Funktionentheorie erkunden mit Maple

Springer-Lehrbuch

Wilhelm Forst · Dieter Hoffmann

Funktionentheorie erkunden mit Maple R

Zweite, überarbeitete und aktualisierte Auflage

Prof. Dr. Wilhelm Forst Universität Ulm Deutschland

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-29411-2 DOI 10.1007/978-3-642-29412-9

Prof. Dr. Dieter Hoffmann Universität Konstanz Deutschland

ISBN 978-3-642-29412-9 (eBook)

Mathematics Subject Classification (2010): 97-01, 30-02, 32-01 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012  Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

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F¨ ur unsere Enkelkinder ´ Mat´ıas, Louise, Luca, Nicolas, Gabriel, Etienne und L´eon

Inhaltsverzeichnis Vorwort zur ersten Auf lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Vorwort zur zweiten Auf lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XVIII . 1

Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Arithmetische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen . . . . .

4

Die komplexen Zahlen als Unterring der 2×2-Matrizen

5

Die komplexen Zahlen als Restklassenring . . . . . . . . . . .

6

Geometrische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen . . . . . .

6

1.3 Elementare Operationen und Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion . . . 12 Maple Worksheets zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2

Topologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Stetigkeit und Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Grundeigenschaften stetiger Abbildungen . . . . . . . . . . . . 44 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Satz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Reihen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Maple Worksheets zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

VIII 3

Inhaltsverzeichnis Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1 Definition und Grundregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Differentiation von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Holomorphie 75 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Allgemeine Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 cosh, sinh, tanh, tan und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . 81 Maple Worksheets zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 1. Fassung) . . . . . 106 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 2. Fassung) . . . . . 114 Maple Worksheets zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . 129 5.1 Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2 Potenzreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.3 Holomorphiekriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Satz von Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Identit¨ atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.4 Integralformel f¨ ur die Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Absch¨ atzung f¨ ur Ableitungen und Koeffizienten . . . . . . 136 Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz von Weierstraß II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz u ¨ ber Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip vom Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation unterm Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 138 139 140 141

Maple Worksheets zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Inhaltsverzeichnis 6

IX

Der globale Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.1 Umlaufzahl, Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Der Hauptsatz f¨ ur nullhomologe Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Maple Worksheets zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7

Laurent-Reihen, isolierte Singularit¨ aten, Residuensatz . . . . 181 7.1 Laurent-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2 Isolierte Singularit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Satz von Casorati-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.3 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen . . . . 190 7.4 Argumentprinzip und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Logarithmisches Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Satz von Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Routh-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Maple Worksheets zu Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen . . . . . . . . . . . 235 8.1 M¨ obius-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 8.2 Joukowski-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem . . . . . . . . 247 Komplexe Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Mittelwerteigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Prinzip vom Maximum, Poissonsche Integralformel . . . 252 Verpflanzungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Maple Worksheets zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9

Die Γ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.1 Zur Γ-Funktion im Reellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.2 Die Gammafunktion im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 9.3 Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Maple Worksheets zu Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

X

Inhaltsverzeichnis

10 Anhang zu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.1 Ein erster Einstieg in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2 Der Befehl interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.3 Die Initialisierungsdatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.4 Der Befehl transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 10.5 Eigene Pakete definieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Namen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Index zu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Vorwort zur ersten Auf lage

Es gibt viele gute und auch sehr gute B¨ ucher zur Funktionentheorie. Das vorliegende Buch versucht keineswegs, allein die Zahl solcher B¨ ucher zu erh¨ ohen; das Hauptziel wird aus dem Untertitel deutlich: mit Maple er” kunden“. Die Kombination einer soliden und ausgefeilten Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie und zugeh¨ origer Arbeitsbl¨ atter mit Maple vom Feinsten macht den besonderen Reiz dieses Buches aus. Maple wird so mit den Inhalten der Funktionentheorie verkn¨ upft, daß der Schwerpunkt auf Erkl¨arung und Visualisierung liegt, nicht als bloßes Anh¨angsel. Wir wollen Lernende, Lehrende und Praktiker gewinnen, ein solches Computeralgebrasystem im Alltag‘ intensiv einzusetzen. Anwender k¨onnen st¨arker ’ f¨ ur Themen wie Funktionentheorie gewonnen werden, wenn Verbindungen zur praktischen Rechnung erkennbar sind. Das dauernde Wechselspiel zwischen Text und Maple-Worksheets‘, kurz MWSs, f¨ uhrt zu einer wesentlich ’ besseren Durchdringung des Stoffes. Wir hoffen, daß etwas von unserer Begeisterung auf die Leser u ¨ berspringt, und Lehrende neue Impulse f¨ ur die Gestaltung ihrer Vorlesungen mitnehmen. Es wird eine allgemeine Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie gegeben f¨ ur Mathematiker, Physiker und Ingenieure — und allgemeiner f¨ ur Studierende mit Mathematik als Nebenfach. Dabei haben wir durchaus auch BachelorStudieng¨ange im Auge. T. Needham schreibt in [Nee], daß Mathematik oft so dargeboten werde wie Musik, bei der man nur Partituren liest, also sie weder spielt noch h¨ort. Er betont die Kraft der Visualisierung gerade bei der Funktionentheorie. Bei uns wird zus¨ atzlich gezeigt, wie man solche Dinge relativ leicht selbst machen kann. In der Funktionentheorie ist dies besonders geboten: Der Verlauf einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen kann gut durch den Graphen in der (x, y)-Ebene (R2 ) veranschaulicht werden. Bei einer komplexwertigen Funktion f einer komplexen Variablen z ist dies nicht ohne weiteres m¨oglich, da dies uhren w¨ urde. Man behilft sich meist damit, daß man zwei Ebenen auf den R4 f¨ — eine z-Ebene und eine w-Ebene — heranzieht. In der ersten markiert man Punkte z, in der zweiten die zugeordneten Punkte w = f (z). Insbesondere durch die Bilder charakteristischer Kurven‘, die z durchl¨auft, bekommt man ’ so eine gute Vorstellung von f . Unser Buch kann gewinnbringend f¨ ur alle Studieng¨ange nach einer zweisemestrigen Einf¨ uhrung in die Analysis, also ab dem 3. Studiensemester herangezogen werden. Dem Lernenden werden mathematisch saubere‘ und ’

XII

Vorwort zur ersten Auf lage

leistungsf¨ ahige Methoden an die Hand gegeben, was die praktische Arbeit wesentlich erleichtert. Der Lehrende findet ein solides und ansprechendes Buch, das er zur Orientierung oder als Begleittext ohne Vorbehalte empfehlen kann. Gleich zu Beginn sei ausdr¨ ucklich gesagt: Vokabeln wie etwa Leser‘ sollten ’ stets als Leserin und Leser‘ verstanden werden. Sprachliche Spielereien wie ’ ¨ LeserInnen‘ oder der (die) Leser(in)‘ und Ahnliches finden wir unsch¨on und ’ ’ wenig sinnvoll. Auch wenn wir das nicht fortw¨ ahrend betonen: Die weiblichen Leser des Buches sind uns herzlich willkommen. Das vorliegende Buch kann den Lernenden von Beginn an begleiten und Grundlage oder Erg¨ anzung zu der Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie im Grundstudium bieten. Es vermittelt eine gute Basis f¨ ur die Besch¨aftigung mit weiterf¨ uhrenden oder allgemeineren Themen und vor allem f¨ ur die vielf¨altigen Anwendungen. Das Buch kann dem Lehrenden, der die zu pr¨asentierenden Themen und Methoden st¨ arker heutigen computerunterst¨ utzten M¨oglichkeiten anpassen will, eine gute Hilfe und zuverl¨ assiger Wegweiser sein. Wir haben uns immer wieder bem¨ uht, dem Leser die Ideen nahezubringen, ihn zum Mitmachen zu animieren. Dies hat die Darstellung stark gepr¨agt. Zu allen Themen finden sich im Text zahlreiche, meist vollst¨andig durchgerechnete und mit Bedacht ausgew¨ ahlte Beispiele. Die große F¨ ulle der ausgef¨ uhrten Beispiele zeigt ausgiebig das Wie“, der sonstige Text erl¨autert ” das Warum“. Die MWSs zeigen dann, wie man die Dinge mit einem Com” puteralgebrasystem umsetzen kann. Sie geben vielf¨altige Anregungen zum selbst¨ andigen Experimentieren. Instruktive und sorgf¨ altig ausgew¨ ahlte Abbildungen tragen — auch schon im Textteil — zur Veranschaulichung des Stoffes bei und erleichtern so das Verst¨ andnis. Manche der Graphiken sind dabei von ¨asthetischem Reiz. Auf ein detailliertes Durchgehen der Gliederung des Buches verzichten wir. ¨ Das ausf¨ uhrlich gehaltene Inhaltsverzeichnis gibt vorweg gen¨ ugend Ubersicht. Ein erstes Durchbl¨ attern d¨ urfte zur Lekt¨ ure des gesamten Buches verf¨ uhren. Es seien nur einige Besonderheiten des Textes erw¨ahnt: • Anders als in vielen sonstigen Lehrb¨ uchern f¨ ur das dritte Studiensemester wird der Stoff an dem orientiert, was in einem guten halben Semester — meist neben einer Einf¨ uhrung in die Gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen — machbar ist. • Exemplarisch werden Anwendungsbeispiele aus dem Ingenieurbereich unter verschiedenen Aspekten angesprochen. ¨ • Der Satz von Rouch´ e wird durch ausf¨ uhrliche Uberlegungen zum RouthKriterium erg¨ anzt.

Vorwort zur ersten Auf lage

XIII

• M¨ obius-Transformationen werden nicht als Selbstzweck behandelt, sondern mit dem Ziel, auch ihre Einsatzm¨ oglichkeit bei der L¨osung des Dirichlet-Problems aufzuzeigen. • Als weitere konforme Abbildung gehen wir kurz auf die JoukowskiTransformation ein. Zur inhaltlichen und didaktischen Konzeption ist folgendes zu sagen: Es soll den Lernenden ab dem dritten Semester begleiten und wird sicher auch sp¨ ater noch zuverl¨ assiger Ratgeber und Nachschlagem¨oglichkeit sein. Es ist durchaus auch zum Selbststudium geeignet; denn es ermuntert fortw¨ahrend zu aktivem Mitdenken und eigenem Tun. Dabei ist die mathematische Darstellung durch die Computerrealisierung begleitet, dennoch sauber von ihr getrennt. Die Darstellung ist weit entfernt davon, eine bloße Sammlung von Kochrezepten zu sein. Gerade die mathematisch strenge Herleitung zentraler Ideen und durchgehend pr¨ azise Formulierung und Darstellung f¨ordern entscheidend Verst¨ andnis und Durchblick und geben so erst die gew¨ unschte Sicherheit bei der Anwendung. An wenigen Stellen, wo ein vollst¨andiger strenger Beweis uns nicht ratsam schien, wird ein Literaturverweis gegeben. Einige Routine¨ uberlegungen und Erg¨ anzungen sind nur beispielhaft ausgef¨ uhrt oder auch ganz ohne Beweis notiert, damit die Darstellung nicht langatmig wird. Zu Maple Computeralgebrasysteme wie Maple k¨ onnen mit innovativen Ans¨atzen Lehre, Lernen und den Gebrauch von Mathematik nachhaltig reformieren oder gar revolutionieren. Wir stehen erst am Anfang einer rasanten Entwicklung. Der Stoff kann effizienter und weniger fehleranf¨allig erarbeitet werden, als dies allein mit Bleistift und Papier bzw. Kreide und Tafel m¨oglich ist. Vor allem k¨ onnen viel komplexere Beispiele bearbeitet und visualisiert werden. Die ausgef¨ uhrten und didaktisch aufbereiteten Worksheets geben Vorschl¨age und Anregungen, die selbst¨ andig erg¨ anzt und modifiziert werden k¨onnen. Maple ist dabei sicher kein Rundum-Sorglos-Paket. Wir haben an manchen Stellen deshalb auch auf Schw¨ achen kritisch hingewiesen. Wie bei vielen Dingen im Computerbereich, w¨ unschten sich die Nutzer auch hier ruhigere und ur deutlich ausgereiftere Produkt-Zyklen‘. Neben faszinierenden Dingen daf¨ ’ stehen auch solche, bei denen man sich die Haare rauft. Wir nutzen Maple nicht nur, wie oft zu sehen, sondern gestalten damit und setzen Ideen um, hier speziell der Funktionentheorie. Wir sind u ¨ berzeugt, mit diesem Buch einen neuen Qualit¨atsmaßstab zu setzen, was f¨ ur die Akzeptanz von Computeralgebrasystemen im Hochschulbereich — auch ausbauf¨ ahig in Richtung e-learning — f¨orderlich sein wird.

XIV

Vorwort zur ersten Auf lage

Nat¨ urlich soll niemand m¨ uhsam Maple-Code abtippen. Diesen findet man — sp¨ ater auch mit Aktualisierungen — u ¨ ber http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-642-29411-2 . An die Lehrenden Das Konzept des Buches basiert auf unseren langj¨ahrigen Erfahrungen mit recht verschiedenartigen Veranstaltungen aus dem Gesamtspektrum der Analysis. Neben vielen Vorlesungen f¨ ur Mathematik- und Physikstudenten der Anfangssemester bis hin zum Aufbaustudium an den Universit¨aten Konstanz und Ulm haben wir beide oft auch Serviceveranstaltungen abgehalten und so Gesp¨ ur daf¨ ur entwickelt, was außerhalb des Elfenbeinturms‘ ben¨otigt wird. ’ Gerade durch die Anforderung, Mathematik auf sehr verschiedenen Niveaus bei unterschiedlichen Ausrichtungen und zum Teil noch deutlich auseinander liegenden Eingangsvoraussetzungen zu lehren, ist im Laufe der Zeit vieles mehrfach u attet, verbessert und erg¨anzt worden und ¨ berarbeitet, gegl¨ auf diese Weise ein — mathematisch und didaktisch — u ¨ berzeugendes und bew¨ ahrtes Konzept entstanden. Leistungsf¨ ahige und zugkr¨aftige Methoden erwachsen in dieser Darstellung aus dem Zusammenspiel zwischen mathematisch richtiger‘ Sichtweise, die Eleganz und Transparenz nach sich zieht, und ’ Anwendungsorientierung. Was die Kombination der Funktionentheorie mit Maple angeht, wird von uns Neuland beschritten, wo sich viele noch unwohl f¨ uhlen oder auch u ¨ berhaupt nicht auskennnen. Die Skepsis mancher Kollegen ist auch uneingestandene Angst vor dem Unbekannten und noch nicht Vertrauten. Wir wollen besonders auch diejenigen Kollegen ansprechen, sie ermuntern und ihnen Hilfen geben, die bisher dem Einsatz von Computeralgebrasystemen auch in der Lehre eher skeptisch und distanziert gegen¨ uberstehen. Die M¨oglichkeiten, das Lernen und Begreifen von Mathematik durch ein solches System zu unterst¨ utzen, sind faszinierend — nur wissen das viele Kollegen noch gar nicht und verschanzen sich deshalb hinter Beckmesserei. Wir sind u ¨ berzeugt, daß unser Buch langfristig neben den Klassikern der Funktionentheorie einen festen und besonderen Platz im Angebot einnehmen wird. Im Vergleich etwa zu Fischer/Lieb, Conway oder Ahlfors liegen mathematisches Niveau und Stoffumfang hier etwas niedriger. Es ist kein Buch allein f¨ ur die Kollegen, sondern vor allem f¨ ur die Lernenden, aber sicher kein N¨ urnberger Trichter. Die Lernenden werden von uns ein St¨ uck des Weges an der Hand gef¨ uhrt, sie bekommen die Sch¨onheiten am Wegesrand gezeigt, sie werden allerdings nicht in einer S¨anfte getragen! Da sich das Buch nicht ausschließlich an Studierende der Mathematik oder auch Physik und sicher nicht an Spezialisten wendet, hat es — in Umfang, Tiefe und Stoffauswahl — deutlich andere und wesentlich bescheidenere

Vorwort zur ersten Auf lage

XV

Ziele als etwa die Darstellungen von Freitag/Busam, Remmert, Behnke/Sommer oder auch Hurwitz/Courant. Diese empfehlen wir interessierten Studenten, insbesondere auch wegen der bewundernswerten F¨ ulle der Geschichtsbez¨ uge und Anwendungen, zur erg¨anzenden und weiterf¨ uhrenden Lekt¨ ure. F¨ ur den Gebrauch zu und neben Vorlesungen haben wir insgesamt einen realistischen Zeitplan im Auge und mußten uns so beschr¨anken! An die Lernenden Mathematik lernt man — wie fast alles im Leben — vor allem durch eigenes Tun. Man sollte beim Durcharbeiten eines Mathematikbuches Bleistift, Papier und einen (großen) Papierkorb — und in diesem speziellen Fall einen Computer mit Maple — parat haben und fleißig nutzen. Ausdr¨ ucklich sei gesagt: Die L¨ ange der Darstellung eines einzelnen Themas in der Vorlesung oder in einem Buch entspricht nur selten dem zeitlichen Aufwand, der f¨ ur das Durcharbeiten bis zum wirklichen Verst¨andnis erforderlich ist. Zum Gebrauch des Buches

√  soll das Ende eines Beweises optisch hervorheben. Mit “ haben wir ge” ¨ legentlich Routine-Uberlegungen abgehakt‘. Manche Dinge haben wir grau ’ oder farbig eingerahmt, um sie optisch st¨ arker hervorzuheben. Nat¨ urlich geh¨ ort etwa bei Symbolen oder Notierungsweisen der Rahmen nicht dazu. In Beweisen haben wir linke Seite‘ und rechte Seite‘ mit .S.‘ bzw. r.S.‘ ’ ’ ’ ’ abgek¨ urzt. Œ‘ steht f¨ ur Ohne Einschr¨ankung“. ’ ” H¨ aufig haben wir einzelne W¨ orter oder Formulierungen mit einfachen Anf¨ uhrungsstrichen versehen: Dabei handelt es sich meist um eigentlich noch zu pr¨ azisierende Dinge. Die Beispiele im Text sind abschnittsweise numeriert. Bemerkungen, S¨atze und Folgerungen sind gemeinsam kapitelweise numeriert. Es kann also eine Bemerkung 3 auftreten, ohne daß es Bemerkung 1 und 2 gibt. Innerhalb eines Kapitels zitieren wir mit der jeweiligen Nummer. Mit Satz n.m hingegen zitieren wir Satz m aus Kapitel n aus einem anderen Kapitel oder den MWSs heraus. Animationen, die im Buch nur auszugsweise zu sehen sind, haben wir am Rande durch das Symbol gekennzeichnet. Durch die Daumenindizes k¨ onnen die einzelnen Kapitel schnell aufgefunden werden. Wenn wir z = x + i y f¨ ur z ∈ C schreiben, meinen wir implizit x, y ∈ R, ohne das an allen Stellen zu vermerken. Ebenso bedeutet ν ≥ N f¨ ur N ∈ N0 automatisch‘ auch ν ∈ N0 . ’

XVI

Vorwort zur ersten Auf lage

Zum Maple-Layout Da die recht einfache Darstellung u ¨ber Export LATEX‘ unter Maple bei uns ’ doch viele W¨ unsche — f¨ ur eine Buchwiedergabe — offenließ, haben wir einen eigenen, uns voll befriedigenden Stil f¨ ur die Ein- und Ausgabe von Maple gew¨ ahlt und dabei das m¨ ogliche Zusammenspiel Maple-LATEX-PostScript genutzt. Um ein besseres Schriftbild zu erhalten, haben wir manche Ausgaben geringf¨ ugig gesch¨ ont‘, z. B. Klammern weggelassen oder hinzugef¨ ugt, manch’ mal etwa ϕ statt Φ oder P1 statt P 1 geschrieben. Um Platz zu sparen, sind oft Maple-Ausgaben (auch Graphiken) nebeneinander plaziert. Titel von Graphiken wurden durchgehend im Text gesetzt. Dank Gern benutzen wir diese Gelegenheit, um noch einmal all denen zu danken, die uns bei der Erstellung des Buches unterst¨ utzt haben. Nur einige davon wollen wir namentlich besonders erw¨ ahnen: Das gesamte Manuskript (Text und MWSs) haben durchgesehen Markus Sigg und Matthias S¨ ohn. Jochen Fischer hat den gesamten Textteil Korrektur gelesen. Sie waren uns mit ihrer Sorgfalt eine große Hilfe, gelegentlich sehr kritisch und mahnend, immer der Sache dienend. Die Verantwortung f¨ ur eventuell noch verbliebene Fehler liegt nat¨ urlich allein bei uns. Gerlinde Adam und Natalia Fibich haben insbesondere Symbol-, Namenund Sachverzeichnis vorbereitet. Simon Huhn hat u. a. verschiedene wwwPr¨ asentationen selbst¨ andig erstellt. Daniel Fleischer hat sch¨one Ideen eingebracht und D.H. einige Arbeiten abgenommen und diese sehr selbst¨andig ausgef¨ uhrt. nne ler nter rne ich r le k le hte en ati k leic er lern em ati leicht en aaththemmatik lern r MM athe matik leichte M the Ma Mathematik leichter lernen Ma thematik M at M leic he M ath m hter lern ath em atik en em ati leicht ati k leic er lern en k le hte r le ich rne ter nler ne n-

Unser Projekt Mathematik leichter lernen — mit Maple“, ” nne ler nter rne ich r le k le hte ati k leic em ati aaththem MM

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bei dem wir uns langfristig vorstellen, große Teile des Grundstudiums durch Vorlesungstexte abzudecken, die mit Maple begleitet, aufbereitet und wesentlich vertieft werden, hat schon vielf¨ altige Anerkennung gefunden: W.F. hat von der Universit¨at Ulm einen Lehrbonus f¨ ur hervorragende Leistungen in der Lehre (Einsatz von Maple) erhalten. D.H. hat drei Jahre lang Projektmittel vom Ausschuß f¨ ur Lehrfragen und Weiterbildung (Alw) und dem Senat der Universit¨ at Konstanz f¨ ur innovative Initiativen in der Lehre erhalten. Rainer Janßen verdankt D.H. als gutem Freund Anregungen, Ermutigung und manchen Rat, was das Arbeitsumfeld angeht.

Vorwort zur ersten Auf lage

XVII

Besonderen Dank schuldet er noch Matthias S¨ ohn, der mit Umsicht, Sachkenntnis und selbst¨ andig ihm Dinge wie Computerauswahl, Konfigurierung und viele ¨ ahnliche Arbeiten abgenommen hat. In der Endphase hat uns noch Matthias Auer unterst¨ utzt. Ein Buch-Projekt wie dieses ist nicht ohne gute Computer-Arbeitsbedingungen zu realisieren. Hierf¨ ur danken wir unserem Ulmer Kollegen Franz Schweiggert sowie den Mitarbeitern seiner Abteilung. Von diesen sei Andreas Borchert namentlich erw¨ ahnt. Er hat bei der Computerverbindung Konstanz-Ulm bereitwillig und mit bewundernswerter Sachkenntnis Starthilfe gegeben und uns immer wieder mit Rat und Tat unterst¨ utzt. Wir danken Sabine Bormann-Seyffart und Thomas Richard von der Firma Scientific Computers GmbH f¨ ur wertvolle Unterst¨ utzung bei der Arbeit mit Maple 7. Nicht zuletzt gilt unser besonderer Dank beim Springer-Verlag Clemens Heine (Editor Mathematics and Computing), der unserem Projekt von Beginn an aufgeschlossen gegen¨ uberstand, das Buch in das Verlagsprogramm aufgenommen und dabei die farbliche Gestaltung erm¨oglicht hat. Unterst¨ utzt wurde er von Agnes Herrmann und Claudia Kehl. Wir danken unseren Ehefrauen, die besonders in der langen Schlußphase der Bucherstellung viel Geduld mit ihren gestreßten und nur noch eingeschr¨ankt alltagstauglichen M¨ annern aufbringen mußten. ´ D.H. dankt noch L´ eon und Etienne, die ihm nachdr¨ ucklich zeigten — durch Weinen und Lachen —, daß es ungleich wichtigere Dinge im Leben gibt als ein noch so sch¨ ones Mathematikbuch. Zum Schluß m¨ ochten wir allgemein, besonders aber auch den Fachleuten und Kennern, sagen: Wir w¨ urden uns u onliche Reaktionen sehr freuen. ¨ ber pers¨ Verbesserungsvorschl¨ age, Hinweise auf Fehler(chen), Anregungen und konstruktive Kritik sind willkommen — aber auch Lob nehmen wir gerne entgegen! Getr¨ ostet haben wir uns bei der scheinbar nicht enden wollenden Arbeit am Manuskript mit: So eine Arbeit wird eigentlich nie fertig, man muß ” sie f¨ ur fertig erkl¨aren, wenn man nach Zeit und Umst¨anden das m¨oglichste getan hat.“ J. W. von Goethe, Italienische Reise, 16. M¨arz 1787

Ulm Konstanz 3. Januar 2002

Wilhelm Forst Dieter Hoffmann

Vorwort zur zweiten Auf lage

Das mathematische und didaktische Konzept der ersten Auflage dieses Buches ist insgesamt freundlich aufgenommen und von vielen Seiten sehr gelobt worden. Besonderen Gefallen an unserer Darstellung haben all die Lernenden und Lehrenden gefunden, die die zu behandelnden Themen und Methoden st¨arker heutigen computerunterst¨ utzten M¨ oglichkeiten anpassen wollen und dabei sch¨ atzen, wie man auch schwierige Dinge mit dem Computer relativ einfach begreifbar‘ machen kann. Die Akzeptanz von Computeralgebrasyste’ men im deutschsprachigen Hochschulbereich ist aber sicher noch ausbauf¨ahig. Nun ist eine Neuauflage notwendig geworden. In ihr wurde die Gesamtkonzeption nicht ver¨ andert, insbesondere das Bem¨ uhen, dass Studenten auch eine Idee davon vermittelt bekommen, wie komplexe Funktionen aussehen‘. ’ Die enge Verzahnung mit dem Computeralgebrasystem Maple als m¨achtigem Werkzeug bietet vielf¨ altige Vorteile f¨ ur den Lernprozess. Es wurden fast alle Abbildungen sorgf¨ altig u ¨ berarbeitet oder neu erstellt. Durch die Umstellung von Maple 7 auf Maple 15 waren die Maple-Worksheets‘ ’ zu aktualisieren. Das neue Druckverfahren hat zudem zu einer weitgehenden Umgestaltung des Layouts gef¨ uhrt. Wir danken Sabine Bormann, Maplesoft Europe GmbH, f¨ ur die Bereitstellung von Maple 15 und Thomas Richard als kompetentem Ansprechpartner f¨ ur wertvolle Unterst¨ utzung bei der Arbeit mit Maple 15. Wer an unserer Darstellung Gefallen findet, sei auch auf [Fo/Ho] hingewiesen.

Ulm Konstanz 1. M¨ arz 2012

Wilhelm Forst Dieter Hoffmann

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Historisches Definition und Modelle komplexer Zahlen Elementare Operationen und Regeln Argument, geometrische Veranschaulichung Wurzeln Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion

1.1 Historisches Ein wichtiger Ausgangspunkt f¨ ur die Entwicklung der komplexen Zahlen war das Auftreten des Symbols √ −1 in dem Werk Ars Magna“ (1545) von Geronimo Cardano (1501–1576). ” Das Problem war, zwei (reelle?) Zahlen x1 , x2 mit x1 +x2 = 10, x1 ·x2 = 40 zu finden, d. h. die quadratische√Gleichung x2 − 10x + 40 = 0 zu l¨osen. Formales √ Ausrechnen ergab √ x1,2 = 5± −1 15, wobei Cardano Schwierigkeiten hatte, dem Symbol −1 eine konkrete Bedeutung zu geben. Auch bei der L¨ osung kubischer Gleichungen, reduziert auf die spezielle Form √ x3 + px + q = 0 , trat −1 auf. Die Substitution x = u + v ergibt u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 . Diese Gleichung ist sicher erf¨ ullt, wenn u3 + v 3 = −q, 3uv = −p gilt. Wegen 3 3 2 3 3 2 3 3 (u − v ) = (u + v ) − 4u v folgt dann   q 2  p 3 + u3 − v 3 = 2 2 3 bzw.     q 2  p 3 q 2  p 3 q q 3 3 + , v = − − + . u = − + 2 2 3 2 2 3

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

2

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

Kennt man eine L¨ osung u bzw. v dieser beiden Gleichungenmit u v√ = −p/3, √  so erh¨ alt man mit Hilfe der dritten Einheitswurzel ω := 12 − 1 + −1 3 durch die sogenannten Cardanischen Formeln x1 = u + v , x2 = u ω + v ω 2 , x3 = u ω 2 + v ω die L¨ osungen x1 , x2 , x3 der kubischen Gleichung. Rafael Bombelli (1526–1572) fand so f¨ ur die Gleichung x3 − 15x − 4 = 0 auf dem Umweg u ¨ ber die komplexen Zahlen   √ √ √ √ 3 3 2 + 11 −1 = 2 + −1 , v = 2 − 11 −1 = 2 − −1 u = die reellen L¨ osungen x1 = 4, x2 = −2 −

√ √ 3, x3 = −2 + 3 .

Leonhard Euler (1707–1783) f¨ uhrte f¨ ur die imagin¨are Einheit heute u ¨bliche Schreibweise i

√ −1 die

ein und stellte im Jahre 1748 u ¨ ber die Beziehung eix = cos x + i sin x einen Zusammenhang zwischen den wichtigsten elementaren Funktionen her. Dies alles f¨ orderte eine zunehmende Akzeptanz der komplexen Zahlen. Man rechnete mit ihnen, ohne dass die Rechenregeln begr¨ undet waren, wie mit den reellen Zahlen und begn¨ ugte sich damit, die Ergebnisse nachtr¨aglich zu verifizieren. Caspar Wessel (1745–1818) und Jean-Robert Argand (1768–1822) brachten im Jahre 1797 bzw. 1806 erste Begr¨ undungen auf geometrischem Wege f¨ ur das Rechnen mit komplexen Zahlen. Unabh¨angig davon f¨ uhrte Carl Friedrich Gauss (1777–1855) im Jahre 1811 die nach ihm benannte Gaußsche Zahlenebene ein. Endg¨ ultige Anerkennung fanden die komplexen Zahlen durch die rein arithmetische Begr¨ undung als geordnete Paare reeller Zahlen durch William Rowan Hamilton (1805–1865) im Jahre 1835, wie man sie heute — als einfache konkrete mathematische Objekte — meist schon in den Grundvorlesungen im ersten Semester kennenlernt. Die Schwierigkeiten, die die Mathematiker fr¨ uher mit den komplexen Zahlen hatten, zeigen sich noch in den Bezeichnungen komplex“ und imagin¨ar“. ” ” Man vergleiche hierzu etwa Euler, Vollst¨ andige Anleitung zur Algebra“, ” Kapitel 13: Weil nun alle m¨oglichen Zahlen, die man sich nur immer vorstellen mag, ” entweder gr¨oßer oder kleiner als 0, oder etwa 0 selbst sind, so ist klar, daß die Quadratwurzeln von Negativzahlen nicht einmal zu den m¨oglichen Zahlen gerechnet werden k¨onnen. Folglich m¨ ussen wir sagen, daß dies unm¨ogli-

1.2

Definition und Modelle komplexer Zahlen

3

che Zahlen sind. Und dieser Umstand leitet uns auf den Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach unm¨oglich sind, und gew¨ohnlich imagin¨are oder eingebildete Zahlen genannt werden, weil sie bloß in der Einbildung vorhanden sind.“ Auch in die nicht-mathematische Literatur hat dies vielf¨altig Eingang gefunden. Ein Beispiel dazu aus Robert Musil, Die Verwirrungen des Z¨oglings ” T¨ orleß“: . . . Ja. Das ist doch gar nicht so schwer. Man muß nur festhalten, daß ” die Quadratwurzel aus negativ Eins die Rechnungseinheit ist.“ Das ist es aber gerade. Die gibt es doch gar nicht. Jede Zahl, ob sie nun ” positiv ist oder negativ, gibt zum Quadrat erhoben etwas Positives. Es kann daher gar keine wirkliche Zahl geben, welche die Quadratwurzel von etwas Negativem w¨are.“ Ganz recht ; aber warum sollte man nicht trotzdem versuchen, auch bei ” einer negativen Zahl die Operation des Quadratwurzelziehens anzuwenden ? Nat¨ urlich kann dies dann keinen wirklichen Wert ergeben, und man nennt doch auch deswegen das Resultat nur ein imagin¨ares. Es ist so, wie wenn man sagen w¨ urde: hier saß sonst immer jemand, stellen wir ihm also auch heute einen Stuhl hin ; und selbst wenn er inzwischen gestorben w¨are, so tun wir doch, als ob er k¨ame.“ ........................ Wie soll ich das ausdr¨ ucken ? Denk doch nur einmal so daran : In solch ” einer Rechnung sind am Anfang ganz solide Zahlen, die Meter oder Gewichte oder irgend etwas anderes Greifbares darstellen k¨onnen und wenigstens wirkliche Zahlen sind. Am Ende der Rechnung stehen ebensolche. Aber diese beiden h¨angen miteinander durch etwas zusammen, das es gar nicht gibt. Ist das nicht wie eine Br¨ ucke, von der nur Anfangs– und Endpfeiler vorhanden sind und die man dennoch so sicher u ¨berschreitet, als ob sie ganz dast¨ unde? F¨ ur mich hat so eine Rechnung etwas Schwindliges: als ob es ein St¨ uck des Weges weiß Gott wohin ginge. Das eigentlich Unheimliche ist mir aber die Kraft, die in solch einer Rechnung steckt und einen so festh¨alt, daß man doch wieder richtig landet.“ Schnell stellte sich — nach dem z¨ ogernden Beginn — heraus, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen sehr oft auch wertvolle reelle Ergebnisse lieferte, und zwar sowohl neue als auch schon bekannte, letztere oft auf eleganterem Weg; zudem wurde manche reelle Aussage erst durch die Einbeziehung komplexer Zahlen wirklich‘ verstanden. ’

1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen Im Folgenden werden wir verschiedene Modelle f¨ ur komplexe Zahlen kennenlernen. Mithin ist es zun¨ achst nicht korrekt, von den komplexen Zahlen zu

4

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

sprechen. Diese Modelle stimmen jedoch im wesentlichen u ¨berein. Genauer bedeutet dies: Ein K¨ orper der komplexen Zahlen ist ein kommutativer K¨orper, der die reellen Zahlen R als Teilk¨ orper enth¨ alt, in dem ein Element i mit i2 = −1 existiert, und dessen Elemente sich alle in der Form a + ib mit reellen Zahlen a, b schreiben lassen. F¨ ur Mathematiker: Ein (kommutativer) K¨orper C = (C, +, ·) heißt genau dann K¨orper der komplexen Zahlen“, wenn: ” (1) R ⊂ C , pr¨ aziser bis auf Isomorphie‘ ’ (2) Es existiert i ∈ C mit i2 = −1 . (3) C = {a + ib : a, b ∈ R} =: R + iR Bis auf Isomorphie‘ bedeutet: Es existiert ϕ : R −→ C injektiv mit: ’ ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) (a, b ∈ R). ( Einbettung“) ” Es folgen offenbar ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = 1 .

Elemente aus C heißen komplexe Zahlen“. ” Mit dieser Definition ist nat¨ urlich noch nichts u ¨ ber die Existenz eines K¨orpers der komplexen Zahlen gesagt! Es gibt nun verschiedene M¨oglichkeiten, die‘ ’ komplexen Zahlen einzuf¨ uhren und damit den Existenznachweis zu f¨ uhren. Darum geht es im Folgenden: Arithmetische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen Wir erinnern an die u uhrung in der Analysis (man vergleiche dazu ¨ bliche Einf¨ z. B. [Wa I, S. 166]): In C := R2 betrachten wir die beiden Operationen (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) (x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu)

( Addition“) , ” ( Multiplikation“) . ” Dann ist (C, +, ·) ein (kommutativer) K¨orper mit Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0). Alle Regeln, die man in der Analysis f¨ ur die reellen Zahlen allein mit Hilfe der K¨ orperaxiome herleitet, gelten daher auch in C . Definitionen und Bezeichnungen k¨ onnen so entsprechend u ¨bernommen werden. Hier ist die Einbettung durch die Abbildung ϕ : R  a −→ (a, 0) ∈ C gegeben. Daher k¨ onnen wir die reelle Zahl a mit der komplexen Zahl ϕ(a) = (a, 0) identifizieren‘, d. h. ϕ(a) und a werden nicht mehr unterschieden. In die’ sem Sinne ist R Teilk¨orper von C . Mit i := (0, 1) hat man dann i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 . folgt f¨ ur a, b ∈ R: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib .

Damit

1.2

Definition und Modelle komplexer Zahlen

5

Das Rechnen mit komplexen Zahlen l¨ asst sich damit — im Gegensatz zu Cardanos Zeiten jetzt wohlbegr¨ undet — zur¨ uckf¨ uhren auf das Rechnen mit reellen Zahlen und i unter Beachtung von i2 = −1 . Die komplexen Zahlen als Unterring der 2×2-Matrizen 

 a −b In C := : a, b ∈ R nehmen wir als + und · die Addition und b a Multiplikation von Matrizen (linear-algebraische Einf¨ uhrung). Aufgrund von





a −b c −d a + c −(b + d) + = und b a d c b+d a+c





a −b c −d ac − bd −(ad + bc) · = b a d c ad + bc ac − bd f¨ uhren diese beiden Operationen nicht aus C heraus; C ist also zun¨achst ein Unterring der reellen 2×2-Matrizen. Die Kommutativit¨at der Multiplikation in C best¨ atigt man durch scharfes Hinsehen‘. Wegen ’

a −b det = a2 + b 2 b a



a −b a −b ist f¨ ur

= 0 — also a = 0 oder b = 0 — invertierbar b a b a und

−1

1 a −b a b = 2 ∈ C. b a a + b2 −b a

1 0 Da gerade auch Eins‘ in C ist, hat man: (C, +, ·) ist ein K¨orper. 0 1 ’

Hier liefert ϕ : R  a −→

a 0 0 a

∈C

die Einbettung; identifiziert man wieder a mit ϕ(a) , dann gelten mit

0 −1 i := ∈C 1 0 i und



2

=

0 −1 1 0





a −b b a

=



a 0 0 a

0 −1 1 0



+



=

0 −1 1 0

−1 0 0 −1



b 0 0 b

= −1

= a + ib .

6

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen als Restklassenring ¨ Die skizzierten Uberlegungen in diesem kurzen Teilabschnitt haben etwas den Charakter akademischer Spielerei. Diese sechs Zeilen k¨ onnen Sie getrost u ¨ berschlagen.

R ist nicht algebraisch abgeschlossen‘; zum Beispiel hat das Polynom x2 + 1 ’ keine Nullstelle in R, es ist irreduzibel‘. Faktorisiert‘ man den Polynomring‘ ’ ’ ’ R[x] nach dem von x2 + 1 erzeugten Ideal‘ (x2 + 1), dann erh¨alt man mit ’ C := R[x] (x2 + 1) einen komplexen Zahlk¨ orper, wobei i als die zu x geh¨orige Restklasse‘ ’ gew¨ ahlt werden kann (algebraische Einf¨ uhrung). Geometrische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen C ist eine Ebene — auch Gauß sche Zahlenebene genannt —, in der 0 und 1 als zwei verschiedene Punkte festgelegt sind. Komplexe Zahlen sind Vektoren in der Ebene. Die Addition komplexer Zahlen wird definiert als gew¨ohnliche Vektoraddition.

z2

Addition:

z

+ 1

z2

z1

Wie die Multiplikation geometrisch eingef¨ uhrt werden kann, wird im Kontext von Abschnitt 1.4 verst¨ andlich. Der Nachweis der K¨orperaxiome erfolgt dann ¨ durch elementargeometrische Uberlegungen.

1.3 Elementare Operationen und Regeln Man u ¨ berlegt sich leicht: Je zwei K¨orper der komplexen Zahlen sind (als K¨orper) isomorph. Daher sprechen wir im Folgenden von dem K¨ orper der komplexen Zahlen. Es sei nun C = (C, +, ·) ein K¨ orper der komplexen Zahlen mit der imagin¨ aren Einheit i . Insbesondere gilt dann:

1.3

Elementare Operationen und Regeln

Bemerkung 1 a) b)

7

a + ib = c + id ⇐⇒ a = c ∧ b = d

(a, b, c, d ∈ R)

F¨ ur z ∈ C : z 2 = −1 ⇐⇒ z ∈ {i, −i}

F¨ ur z = x + iy mit x, y ∈ R definieren wir: Realteil“ von z (Re z, Re z) ” y Imagin¨arteil“ von z (Im z, Im z) ” z rein imagin¨ar“ : ⇐⇒ Re z = 0 ”   z := x − iy = x + i(−y) konjugiert komplexe Zahl“ (zu z) ” 2 2 1/2 |z| := (x + y ) Betrag“ ( L¨ange“) von z ” ” x

Der Betrag komplexer Zahlen liefert so f¨ ur reelle Zahlen den dort definierten Betrag. Offenbar gelten

Re z = 12 (z + z), Im z =

1 2i (z

− z) .

Wir erinnern noch einmal an die — f¨ ur z, z1 , z2 ∈ C — u ¨ blicherweise schon aus einer Analysis-Vorlesung bekannten Regeln a) z · z = |z |2 ,

z = z,

b) z1 ± z2 = z1 ± z2 ,

|z | = | z | z1 · z2 = z1 · z2

c) Re(z1 ± z2 ) = Re(z1 ) ± Re(z2 ) d) Im(z1 ± z2 ) = Im(z1 ) ± Im(z2 ) z , ( z )−1 = z −1 |z |2 f ) z ∈ R ⇐⇒ z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ Re(z) = z

e) F¨ ur z = 0 :

z −1 =

g) |Re(z)|, |Im(z)| ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| Die Abbildung C  z −→ z ∈ C ist also ein Automorphismus (Involution). Auch die folgenden Eigenschaften des Betrages auf C sollten vertraut sein: [B0]

|z | ≥ 0

[B1]

|z | = 0 ⇐⇒ z = 0

[B2]

|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |

[B3]

|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |

|z1 |

z1 f¨ ur z2 = 0

z = |z2 | 2

[B4]

( Positivit¨at“) ” ( Definitheit“) ” ( Dreiecksungleichung“) ”

8

Kapitel 1

[B5]

|z1 − z2 | = |z2 − z1 |

[B6]

| |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |

[B7]

|z1 − z2 | ≤ |z1 − z| + |z − z2 |

Die komplexen Zahlen

( Symmetrie“) ”

Bemerkung 2

n Nicht-reelle Nullstellen von Polynomen P (z) = ν=0 aν z ν mit reellen Koeffizienten aν (ν = 0, . . . , n) treten paarweise (konjugiert komplex) auf, d. h. mit P (α) = 0 f¨ ur α ∈ C ist auch P (α ) = 0 . ¨ Achtung: Beim Ubergang von R zu C geht die Ordnungsstruktur‘ verloren: ’ Die Anordnung von R l¨ asst sich nicht so auf C fortsetzen, dass C angeord’ neter K¨ orper‘ ∗ ist (die Eigenschaften (A 10), (A 11) und (A 12 ) aus [Wa I, S. 7] gelten zus¨ atzlich): Wegen i2 = −1 ist i = 0 . W¨ are i > 0, so folgte −1 = i2 > 0 ; im Falle i < 0 h¨ atte man −i > 0 und so −1 = (−i)2 > 0 : Widerspruch! Stetigkeit‘ der Grundoperationen (a, b, x, y ∈ C :) ’ (1)

|(x + y) − (a + b)| ≤ |x − a| + |y − b|

(1’)

|(x − y) − (a − b)| ≤ |x − a| + |y − b|

(2)

|(x · y) − (a · b)| ≤ |a| · |y − b| + |b| · |x − a| + |x − a| |y − b|

|a|

1 1

≤ 2 · |x − a|, falls a = 0 und |x − a| ≤

x − a 2 |a|2

|x| − |a| ≤ |x − a|

(3) (4)

Diese Regeln d¨ urften aus der Analysis bekannt sein (man vergleiche etwa [Ho, S. 52 ff]). Sie zeigen die Stetigkeit von Summen-, Differenz-, Produkt-, Betrags- und Quotientenbildung quantitativ. Aus ihnen folgen unmittelbar z. B. ganz einfach die Grundregeln f¨ ur die Konvergenz von Folgen, Reihen, Funktionen und die f¨ ur (lokale und globale) Stetigkeit.

1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung In der Analysis definiert man meist die Exponentialfunktion gleich f¨ ur komplexes Argument durch die (¨ uberall absolut konvergente) Reihe exp(z) := ∗

∞  zn n! n=0

(z ∈ C) .

Man kann zwar die Ordnung‘ von R auf C erweitern (z. B. lexikographisch); ’ jedoch geht die Vertr¨ aglichkeit mit der Multiplikation dabei verloren!

1.4

Argument, geometrische Veranschaulichung

9

Auch die trigonometrischen Funktionen sin und cos k¨onnen (¨ uber die Reihendarstellung) gleich f¨ ur komplexe Argumente definiert werden. Man erh¨alt so ganz einfach u. a. die (z ∈ C) .

exp(iz) = cos(z) + i sin(z)

Euler-Formel

F¨ ur n ∈ N und z = exp(iϕ) mit einem ϕ ∈ R ist z n = exp(inϕ); so hat man die de Moivre-Formel∗

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ .

Aus der Analysis kennt man schon die Polardarstellung : Ist z = x + i y ∈ C \ {0} (mit x, y ∈ R), dann existieren eindeutig −π < ϕ ≤ π und 0 < r < ∞ mit (∗)

z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(i ϕ)

Dabei gelten: r = |z|, x = r cos ϕ = Re z und y = r sin ϕ = Im z .

Imaginare Achse

9z  =  

y r

|

'

z

r cos '

r sin '

x

Reelle Achse

Jedes ϕ ∈ R, das (∗) erf¨ ullt, nennen wir ein Argument von z“ und notieren ” arg z := {ϕ ∈ R : ϕ Argument von z}. Das eindeutig bestimmte ϕ ∈ arg z ∩ ]− π, π] notieren wir als Arg z ( Haupt” wert des Arguments von z“). Offenbar gilt dann arg z = {Arg z + 2kπ : k ∈ Z} ; arg z ist also eine Restklasse‘ in R/2πZ . ’ H¨ aufig schreibt man (und das machen wir gelegentlich auch) lax ϕ = arg z ∗

Abraham de Moivre (1667–1754)

statt

ϕ ∈ arg z .

10

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

F¨ ur A, B ⊂ C notieren wir A + B := {a + b : a ∈ A ∧ b ∈ B} und entsprechend auch −A, A − B, A · B. Damit gelten f¨ ur z, z1 , z2 ∈ C \ {0}:

Im z z

a) arg( 1z ) = arg(z) = − arg z

ϕ

b) arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )

Re z

−ϕ

z Denn offensichtlich gilt arg(z) = − arg z , und mit z1 = |z|z 2 ergibt sich die ur b) u Gleichung arg( 1z ) = arg(z) ; damit ist a) gezeigt. F¨ ¨ berlegt man: Mit der Funktionalgleichung der exp-Funktion folgt, dass die r. S. Teilmenge der l. S. ist; mit a) erh¨ alt man dann die Gleichheit. Anmerkung: Die b) entsprechende Aussage gilt nicht f¨ ur die Hauptwerte! Die geometrische Einf¨ uhrung der Addition — als Vektoraddition — hatten wir schon in Abschnitt 1.2 erw¨ ahnt. Die Multiplikation kann u ¨ ber ¨ahnliche Dreiecke eingef¨ uhrt werden. Man beachte dazu die Graphik:

z1z2

y

j

z1 z

2j

2

z2

z2

j

j

'1

'2

j

z 1j '1

z1 1

1

x

1.5

Wurzeln

11 |z | |z1 z2 | = 1 |z2 | 1 ahnlich. Durch eine Drehstreckung‘ ¨ ’

Es seien z1 = r1 exp(i ϕ1 ) und z2 = r2 exp(i ϕ2 ) . Wegen sind die beiden Dreiecke Δ1 und Δ2 ergibt sich z1 z2 .

1.5 Wurzeln Definition: F¨ ur a ∈ C und n ∈ N heißt z ∈ C mit z n = a eine n-te ” Wurzel aus a“ ; speziell f¨ ur a = 1 auch n-te Einheitswurzel“, ” f¨ ur n = 2 (und beliebigem a) auch Wurzel aus a“. ” Es seien a, z ∈ C \ {0} mit a = exp(i ψ) und z = r exp(i ϕ) . Dann gilt: z n = a ⇐⇒ rn exp(i (nϕ)) = exp(i ψ) ⇐⇒ rn = ∧ nϕ = ψ + 2kπ (f¨ ur ein k ∈ Z)   ψ + 2kπ =: zk (f¨ ur ein k ∈ Z) ⇐⇒ z = 1/n exp i n Unter diesen zk sind die f¨ ur k = 0, . . . , n − 1 paarweise verschieden. Da die Abbildung R  t −→ exp(it) ∈ C die Periode 2π hat, erhalten wir so schon alle Werte, also: Bemerkung 3

Durch



1/n



ψ + 2kπ exp i n

(k = 0, . . . , n − 1)

sind gerade alle n-ten Wurzeln aus a gegeben. Die n-ten Wurzeln liefern die Eckpunkte eines regelm¨aßigen n-Ecks. Speziell gilt somit: Bemerkung 4

Durch

2kπ exp i n

(k = 0, . . . , n − 1)

sind alle n-ten Einheitswurzeln gegeben. Wir notieren

√ n a := {z ∈ C : z n = a},

und schreiben gelegentlich lax √ √ z = n a statt z ∈ n a

bzw. z =

√ √ a := 2 a √ a

statt z ∈

√ a.

Die Gleichung z n = 1 heißt Kreisteilungsgleichung“. Dies wird durch Bei” spiele der folgenden Art plausibel:

12

Kapitel 1

Beispiel n = 3 :

1 2

Die komplexen Zahlen

p  1 + i 3 = z1

z0

1 2

=1

p 1 + i 3 = z2

1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion Dem ber¨ uhmten Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866) verdanken wir — neben epochemachenden Leistungen — u. a. auch ein Modell der komplexen Zahlen, welches sehr leicht eine Veranschaulichung des Punktes ∞ erlaubt: ¨ Die komplexen Zahlen C werden dabei mit den Punkten der Aquatorebene‘ ’ (ξ3 = 0) des R3 identifiziert. Punkte z = x + iy ∈ C mit x, y ∈ R werden auf die Einheitskugel∗ 3    S := (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ∈ R3 : ξν2 = 1 ν=1

im R3 abgebildet, indem man den Schnittpunkt Z von S mit der Geraden

durch den Nordpol N= berechnet. ∗

0 0 1

und P =

x y 0

genauer: Einheitssph¨ are oder Rand der Einheitskugel

1.6

Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion

Einsetzen von



Z =

ξ1 ξ2 ξ3

= λ

x y 0

+ (1 − λ)

0 0 1

13

(R  λ > 0)

in die Gleichung ξ12 + ξ22 + ξ32 = 1 der Einheitssph¨are ergibt λ =

2 . x2 + y 2 + 1

Wir erhalten so durch ξ1 =

z+z 2x = , x2 + y 2 + 1 zz + 1 ξ3 =

ξ2 =

i(z − z) 2y = , x2 + y 2 + 1 zz + 1

zz − 1 x2 + y 2 − 1 = x2 + y 2 + 1 zz + 1

die stereographische Projektion τ von C auf S \ {N } und durch x=

ξ1 , 1 − ξ3

y=

ξ2 , 1 − ξ3

also z =

ξ1 + iξ2 , 1 − ξ3

deren Umkehrabbildung. Nach Konstruktion wird bei der stereographischen Projektion das Innere des ¨ Einheitskreises von C auf die S¨ ud-Halbkugel‘ und entsprechend das Außere ’ auf die Nord-Halbkugel‘ abgebildet. Die Punkte auf dem Rand des Einheits’ kreises werden auf sich selbst abgebildet (Fixpunkte von τ ). Ferner strebt der Bildpunkt Z = τ (z) gegen den Nordpol N f¨ ur |z| −→ ∞. Erweitert man C durch den unendlich fernen Punkt‘ ∞ zur erweiterten ’ (abgeschlossenen) komplexen Zahlenebene (Ein-Punkt-Kompaktifizierung) C := C ∪ {∞} , so l¨ asst sich die stereographische Projektion durch die Zuordnung ∞ −→ N fortsetzen zu einer bijektiven Abbildung von C auf die Riemannsche Zahlenkugel S. Diese fortgesetzte Abbildung notieren wir wieder mit dem gleichen Symbol τ . Mit Hilfe der Riemannschen Zahlenkugel lassen sich Aussagen u ¨ ber das Verhalten komplexer Funktionen in der Umgebung von ∞ besser verstehen, da auf ihr der Punkt ∞ (= N ) keine Ausnahmestellung hat. Rechenregeln‘ in C ’ An vielen Stellen, so zum Beispiel f¨ ur den Abschnitt 8.1 u obius¨ ber M¨ Transformationen, ist es zweckm¨ aßig, die Rechenregeln‘ in C wie folgt auf ’ C auszudehnen:

14

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

F¨ ur a ∈ C und b ∈ C \ {0} seien: a+∞ ∞+∞ ∞·b a/∞ b/0

:= ∞ + a := ∞ := ∞ := b · ∞ := ∞ := 0 := ∞

Diese Festlegungen f¨ uhren zu keinem Widerspruch zu den Gesetzen in C. Hingegen sind Terme wie 0·∞ , ∞−∞ und ∞/∞ allgemein nicht sinnvoll zu definieren. Sie k¨ onnen — wie im Reellen — in Spezialf¨allen durch Stetigkeitsbzw. Konvergenzbetrachtungen ausgewertet werden.

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: interface, z. B. interface(imaginaryunit=i) alias, macro LinearAlgebra-Paket: Matrix, Add, Equal, Multiply, MatrixInverse Re, Im, abs, conjugate, polar, argument pointplot, textplot, complexplot, coordplot, conformal, display plottools-Paket: arc, arrow, disk, line, transform radnormal frontend, op, map, cat

1.1 Historisches Von der Erfindung‘ der komplexen Zahlen ’ > restart: with(plots): interface(imaginaryunit=i): aßig vordeDurch die interface-Anweisung imaginaryunit √ = i wird das standardm¨ finierte Symbol I f¨ ur die imagin¨ are Einheit −1 deaktiviert und durch i ersetzt.

Folgendes Beispiel stammt aus Geronimo Cardanos Ars Magna. Gesucht sind (reelle?) Zahlen x1 und x2 mit x1 + x2 = 10 und x1 · x2 = 40 . Nach dem Vietaschen Wurzelsatz lassen sich x1 und x2 als die L¨osungen einer quadratischen Gleichung auffassen. Die dazu n¨ otigen Umformungs- und L¨osungsschritte f¨ uhren wir — zur Ein¨ ubung — mit einfachen Maple-Anweisungen durch: > eq1 := x[1]+x[2]=10; eq2 := x[1]*x[2]=40;

eq1 := x1 + x2 = 10 ,

eq2 := x1 x2 = 40

Wir l¨ osen die erste Gleichung nach x2 auf und setzen das Ergebnis in die zweite Gleichung ein:

16

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

{ x2 = 10 − x1 }

> solve(eq1,{x[2]});

> eq3 := subs(%,eq2);

eq3 := x1 (10 − x1 ) = 40 Substituieren wir x1 durch z, so ist folgende quadratische Gleichung zu l¨osen: > eq4 := subs(x[1]=z,eq3);

eq4 := z (10 − z) = 40 > expand(-eq4);

z 2 − 10 z = −40

> eq5 := lhs(%)-rhs(%) = 0;

eq5 := z 2 − 10 z + 40 = 0 Durch die linke Seite dieser Gleichung ist — f¨ ur reelle z — eine Parabel definiert, deren Nullstellen gesucht sind. Wir veranschaulichen den Funktionsverlauf: > plot(lhs(eq5),z=0..10,color=black,view=[0..10,0..40],thickness=2);

Sp¨ atestens damit ist klar, dass die Parabel keine reelle Nullstelle besitzt. Mit Hilfe des Maple-Kommandos completesquare aus dem student-Paket l¨ asst sich dies nat¨ urlich auch durch ganz einfache algebraische Umformung einsehen:

1.1

Historisches

> with(student):

(MWS)

17

eq6 := completesquare(eq5,z);

eq6 := (z − 5)2 + 15 = 0 Maple kennt die komplexen Zahlen und kann uns somit die L¨osungen explizit angeben: √ 5 + i 15 ,

> solve(eq6,z);

5−i

√ 15

Auf genau diese Form ist Cardano durch formales L¨osen der quadratischen √ Gleichung gekommen, wobei er Schwierigkeiten hatte, dem Symbol i := −1 eine konkrete Bedeutung zu geben. In der Bezeichnung imagin¨are Einheit lebt dies fort. Durchs Imagin¨ are zur¨ uck ins Reelle > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): √ Wie oben vereinbaren wir mittels der interface-Anweisung f¨ ur −1 die von Euler eingef¨ uhrte Bezeichnung i . Die Neudefinition von I durch den macro-Befehl I=i bewirkt dann, dass ein eingegebenes I als imagin¨ are Einheit interpretiert und stets als i ausgegeben wird.

Beachten: i kann dann z. B. nicht als Laufvariable benutzt werden! (Das gilt nat¨ urlich auch schon auf Seite 15.) Das folgende Beispiel einer kubischen Gleichung geht auf Rafael Bombelli zur¨ uck. > eq := z^3+p*z+q; p := -15; q := -4;

eq := z 3 + p z + q ,

p := −15 ,

q := −4

¨ Die folgenden Rechenschritte orientieren sich an unseren Uberlegungen aus Abschnitt 1.1 des Textes. Zur Vereinfachung eines Ausdrucks mit Wurzeltermen muss dabei statt simplify oder normal das Maple-Kommando radnormal verwendet werden. > A := -q/2+sqrt((q/2)^2+(p/3)^3): u := radnormal(A^(1/3)); v := -p/3/u; omega := (-1+I*sqrt(3))/2;

u := 2 + i ,

v := 2 − i ,

√ ω := −1/2 + 1/2 i 3

Mit den Cardanischen Formeln ergibt sich:

18

MWS zu Kapitel 1

> z1 = u+v; u*omega+v*omega^2: u*omega^2+v*omega:

Die komplexen Zahlen

z2 = simplify(%); z3 = simplify(%);

z1 = 4 ,

z2 = −2 −

√ 3,

z3 = −2 +

√

3

Maple findet nat¨ urlich die gleichen L¨ osungen auch direkt: > solve(eq,z);

4,

−2 +

√ 3,

−2 −

√ 3

1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen Arithmetische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen > restart: with(LinearAlgebra):

Die komplexen Zahlen als Zahlenpaare F¨ ur das Rechnen mit Zahlenpaaren benutzen wir als Addition die standardm¨ aßig vorhandene komponentenweise Addition (Vektoraddition). > [x[1],y[1]] + [x[2],y[2]];



x2 + x1 , y2 + y1



Die Multiplikation definieren wir mittels eines neutralen Operators“, d. h. ” einer Prozedur folgenden Typs: > ‘&.‘ := proc(u,v) # Multiplikation eval([u[1]*v[1]-u[2]*v[2],u[1]*v[2]+u[2]*v[1]]) end proc:

Mit dieser Prozedur kann die Multiplikation auf zwei verschiedene Arten ausgef¨ uhrt werden: > &. ( [x[1],y[1]],[x[2],y[2]] );

  x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 > [x[1],y[1]] &. [x[2],y[2]];

  x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 Aufgrund der Regeln f¨ ur neutrale Operatoren bindet die Operation &.“ st¨ arker als ” die Addition. Im Zweifelsfalle setze man passende Klammern!

1.2

Definition und Modelle komplexer Zahlen

> alias(i=[0,1]):

(MWS)

19

# i = imagin¨ are Einheit

Wir best¨ atigen die Beziehung i2 = −1 : > i &. i;

[−1, 0]

Maple kennt nat¨ urlich die u ¨ blichen Rechenregeln. Wir verzichten jedoch darauf, diese alle zu verifizieren. Beispielhaft u ufen wir nur die Existenz ¨ berpr¨ eines inversen Elementes f¨ ur [x, y] = 0 : > [x,y] &. [u,v] = [1,0];

[x u − y v, x v + y u] = [1, 0] > lhs(%)-rhs(%): eq := convert(%,set);

eq := {−1 + x u − y v, x v + y u} In der folgenden Maple-Anweisung interpretiert solve“ die beiden Terme aus ” eq“ als homogene Gleichungen und l¨ ost diese nach den Unbekannten u, v ” auf. > solve(eq,{u,v});

 u =

x , x + y2 2

v = −

y x + y2



2

Die komplexen Zahlen als Unterring der 2 × 2-Matrizen Jetzt benutzen wir als Operationen + und ∗ die u ¨ bliche Matrixaddition bzw. -multiplikation. Mittels folgender Zuordnung bilden wir geordnete Paare reeller Zahlen in 2 × 2-Matrizen ab: > Phi := z -> Matrix(2,2,[z[1],-z[2],z[2],z[1]]);

  Φ := z → Matrix 2, 2, [z1 , −z2 , z2 , z1 ] > ’Phi([x,y])’ =

Phi([x,y]);



x −y Φ([x, y]) = y x



Φ ist vertr¨ aglich mit der Addition und der Multiplikation. Wir u ufen ¨ berpr¨ dies mittels Verwendung des Maple-Befehls frontend(p,x) , wobei p eine Prozedur und x eine Argumentliste f¨ ur p bedeuten. Die Prozedur wird angewendet auf die eingefrorenen“ Argumente, welche im Ergebnis durch ihre ” urspr¨ unglichen Werte ersetzt werden.

20

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

> A := Phi([x[1],y[1]]): B := Phi([x[2],y[2]]): eq := Phi([x[1],y[1]] + [x[2],y[2]]) = A + B: if Equal(lhs(eq),rhs(eq)) then A + B = frontend(Add,[A,B]) end if:



x2 + x1 −y2 − y1 y2 + y1 x2 + x1





=

   x1 −y1 x2 −y2 + y1 x1 y2 x2

> eq := Phi([x[1],y[1]] &. [x[2],y[2]]) = A . B: if Equal(lhs(eq),rhs(eq)) then A . B = frontend(Multiply,[A,B]) end if:



x1 x2 − y1 y2 −x1 y2 − y1 x2 x1 y2 + y1 x2 x1 x2 − y1 y2



 =

x1 −y1 y1 x1



x2 −y2 y2 x2



Die Abbildung Φ ist zudem injektiv und somit ein Isomorphismus auf die Bildmenge der geordneten Paare. Dies ist eine Teilmenge der 2 × 2-Matrizen, die bez¨ uglich + und ∗ die K¨ orperaxiome erf¨ ullt. Nullelement ist in diesem Falle die Nullmatrix, Einselement die Einheitsmatrix. Das inverse Element ¨ zu [x, y] = 0 liest man aus den folgenden Uberlegungen ab: > A := Phi([x,y]): B := MatrixInverse(A): frontend(Multiply,[A,B]) = simplify(A . B);



x −y y x



⎡

⎤ y x 2 2 2   +y x +y ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ = MATRIX [[1, 0], i] x y − 2 x + y 2 x2 + y 2 x2

Maple liefert hier als Ergebnis die Einheitsmatrix in einer sehr verschl¨ usselten Form. Diese wird dargestellt als Liste der beiden Zeilenvektoren [1, 0] und i = [0, 1] . > alias(j=Phi([0,1])): j, j . j;

# j = imagin¨ are Einheit im Unterring # j^2 = -1

 j,

−1 0 0 −1



Geometrische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen

5

> restart: with(plots): with(plottools): x := 4: y := 3: z := [x,y]: Pfeil := arrow([0,0],z,0.04,0.15,0.06,color=black): hLinie := line([0,y],z,color=black): # horizontale Linie vLinie := line([x,0],z,color=black): # vertikale Linie Texte := [x+0.3,y+0.2,"z=x+iy"],[x+0.2,y/2,"iy"],[x/2,y+0.2," x"]: tplot := textplot([Texte]): # Beschriftung display({Pfeil,hLinie,vLinie,tplot},tickmarks=[4,3], scaling=constrained, title="Die GAUSSsche Zahlenebene");

1.2

Definition und Modelle komplexer Zahlen

(MWS)

21

Die Gaußsche Zahlenebene

Hier tritt zum ersten Mal eine etwas komplexere Abbildung auf. Diese setzt sich zusammen aus vier sogenannten Graphikobjekten, bei deren Benennung wir uns um m¨ oglichst suggestive Namen bem¨ uht haben. Sie heißen Pfeil, hLinie, vLinie sowie tplot. Wir werden uns diese gleich im einzelnen etwas genauer anschauen. Zuvor sollten Sie jedoch den Maple-Befehl >

with(plottools);

[arc, arrow , circle, cone, cuboid , curve, cutin, cutout, cylinder , disk , . . .] ausf¨ uhren. Dieses Programm-Paket wurde oben (vor der Erzeugung der Abbildung) geladen. Man kann damit einfache Graphikobjekte, wie z. B. arc (Kreisbogen), arrow (Pfeil), disk (Kreisscheibe), line (Strecke), erzeugen. Mit Befehlen wie z. B. translate (Verschieben), scale (Skalieren), rotate (Drehen) und transform k¨ onnen Graphikstrukturen transformiert werden. Nach Anklicken eines Befehls aus dem Plottools-Paket kann man sich mit Help dar¨ uber genauer informieren. Mit arrow([x1, y1], [x2, y2], B1, B2, V ) erzeugt man einen Pfeil der L¨ ange L von [x1, y1] nach [x2, y2] . B1 ist die Pfeilbreite, B2 die Breite der Pfeilspitze und V das Verh¨altnis der L¨ange der Pfeilspitze zur Gesamtl¨ ange L . line([x1, y1], [x2, y2]) ergibt die Strecke von [x1, y1] nach [x2, y2] . Mit der Option color lassen sich die einzelnen Graphikobjekte wie u arben. Die Beschriftung innerhalb der Graphik ¨ blich f¨ erfolgt mit dem Kommando textplot aus dem plots-Paket. An drei Stellen soll hier ein Text ausgegeben werden. Die Textangabe erfolgt jeweils in der uglich Form [x, y, ”text”] , wobei text sowohl horizontal als auch vertikal bez¨ des Punktes [x, y] zentriert wird. Die Folge Texte oben enth¨alt drei solcher Textangaben, die in der Form [Texte] als Textliste durch textplot ausgegeben werden. Die Gesamtausgabe unserer Graphikbausteine erfolgt mittels display. Auf einfache Art kann man dabei die Graphik durch die Option title ¨ noch mit einer Uberschrift versehen. Die Addition komplexer Zahlen wird definiert als Vektoraddition:

22

5

10

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

> x1 := 3: y1 := 1: x2 := -2: y2 := 3: z1 := [x1,y1]: z2 := [x2,y2]: z := z1+z2: Pfeil1 := arrow([0,0],z1,0.05,0.2,0.09,color=gray): Pfeil2 := arrow([0,0],z2,0.05,0.2,0.08,color=gray): Pfeil3 := arrow([0,0],z,0.06,0.2,0.08,color=black): Linien := plot([[z1,z],[z2,z]],color=black): Texte := [x1+0.2,y1,typeset(‘ z‘[1])],[x2,y2+0.2,typeset(‘ z‘[2])], [op(z+[0.2,0.2]),typeset(‘ z‘=‘ z‘[1]+‘ z‘[2])]: tplot := textplot([Texte]): display({Pfeil1,Pfeil2,Pfeil3,Linien,tplot},scaling=constrained, title="Addition komplexer Zahlen");

Addition komplexer Zahlen

z = z1 + z2 z2

z1

Der Text dieser Graphik ist mittels der Option typeset gestaltet worden. N¨ aheres hier¨ uber liefert die Maple-Hilfe nach Eingabe von ?plot, typesetting . Wie die Multiplikation geometrisch eingef¨ uhrt werden kann, wird im Kontext von Abschnitt 1.4 verst¨ andlich. Der Nachweis der K¨orperaxiome erfolgt dann ¨ durch elementargeometrische Uberlegungen.

1.3 Elementare Operationen und Regeln Symbolisches Rechnen mit komplexen Zahlen > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): I; I^2;

i,

−1

> for k from 1 to 2 do z[k] := x[k]+I*y[k] end do:

1.3

Elementare Operationen und Regeln

(MWS)

23

Summe, Produkt, Quotient (Inverse) komplexer Zahlen > ’z[1]+z[2]’ = evalc(z[1]+z[2]);

  z1 + z2 = x1 + x2 + i y1 + y2 > ’z[1]*z[2]’ = evalc(z[1]*z[2]);

  z1 z2 = x1 x2 − y1 y2 + i x1 y2 + y1 x2 > ’z[1]/z[2]’ = evalc(z[1]/z[2]);

z1 x1 x2 y1 y2 = 2 + 2 +i 2 z2 x2 + y2 x2 + y22 > z := x + I*y:



y1 x2 x1 y2 − 2 2 2 x2 + y2 x2 + y22



’1/z’ = evalc(1/z);

x 1 −i y = 2 + 2 z x + y2 x + y2 Real- und Imagin¨ arteil > ’Re(z)’ = evalc(Re(z)); ’Im(z)’ = evalc(Im(z));

Re (z) = x ,

Im (z) = y

Durch Auswerten mittels der logischen Funktion evalb erhalten wir: > eq := ’Re(z)’ = ’(z+conjugate(z))/2’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

Re(z) =

1 1 z+ z 2 2

> eq := ’Im(z)’ = (1/(2*I))*’(z-conjugate(z))’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

Im (z) =

 −1  i z−z 2

Konjugation und Betrag > ’conjugate(z)’ = evalc(conjugate(z));

z = x−iy > ’abs(z)’ = evalc(abs(z)); z := ’z’:

24

MWS zu Kapitel 1 |z| =

Die komplexen Zahlen

 x2 + y 2

¨ Uberpr¨ ufen einiger Rechenregeln > eq := ’conjugate(z[1]+z[2])’ = ’conjugate(z[1])+conjugate(z[2])’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

z1 + z2 = z1 + z2 > eq := ’conjugate(z[1]*z[2])’ = ’conjugate(z[1])*conjugate(z[2])’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

z1 z2 = z1 z2 > eq := ’z*conjugate(z)’ = ’abs(z)^2’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if; 2

zz = |z| Beispiele

> restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): u := 2-5*I; v := 4+I;

u := 2 − 5 i ,

v := 4 + i

Summe, Differenz, Produkt und Quotient komplexer Zahlen > u+v; u-v; u*v; u/v;

6−4i,

−2 − 6 i ,

13 − 18 i ,

22 3 − i 17 17

Eine 4-stellige N¨ aherung f¨ ur das vorangehende Resultat ergibt sich dann so: > evalf(u/v,4);

0.1765 − 1.294 i Real- und Imagin¨ arteil, Konjugation und Betrag > Re(u); Im(v); conjugate(u); abs(u);

2,

1,

2+5i,

√ 29

1.4

Argument, geometrische Veranschaulichung

(MWS)

25

Komplexe Zahlen zeichnen

5

> with(plots): Linien := complexplot([u,0,conjugate(u)],thickness=2,color=black): Punkte := complexplot([u,conjugate(u)],style=point,symbol=circle, symbolsize=20,color=black): display(Linien,Punkte,labels=["Re","Im"],thickness=2);

Wir lernen hier den Maple-Befehl complexplot kennen. Analog zu plot kann man durch complexplot([z1, z2, z3]) eine Liste [z1, z2, z3] komplexer Zahlen in der angegebenen Reihenfolge geradlinig verbinden. Durch die Option style=point werden die aufgelisteten Zahlen nur als Punkte ausgegeben. Mit der Option symbolsize kann deren Gr¨ oße ver¨ andert werden.

1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung Eulersche Formel > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): exp(x+I*y) = evalc(exp(x+I*y));

ex+i y = ex cos(y) + i ex sin(y) > exp(I*x) = evalc(exp(I*x)); Re(exp(I*x)) = evalc(Re(exp(I*x))); Im(exp(I*x)) = evalc(Im(exp(I*x)));

ei x = cos(x) + i sin(x) ,

Re(ei x ) = cos(x) ,

Im (ei x ) = sin(x)

26

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

Polardarstellung komplexer Zahlen Wie bei Vektoren im R2 kann man komplexe Zahlen mittels der Polardarstellung durch ihren Betrag r und ihr Argument ϕ beschreiben.

