Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria Portuguese

GELSON IEZZI

2~

edição

MATEMÁTICA ELEMENTAR TRIGONOMETRIA

121 exercícios resolvidos 298 exercícios propostos com resposta 215 testes de vestibular com resposta

ATUt\L EDITORA

3

Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo

APRESENTACÃO •

Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos H.O.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo Impressão e acabamento Companhia Melhoramentos de São Paulo Rua Tito, 479 - S. Paulo

CI~-Brasil. Cat..logação-na-Fonte

Camara Brasileira do Livro, SP

977 .1-7

Fundamet."tos de matemiti~a elementar (por) Gelson IezZ1 (e outros) 5&0 Paulo, Atual Ed •• 1977-7& Co-autores: Carlos Hurakami. Osvaldo Dolce e SaIIIl;lel HaZ2:an; a autoria dos volumes individuais van .• entr~ os 4 autores. C~teUdo: v.l. Conjuntos, funções. 1977.-v.2. Logantmos..: ,1977.-v.3. TrigODCllletria. 1978.v.4. SequUencl.&!. ~t:izes determinantes. sistemas. 1977 .-V. 5. Corab1natona. probabilidade. 1977.v.6. C~lexo8~ ~olinõmios. equações. 1977.-v.7. Geometna anal1.t1ca. 1978. I 1. Ma~emãtica (29 grau) r. Dolce. Osvaldo, 19381. IezZ1. ~e18on. 1939- lIr. Hazzan. Ssmuel. 1946IV. Hurakaml.. Carlos, 1943-

77-1473

CDD-510

Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA LTOA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao nível da escola de ';P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha das ciências" . No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos-livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e assim ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constitul'da por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e suas obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais agradecemos. Os autores

ÍNDICE

CAPITULO I - ARCOS E ÂNGULOS I. 11. 111. IV. V.

Arcos de circunferência . . . Medidas de arcos . . . . . . . Ângulos de duas semi·retas. Medida de ângulos .. . . . . Ciclo trigonométrico. . . . .

CAPITULO 11 I. 11. 111. IV. V. VI. VII. VIII.

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.. .. .. .. ..

l-C l-C 5-C 6-C 9-C

FUNÇÕES CIRCULARES

Noções gerais Funções periódicas Função seno Função cosseno Função tangente Função cotangente Função secante Função cossecante

CAPITULO 111 I. 11. 111. IV.

. . . . .

l5-C l6-C l7-C 26-C 29-C 33-C 34-C 36-C

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

Introdução Relações fundamentais Identidades Demonstração de identidade

39-C 39-C 49-C 50-C

CAPITULO IV

REDUÇÃO AO 19 QUADRANTE

I. Redução do 29 ao 19 quadrante 11. Redução do 39 ao 19 quadrante 111. Redução do 49 ao 19 quadrante

53-C 54-C 55-C

IV. Redução de [~,;] a [O, ~]

56-C

V. Identidades VI. Funções pares e funções ímpares

58-C 60-C

I. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63-C 11. Aplicações 64-C

CAPITULO VI - TRANSFORMAÇÕES Fórmulas de adição Fórmulas de multiplicação Fórmulas de divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tangente do arco metade Transformação em produto

CAPITULO VII I. 11. 111. IV. V. VI. VII.

ÊQUAÇÕES

Equações fundamentais Reso lução da equação sen ex = sen {3 Resolução da equação cos ex = cos {3 Resolução da equação tgex = tg{3 Soluções de uma equação dentro de certo intervalo Equações clássicas Funções circulares inversas

CAPI"rULO VIII -

67-C 75-C 79-C 82-C 83-C

93-C 94-C 98-C 101-C 104-C 107-C 115-C

INEQUAÇÕES

I. Inequações fundamentais 127-C 11. Resolução de sen x > m 128-C 111. Reso lução de sen x < m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129-C

Resolução Resolução Resolução Resolução

de de de de

>

cos x m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-C cos x < m 132-C tg x> m 138-C tg x m 138-C

<

CAPITULO IX - TRIÃNGULOS RETÃNGULOS I. 11. 111. IV.

CAPI"rULO V - ARCOS NOTAvEIS

I. 11. 111. IV. V.

IV. V. VI. VII.

Elementos principais Propriedades geométricas Propriedades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolução de triângulos retângulos . . . . . . . • • . • • . . . . . . . . . . .

141-C 142-C 146-C 150-C

CAPITULO X - TRIÃNGULOS QUAISQUER I. Propriedades trigonométricas 11. Propriedades geométricas 111. Resolução de triângulos quaisquer

155-C 166-C 171-C

RESPOSTAS DE EXERCfclOS

175-C

TESTES

185-C

RESPOSTAS DOS TESTES

221-C

Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)

Engenheiro de Napoleão era monarquista

CAPÍTULO I

ARCOS

Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, logo após a queda da Bastilha. Cursou a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar, e aceitou a cadeira de Monge na Academia, quando este foi demitido. Ainda como estudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram por seu trabalho. Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuitas e quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde o titulo de barão como recompensa por sua fidelidade. Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada à Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas. Uma de suas caracterfsticas marcantes era que, obtendo um novo resultado, logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiu amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para os "Comptes Rendus" (Notfciasl da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814, em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores. Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas. Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes por Bolzano, um padre tcheco. Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoria das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Descartes-Euler. Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais dif(ceis e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes. Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da teoria matemática da Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste. Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas s6 é superada por Euler.

E ÂNGULOS I.

ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

1.

Definição

Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denomi· nada arco de circunferência ÁS. Em particular, se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é um ponto (denominado arco nulo) e o outro é a circunferência (denominado arco de uma volta).

11.

A=B

MEDIDAS DÊ ARCOS

2. Se queremos comparar os "tamar-. r-. nhos" de dois arcos AB e CD somos naturalmente levados a estabelecer um método que permita saber qual deles é o maior ou se são iguais. Este problema é resolvido estabelecendo-se um método para medir arcos.

D

l-C

'" em rela3. Medida de um arco AB ção a um arco unitário u (u não nulo "ede mesmo raio que AB) é o número real que exprime ~ntas vezes o arco u "cabe" no arco AB. Assim, na figura ao lado, o arco u cabe 6 vezes no arco '" então a medida do arco AB '" é 6, AB, "isto é, arco AB = 6 . arco u.

11) A circunferência fica dividida em 6 arcos de medidas iguais

B

,--...,

AB

r-...

~

~

I'""

O' O

e, sendo o comprimento do arco sempre maior que o comprimento da corda cor· respondente, todos esses arcos são maiores que 1 rad. A

111) Em cada um dos citados arcos "cabe" 1 rad: r--. ~ r--. ,-.. r-.. r'\ AB'

4.

r--.

= BC = CD = DE = EF = FA

Unidades

= BC' = CD' = DE' = EF' = FA'

1 rad

e ainda sobra uma fração de rad.

Para evitar as confusões que ocorreriam se cada um escolhesse uma unida. o mesmo arco AB, limitamos as unidades de arcos a apenas de u para medir duas: o grau e o radiano.

IV) O radiano "cabe" 6 vezes na circunferência e mais a soma dessas "sobra<. Mais precisamente demonstra-se que a circunferência mede 6,283584... rad (número batizado com o nome de 21T).

Grau (símbolo o) é um arco unitário igual a ~o da circunferência que

Tendo em vista estas considerações, podemos estabelecer a seguinte correspondência para conversão de unidades:

'"

360

contém o arco a ser medido.

0

180 o

Radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.

1T ra d

EXERC(CIOS C.1

Exprimir 225

0

em radianos.

Solução Estabelecemos a seguinte regra de três simples: 225 • 1T 180

logo

5. É evidente que uma circunferência mede 360 dizer quantos radianos mede uma circunferência.

C.2

0 ,

porém, já não é tão fácil

Podemos chegar a uma noção intuitiva do va lar dessa med ida, considerando a seguinte construção:

2-C

21T rad

<------>

B

Assim, ao afirmar que um arco AS mede 1 rad estamos dizendo que "esti"cando'" o arco AB obtemos um segmento de reta AB cuja medida é exatamente o raio da circunferência.

I) Em uma circunferência de centro O e raio r inscrevemos um hexágono regular ABCDEF. Cada lado do hexágono tem comprimento r: AB = BC = CD = DE = EF = FA = r

<------>

O

A

rad

Exprimir em radianos:

b) 240 0

a) 210 0 0 c) 270 0 el 315

C.3

51T

T

Exprimir

0

d) 300 0 f) 330

111T

6

rad em graus.

Solução Temos:

1T rad

.!.!2!. rad 6

<---> 180 0

+--'-+ x

111T logo

x

=

180

6 1T

3-C

C.4

ai

.!!.-

d) C.5

c.a

Exprimir em graus:

rad

6

21T

3

bl e)

rad

1f

4

4

cl ~ rad

rad

31T

Converter a graus o arco 1 rad.

Solução

3

rad

51T

fi

6

3.1416 rad 1 rad

rad

logo

Um arco de circunferência mede 30 em

e o raio da circunferência mede 10 em.

Solução

comprimento do arco AB comprimento do raio

C.6

229200 09288 X 60

,-,

AS em rad]:::

~

••

1 800000 131 416

Calcular a medida do arco em radianos.

lmedida de

x

+-----+ x .

180° 3,1416

30 em 10 em ~ 3 rad

57°17'44"

557280 243120 23208 X 60

Sobre uma circunf,,",ência de raio 10 em

marca-se um arco AS tal que a corda AS mede 10 em. Calcular a medida do arco

'---------------"0°

1 392480 135840 10176

em radianos.

Solução O segmento AS é lado do hexágono regular inscrito na circunferência, logo, o menor arco AB é

1

"6

C.7

X 21T rad

C.10

Exprimir em graus as medidas dos arcos a, b e c ta is que a + b + c = 13°, a + b + 2c ::::

rad.

da circunferência, 1T

~ ~

4

Exprimir em radianos as medidas dos arcos a e b tais que a - b = 15° e a +b =

isto é, mede:

~

71f

C.9

12

rad

e

a + 2b + c

~

1f

"9 rad.

rad

Um grau se divide em 50' (60 minutosl e um minuto se divide em 60" (60 segundos) Por exemplo, um arco de medida 30' é um arco de 0,5°, Pede-se converter a radia-

nos os seguintes arcos:

111.

ÂNGULOS DE DUAS SEMI-RETAS

Solução a) 22°30' ~ 22 X 60' + 30' ~ 1350' 180° ~ 180 X 60' ~ 10800'

6. Consideremos duas semi-retas Da e Db de mesma origem, distintas e não opostas.

então:

10800' +-----+ 1T rad 1350' +-----+ x

logo

x

bl 31 °15'45" ~ 31 )( 3600" + 15 X 60" + 45" 180° ~ 180 X 3600" ~ 648 000"

1350 • 1T 10800 112545"

7r

srad

A reta a divide o plano ab em dois semi-planos opostos. O'

I

O'

=:J Db

e

0" 0";5 Db I

então:

648 000" 112 545/1 logo

4-C

x ~

A reta b divide o plano ab em dois semi-planos opostos

+-----+ 1f rad +-----+ x

112 545 • rr 648 000

112545 • 3,1416 648 000 ~ 0,54563 rad

1l11l=:JDa

e

Il' I

1l';z5 Da S-C

Ângulo convexo aÔb é a intersec-

ção dos semi-planos

áôb~o
O<

a

{3.

e

1'?) ângulo de 1° é um ângulo central correspondente a um arco de 10, isto é,

o

é um ângulo central que determina na circunferência um arco igual a 3~ desta;

(convexo)

2'?) ângulo de 1 rad é um ângulo central correspondente a um arco de 1 rad, ista é, é um ângulo central que determina na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao do raio;

Ângulo côncavo aÔb é a reunião

dos semi-planos

Assim, por exemplo, temos:

a' e {3'. 3'?) ângulo de 60° é um ângulo central correspondente a um arco de 60°;

I

aOb

~

0<' U

(3'

I

4'?) ângulo de rr rad é um ângulo central correspondente a um arco de rr rad.

(côncavo)

7. Em particular, se as semi-retas Oa e Ob coincidem dizemos que elas determinam dois ângulos: um ângulo nulo e um ângulo de uma volta. No caso particular das semi-retas Oa e Ob serem opostas dizemos que deter. minam dois ângulos rasos.

a

= b

ângulo

nulo

b

a

9. Quando qu~mos medir em radianos um ângulo aOb, devemos construir uma circunferência de centro O e raio r e verificar quantos radianos mede o arco "AB, isto é, calcular o quociente entre o "comprimento Q do arco AB pelo raio r da circunferência:

(o< em radianos) '" é tal que determina numa circunfePor exemplo, se o ângulo central aOb "de raio r ~ 5 cm um arco AB de medida Q ~ B em, então a medida de .illb é: rênci~

IV. MEDIDA DE ÂNGULOS

Q

8. Dado um ângulo aOb, consideremos uma circunferência de centro O e raio r. Sejam A e B os pontos onde os lados do ângulo aOb interceptam a circunferência.

a

A cada arco ÁS corresponde desta maneira um único ângulo central áÕb e vice-versa. Convencionando que a um arco unitário corresponde um ângu lo cen· trai unitário, decorre que o arco ÁS e o ângulo central aOb correspondente passam a ter a mesma medida.

b

6-C

B 5

1,6 rad

Observemos que, fixado um ângulo '" de medida o< rad e construícentral aOb das as circunferências de centro O e raios rj, r2, r, ..., os arcos correspondentes a aOb têm comprimentos QI, \'2, Q3, ... tais que:

7-e

EXERCICIOS

b) Sabemos que em 60 minutos o ponteiro pequeno percorre um ângulo de

30°, então em 15 minutos ele pereor· re um ângulo Ct tal que:

~cular, em graus, a medida do ângulo aOb da figura.

C.ll

30°

O!

15

=

60

portanto O!

=

7,5°

Solução O! =

r.Q

3 10 rad.

=

o

Convertendo a graus:

3cm

e

{

----+ 180

3

10

= C.12

=

x

10 rad -

x

7°30'.

60 0 -IX = 60° - 7°30' = 52°30'. cl Notemos que em 40 minutos o pon-

0

1T3rad

=

Assim, temos: =

teiro pequeno percorre o ângulo {3 tal que:

X 180

JL300

0

~ 3,1416

1T

Calcular o comprimento.Q do arco por um ângulo central de 60°.

= 170 11/19"

AB definido

60

40

.

portanto (3 = 20°. Assim, temos:

numa circunferência de raio r= 10 em,

rp = 150° + 13 = 150° + 20° = 170° ou ainda

Solução

rp =

Convertido a radianos, o ângulo central /'. 11

aOb tem medida

.Q

=

O!

=

3"

.Q = O! • r

rad,

=.!!.. • 3

C.16

então:

Q

1800

-

r

=

1800

-

10° = 170°.

Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que marca:

bl 5 h 55 min;

ai 2 h 40 min;

cl 6 h 30 mino

10

portanto:

Q = 31,416 3 C.13

10,472 em,

CICLO TRIGONOMETRICO

la.

Definição

-" Calcular a medida do ângulo central aOb que determina em uma circunferência de raio

.

r um arco de comprimento

211r

3. ÁS

C.14

Calcular O comprimento .Q do arco um ângulo central de 4,5 rad.

C.15

Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assinalando:

ai 1 h;

definido em uma circunferência de raio 7 em por

bl 1 h 15min;

Solução a) Notemos que os números do mostrador de um relógio estão colocados em pontos que dividem a circunferência em 12 partes iguais, cada uma das quais mede 30°. Assim, à 1 h os ponteiros do relógio formam um ângulo convexo de 30°.

s-e

V.

c) 1 h 40 mino

Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv. Consideremos a circunferência À de centro O e raio r = 1. Notemos que o comprimento desta circunferência é 211 pois r = 1. v

Vamos agora definir uma aplicação de IR sobre À, isto é, vamos associar a cada número real x um único ponto P da circunferência À do seguinte modo: 1?) se

x

O,

B

então P coincide

com A;

2?l se x > O, então realizamos a partir de A um percurso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marcamos P como ponto final do percurso.

u

A'

B'

9-C

<

3?) se x O, então realizamos a partir de A um percurso de comprimento I xl, no sentido horário. O ponto final do percurso é P. A circunferência À acima definida, com origem em A, é chamada ciclo ou circunferência trigonométrica.

11. Notemos que se P é a imagem do número xo, então P também é a imagem dos números: xo, Xo + 21T, Xo + 41T, Xo + 61T, etc. e também de Xo - 21T,

Se o ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem de x no ciclo. Assim, por exemplo, temos:

Xo - 41T,

Xo - 61T,

etc. v

v

v

Em resumo, P é a imagem dos elementos do conjunto:

B

u

{x E IR I x = Xo + 2k1T, k E~}. A

A'

A' u

u

B'

B'

a imagem de

Dois números reais Xl = Xo + 2k l 1T (k l E~) e X2 = Xo + 2k 21T (k 2 E~) que tem a mesma imagem P no ciclo são tais que Xl - X2 = 2k1T (onde k = k l - k 2) e, por isso, diz-se que Xl e X2 são côngruos módulo 21T ou simplesmente, Xl e X2 são côngruos.

11

2" l!

B

a imagem de

v

-~ l!

B'

v

B

B

A

A'

A

A'

EXERCfclOS u

u

C.17

Divide-se o ciclo em 12 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores.

Determinar os B'

B'

a imagem de -1Il! A'

v

=

v

u

u

10-C

€i11

121 • 21T =

e que P l! a 'Imagem de x quando A

podemos construir a tabela

u

A

A'

. 31T a Imagem de 2" l! B'

B

"P = x, A abaixo:

B

A'

cujas imagens são os pontos divisores. v

Solução Notando que cada parte mede

a imagem de 1T l! A'

B'

x (x E [O, 2m)

imagem de x

A

Pl

P2

B

P3

P4

A'

Ps

P6

B'

P7

x

O

1T 6

1T 3

1T 2

21T 3

51T 6

1T

71T 6

41T 3

31T 2

51T 3

Ps 111T

6

B'

a imagem de -

31T

2'

é B

C.18

Divide-se o ciclo em 8 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. De-

terminar o conjunto dos

x (x E [O,

2nll

cujas imagens são os pontos divisores.

11-C

C.19

Indicar no ciclo a imagem de cada um dos seguintes números: a)

311 4

511

b) -

e)

d) -311

4"

C.20

1311

c) 111'1'

2511

f)

3

311 =

4

211

8

1711

1111

311

711

3111

1911

-6

C.21

Representar, no ciclo. as imagens dos seguintes conjuntos de números:

E

1. .

1511

11

8' "8 -8' -8'

""""6 -T' """4 e-T'

Solução a)

Indicar no ciclo as imagens dos seguintes números reais:

v

{x

E IR

+

x = ;-

F = {x E IR

x

k11,

= k;-,

k

EZ}

k. E.z}

Marcamos, a partir de A, um percur·

AP igual a

so

~

Solução

do ciclo, no sentido

anti·horário. b) -

511

4"

=

x =

u

5

-"8 •

Mercamos, a partir de A, um percurso

AP igual a

:

2' +

k =O

211

k = 1

do ciclo, no sentido

B v

11

k = 2

k11

-=-

x =

=x T ===> x =

o

x =k

d) -311 = 11 - 411 Como (-3m - 11 é n\4ltiplo de 211, . então -311 e 11 têm a mesma ima· gem (A'), e)

2511

3 Assi m,

C.22

têm a mesma

imegem P que é obtida marcando t'

1

'6 do

1911 6 . A SSlm,

511

2411

.

u 511

6" - '""""6 ="6 -

1911

6"

e

. Imagem. Como

511

6' 511

6

-411

• tem a mesma

=

= = =

=O

x

=;

(imagem: A) (imagem: B)

A

u

x = 11 (imagem: A') x =

311

. (Imagem: B')

"2

x = 211

(repetição: A)

B' A, B, A' e B'

do ciclo.

Representar. no ciclo. as imagens dos sEtguintes conjuntos de números reais:

E

{x E

IR

I

x = k11,

F

{x E

IR

I

x = k11

G =

{x

E IR

x =

~ +

k11,

k E Z}

H =

{x

E IR

x =

11 '4 +

k2"

11

k E~

3 '

k

E Z} k

E~}

}

v

5 12' 211.. a

imagem procurada é a extremidade

,.-."

=1

x

cIcio,

no sentido anti-horário.

f)

(repetição: B)

"2

O conjunto F tem como imagem os pontos

~ 2411 = J!.. + 811 333

um percurso AP igual a

k

k = 4

J!..

2511 e!!.... -33

(imagem: B')

511

11

=O =

k ~ 3

u

u

2"

k

k = 2

A'

A

conjunto E tem como imagem os pontos B e B' do ciclo.

u

gem (A').

A'

(imagem: B)

311

horário. c) 1111 = 11 + 1011 Como 1111 - 11 é múltiplo de 211, então 1111 e 11 têm-a' mesma ima·

11

2'

do percurso AP igual a

5

12

u

do

ciclo medido no sentido anti-horário.

12-C

13-C

CAPÍTULO II

FUNÇÕES CIRCULARES

Padre refugia-se na Matemática

I. Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja. Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos. Em 1817 publicou o livro "Rein Ana/ytisches Beweis" (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função. Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetização", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes. Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre O e 1, quanto entre O e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros. Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente da infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos. Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos, Conhecemos hoje como teorema de Bolzano-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto Iimitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação. O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados. Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".

NOÇÕES GERAIS

12. Consideremos um ciclo trigonométrico de origem A. Para o estudo das funções circulares vamos associar ao ciclo quatro eixos: 1Ç') eixo dos cossenos (u) c v direção: OA sentidp positivo: O -+ A 2Ç') eixo dos senos (v) -----::~'_."....-__+-_ d direção: la,porO sentido positivo: de O -+ B ....... rr sendo B tal que AB = 2 -,-,A_'t----+----4-!~-~ u 3Ç') eixo das tangentes (c) direção: paralelo a v por A sentido positivo: o mesmo de b 4Ç') eixo das cotangentes (d) B' direção: paralelo a u por B sentido positivo: o mesmo de a.

M',

~. Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: ÃB, Á'B' e B'A. Dado um número real x, usamos a seguinte linguagem para efeito de localizar a imagem P de x no ciclo: x está no 1Ç' quadrante x está no 2Ç' quadrante x está no 3Ç' quadrante x está no 4Ç' quadrante

== == == ==

PE

AS

"

P E BA' PE

Á'Ê3'

" P E B'A

== == == ==

O + 2krr ~ x ~ !!.. + 2krr 2

~ + 2krr ~ x ~ rr + 2krr 2

rr + 2krr

~

x

~

3rr + 2krr 2

~

x

3rr + 2krr 2 ~

2rr + 2krr

15-e

11.

FUNÇÓES PERIÚOICAS

14.

Exemplo preliminar

dando acréscimos iguais a p em x, o valor calculado para f não se altera, isto é, o valor de f se repete periodicamente para cada acréscimo de p à variável.

16. Dado o número real x, sempre existem dois números inteiros consecutivos n e n + 1 tais que n";; x < n + 1. Consideremos a função f que associa a cada real x o real x - n onde n é o maior número inteiro que não supera x. Temos, por exemplo: f(0, 1) = 0,1; f(3) = 3 - 3 = O;

f(1, 1)

= 1,1 - 1 = 0,1;

f(-5) = (-5) - (-5)

=

etc. -1 .,;; x < O -2 .,;; x < -1 -3";; x < -2

~

= = == ==

=

f:A -+ B

é periódica se existir um número

p

>

O satisfa·

f(x + p) = f(x), -'fx E A O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado periodo de f.

f(7) = 7 - 7 = O.

De modo geral, temos: 0";;x<1 1";;x<2 2";;x<3

Uma função zendo a condição

f(2, 1) = 2,1 - 2 = 0,1;

O;

Definição

17. O gráfico da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento de curva que se repete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará construirmos um carimbo onde está desenhado o tal elemento de curva e ir carimbando. Perlodo é o comprimento do carimbo (medido no eixo dos x).

f(x) =x-O=x f(x) = x - 1 f(x) = x - 2 f(x) = x - (-1) = x + 1 f(x) = x - (-2) = x + 2 f(x) = x - (-3) = x + 3

y

etc. Seu gráfico é: x y

período

111. -1

x

o

FUNÇÃO SENO

x

2

3

4

18.

Definição v

Temos: f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = f(x + 4) =... :V-x E IR portanto existem infinitos números p inteiros tais que f(x) = f(x + p), :V-x E IR.

15. O menor número p > O que satisfaz a igualdade f(x) = f(x + p), V x E IR é o número p = 1, denominado periodo da função f. A função f é chamada função periódica porque foi possível encontrar um número p > O tal que

16-C

Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x (e indicamos sen x) a ordenada OP I do ponto P em relação ao sistema uOv. Denominamos função seno a função f: IR -+ IR que associa a cada real x o real OP 1 = sen x, isto é: f(x) = sen x.

A u

B'

17-e

19.

Propriedades

20.

1~) A imagem da função seno é o intervalo [-1, 11. isto é, -1 .;;; sen x';;; 1 para todo x rea I.

Gráfico

Façamos x percorrer o intervalo [O, 2rr] e vejamos o que acontece com sen x. Se a imagem de x (ponto PI dá uma volta completa no ciclo:' no seno tido anti-horário, a ordenada de P varia segundo a tabela:

É imediata a justificação pois, se P está no ciclo, sua ordenada pode variar apenas de -1 a +1.

2~) Se

rr

o

x

-

3rr

rr

2

2rr

2

x é do primeiro ou segundo quadrante, então sen x é positivo.

De fato, neste caso o ponto P está acima do eixo u e sua ordenada é po-

sen x

O

cresce

1

decresce

O

decresce

-1

cresce

O

sitiva.

3~)

Se

x é do terceiro ou quarto quadrante, então sen x é negativo.

Fazendo um diagrama com x em abscissas e sen x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, denominado senóide, que nos indica como varia a função f( xl ; sen x.

De fato, neste caso o ponto P está abaixo do eixo u e sua ordenada é negativa.

4~)

Se

x

sen x

percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então sen x é

crescente.

-rr

x

É imediato que, se x percorre o primeiro quadrante, então P percorre

"" e sua ordenada cresce. Fato análogo acontece no quarto quadrante. o arco AB 5~) Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então sen x é decres-

cente.

Observemos que, como o domínio da função seno é IR, a ser:1óide continua para a direita de 2rr e para a esquerda de O. No retângulo em destaque está representado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensões desse retângulo são 2rr X 2, isto é, aproximadamente 6,28 X 2.

É ,.....,.imediato que, se x percorre o segundo quadrante, então P percorre o

arco BA' e sua ordenada decresce. Fato análogo acontece no terceiro quadrante. EXERCICIOS

6~) A função seno é periódica e seu período é 2rr.

É imediato que, se sen x ; OP! e k E il., então sen (x + k • 2rr) ; OP! pois x e x + k • 2rr têm a mesma imagem P no ciclo. Temos, então, para todo x real:

Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funções

dadas do C.23 ao C,42: C.23

f:IR-+ IR

dada por

t(x) ~

-sen

x.

Solução sen x ; sen (x + k • 2rr) e, portanto, a função seno é periódica. Seu perl'odo é o menor valor positivo de k· 2rr, isto é, 2rr.

18-C

Vamos construir uma tabela em três etapas: 1~) atribuímos valores a x; 2~) associamos a cada x o valor de sen x;

3a ) multiplicamos sen x por -1.

19-C

x

sen x

y

x

sen x

o

O

O

11

11

"2

"2

1

2"

1

-1

11

11

O

11

O

O

311

311

"2

""2

-1

"2

-1

1

211

211

O

211

O

O

y

x

se" x

y

O

O

O

11

Com esta tabela podemos obter 5 pontos do gráfico, que deve apresentar para cada x uma ordenada y que é o dobro da ordenada correspondente da senóide. ~ imediato que:

Im(f) ~ [-2, 2) p(fl ~ 211

2

x

O

311

-1

-2

Com esta tabela podemos obter 5 pontos do gráfico, que é simétrico da sen6ide em relação ao eixo dos x. y ~ imediato que:

~

:.25

f: IR .... IR

dada por

flx)

-2 • sen x.

.26

f: IR .... IR

dada por

flx) ~ Isen xl

Solução

Im(f) = [-1,1] p(fl = 211

Recordemos inicialmente que para um dado número real a, temos:

lal ~ a

a;;' O =

a
senx;;'O

C.24

f:IR .... IR

dada por

=

Isenxl ~senx

Iquando sen x ;;. O, os gráficos y Isen x I e y ~ sen x coincidem) senx
=

f(x) = 2 • sen x

(quando sen x

Solução

< O,

Vamos construir uma tabela em três etapas: la) atribulmos valores.a x; 2~) associamos a cada x o valor de sen x; 3a ) multiplicamos sen x por 2.

sen x

y

x

sen x

O

O

O

11

11

"2

"2

1

11

11

311

311 2

""2

= sen x são simétricos em relação

y

p(fl = 11

O x

Isen xl e y

os gráficos y =

ao eixo dos x), ~ imediato que: Im(fl ~ [O, 1]

y

x

sen x

y

O

O

O

11

1

O

11

O

O

-1

"2

-1

-2

311

x

-1

27

f: IR .... IR dada por f(x) ~ 13 • sen x I

28

f: IR .... IR dada por f(x)

2

2"

11

"'2

~

sen 2x

Solução Vamos construir uma tabela em três etapas: atribuímos valores a t = 2x:

associamos a cada 2x o correspondente sen 2x; 211

2O-C

211

O

211

O

O

calculamos x (x =

"2t ). 21-C

E: t = 2x

x

x

y

t

2x

~

y

x

t ~ 2x

y

imediato que: Im(f) =[-1,1 )

p(f) = 4rr

o

O

O

O

O

O

rr

rr 2

1

rr

"2

4

rr 2

1

rr

rr

O

rr 2

rr

O

3rr 2

3rr 2

-1

3rr 4

3rr 2

-1

2rr

2rr

O

rr

2rr

O

y

o -1

C.3D

f:IR -+ IR dada por flx) = sen

x

22-C

t =

flx) ~ sen 3x

x

'2

y

t

3x

~

y

x

t = 3x

y

x

t = 3x

y

O

O

O

O

O

O

rr

rr 2

1

rr

"2

rr 2

1

rr

rr

O

rr 3

rr

O

3rr

T

3rr 2

-1

rr 2

2rr

2rr

O

6

2rr

"'3

3rr

""2

-1

2rr

O

x

2' E: imediato que: Im(f) = [-1, 1) 2rr p(f) = "'3

Solução

x

dada por

f:IR -+IR

Solução

Notemos que o gráfico deve Com base nesta tabela, podemos obter 5 pontos da curva, dobro de x. Notemos ainda do seno o é que y ordenada uma x cada apresentar para que para sen t completar um parl'odo é y necessário que t = 2x percorra o intervalo [O, 2rrJ. isto é, x percorra o intervalo [O, rr]. Assim, o período de f é: x o rr p(f) = rr - O ~ rr 4' E: imediato que: Im(f)~[-1,1) -1

C.29

x

x

t =

O

O

rr

rr

x

"2

y

x

O

O

x

t

="2 O

y

O

x rr

"2

1

rr

""2

1

2" rr

rr

O

2rr

rr

O

3rr

3rr

-1

3rr

2""

-1

O

4rr

2rr

O

2"

""2

2rr

2rr

y

3rr

C.31

f:IR-+IR

dado por

flx) ~ -seni.

C.32

f: IR -+ R

dada por

flx) = 3 • sen 4x,

23-C

C.33

f: IR -+ IR

dada por

1 + sen x.

(( x)

C.39

f: A-+ FI

dada por

((x) = sen (x - :

I.

Solução Solução x

sen x

y

O

O

O

1

1

2'

1

2

O

2"

rr 2

rr rr

rr

O

rr

O

1

3rr 2

2"

-1

2"

-1

2rr

2rr

O

2lT

O

x

sen x

O

O

rr

x

sen x

y

3rr

y

rr

3rr

C.38

24-C

f:IR-+1R

dada por

((x) ((x) ((x) ((x) f( x)

rr t = x -4

Y

O

O

rr 2

1

3rr

rr

2"

"4

2'

1

O

rr

lT

O

..-

rr

O

3rr 1

2'

3rr 2

-1

'""4

3rr 2

-1

2rr

2rr

O

'""4

2rr

O

lT

5rr

7rr

9rr

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenada y que é o seno de rr rr x - 4' Notemos que para sen t completar um per(odo é necessário que t = x - 4

[O,

percorra o intervalo

2rr].

isto é, x percorra o intervalo

[i-.

9:]. Assim. o

= 2rr

~ imediato que:

Im(t) =

lT '

lT

3rr " " ..... - -2 _....

//2rr ;

~

-2

[-1, 1].

x

/

~senóíde

-1

por por por por

rr 4

4

4

per(odo de f é: 9rr rr p(f) = 4" - 4

'"2

dada dada dada dada

t = x -

O

y

O

f:IR-+FI f:IR-+1R f: FI -+ A f:IR-+IR

x

O

2

C.34 C.35 C.36 C.37

y

x

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenada y que é igual ao seno de x mais uma unidade. Se cada seno sofre um acréscimo de 1, então a senóide sofre uma translação de uma unidade "para cima", ~ imediato que: Im(t) ~ [0,2] p(t) ~ 2rr

rr

t = x -

Y

x

O

x

-1

+ sen x.

= 1 + 2 • sen x. = 2 - sen x. = -1 + sen 2x. =1 +

3 • sen

x

C.40

f:IR-+IR

dada por

((x)

= sen

(x

= sen

(2x -

=1 +

C.41

f: IR -+ IR

dada por

f(x)

C.42

f:A-+IR

dada por

((x)

2'

+

!!.),

3 rr

3'1.

2 • sen

x

rr

("2 - "6)'

25-C

C.43 Sendo a. b, c, d números reais e positivos, determinar imagem e per(odo da função f:IR -+ IR dada por f(x) = a + b • sen (ex + dI.

Solução Façamos

ex + d = t.

Quando x percorre IR. t percorre IR (pois a funç60 afim

t = ax + b é sobrejetoral e, em conseqüência. sen t percorre O intervalo [-1, 1l, b • sen t percorre o intervalo) [-b, b] e V = a + b • sen t percorre o intervalo [a - b. a + bl que é a imagem de f. Para que f complete um período é necessário que t varie de O a 21T. então:

t

=

O

=

t

=

21T

~ x

= -

==> ex + d = 21T

===> x

=

d c

21T c

ex + d

=

O

~ c

21T

d

c

c

portanto: p =

&.

21T

d c

22.

.1~) A imagem da função cosseno é o intervalo isto é, [-1. 1], -1 ";cosx";1 para todo x real. 2~) Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então cos x é positivo. 3~) Se x é do segundo ou terceiro quàdrante, então cos x é negativo. 4~) Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então cos x é crescente. 5~) Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então cos x é decrescente. 6~) A função cosseno é periódica e seu período é 21T.

= ( - - - ) - (--) = - .

c

23. C.44 Construir o gráfico de um período da função

t(x) C.46

Propriedades

= 1 -

Gráfico

f: IR -+ IR tal que Façamos x percorrer o intervalo [O, 21T] e vejamos o que acontece com cos x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo, no senti· do anti·horário, a abscissa deP varia segundo a tabela:

1T 2 • sen (2x - "3)'

Para que valores de m existe x tal que sen x

=

2m - 57

Solução Para que exista x satisfazendo a igualdade acima devemos ter: -1 ..; 2m - 5 ..; 1 _ C.46

4"; 2m ..; 6 _

cos x

1

1T 2

31T 2

1T

21T

2"; m ..; 3.

=

2 - 5m;

b) sen x

=

decresce

O

decresce

-1

cresce

O

cresce

1

m - 1

m:2'

Fazendo um diagrama com x em abscissas e cos x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, denominado cossenóide, que nos indica como varia a função f(x) = cos x

IV. FUNÇÃO COSSENO

Definição

Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. Denominamos coso seno de x (e indicamos cos x) a abscissa õP 2 do ponto P em relação ao sistema uOv. Denominamos função cosseno a função f: IR -+ IR que associa a cada real x o real OP2 ~ cos x, isto é, f(x) ~ cos x.

26-C

O

Em cada caso abaixo. para que valores de m existe x satisfazendo a igualdade? a) sen x

21.

X

y

v

a x ---'-A-'-,·f----"--I_ _....,y~ u

a'

Observemos que, como o domínio da função cosseno é IR, a cossenóide continua para a direita de 21T e para a esquerda de O. No retângulo em destaque está representado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensões desse retângulo são 21T X 2, isto é, aproximadamente 6,28 X 2.

27-e

EXERCfclOS

C.60

YI : sen 45° + cos 45° Y2 : sen 225° + cos 225°

Determinar o pedodo e a imagem e fazer o gráfico de 'um perrodo completo das funções dadas do C.47 ao C.56:

C.47 f' IR

~

IR

Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões?

Y3 : sen

dada por t(x) = -cos x.

Y4 = ~

IR

dada por t(x) : 2 • cos x.

C.49 f:

R~

IR

dada por f(x)

-3' cos x.

C.50 f·

R~

IR

dada por flx)

Icos x I.

C.51

R~

IR

dada por flx)

C.48

f: IR

C.61

771 + cos

4

771

4

sen 300° + cos 300°. f: IR -+ R

Esboçar o gráfico da função

tal que flx)

sen x + cos x.

Solução

f'

=

Notemos que para cada x esta função associa um y que é a soma do seno com o cosseno de x. Vamos, então, colocar num diagrama a senóide e a cossenóide e , para cada x, somemos as ordenadas dos pontos encontrados em cada cur~ va.

cos 2x.

C.52 f: IR

~

R

dada por t(x) = cos

C.53 f: R

~

IR

dada por t(x)

x 2

Veremos mais adiante que:

C.54 f· IR -+ IR C.56

f: R ~ IR

C.56 f: R ~ IR C.57

C.59

Imll) plf)

[- vi ví]

271

271.

+ 2 • cos 3x.

dada por f(x)

dada por f(x) : cos(x -

!!...). 4

dada por t(x) = 2 • cos(x -

Determinar imagem e perrodo da função flx) : -1 + 2 • cos(3x -

C.58

+ cos x.

f). f: IR -+ IR

C.62

Esboçar o gráfico de um pedodo da função f: R -. IR dada por t(x) = cos x - sen x.

C.63

Provar que se O

dada por

< x < !!...2

então

sen x + cos x > 1.

Sugestão: ciclo trigonométrico.

: I. t + 2 ? 2t - 1

Para que valores de t existe x satisfazendo a igualdade cos x Determinar o sinal da expressão

Y: sen 107°

Solução

V. FUNÇÃO TANGENTE

+ cos 107°. 24.

v

Definição

Examinando o ciclo, notamos que:

Dado um número real x, x =1= 71 2 +k 71,

e

< x < 135° ~ Isen xl> Icos xl. Como sen 107° > O, cos 107° < O 90°

e

Isen 107°1 >

Icos 107°1, decorre:

sen 107° + cos 107° >

28-C

o.

u

seja P sua i~em no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x (e indicamos tg x) a medida algébrica do segmento

n.

29-C

Denominamos função tangente a função X,

x =1=

'Ir

"2

+ k'lr, o real

-

AT = tg x,

Notemos que, para x +-+

=

f: D --> R

que associa a cada real

isto é, f(x) = tg x.

!!. + k'lr, P está em S ou 2

S'

e, então, a

reta OP fica paralela ao eixo das tangentes. Como neste caso não existe o ponto T, a tg x não é definida.

25.

26.

Gráfico

Façamos x percorrer o intervalo [O, 2'1r] e vejamos o que acontece com tg x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo no sentido anti-horário, a medida algébrica AT varia segundo a tabela:

X

O

tg x

O

'Ir

3'1r

'Ir

2"

2'1r

T

Propriedades 1~)

O dom ínio da função tangente é

2~) A imagem da função tangente é um x real tal que tg x = y.

D = {x E IR I x =1= !!.... + k'lr}. 2 IR, isto é, para todo y real existe

De fato, dado y E IR, consideremos sobre o eixo das tangentes o ponto +-+ T tal que AT = y. Construindo a reta OT, observamos que ela intercepta o ciclo em dois pontos P e p', imagens dos reais x cuja tangente é y. 3~)

Se x é do primeiro ou terceiro quadrante, então tg x

cresce

~

cresce

O

cresce

~

cresce

O

Fazendo um diagrama com x em abscissas e tg x em ordenadas, podemos construir o gráfico seguinte, denominado tangent6ide, que nos indica a variação da função f(x) = tg x.

