∩ (∪g∈G g · Dom y) , entonces existe un u ´nico g ∈ G tal que g · p = (pr |Dom y )−1 pr(p) . Entonces Dom x ∩ −1 φ¯g Dom y es un entorno abierto de p tal que (pr |Dom y )−1 (pr |Dom x )|Dom x∩φ¯−1 = φ¯g |Dom x∩φ¯−1 . g Dom y g Dom y De aqu´ı se obtiene que (pr |Dom y )−1 (pr |Dom x ) es diferenciable. Luego el cambio de cartas es diferenciable. Dado p ∈ M, sea x una carta de A tal que p ∈ Dom x . Entonces se tiene que x(pr |Dom x )−1 (pr |Dom x )x−1 = id |Codom x . Luego

4. GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS

59

pr : M → G\M es un difeomorfismo local. La unicidad se deduce de modo inmediato del hecho que la proyecci´on sea una submersi´on. La ultima parte en un resultado bien conocido en la teor´ıa de espacios recubridores.  ´ n 4.2. Si la aplicaci´on f : X → M es un homeomorfisProposicio mo local de un espacio topol´ogico X en una variedad M , entonces X admite una u ´nica estructura diferenciable de modo que f : X → M es un difeomorfismo local. Si X es una cubierta conexa regular de M entonces M se obtiene de X como el espacio de ´orbitas de la acci´on discontinua del grupo de transformaciones de la aplicaci´on recubridora. ´ n. Sea U un cubrimiento abierto de X tal que f(U) Demostracio es abierto para cada U ∈ U , f(U) = Dom(xU ) , donde xU es una carta de M , y la funci´on f|U es un homeomorfismo. La familia de cartas {xU (f|U )|U ∈ U} verifica que la reuni´on de sus dominios es X . N´otese que yV (f|V )(xU (f|U ))−1 = yV (f|V )(f|U )−1 x−1 U −1 = yV (id |f (U ∩V ) )x−1 ) U = (yV xU es diferenciable. Luego el cambio de cartas es diferenciable. La unicidad se deduce de modo inmediato del hecho que la proyecci´on sea una inmersi´on global. La ultima parte en un resultado bien conocido en la teor´ıa de espacios recubridores.  ´ n 4.3. Si G act´ Proposicio ua discont´ınuamente en una variedad M y dados p, p0 en ´orbitas distintas existen entornos abiertos U, U 0 de p y p0 tal que para todo g ∈ G , g · U ∩ U 0 = ∅ , entonces M y G\M son variedades Hausdorff. ´ n. Notemos que si para todo g ∈ G , g · U ∩ U 0 = ∅ , Demostracio entonces tambi´en se tiene que para todo g, g 0 ∈ G , g · U ∩ g 0 · U 0 = ∅ . Dados dos ´orbitas distintas G · p 6= G · p0 . Entonces (∪g∈G g · U) ∩ (∪g0 ∈G g 0 · U) = ∅ . Ello implica que G · p, G · p0 tienen entornos abiertos con intersecci´on vac´ıa.  ´ n 4.2. Un subconjunto S = F¯ se llama dominio fundaDefinicio mental si es la clausura de un subconjunto F que tenga exactamente un representante de cada o´rbita. Un dominio fundamental F¯ se dice que es normal si cada punto p ∈ M tiene un entorno abierto V tal que solo existen un n´ umero finito de elementos g ∈ G de modo que g · V ∩ F¯ 6= ∅ . ´ n 4.4. Sea ∼ \F¯ el cociente inducido en F¯ por la acci´on Proposicio discontinua de un grupo G en una variedad M . Entonces la biyecci´on ∼ \F¯ → G\M es continua. Si adem´as F¯ es normal, entonces dicha biyecci´on es un homeomorfismo.

60

3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

´ n. De la propiedad universal del cociente se deduce Demostracio inmediatamente que la biyecci´on ∼ \F¯ → G\M es continua. Veamos que tambi´en es abierta. Sea p ∈ F¯ y sea V un entorno abierto de p en M tal que F¯ ∩ V es saturado respecto la relaci´on inducida ∼ . Por ser el dominio fundamental normal existe un entorno abierto W tal que g · W ∩ F¯ = ∅ para todo g salvo un conjunto finito. Ello implica que existe un conjunto finito {g1 , · · · , gr } tal que g1 · p, · · · , gr · p ∈ F¯ y si g 6∈ {g1 , · · · , gr } entonces g · p 6∈ F¯ . Puesto que p est´a en el saturado F¯ ∩ V , se tiene que g1 · p, · · · , gr · p ∈ V . Teniendo en cuenta que φ¯g1 , · · · , φ¯gr son continuas y que F¯ es normal se deduce que existe un entorno abierto U de p en M tal que g1 · U ⊂ V, · · · , gr · U ⊂ V y si g 6∈ {g1 , · · · , gr } entonces g ·U ∩ F¯ = ∅ . Entonces p ∈ F¯ ∩(∪g∈G g ·U) = (F¯ ∩ g1 · U) ∪ · · · ∪ (F¯ ∩ gr · U) ⊂ F¯ ∩ V . Luego ∼ \F¯ → G\M es abierta.  Ejemplo 4.1. El grupo aditivo de los enteros Z act´ ua libre y discont´ınuamente como un grupo de transformaciones en R si su acci´on est´a determinada por la funci´on: Φ : Z × R −→ R definida por Φ(n, s) = n + s . En este caso se puede tomar como dominio fundamental el subconjunto compacto [0, 1] , que es la clausura de [0, 1) , subconjunto con un representante de cada o´rbita. PROBLEMAS 4.1. Sea G un grupo de transformaciones sobre una variedad M. ¯ Si φ(g) denota la transformaci´on correspondiente al elemento g ∈ G, −1 ¯ −1 ) = (φ(g)) ¯ demostrar que φ(g . 4.2. La funci´on Φ : G × M −→ M determina la acci´on de un grupo G en una variedad M como grupo de transformaciones. Demostrar que G puede considerarse tambi´en como un grupo de transformaciones que act´ ua a la derecha por la funci´on Φ0 : M × G −→ M definida por 0 Φ (m, g) = Φ(g −1 , m). 4.3. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z act´ ua libre y discontinuamente como un grupo de transformaciones en R2 si su acci´on est´a determinada por la funci´on: Φ : Z × R2 −→ R2 definida por Φ(n, (z1 , z2)) = (n + z1, (−1)n z2 ). Soluci´on: Para cada (a, b) consideremos el entorno abierto B × R , donde B es la bola de centro a y radio 12 . Supongamos que existe un elemento en la intersecci´on de B × R y de Φ(n, (B × R)) . Entonces

4. GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS

61

existen b, b0 ∈ B tales que b = b0 + n . Entonces |n| ≤ |b − b0| < 1 y n entero implica que n = 0 . Por lo tanto Φ es una acci´on discontinua. 4.4. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z× Z act´ ua libre y discontinuamente como un grupo de transformaciones en R × R si su acci´on est´a determinada por la funci´on: Φ : (Z × Z) × R2 −→ R2 definida por Φ((n1 , n2 ), (r1, r2 )) = (n1 + r1 , n2 + r2 ) . 4.5. Demostrar que el grupo G = ha, b|ab = ba−1 i act´ ua libre y discontinuamente como un grupo de transformaciones en R × R si su acci´on est´a determinada por la funci´on: Φ : G × R2 −→ R2 definida sobre los generadores por Φ(a, (r1, r2 )) = (r1 + 1, r2 ) , Φ(b, (r1, r2 )) = (−r1 , r2 + 1). 4.6. Sea Z el grupo aditivo de los n´ umeros enteros, demostrar que la funci´on: Φ : Z × Z × R −→ R definida por Φ(m, n, s) = s + αm + βn, siendo α y β n´ umeros reales no nulos cuya raz´on es irracional, determina una acci´on de Z × Z en R como grupo de transformaciones. Demostrar que esta acci´on es libre pero no discontinua. 4.7. Demostrar que un grupo finito que act´ ua libremente como grupo de transformaciones en una variedad Hausdorff M, act´ ua tambi´en discontinuamente. Probar que en este caso la variedad cociente es Hausdorff. Soluci´on: Supongamos que G = {g1 , · · · gn } con g1 = 1 . Sea ahora un punto p de M . Puesto que la acci´on es libre se tiene que para i, j ∈ {1, · · · , n} , gi p 6= gj p . Aplicando que M es Hausdroff por inducci´on se obtiene que existen entornos abiertos Ui de gi p tal que para ¯ gi es continua se tiene i 6= j , Ui ∩Uj = ∅ . Teniendo en cuenta que cada Φ que existe un entorno U de p tal que para i ∈ {1, · · · , n} ,gi U ⊂ Ui . Entonces U ∩ gi U ⊂ U1 ∩ Ui = ∅ para i ∈ {2, · · · , n} . Por lo tanto la acci´on es discontinua. 4.8. Sea M1 la variedad sobre el subespacio H de R2 , que consiste de los puntos (x, 0) (x ∈ R), junto con el punto (0, 1), definida por las cartas α y α1 cuyosSdominios respectivos son U = {(x, 0)|x ∈ R} y U1 = {(x, 0)|x 6= 0} {(0, 1)} α : U −→ R ; α(x, 0) = x

62

3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

α1 : U1 −→ R ; α1 ((x, 0)) = x; α1(0, 1) = 0. a) Demostrar que la funci´on: Φ : M1 −→ M1 definida por: Φ(s, 0) = (−s, 0) s 6= 0 ; Φ(0, 0) = (0, 1) ; φ(0, 1) = (0, 0) es una transformaci´on en M1 b) Demostrar que el grupo G, que consta de la transformaci´on identidad y de Φ, act´ ua sobre M1 como grupo de transformaciones. Comprobar que este grupo finito act´ ua libremente pero no discontinuamente sobre M1. Notar que este ejemplo demuestra que un grupo de transformaciones finito que act´ ua libremente en una variedad que no es Hausdorff, no es necesariamente discontinuo. 4.9. Demostrar que el conjunto {(r1 , r2 ) ∈ R|0 ≤ r1 ≤ 1} es un dominio fundamental normal para la relaci´on de equivalencia en R2 inducida por el grupo de transformaciones del problema 4.3 . Soluci´on: Denotemos por E(a) la parte entera de un n´ umero real. Entonces la ´orbita de (a, b) tiene un u ´nico representante en F = {(r1, r2 ) ∈ B × R|0 ≤ r1 ≤ 1} que es (a − E(a), (−1)E(a)b) .Veamos que F es normal. Sea (a,b) y tomemos como entorno abierto uno de la forma B × R , donde B es la bola de centro a y de radio 1. Entonces si (r, s) ∈ B × R se tiene que a − 1 < r < a + 1 . Si para un entero n se verifica que 0 ≤ r + n ≤ 1 , se deduce que −a − 1 < −r ≤ n ≤ −r + 1 ≤ −a + 2 . Por lo tanto s´olo un n´ umero finito de enteros n satisface la desigualdad anterior. Ello implica que el dominio fundamental es normal. 4.10. Demostrar que el cuadrado unidad [0, 1] × [0, 1] es un dominio fundamental normal para la relaci´on de equivalencia en R2 inducida por el grupo de transformaciones del problema 4.4. 4.11. Demostrar que el cuadrado unidad [− 12 , 12 ] × [− 12 , 12 ] es un dominio fundamental normal para la relaci´on de equivalencia en R2 inducida por el grupo de transformaciones del problema 4.5. 4.12. Considerar las acciones discontinuas: φ : Z × R2 → R2, φ(z, (a, b)) = (2z + a, b) ψ : Z × R2 → R2 , ψ(z, (a, b)) = (z + a, (−1)z b) Denotemos por φ\R2 , ψ\R2 los espacios de o´rbitas de dichos grupos. i) Probar que existe f : φ\R2 → ψ\R2 tal que pf = q donde p : R2 → φ\R2 y q : R2 → ψ\R2 son las proyecciones can´onicas.

5. MISCEL´ aNEA

63

ii) Probar que f es un difeomorfismo local y que cada fibra de f tiene dos puntos. Soluci´on: De la ecuaci´on φ(z, (a, b)) = (2z + a, b) = ψ(2z, (a, b)) se deduce que la q id: R2 → R2 factoriza a travs de φ\R2 de modo que existe una u ´nica f : φ\R2 → ψ\R2 tal que pf = q id . Puesto que p es una submersi´on se tiene que f es diferenciable. Adem´as de que p, q sean difeomorfismos se obtiene que f tambi´en lo es. 5.

Miscel´ anea

5.1. Sea F : R3 −→ R la aplicaci´on definida por F (x, y, z) = x4 + y 4 + z 4 a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´on. b) Probar que el subconjunto M = {(x, y, z)|x4 + y 4 + z 4 = 1} es una subvariedad regular de R3 . c) Teniendo en cuenta que las u ´nicas 1-variedades conexas Hausdorff que 1 existen son difeomorfas a S o a R . Describir las componentes conexas de la intersecci´on obtenida a cortar M con el plano π de de ecuaci´on z = c en funci´on de los valores de c . Probar que M es compacta. d) Probar que cada recta que pasa por el origen corta a M ex´actamente en dos puntos. Probar que M es difeomorfa a la 2-esfera. V´ease figura 6

Figura 6. Superficie

64

3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

Soluci´on: (a) La matriz jacobiana de F es la siguiente (4x3 , 4y 3, 4z 3 ) Es f´acil comprobar que el conjunto de soluciones del sistema 4x3 = 0 ,

4y 3 = 0 ,

4z 3 = 0

est´a formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) . (b) Notemos que (0, 0, 0) 6∈ M . Entonces se tiene que F es una submersi´on en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular. (c) Si consideramos la aplicaci´on diferenciable (F, z) : R3 → R2 se tiene que la intersecci´on de M y el plano π de ecuaci´on z = c es la fibra de (1, c) . Veamos si (F, z) es una submersi´on, su matriz jacobiana es la siguiente:  3  4x 4y 3 4z 3 0 0 1 que para −1 < c < 1 se tiene que si suponemos que simultaneamente x = 0 y y = 0 , entonces c4 = 1 pero esto es imposible ya que −1 < c < 1 . Por lo tanto (F, z) tiene en todos los puntos de M ∩ π rango 2. Entonces la intersecci´on de M con el plano z = c es una 1-variedad. En 1 1 este caso se tiene que y = (1 − c4 − x4) 4 o bien y = −(1 − c4 − x4 ) 4 . Se trata de una variedad conexa y compacta. Luego es difeomorfa a la 1-esfera. Para c = 1 se tiene que x4 + y 4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 . En este caso la intersecci´on es el punto (0, 0, 1) . Para c = −1 se tiene que x4 +y 4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 . En este caso la intersecci´on es el punto (0, 0, −1) . Para |c| > 1 la interseci´on es el conjunto vacio. d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector direccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si adem´as est´a en M se tiene que λ4 (a4 + b4 + c4 ) = 1 cuyas soluci´ones son λ = 4 41 4 1 y λ=−

(a +b +c ) 4

1 1

(a4 +b4 +c4 ) 4

.

Para cada punto de la esfera (x, y, z) le asociamos el punto de M determinado por 4 41 4 1 (x, y, z) . Rec´ıprocamente, a cada punto (x +y +c ) 4

(x, y, z) de M le corresponde el punto

1 1

(x2 +y2 +z2 ) 2

(x, y, z) de la esfe-

ra. Las transformaciones anteriores son aplicaciones C ∞ de R3 en R3 . Adem´as adecuadas restricciones a subvariedades regurales son diferenciables. 5.2.

Para a 6= 0 sea F : R3 −→ R la aplicaci´on definida por F (x, y, z) = a ez cos(a x) − cos(a y)

a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´on.

5. MISCEL´ aNEA

65

b) Estudiar si el conjunto de ceros M de F es una subvariedad regular de R3 . V´ease figura 7 . Estudiar la compacidad de M . c) Tomemos a = π/2 y supongamos que en el punto p = (0, 0, − log a) de la superficie, sea in : M → R3 la inclusi´on can´onica y considermos
la ∂ carta (u, v) : M → R2 dada por u = x y v = y . Notemos que ∂u p  


∂ ∂ ∂ ∂ y ∂v p es una base de Tp M y ∂x p , ∂y , ∂z p es una base de p

∂ ∂ TpR3 . Calcular in∗p ∂u y in en terminos de la base del espacio ∗p ∂u p p 3 vectorial tangente a R . Calcular la ecuaci´on del espacio tangente a M en el punto p . d) Estudiar la intersecci´on de la superficie M con el plano y = mx , con m 6= 0 . Estudiar el n´ umero de componentes conexas de la intersecci´on.

Figura 7. Superficie Soluci´on: a) La matr´ız jacobiana de F es la siguiente
(− a2 ez sen(a x) , a sen(a y), a ez cos(a x))

∂F 2 ∂F 2 Es f´acil comprobar que + a > 0 , entonces se tiene que ∂x ∂z

∂F ∂F ´o ∂x 6= 0 o´ ∂z 6= 0 . Por lo tanto es rango de la matr´ız jacobiana es uno y F es submersi´on en todos los puntos de R3 . b) Por lo que aplicando el teorema 4.2 del cap´ıtulo 1 o la proposici´on 3.2 del cap´ıtulo 3, se obtiene que el conjunto de ceros de la ecuaci´on a ez cos(a x) − cos(a y) = 0 es una subvariedad regular de R3 de dimensi´on dos. π π , a2 , z) Notemos que para cualquier valor de z se tiene que el punto ( a2 est´a en la variedad M , en consecuencia el subconjunto M no es acotado. Puesto que M es subvariedad regular se tiene que la topolog´ıa de M como variedad coincide con la topolog´ıa de M como subespacio de R3 .