5

10

> restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): with(plots): with(plottools): x := 3: y := 2: z := x+y*I: phi := argument(z): Pfeil := arrow([0,0],[x,y],0.03,0.1,0.055,color=black): hLinie := line([0,y],[x,y],color=black): vLinie := line([x,0],[x,y],color=black): Arcus := arc([0,0],1,0..phi,color=black,thickness=2): # Kreisbogen Texte := [2/3*x,2/3*y+0.2,"r"],[x+0.1,y+0.15," z"], [0.7*cos(phi/2),0.7*sin(phi/2),typeset(‘ϕ‘)], [x/2,y+0.15,typeset("r cos(",‘ϕ‘,")")], [x+0.5,y/2, typeset("r sin(",‘ϕ‘,")")]: tplot := textplot([Texte]): display({Pfeil,hLinie,vLinie,Arcus,tplot},scaling=constrained, tickmarks=[3,3],title="Polardarstellung komplexer Zahlen");

Polardarstellung komplexer Zahlen

r und ϕ lassen sich so berechnen: > ’z’ = z; phi := argument(z); r := abs(z);

z = 3+2i,

2 , ϕ := arctan 3

r :=

√ 13

> ’phi’ = evalf(%%,6);

ϕ = 0.588003 Wir u ufen, dass dies wirklich die Polardarstellung von z liefert: ¨ berpr¨ > ’r’*exp(I*’phi’) = radnormal(evalc(r*exp(I*phi)));

1.4

Argument, geometrische Veranschaulichung

(MWS)

27

r ei ϕ = 3 + 2 i r und ϕ erh¨ alt man auch so: > convert(z,polar);

√  2  polar 13 , arctan 3

. . . oder so: > polar(z);

√  2  polar 13 , arctan 3

> r := op(1,%); phi := op(2,%%);

r :=

√ 13 ,

2 ϕ := arctan 3

Rechnen mit der Polardarstellung > r := ’r’: phi := ’phi’: polar(r,phi): % = evalc(%); polar(r,phi)*polar(s,psi): % = simplify(%); 1/polar(r,phi): % = simplify(%); polar(r,phi)^3: % = simplify(%);

polar(r, ϕ) polar(r, ϕ) polar(s, ψ) 1 polar(r, ϕ) polar(r, ϕ)3

= r cos(ϕ) + i r sin(ϕ) , = polar(r s, ϕ + ψ) , 1  = polar , −ϕ , r = polar(r3 , 3 ϕ)

Wir machen uns zum Schluss klar, dass argument(z) der Hauptwert des Argumentes von z ist: > ’argument(-1)’ = argument(-1);

argument(−1) = π > Limit(argument(-1+I*t),t=0,left): % = value(%); Limit(argument(-1+I*t),t=0,right): % = value(%);

lim argument(−1 + i t) = −π ,

t→0−

lim argument(−1 + i t) = π

t→0+

28

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

Veranschaulichung der Konjugation

5

10

15

> restart: with(plots): with(plottools): x := 3: y := 2: z := x+I*y: phi := argument(z): Pfeil1 := arrow([0,0],[x,y], 0.04,0.12,0.07,color=black): Pfeil2 := arrow([0,0],[x,-y],0.04,0.12,0.07,color=gray): Arcus1 := arc([0,0],0.9,0..phi,color=black,thickness=2): Arcus2 := arc([0,0],0.9,-phi..0,color=gray,thickness=2): hLinie := line([0,y],[x,y],color=black): vLinie := line([x,-y],[x,y],color=black): Texte := [x+0.2,y+0.15,"x+iy"],[x+0.2,-y-0.1,"x-iy"], [x/2,y+0.15," x"],[x+0.2,y/2," y"],[x+0.2,-y/2,"-y"], [0.65*cos(phi/2),0.6*sin(phi/2),typeset( ‘ϕ‘)], [0.6*cos(phi/2),-0.6*sin(phi/2),typeset(-‘ϕ‘)]: tplot := textplot([Texte]): display({Pfeil1,Pfeil2,Arcus1,Arcus2,hLinie,vLinie,tplot}, tickmarks=[3,3],scaling=constrained,labels=["Re","Im"], title="Konjugation komplexer Zahlen");

Konjugation komplexer Zahlen

Veranschaulichung der Multiplikation

5

> restart: with(plots): with(plottools): x1 := 3/2: y1 := 1/2: z1 := x1+I*y1: phi1 := argument(z1): x2 := 1: y2 := 3/2: z2 := x2+I*y2: phi2 := argument(z2): z := z1*z2: x := Re(z): y := Im(z): Pfeil1 := arrow([0,0],[x1,y1],0.03,0.10,0.10,color=gray):

1.5

10

15

Wurzeln

Pfeil2 Pfeil3 Arcus1 Arcus2 Arcus3 Linien Texte

(MWS)

29

:= := := := := := :=

arrow([0,0],[x2,y2],0.03,0.09,0.10,color=gray): arrow([0,0],[x,y], 0.035,0.10,0.06,color=black): arc([0,0],0.8,0..phi1,color=gray,thickness=2): arc([0,0],0.8,phi2..phi2+phi1,color=gray,thickness=2): arc([0,0],0.4,0..phi2,color=black,thickness=1): plot([[[1,0],[x1,y1]],[[x2,y2],[x,y]]],color=black): [x1+0.1,y1,typeset(‘ z‘[1])],[x2+0.1,y2,typeset(‘ z‘[2])], [x+0.2,y,typeset(‘ z‘[1],‘ z‘[2])]: tplot := textplot([Texte]): display(Pfeil1,Pfeil2,Pfeil3,Arcus1,Arcus2,Arcus3,Linien,tplot, tickmarks=[3,3], scaling=constrained, title="Multiplikation komplexer Zahlen");

Multiplikation komplexer Zahlen

z1 z2

z2

z1

1.5 Wurzeln Beispiel > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i):

Es sollen die dritten Wurzeln von w = 2 + 11 i berechnet werden, d. h. wir suchen komplexe Zahlen z mit z 3 = w , die im Beispiel von Rafael Bombelli (siehe Seite 2) auftraten. > w := 2+11*I;

w := 2 + 11 i

> solve(z^3=w); Loesungen := map(evalc,[%]);

30

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

 1 1 √   1 1 √  (2 + i) − + i 3 , (2 + i) − − i 3 , 2 + i 2 2 2 2    1 √   1 √  1√ 1√ Loesungen := −1− 3+i − + 3 , −1+ 3+i − − 3 , 2+i 2 2 2 2 Wir erhalten drei L¨ osungen, die in der folgenden Abbildung veranschaulicht sind:

5

> with(plots): dots := complexplot(Loesungen,style=point,color=black, symbol=solidcircle,symbolsize=16): Kreis:= plot(abs(Loesungen[1]),coords=polar,color=black,thickness=2): display(dots,Kreis,scaling=constrained);

Symbolische Berechnung n-ter Wurzeln > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): assume(r > 0): a := r*exp(I*psi);

a := r ei ψ F¨ ur eine komplexe Zahl a mit der Polardarstellung a = r ei ψ berechnen wir die n-ten Wurzeln: > solve(z^n=a,z): evalc(%): simplify(%);

   ψ 

ψ + i sin r cos n n 1 n

Maple liefert symbolisch rechnend zun¨ achst nur eine L¨osung, obwohl es n L¨ osungen gibt. Wenn wir alle L¨osungen haben wollen, m¨ ussen wir zuvor eine Umgebungsvariable geeignet setzen:

1.5

Wurzeln

(MWS)

31

> _EnvAllSolutions := true: solve(z^n=a,z): evalc(%): simplify(%);

  ψ + 2 π Z1 

ψ + 2 π Z1  + i sin z := r cos n n 1 n

Wir wissen schon: Das sind nur scheinbar unendlich viele L¨osungen. Unter diesen sind die f¨ ur die Parameterwerte Z1 = 0 , 1, . . . , n − 1 paarweise verschieden. Im Falle a = 1 bezeichnet man die n-ten Wurzeln als Einheitswurzeln. Sie sind die L¨ osungen der Kreisteilungsgleichung z n = 1 und liefern die Eckpunkte eines regelm¨ aßigen n-Ecks. Beispiel > n := readstat("Geben Sie eine nat¨ urliche Zahl ein: "):

Geben Sie eine nat¨ urliche Zahl ein:

5

10

3;

> W := [seq(2*Pi/n*k,k=0..n-1)]: # Winkel P := [seq(exp(I*phi),phi=W)]: # komplexe Punkte Q := map(z -> [Re(z),Im(z)],P): # kartesische Darstellungen von P with(plots): with(plottools): Kreis := plot(1,coords=polar,color=black,thickness=2): dots := seq(disk(z,0.03,color=black),z=Q), disk([0,0],0.02,color=black): Text := textplot([seq([op(evalf(1.2*z,3)),z[1]+I*z[2]],z=Q)]): display(Kreis,dots,Text,axes=none,scaling=constrained, title=cat(n,". Einheitswurzeln"));

3. Einheitswurzeln √   −1 + i 3 /2

1

√   − 1 + i 3 /2 ¨ Nach der Eingabe einer beliebigen nat¨ urlichen Zahl und deren Ubergabe an die Variable n wird obige Abbildung erzeugt, welche die n-ten Einheitswurzeln veranschaulicht. Die hierzu ausgef¨ uhrte Anweisungsgruppe wollen

32

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

wir ein wenig erl¨ autern und zugleich daran deutlich machen, dass MapleCode recht kompakt und dennoch u ¨ bersichtlich sein kann. Die Liste P enth¨ alt alle n-ten Einheitswurzeln; deren Winkel (im Bogenmaß) sind in der Liste W aufgez¨ ahlt. Wir weisen an dieser Stelle auf die Anweisung seq(exp(I*phi), phi=W) hin, die gewiss eleganter ist als die Formulierung seq(exp(I*W[k]), k=1..n) in der herk¨ ommlichen Art.  Die sehr wichtige MapleFunktion map bildet mittels z → Re(z), Im(z) die komplexen Zahlen der Liste P auf die entsprechenden reellen Zahlenpaare der Liste Q ab. Nat¨ urlich h¨atten wir ebensogut P := map(phi -> exp(I*phi),W): Q := [seq([Re(z),Im(z)],z=P)]:

schreiben k¨ onnen; welche Formulierung man bevorzugt, ist reine Geschmacksache. Nach diesen Vorbereitungen werden die Graphikstrukturen Kreis, dots und Text definiert. Kreis ist offensichtlich der Einheitskreis, und dots stellt mit Hilfe des Kommandos disk aus dem Plottools-Paket die Einheitswurzeln sowie den Ursprung als fette‘ Punkte dar. Alternativ kann man auch einfacher ’ z. B. dots:=plot(Q, style=point, symbol=circle, symbolsize=18); schreiben. Text schließlich liefert mit Hilfe von textplot die Beschriftung durch eine Liste von Textangaben. Auf den ersten Blick wirkt der entsprechende Teil der Maple-Anweisung etwas kryptisch; wir empfehlen deshalb, folgende Anweisung separat auszuf¨ uhren: > seq([op(evalf(1.2*z,3)),z[1]+I*z[2]],z=Q);

 [1.2, 0., 1] ,

1 1 √   1 1 √  − 0.600, 1.04, − + i 3 , − 0.600, −1.04, − − i 3 2 2 2 2

Dann d¨ urfte klar werden, was im einzelnen passiert. Der Faktor 1.2 soll u ¨ brigens bewirken, dass die Beschriftung vom Einheitskreis etwas abgesetzt wird. Und noch etwas sei an einem Beispiel erl¨ autert: > Q[2]; evalf(1.2*Q[2],3); op(%):

 −1 1 √  , 3 , 2 2

[−0.600 , 1.04]

Hier wird also das geordnete Paar Q[2] mit dem Faktor 1.2 multipliziert und anschließend mittels evalf( · , 3) auf drei Stellen gerundet, was im Rahmen der Zeichengenauigkeit ausreicht. Mit op(%) schließlich greift man auf die beiden Komponenten des geordneten Paares zu; dies sind genau die Koordinaten, welche in die zweite Textangabe oben eingesetzt worden sind. Die Ausgabe dieser drei Plotstrukturen erfolgt — wie so oft — mit display. Die ¨ Uberschrift der Abbildung wird mittels der Option title erzeugt. Hier lernen wir erstmals die Maple-Funktion cat kennen, die n und . Einheitswurzel“ ” zu einem String verkn¨ upft.

1.6

Riemannsche Zahlenkugel

(MWS)

33

1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion Bernhard Riemann verdanken wir ein Modell der komplexen Zahlen, welches sehr leicht eine Veranschaulichung des Punktes ∞ erlaubt. Die komplexen Zahlen werden dabei mit der (x1 , x2 )-Ebene des dreidimensionalen Raumes identifiziert. Punkte z = x + i y der komplexen Zahlenebene werden auf die Einheitssph¨ are  S := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1 abgebildet, indem man den Schnittpunkt Z = (x1 , x2 , x3 ) von S mit der Geraden durch den Nordpol N = (0, 0, 1) und P = (x, y, 0) berechnet. Man erh¨ alt so die folgende Abbildung: x1 =

x2

2x , + y2 + 1

x2 =

x2

2y , + y2 + 1

x3 =

x2 + y 2 − 1 x2 + y 2 + 1

F¨ ur z = 2 + i wird die stereographische Projektion durch die Abbildung auf Seite 12 veranschaulicht. Diese wurde folgendermaßen mit Maple erzeugt:

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): f := transform((x,y) -> [2*x,2*y,x^2+y^2-1]/(1+x^2+y^2)): g := transform((x,y) -> [x,y,0]): Punkt := pointplot([2,1],symbol=circle,symbolsize=16,color=black): Ebene := plot3d(0,x=-1.3..2.2,y=-1.3..1.3,style=patchnogrid, color=gray): Gitter:= plot3d(0,x=-1.3..2.2,y=-1.3..1.3,style=wireframe, color=white,numpoints=100): Kugel := plot3d(1,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical, style=wireframe,color=black): Gerade:= line([2,1,0],[0,0,1],color=black,thickness=3): p := display(f(Punkt),g(Punkt),Kugel,Ebene,Gerade): display(p,Gitter,title="stereographische Projektion", scaling=constrained,orientation=[-10,75]);

Auf Einzelheiten der Graphikbausteine Punkt, Ebene, Gitter, Kugel und Gerade gehen wir nicht mehr n¨ aher ein; wir empfehlen jedoch, diese zum besseren Verst¨ andnis einzeln auszugeben und eventuell Optionen zur Oberfl¨ achengestaltung wie z. B. style = patchnogrid oder style = wireframe zu ¨ andern oder gar wegzulassen. Besondere Beachtung verdient der Befehl transform aus dem Plottools-Paket. Die damit definierten Graphiktransformationen f und g wandeln hier 2D- in 3D-Graphikstrukturen. N¨aheres hierzu ist im Anhang zu finden. Mittels der Option orientation = [−90, 90] erhalten wir folgende Seitenansicht:

34

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

> display(p,axes=framed,orientation=[-90,90],tickmarks=[3$3], scaling=constrained,labels=[" "$3]);

1

0

–1

–1

0

1

2

Jetzt soll das Abbildungsverhalten der stereographischen Projektion an komplexeren Graphikstrukturen verdeutlicht werden. Wir w¨ahlen ein Polargitter, das sehr einfach mit dem Kommando coordplot erzeugt werden kann. Wir erl¨ autern die vier wichtigsten Parameter: polar ist der Name des gew¨ unschten Koordinatensystems. Es folgt eine Liste von zwei Bereichen, die in der Parameterebene das Rechteck [0.2, 4] × [0, 2 π] beschreiben; wegen grid = [12, 20] muss man sich dieses durch ein rechteckiges Gitter von 12 (schwarzen) vertikalen bzw. 20 (roten) horizontalen Linien u ¨ berzogen denken. Durch view schließlich wird im kartesischen Koordinatensystem des Bildbereiches ein Fenster f¨ ur das Bildgitter festgelegt. > p := coordplot(polar,[0.2..4,0..2*Pi],view=[-4..4,-4..4], grid=[12,20],linestyle=1,color=[red,black]): display(p,axes=framed,scaling=constrained); 4

2

0

–2

–4

–2

0

2

4

1.6

Riemannsche Zahlenkugel

(MWS)

35

Zur besseren Visualisierung unterlegen wir die Plots durch die grau schattierte Riemannsche Zahlenkugel: > Kugel1 := plot3d(1,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,shading=zgrayscale, style=patchnogrid,coords=spherical,scaling=constrained): display(Kugel1,f(p),axes=framed,tickmarks=[3$3]);

1

0

-1 -1

-1 0

0 1

1

Als zweites Beispiel w¨ ahlen wir ein Rechteckgitter (kartesisches Gitter) und gehen analog vor: > c := coordplot(cartesian,[-6..6,-6..6],view=[-6..6,-6..6], grid=[15,15],linestyle=1,color=[red,black]): display(c,axes=framed,scaling=constrained); display(Kugel1,f(c),axes=framed,tickmarks=[3$3]);

6

1

4

0

2 0

-1 -1

-2 -4 -6

-1 0

0 -4

-2

0

2

4

6

Und weil’s so sch¨ on ist, noch zwei weitere Beispiele:

1 1

36

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

> sq := conformal(z^2,z=-2-2*I..2+2*I,grid=[21,21],numxy=[150,150], color=[black,red]): display(sq,view=[-5..5,-5..5],axes=framed,scaling=constrained);

Wir erl¨ autern die Bedeutung der drei wichtigsten Parameter: Durch z = - 2 - 2∗I .. 2 + 2∗I wird in der komplexen Zahlenebene das (quadratische) Rechteck [−2, 2] × [−2, 2] beschrieben. Dieses wird wegen grid = [21, 21] — ¨ ahnlich wie bei coordplot — durch ein Raster von je 21 (roten) horizontalen bzw. (schwarzen) vertikalen Gitterlinien u ¨ berzogen. Durch die komplexe Abbildung z −→ z 2 — aufgefasst als reelle Abbildung (x, y) −→ [x2 − y 2 , 2 x y] des R2 in sich — entsteht dann das Bildgitter. Es folgt die stereographische Projektion dieser 2D-Grafik: > display(Kugel1,f(sq),axes=framed,tickmarks=[3,3,3]);

1

4 2

0

0 -1 -1

-2

-1 0

0

-4 -4

-2

0

2

4

1

1

Wir beschließen den Reigen sch¨ oner Maple-Graphiken: > s := plot([t,t^1.5,t^2],t=0..2*Pi,coords=polar,tickmarks=[3,3], color=[red,black],thickness=2): display(s,axes=framed,scaling=constrained);

0

-10

-20 0

20

40

> display(Kugel1,f(s),axes=framed,title="Gusti, Lili und Modche ...", tickmarks=[3$3]);

1.6

Riemannsche Zahlenkugel

(MWS)

37

Gusti, Lili und Modche . . .

1

0

-1 -1

-1

0

0

1

1

Das Bild dieser drei Kurven auf der Riemannschen Zahlenkugel assoziiert Erinnerungen an Gusti, Lili und Modche aus Ephraim Kishons Satire Tagebuch eines Haarspalters. Leser, die sich u ¨ber den nur auf der Kugel sichtbaren Kurvenschnittpunkt wundern, sollten in der Anweisung f¨ ur die 2D-Graphikstruktur s den Bereich t = 0 .. 2∗Pi etwa durch t = 0 .. 1.1 ersetzen.

Kapitel 2

Topologische Grundlagen 2.1 Konvergenz von Folgen 2.2 Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte 2.3 Stetigkeit und Grenzwert 2.4 Reihen und Potenzreihen Wir geben in diesem Kapitel eine recht knappe Zusammenstellung von Grundbegriffen sowie Schlussfolgerungen, die normalerweise bereits in einer Analysis-Grundvorlesung behandelt werden.

Es seien n ∈ N fest und   irgendeine Norm auf dem Cn , zum Beispiel z := z2 :=

 n

1/2 |zν |

2

(euklidische Norm)

ν=1

f¨ ur z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn . F¨ ur a ∈ Cn und ε > 0 heißt dann Uaε := {z ∈ Cn : z − a < ε}

”

ε-Umgebung von a“.

U0a := {Uaε : ε > 0} liefert eine Umgebungsbasis (von a)“, ” Ua := {U ⊂ Cn : ∃ ε > 0 Uaε ⊂ U } das Umgebungssystem (von a)“. ” Elemente von Ua heißen Umgebungen (von a)“. ”

2.1 Konvergenz von Folgen F¨ ur eine Folge (zk ) in Cn und a ∈ Cn definieren wir: zk −→ a

(k → ∞)

: ⇐⇒

zk − a −→ 0 (k → ∞) ;

dies bedeutet ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∀k ≥ K

zk − a < ε

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

40

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

beziehungsweise ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∀k ≥ K

zk ∈ Uaε .

Als alternative Sprech- und Notierungsweisen sind hierf¨ ur auch gebr¨auchlich: zk −→ a (d. h. (k → ∞)“ weglassen), lim zk = a, (zk ) konvergiert gegen a ” k→∞ (f¨ ur k → ∞), a ist Grenzwert“ bzw. Limes“ der Folge (zk ). ” ” Man bezeichnet eine Folge (zk ) kurz als konvergent, wenn ein a ∈ Cn mit zk −→ a existiert. Auf Folgen (zk ) mit Werten in Cn u ¨ bertragen wir ferner die folgenden beiden Begriffe: (zk )

”

Cauchy-Folge“ : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ K ∈ N ∀ k,  ≥ K

zk − z  < ε

beschr¨ankt“ : ⇐⇒ ∃ M ∈ [0, ∞[ ∀ k ∈ N zk  ≤ M ” Offensichtlich ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge, und jede CauchyFolge ist beschr¨ ankt. (zk )

Wir erinnern an die folgenden Resultate aus der Analysis. Da C mit R2 identifiziert werden konnte, kann Cn mit R2n identifiziert werden; daher k¨onnen ¨ die meisten topologischen Uberlegungen aus den vertrauten Resultaten der Analysis unmittelbar abgelesen werden: 1. Eindeutigkeit des Grenzwertes: zk −→ a ∧ zk −→ a =⇒ a = a  zk + wk −→ a + b 2. Linearit¨ at: zk −→ a ∧ wk −→ b ∧ α ∈ C =⇒ α zk −→ α a 3. Wir bezeichnen die durch z = (ζ1 , . . . , ζn ) −→ ζν definierte Abbildung ¨ ur gilt die folgende Aquivalenz Pν : Cn −→ C als ν-te Projektion“; hierf¨ ” von Konvergenz und komponentenweiser Konvergenz: zk −→ a ⇐⇒ ∀ ν ∈ {1, . . . , n} Pν (zk ) −→ Pν (a) 4. zk −→ a =⇒ zk  −→ a 5. Speziell f¨ ur die komplexen Zahlen — d. h. n = 1 — gelten: ± zk −→ a ∧ wk −→ b =⇒ zk ± · wk −→ a · b zk a∗ −→ zk −→ a ∧ wk −→ b ∧ b = 0 =⇒ wk b zk −→ a ⇐⇒ Re zk −→ Re a ∧ Im zk −→ Im a zk −→ a ⇐⇒ zk −→ a 6. Satz von Bolzano-Weierstraß∗∗ : Jede beschr¨ankte Folge (zk ) besitzt eine konvergente Teilfolge, d. h. es existieren ϕ : N −→ N streng isoton und a ∈ Cn mit zϕ(k) −→ a. ∗ ∗∗

F¨ ur hinreichend große k ist wk = 0. Die richtige‘ Schreibweise ist nat¨ urlich Weierstraß. ’

2.2

Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte

41

7. Alle Normen auf Cn sind ¨aquivalent, d. h.: Zu je zwei Normen   und  0 existieren positive Konstanten γ1 und γ2 mit ur alle z ∈ Cn . γ1 z ≤ z0 ≤ γ2 z f¨ 8.

 n  C ,   ist vollst¨andig“, d. h.: Jede Cauchy-Folge (in Cn ) ist konver” gent (gegen ein Element von Cn ).

2.2 Topologische Begriffe fu ¨ r Mengen und Punkte F¨ ur Teilmengen O von Cn definieren wir: O offen“ : ⇐⇒ ∀ z ∈ O ” ⇐⇒ ∀ z ∈ O

∃ ε > 0 Uzε ⊂ O O ∈ Uz

O := {M ⊂ Cn : M offen} heißt System der offenen Mengen des Cn“. ” ¨ Aufgrund der Norm-Aquivalenz ist diese Definition unabh¨angig von der speziellen Norm auf dem Cn. Das System O hat folgende Eigenschaften: (O 1) Die leere Menge ist offen. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. (O 2) Cn ist offen. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Eine Menge M ⊂ Cn heißt genau dann abgeschlossen“, wenn ihr Komple” ! := Cn \ M offen ist. ment M (O 1), (O 2) u ¨ bersetzen sich zu: (A1) Cn ist abgeschlossen. Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. (A2) Die leere Menge ist abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Sind M eine Teilmenge von Cn und a ∈ Cn , so definieren wir:   a H¨aufungspunkt zu M“ : ⇐⇒ ∀ U ∈ Ua U \ {a} ∩ M = ∅ ” a ist also genau dann ein H¨ aufungspunkt zu M , wenn in jeder Umgebung von a ein von a verschiedener Punkt aus M liegt. Damit liegen in jeder solchen Umgebung unendlich viele Punkte aus M . M˙ := {z ∈ Cn : z H¨ aufungspunkt zu M } innerer Punkt von M“ : ⇐⇒ M ∈ Ua ⇐⇒ ∃ ε > 0 Uaε ⊂ M ” M := {z ∈ Cn : z innerer Punkt von M } (⊂ M ) : Inneres von M“ ” a

◦

42

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Ber¨ uhrungspunkt zu M“ : ⇐⇒ ∀ U ∈ Ua U ∩ M = ∅ ” Die Menge der Ber¨ uhrungspunkte zu M heißt abgeschlossene H¨ ulle zu M“ ” und wird mit M bezeichnet. ! = ∅ a Randpunkt zu M“ : ⇐⇒ ∀ U ∈ Ua U ∩ M = ∅ ∧ U ∩ M ” ∂M := {z ∈ Cn : z Randpunkt zu M } heißt Rand zu M“. ” H¨ aufungs- und Randpunkte einer Menge sind offensichtlich auch Ber¨ uhrungspunkte. a

Wir halten einige wichtige Eigenschaften fest: 1. M abgeschlossen ⇐⇒ M˙ ⊂ M ◦

2. M ist die gr¨ oßte offene Teilmenge von M . ◦

M offen ⇐⇒ M = M 3. M ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von M . M abgeschlossen ⇐⇒ M = M

◦

! = M !. Letzteres ergibt sich direkt aus 2. mit M 4. M = M˙ ∪ M !, 5. ∂M = ∂ M ◦

!, ∂M = M ∩ M

M = M  ∂M,

◦

∂M ist abgeschlossen. Damit gelten: ◦

! Cn = M  ∂M  M

∗

6. a ist genau dann H¨ aufungspunkt zu M , wenn eine Folge (zk ) in M \ {a} mit zk −→ a existiert. a ist genau dann Ber¨ uhrungspunkt zu M , wenn eine Folge (zk ) in M mit zk −→ a existiert. Definition: Eine Teilmenge M des Cn heißt genau dann kompakt“, wenn ” ¨ zu jeder beliebigen Uberdeckung‘ von M durch offene Mengen eine endliche ’ Teil¨ uberdeckung existiert ( Heine-Borel-Eigenschaft“). ” ¨ von M , wenn Ein System O1 ⊂ O heißt dabei (offene) Uberdeckung " O M⊂ O∈O1

gilt. Hier wird also gefordert, dass zu jedem solchen System O1 eine endliche Teilmenge O2 von O1 existiert, die M u ¨ berdeckt, also: " O M⊂ O∈O2 ∗

Mit  notieren wir eine disjunkte Vereinigung.

2.3

Stetigkeit und Grenzwert

Satz 1

43

F¨ ur M ⊂ Cn sind ¨aquivalent:

a) M ist kompakt b) Zu jeder Folge (zk ) in M existieren a ∈ M und ω : N −→ N streng isoton mit zω(k) −→ a ( folgenkompakt“); in anderen Worten: ” Jede Folge in M hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M . c) M ist beschr¨ankt∗ und abgeschlossen. Wir verzichten auf den allgemeineren Begriff des Zusammenhangs von Mengen, da sich dieser hier bei offenen Mengen durch den anschaulicheren Begriff ¨ des Wegzusammenhangs beschreiben l¨ asst, was f¨ ur die folgenden Uberlegungen ausreicht: Definition: Ein Weg“ (in Cn ) ist eine stetige Abbildung ” g : [a, b] −→ Cn, wobei a, b ∈ R mit a < b . Eine nicht-leere Teilmenge M des Cn heißt genau dann wegzusammenh¨an” gend“, wenn sich je zwei Punkte von M durch einen Weg verbinden lassen, der ganz in M verl¨ auft, d. h.: Zu je zwei Punkten u und v aus M existiert ur alle ein Weg g : [a, b] −→ Cn mit g(a) = u, g(b) = v und g(t) ∈ M f¨ t ∈ [a, b]. Bezeichnung: Eine nicht-leere offene und wegzusammenh¨angende Teilmenge des Cn heißt Gebiet“. ” Topologie auf C asst sich einfach eine Topologie‘ einf¨ uhren, die mit Auf C := C ∪ {∞} l¨ ’ der auf C vertr¨ aglich‘ ist. Dazu betrachtet man f¨ ur z ∈ C und ε > 0 ’ Obermengen in C von Uzε als Umgebungen von z und Obermengen von ε U∞ := {z ∈ C : |z| > 1/ε} ∪ {∞}

als Umgebungen von ∞.

2.3 Stetigkeit und Grenzwert Annahmen: Es seien n, k ∈ N; D ⊂ Cn , a ∈ D und f : D −→ Ck . Definition: f

stetig in a“ ”   : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z ∈ D z − a < δ =⇒ f (z) − f (a) < ε ⇐⇒ ∀ V ∈ Uf (a) ∃ U ∈ Ua f (U ∩ D) ⊂ V ∗

das heißt: Es existiert ein L ∈ [0, ∞[ derart, dass z ≤ L f¨ ur alle z ∈ M gilt.

44

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Wir notieren hier und im Folgenden die (beliebigen) Normen in Cn und Ck mit dem gleichen Symbol   . Bemerkung 2 f ist genau dann stetig in a,wenn f¨ ur jede Folge (zk ) in D, die gegen a konvergiert, die Bildfolge f (zk ) gegen f (a) konvergiert. Bezeichnung: F¨ ur eine Teilmenge D1 von D definiert man: f stetig in D1“ : ⇐⇒ ∀ a ∈ D1 : f stetig in a ” f ( global‘) stetig“ : ⇐⇒ f stetig in D ’ ” Grundeigenschaften stetiger Abbildungen f ist genau dann stetig in a, wenn alle Koordinatenfunktionen dort stetig sind. Folgende Abbildungen sind stetig: – Kompositionen (Hintereinanderausf¨ uhrungen) stetiger Abbildungen – Einschr¨ankungen stetiger Abbildungen – Lineare Abbildungen A : Cn −→ Ck , insbesondere also die Projektionen Pν : Cn −→ C , – Normabbildungen   : Cn −→ [0, ∞[ F¨ ur k = 1 gilt noch erg¨ anzend: Die Abbildungen Re, Im : C −→ R und Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind stetig. Satz 3 Sind D kompakt und f stetig, so ist f (D) kompakt, insbesondere also beschr¨ankt, und f ist gleichm¨aßig stetig. Dabei heißt f genau dann gleichm¨aßig stetig“, wenn ”   ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ v, w ∈ D v − w < δ =⇒ f (v) − f (w) < ε Durch scharfes Hinsehen‘ erkennt man: ’ Bemerkung 4 Stetige Abbildungen bilden wegzusammenh¨angende Mengen wieder in solche ab. Da in R die wegzusammenh¨ angenden Mengen gerade die Intervalle sind, verallgemeinert diese Bemerkung den Zwischenwertsatz. Grenzwerte Es seien noch zus¨ atzlich M ⊂ D, b ∈ Ck und a ∈ M˙ .

2.3

Stetigkeit und Grenzwert

f (z) −→ b (M  z −→ a) : ⇐⇒ : ⇐⇒ ∀ ε > 0

∃δ > 0

45

lim f (z) = b   ∀ z ∈ M \ {a} z − a < δ =⇒ f (z) − b < ε Mz→a

Wie in der reellen Analysis benutzen wir die Sprechweisen: f (z) konvergiert (strebt) gegen b, falls z aus M gegen a konvergiert, b ist Grenzwert‘ von f (z) ’ f¨ ur z aus M gegen a und ¨ ahnlich. Die einfache Zur¨ uckf¨ uhrung des Grenzwertes auf Stetigkeit oder Beschreibung ¨ durch Folgenkonvergenz erlaubt die automatische Ubertragung von Grundregeln, die man aber auch unmittelbar aus der Stetigkeit der Grundoperationen abliest. Satz von Weierstraß F¨ ur Abbildungen fn , f : D −→ Ck (n ∈ N) gilt: Sind alle fn stetig in a, und konvergiert die Folge fn gleichm¨aßig∗ gegen f , fn (z) =⇒ f (z) , D

so ist auch f stetig in a. Wir erinnern an die Standard-Schlussweise, die oft durch das Stichwort ε/3” Argument“ beschrieben wird: Zu ε > 0 existiert ein n ∈ N mit fn (z) − f (z) < ε/3 f¨ ur alle z in D. Zu einem derartigen n (fest!) w¨ ahlt man ein δ > 0 mit fn (z) − fn (a) < ε/3 f¨ ur z in D mit z − a < δ. F¨ ur solche z erh¨ alt man: f (z) − f (a) ≤ f (z) − fn (z) + fn (z) − fn (a) + fn (a) − f (a) < ε  Offenbar gen¨ ugt sogar die lokale‘ (das heißt auf einer Umgebung von a) ’ gleichm¨ aßige Konvergenz. ¨ Oft ziehen wir (ohne besondere Erw¨ ahnung) die folgende einfache Uberle¨ gung heran, deren Beweis wir dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen: Ist A ⊂ C abgeschlossen und K ⊂ C kompakt mit A ∩ K = ∅ , so ist der Abstand‘ der beiden Mengen positiv, d. h. es existiert ein α > 0 mit ’ |a − z| ≥ α f¨ ur a ∈ A und z ∈ K . Speziell liefert dies: Liegt f¨ ur ein a ∈ C und ε > 0 die Umgebung Uaε in einer offenen Menge O , so gilt noch Uaδ ⊂ O mit einem geeigneten δ > ε . ∗

  Das heißt: sup fn (z) − f (z) : z ∈ D −→ 0 f¨ ur n −→ ∞

46

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

2.4 Reihen und Potenzreihen Wir beschr¨ anken uns hier auf C-wertige Reihen, obwohl die Verallgemeinerung auf Cn -wertige — und noch wesentlich allgemeinere Situationen — ohne weiteres ¨ m¨ oglich w¨ are. Wir erinnern nur kurz an die wohl schon vertrauten Uberlegungen:

Jeder Folge a = (an ) komplexer Zahlen nkann ihre Summenfolge (sn ), definiert durch die Partialsummen sn := ν=0 aν (n ∈ N0 ), zugeordnet werden. Die Folge dieser Partialsummen bezeichnet man als Reihe (der aν ), die einzelnen aν als Summanden bzw. Glieder der Reihe. Hier wird davon ausgegangen, dass die Indizes der betrachteten Folgen bei 0 beginnen. Nat¨ urlich k¨ onnen beliebige andere Startindizes‘ auftreten! ’ Ist (sn ) konvergent (mit Grenzwert σ), dann notiert man dies als ∞ 

aν konvergent

∞ 

bzw.

ν=0

aν = σ

ν=0

∞ konverund benutzt daf¨ ur auch Sprechweisen wie: Die Reihe‘ ν=0 aν ist ’ ∞ gent (mit Wert σ). Falls (sn ) divergent ist, sagt man: Die Reihe‘ ν=0 aν ’ ist divergent. ¨ Aus den Uberlegungen f¨ ur Folgen u agt sich unmittelbar die Eindeutig¨ bertr¨ keit und dann die Linearit¨at des Grenzwertes von Reihen: ∞ Es ν=0 aν und ∞seien N ∈ N0 , α, β ∈ C, (an ), (bn ) C-wertige Folgen mit b konvergent. Dann gelten: ν=0 ν ⎧ ⎨ konvergent ∞  ∞ ∞   (α aν + β bν ) ⎩= α aν + β bν ν=0 ν=0 ∞  ν=0

aν =

N  ν=0

∞ 

aν +

ν=0

aν

ν=N +1

F¨ ur komplexe Folgen (an ) gelingt die Zur¨ uckf¨ uhrung auf Konvergenz in R durch: ∞ ∞ ∞ ν=0 aν ist genau dann konvergent, wenn ν=0 Re(aν ) und ν=0 Im(aν ) konvergent sind. Im Falle der Konvergenz gilt f¨ ur die Grenzwerte: ∞  ν=0

aν =

∞ 

Re (aν ) + i

ν=0

∞ 

Im (aν )

ν=0

Entsprechend gilt: ∞ ∞ ν=0 aν ist genau dann konvergent, wenn ν=0 aν konvergent ist. Im Falle der Konvergenz hat man: ∞  ν=0

aν =

∞  ν=0

aν .

2.4

Reihen und Potenzreihen

47

Der direkte Konvergenznachweis u uhsam; ¨ber die Definition ist oft relativ m¨ hilfreich sind deshalb die zahlreichen Konvergenzkriterien f¨ ur Reihen: Aus dem Cauchy-Konvergenzkriterium f¨ ur Folgen erh¨alt man — durch Anwendung auf die Partialsummen — unmittelbar das folgende Cauchy-Kriterium f¨ ur Reihen: ∞  aν ist genau dann konvergent, wenn gilt: Die Reihe ν=0

n+k  ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N ∀ k ∈ N0

aν

< ε ν=n Lax bedeutet dies: Die Partialsummen werden beliebig klein, wenn nur der Startindex‘ hinreichend groß ist. Das Cauchy-Kriterium f¨ ur Reihen u ¨ber’ setzt lediglich die Vollst¨ andigkeit von C. Unmittelbar folgt daraus als notwendiges Kriterium: ∞  Ist aν konvergent, so ist (an ) eine Nullfolge. ν=0

Weiter ergibt sich sofort die Konvergenz absolut konvergenter Reihen. Dabei ∞ heißt eine Reihe ν=0 aν genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ∞ |a | konvergent ist. ν ν=0 Ist die Reihe

∞ 

aν absolut konvergent, so ist sie konvergent, und es gilt

ν=0

∞ ∞ 



≤ a |aν | . ν

ν=0

ν=0

Deshalb ist der Nachweis von absoluter Konvergenz hilfreich. Aus dem Monotoniekriterium f¨ ur Folgen liest man unmittelbar ab: Eine Reihe ist genaudann absolut konvergent, wenn die Folge (sn ) der Parn tialsummen sn := ν=0 |aν | beschr¨ankt ist. Ein einfaches Kriterium f¨ ur absolute Konvergenz ist das Majorantenkriterium durch Vergleich mit schon bekannten konvergenten Reihen. Eine Reihe ∞ ur die mit einem N ∈ N0 ν=0 bν , f¨ |aν | ≤ bν

f¨ ur ν ≥ N

gilt, deren Glieder also schließlich‘ die Glieder gegebenen Reihe der ’ ∞ betraglich majorisieren, heißt Majorante zu ν=0 aν .

∞ ν=0

aν

Majoranten-Kriterium Besitzt eine gegebene Reihe eine konvergente Majorante, so ist sie selbst absolut konvergent und damit konvergent.

48

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Auf einem Vergleich mit der geometrischen Reihe beruhen Wurzelkriterium und Quotientenkriterium: Wurzelkriterium  ∞ Gilt lim sup n |an | < 1, so ist die Reihe ν=0 aν absolut konvergent. Aus n→ ∞  lim sup n |an | > 1 folgt die Divergenz. n→∞

 Gilt die erste Bedingung, so existiert ein q mit lim sup n |an | < q < 1 ;  daher hat man n |an | ≤ q f¨ ur hinreichend großes n und somit |an | ≤ q n . Die n zweite Bedingung, die abgeschw¨ acht werden kann zu |an | ≥ 1 unendlich ” oft“, ergibt, dass die Summanden keine Nullfolge bilden. Quotientenkriterium | < 1 , so ist die Reihe Gilt lim sup |a|an+1 n| n→∞

absolut konvergent. Aus lim inf n→∞

|an+1 | |an |

∞ ν=0

aν mit aν = 0 f¨ u r ν ∈ N0

> 1 folgt die Divergenz.

Die erste Bedingung kann quotientenfrei geschrieben werden: ur ein 0 ≤ q < 1 und hinreichend großes k. |ak+1 | ≤ q |ak | f¨ Eine Reihe heißt genau dann unbedingt konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen mit gleichem Reihenwert konvergiert. Eine konvergente Reihe, die nicht unbedingt konvergent ∞ ist, heißt bedingt konvergent. Entstehen ∞ die Glieder bn einer Reihe n=0 bn aus einer gegebenen Reihe n=0 an durch Umordnung, d. h. bn = aω(n) (n ∈ N0 ) miteiner geeigneten bijektiven ∞ Abbildung ω : N0 −→ N0 , so bezeichnet man n=0 bn als Umordnung von ∞ ur Reihen mit Werten in C hat man: n=0 an . F¨ Die unbedingt konvergenten Reihen sind genau die absolut konvergenten Reihen. In der Richtung von absoluter Konvergenz zu unbedingter Konvergenz wird diese Aussage gelegentlich als Kleiner Umordnungssatz zitiert. Satz u ¨ber Cauchy-Produkte ∞ ∞   aν und bν zwei absolut konvergente Reihen mit ReihenwerEs seien ν=0

ν=0

ten α bzw. β. Dann ist die durch dn :=

n 

an−ν bν

  = an b0 + an−1 b1 + · · · + a0 bn

ν=0

(Anordnung nach Schr¨agzeilen) definierte Cauchy-Produktreihe konvergent, und es gilt: ∞  dn = α · β n=0

2.4

Reihen und Potenzreihen

49

Die angegebene Produktbildung von Reihen ist f¨ ur viele Anwendungen interessant, insbesondere bei der Multiplikation von Potenzreihen. ∞ ∞ Der Satz gilt nicht, wenn die beiden Reihen ν=0 aν und ν=0 bν nur bedingt konvergieren. Eine Versch¨ arfung der obigen Aussage u ¨ber die Konvergenz der Cauchy-Produktreihe liefert der — wenig bekannte — Satz von Mertens (siehe [Kab I, S. 253]). Sind die Summanden einer Reihe Funktionen (mit einem gemeinsamen Definitionsbereich), so spricht man von einer Funktionenreihe. Die zentrale Aussage u ¨ ber die Konvergenz solcher Reihen macht das Majoranten-Kriterium von Weierstraß Es seien

∞ 

fk (z) eine Reihe von Funktionen fk : D −→ C und

k=0

∞ 

αk

k=0

eine konvergente Reihe mit nicht-negativen Summanden αk . Gilt auf einer ∞  fk (z) in M Teilmenge M von D die Absch¨atzung |fk (z)| ≤ αk , so ist k=0

absolut gleichm¨aßig konvergent. Beweis:

Nach dem Majoranten-Kriterium gilt f¨ ur z ∈ M : & ∞  absolut konvergent, fk (z) =: s(z) k=0

F¨ ur K ∈ N kann man daher absch¨ atzen:

∞

K 



s(z) −

fk (z) = fk (z)

≤

k=0

k=K+1

∞  k=K+1

|fk (z)| ≤

∞ 

αk ;

also

k=K+1

streben die Ausdr¨ ucke auf der linken Seite gleichm¨aßig auf M gegen 0 .



Potenzreihen Wichtige Funktionenreihen ganz spezieller Struktur sind Potenzreihen: Es seien (ak ) eine Folge komplexer Zahlen und a ∈ C. F¨ ur z ∈ C heißt die ∞ formale Reihe der Form  ak (z − a)k k=0

”

Potenzreihe“ um den Entwicklungspunkt“ a mit Koeffizienten“ ak . Mit ” ” −1     hier: 0−1 := ∞, ∞−1 := 0 R := lim sup k |ak | k→∞

( Konvergenzradius“) gilt: ”

50

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Satz 5 ∞ 

ak (z − a)k konvergiert f¨ ur jedes 0 ≤ r < R abso lut gleichm¨aßig aufder abgeschlossenen Kreisscheibe z ∈ C : |z − a| ≤ r und divergiert auf z ∈ C : |z − a| > R . Die durch Eine Potenzreihe

k=0

f (z) :=

∞ 

ak (z − a)k

k=0

gegebene Grenzfunktion f ist stetig in UaR . Beweis: F¨ ur z ∈ C mit |z − a| ≤ r < R hat man     r < 1 lim sup k |ak (z − a)k | = lim sup k |ak | |z − a| ≤ R k→∞ k→∞ ∞ und damit die absolute Konvergenz der Reihe. Speziell ist somit k=0 |ak |rk konvergent; mit dem Majoranten-Kriterium von Weierstraß folgt aus |ak (z − a)k | ≤ |ak |rk dann die gleichm¨ aßige Konvergenz und daraus mit dem Satz von Weierstraß (Seite 45) die Stetigkeit. Ist |z − a| > R, dann folgt     lim sup k |ak (z − a)k | = lim sup k |ak | |z − a| > 1 , k→∞

also |ak (z − a)k | > 1 unendlich oft.

k→∞



Entweder ist die o. a. Potenzreihe f¨ ur alle z ∈ C absolut konvergent, sie wird dann auch best¨andig konvergent genannt, oder es existiert ein 0 ≤ R < ∞ derart, dass sie f¨ ur z ∈ C mit |z − a| < R absolut konvergent und f¨ ur z ∈ C mit |z − a| > R divergent ist. Man u ¨ berschaut also den Konvergenzbereich einer Potenzreihe weitgehend, wenn man den Konvergenzradius kennt. Die einzigen Punkte, in denen keine allgemeinen Aussagen u ¨ber das Konvergenzverhalten gemacht werden k¨ onnen, sind — falls 0 < R < ∞ — die Randpunkte‘ z mit |z − a| = R . ’

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: limit, Limit, sum, Sum animate, display(. . . , insequence=true), display(Array . . . ) inequal, setoptions Optionen: linestyle, filled, optionsopen, -closed, -feasible, -excluded plottools-Paket: circle, ellipticArc, pieslice, rectangle, scale, translate ListTools-Paket: FlattenOnce remove; unapply

H¨ aufig benutzte Maple-Befehle und Voreinstellungen wie z. B. die bereits in Kapitel 1 des ¨ ofteren vorgenommene Um- und Neudefinition der imagin¨aren Einheit mittels > interface(imaginaryunit=i):

macro(I=i):

werden ab diesem Kapitel in die Initialisierungsdatei von Maple ausgelagert.∗ Beim Start von Maple werden die Anweisungen dieser Datei ausgef¨ uhrt. Einzelheiten zum Aussehen der von uns verwendeten Initialisierungsdatei sind im Anhang zu finden.

2.1 Konvergenz von Folgen Veranschaulichung der Konvergenz > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt":

Unser Paket verdi enth¨ alt ver schiedene Dienstleistungsprogramme, die recht hilfreich sind und daher h¨ aufig benutzt werden. Der Einfachheit halber wird ∗

Wer die Standardbezeichnung I von Maple bei der Ein- und Ausgabe bevorzugt, ben¨ otigt nat¨ urlich keinen derartigen Eintrag in eine solche Datei.

52

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

verdi als Textdatei mittels des Befehls read "../verdi.txt": bereitgestellt. Die darin enthaltenen Prozeduren werden im Anhang beschrieben. Zwei davon sind c2p und p2c (complex to pair bzw. pair to complex), die komplexe Zahlen in Paare reeller Zahlen wandeln und umgekehrt. Der vielen mathematischen Begriffen innewohnende dynamische Charakter wird mittels Visualisierung hier am Beispiel der Folgenkonvergenz herausgearbeitet. Dazu w¨ahlen wir:

5

> z := n -> I+1/sqrt(3*n+1)*exp(I*rand()); m := 30: # Anzahl der zu berechnenden Folgenglieder epsilon := 0.2: # Radius der vorgegebenen epsilon-Umgebung Z := seq(evalf(z(n)),n=1..m): Limit(’z’(n),n=infinity): eval(%,1)=value(%); lim := rhs(%):

ei rand() z := n → i + √ , 3n+1

lim z(n) = i

n→∞

F¨ ur die Animation unten berechnet Maple eine Folge von Bildern. Durch Anklicken der Graphik erscheint eine Men¨ uleiste. Ist Balloon-Help aktiviert, kann man leicht feststellen, welche Funktion die einzelnen Kn¨opfe haben, und damit das Ablaufen der Animation steuern. Wegen ihrer relativen Kompliziertheit muss die Animation mit Hilfe des display-Befehls und der insequence=true-Option realisiert werden. Die Animation zeigt bei ihrem Ablauf eine Bildfolge mit sukzessive neu hinzukommenden Folgengliedern, die schließlich in die vorgegebene ε-Umgebung hineinlaufen‘; das letzte Bild ’ blendet — mit dem Befehl remove — alle Folgenglieder aus, die außerhalb der ε-Umgebung liegen. Durch Ab¨ andern von ε und erneutes Laufenlassen der Animation kann man so auf spielerische Weise ein Gesp¨ ur‘ daf¨ ur entwickeln, ’ was Konvergenz bedeutet.

5

10

15

> Mitte := disk(c2p(lim),epsilon/25,color=black): Umgeb := disk(c2p(lim),epsilon,color=gray): Options := color=black,symbol=circle,symbolsize=15: dots := NULL: Bildfolge := NULL: for k to m do dots := dots,c2p(Z[k]); Bildfolge := Bildfolge,pointplot([dots],Options, title="Animation zur Folgenkonvergenz") end do: ausblenden := x -> is(abs(p2c(x)-lim) >= epsilon): Bildfolge := Bildfolge, pointplot(remove(ausblenden,[dots]),Options, title=cat("Folgenglieder in der ",sprintf("%03.1f",epsilon), "-Umgebung")): Animation := display(Bildfolge,insequence=true): display(Animation,Mitte,Umgeb,axes=framed,scaling=constrained, tickmarks=[3,3]);

2.1

Konvergenz von Folgen

(MWS)

53

Animation zur Folgenkonvergenz

Bei der hier betrachteten Folge l¨ asst sich zu vorgegebenem ε leicht das zuur n > N : geh¨ orige N = N (ε) berechnen mit |zn − lim| < ε f¨ > solve({abs(z(n)-lim) < epsilon,n > 0},{n}): N := ceil(lhs(op(1,%)));

N := 8 Koordinatenweise Konvergenz Das folgende Bild verdeutlicht, dass Konvergenz und koordinatenweise Konvergenz ¨ aquivalent sind: Aus |zn − a| < ε folgen |Re (zn ) − Re (a)| < ε und |Im (zn ) − Im (a)| < ε ; gelten umgekehrt |Re(zn ) − Re(a)| < √ε2 und |Im (zn ) − Im (a)| < √ε2 , so folgt |zn − a| < ε .

5

> restart: with(plots): with(plottools): epsilon := 1: eps := epsilon/sqrt(2): M := [0,0]: Mitte := disk(M,epsilon/30,color=black): Umgeb := circle(M,epsilon): Streifen := inequal({M[1]-eps<x,x<M[1]+eps,M[2]-eps
54

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Grenzwerte f¨ ur Folgen Je nach Art der Folge gibt Maple unterschiedliche Antworten bei der Grenzwertfrage: > restart: Limit((sqrt(n)+I*n)/(n+1),n=infinity): % = value(%); Limit(1/sqrt(2)^n*exp(I*Pi/4*n),n=infinity): % = value(%);

√ n+in = i, lim n→∞ n+1

lim

n→∞

e1/4 i π n √ =0 ( 2)n

Die beiden Folgen sind konvergent in C. > Limit(2^n,n=infinity): % = value(%);

lim 2n = ∞

n→∞

Diese Folge divergiert bestimmt gegen ∞ . Leichte Ver¨anderung liefert das Ergebnis undefined : > Limit(sqrt(2)^n*exp(I*Pi/4*n),n=infinity): % = value(%);

√ lim ( 2)n e1/4 i π n = undefined

n→∞

Schreiben wir dieselbe Folge aber anders, so ergibt sich: > Limit((1+I)^n,n=infinity): % = value(%);

lim (1 + i)n = ∞

n→∞

> Limit(I^n,n=infinity): % = value(%);

lim in = lim in

n→∞

n→∞

Auch im letzten Fall hat Maple nichts herausgefunden. Es w¨are nat¨ urlich sch¨ oner, wenn Maple die H¨ aufungswerte angeben w¨ urde, also 1, i, −1, −i . Und so sieht die Antwort aus, wenn Maple keinen Grenzwert findet, aber feststellen kann, dass alle H¨ aufungswerte in einem Rechteck‘ a .. b liegen. ’ a bedeutet dabei die linke untere, b die rechte obere Ecke des Rechtecks: > Limit(exp(I*Pi/4*n),n=infinity): % = value(%); Limit(1+(-1)^n,n=infinity): % = value(%);

lim e1/4 i π n = −1 − i .. 1 + i ,

n→∞

lim 1 + (−1)n = −i .. 2 + i

n→∞

2.2

Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte

(MWS)

55

2.2 Topologische Begriffe fu ¨ r Mengen und Punkte Beispiele f¨ ur offene, abgeschlossene, kompakte und zusammenh¨angende Mengen sollten aus den Grundvorlesungen hinreichend bekannt sein. Im Folgenden geht es nur um deren Umsetzung mit geeigneten Graphikwerkzeugen von Maple. F¨ ur die Darstellung von Mengen treffen wir die Vereinbarung, dass deren Inneres hellgrau gef¨ arbt wird. Soll ein Rand‘ zur Menge geh¨oren, so ’ wird dieser als durchgezogene Linie, andernfalls gestrichelt gezeichnet. > restart: with(plots): with(plottools): setoptions(axes=framed,scaling=constrained,tickmarks=[3,3]): # Dies gilt als Voreinstellung f¨ ur diesen Abschnitt.

Kreise, Kreisringe, Kreissektoren Kreise bzw. Kreisscheiben sind im Zusammenhang mit Umgebungen aufgetreten und z¨ ahlen zu den einfachsten Beispielen f¨ ur Mengen. Sie begegnen ¨ uns z. B. auch als Konvergenzbereiche von Potenzreihen. Ahnlich verh¨alt es sich mit Kreisringen als Konvergenzbereichen von Laurent-Reihen. > Kreis1 := disk([0,0],1,color=gray): Kreis2 := disk([0,0],1/2,color=white,numpoints=30): display(Kreis1,linestyle=3); display(Kreis2,Kreis1,linestyle=3);

Die oben mit Hilfe von disk erzeugten Mengen {z ∈ C : |z| < 1} bzw. {z ∈ C : 1/2 < |z| < 1} sind offene Mengen. Offensichtlich sind sie auch zusammenh¨ angend. Dies gilt nicht f¨ ur die nachfolgend gezeigte offene Menge {z ∈ C : |z| < 1 ∨ |z − (2 + i)| < 3/4} . > Kreis3 := disk([2,1],3/4,color=gray): display(Kreis1,Kreis3,linestyle=3,view=[-2..4,-2..3]);

56

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Durch leichte Modifikation erh¨ alt man mit Hilfe von pieslice folgende Varianten: > Sektor1 := pieslice([0,0],3,Pi/6..Pi/3,color=gray): Sektor2 := pieslice([2,1],2,-11*Pi/12..11*Pi/12,color=gray): Sektor3 := pieslice([2,1],1,-11*Pi/12..11*Pi/12,color=white): display(Sektor1); display(Sektor3,Sektor2,linestyle=3);

Der Kreissektor {z ∈ C : |z| ≤ 3 , π/6 ≤ arg(z) ≤ π/3} ist eine abgeschlossene, beschr¨ ankte Menge, und die rechts dargestellte Menge {z ∈ C : 1 < |z − (2 + i)| < 2 , | arg(z − (2 + i))| < 11π/12} ist ein Gebiet. Auch die folgende Graphik, welche ein etwas komplexeres Gebiet — n¨ amlich eines mit L¨ ochern‘— zeigt, ist mit Hilfe einfacher Gra’ phikbausteine erzeugt worden: > Kopf Nase Augen Mund 5

:= := := :=

ellipticArc([0,0],2,2.5,0..2*Pi,color=gray,filled=true): disk([0,-0.2],0.4,color=white): map(z->disk(z,0.2,color=white),[[-0.8,0.9],[0.8,0.9]]): plot([x^2-1.9,0.6*x^2-1.5],x=-1..1,color=black), plot(0.6*x^2-1.5,x=-1.1..1.1,color=gray,filled=true), plot(x^2-1.9,x=-1..1,color=white,filled=true): display(Nase,Augen,Mund,Kopf,view=[-3..3,-3..3]);

2.2

Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte

(MWS)

57

Konvexe Mengen, Sterngebiete Konvexe ∗ Gebiete spielen z. B. bei der Herleitung des Cauchyschen Integralsatzes eine wichtige Rolle. Deshalb interessieren wir uns f¨ ur ihre graphische Darstellung mit Maple. Konvexe Mengen, die sich durch Ungleichungssysteme beschreiben lassen, k¨ onnen auf sehr einfache Weise mit dem inequal -Befehl veranschaulicht werden. Hierzu ein Beispiel:

5

> inequal({1-x-y<0,3*y-x-30<0,-y+x-18<=0,60-2*x-y>0},x=-10..30, y=-10..20,optionsfeasible=(color=gray), optionsopen=(color=black,linestyle=3,thickness=2), optionsclosed=(color=black,thickness=2), optionsexcluded=(color=white),axes=framed);

Der Rand der Halbebenen wird bei ≤‘ gem¨ aß Voreinstellung als durchgezo’ gene Linie gezeichnet, bei <‘ mittels der Option linestyle=3 gestrichelt. ’ Eine andere Art konvexer Mengen sind regelm¨aßige n-Ecke, die sich durch Vorgabe ihrer Extremalpunkte beschreiben lassen. Man kann sie mit Hilfe der folgenden einfachen Prozedur erzeugen: ∗

Eine Menge heißt genau dann konvex, wenn mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke in der Menge liegt.

58

5

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

> read "../verdi.txt": nEck := proc(n) display(polygon([seq(c2p(exp(2*Pi*I*k/n)),k=0..n)]), color=gray,title=cat(n," - Eck")) end proc: display(seq(nEck(n),n=3..17),insequence=true);

8-Eck

Eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie spielen auch Sterngebiete. Ein Gebiet G heißt sternf¨ormig bez¨ uglich eines festen Punktes a, wenn f¨ ur jedes → ganz in G liegt. In Anlehnung an die z ∈ G die Verbindungsstrecke − az regelm¨ aßigen n-Ecke konstruieren wir mit Maple spezielle Sterngebiete:

5

> with(ListTools): Stern := proc(n) display(disk([0,0],0.05,color=black), polygon(FlattenOnce([seq([c2p(exp(2*Pi*I*k/n)), c2p(2*exp((2*Pi*k+Pi)*I/n))],k=0..n)])), color=gray,title=cat("n = ",n)) end proc:

Mit dem Befehl [seq([ c2p(exp(2*Pi*I*k/n)),c2p(2*exp((2*Pi*k+Pi)*I/n)) ],k=0 .. n)] wird eine Liste von Paaren von Punkten erzeugt, jeweils der erste auf einem Kreis vom Radius 1 und der zweite auf einem Kreis vom Radius 2. Nun kann man diese Liste nicht direkt an den Befehl polygon u ¨ bergeben, denn dieser erwartet eine Liste von Punkten. Deshalb muss man vorher die Maple-Funktion FlattenOnce aus dem Paket ListTools anwenden. Man hat also zwei konzentrische Kreise mit jeweils n Punkten, die darauf ¨aquidistant verteilt sind. Der eine Kreis ist gegen¨ uber dem anderen um π/n gedreht. polygon verbindet den ersten Punkt des inneren Kreises mit dem ersten Punkt des ¨außeren Kreises, diesen mit dem zweiten Punkt des inneren Kreises usw.

2.2

Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte

(MWS)

59

> display(seq(Stern(n),n=3..10),insequence=true);

n = 5

n = 7

¨ Altere Maple-Versionen hatten Probleme, derartige Sterngebiete richtig zu f¨arben. Dies lag daran, dass Maple ein Polygon mit den Ecken v1 , . . . , vn f¨ arbte, indem es f¨ ur j = 2, . . . , n − 1 die Dreiecke zu v1 , vj , vj+1 f¨ ullte. Diese hatten also stets v1 als Eckpunkt. Eine m¨ogliche L¨osung bestand darin, separat den Rand zu zeichnen und dann das Innere zu f¨arben, indem der zus¨ atzliche Punkt (0, 0) — diesbez¨ uglich ist das Gebiet ja sternf¨ormig — als erste Ecke eingef¨ ugt wurde. Dann lieferten die Dreiecke die richtige F¨arbung.

Sierpinski-Teppich Gebiete k¨ onnen eine recht verwickelte Struktur haben. Dies wollen wir am Beispiel des Sierpinski-Teppichs zeigen. Ausgangspunkt seiner Konstruktion ist das Quadrat [0, 1] × [0, 1]. Wir stauchen dieses Quadrat auf 1/3 seiner urspr¨ unglichen Gr¨ oße und kopieren es dann nach rechts oben:

> Quadrat:= rectangle([0,0],[1,1],color=gray): p1:= scale(Quadrat,1/3,1/3): p2:= translate(p1,1/3,2/3): display(p1,p2,view=[0..1,0..1]);

Das Zusammenf¨ ugen mit 6 weiteren Kopien f¨ uhrt zu folgender Graphik:

60

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

> L := [[1,0],[2,0],[0,1],[0,2],[2,1],[1,2],[2,2]]/3: map(z -> translate(p1,op(z)),L): display(p1,%);

Auf die neu erzeugte Graphikstruktur kann das oben beschriebene Vorgehen erneut angewendet werden. Dieser iterative Prozess l¨asst sich mittels der Funktion Sierp durchf¨ uhren:

5

> Sierp := proc(Graphik) local p,L; p := scale(Graphik,1/3,1/3); L := [[1,0],[2,0],[0,1],[0,2],[2,1],[1,2],[2,2]]/3; map(z->translate(p,op(z)),L); display(p,op(%)) end proc: display(Array([seq((Sierp@@n)(Quadrat),n=0..2)]),axes=none);

Mit display kann man offensichtlich auch mehrere Graphiken nebeneinander plazieren. Dazu werden diese als Array an display u ¨ bergeben. Das darin auftretende Symbol Sierp@@n“ bedeutet die iterierte Zusammensetzung von Sierp, al” so etwa (Sierp@@2)(Quadrat) = Sierp(Sierp(Quadrat)). Man erkennt, dass Sierp die erwarteten Resultate liefert. Die Gitterlinien lassen sich durch die Option style=patchnogrid unterdr¨ ucken. F¨ ur n = 3 und n = 4 sehen die Gebiete dann so aus: > Quadrat := rectangle([0,0],[1,1],color=gray,style=patchnogrid): display(Array([seq((Sierp@@n)(Quadrat),n=3..4)]),axes=none);

2.3

Stetigkeit und Grenzwert

(MWS)

61

2.3 Stetigkeit und Grenzwert Grenzwerte f¨ ur reellwertige Funktionen Der Grenzwert

lim f (z) =: w0

z→z0

einer komplexwertigen Funktion f (z) = u(x, y) + i v(x, y) mit z = x + i y und z0 = x0 + i y0 existiert genau dann, wenn die reellen Grenzwerte lim (x, y)→(x0 , y0 )

u(x, y) = u0

und

lim (x, y)→(x0 , y0 )

v(x, y) = v0

existieren und w0 = u0 + i v0 gilt. Es gen¨ ugt daher, reellwertige Funktionen, die von zwei Variablen abh¨ angen, zu untersuchen. Maple stellt Hilfsmittel bereit, die Existenz solcher Grenzwerte zu u ufen. ¨berpr¨ Beispiel 1: 3D-Test, Test mit Polarkoordinaten > restart: with(plots): u := (x,y) -> x*y/(x^2+y^2);

u := (x, y) →

x2

xy + y2

Wir testen, ob Maple mit Hilfe des multidirectional limit den Grenzwert im Punkte (0, 0) bestimmen kann: > limit(u(x,y),{x=0,y=0});

 limit

 xy , {y = 0, x = 0} x2 + y 2

Dieser Versuch ist also gescheitert. Dies sieht man nat¨ urlich z. B. auch sofort daran, dass u(x, 0) = 0 und u(x, x) = 1/2 f¨ ur x = 0 gelten. Wir testen nun mit Maple, ob die Limites l¨ angs der Koordinatenachsen existieren: > Limit(u(x,y),x=0): % = value(%);

lim

x→0 x2

xy =0 + y2

> Limit(Limit(u(x,y),x=0),y=0): % = value(%);

lim lim

y→0 x→0

xy =0 x2 + y 2

Aus Symmetriegr¨ unden gelten die entsprechenden Aussagen bei Vertauschung von x und y. Betrachten Sie folgendes Bild:

62

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

> plot3d(u(x,y),x=-1..1,y=-1..1,grid=[40,40],axes=boxed, color=gray,orientation=[110,60]);

0.4

0 –1 –0.4

0 y 1 0x

–1

1

Der unruhige Faltenwurf des Funktionsgraphen bei (0, 0) legt die Vermutung nahe, dass der Grenzwert im Nullpunkt nicht existiert. Es f¨allt auf, dass der Graph l¨ angs der Winkelhalbierenden y = x die obere Begrenzung der Box mit z = 1/2 ber¨ uhrt. Entsprechend wird l¨angs der Winkelhalbierenden y = −x die untere Begrenzung der Box mit z = −1/2 ber¨ uhrt. Um dies zu kl¨ aren, werden die Grenzwerte l¨ angs Geraden durch (0, 0) bestimmt und dazu Polarkoordinaten eingef¨ uhrt: > subs({x=r*cos(t),y=r*sin(t)},u(x,y)): % = simplify(%); Limit(’u’(r*cos(t),r*sin(t)),r=0): eval(%,1) = simplify(value(%));

r2

r2 cos(t) sin(t) cos(t)2 + r2 sin(t)2

= cos(t) sin(t)

lim u(r cos(t), r sin(t)) = cos(t) sin(t)

r→0

In diesem speziellen Fall h¨ atten wir uns nat¨ urlich die letzte Befehlszeile auch sparen k¨ onnen. Da dieser Grenzwert vom Winkel t abh¨angt, wird auch auf diesem Wege klar, dass der Grenzwert von u(x, y) f¨ ur (x, y) −→ (0, 0) nicht existiert. Beispiel 2: Visueller Test mittels 2D-Animation > restart: with(plots): u := (x,y) -> x*y^2/(x^2+y^4);

u := (x, y) −→

x y2 + y4

x2

2.3

Stetigkeit und Grenzwert

(MWS)

63

Ist u stetig erg¨ anzbar in (0, 0)? Offensichtlich kann man dieses Beispiel durch uckf¨ uhren. Mitdie Substitution y 2 = t auf das vorangehende Beispiel zur¨ hin existiert der gesuchte Grenzwert nicht. L¨asst sich das auch an der 3DDarstellung erkennen? Wir bilden dazu zwei unterschiedliche Ansichten derselben Graphik nebeneinander ab. Deren Ausrichtung kann sehr leicht durch Anklicken der Graphik mit der Maus ver¨ andert werden. > p := plot3d(u(x,y),x=-1..1,y=-1..1,grid=[40,40],color=gray): q := display(p,orientation=[130,60]): display(Array([q,p]),title="Visueller Test auf Stetigkeit");

Visueller Test auf Stetigkeit

Um eine optische T¨ auschung‘ ausschließen zu k¨onnen, veranschaulichen wir ’ den Funktionsgraphen mittels einer 2D-Animation. Dabei fungiert die yVariable — f¨ ur y = 0 — als Scharparameter der Schnitte‘ und l¨auft von ’ −1 bis −0.1, also bis unmittelbar vor die Singularit¨at. > animate(u(x,y),x=-1..1,y=-1..-0.1,tickmarks=[4,4],numpoints=300, color=black,thickness=2);

Visueller Test auf Stetigkeit mittels Animation 0.4

0.2

–1

–0.5

0 –0.2

–0.4

0.5

1

64

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

Unsere Beobachtungen lassen sich auch leicht analytisch best¨atigen. Wir untersuchen u f¨ ur festes y = 0 auf Extrema: > solve(D[1](u)(x,y),{x});

{x = −y 2 } ,

{x = y 2 }

> ’u’(y^2,y): eval(%,1) = value(%); ’u’(-y^2,y): eval(%,1) = value(%);

u(y 2 , y) =

1 , 2

u(−y 2 , y) =

−1 2

Grenzwerte f¨ ur komplexwertige Funktionen Beispiel 1 > restart: f := z -> (z^5-2*z^4+z^3+z^2/2-z+1/2)/(z^2-2*z+1);

f := z →

1 2 1 z −z+ 2 2 z2 − 2 z + 1

z5 − 2 z4 + z3 +

> f(1);

Error, (in f) numeric exception: division by zero f ist in z0 = 1 nicht definiert. Jedoch der Grenzwert f¨ ur z −→ z0 existiert: > Limit(’f(z)’,z=1): eval(%,1) = value(%);

lim f (z) =

z→1

3 2

> simplify(f(z));

z3 +

1 2

> p := unapply(%,z);

p := z −→ z 3 +

1 2

f ist in z0 = 1 stetig erg¨ anzbar: Definiert man f (1) := 3/2 , so stimmt f u ¨ berall mit der Polynomfunktion p u ¨berein, die man mit Hilfe des MapleBefehls unapply aus dem Ausdruck z 3 + 1/2 erh¨alt.

2.4

Reihen und Potenzreihen

(MWS)

65

Beispiel 2 Bei komplexen Unstetigkeitsstellen muss man vorsichtig sein: > restart: f := z -> 1/(z-I);

f := z −→

1 z−i

> Limit(f(z),z=I): % = value(%);

lim

z→i

1 = undefined z−i

> Limit(f(z),z=I,complex): % = value(%);

lim z→i,complex

1 = ∞ − ∞i z−i

Beispiel 3 Interessant ist auch folgendes Beispiel: > restart: f := z -> exp(-1/(z-I)^2);

f := z −→ e

1 − (z−i) 2

> Limit(f(z),z=I): % = value(%);

lim e

1 − (z−i) 2

z→i

= 0

> Limit(f(z),z=I,complex): % = value(%);

lim

z→i,complex

e

1 − (z−i) 2

=

lim

z→i,complex

e

1 − (z−i) 2

Hieran wird deutlich, dass der limit-Befehl ohne Option complex den beidseitigen reellen Grenzwert, das heißt im Argument z = i + t mit t ∈ R, berechnet.

2.4 Reihen und Potenzreihen Absolut konvergente Reihen ∞ Reihen k=0 bk mit nicht-negativen Summanden ∞ werden herangezogen zum Konvergenznachweis f¨ ur komplexe Reihen k=0 ak . Wie im reellen Fall er ∞ gibt sich deren (absolute) Konvergenz, wenn ∞ k=0 bk eine konvergente Majorante ist, bzw. deren Divergenz, wenn k=0 bk eine divergente Minorante

66

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

ist. Wurzel- und Quotientenkriterium basieren dabei auf dem Vergleich mit der geometrischen Reihe. Beispiel 1:

∞  k2 2k k=0

> restart: a := k -> k^2/2^k;

a := k −→

k2 2k

Quotientenkriterium: > Limit(’a’(k+1)/’a’(k),k=infinity):

lim

k→∞

eval(%,1) = value(%);

1 a(k + 1) = a(k) 2

Wurzelkriterium: > Limit(’a’(k)^(1/k),k=infinity):

eval(%,1) = value(%); 1

lim a(k) k =

k→∞

1 2

Maple liefert f¨ ur diese Reihe den Wert > Sum(a(k),k=0..infinity):

% = value(%); ∞  k2 = 6 2k k=0

Beispiel 2:

∞  zk k!

k=0

> restart: b := k -> abs(z)^k/k!;

b := k →

|z|k k!

Quotientenkriterium: > Limit(’b’(k+1)/’b’(k),k=infinity): eval(%,1) = simplify(%); erg := convert(value(%%),string): print(cat(‘Dieser Grenzwert ist gleich ‘, erg,‘ .‘));

lim

k→∞

b(k + 1) |z| = lim . Dieser Grenzwert ist gleich 0 . k→∞ k + 1 b(k)

Diese Reihe ist also f¨ ur jedes z absolut konvergent. Das sieht man auch mit dem Wurzelkriterium:

2.4

Reihen und Potenzreihen

(MWS)

> Limit(’b’(k)^(1/k),k=infinity):

67

eval(%,1) = value(%); 1

lim b(k) k = 0

k→∞

Maple kennt‘ nat¨ urlich die Exponentialfunktion und berechnet als Reihen’ wert: > Sum(z^k/k!,k=0..infinity):

% = value(%); ∞  zk k=0

k!

= ez

Die Feinheit, ez und exp(z) zu unterscheiden (vgl. S. 81), u ¨ berfordert Maple! Beispiel 3:

∞  1 k k=1

> restart: c := k -> 1/k;

c := k −→ > Limit(’c’(k+1)/’c’(k),k=infinity):

lim k→∞

1 k

eval(%,1) = value(%);

c(k + 1) =1 c(k)

> Limit(’c’(k)^(1/k),k=infinity):

eval(%,1) = value(%); 1

lim c(k) k = 1 k→∞

F¨ ur dieses Beispiel liefern folglich weder Quotienten- noch Wurzelkriterium eine Antwort. Maple erkennt dennoch, dass diese Reihe divergiert: > Sum(1/k,k=1..infinity): % = value(%); ∞  1 =∞ k k=1

Majorantenkriterium von Weierstraß, gleichm¨ aßige Konvergenz Es sei M eine Teilmenge von C. Besitzt eine Folge (fk ) von Funktionen ∞ fk : M −→ C eine konvergente Majorante ur alle k=0 αk mit |fk (z)| ≤ αk f¨ ∞ z ∈ M , so ist die Reihe k=0 fk (z) auf M (absolut) gleichm¨aßig konvergent. Wir veranschaulichen dies — im Reellen — an der geometrischen Reihe:

68

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

> restart: with(plots): f := z -> 1/(1-z);

f := z →

1 1−z

> epsilon := 0.2: r := 0.7: rest := sum(r^k,k=n+1..infinity): solve(rest=epsilon,n): N := ceil(%);

N := 7

5

> Bild1 := plot(f(z)+epsilon,z=-r..r,color=gray,filled=true): Bild2 := plot(f(z)-epsilon,z=-r..r,color=white,filled=true): Folge := seq(plot(sum(z^k,k=0..n),z=-r..r,color=black,thickness=2, title=cat(n,". Partialsumme")),n=1..2*N): Bild3 := display(Folge,insequence=true): display(Bild3,Bild2,Bild1,tickmarks=[3,3]);

4. Partialsumme

F¨ ur dieses Beispiel kann man zeigen, dass zu beliebig vorgegebenem positiven ε und 0 <  r < R ( = 1) eine nat¨ urliche Zahl N so existiert, dass die n k z f¨ u r n ≥ N und |z| ≤ r ganz im ε-Schlauch um f Partialsummen k=0 verlaufen. Der ,Rest’ ist n¨ amlich:  1 1 − z n+1 z n+1 1 − − = =: n (z) zk = 1−z 1−z 1−z 1−z n

k=0

N +1

r zeigt dann die gleichm¨ aßige Konvergenz in {z ∈ C : |z| ≤ r} . | n (z)| ≤ (1−r) Dass die gleichm¨aßige Konvergenz nicht im ganzen Bereich {z ∈ C : |z| < R} gilt, belegt — schon im Reellen — der Grenz¨ ubergang z −→ R bei festem n f¨ ur n (z) .

2.4

Reihen und Potenzreihen

(MWS)

69

Maple im Umgang mit Reihen Mit folgender Reihe wussten ¨ altere Versionen von Maple nichts‘ anzufangen: ’ > restart: Sum((1+I*n*(-1)^(n+1))/n^2,n=1..infinity): % = value(%); ∞ ∞   1 + i n (−1)n+1 1 + i n (−1)n+1 = 2 n n2 n=1 n=1

Ganz anders ist die Reaktion bei neueren Maple-Versionen: > Sum((1+I*n*(-1)^(n+1))/n^2,n=1..infinity):: % = value(%); ∞  1 + i n (−1)n+1 1 = π 2 + i ln(2) 2 n 6 n=1

Schauen wir uns die geometrische Reihe an: > Sum(2^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞ 

2n = ∞

n=0

> Sum(2^n,n=0..infinity): % = evalf(%); ∞ 

2n = −1.000000000

!

n=0

> Sum((-2)^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞  n=0

(−2)n =

∞ 

(−2)n

n=0

> Sum((1-I)^n/sqrt(2)^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞ ∞   (1 − i)n (1 − i)n √ √ = ( 2)n ( 2)n n=0 n=0

In den beiden letzten Beispielen liefert Maple kein vern¨ unftiges‘ Ergebnis. √ ’ In fr¨ uheren Versionen setzte Maple locker −2 bzw. (1 − i)/ 2 in die — nur ∞ n z = 1/(1 − z) ein! Ersetzt man value f¨ ur |z| < 1 g¨ ultige — Formel n=0 durch evalf, so geschieht dies auch unter Maple 15 noch:

70

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen

> Sum((-2)^n,n=0..infinity): % = evalf(%,3); Sum((1-I)^n/sqrt(2)^n,n=0..infinity): % = evalf(%,3); ∞  n=0

(−2)n = 0.333 ,

∞  (1 − i)n √ = 0.500 − 1.21 i ( 2)n n=0

!

Das erste dieser beiden Maple-Ergebnisse werden wohl alle Nutzer als falsch erkennen. Bei dem zweiten aber werden einzelne das Ergebnis vielleicht gedankenlos hinnehmen. Auf den ersten Blick wirken die unterschiedlichen Antworten verwirrend: value liefert eine andere Antwort als evalf, divergente Reihen konvergieren angeblich, eine Reihe mit positiven Summanden soll sogar einen negativen Reihenwert besitzen. Machen wir weitere Tests mit folgenden wohlbekannten Reihen: > Sum(1/n^2,n=1..infinity): % = value(%); ∞  1 1 = π2 2 n 6 n=1

> Sum(1/n^3,n=1..infinity): % = value(%); erg := convert(evalf(%%),string): print(cat(‘Dieser Wert ist ungef¨ ahr gleich ‘, erg,‘ .‘)); ∞  1 = ζ(3) . Dieser Wert ist ungef¨ahr gleich 1.202056903 . 3 n n=1

> Sum(1/n^(1/2),n=1..infinity):

% = value(%);

∞  1 √ =∞ n n=1

> Sum(1/n^(1/2),n=1..infinity): % = evalf(%); ∞  1 √ = −1.460354509 n n=1

Der Hinweis auf der Help-Seite, dass Sum u. a. auch Summierungsverfahren kennt‘ und anwendet, d¨ urfte die meisten Anwender u ¨ berfordern! Er best¨atigt ’ den oben gewonnenen Eindruck, dass Maple ein umfangreiches Arsenal unterschiedlicher Methoden einsetzt. Man sollte es sich deshalb zur Gewohnheit machen, eine Reihe auf Konvergenz zu untersuchen, bevor man mit Maple den Reihenwert zu berechnen versucht. Denn h¨ochstens dann liefert Maple sinnvolle Ergebnisse.

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit 3.1 3.2 3.3 3.4

Definition und Grundregeln Differentiation von Potenzreihen Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit Exponentialfunktion und Logarithmus

Differenzierbarkeit wird wie im Reellen eingef¨ uhrt, erweist sich jedoch als ungleich leistungsf¨ ahiger, was sich aber großenteils erst in den folgenden Kapiteln zeigen wird.

3.1 Definition und Grundregeln Zun¨ achst stellen wir kurz und ohne Beweise einige Dinge zusammen, die man heute meist schon in der Analysis I gleich f¨ ur den K¨orper C (statt nur f¨ ur R ) mitbehandelt. Dabei verzichten wir hier auf m¨ogliche Abschw¨achungen der Annahmen. ◦

Annahmen: Es seien Df := D ⊂ C, f : D −→ C und a ∈ D . Definition: f differenzierbar in a“ : ⇐⇒ ∃ A ∈ C ”

f (z) − f (a) −→ A z−a

(D  z −→ a)

Es wird also die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten“ ” f¨ ur den Grenz¨ ubergang D z −→ a gefordert.

f (z)−f (a) z−a

Falls f differenzierbar in a ist, notieren wir: Df (a) := f  (a) :=

lim

Dz→a

f (z) − f (a) z−a

Dieser (eindeutige) Grenzwert heißt Ableitung von f an der Stelle a“. Er ” df (a) notiert. wird gelegentlich auch als dz

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

72

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

F¨ ur eine Teilmenge M von D heißt f genau dann differenzierbar in M“, ” ◦ wenn M ⊂ D und f f¨ ur alle z ∈ M differenzierbar in z ist. f heißt differenzierbar“ genau dann, wenn f in D differenzierbar ist. (Dann ” ist D insbesondere offen.) ◦  D(f  ) := z ∈ D : f differenzierbar in z f  : D(f  )  z −→ f  (z) ∈ C Satz 1

”

(erste) Ableitung von f“

¨ Aquivalent sind:

α) f ist differenzierbar in a. β) Es existiert h : D −→ C stetig in a mit f (z) = f (a) + h(z)(z − a)

(z ∈ D) .

γ) Es existieren A ∈ C, r : D −→ C stetig in a mit r(a) = 0 derart, dass f (z) = f (a) + A(z − a) + r(z)(z − a) Zusatz

(z ∈ D) .

Gilt β), so ist h(a) = f  (a); hat man γ), so folgt A = f  (a).

Bemerkung

Ist f differenzierbar in a, dann ist f stetig in a.

Dass die Umkehrung nicht gilt, zeigt beispielsweise die stetige Abbildung Re : C −→ C, die an keiner Stelle differenzierbar ist, was wir erst weiter unten begr¨ unden werden. Unter den zus¨atzlichen Voraussetzungen ◦

Dg ⊂ C, g : Dg −→ C, a ∈ Dg und f, g differenzierbar in a erh¨ alt man die Grundregeln 1. f + g ist differenzierbar in a und (f + g) (a) = f  (a) + g  (a) . 2. αf ist differenzierbar in a und (αf ) (a) = αf  (a) 

(α ∈ C) .