é positiva.

De fato, neste caso o ponto T está acima de A e AT é positiva. 4~)

Se x é do segundo ou quarto quadrante, então tg x

é negativa.

De fato, neste caso o ponto T está abaixo de A e AT é negativa. 5~) Se x percorre qualquer um dos quatro quadrantes, então tg x é crescente. , Provemos, por exemplo, quando x percorre o 1? quadrante. Dados XI e X2' com Xl < X2' temos ai < a2 e, por propriedade de Geometria Plana, A x vem AT I < AT2 , isto é: tg XI
A função tangente é periódica e seu período é

-371

2"

'Ir.

x

De fato, se tg x = AT e k E:l, então tg(x + k'lr) = AT pois x e x + k'lr têm ima!lens P e P' cóincidentes ou diametralmente opostas no ciclo +-+ +-=+ ~ ~ e, assim, OP = OP', portanto, OP n c = OP' n c. Temos, então, para todo x real e x =1= ;

+ k'lr:

tg x = tg(x + k'lr) e a função tangente é períodica. Seu período é o menor valor positivo de isto é, 'Ir.

30-e

k'lr,

31-C

EXERCICIOS C.64 Qual é o dom(nio da função real f tal que f(x) = tg 2x?

VI.

FUNÇÃO COTANGENTE

27.

Definição

Solução Façamos 2x = t. Sabemos que existe t9 t

2x

* !!.

{x

=

t

* !!.. 2

+ k1T

Ix

E IR

* !!..4 +

.!!....

k

2

k E

*

e

k1T. Dado um número real x. x seja P sua imagem no ciclo. Considere-

,z}.

+-+

Qual é o dom(nio das seguintes funções reais? a) f(x)

C.66

*

+ k1T == x !!.. + k .!!.. (k E,z) 2 4 2

D(!) =

C.65

se, e somente se,

então:

(k E Z).

tg 3x

f).

b) g(x) = tg(2x -

Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões? YI

= tg 269 0 + sen 1780

V2

= tg

121T • (sen

tgx =

*

+ cos 231T I.

51T

11

7

12

V(} - 5Cl + 4?

C.67

Para que valores de Cl existe x tal que

C.68

Esboçar o gráfico. dar o dom(nio e o pedodo da função real

f(x) = tg (x -

!!..). 4

Solução: Façamos x -

1T 4

=

t.

Temos:

*

D(f) ~ {x E IR I x

então Para tg t

3 tg t => t 31T

4

* !!.. + 2

tg

p(f)

-

<x <

31T

4

*'

!! + k1T

B'

2

descrever um per(odo completo devemos ter: 1T

37T

4

_

4

1_ !!..) 4

_ 7T 4 )•

teremos

28. 4

( por

Propriedades 1~)

= 7T.

Como a função associa a cada (x

1T

Notemos que, para x = k1T, P +-+ está em A ou A' e. então, a reta OP fica paralela ao eixo das cotangentes. Como neste caso não existe o ponto D, a cotg x não é definida.

+ k1T. k E Z}.

<=> -

então

k1T => x -

-------::::==----=::---,~--d

mos a reta OP e seja D sua in· tersecção com o eixo das cotangentes. Denominamos cotangente de x (e indi· camos c0.!Rx) a medida algébrica do segmento BD. Denominamos função co- A' tangente a função f: D -+ IR que associa a cada real x. x k1T, o real BD = cotg x, isto é. f(x) = cotg x.

O domínio da função cotangente é

D = {x E IR I x

*

k7T}.

2~)

A imagem da função cotangente é IR, isto é, para todo Y real existe um x real tal que cotg x = y. x

a

3~)

Se x é do primeiro ou terceiro quadrante. então cotg x é positiva.

4~)

Se x é do segundo ou quarto quadrante, então

analogia

com as funções já vistas) um gráfico que é a tangentóide deslocada de

o

7T

-4'

7T

4

para a direita.

l311'

x

'4 I

cotg x é negativa.

5~) Se x percorre qualquer um dos quatro quadrantes. então é decrescente.

I

,,I

cotg x

I

I

C.69

32-C

Esboçar o gráfico, dar o dom(nio e o pedodo da função real

6~)

f(x)

=

tg 12x +

.!!..). 6

A função cotangente é periódica e seu período é

7T.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

33-C

29.

Gráfico

31.

Propriedades 11

1~)

o

3~)

Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então

sec x

é positiva.

4<:')

Se x é do segundo ou terceiro quadrante, então sec x

é negativa.

5~)

Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então sec x

é

Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então

é

domínio da função secante é

D

=

{x E IR I x"*

+

k11}.

2 2~) A imagem da função secante é IR - ]-1, 1[, isto é, para todo real y, com y ~ -1 ou y ~ 1, existe um x real tal que sec x = y.

x

crescente. 6~)

sec x

decrescente. 7~)

A função secante é periódica e seu período é 211.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

32.

Gráfico

VII. FUNÇAO SECANTE secx ~

Definição Dado um número real x, x"* !!- + k11, 2

seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em P e seja S sua intersecção com o eixo dos cossenos. Denominamos secante de A' x (e indicamos sec xl a abscissa OS -1-------:........---.....,-......~-u do ponto S. Denominamos função secante a função f: O ..... A que associa a cada real OS

=

sec x,

x , x "* isto é,

!:. 2 +

k11,

f(x)

-11

o

11

2"

7f

311

x

2

-1

o real sec x.

B'

+ k11, P está em B ou B' e, então, a reta 2 s fica paralela ao eixo dos cossenos. Como neste caso não existe o ponto S, a sec x não é definida. Notemos que, para x

34-C

=

11

35-C

35.

Gráfico CQssec x

VIII. FUNÇÃO COSSECANTE

33.

Definição

*

k1T, Dado um número real x, x seja· P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em P e seja C sua intersecção com o eixo dos senos. Denominamos cossecante de x (e indicamos por cossec x) a ordenada OC do ponto C. Denominamos função cossecante a função f: O --> IR que k1T, o associa a cada real x, x real OC; cossec x, isto 'é, f(x) ; cossec x. Notemos que, para x ; k1T, P está em A ou A' e, então, a reta s fica paralela ao eixo dos senos. Como neste caso não ex iste o ponto C, a cossec x não é definida.

*

o

-1T

x

A'

B' período completo da função cossecante

EXERCICIOS

34.

Propriedades ,~)

O donfínio da função cossecante é D ; {x E IR I x

* k1T}.

2~) A imagem da função cossecante é IR - ]-1, 1[, isto é, para todo real y, com y':;; -, ou y ~ 1, existe um x real tal que cossec x ; y.

C.70

f(x) = eotg (x C.71

1T '3), g(x)

=

see 2x, h(x)

Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então cossec x é positiva.

exista x satisfazendo a igualdade:

4~)

Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então cossec x é negativa.

a) eotgx = ~ b) see x = 3m - 2

5~)

Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então cossec x

6~) Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então é decrescente.

7~)

A função cossecante é periódica e seu período é

cossec x

c) cossec x

21T.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

C.72

=

1T

eossee (x + 4'1.

Em cada caso determinar o conjunto ao qual

3~)

é crescente.

36-C

Determinar domrnio e pedodo das seguintes funções reais:

m

deve pertencer de modo

que

2m - 1 1 - 3m

=

Determinar o sinal das seguintes expressões: Vi

=

cos 91

0

+ cossec 91° 0

+ see 107

0

Y2 =

sen 107

Y3 =

see 91T • (tg 71T + eotg B

6

E- l7

37-C

CAPÍTULO III

RELAÇOES FUNDAMENTAIS

CONDUÇÃO DO CALOR: NOVA TEORIA

Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigido pelos beneditinos. Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789. Fourier que sempre desejara ser militar, ,aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular ra(zes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara. Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptolooia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito. Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando·se precursor da F (sica-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por em· pregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome. Em 1830. morreu Fourier. vítima de Jean B. J. Fourier um aneurisma cerebral. (1768 - 1830)

I. INTRODUÇÃO Para cada x

1=

k 1f definimos sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x. 2 Vamos mostrar agora que esses seis números guardam entre si certas relações denominadas relações fundamentais. Mais ainda, mostraremos que a partir de um deles sempre é poss(vel calcular os outros cinco.

11. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

36.

Teorema Para todo

x real vale a relação: v

B

Demonstração a) Se

x

*

-k1T , a imagem de

A

2

u

x é distinta de A, B, A' e B', então retângulo, OP 2 P existe o triângulo portanto: IOP 2 e

1

2

+ IP 2 PI 2

cos 2 x + sen 2 x = 1

;

IOpI 2

B'

39-C

b) Se

k1T

x

2'

b) Se x = k1T.

podemos verificar diretamente a tese:

tg x = O = x

sen x

co. x

sen 2 x + cos 2 x

O

O

1

1

1

O

1

1T

O

-1

1

31T 2

-1

O

1

1T

2

38.

temos: sen x cos x

Teorema Para todo x real,

37.

x

* k1T,

vale a relação:

cotg x

cos x sen x

Teorema Para todo x real, x

*

Demonstração 1T

2

+ k1T, vale a relação:

tg x =

a) Se

x

*

1T

2 de x é distinta de então temos:

sen x cos x

+ k1T, a imagem A, B. A' e B',

----~+J-=---..."-----_d

liOBO - liOP 1 P

Demonstração

IBOI

*

a) Se x k1T, a imagem de x é distinta de A, B, A' e B', então temos:

-IÕÃI Itg xl

@

10PII

decorre a tese

Q

Icos xl Isen xl

sinal de tg x sinal de ~ cos x

1<;>

+

+

2<;>

-

-

3<;>

+

+

4<;>

-

-

Q

sinal de cotg x sinal de cos x sen x

cos x sen x

lC?

+

+

2C?

-

-

Oe CDe® decorre a tese.

3C?

+

+

4C?

-

-

b) Se

40-C

~-----+---l_u

Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal da cotg x é igual ao sinal do quociente

CD

Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal da tg x . senx 0>\2 e•.Igua I ao d o quociente \V cos x Oe CD e

10BI

l<::--_~-+:J---l_U

IP;PI

-1CJ5 2 1 Isen xl --Icos xl

---

Icotg xl

liOAT -liOP 2 P lATI

IPIPI

--

x

1T

2

+ k1T,

temos

cotg x = O = cos x sen x

41-C

39.

Teorema

40.

Para todo x real,

X*"11

2

Teorema Para todo x real,

+ k11, vale a relação

x *" k11,

vale a relação:

I

COIMe)t·

1

se~ X

col X

Demonstração 11 2

+ k 11, a .Imagem

de x é distinta de então temos:

A, B, A' e B',

-'X .,...

a) Se

Demonstração a) Se x *" k11, a imagem de x é distinta de A, B, A' e B', então temos:

llOPS

~

10sI 10pI

llOPC

10cI 10pI

--

llOP 2 P

lopl

--

--

~

llOP 1 P

10pI --

Icossec x I ;

IOP 2 1

Isec x I

;

1 Icos x I

s

IOP11

1 Isen x I

Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal de cossec x é igual ao sinal de sen x

0.

Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal de sec x é igual ao sinal de cos x De

CD e 0

Q

sinal de sec x sinal de cos x

De

CD e 0

decorre a tese.

Q

sinal de cossec x

sinal de sen x

lI?

+

+

21?

+

+

0.

19

+

+

31?

-

-

decorre a tese.

29

-

-

41?

-

-

31?

-

b) Se

41?

+

x

+

11

2

cossec x ;

+ k11, temos:

sen x

(k par)

ou b) Se (k ímpar).

42-e

x; k11,

temos

sec x ; 1 ; cos x (k par) ou

sec x ; -1 ; cos x

cossec x ; -1

sen x

(k ímpar)

41.

Corolário

cos x ~ -

Para todo x real,

x

=1=

k1T 2 ' valem as relações:

"li 1

tg x =

sec x

C.~abendo cos x sen X

1 + cotg 2 X

1 +

7

X

sen 2 X + cos 2 X cos 2 x

+ 1

=

2

=

5

3 5 =---= - 3 4 4 5 _1_= _ 5 3 3

- "5

sen x

25 e 24

cossec x = -

que

cos x sen 2 x

sen

12 5

C.75 ·Sabendo que tg x

tg X

X

2

tg 2 x + 1 =

4

"3

11 < x <

2

X + cos sen 2 X

1 cos 2 x 2

X

1 sen 2 X

e

•

11<X< 311

cotg x

5 12

_1_ ~

~

12

tg x

cossec 2 X

5 Notando que 11<X< 311 2

tg 2 X

cos x

=

j

= 1 +

sec x < O, temos: 14 4

-_ _

25

EXERCICIOS

cossec x

_1_~

sen x

~ e 11 < x < 11, calcular as demais funções circulares de

5

x.

r "

Notando que 11 < x < 11 2

13 5

12

-13

12

13

13 12

2

Solução

44-C

=

Y~2659 25

5 13

sec x

sen x = tg x • cos x ~ ( ~) (_ ~ ) ~ 5 13 -

sen x

calcular as demais funções circulares de

"2'

x.

sec x ~ - •V I 1 + tg 2 x ~ -

2 cos\x • sen 2 X = cos 2 X cos X

Sabendo que

calcular as demais funções circu-

Solução

sec2 x

+ tg 2 x

r"

311

"2'

lares de x.

sen cos

sen x cos 2 x

3 5

-

-

cos x

cossec x =

cotg x =

-

cos x sen x

cotg x

Demonstração

4 5 -3-

sen x cos x

=-~

=-j - ~:

- sen 2 x

=

cos x < O,

temos:

"'6" 7

Calcular

cos x sa b endo que

cotg x

Calcular

sec x

sen x =

sabendo que

~

2..r;;. com

m

m - 1

2ab com a a2 + b 2

> 1. > b > O. 45-C

7

sec x

Sabendo que

3,

calcular o valor da expressão

2

2

y = sen x + 2. tg x.

~icular sen x e cos.x sabendo que 3' cos x + sen x

Solução

Solução 1

cos x

2 tg x

=

sec x

3

1 - cos 2 x

=

sec 2 x - 1

=

Vamos resolver o sistema:

8

1 _ 1

"9

9 - 1

=

"9 8

então y

=

2 sen x

~sendo y

+ 2 • 19 2 x

O<x<

sen x = -1 e 3

c;.so,,/Sabendo que

cotg x

9

9


@

em

cos2 x + (-1 - 3'cosx)2


resulta:

=

isto 11 2

cos x + 1 + 6 • cos x + 9 • cos 2 x

CDssec x - cotQ x

24 7

=

vem: sen x = -1 - 3· cos x

Substituindo

rr • calcular o valor de 2 1

+

CD

De

152

8 + 16

cossec x + cotg x

3rr e rr < x < 2"'

ou ainda

calcular o valor da expressão

10 • cos 2 x + 6 • cos x = O então

cos x

=

O ou

cos x = -

19 x • cos x y =

-1.

(1 + cosx)(l - cos x)

Substituindo cada uma dessas alternativas em Solução 1 Calculamos

= -1

sen x tg x, cos x

- 3 •O

= -1 ou sen x = -1

3 5

® ' encontramos:

_ 3 (_

e finalmente y:

~ ) 5

4 5

Assim, temos duas soluções: tg x =

7

24

cotg x

1~)

1 +

y

24 25

576 ==:::- cos x 625

49 576

( l..- )(_

19 x • cos x (1 + cos x)(l - cos xl

(1

-

24 ) 24 25 24 )(1 + 24 25 25

=

7 25 49 625

Simplificamos y e depois calculamos o que for necessário:

se" x • cosx cos x 1 - cos 2 x

sen x sso2 x

2

- V 1 + cotg x = -

Dado que y = (1

46-C

sen x = -1

ou cos x =

-~ 7

~~alcu lar

sen x

3 e sen x 5 e cos x

4

5

sabendo que

2 5, sec x - 3 • tg x = 1.

C.84 Obter t9 x sabendo que sen 2 x - 5 • sen x • cos x + cos 2 x • 3.

Solução 2

y

cos x = O e

2 cos x = -

+ tg 2 x)2 +

5

j

sen x

576 1 + 49

3rr e -

2

(1 - tlx)2.

< x < 2rr,

cossee x =

C.8S

Celcular m de modo que se tenha Solução Como

25

7

sen x = 2m + 1 e cos x = 4m + 1.

2 2 sen x+cos x=l,

resulta:

(2m + 1)2 + (4m + 1)2 = 1 ===> (4m 2 + 4m + 1) + (16m 2 + 8m + 11

~

20m 2 + 12m +

= O=>

m

obter o valor de -12 ± 8 '===> m =- 40

1

2

ou

=

-12 ±V144 - 80 40 m = -

1 10 .

47-C

C.86

Calcular m de modo que se tenha

C.87

Determi nar a de modo que se tenha

C.sa

Determinar uma relação entre x e Y. independente de t. sabendo que x

tg x = m - 2 cos x =

e

cotg x = e

a + 1

m

3

cossec x =

111. IDENTIDADES

a + 1

y;;-+2 42.

Sejam f e 9 ~uas funções de domínios Dl e O2, respectivamente. Dizemos que f é idêntica a g, e indicamos f == g. se, e somente se, f(x) = = g(x) para todo x em que ambas as funções estão definidas. Colocando em símbolos:

Solução Como

2

2

sen t + cos t = 1, 1 ==>

C.89

Definição

= 3 • sen t e y = 4 • cos t.

resulta:

~ 16

9

=

1 ==>

16x2 + 9y2

=

144

Determinar uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que

x = 5 • tg t e y = 3 • eossee t. Solução e

cotg t

=

_1_

tg t

43.

resulta:

25 + 1 ==> x2 y2 x2

=

225 + 9x 2

Exemplos 19)

=

f: IR IR tal que f(x) = (x + 1)2 - (x - 1)2 e IR tal que g(x) = 4x são idênticas pois: g: IR f(x) = x 2 + 2x + 1 - x 2 + 2x - 1 = 4x = g(x), V x E IR.

""' C.90

C.91

Se sen x + cos x pendente de x.

=

a

e

Dado que sen x • oos x 6 6 -= sen x + cos x.

sen x • cos x = b,

=

obter uma relação entre

m. calcular o valor de

a e b,

y

e

inde-

29)

f: IR ..... IR

g: IR - {1} ..... IR

z

Solução

39)

2 2 2 2 = Isen x + eos x)2 - 2 • sen x' eos x y = 2 2 = 1 -2'lsenx'eosx)2 = 1 _2m . Isen 2 x)2 + leos 2 x)2

=

C.92

4S-e

=

(sen 2 x + eos 2 x)(sen 4 x - sen 2 x • eos 2 x + eos 4 xi

sen 4 x + cos4 x - sen 2 x • cos 2 x

Sabendo que sen x + eos x

=

=.

=

49)

f: {x E IR

I x"*

são idênticas pois:

x + 1=f(x).V xE IR - {1}

são idênticas pois:

%+ k1T} .....

IR

tal que

IR. f(x) = sec2 x - tg 2 x

g: IR ..... IR tal que g(x) = 1 são idênticas pois: f(x) = sec2 x - tg 2 X = (1 + tg 2 x) - tg 2 x = 1 = g(xl

y - (sen x • cos x)2

a la dado), calcular y

g(x) =

f(x) = sen 2 x = 1 - cos 2 x = g(x), V x E

Como a3 + b 3 == (a + blla 2 _ ab + b2), temos: z = Isen 2 xl 3 + (eos 2 x)3

tal que

e x2 - 1 x - 1

IR tal que f(x) = sen 2 x e IR tal que g(x) 1 - cos 2 x

f: IR g: IR

=

f(x) = x + 1

(x+1)(x- 1) x - 1

g(x)

Como a2 + b2 == la + b)2 - 2ab. temos:

tal que

3 3 sen x + eos x.

e

para todo

x "* !!.. + k1T.

2

49-e

IV. DEMONSTRAÇÃO DE IDENTIDADE

Solução g(x)

~

cossec x - 1

44. Para demonstrarmos uma identidade trigonométrica podemos aplicar qualquer uma das fórmulas (que são também identidades) estabelecidas na teoria, a saber: as relações fundamentais, as fórmulas de redução, as de adição, as de multiplicação, as de divisão e as de transformação em produto. ~ evidente que na série de exercícios seguinte só podemos usar as relações fundamentais.

C.95

*

= =hh}

g(x)

(sec x - cossec x)~

(1 - tg x)2 + (1 - cotg x)2

para todo x real,

k1T 2 .

(sec x - cossec x):2 =

senx -COSX)2 cos x sen x

3?) construímos a função h = f - 9 e provamos que h = O. A validade deste método é justificada pela propriedade: C.96

f-g=O <==> f=g

2 • sec x • tg x = flxl.

( cos x - sen x )2 + ( sen x - cos x )2 = 1 - 2 • sen x • cos x + cos x sen x cos 2 x - 2 • se" x • tOS X = 11 - 2 • sen x • cos x) (_1_ + 1 + sen 2 x sen:2 x cos 2 x - 2 • se" x • tOS x h(xl. cos 2 x • sen 2 x

=g

==> f

=

f(x) = (1 _ tg x)2 + (1 _ cotg x)2 = 11 _ sen x )2 + (1 _ ~)2 = cos x sen x

2?l transformamos o l? membro (f) e, separadamente, o 2? membro (g), chegando com ambos na mesma expressão (h). A validade deste método é justificada pela propriedade: f

sen x cos x

Solução

l?) partimos de um dos membros (geralmente o mais complicado) da . identidade e o transformamos no outro.

g

cos x

Provar que

x

45. Existem basicamente três processos para provar uma identidade. Conforme a dificuldade da demonstração escolhemos o método mais adequado entre os seguintes:

2·

(cossec x + 1) + Icossec x-I ) (cossec x-I) (cossec x + 1)

cossec x +

2 • cossec x cotg 2 x

2 • cossec x cossec 2 x - 1 ~

+

Provar que

- cos x sen x • cos x

=

T

cos x

sen x

1 - 2· senx' cosx cos 2 x • sen 2 x -

sen x

tOS X

tg x

=

h(xl

+ tg x para todo x real. x

*

k1T

2

Solução f(xl - g(x)

l-cosx -tgx tg x

+ sen x -

sen x cos x 2 2 2 - tOS X + sen x • tOS X - cos x • (1 - tas x) - sen x sen x • cos x 2 2 - cos x + (1 - cos x) • cos x - cos 2 x (1 - cos xl - 11 - cos x) sen x. cos x

1 - cos x + sen x .... cos x (1 - cos xl sen x • cos x sen x

EXERCICIOS

C.93

1 - cos x senx·casx

Provar que

(1

+ cotl x) 11 - cos 2 x)

para todo x real,

x

*

k1T.

Solução 2 f(x) = (1 + cotg2 x)(1 _ cos 2 x) = (1 + cos X) sen 2 x

sen 2 x

~

- tos x +

tOS

x -

3

2

3

2

toS x + tOS x - 1 + cos x sen x • cos x

tOS X -

=

O

Demonstrar as identidades seguintes: C.94 Provar que x

50-C

* !!2

+

2· sec x • tg x k1T.

cossec x - 1

+

cossec x +

para todo

x real

C.98

sen x cossec x

+ cos x sec x

51-C

C.99

tg x + cotg x = sec x • cossec x

C.1DD (tg x + cotg xl (sec x - cos xl (cossec x - sen xl 2 2 C.101 seC X + Cossec X cotg'2 X C.1D2 1 + cotg2 x

=

2

CAPÍTULO IV

cos 2 X

=

cos 3 X C.1D3 :;se:;.n:.....:;x_=:...-c 3

2

sec X • cossec x

_

REDUÇÃO AO I!' QUADRANTE

1 + sen x • cos x

senx-cosx

2 2 2 2 C.1D4 cossec x + tg x = sec x + cotg x C.1D5 2(sen x + tg x)(cos x + cotg xl C.1D6 (1 + cotg xl + (1 - cotg x) 2

4

C.1D7 ~ - 2 • cos x + cos x

_ 2 • sen 2 x + sen 4 x

=

2

=

~

(1 + sen x + cos x)2 2

2' cossec x.

tg 4 x

C.10S (cotg x _ coS xl 2 + (1 - sen x)2 = (1 - cossec xl C.1D9

COS

x

+ cos y

sen x

=

sen x - sen Y

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de x, com x não pertencente ao 1!? quadrante, relacionando x com algum elemento do 1!? quadrante. A meta é ficar conhecendo sen x, cos x e tg x a partir de uma tabela que dê as funções circulares dos reais entre O e ; .

2

+ sen y

cos y - cos x

C.110 cos x + cotg x = cos x • cotg x tg x + see x

I.

2 2 2 C 111 sen x - eos Y + 1 = tg 2 x ·tg y . eos2x' eos 2 y C.112

~ + cos

- tOS X

=

REDUÇÃO DO 2C! AO lC! QUADRANTE

46.

:!!.2

(cossee x - eotg x) 2

x

Dado o número real

<

x

<

C.114 (sec x • see y + tg x • tg y)2 = 1 + (see x • tg Y + see y • tg xl

2

r-..

r-..

AP + PA' = rr

(no sentido anti-horário)

r-..

r-..

e, como AP' = PA',

6

r--.

seex + tgx 6

C.116 eossee x - eot9 x = , + 3·' eotg

v

rr, seja P a imagem de x no

ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos senos. Temos:

C.113 eotg x + eotg y = eotg x • eotg Y tg x + tg Y

C.115secx - tgx =

x tal que

vem:

r--.

AP + AP' 2

X'

2

eossee x.

r-..

portanto AP'

u

= rr

= rr - x.

~ imediato que:

sen x = sen (rr - x) cos x = -cos (rr - xl

63-C

52-e

47.

Levando em conta as relações fundamentais, decorre:

51.

Assim, por exemplo"temos:

sen x sen (11 - x) tg x -- cosx -- -cos (11 - x) ; - t 9 (11 - x)

sen 210° ; -sen (210° - 180°) ; -sen 30° cos 225° ; -cos (2~5° - 180°) = -cos 45° 411 411' 11 tg "3 ; tg (3" - 11) = tg 3"

cotg x ; -cotg (11 - x) sec x ; -sec (11 - x) cossec x ; cossec (11 - x)

sec 48.

cotg

411

"5

=

-cotg (11 -

411

"5) ;

-cotg

111.

11.

REDUÇÃO DO 3? AO 1? QUADRANTE

49.

Dado o número rea I x ta I que x

311

< 2"'

no ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro. Temos: r--. /""\ AP - AP' ; 11 (no sentido anti-horário) r--. portanto AP'; x - 11. É imediato que:

/""\

<

x

<

211,

x tal que

v

seja P a imagem de x

r-...

A -+-----l--_.-l-...j..:..:-_u

AP + PA ; 211 (no sentido anti-horário) r-... r--. e, como AP'; PA, em:

v

r--. r-... AP + AP'

= 211

,.-...

A

portanto AP' = 211 É imediato que:

u

X.

sen x = -sen (211 - x)

sen x = -sen (x - 11) cos x = -cos (x - 11)

cos

53. Em conseqüência temos: tg x -

Dado o número real

no ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Temos:

seja P a imagem de x

sen x cos X -

REDUÇÃO DO 4? AO 1? QUADRANTE

11

3;

50.

11) ; -sec ~

"5 52.

<

711

("6 -

= -sec

Assim, por exemplo, temos: senl15°; sen(180° -115°); sen65° 0 cos 130° ; -cos (180 - 130°) ; -cos SOo 211 211 11 tg "3 = -tg (11 - "3) = -tg "3

11

711

"6

X

= cos (211 - x)

Em conseqüência temos: tg x = sen x ; cos x

-sen (x - 11) ; tg (x - 11) -cos (x - 11)

-sen (211 - x) cos (211 _ x) = -tg (211 - x)

cotg x = -cotg (211 - xl cotg x = cotg (x - 11) sec x ; -sec (x - 11) cossec x ; -cossec (x - 11)

sec x = sec (211 - x) cossec x = -cossec (211 - x)

54-C /

55-C

J 54.

11 sen x = cos (- - x)

Assim, por exemplo, temos: sen 280° cos 340° 1111 tg """6

=

2

-sen (360° - 280°) = -sen 80° cos (360° - 340°) = cos 20° 1111 11 -tg (211 - "6) = -tg li

511 cossec 3

511 3

= -cossec (211 - - ) = -cossec

p;P 11 3

56.

=

f';P'

cos

====<>

X =

sen (~ - x)

Em conseqüência, temos:

tg x

cos

sen x cos x

sen

11

("2 -

x) cotg

11

("2 -

11

(2" -

x)

x)

EXERCICIOS C.117 Reduzir ao

cotg x = tg

1? quadrante:

c) Ig 290°

ai cos 178° 711 d) colg 6""

b)

gl sen (_ 711) 6 2111 jI sen 4

hl cos (_ 511 ) 3 3111 k) cos 6

sen 251 °

2311 6 311 i) Ig (- 4" I

el sec 1924°

t) CQssec

Il Ig

-

11

REDUÇAO DE ["'4'

11

2")

Dado o número real

x

("2 -

x)

cossec x = sec

(!!.- -

x)

11

v

Assim, por exemplo, temos:

tg

!!. < x
2

511

12

= cotg

11

11

(2"

C.118 Reduzir ao intervalo [O. (no sentido anti-horário)

li) se" 261 °

o " 1=1 '" + AP' - então AP' 2'

= -11 2

511

(2" - 12) 311

= sen

8" ) =

11 12

11 cotg 8

EXERCICIO

"

Pj

- x.

Considerando a congruência dos triângulos OPP 2 e OP'P'l, temos:

56-C

311

8"

= sen

P2

" vem: e, como PB = ·AP', " AP

2

sen 71° = cos (90° - 71°) = cos 19° cos 60° = sen (90° - 60°) = sen 30° tg 50° = cotg (90° - 50°) = cotg 40° 11 11 11 11 sen "3 = cos ("2 - "3) = cos 6"

A [0, 4)

tal que

11

sec x = cossec

cos 55.

xl

1111 3 57.

IV.

11

("2 -

u

411 /./-d1 sen "3 g) sen 511 6 j) sen (_ 511) 3

-i-): cos 2861 ° e) cos 211

b)

"3

711 6 cos (_ 411) 3

c) tg 511° 511 J) tg 3

hl cos

i)

k)

Il tg(- ~I 3

tg 1111 6

57'-c

V.

IDENTIDADES

EXERCíCIOS

Ao procurar resolver problemas de redução ao 1~ quadrante estabelecemos igualdades notáveis. Por exemplo, mostramos que se ; sen (11 - x) e para todo x real.

cos x ; -cos (11 - x).

f

< x < 11

então sen x ;

Vamos agora estender essas igualdades

C.119 Simplificar as saguintes expressões: aI sen

11 (2 +

c) sen el sen

11

xl

bl cos

(2 +

311 (2

- xl

dI cos

311 (2" -

311 (2

+ xl

f) cos

371 ("2

xl xl

+ xl

Solução

58. Teorema

11 (2 +

aI sen

Para todo' x real valem as seguintes igualdades:

71 bl cos 1"2 + xl

1l sen x ; sen (11 - xl e cos x ; -cos (rr - xl 2) sen x ; -sen (x - rr) e cos x ; +cos (x - 11) 3) sen x ; -sen (211 - x) e cos x ; cos (211 - x) 4) sen x ; cos

("211 -

x)

e cos x ; sen

("211 -

cl sen

371

(2 -

di cos 1

x) el sen

v

v

[11 xl = sen 71 - (2" + xl] = sen

f) cos

311

2 311

("2 + ~

("2 +

C.120 Simplificar

y

1 = -<:os [rr7 - (2 +

xl ~ -sen

[ 311

(2" -

xl = -cos [(

311

2 -

xl = -sen [2rr - 1 xl = cos [211 -

("211 -

11 = -<:os (2" -

xl]

xl - rr]

2

~

+ xl]

(2 +

xl ~ -sen x

11 = -sen (2 -

xl - 11] ~ -<:os 3rr

xl ~ cos x

rr

(2 -

= -sen

xl] = cos

11

xl

= -cos x

xl

=

("2 rr

(2 -

-sen x

xl = -<:os x

xl = sen x

sen (2rr - xl • cos (rr - xl 71 3rr tg (2" + xl cotg ("2 - xl

Solução u

I-sen xl (-cos xl (-cotg xl (tg xl = -sen x • cos x

y =

C.121 Simplificar as expressões:

Demonstração 1) Para todo x E IR temos x; Xo + 2k11 onde O";;; Xo < 211 e k E ~. Assim, rr - x ; (11 - xo) - 2krr o que mostra que x e 11 - x têm imagens no ciclo simétricas em relação ao eixo dos senos. Em conseqüência temos: sen (rr - x) ; sen x, 't x E IR cos (rr - x) ; -cos x, 't x E IR 2), 3) e 4) provam-se analogamente.

58-C

bl

(I!...

+ xl 2 tg (2rr - xl • cos (rr - xl sen (-xl· cos

aI

sen 1180° - xl • tg (90° + xl cotg (270° + xl • cos (270° - xl sec(11- xl, tg(x -!!.l

cl

2 cossec (9rr - xl • cotg l-xl

dI sen

3rr

("2 -

xl + cos 14rr - xl + tg

3rr

("2 -

xl

C.122 IMAPOFEI-761 Simplificar a expressão: sen 1

9 rr I - cos (x + l;rr I • sen 1711 - xl. 2

59-C

C.123 (MAPOFEI-74) Simplificar a expressio: 71T

sen

60.

Definição

sen (x + ll1T1 cotg (x + ll1T I

""2 +

2

Uma função f:A .... B, é denominada função lmpar se, e somente se:

cos (91T - x)

f(-x) = -f(x) , C.124 (MAPOFEI-74) Simplificar a expressio: 0 a2 cos 1800 - (a - b)2 sen 270 + 2 ab cos 00 0 2 b sen 90

"fx E A

isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos valores simétricos para a função. Exemplos

C.125 (MAPOFEI-761 Fazer o gráfico da função

VI.

y = sen (x -

1T

2") + 2.

lÇl) f(x) = 2x é função ímpar pois 2(-x) = -2x, "fx E IR 2Çl) f(x) = x 3 é função ímpar pois (_X)3 := _x 3 , "fx E IR 1 1 3Çl) f(x) = é função ímpar pois "fx E IR' (-x) x x Da definição decorre que o gráfico de urna função ímpar é simétrico em rlllação à origem do sistema cartesiano pois:

FUNÇOES PARES E FUNÇOES fMpARES

(x, V) E f

59.

==-

(-x, -V) E f

Definição

1 y=x

Uma função f:A .... B,

é denominada função par se, e somente se: flx) = fI-x), "f x E A

isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos o mesmo valor para a fUr,lção. x

x

x

Exemplos lÇl) f(x) 2Çl) f(x)

= Ixl = x2

3Çl) f(x)

1 =~ X

é função par pois l-xl é função par pois (_X)2 - par pOIS . e, funçao

= Ixl, "fx E IR = x2 , "f x E IR

1 (-)2 4

1 = -:-:2, X

'"' v X E A*

Da definição decorre que o gráfico de urna função par é simétrico em relação ao eixo y pois: (x, V) E f ==> y=lxl

y=x

61. Os números x e -x têm, no ciclo, imagens simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Em conseqüência, temos:

(-x, V) E f

sen (-x) cos (-x)

1

2

y="j(2"

= -sen x, =

cos x,

"f x E IR "f x E IR

portanto, de acordo com as defi nições dadas, a função seno é função ímpar e a função cosseno é função par.

x

6O-C

x

x

61-C

TÁBUA DE VALORES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Radianos

Seno

Tangente

0°

0,0000

0.0000

0,0000

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° 23° 24° 25° 26° 27° 28° 29° 30° 31° 32° 33° 34° 35° 36° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° 44° 45°

0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0873 0,1047 0,1222 0,1396 0,1571 0,1745 0,1920 0,2094 0,2269 0,2443 0,2618 0,2793 0,2967 0,3142 0,3316 0,3491 0,3665 0,3840 0,4014 0,4189 0,4363 0,4538 0,4712 0,4887 0,5061 0,5236 0.5411 0,5585 0,5760 0,5934 0,6109 0,6283 0,6458 0,6632 0,6807 0,6981 0,7156 0,7330 0,7505 0,7679 0,7854

0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071

0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0.1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3299 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0.6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000

Co-seno

Cotang.

Graus

Cotang.

Co· Seno

1,0000

1,5708

90°

57,290 28,636 19,081 14,301 11,430 9,5144 8,1443 7,1154 6,3138 5,6713 5,1446 4,7046 4,3315 4,0108 3,7321 3,4874 3,2709 3,0777 2,9042 2,7475 2,6051 2,4751 2,3559 2,2460 2,1445 2,0503 1,9626 1,8807 1,8040 1,7321 1,6643 1,6003 1,5399 1,4826 1,4281 1.3764 1,3270 1,2799 1,2349 1,1918 1,1504 1,1106 1,0724 1,0355 1,0000

0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9679 0,9613 0,9563 0,9515 0,9455 0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071

1,5533 1,5359 1,5184 1,5010 1,4835 1,4661 1,4486 1,4312 1,4137 1,3963 1,3788 1,3614 1,3439 1,3265 1,3090 1,2915 1,2741 1,2566 1,2392 1.2217 1,2043 1,1868 1,1694 1.1519 1,1345 1,1170 1,0996 1.0821 1,0647 1,0472 1,0297 1,0123 0,9948 0,9774 0,9599 0,9425 0,9250 0,9076 0,8901 0.8727 0,8552 0,8378 0,8203 0,8029 0,7854

89° 88° 87° 86° 85° 84° 83° 82° 81° 80° 79° 78° 77° 76° 75° 74° 73° 72° 71° 70° 69° 68° 67° 66° 65° 64° 63° 62° 61° 60° 59° 58° 57° 56° 55° 54° 53° 52° 51° 50° 49° 48° 47° 46° 45°

Tangente

Seno

Radianos

Graus

CAPÍTULO V

ARCOS NOTÁVEIS

Verificaremos no que segue que as funções circulares dos reais x = n E ~ e n;;' 3, podem ser calculadas a partir de de n lados inscrito no ciclo.

I.

Qn'

!!.-, n

lado do polígono regular

TEOREMA

Para todo

n E N

e

n;;' 3,

va le a relação

Demonstração Seja

AÔP

Como p'P =

= AÔP' =

P 'OA p

=

11

v

n

211 n'

decorre que

Qn'

No triângulo isósceles P'OP o eixo dos cossenos é bissetriz e também altura e mediana, isto é, P'P 1 u e P2 é ponto médio de P'P. Então 11

sen -

n

=

nn

A

u

Qn

r2P = -

2

63-C

11.

APLICAÇÕES

Temos, então: sen

n

Os casos mais comuns de aplicação desta teoria são aqueles em que 3,4 e 6.

62.

Valores das funções em

rr

1/4

4=2

Em conseqüência, vem: rr

cos

-i-

4

= )1

- sen

1 4" = )1 -2"

2 rr

v0 2 --rr- = V"2 = 1 cos ""4 "2

v2

1

2

Y'í

rr

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo assinalado na figura: I/~ + I/~

tg

sen"4

rr

4

= (2R)2

I/~ + R2 = 4R 2 I/~ = 3R 2

_

64.

1 123 = R~ I Notando que o raio do ciclo é 1/ 3

rr

3"

sen

2

=

=

R ...f3 -2-

R

1, temos:

rr

Valores das funçoes em "6

Sendo PQ = 12 6 o lado do hexágono regular inscrito, o triângulo OPQ é equilátero e, então:

v'3 2

Em conseqüência, vem:

!!...

cos

tg

3

Jl - sen2l!..-3 Jl

=

=

sen

rr

"3

cos

rr

3 rr

3

1 2

Temos, então: sen

v'3 =+=v'3

1/ 6

R

1

6

"2

"2

2"

rr

cos

6

= )1

2 tg

63.

rr

Valores das funções em :

rr

6

sen

- sen rr

6 rr

cos 6

2 rr

"6

1 2

v'3 =~= 4 2 1

v'3

V3 =y'3 =3 2

rr

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo assinalado na figura:

1/; + 1/;

= (2R)2

6

65.

Concluindo, podemos sint.etizar esses resultados na seguintes tabela:

seno

.21/; = 4R 2

1/;

64-C

=

2R 2

/

1 2

rr 4

"2

tangente

3"

Vi

3

Vi Vi. 2

Vi Vi

cosseno

.!!.