66

3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

Entonces puesto que M no es acotado y los subconjuntos compactos de R3 son cerrados y acotados se sigue que la superficie M no es acotada. c) Se tiene que v) x in = u ,y in = v y z in = log acos(a cos(a u) Adem´as v) ∂ log acos(a cos(a u)

∂u

= a tan au

v) ∂ log acos(a cos(a u)

in∗p




∂ ∂u p

= −a tan av

∂ ∂ ∂ = in∗p ∂u x + in + in∗p ∗p ∂u p y ∂y ∂x p p p  
∂

∂
∂
∂y in ∂z in = ∂x∂uin p ∂x + + ∂u ∂y ∂u p p p ∂z p p

∂ ∂ = ∂x p + (a tan au)p ∂z p
∂ = ∂x p ∂v
∂




∂ ∂u p




z

∂ ∂z p

z

∂ ∂z p

y similarmente se tiene que in∗p




∂ ∂v p


∂ ∂ + in∗p ∂v y ∂y + in∗p p  p


∂
∂y in ∂x in ∂ ∂z in = ∂v p ∂x p + ∂v p ∂y + ∂v p ∂z p p  
∂ ∂ = ∂y − (a tan av)p ∂z p  p ∂ = ∂y = in∗p




∂ ∂v p

x
∂




∂ ∂x p




∂ ∂v p




p

donde en las u ´ltimas igualdades hemos particularizado la expresi´on correspondiente en el punto (0, 0, − log a) La ecuaci´on del plano tangente a M en el punto p ser´a z = − log a notemos que por los c´aculos anteriores se trata de un plano perpendicular al eje de las zetas. d) Consideremos la funci´on (F, mx − y) : R3 → R2 cuya matr´ız jacobiana es la siguiente:   − (a2 ez sen(a x)) a sen(a y) cos(a x) m −1 0 En los puntos que cos ax 6= 0 la matr´ız tiene rango dos, sin embargo si cos ax = 0 y suponemos que (x, y, z) est´a en la intersecci´on, entonces cos a m x = 0 . De aqu´ı se desprende que ax = π2 +kπ y max = π2 +lπ = m( π2 + kπ) . Lo que implica que m debe ser cociente de impares. En este caso la intersecci´on contine a una recta de ecuaci´on x = π+2kπ , 2a m(π+2k)π . Dependiendo de si k y l tienen o no la misma paridad se y= 2a

5. MISCEL´ aNEA

67

tiene que existe un punto en la recta anterior tal que la matr´ız jacobiana tiene rango uno. Notemos que si m no es cociente de impares la recta anterior no corta a la superficie. En el caso que cos ax 6= 0 , y suponiendo que a > 0, cada interπ valo ( 2a + kπ , π + kπ + πa ) contiene al abierto (posiblemente vacio) a 2a a cos amx {x| a cos ax > 0} que es una reuni´on finita de intervalos de la forma π lπ π π lπ π (m´ax{ 2a + kπ , π + ma }, m´ın{ 2a + kπ + πa , 2ma + ma + ma }) a 2am a Cada uno de estos intervalos abiertos es difeomorfo a una componente conexa de la intersecci´on, que ser´a no compacta. En definitiva la intersecci´on siempre tiene un n´ umero contable de componentes conexas no compactas. 5.3. Sea la aplicaci´on ψ : (Z × Z) × (R × R) → (R × R) definida por ψ((k, l), (r, s)) = (r + 2πk, (−1)k r + 2πl) a) Probar que ψ es una acci´on discontinua que tiene por dominio fundamental [0, 2π] × [0, 2π] . La correspondiente variedad de o´rbitas K = (Z × Z)\(R × R) la denominaremos como botella de Klein. Considerar la aplicaci´on F : R2 → R4 definida por x x F (x, y) = ((cos y + 1) cos x, (cos y + 1) sen x, sen y cos , sen y sen ) 2 2 b) Comprobar que F (ψ((k, l), (x, y))) = F (x, y) y que por lo tanto existe una aplicaci´on inducida F¯ : K → R4 . Probar que F¯ es diferenciable. c)Probar que F¯ es un encaje de la botella de Klein en R4 . 5.4. Sea RP 2 es cociente obtenido al identificar puntos ant´ıpodas de la esfera unidad. a) Probar que existe un grupo de transformaciones finito y discontinuo de la 2-esfera unidad cuyo espacio de o´rbitas es RP 2 . Sea F : R3 → R4 dada por F (x, y, z) = (x2 − y 2, xy, xz, yz),

x, y, z ∈ R .

Sea S 2 ⊂ R3 la esfera unidad y considerar la restricci´on φ = F |S 2 : S 2 → R3 donde S 2 es la esfera unidad centrada en el origen. b)Probar que φ es diferenciable y una inmersi´on. Comprobar que φ(p) = φ(−p) . ¯ = φ(p) . Probar c) Sea φ¯ : RP 2 → R4 la inducida por la formula φ[p] 4 ¯ que φ es un encaje del plano proyectivo real en R .

CAP´ıTULO 4

CAMPOS Y FORMAS 1.

Fibrado tangente y cotangente

Sea M una variedad diferencial m-dimensional, consideremos el conjunto de todos los vectores tangentes T M = tp∈M TpM . Denotemos por π : T M → M la proyecci´on que aplica un vector tangente en el punto de tangencia, π(vp) = p . Para cada carta x de M, consideramos una nueva carta x˜ : T M → R2m definida por x˜i (vp ) = xi (p) , x˜m+i (vp ) = vp(xi ) , 1 ≤ i ≤ m . Notemos que Dom x˜ = π −1(Dom x) y Codom x˜ = Codom x × Rm . Si y es otra carta de M el cambio de cartas viene dado por    P y˜x˜−1 (a, r) = y˜ ri ∂x∂ i x−1 a P  ∂y1  P  ∂ym  −1 −1 = (y1 x a, · · · , ym x a, ri ∂xi , · · · , ri ∂xi = (yx

−1

x−1 a

T a, rJyx −1 (a)),

x−1 a

T donde Jyx −1 denota la matriz jacobiana transpuesta del cambio de cartas. La mencionada proyecci´on se denomina fibrado tangente, sin embargo, tambi´en es frecuente llamar fibrado tangente a la variedad T M . Denotemos por C ∞(M) el espacio de todas las funciones diferenciables de M en R y el subespacio de las funciones globales por Cg∞ (M) . Si p ∈ Dom f , f ∈ C ∞ (M) podemos definir la aplicaci´on lineal dfp : TpM → R mediante la expresi´on dfp (v) = v(f) para cada v ∈ TpM . Una aplicaci´on lineal de la forma TpM → R diremos que es un vector cotangente en p a M . El espacio vectorial de los vectores cotangentes en p a M se denotar´a por Tp∗M .

Lema 1.1. Sea p un punto del dominio de una carta x de una variedad M , entonces (dx1 )p, · · · , (dxm )p es una base del espacio Tp∗M .     ∂ ´ n. Sabemos que ∂x∂ Demostracio , · · · , es una base de ∂xm 1 p p   TpM . Los vectores cotangentes anteriores verifican que (dxi )p ( ∂x∂ j ) = p   ∂xi . Lo que prueba que precisamente se trata de la base dual.  ∂xj p

Sea M una variedad diferencial, consideremos el conjunto de todos los vectores cotangentes T ∗M = tp∈M Tp∗M . Denotemos por ∗ π : T ∗M → M la proyecci´on que aplica ∗π(wp) = p que se llamar´a fibrado cotangente, si bien como antes se utiliza este nombre para la variedad T ∗M . Si 69

)

70

4. CAMPOS Y FORMAS

∗ ∗ 2m para cada carta x de M, consideramos una nueva carta   x˜ : T M → R definida por ∗x˜i (wp ) = xi (p) , ∗ x˜m+i (wp) = wp ∂x∂ i , 1≤ i≤ m . p

Notemos que Dom ∗ x˜ = ∗ π−1 (Dom x) y Codom ∗ x˜ = Codom x × Rm . Si y es otra carta de P M el cambio de cartas viene dado por ∗ ∗ −1 y˜ x˜ (a, r) = ∗y˜ ( i r i (dxi )x−1  a)   P    P ∂xi ∂xi −1 = (yx a, ,··· , ) i ri ∂y1 i ri ∂ym x−1 a

= (yx−1a, r((Jyx−1 (a))−1)).

x−1 a

PROBLEMAS 1.1. Demostrar que al espacio tangente TpM en cualquier punto p de M puede dot´arsele de la estructura de subvariedad regular de T M. Demostrar tambi´en que esta estructura coincide con su estructura est´andar como espacio vectorial real. Soluci´on: En primer lugar veamos que la proyecci´on π : T M → M es una submersi´on. Para ello sea vp un vector tangente en el punto p de M . Tomemos una carta x de M en p y sea x˜ la carta inducida en T M. Entonces la representaci´on coordenada de π viene dada por x˜πx−1(r, s) = r . La matriz jacobiana de π respecto las cartas mencionadas es de la forma (id, 0) y su rango ser´a m´aximo. En consecuencia π es una submersi´on. Recordemos ahora el teorema que aseguraba que las fibras de una submersi´on eran subvariedades regulares de dimensi´on 2m − m = m . Es de destacar que las cartas x˜, x inducen una carta y en el punto    P m ∂ −1 vp de Tp M = π (p) . De modo que y(vp) = y = 1 si ∂xi  p  (s1 , · · · , sm ) que es presisamente la carta asociada a la base ∂x∂ 1 , p   ∂ · · · , ∂xm en la estructura estandar del espacio vectorial Tp M . p

1.2. Demostrar que si una variedad diferenciable M admite una base contable para su topolog´ıa (es segundo numerable) el fibrado tangente T M tambi´en admite una base de esas caracter´ısticas (es tambi´en segundo numerable). Soluci´on: Sabemos que si una variedad tiene un atlas contable si y s´olo si es segundo numerable. Entonces puesto que M es segundo numerable se tiene que M tiene un atlas contable A que induce el atlas A˜ = {˜ x|x ∈ A} de T M que al tener como conjunto de ´ındices un conjunto contable es tambi´en contable. Por lo tanto T M es segundo contable. 1.3. Si pr : M × M 0 −→ M y pr0 : M × M 0 −→ M 0 son las proyecciones can´onicas, demostrar que (pr? , pr0? ) : T (M × M 0 ) −→ T M × T M 0

2. CAMPOS Y FORMAS

71

es un difeomorfismo. 2.

Campos y formas

Un operador lineal sobre un abierto U de M es una aplicaci´on ξ : C ∞ (M) → C ∞ (M) tal que Dom ξf = U ∩ Dom f y que verifica la propiedad de linealidad siguiente: ξ(αf + βg) = αξf + βξg . Si adem´as se tiene que ξ(f · g) = (ξf) · g + f · (ξg) , diremos que es un operador derivaci´ on con dominio U . ´ n 2.1. Un campo X de vectores tangentes a una variedad Definicio M es una secci´on diferenciable del fibrado tangente π : T M → M ; es decir, πX = id |Dom X . Una 1-forma ω de vectores cotangentes a una variedad M es una secci´on diferenciable del fibrado cotangente ∗ π : T ∗M → M ; es decir, πω = id |Dom ω . Lema 2.1. Sea M una variedad diferenciable, X : M → T M , w : M → T ∗M secciones de los fibrados tangentes y cotangentes, respectivamente, y sea x una carta de la variedad. P ∂ (i) Si X|Dom x = m i=1 Ai ∂xi , entonces X|Dom x es diferenciable si · · , Am son diferenciables. y s´olo si A1, ·P m (ii) Si ω|Dom x = i=1 B i dxi , entonces ω|Dom x es diferenciable si y s´olo si B 1, · · · , B m son diferenciables. ´ n. N´otese que x˜Xp = (x(p), A1(p), · · · , Am (p)) . EnDemostracio tonces X|Dom x es diferenciable si y s´olo si A1 , · · · , Am son diferenciables. An´alogamente para las 1-formas.  Dado X un campo tangente a M , podemos definir el siguiente operador inducido ξ que aplica una funci´on diferenciable f de M en R en la funci´on ξf cuyo dominio es Dom X ∩ Dom f y est´a definida por ξf(p) = Xp (f) . Rec´ıprocamente, dado un operador derivaci´on ξ sobre un abierto U , podemos asociarle la secci´on X del fibrado tangente cuyo dominio es U y est´a definida por Xp (f) = ξf(p) . ´ n 2.1. Si X es un campo tangente a una variedad M , Proposicio entonces el operador inducido ξ es un operador derivaci´on. Rec´ıprocamente, si ξ es un operador derivaci´on, entonces la secci´on asociada X es un campo tangente. ´ n. Dado un campo X y sea ξ el correspondiente Demostracio operador. En primer lugar probaremos que si f es diferenciable entonces en lo es. Sea x una carta y supongamos que X|Dom x = Pmξf tambi´ ∂ . Entonces para p ∈ Dom X ∩ Dom x se tiene que ξf(p) = i=1 Ai ∂x   iP   P Pm m m ∂f ∂f ∂ Xp (f) = (p) . A (f) = A (p) = A i i i i=1 i=1 i=1 ∂xi ∂xi ∂xi p Ppm ∂f , para cada carta x . Por lo tanto ξf es Entonces ξf|Dom x = i=1 Ai ∂x i

72

4. CAMPOS Y FORMAS

diferenciable. Ahora veamos que es lineal. En efecto, (ξ(αf + βg))(p) = Xp (αf + βg) = αXp (f) + βXp (g) = αξf(p) + βξg(p) = (αξf + βξg)(p) para cada p ∈ Dom X ∩ Dom f ∩ Dom g , escalares α, β ∈ R y f, g ∈ C ∞ (M) . Para ver que ξ es una derivaci´on, sean f, g ∈ C ∞ (M) , entonces ξ(f · g)(p) = Xp (f · g) = f(p)Xp (g) + Xp (f)g(p) = f(p)ξg(p) + ξf(p)g(p) = (f(ξg) + (ξf)g)(p) . Rec´ıprocamente, supongamos que ξ es un operador derivaci´on con dominio el abierto U . Para cada p ∈ U, se tiene que Xp es lineal, e efecto, Xp (αf + βg) = (ξ(αf + βg))(p) = αξf(p) + βξg(p) = αXp (f) + βXp (g) . Adem´as cada Xp es una derivaci´on en el punto p . Sean f, g ∈ C ∞ (p) , entonces Xp (f · g) = ξ(f · g)(p) = (f(ξg) + (ξf)g)(p) = f(p)Xp (g) + Xp (f)g(p) . Finalmente queda probar que X es diferenciable. Sea p ∈ U = Dom X carta Py sea x una Pm de M∂ en p tal que ∂ Dom x ⊂ U . Entonces X = m X(x ) = i ∂xi 1 1 ξ(xi ) ∂xi . Puesto que ξ(xi ) es difierenciable para 1 ≤ i ≤ m , aplicando el lema 2.1 se deduce que X es diferenciable en el punto p . Por lo tanto X es una secci´on diferenciable.  Notaci´on: Dada la correspondencia biun´ıvoca entre campos tangentes y operadores derivaci´on, utilizaremos la misma letra X para denotar el campo y el operador derivaci´on inducido. El conjunto de todos los campos tangentes a una variedad M se denotara por Ξ(M) y los campos tangentes globales por Ξg (M) . Un espacio vectorial real V provisto de una aplicaci´on bilineal antisim´etrica [−, −] : V × V → V que satisfaga la identidad de Jacobi [[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0 se denomina a´lgebra de Lie. ´ n 2.2. Dados dos campos tangentes X, Y a una variedad Definicio M se llama corchete de Lie al campo tangente definido como el operador lineal que aplica la funci´on f ∈ C ∞ (M) en la funci´on [X, Y ]f = X(Y f) − Y (Xf) . Notemos que Dom[X, Y ] = Dom X ∩ Dom Y . ´ n 2.2. El corchete de Lie dota al espacio vectorial de los Proposicio campos globales tangentes a una variedad M de estructura de a´lgebra de Lie. ´ n. No es dif´ıcil comprobar que efectivamente los Demostracio campos tangentes globales de una variedad tiene estructura de espacio vectorial real. La identidad de Jacobi se desprende de las siguientes igualdades [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = (XY − Y X)Z − Z(XY − Y X) + (Y Z − ZY )X − X(Y Z − ZY ) +(ZX − XZ)Y − Y (ZX − XZ) = 0. 