3. f g ist differenzierbar in a und (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g  (a) . 1. und 2. beschreiben die Linearit¨at der Differentiation in a. Die Aussage 3. heißt Produktregel“. ” Schon bekannte Beispiele sind: (B1) b ∈ C, f (z) := b (z ∈ C): f ist differenzierbar mit f  (a) = 0 (B2) n ∈ N, f (z) := z n (z ∈ C): f ist differenzierbar mit f  (a) = nan−1 (a ∈ C).

(a ∈ C).

3.2

Differentiation von Potenzreihen

73

(B3) f (z) = exp(z) (z ∈ C): f ist differenzierbar mit f  = f . m  (B4) m ∈ N 0 ; αμ ∈ C (μ = 0, . . . , m); P (z) := αμ z μ ( Polynom‘) ’ μ=0 m  P ist differenzierbar mit P  (a) = μαμ aμ−1 (a ∈ C). μ=1

Quotientenregel Unter den zus¨ atzlichen Voraussetzungen ◦

Dg ⊂ C, g : Dg −→ C, a ∈ Dg , g(a) = 0 , f und g differenzierbar in a gilt: f ist differenzierbar in a mit g

 f f  (a)g(a) − f (a)g  (a) (a) = g (g(a))2

Dabei ist zu beachten: Die Differenzierbarkeit von g in a impliziert die Stetigkeit von g in a. Da g(a) verschieden von Null ist, existiert ein δ > 0 derart, dass  ◦ g(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Uaδ ∩ Dg gilt, also a ∈ Df /g .

Kettenregel Unter den zus¨ atzlichen Voraussetzungen ◦

Dg ⊂ C, g : Dg −→ C, b := f (a) ∈ Dg , f differenzierbar in a, g differenzierbar in b ist g ◦ f differenzierbar in a mit

(g ◦ f ) (a) = g  (f (a))f  (a) .

(B5) Nach der Quotientenregel und (B4) sind alle rationalen Funktionen differenzierbar. (B6) cos und sin sind differenzierbar mit cos = − sin und sin = cos.

3.2 Differentiation von Potenzreihen Im Anschluss an den Satz u ¨ ber Potenzreihen (Seite 50) zeigen wir mit den dortigen Bezeichnungen (im nicht-trivialen Fall R > 0 ): Satz 2 f ist differenzierbar in UaR mit

f  (z) =

∞ 

k ak (z − a)k−1

f¨ ur z ∈ UaR .

k=1

Folgerung Potenzreihen k¨onnen also — in UaR — gliedweise differenziert‘ werden. Die ’ zugeh¨orige Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Die Koeffizienten in einer Potenzreihenentwicklung sind somit eindeutig bestimmt. Eine Potenzreihe ist gerade die Taylor-Reihe der durch sie dargestellten Funktion.

74

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

∞ Beweis: Œ a = 0 (sonst u√:= z − a betrachten): k=1 k ak z k−1 hat auch den   Konvergenzradius R da k k −→ 1 f¨ ur k → ∞ . Daher ist  ∞ k−1 k |a |r konvergent f¨ u r 0 < r < R. (1) k k=1 Es sei nun b ∈ U0R fest; dazu w¨ ahlt man r so, dass |b| < r < R . F¨ ur k ∈ N sei ⎫ ⎧ k k−1 ⎨ z − bk ⎬  , z = b  = z k−1−κ bκ ; hk (z) := z−b ⎭ ⎩ k−1 κ=0 kb , z=b f¨ ur |z| ≤ r hat man daf¨ ur: |hk (z)| ≤

k−1 

|z|k−1−κ |b|κ ≤ k rk−1

(2)

κ=0

Nun ist f¨ ur z ∈ U0R : f (z) − f (b) =

∞ 

ak (z k − bk ) = (z − b)

k=1

∞ 

ak hk (z)

(3)

k=1

Nach (1), (2) und dem Majoranten-Kriterium von Weierstraß ist die Reihe  ∞ r aßig konvergent. Nach dem Satz von k=1 ak hk (z) in U0 absolut gleichm¨ Weierstraß (Seite 45) ist die dadurch definierte Funktion stetig in b. Nach (3) folgt damit: f ist differenzierbar in b und f  (b) =

∞  k=1

ak hk (b) =

∞ 



kak bk−1

k=1

3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit Eine Abbildung f : C −→ C definiert in kanonischer Weise eine Abbildung F : R2 −→ R2 . Hier fragen wir nach dem Zusammenhang zwischen komplexer Differenzierbarkeit von f und reeller Differenzierbarkeit von F : ϕ : R2  ( xy ) −→ x + iy ∈ C ist R-linear, bijektiv und erf¨ ullt x x |ϕ ( y ) | = ( y )2 . In den Worksheets tritt ϕ als Prozedur p2c (pair-to-complex) und die Umkehrabbildung ϕ−1 als c2p (complex-to-pair) auf. ◦

Annahmen: Es seien C ⊃ D, f : D −→ C und a = ϕ ( αβ ) ∈ D. Die letzte ◦

Aussage ist mit E := ϕ−1 (D) ⊂ R2 ¨aquivalent zu ( αβ ) ∈ E.

3.3

Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit 75

Bezeichnung: F := ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : E −→ R2 ist definiert durch x

 Re f (x+iy)  u( y ) x ( y ) −→ Im f (x+iy) =: . x v( y ) Satz 3 Die Funktion f ist genau dann (komplex) differenzierbar in a = α + iβ, Cauchy-Riemannwenn F (reell) differenzierbar in ( α β ) ist und die ” Differentialgleichungen“, kurz CR-DGLn“, ” ux = vy , uy = −vx erf¨ ullt sind. α α α Dann gilt f  (a) = ux ( α β ) + i vx ( β ) = vy ( β ) − i uy ( β ) .

Dabei gilt nat¨ urlich: F ist genau dann differenzierbar in ( α β ), wenn die beiden Komponentenfunktionen u und v dort differenzierbar sind. Beweis (des Satzes): Die Differenzierbarkeit von f in a besagt, dass f (z) = f (a) + h(z)(z − a) mit einer in a stetigen Abbildung h gilt. Dabei ist h(a) = f  (a) . Dies ist aquivalent zu ¨ x x   h1 ( y ) −h2 ( y ) x−α , · F ( xy ) = F ( αβ ) + x x y−β h2 ( y ) h1 ( y ) wobei h(z) = h1 ( xy )+i h2 ( xy ) mit in ( α β ) stetigen reellwertigen Funktionen h1 und h2 . Daraus liest man alles ab.  Wir zeigen damit — wie auf Seite 72 schon behauptet — C  z −→ Re z ∈ R ⊂ C ist in keinem a ∈ C differenzierbar! Beweis: Mit obigen Bezeichnungen gilt hier: u ( xy ) = x, v ( xy ) = 0 . Dies ullt.  liefert vy = 0, ux = 1 . Die CR-DGLn sind also nicht erf¨ Bezeichnung:

∗

F¨ ur eine offene Teilmenge M von D und f : D −→ C: f holomorph in M“ genau dann, wenn f differenzierbar in M ist. ” f holomorph“ : ⇐⇒ f holomorph in D (D ist also dann offen.) ” Andere Bezeichnungen sind: analytisch“, regul¨ar“, regul¨ar-analytisch“; ” ” ” dabei wird meist noch M als Gebiet vorausgesetzt. ∗

Der Begriff holomorph“ ist f¨ ur die Funktionentheorie zentral. Das Wort besteht ” aus den beiden altgriechischen Bestandteilen holos (ganz, v¨ ollig, unversehrt) und morphe (Gestalt, Form, Aussehen).

76

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

Folgerung 4 Ist f : G −→ C holomorph auf einem Gebiet G ⊂ C mit f  (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ G , dann ist f konstant. Beweis: Nach obigem Satz sind u, v : ϕ−1 (G) −→ R differenzierbar mit ux = uy = 0. Mit G ist offenbar auch ϕ−1 (G) Gebiet. Nach dem entsprechenden Satz der mehrdimensionalen Analysis ist u konstant. Ebenso ist v konstant.  Satz 5 (Differentiation von Umkehrfunktionen)∗∗ Es seien O und O offene Teilmengen von C, a ∈ O, f : O −→ O bijektiv, f in a differenzierbar mit f  (a) = 0 . Die Umkehrfunktion h := f −1 sei stetig in b := f (a) . 1 . Dann ist h in b differenzierbar mit h (b) =  f (a) Beweis:

F¨ ur z ∈ O und w := f (z) (∈ O ) gelten: z =

a ⇐⇒ w = b w −→ b =⇒ z −→ a; damit hat man f¨ ur w = b: z−a 1 h(w) − h(b) = −→  w−b f (z) − f (a) f (a)

(w −→ b)

und



Konforme Abbildungen ¨ Die folgenden Uberlegungen dienen zur geometrischen Deutung komplexer Differenzierbarkeit. F¨ ur z ∈ C \ {0} entspricht arg(z) (genauer ein Element aus der Menge arg(z)) dem orientierten‘ Winkel zwischen der positiven reellen Achse und ’ z, aufgefasst als Ortsvektor in der komplexen Zahlenebene. In Anlehnung daran verallgemeinern wir: F¨ ur a, b ∈ C \ {0} heißt jedes Element von b (a, b) := arg a ein orientierter Winkel‘ von a nach b. ’ Es seien z0 ∈ C und Z1 , Z2 : [0, 1] −→ C differenzierbare Wege mit Z1 (0) = Z2 (0) = z0 und Z2 (t) − z0

= 0 . A := lim t→0 Z1 (t) − z0 Dann heißt   (Z1 , Z2 )z0 := arg A ∗∗

Es handelt sich hier um eine spezielle Fassung des Satzes, da die Stetigkeit von f −1 vorausgesetzt wird, was jedoch im Folgenden ausreicht.

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus

77

orientierter Winkel‘ von Z1 nach Z2 in z0 . Sind Z1 (0) und Z2 (0) ungleich ’ Null, so gilt  Z  (0)  2 . (Z1 , Z2 )z0 = arg Z1 (0) Ist O eine offene Teilmenge von C und f : O −→ C holomorph in z0 ∈ O ur w0 := f (z0 ) und die Bildwege Wj := f ◦ Zj : mit f  (z0 ) = 0 , so gilt f¨ lim

t→0

W2 (t) − w0 f (Z2 (t)) − f (z0 ) = A; = lim t→0 W1 (t) − w0 f (Z1 (t)) − f (z0 )

denn der letzte Quotient l¨ asst sich mit der existierenden stetigen Abbildung h, die f (z) = f (z0 ) + h(z)(z − z0 ) erf¨ ullt — also h(z0 ) = f  (z0 ) = 0 — Z2 (t)−z0 h(Z2 (t)) umformen zu Z1 (t)−z0 · h(Z1 (t)) . Dieses Verhalten von f in z0 bezeichnet man als lokal-konform“. Es be” schreibt, dass f dort winkeltreu mit Erhalt der Orientierung ist. Gilt dies an jeder Stelle des Definitionsbereiches, so heißt f konform. Auf wichtige Typen konformer Abbildungen, ihre Eigenschaften und Anwendungen gehen wir in Kapitel 8 ein.

3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus F¨ ur x, y ∈ R und z := x + iy ∈ C ist exp(z) = exp(x) exp(iy); mit | exp(iy)| = 1 erh¨ alt man:   | exp(z)| = eRe z und Im z ∈ arg exp(z) (1) Daraus liest man ab: 

exp(z) : z ∈ C

= C \ {0}

Aus der Analysis I d¨ urfte bekannt sein:   exp(z) = 1 ⇐⇒ z ∈ 2πi Z : ⇐⇒ ∃ k ∈ Z z = 2πi k ; somit gilt f¨ ur z1 , z2 ∈ C : exp(z1 ) = exp(z2 ) ⇐⇒ exp(z1 − z2 ) = 1 ⇐⇒ z1 − z2 ∈ 2πi Z Veranschaulichung der Abbildung

C  z −→ w = exp(z) ∈ C :

(2)

78

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

z-Ebene

w-Ebene

Definition: log w := {z ∈ C : exp(z) = w}

( Logarithmus von w“) ”

  w ∈ C \ {0}

H¨aufig wird wieder lax notiert z = log w statt z ∈ log w . Aus (1) und (2) liest man ab:   w ∈ C \ {0}

log w = ln |w| + i arg w

Hier steht links eine Menge, ln |w| ist der reelle (nat¨ urliche) Logarithmus, arg w ist wieder eine Menge. Offenbar gelten: exp(log w) = {w} und log(exp(z)) = z + 2πi Z Den speziellen Wert Log w := ln |w| + i Arg w

  Arg w ∈ ] − π, π]

bezeichnet man als Hauptwert des Logarithmus“ und notiert daf¨ ur auch ” HW log w . Beispiel: log i = ln 1 + i arg(i) = Log i = i

π ; 2

   π + 2kπ : k ∈ Z i 2

Log|]0,∞[ = ln;

Log(−1) = iπ

Bemerkung 6 Arg und Log sind in G := GE := C \ {z ∈ R : z ≤ 0}

( Geschlitzte Ebene‘) ’ stetig; in {z ∈ R : z < 0} ( negative reelle Achse‘) sind ’ beide unstetig (Sprungstellen der H¨ohe‘ 2π bzw. 2π i). ’

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus

79

Definition: Ein Paar (f, G) heißt genau dann (stetiger) Zweig von log“, wenn G Gebiet ” in C \ {0} und f : G −→ C eine stetige Abbildung ist mit f (z) ∈ log z f¨ ur alle z ∈ G. Beispiele: a)



 Log, C \ {0} ist kein Zweig von log .

b) f := Log|GE :

(siehe oben)

(f, GE) ist Zweig von log mit

f : GE −→ {z ∈ C : | Im z| < π} bijektiv.

Auf andere Zweige und eine Idee der zugeh¨ origen Riemannschen Fl¨ ache‘ gehen ’ wir hier nicht ein.

Mit Bemerkung 6 liefert der Satz u ¨ber die Differentiation von Umkehrfunktionen: Satz 7 Ist (f, G) Zweig von log, so ist f holomorph mit f  (z) =

Satz 8

Log(1 + z) =

∞ 

(−1)n

n=0

1 f¨ ur alle z ∈ G. z

  z ∈ U01

z n+1 n+1

Beweis: π . 2 β) Setzt man h(z) := Log(1 + z) (z ∈ U01 ), so ist h holomorph mit

α) F¨ ur z ∈ U01 gilt | Arg(1 + z)| <

h (z) =

1 . 1+z

γ) Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist 1 . F¨ ur die durch sie in U01 definierte Funktion g gilt: g  (z) =

∞ 

(−1)n z n =

n=0

∞ 

(−z)n =

n=0

δ) h(0) = Log 1 = 0 = g(0)

1 1+z 

Bemerkung 9 F¨ ur z1 , z2 ∈ C \ {0} gilt: log(z1 z2 ) = log z1 + log z2

(∗)

80

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

Hier stehen wieder links und rechts Mengen.

  Beweis: .S. = ln |z1 z2 | + i arg(z1 z2 ) = ln |z1 |+ln |z2 | + i arg(z1 )+arg(z2 ) Hierbei haben wir die Aussage b) von Seite 10 herangezogen.  Achtung: 1. (∗) gilt nicht entsprechend f¨ ur Log : 0 = Log(1) = Log((−1)(−1)); Log(−1) + Log(−1) = 2iπ   2. (∗) impliziert z. B. nicht : log(z 2 ) = 2 log z z ∈ C \ {0} :  log(i2 ) = log(−1) = i(2k + 1)π : k ∈ Z ,   2 log i = 2 i( π2 + 2kπ) : k ∈ Z = i(4k + 1)π : k ∈ Z Allgemeine Potenzen Definition: F¨ ur a ∈ C \ {0} und b ∈ C: ab := exp(b · log a) := {exp(b · v) : v ∈ log a} HW ab := exp(b · Log a)

( Hauptwert von ab“) ” Ein Paar (f, G) heißt genau dann (stetiger) Zweig von z b“, ” wenn G Gebiet in C \ {0} und f : G −→ C eine stetige Abur alle z ∈ G. bildung ist mit f (z) ∈ z b f¨ Beispiele: a) HW ii = exp(i · Log i) = exp(− π2 ) b) F¨ ur n ∈ Z und z ∈ C \ {0} ist z n = {z n } . Hierbei steht links z n im neuen Sinne, in der geschweiften Klammer rechts z n im alten Sinne, also u ¨ ber iterierte Multiplikation definiert. . S. = {exp(n · v) : v ∈ log z} = {(exp(v))n : v ∈ log z} = {z n}  F¨ ur ganzzahlige Exponenten werden die beiden Seiten oft nicht unterschieden!

c) F¨ ur n ∈ N und z ∈ C \ {0} ist  √ n z = ξ k · HW z 1/n : k = 0 , . . . , n − 1   mit der n-ten Einheitswurzel ξ := exp i 2π n :  1  . S. = exp n ln |z| + i(Arg z + 2πk) : k ∈ Z  = n |z| exp( ni Arg z) exp(i · 2π nk ) : k ∈ Z  √ = n |z| exp( ni Arg z) ξ k : k = 0, . . . , n − 1 = n z 1

zn =



Bei der letzten Gleichung haben wir die Bemerkung 3 aus Abschnitt 1.5 herangezogen.

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus

d) F¨ ur z ∈ C :

81

HW ez = exp(z) ∈ ez , aber i. a. {exp(z)} = ez :

ez = {exp(z · v) : v ∈ log e} ⊃ {exp(z · v) : v = Log e (= 1)} = {exp(z)} z. B.: ei = {exp(iv) : v ∈ log e} ⊃ {exp(iv) : v = ln |e| + 2πi}   exp(i) (und exp(2π) = 1) = exp(2π) Ist (f, G) Zweig von log, dann betrachten wir (g, G) ist offenbar Zweig von z b . Man hat:

g(z) := exp(b · f (z)) (z ∈ G);

      1 exp b · f (z) = b · exp − f (z) exp b · f (z) z   = b exp (b − 1)f (z)

g  (z) = b ·

(z b ) = b z b−1

In diesem Sinne gilt:

cosh, sinh, tanh, tan und Umkehrfunktionen Definition: (Hyperbelfunktionen)

F¨ ur z ∈ C:

 1 exp(z) + exp(−z) 2  1 sinh z := exp(z) − exp(−z) 2

cosh z :=

( Cosinus hyperbolicus“) ” ( Sinus hyperbolicus“) ”

F¨ ur komplexes Argument sind die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen eng verwandt: Bemerkung 10

cos z = cosh(iz), 1 sin z = sinh(iz), i

Definition: F¨ ur z ∈ C :

cosh z = cos(iz) 1 sinh z = sin(iz) i

arcsin z := {w ∈ C : sin w = z}

Entsprechend sind die Umkehrfunktionen arccos, arcosh und arsinh definiert. Die Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen. √   Bemerkung 11 arcsin z = i log − iz + 1 − z 2 Da

√ 1 − z 2 eine Menge ist, erkl¨ aren wir f¨ ur A ⊂ C \ {0} : " log A := log a a∈A

82

Kapitel 3

Beweis:

Komplexe Differenzierbarkeit

 1 exp(iw) − exp(−iw) 2i exp(−iw) + 2iz − exp(iw) = 0  2 exp(−iw) + 2iz exp(−iw) − 1 = 0  2 exp(−iw) + iz = 1 − z 2  exp(−iw) + iz ∈ 1 − z2 w ∈ r. S.

w ∈ . S. ⇐⇒ z = sin w = ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒



√   Entsprechend zeigt man: arccos z = i log z + z 2 − 1 Aus der Definition — u ¨ ber die Exponentialfunktion — (oder aus der bekannten Potenzreihenentwicklung f¨ ur sin und cos) liest man ab: cosh z =

∞  z 2n , (2n)! n=0

sinh z =

cosh = sinh ,

∞ 

z 2n+1 (2n + 1)! n=0

sinh = cosh

Definition: tan z :=

sin z cos z

(cos z = 0),

tanh z :=

sinh z cosh z

(cosh z = 0)

Die Funktion tanh heißt Tangens hyperbolicus“. ” 1 Zun¨ achst hat man tan z = tanh(iz) . i Wir betrachten daher nur die Umkehrung zu tanh : Definition: artanh z := {w : tanh w = z}

  z ∈ C \ {1, −1}

exp(w) − exp(−w) exp(2w) − 1 = exp(w) + exp(−w) exp(2w) + 1 1+z ⇐⇒ exp(2w) = 1−z 1 + z  1 ⇐⇒ w ∈ log 2 1−z

w ∈ artanh z ⇐⇒ z = tanh w =

Somit hat man: artanh z =

1 + z 1 log 2 1−z

  z ∈ C \ {1, −1}

¨ Wir belassen es bei diesen exemplarischen Uberlegungen.

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: diff, Diff, D, implicitdiff LinearAlgebra-Paket: Array, Vector, Determinant VectorCalculus-Paket: VectorField, (VectorCalculus:-) Vector, Jacobian polygonplot plot-Optionen: tickmarks, spacing MESH, convert(. . . , POLYGONS)

3.1 Definition und Grundregeln Grundregeln > restart:

Linearit¨ at: > Diff(alpha*f(z)+beta*g(z),z): ∂ ∂z

% = value(%);

d d (α f (z) + β g(z)) = α ( dz f (z)) + β ( dz g(z))

∂ f (z) auf der linken Seite der Maple-Ausgabe an Stelle Die Notierung ∂z d on. Wir bevorzugen deshalb — zumindest in diesem von dz f (z) ist unsch¨ Abschnitt — die Operatorenschreibweise D(f ) ; im Gegensatz zu Diff‘ ist ’ D‘ nicht tr¨age. ’

> ’D’(alpha*f+beta*g): eval(%,1) = % assuming alpha::constant,beta::constant;

D(α f + β g) = α D(f ) + β D(g)

84

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

Produktregel: > ’D’(f*g):

eval(%,1) = %;

D(f g) = D(f ) g + f D(g) Quotientenregel: > ’D’(f/g):

eval(%,1) = normal(%);



f D(f ) g − f D(g) D = g g2 Kettenregel: > ’D’(f@g)(z):

eval(%,1) = %;

D(f @g)(z) = D(f )(g(z)) D(g)(z) Einfache Beispiele > restart: f := z -> b; ’D’(f):

eval(%,1) = %;

f := z −→ b , > g := z -> z^n; ’D’(g)(z):

eval(%,1) = simplify(%);

g := z −→ z n , > ’D’(exp)(z):

D(f ) = 0

D(g)(z) = z n−1 n

eval(%,1) = %;

D(exp)(z) = ez Anmerkung: Maple unterscheidet offenbar nicht zwischen ez und exp(z) ! Deshalb bevorzugen wir diese Form: > ’D’(exp):

eval(%,1) = %;

D(exp) = exp > ’D’(cos):

eval(%,1) = %;

D(cos) = −sin > ’D’(sin):

eval(%,1) = %;

D(sin) = cos

3.3

Komplexe und reelle Differenzierbarkeit

(MWS)

85

3.2 Differentiation von Potenzreihen > restart: f := z -> sum(a[k]*z^k,k=0..infinity);

f := z −→

∞ 

ak z k

k=0

Potenzreihen d¨ urfen im Inneren ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert werden: > ’D’(f)(z): eval(%,1) = simplify(%);

D(f )(z) =

∞ 

ak k z k−1

k=0

Man mag es als st¨ orend empfinden, dass die Summation auf der rechten Seite nicht bei 1 beginnt. Mit folgendem faulen Trick l¨asst sich dies beheben: > ’D’(f)(z): eval(%,1) = subs(0=1,simplify(%));

D(f )(z) =

∞ 

ak k z k−1

k=1

3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen > restart:

Es seien f : G −→ C holomorph und u(x, y) := Re(f (x + i y)) , v(x, y) := Im (f (x + i y)) . > F := (x,y) ->

f(x+I*y);

F := (x, y) −→ f (x + i y) > eq1 := diff(subs(f(x+I*y)=u(x,y)+I*v(x,y),F(x,y)) = F(x,y),x);

eq1 :=

∂ ∂x

u(x, y) + i



∂ ∂x

 v(x, y) = D(f )(x + i y)

86

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

> eq2 := diff(subs(f(x+I*y)=u(x,y)+I*v(x,y),F(x,y)) = F(x,y),y);

eq2 :=

∂ ∂y

u(x, y) + i



∂ ∂y

 v(x, y) = i D(f )(x + i y)

> eq3 := expand(I*lhs(eq1) = lhs(eq2));

eq3 := i



∂ ∂x

 ∂  u(x, y) − ∂x v(x, y) =

∂ ∂y

u(x, y) + i



∂ ∂y

 v(x, y)

> evalc(Re(lhs(eq3))) = evalc(Re(rhs(eq3))); evalc(Im(lhs(eq3))) = evalc(Im(rhs(eq3)));

−



∂ ∂x

 v(x, y) =

∂ ∂y

∂ ∂x

u(x, y) ,

u(x, y) =

∂ ∂y

v(x, y)

Dies sind die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. Beispiel 1 f := Re

> restart: f := Re;

> u := (x,y) -> evalc(Re(f(x+I*y))): v := (x,y) -> evalc(Im(f(x+I*y))): u(x,y); v(x,y);

x,

> ’Diff(u(x,y),x)’: ’Diff(v(x,y),y)’:

0

eval(%,1) = value(%); eval(%,1) = value(%); ∂ ∂x

u(x, y) = 1 ,

∂ ∂y

v(x, y) = 0

Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind nicht erf¨ ullt. Mithin ist f nicht (komplex) differenzierbar. Beispiel 2 > f := conjugate;

f := conjugate > u(x,y); v(x,y);

> ’Diff(u(x,y),x)’: ’Diff(v(x,y),y)’:

x,

−y

eval(%,1) = value(%); eval(%,1) = value(%); ∂ ∂x

u(x, y) = 1 ,

∂ ∂y

v(x, y) = −1

Offensichtlich ist auch diese Funktion nicht differenzierbar.

3.3

Komplexe und reelle Differenzierbarkeit

(MWS)

87

Beispiel 3 > restart: u := (x,y) -> x^2-y^2;

v := (x,y) -> 2*x*y;

u := (x, y) −→ x2 − y 2 , > ’Diff(u(x,y),x)’: ’Diff(v(x,y),y)’:

eval(%,1) = value(%); eval(%,1) = value(%);

∂ ∂x

> ’Diff(u(x,y),y)’: ’-Diff(v(x,y),x)’: ∂ ∂y

v := (x, y) −→ 2 x y

u(x, y) = 2 x ,

∂ ∂y

v(x, y) = 2 x

eval(%,1) = value(%); eval(%,1) = value(%);

u(x, y) = −2 y ,

∂ −( ∂x v(x, y)) = −2 y

Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erf¨ ullt. Auch ohne Rechnung sieht man, dass u, v gerade Real- bzw. Imagin¨arteil von z −→ z 2 sind. Mit Maple kann man dieses Ergebnis mittels folgender Methode — die nat¨ urlich ganz allgemein anwendbar ist — herleiten: > subs({x=(z+conjugate(z))/2,y=(z-conjugate(z))/(2*I)}, u(x,y)+I*v(x,y)): expand(%): f := unapply(%,z);

f := z −→ z 2 Umkehrfunktionen > restart: with(LinearAlgebra): with(VectorCalculus):

Es sei f eine holomorphe Funktion mit dem Realteil f1 bzw. dem Imaur z = x + i y . Wir identifigin¨ arteil f2 , also f (z) = f1 (x, y) + i f2 (x, y) f¨ zieren die komplexe Funktion f mit der folgenden Abbildung F vom R2 in den R2 : > F := (x,y) -> Vector([f[1](x,y),f[2](x,y)]);

F (x, y) −→ VectorCalculus:-Vector ([f1 (x, y), f2 (x, y)]) > DF := Jacobian(F(x,y),[x,y]);

* DF :=

∂ ∂x ∂ ∂x

f1 (x, y) f2 (x, y)

∂ ∂y ∂ ∂y

f1 (x, y)

+

f2 (x, y)

Ber¨ ucksichtigt man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, so ergibt sich:

88

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

> DF := subs({diff(f[2](x,y),x)=-diff(f[1](x,y),y),diff(f[2](x,y),y) = diff(f[1](x,y),x)},DF);

* DF :=

∂ ∂ ∂x f1 (x, y) ∂y ∂ ∂ f1 (x, y)) ∂x −( ∂y

f1 (x, y)

+

f1 (x, y)

> Det = Determinant(DF); alias(Det=rhs(%)):

Det =



∂ ∂x

2  ∂ 2 f1 (x, y) + ∂y f1 (x, y) 2

Die rechte Seite dieser Gleichung ist gleich |D(f )(x + i y)| . In einer Umgebung von z0 mit D(f )(z0 ) = 0 existiert dann — nach dem Satz u ¨ ber lokale Umkehrbarkeit aus der reellen Analysis — eine Umkehrabbildung G mit F (G(u, v)) = (u, v). F¨ ur die Ableitung von G gilt: > G := (u,v) -> Vector([g[1](u,v),g[2](u,v)]);

G := := (u, v) −→ VectorCalculus:-Vector ([ g1 (u, v), g2 (u, v)]) > DG := Jacobian(G(u,v),[u,v]): DG = MatrixInverse(DF);

⎡ ⎣

∂ ∂u

g1 (u, v)

∂ ∂v

∂ ∂u

g2 (u, v)

∂ ∂v

⎤

⎡

⎢ ⎦ = ⎢ ⎢ ⎣ g2 (u, v) g1 (u, v)

∂ ∂x ∂ ∂y

⎤ ∂ f1 (x, y) ∂y f1 (x, y) − ⎥ ⎥ Det Det ⎥ ∂ f1 (x, y) ∂x f1 (x, y) ⎦ Det Det

Daraus folgt > DG[1,1] = DG[2,2]; DG[1,2] = -DG[2,1]; ∂ ∂u

g1 (u, v) =

∂ ∂v

g2 (u, v) ,

∂ ∂v

∂ g1 (u, v) = −( ∂u g2 (u, v))

Mithin gelten f¨ ur g1 , g2 die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, und durch g(w) := g1 (u, v) + i g2 (u, v) mit w = u + i v wird eine holomorphe Funktion definiert, f¨ ur die lokal f (g(w)) = w ist. Differentiation ergibt mit Hilfe der Kettenregel: > D(g)(w) = implicitdiff(f(z)=w,z,w);

D(g)(w) =

1 D(f )(z)

3.3

Komplexe und reelle Differenzierbarkeit

(MWS)

89

Konforme Abbildungen > restart: with(plots): with(plottools): f := z -> z^2;

f := z −→ z 2 Als weitere Abbildung ist etwa auch f (z) = 1/z sehenswert (man vergleiche [Heck, S. 433]).

Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen:

5

> plot_conf := proc(f,a,b) local n,pp,t; n := 20: pp := seq(conformal(z->(1-t/n)*z+t/n*f(z),a..b,tickmarks=[3,3], scaling=constrained,title=cat("Momentaufnahme f¨ ur t = ", sprintf("%04.2f",evalf(t/n))),color=[black,gray]),t=0..n): display(pp,insequence=true,scaling=constrained,thickness=2) end proc:

Anhand einer Animation wird nun das Abbildungsverhalten der Funktionenschar (1 − t) z + t f (z) , welche die Identit¨ at in f u uhrt, veranschaulicht: ¨ berf¨ > plot_conf(f,0,1+I);

Momentaufnahme f¨ ur t = 0.7

Winkel und Orientierung zweier sich schneidender Original- und Bildkurven: > Z[1] := t -> a+t*exp(I*psi); Z[2] := t -> a+t*exp(I*(psi+phi));

90

MWS zu Kapitel 3 Z1 := t −→ a + t ei ψ ,

Komplexe Differenzierbarkeit

Z2 := t −→ a + t ei (ψ+ϕ)

> Limit(’(Z[2](t)-a)/(Z[1](t)-a)’,t=0): eval(%,1) = simplify(value(%));

lim

t→0

Z2 (t) − a = ei ϕ Z1 (t) − a

Die oben angegebenen Parameterdarstellungen beschreiben zwei Halbgeraden durch den Punkt a, die den Winkel ϕ einschließen. Wir betrachten die Bildkurven: > W[1]:= f@Z[1]; W[2] := f@Z[2];

W1 := f @Z1 , > W[1](t), W[2](t);

Z1 (t)2 ,

W2 := f @Z2 Z2 (t)2

> Limit(’(W[2](t)-f(a))/(W[1](t)-f(a))’,t=0): eval(%,1) = value(%);

lim

t→0

W2 (t) − f (a) = ei ϕ W1 (t) − f (a)

Da bisher keine Voraussetzungen u ¨ ber a gemacht wurden, rechnet Maple allge’ meing¨ ultig‘, behandelt den Fall a = 0 also nicht gesondert!

Die beiden Bildkurven verlaufen durch den Punkt f (a) und schließen dort ebenfalls den Winkel ϕ ein, f ist also winkeltreu (mit Erhalt der Orientierung). Beispiel

5

> read "../verdi.txt": a := 1/2*(1+I): psi := Pi/12: phi := Pi/4: Kurve1 := complexplot(Z[1](t),t=0..1,color=black): Kurve2 := complexplot(Z[2](t),t=0..1,color=black): Arcus := arc(c2p(a),0.4,psi..psi+phi,color=gray): Text := textplot([Re(a)+0.2,Im(a)+0.17,typeset(‘ϕ‘)]): p := display(Kurve1,Kurve2,Arcus,Text,tickmarks=[4,4],thickness=2, scaling=constrained,axes=framed): display(p,view=[0..1.5,0..1.5],title="Verlauf der Originalkurven");

10

F := transform((x,y) -> c2p(f(x+I*y))): display(F(p),view=[-1..1.5,0..3],title="Verlauf der Bildkurven");

3.3

Komplexe und reelle Differenzierbarkeit

(MWS)

91

Verlauf der Original- und Bildkurven

Dieses Abbildungsverhalten gilt nur f¨ ur Punkte a mit D(f )(a) = 0 . Wir betrachten deshalb nun separat den Fall a = 0, also D(f )(a) = 0 . > a := 0: psi := ’psi’: phi := ’phi’: Limit(’(W[2](t)-f(a))/(W[1](t)-f(a))’,t=0): eval(%,1) = simplify(value(%));

W2 (t) − f (a) = e2 i ϕ t→0 W1 (t) − f (a) lim

Die Orientierung bleibt also erhalten, der Winkel allerdings wird verdoppelt. Mit fast den gleichen Anweisungen wie im Fall a = 0 erhalten wir hier: Verlauf der Original- und Bildkurven

92

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus Abbildungsverhalten der Exponentialfunktion > restart: with(plots): with(plottools): ’abs’(exp(z)): eval(%,1) = value(%);

|ez | = eRe (z) Der Bildbereich der komplexen Exponentialfunktion enth¨alt also nicht die 0. Genaueres Hinsehen ergibt, dass der Bildbereich gleich C \ {0} ist. Die Abbildung ist also konform sowie injektiv, wenn man sie auf einen beliebigen Parallelstreifen {x+i y | x, y ∈ R, a < y ≤ a+2 π} der Breite 2 π einschr¨ankt. ¨ Dies wird auch an folgender Maple-Uberlegung deutlich: > _EnvAllSolutions := true: z[1] = solve(exp(z[1])=exp(z[2]),z[1]);

z1 = z2 + 2 i π Z1 Wir veranschaulichen das Abbildungsverhalten der Exponentialfunktion, indem wir in der komplexen Ebene ein achsenparalleles Rechteckfenster vorgeben, u aquidistantes, orthogonales Gitter gelegt wird, dessen ¨ber das ein ¨ horizontale Linien schwarz und dessen vertikale Linien grau gef¨arbt sind. Die entsprechenden Bildlinien sind ebenfalls orthogonal zueinander sowie schwarz bzw. grau.

5

> f lu r a c

:= := := := :=

exp: -I*Pi: ro := 1+I*Pi: # links unten, rechts oben lu..ro: # Entsprechendes Rechteck (Urbildbereich) Re(lu): b := Re(ro): Im(lu): d := Im(ro):

Wir bevorzugen hier eine andere Achsenbeschriftung als die von Maple standardm¨ aßig gew¨ ahlte; dies l¨ asst sich mit Hilfe der Optionen tickmarks und spacing steuern:

5

> OPT := color=[gray,black],axes=box: TICKS1 := [[0.5,1],spacing(Pi)]: TICKS2 := [[-2,0,2],[-2,0,2]]: Optionen1 := OPT,tickmarks=TICKS1: #Urbildbereich Optionen2 := OPT,tickmarks=TICKS2,scaling=constrained: #Bildbereich

Es folgt die angek¨ undigte Abbildung: > Urbild := conformal(z->z,r,Optionen1,title="Urbildbereich"): Bild := conformal(f,r,numxy=[15,45],Optionen2,title="Bildbereich"): display(Array([Urbild,Bild]));

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus Urbildbereich

(MWS)

93

Bildbereich

Diese Bilder wirken statisch und lassen nicht direkt erkennen, welche der Horizontal- bzw. Vertikalstreifen in welche Bildbereiche u ¨ bergehen. Dies gelingt besser mit Hilfe einer Animation, in der wir die Bilder der Vertikalbzw. Horizontalstreifen zeigen, und zwar beginnend mit dem linken Vertikalstreifen bzw. dem untersten Horizontalstreifen.

5

> vert := seq(conformal(f,lu+(b-a)*(j-1)/10..lu+(b-a)*j/10+I*(d-c), numxy=[15,45],color=gray, title=cat("Bild des ",j,". Vertikalstreifens")),j=1..10): horiz := seq(conformal(f,lu+I*(d-c)*(j-1)/10..lu+I*(d-c)*j/10+(b-a), color=black,title=cat("Bild des ",j,". Horizontalstr...")),j=1..10): p1 := conformal(f,r,numxy=[15,45],color=[gray,black]): p2 := display([vert,horiz],insequence=true): display(p1,p2,Optionen2);

Wir greifen die folgenden beiden — nebeneinander dargestellten — Momentaufnahmen heraus: Bild des 7. Vertikal- bzw. 4. Horizontalstreifens

Diese Animation verbessern wir noch wesentlich: Wir m¨ochten die Ver¨anderungen einander entsprechender Segmente im Urbild- und Bildbereich durch schachbrettartige F¨ arbung hervorheben und nebeneinander ablaufen sehen. Das soll im Folgenden gemacht werden. Der conformal -Befehl hat leider keine Option filled, sonst k¨ onnte man auch f¨ ur den Bildbereich das Ganze recht

94

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

einfach schreiben. Zur L¨ osung des geschilderten Problems greifen wir eine Idee aus [Kli, S. 180–184] auf. Da die Zusammenh¨ange sich mit Hilfe des transform -Befehls deutlich durchsichtiger gestalten lassen, ersetzen wir im Urbildbereich die Rechtecksegmente durch Polygonz¨ uge, die mittels Randrasterung entstehen. Diese muss hinreichend fein sein, damit man den durch Transformation entstehenden Polygonapproximationen der Kreisringsegmente die Mogelei“ nicht ansieht. ” > read "../verdi.txt": F := transform((x,y)->c2p(f(x+I*y))): # Zu f geh¨ orige Transformation vom R^2 in den R^2 5

10

15

20

25

n := 10: # Anzahl der Horizontal- bzw. Vertikalstreifen h_x := (b-a)/n: # Breite eines Vertikalstreifen h_y := (d-c)/n: # Breite eines Horizontalstreifens p := conformal(z,z=r,numxy=[15,45],grid=[n+1,n+1], color=[gray,black]): pt:= F(p): Optionen1 := axes=box,tickmarks=TICKS1,title="Urbildbereich": Optionen2 := axes=box,tickmarks=TICKS2,scaling=constrained, title="Bildbereich": RandRaster := proc(k,l,n_x,n_y,farbe) # Wir lassen unterschiedliche Verfeinerungen in x- und in # y-Richtung zu. Diese werden durch n_x bzw. n_y gesteuert. local u,v; [seq([a+k*h_x-h_x*u/n_x,c+l*h_y],u=1..n_x), seq([a+(k-1)*h_x,c+l*h_y-h_y*v/n_y],v=1..n_y), seq([a+(k-1)*h_x+h_x*u/n_x,c+(l-1)*h_y],u=1..n_x), seq([a+k*h_x,c+(l-1)*h_y+h_y*v/n_y],v=1..n_y)]; polygonplot(%,color=farbe): end proc:

F¨ ur einen Test greifen wir das Rechtecksegment (3, 7) heraus. Da die Exponentialfunktion Parallelen zur reellen Achse in Halbstrahlen abbildet, reicht nx = 1 . ny = 6 liefert eine hinreichende Verfeinerung in y-Richtung. In der folgenden Abbildung sind das Rechtecksegment im Urbildbereich sowie das entsprechende Kreisringsegment im Bildbereich nebeneinander zu sehen: > q1 := RandRaster(3,7,1,6,gray): display(Array([display(p,q1,Optionen1), display(pt,F(q1),Optionen2)]));

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus Urbildbereich

(MWS)

95

Bildbereich

Schauen wir uns die entsprechenden Ausschnitte in einer Vergr¨oßerung an, so erkennen wir, dass diese, wie erwartet, zufriedenstellend koloriert werden: > display(Array([display(q1),display(F(q1))]),axes=none);

Es gibt jedoch Maple-Versionen, bei denen ein altbekanntes Problem auftritt: Polygone im Bildbereich werden falsch koloriert, da sie nicht konvex sind. Dieses Problem l¨ asst sich dadurch beheben, dass man den Polygonbereich — ausgehend von einer Rechteckzerlegung im Urbildbereich — aus kleineren Patches zusammensetzt.

5

> PatchRaster := proc(k,l,n_x,n_y,farbe) local u,v; [seq([seq([a+k*h_x-h_x*u/n_x,c+l*h_y-h_y*v/n_y],v=0..n_y)], u=0..n_x)]; MESH(evalf(%)): convert([%],POLYGONS): display(%,style=patchnogrid,color=farbe): end proc:

In der Prozedur PatchRaster tritt der eher selten benutzte Graphikbefehl MESH auf. An MESH werden in der Form einer Liste von Listen Punkte von Randlinien einer Gitterzerlegung des Rechtecksegmentes (k, l) u ¨ bergeben. Mit evalf werden deren Koordinaten in Gleitpunktzahlen gewandelt, da sonst die Fehlermeldung non-numeric vertex definition“ kommt. Mit dem ” convert -Befehl entsteht aus der von MESH erzeugten Graphikstruktur eine ugen, welche Vierecke beschreiben und den gesuchListe von nx · ny Polygonz¨ ten Patches entsprechen. Will man die Begrenzungslinien des Patch-Rasters sehen, so muss man die Option style=patchnogrid weglassen. Man kann sich u ¨ berzeugen, dass jetzt die Kolorierung stimmt, indem man die oben gezeigten Segmente mit den von PatchRaster erzeugten Segmenten u ¨berlagert:

96

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

> q2 := display(PatchRaster(3,7,1,6,gray)): display(Array([display(q2,q1),display(F(q2),F(q1))]),axes=none);

Hier lassen wir aus Platzgr¨ unden die Ausgabe der Graphik weg. Nach diesen Vor¨ uberlegungen ergibt sich nun eine L¨ osung, die — bei vertretbarem Rechenaufwand — u ¨ berzeugend ist: Wir beginnen mit dem Teil horiz der Animation, in dem die Horizontalstreifen durchlaufen werden. Die Rechtecke im Urbildbereich werden abwechselnd schwarz gef¨ arbt, so dass sich insgesamt ein schachbrettartiges Muster ergibt. Entsprechend verh¨ alt es sich mit den Kreisringsegmenten im Bildbereich. Die mittels PatchRaster erzeugten Graphikstrukturen der Rechecksegmente werden in der Matrix A gespeichert; analog dazu sind die daraus erzeugten Graphikstrukturen der Kreisringsegmente in At enthalten. > A := At:= B := Bt:=

Matrix(n/2,n): Matrix(n/2,n): k -> [p,seq(seq(A[u,v],u=1..n/2),v=1..k)]: k -> [pt,seq(seq(At[u,v],u=1..n/2),v=1..k)]:

5

10

for v to n do for u to n/2 do A[u,v] := PatchRaster(2*u-(v mod 2),v,1,6,black): At[u,v] := F(A[u,v]) end do end do: horiz := seq(display(Array([display(B(k), Optionen1), display(Bt(k),Optionen2)])),k=1..n):

Im Teil vert der Animation gehen wir analog vor und f¨arben die Vertikalstreifen grau:

5

> for u to n do for v to n/2 do A[v,u] := PatchRaster(u,2*v-(u mod 2),1,6,gray): At[v,u] := F(A[v,u]) end do end do: vert := seq(display(Array([display(B(k), Optionen1), display(Bt(k),Optionen2)])),k=1..n): display([vert,horiz],insequence=true);

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus Urbildbereich

(MWS)

97

Bildbereich

¨ Wir empfehlen als Ubungsaufgabe, die Animation mit RandRaster an Stelle von PatchRaster zu erzeugen und beide Animationen miteinander zu vergleichen! Logarithmus > restart: alias(log=ln):

Maple akzeptiert bei der Eingabe sowohl log“ als auch ln“, gibt aber stets ” ” ln“ aus. Mittels der alias -Anweisung log=ln“ erzwingen wir die Ausgabe ” ” von log“. F¨ ur komplexes z = 0 gilt log(z) = log |z| + i arg(z) , wobei ” −π < arg(z) ≤ π . Maple benutzt durchweg den Hauptwert des Logarithmus. Die Beziehung log(z1 z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ) gilt dann nicht! Man hat aber log( 1z ) = − log(z) f¨ ur | arg(z)| < π . Beispiele: > ’log’(1): eval(%,1) = %;

log(1) = 0

98

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

> ’log’(I): eval(%,1) = %;

log(i) =

1 iπ 2

> ’log’(-1): eval(%,1) = %;

log(−1) = i π >

Limit(log(-1+I*t),t=0,right): % = value(%); Limit(log(-1+I*t),t=0,left): % = value(%);

lim log(−1 + i t) = i π ,

t→0+

lim log(−1 + i t) = −i π

t→0−

Der Satz u ¨ ber Differentiation von Umkehrfunktionen (vgl. Abschnitt 3.3) liefert die lokale Differenzierbarkeit der Logarithmus-Funktion und den Wert der Ableitung. Maple meint dazu: > Diff(log(z),z): % = value(%);

d log(z) = 1 dz z Der Satz u ¨ber Differentiation von Potenzreihen (vgl. Abschnitt 3.2) ergibt um 0 : > Sum((-1)^n*z^(n+1)/(n+1),n=0..infinity): % = value(%); ∞  (−1)n z n+1 = log(1 + z) n+1 n=0

Allgemeine Potenzen > restart: alias(log=ln):

Auch bei der Potenzfunktion ist zu beachten, dass Maple nur mit dem Hauptwert arbeitet. In diesem Sinne gilt lokal: > exp(b*log(a)): % = simplify(%);

eb log(a) = ab > Diff(z^a,z): % = simplify(value(%));

∂ z a = z a−1 a ∂z

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus

(MWS)

99

Beispiele: > I^I: % = simplify(%);

ii = e−1/2 π > a^(b+c): % = expand(%);

ab+c = ab ac cosh, sinh, tanh, cos, sin, tan Definition der Hyperbelfunktionen: > restart: cosh(z) = convert(cosh(z),exp); sinh(z) = convert(sinh(z),exp); tanh(z) = sinh(z)/cosh(z);

cosh(z) =

1 z 1 −z e + e , 2 2

# Cosinus hyperbolicus # Sinus hyperbolicus # Tangens hyperbolicus

sinh(z) =

1 z 1 −z e − e , 2 2

tanh(z) =

sinh(z) cosh(z)

Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit den Hyperbelfunktionen: > ’cosh’(I*z): eval(%,1) = value(%); ’cos’(I*z): eval(%,1) = value(%); ’sinh’(I*z): eval(%,1) = value(%); ’sin’(I*z): eval(%,1) = value(%); ’tanh’(I*z): eval(%,1) = value(%); ’tan’(I*z): eval(%,1) = value(%);

cosh(i z) = cos(z) ,

cos(i z) = cosh(z) ,

sinh(i z) = i sin(z) ,

...

Auf die Additionstheoreme, Ableitungen und Potenzreihen dieser Funktionen gehen wir nicht n¨ aher ein, da diese bereits aus der reellen Analysis hinreichend bekannt sind. Umkehrfunktionen von cosh, sinh, tanh, cos, sin, tan > restart: alias(log=ln): alias(arcosh=arccosh,arsinh=arcsinh,artanh=arctanh):

Die in Maple gebr¨ auchlichen Bezeichnungen f¨ ur die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen sind recht eigenartig. Mittels der alias-Anweisung oben vereinbaren wir — zumindest f¨ ur diesen einf¨ uhrenden Abschnitt — die sonst u ache) bei hyperbolischen Funktio¨ blichen Namen. Area (lat. area = Fl¨ nen entspricht Arcus (lat. arcus = Bogen) bei trigonometrischen Funktionen, da man das Argument hyperbolischer Funktionen als den Fl¨acheninhalt eines Hyperbelsektors deuten kann.

100

MWS zu Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

Maple arbeitet nur mit den Hauptwerten der Umkehrfunktionen zu cosh, sinh, tanh, cos, sin, tan. F¨ ur reelles Argument stimmen diese u ¨ berein mit den ¨ aus der reellen Analysis bekannten Umkehrfunktionen. Uber die komplexe Logarithmusfunktion besteht folgender Zusammenhang:

5

> arccos(z) arcsin(z) arctan(z) arcosh(z) arsinh(z) artanh(z)

= = = = = =

convert(arccos(z),log); convert(arcsin(z),log); convert(arctan(z),log); convert(arcosh(z),log); convert(arsinh(z),log); convert(artanh(z),log);

arccos(z) = 12 π + i log

√

# # # # # #

Arcus cosinus Arcus sinus Arcus tangens Area cosinus hyperbolicus Area sinus hyperbolicus Area tangens hyperbolicus

√    1 − z 2 + i z , arcsin(z) = −i log i z + 1 − z 2 , . . .

Von den oben aufgef¨ uhrten √  Beziehungen  beweisen wir exemplarisch die Identit¨ at arcsin(z) = −i log i z + 1 − z 2 . w = arcsin(z) ist gleichbedeutend mit sin(w) = z . Aufl¨ osung dieser Gleichung nach w : > eq1 := sin(w) = z; eq2 := convert(eq1,exp); solve(eq2,{w});

eq1 := sin(w) = z ,  √   w = −i log i z + 1 − z 2 ,

 −1  i w eq2 := i e − e−i w = z , 2  √   w = −i log i z − 1 − z 2

√   Man erh¨ alt also die beiden L¨ osungen w = −i log i z + 1 − z 2 und w = √   −i log i z − 1 − z 2 . Wegen arcsin(0) = 0 kommt letztere nicht in Frage.

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz 4.1 4.2 4.3

Kurven Kurvenintegrale Hauptsatz

¨ In diesem Kapitel werden zun¨ achst Uberlegungen der mehrdimensionalen Analysis u ¨ ber Kurven im Rn und Kurvenintegrale in Erinnerung gerufen und auf die alt man spezivorliegende Situation u ¨ bertragen. Identifiziert man C mit R2, so erh¨ ell Kurven in C , Kurvenintegrale C-wertiger Funktionen und deren Eigenschaften. Dann wird mit dem‘ Hauptsatz der Grundstein f¨ ur die folgenden Kapitel gelegt. ’ Erste Beispiele zeigen die Leistungsf¨ ahigkeit dieses Satzes.

4.1 Kurven Es sei g : [α, β] −→ C stetig, also ein Weg (vgl. Seite 43). Bezeichnungen: Ist h : [γ, δ] −→ C eine stetige Abbildung, so setzen wir genau dann g ∼ h, wenn eine streng isotone und surjektive Abbildung ψ : [γ, δ] −→ [α, β] mit h = g ◦ ψ existiert.∗ ¨ ∼ liefert eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller Wege. ¨ Eine Kurve“ ist eine Aquivalenzklasse (bez¨ uglich ∼ ) von Wegen, und je” ¨ des Element solch einer Aquivalenzklasse heißt Parameterdarstellung“ der ” Kurve. F¨ ur die Kurve C mit der obigen Parameterdarstellung g setzen wir: ∗

ψ ist dann stetig und bijektiv.

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

102

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

a(C) := g(α) Anfangspunkt (von C)“ ” e(C) := g(β) Endpunkt (von C)“  ” (C) := g [α, β] = {g(t) : t ∈ [α, β]} Tr¨agermenge (von C)“ ” C heißt genau dann geschlossen“, wenn a(C) = e(C) gilt. Die Bogenl¨ange“ ” ” oder Kurvenl¨ange“ ist u ¨ ber die Totalvariation von g definiert: ” & n ,β 

g(tν ) − g(tν−1 ) : α = t0 < · · · < tn = β; n ∈ N λ(C) := |dg| := sup α

ν=1

C heißt genau dann rektifizierbar“, wenn λ(C) endlich ist. ” Alle bisherigen Gr¨ oßen zu C sind — was die Bezeichnungen rechtfertigt — Invarianten von C, d. h. unabh¨ angig von der gew¨ahlten Parameterdarstellung. Die Abbildung [−β, −α]  t −→ g(−t) ∈ C liefert die entgegengesetzt durch’ laufene Kurve‘ −C . Sind C1 , C2 Kurven mit a(C2 ) = e(C1 ), dann existieren Parameterdarstellungen gj : [αj , βj ] −→ C (von Cj ) mit α2 = β1 . Durch

&

g(t) :=

g1 (t) , t ∈ [α1 , β1 ] g2 (t) , t ∈ [α2 , β2 ]

wird dann die zusammengesetzte Kurve‘ ’ endliche Summen von Kurven erkl¨ art. Man hat λ(C) = λ(−C)

C1 + C2

definiert. Damit sind

und λ(C1 + C2 ) = λ(C1 ) + λ(C2 ) .

Satz 1 Ist C  g : [α, β] −→ C stetig differenzierbar, so gilt f¨ ur die Kurvenl¨ange: ,β |g  (t)| dt (< ∞) λ(C) = α

uckweise stetig differenBezeichnung: Eine Kurve C heißt genau dann st¨ ” zierbar“, wenn C  g : [α, β] −→ C stetig, k ∈ N und α = t0 < · · · < tk = β so existieren, dass f¨ ur κ = 1, . . . , k die eingeschr¨ankte Abbildung g|[t ,t ] κ−1 κ jeweils stetig differenzierbar ist. F¨ ur ein solches C hat man: λ(C) =

,tκ k 

|g  (t)| dt

κ=1 t

κ−1

.β

|g  (t)| dt , was an den Nahtstellen‘ ’ dann richtig‘ zu lesen ist, indem man einseitige Ableitungen verwendet. ’

F¨ ur die rechte Seite notiert man auch lax

α

4.2

Kurvenintegrale

103

4.2 Kurvenintegrale Annahmen:

Es seien D ⊂ C, C eine Kurve in D, d. h. (C) ⊂ D, C  g : [α, β] −→ C stetig und f : D −→ C .

F¨ ur eine Zerlegung (mit Zwischenpunkten)“ ” Z : α = t0 < t1 < · · · < tk = β ; tκ−1 ≤ sκ ≤ tκ

(κ = 1, . . . , k ; k ∈ N)

betrachten wir die Zerlegungssumme“ ” k      S(Z) := f g(sκ ) · g(tκ ) − g(tκ−1 ) . κ=1

Mit g(tκ ) =: zκ =: xκ + iyκ , g(sκ ) =: ζκ =: ξκ + iηκ S(Z) =

k 

ist

f (ζκ )(zκ − zκ−1 ) .

κ=1

F¨ ur u ( xy ) := Re f (x + iy), v ( xy ) := Im f (x + iy)  (x,  y ∈ R mit x + iy ∈ D) hat man unter Verwendung des inneren Produktes · | · : k

     u ηξκκ + iv ηξκκ (xκ − xκ−1 ) + i(yκ − yκ−1 )

S(Z) =

κ=1

k  

=

κ=1





u(··· ) xκ −xκ−1 −v(··· ) yκ −yκ−1



 =: 1 


+i 

k 

 v(··· ) xκ −xκ−1 u(··· ) yκ −yκ−1

κ=1



 =:

 2




  1 und 
2
sind Zwischensummen der in der mehrdimensionalen Analysis behan-

delten Art; damit lassen sich die Ergebnisse von dort unmittelbar u ¨ bertragen. Dies ¨ werden wir im Folgenden bei den meisten Uberlegungen nicht mehr besonders betonen! k

σ(Z) := max λ(Cκ ), wobei Cκ die durch g|[t ,t ] definierte Teilkurve κ−1 κ κ=1 bezeichnet, notieren wir das Feinheitsmaß“ (von Z).∗ ” ¨ Die Anwendung der entsprechenden Uberlegungen der mehrdimensionalen   Analysis auf 1
und 2
liefert: Mit

Satz 2 F¨ ur stetiges f und eine rektifizierbare Kurve C existiert in C der Grenzwert I der Zerlegungssummen, wenn das Feinheitsmaß gegen 0 geht. Genauer: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 derart, dass f¨ ur jede Zerlegung Z mit Feinheitsmaß σ(Z) < δ die Absch¨atzung |S(Z) − I| < ε gilt. ∗

Die Abh¨ angigkeit von C lassen wir dabei in der Bezeichnung unbeachtet.

104

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz ,

Wir bezeichnen I =:

f (z) dz C

¨ angs C). Mit als Kurvenintegral“ (von f l¨  den obigen Uberlegungen hat man ” f¨ ur die entsprechende Kurve C im R2 genauer die mittels der Isometrie ϕ (vgl. Seite 74) durch ϕ−1 ◦ g festgelegte Kurve : , , , , , u f (z) dz =  −v | dx + i  uv | dx = (u dx−v dy) + i (v dx+u dy) C

C

C

C

C

Auch hier hat man f¨ ur stetiges f und rektifizierbare Kurven C, C1 , C2 : Bemerkung 3 . f −→ f (z) dz ist C-linear. C

.

f (z) dz =

C1 +C2

.

−C

. C1

f (z) dz = −

.

.

f (z) dz +

f (z) dz

C2

f (z) dz

C

.



f (z) dz ≤ max |f (z)| · λ(C)

(♦)

(Integralabsch¨atzung)

z∈(C)

C

Berechnung von Kurvenintegralen F¨ ur st¨ uckweise stetiges g : [α, β] −→ C sei: ,β

,β Re g(t) dt + i

g(t) dt := α

Satz 4

,β

α

Im g(t) dt α

Ist C  g : [α, β] −→ C stetig differenzierbar∗ und f stetig, so gilt: ,β

, f (z) dz = C

f (g(t))g  (t) dt

α

Hier kann man sch¨ arfer absch¨ atzen als (♦):

,

,β

f (z) dz ≤ |f (g(t))| |g  (t)| dt

C ∗

α

Dann ist C insbesondere rektifizierbar.

4.3

Hauptsatz

105

Wir rechnen ein einfaches, jedoch wichtiges Beispiel:

  F¨ ur a ∈ C und r ∈ ]0, ∞[ sei g(t) := a + r exp(it) t ∈ [0, 2π] . Mit der durch g gegebenen Kurve C (positiv durchlaufener Kreis um a mit Radius r) notieren wir f¨ ur (C) ⊂ D ⊂ C und f : D −→ C stetig: / , f (z) dz := f (z) dz C

|z−a|=r

Hiermit gilt: / |z−a|=r

,2π Beweis:

. S. = 0

1 dz = 2πi z−a

1 g  (t) dt = g(t) − a

,2π

1 ri exp(it) dt = 2πi  r exp(it)

0

4.3 Hauptsatz Bezeichnung: F¨ ur ein Gebiet G in C und a, b ∈ G bezeichnen wir mit KG die Menge der st¨ uckweise stetig differenzierbaren Kurven C, die innerhalb von G verlaufen, d. h. (C) ⊂ G. Mit KG (a, b) notieren wir die Kurven C aus KG , die von a nach b verlaufen, d. h. a(C) = a und e(C) = b . Mit KG cl bezeichnen wir noch die geschlossenen Kurven aus KG .∗ 0 G Es gilt dann offenbar KG K (c, c) . cl = c∈G

Bemerkung 5 Ist G ein Gebiet in C, F : G −→ C holomorph und F  stetig∗∗ , so gilt , F  (z) dz = F (b) − F (a) C

f¨ ur alle a, b ∈ G und C ∈ KG (a, b). ∗ ∗∗

cl‘ steht nat¨ urlich f¨ ur closed‘. ’ ’ Diese letzte Voraussetzung wird sich sp¨ ater als u ussig erweisen! ¨ berfl¨

106

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

Beweis: Œ sei C  g : [α, β] −→ C stetig differenzierbar. (Sonst betrachtet man zun¨ achst Teilkurven und addiert die Teilintegrale auf.) ,



,β

F (z) dz = C



,β



F (g(t))g (t) dt = α

  F ◦ g (t) dt = F (g(β)) − F (g(α))

α

= F (b) − F (a)



Wegen der beiden Randpunkte ist bei der zweiten Gleichung die Kettenregel, die nur f¨ ur innere Punkte gilt, etwas lax gehandhabt. Jedoch unter dem Integral spielt dies keine Rolle.

Satz 6 (Hauptsatz; Cauchyscher Integralsatz 1. Fassung) Ist G ein konvexes Gebiet in C, f : G −→ C holomorph und C ∈ KG cl , so gilt , f (z) dz = 0 . C

¨ Unter der Zusatzvoraussetzung f  stetig“ liest man dies aus den u ¨blichen Uber” legungen der mehrdimensionalen Analysis ab mit    u f (z) dz = −v | d x + i uv | d x ; C

C

denn die Integrabilit¨ atsbedingungen f¨ ur CR-DGLn uy = −vx , vy = ux gegeben.

C u ( −v )

und ( uv ) sind hier gerade durch die

Als Folgerung hat man so in konvexen Gebieten, dass das Kurvenintegral einer holomorphen Funktion nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abh¨ angt (Wegunabh¨angigkeit des Integrals). Vor dem Beweis des Hauptsatzes sehen wir uns erste wichtige Anwendungen an, f¨ ur die die bewiesene schw¨ achere Fassung (also mit Zusatzvoraussetzung f  stetig“) schon ausreicht: ” Satz 7 (Fundamentalsatz der Algebra) F¨ ur n ∈ N, aν ∈ C P (z) :=

n 

aν z ν

(ν = 0, . . . , n) mit an = 0 und (z ∈ C)

(Polynom n-ten Grades)

ν=0

existiert ein α ∈ C mit P (α) = 0 .

4.3

Hauptsatz

107

Unter diesen Voraussetzungen und Bezeichnungen ergibt sich induktiv — u ¨ber Division mit Rest‘ — die ’ Folgerung Es existieren α1 , . . . , αn ∈ C — nicht notwendig verschieden — mit P (z) = an (z − α1 ) · · · (z − αn )

(z ∈ C) .

¨ Wir erinnern daran, dass diese Uberlegung meist schon in der Analysis I — und dann in der Regel ohne Beweis — bei dem Satz u ¨ ber die Partialbruchzerlegung eingesetzt wird.

Beweis (des Satzes; indirekt): Œ an = 1 Im anderen Falle w¨ are P (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ C. Wir betrachten dann h(z) := z n−1 /P (z) (z ∈ C). h ist holomorph mit stetiger Ableitung und C ein konvexes Gebiet. Nach dem Hauptsatz hat man daher / h(z) dz = 0 f¨ ur R > 0 . (1) |z|=R n−1 

1 F¨ ur z =

0: h(z) = − z 

aν z ν

ν=0

zP (z) 1 23 4 =: g(z)

.

Damit gilt nach (1) und dem Beispiel

von Seite 105 f¨ ur R > 0: / g(z) dz

2πi =

(2)

|z|=R

F¨ ur |z| −→ ∞ hat man z 2 g(z) −→ an−1 ; daher existiert ein R0 ∈ ]0, ∞[ ur R ≥ R0 liefert die mit |z 2 g(z)| ≤ M := |an−1 | + 1, falls |z| ≥ R0 . F¨ Integralabsch¨ atzung (Seite 104)

/

M

g(z) dz ≤ 2πR 2 −→ 0 (R −→ ∞)

R

|z|=R

im Widerspruch zu (2).



Auch zur Berechnung der beiden folgenden — bewusst nicht-trivial gew¨ahlten — Integrale reicht die schw¨ achere Fassung aus:

108

Kapitel 4 ,∞

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz ⎧ ⎨ existiert∗ π ⎩= 2

sin x dx x

0

(B1)

Das scheint auf den ersten Blick wenig mit dem Hauptsatz zu tun zu haben; mal sehen, was sich da machen l¨ asst:

exp(iz) f¨ ur z ∈ C \ {0}: f ist holomorph mit stez tiger Ableitung; jedoch ist das Gebiet C \ {0} nicht konvex. Zur Anwendung des Hauptsatzes sei f¨ ur 0 < r < R < ∞ die schwarze‘ Kurve C = Cr,R ’ gem¨ aß der folgenden Abbildung gew¨ ahlt. Erg¨ anzt man die Kurve, indem man die beiden Halbkreise l¨angs der imagin¨ aren Achse (hin und zur¨ uck) verbindet, so lassen sich die beiden Teilkurven — etwa wie gestrichelt skizziert, aber auch in vielf¨altiger Weise anders — in konvexe Teilgebiete von C \ {0} einbetten‘: ’ Wir betrachten f (z) :=

Cr,R :

−r

−R

r

0

R

Es gilt daher nach dem Hauptsatz — mit wohl selbsterkl¨arenden Bezeichnungen — : , , , , , 0 = f (z) dz = ··· + ··· + ··· + ··· (1) C

−−−−→ −R,−r

1

23 =: A

−→ r,R

4

 −r,r 1 23 4 =: B

 23 4 =: C

−R,R

1

Mit der nat¨ urlichen‘ Parameterdarstellung [−R, −r]  t −→ t ∈ C von −−−−−→ ’ −R, −r erh¨ alt man: ∗

¨ Nach einer Standard-Ubung zur Analysis I ist dieses Integral nicht absolutkonvergent.

4.3

Hauptsatz

,

109

,−r f (z) dz =

−−−−→ −R,−r

−R

,

exp(it) dt = t (τ =−t)

exp(−iτ ) (−1) dτ = (−τ )

f (z)dz = −→ r,R

,R

− exp(−iτ ) dτ τ

r

R

,R

Mit

,r

,R

exp(iτ ) dτ ergibt sich so: τ

A = 2i

r

sin τ dτ τ

(2)

r



,π ,π

exp(i · R · exp(it))

 

exp iR exp(it) dt |C| = · iR exp(it) dt ≤

R exp(it) 0 [0,π]  t →R exp(it) ∈ C

0 π

=

π

,2

exp(−R sin t) dt ≤ 2

exp(−R sin t) dt = 2 0

,2

0



,π

sin t ≥

2 πt

 2  exp − R t dt π

0 (t∈[0, π 2 ])

 π 1 − exp(−R) −→ 0 (R −→ ∞) (3) R ,  , ,   1 exp(iz) − 1 dz + dz = − πi + D f (z) dz = − B = − z z    −rr −rr −rr 1 23 4 =: D



D ≤ πr max

exp(iz) − 1

−→ 0 (r −→ 0), also B −→ −πi (4) z |z|=r 1 23 4 =

∗ beschr¨ ankt

Aus (1), (2), (3) und (4) folgt: ,R

π sin τ dτ −→ τ 2

(R −→ ∞, r −→ 0)



r

Es seien zwei Anmerkungen zu dieser Rechnung gemacht: Die obige — etwas aufwendige und nicht direkt ins Auge springende — Argumentation f¨ ur die Absch¨ atzung von C l¨ asst sich vermeiden, wenn man naturgem¨ aß den Konvergenzsatz von Lebesgue einsetzt, wie es in den Worksheets ausgef¨ uhrt ist. Wir haben jedoch hier darauf verzichtet, weil dieser Satz im dritten Semester oft noch nicht vertraut ist. Wir haben an einigen Stellen — und werden das noch oft tun — von Kurven gesprochen, wo eigentlich nur der Tr¨ ager festgelegt war. Dabei sind wir davon ausgegangen, dass stillschweigend die nat¨ urliche‘ Parameterdarstellung gew¨ ahlt wird, ’ solange nichts anderes gesagt ist, also etwa f¨ ur den Einheitskreis {z ∈ C : |z| = 1} ∗

Die durch den Ausdruck zwischen den Betragszeichen gegebene Funktion ist im Punkt z = 0 holomorph erg¨ anzbar.

110

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

die Kurve durch die Parameterdarstellung [0, 2π] t −→ exp(it) ∈ C festgelegt ist und nicht etwa durch [0, π] t −→ exp(2012 i t2 ) ∈ C .

F¨ ur α ∈ C \ {0} mit Re α ≥ 0 gilt: ,∞

exp(−t) − exp(−αt) dt = Log α t

(B2)

0

Wir unterscheiden die drei F¨ alle, dass der Imagin¨ arteil von α positiv, negativ oder Null ist und zeigen die Aussage f¨ ur den ersten Fall; der zweite Fall kann dann durch Konjugation darauf zur¨ uckgef¨ uhrt werden. F¨ ur Im α = 0 , also R α > 0 , ist der Fall α = 1 trivial. Der Fall 0 < α < 1 kann durch die Substitution τ = α t ¨ auf den Fall α > 1 , den wir dem Leser als einfache Ubungsaufgabe u ¨ berlassen, zur¨ uckgef¨ uhrt werden.

Rα

F¨ ur 0 < ε < R < ∞ betrachten wir C = Cε,R gem¨ aß Bildchen — falls Im α > 0 — und die Funktion f (z) :=

exp(−z) z

εα

(z ∈ G) .

Ein konvexes G sei dazu geeignet gew¨ ahlt.

,R

exp(−t) − exp(−αt)  dt = t ε 1 23 4 =: A

f (z) dz − −→ ε,R

f (z) dz −−−−→ εα,Rα

, f (z) dz +

−−−→ R,Rα

1

R ,

,

Nach dem Hauptsatz gilt: , , f (z) dz = A + 0 = C

ε

23 =: B

4

f (z) dz − −→ εα,ε

1

23 4 =: C

Mit [0, 1]  t −→ R[1 + t(α − 1)] ∈ C erh¨ alt man f¨ ur B : ,1 0

,1 exp(−R[1 + t(α − 1)]) α−1 · R(α − 1)dt = exp(R(t − 1)) exp(−Rtα) dt R[1 + t(α − 1)] [· · · ] 0

4.3

Hauptsatz

111

Da [0, 1]  t −→ |1 + t(α − 1)| stetig und = 0 ist, existiert c ∈ ]0, ∞[ so, dass

α−1 |α−1|

≤ =: c . |1 + t(α − 1)| ≥ c f¨ ur alle t ∈ [0, 1] ist. Damit gilt 1+t(α−1) c   Mit | exp(−Rtα)| = exp Re (−Rtα) = exp( −Rt Re α ) ≤ 1 folgt: 1 23 4 ≤0



B ≤ c

,1

exp(R(t − 1)) dt = c ·

1  1 1

exp(R(t − 1)) = c 1 − exp(−R) R R 0

0

Dieser Ausdruck strebt also f¨ ur R −→ ∞ gegen Null.  ,  , , exp(−z) 1 exp(−z) − 1 C = − dz = − dz + dz z z z −−→ ε,εα

−−→ ε,εα

−−→ ε,εα

 , exp(−z) − 1   = − Log(εα) − Log(ε) + dz z −−→ ε,εα

  , exp(−z) − 1 dz = − Log α + z −−→ ε,εα

.

F¨ ur ε −→ 0 strebt

−−→ ε,εα

exp(−z)−1 z

dz gegen Null, da der Integrand be-

schr¨ ankt ist und die Bogenl¨ ange gegen 0 strebt. Insgesamt hat man: ,R A =

exp(−t) − exp(−αt) dt −→ Log(α) t

(R −→ ∞, ε −→ 0)

ε

Wir bemerken noch, dass man das Resultat aus (B1) einfach aus (B2) ablesen kann; denn f¨ ur α := i gilt ,∞ π exp(−t) − [cos t − i sin t] i = Log i = dt 2 t 0

und folglich — durch Trennung in Real- und Imagin¨arteil — ,∞

sin t π dt = t 2

0

,∞ und

exp(−t) − cos t dt = 0 . t



0

Beweis des Hauptsatzes Der Beweis geht auf Edouard Goursat (1899) zur¨ uck, der allerdings Rechtecke statt wie hier Dreiecke benutzte. Das Entscheidende ist, dass — anders als bei fr¨ uheren Beweisans¨ atzen — die Stetigkeit von f  nicht eingesetzt wird.

112

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

Wir zeigen zun¨ achst — und hier wird die Konvexit¨at noch nicht ben¨otigt, sondern nur, dass das betrachtete Dreieck in der offenen Menge G liegt: , (A)

F¨ ur z1 , z2 , z3 ∈ G gilt:

f (z) dz = 0 [z1 ,z2 ,z3 ,z1 ]

Dazu definieren wir induktiv f¨ ur vj ∈ C (j ∈ N):   − − → [v1 , v2 ] := v1 v2 Parameterdarstellung: [0, 1]  t −→ v1 + t(v2 − v1 ) ∈ C [v1 , . . . , vn+1 ] := [v1 , . . . , vn ] + [vn , vn+1 ] (2 ≤ n ∈ N) [v1 , . . . , vn ] heißt Streckenzug‘ oder Polygonzug‘ zu (v1 , . . . , vn ) . ’ ’ Wir benutzen hier eine anschauliche Sprechweise. Eine formalere Beschreibung erfordert nur Bezeichnungsakrobatik ohne Gewinn an Einsicht.

Πseien z1 , z2 , z3 nicht kollinear.

z3

bezeichne das abgeschlossene Dreieck‘ (zu ’ z1 , z2 , z3 ). Wir zerlegen in 4 Teildreiecke‘, ’ indem wir die Seitenmitten‘ von miteinan’ der verbinden. Orientiert‘ man die Randkur’ ’ ven‘ wie eingezeichnet, so gilt f¨ ur (mindestens) ein Teildreieck‘ 1 mit der zugeh¨origen Rand’ ’ kurve‘ C1 :

z1 z2

1 λ(C1 ) = λ(C), 2

,

1

f (z) dz ≥ M ,

4 C1

.

wobei C := [z1 , z2 , z3 , z1 ] und M := f (z) dz . Man erh¨alt so induktiv eine Folge von Dreiecken‘ ’ Cn derart, dass

C

⊃ 1 ⊃ 2 ⊃ · · · mit zugeh¨origen Randkurven‘ ’

1 λ(Cn ) = n λ(C) 2

,

1

und f (z) dz ≥ n M

4

(n ∈ N) .

(1)

Cn

Es existiert (Kompaktheit!)∗ ein a ∈

∞ 5

n .

n=1

Da G offen und f in a differenzierbar ist, existiert zu beliebigem ε > 0 ein δ > 0 mit Uaδ ⊂ G und

f (z) − [f (a) + f  (a)(z − a)] ≤ ε|z − a| (z ∈ Uaδ ) . (2) ∗

Der Kenner wird nat¨ urlich den Cantorschen Durchschnittssatz heranziehen.

4.3

Hauptsatz

113

Dazu existiert offenbar ein n ∈ N mit n ⊂ Uaδ . Man hat damit

,

,

,

  1 

f (z) − [· · · ] dz

M ≤ f (z) dz = [f (a) + f (a)(z − a)] dz + 4n (1) Cn

Nach Bemerkung 5 gilt

.

Cn

Cn

Cn

[· · · ] dz = 0 . So k¨onnen wir mit (2) rechts ab-

sch¨ atzen durch (λ(Cn ))2 ε . Nach (1) gilt (λ(Cn ))2 ε = 41n (λ(C))2 ε , mithin M ≤ (λ(C))2 ε . Damit ist M gleich Null, und dies ist gerade die Aussage (A).  Nun zeigen wir, dass aus (A) (siehe Seite 112) — wie im Sprichwort — stets (B) folgt, wobei: (B)

Es existiert eine Stammfunktion“ F zu f , ”

d. h. es existiert eine differenzierbare Abbildung F : G −→ C mit F  = f . Nach Bemerkung 5 ist damit dann der Hauptsatz bewiesen. Beweis: Mit einem festen a ∈ G definieren wir∗ , F (z) := f (ζ) dζ (z ∈ G) . − → az

F¨ ur z, z0 ∈ G ist dann nach (A) , , ,   f (ζ) − f (z0 ) dζ f (ζ) dζ = f (z0 ) dζ + F (z) − F (z0 ) = − z→ 0z

− z→ 0z

− z→ 0z

,

= f (z0 )(z − z0 ) +

  f (ζ) − f (z0 ) dζ

− z→ 0z

Das letzte Integral ist gleich r(z) · (z − z0 ) mit , ,1   1 (f (ζ) − f (z0 )) dζ = r(z) := f (z0 + t(z − z0 )) − f (z0 ) dt . z − z0 −→ z 0z

0

Da r : G −→ C stetig ist mit r(z0 ) = 0 , ist F differenzierbar in z0 mit F  (z0 ) = f (z0 ).  Wir wollen im n¨achsten Kapitel den Hauptsatz unter anderem auf den Dif(z0 ) einer holomorphen Funktion f anwenden, um ferenzenquotienten f (ζ)−f ζ−z0 daraus verbl¨ uffende und weitreichende Folgerungen zu ziehen. In z0 ist dann aber f¨ ur den Differenzenquotienten zun¨ achst keine Holomorphie gegeben; deshalb m¨ ussen wir die Voraussetzungen des Hauptsatzes noch etwas abschw¨achen: ∗

Hier nun wird die Voraussetzung G konvex‘ entscheidend benutzt. ’

114

Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

Satz 8 (Hauptsatz; Cauchyscher Integralsatz 2. Fassung) Ist a Punkt eines konvexen Gebietes G in C und h eine auf G definierte C-wertige stetige Funktion, die in G\{a} holomorph ist, dann existiert eine Stammfunktion zu h, und f¨ ur alle C ∈ KG cl gilt , h(z) dz = 0 . C

Sp¨ ater werden wir sehen, dass dann h sogar in ganz G holomorph ist! Dass die Konvexit¨ at nicht ersatzlos gestrichen werden kann, zeigt das Beispiel auf Seite 105 .