T

T

1

2'

.. ,',

65-e

EXERCICIOS sen 15°, cos 15° e tg15°,

C.126 Calcular

QI2

Solução sen 15° = sen

11 12

CAPÍTULO VI

Q12

2'

Calculemos QI2 no triângulo POR: PO = Q12

,

RP = OP - OR = 1 2 .\\2 =

então

1

.J3 1 3 (1 - 2""")2 = 'I' + 1 -.J3 + "4 = 2 - .J3

("2 12 +

1~ = V 1 - sen 2 1~

=

v< _

v'3

2 -4

=

V2 ; V3

I.

sen 12 --11- = cos 12

12

C,127 Calcular sen

11

8'

cos

11

8

e tg

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma (a + b) e da diferença (a - b) de dois números reais quaisquer a e b, conhecidas as funções circulares de a e de b.

11

8'

C.128 Determinar os elementos do conjunto A = {x = tg k11 3 Solução

IkE

Z}.

k =O

=

x=tgO=O

k = 1

=

x=t g ; = . J 3

k = 2

=

x = tg

211

3"

= -.J3

k = 3

==> x = tg 11 = O

k = 4

==> x = tg

k = 5

==> x = tg

k = 6

=

C.129 Determinar

411

3" 511

3"

n

A = {x = sen k11 6

r-..

-V3 então A =

{-v'3. O, v'3}.

e

i,i

k11 B = {x = cos"4

I

k Ez } .

C.l30 (MAPOFEI-74) Calcular todas as funções trigonométricas de um arco de 930°.

-r

U

r-..

R

. ./

4

Os arcos AO e RP têm a mesma medida, portanto, as coroas AO e PR são iguais. Aplicando, então, a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria Anah'tica, temos:

d~o

B sabendo que:

I k E~}

1

j

-t~·~~~Ha,_~~~,~e).n,~a+b)) /

x = tg 211 = O (repetição) A

v

P (cos a, sen a)

=V3 =

66. Cosseno da soma Sejam P, O e R os pontos do ciclo associados aos números a, a + b e -b. respectiva mente. Em relação ao sistema cartesiano uOv as coordenadas desses pontos são:

Dando valores a k, temos:

66-C

FORMULAS DE ADIÇAo

11

11 tg

v'3 "'2

,h 2- v'3

11 = QI2 sen 12 2 cos

TRANSFORMAÇÕES

aR = Q6 = .!. 2 2

(yo - YA)2 [cos (a + b) - 1 F + [sen (a + b) - oF = cos2 (a + b) - 2 • cos (a + b) + 1 + sen2 (a + b) = 2 - 2 . cos (a + b) = (xO - xA)2 'I=

67-e

d~p ~ (xp - XR)2 + (YP - YR)2 ; = lcosa - cosbj2 + lsena + senb]2 2 2 2 = cos a - 2 . cos a • cos b + cos b + sen a + 2 . sen a . sen b +

70.

Tangente da soma tg (a + b)

+ sen 2 b ; 2 - 2 • cos a . cos b + 2 • sen a . sen b d AQ

= d RP

2 - 2 • cos (a + b) + 2 • sen a • sen b

==>

cos a

b) ..

67.

Cosseno da diferença

(.

I _~ _'1l),~'f\ 1-,\' ~ W

cosi.·

.

t-~

cos (a - b) = cos la + (-b)) ; cos a . cos ; cos a • cos b - sen a·(-sen b)

sen b • cos a cosb sen a • sen b cosb

sen b • c9f1I c9rl> + cps1) c98'1l • cos b sen a sen b c9rll cos a • cos b c9rll

sen a cos a cÇ)8"a cpr"a

1eI18(' senb

cosb + senb • cosa cos b - sen a • sen b

sen a cos a

cos b + cosa· cos b cosa·

sen a

= 2 - 2 • cos a . cos b +

e, então, vem a fórmula:

I -la'" _a·

sen (a + b) cos (a + b)

então

- sen a • sen (-b) tg la + b)..

então

ti a + ti b 1 -tga. tgb

Esta fórmula só é aplicável se:

a 68.

* .!!...2 + k1l,

b

* ~2 + k1l

a +b

e

*2

+ k1l

11

Seno da soma

71.

11

11

Tangente da diferença

sen (a + b) ; cos ['2 - (a + b)) ; cos [( - - a) - b) ; 2 ; cos

11

(2

- a) • cos b + sen

11

('2 -

tg (a - b) ; tg la + (-bl]

a) . sen b

tg a + tg (- b) 1 - tga· tg(-b)

tg a + (-tg b) 1 - tga· (-tgb)

então então

I

69. Seno da diferença

• ··tlIb

tgla ··b) • 1 + tea

:

tgb

sen (a - b) ; sen [a + (-b)) ; sen a • cos (-b) + sen (-b) • cosa ; sen a • cos b + (-sen b) • cos a então

68-C

Esta fórmula só é aplicável se:

I. sano ta - bJ '[; su a ~' . . . . . . . ti·

ClâI a

I

a

* '2 + k1l. 11

*2 11

b

+ k1l

e

a- b

*' '2 + 11

k1l

n-c

EXERC(CIOS

72. Cotangente da soma cos (a + b) sen (a + b)

cotg (a + bl

cos a sen a

cos a sen a

cos b sen a cos b sen a

cos a sen a sllR"a sllR"a

cos sen cos sen

cos b - sen a • sen b cos b + sen b cos a

- sen a • sen b • sen b + sen b • cos a • sen b

C.131 Calcular os valores de: a) cos 15°

d) lec 285°

c) 19 75°

bl sen 105°

Solução ai cos 15° ~ cos (45° - 30°) ~ cos 45° • cos 30° + sen 45° • sen 30° =

V2 2 v3+ 2 V2

b s~' s~ b s~a' s~ b s~ • cosa + b sen a • s~

v6+V2

1

~2"""

"2

4

=

b) sen 105° ~ sen (60° + 45°) ~ sen 60° • cos 45° + sen 45° • cos 60° ~

v3

2"""

V2 V2

1

2+2'"2=

v6 +'>/2 4

então

cotg (a

+ b)

=<

.1lOtg a • eotf b - 1 .

cotg a. + cotg

c) 19 75° = 19 145°

b

+ 30°1

v'3 3 Y'3 - 1 · ""3

1 +

19 45° + 19 30° - 19 45° • 19 30° 3 + 3 -

v'3 V3

Esta fórmula só é aplicável se:

*

a

k7T,

b

*

k7T

e

a

+ b

*

d) sec 285° ~ sec 750 ~ k7T

4

1 cos 75°

cos.(45° + 30°)

Y'6 - V'2

;:'132 Calcular c019 165°, sec 255° e cossec 15°.

73.

/133 (FE 1-761 Sendo 19 A ~ 2 e 19 B

Cotangente da diferença cotg(a - bl

cotg[a + (-bl]

cotg a . cotg (-b) - 1 cotg a + cotg (-b)

cotg a. (-cotg b) - 1 cotg a + (-cotg bl

~. (MAPOFEI-75) ~Dados: e

37T

2"

=

1, ache 19(A-BI.

Calcular o valor da expressão sen 105° -

~

sen x =

ecos y =

5

CQS

75°.

7T

13' calcular o cos (x + y), sabendo que O < x < 2"


então Solução

Esta fórmula só é aplicável se: a

7o-C

*

k7T,

b

*

k7T

e

a - b

*

1':') cos x

=

+y 1

2':') sen y

=

-Y1 - cos 2 y =

_ sen2 x =

+J 1 -

9 4 25 = 5"

-J1 - 12:9

~

-~;

3':') cos 1x + y) = cos x • cos y - sen x • sen y = 4 5 3 -12 56 k7T

="5 x f3-"5 x 1"3=65

71-C

2

C.136 Sabendo que 19 a

e sen b

"3

~ ~ com ~ < b < rr, calcular t9 (a + b).

C.l~·(MAPOFEI-75)

5

\

Solução 10)

cosb

~ -Vl - sen 2 b

= -)1 -

~~ =-~

-1 + sen 2x 2 - sen x

/

tg 145° + x) • cotg (45° - x) = 1

Ç.140 Se a e b são ângulos agudos e positivos, demonstrar que:

sen (a + b) < sen a + sen b

4 5

4 19 b=-=3=-3

Solução Seja X = sen (a + b) - sen a - sen b = sen a • cos b + + sen b • cOs a - sen a - sen b = sen a Icos b - 1) + sen b (cos a - 1)

5

19 a + 19 b - 19 a • 19 b

C.l.37 Sabendo que sen x

,,"

sen (x + V),

"

Demonstrar a identidade:

17

15 17' sen V =

~

cos (x + y)

Temos:

.::.&

3

-"5 •

O<x<2:. 2

e

O< a <

rr <

y <

3rr

"2'

O< b < calcular

== ~ == rr

"2

sen a > O e

cos a < 1

sen b > O ecos b < 1

Então

e 19 (x + vi.

==

sen a • (cos b - 1) + sen b • (cos a - 1) C.138 Demonstrar as identidades:

~sen (a

co 52 b - cos2 a

+ bl • sen (a - b)

Icos x

l

cos y

----v---'

>0


e

~EPUSP-621

~en x ~en y ~en I = sen (x

'-r-'

>0

l)


rr< a

s,.t1l1 (EPUSP-63) Provar que se 4" L-" 4 sen (a + b) < sen a +"5 • sen b

+ sen (z - xl

cos z

X < O

X < O == sen (a + b) < sen a + sen b

,"

- vi + sen (y -

----v---'

'-r-'

<

2rr

e

11

4

11

< b < 2'

entlio

.........-.; cos2 (a + bl + cos 2 b - 2 • cos (a + bl • cos a • cos b = sen 2 a C.142 Provar que os ângulos internos A, B" e C de um triângulo não retângulo verificam a relação:

Solução a)

I'? membro = (sen a • cos b + sen b • cos ai (sen a • cos b - sen b • cos a) = sen 2 a • cos 2 b - sen 2 b • cos 2 a = (1 - cos 2 a) • cos 2 b _ 11 - cos 2 bl • cos 2 a = cos 2 b - cos 2 a = 2'! membro

bl la membro

=

sen

y

I cos

sen

y

cos z

Z

I Isen x cos x

sen Z cos z

I + Isen x cos x

sen V cos y

Solução

I

A + B + C = 180°

=

= sen Iv - l) - sen (x - zl + sen (x - vi sen (x - vi + sen (V - l) + sen (z - xl = 2'? membro 2

=

2

cl I'? membro = Icos a • cos b - sen a • sen b) + cos b- 2 • (cos a • cos b - sen a • sen bl • cos a • cos b = l 2 "" cos 2 a • cos 1 b - 2 • sen a . sen b . cos 8 • coS b + sen a . sen b + + cos2 b = senl a = sen 2 a = sen 2 a = sen 2 a

72-C

- 2 • cos 2 a • cos 2 b + 2 • se" 8 • sen b . cos a • cos b • sen 2 b - cos 2 a • cos 2 b + cos 2 b = • (1 - cos 2 bl - (1 - sen 2 a) • cos 2 b + cos 2 b = _ sen 2 a . cos 2 b - cos2 b + sen 2 a . cos 2 b + cos 2 b = 2'! membro

=

tg A + tg B

1 - tg A • tg B

= -tg C

=

t9 (A + B) = tg 1180° - C)=

tg A + tg B = tg C (tg A • tg B - 1)

=

~A+~B+~C=~A'~B'~C

~'Demonstrar a C.l~st~dar a ,/

,.

== A + B = 180° - C ==

identidade: 4, sen (x + 60°)

cos Ix + 30°) = 3 • cos 2 x - sen 2 x.

variação das seguintes funções reais:

a) f(x) = sen 2x • cos x + sen x • cos 2x b) g(x) =

2V2 .

V2

cos x + -2- • sen x

1 + tg x x=l_tgx

c) hl)

73-C

Soluçio

11.

~ sen 3x

+ x)

a) f(x) = san 12x então D(t) = IR 27T p

=""3

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de 2a, 3a, 4a, etc, conhecidas as funções circulares de a.

x

Im(t) ~ [-1, 1]

74. b) g(x) = cos x • cos

-i- + sen x • sen

~

= cos Ix -

FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO

%1

Funções circulares de 2a Façamos 2a

então

DIgl ~ IR

=

a + a e apliquemos as fórmulas de adição:

I) cos 2a = cos (a + a) = cos a • cos a - sen a • sen a

p = 27T

Im(g) ~

[-1. 1] então

y

o

.Cos 2a .. COSZ a ;. senz a cos 2a .. 2 ~ :CI)s'l a ~ 1 cos2a .. 1 ., 2 •. senz a

x

-1 y

7T

tg 4 + tg x ___=-__ 7T 1 - tg /I' tg x

cl hlx)

= tg Ix

7T

+ -)

11) sen 2a

4

então Dlh) = {x E IR

I

x '"

~ +

7T

k7T}

x

= sen

= sen a

• cos a + sen a • cos a

então

4

I

p = 7T Imlh) ~ IR

x =- 7T 4

(a + a)

$110211=2 •

sen a • cos 11

J

=> tgl-!!:.+ 2r.1=tgO=O

4

4

C.145 Estudar a variação das seguintes funções reais: a) f(x) = cos 2 2x - sen 2 2x b) g(x)

~

c) hlx) ~

V3 . cos x

=.

tga+tga -tga·tga

tg (a + a)

- sen x

f:IR->IR

dada por

sen x • cos 2x • cos 3x - sen x • sen 2x • sen 3x +

+ cos x • sen 2x • cos 3x + cos x • sen 3x • cos 2x

74-C

=

sen x + cos x cos x sen x

C.146 Qual é o período da funçio f( x)

111) tg 2a

então

jtl

2II .. 2 • ti2a 1 ~ t9 a

75-C

75.

Funções circulares de 3a

EXERC(CIOS

Fazendo 3a = 2a + a e aplicando as fórmulas de adição, temos: I) cos 3a = cos (2a + a) = cos 2a • = (2 • cos 2 a - 1) cos a = (2 . cos2 a • 1) cos a = (2 • cos2 a - 1) cos a -

~. Sendo

to x

3

4 e

=

<x <

lT

Soluçio

cos a - sen 2a • sen a = (2 • sen a • cos a) sen a 2 sen 2 a • cos a = 2 • (1 - cos 2 a) cos a

sen x

j

= -

2"'

calcular sen 2" •

=_),:6 9=-~

t02" + t02 x

1

3lT

16

cos x

j

= -

=-j

1 +1t92 x

1

então sen 2x

3

sen x • cos"

= 2 •

=-~

9

+ 16

1

= 2 • 1-"5)

C.,41(IFEI-77) Calcular sen 2x sabendo-se que: to x + cotg x

= 3.

/'

C.149 Sendo cotg x

.11) sen 3a = sen (2a + a) = sen 2a • cos a + sen a ·cos2a=

5"

e O

lT < x < 2'

calcular cos 2x.

Solução

2

= (2 • sen a • cos a) • cos a + sen a (1 - 2 • sen a) = 2 . sen a • (1 - sen 2 a) + sen a • (1 - 2 sen 2 a)

12

=

V 1 + cotg 2 x

J.1

cossec x

=

cos 2x

1 - 2 • sen2 x = 1 - 2

=

=

144

13

25

+

"5

~

C.~50IMAUA-77) Sendo:

aI calcule sen

lT

(2"

sen Q

2 3'

=

sen x =

5

13

119 169

169

então

=

0< < ~

com

Q

+ 200

lT

b) calcule cos('4+ OO

III)t9 3a

t9 (2a + a)

t92a + t9 a - t92a • t9 a

2 t9 a 2 + t9 a - t9 a

C.151 Sendo sec x

to x

=

76-C

e

3 lT

1 = -

j

2

< x < 2lT,

calcular tg 2x.

-V sec2 x -

~:

- 1 ;4 = -

14

to 2x

~se 3a ,. 3 • tga • " a· tg1-3.t a

~;

Soluçio

1 -

2 • t9 a + t9 a (1 - t92 a) (1 - tg2 a) - 2 • t9 a • t9 a

então

=

=

- 24

2 • tg x

,.--:qj2X

cos x =

3 "5

sen x =

12 13

49 - 576 3lT

e

"2

= -

< x < 2lT,

336 527

calcular

sen 3x.

./

~Se

e

lT

'2

< x < lT,

calcular

cos 3x.

77-C

4

"3

C.154 Se sec x

e O

11 < x < 2'

C.155 (MAPOFEI-751 Calcular

sen 2

1~

. UI. calcular

FORMULAS. DIViSA0

tg 3x.

1~

- cos 2

+ tg

~

+ tg

1~11.

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de"" ~, conhecida uma das funções circulares de x.

C.156 Provar que: a) sen 4a = 4 • sen a • cos 3 a - 4 • sen 3 a • cos a b) cos 4a ~ 8 • cos4 a - 8 • cos 2 a + 1 4 • tg a - 4 • tg 3 a c) tg 4a ~ tg4 a _ 6 • tg2 a + 1

r~.~emonstrar

V

76.

0.0

•

cos 2" -1

C.l58 (POLl-61 I Esboçar o gráfico da função cos 2x.

•

a

=

sen2 n a 2" • sen a

2

V

sen 2 x

cos x

2 cos2

cos x

1 - 2 • sen

2: - 1 2

utilizando o gráfico de

Solução A partir da identidade oos 2x ~ 1 - 2 • sen 2 x, temos: V ~ 2 • sen 2 x = V = 1 - cos 2x

x

2x

cos 2x

V

O

O

1

O

11 4

11 2

O

1

11 2

11

311 4

311 2

O

1

11

211

1

O

2 cos 2 a - 1 ecos 2a = 1 - 2 • sen2 a, portanto,

Sabemos que cos 2a fazendo 2a = x, teremos:

pelo princfpio da indução finita que:

cos a • cos 2a • cos 4a •

I: dado o cos x

2

~

I

== sen

t . tj' -~s

II

x

V

,

tg

X

sen 2

"2

X

=

x

tg -2 •

±J. ~ >

cos 2

-

+

COSll COS II

Os sinais (t) só têm sentido quando se conhece cos x, sem conhecer x. Assim, sabendo que cos x = cos xo, temos: -1

2

x .. Xo + 2k11

2'! solução:

x

x

2

x

C.159 Estudar a variação das seguintes funções reais: ai f(x) ~ cos4 x - sen4 x c) h(x) = cos4 x + sen4 x

ti! solução:

b) g(x) ~ 8 • sen 2 x • cos2 x

C.160 Qual é o per rodo das seguintes funções reais? 1 - tg2 2x a) f(x) = sen x • cos x b) g(xl = 1 + tg2 2x

-xo + 2k11

=

x

'2

Xo + k11

2'

Xo

- 2' + k11

(I)

(11)

As expressões (I) e (11) nos indicam que, dado cos x, existem 4 possíveis arcos ~, pois k pode assumir valores pares ou ímpares, os quais dão origem a dois valores para cos

i,

sen ~

e tg ~. Provemos que existem dois valores

simétricos para cos ~, por exemplo:

c) h(x) = cos 6 x + sen 6 x

78-e

79-e

Expr. (I) k par:

cos ~

=

cos (~O + 2k l 7T)

Expr. (I) k Impar: •

cos

2x

=

cos

Expr. (11) k par:

cos 2

=

cos (-

Expr. (11) k ímpar:

cos;

= cos [-

x

=

=

[ Xo

2 + (2k l + 1)7T]

2Xo

+ 2k l 7T)

i

cos

=

cos

= COS (-

x; + (2k 1 + 1)7T I

Xo (2 + 7T)

Xo 2)

=

= cos (_

cos

=

-cos

2Xo

Xo 2"

x; +

7T)

.!!.<~<7T 4 2 2"

Observemos que

5 x t9 x = 12' calcular sen 2"'

C.163 Se

Soluçio

-cos

Xo

2

±},,..-,...:' ---.- ±} -..!.-25 + t9

cos x =

=

2 x

-- + !3 - 13

1 + 144

77.

É dado o sen x sen

Sabemos que cos x = ± y 1 - sen x, portanto, tendo sen x, calculamos cos x e entramos com as fórmulas do parágrafo anterior.

P

i ±j1 - 2cOS x

=...-

=

2

sen

entio há 4 possibilidades para

+ _,_

+

_ _,_

v'26 '

v'26 '

'2

1 + 13 = 2

ou

Í-

±j~ 26

x

2": __ 5_

y'"1G .

v'26

,//

C.'6~UUSP-69) Sabendo-se

EXERCfclOS

,

C.1!>1 Calcular as funções circulares de

/

.

x

determinar

E.

sen

~ndo

7T

8"

cos

8"

e t9

cosx

=

3'

"2'

8

. C.16~-sabendo que sen

"2

• 1

que x á um arco do primeiro quadrante e x

7T

24 cos x = 25

sec x = 4

311" 2

e

e

O

7T < x < "2'

< x < 27T,

C.167 Estudar a veriaçio de funçio

f:1R -+ IR

calcular

calcular

sen

x

4'

cos

x

4 e

x

4'

t9

t9 (7T ; x).

J

f(xl -_

dada por

1 - c 0s 2x 2

Solução t9

7T

De cos 2x =

8"

24 C.162 Se sen x = 25

7T

2"

e

< x < 7T,

calcular as funções circulares de

já vimos que: D(f) = IR p = 7T Im(f) = [O; 1]

x

"2'

- cos 2x 2 f(x) = ~ = Isen xl

- 2 sen 2 x decorre que

=

sen 2 x,

portanto,

y

1

Solução cos x sen

80-e

x

=

2"

-y 1 =

+}

sen 2 x 1 -

=

-J, - ~~~

tOS X

2

=

+.yfi6 25

= -

;5

4

=

311"

7T

"2 -1

5" \

--_

", 2

"'-

/21T

x

... ./' ..... 81-e

C.168 Estudar a variação da função

f: IR - {x

I

*' ~

x

+ k7T}~ IR dada por

1

1

t(xl = (' - cos 2x)2 • (1

+ cos 2x) -2, 1

C.169 Qual é o pedodo da função k7T

a*':2

C.170 ai Para todo real

f:IR ~ IR

dada por

(k E Z).

provar que

+ cos 4x1 2 ?

f(x) = ('

, sen

a

a

~ cotg 2 - cotg

A utilidade destas três últimas fórmulas é permitir a substituição de sen x,

a.

cos x e tg x por uma única função b) Demonstrar, utilizando o resultado anterior, que

+

sen a

+ _,_ + + _,_ sen 4a ... sen 2na

sen 2a

=

cotg

a

2" -

cotg

2n

Esse tipo de substituição é frequentemente utilizado na resolução de equações trigonométricas.

a.

V. IV.

TRANSFORMAÇAO EM PRODUTO

TANGENTE DO ARCO METADE Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de x, co·

nhecida a tg ~. Das fórmulas de multiplicação, temos: sen 2a

=

2 • sen a • cos a

=

2 • sen a •

cos2 a cos a

=

2 •

1 sec 2 a

sen a cos a

2 • tg a 1 + tg 2 a tg 2a

=

sen x

=

x2 x2 x2 x2 x3 x3 x x3

2x = x(x - 2) 4 = (x + 2) (x - 2) + 4x + 4 = (x + 2)2 } - 4x + 4 = (x - 2)2 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) 2 - 8 = (x - 2) (x + 2x + 4) 2 + 3x + 3x + 1 = (x + 1 _ 3x2 + 3x _ 1 = (x _ 1)3

colocação em evidência diferença de quadrados

-

)3}

_ _ trinômios quadrados perfeitos _ _ soma de cubos - - diferença de cubos ----+

polinômios cubos perfeitos

•

x e a

=

78. Em Álgebra Elementar, têm grande importância prática os recursos para transformar um polinômio em produto de outros polinômios (fatoração). Assim, por exemplo, temos:

3

2 • tg a 1 - tg 2 a

Fazendo 2a

=

x

"2' temos:

x 2· 19 2

1fi!1f i

Notando que cos x

82-C

(tg ~), através de expressões racionais.

=

senx

x

e

tgX' temos:

tgx =

2· t9 2 1-

tlf

~ 2

Muitas vezes aplicaremos esses recursos à Trigonometria, recorrendo a transformações como: sen2 x - 2 • sen x = sen x (sen x - 2) sen 2 x - cos 2 X = (sen x + cos x) (sen x - cos x) Além dos recursos algébricos, a Trigonometria dispõe de fórmulas que permitem completar uma fatoração. Assim, no exemplo acima, podemos fatorar: sen x + cos x

e

sen x - cos x.

Vamos deduzir agora as fórmulas para transformar somas e diferenças trio gonométricas em produtos.

83-C

Sabemos que:

79.

cos (a + b) = cos a

cos b - sen a

sen b

cos (a - b) = cos a

cos b + sen a

sen b

sen (a + b)

sen a

cos b + sen b

cos a

sen (a - b)

sen a

cos b - sen b

cos a

Logo:

CD +G): CD -G):

cos (a + b) + cos la - b)

2 •

cos la + b) - cos (a - b)

-2 . sen a • sen b

0 ) + 0 : sen la + b) + sen (a - b) = 2 sen (a + b) - sen (a - b) = 2

@-(D

CDS

CD

G)

p = q =

p +q portanto, a = -2-

tgp-tgq"

==

sen (p - ql cos p • Cos ti

a • cos b

sen a

cos b

sen b

cos a

Fazendo nas fórmulas de Werner:

a +b {a - b

==>

ffi

Estas relações são denominadas fórmulas de Werner.

80.

sen p • cos q - sen q • cos P cos p • cos q

sen q sen p cos q cos P

tg P - tg q

e b= p-q 2-

EXERCICIOS C.171 Transformar em produto:

a) y = sen 5x + sen 3x b) y = cos 3x + cos x cl y == sen 7a + sen 5a - sen 3a - sen a d) y = cos 9a + cos 50 - cos 3a - cos a e) y = sen a + sen b + sen c - sen (a + b + c) Solução =

2 • sen

5x + 3x 5x - 3x • cos - - 2 2

b) y =

2 • cos

3x - x 3x + x 2 • cos 2 = 2 • cos 2x • cos x

a) y

==

2 • sen 4x . cos x

obtemos as fórmulas de transformação em produto:

cosp -I- 1»$4 .. 2 .

c) y = (sen 7a + sen 5al - (sen 3a + sen a) = 2 • sen 6a • cos a - 2 • sen 2a • cos a = 2' cosa (sen 6a - sen 2a) = = 2 • cos a (2· sen 2a • cos 4a) == 4 • cos a sen 2a . cos.4a d) y

=

(cos 9a + cos 5a) - (cos 3a + cos a)

= 2 • cos 7a • cos 2a - 2 • cos 2a • cos a = 2 • cos 2a • (cos 7a - cos ai =

-4 • cos 2a • sen 4a • sen 3a

e) y = (sen a + sen b) - [sen (a + b + cI - sen c] =

81.

Temos ainda que: sen p + sen q tgp+tgq= - cos P cos q

=

84-C

tgp+tgq ..

sen p • cos q + sen q • cos p cos p • cos q

=

2 • sen a + b • cos a - b _ 2 • sen a + b • cos a + b + 2c 2 2 2 2

=

-2 • sen a + b • [cos a + b + 2c _ cos a - b 2 2 2 a + b + 2c + a - b

sell (p .+. q) . cos p. ·cosq

=

-2 • sen a-+2b- ' ( -2, sen

== 4 • sen a

+b

2

a +c sen -2-

2 2

J=

a + b + 2c - a + b • sen

---'::';---1

=

b+c sen - 2 -

85-e

C.172 Transformar am produto: a) b) c) d)

C.174. Transformar em produto:

y

+ sen 2x y = 1 + cos x

.' (/'

y = 1 + cos a + cos 2a y = sen a + 2 • sen 3a + sen Sa

Solução

a) y = sen =

%+ sen 2x

=

2

sen

f)

(*

+ x) • cos (~ - xl

f . cos (- ~ I

i) =

1 = 2· cosa [ cosa + cos _11] cosa (cosa + "2) 3

d) y = sen 2 5x - sen 2 x

= cos 2x - sen 2x = cos2 3x - cos 2 X

e) y

COS

cosa + cosb

x = sen x + sen (2" - x) =

2 • sen !!. • cos (x - !!.) 4 4 11 bl y = cos 2x - cos (2" - 2x) =

!!.. •

=..fi.

=

(cos 3x + cos xl • (cos 3x - cos x) (2 • cos 2x • cos xl (-2 • sen 2x • - (2 • sen 2x • cos 2x) (2 • sen x • -sen 4x • sen 2x (sen 5x + sen x) (sen 5x - sen x) = (2 • sen 3x • cos 2x) (2 sen 2x (2 • sen 3x • cos 3x) (2 • sen 2x

= =

4

sen (2x - !!.I =

4

cos (x -

!!..) 4

-v2 . sen (2x

-2 • sen

d) y

!!..). 4

1311 1111 . cos 12 12'

Solução

p +q -2-

2411

P

""12

y

2"

1

=

1311

211 e q =

(2 • sen

e

12 1311

12

1111

P - q -2-

211 12

6'

cos

!.!.!!')

11

12

12

obtemos

portanto: =

1

2"

Isen 211 + sen ~) 6

1

"2 10 + .!..) 2

1

'4

2

a - b cos -2-

a '+ b

a - b cos 2

2 • cos

2

=

cos

"8

b) y

=

sen

12

!!.,

1311 S11 24

• cos

711 12 11 cos 24

4

sen xl cos x)

Solução

cos 3x) cos 2xl

cos 40° • cos 80° • cos 160. = 2 • cos 80° • cos 40° • cos 1600 2 (cos 120° + cos 40·) • cos 160° 2 (-2")' cosl60°

=

11

8

. sen

1

a +b sen -2-

aI y

711

a) Y

C.179 Provar que cos 40· • cos 80· • cos 160°

=

= sen 6x • sen 4x

86-C

C,J17 Calcular o valor numérico da expressão: y = sen

cI Y = sen

=

=

4 cos4 (A -

/

11

=

=

=

em uma soma equivalente.

C.178 Calcular o valor numérico das expressões:

aI y = sen x +

=

cos 2x • cos 4x

(sen A + cos A)4

C.176 (FEFAAP-77) Provar que

sen a + sen b

Solução

c) y

1 - sen a

Fazendo

a) y = sen x + cos x c) y

y

4

C.173 Transformar em produto: b) y

y =

C.l75 (MAPOFEI-76) Transformar o produto

cos a • cos (~ + !!. I • cos (~ - !!.) 2 6 2 6 d) y = (sen Sa + sen a) + 2 • sen 3a = 2 • sen 3a • cos 2a + 2 • sen 3a = 2 san 3a [cos 2a + 1] = 2 • sen 3a • [cos 2a + cos O] = 2 • sen 3a • [2 • cos a • cos a] = 4 • sen 3a • cos 2 a =

y = y =

sén (a + b + c) - sen (a - b + c) cos la + 2b) + cos a sen a + sen (a + r) + sen (a + 2r) + sen (a + 3r) cos la + 3b) + cos (a + 2bl + cos (a + b) + cos a cos 2 P - cos 2 q sen 2 p - sen 2 q cos 2 P - sen 2 q se" 28 + se" 2b cos 2a - cos 2b + se" a

2 • cos2 ~

c) y = (cos 2a + cos O) + cos a = 2 • cos 2 a + cos a = 2

y ~

hl y

b) y = cos O + cos x = 2 • cos

=

y = y =

g) y

(1 + x)

2 • sen 2

a) b) c) di e)

a + b t9 - 2 -

\

1

+ 2".2. cos400. cos1600 2

-cos 160° + cos 200° + cos 120° 4

cos 120° --4-

87-C

C.180 Provar que

tg 81 ° - tg 63° - tg 27° + tg 9° = 4. =

C.181 Demonstrar que, se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, vale a relação:

a) sen A + sen B + sen C = 4 • cos b) cos A + cos B + cos C

=

~2 • cos ~ • cos ~ 2

1 + 4 • se n A "2

=

=

•

=

2

B sen 2"

•

C sen "2

d) Sabemos que

c) sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 • sen A • sen B • sen C d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2 • cos A • cos B • cos C

11? membro

Preliminares:

I)A+B+C

= 7f

11) A + B + C

IB + C)

=

B + C 2

7f=

A

= 7f -

7f

"2 -

=

a)

= 1

B + C 2

1'?

sen A + 2 • sen B ; C • cos B ; C

~

B - C + 2 • cos A cos 2 2 2 [A B-C] sen"2 + cos - 2 - =

cos

sen A

=2

cos

= 2

lcos B + C + COS B - C] cos A 2 2 2

=2

[ B C cos A 22'cos ,cos

=4

A cos "2

2 ]=

2

cos

B

2" •

cos

C

2"

=

2'!

membro

cosA+2'cosB+C B-C -2-- • cos 2-

=1

A 2

cos 201 + 2

= 1

=1

C A "2B • sen 2" • cos 2"

b) cos B + cos C - cos A = -1 + 4 • cos

C "2B • cos "2 • sen

A

2

c) cos 2A + cos 2B + cos 2C = -1 - 4 • cos A • cos B • cos C di sen 2 A + sen 2 B + sen 2 C = 2 • (1 + cos A • cos B • cos C) 1

e)

1

1

tg A • tg B + tg B • tg C + tg C • tg A

="27f

7f

=

1

(A, B, C

-=1=

2")

então:

a I tg a • tg b + tg b • t9 c + tg c • tg a = 1 bl cos 2 a + cos 2 b + cos 2 c - 2 • sen a • sen b • sen c

=

2

C.184 Provar que se (sen 2A, sen 2B, sen 2C) é uma progressão aritmética, então o mesmo ocorre com Itg (A + BI, tg IC + A). tg (B + C))'

- 2

+ 2 • sen !'2.. • cos B - C 2 2 2 A[ A B-C sen"2 sen 2" - cos - 2 - ] =

- 2

A[ B+C B-C sen"2 cos -2-- - cos - 2 - ] =

- 2 • sen

= 1

C.183 Provar que se a + b + c

membro :::: cos A + cosB + cosC =

(1 - 2 sen 2

sen

=

+ cos 2C ~ 2 2 2 A cos 2B + cos 2C + cos + 2 :::: + cos2 A + cos (B + C) • cos (B - C) + cos2 A - cos A • cos IB - C) = - cos A [cos (B - CI - cos A] = - cos A [cos (B + C) + cos IB - C)] = - 2 • cos A • cos B • cos C =2~ membro

ai sen B + sen C - sen A = 4 • sen

=2

"2 "2A

=

1 e cos 2 OI

C.182 Demonstrar que. se A, B. C são ângulos internos de um triângulo. vale a relação:

10 membro :::: sen A + sen B + sen C == =

b)

B + C A n - 2 - :::: cos

"2

= 2 cos 2 01-

cos 2 A + cos 2B + 1

= 1

cos

Solução

cos 201

{ sen (B + C) :::: sen A cos (B + C) :::: --eos A

r

A ===> 2

=

2 senA [-cos(B + C) + coslB - C)] = -2, sen A [cos (B + C) - cos (B - C] = -2 • sen A (-2 • sen B • sen C) = 4 • sen A • sen B • sen C = :z'? membro

/2. )

~ A

[-2 sen

~ B

~]

• sen

+ 4 • sen "2 • sen "2 • sen

C

"2

=

=

:z'?

membro

c) 1~ membro = sen 2A + sen 2B + sen 2C = sen 2A + 2 sen (B + C).cos (B_ C) = 2 • sen A • cos A + 2 sen A • cos (B _ C) = 2 • sen A [cos A + cos (B - C)j =

Solução Por hipótese, temos:

sen 2B - sen 2A = sen 2C - sen 2B 2 • sen (B - AI • cos (B + AI = 2 • sen (C - B) • cos (C + BI sen [(B + cl - IA + C)] • cos IB + A) = sen [(C + A) - (A + BI]' cos (C + B) [sen (B + CI • cos (A + CI - sen IA + C) • cos (B + C)] • cos (B + A) = = [sen IC + A) • cos (A + BI - sen (A + B) • cos (C + A)] • cos (C + B) sen (B + C) • cos (C + A) • cos (A + BI - sen (C + A) • cos (B + CI • cos (A + B) = sen (C + AI • cos IA + BI • cOS (B + C) - sen (A + BI • cos (C + AI • cos (C + B) Dividindo por cos (A + B) • cos IB + C) • cos (C + A), temos: sen (C + A) sen (C + A) sen (A + BI sen (B + C) cos (B + cl - cos (C + A) = cos (C + A) cos (A + BI isto é: tg (B + C) - t9 (C + A) = tg IC + A) - tg (A + BI

88-e 89-C

C.185 Provar que se (sen (a + b - c), sen (a - b + c),

sen (-8 + b + c)) (tg a, tg b, tg c).

aritmética, então o mesmo ocorre com C.186 Provar que se

,

a + b +c =

11

2'

é urna progressão

=

cos A + cos B = sen C

Solução 1~ membro = sen 2 a +

1 - cos 2b

2

+

1 - cos 2c

2

+ 2 • sen a • sen b • sen c

2

+ + + +

~

=2'cos

+ sen2 a _ tas 2b + tOS 2c + 2 • sen a • se" b

sen c

=-

sen

A

+8

2

C

A - 8

C

C

·cos - 2 - =2'sen"2'cos"2 A - 8

C

C

2 . cos - 2 - = sen "2 • cos 2"

=-

===>

=

sen 2 a - cos (b + cl • cos (b - c) + 2 • sen a sen b • sen c = sen 2 a - sen a • cos (b - cl + 2 • sen a • sen b • sen c = sen a • [sen a - cos (b - c) J + 2 • sen a • sen b • sen c = sen a • [cos (b + cl - cos (b - c) + 2 • sen a • sen b • sen c 1 - 2 • sen a • sen b • sen c + 2 • sen a • sen b • sen c = 1 = =

cos A + cos 8

sen C, então o triângulo é retângulo.

Solução

então

sen 2 a + sen 2 b + sen 2 c + 2 • sen a . sen b • sen c

!

C.190 Prover que .. os ângulos de um triângulo A8C verificam a relação

A - 8

===> cos - 2 -

=

cos

A-8

C

'2

{

ou A - 8 =

-e=

1

Z' membro

C.187 Estudar a variação, da função

f: IR .... IR

dada por f(x) = cos x - sen x.

C.191 Provar que se os ângulos de um triângulo A8C verificam a relação sen 4A + sen 48 + sen 4C - O, entlo o triângulo é retângulo. C.192 Demonstrar que todo triângulo cujos ângulos verificam a relação + sen 3C = O tem um ângu lo de 60°.

sen 3A + sen 3B +

Solução f(x) = cos x - cos (~ - x) = -2 • sen rr • sen (x _ !!.) 2 4 4 =

-0/2 . sen (x

-

~) 4

Portanto: D(f) = IR p = 2rr Im(f) =

[-0/2, yl2J

y

O

x

-1

-./2

C.1B8 Estudar a variação da função C.189 Qual é o pedodo da função

90-e

f:1R .... IR dada por f(x) = sen 2x +

COS

2x.

f(x) = 1 + tg x ? 1 - tg x

91-e

Moscou: preso escreve obra CAPÍT ULO VII

-

Jean Victor Poncele t nasceu em Metz, no ano de 1788. Tendo-se destaca do como estudan te quando cursava a Escola Pol itécnica de Metz, Poncele t tornou- se conheci do como excelen te professo r de Matemá tica, sendo convida do a servir como engenheiro no exército napoleô nico.

EQ UA ÇO ES

Em 1812, Poncele t lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro. Durante os dezoito meses de cativeiro, começo u a escrever um de seus trabalho s mais notáveis: a Geomet ria Projetiva, teoria em que Oesargues e Pascal tinham dado os primeiros passos, no século XVII. Em 1814, Poncele t retorno u à França e, a partir de 1815, começo u a publicar suas criações nos "Anais da Matemá tica". Seus trabalho s iniciais versavam sobre os polígon os inscritos e circunsc ritos a uma cônica.

o grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas", só aparece u em 1820 e foi melhora do e reprodu zido dois anos depois com o título "Tratad o das proprie dades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncele t observo u que certas proprie dades das figuras se mantém constan tes, quando as figuras sofrem deform ações por projeções. Poncele t foi ainda o criador da teoria da polarida de e do princípi o da dualida de, base sobre a qual outros matemá ticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormen te seus trabalho s. Finalme nte, Poncele t atingiu o max/mo de sua criação quando estabele ceu o conceit o de razão dupla ou anarmô nica. Com base nesta descobe rta, posterio rmente, Klein consegu iu unificar as geomet rias numa só, criando a pan-geometria.

Jean V. Poncel et (1788 - 1867)

Poncele t faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera.

I.