2. CAMPOS Y FORMAS

73

Dada w una 1-forma de M , podemos definir el siguiente operador lineal inducido ω que aplica un campo X tangente a M en la funci´on ωX cuyo dominio es Dom w ∩ Dom X y est´a definida por ωX(p) = wp (Xp ) . Rec´ıprocamente, dado un operador lineal ω : Ξ(M) → C ∞ (M) sobre un abierto U , podemos asociarle la 1-forma w tal que si v ∈ TpM y V es un campo tal que Vp = v , entonces wp (v) = ωV (p) . Notemos que el lema siguiente prueba la existencia del campo V y la independencia del campo V elegido. Lema 2.2. Si v es un vector tangente en un punto p ∈ M, entonces existe un campo tangente V definido en p tal que Vp = v. Si ω : Ξ(M) → C ∞ (M) es un operador lineal sobre un abierto U y si V, V 0 son dos campos tangentes definidos en un punto p ∈ U tales que Vp = Vp0 , entonces ωV (p) = ωV 0(p) . ´ n. Sea o Demostraci   x una carta en el punto p, entonces  v = λ1 ∂x∂ 1 + · · · + λm ∂x∂m . Entonces el campo V = λ1 ∂x∂ 1 + p p  · · · + λm ∂x∂m verifica que Vp = v . Sea X un campo definido en p tal que Xp = 0 , sea x una carta en p . Entonces por ser ω lineal se tiene que ω(X − X|Dom x ) = ω(0(X − X|Dom x )) = 0ω(X −X|Dom x ) = 0 . Entonces (ωX)|Dom x = ω(X|Dom x ) . En particular se tiene que   P P   (ωX)(p) = (ω(X|Dom x ))(p) = ω( i fi ∂x∂ i )(p) = i fi (p)ω ∂x∂ i (p) . De la condici´on Xp = 0 se desprende que f1(p) = 0, · · · , fm (p) = 0, luego (ωX)(p) = 0 . Tomemos ahora X = V − V 0 , n´otese que Xp = 0 . Entonces 0 = (ω(V − V 0 ))(p) = (ωV )(p) − (ωV 0 )(p) .  ´ n 2.3. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre opeProposicio radores lineales respecto funciones de la forma ω : Ξ(M) → C ∞ (M) y 1-formas w : M → T ∗M de una variedad M . ´ n. En primer lugar, veamos que si w es una 1-forma, Demostracio el correspondiente operador es ω y X un campo diferenciable, entonces ωX diferenciable. En el dominio deP una carta x se tiene que ω|Dom x = P es i A dxi y para el campo X|Dom x = Bj ∂x∂ j . Entonces (ωX)|Dom x = P i A Bi que es diferenciable, para cada carta x . Por lo tanto ωX es diferenciable. Veamos ahora que ω es lineal. En efecto, (ω(αX + βY ))(p) = wp (αXp +βYp) = αwp (Xp )+βwp(Yp ) = αωX(p)+βωY (p) = (αωX + βωY )(p) para cada p ∈ Dom w ∩ Dom X ∩ Dom Y , escalares α, β ∈ R y X, Y ∈ Ξ(M) . Rec´ıprocamente, supongamos que ω es un operador lineal con dominio el abierto U . Para cada p ∈ U, se tiene que wp es lineal, para verlo supongamos que u, v ∈ Tp M y que U, V son campos que extienden u y v , entonces wp(αu + βv) = (ω(αU + βV ))(p) = αωU(p) + βωY (p) =

74

4. CAMPOS Y FORMAS

αwp (u) + βwp(v) . Finalmente queda probar que w es diferenciable. Sea p ∈ U = Dom w y sea x una  carta de M en p tal que Dom x ⊂ U . Pm ∂ Entonces w = ω ∂xi dxi . Puesto que para i ∈ {1, · · · , m} se  1 tiene que ω ∂x∂ i es diferenciable, aplicando lema 2.1 se obtiene que w es diferenciable en p para cada p ∈ Dom w . Entonces w es una secci´on diferenciable.  Como consecuencia del resultado anterior utilizaremos la misma letra, digamos ω , para denotar el operador lineal y la secci´on. ´ n 2.3. Una r-forma con dominio un abierto Dom ω de Definicio una variedad M es una aplicaci´on multilineal alternada de la forma ω : Ξ(M)×. . .(r ×Ξ(M) → C ∞ (M) verificando que Dom(ω(X1 , · · · , Xr )) = Dom ω ∩ Dom X1 ∩ · · · , ∩ Dom Xr . Se toman como 0-formas la funciones diferenciables f : M → R . Denotemos por Ωr (M) el espacio de las r-formas de M . Dada una r-forma ω de una variedad M se define su diferencial como la (r + 1)-forma dω definida por 1 X bi , · · · , Xr ) dω(X0 , · · · , Xr ) = (−1)i Xi ω(X0 , · · · , X r+1 0 X 1 bi , · · · , X bj , · · · , Xr ) + (−1)i+j ω([Xi , Xj ], · · · , X r + 1 0≤i<j≤r r

Dada una r-forma θ con dominio Dom θ y un abierto U de la variedad se tiene que la restricci´on θU se define a trav´es de la siguiente f´ormula θ|U (X1 , · · · , Xr ) = θ(X1 , · · · , Xr )|U Es f´acil ver que la restricci´on de r-formas verifica las siguientes propiedades: ´ n 2.4. Sea M una variedad y ω una r-forma, Proposicio (i) Si ω|U = 0 para cada abierto U de un cubrimiento de la variedad, entonces ω = 0 , (ii) Si U es un abierto, entonces (dω)|U = d(ω|U ) . ´ n 2.5. El operador d verifica para cualquier r-forma la Proposicio ecuaci´on ddω = 0 . ´ n. Veamos que ddω|Dom x = 0 para cada dominio Demostracio de  carta. Esto implica que ddω = 0 . N´otese que si X0 = ∂x∂i , . . . , 0   , son los campos coordenados se tiene que el corchete Xr+1 = ∂xi∂ r+1 de Lie de dos de ellos es nulo, entonces

2. CAMPOS Y FORMAS

75

Pr+1 1 i b ddω(X0 , · · · , Xr+1 ) = r+2 0 (−1) Xi dω(X0 , · · · , Xi , · · · , Xr+1 ) = Pr+1 1 1 i j b b i<j (−1) (−1) (Xj Xi −Xi Xj )ω(X0 , · · · , Xi , · · · , Xj , · · · Xr+1 ) = r+1 r+2 

0

´ n 2.4. Una r-forma ω se dice que es cerrada si dω = 0 . Definicio Una r-forma ε se dice que es exacta si existe una (r − 1)-forma θ tal que dθ = ε . El r-´esimo grupo de cohomolog´ıa de De Rham de la variedad M se define como: r HDR (M) = {ω|ω r-forma global cerrada}/{ε|ε r-forma global y exacta }.

Para cualquier r-forma ω global se tiene que ddω = 0 por lo que se obtiene el complejo de cocadenas siguiente: 0 → Ω0g (M) → Ω1g (M) → · · · Ωrg (M) → · · · donde Ωrg (M) denota las r-formas globales de M , el r-´esimo grupo de cohomolog´ıa de De Rham de la variedad M es el r-´esimo grupo de cohomolog´ıa del complejo de cocadenas anterior. PROBLEMAS 2.1. Demostrar que la funci´on que aplica cada punto de una variedad diferenciable M en el vector tangente nulo en ese punto es un campo vectorial en M. 2.2. Sean x, y las cartas del atlas estereogr´afico de S 2 . Si a, b ∈ R, demostrar que los campos vectoriales: X 1 = (ax1 − bx2 )

∂ ∂ + (bx1 + ax2) ∂x1 ∂x2

X 2 = (−ay1 − by2)

∂ ∂ + (by1 − ay2) ∂y1 ∂y2

definen un campo vectorial sobre S 2. Soluci´on: Recordemos que el cambio de cartas viene dado por 1 2 y1 = (x1 )2x+(x y2 = (x1 )2x+(x 2 2 2) 2) y2 1 x1 = (y1 )2y+(y x = 2 2 (y1 )2 +(y2 )2 2)

Entonces la matriz del cambio viene dada por los siguientes coeficientes ∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1

= =

−(x1 )2 +(x2 )2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2 −2x1 x2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2

∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2

= =

−2x1 x2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2 (x1)2 −(x2 )2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2

76

4. CAMPOS Y FORMAS

∂ ∂ X 1 |Dom y = (ax1 − bx2 ) ∂x 2)∂x2      1 + (bx2 1 + ax 2 −(x1 ) +(x2 ) ∂ −2x1 x2 ∂ + ((x1 )2 +(x2 )2 )2 = (ax1 − bx2 ) ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y1 ∂y2        (x1 )2 −(x2 )2 ∂ ∂ 1 x2 + + (bx1 + ax2) ((x1−2x 2 2 2 2 2 2 ∂y1 ((x1 ) +(x2 ) ) ∂y2 2) )       ) +(x  −(x1 )2 +(x2 )2 −2x1 x2 ∂ + (bx = (ax1 − bx2) ((x + ax ) 1 2 2 2 2 2 2 2   1 ) +(x2 ) )   ((x1 ) 2+(x2 ) 2)   ∂y1  −(x2 ) ∂ 1 x2 + (ax1 − bx2) ((x1−2x + (bx1 + ax2) ((x(x11))2 +(x )2 +(x2 )2 )2 )2 )2 ∂y2 2    −ax1 (x1)2 +ax1 (x2 )2 +bx2 (x1 )2 −bx2 (x2 )2 −2bx2 (x1 )2 −2ax1 (x2 )2 ∂ = ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y1     bx1 (x1)2 −bx1 (x2 )2 +ax2 (x1 )2 −ax2 (x2)2 −2ax2 (x1 )2 +2bx1 (x2 )2 ∂ + ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y2    (−ax1 −bx2 )(x1 )2 +(−ax1 −bx2 )(x2)2 ∂ = ((x1 )2 +(x2 )2 )2   ∂y 1  (bx1 −ax2 )(x1)2 +(bx1 −ax2 )(x2 )2 ∂ + ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y2       (−ax1 −bx2 ) (bx1 −ax2 ) ∂ ∂ + ((x1)2 +(x2 )2 ) = ((x1 )2 +(x2 )2 ) ∂y1 ∂y2     = (−ay1 − by2) ∂y∂1 + (bx1 − ax2) ∂y∂ 2 = X 2 |Dom x Puesto que ambos coinciden en la intersecci´on de los dominios se tiene que efectivamente definen un campo en la esfera.

2.3. Sean w, x, y las cartas del atlas de RP 2 . Demostrar que los campos vectoriales: ∂ ∂ X 1 = (w1 ) − (w2 ) ∂w1 ∂w2 ∂ ∂ X 2 = (−x1) − (2x2) ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ X 3 = (y1 ) + (2y2 ) ∂y1 ∂y2 2 definen un campo vectorial sobre RP . 2.4. Si X, Y son campos vectoriales y f, g funciones diferenciables definidas en una variedad diferenciable M con valores en R, demostrar que: [fX, gY ] = fg[X, Y ] + f(Xg)Y − g(Y f)X 2.5. Si x es una carta de una variedad diferenciable M con dominio U y X, Y son campos vectoriales en M, demostrar que: X ∂ [X, Y ]|U = (X(Y xj ) − Y (Xxj )) ∂xj 2.6. Demostrar que el espacio vectorial de las matrices reales n × n tiene estructura de a´lgebra de Lie cuando se define la siguiente operaci´on: [A, B] = AB − BA

3. VARIEDADES PARALELIZABLES

77

2.7. Demostrar que si φ : M → N es un difeomorfismo local e Y es un campo tangente a N , entonces existe un u ´nico campo X tangente a −1 M tal que para cada p ∈ Dom f ∩f Dom Y se tiene que φ∗pXp = Yφp . 2.8. Demostrar que si φ : M → N es diferenciable y ω es una 1forma de N , entonces existe una u ´nica 1-forma φ∗w cotangente a M tal que para cada p ∈ Dom f ∩ f −1 Dom w se tiene que φ∗p (ωφp ) = (φ∗ω)p . 2.9. En la 1-esfera S 1 consideramos la aplicaci´on recubridora f(t) = (cos 2πt, sen 2πt) que induce el campo Xp = f∗p dtd s si p = (cos 2πs, sen 2πs) y la 1-forma w tal que w(X) = 1. Probar que para cualquier funci´on global h de S 1 en R se tiene que dh 6= w y deducir que el primer grupo de cohomolog´ıa de De Rham de S 1 es no nulo. Soluci´on: Supongamos que f ∗ w = f ∗ (dh) = d(hf) . Entonces puesto que hf es una funci´on acotada en alg´ un punto s tiene un m´aximo en el que se anular´a la primera derivada. Entonces     d d(hf) d(hf)s = =0 dt s dt s Sin embargo en el mismo punto se verifica que  ∗

(f w)s

d dt



 = wf (s)f∗s s

d dt

 = wf (s)Xf (s) = 1 s

Lo que implica una contradicci´on que viene de suponer que existe h tal que dh = w . Por lo tanto el primer grupo de cohomolog´ıa de De Rham de la S 1 es no trivial. 3.

Variedades paralelizables

Recordemos que asociado a una variedad M podemos considerar el espacio Ξg (M) de todos los campos globales tangentes a M que tiene una estructura natural de Cg∞ (M)-m´odulo. ´ n 3.1. Dados X 1 , · · · , X r campos globales tangentes a Definicio M , diremos que son linealmente independientes si Xp1 , · · · , Xpr son independientes en TpM para cada p ∈ M . Una variedad M de dimensi´on m se dice paralelizable si existen X 1 , · · · , X m campos globales e independientes. ´ n 3.1. Sea M una variedad, entonces son equivalentes: Proposicio (i) M es paralelizable, (ii) Existe un difeomorfismo de T M con M × Rm que conmuta con las proyecciones y es lineal en las fibras.

78

4. CAMPOS Y FORMAS

´ n. (i) implica (ii): Supongamos que X 1 , · · · , X m es Demostracio una paralelizaci´on de M . Entonces podemos considerar lar biyecci´on Θ : M × Rm → T M definida por Θ(p, (λ1 , · · · , λm )) = λ1 Xp1 + · · · + λm Xpm , que adem´as conmuta con las proyecciones y es lineal en las P j ∂  fibras. Si x es una carta de M , y X j = ai ∂xi la representaci´on coordenada de Θ es la siguiente: X X x˜Θ(x−1 × idRm)(r, λ) = (r, ( λi ai1x−1 (r), · · · , λi aimx−1 (r))) x ˜,(x×id)

De aqu´ı se deduce que detJΘ (p, λ) 6= 0 . Por lo tanto la biyecci´on Θ es un difeomorfismo local, ello implica que Θ es un difeomorfismo global de M × Rm en T M . (ii) implica (i): Es f´acil ver que el fibrado M × Rm tiene m secciones diferenciales independientes, basta considerar S i (p) = (p, (0, · · · , 1(i , · · · , 0)) . Entonces si Θ es el difeomorfismo dado, podemos tomar como paralelizaci´on ΘS 1 , · · · , ΘS m .  N´otese que si el fibrado T M y M × Rm son difeomorfos, entonces Ξg (M) es isomorfo al m´odulo de las secciones diferenciables de M ×Rm . Una secci´on M × Rm es de la forma S(p) = (p, (f1 (p), · · · , fm (p))) con f1 , · · · , fm : M → R diferenciables. Esto implica que la correspondencia S → (f1 , · · · , fm ) es un isomorfismo de Ξg (M) en el Cg∞ (M)-m´odulo libre de rango m , Cg∞ (M)m . PROBLEMAS 3.1. Demostrar que si una variedad diferencial n-dimensional M es paralelizable, su fibrado tangente T M es difeomorfo a M × Rn . 3.2. Probar que los abiertos de Rm y la 1-esfera son variedades paralelizables. Soluci´on:Si U es un abierto en Rm entonces si x es la carta inclusi´on  ∂ ∂ se tiene que ∂x1 , . . . , ∂xm es una paralelizaci´on de U . En el caso de la 1-esfera S 1 podemos considerar sobre R el campo . Este campo es invariante por traslaciones. Supongamos que tene

d
mos una traslaci´on f(s) = s + z . Entonces f∗s dtd s = df = dt s dt s+z  

d(s+z) d = dtd s+z Puesto que el grupo discontinuo de transdt dt s+z s formaciones generado por la traslaci´on unidad, preserva este campo. Entonces se induce un campo en la variedad obtenida al dividir por el grupo de trasformaciones que la 1-esfera. Adem´as el campo inducido es no nulo si tenemos en cuenta que la projecci´on es un difeomorfismo local. d dt

3.3. Probar que una variedad paralelizable es orientable.

4. VARIEDADES ORIENTABLES

79

3.4. Demostrar que el producto de variedades paralelizables es paralelizable. Probar que los toros y cilindros del la forma S 1 × · · · × S 1 , S 1 × · · · × S 1 × R · · · × R son paralelizables. 3.5. Probar que un grupo de Lie es paralelizable. 4.

Variedades orientables

Dadas dos bases de un espacio vectorial de dimensi´on mayor que uno e = (e1, . . . , em ) , e0P = (e01 , . . . , e0m ) tal que el cambio de bases viene dado por la matriz e0j = aij ei . Diremos que e0 ∼ e si det(aij ) > 0 . Se llama orientaci´ on del espacio vectorial real a cada una de las dos clases de equivalencia de la relaci´on anterior θ(e1, e2, . . . , em) , θ(−e1, e2 . . . , em ) . ´ n 4.1. Una orientaci´ Definicio on de una variedad M es una secci´on que asigna a cada p ∈ M una orientaci´on θp del espacio vectorial TpM de tal modo que para cada p ∈ M existen m campos independientes X 1 , · · · , X m definidos en un entorno abierto U de p de modo que θq = θ(Xq1 , · · · , Xqm ) para cada q ∈ U . Una variedad se dice orientable si admite una orientaci´on. Una variedad provista de una orientaci´on se dice que es una variedad orientada. ´ n 4.1. Sea θ una orientaci´on en una variedad M y θ0 Proposicio una orientaci´on en un abierto conexo U . Entonces θ0 = θ|U o θ0 = −θ|U . ´ n. Sean los subconjuntos U + = {p ∈ U|θp = θp0 } y Demostracio U − = {p ∈ U|θp = −θp0 } . Si p ∈ U + , entonces existen paralelizaciones X 1 , · · · , X m y X 0 1 , · · · , X 0 m que determinan las orientaciones θ y θ0 en un entorno abierto p contenido en U . Para cada q ∈ V se P Vj del 0punto j i ai (q)X q de modo que cada aji es un funci´on diferentiene que Xq = ciable con dominio V . N´otese que det(aji (p)) > 0 , y por ser det(aji ) una funci´on continua, existe un entorno abierto W de p contenido en V tal que det(aji (q)) > 0 para cada q ∈ W . Entonces p ∈ W ⊂ U + , esto sucede para cada punto de U + . Por lo que U + es un abierto de M . Similarmente se prueba que U − es abierto. Aplicado que U es conexo se tiene que U = U + o U = U − . Consecuentemente θ0 = θ|U o θ0 = −θ|U .  Corolario 4.1. Una variedad orientable y conexa admite dos orientaciones. ´ n 4.2. Sean x, y un atlas Proposicio  de  una variedad orientable ∂xi M con dominios conexos, entonces det ∂yj tiene signo constante en Dom x ∩ Dom y .