¨ Beweis: Nach den bisherigen Uberlegungen ist nur (A) zu zeigen: Dazu seien wieder Œ z1 , z2 , z3 nicht kollineare Punkte in G . 1. Fall: Liegt a außerhalb‘ von , so ist man — nach dem schon Gezeigten ’ — fertig, indem man das Gebiet gegebenenfalls verkleinert. 2. Fall: a ist ein Eckpunkt, Œ a = z1 : Wir zerlegen in das kleine (graue) Dreieck 1 bei a sowie 2 und 3 . Nach dem 1. Fall sind die Kurvenintegrale u ander von 2 ¨ ber die R¨ und 3 Null. Wegen der Stetigkeit von h ist das Kurvenintegral l¨ angs atzbar durch ∂ 1 betraglich absch¨ λ(∂ 1 ) · max{|h(z)| : z ∈ } (vgl. Bem. 3, S. 104). Die Behauptung folgt a durch Grenz¨ ubergang λ(∂ 1 ) −→ 0 . 3. Fall: a auf Kante‘ ’

4. Fall: a im Inneren‘ ’

a a Im 3. Fall zerlegen wir in zwei Teildreiecke, von denen jedes a als Eckpunkt hat, und wenden auf die Teildreiecke jeweils den 2. Fall an. Im 4. Fall zerlegen wir so in zwei Teildreiecke, dass a auf der gemeinsamen Kante liegt, und wenden auf die Teildreiecke jeweils den 3. Fall an. 

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: int, Int student[changevar], student[integrand] pfeil (aus unserem Paket verdi ) op

4.1 Kurven Stetige rektifizierbare Kurven in der komplexen Zahlenebene lassen sich als Spezialfall von Kurven im R2 auffassen. Zur Veranschaulichung bringen wir drei Beispiele: Beispiel 1: Animierter Einheitskreis

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": a := 0: r := 1: n := 30: g := t -> a+r*exp(I*Pi*t): # Parameterdarstellung von C Kreis := circle(c2p(a),r,color=black): dots := seq(disk(c2p(g(k/n)),0.03,color=black),k=0..n-1), seq(disk(c2p(g((k+n)/n)),0.03,color=gray),k=0..n-1): tplot := textplot([Re(a)+r+0.35,Im(a)," Anfangspunkt"]): Animation := display(dots,insequence=true): display(Kreis,Animation,tplot,scaling=constrained,tickmarks=[3,3], axes=frame,title= "Eine einfache geschlossene Kurve: ...");

Eine einfache geschlossene Kurve: Der Einheitskreis

116

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

Beispiel 2: Viele — auch krumme — Wege f¨ uhren nach Rom

5

10

15

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": z1 := -1-I: z2 := -z1: z3 := -1+I: z4 := -z3: # k-tes Bernstein-Polynom 4. Grades: b := (k,t) -> binomial(4,k)*t^k*(1-t)^(4-k): # Parameterdarstellung einer Bezier-Kurve: g := t -> z1*b(0,t)+I*b(1,t)+3*z4*b(2,t)-3*b(3,t)+z2*b(4,t): # Pfeile und Kurven: PKurven := pfeil(g,0.95,0.16,gray), pfeil([z1,z4],0.92,0.16,black),pfeil([z4,z2],0.92,0.16,black), pfeil([z1,z3],0.92,0.16,black),pfeil([z3,z2],0.92,0.16,black), complexplot(g(t),t=0..1,color=gray,thickness=2), complexplot([z1,z4,z2],color=black,thickness=2), complexplot([z1,z3,z2],color=black,thickness=2,linestyle=3): Texte := [Re(g(0.9)-0.15),Im(g(0.9)+0.3),C[0]],[0.75,-0.92,C[1]], [1.1,0.75,C[2]], [-0.90,0.75,C[3]],[0.7,1.1,C[4]]: tplot := textplot([Texte]): display(PKurven,tplot,axes=frame,tickmarks=[3,3]);

C4

C3

C2 C0

C1

Die Kurve C0 oben erh¨ alt man auf sehr einfache Art mit Hilfe der B´ ezierTechnik unter Verwendung der Bernstein-Polynome. N¨ahere Einzelheiten hierzu findet man etwa in [De/Ho, S. 226 ff]. Beispiel 3: Pochhammer-Weg Im Vorgriff auf Kapitel 6 bringen wir als weiteres Beispiel eine Kurve, die in der Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik nach Pochhammer benannt wird. > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": setoptions(color=black): a := 1: R := 0.6: r := 0.4: d := 0.1*a: alpha := Pi+arccos((R+r)/(2*a)): beta := 2*Pi-arccos((R+r)/(2*a)):

4.2 5

10

15

20

Kurvenintegrale

(MWS)

117

r1 := alpha..5/2*Pi: r2 := Pi/2..beta: # Parameterdarstellung der Kreisb¨ ogen: g1 := t -> a+R*exp(-I*t): g3 := t -> a+r*exp(I*t): # t=r1 g2 := t -> -a+R*exp(-I*t): g4 := t -> -a+r*exp(I*t): # t=r2 # Verkn¨ upfungspunkte der Kurvensegmente: P := [g1(Pi/2),g2(Pi/2),g2(beta),g3(alpha), g3(Pi/2),g4(Pi/2),g4(beta),g1(alpha)]: Teilkurven := complexplot(g1,r1),complexplot([P[1],P[2]]), complexplot(g2,r2),complexplot([P[3],P[4]]), complexplot(g3,r1),complexplot([P[5],P[6]]), complexplot(g4,r2),complexplot([P[7],P[8]]): Pfeile := pfeil(g1,7.0,d,black),pfeil(g2,4,d,black), pfeil(g3,6.8,d,black),pfeil(g4,4,d,black): dots := seq(disk(c2p(z),0.03,color=black),z=[a,-a]), seq(disk(c2p(z),0.02,color=black),z=P): tplot:= textplot([Re(P[8]),Im(P[8])+0.2,"Anfangspunkt"]): TICKS:= [[-a,0,a],[-R,0,R]]: display(Teilkurven,Pfeile,dots,tplot,scaling=constrained, axes=framed,tickmarks=TICKS,title="Pochhammer-Weg");

Pochhammer-Weg

Der Pochhammer-Weg wird hier als glatter Weg — bestehend aus 8 Kreisbzw. Streckenabschnitten — konstruiert. α und β (s. o.) ergeben sich mit¨ tels der folgenden einfachen Uberlegungen: Die Bereiche r1 und r2 sind aus Symmetriegr¨ unden gleich lang. Hieraus folgt α + β = 3 π und damit cos(α) = −cos(β) . Zudem sind g1 (α) − a und g4 (β) + a — aufgefasst als −−−−−−−−− → Vektoren des R2 — orthogonal zu g4 (β), g1 (α) . Dies ergibt cos(β) = R+r 2a ; aus π ≤ α < 32π < β < 2 π folgen dann die oben angegebenen Resultate.

4.2 Kurvenintegrale Approximation eines Kurvenintegrals mittels Zerlegungssummen > restart: assume(t,real,k,integer):

Wir w¨ ahlen als Funktion f : z −→ z und als Kurve C die geradlinige Verbindung zweier Punkte a und b der komplexen Zahlenebene.

118

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

> f := conjugate; g := t -> a+t*(b-a); # Parameterdarstellung der Kurve C

f := conjugate ,

g := t −→ a + t (b − a)

F¨ ur ¨ aquidistante Zerlegungen — mit jeweils dem rechten Eckpunkt eines Teilintervalls als Zwischenpunkt — erhalten wir folgende Zerlegungssummen > S := n -> Sum(f(g(k/n))*(g(k/n)-g((k-1)/n)),k=1..n);







n  k k k−1 S := n −→ f g g −g n n n k=1

und mittels Grenz¨ ubergang > limit(expand(S(n)),n=infinity): Limit(’S(n)’,n=infinity): eval(%,1) = factor(value(%%));

lim S(n) = −

n→∞

 1  b + a (−b + a) 2

¨ Die Ubereinstimmung mit > int(f(g(t))*diff(g(t),t),t=0..1): Int(f(z),z=C..‘‘) = factor(expand(%));

, z dz = − C

 1  b + a (−b + a) 2

ist — nach Satz 4.4 — nicht u ¨berraschend. Beispiele f¨ ur Kurvenintegrale Beispiel 1 Es sei C der positiv . orientierte Kreis um a mit Radius r. Wir berechnen das Kurvenintegral C (z − a)m dz : > restart: assume(m,integer): f := z -> (z-a)^m;

f := z −→ (z − a)m > Int_1 := Int(f(z),z=C..‘‘);

, (z − a)m dz

Int 1 := C

> g := t -> a+r*exp(I*t);

# Parameterdarstellung von C

4.2

Kurvenintegrale

(MWS)

119

g := t −→ a + r ei t > Int_2 := Int(f(g(t))*diff(g(t),t),t=0..2*Pi): Int_1 = Int_2;

,

,

2π

(z − a) dz = m

C

m i t  i r ei t r e dt

0

> Int_1 = value(Int_2);

, (z − a)m dz = 0 C

Das Ergebnis oben gilt nur f¨ ur m = −1 . Maple weist leider darauf nicht hin. Schauen wir uns den Fall m = −1 separat an: > subs(m=-1,Int_1) = value(subs(m=-1,Int_2));

,

C

1 dz = 2 i π z−a

Beispiel 2

. . . Jetzt berechnen wir die Kurvenintegrale C0 z dz , C1 +C2 z dz und C3 +C4 z dz . Die Teilkurven Cj (j = 0, . . . , 4) seien dabei wie in Beispiel 2 von Abschnitt 4.1 gew¨ ahlt. > restart: assume(t,real): z1 := -1-I: z2 := -z1: z3 := -1+I: z4 := -z3: b := (k,t) -> binomial(4,k)*t^k*(1-t)^(4-k): f := conjugate;

f := conjugate Parameterdarstellungen von C0 bis C4 : > g[0] := t -> z1*b(0,t)+I*b(1,t)+3*z4*b(2,t)-3*b(3,t)+z2*b(4,t): g[1] := t -> z1+t*(z4-z1): g[2] := t -> z4+t*(z2-z4): g[3] := t -> z1+t*(z3-z1): g[4] := t -> z3+t*(z2-z3): 5

Int(f(z),z=C[0]..‘‘) = Int(f(g[0](t))*diff(g[0](t),t),t=0..1): lhs(%) = value(rhs(%));

,

z dz = − C0

48 i 35

> Int(f(z),z=C[1]+C[2]..‘‘) = Int(f(g[1](t))*diff(g[1](t),t),t=0..1) + Int(f(g[2](t))*diff(g[2](t),t),t=0..1); lhs(%) = value(rhs(%));

120

MWS zu Kapitel 4

,

, z dz =

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz ,

1

2 i (1 + i − 2 i t) dt ,

(−2 + 2 i + 4 t) dt +

C1 +C2

0

,

1

z dz = 4 i C1 +C2

0

> Int(f(z),z=C[3]+C[4]..‘‘) = Int(f(g[3](t))*diff(g[3](t),t),t=0..1) + Int(f(g[4](t))*diff(g[4](t),t),t=0..1); lhs(%) = value(rhs(%));

,

, C3 +C4

,

1

2 i (−1 + i − 2 i t) dt +

z dz =

,

1

(−2 − 2 i + 4 t) dt ,

0

z dz = −4 i C3 +C4

0

Das Kurvenintegral von −(1 + i) nach 1 + i ist also wegabh¨angig. Beispiel 3 Zu berechnen sei das Kurvenintegral nen Einheitskreises C.

. C

√1 z

dz l¨angs des positiv durchlaufe-

> restart: f := z -> 1/sqrt(z);

1 f := z −→ √ z Mit der Parameterdarstellung > g := t -> exp(I*t); # t=0..2*Pi

g := t −→ ei t f¨ ur C erh¨ alt man > Int(f(z),z=C..‘‘) = int(expand(f(g(t))*diff(g(t),t)),t=0..2*Pi);

,

C

1 √ dz = −4 z

√ Dieses Resultat ist dummerweise falsch! Zun¨ achst ist z −→ z auf C \ {0} √ 1 gar keine Funktion! Liest man z als Hauptwert von z 2 , was Maple tut, so hat man f¨ ur z ∈ C mit |z| = 1 :    1 HW z 2 = exp(1/2 Log z) = exp 1/2 (ln |z| + i Argz) = exp(1/2 i Argz) mit dem Hauptwert Arg z ∈ ] − π, π] von z . Wir schreiben demnach z = exp(i t) mit t ∈ ]−π, π] , betrachten also ]−π, π] als neuen Definitionsbereich f¨ ur g und erhalten: > Int(f(z),z=C..‘‘) = int(expand(f(g(t))*diff(g(t),t)),t=-Pi..Pi);

,

C

1 √ dz = 4 i z

Auch bei etwas vorsichtigerer Argumentation best¨atigt sich nach Grenz¨ ubergang die Korrektheit dieses Resultates:

4.3

Hauptsatz

(MWS)

121

> Int(expand(f(g(t))*diff(g(t),t)),t=-Pi+epsilon..Pi-epsilon): % = value(%);

,

π−ε

i −π+ε

√ √ √ ei t dt = 2 ei (π−ε) − 2 e−i (π−ε)

> Int(f(z),z=C..‘‘) = limit(rhs(%),epsilon=0,right);

, C

1 √ dz = 4 i z

4.3 Hauptsatz Zur Berechnung der beiden folgenden — bewusst nicht-trivial gew¨ahlten — Integrale, die wir schon im Text kennengelernt haben und nun entsprechend mit Maple behandeln, reicht der Hauptsatz f¨ ur konvexe Gebiete. ,∞ Beispiel 1:

π sin(x) dx = x 2

0

Maple best¨ atigt dieses Ergebnis: > restart: Int_0 := Int(sin(x)/x,x=0..infinity): % = value(%);

, 0

∞

sin(x) 1 dx = π x 2

Wir wollen das Integral mit Hilfe des Hauptsatzes berechnen. Auf den ersten Blick sieht man nicht, wie dieser hier anzuwenden ist. Wir betrachten > f := z -> exp(I*z)/z;

f := z −→

ei z z

f¨ ur z ∈ C \ {0} : f ist holomorph (und Df stetig). F¨ ur 0 < r < R < ∞ sei die geschlossene Kurve C gem¨ aß den folgenden Abbildungen gew¨ahlt:

5

> with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": R := 4: r := 1: z2 := exp(I*Pi/6): z1 := z2^4: TICKS := [[r=" r",-r="-r",R=" R",-R="-R"],0]: setoptions(thickness=2,scaling=constrained,tickmarks=TICKS): g1 := t -> R*exp(I*t): # Parameterdarstellung von C[R] g2 := t -> r*exp(-I*t): # Parameterdarstellung von C[r]

122

10

15

20

25

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

Kurven := complexplot([r,R],color=black), complexplot(g1,0..Pi,color=black,linestyle=3), complexplot([-R,-r],color=black), complexplot(g2,Pi..2*Pi,color=black,linestyle=3), complexplot([r*I,R*I],color=black): Pfeile := pfeil(g1,0.5,0.4,black),pfeil(g1,2.1,0.4,black), pfeil(g2,3.6,0.3,black),pfeil(g2,5.2,0.3,black), pfeil([r,R],0.5,0.4,black),pfeil([-R,-r],0.5,0.4,black): Pfeil1 := pfeil([r*I,R*I],0.4,0.4,black): Pfeil2 := pfeil([R*I,r*I],0.4,0.4,black): tplot1 := textplot([[Re(R*z1)-0.7,Im(R*z1)+0.1,C[‘R ‘]], [Re(r*z1)-0.6,Im(r*z1)+0.1,C[‘r ‘]]]): tplot2 := textplot([[Re(R*z2)+0.5,Im(R*z2)+0.2,C[‘R ‘]], [Re(r*z2)+0.1,Im(r*z2)+0.5,C[‘r ‘]]]): # linke bzw. rechte Halbebene: H1 := inequal(R*x-r*y<0,x=-R-0.5..R+0.5,y=-1..R+1, optionsfeasible=(color=white),optionsexcluded=(color=gray)): H2 := inequal(R*x+r*y>0,x=-R-0.5..R+0.5,y=-1..R+1, optionsfeasible=(color=white),optionsexcluded=(color=gray)): display(Pfeile,Pfeil1,Kurven,H1,tplot1); display(Pfeile,Pfeil2,Kurven,H2,tplot2); R := ’R’: r := ’r’:

CR CR Cr

Cr

Der Hauptsatz ist nicht direkt anwendbar, da C \ {0} nicht konvex ist. Die Kurve C l¨ asst sich aber in zwei Teilkurven zerlegen, die sich — etwa wie oben skizziert — in konvexe Teilgebiete von C \ {0} einbetten‘ lassen. ’ > assume(R>0,r>0): Int_1 := Int(f(x),x=r..R): Int_3 := Int(f(z),z=C[R]..‘‘):

Int_2 := Int(f(y),y=-R..-r): Int_4 := Int(f(z),z=C[r]..‘‘):

Zweifache Anwendung des Hauptsatzes ergibt: > 0 = Int_1+Int_2+Int_3+Int_4;

, 0 = r

R ix

e dx + x

,

−r i y

−R

e dy + y

,

ei z dz + CR z

,

ei z dz Cr z

4.3

Hauptsatz

(MWS)

123

> Int_2a := student[changevar](x=-y,Int_2,x);

,

r −i x

e

Int 2a :=

dx

x

R

> Int_1+Int_2 = Int(simplify(op(1,Int_1)-op(1,Int_2a)),x=r..R);

,

R ix r

e dx + x

,

−r i y

−R

e dy = y

,

R

r

2 i sin(x) dx x

Mit der oben definierten Parameterdarstellung f¨ ur CR folgt: > assume(t,real):

Int_3 = Int(f(g1(t))*diff(g1(t),t),t=0..Pi);

,

ei z dz = CR z

,

π

it

i ei R e dt 0

Der Betrag des Integranden rechts ist: > student[integrand](rhs(%)): ’abs’(%) <= abs(%);



i R ei t

i e

≤ e−R sin(t) Somit: > abs(Int_3) <= int(rhs(%),t=0..Pi);

, π ei z

dz ≤ e−R sin(t) dt 0 CR z

,



> assume(sin(t)>0): Limit(exp(-R*sin(t)),R=infinity): % = value(%);

lim e−R sin(t) = 0

R→∞

Mit Hilfe des Konvergenzsatzes von Lebesgue folgt dann > Limit(Int_3,R=infinity) = int(rhs(%),t=0..Pi);

, lim

R→∞

ei z dz = 0 CR z

Im Textteil ist gezeigt, wie man den naheliegenden Einsatz des Satzes von Lebesgue — falls er noch nicht bekannt ist — hier und an der n¨achsten Stelle vermeiden kann. Das vierte Integral sehen wir uns entsprechend mit einer Parameterdarstellung f¨ ur −Cr an:

124

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

> h := t -> r*exp(I*t); # t=0..Pi

h := t −→ r ei t > Int_4 = -Int(f(h(t))*diff(h(t),t),t=0..Pi);

,

ei z dz = − Cr z

,

π

it

i ei r e dt 0

> student[integrand](rhs(%)); it

i ei r e > Limit(-%,r=0): % = value(%);

it

lim − i ei r e

r→0

= −i

Erneut kann man den Konvergenzsatz von Lebesgue anwenden und erh¨alt: >

Limit(Int_4,r=0) = int(rhs(%),t=0..Pi);

, lim

r→0

ei z dz = −i π Cr z

. ∞ sin(x)

Mithin existiert das Integral

0

x

dx, und es gilt:

> eq := 0 = 2*I*Int_0-I*Pi;

, eq := 0 = 2 i 0

∞

sin(x) dx − i π x

> Int_0 = solve(eq,Int_0);

, 0

,

∞

Beispiel 2: 0

∞

1 sin(x) dx = π x 2

e−t − e−α t dt = Log(α) f¨ ur α ∈ C \ {0} mit Re(α) ≥ 0 t

Es sei Im (α) > 0 . F¨ ur 0 < ε <  < ∞ betrachten wir die Kurve C = Cε,  . Diese ist — wie unten abgebildet — ein Polygonzug bestehend aus den gerichteten Strecken [ε, ] , [,  α] , [ α, ε α] sowie [ε α, ε] : > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt":

4.3

5

10

Hauptsatz

(MWS)

125

> eps := 1: rho := 4: alpha := 2/3*(2+I): z1 := eps*alpha: z2 := rho*alpha: # Linien und Pfeile: LPfeile := complexplot([0,z1],color=black,linestyle=3), complexplot([eps,rho,z2,z1,eps],color=black,thickness=2), seq(pfeil(w,0.4,0.3,black), w=[[eps,rho],[rho,z2],[z2,z1],[z1,eps]]): H := inequal({8*x+y>0,y+0.6>0},x=-2..Re(z2)+0.5,y=-2..Im(z2)+2, optionsfeasible=(color=white),optionsexcluded=(color=gray)): TICKS := [[eps=typeset(‘ϵ‘),rho=typeset(‘ϱ‘)],0]: tplot := textplot([ [Re(z1)-0.1,Im(z1)+0.25,typeset(‘ϵ‘,‘α‘)], [Re(z2),Im(z2)+0.25,typeset(‘ϱ‘,‘α‘)]]): display(LPfeile,H,tplot,tickmarks=TICKS,scaling=constrained);

Ferner betrachten wir die Funktion > restart: alias(log=ln): f := z -> exp(-z)/z;

f := z −→

e−z z

Diese ist holomorph im oben dargestellten offenen konvexen Winkelbereich. Setzt man > Int_1a := Int(f(z),z=[epsilon,rho]..‘‘); Int_1b := Int(f(z),z=[epsilon*alpha,rho*alpha]..‘‘);

,

e−z dz , [ε, ρ] z

Int 1a :=

> Int_2 Int_3

, Int 1b :=

e−z dz [ε α, ρ α] z

:= Int(f(z),z=[rho,rho*alpha]..‘‘); := Int(f(z),z=[epsilon,epsilon*alpha]..‘‘);

, Int 2 :=

e−z dz , [ρ, ρ α] z

, Int 3 :=

e−z dz [ε, ε α] z

126

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

so gilt nach dem Hauptsatz (f¨ ur konvexe Gebiete): > 0 = Int_1a-Int_1b+Int_2-Int_3;

, 0 =

e−z dz − [ε, ρ] z

,

e−z dz + [ε α, ρ α] z

,

e−z dz − [ρ, ρ α] z

,

e−z dz [ε, ε α] z

Mittels der Parameterdarstellungen > assume(t,real): Ber := epsilon..rho: g_1a := t -> t; g_1b := t -> alpha*t;

g 1a := t −→ t ,

# Bereich # t = Ber

g 1b := t −→ α t

f¨ ur die Kurvenst¨ ucke [ε, ] bzw. [ε α,  α] erh¨ alt man > Int(f(g_1a(t))*diff(g_1a(t),t)-f(g_1b(t))*diff(g_1b(t),t),t=Ber);

,

ρ

ε

> student[integrand](%);



e−t e−α t − t t

dt

e−t − e−α t t

> Int_1a-Int_1b = Int(%,t=Ber);

, ρ −t e−z e − e−α t dz = dt t ε [ε α, ρ α] z . Als n¨ achstes untersuchen wir [,  α] f (z) dz und verwenden dabei f¨ ur C2 := [,  α] folgende Parameterdarstellung: ,

e−z dz − [ε, ρ] z

,

> g_2 := t -> rho*(1+t*(alpha-1)): Int_2 := Int(f(z),z=C[2]..‘‘): Int_2 = Int(f(g_2(t))*diff(g_2(t),t),t=0..1);

,

e−z dz = C2 z

, 0

1 −ρ (1+t (α−1))

e

(α − 1) dt 1 + t (α − 1)

> assume(rho,real): op([1,1],rhs(%)): ’abs(%)’: eval(%,1) = value(%);

−ρ (1+t (α−1))

e

= e−ρ (1+t (−1+Re (α))) Wegen Re(α) ≥ 0 gilt > rhs(%) <= subs(Re(alpha)=0,rhs(%));

4.3

Hauptsatz

(MWS)

127

e−ρ (1+t (−1+Re (α))) ≤ e−ρ (1−t) , und wegen 1 + t(α − 1) = 0 f¨ ur t ∈ [0, 1] existiert eine Konstante c > 0 mit 1/ |1 + t (α − 1)| ≤ c f¨ ur t ∈ [0, 1]. Wir erhalten damit folgende Absch¨ atzung: > abs(Int_2) <= c*abs(alpha-1)*Int(rhs(%),t=0..1); ’lhs’ <= value(rhs(%));

, −z , 1

e c |α − 1| (−1 + e−ρ )

≤ c |α − 1|

dz e−ρ (1−t) dt , lhs ≤ −

ρ 0 C2 z Wegen > Limit((1-exp(-rho))/rho,rho=infinity): % = value(%);

1 − e−ρ = 0 ρ→∞ ρ lim

.

e−z z

dz f¨ ur  −→ ∞ gegen 0 . . −z Es bleibt noch, das Integral [ε, ε α] e z dz zu untersuchen. Dieses l¨asst sich aufspalten in die Summe konvergiert also

[,  α]

> Int_3a := Int(1/z,z=[epsilon,epsilon*alpha]..‘‘): Int_3b := Int(f(z)-1/z,z=[epsilon,epsilon*alpha]..‘‘): Int_3a+Int_3b;

,

1 dz + [ε, ε α] z

, [ε, ε α]



e−z 1 − z z

dz

Da — in diesem Bereich — eine Stammfunktion bekannt ist, erh¨alt man — mit der Funktionalgleichung f¨ ur log — f¨ ur das erste Integral sofort: > Int_3a = log(alpha);

,

1 dz = log(α) [ε, ε α] z

Es sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, dass dabei mit log(α) der Hauptwert des Logarithmus gemeint ist. −z

Da die Funktion z −→ e z−1 bei

0 holomorph erg¨anzbar ist, existiert eine

e−z −1 Konstante M > 0 mit z ≤ M in einer Umgebung von 0 . F¨ ur das zweite Integral betrachten wir die Parameterdarstellung > g_3 := t -> epsilon*(1+t*(alpha-1)); r := 0..1: # r Bereich, t = r

128

MWS zu Kapitel 4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz

g 3 := t −→ ε (1 + t (α − 1)) und erhalten f¨ ur hinreichend kleines ε > 0 dann die Absch¨atzung: > abs(Int((exp(-z)-1)/z,z=C[3]..‘‘)) <= int(M*abs(diff(g_3(t),t)),t=r);

,



e−z − 1

dz ≤ M |ε (α − 1)| z C3

Mittels Grenz¨ ubergang ε −→ 0,  −→ ∞ ergibt sich wie behauptet: > 0 = Int((exp(-t)-exp(-t*alpha))/t,t=0..infinity)-log(alpha);

,

∞ −t

e

0 = 0

− e−α t dt − log(α) t

¨ Diese letzte Uberlegung h¨ atte man nat¨ urlich — ohne Einsetzen einer Parameterdarstellung — einfacher haben k¨ onnen: Der Integrand ist beschr¨ankt, die Kurvenl¨ ange strebt gegen 0 . Wir bemerken noch, dass man das Resultat aus Beispiel 1 f¨ ur α := i einfach aus Beispiel 2 ablesen kann: > Int((exp(-t)-exp(-t*I))/t,t=0..infinity) = log(I);

, 0

∞ −t

e

1 − e−i t dt = i π t 2

Wir spalten den Integranden in Real- und Imagin¨arteil auf: > (exp(-t)-exp(-I*t))/t: % = evalc(%): Re(rhs(%)), Im(rhs(%));

e−t − cos(t) , t

sin(t) t

> Int(%[1],t=0..infinity) = Re(log(I)), Int(%[2],t=0..infinity) = Im(log(I));

, 0

∞ −t

e

− cos(t) dt = 0 , t

, 0

∞

1 sin(t) dt = π t 2

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen 5.1 5.2 5.3 5.4

Integralformel Potenzreihenentwicklung Holomorphiekriterien Integralformel f¨ ur die Ableitungen

Dieses Kapitel enth¨ alt ein Filetst¨ uck der Funktionentheorie. Aus dem Hauptsatz (2. Fassung) folgt fast m¨ uhelos ein ganzes B¨ undel leistungsstarker und z. T. erstaunlicher S¨ atze: Der Hauptsatz bringt — angewandt auf den Differenzenquotienten‘ — ’ zun¨ achst die Integralformel, die u. a. zeigt, dass bei einer holomorphen Funktion die Werte auf dem Rand eines beliebigen Kreises die im Inneren schon festlegen, was dann im Identit¨ atssatz noch wesentlich versch¨ arft wird. Aus der Integralformel folgt — via geometrischer Reihe und gleichm¨ aßiger Konvergenz — die Potenzreihenentwicklung einer holomorphen Funktion, speziell dass sie beliebig oft differenzierbar ist, und weiter die Integralformel f¨ ur die Ableitungen. Daraus ergeben sich leicht Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen und Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung, speziell der Satz von Liouville. Eine Potenzreihe konvergiert im gr¨ oßten Kreis um den Entwicklungspunkt, der noch ganz im gegebenen Gebiet liegt. Der Konvergenzradius wird also — ganz anders als im Reellen — durch diese einfache Eigenschaft der dargestellten Funktion charakterisiert. Der Satz von Weierstraß II (¨ uber lokal gleichm¨ aßige Konvergenz der Ableitungen) und der Satz ¨ uber Gebietstreue — mit dem Prinzip vom Maximum als Folgerung — runden diesen Gedankenkreis ab.

5.1 Integralformel Satz 1 (Integralformel von Cauchy) Es seien G ein Gebiet in C und f : G −→ C holomorph. F¨ ur ein z0 ∈ G sei Uzr0 ⊂ G mit einem 0 < r < ∞. Dann gilt f¨ ur jedes z ∈ Uzr0 : 1 f (z) = 2πi

/ |ζ−z0 | = r

f (ζ) dζ ζ −z

G

z

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

r z0

130

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

Die Holomorphie erzwingt ein so u aßiges Verhalten von ¨ bersichtliches und gesetzm¨ f , dass bereits der Funktionsverlauf auf dem Rand einer beliebigen Kreisscheibe das Funktionsverhalten im Inneren v¨ ollig festlegt.

Beweis: Es existiert ein δ > 0 mit G0 := Uzr+δ ⊂ G. 0 r ur ζ ∈ G0 : Mit festem z ∈ Uz0 betrachten wir f¨ ⎧ ⎨ f (ζ) − f (z) , ζ = z ζ −z h(ζ) := ⎩ f  (z) , ζ=z Die 2. Fassung des Hauptsatzes (Satz 4.8) liefert: / / / / f (ζ) − f (z) f (ζ) dζ = dζ − f (z) h(ζ) dζ = 0 = ζ −z ζ −z |ζ−z0 | = r

|ζ−z0 | = r

|ζ−z0 | = r

dζ ζ −z

|ζ−z0 | = r

Zu zeigen ist also nur noch: / |ζ−z0 | = r

dζ = 2πi ζ −z

Nach dem Beispiel von Seite 105 ist dies lediglich f¨ ur z = z0 bekannt! Die Homotopie-Version des Integralsatzes der mehrdimensionalen Analysis m¨ ochten wir nicht einsetzen, da sie oft nicht behandelt oder ihr Beweis nur angedeutet wird. Daher argumentieren wir wie folgt:

Œ z = z0 : Zu z ∈ Uzr0 existiert ein  so, dass 0 <  < |z − z0 | < r −  . Die folgende Skizze zeigt die Kreise um z0 und z mit Radien r bzw.  sowie drei Hilfskurven:

z

z0

5.2

Potenzreihenentwicklung

131

Dann ist nach dem oben zitierten Beispiel / dζ 2πi = (Integration u ¨ ber den kleinen Kreis). ζ−z |ζ−z| =  6 dζ Gesucht ist aber das Integral ¨ ber den großen Kreis). ζ−z (Integration u |ζ−z0 | = r 6 dζ Die Integrale ¨ ber die drei eingezeichneten Hilfskurven sind nach ζ−z u dem Hauptsatz jeweils 0, da jede einzelne offenbar in einem konvexen Gebiet verl¨ auft, das z nicht enth¨ alt. Die inneren‘ Verbindungsstrecken werden ’ jeweils in beiden Richtungen durchlaufen, so dass die Summe der Integrale dar¨ uber Null ist. 0 als Summe der Integrale u ¨ ber die drei Hilfskurven gibt so gerade die Differenz der Integrale u ¨ ber den großen Kreis und u ¨ ber den kleinen Kreis, also die Gleichheit dieser beiden Integrale. 

5.2 Potenzreihenentwicklung In der Integralformel schreiben wir den Term

1 wie folgt um: ζ −z

∞   1 z − z0 n 1 1 1 1 = = = 0 ζ −z ζ − z0 − (z − z0 ) ζ − z0 1 − z−z ζ − z0 n=0 ζ − z0 ζ−z0

=

∞  (z − z0 )n , (ζ − z0 )n+1 n=0

z − z |z − z0 |

0 < 1 benutzt haben. wobei wir

= ζ − z0 r Nun vertauschen wir einmal ganz mutig Integration und Summation — was wir weiter unten noch begr¨ unden werden — und erhalten: ∞  1 f (z) = 2πi n=0

/ |ζ−z0 |=r

f (ζ) dζ (ζ − z0 )n+1

(z − z0 )n

(z ∈ Uzr0 )

(1)

Nach dem Satz u ¨ ber Differentiation von Potenzreihen (siehe Seite 73) ist f in Uzr0 beliebig oft differenzierbar, und die Koeffizienten sind gerade f (n) (z0 ) (n ∈ N0 ) . (1) liefert also: n! / f (ζ) n! (n) f (z0 ) = dζ (2) 2πi (ζ − z0 )n+1 |ζ−z0 | = r

132

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

F¨ ur M ⊂ D ⊂ C und f : D −→ C sei noch einmal erinnert an die rekursive Definition: f (0) := f ◦      D f (k+1) := a ∈ D(f (k) ) : f (k) differenzierbar in a     f (k+1) (a) := f (k) (a) a ∈ D(f (k+1) )

(k ∈ N0 )

f in a k-mal differenzierbar :⇐⇒ a ∈ D(f (k) ) (Damit ist dann beliebig oft differenzierbar‘ erkl¨ art.) ’ (k) f in M k-mal differenzierbar :⇐⇒ M ⊂ D(f )

Die obige Vertauschung von Summation und Integration wird gerechtfertigt durch die Bemerkung 2 Es seien C eine rektifizierbare Kurve in C und hn , h : (C) −→ C stetige Funktionen (n ∈ N) mit hn (z) =⇒ h(z) (n −→ ∞) (gleichm¨aßige Konvergenz). Dann gilt: , , hn (z) dz −→ C

h(z) dz C

Die Stetigkeit von h folgt — unter den u ¨ brigen Voraussetzungen — aus dem Satz von Weierstraß (Seite 45).

Beweis:

, ,

hn (z) dz − h(z) dz =

C

C

,



(hn (z) − h(z)) dz

C

 ≤ λ(C) · max |hn (z) − h(z)| : z ∈ (C) −→ 0

(n −→ ∞)



 Die gleichm¨ aßige Konvergenz (auf {ζ : |ζ − z0 | = r}) der obigen Reihe z fest, ζ  0| < 1 — aus dem Majoranten-Kriterium von Weiervariabel folgt — mit |z−z r straß.

(3) Aus (2) liest man ab, dass das dort auftretende Integral unabh¨angig von r (mit Uzr0 ⊂ G) ist! ¨ Wegen der besonderen Wichtigkeit dieser Uberlegungen fassen wir noch einmal zusammen:

5.3

Holomorphiekriterien

133

Satz 3 (Potenzreihenentwicklung) Es seien G ⊂ C ein Gebiet, f : G −→ C eine holomorphe Funktion, z0 ∈ G ur z ∈ UzR0 und |z − z0 | < r < R gelten und 0 < R ≤ ∞ mit UzR0 ⊂ G . F¨ dann: / f (ζ) 1 dζ 1. f (z) = 2πi ζ −z |ζ−z0 | = r   2. f ist beliebig oft differenzierbar alle f (n) sind also holomorph . / f (ζ) 1 dζ gilt 3. Mit an := 2πi (ζ − z0 )n+1 |ζ−z0 | = r

f (z) =

∞ 

an (z − z0 )n

n=0

4. an =

f (n) (z0 ) n!

(n ∈ N0 )

Zu 1. ist nur noch anzumerken, dass Uzr0 ⊂ UzR0 (⊂ G) gilt. Zu 2. ist zu beachten, dass f¨ ur jedes z0 ∈ G ein r > 0 mit Uzr0 ⊂ G existiert.

5.3 Holomorphiekriterien Satz 4 (Satz von Morera∗ ) Es seien G ⊂ C ein Gebiet und f : G −→ C eine stetige Funktion. Gilt , f (z) dz = 0 ∂

f¨ ur jedes abgeschlossene Dreieck ⊂ G , so ist f holomorph. Hierbei sei ∂ die Randkurve‘ von , also ∂ = [z1 , z2 , z3 , z1 ] , falls

’ zu z1 , z2 , z3 gebildet ist.  Beweis: Aus der Integralbeziehung folgt zun¨ achst vgl. Seite 113, (A) =⇒  (B) , dass f lokal‘ eine Stammfunktion hat; nach 2. aus Satz 3 ist dann auch ’ f (lokal) holomorph.  Dabei haben wir die folgende Sprechweise benutzt: ∗

Giacinto Morera (1856–1909); italienischer Mathematiker

134

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

Eine Aussage gilt genau dann lokal“ in G, wenn sie f¨ ur jeden Punkt aus G ” auf einer geeigneten ε-Umgebung (⊂ G) gilt. Aus dem Satz von Morera und der 2. Fassung des Hauptsatzes — lokal auf eine konvexe Umgebung von a anwenden! — liest man nun ab: Satz 5 Ist G ⊂ C ein Gebiet und f : G −→ C eine stetige Funktion, die f¨ ur ein a ∈ G in G \ {a} holomorph ist, so ist f holomorph. Hier l¨ asst sich die Forderung der Stetigkeit von f (in a) noch abschw¨achen: Satz 6 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Es seien G ⊂ C ein Gebiet, a ∈ G und f : G −→ C eine in G \ {a} holomorphe Funktion; dazu existiere eine Umgebung U von a derart, dass f auf U \ {a} beschr¨ankt ist. Dann gibt es eine holomorphe Funktion h : G −→ C mit h(z) = f (z) f¨ ur z ∈ G \ {a} . Die Funktion f ist also unter diesen Voraussetzungen in a hinein holomorph fort’ setzbar‘. — Der Defekt‘ ist behebbar‘. ’ ’

Beweis:

Wir betrachten die Funktion & (z − a)f (z) , z ∈ G \ {a} F (z) := 0 , z = a

Die Beschr¨ anktheit von f in U \ {a} sichert die Stetigkeit von F (in a). Der vorangehende Satz liefert dann: F ist holomorph, speziell also in a differenzierbar. Daher existiert eine in a stetige Funktion h : G −→ C derart, dass F (z) = F (a) + h(z)(z − a) = h(z)(z − a) (z ∈ G). F¨ ur z ∈ G \ {a} ur h ergibt der vorangehende Satz schließlich: h ist ist h(z) = f (z). F¨ holomorph.  Satz 7 (Identit¨ atssatz) F¨ ur ein Gebiet G ⊂ C und zwei holomorphe Funktionen f, g : G −→ C sind ¨aquivalent: (i) f = g (ii) ∃ a ∈ G ∀ n ∈ N0

f (n) (a) = g (n) (a) ˙ ∩ G = ∅ und f (z) = g(z) f¨ (iii) Es existiert ein N ⊂ G mit N ur alle z ∈ N. Eine holomorphe Funktion ist also durch ihre Werte auf einer kleinen‘ Teilmenge ’ von G festgelegt, die Gesamtinformation schon darin enthalten!

5.3

Holomorphiekriterien

135

Wir erinnern daran, dass aus (iii) die Existenz von a ∈ G und zn ∈ N \ {a} (n ∈ N) folgt mit zn −→ a (n −→ ∞) und f (zn ) = g(zn ) f¨ ur n ∈ N. Beweis:

Œ g = 0 (sonst f − g betrachten)

Die Implikation (i) =⇒ (iii)‘ ist trivial. F¨ ur (iii) =⇒ (ii)‘ gehen wir von ’ ’ obigen Bezeichnungen aus und haben zun¨ achst ein r > 0 mit Uar ⊂ G und f (z) =

∞  f (ν) (a) (z − a)ν (z ∈ Uar ) . ν! ν=0 1 23 4 =: aν

zn −→ a ergibt 0 = f (zn ) −→ f (a), also f (a) (= f (0) (a)) = 0. Induktiv schließen wir: Falls f¨ ur ein k ∈ N0 schon 0 = f (0) (a) = · · · = f (k) (a) gilt, ∞    aν (z − a)ν = (z − a)k+1 ak+1 + ak+2 (z − a) + · · · ; hat man: f (z) = ν=k+1

speziell gilt zn ∈ Uar f¨ ur hinreichend großes n und   0 = f (zn ) − (zn − a)k+1 ak+1 + ak+2 (zn − a) + · · · ; 1 23 4 1 1 23 4 23 4 =0

= 0

−→ 0 (n−→ ∞)

das zeigt ak+1 = 0, also f (k+1) (a) = 0 . Den einfachen Beweis f¨ ur (ii) =⇒ (i)‘, der den Wegzusammenhang von G, ’ die Stetigkeit aller Ableitungen von f und die M¨oglichkeit der Potenzreihenentwicklung an jeder Stelle heranzieht, f¨ uhren wir hier nicht mehr aus.  Folgerung 8 Es seien G ⊂ C ein Gebiet und f : G −→ C eine holomorphe Funktion mit f = 0 (d. h. es existiert ein z ∈ G mit f (z) = 0). Dann hat jede Nullstelle von f endliche Ordnung, und die Menge der Nullstellen von f ist diskret. 1) f hat in a (∈ G) genau dann eine Nullstelle der Ordnung n“ ∗ (∈ N), ” wenn f (0) (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 und f (n) (a) = 0 . Man spricht auch von Vielfachheit“ statt Ordnung und einer n-fachen Nullstelle“. ” ” f hat in a (∈ G) genau dann eine Nullstelle der Ordnung ∞“, wenn ” ur alle n ∈ N0 gilt. f (n) (a) = 0 f¨ a heißt Nullstelle endlicher Ordnung“ von f , wenn a f¨ ur ein geeignetes ” n ∈ N eine n-fache Nullstelle ist. 2) Eine Teilmenge M von G heißt genau dann diskret“, wenn zu jedem ” Punkt z ∈ M eine Umgebung U ∈ Uz mit U ∩ M = {z} existiert. ∗

In der Literatur findet man dies auch im Sinne von mindestens der Ordnung n.

136

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

5.4 Integralformel fu ¨ r die Ableitungen Satz 9 (Integralformel f¨ ur die Ableitungen) Es seien G ein Gebiet in C, z0 ∈ G, f : G −→ C eine holomorphe Funktion ur alle z ∈ Uzr0 und n ∈ N0 : und 0 < r < ∞ mit Uzr0 ⊂ G. Dann gilt f¨ f

(n)

/

n! (z) = 2πi

|ζ−z0 | = r

f (ζ) dζ (ζ − z)n+1

Falls der Satz u ¨ber Differentiation unterm Integral‘ schon bekannt ist∗ , kann dies ’ direkt aus der Integralformel abgelesen werden. — Hier argumentieren wir wie auf Seite 130 f :



Beweis: F¨ ur z ∈ Uzr0 fest: Mit 0 <  < r − |z − z0 | nach Seite 131, (2) [dabei z statt z0 und  statt r]: / f (ζ) n! (n) dζ = r. S. f (z) = 2πi (ζ − z)n+1 |ζ−z| = 

vgl. Seite 130 f



Satz 10 (Absch¨ atzung f¨ ur Ableitungen nach Cauchy) Es seien G ⊂ C ein Gebiet, z0 ∈ G, f : G −→ C eine holomorphe Funktion ur jedes 0 < δ ≤ r , n ∈ N0 und z ∈ C mit und 0 < r < ∞ mit Uzr0 ⊂ G. F¨ |z − z0 | ≤ r − δ gilt dann:

(n)

f (z) ≤ r n! δ δn

max

|ζ−z0 | = r

|f (ζ)|

Beweis: In der Integralformel f¨ ur die Ableitungen ist |ζ − z| ≥ δ f¨ ur z mit |z − z0 | ≤ r − δ ; dann liefert die Integralabsch¨atzung (vgl. Seite 104) die Behauptung.  Folgerung 11 1.

|f (n) (z0 )| ≤

n! rn

max

|ζ−z0 | = r

|f (ζ)|

1’. |f (z0 )| ≤ max{|f (ζ)| : |ζ − z0 | = r} ∗

Wir werden ihn erst etwas sp¨ ater bereitstellen.

5.4 2.

3.

Integralformel f¨ ur die Ableitungen

137

r C =⇒ |f (n) (z)| ≤ n max |f (ζ)| mit 2 r |ζ−z0 | = r (von f und z unabh¨angigem) C ( = Cn ) > 0 |z − z0 | ≤

Ist an der n-te Koeffizient der Potenzreihenentwicklung von f um z0 , dann gilt: 1 |an | ≤ n max |f (ζ)| r |ζ−z0 | = r

Diese letzte Absch¨ atzung heißt Koeffizientenabsch¨atzung von Cauchy. Beweis:

1.: δ = r ; 1’.: In 1. n = 0 ; 2.: δ = r/2 ; 3.: Nach 1.



Bezeichnung: Eine in ganz C definierte und dort holomorphe (C-wertige) Funktion heißt ganze Funktion“. ” Bemerkung 12 Es seien f eine ganze Funktion, N ∈ N0 und M, R ∈ [0, ∞[ so, dass |f (z)| ≤ M |z|N f¨ ur z ∈ C mit |z| ≥ R . Dann ist f ein Polynom h¨ochstens N -ten Grades. Beweis:

Es existieren an ∈ C (n ∈ N0 ) so, dass f (z) =

∞ 

an z n

(z ∈ C)

n=0

(vgl. Seite 133). Nach der Koeffizientenabsch¨atzung von Cauchy hat man: |an | ≤ r1n · M · rN f¨ ur r ≥ R . Ist n > N , so zeigt r −→ ∞: an = 0 ; also N  gilt: f (z) = an z n  n=0

F¨ ur N = 0 ergibt sich die Folgerung 13

(Satz von Liouville)

Eine ganze Funktion, die (außerhalb eines geeigneten Kreises) beschr¨ankt ist, ist konstant. Im Reellen kennt man die beiden Beziehungen: (cos x)2 + (sin x)2 = 1 | cos x| ≤ 1

(x ∈ R) (x ∈ R)

Der Identit¨ atssatz zeigt (N := R, G := C): (cos z)2 + (sin z)2 = 1 (z ∈ C) Der Satz von Liouville zeigt: ∀ K ∈ ]0, ∞[ ∃ z ∈ C | cos z| ≥ K Mit Hilfe des Satzes von Liouville erh¨ alt man einen einfacheren Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (vgl. Seite 106):

138

Kapitel 5

F¨ ur n ∈ N, aν ∈ C P (z) :=

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

(ν = 0, . . . , n) mit an = 0 und n 

aν z ν

(z ∈ C)

(Polynom n-ten Grades)

ν=0

existiert ein α ∈ C mit P (α) = 0 . are P (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ C und Beweis: Œ an = 1. Indirekt: Sonst w¨ 1 damit h : C  z −→ P (z) ∈ C eine ganze Funktion. F¨ ur |z| −→ ∞ gilt

P (z) P (z) 1 z n −→ 1 ; daher existiert ein R ∈ ]0, ∞[ mit z n ≥ 2 , falls |z| ≥ R; damit ist |P (z)| ≥ 12 |z|n ≥ 12 Rn , also |h(z)| ≤ 2 · R−n (|z| ≥ R). Nach dem Satz von Liouville w¨ are h konstant, also auch P : Widerspruch!  Satz 14 (Satz von Weierstraß II)∗ Auf einem Gebiet G ⊂ C seien die Funktionen fn : G −→ C holomorph (n ∈ N) und f : G −→ C. Die Folge (fn ) konvergiere gegen f in G lokal gleichm¨aßig“. ◦ ) ” Dann ist die Grenzfunktion f holomorph, und f¨ ur jedes k ∈ N konvergiert  (k)  die Folge der k-ten Ableitungen fn gegen f (k) in G lokal gleichm¨aßig. ◦

)

Das heißt:

∀ a ∈ G ∃ U ∈ Ua

U ⊂ G ∧ fn (z) =⇒ f (z) (n −→ ∞) U

Dies ist ¨ aquivalent zu: ∀ K (kompakt, ⊂ G) fn (z) =⇒ f (z) (n −→ ∞) K

¨ Beweis (dieser Aquivalenz): In der nicht-trivialen Richtung hat man zu a ∈ K eine offene Umgebung Ua ⊂ G mit fn (z) =⇒ f (z). Dann gilt — Ua 0 Ua ; dort hat man gleichm¨aßige wegen der Kompaktheit von K — K ⊂ endlich

Konvergenz. Beweis (von Satz 14): a) Die Stetigkeit von f folgt nach dem Satz von Weierstraß (Seite 45). b) F¨ ur den Holomorphienachweis ziehen wir . den Satz von Morera heran: F¨ ur ein (kompaktes) Dreieck ⊂ G ist fn (z) dz = 0 ; denn es existiert ∂

ein konvexes Gebiet G0 mit ⊂ G0 ⊂ G . Nach Bemerkung 2 hat man: . . . fn (z) dz −→ f (z) dz , also f (z) dz = 0 . ∂

∂

∂

a) und der Satz von Morera liefern nun die Holomorphie von f . ∗

Bei Weierstraß als Doppelreihensatz“ bezeichnet, da f¨ ur Potenzreihen notiert. ”

5.4

Integralformel f¨ ur die Ableitungen

139

c) Zu a ∈ G existiert ein r > 0 mit Uar ⊂ G ∧ fn (z) =⇒ f (z); 2. aus r Folgerung 11 (angewandt auf fn − f ) liefert dann

Ua (k) fn (z) =⇒ r/2 Ua

f (k) (z). 

Hilfssatz 15 Es seien O eine offene Teilmenge von C, a ∈ O und r ∈ ]0, ∞[ mit Uar ⊂ O . Gilt dann |f (a)| < min{|f (z)| : |z − a| = r} f¨ ur eine holomorphe Funktion f : O −→ C , so hat diese in Uar eine Nullstelle. Beweis: (Indirekt:) Sonst w¨ are f (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Uar und dann — nach Voraussetzung — auch f (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Uar . Dann existiert r < R < ∞ ur z ∈ O . Wir bemit Uar ⊂ UaR =: O ⊂ O derart, dass f (z) = 0 f¨ 1  trachten h(z) := f (z) f¨ ur z ∈ O und erhalten nach 1’. aus Folgerung 11: |h(a)| ≤ max{|h(z)| : |z − a| = r}, also |f (a)| ≥ min{|f (z)| : |z − a| = r} : Widerspruch!  Mit diesem Hilfssatz erhalten wir nun — verh¨altnism¨aßig einfach — den wichtigen Satz 16 (Satz u ¨ ber Gebietstreue) Ist eine holomorphe Funktion f : G −→ C auf einem Gebiet G ⊂ C nicht konstant, so ist auch f (G) ein Gebiet. Z. B. liest man hieraus ab: Auf einem Gebiet holomorphe Funktionen mit konstantem Realteil (oder Imagin¨ arteil oder Betrag) sind selbst konstant; denn die Bildmenge ist jeweils nicht offen!

Beweis: Dass f (G) wegzusammenh¨angend ist, haben wir schon in Bemerkung 4 aus Kapitel 2 — als Trivialit¨ at — vermerkt. Es ist also nur noch zu zeigen, dass f (G) offen ist: Dazu sei b ∈ f (G) fest gew¨ahlt. Dann existiert ein a ∈ G mit f (a) = b . Nach Folgerung 8 — angewandt auf die Funktion ur alle z → f (z) − b — existiert ein 0 < r < ∞ mit Uar ⊂ G und f (z) = b f¨ z ∈ Uar \ {a} . Mit ε := 12 min{|f (z) − b| : |z − a| = r} > 0 zeigen wir Ubε ⊂ f (G) (damit ist f (G) offen): F¨ ur festes w ∈ Ubε gilt |f (a) − w| = |b − w| < ε ; f¨ ur z ∈ C mit |z − a| = r also |f (z) − w| ≥ |f (z) − b| − |b − w| > 2 ε − ε = ε. Der Hilfssatz — angewandt auf h : G  z −→ f (z) − w ∈ C — zeigt: h hat eine Nullstelle in Uar ; es existiert somit ein z ∈ Uar (⊂ G) mit f (z) = w. 

140

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

Satz 17 (Prinzip vom Maximum) Es seien G ⊂ C ein Gebiet und f : G −→ C eine holomorphe Funktion. 1. Besitzt die Funktion G  z −→ |f (z)| ∈ R ein lokales Maximum, so ist f konstant. 2. Ist zudem G beschr¨ankt und f auf G stetig (fortsetzbar)∗ , dann gilt:   max |f (z)| : z ∈ G = max |f (z)| : z ∈ ∂G Beweis: ur alle 1.: Es existieren a ∈ G und r > 0 mit Uar ⊂ G und |f (z)| ≤ |f (a)| f¨ z ∈ Uar , daher ist f (Uar ) nicht offen.

Nach dem Satz u ¨ ber Gebietstreue ist somit f|U r konstant; nach dem a Identit¨ atssatz folgt dann die Konstanz von f . 2.: Œ sei f nicht konstant (sonst ist die Behauptung trivial). Es existiert — da G kompakt und f : G −→ C stetig ist — ein a ∈ G mit |f (a)| = max{|f (z)| : z ∈ G}. Nach 1. geh¨ ort a nicht zu G, also a ∈ ∂G.  Folgerung 18 (Prinzip vom Minimum) Es seien wieder G ein Gebiet in C, f : G −→ C eine holomorphe Funktion und a ∈ G. 1. Hat die Betragsfunktion G  z −→ |f (z)| ∈ R in a ein lokales Minimum, dann ist a eine Nullstelle von f , oder f ist konstant. ur 2. Ist zudem G beschr¨ankt, f auf G stetig (fortsetzbar) und f (z) = 0 f¨ z ∈ ∂G, dann hat f eine Nullstelle in G, oder es gilt:   min |f (z)| : z ∈ G = min |f (z)| : z ∈ ∂G . Beweis: ur ein geeignetes ε > 0. 1. Ist f (a) = 0 , dann gilt f (z) = 0 (z ∈ Uaε ⊂ G) f¨ Das Prinzip vom Maximum, angewandt auf g(z) := 1/f (z) (z ∈ Uaε ), liefert die Konstanz von f auf Uaε und (Identit¨atssatz) dann auf G. ∗

Auch die Fortsetzung sei hier und in der n¨ achsten Folgerung mit dem gleichen Symbol f bezeichnet. Die Funktion |f | nimmt also das Maximum auf dem Rand von G an.

5.4

Integralformel f¨ ur die Ableitungen

141

2. Ist f (z) = 0 f¨ ur z ∈ G, dann folgt die Behauptung durch Anwendung des Prinzips vom Maximum auf g(z) := 1/f (z) (z ∈ G) .  Differentiation unterm Integral∗ Hilfssatz 19 Es seien G ein Gebiet in C , −∞ < α < β < ∞ und  F : [α, β] × G −→ C eine stetige Funktion, f¨ ur die F (t, ·) : G  z −→ F (t, z) ∈ C f¨ ur alle t ∈ [α, β] holomorph ist. ,β F¨ ur

f (z) :=

F (t, z) dt

(•)

  z∈G

α

gelten:

a) f ist holomorph. b) D2 F : (t, z) −→ ∂F ullt (•) entsprechend, d. h. ∂z (t, z) erf¨ ur alle t ∈ [α, β] ist D2 F : [α, β] × G −→ C ist stetig, und f¨ D2 F (t, ·) : G  z −→ D2 F (t, z) ∈ C holomorph.   .β c) f  (z) = D2 F (t, z) dt z∈G α

Nat¨ urlich gilt die Aussage dann entsprechend (induktiv!) f¨ ur die k-te Ableitung. Beweis: ∗∗ Es sei K eine kompakte Menge in G. F¨ ur n ∈ N betrachten wir eine ¨ aquidistante Zerlegung von [α, β]: β−α (ν = 0, . . . , n) und damit: n n n     (n) β−α  (n)  fn (z) := = F t(n) , z t − t F (t(n) ν ν ν , z) ν−1 n ν=1 ν=1 := α + ν · t(n) ν

(z ∈ G)

Dann sind die fn holomorph, und mit der gleichm¨aßigen Stetigkeit von F auf der kompakten Menge [α, β] × K folgt fn (z) =⇒ f (z) (n → ∞). Es K

gilt also fn (z) −→ f (z) in G lokal gleichm¨ aßig. Nach dem Satz von Weierstraß II folgen daher a) und n β−α    D2 F (t(n) aßig. ν , z) = fn (z) −→ f (z) lokal gleichm¨ n ν=1 ∗ ∗∗

()

Mit st¨ arkeren integrationstheoretischen Hilfsmitteln lassen sich die folgenden ¨ Uberlegungen sch¨ oner und einfacher machen. Wir setzen — anders als meist zu lesen — die Stetigkeit von D2 F nicht voraus. Daher ist der Beweis — mit einer interessanten Anwendung des Satzes von Weierstrass II — etwas aufwendiger.

142

Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

Wir kommen damit zum Beweis von b): F¨ ur z0 ∈ G existiert ein 0 < r < ∞ mit Uzr0 ⊂ G. F¨ ur z ∈ Uzr0 und t ∈ [α, β] hat man nach der Integralformel f¨ ur die Ableitung: / F (t, ζ) 1 dζ D2 F (t, z) = 2πi (ζ − z)2 |ζ−z0 |=r

=

1 2π

,2π 0

F (t, z0 + r exp(iϕ)) r exp(iϕ) dϕ (z0 + r exp(iϕ) − z)2 23 4 1 als Funktion von (t, ϕ, z) stetig

Hierbei haben wir nat¨ urlich die u ¨ bliche Parameterdarstellung eingesetzt: [0, 2π] ϕ −→ z0 + r exp(iϕ) ∈ C

Nach einer Standard¨ uberlegung der mehrdimensionalen reellen Analysis — nat¨ urlich angewandt auf Real- und Imagin¨ arteil — folgt daraus: D2 F ist stetig in [α, β] × Uzr0 . Damit ist b) gezeigt. ¨ c) erh¨ alt man abschließend durch Anwendung der ersten Uberlegung zu a)  auf D2 F unter Beachtung von (). Satz 20 Es seien G ein Gebiet in C, C ∈ KC und  F : (C) × G −→ C eine stetige Funktion, f¨ ur die F (v, ·) : G  z −→ F (v, z) ∈ C f¨ ur alle v ∈ (C) holomorph ist. ,   F¨ ur f (z) := F (v, z) dv z∈G

(•)

C

gelten:

a) f ist holomorph. ullt (•) entsprechend, d. h. b) D2 F erf¨ ur alle v ∈ (C) ist D2 F : (C) × G −→ C ist stetig, und f¨ D2 F (v, ·) : G  z −→ D2 F (v, z) ∈ C holomorph. . c) f  (z) = D2 F (v, z) dv (z ∈ G) C

Beweis: Œ k¨ onnen wir von der Existenz einer stetig differenzierbaren Parameterdarstellung g von C ausgehen (sonst Teilintervalle betrachten): Das zugeh¨ orige Parameter-Intervall sei [α, β]: . .β Dann ist F (v, z) dv = F (g(t), z)g  (t) dt. Auf H kann nun Hilfssatz 19 23 4 α 1 C =: H(t, z) angewendet werden. 

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: plots-Paket: complexplot3d, setoptions3d, spacecurve Optionen: style=patchcontour, contours numer, denom mul, add series, taylor, Order convert(..., parfrac, ...)

5.1 Integralformel Beispiel 1 Wir berechnen das Integral , C

ez dz z2 + 2 z

l¨ angs des positiv orientierten, einfach durchlaufenen Kreises C um den Punkt i mit Radius 3. > restart: with(plots): with(plottools): F := z -> exp(z)/(z^2+2*z);

F := z −→

ez z2 + 2 z

> a := I: r := 3: # Parameterdarstellung f¨ ur C: assume(t,real): g := t -> a+r*exp(I*t); # t=0..2*Pi

g := t −→ a + r ei t

144

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

> Int_0 := Int(F(z),z=C..‘‘):

Direkte Berechnung des Kurvenintegrals: > F(g(t))*diff(g(t),t); evalc(%): combine(%): it

3 i e(i+3 e ) ei t (i + 3 ei t )2 + 2 i + 6 ei t > Int_0 = int(%,t=0..2*Pi);

,

ez

z2 + 2 z C, 2 π

dz

− 27 e3 cos(t) sin(1 + 3 sin(t) − t) + 3 e3 cos(t) sin(1 + 3 sin(t) + t)  +18 e3 cos(t) cos(1 + 3 sin(t)) − 18 e3 cos(t) sin(1 + 3 sin(t)) + · · · /(· · · ) dt =

0

Maple schafft es offenbar nicht, das Integral auf der rechten Seite zu berechnen. Im zweiten Versuch soll nun die Integralformel ins Spiel gebracht werden. Wir l¨ osen das Problem Schritt f¨ ur Schritt und beschreiben das Vorgehen so allgemein, dass es gleich auch auf die folgenden Beispiele anwendbar ist. Der Integrand habe die Form F = Z¨ahler/Nenner, wobei Z¨ahler eine in einem C umfassenden Gebiet holomorphe Funktion und Nenner eine Polynomfunktion sei. > Zaehler := numer(F(z)); Nenner z

Zaehler := e ,

:= denom(F(z));

Nenner := z (z + 2)

> Nullstellen := [solve(Nenner)];

Nullstellen := [0, −2] Um sicher zu sein, auch alle Nullstellen erhalten zu haben, machen wir folgenden Test:

5

> for zeta in Nullstellen do if type(zeta,RootOf) then error "Maple hat nicht alle Nullstellen gefunden." end if: end do: Nenner := lcoeff(Nenner)*mul(z-zeta,zeta=Nullstellen):

Nenner‘ wird jetzt in faktorisierter Form dargestellt. Dies ist sinnvoll im ’ Hinblick auf die Hilfsfunktion H weiter unten. ¨ Wir klassifizieren die Nullstellen danach, ob sie im Inneren, im Außeren bzw. auf dem Kreis C liegen:

5.1

Integralformel

(MWS)

145

> Innen := select(z->is(abs(z-a)is(abs(z-a)>r),Nullstellen); Peripherie := select(z->abs(z-a)=r,Nullstellen);

Innen := [0, −2] ,

5

Aussen := [ ] ,

Peripherie := [ ]

> if Peripherie <> [] then error "Nullstelle des Nenners auf dem Integrationsweg!" end if; if Aussen=[] then R := (1+sqrt(5))/2*r else R := min(seq(evalc(abs(z-a)),z=Aussen)) end if; # Gelegentlich benutzen wir wie hier den Faktor (1+sqrt(5))/2 # (Goldener Schnitt!), ohne dies immer wieder zu erw¨ ahnen.

R :=

3√ 3 5+ 2 2

Bei der Anwendung der Integralformel wird als Gebiet die offene Kreisscheibe um a mit Radius R zugrundegelegt, die in der folgenden Abbildung grau gezeichnet ist. Die Kurve C ist darin schwarz eingezeichnet.

5

10

> read "../verdi.txt": c1 := 0.11: c2 := 0.02: Kreis := complexplot(g,0..2*Pi,color=black): Pfeil := pfeil(g,Pi-c1/2*R/r,c1*R,black): Mitte := disk(c2p(a),c2*R,color=white,style=patchnogrid): dots := seq(disk(c2p(z),0.8*c2*R,color=black),z=Nullstellen): Gebiet:= disk(c2p(a),R,color=gray,style=patchnogrid): tplot := textplot([Re(a)+1.18*r,Im(a),"C"]): Punkte:= [op(Nullstellen),a]: TICKS := tickmarks=[[seq(evalf(Re(z))=convert(Re(z),string), z=Punkte)],[seq(evalf(Im(z))=convert(Im(z),string),z=Punkte)]]: p := display(Pfeil,Kreis,Mitte,dots,Gebiet,tplot,font=[TIMES, ITALIC,16],TICKS,axes=frame,thickness=2,scaling=constrained):

Die Cauchysche Integralformel ist — bei beliebigem Z¨ahler — nur anwendbar, wenn die Nullstellen des Nenners im Kurveninneren alle einfach sind:

5

> Abl := diff(Nenner,z): for zeta in Innen do if subs(z=zeta,Abl)=0 then error "Einfache Integralformel nicht anwendbar!" end if end do:

Das zu berechnende Kurvenintegral l¨ asst sich mittels Partialbruchzerlegung folgendermaßen aufspalten: > q := mul(z-zeta,zeta=Innen);

q := z (z + 2)

146

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

> H := normal(Zaehler*q/Nenner); # Hilfsfunktion

H := ez > convert(1/q,parfrac,z);

1 1 − 2 z 2 (z + 2) > Int_0 = sum(Int(H*op(j,%),z=C..‘‘),j=1..nops(%));

, C

ez dz = z2 + 2 z

, C

1 ez dz + 2 z

, − C

1 ez dz 2 z+2

Die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung kann man auch direkt berechnen: > normal((z-Innen[1])/q): c_1 := subs(z=Innen[1],%); normal((z-Innen[2])/q): c_2 := subs(z=Innen[2],%);

c1 :=

1 , 2

c2 := −

1 2

Anwendung der Integralformel auf die Integrale der rechten Seite ergibt dann: > Int_0 = simplify(2*Pi*I*(c_1*subs(z=Innen[1],H)+c_2*subs(z=Innen[2],H)));

, C

z2

ez dz = i π (1 − e−2 ) +2z

Dieses Resultat l¨ asst sich in kompakterer Form auch so berechnen:∗ > add(subs(z=zeta,normal(H*(z-zeta)/q)),zeta=Innen): Erg := simplify(evalc(2*Pi*I*%)):

Zum Schluss geben wir den — jetzt auf diese Weise berechneten — Wert des Kurvenintegrals und die Abbildung aus: > Int(F(z),z=C..‘‘) = Erg; p;

, C ∗

  ez dz = i π 1 − e−2 2 z +2z

¨ An dieser Stelle sieht der Kenner, dass die Uberlegungen eng verwandt sind mit dem Residuensatz, den wir erst in Abschnitt 7.3 kennlernen.

5.1

Integralformel

(MWS)

147

Die oben beschriebene Berechnung des Kurvenintegrals haben wir in einer Prozedur IntFormel(F,a,r) mit den Parametern F (Funktion), a und r (Mittelpunkt bzw. Radius des Kreises C) verpackt‘. P := IntFormel(F, a, r); ’ liefert den Wert P [1] des Kurvenintegrals sowie eine Plotstruktur P [2], mit der die erzeugte Abbildung ausgegeben werden kann. Durch den Aufruf read "../cauchy.txt": wird die Prozedur bereitgestellt. Beispiel 2 Wir berechnen das Integral , C

4 z4 − 3 z2 + 5 dz (z − 1) (z + 5)

l¨ angs des positiv orientierten, einfach durchlaufenen Kreises C um den Punkt 0 mit Radius 2 direkt und mit Hilfe der Integralformel. > restart: with(plots): with(plottools): read "../cauchy.txt": F := z -> (4*z^4-3*z^2+5)/((z-1)*(z+5)); a := 0: r := 2: # Mittelpunkt und Radius des Kreises

F := z −→

4 z4 − 3 z2 + 5 (z − 1) (z + 5)

> Int_0 := Int(F(z),z=C..‘‘):

Direkte Berechnung des Kurvenintegrals: > g := t -> a+r*exp(I*t): # Parameterdarstellung des Kreises Int_0 = Int(simplify(F(g(t))*diff(g(t),t)),t=0..2*Pi);

, C

4 z4 − 3 z2 + 5 dz = (z − 1) (z + 5)

> Int_0 = value(rhs(%));

, 0

2π

2 i (64 e4 i t − 12 e2 i t + 5) ei t dt (2 ei t − 1) (2 ei t + 5)

148

MWS zu Kapitel 5 , C

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

4 z4 − 3 z2 + 5 dz = 2 i π (z − 1) (z + 5)

Wir best¨ atigen die Richtigkeit dieses Ergebnisses, indem wir das Kurvenintegral mittels der Integralformel berechnen: > P := IntFormel(F,a,r): display(P[2]); Int(F(z),z=C..‘‘) = P[1];

, C

4 z4 − 3 z2 + 5 dz = 2 i π (z − 1) (z + 5)

Beispiel 3 Wir berechnen das Integral , C

1 dz (z 2 − 4 z + 4) (z − 6 − i)

l¨ angs des positiv orientierten, einfach durchlaufenen Kreises C um den Punkt 5 mit Radius 2. > restart: with(plots): with(plottools): read "../cauchy.txt": F := z -> 1/((z^2-4*z+4)*(z-6-I));

F := z −→

1 (z 2 − 4 z + 4) (z − 6 − i)

> P := IntFormel(F,5,2): Int(F(z),z=C..‘‘) = P[1]; display(P[2]);

, C

16 30 1 dz = π+ iπ (z 2 − 4 z + 4) (z − 6 − i) 289 289

5.2

Potenzreihenentwicklung

(MWS)

149

5.2 Potenzreihenentwicklung Beispiel 1: Rationale Funktionen Wir berechnen die Potenzreihenentwicklung von f =

1 um 0 . z2 − 4 z + 3

> restart: f := 1/(z^2-4*z+3);

f :=

1 z2 − 4 z + 3

Mittels Partialbruchzerlegung lassen sich die Entwicklungskoeffizienten sehr einfach berechnen: > convert(f,parfrac,z);

−

1 1 + 2 (z − 1) 2 (z − 3)

> f_1 := op(1,%); f_2 := op(2,%%);

f1 := −

1 , 2 (z − 1)

f2 :=

1 2 (z − 3)

Der folgende einfache Maple-Befehl liefert den Anfang der Reihenentwicklung von f1 um 0 : > taylor(f_1,z=0);

1 1 1 1 1 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + O(z 6 ) 2 2 2 2 2 2 Es wird die Entwicklung bis zur Ordnung 5 mit dem Rest O(z 6 ) ausgegeben. Gleichwertig ist folgender Befehl:

150

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

> series(f_1,z=0):

Will man die Ordnung ver¨ andern, kann dies durch eine Wertzuweisung an die Umgebungsvariable Order — sie ist auf den Wert 6 voreingestellt — oder ¨ durch Ubergabe eines weiteren Parameters an taylor bzw. series geschehen: > s_1 := taylor(f_1,z=0,12);

s1 :=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 + z 7 + z 8 + z 9 + z 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 + z 11 + O(z 12 ) 2

Man erkennt leicht, dass f1 folgende Potenzreihenentwicklung um z0 = 0 besitzt, was der ge¨ ubte Leser nat¨ urlich auch ohne Maple sofort aus der geometrischen Reihe abliest: > Sum(z^n/2,n=0..infinity): % = value(%); ∞  1 n 1 z = − 2 2 (z − 1) n=0

Diese Reihe hat bekanntlich den Konvergenzradius R = 1 . Analog verf¨ahrt man mit f2 : > Order := 8: s_2 := taylor(f_2,z=0);

1 1 2 1 1 3 1 4 1 1 z− z − z − z − z5 − z6 s2 := − − 6 18 54 162 486 1458 4374 1 z 7 + O(z 8 ) − 13122 1 Schreibt man f2 in der Gestalt − 16 1−z/3 , so erh¨alt man — wieder u ¨ ber die geometrische Reihe — folgende Potenzreihenentwicklung:

> Sum(-(z/3)^n/6,n=0..infinity): % = value(%);

n

∞  1 1 1 z − = 6 3 2 (z − 3) n=0 Offensichtlich hat diese Reihe den Konvergenzradius R = 3 . Durch Zusammensetzen beider Reihen ergibt sich f¨ ur f folgende Potenzreihenentwicklung um z0 = 0 mit Konvergenzradius 1 : > Sum(1/2*(1-1/3^(n+1))*z^n,n=0..infinity): % = value(%);

5.2

Potenzreihenentwicklung

(MWS)

151

∞  1 1 1 1 − n+1 z n = 2 2 3 z −4z +3 n=0 Betrachten wir die gleiche rationale Funktion f¨ ur den Entwicklungspunkt z0 = i , so haben die Nenner folgende Gestalt: > N_1 := taylor(1/f_1,z=I); N_2 := taylor(1/f_2,z=I);

N1 := 2 − 2 i − 2 (z − i) ,

N2 := −6 + 2 i + 2 (z − i)

Hier haben wir nat¨ urlich mit Kanonen auf Spatzen geschossen (und getroffen). Auch die folgenden beiden Maple-Anweisungen sind nicht sonderlich elegant. Wir leisten uns mal den Luxus der Umst¨andlichkeit, um f1 bzw. f2 in der Form a/(1 − b(z − i)) zu schreiben: > 1/coeff(N_1,z-I,0)/(1+coeff(N_1,z-I,1)/coeff(N_1,z-I,0)*(z-I)): normal(%) = %; 1/coeff(N_2,z-I,0)/(1+coeff(N_2,z-I,1)/coeff(N_2,z-I,0)*(z-I)): normal(%) = %;

1 = − 2 (z − 1)

1 1 + i 4 4

, 1 1 + i (z − i) 1− 2 2

1 = 2(z − 3)

1 3 − i 20 20

3 1 + i (z − i) 1− 10 10 −

Man erkennt daraus (geometrische Reihe!) folgende Reihenentwicklungen: > (1/4+1/4*I)*Sum(((1/2+1/2*I)*(z-I))^n,n=0..infinity): % = value(%); (-3/20-1/20*I)*Sum(((3/10+1/10*I)*(z-I))^n,n=0..infinity): % = value(%);



n ∞ 1 1 1 + i (z − i) = − 2 2 2 (z − 1)

n=0

n ∞  1 1 3 1 3 i + i (z − i) = − − 20 20 10 10 2 (z − 3) n=0

1 1 + i 4 4

atten wir z. B. den Reihenanfang von f1 Mit dem Befehl taylor(f 1,z=i) h¨ leichter erhalten. Die Summe dieser beiden Reihen ergibt die Potenzreihe um i der rationalen Funktion 1/(z 2 −4 z+3) , und diese hat den Konvergenzradius > R = min(abs(I-1),abs(I-3));

R =

√ 2

152

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

Beispiel 2: Logarithmus > restart: log(1+z) = taylor(log(1+z),z=0,8);

ln(1 + z) = z −

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 z + z − z + z − z + z + O(z 8 ) 2 3 4 5 6 7

Dies ergibt offensichtlich folgende Potenzreihenentwicklung f¨ ur die Logarithmusfunktion: > Sum((-1)^(n+1)*z^n/n,n=1..infinity): % = value(%); ∞  (−1)n+1 z n = ln(1 + z) n n=1

Man gelangt auch u ¨ ber die (bekannte) Potenzreihenentwicklung der Ableitung leicht zur gesuchten Entwicklung: > diff(log(1+z),z);

1 1+z

> Sum((-1)^n*z^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞ 

(−1)n z n =

n=0

1 1+z

> Sum(int((-1)^n*z^n,z),n=0..infinity) = int(rhs(%),z); ∞  (−1)n z n+1 = ln(1 + z) n+1 n=0

Eigentlich k¨ onnten die linke und die rechte Seite sich noch um eine additive Konstante c unterscheiden. Einsetzen von z = 0 ergibt jedoch c = 0 . Nat¨ urlich sind auch andere Entwicklungspunkte m¨oglich: > z0 := 2+I: log(z) = taylor(log(z),z=z0,5);



3 2 (z − 2 − i) + − + i (z − 2 − i)2 ln(z) = ln(2 + i) + 50 25



  2 7 11 6 − i (z −2−i)3 + + i (z −2−i)4 +O (z −2−i)5 + 375 375 2500 625

2 1 − i 5 5



Auf diese Weise ist das allgemeine Bildungsgesetz der Koeffizienten nur schwer erkennbar. Wir versuchen es deshalb erneut u ¨ ber die Potenzreihenentwicklung der Ableitung. Aus der Umformung z = (1 + (z − z0 )/z0 ) z0 ergibt sich unmittelbar:

5.2

Potenzreihenentwicklung

(MWS)

153

> 1/z0*Sum((-(z-z0)/z0)^n,n=0..infinity): % = value(%);



2 1 − i 5 5



n ∞ 1 2 1 = − + i (z − 2 − i) 5 5 z n=0

> log(z)-1/z0*Sum(-z0*(-(z-z0)/z0)^(n+1)/(n+1),n=0..infinity): % = simplify(value(%),symbolic);

ln(z) −

2 5

−

1 5

 n+1 ∞   (−2 − i) (− 25 + 15 i) (z − 2 − i) = −ln 25 − i n + 1 n=0

1 5

i



Das optionale Schl¨ usselwort symbolic bewirkt weitergehende Vereinfachungen. F¨ ur Maple scheint die rechte Seite eine einfachere Darstellung f¨ ur log(2 + i) zu sein. Die gew¨ unschte Reihenentwicklung lautet folglich: > op(1,lhs(%)) = log(z0)-op(2,lhs(%));

ln(z) = ln(2 + i) +

( 25

−

1 5

 n+1 ∞  (−2 − i) (− 25 + 15 i) (z − 2 − i) i) n+1 n=0

Es sei noch erw¨ ahnt, dass die Potenzreihe folgenden Konvergenzradius hat: > R = abs(z0);

R =

√ 5

Und nun noch ein letztes Beispiel hierzu: > taylor(log(z),z=0);

Error, does not have a taylor expansion, try series() Diese Fehlermeldung ist nicht u ¨ berraschend, denn um z = 0 ist log nicht holomorph und deshalb nicht in eine Potenzreihe entwickelbar. Beispiel 3: Tangens > restart: tan(z) = taylor(tan(z),z=0,13);

tan(z) = z +

  1 3 2 5 17 7 62 9 1382 11 z + z + z + z + z + O z 13 3 15 315 2835 155925

In diesem Falle kann man die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung nicht so leicht explizit angeben. Genauere Untersuchungen ergeben einen Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen. Der interessierte Leser findet dies zum Beispiel in [Hen, S. 112] ausgef¨ uhrt.