EQUAÇÕES FUND AMEN TAIS

82.

Sejam f(x) e g(x) duas funções trigono métrica s da variável x e sejam e O os seus respecti vos domínio s. Resolve r a equação trigono métrica 2 f(x) = g(x) significa determi nar o conjunt o S, denomi nado conjunt o-soluç ão ou conjunt o-verda de, dos número s r para os quais f(r) = g(r) é uma sentença verdadeira. Observe mos que uma condiçã o necessária para que um certo r seja uma solução da equação dada é que r E O I e r E O2 , DI

83.

Quase todas as equaçõe s trigono métrica s reduzem-se a uma das três equaçõe s

seguintes: 1~)

sen a = sen ~

2~)

cos a = cos ~

3~)

tga =

tg~

denomi nadas, por esse motivo, equaçõe s fundam entais. Assim, antes de mais nada, é necessário saber resolver as equaçõe s fundam entais para poder resolver qualque r outra equação trigono métrica .

93-e

11.

RESOLUÇÃO DA EQ UA ÇÃ O sen a .. sen (3 b) coss ec x

84. Se sen a = sen (3 = OP 1, entã o as imagens de a e (3 no ciclo estão sobr e a reta r que é perpendicular ao eixo dos senos no pon to PI , isto é, estão em P ou P'.

~

3 (

S

{x

=

Ix

E IR

211

a e (3 têm a mesma imagem, isto é, são côngruos 1'!)

c

) sen x

S

ou 2'!) a e (3 têm imagens simétrica s em relação ao eixo dos senos, isto é são suplementares.

=

O :;: sen O === :>

= {x E {x E

IR IR

I x = 2kll I x = kll}

1 dI sen x = "2 = sen

Em resumo, temos:

{

x

sen a .. sen p

«=P +2k 1r ou { a:"7 l"-I J+2 k1l '

I

ou

= -

V2

2

S

EXE RCIC IOS

{x E IR

=

11 -

511

4

Ix

=

X

11

"6 + 2kll

=

ou

11

cl sen x , el-"'sen x

W Sen x

.bl cossec x

5: + 2kll

==

cossec

= - ..;;

f)

= 1

sen x ==

hl sen x

3"

fi sen

=

2" ..[3 2"

s

l:I:

sen

=

x

:..[3

2

=

5"

{X =:>

=

x = 11 -

x

ou

1I==>

=

=

!!. 3

{

+ 2kll

i

2kll

+ 2kll}

+ 2kll

ou

sen "3

{x E A I x

i

= -

~ + 4

ou

x

= 11 -

-i- + 2kll

x == 211

"3

+ 2kll}

sen x = 1 = sen

S

+ 2kll

=

{x E

IR

Ix

~ ,ent ão: =

~

+ 2kll}

ou

x

= lT -

= {x E A I x = 5" + 2klT 11

~

=

511

4" + 2kll

-1

g)

11

S

211

+ 2kll

ou

~

d) sen x = 1

= O

Solu çio

a) sen x

"6

x = ~ 6 + 2kll}

ou

X

11

+ 2kll}

O + 2kll

{

sen

2kll

x = (2k + 1) • lT} =

ou

X =

=

!!.3

=

O + 2kll

C.19 3 Resolver as seguintes equa ções:

"5

21T

:3 +

11 -

x

{

aI sen x = sen

=

X =

11 = {x E A I x = "6 + 2kll

e) sen x

+ 2kll

3

x = 11 -

S

/"

l!..

ou x =

=

11 '6

ou

{

+ 2kll

3"

=

1 --v r = sen 3"

sen x X =

211

:==:> sen x = sen -

--- -+ --- -:- t-- --- t-- .- u

Há, port anto , duas possibilidades:

85.

==

3211

= coss ec

ou

i

+ 2kll

x =

4lT} 5" + 2kll

h) sen x

S

=

=

-1

{x E

=

sen

IR

I x

311

2" =

,ent ão:

311 2"

+ 2kll

}

94-e 96-C

C.194 Resolver as equações abaixo: a}' sen 2 x =

. tes equações: 1.198 Resolver as segUIn

41

.b) sen 2 x - sen x = O

c) 2

sen 2 x - 3 • sen x

d) 2

cos 2 x = 1 - sen x

.Jt sen 2x

+ 1 = O

Solução

)

a) sen x --+~ - 2

S

=

então:

x = -

i

sen (x -

2

b) ..en 3x =

~)

,. dI sen 2x = sen x

6" +

2k1T

ou

51T

x

+

6"

2k1T

ou

71T

x

6"

!!.-

2X

+ 2k1T ou

aI sen 2x

+ 2k1T}

1

1T

==

= 2" = sen 6"

+ 2k1T

6

ou {

:rr.6 + 2k1T

2x -- 1T b) sen x • (sen x-I) = O

S

= {x

E IR I x

= k1T

=

= O ou

sen x

ou

~ + 2k1T}

x =

S

então:

{xElRlx

+

1T

12

k1T

ou

x

+

51T

12

r r 1T

d sen x

o::

3±Y9=!l

3±1

4

4

S = {x E R

I

~

x =

1

====> sen x:=;1

+ 2k1T ou

x =

i

ou

+ 2k1T ou

b) sen 3x

_

'2 ' entao:

11 - sen 2 xl

resolvendo:

=

sen x

1 =:

=

-"2

sen x

S

!!..

===> x :::: 1

= {x

E IR I x

2""

.cJ sen x

y

sen 2 x

g}--y

==

=

sen

= sen

x = 51T + 2k1T}

S

{x E IR

I

2

!!.2

ou

==

4"

x

1T

12

+

2k1T

3""

2"

6

Y3

c) sen (x - ::'1 3

+ 2krr

_ 1T x =

-4- = 1

2

1T

= sen

ou

+ 2k1T ou

+ 2k1T ou x

x:::

71T

6"

+ 2k1T

- : + 2k1T ou x

S

{x E

IR

I x

1T

b) cossec x = 2

~.

v'3 -2

sen 2 x = 1 sen 2 x + sen x - I h) 3 • Ig x = 2 • cos x il cos 2 x = 1 - sen x

:..tI-2 •

= 1

;

sen x - cossec x

!Y'sen x + cos 2x = 1

S = {x E R

o

c.199~eter . ar a

C;)9á (FEFAAP-77) Determinar os valores de x que satisfazem à equação: 4 4 sen x - l I sen 2 x

+

6 = O

21T

3

+

2k1T

ou

+ 2k1T

1T

1T "3 + 2k1T

3"

ou

x

1T

1T

"3

+

=

1T -

1T "3 +

2k1T

2k1T}

7 1T + 2k1T} (k E Zl 6 dI sen 2x = sen x

7"

1T

4

x _ :rr.- + 2k1T} - 4 3

ou

=

"3

k1T}

+ 2k1T

x -

C.I95 Resolver as equações abaixo:

, li! sen x

1T

- sen x ~ 2 sen 2 x - sen x - 1 ::;; O 1 + y:):;a 1 +3 -1

4 recaímos em equações fundamentais sen x

Y2

4

3x = 1T -

6

d) 2 •

.J2 2""

Solução 1T

Ix

{x E IR

1

=

x

I

== x = 2k1T

2 x + 2k1T o: { 2x = 1T - x + 2k1T ou

E IR tal que:

sen 5x = sen 3x

x =

1T 2k1T } "3 + 3""

b~/3'X" ==

sen 2x

.• lo ABC sabendo que estão em C.:lQO" Determinar os ângulos internos de um trlangu '

prog~ V 3

são aritmética e que o seno da soma do menor angu • I o com o ângulo médio é - 2 .

C)9? (FEI-76) Resolva a equação: 2 sen x

Isen x I +

3 sen x = 2

sen (x + y) = O C.201 (MAPOFEI-761 Resolver o sistema { x _ y = 1T

96-e

97-C

111.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO cos a

cos (J

c) cas x

(

S

a e (J têm a mesma imagem,

isto é, são côngruos

f)

em relação ao eixo dos cossenos, isto é, são replementares.

=

S

Em resumo, temos:

cosx=c os

211

3"

então

"3

cos

=

I x

IR =

IR

11} ±"2 + 2k11 = {x

a

=

{

~

(J + 2k1T

hl cos

ou

a

s

=

Ix

=

~ +

k11}

= 2k11}

cos 11' então

I x

IR

I x

Vi

=

11 + 2k11}

=

±

IR

+ 2k11}

= cos 4

V3 2

{x E

i

11

= 2

x = -

=

E IR

11_ = cos 3" entao

= "2

{x E

=

_ antao

2"

S = {x E IR I x = ±

cos(J

~

1 = cos O então

1

cos x

Ix

IR

{x E

=

gl cos x

cos a

= tOS

e) cos x = -1

S

a e (J têm imagens simétricas

O

{x E

S = u

=

{x E

=

d) cos x A

ou

87.

~

cos x

11

v

Há, portant o, duas possibilidades:

2~ I

=

S = {x E IR I x = ± 2; + 2k11}

86. Se cos a ~ cos (J ~ OP2, então as imagens de a e (J no ciclo estão sobre a reta r que é perpend icular ao eixo dos cossenos no ponto P2 , isto é, estão em P ou P'. 1~)

211

"3

b) sec x . = sec

I

-(J + 2k1T

=

i

+ 2k11}

511

6"

cos

x =

então

então

511

±Er + 2k11}

C.203 Resolver as equações abaixo: a) 4 • cos 2 X = 3 sen 2 x = 1 + cos x

b) cos 1 x + cos x = O dI cos 2x + 3 • cos x + 2

c)

EXERCI CIOS

Solução

C.202 Resolver as seguintes equações :

a) cos 1 x

l'

cos x == cos !!. 5

bJ sec x

cl/ cos x

~O

dI cos x

el cos x

= -1

f)

g) cos x

cos x

hl cos x

Solução a) cos x

sec

211 3

1 1

2" == -

S

2

{x E IR

x

b) cos x • (cos x

S

V3

=

===>

=

{x E IR

=

tOS x ==

11

±"6

+ 1) = O

I

x

=~

+ 2k11

ou

o;;-

cos

11

"5 I

=

x =

±!!.5

x -- +!!. - 5 + 2k11}

+ 2k11

cos x

então

-3±~ 4

=

S

tas x =

ou

ou

x

= O

= 11

ou

=

envio

O

cos x = -1

então

+ 2k11}

===> cos 2 x + cos x

-3±1 = -4-

O

_ + 511 x - - 6

===> cos x

+ k11

c) 1 - cos 1 x = 1 + cos x e reca í mos no anterior.

V3

-2-

d) 12 • cos 2 x - 1) + 3 • cos x + 2

S = {x E IR

98-C

=;

3 "4

=

=

=

O

2 • cos 2 x + 3 • cos x + 1 ~ O

===> cos x = -1

ou

cas x

o;-

-

'21

211 } = {x E R I x = 11 + 2k11 ou x = ±"3 + 2k11

99-C

C.204 Resolver as equações abaixo: 1

=-2

a) cosx

V2 =-2

IV.

b) cos x d) sec x

=2

88. Se tg Q = tg (3 = OT, então as imagens de Q e (3 estão sobre a reta r determinada por O e T, isto é, estão em P àu P'.

v3

c)cosx::=

-2-

=8

e) 2 • cos 2 x = cos x

fi 4

cos x + 3 • sec x

g) 2 - 2 • cos x

=

sen x • tg x

h) 2

sen 2 x + 6 . cos x ::; 5 + cos 2x

i) 1 + 3 • tg 2 x

=

5 • sec x

) = O • (4 - _1_ j) (4 - _3_) sen 2 x cos 2 x

c)

=

cos Ix +

2Vi 2:-1 6

=

Vi

s

=

2

O

{x

I x

E IR

b) cas 2x ::; cos x

S

=

{x E IR

c) cos (x

S

=

+

rr

61

ou

d) cos Ix _ 21.1

2~) Q e (3 têm imagens simétricas em relação ao centro do c ielo, isto é, são explementares.

4

4

S

= {x

E IR

rr

cos ==

=

"6

±

89.

rr + krr} 12

==:;:;;:;:;>

2X ou { 2x

c

2x = ± !!..6 + 2k1T ' então'.

=

x + 2krr

=

-x + 2krr

Em resumo, temos:

= (3

então:

+ 2kIT

=

ou = IT

I x = 2krr ou x = 2krr}

o:=(3+k7l'

+ (3 + 2kIT

3

=

{x E IR

dI cos (x - 21.)

=:;

= tg (3

Q

Há, portanto, duas possibilidades:

b) cos 2 x = cos x

Solução aI cos 2x

tg

1~) Q e (3 têm a mesma imagem, isto é, são côngruos

C.205 Resolver as seguintes equações:

a) cos 2x

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO

O = cos

x = =

i

rr

2 ==

x + 61T

+ 2krr ou

1 = cos O

=

2rr

- :3

x x -

::=

rr

'4

=

±~ 2

+ 2k1T

+ 2krr

'

então'

.

}

2krr . então: EXERCICIOS

I x ='.!!4

+ 2krr} C.209 Resolver as equações seguintes:

ai tg x cl tg x

C.206 Resolver as seguintes equações:

a I cos 3x - cos x = O

b) cos5x = cos (x

rr '3)

+

cos (A + 81

=

1

2

e sen (8 + Cl =

= -

el tg 2x

C.207 Determinar os ângulos internos de um triângulo ABe sabendo que

1

b) cotg x

= 1

=

V3

= V3

d) tg x = O

V3

g) tg 3x =

fi tg 2x

= tg

h) tg 5x

= tg 3x

x

Solução

2

aI tg x = 1 = tg ~ . então: C.208 IMAUÁ-771 Dada a equação a)

100-C

resolva-a se:

x = y

(sen x + cos y) (sec x + cossec yl = 4 b)

resolva-a se:

sen x

==

cos y

S = {x E R

Ix

=

.!!.- + krr} 4

101-C

b) cot9 x ~ V3 => t9 x ~

1

'=

v3

11 "6'

tg

•

entao:

b) sen 2 x

S ~ {x E IR I x ~ !!. + k11}

então: t9 x

6

~ {x E IR I x

d) t9 x

211 + k11} 3

=

c) t9 x +

O ~ t9 O , então:

=

S ~ {x E IR I x ~ k11} e) t9 2 x

=

11 3

V3 = t9

tg x -=

~2x

11 + k11, 3

=

então:

S

t)

2

4

s

=> 3x = 11 + k1T,

*

então:

+ k11 3

x

~

tg 5x e tg 3x,

E IR I x = ~11, k par}

-= 1 ,então:

Ix

=

!!. + k11} 4

1 + t9 x ==> t92x - t9 x = O==>

= {x E IR I x

=

t9 x ::::

k11 ou

x ~

11 + k11} 4

!!. 5

./

portanto:

6

!!.) 4

1

.) cotg x = -1

/2 ~ tg 2x = 3

= cotg (x +

.!!.) 4

1

2.tgx =

1 _ Cos x

~

Solução

d) (1 - tg x)(1 + sen 2x) = 1 + tg x

a) sen x = V3 • cos x ==> ~ =v3=>tgx=v3 •~ • r:::

3

=

~otg 2x

sen 2 x

!!.. +

g) tg 2x = tg(x +

d) cot9 x = O

c) sen 2x • cos(x +

~ {x E IR I x ~

t} tg 3x - tg 2x = O

J*t94x

d) sec 2 x = 1 + tgx

s

4

2

Ig x = tg

b)

c) tg x + cotg x = 2

102-C

2±~

{x E IR

~2x ~

cos 2 x

COS

= 311 + k11}

C.212 Resolver as equações abaixo:

a) sen x - V3' cos x = O b) sen x ~

x

2 2 ==> t9 x - 2 • t9 x + 1 = O

=

t9 x

/~9X=V3

k11 2

C.210 Resolver as equações abaixo:

2

+ k11 ou

4

1,

-1

.Iof cotg x = cotg 511

Notemos que se k for (mpar, então não existem = {x

=

~

2 ==>tg x -=

_/,,/

}

h) tg 5x = tg 3x =* 5x = 3x + k11 =*

S

11

=1

C.211 Resolver as equações abaixo:

4

S ~ {x E R I x = 11 12

t9 x

então: t9 x :::: O ou

S = {x E IR I x = k11}

.!!.

ou

1

=

cos 2 x

==> t9 x • (t9 x - 1) = O,

t92x = t9 x =* 2x = x + k11, então:

g) tg 3x = 1 = tg

2

sen x

x ==>

d) sec 2 x ~ 1 + t9 x=>1 + t92x

S ~ {x E IR I x ~ !!. + k11 } 6

2

S ~ {x E IR I x

c)t9X=-V3~t9211 • 3 ' entao:

s

:::: COS

x

k11}

!!.) = cos 2x • sen (x + !!..) 4

C.213 (MAPOFEI-75) Resolver a equação

4

cotg x - sen 2x = O.

C214 (FEI-77) Para quais valores de p, a equação:

tg p x = cotg px

tem

x

=

11

2 pera

raiz.

103-e

~u

V. SOLUÇOES DE UMA EQUAÇÃO DENTRO DE CERTO INTER VALO 90. Quando desejamos obter as soluções de uma equação pertenc entes a um certo intervalo I, seguimos a seqüência de operaçõ es abaixo: 1?) resolvemos normalm ente a equação , não tomand o conhec imento do intervalo I até obterm os a solução geral;

l~

obtida a solução geral, onde necessariamente aparece a variável k inteira, atribuím os a k todos os valores inteiros que acarretem x E I. a conjunto-solução será formado pelos valores de x calculados com os valores escolh idos para k.

6

(chamad a solução geral)

11 + k11

x =

3

A solução geral é o passo Que queremos buir valores a k:

em

2?l

+ k11

11

x

CD

11

t l

O ==* x

=

:11

=

l==X =

k

6 11

em@ jk=O ==X= k=l

3 411 3

=-x=

a k em Observam os que qualquer outro valor atribu (do x fi! O ..---. 211, EXERC (cios

s= C.215 Determin ar

x E [O, 211] tal que 2· sen x = 1.

{

11

11

6'3'

?!!

CD

ou

@

acarretaria

411 }

6'

3

C.217 Determin ar x tal que

O<x< 11 e sen3x=

1

2

Solução A solução geral da equação

.!:. + 2k11

x =

Se queremo s

s

=

ou

6

{:ri

6'

1

sen x :;

2

x = ~ + 2k11

O..;; x ..;; 211,

'0/3

devemos atribuir a k o valor O,

Chamem os de

~} 0....----.. 21f tais que o seno do seu dobro

7 Em

::: sen x ==> ou

Chamemos de x os arcos procurados, então:

'0/3 2

~

sen 2x

=

sen

1f 3

=-

r ou

2x =

104-e

em@

+ 2k11 ~

211

3"

+ 2k1f

{ 2x

(De ~

Solução

3"

os arcOS procurados, então: 2X = x + 2k11

sen 2x

6

11

v h

então:

2

sen 2x

O >-----4 211 tais que o seu seno é igual ao

Solução

6

C.216 Quais são os arcos do intervalo fechado é

C,218 Quais são os arcos do intervalo fechado seno do seu dobro?

é

1f - X + 2k1f

X = 2k11 ou {

x

E. + 3

2k1f

3

== x = O O

r

S = {O,

=

=

=

x = 211

== x =

1f

3

==> x = 1T 511 k = 2 ==> x = 3

k=l

:ri , 11, 3

511 21f} 3 •

10S-e

1

C.219 Obter as soluções da equação sen 3x = sen 2x que pertencem ao intervalo [

O, 11.

C.220 Oeterminar x tal que O < x

< 211

VI. eQUAçOES CLÁSSICAS

ecos 2x = 1 2

Solução

Apresentaremos neste item algumas equações tradicionais em Trigonometria, -sugerindo métodos para fazê· las recair nas equações fundamentais.

Temos cos 2x = co. 11 3

~

11 + 2k11 3

r ou

==

2x = - 11 + 2k11 3

Oe

0)

Jkk == O

1

1

=

x = :

=

x = 711

então S = { !! 511 6' 6

de

(3)

J

x

0) 91.

:u=_

==

11 + k11 6

x

= c (a.

Fazemos a mudança de variável sistema:

sen x

u

e

cos x = v e resolvemos o

au + bv = c { u 2 + v2 = 1

1111

=:

b. c E R*I

Método 1

6

=2 ===>

a· sen x + b • cos x

(3)

511

=

k = 1

L

""6

r

11 + k11 6

6

Tendo calculado u e v, determinamos os possíveis valores de x.

711 1111} 6' 6

Método 2 C221 Obter x tal que cos 3x

=

cos 2x e O E>; x E>; 11. Fazendo b = tg O, temos;

a

C.222 (EESCUSP-69) Achar a. soluções de 4· sen 3 x - sen x = O para O E>; x E>; 271.

a • sen x + b • cos x =

C.223 Determinar x tal que O E>; x .;;;; 11 e tg 6x = tg 2x.

C

==> sen x

Solução tg 6x = tg 2x

~

6x = 2x + k11 ==> x = k11 4

Fazendo

k = O, 1, 2, 3, e 4, obtemos respectivamente x

11. EXcluindo os valores

11 e 4

311 4

=

E:

O

11

311

2' "4

, 4'

para os quais não existem as tangentes de

sen x + tg O • cos x = -

~

sen x • cos O + sen O • cos x

e, assim, calculamos

~

c

E.. • cos x

-

a

sen O sen x + - cos O

a

==>

c

cosx

- ==>

a

c • cosO ==> sen(x + O) =

c • cosO

a

a

x + O.

e 6x

Método 3

e 2x, vem

Fazendo

tg

2"x

= t,

a • sen x + b • cos x = C.224 (MAPOFEI-74) Calcular x no intervalo

O E>; x ,;;:: 2~

-

C.225 Sendo O E>; x E>; 11, resolver ~ - ~ C.226 (Itejubá-69) Resolver a equação sen

c a

~

+

x

+ sen

y

=

" tal que tg x + cotg

x

O.

= 1 sabendo que

x

+

y

= 11 3

= 2.

temos C

sen x =

==> a'

-2t-

2t 1 + t2 e +b.

1 + t2

=> 2at + b - bt2 = c + ct2 ==> (c + b)t 2 - 2at

1 - t2 , então: 1 + t2

cos x =

2 _t 1 + t2

+ (c - b)

C

=

==>

O

e reca fmos em uma equação do 29 grau em t. Observemos que este método falha se 11 + 2k11 for solução da equação, caso em que a substituição 11 tg "2 = t não tem sentido.

106-e 107-e

EXERC(CIOS

Y3. CDS x

C.227 Resolver a equação

Então:

+ sen x

t =

Solução

Fazendo

CD

sen x

vem

r

=

e

u

ou=

cos x

ou

®

t =

v'3

=

0,

que, substitu(da em

acarreta:

u = 1

-

Y3

2

'Y3=

Existem, assim, duas possibilidades:

e

V3 2

1 e 2

sen x

4

-2 + V3, ~

2

+ kTr e x

Tr 12

2

Tr + 2kTr

x

Tr + 2kTr 6

bl

C.229 Determinar x tal que

1

Solução

'2

Fazendo

sen x

O ~ x ~ 2rr

e

u

=

v'3. sen x

cos x

v,

e

- cos x = - V3

sen x +

COS

x = 1.

temos:

Tr + 2kTr 2

x =

ou cos x

=

+ k1r e

1T

Fu=

v = V3 2

cos x = O, sen x = 1

x 2

tg

i

= 1,

al sen x + cos x = -1

-0'Y3=1 portanto

-2 + V3

C.228 Resolver as seguintes equações:

4 v2 -2v3.v=0 • r::

o

i

t = tg

temos:

V,

ou

2(1 + V3)

Existem, assim, duas possibilidades:

CD u = 1 - v •

(1 - v •.vs r:: 31 2 + v2 = 1 então

2±2V3

211 + V31

Método 1

.De

2 ±V4 - 4 (1 + v'31 (1 - v'31

CD

Tr + 2kTr 6

x

0:

em

u

2

+ 11 - u)2 = 1

== 2u 2

- 2u = O

Existem, então, duas possibilidades:

Método 2

sen x +

u=O

Y3. cos x

1 ==> sen x + tg

Tr' sen 3 ~ sen x + • cos x Cos !T3 sen x . cos Tr + sen Tr 3 3

==> sen(x +

E.) 3

1

. Cos x Tr 3

cos

Tr 3

=> 2t + Y3 - Y3 ' t

=

2t

1 + t2

1 + t

2

=

e

u

v

1-u=0

%' 2Tr}

Tr + 2kTr 6

Tr + 2kTr 6

F

= 5Tr + 2kTr 6

+ v'3.

[O, 2Tr]:

b) Isen xl + Icos xl = 1

C.231 IMACK -701 Resolva no conjunto dos números reais a equação

Tr + 2kTr 2

Método 3

2

S = {O,

ou

C.230 Obter as soluções das equações abaixo, dentro do intervalo

ou

=

v=1-u=1

a) sen4x + cos4x = 1

x + Tr 3

sen x + V3 • cos x = 1

e

portanto

=

1=

r

1 ==> 2

Tr . cos x 3

1 - t

2

1+t2

= 1

=

(1 + V3lt 2 - 2t + (1 - V31 = O

C.232 Discutir a equação em x:

m· sen x + cos x

sen 2x

1 - cos 2x .

m

Solução Fazendo

m'

sen x

2t

,--:;:ti

2t

1+t2

e cos x

_ t2 2 = m ==> 2mt + 1 - t + 1

1+t2

=> Im + 1) ol2 - 2mt + Im - 11 = O Esta última equação tem solução real se, e somento se, apresentar

1:.=

2

4m _ 41m

+ 111m-li

=4;;;'0

1:.;;;' O,

o que Ocorre para todo

então: m real.

1OS-C 109-C

cl sen 4x - sen(

C.233 Discutir, segundo m. as equações seguintes:

2"11 -

x) = O==>2 'sen

a) m·' cos x - (m + 1) , seno x = m 1~

b) sen x + cos x = m

2

4

~

92.

sen fj(x)

=O

~

ou

cosI 3x 2

possibilidade:

cos fj(x) .. O

• cosI 3x 2

!!.) = O

+

4

11 = k11 ~

2

4

11 +~ 5 10

==> x =

To

"2 - 411 )

= O ~ 5x

!!.)

sen( 5x _

possibilidade:

(5x

!!.)

+

= O==> 3x 2

4

+

11 2

!!. 4

+ k11 ~

==> x ". 11 + 2k11

6

o método

de resolução consiste em transformar a soma em produto e estudar as possibilidades de anulamento de cada fator.

s

= {x E IR

d) oos 3x + oos(

Ix

=

3

11 + 2k11 ou 10 5

11 2" - 2xl

x =

(x + !!.) = O==>2 • cos"2 4

• cosI 5x _ 2!.) = O 2

+ !.) ". O ~ x + !!. 4 242

4

11 + 2

cos( ~

k7T =>

11 + 2k11 2

2'!

possibilidade:

EXERCfCIOS

_ ~) = O => 5 x 2 4

oos( 5x 2

7T

7T

4

2

+

k7T =>

-=x=311+~ 10

5

2klT ou

x =

C.234 Resolver as equações: a) sen 7x + sen 5x

cl sen 4x - cos x

~

~

O O

s

b) cos 6x + cos 2x = O d) cos 3x + sen 2x ~ O

=

{x E R I x = !i + 2

C.236 Resolver as equações: Solução a) sen 7x + sen 5x

~

O ~ 2 ' sen 6x ' cos x = O

-= x =

1~ possibilidade:

sen 6x = O==> 6x

k11

To

co. x = O => x

!!. + k11

s

possibilidade:

~ {x E R I x ~ k11 ou x 6

=

(m, n

bl cosax + cosbx = O

(a, b E R*)

k11

6

cl sen 2x = oos( x +

2

E '1*)

aI sen mx + sen nx = O

~ 4

I

C.236 Resolver as seguintes equações:

11 + k11} 2

a) sen x + sen 3x + sen 4x + sen 6x = O bl oos 3x + cos 7x = cos 5x

b) cos 6x + cos 2x = O ~ 2 • cos 4x ' cos 2x = O

Solução

1~

possibilidade:

cos 4x

~

O==> 4x =

11 + k11 -= x ~ 2

!!.

+

8

k11 4

To

possibilidade:

co. 2x

~

O ~ 2x =

11 + k11~ x = 2

11 + 4

~ 2

s

~

{x E IR I x

~

11 +

8

k11 ou

4

x =

a) (sen 6x + sen 4xl + (sen 3x + san x) = O ~ ==:::O>

2 • sen 5x· cos x + 2 • sen 2x • cos x

~ OOS X ' (sen 5x + sen 2x) = O

7x =2'cosx'sen"2 'cos

3x

"2

=-

=

O::::=:ll-

=0

111-C 110-C

rr 2

+ krr

tI! possibllid«le:

cosx=O==>x=

2'! ponibilidade:

sen

7x 2

=O~

31! possibílíd«le:

cos

3x 2

=O==>x=

s

= {x

bl (cos 7x

2krr 7

= a (a

E RI

Para resolver esta equação basta aplicar a identidade sen 2 2x sen4 x + cos4 x ;: 1 pois:

+ 2krr

rr 3

4

sen4 x + cos x

2

3

E A I x = 1!: + krr x = 2 krr ou 2

.

7

+ cos 3xl - cos 5x = O ==>2 • cos 5x • cos 2x - cos!lx = O ~

~ 2 • cos 5x (cos 2x -

tI! possibilidade:

..!..)

= O==>

2

cos 5x

:z'! possibilidade:

s = {x

x =

"" 93.

O ==> x =

=

.J.. ~

cos 2x =

E A Ix =

1T

10

2

rr 10

Temos então:

+ krr 5

_ sen 2x = a ~ sen 2 2x = 2(1 - a). a =1> - 2 2

x = ± rr + k1T 6

+ k1T ou x

Notemos que só existe solução se O"';; 2(1 - a) ".;; 1,

± !!.. + k1T}

=

5

isto é; se

6

C.237 Resolver as equações: a} sen 5x + sen x = 2 • sen 3x b} cos x + cosl2x + aI + cos(3x + 2al = O c} sen 7x + cos 3x = cos 5x - sen x

94. 2

2

C.238 Determinar x tal que O';;; x.;;; 1T e cos (x + a} + cos 1x - aI = 1. C.239 Determinar x tal que

sen 3x + cos 2x - sen x = 1

C.240 (MAPOFEI-74) Determinar o ângulo dade: senlx +

!!..) + 4

senlx

_!!..)

x,

e O';;; x O;;;

n.

=

(xo. yol

{ sen sendo.

112-C

1

a + b • cos a - b 222 a e b. do I'? quadrante.

(1 _ sen 2x) 2

4

(sen4 x + cos x)

2

C.242 (FEI-77) Resolver o sistema: =

4

_ sen 2 X • cos2 x + cos xl

1 -

com

3 sen 2 2x 4 pois:

2

2

Xo = 21T e Yo =

bl resolva o sistema, determinando todas as soluções

sen a + cos b

sen 6 x + cos6 x ;: 1 -

medido em radianos. que satisfaz a igual-

C.241 (MAUÁ-771 Dado o sistema

a} mostre que o par

Resolver esta equação aplicando a identidade:

...[2

4

Senlx + yl + sen(x - y} { senx+cosy=2

sen 6 x + cos 6 x = a (a E RI

~ não

sen 2 2x -~

3 • sen 2 2x 4 Temos então:

é solução do sistema.

(x, yl.

4 - 4a ..... . t e soluça-o se O"';; - 3 "'" 1, Notemos que SÓ eXls

isto é, se

1 4 113-C

EXERCICIOS

sen 4 x + cos 4 x =

C.243 Resolver a equação

3 4

Solução

\

VII. FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS

95.

Decorre da teoria que:

A função seno, isto é, f: IR ..... IR tal que f(x) = sen x é evidenternen· te não sobrejetora (pois ti x E IR tal que sen x = 2) e não injetora (pois rr

portanto

!!. +

2x =

4

s

=

=

krr 2

x =

{x E R I x =

rr +

krr}

4

rr

e sen -

= sen

5rr ).

6

Se considerarmos a função seno restrita ao intervalo

[- !!., !!.] e com

2

2

contradomínio [-1,1]. isto é, g: [- '!!., !!.] ..... [-1,1] tal que g(x) = senx, 2 2 notamos que

rr + krr 8 4

8

5rr

*-

666

± "2 V2 e entao: -

sen 2x =

Função Arco-Seno

sen x

C.244 Resolver a equação

7

16 . Solução

x

Decorre da teoria que: -1

portanto 2x =

=

± !!. + krr 3

~

±

sen 2x =

e então:

x = + rr - 6" +

19)

krr 2

tal que

9 é sobrejetora pois para todo

=

{x

E IR I

x

± !!. + krr}

=

6

4

ai sen x +

cos 4 x =

5

c) sen 4 x + cos4 x = d) sen

6 3

;

+ cos

6

;

e) sen x + cos 3 x = 1

[- ~ ,

%]

a função seno é crescen-

x E [O, 2rr]:

co-seno. Notemos que g-I tem domínio

5

8"

e associa a cada

~ =

9 é injetora pois no intervalo

Assim sendo, a função 9 admite inversa e g-I é denominada função ar-

8 6 b) sen x + cos 6 x =

!!.] 2 ' 2

te, então:

2

C.245 Resolver as seguintes equações para

E [-1, 1] existe x E [_!!.

sen x = y;

29)

s

y

x E [-1,1]

um

y E [-

jo seno é x (indica-se y = arc sen x).

1~

I

y = are sen x

<==>

[-1,1], contradomínio

[-

%' %]

~,~] tal que y é um arco cu-

Temos, portanto, que:

sen y

=

x e -

i ,; ;

y';;;

iI

114-c 115-C

Já vimos que os gráficos de duas funções inversas entre si são simétricas em relação à reta que contém as bissetrizes do 1
C.24S Calcular

sen x

Fazendo

arc sen

sen

1 e 3

Q =

are sen x

2" cosa

!!..

2

tglarc sen

C.250 Caleu lar

cos(arc sen

então

sen EXERCICIOS

1

e

cos

a

=

5

Temos:

isto é,

are sen

~

q ue está no intervalo

a

=

.! 2

e

não é qualquer

[_!!..

2'

1f

2

a

!!.. 1 isto 2 '

É-l. 13

are sen

=

2

cos

13

=

2

j

+

5 13

=

i)

13,

4 5

2

temos:

1f
-

+

1 - 1

2

2

j; _ 13

12

2

I É- 1

13

Finalmente, temos:

Solução

1 <=> sen

3

!!.- :s;;; G' ~ !!.

-

5 e 13

cos la +

2

2-../2

a, temOs

=

5

are sen

1

2 .

l..

are sen

13 =

então

= are sen

A

+

3

5

Fazendo

Q

+

=

1f

2"

~ l.

C.249 Calcular

sen ex

= arc sen

:S;;;;a~

2

+ .,)1 - sen a

=

Fazendo

a

1f

Solução

-1

tal que

= a, temos:

x

2

a

-

1 3

então

1f

C.246 Determinar

I.

Solução

arc sen x

g(x) = sen x

1

3"

cos(arc sen


tal que é,

ex =

1f

a

=

4 mas aquele

a

(único)

1f

12

3

5

48 - 15

5

13

5

13

65

33 65

2 1 a) tg(arc sen (-- ) + arc sen - ) 3 4 b) sen 12 • arc sen 1- ~ ) )

6

C.247 Determinar os seguintes números: arc sen O. arc sen

4

C.251 Calcular:

2

sen

131 = cos a • cos 13 - sen a . sen 13 =

5

~ • arc sen

(-

~ ), arC sen 1

e

cl cos (3 • arc sen

12

13 ).

arc sen (-1l.

117-C 116-C

96.

Função arco-cosseno

x

COS

are

COI

x

11

A função cosseno, isto é, f: IR --> IR tal que f( x) ~ cos x é não ~­ brejetora (pois;a x E IR tal que cos x ~ 3) e não injetora (pois =1= 211 ecos ~ cos 211l.

°

°

Se considerarmos a função cosseno restrita ao intervalo [O, 11] e com contradominio [-1, 1], isto é, g: lo, 11] --> [-1, 1] tal que g(x) ~ cosx, notamos que:

COS

o

11

x

x -1

o

-1

g(x)

x

x

g-I(X) ~ arc cosx

cos x

EXERCICIOS

a

C.252 Oeterminar

a

tal que

=

~.

are cos

Solução

v: ==

Temos:

a

=

are cos

então

1!?)

a

=

9 é injetora: "f XI, X2 E [O, 11), XI =1= X2 é decrescente. Assim, 9 admite inversa e g-I mos que g-I tem dominio [-1, 1), X E [-1, 1] um y E [0,11] tal que -se y ~ arc cos xl. Temos, portanto,

=

cos XI =1= cos x 2• pois 9

a .;;; 11

6

C.253 Determinar os seguintes númeroS:

are cos 1, are COS

1 "2'

are cos

...ri' 2

are cos O,

C.254 Calcular tg(arc cos ~) 5 . Solução Fazendo are eos cos

a

=

y ~ x,

e tga =

1.. 5

=

a, temos:

~ e O.;;; a .;;; 11 5

então sen a = +

118-C

e O .;;

are cos (-lI.

é denominada função arco-cosseno. Notecontradom ínio [0, 11] e associa a cada y é um arco cujo cosseno é X (indicaque:

Como os gráficos de 9 e g-I são simétricos em relação à reta podemo! construir o gráfico de g-I a partir do de g.

~

.!.

9 é sobrejetora: "f y E [-1, l], 3 x E [O, 11]1 cos x ~ y;

2l?)

cos a =

v' 1 -

cos

2

a

=

+

j

1

4

25

Vii

-5-

sen a cos a

119-C

l5

C.255 Calcular sen(are eos (-

C.256 Calcular

Ii

.

3.7 I .

eotg (are eos

97. C.257 (FEI-761 Sendo A do primeiro quadrante e C.258 Calcular

sen (are eos

~ + are sen

!...).

13

25

are sen x = A,

ache

tg x

5 13

=:

sen a

Fazendo

a = sen I' então

5 13

are cos

-

7

eos (l

e não injetora

(pois

O

'* rr

e

x

.....

'*

R

tal que f(x)

=

rr + krr tal que 2

e tg O = tg rr).

Se considerarmos a função tangente restrita ao intervalo aberto ]- ;, ; [

temos:

a,

% + krr}

e com contradomínio

R, isto é,

e O";;a";;rr

~

j

+

1 _ (

~

)2

13

!...

are sen

25

=

'*

f: {x I x

é sobrejetora (pois 'ri y E IR, 3 x E IR

tg x = y)

Fazendo

então

are cos x

A função tangente, isto é,

Solução

COS Q

Função arco-tangente

25

~ a

g:]- ; , ; [ ..... IR

~

12 13 .

tal que g(x) = tg x, notamos que:

temos:

1',

e - -rr ,.;; (l ,.;; rr 2 2

~ +

1C?)

g também é sobrejetora;

2C?)

g é injetora pois no intervalo

]_!!.., !!.. [

a função tangente é crescen-

2 2

te, então:

j; _( 257 I

2

~ 24

25 .

Finalmente, temos:

tg x

sen (a + (lI ~ sen a • eos (l + sen (l • eos a ~ ~ 13

24 25

+

7

288 + 35 325

5 13

25

323 325 . ---1'---+--"7!'é,------*----..,.~--;-x

C.259 Calcular: ai sen(arc cos

3 5

b) Cos(arc sen

25 - are cos

- are COs

7

5

13 1 !3.1

13

Deste modo a função g admite inversa e g-l

c) tg(2· are eos(- ~ Ii 5 d) eos(.!. 2

• are eos

!.-25

C.260 (MAPOFEI-72) Seja a função

flx)

~

eos(2 are eos xl,

a) Determinar os valores de x tais que b) Esboçar o gráfico de g(xl ~

...1...f(x)

flx) = O

-1 ,.;; x ,.;; 1.

tangente. Notemos que

g-I

tem doml'nio

associa a cada

um

y E ]-

gente é x

x E R

(indica-se

I

y = arc tg x).

y=arctgx

==9

R,

%' %[

é denominada função arco-

contradoml'nio

tal que

y

]- ~, ~ [

e

é um arco cuja tan-

Temos, portanto, que:

tgy=x e

12D-C 121-C

Como de hábito vamos constru ir o gráfico de g-I a partir de go g(x)

tg X

c.~/c;"leular

arc tg X

j

~

tg(are sen

~)o 12

- are tg

Solução Fazendo

are t9 x

are sen

Tr

2

sen

cosa

--+---"""'~---j.-_x

=

+

j

a E;; li, então: 2

9

1

4

25

x

5 12

Fazendo are tg

temos:

= a,

_ li E;; 2

3 e 5

O::' =

"53

e

5

=

tg

a

=

(3, temos tg (3

se"

Q

cos

a 5 12

=

Finalmen te. temoS:

3 tg(a - (3) =

// EXERCf clOS

a

tal que

a=

Temos:

1 el 'tg (2 • are tg -) 5 / 24 di eos 13 • are tg - )

are tg 1 <=> tg

a

isto é,

=

a

= 1

e

_ Tr 2


2

4

Fazendo are tg

Y2

v2).

