Galois Representations in Arithmetic Algebraic Geometry

LONDON MATHEMATICAL SOCIETY LECTURE NOTE SERIES Managing Editor: Professor J.W.S. Cassels, Department of Pure Mathemati...

Author: Anthony James Scholl | Richard Lawrence Taylor | Editors

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=0 pour toute f constante (mod U). Comme ceci est vrai pour tout U assez petit, on en deduit que PG - p' = 0. D'ou :

Jean-Pierre Serre

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Thdori me 7.3.2-La distribution d'Euler-Poincare µG est egale au produit par F de la distribution de Haar de G. Si 1'on note "ds" la distribution de Haar, on a donc

e(G, A) = f VA(s)F(s)ds

pour tout A E CG.

(Bien que c°A ne soit defini que sur Greg, cette integrale a un sens puisque F est nulle en dehors de Greg).

Corollaire 7.3.3-Le support de µG est l'ensemble des elements s de G dont le centralisateur Z(s) est fini. Cela resulte de la prop.7.1.2 (i).

Corollaire 7.3.4-On a µG = 0 si et seulement si le centralisateur de tout element de G est infini. C'est clair. Remarques.

1) Le cor.7.3.3 equivaut a dire que Supp(pG) est egal a la reunion des classes de conjugaison de G qui sent ouvertes dans G. Ces classes sont en nombre fini (elles forment en effet une partition de l'espace compact Greg en ouverts fermes). La Zp mesure sur Cl G definie par µG (n03.6) a donc un support fini.

2) D'apres Lazard [7], V.2.5.8, G est un "groupe a dualite" (au sens du n°5.3) dont le caractere dualisant a est donne par : (7.3.5)

e(g) = det Ad(g)

pour tout g E G.

(Lazard se borne au cas ou G est un pro-p-groupe, mais sa demonstration s'applique au cas general.) Vu (5.3.6), ceci entraIne l'identite e.PG = G, i.e. (7.3.6)

e(g)F(g) = (-1)"F(g-1)

pour tout g E G,

ce qui se deduit aussi directement de (7.1.1) et (7.3.5). Exemples.

1) Si G est un pro-p-groupe de dimension n > 0, on a µG = 0 puisque Greg = {1} et que le centralisateur de 1 est infini; on retrouve un resultat connu, cf. [12], 1.4.1, exerc.(e).

2) Si n = 0, G est fini d'ordre premier a p, on a Lie G = 0, F = 1, et µG est la distribution de Haar de G, cf. 3.4.2. 3) Supposons p # 2, et soit G le groupe diedral p-adique, produit semidirect d'un groupe {1, c} d'ordre 2 par un groupe U isomorphe a Z,, faction

de c sur U etant u H u-1. On a: n = dim Lie G = 1.

La distribution d'Euler-Poincare

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L'action de U sur Lie G est triviale alors que celle de c est x H -x. D'ou F = 0 sur U, et F = 2 sur cU = G - U. On en deduit que PG a pour support G - U (qui est la classe de conjugaison de c), et que sa masse totale est 1. Autrement dit, si A E CG, on a : (7.3.7)

e(G, A) = WA (C) = 2. dim Ae - dim A,

ou A° est le sous-espace de A fixe par c.

7.4. Un cas ou AG = 0 Proposition 7.4.1-Soit G un groupe algebrique connexe sur Qr, de dimension > 0. Soit G un sous-groupe ouvert compact de G(Qr) ne contenant pas d'element d'ordre p. Alors µG = 0. Il faut montrer que la fonction F: G - Z, est egale a 0. Tout d'abord on a F(1) = det(1-1) = 0 puisque dimG > 0. Comme F est localement constante, cela montre que F = 0 dans un voisinage U de l'element neutre. Mais F est la restriction a G de la fonction "morphique" F: g H det(1 - Ad(g-1)), definie sur la variete G. Comme G est lisse et connexe, U est dense dans G pour la topologie de Zariski. Le fait que F soit 0 sur U entraine donc F = 0, d'ou le resultat cherche. Variante. On peut aussi demontrer directement que, pour tout point g de G, la dimension du centralisateur de g est > 0 (puisqu'il en est ainsi pour 1'element generique). Remarques.