80

4. CAMPOS Y FORMAS

´ n. Teniendo en cuenta que Dom x es conexo y que Demostracio M es orientable se puede aplicar la proposici´on 4.1 para afirmar que existe una orientaci´on θ en M compatible con la parametrizaci´on ∂x∂ 1 , · · · , ∂x∂m . Por otro lado la parametrizaci´on ∂y∂ 1 , · · · , ∂y∂m induce una orientaci´on θ0 en el dominio de la carta y . Al ser este conexo, de 0 0 la proposici´on 4.1  se infiere que θ = θ|Dom y o θ = −θ|Dom y , en el primer caso det negativo.

∂xi ∂yj

es positivo en Dom x ∩ Dom y y en el otro caso 

Corolario 4.2. La banda de Moebius no es orientable. ´ n. Consideremos la banda de Moebius como el esDemostracio pacio cociente M = R2/(r, s) ∼ (r + z, (−1)z s) con z entero. Sea p : R2 → M la proyecci´on can´onica. Tomemos el atlas de dos cartas x = (p|(0,1)×R)−1 , y = (p|(1/2,3/2)×R)−1 que tienen dominio conexo. El cambio de cartas viene dado por yx−1(r, s) = (r + 1, −s) si 0 < r < 1/2 , yx−1(r, s) = (r, s) si 1/2 < r < 1 .   ∂yi vale 1 para 0 < r < 1/2 y vale −1 para 1/2 < Entonces det ∂x j (r,s)

r < 1 . Si suponemos que M es orientable, entonces la proposici´on   ∂yi anterior implica que el signo de det ∂xj debe ser constante. En (r,s)

consecuencia M no es orientable.



´ n 4.3. Sea φ : M → N un difeomorfismo local con Proposicio dominio M . Si θ es una orientaci´on en N, entonces φ induce de modo natural una orientaci´on φ∗ θ en M . ´ n. Sea l : V → W un isomorfismo de espacios vecDemostracio toriales. Si una orientaci´on θ de W est´a determinada por una base (b1, · · · , bm ) , entonces (l−1 b1, · · · , l−1bm ) es una base de V que determina una orientaci´on l∗ θ en V . Ahora puesto que φ es un difeomorfismo local se tiene que para p ∈ M , Tp φ determina una una orientaci´on (Tpφ)∗ θφp en Tp M . Sea U un entorno abierto de p tal que φ|U es un difeomorfismo. Si Y 1, · · · , Y m es una paralelizaci´on de θ en φU , entonces (T φ|U )−1 Y 1 φ|U , · · · , (T φ|U )−1 Y m φ|U es una paralelizaci´on para (Tpφ)∗ θφp con p ∈ U . Luego (φ∗ θ)p = (Tp φ)∗θφp , p ∈ M define una orientaci´on en M .  ´ n 4.4. Sean φ : M → N ψ : N → P difeomorfismo Proposicio local con dominios M y N, respectivamente. Si θ es una orientaci´on en P , entonces φ∗ψ ∗ θ = (ψφ)∗θ .

4. VARIEDADES ORIENTABLES

81

´ n. Para cada punto a ∈ M se tiene que Ta (ψφ) = Demostracio (Tφ(a)ψ)(Taφ) . Adem´as por ser difeomorfismo locales, si w ∈ Tψφ(a)P entonces obtenemos que (Ta φ)−1 (Tφ(a)ψ)−1 (w) = (Ta(ψφ))−1 (w) . De la definici´on de orientaci´on inducida por un difeomorfismo local inmediatamente se sigue que φ∗ ψ ∗θ = (ψφ)∗θ .  ´ n 4.5. Sea G un grupo discontinuo de transformaciones Proposicio de M . Entonces G\M es orientable si y s´olo si existe una orientaci´on θ en M que es preservada por cada transformaci´on del grupo. ´ n. Sea η : M → G\M la proyecci´on can´onica que es Demostracio un difeomorfismo local. Denotaremos por φ¯g la transformaci´on asociada al elemento g ∈ G . Supongamos que G\M es orientable y sea θ una orientaci´on. Tomemos en M la orientaci´on η ∗θ . Para cada g ∈ G la transformaci´on φ¯g verifica que η φ¯g = η . Aplicando la proposici´on anterior se tiene que φ¯∗g η ∗ θ = η ∗θ . Luego la orientaci´on inducida es preservada por las transformaciones del grupo. Rec´ıprocamente, supongamos que en M disponemos de una orientaci´on ε . Sea b ∈ G\M , tomemos a ∈ M tal que η(a) = b . Si la orientaci´on εa est´a determinada por la base (e1 , · · · , em ) y Taη es la aplicaci´on tangente, que es un isomorfismo, entonces (Taη(e1), · · · , Taη(em )) es una base que determina una orientaci´on en Tb (G\M) . Si hubi´eramos tomado otro a0 ∈ M verificando η(a0) = b , entonces existir´ıa un g ∈ G tal que φ¯g (a) = a0 . Supongamos que εa0 est´a determinadaP por la base (e01, · · · , e0m) , puesto que φ¯∗g ε = ε , si (Ta φ¯g )−1 (e0j ) = αij ei con P det(αij ) > 0 . Entonces se tiene que (Ta0 η(e0j ) = αij Ta η(ei) . En consecuencia (Taη(e1 ), · · · , Taη(em )) y (Ta0 η(e01), · · · , Taη(e0m )) determinan la misma orientaci´on en b . Finalmente observemos que existe un entorno abierto U de a y una paralelizaci´on X 1 , · · · , X m definida en U tal que ε es compatible con X 1 , · · · , X m , η|U es un difeomorfismo. Entonces (η|U )−1 X 1 (T (η|U )), · · · , (η|U )−1 X m (T (η|U )) es un paralelizaci´on de θ en ηU entorno abierto de b .  Ejemplo 4.1. La 1-esfera S 1 se puede obtener como la variedad de las ´orbitas del grupo de traslaciones enteras φ : Z × R → R definido por la acci´on φ(z, r) = z + r . N´otese que la orientaci´on inducida por la paralelizaci´on can´onica dtd es invariante por traslaciones. Entonces, la proposici´on anterior implica que S 1 es orientable. Para ver que las dem´as esferas S n , n ≥ 2 son orientables, es suficiente aplicar el siguiente resultado al atlas estereogr´afico. ´ n 4.6. Si una variedad M admite un atlas de dos cartas Proposicio x, y de modo que Dom x ∩ Dom y es conexo, entonces M es orientable. ´ n. La carta x induce una orientaci´on θ en su doDemostracio minio, y respectivamente una orientaci´on τ es inducida por y . En la

82

4. CAMPOS Y FORMAS

intersecci´on conexa Dom x ∩ Dom Y se tiene que θ|Dom y = τ |Dom x o θ|Dom x = −τ |Dom y . En el primer caso, θ ∪ τ define una orientaci´on en M y en el segundo θ ∪ −τ .  Corolario 4.3. La espacio proyectivo RP n es orientable si y s´olo si n es impar. ´ n. El espacio proyectivo RP n es el espacio de ´orbitas Demostracio de la acci´on del c´ıclico de orden dos generado por la aplicaci´on ant´ıpoda a de S n+1 . Si θ es una de las dos orientaciones de S n+1 , entonces por la proposici´on 4.1 , se tiene que a∗ θ = θ o a∗ θ = −θ . Para determinar se se verifica una u otra bastara ver que ocurre en un punto. Si tomamos la carta x de la proyecci´on estereogr´afica sucede que el punto E = (1, 0, · · · , 0) y −E est´an en Dom x , entonces s1 sn x1 = , · · · , xn = 1 − sn+1 1 − sn+1 −s1 −sn xa(s1, · · · , sn+1 ) = x(−s1, · · · , −sn+1 ) = ( ,··· , ). 1 + sn+1 1 + sn+1 Notemos que 1 − s2n+1 −xi a 1 + sn+1 2 2 (x1 ) + · · · + (xn ) = = = . 2 (1 − sn+1 ) (1 − sn+1 ) xi De donde se tiene que −xi xi a = . 2 (x1) + · · · + (xn )2 Calculando las derivadas parciales se obtiene: ∂(xia) −δij ((x1)2 + · · · + (xn )2 ) + 2xi xj = 2 2 ∂xj ((x1) + · · · + (xn ) )2  1 if i = j = 1,       ∂(xia) −1 if i = j > 1, = ∂xj E     0 en otro caso ∗ En consecuencia se tiene que a θ = (−1)n−1 θ . Luego a preserva la orientaci´on si y s´olo si n es impar. Aplicando la proposici´on anterior se tiene que RP n es orientable si y s´olo si n es impar. 

De donde

´ n 4.7. Si θ es una orientaci´on en M , entonces existe Proposicio un atlas compatible con θ . ´ n. Tomemos un atlas con dominios conexos y en Demostracio caso que una carta no sea compatible se le cambia una coordenada de signo. 

5. CURVAS INTEGRALES

83

PROBLEMAS 4.1. Demostrar que la banda de Moebius y la botella de Klein son variedades no orientables. 4.2. Considerar el toro como el espacio de o´rbitas de R2 bajo la acci´on del grupo discontinuo de traslaciones enteras. Probar que existe una orientaci´on en R2 que es preservada por estas traslaciones y deducir que el toro es orientable. 4.3. Demostrar que la variedad producto M × M 0 es orientable si y s´olo si las variedades M y M 0 lo son. 4.4. Demostrar que el fibrado tangente T M de cualquier variedad M es una variedad orientable. 5.

Curvas integrales

Una curva es una funci´on diferenciable σ : R → M . Sea X un campo de vectores tangentes. Se dice que σ es una
curva integral de X si para cada s ∈ σ −1 Dom X se tiene que σ∗s dtd s = Xσ(s) . Sea x : M → Rm una carta y sea c = xσ . Si σ es una curva integral de X en el dominio de la carta, entonces para cada s ∈ σ −1 Dom X ∩ Dom x se tiene que por un lado     d ∂ d ∂ σ∗ + · · · + σ∗ = σ∗ x1 xm dt ∂x1 dt ∂xm     ∂ ∂ d(x1 σ) d(xm σ) = + ··· + dt ∂x1 dt ∂xm     ∂ ∂ dc1 dcm = + ··· + dt ∂x1 dt ∂xm Pm ˜ ∂ y por otro si suponemos que X = i fi ∂xi . Para cada punto de la curva se tiene que 

d dt



∂ ∂ ∂ ∂ Xσ = f˜1 σ + · · · + f˜m σ = f˜1 x−1 xσ + · · · + f˜m x−1 xσ ∂x1 ∂xm ∂x1 ∂xm Entonces σ es curva integral en el dominio de la carta si y s´olo si c = xσ y fi = f˜i x−1 satisfacen las ecuaciones dc1 = f1 (c1, . . . , cm ) dt ... dcm = fm (c1 , . . . , cm ) dt

84

4. CAMPOS Y FORMAS

Es decir si y s´olo si c : R → Rm es una soluci´on de la del sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado anterior. Recordemos que ´ n 5.1. Sea f : Rm → Rm una funci´on C ∞ , a ∈ Dom f . Proposicio Entonces existe un entorno abierto V de a en Dom f y un ε > 0 tales que para cada t0 en R y cada r ∈ V existe una u ´nica curva cr tal que Dom cr = (t0 − ε, t0 + ε) , cr (t0 ) = r y dcr1 = f1 (cr1, . . . , crm ) dt ... dcrm = fm (cr1 , . . . , crm ) dt Adem´as la funci´on (t0 − ε, t0 + ε) × V → Rm , (s, r) → cr (s) es C ∞ . Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad anterior se obtiene el siguiente resultado: ´ n 5.2. Sea X un campo de vectores tangentes a una Proposicio variedad M , p ∈ Dom X . Entonces existe un entorno abierto U de p en Dom X y un ε > 0 tales que para cada t0 en R y cada q ∈ U existe una u ´nica curva σq tal que Dom σq = (t0 − ε, t0 + ε) , σq (t0) = q y
d σ∗s dt s = Xσ(s) . Es decir que σq es una curva integral de X . Adem´as la funci´on (t0 − ε, t0 + ε) × U → M , (s, q) → σq (s) es diferenciable. ´ n 5.1. Una curva integral σ se dice completa si Dom σ = Definicio R . Un campo se dice completo si todas sus curvas integrales son completas. PROBLEMAS 5.1. Encontrar las curvas integrales del siguiente campo definido en R2 : ∂ ∂ X = 2x( ) + 2y( ) ∂x ∂y Soluci´on: El sistema de ecuaciones diferenciales asociado a este campo es el siguiente: dx = 2x dt

dy = 2y dt

dx = 2dt x

dy = 2dt y

equivalentemente:

que tiene como soluci´on: x = ae2t y = be2t

5. CURVAS INTEGRALES

85

5.2. Encontrar las curvas integrales del siguiente campo definido en R2 : ∂ ∂ X = −2x( ) − 2y( ) ∂x ∂y Soluci´on: El sistema de ecuaciones diferenciales asociado a este campo es el siguiente: dx = −2x dt

dy = −2y dt

equivalentemente: dx = −2dt x que tiene como soluci´on: x = ae−2t

dy = −2dt y

y = be−2t

5.3. Si x, y son las cartas del atlas estereogr´afico de §2 . Probar que los campos ∂ ∂ X = −2x1 ( ) + 2x2( ) ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ Y = −2y1 ( ) − 2y2 ( ) ∂y1 ∂y determinan un campo sobre la 2-esfera. Representar gr´aficamente las curvas integrales de dicho campo. 5.4. Encontrar las curvas integrales de los siguiente campos definidos en R2 : ∂ x( ) ∂x ∂ ∂ y( ) − x( ) ∂x ∂y y(

∂ ∂ ) − y 3( ) ∂x ∂y

5.5. Considerar los siguientes campos vectoriales de R2 X = −y Y =x

∂ ∂ +y ∂x ∂y

∂ ∂ +y ∂x ∂y

∂ (i) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] en la base ∂x , (ii) Encontrar las curvas integrales de X y de Y .

∂ ∂y

.

86

4. CAMPOS Y FORMAS

Soluci´on: (i) Calculemos [X, Y ]x y [X, Y ]y XY x − Y Xx = Xx − Y (−y) = −y − (−y) = 0 XY y − Y Xy = Xy − Y y = −y − y = 0 ∂ ∂ Si tenemos en cuenta que [X, Y ] = [X, Y ]x ∂x + [X, Y ]y ∂y se tiene que [X, Y ] = 0 . (ii) El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo X es el siguiente: dx = −y dt

dy =y dt

dx = −y dt

dy = dt y

equivalentemente:

que tiene como soluci´on: x = −bet + b + a y = bet El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo Y es el siguiente: dx =x dt

dy =y dt

dx = dt x

dy = dt y

x = aet

y = bet

equivalentemente:

que tiene como soluci´on:

6.

Miscel´ anea

6.1. Considerar los siguientes campos vectoriales en R2 ∂ ∂ X=x −y ∂x ∂y ∂ ∂ +y Y =x ∂x ∂y a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizaci´on de R2 . b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] . c) Calcular las curvas integrales de los campos X e Y . d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereogr´afico de la 2esfera. r1 r2 , ) 1 − r3 1 − r3 r1 r2 v(r1, r2 , r3) = ( , ) 1 + r3 1 + r3

u(r1 , r2, r3 ) = (

6. MISCEL´ aNEA

87

y considerar los campos ∂ ∂ − u2 ∂u1 ∂u2 ∂ ∂ v1 + v2 ∂v1 ∂v2 Estudiar si estos campos coinciden en la intersecci´on de sus dominios. u1

6.2. en R2

(25 puntos) Considerar los siguientes campos vectoriales

∂ ∂x 2 x ∂ Y = 2 ∂y a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizaci´on de R2 . b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] . c) Calcular las curvas integrales de los campos X , Y y [X, Y ] . Decir si son o no completos. d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereogr´afico de la 2esfera. X =y

r1 r2 , ) 1 − r3 1 − r3 r1 r2 v(r1, r2 , r3) = ( , ) 1 + r3 1 + r3 y considerar los campos ∂ K = u2 ∂u1 2 (v1) ∂ L= 2 ∂v2 Estudiar si estos campos coinciden en la intersecci´on de sus dominios. u(r1 , r2, r3 ) = (

Soluci´on: a) Notemos que si x = 0 o y = 0 se tiene respectivamente que en los puntos de la foma p = (0, y) el campo X se anula Xp = 0 o en los de la forma p = (x, 0) el campo Y se anula Yp = 0 . Entonces se tiene que (Xp , Yp ) no son linealmente independientes sobre puntos de los ejes coordenados. Por lo tato (X, Y ) no es una paralelizaci´on de R2 . b) Notemos que ∂ (6.1) Xx = y x = y ∂x (6.2) (6.3)

Yy =

x2 x2 ∂ y= 2 ∂y 2 Yx= 0

88

4. CAMPOS Y FORMAS

(6.4)

Xy = 0

De la ecuaciones anteriores se tiene que (6.5)

(6.6)

(XY − Y X)x = −

(XY − Y X)y = X

x2 2

x2 = yx 2

Por lo tanto x2 ∂ ∂ + yx 2 ∂x ∂y c) Al campo X le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales [X, Y ] = −

dx dy =y , =0 dt dt que obviamente tiene por soluci´on x = bt + a, y = b. Notemos que cada curva integral est´a definida para todo t de donde se concluye que el campo X es completo. Al campo Y le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales dy x2 = dt 2

dx =0 , dt

2

que tiene por soluci´on x = a, y = a2 t + b. Como antes cada curva integral est´a definida para todo t de donde se concluye que el campo Y es completo. Para el campo [X.Y ] se obtiene el sistema x2 dx =− dt 2

dy = yx dt

,

que notemos que la primera ecuaci´on es equivalente a − dx = dt2 de x2 2 donde se obtiene que x1 = t+C ; es decir , x = t+C . Si para t = 0 2 imponemos que x = a la soluci´on toma la siguiente forma x = t+2 2 . De la segunda ecuaci´on se tiene que

dy y

a

=

2dt . t+ a2 D

Que implica que log y =

2 log(t + 2a ) + D o equivalentemente y = e (t + 2a )2 . Imponiendo que 2 para t = 0 , y = b la soluci´on toma la siguiente forma y = ba4 (t + 2a )2 . Por lo tanto la curva integral que para t = 0 pasa por el punto (a, b) viene dada por 2 x= t+

2 a

,

ba2 2 y= (t + )2 4 a

Notemos que para t = − a2 la curva integral no est´a definida. Por lo tanto el campo [X, Y ] no es completo.