63

16 63

=

48

e

~)

-

Y2 = Tr

2

are sen

o

a, temos:


V3 ). 3

Tr

+ are cos

3

v'1o

=

are tg 1

Q =

Façamos

are sen

(3

=

are eos _3_

v'1o '

r

=

are tg 1,

então:

2

sen

'% == sen a = + J1 coslare tg(- ~» 3 .

V5 5

Solução

então

C.264 Calcular

12

=

C.267 Demonst rar a igualdad e:

Solução

=

5

7

Tr

Co263 Calcular senlare tg

a

1 + 3

/

Tr

Co262 Determin ar os seguinte s números : are tg O, are tgv"3, are tg 1-1), e are tg (_

tg

16 48

ai sen(are tg 2 + are tg 3)

are tg 1.

b) eos(are tg 2 - are tg

=

5

12

4

Solução

a

-

4

C.2~/eálcular:

C.261 Determin ar

122-C

tga-tg( 3 1 + tg a o tg ~

V6 3

Q =

eos (3 =

e

-

Tr
2

4

123-e

@ Calculemos

Tendo em vistaG

sen a sen {3 cosa + cos~

ª

tg (a + (jl =

tg a + tg 1 - tg IX • tg $

pois O <

<

Tr.

para provar que

tg

2a

=

2 tg a 1 _ tg2 a

basta provar que tg( 2a + /3)= 1

4

2

--1- ~ ~ 8 3

1 -

...;s

2a + (3 =!!....

Temos:

2

~.~ cos Q cos

1·

2a + {3

eG,

9

=

6

ã

3 4

9

1

-5-

+ -3YlU

~

YlU

5

1

'2

'3

6'

2

1

1 -

YlU

1 -

1

5 6 5

.!...

+

.!3

tg(2a 1

= tg

+ (3) =

tg2a+tg{3 2a· tg{3

1 _ tg

'Y C.270 Provar aS igualdades: 2 a) 2' arc tg "3 + arc cos

3

ym

@ Conclusão

b) 3 • arc sen

1

'4 + arc

cos

Tr

12 13 11

16

2" =

Tr '2

o
'2

tg(a + (3)

'Y

= tg

==>

a+{3='Y

C.268 Provar as seguintas igualdades: a) (ITAJUBA-771

1

b) are sen

3 5

d) arc sen

25

+

24

C.269 Provar que

'2

are cos

- are sen

2' arc tg

+ arc tg 1

Tr

3"

3

Tr

v'1O

4

+ are cos

v's

c) are cos

1

arc tg

12 13

= are cos

4

16 65

~ = arc tg 3

4

5

3'1 + arc

tg

1 7

Tr 4

Solução Fazendo

arc tg

~

=

a, temOs:

tga=+e -%oO<2a<; Fazendo tg{3=

124-C

.!... 7

1

are tg 7

e

-

!!.. 2

=

{3,

G

temos:

<{30 <{3< Tr 2 '2

o 125-C

EULER Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suiça, onde seu pai era ministro religioso e possuia alguns conhecimentos matemáticos. Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Fisica, linguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersbu rgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afasta· mento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compon do uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia. Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continua ram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos. Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academ ia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos. Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academ ia de Berlim, voltando à Rússia em 1766. Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra 17 para razão entre comprim ento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para v:T. Deve·se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por 1x, usou :!; para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geome· tria, Álgebra, Trigonometria e Análise. Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos , surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita" , baseando·se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logaritmicas, trigonométricas-inversas e exponenciais). Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos. Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultado s que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apêndice da "Introdução" onde dá a representação da Geometria Analo'tica no espaço. Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos. Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros·negros ou ditando para seus filhos. Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu. Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Aná· lise encarnada".

CAPÍT ULO VIII

INE QU AÇ ÕE S

I. INEQUAÇOES FUND AMEN TAIS . f e 9 duas funções trigono métrica s SeJam -o f(x) < g(x) significa obter o conjunt o quaç a _ . çao ou conJunt o·ver dade , dos número s r para os tença verdade ira. . nome't . Quase todas as inequaç ões tngo ncas ções de um dos seguinte s seis tipos:

98.

de variável x. Resolve r a ine· S d . do conJ'un to solu· , enomm a . . f() g(r) é uma seno qua IS r

<

podem ser reduzid as a inequa-

1~)

senx > m sen x < m ~) cos x> m 4~) cos x < m 5~) tg x> m 6~) tg x < m onde m é um número real dado. Por esse motivo, estas seis são denomi nadas . _ f denta is Assim é necessá rio saber resolver as inequaç ões fun· Inequaç oes un am ., _.' . dament ais para poder resolver outras inequaç oes tngonom etncas. 2~)

127-C

/I. RESOLUÇÃO DE

sen x

>m sen x

111. RESOLUÇÃO DE 99. Marcamos sobre o eixo dos senos o POnto P1 tal que OP! = m. Traçamos por p! a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que sen x > m estão na intersecção do cicio com o semi-plano situado acima de r.

<m

Finalmente, descrevemos os inter- --i-----~:.-'---- __~'_ valos aos quais x pode pertencer, tomando o cuidado de partir de A e perCorrer o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta.

101. Marcamos sobre ~eixo dos senos ponto p! tal que OP! = m. Traçaomos por P1 a reta r perpendicular ao . . o . As imagens dos reais x ~ tais que. elx estão na intersecçao .do CI~nx < m cio com o semi-plano situado abaixo de r. Finalmente, partindo de A e percorrendo o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.

100. Exemplo

102. Exemplo Resolver a inequação

ResOlver a inequação sen x

> _ fi.

2 Procedendo conforme foi indicado, temos:

O + 2k1T ".;; x

<

51T + 2k1T 4

ou 71T 4 + 2k1T

< x < 21T

sen x

-~~~"""'''''''''''''''-+':'-''''''''''''''~r~'''''''

1 < '2'

Procedendo conforme foi indicado, ternos:

O + 2k1T ".;; x

<~

+ 2k1T

ou 51T + 2k1T 6

< x < 21T

+ 2k1T

+ 2k1T

--+---~---+---,l-

EXERCICIOS C.271 Resolver a inequação

O"';; sen x

v'3' <2

Solução

Notemos que escrever como

~1T > ~,

71T + 2k1T 4 + 2k1T < x < 51T estaria errado pois, 4 não existe x algum' neste intervalo.

A imagem de x deve ficar na intersecção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre r e s.' Temos, então:

O + 2k1T ".;; x

ou

< !!.3

+ 2k1T

21T + 2k1T 3

1T

< x ".;; 1T + 2k1T

128-C 129-C

(

C.272 Resolver a inequação

sen x ;;. O.

C.273 ReSOlver a inequação

sen x .;; _

C.279 Resolver a inequação

v'3 2

C.274 Resolver a inequação

_ 1 .;; sen x < 2

Isen x I;;. v'3 ""2

C.275 Resolver a inequação

4 sen' x ;;;. 1 .

C.280 Determinar x E [O, 2rr]

tal que sen 2x

> o.

V2

"""2

Solução

Fazendo

2x = y,

temos a inequação sen y

> o.

Solução Isen x I ;;.

v'3

sen x .;; _

2

ou

~

sen x

v'3 2

Examinando o ciclo, vem

2kj[ <

y

Como

x

< rr + 2krr

V3 2

A imagem de x deve ficar na intersecção do ciclo com o semi-plano situado abaixo de r ou COm o sem" I situado acima de s. I-P ano

krr < x <

::L 2

resulta:

rr + krr.

2

Assim, temos: rr "3 4rr

3

2rr "3

+ 2krr .;; x';;

+ 2krr ou Mas x E [O, 2rrl. então s6 interessam as soluções particulares em que

k ~ O ou 1:

+ 2krr .;; x <;; 5rr + 2krr 3

C.276 Resolver a inequação

Isen x I.;; 1

2" C.227 Resolver a inequação

Isen x I

> v2

k=O=>O<x< rr 2 ou k = 1 => rr < x <

2

C.278 Resolver a inequação 2 sen'x < sen x.

3rr 2

C.281 Resolver a inequação sen 2x

>

Solução

=

2sen'x <sen x

=

C.282 Resolver a inequação sen 3x ~

1

2

x E [O, 2rr].

supondo

~supondo

x E [O, 2rr].

2 sen'x - sen x < O

<==o- 0< sen x <

2.

C.283 Resolver a inequação

2

Examinando

o

obtemos: 2krr < x <

ciclo

trigonométrico,

rr + 2krr 6 ou

5rr 6 + 2krr < x < rr + 2krr

1 .;; sen x • cos x <

4"

C.284 Resolver a inequação 3 2 • sen x -

I ;;.

1 supondo -2

1 supondo

x E [O, 2rr].

x E [O. rr].

C.285 (MAPOFEI-72)

ai Para quais valores de x existe 109, (2 sen x - 1)7 b) Resolver a equação 109212 sen x - 1) = 1094 (3 sen' x - 4 sen x + 21.

130-c 131-C

IV. RESOLUÇAO DE

cos x> m

103. Marcamos sobr e o eixo dos cossenos o pon to P2 tal que OP = m. Traça2 mos por P2 a reta r perpendi cular ao eixo. As imagens dos reais x tais que cos x > m estão na intersecção do cicio com o semi-plano situado à direita de r. Para com plet ar, descrevemos os intervalos que convêm ao problem a.

106. Exemplo Resolver a inequação cos x

1

< - "2

Procedendo conforme foi indicado . tem os: A

21T + 2k1T 3

<x<

+ 2k1T.

41T 3

41T

""3 104. Exemplo Resolver a inequação cos x

> v'3 .

2 Procedendo con form e foi indicado tem os: 2k1T .;;; x

< ..::.. 6

+ 2k1T EXE RCIC IOS

ou ll1T + 2k1T

6

< x < 21T + 2k1T

3 .;;; cos x .;;; O, 2

C.28 6 Resolver a ineq uaçã o

para

x E [O, 21T).

Solu ção _ . I a faixa do plan o compreenA imagem de X d eve ficar na inter secç ao do cle o com

dida entre

V. RESOLUÇÃO DE cos x

r e s.

Tem os, entã o:

<m

105. Marcamos sobr e o eixo dos cossenos o pon to P2 tal que OP = m. Traç a2 mos por P2 a reta r perp endi cula r ao eixo. As imagens dos reais x tais que cos x < m estão na intersecção do cio elo com o semi-plano situ ado à esquerda de r. Com plet amo s o prob lem a desc revendo os intervalos que convêm.

C.28 7 Resolver a ineq uaçã o

cosx~- !.

C.28 8 Resolver a ineq uaçã o

cos x

C.28 9 Resolver a ineq uaça-o

-

2

<

y2 -2- '

Y3.;;; cos x';;; ~2 . -l-3-+------\----r~

2

-

"2

Y3

C.29 0 Resolver a ineq uaçã o

\cos x I

<

-2- '

C.29 1 Resolver a ineq uaçã o

Icos x I

>

5 3

31T 2

132 -C 133 -e

C.292 Resolver a inequaçã o

cos 2x + cos x O;;;; -1. Como

Solução co, 2x + cos x O;;;; - 1 <==lo 2 <==lo 2 Cos x + Cos x O;;;; O

(2 cos 2 x - 1) + cos x O;;;; -1

-.!..

-

<==lo

Mas x E 1 ou 2:

Examinando o ciclo trigonométrico, obtemos:

3"

2

41'1 + 2k7'l O;;;; x O;;;; 31'1 + 2k7'l

2

3

< 3.

C.293 Resolver a inequaçã o

4 cos 2 x

C.294 ReSOlver a inequaçã o

cos 2x ;;. cos x.

2k7'l.--

1'1

O;;;; cos x O;;;; O

ou

resulta:

.... +3 9

<==lo

2

1'1 + 2k7'l O;;;; x O;;;; 21'1 + 2k7'l

Y x = 3"'

x

o:;;; 51'1 + 2k7'l 3

9

[O, 21'1], então 56 interessam as soluções particulares em que

1'1 O;;;; x O;;;; 51'1 9 k=O= 9 ou /' 111'1 71'1 9 9 ~x","

k=l== >

ou k

'{2

C.295 Resolver a inequaçã o sen x + cos x;;.

=2

131'1 o:;;; x O;;;; 171'1 9 9

==>

C.298 Resolver a inequaçã o

cos 2x O;;;;

C.299 Resolver a inequaça- o

cos 4x

Solução

sen x + cos x

~ V2

<==::;l-

sen x + sen(

2

2· sen ~ • cos(x _ !:.);;, V2 442

<==lo

Fazendo

x -

2k7'l O;;;; Y O;;;;

!!3

1'1

4

= y,

!!..

v'2

2 - x);;'

<==lo

temos a inequaçã o

( cosxcos y

<==lo

2

1'1 )..... ",,2'1

4

1 ~ 2'

Examinando o ciclo, vem:

+ 2k7'l

C.300 Determin ar

"21

x E [O, 21'1].

supondo

x

~

cos x 21'1 tal que cos 2x O, ] x E [

I)

Fazendo y

3

>-

supondo

E [O, 21'1].

1.

Solução

ou 51'1 + 2k7'l O;;;; y

Y3 2

2y 2 - 1

< 21'1 + 2k7'l 11)

cos x = y

0;;;;1

<==lo

e lembrand o que

-10;;;;0 Y 2y2 - 1

2

temos:

cos 2x = 2 cos x - 1, <==lo

2y2 - Y - 1 ;;. O 2y 2 - 1

Fazendo o quadro de sinais:

isto é:

!!. 4

+ 2k7'l O;;;; x O;;;; 71'1 + 2k7'l ou 12

pois

x=y+

<

91'1 + 2krr

V2

4

1

-2-

"2

1'1

y

4'

C.296 Resolver a inequaçã o C.297 Determin ar

231'1 + 2k7'l o:;;; x 12

sen x + cos x

x E [O, 21'1] tal que

2i - y

< 1.

- 1

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

+

-

+

-

+

-

cos 3x O;;;; 1 2

-

Solução Fazendo

3x = y,

cos y O;;;; } .

temos a inequaçã o

1'1 + 2k7'l O;;;; y O;;;; 51'1 + 2krr

3

134-C

3

Examinando o ciclo, vem:

conclufm os que o quocient e é positivo para ou

y

...r2 < - 2'"

ou

-

1

2'

<,y< 'ii ..

y;;' 1.

136-C

/lO

Examinando o ciclo trigonométrico, para O.;; x .;; 21T. cos x < -

v22 2

<=>

< x <

31T

"4

temos:

IV)


.;; y

2

2

cos x ~ 1 =::::::::-- x ::: O ou

V2

71T 4

21T

""2

";cosx
portanto:

s

=

{x I x

O ou

41T .;; x 3

<

< x";

1T

4

71T 4

ou

x

21T ou

3

31T 4

<x<

51T

4

Y2

cos x;;'

cos x _ 1

>O

[

sUpondo

X

={~

<=>

""2

2

+ 2k1T < x ..; 31T + 2k1T

"4

ou + 2k1T ..; x <

~

31T

T

+ 2k1T

+ 2k1T

ou {

2

.,f2

y;;' -

2k1T .;; x.-;

ou

21T}

C.3Dl Rpsol'Ji' a inequação 2 cos x + cos x - 1

ou

Exami nando o ciclo trigonométrico, temos:

3

V2

';;cos x <

1

.,f2 -

-

4 21T

2

conelu (mos que o quociente é positivo para

51T

]

71T 4

+ 2k1T .-; x .-; 21T + 2k1T

E O, 1T . C.305 (MACK-701 Determine no conjunto dos números reais o dom(nio de

C.302 Resolver a inequação cos 2x + sen x + 1 cos 2x C.303 Resolver a inequaça-o

:;" ~ 2

2cos 2x .,- - r;:2 ... V Lo supondo

Supondo

[ ] x E O, 11 .

C.304 Determinar o dom(nio da função real f dada por f(x)

Solução

O 11)

J

Devemos ter

Fazendo

=

C.306 Para que valores de x.

J :::

~

2 4 • sen x - 1, cos x

x E [O. 2111

Hx)

cos 2x cos X C.307 (MACK - 711

J

0'-; x .-; 211.

está definida a função

sen 2x - 2

cos 2x + 3 cos x - 1

dada a equação

cos 2x ;;. O cos x

cos x ::: Y.

cos 2x ;;. O <=> cos x 111)

=

y

x E [O, 1T].

sendo 0'-;

temos:

a .-; 11.

2

a) Para que valores de ex a equação tem soluções reais 7

y

b) Para que valores de

~ ;;. O

a

a equação admite ra (zes reais negativas 7

Fazendo o quadro de sinais: C.308 Para que valores de x,

V2 -2 2y2 _ 1

verifica-se a desigualdade:

2"

Y

+

C.309 Que valores de x,

>17

x E [O. 211] verificam a inequação

Y1

- cos x < sen x 7

+ C.310 IMACK-72) Resolver, separadamente, cada um dos sistemas abaixo:

y 2y2 _ 1 y

v2

O

x E [O. 2111

logeos x (1 + 2 cos x) + logeos x (1 + cos x)

+

+

cos(sen xl +

+

a)

b)

{

>O

sen Icos xl < O

136-C 137-C

VI.

RESOLUÇÃO DE

tg x

>

m

107. Marcamos sobre o eixo das tangen· tes o ponto T tal que AT: m. Tra· +-'+ çamos a reta r: OT. As imagens dos reais x tais que tg x > m estão na intersecção do ciclo com o ângulo rÔv. Para comple tar descrevemos os in· tervalos que convêm ao problema.

110. Exemplo Resolver a inequação tg x < Y3. Procedendo conform e foi indicado, temos:

o+

<

!!.. + 3

2krr

ou rr

2

108

2krr .;; x

+ 2krr

4rr

<x<

3

+ 2krr

ou

Exemplo Resolver a inequação tg x

> 1.

+

37T 2

2krr

< x < 2rr

+

2krr

Procedendo conform e foi indicado, temos: rr

4

+ 2krr

<x<

EXERCICIOS

+ 2krr

rr

2

C.311 Resolver a inequação

ou 3rr

4

+

2krr

<x <

3rr

2

+

Solução

2krr

Ilgxl-< l

que podem ser resumidos em

.!!: + 4

krr

<x<

rr

2

+

llg xl.;; 1.

<=> -1';;lg x';;1

A imagem de

x

deve ficar na inter

secção do ciclo com o ângulo então:

krr

o + 2krr';; x';;

r$s.

w

Temos,

rr + 2krr

4

ou 3rr + 2krr .;; x';; 5rr + 2krr

VII. RESOLUÇÃO DE

tg x

< m

4

4

ou 7rr + 2krr .;; x

109. Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto T tal que AT: m. Tra· +-+ çamos a reta r: OT. As imagens dos reais x tais que tg x < m estão na intersecção do ciclo com o ângulo vÔr. Para completar descrevemos os in· tervalos que convêm ao problema. 138-e

4

< 2rr + 2krr

C.312 Resolver a inequaçã o Ig x

> Y3 .

C.313 Resolver a inequaçã o

Ig x .;; O.

C.314 Resolver a inequaçã o

-

C.315 Resolver a inequação

llg x I ;;. Y3

V3 < Ig x

.;;

Y3 . 3

. 139-C

x E [O, 211) tal que

C.316 Determin ar

1 O;;;; tg 2x

< Vi

Soluçilo Fazendo

2x ~ y,

temos a inequaçã o

1 O;;;; tg Y

< V3. CAPiT ULO IX

Examine ndo o ciclo, vem:

!!... + 4

Como

k1To;;;;y

< 1!.3

)(.:t...2'

lI. + k1T <; x

<

+ k11

1!. +

k11 2

6

2

8

TR IÂN GU LO S RE TÂ NG UL OS

resulta'.

em que Mas x E [O, 211), então só interessa m as soluções particula res 2 ou 3: 1 ou k =

O=-

11

8

O;;;; x

k = O ou


k = 1

=-

511

=-

911

8

O;;;; x

<

O;;;; x

<

211

"3

seus ângulos internos 111. Sabemo s Que um triângul o é retângu lo Quando um de é reto.

ou k = 2

8

ELEMENTOS PRINC IPAIS

I.

·ou

711

6

ou

A

B

1311 O;;;; x k = 3=-

8

<

511 3

C.317 Resolver a inequaçã o tg 2x ;;. 2

V3

C.318 Resolver a inequaçã o tg 2x O;;;; tg 2x 2 C.319 Resolver a inequaçã o tg 2x

<3

Supondo supondo

supondo

x E [O, 211).

c

x E [O, 211).

x E [O, 211).

C.320 (MAPOF EI-751 Resolver a inequaçã o: sen x> cos x,

A '--'-------....J.L.~c

b

B

.u... .::... c L-I. ----- ----a

para O O;;;; x O;;;; 211.

os de um Como é habitua l, vamos utilizar a notação seguinte para os element triângul o ABC:

lados: AB, BC, AC ângulos internos: BÂC, ABC, AêB medidas dos lados: a = medida de b = medida de c = medida de medidas dos ângulos: Â = medida = medida ê = medida

B

14o-C

BC AC AB de BÂC de ABC de AêB

141-C

Sempre que tratarm os de um triângul o ABC retângu lo, daqui por diante estarem os pensand o que o ângulo interno A mede 90°. Sabemo s que o lado BC, oposto ao ângulo reto, é chamad o hipoten usa e os lados AB e AC, adjacen tes ao ângulo reto, são chamad os catetos do triângul o ABC. Para simplificar nossa linguagem diremos que o triângul o ABC tem hipotenusa a e catetos b e c, isto é, vamos confund ir BC, AC, AB com suas respectivas medidas a, b, c. Analog amente, diremos que os ângulos internos do triângul o são Ã, fi e ê.

112. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geomét rico-trig onomét rica que permite calcular as medidas de segmen tos ou ângulos de um triângul o retângu lo, partind o de um número mínimo de dados.

11.

Temos, então, as seguinte s propried ades: 1~) lIABC -

lIDBA

lIABC - lIDAC

AD = altura relativa à hipoten usa (medida: h) BD = projeçã o do cateto AB sobre a hipotenus a (medida : m) CD = projeçã o do cateto AC sobre a hipotenus a (medida : n) == l' e ê ==:1 pois AB 1 AC e BC 1 AD

A

Na figura anterior podemo s observa r três triângul os lIABC, lIDBA e lIDAC que são semelha ntes por apresen tarem ângulos dois a dois congrue ntes. A

~

142-C

a

A

C

B

b n

b

. h' e a projeçã o dele sobre isto é, cada cateto é média geomét rica entre a tpotenu sa ela.

a

b

C = ti

==>

I bc=ah ] isto é, o produto dos catetos é igua I ao produto da hipoten usa pela a Itura relativa a ela. 3~} lIDBA - lIDAC

h

=

m

n

é média geométr ica entre os segmen tos isto é, a altura relativa à hipoten usa que determi na na hipoten usa.

B

B

m

a

=

113. Provemos algumas relações notáveis entre segmen tos de um mesmo triângulo retâ ngu lo. Se tomarm os um triângul o ABC retângu lo e conduzi rmos AD perpend icular a BC, com D em BC, obtemo s:

c

c

[ t? .. am

2~) lIABC - f:lDBA

PROPRIEDADES GEOMI:TRICAS

a

A

J'" m

D

4~)

Teorema de Pitágoras

Somand o membro a membro as duas primeira s relações, temos: c2 = am} = b2 + c2 = an + am = a(n + m) = aa = a2 b2 = an

[b~ + 02 . . .' !:'-'--- --n--- u....:" 'C

)

. • soma dos quadrad os dos catetos é igual ao quadrad o da hipoten usa. Isto e, a 143-e

114. Outra propriedade notável dos triângulos retângulos pode ser vista se tomarmos os pontos médios dos lados (M, N, O) e ligarmos conforme a figura. O pol ígono AMON é um retângulo, portanto:

c

C.322 Calcular os elementos x, y, z, t na figura ao lado.

OA == MN == BC

2

C.323 Escrever 6 relações métricas envolvendo

isto é, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade desta. Como conseqüência temos qUe

C.324 Calcular a ârea de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, 4 e 9.

a 2

OA == OB == OC

elementos da figura ao lado.

e, portanto: todo triângulo retângulo pode . cu. ser . _ inSCrito em uma circunfer-enCla JO dia metro é a hipotenusa.

C.325 Calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo de per"metro 56 e altura

C.326 Um triãngulo isósceles ABC tem base a ~ 12 e está inscrito numa circunferência de diãmetro 2R ~ 20. Calcular as medidas dos lados b e c do triângulo.

A

Solução Ligando o vértice A ao centro O da circunferência, obtemos uma reta que corta a circunferência em D. Notemos que o segmento AD é diâmetro. Notemos ainda que AD é mediatriz do segmento BC, portanto AD 1 BC e BM ~ MC. Destacando o triãngulo ADC, temos:

==

6 2 ~ y(20 - y)

+ 36

~

O

==

então: b2 ~ 6 2

EXERCICIOS

Resposta: ~ c =

b

Solução

=

m n

=

=

~

a b2

a

=

ou

b2

2

20

D

+

y ~ 18

40

20

ou

~ 360

b ~ c ~ 2v1O ou

6V1O

D

C.327 Calcular a altura de um triângulo isósceles conhecendo o raio R da circunferência

Sendo c ~ 3 e b ~ 4 vem' 2 ' . 2 a ~ b + c 2 ~ 16 + 9 ~ 25 12 h ~ ~ _ 4· 3

a

+ y2

y2 - 20y

y ~ 2

b

C.321 Calcular os elementos indicados na figura ao lado.

168

25'

--59

'5 e 16

5"

5'

circunscrita e a base a. Dados: a ~ 5

R = 5

e

a = 8.

C.328 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base 6 tendo

3

outro lado medindo

y9õ.

C.329 Um ponto P dista d ~ 13 do centro O de uma circunferência de raio R = 5. Se traçarmos por P uma reta tangente à circunferência no ponto T, qual a medida do segmento PT? C.330 Calcular o lado de um octógono regular inscrito em uma circunferência de raio R.

144-C 145-C

116. Observações

111.

1~) Notando que à + B + ê ; 180° e isto é, B e ê são complementares, portanto:

PROPRIEDADES TRIGONOMI:TRICAS

115. Vamos provar as três propriedades que relacionam as medidas dos lados e as dos ângulos de um triângulo retângulo ABC.

v

~

=

cos

cos

ê;

sen B

b

a =

~

I

B;

t~

tgê;

1~) llBPP I ~ llBCA, então sen B -1-

ê;

c

Para isso vamos considerar uma circ~n~erência de raio unitário e centro no vertlce B e vamos fixar um sistema uOv de referência como mostra a figura.

CA BC

sen

cateto oposto a hipotenusa

c

a

Ã;

90°, decorre

B+ ê; 90°,

ê

cateto adjacente a ê hipotenusa

b

a

cateto oposto a ê cateto adjacente a ê

c b

2~) Decorre das três propriedades vistas que, sendo dado um ângulo agudo B, se marcarmos sobre um de seus lados os pontos AI, A2 , A 3 , ... e conduzirmos por eles as perpendiculares AIC I , A2 C2 , A 3 C3 , ... (conforme a figura abaixo), temos:

isto é, o seno de um ângulo agudo é igual ao quociente do cateto angulo pela hipotenusa. oposto ao

2~) llBPP I ~ llBCA, então BA BC

=

B..c:...

cos B -1-

c a

.J..:.L_--L.:.JL-

sen B

AIC I BC I

A2 C2 BC 2

(fixado B, o cateto oposto a

3~) llBTI I ~ llBCA, então cosB ~

=

b c

=

_

AS

=

isto. é, o cosseno de um ângulo agudo e: I'gual ao quociente do cat et o ad'Jacente ao angulo pela hipotenusa.

tg B -1-

.J..:.L_L.:J....._..J..:..l.

~

~

isto é, a tangente de um ângulo agudo é igual ao pelo cateto adjacente ao ângulo. quociente do cateto oposto

BA I BC I

A 3 C3

BC 3

8ea

BA 2 BC 2

~

(fixado B, o cateto adjacente a

hipotenusa são diretamente proporcionais).

BA 3 BC 3

B e a hipotenusa

são diretamente proporcionais).

tg B (fixado

B,

os catetos oposto e adjacente a B são diretamente proporcionais).

146-C 147-C

EXERCICIOS

perímetr o C.339 Calcular a altura de um triângulo isósceles de

. C.331 Calcular os ângulos Internos ~ de um triângulo retangulo cujos catetos são c = 12.

=9

b

e

C Solução 19

b c

9

3

12

4"

~

c

12

4

9

3"

li

sabendo que

Â

=

05

7". 8

a

120°.

raio 10, uma corda de comprim ento C.341 Um reta determin a, sobre uma circunfer ência de se vê a corda? qual 16. Qual é a medida do ângulo central sob o

-O

B'--'---

3 B = are tg 4

~

Resposta:

36,

um triângulo isósceles de base C.340 Calcular o raio da circunfer ência circunscrita a

e ângulo oposto ã base

B

tg C =

ângulos adjacentes à base são iguais a are cos

2p

2

ê

e

= are tg

3"4

C.342 Determin ar o ângulo 2 1 c + b a relação

B de

um triângulo ABC retângulo em A sabendo que se verifica

V:.

onde h é a altura relativa à hipotenusa.

C.332 Calcular os lados de um triângulo retân gui altura relativa â hipotenu sa é h = 4 e um ângulo agudo é El = 30 0. o sabendo que a

que o ângulo agudo formado pelas C.343 Em um triângulo ABC retângulo em A sabe-se

.• . e um tnanguJo retângulo sabendo que a altura relatIva à hipotenusa mede 4 e forma ângulo de 150 com o cateto b.

e as bissetrizes internas BB' e CC'. SaC.344 Em um triângulo ABC retângulo em A traçam-s

C.333 Calcular os lad

C.334 Calcular

~s

os

d

. catetos de um triângulo retân ulo ~BC sab.!!ndo 9ue está Inscrito em uma g I ngu os agudos taIS que B = 2C.

clrcunfer encla de raio 3 e tem â

C.335 Calcular os ângulos agudos de um t .• nangulo retângulo de hipotenusa 20, sabendo que a mediana relativa a Um dos catetos mede 15. C.336 (FFCLUS P-6S) Na f'Igura ao lado, os ângulos e

OÂjBj

OBj+IA i.

i = 0,1

são retos. Quanto vale a soma'

2 3

d~s ~~~.

~entos AoB o, AIB I • A2B2, ... em fun. çao de AoB o e de O?

BO

,~

~ A 3 A 2 AI C.337 Calcular o ângulo formado pela diagonal e o menor lado d e ' o um retangulo cujos lados A

3

estão na razão

4'

medianas BM e CN é

bendo que AB'

Calcular a área de um triângulo iSÓsceles ABC cuja base é

a = B, sabendo que

Traçando a altura AM, o triângulo ABC

di~idid~ e'm

onde A'

= A" = 22°30',

tg 22°30' = MC AM

= s

=

AM

BM

= MC = 4.

_ 4\12 tg 22°30' - vi 2 -

IS.J2 +

+

Solução No triângulo BXY. temos h oh" """ x = ~ tg 60 =""[ No triângulo AXY, temos: h h ~ Q + 30 tg 45° = Q + 30

=

então ~

h

Y3

450.

+ 30= h 30vS

...[3 - ,

30Y3 =..j3 m

A

30

Q

x

12 m e cujo ponto médio é passa pela sua base O, o segmento AB de comprim ento

que DÂE C. Medem·se os ângulos DÂE. DElE e DêE verifican do·se e DêE = SOo.

V2

=

DBE

=

45°

Determin ar a altura da torre.

Y"'l

V2

",12 - v'2

a = 13m, sabendo

DE toma·se, no plano horizont al que C.347 (MAUÁ- S8) Para medir a altura da torre vertical

A

=

~ ~

BC • AM

2

148-C

duas partes Congruentes

B e a hipotenusa a.

terreno plano, sob um ângulo de 60°. C.346 Um observador vê um prédio, construí do em o edifício sob ângulo de 45°. Qual ver a Afastando-se do edifício mais 30 m, passa prédio? é a altura do

Resposta:

Solução

fica

Â=

1 e AC' ~ 1. calcular o ângulo

de hipotenusa C.345 Calcular os ângulos agudos do triângulo retângulo 2. = r é inscrita ência circunfer que o raio da

h C.338

=

O = 30°. Calcular o ângulo ê.

M

4

janelas de um arranha- céu, conhecenC.348 Calcular a distância entre os parapeito s de duas de um ponto O do solo, a distân· do os ângulos (a e ~) sobre os quais são observadas cia d do prédio.

149-C

I

I

D

C.349 (MAUÁ-65) Para obter a altura H de

---..---

uma chaminé, um engenheiro, com um aparelho especial, estabeleceu a horizon-

tal AB e mediu os ângulos ex e {3 tendo a seguir medido BC = h. Determinar a H

A oE:::,--"-T-,-------{

altura do chaminé.

118.

1C? problema

Resolver um triângulo retângulo, sendo dados: a hipotenusa (a) e um dos ângulos agudos (8).

C

Solução

c

a

cos

B

b = a

sen

B

c

C.350 (MAUÁ-67) Um observador encontra·se na Via Anhanguera em trecho retilíneo, horizontal e situado no mesmo plano vertical que contém a torre de TV do canal 13,

=

b

A

L-J..-------t.~B

c

localizada no pico do Jaraguá. De duas posições A e B desse trecho retilíneo e distantes 60 m uma da outra, o observador vê a extremidade superíor da torre, respectiva-

mente, sob os ângulos de 30° e 31°53', O aparelho utilizado para medir os ângulos foi colocado a 1,50 m acima da pista de concreto que está a 721 ,50m acima do nível do mar. Determinar a altura da torre em relação ao nível do mar. Dado: ~

119.

2C? problema

tg 31°53' :::

0,62.

C.351 (lINS-66) Tendo em vista as relações descritas na figura ao lado calcular as

N

Resolver um triângulo retângulo, sendo dados: a hipotenusa (a) e um dos catetos (b).

c

distâncias x e y.

Solução c2 y

a2

=

~

sen B

A

C

117. Resolver um triângulo retângulo significa calcular seus elementos principais, isto é, seus ângulos agudos (É3 e ê) e seus lados (a, b, c). Para obter esses elementos é necessário que sejam dadas duas informações sobre o triângulo, sendo uma delas, pelo menos, a medida de um segmento ligado ao triângulo (lado, mediana, mediatriz, etc).

Há cinco problemas clássicos de resolução de triângulos retângulos, que abor· daremos com especial destaque.

150-C

=

c

b = VTb2

=

B

=

C = arc cos

a

120.

RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

b

a

~ b cos C = -

B

1_--=-60'--'-m"------_'II-~.---,"6",-,0m,-,--~I

IV.

_ b2

arc sen

b

a

A

l-J...-_ _~_=__---L-.:>.

B

b

a

3C? problema

Resolver um triângulo retângulo, sendo dados: um cateto (b) e o ângulo adjacente a ele (ê).

C

Solução c=b.tgê

a

b -----,. cos C

b

--L.....:>.

L.-L.

A

B

c

90° -

ê 151-C

121.

4? problema C.353 Resolver um triângulo retângulo ABC sendo dados

Resolver um triângulo retângulo. sendo dados um cateto (b) e o ângulo opost o a e Ie (B~) .

b =3

C.354 Resolver um triângulo ABC retângulo em A sabendo que

e

a - c =

a + b

C

C.355 Resolver um triângulo retângulo ABC sabendo que interna BE é st, = 6y2 - 2y6

Solução c

B

tg

C.356 Resolver um triângulo retângulo conhecendo a altura h

b

==

--~

sen B

90° - B

A

~-----_..L.~ B

C.357 Resolver um triângulo isósceles ABC sabendo que a altura relativa à base BC mede h = 24 e o perímetro é 2p = 64.

c

. inscrita e a altura

5? problema Resolver um triângulo retângulo,

d d d sen o a os os do is catetos (b e el.

b c

tg B

= _c

b

h

==

60

13

r ==

2

da circunferência

.. relativa a hipotenusa.

C.359 Resolver um triângulo retângulo ABe conhecendo a altura h = 2 relativa à hipotenusa e o raio r' == 2~+ 2 da circunferência ex-inscrita situada no ângulo reto.

C

Solução

~

e a medida da bissetriz

1 relativa à hipotenusa e o

C.358 Resolver um triângulo retângulo ABe conhecendo o raio

tg C

= 25.

perímetro 2p = 2V2 + 2.

b

a

122.

18 e a + c

b

=

ê

a = 4

=

V3.

=

B

=

ê = are tg

= are tg

b c

b

c

b

A'-'---------<---~B

c EXERCICIOS C.352 Resolver um triângulo retângulo ABe h d Con acen o a medida da bissetriz 'Interna Sb = 5 e o ângulo ...... C == 30°, Solução

B=

É imediato que

60° e

B

2

=

B

30°.

No triângulo retângulo ASS, temos:

B c=5·cos 2'

=

5v3 -2C

então

5V3

a

-2=-1-= 5v3 2

AL..L.---;::-----_~ b C 15

2' 152-C 153-C

CAPÍTULO X

TRIÂNGULOS QUAISQUER

I.

PROPRIEDADES TRIGONOMI:TRICAS

123. Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Demonstração 1?) Seja ABC um triângulo com  No L'lBCD, que é retângulo:

a2

=

n2 + h 2

No L'lBAD, h2

=

< 90°.

(I)

que é retângulo:

c2 _

m2

(11)

Temos também:

n

= b -

m (111)

m

b

Levando (111) e (11) em (I): a2 = (b _ m)2 + c2 Mas, no triângulo BAD:

_

m2

=

2

a = b

2

+ c2

-

2bm

m = c • cos Â.

Logo:

155-C

EXERCI CIOS

C.3GB (EPUSP- 56) Os lados de um triângulo sâo dados pelas expressõ es: a = x 2 + x + 1, b = 2 x + 1 e c = x 2 - 1. Demonstrar que um dos ângulos do triângulo mede 1200

.

C.360 Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo do 120 0 Calcular o terceiro lado.

.

c

Solução Adotand o a notação da figura ao lado e aplicand o a lei dos cossenos , temos: a 2 = b 2 + c 2 - 2bc • cos  = = 8 2 + 12 2 - 2 • 8 . 12 • cos 120 0 =

~ b=8

= 64 + 144 + 96 = 304 então a = = 4.,j19m .

v'3ô4

C.362

=4

ê

= 45 0

=

8

B~b

C.361 (FEI-77l Calcular c, sabendo que

a b

c=12

3v2

C.363 Se um paralelog ramo tem lados medindo 4 m e 5 m e formand o entre si um ângulo -de 30°, qual é o ângulo que a diagonal maior forma com o menor lado? a = 10 m,

b = 13 m

e

c = 15 m.

Calcular o ângulo

Solução

A~

cos

Â

=::

b

2

cos

Â

= 103 + 15 2 - 10 2 2·13· 15

portanto

Solução Admitam os que a seja o maior lado do triângulo ASC, isto é, a ~ b e a ~ c. Sabemos da Geometria que ao maior lado opõe-se o maior ângulo do triângulo, portanto ,

 ;;. B

Â;;'

e

ê.

Assim, temos:

lIABC é retângulo <== Â = 90° lIABC é acutângu lo 0° < Â < 90° lIABC é obtusâng ulo 90° < Â < 180°

-= -=

+

_ a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A

2 2 c - a

2bc

Então, vem:

então:

2

c) ABC obtusâng ulo?

Por outro lado, da lei dos cossenos, temos:

Da lei dos cossenos , temos: a2 == b2 + c2 _ 2bc . cos

169 + 225 - 100 390

294 390

a) Â = 90°

49 65

-=

b) 0° < Â < 90°

cos

49 A = arc cos 65

c) 90 0 <

C,365 eCalcular os três c = .,;3+ .• Io A BC sabendo que a 1. ângulos internos de um tnangu = 2, b = V ~ 6 C.366 Os lados a, b, c de um triângulo ABC sa-o dl'retame nte proporcionais aos números

B.