154

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

5.4 Integralformel fu ¨ r die Ableitungen Differentiation unter dem Integral Die Cauchysche Integralformel 1 f (z) = 2πi

, C

f (ζ) dζ ζ −z

aus Abschnitt 5.1 dr¨ uckt die holomorphe Funktion f durch ein komplexes Parameterintegral aus. Diese Formel kann durch Differentiation unter dem Integral auf die Ableitungen u ¨bertragen werden. Dazu sei folgende Situation betrachtet: Es seien G ein Gebiet und C eine stetige, rektifizierbare Kurve in der komplexen Ebene. F : (C) × G −→ C sei eine stetige Funktion, und f¨ ur alle ζ ∈ (C) sei z −→ F (ζ, z) holomorph in G. Dann ist die durch > restart: Int(F(zeta,z),zeta=C..‘‘): f := unapply(%,z): ’f(z)’ = f(z);

, f (z) =

F (ζ, z) dζ C

definierte Funktion f holomorph in G, und es gilt > Diff(’f(z)’,z) = diff(f(z),z); d dz

,

f (z) = C

∂ ∂z

F (ζ, z) dζ

Beispiel Es sei C der positiv orientierte, einfach durchlaufene Einheitskreis. > restart: F := 1/(zeta*(zeta-z)): f := Int(F,zeta=C..‘‘): f := unapply(f,z): ’f(z)’ = f(z);

, f (z) = C

1 dζ ζ (ζ − z)

Mittels Partialbruchzerlegung folgt dann im Inneren des Einheitskreises f¨ ur z = 0 : > convert(F,parfrac,zeta);

−

1 1 + zζ z (ζ − z)

> ’f(z)’ = 2*Pi*I*(subs(zeta=0,simplify(%*zeta)) + subs(zeta=z,simplify(%*(zeta-z))));

5.4

Integralformel f¨ ur die Ableitungen

(MWS)

155

f (z) = 0 . Zudem gilt f (0) = 0 , da f (0) = C ζ12 dζ ist und zu dem Integranden ei¨ ne Stammfunktion existiert. Im Außeren des Einheitskreises gilt nach der Integralformel > ’f(z)’ = 2*Pi*I*subs(zeta=0,simplify(F*zeta));

f (z) =

−2 i π z

Dies steht im Einklang mit > diff(f(z),z) = diff(rhs(%),z);

,

C

1 2iπ dζ = ζ (ζ − z)2 z2

Integralformel f¨ ur Ableitungen Beispiel 1 Wir berechnen das Integral , C

1 dz (1 − z 2 )2 (1 + z 2 )3

l¨ angs des positiv einfach durchlaufenen Kreises C um den Punkt √   orientierten, i mit Radius 1 + 5 /2 . > restart: with(plots): with(plottools): F := z -> 1/((1-z^2)^2*(1+z^2)^3);

F := z −→ > a := I: r := (1+sqrt(5))/2: g := t -> a+r*exp(I*t): Int_0 := Int(F(z),z=C..‘‘):

(1 −

1 (1 + z 2 )3

z 2 )2

# Mittelpunkt und Radius der Kurve C # t=0..2*Pi

Wir gehen zun¨ achst wie in Abschnitt 5.1 vor und verzichten deshalb auf eine Wiedergabe der dort gemachten Ausf¨ uhrungen. Genauer handelt es sich um die Folge von Maple-Anweisungen, die auf Seite 144 mit Zaehler := numer(F(z)); Nenner := denom(F(z)); beginnt und auf Seite 145 mit der Anweisungsgruppe f¨ ur die Graphik p endet. Um die Cauchysche Integralformel f¨ ur Ableitungen anwenden zu k¨onnen, ermitteln wir die Vielfachheiten der Nullstellen des Nenners im Inneren:

156

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

> ListTools[Categorize]((x,y)->x=y,Innen); Vfh := map(z->[op(1,z),nops(z)],[%]);

[1, 1], [−1, −1], [i, i, i] ,

Vfh := [[1, 2], [−1, 2], [i, 3]]

ListTools[Categorize] liefert also eine Partition der in Uar liegenden Nullstellen. Die neudefinierte Liste Vfh gibt dann zugleich die im Inneren von C liegenden Nullstellen sowie deren Vielfachheit an. F¨ ur Nutzer, die nicht u ¨ ber das ListTools-Paket verf¨ ugen, folgt eine Alternativl¨osung: >

5

M_Innen := convert(convert(Innnen,set),list); # M_Innen enth¨ alt die Elemente von Innen nur einfach. seq(select(u->u=v,Innen),v=M_Innen): map(nops,[%]): # Vielfachheiten der Elemente von Innen Vfh := zip((x,y)->[x,y],M_Innen,%):

Das zu berechnende Kurvenintegral l¨ asst sich mittels Partialbruchzerlegung folgendermaßen aufspalten: > q := mul((z-zeta[1])^zeta[2],zeta=Vfh); H := unapply(normal(Zaehler*q/Nenner),z); # Hilfsfunktion

q := (z − 1)2 (z + 1)2 (z − i)3 ,

H := z −→

1 (z + i)3

> convert(1/q,parfrac,z);

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + i − i + i + i i 1 16 16 + 4 16 + 16 16 + 4 16 + 2 + (z − 1)2 z−1 (z + 1)2 z+1 4 (z − i)3 (z − i)2 1 − 2 (z − i) −

> Int_0 = add(Int(’H(z)’*op(j,%),z=C..‘‘),j=1..nops(%));

, C

1 dz = 2 2 (1 − z ) (1 + z 2 )3

, C

1 1 (− 16 + 16 i) H(z) dz + · · · (z − 1)2

Die Integrale auf der rechten Seite kann man direkt mit der Cauchyschen Integralformel f¨ ur die Ableitungen berechnen. Wir ber¨ ucksichtigen dabei, dass die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung ⎛ ⎞ nκ k   A 1 j, κ ⎝ ⎠ = j q (z − z ) κ κ=1 j=1 durch

5.4

Integralformel f¨ ur die Ableitungen Dj Anκ −j, κ =



(z−zκ )nκ q

j!

(MWS)

157

 (zκ )

(j = 0, . . . , nκ − 1)

gegeben sind. Hierbei bezeichnen z1 , . . . , zk die paarweise verschiedenen Nullstellen im Inneren und nκ die Vielfachheit von zκ (κ = 1, . . . , k). Das Integral l¨ asst sich somit in der folgenden kompakten Form berechnen:

5

10

> Folge := NULL: for zeta in Vfh do h := unapply(normal((z-zeta[1])^zeta[2]/q),z); for j from 0 to zeta[2]-1 do (D@@j)(h)(zeta[1])/j!; (D@@(zeta[2]-j-1))(H)(zeta[1])/(zeta[2]-j-1)!; Folge := Folge,%*%% end do end do: add(w,w=[Folge]): Erg := simplify(evalc(2*Pi*I*%)):

Zum Schluss geben wir die Abbildung und den Wert des Kurvenintegrals aus: > p; Int(F(z),z=C..‘‘) = Erg;

, C

13 1 π dz = (1 − z 2 )2 (1 + z 2 )3 32

Die oben beschriebene Berechnung des Kurvenintegrals haben wir in einer Prozedur IntFormel 2(F,a,r) mit den Eingangsparametern F (Funktion), a und r (Mittelpunkt bzw. Radius des Kreises C) verpackt‘. Mittels ’ P := IntFormel 2(F, a, r); liefern P [1] den Wert des Kurvenintegrals und P [2] eine Plotstruktur, mit der die erzeugte Abbildung ausgegeben werden

158

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

kann. Durch den Aufruf read "../cauchy.txt": wird die Prozedur bereitgestellt. Beispiel 2 Die folgenden zwei Beispiele haben wir bewusst einfach gew¨ahlt, damit man sie von Hand — mittels der Integralformel f¨ ur die Ableitung — leicht nachpr¨ ufen kann: Wir berechnen das Integral , e2 z dz 5 C (1 − z) l¨ angs des positiv orientierten, einfach durchlaufenen Kreises C um den Punkt 0 mit Radius 2 . > restart: with(plots): with(plottools): read "../cauchy.txt": F := z -> exp(2*z)/(1-z)^5;

F := z −→

e2 z (1 − z)5

> P := IntFormel_2(F,0,2): display(P[2]); Int(F(z),z=C..‘‘) = P[1];

, C

e2 z 4 dz = − i π e2 (1 − z)5 3

Beispiel 3 Wir berechnen das Integral , C

sin(z)2 dz (z − π/2)3

l¨ angs des positiv orientierten, einfach durchlaufenen Kreises C um den Punkt 0 mit Radius 2 .

5.4

Integralformel f¨ ur die Ableitungen

(MWS)

159

> restart: with(plots): with(plottools): read "../cauchy.txt": F := z -> sin(z)^2/(z-Pi/2)^3;

F := z −→

sin(z)2 (z − 12 π)3

> P := IntFormel_2(F,0,2): display(P[2]); Int(F(z),z=C..‘‘) = P[1];

, C

sin(z)2

3 dz = −2 i π 1 z− π 2

Maximum-Prinzip, Minimum-Prinzip F¨ ur eine auf einem beschr¨ ankten Gebiet G holomorphe Funktion f , die noch auf G stetig (fortsetzbar) ist, besagt Satz 5.17 (Prinzip vom Maximum): |f (z)| nimmt auf dem Rand von G das Maximum aller Werte f¨ ur z ∈ G an. Ist f nicht konstant, so gibt es keine solche Stelle in G. Folgerung 5.18 (Prinzip vom Minimum) zeigt erg¨ anzend, dass eine solche Funktion nur dann ein (Betrags-)Minimum in G annehmen kann, wenn dieses 0 ist. Wir verifizieren dies an zwei Beispielen: > restart: with(plots): setoptions3d(shading=zhue,style=patchcontour,contours=20,axes=boxed, grid=[70,70],tickmarks=[3,3,3],axesfont=[TIMES,ITALIC,12]):

Beispiel 1 > f := z -> sin(z+1)^2/(z-2); # Idee aus: [Kli, S. 178] p := plot3d(abs(f(x+I*y)),x=-Pi/2..Pi/2,y=-Pi/2..Pi/2): display(p,orientation=[125,30]); display(p,orientation=[180,0],scaling=constrained);

160

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

f := z −→

sin(z + 1)2 z−2

1

0

–1

1 3 2 1

0 –1

0 1

0 y x

–1

0 –1

1

Beispiel 2

5

> g := z -> (z^4-1)/(z-I-1); # Idee aus: [Me/Va, S. 239] p1 := plot3d(abs(g(x+I*y)),x=-1..1,y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)): p2 := spacecurve([cos(t),sin(t),0],t=0..2*Pi,color=black): display({p1,p2},orientation=[150,60]); display(p1,orientation=[180,0],scaling=constrained);

g := z −→

z4 − 1 z−i−1

1

0

–1 1

4

2 0 0 1

x

–1

0 0y –1 1

–1

5.4

Integralformel f¨ ur die Ableitungen

(MWS)

161

In den vorangehenden Beispielen ging es um die graphische Darstellung des Absolutbetrages komplexwertiger Funktionen. Diese Abbildungen enthalten nicht alle Informationen u ¨ ber die betrachtete Funktion f . Wir k¨onnen den Wert |f (z)|, nicht aber f (z) selbst sehen‘. Hierzu m¨ usste man eine vier’ te reelle Variable — etwa argument(f (z)) — sichtbar machen. Aufgrund der Beschr¨ ankungen durch den dreidimensionalen Anschauungsraum besteht ein h¨ aufig gew¨ ahltes Vorgehen darin, das Argument von f (z) durch die F¨arbung der Oberfl¨ ache auszudr¨ ucken. Maple realisiert dies — allerdings nur ur Beispiel f¨ ur Rechteckbereiche — mit Hilfe des Befehls complexplot3d . F¨ 1 etwa sieht dies dann so aus: > p := complexplot3d(f,-(1+I)*Pi/2..(1+I)*Pi/2): display(p,orientation=[125,30]); display(p,orientation=[180,0],scaling=constrained);

1

0

–1

1 3 2 1

0 –1

0 1

0 y x

0 –1

–1

1

complexplot3d entspricht im Prinzip plot3d unter Angabe einer geeigneten Color-Funktion f¨ ur die color-Option. Wir verzichten darauf, dies mittels folgender Anweisung nachzupr¨ ufen: > plot3d(abs(f(x+I*y)),x=-Pi/2..Pi/2,y=-Pi/2..Pi/2, color=Pi+argument(f(x+I*y)),orientation=[125,30]):

Die in den beiden Abbildungen oben deutlich erkennbaren Kurven auf der Oberfl¨ ache sind Ausdruck der Tatsache, dass die Argumentfunktion auf der negativen reellen Achse unstetig ist und dort einen Sprung der H¨ohe 2 π macht. Zum Abschluss machen wir noch ein paar erg¨ anzende Bemerkungen zur Kolorierung von 3D-Graphiken. Maple erm¨ oglicht dies auf verschiedene Weisen. Die Benutzung einer einzigen Farbe — wie z. B. mittels der Option

162

MWS zu Kapitel 5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen

color=gray bei den Abbildungen auf Seite 62 und 63 — liefert nur in Ausnahmef¨ allen befriedigende Ergebnisse. Eine wesentlich ansprechendere Darstellung erh¨ alt man mittels der Option shading=zhue , wodurch eine Funktion, gegeben durch den Term z = f (x, y), in Abh¨angigkeit von den z-Werten koloriert wird. Die Anweisung > plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,shading=zhue);

ist dabei ¨ aquivalent zu > plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,color=f(x,y));

Leider k¨ onnen die so entstehenden sch¨ onen‘ Bilder im Rahmen der druck’ technischen Vorgaben f¨ ur dieses Buch (weitgehend Schwarz-Weiss-Druck!) nicht wirklichkeitsgetreu wiedergegeben werden. Es liegt nahe, shading=zhue durch shading=zgrayscale zu ersetzen, doch leider liefert dies kein befriedigendes Ergebnis. Basierend auf diesem Ansatz konnten wir jedoch folgende Color-Funktion kreieren: > grayscale := x -> COLOR(RGB,x,x,x): u := (x,y) -> 2*x*y/(x^2+y^2): a := 2.4: G := (x,y) -> (a+u(x,y))/(a+1): ColorFunc := (x,y) -> grayscale(G(x,y)):

# Glanzfunktion # Color-Funktion

Sie ist zusammengesetzt aus zwei Funktionen: grayscale liefert f¨ ur x-Werte zwischen 0 und 1 eine Skala von Graut¨ onen, beginnend mit Schwarz und endend mit Weiß. Die Funktion G dient dazu, der Abbildung mehr Glanz‘ ’ zu verleihen. In die Konstruktion der Glanzfunktion‘ G geht die Funkti’ on u entscheidend ein, die zum klassischen Beispielrepertoire einer jeden Analysis-Grundvorlesung z¨ ahlt. F¨ ur den Parameter a muss a ≥ 1 gelten, damit 0 ≤ G(x, y) ≤ 1 gew¨ ahrleistet ist. Der aktuelle Wert von a ist dabei dem jeweiligen Beispiel anzupassen. Insgesamt ergibt sich so unsere ColorFunktion mit einem Glanzpunkt‘ im Ursprung (0, 0). ’ Angewendet auf Beispiel 1 (siehe S. 159) erh¨ alt man mittels > p := plot3d(abs(f(x+I*y)),x=-Pi/2..Pi/2,y=-Pi/2..Pi/2, color=ColorFunc(x+1,y)): display(p,orientation=[125,30]); display(p,orientation=[180,0],scaling=constrained);

die ersten beiden Abbildungen auf Seite 160. Den Glanzpunkt haben wir dabei nach (−1, 0) verschoben, wo die betrachtete Funktion ein Betragsminimum hat. Das vorangehend geschilderte Vorgehen wird sp¨ater noch wiederholt angewendet, gelegentlich in leicht modifizierter Form.

Kapitel 6

Der globale Hauptsatz 6.1 6.2

Umlaufzahl, Zyklen Der Hauptsatz f¨ ur nullhomologe Zyklen

In diesem Kapitel wird der Haupsatz aus Kapitel 4 (Satz 8) hinsichtlich Leistungsf¨ ahigkeit und Handlichkeit deutlich verbessert. Es werden wesentlich allgemeinere als nur konvexe Gebiete zugelassen. Zur Beschreibung der zentralen Bedingung wird der Begriff der Umlaufzahl ben¨ otigt. Die betrachteten Kurven werden verallgemeinert zu Zyklen.

6.1 Umlaufzahl, Zyklen Umlaufzahl∗ F¨ ur a ∈ C, 0 < r < ∞ und n ∈ Z betrachten wir die durch gn : [0, 2π]  ϕ −→ a + r exp(inϕ) ∈ C gegebene Kurve Cn . Man wird sagen: Cn uml¨auft a n-mal im (mathematisch) positiven Sinne, falls n ∈ N0, und |n|-mal im negativen Sinne, falls −n ∈ N. Die Beobachtung 1 2πi

, Cn

1 1 dz = z−a 2πi

,2π

inr exp(inϕ) dϕ = n r exp(inϕ)

0

gibt einen ersten Hinweis darauf, dass , 1 1 dz 2πi z−a C

∗

F¨ ur eine st¨ arker an der Anschauung orientierte Einf¨ uhrung des Begriffs der Umlaufzahl verweisen wir auf MWS 6 . An Stelle der Logarithmusfunktion wird dort mit der Argumentfunktion gearbeitet, und es werden auch nicht-geschlossene Kurven betrachtet.

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

164

Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

f¨ ur eine beliebige geschlossene Kurve C etwas u ¨ ber das Umlaufverhalten‘ von ’ C um a aussagt. Hilfssatz Ist eine Funktion f : G −→ C \ {0} holomorph auf einem konvexen∗ Gebiet G, so existiert eine holomorphe Funktion g : G −→ C mit f (z) = exp(g(z)), also g(z) ∈ log(f (z)),

f¨ ur z ∈ G .

Beweis: Nach der 2. Fassung des Hauptsatzes (S. 114) existiert eine Stammfunktion h zu der holomorphen Funktion f  /f . Damit gilt: (f · exp(−h)) = f  exp(−h) + f exp(−h) (−h ) = (f  − h f ) exp(−h) = 0 ; 1 23 4 =0

daher existiert eine komplexe Zahl d mit f (z) exp(−h(z)) = d f¨ ur z ∈ G. Da die linke Seite ungleich Null ist, existiert ein c ∈ C mit exp(c) = d; so hat man wegen f (z) = exp(h(z) + c) (z ∈ G) eine gesuchte Funktion g .  Zusatz Ist g eine Funktion gem¨aß obigem Hilfssatz, so hat man f¨ ur eine stetige Funktion g1 : G −→ C genau dann f (z) = exp(g1 (z)) (z ∈ G), wenn g1 (z) = g(z) + 2 k πi

(z ∈ G)

mit einem k ∈ Z gilt. Beweis: Ausgehend von g1 (z) = g(z) + 2 k πi folgt trivialerweise f (z) = ur z ∈ G exp(g1 (z)) (z ∈ G). In der umgekehrten Richtung existiert zun¨achst f¨ jeweils ein k(z) ∈ Z mit g1 (z) − g(z) = 2 π i k(z); da g1 − g stetig und G wegzusammenh¨ angend ist, muss die Funktion k konstant sein.  Satz 1 ∗∗ F¨ ur C ∈ KC und z ∈ C \ (C) gilt: cl

u(C, z) :=

1 2πi

, C

1 dζ ζ −z

∈Z

u(C, z) heißt Umlaufzahl — auch Index“ oder Windungszahl“ — von C ” ” ” bez¨ uglich (oder: um) z“. Die Voraussetzungen des Satzes an C k¨ onnen deutlich abgeschw¨ acht werden! Einen eleganteren Beweis — aber ohne direkte Verbindung zur Anschauung — findet man z. B. bei [Rud] und [Fi/Li]. ∗ ∗∗

Diese Voraussetzung ist recht speziell! Wir erinnern daran, dass dies bedeutet: C ist eine st¨ uckweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve in C .

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

165

Beweis und Verbindung zur anschaulichen Vorstellung: Œ kann z = 0 angenommen werden. Es sei g eine (stetige) Parameterdarstellung von C mit Parameterintervall [α, β] . Da |g(t)| auf diesem Intervall st¨andig positiv ist, existiert ein 0 < r < ∞ mit |g(t)| ≥ 2 r f¨ ur alle t ∈ [α, β]. Da g zudem gleichm¨ aßig stetig ist, existieren eine nat¨ urliche Zahl n und eine Zerlegung α = t0 < t1 < · · · < tn = β derart, dass mit zν := g(tν )    g [tν−1 , tν ] ⊂ Uzrν−1 =: Gν ⊂ C \ {0} . Nach dem obigen Hilfssatz existiert jeweils ein holomorphes fν : Gν −→ C mit fν (ζ) ∈ log ζ f¨ ur ζ ∈ Gν . So gilt fν (ζ) = ln |ζ| + i ϕν (ζ) mit einem Argument ϕν (ζ) von ζ. Dann ist ϕν stetig. Nach obigem Zusatz kann, unter Beachtung von zν ∈ Gν ∩ Gν+1 , zν+1

fν+1 (zν ) = fν (zν ) erreicht werden (ν = 1, . . . , n−1). ϕ(t) := ϕν (g(t)) (t ∈ [tν−1 , tν ]) liefert dann ϕ : [α, β] −→ C stetig mit ϕ(t) ∈ arg(g(t)) (t ∈ [α, β]).

Gν+1

zν zν−1

Gν

0 ϕν (zν ) − ϕν (zν−1 )

Mit der Kurve Cν zu g|[t ,t ] gilt ν−1 ν , 1 dζ = fν (zν ) − fν (zν−1 ) = ln |zν | − ln |zν−1 | + i (ϕν (zν ) − ϕν (zν−1 )) 1 23 4 ζ Cν

= ϕ(tν )−ϕ(tν−1 )

¨ Der Imagin¨ arteil misst die Anderung des Argumentes von g(t) , wenn t das Teilinauft. tervall [tν−1 , tν ] durchl¨

C

n ,  1 1 dζ = dζ ζ ζ ν=1 Cν

= 

,

zn = z0 , da C geschlossen

i (ϕ(β) − ϕ(α)) 1 23 4

∈ 2πiZ

misst Gesamt¨ anderung des Argumentes

Die letzte Aussage folgt, da ϕ(β), ϕ(α) ∈ arg(a(C)).



166 Eigenschaften der Umlaufzahl:

Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

F¨ ur C, C1 , C2 ∈ KC cl gilt:

a) u(−C, z) = −u(C, z) (z ∈ O := C \ (C)); u(C1 + C2 , z) = u(C1 , z) + u(C2 , z) , falls a(C2 ) = e(C1 ), d. h. die Umlaufzahl ist additiv bez¨ uglich der Kurven. b) O  z −→ u(C, z) ist holomorph. c) Ist M eine wegzusammenh¨angende Teilmenge von O, dann existiert ein k ∈ Z mit u(C, z) = k f¨ ur alle z ∈ M. ur z ∈ C \ U0r . d) F¨ ur 0 < r < ∞ mit (C) ⊂ U0r gilt u(C, z) = 0 f¨ e) Sind a ∈ C, G ein Gebiet in C \ {a} und C1 , C2 homotop ∗ in G, so ist u(C1 , a) = u(C2 , a). Beweis: a) folgt unmittelbar aus den allgemeinen Eigenschaften des Kurvenintegrals. b) folgt (lokal) aus Satz 5.20 ( Differentiation unterm Integral‘). ’ c) Eine Z-wertige stetige Abbildung auf einer wegzusammenh¨angenden Menge ist konstant. ur z mit d) Auf C \ U0r ist — nach c) — die Umlaufzahl u(C, ·) konstant; f¨ hinreichend großem |z| liefert die Integralabsch¨atzung |u(C, z)| < 1 . Zusammen folgt also die Behauptung. e) Man vergleiche hierzu etwa [Rud, 10.40].  Definition: Es seien G ein Gebiet in C und C ∈ KG cl : C heißt genau dann nullhomolog (in G)“, wenn u(C, z) = 0 f¨ ur alle ” z ∈ C \ G gilt. ( Es werden keine gebietsfremden Punkte umlaufen.‘) ’ Nur f¨ ur Leser, die den Begriff nullhomotop (in G)“ ( auf einen Punkt zusam” ’ menziehbar‘) kennen, sei angemerkt: Aus nullhomolog‘ folgt nicht nullho’ ’ motop‘. Ein Beispiel dazu liefert die in der Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik nach Pochhammer benannte Kurve — nat¨ urlich mit G als zweifach punktierte Ebene (ohne die beiden fett eingezeichneten Punkte):

∗

Dies ist nur angemerkt f¨ ur Leser, denen der Begriff der Homotopie vertraut ist. ¨ Wir benutzen diese Uberlegung nicht!

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

167

Zyklen ¨ Um die folgenden Uberlegungen knapp und u ¨bersichtlich notieren zu k¨onnen, f¨ uhren wir Zyklen‘ (geschlossene Ketten) ein; dies machen wir naiv‘ und ’ ’ nicht — wie Puristen — u ¨ ber freie abelsche Gruppen. Es seien G ein Gebiet in C und f : G −→ C eine holomorphe Funktion: Bezeichnung: F¨ ur Cν ∈ KG cl und aν ∈ Z (ν = 1, . . . , n; n ∈ N) bezeichnen wir eine ’formale Linearkombination‘ K = a1 C1 + · · · + an Cn als Zyklus“ (in G). ” nC f¨ ur n ∈ N sei dabei rekursiv erkl¨ art, 0 C := Ca(C) ∗ und (−n)C := −(nC) . , f (z) dz :=

n 

, aν

ν=1

K

(K) :=

n "

f (z) dz Cν

(Cν )

ν=1

”

Tr¨ager(menge) von K“

aν =0

−K := (−a1 )C1 + · · · + (−an )Cn Ist L = an+1 Cn+1 +· · ·+an+m Cn+m ein weiterer Zyklus in G, so ist nat¨ urlich K + L := a1 C1 + · · · + an+m Cn+m , K − L := K + (−L) . . K

f (z) dz ist wieder linear bez¨ uglich f und additiv bez¨ uglich K.

F¨ ur z0 ∈ C \ (K) u(K, z0 ) :=

n  ν=1

aν u(Cν , z0 )

Umlaufzahl von K bez¨ uglich z0“ ”

aν =0

K nullhomolog (in G)“ : ⇐⇒ ∀ z ∈ C \ G u(K, z) = 0 ” K und L homolog“ : ⇐⇒ K − L nullhomolog ”

∗

Dies soll nat¨ urlich die durch die triviale‘ Parameterdarstellung [0, 1] t → a(C) ’ definierte Kurve bezeichnen.

168

Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

6.2 Der Hauptsatz fu ¨ r nullhomologe Zyklen Hauptsatz (3. und letzte Fassung; Umlaufzahlversion) Es seien G ein Gebiet in C, f : G −→ C eine holomorphe Funktion und K ein nullhomologer Zyklus in G. Dann gelten: ,   f (ζ) k! (1) f (k) (z) · u(K, z) = dζ z ∈ G \ (K), k ∈ N0 k+1 2πi (ζ − z) K , f (ζ) dζ = 0 (2) ,

K

(3) F¨ ur homologe Zyklen K1 , K2 in G:

, f (ζ) dζ =

K1

f (ζ) dζ K2

Beweis∗ (nach Dixon (1971) [Proc. Am. Math. Soc. 29; Seite 625 f]) Wir zeigen (1) f¨ ur k = 0; daraus folgt dann (1) f¨ ur k ∈ N durch Differentiation unterm Integral, indem man Satz 5.20 (siehe Seite 142) lokal anwendet. (1) (f¨ ur k = 0) impliziert (2): F¨ ur festes z ∈ G \ (K) wendet man (1) (f¨ ur k = 0) an auf F (ζ) := (ζ − z)f (ζ) (ζ ∈ G). (2) impliziert (3): K1 − K2 ist nullhomolog. So liest man die Behauptung mit der Additivit¨ at des Integrals bez¨ uglich der Zyklen ab. Zum Beweis von (1) f¨ ur k = 0 bemerken wir zun¨achst: Die Behauptung ist offenbar ¨ aquivalent zu , f (ζ) − f (z) 1 dζ (1) 0 = 2πi ζ −z K

f¨ ur z ∈ G \ (K) .

Wir betrachten ⎧ ⎨ f (ζ) − f (z) ζ−z g(ζ, z) := ⎩ f  (z)

,

ζ = z

,

ζ=z

  (ζ, z) ∈ G2

und zeigen zun¨ achst: g ist stetig.

(2)

Dazu sei (ζ0 , z0 ) ∈ G2 fest. ∗

Andere Beweise findet man z. B. in [Jae] und [Be/So]; dem Kenner ist nat¨ urlich auch der Zugang u ¨ ber den Satz von Runge vertraut.

6.2

Der Hauptsatz f¨ ur nullhomologe Zyklen

169

r Ist ζ0 = z0 , so existiert ein r > 0 mit ζ = z f¨ ur alle (ζ, z) ∈ U(ζ , damit 0 ,z0 ) ist g trivialerweise in (ζ0 , z0 ) stetig.

Im Falle ζ0 = z0 existiert zu ε > 0 ein r > 0 derart, dass Uzr0 ⊂ G und |f  (v) − f  (z0 )| < ε f¨ ur v ∈ Uzr0 . F¨ ur ζ, z ∈ Uzr0 betrachten wir   t ∈ [0, 1] ; ϕ(t) := (1 − t)z + tζ ∈ Uzr0 damit gilt 

,1

g(ζ, z) − g(ζ0 , z0 ) =

   f (ϕ(t)) − f  (z0 ) dt,

also

0

g(ζ, z) − g(ζ0 , z0 ) ≤ ε .

Damit ist g stetig. Wir definieren nun , h0 (z) := g(ζ, z) dζ

(z ∈ G) .

K

Zu zeigen ist also h0 = 0 : F¨ ur festes ζ ∈ G ist die Abbildung G  z −→ g(ζ, z) holomorph (vgl. z. B. Satz 5.5); unter Beachtung von (2) und des Satzes u ¨ber die Differentiation unterm Integral ist daher h0 holomorph. Wir betrachten nun N := {z ∈ C \ (K) : u(K, z) = 0} . N ist offen, da u(K, z) stetig und ganzzahlig ist. Da K nullhomolog ist, folgt G ∪ N = C. F¨ ur z ∈ N definieren wir , f (ζ) h1 (z) := dζ ; ζ −z K

dann ist auch h1 holomorph, und f¨ ur z ∈ G ∩ N gilt nach Definition von N & h0 (z) = h1 (z). Durch h0 (z) , z∈G h(z) := h1 (z) , z∈N ist somit eine ganze Funktion h definiert. Integralabsch¨ atzung zeigt mit der Eigenschaft d) von S. 166 f¨ ur z ∈ N:   h(z) = h1 (z) −→ 0 |z| −→ ∞ Jetzt liefert der Satz von Liouville: h = 0 , speziell h0 = 0 , das ist die Behauptung (1). 

170

Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

Einfach-zusammenh¨ angende Gebiete An manchen Stellen sind f¨ ur Gebiete die Begriffe konvex und sternf¨ormig, ¨ die f¨ ur viele Uberlegungen (lokal) durchaus ausreichen, doch etwas einschr¨ ankend. Wir erinnern noch einmal an deren Bedeutung: Ein Gebiet G ist genau dann konvex, wenn zu je zwei Punkten aus G die Verbindungsstrecke ganz in G verl¨ auft (vgl. Seite 57). Sternf¨ormig bedeutet, dass es einen ausgezeichneten Punkt a gibt, von dem aus man alle anderen Punkte des Gebietes sehen‘ ’ kann, d. h. f¨ ur beliebiges z ∈ G die Verbindungsstrecke [a, z] im Gebiet liegt (vgl. Seite 58). ur VerallgemeinerunDie folgende Eigenschaft erweist sich als angemessen∗ f¨ gen: Definition: Ein Gebiet G in C heißt genau dann einfach-zusammenh¨angend, wenn jeder Zyklus K in G nullhomolog ist. Trivialerweise ist jedes konvexe Gebiet sternf¨ormig. Dass ein (bez¨ uglich a) sternf¨ ormiges Gebiet G einfach-zusammenh¨ angend ist, sieht man wie folgt: F¨ ur z ∈ C \ G ist die Umlaufzahl u(K, z) auf der wegzusammenh¨angenden Teilmenge {a+t(z −a) : t ∈ [1, ∞[} (Halbstrahl) von C\(K) konstant (Seite 166, Eigenschaft c)). Mit Integralabsch¨ atzung (f¨ ur große |z|) folgt dann, dass sie Null ist. Bemerkung 2 Jede holomorphe Funktion auf einem einfach-zusammenh¨angenden Gebiet hat eine Stammfunktion. Beweis: In solchen Gebieten gilt nach dem Hauptsatz dieses Kapitels , f (z) dz = 0 K

f¨ ur jede holomorphe Funktion f und jeden Zyklus K . Daraus folgt — mit ¨ naheliegender Modifikation der Uberlegungen von Seite 113 — die Existenz einer Stammfunktion. 

∗

Wir setzen den Begriff einfach-zusammenh¨ angend allerdings nur an zwei Stellen (Kapitel 8) ein.

MWS zu Kapitel 6

Der globale Hauptsatz Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: discont (=true, false) unapply, piecewise indets sort

6.1 Umlaufzahl, Zyklen Umlaufzahl Zur Formulierung des globalen Cauchyschen Integralsatzes wird der Begriff der Umlaufzahl herangezogen. Auch ohne genaue mathematische Beschreibung verbindet man damit intuitiv eine gewisse Vorstellung: Denken wir z. B. an die durch die Parameterdarstellung g : t −→ a + r exp(i ν t) (t ∈ [0, 2 π]) gegebene Kurve C (Kreis um a mit Radius r), so wird man f¨ ur ν ∈ N0 sagen, dass C den Punkt a im mathematisch positiven Sinne ν-mal uml¨auft; analog uml¨ auft C f¨ ur ganzzahliges ν < 0 den Punkt a |ν|-mal im negativen Sinne. Es liegt also in diesem Falle nahe, das Umlaufverhalten von C um a durch die Umlaufzahl u(C, a) := ν auszudr¨ ucken. Beobachtet man, dass ϑ(t) := ν t ein Argument von g(t) − a ist, so  kann man u(C, a) auch als die (relative) Argument¨ anderung ϑ(2 π) − ϑ(0) /2 π deuten. F¨ ur unser Beispiel leuchtet ein, dass dann u(C, a) = ν auch f¨ ur nicht ganzzahliges reelles ν — in diesem Falle ist C nicht geschlossen — einen Sinn ergibt. In diesem Abschnitt werden wir uns nun allgemeiner mit Umlaufzahlen f¨ ur stetige, nicht notwendigerweise geschlossene Kurven besch¨aftigen und dabei vorgehen wie beispielsweise Henrici in [Hen, S. 230–234]. Es seien a ein Punkt der komplexen Zahlenebene und C eine Kurve mit der stetigen Parameterdarstellung g : [α, β] −→ C \ {a} . Dann existiert

172

MWS zu Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

eine stetige Funktion ϑ : [α, β] −→ R mit g(t) = a + |g(t) − a| exp (i ϑ(t)) , und die Funktion ϑ ist bis auf eine additive Konstante der  Form 2 π N mit ganzzahligem N eindeutig bestimmt. Durch u(C, a) := ϑ(β) − ϑ(α) /2 π kann man die Umlaufzahl von C bez¨ uglich a definieren. u(C, a) erweist sich als unabh¨ angig von der speziellen stetigen Argumentfunktion ϑ sowie der speziellen Parameterdarstellung von C . Der Einfachheit  halber sei a = 0 . Ist λ ein Argument von g(α) , und gilt 0 ≤ Re g(t)/g(α) f¨ ur t ∈ [α, β] , so k¨onnen wir die gesuchte stetige Argumentfunktion ϑ sofort angeben: ϑ(t) =  λ + Arg g(t)/g(α) . Den allgemeinen Fall kann man auf den eben erw¨ahnten Spezialfall zur¨ uckf¨ uhren, indem man das Intervall [α, β] in geeigneter Weise zerlegt und die Konstruktion von ϑ schrittweise durchf¨ uhrt. Beispiel > restart: with(plots): with(plottools):

Wir betrachten folgende Polynomfunktion, auf die wir sp¨ater im Zusammenhang mit dem Satz von Rouch´ e zur¨ uckkommen werden: > f := z -> z^3-z^2+2;

f := z −→ z 3 − z 2 + 2

Hierf¨ ur erh¨ alt man folgende Nullstellen: > Nullstellen := [solve(f(z))];

Nullstellen := [−1, 1 − i, 1 + i] Offensichtlich liegen diese drei Nullstellen im Inneren des positiv durchlaufenen Kreises K um 0 mit Radius r = 2 : > a := 0:

r := 2:

g := t -> a+r*exp(I*t):

# t=0..2*Pi

Die Bildkurve C := f (K) mit der Parameterdarstellung w = f (g(t)) f¨ ur t ∈ [0, 2 π] verl¨ auft also nicht durch den Ursprung der w-Ebene.

5

> read "../verdi.txt": h := unapply(f(g(t)),t): Startp := disk(c2p(h(0)),0.3,color=black): # Startpunkt Kurve := complexplot(h,0..2*Pi,tickmarks=[3,3],thickness=2, color=black,title="Bildkurve C = f(K)"): Pfeile := seq(pfeil(h,v,1.2,black), v=[0.26,1.57,2.36,3.11,3.875,4.655,5.96]): display(Pfeile,Kurve,Startp,scaling=constrained); Die Zahlenwerte der Pfeilpositionen oben sind durch St¨ oren‘ aus π/12, π/2, 3 π/4, ’ π, 5 π/4, 3 π/2, 23 π/12 hervorgegangen; an diesen lassen sich gewisse Symmetrien‘ ’ erkennen.

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

173

Bildkurve C = f (K)

Wir wollen nun u(C, 0) berechnen und konstruieren dazu eine stetige Argumentfunktion ϑ mit f (g(t)) = |f (g(t))| exp (i ϑ(t)) f¨ ur t ∈ [0, 2 π]. Wie oben schon gesagt, verl¨ auft die Konstruktion in Teilschritten: > s[0] := 0; theta[0] := 0;

s0 := 0 ,

ϑ0 := 0

> expr[0] := combine(evalc(Re(h(t)/h(s[0]))));

expr 0 :=

2 1 4 + cos(3 t) − cos(2 t) 3 3 3

  Wir suchen das maximale s1 mit s0 < s1 ≤ 2 π und 0 ≤ Re f (g(t))/f (g(s0 )) f¨ ur alle t aus dem Intervall [s0 , s1 ] und dazu die Nullstellen von expr 0 . In diesem speziellen Beispiel w¨ urde man von Hand‘ wohl wie folgt rechnen: ’ ¨ Uber cost(3 t) = 4 cos(t)3 − 3 cos(t) und cost(2 t) = 2 cos(t)2 − 1 wird aus 3 expr 0 mit τ := cos(t): > expand(3*expr[0]); pol := subs(cos(t)=tau,%);

3 + 16 cos(t)3 − 12 cos(t) − 4 cos(t)2 ,

pol := 3 + 16 τ 3 − 12 τ − 4 τ 2 √ √ Die Nullstellen von pol bestimmt man zu 1/4, 3/2 und − 3/2 . Die zugeh¨ origen arccos-Werte im Intervall [0, π] sind arccos(1/4), π/6 und 5 π/6 . Mit Maple w¨ urde man diese spezielle Rechnung etwa wie folgt machen: > ‘Nullstellen von pol

‘ = [solve(pol)];

 Nullstellen von pol

=

1 1√ 1√ , 3, − 3 4 2 2



174

MWS zu Kapitel 6

> ‘Zugeh¨ orige t-Werte

Der globale Hauptsatz

‘ = map(arccos,rhs(%));

 Zugeh¨orige t-Werte =

arccos



5 1 1 , π, π 4 6 6

Wir wollen aber den allgemeiner brauchbaren Weg gehen: > alias(Arc = arccos(1/4)): _EnvAllSolutions := true: M := [solve(expr[0],t)];

  π π 5π 5π − M := Arc − 2Arc B1 + 2π Z1 , − B1 + 2π Z1 , B1 + 2π Z1 6 3 6 3

B1 ist eine bin¨are Variable, nimmt also die Werte 0 und 1 an, Z1 ist ganzzahlig. Uns interessieren davon die L¨ osungen aus dem Intervall [0, 2 π] . Diese erh¨ alt man f¨ ur { B1 =0, Z1 =0} und { B1 =1, Z1 =1}. Um diese Werte den Unbestimmten zuweisen zu k¨ onnen, ben¨ otigt man den Maple-Befehl indets : > with(ListTools): sol := FlattenOnce([subs({indets(M)[1]=0,indets(M)[2]=0},M), subs({indets(M)[1]=1,indets(M)[2]=1},M)]);

  5 11 7 1 π, π sol := Arc, π, π, −Arc + 2 π, 6 6 6 6

indets(M) liefert als Ergebnis die Menge { B1, Z1} , also eine ungeordnete Datenstruktur. Da beiden Variablen hier die gleichen Werte zugewiesen werden, kommt es nicht auf die Reihenfolge an.

 Dies ist die L¨ osungsmenge von Re f (g(t))/f (g(s0 ))) = 0 im Intervall [0, 2 π] : > LoesMenge := select(tau -> is(s[0] < tau),sol);



5 11 7 1 π, π LoesMenge := Arc, π, π, −Arc + 2 π, 6 6 6 6



> s[1] := min(LoesMenge[]); theta[1] := evalc(theta[0]+argument(h(s[1])/h(s[0])));

s1 :=

1 π, 6

ϑ1 :=

1 π 2

Die Bestimmung der L¨ osungsmenge mittels select ist hier — da s0 = 0 — u ussig; es soll nur das allgemeine Vorgehen verdeutlicht werden! ¨ berfl¨ Schritte dieser Art m¨ ussten nun 11-mal wiederholt werden. Das ist auf die Dauer langweilig und un¨ ubersichtlich, obwohl man das nat¨ urlich mit einer Prozedur in einer Schleife abhandeln kann. Wir listen nachfolgend nur die wichtigsten Ergebnisse auf:

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

175

> s[2] := arccos((1+sqrt(17))/8): s[3] := arccos(1/4): s[4] := arccos((1-sqrt(17))/8): s[5] := 5/6*Pi: s[6] := Pi: for j from 7 to 12 do s[j] := 2*Pi-s[12-j] end do: for j from 2 to 12 do theta[j] := j*Pi/2 end do:

Bei diesem Beispiel lassen sich alle Schritte symbolisch rechnend durchf¨ uhren. Wenn in anderen F¨ allen bei der Anwendung von solve Probleme auftreten, kann man stattdessen mittels fsolve unter Angabe eines Startwertes eine numerische L¨ osung berechnen. Die gesuchte Argumentfunktion l¨asst sich nun mit dem Maple-Befehl piecewise (auf den 12 Teilintervallen) so in kompakter Form definieren > seq([t<=s[j],theta[j-1]+evalc(argument(h(t)/h(s[j-1])))],j=1..12): Folge := op(FlattenOnce([%])): piecewise(Folge): Theta := unapply(%,t):

. . . und graphisch darstellen: > TICKS := [spacing(Pi),spacing(2*Pi)]: plot(Theta,0..2*Pi,tickmarks=TICKS,color=black,thickness=2, title="Graph der Argumentfunktion");

Graph der Argumentfunktion

Die Umlaufzahl von C um 0 ist: > u(C,0) = (Theta(2*Pi)-Theta(0))/(2*Pi);

u(C , 0 ) = 3 Aber auch f¨ ur Teilkurven kann man so die entsprechenden Umlaufzahlen berechnen: > (Theta(Pi)-Theta(0))/(2*Pi): evalc(%); (Theta(3/2*Pi)-Theta(0))/(2*Pi): evalc(%), evalf(%,3); (Theta(Pi/2)-Theta(0))/(2*Pi): evalc(%), evalf(%,3);

176

MWS zu Kapitel 6

3 , 2

2π +

1 arctan 2 π



4 3

,

2.15 ,

Der globale Hauptsatz

1 3 π + arctan 4 2 π



3 4

,

0.850

Versucht man, die Argumentfunktion auf folgendem Wege zu berechnen, so erh¨ alt man eine unstetige Funktion; mittels der Option discont=true unterdr¨ ucken wir die Senkrechten an den Sprungstellen: > evalc(argument(h(t))): Theta2 := unapply(%,t): TICKS2 := [spacing(Pi/2),spacing(Pi)]: plot(Theta2,0..2*Pi,discont=true,thickness=2,tickmarks=TICKS2, color=black,view=[0..6.3,-3.2..3.2]);

Dieser Graph der unstetigen Argumentfunktion (Hauptwert) gibt nun einen Hinweis, wie man die stetige Argumentfunktion mit wesentlich weniger Zerlegungspunkten konstruieren kann. Wir berechnen dazu die Sprungstellen dieser Funktion im Intervall [0, 2 π] und erwarten nat¨ urlich die alten Bekannten √ s2 = arccos((1 + 17)/8), s6 = π und s10 = 2 π − s2 : > F := h(t):

IF := factor(evalc(Im(F)));

  IF := 8 sin(t) 3 cos(t)2 − sin(t)2 − cos(t) > IF_1 := op(2,IF); M_1 := solve(IF_1,t); IF_2 := simplify(op(3,IF),trig);

IF 1 := sin(t) ,

M 1 := π Z2 ,

IF 2 := 4 cos(t)2 − cos(t) − 1

Mit √ τ := cos(t) ist also√die Gleichung 4 τ 2 − τ − 1 = 0 mit den L¨osungen (1 + 17)/8 und (1 − 17)/8 zu betrachten: > alias(Arc2 = s[2],Arc3 = s[4]): _EnvAllSolutions := false: solve(IF_2,t): M_2 := [min(%),max(%)];

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

177

M 2 := [Arc2 , Arc3 ] Dies sind die beiden Nullstellen von IF 2 im Intervall [0, π] ; insgesamt hat Im ◦ F damit in [0, 2 π] die folgenden (einfachen) Nullstellen: > M := FlattenOnce([[0,Pi,2*Pi],M_2,map(t->2*Pi-t,M_2)]);



 1 1√ M := 0, π, 2 π, Arc2 , Arc3 , 2 π − Arc2 , π + arccos − + 17 8 8 Dies sind gerade die Werte s2 ν f¨ ur ν von 0 bis 6. F¨ ur die gesuchten Sprungstellen muss noch Re ◦ F kleiner als 0 sein: > select(tau->is(subs(t=tau,evalc(Re(F)))<0),M);

[π, Arc2 , 2 π − Arc2 ] Da haben wir unsere alten Bekannten s2 , s6 und s10 . Wir sortieren diese Sprungstellen mit dem Befehl sort: > sol := sort(%,(x,y)->is(x
sol := [Arc2 , π, 2 π − Arc2 ] Nun k¨ onnen wir die Argumentfunktion ϑ knapper angeben: > s[1] := sol[1]; theta[1] := evalc(theta[0]+argument(h(s[1]))); s[2] := sol[2]; theta[2] := theta[1]+2*Pi; s[3] := sol[3]; theta[3] := theta[2]+2*Pi;

s1 := Arc2 , ϑ1 := π ,

5

10

s2 := π , ϑ2 := 3 π ,

s3 := 2 π − Arc2 , ϑ3 := 5 π

Theta3 := piecewise(t<=s[1],evalc(argument(h(t))), t<=s[2],evalc(theta[1]+Pi+argument(h(t))), t<=s[3],evalc(theta[2]+Pi+argument(h(t))), evalc(theta[3]+Pi+argument(h(t)))): Theta3 := unapply(Theta3,t): Graph := plot(Theta3,0..2*Pi,color=black,thickness=2): Nahtstellen := pointplot([seq([s[k],theta[k]],k=1..3)], symbol=solidcircle,symbolsize=18,color=black): display(Nahtstellen,Graph,tickmarks=TICKS, title="Nochmals der Graph der Argumentfunktion samt Nahtstellen");

178

MWS zu Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

Nochmals der Graph der Argumentfunktion samt Nahtstellen

Zur Kontrolle:

5

> h := t -> evalc(abs(f(g(t))))*exp(I*Theta3(t)): Startp:= disk(c2p(h(0)),0.3,color=black): # Startpunkt Kurve := complexplot(h,0..2*Pi,thickness=2,color=black): Pfeile:= seq(pfeil(h,v,1.2,black), v=[0.26,1.57,2.36,3.11,3.875,4.655,5.96]): display(Pfeile,Kurve,Startp,tickmarks=[3,3],scaling=constrained);

Nochmals die Bildkurve

Zyklen An zwei Beispielen demonstrieren wir die Berechnung der Umlaufzahlen geschlossener Kurven.

5

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": setoptions(tickmarks=[3,3],thickness=2,scaling=constrained): g := t -> evalf((2-cos(t))*exp(I*3*Pi/2*sin(t))): t1 := arcsin(2/3): bogen := proc(r::range,f,L) complexplot(g,r,color=f,linestyle=L) end proc:

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

179

Die durch g := t −→ (2 − cos(t)) e3/2 π i sin(t) f¨ ur t ∈ [0, 2 π] beschriebene Kurve C ist unten im linken Bild dargestellt durch die schwarz bzw. grau gef¨ arbten Teilkurven, welche sukzessive durchlaufen werden. Im rechten Bild ist C als Zyklus dreier geschlossener Kurven veranschaulicht. Hieraus ergeben sich direkt die Umlaufzahlen: Im Inneren der punktiert gezeichneten Kurve haben alle Punkte die Umlaufzahl 0 , im Inneren der grauen Kurve die Umlaufzahl -2 ; alle u ¨ brigen Punkte im Inneren der großen schwarzen Kurve, die nicht auf C liegen, haben die Umlaufzahl -1 .

5

10

> Startp := disk(c2p(g(0)),0.08,color=black): # Anfangspunkt der Kurve Kurve1 := bogen(t1..Pi-t1,gray,1),bogen(Pi-t1..Pi+t1,black,1), bogen(2*Pi-t1..2*Pi,black,2): Pfeile := pfeil(g,0.31,0.4,black),pfeil(g,1.95,0.4,gray), pfeil(g,2.65,0.4,black),pfeil(g,3.3,0.4,black), pfeil(g,4.28,0.4,gray),pfeil(g,5.9,0.4,black): # linke Graphik Kurve2 := bogen(0..t1,black,1),bogen(Pi+t1..2*Pi-t1,gray,3): p := display(Pfeile,Kurve1,Kurve2,Startp,axes=frame): # rechte Graphik Kurve2 := bogen(0..t1,black,2),bogen(Pi+t1..2*Pi-t1,gray,1): tplot := textplot([[-2,0,"-2"],[2,0,"-1"],[0,0,"0"]]): q := display(Pfeile,Kurve1,Kurve2,Startp,tplot,axes=frame): display(Array([p,q]));

Zerlegung von C in Teilkurven

C als Zyklus

Die Zahlenwerte der Pfeilpositionen sind wieder durch St¨ oren‘ entstanden, n¨ amlich ’ aus τ, π/2 + τ, π − 3/2 τ, π + τ /2, 3/2π − τ, 2 π − τ mit τ := arcsin(1/3) .

Als zweites Beispiel betrachten wir den aus Abschnitt 4.1 bekannten Pochhammer-Weg. In naheliegender Weise kann man diesen Weg als Zyklus von vier einfach geschlossenen Kurven auffassen; und zwar besteht dieser aus der grauen Kurve, der schwarzen Kurve, erg¨ anzt um die orientierte Strecke [A, C], der gestrichelten grauen Kurve, erg¨ anzt um die orientierte Strecke

180

MWS zu Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

[B, A] , sowie dem positiv orientierten Rand des Dreiecks zu A, B, C . Im Bild sind zudem die Umlaufzahlen im Innenbereich angegeben. Auf eine Wiedergabe des Maple-Codes verzichten wir und verweisen auf die Netzversion‘ ’ unserer Worksheets. Die Umlaufzahlen beim Pochhammer-Weg

6.2 Der Hauptsatz fu ¨ r nullhomologe Zyklen Der Cauchysche Hauptsatz wurde bisher nur f¨ ur geschlossene Kurven in konvexen Gebieten, die Cauchyschen Integralformeln nur f¨ ur Kreise hergeleitet. Manchmal war der Hauptsatz nicht direkt anwendbar, aber er hat dennoch ausgereicht, wichtige Resultate zu beweisen. In diesem Abschnitt wird bei vorgegebenem Gebiet G die Frage untersucht, f¨ ur welche in G verlaufenden geschlossenen Kurven C der Cauchysche Hauptsatz gilt. Offensichtlich ist daf¨ ur notwendig, dass C nullhomolog in G ist, d. h. es gilt u(C, z) = 0 f¨ ur alle z ∈ C \ G — kein gebietsfremder Punkt wird umlaufen. Der sogenannte globale Hauptsatz zeigt, dass diese Bedingung auch hinreichend ist. Wir kn¨ upfen an Abschnitt 6.1 an und zeigen zwei nicht-triviale Beispiele f¨ ur Gebiete mit nullhomologen Kurven. Auch diesmal verzichten wir auf eine Wiedergabe des Maple-Codes. Kreisring

Zweifach gelochtes Rechteckgebiet

Kapitel 7

Laurent-Reihen, isolierte Singularit¨ aten, Residuensatz 7.1 7.2 7.3 7.4

Laurent-Reihen Isolierte Singularit¨ aten Residuensatz Argumentprinzip und Anwendungen

Nach dem etwas spr¨ oden Kapitel 6, in dem der Apparat‘ verbessert wurde, fahren ’ wir in diesem relativ umfangreichen Kapitel nun reiche Ernte ein: Neben Potenzreihen spielt ein neuer, allgemeinerer Typ von Reihen, LaurentReihen, eine wesentliche Rolle. Eine in einem Kreisring holomorphe Funktion ist dort in eine solche Reihe entwickelbar. Umgekehrt stellt jede konvergente LaurentReihe eine in einem Kreisring holomorphe Funktion dar. Mit Hilfe dieser Reihen lassen sich isolierte Singularit¨ aten holomorpher Funktionen einfach klassifizieren. Isolierte Singularit¨ aten sind eng mit dem Residuenkalk¨ ul verbunden. Ein zentrales Ergebnis ist der Residuensatz, der den Hauptsatz aus Kapitel 4 verallgemeinert auf den Fall, dass der Integrand im Inneren‘ der betrachteten Kurve (Kette) endlich ’ viele isolierte Singularit¨ aten besitzt. Ein Anwendungsbereich des Residuensatzes ist die einfache Berechnung großer Klassen reeller Integrale. Theoretische Konsequenzen sind das Prinzip vom Argument mit dem Satz von Rouch´ e als Folgerung. ´ — noch auf das Als Besonderheit gehen wir abschließend — via Satz von Rouche Routh-Kriterium ein, das bei Stabilit¨ atsuntersuchungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen, speziell etwa bei der Untersuchung von Schwingungen mechanischer oder elektrischer Systeme, wichtig ist.

7.1 Laurent-Reihen Ist eine komplexwertige Funktion f holomorph im offenen Kreis um den Punkt a mit Radius r > 0 , so besitzt sie dort eine Potenzreihenentwicklung: W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

182

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

f (z) =

∞ 

an (z − a)n

n=0

f¨ ur alle z mit |z − a| < r . Diese Darstellung kann im allgemeinen nicht gelten, wenn f nur im Kreisring(-Gebiet) Ka (r, R) :=

 z ∈ C : r < |z − a| < R

mit 0 ≤ r < R ≤ ∞ holomorph ist. Denn sonst w¨are f — wegen der Darstellung als Potenzreihe — holomorph fortsetzbar in Uar . Eine solche Funktion kann jedoch durch eine Laurent-Reihe ∞ 

an (z − a)n :=

n=−∞

∞  n=1

∞  a−n + an (z − a)n (z − a)n n=0

dargestellt werden. Der erste Summand der rechten Seite heißt Hauptteil, der zweite Nebenteil der Laurent-Reihe. Die (komplexe) Koeffizientenfolge (an ) hat also ganze Zahlen als Indizes, d. h.  (an ) ∈ CZ := c | c : Z −→ C . F¨ ur eine Folge (cn ) ∈ CZ definieren wir: ∞  n=−∞

cn

”

konvergent“ : ⇐⇒

∞ 

cn

konvergent ∧

n=0

∞ 

c−n

konvergent

n=1

∞ −1 −∞ Statt n=1 c−n notiert man auch n=−∞ cn oder n=−1 cn . ∞ Falls ur den Reihenwert: n=−∞ cn konvergent ist, schreiben wir auch f¨ ∞ 

cn :=

n=−∞

∞ 

cn +

n=0

∞ 

c−n

n=1

Entsprechend ist die absolute Konvergenz“ solcher Reihen erkl¨art und — ” bei Funktionenreihen — auch die (absolute) gleichm¨aßige Konvergenz“. ” Zu gegebenem a ∈ C und  (an ) ∈ CZ fragen wir: F¨ ur welche z ∈ C ist die −1  n n bzw. zun¨ a chst konvergent? a (z − a) a Reihe ∞ n=−∞ n n=−∞ n (z − a) Dazu betrachten wir w := 1/(z − a) f¨ ur z ∈ C \ {a} und erhalten: −1  n=−∞

an (z − a)n =

∞  n=1

   ∈ [0, ∞] : also mit r := lim sup n |a−n | n−→∞

a−n wn ,

7.1

Laurent-Reihen

183

F¨ ur |z − a| > r ist |w| <

1 r

, also 1 r

−1

n n=−∞ an (z − a) −1 also n=−∞ an (z −

absolut konvergent.

F¨ ur 0 < |z − a| < r ist |w| > , a)n divergent. −1     ∈ [0, ∞] , falls r < R : Daher folgt mit R := lim sup n |an | F¨ ur z ∈ Ka (r, R) ist

n−→∞ ∞ 

an (z − a)n absolut konvergent; f¨ ur z ∈ C mit

n=−∞

0 < |z − a| < r oder |z − a| > R ist

∞ 

an (z − a)n divergent.

n=−∞

¨ Aus den Uberlegungen u ¨ ber Potenzreihen wissen wir: ∞ n aßig konvergent ∗ und n=−∞ an (z−a) ist in Ka (r, R) lokal absolut gleichm¨ stellt in Ka (r, R) eine differenzierbare Funktion dar; die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation. Satz 1 ∗∗ F¨ ur 0 ≤ r < R ≤ ∞, a ∈ C, K := Ka (r, R) und eine holomorphe Funktion f : K −→ C gelten: 1) Es existieren eindeutige an ∈ C (n ∈ Z) mit f (z) =

∞ 

an (z − a)n

(z ∈ K) .

n=−∞

2)

∞ 

an (z − a)n ist lokal absolut gleichm¨aßig konvergent (in K).

n=−∞

3) F¨ ur eine geschlossene Kurve C im Kreisring K , die den Punkt a einmal uml¨auft, hat man: , f (ζ) 1 dζ (n ∈ Z) an = 2πi (ζ − a)n+1 C

Beweis: Wir betrachten ein festes z ∈ K und dazu r < r1 < |z−a| < r2 < R. Cν bezeichne den positiv orientierten Kreis um a mit Radius rν . ∗ ∗∗

Wir erinnern daran, dass dies bedeutet: In kompakten Teilmengen von Ka (r, R) ist die Reihe absolut gleichm¨ aßig konvergent. ¨ Diese Uberlegungen leiten wir nicht aus den entsprechenden Aussagen u ¨ ber Potenzreihen ab, sondern f¨ uhren — aus didaktischen Gr¨ unden — einen separaten ¨ Beweis. Man h¨ atte die Uberlegungen u ¨ ber Laurent-Reihen durchaus gleich zu Beginn durchf¨ uhren k¨ onnen. Auch dies haben wir — mit Bedacht — nicht gemacht!

184

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Der Zyklus K := C2 − C1 ist nullhomolog (in K):  Ferner gilt u(K, z) = 1 . Der Hauptsatz [(1) f¨ ur k = 0] liefert somit: , , ,  1  f (ζ) 1 dζ = ··· − ··· f (z) = 2πi ζ −z 2πi K

C2

z r2

r1 a r

C1

F¨ r ζ ∈ (C2 ) ist |ζ − a| = r2 , also

zu− a

< 1 und daher ζ −a

C1 C 2

R

∞  1 1 1 (z − a)n = · z−a = ζ−z ζ − a 1 − ζ−a (ζ − a)n+1 n=0

gleichm¨ aßig konvergent bez¨ uglich ζ; mit Bemerkung 5.2 folgt somit:

, , ∞  1 f (ζ) f (ζ) 1 dζ = dζ (z − a)n n+1 2πi ζ−z 2πi (ζ − a) n=0 C2 C2 23 4 1 =: an

ζ − a

F¨ ur ζ ∈ (C1 ) ist |ζ − a| = r1 , also

< 1 ; man erh¨alt analog: z−a

, , ∞  1 1 f (ζ) k − dζ = f (ζ) (ζ − a) dζ (z − a)−(k+1) 2πi ζ −z 2πi C1

k=0

C1

, −1  1 f (ζ) = dζ (z − a)n n+1 2πi (ζ − a) n=−∞ C1 23 4 1 =: an

Eine geschlossene Kurve C im Kreisring K mit u(C, a) = 1 ist homolog zu onnen bei der Berechnung der an diese Kurven jeweils C1 bzw. C2 . Daher k¨ durch C ersetzt werden; so hat man f (z) =

∞ 

an (z − a)n

n=−∞

mit an gem¨ a ß 3) . Wir kommen nun zur Eindeutigkeit: Sind bn ∈ C (n ∈ Z) n (z ∈ K), dann ist nach den vorangestellten mit f (z) = ∞ n=−∞ bn (z − a) ∞ n ¨ Uberlegungen (Seite 183, oben) die Reihe n=−∞ bn (z − a) lokal absolut gleichm¨ aßig konvergent in K; speziell gilt also 2). ∞ f (ζ) n−m−1 = l¨angs C F¨ ur m ∈ Z kann daher (ζ−a) m+1 n=−∞ bn (ζ − a) gliedweise integriert werden (vgl. Bemerkung 5.2):

7.2

Isolierte Singularit¨aten , C

f (ζ) dζ = (ζ − a)m+1

185 ∞ 

,

n=−∞



(ζ − a)n−m−1 dζ = 2πi bm

bn C



Dies zeigt die Eindeutigkeit in 1). Zusatz

Setzt man

f1 (z) := f2 (z) :=

∞ 

  z ∈ UaR =: G1

an (z − a)n

n=0 −1 

an (z − a)n

und

  z ∈ G2 := {z ∈ C : |z − a| > r} ,

n=−∞

ur |z| −→ ∞ und dann sind f1 , f2 holomorph mit f2 (z) −→ 0 f¨   f (z) = f1 (z) + f2 (z) z ∈ G1 ∩ G2 = Ka (r, R) . Hat man andererseits gj : Gj −→ C holomorph (j = 1, 2) mit g2 (z) −→ 0 f¨ ur |z| −→ ∞ und f (z) = g1 (z) + g2 (z) (z ∈ G1 ∩ G2 ), dann gelten: g1 = f1 Beweis:

und

g2 = f2 .

fj ist holomorph in Gj :  f2 (z) =

∞ 

 a−n

n=1

1 n  −→ 0 z−a

  |z| −→ ∞

F¨ ur z ∈ G1 ∩ G2 gilt f1 (z) − g1 (z) = g2 (z) − f2 (z) ; &

durch h(z) :=

f1 (z) − g1 (z) g2 (z) − f2 (z)

(z ∈ G1 ) (z ∈ G2 )

wird eine ganze Funktion h definiert; wegen h(z) −→ 0 nach dem Satz von Liouville h = 0 .

(|z| −→ ∞) folgt 

7.2 Isolierte Singularit¨ aten Annahmen: Es seien D ⊂ C, a ∈ C \ D und f : D −→ C. Definition: a heißt genau dann isolierte Singularit¨at“ von f , wenn ein ” r ∈ ]0, ∞[ so existiert, dass Uar \ {a} = Ka (0, r) ⊂ D gilt und f auf Uar \ {a} r holomorph ist. Ua \ {a} heißt punktierte (r-)Umgebung (von a)“. ”

186

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Im Folgenden sei a eine isolierte Singularit¨at von f ; dazu werde r ∈ ]0, ∞[ ¨ wie oben gew¨ ahlt. Nach den Uberlegungen u ¨ ber Laurent-Reihen existiert dann eindeutig eine Folge (an ) ∈ CZ mit f (z) =

∞ 

an (z − a)n

  z ∈ Uar \ {a} .

n=−∞

Wir sprechen hier von der Laurent-Entwicklung direkt‘ um a“. ” ’ −1  n an (z − a) heißt Hauptteil von f in a“. ”

n=−∞

Wir wissen schon, dass man Laurent-Reihen gliedweise differenzieren kann. Bei der Frage nach der gliedweisen Gewinnung einer Stammfunktion erh¨ alt man f¨ ur die Summanden 1 an (z − a)n+1 , n+1 also f¨ ur das Integral u ¨ ber einen kleinen‘ Kreis um a jeweils 0 . ’ ¨ Der einzige St¨ orenfried‘ dabei ist n = −1 . Der Rest‘ a−1 oder das Uberbleibsel‘ ’ ’ ’ heißt — etwas vornehmer und weniger diskriminierend —

Residuum von f in a“, notiert als Res (f ; a) . Nach Satz 1 (Seite 183) ” K (0,r) gilt f¨ ur C ∈ Kcl a mit u(C, a) = 1, also eine geschlossene Kurve in Ka (0, r), die den Punkt a einmal uml¨ auft:

Res (f ; a) := a−1 =

1 2πi

, f (ζ) dζ C

a−1 istan und f¨ ur sich wenig interessant, aber meist leicht zu berechnen. Das Integral C f (ζ) dζ interessiert in der Regel schon mehr, ist aber oft schwierig zu berechnen. Die obige Formel, die wir mit dem Residuensatz noch wesentlich ausgestalten werden, ergibt — wenn noch geeignete Hilfsmittel zur Berechnung von Residuen bereitgestellt sind — u. a. eine einfache Berechnung schwieriger Integrale. Dies f¨ uhrt zum Residuenkalk¨ ul.

Definition: a heißt genau dann hebbare Singularit¨at (von f )“, wenn ein ” r ∈ ]0, ∞[ mit Uar \ {a} ⊂ D sowie eine holomorphe Funktion g : Uar −→ C existieren mit f (z) = g(z) f¨ ur z ∈ Uar \{a}. Wir sagen: f ist in a holomorph ” fortsetzbar“. Bemerkung 2

¨ Aquivalent sind:

α)

a ist eine hebbare Singularit¨at von f.

β)

a−n = 0 f¨ ur n ∈ N, d. h. der Hauptteil von f in a ist Null.

γ)

(z − a)f (z) −→ 0

(z −→ a)

7.2

Isolierte Singularit¨aten

Beweis:

α) =⇒ γ) : 

β) =⇒ α) : Setze g(z) :=

187

∞ 

an (z − a)n f¨ ur z ∈ Uar .

n=0

γ) =⇒ β) : F¨ ur n ∈ N und hinreichend kleines  > 0 gilt: / 1 f (ζ) a−n = dζ , 2πi (ζ − a)−n+1 |ζ−a|=

also |a−n | ≤ 

n−1

· max |f (ζ)(ζ − a)| −→ 0 |ζ−a|=

( −→ 0) 

Definition: F¨ ur k ∈ N heißt a genau dann Pol der Ordnung k (von f )“ ∗ , ” wenn a−k = 0 und a−n = 0 f¨ ur n > k . ur a heißt genau dann wesentliche Singularit¨at (von f )“, wenn a−n = 0 f¨ ” unendlich viele n ∈ N gilt. Beispiel: (f¨ ur eine wesentliche Singularit¨ at) 1 C \ {0}  z −→ exp z Bemerkung 3

F¨ ur k ∈ N sind ¨aquivalent:

α) a ist ein Pol der Ordnung k von f . β) Es existiert ein offenes U ∈ Ua mit U \ {a} ⊂ D und dazu g : U −→ C holomorph mit g(a) = 0 und f (z)(z − a)k = g(z) f¨ ur z ∈ U \ {a} . γ) Es existiert ein offenes U ∈ Ua mit U \ {a} ⊂ D und dazu g, h : U −→ C holomorph mit: g(a) = 0, a ist (genau) k-fache Nullstelle von h und f (z) = g(z)/h(z) f¨ ur z ∈ U \ {a} . Beweis:

β) =⇒ γ) : h(z) := (z − a)k

(z ∈ U )

α) =⇒ β) : F¨ ur z ∈ Uar \ {a} ist f (z) = g(z) :=

∞ 

an (z − a)n+k =

∞ 

an (z − a)n ,

n=−k ∞ 

  am−k (z − a)m z ∈ Uar =: U

m=0

n=−k

γ) =⇒ α) : Œ sei U = Uaε mit einem geeigneten ε > 0 . Dann gilt h : U −→ C holomorph und ; h(a) = 0. h(z) = ; h(z)(z − a)k mit ; ; Œ () gelte h(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ U . Somit existieren ∞  h(z) = bn (z − a)n (z ∈ U ) und bn ∈ C (n ∈ N0 ) mit g(z)/; b0 = 0 . Jetzt gilt f (z) = (z − a)−k

n=0

∞ 

n=0 ∗

auch k-facher Pol“ usw. ”

bn (z − a)n =

∞  n=−k

bn+k (z − a)n .



188 Folgerung 4

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

a Pol von f ⇐⇒ |f (z)| −→ ∞

(z −→ a)

Beweis: =⇒“: nach γ) ” ⇐=“: Es existiert eine offene Umgebung U von a mit U \ {a} ⊂ D derart, ” dass f (z) = 0 f¨ ur z ∈ U \ {a} ; U \ {a}  z → 1/f (z) ist holomorph und in a zu 0 stetig — und damit holomorph — erg¨ anzbar; daher existieren k ∈ N und eine holomorphe Funktion ϕ mit 1/f (z) = (z − a)k ϕ(z) und ϕ(a) = 0 ; mit g := 1/ϕ folgt nach β) die Behauptung.  Satz 5 (Casorati-Weierstraß) Ist a eine wesentliche Singularit¨at von f , so gilt: ∀ c ∈ C ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ z ∈ D ∩ Uaδ \ {a}

|f (z) − c| < ε

Die untere Zeile bedeutet: f kommt in jeder Umgebung von a jedem Wert aus C beliebig nahe.∗ Beweis: Sonst existieren c ∈ C, ε > 0 und δ > 0 derart, dass |f (z) − c| ≥ ε f¨ ur alle z ∈ Uaδ \ {a} gilt (dabei Œ Uaδ \ {a} ⊂ D); also ist 1/(f (·) − c) beschr¨ ankt auf Uaδ \ {a} und damit in a stetig erg¨anzbar zu einem Wert A (Riemannscher Hebbarkeitssatz!). Ist A = 0 , so gilt |f (z) − c| −→ ∞ und damit |f (z)| −→ ∞ f¨ ur z −→ a. Dann ist a ein Pol von f : Widerspruch. Im Falle A = 0 hat man f (z) − c −→ 1/A (z −→ a), und so ist f in a holomorph erg¨ anzbar: Widerspruch.  Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen Im n¨ achsten Abschnitt werden Residuen vielf¨ altig herangezogen. Daher sehen wir uns einige M¨ oglichkeiten der Berechnung an:

(1) Res ( · ; a) ist offenbar linear. Annahmen: Es seien C ⊃ D, a ∈ C \ D, f : D −→ C, k ∈ N, Ua  U offen mit U \ {a} ⊂ D und f auf U \ {a} holomorph. (2)∗∗ Es seien g, h : U −→ C holomorph, und h habe eine k-fache Nullstelle in a. Dann existiert ϕ : U −→ C holomorph mit ϕ(a) = 0 (somit Œ ϕ(z) = 0 f¨ ur z ∈ U ) und h(z) = (z − a)k ϕ(z) (z ∈ U ); damit gilt: (k−1) g  1 g ;a = (a) Res h (k − 1)! ϕ ∗

Eine weit dar¨ uber hinaus gehende Aussage macht ein Satz von Picard, auf den wir aber im Rahmen dieser einf¨ uhrenden Darstellung nicht eingehen.

7.2

Isolierte Singularit¨aten

189

(2’) Hat h — unter den obigen Voraussetzungen — eine einfache Nullstelle in a, so gilt speziell: g  g(a) ;a =  Res h h (a) (3) Ist a einfacher Pol von f , so hat man: Res (f ; a) = lim (z − a)f (z) z→a

(3’) Ist a einfacher Pol von f und g : U −→ C holomorph, dann gilt: Res (f g; a) = g(a) Res (f ; a) Beweise: (2) F¨ ur hinreichend kleines 0 < r < ∞ gilt: / g  1 g Res ;a = (ζ) dζ h 2πi h |ζ−a|=r

1 = 2πi

/

g ϕ (ζ)

|ζ−a|=r

(2’) Nach (2) f¨ ur k = 1: Res

g h

1 dζ = k (ζ − a) (k − 1)!  ;a

=

(k−1) g (a) ϕ

g(a)  g(a) =  ϕ(a) h (a)

  (3) Laut Bemerkung 3 existiert g : U −→ C holomorph mit g(a) = 0 und g(z) f (z) = f¨ ur z ∈ U \ {a} ; nach (2’) gilt also z−a Res (f ; a) = g(a) = lim (z − a)f (z). z→a

(3’) Falls g(a) = 0:  (f g ist in a holomorph erg¨anzbar.) Sonst gilt: Res(f g; a) = lim (z−a)f (z)g(z) = g(a) lim (z−a)f (z) = g(a) Res(f ; a) (3) z→a

z→a

(3)

   1 1 Beispiel: f (z) := z ∈ C \ {i, −i} : Res (f ; i) = 1 + z2 2i 1. Methode: Ablesen aus der Reihenentwicklung: 1 1 1 1 1  ; jetzt Potenzreihenentf (z) = · = · ·  z−i z − i (z − i) + 2 i z − i 2i 2i + 1 wicklung (geometrische Reihe!) f¨ ur den letzten Bruch. 1 1 1 2. Methode: f (z) = z+i ; nach (2’): Res (f ; i) = 2i = z−i 1 2i 1 1 3. Methode: (z − i)f (z) = −→ (z −→ i) (folgt aus (3)) z+i 2i 1 4. Methode: In (2’): g(z) := 1 , h(z) := 1 + z 2 : Res (f ; i) = 2i ∗∗

Zu (2): Oft ist es allerdings einfacher, den Anfang der Potenzreihenentwicklung g

von g und ϕ zu bestimmen und daraus Res ; a abzulesen‘. ’ h

190

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

7.3 Residuensatz Hilfssatz Es seien G ein Gebiet in C, M ⊂ G mit M˙ ∩ G = ∅ . Dann ist G \ M ein Gebiet, und f¨ ur jeden Zyklus K in G \ M , der nullhomolog in G ist, ist {a ∈ M : u(K, a) = 0} endlich. ¨ Den einfachen Beweis u ¨ berlassen wir dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe. Satz 6 (Residuensatz) Es seien G ein Gebiet in C, M eine Teilmenge von G mit M˙ ∩ G = ∅ und f : G \ M −→ C eine holomorphe Funktion. F¨ ur jeden Zyklus K in G \ M , der nullhomolog in G ist, gilt dann: ,  f (z) dz = 2πi u(K, a) · Res (f ; a) a∈M

K

Beweis: Œ {a ∈ M : u(K, a) = 0} = ∅ ; nach dem vorangehenden Hilfssatz existieren dann n ∈ N und paarweise verschiedene aν ∈ C mit {a ∈ M : u(K, a) = 0} = {a1 , . . . , an } . F¨ ur ν ∈ {1, . . . , n} existiert ν ∈ ]0, ∞[ so, dass Uaνν \ {aν } ⊂ G \ M ; es sei Cν der positiv orientierte Kreis um aν mit Radius ν . Dann gilt: K

und

n 

u(K, aν )Cν

sind homolog in

G \ M;

ν=1

daher hat man nach dem Hauptsatz: , f (z) dz = K

n  ν=1

, u(K, aν )

f (z) dz = r. S.