6. MISCEL´ aNEA

89

d) Para el punto p = (1, 0,0) se tiene que u1 (p) = 1 , u2 (p) = 0 , v (p) = 1 , v 2(p) = 0 . Entonces Kp = 0 y Lp = 12 ∂v∂ 2 . Ello implica que Kp = 0 y Lp 6= 0 . Por lo tanto K, L no coinciden en la intersecci´on. 1

CAP´ıTULO 5

VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS 1.

Conexiones y derivada covariante

Sea Ξ(p) el conjunto de todos los campos tangentes de una variedad M definidos en el punto p ∈ M . Una conexi´on lineal en un punto p es un operador lineal que asocia a cada vector tangente v en p y a cada campo tangente X definido en p un vector tangente en p que se denotar´a por Ov X y que verifica las siguientes propiedades: C1 Ov (αX + βY ) = αOv X + βOv Y α, β ∈ R, v ∈ TpM, X, Y ∈ Ξ(p), C2 Oau+bv X = aOu X + bOv X a, b ∈ R, u, v ∈ TpM, X ∈ Ξ(p), C3 Ov fX = v(f)Xp + f(p)Ov X f ∈ Cp∞ (p), X ∈ Ξ(p). ´ n 1.1. Si v ∈ Tp M y X, Y ∈ Ξ(p) tal que en un entorno Proposicio abierto U de p se tiene que X|U = Y |U , entonces Ov X = Ov Y . ´ n. N´otese que Dom(X −X|U ) = U y que X −X|U Demostracio 0|U = 0(0|U ) . Entonces Ov (X − X|U ) = Ov (0|U ) = Ov (0(0|U )) 0Ov (0|U ) = 0 . Por lo tanto Ov (X) = Ov (X|U ) . An´alogamente obtiene que Ov Y = Ov (Y |U ) . Entonces Ov X = Ov Y .

= = se 

Si tenemos una conexi´on lineal para cada punto p ∈ M y V, X son campos tangentes a una variedad M se puede definir la secci´on del fibrado tangente OV X cuyo dominio es Dom V ∩Dom X y est´a definida por (OV X)p = OVp X . ´ n 1.1. Llamaremos una conexi´on lineal sobre una varieDefinicio dad M a una familia de conexiones lineales, una en cada punto p de M , de tal modo que si V, X son campos tangentes a M , entonces la secci´on del fibrado tangente OV X es diferenciable. ´ n 1.2. Sea x la carta identidad de Rm . Dados p ∈ Rm , Definicio P v ∈ Tp Rm y un campo X = i fi ∂x∂ i definido en p . Entonces se define     Ov X = v(f1) ∂x∂ 1 + · · · + v(fm) ∂x∂m . N´otese que si tenemos p Pp ∂ campos V y X = i fi ∂xi , entonces OV X = V f1 ∂x∂ 1 + · · · + V fm ∂x∂m . ´ n 1.2. El operador O definido en Rm es una conexi´on Proposicio lineal. 91

92

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

P ´ n. Dados p ∈ Rm , v ∈ TpRm , campos X = i fi ∂x∂ Demostracio i P , Y = i gi ∂x∂ i definidos en p y escalares α, β ∈ R . Entonces Ov (αX +       βY ) = v(αf1+βg1 ) ∂x∂ 1 +· · ·+v(αfm +βgm ) ∂x∂m = αv(f1) ∂x∂ 1 + p p      p  ∂ ∂ ∂ · · ·+αv(fm) ∂xm +βv(g1) ∂x1 +· · ·+βv(gm) ∂xm = αOv (X)+ p

p

p

βOv (Y ) . Con esto queda verificada la propiedad C1 . El resto de las propiedades se comprueba rutinariamente del mismo modo.  ´ n 1.1. Notemos que O act´ Observacio ua como un operador que asocia a dos campos tangentes V y X el campo tangente OV X , verificando las siguientes propiedades: C1 OV (αX + βY ) = αOV X + βOV Y α, β ∈ R, V, X, Y ∈ Ξ(M), C2 OaU +bV X = aOU X + bOV X a, b ∈ R, U, V, X ∈ Ξ(M), C3 OV fX = V fX + fOV X f ∈ C ∞ (M), V, X ∈ Ξ(M). Sea σ : R → M una curva (diferenciable). Un campo tangente a M a lo largo de σ es una funci´on diferenciable X : R → T M tal que πX = σ . Uno de estos campos es precisamente el campo velocidad de
d la curva σ˙ que se define del modo siguiente: σ(s) ˙ = σ∗s dt s . N´otese que los campos tangentes a M a lo largo de σ tienen estructura natural de espacio vectorial real y de m´odulo sobre el anillo de funciones Cg∞ (Dom σ) . Si M tiene una conexi´on O entonces para cada s ∈ Dom σ se puede definir un operador lineal Oσ(s) que a cada campo X tangente a M ˙ a lo largo de σ le asocia un vector tangente a M en el punto σ(s) . Supongamos que X 1 , . . . , X m es una paralelizaci´on definida en un entorno abierto de σ(s) . El campo P X en iese entorno de puede expresar de modo u ´nico como X(t) = i Ai (t)Xσ(t) Entonces definimos X= Oσ(s) ˙

X  dAi  i

dt

 i Xσ(s)

+ Ai (s)Oσ(s) X ˙

i

s

Lema 1.1. El operador Oσ(s) es independiente de la paralelizaci´on ˙ elegida. ´ n. Supongamos que X 1 , . . . , X m e Y 1 , . . . , Y m son Demostracio paralelizaciones definidas en un entorno abierto de σ(s)P. El campo X i dentro de ese entorno de puede expresar como X(t) = i Ai (t)Xσ(t) o P P i i i j bien X(t) = i Bi (t)Yσ(t) . Supongamos que X = aj Y . Entonces P P P P P i i i X = i Ai Xσ = i Ai j (aj σ)Yσj = j ( i Ai (aj σ))Yσj . De aqu´ı se

1. CONEXIONES Y DERIVADA COVARIANTE

93

P

i se tiene i Ai (aj σ) . Entonces  j j Yσ(s) + Bj (s)Oσ(s) Y ˙ j dt  P  d( s i Ai (aij σ))  j P i j = j Y + A (s)a (σ(s))O Y i σ(s) ˙ j σ(s) dt s i P P dAi i P P d(aij σ) j = j Yσ(s) + j i Ai (s)aij (σ(s))Oσ(s) Yj ˙ i ( dt (aj σ) + Ai dt s h  i 
i P P d(aij σ) j j i = i j dA a (σ(s))Y + A (s) Yσ(s) i j σ(s) dt s dt s  P P  + i h j Ai (s)aij (σ(s))Oσ(s) Yj ˙
P i P P  d(aij σ)  j i j i = i dA a (σ(s))Y + A (s) Yσ(s) i j j j σ(s) dt s dt s i P h P i + i Ai(s) j aj (σ(s))Oσ(s) Yj ˙
i P P P i j i = i dA Xσ(s) + i Ai(s)Oσ(s) aY ˙ dt s  j j
P i i = i dA Xσ(s) + Ai (s)Oσ(s) Xi ˙ dt s

deduce que Bj = P  dBj 

P



N´otese que si X es un campo tangente a M a lo largo de σ , el operador anterior permite definir un nuevo campo Oσ˙ X tangente a M X. a lo largo de σ , mediante la f´ormula (Oσ˙ X)(s) = Oσ(s) ˙ ´ n 1.3. Si V e Y son campos tangentes a una variedad M Definicio con una conexi´on lineal O diremos que OV Y es la derivada covariante de Y seg´ un el campo V . Si X es un campo tangente a M a lo largo de una curva σ diremos que Oσ˙ X es la derivada covariante de X . Sea x es una carta en σ(s) y consideremos la paralelizaci´on ∂x∂ 1 , · · · , ∂x∂m , entonces si el campo X tangente a M a lo largo de σ se   P expresa como X = i Ai ∂x∂ i se tiene que en el dominio de la carta σ  X  dAi  ∂  ∂ Oσ˙ X = + AiOσ˙ dt ∂xi σ ∂xi i Lema 1.2. Sea σ : R → M una curva y sea Y un campo tangente a M que induce una campo X = Y σ tangente a M a lo largo de M . Entonces Oσ˙ X = Oσ˙ Y . ´ n. Supongamos que Y 1, . . . , Y m es una paralelizaDemostracio ci´on definidaP en un entorno abierto U de σ(s) . Si el campo Y verifica i El campo X dentro de ese entorno de puede que Y |U = i Ai Y . P i expresar como X(t) = i Ai σ(t)Yσ(t) . Entonces se tiene    P d(Ai σ) i i X = Y + A σ(s)O Y Oσ(s) ˙ i σ(s) ˙ σ(s) i dt s  P  i = i (σ(s)(A ˙ Yi i ))Yσ(s) + Ai(σ(s))Oσ(s) ˙  P i = Oσ(s) ( A Y ) ˙ i i = Oσ(s) Y ˙

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5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Corolario 1.1. Sea v un vector tangente a M en un punto p y sean X, X 0 campos definidos en p . Si existe una curva σ que pase por p a velocidad v de modo que Xσ = X 0 σ , entonces Ov X = Ov X 0 . ´ n. Por la proposici´on anterior se tiene que Ov X = Demostracio Oσ(s) X = Oσ(s) (Xσ) = Oσ(s) (X 0 σ) = Oσ(s) X 0 = Ov X 0 .  ˙ ˙ ˙ ˙ Dada x una carta de M, si consideramos la paralelizaci´on local ˜k : M → , entonces la conexi´on O determina la funciones Γ ij R mediante la expresi´on: X ∂ ˜k ∂ O ∂ Γ = ij ∂xi ∂x ∂xk j k ∂ , . . . , ∂x∂m ∂x1

˜ k x−1 la representaci´on coordenada de Γ ˜k Denotaremos por Γkij = Γ ij ij en la carta x . Ambos tipos de funciones se denominaran como los s´ımbolos de Christoffel de la conexi´on respecto de la carta x . Dada una curva σ y una carta x denotemos por c = xσ la representaci´on coordenada de la curva. Si X es una campo tangente a M a lo largo de la curva σ, supongamos que en el dominio de la carta   P P dci ∂  ∂ x se tiene que X = j Aj ∂xj . Notemos que σ˙ = . dt ∂xi σ σ Sustituyendo σ˙ se obtiene  X  dAj  ∂  ∂ Oσ˙ X = + Aj OP dci ( ∂ ) dt ∂xi σ ∂xj dt ∂xj σ j  ! X dAj  ∂  X dci  ∂ = + Aj O ∂ ∂xi ∂x dt ∂x dt j σ j σ j i     X dAk X dci ∂ ∂ = + Aj O ∂ ∂xi ∂x dt ∂xk σ dt j σ i,j k !   X X dAk X dci ∂ ˜k ∂ = + Aj Γ ij dt ∂xk σ dt ∂xk i,j k k   σ  X dAk X X dci ∂ ∂ ˜ k σAj = + Γ ij dt ∂xk σ dt ∂xk σ i,j k k !  X dAk X dci ∂ k + Γ (c)Aj = dt dt ij ∂xk σ i,j k

´ n 1.4. Se dice que un campo X tangente a una variedad Definicio M sobre una curva σ es paralelo si Oσ˙ X = 0 . Teniendo en cuenta los c´alculos anteriores se tiene que ´ n 1.3. Sea X un campo tangente a una variedad M Proposicio sobre una curva σ y sea x una carta cuyo dominio corte a la curva y

1. CONEXIONES Y DERIVADA COVARIANTE

tal que X =

P j

 Aj

∂ ∂xj



95

en σ −1(Dom x) . Entonces X es paralelo en σ

σ −1 (Dom x) si y s´olo si se verifican las ecuaciones dAk X dci k + Γ (c)Aj = 0 k = 1 . . . m. dt dt ij i,j ´ n 1.4. Sea una variedad M con una conexi´on lineal Proposicio O , una curva σ con dominio conexo y t0 ∈ Dom σ . Entonces dado X0 ∈ Tσ(t0 ) M existe u ´nico campo X tangente a M a lo largo de σ que es paralelo y tal que X(t0 ) = X0 . ´ n. Si la curva σ est´a dada, entonces una carta x en Demostracio σ(t0) determina funciones c = xσ y sus componentes ci = xi σ de tal modo que el sistema anterior es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables A1, · · · , Am . Adem´as existe un entorno V (t0 ) = (t0 − ε, t0 + ε) ⊂ σ −1(Dom x) tal que para cada valo´nicas funciones res iniciales de las variables A1, · · · , Am existen unas u definidas en V (t0) , que sean soluci´on del sistema y que tengan los valores iniciales dados. Ahora para cada t ∈ Dom σ , si t > t0 se tiene que [t0, t] ⊂ Dom σ por ser el dominio de la curva conexo. Adem´as al ser [t0, t] compacto existe una partici´on t0 < t1 < · · · < tk = t de modo que en cada subintervalo verifica condiciones de existencia y unicidad del correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales.   Cada P X0 ∈ Tσ(t0 ) M determina valores iniciales X0 = j Aj (t0 ) ∂x∂ j de σ(t0 )

funciones A1 , · · · , Am definidas en V (t0 ) y que son u ´nicas verificando el sistema de ecuaciones y con los valores iniciales dados. Tomemos  P ∂ entonces el campo X = j Aj ∂xj . Ahora procedemos de modo σ inductivo tomando X1 ∈ Tσ(t1 ) M hasta obtener el campo X definido en un entorno de [t0, t] . An´alogamente se procede en el caso t < t0 . La unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales anteriores garantizan que el campo X es el u ´nico campo paralelo definido en Dom σ  con valores iniciales X0 . ´ n 1.5. Se dice que una curva σ de una variedad M es Definicio una geod´esica respecto O si σ˙ es paralelo; es decir, si Oσ˙ σ˙ = 0 . ´ n 1.5. Sea una variedad M con una conexi´on lineal O . Proposicio ´nica geod´esica γ que pasa por Dado un v ∈ Tp M, entonces existe una u p a velocidad v. Denotaremos esta geod´esica por γ(t, p, v) . ´ n. Sea x una carta en el punto p , de manera que Demostraci o P dck  ∂  σ˙ = , entonces σ˙ es paralelo a lo largo de σ y en el dt ∂xk σ dominio de la carta si y s´olo si se verifica la ecuaci´on diferencial de

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5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

segundo orden siguiente: d2 ck X dci k dcj + Γij (c) =0, dt dt dt i,j

k = 1, · · · , m.