C,367 (EPUSP- 60) Demonst rar que se os lados de um triângulo têm medidas expressas por números racionais, então os cossenos dos ângulos internos também são números nais.

racio~

~

=

A=

cOS A =

-=

 < 180°

-=

-=

b2 + c2 _ a 2 2bc

b 2 + c 2 - a 2 = O <== a 2 = b 2 + c2 O b2 + c2 - a2 O a 2
<== cos  <===;o

~

5, 7 e 9, respectivamente. Calcular o ângulo

=

b) A8C acutângu lo?

Dois ~dos consecut ivos de um paralelog ramo medem 8 m e 12 m e formam um angulo de 60 . Calcular as diagonai s.

C,364 Um triângulo tem lados  do triângulo ,

C.371 (MAUÁ- 67) Provar que num triângulo ABC retângulo em A, vale a relação (a - b)2 ê 2 = c2 - 4ab • sen -. 2 C,372 Qual é a relação entre os lados a, b, c de um triângulo A8C para que se tenha: a) ABC retãngulo ?

~

(MAPOF ~ 1-76)

7 = 2.

C.370 (EPUSP- 60) Determin ar os comprim entos dos lados de um triângulo que tem para vértices os centros dos quadrados construí dos sobre os lados de um triângulo retângulo de lados 6, 8 elO.

~

A

C.369 Calcular o lado c de um triângulo ABC sendo dados  = 120°, b = 1 e

>

-=

>

-=

>

Conclusão: um triângulo ABC é respectivamente retângulo , acutângulo ou obtusângulo, conforme o quadrado de seu maior lado seja igual, menor ou maior que a soma dos quadrados dos outros dois lados. C.373 Classificar segundo aS medidas dos ângulos internos os triângulos cujos lados são: c) 6, 7, 8 b) 5, 10, 6 a) 17,15, 8

C.374 (EPUSP- 61) Os lados de um triângulo obtusâng ulo estão em progressã o geométri ca crescente. Determin ar a razão da progressão.

156-C 157-C

2?l Seja ABC um triângulo com 90° No L\BCO, que é retângulo

a2

=

n2 + h2

<Â<

Temos, então:

180°

a

m2

_

(11)

= b

= 2R e _c_ sen ê

se~ A

=

sen  =

= 2R

2R

h

+ m (111)

Levando (111) e (11) em (I): a2 = (b + m)2 + c2 _ m2 a 2 = b 2 + c2 + 2bm

=

b sen B

-----rc

a = 2R

Donde concluímos a tese:

Temos também:

n

=

• sen Â'

Analogamente:

No L\BAO, que é retângulo: h 2 = c2

= 2R

(I l

b

o

Mas, no L\BAD, m = c • cos (180

Logo:

182

= b2

+

0

il -

-

Â)

=

m = -c • cos Â.

2bc· cos Â

I

EXERCICIOS C.375 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABe em que a:o 15 em

e $;=30°.

3?) Analogamente, podemos provar que:

Solução

b 2 = a2 + il C2 = 8 2 + b 2

Da lei dos senos temos:

_

2ac • cos B 2ab • cos

e

2R

eotão

124. Lei dos senos

15 15 seo 300 = -1- = 30 em

a se" Ã R

=

2" 15 em.

C.376 Calcular os lados b e c de um triângulo ABC no qual

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual â medida do diâmetro da circunferência circunscrita.

Demonstração Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Por um dos vértices do triângulo (B), tracemos o diâmetro correspondente BA' A;..-_ _ e liguemos A' com C. A

A

Sabemos que A = A' por determinarem na circunferência a mesma corda BC. O triângulo A'BC é retângulo em C por estar inscrito numa semi-circunferência.

158-C

a = lO,

·6

=

30° e

ê

=

45°.

Solução

A + íl + e = b a ------",- = seo seo A

a ----,.. sen A

c seo

=

180°

ã

=

e=

 = 180° - 30° - 45° = 105° 1 10' 2" 20 a • sen B b = sen  V6+V2 YS+V2 4 a • seo c = seo Â

C.377 (EPUSP-61) Quais são os

~ seo 8 =

Y3 2

e

e

y2

10 • -2-

ys H.f2

20.J2

YS+V2

4

âo~os B e

C de

um triâogulo ABC para o qual

~ y2? seo C = 2 .

159-C

C.378 Calcular os ângulos B e

ê de

= 1,

um triângulo em que a

b

V3+ 1

=

e Â

= 15°.

Y

C.387 (EPUSP- 50) O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando

C.379 Em um triângulo ABC sabe-se que

a

=

2b

e

ê

= 60°.

Calcular oS outros dois

ângulos.

ele se aproxima 110m e triplica quando se aproxima mais 50 m. Calcular a altura da torre.

C.380 Calcular os ângulos de um triângulo ABC sabendo que C.3Bl Calcular o lado c de um triângulo ABC em que

b

c

a = 6 m,

b = 3m

e

ê

e

Â

=

2Â.

C.3B2 (MAPOFEI-71) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo ABC: o per(metro 2p e os ângulos A = a, B = 13 a) Descrever um processo de construção do triângulo.

b) Calcular os comprimentos de seus lados.

C.383 (EPUSP-62) Demonstrar que num quadrilátero ABCD onde

A"DB

....

ACB, tem-se:

C.3B4 IMACK-66) O lado de um triângulo equilátero de lado 3 m é dividido em três partes iguais. Determinar os 3 ângulos que se obtêm unindo os pontos de divisão ao vértice

B lii > 45°)

C.3B9 Calcular o ângulo

cotg 'P

=

fJ •

sen

1

=

ABC sabendo que

a

=

4

V3'

A sabe-se

que

Sb • Sc _ --:::;r- ~ a

V6 -2 ,J2

onde

~

um triângulo isósceles ABC conhecendo a base

a

1 e a

..j2

Sb

=

""""2

a) mostrar que se

M

C.3B6 Um observador colocado a 25 m de um prédio vê o editrcio sob certo ângulo. Alastando·se em linha reta mais 50 m, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício?

AP - HP = r,

sen . .

a

Y

entao

cos a-tga' -. '

.

b) verificada a condição do item anterior, de~ermtn:r sen a, e c) sendo a um ângulo compreendido entre O e 90 , tal qu

. -

determma·lo com a precisa0

Solução No triângulo ABY o ângulo externo

Sa

ânguloS opostos corres-

. - ' d t O e raio r limitado C 392 (MAPOFEI-70) É dado um quarto de c"cunlerencla e cen ro . -' nal . A B (ver ligura) Sendo P um ponto do arco AB, H proleçao ortogo pelos pontos e . ~ de P sobre OB e 2a o ângulo AOP.

sen o: "'2--,n,-----,,-sen

B de

o ângulo

bissetriz

do terceiro lado BC e que formam com este lado ângulos iguais cujo valor é r,p.

Prove que:

8 os

Sb e Sc são as medidas das bissetrizes dos ânguloS agudos. Calcular B. C.391 Calcular

C.385 (MACK-67) Do ponto médio dos lados AB e AC de um triângulo ABC traçam-se duas retas que se cortam num ponto M

50 m ~

de um triângU~o retângulo

• I C.390 Em um triângulo A 8C retangu o em

oposto (as respostas devem ser dadas em termos de funções trigonométricas inversas). A

.1.

110 m

e um triângulo e Â. C.388 IMAUÂ-66) Sendo a, b dois lados d pondentes, provar que: 2 2 i . cos 2 B - b 2 • cos 2 A = a - b

e a medida da bissetriz interna AB é

CO • sen AÔB sen CBD

AB

I.

38.

ÂNGULO

SENO

38°8' 38°9' 38°10' 38°11 ' 38°12'

0,617494 0,617722 0,617951 0,61B180 0.618408

a

=

~ (..[5 -

11,

de um segundo arca utilizando a tabela abaixo. ' B

é igual à soma dos internos não adjacen-

tes

a

=

a 2"

~

e BYA, então:

a "2 +

~

BYA

=

BYA

a

2'

Assim o triângulo ABY é isósceles, portanto, AY = AB = 50 m. No triângulo retângulo AXY, temos:

160-C

B L.-'-~_-+

.LL_.....J.:.J.:.L_.....J

A

25

x

Nota:

..[5 =' 2,23606B

161-C

125. Teorema

126. Teorema

Em qualquer triângulo, valem as relações seguintes:

Em qualquer triângulo, a área é igual ao semi-produto de dois lados mui· tiplicado pelo seno do ângulo que eles formam.

Demonstração

b • cos ê + c • cos B b .. ~. CQsê+c· cos c .. b • CO'A + C· cos â

I·

1?) Seja ABC um triângulo com  No l'.ADB

Demonstração

B

< 90°.

que é retângulo, temos: DB ; c . sen

Â

então:

Vamos provar só a primeira delas:

AL-------'..:.J.-~C

b

1?) Seja ABC um triângulo com

B < 90° A

BD; c • cos

No l'.ADC,

que é retângulo:

DC; b •

DC

=c

• cos

B+

b • cos

<Â< , I ,,

então:

:, ,I

ê

I

D

2?) Seja ABC um triângulo com 90°

< B<

180°.

B

DB ; c • sen (180°, - Â) ; c . sen Â

então:

= BD +

• senÂ

2?) Seja ABC um triângulo com 90° • Io, temos: No l'.ABD que e• retangu

B cos ê

que é retângulo:

a

~c

AC·DB 2

No l'.ABD,

D

ê < 90°

e

180° ou 90°

< ê < 180°

A

b. ---__ >....>.._-;-_---->0 C A

ls .

b • c AC·DB = 2 2

senÂ

No l'.ABD, que é retângulo: BD = c " cos (180° -

B)

3?) Analogamente provamos que:

No l'.ADC, que é retângulo: DC = b • cos

ê

·\--------:::..C

a

então: a

= DC =

162-e

- DB = b cos b • cos ê + c • cos

ê B

c • cos (180° -

B)

S.I;b

senê

s-

sen B-

I • C

2,

163-C

127. Teorema

.Â+tl

Â-B

Â-B

Â+B

2

2

2 sen ( - - ) • cos ( - - ) 2 2

Em qualquer triângulo, a área é igual ao produto dos três lados dividido pelo quádruplo do raio da circunferência circunscrita.

2 sen ( - - ) . cos ( - - )

Â+B

tg(-2- ) Â - B tg(-2-)

As outras duas são provadas de modo análogo.

Demonstração De acordo com a lei dos senos, temos: EXERC(CIOS

~

sen A

sen A

=

=2R

a =-

C.393 Calcular o lado a de um triângulo ABC sabendo a medida da altura h a e as medidas dos ângulos o: e ~ que ha forma com c e b, respectivamente.

2R

Pelo teorema anterior, temos: S

=

b • c

--

2

•

G) em @'

Substituindo

C.394 Calcular a área de um triângulo que tem dois lados de medidas conhecidas, b = 7 m e c:: 4 m, formando entre si um ângulo de 60°.

sen A

C.395 (MAPOFE 1-751 Calcular a área do triângulo ABC, sendo ê = 45°,

decorre

I

S=*bç 4R .

AB

=

4 cm,

Â

=

30°

e

C.396 (MAPOFEI-74) As diagonais de um paralelogramo medem 10 m e 20 m e formam um ângulo de 60°, Achar a área do paralelogramo,

I

2

C.397 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABC de área 20 cm , o

qual tem dois lados formando ângulo agudo e com medidas 8 m e 10m, respectivamente. C.39B Sejam a e b as medidas de dois segmentos BC e CA que têm uma extremidade comum e formam entre si um ângulo (}. Pede-se:

128. Teorema Em qualquer triângulo não isósceles nem retângulo valem as relações seguintes;

aI esboçar o gráfico da área S do triângulo ABC em função de 8; bl dizer para que valor de 8 é máximo o valor de S; cl estabelecer qual é o acréscimo porcentual em S quando 8 passa de 30° para 120°, C.399 Demonstrar que em todo triângulo ABC valem as seguintes relações:

a+b 8 -

b '",

t9

Â+8

t9

2

a - g,

19---

2

19

19 - 2

b +c

l- C· b -c

a- c

2

i+C

Â+t 2

'"

til

II a • sen (Ê - tI + b • sen (ê - Ã)'+ c • sen (à - S) = O Iil a • cos (1'l - tI = b • cos S + c • cos Ilil (b + c) • cos à + (c + aI • cos ~ + (a + b) • cos = a + b + c a2 - b2 sen (1\ - ~I IVI -c-2- = sen (~ + S) c2 + a 2 - b 2 tg :li: VI c2 + b 2 _ a 2 = (I! =1= 90°)

e

'i'9"'S

(b + cl • sen Vil a

Demonstração

=

sen Â

164-e

b

;;;g =

$o.

"2

B _ê cos - 2 -

Partindo da lei dos senos e usando propriedade das proporções, temos:

a

e

a sen  a+b = ---.....- ==> b sen B a- b

-

sen  + sen B sen à - sen

B

(b - cl • cos VII)a=

B-ê

A

2"

(Í3=1=ê)

sen - 2 -

165-e

11.

De maneira análoga, teríamos:

PROPRIEDADES GEOMETRICAS

Vamos deduzir fórmulas que permitem o cálculo de segmentos notáveis de um triângulo (alturas, medianas, bissetrizes internas, raio da circunferência circunscrita, etc) tendo apenas as medidas dos lados e dos ângulos internos.

ha

..

130.

128. Altu ras

pCP - aHp - bHp - cl e ht,...

~

• .Jp(p- aHp - bHp\- cl

Área Das fórmulas que dão as alturas decorre uma fórmula para a área do triângulo,

C

A~' I.

f ..J

.1

D

chamada fórmula de Hierão:

c

s

I I

=

a • ha -2-

b • hb

-2-

c • hc -2-

I

I

então

hc : I

tl

D

:::::.

~

A

c

s .. .J pCp

B

- aHp - b)(p - cl

c

131.

No triângulo ADe retângulo, temos: hc = b • sen Â

Medianas Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo AMe, temos:

então

h~

2 • sen 2 Ã = b 2 (1 - cos 2 Ã) = b 2 - b 2 . cos 2 Ã = 2 2 = b 2 _ b 2 • (b2 + c - a )2 4b 2c 2 - (b 2 + c2 _ a2 )2 2bc 4c 2 (2bc)2 _ (b 2 + c2 _ a 2 )2 4c 2 (2bc + b 2 + c2 _ a2 )(2bc 4c 2 l(b + C)2 - a 2 Jla 2 - (b 4c 2 (b + c + a) (b + c - a) (a 4c2 2p(2p - 2a) (2p - 2b) (2p 4c2

2ab + 2c2

_ b 2 _ c2 + a2 ) a 2"

portanto

C)2] - b + c) (a + b - c) - 2c)

4p(p - a) (p - b) Cp - c) c2 De forma análoga teríamos:

portanto

hc ..

166-C

A

= b

~

..J pCp ••) Cp .;. b) {p •

oi

·1

e

167-C

132. Bissetrizes internas 133.

Raio da circunferência inscrita

No triângulo ASS, temos:

A A

Â

"2

x

sen

c

sen a

No triângulo ACS, temos:

 sen 2

y b

B

sen a

i ._ ..._ _X_ _

Então, vem: x c

y

x

b =

y

c =1)=

x

=

x x + y

__

-=:~

c

b+C

~I

=

x2 + c2

(~)2 b+c

-

SABC = SABI + SACI + SBCI = c·r b·r c·r a+b+c +--+ ----·r=p·r 222 2

então:

-J p(p

+

I.r=

p . r

J (~,...-_

a)_(_p_;_b_)_(P_-_C)

C • -----;.--_ _

b+c

_

=

a2 + c2 _ b 2

2. (~)

2b 2 c2 + c3 b + cb 3

- a) (p - b) (p - c)

portanto

2xc • cos § =

+ c2 _

(b

Ligando cada vértice do triângulo ABC com o centro I da circunferência, dividimos ABC em três triângulos ABI, ACI e BCI, então:

=

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABS, temos:

s~

z

y

Y_ _

c a • c b + c = x=1J+C

a

B~~----""'--...:J""-------~C

C

2ac

a2 bc

Uma outra forma de calcular r seria notar que:

bc[(b + C)2 _ a2] (b + C)2

C)2

bc(a + b + c)(b + c - a) (b + C)2

tg

bc(2p)(2p - 2a) (b + C)2

Ã

"2

tg

x

ê

2"

(1 )

z

e mais:

então:

x + y = c,

y +

Z

= a,

Z

+ x = b

portanto, resolvendo o sistema, vem:

r

S8 . =

~ -J bcp(p - fi)

x=

b+c- a a+c- b b a + b - c __ p _ c (2) 2 = p - a. y = 2 =P- , z= 2

De forma análoga ter (amos: e, finalmente, substituindo (2) em (1) vem:

e

10=

~-JabP(p -

c)

j

I

r = (p -a) • t9

~ 11

r=(p.-

b).·

te;

11...._r_=_._(P_-_C)_._t_9

_i_

168-C 169-C

134 .

Raio da circ unfe rênc ia circ unsc rita

c.408

Vim os ante rior men te que :

s

~b; ~ V p(p

Send o r o raio do cfrcu lo .~ inscr ito a um trlsn Q

13 • 'Y

•

•

"V I

as distâ ncias do ince ntro

abc

2P

- a) (p - b) (p - c)

C.40 9 Dado s dois triân gulo s ASC e A'S' C' noS quai s que aa' ~ bb' + cc'.

entã o

IR=

a 13

I

gu o e .' aos vérti ces A, B, C resp ectiv amen te, dem onst rar que.

'Â'

h

fio. +

= 1T

'B = '8'

e

dem onst rar

C.41 0 Provar que em todo triân gulo valem as segu intes relaç ões:

abc 4""; p(p - .8) (p - bJ (p - C)

1

A A 11 S = - (a2 • sen 2S + b 2 • sen 2M 4 ~ "(a 2 - b2) • se~ A ;. sen S (A: =1= 111 S = 2 • sen (A - S)

~

~ + (c -

"I) (b _ c) • cotg

a) • cotg

B "2

S) .,.

" + (a - b) • cotg "2

2 Ivl (b2 _ a2) • cot9 A + (c2 - a 2) • cot9 B + (a 2

EXE RCIC IOS

A

~

~

V) t9

um triân gulo cujos lados med em 4, 6 e 8.

C.40 1 Os lado s de um triân gulo ASC são a = 5, b = 6 e c = 7. da med iana ma e o ângu lo agud o que ela form a com o lado BC.

A

B

"2 • t9 2"

~ A sen 2"

VIII

C.40 2 Calc ular a medi da da bisse triz inter na Sa do triân gulo ABC em que  = 30°, b = 30 m e c= 15m .

= O

P

~

!

•

ê

ê

t9 2

4R + r

VI) t9 2 + t9 2 + tg 2 Calc ular a med ida

b2) • cotg

11)

"2

(A, S, C =1=

C.40 0 Calc ular as altur as, as medi anas , as bisse trize s inter nas e os raios das circu nferê ncia s inscr ita e circu nscr ita a

-

= O

sen

s "2

• sen

p

ê "2

r VIII) cosA + cosB + cosê = 1 + R

IX) a • cos à + b • cOs

C.40 3 Calc ular os raios das circu nferê ncias inscr ita e circu nscr ita a um triân gulo ABC no qual a = 13, b = 4 e cos CA = - 5 13 .

B+ c

• cos

ê

2pr

R

C.40 4 Desi gnan do por ra, rb e rc os raios das circu nferê ncia s ex-in scrit as ao triân gulo ABC nos ângu los A, B e C, resp ectiv amen te, prov ar que:

Il

ra = P

t9

11) rb = p

tg

111 ) r c = p

tg

Â

2" 8 2"

e

"2

= (p - b) • cotg

(p - a) (p - a)

col9 cotg

ê "2 ê 2"

B

"2

= (p - c) • cotg = (p - c) • cot9

8 "2 Â

"2

= (p - b) • cot9 -Â

2

C.40 S Calc ular os com prim ento s dos lado s de um triân gulo isósc eles conh ecen do r (raio da circu nferê ncia inscr ita) e ri (raio da circu nferê ncia ex-in scrit a à base do triân gulo ). C.40 a Dem onst rar que é retân gulo todo triân gulo no qual o raio de um círcu lo ex-in scrit o é igual à soma dos raios dos outr os dois ex-in scrit os com o raio do inscr ito. C.40 7 Qual é a cond ição que os lados de um triân gulo deve m satis fazer para que o raio da circu nferê ncia circu nscri ta seja o tripl o do raio da inscr ita?

111.

RESOLUÇÃO DE TR IÃN GU LO S QU AIS QU ER

135 Reso Iver um triân gulo qua lque r significa calc ular seuS elem ento s principa is: . A~ B ê Para isso é necessário que sejam dada s • . f - sobr e a b c tres In orm açoe e . s , '.• ' lo, send o uma delas pelo men os, a med o trtan gu , ida de um segmen t o I"Iga do ao • triân gulo (lado, altu ra, med iana , etc) . Há qua tro prob lem as clássicos de reso luçã o de triân gulo s que trata rem os com dest aque . A

170 -C 171-C

136.

lI? problema

Notemos que o problema só tem solução se estes cossenos ficarem no intervalo ]-1, +1[, isto é, se:

Resolver um triângulo conhec~ndO

~:,,";§,'",!,'" do;, ''''"''' 'dj,",~...eiL ' . Solução .....

r

a • sen ê sen Â

c

<

a + b.

. •

Resolver um triângulo conhecendo dois lados (b e c) e o ângulo que eles formam (Â).

sen

8' ê

= =

c =

Solução

~= a 2 + b2 - 2ab· cos C

~ b

sen  a lBO° - (A + a • sen C sen Ã

a 2 + c2 _ cos B 2ac 2 ~ a + b2 cos C = 2ab

Bl

Discussão b2 sen Â

lI! caso: b c2

Então

b • sen Â

a

>

138. 31? problema

Então

a

sen

=

2t? caso: b· senÂ

=

B~

>

1

===

~ solução

=

B~ __ 90

a

b • sen  = sen ~B = 1 a

portanto, existe solução somente se Â

Resolver um triângulo conhecendo os três lados (a, b, cl.

:P.

caso:

Solução Da lei dos cossenos, vêm: b 2 + c2 _ a 2 cos  2bc 2 2 2 cos B = a + c - b 2ac 2 a + b 2 _ c2 cos ê = 2ab

a •

c

2

a = v' b + c2 - 2bc • cos  ~ b 2 = a 2 + c2 - 2ac • cos B =

b . · . . ..•

e b) e o ângulo oposto a um,

Solução

172-C

e

'd'","'o oooh,",o'" ~

R.ool." "m

la~os (a

137. 21? problema

=


139. 4I? problema

dois deles (A)

2

b

.....

A = 180 - (B + el, a • sen t3 b = sen Â

C

b + c,

. •.....•. ' .•• , _______________ o

c =

<

a

Então c

b· sen  b • sen Â

a

=

< 90

0

0

caso contrário

,

 + B > 180

sen

~

tl

<

1

e existem dois ângulos

a

e 90 0 .;; 13 2 < 180 • Os ângulos do de Â. Há três possibilidades. 1~) Á = 90

•


e

~ b· sen  o mentares, que satisfazem a relação sen B = . Admitamos O 0

0

B1

ou

82

B2,

suple-

< B1 .;; 90

o

servem como solução dependen-

0

Neste caso só

B1 é

solução pois

 +

82 ;;.

0

180

173-C

2~) Ã

RESPOSTAS

< 90°

Neste caso

8I

82

é uma solução porém

só é solução se a

< b,

uma vez

que: 3~)

A> 90°

Neste caso 82 não é solução pois  + solução se a > b, uma vez que:

81 < Â =

b

82 >

180°; quanto a

81 ,

só é

CAPITULO

< a.

C.,

a "

C.1O

a

='

"

o

C.13

EXERC(CIOS

C.14 C.16

C.4l1 Resolver um triângulo ABC sabendo que a, b e c são números inteiros consecutivos e ê: 2Â.

C.1S

e

C.4l3 Resolver o triângulo A'B'C' cujos vértices são os pés das alturas do triângulo ABC dado: A': 180° - ZÁ, B': 180° - 28, ê': 180° - zê.

o

bl 45

l1n cod 12 4°, b 27f

Q=

3

e

4ri 3

cl

cod

o

01 60 b

57f

e

'6

di 5':

3n cod

3

2

o

di 120

o

el

cod el 135

0

!!!. 4

cod

fi 150

fi

l1n cod 6

0

,ad

o

-

7 . c '" 2°

cod

ou

120

0

31,5 em

ai 160

r : 1.

bl

6

ai 30

C.4

C,4l2 Resolver um triângulo retângulo ABC. sabendo que a : 5

7n cod

el

C.2

01 15

bl 152°30'

0

0

A

P,

a

P,

A'

P,

a'

P4

Im x

n

n

~

77f

'4

7f

3n

O

3n

x

2

4

4

2

.-

C.20

C.414 Resolver o triângulo A'S'C' cujos vértices são os pontos de tangência da circunferência

inscrita com os lados do triângulo ABC dado.

C,4l5 Reso Iver um triangulo • ABC sabendo que

~

a: 3, b + c : 10 e A: are ,en

C,4l6 Resolver um triângulo ABC sabendo que b + c : 11, ha : 4 e  : are sen

3V91 50

6+4V5 15

C.4l7 Resolver um triângulo ABC sabendo que Á: 45°, b: 3 e a + c = C,41S Resolver um triângulo ABC admitindo conhecidos

B, ê e S.

C.4l9 Resolver um triângulo ABC admitindo conhecidos

8, ê e

ha·

C.22

175-C 174-C

CAPITULO 11 e.34 e.2'

Imlfl

e

[-2, 2). plf(

e

Imlfl

[-3, -I). plfl

e

e

2rr

e.40

2rr O

rr

ImW, [-1,

11,

plfl

e

2n

e.48

3rr

"2

Imlfl ~ [-2,2]. p(f( _ 2n

2

2"

O

e.41 e.35

Imlfl

e

[-1,

[-1, 1). plf( _ rr

Imlfl,

3). plf( _ 2n

3 e.27

Imlfl,

[O.

e.49

3). plfl ' rr

31------------

-1

rf'~

e.36

Imlfl - [,,3). plfl _ 2n

Im(fl ~ [-1,

C.42

[-1, l).plf(

Imlf(,

6rr

e

31

j

p(f) '" 41T

j

't

3r

-

O

e.31

Imlf( _ [-3, 31 plfl - 2rr

O

O

-------

~

:;;

--71T

-1,--3- - - - - - - - - - - -

-~

2rr

...

j

-------.----"

3"-----

e.44 Imlfl-[-1,3j, p(fl-"

-3

o

3 -

n

rr

"2 e.32

Imlf(

e

[-3, 3J,plf(

e

;

e.37

Imlf( - [-2,

O).

plfl _ rr

3n

T

2rr

---~[. O

-1

rr

O

rr

8

3rr

'8

"--

e.38

I

e.50

Imlfl _

lo, 11.

e.52

Imlf( _

[-1, 1). plfl

plf( - rr

lln 12

rr

j

Imlfl - [-2, 4). plf) • 4n e.46 e.47

a)..!. ~ 5 Imlf(

m

~

2, 5

[-1, I). plf( '" 21T 4rr

-3

176-C 177-C

(mlt( = [o,

C.53

2J.

2.

plfl

C.58

CAPITULO 111

C.50 C.52

24

C.74 sen x = -

'm(fj

co

-

2n 3

[-1, 3],1.l(fl _

C.55

~ {x

b} O(f)

E IR

C.57

> O, Y2 < O Q: < 1 Ou ~ 4

C.59

D(f)

C.56

I x =I: !!., + k _~

O(f) " {)( E IR

a)

6

I x =/::- §~

{x E IR I x

'=

*' 3_ 6

•

p(f)

-

12

YI

Q

3 .

25'

+

~ 2'

kn

-2-'

k E

C.75

cosx=±2~

C.77

secx,",±~

7 24

"'-

k E:lJ

z.J

secx=-~ 7

+ 1

m

8' + b'

C.79

y .;. 6

C.81

y -

•

'" -sen

6

n

lln) .. cotg

6'

3

C.121 aI seI' x c) -tg x" C.122 cos 2 x C.123 -sec 2 x C.1241 C.126

b)

di

457

8

3

1 sen x ± cosxc:_ 2 C.84 tg)( = -2 ou tg x = '2 C.83

k E" ')

'.1-

-7 cosx=2'5

24 tgx= 7,cot Q x=

C.54

4n 3"

kl cos -

11

= 3 ou • _ 1

m

8' - 2b = 1

C.92

Y

li:

.!

(3 _

2

2

o

= -1

m

C.86 C.87 C.90

_,

v'3

1T

11

21r

311"

T

"2

51T

T

a2 )

2

2

C,55

Imlfl

[-1,

=

A +

11.

plfl _

2.

I

-~----01T"___

~ -~

O

-

----.- -

ImU)

CO-

[-2.

21

j

j

_

d) cotg

I I

I

I

-6:

5

h) cos(- ~ I = cos 3

L"..

1

I

I

I

'"

tg(-

I

' ,' ) seI'

I I

"3

I

k) cos -tg -

I I

27T 3

D(f) ~

{x

E

IR I

x =F 2!.

+

~

0(9) "-

{x

E IR

krr

4

Dlh(.{,EIRi,*_

C.l1

,(

'" rr. p(g} '" n, m ~2

b) m .,,;,;:

~

k EZ}

2 rr

4

p(f)

P(h) '"

+ k1r, k EZ}

2rr

d) seI' e) cos fI tg g) seI' h) cos

Ou

3

cJ O ~ m C.72

178-c

YI

> O,

Y2

<

~ ou _

i

3

< O,

y]


< m"::;;

~ 4

I

211T """"4 311T

""6

ll1T

3

2

5

i)

tg

4n

"'3 2n

""3

'" -

1 "2'

V3, 3

'" 0

=

= -seI'

'41T

= -cos

61T

CAPITULO VI

= -tg

11 "3

C.132 cotg 165

cos 930 cotg 930

-2;J3,

o

=-

0 '"

""

V3 2

Vi

cossec x '" -2

"3

C •134 V2 2.

n

C.137 senIl(. + V) .. - 84 ã5

~

~ = seI' !!. 5

-t9

=

6"

~

= -cos

= -(2 + VJI

-1V6 + V21 0 cossec 15 = V6 + Y2 1

sec 255 C.133

0

0

•

5n 3" = -cotg

5

8

4

= -cos

!.!E" '"

o

0

sec 930

= t9 ~

~

B = {-I. O. 1}

tg 930

3

'6

6"

•

"8 n

COI

~ -/2 +V2

C.130 seI' 930

.!!.

= -seI'

5 7n

C.I29 A

5

C.118aI s8n261° =_coI9° 0 bl cos 2861° "'" cos 19 c) t9 511° = -tg 29°

krr. k E:lJ

I x * !!.

6

= --2--'

0

!.!.. I = sen ~

seI' (-

t9

-/2-V2

ãn

C.127 sen

6'

cotg

g)

I

C.lO

"'6 '"

I

2ntI

11, p(f)

-sen 71°

..

= -t9 'Ó 7n n

i

I

1-3,

0

0

el sec 1924o = -sec 56

I

ImU)

= -cos 2°

fl cossec 231T = -cossec 1T 6 '6

I

I C.57

0

I

pU) - 2rr

5

b) seri 251 c) t9 290

I

I I

01

·1 2

I 1

I

CAPITULO V

C.,17 al cos 178

I

I

7I-----grr

I

C.56

I

I

--'-4--.::4

-.4 __ 4.___

-1

I'

I I

I

----

4

CAPITULO IV

,

I

rr

6' ~ 5

il senl- ~ I '" cos 1T 3 6

cos(x + V) = tg(x ... vi

C.145 Dlt)

=

11 85

=-

IR. plt)

-ª! 13

f. I '* !!.

=

Imlf) = [-1. 1]

Dlo( = IR. pio) = 2n. Im lo) = [-2. 2] Dlh( = {, E IR p(h} '" 1T,

Imlhl = IR

4

+ k1T}

i

C,146 p(fl = C.l48

C.168f(x) '" Itgxl, Im(f) '" IR+

2

"3

C.150 a) ~

v'1õ - 2 V2

b)

6

~

{x E IR

I x '" ~

C.169 Dlf!

~

IR. p(f!

~

C.155y~_

c) 4'cosr' cos~ 'sen

5V7 -9-

C.154 tg 3x '" -

2

dI 4· cos b • cos

v'3

b) pl,l

~ ~,

~

DI,)

IR, Iml,l

[-1. J]

~

C.199 a) {x E IR

{x

b} ~

"3

T '"

V3' 3

=}

10 ;07

Y'2

+7 4 '" }10 20 cos ~

V'2

-i-

il tg

..!2

Ix

=

=

y

=

c)

...!.

-

COS

4

4

V2}

V2+ - 4 -1 -

~

3n {x E IR I x ~ ±

01 S

~

{xEIRlx =±

'3 = + v'rr;

11

Imlf! = [C.189

"3

-.

s

= {x E

_

:

V2.

p(f) '" 7f

Ix

=

± ~ + 2k1T ou

"3

!! +

C.195 aI S

=

Ix

bJ S '" {x E IA

c)

s = {x

'" 1T + 2k1T Ou 5

E IA I x '"

~

il

S '" I,x E 'R

T

j)

5 =

I x = ± ~3

+ v'2]

{x E

IR.

Ix =

f)

=

{x E IA

S .. {x E

,) s • (x h) S '"

{x

IA

Ix J

'"

~

I x '"

~ + 2k1T

E IR

C.197 S .. {x E IR

~ + 2k1T}

=

ou

x

= !!..

f

6

=

5n

"6

i

b) x '"

x • 2kn _ ~ }

+ 2k1T ou + 2k1T}

x = 51T +

6

2krr~

"3

5rr + 2krr}

S

=

11"

6'

:E" 18

ou

x

=

{x E

Ix ~ ~

{x

C.213 S

=

C.214 p

=

!!.. +

~

C'" 21T 3

+' k, l<. E..l':

18 ' 18' ""ij""'

{ O, "5 5' ~

s

~

cl

s

~ {x E IR I x = ~ + kn}

5

=

IR

Ix = ~ 5

Ix = ~

s = {x E IR I x ~ ~ s = {x E !'lI x = k;}

gl S =

hl

{x E

+ kn}

E

i,

C.222 S = ta,

n

~

!'l I x.

7rr 1111". 211"}

1T

66

~}

4

~} 4

= rr + 2kn

C.226 x

6

y

_ 2k1T

1f

~

6

C.228 a} S

=

{x E IA I x '" ~

ou

+ 2k7T

x '" 1T + 2kn} b) S =

{x

E IR

Ix

'"

C.231 S

=

{x

1 ~1T

~

+ 2kn ou + 2k1T}

2

97T 13n}

n 5rr {O, '2' n. '2' 2n, '8' 8" n

37T

E IA

Ix

n,

8' 8

~ 2 • 2n}

.. ~ + k1T ou

x

=

kn}

m ~ + C.233 As equações têm solução 'para _ r::: bl - V 2 <;; ai 'I m E IR

C.236 a) S =- {x E IR

Ix

'"

+ n m2kn

ou

x '"

+ kn}

i'ã 'i-} +

V2

m±_1T n

m '" nl}

+ kn}

O

s ~ {x

18

n}

.

Il ' ""} 3'5 5

C.221 S '" {O,

n b) S ~ { o. '2'

bl

di S

17n}

137T

5rr

7T

C.230 ,I S =

+ 2kn

x '" k7T}

+ k1T ou

+ kli}

4

x '"

= {x E IR I x ~ n + kn} E IR

+ k1f}

4

4

kn

4

{x

'"

I x = ± !!..-

E IR

n C.225 S = { 4"'

kn "2

IR

+ !"'.} 3

kn

=~

+ 2k1f}""

E

Ix

C.224S= '4"'

+ ~ Ou 2

o

LX E IR

C

s

.1

"6

~ + k7T ou 2

+ 2kn}

C.2ll ai

ti + 2kn ou

Ix

C.2l9 S ~

x '" ± rr

+ 2kn }

+ 2kn}

I x • ± ; + krr}

Ix =

0"

5n "6

E A

C.217 S '" t + 2krr}

+ 2kn}

Y + x

x ..

0"

~

~ 4

+ 2k1T ou

5

x

x =

I x ~ !!.. 12

!!.. 4 +

C.20a aI x '" Y '"

2

0"

S = {x E IR I x = k1T ou x =

kn

x=

ou

x = 7n + 2k1T

j}

= {x

x

2

S '" {x E IR I x

=.

B=

3

+ 2k1T Ou

k1T

x =

5

2

x ..

IR

Ix =

+ 2k1T}

4

i}

C.195 S

= §E

4

+ 2k1T ou

{x E

x '" _ !!.. + 2krr}

+ 2k1T ou

E IR I x = ~ + 2k1T E IA

x

!!.. + 2k7T, x '" ~ + 2k1T

!!..

bl S =

+ 2k1T}

(x

r

± ~ + 2k7T,

7

3

d) S '" {x E IA I x = ± el S

= ~

7

bl S =

gIS={x EIRlx= 2kn}

C.206 a) S '" {x E IR

{x E IR / x", 11 + 2k1T ou x

~ 4 + k1T}

kn}

2n + 2k1T} - "3 x =+

CAPITULO VII

I x '"

di S ~

± n + 2kn}

2

E IA

+ 2kn}

=

fi S = {x E IR I x ~ ±

n + ~} 2 3

x = ~ + k1T} 4

Ix

IR

+ ~ ou

{x

c)

n

6

+ k1f}

C.212 aI S '"

+ 2kn}

h) S .. {x E lA \ x '" 2k1T ou

C.188 D(f) '" IR p(f) '"

=

+ 2kn}

bl S

x = b) y

2n

{x E IR

aI

2

"2

~

2x)

(2 +

±

2

C.204 a} S

di S = {x E IR

2

lcos 6x +

C.178 aI y

10+7v'2

4

1T+x C.1G6 tg ( - 2 - )

2

(..!L + ~) • cotg (!!.. _ !.) 4

C.175

/10 -7\l2

=

2

{x

I x"'; x '"

- n + kn

2a + 3b '

h) cotg (b - a)

= 2 "2xV2

tg

cos

~

I x",

E IA

"3

3

y

E IR

S '"

j)

,*

= {x

n

~,c '"

"2

S

2k7T 5

+

1f '5

2k7T ou

=

kn

+

"2

4 8 + ~} x -- ~

'" k7T ou

Ix

' b ;"

n

=

Ix

g) cos {p + q I • COS lp _ q}

n '2

n C.160 p(f) = 1T, p(g) '" '2' p(h) '"

Jl. •

C.201 x

2a + 3r

E IR

n

C.200 a

sen (p + ql'sen lp _ q)

f)

[O. 2]

01 plh) • !!.., D(hl = IR. Imlh) ~ [ '-. 1] 2 2

t, "'-

~ [O, ví]

2 e) sen (p + q) • sen (q _ pJ

2

C.159 a) plf! ~ n. D(f) ~ IR. Imlf! ~

C.165 sen

Im(f)

~ rr

b) 2. cos (a + b) • cos b

C.153 2035 2197

C.164 sen

T'

+ kn}. p(f)

C.174 aJ 2· sen b • cos (a + c)

-44 125

C.162 sen 3x '"

D(f)

bl S '" {x E IA

01 S =

{x E

IR

I x ..

Ix ~

a+b

+ ~ a+b

X=-

n ã='"b

rr

+

1f

12

~

+ 2k n

ou

+~} a-b

O"

3 + 2krr}

4

180-C

181-C

C.237 ai S = bl S =

{x

{x E

c)

s '"

I X" ~

{x E IR

4

n

1T

2k1T e

2

2 -

2

8

f,

di S = {n 3'

i,

2n

31T

ou

2k1T

x

n

S1T

B'

31T

51T

4' 4' 2n 4n 3' 3

4

C.2530, 3"'

~ !!:!' 13n ~} C,276 8'8'8'8'8

4"' "2' 5

x

IR

n + 2 kn}

'!:"

<;

3

{x

E IR

-f

+ 2kll' "'" x

I .!4

~ x~

+ 2krr

~ +

cl -

6

2035 2197

?!!. 6

C.281

{x E

IR

2krr :E;;; x

12

5

9

9

~

I

e) 24

< x';; ~

C.296

'~x

E IR

I !:.