Cν

Wir stellen theoretische Konsequenzen des Residuensatzes zur¨ uck und behandeln zuerst die Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen.

7.3

Residuensatz

191

Trigonometrische Integranden ,2π R(cos t, sin t) dt 0

Hierbei sei R eine rationale Funktion von zwei Variablen derart, dass R(x, y) f¨ ur alle (x, y) ∈ R2 mit x2 + y 2 = 1 definiert (also Nenner = 0) ist. Mit z = exp(it): 1 1 1 1 z+ , sin t = z− cos t = 2 z 2i z / ,2π     1 1 1 1  1 1 dz R z+ , z− R(cos t, sin t) dt = i 2 z 23 2 i z z4 1 0 |z|=1 =: S(z) S ist eine rationale Funktion, die f¨ ur alle z ∈ C mit |z| = 1 definiert ist. a1 , . . . , an seien die paarweise verschiedenen isolierten Singularit¨aten von S in U01 ; mit dem Residuensatz hat man: ,2π R(cos t, sin t) dt = 2π i

n 

Res (S; aν )

ν=1

0

Nat¨ urlich liefern h¨ ochstens die Pole von S (in U01 ) einen von Null verschiedenen Beitrag; dabei ist offenbar die Voraussetzung R rationale Funktion‘ nicht wesent’ aten lich; es gen¨ ugt, dass R in U01 keine wesentlichen oder nicht-isolierten Singularit¨ hat.

,π Beispiel: F¨ ur R  c > 1 0

dt =: W c + cos t

1 Der Integrand ist gerade und 2π-periodisch, dies liefert: W = 2

2π 0

dt c + cos t

1 2 11 1 . Die (einfachen) = i z c + 12 (z + 1z ) i z 2 + 2 cz + 1 √ √ Nullstellen des Nenners sind z1 = −c + c2 − 1, z2 = −c − c2 − 1. Wegen z1 z2 = 1 und |z2 | > 1 liegt nur z1 in U01 . Nach (2’) (Seite 189) folgt:

Hier hat man: S(z) =

Res (S; z1 ) = π . Somit gilt W = √ 2 c −1

2 1 1 1 = √ 2 i 2z1 + 2 c i c −1

192

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Uneigentliche Integrale mit rationalen und trigonometrischen Integranden Annahme: Es seien k ∈ N und b1 , . . . , bk paarweise verschiedene Punkte der oberen Halbebene ∗ OH := {z ∈ C : Im z > 0}   und G ein Gebiet mit OH = {z ∈ C : Im z ≥ 0} ⊂ G ⊂ C sowie f : G \ {b1 , . . . , bk } −→ C eine holomorphe Funktion, die , f (z) dz −→ 0 (R −→ ∞) erf¨ ullt. Dann gilt: (A) 

,R

−R,R

lim

R→∞ −R

f (x) dx = 2π i

k 

Res (f ; bκ )

κ=1

Die Bedingung (A) ist z.B. erf¨ ullt, falls a): f = p/q mit Polynomen p und q, f¨ ur die gilt: q(t) = 0 (t ∈ R) und Grad p + 2 ≤ Grad q .∗∗ oder b): f (z) = exp(iαz) h(z) mit α > 0 und  max |h(z)| : Im (z) ≥ 0 ∧ |z| = R} −→ 0 (R −→ ∞)  Die Bedingung max |h(z)| : Im (z) ≥ 0 ∧ |z| = R} −→ 0 (R −→ ∞) ist zum Beispiel erf¨ ullt, falls h = p/q mit Polynomen p und q , f¨ ur die gilt: q(t) = 0 (t ∈ R) und Grad p + 1 ≤ Grad q :  Beweise: Mit R > 0 so, dass b1 , . . . , bk ∈ U0R gilt, sei CR :

2π i

k 

, Res(f ; bκ ) =

κ=1

,R f (z) dz =

CR

−R

−R R , f (x) dx + f (z) dz =⇒ Behauptung 

(A)

−R,R

Zu a): Hier hat man: z 2 p(z)/q(z) konvergiert f¨ ur |z| −→ ∞, also existieren M, R0 ∈ ]0, ∞[ so, dass |f (z)| ≤ M/|z|2 , falls |z| ≥ R0 (hieraus folgt die Existenz des Integrals); f¨ ur R ≥ R0 gilt dann:

,

M

f (z) dz

≤ πR 2 −→ 0 (R −→ ∞)

R  −R,R

∗ ∗∗

¨ Man hat nat¨ urlich ein Analogon dieser Uberlegungen f¨ ur die untere Halbebene. ∞ Hier existiert f (x) dx als absolut konvergentes uneigentliches R-Integral. −∞

7.3

Residuensatz

193

 Zu b): F¨ ur −R,R ist die Parameterdarstellung durch [0, π]  t −→ R exp(it) gegeben; damit kann abgesch¨ atzt werden:

,

f (z) dz



,π



 

= exp iαR exp(it) h(R exp(it)) i · R exp(it) dt



−R,R

≤

0

,π exp(−αR sin t) dt · max{|h(z)| : z ∈ OH ∧ |z| = R}



R

| exp(v)| = exp(Re v)

1

0

23

4

beschr¨ ankt (vgl. Seite 109)∗

,∞ Beispiel zu a): −∞

x2 π dx = √ 1 + x4 2

  Die Nullstellen von 1 + z 4 sind z0 , z03 , z05 , z07 mit z0 := exp i π4 ; davon liegen in der oberen Halbebene: z0 und z03 . Dies sind Pole erster Ordnung von f (z) := z 2 /(1 + z 4 ) . ,∞   x2 Damit folgt dx = 2πi Res (f ; z0 ) + Res (f ; z03 ) . Nach (2’) der 4 1+x −∞

Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen (vgl. Seite 189) hat man f¨ ur 2 1 a 1 a ∈ {z0 , z03 } : Res (f ; a) = = · 4a3 4 a 1 2 Wegen aa = |a| = 1 ist Res (f ; a) = a; damit folgt 4  −i 1 1 1  √ (1 − i) + (−1 − i) = √ = √ ; Res (f ; z0 ) + Res (f ; z03 ) = 4 2 2 2 2 2i dies liefert die Behauptung. Berechnung des Hauptwertes uneigentlicher Integrale Definition In physikalischen Anwendungen und bei gewissen Integraltransformationen treten gelegentlich Integrale‘ auf, bei denen Singularit¨aten auf dem Integra’ tionsweg liegen. Wir kommen daher noch zu einem solchen Typ von Integra’ len‘; dazu definieren wir zun¨ achst: F¨ ur m ∈ N, −∞ < c1 < · · · < cm < ∞ und eine stetige Funktion f : R \ {c1 , . . . , cm } −→ C : Falls ∗

Wir hatten sin t ≥

2 t π

f¨ ur 0 ≤ t ≤

π 2

ber¨ ucksichtigt.

194

Kapitel 7 * c, 1 −ε1

lim

c, 2 −ε2

f (x) dx +

R→∞

εν →0+

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz cm,−εm

f (x) dx + · · · +

c1 +ε1

−R

f (x) dx +

cm−1 +εm−1

+

,R

f (x) dx

cm +εm

existiert, so heißt er Hauptwert“ des Integrals (von f von −∞ bis ∞) und ” wird folgendermaßen bezeichnet: ,∞ P

f (x) dx

−∞

Berechnungsmethode Es seien G ein Gebiet mit OH ⊂ G ⊂ C, k ∈ N0 , m ∈ N, b1 , . . . , bk paarweise verschiedene Punkte in der oberen Halbebene, c1 , . . . , cm paarweise verschiedene reelle Zahlen und f : G \ {b1 , . . . , bk , c1,, . . . , cm } −→ C holomorph mit f (z) dz −→ 0 (R −→ ∞).

einfachen Polen cμ (μ = 1, . . . , m) sowie 

−R,R

Dann gilt: ,∞ P −∞

 k

m 1 f (x) dx = 2π i Res (f ; bκ ) + Res (f ; cμ ) 2 μ=1 κ=1

L¨ asst man hier m = 0 zu, dann umfasst dieser Typ auch die zuvor behandelten ∞ R f (x) dx := lim f (x) dx setzt. Integrale, wenn man P R→∞ −R

−∞

Beweis: Wir integrieren u ur m = 2 — skizzierten Weg. (Dabei ¨ ber den — f¨ seien R > 0 hinreichend groß und ε1 , ε2 geeignet gew¨ahlt.)

−R

c1

c1 + ε 1

c2

c2 + ε 2

R

Mit Hilfe des nachstehenden Hilfssatzes liefert der Residuensatz dann die Behauptung.

7.3

Residuensatz

195

Hilfssatz Es seien c ∈ C,  > 0 und f : Uc \ {c} −→ C eine holomorphe Funktion mit einfachem Pol c. Dann gilt , f (z) dz −→ π i Res (f ; c) f¨ ur ]0, [  ε −→ 0 . 

c−ε,c+ε

Beweis: Aus der Laurentreihenentwicklung folgt die Existenz einer holomor  (f ; c) + g(z) z ∈ Uc \{c} . phen Funktion g : Uc −→ C so, dass f (z) = Resz−c . .   1 g(z) dz −→ 0 zeigen die Behauptung.  z−c dz = πi und 



c−ε,c+ε

c−ε,c+ε

,∞ Beispiel:

P −∞

1 dx = 0 x(x − 1)

Hier sind: k = 0 , m = 2 , c1 = 0 , c2 = 1 ; mit f (z) := 1/(z(z − 1)) (z ∈ C \ {0, 1}) folgt:   .S. = πi Res (f ; c1 ) + Res (f ; c2 ) 1 23 4 1 23 4 = −1 =1 Integranden mit Verzweigungsstellen Es seien 0 < α < 1 , p und q Polynome mit 1 + Grad p ≤ Grad q und q(x) = 0 f¨ ur x ∈ [0, ∞[ . Zu r := p/q mit den (paarweise verschiedenen) Polen b1 , . . . , bk betrachten wir    z ∈ C \ [0, ∞[ ∪ {b1 , . . . , bk } f (z) := r(z) HW(−z)−α und erhalten: ,∞ 0

x−α r(x) dx =

k  π Res (f ; bκ ) sin α π κ=1

196

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Beweis: F¨ ur 0 < ε <  < R < ∞ betrachten wir C = C1 + C2 + C3 + C4 = Cε,,R



gem¨ aß der nebenstehenden Skizze. Dabei seien ε, , R so, dass  < |bκ | < R und ε < |Im (bκ )| (κ = 1, . . . , k); dann ergibt der Residuensatz: ,

k 

f (z) dz = 2πi C

C3

R 0 C1

C2

}ε

C4

Res (f ; bκ )

κ=1



 

HW(−z)−α = exp[−α Log(−z)] = exp − α ln |z| = |z|−α

Es existieren 0 < M < ∞, 0 < 0 < R0 so, dass    M  |z| ≤ 0 . |r(z)| ≤ |z| ≥ R0 ∧ |r(z)| ≤ M |z| Unabh¨ angig von ε sch¨ atzen wir die Integrale u ¨ ber C1 und C3 wie folgt ab:

.

C1 : 0 <  ≤ 0 : f (z) dz ≤ 2π · M · −α = 2πM 1−α −→ 0 ( −→ 0) C1

.

−α C3 : R0 ≤ R < ∞: f (z) dz ≤ 2πR · M = 2πM R−α −→ 0 (R −→ ∞) RR C3

ur z ∈ OH und x ∈ ]0, ∞[ : C2 : F¨    HW(−z)−α = exp − α ln |z| + i Arg(−z)    −→ exp − α ln x + i(−π) = x−α exp(i α π) (z −→ x) F¨ ur festes  und R ergibt der Grenz¨ ubergang ε −→ 0 : ,

,R f (z) dz −→ exp(i α π)

C2

x−α r(x) dx



ε

Man wendet dazu etwa den Integralsatz an auf: 0 

R

F¨ ur das Integral u alt man ebenso‘: F¨ ur festes  und R und den ¨ber C4 erh¨ ’ Grenz¨ ubergang ε −→ 0 : ,

,R f (z) dz −→ − exp(−iαπ)

C4

Zusammen hat man also



x−α r(x) dx

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen ,

,

,R f (z) dz −→ 2 i sin(απ)

f (z) dz + C2

197

C4

x−α r(x) dx

(ε −→ 0)





und so die Behauptung. Beispiel: F¨ ur 0 < β < 1 ist: ,∞ 0

Mit α := 1 − β

Beweis:

,∞ . S. = 0 

=

x−α

1 dx 1+x





=

π xβ−1 dx = 1+x sin(β π)

∈ ]0, 1[



erh¨ alt man:

π Res (f ; −1) sin(α π)

π π π π  HW(−(−1))−α = = = sin(α π) sin(α π) sin(π − β π) sin(β π)



Wir belassen es bei diesen exemplarischen Typen von Integralen und verweisen f¨ ur Erg¨ anzungen und weitere Anwendungen des Residuensatzes auf reelle Fragestellungen auf die weitergehende Literatur.

7.4 Argumentprinzip und Anwendungen Wir behandeln in diesem Abschnitt einige funktionentheoretische Konsequenzen des Residuensatzes: ( logarithmisches Residuum“) ” Es seien f, g : G −→ C holomorphe Funktionen auf einem Gebiet G in C und f nicht konstant Null. Mit der Nullstellenmenge

Satz 7

N := {z ∈ G : f (z) = 0}∗ sei K ein nullhomologer Zyklus in G mit N ∩ (K) = ∅ . Dann gilt: ,   f (z) 1 g(z) dz = u(K, a)g(a) · vf (a) 2πi f (z) K

∗

a∈N

˙ ∩ G = ∅. Nach der Folgerung aus dem Identit¨ atssatz gilt N

198

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Hierbei bezeichne vf (a) die Ordnung (Vielfachheit) der Nullstelle a (von f ) f¨ ur a ∈ N. Zu der Summe in der Behauptung sei angemerkt: Die Menge {a ∈ N : u(K, a) = 0} ist endlich (vgl. Hilfssatz, S. 190). Ein wichtiger Spezialfall ist: g(z) := 1 (z ∈ G) und u(K, a) ∈ {0, 1} f¨ ur alle a ∈ N. Man sagt dann: K ist (bez¨ uglich N) einfach“. ” Der Beweis ist mit dem Residuensatz unter Beachtung von (3’) (aus den Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen (vgl. Seite 189)) gegeben; denn zu einer Nullstelle a von f existiert ein m ∈ N, ein δ > 0 mit Uaδ ⊂ G und eine holomorphe Funktion h : Uaδ −→ C mit f (z) = (z − a)m h(z) und h(a) = 0 . Dann ist Œ h(z) = 0 f¨ ur z ∈ Uaδ .  m−1 h(z) + (z − a)m h (z) zeigt f (z) = m(z − a) m h (z) f  (z) = + . f (z) z−a h(z) Daraus liest man Res (f  /f ; a) = m = vf (a) ab.



Es k¨ onnen entsprechend auch Pole von f ber¨ ucksichtigt werden. Auf diese kleine Erg¨ anzung gehen wir aber nicht mehr ein.

Spezialf¨ alle dieses Satzes werden oft auch als Prinzip vom Argument“ ” ¨ bezeichnet; dem liegt folgende Uberlegung zugrunde: Hilfssatz ( Integraltransformation‘) ’ Es seien G und G1 Gebiete in C, f : G −→ G1 und g : G1 −→ C holomorphe Funktionen. Zu a, b ∈ G sei C ∈ KG (a, b), also eine Kurve, die innerhalb G von a nach b verl¨auft. Die — f¨ ur ein ϕ ∈ C — durch f ◦ ϕ gegebene Bildkurve‘, die offenbar inner’ halb G1 von f (a) nach f (b) verl¨auft, bezeichnen wir mit f (C). Dann gilt: , , g(w) dw = g(f (z))f  (z) dz C

f (C)

f

G

b a

f(b)

f (G) C

f (C)

f(a)

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

199

Beim Beweis kann Œ von einer stetig differenzierbaren Parameterdarstellung ϕ : [α, β] −→ G von C ausgegangen werden. Dann ist auch die Parameterdarstellung f ◦ ϕ von f (C) stetig differenzierbar, und es gilt: ,β

, g(w) dw = f (C)

  g (f ◦ ϕ)(t) (f ◦ ϕ) (t) dt

α

,β =

     g f ϕ(t) f  ϕ(t) ϕ (t) dt = r. S.



α

So gilt speziell:

1 2πi

, C

,

1 f  (z) dz = f (z) 2πi

  1 dw = u f (C), 0 w

f (C)

Hier steht rechts die Umlaufzahl von f (C) um 0 , die gerade die Argument¨ anderung beim Umlauf von f (C) um 0 beschreibt. Satz 8

(Satz von Rouch´ e)∗

Es seien G ein Gebiet in C und K ein nullhomologer Zyklus in G mit u(K, a) ∈ {0, 1} f¨ ur alle a ∈ G \ (K). F¨ ur zwei holomorphe Funktionen f, g : G −→ C mit |g(z)| < |f (z)| f¨ ur alle z ∈ (K) gilt dann: f und f + g haben in  M := a ∈ G \ (K) | u(K, a) = 1 gleich viele Nullstellen (der Vielfachheit entsprechend gez¨ahlt); diese Anzahl ist endlich. Der Beweis l¨ asst unschwer erkennen, dass dieser Satz noch wesentlich verallgemeinert werden kann.

Beweis: F¨ ur α ∈ [0, 1] betrachten wir hα (z) := f (z) + α g(z) (z ∈ G) ; dann ist hα : G −→ C holomorph mit hα (z) = 0 f¨ ur z ∈ (K), da |g(z)| < |f (z)|. Die Abbildung ,  1 hα (z) dz =: S(α) [0, 1]  α −→ 2πi hα (z) K

∗

E. Rouch´ e (1832–1910)

200

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

ist stetig () und Z-wertig (nach dem Satz u ¨ber das logarithmische Residuum), also konstant. Daher folgt speziell S(0) = S(1), was die Behauptung liefert.  ¨ Der Satz von Rouch´ e ist unter anderem auch f¨ ur numerische Uberlegungen n¨ utzlich; er gibt Informationen u ¨ ber die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen. Dazu ein einfaches

Beispiel: Es existiert eindeutig ein z ∈ U01 mit z 4 − 4z + 2 = 0 : Dazu wenden wir den Satz auf den positiv orientierten Kreis K um 0 mit Radius 1 und f (z) := −4z + 2, g(z) := z 4 (z ∈ G := C) an. F¨ ur z ∈ (K), also |z| = 1, hat man: 

|g(z)| = 1 < 2 ≤ |f (z)| Nach dem Satz von Rouch´ e hat die Funktion f + g ebensoviele Nullstellen amlich eine. in U01 wie f , n¨ Wir sehen uns noch einen weiteren — jetzt besonders einfachen — Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (vgl. Seiten 106 und 137 f) an und verzichten dabei darauf, den Satz erneut zu formulieren. n−1 −→ 0 (|z| −→ ∞). Beweis: f (z) := an z n , g(z) := ν=0 aν z ν (z ∈ C); fg(z)  (z)  Somit existiert ein R ∈ ]0, ∞[ mit |g(z)| < |f (z)| |z| = R ; der Satz von Rouch´ e, angewendet auf G := C und K als positiv orientierten Kreis um 0 mit Radius R, liefert die Behauptung, da f in 0 eine n-fache Nullstelle hat.  ´ ergibt sich noch die stetige Als einfache Folgerung aus dem Satz von Rouche ’ Abh¨ angigkeit der Nullstellen eines Polynoms von den Koeffizienten‘. Diese theoretische Aussage schließt jedoch nicht aus, dass geringf¨ ugige St¨ orungen‘ der Polynom’ ¨ koeffizienten zu dramatischen‘ Anderungen der Nullstellen f¨ uhren. Ein bekanntes ’ Beispiel von J. H. Wilkinson zeigt dies: p(z) :=

20 

(z − k) , q(z) := p(z) − 2−23 z 19 ;

k=1

q hat f¨ unf Paare konjugiert komplexer Nullstellen mit Imagin¨ arteilen, die von ±0.64 bis ±2.81 variieren!

Routh-Kriterium Im Folgenden befassen wir uns mit der Frage, ob alle Nullstellen eines komplexen Polynoms pn (z) = an z n + (an−1 + i bn−1 )z n−1 + · · · + (a1 + i b1 )z + (a0 + i b0 )

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

201

mit aν , bν ∈ R, n ∈ N und an = 0 , also reellem Hauptkoeffizienten, in der linken Halbebene {λ ∈ C : Re (λ) < 0} liegen. Ein solches pn heißt stabil. Derartige Polynome haben Bedeutung bei Stabilit¨atsuntersuchungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen, speziell etwa bei der Untersuchung von Schwingungen mechanischer oder elektrischer Systeme. Notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Stabilit¨ at reeller Polynome stammen von A. Hurwitz, der 1895 ein Determinantenkriterium ver¨ offentlichte (vgl. etwa [Me/Va, Satz 9.10.4]). Bereits 1877 war von E. J. Routh ein dazu aquivalentes Kriterium hergeleitet worden. Routh hatte hierf¨ ur einen besonders ¨ ubersichtlichen Algorithmus entwickelt, der auf Sturmschen Ketten basierte. Das ¨ folgende Reduktionsverfahren geht auf I. Schur (ZAMM 1 (1921), 307–311) zur¨ uck und benutzt zum Beweis den Satz von Rouch´ e als Haupthilfsmittel. Dies hat den Vorzug, dass der Routhsche Algorithmus auch f¨ ur Polynome mit komplexen Koeffizienten seine G¨ ultigkeit beh¨ alt und zudem genauere Aussagen u ¨ ber die Anzahl der Nullstellen in einer Halbebene gewonnen werden k¨ onnen.

In diesem Zusammenhang ist die durch p∗n (z) := (−1)n pn (−z) definierte Parakonjugierte von pn“ von Interesse. ” Mit bn := 0 und αν := aν + i bν (ν = 0, . . . , n) gelten: n  pn (z) = αν z ν und p∗n (z)

=

n 

n+ν

(−1)

ν=0 ν

αν z

= an z n +

ν=0

n−1 

(−1)n+ν αν z ν

ν=0

= an z n − (an−1 − i bn−1 )z n−1 + (an−2 − i bn−2 )z n−2 ∓ · · · + (−1)n (a0 − i b0 ) Die Linearfaktorzerlegung pn (z) = an (z − z1 ) (z − z2 ) · · · (z − zn ) geht u ¨ber in

p∗n (z) = an (z + z1 ) (z + z2 ) · · · (z + zn ) .

Die Nullstellen von p∗n erh¨ alt man also aus denen von pn durch Spiegelung an der imagin¨ aren Achse, was man nat¨ urlich auch unmittelbar aus der Definition von p∗n abliest. Mit pn und p∗n werden die Polynome qn und qn−1 definiert: qn (z) :=

n   1 1  αν + (−1)n+ν αν z ν pn (z) + p∗n (z) = 2 2 ν=0

= an z n + i bn−1 z n−1 + an−2 z n−2 + i bn−3 z n−3 + · · ·   1 1  pn (z) − p∗n (z) = αν + (−1)n+ν+1 αν z ν 2 2 ν=0 n

qn−1 (z) :=

= an−1 z n−1 + i bn−2 z n−2 + an−3 z n−3 + i bn−4 z n−4 + · · ·

202

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Sind alle Koeffizienten reell (d. h. bν = 0 auch f¨ ur ν = 0, . . . , n − 1), so bedeutet diese Aufteilung, dass das eine Polynom die geraden Anteile von alt. pn , das andere die ungeraden enth¨ Mit pn = qn + qn−1 folgt — wegen der speziellen Struktur von qn und qn−1 sind qn (i t) und qn−1 (i t) in dem Sinne orthogonal‘, dass ein Wert reell und ’ der andere rein-imagin¨ ar ist — leicht 2

2

|pn (i t)| = |qn (i t)| + |qn−1 (i t)|

2

(t ∈ R) .

(1 a)

n 

zν = −αn−1 f¨ ur die — entsprechend   Vielfachheiten gez¨ ahlten — Nullstellen zν von pn . Ist an−1 = 0 , so gilt   also auch n  Re (zν ) = 0 .

Nach dem Satz von Vieta gilt an

ν=1

ν=1

F¨ ur mindestens ein ν ∈ {1, . . . , n} folgt somit Re (zν ) ≥ 0 ; pn ist daher nicht stabil. Ist man nur an der Entscheidung hier¨ uber interessiert, kann der Algorithmus schon hier stoppen.   Im nicht-trivialen Fall n ≥ 2 und an−1 = 0 liefert Division mit Rest   (Euklidischer Algorithmus) f¨ ur qn und qn−1 mit τ1 :=

an an−1

und

σ1 :=

bn−1 − τ1 bn−2 an−1

qn (z) = qn−1 (z) (τ1 z + i σ1 ) + qn−2 (z) .

(2)

L¨ ost man in (2) nach qn−2 auf, so sieht man: Das Restpolynom qn−2 hat die gleiche Struktur wie qn und qn−1 (mit Grad qn−2 ≤ n − 2), n¨amlich die Gestalt qn−2 (z) = cn−2 z n−2 + i cn−3 z n−3 + · · · mit reellen cν . Wir f¨ uhren nun das Polynom pn−1 := qn−1 + qn−2 ein. F¨ ur dessen Nullstellen wollen wir sp¨ ater einen Zusammenhang mit den Nullstellen von pn herstellen. Analog zu (1 a) gilt |pn−1 (i t)|2 = |qn−1 (i t)|2 + |qn−2 (i t)|2 Mit (2) (und pn = qn + qn−1 ) folgt

(t ∈ R) .

(1 b)

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

203

pn (z) = qn−1 (z)(i σ1 + τ1 z) + qn−2 (z) + qn−1 (z) = (1 + i σ1 + τ1 z)qn−1 (z) + qn−2 (z)

(3)

= (1 + i σ1 + τ1 z)pn−1 (z) − (i σ1 + τ1 z)qn−2 (z) und weiter pn (i t) = 0 ⇐⇒ pn−1 (i t) = 0

f¨ ur t ∈ R .

(4)

Beweis von (4): Aus . S. folgt nach (1 a): qn (it) = 0 = qn−1 (it). Mit (3) ergibt dies zun¨ achst qn−2 (it) = 0 und dann u ¨ber (1 b) r. S.. Aus r. S. folgt nach (1 b) qn−1 (it) = 0 = qn−2 (it) und so nach (3) . S..  Wir setzen f (z) := (1 + i σ1 + τ1 z)pn−1 (z) , g(z) := −(i σ1 + τ1 z)qn−2 (z) . Mit (3) erhalten wir damit eine Zerlegung von pn der Form pn = f + g , auf die wir den Satz von Rouch´ e anwenden werden. F¨ ur z auf der imagin¨ aren Achse i R gelten |i σ1 + τ1 z | < |1 + i σ1 + τ1 z| und — nach (1 b) — |qn−2 (z)| ≤ |pn−1 (z)| . Damit haben wir, sofern pn−1 (z) = 0 (bzw. pn (z) = 0) |g(z)| < |f (z)| . Nach Voraussetzung sind an−1 und τ1 von 0 verschieden. Mithin ist Grad f = n . Wegen Grad g ≤ n − 1 folgt so |g(z)| < |f (z)|

f¨ ur |z| = r

und hinreichend großes r . e auf Liegen auf i R keine Nullstellen von pn , so kann der Satz von Rouch´ die Kurve C gem¨ aß Zeichnung

r

0

-r

C

r

204

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

(positiv durchlaufener Halbkreis mit Radius r, geschlossen durch entsprechende Strecke auf i R ) angewendet werden und liefert: f und f + g (= pn ) haben im Inneren von C gleich viele Nullstellen (entsprechend den Vielfachheiten). Die Nullstelle von 1 + i σ1 + τ1 z hat den Realteil − τ11 . Im Falle τ1 < 0 ur hinreichend großes r) eine hat also f (und damit pn ) im Inneren von C (f¨ Nullstelle mehr als pn−1 . Im Falle τ1 > 0 sind diese beiden Anzahlen gleich. Haben pn und pn−1 (bzw. qn , qn−1 und qn−2 ) auf i R eine gemeinsame Nullstelle i ζ (mit ζ ∈ R), so kann man den Faktor z − i ζ ausklammern. ¨ Wichtig f¨ ur unsere Uberlegungen ist, dass danach bei den verbleibenden Polynomen q;n , q;n−1 und q;n−2 die spezielle Struktur erhalten bleibt, d. h. ihre Koeffizienten sind — beginnend mit reellem Hauptkoeffizienten — alternierend reell bzw. imagin¨ ar. So u ¨bertragen sich die Orthogonalit¨atsrelationen‘ ’ (1 a) und (1 b). Gegebenenfalls lassen sich weitere Linearfaktoren des Typs z − i ζ , ζ ∈ R, abspalten. Auf diese Weise wird klar, dass pn und pn−1 auf i R Nullstellen mit gleichen Vielfachheiten besitzen, d. h. es existiert ein gemeinsamer Faktor ψ(z) mit pn (z) = ψ(z) p;n (z) und pn−1 (z) = ψ(z) p;n−1 (z) derart, dass auf i R keine Nullstellen von p;n und p;n−1 liegen. Es gilt dann ur k = n − 2, n − 1, n. Mithin kann man nat¨ urlich auch qk (z) = ψ(z) q;k (z) f¨ ¨ die Uberlegungen von Seite 203 auch auf f;(z) := (1 + i σ1 + τ1 z) p;n−1 (z), g;(z) := −(i σ1 + τ1 z) q;n−2 (z) g anwenden. Zusammenfassend erhalten wir: mit p;n = f; + ; Satz 9 In der rechten Halbebene ist die Anzahl der Nullstellen (entsprechend Vielfachheiten) von pn gleich der von pn−1 , falls an und an−1 gleiches Vorzeichen haben; andernfalls ist sie um 1 gr¨oßer. Auf der imagin¨aren Achse haben beide Polynome die gleichen Nullstellen mit gleichen Vielfachheiten. L¨asst sich der oben beschriebene Divisionsalgorithmus wiederholen und sukzessive auf pn−1 , . . . , p1 anwenden, so erh¨alt man Polynome qn−k mit (k) reellen Hauptkoeffizienten an−k . qn und qn−1 sind direkt durch pn gegeben. Die u ¨ brigen Polynome qn−k entstehen daraus durch Division mit Rest (Euklidischer Algorithmus). • Gilt τk =

(k−1)

an−k+1 (k)

an−k

= 0 f¨ ur k = 1 , . . . , n (alle auftretenden Quotien-

tenpolynome i σk + τk z sind linear), dann besitzt das Polynom pn keine Nullstellen auf der imagin¨aren Achse, und die Anzahl seiner Nullstellen in der rechten Halbebene ist gleich der Anzahl der negativen Elemente der  Liste τ1 , . . . , τn .

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

205

• Bricht das Verfahren nach k Schritten mit qn−k−1 = 0 ab, so ist pn−k = qn−k der gr¨oßte gemeinsame Teiler von pn und p∗n , dessen Nullstellen konjugiert symmetrisch zur imagin¨aren Achse liegen, d. h. mit z ist auch −z Nullstelle von pn−k . Die Anzahl der Nullstellen von pn in der rechten Halbebene ist gleich  der Summe der Anzahl der negativen Elemente der  Liste τ1 , . . . , τk und der Anzahl der Nullstellen von pn−k in der rechten Halbebene. Anmerkungen • Falls pn auf i R eine Nullstelle hat, bricht der Divisionsalgorithmus ab, (k) d. h. es gilt an−k = 0 f¨ ur ein k ∈ {1 , . . . , n} . • Bricht der Divisionsalgorithmus ab, so hat pn eine Nullstelle z0 mit Re (z0 ) ≥ 0 (vgl. Seite 202). • Durch Nullstellenverschiebungen und Drehungen sind Nullstellentests in beliebigen Halbebenen und Winkelbereichen m¨oglich. Diese f¨ uhren — auch ausgehend von reellen Polynomen — auf Polynome mit komplexen Koeffizienten. Wir rechnen vier Beispiele von Hand, um die Dinge einzu¨ uben und so zu vertiefen, aber auch um den Einstieg in das zugeh¨orige Worksheet zu erleichtern: Beispiele: p3 (z) := z 3 + 2z 2 + 2z + 1

(B1)

Hier hat man q3 (z) = z 3 + 2z und q2 (z) = 2z 2 + 1 und rechnet nach dem Schema: z3 z2 z1 z0  1
 · 2 · q3 1 τ1 = 2 ∗ 2
· 1 q2  τ2 = 43 ∗ ∗ 32 · q1 
 τ3 = 32 ∗ ∗ ∗ 1
q0 Das Routh-Schema bricht nicht vorzeitig ab; nach dem vorangehenden Satz liegen alle 3 Nullstellen in der linken Halbebene. Hier k¨onnen wir das nat¨ urlich noch leicht best¨ atigen, indem wir die Nullstelle −1 sehen‘, dann (Horner!) ’ den Linearfaktor abspalten und die Faktorisierung p3 (z) = (z + 1)(z 2 + z + 1)

√   erhalten, aus der wir dann die beiden weiteren Nullstellen − 12 1 ± i 3 ablesen.

206

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

p6 (z) := z 6 + 2z 5 + 6z 4 + 10z 3 + 9z 2 + 8z + 4

(B2)

Hier hat man q6 (z) = z 6 + 6z 4 + 9z 2 + 4 und q5 (z) = 2z 5 + 10z 3 + 8z und rechnet: z6 z5 z4 z3 z2 z1 z0  1
 · 6 · 9 · 4 q6 1 τ1 = 2 ∗ 2
· 10 · 8 · q5  τ2 = 2 ∗ ∗ 1
· 5 · 4 q4  ∗ ∗ ∗ 0
· 0 · q3 Das Routh-Schema bricht nach zwei Schritten mit q3 = 0 ab. Mit den Bezeichnungen von Seite 204 gilt ψ(z) = q4 (z) = (z 2 + 1) (z 2 + 4) sowie pk (z) = ψ(z) p;k (z) f¨ ur k = 5, 6 sowie qk (z) = ψ(z) q;k (z) f¨ ur k = 4, 5, 6 mit q;4 (z) = 1 , q;5 (z) = 2 z , q;6 (z) = z 2 + 1 sowie p;5 (z) = 2 z + 1 , p;6 (z) = z 2 + 2 z + 1 . Wegen τ1 = 1/2 , σ1 = 0 sind  z z p;5 (z) und ; f;(z) = 1 + g(z) = − q;4 (z) . 2 2 g(z) . So hat dann p;6 in der linken Halbebene Ferner gilt p;6 (z) = f;(z) + ; eine Nullstelle mehr als p;5 . Nach Satz 9 folgt insgesamt: aren Nullstellen ±i, ±2 i . • p6 hat — wie p4 — die imagin¨ • p6 hat keine Nullstellen in der rechten Halbebene, folglich zwei Nullstellen in der linken Halbebene. p4 (z) := z 4 + 5z 3 + 10z 2 + 10z + c

(B3)

F¨ ur welche c ∈ R liegen alle Nullstellen in der linken Halbebene?

τ1 =

1 5

τ2 =

5 8

τ3 =

64 80−5 c

τ4 =

80−5 c 8c

z4 z3 z2 z1  · 1
 · 10 ∗ 5
· 10  ∗ ∗ 8
·  ∗ ∗ ∗ 10 − 58 c  ∗ ∗ ∗ ∗

z0 c q4 · q3 c  ·  c

q2 q1
q0

Damit τ3 und τ4 existieren, m¨ ussen nat¨ urlich 10 − 58 c = 0 , d. h. c = 16 , und c = 0 sein. Wir erhalten als Bedingung f¨ ur Stabilit¨at 10 − 58 c > 0 ∧ c > 0 , also 16 > c > 0 .

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

207

p6 (z) := z 6 + z 5 + 3z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 2z + 1 z6 z5 z4 z3  1
 · 3 · τ1 = 1 ∗ 1
· 3  ∗ ∗ 0
·

(B4)

z2 z1 z0 3 · 1 q6 · 2 · q5 1 · 1 q4 (2)

Das Routh-Schema bricht nach einem Schritt wegen a4 = 0 ab. Da man weder zu einem sinnvollen Ende kommt, noch die Rechnung fortgesetzt werden kann, bezeichnet man diesen Fall als Entartung. q4 (z) = z 2 + 1 p5 (z) = q5 (z) + q4 (z) = z 5 + 3z 3 + z 2 + 2z + 1 = (z 3 + 2z + 1)(z 2 + 1) p6 (z) = (z 4 + z 3 + 2z 2 + 2z + 1)(z 2 + 1) aren Nullstellen ±i . • p6 hat — wie p5 — die imagin¨ • p6 hat in der linken Halbebene eine Nullstelle mehr als p5 . • p6 und p5 haben in der rechten Halbebene gleich viele Nullstellen.

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, isolierte Singularit¨ aten, Residuensatz Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: Plot-Optionen: coords=cylindrical, labelfont, titlefont save, read convert(..., polynom) residue select; add degree, quo

7.1 Laurent-Reihen An drei einfachen Beispielen, die man noch leicht im Kopf nachvollziehen kann (Reihe der Exponentialfunktion und geometrische Reihe!), werden nun Laurent-Reihen, speziell ihr Approximationsverhalten, durch Darstellung des Absolutbetrages der komplexen Fehlerfunktion‘ veranschaulicht. ’ Beispiel 1 > restart: with(plots): f := z -> exp(1/z); 1

f := z −→ e z

Wir betrachten die Laurent-Reihe von f um 0 in K0 (0, ∞) und beschr¨ anken dabei die Graphik auf K0 (0, 1) :

5

> L := series(f(z),z=infinity): # Der Ausdruck rechts ist ¨ aquivalent zu: # subs(z=1/z,series(subs(z=1/z,f(z)),z=0)) convert(L,polynom): # Restterm weglassen L := unapply(%,z); Rest := f - L:

210

MWS zu Kapitel 7 L := z −→ 1 +

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz 1 1 1 1 1 + + + + 2 3 4 z 2z 6z 24 z 120 z 5

Da wir mit der folgenden plot3d-Anweisung die Betragsfunktion von Rest‘ in ’ einem Kreis bzw. Kreisring darstellen wollen, verwenden wir hierzu Zylinder¨ koordinaten mittels der Option coords=cylindrical . Um die Uberlegungen in diesem Abschnitt noch mehrfach einsetzen zu k¨onnen, schreiben wir gleich eine kleine Prozedur und speichern diese in einer Textdatei ab:

10

Differenz (betraglich) zwischen f und dem Anfangsteil der Laurent-Reihe L

3

Rest

5

> show := proc(r,R::realcons,Titel::string) global Rest; plot3d([rho,t,abs(evalf(Rest(rho*exp(I*t))))],rho=r..R,t=0..2*Pi, view=[-R..R,-R..R,0..3],coords=cylindrical,shading=zhue, grid=[50,50],style=patchcontour,contours=30,tickmarks=[3,3,3], axes=box,titlefont=[TIMES,ROMAN,14],labelfont=[TIMES,ITALIC,14], labels=["Realteil"," Imaginaerteil","Rest"],title=Titel, labeldirections=["horizontal","horizontal","vertical"]) end proc: save show, "show.txt": show(0,1,"Differenz (betraglich) zwischen f und dem Anfangsteil der Laurent-Reihe L");

2 1 –1

0 –1 0 Imaginaerteil

0

Realteil

1 1

Beispiel 2 > restart: with(plots): read "show.txt": f := z -> 3/((z+1)*(2-z));

f := z −→

3 (z + 1) (2 − z)

Wir interessieren uns f¨ ur die Laurent-Reihe(n) von f um 0 . Die Singularit¨ aten von f sind −1 und 2 . Wir beginnen mit der Laurent-Reihe in

7.1

Laurent-Reihen

(MWS)

211

K0 (0, 1). Da f in 0 holomorph ist, stimmt die Laurent-Reihe mit der Potenzreihe im Einheitskreis u ¨ berein. > series(f(z),z=0): L := unapply(convert(%,polynom),z); Rest := f - L: show(0,1,"(Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)");

L := z −→

9 3 3 15 3 33 4 63 5 − z + z2 − z + z − z 2 4 8 16 32 64

(Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)

Rest

3 2 1 –1 0 –1 0 Imaginaerteil

0

Realteil

1 1

Als n¨ achstes betrachten wir die Laurent-Reihe von f in K0 (1, 2) . Dazu berechnen wir die Partialbruchzerlegung von f und spalten f auf in die Summe der beiden Funktionen f1 : z → 1/(z + 1) und f2 : z → 1/(2 − z). Mittels series(f 1(z), z=infinity) erhalten wir die Laurent-Reihe von f1 in K0 (1, ∞) , und series(f 2(z), z=0) liefert die Laurent-Reihe von f2 in K0 (0, 2). > convert(f(z),parfrac,z);

1 1 − z + 1 −2 + z f_1 := unapply(1/(z+1),z); f_2 := unapply(-1/(-2+z),z);

f1 := z −→

1 , z+1

f2 := z −→ −

1 −2 + z

212

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Order := 10: series(f_1(z),z=infinity) + series(f_2(z),z=0): L := unapply(convert(%,polynom),z); Rest := f - L: show(1,2,"(Rest zur) Laurent-Reihe in 1 < |z| < 2");

L := z −→

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + + + z + z2 z z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 2 4 8 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 z + z + z + z + z + z + z9 + 16 32 64 128 256 512 1024 (Rest zur) Laurent-Reihe in 1 < |z| < 2

Rest

3 2 1 –2 0 –2

–1 –1

Imaginaerteil

0 0

1

1

Realteil

2 2

Und so erh¨ alt man schließlich die Laurent-Reihe von f in K0 (2, ∞): > series(f_1(z),z=infinity,8) + series(f_2(z),z=infinity,8): L := unapply(convert(%,polynom),z): Rest := f - L: show(2,4,"(Rest zur) Laurent-Reihe von f in |z| > 2"); L;

(Rest zur) Laurent-Reihe von f in |z| > 2

Rest

3 2 1 –4 0 –4

–2 –2

Imaginaerteil

0 0

2

2 4 4

Realteil

7.1

Laurent-Reihen

(MWS)

L := z −→ −

213

3 3 9 15 33 63 − 3− 4− 5− 6 − 7 2 z z z z z z

Beispiel 3 In vielen Bereichen der Mathematik kommt die Funktion x −→ 1/(1 + x2 ) vor. Hieran sieht man, dass man die Gr¨ oße des Konvergenzradius einer entsprechenden Potenzreihenentwicklung oft nur nach Erweiterung ins Komplexe richtig versteht. Wir sehen uns dieses Beispiel noch kurz an: > restart: with(plots): read "show.txt": f := z -> 1/(1+z^2);

f := z −→

1 1 + z2

> series(f(z),z=0,12): L := unapply(convert(%,polynom),z); Rest := f- L: show(0,1,"(Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)");

f := z −→ 1 − z 2 + z 4 − z 6 + z 8 − z 10 (Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)

Rest

3 2 1 –1 –1 0 Imaginaerteil

0

Realteil

1 1

Wir sehen uns nur noch die Entwicklung in K0 (1, ∞) an: > series(f(z),z=infinity,12): unapply(convert(%,polynom),z);

z −→

1 1 1 1 1 − 4 + 6 − 8 + 10 z2 z z z z

214

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

7.2 Isolierte Singularit¨ aten Beispiel f¨ ur eine nicht-isolierte Singularit¨ at > restart: with(plots): f := z -> 1/sin(Pi/z);

f := z −→

1 π sin z

> _EnvAllSolutions := true: solve(sin(Pi/z));

1 Z1 0 ist eine Singularit¨ at, die nicht isoliert ist; denn zn = 1/n definiert eine Nullfolge von Singularit¨ aten. > TICKS := [[seq(1.0/k=cat(‘ 1/‘,k),k=12..15)],[-4,-2,0,2,4]]: plot(f,1/16..1/12,-4..4,tickmarks=TICKS,color=black,thickness=2);

Klassifikation von isolierten Singularit¨ aten Beispiel 1: Hebbare Singularit¨ aten und Polstellen > restart: f := z -> z/(1-z)/sin(Pi*z);

f := z −→

z (1 − z) sin(π z)

f hat eine hebbare Singularit¨ at in 0, einen Pol zweiter Ordnung in 1 und Pole erster Ordnung in k f¨ ur alle anderen ganzen Zahlen k :

7.2

Isolierte Singularit¨aten

(MWS)

215

> _EnvAllSolutions := true: solve(denom(f(z)));

1, Z1 Z1 ist eine ganzzahlige Variable. Im ersten Moment ger¨at man ins Gr¨ ubeln u ber diese kryptische Beschreibung der ganzen Zahlen als L¨ o sungsmenge. f ¨ ist also holomorph in C \ Z. Betrachten wir die Singularit¨at z0 = 0 , so gilt: > Limit(f(z),z=0): % = value(%);

lim

z−→0

1 z = (1 − z) sin(π z) π

at, und f kann durch f (0) := 1/π Mithin ist z0 = 0 eine hebbare Singularit¨ holomorph erg¨ anzt werden. F¨ ur die Potenzreihe um 0 liefert Maple die folgenden Anfangsterme: > series(f(z),z=0): convert(%,polynom);

    1 2 2 1 2 3 1 4 1 2 2 π π π (6 + π 1 + 1 + 1 − + )π z z z4 z 1 6 6 120 36 + + + + π π π π π alt man F¨ ur die Singularit¨ at z0 = 1 erh¨ > Limit((z-1)^2*f(z),z=1): % = value(%);

1 (−1 + z)2 z = z−→1 (1 − z) sin(π z) π lim

f hat also in z0 = 1 einen Pol zweiter Ordnung. F¨ ur die Laurent-Reihe um z0 = 1 liefert Maple als Reihenanfang die Terme: > series(f(z),z=1): convert(%,polynom);

1 1 7 3 1 1 + π + π (−1 + z) + π (−1 + z)2 + π (−1 + z)2 π (−1 + z) 6 6 360 F¨ ur alle u aten z0 = k aus Z \ {0, 1} erhalten wir wegen ¨ brigen Singularit¨ > Limit((z-k)*f(z),z=k): % = factor(value(%)) assuming k::integer;

lim

z−→k

k (z − k) z =− (1 − z) sin(π z) (−1 + k) (−1)k π

einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum (−1)k+1 k/((k − 1) π). F¨ ur k = −1 bzw. k = 2 stimmt dies mit Maples — u ¨ ber die Laurent-Reihe gewonnenen — Resultaten u ¨berein: > series(f(z),z=-1,5): convert(%,polynom);

216

MWS zu Kapitel 7 1 1 1 − − 2 π (z + 1) 4 π

8

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz −

1 1 2 1 2 π (z + 1) + π (z + 1)2 12 16 24 − π π

> series(f(z),z=2,5): convert(%,polynom);

 1 2 + + − π (z − 2) π

−1−

 1 2 1  π (z − 2) 1 + π 2 (z − 2)2 3 6 + π π

Beispiel 2: Wesentliche Singularit¨ aten > restart: with(plots): f := z -> exp(1/z); 1

f := z −→ e z

Hierf¨ ur erhalten wir folgende Laurent-Reihe um z0 = 0 : > ’f(z)’ = subs(z=1/z,Sum(z^k/k!,k=0..infinity)); ∞ 

f (z) =

 1 k

k=0

z k!

bzw. > ’f(z)’ = Sum(z^k/(-k)!,k=-infinity..0); 0 

f (z) =

k=−∞

zk (−k)!

z0 = 0 ist also eine wesentliche Singularit¨at von f . An diesem Beispiel l¨asst sich nun leicht die Aussage des Satzes von Casorati-Weierstraß verdeutlichen: > Limit(f(x),x=0,right): % = value(%); 1

lim e x = ∞

x−→0+

> Limit(f(x),x=0,left):

% = value(%); 1

lim e x = 0

x−→0−

> plot([f(x),1],x=-5..5,y=0..5,discont=true,color=[black,gray], thickness=[1,2],title="0 und ’infinity’ werden bei 0 durch Werte von f approximiert:");

7.2

Isolierte Singularit¨aten

(MWS)

217

0 und ∞ werden bei 0 durch Werte von f approximiert:

Es sei nun  w eine beliebige komplexe  Zahl ungleich 0 . Durch zn = 1/ log(|w|) + i arg(w) + n2 π i ist dann eine Nullfolge gegeben mit: > assume(n,posint,w,complex): z[n] := 1/(log(abs(w))+I*(argument(w)+n*2*Pi)): ’f(z[n])’ = f(z[n]); Limit(’z[n]’,n=infinity): eval(%,1) = value(%);

f (zn ) = eln(|w|)+i (argument(w)+2 n π) ,

lim zn = 0

n→∞

> simplify(rhs(%%%),exp);

|w| signum(0, w, 1) Man muss Maple mit convert(%,abs); etwas nachhelfen, diesen Ausdruck zu w zu vereinfachen. Offensichtlich ist f (zn ) = w , trivialerweise also auch limn−→∞ f (zn ) = w . Insgesamt existiert also zu jedem w aus der abgeschlossenen komplexen Zahlenebene C eine Nullfolge (zn ) mit limn−→∞ f (zn ) = w . Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen Methode 1 Kennt man die Laurent-Reihe ∞ 

ck (z − a)k

k=−∞

von f um die isolierte Singularit¨ at a, so kann man das Residuum daraus direkt ablesen, n¨ amlich Res(f ; a) = c−1 .

218

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

> restart: f := z -> sin(1/z);

1 f := z −→ sin z > series(f(z),z=infinity);

1 1 1 1 − + +O 6 3 5 z 6z 120 z z   Es ist also Res sin( 1z ); 0 = 1 . Schauen wir uns noch an, was der MapleBefehl residue hier liefert: > residue(f(z),z=0);

  1 ,z = 0 residue sin z Maple scheint also — an wesentlichen Singularit¨aten — u ¨ berfordert zu sein! Methode 2 Es sei g(z) = (z − a)k h(z) mit h holomorph in einer Umgebung von a und h(a) = 0 . Dann gilt (k−1) f  1 f Res ; a = (a) . g (k − 1)! h Im Falle k = 1 hat man h(a) = g  (a) und somit f  f (a) . Res ; a =  g g (a) Beispiel 1

F (z) =

1 1 + z2

> restart: F := z -> 1/(1+z^2): solve(denom(F(z)));

i, −i > a := I:

Hier liefert Maple direkt: > Res(F,a) = residue(F(z),z=a);

Res(F ; i) = −

1 i 2

Mit der oben angegebenen Methode erh¨ alt man:

7.2

Isolierte Singularit¨aten

(MWS)

219

> f := z -> 1/(z+a); g := z -> z-a;

f := z −→ > ’f(z)/g(z)’:

1 , z+a

g := z −→ z − a

eval(%,1) = rationalize(%);

1 f (z) = g(z) 1 + z2 > Res(f/g,a) = f(a)/D(g)(a);

Res Beispiel 2

F (z) =

f g

 ;i

= −

1 i 2

1 (1 + z 2 )3

> restart: F := z -> 1/(1+z^2)^3: solve(denom(F(z)));

i, −i, i, −i, i, −i > a := I:

Hier liefert Maple direkt: > Res(F,a) = residue(F(z),z=a);

Res(F ; i) = −

3 i 16

Mit der oben angegebenen Methode erh¨ alt man: > f := z -> 1; g := z -> (z^2+1)^3;

f := z −→ 1 ,

g := z −→ (1 + z 2 )3

> ’f(z)/g(z)’: eval(%,1) = %;

1 f (z) = g(z) (1 + z 2 )3 >

h := z -> (z+a)^3: (z-a)^3*’h(z)’: eval(%,1) = factor(expand(%));

(z − i)3 h(z) = (1 + z 2 )3

220

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

> Res(F,a) = 1/2!*(D@@2)(f/h)(a);

3 i 16

Res(F ; i) = − Methode 3

Es seien a ein k-facher Pol von f und g holomorph in einer Umgebung von a. Dann ist  (k−1) 1 (z − a)k f (z) g(z) Res(f g; a) = (a) . (k − 1)! Im Spezialfall k = 1 gilt Res(f g; a) = g(a) Beispiel 1

F (z) =



 lim (z − a) f (z) = g(a) Res(f ; a) .

z−→a

1 z2 + 1

> restart: F := z -> 1/(z^2+1): f := z -> 1/(z-I); g := z -> 1/(z+I);

f := z −→

1 , z−i

g := z −→

1 z+i

> ’f(z)*g(z)’: eval(%,1) = rationalize(%);

f (z) g(z) =

z2

1 +1

> Res(F,I) = g(I)*limit((z-I)*f(z),z=I);

Res(F ; i) = −

1 i 2

oder alternativ > Res(F,I) = g(I)*residue(f(z),z=I):

Beispiel 2

F (z) =

(z 2

1 + 1)3

> restart: F := z -> 1/(z^2+1)^3: f := z -> 1/(z-I)^3; g := z -> 1/(z+I)^3;

f := z −→

1 , (z − i)3

> simplify((z-I)^3*f(z)*g(z));

g := z −→

1 (z + i)3

7.3

Residuensatz

(MWS)

221 1 (z + i)3

> diff(%,z$2);

12 (z + i)5

> Res(F,I) = 1/2!*subs(z=I,%);

Res(F ; i) = −

3 i 16

So geht es auch: > Res(F,I) = 1/2!*limit(diff((z-I)^3*f(z)*g(z),z$2),z=I):

7.3 Residuensatz Bei der Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen beschr¨anken wir uns auf einige wichtige Typen.

Direkte Berechnung von Integralen mit dem Residuensatz > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt":

Beispiel 1

. angs des Halbkreises C mit Mittelpunkt 0 Berechne das Integral C f (z) dz l¨ und Radius 2 in der oberen Halbebene. > f := z -> 1/(z^2+2); a := 0: R := 2: g := t -> a+R*exp(I*t):

f := z −→

1 z2 + 2

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(abs(z-a)0),sol);

 √ √  sol := i 2, −i 2 ,

 √  Z := i 2

222

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

> Kurve

5

:= complexplot(g,0..Pi,color=black,thickness=2), complexplot([-R,R],style=line,color=black,thickness=2): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.05,color=black),z=Z): Pfeile := seq(pfeil(g,k*Pi/4,0.2,black),k=[1,3]), pfeil([-R,R],0.48,0.2,black): display(Kurve,Punkte,Pfeile,axes=frame,scaling=constrained);

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(f(z),z=C..‘‘) = simplify(2*Pi*I*%);

, C

z2

1 √ 1 dz = π 2 +2 2

Z ist hier einelementig. Wir verwenden add in dieser Form im Hinblick auf allgemeinere Situationen. Beispiel 2 Berechne das Integral Radius 2:

. C

f (z) dz l¨ angs des Kreises C um den Punkt 1 mit

> f := z -> 1/(4+z^4); a := 1: R := 2: g := t -> a+R*exp(I*t): # Parameterdarstellung von C

f := z −→

1 4 + z4

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(abs(z-a)
  sol := 1 − i, 1 + i, −1 − i, −1 + i ,

  Z := 1 − i, 1 + i

> Kreis := complexplot(g,0..2*Pi,color=black): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.05,color=black),z=Z): Pfeile := seq(pfeil(g,k*2*Pi/3,0.25,black),k=1..3): display(Kreis,Punkte,Pfeile,axes=frame,scaling=constrained);

7.3

Residuensatz

(MWS)

223

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(f(z),z=C..‘‘) = simplify(2*Pi*I*%);

, C

1 1 dz = − i π 4 + z4 4

Trigonometrische Integrale Es sei R(x, y) eine rationale Funktion in x und y, die auf dem Einheitskreis {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} definiert ist. F¨ ur

z + z1 z − 1z , R 2 2i f (z) := iz gilt

, 0

k    R cos(t), sin(t) dt = 2 π i Res(f ; bκ ) ,

2π

κ=1

wenn b1 , . . . , bk die paarweise verschiedenen isolierten Singularit¨aten von f im Einheitskreis sind. , π 1 dt (c > 1) Beispiel 1 0 c + cos(t) > restart: R := t -> 1/(c+cos(t)); Integral := Int(R(t),t = 0 .. Pi):

R := t −→

1 c + cos(t)

224

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

> Integral = Int(R(t),t = 0 .. 2*Pi)/2;

,

π

0

1 1 dt = c + cos(t) 2

,

2π

0

1 dt c + cos(t)

> subs(cos(t)=(z+1/z)/2,R(t)): normal(%/(I*z)): f := unapply(%,z);

f := z −→ −

2i 2 c z + z2 + 1

> assume(c>1): sol := [solve(denom(f(z)),z)]; Z := select(z->is(abs(z)<1),sol);

 sol :=

−c+

√

c2 − 1, −c −

 √ c2 − 1 ,

 Z :=

−c+

 √ c2 − 1

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Integral = simplify(2*Pi*I*%/2);

,

π

0

,

2π

Beispiel 2 0

π 1 dt = √ c + cos(t) c2 − 1

1 dt 1 + 3 cos(t)2

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": R := t -> 1/(1+3*cos(t)^2);

R := t −→

1 1 + 3 cos(t)2

> subs(cos(t)=(z+1/z)/2,R(t)): normal(%/(I*z)): f := unapply(%,z);

f := z −→ −

4iz 10 z 2 + 3 z 4 + 3

> sol := [solve(denom(f(z)))]; Z := select(z->is(abs(z)<1),sol);

 sol :=

5

 √ √ 1 √ 1 √ i 3, −i 3, i 3, − i 3 , 3 3

 Z :=

1 √ 1 √ i 3, − i 3 3 3

> g := t -> exp(I*t): # Einheitskreis Kreis := complexplot(g,0..2*Pi,color=black): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.03,color=black),z=Z): Pfeile := seq(pfeil(g,k*2*Pi/3,0.15,black),k=1..3): display(Kreis,Punkte,Pfeile,axes=frame,scaling=constrained);



7.3

Residuensatz

(MWS)

225

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(R(t),t=0..2*Pi) = simplify(2*Pi*I*%);

,

2π 0

1 dt = π 1 + 3 cos(t)2

Uneigentliche Integrale mit rationalen Funktionen Es seien P und Q Polynome mit 2+Grad(P ) ≤ Grad(Q) und Q(x) ungleich Null f¨ ur alle x ∈ R. Sind b1 , . . . , bk die Nullstellen von Q in der oberen Halbebene, so gilt , ∞ k  P  P (x) dx = 2 π i ; bκ . Res Q −∞ Q(x) κ=1 Beispiel > restart: f := x -> x^2/(4+x^4);

f := x −→

x2 4 + x4

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol);

  sol := 1 − i, 1 + i, −1 − i, −1 + i ,

  Z := 1 + i, −1 + i

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(f(x),x=-infinity..infinity) = 2*Pi*I*simplify(%);

,

∞

−∞

x2 1 dx = π 4 4+x 2

226

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Uneigentliche Integrale mit trigonometrischen Funktionen Es seien P und Q Polynome mit 1+Grad(P ) ≤ Grad(Q) und Q(x) ungleich Null f¨ ur alle x ∈ R. Mit einem α > 0 betrachten wir Integranden der Form f (z) :=

ei α z P (z) . Q(z)

Sind b1 , . . . , bk die Nullstellen von Q in der oberen Halbebene, so gilt ,

∞

f (x) dx = 2 π i −∞

,

∞

Beispiel −∞

k 

Res(f ; bκ ) .

κ=1

cos(x) dx 4 + x4

> restart: f := z -> exp(I*z)/(4+z^4);

f := z −→ > evalc(Re(f(x)));

ei z 4 + z4

cos(x) 4 + x4

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol);

  sol := 1 − i, 1 + i, −1 − i, −1 + i ,

  Z := 1 + i, −1 + i

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(evalc(Re(f(x))),x=-infinity..infinity) = (simplify@evalc@Re)(2*Pi*I*%);

,

∞

−∞

  cos(x) 1 dx = π e−1 sin(1) + cos(1) 4 + x4 4

Berechnung des Hauptwertes uneigentlicher Integrale Es sei f := P/Q mit Polynomen P und Q sowie 2 + Grad(P ) ≤ Grad(Q) . b1 , . . . , bk seien die Polstellen von f in der oberen Halbebene, c1 , . . . , cm einfache Polstellen auf R. Dann gilt: ,

∞

P

f (x) dx = 2 π i −∞

k  κ=1

Res(f ; bκ ) + π i

m  μ=1

Res(f ; cμ )

7.3

Residuensatz ,

(MWS) ∞

P

Beispiel 1

−∞

227

1 dx x (x − 1)

> restart: f := z -> 1/(z*(z-1));

f := z −→

1 z (z − 1)

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol); Zr:= select(z->is(Im(z)=0),sol);

sol := [0, 1] ,

Z := [ ] ,

Zr := [0, 1]

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Zr): P*Int(f(x),x=-infinity..infinity) = simplify(2*Pi*I*%%+Pi*I*%);

, P

∞

1 dx = 0 −∞ x (x − 1)

Man kann den Hauptwert dieses Integrals auch direkt mit folgendem MapleBefehl berechnen: > int(f(x),x=-infinity..infinity,CauchyPrincipalValue):

, Beispiel 2

∞

P −∞

sin(x) dx (x − 1) (x2 + 4)

> restart: f := z -> exp(I*z)/((z-1)*(z^2+4));

f := z −→ > evalc(Im(f(x)));

ei z (z − 1) (z 2 + 4)

sin(x) (x − 1) (x2 + 4)

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol); Zr:= select(z->is(Im(z)=0),sol);

sol := [1, 2 i, −2 i] ,

Z := [2 i] ,

Zr := [1]

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Zr): P*Int(evalc(Im(f(x))),x=-infinity..infinity) = expand(Im(2*Pi*I*%%+Pi*I*%));

, P

∞

1 sin(x) 1 dx = − π e−2 + π cos(1) 2 5 5 −∞ (x − 1) (x + 4)

228

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

Integranden mit Verzweigungspunkten Es seien P und Q Polynome mit Grad(P ) + 1 ≤ Grad(Q) und Q(x) ungleich Null f¨ ur alle x aus dem Intervall [0, ∞[ ; b1 , . . . , bk seien die (paarweise verschiedenen) Pole von P/Q . Mit 0 < α < 1 betrachten wir als Integranden f (z) := Dann gilt:

,

∞

0

(−z)−α P (z) . Q(z)

k  π x−α P (x) dx = Res(f ; bκ ) Q(x) sin(α π) κ=1

Beispiel > restart: assume(alpha>0,alpha<1): Integral := Int(x^(-alpha)/(1+x),x=0..infinity): f := z -> (-z)^(-alpha)/(1+z);

f := z −→

(−z)−α 1+z

> sol := [solve(denom(f(z))=0)];

sol := [−1] > Integral = Pi/sin(alpha*Pi)*add(residue(f(z),z=zeta),zeta=sol);

,

∞

0

x−α π dx = 1+x sin(α π)

7.4 Argumentprinzip und Anwendungen Satz von Rouch´ e Es seien f holomorph in einem Gebiet G der komplexen Zahlenebene und C eine geschlossene Kurve in G mit der Parameterdarstellung z = ϕ(t) f¨ ur t ∈ [α, β]. Ferner sei f (z) ungleich Null auf dem Tr¨ager (C) der Kurve C.   Die Bildkurve f (C) hat dann die Parameterdarstellung f (ϕ(t)) t ∈ [α, β] , und f¨ ur die Umlaufzahl von f (C) um 0 gilt 1 u(f (C), 0) = 2πi

,

β

α

1 (f ◦ ϕ) (t) dt = f (ϕ(t)) 2πi

, C

f  (z) dz . f (z)

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

(MWS)

229

Nach dem Satz vom logarithmischen Residuum ist also u(f (C), 0) gleich der Anzahl der Nullstellen im Inneren von C. Informationen u ¨ber die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen kann man auch mit dem Satz von Rouch´ e gewinnen: Beispiel 1 Wir greifen das Beispiel aus Abschnitt 6.1 auf und betrachten folgende Polynomfunktion: > restart: p := z -> z^3-z^2+2;

p := z −→ z 3 − z 2 + 2 K sei der positiv orientierte, einfach durchlaufene Kreis um 0 mit Radius r = 2: > phi := t -> 2*exp(I*t): # t=0..2*Pi

Setzen wir > f := z -> z^3: g := p-f: ’f(z)’ = f(z), ’g(z)’ = g(z);

f (z) = z 3 ,

g(z) = −z 2 + 2

so gilt f¨ ur z mit |z| = 2 : |g(z)| ≤ 6 < 8 = |f (z)|. Wir u ¨berzeugen uns davon durch folgende Abbildung: > with(plots): plot([0,abs(g(phi(t))),6,abs(f(phi(t)))],t=0..2*Pi, color=[white,black,gray,black],thickness=2, linestyle=[1,1,3,3],tickmarks=[spacing(Pi/2),5]);

f hat im Inneren des Kreises K drei Nullstellen. Mithin hat f + g = p dort ebenfalls drei Nullstellen. Bei diesem einfachen Beispiel kann man dies leicht u ufen: ¨ berpr¨ > solve(p(z));

230

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz −1, 1 − i, 1 + i

Dies steht im Einklang mit dem Ergebnis aus dem Abschnitt 6.1, wo wir u(p(K), 0) = 3 erhalten haben. Beispiel 2 F¨ ur die Polynomfunktion > restart: p := z -> z^4-4*z+2;

p := z −→ z 4 − 4 z + 2 wollen wir zeigen, dass sie im Einheitskreis genau eine Nullstelle besitzt. Wir setzen deshalb > phi := t -> exp(I*t): # t=0..2*Pi f := z -> -4*z+2: g := p-f: ’f(z)’ = f(z), ’g(z)’ = g(z);

f (z) = −4 z + 2 ,

g(z) = z 4

und schauen uns die Graphen von |f | (schwarz) und |g| (schwarz gestrichelt) auf dem Rand des Einheitskreises an: > with(plots): plot([0,abs(g(phi(t))),2,abs(f(phi(t)))],t=0..2*Pi, color=[white,black,gray,black],tickmarks=[spacing(Pi/2),4], linestyle=[1,3,3,1],thickness=2);

Die Ungleichung |g(z)| = 1 < 2 ≤ |f (z)| f¨ ur z mit |z| = 1 erh¨alt man nat¨ urlich auch leicht mit Hilfe der Dreiecksungleichung. f hat im Inneren des Einheitskreises genau eine Nullstelle. Folglich hat f + g = p dort ebenfalls genau eine Nullstelle. Wir u ufen dies mittels fsolve : ¨ berpr¨ > fsolve(p(z)=0,z,complex): select(z->is(abs(z)<1),[%]);

[0.517999352206109]

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

(MWS)

231

Routh-Kriterium Die nachfolgenden Programme Routh, Rpc (Routh/paraconjugate) und RSF (Routh/Stieltjes Fraction) basieren auf dem von R. Corless entwickelten Programmpaket Hurwitz der Share Library. Ab Maple 6 ist diese nicht mehr Teil des Maple Software-Paketes. Die Maple V Share Library — Updated ” to Maple 10“ kann u ¨ ber http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=1691 heruntergeladen werden. F¨ ur unsere Zwecke haben wir den Maple-Code des Programmpaketes Hurwitz in einer Textdatei abgespeichert, die mit dem Befehl read "../hurwitz.txt": bereitgestellt werden kann. Beim Vergleich der Quelltexte ist leicht zu erkennen, dass nur wenige — aber doch entscheidende — Modifikationen vorgenommen wurden, wodurch das Programm insgesamt an Aussagef¨ ahigkeit gewonnen hat. Sofern das Routh-Schema nicht entartet und dann mit einer entsprechenden Fehlermeldung endet, liefert die Prozedur Routh die Koeffizienten τ1 , . . . , τk des Routh-Schemas sowie den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler (ggT) von pn und p∗n in der Form τ -Werte = [τ1 , . . . , τk ] ,

ggT = g .

(Wir verwenden hier und im Folgenden die Bezeichnungen aus Abschnitt 7.4 des Textes.) Die Anzahl der Nullstellen des vorgegebenen Polynoms pn in der rechten (linken) Halbebene ist  Summe der Anzahl der negativen  gleich der (positiven) Zahlen der Liste τ1 , . . . , τk und der Anzahl der Nullstellen von g in der rechten (linken) Halbebene.

5

10

15

20

> restart: Routh := proc(expr,z) local p,pc,f_1,f_2,g; p := unapply(expr,z); pc := Rpc(p); f_1 := (p+pc)/2: f_2 := (p-pc)/2: tau-Werte = [RSF(f_1(z),f_2(z),z,’g’)], g end proc: Rpc := proc(f) # Routh/paraconjugate local e,z; e := evalc@conjugate; unapply((-1)^degree(f(z),z)*e(f(e(-z))),z) end proc: RSF := proc(num,den,z,g) # Routh/Stieltjes_Fraction local q,r; if den = 0 then # printf("num = %a, den = %a\n",num,den); g := ‘ ggT ‘ = factor(1/lcoeff(num,z)*num); NULL else q := quo(num,den,z,’r’); # printf("num = %a, den = %a, q = %a, r = %a\n",num,den,q,r); if degree(q,z)>1 then g := cat(‘ p_‘,degree(num,z)) = sort(num+den,z),

232

25

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

‘ Routh-Schema entartet‘; NULL else evalc(lcoeff(q,z)),RSF(den,r,z,g) end if end if end proc:

Zu diesem ¨ außerst kompakt geschriebenen Maple-Code sind einige Erl¨auterungen angebracht: Im Hinblick auf die bessere Lesbarkeit des Programmtextes haben wir stillschweigend angenommen, dass nur symbolisch gerechnet wird. Treten Gleitpunktzahlen auf, so sind Rundungsfehler zu ber¨ ucksichtigen und Stellenausl¨ oschung m¨ oglich. Die Vergleiche in einigen der if-Abfragen sind dann in dieser Form nicht sinnvoll. Wir wollen hier nur die funktionentheoretische Komponente herauskristallisieren, nicht jedoch numerische Gesichtspunkte vertiefen. Die Prozedur Routh liefert bei der Ausgabe die Zeichenfolge τ -Werte . Dies funktioniert bei Maple nur mit einem u ¨blen Trick‘: Man bildet die Differenz ’ der beiden Variablen τ und Werte! Die Definition der Parakonjugierten in Rpc unterscheidet sich durch den Faktor (-1)^degree(f(z),z) von der des Paketes Hurwitz. F¨ ur geraden Grad f¨ uhrt dies bei Hurwitz zu einer Vertauschung von qn und qn−1 . Bei der erstmaligen Anwendung des Euklidischen Algorithmus liefert Hurwitz aus diesem Grunde das Nullpolynom als Quotienten. Kernst¨ uck der Prozedur RSF ist der Euklidische Algorithmus. Dabei entsteht als Wert von RSF eine rekursiv gebildete (Text-)Folge. Im Falle den=0 wird kein weiterer Text angeh¨ angt; deshalb liefert RSF NULL als (leeren) ¨ Wert; dasselbe passiert im Falle degree(q,z)>1 . Uber den (Ausgabe-) Parameter g erh¨ alt man zudem den ggT von pn und p∗n bzw. bei Entartung eine entsprechende Meldung. Noch ausf¨ uhrlichere Informationen dar¨ uber, was genau abl¨ auft, erh¨ alt man durch Aktivierung zweier auskommentierter PrintAnweisungen und den Vergleich des Outputs mit den Ergebnissen der Hand’ rechnung‘ im Textteil. Beispiel 1 > p_3 := z^3+2*z^2+2*z+1;

p3 := z 3 + 2 z 2 + 2 z + 1 

> Routh(p_3,z);

τ -Werte =

 1 4 3 , , , 2 3 2

ggT = 1

Das Routh-Schema bricht nicht vorzeitig ab. Da alle τ -Werte positiv sind, liegen alle drei Nullstellen in der linken Halbebene. Hier k¨onnen wir zur Kontrolle noch leicht nachrechnen:

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

(MWS)

233

1 1 √ 1 1 √ −1, − − i 3, − + i 3 2 2 2 2

> solve(p_3);

Wir schauen uns an, was die Prozedur Hurwitz der Share Library hier leistet: > read "../hurwitz.txt": Hurwitz(p_3,z);

true Diese Antwort besagt, dass das Polynom p3 stabil ist, d. h. alle Nullstellen liegen in der linken Halbebene. Auf folgende Weise kann man genauere Informationen erhalten: > Hurwitz(p_3,z,Liste,ggT), Liste, ggT;

 true ,

 4 3 1 z, z, z , 2 3 2

1

Das Programm Hurwitz liefert jetzt zus¨ atzlich die Quotientenpolynome der Division mit Rest sowie den ggT. Beispiel 2 > p_6 := z^6+2*z^5+6*z^4+10*z^3+9*z^2+8*z+4;

p6 := z 6 + 2 z 5 + 6 z 4 + 10 z 3 + 9 z 2 + 8 z + 4 > Routh(p_6,z);

 τ -Werte =

 1 ,2 , 2

ggT = (z 2 + 4) (z 2 + 1)

Der Routh-Algorithmus bricht hier nach zwei Schritten (wegen q3 = 0 ) ab. p6 hat die imagin¨ aren Nullstellen i, −i, 2 i, −2 i ; in der rechten Halbebene liegt keine Nullstelle. Zwei Nullstellen liegen in der linken Halbebene. > Hurwitz(p_6,z,’Liste’,’ggT’), Liste, ggT;

false ,

[ ],

4 + z4 + 5 z2

Die Parameter Liste und ggT sind Ausgabeparameter. Beim Programmaufruf muss deshalb deren Name (und nicht wie u ¨ blich ihr aktueller Wert) u ¨bergeben werden. Aus diesem Grunde schreiben wir ’Liste’ bzw. ’ggT’ (verz¨ogerte Evaluation!). In Beispiel 1 konnten wir noch auf diese Schreibweise verzichten, da ’Liste’ und ’ggT’ zu diesem Zeitpunkt noch ungebundene Variablen waren. > p_2 := quo(p_6,ggT,z);

p2 := z 2 + 2 z + 1

> Hurwitz(p_2,z,’Liste’,’ggT’), Liste, ggT;

234

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularit¨aten, Residuensatz

true ,

  1 0, z, 2 z , 2

1

Die 0 am Anfang der oben ausgedruckten Liste r¨ uhrt daher, dass p2 geraden Grad hat und deshalb zu Beginn der Polynomdivision die Reihenfolge von q2 und q1 vertauscht war. (Man vergleiche hierzu die Anmerkungen zur Prozedur Rpc.) Beispiel 3 > p_4 := z^4+5*z^3+10*z^2+10*z+c;

p4 := z 4 + 5 z 3 + 10 z 2 + 10 z + c F¨ ur welche reellen c liegen die Nullstellen alle in der linken Halbebene? > Folge := Routh(p_4,z);

 Folge := τ -Werte =

 1 5 64 10 5 , ,− , − , 5 8 5 (−16 + c) c 8

ggT = 1

> solve({seq(T>0,T=rhs(Folge[1]))});

{0 < c, c < 16} Beispiel 4 > p_6 := z^6+z^5+3*z^4+3*z^3+3*z^2+2*z+1;

p6 := z 6 + z 5 + 3 z 4 + 3 z 3 + 3 z 2 + 2 z + 1 > Hurwitz(p_6,z,’Liste’,’ggT’), Liste, ggT;

false ,

[ ],

z2 + 1

> Routh(p_6,z);

τ -Werte = [1], p5 = z 5 + 3 z 3 + z 2 + 2 z + 1 , Routh − Schema entartet Der Routh-Algorithmus bricht nach einem Schritt ab. q4 ist gleich z 2 + 1 . (2) Da der Koeffizient a4 gleich 0 ist, kann die Rechnung nicht fortgesetzt werden. Dieser Fall wird als Entartung bezeichnet.

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen 8.1 8.2 8.3

M¨ obius-Transformationen Joukowski-Transformation Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

8.1 M¨ obius-Transformationen August M¨ obius (1790–1868) untersuchte einen sehr wichtigen Typ konformer Abbildungen. Man kann zeigen, dass diese — heute nach ihm benannten — Abbildungen gerade die bijektiven holomorphen Abbildungen von C in C sind. Sie spielen eine entscheidende Rolle in der mehr geometrisch orientierten Funktionentheorie und damit in vielen Anwendungen.