´ Esta tiene soluci´on u ´nica bajo las condiciones iniciales correspondientes; en este caso que pase por el punto p a velocidad v .  ´ n 1.6. La funci´on expp : TpM → M definida por expp(v) = Definicio γ(1, p, v) se llama exponencial. PROBLEMAS 1.1. Probar que el operador lineal que asocia a los campos tangentes V y X el campo tangente OV X , verifica las siguientes propiedades: C1 OV (αX + βY ) = αOV X + βOV Y α, β ∈ R, V, X, Y ∈ Ξ(M), C2 OaU +bV X = aOU X + bOV X a, b ∈ R, U, V, X ∈ Ξ(M), C3 OV fX = V fX + fOV X f ∈ C ∞ (M), V, X ∈ Ξ(M). Soluci´on: C1) Para un punto p ∈ M que este en el dominio se tiene (OV (αX + βY ))p = OVp (αX + βY ) = αOVp X + βOVp Y = (αOV X + βOV Y )p . Por lo tanto OV (αX + βY ) = αOV X + βOV Y α, β ∈ R, V, X, Y ∈ Ξ(M) . C2) Para cada p en el dominio de definici´on se tiene que (OaU +bV X)p = OaUp +bVp X = aOUp X + bOVp X = (aOU X + bOV X)p . Por lo tanto OaU +bV X = aOU X + bOV X a, b ∈ R, U, V, X ∈ Ξ(M) . C3) Para cada p en el dominio de definici´on se tiene que (OV fX)p = OVp fX = (Vp f)Xp + f(p)OVp X = (V fX + fOV X)p . Por lo tanto OV fX = V fX + fOV X f ∈ C ∞ (M), V, X ∈ Ξ(M). 1.2. Sea σ una curva en una variedad M y sea Oσ˙ el operador derivada covariante que act´ ua sobre los campos X tangentes a M a lo largo de σ . Probar que este operador verifica las siguientes propiedades: D1: Oσ˙ (αX + βY ) = αOσ˙ X + βOσ˙ Y α, β ∈ R, X, Y tangentes a M a lo largo de σ , D2: Oσ˙ φX = dφ X + φOσ˙ X φ ∈ C ∞ (Dom σ), X tangente a dt M a lo largo de σ . Soluci´on: D1) Sea (Z 1, · · · , Z m ) una paralelizaci´on en un punto de la Supongamos respecto dicha paralizaci´on se tiene que X = Pm que Pcurva. m i i i fi Z , Y = i gi Z . Entonces P i i Oσ˙ (αX + βY ) = Oσ˙ (  m i (αfi + βg )Z )  Pm d(αfi +βgi ) i i i = Z + (αf + βg )O Z i σ ˙ i dt 
Pm dfi i P  dgi i i i = α i dt Z + fi Oσ˙ Z i + β m Z + g O Z σ˙ i dt = αOσ˙ X + βOσ˙ Y

2. VARIEDADES RIEMANNIANAS

97

D2) Con la misma notaci´on: P i Oσ˙ φX = Oσ˙ (  m i φfi Z )  Pm d(φfi ) i i = Z + φf O Z i σ ˙ i
Pm dφ dt i Pm dfi i = φ dt Z + φfi Oσ˙ Z i i dt fi Z + i = dφ X + φOσ˙ X dt ¯ σ˙ el operador derivada cova1.3. Sea σ una curva en R3 y sea O riante que act´ ua sobre los campos X tangentes a
R3 a lo
largo de
σ . Sea r : R3 → R3 la carta identidad. Sean ∂r∂1 σ , ∂r∂2 σ , ∂r∂ 1 σ la restricci´on de los campos coodenados sobre la curva. Supongamos que un
campo X
tangente a
R3 a lo largo de σ es tal que X = f 1 ∂r∂ 1 σ + f 2 ∂r∂ 2 σ + f 3 ∂r∂ 1 σ . Probar que la dedrivada covariante de X coincide con la derivada normal. es decir:       df 1 df 2 df 3 ∂ ∂ ∂ ¯ Oσ˙ X = + + . dt ∂r1 σ dt ∂r2 σ dt ∂r1 σ ¯ la conexi´on riemanniana de R3 . Supongamos que Σ ⊂ R3 es 1.4. O una subvariedad. N´otese que para cada p ∈ Σ se tiene la desomposici´on can´onica TpR3 ∼ = Tp Σ⊕norTp Σ . Por lo que cada v ∈ TpR3 descompone de modo can´onico como v = tanv + norv . Definamos el operador O ¯ donde X ¯ es una ¯ uX para la variedad Σ por la f´ormula Ou X = tanO 3 extensi´on local de X a R . Probar que O es la conexi´on riemanniana de Σ . ¯ la conexi´on riemanniana de R3 . Supongamos que Σ ⊂ R3 1.5. O es una subvariedad con la conexi´on inducida O . Sea σ : R → Σ una curva y sea X un campo tangente a Σ a lo largo de σ . Probar que X ¯ σ˙ X es normal a Σ . es paralelo (Oσ˙ X = 0) si y s´olo si O 1.6. Utilizar los problemas anteriores para probar que el u´nico paralelo de la 2-esfera que es geod´esica es el ecuador. 2.

Variedades riemannianas

´ n 2.1. LLamaremos producto interno de un espacio vecDefinicio torial real a una aplicaci´on h−, −i : V × V → R bilineal sim´etrica y definida positiva. Una m´etrica riemanniana asocia a cada p de M un producto interno h−, −ip : TpM × Tp M → R de forma diferenciable; es decir, si X, Y son campos tangentes entonces la funci´on hX, Y i(p) = hXp , Yp i , definida para p ∈ Dom X ∩ Dom Y , es diferenciable. Un variedad M provista de un m´etrica riemanniana diremos que es una variedad riemanniana. Con las mismas condiciones de diferenciabilidad anteriores si cada producto h−, −ip : Tp M × TpM → R es bilineal sim´etrico y no singular se dice que es una m´etrica pseudoriemanniana y que (M, h−, −i) es una variedad pseudoriemanniana.

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5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Ejemplo 2.1. En Rn podemos considerar la siguiente    m´etrica: Para P P ∂ ∂ n cada p ∈ R si u = y v = , entonces k uk ∂rk k vk ∂rk p p P hu, vip = k uk vk . ´ n 2.1. Sea N una variedad con una m´etrica h−, −i . Proposicio Si f : M → N es un inmersi´on global, entonces f induce una m´etrica riemanniana en M definida por la f´ormula hu, vip = hf∗p u, f∗pvif p . ´ n. Del hecho de que para cada p ∈ M el producto Demostracio interno h−, −if (p) sea bilineal, sim´etrico y definido positivo, y teniendo en cuenta que Tpf es monomorfismo, se tiene de modo rutinario que h−, −ip es un producto interno. Si f : M → N es un inmersi´on global, entonces por la proposici´on 1.1 para cada p ∈ M existen cartas x de M en p e y de N en f(p) tal que Dom x ⊂ Dom(yf) , yi f|Dom x = xi para 1 ≤ i ≤ m y adem´as yi f|Dom x = 0 para m . Deaqu´ı se deduce  ≤ i ≤ n  ∂ = ∂y∂ i para 1 ≤ que f|Dom x es inyectiva y adem´as Tp f ∂xi h ∂x∂ i , ∂x∂ j i

p ∂ h ∂yi , ∂y∂ j if

f (p)

i ≤ m . Por lo que la funci´on = es diferenciable. Ahora dados dos campos X, Y definidos en un punto p siPtomamos cartas x e y como las anteriores se tiene que si X|Dom x = i Ai ∂x∂ i , P P Y |Dom x = j Bj ∂x∂ j , entonces hX, Y i|Dom x = i,j Ai Bj h ∂x∂ i , ∂x∂ j i que es diferenciable. Por lo tanto se tiene que hX, Y i es diferenciable.  ´ n 2.2. Se dice que f : M → N es una inmersi´ Definicio on isom´etrica si para p ∈ Dom f y u, v ∈ Tp M se tiene que hu, vip = hf∗p u, f∗pvif p . Si adem´as f es un difeomorfismo local diremos que f es una isometr´ıa local y si f es un difeomorfismo global de M sobre N diremos que M es isom´etrica a N . Ejemplo 2.2. Si Σk es una subvariedad de Rn entonces la inclusi´on i : Σk → Rn es una inmersi´on que induce la siguiente m´etrica: Para cada p ∈ Σk si u, v ∈ TpΣk , entonces hu, vip = hi∗pu, i∗pviip . Por ejemplo, la esfera unidad S n−1 tiene estructura natural de variedad riemanniana inducida por la inclusi´on natural S n−1 → Rn . Ejemplo 2.3. En Rn+ = {(r1, . . . , rn )|rn > 0} podemos considerar la siguiente m´etrica: Para cada p = (r1, . . . , rn ) ∈ Rn+ si u = 
P P P ∂ y v = k vk ∂r∂k p , entonces hu, vip = r12 k uk vk . Esta k uk ∂rk p

n

variedad riemanniana se denomina espacio hiperb´ olico n-dimensional y se denota por Hn . Ejemplo 2.4. En Rn = {(r1, . . . , rn )|rn > 0} podemos considerar la siguiente m´etrica: Para cada p = (r1, . . . , rn ) ∈ Rn+ si u =

2. VARIEDADES RIEMANNIANAS



P k

uk

∂ ∂rk

 yv = p

P k

 vk

∂ ∂rk

 p

, entonces hu, vip = −u1v1+

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Pn k=2

uk v k .

Esta variedad psudoriemanniana se denomina espacio de Minkovski ndimensional y se denota por Hn . Recordemos que una producto interno en un espacio vectorial V con una base (e1 , . . . en ) queda determinado por la matriz sim´etrica (hei , ej i) . De modo similar una m´etrica riemanniana en el dominio de una carta x queda determinado por las funciones definidas por g˜ij = h ∂x∂ i , ∂x∂ j i que llamaremos coeficientes de la m´etrica respecto de la carta x . A las representaciones coordenadas las denotaremos por gij = g˜ij x−1 . PROBLEMAS 2.1. Geometr´ıa del catenoide y heliciode. V´eanse las Figuras 1 2 . a) Probar que el subconjunto H = {(u cos v, u sen v, v)|u, v ∈ R} es una subvariedad regular de dimensi´on dos de R3 . Llamaremos a H Helicoide, demostrar que el Helicoide es difeomorfo a R2 . b) Probar que la aplicaci´on f : R2 → R3 , f(θ, z) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) es una inmersi´on no inyectiva y que C =Imf tiene estructura de subvariedad regular de R3 de dimesi´on dos. Llamaremos a C Catenoide, demostrar que el Cateniode es difeomorfo a un cilindro S 1 × R . c) Probar que la aplicaci´on del Helicoide en el Catenoide g : H → C definida por √ √ g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u2 cos v, 1 + u2 sen v, arcsenh u) es un difeomorfismo local. ¿Es tambi´en una aplicaci´on recubridora? d) Sea φ la carta del Helicoide definida por φ(u cos v, u sen v, v) = (u, v) . Calcular los coeficientes de la m´etrica gijH (u, v) del Helicoide. e) Sea ψ la carta del Catenoide cuyo dominio es el subconjunto {(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z)|0 < θ < 2π} y est´a definida por ψ(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) = (θ, z) . Cacular los coeficientes de la m´etrica gijC (θ, z) del Catenoide. f) Probar que la aplicaci´on del Helicoide en el Catenoide g : H → C definida por √ √ g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u2 cos v, 1 + u2 sen v, arcsenh u) es una isometr´ıa local.

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5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Figura 1. Helicoide Soluci´on: a) Definamos la funci´on ϕ : R3 → R mediante la f´ormula ϕ(x, y, z) = x sen z − y cos z . Notemos que un punto del helicoide verifica que x sen z − y cos z = u cos v sen v − u sen v cos v = 0 y rec´ıprocamente si se verifica que x sen z − y cos z = 0 , entonces si hacemos que v = z y suponemos que cos v 6= 0, se tiene que podemos tomar u = cosx v . Entonces (u cos v, u sen v, v) = (x,

x sen v, z) = (x, y, z) cos v

y de modo similar se procede si sen v 6= 0 . Por lo tanto el heliciode es la fibra del cero de la funci´on ϕ . Si calculamos las derivadas parciale se tiene ∂ϕ = sen z , ∂ϕ = ∂x ∂y ∂ϕ cos z , ∂z = x cos z + y sen z . Puesto que el seno y el coseno no se anular simult´aneamente se tiene que efectivamente el rango es uno y el Helicoide H es una subvariedad regular de R3 . Para ver que es difeomorfo a R2 consideremos la aplicaci´on h : R2 → H dada por h(u, v) = (u cos v, u sen v, v) . Notemos que in h : R2 → R3

2. VARIEDADES RIEMANNIANAS

101

Figura 2. Catenoide es inyectiva y su matr´ız jacobiana :   cos v −u sen v  sen v u cos v  0 1 tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´on h es un homeomorfismo local. Entonces h es un difeomorfismo. b) Definamos la funci´on ψ : R3 → R mediante la f´ormula ψ(x, y, z) = x2 + y 2 − cosh2 z . Notemos que un punto del catenoide verifica que x2 + y 2 − cosh2 z = cos2 θ cosh2 z + sen2 θ cosh2 z − cosh2 z = 0 y rec´ıprocamente si se verifica que = x2 + y 2 − cosh2 z , entonces

2 2 y x x + cosh = 1 . Por lo tanto existe θ tal que cos θ = cosh cosh z z z y y sen θ = cosh . Entonces z (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) = (x, y, z) Si calculamos las derivadas parciale se tiene ∂ψ = 2x , ∂ψ = 2y , ∂x ∂y ∂ϕ = −2 cosh z senh z . ∂z Puesto para ning´ un punto del catenide se anulan todas las derivadas parciales se tiene que efectivamente el rango es uno y el Catenoide C es una subvariedad regular de R3 .

102

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Para ver que es difeomorfo a S 1 × R consideremos la aplicaci´on h : R2 → C dada por f(θ, z) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) . Notemos que in f : R2 → R3 es pediod´ıca en θ y su matr´ız jacobiana :   − sen θ cosh z cos θ senh z  cos θ cosh z sen θ senh z  0 1 tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´on f es un homoeomorfismo local que factoriza a un difeomorfismo f¯: S 1 × R → C . Entonces f¯ es un difeomorfismo. c) Definamos la aplicaci´on g : H → C por la f´ormula √ √ g(u cos v, y sen v, v) = ( 1 + u2 cos v, 1 + u2 sen v, arcsenh u) . La representaci´on coordenada de este cambio viene dado por θ = v y z = arcsenh u . Por lo que g es diferenciable. La matr´ız jacobiana   1 0 √1+u 2 1 0 tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´on g es un homeomorfismo local. En este caso efectivametne se trata de una aplicaci´on recubridora. Un abierto del catenoide de la forma {p ∈ C|θ0 < θ(p) < θ0 + 2π} tiene como preimagen la reunio´on disjunta de abiertos de la forma {p ∈ H|θ0 + 2(k − 1)π < v(p) < θ0 + 2kπ} donde k es un entero adem´as la restricci´on de g a cada uno de estos abiertos es un homeomorfismo. d) Sea φ = (u, v) del heliciode y (x, y, z) la carta identidad de R3 . Denotemos por in: H → R3 la inclusi´on del helicoide en R3 , entonces se verifica que x in = u cos v y in = u sen v y z in = v . entonces se ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ tiene que in∗ ∂u = in∗ ∂u (x) ∂x + in∗ ∂u (y) ∂y + in∗ ∂u (x) ∂z = ∂x∂uin ∂x + ∂y in ∂ ∂z in ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂u ∂z = cos v ∂x + sen v ∂x . Similarmente se tiene que in∗ ∂v = ∂u ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ in∗ ∂v (x) ∂x + in∗ ∂v (y) ∂y + in∗ ∂v (x) ∂z = ∂x∂vin ∂x + ∂y∂vin ∂y + ∂z∂vin ∂z = ∂ ∂ ∂ −u sen v ∂x + u cos v ∂x + ∂z . Por lo tanto los coeficientes m´etricos en la carta son los siguientes H H H g11 (u, v) = 1 g12 (u, v) = 0 g22 (u, v) = 1 + u2

e) Sea ψ = (θ, z) del heliciode y (x, y, z) la carta identidad de R3 . Denotemos por in: C → R3 la inclusi´on del catenoide en R3 , entonces se verifica que x in = cos θ cosh z y in = u sen θ cosh z y z in = z . en∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ tonces se tiene que in∗ ∂θ = in∗ ∂θ (x) ∂x + in∗ ∂θ (y) ∂y + in∗ ∂θ (x) ∂z = ∂y in ∂ ∂x in ∂ ∂z in ∂ ∂ ∂ + ∂θ ∂y + ∂θ ∂z = − sen θ cosh z ∂x + cos θ cosh z ∂x + . Simi∂θ ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ larmente se tiene que in∗ ∂z = in∗ ∂z (x) ∂x + in∗ ∂z (y) ∂y in∗ ∂z (x) ∂z = ∂y in ∂ ∂x in ∂ ∂z in ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂y + ∂z ∂z = cos θ senh z ∂x + sen θ senh z ∂x + ∂z . ∂z ∂x Por lo tanto los coeficientes m´etricos en la carta son los siguientes C g11 (θ, z) = cosh2 z

H H g12 (θ, z) = 0 g22 (θ, z) = 1 + senh2 z

´ 3. LONGITUDES DE CURVAS Y VOLUMENES

103

f) Para ver que g : H → C definida por √ √ g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u2 cos v, 1 + u2 sen v, arcsenh u) es una isometr´ıa local. Teniendo en cuenta el apartado c) se tiene ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ = g∗ ∂u (θ) ∂θ + g∗ ∂u (z) ∂z = ∂θg + ∂zg = √1+u g∗ ∂u 2 ∂z ∂u ∂θ ∂u ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ g∗ ∂v = g∗ ∂v (θ) ∂θ + g∗ ∂v (z) ∂z = ∂θg + ∂zg = ∂θ ∂v ∂θ ∂v ∂z Ahora f´acilmente se comprueba que 1 ∂ √ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ , g∗ ∂u i = h √1+u i = 1+u hg∗ ∂u 2 h ∂z , ∂z i 2 ∂z , 1+u2 ∂z 2 1 = 1+u 2 (1 + senh z) = 1 ∂ ∂ ∂ ∂ hg∗ ∂v , g∗ ∂v i = h ∂θ , ∂θ i = cosh2 z = 1 + u2 En los demas casos los coeficientes m´etricos son cero. 3.

Longitudes de curvas y vol´ umenes

´ n 3.1. Sea σ : R → M una curva en una variedad rieDefinicio manniana. Sea un intervalo [a, b] ⊂ Dom σ . La longitud de la curva entre a y b se define como la integral Z b 1 b la = hσ, ˙ σi ˙ 2 dt. a

Sea V un espacio vectorial con un producto interno. Si (e1, . . . , em) es una base ortonormal de volumen del paralep´ıpeP V , entonces el P do expandido por v1 = a1j ej , . . . , vm = amj ej viene dado por vol(v1, . . . , vm ) = det(aij ) . Notemos que X X X X gij = hvi , vj i = h aik ek , ajl el i = aik ajl δkl = aik ajk k

l

p

k

De donde deducimos que vol(v1, . . . , vm ) = det(gij ) donde el signo del volumen se puede tomar positivo si det(aij ) > 0 o negativo si det(aij ) < 0. Recordemos tambi´en que si respecto una base v1, . . . , vm tenemos los coeficientes gij = hvi , vj i y respecto a otra P base w1 , . . . , wm los nuevos coeficientes hijP= hwi , wj i . Si ws = l csl vl entonces hij = P P h k cik vk , l cjl vli = kl cik gkl cjl . Sea R una“regi´on” contenida en el dominio de una carta x donde los coeficientes m´etricos son gij = g˜ij x−1 , entonces el volumen de esta regi´on se define como Z q vol(R) = det(gij (r)) dr1 . . . drm . xR

El volumen es independiente de la carta elegida supongamos que R est´a contenido en el dominio de una carta y con coeficientes m´etricos i hij = ˜hij y −1 y con misma orientaci´on que x ; es decir, det( ∂x )>0. ∂yj

104

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Al realizar el cambio r = xy −1(s) se tiene que Z p det(gkl (r)) dr1 . . . drm xR Z ∂ri p = |det( )| det(gkl (xy −1 (s))) ds1 . . . dsm ∂s j yR     Z s ∂xi ∂x l = det det(˜ gkl (y −1 (s)))det ds1 . . . dsm ∂yk y−1 (s) ∂yj y−1 (s) yR Z q = det(hij (s)) ds1 . . . dsm . yR

PROBLEMAS 3.1. Calcular el a´rea de la 2-esfera de radio r > 0 . 3.2. Calcular el a´rea del plano proyectivo obtenido a partir de la 2-esfera de radio r > 0 . 4.