C,29B

{x

E IR

I 12

C.299 {x E

di 4 5

7

= + V2

""""9

C.283 {x E IR

2

~

E;;; x

C.301

I .!!.- ,;; 12

C,302 lx E

?1! + 2krr} 4

6

!.!1!' + 6

ou

?!'.}.

C.307 ai

9

ê! o

x <;

12

131T ~x~

I .!!.

C.285.1 {x E IR bl S ~+--f---=-c--~-'"

C.287 2k1T

6

= {x E

~

x

IR

x "" n ou

171T

4

.x""ê!} 4

+ 2kll'

C,28B {x E FI

~

{a E

{x E

C.309

{x

E IR

2

< x < 5n '6

+ 2k7l'}

+ 2kn}

ou §!! <:x=< 6

7Tr ou

'6

<x<ê!}

I !': .. a';; ê!} 6

I !!: 3

6


<x<

I !!: 2

+ 2kn

< x ,;; '!.3 + 2kn} + 2k1T < x < ~ + 2krr} 2

+ k1f

< x :Ç 1T + k1f}

C.314 {x E IR I 2k1T '" x ~

+ 2k1l'

3

2

2

I !L 2

'3

4

3

ou

511' ou 3

4

i+

= 25

y

144, t = 13 13

z '"

13 '

cJ- ~ 'Yb, Il' = '1', <{J' cJ- = b' + <{J'

= b"

cJ- + Il'

C.334b = 3 C.336 are t9

aIJ

= 'Y<{J,

C.339 2 C.M0 8

o e = 3V3

fi

e are tg 2

V6-V2

ft

0

V37 V3 3

C.341 2 • are sen

4 '5

â = 26°34' ..!..

are sen

2

2kll ou

C.344

8

b = __'_6_ _ , e = _ _ 16_ _

C.336 AoBo • eossee 4 C.337 are t9 "3

C.342

ou

= '1',

C.32439 C.325 25 C.327 h = 8 ou h =2 C,3285 C.329 12

C.343 C =

< x '" Z.!!. + 2k1f 6 + 2kn < x < 21T + 2k1T}

+ 2k1T

~ < x <

ou

V6+V2

!!. ou :!!! <x< ~}

C 313 {x E IA

3

3

S

~ < x ~ 7;

ou

< ~-

5n

X""lt

I '!. < x < ê!}

E IR

C.333 a '" 16,

lo <x
3

li(

ou

/

C,330 R V 2 - V'1. C332 = 16V3 b=8v'Í e• a 3' 3

3

+ krr < x
271'

< x < ?!'4 ..

C.323

6

I ~ 3

{x

C 322 x '" ~ . 13 '

.3f < x <; n}

I!!...

.

2kll'

n + 2kn 4

IR

6

C.320 S =

~

x =s;;;;

CAPITULO IX

C.312 {x E IR

51T

I

IR

6

~

< x ,;; 2n}

.!!1!.

x" 23n } 12 ou

'!!! <'x<211'

{x E RIo <. x < ~ 3

n ?-4 ou

<x<

3

3

C.310 ai S = {x E IR I n + 2kn 6

6

I x = !!.

x " 211'

IR

i

~

/ 13n n / x ..... S ou 2' ....

"2 ......

ou

4

ou

ou 1T

!!. <

<; x';; ~}

bl S = {x E IR

ou

~ 3

I

IR

{a E

C.308

~}

+ 2k1T

~ ~ +

x

9"'

'2

%';;x';;

3

2

{x E

i

x "

3n /

~<x"'!!:!'} C.306

<;

C.318 O

~<x<~ou

C.30S{xEIAI!!. ~x<.!!: 6 2

2krr}

17n} 12

O '" x '"

6

~ <x< ~

ou

4

21r + k1f} 3

~ :!ii;x <'1'1" ou

f

I ;;

C.303 \x E IR

12

~

<x<

!!..

+ k'll' ou

1T~X< ~

4

3

13n <;

ou

< x < n} IR lo <; x < ~ ou I

IR

'2

, 12 C.284 {",E IRI

{x E

bl

ou

12

6

~ ou

x';;

<; I1n

)(

< x <;;;

+ k1l'

2

< 2!.2

<; x

k1T

3

< x < 211' + 2kll'}

+ 2k1T

<;

I~+

Otii;x
6

+ 2k1T '" x 'li; ~ + 2k1f ou

~ I O <;, x < ~

6

ou

rr

21T

2 n

6

2krr

2krr

C.317

+ 2kll'}

1111

C.319

9 '

1411"

I ~

E IR

!!:!' < x .. 2n}

4

6

--!t-

ou

ou

x = 2kn}

+ 2kll"}

~ +

2kll'

+ 2kll' ou <x< ~ 6 + 2kll' < x < ~ + 2kll'} 6

.! 6

3 ~ +

+ 2kn

n 6

3

~ :E;;; x:E;;; 13," bl 323 325

{x

+ 2k'Jl'}

5fr

<x<

C.315 {x E R

0

ê!}

< x < 211' + 2k1T

~ ~ +

<x<

I 3:' ,;;

b) grMico

182-C

+

+ 2kn

+ 2k1J' ~ x ~

13n '2

A

+ 2k1T

< 27T + 2k7T

<x <

<x<

I!!.

= 4

C,282 {x E IR

65

6

~<x
<x<

2k7l'

.4

~ +

C.279 {x E IR j

24

x ,;; 2kn

< ;;, J,f

O + 2kll' C.277

C.294

§1! + 2kll' ~ x ~ l!!. + 2k1T 6 6'

I

3

'5

C.260 aI

{x E

4 5n }.

v5

-

x ,;;

E IR 12kn +

~ 6

1T

1.. l

{x

IR 12kn .;;

?!'.}.

n

C.265 sen(src cos -

{x E

+ 2k1f, 1~rr + 2kn

?!'.

25

<x<

+ 2k1T

71r

C,274 {x E IR I 2kn ,;; x

E.

2n}

~. ~.

n

I !

C.290 {x E IR

'6

~?1!~~!..!E'} 6'8'3'3'6

2. )::: 3 V7" 4 7 V51-6 + V3i bl 15 + 2 V3

C.259 al

12

753 " 15625

6

5n + 2kn} 6 C,272

c

tg(arc sen

f-

'5

dl_

5

el

?!!.

C,273

b =

a'

J,

oi S = {o,

C.257

~

b) ± 4

2

y '" 2k1T

3' 3'

els={i,

C.266 2

6

CAPITULO VIII

V2

C,246 ai s={;;, n

={

3

x==-!!..+~}

ou

+ 2kll' ~ x <; ~ + 2k1r ou 6

I .!

C.289 {x E IR

~ + 2k1r ~ x <;

x = 47T _ a + 2k1T} C,266 oi ± 3

}

= ~ +

Ix

..!!: +

C.242 a = are sen

C,251 ai

~

n

C.293 {x E IR

"6' "6'

C.241 b) x '"

C.2~

C,264

n

:4 ,- 6'

C.291 S =

5n

C.240 S ~ {x E IR

C.247 O.

ou

o, '3'

4

C.239 5 '" {O,

s

+ k1T

n

C,262

!!., ~}

C.238 S = {

bl

t

+ 2k1T ou

- a

3

'T}

x=

kn ou

Ix = ± ~ -

IR

~

x:::

Ix =

E IR

B""

2· are tg

C.345 are sen

C,347 h = 3

4

Y3 tv'2 - 1) 3

fi

e are sen

o a =2..[2 12

13

V6m

183-C

C.393 ha(tg a: + tg {li 2 C.394 S .. 7 V3m 2 C.395 (2 + v"'12l cm

C.34S h '" d{tg(3 - tgo1 e.348 H

= h [t.~ + 1]

t."

m'

C.350 1233m C.351 x = 40 m e y C.353

â ..

ê

60°,

=

90 m

= 30°, a = 2

V3

e '"

e

C.355

ê '"

13 = 60°, b '" 2, e

C.366 a '" 2, b = e =

= 2\Í3

vi B '" ê '"

C.357 a = 14, b .. e = 25,

A '"

!!..

4 2 • are sen

!......

ê"C=are eos

7

25'

25 C.358 a .. 13, b '" 12, e = 5

B = are

!..!, ê

sen

13

C.359 a '" 4. b = e = 2

- '15 3..Jt5 3 v'15 .V10. - 4 2

C.400 alturas: 13

vi â '" ê =

bissetrizes:

1r

V:.

4

v'145

CAPITUL O X

C.401 ma =

e.361 c = ViIi e.362 4 f i m

e.402,O

V3

C.403 r =

3 "2

4

e

V7 m

5 2 ";4' - 20 C.365. = 45°, â = 60° e

C.366

8 = are

CAOS a = 2

Y3 ê

= 75°

~

cos

C.411 a = 4, b

90

ê

-1 +

e.412 b b) obtusângul o

C.373 aI retângulo c) acutângulo

e.374 C.377

C.378 C.379 C.380

e.381 C.3S2

j'

+2 V5

B = 120° t8 = 45°

e


e

45°

senO' + sen(3 + sen (a + (j)

e=

Ih

=

are tg

Y353. (3 '" are tg

C.392 b) sen a'"

184-C

0

TC.2 b = c = (r' + rl

e

~

(r' - r)

3. c

=

ê '"

= 5. c = 6, Â", - JÁ. ê = 2Â 4.

=

íi

are cos

Ã' '"

=

are cos

3

3

",c seo

e

4"

=

=

B+

"2 ~b'

= 2(p - b) • sen

B 2'

TC.4

E.2

5.

seo

C.418 a '" R ·sen

1-./62 + Y21 . B = 30° • ê ui + êl. b '" R ·senS. o

êe

3

à = 180° -

(B

TC.5 o

115°

' + Y3 2 Y2

1 V5-2-

C.41ga '" hahgB + tgêl. b '" e

à '"

180

0 -

(ê

+

C)

ha

d) 4 h 5

min

(PUC-70 ) Sendo

3

11

min e 4 h 38

(UDESC -74) Os arcos cujo cosseno é b) 1C! e 2 a) 1C! e 4C! e) nenhuma das opções é correta.

"f2 c)

10

ha

min

podem estar nos quadrant es: e 3C!

d) 2C! e 3 0

+ êl. onde

_,e=--_ sen B sen C

7

11

- O) pertence ao: O um ângulo positivo, então (571 2

0

TC.6 cos

5

12

b) 2C! quadran te d) 4 0 quadran te c} 3C! quadran te s. anteriore vas alternati e) nenhuma das

'O-'

c

min e 4 h 38

~ 1? quadrant e

3 v'9i -'-0-

=

v'2.

5

11

e) nenhuma das respostas anteriore s

Â

2

2'

A

um relógio à 1 hora e (FUVES T-77) O ângulo agudo formado pelos ponteiro s de 12 minutos é: e) 72° d) 42° b) 30° a) 27°

c) 4 h 5

â = ê = !'.2 _ .'.2 • "C = 3 + v'2O. b = 5. e 6 3 v6 r arc cos 3 ' C '" are cos s-

e.417 e = 3

V3

ê'

â '" A + ê

ê

c' = 2(p - cl ·sen

e.415 b " c

B

3

+

2'.....

e dos minutos às 10 OTA-72 ) O ângulo convexo formado pelos ponteiro s das horas é: minutos 15 e horas b} 142°40' a) 142°30' d} 141°30' c) 142° e) nenhuma das respostas anteriore s

de um relógio fica duas vezes em \ TC.3) lITA-73 ) Entre 4 e 5 horas o ponteiro das horas s destas ocorrênc ias serão: momento Os minutos. dos ponteiro o com reto ângulo \"./ 2 5 5 2 min e 4 h 38 11 min b) 4 h 5 a) 4 h 5 11 min e 4 h 38 11 mio 11

"5

..!

a' '" 2(p - a) ·sen

r

1'3

ê

c = R • sen

C.3S7 88 m 0 C.389 ê = 75 C.390 ê = 57°30'

B = 2 • acc

= 180

C = 30°)

C.416 a

2p • sen (j sen a: + senf3 + sen (a: + 2p·s e n(a+(j) sena+sen ~+sen(O' +{3)

C.3S4 a = "y

e.391

C.414

ê

Q

b =

89

5 C.413 a' '" R • sen 2Â. b' = R • sen 28 ' c'=Rose n2ê

1 +2V5

0 = 120°1 ou (8 = 135 0 B = 30 e A = 90 0 Ã = 30°, ê = 90° e ê .. 60 c = 3 V3 m 2p • sen a a =

e

v'145

C.407 abc = 6 la + b + cl

v'13 6 e.370 7 Y2. 2 v'29. Y'i3o =

10

~

-'5-

26

are eos

R=

e

TC.l

16v'i5

circunscrita :

2

C.363 are sen

FUNÇÕES

v'31. ViO 6V6 2· tr: 12 -Y15 l6. ,V -57

med;aoas: V46.

É.-

= are sen

el 73%

= 90°

b) (J

inscrita:

e.369 c

TESTES

T

'3

'2 _

ê

30°,

V3 m

ab

5

C.354a= 13,b=5. e:12,8= aresen ~ C=aresen

V3

e.39650 V3 C.397 2 V 41 - 20 C.39B aI

(PUC-76 ) TodQs os valores de x. de modo que a expressã o

são: a) -l':;;x
d) -1 .:;; x .:;;

2-2

b) -1

2x - 1 sen O ~ --3-

exista,

< x':;;O < '31

e} -1':;; x

185-C

TC.7

TC.a

Sen x = a + a-I (MACK-731 o conjunto dos números reais a para os quais a equação tem solução real em x é: cl {l, -1, O} a) IR bl \25 e) nenhuma das anteriores. d) {k11 I k inteiro} ICESCEM-77) Se

cos x = 2k - 1;

e

2

b) [-1; O)

(-1; OI

aI

x E 111; 311 I

y.L-jO;

1 "2)

então,

varia no intervalo

k

e) nenhuma das alternativas anteriores

uma, é verdadei ra. Assinale-a: TC.16 (CESCE M-73) Entre as afirmaçõ es abaixo, uma e apenas a outra decresce a) - O seno e o cosseno são funções tais que quando uma cresce b) cos x - sen x ~ O, para todo x real. pois cOS x

1 e) (2"; II

d) lO; 1)

todo x: TC.15 (CESCEM-701 Assinalar a desigual dade verdadei ra para bl loos x - senxl.;;; ; 100• xl - lsenxl a) Icosxl + Isenxl; ;'l dI Itg xl;;. lsec xl cl Itg xl;;. Icos xl

x

c) tg 4" TC.9

(PUC-751 O valor numérico da expressã o: y = cos 4x + Sen 2x + tg 2x - sec 8x

b) 1

aI 2

para

7

b) 5

b) 2

a) 1,5

y

é:

15 - sen xl; para

"x"

el -1

= 2 sen x + cos 2x, O.;;;; x < ~, é:

cl 2,5

d) 3

e)

>

aI 3':',2':', 1':'

Fl~) <

FI

b) 2':',1':',3 ':'

~) <

~) <

Flx) = cos x, então: Flv21 < Fll,5)

Fl~)

~) <

F(v21

Flv2) < Fll,5) < Flfl

d) Flv21 < F(l,5) < e)

cl 3':', 1':', 2':'

Fl v3 ) <

2

< Fll,51 < FIV21 < F(

FlE.l

2

~l

d) 1':',2':',3 ':'

=

1 - 2 •

a afirmaçã o falsa: aI 2 tg x < 2tg y b) cos x < cos y c) sen x < sen y d) não sei. Flxl = sen x • 10g1 x é:

2"

aI sempre negativa, para O<X< 11 b) sempre pOSitiva, para O<X< 71 c) positiva para O<x< l e negativa para l<x<1 1 1 dI negativa para O<x< l e positiva para l<X<1 11 11 el positiva para O <x <"2 e negativa para "2<X< 11 TC.19 lPOLl-58 1 Se x e y satisfaze m O < x < y <

>

b) Fll,5) < FI;) < FI c) FI

e 'Y tais que:

e oosOC < O e tgl3
TC.14 (SANTA CASA-7 7) Se a)

13

Isen x - cos x)2

O.;;;; x < y < ~. Assinale TC.17 ICESCE A-73) Sejam x e y dois números reais tais que

TC.18 lGV-701 A função

d) não sei Os quadrant es onde estão os ângulos OC,

va-

x real, pois

00

TC.12 (CESCE A-73) Assinale a afirmaçã o verdadei ra: a) Para todo a real, existe x real tal que tg x = a a';;;; 1 b) Existe x real tal que sen x = a _ la I .;;;; 1 _ a = x sec que tal real x Existe c)

TC.13IC ESCEM -72) senOC < O oosl3< O O sen'Y

periódica de é periódica de período 211, pois a tangente é uma função

pedodo 11 d) 1 - 2 • sen x • cos x ;;'0, para todo . sen x • cos x

el 4

d) 1

A15

TC.11 IMACK-751 O valor máximo de

"2

d) O

cl 3

TC.10 ICESCEM-75) O menor valor que assume a expressã o riando de 0° a 360° é: a)

x

11

>- sen x

el 3':',2':',2 ':'

a) bl cl d)

~

e z = sen x - tg Y • coS x, então:

para cada y. z é uma função decresce nte de x para cada x. z é uma função decresce nte de y z pode ser nulo z é sempre positivo

e) nenhuma das anteriores reais que se obtém fazendo TC.20 (CESCEM-731 Considere a seqüência de números 1 2 = O, 1, 2... Pode-se afirmar que: - na expressão y =: sen X-' n x= - 11 + 2n1l

a) a seqüência não é converge nte b) o limite da seqüênci a situa-se no intervalo fechado [-1; 1] c) zero é um termo da seqüência d) a seqüência converge para +1 ou para -1 e) o limite da seqüência é zero "0"7 I"

186-C

TC.21 (FFCLUSP-691 A solução de sen 2 a) x = k

~

x + sen4 x + sen 6 x

= 3

TC.26 (CESCEM-71 I Oual dos seguintes conjuntos de valores de x poderia constituir um domínio para a função 109 sen x?

é:

I k um inteiro qualquer)

a)

x ~ O

bl x ~ k1T (k um inteiro qualquer) c) x

~

:

d) x

+ k1T Ik um inteiro qualquer)

1T d) x ~ (2k + 11"2 (k um inteiro qualquer)

a) y = sen

TC.22 ICESCEM-73) Considere a equação trigonométrica sen x

+ sen 2x

~ 2.

Então:

a) existem soluções todas irracionais b) existem soluções todas racionais

1T

4"

+ k1T; k

E;Z

'*!!..2 I x '* 1T}

bl

{x E B

. c)

e

x

o domínio da função f, dada

'* O}

TC.24 (GV-74) Seja n o número de pontos do conjunto

{x E IR

I O ~ x ~ 21T}

2

IK=0,1,2, ... i

x

x

Y

X,

x

1T 2

x2 Isen x I Isecxl-1 Icos xl ~

Itgxl + 1

-21T

-1T

1T

x

nos quais TC.30 (MACK-77) O gráfico abaixo pode ser da função:

não está definida. Então n é igual a:

3

b) 4

ai

c) g

d) 11

el 8

c) 1 - Isen xl

a) a função tangente está definida para todo

período

Isen xl

bl sen 2 x

TC.25ICESCEA-75) Assinalar a afirmação correta: x

real, é sempre crescente e tem

di 1 - Icos x I el Não sei

..x

1f.

bl a função cotangente está definida para todo x real, diferente de

;

+ k1T, com

TC.31 (GV-74) As equações abaixo representam curvas, num sistema cartesiano de coordenadas de eixos x e y. Só uma destas curvas não passa pelo ponto x = -0,5; y = 2:

k inteiro, é sempre crescente e tem perfodo 1T. c) a função cossecante está definida para todo x real, diferente de k1T, com k inteiro e tem valores no intervalo [" ~[.

d) a função seno está definida para todo x real e é sempre crescente. e) a função secante está definida para todo x k inteiro relativo e tem valores no conjunto

188-C

1T K.

2"

-1T 1T ~x~"2 2 -1T ~x ~!!.. b) y = cos 2x, 2 2 -1T ~x~~ c) y = sen 2x, 2 2 di não sei

a) y b) y c) y d) y e) y

{x E B Ix~31T} 2 el não sei

a)

'*

< x < 21T

TC.29 ICESCEM-731 Oual das funções abaixo melhor se adapta ao gráfico?

d)

tg x

el x

3 1T 2

x bl y = cos"2

ai y = cos

{x E B Ix,*31T} 2

se" 4x

O, 1, 2, ... 1

c)

TC.28 (CESCEA-73) A figura é um esboço do gráfico da função:

TC.23 (CESCEA-72) Seja A C B = {x E IR I O ~ x ~ 21T} 1 - sen 2 x por: í(xl ~ 1 + sen x· Então, A é igual a: {x E B I x

(K

< x < 1T

c) y = sen 2x d) y = cos 2x e) y = sen x

d) não existe x que satisfaça a equação e) x = O

ai

31T 4

K.

1T "2

TC.27 (CESCEM-75) A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é:

e) nenhuma das respostas anteriores é verdadeira.

1T c) x ~ "2 + 2k1T ou

'*

b)

real, diferente de

]_00, -1]

U [1,

+00(.

1T "2

a) y

cl y

+ k1T, com

~

1

1092 ( 16

IX

sen (1Txl -~

bl y = 8x 2 di y

I..!-I x

e) y :; eX

189-e

TC.32 (EESCUSP-691 O período da função a) a)

n

b)

8

2n

3n

""3

c)

4

d)

TC.33 (EAESP-GV-77) O período da função dada por y

n

1

aI

2'

b)

2

c) 2n

=

y Ix + 2n)

=

n

2

3 sen (2nx +

d) 1

y = 2 sen x + 3 cos

TC.34 (STA CASA-731 Em relação a função a) y(xl

TC.39 (MACK-75) O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g dadas

3 cos 4x é:

"4

2!.) 2

é:

e)

T

e) é tal que

d) é harmônica simples

TC.35 (CESCEA-74) O dom(nio, a imagem e o período da função

f(x)

=

-lcos xl

g(xl

e

cos

=

b) 1

a) O

(2:.

x

c) {x E IR

I

kn,

k E ;Z},

=t- !!.. + 2kn, k

TC.40 (FAAP-74) Para cada t E [O, n), A(t) = 1 - cos t, de f (acima do eixo dos x) dada por fix) = sen x

n

4

=

y(x +

2

n < x < -5n } -4 4 '

di {x E IR 1_!!..<x<.!1:} 2 2 ' ei não sei

é: e) maior que 3

representa a área sob o gráfico (vide figura 1). Baseado nisso,

y

pode-se afirmar:

x E

n n [4' 2') (vide figura 2i

y

n

2)

y(xl = y(x + 4n)

f(x) = tg (x -

~)

são, O

x

vale:

R e n

E;Z}.

< x < n,

d) 3

x

I x =t- - ~ -

b) {x E IR

-n

com

2

c)

respectivamente:

aI {x E IR

+ x)

2

a área sob o gráfico de f (acima do eixo dos xl com

c) é tal que y(x)

b) não é periódica

por:

n

e)

-../2

aI

IR e 2n

IR e n

2

yI3 b)

cl

2

dI

1

1

el

2

../2 2

IDENTIDADES FUNDAMENTAIS

IR e 2n 2

25' sen x - 9· tg 2 x

TC.41 (PUC-75) O valor da expressão

sabendo que

cossec x

5 4

TC.36 (CESCEM-731 Uma reta pela origem, de coeficiente angular negativo, tem três e somente três pontos em comum com o gráfico da função y = sen x. A menor das três cor~ respondentes abscissas: ai é um múltiplo de n

b) está entre -3n e-n 2

d) esté entre -2n e -3n 2

ai 2

c) 4

b) 3

a) ~ 4

O

24 25

sen a

e

b)~

-i

e) depende da escala usada y

x2

e

y = cos x, assinalar dentre as afirmações

abaixo, a verdadeira:

a) elas não se interceptam b) elas se interceptam numa infinidade de pontos c) elas se interceptam em dois pontos d) elas se interceptam num único ponto

e} elas se interceptam em três pontos

190-e

el 1

2

di

4

.! 3

1 - cos a 1 + cos a

e) 1 2

e

tg () () 3 TC.43 lITA-74) O valor da expressão x = 12'_ tg2 quando cos = - "7 e tg () a) 4

YiO

dI 3

YiO

b)

-3-1-

TC.38 (CESCEA-75) Dadas as curvas

d) O

seca é negativa, então o valor de

c)

5

< x < 'Ir

c) contém o ponto de abscissa

d) contém mais de um ponto

é do primeiro quadrante é:

é: el é positiva

b) contém um e um só ponto

x

TC.42 (GV-76) Se

cl é nula

TC.37 IMACK-741 A intersecção dos gráficos das funções seno e tangente para a) é vazia

e

cl 2

é:

YiO 15

e) nenhuma das respostas anteriores

7 TC.44 (CESCEA-701 Se sen x

2 YiO - 3-

< O,

n - 1

= --

n

,então,

2 1 19 x + é igual a: cotg2 x + 1

n - 1 c) (n+1)2

d)~

(2n + 11 2

191-e

TC.45 (CESCEM-76) Sabe-se que a + b aI -ab

b)

sen x = a *0

ab

c)

e

cos x = b *0.

ab

a2 +

a + b

TC.46 (MACK-73) As raízes da equação 2x O um número real. O valor de p é:

a) sen cos sen c) cos

x x x x

são

sen

O e cos O, sendo

c) {x E R

I 3· sen 2 (3x) + 2· cos2 (3xl I sen 4 x + cos 4 x = 1} = IR I sec 2 x>tg 2 x + 1}=0

cos sen cos + sen

x x x x

+

x ~2 x x = 2 x

cossec x - sen x sec x - cosx

2 cos 0 --é igual a: 1 - sen O

d) 1 + sen

4

TC.52 (GV-75) A expressão ai

2 cos x

b)

sen x 1 + cos x

sen x

+

+

a) tga±cosseca

b) tga ± cosa

c) tg a ± sec a

d) não sei

tOS X

sen x

cl sec x

TC.53 (CESCEA-73) As raízes da equação:

192-e

4

x

2

c)

°

d) 1

e)

2

a) 11

bl 11

cl 11

3

6

4

4

d) sen x

a)

não sei

é igual a:

2!:

e) 311

9

8

;fi

Considere a figura ao

a)

..j2 - ~ 2

b)

..j2

+

VX

MN

é:

cl -

v0 +

v0

a) 2 sen !!... 4

b) cos!!...

2

TC.59 (GV-721 Sabendo-se que

d) 2 cossec x

- (2· tga)x - 1

TC.57 (CESCEA-751 lado:

d)

A

TC.58 (GV-741 A expressão v'COS11+log216-esen2n

é equivalente a'

cl cos x

b) -2

O comprimento do segmento

4

b) cos x - sen x

O

O

é identicamente igual a:

cos x - ;n x 1 - t x

==

TC.56 (CESGRANRIO-76) Na figura o raio OA do circulo vale 6. O segmento OB vale 3 e o segmento CB é perpendicular a OA. A medida, em radianos, do ângu lo O é

k inteiro, então

e

+ sen x)2 + k sen x cos x - 1

a) -1

a) cossec 3 x

a) cos x + sen x

d) impossível eliminar O

é uma identidade, é:

(25

6} =

ai tg O bl sen O• cos O c) 1 + cos a) nenhuma das respostas anteriores

TC.51 (CESCEA-71) A expressão:

b) (x + y)2 + (x _ y)2 = (x + y)a

2

TC.55 (MACK-76) O valor de k, para o qual

e} não sei

TC.50 (PUC-70) A expressão:

2

(x + yll + (x _ y)l = 2a 3

(cos x

b) sen cos sen d) cos

II 11 TC.49 ( CESCEM-70) Se u = +2k11, 2

° temos:

2

e) nenhuma das respostas anteriores

TC.48 (CESCEA-72) Assinale a afirmação falsa: a) {x E IR I sen 2 x + cos 2 x = 1} = IR

d) {xE R

O + Y • cos O = 2 • a • sen O O - y • sen O = a • cos O, a >

a) (x + yl3 _ (x _ yll = 2a(x + y)2 c)

e) nenhuma das respostas anteriores

b) {x E R

x • sen x • cos 2

Qual afirmação abaixo é verdadeira?

TC.47 OTA-71l Seja

TC.54 lITA-731 Eliminando O nas equações:

2

d) 5

a) zero b) 2 c) 4 e) nenhuma das respostas anteriores x E (0, ~). 2 cos x + ~1 sen x cos x + #2 sen x

°

- px - 1

tp x + cotg x

1 a2 + b 2

e)

b2

2

Logo,

e)

° são

cos x + sen x

a)

v'2 2

b) 1

c)

tg!!...

d) 1 _

v0

e)

2

..j2 -

tem o mesmo valor numérico que:

d) eCos n

4

x+y=

cl

11 e 3

x-y=

v'3 2

11

então, sen x + sen y é igual a:

2' di

.!

el

2

v0

TC.5O (CESCEM-751 O seno de um dos ângulos agudos de um losango é igual a a tangente do maior ângulo interno é: a) -1

b) _

v'3

"2

1

c)

_

v'3

-3-

d)

v'3 3

el

+

portanto

v'3

""2 193-e

TC.51 (FAAP-75) Conhecida a fórmula: 2 2 2 sen x + sen 2x + sen 3x +

sen

2

!!-

+ sen

3

2

21T

2 + sen

3 b)

a) O

Y2

TC.52 (CESCEM-74) Dado o ângulo

= -sen

b) sen a cl sen a

cosa

18°.

=

cos a

=

2

O,

1 2 =

1T

3

° cos 18.

a) b) c) d} e)

vale: e) 9 2

d) 9

1782°,

TC.69 (CESCEM-71) Dizemos que uma função real é par se f(x) = f(-xl se f(x) = -H-xL Das afirmativas que seguem indique qual a falsa:

senlnx) • cos [In + llx] 2 • senx então a soma

+ 000 + sen 2 g

3

=

tg a

cos 18°. tg a

I 11 111 IV V

=

-tg 18°

tg 18°

18°, cosa = -cos 18°. tg a = tg 18° ° tg a = -tg 18 ° e) sen a = sen 18° cos a = cos 18. TC.63 (FE 1-66) Se

cos x

=

3

então sen(x +

5'

!!-.) 2

-

função ímpar;

função função função função

não limitada; periódica; par; identidade.

Assinale:

a) b) c} d) e)

é igual a:

c) ~ 5

3 b) a) 3 5 5 e) nenhuma das respostas anteriores

o produto de duas funções ímpares é Uma função (mpar produto de duas funções pares é uma função par a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar a soma de duas funções pares é uma função par alguma das afirmações anteriores é falsa O

então:

= sen

d) sen a

d) -

4 5

se as denominações se as denominações se as denominações se as denominações não sei

I, 11 e 111 forem verdadeiras para o gráfico da Questão 111 e IV forem verdadeiras para o gráfico da questão I, 11 e V forem verdadeiras para o gráfico da questão 11 e IV forem verdadeiras para o gráfico da questão

TC.71 TC.64 (MACK-76) Se a) cos

x =

521T

1T

5"'

b) _

2 cos1Tsenl1T-x)sen( 31T + x) 2

o vaI ar de 21T

cl sen

5

e que é Impa r

(CESCEA-71) Em cada uma das questões de TC.70 a TC.74 é dado o gráfíco de uma função definida em IR. Dadas as denominações:

tga = -tg 18°

cos a = -cos 18°,

° sen 18,

=

31T

a

*'

sen x

cl

2

° a) sen lX.= -sen 18,

2 + sen nx

tal que

x E IR

válida para todo

o ••

21T

5

dI -sen

TC.72

é ígual a:

21T

5

e) nenhum dos anteriores TC.65 (GV-75)

cos(900 + x) + cos(1800 - x) + cosl3600 - x) + 3 cosl900 - x) sen(2700 + x) - sen(900 + x) - cos(900 - x) + sen(3600 + x)

é igual a: d) 1

c) -1

a) cotg x b) -tg x e) nenhuma das anteriores

TC.74

TC.56 (MACK-75) A soma dos 12 primeiros termos da série cos a, cosia + 1T). cosia + 21T) a) 6 cos a

b)

cos a

c)

é:

d) O

1

e) -1

Te.57 (FFCLUSP-67) log tg 1° + 109 tg 2° + 109 tg 3° + . 0+ log tg 8g0 a) O bl 1 cl 44,5 e) nenhuma das respostas anteriores

d) 89

TC.68 (PUC-77) Qual das funções abaixo, é função par? a) f(x) =

194-C

1

x2

b) f(xl

=

x

cl f(x)

=

xS

d) f(x)

.l. x

e) f(x)

=

senx

195-C

TC.82 (GV-73) Sendo x um arco de quarto quadrante e sendo

TRANSFORMAÇÕES

sen x = -

1

2'

o valor

de sen 4x é: a)

TC,75 ICESCEM-73) Sabe·se que / é:

tg 75°

+..[3

2

e

tg 60°

~

Vi

O valor de

1 3

-..[3

b)

TC.76 (MACK-75) Se

O


+ bl

2 -

e)

< b <;

e O

< sen a + sen b > sen a + sen b + bl > sen a + sen b + b) < sen a + sen b + b)

..-aI sen la bl sen la c) sen (a d) sen (a

vS

c)

b)

vS

então:

vS 8

c)

tg 15° TC.83 (CESCEM-70) Se

I

ai

vS

-8

-vS 4

dI

2· cos 2 x -

cos 2x

vS 4

e)

então o valor de

-vS 2

cos 4x

é:

então o valor de tg 2 x

é:

a) 2 cos4 x - 1 b) 8kos4 x - cos2 x) + 1 c) 4 cos2 x - 1 di 4 cos4 x - 2 cos 2 x + 1 e) nenhuma das alternativas anteriores

quaisquer que sejam a e b quaisquer que sejam a e b somente se a b somente se a b

> <

Te.84 ICESCEA-77) Sabendo·se que

e} nenhuma das anteriores

a)

11

5

3'

d)

3 5

c)

b) 1

2

cos 2x

6 5

e)

1

5

TC.77 (PUC-71) Para todo x real, sempre vale a relação: a) sen 2 x - cos 2 x sen x cl tg x = cos x cos x e) cotg x sen x

TC.85 IGV-75) Sendo x um arco do primeiro quadrante e sen x = a, a expressão: 2 cos2 x + sen 2 2x é igual a: a) 2(1 - 2a4 ) b) -21-1 + 2a 2 - 2a 4 ) c) 2(1 - 2a 2) + 4a~ d) 411-a 2 -a 4 )

pl 2 • sen x . cos x = sen 2x

-1 I

,

dI tg x = 1 + sec 2 x

e) nenhuma das anteriores

TC.78 (MACK-74) A expressão: N

~

TC.86 Sabendo que sen a

sen e< • cos e< • cos 2e< • cos 4Cl • cos BC< • cos 16e< • cos 32e< aI

é equivalente a:

bl N

ai N = sen 63e< cos 64Cl d) N

=

e) N

26

a) 11

c) N = cos 64e<

sen 64Q sen 64e< --26-

TC.79 (FEI-67) O menor período da função b) 2kl1

f(x) c)

=

sen x

COS

.E

x é:

d)

4

11 2

TC.80 (MACK-771 Sejam as funções fi e f2 de domínio IR, definidas por e

f2lx)

~

C

C

a) 11=1=12 b) 12=1=1 1 d) nenhuma das afirmações acima é correta

tem~Se

dI 2 senx cos 2x

196-C

b) 4 sen 2x cos 2x e) 2 sen 2x cos 2x

que:

c) 11 ~ 12 el Não sei

TC.81 (CESCEM-76) Sabe·se que sen 2x = 2 sen x cos x. Portanto, sen 4x COSX

31 25

4

=

então sen 2a + cos 2a é igual a:

5' 9 5

c)

11 2

b)

11 4

di

c) 11

TC.89 (MACK-741 O período da função

3senx cosx.

Sendo 1i e 12 os conjuntos·imagem de f I e f2, respectivamente,

b)

e cos a

17

e)

25

18 25

TC.88 IMACK-741 O período da função f definida por f(x) = sen 4 x é: a)

fllxl = senx + cosx

14 5

3

5

2 TC.87 ICESCEM-77) Sejam f e 9 funções definidas por f(x) ~ cos 2x e g(x) ~ sen x - 1. Então, f(x) + g(x) é: c) _sen 2 x b) sen xl2 cos x + senx) - 1 a) -cos2 x - 1 2 dI sen x e) O

e) nenhuma da~s respostas anteriores

a) 4senx

=

=

aI

11 12

b) 11

TC.90 ICESCEA-73) A expressão: aI sec 2x

b) tg 2x

cl tg 4x

d) não sei

f(xl

c) ~

d) 211 =

sen 2 3x - cos 4x

211 3

1 + tg x

tg x 1 - tg x

{f2;

e)

511 6

é:

d) 211 +

el

é idêntica a:

c) 2sen2xcosx

197-C

TC.91 (CESCEM-73) Seja a) tlO) = -1

e

f(x)

f(

1r 4")

tg (x +

=

f) .

tg (x -

~)

podemos afirmar que:

O

=

TC.98 (MACK c 74) Sendo u a medida em radianos de um ângulo e v = S

b) qualquer que seja x, f(xl está definida e vale -1 c) se x = k1r, f(x) = -1 e se x =F k1r, tlxl =F -1 (k E~I di se x;;. O, tlxl = -1 e) f(x) = -1 nos pontos onde a função estiver definida

=

a)

sen u + cos U sen u • cos u x

2x x2 + 1

TC.99 (UNB-74) Para TC.92 (MACK-74) Seja

ex +

w = tg

cotg

ex

com

O

c)

O,,;;; t

2x

1 - x2

d)

,,;;; 21r a expressão:

TV

2x2 + 1

bl

x = cos v

em função de

V2'

1r 4" -

u, a expressão

é:

2x 2x2 _ 1

2x

e)

x2 + 2

é igual a:

2(1 - cos t)

1r

< ex < "2 ' então:

1

a) cos (21 ai w";;; 0,5 d) o maior valor de w é 2

TC.93 (EAESP-GV-771 Se a)

(1 - tl

tg x

=

bl -1 ,,;;; w ,,;;; 1 el w ;;. 2 t,

di 1 + 2t - t 2

el

1,5

t

ai

3

cl

bl cotg x

cotg x

ai tg

cotg x

1 + cotg 2 x

d)

cotg x

[~]2

a)

1 + tg x

+ 2 • se" 2x

- se" 2x + sen 2x

e) nenhuma das respostas anteriores

ai 15°

cI

- sen 2x

m e tg 2x = 3m, m

> O,

+ se" 2x

- se" ex 1 _ cos

o:

a) sen a

V3

D = {x E IR tlxl

I

x

=

a) f(x) = 2

para todo

b) flx) = 3

para todo x em D

cI tlxl = e 3

para todo

=F

n1r

log

2'

sen (3e XI

x em D

"-

....