1) Un argument analogue montre que PG = 0 si dim G > 0, et si 1'image de

Ad: G - GL(Lie G) est connexe pour la topologie de Zariski de GL(Lie G). 2) Supposons que 7.4.1 s'applique, donc que PG = 0. Par definition de PG, cela signifie que e(G, A) = 0 pour tout A E CG. Plus generalement, soit A un G-module discret qui snit un p-groupe fini, et soit x(G, A) sa caracteristique d'Euler-Poincare au sens multiplicatif, autrement dit le produit alterne des ordres I Hi (G, A) 1. On a alors : (7.4.2)

x(G, A) = 1.

En effet, comme x(G, A) est une fonction multiplicative de A, on peut se ramener par devissage au cas ou pA = 0, de sorte que A appartient a CG, et que (7.4.3)

puisque e(G, A) = 0.

x(G, A) = pe(G'A) = 1,

Jean-Pierre Serre

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§8. Une application Dans les §§ precedents, it ne s'agissait que de G-modules de type fini (sur Fp, Zp ou Qp, suivant les cas). Or le probleme du calcul de la caracteristique d'Euler-Poincare se pose pour tout G-module A dont les groupes de cohomologie sont de type fini (sur l'anneau de base considere), cc qui n'entraine nullement que A soit lui-meme de type fini. C'est d'un cas de cc genre que nous allons nous occuper.

8.1. Les donnees Comme au n°7.4, on part d'un groupe algebrique G sur Qp, et d'un sousgroupe ouvert compact G de G(Qp). On se donne une representation lineaire p: G -+ GLV, on V est un Qp espace vectoriel de dimension finie. On note L un ZP reseau de V stable par G (il en existe, puisque G est compact). Le G-module auquel on va s'interesser

est I = V/L ; si m = dim V, I est isomorphe comme groupe abelien a la somme directe de m copies de Qp/Zp. On se donne egalement un plongement h du groupe multiplicatif Gm dans le centre de G, et l'on suppose que V est homogene de poids # 0 pour faction de Gm : autrement dit, it existe un entier r # 0 tel que p(h(t)).v = t''v pour tout point t de Gm et tout point v de V. (Remarque. Les donnees ci-dessus sont celles que 1'on rencontre (ou que l'on espere rencontrer) dans le theorie des motifs sur un corps de nombres K : G est le groupe de Galois motivique, h est l'homomorphisme de Gm dans G associe au poids, V est la realisation p-adique du motif, L est une Zp-forme

de V, et G est l'image de Gal(K/K) dans G(Q,,).) Dans cc qui suit, on identifie Gm a un sous-groupe de G au moyen de h, et l'on note PG le groupe quotient G/Gm. Soit PG 1'image de G dans PG(Qp). On fait les hypotheses suivantes : (8.1.1) G est connexe, de dimension > 1. (8.1.2) Le groupe PG n'a pas de p-torsion. (8.1.3) Si p = 2, G ne contient pas h(-1). On a alors :

Theoreme 8.1.4-Sous les hypotheses ci-dessus, les groupes de cohomologie H'(G, I) sont des p-groupes finis, nuls si i > dim G, et le produit alterne de leurs ordres :

X(G,I) = [I IH'(G,I)I(-1)i est egal a 1.

(Rappelons que I = V/L.)

La distribution d'Euler-Poincare

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8.2. Demonstration du theoreme 8.1.4 Soit N le noyau de la projection G -+ PG. Comme N est un sous-groupe ouvert compact de G ..(QP) = QP, c'est un sous-groupe ouvert de Zp ; de plus, si p = 2, N ne contient pas -1 d'apres (8.1.3). On peut donc ecrire N sous la forme (8.2.1)

N = C x U,

on C est cyclique d'ordre divisant p - 1, et U est isomorphe a Zp. On va utiliser la suite spectrale relative a 1'extension de groupes :

1- N- G-*PG-*1. Comme cdp(N) = 1, nous n'avons a nous occuper de H'(N, I) que pour i = 0

et i = 1. On a: Lemme 8.2.2-(i) H°(N, I) est un p-groupe fini. (ii) H1 (N, I) = 0.