Conexiones riemannianas

´ n 4.1. Se dice que una conexi´on linealO sobre una vaDefinicio riedad M es sim´etrica si para X, Y campos tangentes a M se verifica que OX Y − OY X = [X, Y ]. Se dice que una conexi´on lineal O sobre una variedad riemanniana (M, h−, −i) es compatible con la m´etrica si para X, Y, Z campos tangentes a M se verifica que XhY, Zi = hOX Y, Zi + hX, OX Zi. En una variedad riemanniana una conexi´on riemanniana es una conexi´on sim´etrica y compatible con la m´etrica. ´ n 4.1. Una conexi´on O es sim´etrica si y s´olo si para Proposicio cada carta los s´ımbolos de Christoffel satisfacen que Γkij = Γkji . ´ n. Supongamos que Demostracio X ∂ ˜k ∂ O ∂ = Γ ij ∂xi ∂x ∂xk j k

O

∂ ∂xj

∂ = ∂xi

X k

˜k ∂ Γ ji ∂xk

Entonces por ser la conexi´on sim´etrica   ∂ ∂ ∂ ∂ −O ∂ = , O ∂ =0 ∂xi ∂x ∂xj ∂x ∂xi ∂xj j i

4. CONEXIONES RIEMANNIANAS

105

˜k = Γ ˜ k . El rec´ıproco se prueba sin dificulSe donde se concluye que Γ ji ij tad.  ´ n 4.2. La m´etrica de una variedad riemanniana induce Proposicio un isomorfismo can´onico entre el fibrado tangente y el cotangente. ´ n. Supongamos que u ∈ Tp M Entonces considereDemostracio mos la aplicaci´on lineal θ(u) : Tp∗M → R definida por θ(u)(v) = hu, vip . Por ser el producto interno no singular, se tiene que θ : T M → T ∗M es una biyecci´on que preserva fibras y es lineal en cada una de ellas. Adem´as para x carta de M se tiene que g˜ij = h ∂x∂ i , ∂x∂ j i son funcio∗ nes diferenciables. Entonces elPcambio de cartas x−1 ((r1, · · · , rm ), P x˜θ˜ (s1 , · · · .sm )) = ((r1, · · · , rm ), ( si gi1 (r), · · · . si gim (r))) es un difeomorfismo. Por lo tanto θ es un difeomorfismo global y sobre.  Como consecuencia del resultado anterior en una variedad riemanniana una 1-forma determina un u ´nico campo y rec´ıprocamente. Teorema 4.1. (Levi-Civita) Dada una variedad riemanniana M entonces existe una u ´nica conexi´on sim´etrica compatible con su m´etrica determinada por la siguiente expresi´on: hZ, OY Xi =

+ Y hZ, Xi − ZhX, Y i −h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi) 1 (XhY, Zi 2

´ n. Una conexi´on compatible con la m´etrica para Demostracio campos X, Y, Z debe verificar las f´ormulas: (4.1)

XhY, Zi = hOX Y, Zi + hY, OX Zi Y hZ, Xi = hOY Z, Xi + hZ, OY Xi ZhX, Y i = hOZ X, Y i + hX, OZ Y i

De ´estas, aplicando que O es sim´etrica, se infiere que XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i = h[X, Z], Y i + h[Y, Z], Xi + h[X, Y ], Zi +2hZ, OY Xi de donde se obtiene que (4.2)

1 hZ, OY Xi = (XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i 2 − h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi)

Entonces cualquier conexi´on riemanniana debe verificar la f´ormula anterior. Es importante observar que para cada par de campos X, Y el operador ω(Z) = 12 (XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i −h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi)

106

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

es lineal respecto funciones diferenciables con valores reales, en efecto: 1 ω(fZ) = (XhY, fZi + Y hfZ, Xi − fZhX, Y i 2 − h[X, fZ], Y i − h[Y, fZ], Xi − h[X, Y ], fZi) 1 = (fXhY, Zi + fY hZ, Xi − fZhX, Y i + XfhY, Zi + Y fhZ, Xi 2 − fh[X, Z], Y i − fh[Y, Z], Xi − fh[X, Y ], Zi − hXfZ, Y i − hY fZ, Xi) = fω(Z) Si suponemos que O, O0 son conexiones riemannianas, para X, Y campos tangentes se tiene que h−, OY Xi = ω = h−, O0Y Xi . De las proposiciones 2.3 , 4.2 , se sigue que OY X = O0Y X . Para probar la existencia, tenemos que la formula 4.2 , para cada dos campos X, Y determina un nuevo campo OY X . Es inmediato que se verifican la propiedades lineales C1, C2 . Para probar C3 consideremos 1 hZ, OY fXi = (fXhY, Zi + Y hZ, fXi − ZhfX, Y i 2 − h[fX, Z], Y i − h[Y, Z], fXi − h[fX, Y ], Zi) Teniendo en cuenta que Y hZ, fXi = Y fhZ, Xi + fY hZ, Xi −ZhfX, Y i = −ZfhX, Y i − fZhX, Y i −h[fX, Z], Y i = ZfhX, Y i + fh[Z, X], Y i −h[fX, Y ], Zi = Y fhX, Zi + fh[Y, X], Zi se tiene que 1 hZ, OY fXi = fhZ, OY Xi + (2Y fhZ, Xi) 2 = hZ, fOY X + Y fXi Por lo tanto OY fX = fOY X + Y fX y se verifica la propiedad C3 . Dejamos como ejercicio para el lector la comprobaci´on de que est´a conexi´on es sim´etrica y riemanniana.  Si en la expresi´on anterior tomamos Z = ∂x∂ l , Y = se obtiene que   X 1 ∂˜ gli ∂˜ gij gjl ∂˜ k ˜ + − Γji g˜lk = 2 ∂xi ∂xj ∂xl

∂ ∂xj

yX=

∂ ∂xi

k

Si denotamos por (˜ g lm ) la matriz inversa de la matriz (˜ glm ) se obtiene que   X X 1 ∂˜ g ∂˜ g ∂˜ g jl li ij l lm lm ˜ g˜kl g˜ = g˜ + − Γ ji 2 ∂xi ∂xj ∂xl k,l

l

4. CONEXIONES RIEMANNIANAS

y por lo tanto: ˜m Γ ji

1 X lm = g˜ 2 l



gli ∂˜ gij ∂˜ gjl ∂˜ + − ∂xi ∂xj ∂xl

107



PROBLEMAS Sea x una carta de una superficie con una m´etrica riemannianna que ser´a denotada por E = g˜1 1 x−1 , F = g˜1 2x−1 = g˜2 1x−1 , G = ˜ k x−1 para los s´ımbolos de g˜2 2 x−1 . Utilizaremos las notaciones Γkij = Γ ij Christoffel. Denotaremos las coordenadas por u = pr1 x , v = pr2 x. Una carta se dir´a que es de Clairaut si se tiene que Eu = Gu = F = 0 . 4.1. Comprobar que para una superficie las geod´esicas estan determinadas por las dos ecuaciones diferenciales siguientes: u00 + Γ111u0 + 2Γ112 u0v 0 + Γ122 v 0 = 0 2

2

v 00 + Γ111 u0 + 2Γ212 u0v 0 + Γ222 v 0 = 0 2

2

4.2. Demostrar que para una carta de Clairaut los s´ımbolos de christoffel verifican: −Ev Γ111 = 0, Γ211 = , 2G Ev Γ112 = , Γ212 = 0, 2E Gv Γ122 = 0, Γ222 = . 2G Demostraci´on: Recordemos que los s´ımbolos de Christoffel vienen dados por X  ∂˜ gki ∂˜ gij  km gjk ∂˜ ˜m = 1 Γ g˜ + − ij 2 ∂xi ∂xj ∂xk k

En este caso se tiene que 1 1 g 12 = g 21 = 0 g 22 = g 11 = E G de donde se deduce que: 1  ∂g11  11 1 Γ111 = g = Eu g 11 = 0 2 ∂u 2   1 ∂g11 22 −Ev Γ211 = − g = 2 ∂v 2G   1 ∂g11 11 Ev g = Γ112 = 2 ∂v 2G  ∂g  1 1 22 g 22 = Gu g 22 = 0 Γ212 = 2 ∂u 2 1  ∂g22  11 1 1 − g = − Gu g 22 = 0 Γ22 = 2 ∂u 2

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5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Γ222 =

1  ∂g22  22 Gv g = 2 ∂v 2G

4.3. Demostrar que para una carta de Clairaut las ecuaciones geod´esicas se reducen a Ev 0 0 u00 + uv =0 E Ev 02 Gv 02 v 00 − u + v =0 2G 2G Soluci´on: Basta sustituir los valores encontrados de los s´ımbolos de Christoffel en la ecuaci´on de la geod´esicas.a 4.4. Sea σ : R → S una geod´esica en una superficie S y supongamos que tenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t)), para un valor del par´ametro t supongamos que en σ(t) el a´ngulo que forma el vector ∂ tangente y ∂u es θ. Probar que a lo largo de la geod´esica se verifica que √ E cos θ = Eu0 =constante. Soluci´on: Notemos que √ ∂ ∂ ∂ E cos θ = h , u0 + v 0 i = u0 E ∂u ∂u ∂v Por otra parte d(Eu0) = (Eu u0 + Ev v 0)u0 + Eu00 = Eu00 + Ev u0 v 0 = 0 dt 4.5. Sea σ : R → S una curva en una superficie S y supongamos que tenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t) . Entonces (u(t), v(t) representa una geod´esica si y s´olo si existe una constante c tal que se verifican las ecuaciones de primer orden: c u0 = E √ E − c2 v0 = √ . EG Soluci´on: La primera se ha obtenido en el ejecicio anterior. Por otro lado sabemos que 1 = hσ, ˙ σi ˙ = E(u0 )2 + G(v 0)2 = de aqu´ı se obtiene que

c2 + G(v 0)2 E

√ E − c2 v0 = √ EG Rec´ıprocamente si suponemos que se satisfacen las ecuaciones anteriores derivando se obtienen las ecuaciones de las geod´esicas.

5. CURVATURA

109

4.6. Sea σ : R → S una curva en una superficie S y supongamos que tenemos una carta de Clairaut, xσ(u) = (u, v(u)) . Entonces, salvo parametrizaci´on correcta, la curva v = v(u) representa una geod´esica si y s´olo si existe una constante c para la cual se verifiva la ecuaci´on: √ √ dv E E − c2 √ = du c G 4.7. Probar que en el semiplano superior con la m´etrica de Poincare E = G = v12 , salvo parametrizaciones, la ecuaci´on de las geod´esicas no verticales es q 1 − c2 dv v2 = du c Calcular las geod´esicas del plano hiperb´olico. 4.8. Dada una superficie de revoluci´on {(φ(v) cos u, φ(v) sen u, ψ(v))|u, v ∈ R} Probar que la m´etrica viene determinada por E = φ(v)2 , F = 0 , G = φ0 (v)2 + ψ 0(v)2 y que la ecuaci´on de las geod´esicas viene dada por p dv φ φ 2 − c2 = p 2 . du c φ0 + ψ 0 2 5.

Curvatura

´ n 5.1. El tensor curvatura R de una variedad riemanniaDefinicio na M es una correspondencia que a cada par de campos X, Y le asocia un operador R(X, Y ) que transforma cada campo Z en un campo denotado por R(X, Y )Z definido por la expresi´on: R(X, Y )Z = OY OX Z − OY OX Z + O[X,Y ] Z donde O es la conexi´on riemanniana de M . ´ n 5.1. Sean X, Y, Z, W campos tangentes y f, g funProposicio ciones diferenciables con valores reales, entonces R(fX + gY, Z) = fR(X, Z) + gR(Y, Z) R(X, fY + gZ) = fR(X, Y ) + gR(X, Z) R(X, Y )(fZ + gW ) = fR(X, Y )Z + gR(X, Y )W

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5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

´ n. Es f´acil ver que son lineales respecto escalares Demostracio reales. Para funciones se tiene: R(fX, Y )Z = OY Of X Z − Of X OY Z + O[f X,Y ] Z = OY fOX Z − Of X OY Z + Of [X,Y ]−Y f X Z = Y fOX Z + fOY OX Z − fOX OY Z + Of [X,Y ] Z + O−Y f X Z = fOY OX Z − fOY OX Z + fO[X,Y ]Z = fR(X, Y )Z Para la variable Y se sigue f´acilmente R(X, fY ) = −R(fY, X) = −fR(Y, X) = fR(X, Y ) . Para la variable Z se tiene: R(X, Y )fZ = OY OX fZ − OX OY fZ + O[X,Y ] fZ Los t´erminos de la derecha verifican OY OX fZ = OY (XfZ + fOX Z) = Y XfZ + XfOY Z + Y fOX Z + fOY OX Z −OX OY fZ = −OX (Y fZ + fOY Z) = −XY fZ − Y fOX Z − XfOY Z − fOX OY Z O[X,Y ] fZ = [X, Y ]fZ + fO[X,Y ] Z Sumando se tiene que R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z .



Lema 5.1. Si uno de los campos X, Y, Z se anula en un punto p , entonces R(X, Y )Z tambi´en se anula en p . ´ n. Como en algunas demostraciones anteriores, del Demostracio hecho de que R(X, Y )Z sea lineal en cada variable se sigue como es usual que si U es un abierto de la variedad entonces (R(X, Y )Z)|U = R(X|U , Y )Z = R(X, Y |U )Z = R(X, Y )(Z|U ) . En el dominio U de una  P carta x se tiene que si por ejemplo X|U = i fi ∂x∂ i , entonces X  ∂  (R(X, Y )Z)|U =R(X|U , Y )Z = R( , Y )Z fi ∂xi i   X ∂ = fi R( , Y )Z . ∂xi i Si p ∈ U ∩ Dom X ∩ Dom Y ∩ Dom Z y Xp = 0 , se tiene que fi (p) = 0 para i ∈ {1, · · · , m} . Por lo Y )Z)p = ((R(X, Y )Z)|U )p =   tanto  (R(X, P ∂ (R(X|U , Y )Z)p = i fi (p) (R( ∂xi , Y )Z = 0 .  p

Como consecuencia del lema anterior si u, v, w son vectores tangentes en el punto p , podemos definir el vector tangente R(u, v)w tomando campos U, V, W tales que Up = u , Vp = v , Wp = w y definiendo R(u, v)w = (R(U, V )W )p . El tensor curvatura verifica las propiedades siguientes:

5. CURVATURA

111

´ n 5.2. (Identidad de Bianchi) Sean X, Y, Z campos Proposicio tangentes, entonces R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0. ´ n. De la definici´on del tensor curvatura se tiene que Demostracio R(X, Y )Z = OY OX Z − OX OY Z + O[X,Y ] Z R(Y, Z)X = OZ OY X − OY OZ X + O[Y,Z] X R(Z, X)Y = OX OZ Y − OZ OX Y + O[Z,X]Y Sumando se obtiene R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = OY [X, Z] + OX [Z, Y ] + OZ [Y, X] − O[Y,X]Z − O[Z,Y ] X − O[X,Z] Y = [Y [X, Z]] + [X, [Z, Y ]] + [Z[Y, X]] =0  ´ n 5.3. Sean X, Y, Z, T campos tangentes, entonces Proposicio (i) hR(X, Y )Z, T i + hR(Y, Z)X, T i + hR(Z, X)Y, T i = 0 , (ii) hR(X, Y )Z, T i = −hR(Y, X)Z, T i , (iii) hR(X, Y )Z, T i = −hR(X, Y )T, Zi , (iv) hR(X, Y )Z, T i = hR(Z, T )X, Y i . ´ n. La propiedad (i) se sigue de la identidad de BianDemostracio chi y la (ii) es consecuencia inmediata de la definici´on. La propiedad (iii) es equivalente a ver que hR(X, Y )Z, Zi = 0 . Entonces hR(X, Y )Z, Zi = hOY OX Z − OX OY Z + hO[X,Y ] Z, Zi = hOY OX Z, Zi − hOX OY Z, Zi + hO[X,Y ] Z, Zi = Y hOX Z, Zi − hOX Z, OY Zi − XhOY Z, Zi 1 + hOY Z, OX Zi + [X, Y ]hZ, Zi 2 1 1 1 = Y (XhZ, Zi) − X(Y hZ, Zi) + [X, Y ]hZ, Zi 2 2 2 1 1 = − [X, Y ]hZ, Zi + [X, Y ]hZ, Zi 2 2 =0 Para probar (iv), tenemos que de la (i) se sigue que hR(X, Y )Z, T i + hR(Y, Z)X, T i + hR(Z, X)Y, T i = 0 hR(Y, Z)T, Xi + hR(Z, T )Y, Xi + hR(T, Y )Z, Xi = 0 hR(Z, T )X, Y i + hR(T, X)Z, Y i + hR(X, Z)T, Y i = 0 hR(T, X)Y, Zi + hR(X, Y )T, Zi + hR(Y, T )X, Zi = 0