-

d) sen a

1

sen eX

cotg

-i- =..J3

então:

bl sen a

=

V2

c) sen a

3 d) nenhuma das respostas anteriores

2

1

2"

TC.l02 (CESCEA-691 Se

a tg 2

4 3

3

n = "

2, 3, ... }.

cos (3e X ) cos eX

Com respeito à função

b)

1

"2

4

então tg a vale:

cI 2

TC.l03 (PUC-70) Simplificando-se a expressão: a) sen x

b)

cos x

c)

tg x

e) -2

di

+ + sec x d) cotg x

COS

x

- cos x

e) cossec x

,podemos afirmar que:

TC.l04 (MACK-76) A expressão tg 2x + cotg 2x a) 2 sen x

b) 2 sec x

c) 2 cos x

di 2 cossec x

para O

< x <1r2'

é equivalente a:

x em D

d) tlxl não é constante em D el nenhuma das anteriores

198-C

\

o ángulo agudo x mede:

ai

definida por

\

ex Jl-sena 1 + sen ex

TC.l0l (EESCUSP-681 Se

d) 30°

f: D -+ IR,

=

- sen 2x

bl 60°

TC.97 IITA-77) Seja

x

vale: b)

=

ex

+ cos O:: sen ex

d) tg 2 el tg 2

- 2 • sen 2x 1 + sen 2x

TC.96 (MACK-761 Se tg x

+ cos

c) tg 2 e) 3 • cotg x

3

y

se" a

~

a

é:

Da figura abaixo pode-se concluir diretamente que:

,~ex

ex

a

3 • sen 2x 1 - cos 2x

< ex < ~,

2 =2

ex

TC.95 (ITA-941

O

TC.l00 (MACK-731 Seja

cI 1 + t 2

b) tg 2 TC.94 (MACK-691 Outra forma para a expressão

d) nenhuma das anteriores

é equivalente á:

- 2t - t 2 1 + t2 + 2t - t 2 + t2

bl

=

c) sen (21

cos 2x + sen 2x

então,

2

~

cl w

e)

2 tg x

199-C

rr n a TC.1OS (FEI-731 Se 0< a n < -2 ecos lan) = n + 1 • cos ( 2n .1; vale: ai d)

bl

2-(-n-n+-) 1 2n n + 1

el

J

2n + 1 2n + 2

21

eI

TC.112 (PUC-761

J

n

+1

1 + -n-

1 n2

é válida para todo x

b = -2 b = 2

b) a = -2,

el a

TC.l07 IITA-751 Sabendo·se que tg a) di

I~ -~) 4

2

=

c) a

b = 1

1,

b

=

O

b m - n m + n'

sen x

bl

eI

n

n m

1 -

1

+ + + +

cos ~ x • Ig bx 2

=

a)

3

-4

b)

b) 2 cos 5° cos 66° d) +2 sen 40° cos 20°

a)

7

-8

c)

d)

v7..

el

..J3 . sen Ix

sen (x +

sen x - sen y

Icost\";;; 1 e

-1

y = cos x + cos 2x

9

x - y

=

e) não sei

-8

d)

2 • sen - 2 -

=

la' bl

Isen x - sen y I ,,;;;

~ 2

cl I,en x - senyl,,;;; Ix - yl e) nenhuma das anteriores

sen 30° = sen 60° cosl00 = cosl00 sen 30° = 2 sen 26° • sen 86° cos 30° = 2 • cos 26° • cos 85° cos 30° = 1 sen x - cos x

Isen zl ,,;;; Izl;

x + y cos - 2 -

e lembrando que

lal • Ibl; podemos afirmar que, para quais·

3

d) cotg 1

3

2a

Isen x - sen yl

di

Isen x - sen yl

bl cotg (a -

a) -tg (a - 2' x I

é idêntica a:

bl

sen (a - xl + sen 12a - 3xl cos la - x) + cos 12a - 3x)

TC.116 IGV-751 A expressão

é o mesmo que: 3

~xl

eI -tg 12' a - 2xl

2

el nenhuma das anteriores

- 2x)

Tf

TC.117 IMACK-74) Sendo u a unidade em radianos de um ângulo e v = 4

s

sen u + cos U sen u cos u

em função de

V2 .

;:o;

__ x_

4

b)

2x2 + 1

eI

x

COS

2x

~

d)

v

- u,

a expressão:

é: 2x 2x2 + 1

e)

2x x2 + 2

.!!.) 2

rr

TC.118 IPUC-75) cos 12

- ~I 3

a)

TC.l11 (MACK-761 A expressão

200-C

=

quer números x e y reais:

sen (x - ~I 4 rr . ,en Ix - '2 1

.J2 sen x

2

a+b a-b 2· sen 1 -- l x • cos 1 --)x 2 2 di p" sen la + b)x • sen la - b)x el nenhuma é válida

eI P

eI 2 • sen Ix + !!..)

a)

b) P

sen ax • cos bx

TC.116IMACK-74) Sendo

TC.110 {GV-73) A expressão

Y2

=

e) nenhuma das anteriores

TC.109 (GV-741 Assinalar a afirmação verdadeira:

b)

sen 20: • cos 2a

TC.114 IMACK-77) O menor valor que y pode assumir na igualdade

V;;;

a) -2 cos 5° cos 66° c) -2 sen 40° sen 20° e) -2 sen 20° cos 40°

v'-i.

d) 3

é:

~

a)

sen 20: • cos2

é igual a:

n m

sen 20° cos200 sen 20° cos 20° sen 30°

~

bl 4

n > O em> O, podemos afirmar que

TC.1OS (CESCEA-76) Transformando·se em produto a expressão cos 70° - sen 60° obtém·se:

ai b) cl d) el

2

TC.113 IITA-701 Seja P = sen 2 ax - sen 2 bx. Temos, então que: a) P

*-

1. 1,

!!

a) 2'cos2Cl' sen 2 c) sen 20: • cos 2Q' e) 3 sen 2 • cos 2Cl

TC.106 IFFCLUSP-671 A igualdade tg x = a • cotg x + b cotg 2x krr real tal que x 2 . Então a e b valem respectivamente: ai a di a

sen Cl + 2 sen 2Cl + sen 3Cl é igual a:

sen 1136° + x) + sen 1136° - x)

b) V3 cos x

eI -1

d)

-

é igual a:

.J2 cos x

e)

-v7. sen x

d) -

.J2 8

cos

1-v3 + 11

....ri 12V3 8

8rr

12

vale:

.J2 (1

ei - -

8

l- V 3)

11

201-C

TC.119 (MACK-75) Simplificando-se: 4 • sen a • sen (60 0 a) sen a

c) sen 2a

b) sen 3a

TC.120 lITA-69) Para que valores de

0

-

a) • sen (60 + aI obtém-se: e) sen 4a

di sen 5a

o sistema

t

TC.123 (PUC-76) Os valores de x que satisfazem a equação a) x = 71T +kE-· 30 3 ' 711 + k E-.

b) x

+ V = 1T sen x + sen y = 10910 t 2

{

711

+ k ~. 4'

k = O, ± 1, ±2,

cl O < t < 10 2

bl O < t < 1011

a) 0< t < 10 d) 0,1
di x

711 + k ~. 2 ' 5

k = O, ±1, ±2,

e) x

711 + k~'

k = O, ±1, ±2,

2

e) nenhum dos intervalos anteriores

TC.121 (GV-75) O gráfico de

sen x - cos x,

V

para

O ~ x ~ 1T é:

6'

4

9-COS x = 1

TC.124 (MACK-76) O menor valor positivo de x, para o qual

Vi 1

ai

V

Y2

===:=-_-~-_-_ -_: -=- = I I

I

I

I I

111/2 I

bl

--+-----r--I---+--rI

4

TC.125 (CESCEM-73) Se o ponto

.E....

(xo; vo)

I

é:

3'

d) E2

3

el

211

"3

pertence ao gráfico da função V = tg x, então

uma condição necessária e suficiente para que o ponto

IX

I

c)

b) E-

ai E6

1

-I

são:

k = O, ±1, ±2,

3'

cl x =

O,

=

O. ±1, ±2,

15

X

admite solução:

k

cos(3x - E-) 5

(a; Yo)

também pertença a

este gráfico é:

--+-____ --+--, L __ J

a)

tg

a =

c) a

vz:

b) que

Xo

11 2

la - xo)

d) a = arctg

el la - xo)

=

2k1l,

seja múltiplo de 11

XQ

k E ;Z

1

TC.126 IEESCUSP-68) As soluções da equação

e)

Ix

ai x

sen 1Ix

sen[1I. (2x + 11] são da forma:

= ~ onde a é inteiro 3

-1

b) x = qualquer inteiro positivo

-1

c) x = ~ onde a é natural 2

d) x

=

qualquer racional

e) nenhuma das respostas anteriores

TC.1271ITA-77) a) x

EQUAÇÕES

bl x

=

11

"3

No intervalo E- <;;; x";;; 11, a equação 2

V1

- sen 2 x + cos x = -

cl admite como solução x e)

202-C

admite como solução

V2

bl admite como solução

a) não admite solução

x

211

3 11

d) x

d) admite como solução

+ k1l'

k

'

e1l/2 ± k1T.

c) log x TC.122 (FUVEST-77)

Resolvendo a equação tg(2 109 x =

.!!.) - tg (log x + .!!.I 6

3

o

temos:

O, 1, 2,

k = O, 1,2,

= .!!. ± k1l; k = O, 1, 2, 6

= e 1T16 ±2k1T;

k

= 0,1,2,

e) nenhuma das anteriores

x x

311

4

TC.128ICESGRANRI0-77) O número de raizes da equação

cos x + sen x

O

511

6

no intervalo aI 2

[11, 311]

b) 1

é:

c) 3

di 4

e) O

203-e

rr TC.129 IMACK-751 Se tg 4x + tg (2x - E.I = O para O<x<"2" 4 igual a: 3rr d) 7rr a) rr bl cI 5rr 16 24 24 24 e)

x

então

pode ser TC.135IGV-75) A solução da equação: ai x

nenhuma das respostas anteriores

bl x

TC.130 ICESCEA-70) Se a é a menor raiz positiva da equação Itg x-li· (4 • sen 2 x - 31 = O então, o valor de sen 4 a - cos 2 a é a)

5 16

1 4

c)

b) O

di

c) 3rr

b) rr

di 5rr 6

4"

TC.132 ICESGRANR 10-761 No intervalo COS

2

O,

e) x

compreendidas

=

rr 3 rr ou 2

x

rr 3 cos2 x - 2 • sec2 x

=

b) x

rr

d) não existe

O

TC.137IGV-75)

bl possui exatamente duas raízes

c) não possui raízes

d) possui uma única raiz

e)

tem solução para valores particulares

de a. Assinale o item que lhe parecer correto: a) 1

< a < !-4 < a < ~4

-1

< a < -.!.-4

di 1

x que satisfaz a equação

a) aqueles para os quais x =

sen x =

5rr. x 6 '

el x

204-e

±!!... + 2 rr. x

6'

2krr; 5rr.

sen x,

=

é o

d) krr + 3rr 2

Em função de um número

k

inteiro relativo, todas as soluções da

a

=

krr 2

bl a

~

krr

cI

a

= krr

d)

4

sen 6 x + cos 6 x

=

1

a

=

!!.. + 2

krr

el

a

= 2krr

2 2 3' sen x' cos x

6'

O

ou

sen x

e

21r

que satisfazem

a equação:

cl é uma identidade trigonométrica dI é uma equação trigonométrica que só admite raízes positivas e) é uma equação trigonométrica que não admite raízes TC.140 IiTA-71) Qual é o menor valor de x que verifica a equação

tg x + 3· cot9 x

=

37

-1

a) x = rr 4 b) para todo

x E lO,

rr 2")

c) para nenhum valor de x

kEZ x =

1 2

entre

7rr . x = l1rr 6' 6

c)x=rr d) x =

cos 2 x' tg x

a:

a) é uma equação trigonométrica que só admite raízes no primeiro quadrante b) é uma equação trigonométrica que só admite um número finito de raízes.

TC.134ICESCEM-73) Os valores de x 2 • sen 2 x + I sen x I - 1 = O são:

6'

é igual cl krr

b) 2krr

TC.139ICESCEM-72) A expressão:

e) nenhuma das respostas anteriores

rr.

tais que, x

nenhuma das anteriores

TC.138 ICESCEM-73) equação:

a)

< a < ~2

b) x

então

são dadas por:

bl -2 c)

O,,;;; x ,,;;; rr,

cl x = O

3rr

O conjunto de todas as soluções da equação

a) 2krr + E. 2

e) possui exatamente três ral'zes sen 2 3x _ cos 3x = a 2 2

com

e) nenhuma das respostas anteriores

a) possui uma infinidade de rarzes

A equação

1.

4

conjunto dos números x

TC.133 (ITA-69)

=

4

"6

para O,,;;; x <.JJ... é: 2

rr 6

x

TC.136 IGV-73) Dada a equação a) x

e) 7rr

[O, 6rr] a equação trigonométrica

2x + 2 sen 2 x + 2

cI x = O ou di x

1 2

e)

- 4 • cos 2 x

TC.131 ICESCEA-751 A soma das raízes da equação entre O e rr é: a) E. 3

V3

=O rr = 6

625COS 2X 25cos x

3rr 2

d) para todo valor de

xi'nE. onde 2

n

O, ±1, ±2 ...

e) apenas para x no terceiro quadrante

20S-e

TC.141 (MACK-77) Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo não is6sceles são raízes da equação (em x): 3 tg x + k2 cotg x Então: a)

k

bl k

~

~ Y3

cl k

3

sec2 x + tg x

TC.142 (UNB-741 Se

~

4k.

cos x

bl cos x

d) k ~

7 = O

.2-

el Não sei

3

então:

.J5

d) nenhuma das anteriores

5

TC.143 (CESCEA-71) O conjunto solução da equação fechado

%' %1

[-

COS

b) {E.

d)

{ _.7I. E}

el não sei

6'

6

+ tg

x

bl 2k71(k=0. ±1, ±2... .l

no intervalo

x

para todo x real;

b) igual a

exclusivamente para

c) igual a

s6 para

_.7I.}

c)

6

{-1'

E.} 3

x

~

peri6dica de período

di 2k71 - 71 (k = O, ±1. ±2.... 1

%) + cos (x + E.I4

t(x) = cos 2 (x -

ai igual a

d)

{;, -i' o} 3'

7

3· tg 2 x + 5

é:

ai

1

~ O, ±1, ±2.... 1 cl 2k71 + 71 (k = O. ±1. ±2, ... 1 71 el k71+ 2 (k=O, ±1. ±2.... )

TC.148 (MACK-741 a)

~ ~ 1 - sen 2x, então os valores de x são:

ai k71 (k

Y3

~

TC.147 (PUC-73) Se

x

2

é

E.+ kE. 2' 4

k sendo inteiro

O

%

el sempre diferente de 1 TC.149 (POLl-681 No intervalo O ~ x ~ 271 o número de soluções da equação trigonométrica cos 9 x + cos 8 x + cos 7 x + ... + cos x + 1 = O ai é zero

TC.144 (FEI-731 A equação

sen 2x = sen x,

b) 2 soluções

ai nenhuma solução

no intervalo

é um cl é dois di é quatro el nenhuma das anteriores b)

cl 3 soluções

di 4 soluções

el 5 soluções

TC.145 (ITA-721 Assinale uma solução para a equação trigonométrica

Y3 . sen x

+ tas x =

a) x = 2k71 -

.7I.

bl x = 2k71 +

.7I.

Y3

TC.150 (ITA-71I A equação a) x =

71

b) x

4

6

é satisfeita para:

O

=

di todos os valores de x cl nenhum valor de x el todos os valores de x pertencentes ao terceiro quadrante

6

cl x = 2k71 _ 71

TC.151 (GV-721 Sendo

2

di x = 2k71 +

{sen(cos xl}' {cos(cos x)} =

E

a) !!..

2

4

O < x < 71,

bl!!.. 271 3' 3

c)

71

a equação

6'

571 6

2 log sen x + 109 2 = O tem por solução 71

d)

371

4'

e) nenhuma das anteriores

4

el nenhuma das respostas anteriores

TC.146 (lTA-731

Seja a equação

(loge ml • sen x ± cos x

10g e m.

sobre m para que a equação admita solução?

ai m >0

se

x

(2k + 2.171 2 .

m >0 e m * 1

se

x * (2k71 + 2.)71 2

bl m*O

se

x

(2k + 2.)71, 2

m;;'Oe m *e

se

x * (2k + 2.)71 2

cl m >e

se

x

(2k + ..!. )71, 2

m ;;. 1

d) m >_..!. e

e

m *0

se

se

x = (2k + 2.171 2 '

el nenhuma das respostas anteriores

206-C

Quais as condições

x * (2k + -.!...171 2 m *0 se x * (2k + ..!.)71 2

TC.152 (ITA-721 Quais condições devem satisfazer tenha sentido? log (sec ai = k

8

e k para que a seguinte igualdade

71 71 ai -"2
k;;'O

b)

_E

71 71 c) -"2
k>O

d)

E

2

2


E

2 '

< a < 371 2

k
el nenhuma das respostas anteriores TC.153 (MACK-77) O número de soluções reais da equação -71 ~ x ~ 71 é: a) O

b)

cl 2

di 3

x 2 - x - cos x = O, el Não sei

207-C

TC.154 (SANTA CASA-771 O menor valor de x que satisfaz à equação log x = cos x está entre: c) 1,6 e 2,4

b) 1 e 1,6

a) O e 1

TC.155 OTA-71) Dada a equação satisfazem a relação: a) 37T < x ,,;;;; 2 2

tg x,

=

e) 3,2 e 4.0

as soluções desta equação em x


c) O

< x < 7T

Ix

c) {x E IR

I O ,,;;;;

x ,,;;;; 2}

TC.160 (MACK-77l O valor de

e} nenhuma das respostas anteriores

2

;;. ~} 2

a) {x E IR

a)

arcsen (cos

b) -7T

37T 5

obtemos:

a)

a) eX = k7T ±!!.... k = O, 1, 2. 3 .... 4-J3 b) x = 1090 (2k7T ± ""2 7T), k = O. 1. 2, + ~.

k

= O.

7T

k

d) x = 101le12' 7T - '6),

b)

"3 , ; ;

v

k = 1, 2, 3.

1

e3 < t < e

x

*'

n7T.

Quais

ou

t

".,2 2

c) e4

,,;;;; e3

O

b)

tg 2 (arc sen

-V3

t

= sen (are sen

~

bl 1

2

c)

é:

d) -37T 5

V3)

__ 1_ + 1 + a2

dI

are cos

V3

e)

3

v'3

""2

Oe

f.

então

é:

dl~ 3

b)

cx-{3

e)

O

d)

~(CX-{3)

cx{3+~

cx-{3

cx{3~ -1

ou

_1_) 1 + a2

c) 3

CX~

c)

cx{3 - 1

e) nenhuma das respostas anteriores

ou

*'

TC.164 (PUC-70) 2 arctg

~ + arctg ~ é igual: 3

7

a) 37T bl !!... 2 3 e) nenhuma das respostas anteriores

FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS

c)

!!... 2

TC.165 (L1NS-671 Admitindo a variaçao- de arcsen x TC.158 (MACK- 74) Sejam f, 9 e h funções de finidas: f(xl - sen x; g(x) = sen7Tx;

A em A. onde A = [-1, 1

J.

assim de-

solução da equação arcsen x = 2 arcsen

~

no intervalo fechado

[

7T 7T] - 2' 2'

é:

aI x = -2 h(xl -

!!... x. 2

b) x = 1 c) x = 7T

Podemos afirmar que:

aI todas são inverslveis c) s6 uma é injetora e) s6 uma é injetora e sobrejetora

el não sei

é:

2

-V2

cx{3-~

> e3

d) t e t 1 e) nenhuma das anteriores

20S-C

5 ,,;;;; x ,,;;;; 4} 2

,,;;;; x ,,;;;; O ou

TC.163 (ITA-72) Para todo cxe{3; 1{31<1. aexpressão tg (arctgcx+arcsen{3) é igual a: aI -(3 +

7

e3

1

V2

1. 2. 3....

TC.1570TA-731 Seja a equação 3 tg 3x = [300ge t)2 - 410g e t + 2]tg x. as condições sobre t para que a equação acima admita solução? ou

x ,,;;;; 2}

o valor da expressão

aI

1

I -2

2

TC.162 (PUC-71) Estando as determinações dos arcos compreendidas entre

e) nenhuma das respostas anteriores

a)O
dI {x E IR

7T 10

c)

10

TC.161 (MACK-74) O valor de

3 sen 2 (eX) - 2 -J3 • sen (eX) • cos (eX) - 3 cos2 (eX) = O

= k7T

I ~ ,,;;;;

337T) 5

TC.1560TA-761 Resolvendo a equação

c) eX

b) {x E IR

é:

e) nenhuma das respostas anteriores b) O <x

d) -!!... < x
2

109 (cos x)

d) 2,4 e 3,2

V = arc sen (~)

TC,159 (MACK-73) O domlnio da função definida por

b) todas são sobrejetoras dI s6 uma é sobrejetora

dI x = k7T ±

!!..

4 e) nenhuma das respostas anteriores

209-C

a

TC.166 (MACK-75)

o

conjunto solução de

arcsen 2x - 3 arcsenx

b) 1 elemento e) 4 elementos

a) O elementos dI 3 elementos

=

INEQUAÇÚES

O tem:

c) 2 elementos TC.I72 (CESCEA-74) A solução da de1igualdade

TC.167 (VALEPARAIBANA-72-SJC) Resolvendo e equação 1 + eX ) + arctg ( 1 - eX ) = arctg ( 2 2

11 a) O < x < 4

11 4

obtemos:

O

c)

x ~

±3

dI x =

±2

c) .!!. < x <

271

a) 17

c) 8

bl.!.. 9

9

d) 1

9

3

571 < x < 71 6

e) não sei

9

e)

ou

é:

3

d) O < x <.!!. 6

.!.. )

(gOf)(

31r < x < 71 4

[O, 11]

4

3

2 TC.168 (MACK-76) Sendo f(x) = arc sen x e g(x) ~ 1 + cotg x. o valor de é:

sen x + sen 2 x

TC.173 (CESCEM-72) Considere a desigualdade

> O;

pode-se afirmar que:

a) só está satisfeita para x no primeiro quadrante

TC.169 (ITA-71) Consideremos a equação {loge (sen x)Y - 1090 (sen x) - 6 = O aIs)

b) só está satisfeita para x entre O e 1T

solução (esl da equação acima é dada por: a) x ~ arcsen(e 2) e cl x = arc tg(e 2 ) e

x ~ arcsen(3)

c) a desigualdade que se obtém substituindo·se x

1

b) x ~ arc sen ("2) e x ~

d) x

x - arc cos(3)

arc sen(

=

1

por -x é equivalente à desigual-

dade dada

arc sen ( 3")

d) os valores de x que a satisfazem são precisamente aqueles para os quais sen x

1

-;2 )

>O

e) existe x no terceiro quadrante que satisfaz a desigualdade

e) nenhuma das respostas anteriores

Xl

311

4

bl x ~ ± 1 e) nenhuma das respostas anteriores a) X =

bl !:. < x <

ou

sen 2 x - } ;;. O no intervalo

TC.174 (CESCEA-71 I A solução da inequação [O, 271] é:

~.!!. e x n +1 ~ arc tg tv'tg xn) • n = 2. 3, ... 3

aI O < x < 211

b) 7I<x <

11 d) O <x < 2"

e) não sei

sen 2 x < 2 sen x, 371

2"

no intervalo fechado

cl O<x<7I

Nestas condições, podemos assegurar que:

bl S dI S = 1

=

TC.175 (GV-72) A solução da inequação

c) S ~ 2

-1

a) O<x<.!!. ou 4 71 c) O <x < 6 ou

e) nenhuma das anteriores

L 00

S(X) ~

TC.171 (ITA-72) Consideremos a função

(sen x)n,

onde

O< x <

11 2

Pa-

.J2. cos x > cos x 2

!:.<x<7I 2 271 "3 <x<11

no intervalo [0,71] é:

b) O<x<.!!. 3 d) .!!. < x < 4

ou

271 <X<11 3

271 3

e) nenhuma das anteriores

n = 1

ra que valores de x temos

10';; S(X) .;; 207

I

O < x < 271,

9 .;; x .;; arc sen 10

19 20

aI

{x E IR

b) arc sen

10 .;; x .;; arc sen 9

20 19

b)

{x E R

c) arc sen

10 .;; x .;; arc sen 11

20 21

cl {x E IR

71 2"<x<7I ou

dI arc sen

V2 .;; x

d) {x E IR

371 2"

2

.;; arc sen

v'3 2

e)

O< x <

o conjunto-solução de

(sen x + cos x)2

>1

%- }

a) arc sen

e) nenhuma das respostas anteriores

210-e

TC.176 IMACK-75) Para

11 O <x < 2"

ou

<x <271

7I<x< 3 71} 2 371 } 2" < x < 271

}

0 211-'C

é:

TC.l77 liTA-761 A inequação tal que:

4 sen 2 x - 2(1 + v'21 sen x + v'2 < O tem uma solução x,

a) 45° < x < 60° d) 60° < x < 75°

b) 0° < x < 30°

c) 35° < x < 45°

e) nenhuma das respostas anteriores

>

TC.178 (MACK-73) Se O.;; a';; 1T e, para todo x real, x 2 + x + tg a b)

aI o
31T 4

.!!..
2

e) não existe

Q

c)

a) O <x <

4

então:

~
2

4

fechado

~I .;; O, 3

no intervalo

31T 4

.;; x .;; 21T

d)

1T .;; x .;; ~ 1T 2 2

TC.183 (MAUA-69) Todos os arcos entre O e 21T radianos que satisfazem à desigualdade cos x + sen x estão compreendidos entre:

fi .

nestas condições

sen 2x • lsec2 x -

bl O .;; x .;; 21T

e) O';;x';;.!!.. 8

a) TC.179 (CESCEA-71) A solução da inequação

1T

2

cl o';;x';;~ e

t

Icos x I ;;. sen x, O < x < 21T li válida se e somente se:

TC.182 lS. CAR LOS-68) A inequação

cl

> V2

1T 71T e radianos 12 12 1T 1T e radianos 4 2

bl

1T 6

e

71T 6

radianos

dI nenhuma das respostas anteriores

[O, 21T] li:

a) ~ .;; x .;; 1T ou 2 b) O';;x<.!!..

2

ou 1T .;; x <

c)

~';;X<1T ou

dI

~<X';;1T ou

2

2 e) não sei

TC.184 liTA-71) Seja n um número inteiro n

31T .;; x .;; 21T 2

>1

e x E lO,

1T 2l.

Qual afirmação abaixo é

sempre verdadeira?

31T 2

a) (1 b) (1 c) (1 d) II

31T .;; x < 21T 2 31T < x .;; 21T 2

-senx)n;;'1 - sen xl n ;;. 1 - sen xl n .;; 1 - sen x)n .;; 1

-n' - n • - n • - n •

senx sen x, para apenas n par sen x cos x

e} nenhuma das respostas anteriores

TC.185 lGV-75) Para que y = log (1 - sen 2 x) tenha valores reais, devemos ter, para k inteiro: TC.180 lCESCEA-75) Os valores de (1 + sen x) • (1 - oos xl • (E 2

- xl < O são tais que:

4

aI x =1=

+ k1T

4

cl 2k1T < x < (2k + 1)1T

!!..

b)

x =1=

c)

~<X<1T

2

d) O<x <

1T

2

b) (2k - 111T < x < 2k1T

31T

a) ~ <x<

e) O

x E ]0, 1T[ para os quais

dI x =1=

1T "2

+ 2k1T

e) k1T < x < (k + ll1T

11

2

TC.186 (MACK-741 Sendo

< x < 1T

x-v x+y sen x - sen y = 2 sen -2-- cos - 2 -

Isen zl .;; Izl, Icostl .;; 1 TC.18l (MACK-73) Os pontos da circunferência trigonométrica, correspondentes às soluções do sistema:

>

sen 2x O { cotgx
212-e

quaisquer números

x e y

I aI Isen x - sen y';;

e

la • bl

=

lal • Ibl,

e lembrando que

podemos afirmar que, para

reais:

~ 2

a) estão todos no primeiro quadrante

b)

Ix - yl Isen x - sen yl .;; --2-

b) estão todos no segundo quadrante c) estão todos no terceiro quadrante d) estão todos no quarto quadrante e) não existem

c)

Isen x - sen yl .;; Ix - yl

d) Isen x - sen yl .;; 21x 2

_

y2 1

e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira

213-<:

P

=

Isen (bx) + cosseclbx)) (cos (bx) + sec (bx)) (tg (bx) + cotg (bx))

podemos afirmar que:

>

a) P é positivo. para todo x real e b O b) P pode ser negativo ou positivo. dependendo da escolha de x e b em IR c) P é negativo para x = krr e b < O ou P é positivo para x = krr e b do k=I.2 .... d) P é positivo. quando bx,* l-rr. para todo k = O. ±1. ±2 .... 2 e) nenhuma das respostas anteriores TC.1BB (ITA-68) Seja

y = alog tg x

com

O < a < '.

> o.

quan-

onde log u indica o logaritmo ne-

periano de u. Então, 109 Y ~ O se:

a)

11 Z<x';;;rr

cos

a=

a)

14

c)

10

e)

10

3 5 b) 12

V3

d) 16 B

A

A

TC.192 (MACK-77)

Na figura ao lado, AB vale:

a) 60

e

11 e 2 rr c) O < x ,;;; e 4 11 d) O ';;;x ,;;; e 4 3rr e) O<x';;; 2 b) O ';;;x <

c

TC.191 (CESCEA-77) A soma dos catetos do triângulo retângulo é: Dados: BC = 10

TC.1B7 IITA-76) A respeito do produto

311 <x';;;211 2 rr';;;x ,;;; 311 2 511 l1<x ,;;; 4 5rr 1r~x ,;;; 4

b) 65 cl 70 d) 75 e) não sei

"-L-_--'B

TC.193 (EPUSP-66) AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC. A mediana AO mede 7 e a mediana BE mede 4. O comprimento AB é igual a:

a)2v'1:i

b)5V2

cl5Y3

d)10

e) nenhuma das respostas anteriores

TRIÂNGULOS

TC.194 (GV-70) No triângulo ABC ao lado sabemos que

C

TC.l89 (CESCEA-74) Entre os triângulos retângulos abaixo, um e somente um apresenta

os dados corretos. Assinale-o:

Ac1

~3 v'3

2

d)

A = 90° 60°

B=

AB = SOcm A

...------1

~~2

a) 25 cm

e) não sei

TC.190 (CESCEM-75) Considerando o triângulo retângulo

b = 4.5 m; c = 6 m: pode-se afirmar que o valor da "t9 x" é igual a:

1.25 b) 1.33 . cl 1,66 .. d) 0.75 a)

e) 0.6

214-C

ABC,

b) 50

V3 cm

c) 100 cm

3

3

dimensões: a = 7.5 m;

B

então o segmento AC mede

abaixo. com as seguintes

C

d) 50Y3cm

e)

50

vS 2

cm

TC.195 (CESCEM-76) Uma pessoa de 1,70 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo a:. Desejando-se conhecer, aproximadamente, a altura da árvo-

re, deve-se somar 1,70 m

a a cos a

a) b tg

b

b) a tg

AL-

.L-~

c

c) b

cosa e) b sin a

d) a

B

:. I'~I'=~=====-b;;-=======:j 215-C

TC.196 ICESCEA-76) Na figura abaixo

TC.200 lITA-75) Se, na figura abaixo, c é uma circunferência de raio R, r e s são retas tangentes à circunferência e OT "" 2R, então o ângulo a das retas r e s deve verificar l

uma das alternativas seguintes:

a) sen

a

:=

b) cos a:::

d cotg Clt + cotg /l

b) h

d tgClt-tg/l

c) h

d cotg Clt - cotg /l d t9 Clt + tg /l d cotg Clt + tg /l

dI h el h

a) sen

a

b) sen

a

c)

a

A

4

30 -B-

=

Q =

V7

--;r-

supõe-se que

-1 v'2 1 + Y3 1 + Y3

2· t9 Â = tg

ABC

B+

tg

a) 19

"

.....

A

b) sec <(J

c) cos <(J

d) sen <(J

e o outro vale

Nesse triângulo vale a rela-

Ao

B

c~

4

b c

cl  = d)

.É..

bl c = a sen B 2 c) S = b tg ê " d) S = a 2 • sen 2B

B + ê.

a relação sen  = tg

A.I-:

AfiC

cujos ângulos internos

Â,

Be ê

ver; ficam

Então podemos afirmar que:

2

 nem

B

e nem

ê

b) um desses ângulos ê reto

lo e indique por S a sua área. Assinale a afirmação verdadeira

216-e

< A< ;.

a) com os dados do problema, não podemos determinar

e) cossec <(J

TC.199 (GV-73) Considere o triângulo retângu-

B=

e O

d) tg B • tg C = V 3

c) cos IB - CI = 2 sec • A

aI lsec <(JI

e) cos

ê

A, B e C,

" + .....CI = 2 • cos A b) cos (B

B• tg ê = 3

TC.203 lITA-77) Considere um triângulo

ê=

cujos ângulos são designados por

ção:

2"""

19

T

3 8 3 =

TC.202 (MAUÁ-681 Num triângulo

TC.198 (CESCEM-721 Num triângulo retângulo em que um cateto vale tg <{J a hipotenusa vale:

a)

C

:=

=

sen a

el sen

a) Y3 b) 2 + dI

e eos

TC.201 (SANTA CASA-73) Em relação ao ângulo central Clt, pode-se dizer que:

TC.197 (CESCEA-731 No triângulo ABC da figura, tem-se b = 2, B = 45°, e ê = 600. Então o lado a mede:

cl

2

V3

h, CÂO = Clt, CDB = /l. Então:

aI h =

V3

r

3 5 3 5

1 2 d) cosa = e sen Q :::: 1 2 2 e) nenhuma das respostas anteriores c) sen a =

AO = d, BC

4 e cos ex::: 5 4 e sen ex = 5

Â

=

11"

6

11"

3'

e

B+ ê B

11"

=

4'

511"

6

ê

=

511"

12

e) nenhuma das anteriores

...L....J

CL... b

TC.204 (GV-73) Em um triângulo AB~ os ângulos A e B modem, respectivamente, 60° e 45°; o lado BC mede 5Y 6 cm. Então, a medida do lado AC li: a) 18 cm

b) 5

V12 Cm

cl 12 cm

dl9cm

e)

10 em

217-e

TC.205 OTA-731 Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A,. B, C. O i"'mandaonte quando o navio está em A, observa um farol L, e calcula o angulo LAC = 30. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LSC = 750. Quantas milhas separa o farol do ponto B? ai 4

b12V2

c)

~

.)2 -

0.

Pode-se concluir que

b) 2 + V2

a) .)2 - V2 2

di V2 2

3

TC.211 (GV -75) O lado do octógono regular inscrito num circulo de raio unitário é:

Vi

cl 2 -

i-

cos

vale:

Vi - 1

di

e) nenhuma das anteriores

TC.206 (MACK-76) Na f~ura ao lad~ AC 1 CB e AD 1 DC: m(DAC) = m(ABC) = 13 e AB = a. O valor de AD, em função de a e de 13, é: 1 a sen 213 2 c) 1 a sen 13 2 e) 2 a senl3 ai

bl 2 a sen

TC.212 (MACK-74) A base de um retângulo AD que é três vezes maior que sua altura AB, é su~ividid~los ~ntos M e N em três partes de igual medida. Nessas condições AMB + ANB + ADB é igual a:

A

a) 120° TC.213 (ITA-75) Seja

213

Sabe-se que

13 2

di a sen

bl 90°

c) 85°

ABCD

A=

2ê.

um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência.

B>

Ô e tg B. tg Ô + sen

A, El,

Neste caso, os valores de

TC.2070TA-74l Deseja-se construir uma ferrovia ligando o ponto A ao ponto B que está 40 Km a sudeste de A. Um lago, na planfcie onde estão A e B impede a construção em linha reta. Para contornar o lago, a estrada será construída em 2 trechos retos com o vértice no ponto C, que está 36 Km a leste e 27 Km ao sul de A. O comprimento do trecho CB é:

= _

9

4

ê, Ô são, respectivamente, o

a} 150°,45°,75°,30° c) 120°, 160°, 60°,30°

B

A. sen ê o

o

o

bl 90 , 120 , 45 , 60 di 120°, 120°, 60°, 60°

e} nenhuma das anteriores

Vi

v'183

ai v'182 Km b) Km e) nenhuma das respostas anteriores

cl

v'1ã4 Km

v'1ã5 Km

ai x

TC.2OS (EPUSP-66) Os lados de um triângulo estão na razão ai c) d) e)

d)

6:8:9.

<

!!..

2 e) nenhuma das respostas anteriores

c) AC

< BC

d) AC =

1

2

A) +

b)

d)

ab

x

ab

x =

v'b(a - 2b)

v' ala - 2b)

e) nenhuma das anteriores

v' ala - 2b) TC.215 (ITA-77) Sejam d e L respectivamen· te os comprimentos da diagonal BD e do lado BC do paralelogramo ABCD ao lado. Conhecendo-se os ângulos C/ e 13 (ver figura), o comprimento x do lado AB é dado por:

c • sen(Â - si

ê

d /.

/' /'

/

--L

=

d cos C/ cos (C/ + 131

b) x =

d) x =

L cos C/ sen (C/ + (3l

e) nenhuma das anteriores'

a) x

D

L

A

B

Â, S,

b

cl x

BC

TC.210 OTA-75) Num triângulo escaleno ABC, os lados opostos aos ângulos medem respectivamente a, b, c. Então a expressão: a • seniS - ê) + b • sen(ê -

a

v' b(a - 2bl

TC.209 (FFCLUSP-67) Dados os segmentos AC e BC e um ângulo S, é posslvel construir-se um triângulo que tenha AC e BC como lados e B como ângulo não adjacente a AC e BC quando: b) B

=

Então:

o triângulo é obtusângulo bl o triângulo é acutângulo os ângulos estão na razão 6: 8: 9 o ângulo oposto ao lado maior é o dobro do ângulo oposto ao lado menor nenhuma das anteriores

a) AC > BC

TC.214 (ITA-77) Sejam A, B e C três pontos distintos de uma reta, com B entre A e C. Sejam a e b (a> 2b) os comprimentos de AB e BC respectivamente. Se o segmento B~ é perpendicular ao se~ento AC, quanto deve medir BD, para que o ângulo BDC seja a metade de BDA?

d sen C/ sen (C/ + (3)

c) x

C L sen C/ cos (C/ + 13 I

tem valor que satisfaz uma das seguintes alternativas:

a) a' sen  + b' sen c)

218-C

O

d) 1

El + C' sen ê

b) sen 2 A + sen 2 S + sen2ê

e) nenhuma das respostas anteriores

219-e

RESPOSTAS TC.l a TC.2 c TC.3 b TC.4 a TC.5 TC.6 c TC.7 b TC.8 c TC.9 d TC.l0 c TC.ll a TC.12 a TC.13 a TC.14 c TC.15 a TC.16 d TC.17 b TC.18 c TC.19 b TC.20 a TC.21 d TC.22 d TC.23 c TC.24 c TC.25. TC.26 b TC.27 a TC.28 b TC.29 c TC.30 c TC.31. TC.32 d TC.33 d .TC.34. TC.35 a TC.36 b TC.37 a TC.38 c TC.39 c TC.40 e TC.41 d TC.42 d TC.43.

•

TC.44 a TC.45 d TC.46 a TC.47 c TC.48 c TC.49 d TC.50 a TC.51 c TC.52 d TC.53 c TC.54. TC.55 b TC.56 a TC.57. TC.58 a TC.59 a TC.60 c TC.61. TC.62 a TC.63 ..... TC.64 c TC.65 b TC.66 d TC.67 a TC.68 a TC.69 a TC.70 d TC.71 a TC.72 c TC.73 d TC.74 b TC.75. TC.76 a TC.77 b TC.78 e TC.79 a TC.80 a TC.81 e TC.82 e TC.83 b TC.84. TC.85 a TC.86 b

TC.87 c TC.88 a TC.89 b TC.90 b TC.91. TC.92. TC.93. TC.94. TC.95d TC.96 d TC.97 a TC.98d TC.99 c TC.l00 b TC.l0l a TC.l02 a TC.l03 d TC.l04 d TC.l05 b TC.l06 a TC.l07. TC.l08 e TC.l09 c TC.ll0 a TC.111 d TC.112 b TC.113d TC.114d TC.115 c TC.116. TC.l17 d TC.118 a TC.119 b TC.120 d TC.121 d TC.122 a TC.123 a TC.124 c TC.125 b TC.126. TC.127 b TC.128 a TC.129 c

TC.130 c TC.131 b TC.l32 c TC.133 c TC.134 b TC.l35 d TC.136 d TC.137 c TC.l38 b TC.l39 c TC.140 c TC.141 c TC.142 b TC.l43 c TC.l44 d TC.145 b TC.l46 • TC.147 a TC.l48 a TC.149 b TC.150 c TC.151 d TC.152 e TC.153 c TC.154 b TC.155 a TC.156 d TC.157 a TC.158. TC.159 b TC.160 b TC.161 b TC.162 b TC.163 a TC.164 d TC.165. TC.166 d TC.167 a TC.168 e TC.l69 d TC.170 d TC.171 é TC.l72 b

TC.173 d TC.174 c TC.175 a TC.176 b TC.l77 c TC.178 b TC.179 b TC.180 c TC.181. TC.182 c TC.183 a TC.184 a TC.185 a TC.l86 c TC.187 d TC.l88 c TC.l89 c TC.190 d TC.191 a TC.192 d TC.193 a TC.194 d TC.195 a TC.196 c TC.197 c TC.198 a TC.199 d TC.200 a TC.201 d TC.202 a TC.203 b TC.204 e TC.205 b TC.206 a TC.207 d TC.208 b TC.209 a TC.210 c TC.211. TC.212 b TC.213 d TC.214 d TC.215 b

221-C