Definition: Eine Funktion f , gegeben durch f (z) :=

az + b cz + d

zu komplexen Zahlen a, b, c, d mit ad−bc = 0, heißt M¨obius-Transformation“ ” oder linear gebrochene Transformation“. ” Der Definitionsbereich Df einer solchen Transformation besteht aus allen komplexen Zahlen z mit cz + d = 0 . Im Falle c = 0 ist Df = C \ {− dc } und der Wertebereich Wf = C \ { ac } , andernfalls Df = C und Wf = C . f kann zu einer bijektiven Abbildung f : C −→ C fortgesetzt werden durch  d a f − := ∞, f (∞) := im Falle c = 0 bzw. f (∞) := ∞ im Falle c = 0 . c c Hierbei bezeichnet wieder C = C ∪ {∞} die erweiterte komplexe Zahlenebene. Wir bezeichnen noch  M2 := A ∈ C2×2 : A nicht-singul¨ar , W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

236

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

also die Menge der invertierbaren komplexen (2, 2)-Matrizen, und M := {f | f : C −→ C M¨ obius-Transformation} . Einer M¨ obius-Transformation f , gegeben durch f (z) := az+b cz+d , kann die   Matrix A = ac db ∈ M2 zugeordnet werden. Diese ist, wie eine Routine¨ Ubungsaufgabe zeigt, bis auf einen von 0 verschiedenen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Der identischen M¨ obius-Transformation entspricht offenbar die Einheitsmatrix I = I2 . Wir bezeichnen die Abbildung, die jeder Matrix aus M2 die entsprechende M¨ obius-Transformation zuordnet, mit ω . Gruppenstruktur Bemerkung 1 Sind die beiden M¨obius-Transformationen f und g durch die Matrizen A bzw. B aus M2 gegeben, so ist die zusammengesetzte Abbildung  d −b  f ◦ g durch AB und die inverse Abbildung f −1 durch A−1 = det1 A −c gegeben, also a ω(A) ◦ ω(B) = ω(AB) und (ω(A))−1 = ω(A−1 ). Dies zeigt, dass M eine (multiplikative) Gruppe∗ ist. Die Gruppenstruktur u agt sich also von M2 auf M. ¨ bertr¨    a b Beweis: Es seien A = c d und B = ge hf , also AB = ae+bg ce+dg F¨ ur f := ω(A) und g := ω(B) hat man f (v) = Dann gilt (f ◦ g)(z) = f (g(z)) =

ez+f +b gz+h ez+f c +d gz+h a

=

av+b cv+d

a(ez+f )+b(gz+h) c(ez+f )+d(gz+h)

=

af +bh cf +dh

und g(z) =



ez+f gz+h

. .

(ae+bg)z+(af +bh) (ce+dg)z+(cf +dh)

und somit ω(A) ◦ ω(B) = f ◦ g = ω(AB) . F¨ ur h := ω(A−1 ) gilt nach dem −1 gerade Gezeigten: f ◦ h = ω(A) ◦ ω(A ) = ω(AA−1 ) = ω(I), also (f ◦ h)(z) = z = (h ◦ f )(z) f¨ ur z ∈ C, d. h. h = f −1 .  Es ist n¨ utzlich, sich das Ergebnis der Inversenbildung zu merken: Hauptdiagonalelemente vertauschen, Vorzeichenwechsel bei Nebendiagonalelementen. Erzeugung aus elementaren Transformationen Satz 2 Jede M¨obius-Transformation l¨asst sich zusammensetzen aus Elementarabbildungen der folgenden Art: ∗

Der Kenner wird nat¨ urlich sagen: M ist isomorph zur Quotientengruppe von M2 nach den (von 0 verschiedenen) Vielfachen der Einheitsmatrix.

8.1

M¨obius-Transformationen

237

a0 01

• Drehstreckung z −→ az

  a ∈ C \ {0} mit A =

• Translation z −→ z + b

  b ∈ C mit B =

• Inversion z −→

1 z



01 mit C = 10

1b 01

Drehstreckungen und Translationen zusammen liefern die ganzen linearen Funktionen. Eine Drehstreckung kann noch weiter zerlegt werden in • z −→ az

mit a ∈ C und |a| = 1

• z −→ rz

mit R  r > 0

(Rotation)

und

(Streckung).

b a



a b

ab 1 d d 0 d d Beweis von Satz 2: 1) c = 0 : = = 01 0d 0 1 01

a bc−ad d

1 ab 1 c 01 0 1 c c2 2) c = 0 : = 0 1 c d 1 0 0 1 0 1 c 1 d



Kreistreue Bemerkung 3 Geraden und Kreise in C besitzen eine Darstellung der Form Az z + B z + B z + C = 0 mit A, C ∈ R und AC < |B|2 . Umgekehrt werden durch Darstellungen dieser Art Kreise und Geraden beschrieben. Beweis: Es sei mit α, β, γ ∈ R und (α, β) = (0, 0) zun¨achst die Gerade αx + βy + γ = 0 (x, y ∈ R) betrachtet. Mit z := x + iy f¨ uhrt dies u ¨ ber 1 1 (z − z) zu 12 α(z + z) + 2i β(z − z) + γ = 0, also x = 12 (z + z), y = 2i (α − iβ)z + (α + iβ)z + 2γ = 0 . Mit A := 0, B := α − iβ und C := 2γ ist die vorangehende Gleichung von der o. a. Form. Ein Kreis |z − a| = r mit a ∈ C und R  r > 0 f¨ uhrt zu 2 2 0 = (z − a)(z − a) − r = zz − za − az + |a| − r2 . Also ist dies mit A := 1, B := −a und C := |a|2 − r2 von der o. a. Form. Umgekehrt: Ist A = 0, so erh¨ alt man mit B = α + i β, z = x + i y 0 = Bz + B z + C = 2 αx − 2βy + C mit (α, β) = (0, 0), also eine Geradengleichung. Im Fall A = 0 rechnet man     |B|2 |B|2 B + C − z + z + 0 = Azz + Bz + B z + C = A zz + B 2 A A A A

2

|B|2 −AC B ⇐⇒ z + A = , erh¨ alt also eine Kreisgleichung.  A2

238

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Anmerkung: Geraden der komplexen Ebene k¨onnen als Kreise in C durch ∞ aufgefasst werden. Wir sprechen im Folgenden in diesem Sinne von Krei’ sen‘, um Geraden und Kreise gemeinsam zu erfassen. Durch drei verschiedene Punkte z1 , z2 , z3 ∈ C geht genau ein Kreis‘. Im Falle ∞ ∈ {z1 , z2 , z3 } han’ delt es sich um eine Gerade. Satz 4 M¨obius-Transformationen f¨ uhren Kreise‘ in Kreise‘ ¨ uber. ’ ’ (Geraden sind dabei in obigem Sinne spezielle Kreise‘.) ’ Beweis: F¨ ur Drehstreckungen und Translationen ist dies unmittelbar klar. Bei der Inversion ergibt sich aus der Kreisgleichung Az z + B z + B z + C = 0 mit w = z1 u ¨ber A w1 w1 + B w1 + B w1 + C = 0 unmittelbar A + B w + B w + Cw w = 0, somit eine Kreisgleichung in w. Nach Satz 2 ist damit schon alles gezeigt.  Fixpunkte Satz 5 Eine von der Identit¨at verschiedene M¨obius-Transformation besitzt genau einen oder genau zwei Fixpunkte. Beweis: F¨ ur f (z) =

az+b cz+d

  ist mit z ∈ C f (z) = z ¨aquivalent zu

cz 2 − (a − d)z − b = 0. F¨ ur c = 0 also zu z(d − a) = b : d − a = 0 : z =

b d−a

und ∞ sind Fixpunkte,

d − a = 0 : b = 0 : ∞ ist einziger Fixpunkt, b = 0 : f ist die Identit¨at. F¨ ur c = 0 existieren zwei (eventuell zusammenfallende) Fixpunkte.



Auf die Klassifizierung von M¨ obius-Transformationen nach Fixpunkten (parabolisch, elliptisch, hyperbolisch und loxodromisch) gehen wir nicht ein. Doppelverh¨ altnis Definiton: Unter dem Doppelverh¨altnis von vier paarweise verschiedenen Punkten z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C versteht man den Ausdruck DV(z1 , z2 , z3 , z4 ) :=

z1 − z2 z3 − z2 : . z1 − z4 z3 − z4

Ist dabei ein zk = ∞, so ist der jeweils zugeh¨orige Faktor der Form bzw. zzkk −u −v (mit u, v ∈ C) als 1 zu lesen.

u−zk v−zk

8.1

M¨obius-Transformationen

239

6-Punkte-Formel Satz 6 Zu jeweils drei verschiedenen Punkten z1 , z2 , z3 bzw. w1 , w2 , w3 in C gibt es genau eine M¨obius-Transformation f mit f (zν ) = wν

(ν = 1, 2, 3) .

Man erh¨alt sie durch Aufl¨osen von DV(w, w1 , w2 , w3 ) = DV(z, z1 , z2 , z3 ) nach w , ausgeschrieben w − w1 w2 − w1 z − z1 z2 − z1 : = : . w − w3 w2 − w3 z − z3 z2 − z3 Beweis: Eindeutigkeit: Sind f und g M¨ obius-Transformationen mit f (zν ) = wν = g(zν ) (ν = 1, 2, 3), so ist g −1 ◦ f eine M¨obius-Transformation mit den drei Fixpunkten z1 , z2 , z3 , also — nach Satz 5 — die Identit¨at, d. h. f = g . Existenz: Durch h(z) := DV(z, z1 , z2 , z3 ) =

z − z1 z2 − z3 · z − z3 z2 − z1

ist eine M¨ obius-Transformation gegeben mit h(z1 ) = 0 , h(z2 ) = 1

und h(z3 ) = ∞ .

Entsprechend gilt f¨ ur die durch g(w) := DV(w, w1 , w2 , w3 ) definierte M¨obiusTransformation g(w1 ) = 0 , g(w2 ) = 1 und g(w3 ) = ∞. Die M¨obiusTransformation f := g −1 ◦ h leistet somit das Verlangte.  Folgerung 7 Unter einer M¨obius-Transformation bleibt das Doppelverh¨altnis invariant.∗ (B1) Die Punkte 1, i, −1 sollen (in dieser Reihenfolge) auf die Punkte 0, 1, ∞ abgebildet werden: w =

z−1 i−1 z−1 w−0 = : = −i =: f (z) 1−0 z+1 i+1 z+1

Der Rand des Einheitskreises (Kreis durch die Punkte 1, i, −1 ) wird also — nach Satz 4 — genau auf die x-Achse (Gerade durch 0, 1 , d. h. Kreis‘ durch 0, 1, ∞ ) abgebildet. ’ ∗

Wer sich in der Projektiven Geometrie auskennt, sieht sofort: M¨ obius-Transformationen sind Projektivit¨ aten des eindimensionalen projektiven Raumes C . Einige der oben gemachten Aussagen sind Spezialf¨ alle projektiv-geometrischer ¨ Uberlegungen.

240

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Parametrisiert man den Einheitskreis durch ϕ(t) := exp(it) f¨ ur t ∈ ] − π, π], so erh¨ alt man mit f ◦ ϕ : ] − π, π] −→ R eine (stetige) injektive Abbildung, die nach einer Standard¨ uberlegung der Analysis streng monoton — hier durch die Reihenfolge der Bildpunkte 0 und 1 streng isoton — ist. Beim Durchlaufen des Einheitskreises von −1 u ¨ber 1 und i nach −1 (also gegen den Uhrzeigersinn) durchl¨auft also f gerade R von −∞ nach ∞. (B2) Die Punkte −1, i, 1 sollen (in dieser Reihenfolge) auf die Punkte −2i, 2, ∞ abgebildet werden: w + 2i z+1 i+1 z+1 = : = i 2 + 2i z−1 i−1 z−1 Damit folgt: w = f (z) := −2

z + (1 − 2i) z−1

Der Rand des Einheitskreises (Kreis durch die Punkte −1, i, 1 ) wird also — nach Satz 4 — genau auf die Gerade durch −2i, 2 , d. h. den Kreis‘ durch −2i, 2, ∞, abgebildet. Wie im ersten Beispiel ist durch ’ die Reihenfolge der Punkte auch wieder der Durchlaufungssinn∗ festgelegt. In beiden F¨ allen m¨ ochten wir mehr u ¨ ber das Abbildungsverhalten wissen. Zun¨ achst beachten wir dazu: Ein Kreis‘ (also ein Kreis oder eine Gerade) K ’ zerlegt C mit zwei Gebieten G1 und G2 (Zusammenhangskomponenten von C ) in der Form C = G1  K  G2 . F¨ ur das Bild K  = f (K) unter einer M¨ obius-Transformation f gilt entsprechend mit zwei Gebieten G1 und G2 C = G1  K   G2 . Da f wegzusammenh¨ angende Mengen wieder in solche abbildet, muss zun¨achst f (G1 ) ⊂ G1 oder f (G1 ) ⊂ G2 gelten. Wegen der Bijektivit¨at von f folgt dann f (G1 ) = G1 oder f (G1 ) = G2 . Welche der beiden M¨oglichkeiten auftritt, kann einfach durch einen Punkt aus G1 bestimmt werden. Im ersten Beispiel gilt mit f (0) = i : Das Innere des Einheitskreises wird auf die obere Halbebene OH = {z ∈ C : Im (z) > 0} , ¨ das Außere auf die untere Halbebene ∗

F¨ ur eine st¨ arker formale Beschreibung von Orientierung‘ sei etwa auf [Ahl] oder ’ [Con] verwiesen.

8.1

M¨obius-Transformationen

241

UH := {z ∈ C : Im (z) < 0} abgebildet. Weitere Aussagen u ¨ ber das Abbildungsverhalten liefern u. a. die folgenden Symmetrie¨ uberlegungen: Symmetrie Ist L eine Gerade und f eine M¨ obius-Transformation der speziellen Form f (z) = az + b (a = 0) (ganze M¨ obius-Transformation), so werden bez¨ uglich L symmetrische Punkte z1 , z2 (d. h. diese gehen durch Spiegelung an L ineinander u ¨ ber) in bzgl. der Geraden f (L) symmetrische Punkte abgebildet. F¨ ur beliebige M¨obius-Transformationen gehen Geraden in Kreise‘, aber nicht notwendig speziell wieder ’ in Geraden, u ur die allgemeinere Situation anders ¨ ber. Symmetrie muss also f¨ definiert werden: Definition: Ist K ein Kreis um a mit Radius r, dann heißen z1 , z2 ∈ C symmetrisch

z2

r a

z1

bez¨ uglich K genau dann, wenn (z1 − a)(z2 − a) = r2 gilt. (z1 und z2 liegen auf dem gleichen vom Mittelpunkt a ausgehenden Halbstrahl‘, und das Produkt ihrer Abst¨ ande von a ist r 2 .)

’

Jeder Punkt auf K ist symmetrisch zu sich selbst. Zu z1 ∈ C \ {a} existiert eindeutig ein z2 ∈ C \ {a} derart, dass z1 und z2 symmetrisch bez¨ uglich K sind. Dieser Punkt kann elementar-geometrisch (Satz von Euklid) bestimmt werden: 1. Fall: z1 liegt im Inneren von K: Das Lot im Punkte z1 zur durch a und z1 bestimmten Geraden g trifft den Kreis in zwei Punkten P und P  ; das Lot in P (bzw. P  ) zur Geraden durch a und P (bzw. P  ) (Tangente) trifft g in z2 . Der 2. Fall, dass z1 außerhalb von K liegt, d¨ urfte damit (Thales-Kreis) auch klar sein. Erg¨ anzend werden noch a und ∞ als symmetrisch bez¨ uglich K bezeichnet.

242

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Satz 8 Bildet eine M¨obius-Transformation einen Kreis K auf einen Kreis uber in bez¨ uglich L L ab, so gehen bez¨ uglich K symmetrische Punkte z1 , z2 ¨ symmetrische Punkte w1 , w2 . Beweis: Es seien K der Kreis um a ∈ C mit Radius r > 0 und z1 , z2 ∈ C symmetrisch zu K, also (z1 − a)(z2 − a) = r2 . Ferner sei das Bild von K unter einer M¨ obius-Transformation f ein Kreis L um b ∈ C mit Radius s > 0 . F¨ ur w1 := f (z1 ), w2 := f (z2 ) ist zu zeigen: (∗) (w1 − b)(w2 − b) = s2 Wegen Satz 2 gen¨ ugt es, folgende Spezialf¨ alle zu betrachten: • f (z) = αz mit α ∈ C \ {0}: F¨ ur b = f (a) = α a und s = |α|r gilt offenbar (∗). • f (z) = z + β mit β ∈ C : F¨ ur b = f (a) = a + β und s = r folgt (∗). • f (z) = 1z = w: Die Kreisgleichung (z −a)(z − a) = r2 geht u ¨ ber in ( w1 −a)( w1 − a) = r2 2 und nach Multiplikation mit w w in w w(r − |a|2 ) + aw + aw = 1 . F¨ ur r2 − |a|2 = 0 h¨ atte man eine Gerade in w; nach Voraussetzung soll aber L ein Kreis sein; folglich ist r2 − |a|2 = 0 . Dann gilt: a a aa r2 w w + w r2 −|a| 2 + w r 2 −|a|2 + (r 2 −|a|2 )2 = (r 2 −|a|2 )2 und damit:

2

a r2 a r = (r2 −|a|

w + r2 −|a| 2 2 )2 . Dies zeigt b = − r 2 −|a|2 und s = |r 2 −|a|2 | . Einsetzen liefert nun (∗). Den Fall z1 = a und z2 = ∞ (bzw. umgekehrt) u ¨berlassen wir dem noch nicht ¨ m¨ uden Leser als Ubungsaufgabe. So hat man insgesamt die Behauptung.  (B3) Gesucht ist eine M¨ obius-Transformation, die den Einheitskreis in sich u uhrt und dabei vorgegebene Punkte z0 aus dem Inneren und z1 ¨berf¨ auf dem Rand in ebensolche Punkte w0 , w1 abbildet. Vorgegeben seien z0 ∈ C mit |z0 | < 1 , z1 := 1 und die zugeh¨origen Bildpunkte w0 := 0 , w1 := exp(iα) mit einem α ∈ [0, 2π[ . Bez¨ uglich des Einheitskreises symmetrisch zu z0 ist z2 := z10 ; dieser Punkt wird — nach Satz 8 — auf den zu w0 = 0 symmetrischen Punkt w2 := ∞ abgebildet. Die 6-Punkte-Formel liefert damit 1 z − z0 1 − z0 w−0 = · , exp(iα) − 0 z − z10 1 − z0

somit

z − z0 z0 − 1 z − z0 · = exp(iϕ) · z0 z − 1 1 − z0 z0 z − 1 mit einem geeigneten ϕ ∈ [0, 2π[ . Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, dass der letzte Faktor in dem mittleren Ausdruck vom Betrage 1 ist, also in die Exponentialfunktion einbezogen werden kann. w = exp(iα) ·

8.1

M¨obius-Transformationen

243

(B4) Ein exzentrischer (nicht-konzentrischer) Kreisring soll auf einen konzentrischen Kreisring abgebildet werden (man vergleiche die Abbildungen in MWS 8 auf den Seiten 261 f): Dazu betrachten wir den Einheitskreis E := {z ∈ C : |z| ≤ 1} und darin um einen Punkt a mit 0 < |a| < 1 einen Kreis K, der noch ganz in E liegt, was durch einen Radius r > 0 mit |a|+r < 1 gesichert ist. Nach (B3) (mit ϕ := 0 und einem z0 ∈ C mit |z0 | < 1) erh¨alt man durch z − z0 w(z) = z0 z − 1 eine M¨ obius-Transformation, die den Einheitskreis E (Urbildebene) in den Einheitskreis E  (Bildebene) abbildet. Dabei ist nun z0 so zu bestimmen, dass der Kreis K auf einen (zu E  ) konzentrischen Kreis K  mit Radius r > 0 abgebildet wird. (Insbesondere ist dann z0 = 0 .) Die Punkte 0 und ∞ sind symmetrisch bez¨ uglich K  und bez¨ uglich 1  uglich K und E . Mithin sind die Urbilder z0 und z0 symmetrisch bez¨ E. Folglich hat man

1 − a (z0 − a) = r2 , z0 somit u ¨ ber (1 − az0 )(z0 − a) = r2 z0 1 + |a|2 − r2 a2 az + = 0 und so 0 |a|2 |a|2  unter Verwendung des Wurzelterms W := (1 + |a|2 − r2 )2 − 4 |a|2 z02 −

z0 = a bzw.

1 + |a|2 − r2 − W 2 |a|2

1 1 + |a|2 − r2 + W = a . z0 2 |a|2

− z0 . Mit dem zu z0 symmetrischen Punkt z0∗ := 1 gilt w = z0∗ zz − z0∗ z0 Bezeichnet |z0 − a|2 r2 α := = , ∗ (Symmetrie!) |z − a|2 r2 0 so ergibt sich f¨ ur z ∈ C mit |z − a| = r :   |z − z0 |2 = |(z − a) − (z0 − a)|2 = (1 + α)r2 − 2 Re (z0 − a) (z − a)

244

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

bzw., unter Beachtung von   r2     1 (z − a) = Re (z0 − a) (z − a) , Re (z0∗ − a)(z − a) = Re z0 − a α |z − z0∗ |2 = |(z − a)−(z0∗ − a)|2 =

  1 (1 + α)r2 −2 Re (z0 − a)(z − a) α

Hieraus folgt:

1 |z0 − a|2 |z0 |2 r2

|w|2 = |z0∗ |2 α = Der gesuchte Radius ist demnach

r =

|z0 − a| . r |z0 |

alt man Speziell etwa f¨ ur a := r := 25 erh¨ 

4 2 2 1 − 1 − (5) 5 3 1 = z0 = 1 − = , z0∗ = 2 und 5 4 5 2 2 ( 25 )2 r =

| 12 − 25 | 1 = . 2 1 2 5 · 2

(B5) Abbildung des Außenbereichs zweier bez¨ uglich der imagin¨aren Achse spiegelbildlicher disjunkter Kreise auf einen konzentrischen Kreisring (man vergleiche die Abbildungen in MWS 8 auf den Seiten 263 f):∗ Es seien a, b, z0 reelle Zahlen mit 0 < a < z0 < b . Wir betrachten mit r := b−a und c := a+b die beiden Kreise K1 und K2 mit Radius 2 2 r um c bzw. −c. Diese sollen durch eine M¨obius-Transformation auf zwei konzentrische Kreise K1 und K2 mit Mittelpunkt 0 und Radien 1 , R (mit 1 < R ∈ R) abgebildet werden. Die Punkte 0 , ∞ sind bez¨ uglich K1 und K2 symmetrisch; folglich sind die Urbilder z0 und u0 symmetrisch zu K1 und K2 . Die beiden daraus resultierenden Gleichungen r2 = (z0 − c)(u0 − c) r2 = (z0 + c)(u0 + c) zeigen u0 = −z0 = −z0 und weiter (b + a)2 (b − a)2 = r2 = (z0 + c)(−z0 + c) = c2 − z02 = − z02 , 4 4 √ also z02 = ab , d. h. z0 = ab . ∗

Laut R. Sauer: Ingenieur-Mathematik (Bd. 2, 3. Aufl., S. 119) wird eine solche M¨ obius-Transformation in der Elektrotechnik dazu verwendet, das elektrostati¨ sche Feld im Außeren von zwei parallelen Leitern in das Feld eines Zylinderkondensators abzubilden.

8.2

Joukowski-Transformation

245

Die 6-Punkte-Formel liefert f¨ ur z0 , a, −z0 und zugeh¨orige Bildpunkte 0, 1, ∞ : √ √ √ ab − z b+ a z − z0 a − (−z0 ) w−0 ·√ = w = · = √ √ 1−0 z + z0 a − z0 ab + z b− a w(−a) =

√ √a b+a a b−a

·

√ √ √b+√a b− a

√ =

√ 2 √b+√a b− a

√ zeigt R =

√ 2 √b+√a . b− a

Speziell etwa f¨ ur a := 1 und b := 9 : z0 = 3 und R = 4 ; diese Daten liegen dem entsprechenden Worksheet zugrunde. ¨ M¨ obius-Transformationen erm¨ oglichen es, manche Uberlegungen f¨ ur holomorphe Funktionen in der N¨ ahe von Geraden in solche zu transformieren, wo statt dessen Kreisb¨ ogen auftreten (und umgekehrt). Auf eine wichtige Fragestellung dieser Art gehen wir im u achsten Abschnitt ein. ¨bern¨

8.2 Joukowski-Transformation Wir gehen noch kurz auf eine spezielle konforme Abbildung ein, die in der Aerodynamik (z. B. bei der Umstr¨ omung von Tragfl¨ achen) eine wichtige Rolle spielt, die Joukowski∗ -Abbildung bzw. die durch sie gegebene Joukowski-Transformation. Durch diese Transformation wird die Str¨ omung um elliptische Zylinder, ebene und gekr¨ ummte Platten oder tragfl¨ achen¨ ahnliche Profile aus einfachen Str¨ omungsbildern abgeleitet.

Wir betrachten J(z) := z +

1 z



 z ∈ C \ {0} .

Die Abbildung J heißt Joukowski-Abbildung ∗∗ . Sie ist in C\ {0} holomorph, wobei   1 J  (z) = 1 − 2 z ∈ C \ {0} . z So gilt J  (z) = 0 f¨ ur z ∈ C \ {−1, 0, 1} =: D . Die Punkte −1 und 1 haben die Bilder −2 und 2 . Somit ist J eine in D konforme Abbildung. Wir schauen uns einfache Abbildungseigenschaften von J an: ∗ ∗∗

Nikolai Jegorovich Joukowski (1847–1921; russischer Mathematiker und Aerodynamiker) Sie wird oft auch mit dem Faktor 12 betrachtet.

246

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Wir betrachten die Kreislinie  Kr := z ∈ C : |z| = r

(r > 0) .

F¨ ur r > 1 wird diese bijektiv auf die Ellipse mit Brennpunkten ±2 und Halbachsen 1 1 a := r + , b := r − r r abgebildet. Dies sieht man einfach, wenn man z = r exp(iϕ) schreibt (mit ϕ ∈ [0, 2 π[ ) :     w := z + z1 = r exp(iϕ) + 1r exp(−i ϕ) = r + 1r cos ϕ + i r − 1r sin ϕ     F¨ ur u := Re w = r + 1r cos ϕ und v := Im w = r − 1r sin ϕ folgt: u2 v2 + = 1 a2 b2

mit

1 1 a := r + , b := r − r r

angig von r ist, sind diese Ellipsen konfokal (mit Weil a2 − b2 = 4 unabh¨ Brennpunkten −2 und 2). Aufgrund der speziellen Struktur der JoukowskiAbbildung (Symmetrie in z und 1z ) wird auch der Kreis K1/r auf die gleiche Ellipse abgebildet. Das Bild des Einheitskreisrandes K1 ist gerade das Intervall [−2, 2] . F¨ ur z ∈ K1 mit Im z > 0 gilt J(z) = J(z ) . In gleicher Weise wie oben sieht man: Eine Halbgerade {r exp(iϕ) : r > 0} wird f¨ ur ein ϕ ∈ ]0, 2 π[ mit ϕ ∈ / {π/2 , π , 3 π/2} bijektiv auf einen Ast der Hyperbel v2 u2 − = 4 (cos ϕ)2 (sin ϕ)2 mit den Brennpunkten ±2 abgebildet. Joukowski-Abbildung Urbild

Bild

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

247

Aus diesen Abbildungseigenschaften von J folgt, dass der punktierte Einheitskreis {z ∈ C : 0 < |z| < 1} ¨ und das Außere des Einheitskreises {z ∈ C : |z| > 1} jeweils konform auf die geschlitzte Ebene C \ [−2, 2] abgebildet werden. Die Abbildung J bildet geeignete Kreise in tragfl¨ ugelartige Profile mit einer scharfen Kante, Joukowski- oder auch Kutta-Joukowski-Profile genannt, ab. Ein solcher Urbildkreis muss dann durch einen der Punkte z = ±1 verlaufen, in denen die Abbildung nicht konform ist und Winkel verdoppelt werden. Joukowski-Profil

8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem Schon die Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen in Kapitel 1 legte es nahe, R2 und C zu identifizieren. Dies haben wir in Abschnitt 3.3 genauer ausgef¨ uhrt. Es sei noch einmal kurz daran erinnert, wie solche Dinge bei Bedarf zu pr¨azisieren sind: Die lineare Abbildung ϕ : R2  (x, y) −→ x + iy ∈ C   ist bijektiv mit |ϕ(x, y)| = (x, y)2 (x, y) ∈ R2 , also normerhaltend und somit insgesamt eine Isometrie. Ist f : G −→ C eine holomorphe Funktion in einem Gebiet G ⊂ C, so erh¨alt man durch u : (x, y) −→ Re f (x + iy) bzw.

248

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

v : (x, y) −→ Im f (x + iy) auf dem Gebiet

G := ϕ−1 (G) ⊂ R2

zwei reellwertige Funktionen u und v mit den Eigenschaften: a) u, v ∈ C ∞ (G )

(beliebig oft differenzierbar)

b) u, v sind harmonisch auf G . Dabei heißt eine Funktion h ∈ C 2 (G ) harmonische Funktion“ oder Potentialfunktion“ (auf G ), wenn sie die ” ” Laplace-Gleichung“ bzw. Potentialgleichung“ ” ” Δh := D12 h + D22 h (= hxx + hyy ) = 0 erf¨ ullt. Beweis: a) ergibt sich direkt aus dem Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit (vgl. Seiten 74 f und 133 (Satz 3)). b) Wegen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gilt auf G : ux = vy und uy = −vx . Hieraus folgt mit dem Satz von Schwarz uxx + uyy = vyx − ur v) .  vxy = 0 (und entsprechend die Behauptung f¨ (B1) Es seien G := C \ {x ∈ R | x ≤ 0} und f := log der Hauptzweig des Logarithmus. Dann gelten u(x, y) = 12 log(x2 + y 2 ) und v(x, y) = arg(x + iy). Satz 9 F¨ ur ein einfach-zusammenh¨angendes Gebiet G ⊂ R2 , G := ϕ(G ) und eine auf G harmonische Funktion u gelten: a) Es existiert eine harmonische Funktion v auf G mit vx = −uy , vy = ux . b) Es existiert eine holomorphe Funktion f : G −→ C mit u = Re (f ◦ ϕ).∗ v heißt (zu u) konjugierte“ harmonische Funktion und ist bis auf eine addi” tive reelle Konstante eindeutig. Beweis: Durch g(x + iy) := ux (x, y) − i uy (x, y) ist (CR-DGLn!) eine holomorphe Funktion g : G −→ C gegeben. Da G einfach-zusammenh¨angend ist, besitzt g nach Bemerkung 6.2 eine Stammfunktion f . Diese kann so gew¨ahlt werden, dass u = Re (f ◦ ϕ) ist. v := Im (f ◦ ϕ) liefert eine gesuchte konjugiert harmonische Funktion. Damit ist alles gezeigt.  Ab jetzt identifizieren wir R2 und C und unterscheiden daher auch nicht mehr zwischen G und G . ∗

F¨ ur Puristen: u = Re ◦ f ◦ ϕ|G

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

249

(B2) Wir zeigen, dass u(x, y) := x5 − 10x3 y 2 + 5xy 4 harmonisch auf R2 ist und berechnen die zu u konjugierte harmonische Funktion v : ux = 5x4 − 30x2 y 2 + 5y 4 , uxx = 20x3 − 60xy 2 , uy = −20x3 y + 20xy 3 , uyy = −20x3 + 60xy 2 , also uxx + uyy = 0 . Zum Vektorfeld (x, y) −→ (−uy (x, y), ux (x, y)) = (20x3 y − 20xy 3 , 5x4 − 30x2 y 2 + 5y 4 ) bestimmen wir nun eine Stammfunktion v: Integration bez¨ uglich x zeigt: v(x, y) = 5x4 y − 10x2 y 3 + ψ(y) mit einer geeigneten Funktion ψ. Differentiation nach y liefert dann — unter Ber¨ ucksichtigung von vy = ux — 5x4 − 30x2 y 2 + ψ  (y) = 5x4 − 30x2 y 2 + 5y 4 , also ψ  (y) = 5y 4 , folglich ψ(y) = y 5 + c mit einer Konstanten c. Zusammen hat man so v(x, y) = 5x4 y − 10x2 y 3 + y 5 + c . Mit der Substitution x = (z + z)/2 und y = (z − z)/(2 i) ergibt sich: u(x, y) + i v(x, y) = z 5 + i c .

Komplexe Potentiale Die Funktionentheorie stellt sehr wirksame Hilfsmittel bereit f¨ ur die Untersuchung ebener, in einem Gebiet G quellen- und wirbelfreier Str¨omungsfelder (siehe etwa [Tri, S. 171–180]). Hierzu existieren — unter geeigneten Voraussetzungen an G — konjugiert harmonische Funktionen Φ, Ψ : G −→ R, das sogenannte reelle Potential Φ bzw. die Stromfunktion Ψ . Die durch F (x + iy) := Φ(x, y) + i Ψ (x, y) definierte holomorphe Funktion F : G −→ C wird als komplexes Potential bezeichnet. An den H¨ ohenlinien Φ(x, y) = const und Ψ (x, y) = const kann ¨ man F ablesen‘. Diese Kurvenscharen werden als Aquipotentiallinien bzw. ’ Stromlinien bezeichnet. Mit Hilfe der CR-DGLn folgt unmittelbar, dass sie in allen Punkten z ∈ G mit F  (z) = 0 zueinander orthogonal sind und so ein orthogonales Netz bilden.

250

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Beispiele: (B3) F (z) := −i z 2 ¨ Aquipotentiallinien: 2 xy = const, (B3)

Stromlinien: −x2 + y 2 = const (B4)

ur z ∈ G := C \ {0} (B4) Das komplexe Potential eines Dipols: F (z) := 1 f¨ z x ¨ Aquipotentiallinien: = const x2 + y 2 −y Stromlinien: = const x2 + y 2 (B5) Das komplexe Potential einer Parallel- mit einer Dipolstr¨omung (man vergleiche dazu Abschnitt 8.2 u ¨ ber die Joukowski-Transformation):

F (z) = z + 1 z ¨ Aquipotentiallinien:   1 x 1 + x2 +y = const 2   1 = const Stromlinien: y 1 − x2 +y 2 Mittels einer einfachen Anwendung der Kettenregel erh¨alt man das Verpflanzungsprinzip f¨ ur komplexe Potentiale, auf das wir bei der L¨osung des Dirichlet-Problems noch zur¨ uckkommen werden: Ist F ein komplexes Potential auf G, und bildet eine Funktion f das Gebiet G bi-konform, d. h. bijektiv und in beiden Richtungen‘ (f und f −1 ) kon’ form, auf das Gebiet H ab, so ergibt G := F ◦ f −1 ein komplexes Potential in H.

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

251

Physikalisch kann man dies so deuten: Mittels einer konformen Abbildung l¨ asst sich das gesamte Str¨ omungsbild u ¨ bertragen. Auf diese Weise lassen sich neue Str¨ omungen konstruieren und komplizierte‘ Str¨omungen durch einfa’ ’ chere‘ beschreiben. (B6) Es seien a := 0.2 + 0.5 i , r := |a + 1| = 1.3 und F die JoukowskiAbbildung. Die durch F (a + r z) definierte Abbildung f bildet dann den Rand ∂ E des Einheitskreises bijektiv auf das sogenannte KuttaJoukowski-Profil J ab.

J ist deshalb eine doppelpunktfreie geschlossene Kurve. Ferner bildet f das ¨ Außere ext(∂E) := {z ∈ C : |z| > 1} bijektiv auf ext(J) ab. Einen Beweis findet man etwa in [Pen, S. 387 f]. Mithin ist f| : ext(∂E) −→ ext(J) eine bi-konforme Abbildung, und G := F ◦ f|−1 liefert ein komplexes Potential auf ext(J), welches F : ext(∂E) −→ C verpflanzt. Mittelwerteigenschaft ur Satz 10 Es seien G ⊂ R2 ein Gebiet und u : G −→ R harmonisch. F¨ a ∈ G und 0 < r < ∞ mit Uar ⊂ G gilt dann: 1 u(a) = 2π

,2π u(a + r exp(i t)) dt 0

D. h.: Harmonische Funktionen haben die Mittelwerteigenschaft“. ” Beweis: Es existiert ein R > 0 mit Uar ⊂ UaR ⊂ G. Nach Satz 9 gibt es dann eine holomorphe Funktion f : UaR −→ C mit Re f (x + iy) = u(x, y) f¨ ur x + iy ∈ UaR . Mit der Cauchyschen Integralformel ergibt sich

252

Kapitel 8 /

1 f (a) = 2π i

|z−a|=r

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen 1 f (z) dz = z−a 2π

,2π f (a + r exp(i t)) dt . 0

Nimmt man den Realteil, so folgt hieraus die behauptete Mittelwerteigenschaft.  Als direkte Folgerung aus der Mittelwerteigenschaft (oder auch aus dem Satz u ¨ber Gebietstreue) ergibt sich das Prinzip vom Maximum F¨ ur ein Gebiet G ⊂ C und eine harmonische Funktion u : G −→ R gilt: Hat u in einem Punkt von G ein lokales Maximum, dann ist u konstant. Sind G beschr¨ankt und u auf G stetig (fortsetzbar), dann nimmt u sein Maximum auf ∂G an. Wir erinnern noch einmal daran, dass wir R2 und C identifizieren und daher auch G und G nicht mehr unterscheiden wollen.

Das Prinzip vom Maximum ist z. B. wichtig f¨ ur den Nachweis der Eindeutigkeit bei der L¨ osung des Dirichlet-Problems: Es seien G ⊂ C ein beschr¨anktes Gebiet und h : ∂G −→ R eine stetige Funktion. Gesucht ist eine stetige Funktion u : G −→ R, die auf G harmonisch ist und die Randbedingung u(z) = h(z)

f¨ ur z ∈ ∂G

erf¨ ullt. osungen des obigen DirichletBeweis (der Eindeutigkeit): Es seien u1 , u2 L¨ Problems. v := u1 − u2 ist dann auf G stetig und in G harmonisch. Ferner gilt v(z) = 0 f¨ ur z ∈ ∂G. Mithin gilt nach dem Prinzip vom Maximum,  angewendet auf v und −v, v(z) = 0 f¨ ur z ∈ G , d. h. u1 = u2 . Poissonsche Integralformel f¨ ur den Einheitskreis Es seien G ⊂ C ein Gebiet, u : G −→ R harmonisch, U01 ⊂ G, 0 < r < 1 und ϕ ∈ [0, 2π] . Dann gilt u(r exp(iϕ)) =

1 2π

,2π 0

1 − r2 u(exp(it)) dt . 1 − 2r cos(t − ϕ) + r2

Beweis: Mit einem geeigneten ε > 0 gilt U01+ε ⊂ G. Nach Satz 9 existiert eine holomorphe Funktion f : U01+ε −→ C mit Ref (ζ) = u(ζ) f¨ ur ζ ∈ U01+ε . Mit z := r exp(iϕ) betrachten wir die Funktion

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem g(ζ) :=

253

f (ζ) . 1−ζz

Diese ist in einer Umgebung von U01 — etwa U01+δ mit 0 < δ < ε — holomorph. So folgt mit der Cauchyschen Integralformel unter Verwendung der Parameterdarstellung ζ = exp(it) 1 g(z) = 2πi

,

1 g(ζ) dζ = ζ −z 2π

|ζ|=1

,2π 0

,2π 1 g(exp(it)) 1 dt = f (ζ) dt . 1 − exp(−it) z 2π |1 − ζz|2 0

Es gilt — unter Beachtung von |ζ| = 1 und |z| = r — |1 − ζz|2 = 1 − 2 Re(ζ z) + r2 = 1 − 2 r cos(t − ϕ) + r2 . Damit hat man 1 f (z) = g(z)(1 − z z) = g(z)(1 − r ) = 2π

,2π

2

f (ζ) 0

(1 − r2 ) dt 1 − 2 r cos(t − ϕ) + r2

und u ¨ber den Realteil (auf beiden Seiten) die Behauptung.



Mit Hilfe des Poisson-Kerns“ ” 1 − r2 1 − 2 r cos(t − ϕ) + r2

=

1 − |z|2 | exp(it) − z|2

l¨ asst sich nun die L¨osung des Dirichlet-Problems auf dem Einheitskreis angeben: Satz 11 Zu einer stetigen∗ Funktion h : ∂U01 −→ R sei ⎧ ⎪ h(z) ⎪ ⎪ ⎨ ,2π u(z) := 1 1 − |z|2 ⎪ h(exp(it)) dt ⎪ ⎪ ⎩ 2π | exp(it) − z|2

f¨ ur |z| = 1, f¨ ur |z| < 1 .

0

Dann ist u : U01 −→ R stetig und in U01 harmonisch. Differentiation unterm Integral zeigt, dass u in U01 harmonisch ist. F¨ ur einen Beweis der Stetigkeit (auf dem Rand) sei etwa auf [Fi/Li] verwiesen. ∗

Die Voraussetzungen an h k¨ onnen abgeschw¨ acht werden.

254

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Die Poissonsche Integralformel (genauer: Satz 11) wird nun mittels der M¨ obius-Transformation w = i

1−z , 1+z

also

z =

i−w , i+w

vom Einheitskreis auf die obere Halbebene u ¨ bertragen (vgl. (B1) aus Abschnitt 8.1). Ist h : ∂U01 −→ R eine stetige Funktion, so erh¨alt man f¨ ur ζ = exp(it) —   1 − |z|2 ζ+z = unter Beachtung von Re — durch ζ−z |ζ − z|2 1 ϕ(z) = 2π



,π h(ζ) Re −π

ζ +z ζ −z

dt

1−ζ folgt eine im Einheitskreis harmonische Funktion ϕ. Mit s := i 1+ζ t i−w ¨ s = tan( 2 ). Uber z = i+w ergibt sich ferner

1 + sw ζ +z = i . ζ −z w−s Setzen wir w = u + iv (mit u, v ∈ R), so gilt

ζ +z v(1 + s2 ) . Re = ζ −z (u − s)2 + v 2 Wir substituieren im obigen Integral s = tan( 2t ), also t = 2arctan  s. So in der folgt mit H(s) := h(exp(2i arctan s)) f¨ ur die durch Φ(w) := ϕ i−w i+w oberen Halbebene definierte Funktion Φ die Darstellung 1 Φ(w) = π

,∞ H(s) −∞

v ds (u − s)2 + v 2

(v > 0) .

Verpflanzungsprinzip Wir lernen nun eine Methode kennen, wie man f¨ ur ein Gebiet G ⊂ R2 mit Hilfe konformer Abbildungen das Dirichlet-Problem  ΔΦ = 0 auf G und (∗) Φ = h auf ∂G l¨ osen kann. Dazu nehmen wir an, dass folgende Schritte durchf¨ uhrbar seien: • W¨ ahle ein Gebiet H mit sch¨ onem‘ Rand ∂H und bekanntem L¨osungsver’ fahren f¨ ur das zugeh¨ orige Dirichlet-Problem.

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

255

• Bestimme eine bi-konforme Abbildung f : G −→ H mit f (G) = H, f (∂G) = ∂H und f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) mit reellwertigen Funktionen u , v . • g(u, v) := h(f −1 (u + iv))

(u + iv ∈ H)

L¨ ose das Dirichlet-Problem ΔΨ = 0 auf H und Ψ = g auf ∂H . • Φ(x, y) := Ψ (u(x, y), v(x, y)) liefert dann eine L¨osung Φ von (∗). Diese Art der Konstruktion nennt man Verpflanzungsprinzip“. ” Beweisidee: (a): Am einfachsten und u ¨bersichtlichsten ist der Beweis, wenn H einfach-zusammenh¨ angend ist: Zu der in H harmonischen Funktion Ψ existiert nach Satz 9 eine holomorphe Funktion F : H −→ C mit Ψ (w) = Re F (w) f¨ ur w ∈ H . F ◦ f ist dann holomorph in G, und aus der Beziehung Φ(x, y) = Re F (u(x, y) + iv(x, y)) folgt, dass Φ in G harmonisch ist. Der allgemeine Fall l¨ asst sich mit der Kettenregel und den CR-DGLn nachweisen.

(b): F¨ ur (x, y) ∈ ∂G gilt: Φ(x, y) = Ψ (f (x + iy)) = g(f (x + iy)) = h(x + iy)  Wir sehen uns abschließend dazu ein kleines Beispiel an: (B7) Es seien 0 < r < 1 , V ∈ R und H := {w ∈ C : r < |w| < 1} ⎧ ⎪ ⎨ ΔΨ Ψ (w) Das Dirichlet-Problem ⎪ ⎩ Ψ (w) wird gel¨ ost durch Ψ (w) := V · w-Ebene

(konzentrischer Kreisring). = 0 in H , = 0 f¨ ur |w| = 1 , = V f¨ ur |w| = r

log |w| log r

  w∈H . z-Ebene

256

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Es sei das elektrische Feld zwischen zwei parallelen nicht-konzentrischen Zylindern mit den Querschnitten E := {z ∈ C : |z| ≤ 1}

und

K := {z ∈ C : |z − 2/5| ≤ 2/5}

betrachtet. Auf dem Rand von E sei als Potential 0, auf dem Rand von K der Wert V vorgeschrieben. Nach (B4) des Abschnitts 8.1 erh¨alt man hier — mit z0 := 1/2 — eine Verpflanzung des nicht-konzentrischen Ringgebietes G := {z ∈ C : |z| < 1 ∧ |z − 2/5| > 2/5} nach H durch die M¨obiusTransformation z − z0 . w := f (z) := z0 z − 1   Dabei gehen der Rand von E in den ¨ außeren Rand E von H |w| = 1 und der Rand von K in den inneren Rand K  von H |w| = 1/2 =: r u ¨ber. F¨ ur G  z = x + iy = (x, y) ∈ R2 gilt Φ(x, y) = Ψ (f (z)) = V · |f (z)|2 =

log |f (z)| V = log |f (z)|2 log r 2 log r

(x − z0 )2 + y 2 |z|2 − 2xz0 + z02 = . z02 |z|2 − 2xz0 + 1 (z0 x − 1)2 + z02 y 2

mit

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: option remember VectorCalculus-Paket: Laplacian, ScalarPotential int(. . . , continuous) conformal, contourplot, contours

8.1 M¨ obius-Transformationen Die 6-Punkte-Formel: (z − z1 ) (z2 − z3 ) (w − w1 ) (w2 − w3 ) = (w − w3 ) (w2 − w1 ) (z − z3 ) (z2 − z1 ) Beispiel 1 Das Innere des Einheitskreises soll auf die obere Halbebene abgebildet werden. Dazu w¨ ahlen wir auf dem (positiv durchlaufenen) Rand des Einheitskreises die Punkte z1 = 1 , z2 = i , z3 = −1 und auf der (positiv durchlaufenen) reellen Achse die Bildpunkte w1 = 0 , w2 = 1 , w3 = ∞. > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": z1 := 1; z2 := I; z3 := -1; w1 := 0; w2 := 1; w3 := infinity;

z1 := 1 ,

z2 := i ,

z3 := −1 ,

w1 := 0 ,

w2 := 1 ,

w3 := ∞

Mit der 6-Punkte-Formel erh¨ alt man: > moebius := (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/(z-z3)/(z2-z1);

moebius := w = −

i (z − 1) z+1

258

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

> f := unapply(rhs(%),z); F := transform((x,y) -> c2p(f(x+I*y))):

f := z −→ −

i (z − 1) z+1

Wir veranschaulichen das Abbildungsverhalten dieser M¨obius-Transformation durch folgende Animation. Mit Hilfe des Maple-Befehls option remember merken wir uns dabei alte Zwischenergebnisse in einer Erinnerungstabelle‘, ’ um so Rechenzeit zu sparen: > n := 6: # xL := -6: Farben := Disk := k 5

10

Anzahl der Kreisringe xR := 6: yL := 0: yR := 12: [black,gray,red,black,gray,red]: -> disk([0,0],k/n,color=Farben[k],style=patchnogrid, numpoints=k*150): zPunkte := display(seq(disk(c2p(z),0.03,color=black),z=[z1,z2,z3])): wPunkte := display(seq(disk(c2p(f(z)),0.15,color=black),z=[z1,z2])):

zBilder := proc(k) option remember: if k=0 then display(zPunkte) else display(zBilder(k-1),Disk(k)) end if end proc:

15

20

25

30

35

wBilder := proc(k) option remember: if k=0 then display(wPunkte) elif k
8.1

M¨obius-Transformationen

(MWS)

259

Beispiel 2 ¨ Es bezeichne g die Gerade durch die Punkte −2 i und 2 . Das Außere des Einheitskreises soll auf die Halbebene oberhalb von g abgebildet werden. Dazu w¨ ahlen wir als Randpunkte des (negativ durchlaufenen) Einheitskreises z1 = −1 , z2 = i , z3 = 1 . Als Bildpunkte w¨ahlen wir auf der (positiv durchlaufenen) Geraden g die Punkte w1 = −2 i , w2 = 2 , w3 = ∞. > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": z1 := -1; z2 := I; z3 := 1; w1 := -2*I; w2 := 2; w3 := infinity;

z1 := −1 ,

z2 := i ,

z3 := 1 ,

w1 := −2 i ,

w2 := 2 ,

w3 := ∞

Die 6-Punkte-Formel ergibt: > moebius := (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/(z-z3)/(z2-z1);

moebius :=

1 4

−

1  i (z + 1) i (w + 2 i) = 4 z−1

> solve(moebius,w): radnormal(%): f := unapply(%,z); F := transform((x,y) -> c2p(f(x+I*y))):

f := z −→ −

2 (1 − 2 i + z) z−1

Wir veranschaulichen das Abbildungsverhalten auch dieser M¨obius-Transformation durch eine Animation. Auf eine Wiedergabe des vollst¨andigen MapleCodes verzichten wir dabei und verweisen auf die Netz-Version der Worksheets. Stattdessen zeigen wir auf der folgenden Seite beispielhaft die gesamte Bildfolge:

260

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

8.1

M¨obius-Transformationen

(MWS)

261

Symmetrietreue der M¨ obius-Transformation Beispiel 1: Abbildung eines nicht-konzentrischen Kreisrings auf einen konzentrischen Kreisring Das nicht-konzentrische Ringgebiet zwischen dem Einheitskreis E (Mittelpunkt 0 , Radius 1) und dem Kreis K (Mittelpunkt a = 0 , Radius r) mit |a| + r < 1 soll auf ein konzentrisches Ringgebiet abgebildet werden.

5

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": a := 1/20+2/5*(1-I)/sqrt(2): r := 2/5: d := abs(a)^2-1-r^2: z_0 := a*(d+2-sqrt((d+2*r)*(d-2*r)))/2/abs(a)^2: Text := [0.75,0.8,"E"],[Re(a)+1.1*r,Im(a)+0.2,"K"], [Re(z_0)+0.1,Im(z_0),z[0]],[Re(a)+0.05,Im(a)+0.05," a"]: tplot := textplot([Text]): dots := seq(disk(c2p(z),0.01,color=black),z=[a,z_0]): Kreise:= disk(c2p(a),r,color=white),disk([0,0],1,color=gray): display(dots,Kreise,tplot,tickmarks=[[-1,1],0],scaling=constrained);

E

−1 a

K

1

z0

Wir suchen eine M¨ obius-Transformation, die den Einheitskreis E in den Ein0 uhrt. Bekanntlich hat diese die Gestalt w = zz−z mit heitskreis E  u ¨berf¨ 0 z−1 einem z0 mit |z0 | < 1 . z0 ist hier so zu bestimmen, dass der Kreis K auf einen konzentrischen Kreis K  mit Radius r abgebildet wird. Die Punkte 0 und ∞ sind symmetrisch bez¨ uglich K  . Mithin sind z0 und z10 symmetrisch   bez¨ uglich K . Es gilt also (z0 − a) z10 − a = r2 . > restart: gl := (z_0-a)*(1/z_0-conjugate(a)) = r^2;

gl := (z0 − a) > collect(z_0*gl,z_0); sol := factor([solve(%,z_0)]);

1  − a = r2 z0

262

MWS zu Kapitel 8 

sol :=

1 2 1 2

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

−a z02 + (a a + 1) z0 − a = z0 r2 ,  −r2 + a a + 1 + (a a − 1 − 2 r − r2 ) (a a − 1 + 2 r − r2 ) , a   −r2 + a a + 1 − (a a − 1 − 2 r − r2 ) (a a − 1 + 2 r − r2 ) a

Das Produkt dieser beiden L¨ osungen ist eine komplexe Zahl vom Betrage 1 . Mithin gilt f¨ ur die gesuchte L¨ osung z0 : > z_0 := sol[2]:

Der Kreis |z − a|2 = r2 wird durch die M¨ obius-Transformation w = in den Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r =

|z0 −a| r |z0 |

z−z0 z0 z−1

abgebildet.

> ‘r’‘ := abs(z_0-a)/r/abs(z_0): # ‘r’‘ ist der NAME der Variablen r’

F¨ ur a = 2/5 und r = 2/5 ergibt sich: > a := 2/5: r := 2/5: ’z_0’ = simplify(z_0); ’‘r’‘’ = simplify(‘r’‘);

z0 =

5

10

1 , 2

r =

1 2

> with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": Texte:= [0.75,0.85,"E"],[Re(a)+r,Im(a)+0.3,"K"], [Re(z_0),Im(z_0)+0.1,z[0]]: tplot:= textplot([Texte]): dot := disk(c2p(z_0),0.02,color=black): Kreissch := disk(c2p(a),r,color=white),disk([0,0],1,color=gray): p := display(dot,Kreissch,tplot,tickmarks=[[-1,1],0]): tplot:= textplot({[0.75,0.9,"E’ "],[‘r’‘,0.4,"K’"]}): dot := disk([0,0],0.02,color=black): Kreissch := disk([0,0],‘r’‘,color=white),disk([0,0],1,color=gray): q := display(dot,Kreissch,tplot,tickmarks=[[-1="-1", evalf(‘r’‘)="r’",1="1"],0]): display(Array([p,q]),scaling=constrained);

E

E

−1

z0

K

K 1

−1

r

1

8.1

M¨obius-Transformationen

(MWS)

263

Beispiel 2: Abbildung des Außenbereichs zweier kongruenter, disjunkter Kreise auf einen konzentrischen Kreisring

K2

K1

a

z0

b

Laut R. Sauer Ingenieur-Mathematik (Bd. 2, 3. Aufl., S. 119) wird diese M¨ obius-Transformation in der Elektrotechnik dazu verwendet, das elektro¨ statische Feld im Außeren von zwei parallelen Leitern in das Feld eines Zylinderkondensators abzubilden. Wir suchen eine M¨obius-Transformation, welche die Kreise K1 und K2 auf zwei konzentrische Kreise K1 und K2 abbildet. Die Punkte 0 und ∞ sind hierzu symmetrisch. Folglich sind die Urbilder z0 und u0 symmetrisch zu K1 und K2 , d. h. es gilt (z0 − c) (u0 − c) = r2 bzw. (z0 + c) (u0 + c) = r2 . Hieraus ergibt sich u0 = −z0 . Die beiden Gleichuna+b 2 gen oben vereinfachen sich damit zu ( a+b ( b−a 2 − z0 ) ( 2 + z0 ) = 2 ) und √ so zu z02 = ab . Liegt z0 im Inneren von K1 , so gilt z0 = ab . Mit der 6-Punkte-Formel erhalten wir dann f¨ ur a, z0 , −z0 und 1 , 0 , ∞ die gesuchte M¨ obius-Transformation. > restart: with(plots): with(plottools): z1 := z_0: z2 := a: z3 := -z_0: # z_0 = sqrt(a*b) w1 := 0: w2 := 1: w3 := infinity: (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/(z-z3)/(z2-z1);

w = > f := unapply(rhs(%),z): normal(f(-a));

(z − z0 ) (a + z0 ) (z + z0 ) (a − z0 )

(a + z0 )2 (−a + z0 )2

Mithin ist das Bild von K2 ein Kreis um 0 mit dem Radius

264

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

> z_0 := sqrt(a*b): R := ((sqrt(b)+sqrt(a))/(sqrt(b)-sqrt(a)))^2;

√ √ 2 b+ a R := √ √ 2 b− a In der Abbildung oben waren > a := 1: b := 9:

Mithin sind > ’z_0’ = simplify(z_0), ’R’ = simplify(R);

z0 = 3 ,

5

10

15

R=4

> c := (a+b)/2: r := (b-a)/2: # Urbild Kreise := circle([c,0],r,color=black,thickness=3), circle([-c,0],r,color=red,thickness=3): Disks := seq(disk([x,0],r,color=white),x=[c,-c]): Rechteck := rectangle(-(a+b)*[1,1],(a+b)*[1,1],color=gray, style=patchnogrid): tplot := textplot([[a,r,K[1]],[-b,r,K[2]]]): p := display(Kreise,Disks,Rechteck,tplot, tickmarks=[[z_0=z[0],a="a ",b=" b"],[]]): display(p,scaling=constrained,view=[-10..10,-6..6]); # siehe S. 263 > R := evalf(R): # Bild Disks := disk([0,0],1,color=white),disk([0,0],R,color=gray): Kreise := circle([0,0],1,color=black,thickness=3), circle([0,0],R,color=red,thickness=3): tplot := textplot([[1,1,typeset(K[1],"’")], [0.78*R,0.78*R,typeset(K[2],"’")]]): q := display(tplot,Kreise,Disks, tickmarks=[[-R="-R ",-1="-1 ",1=" 1",R=" R"],0]): display(Array([p,q]),scaling=constrained);

K2 K2

K1

a

z0

K1 b

−R

−1

1

R

8.2

Joukowski-Transformation

(MWS)

265

8.2 Joukowski-Transformation Am Ende von Abschnitt 8.2 des Textes wurde das Joukowski-Profil vorgestellt. Dieses entsteht mittels der Joukowski-Transformation aus einem Urbildkreis, der durch einen der Punkte +1 oder −1 verl¨auft und den anderen in seinem Inneren enth¨ alt. Der unten betrachtete (schwarze) Kreis mit dem Mittelpunkt a = 0.2+0.5 i und Radius R = 1.3 verl¨auft durch −1 . Ferner interessiert uns der (graue) Kreis mit Mittelpunkt b auf der imagin¨aren Achse, der durch 1 verl¨ auft und den schwarzen Kreis in −1 ber¨ uhrt. > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": J := z -> z+1/z; # Joukowski-Transformation

J := z −→ z +

5

10

1 z

a := 0.2+0.5*I: R := 1.3: b := -1+(1+a)/(1+Re(a)): r := abs(b+1): Kreise := circle(c2p(a),R,numpoints=400,color=black), circle(c2p(b),r,color=gray): Linien := complexplot([a,-1],linestyle=3,color=black), complexplot([-1+1.5*I*(a+1),-1-I*(a+1)],linestyle=3,color=black): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.025,color=black),z=[a,b]): Texte := textplot([[0.32,0.5,"a"],[Re(b)+0.1,Im(b)-0.1,"b"]]): p0 := display(Kreise,thickness=2): display(p0,Linien,Punkte,Texte,scaling=constrained,tickmarks=[3,3]);

Die Joukowski-Transformation bildet den schwarzen Kreis auf ein Joukowski-Profil ab, und der graue Kreis geht u ¨ ber in einen Kreisbogen, der doppelt durchlaufen wird. Um dies einzu sehen‘, machen wir davon Gebrauch, dass ’ die Joukowski-Transformation als Hintereinanderausf¨ uhrung von drei einfachen konformen Abbildungen beschrieben werden kann:

266

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

> M[1] := z -> (z+1)/(z-1); Q := u -> u^2; M[2] := v -> 2*(v+1)/(v-1);

M1 := z −→

z+1 , z−1

# 1. M¨ obiustransformation # Quadrieren # 2. M¨ obiustransformation

Q := u −→ u2 ,

M2 := v −→

2 (v + 1) v−1

> ’M[2](Q(M[1](z)))’: eval(%,1) = expand(normal(%));

M2 (Q(M1 (z))) = z +

1 z

Mittels transform definieren wir die entsprechenden Graphiktransformationen und bilden damit schrittweise die Bilder der beiden Urbildkreise:

5

> TM1 := transform((x,y)->c2p(M[1](x+I*y))): TQ := transform((x,y)->c2p(Q(x+I*y))): TM2 := transform((x,y)->c2p(M[2](x+I*y))): p1 := TM1(p0): p2 := TQ(p1): p3 := TM2(p2): setoptions(axes=frame,scaling=constrained): display(p0,Linien[2],tickmarks=[3,3],title="Urbildkreise ..."); display(p1,tickmarks=[3,3],view=[-2..7,-3..5],title="Bild ..."); display(p2,tickmarks=[3,3],view=[-20..42,-20..42],title="Bild ..."); display(p3,tickmarks=[3,3],title="Bild unter M[2]@Q@M[1]");

Urbildkreise in der z-Ebene

Bild unter der Abbildung M1

Bild unter Q ◦ M1

Bild unter M2 ◦ Q ◦ M1

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

(MWS) 267

Die M¨ obiustransformation M1 bildet den schwarzen Kreis in einen Kreis ab, und aus dem grauen Kreis entsteht eine Gerade. Beide verlaufen durch den Ursprung und ber¨ uhren sich dort. Mittels der Abbildung Q (Quadrieren) entsteht aus dem Kreis eine Kardioide und aus der Geraden ein (doppelt durchlaufener) Halbstrahl. Durch die M¨ obiustransformation M2 schließlich gehen die Kardioide u ber in ein Joukowski-Profil und der Halbstrahl in ¨ einen (doppelt durchlaufenen) Kreisbogen.

8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem Harmonische Funktionen Beispiel 1 > restart: with(VectorCalculus): f := log;

f := log Real- und Imagin¨ arteil dieser holomorphen Funktion liefern harmonische Funktionen, die sp¨ ater zur L¨ osung einfacher Dirichlet-Probleme benutzt werden k¨ onnen: > u := (x,y) -> evalc(Re(f(x+I*y))): v := (x,y) -> evalc(Im(f(x+I*y))): ’u’(x,y): eval(%,1) = value(%); ’v’(x,y): eval(%,1) = value(%);

u(x, y) =

1 2

  ln x2 + y 2 ,

v(x, y) = arctan(y, x)

Hierbei ist arctan(y, x) = argument(x + i y). > Delta(u) = simplify(Laplacian(u(x,y),[x,y])); Delta(v) = simplify(Laplacian(v(x,y),[x,y]));

Δ(u) = 0 ,

Δ(v) = 0

Beispiel 2 > restart: with(VectorCalculus):

Zu einer vorgegebenen harmonischen Funktion u bestimmen wir eine konjugiert harmonische Funktion v sowie eine holomorphe Funktion f mit f (x + i y) = u(x, y) + i v(x, y): > u := unapply(x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4,x,y);

268

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

u := (x, y) → x5 − 10 x3 y 2 + 5 x y 4 Wir u ufen, dass u harmonisch ist: ¨ berpr¨ > Delta(u) = Laplacian(u(x,y),[x,y]);

Δ(u) = 0 Die gesuchte konjugiert harmonische Funktion v ist — man vergleiche hierzu Satz 8.9 — Stammfunktion zu folgendem Vektorfeld: > V := VectorField(<-D[2](u)(x,y), D[1](u)(x,y)>,’cartesian’[x,y]);

V := (20 x3 y − 20 x y 3 ) e¯x + (5 x4 − 30 x2 y 2 + 5 y 4 ) e¯y Mit Hilfe des Maple-Befehls ScalarPotential l¨ asst v sich einfacher berechnen, als dies in Beispiel (B2) auf Seite 249 geschehen ist: > ScalarPotential(V): if % <> NULL then v := unapply(%,x,y) end if;

v := (x, y) → 5 x4 y − 10 x2 y 3 + y 5 Die holomorphe Funktion f erhalten wir nun durch folgende Substitution: > subs({x=(z+conjugate(z))/2,y=(z-conjugate(z))/(2*I)},u(x,y)+I*v(x,y)): f := unapply(simplify(%),z);

f := z → z 5 Komplexe Potentiale Das komplexe Potential zweier entgegengesetzter Punktladungen > restart: with(plots): alias(log=ln): F := z -> log((1+z)/(1-z)); # komplexes Potential

F := z → log

1+z 1−z



> phi := simplify(evalc(Re(F(x+I*y)))); # reelles Potential psi := simplify(evalc(Im(F(x+I*y)))); # Stromfunktion



1 + 2 x + x2 + y 2 1 log 2 1 − 2 x + x2 + y 2

2y −1 + x2 + y 2 ,− ψ := arctan 1 − 2 x + x2 + y 2 1 − 2 x + x2 + y 2

φ :=

¨ Die Aquipotentialbzw. Str¨ omungslinien kann man auf zwei verschiedene Arten zeichnen: Mit Hilfe des Maple-Befehls contourplot erh¨alt man sie als

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

(MWS) 269

H¨ ohenlinien des reellen Potentials bzw. der Stromfunktion. Mittels der Optiohenlinien festlegen oder sogar ganz on contours kann man die Anzahl der H¨ bestimmte Niveaus vorgeben.

5

> H1 := [seq(k*3/5,k=-5..5)]: # H¨ ohenlinien des reellen Potentials H2 := [seq(k*Pi/5,k=-5..5)]: # H¨ ohenlinien der Stromfunktion p1 := contourplot(phi,x=-4..4,y=-4..4,contours=H1,grid=[70,70], color=black,scaling=constrained): p2 := contourplot(psi,x=-4..4,y=-4..4,contours=H2,grid=[70,70], color=gray,scaling=constrained): display(p1,p2,view=[-3.5..3.5,-3.2..3.2],axes=box;

Das (fast) gleiche Resultat erh¨ alt mit Hilfe des conformal -Befehls, angewendet auf die Umkehrfunktion. Ist diese mehrdeutig, muss man darauf achten, den richtigen Zweig zu verwenden. > w = F(z); z := solve(%,z);



w = log

1+z 1−z

,

z :=

ew − 1 ew + 1 w

Das orthogonale Netz entsteht durch die komplexe Abbildung w −→ eew −1 +1 aus einem Raster von je 11 (schwarzen) vertikalen bzw. (grauen) horizontalen Gitterlinien, die das Rechteck [−3, 3] × [−π, π] u ¨berziehen. Die Wahl der H¨ ohenlinien oben orientierte sich daran. > conformal(z,w=-3-Pi*I..3+Pi*I,view=[-3.5..3.5,-3.2..3.2], numxy=[100,100],axes=box,color=[black,gray],scaling=constrained); Die Abbildung ist hier nicht wiedergegeben, da sie fast identisch zur vorangehenden ist.

270

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

Das komplexe Potential einer Parallel- mit einer Dipolstr¨ omung > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": setoptions(tickmarks=[3,3],scaling=constrained,axes=frame): F := z -> z+1/z; # Joukowski-Abbildung

F := z −→ z +

1 z

> phi := evalc(Re(F(x+I*y))); # reelles Potential psi := evalc(Im(F(x+I*y))); # Stromfunktion

φ := x +

x , x2 + y 2

ψ := y −

y x2 + y 2

Wir zeichnen nur die Str¨ omungslinien, welche physikalisch sinnvoll sind, unterdr¨ ucken also diejenigen, die im Inneren des Einheitskreises liegen:

5

> p1 := contourplot(psi,x=-3..3,y=0..2.5,contours=[k/5 $ k=1..10], color=black,grid=[70,70]): p2 := contourplot(psi,x=-3..3,y=-2.5..0,contours=[-k/5 $ k=1..10], color=gray,grid=[70,70]): p3 := seq(plot(0,Ber,color=black),Ber=[-3..-1,1..3]), circle(c2p(0),1,color=black,linestyle=2): StromL := display(p3,p2,p1): display(StromL,view=[-3..3,-2.5..2.5]);

> a := 0.2+0.5*I: r := 1.3: f := z -> F(a+r*z); Tf := transform((x,y)->c2p(f(x+I*y))):

f := z −→ F (a + r z) Mittels Verpflanzung erh¨ alt man dann die Str¨omungslinien des komplexen Potentials G := F ◦ f −1 (vgl. Seite 251):

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

(MWS) 271

> display(Tf(StromL),tickmarks=[4,4]);

Einfache Dirichlet-Probleme Im Parallelstreifen Gesucht ist eine harmonische Funktion u mit u(a, y) = A und u(b, y) = B .

> restart: with(VectorCalculus): u := unapply(A+(B-A)*(x-a)/(b-a),x,y);

u := (x, y) −→ A +

(B − A) (x − a) b−a

> printf("\n Die - hier triviale - Probe:"): Delta(u) = Laplacian(u(x,y),[x,y]); ’u’(a,y): eval(%,1) = value(%); ’u’(b,y): eval(%,1) = value(%);

Die - hier triviale - Probe: Δ(u) = 0 ,

u(a, y) = A ,

u(b, y) = B

Im Winkelbereich Gesucht ist eine harmonische Funktion u , die folgendes Randwertproblem l¨ost:

272

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

> restart: with(VectorCalculus): u := unapply(A+(B-A)*arctan(y,x)/alpha,x,y);

u := (x, y) −→ A +

(B − A) arctan(y, x) α

F¨ ur den Winkel dieses Bereiches muss dabei 0 < α ≤ π gelten; hier w¨ahlen wir speziell α := arctan(1, 2):

5

> alpha := arctan(1,2): Laplacian(u(x,y),[x,y]): DGL:=simplify(%): printf("\n Probe: "); if is(DGL=0) then printf("u ist harmonisch.") end if; printf("\n Randbedingungen:"); assume(x>0): ’u’(x,0): eval(%,1) = simplify(value(%)); ’u’(x,x/2): eval(%,1) = value(%);

Probe: u ist harmonisch. Randbedingungen: u(x, 0) = A, u(x, 12 x) = B 3-dimensional veranschaulicht

6 4 0

2

2x 0

0

1 y

2

4

Im Kreisring Der Radius des inneren Kreises sei 1, der des ¨außeren R. Die vorgegebenen Werte auf den Kreisr¨ andern seien A (innen) und B (außen). > restart:

u := (x,y) -> A+(B-A)*log(sqrt(x^2+y^2))/log(R);

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

(MWS) 273

  (B − A) log x2 + y 2 u := (x, y) −→ A + log(R) Wir wissen schon, dass die Funktion u harmonisch ist. Zu den Randbedingungen: > u(cos(t),sin(t)): simplify(%); assume(R>0): u(R*cos(t),R*sin(t)): simplify(%);

A,

B

3-dimensional sieht’s so aus

8 6 4 2 0 –3

–3 0

0 3

3 In der oberen Halbebene

F¨ ur eine reelle Zahl a soll rechts von a der Wert A, links davon der Wert B angenommen werden: > restart:

v := (x,y) -> A+(B-A)*arctan(y,x-a)/Pi;

v := (x, y) −→ A +

(B − A) arctan(y, x − a) π

Wir wissen wieder, dass die Funktion v harmonisch ist. Zu den Randbedingungen: > assume(x>a): v(x,0); assume(x
A,

B

F¨ ur A = 2, B = 8 und a = 0 sieht die L¨ osung folgendermaßen aus:

274

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

3-dimensional

So sieht die Welt von oben aus –1

0

1 1

8 6 4 2 0.5

0 1 y 0.5

1 0 –1

0x

0

Vorgegeben sei nun die folgende (unstetige) Randbelegung U (auf der reellen Achse): > restart:

U := t -> piecewise(abs(t)<1,t^2/2-1/6,0):

Wir erhalten daf¨ ur mit Hilfe der Poissonschen Integralformel in der oberen Halbebene (vgl. Seite 254): > y/Pi*int(U(t)/((x-t)^2+y^2),t=-infinity..infinity,continuous): u := unapply(%,x,y);

 u := (x, y) −→ − 1 3 x ln(x2 +1+2 x+y 2) y −6 y −3 x ln(x2 +1−2 x+y 2) y 6π x−1 x−1 2 2 +3 y 2 arctan( x+1 arctan( x−1 y )−arctan( y )+3 y ) x −3 y arctan( y )  x+1 2 − 3 arctan( x+1 y ) x + arctan( y ) Man ben¨ otigt hier die int-Option continuous , um symbolisch u ¨ ber die Unstetigkeiten der Funktion U hinwegzuintegrieren. > with(VectorCalculus): Laplacian(u(x,y),[x,y]): DGL:=simplify(%): JaNein := ‘if‘(is(DGL=0),""," nicht"): printf("\n Probe: u ist%s harmonisch!\n\n Das Verhalten am Rand: \n\n",JaNein);

Probe: u ist harmonisch! Das Verhalten am Rand: > Limes := Limit(’u’(x,y),y=0,right): eval(Limes,1) = value(Limes) assuming x>1; eval(Limes,1) = value(Limes) assuming x<-1; eval(Limes,1) = value(Limes) assuming -1<x,x<1;

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem lim u(x, y) = 0 ,

y→0+

lim u(x, y) = 0 ,

y→0+

(MWS) 275

1 1 lim u(x, y) = − + x2 y→0+ 6 2

So sieht’s aus

Wieder von oben 0

–1

1 1

0.2 0 0.5 1 y 0.5 0

–1

0x

1 0

L¨ osung des Dirichlet-Problems mit Hilfe konformer Abbildungen Im Kreis Gesucht ist eine harmonische Funktion v , die auf dem Rand des Einheitskreises in der rechten Halbebene den Wert −1 , in der linken Halbebene den Wert 1 annimmt. Wir transformieren den Einheitskreis mit Hilfe einer M¨obiustransformation auf die rechte Halbebene: > restart: z1 := I: z2 := -1: z3 := -I: w1 := 0: w2 := -I: w3 := infinity: (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/((z-z3)*(z2-z1)); w := solve(%,w);

iw = −

i (z − i) , z+i

w :=

−z + i z+i

Urbildbereich und Bildbereich haben folgendes Aussehen:

276

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

F¨ ur die rechte Halbebene kennen wir eine harmonische Funktion, die auf der schwarzen Halbgeraden den Wert 1, auf der roten den Wert −1 annimmt: > V := -(2/Pi)*argument(’w’);

V := −

2 argument(w) π

Wir machen die Probe: > subs(w=-I,V): simplify(%); subs(w=I,V): simplify(%); V;

1,

−1 ,

  2 argument −z + i z+i − π

> subs(z=x+I*y,-(Pi/2)*V): simplify(evalc(%));

arctan

2x x2 + y 2 − 1 , − x2 + y 2 + 2 y + 1 x2 + y 2 + 2 y + 1



Die gesuchte harmonische Funktion v hat dann im Inneren des Einheitskreises folgende Darstellung: > v := -(2/Pi)*arctan(op(1,%) / op(2,%)); # arctan(y,x)=arctan(y/x) f¨ ur x > 0

2 arctan v :=

2x x2 + y 2 − 1 π

> printf("\n Probe:"); with(VectorCalculus): Delta(’v’) = simplify(Laplacian(v,[x,y]));



8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

(MWS) 277

Probe: Δ(v) = 0 Im Halbkreis Gesucht ist eine harmonische Funktion u mit u = 0 auf dem oberen Rand des Halbkreises und u = 1 auf dem Intervall [−1, 1]. Dazu betrachten wir eine M¨ obiustransformation, die den oberen Rand des Halbkreises auf die positive reelle Achse abbildet (vgl. Beispiel (B1) auf Seite 239 f): > restart: z1 := 1: z2 := I: z3 := -1: w1 := 0: w2 := 1: w3 := infinity: (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/((z-z3)*(z2-z1)): w := solve(%,w);

w := −

i (z − 1) z+1

Wir veranschaulichen Urbild- und Bildbereich:

Auf der schwarzen Achse nimmt die gesuchte Funktion den Wert 1 an, auf der roten Achse den Wert 0 . Wir verzichten hier auf weitere Kommentare und Proben, da uns das Vorgehen aus dem vorangehenden Beispiel vertraut ist. > U := (2/Pi)*argument(’w’); # Harmonische Funktion

U := > U;

2 argument(w) π



i (z − 1) 2 argument − z+1 π

278

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

> subs(z=x+I*y,Pi/2*U): simplify(evalc(%));



x2 − 1 + y 2 2y arctan − 2 , x + 2 x + 1 + y 2 x2 + 2 x + 1 + y 2



> u := (2/Pi)*arctan(op(1,%) / op(2,%)); # arctan(y,x)=arctan(y/x) f¨ ur x > 0

2 arctan u := −

1 x2 − 1 + y 2 2 y π



Im Viertelkreis Die beiden abschließenden Beispiele (im Viertelkreis, im nicht-konzentrischen Kreisring) kommentieren wir sparsamer und verzichten auf Proben, da uns die Dinge nun vertraut sind. Gesucht ist eine harmonische Funktion u , die auf dem Rand des Viertelkreises den Wert 0 und auf den Achsenabschnitten den Wert 1 annimmt. Wir suchen dazu nach einer konformen Abbildung, die den Viertelkreis auf einen passenden Winkelbereich abbildet: Nach den ¨ vorangehenden Uberlegungen zum Halbkreis (unter Beachtung der Abbildung 2 z −→ z , die den Viertelkreis auf den Halbkreis abbildet), erh¨alt man: > restart: w := I*(1-z^2)/(1+z^2);

w :=

i (1 − z 2 ) 1 + z2

Viertelkreis (z)

Bildbereich (w)

> U := (2/Pi)*argument(w);

2 argument U :=

π

i (1 − z 2 ) 1 + z2



8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

(MWS) 279

> subs(z=x+I*y,(Pi/2)*U): simplify(evalc(%));

  1 − x4 − 2 x2 y 2 − y 4 4 xy arctan , 1 + 2 x2 − 2 y 2 + x4 + 2 x2 y 2 + y 4 1 + 2 x2 − 2 y 2 + x4 + 2 x2 y 2 + y 4 Wir faktorisieren den Nenner: > factor(denom(op(1,%)));

(x2 + 1 + 2 y + y 2 ) (x2 + 1 − 2 y + y 2 ) Dieser ist also im Inneren des Viertelkreises positiv. F¨ ur die gesuchte harmonische Funktion u ergibt sich damit: > u := (2/Pi)*arctan(op(1,%%) / op(2,%%)); # arctan(y,x)=arctan(y/x) f¨ ur x > 0

 1 −1 + x4 + 2 x2 y 2 + y 4  2 arctan 4 xy u := − π Im nicht-konzentrischen Kreisring Gesucht ist eine harmonische Funktion u mit u = 0 auf dem Rande des Einheitskreises |z| = 1 und u = 1 auf |z − 2/5| = 2/5 . Mittels folgender M¨ obiustransformation l¨ asst sich der linke nicht-konzentrische Kreisring auf den rechten konzentrischen Kreisring abbilden (vgl. Beispiel 1, Seite 261f): > restart: z0 := 1/2: rho := 1/2: moebius := w = (z-z0)/(conjugate(z0)*z-1);

z− moebius := w =

1 2

1 z−1 2

280

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

> U := log(abs(w))/log(rho);

U := −

ln(|w|) ln(2)

Wir veranschaulichen die gesuchte L¨ osung des vorgegebenen Dirichlet-Problems: 3-dimensional

Wieder der Blick von oben 0

–1

1

1

1

z 0

0

1 0

1 y

0 –1

x

–1

Und so sieht die analytische Gestalt der L¨ osung aus: > subs(moebius,U): subs(z=x+I*y,%): u := simplify(evalc(%));

u := −

1 2

ln

4 x2 − 4 x + 1 + 4 y 2 x2 − 4 x + 4 + y 2 ln(2)



Kapitel 9

Die Γ-Funktion 9.1 9.2 9.3

Zur Γ-Funktion im Reellen Die Gammafunktion im Komplexen Stirling-Formel

Die Gammafunktion Γ wurde 1729 von Euler als unendliches Produkt definiert; die Bezeichnung Γ ‘ und Gammafunktion‘ stammen von Legendre (1814). Als ’ ’ Erg¨ anzung zur allgemein aufgef¨ uhrten Literatur sei hierzu noch speziell auf das Buch von E. Artin The Gamma Function“ ([Art]) hingewiesen. ”

9.1 Zur Γ-Funktion im Reellen In der reellen Analysis f¨ uhrt man in der Regel die Gammafunktion“ f¨ ur ” x>0 u ¨ ber das 2. Eulersche Integral ,∞ Γ (x) :=

tx−1 e−t dt

0

ein und zeigt dann: 1. Γ (x + 1) = x · Γ (x) f¨ ur x > 0 2. Γ (n) = (n − 1)!