112

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Sumando se obtiene que 2hR(Z, X)Y, T i + 2hR(Y, T )X, Zi = 0 . Por lo tanto hR(Z, X)Y, T i = hR(Y, T )Z, Xi . De donde se deduce la propiedad (iv) .  p Denotemos por |u|2 = hu, ui y por |u ∧ v| = |u|2|v|2 − hu, vi2 . ´ n 5.4. Sea σ un subespacio bidimensional real, u, v Proposicio una base de σ y supongamos que tenemos un producto interno y un operador R satisfaciendo las propiedades anteriores, entonces hR(u, v)u, vi |u ∧ v|2 es independiente de la base elegida. ´ n. Realicemos un cambio de base u0 = au + bv , Demostracio v = cu + dv . De los 16 t´erminos que se generan al aplicar que hR(au + bv, cu + dv)au + bv, cu + dvi si se tienen en cuenta las propiedades del tensor quedan los cuatro t´erminos siguientes: 0

hR(u0 , v 0)u0, v 0i =adadhR(u, v)u, vi + adbchR(u, v)v, ui + bcadhR(v, u)u, vi + bcbchR(v, u)v, ui =hR(u, v)u, vi(a2d2 − 2adbc + b2c2 ) =(ab − cd)2 hR(v, u)u, vi Por otra parte |(au + bv) ∧ (cu + dc)|2 = (ad − bc)2 |u ∧ v|2 . De aqu´ı teniendo en cuenta que en el cambio de base se verifica que ad − bc 6= 0 se tiene que (5.1)

hR(u0 , v 0)u0, v 0i (ad − bc)2hR(u, v)u, vi hR(u, v)u, vi = = |u0 ∧ v 0|2 (ad − bc)2|u ∧ v|2 |u ∧ v|2 

´ n 5.2. Sea M una variedad riemanniana y σ un subespaDefinicio cio bidimensional de TpM , llamaremos curvatura seccional o curvatura de Riemann de σ a n´ umero real hR(u, v)u, vi K(σ) = |u ∧ v|2 donde u, v es una base del subsepacio σ de TpM . Dada una carta x de una variedad riemanniana, utilizaremos las siguientes funciones que determinan el tensor curvatura   X ∂ ∂ ∂ ˜l ∂ R R , = ijk ∂xi ∂xj ∂xk ∂xl l   ∂ ∂ ∂ ∂ ˜ , , si Rijks = hR ∂xi ∂xj ∂xk ∂x

6. MISCEL´ aNEA

113

No es dif´ıcil comprobar que ˜l X X ˜l ∂Γ ∂Γ jk ik l s ˜l s ˜l ˜ ˜ ˜ Rijk = − . Γik Γjs − Γjk Γis + ∂xj ∂xi s s X ˜ ijks = ˜ lijk g˜ls . R R l

Se˜ nalaremos tambi´en que en el caso de 2-variedades riemannianas, en el dominio de una carta x la curvatura seccional se puede calcular con la f´ormula ˜ 1212 R K= . 2 g˜11 g˜22 − g˜12 PROBLEMAS 5.1. Sea U = {(x, y)|x2 + y 2 < 1} el disco unidad y considerar la m´etrica cuyos coeficientes son g11 = (1−(x24+y2 ))2 , g12 = g21 = 0 y g22 = (1−(x24+y2 ))2 . i) Calcular los coeficientes de Christoffel. ii) Encontrar la ecuaci´on diferencial de las geod´esicas. iii) Calcular la curvatura seccional. 5.2. Sea M el paraboloide de ecuaci´on z = x2 + y 2 y sea j : M → R3 la inclusi´on can´onica. i) Calcular los coeficientes de la m´etrica inducida por j en el la variedad M . ii) Calcular los coeficientes de Christoffel. iii) Encontrar la ecuaci´on diferencial de las geod´esicas. iv) Calcular la curvatura seccional. 6.

Miscel´ anea

6.1. Considerar la subvariedad E de R2 de ecuaci´on ( xa )2 + ( ya )2 + ( zc )2 = 1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es {(x, y, z) ∈ E|y = 0 x ≤ 0} y es tal que x = a cos θ cos φ y = a cos θ sen φ z = c sen θ y su codominio es (−π, π) × (− π2 , π2 ) . a) Probar que los coeficientes m´etricos en la carta anterior son: g11 = a2 cos2 θ, g12 = 0 = g21 , g22 = a2 cos2 θ + c2 cos2 θ . b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por Γ111 = 0 Γ112 = − tan θ = Γ121

a2 sen 2θ 2(a2 sen2 θ + c2 cos2 θ) Γ212 = 0 = Γ221 (a2 − c2 ) sen 2θ = 2(c2 cos2 θ + a2 sen2 θ)

Γ211 =

Γ222

Γ122 = 0

114

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

c) Encontrar la ecuaci´on diferencial de las geod´esicas. d) Probar que la curvatura seccional en los puntos de la carta viene dada por c2 K= 2 (c cos2 θ + a2 sen2 θ)2 6.2. Considerar la subvariedad H de R2 de ecuaci´on x2 +y 2 −z 2 = 1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es {(x, y, z) ∈ H|y = 0 x ≤ 0} y es tal que x = cosh θ cos φ y = cosh θ sen φ z = senh θ y su codominio es (−π, π) × (1, +∞) . a) Probar que los coeficientes m´etricos en la carta anterior son: g11 = cosh2 θ, g12 = 0 = g21, g22 = cosh2 θ + senh2 θ . b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por Γ111 = 0 Γ112 = tanh θ = Γ121 Γ122 = 0 1 Γ211 = − tanh 2θ 2 Γ212 = 0 = Γ221 Γ222 = tanh 2θ c) Encontrar la ecuaci´on diferencial de las geod´esicas. d) Calcular la curvatura seccional en los puntos de la carta. Soluci´on: Se trata de calculos rutinarios. En los apartados a) y b) ya se ha incluido la soluci´on. c) Las ecuaciones de las geod´esicas es la siguiente d2 φ dφ dθ + 2 tanh θ = 0 dt2 dt dt  2  2 d2 θ 1 dφ dθ − tanh 2θ + tanh 2θ = 0 2 dt 2 dt dt d)Se obtiene que R2121

1 1 (cosh θ)2 1 2 = − (tanh 2θ) + tanh(θ) tanh(2θ) − =− 2 2 (cosh 2θ)2 (cosh 2θ)2 K=

R1212 R2121g22 R2121 1 = = =− 2 g11 g22 − g12 g11g22 g11 (cosh 2θ)2

6.3. Sea la superficie de R3 que tiene ecuaci´on a ez cos(a x)−cos(a y) = 0 . Consideremos la carta (u, v) : M → R2 tal que Dom(u, v) = {(x, y, z)|a ez cos(a x) − cos(a y) = 0, y tal que u = x, v = y

cos a x 6= 0}

6. MISCEL´ aNEA

115

a) Probar que los coeficientes m´etricos en la carta anterior son los siguientes: g11 = 1 + a2 tan2 (a u), g12 = −a2(tan a u)(tan a v) = g21 , g22 = 1 + a2 tan2 (a v) . b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por Γ111 =

a3 sec2(a u) tan(a u) 1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v) Γ112 = 0 = Γ121

 a3 sec2 (a v) tan(a u) =− 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)   a3 sec2(a u) tan(a v) 2 Γ11 = − 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) 

Γ122

Γ212 = 0 = Γ221 a3 sec2 (a v) tan(a v) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) c) Encontrar la ecuaci´on diferencial de las geod´esicas. d) Probar que la curvatura seccional en los puntos de la carta viene dada por ! a4 sec2(a u) sec2(a v) K=− 2 (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)) Γ222 =

Soluci´on: a) Ya hemos visto en el ejercio anterior que puesto que v) x in = u ,y in = v y z in = log acos(a se tiene que cos(a u)  in∗p

 in∗p

∂ ∂u

∂ ∂v



 = p



 =

p

∂ ∂x

∂ ∂y



 + (a tan au)p p



 − (a tan av)p p

∂ ∂z

∂ ∂z

 p

 p

de donde se obtiene que g11 = 1 + a2 tan2(a u) g12 = g21 = −a2 (tan a u)(tan a v) g22 = 1 + a2 tan2 (a v) b) La matr´ız inversa tiene como coeficientes g 11 = g 12 =

1 + a2 tan2 (a v) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)

a2 tan(a u) tan(a v) = g 21 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)

116

5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

1 + a2 tan2 (a u) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v) Notemos que se tiene que g 22 =

∂g11 = 2 a3 sec2 (a u) tan(a u) ∂u ∂g22 = 2 a3 sec2 (a u) tan(a v) ∂v ∂g11 ∂g22 =0= ∂v ∂u
∂g12 = − a3 sec2 (a u) tan(a v) = ∂u
∂g12 = − a3 sec2 (a v) tan(a u) = ∂v aplicando las formulas se obtienen Γ111 =

∂g21 ∂u ∂g21 ∂v

a3 sec2(a u) tan(a u) 1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v)

Γ112 = 0 = Γ121  a3 sec2 (a v) tan(a u) 1 Γ22 = − 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)   a3 sec2(a u) tan(a v) 2 Γ11 = − 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) 

Γ212 = 0 = Γ221 a3 sec2 (a v) tan(a v) Γ222 = 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) c) Llamando u y v a las coordenadas de los puntos de la curva se obtiene ∂ 2u + ∂t2 ∂ 2v − ∂t2





∂u ∂t ∂u ∂t



2 sec2 (a u) −



2 sec2(a u) +

∂v ∂t ∂v ∂t

!

2

a3 tan(a u) =0 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)

sec2 (a v) !

2

sec2 (a v)

a3 tan(a u) =0 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)

d) Para calcular la curvatura necesitamos los coeficientes R1121 y para su c´omputo realizamos previamente los siguientes calculos:

R2121

R1121 = Γ211 Γ122 +

∂Γ111 ∂v

6. MISCEL´ aNEA

R2121 = Γ211 Γ222 +

117

∂Γ211 ∂v

∂Γ111 −2 a6 sec2 (a u) sec2 (a v) tan(a u) tan(a v) = 2 ∂v (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v)) a4 sec2 (a u) sec2 (a v) ∂Γ211 2 a6 sec2 (a u) sec2 (a v) tan2 (a v) − = 2 2 2 ∂v (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)) 1 + a2 tan (a u) + a2 tan (a v) de donde se obtiene ! 6 2 2 a sec (a u) sec (a v) tan(a u) tan(a v) R1121 = − 2 (1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v)) ! 4 2 2 2 2 a sec (a u) sec (a v) (1 + a tan (a u)) R2121 = − 2 (1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v)) De aqui se sigue que   a4 sec2 (a u) sec2 (a v) R1212 = − 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) Finalmente ! a4 sec2(a u) sec2(a v) K=− 2 (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2(a v))

CAP´ıTULO 6

Ap´ endice 1. 2.

Preliminares topol´ ogicos

Aplicaciones inform´ aticas para la geometr´ıa

Una de las aplicaciones que se adapta bien a los contenidos de este curso se halla situada en Enlace 2.1. Dibuja superficies en impl´ıcitas y param´etricas. En ellas se puede considerar la m´etrica inducida por el abiente que puede ser eucl´ıdio o minkowskiano. Tambi´en trabaja con m´etricas pseudoriemannianas en un abierto del plano. Calcula la curvatura en cada punto, dibuja geod´esicas, realiza transporte paralelo. En mi opini´on es una herramiente docente muy motivadora e interesante. ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies_Mac_folder

o en

ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies_W32_folder

Enlace 2.2. Aqu´ı se puede localizar la aplicaci´on 3D-Filmstrip que es una herramienta para la visulizaci´on de objetos matem´aticos, que incluyes superficies, curvas y polidros. Esta aplicaci´on funciona con MacOS y requiere PowerPC. http://rsp.math.brandeis.edu/public_html/3D-Filmstrip_html/3D-FilmstripHomePage.html

Las u ´ltimas versiones beta pueden obtenerse mediante ftp an´onimo (anonymous) en ftp://rsp.math.brandeis.edu/

Enlace 2.3. Contiene informacion sobre un libro de A. Gray que adem´as geometr´ıa diferencial ense˜ na a utilizar Mathematica para representar gr´aficamente curvas y superficies, calcular curvaturas, y otros calculos de inter´es en geometr´ıa diferencial. http://www.wargaming.net/Programming/151 / Modern Differential Geometry Curves Surfaces With Mathematica.htm 3.

Enlaces interesantes

Enlace 3.1. Este enlace contiene Apuntes de Geometr´ıa Diferencial y sobre el Grupo Fundamental, ex´amenes y sus soluciones, problemas resueltos y otros materiales did´acticos. 119

120

´ 6. APENDICE

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/index.html Enlace 3.2. Contiene apuntes de Geometr´ıa Diferencial realizados por Yaakov Bustin Faculty of Mathematics and Computer Science The Weizmann Institute of Science Rehovot 76100, Israel http://www.wisdom.weizmann.ac.il/users/yakov/public_html/Geometry/

Enlace 3.3. Se trata de un estudio de visualizaci´on de sistemas din´amicos realizado en la tesis de HelwigL¨offelmann “VisualizingLocalProperties andCharacteristicStructures ofDynamicalSystems” http://www.cg.tuwien.ac.at/~helwig/diss/diss.htm Enlace 3.4. Contiene publicaciones on line, videos, imagenes de superficies, etc http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/

´Indice alfab´ etico

espacio tangente de la variedad en el punto, 36 estructura diferenciable, 12

´orbita, 58 1-forma, 71 acci´on de un grupo, 58 acci´on discontinua, 58 acci´on eficiente, 58 acci´on libre, 58 aplicaci´ on exponencial, 96 atlas compatibles, 11 atlas diferenciable m-dimensional, 11

fibrado cotangente, 69 fibrado tangente, 69 funci´ on diferenciable, 13 funci´ on diferenciable en un punto, 13 geod´esica, 95 germen, 35 inmersi´on isom´etrica, 98 isometr´ıa local, 98 isom´etrica, 98

campo de vectores, 71 campo paralelo, 94 campo tangente a una variedad a lo largo de una curva, 92 carta m-dimensional, 11 coeficientes de la m´etrica, 99 conexi´ on compatible con la m´etrica, 104 conexi´ on lineal en un punto, 91 conexi´ on lineal en una variedad, 91 conexi´ on riemmanniana, 104 conexi´ on sim´etrica, 104 conjunto soporte de la variedad, 12 curvatura seccional o de Riemann, 112

la aplicaci´ on tangente en el punto, 37 matriz jacobiana de φ en el punto p, 38 m´etrica pseudoriemanniana, 97 m´etrica riemanniana, 97 operador derivaci´ on, 71 operador lineal, 35 producto interno, 97 r-forma, 74 rango de una aplicaci´ on diferenciable, 38 rango de una aplicaci´ on lineal, 38

derivaci´ on o vector tangente en un punto, 35 derivada covariante, 93 derivada parcial de f con respecto la i-´esima coordenada, 33 difeomorfa, 13 difeomorfismo, 13 difeomorfismo local, 39 difeomorfismo local en el punto, 39 diferencial de una forma, 74 dominio fundamental, 59 dominio fundamental normal, 59

s´ımbolos de Christoffel, 94 tensor curvatura, 109 transformaci´on, 57 variedad diferencial m-dimensional, 12 variedad pseudoriemanniana, 97 variedad riemanniana, 97 vector cotangente, 69

espacio de Minkovski, 99 espacio hiperb´olico, 98 121

Bibliograf´ıa 1. Bishop, R.L. Geometry of Manifolds, Academic Press, New York, 1964. 2. Bredon, G.E. An Introduction to Transformation Groups, Academic Press, New York, 1979. 3. Boothby, W.M. Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, New York, 1975. 4. Brickell, F., Clark, R.S. Differentiable manifolds. An Introduction, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. 5. Chevalley, C. Theory of Lie Groups, Pinceton Univ. Press, Princeton, N.J. , 1946. 6. Conner, P.E. Differentiable Periodic Maps (second edition) , Springer, 1979. 7. Cordero, L. A., Fern´ andez, M. and Gray, A. Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies (con Mathematica), Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. 8. Cheeger, J. and Ebin, D.G. Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North Holland/ American Elsevier, 1975. 9. Carmo, M. P. do. Riemannian Geometry, Birkh¨ auser, Boston, 1993. 10. Carmo, M. P. do. Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad Textos, 1994. 11. Br¨ ocker, T. and J¨ anich, K. Introducci´ on a la Topolog´ıa Diferencial, Editorial AC, 1977. 12. Dubrovin, B. A., Fomenko, A.T. and Novikov S. P. Modern GeometryMethods. Part II. The Geometry and Topology of Manifolds, SpringerVerlag, New York, 1990. 13. Guillemin , V. and Pollack, A. Differential Topology, Prentice Hall, 1974. 14. Hicks, N. J. Notas sobre Geometr´ıa Diferencial, Editorial Hispano Europea, 1974. 15. Hirsch, M.W. Differential Topology, Springer-Verlag, 1976. 16. Kobayashi, S. and Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry. Volume I and II, John Wiley and Sons, Inc., 1963. 17. Lang, S. Differential and Riemannian Manifolds, Springer (GTM 160), 1995. 18. Madsen, I. and Tornehave, J. From Calculus to Cohomology, Cambridge Univ. Press, 1997. 19. Margalef J. y Outerelo, E. Topolog´ıa Diferencial, C.S.I.C, 1988. 20. Matsushima, Y. Differentiable Manifold, Marcel Decker, New York, 1972. 21. Milnor, J. W. Morse Theory, Princeton University Press (Study 51), 1963. 22. Milnor, J. and Stasheff, J.D. Characteristic classes, Princeton University Press (Study 51), 1974. 23. Mishchenko, A. and Fomenko, A. A Course of Differential Geometry and Topology, Mir Publishers Moscow, 1988. 24. Montesinos, J. M. Classical Tessellations and Threee-Manifolds, Springer, 1985. 25. Okubo, T. Differential Geometry, Marcel Dekker, Inc. New York and Basel, 1987. 123

124

BIBLIOGRAF´IA

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