Comme H(N, I) se plonge dans H'(U, I), it suffit de prouver (i) et (ii) avec N remplace par U. Or, si u est un generateur topologique de U, on a (8.2.3)

H°(U, I) = Ker(u - 1: I -+ I)

(8.2.4)

H1(U, I) = Coker(u - 1: I -+ I).

et

Mais, si 1'on identifie u a un element de Zp, on sait que u agit sur I par Ur, ou r est un entier 0. Puisque u est d'ordre infini, on a u'' - 10 0, et comme I est un groupe divisible, u - 1: I -+ I est surjectif, d'oit (ii). De plus, le noyau de u - 1: I -+ I est fini, ce qui demontre (i). (De faCon plus precise, si v est la valuation p-adique de u'' - 1, H°(U, I) est isomorphe a L/p" L.) Vu (8.2.2), la suite spectrale H(PG, Hi(N, I)) = H1+i(G, I) degenere en un isomorphisme : (8.2.5)

H'(G, I) = Hi(PG, A),

ou A = H°(N, I) est un PG-module fini d'ordre une puissance de p. Or PG est un sous-groupe ouvert compact de PG(Qp), sans p-torsion d'apres (8.1.2). On a donc cdp (PG) = dim PG = dim G - 1, ce qui montre

que les H' (PG, A) sont finis pour tout i, et nuls si i > dim G - 1. Enfin, 1'hypothese (8.1.1) equivaut a dire que PG est connexe de dimension > 0. En appliquant a PG la prop.7.4.1, on voit que IPG = 0, d'ou X(PG, A) = 1 d'apres (7.4.2). Comme X(G, I) = X(PG, A) d'apres (8.2.5), cela acheve la demonstration.

Jean-Pierre Serre

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8.3. Demonstration du theoreme D du n°1.8 Le theoreme D est le cas particulier du th.8.1.4 on G = GL, et V = (Qp)n, L = (Zp)n, I = (QP/Zp)n. Le plongement h: Gm -1 G est le plongement evident (homotheties). On a PG = PGLn. La condition (8.1.1) est satisfaite puisque dim G = n2 > 1. La condition (8.1.3) est satisfaite puisque p > n + 1 > 2. Le fait que (8.1.2) soit satisfaite resulte du lemme elementaire suivant:

Lemme 8.3.1-Si p > n + 1, les grouper GLn(Qp) et PGLn(Qp) ne contiennent pas d'element d'ordre p. Si s E GLn(Qp) est d'ordre p, l'une de ses valeurs propres, z, est une racine primitive p-ieme de l'unite. Mais on sait que z, z2, ... , zp-1 sont conjuguees par Gal(QP/Qp). Donc z, z2, ... , zp-1 sont des valeurs propres de s, ce qui

entraine n > p - 1. Si s E PGLn(Qp) est d'ordre p, soit x un representant de s dans GLn(Qp), et soit d = det(x). Notons t l'homothetie xP. On a

dP = det(xp) = det(t) = tn.

Mais n et p sont premiers entre eux, puisque p > n + 1. II en resulte que t est de la forme t = BP, avec 0 E Q. L'element y = 8-1x est alors un element d'ordre p de GLn(Q,), ce qui est impossible comme on vient de le voir. Cela acheve la demonstration du theoreme D. Remarque. On laisse au lecteur le soin d'etendre le lemme 8.3.1 a d'autres

groupes reductifs que GLn et PGLn. Par exemple, si G est un groupe de type E8 sur Qp, G(Qp) n'a pas de p-torsion si p 2, 3, 5, 7,11,13,19, 31.

Bibliographic [1] H. Bass-Euler characteristics and characters of discrete groups, Invent. math. 35 (1976), 155-196. [2] N. Bourbaki-Topologie Generale, Chap. 1 a 4, Hermann, Paris, 1971.

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La distribution d'Euler-Poincare

493

[7] M. Lazard-Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math. IHES 26 (1965), 389-603.

[8] H. Nakamura-On the pro-p Gottlieb theorem, Proc. Japan Acad. 68 (1992), 279-292.

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