( Funktionalgleichung der Γ -Funktion‘) ’ (n ∈ N) , speziell: Γ (1) = 1 ∗

3. Die Gammafunktion ist beliebig oft differenzierbar mit .∞ x−1 −t Γ (k) (x) = t e (log t)k dt f¨ u r k ∈ N0 . 0

Auf den ersten Blick hin scheint die Fortsetzung der Fakult¨ at durch die Gammafunktion fast willk¨ urlich zu sein. Die folgende Charakterisierung zeigt jedoch, dass dies nicht so ist: ∗

Sprechweise: Γ (x + 1) interpoliert die Fakult¨ at‘. ’

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

282

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Satz 1 (Bohr-Mollerup; Charakterisierung der Gammafunktion) Es existiert genau eine Funktion f : ]0, ∞[ −→ ]0, ∞[ mit (1)

f (x + 1) = xf (x) f¨ ur x > 0

(2)

log ◦f ist konvex

(3)

f (1) = 1

(Bez.: f

”

logarithmisch konvex“)

Die Gammafunktion (f¨ ur x > 0)

Beweis: Zur Existenz gen¨ ugt — nach 1. und 2. — der Nachweis, dass Γ ur x > 0 gilt. Dies ist logarithmisch konvex ist, hier also (log ◦Γ ) (x) ≥ 0 f¨ a quivalent zu ¨ 2 (Γ  (x)) ≤ Γ  (x)Γ (x) . Setzen wir 1  ϕ(t) := tx−1 · e−t 2

und

1  ψ(t) := tx−1 · e−t 2 log t ,

so folgt diese Aussage unmittelbar mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ⎞2 ⎛∞ ⎞⎛ ∞ ⎞ ⎛∞ , , ,  2  2 ⎝ ϕ(t)ψ(t) dt⎠ ≤ ⎝ ϕ(t) dt⎠ ⎝ ψ(t) dt⎠ ; 0

0

0

denn hier ist die linke Seite gleich (Γ  (x))2 und die rechte gleich Γ (x)Γ  (x) .

9.1

Zur Γ-Funktion im Reellen

283

Eindeutigkeit: Es sei f : ]0, ∞[−→ ]0, ∞[ mit (1), (2), (3). f ist genau dann logarithmisch konvex, wenn mit der Funktion h := log ◦f f¨ ur alle x1 , x2 > 0 und λ ∈ ]0, 1[ h(λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λh(x1 ) + (1 − λ)h(x2 ) bzw. f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤

 λ  1−λ f (x1 ) · f (x2 )

gilt. Aus (3) und (1) folgt f (n + 1) = n! f¨ ur n ∈ N0 .

(4)

Im Folgenden seien x ∈ ]0, 1] und n ∈ N: Wegen n + x = x(n + 1) + (1 − x)n folgt aus der logarithmischen Konvexit¨ at von f  x   1−x 1−x f (n + x) ≤ f (n + 1) · f (n) = (n!)x (n − 1)! = n! nx−1 ; (5) (4)

analog ergibt sich aus n + 1 = x(n + x) + (1 − x)(n + x + 1) die Ungleichung n! = f (n + 1) ≤ (4)

=

 x  1−x f (n + x) · f (n + x + 1)

 x  1−x f (n + x) (n + x)f (n + x) = f (n + x) (n + x)1−x

bzw.

(1)

f (x + n) ≥ n! (n + x)x−1 .

(6)

Zusammen mit f (x + n) = (x + n − 1) · · · (x + 1)x · f (x) (1)

liefern (5) und (6) n!(n + x)x−1 n!nx−1 ≤ f (x) ≤ x(x + 1) · · · (x + n − 1) x(x + 1) · · · (x + n − 1) bzw.

 1+

Hieraus folgt

x x ≤ n

f (x) n! nx x(x+1)···(x+n)

≤ 1+

x . n

n!nx . n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)

f (x) = lim

(7) 

284

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Folgerung 2 (Gaußsche Produktformel) F¨ ur x > 0 gilt n!nx n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)

Γ (x) = lim bzw.

n!nx . n→∞ (x + 1) · · · (x + n)

Γ (x + 1) = lim

Beweis: Die erste Beziehung folgt aus (7). Die zweite liest man dann daraus mit der Funktionalgleichung der Gammafunktion ab.  Mittels elementarer Umformungen erh¨ alt man n! nx nx exp(x · log n) = = = = n n (x + 1) · · · (x + n) (1 + xν ) (1 + xν ) ν=1

bzw. 1 n! nx (x+1)···(x+n)

ν=1

 >  n n   x  x 1 − log n exp − . = exp x 1+ ν ν ν ν=1 ν=1

Aus der Analysis I sollte bekannt sein: n  1 − log n −→ C (n −→ ∞) (C := 0.577 . . . ν ν=1

Euler-Konstante‘ ∗ ) ’

Mit erneuter Anwendung der Funktionalgleichnung erh¨alt man so die Produktdarstellung: ∞   x  > x 1 1+ = x exp(Cx) exp − Γ (x) ν ν ν=1

Das Produkt

n  ∞          1+ xν exp − νx ist nat¨ 1+ xν exp − xν urlich durch lim n→∞ ν=1

ν=1

erkl¨ art.

F¨ ur u, v ∈ ]0, ∞[ f¨ uhren wir nun durch ,1 tu−1 (1 − t)v−1 dt

B(u, v) := 0

die Betafunktion“ bzw. das 1. Eulersche Integral ein. ” ∗

In Maple wird diese Konstante gamma“ genannt. ”

9.1

Zur Γ-Funktion im Reellen

285

(Die Existenz des Integrals ergibt sich mit den aus Analysis I vertrauten Methoden.) ¨ Analog zu den Uberlegungen zur Gammafunktion erh¨alt man, dass die partiellen Funktionen B(·, v) logarithmisch konvex sind. Zwischen der Betafunktion und der Gammafunktion besteht folgender Zusammenhang: Satz 3 B(u, v) =

Γ (u) · Γ (v) Γ (u + v)

f¨ ur u , v > 0

Beweis: Es sei 0 < ε < 1 − δ < 1; durch die partielle Integration 1−δ 1−δ , ,  t u u v−1 t (1 − t) dt = (1 − t)u+v−1 dt 1−t ε

ε

(1 − t)u+v · = − u+v



t 1−t

1−δ

u 1−δ ,

u

(1 − t)v−1 tu−1 dt +

u + v ε ε

erh¨ alt man nach Grenz¨ ubergang B(u + 1, v) =

u B(u, v) . u+v

(∗)

B(u, v)Γ (u + v) Γ (v) definierte Funktion H : ]0, ∞[ −→ ]0, ∞[ . H ist logarithmisch konvex, da B(·, v) und Γ ( · + v) dies sind. Nach 1. (Seite 281) und (∗) hat man H(u + 1) = u H(u). Wegen Γ (v+1) = vΓ (v) und B(1, v) = v1 gilt H(1) = 1 und so H = Γ nach Satz 1, also die Behauptung.  F¨ ur festes v ∈ ]0, ∞[ betrachten wir die durch H(u) :=

Folgerung 4

( Erg¨ anzungssatz von Euler“) ” Γ (β)Γ (1 − β) =

F¨ ur 0 < β < 1 gilt

π . sin(βπ)

Beweis: F¨ ur 0 < β < 1 hatten wir gesehen (siehe Seite 197) ,∞ β−1 π x 1 = dx . Mit der Substitution τ = 1+x bzw. x = sin(β π) 1+x

1 τ

−1

0

erhalten wir f¨ ur die rechte Seite: ,0  ,1 β−1  1  1 −1 τ − 2 dτ = (1 − τ )β−1 τ −β dτ = B(1 − β, β) = . S.  τ τ (Satz 3) 1

0

286

Kapitel 9

Speziell f¨ ur β =

1 2

Die Γ-Funktion

ergibt sich

√ 1 Γ = π, 2

woraus man noch einmal ,∞

e−x dx = 2

√

π

−∞

gewinnen kann.

9.2 Die Gammafunktion im Komplexen F¨ ur die Fortsetzung der Gammafunktion auf komplexes Argument schlie¨ ßen wir an die Uberlegungen zur Produktdarstellung an. Wir betrachten f¨ ur ν ∈ N und z ∈ C :  z   z exp − −1 hν (z) := 1 + ν ν ¨ hν ist eine ganze Funktion. Als einfache Ubungsaufgabe best¨atigt man |(1 − z) exp(z) − 1| ≤ |z|2 , falls |z| ≤ 1 , also folgt, indem man − νz statt z betrachtet, |hν (z)| ≤

|z|2 , ν2

falls |z| ≤ ν .

F¨ ur R ∈ ]0, ∞[ und |z| ≤ R hat man daher |hν (z)| ≤ Damit ist

R2 , ν2

wenn ν ≥ R .

∞ ∞  

hν (z) gleichm¨ aßig konvergent auf U0R , also hν (z) lokal ν=1

ν=1

absolut gleichm¨ aßig konvergent. Wir zeigen zun¨ achst: n > a) Durch Pn (z) := [1 + hν (z)] wird eine Funktionenfolge (Pn ) definiert, ν=1

die lokal absolut gleichm¨aßig konvergiert. ∞ > b) Ist P (z) := lim Pn (z) =: [1 + hν (z)] f¨ ur z ∈ C, so ist P eine ganze n→∞

Funktion.

ν=1

9.2

Die Gammafunktion im Komplexen

287

Beweis: Es ist nur a) zu zeigen; denn b) folgt dann aus dem Satz von Weierstraß II. Wir haben oben gesehen: Zu festem R ∈ ]0, ∞[ existieren — abh¨ angig von R — αν ∈ [0, ∞[ so, dass |hν (z)| ≤ αν f¨ ur z ∈ U0R ∞  gilt und αν < ∞ . F¨ ur n > m ist ν=1

>

n   Pn (z) − Pm (z) = Pm (z) 1 + hν (z) − 1 . ν=m+1

F¨ ur z ∈ U0R hat man |Pm (z)| ≤



m m m m > > >   1 + |hν (z)| ≤ (1 + αν ) ≤ exp(αν ) = exp αν ν=1

 ∞ αν < ∞ , ≤ exp

ν=1

ν=1

ν=1

also gleichm¨aßige Beschr¨anktheit.

ν=1

n

>  

1 + hν (z) − 1 ≤

ν=m+1

n >



n (1 + αν ) − 1 ≤ exp αν − 1 −→ 0 s. o.

ν=m+1

ν=m+1

1

23 4 −→ 0

f¨ ur m −→ ∞. (Hier sieht man die erste Ungleichung leicht durch Induktion.)  Folgerung 5 Durch h(z) := z exp(Cz)

∞  >

1+

ν=1

 z  z exp − ν ν

(z ∈ C) ist eine ganze

Funktion h definiert. Zusatz 6 h hat genau die Elemente von −N0 := {0 , −1 , −2 , . . . } als einfache Nullstellen. ¨ Der Beweis des Zusatzes folgt aus den obigen Uberlegungen unter Beachtung von: ∞ m ∞ = = = [1 + hν (z)] = [1 + hν (z)] [1 + hν (z)]  ν=1 ν=1 ν=m+1 23 4 1 −→1 (m−→∞): s. o.

Damit definieren wir — unter Beachtung der Produktdarstellung im Reellen: Definition:

 −1 Γ (z) := h(z)

  z ∈ C \ (−N0 )

”

Gammafunktion“

288

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Bemerkung 7 Γ ist holomorph und Fortsetzung der reellen Gammafunktion. Der Identit¨ atssatz liefert mit 1. (Seite 281) und dem Erg¨anzungssatz von Euler die Bemerkung 8 a) b) c)

  Γ (z + 1) = zΓ (z) z ∈ C \ (−N0 ) 1 sin(πz) = (z ∈ C \ Z) Γ (z)Γ (1 − z) π

Γ hat f¨ ur m ∈ N0 in −m einen einfachen Pol mit Residuum (−1)m /m! .

Beweis: Es ist nur noch das Residuum zu berechnen: a) zeigt Γ (z + m + 1) = z(z + 1) · · · (z + m)Γ (z). Daraus liest man ab: Γ (z)(z + m) −→

(−1)m m!

f¨ ur z −→ −m .



In b) kann die linke Seite wie folgt umgeformt werden:  ∞   1  = 2  1 − νz 2 . .S. = h(z) · −z · h(−z) = z a)

ν=1

b) zeigt zudem, wie die linke Seite (stetige Erg¨ anzung!) f¨ ur beliebiges z ∈ C gelesen werden kann.

Damit erhalten wir — unter Beachtung des Identit¨atssatzes — die Bemerkung 9

(Produktdarstellung des Sinus) ∞  > z2  1− 2 2 sin z = z (z ∈ C) π ν ν=1

Dabei ist die Konvergenz lokal gleichm¨aßig. Setzt man hierin speziell z = π/2 , so erh¨ alt man         ∞ ∞ 2 = = 1 1 1 1 = π2 1 − 2ν = π2 1 − 2ν 1 + 2ν = ν=1

ν=1

π 2

∞ = ν=1

(2ν−1)(2ν+1) (2ν)2

,

also die Bemerkung 10 ∗

∞ > π 4ν 2 = 2 (2ν − 1)(2ν + 1) ν=1

( Wallis-Produkt“)∗ ”

Diese Beziehung kann man auch relativ einfach elementar‘ herleiten! ’

9.2

Die Gammafunktion im Komplexen

289

Gammafunktion f¨ ur reelles Argument

Betrag der Gammafunktion im Komplexen

6 4 2 0 2 y 0 –2

Mit ϕn (z) := z

n  > z2  1− 2 2 π ν ν=1

ϕn (z) −→ sin z

–4

–2

0x

2

4

(n ∈ N, z ∈ C \ π Z) besagt Bemerkung 9 (n −→ ∞) lokal gleichm¨aßig.

290

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

So folgt mit dem Satz von Weierstraß II ϕn (z) −→ cos z

(n −→ ∞) lokal gleichm¨aßig.

Damit ergibt sich durch logarithmische Differentiation‘ von ϕn : ’ n  ϕn (z) 1 2z = + −→ cot z (n −→ ∞) lokal gleichm¨aßig. 2 − π2 ν 2 ϕn (z) z z ν=1 Somit hat man f¨ ur z ∈ C \ π Z: Bemerkung 11 cot z =

(Partialbruchdarstellung des Cotangens)

∞  2z 1 + 2 z z − π2 ν 2 ν=1

Die Konvergenz ist lokal gleichm¨aßig.

Wir haben hier die Produktdarstellung des Sinus und die Partialbruchdarstellung des Cotangens ohne Benutzung des Satzes von Mittag-Leffler und des Produktsatzes von Weierstraß gewonnen und so — f¨ ur eine weiterf¨ uhrende Vorlesung — den entsprechenden Themenkreis schon etwas vorbereitet.

9.3 Stirling-Formel Wir geben abschließend eine elementare Herleitung∗ der Stirling-Formel mit exaktem Fehlerterm. Die Berechnung von n! f¨ ur große n wird u. a. in Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik immer wieder ben¨ otigt. Wegen des hohen Aufwandes ist eine bequeme N¨ aherungsformel hilfreich. Eine erste Version der u. a. Formel wurde 1730 von James Stirling (1692–1770) gegeben. Die hier dargestellte Herleitung verzichtet bewusst etwa auf den Einsatz der Reihenentwicklung f¨ ur die Logarithmusfunktion, damit diese wichtige Formel auch bei vergleichsweise geringen Mathematikkenntnissen (etwa im Oberstufenunterricht der Schule) zug¨ anglich wird.

n! ∼

√

2πn

 n n e

∼ “ bedeutet asymptotisch gleich“, d. h. der Quotient der beiden Seiten ” ” geht f¨ ur n −→ ∞ gegen 1 . Es wird also eine Aussage u ¨ ber den relativen Fehler gemacht. Diese Aussage wird unten noch pr¨azisiert! Wir betrachten ∗

f (n) :=

n! 1 nn+ 2 e−n

(n ∈ N) .

¨ Die Idee dieser elementaren Herleitung stammt von F. W. Sch¨ afke, der Uberlegungen von C´ esaro (1904) aufgriff und verallgemeinerte; man vergleiche dazu auch [Art, S. 20–24] .

9.3 1.

291

Stirling-Formel  n + 1 n+ 12 1+ f (n) −1 = e = f (n + 1) n 1−

F¨ ur 0 < x < 1

2.

 nachher setzen wir x :=

1 2n+1 1 2n+1

1 2n+1



n+ 12

e−1

gilt:



2 x3 1+x < exp(2 x) · exp exp(2 x) < 1−x 3 1 − x2

∞  2n n Beweis: 1. Ungleichung: exp(2 x) = 1 + 2 x + 2 x + x ; n! n=3 ∞ ∞ ∞    1+x = (1 + x) xn = 1 + 2 xn = 1 + 2 x + 2 x2 + 2 xn ; 1−x n=0 n=1 n=3 2

ur n ≥ 3 folgt die Behauptung. unter Ber¨ ucksichtigung von 2n /n! < 2 f¨ 2. Ungleichung: Durch Ausmultiplizieren erh¨ alt man:    (1 + x)2 = 1 + 2 x + x2 < 1 + 2 x + 2 x2 + 43 x3 + 23 x4 1 − x2 + 23 x3 Nach Division durch (1 − x2 ) hat man:  2 x3   1+x 4 2  < 1 + 2 x + 2 x2 + x3 + x4 1 + < r.S. 1−x 3 3 3 1 − x2



In 2. setzen wir x := 1/(2n + 1) und erhalten



 1  2 x3 1 1+x exp < exp exp = exp(2 x) < , 1−x 3 1 − x2 n + 12 n + 12 nach Potenzieren mit Exponent n + 1/2:   2 x3 n+ 12 f (n) e < e· < e · exp f (n + 1) 3 1 − x2 F¨ ur den mittleren Term wurde dabei 1. verwendet!

¨ Uber

 1 3 1 2 2 2 x3 2n+1 2n+1 = =  1 2 3 1 − x2 3 1− 3 (2n + 1)2 − 1 2n+1 =

3.

1 <

1 1 1  1 1 1 n+ 12 = − folgt: 3 4n2 + 4n 12 n + 12 n n + 1

 1 1 1  f (n) < exp − f (n + 1) 12 n n + 1

Wegen 0 < f (n + 1) < f (n) existiert ein σ ≥ 0 mit f (n) −→ σ .

292

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

F¨ ur n < N erh¨ alt man durch Multiplizieren von 3. (Teleskop-Produkt!)  1 1 1  f (n) < exp − . f (N ) 12 n N

1 <

N −→ ∞ (f¨ ur festes n) zeigt σ > 0 und 1 <

 1  f (n) < exp . σ 12 n

Die Argumentation mit n + 1‘ statt n‘ liefert zun¨ achst ≤“, Multiplikation mit ’ ’ ” f (n) zeigt dann <“ . ” f (n + 1)

Mit dem Wallis-Produkt erh¨ alt man durch einfache Umformungen σ ←−

(f (n))2 = f (2 n)



1/2 n √ 2 (2n + 1) > 4 ν2 −→ 2 π . n (2ν − 1)(2ν + 1) ν=1

Zusammen hat man also: F¨ ur n ∈ N existiert Θn ∈ ]0, 1[ so, dass n! = n

n+ 12 −n

e



√ Θn 2π exp . 12 n

MWS zu Kapitel 9

Die Γ-Funktion Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: convert(. . . , GAMMA), convert(. . . , factorial), simplify(. . . , GAMMA) product, Product asympt

9.1 Zur Γ-Funktion im Reellen > restart: assume(x>0): g := Int(exp(-t)*t^(x-1), t=0..infinity): % = value(%);

,

∞

e−t tx−1 dt = Γ (x)

0

Maple kennt also (f¨ ur positives x) die u ¨ ber das 2. Eulersche Integral definierte Gammafunktion Γ und dazu auch als eigenst¨andige Funktion den durch lnGAMMA := ln ◦Γ definierten Logarithmus der Gammafunktion.

5

> with(plots): Punkte := pointplot([seq([m,GAMMA(m)],m=1..4)],color=black, symbol=solidcircle,symbolsize=18): Funktionen := plot([GAMMA,lnGAMMA],0..4.2,y=-0.5..6.2, color=[black,gray],thickness=2): display(Punkte,Funktionen,labels=[" "," "]);

Gammafunktion und Logarithmus davon

294

MWS zu Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Maple kennt nat¨ urlich auch die Funktionalgleichung der Gammafunktion und Definition und Wert der Euler-Konstante: > GAMMA(x+1): % = expand(value(%));

Γ (x + 1) = Γ (x) x > Limit(Sum(1/k,k=1..n) - ln(n),n=infinity): % = value(%);

? lim

n→∞

@ n  1 − ln(n) = γ k

k=1

> rhs(%) = evalf(rhs(%),20);

γ = 0.57721566490153286061 Den Beginn der Reihenentwicklung bei 0 erh¨ alt man durch: > series(GAMMA(x),x=0,2);

x−1 − γ +

1 2 1 2 π + γ x + O(x2 ) 12 2

Von der Fakult¨ at rechnet Maple zur Gammafunktion um durch: > n!: % = convert(%,GAMMA);

n! = Γ (n + 1) Zur¨ uck geht’s mit: > GAMMA(n+1): % = expand(convert(%,factorial));

Γ (n + 1) = n! Auch die Ableitung der Gammafunktion berechnet Maple m¨ uhelos: > diff(GAMMA(x),x);

Ψ (x) Γ (x)

Diese Antwort ist zwar richtig, aber f¨ ur die meisten Nutzer doch eher kryptisch, da die Digammafunktion Ψ herangezogen wird. Deshalb bezeichnen wir hier die Funktion, die u ¨ ber das zweite Eulersche Integral definiert ist, mit Gamma“ und erhalten: ” > Gamma := unapply(g,x): Diff(value(Gamma(x)),x) = diff(Gamma(x),x);

d Γ (x) = dx

, 0

∞

e−t tx−1 ln(t) dt

9.1

Zur Γ-Funktion im Reellen

(MWS)

295

> restart: pr := (n!*n^x)/Product((x+nu),nu=1..n): Limit(pr,n=infinity): % = value(%); # alternativ: % = limit((n!*n^x)/product((x+nu),nu=1..n),n=infinity);

lim n n→∞ =

n! nx

n! nx Γ (x + 1) n→∞ Γ (x + n + 1)

= lim

(x + ν)

ν=1

Offenbar kennt Maple die erforderliche Formel nicht. Man kann das Wissen von Maple in folgender Weise erweitern: > ‘simplify/GAMMA_erw‘ := proc(f::dependent(x)) f := subs({limit(n!*n^x*GAMMA(x+1)/GAMMA(x+n+1),n=infinity) = GAMMA(x+1)},f) end proc:

Wir versuchen es jetzt noch einmal: > Limit(pr,n=infinity): % = simplify(value(%),GAMMA_erw);

lim n n→∞ =

n! nx

= Γ (x + 1)

(x + ν)

ν=1

Wir weisen darauf hin, dass ‘simplify/GAMMA_erw‘ nur eine eingeschr¨ ankte Flexibilit¨ at besitzt, da es nicht tolerant auf kleine Ver¨ anderungen in der Eingabe reagiert. > pr2 := x*exp(gamma*x)*Product((1+x/nu)*exp(-x/nu),nu=1..n): Limit(pr2,n=infinity): % = value(%);

lim x e

γx

n→∞

n  > ν=1

1+

x  −x/ν 1 = e ν Γ (x)

> restart: assume(u>0,v>0): Int((1-t)^(v-1)*t^(u-1), t=0..1): % = value(%);

,

1

(1 − t)v−1 tu−1 dt = B(u, v) 0

Maple kennt also auch (f¨ ur positive u, v) die u ¨ ber das 1. Eulersche Integral definierte Betafunktion. > assume(0
296

MWS zu Kapitel 9 Γ (β) Γ (1 − β) =

Die Γ-Funktion

π sin(π β)

Auch den Erg¨anzungssatz von Euler kennt Maple also (wenn man ihm mit der Option GAMMA“ im Befehl simplify etwas auf die Spr¨ unge hilft). ” > ’GAMMA’(1/2) = GAMMA(1/2);



√ 1 Γ = π 2

9.2 Die Gammafunktion im Komplexen

5

> restart: with(plots): complexplot3d(GAMMA(z),z=-4-3*I..2+3*I,view=0..6,grid=[50,50], style=patchcontour,orientation=[-135,45],axes=frame, tickmarks=[3,3,3]); # Auf manchen Rechnern ist es ratsam, "grid" zu reduzieren!

Im Komplexen sieht |Γ | so aus:

6 4 2 2

0 0

2 0 y

–2 –4

–2

x

Auf R \ −N0 erh¨ alt man den folgenden Graphen: > plot(GAMMA(x),x=-5..5,-10..10,color=black,discont=true, tickmarks=[4,4],thickness=2);

9.2

Die Gammafunktion im Komplexen

(MWS)

297

Die Residuen der Gammafunktion kann man mit Maple wie folgt berechnen: > seq(residue(GAMMA(x),x=-n), n=0..6);

1 , −1 ,

1 1 1 1 1 ,− , ,− , 2 6 24 120 720

> pr := z*Product(1 - (z/(Pi*nu))^2,nu=1..n): Limit(pr,n=infinity): % = simplify(value(%),GAMMA);

lim z

n→∞

n > z2 1 − 2 2 = sin(z) π ν ν=1

Auch die Produktdarstellung des Sinus kann man also Maple abgewinnen. Jetzt versuchen wir noch das Wallis-Produkt: > w := Product(4*nu^2/((2*nu-1)*(2*nu+1)),nu=1..n): Limit(w,n=infinity): % = value(%); n >

4 ν2 1 = π n→∞ (2 ν − 1) (2 ν + 1) 2 ν=1 lim

Abschließend sehen wir uns noch die Partialbruchdarstellung des Cotangens an: > restart: S := 1/z + Sum(2*z/(z^2 - (Pi*nu)^2),nu=1..n): Limit(S,n=infinity): % = value(%);

?

lim

n→∞

1  2z + 2 z ν=1 z − π 2 ν 2 n

@

= cot(z)

298

MWS zu Kapitel 9

Die Γ-Funktion

9.3 Stirling-Formel Maple kennt auch die Stirling-Formel: > restart: stirling := n -> n!/((n/exp(1))^n*sqrt(2*Pi*n)): Limit(stirling(n),n=infinity): % = value(%);

√ 1 n! 2 √ = 1 lim n→∞ 2 ( n )n π n e Das kann Maple durchaus genauer beschreiben: > stirling(n) = asympt(stirling(n),n,3);

√

1 1 1 n! 2 1 √ = 1 + + + O 2 ( ne )n π n 12 n 288 n2 n3 ¨ Der Ausdruck 1/(12 n) ist uns ja schon aus den Uberlegungen des Textes 2 vertraut! Den n¨ achsten Term 1/(288 n ) kann man mit ¨ahnlicher — jedoch wesentlich aufwendigerer — Rechnung wie im Text gewinnen.

10 Anhang zu Maple 10.1 Ein erster Einstieg in Maple Maple ist eines der ausgereiftesten Computeralgebra-Systeme und ein in vielfacher Hinsicht m¨ achtiges Werkzeug f¨ ur Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwesen. Seine St¨ arke liegt u. a. in der F¨ahigkeit, symbolisch rechnen zu k¨ onnen. Man kann nat¨ urlich mit Maple auch ganz normale numerische Berechnungen durchf¨ uhren und dabei noch die Anzahl der zu ber¨ ucksichtigenden Stellen w¨ ahlen. Aber im Gegensatz zum numerischen Rechnen, wo die Resultate meist durch Rundungsfehler verf¨alscht werden, hat man beim symbolischen Rechnen keinerlei Informationsverlust. Zudem wird dem Benutzer viel l¨ astige und fehleranf¨ allige Rechenarbeit abgenommen. Eine weitere wesentliche St¨ arke von Maple ist die Visualisierungsm¨oglichkeit von Funktionen und anderer geometrischer Objekte. Besonders eindrucksvoll kann man durch Animationen den dynamischen Charakter vieler Sachverhalte herausarbeiten. Dies macht Maple interessant als Motivationsvehikel f¨ ur den Einsatz in der Lehre, wenn es darum geht, abstrakte Sachverhalte im wahrsten Sinne geometrisch begreifbar zu machen. Maple ist im Prinzip eine gew¨ ohnliche Programmiersprache, die allerdings meist interaktiv eingesetzt wird. Der Wortschatz dieser Sprache ist zudem sehr umfangreich und orientiert sich an mathematischen Inhalten. Ihr Erlernen erfolgt idealerweise (in Ans¨ atzen) schon in der Schule, einfach aber auch noch in den Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra, indem man parallel zu deren Fortschreiten immer wieder neue Vokabeln einf¨ uhrt und deren Handhabung am aktuellen Stoff ein¨ ubt. Auf diese Weise steigt der Schwierigkeitsgrad unmerklich an. Unser Buch wendet sich keineswegs nur an Leser, die bereits u ¨ber MapleGrundkenntnisse verf¨ ugen. Jedoch erwarten wir eine gewisse Bereitschaft und das Interesse, sich auf das Wechselspiel zwischen dem theoretischen und dem MWS-Teil der jeweiligen Kapitel einzulassen. Dabei kann man auf vielf¨altige Weise weitere Hilfestellung erhalten. Sehr gute Maple-B¨ ucher sind z. B. [Heck], [Kof] und [Walz], die leider auf ¨ alteren Maple-Versionen basieren. Als aktuelle Maple-Einf¨ uhrung empfehlen wir das k¨ urzlich in Neuauflage erschienene Buch [Br/Me]. Besonders empfehlenswert ist die Internet-Seite von upunkte Support und ResMaplesoft http://www.maplesoft.com. Die Men¨ sourcen oder die Suche nach Stichworten wie Tutorials und Manuals zeigen exemplarisch, wie man Zugang zu vielen n¨ utzlichen Informationen erhalten kann.

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

300

10 Anhang zu Maple

Die Hilfe-Funktion Das Arbeiten mit Maple wird durch die Hilfe-Funktion optimal unterst¨ utzt. uleiste an. Quick Reference im UnDazu klickt man etwa Help in der Men¨ termen¨ u informiert u oglichkeit, die Benutzeroberfl¨ache von Maple ¨ ber die M¨ im Document-Mode oder Worksheet-Mode zu betreiben. Wir legen großen Wert darauf, unterschiedliche Textbereiche wie z. B. Maple-Eingabe, MapleAusgabe sowie erl¨auternden Text klar zu strukturieren und voneinander abzuheben. Deshalb bevorzugen wir in unserem Buch den befehlsorientierten ¨ Worksheet-Mode. Will man sich erst einmal einen groben Uberblick verschaffen u upunkt ¨ber das, was Maple alles bietet, empfiehlt sich der Men¨ Take a Tour of Maple . Man hat dann die Wahl zwischen Ten Minute Tour ¨ und Maple Portal . Die Ten Minute Tour vermittelt einen kurzen Uberblick und grundlegende Informationen f¨ ur das Arbeiten mit Maple. Umfangreichere Informationen u ¨ ber Maple-Konzepte liefert das Maple Portal. Informationen f¨ ur spezielle Nutzergruppen findet man in den Unterportalen Engineers, Students und Math Educators. Erste (interaktive) Schritte mit Maple kann man z. B. auch mit Hilfe eines der oben genannten B¨ ucher machen. Wir weisen zudem noch auf die im Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrten weiteren B¨ ucher zu Maple hin. Kurzinformationen u ¨ ber die Syntax von Maple-Befehlen erh¨alt man (etwa f¨ ur plot) leicht auf folgende Weise: > ?plot

F¨ ur das praktische Arbeiten ist es oft sehr hilfreich, die Beispiele der HilfeSeite ins Worksheet zu kopieren und sie auszuf¨ uhren bzw. auf die eigenen Bed¨ urfnisse anzupassen. Eine weitere Hilfem¨oglichkeit bietet der Helpoffnet sich ein Men¨ u mit zahlreichen Browser. Klickt man auf Help , so ¨ wichtigen Men¨ upunkten, von denen z. B. Maple Help auf Topic Search und Text Search f¨ uhrt. Bei der Eingabe von topic wirkt Topic Search wie ?topic . Mit Hilfe von Text Search kann man nach Stichw¨ortern in den Hilfe-Seiten suchen. Elementare Rechnungen Dieser Abschnitt will und kann keine Maple-Einf¨ uhrung ersetzen. Wir empfehlen deshalb, zus¨ atzlich Maple-Help aufzurufen. Dadurch wird ein Fenster ge¨ offnet, auf dessen linker Seite eine Liste von Verzeichnissen zu sehen ist. Anklicken von Getting Started sowie des Unterverzeichnisses Tutorials f¨ uhrt auf Tutorien, die je nach Bedarf n¨ aher angeschaut werden sollten. Annahmen ¨ uber Variable > restart: sqrt(a^2); # Quadratwurzel

10.1

Ein erster Einstieg in Maple

301 √ a2

Ohne weitere Annahmen u ¨ ber a kann Maple offensichtlich diesen Ausdruck nicht vereinfachen. > assume(a,real): simplify(sqrt(a^2));

|a˜| Mit dem Befehl assume machen wir Annahmen u ¨ ber a. Normalerweise h¨ angt Maple dann eine Tilde an den Variablennamen an. Mit additionally kann man weitere Annahmen hinzuf¨ ugen und mit about kann man erfahren, welche Annahmen u ¨ber eine Unbekannte gemacht worden sind. > assume(a>0): about(a); sqrt(a^2); Originally a, renamed a~: is assumed to be: RealRange(Open(0),infinity)

a˜ > assume(a,real): sqrt(a^2); simplify(%,symbolic);

 a˜2 ,

a˜

Vorsicht: Die Option symbolic bewirkt offenbar Vereinfachungen, bei denen a als nicht-negativ betrachtet wird. Eigentlich m¨ usste sich |a˜| ergeben. Alternativ ist der nachgestellte Befehl assuming empfehlenswert, wenn assume nur lokal wirken soll: > restart: simplify(sqrt(a^2)) assuming a::real;

|a| Einige wichtige reelle Zahlen Maple kennt sowohl Pi als auch pi : π,

> Pi; pi;

π

Es kennt aber nur f¨ ur Pi einen Zahlenwert: > evalf(Pi,9); evalf(pi,9); # evaluate using floating point arithmetic

3.14159265 ,

π

Die Eulersche Zahl e: > evalf(exp(1),40); evalf(e,40);

2.718281828459045235360287471352662497757 ,

e

Nach der folgenden Anweisung kennt Maple auch die u ¨bliche Schreibweise: > alias(e=exp(1)): evalf(e,40);

2.718281828459045235360287471352662497757

302

10 Anhang zu Maple

eval, evalb, evalc eval und subs liefern (fast) immer dasselbe Resultat: > restart: eval(z^2+1,z=2), subs(z=2,z^2+1);

5, 5 > eval(sin(z)/cos(z),z=0), subs(z=0,sin(z)/cos(z));

0,

sin(0) cos(0)

Vollst¨ andige Auswertung: > restart: a := b: b := c: c := d: eval(a);

d Auswertungen unterschiedlicher Tiefe: > eval(a,1), eval(a,2), eval(a,3), eval(a,4);

b, c, d, d Auswertung logischer Ausdr¨ ucke: > expr := x*(x-1) = x^2-x; expand(expr);

expr := x (x − 1) = x2 − x ,

x2 − x = x2 − x

Der Variablen expr wird also der logische Ausdruck x*(x-1)=x^2-x als Wert zugewiesen. > evalb(expr), evalb(expand(expr));

false , true evalb liefert offensichtlich unterschiedliche Ergebnisse, da es Ausdr¨ ucke nicht vereinfachen kann. Vergleichen wir dies mit is : true

> is(expr);

Und noch ein Vergleich von evalb und is: > evalb(Pi>3), evalb(evalf(Pi)>3), is(Pi>3);

3 < π , true , true Wir wenden deshalb bevorzugt den Maple-Befehl is an. Auswertung von Ausdr¨ ucken mit komplexen Zahlen: > abs(x+I*y), evalc(abs(x+I*y)); subs(z=x+I*y,exp(z)): % = evalc(%);

|x + I y| ,

 x2 + y 2 ,

ex+I y = ex cos(y) + I ex sin(y)

evalc interpretiert offensichtlich ungebundene Variable als reelle Gr¨oßen.

10.1

Ein erster Einstieg in Maple

303

Anf¨ uhrungszeichen Maple kennt drei verschiedene Arten von Anf¨ uhrungszeichen: linksgerichtete (bei Windows auch gerade“ genannt) oder Apostroph,∗ rechtsgerichte” te (Gravis, accent grave)∗∗ und Doppelanf¨ uhrungszeichen. uhrungszeichen Linksgerichtete Anf¨ > restart: x := 2: y := ’x’; y;

y := x ,

2

Linksgerichtete Anf¨ uhrungszeichen — eigentlich  , im Ausdruck meist ’ — bewirken eine verz¨ogerte Auswertung: Durch die Wertzuweisung y := x erh¨ alt y zun¨ achst den Namen von x zugewiesen, erst im n¨achsten Schritt den tats¨ achlichen Wert von x. Man kann dies dazu nutzen, die Variable x wieder zu einer ungebundenen Variablen zu machen, aber auch um die Lesbarkeit von Ausgaben zu erh¨ ohen: > x := ’x’; x;

x := x ,

x

> ’sin’(0)=sin(0);

sin(0) = 0

Verz¨ ogerte Auswertung einer Variablen ist z. B. dann notwendig, wenn sie als Ausgabeparameter in einer Prozedur verwendet wird. Beim Programmaufruf muss der Name des Parameters (und nicht, wie sonst u ¨ blich, sein aktueller Wert) u ¨bergeben werden (call by name an Stelle von call by value): > a := 25: b := 7: r := 1: q := iquo(a,b,’r’); r; b*q+r;

q := 3 ,

4,

25

Die Variable r liefert den Rest bei ganzzahliger Division. Da ihr vor Aufruf von iquo bereits ein Wert zugewiesen wurde, muss man r schreiben und erh¨ alt den Ausgabewert r = 4 . Rechtsgerichtete Anf¨ uhrungszeichen — eigentlich ` , im Ausdruck meist ‘ — dienen zur Kennzeichnung von Symbolen, also von Bezeichnern f¨ ur Variable. Ihre Verwendung ist dann notwendig, wenn ein Variablenname unzul¨ assige Zeichen enth¨ alt, z. B. die Variable r (vgl. Seite 262). > restart: ‘r’‘, type(‘r’‘,symbol); ‘r’‘ := "r’"; type(%,string); r := ’‘r’‘’; r; ∗ ∗∗

Den Apostroph findet man auf einer deutschen Tastatur auf derselben Taste wie #. Auf manchen Tastaturen liefert der Akut (accent aigu) das gleiche Ergebnis. Auf einer deutschen Tastatur erh¨ alt man dieses Zeichen, indem man mit der Umschalttaste (Shift) die Taste accent grave“ rechts neben dem ß“ dr¨ uckt. ” ”

304

10 Anhang zu Maple r  , true ,

r  := “r ” ,

true ,

r := r  ,

“r ”

Wir haben hier zugleich die Doppelanf¨ uhrungszeichen ins Spiel gebracht, mit denen Strings gekennzeichnet werden. Man ahnt, dass man durch virtuosen ¨ Einsatz von Anf¨ uhrungszeichen jeden Uberblick verhindern kann. Abk¨ urzungen mit macro und alias urzung von Funktions- und Der macro -Befehl dient bei der Eingabe zur Abk¨ Kommandonamen sowie zur Definition von Konstanten. Mit Hilfe von alias kann man Ausdr¨ ucke bei der Ein- und Ausgabe vereinfachen. > restart: macro(J=BesselJ): Diff(J(0,x),x): % = value(%);

d BesselJ(0, x) = −BesselJ(1, x) dx > restart: alias(J=BesselJ): Diff(J(0,x),x): % = value(%);

d J(0, x) = −J(1, x) dx > restart: macro(s=1.2345): s;

1.2345 >

s := 3;

Error, invalid left hand side of assignment

Durch den macro-Befehl ist s eine gesch¨ utzte Variable geworden. Machen wir √ nun ganz naiv‘ den Versuch, s mit dem Wert 2 zu definieren: ’ > restart: macro(s=sqrt(2)): s, s^2;

√ 2, 2 > s := 3; s;

√ 2 := 3 ,

3

Wir erhalten ein erstaunliches‘ Resultat! So ist es offenbar richtig: ’ > restart: macro(s=eval(sqrt(2))): s, s^2;

√ 2, 2 > s := 3; Error, invalid left hand side in assignment

10.1

Ein erster Einstieg in Maple

305

Schleifen, bedingte Anweisungen, Prozeduren Zu Beginn eine Schleife mit Inkrement 2, welche alle ungeraden Zahlen kleiner 20 aufaddiert: > restart: s := 0: for k from 1 to 20 by 2 do s := s+k end do: s;

100 Die Verwendung von bedingten Anweisungen demonstrieren wir im Zusammenhang mit der Definition der Prozedur Fib, welche die durch f0 = 0, f1 = 1, fn = fn−1 + fn−2 rekursiv definierte Folge von Fibonacci-Zahlen liefert:

5

> Fib := proc(n) if n=0 then 0 elif n=1 then 1 else Fib(n-1)+Fib(n-2) end if end proc: seq(Fib(n),n=0..10);

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 Auf Feinheiten, z. B. sich durch die Verwendung von option remember alte Zwischenergebnisse in einer Erinnerungstabelle zu merken und dadurch Rechenzeit zu sparen, haben wir hier bewusst verzichtet.

Das Arbeiten mit den Worksheets zu diesem Buch Beim ersten Durcharbeiten kann man die Worksheets einfach fast wie einen ’ Film‘ ablaufen lassen. Gr¨ oßeren Gewinn hat man nat¨ urlich durch aktives Mittun. Im Normalfall empfiehlt es sich, die Worksheets Schritt f¨ ur Schritt auszuf¨ uhren und — eventuell mit Unterst¨ utzung der Hilfe-Funktion — nachzuvollziehen. Schwierigkeiten bereiten eventuell Prozeduren. Hier ist es h¨aufig zweckm¨ aßig, gezielt Print-Anweisungen einzubauen, um anhand der Zwischenresultate zu verfolgen, was im einzelnen darin abl¨auft. Bei dem bisweilen sehr umfangreichen Maple-Code zur Erstellung von Graphiken raten wir da¨ zu, durch Auskommentieren, Andern der Strichst¨arken und Farben Teile zu lokalisieren.

306

10 Anhang zu Maple

Stolperfallen und wie man sie meidet • restart nicht vergessen; denn Variablen, die irgendwann vorher mit Werten belegt worden sind, k¨ onnen zu falschen Ergebnissen f¨ uhren. • z. B. den Multiplikationsoperator * vergessen • Vergleichsoperator = und Wertzuweisungszeichen := verwechseln • zu viele, zu wenige oder falsche Klammern • falsche Anf¨ uhrungszeichen (z. B. ` ` und

 

verwechseln)

• bei Bereichen: eventuell ... statt .. • pi und Pi verwechseln • i nicht als Laufvariable benutzen, falls i als imagin¨are Einheit vereinbart ist (siehe Abschnitt 10.2). • Eventuelle Probleme durch Verwendung der dito-Operatoren % , %% bzw. %%% , wenn die Anweisungen eines Worksheets nicht der Reihe nach ausgef¨ uhrt werden. Diese Probleme lassen sich vermeiden, wenn man derartige R¨ uckverweise nur innerhalb einer Anweisungsgruppe verwendet und andernfalls Wertzuweisungen an Hilfsvariable vornimmt, auf die man sich dann bezieht.

10.2 Der Befehl interface Mit dem Befehl interface kann man eine Reihe von Voreinstellungen, welche die Kommunikation zwischen Maple und der Benutzeroberfl¨ache regeln, den eigenen Bed¨ urfnissen anpassen. Durch restart werden alle vorgenomme¨ nen Anderungen zur¨ uckgesetzt. Von den zahlreichen Optionen dieses Befehls interessieren uns hier nur die folgenden drei: Standardm¨ aßig ist I bei Maple die imagin¨ are Einheit. Wie folgt kann man diese mittels der Option imaginaryunit etwa zu J ab¨andern: > restart: I^2; interface(imaginaryunit=J): I^2; J^2;

−1 ,

I2 ,

−1

Variablen, u ¨ber die mittels assume eine Annahme gemacht worden ist, werden in der Regel durch Anh¨ angen einer Tilde gekennzeichnet: > assume(x>0): x+1;

10.3

Die Initialisierungsdatei

307 x˜ + 1

Dies kann man auf folgende Weise unterbinden: > interface(showassumed=0): assume(x>0): x+1;

x+1

Will man den Maple-Code einer Bibliotheksroutine, etwa von nextprime, ansehen, ergibt der erste Versuch: > print(‘nextprime‘);

proc(n) ... end proc

Der eigentlich interessierende Rumpf der Prozedur wird also nicht angezeigt. Dies erreicht man wie folgt: > interface(verboseproc=2): print(‘nextprime‘);

proc(n) option ‘Copyright (c) 1990 by the University of Waterloo. All rights reserved.‘ ; local i, t1 ; if type(n, integer ) then if n < 2 then 2 else if irem(n, 2) = 0 then t1 := n + 1 else t1 := n + 2 end if ; for i from t1 by 2 while not isprime(i) do end do ; i end if elif type(n, numeric) then error “argument must be integer” else ’nextprime(n)’ end if end proc

10.3 Die Initialisierungsdatei H¨ aufig benutzte Maple-Befehle und Voreinstellungen kann man in die Initialisierungsdatei von Maple auslagern. Unter Windows heißt diese maple.ini und ist etwa in einem Verzeichnis mit Namen C:\Programme\Maple 15\Users gespeichert; unter Unix/Linux befindet sie sich im Home-Verzeichnis und wird mit .mapleinit (mit einem Punkt am Anfang) bezeichnet. Beim Start von Maple (und nach jedem Restart) werden die Anweisungen dieser ASCIITextdatei ausgef¨ uhrt. Bei der Erstellung dieses Buches wollten wir die von uns in Kapitel 1 des ¨ ofteren vorgenommene Um- und Neudefinition der imagin¨ aren Einheit mittels

308

10 Anhang zu Maple

interface(imaginaryunit=i): macro(I=i):

nach jedem Restart automatisch ausf¨ uhren lassen. Ferner wollten wir mittels interface(showassumed=0):

die Maple-Eigenheit unterdr¨ ucken, Variablen, u ¨ ber die mittels assume Annahmen gemacht werden, eine Tilde anzuh¨ angen und dadurch den MapleOutput manchmal schwerer lesbar zu machen. Das Zip-Archiv der Maple-Worksheets, das u ¨ ber die Springer-Seite dieses Buches (siehe Abschnitt 10.5) heruntergeladen werden kann, enth¨alt die von uns (ab Kapitel 2) verwendete Version von .mapleinit :

5

interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): # Um- und Neudefinition von I interface(showassumed=0): # Unterdrueckt Tilde nach assume plots[setoptions](axesfont=[TIMES,ITALIC,12], labelfont=[TIMES,ITALIC,14],font=[TIMES,ITALIC,14]): plots[setoptions3d](axesfont=[TIMES,ITALIC,12], labelfont=[TIMES,ITALIC,14],font=[TIMES,ITALIC,14]): macro(red=COLOR(RGB,184/256, 20/256, 11/256)):

10.4 Der Befehl transform Ein Blick hinter die Kulissen Der transform -Befehl aus dem Plottools-Paket hat sich f¨ ur unser Buch als vielseitig einsetzbarer Maple-Befehl erwiesen, dessen Leistungsf¨ahigkeit in der Maple-Literatur meist nicht gen¨ ugend erkannt wird. Seine Wirkungsweise wollen wir an einem einfachen Beispiel erl¨ autern. Die Funktion f (s. u.) wird durch F := transform(f ) zu einer Graphiktransformation, die hier 2D- in 3D-Graphikstrukturen wandelt. Wir wollen uns genauer anschauen, wie dies geschieht:

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): Digits := 4: f := (x,y) -> [2*x,2*y,x^2+y^2-1]/(1+x^2+y^2): # stereographische Projektion F := transform(f): # Graphiktransformation zu f Punkt := disk([1,2],0.2,color=black,numpoints=20,style=patchnogrid): # Punkt z=1+2i Kugel := plot3d(1,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical, shading=zgrayscale): display(Punkt,axes=framed,scaling=constrained,view=[0..2,1..3], tickmarks=[2,2],title="Graphikstruktur Punkt"); display(F(Punkt),Kugel,axes=framed,scaling=constrained,orientation =[60,60],tickmarks=[3,3,3],title="Graphikstruktur F(Punkt)");

10.4

Der Befehl transform

309

Graphikstruktur Punkt

Graphikstruktur F (Punkt) 1

0

–1 –1 –1

0 0 1 1

Dazu f¨ uhren wir schrittweise eine Reihe von Maple-Anweisungen durch, deren meist umfangreiche Ausgaben hier im Buch unterdr¨ uckt werden. Als erstes schauen wir uns die Graphikstruktur Punkt genauer an und erhalten durch > Punkt; POLYGONS([[1.2, 2.], [1.190, 2.062], [1.162, 2.118], [1.118, 2.162], [1.062, 2.190], [1.000, 2.200], [0.9382, 2.190], [0.8823, 2.162], [0.8381, 2.117], [0.8098, 2.062], [0.8000, 2.000], [0.8098, 1.938], [0.8382, 1.882], [0.8824, 1.838], [0.9383, 1.810], [1.000, 1.800], [1.062, 1.810], [1.117, 1.838], [1.162, 1.882], [1.190, 1.938], [1.200, 2.000]], COLOUR(RGB, 0., 0., 0.), STYLE(PATCHNOGRID))

Maple’s interne Darstellung. Es handelt sich offensichtlich um eine Folge von drei Operanden. Mit dem Befehl op(1,Punkt) greifen wir auf den ersten Operanden zu: > op(1,Punkt):

Dies ist eine Liste von 2D-Punkten, die mittels der stereographischen Projektion in 3D-Punkte transformiert werden sollen. Unter Zuhilfenahme von map geht dies sehr einfach. Versucht man es im ersten Anlauf mit > Punkt_3D := map(f,op(1,Punkt)); Error, invalid input: f uses a 2nd argument, y, which is missing

so erh¨ alt man eine Fehlermeldung, denn hier wird f auf Punkte der Form [x, y] angewendet. Durch f ([x, y]) wird f n¨ amlich f¨alschlich nur auf ein Argument angewendet; korrekt w¨ are vielmehr der Aufruf f (x, y). Das Problem l¨ asst sich mit folgendem Maple-Befehl l¨ osen: > op([x,y]);

x, y

Offensichtlich ist also f (x, y) = f (op([x, y])). Den Ausdruck auf der rechten Seite kann man mit dem Verkn¨ upfungsoperator @ auch in der Form (f @op)([x, y]) schreiben. Im zweiten Anlauf sind wir erfolgreicher:

310

10 Anhang zu Maple

> Punkt_3D := map(f@op,op(1,Punkt)):

Wir substituieren in Punkt den ersten Operanden durch die Liste Punkt 3D und erhalten so eine 3D-Graphikstruktur: > f_Punkt := subs(op(1,Punkt)=Punkt_3D,Punkt):

Mittels > display(f_Punkt,Kugel,axes=framed,scaling=constrained, orientation=[60,60],tickmarks=[3,3,3]):

u ¨ berzeugen wir uns schließlich, dass f Punkt dieselbe Graphik liefert wie F (Punkt). Durch unsere Konstruktion von f Punkt haben wir also die Wirkungsweise der Graphiktransformation F nachvollzogen. Einbettung einer 2D- in eine 3D-Graphik Will man eine 2D- und eine 3D-Graphikstruktur als Array in einer Zeile nebeneinander ausgeben, so muss man zun¨ achst daf¨ ur sorgen, dass beide Graphikstrukturen hinsichtlich der Dimension vom gleichen Typ sind. Dies kann man z. B. mittels transform durch Einbettung in eine Ebene des dreidimensionalen Raumes erreichen:

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): f := transform((x,y) -> [2*x,2*y,x^2+y^2-1]/(1+x^2+y^2)): g := transform((x,y) -> [x,y,0]): # Einbettung in ¨ Aquatorebene h := z -> z^3: r := -1.5-1.8*I..1.5+1.8*I: p := conformal(h,r,grid=[30,30],numxy=[150,150],color=[black,red]): Kugel := plot3d(0.99,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical, shading=zgrayscale,style=patchnogrid,scaling=constrained): display(Array([display(g(p),orientation=[90,0]), display(Kugel,f(p))]));

10.5

Eigene Pakete‘ als Textdateien definieren ’

311

Dieses Bild diente als Vorlage f¨ ur die Graphik auf der Titelseite dieses Buches. Die Berechnung dieser Graphik kann sehr lange dauern.

10.5 Eigene Pakete‘ als Textdateien definieren ’ Das mitgelieferte Paket verdi enth¨ alt ver schiedene Di enstleistungsprogramme, die im Buch h¨ aufig benutzt werden und daher recht hilfreich sind. Die Erstellung eigener Pakete erfordert Detailkenntnisse, womit wir den Leser dieses Buches — insbesondere den Gelegenheitsbenutzer von Maple — nicht belasten wollen. Deshalb werden unsere Pakete cauchy, hurwitz und verdi wegen ihres geringen Umfanges mittels save als Textdateien (mit Endung .txt) abgespeichert. Wir demonstrieren dieses Vorgehen am Beispiel von verdi und beginnen mit der Definition der Prozeduren c2p, p2c und pfeil dieses Paketes. p2c und c2p (p air to c omplex bzw. c omplex to p air) sind Maple-Realisierungen der linearen isometrischen Abbildungen ϕ bzw. ϕ−1 (vgl. Kapitel 3, Seite 74 f): > restart: c2p := proc(z) [evalc(Re(z)),evalc(Im(z))] end proc: p2c := proc(z) z[1]+I*z[2] end proc:

Der Durchlaufungssinn von Kurven l¨ asst sich mit Hilfe der Prozedur pfeil sehr leicht markieren und verdeutlichen:

5

10

> pfeil := proc(Arg,tau,delta,Farbe) local t,u,v,w1,w2,g,eps,h,Dg; eps := 10^(-Digits): if type(Arg,procedure) then g := Arg else g := unapply((1-t)*Arg[1]+t*Arg[2],t) end if: u := evalf(g(tau)): h := evalf(sqrt(eps)*max(1,abs(tau))): Dg:= evalf((g(tau+h)-g(tau))/h): v := evalf(g(tau+delta/abs(Dg))); w1:= evalf(u+I*0.3*(v-u)): w2 := evalf(u-I*0.3*(v-u)): plottools[polygon]([c2p(v),c2p(w1),c2p(w2)],color=Farbe, style=patchnogrid) end proc:

Das Argument Arg bedeutet entweder eine Prozedur ( Parameterdarstellung einer Kurve) oder ein Paar [a, b] komplexer Zahlen ( Strecke). Als Parameterdarstellung der Verbindungsstrecke verwenden wir g := t −→ a + t(b − a) (t ∈ [0, 1]). Die Prozedur pfeil erzeugt zu Kurvenpunkten u, v einen Pfeil,der nur aus seiner Spitze besteht und von u := g(τ ) nach  v := g τ + |g δ(τ )| weist. Die Ableitung g  (τ ) wird mittels numerischer Differentiation berechnet, um z. B. bei st¨ uckweise definierten Funktionen (mittels piecewise) Probleme zu vermeiden. Die folgende Skizze macht die geometrischen Verh¨ altnisse klar:

312

10 Anhang zu Maple

w2 B/2 u

L

v

w1 Offenbar gilt L = |v − u| und tan(α) = 2BL ; mithin ist B = 2 tan(α)|v − u|. Im Maple-Code von pfeil haben wir tan(α) = 0.3 gew¨ahlt. Man beachte, dass der Parameter δ in etwa die Pfeilgr¨ oße beschreibt; denn |v − u| ist approximativ gleich |g  (τ )| |g δ(τ )| = δ . Das gesamte Paket kann folgendermaßen im ASCII-Format als Textdatei (eine Ebene oberhalb des aktuellen Verzeichnisses) gespeichert werden: > save c2p,p2c,pfeil, "../verdi.txt":

Auch nach einem Neu- bzw. Restart von Maple lassen sich die Prozeduren ufen dies an c2p : dieses Paketes mittels read wieder bereitstellen. Wir u ¨ berpr¨ > restart: read "../verdi.txt": c2p(2+3*I);

[2, 3] Beendet man obigen read-Befehl mit Semikolon statt Doppelpunkt, so erscheint zus¨ atzlich der Maple-Code der Prozeduren dieses Paketes. Die von uns gew¨ahlte Vorgehensweise ist auch f¨ ur unsere Pakete cauchy und hurwitz einfach zu handhaben, die Teil der Netzversion der Worksheets sind. Da unsere Pakete geringen Umfang haben, st¨ ort es nicht, dass sie innerhalb eines Worksheets erstellt werden.

Zur Handhabung und zum Herunterladen unserer Worksheets Alle in diesem Buch beschriebenen Maple-Worksheets und Dateien werden in Form eines Zip-Archivs zum Herunterladen bereitgestellt. Dem Leser soll so l¨ astige und fehleranf¨ allige Tipp-Arbeit abgenommen werden. Man gelangt an dieses Archiv u ¨ ber folgende Internet-Seite des Springer-Verlags

10.5

Eigene Pakete‘ als Textdateien definieren ’

313

http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-642-29411-2

durch Anklicken der Schalt߬ ache Maple Codes . Nach dem Entpacken des Archivs wird die Verzeichnisstruktur entsprechend der von uns verwendeten Arbeitsumgebung wiederhergestellt: KAP1

KAP2

1_1.mw 1_2.mw 1_3.mw 1_4.mw 1_5.mw 1_6.mw 2_1.mw 2_2.mw 2_3.mw 2_4.mw

KAP3

3_1.mw 3_2.mw 3_3.mw 3_4.mw

KAP4

4_1.mw 4_2.mw 4_3.mw

KAP5

5_1.mw 5_2.mw 5_4.mw

KAP6

6_1.mw 6_2.mw

KAP7

7_1.mw 7_2.mw 7_3.mw 7_4.mw

KAP8

8_1.mw 8_2.mw 8_3.mw

KAP9

9_1.mw 9_2.mw 9_3.mw

KAP10

maple_anh.mw verdi.mw cauchy.mw hurwitz.mw mapleinit

verdi.txt cauchy.txt hurwitz.txt

Wir hoffen, so dem Leser den Einstieg in die Nutzung der Worksheets zu erleichtern. Dem erfahrenen Maple-Anwender bleibt es unbenommen, die Arbeitsumgebung seinen Pr¨ aferenzen anzupassen.

Symbolverzeichnis Komplexe Zahlen

M˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 5, 6

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13, 235

∂M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Funktionen

E (Einheitskreis) . . . . . . . . . . . . . . .243

(f, G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

S (Einheitssphäre) . . . . . . . . . . . . . . 12

f  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

GE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

arccos, arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

UH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

arcosh, arsinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

i, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 4, 15

arctan . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 100, 267

∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

artanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

z ................................7

arg, Arg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

|z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

cos, sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

cosh, sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 81

Topologische Begriffe

log, Log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Uaε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

tan, tanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Ka (r, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

B (Betafunktion) . . . . . . . . . . . . . . .284

Ua , U0a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

HW ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

◦

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 287

! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 M

√ n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

316

Symbolverzeichnis

Kurven, Kurvenintegrale

.∞

P

−∞

f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

C, -C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Möbius-Transformation

(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

M (Möbius-Transformation) . . . 236

a(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

C2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

e(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

λ(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

I, I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

[v1 , . . . , vn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

nC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

DV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

0C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Sonstiges

(−n)C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

R[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

K, -K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

C (Euler-Konstante) . . . . . . . . . . 284

(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

∞ 

u(C, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

n=−∞ ∞ 

u(K, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 K

G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

G

K (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 KG cl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 Z (Zerlegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 S(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 σ(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . f (z) dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 C . f (z) dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

K

cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 an (z − a)n . . . . . . . . . . . . . . 182

n=−∞

Res (f ; a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 vf (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 p∗n (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV √

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XV

.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XV r.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XV

Namen- und Sachverzeichnis

A Abbildung, konforme . . . . . 76, 89, 235 abgeschlossene Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 an einer Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ableitungen Abschätzung für die . . . . . . . . . . . . 136 Integralformel für die . . . . . . . . . . . 136 Abschätzung für Ableitungen (Cauchy) . . . . . 136 absolut konvergente Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Äquipotentiallinien . . . . . . . . . . . . . . . 249 Anfangspunkt einer Kurve . . . . . . . 102 Argument einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . 9 Hauptwert des -s . . . . . . . . . . . . . . . 9 Argumentprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B Berührungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Betafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 bi-konform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Bohr-Mollerup, Satz von . . . . . . 282 Bolzano-Weierstrass, Satz von 40

C Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Casorati-Weierstrass, Satz von 188 Cauchy-RiemannDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . 75

Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Koeffizientenabschätzung . . . . . . . 137 Cauchyscher Integralsatz 1. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Color-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 161, 162 Cosinus hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . 81 Cotangens Partialbruchdarstellung . . . . . . . . 290 CR-DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

D Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Differentialgleichungen Cauchy-Riemann- . . . . . . . . . . . . . 75 Differentiation unterm Integral . . . . . . . . . . . 136, 141 von Umkehrfunktionen . . . . . . 76, 87 Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . 71 differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 gliedweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 in einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 reell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 stückweise stetig . . . . . . . . . . . . . . . 102 Dirichlet-Problem . . . . . . . . . 252, 254 diskrete Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Doppelverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Drehstreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 7

E Ebene, geschlitzte . . . . . . . . . . . . 78, 247 Ein-Punkt-Kompaktifizierung . . . . . 13 einfacher Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

318 einfach-zusammenhängend . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 248, 255 Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Einheitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Einselement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Elementarabbildungen . . . . . . . . . . . 236 endliche Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Endpunkt einer Kurve . . . . . . . . . . . 102 ε-Umgebung eines Punktes . . . . . . . . 39 Ergänzungssatz von Euler . . . . . . 285 erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1. Eulersches Integral . . . . . . . . . . . 284 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ergänzungssatz von . . . . . . . . . . . . 285 -Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Eulersches Integral 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . 8, 77

F Feinheitsmaß einer Zerlegung . . . . . 103 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 238 Folge Grenzwert einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Konvergenz einer . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Limes einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Folgenkompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Formel Euler- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6-Punkte- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 von de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . 106, 137, 138, 200 Funktion Γ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 ganz lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 ganze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 harmonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Funktionen, trigonometrische . . . . . . . 9 Funktionalgleichung

Namen- und Sachverzeichnis der Γ -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .281

G Γ -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . 281, 287 Funktionalgleichung . . . . . . . . . . . . 281 Gaußsche Produktformel . . . . . . 284 Produktdarstellung . . . . . . . . . . . . . 284 ganz lineare Funktion . . . . . . . . . . . . 237 ganze Möbius-Transformation . . . 241 ganze Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gaußsche Produktformel der Gammafunktion . . . . . . . . . . . . 284 Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 einfach-zusammenhängendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 248, 255 konvexes . . . . . . . . . 57, 106, 138, 170 sternförmiges . . . . . . . . . . . . . . 58, 170 Gebietstreue, Satz über . . . . . . . . . . 139 Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 237 geschlitzte Ebene . . . . . . . . . . . . . 78, 247 geschlossene Kurve . . . . . . . . . . 102, 105 Glanzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . 44 gleichmäßig konvergente Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Gleichung Kreisteilungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 kubische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 gliedweise differenzierbar . . . . . . . . . . 73 Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Graphikobjekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Graphikstruktur . . 21, 32–37, 308–310 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . 40

H Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Halbebene obere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 untere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Namen- und Sachverzeichnis Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 harmonische Funktion . . . . . . . . . . . . 248 konjugierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Mittelwerteigenschaft von . . . . . . 251 Hauptsatz 1. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Hauptteil einer Laurent-Reihe . . . . . . . . . . 182 in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Hauptwert des Argumentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . .78 von ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 hebbare Singularität . . . . . . . . . . . . . 186 Hebbarkeitssatz von Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Heine-Borel-Eigenschaft . . . . . . . . . 42 holomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 fortsetzbar . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 182 in einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Holomorphiekriterien . . . . . . . . 133–135 homolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Hülle, abgeschlossene . . . . . . . . . . . . . . 42 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 81

I Identitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 imaginär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 innerer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Inneres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Integral Eulersches, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Eulersches, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Integralformel für die Ableitungen . . . . . . . . . . . . 136 von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 von Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

319 Integraltransformation . . . . . . . . . . . 198 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 isolierte Singularität . . . . . . . . . . . . . . 185

J Joukowski -Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 -Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 -Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 245

K k-facher Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Kern, Poisson- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Koeffizientenabschätzung von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Körper der komplexen Zahlen . . . . . . 4 kompakte Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kompaktifizierung, Ein-Punkt- . . . . 13 komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 komplex differenzierbar . . . . . . . . . . . . 75 komplexe Zahl Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 konjugiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Realteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 rein imaginär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 symmetrische bezüglich eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 komplexes Potential . . . . . . . . . . . . . . 249 konform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 bi- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 lokal- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 konforme Abbildung . . . . . . . . . . 76, 235 konjugierte harmonische Funktion 248 Konstante, Euler- . . . . . . . . . . . . . . . 284 Konvergenz einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 einer Laurent-Reihe . . . . . . . . . . 182

320 lokal gleichmäßige . . . . . . . . . . . . . . 138 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 170 logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 konzentrischer Kreisring . . . . . 243, 255 ‚Kreise‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Kreisring (-Gebiet) . . . . . . . . . . . . . . . 182 Kreisteilungsgleichung . . . . . . . . . . . . . 11 Kreistreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 kubische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Anfangspunkt einer . . . . . . . . . . . . 102 Endpunkt einer . . . . . . . . . . . . . . . . 102 geschlossene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 nullhomologe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 nullhomotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 stückw. st. differenzierbare . . . . . 102 zusammengesetzte . . . . . . . . . . . . . . 102 Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 wegabhängiges . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 wegunabhängiges . . . . . . . . . . . . . . . 106 Kutta-Joukowski-Profil . . . . . . . . 247

L Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 248 Laurent-Entwicklung direkt um einen Punkt . . . . . . . . . 186 Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 absolut konvergente . . . . . . . . . . . . 183 gleichmäßig konvergente . . . . . . . . 183 Hauptteil einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 konvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Nebenteil einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Limes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 linear gebrochene Transformation 235 Liouville, Satz von . . . . . . . . . . . . . 137 logarithmisch konvex . . . . . . . . . . . . . 282 Logarithmisches Residuum Satz vom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Hauptwert des . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 lokal

Namen- und Sachverzeichnis konform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . 138

M Majoranten-Kriterium . . . . . . . . . . . . . 47 von Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .49 Maximum, Prinzip vom . . . . . . . . . . 140 Menge abgeschlossene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 diskrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 kompakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 offene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 wegzusammenhängende . . . . . . . . . .43 Minimum, Prinzip vom . . . . . . . . . . . 140 Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen . . . . . . . 251 Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Möbius-Transformation . . . . . . . . . . 235 ganze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Moivre, Formel von . . . . . . . . . . . . . . . 9 Morera, Satz von . . . . . . . . . . . . . . . 133

N n-fache Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 n-te Einheitswurzel . . . . . . . . . . . . . . . 11 n-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Nebenteil einer Laurent-Reihe . . 182 ν-te Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Nullelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 nullhomologe Kurve . . . . . . . . . . . . . . 166 nullhomologer Zyklus . . . . . . . . 167, 168 nullhomotope Kurve . . . . . . . . . . . . . 166 Nullstelle der Ordnung ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 135 der Ordnung n . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Ordnung einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Vielfachheit einer . . . . . . . . . . 135, 198

Namen- und Sachverzeichnis

321

O

Q

obere Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 offene Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ordnung einer Nullstelle . . . . . . . . . . . . 135, 198 endliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 orthogonales Netz . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . 48 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

P Parakonjugierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Partialbruchdarstellung des Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . .290 Pochhammer-Weg 116, 117, 166, 179 Poisson -Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 sche Integralformel . . . . . . . . . . . . . 252 Pol der Ordnung k . . . . . . . . . . . . . . . 187 Polygonzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Polynom, stabiles . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Positivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Potential komplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Potentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Prinzip vom Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 140, 252 Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Produktdarstellung der Gammafunktion . . . . . . . . . . . . 284 des Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 stereographische . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 punktierte (r-) Umgebung eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

R Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Realteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 reell differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . 75 reelles Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Laurent- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Potenz- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 rektifizierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 sche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . 12 scher Hebbarkeitssatz . . . . . . . . . . 134 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Routh-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 200

S Satz Ergänzungs- von Euler . . . . . . . . 285 über Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . 139 vom logarithmischen Residuum . 197 von Bohr-Mollerup . . . . . . . . . . 282 von Bolzano-Weierstrass . . . . 40 von Casorati-Weierstrass . . .188 von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 von Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 von Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 von Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .45 von Weierstraß II . . . . . . . . . . . 138 6-Punkte-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Singularität hebbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

322 isolierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 wesentliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Sinus hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Sinus, Produktdarstellung des . . . . 288 stabiles Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 stereographische Projektion . . . . . . . 13 sternförmig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 170 Stetigkeit der Grundoperationen . . . . . . . . . . . . 8 gleichmäßige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Streckenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Stromlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 stückweise stetig differenzierbar . . 102 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 241 bezüglich eines Kreises . . . . . . . . . 241

T Totalvariation einer Funktion . . . . .102 Trägermenge einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 eines Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Transformation linear gebrochene . . . . . . . . . . . . . . .235 Möbius- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . 9

U Umgebung eines Punktes . . . . . . . . . . 39 Umgebungsbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 Umgebungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 76, 87 Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 eines Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 untere Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Namen- und Sachverzeichnis

V Verpflanzungsprinzip . . . . . . . . 250, 254 Vielfachheit einer Nullstelle . . . . . . . . . . . . 135, 198

W Wallis-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 101 Wegabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Wegunabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . 106 wegzusammenhängende Menge . . . . 43 Weierstrass Majoranten-Kriterium von . . . . . . 49 Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Weierstraß II, Satz von . . . . . . . 138 wesentliche Singularität . . . . . . . . . . 187 Windungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 winkeltreu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 n-te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Z Zahlen, komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Zahlenkugel, Riemannsche . . . . . . . . 12 Zerlegung Feinheitsmaß einer . . . . . . . . . . . . . 103 mit Zwischenpunkten . . . . . . . . . . 103 Zerlegungssumme . . . . . . . . . . . 103, 117 zusammengesetzte Kurve . . . . . . . . . 102 Zweig von log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2. Eulersches Integral . . . . . . . . . . . 281 Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 einfacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 nullhomologer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Index zu Maple

A

CauchyPrincipalValue . . . . . . . . . . 227

abs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 217, 302

ceil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

add, Add . . . . . . . . . . . 15, 20, 146, 222

changevar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 97, 304

circle . . . . . . . . . . . . . . . 25, 53, 115, 264

animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

coeff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 90

collect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 99f

color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 34, 161

arccosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99f

combine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 173

arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 100

completesquare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

arcsinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99f

complex . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 217, 230

arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 100, 267

complexplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

arctanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99f

complexplot3d . . . . . . . . . . . . . 161, 296

argument . . . . . . . . . . . . . . . 26, 174, 267

conformal . . . . . . . . . . 36, 89, 269, 310

Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 310

conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

constrained . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

assume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 301

continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

assuming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 301

contourplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

asympt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

contours . . . . . . . . . . . . . . 159, 210, 269

axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 34, 62

convert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 27, 66

axesfont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159, 308

. . . . . . . 95, 99, 146, 156, 209, 217, 294 coordplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

B binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 box, boxed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 92

coords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 33, 210 cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84 cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 cylindrical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

C

c2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 311

cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 268 cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 52 Categorize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

D

cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147, 313

D, D[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 83

324

Index zu Maple

D@@n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294f

degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

denom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 94

Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 diff, Diff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Digits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 discont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176, 216

H hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231, 313

disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 display . . . . . . . . . . . . . . 20, 52, 60, 310

I

do . . . end do . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 305

I, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 if . . . end if . . . . . . . . 20, 144, 258, 305

E e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 ellipticArc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 elif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258, 305 else . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 EnvAllSolutions . . . . . . . . . . . . . 31, 92 Equal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 eval . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 23, 87, 302 evalb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 302

Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 imaginaryunit . . . . . . . . . . . . . . . 15, 306 implicitdiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 indets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 inequal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 insequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 int, Int . . . . . . . . . . . . . . . . 118, 227, 274 integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 306 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 145, 221, 302

evalc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 302 evalf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 301

J

exp . . . . . . . . . . . . . . 25, 84, 92, 99, 217

Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

expand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

L F

labelfont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118, 261

labels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 210

factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

filled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 68

lcoeff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 231

FlattenOnce . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 174

left . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

font . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

lhs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 144, 305

limit, Limit . . . . . . . . . . . . . . . 27, 54, 65

frame, framed . . . . . . . . . . . . . . . 34, 115

line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 222

frontend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 87

fsolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

linestyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 55 list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

G

ListTools . . . . . . . . . . . . . . . 58, 156, 174

GAMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293, 295

ln, log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Index zu Maple

325

lnGAMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

pfeil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116, 311

local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 94, 231

pi, Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 100

piecewise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, 274 pieslice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

M macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 304 map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 31, 309 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 96 MatrixInverse . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 88 max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 MESH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 mul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Multiply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 308 plottools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 308 plot3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pointplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 52 polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 30, 34 polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 311 polygonplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 POLYGONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 posint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

N

print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 70

none . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

printf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

nops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

proc . . . end proc . . . . . . . . . . . . 18, 305

normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 224, 263

product, Product . . . . . . . . . . . . . . . 295

NULL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 231

p2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 311

numer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 numpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 numxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

O op . . . . . . . . . . . . . . 22, 27, 31, 123, 309 option remember . . . . . . . . . . . . . . . 258 optionsclosed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 optionsexcluded . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 optionsfeasible . . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 optionsopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 212 orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Q quo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

R radnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 rationalize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 read . . . . . . . . . . . . . . . 51, 147, 210, 312 readstat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 301 rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 258 remove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

P

residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

parfrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 211

restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 300

patchcontour . . . . . . . . . . . . . . . 159, 210

rhs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

patchnogrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

326 RootOf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Index zu Maple thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 tickmarks . . . . . . . . . . . . . . . 20, 92, 214

S

title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

save . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 312

titlefont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

ScalarPotential . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

transform . . . . . . . . . . . 33, 90, 258, 308

scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

translate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

trig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

select . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 221

type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 303

seq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 234

typeset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 26, 264

series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 209 set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

U

setoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

unapply . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 175, 311

setoptions3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 shading . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 159, 210 showassumed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 simplify . . 18, 153, 176, 217, 295, 301 sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84 sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 solidcircle . . . . . . . . . . . . . . 30, 177, 293 solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 53, 234 sort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 231

V value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 304 Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VectorCalculus . . . . . . . . . . . . . . 87, 267 VectorField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 verboseproc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 115, 311 view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

spacecurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 spacing . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 175, 229 spherical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 sprintf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 89 sqrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 300

W wireframe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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Z

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Sonderzeichen = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 := . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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@@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 157

taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 textplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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